stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Wilhelmina của Hà Lan
Những năm cuối đời và tạ thế

Sau khi Thế chiến thứ hai kết thúc, Nữ vương Wilhelmina quyết định không quay trở lại cung điện của mình mà chuyển đến một biệt thự ở The Hague, nơi bà sống trong 8 tháng. Nữ vương đi khắp vùng nông thôn để động viên mọi người, đôi khi dùng xe đạp thay vì ô tô. Tuy nhiên, vào năm 1947, trong khi đất nước vẫn đang trong quá trình phục hồi sau chiến tranh, cuộc nổi dậy theo chủ nghĩa dân tộc ở vùng Đông Ấn Hà Lan (Indonesia hiện nay) giàu dầu mỏ đã chứng kiến sự giới tinh hoa kinh tế Hà Lan chỉ trích nữ vương.
Cùng lúc đó, sức khỏe của Nữ vương Wilhelmina bắt đầu suy yếu, buộc bà phải tạm thời nhường lại nghĩa vụ quân chủ cho Vương nữ Juliana vào cuối năm 1947 (14 tháng 10 - 1 tháng 12). Bà đã tính đến chuyện thoái vị nhưng Vương nữ Juliana khuyên mẹ của mình ở lại ngai vàng vì sự ổn định của đất nước. Wilhelmina từng có ý định làm như vậy, nhưng sự kiệt sức đã buộc bà phải từ bỏ nhiệm vụ quân chủ cho Juliana một lần nữa vào ngày 12 tháng 5 năm 1948, khiến vương nữ phải giải quyết các cuộc bầu cử sớm do việc giải quyết các vấn đề của Đông Ấn Hà Lan.
Thất vọng trước việc quay trở lại chính trường trước chiến tranh và việc Indonesia sắp mất, Wilhelmina thoái vị vào ngày 4 tháng 9 năm 1948 sau 57 năm 286 ngày trị vì do tuổi cao và bệnh tật. Bà đã truyền lại vương miện cho Juliana và do đó được phong là "Her Royal Highness Princess Wilhelmina of the Netherlands". Kể từ đó, ảnh hưởng của chế độ quân chủ Hà Lan tiếp tục suy giảm nhưng tình yêu của đất nước dành cho hoàng gia vẫn tiếp tục.
Không còn là nữ vương, Wilhelmina lui về Cung điện Het Loo, ít xuất hiện trước công chúng cho đến khi đất nước bị tàn phá bởi trận lũ lụt Biển Bắc năm 1953. Một lần nữa, bà đi khắp đất nước để động viên thần dân Hà Lan của mình. Trong những năm cuối đời, bà đã viết cuốn tự truyện của mình, có tựa đề Eenzaam, maar niet alleen (Cô đơn nhưng không đơn độc), trong đó bà kể lại những sự kiện trong cuộc đời mình và bộc lộ những cảm xúc tôn giáo mạnh mẽ của mình.
Wilhelmina tạ thế vì ngưng tim tại Cung điện Het Loo ở tuổi 82 vào ngày 28 tháng 11 năm 1962. Bà được chôn cất trong hầm mộ của gia đình hoàng gia Hà Lan ở Nieuwe Kerk (Delft), vào ngày 8 tháng 12. Theo yêu cầu của bà và trái với nghi thức, tang lễ hoàn toàn trang trí màu trắng để thể hiện niềm tin của bà rằng cái chết trần thế là khởi đầu của cuộc sống vĩnh cửu. Theo luật Salic của Đức, Nhà Orange-Nassau-Dietz đã tuyệt tự sau cái chết của bà, nhưng quy tắc này không được luật kế vị của hoàng gia Hà Lan công nhận.
Ngoài việc là hậu duệ của quân chủ nam cuối cùng của Nhà Orange-Nassau, bà còn là chắt cuối cùng của Hoàng đế Pavel I của Nga.
Văn hóa đại chúng

Nữ vương Wilhelmina xuất hiện với tư cách là người lãnh đạo trong Civilization VI và là lãnh đạo của Hà Lan trong Hearts of Iron IV nếu con đường Quân chủ được chọn.
Bà được Andrea Domburg thủ vai trong bộ phim Soldier xứ Orange năm 1977 của Paul Verhoeven.
Địa danh được đặt tên

