stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Triết học toán học
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa Platon

Chủ nghĩa Platon toán học là hình thức của chủ nghĩa hiện thực cho thấy các thực thể toán học là trừu tượng, không có thuộc tính không gian hoặc nhân quả, và là vĩnh cửu và không thay đổi. Điều này thường được tuyên bố là quan điểm mà hầu hết mọi người có số. Thuật ngữ nghĩa Platon được sử dụng vì một quan điểm như vậy được xem là song song với Plato 's lý thuyết hình thức và 'World of Ideas'(tiếng Hy Lạp: eidos (εἶδος)) được mô tả trong Plato phúng dụ chiếc hang: thế giới hàng ngày chỉ có thể không hoàn hảo xấp xỉ một không thay đổi, hiện thực tối thượng. Cả hang động và Platon của Plato đều có ý nghĩa, không chỉ là những mối liên hệ hời hợt, bởi vì những ý tưởng của Plato đã có trước và có thể bị ảnh hưởng bởi Pythagore vốn rất nổi tiếng thời Hy Lạp cổ đại, người tin rằng thế giới, hoàn toàn theo nghĩa đen, được tạo ra bởi những con số.
Một câu hỏi lớn được xem xét trong chủ nghĩa Platon toán học là: Chính xác thì các thực thể toán học tồn tại ở đâu và làm thế nào để chúng ta biết về chúng? Có một thế giới, hoàn toàn tách biệt với thế giới vật lý của chúng ta, bị chiếm giữ bởi các thực thể toán học? Làm thế nào chúng ta có thể truy cập vào thế giới riêng biệt này và khám phá sự thật về các thực thể? Một câu trả lời được đề xuất là Ultimate Consemble, một lý thuyết cho rằng tất cả các cấu trúc tồn tại về mặt toán học cũng tồn tại vật lý trong vũ trụ của chính chúng.
Chủ nghĩa Platon của Kurt Gödel  định một loại trực giác toán học đặc biệt cho phép chúng ta nhận thức trực tiếp các đối tượng toán học. (Quan điểm này giống với nhiều điều Husserl nói về toán học, và ủng hộ ý tưởng của Kant rằng toán học là tổng hợp của một tiên nghiệm.) Davis và Hersh đã đề xuất trong cuốn sách Kinh nghiệm toán học năm 1999 của họ rằng hầu hết các nhà toán học hành động như thể họ là người theo chủ nghĩa Platon, mặc dù, nếu bị ép phải bảo vệ vị trí một cách cẩn thận, họ có thể rút lui về chủ nghĩa hình thức.
Platonism đầy đủ là một biến thể hiện đại của Platonism, phản ứng với thực tế là các tập hợp toán học khác nhau có thể được chứng minh tồn tại tùy thuộc vào các tiên đề và quy tắc suy luận được sử dụng (ví dụ, luật của trung gian bị loại trừ và tiên đề của sự lựa chọn). Nó cho rằng tất cả các thực thể toán học tồn tại, tuy nhiên chúng có thể chứng minh được, ngay cả khi chúng không thể xuất phát từ một tập tiên đề nhất quán duy nhất.
Chủ nghĩa hiện thực theo lý thuyết tập hợp (cũng là chủ nghĩa Platon theo lý thuyết tập hợp)  một vị trí được bảo vệ bởi Penelope Maddy, là quan điểm cho rằng lý thuyết tập hợp là về một vũ trụ tập hợp. Vị trí này (còn được gọi là Platonism nhập tịch vì nó là phiên bản nhập tịch của Platonism toán học) đã bị Mark Balaguer chỉ trích trên cơ sở vấn đề nhận thức luận của Paul Benacerraf. Một quan điểm tương tự, được gọi là chủ nghĩa tự nhiên Platonized, sau đó được bảo vệ bởi Trường Stanford Stanford Edmonton: theo quan điểm này, một loại Platonism truyền thống hơn phù hợp với chủ nghĩa tự nhiên; loại Platonism truyền thống hơn mà họ bảo vệ được phân biệt bởi các nguyên tắc chung khẳng định sự tồn tại của các đối tượng trừu tượng.
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa toán học

