stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Nửa nhóm
Các khái niệm cơ bản > Đồng cấu và tương đẳng

Đồng cấu nửa nhóm là hàm bảo toàn cấu trúc của nửa nhóm.  Hàm f: S → T giữa hai nửa nhóm là đồng cấu nếu phương trình
thỏa mãn với mọi a, b thuộc S, tức kết quả là như nhau khi áp dụng phép toán trước hay sau khi tính hàm f.
Đồng cấu nửa nhóm giữa các monoid bảo toàn phần tử đơn vị nếu nó là đồng cấu monoid. Bởi có các đồng cấu nửa nhóm nhưng không phải đồng cấu monoid. Ví dụ chẳng hạn như phép nhúng chính tắc của nửa nhóm  S không phần tử đơn vị vào  S^{1}. Gọi  f:S_{0}\to S_{1} là đồng cấu nửa nhóm. Ảnh của  f cũng là nửa nhóm. Nếu  S_{0} là monoid cùng phần tử đơn vị  e_{0}, thì  f(e_{0}) là phần tử đơn vị trong ảnh của  f. Nếu  S_{1} là monoid cùng phần tử đơn vị  e_{1} và  e_{1} thuộc ảnh của  f, thì  f(e_{0})=e_{1}, tức là  f là đồng cấu monoid. Cụ thể hơn, nếu  f là toàn ánh, thì nó là đồng cấu monoid.
Hai nửa nhóm S và T được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại đồng cấu nửa nhóm có tính song ánh f : S → T. Nửa nhóm đẳng cấu với nhau có cấu trúc như nhau.
Tương đẳng nửa nhóm  \sim  là quan hệ tương đương tương thích với phép toán hai ngôi của nửa nhóm. Nghĩa là, một tập con của  \sim \;\subseteq S\times S là quan hệ tương đương và  x\sim y\, và  u\sim v\, suy ra  xu\sim yv\, với mọi  x,y,u,v thuộc S. Giống bất kỳ quan hệ tương đương, tương đẳng nửa nhóm  \sim  cảm sinh các lớp tương đẳng
và phép toán của nửa nhóm cảm sinh phép toán hai ngôi  \circ  trên tập các lớp tương đẳng:
Bởi  \sim  là tương đẳng, tập các lớp tương đương dưới phép  \sim  tạo thành nửa nhóm với phép toán  \circ , được gọi là nửa nhóm thương hau nửa nhóm nhân tử, và được ký hiệu là  S/\!\!\sim . Ánh xạ  x\mapsto [x]_{\sim } là đồng cấu nửa nhóm, hay được gọi là ánh xạ thương, toàn xạ chính tắc hoặc phép chiếu chính tắc; nếu S là monoid thì nửa nhóm thương là monoid cùng với phần tử đơn vị  [1]_{\sim }. Ngược lại, nhân của bất cứ đồng cấu nửa nhóm là tương đẳng nửa nhóm. Lớp tương đẳng và monoid nhân tử là các đối tượng được nghiên cứu trong các hệ thống viết lại xâu.
Chú thích

↑  Tiên đề đóng suy ra bằng định nghĩa của phép toán hai ngôi trên tập hợp. Do đó các tác giả thường không nhắc đến nó, mà chỉ lấy 3 tiên đề cho nhóm và một tiên đề (tính kết hợp) cho nửa nhóm.
Tham khảo khác > Tham khảo chung

Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851194-6. Zbl 0835.20077.
Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (1961). The Algebraic Theory of Semigroups. 1. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0271-7. Zbl 0111.03403.
Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. The algebraic theory of semigroups. 2. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4.
Grillet, Pierre Antoine (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-9662-4. Zbl 0830.20079.
Grillet, Pierre Antoine (2001). Commutative Semigroups. Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-7067-3. Zbl 1040.20048.
Hollings, Christopher (2009). “The Early Development of the Algebraic Theory of Semigroups”. Archive for History of Exact Sciences. 63: 497–536. doi:10.1007/s00407-009-0044-3.
Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1493-1. Zbl 1317.20001.
Petrich, Mario (1973). Introduction to Semigroups. Charles E. Merrill. ISBN 978-0-675-09062-9. Zbl 0321.20037.
Tham khảo khác > Tham khảo riêng