Công viên Tiểu bang Nữ vương Wilhelmina ở Arkansas và Vịnh Wilhelmina ở Nam Cực được đặt theo tên của Nữ vương Wilhelmina.
Năm 1892, công ty Fortuin kỷ niệm 50 năm thành lập bằng việc sản xuất kẹo bạc hà có hình Công chúa Wilhelmina năm 12 tuổi và vẫn tiếp tục sản xuất kể từ đó. Trong số các loại kẹo Hà Lan, loại kẹo bạc hà này đã trở thành "most Dutch of all".
Gia phả

Sau khi Wilhelmina nhậm chức vào năm 1890, tạp chí châm biếm Xã hội chủ nghĩa De Roode Duivel ("Quỷ đỏ") đã lan truyền tin đồn rằng Willem III của Hà Lan không phải là cha ruột của cô mà là người bạn tâm giao của Emma, Sebastiaan Mattheus. Điều này sẽ làm suy yếu tính hợp pháp của triều đại của Nữ vương. Mặc dù không có bằng chứng chắc chắn nào cho các cáo buộc và sự nhất trí giữa các nhà sử học là thông tin này hoàn toàn bịa đặt, những tin đồn này vẫn lưu truyền và vẫn xuất hiện trong các thuyết âm mưu lưu hành trong giới cộng hòa. Tác giả của tin đồn, Hạ nghị sĩ và Thượng nghị sĩ sau này Louis Maximiliaan Hermans, đã bị kết án 6 tháng tù vì tội tội khi quân vào năm 1895 vì một bài báo và phim hoạt hình khác trên tờ De Roode Duivel, chế nhạo hai nữ vương.
Nữ vương Wilhelmina năm 1890
Nữ vương Victoria và Nữ vương Wilhelmina năm 1895
Nữ vương Wilhelmina và con gái Juliana, khoảng năm 1914
Tượng Nữ vương Wilhelmina của Hà Lan ở Amsterdam
Xu bạc: 2½ Gulden của Hà Lan, với chân dung của Nữ vương Wilhelmina ở mặt trước; xu này được đúc và lưu hành từ năm 1929 đến năm 1940
Xu bạc: 2½ Gulden của Curaçao và Vùng phụ thuộc, với chân dung của Nữ vương Wilhelmina ở mặt trước
Nữ vương Wilhelmina, năm 1942
Nữ vương Wilhelmina phát biểu trước Quốc hội Mỹ, 1942
Tượng Nữ vương Wilhelmina ở Noordwijk
Thu thập chữ ký cho nữ vương, 1948
Vịnh Wilhelmina, bán đảo Nam Cực
Lechia Gdańsk

Lechia Gdańsk (phát âm tiếng Ba Lan: [ˈlɛxʲa ˈɡdaj̃sk]) là một câu lạc bộ bóng đá Ba Lan có trụ sở tại Gdańsk.Trong những năm đầu, Lechia đã đạt được một số thành công.Vào đầu những năm 1980,Lechia đã giành Cúp Ba Lan, SuperCup Ba Lan.Sau hai lần sáp nhập với các đội khác vào những năm 1990, câu lạc bộ đã phải thiết lập lại từ hạng 6 vào năm 2001.
Sân nhà

Sân vận động Gdańsk, trước đây được gọi là Baltic Arena, PGE Arena Gdańsk (2010 - 2015), Sân vận động Energa Gdańsk (2015 - 2020) là sân nhà của Lechia Gdańsk. Sức chứa của SVĐ là 41.620 khán giả,Sân vận động Gdańsk là SVĐ lớn thứ ba trong cả nước (sau Sân vận động Quốc gia và Sân vận động Silesia).
Sân nhà > Số Lượng khán giả

