stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Vũ trụ
Tính chất > Kích thước và các khu vực

Xem thêm: Vũ trụ quan sát được và Vũ trụ học quan sát
Xác định kích thước chính xác của Vũ trụ là một vấn đề khó khăn. Theo như định nghĩa có tính giới hạn, Vũ trụ là những thứ trong phạm vi không thời gian mà có thể có cơ hội tương tác với chúng ta và ngược lại. Theo thuyết tương đối tổng quát, một số khu vực của không gian sẽ không bao giờ tương tác được với chúng ta ngay cả trong thời gian tồn tại của Vũ trụ bởi vì tốc độ ánh sáng là giới hạn và sự giãn nở của không gian. Ví dụ, thông điệp vô tuyến gửi từ Trái Đất có thể không tới được một số khu vực của không gian, ngay cả nếu như Vũ trụ tồn tại mãi mãi: do không gian có thể giãn nở nhanh hơn ánh sáng truyền bên trong nó.
Các vùng không gian ở xa được cho là tồn tại và là một phần thực tại như chúng ta, cho dù chúng ta không bao giờ chạm tới được chúng. Vùng không gian mà chúng ta có thể thu nhận được thông tin gọi là Vũ trụ quan sát được. Nó phụ thuộc vào vị trí của người quan sát. Bằng cách di chuyển, một quan sát viên có thể liên lạc được với một vùng không thời gian lớn hơn so với quan sát viên đứng yên. Tuy vậy, ngay cả đối với quan sát viên di chuyển nhanh nhất cũng không thể tương tác được với toàn bộ không gian. Nói chung, Vũ trụ quan sát được lấy theo nghĩa của phần không gian Vũ trụ được quan sát từ điểm thuận lợi của chúng ta từ Ngân Hà.
Khoảng cách riêng—khoảng cách được đo tại một thời điểm cụ thể, bao gồm vị trí hiện tại từ Trái Đất cho tới biên giới của Vũ trụ quan sát được là bằng 46 tỷ năm ánh sáng (14 tỷ parsec), do đó đường kính của Vũ trụ quan sát được vào khoảng 91 tỷ năm ánh sáng (28×10^9 pc). Khoảng cách ánh sáng từ biên của Vũ trụ quan sát được là xấp xỉ bằng tuổi của Vũ trụ nhân với tốc độ ánh sáng, 13,8 tỷ năm ánh sáng (4,2×10^9 pc), nhưng khoảng cách này không biểu diễn cho một thời điểm bất kỳ khác, bởi vì biên giới của Vũ trụ và Trái Đất đang di chuyển dần ra xa khỏi nhau. Để so sánh, đường kính của một thiên hà điển hình gần bằng 30.000 năm ánh sáng, và khoảng cách điển hình giữa hai thiên hà lân cận nhau là khoảng 3 triệu năm ánh sáng. Ví dụ, đường kính của Ngân Hà vào khoảng 100.000 năm ánh sáng, và thiên hà lớn gần nhất với Ngân Hà, thiên hà Andromeda, nằm cách xa khoảng 2,5 triệu năm ánh sáng.
Bởi vì chúng ta không thể quan sát không gian vượt ngoài biên giới của Vũ trụ quan sát được, chúng ta không thể biết được kích thước của Vũ trụ là hữu hạn hay vô hạn.
Tính chất > Không thời gian

