stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Trường Trung học phổ thông chuyên Hà Nội – Amsterdam
Sự việc liên quan

Năm 2018, một nữ sinh của trường tố cáo anh rể là 1 MC của Đài Truyền hình Việt Nam bạo hành.
Đầu năm 2022, môt nam sinh lớp 10 của Trường Hà Nội - Amsterdam nhảy lầu tự tử. Nam sinh để lại lá thư tuyệt mệnh được lan truyền trên mạng, làm dấy lên tranh luận về vấn đề áp lực học tập.
Năm 2022, báo Thanh Niên (báo) đăng tin nhiều nhà khoa học nghi ngờ về sự trung thực của dự án nghiên cứu khoa học của hai học sinh trường Hà Nội - Amsterdam tham gia kỳ thi ViSEF do sử dụng nhiều kiến thức tương đương với kiến thức tiến sỹ của các trường đại học top đầu. Trước đó dự án này được cho là tự tiến hành bởi hai nam sinh này.
Korpo

Korpo (/korpːu/), hay Korppoo (ˈkorpːoː) in Tiếng Phần Lan, là một đô thị của Phần Lan.
Vị trí ở tỉnh của Tây Phần Lan thuộc vùng Tây Nam Phần Lan. Đô thị này có dân số 889 người (thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2004) và diện tích 170,11 km² (trừ phần mặt biển) trong đó có 1,26 km² là mặt nước nội địa. Mật độ dân số là 5,27 người trên mỗi km². Utö, đảo có người ở cực nam, thuộc đô thị này.
Đô thị này sử dụng hai ngôn ngữ với đa số dùng tiếng Thụy Điển và thiểu số sử dụng tiếng Phần Lan.
Hiệp Hòa, Kinh Môn

Đối với các định nghĩa khác, xem Hiệp Hòa (định hướng).
Hiệp Hòa là một xã thuộc thị xã Kinh Môn, tỉnh Hải Dương, Việt Nam.
Xã Hiệp Hòa có diện tích 9,84 km², dân số năm 1999 là 6920 người, mật độ dân số đạt 703 người/km². Xã Hiệp Hòa có 3 thôn: Châu Bộ, An Bộ, Đích Sơn
Đình Đích Sơn

Đình Đích Sơn hay đình Đước nằm ở trung tâm xã Hiệp Hòa, là nơi thờ thành hoàng làng tên Đặng Quý Chân, người có công giúp vua Đinh Bộ Lĩnh dẹp loạn 12 sứ quân, thống nhất đất nước vào thế kỷ thứ 10. Đình Đước đã được xếp hạng di tích lịch sử văn hóa từ năm 2024.
Chú thích

1 2 3  “Mã số đơn vị hành chính Việt Nam”. Bộ Thông tin & Truyền thông. Bản gốc lưu trữ ngày 24 tháng 3 năm 2013. Truy cập ngày 10 tháng 4 năm 2012.
↑  Tổng cục Thống kê
↑  Khoanh vùng xếp hạng di tích Đình Đích Sơn xã Hiệp Hoà
Vũ Hữu

Vũ Hữu (chữ Hán: 武有, 1437–1530) là một nhà toán học người Việt, và cũng là một danh thần dưới triều đại Lê Thánh Tông, Lê Hiến Tông. Ông còn được coi là nhà toán học đầu tiên của Việt Nam.
Tiểu sử, sự nghiệp

Ông người làng Mộ Trạch, tổng Thì Cử, huyện Đường An, phủ Thượng Hồng, trấn Hải Dương, nay là làng Mộ Trạch, xã Tân Hồng, huyện Bình Giang, tỉnh Hải Dương. Năm Quang Thuận thứ 4 đời vua Lê Thánh Tông (Quý Mùi 1463), ông đỗ Hoàng giáp.
Vũ Hữu đã kinh qua các chức vụ như Khâm hình viện lang trung, Thượng thư bộ Hộ, Thượng thư bộ Lễ trong triều đình nhà Hậu Lê, sau được tặng phong Thái bảo. Mặc dù về hưu năm 70 tuổi, đển năm 90 tuổi (1527), ông vẫn được vua tin dùng, sai mang cờ tiết đi phong vương cho Mạc Đăng Dung. Khi đó ông có tước là Tùng Dương hầu.
Công trình toán học

