Thuyết tương đối rộng
Từ cơ học cổ điển đến thuyết tương đối rộng > Mô tả bằng hình học của lực hấp dẫn Newton

Cơ sở của vật lý cổ điển là khái niệm chuyển động của một vật thể, kết hợp giữa chuyển động tự do (hay quán tính) và chuyển động khi có ngoại lực tác dụng. Các chuyển động này được miêu tả bằng phương trình trong không gian 3 chiều Euclid và sử dụng khái niệm thời gian tuyệt đối. Những ngoại lực tác dụng lên vật thể làm quỹ đạo vật lệch khỏi quỹ đạo của chuyển động quán tính tuân theo định luật thứ hai của Newton về chuyển động, phát biểu là tổng lực tác dụng lên vật bằng khối lượng (quán tính) nhân với gia tốc của nó. Tiếp theo, chuyển động quán tính được liên hệ với hình học của không gian và thời gian: trong hệ quy chiếu quán tính của cơ học cổ điển, các vật chuyển động tự do với vận tốc không đổi sẽ có quỹ đạo là đường thẳng. Theo ngôn ngữ của vật lý hiện đại, quỹ đạo của chúng là đường trắc địa, những tuyến thế giới thẳng (world lines, hay đường thế giới) trong không thời gian cong và đường trắc địa chính là đường thẳng trong hình học phẳng.
Ngược lại, chúng ta mong muốn rằng nhờ áp dụng chuyển động quán tính - một khi biết được chuyển động thực của vật thể do ảnh hưởng của ngoại lực nào (như lực điện từ hoặc ma sát) - để xác định ra hình học của không gian, cũng như tọa độ thời gian. Tuy nhiên, có một sự khó khăn khi xuất hiện hấp dẫn. Theo định luật vạn vật hấp dẫn Newton, và những thí nghiệm độc lập của Eötvös và các thí nghiệm sau đó (xem thí nghiệm Eötvös), vật rơi tự do (còn gọi là nguyên lý tương đương yếu, hay sự bằng nhau giữa khối lượng quán tính và khối lượng hấp dẫn thụ động): quỹ đạo của vật thử khi rơi tự do chỉ phụ thuộc vào vị trí và vận tốc ban đầu của nó, chứ không phụ thuộc vào nó cấu tạo bằng vật chất gì (như lực điện từ còn phụ thuộc vào điện tích hạt thử). Có một minh họa đơn giản điều này thể hiện trong thí nghiệm tưởng tượng của Einstein, ở hình bên cạnh: đối với một quan sát viên trong thang máy kín, anh ta không thể biết được, bằng theo dõi quỹ đạo của các vật như quả bóng rơi, rằng anh ta đang ở trong căn phòng đứng yên trên mặt đất và trong một trường hấp dẫn, hay đang ở trong tàu vũ trụ chuyển động tự do trong không gian với gia tốc bằng gia tốc hấp dẫn.
Nếu chỉ dựa vào sự rơi tự do của vật, chúng ta không thể phân biệt được chỉ bằng quan sát giữa chuyển động quán tính và chuyển động chịu ảnh hưởng của lực hấp dẫn. Sự không phân biệt được này gợi ra một định nghĩa mới cho chuyển động quán tính: chuyển động của vật rơi tự do trong trường hấp dẫn. Định nghĩa mới về chuyển động quán tính này cũng cho phép xác định ra hình học của không gian và thời gian theo ngôn ngữ toán học, quỹ đạo của vật chính là chuyển động trên đường trắc địa. Trong phương trình đường trắc địa chứa hệ số liên thông phụ thuộc vào gradien của thế năng hấp dẫn. Không gian của cơ học Newton theo cách xây dựng này vẫn thuần túy là hình học Euclid phẳng. Hình học này tác động đến chuyển động của vật chất nhưng không bị ảnh hưởng bởi vật chất và tồn tại một cách tuyệt đối. Tuy nhiên toàn bộ không thời gian vật lý lại là một cấu trúc phức tạp. Như được chỉ ra bằng các thí nghiệm tưởng tượng đơn giản về quỹ đạo rơi tự do của các hạt thử khác nhau, khi dịch chuyển các vectơ không thời gian - ký hiệu cho vận tốc của hạt (các vectơ kiểu thời gian, có 4 thành phần tọa độ) - sẽ cho kết quả là các vectơ khác nhau dọc theo quỹ đạo của hạt; hay nói về mặt toán học, liên thông Newton không khả tích được (các vectơ vận tốc khi dịch chuyển trên quỹ đạo sẽ không còn song song với vectơ ban đầu nữa). Từ điều này, chúng ta có thể kết luận rằng không thời gian là cong. Mô hình hình học phẳng của hấp dẫn Newton chỉ sử dụng các khái niệm hiệp biến, có nghĩa là nó công nhận một hệ quy chiếu quán tính toàn cục và mô tả hiện tượng hấp dẫn đúng trong mọi hệ tọa độ. Theo cách miêu tả hình học này, các hiệu ứng thủy triều — gia tốc tương đối giữa các vật thể gần nhau khi rơi tự do — được liên hệ với đạo hàm của liên thông, chỉ ra hình học thay đổi như thế nào bởi sự có mặt khối lượng.