stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Thái Nguyên (thành phố)
Chú thích

↑  Quyết định số 1645/QĐ-TTg ngày 01 tháng 9 năm 2010 của Thủ tướng Chính phủ về việc công nhận thành phố Thái Nguyên là đô thị loại I trực thuộc tỉnh Thái Nguyên.
1 2  “Nghị quyết số 422/NQ-UBTVQH14”. Bản gốc lưu trữ ngày 19 tháng 10 năm 2020. Truy cập ngày 29 tháng 2 năm 2020.
1 2 3  Ban chỉ đạo Tổng điều tra dân số và nhà ở trung ương. “Dân số Việt Nam đến ngày 01 tháng 4 năm 2019” (PDF). Truy cập ngày 19 tháng 1 năm 2022.
↑  Tổng cục Thống kê
↑  “Giới thiệu chung về Thái Nguyên”. Bản gốc lưu trữ ngày 19 tháng 8 năm 2017. Truy cập ngày 5 tháng 7 năm 2021.
↑  Quyết định 103-NQ-TVQH năm 1965 về việc phê chuẩn việc thành lập các tỉnh Bắc Thái, Nam Hà, Hà Tây và việc sáp nhập xã An Hòa thuộc huyện Thạch Thất, tỉnh Sơn Tây (cũ) vào xã Tiến Xuân thuộc huyện Lương Sơn, tỉnh Hòa Bình do Ủy ban thường vụ Quốc hội ban hành
↑  Quyết định 178-HĐBT năm 1982 về việc điều chỉnh địa giới một số thị trấn thuộc tỉnh Bắc Thái
↑  Quyết định 102-HĐBT năm 1985 về việc điều chỉnh địa giới một số huyện và thành phố thuộc tỉnh Bắc Thái
↑  Quyết định 109-HĐBT năm 1985 về việc phân vạch, điều chỉnh địa giới một số xã, phường, thị trấn thuộc tỉnh Bắc Thái
↑  Quyết định 25-HĐBT năm 1987 về việc điều chỉnh địa giới hành chính một số xã, phường,của thành phố Thái Nguyên thuộc tỉnh Bắc Thái
↑  Nghị quyết về việc chia và điều chỉnh địa giới hành chính một số tỉnh do Quốc hội ban hành
↑  Quyết định 135/2002/QĐ-TTg công nhận thành phố Thái Nguyên là đô thị loại II do Thủ tướng Chính phủ ban hành
↑  Nghị định 14/2004/NĐ-CP về việc thành lập phường Thịnh Đán và đổi tên xã Thịnh Đán thành xã Quyết Thắng thuộc thành phố Thái Nguyên, tỉnh Thái Nguyên
↑  Nghị định 84/2008/NĐ-CP về việc điều chỉnh địa giới hành chính huyện Đồng Hỷ để mở rộng thành phố Thái Nguyên, tỉnh Thái Nguyên
↑  Quyết định 1645/QĐ-TTg năm 2010 công nhận thành phố Thái Nguyên là đô thị loại I trực thuộc tỉnh Thái Nguyên do Thủ tướng Chính phủ ban hành
↑  Nghị quyết 05/NQ-CP năm 2011 thành lập phường Tích Lương thuộc thành phố Thái Nguyên, tỉnh Thái Nguyên
↑  “Nghị quyết 932/NQ-UBTVQH13 thành lập thị xã Phổ Yên và 04 phường thuộc thị xã Phổ Yên, điều chỉnh địa giới hành chính thành phố Thái Nguyên để thành lập phường Lương Sơn thuộc thị xã Sông Công và thành lập thành phố Sông Công, tỉnh Thái Nguyên”.
↑  “Nghị quyết số 422/NQ-UBTVQH14 về việc điều chỉnh mở rộng địa giới hành chính thành phố Thái Nguyên và thành lập 02 phường thuộc thành phố Thái Nguyên, tỉnh Thái Nguyên”. Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 6 năm 2020.
↑  “Vietnam Building Code Natural Physical & Climatic Data for Construction” (PDF). Vietnam Institute for Building Science and Technology. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 22 tháng 7 năm 2018. Truy cập ngày 4 tháng 8 năm 2018.
↑  10 thành tựu nổi bật của Thành phố Thái Nguyên năm 2018
↑  “Bệnh viện Trung ương Thái Nguyên – Giới thiệu chung”.
Nhà máy nhiệt điện Cao Ngạn
Chợ Thái
Tuyến đường Bắc Sơn mới mở tại thành phố Thái Nguyên vào năm 2018
Đường Hoàng Văn Thụ đoạn qua ngân hàng Đông Á
Hồ Núi Cốc
Bảo tàng Văn hóa Dân tộc Việt Nam, Thái Nguyên.
Nhà rông trong khuôn viên bảo tàng VHCDT Việt Nam
Chùa Khmer trong khuôn viên bảo tàng Văn hóa các dân tộc Việt Nam
Avatar

