stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Inor, Meuse

| --- | --- |
 Inor
Inor
Vị trí trong vùng Lorraine Inor 
Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Grand Est
Tỉnh: Meuse
Quận: Verdun
Tổng: Stenay
Xã (thị) trưởng: Claude Huard (2001–2008)
Thống kê
Độ cao: 161–326 m (528–1.070 ft) (bình quân 180 m (590 ft)[chuyển đổi: tùy chọn không hợp lệ])
Diện tích đất1: 6,46 km2 (2,49 dặm vuông Anh)
Nhân khẩu2: 204  (1999)
 - Mật độ: 32/km2 (83/sq mi)
Múi giờ: CET (GMT +1)
INSEE/Mã bưu chính: 55250/ 55700
1 Dữ liệu địa chính Pháp loại trừ các hồ và ao lớn hơn 1 km² (0.386 dặm vuông hoặc 247 acre) cũng như các cửa sông.
2 Dân số không tính hai lần: cư dân của nhiều xã (ví dụ, các sinh viên và quân nhân) chỉ tính một lần.
Inor là một xã thuộc tỉnh Meuse trong vùng Grand Est đông nam nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 180 mét trên mực nước biển.
Dân số

| 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 262 | 267 | 248 | 214 | 183 | 204 |
Ixora mangoliensis

| Ixora mangoliensis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Gentianales
Họ (familia): Rubiaceae
Chi (genus): Ixora
Loài (species): I. mangoliensis
Danh pháp hai phần
Ixora mangoliensis Bremek. 
Ixora mangoliensis là một loài thực vật có hoa trong họ Thiến thảo. Loài này được Bremek. mô tả khoa học đầu tiên năm 1937.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Ixora mangoliensis”. Truy cập ngày 3 tháng 6 năm 2013.
Senapati (huyện)

| Huyện Senapati |
| --- | --- |
—  huyện  —
 
 

Huyện SenapatiVị trí của huyện Senapati trong bang Manipur
Quốc gia:  Ấn Độ
Bang: Manipur
Thủ phủ: Senapati 
Diện tích
 • Tổng cộng: 3.269 km2 (1,262 mi2)
Dân số (2001)
 • Tổng cộng: 379.214
Các ngôn ngữ
Múi giờ: IST (UTC+5:30)
Biển số xe: Biển số xe
Nhiệt độ hàng năm: Từ đến °C
Nhiệt độ mùa hè: Từ đến °C
Nhiệt độ mùa đông: Từ đến °C
Huyện Senapati là một huyện thuộc bang Manipur, Ấn Độ. Thủ phủ huyện Senapati đóng ở Senapati. Huyện Senapati có diện tích 3269 ki lô mét vuông. Đến thời điểm năm 2001, huyện Senapati có dân số 379214 người.
Schoepfia brasiliensis

| Schoepfia brasiliensis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Santalales
Họ (familia): Schoepfiaceae
Chi (genus): Schoepfia
Loài (species): S. brasiliensis
Danh pháp hai phần
Schoepfia brasiliensis A.DC., 1857 
Schoepfia brasiliensis là một loài thực vật có hoa trong họ Schoepfiaceae. Loài này được A.DC. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1857.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Schoepfia brasiliensis”. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2013.
Sericanthe auriculata

| Sericanthe auriculata> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Gentianales
Họ (familia): Rubiaceae
Chi (genus): Sericanthe
Loài (species): S. auriculata
Danh pháp hai phần
Sericanthe auriculata (Keay) Robbr. 
Sericanthe auriculata là một loài thực vật có hoa trong họ Thiến thảo. Loài này được (Keay) Robbr. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1981.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Sericanthe auriculata”. Truy cập ngày 3 tháng 6 năm 2013.
Schoenus tesquorum

| Schoenus tesquorum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Poales
Họ (familia): Cyperaceae
Chi (genus): Schoenus
Loài (species): S. tesquorum
Danh pháp hai phần
Schoenus tesquorum J.M.Black 
Schoenus tesquorum là loài thực vật có hoa trong họ Cói. Loài này được J.M.Black miêu tả khoa học đầu tiên năm 1922.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Schoenus tesquorum”. Truy cập ngày 11 tháng 6 năm 2013.
Sericanthe halleana

