Triết học phương Tây
Triết học thế kỷ 20 > Triết học phân tích > Gottlob Frege

Sự phát triển quan trọng bậc nhất trong triết học thời kỳ này chính là sự ra đời của logic toán hay logic hình thức. Bước tiến này không chỉ cung cấp nền tảng mới cho khoa học logic, mà còn ảnh hưởng đến sự phát triển của triết học toán học, triết học ngôn ngữ và đặt ra những câu hỏi về bản chất của chính triết học. Một trong số những người có công lớn trong việc đặt nền móng cho logic toán chính là Gottlob Frege.
Tác phẩm nổi bật nhất của Frege là Begriffschrift (tạm dịch: Hệ ghi ý). Trong tác phẩm này, ông đưa ra các biểu tượng để làm rõ các mối quan hệ logic ẩn dưới những lời nói hàng ngày. Cách ký hiệu của Frege, dù khá đẹp và trang nhã, nay đã được thay bằng hệ thống ký hiệu mới tiện lợi hơn. Đóng góp lớn nhất cho logic của ông chính là phát minh ra thuyết định lượng, tức phương pháp để biểu diễn những suy luận mà giá trị chân lý (giá trị đúng/sai) phụ thuộc vào các lượng từ như "tất cả" và "một số", "mọi",  "bất cứ", "không có gì"...Điều này cho phép ông có thể tái cấu trúc phương pháp tam đoạn luận cổ điển.
Ta sẽ xem xét một tam đoạn luận kinh điển dưới đây để minh họa:
Mọi người đều sẽ chết
Socrates là người
Socrates sẽ chết. (kết luận)
Frege viết lại cách suy luận trên như sau: "Nếu x là người, thì x sẽ chết". Lập luận này sẽ đúng nếu ta thay tên của bất cứ ai vào vị trí của x; nếu ta thay x bằng một thứ không phải là người (ví dụ, "thần Mặt trời") thì mệnh đề "nếu x là người" sẽ sai nhưng toàn bộ lập luận vẫn sẽ đúng. Vậy theo cách của Frege, ta có thể thể hiện mệnh đề "Mọi người đều sẽ chết" như sau:
Với mọi x, nếu x là người, thì x sẽ chết
Frege đã mang những thuật ngữ từ đại số vào bộ môn logic học. Trong toán học, cách viết "x/2+1" được gọi là một hàm số phụ thuộc biến số x hay nói cách khác, giá trị của hàm này phụ thuộc vào x. Nếu x = 2 thì hàm có giá trị là 2, còn nếu x = 4 thì hàm có giá trị là 3. Tương tự như vậy, mệnh đề "nếu x là người" nhận giá trị đúng với x = "Socrates" và nhận giá trị sai với x = "thần Mặt trời". Cụm từ "với mọi x" đi trước thể hiện rằng: toàn bộ những gì phía sau ("nếu x là người, x sẽ chết") sẽ đúng với mọi giá trị (en. argument) thay vào vị trí của x. Đây được gọi là một hàm chân lý (en. truth-function) và là cách Frege lượng hóa logic. Phương pháp mới của Frege đã thay thế tam đoạn luận truyền thống, vốn đã được sử dụng trong hàng thế kỷ với vai trò là công cụ logic duy nhất.
Frege áp dụng phương pháp logic của ông vào chính toán học. Khác với Kant, Frege không đồng ý với quan điểm rằng các kiến thức đại số có tính tổng hợp tiên nghiệm; ông cho rằng chúng phải có tính phân tích vì có thể rút ra từ các phương pháp logic thông thường. Ông bắt đầu xây dựng từ số "0" với phương pháp logic của mình. Theo logic, số "0" được định nghĩa là: "tập hợp (class) của tất cả các tập hợp tương đương với tập hợp của các đối tượng không giống chính nó". Không có đối tượng nào mà lại không giống chính mình, nên một tập hợp như trên sẽ không có phần tử nào; chỉ có một tập hợp duy nhất không có phần tử nào, đó là "tập hợp rỗng". Điều này sẽ tiếp tục được dùng để xây dựng nên số "1": "là tập hợp của các tập hợp tương đương với tập hợp rỗng". Tiếp tục, số "2" được định nghĩa là tập hợp với "0" và "1" là phần tử, số "3" là tập hợp với "0", "1" và "2" là phần tử, cứ như vậy đến vô cùng. Đáng tiếc thay, khi Frege đang xây dựng công trình vĩ đại của mình thì một lỗi sai chí tử đã được tìm thấy ngay trong nền móng của nó.