stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Saint-Marcel-sur-Aude

| --- | --- |
 Saint-Marcel-sur-Aude
Saint-Marcel-sur-Aude

Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Occitanie
Tỉnh: Aude
Quận: Narbonne
Tổng: Ginestas
Liên xã: Cộng đồng các xã Canal du Midi en Minervois
Xã (thị) trưởng: Bernard Pendriez (2001-2008)
Thống kê
Độ cao: 9–31 m (30–102 ft)
Diện tích đất1: 8,37 km2 (3,23 dặm vuông Anh)
INSEE/Mã bưu chính: 11353/ 11120

Saint-Marcel-sur-Aude là một xã của Pháp, nằm ở tỉnh Aude trong vùng Occitanie. Người dân địa phương trong tiếng Pháp gọi là Saint-Marcellois.
Hành chính

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
Danh sách thị trưởng
| Giai đoạn | Giai đoạn | Tên | Đảng | Tư cách |
| trước 1988 |  ? | Jean-Louis Viala | PS |  |
| tháng 6 năm 1995 | tháng 3 năm 2012 (từ chức) | Bernard Pendriez | Độc lập | Nhà sản xuất rượu đã nghỉ hưu |
| tháng 3 năm 2012 | đương nhiệm | Guillaume Héras | Tả khuynh độc lập | Giám đốc thương mại Phó chủ tịch thứ 13 của Grand Narbonne (2014 → ) |
Tất cả các dữ liệu trước đây không rõ.
Thông tin nhân khẩu

| Năm | 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 | 2005 | 2010 | 2015 | 2021 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Dân số | 809 | 878 | 847 | 927 | 1 097 | 1 268 | 1511 | 1654 | 1953 | 2027 |
From the year 1968 on: No double counting—residents of multiple communes (e.g. students and military personnel) are counted only once.
Hồ Ngọc Lân

Hồ Ngọc Lân (1906-31/7/1932) là một nhà hoạt động cách mạng Việt Nam, nguyên tỉnh ủy viên tỉnh ủy Hà Bắc (Bắc Ninh, Bắc Giang ngày nay).
Quá trình hoạt động cách mạng

Ông sinh tại phố Niềm Thắng, thị xã Bắc Ninh, nay là khu 4, phường Vệ An, thành phố Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh.
Năm 1927, ông đã tham gia hoạt động cách mạng, gia nhập tổ chức Hội Việt Nam Cách mạng Thanh niên, thành lập tổ chức thanh niên trong tổ chức lính khố đỏ thành Bắc Ninh.
Tháng 5 năm 1929 ông trực tiếp lãnh đạo quần chúng nhân dân đấu tranh phá nhà mộ phu của Ba Danh tại thị xã Bắc Ninh, giải thoát những nông dân bị lừa gạt, cưỡng ép. Sau đó, ông về Hải Phòng hoạt động, xây dựng tổ chức Hội Việt Nam Cách mạng Thanh niên ở khu vực ngoại thành. Thời gian này, ông thực hiện bản án tử hình đối với Trịnh Thị Nhu, Trịnh Thị Uyển là hội viên Hội Việt Nam Cách mạng Thanh niên đã phản bội. Cũng do đó, ông bị truy nã ráo riết.
Tháng 7 năm 1929, ông tham gia Chi bộ cộng sản đầu tiên Bắc Ninh – Bắc Giang cùng với Phạm Văn Chất, Nguyễn Hữu Căn. Ngày 4 tháng 8 năm 1929, tại núi Lim, huyện Tiên Du, Đảng bộ Đông dương Cộng sản Đảng Bắc Ninh – Bắc Giang đã ra đời, ông được bầu là một trong năm đồng chí trong tỉnh uỷ viên đầu tiên của tỉnh ủy Hà Bắc.
Ngày 06 tháng 11 năm 1929, ông bị thực dân Pháp bắt tại làng Trùng Quang, thị xã Bắc Ninh khi đang tham gia vận chuyển vũ khí từ Hải Phòng về Hà Nội và bị giam tại nhà tù Hoả Lò (Hà Nội). Ngày 16 tháng 11 năm 1931, Thực dân Pháp kết án tử hình đối với ông. Ngày 30 tháng 7 năm 1932, thực dân Pháp giải  ông đi Hải Phòng, đến 5 giờ sáng ngày 31/7/1932, tại Đề lao Hải Phòng, ông cùng Nguyễn Đức Cảnh bị thực dân Pháp chém đầu.
Tưởng niệm