| Mùa | Cao Nhất | Đối thủ | Ngày |  | Thấp Nhất | Đối thủ | Ngày |  | Trung bình |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2011–12 | 34444 | Cracovia | 14 August 2011 |  | 10525 | Podbeskidzie | 24 March 2012 |  | 17372 |
| 2012–13 | 19415 | Śląsk Wrocław | 21 October 2012 |  | 8000 | Korona Kielce | 11 March 2013 |  | 13219 |
| 2013–14 | 24276 | Górnik Zabrze | 30 August 2013 |  | 7705 | Piast Gliwice | 29 March 2014 |  | 12844 |
| 2014–15 | 36500 | Legia Warsaw | 11 April 2015 |  | 7619 | Piast Gliwice | 7 December 2014 |  | 16608 |
| 2015–16 | 22415 | Legia Warsaw | 11 May 2016 |  | 8827 | Śląsk Wrocław | 6 December 2015 |  | 11569 |
| 2016–17 | 37220 | Legia Warsaw | 19 March 2017 |  | 10009 | Nieciecza | 29 April 2017 |  | 17531 |
| 2017–18 | 22871 | Arka Gdynia | 7 April 2018 |  | 2235 | Nieciecza | 27 February 2018 |  | 10640 |
| 2018–19 | 25066 | Arka Gdynia | 27 October 2018 |  | 8769 | Wisła Płock | 11 March 2019 |  | 14746 |
| 2019–20  | 14008 | Lech Poznań | 14 September 2019 |  | 0  | Arka Gdynia & Cracovia | 31 March 2020 & 9 June 2020 | – | 8110 |
| 2020–21  | 5424 | Raków Częstochowa | 29 August 2020 |  | 0 | 12 games | All games from October 2020 | – | 987 |
Lịch sử tên gọi

| Năm | Tên viết Tắt | Tên đầy đủ |
| --- | --- | --- |
| 1945 | BOP Baltia Gdańsk | Biuro Odbudowy Portów Baltia Gdańsk |
| 1946 | KS BOP Lechia Gdańsk | Klub Sportowy Biuro Odbudowy Portów Lechia Gdańsk |
| 1947 | BZKS Lechia Gdańsk | Budowlany Związkowy Klub Sportowy Lechia Gdańsk |
| 1951 | ZS Budowlani Gdańsk | Związek Sportowy Budowlani Gdańsk |
| 1955 | TKS ZS Budowlani "Lechia" | Terenowe Koło Sportowe Związek Sportowy Budowlani "Lechia" |
| 1959 | BKS Lechia Gdańsk | Budowlani Klub Sportowy Lechia Gdańsk |
| 1991 | KS Lechia Gdańsk | Klub Sportowy Lechia Gdańsk |
| 1992 | FC Lechia SA | Football Club Lechia Spółka Akcyjna |
| 1995 | KP Olimpia-Lechia Gdańsk | Klub Piłkarski Olimpia-Lechia Gdańsk |
| 1996 | KS Lechia Gdańsk | Klub Sportowy Lechia Gdańsk |
| 1998 | Lechia-Polonia Gdańsk SSA | Lechia-Polonia Gdańsk Sportowa Spółka Akcyjna |
| 2001 | OSP Lechia Gdańsk | Ośrodek Szkolenia Piłkarskiego Lechia Gdańsk |
| 2009 | KS Lechia Gdańsk SA | Klub Sportowy Lechia Gdańsk Spółka Akcyjna |
Đội hình

Ghi chú: Quốc kỳ chỉ đội tuyển quốc gia được xác định rõ trong điều lệ tư cách FIFA. Các cầu thủ có thể giữ hơn một quốc tịch ngoài FIFA.
Đội hình > Cho Mượn

Ghi chú: Quốc kỳ chỉ đội tuyển quốc gia được xác định rõ trong điều lệ tư cách FIFA. Các cầu thủ có thể giữ hơn một quốc tịch ngoài FIFA.
Đội hình > Cựu Cầu Thủ