Xem thêm: Phép biến đổi Lorentz
Không thời gian là bối cảnh cho mọi sự kiện vật lý xảy ra—một sự kiện là một điểm trong không thời gian xác định bởi các tọa độ không gian và thời gian. Các yếu tố cơ bản của không thời gian là các sự kiện. Trong một không thời gian bất kỳ, sự kiện được xác định một cách duy nhất bởi vị trí và thời gian. Bởi vì các sự kiện là các điểm không thời gian, trong vật lý tương đối tính cổ điển, vị trí của một hạt cơ bản (giống như hạt điểm) tại một thời điểm cụ thể có thể được viết bằng  (x,y,z,t). Có thể định nghĩa không thời gian là hợp của mọi sự kiện giống như cách một đường thẳng là hợp của mọi điểm trên nó, mà theo phát biểu toán học gọi là đa tạp.
Vũ trụ dường như là một continum không thời gian chứa ba chiều không gian một chiều thời khoảng (thời gian). Trên trung bình, Vũ trụ có tính chất hình học gần phẳng (hay độ cong không gian xấp xỉ bằng 0), có nghĩa là hình học Euclid là mô hình xấp xỉ tốt về hình học của Vũ trụ trên khoảng cách lớn của nó. Ở cấu trúc toàn cục, tô pô của không thời gian có thể là không gian đơn liên (simply connected space), tương tự như với một mặt cầu, ít nhất trên phạm vi Vũ trụ quan sát được. Tuy nhiên, các quan sát hiện tại không thể ngoại trừ một số khả năng rằng Vũ trụ có thêm nhiều chiều ẩn giấu và không thời gian của Vũ trụ có thể là không gian tô pô đa liên toàn cục (multiply connected global topology), tương tự như tô pô của không gian hai chiều đối với mặt của hình trụ hoặc hình vòng xuyến.
Thành phần

Xem thêm: Sự hình thành và tiến hóa thiên hà, Quần tụ thiên hà, Dự án Illustris, và Tinh vân
Vũ trụ chứa phần lớn các thành phần năng lượng tối, vật chất tối, và vật chất thông thường. Các thành phần khác là bức xạ điện từ (ước tính chiếm từ 0,005% đến gần 0,01%) và phản vật chất. Tổng lượng bức xạ điện từ sản sinh ra trong Vũ trụ đã giảm đi một nửa trong 2 tỷ năm qua.
Tỷ lệ phần trăm của mọi loại vật chất và năng lượng thay đổi trong suốt lịch sử của Vũ trụ. Ngày nay, vật chất thông thường, bao gồm nguyên tử, sao, thiên hà, môi trường không gian liên sao, và sự sống, chỉ chiếm khoảng 4,9% thành phần của Vũ trụ. Mật độ tổng hiện tại của loại vật chất thông thường là rất thấp, chỉ khoảng 4,5 × 10−31 gram trên một centimét khối, tương ứng với mật độ của một proton trong thể tích bốn mét khối. Các nhà khoa học vẫn chưa biết được bản chất của cả năng lượng tối và vật chất tối. Vật chất tối, một dạng vật chất bí ẩn mà các nhà vật lý vẫn chưa nhận ra dạng của nó, chiếm thành phần khoảng 26,8%. Năng lượng tối, có thể coi là năng lượng của chân không và là nguyên nhân gây ra sự giãn nở gia tốc của Vũ trụ trong lịch sử gần đây của nó, thành phần còn lại chiếm khoảng 68,3%.
Vật chất, vật chất tối, năng lượng tối phân bố đồng đều trong toàn thể Vũ trụ khi xét phạm vi khoảng cách trên 300 triệu năm ánh sáng. Tuy nhiên, trên những phạm vi nhỏ hơn, vật chất có xu hướng tập trung lại thành cụm; nhiều nguyên tử tích tụ thành các ngôi sao, các ngôi sao tập trung trong thiên hà và phần lớn các thiên hà quần tụ lại thành các đám, siêu đám và cuối cùng là những sợi thiên hà (galaxy filament) trên những khoảng cách lớn nhất. Vũ trụ quan sát được chứa xấp xỉ 3×1023 ngôi sao và hơn 100 tỷ (1011) thiên hà. Các thiên hà điển hình xếp từ loại thiên hà lùn với vài chục triệu  (107) sao cho tới những thiên hà chứa khoảng một nghìn tỷ (1012) sao. Giữa những cấu trúc này là các khoảng trống (void) lớn, với đường kính vào cỡ 10–150 Mpc (33 triệu–490 triệu ly). Ngân Hà nằm trong Nhóm Địa Phương, rồi đến lượt nó thuộc về siêu đám Laniakea. Siêu đám này trải rộng trên 500 triệu năm ánh sáng, trong khi Nhóm Địa Phương có đường kính xấp xỉ 10 triệu năm ánh sáng. Vũ trụ cũng có những vùng trống hoang vu tương đối lớn; khoảng trống lớn nhất từng đo được có đường kính vào khoảng 1,8 tỷ năm ánh sáng (550 Mpc).
Trên quy mô lớn hơn các siêu đám thiên hà, Vũ trụ quan sát được là đẳng hướng, có nghĩa rằng những dữ liệu mang tính chất thống kê của Vũ trụ có giá trị như nhau trong mọi hướng khi quan sát từ Trái Đất. Vũ trụ chứa đầy bức xạ vi sóng có độ đồng đều cao mà nó tương ứng với phổ bức xạ vật đen trong trạng thái cân bằng nhiệt động ở nhiệt độ gần 2,72548 kelvin. Tiên đề coi Vũ trụ là đồng đều và đẳng hướng trên phạm vi khoảng cách lớn được gọi là nguyên lý vũ trụ học. Nếu vật chất và năng lượng trong Vũ trụ phân bố đồng đều và đẳng hướng thì sẽ nhìn thấy mọi thứ như nhau khi quan sát từ mọi điểm và Vũ trụ không có một tâm đặc biệt nào.
Thành phần > Năng lượng tối