Đối với các định nghĩa khác, xem Avatar (định hướng).
Bài này viết về khái niệm trong Ấn Độ giáo. Đối với sử dụng máy tính, xem Avatar (máy tính). Đối với phim năm 2009, xem   Avatar  (phim 2009). Đối với sử dụng khác, xem Avatar (định hướng).
Thần Hindu Vishnu (giữa) được bao quanh bởimười đại diện chính của ông, cụ thể là Matsya; Kurma; Varaha; Narasimha; Vamana; Parashurama; Rama; Krishna; Buddha, và Kalki
Avatar (tiếng Phạn: अवतार, avatāra; phát âm tiếng Phạn: [ɐʋɐtaːrɐ], tiếng Việt: hóa thân, hiện thân, thế thân) là một khái niệm trong đạo Hindu. Biểu thị sự xuất hiện vật chất hoặc hóa thân của một vị thần, nữ thần hoặc linh hồn mạnh mẽ trên Trái đất. Động từ tương đối với "bước xuống, để tạo nên vẻ ngoài của một con người" đôi khi được sử dụng để chỉ bất kỳ guru hoặc con người được tôn kính nào.
Từ avatar không xuất hiện trong tài liệu Vệ đà; tuy nhiên, nó xuất hiện dưới dạng phát triển trong văn học hậu Vệ đà, và như một danh từ đặc biệt trong văn học Puranic sau thế kỷ thứ 6 CN. Mặc dù vậy, khái niệm avatar tương thích với nội dung của văn học Vệ Đà như Upanishad vì nó là hình ảnh biểu tượng của khái niệm Saguna Brahman trong triết học Ấn Độ giáo. Rigveda mô tả Indra được ban tặng một sức mạnh bí ẩn có thể giả dạng bất kỳ hình thức nào theo ý muốn. Bhagavad Gita giải thích học thuyết của Avatara nhưng với các thuật ngữ khác ngoài avatar.
Về mặt thần học, thuật ngữ này thường gắn liền với Vishnu, một vị thần của Ấn Độ giáo, mặc dù nó cũng có liên hệ với các vị thần khác. Thần Vishnu đã xuất hiện trong kinh điển Ấn Độ giáo dưới rất nhiều hình thái/hiện thân khác nhau, bao gồm điển hình là mười hiện thân Dashavatara của Garuda Purana và hai mươi hai hiện thân trong Bhagavata Purana, sau đó là vô số các hóa thân khác của Vishnu. Hiên thân của Vishnu rất quan trọng trong thần học Vaishnavism. Trong truyền thống Shakuality dựa trên nữ thần của Ấn Độ giáo, các hình đại diện của Devi thường được tìm thấy với các hình dáng khác nhau như Tripura Sundari, Durga và Kali. Trong khi hiện thân của các vị thần khác như Ganesha và Shiva cũng được đề cập trong các văn bản Ấn Độ giáo thời Trung cổ, điều này là nhỏ và thỉnh thoảng. Học thuyết hóa thân là một trong những điểm khác biệt quan trọng giữa truyền thống Vaishnavism và Shaivism của Ấn Độ giáo..
Các khái niệm hóa thân ở một số khía cạnh tương tự như hiện thân cũng được tìm thấy trong Phật giáo, Kitô giáo, và những tín ngưỡng khác.
Kinh sách của đạo Sikh bao gồm tên của nhiều vị thần và nữ thần Ấn Độ giáo, nhưng nó bác bỏ học thuyết về hiện thân của đấng cứu thế và tán thành quan điểm của các vị thánh theo phong trào Bhakti của Ấn Độ giáo như Namdev, rằng vô hình vĩnh hằng. thần ở trong trái tim con người, và con người là vị cứu tinh của chính mình.
Từ nguyên và ý nghĩa

