stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Gabriel Fauré
Một số tác phẩm

Fauré để lại các vở opera Prométhée (1900), Pénélope (1913), bản Requiem (1887), nhạc cho vở kịch của Alexandre Dumas (1888), Shylok của Hauraucourt (vở kịch dựa trên tác phẩm của William Shakespeare) (1889), những tác phẩm cho dàn nhạc, đáng chú ý có Pavane (1887), tổ khúc Pelléas và Mélisande trích từ âm nhạc của kịch nói của Maerterlinck (1898), bản Những mặt nạ và những điệu nhảy vùng Bergamo (1919), những tác phẩm cho dàn đồng diễn khí nhạc thính phòng gồm có tam tấu, tứ tấu, ngũ tấu, hai bản sonata cho violin và piano (1876, 1921), 13 bản norturne, 13 bản bacarolle, những liên khúc romance, những hợp xướng.
Chú thích

1 2 3  Từ điển tác giả, tác phẩm âm nhạc phổ thông, Vũ Tự Lân, xuất bản năm 2007
Chữ ký của Gabriel Fauré
Bragança (tỉnh)

| --- | --- |
Bragança

Tỉnh (Distrito)

 Nhà của thống đốc dân sự trong tỉnh lỵ Bragança 
Tên chính thức: Distrito de Bragança


Quốc gia:  Bồ Đào Nha
Region: Norte
Subregion: Alto Trás-os-Montes
Tỉnh lịch sử: Trás-os-Montes e Alto Douro
Tỉnh: Bragança


Số khu tự quản: Alfândega da Fé, Bragança, Carrazeda de Ansiães, Freixo de Espada à Cinta, Macedo de Cavaleiros, Miranda do Douro, Mirandela, Mogadouro, Moncorvo, Vila Flor, Vimioso, Vinhais
Giáo khu: 299
Các sông: Sông Douro, Sông Sabor, Sông Tua


Thủ phủ:  Bragança 
 - Trung tâm: Bragança
 - Cao độ: 679 m (2.228 ft)
 - Tọa độ:  41°48′26″B 6°45′33″T﻿ / ﻿41,80722°B 6,75917°T﻿ / 41.80722; -6.75917
Điểm cao nhất: Serra de Montesinho
 - Vị trí: Montesinho Natural Park, França, Bragança
 - cao độ: 1.492 m (4.895 ft)


Dân số: 136,252 (2011)


Chính quyền: 
 - vị trí: Governo Civil do Distrito de Bragança, Largo de São João, Santa Maria, Bragança
 - cao độ: 649 m (2.129 ft)
 - tọa độ:  41°48′21″B 6°45′2″Đ﻿ / ﻿41,80583°B 6,75056°Đ﻿ / 41.80583; 6.75056
Đại diện (số ghế): Đại diện trong quốc hội 3
Thống đốc dân sự: Jorge Manuel Nogueiro Gomes


Múi giờ: WET (UTC0)
 - Giờ mùa hè: WEST (UTC+1)
Mã ISO 3166-2: PT-04
Mã khu vực: (+351) 273 XXX XXX
ccTLD: .pt


Đơn vị tiền tệ: Euro (€)
Đnjh dạng ngày tháng: dd-mm-yyyy
Lái xe: bên phải


 Vị trí tỉnh Bragança trong Bồ Đào Nha 
Wikimedia Commons:  Bragança (district)
Website:  http://www.gov-civil-braganca.pt/


Số liệu thống kê từ INE (2001); chi tiết địa lý từ Instituto Geográfico Português (2010)

Tỉnh Bragança (phát âm tiếng Bồ Đào Nha: [bɾɐˈɣɐ̃sɐ]; tiếng Bồ Đào Nha: Distrito de Bragança; Bản mẫu:Lang-mwl) là một tỉnh của Bồ Đào Nha. Thủ phủ tỉnh đóng tại thành phố Bragança. Dân số tỉnh này là 136.252 người (năm 2011), tỉnh có diện tích 6.608 km². Tỉnh tọa lạc ở góc phía đông bắc biên giới với các vùng Galicia và Castilla và León của Tây Ban Nha, chiếm 7,4% đất của lục địa Bồ Đào Nha. Thủ phủ tỉnh, Bragança, có cự ly 217 km từ Porto, thành phố lớn thứ hai ở Bồ Đào Nha, và 107 km và 169 km so với các thị xã Tây Ban Nha của Zamora và Salamanca. Về hành chính, tỉnh Bragança được chia thành mười hai khu tự quản và 299 giáo.
Các khu tự quản

