Bảng Cayley
Xây dựng bảng Cayley > Điền vào bộ khung đơn vị

Khi đã quyết định xong khung đơn vị, ta có thể bắt đầu điền bảng Cayley. Để lấy ví dụ, ta sẽ xét dạng thứ hai của khung đơn vị của nhóm cấp 6.
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e |  |  |  |  |  |
| a |  | e |  |  |  |  |
| b |  |  | e |  |  |  |
| c |  |  |  | e |  |  |
| d |  |  |  |  |  | e |
| f |  |  |  |  | e |  |
Dễ điền ngay lập tức hàng e và cột e vì mọi phần tử nhân với phần tử đơn vị đều ra chính nó. Sau đó ta có thể đưa ra một giả thuyết bất kỳ (có thể dẫn đến mâu thuẫn) và bắt đầu làm việc từ đây. Ta sẽ giả sử ở đây ab = c. Như vậy
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c |  |  |  |
| b | b |  | e |  |  |  |
| c | c |  |  | e |  |  |
| d | d |  |  |  |  | e |
| f | f |  |  |  | e |  |
Nhân ab = c từ bên trái bằng a cho ta b = ac. Khi nhân từ bên phải bằng c thì ta được bc = a. Nhân ab = c từ bên phải bằng b thì được a = cb. Nhân bc = a từ bên trái bằng b được c = ba, rồi nhân tiếp từ bên phải bằng a được ca = b. Sau khi nhân và điền xong, ta chỉ còn ad và af là chưa xét đến. Theo tính hoán vị trên, ta biết ad chỉ có thể bằng d hoặc bằng f. Dễ thấy ad không thể bằng d để vì nếu ad = d thì theo luật loại trừ sẽ cho ta a = e, mâu thuẫn với tiên đề nhóm. Do đó ad = f và af = d.
Hơn nữa, vì nghịch đảo của d là f, nên nhân ad = f từ bên phải với f sẽ cho a = f 2. Nhân tiếp đẳng thức này với d từ bên trái cho ta da = f. Tiếp tục nhân bên phải với a, ta có d = fa.
Điền tất cả tích trên, bảng Cayley lúc này có dạng:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | b | f | d |
| b | b | c | e | a |  |  |
| c | c | b | a | e |  |  |
| d | d | f |  |  |  | e |
| f | f | d |  |  | e | a |
Vì mỗi hàng và mỗi cột phải chứa mọi phần tử trong nhóm, mỗi phần tử chính xác một lần, ta dễ thấy hai ô trống còn lại ở hàng b phải được điền bằng d hoặc f. Mà cột d và f đều đã có d và f trong cột, nên bất kể cách ta điền d và f trong hàng b sẽ gây ra mâu thuẫn với luật hoán vị. Do đó giả thuyết ban đầu ab = c, là sai, tuy nhiên chúng ta lại biết được  ab\neq c
Như vậy ta chỉ còn hai khả năng ab = d hoặc ab = f. Nếu cả hai không thỏa mãn thì ta sẽ chứng minh được khung đơn vị đã cho không có nhóm nào thỏa mãn. Xét ab = d, ta có bảng Cayley mới sau:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d |  |  |  |
| b | b |  | e |  |  |  |
| c | c |  |  | e |  |  |
| d | d |  |  |  |  | e |
| f | f |  |  |  | e |  |
Thực hiện các phép nhân với đẳng thức ban đầu, ta sẽ điền thêm được các giá trị sau (các giá trị mới được in đỏ).
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d |  | b |  |
| b | b | f | e |  |  | a |
| c | c |  |  | e |  |  |
| d | d |  | a |  |  | e |
| f | f | b |  |  | e |  |
Bởi hàng a thiếu c và f và af không thể bằng f, nên af = c. Nhân từ bên trái bằng a cho f = ac, rồi nhân tiếp từ bên phải bằng c để được fc = a. Tiếp tục nhân đẳng thức từ bên trái bằng d ta được c = da, rồi nhân tiếp từ bên phải bằng a để được ca = d. Nhân af = c từ bên phải bằng d sẽ cho ta a = cd. Như vậy ta sẽ điền thêm các phần tử (in trong màu xanh dương) như sau:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e |  |  | a |
| c | c | d |  | e | a |  |
| d | d | c | a |  |  | e |
| f | f | b |  | a | e |  |
Vì hàng b thiếu c và d, và vì bc không thể bằng c, nên bc = d, và do đó bd phải bằng c. Nhân từ bên phải bằng f cho ta b = cf, ta có thể biến đổi tiếp thành cb = f bằng cách nhân c từ bên trái. Chứng minh tương tự, ta sẽ có c = fb và dc = b. Điền các phần tử trên (in màu xanh lá cây) trong bảng Cayley, ta được:
|  | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | d | c | a |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | c | a | b |  | e |
| f | f | b | c | a | e |  |
Theo luật hoán vị, ta có thể điền nốt hai hàng d và f mà không bị mâu thuẫn giả thuyết ban đầu. Việc xét bảng đã hoàn thành cho ta thấy nhóm này không giao hoán, và thậm chí cho biết nhóm này là nhóm nhỏ nhất phi abel, nhóm nhị diện D3:
| * | e | a | b | c | d | f |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | d | c | a |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | c | a | b | f | e |
| f | f | b | c | a | e | d |