Danh từ tiếng Phạn (avatāra /ˈævətɑːr, ˌævəˈtɑːr/; tiếng Hindustan: [əʋˈtaːr])có nguồn gốc từ tiền tố tiếng Phạn ava- (xuống) và gốc tr (chuyển qua). These roots trace back, states Monier-Williams, to -taritum, -tarati, -rītum. Từ được viết tắt thành "away" trong tiếng Anh, có gốc từ PIE * au-  có nghĩa là "tắt, đi".
Tham khảo thư loại

Coleman, T. (2011). “Avatāra”. Oxford Bibliographies Online: Hinduism. doi:10.1093/obo/9780195399318-0009. Giới thiệu ngắn gọn và tham khảo thư loại các nguồn về Avatāra.Quản lý CS1: postscript (liên kết)
Daniélou, Alain (1991) [1964]. The Myths and Gods of India. Rochester, Vermont: Inner Traditions. tr. 164–187. ISBN 0-89281-354-7.
Hacker, Paul (1978). “Zur Entwicklung der Avataralehre”.  Trong Schmithausen, Lambert (biên tập). Kleine schriften. Veroffentlichungen Der Glasenapp-Stiftung (Book 15) (bằng tiếng Đức). Wiesbaden: Otto Harrassowitz. ISBN 978-3447048606.
Lochtefeld, James (2002). The Illustrated Encyclopedia of Hinduism, Vol. 1 & 2. Rosen Publishing. ISBN 978-0-8239-2287-1.
Matchett, Freda (2001). Krishna, Lord or Avatara?: The Relationship Between Krishna and Vishnu. Routledge. ISBN 978-0-7007-1281-6.
Sheth, Noel (tháng 1 năm 2002). “Hindu Avatāra and Christian Incarnation: A Comparison”. Philosophy East and West. 52 (1): 98–125. doi:10.1353/pew.2002.0005. JSTOR 1400135. S2CID 170278631.
Scharbeutz

| Scharbeutz   |
| --- | --- |

  Hiệu kỳ Huy hiệu

Scharbeutz  
Quốc gia: Đức
Bang: Schleswig-Holstein
Huyện: Ostholstein 
Phân chia hành chính: 10
Chính quyền
 • Thị trưởng: Volker Owerien
Diện tích
 • Tổng cộng: 51,78 km2 (1,999 mi2)
Độ cao: 12 m (39 ft)
Dân số (2021-12-31)
 • Tổng cộng: 11.580
 • Mật độ: 2,2/km2 (5,8/mi2)
Múi giờ: UTC+1, UTC+2
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+02:00)
Mã bưu chính: 23629, 23683, 23684
Mã vùng: 04503, 04524, 04563
Biển số xe: OH
Website: www.gemeinde-scharbeutz.de
Scharbeutz (phát âm tiếng Đức: [ʃaʁˈbɔʏts]) là một đô thị thuộc huyện Ostholstein, bang Schleswig-Holstein, Đức.
| x t sXã và đô thị của huyện Ostholstein |
| --- | --- | --- |
|  Ahrensbök  Altenkrempe  Bad Schwartau  Beschendorf  Bosau  Dahme  Damlos  Eutin  Fehmarn  Göhl  Gremersdorf  Grömitz  Großenbrode  Grube  Harmsdorf  Heiligenhafen  Heringsdorf  Kabelhorst  Kasseedorf  Kellenhusen  Lensahn  Malente  Manhagen  Neukirchen  Neustadt  Oldenburg  Ratekau  Riepsdorf  Scharbeutz  Schashagen  Schönwalde  Sierksdorf  Stockelsdorf  Süsel  Timmendorfer Strand  Wangels  |  Ahrensbök  Altenkrempe  Bad Schwartau  Beschendorf  Bosau  Dahme  Damlos  Eutin  Fehmarn  Göhl  Gremersdorf  Grömitz  Großenbrode  Grube  Harmsdorf  Heiligenhafen  Heringsdorf  Kabelhorst  Kasseedorf  Kellenhusen  Lensahn  Malente  Manhagen  Neukirchen  Neustadt  Oldenburg  Ratekau  Riepsdorf  Scharbeutz  Schashagen  Schönwalde  Sierksdorf  Stockelsdorf  Süsel  Timmendorfer Strand  Wangels  |  |
Số nguyên tố

