Định lý lớn Fermat
Tổng quan về định lý > Sự phát triển và những nghiệm sau đó

Với trường hợp đặc biệt n = 4 do chính Fermat chứng minh, điều này đã giảm thiểu việc chứng minh bằng cách chỉ cần chứng minh định lý này cho các số mũ là số nguyên tố (sự thu nhỏ chứng minh này được coi là bình thường để chứng minh). Trong hai thế kỷ tiếp theo (1637-1839), phỏng đoán đã được chứng minh chỉ với các số nguyên tố 3, 5 và 7, mặc dù Sophie Germain đã đổi mới và chứng minh một cách tiếp cận có liên quan đến toàn bộ bậc của số nguyên tố. Vào giữa thế kỷ 19, Ernst Kummer đã mở rộng điều này và chứng minh được định lý cho tất cả các số nguyên tố thông thường, để lại các số nguyên tố bất thường được phân tích riêng lẻ. Dựa trên công trình của Kummer và sử dụng các nghiên cứu máy tính phức tạp, các nhà toán học khác có thể mở rộng cách chứng minh để bao gồm tất cả các số nguyên tố chính lên đến bốn triệu, nhưng một bằng chứng cho thấy tất cả các số mũ là không thể tiếp cận được (có nghĩa là các nhà toán học thường xem là một bằng chứng không thể, nó quá khó, không thể chứng minh được với kiến ​​thức hiện tại).
Hoàn toàn tách biệt, khoảng năm 1955, các nhà toán học người Nhật Goro Shimura và Yutaka Taniyama nghi ngờ một liên kết có thể tồn tại giữa các đường cong elliptic và dạng modular, hai lĩnh vực toán học hoàn toàn khác nhau. Được biết đến vào thời điểm đó là giả thuyết Taniyama-Shimura, và (cuối cùng) là định lý modular, nó tự đứng vững, không có kết nối rõ ràng với Định lý cuối cùng của Fermat. Nó được xem là quan trọng, nhưng nó (như định lý của Fermat) được xem là không thể chứng minh được.
Năm 1984, Gerhard Frey nhận thấy một liên kết rõ ràng giữa hai vấn đề không liên quan và chưa được giải quyết trước đây. Một phác thảo cho thấy điều này có thể được chứng minh đã được đưa ra bởi Frey. Bằng chứng đầy đủ cho thấy hai vấn đề này có liên quan mật thiết với nhau, được xây dựng bởi Ken Ribet vào năm 1986 dựa trên cách chứng minh từng phần của Jean-Pierre Serre, người đã chứng minh được tất cả nhưng chỉ một phần được gọi là "dự đoán epsilon" (xem định lý của Ribet và đường Frey). Các giấy tờ của Frey, Serre và Ribet chỉ ra rằng nếu Định lý mô đun có thể được chứng minh cho ít nhất là bán ổn định lớp đường cong elliptic, thì một cách chứng minh của Định lý cuối cùng của Fermat cũng sẽ tự động được thực hiện. Kết nối được mô tả dưới đây: bất kỳ nghiệm nào có thể trái ngược với Định lý cuối cùng của Fermat cũng có thể được sử dụng để đảo lại với Định lý mô đun. Vì vậy, nếu định lý Mô-đun đã được tìm thấy là đúng, thì theo định nghĩa không có cách giải nào đảo với Định lý cuối cùng của Fermat có thể tồn tại, điều này cũng phải là đúng.
Mặc dù cả hai vấn đề này đều là những vấn đề khó khăn được xem là "hoàn toàn không thể tiếp cận" được vào thời điểm đó, nhưng đây là gợi ý đầu tiên của một lộ trình mà theo đó Định lý cuối cùng của Fermat có thể được mở rộng và chứng minh cho tất cả các con số, chứ không phải chỉ một số con số. Điều quan trọng là các nhà nghiên cứu lựa chọn một chủ đề nghiên cứu thực sự là không giống như Định lý Cuối cùng của Fermat, Định lý mô đun là một lĩnh vực nghiên cứu chủ yếu mà một cách chứng minh được yêu cầu rộng rãi và không chỉ là một sự kỳ quặc lịch sử, do đó thời gian làm việc trên đó có thể được chứng minh là vô cùng chuyên nghiệp. Tuy nhiên, ý kiến ​​chung cho rằng điều này chỉ đơn giản cho thấy cái không thực tế của chứng minh Taniyama-Shimura phỏng đoán. Phản hồi được trích dẫn từ nhà toán học John Coates:
"Bản thân tôi rất hoài nghi rằng mối liên hệ tuyệt vời giữa Định lý Cuối cùng của Fermat và giả thuyết Taniyama-Shimura sẽ thực sự dẫn đến bất cứ điều gì, bởi vì tôi phải thú nhận rằng tôi không nghĩ rằng giả thuyết Taniyama-Shimura có thể chứng minh được., nó dường như không thể chứng minh. Tôi phải thú nhận rằng tôi nghĩ có lẽ tôi sẽ không chứng kiến ​​điều đó trong suốt cuộc đời mình. "
Khi nghe Ribet đã chứng minh liên kết của Frey là đúng, nhà toán học người Anh Andrew Wiles, người đã có một niềm đam mê từ thời thơ ấu với Định lý cuối cùng của Fermat và có nền tảng làm việc với đường cong elliptic và các lĩnh vực liên quan, quyết định thử chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura như một cách để chứng minh Định lý Cuối cùng của Fermat. Năm 1993, sau sáu năm làm việc bí mật về vấn đề này, Wiles đã thành công trong việc chứng minh đủ các giả thuyết để chứng minh Định lý Cuối cùng của Fermat. Bản báo cáo của Wiles có quy mô và phạm vi lớn. Một lỗ hổng đã được phát hiện trong một phần của bài báo gốc của ông trong quá trình xem xét lại và cần thêm một năm nữa và hợp tác với một học sinh cũ, Richard Taylor, để giải quyết. Kết quả là, chứng minh được công bố cuối cùng năm 1995 được kèm theo một báo cáo thứ hai nhỏ hơn cho thấy rằng các bước cố định là hợp lệ. Thành tựu của Wiles được báo cáo rộng rãi trong báo chí nổi tiếng và được phổ biến rộng rãi trong các cuốn sách và chương trình truyền hình. Các phần còn lại của dự đoán Taniyama-Shimura-Weil, bây giờ đã được chứng minh và được gọi là định lý Mô đun, sau đó được chứng minh bởi các nhà toán học khác, người đã xây dựng dựa trên công trình của Wiles từ năm 1996 đến năm 2001. Nhờ chứng minh của mình, Wiles được vinh danh và nhận được nhiều giải thưởng, bao gồm giải thưởng Abel năm 2016.