Quaternion
Biểu diễn ma trận

Tương tự như số phức, quaternion có thể biểu diễn bằng ma trận. Có ít nhất hai cách biểu diễn các quaternion sao cho phép cộng và phép nhân của quaternion tương ứng với phép cộng và phép nhân của ma trận. Một trong số đó là dùng ma trận phức 2 × 2, và một cách khác là dùng ma trận thực 4 × 4.Trong mỗi cách, biểu diễn thu được là một trong họ các biểu diễn tuyến tính tương tự. Sử dụng đại số trừu tượng, đây là các đơn cấu từ  \mathbb {H}  tới vành ma trận M(2,C) và M(4,R), tương ứng.
Quaternion a + bi + cj + dk có thể biểu diễn thành ma trận phức 2 × 2 như sau
Cách biểu diễn này có các tính chất sau:
Buộc hai trong b, c và d bằng 0 sẽ ra số phức.Ví dụ, đặt c = d = 0 sẽ ra biểu diễn ma trận chéo phức của số phức, còn nếu dùng b = d = 0 thì sẽ ra biểu diễn ma trận thực.
Chuẩn của quaternion (căn bậc hai của tích với liên hợp, giống với số phức) là căn bậc hai của định thức của ma trận tương ứng.
Liên hợp của quaternion tương ứng với chuyển hợp của ma trận.
Khi giới hạn, biểu diễn này ra đẳng cấu giữa nhóm các quaternion đơn vị với ảnh của chúng SU(2). Trong tô pô, tập các quaternion đơn vị lập 3-cầu, do đó không gian nền của SU(2) cũng là 3-cầu. Nhóm SU(2) quan trọng cho mô tả spin trong vật lý lượng tử; xem ma trận Pauli.
Có mối quan hệ mạnh mẽ giữa các quaternion đơn vị với các ma trận Pauli. Ta thu về tám ma trận quaternion đơn vị bằng cách xét a, b, c và d, đặt một trong số chúng bằng 0 và cái còn lại lấy 1 hoặc −1. Nhân bất kỳ hai trong ba ma trận Pauli sẽ luôn ra ma trận quaternion đơn vị, tất cả ngoại trừ -1. Ta thu −1 qua i2 = j2 = k2 = i j k = −1; tức đẳng thức cuối là ijk=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=-1.
Sử dung các ma trận thực 4 × 4, cũng cùng quaternion đó có thể viết như sau
{\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}
Tuy nhiên, biểu diễn của quaternion trong M(4,R) không độc nhất. Chẳng hạn, vẫn cùng quaternion trên, nó có thể biểu diễn thành
{\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}
Có 48 cách biểu diễn ma trận riêng biệt dưới dạng này trong đó một trong số các ma trận biểu diễn phần vô hướng còn ba ma trận còn lại đều phản đối xứng. Cụ thể hơn, có 48 tập các bộ bốn ma trận với ràng buộc đối xứng sao cho hàm gửi 1, i, j, và k đến các ma trận trong bộ bốn là đồng cấu, tức là nó gửi tổng và tích của quaternion tới tổng và tích của ma trận. 
Trong cách biểu diễn này, liên hợp của quaternion tương ứng với chuyển vị của ma trận. Luỹ thừa bậc bốn của chuẩn của quaternion là định thức của ma trận tương ứng . Giống với biểu diễn phức 2 × 2 ở trên, có thể viết biểu diễn các số phức bằng cách ràng buộc hợp lý các giá trị; ví dụ, biểu diễn thành ma trận khối chéo với hai khối 2 × 2 bằng cách đặt c = d = 0.
Mỗi biểu diễn ma trận 4×4 của quaternion tương ứng với một bảng nhân của các quaternion đơn vị. Ví dụ chẳng hạn, biểu diễn thứ hai ở trên tương ứng với bảng nhân
| × | a | d | −b | −c |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| a | a | d | −b | −c |
| −d | −d | a | c | −b |
| b | b | −c | a | −d |
| c | c | b | d | a |

đẳng cấu — qua  \{a\mapsto 1,b\mapsto i,c\mapsto j,d\mapsto k\} — với
| × | 1 | k | −i | −j |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | k | −i | −j |
| −k | −k | 1 | j | −i |
| i | i | −j | 1 | −k |
| j | j | i | k | 1 |

Buộc bất kỳ bảng nhân phải để phần tử trung hoà ở hàng đầu và cột đầu và dấu của các đầu hàng phải trái với dấu của đầu cột, thì có 3 lựa chọn khả thi cho cột thứ hai (không quan tâm dấu), 2 lựa chọn khả thi cho cột thứ ba (không quan tâm dấu) và 1 lựa chọn khả thi  (không quan tâm dấu) cho cột thứ tư; ta được sáu lựa chọn khả thi. Sau đó khi quan tâm dấu, mỗi cột có thể âm hoặc dương, có ba cột và vì vậy có 23=8 lựa chọn cho dấu mỗi cột. Nhân số lựa chọn phần tử với số lựa chọn dấu sẽ ra 48. Sau đó thay 1 bằng a, i bằng b, j bằng c, và k bằng d rồi bỏ các hàng đầu và cột đầu sẽ ra biểu diễn ma trận của a + b i + c j + d k .