Phương pháp biến phân (cơ học lượng tử)
Mô tả

Giả sử ta có một không gian Hilbert và một toán tử Hermite trên nó được gọi là Hamiltonian H. Bỏ qua các khả năng về phổ liên tục, ta xét phổ rời rạc của H và các không gian riêng tương ứng của mỗi trị riêng (xem định lý phổ cho các toán tử Hermite trong cơ sở toán học):
trong đó  \delta _{i,j} là kí hiệu Kronecker
và Hamiltonian liên hệ với trị riêng λ thông qua hệ thức trị riêng
Các trạng thái vật lý được chuẩn hóa, nghĩa là độ chuẩn bằng  1. Bỏ qua phổ liên tục của H, giả định rằng nó được bao từ dưới và biên thấp hơn lớn nhất là E0. Giả sử rằng ta cũng biết trạng thái tương ứng |ψ⟩. Giá trị kì vọng của H khi đó là
Tất nhiên, nếu ta biến thiên tất cả các trạng thái khả dĩ với độ chuẩn 1 để cực tiểu hóa giá trị kì vọng của H, giá trị thấp nhất sẽ là E0 và trạng thái tương ứng sẽ là một trạng thái riêng của E0. Biến thiên toàn không gian Hilbert  thường rất phức tạp trong các tính toán vật lý, và một không gian con của không gian Hilbert được chọn, được tham số hóa bởi một số tham số vi phân (thực) αi (i = 1, 2, ..., N). Việc chọn không gian con được gọi là ansatz. Một số việc chọn ansatz dẫn đến các gần đúng tốt hơn, do đó việc chọn ansatz khá quan trọng.
Hãy giả sử rằng có một số sự xen phủ giữa ansatz và trạng thái cơ bản (ngược lại, nó là một ansatz tệ). Ta vẫn mong muốn chuẩn hóa ansatz, do đó ta có một số ràng buộc
và ta mong muốn cực tiểu hóa
Tổng quát, đây là công việc không dễ, do ta mong đợi một cực tiểu toàn cục và tìm các đạo hàm riêng bằng không của ε trên tất cả αi là không đủ. Nếu ψ (α) được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các hàm khác (αi là các hệ số), như trong phương pháp Ritz, chỉ có một cực tiểu và bài toán rất đơn giản. Tuy nhiên, còn có các phương pháp phi tuyến khác như là phương pháp Hartree–Fock, mà nó cũng không được đặc trưng bởi độ lớn các cực tiểu và do đó rất thuận tiện trong các tính toán.
Có sự phức tạp khác trong tính toán đã mô tả. Nếu ε tiến về E0 trong các tính toán cực tiểu hóa, không chắc chắn rằng các hàm sóng thử tương ứng có xu hướng tiến về hàm sóng thực sự. Điều này được làm rõ bằng các tính toán sử dụng dao động tử được hiệu chỉnh như một hệ mẫu, trong đó nghiệm giải ra gần chính xác sử dụng phương pháp biến phân. Một hàm sóng khác với hàm sóng chính xác thu được bằng việc sử dụng phương pháp đã mô tả ở trên.[cần dẫn nguồn]
Mặc dù các tính toán thường giới hạn ở năng lượng trạng thái cơ bản nhưng phương pháp này cũng có thể áp dụng trong các trường hợp nhất định khi tính các trạng thái kích thích. Nếu hàm sóng trạng thái cơ bản biết được bằng phương pháp biến phân hay bằng tính toán trực tiếp thì tập con của không gian Hilbert cũng có thể được chọn trực giao với hàm sóng trạng thái cơ bản.
Cực tiểu thường không chính xác cho trạng thái cơ bản, sự khác nhau giữa trạng thái cơ bản và  \psi _{\text{gr}}  là kết quả trong năng lượng kích thích thấp hơn. Sự hụt này liên quan đến mỗi trạng thái kích thích cao hơn.
Trong công thức khác:
Bằng định nghĩa, công thức này thỏa với bất kì φ thử nào, hàm sóng trạng thái cơ bản có năng lượng thấp nhất, và hàm sóng thử bất kì sẽ có năng lượng lớn hơn hoặc bằng với nó.
Chứng minh:
φ có thể được khai triển như một tổ hợp tuyến tính các hàm riêng thực của Hamiltonian (ta giả sử nó được chuẩn hóa và trực giao):
Khi đó, để tìm giá trị kì vọng của Hamiltonian:
Lúc này, năng lượng trạng thái cơ bản là năng lượng khả dĩ thấp nhất, tức là  E_{n}\geq E_{g}. Do đó, nếu hàm sóng được dự đoán φ được chuẩn hóa: