stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Lịch sử

"Sử" đổi hướng tới đây. Đối với các định nghĩa khác, xem Sử (định hướng).
Herodotus (khoảng 484 TCN – khoảng 425 TCN), thường được coi là "cha đẻ của lịch sử" ở châu Âu
Lịch sử - tranh của Nikolaos Gysis (1892)
Lịch sử, sử học hay gọi tắt là sử (Tiếng Anh: history)  là một môn khoa học xã hội nghiên cứu về quá khứ, đặc biệt là những sự kiện liên quan đến con người. Đây là thuật ngữ chung có liên quan đến các sự kiện trong quá khứ cũng như những ghi nhớ, phát hiện, thu thập, tổ chức, trình bày, giải thích và thông tin về những sự kiện này. Những học giả viết về lịch sử được gọi là nhà sử học. Các sự kiện xảy ra trước khi được ghi chép lại được coi là thời tiền sử.
Lịch sử có thể tham khảo những môn học trừu tượng, trong đó sử dụng câu chuyện để kiểm tra và phân tích chuỗi các sự kiện trong quá khứ, và khách quan xác định các mô hình nhân quả đã ảnh hưởng đến các sự kiện trên. Các nhà sử học đôi khi tranh luận về bản chất của lịch sử và tính hữu dụng của nó bằng cách thảo luận nghiên cứu về chính lịch sử như một cách để cung cấp "tầm nhìn" về những vấn đề của hiện nay.
Các câu chuyện phổ biến của nền văn hóa nhất định, nhưng không được các nguồn thông tin khách quan khẳng định (ví dụ như những truyền thuyết về vua Arthur trong văn hóa phương Tây hay Lạc Long Quân và Âu Cơ trong văn hóa Việt) thường được phân loại là di sản văn hoá hay truyền thuyết, bởi những câu chuyện này không hỗ trợ việc "điều tra khách quan", vốn là một yêu cầu khắt khe của bộ môn sử học.
Herodotus, một nhà sử học Hy Lạp ở thế kỷ thứ 5 TCN được coi là "cha đẻ của lịch sử phương Tây", cùng với một nhà sử học cùng thời là Thucydides đã góp phần tạo nên nền tảng cho việc ghi chép lịch sử trong Lịch sử châu Âu. Các tác phẩm của họ vẫn còn được lưu giữ cho đến tận ngày nay. Sự khác biệt giữa cách tiếp cận lịch sử tập trung vào văn hóa của Herodotus và cách tiếp cận lịch sử tập trung vào quân sự của Thucydides vẫn còn gây tranh cãi giữa các nhà sử học khi họ viết lịch sử của thời hiện đại. Ở các nước phương Đông, Trung Quốc đã có chức sử quan ghi chép lịch sử từ ít nhất là 3.000 năm trước. Cuốn sử đầu tiên Kinh Xuân Thu là biên niên sử nổi tiếng ghi chép sự kiện từ năm 722 TCN, hiện vẫn còn lưu giữ được bản in ở thế kỷ thứ 2 TCN.
Ảnh hưởng từ thời cổ đại đã tạo ra hàng loạt các quan niệm về bản chất của lịch sử. Các quan niệm này đã phát triển qua nhiều thế kỷ và tiếp tục thay đổi cho đến ngày nay. Nghiên cứu hiện đại về lịch sử có phạm vi rộng, theo các chủ đề đa dạng. Lịch sử được giảng dạy như một phần của giáo dục tiểu học và trung học, và nghiên cứu khoa học lịch sử là một môn học chính trong các khoa nghiên cứu của trường đại học.
Khái niệm

