Lý thuyết ứng đáp câu hỏi
Về trắc nghiệm đa phân và trắc nghiệm đa chiều

Khi đặt vấn đề xây dựng mô hình toán phản ánh sự ứng đáp CH ở phần đầu bài viết, để đơn giản cho mô hình, chúng ta đã giả thiết là việc ứng đáp kiểu nhị phân (0,1). Hơn nữa, đối với TS ta cũng giả thiết là năng lực có tính đơn chiều (hoặc chỉ xét một chiều năng lực của TS). Tuy nhiên, trong thực tế đánh giá người ta còn sử dụng loại CH với kiểu ứng đáp đa phân (polytomous) hoặc đánh giá một năng lực đa chiều (multidimentionality) hay đánh giá đồng thời nhiều chiều của năng lực. Dưới đây sẽ giới thiệu khái quát về trắc nghiệm đa phân và đa chiều.
Về mô hình trắc nghiệm đa phân
Ngoài các loại trắc nghiệm nhiều lựa chọn mà trả lời theo hai trạng thái nhị phân (0,1), người ta còn sử dụng các loại bảng hỏi (questionaire) với kiểu trả lời theo thang Likert: ‘’rất không đồng ý, không đồng ý, đồng ý, rất đồng ý’’ trong các điều tra giáo dục hoặc xã hội học nói chung, hoặc các câu hỏi tự luận bao gồm nhiều phần, mỗi phần được định các mức điểm khác nhau, có thể gọi chung là các câu hỏi với ứng đáp đa phân (polytomous).
Trong thập niên 1970, các nghiên cứu về trắc nghiệm chủ yếu tập trung vào việc triển khai ứng dụng mô hình nhị phân, các số liệu liên quan đến tính đa phân được nhị phân hoá để phân tích. Tuy nhiên, một số nhà nghiên cứu cũng đã lưu ý đến mô hình trắc nghiệm đa phân từ cuối thập niên 1960 và tập trung mạnh mẽ từ đầu thập niên 1980. Nhà nghiên cứu quan tâm đến mô hình đa phân sớm nhất có lẽ là Samejima F., người đã đưa vào mô hình ứng đáp đa cấp (graded response model) . Sau đó có hàng loạt mô hình được đề xuất, nhưng tổng quát nhất có lẽ là mô hình định giá từng phần (Partial Credit Model – PCM) của Master, G.N.. Các mô hình này cho phép thu được nhiều thông tin hơn về năng lực của TS từ một CH so với mô hình nhị phân.
Vì PCM được ứng dụng nhiều nhất trong thực tế, và một số mô hình khác chỉ là trường hợp riêng của PCM nên ở đây chỉ giới thiệu sơ lược về PCM.
Để thiết lập PCM, Masters xét một CH có nhiều hạng (category) điểm để TS đạt được, và giả định rằng xác suất để TS đạt hai hạng điểm kế tiếp nhau tuân theo quy luật của mô hình Rasch nhị phân. 
Dựa vào giả định nêu trên, khi CH thứ i là đa phân với các hạng điểm 0, 1, 2,..., mi thì Masters thu được xác suất để TS n đạt điểm x của CH thứ i sẽ là:
trong đó, để tiện trong việc ký hiệu, chúng ta quy định  exp\sum _{k=0}^{0}({\theta _{n}}-{\delta _{ik}})=1.
Lưu ý rằng trong biểu thức (13), δik đóng vai trò như b trong mô hình Rasch nhị phân.
Với quan niệm của Masters, chúng ta có thể mô tả diễn biến của xác suất trả lời đúng CH (đạt hạng điểm 1) theo năng lực θ của mô hình Rasch nhị phân ứng bởi biểu thức (4) bằng đường cong P(X = 1) và xác suất trả lời sai CH (đạt hạng điểm 0) bằng đường cong P(X = 0) trên cùng một đồ thị ở Hình 6.
Tương tự, trong trường hợp CH có 3 hạng điểm 0, 1 và 2 các đường biểu diễn ứng với 3 hạng điểm có dạng như Hình 7.
Về mô hình trắc nghiệm đa chiều
Khi xây dựng các mô hình ứng đáp CH, để đơn giản hoá, chúng ta đã đặt điều kiện về tính đơn chiều (unidimentionality) của CH, tức là CH chỉ đo một thứ năng lực tiềm ẩn, hoặc ta chỉ đo một chiều (dimension) của năng lực tiềm ẩn đa chiều (multidimentionality). Tuy nhiên, trong thực tế, để thực hiện một ứng đáp nào đó, TS thường phải có các chiều khác nhau của năng lực, chẳng hạn để giải một bài toán, TS cần cả kĩ năng đọc hiểu đề toán và các kĩ năng toán học. Do đó cần xây dựng mô hình trắc nghiệm với đa chiều năng lực. Ở đây chúng ta chỉ làm quen với một cách mở rộng trắc nghiệm đơn chiều thành đa chiều đơn giản nhất. Reskase, M.D. đã dựa vào trắc nghiệm nhị phân (0,1) đơn chiều mở rộng ra mô hình trắc nghiệm nhị phân đa chiều. Với trường hợp TS có hai chiều năng lực θ1 và θ2, có thể vẽ được mặt cong đặc trưng CH như ở Hình 8.
Về cách biểu hiện tính đa chiều, nhiều nhà nghiên cứu đưa vào khái niệm tính đa chiều giữa các CH và trong từng CH. Một bài trắc nghiệm là đa chiều giữa các CH nếu nó bao gồm nhiều bài trắc nghiệm con đơn chiều. Một bài trắc nghiệm là đa chiều trong từng CH nếu mỗi CH đòi hỏi nhiều chiều năng lực tiềm ẩn để trả lời. Hai kiểu đa chiều của bài trắc nghiệm được minh hoạ ở Hình 9. Ở nửa bên trái Hình 9 mô tả bài trắc nghiệm 3 chiều gồm 9 CH theo kiểu đa chiều giữa các CH, mỗi chiều được đánh giá riêng biệt bởi 3 CH. Nửa bên phải của Hình 9 mô tả bài trắc nghiệm 3 chiều gồm 9 CH với cả hai kiểu đa chiều giữa các CH và đa chiều trong từng CH, trong đó 4 CH 1, 5, 8, 9 chỉ đo một chiều năng lực, còn các CH khác đo đồng thời 2 hoặc 3 chiều năng lực.
Bạn đọc có thể tìm hiểu sâu hơn về Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi trong các sách giáo khoa [1], [5], và sách tổng hợp .