Tại xã An Đồng, huyện An Dương, thành phố Hải Phòng có Nhà tưởng niệm liệt sĩ Hồ Ngọc Lân cùng với Nguyễn Đức Cảnh.
Tại thành phố Bắc Ninh có một con đường mang tên Hồ Ngọc Lân.
Chú thích

↑  NGÔ QUANG DŨNG (31 tháng 7 năm 2016). “Dâng hương kỷ niệm 84 năm ngày mất của lãnh tụ Nguyễn Đức Cảnh”. Báo nhân dân.
Vịnh Bắc Bộ

Vịnh Bắc Bộ nhìn từ vệ tinh
Vịnh Bắc Bộ, trước năm 1975 còn được gọi là Vịnh Bắc Phần, Vịnh Đông Kinh hay Vịnh Bắc Việt là vịnh  nằm giữa Việt Nam và Trung Quốc. Tên tiếng Anh quốc tế là Tonkin Gulf hay Gulf of Tonkin (n.đ. 'Vịnh Đông Kinh'), tên trong các tài liệu bằng tiếng Anh của Trung Quốc là Beibu Bay hoặc Beibu Gulf (giản thể: 北部湾; phồn thể: 北部灣; bính âm: Běibù Wān; nghĩa đen 'Bắc Bộ loan').
Địa lý

Với diện tích khoảng 126.250 km², vịnh Bắc Bộ là nhánh tây bắc của Biển Đông và là một phần của Thái Bình Dương. Vịnh có hai cửa biển: eo biển Quỳnh Châu rộng 35,2 km giữa bán đảo Lôi Châu và Đảo Hải Nam thuộc Trung Quốc và cửa chính của vịnh được xác định là đường thẳng từ đảo Cồn Cỏ, tỉnh Quảng Trị, Việt Nam và mũi Oanh Ca, Hải Nam, Trung Quốc, rộng 110 hải lý (khoảng 200 km). Trong phạm vi đó, Việt Nam có 763 km bờ vịnh, Trung Quốc có 695 km.
Vịnh Bắc Bộ tương đối nông (chiều sâu chưa tới 60m). Sông Hồng là con sông chính chảy vào vịnh này. Thành phố Hải Phòng và Vinh (tỉnh Nghệ An) thuộc Việt Nam và Bắc Hải (tỉnh Quảng Tây) thuộc Trung Quốc là những hải cảng chính trong vịnh. Đảo Hải Nam của Trung Quốc là bờ phía đông Vịnh. Các đảo nhỏ khác trong vịnh gồm đảo Bạch Long Vĩ, Cát Bà, của Việt Nam và Vị Châu, Tà Dương của Trung Quốc.
Các cảng chính

Cảng Cái Rồng, Quảng Ninh
Cảng Hải Phòng, thành phố Hải Phòng
Cảng Nghi Sơn, Thị xã Nghi Sơn, Thanh Hoá
Lịch sử