Tỉnh gồm 12 khu tự quản:
Alfândega da Fé
Bragança
Carrazeda de Ansiães
Freixo de Espada à Cinta
Macedo de Cavaleiros
Miranda do Douro
Mirandela
Mogadouro
Moncorvo
Vila Flor
Vimioso
Vinhais
Phương ngữ Vlaanderen

| Tiếng Flemish |
| --- | --- |
Vlaams
Vlaams
Sử dụng tại: Bỉ, Hà Lan, Pháp
Khu vực: Flanders, Zeelandic Flanders, French Flanders
Tổng số người nói: 6,5 triệu
Phân loại: Ấn-ÂuGermanGerman TâyHạ FrankenTiếng Hà LanTiếng Flemish
Phương ngữ: Flemish Tây Flemish Đông Flemish Pháp                 
Mã ngôn ngữ
ISO 639-1: nl
dut (B) nld (T)
ISO 639-3: nld Dutch
Glottolog: dutc1256  Dutch
Ngôn ngữ chính thức ở Bỉ: Tiếng Hà Lan (vàng), tiếng Pháp (đỏ) và tiếng Đức (xanh). Brussels là vùng song ngữ mà cả tiếng Hà Lan và Pháp đều là chính thức.
Bản đồ thể hiện các phương ngữ trong Benelux: nhiều người ở Flanders nói một phương ngữ hay tiếng Flemish thông thường và hiểu người nói tiếng Hà Lan; khi viết phương ngữ ít được sử dụng và Flemish và tiếng Hà Lan hầu như giống hệt
Flemish hay tiếng Hà Lan-Bỉ (Belgisch-Nederlands [ˈbɛl̪ɣ̟is̪ ˈn̪eːd̪ərl̪ɑn̪t̪s̪] Tập tin:Nl-Belgisch-Nederlands.ogg, hay Vlaams) là tiếng Hà Lan được nói ở Vlaanderen, miền bắc nước Bỉ, dù chính thức (trong trường học, chính phủ hoặc truyền thông hay không chính thức (trong lời nói hàng ngày, "nl [tussentaal]" [ˈtʏsə(n)ˌtaːɫ]). Có bốn phương ngữ tiếng Hà Lan chính ở Flanders: Brabantia, Flemish Đông, Flemish Tây, và Tiếng Limburg. Hai cái sau đôi khi được coi là ngôn ngữ riêng.
Hieuthuhai

| Hieuthuhai |
| --- | --- |
Hieuthuhai vào năm 2020
Sinh: Trần Minh Hiếu 28 tháng 9, 1999 (25 tuổi) Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam
Quốc tịch:  Việt Nam
Tên khác: HIEUTHUHAI
Dân tộc: Kinh
Trường lớp: Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu   Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh
Nghề nghiệp:  Rapper  Ca sĩ kiêm sáng tác nhạc 
Năm hoạt động: 2018−nay
Chiều cao: 1,78 m (5 ft 10 in)
Website: Hieuthuhai trên Instagram Hieuthuhai trên Facebook
Sự nghiệp âm nhạc
Thể loại:  Hip hop  V-pop 
Nhạc cụ:  Giọng hát 
 
Trần Minh Hiếu (sinh ngày 28 tháng 9 năm 1999), thường được biết đến với nghệ danh Hieuthuhai (viết cách điệu là HIEUTHUHAI hay cách viết khác là hieuthuhai), là một nam rapper và ca sĩ kiêm sáng tác nhạc người Việt Nam. Anh là thành viên của tổ đội Gerdnang.
Anh bắt đầu trở nên nổi tiếng sau khi tham gia chương trình Thế giới Rap – King of Rap mùa đầu tiên. Ngoài ra, anh cũng là thành viên chính trong chương trình truyền hình thực tế 2 ngày 1 đêm. Anh đã được đề cử Ca sĩ đột phá Giải thưởng Làn Sóng Xanh 2022. Năm 2024, anh tham gia chương trình Anh trai "say hi" mùa đầu tiên và giành được giải thưởng "Đội trưởng tài năng" cùng ngôi vị quán quân của chương trình.
Cuộc đời và sự nghiệp

