Quá trình Poisson
Các quá trình Poisson một chiều

Một quá trình Poisson một chiều trên khoảng từ 0 đến ∞ (nghĩa là khi đồng hồ bắt đầu từ thời điểm 0 và là khi ta bắt đầu đếm) có thể được xem là một hàm ngẫu nhiên không giảm với giá trị nguyên N(t), hàm này đếm số lần "xuất hiện" trước thời điểm t. Cũng như mỗi biến ngẫu nhiên Poisson được đặc trưng bởi một tham số vô hướng (scalar parameter) λ, mỗi quá trình Poisson được đặc trưng bởi một hàm tỉ lệ λ(t), đó là kỳ vọng của số "lần xuất hiện" hay "biến cố" xảy ra trong mỗi đơn vị thời gian. Nếu tỉ lệ đó là hằng số, thì số N(t) biến cố xảy ra trước thời điểm t có một phân bố Poisson với giá trị kỳ vọng λt.
Cho Xt là số lần xuất hiện trước thời điểm t, Tx là thời điểm của lần xuất hiện thứ x, với x = 1, 2, 3,.... (Ta dùng ký hiệu X lớn và T lớn cho các biến ngẫu nhiên, và x nhỏ và t nhỏ cho các giá trị không ngẫu nhiên.) Biến ngẫu nhiên Xt có một phân bố xác suất rời rạc—một phân bố Poisson—và biến ngẫu nhiên Tx có một phân bố xác suất liên tục.
Rõ ràng, số lần xuất hiện trước thời điểm t nhỏ hơn x khi và chỉ khi thời gian đợi cho đến lần xuất hiện thứ x lớn hơn t. Bằng ký hiệu, biến cố [ Xt < x ] xảy ra khi và chỉ khi biến cố [ Tx > t ]. Vậy, xác suất của các biến cố này là bằng nhau:
Thực tế này cộng với kiến thức về phân bố Poisson cho phép ta tìm phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên liên tục này. Trong trường hợp tỷ lệ, nghĩa là kỳ vọng của số lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, là hằng số, công việc này khá đơn giản. Cụ thể, xét thời gian đợi cho tới lần xuất hiện thứ nhất. Dễ thấy, thời gian đó lớn hơn t khi và chỉ khi số lần xuất hiện trước thời điểm t là bằng 0. Nếu tỷ lệ là λ lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, ta có
Do đó, thời gian đợi cho đến lần xuất hiện đầu tiên tuân theo một phân phối mũ. Phân phối mũ này có giá trị kỳ vọng 1/λ. Nói cách khác, nếu tỷ lệ bình quân của các lần xuất hiện là 6 lần mỗi phút chẳng hạn, thì thời gian đợi trung bình tới khi có lần xuất hiện đầu tiên là 1/6 phút. Phân phối mũ không có khả năng nhớ, nghĩa là ta có:
Công thức trên có nghĩa là xác suất có điều kiện cho việc "ta phải đợi lần xuất hiện đầu tiên thêm nhiều hơn, chẳng hạn, 10 giây nữa, biết rằng ta đã đợi 30 giây rồi mà chưa được" không khác với xác suất của việc "ta vừa mới bắt đầu đợi và ta phải đợi thêm ít nhất 10 giây nữa". Sinh viên học môn xác suất thường gặp phải nhầm lẫn đó. Thực tế rằng P(T1 > 40 | T1 > 30) = P(T1 > 10) không có nghĩa rằng các biến cố T1 > 40 và T1 > 30 là độc lập. Tóm lại, tính chất không bộ nhớ của phân bố xác suất của thời gian chờ đợi T cho đến lần xuất hiện tiếp theo có nghĩa là
Nó không có nghĩa là
(Công thức trên có nghĩa độc lập. Nhưng hai biến cố này không độc lập)
- Phân phối Poisson là một phân phối xác suất đối với biến cố rời rạc. Phân phối được sử dụng để mô hình hóa số lần xảy ra một sự kiện trong một khoảng thời gian cố định hoặc một không gian cố định.  Đặc điểm của phân phối này là tỷ lệ xảy ra các sự kiện là không đổi và độc lập với nhau trong khoảng thời gian hoặc không gian xác định.
- Phân phối Poisson có một tham số duy nhất là λ (lambda), biểu thị số lần trung bình xảy ra sự kiện trong một khoảng thời gian cố định, và k, biểu thị số lần xảy ra sự kiện trong khoảng thời gian đó.