Feller, William (1971). An introduction to probability theory and its applications. II (ấn bản thứ 2). Wiley. MR 0270403.
Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974). Functional analysis and semi-groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0821874646. MR 0423094.
Suschkewitsch, Anton (1928). Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit. Mathematische Annalen. 99. tr. 30–50. doi:10.1007/BF01459084. hdl:10338.dmlcz/100078. ISSN 0025-5831. MR 1512437.
Kantorovitz, Shmuel (2009). Topics in Operator Semigroups. Springer. ISBN 978-0-8176-4932-6. Zbl 1187.47003.
Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 1 (ấn bản thứ 2). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lawson, Mark V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7. Zbl 1079.20505.
Lothaire, M. (2011) [2002]. Algebraic combinatorics on words. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 90. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl 1221.68183.
Quy hoạch tuyến tính

Trong toán học, quy hoạch tuyến tính (QHTT) (tiếng Anh: linear programming - LP) là bài toán tối ưu hóa, trong đó hàm mục tiêu (objective function) và các điều kiện ràng buộc đều là tuyến tính.
Trong bài toán này, cho một đa tạp (polytope) (chẳng hạn một đa giác hoặc một đa diện), và một hàm tuyến tính (affine) nhận giá trị thực
xác định trên đa tạp đó, mục đích là tìm một điểm trên đa tạp tại đó hàm có giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất). Các điểm như vậy có thể không tồn tại, nhưng nếu chúng tồn tại phải tìm được ít nhất một điểm.
Lịch sử

Phương pháp giải hệ phương trình truyến tính đã đã được tìm ra vào năm 1827 bởi Fourier. Vì thế nó có tên là phương pháp loại bỏ Fourier-Motzkin.
Năm 1939, một dạng bài toán quy hoạch tuyến tính tương đương với bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát được đưa ra bởi nhà toán học và kinh tế học Leonid Kantorovich, và ông cũng chính là người đề xuất phương pháp giải nó. Trong Thế chiến thứ 2, ông được giao cho nhiệm vụ lập bảng kế hoạch chi tiêu và thu hồi nhằm giảm chi phí cho quân đội và tăng tổn thất cho kẻ thù. Công việc mà Kantorovich làm ban đầu bị lãng quên. Cùng thời với Kantorovich, nhà kinh tế học người Mỹ gốc Hà Lan T.C.Koopmans đã đưa ra các bài toán kinh tế cổ điển dưới dạng bài toán tuyến tính. Kantorovich and Kôpmans sau đó  cùng nhận giải Nobel kinh tế năm 1975. Năm 1941, Frank Lauren Hitchcook cũng đưa các bài toán vận tải dưới dạng phương trinh tuyến tính và đưa ra một đáp án rất giống với phương pháp simplex sau này. Hitchcook qua đời năm 1957, và giải Nobel đã không được truy tặng.
Dạng chuẩn tắc (Standard form)

Dạng chuẩn tắc là dạng thông thường và trực quan nhất đẻ mô tả một bài toán quy hoạch tuyến tính.
Một bài toán quy hoạch tuyến tính thường được phát biểu dưới dạng sau:
Như vậy, một bài toán quy hoạch tuyến tính được cho bởi:
1. Một hàm tuyến tính cần tìm cực tiểu:  cx=c_{1}x_{1}+\ldots +c_{n}x_{n}.
2. Các điều kiện (hay ràng buộc) dưới dạng các bất đẳng thức tuyến tính.
x\geq 0 (ứng với  A=-Id,  b=0).
{\begin{cases}x_{1}+x_{2}\leq 1\\x_{1}\geq 0\\x_{2}\geq 0\end{cases}}\quad  (ứng với  A={\begin{bmatrix}1&1\\-1&0\\0&-1\end{bmatrix}},  b={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}).
Ghi chú: Các tài liệu khác nhau có thể có định nghĩa khác nhau về dạng chuẩn tắc của bài toán. Tuy nhiên, các dạng này là tương đương (xem ).
Dạng chuẩn tắc (Standard form) > Ví dụ