Giả thuyết vũ trụ toán học (hay toán học) của Max Tegmark đi xa hơn Platonism khi khẳng định rằng không chỉ tất cả các đối tượng toán học tồn tại, mà còn không có gì khác. Định đề duy nhất của Tegmark là: Tất cả các cấu trúc tồn tại về mặt toán học cũng tồn tại về mặt vật lý. Đó là, theo nghĩa là "trong những [thế giới] đó đủ phức tạp để chứa các cấu trúc tự nhận thức [chúng] sẽ nhận thức một cách chủ quan về bản thân như tồn tại trong một thế giới 'thực'.
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa logic

Logic học là luận điểm cho rằng toán học có khả năng giảm logic, và do đó không có gì ngoài một phần của logic.  Các nhà logic học cho rằng toán học có thể được biết đến như một tiên nghiệm, nhưng cho rằng kiến thức toán học của chúng ta chỉ là một phần của kiến thức logic nói chung, và do đó là phân tích, không đòi hỏi bất kỳ giảng viên trực giác toán học đặc biệt nào. Theo quan điểm này, logic là nền tảng đúng đắn của toán học, và tất cả các phát biểu toán học là những sự thật logic cần thiết.
Rudolf Carnap (1931) trình bày luận điểm logic trong hai phần:
Các khái niệm toán học có thể được bắt nguồn từ các khái niệm logic thông qua các định nghĩa rõ ràng.
Các định lý của toán học có thể được bắt nguồn từ các tiên đề logic thông qua suy luận logic thuần túy.
Gottlob Frege là người sáng lập ra chủ nghiã logic. Trong bán kết Die Grundgesetze der Arithmetik (Luật cơ bản của số học), ông đã xây dựng số học từ một hệ thống logic với một nguyên tắc hiểu biết chung, mà ông gọi là "Luật cơ bản V" (đối với các khái niệm F và G, phần mở rộng của F bằng mở rộng G khi và chỉ khi cho tất cả các đối tượng a, Fa bằng Ga), một nguyên tắc mà anh ta đã chấp nhận để trở thành một phần của logic.
Xây dựng của Frege là thiếu sót. Russell phát hiện ra rằng Luật cơ bản V không nhất quán (đây là nghịch lý của Russell). Frege đã từ bỏ chương trình logic của mình ngay sau đó, nhưng nó vẫn được tiếp tục bởi Russell và Whitehead. Họ gán cho nghịch lý là "vòng tròn luẩn quẩn" và xây dựng cái mà họ gọi là lý thuyết kiểu phân nhánh để đối phó với nó. Trong hệ thống này, cuối cùng họ đã có thể xây dựng nhiều toán học hiện đại nhưng ở dạng biến đổi và phức tạp quá mức (ví dụ, có mỗi số tự nhiên khác nhau trong mỗi loại và có vô số loại). Họ cũng đã phải thực hiện một số thỏa hiệp để phát triển rất nhiều toán học, chẳng hạn như " tiên đề của tính khử ". Ngay cả Russell cũng nói rằng tiên đề này không thực sự thuộc về logic.
Các nhà logic học hiện đại (như Bob Hale, Crispin Wright, và có lẽ những người khác) đã quay trở lại một chương trình gần hơn với Frege. Họ đã từ bỏ Luật cơ bản V để ủng hộ các nguyên tắc trừu tượng hóa như nguyên tắc của Hume (số lượng đối tượng thuộc khái niệm F bằng với số lượng đối tượng thuộc khái niệm G khi và chỉ khi mở rộng F và mở rộng G đưa vào tương ứng một-một). Frege yêu cầu Luật cơ bản V để có thể đưa ra định nghĩa rõ ràng về các con số, nhưng tất cả các thuộc tính của số có thể được lấy từ nguyên tắc của Hume. Điều này sẽ không đủ cho Frege bởi vì (để diễn giải anh ta) không loại trừ khả năng số 3 thực tế là Julius Caesar. Ngoài ra, nhiều nguyên tắc suy yếu mà họ đã phải áp dụng để thay thế Luật cơ bản V dường như không còn quá rõ ràng để phân tích, và do đó hoàn toàn hợp lý.
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa thông thường