Bài chi tiết: Năng lượng tối
Tại sao sự giãn nở của Vũ trụ lại tăng tốc vẫn là một câu hỏi hóc búa đối với các nhà vũ trụ học. Người ta thường cho rằng "năng lượng tối", một dạng năng lượng bí ẩn với giả thuyết mật độ không đổi và có mặt khắp nơi trong Vũ trụ là nguyên nhân của sự giãn nở này. Theo nguyên lý tương đương khối lượng-năng lượng, trong phạm vi cỡ thiên hà, mật độ của năng lượng tối (~ 7 × 10−30 g/cm³) nhỏ hơn rất nhiều so với mật độ của vật chất thông thường hay của năng lượng tối chứa trong thể tích của một thiên hà điển hình. Tuy nhiên, trong thời kỳ năng lượng tối thống trị hiện nay, nó lấn át thành phần khối lượng-năng lượng của Vũ trụ bởi vì sự phân bố đồng đều của nó ở khắp nơi trong không gian.
Các nhà khoa học đã đề xuất hai dạng mà năng lượng tối có thể gán cho đó là hằng số vũ trụ học, một mật độ năng lượng không đổi choán đầy không gian vũ trụ, và các trường vô hướng như nguyên tố thứ năm (quintessence) hoặc trường moduli, các đại lượng động lực mà mật độ năng lượng có thể thay đổi theo không gian và thời gian. Các đóng góp từ những trường vô hướng mà không đổi trong không gian cũng thường được bao gồm trong hằng số vũ trụ học. Ngoài ra, biến đổi nhỏ ở giá trị trường vô hướng bởi sự phân bố bất đồng nhất theo không gian khiến cho rất khó có thể phân biệt những trường này với mô hình hằng số vũ trụ. Vật lý lượng tử cũng gợi ý hằng số này có thể có nguồn gốc từ năng lượng chân không (ví dụ sự xuất hiện của hiệu ứng Casimir). Tuy vậy giá trị đo được của mật độ năng lượng tối lại nhỏ hơn 120 lần bậc độ lớn so với giá trị tính toán của lý thuyết trường lượng tử.
Thành phần > Vật chất tối

