stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Isabel II của Tây Ban Nha
Trưởng thành và trực tiếp trị vì > Khởi đầu

Isabel được tuyên bố đủ tuổi trị vì Tây Ban Nha và tuyên thệ trước Hiến pháp năm 1837 vào ngày 10 tháng 11 năm 1843, ở tuổi 13. Bất chấp quyền tối cao của quốc hội, nhưng trên thực tế, "sự tin tưởng kép" đã khiến Isabel có vai trò trong việc thành lập và bãi bỏ các chính phủ, làm suy yếu những người tiến bộ. Liên minh không dễ dàng giữa những người ôn hòa và những người tiến bộ đã lật đổ Espartero vào tháng 7 năm 1843 đã tan rã vào thời điểm nữ vương đến tuổi trưởng thành. Sau một chính phủ ngắn ngủi do Salustiano de Olózaga y Almandoz tiến bộ lãnh đạo, những người ôn hòa đã bầu ứng cử viên của họ, Pedro José Pidal, làm chủ tịch Cortes. Sau quyết định giải tán Cortes thù địch tiếp theo của Olózaga vào ngày 28 tháng 11, tin đồn về việc bị cáo buộc ép nữ vương ký sắc lệnh hoàng gia đã lan truyền. Kết quả là, Olózaga bị truy tố, cách chức và buộc phải lưu vong, trong khi Đảng Tiến như rắn mất đầu, đây là điểm khởi đầu cho sự bất mãn ngày càng tăng của họ đối với chế độ quân chủ của Isabel.
Trưởng thành và trực tiếp trị vì > Bienio progresista

Espartero tiến vào thủ đô Tây Ban Nha vào ngày 28 tháng 7, và tiếp tục tách Isabella khỏi ảnh hưởng của mẹ bà là Maria Christina. Trong mọi trường hợp, mặc dù Isabella vẫn chấp nhận lời khuyên của Maria Christina, nhưng nữ vương không thể hiện tình yêu thương sâu sắc của một người con đối với mẹ mình.
Theo sắc lệnh của hoàng gia, Thành phố Iloilo ở Philippines thuộc Tây Ban Nha đã mở cửa cho thương mại quốc tế vào ngày 29 tháng 9 năm 1855, chủ yếu là để xuất khẩu đường và các sản phẩm khác sang Mỹ, Úc và Châu Âu.
Một Hiến pháp Tự do ("Đứa trẻ chưa chào đời") đã được soạn thảo vào năm 1856, nhưng nó chưa bao giờ được ban hành vì cuộc đảo chính phản cách mạng của O'Donnell.
Cuối triều đại

Vào ngày 28 tháng 11 năm 1857, Isabella II đã sinh ra một người thừa kế nam, người đã được rửa tội vào ngày 7 tháng 12 năm 1857 với tên gọi là Alfonso Francisco de Asís Fernando Pío Juan María Gregorio y Pelagio. Được các nhà sử học cho là con trai ruột của Enrique Puigmoltó y Mayans [es]. Vương tử Alfonso đã thay thế vương nữ Isabella trở thành Thân vương xứ Asturias, được biết đến với biệt danh el Puigmoltejo, liên quan đến những tin đồn về cha ruột của cậu. Isabella II đã thể hiện tình cảm đặc biệt với đứa trẻ, lớn hơn tình cảm dành cho các con gái của bà.
Vào giai đoạn sau của triều đại, Isabel đã chứng kiến ​​một cuộc chiến tranh chống lại Maroc (1859–1860), kết thúc bằng một hiệp ước có lợi cho Tây Ban Nha và Maroc phải nhượng lại một số lãnh thổ của họ, Tây Ban Nha chiếm lại Santo Domingo (1861–1865) và Chiến tranh quần đảo Chincha (1865–1866) vô ích chống lại Bolivia, Chile, Ecuador và Peru.
Năm 1858, Tây Ban Nha đã lập liên minh với Pháp, hợp quân tấn công Đà Nẵng vào năm 1858 và Gia Định vào năm 1859 của Đại Nam. Thông qua Hòa ước Nhâm Tuất (1862) ký với triều đình Nhà Nguyễn, Tây Ban Nha và Pháp đã thu về nhiều quyền lợi.
Cuộc sống lưu vong