| Sericanthe halleana> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Gentianales
Họ (familia): Rubiaceae
Chi (genus): Sericanthe
Loài (species): S. halleana
Danh pháp hai phần
Sericanthe halleana Robbr. 
Sericanthe halleana là một loài thực vật có hoa trong họ Thiến thảo. Loài này được Robbr. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1978.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Sericanthe halleana”. Truy cập ngày 3 tháng 6 năm 2013.
Selaginella helferi

| Selaginella helferi> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Pteridophyta
Lớp (class): Isoetopsida
Bộ (ordo): Selaginellales
Họ (familia): Selaginellaceae
Chi (genus): Selaginella
Loài (species): S. helferi
Danh pháp hai phần
Selaginella helferi Warb., 1900 
Selaginella helferi là một loài dương xỉ trong họ Selaginellaceae. Loài này được Warb. mô tả khoa học đầu tiên năm 1900.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Selaginella helferi”. Truy cập ngày 28 tháng 5 năm 2014.
John Forrosuelo Du

John Forrosuelo Du (Sinh 1954) là một Giám mục người Philippines của Giáo hội Công giáo Rôma. Ông hiện là Tổng giám mục chính tòa Tổng giáo phận Palo. Trước đó, ông cũng đảm nhận nhiều vị trí khác như  Giám mục chính tòa Giáo phận Dumaguete và Giám mục Phụ tá Tổng giáo phận Cebu.
Tiểu sử

Tổng giám mục John Forrosuelo Du sinh ngày 18 tháng 10 năm 1954 tại Bantayan, thuộc Philippines. Sau quá trình tu học dài hạn tại các chủng viện theo quy định của Giáo luật, ngày 1 tháng 6 năm 1979, Phó tế Forrosuelo Du, 25 tuổi, tiến đến việc được truyền chức linh mục. Tân linh mục là thành viên linh mục đoàn của Tổng giáo phận Cebu.
Sau gần 20 năm phục vụ với các hoạt động mục vụ trên cương vị là một linh mục, ngày 21 tháng 1 năm 1997, Tòa Thánh loan báo thông tin về việc Giáo hòng đã quyết định bổ sung linh mục John Forrosuelo Du vào hàng ngũ các giám mục với chức vị Giám mục phụ tá Tổng giáo phận Cebu và danh hiệu Giám mục Hiệu tòa Timici. Lễ tấn phong cho vị tân chức được cử hành sau đó vào ngày 6 tháng 1 năm 1998, với phần nghi thức được chủ sự bởi ba giáo sĩ cấp cao. Chủ phong cho vị tân chức là Hồng y Ricardo Jamin Vidal, tổng giám mục chính tòa Tổng giáo phận Cebu. hai vị khác trong vai trò phụ phong là Giám mục Emilio Layon Bataclan, Giám mục chính tòa Giáo phận Iligan và Giám mục Christian Vicente Fernandez Noel, Giám mục chính tòa Giáo phận Talibon. Tân giám mục chọn cho mình châm ngôn:Christus lux mea.
Bôn năm sau khi mục vụ tại Cebu trên cương vị là một Giám mục phụ tá, ngày 21 tháng 4 năm 2001, Tòa Thánh loan báo thông tin về việc Giáo hoàng quyết định thuyên chuyển Giám mục Du về làm Giám mục chính tòa Giáo phận Dumaguete. Chưa dừng lại, mười một năm trên cương vị là một vị lãnh đạo tinh thần tại Giáo phận Dumaguete của Giám mục Du đột ngột kết thúc bằng quyết định được công bố vào ngày 25 tháng 2 năm 2012 về việc Tòa Thánh công bố quyết định của Giáo hàong về việc thăng Giám mục John Forrosuelo Du làm Tổng giám mục, với chức danh cụ thể là Tổng giám mục chính tòa Tổng giáo phận Palo.
Siersleben

| Siersleben   |
| --- | --- |
 
Vị trí của Siersleben 
Siersleben  
Quốc gia: Đức
Bang: Sachsen-Anhalt
Huyện: Mansfeld-Südharz
Liên xã: Gerbstedt 
Chính quyền
 • Thị trưởng: Lutz Sommer
Diện tích
 • Tổng cộng: 10,01 km2 (386 mi2)
Độ cao: 209 m (686 ft)
Dân số (2006-12-31)
 • Tổng cộng: 1.554
 • Mật độ: 1,6/km2 (4,0/mi2)
Múi giờ: CET (UTC+01:00)
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+02:00)
Mã bưu chính: 06308
Mã vùng: 03476
Biển số xe: MSH
Siersleben là một đô thị ở huyện Mansfeld-Südharz, bang Saxony-Anhalt, nước Đức. Đô thị Siersleben có diện tích 10,01 km².
| x t Xã và đô thị ở huyện Mansfeld-Südharz |
| --- | --- | --- |
|  Ahlsdorf  Allstedt  Arnstein  Benndorf  Berga  Blankenheim  Bornstedt  Brücken-Hackpfüffel  Edersleben  Eisleben  Gerbstedt  Helbra  Hergisdorf  Hettstedt  Kelbra  Klostermansfeld  Mansfeld  Sangerhausen  Seegebiet Mansfelder Land  Südharz  Wallhausen  Wimmelburg  |  Ahlsdorf  Allstedt  Arnstein  Benndorf  Berga  Blankenheim  Bornstedt  Brücken-Hackpfüffel  Edersleben  Eisleben  Gerbstedt  Helbra  Hergisdorf  Hettstedt  Kelbra  Klostermansfeld  Mansfeld  Sangerhausen  Seegebiet Mansfelder Land  Südharz  Wallhausen  Wimmelburg  |  |
Sericanthe odoratissima

| Sericanthe odoratissima> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Gentianales
Họ (familia): Rubiaceae
Chi (genus): Sericanthe
Loài (species): S. odoratissima
Danh pháp hai phần
Sericanthe odoratissima (K.Schum.) Robbr. 
Sericanthe odoratissima là một loài thực vật có hoa trong họ Thiến thảo. Loài này được (K.Schum.) Robbr. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1978.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Sericanthe odoratissima”. Truy cập ngày 3 tháng 6 năm 2013.
Hoa hậu Chuyển giới Quốc tế 2013

| Hoa hậu Chuyển giới Quốc tế 2013 |
| --- | --- |
Ngày: 1 tháng 11 năm 2013
Địa điểm: Pattaya, Thái Lan
Truyền hình: Channel 3 (Thái Lan)l
Tham gia: 25
Số xếp hạng: 12
Người chiến thắng: Marcela Ohio   Brazil
Hoa hậu thân thiện: Carolina Medina  Tây Ban Nha
Quốc phục đẹp nhất: Sofiya Iya  Australia
Hoa hậu ảnh: Nethnapada Kanlayanon  Thái Lan
← 20122014 →
Hoa hậu Chuyển giới Quốc tế 2013 là cuộc thi Hoa hậu Chuyển giới Quốc tế lần thứ 9 được tổ chức tại Pattaya, Thái Lan vào ngày 1 tháng 11 năm 2013. Hoa hậu Chuyển giới Quốc tế 2013 -  Kevin Balot đến từ Philippines đã trao lại vương miện cho người kế nhiệm, cô Marcela Ohio đến từ Brazil
Kết quả

| Kết quả | Thí sinh |
| --- | --- |
Hoa hậu Chuyển giới Quốc tế 2013:  #16  Brazil – Marcela Ohio
Á hậu 1:  #20  Hoa Kỳ – Shantell D'Marco
Á hậu 2:  #09  Thái Lan – Nethnapada Kanlayanon
Top 10:  #15  Nam Phi – Anastasia Jemiskavegus  #07  Malaysia – Nur Sajat  #25  Pháp – Renata Ferreira  #06  Nhật Bản – Seri Fujinomiya  #21  Nhật Bản – Satsuki Nishihara  #23  Philippines – Kristina Cassandra Ybarra  #02  Brazil – Roberta Holanda
Các giải thưởng phụ