Chẳng hạn một nông dân có A sào đất để canh tác, ông ta dự định trồng khoai tây và lúa. Ông ta cũng có một lượng phân bón là F và một số tiền vốn để mua giống là P. Chi phí tương ứng cho hai loại cây trông trên là (F1, P1) cho khoai tây và (F2, P2) cho lúa. Giả sử thu hoạch quy ra tiền cho mỗi sào khoai tây là S1, cho mỗi sào lúa là S2. Nếu dành để trồng khoai tây x1 sào và lúa x2 sào, thì bài toán chọn số sào trồng khoai tây và trồng lúa là bài toán QHTT sau đây:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Cực đại hóa hàm  S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}\, | Cực đại hóa hàm  S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}\, | (hàm mục tiêu cực đại) |
với các ràng buộc: 
|  |  x_{1}+x_{2}\leq A | (giới hạn đất trồng) |
|  |  F_{1}x_{1}+F_{2}x_{2}\leq F | (giới hạn phân bón) |
|  |  P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2}\leq P | (giới hạn tiền vốn mua giống) |
|  |  x_{1}\geq 0,\,x_{2}\geq 0 | (giá trị không âm) |
Còn dưới dạng ma trận:
Dạng gia tố (Augmented form)

(Các tài liệu trong nước gọi là đưa về dạng chính tắc)
Bài toán QHTT được biến đổi về dạng gia tố trước khi trước khi giải bằng thuật toán đơn hình (simplex algorithm). Trong dạng này có bổ sung một số "biến bù" không âm để biến các bất đẳng thức thành các đẳng thức. Khi đó bài toán viết dưới dạng:
trong đó xs là các biến bù, còn Z là biến cần cực đại.
Dạng gia tố (Augmented form) > Ví dụ

Bài toán trong ví dụ trên sau khi biến đổi có dạng:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Cực đại hóa |  S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}\,=Z | (hàm mục tiêu) |
với các ràng buộc: 
|  |  x_{1}+x_{2}+x_{3}=A\, | (ràng buộc gia tố) |
|  |  F_{1}x_{1}+F_{2}x_{2}+x_{4}=F\, | (ràng buộc gia tố) |
|  |  P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2}+x_{5}=P\, | (ràng buộc gia tố) |
|  |  x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\geq 0 |  |
trong đó  x_{3},x_{4},x_{5}\, là các "biến bù" không âm.
Nó có thể viết dưới dạng ma trận:
Các dạng đặc biệt

Bài toán vận tải
Chú thích

↑  Allaire 2005, chương 11.
Champagne-Ardenne

| Champagne-Ardenne |
| --- | --- |
—  Vùng của Pháp  —
 

  Hiệu kỳ

Champagne-Ardenne
Quốc gia:  Pháp
Đặt tên theo: Champagne, Ardennes
Thủ phủ: Châlons-en-Champagne
Dân số (2012-01-01)
 • Tổng cộng: 1.339.270
Múi giờ: UTC+1, UTC+2
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+2)
Mã ISO 3166: FR-G
Champagne-Ardenne từng là một vùng của nước Pháp, bao gồm bốn tỉnh: Ardennes, Aube, Marne và Haute-Marne. Thủ phủ của vùng này là thành phố Châlons-en-Champagne. Ngày 1 tháng 1 năm 2016, Champagne-Ardenne hợp nhất với Alsace và Lorraine để hình thành vùng mới Grand Est.
Bằng chứng về tổ tiên chung
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa

Xem thêm thông tin: Khảo cổ học, Tổ tiên chung, Tổ tiên chung nhất, Tổ tiên chung gần nhất, và Mã di truyền
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa > Di truyền học