Trần Minh Hiếu sinh ngày 28 tháng 9 năm 1999 tại Thành phố Hồ Chí Minh và là một sinh viên khoa Kinh doanh quốc tế của Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh (UEH). Chia sẻ về nghệ danh, anh kể lại, "Trong lớp lúc nào cũng có hai Hiếu, em là thằng Hiếu học ngu, bạn còn lại là Hiếu học giỏi, em tự ái nên em đặt cho em cái tên Hiếu Thứ Hai". Nam rapper khẳng định cách viết nghệ danh của mình là "HIEUTHUHAI" hoặc "hieuthuhai".[cần dẫn nguồn] Anh cũng là một thành viên của Gerdnang – một nhóm rapper trẻ với bốn thành viên bao gồm Hiếu, Negav, Manbo và HURRYKNG; cả ba thường thực hiện những tour diễn tình nguyện hỗ trợ cho trẻ em ở khu vực miền Trung Việt Nam.
Hiếu bắt đầu trở nên nổi tiếng sau khi tham gia chương trình Thế giới Rap – King of Rap vào năm 2020. Theo chia sẻ trên Thể thao và Văn hóa, trước đây, nam rapper chỉ biết trình bày những dòng nhạc nhẹ và mới biết đến rap hai năm trước khi tham gia chương trình. Tại cuộc thi này, anh đã nhận được danh hiệu "Thí sinh được yêu thích nhất" và lọt vào Top 5 chung cuộc; nhiều ca khúc được anh thể hiện trong chương trình như "Chơi", "Bật nhạc lên" (cùng Harmonie)... cũng đã trở nên nổi tiếng. Thậm chí, nam rapper B Ray cũng đã bày tỏ sự thích thú trước ca khúc Bật nhạc lên của Hiếu. Ngoài ra, ca khúc "Cua" – chơi chữ giữa từ "cua" mang nghĩa hành động cua/làm quen người khác và từ "cool" trong tiếng Anh – được anh trình bày trước đó đã được trình bày lại trong chương trình và trở thành tiết mục duy nhất trong chương trình lọt vào top 10 xu hướng và top 50 ca khúc thịnh hành nhất Việt Nam trên nền tảng YouTube bấy giờ.
Trong năm 2022, Hiếu đã cho ra mắt ba ca khúc lần lượt là "Dynamic Duo", "Vệ tinh", và "Ngủ một mình". Anh cũng đã có mặt trong hạng mục Ca sĩ đột phá của Giải thưởng Làn Sóng Xanh và Ca sĩ mới của năm cho Giải thưởng Cống hiến. Chia sẻ về dự định âm nhạc, anh đã xác nhận sẽ ra mắt album đầu tay có tên Ai cũng phải bắt đầu từ đâu đó với 9 ca khúc mô tả những câu chuyện cùng trải nghiệm từ bản thân anh về cuộc sống, nhưng không công bố thời gian ra mắt chính thức. Đồng thời trong khoảng thời gian này, Hiếu đã được xác nhận tham gia vào chương trình truyền hình thực tế 2 ngày 1 đêm và trở thành thành viên trẻ tuổi nhất trong tất cả các thành viên của chương trình. Ở mùa lễ hội, khi tham gia chương trình đã có một phân đoạn anh bị lột sạch quần áo và phải dùng thùng carton để che đã gây tranh cãi trong cộng đồng mạng. Nhiều người đã chỉ trích phía chương trình đã đùa giỡn nhạy cảm và sử dụng hình ảnh của nam rapper để câu view.
Trong tập 4 của bộ phim chiếu mạng Chủ tịch giao hàng do Trường Giang thực hiện vào đầu năm 2023 đã có sự xuất hiện của Hiếu. Đây là bộ phim có sự tham gia diễn xuất lần đầu tiên của anh.
Năm 2024, HIEUTHUHAI được công bố là một trong 30 nam nghệ sĩ tham gia chương trình Anh trai "say hi" mùa đầu tiên. Anh đã giành được danh hiệu quán quân của chương trình và cùng với Rhyder, Đức Phúc, Quang Hùng MasterD và Isaac tạo thành nhóm nhạc chung; bản thân Hiếu cũng nhận giải "Nhóm trưởng được yêu thích nhất" với 20/30 phiếu bình chọn do chính các thí sinh bỏ phiếu.
Tại Rap Việt mùa 4, Hiếu tham gia với tư cách giám khảo khách mời.
Đời tư