Vịnh Bắc Bộ được biết đến trong chiến sử vì sự kiện Tháng 8, 1964, khi Tổng thống Mỹ Lyndon B. Johnson cho rằng lực lượng hải quân miền Bắc Việt Nam đã hai lần tấn công tàu khu trục "Maddox" của Mỹ tại Vịnh Bắc Bộ. Ông đã yêu cầu Quốc hội Mỹ thông qua nghị quyết Vịnh Bắc Bộ nhằm mở rộng chiến tranh Việt Nam và sự tham chiến của Hoa Kỳ. Sự kiện này được gọi là sự kiện Vịnh Bắc Bộ.
Kỳ họp thứ 5 Quốc hội khóa XI (tháng 6 năm 2004) đã thông qua Hiệp định Phân định Vịnh Bắc Bộ phân định đường ranh giới biển giữa Việt Nam và Trung Quốc.
Chú thích

↑  “Xem ranh giới phân định”. Bản gốc lưu trữ ngày 29 tháng 9 năm 2007. Truy cập ngày 28 tháng 11 năm 2006.
Bản đồ đường phân định Vịnh Bắc Bộ với chấm đỏ là đảo Bạch Long Vĩ
Đầu phiếu đa số tương đối

Một mẫu phiếu đầu phiếu đa số tương đối.
Đầu phiếu đa số tương đối hay còn gọi là đầu phiếu đa số đơn (Tiếng Anh: plurality voting system, first past the post, winner-takes-all) là một hình thức đầu phiếu một người thắng thường được dùng để bầu các vị trí điều hành hay bầu thành viên trong hội đồng lập pháp từ các khu vực bầu cử.
Người về đích đầu tiên

Trong tiếng Anh, người ta dùng cụm từ  first past the post. Ở tiếng Việt, có thể hiểu là người thắng là người có nhiều phiếu nhất, hay người về đích đầu tiên. Thuật ngữ này xuất phát từ môn đua ngựa.  Ai về đích đầu tiên thì thắng hết tiền cược. Đây cũng là lý do cho một thuật ngữ khác có nghĩa tương tự là người thắng giành trọn. Thật ra, không có đích cụ thể trong bầu cử. Đích ở đây được hiểu là số phiếu lớn nhất mà một người nhận được.
Từ trước đến nay, đây là một hệ thống bầu cử hay gây tranh cãi, dẫn đến cải cách bầu cử, và nhiều hệ thống đầu phiếu khác nhau ra đời nhắm khắc phục nhược điểm của hệ thống này. Hình thức bầu cử này được dùng cho các cuộc bầu cử địa phương hoặc ở cấp quốc gia của 43 trong 191 quốc gia trong Liên Hợp Quốc. Nó phổ biến đặc biệt ở Vương Quốc Anh và thuộc địa Anh trước kia, gồm Mỹ, Canada, và Ấn Độ. Xem Hệ thống bầu cử Westminster.
Đầu phiếu

Với đầu phiếu đa số tương đối đơn giản, mỗi cử tri chỉ được phép bầu cho một ứng viên, và ứng viên thắng cuộc là người giành được nhiều số phiếu bầu nhất. Đây là hình thức đơn giản nhất cho cả cử tri lẫn cơ  quan kiểm phiếu.
Đầu phiếu > Các loại lá phiếu

Nhìn chung, có hai loại lá phiếu dùng trong hình thức bầu cử này. Một loại là liệt kê danh sách ứng viên để cử tri có thể đánh dấu chọn; loại kia là một lá phiếu trắng để cử tri điền ứng viên được chọn vào.
Đầu phiếu > Các hệ thống đầu phiếu đa số tương đối điển hình > Hệ thống lưỡng đảng của Anh

