stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Quan hệ hai ngôi
Các phép toán trên quan hệ hai ngôi > Thu hẹp

Nếu R là quan hệ hai ngôi thuần nhất trên tập hợp X và S là tập hợp con của X thì  R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ và }}x\in S{\text{ và }}y\in S\} là quan hệ thu hẹp của R về S trên X.
Nếu R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp X và Y và nếu S là tập con của X thì  R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ và }}x\in S\} là quan hệ thu hẹp trái của R về S trên X và Y.[cần giải thích]
Nếu R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp X và Y và nếu S là tập con của Y thì  R^{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ và }}y\in S\} là quan hệ thu hẹp phải của R về S trên X và Y.
Nếu quan hệ có tính phản xạ, hoàn toàn không phản xạ, đối xứng, bất đối xứng, bắc cầu, toàn phần, phân tam hoặc là thứ tự riêng phần, thứ tự toàn phần, thứ tự yếu nghiêm ngặt, tiền thứ tự toàn phần hoặc quan hệ tương đương, thì quan hệ thu hẹp của nó cũng tương tự như vậy.
Tuy nhiên, bao đóng bắc cầu của quan hệ thu hẹp là tập con của thu hẹp của bao đóng bắc cầu của  , tức là nó thường không bằng nhau. Ví dụ chẳng hạn, khi thu hẹp quan hệ "x là cha mẹ của y" về giới nữ thành quan hệ  "x là mẹ của phụ nữ y"; bao đóng bắc cầu của nó sẽ không quan hệ người phụ nữ với bà nội của cô ấy. Mặt khác, bao đóng bắc cầu của "là cha mẹ của" là "là tổ tiên của"; và khi chỉ xét giới nữ, quan hệ này có quan hệ giữa một người vụ nữ với bà nội của cô ấy.
Bên cạnh đó, nhiều khái niệm của đầy đủ cũng không còn đúng khi bị thu hẹp lại. Ví dụ chẳng hạn, trên tập các số thực, có một tính chất của quan hệ hai ngôi  \,\leq \, rằng mọi tập hợp con khác rỗng  S\subseteq \mathbb {R}  có cận trên thuộc  \mathbb {R}  thì sẽ có cận trên nhỏ nhất (hay còn gọi là supremum) thuộc  \mathbb {R} . Tuy nhiên khi bị thu hẹp về các số hữu tỉ thì nó không còn đúng nữa vì giá trị supremum không nhất thiết phải là số hữu tỉ. Do đó, tính chất này không còn được giữ nguyên khi thu hẹp quan hệ  \,\leq \, về các số hữu tỉ.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X và Y được gọi là chứa trong (hay nằm trong) quan hệ S trên X và Y, được ký hiệu là  R\subseteq S, nếu R là tập con của S, nghĩa là, với mọi  x\in X và  y\in Y, nếu xRy, thì xSy. Nếu R chứa trong S và S chứa trong R, thì R và S là bằng nhau và được viết là R = S. Nếu R chứa trong S nhưng S không chứa trong R, thì R được gọi là quan hệ nhỏ hơn S, và được viết là  R\subsetneq S. . Lấy ví dụ từ các số hữu tỉ, quan hệ  \,>\, nhỏ hơn  \,\geq ,\, và bằng với quan hệ hợp thành  \,>\,\circ \,>.\,
Các loại quan hệ