Trong một lần phỏng vấn ở chương trình Hát đi chờ chi, Hiếu đã tiết lộ thần tượng của mình là Binz. Anh đã từng có phát ngôn gây tranh cãi khi được đặt tình huống gặp lại người yêu cũ và anh đã trả lời rằng, "Con của anh ai nuôi vậy?". Người hâm mộ đã cho rằng phát ngôn của anh "kém duyên" và thể hiện lối sống "thiếu trách nhiệm trong giới trẻ".
Danh sách đĩa nhạc

Ai cũng phải bắt đầu từ đâu đó (2023)
Danh sách đĩa nhạc > Đĩa đơn

| Năm | Tựa đề | Vị trí xếp hạng cao nhất> VN | Vị trí xếp hạng cao nhất> VNTop Vie. | Chú thích |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2020 | "Cua" | — | — |  |
| 2020 | "Bật nhạc lên" (hợp tác cùng Harmonie) | — | — |  |
| 2020 | "Chơi" (hợp tác cùng Manbo, LvK và Billy100) | — | — |  |
| 2020 | "Sexy4eva" | — | — |  |
| 2020 | "Sinh nhật" (hợp tác cùng Wonderlust) | — | — |  |
| 2021 | "Diệu kỳ Việt Nam" (với Bích Phương, Phúc Du và GDucky) | — | — |  |
| 2021 | "Hít vào thở ra" (với Min) | —c | — |  |
| 2021 | "Nghe như tình yêu" | — | — |  |
| 2021 | "Tết nhớ tới già" (với Trúc Nhân và Bùi Công Nam) | — | — |  |
| 2022 | "Dynamic Duo" (hợp tác cùng HurryKng và Kewtiie) | — | — |  |
| 2022 | "Vệ tinh" (hợp tác cùng Hoàng Tôn và Kewtiie) | — | — |  |
| 2022 | "Ngủ một mình" (hợp tác cùng Negav và Kewtiie) | 1 | 1 |  |
| 2023 | "Không thể say" (với Kewtiie) | — | — |  |
| 2024 | "Trình" (với Kewtiie) | — | — |  |
Chương trình truyền hình

| Năm | Tên chương trình | Mùa/tập phát sóng | Vai trò | Cùng với | Ghi chú |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2020 | Thế giới Rap - King of Rap | Mùa 1 | Thí sinh | ICD, Pháo,... |  |
| 2020 | Gương mặt thân quen | Mùa 8 | Khách mời | Orange |  |
| 2022 | 2 ngày 1 đêm | Mùa 1, mùa Lễ hội | Thành viên chính | Trường Giang, Ngô Kiến Huy, Kiều Minh Tuấn, Lê Dương Bảo Lâm, Cris Phan |  |
| 2023 | Hoa hậu Hòa bình Việt Nam | Năm 2023 | Ca sĩ khách mời | Chi Pu, Lona |  |
| 2023 | 2 ngày 1 đêm | Mùa 2 | Thành viên chính | Trường Giang, Ngô Kiến Huy, Kiều Minh Tuấn, Lê Dương Bảo Lâm, Cris Phan |  |
| 2023 | Rap Việt | Mùa 3 | Khách mời | HURRYKNG |  |
| 2024 | Sóng 24 | Năm 2024 | Co-host | Trấn Thành, Ngô Kiến Huy, Anh Tú |  |
| 2024 | 7 nụ cười xuân | Mùa 7, tập 1-2 | Khách mời | Ngô Kiến Huy, Lê Dương Bảo Lâm |  |
| 2024 | 2 ngày 1 đêm | Mùa 3, mùa Lễ hội | Thành viên chính | Trường Giang, Ngô Kiến Huy, Kiều Minh Tuấn, Lê Dương Bảo Lâm, Cris Phan |  |
| 2024 | Anh trai "say hi" | Mùa 1 | Thí sinh | Trấn Thành và 29 nam nghệ sĩ |  |
| 2024 | Rap Việt | Mùa 4 | Giám khảo khách mời vòng đối đầu | Trấn Thành, Thái VG, JustaTee, Suboi, Karik, BigDaddy, B Ray |  |
| 2024 | Bài hát của chúng ta | Mùa 1, tập 14 | Khách mời | Dương Domic, Song Luân, Jsol,... |  |
Giải thưởng