Nhà toán học người Pháp, Henri Poincaré là một trong những người đầu tiên đưa ra quan điểm thông thường. Việc Poincaré sử dụng hình học phi Euclide trong công trình nghiên cứu về phương trình vi phân đã thuyết phục ông rằng hình học Euclide không nên được coi là một sự thật tiên nghiệm. Ông cho rằng các tiên đề trong hình học nên được chọn cho kết quả mà chúng tạo ra, chứ không phải vì sự gắn kết rõ ràng của chúng với trực giác của con người về thế giới vật chất.
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa trực giác

Trong toán học, trực giác là một chương trình cải cách phương pháp với phương châm là "không có sự thật toán học không có kinh nghiệm" (LEJ Brouwer). Từ bàn đạp này, những người theo trực giác tìm cách tái cấu trúc những gì họ cho là phần chính xác của toán học theo các khái niệm của Kant về sự tồn tại, trở thành, trực giác và kiến thức. Brouwer, người sáng lập phong trào, cho rằng các đối tượng toán học phát sinh từ các hình thức tiên nghiệm của các biến động thông báo cho nhận thức về các đối tượng thực nghiệm.
Một lực lượng chính đằng sau chủ nghĩa trực giác là LEJ Brouwer, người đã bác bỏ tính hữu dụng của logic chính thức của bất kỳ loại nào đối với toán học. Học sinh của ông là Arend Heyting đã đưa ra một logic trực giác, khác với logic Aristoteles cổ điển; logic này không chứa luật trung gian bị loại trừ và do đó cau mày khi chứng minh bằng mâu thuẫn. Tiên đề của sự lựa chọn cũng bị từ chối trong hầu hết các lý thuyết tập hợp trực giác, mặc dù trong một số phiên bản, nó được chấp nhận.
Trong trực giác, thuật ngữ "xây dựng rõ ràng" không được xác định rõ ràng, và điều đó đã dẫn đến những lời chỉ trích. Người ta đã cố gắng sử dụng các khái niệm về máy Turing hoặc chức năng tính toán để lấp đầy khoảng trống này, dẫn đến tuyên bố rằng chỉ những câu hỏi liên quan đến hành vi của thuật toán hữu hạn là có ý nghĩa và cần được nghiên cứu trong toán học. Điều này đã dẫn đến việc nghiên cứu các con số tính toán, lần đầu tiên được giới thiệu bởi Alan Turing. Không có gì đáng ngạc nhiên, sau đó, cách tiếp cận toán học này đôi khi được kết hợp với khoa học máy tính lý thuyết.
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa trực giác > Chủ nghĩa xây dựng

Giống như chủ nghĩa trực giác, chủ nghĩa kiến tạo liên quan đến nguyên tắc điều chỉnh chỉ những thực thể toán học có thể được xây dựng rõ ràng theo một nghĩa nào đó mới được chấp nhận vào diễn ngôn toán học. Theo quan điểm này, toán học là một bài tập về trực giác của con người, không phải là một trò chơi với những biểu tượng vô nghĩa. Thay vào đó, đó là về các thực thể mà chúng ta có thể tạo ra trực tiếp thông qua hoạt động tinh thần. Ngoài ra, một số học viên của các trường này từ chối các bằng chứng phi xây dựng, chẳng hạn như bằng chứng bằng mâu thuẫn. Công việc quan trọng được thực hiện bởi Errett Bishop, người đã cố gắng chứng minh các phiên bản của các định lý quan trọng nhất trong phân tích thực như phân tích mang tính xây dựng trong Cơ sở Phân tích Xây dựng năm 1967 của ông .
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa trực giác > Chủ nghĩa hữu hạn

