Lý thuyết nhóm hình học
Các chủ đề đang trong nghiên cứu

Các chủ đề và quá trình phát triển trong lý thuyết nhóm hình học của những năm 1990 và năm 2000 bao gồm:
Chương trình Gromov trong tìm hiểu tính chất tựa đẳng cự của nhóm.
Nghiên cứu các tính chất không thay đổi dưới phép tựa đẳng cựa. Ví dụ các tính chất của nhóm hữu hạn sinh sinh bao gồm: độ tăng trưởng của nhóm hữu hạn sinh; hàm đẳng chu hoặc hàm Dehn của nhóm có biểu diễn quan hệ hữu hạn, số các mút của một nhóm, độ hyperbol của một nhóm, loại đồng phôi của biên Gromov của nhóm hyperbol  , nón tiệm cận của nhóm hữu hạn sinh (xem .); tính dễ tuân của nhóm hữu hạn sinh; gần như giao hoán (tức là có nhóm con giao hoán có chỉ số hữu hạn); gần như luỹ linh; gần như tự do; và một số tính chất khác.
Các định lý dùng bất biến tựa đẳng cự để chứng minh các kết quả đại số về nhóm, lấy ví dụ chẳng hạn: Định lý độ tăng trưởng đa thức của Gromov, định lý mút của Stallings, định lý độ cứng Mostow.
Định lý độ cứng tựa đẳng cự, trong đó ta phải phân loại bằng đại số tất cả các nhóm tựa đẳng cự với một số nhóm hoặc không gian mêtric cho trước. Hướng đi này bắt nguồn từ công trình của Schwartz trên các độ cứng tựa đẳng cự của các mạng hạng một và công trình của Benson Farb và Lee Mosher trên độ cứng tựa đẳng cự của các nhóm Baumslag–Solitar.
Lý thuyết của các nhóm hyperbol-từ và nhóm tương đối hyperbol.Một trong những thành tựu quan trọng trong phát triển lý thuyết này là công trình của Zlil Sela trong những năm 1990 dẫn tới kết quả cho bài toán đẳng cấu cho các nhóm hyperbol-từ. Thuật ngữ nhóm tương đối hyperbol được giới thiệu ban đầu bởi Gromov và 1987 và được chỉnh lại bởi Farb và Brian Bowditch, vào khoảng 1990. Nghiên cứu các nhóm tương đối hyperbol xuất hiện nhiều hơn vào những năm 2000.
Các tương tác với logic toán học và nghiên cứu lý thuyết bậc nhất của các nhóm tự do. Một trong trong những kết quả quan trọng đạt được xuất hiện trên các giả thuyết Tarski, nhờ công trình của Sela cũng như là của Olga Kharlampovich và Alexei Myasnikov. Từ đó nổi lên các nhóm giới hạn và ngôn ngữ và cách thức hoạt động của hình học đại số không giao hoán.
Tương tác với khoa học máy tính, lý thuyết độ phức tạp tính toán và lý thuyết của các ngôn ngữ hình thức. Chủ đề này nổi bật trong sự phát triển của lý thuyết các nhóm tự động, một thuật ngữ được dùng để đặt ra một số điều kiện hình học và điều kiện ngôn ngữ trên phép toán hai ngôi của nhóm hữu hạn sinh.
Nghiên cứu các bất đẳng thức đẳng chu, các hàm Dehn và dạng tổng quát của chúng trong nhóm có biểu diễn tập hợp hữu hạn. Cụ thể hơn, nghiên cứu này bao gồm công trình của Jean-Camille Birget, Aleksandr Olʹshanskiĭ, Eliyahu Rips và Mark Sapir đặc trưng hoá các hàm Dehn khả thi cho nhóm có biểu diễn hữu hạn.
Lý thuyết của toral hoặc phân tích JSJ cho các đa tạp 3 chiều được lần đầu đặt trong môi trường lý thuyết nhóm bởi Peter Kropholler.  Sau này được phát triển bởi nhiều tác giả cho cả hai nhóm hữu hạn sinh và nhóm có biểu diễn tập hợp hữu hạn.