Hợp số có thể được sắp xếp thành các hình chữ nhật, còn số nguyên tố thì không
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn chính nó. Nói cách khác, số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Chẳng hạn, 5 là số nguyên tố bởi vì cách duy nhất để viết nó dưới dạng một tích, 1 × 5 hoặc 5 × 1, có một thừa số là chính số 5. Tuy nhiên, 6 là hợp số vì nó là tích của hai số (2 × 3) mà cả hai số đều nhỏ hơn 6. Số nguyên tố là nội dung trọng tâm trong lý thuyết số theo định lý cơ bản của số học: mọi số tự nhiên lớn hơn 1 hoặc là số nguyên tố hoặc có thể được phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất xê xích một phép hoán vị.
Tính chất nguyên tố của một số được gọi là tính nguyên tố. Một phương pháp đơn giản để kiểm tra tính nguyên tố của một số  n, được gọi là giải thuật chia thử, kiểm tra xem  n có phải là bội số của bất kỳ số nguyên nào giữa 2 và  {\sqrt {n}} hay không. Một số thuật toán khác bao gồm phép kiểm tra Miller–Rabin, tuy nhanh nhưng có xác suất nhỏ cho kết quả sai và phép kiểm tra tính nguyên tố AKS, vốn luôn cho lời giải đúng trong khoảng thời gian đa thức nhưng quá chậm để áp dụng trong thực tế. Ngoài ra, còn có một số thuật toán nhanh dành cho các số có dạng đặc biệt, chẳng hạn như số nguyên tố Mersenne. Đến nay, số nguyên tố lớn nhất đã biết là một số nguyên tố Mersenne có 41.024.320 chữ số, được khám phá vào tháng 10 năm 2024.
Có vô số số nguyên tố, như đã được Euclid chứng minh vào khoảng năm 300 TCN. Hầu như không có công thức đơn giản nào để phân biệt số nguyên tố và hợp số. Tuy nhiên, sự phân phối các số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên có trong một khoảng giá trị lớn có thể được mô hình hóa theo thống kê. Kết quả đầu tiên theo hướng đó là định lý số nguyên tố, được chứng minh vào cuối thế kỷ 19, cho rằng xác suất để một số bất kỳ là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của nó, nghĩa là với logarit của nó.
Một số bài toán lịch sử liên quan đến số nguyên tố vẫn chưa có lời giải. Chúng bao gồm giả thuyết Goldbach, cho rằng mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 có thể được biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố, và phỏng đoán về số nguyên tố sinh đôi, cho rằng có vô số cặp số nguyên tố chỉ có một số chẵn giữa chúng. Những bài toán như thế đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của nhiều nhánh trong lý thuyết số tập trung vào khía cạnh đại số và giải tích của các số. Số nguyên tố cũng có ứng dụng trong một số lĩnh vực của công nghệ thông tin, chẳng hạn như mật mã hóa khóa công khai, dựa vào sự phức tạp trong việc phân tích các số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố. Trong đại số trừu tượng, còn có một số đối tượng khác có đặc điểm và tính chất giống với số nguyên tố, trong đó gồm phần tử nguyên tố và i-đê-an nguyên tố.
Định nghĩa và ví dụ