Từ lịch sử trong tiếng Hy Lạp là ἱστορία (historía) nghĩa là "sự tìm hiểu kiến thức bằng cách điều tra".Khi nói đến lịch sử theo một cách đơn giản thì nó là những gì thuộc về quá khứ và gắn liền với xã hội loài người. Với ý này, lịch sử bao trùm tất cả mọi lĩnh vực trong xã hội, đa diện do đó khó định nghĩa chính xác và đầy đủ. Vì thế, định nghĩa về lịch sử được rất nhiều nhà nghiên cứu đưa ra.
Định nghĩa ngắn gọn của Tiến sĩ Sue Peabody: lịch sử là một câu chuyện chúng ta nói chúng ta là ai.
Nhà bác học người La Mã Cicero (106-45 TCN) đưa ra quan điểm: "Historia magistra vitae" (lịch sử chính yếu của cuộc sống) với yêu cầu đạt tới "lux veritatis" (ánh sáng của sự thật).
Các định nghĩa dưới thường cũng chỉ đúng một phần, lịch sử được hiểu theo ba ý chính được các nhà nghiên cứu đồng ý:
Việc diễn ra trong quá khứ: Những sự kiện diễn ra trong quá khứ cho đến thời điểm hiện tại, không thể thay đổi được, cố định trong không gian và thời gian, mang tính chất tuyệt đối và khách quan.
Ghi lại những việc diễn ra trong quá khứ: con người muốn nắm bắt quá khứ, diễn đạt theo sự kiện theo từ ngữ và giải thích ý nghĩa của sự kiện, mang tính chất tương đối và chủ quan của người ghi lại bằng những câu chuyện kể.
Là những sự kiện, hiện tượng đã xảy ra trong quá khứ nhưng đã hoàn toàn kết thúc từ 30 năm.
Làm thành tài liệu của việc diễn ra trong quá khứ: cách làm hoặc quá trình tập hợp những sự việc diễn ra trong quá khứ thành tài liệu cũng chính là câu chuyện kể đối với hiện tại.
Lịch sử và tiền sử

Lịch sử thế giới là ký ức về trải nghiệm trong quá khứ của Homo sapiens sapiens trên toàn thế giới, vì kinh nghiệm đó đã được bảo tồn, chủ yếu là trong các ghi chép bằng văn bản. Khi nhắc đến "tiền sử", các nhà sử học có hàm ý nói về sự phục hồi kiến thức về quá khứ trong một khu vực không có lưu trữ bằng văn bản tồn tại, hoặc tại một khu vực mà văn bản của một nền văn hóa không đọc hiểu được. Bằng cách nghiên cứu hội họa, bản vẽ, chạm khắc và các đồ tạo tác khác, một số thông tin có thể được phục hồi ngay cả khi không có văn bản lưu lại. Từ thế kỷ 20, nghiên cứu về tiền sử được coi là cần thiết để tránh sự loại trừ ngầm của lịch sử đối với một số nền văn minh, chẳng hạn như châu Phi Hạ Sahara và châu Mỹ thời tiền Columbus. Các nhà sử học ở phương Tây đã bị chỉ trích vì tập trung quá nhiều vào thế giới phương Tây. Năm 1961, nhà sử học người Anh E. H. Carr đã viết:
Ranh giới phân định giữa thời tiền sử và lịch sử bị vượt qua khi con người không còn sống ở hiện tại và trở nên quan tâm một cách có ý thức cả về quá khứ và tương lai của họ. Lịch sử bắt đầu với việc truyền lại truyền thống; và truyền thống có nghĩa là mang theo những thói quen và bài học của quá khứ vào tương lai. Những ghi chép của quá khứ bắt đầu được lưu giữ vì lợi ích của các thế hệ tương lai.
Định nghĩa này bao gồm trong phạm vi lịch sử, có lợi ích mạnh mẽ của các dân tộc, như người Úc bản địa và người New Zealand Māori trong quá khứ, và các ghi chép bằng miệng được duy trì và truyền lại cho các thế hệ kế tiếp, ngay cả trước khi họ tiếp xúc với nền văn minh châu Âu.
Chép sử

