Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian trong vật lý thiên văn > Lỗ đen không quay: Nghiệm Schwarzschild

Nghiệm dễ nhất trong số các nghiệm chính xác của phương trình trường Einstein do Karl Schwarzschild tìm ra (1916) chỉ vài tháng sau khi Einstein tìm ra phương trình đúng của thuyết tương đối rộng (tháng 11 năm 1915). Đây là nghiệm cho không thời gian có đối xứng cầu, tĩnh và trong chân không. Nó được biết đến rộng rãi là mêtric Schwarzschild và một định lý quan trọng liên quan tới nó, định lý Birkhoff, được chứng minh vào năm 1923 rằng nghiệm Schwarzschild là nghiệm duy nhất của phương trình trường Einstein cho không thời gian đối xứng cầu trong chân không. Nghiệm Schwarzschild là nghiệm miêu tả không thời gian bên ngoài một ngôi sao tương đối tính đối xứng cầu, độc lập với sự co giãn cầu xuyên tâm của sao.
Trong hệ tọa độ cầu  \{t,r,\theta ,\phi \}, nguyên tố đoạn của mêtric Schwarzschild là
trong đó M là tổng khối lượng-năng lượng của hệ. Chú ý rằng bởi vì không thời gian miêu tả bằng mêtric (221) là cong, hệ tọa độ cầu tương ứng không giống với hệ tọa độ cầu trong không thời gian phẳng. Ví dụ, độ dài riêng của chu vi đường tròn nằm tại r = 0 và trên mặt phẳng  \theta =\pi /2 (đường xích đạo) là  {\mathcal {C}}_{circ}(r)=\oint {\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi  trong khi khoảng cách xuyên tâm riêng (proper radial distance) giữa hai điểm nằm trên hai vỏ xuyên tâm tại các bán kính  r_{1},r_{2} là
từ đó chứng tỏ sự tăng trong khoảng cách xuyên tâm riêng lớn hơn sự tăng trong khoảng cách tọa độ. Hơn nữa, nếu hai sự kiện có cùng tọa độ không gian, tức là  dr=d\phi =d\theta =0 khoảng tọa độ thời gian dt giữa hai sự kiện là khác với khoảng thời gian riêng  d\tau  và tỉ số của chúng bằng
Nói cách khác, tại những khoảng cách hữu hạn từ gốc, tọa độ thời gian chạy chậm hơn so với thời gian riêng. Giả sử có hai đồng hồ nằm tại các khoảng cách r2 > r1, từ mỗi đồng hồ phát ra tín hiệu gửi tới một quan sát viên ở xa vô tận trong cùng một khoảng thời gian dt, nghĩa là
Tỉ số giữa hai thời gian riêng
mà khi chuyển sang tần số mà quan sát viên đo được ta có
Đây chính là hiệu ứng dịch chuyển đỏ do hấp dẫn, photon giảm tần số khi nó di chuyển ra xa khỏi giếng thế hấp dẫn. Vì photon có nguyên tố đoạn đặc trưng ds2 = 0, đối với các photon chuyển động xuyên tâm ta có  dr/dt=\pm (1-2M/r), với dấu + cho photon chuyển động ra bên ngoài và dấu - cho photon chuyển động vào trong. Từ đó, khác với không thời gian phẳng, mà có  dr/dt=\pm 1, tuyến thế giới của các photon trong mặt phẳng (t, r) không còn là những đường thẳng.Thêm vào đó, từ phương trình thứ nhất trong (226) dễ dàng nhận ra rằng khi  r_{1}\rightarrow 2M thì  \nu _{1}/\nu _{2}\rightarrow \infty  hoặc tương đương  \nu _{2}\rightarrow 0. Kết quả này phản ánh tính chất là mặt tại bán kính Schwarzschild, r = 2M, là một mặt đặc biệt nhưng chính quy của nghiệm Schwarzschild, mà photon không thể thoát ra ngoài. Bề mặt này, theo định nghĩa toán học mà tại đó hàm mêtric  g_{tt}=0, tách không thời gian ra thành hai vùng không có liên hệ nhân quả với nhau và được gọi là chân trời sự kiện. Hơn nữa, ánh sáng chỉ có thể đi vào mặt này mà không thể thoát ra được, do vậy nghiệm Schwarzschild còn được gọi là nghiệm miêu tả lỗ đen Schwarzschild.
