Lịch sử toán học
Thế kỉ 20

Tính chuyên nghiệp của nhà toán học ngày càng trở nên quan trọng vào thế kỉ 20. Mỗi năm, hàng trăm bằng tiến sĩ trong toán học được trao, và các ngành nghề đều có trong giảng dạy và công nghiệp. Phát triển toán học đã tăng với một tốc độ cực nhanh, với quá nhiều phát triển mới về khảo sát để thậm chí động chạm tới hầu hết các lĩnh vực quan trọng nhất.
Vào 1900, David Hilbert đưa ra danh sách 23 bài toán chưa có lời giải trong toán học tại Hội nghị các nhà toán học quốc tế. Các bài toán này bao trùm rất nhiều lĩnh vực của toán học và đã tạo nên sự chú ý đặc biệt trong toán học thế kỉ 20. Hiện nay mười bài toán đã có lời giải, bảy đã giải được một phần và hai bài vẫn còn mở. Bốn bài còn lại quá lỏng để nói rằng liệu đã giải được chưa. Hilbert cũng đã đặt nền móng cho việc tiên đề hóa hình học với cuốn sách "Grundlagen der Geometrie" (Nền tảng của Hình học) bao gồm 21 tiên đề, thay cho các tiên đề Euclid truyền thống. Chúng tránh đi những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclid, mà các tác phẩm của ông (Euclid) lúc đó vẫn được xem như sách giáo khoa. Ông mong muốn hệ thống hóa toán học trên một nền tảng logic vững chắc và đầy đủ, tin rằng:
Tất cả toán học có thể suy ra từ một hệ thống hữu hạn các tiên đề được chọn ra một cách đúng đắn
Rằng một hệ thống tiên đề như vậy là có thể chứng minh được tính nhất quán (tính không mâu thuẫn) của nó
Cũng chính Hilbert đã đưa ra khái niệm không gian Hilbert, một cơ sở cho giải tích hàm.
Kurt Gödel
Những năm 1930, Kurt Gödel đã đưa ra định lý bất toàn (Gödel's incompleteness theorems) khẳng định rằng bất kì một hệ tiên đề hình thức độc lập nào đủ mạnh để miêu tả số học cũng hàm chứa những mệnh đề không thể khẳng định mà cũng không thể phủ định; tính nhất quán của một hệ thống tiên đề không thể được chứng minh bên trong hệ thống đó. Mở rộng ra, không thể đi tìm tính chân lý của toán học (và của khoa học nói chung) bên trong cấu trúc duy lý của bản thân toán học hay của khoa học đó; cái đúng của toán học phải tìm ngoài toán học.
Trong những năm 1900, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) đã phát triển hơn 3000 định lý, bao gồm lý thuyết về tính chất của các siêu hợp số (highly composite number), hàm phần chia (partition function) và các tiệm cận của nó, rồi các hàm theta Ramanujan. Ông cũng tạo nên những đột phá và phát hiện trong lĩnh vực hàm gamma, dạng modular, chuỗi phân kì, chuỗi siêu hình học và lý thuyết số nguyên tố.
Năm 1947, tác phẩm "Cơ sở phân tích kinh tế" của Paul Samuelson công bố được xem là khởi đầu của toán kinh tế đương đại.
Năm 1952, Sir John Anthony Pople (31/10/1925-15/3/2004) nhà hóa học người Anh tại đại học Cambridge đã vận dụng toán học trong hóa học, lập ra công thức cho một sơ đồ cơ bản để phát triển những mô hình toán học phục vụ nghiên cứu phân tử mà không cần tiến hành thí nghiệm. Ông đã sử dụng máy tính phục vụ cho việc kiểm tra và xác định cấu trúc hóa học cũng như các chi tiết của vật chất. Walter Kohn người Áo (9/3/1923-19/4/2016), làm việc tại đại học Santa Barbara (Mỹ) người nghiên cứu lý thuyết về mật độ, đã đơn giản hóa mô tả toán học về sự liên kết giữa các nguyên tử tạo nên phân tử.
Những năm 60-70 của thế kỷ 20, việc giáo dục toán học đã bắt đầu sử dụng các phương pháp mới, trong đó nghiên cứu toán được bắt đầu từ những lĩnh vực cơ sở như lý thuyết tập hợp, logic sơ cấp, hệ thống số và hệ thống đếm, số học đồng nhất mô-đun (modular consistency arithmetic).
Các phỏng đoán nổi tiếng trong quá khứ tạo nên các kĩ thuật mới và mạnh. Wolfgang Haken và Kenneth Appel đã sử dụng một chiếc máy tính để chứng minh định lý bốn màu vào năm 1976.
| --- | --- |
:  
Minh họa  Định lý bốn màu: Andrew Wiles và  phương trình Fermat
Andrew Wiles, làm việc một mình trong văn phòng trong nhiều năm trời, cuối cùng đã chứng minh được Định lý lớn Fermat vào năm 1995, kết thúc hơn 300 năm đi tìm lời giải.
Toàn bộ các lĩnh vực mới của toán học như logic toán, topo học, lý thuyết độ phức tạp, và lý thuyết trò chơi đã thay đổi các thể loại câu hỏi mà có thể trả lời được bởi các phương pháp toán học.
Nhóm Bourbaki của Pháp đã cố gắng đưa toàn bộ toán học thành một thể thống nhất chung, xuất bản dưới bút danh Nicolas Bourbaki. Công trình khổng lồ của họ đã gây rất nhiều tranh luận trong giáo dục toán học.
Đến cuối thế kỉ, toán học đã thậm chí thâm nhập vào nghệ thuật, như hình học fractal đã tạo nên những hình thù đẹp đẽ chưa từng thấy bao giờ.