Một số tính chất quan trọng của quan hệ R trên tập X và Y là:
Tính duy nhất:
Nội xạ (cũng được gọi là duy nhất trái): với mọi  x,z\in X và  y\in Y, nếu xRy và zRy thì x = z. Đối với quan hệ như vậy, {Y} được gọi là khóa chính của R. Ví dụ như, quan hệ xanh lá và xanh dương trong biểu đồ có tính nội xạ, nhưng màu đỏ thì không (bởi −1 và 1 quan hệ với 1), và màu đen cũng không bởi (−1 và 1 quan hệ với 0).
Phiếm hàm (cũng được gọi là duy nhất phải,): với mọi  x\in X và tất cả  y,z\in Y, nếu xRy và xRz thì y = z. Quan hệ hai ngôi như vậy được gọi là hàm riêng phần. Trong quan hệ đó,  \{X\} được gọi là khóa chính của R. Ví dụ như, quan hệ màu xanh lá và màu đỏ có tính phiếm hàm nhưng không phải màu xanh dương bởi (1 quan hệ với cả −1 và 1) và màu đen cũng không bởi (0 quan hệ với −1 và 1).
1-1: nội xạ và phiếm hàm.
1-Nhiều: nội xạ nhưng không phiếm hàm.
Nhiều-1: phiếm hàm nhưng không nội xạ.
Nhiều-nhiều: không phiếm hàm cũng không nội xạ.
Tính toàn phần (chỉ định nghĩa được khi biết miền xác định X và miền giá trị Y:
Toàn phần (hay còn gọi là toàn phần trái): với mọi x thuộc X, tồn tại y thuộc Y sao cho xRy.Nói cách khác, miền xác định của R bằng X. Quan hệ này thường được dùng cho hàm đa giá trị. Lấy ví dụ, quan hệ màu đỏ và màu xanh lá ở trên có tính toàn phần, nhưng quan hệ màu xanh dương thì không (bởi số -1 không có quan hệ với bất cứ số thực nào theo quan hệ đó), tương tự như vậy với quan hệ màu đen (ví dụ như số 2 chẳng hạn). Ví dụ khác, quan hệ lớn hơn thông thường > là quan hệ toàn phần trên tập số nguyên, nhưng không toàn phần khi định nghĩa trên tập số nguyên dương , bởi không có giá trị y nguyên dương nào sao cho 1 > y. Ngược lại, < là quan hệ toàn phần trên tập số nguyên dương, số hữu tỉ và số thực. Quan hệ phản xạ thì nghiễm nhiên toàn phần bởi: cho x, chỉ cần chọn y = x.
Toàn ánh (hay còn gọi là toàn phần phải): với mọi y thuộc Y, tồn tại x thuộc X sao cho xRy. Nói cách khác, miền giá trị của R bằng Y. Lấy ví dụ, quan hệ xanh lá và xanh dương trong hình có tính toàn ánh, nhưng cái màu đỏ và màu đen thì không (trong quan hệ màu đỏ, không có số thực nào quan hệ với -1, còn trong màu đen không có số thực nào quan hệ với 2).
Tính duy nhất và toàn phần (chỉ định nghĩa được khi biết miền xác định X và miền giá trị Y):
Hàm số: quan hệ phiếm hàm và toàn phần. Lấy ví dụ, quan hệ màu xanh lá và màu đỏ là hàm số, còn quan hệ màu xanh dương và đỏ thì không.
Đơn ánh: Quan hệ hàm số có tính đơn ánh. Lấy ví dụ, quan hệ màu xanh lá là hàm đơn ánh, còn lại thì không.
Toàn ánh: Quan hệ hàm số có tính toàn ánh. Lấy ví dụ, quan hệ màu xanh lá là hàm toàn ánh, còn lại thì không.
Song ánh: Quan hệ hàm số vừa toàn ánh vừa đơn ánh. Lấy ví dụ, bởi quan hệ màu xanh lá vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nên nó là quan hệ song ánh. Các quan hệ còn lại thì không
Quan hệ thuần nhất