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Poland  Arkadiusz Bąk (1995)   Krzysztof Baszkiewicz (1950–1953)   Jarosław Bieniuk (1995–1998), (2012–2014)   Ariel Borysiuk (2014–2016), (2018–2019)   Piotr Brożek (2012–2013)   Stanisław Baran (1945)   Adam Buksa (2014–2016)   Stanisław Burzyński (1965–1969)   Paweł Dawidowicz (2011–2014)   Tomasz Dawidowski (2009–2012)   Jan Erlich (1978–1981)   Adam Fedoruk (1998–2001)   Przemysław Frankowski (2012–2014)   Zygmunt Gadecki (1960–1962)   Jacek Grembocki (1982–1986), (1996–1997)   Henryk Gronowski (1949–1967)   Robert Gronowski (1949–1958)   Tadeusz Hogendorf (1945)   Marcin Kaczmarek (2008–2010)   Rafał Kaczmarczyk (1989–1994)   Jerzy Kasalik (1975–1976)   Alfred Kokot (1946–1953)   Roman Korynt (1953–1967)   Jakub Kosecki (2011–2012)   Rafał Kosznik (2006–2008), (2010)   Juliusz Kruszankin (1996)   Janusz Kupcewicz (1986–1988)   Marek Ługowski (1985–1994)   Daniel Łukasik (2014–2020)   Maciej Makuszewski (2014–2017)   Sebastian Małkowski (2008–2013)   Marcin Mięciel (1990–1993)   Sebastian Mila (2000–2001), (2015–2018)   Jarosław Nowicki (1985–1989)   Mariusz Pawlak (1988–1996), (2006–2007)   Sławomir Peszko (2015–2020)   Mirosław Pękala (1985–1988)   Rafał Pietrzak (2020–)   Zdzisław Puszkarz (1966–1981), (1986–1988)   Grzegorz Rasiak (2012–2013)   |   Artur Sobiech (2018–2019)   Janusz Stawarz (1985–1990)   Łukasz Surma (2009–2013)   Grzegorz Szamotulski (1991–1993)   Mirosław Tłokiński (1975–1976)   Łukasz Trałka (2008)   Jakub Wawrzyniak (2015–2018)   Jakub Wilk (2012)   Sławomir Wojciechowski (1989–1993), (2004–2007)   Grzegorz Wojtkowiak (2015–2019)   Rafał Wolski (2016–2020)   Hubert Wołąkiewicz (2007–2011)   Paweł Wszołek (2004–2005)   Marek Zieńczuk (1996–1999), (2010) Afghanistan  Omran Haydary (2020–) Armenia  Levon Hayrapetyan (2011–2013) Bosnia and Herzegovina  Stojan Vranješ (2014–2015) Bulgaria  Simeon Slavchev (2016–2018) Burkina Faso  Abdou Razack Traoré (2010–2012) Canada  Steven Vitória (2016–2019) Congo DR  Christopher Oualembo (2012–2014) Croatia  Antonio Čolak (2014–2015)   Mario Maloča (2015–2018) (2019–)   Mato Miloš (2017–2018)   Luka Vučko (2011–2012) Curaçao  Gino van Kessel (2017) Ghana  Joseph Aziz (1995)   Emmanuel Tetteh (1995–1996)   |  Guinea-Bissau  Romário Baldé (2017–2019)   Rudinilson Silva (2014–2016) Haiti  Joenal Castma (1999–2000) Indonesia  Egy Maulana Vikri (2018–2021)   Witan Sulaeman (2021–) Japan  Daisuke Matsui (2013) Latvia  Oļegs Laizāns (2010)   Ivans Lukjanovs (2009–2012)   Kristers Tobers (2020–) Lithuania  Vytautas Andriuškevičius (2010–2013)   Donatas Kazlauskas (2015–2016) Mali  Bassekou Diabaté (2021–) Martinique  Bedi Buval (2010–2011) Serbia  Danijel Aleksić (2014)   Miloš Krasić (2015–2018)   Vanja Milinković-Savić (2016–2017)   Filip Mladenović (2018–2020) Slovakia  Lukáš Haraslín (2015–2020)   Dušan Kuciak (2017–)   Jaroslav Mihalík (2019–2021) United States  Jerzy Panek (1973) Dual nationals; Israel & United States   Kenny Saief (2020–2021)   |
Huấn Luyện Viên