Bài chi tiết: Thuật chép sử
Thuật chép sử có một số ý nghĩa liên quan. Đầu tiên, nó có thể đề cập đến cách lịch sử đã được tạo ra: câu chuyện về sự phát triển của phương pháp và thực tiễn (ví dụ, chuyển từ tường thuật tiểu sử ngắn hạn sang phân tích chuyên đề dài hạn). Thứ hai, nó có thể đề cập đến những gì đã được tạo ra: một giai đoạn cụ thể của văn bản lịch sử (ví dụ: "lịch sử thời trung cổ trong những năm 1960" có nghĩa là "Tác phẩm của lịch sử thời trung cổ được viết trong những năm 1960"). Thứ ba, nó có thể đề cập đến lý do tại sao lịch sử được sản xuất: Triết lý về lịch sử. Là một phân tích meta về các mô tả về quá khứ, quan niệm thứ ba này có thể liên quan đến hai mô tả đầu tiên trong đó phân tích thường tập trung vào các câu chuyện, diễn giải, thế giới quan, sử dụng bằng chứng hoặc phương pháp trình bày của các sử gia khác. Các nhà sử học chuyên nghiệp cũng tranh luận về câu hỏi liệu lịch sử có thể được dạy như là một câu chuyện liền mạch duy nhất hay một loạt các câu chuyện cạnh tranh nhau.
Phương pháp lịch sử

Bài chi tiết: Phương pháp lịch sử
Phương pháp lịch sử bao gồm các kỹ thuật và hướng dẫn mà theo đó các nhà sử học sử dụng các nguồn chính và bằng chứng khác để nghiên cứu và sau đó viết lịch sử.
Herodotus thành Halicarnassus (484 TCN - khoảng 425 TCN)  thường được ca ngợi là "cha đẻ của lịch sử". Tuy nhiên, Thucydides - một tác giả khác cùng thời với ông (khoảng 460 TCN - khoảng 400 TCN) được ghi nhận là người đầu tiên tiếp cận lịch sử với một phương pháp lịch sử được phát triển tốt trong tác phẩm Lịch sử Chiến tranh Peloponnesia. Thucydides, không giống như Herodotus, coi lịch sử là sản phẩm của sự lựa chọn và hành động của con người, và xem xét nhân quả, thay vì kết quả của sự can thiệp của thần thánh (mặc dù Herodotus không hoàn toàn đi theo ý tưởng này).  Trong phương pháp lịch sử của mình, Thucydides nhấn mạnh đến niên đại, một quan điểm trung lập trên danh nghĩa và thế giới loài người là kết quả của hành động của con người. Các nhà sử học Hy Lạp cũng xem lịch sử là theo chu kỳ, với các sự kiện thường xuyên tái diễn.
Lộ Chiêu

Lộ Chiêu (路招; ?-?), không rõ tên tự, là một võ tướng của phe Tào Ngụy thời Hán mạt - Tam quốc.
Hành trạng

Sử liệu ghi nhận vào năm 199, Viên Thuật sau khi thảm bại trong cuộc chiến chư hầu đã tìm cách hội quân với  Viên Thiệu ở phía bắc qua ngõ Từ Châu. Tào Tháo khi đấy đã cử Chu Linh và Lộ Chiêu làm giám sát, đi theo Lưu Bị tấn công chặn đường Viên Thuật. Không lâu sau, Viên Thuật ốm chết, Lưu Bị vẫn lưu quân lại Từ châu, sai Chu Linh và Lộ Chiêu về báo cáo cho Tào Tháo.
Năm 208, trong trận Xích Bích, Lộ Chiêu cùng với Chu Linh, Vu Cấm, Trương Liêu, Trương Cáp, Lý Điển và Phùng Khải, phụ trách 7 đạo quân chịu trách nhiệm trấn thủ hậu phương Kinh châu, thuộc quyền Đô đốc hộ quân Triệu Nghiễm, do đó không tham chiến trực tiếp.
Năm 212 năm, Tào Tháo trở lại Nghiệp thành, đặt Hạ Hầu Uyên làm Hộ quân tướng quân, chỉ huy Chu Linh, Lộ Chiêu, trấn thủ Trường An, bình định tàn quân Tây Lương Hàn Toại và Mã Siêu, do  Lương Hưng chỉ huy, đại phá và giết giết được Lương Hưng.
Sử liệu sau đó không ghi chép gì thêm về hành trạng của Lộ Chiêu.
Tam quốc diễn nghĩa