Quan hệ thuần nhất trên tập X là quan hệ hai ngôi giữa X với chính nó hay tập quan hệ là tập con của tích decac  X\times X. Người ta thường gọi ngắn đi là quan hệ trên X.
Quan hệ thuần nhất R trên tập X có thể được xét bằng đồ thị có hướng cho phép vòng, với X là tập đỉnh và R là tập các cạnh (có cạnh giữa đỉnh x với đỉnh y nếu xRy).
Tập tất cả các quan hệ hai ngôi  {\mathcal {B}}(X) trên tập X là tập lũy thừa  2^{X\times X}, hay còn là đại số Boolean  đi kèm với hàm tự nghịch đảo ánh xạ một quan hệ sang quan hệ ngược của nó. Xét việc hợp thành quan hệ làm phép toán hai ngôi trên  {\mathcal {B}}(X), nó tạo thành nửa nhóm với hàm tự nghịch đảo.
Một số tính chất quan trọng của quan hệ thuần nhất R trên tập X là:
Phản xạ: với  x\in X, xRx. Ví dụ,  \,\geq \, là quan hệ phản xạ nhưng > thì không.
Hoàn toàn không phản xạ: với mọi  x\in X, không xRx. Ví dụ,  \,>\, là quan hệ hoàn toàn không phản xạ nhưng \,\geq \, thì phản xạ.
Đối xứng: với mọi  x,y\in X, nếu xRy thì yRx. Ví dụ, "là họ hàng của" là quan hệ đối xứng.
Phản đối xứng: với mọi  x,y\in X, nếu xRy và yRx thì  x=y. Ví dụ,  \,\geq \, là quan hệ phản đối xứng.
Bất đối xứng: với mọi  x,y\in X, nếu xRy thì không yRx. Quan hệ bất đối xứng khi và chỉ khi nó hoàn toàn không phản xạ và phản đối xứng. Ví dụ, > là quan hệ bất đối xứng nhưng  \,\geq \, thì không.
Bắc cầu: với mọi  x,y,z\in X, nếu xRy và yRz thì xRz. Quan hệ bắc cầu có tính hoàn toàn không phản xạ khi và chỉ khi nó bất đối xứng. Ví dụ, "là tổ tiên của" là quan hệ bắc cầu nhưng "là cha mẹ của" thì không.
Liên thông: với mọi  x,y\in X, nếu  x\neq y thì xRy hoặc yRx.
Liên thông mạnh: với  x,y\in X, xRy hoặc yRx.
Chú thích

↑  Trong một số ngữ cảnh khi tác giả phải xét quan hệ hai ngôi là trường hợp đặc biệt của quan hệ n-ngôi với n tùy ý thường viết Rxy là trường hợp đặc biệt của Rx1...xn (Kí pháp Ba Lan).
Sách

Enderton, Herbert (1977), Elements of set theory, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-238440-0.
M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev (2000) Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7.
Charles Sanders Peirce (1870) Description of a Notation for the Logic of Relatives from Google Books
Gunther Schmidt (2010) Relational Mathematics Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7.
Các đại dương và châu lục (ẩn các đảo)
Các trục t biểu diễn thời gian cho người xem đang trong trạng thái di chuyển, các trục x tương ứng là các dòng xảy ra đồng thời
Ví dụ của 4 dạng quan hệ hai ngôi trên tập số thực: 1-1 (màu xanh lá cây), 1-nhiều (xanh dương), nhiều-1 (màu đỏ), nhiều-nhiều (màu đen).
Bert Trautmann

