Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng > Đạo hàm hiệp biến và ký hiệu Christoffel

Khi xây dựng một toán tử vi phân mới nhằm mở rộng khái niệm đạo hàm từng phần sang cho không thời gian cong, chúng ta đã biết nó phải có tính chất chính xác gì. Đó là, khi tác dụng lên một tenxơ, toán tử vi phân mới này sẽ phải cho kết quả là một tenxơ mới. Đạo hàm từng phần chỉ thỏa mãn tính chất này đối với các phép biến đổi tọa độ tuyến tính. Tuy nhiên, dưới những điều kiện tổng quát hơn, chẳng hạn cho các biến đổi phi tuyến, kết quả của đạo hàm riêng không có tính chất giống như tenxơ. Ví dụ, xét biến đổi
rồi thực hiện đạo hàm riêng đối với hệ tọa độ mới  \{x^{{\mu }'}\} ta có
Nếu biến đổi tọa độ  \{x^{\mu }\}\rightarrow \{x^{{\mu }'}\} là phi tuyến, thì số hạng thứ hai trong vế phải của phương trình (1.150) sẽ không triệt tiêu và đạo hàm riêng của các thành phần vectơ sẽ không biến đổi như một tenxơ. Thật may là việc xây dựng một toán tử vi phân với những tính chất đòi hỏi là không quá khó và chúng ta có thể bắt đầu bằng cách xét một trường vectơ  {\boldsymbol {U}} và một tập vectơ cơ sở  \{{\boldsymbol {e}}_{\mu }\} mà biểu diễn các thành phần của trường vectơ trên đó,  {\boldsymbol {U}}=U^{\mu }{\boldsymbol {e}}_{\mu } (xem phương trình (36)). Sau đó thực hiện tính đạo hàm
mà chúng ta có thể coi số hạng  \partial _{\nu }{\boldsymbol {e}}_{\mu } như là một vectơ được viết trong cùng một hệ cơ sở vectơ  \{{\boldsymbol {e}}_{\mu }\} hay
mà ở đây dễ dàng nhận ra rằng hệ số  \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda } bị triệt tiêu trong không thời gian phẳng phủ bởi hệ tọa độ Descartes do trong trường hợp này vectơ cơ sở là không thay đổi. Chú ý rằng, nếu trong cùng một không thời gian phẳng mà được bao phủ bằng một hệ tọa độ khác, ví dụ như hệ tọa độ cầu, thì các hệ số này lại không bị triệt tiêu hoàn toàn. Và từ sự triệt tiêu của các hệ số  \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda } chưa chắc đã kết luận được đó là không thời gian phẳng hay không. Kết hợp phương trình (151) với (152) ta có
do vậy các thành phần của trường vectơ  \partial _{\nu }{\boldsymbol {U}}, biểu thức nằm trong dấu ngoặc của phương trình thứ hai trong (153), xác định lên đạo hàm hiệp biến của  U^{\mu }
Hệ số  \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu } được gọi là hệ số liên thông aphin hay ký hiệu Christoffel (mang tên của Elwin Bruno Christoffel), chúng không phải là tenxơ do chúng biến mất trong những hệ tọa độ cụ thể (ví dụ như hệ tọa độ Descartes trong không thời gian phẳng) trong khi chúng khác 0 trong hệ tọa độ khác. Thật vậy, có thể dễ dàng chứng minh được rằng dưới phép biến đổi tọa tổng quát ký hiệu Christoffel biến đổi theo
mà nó chỉ hoạt động như một tenxơ khi biến đổi là tuyến tính, như phép biến đổi Lorentz. Mặt khác, đạo hàm hiệp biến định nghĩa từ phương trình (154) cho phép xác định các thành phần của một tenxơ vì chúng đã được xây dựng để biểu diễn các thành phần của một trường vectơ trong (153). Cũng chú ý rằng vì hàm vô hướng không thể phân tích theo các thành phần của hệ vectơ cơ sở cho nên đạo hàm hiệp biến của hàm vô hướng  \phi  trùng với đạo hàm riêng
Bây giờ có thể sử dụng tính chất (156) và định nghĩa (154) của đạo hàm hiệp biến của vectơ phản biến  U^{\mu } để thu được đạo hàm hiệp biến của vectơ hiệp biến  U_{\mu }
Các thao tác tương tự cho phép tính được đạo hàm hiệp biến của một tenxơ hỗn hợp loại bất kỳ. Ví dụ, đối với ten xơ kiểu (1,1) và (0,2)