Chú ý rằng mặc dù trong mêtric (226) nó kỳ dị tại r = 2M, nhưng kỳ dị này chỉ là do sự lựa chọn hệ tọa độ bao phủ không thời gian và nó không phải là kỳ dị vật lý. Nhận ra điều này làm các nhà vật lý thay đổi hiểu biết về mêtric Schwarzschild. Thật vậy, khi tính toán bất biến độ cong (205) cho không thời gian Schwarzschild,  K=48M^{2}/r^{6}, tại r = 2M thu được giá trị hữu hạn và nó chỉ không xác định tại r = 0, và đây chính là kỳ dị vật lý. Các nhà vật lý đã giới thiệu các hệ tọa độ phù hợp để nghiên cứu không thời gian gần chân trời sự kiện, như hệ tọa độ Kruskal, hệ tọa độ Eddington-Filkenstein... đã loại trừ được kỳ dị toán học tại r = 2M.
Chuyển động của hạt thử có khối lượng nghỉ m trong không thời gian Schwarzschild có thể dẫn ra sau khi giải phương trình trắc địa (181). Chi tiết về việc giải phương trình như thế có thể xem trong d'Inverno (1992). Về thực hành, một trong những con đường đơn giản nhất là sử dụng phương pháp biến phân với các số hạng Lagrangian trong (182) và coi thời gian riêng  \tau  như là một tham số aphin
từ đây chúng ta dẫn ra các phương trình Euler–Lagrange sau
Các phương trình (228) và (231) về cơ bản phát biểu rằng có thể bỏ qua được các tọa độ  t,\phi  và cho phép xác định hai hằng số của chuyển động lần lượt là  {\tilde {E}}:=E/m, năng lượng riêng của hạt và,  {\tilde {\ell }}:=p_{\phi } là mômen động lượng phương vị riêng. Thêm vào đó, do đối xứng cầu, chúng ta có thể coi một mặt phẳng quỹ đạo ban đầu bất kỳ nào làm mặt phẳng đường xích đạo hay ban đầu đặt  \theta =\pi /2,\quad \theta /d\tau =0. Từ phương trình (230) có  d^{2}\theta /d\tau ^{2}=0 và  \theta  sẽ vẫn không đổi như mong đợi với chuyển động trong mặt phẳng. Kết quả là, phương trình đường trắc địa cho hạt có khối lượng trong không thời gian Schwarzschild thu gọn thành
Phân tích phương trình (233) giúp làm sáng rõ sự khác biệt giữa lý thuyết của Newton với thuyết tương đối rộng, và có thể viết gọn phương trình (233) thành
mà chúng ta đã định nghĩa thế hiệu dụng V bằng
mà nó trở thành thế hiệu dụng Newton ở khoảng cách lớn tức là
Phương trình xuyên tâm (233) cũng dùng để phân loại các loại quỹ đạo khả dĩ khác nhau và điều này phụ thuộc cơ bản vào số lượng nhiều nhất và nhỏ nhất mà thế năng hữu hiệu (effective potential) sẽ nhận được tương ứng khi cho trước một giá trị của mômen động lượng (nếu  {\tilde {l}}=0 quỹ đạo đơn giản là xuyên tâm và sẽ nối bất kỳ điểm nào với gốc tọa độ). Giả sử rằng, đỗi với mỗi mômen động lượng riêng ta thu được thế hữu hiệu có giá trị địa phương lớn nhất với V>1, và giá trị địa phương nhỏ nhất giống như minh họa trong hình bên trái của hình 1.5, mà tương đương với  {\tilde {l}}/M=4,1. Trong trường hợp này, sử dụng năng lượng riêng như là một tham số cho giảm dần, các trường hợp quỹ đạo có thể là:
Quỹ đạo bắt (capture orbit): Thế hữu hiệu và mức năng lượng hằng số không cắt nhau. Cho dù mômen động lượng lớn đến mức nào, luôn có một giá trị năng lượng làm cho hạt chuyển động tới gốc. Điều này tương phản với lý thuyết Newton, khi thế hữu hiệu trở lên phân kỳ khi  r\rightarrow 0 và cho dù mômen động lượng có nhỏ đến cỡ nào (nhưng khác 0) thì hạt trong quỹ đạo Newton sẽ không bao giờ đạt tới gốc.
Quỹ đạo tròn nhưng không ổn định: Nó nằm tại giá trị địa phương lớn nhất của thế hữu hiệu, rcirc, u với  dr/d\tau =0, chỉ cần một nhiễu loại nhỏ sẽ làm cho hạt di chuyển sang quỹ đạo lớn hơn hoặc nhỏ hơn.