Trong "Tam quốc diễn nghĩa", tên của Lộ Chiêu bị viết nhầm thành "路昭" (cùng âm nhưng khác mặt chữ). Ông xuất hiện lần đầu ở hồi 21, đoạn mô tả lúc Lưu Bị mưu thoát ly khỏi Tào Tháo, nhân lúc Viên Thuật thua trận định chạy về với Viên Thiệu, đã đề nghị Tào Tháo cấp quân cho mình đến Từ châu đánh Viên Thuật. Tào Tháo tuy chấp thuận, nhưng vẫn phái Chu Linh và Lộ Chiêu đi theo để giám sát. Sau khi đến Từ châu, đánh bại Viên Thuật, Lưu Bị vẫn lưu quân ở Từ châu, sai Chu Linh và Lộ Chiêu về Hứa Đô báo với Tào Tháo. Tào Tháo nổi cơn thịnh nộ, thét đem 2 người ra chém, nhưng vì có lời xin của Tuân Úc nên mới tha cho.
Chú thích

↑  Trần Thọ, Tam quốc chí, Thục thư, Tiên chủ truyện.
↑   Trần Thọ, Tam quốc chí, Ngụy thư, Triệu Nghiễm truyện.
↑  Trần Thọ, Tam quốc chí, Ngụy thư, Hạ Hầu Uyên truyện.
Mandevilla angustata

| Mandevilla angustata> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Gentianales
Họ (familia): Apocynaceae
Chi (genus): Mandevilla
Loài (species): M. angustata
Danh pháp hai phần
Mandevilla angustata (Steyerm.) J.F.Morales 
Mandevilla angustata là một loài thực vật có hoa trong họ La bố ma. Loài này được (Steyerm.) J.F.Morales mô tả khoa học đầu tiên năm 2006.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Mandevilla angustata”. Truy cập ngày 10 tháng 6 năm 2013.
Helen Esuene

Helen Esuene (sinh ngày 23 tháng 11 năm 1949) là tên của một công chức về hưu người Nigeria. Trước đó, bà được bổ nhiệm làm bộ trưởng bộ y tế (từ tháng 7 năm 2005 đến tháng 1 năm 2006), sau đó là bộ trưởng bộ môi trường (từ tháng 1 năm 2006 đến tháng 1 năm 2007)và bộ môi trường và nhà ở trong bộ nội các của tổng thống Olisegun Obasanjo (từ tháng 1 năm 2007 đến tháng 5 năm 2009).
Trong cuộc bầu cử vào tháng 4 năm 2011, bà giành được chức thượng nghị sĩ đại diện cho khu vực phía nam bang Akwa Ibom. Đảng chính trị của bà là đảng Dân chủ (tiếng Anh: People's Democratic Party)
Lí lịch

Bà đã từng học một khóa học về việc làm thư kí riêng và quản lí văn phòng tại trung tâm đào tạo liên bang của Nigeria tại bang Kaduna. Rồi sự nghiệp của bà bắt đầu với công việc thư kí riêng.[cần dẫn nguồn]
Tiếp đến, Helen Esuene đi du học ở đại học Leicester, Anh, Anh và nhận được bằng thạc sĩ về tài chính. Ngay sau đó, bà kết hôn với thống đốc tiền nhiệm của bang Cross River cũ là ông Udokaha Esuene (mất năm 1996). Họ có hai người con gái và 3 người con trai.[cần dẫn nguồn]
Sau đó, bà bắt đầu công việc kinh doanh. Mở đầu bằng việc bà làm quản lí nhân lực cho Mobil Producing. Rồi đến năm 2000, bà khai trương khách sạn theo kiểu dinh thự Marina tại bang Ekita.
Căn bậc hai của 2

