Số nguyên tố chính quy
Các dạng tổng quát > Số nguyên tố phi chính quy yếu > Cặp phi chính quy yếu

Trong đoạn dưới đây, lưu ý rằng "an" là tử số của số Bernoulli thứ n nếu n chẵn, và là số Euler thứ (n − 1) nếu n lẻ (dãy số A246006 trong bảng OEIS).
Bởi với mọi số nguyên tố lẻ p, p là ước của ap khi và chỉ khi p đồng dư với 1 mô đun 4, và bởi vì p là ước của mẫu số của số Bernoulli thứ (p − 1) với mọi số nguyên tố lẻ p, nên cho bất kỳ số nguyên tố lẻ p, p không thể là ước của ap−1. Bên cạnh đó, p là ước của an (và 2p không là ước của n) khi và chỉ khi p cũng là ước của an+k(p−1) (nếu 2p là ước của n, thì câu này phải đổi thành "p cũng là ước của an+2kp". Hơn nữa, nếu 2p là ước của n và p(p − 1) không phải là ước của n, thì p là ước của an.) cho mọi số nguyên k (cần điều kiện n + k(p − 1) > 1). Ví dụ chẳng hạn, bởi 19 là ước của a11 và 2 × 19 = 38 không phải là ước của 11, nên 19 là ước của a18k+11 với mọi k. Do đó, trong định nghĩa của cặp phi chính quy (p, n), giá trị n nên không quá p − 2.
Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy thoả mãn số nguyên tố lẻ p ≤ 661:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| p | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an | p | các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 sao cho p là ước của an |
| 3 |  | 79 | 19 | 181 |  | 293 | 156 | 421 | 240 | 557 | 222 |
| 5 |  | 83 |  | 191 |  | 307 | 88, 91, 137 | 431 |  | 563 | 175, 261 |
| 7 |  | 89 |  | 193 | 75 | 311 | 87, 193, 292 | 433 | 215, 366 | 569 |  |
| 11 |  | 97 |  | 197 |  | 313 |  | 439 |  | 571 | 389 |
| 13 |  | 101 | 63, 68 | 199 |  | 317 |  | 443 |  | 577 | 52, 209, 427 |
| 17 |  | 103 | 24 | 211 |  | 331 |  | 449 |  | 587 | 45, 90, 92 |
| 19 | 11 | 107 |  | 223 | 133 | 337 |  | 457 |  | 593 | 22 |
| 23 |  | 109 |  | 227 |  | 347 | 280 | 461 | 196, 427 | 599 |  |
| 29 |  | 113 |  | 229 |  | 349 | 19, 257 | 463 | 130, 229 | 601 |  |
| 31 | 23 | 127 |  | 233 | 84 | 353 | 71, 186, 300 | 467 | 94, 194 | 607 | 592 |
| 37 | 32 | 131 | 22 | 239 |  | 359 | 125 | 479 |  | 613 | 522 |
| 41 |  | 137 | 43 | 241 | 211, 239 | 367 |  | 487 |  | 617 | 20, 174, 338 |
| 43 | 13 | 139 | 129 | 251 | 127 | 373 | 163 | 491 | 292, 336, 338, 429 | 619 | 371, 428, 543 |
| 47 | 15 | 149 | 130, 147 | 257 | 164 | 379 | 100, 174, 317 | 499 |  | 631 | 80, 226 |
| 53 |  | 151 |  | 263 | 100, 213 | 383 |  | 503 |  | 641 |  |
| 59 | 44 | 157 | 62, 110 | 269 |  | 389 | 200 | 509 | 141 | 643 |  |
| 61 | 7 | 163 |  | 271 | 84 | 397 |  | 521 |  | 647 | 236, 242, 554 |
| 67 | 27, 58 | 167 |  | 277 | 9 | 401 | 382 | 523 | 400 | 653 | 48 |
| 71 | 29 | 173 |  | 281 |  | 409 | 126 | 541 | 86, 465 | 659 | 224 |
| 73 |  | 179 |  | 283 | 20 | 419 | 159 | 547 | 270, 486 | 661 |  |
Các số nguyên tố dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 3 là 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751, và 929. Bên cạnh đó, 491 là số nguyên tố duy nhất dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 4, và các số nguyên tố lẻ còn lại dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 0, 1, hoặc 2. (Chỉ số phi chính yếu được định nghĩa là số các số nguyên 0 ≤ n ≤ p − 2 thoả mãn p là ước của an.)
Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy với n ≤ 63. (Để tìm ra các cặp này, ta chỉ cần phân tích thừa số 
của an. Lấy ví dụ, a34 = 17 × 151628697551, nhưng 17 < 34 + 2, nên cặp phi chính quy duy nhất với n = 34 là (151628697551, 34)) (đối với các  n chẵn lên tới 300 và các n lẻ lên tới 201, xem ).