Bài chi tiết: Danh sách số nguyên tố
Một số tự nhiên (1, 2, 3, 4, 5, 6,...) được gọi là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không thể được biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn khác 1. Các số lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Nói cách khác,  n là số nguyên tố nếu  n vật không thể chia đều thành nhiều nhóm nhỏ gồm nhiều hơn một vật, hoặc  n dấu chấm không thể được sắp xếp thành một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng nhiều hơn một dấu chấm. Chẳng hạn, trong các số từ 1 đến 6, số 2, 3 và 5 là số nguyên tố vì không có số nào khác có thể chia hết được chúng (số dư bằng 0). 1 không phải là số nguyên tố vì nó đã được loại trừ ra khỏi định nghĩa. 4 = 2 × 2 và 6 = 2 × 3 đều là hợp số.
Ước số của một số tự nhiên  n là các số tự nhiên có thể chia hết được  n. Mọi số tự nhiên đều có ít nhất hai ước số là 1 và chính nó. Nếu nó còn có thêm một ước số khác thì nó không thể là số nguyên tố. Từ ý tưởng đó mà ta có một định nghĩa khác về số nguyên tố: đó là những số chỉ có đúng hai ước số dương là 1 và chính nó. Ngoài ra, còn có một cách diễn đạt khác nữa:  n là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không có số nào trong các số  2,3,\dots ,n-1 có thể chia hết được nó.
25 số nguyên tố đầu tiên (tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 100) là:
Không có số chẵn  n lớn hơn 2 nào là số nguyên tố vì một số chẵn bất kỳ có thể được biểu diễn thành  2\times {\frac {n}{2}}. Do đó, số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất; tất cả số nguyên tố ngoài số 2 là số lẻ và được gọi là số nguyên tố lẻ. Tương tự, khi được viết trong hệ thập phân, tất cả số nguyên tố lớn hơn 5 đều có tận cùng là 1, 3, 7 hoặc 9. Các số có tận cùng là chữ số khác đều là hợp số: số có tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 là số chẵn, và số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
Tập hợp các số nguyên tố được ký hiệu là  \mathbf {P}  (chữ P viết hoa, in đậm) hoặc  \mathbb {P}  (chữ P viết hoa, in đậm bảng đen).
Lịch sử > Tính nguyên tố của số 1

Đa số nhà toán học Hy Lạp cổ không cho rằng 1 là một số nên họ không thể xét được tính nguyên tố của nó. Một số nhà toán học thời điểm đó cũng cho rằng số nguyên tố có được từ sự chia nhỏ các số lẻ nên họ không xem số 2 là số nguyên tố. Tuy nhiên, Euclid và đa số nhà toán học Hy Lạp cổ xem 2 là số nguyên tố. Các nhà toán học Hồi giáo cũng nối tiếp theo Hy Lạp, không công nhận 1 là một số. Đến thời Trung Cổ và Phục Hưng, các nhà toán học bắt đầu thừa nhận 1 là một số, và một vài trong số đó cho rằng số 1 là số nguyên tố đầu tiên. Giữa thế kỷ 18, Christian Goldbach công nhận số 1 là số nguyên tố trong thư gửi Leonhard Euler, nhưng Euler lại không thừa nhận như thế. Nhiều nhà toán học thế kỷ 19 vẫn cho rằng 1 là số nguyên tố, và danh sách số nguyên tố có chứa số 1 vẫn tiếp tục được xuất bản cho đến năm 1956.
Nếu định nghĩa số nguyên tố bị thay đổi để công nhận 1 là số nguyên tố, nhiều định lý liên quan đến nó sẽ phải được diễn đạt lại một cách rắc rối. Chẳng hạn, định lý cơ bản của số học khi đó sẽ bị sửa lại về mặt phân tích thành các số nguyên tố lớn hơn 1, vì mọi số đều có vô số cách phân tích mà trong đó số 1 xuất hiện với số lần bất kỳ. Tương tự, sàng Eratosthenes cũng sẽ không hoạt động đúng cách, vì khi đó nó loại bỏ tất cả các bội của 1 (tức là tất cả các số khác) và cho đầu ra chỉ có duy nhất số 1. Một số tính chất của số nguyên tố cũng không đúng đối với số 1: ví dụ, công thức của hàm phi Euler hoặc hàm tổng các ước số khác nhau với số nguyên tố so với số 1. Đến đầu thế kỷ 20, các nhà toán học bắt đầu thừa nhận rằng số 1 không nên nằm trong danh sách số nguyên tố, mà thay vào đó cần nằm ở một thể loại đặc biệt: "đơn vị" trong lý thuyết vành.
Tính chất cơ bản > Sự phân tích duy nhất