Bernhard Carl "Bert" Trautmann, OBE (22 tháng 10 năm 1923 – 19 tháng 7 năm 2013) là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp người Đức chơi ở vị trí thủ môn.
Sinh ra tại Bremen vào năm 1923, ông gia nhập Jungvolk, tiểu đội dành riêng cho thiếu niên thuộc Đoàn Thanh niên Hitler vào tháng 8 năm 1933. Trautmann gia nhập Không quân Đức Quốc xã vào đầu Chiến tranh thế giới thứ hai và sau đó phục vụ với tư cách lính dù. Ông ban đầu được gửi tới Ba Lan bị chiếm đóng và sau đó chiến đấu trong mặt trận phía Đông trong vòng ba năm, được trao năm huy chương, bao gồm Thập tự Sắt. Sau này trong cuộc chiến, ông được chuyển tới Mặt trận phía Tây, nơi ông bị quân Anh bắt giữ khi cuộc chiến dần đi đến hồi kết. Là một người lính tình nguyện, ông được chính quyền phân loại là tù nhân loại "C", đồng nghĩa với việc ông bị coi là một người theo Chủ nghĩa quốc xã. Là một trong số 90 người duy nhất sống sót sau cuộc chiến trong trung đoàn ban đầu gồm 1.000 người, ông được chuyển đến một trại giam giữ tù binh chiến tranh ở Ashton-in-Makerfield, Lancashire. Trautmann đã từ chối lời đề nghị hồi hương và sau khi được trả tự do vào năm 1948, ông đã quyết định định cư tại Lancashire, kết hợp công việc đồng áng với việc làm thủ môn cho một câu lạc bộ địa phương, St Helens Town.
Những màn trình diễn tại St Helens đã mang lại cho Trautmann danh tiếng là một thủ môn xuất sắc, giúp ông nhận được sự quan tâm từ các câu lạc bộ Football League. Vào tháng 10 năm 1949, ông đã ký hợp đồng với Manchester City, đội bóng lúc đó đang chơi tại hạng đấu cao nhất trong nước First Division. Quyết định ký hợp đồng với một cựu lính dù Phe Trục của câu lạc bộ đã gây ra các cuộc biểu tình với 20.000 người tham gia. Qua thời gian, ông dần được chấp nhận nhờ những màn trình diễn trong khung thành của City, chỉ bỏ lỡ năm trong số 250 trận đấu tiếp theo của câu lạc bộ.
Được bầu chọn là Cầu thủ bóng đá xuất sắc nhất năm của FWA vào năm 1956, Trautmann đã đi vào truyền thuyết bóng đá nhờ màn trình diễn của ông trong trận Chung kết Cúp FA 1956. Khi trận đấu chỉ còn 17 phút, Trautmann đã dính một chấn thương nặng khi lao vào chân của Peter Murphy bên phía Birmingham City. Mặc dù vậy, ông vẫn tiếp tục thi đấu, thực hiện những pha cứu thua quan trọng để bảo toàn tỷ số 3–1 cho City. Cổ của ông bị cong một cách rõ rệt khi ông nhận huy chương vô địch; ba ngày sau ảnh chụp Tia X cho thấy cổ ông đã bị gãy.
Trautmann đã chơi bóng cho Manchester City đến năm 1964, ra sân 545 trận đấu. Sau khi giải nghệ, ông chuyển sang sự nghiệp huấn luyện, đầu tiên là với các đội hạng dưới tại Anh và Đức, sau đó trở thành một phần trong chương trình phát triển của Hiệp hội bóng đá Đức, chương trình đã đưa ông tới rất nhiều quốc gia, bao gồm Miến Điện, Tanzania và Pakistan. Năm 2004, ông được bổ nhiệm làm Sĩ quan danh dự của Huân chương Đế quốc Anh (OBE) cho sự cống hiến của ông trong việc thúc đẩy mối quan hệ thấu hiểu Anh-Đức qua bóng đá. Năm 2013, Trautmann qua đời tại nhà riêng ở Valencia, Tây Ban Nha ở tuổi 89.
Tuổi thơ tại Đức

Trautmann sinh ngày 22 tháng 10 năm 1923 tại Walle, một khu vực của tầng lớp lao động ở tây Bremen. Ông sống với cha mình, người làm việc trong một nhà máy phân bón gần bến tàu và mẹ ông Frieda. Ông có một người em trai kém ông ba tuổi tên là Karl-Heinz, người mà ông có mối quan hệ rất thân thiết. Tình hình kinh tế ảm đạm vào đầu những năm 1930 đã buộc gia đình Trautmann phải bán nhà và chuyển tới một dãy căn hộ ở khu vực của tầng lớp lao động Gröpelingen, nơi Bernhard sống tới năm 1941.
Bernhard trẻ tuổi có niềm đam mê mãnh liệt với thể thao, chơi bóng đá, bóng ném và völkerball (một dạng của bóng né). Vì điều này, ông đã gia nhập YMCA và câu lạc bộ bóng đá Blau und Weiss. Ông bắt đầu thi đấu cho câu lạc bộ bằng sự nhiệt huyết của mình, nhưng các hoạt động của YMCA không làm ông hứng thú đến vậy.
Tháng 8 năm 1933, ông gia nhập một tổ chức mới mang tên Jungvolk, một tiểu đội thanh thiếu niên thuộc Đoàn Thanh niên Hitler. Năm tiếp theo, ông đã giành chiến thắng trong nhiều sự kiện điền kinh dành cho thanh thiếu niên địa phương và được trao chứng chỉ về thành tích điền kinh xuất sắc do Tổng thống Đức Paul von Hindenburg ký. Khi Chiến tranh thế giới thứ hai nổ ra, Trautmann đang là một thợ sửa ô tô học việc.
Sự nghiệp cầu thủ > Những năm đầu sự nghiệp