Sau khi vượt qua biên giới Pháp-Tây Ban Nha bằng tàu hỏa vào ngày 30 tháng 9, Nữ vương và chồng đã dành 5 tuần tại Château de Pau để lên kế hoạch cho tương lai của họ ở Paris. Họ đến thủ đô nước Pháp vào ngày 8 tháng 11, định cư tại Rue de Rivoli 172. Isabel buộc phải từ bỏ quyền quân chủ của mình vào ngày 25 tháng 6 năm 1870 để ủng hộ quyền thừa kế của con trai bà là Vương thái thử Alfonso. Liên quan đến một cuộc giải quyết kinh tế, sự chia cắt chính thức giữa Isabel và Francisco đã phụ thuộc vào việc chuyển giao quyền kế vị của cựu nữ vương cho con trai bà.
Sau khi Quốc hội Tây Ban Nha bầu Vương tử Amadeo, Công tước xứ Savoy (con trai thứ hai của Vua Victor Emmanuel II) lên ngai vàng Tây Ban Nha vào tháng 11 năm 1870, Isabel đã hòa giải với em rể của mình là Công tước xứ Montpensier vào năm 1871, người đảm nhận việc quản lý chính trị của gia đình.
Đệ nhất Cộng hòa Tây Ban Nha sau thời gian tồn tại ngắn ngủi sau khi Amadeo từ bỏ ngai vàng đã bị lật đổ bởi một cuộc đảo chính quân sự bắt đầu ở Sagunto bởi Tướng Arsenio Martínez Campos vào ngày 29 tháng 12 năm 1874, tuyên bố khôi phục chế độ quân chủ và triều đại Bourbon dưới sự lãnh đạo của con trai Isabel là Alfonso XII, người đã đặt chân trở về Barcelona vào ngày 9 tháng 1 năm 1875.
Sau năm 1875, Isabel sống với Ramiro de la Puente y González Nandín, thư ký và chánh văn phòng của bà.
Cánovas del Castillo, nhân vật chủ chốt của chế độ mới, đã tin rằng Isabel là trở ngại đối với Vương quyền, vì thế ông đã viết cho cựu nữ vương một lá thư thẳng thắn nêu rõ "Bệ hạ không phải là một người, mà là một triều đại, đó là một thời điểm lịch sử, và điều đất nước cần là một triều đại khác, một thời điểm khác". Ông đã quyết tâm không để cho Isabel bước vào thủ đô Tây Ban Nha trước khi công bố hiến pháp mới vào tháng 6 năm 1876.
Isabel trở về Tây Ban Nha vào tháng 7 năm 1876, ở lại Santander và El Escorial], bà chỉ được phép đến thăm Madrid trong vài giờ vào ngày 13 tháng 10. Bà chuyển đến Seville, nơi bà ở lại lâu hơn và rời đi để trở lại Pháp vào năm 1877. Con trai của Isabel sẽ kết hôn với Mercedes xứ Orléans (em họ đời đầu của Alfonso và là con gái của Công tước xứ Montpensier) vào năm 1878, nhưng Mercedes đã qua đời 5 tháng sau đám cưới.
Isabel chủ yếu sống ở Paris trong suốt quãng đời còn lại của mình, bà ở tại Palacio Castilla. Bà đã đến thăm Seville một số lần.
Bà đã viết di chúc của mình tại Paris vào tháng 6 năm 1901, trong di chúc bà mong muốn sẽ được chôn cất tại El Escorial. Chưa đầy một tháng sau khi trải qua cơn cảm lạnh được các bác sĩ chẩn đoán là "cúm", bà qua đời vào ngày 9 tháng 4 năm 1904, lúc 8:45 sáng. Thi hài của bà được chuyển từ Palacio Castilla đến Gare d'Orsay, và đến El Escorial vào ngày 15 tháng 4. Lễ tang diễn ra vào ngày hôm sau tại San Francisco el Grande.
Hậu duệ