| Giải thưởng | Thí sinh |
| --- | --- |
Trang phục Dân tộc đẹp nhất:  #19  Hàn Quốc – Arisa Kim
Hoa hậu Thân thiện:  #08  Tây Ban Nha – Carolina Medina
Hoa hậu Ảnh:  #09  Thái Lan – Nethnapada Kanlayanon
Trang phục Dạ Hội đẹp nhất:  #16  Brazil – Marcela Ohio
Hoa hậu Tài năng:  #07  Malaysia – Nur Sajat
Miss Rippley's Popular Vote:  #26  Singapore – Anne Patricia Lee
Hoa hậu có làn da hoàn hảo:  #06  Nhật Bản – Seri Fujinomiya
Trang phục Áo tắm đẹp nhất:  #17  Venezuela – Nohemi Nontilla
Các giải thưởng phụ > Hoa hậu Tài năng

| Kết quả | Thí sinh |
| --- | --- |
Chiến thắng:  #07  Malaysia – Nur Sajat
Á hậu 1:  #03  Úc – Sharleng Gonzalez
Á hậu 2:  #20  Hoa Kỳ – Shantell D'Marco
Thí sinh

Cuộc thi có 25 thí sinh tham gia.
| Số báo danh | Quốc gia | Thí sinh |
| --- | --- | --- |
| 01 |  Myanmar | Tanya Maung |
| 02 |  Brazil | Roberta Holanda |
| 03 |  Australia | Sharleng Gonzalez |
| 04 |  Venezuela | Chanel |
| 05 |  Philippines | Godiva Marie Archacia |
| 06 |  Japan | Seri Fujinomiya |
| 07 |  Malaysia | Nur Sajat |
| 08 |  Spain | Carolina Medina |
| 09 |  Thailand | Nethnapada Kanlayanon |
| 10 |  Australia | Victoria Martin |
| 12 |  Japan | Annabel Yu |
| 13 |  Indonesia | Angeline Hanum |
| 14 |  Philippines | Andrea Justine Aliman |
| 15 |  South Africa | Anastasia Jemiskavegus |
| 16 |  Brazil | Marcela Ohio |
| 17 |  Venezuela | Nohemi Nontilla |
| 18 |  Malaysia | Patricia Asyeera Wong |
| 19 |  Korea | Arisa Kim |
| 20 |  USA | Shantell D'Marco |
| 21 |  Japan | Satsuki Nishihara |
| 22 |  Brazil | Veronica Haddad |
| 23 |  Philippines | Kristina Cassandra Ybarra |
| 24 |  India | Angela |
| 25 |  Germany | Renata Ferreira |
| 26 |  Singapore | Anne Patricia Lee |
Phương trình Euler–Lagrange

Trong Phép tính biến phân và cơ học cổ điển, những phương trình Euler-Lagrange là một hệ thống những phương trình vi phân thường bậc 2, có nghiệm là những điểm uốn của hàm số hành động vật lý cho trước. Những phương trình ấy được khám phá thập niên 1750 bởi nhà toán học Thuỵ Sĩ Leonhard Euler và nhà toán học Ý Joseph-Louis Lagrange.
bởi vì một hàm số khả vi là điểm uốn tại điểm cực trị cục bộ của hàm ấy, phương trình Euler-Lagrange sẽ hữu ích cho giải những bài toán tối ưu mà theo đó, cho trước hàm số nào đó, ta tìm hàm số tối thiểu hoặc tối đa nó. Đây tương tự với định lý của Fermat trong vi tích phân, tuyên bố rằng tại bất cứ điểm nào thoả mãn một hàm số khả vi đạt một điểm cực trị cục bộ thì đạo hàm của nó sẽ bằng không. Trong cơ học Lagrange, tuân theo nguyên lý của Hamilton về tác dụng tối thiểu, tiến triển của một hệ vật lý sẽ được miêu tả bởi những nghiệm cho phương trình Euler cho hoạt động của hệ thống. Trong văn cảnh này, những phương trình Euler thường gọi tên là những phương trình Lagrange. Trong cơ học cổ điển, nó tương đương với các định luật chuyển động của Newton; đúng là, các phương trình Euler-Lagrange sẽ sản sinh ra cùng những phương trình giống như các định luật của Newton. Đây đặc biệt hữu ích khi phân tích những hệ thống có những vectơ lực đặc biệt phức tạp. Nó có lợi thế vì nó giữ nguyên hình thức trong bất cứ hệ thống toạ độ suy rộng nào, nó sẽ hợp hơn cho việc khái quát hoá. Trong lý thuyết trường cổ điển, có một phương trình tương tự để tính những động lực của một trường.
Lịch sử