Một trong những bằng chứng vững chắc nhất cho tổ tiên chung đến từ trình tự gen. Thông qua phương pháp bắt cặp trình tự sẽ kiểm tra được mối quan hệ họ hàng giữa các trình tự DNA của các loài khác nhau, nhờ đó cung cấp một số bằng chứng xác nhận giả thuyết ban đầu của Darwin về việc các loài có chung tổ tiên. Nếu giả thuyết về tổ tiên chung là đúng, thì các loài có chung tổ tiên được thừa hưởng trình tự DNA của tổ tiên, cũng như các đột biến đột biến độc nhất vô nhị của tổ tiên đó. Các loài có mối quan hệ gần gũi hơn sẽ có phần lớn trình tự giống hệt nhau và cũng như một sự khác biệt nhiều hơn với các loài có họ hàng xa.
Bằng chứng đơn giản và mạnh mẽ nhất được cung cấp bởi dựng lại sự phát sinh chủng loại (Computational phylogenetics). Việc dựng lại này, đặc biệt là khi được thực hiện bằng cách sử dụng các chuỗi protein tiến hóa chậm, thường khá mạnh mẽ và có thể được sử dụng để dựng lại rất nhiều về lịch sử tiến hóa của các sinh vật hiện đại (và thậm chí trong một số trường hợp về lịch sử tiến hóa của các sinh vật đã tuyệt chủng, như đã phục hồi trình tự gen của voi ma mút hoặc người Neanderthal). Những sự phát sinh chủng loại được dựng lại này tóm tắt lại các mối quan hệ được thiết lập thông qua các nghiên cứu hình thái và sinh hóa. Việc dựng lại chi tiết nhất đã được thực hiện trên cơ sở bộ gen của ty thể được chia sẻ bởi tất cả các sinh vật nhân chuẩn, mà được xem là ngắn và dễ để giải trình tự; việc dựng lại rộng nhất đã được thực hiện bằng cách sử dụng trình tự của một số protein rất cổ xưa hoặc bằng cách sử dụng trình tự RNA ribosome.[cần dẫn nguồn]
Mối quan hệ phát sinh chủng loại mở rộng đến nhiều trình tự gen không chức năng, bao gồm lặp đoạn, gen nhảy, gen giả, và đột biến gen làm thay đổi côđôn nhưng không thay đổi amino acid do côđôn đó mã hoá. Mặc dù một số ít các yếu tố này có thể sau đó được phát hiện thấy có chức năng, nhưng nhìn một cách toàn thể thì chúng rõ ràng là sản phẩm đến từ việc có chung tổ tiên chứ không phải là chung chức năng.
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa > Di truyền học > Tất cả tổ chức sinh hóa và mô hình phương sai phân tử

Tất cả các sinh vật còn tồn tại tới bây giờ đều dựa trên cùng một quá trình sinh hóa: trong đó thông tin di truyền được mã hóa dưới dạng axit nucleic (DNA hoặc RNA đối với nhiều loại virus), được phiên mã thành RNA thông tin, sau đó được dịch mã thành protein (nghĩa là các polyme của amino acid) thông qua các ribosome. Có lẽ dễ hiểu nhất là, Mã di truyền ("bảng dịch" giữa DNA và amino acid) giống nhau cho hầu hết mọi sinh vật, có nghĩa là một mảnh DNA trong vi khuẩn mã hóa cho amino acid tương tự như trong tế bào con người. ATP được sử dụng làm đồng tiền năng lượng bởi tất cả các sinh vật sống còn tồn tại. Một sự hiểu biết chuyên sâu hơn về sinh học phát triển cho thấy rằng hình thái chung, trên thực tế, là sản phẩm của các yếu tố di truyền được kế thừa từ tổ tiên chung. Ví dụ, mặc dù đôi mắt giống như máy ảnh được cho là đã tiến hóa độc lập trong nhiều sự kiện riêng biệt, chúng vẫn có chung một tập hợp các protein cảm nhận ánh sáng (opsin), gợi ý một điểm xuất phát chung cho tất cả các sinh vật có thị giác. Một ví dụ khác là sự tương đồng trong trình tự phát triển cơ thể của động vật có xương sống, mà cấu trúc của nó được kiểm soát bởi họ gen Hox.
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa > Di truyền học > Trình tự DNA