Có một điểm thú vị đó là nếu quay trở lại định luật biến đổi (155) sẽ thấy thành phần phản xứng của ký hiệu Christoffel  \Gamma _{[\mu \nu ]}^{\gamma } là một tenxơ. Hơn nữa, khi xét tới cơ sở tọa độ, thành phần phản xứng của ký hiệu Christoffel được sử dụng để định nghĩa một tenxơ gọi là tenxơ xoắn (torsion tensor):
Trong phát biểu ban đầu, Einstein đã giả sử không thời gian có các liên thông xoắn tự do (torsion-free) hay tenxơ xoắn bằng 0. Trong lý thuyết Einstein–Cartan, Cartan đã thử giới thiệu tenxơ xoắn thông qua spin mật độ của các hạt cơ bản. Tuy nhiên, trong những phần sau chỉ xét tới không thời gian có tenxơ xoắn bằng 0, hay ký hiệu Christoffel là đối xứng theo các chỉ số hiệp biến của nó. Điều này hàm ý, ví dụ, trong đạo hàm Lie (138) có thể thay thế đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến
và thu được mối liên hệ quan trọng giữa đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến. Do có thể viết đạo hàm hiệp biến của một vectơ  {\boldsymbol {A}} tổng quát thành hai dạng tương đương
Cũng vì đạo hàm hiệp biến của một vectơ là một tenxơ, có thể thực hiện việc nâng và hạ chỉ số thông qua tenxơ mêtric và đạo hàm hiệp biến trong (162) viết thành
Từ hai phương trình (162) và (163) dẫn tới một tính chất quan trọng của tenxơ mêtric
Tính bất biến của mêtric với đạo hàm hiệp biến được ứng dụng để tính các ký hiệu Christoffel hoàn toàn theo các thành phần của tenxơ mêtric. Thật vậy, từ các bước tính toán trực tiếp từ (164) thông qua phương trình (159) chúng ta tìm được
Dạng đạo hàm hiệp biến của 4-vectơ trong (157) và biểu thức hiển cho ký hiệu Christoffel trong (165) cho phép suy luận ra một đẳng thức quan trọng của bốn-phân kỳ của một vectơ
mà ở đây  g:=det(g_{\mu \nu } và chúng ta đã áp dụng tính chất của ký hiệu Christoffel với hai chỉ số được thu gọn
Biểu thức (166) còn được gọi là công thức phân kỳ và việc tính toán đơn giản đi đáng kể vì nó chỉ chứa đạo hàm riêng.
Trong trường hợp nói chung, bởi vì đối với mỗi giá trị của một chỉ số bên trên sẽ có 10 cặp giá trị khác nhau của hai chỉ số bên dưới do vậy sẽ có 40 giá trị khác nhau của  \Gamma _{\mu \nu }^{\gamma }, tuy thế không phải tất cả các giá trị này đều độc lập với nhau. Sự triệt tiêu của các ký hiệu Christoffel cũng là một tính chất quan trọng cần lưu ý. Giả sử rằng các ký hiệu Christoffel trong hệ tọa độ  x^{\mu } tại điểm x0 khác không,  \Gamma _{\lambda \kappa }^{\mu }(x_{0})\neq 0. Có thể chỉ ra rằng nếu thực hiện phép biến đổi như sau
thì các ký hiệu Christoffel trong hệ tọa độ mới triệt tiêu tại điểm x'0 hay  \Gamma _{{\lambda }'{\kappa }'}^{{\mu }'}(x'_{0})=0. Kết quả này không quá gây ngạc nhiên bởi vì như đã nêu ở phần trước không thời gian cong có thể coi là phẳng trên phạm vi cục bộ và các hệ số Christoffel có thể triệt tiêu tại bất kỳ các điểm lân cận nào. Sự triệt tiêu của các ký hiệu Christoffel hàm ý rằng dạng công thức của mêtric cho không thời gian phẳng cục bộ đã được tìm thấy tại điểm đó. Tuy nhiên, điều quan trọng là trong không thời gian cong tính chất này không thể mở rộng ra cho mọi điểm, do vậy một phép biến đổi tọa độ kiểu (168) sẽ cho các hệ số Christoffel khác 0 tại những điểm khác x'0. Một lần nữa, tính chất cơ bản này chính là sự thể hiện của nguyên lý tương đương và khả năng chọn được một hệ quy chiếu cục bộ mà nó trở thành hệ quy chiếu quán tính và hệ tương đương với hệ quy chiếu rơi tự do. Hệ quy chiếu cục bộ này không thể mở rộng ra toàn bộ đa tạp được.