Quỹ đạo hypebol: Quỹ đạo này tương ứng với hạt có mức năng lượng ở xa vô tận lớn hơn 1 di chuyển về gốc cho tới khi đạt tới vị trí xuyên tâm cực tiểu,  dr/d\tau =0, tức là điểm quặt (turning point) rồi sau đó hạt chuyển động ra xa vô tận.
Quỹ đạo parabol: Quỹ đạo này tương ứng với hạt có mức năng lượng ở xa vô tận bằng 1 di chuyển về gốc cho tới khi đạt tới điểm quặt rb. Đối với trường hợp  {\tilde {l}}/M=4 điểm quặt trùng với quỹ đạo tròn không ổn định rcirc, u và nằm tại 4M (xem hình)
Quỹ đạo ellip: tương ứng với quỹ đạo của hạt có mức năng lượng nhỏ hơn 1 mà có hai điểm quặt r1 và r2.
Quỹ đạo tròn ổn định: tương ứng với vị trí cực tiểu của thế hữu hiệu rcirc, s với  dr/d\tau =0 và bất kỳ một nhiễu loạn nhỏ nào tác động tới hạt thì hạt sẽ vẫn trở lại quỹ đạo tròn ổn định.
AAA
Các giá trị của mômen động lượng riêng mà tại đó thế hữu hiệu có cả giá trị địa phương nhỏ nhất và lớn nhất, tức là  \partial _{r}V(r)=0 và vì thế mà cũng tồn tại quỹ đạo tròn, được cho bởi
Để đảm bảo vế phải lớn hơn 0, nên chỉ tồn tại các điểm cực trị với  {\tilde {l}}/M\geq 2{\sqrt {3}}. Thêm vào đó, với  {\tilde {l}}/M=2{\sqrt {3}}\simeq 3,46 các quỹ đạo tròn ổn định và không ổn định trùng nhau, dẫn tới điểm uốn (inflection point) tại bán kính rms = 6M hay còn gọi là bán kính ổn định biên (marginally stable radius). Quỹ đạo tương ứng gọi là quỹ đạo tròn ổn định trong cùng (innermost stable circular orbit) nó biểu thị bán kính nhỏ nhất mà có thể tồn tại một quỹ đạo tròn ổn định, thường đánh dấu cạnh trong cùng của đĩa bồi tụ xung quanh lỗ đen. Cũng có thể xác định quỹ đạo ổn định biên đối với hạt phi khối lượng (chẳng hạn photon) và bằng rph = 3M.
Sự biến đổi của thế hữu hiệu đối với mỗi giá trị mômen động lượng riêng được minh họa trong hình 1.5 bên phải với hình chèn vào thể hiện giá trị của thế hữu hiệu là cực đại (mà trùng với mức năng lượng của quỹ đạo tròn không ổn định) và cho bởi
Đặt Vextr(r) = 1, khi ấy rmb = 4M là bán kính quỹ đạo nhỏ nhất tương ứng với quỹ đạo tròn không ổn định. Một hạt ở xa vô tận ( {\tilde {E}}=1) bắt đầu chuyển động trên quỹ đạo parabol để tới r = rmb nơi nó có thể trên một quỹ đạo tròn nhưng trong trạng thái cân bằng không ổn định.
Tóm lược, các quỹ đạo tròn không ổn định đối với
trong khi quỹ đạo tròn ổn định đối với
Sử dụng phương trình (240) sẽ không khó để ước lượng được mức năng lượng tương ứng của quỹ đạo tròn bên trong ổn định nhất bằng  {\tilde {E}}_{ms}={\sqrt {8/9}}\simeq 0,943 và kết quả đơn giản này gợi ra một kết luận quan trọng: Xét một hạt chuyển từ quỹ đạo tròn sang một quỹ đạo tròn lân cận và bị mất phần năng lượng trong quá trình chuyển tiếp này (ví dụ vật chất trong đĩa bồi tụ quanh lỗ đen). Tổng năng lượng bị mất khi hạt chuyển động xoáy ốc từ khoảng cách xa vô tận tới quỹ đạo bên trong ổn định nhất bằng  \Delta E=(1-{\tilde {E}}_{ms})\approx 0,057, điều này hàm ý rằng hiệu suất biến đổi năng lượng của năng lượng liên kết xấp xỉ bằng 6%. Khi so sánh hiệu suất này với hiệu suất của phản ứng phân hạch hạt nhân (~ 0,1%) hoặc phản ứng tổng hợp hạt nhân (~ 0,4%) rõ ràng là sự bồi tụ vật chất quanh lỗ đen là một trong những quá trình biến đổi năng lượng hiệu quả nhất. Hiệu suất này còn cao hơn đối với lỗ đen quay như nêu ở phần dưới.