Finitism là một hình thức cực đoan của kiến tạo, theo đó một đối tượng toán học không tồn tại trừ khi nó có thể được xây dựng từ các số tự nhiên trong một số bước hữu hạn. Trong cuốn sách Philistic of Set Theory, Mary Tiles đã mô tả những người cho phép các đối tượng vô hạn là những nhà tài chính cổ điển và những người từ chối thậm chí cả những đối tượng vô hạn là những nhà tài chính nghiêm khắc.
Người đề xuất chủ nghĩa tài chính nổi tiếng nhất là Leopold Kronecker, nói:
God created the natural numbers, all else is the work of man.
Ultrafinitism là một phiên bản thậm chí còn cực đoan hơn của chủ nghĩa hữu hạn, nó bác bỏ không chỉ vô số mà cả số lượng hữu hạn không thể được xây dựng bằng các nguồn lực sẵn có. Một biến thể khác của chủ nghĩa hữu hạn là số học Euclide, một hệ thống được phát triển bởi John Penn Mayberry trong cuốn sách Những nền tảng của toán học trong lý thuyết về bộ. Hệ thống của Mayberry là Aristotelian trong cảm hứng chung và, mặc dù ông từ chối mạnh mẽ bất kỳ vai trò nào đối với hoạt động hoặc tính khả thi trong các nền tảng của toán học, đi đến kết luận tương tự, chẳng hạn, siêu lũy thừa không phải là một chức năng tài chính hợp pháp.
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa cấu trúc

Chủ nghĩa cấu trúc là một vị trí mà các lý thuyết toán học mô tả các cấu trúc và các đối tượng toán học được xác định một cách thấu đáo bởi vị trí của chúng trong các cấu trúc như vậy, do đó không có thuộc tính nội tại. Chẳng hạn, nó sẽ duy trì rằng tất cả những gì cần biết về số 1 là nó là số nguyên đầu tiên sau 0. Tương tự như vậy, tất cả các số nguyên khác được xác định bởi vị trí của chúng trong một cấu trúc, dòng số. Các ví dụ khác về các đối tượng toán học có thể bao gồm các đường và mặt phẳng trong hình học, hoặc các phần tử và phép toán trong đại số trừu tượng.
Chủ nghĩa cấu trúc là một quan điểm hiện thực nhận thức luận ở chỗ nó cho rằng các phát biểu toán học có giá trị chân lý khách quan. Tuy nhiên, yêu cầu trung tâm của nó chỉ liên quan đến loại đối tượng toán học là gì, không liên quan đến loại đối tượng hoặc cấu trúc toán học nào tồn tại (nói cách khác là bản thể luận của chúng). Các loại đối tượng toán học tồn tại rõ ràng sẽ phụ thuộc vào cấu trúc mà chúng được nhúng vào; các giống phụ khác nhau của chủ nghĩa cấu trúc làm cho tuyên bố bản thể học khác nhau về vấn đề này.
Chủ nghĩa cấu trúc ante rem ("trước sự việc") có một bản thể học tương tự như chủ nghĩa Platon. Các cấu trúc được tổ chức để có một sự tồn tại thực sự nhưng trừu tượng và phi vật chất. Như vậy, nó phải đối mặt với vấn đề nhận thức luận tiêu chuẩn trong việc giải thích sự tương tác giữa các cấu trúc trừu tượng như vậy và các nhà toán học máu thịt (xem vấn đề nhận dạng của Benacerraf).
Chủ nghĩa in-re cấu trúc ("trong sự vật") tương đương với chủ nghĩa hiện thực của Aristoteles. Các cấu trúc được tổ chức để tồn tại khi một số hệ thống cụ thể minh họa chúng. Điều này phát sinh các vấn đề thông thường mà một số cấu trúc hoàn toàn hợp pháp có thể vô tình không tồn tại và một thế giới vật chất hữu hạn có thể không đủ "lớn" để chứa một số cấu trúc hợp pháp khác.
Chủ nghĩa cấu trúc bài rem ("sau sự vật") là chống chủ nghĩa hiện thực về các cấu trúc theo cách tương đồng với chủ nghĩa duy danh. Giống như chủ nghĩa duy danh, cách tiếp cận bài rem phủ nhận sự tồn tại của các đối tượng toán học trừu tượng với các thuộc tính khác với vị trí của chúng trong một cấu trúc quan hệ. Theo quan điểm này, các hệ thống toán học tồn tại và có các đặc điểm cấu trúc chung. Nếu một cái gì đó đúng với cấu trúc, nó sẽ đúng với tất cả các hệ thống minh họa cho cấu trúc. Tuy nhiên, nó chỉ đơn thuần là công cụ để nói về các cấu trúc được "giữ chung" giữa các hệ thống: thực tế chúng không có sự tồn tại độc lập.
Trường phái tư tưởng đương đại > Các lý thuyết tâm trí hiện thân

