Số thực
Tính chất > Các tính chất nâng cao

Các số thực là không thể đếm được; nghĩa là, có nhiều số thực hơn số tự nhiên, mặc dù cả hai tập hợp này đều là vô hạn. Trên thực tế, bản số của số thực bằng với bản số của các tập hợp con (tức là tập hợp lũy thừa) của các số tự nhiên, và lập luận đường chéo của Cantor nói rằng bản số của tập hợp sau lớn hơn hẳn so với bản số của  \mathbb {N} . Vì tập hợp các số đại số có thể đếm được nên hầu như tất cả các số thực đều là số siêu việt. Sự không tồn tại của một tập con các số thực với bản số chính xác giữa tập hợp số nguyên và số thực được gọi là giả thuyết liên tục. Giả thuyết liên tục không thể được chứng minh cũng như không bị bác bỏ; nó độc lập với các tiên đề của lý thuyết tập hợp.
Là một không gian tôpô, các số thực có thể phân tách được. Điều này là do tập hợp các số hữu tỉ, có thể đếm được, dày đặc nằm trong các số thực. Các số vô tỉ cũng dày đặc trong các số thực, tuy nhiên chúng không đếm được và có cùng số lượng với số thực.
Các số thực tạo thành một không gian mêtric: khoảng cách giữa x và y được xác định là giá trị tuyệt đối |x − y|. Do là một tập hợp có thứ tự hoàn toàn, chúng cũng mang một cấu trúc liên kết thứ tự; cấu trúc liên kết phát sinh từ số liệu và cấu trúc liên kết phát sinh từ thứ tự giống hệt nhau, nhưng mang lại các trình bày khác nhau cho cấu trúc liên kết — trong cấu trúc liên kết thứ tự là các khoảng có thứ tự, trong cấu trúc liên kết số liệu là epsilon-ball. Cấu trúc cắt Dedekind sử dụng trình bày cấu trúc liên kết thứ tự, trong khi cấu trúc trình tự Cauchy sử dụng trình bày cấu trúc liên kết số liệu. Các thực tạo thành một không gian số liệu có thể co lại (do đó được kết nối và kết nối đơn giản), có thể phân tách và hoàn chỉnh với số chiều Hausdorff là 1. Các số thực là compact cục bộ nhưng không compact. Có nhiều thuộc tính khác nhau chỉ định duy nhất chúng; ví dụ, tất cả các cấu trúc liên kết thứ tự không bị ràng buộc, được kết nối và có thể phân tách nhất thiết phải là đồng phôi với các số thực.
Mọi số thực không âm đều có căn bậc hai thuộc  \mathbb {R} , mặc dù không có số âm nào có căn bậc hai thuộc  \mathbb {R} . Điều này cho thấy rằng thứ tự trên  \mathbb {R}  được xác định bởi cấu trúc đại số của nó. Ngoài ra, mọi đa thức bậc lẻ đều có ít nhất một nghiệm là số thực: hai thuộc tính này làm cho  \mathbb {R}  trở thành ví dụ hàng đầu về một trường đóng thực. Chứng minh tính chất này là nửa đầu tiên của một chứng minh của định lý cơ bản của đại số.
Các số thực có một số đo chính tắc, số đo Lebesgue, là số đo Haar trên cấu trúc của chúng như một nhóm tôpô được chuẩn hóa sao cho khoảng đơn vị [0; 1] có số đo là 1. Tồn tại các tập hợp số thực mà Lebesgue không thể đo lường được, ví dụ: Tập hợp Vitali.
Tiên đề cận trên lớn nhất về số thực đề cập đến các tập con của số thực và do đó là một câu lệnh logic bậc hai. Không thể đặc trưng cho các số thực chỉ với logic bậc nhất: định lý Löwenheim – Skolem ngụ ý rằng tồn tại một tập con dày đặc có thể đếm được của các số thực thỏa mãn chính xác các câu trong logic bậc nhất như chính các số thực. Tập hợp các số siêu thực thỏa mãn các câu thứ tự bậc nhất giống như  \mathbb {R} . Các trường có thứ tự đáp ứng các câu thứ tự đầu tiên giống như  \mathbb {R}  được gọi là mô hình không tiêu chuẩn của  \mathbb {R} . Điều này là những gì làm cho phân tích không tiêu chuẩn hoạt động; bằng cách chứng minh một câu lệnh bậc nhất trong một số mô hình không chuẩn (có thể dễ dàng hơn việc chứng minh nó trong  \mathbb {R} ), khi đó chúng ta hiểu rằng tuyên bố tương tự cũng phải đúng với  \mathbb {R} .
Trường số thực  \mathbb {R}  là một trường mở rộng của trường số hữu tỉ  \mathbb {Q} , và  \mathbb {R}  do đó có thể được xem như một không gian vectơ trên  \mathbb {Q} . Lý thuyết tập hợp Zermelo – Fraenkel với tiên đề lựa chọn đảm bảo sự tồn tại của cơ sở của không gian vectơ này: tồn tại một tập hợp B gồm các số thực sao cho mọi số thực có thể được viết duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phần tử của tập hợp này, sử dụng chỉ các hệ số hữu tỉ, và sao cho không phần tử nào của B là tổ hợp tuyến tính hữu tỉ của các phần tử khác. Tuy nhiên, định lý tồn tại này hoàn toàn là lý thuyết, vì một cơ sở như vậy chưa bao giờ được mô tả một cách rõ ràng.
Định lý sắp xếp tốt ngụ ý rằng các số thực có thể được sắp xếp hợp lý nếu tiên đề lựa chọn được giả định: tồn tại một thứ tự toàn bộ trên  \mathbb {R}  với thuộc tính mà mọi tập hợp con không trống của  \mathbb {R}  có một phần tử nhỏ nhất trong thứ tự này. (Thứ tự tiêu chuẩn ≤ của các số thực không phải là một thứ tự tốt vì ví dụ một khoảng mở không chứa phần tử nhỏ nhất trong thứ tự này.) Một lần nữa, sự tồn tại của một trật tự tốt như vậy hoàn toàn là lý thuyết, vì nó chưa được mô tả rõ ràng. Nếu giả sử V = L cùng với các tiên đề của ZF, thứ tự tốt của các số thực có thể được xác định một cách rõ ràng bằng một công thức.
Một số thực có thể tính toán được hoặc không thể tính toán được; dù cho là tính toán ngẫu nhiên về mặt thuật toán hoặc không; và ngẫu nhiên về mặt số học hoặc không.