Thứ tự yếu
Tiên đề hoá > Thứ tự yếu nghiêm ngặt

Nhắc lại về tính không so sánh được và tính chất bắc cầu của tính không so sánh được
Hai phần tử  x và  y trên  S được gọi là không so sánh được với nhau tương ứng với  \,<\, nếu cả hai  x<y{\text{ và }}y<x đều không đúng. 
Tính không so sánh được tương ứng với  \,<\, chính nó là quan hệ đối xứng và thuần nhất trên  S, quan hệ này có tính phản xạ khi và chỉ khi  \,<\, hoàn toàn không phản xạ (nghĩa là  x<x luôn sai), ta có thể giả định ý này sao cho tính chất bắt cầu là tính chất còn lại "quan hệ không so sánh được" cần có để trở thành quan hệ tương đương. 
Bên cạnh đó, định nghĩa quan hệ thuần nhất được cảm sinh  \,\lesssim \, trên  S bằng cách định nghĩa 
 x\lesssim y{\text{ đúng }}\quad {\text{ khi và chỉ khi }}\quad y<x{\text{ sai}} 
có một điểm quan trọng là, định nghĩa này không nhất thiết phải giống với:  x\lesssim y khi và chỉ khi  x<y{\text{ hoặc }}x=y. 
Hai phần tử  x,y\in S không so sánh được với nhau tương ứng với  \,<\, khi và chỉ khi  x{\text{ và }}y tương đương với nhau tương ứng với quan hệ  \,\lesssim \, (nếu muốn ngắn dòng hơn,  \,\lesssim -tương đương), thì theo định nghĩa, tức là cả hai  x\lesssim y{\text{ và }}y\lesssim x đều đúng. 
Quan hệ "không so sánh được với nhau tương ứng với  \,<" do đó giống hệt với (tức bằng với) quan hệ " \,\lesssim -tương đương với nhau" (do đó, quan hệ trước có tính bắc cầu khi và chỉ khi quan hệ sau có tính bắc cầu) 
Khi  \,<\, hoàn toàn không phản xạ thì "tính chất bắc cầu của tính không so sánh được" (định nghĩa bên dưới) là điều kiện duy nhất cần và đủ để đảm bảo quan hệ " \,\lesssim -tương đương với nhau" tạo thành quan hệ tương đương trên  S. 
Nếu nó quả thật đúng, thì nó cho phép biến bất kỳ hai phần tử  x,y\in S thoả mãn  x\lesssim y{\text{ và }}y\lesssim x về một (tức là chúng đồng nhất với nhau trong lớp tương đương của chúng).
Định nghĩa
Thứ tự yếu nghiêm ngặt trên tập hợp  S là quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt  \,<\, trên  S trong đó quan hệ không so sánh được cảm sinh trên  S bởi  \,<\, là quan hệ bắc cầu. 
Cụ thể, thứ tự yếu nghiêm ngặt trên  S là quan hệ thuần nhất  \,<\, trên  S thoả mãn bốn tính chất sau:
Tính hoàn toàn không phản xạ : Với mọi x\in S, x<x luôn sai.
Điều kiện này chỉ thoả mãn khi quan hệ cảm sinh  \,\lesssim \, trên  S có tính phản xạ, trong đó  \,\lesssim \, được định nghĩa  x\lesssim y đúng khi và chỉ khi  y<x sai.
Tính bắc cầu: Với mọi  x,y,z\in S, nếu  x<y{\text{ và }}y<z thì  x<z.
Tính bất đối xứng: Với mọi  x,y\in S, nếu  x<y đúng thì  y<x sai.
Tính chất bắc cầu của tính không so sánh được : Với mọi x,y,z\in S, nếu x không so sánh được với y (tức là cả x<y và y<x đều sai) và nếu y không so sánh được với z, thì x cũng không so sánh được với z.
Hai phần tử  x{\text{ và }}y không so sánh được với nhau tương ứng với  \,<\, khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau tương ứng với quan hệ cảm sinh  \,\lesssim \, (theo định nghĩa, tức là cả  x\lesssim y{\text{ và }}y\lesssim x đều đúng), trong khi ngay trước đó,  x\lesssim y đúng khi và chỉ khi  y<x sai. Do đó điều kiện này chỉ thoả mãn khi quan hệ đối xứng trên  S định nghĩa bởi " x{\text{ và }}y tương đương với nhau tương ứng với  \,\lesssim \," có tính bắc cầu, nghĩa là mỗi khi cặp  x{\text{ và }}y  \,\lesssim -tương đương với nhau và cặp  y{\text{ và }}z  \,\lesssim -tương đương với nhau thì phải  x{\text{ và }}z  \,\lesssim -tương đương với nhau. Ta cũng có thể phát biểu lại thành: Nếu  x\lesssim y{\text{ và }}y\lesssim x và đồng thời  y\lesssim z{\text{ và }}z\lesssim y thì phải  x\lesssim z{\text{ và }}z\lesssim x.
Tính chất (1), (2), và (3) là các tính chất định nghĩa của thứ tự riêng phần nghiêm ngặt, mặc dù có một số phần thừa trong danh sách này là vì tính bất đối xứng (3) sẽ suy ra tính hoàn toàn không phản xạ (1), và cũng vì tính hoàn toàn không phản xạ (1) và tính bắc cầu (2) sẽ cùng suy ra tính bất đối xứng (3). Quan hệ không so sánh được luôn luôn đối xứng và nó thêm tính phản xạ khi và chỉ khi  \,<\, là quan hệ hoàn toàn không phản xạ. 
Do đó, thứ tự riêng phần nghiêm ngặt  \,<\, là thứ tự yếu nghiêm ngặt khi chỉ khi quan hệ không so sánh được cảm sinh của nó là quan hệ tương đương.
Trong trường hợp này, các lớp tương đương của nó phân hoạch tập  S và hơn nữa, tập  {\mathcal {P}} của các lớp tương đương này có thể sắp thứ tự toàn phần theo một quan hệ hai ngôi, cũng được ký hiệu  \,<, được định nghĩa cho mọi  A,B\in {\mathcal {P}} như sau:
Ngược lại, bất kỳ thứ tự toàn phần nghiêm ngặt trên phân hoạch  {\mathcal {P}} của  S cảm sinh thứ tự yếu nghiêm ngặt \,<\, trên  S định nghĩa bởi  a<b khi và chỉ khi tồn tại các tập hợp  A,B\in {\mathcal {P}} trong phân hoạch sao cho  a\in A,b\in B,{\text{ và }}A<B.
Không phải mọi quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt đều thoả mãn tính bắc cầu của tính không so sánh được. Ví dụ chẳng hạn, xét quan hệ thứ tự riêng phần trên  \{a,b,c\} được nghĩa bởi  b<c. Các cặp  a,b{\text{ và }}a,c không so sánh được với nhau nhưng  b và  c thì có quan hệ với nhau, do đó tính không so sánh được không phải quan hệ tương đương và ví dụ này không phải thứ tự yếu nghiêm ngặt.
Đối với tính bắc cầu của không so sánh được, các điều kiện sau là điều kiện cần, còn đối với quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt thì chúng là điều kiện đủ:
Nếu  x<y thì với mọi  z, hoặc  x<z{\text{ hoặc }}z<y hoặc cả hai.
Nếu  x không so sánh được với  y thì với mọi  z, hoặc ( x<z{\text{ và }}y<z) hoặc ( z<x{\text{ và }}z<y) hoặc ( z không so sánh được với  x và  z không so sánh được với  y).