| Ref | Tên | QT | Thời gian | Thời gian | G | W | D | L | %W |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Michał Globisz |  | 1 July 2001 | 25 August 2001 | 2 | 2 | 0 | 0 | 100% |
|  | Tadeusz Małolepszy |  | 26 August 2001 | 16 November 2002 | 38 | 30 | 4 | 4 | 78.9% |
|  | Jerzy Jastrzębowski |  | 1 February 2003 | 21 May 2004 | 53 | 45 | 3 | 5 | 84.9% |
|  | Marcin Kaczmarek |  | 22 May 2004 | 16 June 2006 | 74 | 38 | 17 | 19 | 51.3% |
|  | Tomasz Borkowski |  | 17 June 2006 | 27 August 2007 | 41 | 16 | 12 | 13 | 39% |
|  | Dariusz Kubicki |  | 30 August 2007 | 22 July 2008 | 32 | 22 | 4 | 6 | 68.7% |
|  | Jacek Zieliński |  | 23 July 2008 | 5 April 2009 | 37 | 9 | 7 | 21 | 24.3% |
|  | Tomasz Kafarski |  | 7 April 2009 | 8 November 2011 | 94 | 32 | 27 | 35 | 34% |
|  | Rafał Ulatowski |  | 9 November 2011 | 14 December 2011 | 4 | 1 | 0 | 3 | 25% |
|  | Paweł Janas |  | 1 January 2012 | 24 May 2012 | 13 | 3 | 5 | 5 | 23% |
|  | Bogusław Kaczmarek |  | 6 June 2012 | 4 June 2013 | 32 | 11 | 8 | 13 | 34.3% |
|  | Michał Probierz |  | 4 June 2013 | 26 March 2014 | 42 | 12 | 15 | 15 | 28.5% |
|  | Ricardo Moniz |  | 27 March 2014 | 4 June 2014 | 10 | 5 | 3 | 2 | 50% |
|  | Quim Machado |  | 16 June 2014 | 21 September 2014 | 9 | 3 | 3 | 3 | 33.3% |
|  | Tomasz Unton |  | 21 September 2014 | 17 November 2014 | 7 | 1 | 2 | 4 | 14.2% |
|  | Jerzy Brzęczek |  | 17 November 2014 | 1 September 2015 | 30 | 11 | 9 | 10 | 36.6% |
|  | Thomas von Heesen |  | 1 September 2015 | 3 December 2015 | 12 | 3 | 2 | 7 | 25% |
|  | Dawid Banaczek |  | 3 December 2015 | 13 January 2016 | 3 | 2 | 0 | 1 | 66.6% |
|  | Piotr Nowak |  | 13 January 2016 | 27 September 2017 | 66 | 31 | 16 | 19 | 46.9% |
|  | Adam Owen |  | 27 September 2017 | 3 March 2018 | 16 | 4 | 6 | 6 | 25% |
|  | Piotr Stokowiec |  | 5 March 2018 | 28 August 2021 | 139 | 64 | 35 | 40 | 46.6% |
|  | Tomasz Kaczmarek |  | 1 September 2021 | present | 15 | 8 | 3 | 4 | 53.3% |
Vườn quốc gia Núi lửa Isluga

| Vườn quốc gia Núi lửa Isluga |
| --- | --- |
IUCN loại II (Vườn quốc gia)
Toàn cảnh Vườn quốc gia Núi lửa Isluga

Vị trí: Tarapacá, Chile
Thành phố gần nhất: Colchane
Tọa độ: 19°09′00″N 68°50′00″T﻿ / ﻿19,15000001°N 68,8333333433°T﻿ / -19.15000001; -68.8333333433
Diện tích: 1.747 km²
Thành lập: 1967
Cơ quan quản lý: Tổng công ty Lâm nghiệp Quốc gia
Vườn quốc gia Núi lửa Isluga (phát âm tiếng Tây Ban Nha: [isˈluɣa]) là một vườn quốc gia nằm trong dãy núi Andes, trong khu vực Tarapacá, gần với Colchane và nằm về phía nam của Khu dự trữ sinh quyển Lauca. Nó có diện tích 1.747 km² với độ cao dao động từ 2.100 đến 5.550 mét. Vườn quốc gia được đặt theo tên của Núi lửa Isluga cao 5.550 mét, và là ngọn núi cao nhất ở vườn quốc gia.
Ngoài ra, một số đỉnh núi khác trong vườn quốc gia bao gồm Qinsachata, Tatajachura và Catarama.
Cư dân chính tại đây là các loài thực vật núi cao, chủ yếu là xương rồng và Polylepis. Ngoài ra, đây còn là nơi mang giá trị văn hóa của người Aymara bao gồm một số khu vực tổ chức nghi lễ như nhà thờ Isluga.
Omar Khayyám

Nhà bác học Ba Tư (1048–1131 sau Công nguyên)Bản mẫu:SHORTDESC:Nhà bác học Ba Tư (1048–1131 sau Công nguyên)
Đối với các định nghĩa khác, xem Omar Khayyám (định hướng).
| Hakim Omar Khayyám |
| --- | --- |
عمر خیّام
Tượng chân dung của Khayyam bởi Abolhassan Sadighi
Sinh: ngày 18 tháng 5 năm 1048 Nishapur, Khorasan, Đế quốc Seljuk
Mất: ngày 4 tháng 12 năm 1131 (thọ 83 tuổi) Nishapur, Khorasan, Đế quốc Seljuk

Trình độ học vấn
Ảnh hưởng bởi: Avicenna al-Khwārizmī Euclid Apollonius of Perge
Sự nghiệp học thuật
Quan tâm chính: Toán học (Hồi giáo trung cổ) thiên văn Triết học Ba Tư Thơ ca Ba Tư
Ảnh hưởng tới: Tusi Al-Khazini Nizami Aruzi of Samarcand Hafez Sadegh Hedayat André Gide John Wallis Saccheri Edward FitzGerald Maurice Bouchor Henri Cazalis Jean Chapelain Amin Maalouf
 
Ghiyāth al-Dīn Abū al-Fatḥ ʿUmar ibn Ibrāhīm Nīsābūrī (ngày 18 tháng 5 năm 1048 – ngày 4 tháng 12 năm 1131), thông thường được biết đến với tên gọi Omar Khayyám (tiếng Ba Tư: عمر خیّام),, là một nhà bác học người Ba Tư xưa, được biết đến bởi những cống hiến của ông cho toán học, thiên văn học, khoáng sản học, triết học và thơ ca. Ông sinh ra tại Nishapur, thủ phủ trước kia của Đế chế Seljuk (gần thủ đô Mashad, miền đông Iran ngày nay). Ông là một học giả cùng thời với sự cai trị của triều đình Seljuk quanh thời điểm của cuộc Thập tự chinh đầu tiên.
Là một nhà toán học, ông được chú ý nhiều nhất cho những cố gắng trong công cuộc phân loại và giải nghiệm các phương trình khối (bậc ba). Theo đó, ông đã phát kiến ra các phương án giải bằng hình học qua giao điểm của các đường conic. Khayyam đồng thời cũng đóng góp cho những hiểu biết về tiên đề song song. Là một nhà thiên văn, ông đã tính toán được thời lượng của năm mặt trời với độ chính xác và tinh vi đáng kinh ngạc. Ông đã thiết kế ra bộ lịch Jalali, một bộ lịch dựa theo mặt trời với chu kỳ 33 năm xen kẽ cực kỳ chuẩn xác, đặt làm nền móng cho bộ lịch Ba Tư vẫn còn được sử dụng sau gần một thiên niên kỷ.
Có một truyền thống về việc quy gán thơ ca cho Omar Khayyam, được viết theo thể thơ bốn câu tứ tuyệt(rubāʿiyāt رباعیات). Thể thơ này trở nên được biết đến rộng rãi tới bạn đọc tiếng Anh qua một bản dịch bởi Edward Fitzgerald (Rubaiyat của Omar Khayyam, 1859) và nhận được về thành công vang dội trong trường phái chủ nghĩa phương đông Orientalism của fin de siècle.
Toán học

Khayyam từng là một nhà toán học rất nổi tiếng trong lúc còn bình sinh. Các công trình toán học còn lưu giữ được của ông bao gồm: Một nhận xét về các khó khăn liên quan đến các mệnh đề trong cuốn "Các nguyên tố" (Elements) của Euclid (Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis, hoàn thành vào tháng 12, năm 1077)[cần dẫn nguồn]. Về phép chia góc phần tư của hình tròn (Risālah fī qismah rub‘ al-dā’irah, chưa được định ngày tháng nhưng đã hoàn thành trước chuyên luận về đại số)[cần dẫn nguồn] và Về các chứng minh cho các vấn đề liên quan đến Đại số (Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala, rất có thể được hoàn thành vào năm 1079). Ông tiến tới viết một luận đề về phân phối nhị thức và trích xuất căn bậc n của các số tự nhiên, nhưng công trình này đã bị thất lạc.
Toán học > Lý thuyết về các đường song song

