Hằng số Planck
Nguồn gốc

Bài chi tiết: Định luật Planck
Hằng số Planck xuất phát từ nỗ lực của Max Planck để đưa ra một biểu thức toán học nhằm tiên đoán phổ bức xạ từ một nguồn nhiệt kín, hay bức xạ vật đen. Kết quả là một biểu thức toán học với tên gọi định luật Planck.
Cuối thế kỷ 19, Max Planck xem xét vấn đề bức xạ vật đen do Kirchhoff đưa ra khoảng 40 năm trước đó. Tất cả vật thể vật lý phát ra bức xạ điện từ tự động và liên tục. Không có biểu thức hay lời giải thích nào cho hình dạng của phổ bức xạ quan sát được. Vào lúc đó, định luật Wien khớp với dữ liệu ở bước sóng ngắn và nhiệt độ cao, nhưng sai khác hoàn toàn ở bước sóng dài. Cũng vào thời điểm này, Lord Rayleigh tìm ra một công thức, ngày nay gọi là định luật Rayleigh–Jeans, có thể tiên đoán bước sóng dài tương đối chính xác, nhưng lại không thể giải thích cho bước sóng ngắn.
Planck tiếp cận vấn đề với giải thuyết rằng phương trình chuyển động của ánh sáng miêu tả một tập hợp các dao động điều hòa, mỗi tần số tương ứng với một dao động. Ông xem xét sự thay đổi entropy của những hạt dao động so với nhiệt độ của vật thể, làm cho nó khớp với định luật Wien, và cuối cùng đưa ra một hàm số để xấp xỉ phổ vật đen, dẫn đến một công thức thực nghiệm cho bước sóng dài.
Planck tìm ra một biểu thức khớp với định luật Wien ở bước sóng ngắn và công thức thực nghiệm ở bước sóng dài. Biểu thức này có một hằng số h, được cho là lấy từ Hilfsgrösse (biến phụ), và sau được biết đến là hằng số Planck. Biểu thức cho độ rọi phổ chiếu xạ của một vật đen với tần số ν tại nhiệt độ tuyệt đối T là
trong đó kB là hằng số Boltzmann, h là hằng số Planck, và c là tốc độ ánh sáng trong môi trường, có thể là vật liệu hoặc chân không.
Độ rọi phổ chiếu xạ (tiếng Anh: "spectral radiance") Bν của một vật miêu tả mức năng lượng nó phát ra ở những tần số bức xạ khác nhau. Đại lượng này bằng công suất phát xạ trên một đơn vị diện tích bề mặt, trên một đơn vị góc khối, trên một đơn vị tần số. Độ rọi phổ chiếu xạ cũng có thể được biểu diễn trên một đơn vị bước sóng λ thay vì một đơn vị tần số. Trong trường hợp đó, công thức trên trở thành
cho thấy năng lượng bức xạ ở bước sóng ngắn tăng theo nhiệt độ nhanh hơn so với ở bước sóng dài.
Định luật Planck cũng có thể được biểu diễn theo những đại lượng khác, ví dụ như số photon bức xạ ở bước sóng nhất định, hay là mật độ năng lượng trên một thể tích bức xạ. Đơn vị SI của Bν là W·sr−1·m−2·Hz−1, còn của Bλ là W·sr−1·m−3.
Planck sớm nhận ra rằng lời giải của ông không phải là duy nhất. Một số lời giải khác tồn tại, mỗi cái cho giá trị entropy của các hạt dao động khác nhau. Để giải quyết vấn đề này, Planck dùng đến cơ học thống kê, một ngành còn gây tranh cãi thời bấy giờ, việc mà ông miêu tả là "một hành động tuyệt vọng ... tôi đã sẵn sàng từ bỏ tất cả những niềm tin của mình trong vật lý." Một trong những điều kiện của lời giải này là
coi UN [năng lượng dao động của N hạt] không phải như một đại lượng liên tục, có thể chia nhỏ tùy ý, mà như một đại lượng rời rạc gồm một số nguyên lần những phần tử hữu hạn. Ta gọi mỗi phần năng lượng như thế ε;
—Planck, On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum
Với điều kiện mới này, Planck đã lượng tử hóa năng lượng của các hạt dao động, "một giả thuyết hoàn toàn hình thức ... thực tế tôi không nghĩ nhiều về nó ..." theo lời của chính ông. Áp dụng điều kiện này cho định luật Wien cho thấy "phần tử năng lượng" phải tỉ lệ với tần số của dao động, ngày nay gọi là "liên hệ Planck–Einstein":
Sử dụng dữ liệu bức xạ vật đen từ thí nghiệm, Planck tính được giá trị của h bằng khoảng 655×10−34 J⋅s, sai khác 1,2% so với giá trị chính thức ngày nay. Ông cũng là người đầu tiên xác định giá trị của hằng số Boltzmann kB bằng công thức này.