Công trình toán học ông để lại cho hậu thế nổi bật là Lập Thành Toán Pháp (立成算法). Sách này gồm cách đo ruộng, tính diện tích ruộng; hình vẽ các thửa ruộng có hình phức tạp và cách tính diện tích loại ruộng này; cách tính bằng bàn tính, bằng phép cửu chương, cửu quy; một số bài tính đố, có cho biết đáp số. Các phép đo ruộng đất được tính theo đơn vị mẫu, sào, thước (24 mét vuông) và tấc (1/10 thước).
Sách Công dư tiệp ký ghi lại câu chuyện sau: Vua Lê Thánh Tông muốn thử tài của Vũ Hữu, nên đã giao cho ông sửa chữa ba cửa Đoan Môn, Đại Hưng và Đông Hoa của thành Thăng Long. Tuân lệnh, Vũ Hữu dùng thước đo chiều cao, chiều dài, chiều rộng của các cửa thành và tính ra số gạch đá, vật liệu phải dùng. Kết quả là khi xây xong, đá không thừa một tấc, gạch không thiếu một viên, quy mô các cửa thành được sửa chữa không sai một ly, một tấc. Vua Lê Thánh Tông rất hài lòng đã ban chiếu khen thưởng Vũ Hữu.
Gia đình

Em ruột ông là Vũ Phong, Vô địch đô vật làm Cẩm y vệ Chỉ huy sứ.
Trở ngại

Sách Đại Việt sử ký toàn thư có chép:
Chú thích

↑  Có tài liệu chép là sinh năm 1443.
↑  “Thông tin Lập thành Toán pháp”. Viện nghiên cứu Hán-Nôm. Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 8 năm 2017. Truy cập ngày 22 tháng 8 năm 2017.
↑  Vũ Phong (武 風):

Mộ Trạch còn có Trạng vật Vũ Phong, tên hiệu là Tồn Trai, con thứ 5 của Vũ Bá Khiêm, em ruột Hoàng giáp Vũ Hữu. Ông tướng ngũ đoản, có biệt tài về đô vật, đã quật ngã các đô lực sĩ hộ vệ vua Lê Thánh Tông trong một cuộc thử sức, lại có tiếng chính trực và tháo vát, được vua tin dùng, cho làm Chỉ huy sứ Cẩm y thị vệ. Có lần ông được sung vào sứ bộ sang nhà Minh biểu diễn tài đô vật. Ông đã thắng các tay đô vật nổi tiếng của Tàu, đem lại vẻ vang cho dân tộc. Khiến vua Minh Hiến Tông phải khen ngợi, gọi ông là “Lý Tôn Hiến An Nam,” ý sánh ông với danh tướng họ Lý đời Đường Hy Tông, cũng vóc người nhỏ bé nhưng giỏi võ và sức mạnh phi thường, có công dẹp yên loạn Hoàng Sào. Người đương thời tôn xưng Võ Phong là Trạng Vật. Còn Hoàng giáp Lê Quang Bí, liệt ông vào các nhân vật lịch sử và có thơ vịnh:

Ngũ đoản tằng xưng tướng mạo kỳ,
Tang bồng hồ thỉ hảo nam nhi.
Nhất môn bá trọng quang tiền nghiệp
Thiên tải minh lương kết chủ tri
Ứng biến đạt tài thi hữu chính,
Xứng bình lệnh dữ bá vu thì.
Tử tôn vinh thịnh đoan phi ngẫu,
Chủng đức cao dao thị ngã si (sư).

Bản dịch trong “Tự Điển Nhân Vật Lịch Sử Việt Nam”:

Tướng xem ngũ đoản thật phi thường
Hồ thỉ làm trai chí bốn phương
Nếp cũ thêm tươi hàng bá trọng,
Ngàn xưa được gặp chúa minh lương.
Khen tay chính trị tài thông biến,
Giữ mực công minh tiếng chẳng thường.
Con cháu vinh hoa âu cũng bởi,
Ai trồng cây đức để làm gương.
Arroba de los Montes