Anh thường được cho là nhà nước lưỡng đảng, nhưng cũng có một số đảng nhỏ quan trọng khác. 
Hệ thống bầu cử của Anh dẫn đến hình thành hai đảng lớn và hạn chế các đảng nhỏ hơn. Giống như ở Mỹ và Canada, Anh dùng nguyên tắc chỉ chọn một ứng viên trong một hạt bầu cử. Đây là hệ thống Anh cũ nhưng đơn giản: Mỗi hạt bầu cử chọn một ứng viên nhiều phiếu nhất, bất kể có ít hơn đa số tương đối (50%), được gọi là người về đích đầu tiên. Chính điều này có khuynh hướng dẫn đến việc hình thành hai đảng lớn, bởi vì chỉ có một người thắng nên các đảng nhỏ hơn thường liên kết với nhau để thắng cử. Điều này không xảy ra ở các quốc gia dùng hình thức đại diện tỉ lệ, nơi có hình thức nhiều đảng chứ không chỉ lưỡng đảng.
Các quốc gia theo hệ thống Anh quốc cũng thường có khuynh hướng có hai đảng lớn hơn hẳn, một đảng tả khuynh, và một đảng hữu khuynh hay còn có tên khác như đảng cấp tiến, và bảo thủ. Dễ thấy nhất là Mỹ có hai đảng Dân chủ và Cộng hòa; Anh có Công đảng và đảng Bảo thủ.
Đầu phiếu > Các hệ thống đầu phiếu đa số tương đối điển hình > Các thí dụ đơn giản

Bầu cử các thành viên Nghị viện Anh là điển hình nhất của hình thức bầu cử này. Nhưng nó còn được dùng ở phạm vi nhỏ hơn như bầu lớp trưởng chẳng hạn.
Ưu điểm > Bảo đảm nguyên tắc Mỗi Người Một Phiếu

Hệ thống bầu cử này chủ yếu dựa trên việc bảo đảm nguyên tắc Mỗi Người Một Phiếu (Tiếng Anh: OMOV - one man, one vote.)
Ưu điểm > Liên kết với khu vực bầu cử

Hệ thống này không yêu cầu các khu vực bầu cử có nhiều hơn một thành viên như các hệ thống đại diện tỉ lệ. Chính điều này làm cho mối quan hệ giữa cử tri và đại diện của họ, và trách nhiệm của đại diện với cử tri được chú trọng hơn.
Ưu điểm > Sự tiết chế

Ở hệ thống đầu phiếu đa số tương đối, cử tri thường không muốn bầu cho những ứng viên trông khó thắng cử, và họ bỏ phiếu cho những ứng viên họ thích và có cơ hội thắng nhất. Do vậy, ứng viên thắng thường có thái độ tương đối trung dung hơn.
Nhược điểm > Đầu phiếu chiến thuật

Theo luật Duverger, hình thức đầu phiếu đa số tương đối khuyến khích kỹ thuật đầu phiếu chiến thuật ở mức độ lớn hơn các hình thức khác. Như là thỏa hiệp, cử tri dường như bị ép bầu cho một trong hai ứng viên có cơ may thắng nhất, dù cho họ không thích ai trong số hai ứng viên đó bởi vì nếu họ bầu cho một ứng viên khác, họ sẽ lãng phí lá phiếu của họ.
Vì cử tri phải dự đoán trước ai sẽ là hai ứng viên hàng đầu, điều này gây ra phiền toái đáng kể:
Quyền hạn quan trọng của truyền thông ảnh hưởng đến cuộc bầu cử. Những ứng viên được truyền thông ưu ái hơn dễ dàng lọt vào hai người dẫn đầu.
Những ứng viên mới được để cử có thực lực có khi lại bị xem là thiếu kinh nghiệm nên khó lọt vào hai người đầu; vì vậy, họ lại càng khó tạo được uy tín trong lần bầu cử tiếp theo do có số phiếu bầu thấp trong lần này.
Hệ thống bầu cử này dường như khuyến khích bỏ phiếu ‘’chống’’ hơn là bỏ phiếu ‘’chọn’’.
Nếu có đủ cử tri dùng chiến thuật này, hình thức bầu cử đa số tương đối lại trở thành hệ thống bầu cử hai vòng, một mô hình hoàn toàn khác.
Nhược điểm > Ảnh hưởng đến các đảng chính trị

Luật Duverger là một nguyên tắc trong khoa học chính trị cho rằng những hệ thống dùng đầu phiếu đa số tương đối trước sau gì cũng trở thành hệ thống lưỡng đảng.
Nhược điểm > Lá phiếu lãng phí