Các mối liên hệ với giải tích hình học, nghiên cứu các C*-đại số liên kết với các nhóm rời rạc và lý thuyết của xác suất tự do. Cụ thể hơn, chủ để này được biểu diễn bởi quá trình đạt được trên giả thuyết Novikov và giả thuyết Baum-Connes, và sự phát triển và nghiên cứu của các thuật ngữ lý thuyết nhóm có liên quan ví dụ như tính dễ tuân tô pô, chiều tiệm cận, tính khả nhúng đều vào các không gian Hilbert, tính phân rã liên tục (xem.).
Tương tác với lý thuyết của giải tích tựa bảo giác trên các không gian mêtric, cụ thể hơn là trong mối liên hệ với giả thuyết Cannon về đặc trưng hoá các nhóm hyperbol có biên Gromov đồng phôi với 2-cầu.
Quy tắc chia con hữu hạn, cùng mối liên hệ với giả thuyết Cannon.
Tương tác với tô pô động lực trong nghiên cứu các tác động của nhóm rời rạc lên nhiều không gian compact và compact hoá nhóm, cụ thể hơn là các phương pháp dùng nhóm hội tụ
Phát triển lý thuyết của các tác động nhóm lên  \mathbb {R} -cây (cụ thể hơn là máy tính Rips), và các ứng dụng của nó.
Nghiên cứu tác động nhóm lên các không gian CAT(0) và các phức bậc ba CAT(0), lấy ý tưởng từ hình học Alexandrov.
Tương tác với tô pô số chiều nhỏ và hình học hyperbol, cụ thể hơn là trong nghiên cứu các nhóm đa tạp 3 chiều (xem ví dụ,), các nhóm ánh xạ lớp của mặt phẳng, nhóm bện và nhóm Klein.
Giới thiệu các phương pháp xác suất cho việc nghiên cứu tính chất đại số của các đối tượng lý thuyết nhóm "ngẫu nhiên" (nhóm, phần tử nhóm, nhóm con, v.v..). Một trong những phát triển quan trọng gần đây là công trình của Gromov, người dùng các phương pháp xác suất để chứng minh sự tồn tại của một nhóm hữu hạn sinh không nhúng đều được vào không gian Hilbert. Ngoài ra còn có giới thiệu và nghiên cứu thuật ngữ độ phức tạp trường hợp chung cho các thuật toán dành cho toán học và lý thuyết nhóm và các kết quả về độ cứng đại số cho nhóm chung.
Nghiên cứu việc coi các nhóm automata và nhóm tuần tự đơn đạo là nhóm của các tự đẳng cấu của các cây vô số gốc. Cụ thể hơn, các nhóm của Grigorchuk có độ tăng trưởng trung bình cùng với dạng tổng quát của chúng, thường xuất hiện trong việc nghiên cứu.
Nghiên cứu tính chất độ đo của các tác động nhóm trên không gian đo được, cụ thể hơn là giới thiệu và phát triển thuật ngữ tương đương độ đo và tương đương quỹ đạo, cũng như là dạng tổng quát của độ cứng Mostow dưới lý thuyết độ đo.
Nghiên cứu các biểu diễn unita của các nhóm rời rạc và tính chất Kazhdan (T)
Nghiên cứu nhóm Out(Fn) (nhóm tự đẳng cấu ngoài của nhóm tự do có hạng n) nói chung và của các tự đẳng cấu nói riêng. Giới thiệu và nghiên cứu không gian ngoài của Culler-Vogtmann  và lý thuyết của các đường ray tàu cho các tự đẳng cấu.
Phát triển lý thuyết Bass–Serre, cụ thể là các kết quả liên quan đến tính truy cập được và lý thuyết của các dàn trong cây. Quan tâm tới dạng tổng quát của lý thuyết Bass–Serre ví dụ như lý thuyết của các phức hợp của các nhóm.
Nghiên cứu mô hình đi ngẫu nhiên trên các nhóm và các phần có liên quan trong lý thuyết biên, cụ thể hơn là phần biên Poisson (xem ví dụ.).Nghiên cứu tính dễ tuân và các nhóm hiện vẫn chưa biết tính dễ tuân.
Tương tác với lý thuyết nhóm hữu hạn, đặc biệt là trong độ tăng trưởng nhóm con.