| Arroba de los Montes Arroba de los Montes |
| --- | --- |

  Hiệu kỳ
 Vị trí của Arroba de los Montes

Quốc gia:  Tây Ban Nha
Vùng
Tỉnh: Ciudad Real
Quận (comarca): de los montes
Thủ phủ: Arroba de los Montes
Chính quyền
 • Thị trưởng: Antonio López Herance
Diện tích
 • Đất liền: 61,70 km2 (2,380 mi2)
Độ cao: 720 m (2,360 ft)
Dân số (INE 2007)
 • Tổng cộng: 553
 • Mật độ: 8,96/km2 (2,320/mi2)
Múi giờ: UTC+1
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+2)
Mã bưu chính: 13193
Tên gọi dân cư: Arrobeños
Website: http://arrobadelomontes1.blogspot.com
Arroba de los Montes là một đô thị thuộc Ciudad Real, Castile-La Mancha, Tây Ban Nha. Đô thị này có dân số là 611.
| 1991 | 1996 | 2001 | 2004 |
| --- | --- | --- | --- |
| 705 | 694 | 627 | 584 |
Tích phân bội

Tích phân bội là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến thực, ví dụ, ƒ(x, y) hoặc ƒ(x, y, z). Các tích phân của một hàm hai biến trên một vùng trong không gian ℝ2 được gọi là tích phân kép, và tích phân của hàm ba biến trên một miền của R3 được gọi là tích phân bội ba.
Giới thiệu

Tích phân xác định của một hàm số dương có 1 biến là một diện tích nằm giữa đồ thị của hàm số đó và trục x, tích phân kép của một hàm số dương 2 biến là thể tích được xác định bởi bề mặt tạo ra bởi hàm số đó (mặt phẳng trong tọa độ 3 chiều z = ƒ(x, y)) và mặt phẳng chứa tập xác định của nó. (Cùng một thể tích có thể thu được thông qua tích phân bội ba—tích phân của một hàm ba biến—của hàm liên tụcf(x, y, z) = 1 trong những miền nói trên giữa bề mặt và mặt phẳng.) Nếu có nhiều biến hơn thì phép tính tích phân sẽ tạo ra các siêu thể tích của các hàm đa chiều.
Tích phân của một hàm n biến: f(x1, x2,..., xn) trên một tập xác định D thường được biểu diễn bằng nhiều ký hiệu tích phân lồng nhau và được tính theo tứ tự từ trong ra ngoài (từ phải sang trái). Miền tích phân hoặc được biểu diễn dạng ký hiệu đối với từng dấu tích phân, hoặc được viết ngắn gọn bằng một biến phía trên của ký hiệu tích phân tận cùng bên phải:
Vì khái niệm nguyên hàm chỉ được xác định đối với các hàm số có một biến thực, nên định nghĩa thông thường của tích phân bất định không mở rộng cho tích phân nhiều biến.
Định nghĩa

Cho n > 1, tập xác định T gồm n đoạn nửa mở được định nghĩa là:
Chia mỗi đoạn [aj, bj) thành một tập Ij các khoảng nhỏ không trùng nhau ijα, trong đó các khoảng nhỏ này đóng bên trái và mở bên phải.
Sau đó, một tập hợp phần tử hữu hạn C được xác lập
là một tập con của T; trong đó Ck là các phần không trùng nhau và tập hợp của chúng là T.
Cho một hàm f: T → R xác định trên T, trong đó tập con C của T được xác định như trên, như vậy C là một tập có m phần tử Cm và
Chúng ta có thể tính gần đúng thể tích tổng thứ n-chiều được giới hạn bên dưới bởi T và bên trên bởi f theo tổng Riemann:
với Pk là điểm ở Ck và m(Ck) là tích của số đoạn Ck.
Đường kính của một đoạn con Ck là chiều dài lớn nhất trong các khoảng mà tích Descartes bằng Ck. Đường kính của một phân vùng cho trước T được định nghĩa là đường kính lớn nhất của các đoạn con trong phân vùng đó. Bằng trực giác, khi đường kính của phân vùng C được giới hạn càng ngày càng nhỏ, số lượng các đoạn con m càng lớn, và số đo m(Ck) của mỗi đoạn con lại càng nhỏ. Hàm f được gọi là khả tích Riemann của f trên T nếu tồn tại giới hạn
S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})
, khi giới hạn tiếp nhận tất cả các phân vùng có thể có của T với đường kính tối đa là δ.
Nếu f khả tích Riemann thì S được gọi là tích phân Riemann của f trên T và được ký hiệu là
Có thể viết ngắn gọn là \ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
với x là số biến (x1,... xn) và dnx là vi phân thể tích n-chiều.
Tích phân Riemann của một hàm được xác định trên một tập n-chiều bị chặn tùy ý mà có thể được định nghĩa bằng cách mở rộng hàm đó thành một hàm được xác định trên một đoạn nửa mở có giá trị là zero bên ngoài miền của hàm ban đầu. Thì tích phân của hàm ban đầu trên miền gốc được xác định là tích phân của hàm mở rộng trên miền chữ nhật của nó, nếu nó tồn tại.
Trong phần tiếp theo tích phân Riemann trong không gian n-chiều sẽ được gọi tích phân bội.
Định nghĩa > Tính chất