Isabella mang thai 12 lần nhưng chỉ có 5 người con sống đến tuổi trưởng thành:
Vương tử Luis Fernando (20 tháng 5 năm 1849), thai chết lưu.
Vương tử Fernando Francisco (12 tháng 7 năm 1850), qua đời năm phút sau khi sinh.
Vương nữ María Isabel (1851–1931): kết hôn với người em họ đời đầu của mẹ và cha là Thân vương Gaetan, Bá tước xứ Girgenti.
Vương nữ Maria Cristina (5 tháng 1 năm 1854 - 7 tháng 1).
Vương nữ Margarita (23 tháng 9 năm 1855 - 24 tháng 9 năm 1855), bà sinh non.
Vương tử Francisco de Asis Fernando (21 tháng 12 năm 1856), thai chết lưu.
Alfonso XII của Tây Ban Nha (1857–1885) Vua tương lai của Tây Ban Nha.
Vương nữ Maria de la Conception (1859 - 21 tháng 10 năm 1861).
Vương nữ María del Pilar (1861–1879).
Vương nữ María de la Paz (1862–1946); kết hôn với anh họ bên nội là Thân vương Louis Ferdinand xứ Bayern.
Vương nữ María Eulalia (1864–1958); kết hôn với anh họ bên nội là Antonio d'Orléans, Công tước xứ Galliera.
Vương tử Francisco de Asis Leopoldo Maria Enrique (24 tháng 1 năm 1866 - 14 tháng 2 năm 1866).
Có nhiều suy đoán rằng một số hoặc tất cả các con của Isabel không phải là con của Francisco de Asís; điều này được củng cố bởi tin đồn rằng Francisco de Asís là người đồng tính hoặc bất lực. Francisco de Asís nhận tất cả các con của Isabel là con của mình: ông đóng vai kẻ bị xúc phạm, tiến hành tống tiền nữ vương để nhận tiền đổi lại việc giữ im lặng. Việc tống tiền của chồng bà sẽ tiếp tục và gia tăng trong thời gian bà sống lưu vong.
Vinh dự

Tây Ban Nha: Dame of the Order of Queen Maria Luisa, 10 October 1830
Áo: Knight Grand Cordon with Collar of the Royal Hungarian Order of Saint Stephen
Áo: Dame of the Order of the Starry Cross, 1st Class
Brasil: Knight Grand Cordon of the Imperial and Royal Order of Christ
Brasil:: Knight Grand Cordon with Collar of the Imperial and Royal Order of the Southern Cross, 1848
France
Bourbon-French Royal Family: Knight Grand Cross of the Royal Order of the Holy Spirit
Bourbon-French Royal Family: Knight Grand Cross with Collar of the Royal Order of Saint Michael
French Imperial Family: Knight Grand Cordon with Collar of the Imperial Order of the Legion of Honour
Bavaria: Knight Grand Cross with Chain of the Order of Saint Hubert
Bavaria: Dame Grand Cross of the Order of Theresa
Bavaria: Dame Grand Cross of the Order of Saint Elizabeth
Saxe-Weimar-Eisenach: Knight Grand Cross of the Order of the White Falcon, 1 November 1861
Saxony: Knight Grand Cross of the Order of the Rue Crown
Saxony: Dame Grand Cross of the Order of Sidonia
Saxony: Dame of the Order of Maria-Anna, Special Class
Greece: Knight Grand Cross of the Order of the Redeemer
Italy
Italian Royal Family: Knight Grand Collar of the Supreme Order of the Most Holy Annunciation
Italian Royal Family: Knight Grand Cordon of the Order of Saints Maurice and Lazarus
Italian Royal Family: Knight Grand Cordon of the Order of the Crown of Italy
Holy See: Knight Grand Cross with Collar of the Supreme Order of Christ
Two Sicilian Royal Family: Knight Grand Cross with Collar of the Order of Saint Januarius
Two Sicilian Royal Family: Bailiff Knight Grand Cross with Collar of the Two Sicilian Sacred Military Constantinian Order of Saint George
Mexico
Mexican Republic: Knight Grand Cross with Collar of the National Order of Guadalupe, 1854
Bản mẫu:Country data Second Mexican Empire Mexican Imperial Family: Dame Grand Cross of the Imperial Order of Saint Charles, 10 April 1865
Monaco: Knight Grand Cross of the Order of Saint-Charles, 17 September 1865
Portugal: Knight Grand Cross of the Order of the Immaculate Conception of Vila Viçosa, 23 June 1834
Portugal: Knight Grand Cross with Collar of the Order of the Tower and Sword
Portugal: Dame Grand Cross of the Order of Saint Isabel
Vinh dự > Honorific eponyms