Bài chi tiết: Vật chất tối
Vật chất tối là loại vật chất giả thiết không thể quan sát được trong phổ điện từ, nhưng theo tính toán nó phải chiếm phần lớn vật chất trong Vũ trụ. Sự tồn tại và tính chất của vật chất tối được suy luận từ ảnh hưởng hấp dẫn của nó lên vật chất baryon, bức xạ và các cấu trúc lớn trong Vũ trụ. Ngoài neutrino, một loại được các nhà thiên văn vật lý xếp vào dạng vật chất tối nóng - có thể phát hiện thông qua các máy dò đặt dưới lòng đất, thì cho tới nay chưa thể phát hiện tác động trực tiếp của vật chất tối lên các thiết bị thí nghiệm, khiến cho nó trở thành một trong những bí ẩn lớn nhất của ngành thiên văn vật lý hiện đại. Vật chất tối không phát ra hay hấp thụ ánh sáng hay bất kỳ bức xạ điện từ nào ở mức đáng kể. Theo kết quả quan trắc từ bức xạ nền vi sóng vũ trụ, vật chất tối chiếm khoảng 26,8% tổng thành phần năng lượng-vật chất và 84,5%  tổng thành phần vật chất trong Vũ trụ quan sát được.
Thành phần > Vật chất thường

Bài chi tiết: Vật chất
Thành phần khối lượng-năng lượng chiếm 4,9% còn lại của Vũ trụ là "vật chất thông thường", tức là bao gồm các loại nguyên tử, ion, electron và các vật thể mà chúng cấu thành lên. Chúng bao gồm các sao, loại thiên thể tạo ra phần lớn ánh sáng phát ra từ các thiên hà, cũng như khí và bụi trong môi trường liên sao (vd. các tinh vân) và liên thiên hà, các hành tinh, và mọi vật thể có mặt trong cuộc sống hàng ngày mà chúng ta có thể cầm nắm, sản xuất, nghiên cứu và phát hiện ra.
Vật chất thông thường tồn tại trong bốn trạng thái (hay pha): thể rắn, lỏng, khí, và plasma. Tuy nhiên, những tiến bộ trong kỹ thuật thực nghiệm đã cho phép hiện thực hóa được những trạng thái mới của vật chất mà trước đó chỉ được tiên toán tồn tại trên lý thuyết, đó là ngưng tụ Bose–Einstein và ngưng tụ fermion.
Vật chất bình thường cấu thành từ hai loại hạt cơ bản: quark và lepton. Ví dụ, hạt proton hình thành từ hai hạt quark lên và một hạt quark xuống; hạt neutron hình thành từ hai hạt quark xuống và một hạt quark lên; và electron là một loại thuộc họ lepton. Một nguyên tử chứa một hạt nhân nguyên tử, mà do các proton và neutron liên kết với nhau, và các electron trên obitan nguyên tử. Bởi vì phần lớn khối lượng của nguyên tử tập trung tại hạt nhân của nó, mà cấu thành từ các hạt baryon, các nhà thiên văn học thường sử dụng thuật ngữ vật chất baryon để miêu tả vật chất thông thường, mặc dù một phần nhỏ của loại "vật chất baryon" này là các electron và neutrino.
Ngay sau vụ nổ Big Bang, các proton và neutron nguyên thủy hình thành từ dạng plasma quark–gluon của giai đoạn sơ khai khi Vũ trụ "nguội" đi dưới hai nghìn tỷ độ. Một vài phút sau, trong quá trình tổng hợp hạt nhân Big Bang, các hạt nhân hình thành nhờ sự kết hợp của các hạt proton và neutron nguyên thủy. Quá trình tổng hợp này tạo ra các nguyên tố nhẹ như lithi và beryllium, trong khi các nguyên tố nặng hơn chúng lại được sản sinh từ quá trình khác. Một số nguyên tử boron có thể hình thành vào giai đoạn này, nhưng đối với nguyên tố nặng hơn kế tiếp, carbon, đã không hình thành ra một lượng đáng kể. Tổng hợp hạt nhân Vụ Nổ Lớn kết thúc sau khoảng 20 phút do sự giảm nhanh chóng của nhiệt độ và mật độ bởi sự giãn nở của Vũ trụ. Sự hình thành các nguyên tố nặng hơn là do kết quả của các quá trình tổng hợp hạt nhân sao và tổng hợp hạt nhân siêu tân tinh.
Một số cấu trúc trong Vũ trụ
Tinh vân Đầu Ngựa trong chòm sao Orion.
Cụm thiên hà Abell 1689 với hiệu ứng thấu kính hấp dẫn
Ngân Hà trên bầu trời Paranal với kính thiên văn VLT.
Thành phần > Hạt sơ cấp

