Toán học của thuyết tương đối rộng
Đa tạp không thời gian

Hai bản đồ  trên đa tạp M.  là 2 tập con mở,  là hai ánh xạ địa phương khả vi từ các tập con mở vào không gian Euclid.  của M là tập hợp các bản đồ  sao cho . Giả sử  không rỗng, khi đó ánh xạ chuyển tiếp  xác định bởi .
Thuyết tương đối rộng đề xuất ý tưởng miêu tả các hiện tượng vật lý bằng một tập hợp các sự kiện, tạo thành một thể liên tục (continuum) bốn chiều, gọi là không thời gian. Khái niệm toán học phù hợp nhất để đặc trưng cho không thời gian đó là một đa tạp khả vi  {\mathcal {M}}, một khái niệm kết hợp giữa những khái niệm của không gian tôpô và tính khả vi. Tức là, khi nói đến không thời gian bằng tập hợp các sự kiện, là một không gian tôpô, ta đang cung cấp thông tin về việc bằng cách nào mà những vùng khác nhau của continuum này được liên hệ với nhau. Hơn nữa, như đã rõ ràng khi ta nói về nguyên lý tương đương, thuyết tương đối rộng đòi hỏi rằng các sự kiện khác nhau của không thời gian cho phép các lân cận địa phương không giao nhau (rời nhau). Từ đây, không gian tôpô nhất thiết phải là không gian tôpô Hausdorff. Ngoài cấu trúc tôpô, ta cần trang bị cho không thời gian một cấu trúc vi phân thông qua phép tham số hóa khả vi bằng các tọa độ được gắn cho mỗi sự kiện. Những cách đặt tham số hóa này được thực hiện thông qua các hàm số của lớp  C^{k} với  k\geq 2, mà ánh xạ lân cận địa phương của mỗi sự kiện vào  \mathbb {R} ^{n}. Do vậy một đa tạp khả vi là một không gian tôpô Hausdorff vi phôi địa phương với  \mathbb {R} ^{n}. Ví dụ đơn giản về đa tạp đó là bề mặt của một hình cầu ba chiều ("mặt cầu 2 chiều") hoặc bất kỳ một siêu mặt m chiều nào trong không gian n chiều với  m\leq n.
Có rất nhiều sách và bài viết thảo luận về định nghĩa và tính chất của không gian tôpô và của đa tạp, chẳng hạn Franken 2011, Ch 2 và De Felice & Clarke 1992. Cho những mục đích ứng dụng chúng ta có thể coi  {\mathcal {M}} là "tập hợp chứa các sự kiện được tham số hóa", những thứ tạo nên không thời gian bốn chiều, và các tham số của chúng là những hàm khả vi tới một số bậc nhất định.
Số các tham số độc lập cần thiết để định ra một sự kiện trong  {\mathcal {M}} chính là số chiều của đa tạp và cách chọn những tham số này sẽ biểu diễn cách chọn hệ tọa độ cần thiết để phủ đa tạp, và có vô số cách chọn như thế. Ví dụ, hệ tọa độ sử dụng kinh độ và vĩ độ để xác định vị trí của điểm trên bề mặt Trái Đất. Khi áp dụng, chúng ta cần thiết định nghĩa một quy tắc gán tương ứng một điểm của đa tạp  {\mathcal {M}}, tức là sự kiện, vào không gian thực n chiều  \mathbb {R} ^{n}. Quy tắc này gọi là phép ánh xạ và cách chọn hệ tọa độ tương ứng sẽ phủ một phần hoặc toàn bộ đa tạp không thời gian. Các điểm lưu ý:
Ánh xạ thảo luận ở trên có thể coi là sự gán một - một các điểm trên đa tạp với các điểm của không gian Euclid với số chiều thích hợp. Sự tương ứng này là có ích nhưng phải cẩn thận khi áp dụng. Cụ thể hơn, nó nhấn mạnh rằng ít nhất trên cục bộ (hay địa phương) đa tạp nhìn giống như không gian Euclid. Tuy nhiên nó cũng ẩn chứa thực tế rằng tô pô toàn cục của đa tạp có thể rất khác so với tô pô Euclid. Chẳng hạn đa tạp là bề mặt của hình vòng xuyến: cả bề mặt lẫn tô pô toàn cục của nó khác hẳn so với không gian Euclid, nhưng có thể ánh xạ cục bộ một diện tích nhỏ trên bề mặt vào không gian Euclid, như mặt phẳng tiếp xúc với một điểm trong diện tích này.
Trong khi có vô hạn cách chọn hệ tọa độ để phủ một đa tạp, không phải cách nào cũng cho phương án tốt. Một số hệ tọa độ trong chúng có thể suy biến và khi phân tích toán học nghiệm của phương trình trường Einstein chứa đựng hệ tọa độ cho phép làm nổi bật nhất ý nghĩa vật lý của nghiệm. Lấy ví dụ lần nữa về hệ tọa độ cầu  (\theta ,\phi ) trên mặt cầu 2 chiều. Rõ ràng hệ tọa độ này suy biến tại hai cực của mặt cầu vì có thể ánh xạ những tập vô hạn các giá trị, ví dụ khi  \theta =0,\pi  và  \phi \in [0,2\pi ].
Mỗi hệ tọa độ bao phủ một vùng nhất định của không thời gian gọi là mảnh hay bản đồ, và hai bản đồ có thể có miền giao nhau hoặc không. Atlas của đa tạp là bất kỳ những phép hợp các bản đồ sao cho phép hợp này bao phủ toàn bộ đa tạp.
Như đã nêu ở trên, mộ tính chất cơ bản của đa tạp trong thuyết tương đối rộng đó là chúng có tính khả vi, nghĩa là ánh xạ địa phương từ đa tạp vào  \mathbb {R} ^{n} phải khả vi. Mặt cầu hai chiều là đa tạp khả vi trong khi hình nón thì không, do nó không khả vi tại đỉnh nón vì không tồn tại ánh xạ khả vi từ điểm này vào  \mathbb {R} ^{n}.