Lá phiếu lãng phí là những phiếu bầu cho những ứng viên thua hay cho những ứng viên thắng nhưng vượt quá ngưỡng cần thiết.
Nhược điểm > Việc ảnh hưởng bất tương xứng của các đảng nhỏ

Các đảng nhỏ có thể thay đổi một cách không tỉ lệ đến kết quả của cuộc bầu cử theo dạng này bằng cách tạo ra bè phái chính trị. Nhất là khi có hai đảng đang cân bằng nhau, nếu các đảng nhỏ này tham gia vào một bên sẽ tạo lợi thế cho đảng trước đó ít được ưa chuộng hơn. So sánh với đại diện tỷ lệ, các đảng nhỏ này chỉ đơn giản là giành được tỉ lệ phần trăm họ thắng mà thôi.
Nhược điểm > Các quốc gia sử dụng

Các quốc gia sử dụng hệ thống này để bầu các thành viên trong cơ quan lập pháp.
Antigua và Barbuda
Azerbaijan
Bahamas
Bangladesh
Barbados
Belize
Bhutan
Botswana
Canada
Dominica
Ethiopia
Gambia
Ghana
Grenada
Ấn Độ (Thượng viện dùng đại diện tỉ lệ)
Jamaica
Kenya
Kuwait
Liban
Malawi
Malaysia
México
Federated States of Micronesia
Maroc
Nepal
Nigeria
Pakistan
Palau
Papua New Guinea
Philippines
Saint Kitts và Nevis
Saint Lucia
Saint Vincent và Grenadines
Samoa
Singapore
Quần đảo Solomon
Hàn Quốc
Swaziland
Tanzania
Tonga
Trinidad và Tobago
Tuvalu
Uganda
Anh Quốc
Hoa Kỳ (ngoại trừ Louisiana và Washington)
Yemen
Zambia
Zimbabwe
A graph showing the difference between the popular vote and the number of seats won by major political parties at the United Kingdom general election, 2005
Hạt nhân (đại số tuyến tính)

Hạt nhân và ảnh của ánh xạ L
Trong toán học, hạt nhân (kernel) của một ánh xạ tuyến tính, còn gọi là hạch hay không gian vô hiệu (null space), là không gian vectơ con của nguồn được ánh xạ tới vectơ không. Tức là, cho một ánh xạ tuyến tính L : V → W giữa hai không gian vectơ V và W, hạt nhân của L được định nghĩa là không gian vectơ con gồm các phần tử v trong V sao cho L(v) = 0, trong đó 0 là vectơ không trong W, hay dưới dạng ký hiệu:
Các tính chất

Hạt nhân của  L là không gian con của tập nguồn V . Với ánh xạ  L:V\to W, hai phần tử của  V có cùng ảnh trong  W khi và chỉ khi hiệu của chúng thuộc hạt nhân của  L:
Từ đó, ảnh của L là đẳng cấu với không gian thương của V trên hạt nhân:
Trong trường hợp V là không gian hữu hạn chiều, điều này dẫn đến định lý về hạng và số vô hiệu (rank–nullity theorem):
trong đó, hạng hay rank chính là số chiều của ảnh của L, còn số vô hiệu hay nullity là số chiều của hạt nhân của L.
Nếu V là một không gian tích trong, không gian thương V / ker(L) có thể được xác định là phần bù trực giao của ker(L) trong V. Đây là sự tổng quát hóa cho toán tử tuyến tính của không gian hàng, hay đối ảnh của một ma trận.
Áp dụng với mô đun

Khái niệm hạt nhân cũng có thể áp dụng được đối với các đồng cấu mô đun, là các tổng quát hóa của không gian vectơ khi các vô hướng là phần tử của một vành, thay vì là một trường. Tập nguồn của ánh xạ là một mô đun, và hạt nhân tạo nên một mô đun con. Ở đây, khái niệm về hạng và số vô hiệu không nhất thiết áp dụng được.
Trong giải tích hàm