Với việc trại giam giữ tù binh sắp đóng cửa, Trautmann đã từ chối lời đề nghị hồi huơng để ở lại Anh, làm việc trong một trang trại ở Milnthorpe, sau đó làm công việc phá bom ở Huyton.
Tháng 8 năm 1948, ông bắt đầu chơi bóng nghiệp dư cho câu lạc bộ St Helens Town thuộc Liverpool County Combination, nơi ông đã gặp con gái của thư ký câu lạc bộ, Margaret Friar, người sau này đã trở thành vợ ông. Trong suốt mùa giải 1948–49, danh tiếng thủ môn của Trautmann ngày càng tăng và các màn trình diễn của ông đã thu hút hàng loạt các đám đông lớn, bao gồm kỷ lục 9.000 khán giả đến xem trận chung kết của một giải đấu cúp địa phương, Cúp Mahon. Thành công của mùa giải đó đã giúp câu lạc bộ thăng hạng lên Division Two của giải Lancashire Combination vào đầu mùa giải 1949–50.
Sự nghiệp cầu thủ > Manchester City

Những màn trình diễn tại St Helens đã đem lại cho Trautmann danh tiếng là một thủ môn tài năng, giúp ông nhận được sự chú ý từ các câu lạc bộ thi đấu tại Football League. Khi mùa giải tiếp theo bắt đầu, một số câu lạc bộ từ các giải đấu đã thể hiện sự hứng thú với việc chiêu mộ ông. Câu lạc bộ đầu tiên đề nghị với ông một bản hợp đồng là Manchester City, câu lạc bộ lúc đó đang chơi tại hạng đấu cao nhất cả nước, First Division. Vào ngày 7 tháng 10 năm 1949 Trautmann đã ký hợp đồng với câu lạc bộ với tư cách là một cầu thủ nghiệp dư và trở thành chuyên nghiệp một thời gian ngắn sau đó. Trautmann đã trở thành vận động viên thể thao đầu tiên ở Anh mặc đồ Adidas nhờ tình bạn của ông với Adolf Dassler.
Sự nghiệp cầu thủ > Manchester City > Phục hồi sau chấn thương

Trautmann đã mất vài tháng để dưỡng thương, khiến ông phải bỏ lỡ phần lớn mùa giải 1956–57. Jack Savage đã trở thành người thay thế ông trong quãng thời gian đó. Vào đầu tháng 12, Trautmann đã chơi hai trận dự bị nhưng sự tự tin của ông đã mất. Ông trở lại đội một vào ngày 15 tháng 12 trong trận đấu với Wolverhampton Wanderers nhưng để thủng lưới ba bàn. Ông đã phải vật lộn để lấy lại phong độ trong phần còn lại của mùa giải, dẫn đến việc một số người hâm mộ và giới truyền thông kêu gọi ông giải nghệ. Số còn lại đã chỉ trích câu lạc bộ, họ tin rằng Trautmann đã bị ép phải thi đấu khi chấn thương của ông còn chưa phục hồi hoàn toàn.
1957–58 là một mùa giải thất thường đối với Manchester City khi họ trở thành đội bóng Anh duy nhất vừa ghi và để thủng lưới 100 bàn trong một mùa giải. Trautmann đã thi đấu 34 trận và dù ông không thi đấu trong trận thua 9–2 trước West Bromwich Albion, trận thua 8–4 trước Leicester City trở thành kỷ lục về số bàn thua nhiều nhất mà Trautmann phải nhận trong một trận đấu trong suốt sự nghiệp của ông và ông chỉ có thể giữ sạch lưới hai trận trong cả mùa giải ấy.
Sự nghiệp cầu thủ > Manchester City > Vinh danh

