Hiệu đối xứng
Tính chất

Hiệu đối xứng tương đương với hợp của cả hai phần bù tương đối, nghĩa là:
Hiệu đối xứng cũng có thể biểu diễn bằng phép XOR ⊕ trên các vị từ mô tả hai tập hợp trong ký pháp xây dựng tập hợp:
Nội dung này cũng có thể phát biểu bằng hàm chỉ thị (được ký hiệu ở đây bằng  \chi ) của hiệu đối xứng, trong đó ta dùng phép XOR (hoặc phép cộng mod 2) trong hàm chỉ thị hai tham số:  \chi _{(A\,\triangle \,B)}=\chi _{A}\oplus \chi _{B} hoặc trong ký hiệu ngoặc vuông Iverson:  [x\in A\,\triangle \,B]=[x\in A]\oplus [x\in B]
Hiệu đối xứng cũng có thể phát biểu là hợp của hai tập hợp, trừ đi phần giao của chúng:
Cụ thể hơn,  A\mathbin {\triangle } B\subseteq A\cup B; dấu bằng trong phép bao hàm không nghiêm ngặt này chỉ xảy ra khi và chỉ khi  A và  B không giao nhau. Hơn nữa, ký hiệu  D=A\mathbin {\triangle } B và  I=A\cap B, khi đó  D và  I luôn không giao nhau, nên  D và  I luôn phân hoạch  A\cup B. Hệ quả thu được, khi coi phép hiệu đối xứng và phép giao là hai phép nguyên thuỷ, thì hợp của hai tập hợp có thể định nghĩa bằng hai phép toán đó như sau:
Hiệu đối xứng có tính kết hợp và giao hoán:
Tập rỗng là phần tử trung hoà và mỗi tập hợp là nghịch đảo của chính nó:
Do đó, tập lũy thừa của bất kỳ tập X trở thành nhóm giao hoán dưới phép hiệu đối xứng. (Tổng quát hơn, bất kỳ trường tập hợp lập thành một nhóm với hiệu đối xứng là phép toán đi kèm.) Nhóm mà mọi phần tử là nghịch đảo của chính nó (hay nói tương đương, mỗi phần tử đều có cấp 2 đôi khi được gọi là nhóm Boole; Hiệu đối xứng cho phép định nghĩa một ví dụ mẫu về các nhóm có tính chất như thế và đôi khi nhóm Boole được định nghĩa sử dụng hiệu đối xứng. Trong trường hợp tập X chỉ có hai phần tử, nhóm thu được là nhóm bốn Klein.
Nói tương đương, nhóm Boole là nhóm giao hoán sơ cấp 2 phần tử. Hệ quả là, nhóm cảm sinh từ hiệu đối xứng là không gian vectơ trên trường hai phần tử Z2. Nếu X hữu hạn, thì các tập đơn điểm trở thành cơ sở của không gian vectơ này, và số chiều của nó bằng với số phần tử của X. Phương pháp xây dựng này được dùng trong lý thuyết đồ thị,và được dùng để định nghĩa không gian chu trình của một đồ thị..
Từ tính chất nghịch đảo của nhóm Boole, suy ra rằng hiệu đối xứng của hai hiệu đối xứng có lặp lại một tập hợp tương đương với hiệu đối xứng có lặp của nối của hai đa tập, trong đó tập bị lặp có thể bị bỏ đi. Tức là:
Từ đây suy ra bất đẳng thức tam giác: Hiệu đối xứng của A và C nằm trong hợp của hiệu đối xứng của A và B và hiệu đối xứng của B và C.
Phép giao phân phối trên hiệu đối xứng:
và điều cho thấy bất kỳ tập luỹ thừa của bất kỳ tập X đều có trở thành một vành, với hiệu đối xứng làm phép cộng và phần giao làm phép nhân. Đây là ví dụ mẫu cho vành Boole.
Các tính chất khác của hiệu đối xứng bao gồm:
A\mathbin {\triangle } B=\emptyset  khi và chỉ khi  A=B.
A\mathbin {\triangle } B=A^{c}\mathbin {\triangle } B^{c}, trong đó  A^{c},  B^{c} là phần bù của  A và phần bù của  B, tương ứng với một tập cố định nào đó chứa chúng.
\left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }\right)\triangle \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}B_{\alpha }\right)\subseteq \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}\left(A_{\alpha }\mathbin {\triangle } B_{\alpha }\right), trong đó  {\mathcal {I}} là tập chỉ số bất kỳ khác rỗng.
Cho bất kỳ hàm số  f:S\rightarrow T và  A,B\subseteq T là bất kỳ tập hợp trong ảnh của  f, khi đó  f^{-1}\left(A\mathbin {\triangle } B\right)=f^{-1}\left(A\right)\mathbin {\triangle } f^{-1}\left(B\right).
Hiệu đối xứng có thể định nghĩa trong bất kỳ đại số Boole, bằng cách viết
Phép toán này có cùng các tính chất với phép toán trên tập hợp