Tích phân bội có nhiều tính chất chung với các tích phân của các hàm một biến (tuyến tính, giao hoán, đơn điệu, vv.). Một tính chất quan trọng của tích phân bội là giá trị của một tích phân độc lập với thứ tự của các hàm lấy tích phân dưới những điều kiện nhất định. Tính chất phổ biến này được gọi là định lý Fubini.
Định nghĩa > Các trường hợp đặc biệt

Trong trường hợp T ⊆ R2, tích phân
\ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy
là tích phân kép của f trên T, và nếu T ⊆ R3 thì tích phân
\ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
là tích phân bội ba của f trên T.
Theo quy ước, tích phân kép có hai dấu tích phân, và tích phân bội ba có ba dấu; đây là một quy ước ký hiệu cực kỳ tiện lợi khi tính toán một tích phân bội như là tính một tích phân được lặp, mà sẽ được chứng minh sau trong bài viết này.
Các phương pháp lấy tích phân

Trong hầu hết các trường hợp việc giải các bài toán liên quan đến tích phân bội bao gồm việc tìm kiếm một cách để giảm tích phân bội thành một tích phân lặp, một loạt các tích phân một biến, từng cái được giải quyết một cách trực tiếp. Đối với các hàm số liên tục, điều này được chứng minh bằng định lý Fubini. Đôi khi, có thể thu được kết quả lấy tích phân bằng cách kiểm tra trực tiếp mà không cần tính toán.
Sau đây là một số phương pháp đơn giản lấy tích phân:
Các phương pháp lấy tích phân > Lấy tích phân các hàm liên tục

Khi hàm lấy tích phân là một hàm hằng c, tích phân bằng với tích của c và các số đo các miền của cách lấy tích phân. Nếu c = 1 và miền là một tiểu vùng của R2, tích phân cho diện tích của vùng, trong khi nếu miền là một tiểu vùng của R3, tích phân cho thể tích của vùng.
Ví dụ: Đặt f(x, y) = 2 và
D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ |\ 2\leq x\leq 4\,\ 3\leq y\leq 6\}
trong trường hợp
\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot {\mbox{area}}(D)=(2\cdot 3)\cdot 2=12,
từ định nghĩa ta có:
\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy={\mbox{area}}(D).
Các phương pháp lấy tích phân > Sử dụng tính đối xứng

Khi miền của phép lấy tích phân đối xứng về nguồn gốc với ít nhất một trong các biến lấy tích phân và hàm lấy tích phân là hàm lẻ liên quan đến biến này, tích phân bằng không, bởi vì tích phân trong hai nửa của các miền có giá trị tuyệt đối như nhau nhưng trái dấu. Khi hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với biến này, tích phân bằng hai lần tích phân trên một nửa miền, bởi vì tích phân trên hai phần của miền đều bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho  f(x,y)=2\sin(x)-3y^{3}+5 có tích phân trên miền
T=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},
một hình tròn với bán kính 1 có tâm tại gốc bao luôn biên.
Sử dụng tính chất tuyến tính, tích phân có thể phân tích thành ba phần:
\iint _{T}(2\sin x-3y^{3}+5)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy
Hàm  2\sin(x) là hàm lẻ trong biến  x và hình tròn  T đối xứng với trục y, do đó giá trị của tích phân đầu là 0. Tương tự, hàm 3y3 là hàm lẻ của y, và T đối xứng với trục x, và do đó tích phân thứ ba sẽ ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng. Do đó, tích phân gốc bằng diện tích của hình tròn nhân 5, hay 5π.
Ví dụ 2: Cho f(x, y, z) = x exp(y2 + z2) và vùng tích phân là hình cầu bán kính 2 với tâm tại gốc,
T=\left\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.
"Khối cầu" đối xứng về cả ba trục, nhưng ta chỉ cần để lấy tích phân trên trục x để chứng minh rằng tích phân bằng 0, vì hàm đã cho là hàm lẻ của biến đó.
Các phương pháp lấy tích phân > Các miền thông thường trên R2