Trautmann đã ra sân 545 trận đấu cho City trong quãng thời gian 15 năm từ năm 1949 đến 1964.
Vào ngày 15 tháng 4 năm 1964, ông đã kết thúc sự nghiệp bằng một trận đấu vinh danh trước một đám đông được thống kê chính thức là 47.000 người, cho dù con số thực tế được ước tính là gần 60.000 người. Trautmann là đội trưởng của đội bóng kết hợp bởi Manchester City và Manchester United XI, có sự góp mặt của Bobby Charlton và Denis Law, đối đầu International XI có sự góp mặt của Tom Finney, Stanley Matthews và Jimmy Armfield.
Sự nghiệp cầu thủ > Cuối sự nghiệp

Sau khi rời City, Trautmann đã chuyển sang thi đấu cho Wellington Town, đội bóng đã đề nghị ông mức lương 50 bảng Anh mỗi trận, hợp đồng được ký kết vào tháng 9 năm 1964 để thay thế thủ môn chính đang gặp chấn thương. Tuổi tác đã làm giảm khả năng chơi bóng của ông, nhưng màn ra mắt tại Hereford United đã cho thấy rằng ông vẫn còn khả năng thu hút đám đông. Mặc dù vậy, ông đã phải nhận thẻ đỏ tại Tonbridge vì hành vi bạo lực trong trận đấu thứ hai của ông và cuối cùng, sự nghiệp của ông kết thúc với năm thất bại trong bảy trận mà ông thi đấu cho Wellington.
Sự nghiệp quốc tế

Mặc dù được công nhận là một trong những thủ môn hàng đầu thời đó, Trautmann chưa bao giờ thi đấu cho đội tuyển quốc gia. Trautmann từng gặp huấn luyện viên của đội tuyển Đức, Sepp Herberger vào năm 1953, người đã giải thích rằng việc đi lại và các tác động liên quan đến chính trị đã ngăn cản việc ông lựa chọn một cầu thủ mà ông không dễ dàng có được và ông chỉ có thể cân nhắc việc chọn Trautmann vào đội tuyển nếu Trautmann lúc đó đang chơi tại một giải đấu của Đức. Do vậy, Trautmann không thể cùng những người đồng hương tham dự Giải vô địch bóng đá thế giới 1954, nơi Đức trở thành nhà vô địch. Trải nghiệm thi đấu quốc tế duy nhất của Trautmann đã đến vào năm 1960, khi Football League lần đầu tiên quyết định đưa những cầu thủ không phải người Anh vào đội bóng đại diện Football League. Trautmann trở thành đội trưởng của đội bóng đại diện Football League thi đấu với đội bóng đại diện Irish League và đội bóng đại diện Italian League.
Sự nghiệp huấn luyện

Sau một vài tháng cân nhắc các kế hoạch về sự nghiệp tương lai của mình, Trautmann đã nhận được một cuộc gọi đến từ chủ tịch Stockport County, Victor Bernard, người đã đề nghị ông giữ chức tổng giám đốc của câu lạc bộ. Stockport là một câu lạc bộ ở hạng dưới đang gặp khó khăn với ngân sách nhỏ và việc bổ nhiệm Trautmann là một nỗ lực nhằm cải thiện hình ảnh của câu lạc bộ. Nhiều người dân địa phương là người hâm mộ của một trong hai đội bóng thành Manchester, vì vậy để kích thích sự quan tâm, Trautmann và Bernard đã quyết định dời các trận đấu sang các buổi chiều thứ Sáu, khi cả hai đội bóng thành Manchester đều không thi đấu. Điều này đã làm tăng doanh thu cho câu lạc bộ, nhưng đội bóng vẫn tiếp tục vật lộn với khó khăn. Do mâu thuẫn trong quan điểm với Bernard, Trautmann đã từ chức vào năm 1966. Từ năm 1967 đến 1968, ông trở thành huấn luyện viên của một câu lạc bộ Đức Preußen Münster, dẫn dắt đội bóng đạt vị trí thứ 13 tại giải đấu Regionalliga West, sau đó ông có một quãng thời gian ngắn làm việc tại Opel Rüsselsheim.
Hiệp hội bóng đá Đức sau đó đã gửi Trautmann với tư cách một nhân viên phát triển tới các đất nước không có các cơ cấu bóng đá quốc gia. Nhiệm vụ đầu tiên của ông là tại Miến Điện, nơi ông dành hai năm để làm huấn luyện viên đội tuyển quốc gia, giành quyền tham dự Thế vận hội Mùa hè 1972 và giành chức vô địch Cúp Tổng thống vào cuối năm đó, một giải đấu quy tụ các đội tuyển đến từ các quốc gia Đông Nam Á. Công việc của ông sau đó đã đưa ông tới vai trò cố vấn cho các huấn luyện viên của các đội tuyển quốc gia Tanzania, Liberia, Pakistan và Bắc Yemen, nơi ông đã đào tạo một số huấn luyện viên và giúp họ có được giấy phép huấn luyện. Sau khi nghỉ hưu, Trautmann đã định cư tại Tây Ban Nha.
Phong cách chơi bóng

