Thuyết tương đối rộng
Từ cơ học cổ điển đến thuyết tương đối rộng > Chuyển sang tương đối tính

Nếu mô hình lực hấp dẫn Newton có thể biểu diễn bằng hình học thì cơ sở vật lý của nó, cơ học cổ điển, chỉ là trường hợp giới hạn của cơ học tương đối tính (đặc biệt) đối với chuyển động có vận tốc nhỏ. Theo ngôn ngữ của đối xứng: khi bỏ qua ảnh hưởng của trường hấp dẫn, các phương trình vật lý tuân theo bất biến Lorentz giống như của thuyết tương đối hẹp hơn là tuân theo bất biến Galileo như trong cơ học cổ điển. (Nhóm đối xứng của thuyết tương đối hẹp là nhóm Poincaré bao gồm cả phép tịnh tiến và phép quay.) Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và thuyết tương đối hẹp trở lên rõ rệt khi các vật có vận tốc gần với tốc độ ánh sáng, và khi xét đến những quá trình năng lượng cao.
Với đối xứng Lorentz, chúng ta có thêm những cấu trúc mới. Chúng được xác định bằng tập hợp nón ánh sáng (xem hình bên trái). Các nón ánh sáng cho phép định nghĩa cấu trúc nhân quả: đối với mỗi sự kiện A, về nguyên lý có một tập các sự kiện, hoặc ảnh hưởng đến A hoặc bị ảnh hưởng bởi A thông qua tín hiệu hoặc tương tác mà không vượt quá tốc độ ánh sáng (như sự kiện B trong hình), và một tập các sự kiện không thể liên quan được đến A (như sự kiện C trong hình). Tập này gọi là tập những quan sát viên độc lập. Khi gắn với tuyến thế giới (world-lines) của hạt rơi tự do, chúng ta sử dụng nón ánh sáng nhằm khôi phục lại mêtric nửa-Riemannian của không thời gian, ít nhất đối với số hạng vô hướng dương. Theo thuật ngữ toán học, quá trình này xác định lên cấu trúc bảo giác.
Thuyết tương đối hẹp không miêu tả lực hấp dẫn, do vậy các nhà vật lý áp dụng nó cho những mô hình không tính đến lực hấp dẫn. Bởi vì mô hình hấp dẫn Newton nói rằng lực hấp dẫn giữa hai vật thể tác dụng một cách tức thì, không kể chúng ở cách xa bao nhiêu (hay tồn tại những hệ quy chiếu quán tính toàn cục), do vậy lý thuyết Newton vi phạm bất biến Lorentz. Khi tính đến trường hấp dẫn, bằng áp dụng sự rơi tự do, cách lý giải tương tự như phần trước được áp dụng: không có một hệ quy chiếu quán tính toàn cục tồn tại trong lý thuyết tương đối tổng quát. Thay vì vậy chúng ta chỉ có thể sử dụng những hệ quy chiếu quán tính cục bộ "xấp xỉ" di chuyển dọc theo quỹ đao hạt rơi tự do. Chuyển thành ngôn ngữ của không thời gian: những tuyến thế giới thẳng kiểu thời gian mà xác định hệ quy chiếu quán tính không có trường hấp dẫn sẽ bị lệch thành những đường cong tương đối với nhau trong trường hấp dẫn (Giống như khi thả hai quả bóng rơi tự do, tưởng như chúng rơi song song với nhau nhưng thực tế quỹ đạo của chúng gặp nhau tại tâm Trái Đất, hay quỹ đạo hai quả bóng bị lệch tương đối với nhau khi có mặt trường hấp dẫn.) và điều này gợi ra rằng trường hấp dẫn làm thay đổi hình học của không thời gian từ phẳng sang cong.