Xem thêm: Thứ tự lấy tích phân
Phương pháp này được áp dụng cho bất kỳ miền D mà:
phép chiếu của D vào một trong hai trục x hoặc y có biên là 2 giá trị a và b
bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với trục này mà đi qua hai giá trị giao với miền trong một khoảng mà các điểm cuối được cho bởi đồ thị của hai hàm, α và β.
Trong tất cả các trường hợp, hàm được tính tích phân phải liên tục trên miền.
Các phương pháp lấy tích phân > Các miền thông thường trên R2 > Trục x

Nếu miền D bình thường với trục x, và f: D → R là một hàm liên tục; thì α(x) và β(x) (được xác định trên đoạn [a, b]) là hai hàm số xác định D. Khi đó:
\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.
Các phương pháp lấy tích phân > Các miền thông thường trên R2 > Trục y

Nếu miền D bình thường với trục y, và f: D → R là một hàm liên tục; thì α(y) và β(y) (được xác định trên đoạn [a, b]) là hai hàm số xác định D. Khi đó:
\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.
Các phương pháp lấy tích phân > Các miền thông thường trên R2 > Ví dụ

Cho miền (Xin xem ảnh trong phần ví dụ):
D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}
Tính
\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.
Miền này bình thường với cả trục x và y. Để áp dụng các công thức bắt buộc phải tìm ra các hàm xác định D và các khoảng trên đó đều các hàm này xác định. Trong trường hợp này, hai hàm số này là:
\alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1
lúc này khoảng được cho bởi các giao điểm của các hàm với đường thẳng x = 0, từ đó [a, b] = [0, 1] là khoảng cần tìm (bình thường ta chọn trục x để hình dung tốt hơn).
Bây giờ có thể áp dụng công thức:
\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}
(Lúc đầu tích phân thứ hai được tính bằng cách coi x là hằng số). Các hoạt động còn lại bao gồm việc áp dụng các kỹ thuật cơ bản để lấy tích phân:
\int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.
Nếu chọn chuẩn tắc với trục y, ta có thể tính
\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.
và đạt được cùng 1 kết quả.
Các phương pháp lấy tích phân > Các miền thông thường trên R2 > Các miền chuẩn tắc trên R3

Việc mở rộng các công thức tích phân bội ba cần được rõ ràng:
nếu T là một miền tiêu chuẩn với mặt phẳng xy và được xác định bởi các hàm α(x, y) và β(x, y), thì
\iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dzdxdy
(Định nghĩa này tương tự cho năm trường hợp chuẩn hoá khác trên R3).
Các phương pháp lấy tích phân > Đổi biến

Các giới hạn của phép lấy tích phân thường không dễ thay đổi được (mà không chuẩn tắc hoặc với công thức phức tạp để tính tích phân). Đổi biến là viết lại tích phân một miền "thuận tiện" hơn, tích phân có thể được mô tả theo công thức đơn giản hơn. Để làm như vậy, hàm số phải được điều chỉnh cho tọa độ mới.
Ví dụ 1a: Cho hàm  f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}; nếu đặt  x'=x-1,\ y'=y thì  x=x'+1,\ y=y' ta có hàm mới  f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}.
Tương tự cho miền vì nó bị giới hạn bởi các biến gốc mà đã được biến đổi (x và y trong ví dụ).
các vi phân dx và dy chuyển đổi qua giá trị tuyệt đối của định thức ma trận Jacobian chứa các đạo hàm riêng của những biến đổi liên quan đến biến mới (ví dụ như chuyển đổi vi phân trong tọa độ cực).
Tồn tại ba "loại" cách đổi biến chính (một cách trong R2, hai cách trong R3); tuy nhiên, phép thế tổng quát hơn có thể thực hiện bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc.
Các phương pháp lấy tích phân > Đổi biến > Toạ độ cực