Trautmann rất giỏi trong việc cản phá các cú sút, đặc biệt là các quả phạt đền khi ông đã cản phá 60% các tình huống phạt đền mà ông phải đối mặt trong suốt sự nghiệp. Huấn luyện viên huyền thoại Matt Busby của Manchester United đã đề cập đến khả năng đoán trước tình huống của Trautmann trong các buổi họp đội trước trận đấu của ông: "Đừng dừng lại để suy nghĩ mình nên sút bóng như thế nào với Trautmann. Cứ sút bóng trước rồi nghĩ sau. Vì nếu bạn nhìn lên và tìm được cách sút, anh ấy sẽ đọc được suy nghĩ của bạn và ngăn chặn nó." Cựu tiền đạo Neil Young của Manchester City cũng cùng chung suy nghĩ này, ông nhớ lại rằng "cách duy nhất để đánh bại anh ta bằng một cú sút khi luyện tập là sút trượt quả bóng". Là một cựu cầu thủ bóng ném, Trautmann rất thông thạo trong việc ném bóng với khoảng cách xa, ông thường sử dụng kỹ năng này để phát động các pha bóng tấn công, đặc biệt là sau khi chứng kiến thủ môn người Hungary Gyula Grosics sử dụng những chiến thuật như vậy một cách hiệu quả trong chiến thắng 6–3 của Hungary trước Anh vào năm 1953.
Trautmann cảm thấy rất khó chấp nhận những lời chỉ trích và chỉ cho phép những người bạn thân gợi ý những thay đổi trong cách chơi của ông. Thỉnh thoảng ông lại quá chăm chú vào những sai lầm khiến cho sự tập trung của chính ông bị ảnh hưởng nghiêm trọng, một khuynh hướng mà người bạn của ông Stan Wilson gọi là "chọc ngoáy các bông hoa cúc". Tính khí nóng nảy của ông thỉnh thoảng khiến ông vướng vào những vấn đề không đáng có; ông thậm chí đã từng bị đuổi khỏi sân nhiều hơn một lần trong suốt sự nghiệp.
Di sản và ảnh hưởng

