Emmy Noether
Đóng góp cho toán học và vật lý > Bối cảnh lịch sử > Đại số trừu tượng và begriffliche Mathematik (toán học khái niệm)

Hai đối tượng quan trọng nhất trong đại số trừu tượng là nhóm và vành.
Một nhóm chứa tập hợp các phần tử và một phép toán kết hợp hai phần tử của tập hợp thu được phần tử thứ ba cũng thuộc tập đó. Phép toán này phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định để xác định lên một nhóm: nó phải thỏa mãn tính đóng (khi kết hợp hai phần tử bất kỳ của tập hợp thì phần tử thu được cũng phải thuộc tập hợp đó), phép toán phải đảm bảo tính kết hợp, phải có phần tử đơn vị-hay còn gọi phần tử đồng nhất (phần tử mà khi kết hợp với nó sử dụng phép toán nhóm thu được chính phần tử đầu tiên, như cộng với số 0 hoặc nhân với số 1), và mỗi phần tử của nhóm đều phải có phần tử nghịch đảo tương ứng.
Tương tự như vậy cho một vành, đó là tập hợp các phần tử nhưng được trang bị hai phép toán. Phép toán thứ nhất khiến tập đó là một nhóm, còn phép toán thứ hai đảm bảo tính chất kết hợp và phân phối đối với phép toán thứ nhất. Vành có thể là giao hoán hoặc không giao hoán; điều này có nghĩa là kết quả áp dụng phép toán đối với phần tử thứ nhất và phần tử thứ hai là giống với kết quả khi áp dụng phép toán đối với phần tử thứ hai và phần tử thứ nhất—thứ tự của các phần tử không quan trọng. Nếu mỗi phần tử khác 0 có một phần tử nghịch đảo đối với phép nhân (phần tử x thỏa mãn ax = xa = 1), thì vành được gọi là vành chia (division ring). Một trường được định nghĩa là vành chia giao hoán.
Nhóm thường được nghiên cứu thông qua lý thuyết biểu diễn nhóm. Trong dạng tổng quát nhất, lý thuyết chứa một nhóm được chọn, một tập hợp, và một tác dụng của nhóm lên tập hợp, tức là một phép toán kết hợp một phần tử của nhóm với một phần tử của tập hợp và kết quả thu được một phần tử của tập hợp. Trong nhiều trường hợp, tập hợp này là không gian vectơ, và nhóm biểu diễn cho các đối xứng của không gian vectơ. Ví dụ nhóm biểu diễn phép quay trong không gian. Đây là một loại đối xứng của không gian bởi vì không gian tự nó không thay đổi khi thực hiện phép quay mặc dù vị trí của các vật thể trong nó thay đổi. Noether sử dụng những khái niệm này nhằm nghiên cứu đối xứng trong công trình của bà về những bất biến trong vật lý học.
Một công cụ mạnh để nghiên cứu vành là thông qua các môđun. Môđun chứa một vành được lựa chọn, một tập hợp khác-thường là khác với tập chứa vành và gọi là tập chứa môđun, một phép toán trên cặp các phần tử của tập chứa môđun, và một phép toán tác dụng lên một phần tử thuộc vành và một phần tử thuộc môđun và trả lại một phần tử thuộc môđun. Tập chứa mô đun và phép toán đối với nó phải tạo thành một nhóm. Một mô đun là phiên bản vành lý thuyết của phép biểu diễn nhóm: khi bỏ phép toán thứ hai của vành và phép toán trên cặp phần tử của mô đun xác định lên phép biểu diễn nhóm. Tiện ích thực của mô đun là loại các mô đun tồn tại và tương tác của chúng cho thấy cấu trúc của vành theo cách mà không thể thấy rõ ràng khi chỉ nhận xét từ chính vành. Một trường hợp quan trọng đặc biệt là đại số trên một trường. (từ đại số có nghĩa cho cả vật thể trong toán học cũng như vật thể nghiên cứu trong chủ đề của đại số.) Một đại số chứa hai vành được lựa chọn và một phép toán tác động lên mỗi phần tử thuộc từng vành và thu được phần tử thuộc vành thứ hai. Phép toán này khiến cho vành thứ hai trở thành mô đun đối với vành thứ nhất. Thông thường vành thứ nhất là một trường.
Các từ như "phần tử" và "phép toán kết hợp" là rất tổng quát, và có thể áp dụng cho nhiều tình huống trong thế giới thực và trừu tượng. Bất kỳ tập hợp nào mà tuân theo các quy tắc cho một (hoặc hai) phép toán sẽ là, bằng định nghĩa, một nhóm (hoặc vành), và tuân theo mọi định lý về nhóm (hoặc vành). Các số nguyên với phép toán cộng và nhân là những ví dụ như thế. Ví dụ, các phần tử có thể là các chữ cái trong dữ liệu máy tính, nơi phép toán kết hợp thứ nhất là phép loại trừ (phép tuyển) và phép toán thứ hai là phép hội lôgic. Các định lý của đại số trừu tượng là rất mạnh và có tính tổng quát. Tưởng tượng ra rằng chỉ có thể rút ra kết luận về vật thể định nghĩa chỉ với vài tính chất, nhưng chính xác như but precisely therein lay Noether's gift: để khám phá ra nhiều nhất mà có thể rút ra từ một tập hợp các tính chất cho trước, hoặc ngược lại, để định ra tập hợp nhỏ nhất, những tính chất cơ bản đáp ứng cho một quan sát đặc biệt. Không như hầu hết các nhà toán học, bà không thực hiện sự trừu tượng bằng cách tổng quát hóa từ những ví dụ cụ thể; hơn hết bà làm việc trực tiếp với những khái niệm trừu tượng. Như van der Waerden nhớ lại trong điếu văn của bà,
Điều lớn nhất mà Emmy Noether đi theo trong toàn sự nghiệp của bà có thể miêu tả như sau: "Bất kỳ mối quan hệ giữa những số, hàm, và các phép toán trở lên mạch lạc, áp dụng được cho trường hợp tổng quát, và sự khai thác đầy đủ chỉ sau khi chúng đã bị cô lập khỏi những vật thể đặc biệt và được thiết lập như là một khái niệm đúng đắn phổ quát.
Đây chính là begriffliche Mathematik (toán học khái niệm thuần túy) mà thường thấy ở Noether. Kiểu phong cách này sau đó được những nhà toán học khác tiếp nhận, đặc biệt là trong lĩnh vực mới nổi là đại số trừu tượng.