Nếu V và W là các không gian vectơ tô pô sao cho W hữu hạn chiều thì một toán tử tuyến tính L: V → W là liên tục khi và chỉ khi hạt nhân của L là một không gian con đóng của V.
Biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận

Xét một biến đổi tuyến tính được biểu diễn bởi một ma trận A cỡ m × n với các hệ số trên một trường K (thường là  \mathbb {R}  hoặc  \mathbb {C} ), tức là tác động lên các vectơ cột x với n thành phần trên K. Hạt nhân của ánh xạ này là tập hợp các nghiệm của phương trình Ax = 0, với 0 được hiểu là vectơ không. Số chiều của hạt nhân của A được gọi là số vô hiệu của A. Dạng thức hóa như sau:
Phương trình ma trận trên là tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
Vì thế hạt nhân của A là chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên.
Biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận > Các tính chất của không gian con

Hạt nhân của một ma trận A cỡ m × n trên một trường K là không gian con của Kn. Tức là, hạt nhân của A hay tập Null(A) có ba tính chất sau:
Null(A) luôn chứa vectơ không, vì A0 = 0.
Nếu x ∈ Null(A) và y ∈ Null(A), thì x + y ∈ Null(A). Điều này là do tính phân phối của phép nhân ma trận đối với phép cộng.
Nếu x ∈ Null(A) và c là một vô hướng c ∈ K, thì cx ∈ Null(A) vì A(cx) = c(Ax) = c0 = 0.
Biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận > Không gian hàng của một ma trận

Tích Ax có thể được viết dưới dạng tích vô hướng của các vectơ như sau:
Ở đây a1,..., am chỉ các hàng của ma trận A. Suy ra rằng x thuộc hạt nhân của A khi và chỉ khi x trực giao (hay vuông góc) với từng vectơ hàng của A (vì trực giao được định nghĩa là có tích vô hướng bằng 0).
Không gian hàng, hay đối ảnh của ma trận A là span của các vectơ hàng của A. Bằng lập luận như trên, hạt nhân của A là phần bù trực giao của không gian hàng. Tức là, một vectơ x thuộc hạt nhân của A, khi và chỉ khi nó vuông góc với từng vectơ trong không gian hàng của A.
Số chiều của không gian hàng của A được gọi là hạng của A, còn số chiều của hạt nhân của A được gọi là số vô hiệu của A. Các đại lượng này được liên hệ bởi định lý hạng và số vô hiệu
Biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận > Không gian hạt nhân trái

Không gian hạt nhân trái, hay đối hạch (cokernel), của một ma trận A gồm các vectơ x sao cho xTA = 0T, trong đó T là ký hiệu cho chuyển vị của một ma trận. Không gian null trái chính là hạt nhân của AT, và là phần bù trực giao của không gian cột của A, và đối ngẫu với đối hạch của biến đổi tuyến tính tương ứng. Hạt nhân, không gian hàng, không gian cột và hạt nhân trái của A là bốn không gian con cơ bản liên quan tới ma trận A.
Biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận > Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất

Hạt nhân cũng có vai trò trong nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất:
Nếu u và v là hai nghiệm có thể của phương trình trên thì
Vì vậy, hiệu của hai nghiệm bất kỳ của phương trình Ax = b nằm trong hạt nhân của A.
Từ đó suy ra rằng bất kỳ nghiệm nào của phương trình Ax = b có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một nghiệm cố định v và một phần tử bất kỳ của hạt nhân. Tức là, tập nghiệm của phương trình Ax = b là
Một cách hình học, điều này nói rằng tập nghiệm của Ax = b là hạt nhân của A được tịnh tiến theo vectơ v.
Ví dụ minh họa