Các lý thuyết tâm trí thể hiện cho rằng tư duy toán học là sự phát triển tự nhiên của bộ máy nhận thức của con người tìm thấy chính nó trong vũ trụ vật lý của chúng ta. Ví dụ, khái niệm trừu tượng về số lò xo từ kinh nghiệm đếm các đối tượng rời rạc. Người ta cho rằng toán học không phải là vạn năng và không tồn tại theo bất kỳ ý nghĩa thực tế nào, ngoài bộ não của con người. Con người xây dựng, nhưng không khám phá, toán học.
Với quan điểm này, vũ trụ vật lý vì thế có thể được coi là nền tảng cuối cùng của toán học: nó đã hướng dẫn sự tiến hóa của bộ não và sau đó xác định câu hỏi nào bộ não này sẽ đáng để điều tra. Tuy nhiên, tâm trí con người không có yêu cầu đặc biệt về thực tế hoặc cách tiếp cận với nó được xây dựng từ toán học. Nếu những cấu trúc như bản sắc của Euler là đúng thì chúng đúng như một bản đồ của tâm trí và nhận thức của con người.
Do đó, các nhà lý thuyết tâm trí hiện thân giải thích tính hiệu quả của toán học Toán học toán học được xây dựng bởi bộ não để có hiệu quả trong vũ trụ này.
Cách đối xử dễ tiếp cận, nổi tiếng và nổi tiếng nhất của viễn cảnh này là Trường hợp Toán học xuất phát, bởi George Lakoff và Rafael E. Núñez. Ngoài ra, nhà toán học Keith Devlin đã nghiên cứu các khái niệm tương tự với cuốn sách Bản năng toán học, cũng như nhà khoa học thần kinh Stanislas Dehaene với cuốn sách The Number Sense. Để biết thêm về các ý tưởng triết học đã truyền cảm hứng cho quan điểm này, xem khoa học nhận thức của toán học.
Trường phái tư tưởng đương đại > Các lý thuyết tâm trí hiện thân > Chủ nghĩa hiện thực của Aristote

Chủ nghĩa hiện thực của Aristote cho rằng toán học nghiên cứu các tính chất như tính đối xứng, tính liên tục và trật tự có thể được nhận ra theo nghĩa đen trong thế giới vật lý (hoặc trong bất kỳ thế giới nào khác có thể có). Nó tương phản với chủ nghĩa Platon khi cho rằng các đối tượng của toán học, chẳng hạn như số, không tồn tại trong một thế giới "trừu tượng" nhưng có thể được nhận ra về mặt vật lý. Ví dụ, số 4 được nhận ra trong mối quan hệ giữa một đống vẹt và phổ quát "là một con vẹt" phân chia đống thành nhiều con vẹt. Chủ nghĩa hiện thực của Aristote được bảo vệ bởi James Franklin và Trường Sydney trong triết học toán học và gần với quan điểm của Penelope Maddy rằng khi một thùng trứng được mở ra, một bộ ba quả trứng được nhận ra (nghĩa là, một thực thể toán học được nhận ra trong thế giới vật chất). Một vấn đề đối với chủ nghĩa hiện thực của Aristote là những gì được đưa ra cho sự phổ biến cao hơn, có thể không thể thực hiện được trong thế giới vật lý.
Số học Euclide được phát triển bởi John Penn Mayberry trong cuốn sách Những nền tảng của toán học trong lý thuyết về bộ. cũng rơi vào truyền thống hiện thực của Aristote. Mayberry, theo Euclid, coi các con số chỉ đơn giản là "vô số đơn vị nhất định" được hiện thực hóa trong tự nhiên như "các thành viên của Dàn nhạc Giao hưởng London" hay "những cây trong gỗ Birnam". Có hay không có vô số đơn vị nhất định mà Notion 5 của Euclid (Toàn bộ lớn hơn Phần) không thành công và do đó sẽ được coi là vô hạn đối với Mayberry về cơ bản là một câu hỏi về Thiên nhiên và không đặt ra bất kỳ giả định siêu việt nào.
Trường phái tư tưởng đương đại > Các lý thuyết tâm trí hiện thân > Chủ nghĩa tâm lý học