Bài chi tiết: Vật lý hạt
Vật chất thông thường và các lực tác dụng lên vật chất được miêu tả theo tính chất và hoạt động của các hạt sơ cấp. Các hạt này đôi khi được miêu tả là cơ bản, bởi vì dường như chúng không có cấu trúc bên trong, và người ta chưa biết liệu chúng có phải là hạt tổ hợp của những hạt nhỏ hơn hay không. Lý thuyết quan trọng trung tâm miêu tả các hạt sơ cấp là Mô hình Chuẩn, lý thuyết đề cập đến các tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh. Mô hình Chuẩn đã được kiểm chứng và xác nhận bằng thực nghiệm liên quan tới sự tồn tại của các hạt cấu thành lên vật chất: các hạt quark và lepton, và những "phản hạt" đối ngẫu với chúng, cũng như các hạt chịu trách nhiệm truyền tương tác: photon, và boson W và Z , và gluon. Mô hình Chuẩn cũng tiên đoán sự tồn tại của loại hạt gần đây mới được xác nhận tồn tại đó là boson Higgs, loại hạt đặc trưng cho một trường trong Vũ trụ mà chịu trách nhiệm cho khối lượng của các hạt sơ cấp. Bởi vì nó đã thành công trong giải thích rất nhiều kết quả thí nghiệm, Mô hình Chuẩn đôi lúc được coi là "lý thuyết của mọi thứ". Tuy nhiên, Mô hình Chuẩn không miêu tả lực hấp dẫn. Một lý thuyết thực thụ "cho tất cả" vẫn còn là mục tiêu xa của ngành vật lý lý thuyết.
Thành phần > Hạt sơ cấp > Hadron

Bài chi tiết: Hadron
Hadron là những hạt tổ hợp chứa các quark liên kết với nhau bởi lực hạt nhân mạnh. Hadron được phân thành hai họ: baryon (như proton và neutron) được cấu thành từ ba hạt quark, và meson (như hạt pion) được cấu thành từ một quark và một phản quark. Trong các hadron, proton là loại hạt ổn định với thời gian sống rất lâu, và neutron khi liên kết trong hạt nhân nguyên tử cũng là loại ổn định. Các hadron khác rất không bền dưới các điều kiện bình thường và do vậy chúng là những thành phần không đáng kể trong Vũ trụ.
Từ xấp xỉ 10−6 giây sau vụ nổ Big Bang, trong giai đoạn gọi là kỷ nguyên hadron, nhiệt độ của Vũ trụ đã giảm đáng kể cho phép các hạt quark liên kết với các gluon để tạo thành hadron, và khối lượng của Vũ trụ giai đoạn này chủ yếu đóng góp từ các hadron. Nhiệt độ lúc đầu đủ cao để cho phép hình thành các cặp hadron/phản-hadron, mà giữ cho vật chất và phản vật chất trong trạng thái cân bằng nhiệt động. Tuy nhiên, khi nhiệt độ Vũ trụ tiếp tục giảm, các cặp hadron/phản-hadron không còn tồn tại nữa. Đa số các hadron và phản-hadron hủy lẫn nhau trong phản ứng hủy cặp hạt-phản hạt, chỉ để lại một lượng nhỏ hadron tại lúc Vũ trụ mới trải qua quãng thời gian một giây.
Thành phần > Hạt sơ cấp > Lepton