So sánh trình tự DNA cho phép sắp xếp các sinh vật có độ tương đồng trình tự với nhau thành một nhóm và các cây phát sinh chủng loại thường phù hợp với phân loại học, và thường được sử dụng để tăng cường tính chính xác của sự phân loại. So sánh trình tự được coi là một biện pháp đủ mạnh để sửa chữa các giả định sai lầm trong cây phát sinh chủng loại ở các trường hợp khan hiếm các bằng chứng khác. Ví dụ: trình tự DNA trung tính của con người là tách biệt di truyền khoảng 1,2% (do sự thay thế các Nucleotide) từ những họ hàng gần nhất về mặt di truyền là tinh tinh, 1,6% từ khỉ đột và 6,6% từ khỉ đầu chó. Do đó bằng chứng trình tự di truyền cho phép suy luận và định lượng mối quan hệ di truyền giữa con người và vượn. Trình tự gen của RNA Ribosome 16S, là một gen quan trọng mã hóa một phần của ribosome, đã được sử dụng để tìm mối quan hệ rộng phát sinh chủng loài giữa tất cả sinh vật còn tồn tại ngày nay. Phân tích của Carl Woese đã dẫn đến hệ thống ba vực, lập luận cho hai sự phân tách lớn trong sự tiến hóa ban đầu của sự sống. Sự phân tách đầu tiên dẫn đến Vi khuẩn hiện đại và sự phân chia tiếp theo dẫn đến Vi khuẩn cổ và Sinh vật nhân thực hiện đại.
Một số trình tự DNA được chia sẻ chung bởi các sinh vật rất khác nhau. Theo thuyết tiến hóa đã dự đoán, rằng sẽ có sự tương đồng trong trình tự DNA giữa hai sinh vật khác nhau dù có sự khác biệt sinh học giữa chúng theo giải phẫu và dù thời gian đã trôi qua kể từ khi hai sinh vật này tách ra thành hai loài khác nhau trong quá trình tiến hóa, như đã thấy trong bằng chứng hóa thạch. Tốc độ tích lũy những thay đổi như vậy sẽ thấp đối với một số trình tự, cụ thể là những trình tự mã hóa cho RNA hoặc protein then chốt, và cao đối với những loại khác mã hóa cho RNA hoặc protein ít quan trọng hơn; nhưng đối với mỗi trình tự cụ thể, tốc độ thay đổi sẽ gần như không đổi theo thời gian. Những kết quả này đã được xác nhận bằng thực nghiệm. Hai ví dụ là trình tự DNA mã hóa cho rRNA, được bảo tồn cao và trình tự DNA mã hóa cho fibrinopeptide (amino acid bị loại bỏ trong quá trình hình thành fibrin), không được bảo tồn cao.
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa > Di truyền học > Protein

Bằng chứng hệ Protein cũng ủng hộ việc toàn thể sự sống có chung tổ tiên. Các protein quan trọng, chẳng hạn như ribosome, DNA polymerase và RNA polymerase, được tìm thấy trong mọi sinh vật sống, từ vi khuẩn nguyên thủy nhất đến động vật có vú phức tạp nhất. Phần cốt lõi của protein được bảo tồn trên tất cả các dòng dõi của sự sống, phục vụ các chức năng tương tự. Các sinh vật bậc cao đã tiến hóa thêm tiểu đơn vị protein, ảnh hưởng lớn đến sự điều hòa và tương tác protein-protein của sự cốt lõi. Sự tương đồng bao trùm khác giữa tất cả các dòng dõi của các sinh vật còn tồn tại, chẳng hạn như DNA, RNA, amino acid và lớp lipid kép, hỗ trợ cho học thuyết có tổ tiên chung. Phân tích sự cây phát sinh chủng loại của các chuỗi protein từ các sinh vật khác nhau tạo ra các cây tương đồng về mối quan hệ giữa tất cả các sinh vật. Tính bất đối xứng của DNA, RNA và amino acid được bảo tồn trong tất cả sự sống được biết đến. Vì không có lợi thế về chức năng đối với trạng thái phân tử thuận tay phải hoặc tay trái, giả thuyết đơn giản nhất là sự lựa chọn được tạo ra ngẫu nhiên bởi các sinh vật sơ khai và truyền lại cho tất cả sự sống còn tồn tại thông qua việc có chung tổ tiên. Bằng chứng nữa cho việc dựng lại tổ tiên chung đến từ DNA rác, chẳng hạn như gen giả, các gen "chết" tích lũy đột biến.
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa > Di truyền học > Gen giả