phương trình Euler-Lagrange được phát triển thập niên 1750 bởi Euler và Lagrange liên quan đến những nghiên cứu của họ về vấn đề đường đẳng thời. Đây là vấn đề quyết định một đường cong mà trên đó một hạt có khối lượng sẽ rơi xuống một điểm cố định trong một khoảng thời gian cố định, độc lập với điểm bắt đầu.
Lagrange giải quyết vấn đề này năm 1755 và gửi nghiệm cho Euler. Cả hai đã phát triển thêm phương pháp của Lagrange và ứng dụng nó vào cơ học, đã dẫn đến hình thành cơ học Lagrange. Hai người trao đổi thư từ, sau rốt, đã dẫn đến phép tính biến phân là thuật ngữ được Euler đặt tên năm 1766
Ví dụ

một ví dụ tiêu chuẩn là tìm hàm số giá trị thực y(x) trên khoảng [a, b] sao cho y(a) = c và y(b) = d tại đó độ dài quãng đường dọc theo đường cong vẽ bởi y sẽ ngắn nhất có thể
s=\int _{a}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx
hàm lấy tích sẽ là
L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}
những đạo hàm riêng của L sẽ là
{\partial L(x,y,y') \over \partial y'}={y' \over {\sqrt {1+y'^{2}}}}
{\partial L(x,y,y') \over \partial y}=0
bằng cách thay thế những đạo hàm riêng này vào phương trình Euler-Lagrange, ta được
{d \over dx}{y'(x) \over {\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}=0
{y'(x) \over {\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}=constant
\Rightarrow y'(x)={C \over {\sqrt {1-C^{2}}}}=:A
\Rightarrow y(x)=Ax+B
thế là,  đạo hàm bậc nhất  của hàm số trên là một hằng số, do đó đồ thị của nó là một đường thẳng
Suy rộng > Hàm số duy nhất của biến số duy nhất với những đạo hàm bậc cao

những giá trị điểm uốn của hàm số
I\left\vert f\right\vert =\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',...,f^{(k)})dx
f':={df \over dx}
f'':={d^{2}f \over dx^{2}}
f^{(k)}:={d^{k}f \over dx^{k}}
có thể lấy được từ phương trình Euler-Lagrange
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f}-{d \over dx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{d^{2} \over dx^{2}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-...+(-1)^{k}{d^{k} \over dx^{k}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{k}}}\right)=0
dưới những điều kiện giới hạn cố định cho bản thân hàm số cũng như cho những đạo hàm từ bậc k-1 trở xuống (tức là cho tất cả f(i) với  i\in {0,...,k-1})
những giá trị điểm cuối của đạo hàm bậc cao nhất f(k) sẽ vẫn linh hoạt
Suy rộng > Nhiều hàm số của biến số duy nhất với đạo hàm duy nhất

nếu vấn đề liên quan đến tìm nhiều hàm số  (f_{1},f_{2},...,f_{m}) của một biến độc lập duy nhất (x) sẽ định nghĩa một cực trị của hàm số
I[f_{1},f_{2},...,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},...,f_{m},f'_{1},f'_{2},...,f'_{m})dx
f'_{i}:={df_{i} \over dx}
thì những phương trình Euler-Lagrange tương ứng sẽ là
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{i}}-{d \over dx}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f'_{i}}=0
i=1,2,...,m
Suy rộng > Hàm số duy nhất của nhiều biến số với đạo hàm duy nhất