Một phần nhận xét của Khayyam về cuốn "Nguyên tố" của Euclid là về mệnh đề song song. Chuyên luận của Khayyam có thể được cho là ý kiến đầu tiên về mệnh đề mà không bị phụ thuộc vào petitio principii (lỗi ngộ nhận), mà dựa vào một mệnh đề trực quan hơn. Khayyam bác bỏ các cố gắng trước đó của những nhà toán học khác trong việc chứng minh mệnh đề, chủ yếu với lập luận rằng mỗi người trong số họ đều đã giả thiết một điều gì đó không dễ dàng chấp nhận được hơn chính Mệnh Đề Thứ Năm đó.[cần dẫn nguồn] Rút ra từ các đánh giá của Aristotle, ông bác bỏ việc sử dụng chuyển động (movement) trong hình học và do đó, từ chối luôn cả những nỗ lực cố gắng khác của Al-Haytham. Không được thoả mãn với thất bại của các nhà toán học trong việc chứng minh tuyên bố của Euclid từ các định đề khác của mình, Omar đã cố gắng nối kết tiên đề với Mệnh Đề Thứ Tư, theo đó nói rằng tất cả các góc vuông là đều bằng nhau.
Khayyam là người đầu tiên áp dụng ba trường hợp riêng biệt của góc nhọn, góc tù và góc vuông cho các góc đỉnh của một tứ giác Khayyam-Saccheri. Sau khi chứng minh một số các định lý về chúng, ông cho thấy được rằng, Định Đề Thứ Năm là một kết quả của giả thiết về góc vuông, và đã bác bỏ các trường hợp góc tù và góc nhọn như một điều tự mâu thuẫn.[cần dẫn nguồn] Nỗ lực công phu của ông trong việc chứng minh mệnh đề song song là đặc biệt có ý nghĩa cho sự phát triển tấn tới của hình học, do nó rõ ràng cho chúng ta thấy các hình học phi Euclid là điều khả thi. Những giả thuyết liên quan đến các góc nhọn, góc tù, và góc vuông hiện đã được biết đến là đã dẫn tới phát kiến tương ứng của hình học phi Euclid hyperbola của Gauss-Bolyai-Lobachevsky, cho tới hình học Riemann, và tới hình học Euclid.
Các bình luận của Tusi về cách xử lý của Khayyam với đường song song cũng lan truyền tới châu Âu. John Wallis, giáo sư hình học tại Oxford, đã dịch bình luận của Tusi sang tiếng Latinh. Nhà hình học dòng Jesuit Girolamo Saccheri, người có tác phẩm (euclides ab omni naevo vindicatus, 1733) thường được coi là bước đầu tiên trong sự phát triển tất yếu của hình học phi Euclid, đã khá quen thuộc với công trình của Wallis. Nhà sử học toán học người Mỹ David Eugene Smith đề cập rằng Saccheri "đã sử dụng cùng một bổ đề như của Tusi, thậm chí còn ký hiệu cho hình hoạ trùng hợp theo cùng một cách và sử dụng bổ đề cho cùng mục đích". Ông nói thêm, "Tusi nói một cách tường minh rằng đó là do Omar Khayyam, và từ văn bản, có vẻ như rõ ràng đó chính là người đã truyền nguồn cảm hứng cho ông."
Toán học > Lý thuyết về các đường song song > Khái niệm số thực

Chuyên luận này về Euclid chứa đựng một đóng góp khác liên quan tới lý thuyết về tỷ lệ và với sự kết hợp của các tỷ lệ. Khayyam thảo luận về mối quan hệ giữa khái niệm tỷ lệ và khái niệm số và nêu rõ ra nhiều khó khăn về mặt lý thuyết khác nhau. Cụ thể, ông đóng góp vào nghiên cứu lý thuyết của khái niệm số vô tỷ.[citation needed] .Không hài lòng với định nghĩa của Euclid về các tỷ số bằng nhau, ông đã định nghĩa lại khái niệm về của con số bằng cách sử dụng một phân số liên tục làm phương tiện biểu thị tỷ số. Rosenfeld và Youschkevitch (1973) lập luận rằng, "bằng cách đặt các đại lượng và các số vô tỷ trên cùng một quy mô hoạt động, [Khayyam] đã bắt đầu một cuộc cách mạng thực sự trong học thuyết về số.". Tương tự như vậy, D. J. Struik đã lưu ý rằng Omar "đang trên con đường tiến tới mở rộng khái niệm số, dẫn đến khái niệm về số thực."
Toán học > Đại số hình học

Rashed và Vahabzadeh (2000) đã lập luận rằng, do cách tiếp cận hình học triệt để của ông đối với các phương trình đại số, Khayyam có thể được xem là tiền thân của Descartes trong việc phát minh ra hình học giải tích. Trong "Chuyên luận về phép chia góc phần tư của hình tròn", Khayyam đã áp dụng đại số vào hình học. Trong việc này, ông chủ yếu dành tâm huyết để nghiên cứu xem liệu có thể chia một góc phần tư hình tròn thành hai phần sao cho các đoạn thẳng chiếu từ điểm phân chia đến các đường kính vuông góc của hình tròn tạo thành một tỷ lệ cụ thể hay không. Theo đó, giải pháp của ông đã sử dụng một số cách xây dựng đường cong dẫn đến các phương trình chứa các số hạng bậc ba và bậc bốn.