Philippines:
Cavite: Bridge of Isabel II
Isabela (province)
Isabela, Basilan
Manila: El Banco Español Filipino de Isabel II former name of the current Bank of the Philippine Islands.
Puerto Rico:
Isabel II: barrio-pueblo (referred to as Isabel Segunda in Spanish) is a barrio and the administrative center (seat) in the downtown area in the island-municipality of Vieques, Puerto Rico.
Tổ tiên

Isabella II khi còn nhỏ. Cô được miêu tả đang đeo dải băng của Huân chương Vương hậu Maria Luisa.
Isabella tuyên thệ trước Hiến pháp, của José Castelaro [es].
Bức tranh chân dung Isabella II của Federico de Madrazo y Kuntz (1844).
Lễ rửa tội của Nữ thân vương xứ Asturias vào tháng 12 năm 1851, bởi Rafael Benjumea [es]
Âm mưu ám sát nữ vương của cura Merino năm 1852
Cách mạng tháng 7 năm 1854 ở Madrid
Isabella năm 1868
Đến Pháp!, một bức biếm họa của Francisco Ortego mô tả cảnh lưu vòng của Isabella được xuất bản trong Gil Blas vào ngày 4 tháng 10 năm 1868
Cựu nữ vương tại Paris
Isabel II cùng ba cô con gái út Pilar, Paz và Eulalia
Định lý Pythagoras

Định lý Pythagoras
Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông (a và b) bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền (c).
Trong hình học, định lý Py-ta-go (tiếng Hy Lập: Πυθαγόρας) (tiếng Anh: Pythagorean theorem hoặc Pytagoras' theorem) là mối liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Định lý phát biểu rằng, bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại, hay viết dưới dạng tường minh là:  c^{2}=a^{2}+b^{2};với c là độ dài cạnh huyền, a và b là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn được gọi là cạnh kề.
Mặc dù những hiểu biết về mối liên hệ này đã được biết đến từ trước thời của ông, nhưng định lý vẫn được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras (k. 570–495 TCN), vì với những tư liệu lịch sử đã ghi lại, ông được coi là người đầu tiên chứng minh được định lý này. Có một số chứng cứ cho thấy các nhà toán học Babylon đã hiểu về công thức này, mặc dù có ít tư liệu cho thấy họ đã sử dụng nó trong khuôn khổ của toán học. Các nhà toán học khu vực Lưỡng Hà, Ấn Độ và Trung Quốc cũng đều tự khám phá ra định lý này và trong một số nơi, họ đã đưa ra chứng minh cho một vài trường hợp đặc biệt.
Có rất nhiều chứng minh cho định lý này - và có lẽ là nhiều nhất trong các định lý của toán học. Cách chứng minh rất đa dạng, bao gồm cả chứng minh bằng hình học lẫn đại số, mà một số có lịch sử hàng nghìn năm tuổi. Định lý Pythagoras còn được tổng quát hóa bằng nhiều cách khác nhau, bao gồm cho không gian nhiều chiều, cho các không gian phi Euclid, cho các tam giác bất kỳ, và thậm chí cho những đối tượng khác xa hẳn so với tam giác vuông, những đối tượng hình học tổng quát trong không gian nhiều chiều. Định lý Pythagoras còn thu hút nhiều sự chú ý từ bên ngoài phạm vi toán học, như là một biểu tượng toán học thâm thúy, bí ẩn, hay sức mạnh của trí tuệ; nó cũng được nhắc tới trong văn học, kịch bản, âm nhạc, bài hát, con tem và phim hoạt hình.
Chứng minh của Pythagoras