Trong R2 nếu miền có đối xứng tâm và hàm có một số tính chất đặc biệt mà ta có thể áp dụng việc chuyển đổi thành toạ độ cực (xem ví dụ trong hình) nghĩa là các điểm chung P(x, y) trong tọa độ Descartes chuyển sang các điểm tương ứng trong tọa độ cực. Điều đó cho phép thay đổi hình dạng miền và đơn giản hóa các phép toán.
Mối quan hệ căn bản để thực hiện phép chuyển đổi như sau:
f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ).
Ví dụ 2a: Hàm  f(x,y)=x+y, áp dụng phép biến đổi ta được:
f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho (\cos \phi +\sin \phi ).
Ví dụ 2b. Hàm  f(x,y)=x^{2}+y^{2}, trong trường hợp này ta có:
f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}
bằng cách sử dụng đồng nhất thức lượng giác Pythagore (rất hữu ích để đơn giản hóa phép toán này).
Việc chuyển đổi miền được thực hiện bằng cách xác định chiều dài lớn nhất của bán kính và độ phương vị của các góc được mô tả để tìm khoảng ρ, φ từ x, y.
Ví dụ 2c. Miền  D=\{x^{2}+y^{2}\leq 4\}, đó là một đường tròn bán kính 2; hiển nhiên rằng các góc bị phủ là góc tròn, do đó φ thay đổi từ 0 đến 2π, trong khi bán kính dao động từ 0 đến 2.
Ví dụ 2d. Miền  D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\} đó là chóp tròn trong nửa mặt phẳng y dương (xin xem hình ảnh trong ví dụ); φ mô tả một góc mặt phẳng trong khi ρ thay đổi từ 2 đến 3. Do đó miền được biến đổi sẽ là hình chữ nhật sau:
T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}.
Định thức Jacobian của phép biến đổi đó như sau:
{\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho
mà có được chính bằng cách chèn các đạo hàm riêng của  x=\rho \cos(\phi ),  y=\rho \sin {\phi }trong cột đầu tiên cho  \rho  và trong cột thứ hai cho  \phi , do đó vi phân  dx\,dytrong phép biến đổi này trở thành  \rho \,d\phi \,d\rho .
Khi các hàm số được biến đổi và miền được đánh giá, có thể xác định công thức đổi biến trong tọa độ cực:
\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,d\rho \,d\phi .
\phi  có giá trị trong khoảng  [0,\ 2\pi ] trong khi  \rho , một số đo của chiều dài, chỉ có thể có có giá trị dương.
Ví dụ 2e. Cho hàm  f(x,y)=xvà miền giống như Ví dụ 2d. Từ các phân tích trước đó của D chúng ta biết được các khoảng ρ (từ 2 lên 3) và φ (từ 0 đến π). Bây giờ hãy thay đổi các hàm:
f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi .
cuối cùng áp dụng công thức tích phân
\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \phi \rho \,d\rho \,d\phi .
Vì các khoảng đã được biết, ta được:
\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \,d\rho \,d\phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.
Một số ứng dụng thực tế

Ví dụ: tích phân kép trên miền bình thường D
Chuyển đổi từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực.
Ví dụ về một phép biến đổi miền từ toạ độ Descartes đến toạ độ cực.
Phan Văn Việt

Phan Văn Việt (sinh ngày 4 tháng 8 năm 1960) là một sĩ quan cấp cao trong Quân đội nhân dân Việt Nam, hàm Trung tướng, nguyên Bí thư Đảng ủy, Chính ủy Tổng cục 2.
Thân thế và binh nghiệp

Cha ông là Phan Văn Lộc và mẹ là bà Huỳnh Thị Nhâm. Ông sinh ra và lớn lên tại phường 15, quận 8, TP HCM.
Năm 1975, ông là học sinh cấp 2 tại trường Ngô Gia Tự.
Năm 1978, chiến sĩ nghĩa vụ tại Đại đội 20, trung đoàn 55, sư đoàn 303, Quân khu 5 và tham chiến tại Campuchia.
Tháng 7, năm 2010, ông thụ phong quân hàm Thiếu tướng.
Trước năm 2015, ông là Cục trưởng Cục 11, Tổng cục 2.
Năm 2015, bổ nhiệm làm Phó Tổng cục trưởng Tổng cục 2 đồng thời phong quân hàm Trung tướng.
Năm 2016, ông được bổ nhiệm giữ chức Bí thư Đảng ủy, Chính ủy Tổng cục 2. Trong thời gian này, ông được công nhận học vị phó giáo sư về khoa học quốc phòng - an ninh.
Ông là một trong số ít lãnh đạo tình báo đi từ lính nghĩa vụ lên làm lãnh đạo tình báo, rồi nhận học vị phó giáo sư.
Macrosphenus kretschmeri