một suy rộng đa chiều đã đến từ cân nhắc một hàm số trên n biến số. Nếu  \Omega  là bề mặt nào đó, thì
I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{n},f,f_{1},...,f_{n})dx
f_{j}:={\partial f \over \partial x_{j}}
đạt cực trị chỉ khi f thoả mãn phương trình đạo hàm riêng
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f}-\sum _{j=1}^{n}{\partial  \over \partial x_{j}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{j}}{\biggr )}=0
khi n = 2 và hàm số  {\mathcal {I}} là hàm số năng lượng, đây sẽ dẫn đến vấn đề bề mặt tối thiếu của màng xà phòng
Suy rộng > Nhiều hàm số của nhiều biến số với đạo hàm duy nhất

nếu có nhiều hàm số chưa biết cần được xác định và nhiều biến số, sao cho
I[f_{1},f_{2},...,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{n},f_{1},...,f_{m},f_{1,1},...,f_{1,n},...,f_{m,1},...,f_{m,n})dx
f_{i,j}:={\partial f_{i} \over \partial x_{j}}
hệ phương trình Euler-Lagrange sẽ là
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{1}}-\sum _{j=1}^{n}{\partial  \over \partial x_{j}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{1,j}}{\biggr )}=0_{1}
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{2}}-\sum _{j=1}^{n}{\partial  \over \partial x_{j}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{2,j}}{\biggr )}=0_{2}
...
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{m}}-\sum _{j=1}^{n}{\partial  \over \partial x_{j}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{m,j}}{\biggr )}=0_{m}
Suy rộng > Hàm số duy nhất của hai biến số với những đạo hàm bậc cao

nếu có một hàm số đơn chưa biết f cần được xác định, mà phụ thuộc vào hai biến số x1 và x2 và nếu hàm số phụ thuộc vào hàm số bậc cao của f lên đến bậc thứ n sao cho
I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},...,f_{22...2})dx
f_{i}:={\partial f \over \partial x_{i}}
f_{ij}:={\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}
...
thì phương trình Euler-Lagrange sẽ là
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f}-{\partial  \over \partial x_{1}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{1}}{\biggr )}-{\partial  \over \partial x_{2}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{2}}{\biggr )}+{\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{11}}{\biggr )}+{\partial ^{2} \over \partial x_{1}\partial x_{2}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{12}}{\biggr )}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{22}}{\biggr )}-...+(-1)^{n}{\partial ^{n} \over \partial x_{2}^{n}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{22...2}}{\biggr )}=0
có thể viết gọn lại thành
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq ...\leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\partial ^{j} \over \partial x_{\mu _{1}}...\partial x_{\mu _{j}}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{\mu _{1}...\mu _{j}}}{\biggr )}=0
với  \mu _{1}...\mu _{j} là các chỉ số sẽ trải ra một số biến số, mà, ở đây chúng đi từ 1 đến 2. Ở đây,  tóm lại những chỉ số  \mu _{1}...\mu _{j} sẽ chỉ với  \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq ...\leq \mu _{j} để tránh đếm cùng một đạo hàm riêng nhiều lần, lấy ví dụ  f_{12}=f_{21} xuất hiện chỉ một lần trong phương trình trước đó
Suy rộng > Nhiều hàm số của nhiều biến số với những đạo hàm bậc cao

nếu có p phương trình chưa biết fi cần được xác định, mà phụ thuộc vào m biến số  x_{1}...x_{m} và nếu hàm số phụ thuộc vào đạo hàm bậc cao của fi lên đến bậc thứ n sao cho
I[f_{1},...,f_{p}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{m};f_{1},...f_{p};f_{1,1},...,f_{p,m};f_{1,11},...,f_{p,mm};f_{p,1...1},...,f_{p,m...m})dx
f_{i,\mu }:={\partial f_{i} \over \partial x_{\mu }}
f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\partial ^{2}f_{i} \over \partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}
...
với  \mu _{1}...\mu _{j} là các chỉ số trải ra một số biến số, sẽ đi từ 1 đến m. Sau đó, phương trình Euler-Lagrange sẽ là
{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{i}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq ...\leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\partial ^{j} \over \partial x_{\mu _{1}}...\partial x_{\mu _{j}}}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{i,\mu _{1}...\mu _{j}}}{\biggr )}=0
với tổng những  \mu _{1}...\mu _{j} sẽ tránh đếm cùng đạo hàm  f_{i,\mu _{1},\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2},\mu _{1}} lại nhiều lần, giống như phần trên. Đây có thể viết gọn thành
\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq ...\leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}...\mu _{j}}^{j}{\biggl (}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial f_{i,\mu _{1}...\mu _{j}}}{\biggr )}=0
Suy rộng ra những đa tạp