Định lý Pythagoras đã được biết đến từ lâu trước thời Pythagoras, nhưng ông được coi là người đầu tiên nêu ra chứng minh định lý này. Cách chứng minh của ông rất đơn giản, chỉ bằng cách sắp xếp lại hình vẽ.
Trong hai hình vuông lớn ở hình minh họa bên trái, mỗi hình vuông chứa bốn tam giác vuông bằng nhau, sự khác nhau giữa hai hình vuông này là các tam giác vuông được bố trí khác nhau. Do vậy, khoảng trắng bên trong mỗi hình vuông phải có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ, hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép rút ra được kết luận của định lý Pythagoras, điều phải chứng minh.
Về sau, trong tác phẩm của nhà triết học và toán học Hy Lạp Proclus đã dẫn lại chứng minh rất đơn giản của Pythagoras. Các đoạn dưới đây nêu ra một vài cách chứng minh khác, nhưng cách chứng minh ở trên thuộc về Pythagoras.
Những dạng khác của định lý

Như đã nhắc đến ở đoạn giới thiệu, nếu c ký hiệu là chiều dài của cạnh huyền và a và b ký hiệu là chiều dài của hai cạnh kề, định lý Pythagoras có thể biểu diễn bằng phương trình Pythagoras:
Nếu đã biết chiều dài cả a và b, thì cạnh huyền c tính bằng
Nếu biết độ dài của cạnh huyền c và một trong các cạnh kề (a hoặc b), thì độ dài của cạnh kề còn lại được tìm bằng công thức:  a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}hoặc  b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.
Phương trình Pythagoras cho liên hệ các cạnh của một tam giác vuông theo cách đơn giản, do đó nếu biết chiều dài của hai cạnh bất kỳ thì sẽ tìm được chiều dài của cạnh còn lại. Một hệ quả khác của định lý đó là trong bất kỳ tam giác vuông nào, cạnh huyền luôn lớn hơn hai cạnh kia, nhưng bé hơn tổng của hai cạnh.
Định lý khái quát định lý này cho tam giác bất kỳ này đó là định lý cos, cho phép tính chiều dài của một cạnh khi biết chiều dài của hai cạnh kia cũng như góc tạo bởi hai cạnh này. Nếu góc giữa hai cạnh này là góc vuông, định lý cos sẽ trở về trường hợp đặc biệt đó là định lý Pythagoras.
Các chứng minh khác

Định lý này có thể coi là định lý có rất nhiều cách chứng minh (luật tương hỗ bậc hai là một định lý khác có nhiều cách chứng minh); trong cuốn sách The Pythagorean Proposition nêu ra 370 cách chứng minh cho định lý Pythagoras.
Các chứng minh khác > Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng

Chứng minh này dựa trên sự tỉ lệ thuận của các cạnh của hai tam giác đồng dạng, tức là nó dựa trên tỉ số của hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là như nhau với kích thước của tam giác là bất kỳ.
Gọi tam giác ACB là một tam giác vuông, với góc vuông nằm tại đỉnh C, như ở hình bên. Vẽ đường cao tam giác từ điểm C, và gọi H là chân đường cao nằm trên cạnh AB. Điểm H chia chiều dài cạnh huyền c thành hai đoạn AH và BH. Tam giác mới ACH đồng dạng với tam ABC, bởi vì chúng đều có góc vuông (như theo định nghĩa của đường cao), và có chung góc tại đỉnh A, điều này có nghĩa rằng góc thứ ba còn lại cũng bằng nhau, ký hiệu θ như trong hình. Lập luận tương tự, tam giác CBH cũng đồng dạng với tam giác ABC. Chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa trên mệnh đề về các góc trong tam giác: tổng các góc trong một tam giác bằng hai lần góc vuông, và tương đương với tiên đề về hai đường thẳng song song. Hai tam giác đồng dạng cho tỉ số của các cạnh tương ứng là bằng nhau:
Tỉ số thứ nhất bằng cosin của góc θ, và tỉ số thứ hai bằng sin của góc này.
Viết lại các tỉ số này
Cộng hai vế của hai đẳng thức
và cuối cùng thu được định lý Pythagoras:
Có nhiều tranh luận xung quanh vai trò của chứng minh này trong lịch sử toán học. Câu hỏi đặt ra là tại sao Euclid đã không sử dụng chứng minh này mà ông đã nghĩ ra một cách khác. Một phỏng đoán cho rằng cách chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng bao gồm định lý về tỉ lệ, một chủ đề không được thảo luận cho đến tận khi ông viết cuốn Cơ sở (Elements), và định lý tỉ lệ cần được phát triển thêm ở thời điểm đó.
Các chứng minh khác > Các chứng minh bằng cách chia hình và sắp xếp lại