Bài chi tiết: Định lý cơ bản của số học
Viết một số thành tích của các số nguyên tố được gọi là phân tích nguyên tố của số đó. Chẳng hạn:
Các thừa số trong tích được gọi là thừa số nguyên tố. Một thừa số nguyên tố có thể xuất hiện nhiều lần, khi đó có thể dùng lũy thừa để gộp nhiều thừa số giống nhau đó lại thành một. Trong ví dụ trên, số 3 xuất hiện hai lần và  3^{2} là bình phương hay lũy thừa bậc hai của 3.
Tầm quan trọng thiết yếu của số nguyên tố trong lý thuyết số và toán học nói chung có được từ định lý cơ bản của số học. Định lý này phát biểu rằng bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 1 đều có thể được viết thành tích của một hoặc nhiều số nguyên tố. Hơn nữa, tích đó là duy nhất, vì dễ thấy trong hai phân tích nguyên tố của cùng một số, các thừa số nguyên tố luôn xuất hiện với số lần bằng nhau dù thứ tự của chúng có thể khác nhau. Do đó, mặc dù có nhiều cách khác nhau để tìm cách phân tích một số thông qua thuật toán phân tích số nguyên nhưng chúng đều phải cho cùng một kết quả. Số nguyên tố vì vậy còn được gọi là "khối gạch cơ bản" của số tự nhiên.
Một số chứng minh về tính duy nhất của phân tích nguyên tố được dựa trên bổ đề Euclid: Nếu  p là số nguyên tố và  p chia hết một tích  ab với  a và  b là số nguyên thì  p cũng chia hết  a hoặc  b (hoặc cả hai). Ngược lại, nếu một số  p có tính chất khi chia hết một tích thì nó cũng chia hết ít nhất một thừa số trong tích, thì  p phải là số nguyên tố.
Tính chất cơ bản > Sự tồn tại vô số số nguyên tố

Bài chi tiết: Định lý Euclid
Có vô số số nguyên tố. Nói cách khác, dãy các số nguyên tố
không bao giờ kết thúc. Phát biểu trên còn được gọi là định lý Euclid theo tên của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid vì ông là người đầu tiên chứng minh được phát biểu này. Một số cách chứng minh khác về sự tồn tại vô số số nguyên tố bao gồm một chứng minh bằng giải tích của Euler, chứng minh của Goldbach dựa trên số Fermat, chứng minh từ tô pô học của Furstenberg, hay cách chứng minh đơn giản của Kummer.
Chứng minh của Euclid cho thấy rằng một tập hợp hữu hạn các số nguyên tố bất kỳ là chưa hoàn thành. Thật vậy, xét một tập hợp hữu hạn gồm các số nguyên tố  p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}. Khi nhân các số đó với nhau và cộng thêm 1 thì ta được
Theo định lý cơ bản của số học thì  N có một phân tích nguyên tố
với một hoặc nhiều thừa số nguyên tố.  N có thể được chia hết bởi bất kỳ thừa số nào trong tích trên, nhưng lại có phần dư bằng 1 khi được chia bởi bất kỳ số nguyên tố nào trong tập hợp đã cho, nên không có thừa số nguyên tố nào của  N có trong tập hợp đó. Vì không tồn tại một tập hợp hữu hạn nào chứa tất cả các số nguyên tố nên phải có vô số số nguyên tố.
Các số được tạo ra khi cộng thêm 1 vào tích của các số nguyên tố nhỏ nhất được gọi là số Euclid. Năm số Euclid đầu tiên là số nguyên tố, nhưng số Euclid thứ sáu,
là hợp số.
Tính chất cơ bản > Công thức số nguyên tố

