Toán học và nghệ thuật
Nguồn gốc: từ thời Hy Lạp cổ đại đến thời Phục Hưng > Phối cảnh và sự cân xứng

Bài chi tiết: Phối cảnh
Trong thời kỳ cổ điển, thay vì làm cho hình ở xa nhỏ hơn giống như phối cảnh tuyến tính, họa sĩ thường định kích thước của vật thể và hình dựa trên ý nghĩa chủ đề của chúng. Vào thời Trung Cổ, một số nghệ sĩ đã sử dụng phối cảnh ngược để để tạo ra điểm nhấn đặc biệt. Nhà toán học theo đạo Hồi Alhazen (Ibn al-Haytham) đã mô tả một lý thuyết về quang học trong cuốn Kitab al Manazir (Sách Quang học) ra đời năm 1021, nhưng chưa bao giờ áp dụng lý thuyết đó vào nghệ thuật. Thời kỳ Phục Hưng chứng kiến sự tái sinh của văn hóa và ý tưởng Hy Lạp và La Mã cổ điển, trong số đó có nghiên cứu toán học để nâng tầm hiểu biết về tự nhiên và các môn nghệ thuật. Hai động lực chính này đã thúc đẩy nghệ sĩ thời hậu kỳ Trung Cổ và thời Phục Hưng hướng đến toán học. Đầu tiên, họa sĩ cần tìm ra cách mô tả cảnh ba chiều trên khung vẽ hai chiều. Thứ hai, triết gia và nghệ sĩ đều tin rằng toán học là bản chất thực sự của thế giới vật chất và toàn bộ vũ trụ, bao gồm cả nghệ thuật. Nghệ thuật có thể được giải thích bằng những thuật ngữ hình học.
Khái niệm ban đầu của phối cảnh bắt đầu từ Giotto (1266/7 - 1337), ông từng cố gắng vẽ phối cảnh bằng phương pháp đại số để xác định vị trí của các đường ở xa. Năm 1415, kiến trúc sư người Ý Filippo Brunelleschi và bạn ông là Leon Battista Alberti đã chứng minh phương pháp hình học áp dụng phối cảnh ở Florence. Họ sử dụng tam giác tương tự như công thức của Euclid để tìm chiều cao biểu kiến của vật thể ở xa. Những bức tranh phối cảnh của riêng Brunelleschi đã bị mất, nhưng bức tranh về Ba Ngôi của Masaccio lại cho thấy các nguyên tắc của Brunelleschi trong tác phẩm.
Họa sĩ người Ý Paolo Uccello (1397–1475) có sự đam mê với phối cảnh, điều này được thể hiện qua chùm tranh vẽ về trận San Romano (khoảng 1435–1460): những cây thương bị gãy được vẽ ở vị trí thích hợp dọc theo đường phối cảnh.
Họa sĩ Piero della Francesca (khoảng 1415–1492) là minh chứng cho sự đổi mới này trong tư duy Phục hưng ở Ý. Ông là một nhà toán học và hình học lão luyện, viết sách về hình học không gian và phối cảnh, bao gồm De prospectiva pingendi (Về phối cảnh cho hội họa), Trattato d'Abaco (Luận về phép tính), và De quinque corporibus regularibus (Về năm khối đa diện đều). Nhà sử học Vasari đã viết trong cuốn Le vite de' più eccellenti pittori, scultori, e architettori (Cuộc đời của những người họa sĩ, nhà điêu khắc, và kiến trúc sư xuất sắc nhất) rằng Piero là "nhà hình học vĩ đại nhất trong thời đại của ông, hoặc có lẽ là bất kỳ thời đại nào." Sự quan tâm của Piero dành cho phối cảnh có thể tìm thấy trong những bức tranh gồm Đa liên họa thành Perugia, Bệ thờ Thánh Agostino và Sự trừng phạt Chúa Giê-su. Tác phẩm về hình học của Piero có tầm ảnh hưởng đến những nhà toán học và nghệ sĩ sau này, có thể kể đến Luca Pacioli với tác phẩm De divina proportione mà ông hợp tác với Leonardo da Vinci. Piero có nghiên cứu toán học cổ điển và công trình của Archimedes. Ông từng giảng dạy số học thương mại tại "trường dạy tính toán"; những ghi chép của ông được định dạng như là sách giáo khoa của trường, có lẽ bao gồm cả cuốn Liber Abaci (1202) của Leonardo Pisano (Fibonacci). Phối cảnh tuyến tính thời bấy giờ chỉ có áp dụng trong lĩnh vực nghệ thuật. Alberti đã giải thích trong quyển De pictura ra đời năm 1435 rằng: "các tia sáng truyền theo đường thẳng từ các điểm trong cảnh được quan sát tới mắt, tạo thành một kiểu kim tự tháp với đỉnh là mắt." Một bức tranh được xây dựng bằng phối cảnh tuyến tính là một tiết diện của kim tự tháp đó.
Trong sách De Prospectiva Pingendi, Piero biến những quan sát thực nghiệm của mình về cách các phía của một hình thay đổi theo cảnh nhìn thành chứng minh toán học. Luận thuyết của ông lấy cảm hứng từ Euclid: ông định nghĩa điểm là "thứ nhỏ nhất mà mắt có thể nhận thấy được." Ông sử dụng suy diễn logic để dẫn dắt độc giả đến sự thể hiện phối cảnh của một vật thể ba chiều.
