Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian
Tổng quan

Các tính chất xác định của bất kỳ hệ thống LTI nào là tuyến tính và bất biến theo thời gian.
Tuyến tính có nghĩa là mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống là một biến đổi tuyến tính: Nếu đầu vào  x_{1}(t)\, tạo ra đáp ứng  y_{1}(t),\, và đầu vào  x_{2}(t)\, tạo ra đáp ứng  y_{2}(t),\, sau đó nhân hệ số và cộng lại đầu vào  a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)\, tạo ra đáp ứng tích và tổng  a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)\, trong đó  a_{1} và  a_{2} là các đại lượng vô hướng thực. Điều này có thể được mở rộng đến bất kỳ số lượng các đáp ứng đầu vào, và các số thực  c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k},
Thời gian bất biến có nghĩa rằng cho dù chúng ta áp dụng một đầu vào cho hệ thống ngay bây giờ hoặc T giây từ bây giờ, thì đầu ra sẽ giống hệt nhau ngoại trừ một thời gian trễ T giây. DO đó, nếu đầu ra theo đầu vào  x(t) là  y(t), thì đầu ra theo đầu vào  x(t-T) là  y(t-T). Do đó, hệ thống này là bất biến theo thời gian vì đầu ra không phụ thuộc vào thời gian cụ thể đưa vào đầu vào.
Kết quả cơ bản trong lý thuyết hệ thống LTI là bất kỳ hệ thống LTI nào đều cũng có thể được miêu tả hoàn toàn bởi một hàm duy nhất được gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Đầu ra của hệ thống chỉ đơn giản là tích chập của đầu vào của hệ thống với đáp ứng xung của hệ thống. Phương pháp phân tích này thường được gọi là quan điểm miền thời gian. Kết quả tương tự cũng đúng với các hệ thống thời gian rời rạc tuyến tính thay đổi bất biến, trong đó các tín hiệu được lấy mẫu theo thời gian rời rạc, và tích chập được xác định theo trình tự.
Một cách tương đương, bất kỳ hệ thống LTI nào cũng có thể được miêu tả trong miền tần số bởi hàm truyền của hệ thống đó, đó là biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ thống (hoặc biến đổi Z trong trường hợp của các hệ thống thời gian rời rạc). Do tính chất của các phép biến đổi này, đầu ra của hệ thống trong miền tần số là tích của hàm truyền và biến đổi của đầu vào hệ thống đó. Nói cách khác, tích chập trong miền thời gian là tương đương với phép nhân trong miền tần số.
Đối với tất cả các hệ thống LTI, các hàm riêng và các hàm cơ bản của các bộ biến đổi, là các hàm mũ phức. Do đó, nếu đầu vào của một hệ thống có dạng sóng phức  Ae^{st} với biên độ phức  A và tần số phức  s, thì đầu ra sẽ là hằng số phức nào đó nhân với đầu vào, đó là  Be^{st} với biên độ phức mới  B.TỈ số  B/A là hàm truyền tại tần số  s.
Bởi vì sóng sin là một tổng của các hàm mũ phức tạp với các tần số phức liên hợp, nếu đầu vào của hệ thống là một hình sin, thì đầu ra của hệ thống cũng sẽ là một hình sin, có lẽ với một biên độ khác  và một pha khác, nhưng luôn luôn cùng tần số khi đạt đến trạng thái ổn định. Các hệ thống LTI không thể tạo ra các thành phần tần số mà không có trong đầu vào.
Lý thuyết hệ thống LTI mô tả nhiều hệ thống quan trọng rất tốt. Hầu hết các hệ thống LTI được coi là "dễ" để phân tích, ít nhất so với các trường hợp thời gian biến đổi và/hoặc phi tuyến. Bất kỳ hệ thống nào có thể được mô hình hóa bằng một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với các hệ số không đổi là một hệ thống LTI. Ví dụ về các hệ thống như vậy là mạch điện gồm các điện trở, cuộn cảm, và tụ điện (mạch RLC). Các hệ thống giảm xóc bằng lò xo lý tưởng cũng là những hệ thống LTI, và tương đương toán học với các mạch RLC.
Hầu hết các khái niệm hệ thống LTI là tương tự nhau giữa các trường hợp thời gian liên tục và thời gian rời rạc (dịch chuyển bất biến tuyến tính). Trong xử lý ảnh, các biến thời gian được thay thế bằng hai biến không gian, và khái niệm bất biến theo thời gian được thay thế bởi dịch chuyển bất biến hai chiều. Khi phân tích các giàn bộ lọc và các hệ thống MIMO, thường rất hữu ích để xem xét các vectơ của tín hiệu.
Một hệ thống tuyến tính mà không phải là bất biến theo thời gian có thể được giải bằng cách sử dụng các phương pháp khác như phương pháphàm Green. Phương pháp tương tự cũng phải được sử dụng khi các điều kiện ban đầu của bài toán không phải là rỗng.