Không có công thức số nguyên tố hiệu quả nào được biết đến. Chẳng hạn, không có đa thức khác hằng số nào, kể cả đa thức đa biến, chỉ cho duy nhất các giá trị nguyên tố. Tuy nhiên, có một số biểu thức có thể tạo ra các giá trị nguyên tố, nhưng hiệu quả hoạt động khá thấp. Một công thức như thế được dựa trên định lý Wilson và có thể cho giá trị 2 nhiều lần, các giá trị nguyên tố khác đúng một lần. Một hệ phương trình Diophantine gồm 9 biến và một tham số cũng tồn tại với tính chất: tham số đó là số nguyên tố khi và chỉ khi hệ phương trình thu được có một nghiệm trên tập hợp số tự nhiên. Tính chất đó có thể được dùng để suy ra một công thức với tính chất là tất cả các giá trị dương của nó đều là số nguyên tố.
Hai công thức số nguyên tố khác đến từ định lý Mills và một định lý của Wright, cho rằng tồn tại hằng số thực  A>1 và  \mu  sao cho giá trị của
là số nguyên tố với mọi số tự nhiên  n bất kỳ ở công thức thứ nhất và bất kỳ số lũy thừa nào trong công thức thứ hai. Ở đây  \lfloor {}\cdot {}\rfloor  là hàm sàn, số lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng với số được xét. Tuy nhiên, các công thức này không hữu ích vì cần phải tạo ra các số nguyên tố trước tiên để tính  A hoặc  \mu .
Tính chất cơ bản > Các bài toán mở