"Hằng số Pythagoras" chuyển hướng đến đây. Đừng nhầm lẫn với Số Pythagoras.
Căn bậc hai của 2 bằng với độ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh đáy bằng 1.
Căn bậc hai của 2, hay lũy thừa 1/2 của 2, được viết là √2 hoặc 21⁄2, là số đại số dương sao cho khi nhân với chính nó, cho ta số 2. Đúng hơn, nó được gọi là căn bậc hai số học của 2 để phân biệt với số đối của nó có tính chất tương tự.
Trong hình học, căn bậc hai của 2 là độ dài đường chéo của một hình vuông với cạnh dài 1 đơn vị; xuất phát từ định lý Pythagoras. Nó có lẽ là số vô tỉ được biết đến đầu tiên.
Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc hai của hai với mẫu số nhỏ vừa phải là phân số 99/70 (≈ 1.4142857).
Dãy A002193 trong OEIS gồm các chữ số trong biểu diễn thập phân của căn bậc hai của 2, đến 65 chữ số thập phân:
| --- | --- |
  Danh sách các số  Số vô tỉ   γ  ζ(3)  √2  √3  √5  φ  δS  e  π 
Nhị phân: 1.01101010000010011110…
Thập phân: 1.4142135623730950488…
Thập lục phân: 1.6A09E667F3BCC908B2F…
Phân số liên tục:  1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}
Lịch sử

Bảng đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho một xấp xỉ của √2 trong bốn chữ số lục thập phân, 1 24 51 10, đúng đến khoảng sáu chữ số thập phân, và là xấp xỉ lục thập phân tốt nhất của √2 dùng 4 chữ số:
Một xấp xỉ sơ khai khác xuất hiện trong văn kiện toán học của Ấn Độ cổ đại, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng độ dài [của cạnh] bằng một phần ba chính nó và một phần tư của một phần ba và giảm đi một phần ba mươi tư của một phần tư đó. Tức là,
Các môn đồ của Pythagoras phát hiện rằng đường chéo của hình vuông và cạnh của nó là không thể so được, hay theo ngôn ngữ hiện đại, căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ. Không nhiều điều được biết rõ về thời gian hay tình cảnh của khám phá này, nhưng cái tên thường được nhắc đến là Hippasus của Metapontum. Các môn đồ Pythagoras xem tính vô tỉ của căn bậc hai của 2 là một bí mật, và theo lời kể, Hippasus đã bị giết vì tiết lộ nó. Căn bậc hai của 2 đôi khi còn được gọi là số Pythagoras hay hằng số Pythagoras, như trong Conway & Guy (1996).
Thuật toán tính toán

Xem thêm thông tin: Phương pháp tính căn bậc hai
Có một số thuật toán để xấp xỉ √2,  thường là dưới dạng tỉ số của hai số nguyên hoặc một số thập phân. Thuật toán phổ biến nhất cho việc này, được dùng làm cơ sở trong nhiều máy tính và máy tính bỏ túi, là phương pháp Babylon, một trong những phương pháp tính căn bậc hai. Thuật toán này như sau:
Đầu tiên, đoán một số a0 > 0 bất kì. Sau đó, dùng số vừa đoán, tính từng số hạng theo công thức truy hồi sau:
Càng nhiều lần thực hiện phép tính trên (tức là càng nhiều lần lặp lại và số "n" càng lớn), cho ta xấp xỉ càng tốt của căn bậc hai của 2. Mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số đúng. Bắt đầu với a0 = 1 những số tiếp theo là
3/2     = 1.5
17/12   = 1.416...
577/408 = 1.414215...
665857/470832 = 1.4142135623746...
Giá trị của √2 được tính đến 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi đội của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng 2 năm 2006, kỉ lục cho việc tính √2 bị phá vỡ sử dụng một chiếc máy tính cá nhân. Shigeru Kondo tính 1 nghìn tỷ chữ số thập phân của căn bậc hai của 2 trong năm 2010. Trong số các hằng số toán học với biểu diễn thập phân cần nhiều tài nguyên tính toán, chỉ có π là được tính chính xác hơn.
Những tính toán như vậy chủ yếu là để kiểm tra bằng thực nghiệm xem những số đó có phải là bình thường hay không.
Thuật toán tính toán > Xấp xỉ hữu tỉ

Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản 99/70 (≈ 1.4142857) thường được sử dụng. Mặc dù có mẫu số chỉ là 70, độ sai lệch của nó với giá trị đúng là ít hơn 1/10,000 (khoảng +072×10−4). Do nó là một giản phân của biểu diễn liên phân số của căn bậc hai của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào gần hơn phải có mẫu số không bé hơn 169, do 239/169 (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo với sai số khoảng −012×10−4.
Xấp xỉ hữu tỉ 665857/470832, từ bước thứ bốn trong phương pháp Babylon ở trên bắt đầu với a0 = 1, có sai số khoảng 16×10−12: bình phương của nó là 20000000000045…
Thuật toán tính toán > Kỉ lục

Đây là bảng những kỉ lục gần đây trong việc tính các chữ số của √2 (1 nghìn tỉ =  1012 = 1.000.000.000.000).
| Ngày | Tên | Số chữ số |
| --- | --- | --- |
| 28 tháng 6 năm 2016 | Ron Watkins | 10 nghìn tỷ |
| 3 tháng 4 năm 2016 | Ron Watkins | 5 nghìn tỷ |
| 9 tháng 2 năm 2012 | Alexander Yee | 2 nghìn tỷ |
| 22 tháng 3 năm 2010 | Shigeru Kondo | 1 nghìn tỷ |
Chứng minh tính vô tỉ

Một chứng minh ngắn về tính vô tỉ của √2 sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu P(x) là một đa thức monic với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của P(x) cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức P(x) = x2 − 2, ta suy ra √2 hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì 1<√2<2 nên nó không là một số nguyên, do đó √2 là một số vô tỉ. Chứng minh này có thể tổng quát: căn bậc hai của bất kì số tự nhiên nào không phải số chính phương là một số vô tỉ.
Xem số vô tỉ bậc hai hoặc lùi vô hạn cho chứng minh rằng căn bậc hai của bất kì số tự nhiên không phải số chính phương nào cũng là vô tỉ.
Chứng minh tính vô tỉ > Chứng minh bằng lùi vô hạn

Một trong những chứng minh phổ biến nhất sử dụng phương pháp lùi vô hạn. Đây cũng là chứng minh bằng phản chứng, trong đó mệnh đề cần chứng minh được giả sử là sai rồi suy ra giả sử này không thể xảy ra, tức mệnh đề cần chứng minh là đúng.
Giả sử √2 là một số hữu tỉ, tức √2 có thể viết dưới dạng một phân số tối giản a/b, trong đó a và b nguyên tố cùng nhau.
Ta suy ra a2/b2 = 2 và a2 = 2b2.   (a2 và b2 là các số nguyên)
Do đó a2 là số chẵn, nên a cũng là số chẵn, tức tồn tại số nguyên k sao cho a = 2k.
Thay 2k cho a trong đẳng thức ở bước 2: 2b2 = (2k)2 ta được b2 = 2k2.
Lập luận như bước 3, ta được b2 là số chẵn, nên b là số chẵn.
Như vậy cả a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết rằng a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Vì ta suy ra được một điều vô lý, giả sử (1) rằng √2 là số hữu tỉ là sai. Tức là, √2 phải là một số vô tỉ.
Chứng minh này được gợi ý bởi Aristotle, trong cuốn Analytica Priora, §I.23. Chứng minh hoàn chỉnh đầu tiên xuất hiện trong bộ Cơ sở của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia cho rằng chứng minh này không nằm trong bản thảo gốc và do đó không thể cho là của Euclid.
Chứng minh tính vô tỉ > Chứng minh hình học