| Năm | Giải thưởng | Hạng mục | Đề cử | Kết quả | Ghi chú |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2020 | V-Heartbeat 2020 | Nghệ sĩ mới xuất sắc | Bản thân | Đề cử |  |
| 2022 | Giải thưởng Làn Sóng Xanh 2022 | Ca sĩ đột phá | Bản thân | Đề cử |  |
| 2023 | Giải thưởng Làn Sóng Xanh 2023 | Nam ca sĩ của năm | Bản thân | Đề cử |  |
| 2023 | Giải thưởng Làn Sóng Xanh 2023 | Nam ca sĩ được yêu thích nhất | Bản thân | Đoạt giải |  |
| 2023 | Giải thưởng Làn Sóng Xanh 2023 | Top 10 Ca khúc được yêu thích nhất | Ngủ một mình (ft Negav) | Đoạt giải |  |
| 2023 | WeChoice Awards | Ca sĩ/ Rapper có hoạt động đột phá | Bản thân | Đề cử |  |
| 2023 | WeChoice Awards | Nhân vật truyền cảm hứng | Bản thân | Đoạt giải |  |
| 2023 | WeChoice Awards | Đại sứ truyền cảm hứng | Bản thân | Đề cử |  |
| 2023 | WeChoice Awards | Ca sĩ/ Rapper có hoạt động đột phá | Bản thân | Đề cử |  |
| 2023 | WeChoice Awards | E.P/ Album của năm | Ai cũng phải bắt đầu từ đó | Đề cử |  |
| 2024 | Giải thưởng Cống Hiến | Nam ca sĩ của năm | Bản thân | Đề cử |  |
| 2024 | Ngôi sao của năm | Anh trai tài năng | Bản thân | Đề cử |  |
| 2024 | Giải Mai Vàng | Nam ca sĩ - Rapper | HIEUTHUHAI - ca khúc Ngáo ngơ, tác giả: HIEUTHUHAI, ERIK, Anh Tú Atus, JSOL, Orange | Đề cử |  |
| 2024 | Giải thưởng Làn Sóng Xanh | Top 10 ca khúc được yêu thích nhất | Ngáo Ngơ (FOXXX Team, HIEUTHUHAI & Orange - HIEUTHUHAI, Anh Tú Atus, JSOL, ERIK & Orange) | Đoạt giải |  |
| 2024 | Giải thưởng Làn Sóng Xanh | Ca khúc của năm   | Ngáo Ngơ (FOXXX Team, HIEUTHUHAI & Orange - HIEUTHUHAI, Anh Tú Atus, JSOL, ERIK & Orange) | Đề cử |  |
| 2024 | Giải thưởng Làn Sóng Xanh | Ca sĩ/Rapper được yêu thích nhất | Bản thân | Đoạt giải |  |
| 2024 | Giải thưởng Làn Sóng Xanh | Nam ca sĩ/Rapper của năm | Bản thân | Đoạt giải |  |
| 2024 | Ấn tượng VTV | Gương mặt trẻ Ấn tượng (Lĩnh vực Nghệ thuật) | Bản thân | Đề cử |  |
| 2024 | WeChoice Awards | Nghệ sĩ có hoạt động nổi bật | Bản thân | Đề cử |  |
| 2024 | WeChoice Awards | Ca sĩ/ Rapper có hoạt động đột phá | Bản thân | Đề cử |  |
| 2024 | WeChoice Awards | Nhân vật truyền cảm hứng | Bản thân | Đoạt giải |  |
| 2024 | WeChoice Awards | Đại sứ truyền cảm hứng | Bản thân | Đề cử |  |
| 2025 | Giải thưởng Cống Hiến | Nam ca sĩ của năm | Bản thân | Đề cử |  |
Giải thưởng > Vinh danh

Nhận giải Thí sinh được yêu thích nhất & lọt vào top 5 King of Rap.
Nhận giải Quán quân & Nhóm trưởng được yêu thích nhất Anh trai "say hi" mùa 1.
Nhận giải "Gương mặt trẻ nổi bật của năm" tại chương trình Giới thiệu các gương mặt nghệ sĩ tiêu biểu và một số cuốn sách nổi bật trong lĩnh vực nghệ thuật biểu diễn, văn học năm 2024 do Bộ Văn hóa, Thể thao và Du lịch tổ chức.
Nhóm thương