| Macrosphenus kretschmeri> Tình trạng bảo tồn |
| --- | --- |
 Ít quan tâm  (IUCN 3.1)
Phân loại khoa học
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Chordata
Lớp (class): Aves
Bộ (ordo): Passeriformes
Họ (familia): Macrosphenidae
Chi (genus): Macrosphenus
Loài (species): M. kretschmeri
Danh pháp hai phần
Macrosphenus kretschmeri Reichenow & Neumann, 1895 
Macrosphenus kretschmeri là một loài chim trong họ Macrosphenidae.
Chú thích

↑  BirdLife International (2012). “Macrosphenus kretschmeri”. Sách Đỏ IUCN các loài bị đe dọa. Phiên bản 2013.2. Liên minh Bảo tồn Thiên nhiên Quốc tế. Truy cập ngày 26 tháng 11 năm 2013.
↑  Clements, J. F.; Schulenberg, T. S.; Iliff, M. J.; Wood, C. L.; Roberson, D.; Sullivan, B.L. (2012). “The eBird/Clements checklist of birds of the world: Version 6.7”. Truy cập ngày 19 tháng 12 năm 2012.
Chạy án

| Chạy án |
| --- | --- |

Thể loại: Hình sự Tội phạm
Định dạng: Phim truyền hình
Dựa trên: Tiểu thuyết cùng tên của Nguyễn Như Phong
Kịch bản: Nguyễn Như Phong
Đạo diễn: NSƯT Vũ Hồng Sơn
Diễn viên: Việt Anh Phan Hòa Lê Dũng Nhi NSƯT Hương Dung Nguyễn Văn Báu
Quốc gia:  Việt Nam
Ngôn ngữ: tiếng Việt
Số tập: 22 (phần 1) 27 (phần 2)
Sản xuất
Nhà sản xuất: Trung tâm Phim truyền hình Việt Nam, Đài Truyền hình Việt Nam
Thời lượng: 45 phút/tập (không bao gồm quảng cáo)
Trình chiếu
Kênh trình chiếu: VTV1
Phát sóng: 18 tháng 9 năm 2006 - 24 tháng 10 năm 2006 (phần 1) 28 tháng 4 năm 2008 - 13 tháng 6 năm 2008 (phần 2)
Chạy án là một bộ phim truyền hình thuộc loạt phim Cảnh sát hình sự được thực hiện bởi Trung tâm Phim truyền hình Việt Nam, Đài Truyền hình Việt Nam do NSƯT Vũ Hồng Sơn làm đạo diễn. Phim được chuyển thể từ tiểu thuyết cùng tên của nhà văn Nguyễn Như Phong. Phần 1 của phim phát sóng vào lúc 21h05 thứ 2 đến thứ 6 hàng tuần bắt đầu từ ngày 18 tháng 9 năm 2006 và kết thúc vào ngày 24 tháng 10 năm 2006, phần 2 của phim phát sóng vào lúc 20h10 thứ 2 đến thứ 6 hàng tuần bắt đầu từ ngày 28 tháng 4 năm 2008 và kết thúc vào ngày 13 tháng 6 năm 2008 trên kênh VTV1.
Nội dung

Lấy cảm hứng từ vụ án Mai Văn Dâu, Chạy án tập trung vào cuộc đời của Cao Thanh Lâm (Việt Anh), con trai của Thứ trưởng Cao Đức Cẩm, học Thạc sĩ Tin học ở Mỹ và sau đó trở về nắm giữ vị trí Trưởng phòng thương mại điện tử ở ngân hàng Phú Tài do ông Trương Ngọc Trác đứng đầu. Tuy ông Cẩm là một cán bộ mẫu mực, đứng đắn, nhưng lại nhu nhược, để cho vợ là Dung thao túng gia đình, dựa vào danh nghĩa của chồng để làm ăn quan hệ với những doanh nghiệp trong tỉnh, và để Lâm được nuông chiều quá mức. Sau khi trở về, không những Lâm không thay đổi mà còn cấu bè kết phái với các phần tử bất hảo, chơi bời và dây vào xã hội đen khiến gia đình điêu đứng và gây ra những nguy hại về sau...