Gen giả, còn được gọi là DNA không mã hóa, là phần DNA thừa trong bộ gen không được phiên mã thành RNA để tổng hợp protein. Một số DNA không mã hóa này có các chức năng đã biết, nhưng phần lớn nó không có chức năng nào được biết tới và được gọi là "DNA rác". Đây là một ví dụ về vết tích (vestige) bởi vì việc sao chép các gen này tiêu tốn năng lượng, khiến nó trở thành một sự lãng phí không cần thiết trong nhiều trường hợp. Một gen giả có thể được tạo ra khi một gen mã hóa tích lũy các đột biến khiến nó không được phiên mã, khiến nó không hoạt động. Nhưng vì nó không được phiên mã, nó có thể biến mất mà không ảnh hưởng đến sự thích nghi, trừ khi nó đã cung cấp một số chức năng có lợi như một DNA không mã hóa. Các gen giả không chức năng có thể được truyền lại cho các loài sau này, do đó xác định các loài sau này là hậu duệ của các loài trước đó.
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa > Di truyền học > Các cơ chế khác

Một lượng lớn bằng chứng phân tử ủng hộ việc nhiều cơ chế khác nhau trong những thay đổi tiến hóa lớn, bao gồm: hệ gen và gen nhân đôi, tạo điều kiện cho sự tiến hóa nhanh chóng bằng cách cung cấp một lượng lớn vật liệu di truyền trong điều kiện yếu hoặc không có ràng buộc chọn lọc; chuyển gen ngang, quá trình chuyển vật liệu di truyền sang một tế bào khác không phải là con cháu của sinh vật, cho phép các loài có được các gen có lợi từ nhau; và tái tổ hợp di truyền, có khả năng tập hợp lại số lượng lớn các alen khác nhau và thiết lập phân lập sinh sản. Thuyết nội cộng sinh giải thích nguồn gốc của [[ty thể] và lạp thể (bao gồm cả lục lạp), bào quan của tế bào sinh vật nhân thực, như một sự kết hợp của một tế bào sinh vật nhân sơ sơ khai và tế bào sinh vật nhân thực sơ khai. Thay vì sinh vật nhân thực tự phát triển bào quan, lý thuyết này đưa ra một cơ chế cho bước nhảy tiến hóa đột ngột bằng cách kết hợp vật liệu di truyền và thành phần sinh hóa của một loài riêng biệt. Bằng chứng ủng hộ cơ chế này đã được tìm thấy trong sinh vật nguyên sinh  Hatena : như một kẻ săn mồi nó nuốt chửng một tế bào tảo lục, sau đó hoạt động như một sinh vật nội cộng sinh (endosymbiosis), nuôi dưỡng Hatena, dẫn đến việc nó mất khả năng kiếm ăn và hoạt động như một sinh vật tự dưỡng.
Vì các quá trình chuyển hóa không để lại hóa thạch, nghiên cứu về sự tiến hóa của các quá trình cơ bản của tế bào được thực hiện chủ yếu bằng cách so sánh các sinh vật hiện có. Nhiều chủng loài phát sinh khi các quá trình trao đổi chất mới xuất hiện và về mặt lý thuyết có thể xác định khi nào các quá trình trao đổi chất xuất hiện bằng cách so sánh các đặc điểm của con cháu của tổ tiên chung hoặc bằng cách phát hiện các biểu hiện vật lý của chúng. Ví dụ, sự xuất hiện của oxy trong bầu khí quyển của Trái Đất có liên quan đến sự tiến hóa của quang hợp.
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa > Ví dụ cụ thể từ so sánh sinh lý và hóa sinh > Nhiễm sắc thể số 2 ở người

Bằng chứng cho sự tiến hóa của Homo sapiens từ một tổ tiên chung với tinh tinh được tìm thấy trong số lượng nhiễm sắc thể ở người so với tất cả các thành viên khác của Họ người. Tất cả các loài trong họ người có 24 cặp nhiễm sắc thể, ngoại trừ con người, chỉ có 23 cặp. Nhiễm sắc thể số 2 ở người là kết quả của sự hợp nhất từ đầu đến cuối của hai nhiễm sắc thể tổ tiên.
Bằng chứng cho điều này bao gồm:
Sự tương ứng của nhiễm sắc thể 2 đến hai nhiễm sắc thể của loài vượn. Họ hàng gần nhất của con người, tinh tinh thông thường, có trình tự DNA gần giống với nhiễm sắc thể số 2 của người, nhưng chúng được tìm thấy trong hai nhiễm sắc thể riêng biệt. Điều tương tự cũng đúng với những họ hàng xa hơn như khỉ đột và đười ươi.
Sự hiện diện của vết tích (vestigial) Tâm động. Thông thường một nhiễm sắc thể chỉ có một tâm động, nhưng trong nhiễm sắc thể 2 có tàn dư của một tâm động thứ hai.
Sự hiện diện của vết tích telomere. Chúng thường chỉ được tìm thấy ở hai đầu mút của một nhiễm sắc thể, nhưng ở nhiễm sắc thể 2 có thêm các chuỗi telomere ở giữa.
Do đó, nhiễm sắc thể 2 đưa ra bằng chứng mạnh mẽ cho việc tồn tại tổ tiên chung của con người và các loài vượn khác. Theo J. W. Ijdo, "Chúng tôi kết luận rằng Lô-cut gen được nhân bản trong các cosmid c8.1 và c29B là vết tích của một sự hợp nhất telomere-telomere cổ đại và đánh dấu điểm mà hai nhiễm sắc thể vượn tổ tiên hợp nhất để tạo ra nhiễm sắc thể số 2 của con người."
Bằng chứng so sánh sinh lý và sinh hóa > Ví dụ cụ thể từ so sánh sinh lý và hóa sinh > Sắc tố tế bào c và b