Nhóm tạo từ việc gộp các phần tử của nhóm to hơnBản mẫu:SHORTDESC:Nhóm tạo từ việc gộp các phần tử của nhóm to hơn
Nhóm thương hay nhóm nhân tử là nhóm thu được bằng cách gộp các phần tử tương tự với nhau của nhóm lớn hơn, dùng quan hệ tương đương để bảo toàn một số cấu trúc của nhóm (phần còn lại của cấu trúc bị "mất đi").  Lấy ví dụ, nhóm cyclic môđun n với phép cộng có thể thu được từ nhóm các số nguyên với phép cộng bằng cách chọn ra lớp các phần tử cách nhau bội của n và định nghĩa cấu trúc nhóm trên các lớp đó. Nhóm thương là một phần của lý thuyết nhóm.
Đối với quan hệ tương đẳng trên nhóm, lớp tương đương của phần tử đơn vị luôn là nhóm con chuẩn tắc của nhóm gốc, và các lớp tương đương khác đều là lớp kề của nhóm con chuẩn tắc đó.  Kết quả thương tìm được ký hiệu là  G\,/\,N, trong đó  G là nhóm gốc và   N là nhóm con chuẩn tắc.
Hầu như các tính chất các quan trọng của nhóm thương đều đến từ các phép đồng cấu.  Định lý đẳng cấu đầu tiên phát biểu rằng ảnh của bất cứ nhóm G nào dưới phép đồng cấu luôn đẳng cấu với thương của  G.  Cụ thể hơn, ảnh của  G dưới phép đồng cấu  \varphi :G\rightarrow H đẳng cấu  G\,/\,\ker(\varphi ) trong đó  \ker(\varphi ) ký hiệu nhân của  \varphi .
Thuật ngữ đối ngẫu với nhóm thương là nhóm con, hai nhóm này là cách chính để tạo nhóm nhỏ hơn từ nhóm lớn. Bất kỳ nhóm con chuẩn tắc đều có nhóm thương tương ứng, lấy từ nhóm mẹ bằng cách loại bỏ các phân biệt giữa các phần tử trong nhóm con. Trong lý thuyết phạm trù, nhóm thương là ví dụ của vật thương, đối ngẫu với vật con.
Đối với các vật thương khác, xem vành thương, không gian thương (đại số tuyến tính), không gian thương (tô pô), và tập thương.
Định nghĩa và minh họa

Cho nhóm  G ,nhóm con  H, và  a\in G, ta có thể xét lớp kề trái:  aH:=\left\{ah:h\in H\right\}. lớp kề là lớp của các tập hợp con của một nhóm; Lấy ví dụ, ta có nhóm Abel G của các số nguyên, cùng với phép toán hai ngôi là phép cộng, nhóm con  H của các số nguyên chẵn. Có chính xác hai lớp kề:  0+H, là các số chẵn, và  1+H, là các số lẻ (ở đây ta dùng ký hiệu phép cộng cho phép cộng thông thường thay vì phép nhân).
Thường thì đối với nhóm con  H, ta muốn có một phép toán hai ngôi trên mọi lớp kề khả thi,  \left\{aH:a\in G\right\}. Điều này chỉ khả thi khi  H là nhóm con chuẩn tắc, xem dưới. Nhóm con  N của  G là nhóm con chuẩn tắc khi và chỉ khi nó thỏa mãn đẳng thức  aN=Na với mọi  a\in G. Nhóm con chuẩn tắc của  G thường được ký hiệu là  N.
Định nghĩa và minh họa > Định nghĩa

Gọi  N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm  G . Định nghĩa tập  G\,/\,N là tập các lớp kề trái của  N trong  G . Nghĩa là,  G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}. Bởi phần tử đơn vị  e\in N,  a\in aN, ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên tập các lớp kề  G\,/\,N, như sau: Với mỗi  aN và  bN thuộc  G\,/\,N, tích của  aN và  bN,  (aN)(bN), là  (ab)N. Điều này chỉ đúng khi  (ab)N không phụ thuộc vào cách chọn đại diện  a và  b của mỗi lớp kề trái  aN và  bN. Để chứng minh điều này, giả sử  xN=aN và  yN=bN với một số  x,y,a,b\in G. Khi đó
Điều này dựa vào yếu tố N là nhóm con chuẩn tắc. Ta vẫn còn phải chứng minh điều này không chỉ đủ mà còn cần thiết để định nghĩa phép toán trên G/N.
Để chứng minh nó cần thiết, xét nhóm con  N của  G, ta được cho trước rằng phép toán đã được xác định. Nghĩa là với mọi  xN=aN và  yN=bN, và  x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N.
Đặt  n\in N và  g\in G. Bởi  eN=nN,ta có  gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N.
Bây giờ,  gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N và  g\in G.
Do đó  N là nhóm con chuẩn tắc của  G .
Ta có thể kiểm tra lại rằng phép toán này trên  G\,/\,N luôn kết hợp,  G\,/\,N có phần tử đơn vị  N, và nghịch đảo của phần tử  aN là  a^{-1}N. Do đó, tập  G\,/\,N đi cùng với phép toán định nghĩa bởi  (aN)(bN)=(ab)N tạo thành một nhóm, nhóm thương của  G bởi  N.
Bởi tính chuẩn tắc của  N, lớp kề trái và phải của  N trong  G đều như nhau, và do đó,  G\,/\,N cũng có thể định nghĩa là tập các lớp kề phải của  N trong  G .
Định nghĩa và minh họa > Ví dụ: phép cộng modulo 6