David Hockney lập luận trong cuốn Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters rằng nghệ sĩ bắt đầu sử dụng camera lucida từ thập niên 1420, dẫn đến sự thay đổi đột ngột về độ chính xác và tính thực tế. Những nghệ sĩ lớn như Ingres, Van Eyck và Caravaggio đã tiếp tục ứng dụng kỹ thuật này. Nhiều nhà phê bình không đồng ý về việc liệu Hockney có đúng hay không. Tương tự như vậy, kiến trúc sư Philip Steadman có tranh luận một cách gay gắt rằng Vermeer đã sử dụng một thiết bị khác là camera obscura, để ông có thể tạo ra những bức tranh có sự quan sát khác biệt.
Năm 1509, Luca Pacioli (khoảng 1447–1517) xuất bản tác phẩm De divina proportione về sự cân xứng trong toán học và nghệ thuật, bao gồm cả khuôn mặt người. Leonardo da Vinci (1452–1519) là người vẽ minh họa cho văn bản bằng những bức tranh khắc gỗ thể hiện khối đa diện đều, trong khoảng thời gian ông hợp tác nghiên cứu với Pacioli vào thập niên 1490. Những bức họa của Leonardo có lẽ là minh họa đầu tiên về khối đa diện có khung. Chúng, chẳng hạn như khối rhombicuboctahedron, là một trong những khối đầu tiên được vẽ để thể hiện phối cảnh bằng cách phủ lên nhau. De divina proportione bàn về quan điểm trong các tác phẩm của Piero della Francesca, Melozzo da Forlì, và Marco Palmezzano. Da Vinci có nghiên cứu về Summa của Pacioli, từ đó ông sao chép bảng tỷ lệ cân đối. Trong bức tranh Mona Lisa và Bữa ăn tối cuối cùng, Da Vinci đã kết hợp phối cảnh tuyến tính với một điểm biến mất để tạo ra chiều sâu rõ ràng. Bữa ăn tối cuối cùng được xây dựng bám sát theo tỷ lệ 12: 6: 4: 3, giống như bức tranh Trường Athena của Raphael. Tác phẩm của Raphael thể hiện Pythagoras với một bảng tỷ lệ lý tưởng, rất quan trọng đối với môn đồ của Pythagoras. Trong bức vẽ Người Vitruvius, Leonardo thể hiện ý tưởng của kiến trúc sư người La Mã Vitruvius một cách cách tân khi phô bày hình thể nam giới tới 2 lần, và đặt trọng tâm của anh ta theo cả hình tròn và hình vuông.
Ngay từ đầu thế kỷ 15, phối cảnh cong đã được tìm thấy trong những bức tranh của nghệ sĩ có quan tâm đến sự biến dạng của hình ảnh. Bức Chân dung Arnolfini (1434) do họa sĩ Jan van Eyck thực hiện có chứa tấm gương cầu lồi phản chiếu những nhân vật trong nền cảnh. Còn bức Chân dung tự họa trong tấm gương lồi (khoảng 1523–1524) của họa sĩ Parmigianino lại hiển thị phần lớn khuôn mặt không bị biến dạng của ông ở trung tâm, với cảnh nền cong một cách rõ rệt, và có bàn tay bao quanh rìa bức tranh.
Không gian ba chiều có thể được thể hiện một cách lôi cuốn trong nghệ thuật, thông qua vẽ kỹ thuật hoặc bằng những phương pháp khác ngoài phối cảnh. Phép chiếu xiên, bao gồm cả phép chiếu cavalier (nghệ sĩ quân đội Pháp từng sử dụng để khắc họa công sự trong thế kỷ 18) đã được các nghệ sĩ Trung Hoa sử dụng liên tục và phổ biến từ thế kỷ 1 hoặc thế kỷ 2 cho đến tận thế kỷ 18. Người Trung Quốc tiếp thu kỹ thuật này từ Ấn Độ, và người Ấn Độ tiếp thu kỹ thuật này từ La Mã cổ đại. Phép chiếu xiên có thể tìm thấy trong nghệ thuật Nhật Bản, điển hình là tranh Ukiyo-e của Kiyonaga Torii (1752–1815).
Tranh khắc gỗ trong tác phẩm De divina proportione của Luca Pacioli thể hiện hình tam giác đều trên mặt người.
Camera lucida được sử dụng để vẽ bức tượng thu nhỏ. Scientific American, 1879
Minh họa về một người nghệ sĩ sử dụng camera obscura (thế kỷ 17).
Sự cân xứng: Bức họa Người Vitruvius của Leonardo (khoảng 1490).
Lý thuyết về phối cảnh của Brunelleschi: bức tranh về Ba Ngôi do họa sĩ Masaccio thể hiện (khoảng 1426–1428, tại Vương cung thánh đường Santa Maria Novella.
Bản vẽ trong luận thuyết Della Pittura (1435) của Leon Battista Alberti.
Phối cảnh tuyến tính trong tác phẩm Sự trừng phạt Chúa Giê-su (1455–1460) của họa sĩ Piero della Francesca.
Phối cảnh cong: tấm gương lồi trong bức Chân dung Arnolfini (1434) của họa sĩ Jan van Eyck.
Chân dung tự họa trong tấm gương lồi (khoảng 1523–1524) của họa sĩ Parmigianino.
Pythagoras với bảng tỉ lệ lý tưởng, trong tác phẩm Trường Athena (1509) của Raphael.
Phép chiếu xiên: Lối vào và sân của một nha môn (thế kỷ 18). Bức tranh cuộn này là do họa sĩ Từ Dương, người đến từ Tô Châu thực hiện, theo lệnh của Hoàng đế Càn Long.
Phép chiếu xiên: phụ nữ chơi cờ Shogi, cờ vây và cờ sugoroku. Bức tranh của họa sĩ Nhật Bản Kiyonaga Torii (1780).