Ở trên đã thảo luận về chứng minh định lý Pythagoras dựa trên phương pháp sắp xếp lại hình. Ý tưởng tương tự cũng được sử dụng cho chứng minh mà miêu tả bằng ảnh động ở dưới bên trái, mà ban đầu có một hình vuông lớn với cạnh bằng a + b, bên trong nó chứa bốn tam giác vuông bằng nhau. Sau đó ảnh động cho thấy các tam giác có hai cách sắp xếp vị trí khác nhau, cách đầu tiên thu được hai hình vuông có cạnh lần lượt là a2 và b2, cách thứ hai chỉ thu được một hình vuông có cạnh c2. Bởi vì hình vuông bao ngoài không thay đổi, và diện tích của bốn tam giác là như nhau ở hai cách sắp xếp hình, do vậy các hình vuông màu đen sẽ phải có diện tích bằng nhau, cho nên a2 + b2 = c2.
Cách chứng minh thứ hai bằng cách sắp xếp lại hình được minh họa ở ảnh động thứ hai. Một hình vuông lớn có diện tích c2 được hình thành từ bốn tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và c bao quanh một hình vuông nhỏ ở trung tâm. Sau đó sắp xếp lại hình để thu được hai hình chữ nhật có các cạnh tương ứng a và b bằng cách di chuyển các tam giác. Kết hợp hình vuông nhỏ với hai hình chữ nhật này tạo thành hai hình vuông có diện tích tương ứng là a2 và b2, mà chúng phải có cùng diện tích với hình vuông lớn ban đầu.
Cách thứ ba được miêu tả ở ảnh động ngoài cùng. Hai hình vuông bên trên được chia thành các mảnh với màu lục và lam khác nhau, khi sắp xếp các mảnh này lại có thể đặt vừa vào trong hình vuông ở dưới với cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông – hoặc ngược lại, hình vuông lớn ở dưới có thể chia thành các mảnh nhỏ mà sau khi sắp xếp lại các mảnh nhỏ này có thể đặt vừa vào trong hai hình vuông nằm trên hai cạnh góc vuông. Cách cắt một hình thành các phần nhỏ và sắp xếp chúng lại để thu được một hình khác gọi là bài toán phân chia (dissection problem). Từ đó đi đến kết luận là diện tích của hình vuông lớn phải bằng tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Ảnh động chứng minh bằng cách sắp xếp lại bốn hình tam giác vuông. | Ảnh động minh họa một cách sắp xếp khác. | Chứng minh sử dụng phương pháp phân chia. |
Các chứng minh khác > Chứng minh của Einstein bằng phân tích lập luận