Xem thêm: Thể loại:Phỏng đoán về số nguyên tố
Đã có nhiều giả thuyết được đặt ra liên quan đến số nguyên tố, và đa số giả thuyết như vậy không được chứng minh trong nhiều thập kỷ: cả bốn bài toán của Landau từ năm 1912 vẫn chưa có lời giải. Một trong số đó là giả thuyết Goldbach cho rằng mọi số nguyên chẵn  n lớn hơn 2 có thể được viết thành tổng của hai số nguyên tố. Tính đến năm 2014, giả thuyết này đã được xác nhận là đúng với các số lớn đến  n=4\cdot 10^{18}. Một số giả thuyết tương tự như vậy đã được chúng minh, chẳng hạn, định lý Vinogradov cho rằng một số nguyên lẻ đủ lớn có thể được viết thành tổng của ba số nguyên tố. Còn theo định lý Chen, một số nguyên chẵn đủ lớn có thể được biểu diễn thành tổng của một số nguyên tố và một số nửa nguyên tố (tích của hai số nguyên tố). Đồng thời, một số nguyên chẵn lớn hơn 10 có thể được viết thành tổng của 6 số nguyên tố. Nhánh của lý thuyết số nghiên cứu những bài toán như thế được gọi là lý thuyết cộng tính số.
Một dạng bài toán khác có liên quan đến khoảng cách số nguyên tố, tức là chênh lệch giữa hai số nguyên tố liên tiếp. Có thể thấy được sự tồn tại của các khoảng cách số nguyên tố lớn tùy ý bằng cách chú ý rằng dãy số  n!+2,n!+3,\dots ,n!+n chứa  n-1 hợp số với  n là số tự nhiên. Tuy nhiên, khoảng cách số nguyên tố lớn này bắt đầu xuất hiện sớm hơn so với thời điểm mà lập luận này đã cho. Chẳng hạn, khoảng cách số nguyên tố đầu tiên với độ dài bằng 8 nằm giữa hai số nguyên tố 89 và 97, nhỏ hơn nhiều so với  8!=40320. Có giả thuyết cho rằng có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi, tức là cặp số nguyên tố với chênh lệch bằng 2; đó chính là giả thuyết số nguyên tố sinh đôi. Giả thuyết Polignac phát biểu tổng quát hơn rằng với một số nguyên dương  k bất kỳ, tồn tại vô số các cặp số nguyên tố liên tiếp sai khác nhau  2k. Giả thuyết Andrica, giả thuyết Brocard, giả thuyết Legendre và giả thuyết Oppermann đều cho rằng khoảng cách lớn nhất giữa các số nguyên tố từ 1 đến  n phải là xấp xỉ  {\sqrt {n}}, một kết quả được cho là suy ra từ giả thuyết Riemann, trong khi giả thuyết Cramér đặt khoảng cách lớn nhất bằng  O((\log n)^{2}). Khoảng cách số nguyên tố có thể được khái quát hóa thành bộ  k số nguyên tố, thể hiện những dãy lặp lại khoảng cách giữa nhiều hơn hai số nguyên tố. Tính vô hạn và mật độ của chúng là vấn đề chính trong giả thuyết Hardy–Littlewood đầu tiên, vốn có thể được suy ra từ thuật giải heuristic rằng dãy số nguyên tố hành xử tương tự như một dãy số ngẫu nhiên với mật độ được cho bởi định lý số nguyên tố.
Tính chất trong giải tích

Lý thuyết số giải tích nghiên cứu lý thuyết số qua các khái niệm hàm số liên tục, giới hạn, chuỗi vô hạn và các khái niệm liên quan đến vô hạn và số nhỏ vô hạn.
Leonhard Euler là người đầu tiên khởi xướng ra ngành nghiên cứu này với thành tựu quan trọng đầu tiên là lời giải cho bài toán Basel. Bài toán yêu cầu tìm giá trị của tổng vô hạn  1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots  mà ngày nay được công nhận là giá trị  \zeta (2) của hàm zeta Riemann. Hàm này có liên hệ mật thiết với số nguyên tố và giả thuyết Riemann, một trong những bài toán chưa được giải có ý nghĩa quan trọng nhất trong toán học. Euler chứng minh được rằng  \zeta (2)=\pi ^{2}/6. Nghịch đảo của số đó,  6/\pi ^{2}, là giới hạn của xác suất để hai số được chọn ngẫu nhiên từ một khoảng giá trị lớn là hai số nguyên tố cùng nhau (không có thừa số chung nào).
Sự phân phối các số nguyên tố trong khoảng giá trị lớn đó, chẳng hạn như có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một số lớn cho trước, được mô tả bởi định lý số nguyên tố, nhưng không có công thức cho số nguyên tố thứ  n được biết đến. Ở dạng cơ bản nhất, định lý Dirichlet về cấp số cộng phát biểu rằng đa thức tuyến tính
với  a và  b nguyên tố cùng nhau cho vô số các giá trị nguyên tố. Dạng chặt chẽ hơn của định lý phát biểu rằng tổng của nghịch đảo các giá trị nguyên tố đó phân kỳ, và các đa thức tuyến tính khác nhau với  b bằng nhau có tỉ lệ số nguyên tố gần như nhau. Mặc dù đã có nhiều giả thuyết được đặt ra về tỉ lệ số nguyên tố trong các đa thức bậc cao nhưng chúng vẫn chưa được chứng minh, và không rõ có tồn tại một đa thức bậc hai nào có thể luôn cho các giá trị nguyên tố một cách thường xuyên hơn hay không.