Tâm lý học trong triết học toán học là vị trí mà các khái niệm và/hoặc sự thật toán học được đặt nền tảng, xuất phát từ hoặc giải thích bởi các sự kiện tâm lý (hoặc luật).
John Stuart Mill dường như là người ủng hộ một loại tâm lý học logic, cũng như nhiều nhà logic học người Đức thế kỷ 19 như Sigwart và Erdmann cũng như một số nhà tâm lý học, quá khứ và hiện tại: ví dụ, Gustave Le Bon. Tâm lý học đã bị Frege chỉ trích nổi tiếng trong cuốn Những nền tảng của số học, và nhiều tác phẩm và bài tiểu luận của ông, bao gồm cả bài phê bình về Triết học số học của Husserl. Edmund Husserl, trong tập đầu tiên của Cuộc điều tra logic của mình, được gọi là "The Prolegomena of Pure Logic", đã chỉ trích tâm lý học kỹ lưỡng và tìm cách tránh xa nó. "Prolegomena" được coi là một sự bác bỏ tâm lý ngắn gọn, công bằng và thấu đáo hơn so với những lời chỉ trích của Frege, và ngày nay nó được nhiều người coi là một lời từ chối đáng nhớ cho cú đánh quyết định của nó vào tâm lý học. Tâm lý học cũng bị Charles Sanders Peirce và Maurice Merleau-Ponty chỉ trích.
Trường phái tư tưởng đương đại > Chủ nghĩa hư cấu

Chủ nghĩa hư cấu toán học đã trở nên nổi tiếng vào năm 1980 khi Trường Hartry xuất bản Khoa học không có số, từ chối và trên thực tế đã đảo ngược lập luận không thể thiếu của Quine. Trường hợp Quine cho rằng toán học là không thể thiếu đối với các lý thuyết khoa học tốt nhất của chúng ta, và do đó nên được chấp nhận như một cơ thể của sự thật nói về các thực thể tồn tại độc lập, Field cho rằng toán học có thể phân tán, và do đó nên được coi là một cơ thể của sự giả dối thực. Ông đã làm điều này bằng cách đưa ra một tiên đề hoàn chỉnh của cơ học Newton mà không liên quan đến các con số hay chức năng nào cả. Ông bắt đầu với "tính giữa" của các tiên đề của Hilbert để mô tả không gian mà không phối hợp với nó, và sau đó thêm các mối quan hệ bổ sung giữa các điểm để thực hiện công việc trước đây được thực hiện bởi các trường vectơ. Hình học của Hilbert là toán học, bởi vì nó nói về các điểm trừu tượng, nhưng trong lý thuyết của Field, những điểm này là các điểm cụ thể của không gian vật lý, do đó không cần các đối tượng toán học đặc biệt nào.
Đã chỉ ra cách làm khoa học mà không sử dụng các con số, Field đã tiến hành cải tạo toán học như một loại tiểu thuyết hữu ích. Ông đã chỉ ra rằng vật lý toán học là một phần mở rộng bảo thủ của vật lý phi toán học của mình (nghĩa là mọi thực tế vật lý có thể chứng minh được trong vật lý toán học đều có thể chứng minh được từ hệ thống của Field), do đó toán học là một quá trình đáng tin cậy mà các ứng dụng vật lý của nó đều đúng, mặc dù tuyên bố riêng của nó là sai. Do đó, khi làm toán, chúng ta có thể thấy mình như đang kể một loại câu chuyện, nói chuyện như thể con số tồn tại. Đối với Field, một tuyên bố như "2 + 2 = 4" cũng giống như " Sherlock Holmes sống ở số 221B Phố Baker", cả hai đều đúng theo những hư cấu có liên quan.
Bằng tư duy này, không có vấn đề siêu hình hay nhận thức luận nào đặc biệt đối với toán học. Những lo lắng duy nhất còn lại là những lo lắng chung về vật lý phi toán học, và về tiểu thuyết nói chung. Cách tiếp cận của lĩnh vực đã rất có ảnh hưởng, nhưng bị từ chối rộng rãi. Điều này một phần là do yêu cầu của các đoạn logic thứ hai mạnh mẽ để thực hiện việc giảm bớt của anh ta, và vì tuyên bố bảo thủ dường như đòi hỏi phải định lượng trên các mô hình trừu tượng hoặc các khoản khấu trừ.
Trường phái tư tưởng đương đại > Ngoài các trường phái truyền thống > Hiệu quả không hợp lý