Bài chi tiết: Sắc tố tế bào
Một ví dụ kinh điển về bằng chứng sinh hóa cho sự tiến hóa là sự đa dạng trong cơ bản (tức là tất cả các sinh vật sống đều có nó, bởi vì nó thực hiện các chức năng sống rất cơ bản) protein sắc tố tế bào c (cytochrome c) trong các tế bào sống. Sự đa dạng của sắc tố tế bào c của các sinh vật khác nhau được xác định bằng số lượng amino acid khác nhau, mỗi loại amino acid khác nhau là kết quả của sự thay thế cặp base, đột biến. Nếu mỗi amino acid khác nhau được giả định là kết quả của một lần thay thế cặp base, thì có thể tính được hai loài đã phân tách cách đây bao lâu bằng cách nhân số lần thay thế cặp base với thời gian ước tính cho việc thay thế một cặp base của gen sắc tố tế bào c để được truyền thành công. Ví dụ, nếu thời gian trung bình để một cặp gen sắc tố tế nà c đột biến là N năm, số lượng amino acid tạo nên protein sắc tố tế bào c ở khỉ khác với con người, điều này dẫn đến kết luận rằng hai loài đã chuyển hướng N năm trước.
Cấu trúc chính của sắc tố tế bào c bao gồm một chuỗi khoảng 100 amino acid. Nhiều sinh vật bậc cao sở hữu một chuỗi 104 amino acid.
Phân tử sắc tố tế bào c đã được nghiên cứu rộng rãi đem lại cái nhìn thoáng qua cho sinh học tiến hóa. Cả gà và gà tây đều có sự trình tự xác định tương đồng nhau (amino acid cho amino acid), cũng như lợn, bò và cừu. Cả con người và Tinh tinh thông thường đều có chung một phân tử, trong khi khỉ Rhesus có chung tất cả trừ một trong các amino acid: amino acid thứ 66 là isoleucin ở trước và threonin ở sau.
Điều làm cho những điểm tương đồng tương tự này đặc biệt gợi ý về tổ tiên chung trong trường hợp sắc tố tế bào c, ngoài thực tế là các cây phát sinh chủng loại có nguồn gốc từ nó rất phù hợp với các cây phát sinh chủng loại khác, là mức độ dư thừa chức năng cao của phân tử sắc tố tế bào c. Các hình dạng khác nhau của các amino acid không ảnh hưởng đáng kể đến chức năng của protein, điều này cho thấy rằng sự thay thế cặp base không phải là một phần của thiết kế có chủ đích, mà là kết quả của các đột biến ngẫu nhiên không chịu ảnh hưởng của sự chọn lọc.
Ngoài ra, sắc tố tế bào b thường được sử dụng như một vùng của DNA ty thể để xác định mối quan hệ cây phát sinh chủng loài giữa các sinh vật do sự biến đổi trình tự của nó. Nó được coi là hữu ích nhất trong việc xác định mối quan hệ trong họ và chi. Các nghiên cứu so sánh liên quan đến sắc tố tế bào b đã dẫn đến các sơ đồ phân loại mới và đã được sử dụng để quy định các loài mới được mô tả ở một chi, cũng như hiểu sâu hơn về mối quan hệ tiến hóa.