Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian trong vật lý thiên văn > Lỗ đen quay: Nghiệm Kerr

Năm 1963, gần 50 năm sau khi Schwarzschild tìm ra nghiệm của ông, nhà toán học Roy Kerr đã tìm ra một nghiệm chính xác dừng đối với phương trình chân không Einstein, miêu tả không thời gian của lỗ đen có tổng khối lượng M và mômen động lượng J. Nghiệm này còn gọi là lỗ đen Kerr và sau đó được chứng minh là duy nhất, nó thu về mêtric Schwarzschild khi mômen động lượng bằng 0. Vì bao gồm sự quay, lỗ đen Kerr không có dạng đối xứng cầu mà là đối xứng quanh trục theo hướng của vectơ mômen động lượng của lỗ đen, hơn nữa nó không còn là nghiệm tĩnh mà là nghiệm dừng. Vì phần lớn ở hệ các thiên thể trong Vũ trụ đều có tính chất quay, nghiệm Kerr được coi là nghiệm gần với thực tại nhất khi nghiên cứu về vùng không thời gian quanh lỗ đen. Không có một định lý tương tự nào như định lý Birkhoff cho lỗ đen quay, mặc dù nó là nghiệm duy nhất, nhưng đối với không thời gian có vật chất bên ngoài thì nó phụ thuộc vào tính chất của nguồn vật chất như sự phân bố khối lượng và mômen động lượng trong trường hợp đối với một ngôi sao tương đối tính.
Chi tiết về cách giải phương trình trường Einstein đối với không thời gian quay để tìm ra nghiệm Kerr có thể xem tại các tài liệu Carmeli (2001); de Felice và Clarke (1990). Ở đây trình bày cách ngắn gọn về cách rút ra mêtric Kerr. Bắt đầu bằng việc khai thác các đối xứng của không thời gian và chọn hệ tọa độ  (t,x^{1},x^{2},\phi ) với x1 và x2 là các tọa độ tổng quát và nguyên tố đoạn được viết thành
trong đó P, Q  \varrho ,\mu  là các hàm của hai biến x1 và x2. Phương trình Einstein thu về thành một phương trình gọi là phương trình Ernst cho bởi
với  \xi  là hàm số phức của x1 và x2 và  {\bar {\xi }} là liên hợp phức. Hệ tọa độ phỏng cầu  (t,\chi ,\zeta ,\phi ) trở lên thuận tiện đối với nghiệm của phương trình Ernst và nó có liên hệ với hệ tọa độ trụ  (t,R,z,\phi ) như sau
với a là hệ số hằng số. Sử dụng cách hệ tọa độ này và các tính toán đại số, có thể biểu diễn mêtric Kerr thành
với
Ký hiệu J là mômen động lượng liên kết với không thời gian miêu tả bởi phương trình (247), từ đây có thể giải thích trực tiếp tham số a như là mômen động lượng trên một đơn vị khối lượng a:=J/M. Do tham số a trong hệ đơn vị hình học hóa (geometrised unit) có thứ nguyên là độ dài, nó sẽ có ích khi đặt tham số spin không thứ nguyên  a_{*}:=J/M^{2}=a/M mà giới hạn bởi  -1\leq a\geq 1.
Dạng hệ tọa độ thường gặp để miêu tả mêtric Kerr (mặc dù không phải là thuận tiện nhất) gọi là hệ tọa độ Boyer–Lindquist  (t,r,\theta ,\phi ) mà các tọa độ cầu r và  \theta  có liên hệ với các tọa độ phỏng cầu  \chi ,\zeta  thông qua phương trình (248). Trong hệ tọa độ này, mêtric Kerr có dạng
trong đó
và mêtric (251) thu về mêtric Schwarzschild (221) khi a = 0.
Không giống như nghiệm Schwarzschild, ở đó bề mặt có hiệu ứng dịch chuyển đỏ do hấp dẫn lớn vô hạn trùng với bề mặt chân trời sự kiện, nghiệm Kerr có hai bề mặt dịch chuyển đỏ vô hạn nhận được khi gtt = 0 và giải ra ta có
Mặt khác chân trời sự kiện có thể xác định khi thành phần grr phân kỳ hay khi đặt  \Delta =0 và thu được
với dấu  \pm  ký hiệu chân trời sự kiện bên ngoài (+) và bên trong (-). Chú ý rằng trong giới hạn Schwarzschild  r_{eh,-}=0 và  r_{eh,+}=2M như đã thấy trước đó.