—Lev Ivanovich Yashin
Trong suốt sự nghiệp của mình, Trautmann đã nhận được rất nhiều lời khen ngợi từ các nhân vật bóng đá nổi tiếng. Thủ môn huyền thoại người Liên Xô Lev Ivanovich Yashin, bản thân ông được coi là một trong những thủ môn vĩ đại nhất mọi thời đại, tin rằng ông và Trautmann là "hai thủ môn đẳng cấp thế giới ... duy nhất".
Phong cách chơi bóng đặc trưng của Trautmann cũng đã tạo nên sự ảnh hưởng tới các thủ môn trẻ trong quãng thời gian đỉnh cao sự nghiệp của ông. Cựu thủ môn Arsenal Bob Wilson đã gọi Trautmann là anh hùng thời thơ ấu của mình và Gordon Banks đã trích dẫn Trautmann như một sự ảnh hưởng tới phong cách chơi bóng của ông.
Các phương tiện truyền thông từ đó đã công nhận danh tiếng của Trautmann. ESPN coi Trautmann là một trong những thủ môn xuất sắc nhất trong lịch sử Cúp FA, với việc Trautmann đại diện cho Manchester City trong hai trận chung kết Cúp FA liên tiếp vào năm 1955 và 1956 và pha lao người vào chân Peter Murphy để bắt bóng trong trận chung kết Cúp FA 1956 được đánh giá là pha cứu thua vĩ đại nhất lịch sử Cúp FA; pha cứu thua đã làm gãy cổ của Trautmann.
Tháng 11 năm 1995, Trautmann đã trở về Maine Road để mở Khán đài Kippax đang được xây dựng lại. Mặc dù vậy, nó đã biến mất chỉ trong một thập kỷ khi vào tháng 5 năm 2003 câu lạc bộ chuyển tới Sân vận động Thành phố Manchester, Maine Road bị đóng cửa và bị phá hủy một năm sau đó.
Trautmann được thủ vai bởi nam diễn viên người Đức David Kross trong bộ phim tiểu sử The Keeper năm 2018.
Giải thưởng

Năm 1997, Trautmann đã được trao Huân chương Thập tự Cộng hòa Liên bang Đức. Ông được bổ nhiệm làm OBE danh dự vào năm 2004 cho những đóng góp của ông trong quan hệ Đức – Anh Quốc và được trao giải thưởng tại Đại sứ quán Anh ở Berlin, giúp ông có lẽ trở thành người duy nhất từng giành được một Huân chương Đế quốc Anh và một Thập tự Sắt. Đêm ngày hôm sau, tại một buổi hòa nhạc do Dàn nhạc giao hưởng Berlin tổ chức, ông đã gặp Nữ hoàng. "Ah, Herr Trautmann. Tôi nhớ ra ông rồi", bà nói. "Ông còn bị đau ở cổ không?"
Năm 2005, ông đã được đưa vào Đại sảnh Danh vọng của Bảo tàng Bóng đá Quốc gia. Ông tiếp tục trở thành người hâm mộ của Manchester City và tới Manchester để xem câu lạc bộ chơi bóng, lần cuối ông tới xem câu lạc bộ thi đấu là vào tháng 4 năm 2010. Năm 1999, ông xuất hiện trong tập phim "The Germans We Kept" của chương trình Timewatch do BBC sản xuất, thuật lại các trải nghiệm của các tù nhân chiến tranh người Đức quyết định ở lại Vương quốc Anh.
Cuộc sống cá nhân

Trautmann đã cưới một cô gái tại St Helens, Margaret Friar, vào năm 1950, nhưng họ đã ly dị vào năm 1972. Cặp đôi có ba người con, John, Mark và Stephen. John, người con trai đầu lòng của ông, qua đời trong một vụ tai nạn ô tô vài tháng sau trận chung kết Cúp FA 1956 khi mới năm tuổi. Theo Trautmann, việc vợ ông không thể chấp nhận được những mất mát to lớn này đã dẫn tới sự đổ vỡ trong cuộc hôn nhân của cả hai. Ông cũng có một người con gái trong một mối quan hệ trước đó, người mà ông đã xa lánh trong nhiều năm. Ông đã toàn tụ với con gái vào năm 1990 với mẹ của cô, Marion Greenhall, vào năm 2001. Ông từng kết hôn với Ursula von der Heyde, một công dân Đức, khi sinh sống tại Miến Điện vào những năm 1970 nhưng họ đã ly dị vào năm 1982. Từ năm 1990, Trautmann sống cùng với người vợ thứ ba Marlis trong một căn bungalow nhỏ trên bờ biên Tây Ban Nha gần Valencia. Ông sau đó đã hỗ trợ thành lập Quỹ Trautmann, thứ tiếp nối di sản của ông bằng cách nuôi dưỡng dũng khí và tinh thần thể thao.
Cuốn tự truyện Steppes to Wembley của Trautmann đã được xuất bản vào năm 1956.