Một biểu diễn hình học của chứng minh trên được John Horton Conway cho là của Stanley Tennenbaum khi ông còn là học sinh đầu thập niên 1950 và lần xuất hiện gần đây nhất là trong một bài báo bởi Noson Yanofsky trong tạp chí American Scientist số tháng 5-6 2016. Cho hai hình vuông có cạnh là số nguyên a và b, trong đó một cái có diện tích gấp đôi cái kia, đặt hai hình vuông nhỏ trong hình vuông lớn như trong hình 1. Phần giao nhau ở giữa có diện tích ((2b − a)2) phải bằng tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ không được che phủ (2(a − b)2). Như vậy ta thu được hai hình vuông nhỏ hơn các hình vuông ban đầu và diện tích cái này gấp đôi cái kia. Lặp lại quá trình này ta có thể thu nhỏ các hình vuông tùy ý, nhưng điều này là vô lý do chúng phải có cạnh là số nguyên dương, tức lớn hơn hoặc bằng 1.
Một chứng minh hình học sử dụng phản chứng khác xuất hiện năm 2000 trong tập san American Mathematical Monthly. Nó cũng là một chứng minh sử dụng phương pháp lùi vô hạn, đồng thời sử dụng phép dựng hình bằng thước kẻ và compa đã được biết từ thời Hy Lạp cổ đại.
Lấy △ABC vuông cân với cạnh huyền m và cạnh bên n như trong Hình 2. Theo định lý Pythagoras, m/n = √2. Giả sử m và n là các số nguyên và m:n là phân số tối giản
Vẽ các cung BD và CE với tâm A. Nối DE cắt BC tại F. Dễ thấy, hai tam giác ABC và ADE bằng nhau theo cạnh-góc-cạnh.
Ngoài ra ta cũng thấy △BEF là tam giác vuông cân. Do đó BE = BF = m − n. Theo tính đối xứng, DF = m − n, và △FDC cũng là tam giác vuông cân. Ta suy ra FC = n − (m − n) = 2n − m.
Như vậy ta có một tam giác vuông cân nhỏ hơn với cạnh huyền 2n − m và cạnh bên m − n. Chúng nhỏ hơn m và n nhưng có cùng tỉ lệ, trái với giả thiết là m:n là tối giản. Do đó, m và n không thể cùng là số nguyên, nên √2.
Chứng minh tính vô tỉ > Chứng minh trực tiếp

Một hướng đi khác mang tính xây dựng là thiết lập một chặn dưới cho hiệu của √2 và một số hữu tỉ bất kì. Với hai số nguyên dương a và b, số mũ đúng của 2 (tức số mũ của 2 trong khai triển ra thừa số nguyên tố) của a2 là chẵn, còn của 2b2 là lẻ, nên chúng là các số nguyên khác nhau; do đó | 2b2 − a2 | ≥ 1 với mọi a, b nguyên dương. Khi đó
bất đẳng thức cuối đúng do ta giả sử a/b ≤ 3 − √2 (nếu không thì hiệu trên hiển nhiên lớn hơn 3 − 2√2 > 0). Bất đẳng thức này cho ta chặn dưới 1/3b2 của hiệu | √2 − a/b |, từ đó dẫn đến chứng minh tính vô tỉ trực tiếp mà không cần giả sử phản chứng. Chứng minh này chỉ ra rằng tồn tại một khoảng cách giữa √2 và bất kỳ số hữu tỉ nào.
Tính chất của căn bậc hai của 2

Một nửa của √2, đồng thời cũng là nghịch đảo của √2, xấp xỉ bằng 0.707106781186548, là một giá trị thường gặp trong hình học và lượng giác vì vectơ đơn vị tạo góc 45° với các trục thì có tọa độ
Số này thỏa mãn
Một giá trị có liên quan là tỷ lệ bạc. Hai số dương a, b có tỷ lệ bạc δS nếu
Bằng cách biến đổi về phương trình bậc hai, ta có thể giải được δS = 1 + √2.
√2 có thể được biểu diễn theo đơn vị ảo i chỉ sử dụng căn bậc hai và các phép toán số học:
nếu ký hiệu căn bậc hai được định nghĩa hợp lý cho số phức i và −i.
√2 cũng là số thực duy nhất khác 1 mà tetration vô hạn lần bằng với bình phương của nó. Một cách phát biểu chặt chẽ như sau: nếu với số thực c > 1 ta định nghĩa x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì giới hạn của xn khi n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 duy nhất thỏa f(c) = c2. Hay nói cách khác:
√2 cũng xuất hiện trong công thức Viète cho π:
với m dấu căn và đúng một dấu trừ.
Ngoài ra, √2 còn xuất hiện trong nhiều hằng số lượng giác:
Hiện vẫn chưa biết liệu √2 có phải là số chuẩn, một tính chất mạnh hơn tính vô tỉ, nhưng phân tích thống kê biểu diễn của nó trong hệ nhị phân cho thấy có khả năng nó chuẩn trong hệ cơ số hai.
Biểu diễn chuỗi

