Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng > Đối xứng và trường vectơ Killing

Đối xứng đóng vai trò quan trọng trong vật lý học và thuyết tương đối tổng quát không phải là một ngoại lệ. Để đánh giá sự quan trọng của các đối xứng, hãy xét một không thời gian có một số đối xứng chịu trách nhiệm cho tính bất biến của các phương trình dưới tác dụng của nhóm một tham số  {\mathcal {G}}. Trong trường hợp này, có thể gắn với  {\mathcal {G}} một trường vectơ  {\boldsymbol {\xi }} sao cho các đường trong trường vectơ  {\boldsymbol {\xi }} tương ứng với đường đi (hay quỹ đạo) của  {\mathcal {G}}. Ví dụ, nếu không thời gian là dừng, thì  {\mathcal {G}}=(\mathbb {R} ,+) và các phương trình là bất biến dưới phép tịnh tiến dọc các đường kiểu thời gian, hay chúng độc lập với thời gian. Tương tự, nếu không thời gian là đối xứng trục, thì  {\mathcal {G}}=SO(2) và các phương trình là bất biến dưới phép quay xung quanh một vài trục, hay chúng độc lập với góc miêu tả sự quay quanh những trục này. Các trường vectơ Killing nhấn mạnh vào các đối xứng của không thời gian và, như sẽ thảo luận sâu hơn ở những phần sau, chúng cung cấp một công cụ mạnh khi gặp những đại lượng bảo toàn đi kèm với các đối xứng này.
Về định nghĩa, một trường vectơ  {\boldsymbol {\xi }} là trường Killing (theo tên của Wilhelm Killing) nếu đạo hàm Lie của trường tenxơ mêtric  {\boldsymbol {g}} dọc theo họ  {\boldsymbol {\xi }} bằng 0, hay  {\mathcal {L}}_{\boldsymbol {\xi }}{\boldsymbol {g}}=0. Nghĩa là trường vectơ Killing bảo tồn mêtric trên đa tạp Riemann. Trong dạng thành phần, điều kiện này tương đương với
Trường vectơ  {\boldsymbol {\xi }} cũng được coi là toán tử sinh (generator) của nhóm đối xứng  {\mathcal {G}}. Phương trình (169) cung cấp đặc trưng hiệp biến cho những đối xứng tồn tại. Quả vậy, nếu chúng ta thay đạo hàm riêng  \partial _{\nu }\xi ^{\alpha } theo (154) và sử dụng tính chất (164)  \nabla _{\mu }g_{\alpha \beta }=0 sẽ thu được phương trình Killing
với dấu ngoặc ám chỉ thành phần đối xứng của tenxơ này. Phương trình (170) là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất cho các vectơ Killing và chúng xác định các phép đẳng cự (isometry) của không thời gian. Ví dụ, giả sử chọn hệ tọa độ sao cho  \xi ^{\mu }=(1,0,0,0) là một vectơ Killing. Thì từ (169) rút ra được mêtric độc lập với thời gian
Nói chung, khi vectơ Killing là vectơ cơ sở tọa độ, thì mêtric không phụ thuộc vào trục tọa độ tương ứng, hay còn gọi là tọa độ xilic (cyclic coordinate). Ví dụ, một số mêtric của không thời gian vật lý mà nêu ra ở phần Không thời gian trong vật lý thiên văn, các tọa độ  t,\phi  là xiclic. Từ đây chúng thừa nhận ít nhất hai vectơ Killing  {\boldsymbol {\eta }} và  {\boldsymbol {\xi }} sao cho  \eta ^{\mu }=\delta ^{m}u_{t} và  \xi ^{\mu }=\delta ^{m}u_{\phi } và các tích vô hướng cho kết quả trực tiếp các thành phần của tenxơ mêtric
Rõ ràng sự có mặt của một vectơ Killing thể hiện tính chất độc lập với một tọa độ của không thời gian, trong khi thực tế rằng một tọa độ là xilic là do cách lựa chọn đặc biệt đối với các tọa độ. Tuy nhiên, khi cho trước một vectơ Killing, luôn có thể tìm được một hệ tọa độ phù hợp sao cho vectơ Killing trùng với một trong các vectơ cơ sở tọa độ. Có thể chứng minh được là một không thời gian N chiều thừa nhận nhiều nhất N(N+1)/2 vectơ Killing độc lập. Trường hợp tất cả chúng có mặt khi chỉ khi độ cong của không thời gian là không đổi.. Ví dụ cho không thời gian có độ cong không đổi đó là không thời gian phẳng và không thời gian Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) miêu tả trong phần liên quan ở dưới.
Hai mối liên hệ cơ sở thỏa mãn trong không thời gian có hai vectơ Killing  {\boldsymbol {\eta }} và  {\boldsymbol {\xi }} đó là
Ngoài ra, nếu hai vectơ Killing  {\boldsymbol {\eta }} và  {\boldsymbol {\xi }} giao hoán, nghĩa là (xem (145))
thì liên hệ sau cũng thỏa mãn