Vùng ở giữa  r_{s,+} được gọi là mặt cầu sản công (ergosphere), và vùng ở giữa  r_{eh,+} gọi là vùng sản công (ergoregion), do không có một quan sát viên tĩnh nào (tức là nhìn thấy một quan sát viên đang đứng yên ở xa vô tận) và toàn bộ không thời gian bị kéo theo sự cùng quay đồng bộ (synchronous corotation) bởi lỗ đen. Đây là hiệu ứng thuần túy tương đối tính, mà được còn gọi là hiệu ứng kéo hệ quy chiếu, không những áp dụng cho vùng sản công (nơi ngay cả photon cũng không tránh khỏi cùng quay) mà còn cho toàn bộ không thời gian, mặc dù hiệu ứng dần yếu đi khi khoảng cách xa dần khỏi lỗ đen. Hệ quả là, một quan sát viên có mômen động lượng bằng không ở xa vô tận (Zero Angular Momentum Observer-ZAMO) sẽ không chuyển động thẳng xuyên tâm về phía lỗ đen nhưng sẽ bắt đầu quay theo hướng quay của lỗ đen và di chuyển về phía nó. Bốn-vận tốc tương ứng trong tọa độ Boyer–Lindquist sẽ là
với
là vận tốc góc ZAMO, mà giảm theo khoảng cách tỷ lệ với 1/r3 bên ngoài lỗ đen và bằng 0 đối với lỗ đen không quay Schwarzschild. Sự quan trọng của mặt cầu sản công nằm ở chỗ nó có thể thực hiện quá trình vật lý nhằm thu năng lượng quay lấy từ lỗ đen như chỉ ra lần đầu tiên bởi Penrose đối với các hạt thử và sau đó các nhà vật lý đặt ra tình huống tương tự đối với từ trường tạo ra bởi đĩa bồi tụ bao quanh lỗ đen quay.
Giống như nghiệm Schwarzschild, cả mặt dịch chuyển đỏ vô hạn và mặt chân trời sự kiện biểu diễn kỳ dị vật lý của không thời gian Kerr và việc tính toán độ cong vô hướng tại những mặt này có thể dễ dàng chứng minh điều đó. Cũng đối với nghiệm Kerr, kỳ dị tọa độ tại chân trời sự kiện có thể loại bỏ bằng cách biến đổi hệ tọa độ theo một-dạng (one-form)
hoặc cụ thể hơn qua biến đổi tọa độ
Trong hệ tọa độ mới  (t',r,\theta ,\phi '), hay tọa độ Kerr-Schild, nguyên tố đoạn viết thành
với  B:=2Mr/\Sigma ^{2} và thành phần không gian của mêtric không còn chéo hóa nữa. Kỳ dị vật lý của không thời gian Kerr, độc lập với khi mêtric được viết theo dạng (251) hoặc (259) là tại  \Sigma ^{2}=r^{2}+a^{2}cos^{2}\theta =0 tức là tại r = 0 và  \theta =\pi /2. Kết luận không đúng này có thể tránh được nếu sử dụng một hệ tọa độ tốt hơn gần gốc và đặc biệt sau khi thực hiện biến đổi tọa độ về hệ tọa độ Decartes Kerr-Schild định nghĩa bằng
lúc đó điều kiện  \Sigma ^{2}=0 trở thành
Phương trình (264) cho thấy mọi điểm trong mặt phẳng z = 0 (mặt phẳng xích đạo) với  x^{2}+y^{2}\leq a^{2} có r = 0, hàm ý rằng kỳ dị vật lý thực sự là một vành trong biểu diễn hệ tọa độ này. Kỳ dị vành này thu về giới hạn kỳ dị Schwarzschild r = 0 trong giới hạn lỗ đen không quay. Dạng hoàn thiện của nguyên tố đoạn trong hệ tọa độ Decartes Kerr-Schild là
Giống như đối với không thời gian Schwarzschild, việc nghiên cứu chuyển động trắc địa của hạt thử trong mêtric Kerr đem lại những hiểu biết về đặc tính của không thời gian này. Chuyển động hạt trong trường hợp này trở lên phức tạp hơn, và ngoài hằng số năng lượng và động lượng, một hằng số chuyển động mới xuất hiện đó là hằng số Carter. Thêm vào đó chỉ có chuyển động trong quỹ đạo thuộc mặt phẳng xích đạo là chuyển động trên mặt phẳng mà các tính chất của chuyển động này tương tự như đối với của không thời gian Schwarzschild.
AAA