Lấy ví dụ, xét nhóm với phép cộng modulo 6:  G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}. Xét nhóm con  N=\left\{0,3\right\}, nhóm này chuẩn tắc bởi  G là nhóm giao hoán. Khi đó, tập các lớp kề trái chứa ba phần tử sau:
Định nghĩa phép toán ở trên biến tập này thành nhóm thương, và nhóm này đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 3.
Lý do cho tên "Nhóm thương"

Lý do  G\,/\,N được gọi là nhóm thương đến từ phép chia các số nguyên.  Khi chia 12 cho 3 ta được 4, ta có thể nghĩa phép chia này là cách ta nhóm 12 vật thể lại thành 4 họ con, với mỗi họ chứa 3 vật. Nhóm thương cũng lấy ý tưởng từ đó, nhưng thay vì là số thì ta được nhóm và cũng là bởi vì nhóm có nhiều cấu trúc hơn một họ tùy các vật thể.
Các ví dụ khác > Số nguyên chẵn và lẻ

Xét nhóm các số nguyên  \mathbb {Z}  (dưới phép cộng) và nhóm con  2\mathbb {Z}  chứa toàn bộ số chẵn.Đây là nhóm con chuẩn tắc bởi  \mathbb {Z}  giao hoán. Có duy nhất hai lớp kề: tập các số chẵn và tập các số lẻ, do đó nhóm thương  \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}  là nhóm cyclic chứa hai phần tử. Nhóm thương này đẳng cấu với nhóm  \left\{0,1\right\} cùng với phép cộng modulo 2.
Các ví dụ khác > Phần dư của phép chia số nguyên

Ta tổng quát thêm ví dụ trước. Nhóm mẹ vẫn là nhóm các số nguyên  \mathbb {Z}  dưới phép cộng.  Gọi n là số nguyên dương tùy ý. ta sẽ xét nhóm con  n\mathbb {Z}  của  \mathbb {Z}  chứa toàn bộ bội của  n. Một lẫn nữa, nhóm con  n\mathbb {Z}  chuẩn tắc là bởi  \mathbb {Z}  giao hoán. Họ các lớp kề là  \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}. Số nguyên  k thuộc về lớp kề  r+n\mathbb {Z} , trong đó  r là phần dư khi chia  k bởi  n.  Nhóm thương  \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z}  có thể được xem là nhóm các "phần dư" modulo  n. Đây là nhóm cyclic cấp  n.
Các ví dụ khác > Căn đơn vị

Căn đơn vị thứ 12 là tập các số phức nằm trên đường tròn đơn vị và cách đều nhau, tạo thành nhóm nhân giao hoán  G, như trên hình vẽ là 12 quả cầu đã được tô màu. Xét nhóm con  N của nó được tạo tự căn đơn vị thứ 4, là các quả cầu được tô đỏ. Nhóm con chuẩn tắc này chia nhóm thành 3 lớp kề, mỗi lớp chứa 1 trong 3 màu đỏ, xanh lá cây và xanh dương. Ta có thể kiểm tra lại rằng các lớp kề tạo thành nhóm có ba phần tử, (tích của màu đỏ với màu xanh lá cây ra xanh dương, nghịch đảo của phần tử xanh lá cây là phần tử màu đỏ, ...). Do đó nhóm thương  G\,/\,N là nhóm 3 màu sắc, đồng thời là nhóm cyclic cấp 3.
Các ví dụ khác > Ma trận của các số thực

Nếu  G là nhóm các ma trận khả nghịch thực kích thước  3\times 3 ,và  N nhóm con của các ma trận kích thước  3\times 3 có định thức bằng 1, thì  N chuẩn tắc trong  G (bởi nó là hạt nhân của đồng cấu định thức). lớp kề của  N là tập các ma trận với định thức cho trước, do đó  G\,/\,N đẳng cấu nhóm nhân các số thực khác không . Nhóm  N được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt  {\mbox{SL}}(3).
Các ví dụ khác > Nhóm nhân các số nguyên