Hệ thức cos π/4 = sin π/4 = 1/√2, cùng với các biểu diễn tích vô hạn của sin và cosin cho ta
và
hoặc tương đương,
Ngoài ra ta có thể dùng chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor cho cos π/4 cho ta
Chuỗi Taylor cho √1 + x với x = 1 cùng với giai thừa kép n!! cho ta
Sử dụng biến đổi Euler để đẩy nhanh tốc độ hội tụ của dãy, ta được
Một công thức dạng BBP cho √2 vẫn chưa được tìm ra, tuy nhiên đã có những công thức dạng BBP cho π√2 và √2ln(1+√2).
√2 có thể biểu diễn bằng phân số Ai Cập, với mẫu số bằng các số hạng thứ 2n của một dãy hồi quy tuyến tính giống dãy Fibonacci. Đặt a0 = 0, a1 = 6, an = 34an − 1 − an − 2
Liên phân số

Căn bậc hai của 2 có biểu diễn bằng liên phân số sau:
Những giản phân đầu tiên là: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408. Giản phân p/q cách √2 một khoảng gần bằng 1/2q2√2[cần dẫn nguồn] và giản phân tiếp theo là p + 2q/p + q.
Bình phương lồng nhau

Biểu thức sau đây hội tụ về √2:
Hằng số liên quan

Nghịch đảo của căn bậc hai của 2 (căn bậc hai của 1/2) là một hằng số thường dùng.
Khổ giấy

Năm 1786, giáo sư vật lý người Đức Georg Lichtenberg phát hiện rằng bất kỳ tờ giấy nào có cạnh dài dài gấp √2 lần cạnh ngắn có thể được gấp đôi để tạo thành một tờ giấy mới có tỉ lệ giống hệt tờ ban đầu. Tỉ lệ giấy này bảo đảm rằng cắt giấy thành hai nửa cho ra các tờ giấy nhỏ hơn cùng tỉ lệ. Khi Đức chuẩn hóa khổ giấy vào đầu thế kỷ 20, họ dùng tỉ lệ của Lichtenberg để tạo thành giấy khổ "A". Hiện nay, tỉ lệ khung hình (xấp xỉ) của khổ giấy theo tiêu chuẩn ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:√2.
Chứng minh:

Gọi  S= cạnh ngắn và  L= cạnh dài của tờ giấy, với
Gọi  R'={\frac {L'}{S'}} là tỉ số của một nửa tờ giấy thì
Bản đất sét Babylon YBC 7289 với ghi chú. Ngoài việc cho thấy căn bậc hai của 2 trong hệ lục thập phân (1 24 51 10), bản đất sét này cũng cho một ví dụ nếu một cạnh của hình vuông là 30 thì đường chéo là 42 25 35. Trong hệ lục thập phân 30 có thể là 0 30 = 1/2, còn 0 42 25 35 xấp xỉ bằng 0.7071065.
Hình 1. Chứng minh hình học của Stanley Tennenbaum cho tính vô tỉ của √2.
Hình 2. Chứng minh hình học của Tom Apostol cho tính vô tỉ của √2.
Xấp xỉ căn bậc hai của 2 bằng dãy giản phân.
Abrochia aequalis

| Abrochia aequalis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Erebidae
Chi (genus): Abrochia
Loài (species): A. aequalis
Danh pháp hai phần
Abrochia aequalis
Abrochia aequalis là một loài bướm đêm thuộc phân họ Arctiinae, họ Erebidae.