Sau đây là một ví dụ đơn giản về tính toán hạt nhân của một ma trận (xem phần dưới về các phương pháp tốt hơn cho các tính toán phức tạp). Ví dụ minh họa cũng liên hệ đến không gian hàng và quan hệ của nó với hạt nhân.
Xét ma trận
Hạt nhân của ma trận này chứa các vectơ (x, y, z) ∈ R3 sao cho
có thể biểu diễn phương trình trên dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên hệ x, y, và z:
Hệ phương trình trên cũng có thể viết thành dạng ma trận như sau:
Bằng phép khử Gauss-Jordan, ma trận có thể được rút gọn thành:
Viết lại ma trận dưới dạng phương trình ta được:
Các phần tử của hạt nhân có thể được biểu diễn dưới dạng tham số như sau:
Vì c là một biến tự do nhận giá trị trên mọi số thực, ta cũng có thể biểu diễn như sau:
Hạt nhân của A chính là tập nghiệm của hệ phương trình trên (trong trường hợp này, là đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong R3).  Ở đây, vì vectơ (−1,−26,16)T lập một cơ sở cho hạt nhân của A nên số vô hiệu của A bằng 1.
Các tích vô hướng sau là bằng 0:
cho thấy các vectơ trong hạt nhân của A trực giao với từng vectơ cột của A.
Hai vectơ hàng trong A (độc lập tuyến tính) span không gian hàng của A — một mặt phẳng trực giao với vectơ (−1,−26,16)T.
Với ma trận A có hạng 2, số vô hiệu 1 và kích thước bằng 3 của A, ta có một minh họa của định lý hạng-số vô hiệu.
Ví dụ

Nếu L: Rm → Rn, thì hạt nhân của L là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Trong ví dụ minh họa trên, nếu L là toán tử:
Cho C[0,1] là không gian vectơ của tất cả các hàm giá trị thực trên đoạn [0,1], và định nghĩa L: C[0,1] → R bởi quy ước
Cho C∞(R) là không gian vectơ của các hàm khả vi vô hạn lần R → R, và cho D: C∞(R) → C∞(R) là toán tử vi phân:
Cho R∞ là tích trực tiếp của vô hạn các bản sao của tập R, và cho s: R∞ → R∞ là toán tử dịch chuyển
Nếu V là một không gian tích trong và W là một không gian con, hạt nhân của phép chiếu trực giao V → W là phần bù trực giao của W trong V.
Tính toán bằng phép khử Gauss

Một cơ sở của hạt nhân của một ma trận có thể được tính nhờ phép khử Gauss.
Để làm điều này, cho một ma trận A cỡ m × n, trước hết ta xây dựng ma trận bổ sung trên hàng  \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right], trong đó I là ma trận đơn vị n × n.
Tính toán dạng cột bậc thang rút gọn bằng phép khử Gauss (hay bất kỳ phương pháp phù hợp nào), ta có một ma trận  \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]. Một cơ sở của hạt nhân của A bao gồm các cột khác zero của C sao cho cột tương ứng của B là một cột zero.
Thực tế, tính toán có thể ngừng lại một khi ma trận phía trên mới chỉ được đưa về dạng cột bậc thang: những tính toán còn lại chỉ nhằm đổi cơ sở của không gian vectơ sinh bởi các cột mà phần thuộc ma trận trên là zero.
Ví dụ, giả sử
ta có
Biến đổi phần trên của ma trận về dạng cột bậc thang bằng các biến đổi cột thực hiện trên toàn bộ ma trận để có
Ta thấy ba cột cuối cùng của B là các cột zero, vì thế, ba cột cuối cùng của C,
là một cơ sở của hạt nhân của A.
Chứng minh rằng phương pháp này có thể tính toán ra hạt nhân: Bởi các biến đổi cột tương ứng với việc nhân các ma trận khả nghịch vào phía bên phải, nên ma trận  \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right] giản ước về  \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right] có nghĩa là tồn tại một ma trận khả nghịch  P sao cho  \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right], với  B ở dạng cột bậc thang. Vì vậy  AP=B,  IP=C, và  AC=B. Một vectơ cột  v thuộc hạt nhân của  A (tức là  Av=0) khi và chỉ khi  Bw=0, với  w=P^{-1}v=C^{-1}v. Vì  B đang ở dạng cột bậc thang nên  Bw=0 khi và chỉ khi các phần tử khác 0 của  w tương ứng với các cột zero của  B. Bằng việc nhân với  C, ta có thể suy rằng điều này chỉ có thể khi và chỉ khi  v=Cw là tổ hợp tuyến tính của các cột tương ứng trong  C.
Tính toán bằng số

