Georg Cantor
Triết học, tôn giáo với toán học Cantor

Quan niệm về sự tồn tại của một vô hạn thực là một vấn đề quan trọng được các lĩnh vực toán học, triết học và tôn giáo cùng quan tâm. Bảo vệ tính chính thống của mối quan hệ giữa Chúa Trời và toán học, mặc dù không giống cách của những người chỉ trích mình, là một mối quan tâm dai dẳng của Cantor. Ông trực tiếp nhắc đến sự giao thoa giữa các lĩnh vực trên trong lời giới thiệu Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, trong đó ông nhấn mạnh mối liên hệ giữa quan điểm về cái vô hạn với ý tưởng triết học về nó của ông. Đối với Cantor, những quan điểm toán học của ông gắn bó nội tại với những ngụ ý triết học và thần học của chúng; ông đồng nhất cái Vô hạn Tuyệt đối với Chúa Trời và ông xem công trình về số siêu hạn của minh đã được mặc khải cho ông trực tiếp từ Chúa-đấng chọn Cantor để hiển lộ chúng cho thế giới.
Tranh cãi giữa các nhà toán học nảy sinh từ những quan điểm đối lập trong triết học toán học liên quan tới bản chất của vô hạn thực. Một vài người giữ quan điểm rằng vô hạn là một sự trừu tượng hóa không hợp thức về mặt toán học, và từ chối sự tồn tại của nó. Các nhà toán học từ ba trường phái tư tưởng chính (cấu trúc luận và hai nhánh của nó, trực giác luận và hữu hạn luận) phản đối lý thuyết của Cantor về vấn đề này. Đối với những nhà cấu trúc luận như Kronecker, sự bác bỏ vô hạn thực nảy sinh từ sự bất đồng căn bản với ý tưởng rằng những phép chứng minh phi cấu trúc như lập luận chéo của Cantor là đủ để đảm bảo sự tồn tại của cái gì đó. Thuyết trực giác cũng phản đối ý tưởng rằng vô hạn thực là biểu diễn của bất kỳ loại hiện thực nào, nhưng từ một con đường khác. Thứ nhất, lập luận của Cantor dùng logic để chứng minh sự tồn tại của số siêu hạn như một thực thể toán học thực, trong khi những người theo thuyết trực giác cho rằng các thực thể toán học không thể quy giảm về các mệnh đề logic, mà phải bắt nguồn từ trực giác của tâm thức. Thứ hai, cách định nghĩa cái vô hạn của Cantor tự nó đã không được phép trong trực giác luận, bởi vì tâm thức con người không thể xây dựng bằng trực giác một tập vô hạn. Brouwer và đặc biệt là Poincaré tiêu biểu cho lập trường trực giác luận chống Cantor. Trích dẫn những nghịch lý của lý thuyết tập hợp như ví dụ về bản chất sai lầm cơ bản của nó, Poincaré đòi hỏi "hầu hết những ý tưởng của lý thuyết tập hợp Cantor cần bị loại bỏ khỏi toán học một lần và mãi mãi." Cuối cùng, đòn tấn công của Wittgenstein có tính hữu hạn luận: ông tin rằng lập luận chéo của Cantor đúc kết thành một cường độ của một tập hợp các bản số hay số thực với trương độ của nó, và do đó tạo thành quan niệm về những nguyên tắc tạo ra một tập hợp với một tập hợp có thực, điều ông không chấp nhận.
Một số nhà thần học Thiên Chúa giáo xem công trình của Cantor là thách thức với tính duy nhất của cái vô hạn tuyệt đối trong bản chất của Chúa. Đặc biệt, các nhà tư tưởng Tân kinh viện nhìn thấy sự tồn tại của một vô hạn thực hàm chứa gì đó hơn là Chúa khi hủy hoại "tuyên bố độc nhất về vô hạn tối thượng của Chúa." Cantor tin tưởng mạnh mẽ rằng quan điểm này là một sự diễn dịch sai lầm về cái vô hạn, và cho rằng lý thuyết tập hợp có thể giúp hiệu chỉnh sai lầm này:
... các số siêu hạn chỉ nhiều đúng bằng trong sự sắp đặt của những ý định của Đấng Sáng tạo và ý chí không bị trói buộc vô hạn của Ngài như là những số hữu hạn.
Cantor cũng tin rằng lý thuyết của ông có thể đối lập với cả chủ nghĩa duy vật và quyết định luận; và ông bị sốc khi nhận ra mình là người duy nhất ở Đại học Halle không tin vào các niềm tin triết học tất định luận.
Năm 1888, Cantor công bố thư từ của ông với một số triết gia về những ngụ ý triết học của lý thuyết tập hợp. Trong một nỗ lực lớn nhằm thuyết phục các nhà tư tưởng và giới chức Cơ đốc khác như Tilman Pesch và Joseph Hontheim, cũng như các nhà thần học như Hồng y Johannes Franzelin, người từng đáp trả bằng việc đặt ngang hàng lý thuyết về số siêu hạn với thuyết phiếm thần. Cantor thậm chí còn gửi thư trực tiếp tới Giáo hoàng Lêô XIII, và gửi nhiều tiểu luận tới ông.
Triết lý của Cantor về bản chất của các con số dẫn ông tới chỗ khẳng định một xác tín rằng toán học có tự do để thừa nhận và chứng minh những quan niệm nằm ngoài địa hạt của các hiện tượng vật lý, như những cách biểu diễn của một thực thể bên trong. Giới hạn duy nhất của hệ thống siêu hình này là tất cả các quan niệm toán học phải không chứa mâu thuẫn nội tại, và rằng chúng tuân theo những định nghĩa, tiên đề, định lý đã có từ trước. Niềm tin này được tổng kết trong khẳng định nổi tiếng của ông rằng "bản chất tối hậu của toán học là sự tự do của nó." Những ý tưởng này tương tự như của Edmund Husserl. Trong khi đó, tự thân Cantor lại chống đối kịch liệt những đại lượng vô cùng bé, mô tả chúng là một "điều ghê tởm", "một thứ vi khuẩn tả của toán học".
Bài báo năm 1883 của Cantor chứng tỏ rằng ông khá quan tâm tới nhưng sự phản đối mà ý tưởng của ông vấp phải: "Tôi nhận ra rằng trong công cuộc này tôi đặt mình vào một sự đối lập nào đó với những quan điểm được thừa nhận rộng rãi liên quan tới cái vô hạn trong toán học và với những ý kiến thường xuyên được bảo vệ về bản chất các con số". Do đó ông dành nhiều thời gian để chứng minh các công trình trước đây của mình, khẳng định rằng các khái niệm toán học có thể được tự do đưa ra chừng nào chúng không có mâu thuẫn và xác định trong những quan niệm đã được chấp nhận từ trước. Ông cũng trích dẫn Aristotle, Descartes, Berkeley, Leibniz, và Bolzano bàn về tuyệt đối.