Bài chi tiết: Lepton
Lepton là loại hạt sơ cấp có spin bán nguyên không tham gia vào tương tác mạnh nhưng nó tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli; không có hai lepton cùng một thế hệ nào có thể ở cùng một trạng thái tại cùng một thời gian. Có hai lớp lepton: các lepton mang điện tích (còn được biết đến lepton giống electron), và các lepton trung hòa (hay các hạt neutrino). Electron là hạt ổn định và là lepton mang điện phổ biến nhất trong Vũ trụ, trong khi muon và tau là những hạt không bền mà nhanh chóng phân rã sau khi được tạo ra từ các va chạm năng lượng cao, như ở phản ứng tia vũ trụ bắn phá bầu khí quyển hoặc thực hiện trong các máy gia tốc.
Các lepton mang điện có thể kết hợp với các hạt khác để tạo thành nhiều loại hạt tổ hợp khác nhau như các nguyên tử và positronium. Electron chi phối gần như mọi tính chất hóa học của các nguyên tố và hợp chất do chúng tạo nên các obitan nguyên tử. Neutrino tương tác rất hiếm với các hạt khác, và do vậy rất khó theo dõi được chúng. Các dòng hạt chứa hàng tỷ tỷ neutrino bay khắp Vũ trụ nhưng hầu hất đều không tương tác với vật chất thông thường.
Có một giai đoạn ngắn trong quá trình tiến hóa lúc sơ khai của Vũ trụ mà các hạt lepton chiếm lĩnh khối lượng chủ yếu. Nó bắt đầu gần 1 giây sau Vụ Nổ Lớn, sau khi phần lớn các hadron và phản hadron hủy lẫn nhau khi kết thúc kỷ nguyên hadron. Trong kỷ nguyên lepton, nhiệt độ của Vũ trụ vẫn còn đủ cao để duy trì các phản ứng sinh cặp lepton/phản-lepton, do đó lúc này các lepton và phản-lepton ở trong trạng thái cân bằng nhiệt động. Đến xấp xỉ 10 giây kể từ Vụ Nổ Lớn, nhiệt độ của Vũ trụ giảm xuống dưới điểm mà cặp lepton và phản-lepton không thể tạo ra được nữa. Gần như toàn bộ lepton và phản-lepton sau đó hủy lẫn nhau, chỉ còn lại dư một ít lepton. Khối lượng-năng lượng của Vũ trụ khi đó chủ yếu do các photon đóng góp và Vũ trụ tiến tới giai đoạn kỷ nguyên photon.
Thành phần > Hạt sơ cấp > Photon

Xem thêm: Photino
Photon là hạt lượng tử của ánh sáng và tất cả các bức xạ điện từ khác. Nó cũng là hạt truyền tương tác của lực điện từ, thậm chí đối với trường hợp tương tác thông qua các photon ảo. Hiệu ứng của lực điện từ có thể dễ dàng quan sát trên cấp vi mô và vĩ mô bởi vì photon có khối lượng nghỉ bằng 0; điều này cho phép tương tác có phạm vi tác dụng trên khoảng cách lớn. Giống như tất cả các hạt sơ cấp khác, photon được giải thích bằng cơ học lượng tử và nó thể hiện lưỡng tính sóng hạt, các tính chất có của sóng lẫn của hạt.
Kỷ nguyên photon bắt đầu sau khi đa phần các lepton và phản-lepton hủy lẫn nhau tại cuối kỷ nguyên lepton, khoảng 10 giây sau Big Bang. Hạt nhân nguyên tử được tạo ra trong quá trình tổng hợp hạt nhân xuất hiện trong thời gian một vài phút của kỷ nguyên photon. Vũ trụ trong kỷ nguyên này bao gồm trạng thái vật chất plasma nóng đặc của các hạt nhân, electron và photon. Khoảng 380.000 năm sau Big Bang, nhiệt độ của Vũ trụ giảm xuống tới giá trị cho phép các electron có thể kết hợp với hạt nhân nguyên tử để tạo ra các nguyên tử trung hòa. Kết quả là, photon không còn thường xuyên tương tác với vật chất nữa và Vũ trụ trở lên "sáng rõ" hơn. Các photon có dịch chuyển đỏ lớn từ giai đoạn tạo nên bức xạ nền vi sóng vũ trụ. Những thăng giáng nhỏ trong nhiệt độ và mật độ phát hiện thấy trong CMB chính là những "mầm mống" sơ khai mà từ đó các cấu trúc trong Vũ trụ hình thành lên.
Phương trình bậc hai