đặt M là một đa tạp trơn và đặt  C^{\infty }([a,b]) biểu thị khoảng không gian của những hàm số trơn  f:[a,b]\rightarrow M sau đó với những hàm số  S:C^{\infty }([a,b])\rightarrow R của dạng thức
S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)dt
với  L:TM\rightarrow R là Lagrange, phát biểu  dS_{f}=0 sẽ tương đương với phát biểu rằng: với tất cả   t\in [a,b] thì mỗi bản tầm thường hoá khung toạ độ  (x^{i},X^{i}) của một vùng lân cận của  {\dot {f}}(t) ra được những phương trình M chiều
\forall i:{d \over dt}{\partial L \over \partial X^{i}}{\bigg \vert }_{{\dot {f}}(t)}={\partial L \over \partial x^{i}}{\bigg \vert }_{{\dot {f}}(t)}
Chú thích

↑  Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7
↑  Goldstein, H.; Poole, C.P.; Safko, J. (2014). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley.
↑  A short biography of Lagrange Archived 2007-07-14 at the Wayback Machine
↑  Courant & Hilbert 1953, p. 184
1 2 3  Courant, R; Hilbert, D (1953). Methods of Mathematical Physics. Vol. I (First English ed.). New York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
↑  Weinstock, R. (1952). Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering. New York: McGraw-Hill
Jatynia

| Jatynia |
| --- | --- |
—  Village  —
 
Jatynia
Country:  Ba Lan
Voivodeship: West Pomeranian
County: Koszalin County
Gmina: Bobolice
Múi giờ: UTC+1, UTC+2 
Jatynia [jaˈtɨɲa] (tiếng Đức Jatzthum) là một ngôi làng thuộc khu hành chính của Gmina Bobolice, thuộc quận Koszalin, West Pomeranian Voivodeship, ở phía tây bắc Ba Lan.
Trước năm 1945, khu vực này là một phần của Đức. Đối với lịch sử của khu vực, xem Lịch sử của Pomerania.
Selaginella hartii

| Selaginella hartii> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Pteridophyta
Lớp (class): Isoetopsida
Bộ (ordo): Selaginellales
Họ (familia): Selaginellaceae
Chi (genus): Selaginella
Loài (species): S. hartii
Danh pháp hai phần
Selaginella hartii Hieron., 1903 
Selaginella hartii là một loài dương xỉ trong họ Selaginellaceae. Loài này được Hieron. mô tả khoa học đầu tiên năm 1903.
Danh pháp khoa học của loài này chưa được làm sáng tỏ.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Selaginella hartii”. Truy cập ngày 28 tháng 5 năm 2014.
Senna unijuga

| Senna unijuga> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Chi (genus): Senna
Loài (species): S. unijuga
Danh pháp hai phần
Senna unijuga (Rose) H.S.Irwin & Barneby 
Senna unijuga là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được (Rose) H.S.Irwin & Barneby miêu tả khoa học đầu tiên.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Senna unijuga”. Truy cập ngày 5 tháng 6 năm 2013.
Senna viciifolia

| Senna viciifolia> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Chi (genus): Senna
Loài (species): S. viciifolia
Danh pháp hai phần
Senna viciifolia (Benth.) H.S.Irwin & Barneby 
Senna viciifolia là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được (Benth.) H.S.Irwin & Barneby miêu tả khoa học đầu tiên.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Senna viciifolia”. Truy cập ngày 5 tháng 6 năm 2013.