Thay vì tập trung vào các cuộc tranh luận hẹp về bản chất thực sự của toán học thật, hoặc thậm chí trên thực hành duy nhất để các nhà toán học như các bằng chứng, một phong trào phát triển từ những năm 1960 đến những năm 1990 đã bắt đầu đặt câu hỏi về ý tưởng của tìm kiếm cơ sở hoặc tìm kiếm bất kỳ một câu trả lời đúng để tại sao toán học hoạt động. Điểm khởi đầu cho điều này là bài báo nổi tiếng năm 1960 của Eugene Wigner Hiệu quả phi lý của toán học trong khoa học tự nhiên, trong đó ông cho rằng sự trùng hợp vui vẻ của toán học và vật lý rất phù hợp dường như là vô lý và khó giải thích.
Trường phái tư tưởng đương đại > Ngoài các trường phái truyền thống > Hai giác quan của Popper

Các lý thuyết hiện thực và kiến tạo thường được coi là tương phản. Tuy nhiên, Karl Popper  lập luận rằng một tuyên bố số như "2 apples + 2 apples = 4 apples" có thể được thực hiện theo hai nghĩa. Theo một nghĩa nào đó, nó là không thể bác bỏ và đúng về mặt logic. Theo nghĩa thứ hai, nó thực sự đúng và sai lệch. Một cách khác để nói điều này là để nói rằng một câu lệnh số đơn có thể diễn tả hai mệnh đề: một trong số đó có thể được giải thích trên các dòng kiến tạo; khác trên dòng hiện thực.
Trường phái tư tưởng đương đại > Ngoài các trường phái truyền thống > Triết lý ngôn ngữ

Những đổi mới trong triết lý ngôn ngữ trong thế kỷ 20 đã làm mới quan tâm đến việc liệu toán học có phải là ngôn ngữ của khoa học hay không. Mặc dù một số nhà toán học và triết gia sẽ chấp nhận tuyên bố " toán học là một ngôn ngữ ", các nhà ngôn ngữ học tin rằng ý nghĩa của một tuyên bố như vậy phải được xem xét. Ví dụ, các công cụ của ngôn ngữ học thường không được áp dụng cho các hệ thống ký hiệu của toán học, nghĩa là toán học được nghiên cứu theo một cách khác biệt so với các ngôn ngữ khác. Nếu toán học là một ngôn ngữ, nó là một loại ngôn ngữ khác với ngôn ngữ tự nhiên. Thật vậy, vì nhu cầu về sự rõ ràng và cụ thể, ngôn ngữ toán học bị hạn chế hơn nhiều so với các ngôn ngữ tự nhiên được nghiên cứu bởi các nhà ngôn ngữ học. Tuy nhiên, các phương pháp do Frege và Tarski phát triển để nghiên cứu ngôn ngữ toán học đã được mở rộng rất nhiều bởi sinh viên Richard Montague của Tarski và các nhà ngôn ngữ học khác làm việc trong ngữ nghĩa chính thức để chỉ ra rằng sự khác biệt giữa ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên có thể không lớn như nó tỏ ra.
Mohan Ganesalingam đã phân tích ngôn ngữ toán học bằng các công cụ từ ngôn ngữ học chính thức. Ganesalingam lưu ý rằng một số tính năng của ngôn ngữ tự nhiên là không cần thiết khi phân tích ngôn ngữ toán học (chẳng hạn như thì), nhưng nhiều công cụ phân tích tương tự có thể được sử dụng (như ngữ pháp không ngữ cảnh). Một điểm khác biệt quan trọng là các đối tượng toán học có các loại được xác định rõ ràng, có thể được xác định rõ ràng trong một văn bản: "Thực tế, chúng tôi được phép giới thiệu một từ trong một phần của câu và tuyên bố một phần của lời nói trong một phần khác không có sự tương tự trong ngôn ngữ tự nhiên. "