Nhưng có một câu hỏi xuất hiện trước tiên là liệu hệ quy chiếu cục bộ mới gắn liền với vật rơi tự do có giống với hệ quy chiếu mà trong đó các định luật của thuyết tương đối hẹp thỏa mãn — lý thuyết dựa trên cơ sở sự không đổi của tốc độ ánh sáng trong chân không, và cũng mô tả lý thuyết điện từ học cổ điển. Bằng sử dụng những hệ quy chiếu tương đối tính của thuyết tương đối hẹp (như hệ quy chiếu gắn liền với mặt đất-phòng thí nghiệm, hay hệ quy chiếu rơi tự do), chúng ta có thể dẫn ra những kết quả khác nhau cho hiệu ứng dịch chuyển đỏ do hấp dẫn, hiệu ứng dịch chuyển tần số của ánh sáng khi nó truyền qua trường hấp dẫn (xem bên dưới). Những đo đạc thử nghiệm chỉ ra rằng ánh sáng lan truyền trong các hệ quy chiếu rơi tự do có quỹ đạo và tần số giống với khi ánh sáng lan truyền trong những hệ quy chiếu quán tính của thuyết tương đối hẹp. Và ánh sáng lan truyền trong trường hấp dẫn có quỹ đạo và sự dịch chuyển tần số giống như khi nó lan truyền trong hệ quy chiếu đang gia tốc với gia tốc bằng gia tốc hấp dẫn. Tổng quát hóa phát biểu này tương ứng với phát biểu "các định luật của thuyết tương đối hẹp thỏa mãn một cách xấp xỉ tốt trong những hệ quy chiếu rơi tự do (và không quay)", còn gọi là nguyên lý tương đương Einstein, một nguyên lý nền tảng của thuyết tương đối tổng quát.
Các thí nghiệm cũng chỉ ra rằng thời gian đo bởi những đồng hồ trong trường hấp dẫn — thời gian riêng, thuật ngữ của vật lý học — không tuân theo các định luật của thuyết tương đối hẹp (hàm ý thời gian bị cong). Trong ngôn ngữ của hình học không thời gian, nó không được đo bằng mêtric Minkowski. Như trong trường hợp lực hấp dẫn Newton, điều này gợi ra lý thuyết tương đối rộng cần một hình học tổng quát để miêu tả. Ở quy mô nhỏ, mọi hệ quy chiếu rơi tự do đều tương đương với nhau và miêu tả xấp xỉ bằng mêtric Minkowski. Hệ quả là, chúng ta sẽ cần phải tổng quát hình học Minkowski thành hình học các không gian cong. Tenxơ mêtric xác định lên cấu trúc hình học — đặc biệt nó cho phép đo độ dài và góc — khác với mêtric Minkowski của thuyết tương đối hẹp, nó là mêtric tổng quát của mêtric đa tạp giả-Riemann. Hơn nữa, mỗi mêtric Riemann được kết hợp một cách tự nhiên với một loại liên thông đặc biệt, liên thông Levi-Civita, và thực tế liên thông này thỏa mãn nguyên lý tương đương và làm cho không thời gian của thuyết tương đối tổng quát trên phương diện cục bộ giống với không thời gian Minkowski (có nghĩa là khi chọn hệ tọa độ quán tính cục bộ phù hợp, tenxơ mêtric của thuyết tương đối rộng trở thành tenxơ mêtric Minkowski, cũng như đạo hàm riêng bậc nhất và các hệ số liên thông triệt tiêu - tương đương với không có trường hấp dẫn ở hệ toạ độ cục bộ này). Tenxơ mêtric thể hiện tính động lực của hình học không thời gian, nó cho thấy vật chất ảnh hưởng lên hình học như thế nào cũng như sự xuất hiện của nó trong phương trình chuyển động của hạt thử.
Trong không thời gian Minkowski phẳng, với hệ tọa độ  x^{\mu }\rightarrow (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\, một trong những bất biến Lorentz là "khoảng không thời gian" giữa hai sự kiện
Nếu  ds^{2}<0 thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế giới (world line) kiểu thời gian (time-like), và mọi sự kiện thực có liên hệ nhân quả với nhau-một sự kiện nằm trong nón ánh sáng của sự kiện kia-sẽ nằm trên đường kiểu thời gian.
Nếu  ds^{2}>0 thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế giới kiểu không gian (space-like), đây là khoảng không thời gian giữa hai sự kiện mà một sự kiện nằm ngoài nón ánh sáng của sự kiện kia.
Nếu  ds^{2}=0 thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế giới không (null-world line), hay chúng nằm trên đường đi của ánh sáng.
Tenxơ mêtric Minkowski là