Trong đại số sơ cấp, phương trình bậc hai là phương trình có dạng

 ax^{2}+bx+c=0\,,
Với x là ẩn số chưa biết và a, b, c là các số đã biết sao cho a khác 0. Các số a, b, và c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay hệ số tự do.
Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình "đơn biến". Phương trình bậc hai chỉ chứa lũy thừa của x là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng phương trình đa thức, cụ thể là phương trình đa thức bậc hai do bậc cao nhất là hai.
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị. Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên.
Giải phương trình bậc hai

Một phương trình bậc hai với các hệ số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là các nghiệm. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.
Giải phương trình bậc hai > Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có thể viết được thành (px + q)(rx + s) = 0. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.
Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận. Nếu phương trình bậc hai ở dạng x2 + bx + c = 0 (a = 1) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó q và s có tổng là b và tích là c (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet") Ví dụ, x2 + 5x + 6 viết thành (x + 3)(x + 2). Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.
Trừ những trường hợp đặc biệt như khi b = 0 hay c = 0, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.
Giải phương trình bậc hai > Phần bù bình phương

Bài chi tiết: Phần bù bình phương
Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:
một thuật toán rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào. Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0
Chia hai vế cho a, hệ số của ẩn bình phương.
Trừ c/a mỗi vế.
Thêm bình phương của một nửa b/a, hệ số của x, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
Giải hai phương trình bậc nhất.
ax^{2}+bx+c=0
\Leftrightarrow ax^{2}+bx=-c
\Leftrightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}
\Leftrightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}=-{\frac {c}{a}}+({\frac {b}{2a}})^{2}
\Leftrightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {-4ac+b^{2}}{4a^{2}}}
\Leftrightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}
\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}
\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}
Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình 2x2 + 4x − 4 = 0
Đây là lời giải.
Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.
Giải phương trình bậc hai > Công thức nghiệm

Bài chi tiết: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Có thể áp dụng phương pháp phần bù bình phương để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Giờ là phần chứng minh tóm tắt. Bằng khai triển đa thức, dễ thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu:
Lấy căn bậc hai của hai vế rồi chuyển x về một bên, ta được:
Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như ax2 + 2bx + c = 0 hoặc ax2 − 2bx + c = 0 , ở đây b có độ lớn bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương.
Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng minh này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.
Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong phương pháp Muller và có thể tìm được từ công thức Viet:
Một tính chất của công thức này là khi a = 0 nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho 0, bởi khi a = 0 thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp.
Giải phương trình bậc hai > Phương trình bậc hai rút gọn

Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác 0, ta được phương trình bậc hai rút gọn:
trong đó p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:
Giải phương trình bậc hai > Biệt thức

Bài chi tiết: Biệt thức
Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được biểu diễn bằng chữ D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:
Phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:
Nếu Δ (hoặc Δ') dương (Δ > 0 hay Δ'>0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Nếu Δ = 0 (hoặc Δ' = 0), phương trình có một nghiệm thực:
Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0), phương trình không có nghiệm thực, thay vào đó là hai nghiệm phức phân biệt
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác 0, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ 0)
.