Xét nhóm nhân  G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }. Tập  N của các phần dư thứ  n là nhóm con đẳng cấu với  (\mathbb {Z} _{n})^{\times }. Khi đó  N chuẩn tắc trong  G và nhóm thương  G\,/\,N có các lớp kề  N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N. Hệ mã hóa Paillier dựa trên giả thuyết rằng ta khó có thể xác định được lớp kề của một phần tử ngẫu nhiên thuộc  G nếu không biết phân tích thừa số nguyên tố của  n.
Các tính chất

Nhóm thương  G\,/\,G đẳng cấu với nhóm tầm thường (nhóm chỉ chứa một phần tử), và  G\,/\,\left\{e\right\} đẳng cấu với  G.
Cấp của  G\,/\,N, định nghĩa là các số phần tử trong nhóm, bằng với  \vert G:N\vert , chỉ số của  N trong  G. Nếu  G hữu hạn, chỉ số này bằng với cấp của  G chia cho cấp của  N. Tập  G\,/\,N có thể hữu hạn dù  G và  N vô hạn (lấy ví dụ,  \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} ).
Có đồng cấu nhóm "tự nhiên" có tính toán ánh  \pi :G\rightarrow G\,/\,N, gửi mỗi phần tử  g thuộc  G sang lớp kề của  N mà  g thuộc về, nghĩa là:  \pi (g)=gN. Ánh xạ  \pi  đôi khi được gọi là phép chiếu chính tắc của  G trên  G\,/\,N. Hạt nhân của nó là  N.
Có song ánh giữa các nhóm con của  G chứa  N và các nhóm con của  G\,/\,N; nếu  H là nhóm con của  G chứa  N, thì nhóm con tương ứng của  G\,/\,N là  \pi (H). Quan hệ này đúng với cả các nhóm con chuẩn tắc của G và  G\,/\,Nvà được chuẩn hóa trọng định lý dàn.
Một số tính chất quan trọng khác của nhóm thương nằm trong định lý cơ bản trên các đồng cấu và các định lý đẳng cấu.
Nếu  G giao hoán, luỹ linh, giải được, cyclic hoặc hữu hạn sinh thì  G\,/\,N cũng vậy.
Nếu  H là nhóm con của nhóm hữu hạn  G, và cấp của  H bằng một nửa của  G, thì  H đảm bảo là nhóm con chuẩn tắc, do vậy tồn tại nhóm  G\,/\,H và nhóm đó đẳng cấu với  C_{2}.  Kết quả này có thể phát biểu thành "mọi nhóm con có chỉ số bằng hai đều chuẩn tắc", và thậm chí nó còn áp dụng cho cả nhóm vô hạn. Hơn nữa, nếu số nguyên tố  p là ước nguyên tố nhỏ nhất của cấp của nhóm hữu hạn  G, thì nếu  G\,/\,H có cấp  p,  H phải là nhóm con chuẩn tắc của  G.
Cho nhóm  G và nhóm con chuẩn tắc  N, khi đó  G là mở rộng nhóm của  G\,/\,N bởi  N. Ta có thể tự hỏi rằng mở rộng này là tầm thường hay phân tích được; nói cách khác, ta muốn biết xem liệu  G có là tích trực tiếp hay nửa trực tiếp của  N và  G\,/\,N. Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán mở rộng. Một ví dụ mà mở rộng nhóm không tách ra được là như sau: Đặt  G=\mathbb {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}, và  N=\left\{0,2\right\},  N đẳng cấu với  \mathbb {Z} _{2}. Khi đó  G\,/\,N cũng đẳng cấu với  \mathbb {Z} _{2}. Song  \mathbb {Z} _{2} chỉ có duy nhất một tự đẳng cấu tầm thường, nên tích nửa trực tiếp duy nhất của  N và  G\,/\,N là tích trực tiếp. Bởi  \mathbb {Z} _{4} khác cấu trúc với  \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}, ta có thể kết luận rằng  G không phải tích nửa trực tiếp của  N và  G\,/\,N
Chú thích

↑  Dummit & Foote (2003, tr. 120)
Lớp kề của nhóm căn đơn vị thứ 4 N trong nhóm căn đơn vị thứ 12 G.