Vấn đề tính toán hạt nhân của ma trận trên máy tính phụ thuộc vào bản chất của các hệ số trong ma trận
Tính toán bằng số > Hệ số chính xác

Nếu các hệ số của ma trận được đưa chính xác là các con số nguyên, dạng cột bậc thang có thể được tính bằng thuật toán Bareiss hiệu quả hơn so với phép khử Gauss. Còn hiệu quả hơn nữa nếu sử dụng số học mô đun và định lý số dư Trung Hoa để đơn giản hóa về các bài toán tương tự trên trường hữu hạn (điều này để tránh tổn phí gây ra do sự phi tuyến tính của độ phức tạp tính toán của phép nhân số nguyên).[cần dẫn nguồn]
Đối với hệ số trong một trường hữu hạn, phép khử Gauss vẫn hoạt động tốt, nhưng đối với những ma trận cỡ lớn hơn thường gặp trong mã hóa và tính cơ sở Gröbner, các thuật toán tốt hơn khác đã được đưa ra, với độ phức tạp tính toán gần tương tự, nhưng nhanh hơn và hoạt động tốt hơn với phần cứng máy tính hiện đại.[cần dẫn nguồn]
Tính toán bằng số > Tính toán với dấu phẩy động

Với các ma trận mà các phần tử là các số thực dấu phẩy động, vấn đề tính toán hạt nhân của ma trận chỉ có ý nghĩa đối với các ma trận sao cho số hàng của nó bằng hạng (tức là có hạng hàng đầy đủ): do lỗi làm tròn số, một ma trận với dấu phẩy động hầu như luôn luôn có hạng đầy đủ, ngay cả khi nó là một xấp xỉ của một ma trận với hạng nhỏ hơn nhiều. Thậm chí đối với một ma trận hạng đầy đủ, chỉ có thể tính được hạt nhân của nó chỉ khi có số điều kiện là nhỏ.[cần dẫn nguồn]
Phép khử Gauss không hoạt động chính xác đối với dấu phẩy động, ngay cả với ma trận hạng đầy đủ và đã được điều kiện; vì nó gây ra các lỗi làm tròn quá lớn để có một kết quả có nghĩa. Bởi vì tính toán hạt nhân của ma trận là một trường hợp đặc biệt của giải hệ tuyến tính thuần nhất, ta có thể sử dụng các thuật toán thay thế được thiết kế chuyên biệt để giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Một phần mềm hiện đại cho mục đích này là thư viện Lapack.[cần dẫn nguồn]
Chú thích và tham khảo

↑  “The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Null”. Math Vault (bằng tiếng Anh). ngày 1 tháng 8 năm 2019. Truy cập ngày 9 tháng 12 năm 2019.
↑  Weisstein, Eric W. “Kernel”. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 9 tháng 12 năm 2019.
1 2 3  “Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 9 tháng 12 năm 2019.
1 2  Weisstein, Eric W. “Rank-Nullity Theorem”. mathworld.wolfram.com (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 9 tháng 12 năm 2019.
↑  “Archived copy” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 29 tháng 8 năm 2017. Truy cập ngày 14 tháng 4 năm 2015.Quản lý CS1: bản lưu trữ là tiêu đề (liên kết)