Albert Einstein lúc 11 tuổi đã đưa ra một chứng minh bằng cách phân chia mà không cần thiết phải di chuyển sắp xếp lại các hình. Thay vì sử dụng một hình vuông trên cạnh huyền và hai hình vuông trên hai cạnh kề, ông sử dụng một hình khác bao gồm cạnh huyền, và hai hình đồng dạng mà bao gồm một trong hai cạnh kề thay cho cạnh huyền. Trong chứng minh của Einstein, hình bao gồm cạnh huyền chính là tam giác vuông lớn ban đầu. Thực hiện phân chia tam giác này bằng cách hạ đường cao từ đỉnh của góc vuông xuống cạnh huyền, chia tam giác vuông thành hai tam giác vuông nhỏ hơn. Hai tam giác vuông này đồng dạng với tam giác vuông ban đầu, và có cạnh huyền là cạnh góc vuông của tam giác ban đầu, và tổng diện tích của chúng bằng diện tích tam giác ban đầu. Bởi vì tỉ số diện tích của một tam giác vuông với diện tích của một hình vuông dựng trên cạnh huyền của nó là bằng nhau đối với các tam giác đồng dạng, mối liên hệ giữa diện tích của ba tam giác cũng thỏa mãn cho các hình vuông dựng tương ứng trên các cạnh của hình vuông lớn.
Các chứng minh khác > Các chứng minh bằng đại số

Có thể chứng minh định lý bằng phương pháp đại số sử dụng bốn tam giác vuông bằng nhau có cạnh a, b và c, chúng được xếp trong một hình vuông cạnh c như ở hình phía trên của hai hình bên cạnh. Các tam giác có cùng diện tích  {\tfrac {1}{2}}ab, trong khi hình vuông nhỏ có cạnh b − a và diện tích (b − a)2. Diện tích của hình vuông lớn sẽ là: (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.
Mà hình vuông này có cạnh là c và diện tích bằng c2, do vậy
Chứng minh tương tự sử dụng bốn tam giác vuông bằng nhau xếp đối xứng xung quanh một hình vuông cạnh c, như ở hình phía dưới. Kết quả cho một hình vuông lớn hơn, với cạnh a + b và diện tích (a + b)2. Bốn tam giác và hình vuông cạnh c phải bằng diện tích của hình vuông lớn hơn,
từ đó
Trước khi trở thành tổng thống Hoa Kỳ, James A. Garfield (khi ấy là Hạ nghị sĩ) đã đưa ra một cách chứng minh cho định lý Pythagoras. Thay vì sử dụng một hình vuông ông lại sử dụng hình thang, mà được dựng từ hình vuông trong chứng minh thứ hai ở trên bằng cách chia theo đường chéo của hình vuông bên trong, sẽ thu được hình thang như ở hình vẽ bên cạnh. Diện tích của hình thang khi đó bằng một nửa hình vuông, và bằng
Hình vuông bên trong cũng bị chia một nửa diện tích, và chỉ có hai tam giác vuông còn lại nên có đẳng thức:
Sau khi thu gọn đẳng thức có được điều phải chứng minh.
Các chứng minh khác > Chứng minh sử dụng vi tích phân

Có thể đi đến định lý Pythagoras bằng cách nghiên cứu sự thay đổi của một cạnh kề tạo ra thay đổi như thế nào đối với cạnh huyền và áp dụng phương pháp vi tích phân.
Tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC. Tại thời điểm ban đầu, cạnh huyền có độ dài y, cạnh kề AC có độ dài x và cạnh AB có độ dài a, như chỉ ra ở hình vẽ bên dưới.
Sau đó, nếu x dài thêm một lượng vi phân dx bằng cách kéo dài AC một đoạn vô cùng ngắn về điểm D, thì y cũng tăng tương ứng một lượng vi phân dy. Chúng tạo thành hai cạnh của một tam giác, CDE, trong đó (với E được chọn sao cho CE vuông góc với cạnh huyền) nó là tam giác gần đồng dạng với ABC. Do vậy tỉ số giữa các cạnh phải xấp xỉ bằng nhau, tức là:
Viết lại biểu thức thành  y\,dy=x\,dx, hay chính là phương trình vi phân mà giải được bằng cách lấy tích phân hai vế:
thu được
Hằng số tích phân được chọn khi cho x = 0, thì y = a do đó có phương trình
Chứng minh trên chỉ được trình bày một cách trực quan cho dễ hiểu mà thôi. Nếu muốn chặt chẽ (nhưng sẽ khó đọc hơn với người không chuyên ngành vi tích phân), ta có thể dễ dàng viết lại chứng minh này bằng cách thay tích phân không xác định bằng tích phân xác định.