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| n | các số nguyên tố p ≥ n + 2 sao cho p là ước của an | n | các số nguyên tố p ≥ n + 2 sao cho p là ước của an |
| 0 |  | 32 | 37, 683, 305065927 |
| 1 |  | 33 | 930157, 42737921, 52536026741617 |
| 2 |  | 34 | 151628697551 |
| 3 |  | 35 | 4153, 8429689, 2305820097576334676593 |
| 4 |  | 36 | 26315271553053477373 |
| 5 |  | 37 | 9257, 73026287, 25355088490684770871 |
| 6 |  | 38 | 154210205991661 |
| 7 | 61 | 39 | 23489580527043108252017828576198947741 |
| 8 |  | 40 | 137616929, 1897170067619 |
| 9 | 277 | 41 | 763601, 52778129, 359513962188687126618793 |
| 10 |  | 42 | 1520097643918070802691 |
| 11 | 19, 2659 | 43 | 137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971 |
| 12 | 691 | 44 | 59, 8089, 2947939, 1798482437 |
| 13 | 43, 967 | 45 | 587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111 |
| 14 |  | 46 | 383799511, 67568238839737 |
| 15 | 47, 4241723 | 47 | 285528427091, 1229030085617829967076190070873124909 |
| 16 | 3617 | 48 | 653, 56039, 153289748932447906241 |
| 17 | 228135437 | 49 | 5516994249383296071214195242422482492286460673697 |
| 18 | 43867 | 50 | 417202699, 47464429777438199 |
| 19 | 79, 349, 87224971 | 51 | 5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721 |
| 20 | 283, 617 | 52 | 577, 58741, 401029177, 4534045619429 |
| 21 | 41737, 354957173 | 53 | 1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619 |
| 22 | 131, 593 | 54 | 39409, 660183281, 1120412849144121779 |
| 23 | 31, 1567103, 1427513357 | 55 | 2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079 |
| 24 | 103, 2294797 | 56 | 113161, 163979, 19088082706840550550313 |
| 25 | 2137, 111691689741601 | 57 | 5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167 |
| 26 | 657931 | 58 | 67, 186707, 6235242049, 37349583369104129 |
| 27 | 67, 61001082228255580483 | 59 | 1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577 |
| 28 | 9349, 362903 | 60 | 2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911 |
| 29 | 71, 30211, 2717447, 77980901 | 61 | 6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247 |
| 30 | 1721, 1001259881 | 62 | 157, 266689, 329447317, 28765594733083851481 |
| 31 | 15669721, 28178159218598921101 | 63 | 101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393 |
Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy (p, p − n) (n ≥ 2), hiện ta đang phỏng đoán rằng có vô hạn cặp phi chính quy (p, p − n) với mọi số tự nhiên n ≥ 2, nhưng mới chỉ một ít được tìm thấy khi cố định n và thậm chí còn có một số giá trị của n vẫn chưa tìm thấy số nguyên tố p đi kèm.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| n | Số nguyên tố p sao cho p là ước của ap−n (các giá trị p được kiểm tra lên tới 20000) | Dãy OEIS |
| 2 | 149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ... | A198245 |
| 3 | 16843, 2124679, ... | A088164 |
| 4 | ... |  |
| 5 | 37, ... |  |
| 6 | ... |  |
| 7 | ... |  |
| 8 | 19, 31, 3701, ... |  |
| 9 | 67, 877, ... | A212557 |
| 10 | 139, ... |  |
| 11 | 9311, ... |  |
| 12 | ... |  |
| 13 | ... |  |
| 14 | ... |  |
| 15 | 59, 607, ... |  |
| 16 | 1427, 6473, ... |  |
| 17 | 2591, ... |  |
| 18 | ... |  |
| 19 | 149, 311, 401, 10133, ... |  |
| 20 | 9643, ... |  |
| 21 | 8369, ... |  |
| 22 | ... |  |
| 23 | ... |  |
| 24 | 17011, ... |  |
| 25 | ... |  |
| 26 | ... |  |
| 27 | ... |  |
| 28 | ... |  |
| 29 | 4219, 9133, ... |  |
| 30 | 43, 241, ... |  |
| 31 | 3323, ... |  |
| 32 | 47, ... |  |
| 33 | 101, 2267, ... |  |
| 34 | 461, ... |  |
| 35 | ... |  |
| 36 | 1663, ... |  |
| 37 | ... |  |
| 38 | 101, 5147, ... |  |
| 39 | 3181, 3529, ... |  |
| 40 | 67, 751, 16007, ... |  |
| 41 | 773, ... |  |