Lý thuyết điều khiển tự động
Các chủ đề trong lý thuyết điều khiển tự động > Điều khiển bền vững(ổn định)

Độ ổn định của một hệ thống động lực tổng quát không có đầu vào có thể được miêu tả theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Một hệ tuyến tính có một đầu vào được gọi là ổn định chặn đầu vào, chặn đầu ra(BIBO)(bounded-input bounded-output) nếu đầu ra của nó ở trạng thái bị chặn cho bất kỳ đầu vào bị chặn nào. Độ ổn định cho hệ phi tuyến có một đầu vào là đầu vào ở trạng thái ổn định (ISS-input-to-state stability), sẽ kết hợp độ ổn định Lyapunov và một khái niệm tương tự độ ổn định BIBO. Để đơn giản, những mô tả sau tập trung vào những hệ thống tuyến tính thời gian liên tục và thời gian rời rạc.
Theo mô tả toán học, điều này có nghĩa là để có một hệ tuyến tính nhân quả ổn định tất cả các cực của hàm truyền của nó phải thỏa mãn vài tiêu chuẩn phụ thuộc vào một trong hai phân tích trong miền thời gian liên tục hoặc rời rạc được sử dụng:
Trong miền thời gian liên tục, phép biến đổi Laplace được sử dụng để đạt được hàm truyền. Một hệ thống là ổn định nếu các cực của hàm truyền này nằm gọn ở phần tư thứ 2(phía trên, bên trái) của mặt phẳng phức (vì phần thực của tất cả các cực đều nhỏ hơn 0).
Trong miền thời gian rời rạc phép biến đổi Z được sử dụng. Một hệ thống là ổn định nếu các cực của hàm truyền này nằm gọn bên trong vòng tròn đơn vị. vì biên độ của các cực thì nhỏ hơn 1).
Khi các điều kiện tương ứng trên được thỏa mãn một hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận: các biến của một hệ thống điều khiển ổn định tiệm cận luôn giảm từ giá trị ban đầu và không biểu thị dao động vĩnh cửu. Dao động vĩnh cửu xảy ra khi một cực có một phần thực bằng 0 (trong trường hợp miền thời gian liên tục) hoặc một modul bằng 1(trong trường hợp miền thời gian rời rạc). Nếu một hệ thống ổn định đơn giản không đáp ứng tăng mà cũng không đáp ứng giảm trong suốt miền thời gian, và không có dao động nào, thì nó là ổn định cận biên: trong trường hợp này hàm truyền hệ thống có các cực không lặp lại tại gốc tọa độ mặt phẳng phức(đó là thành phần thực và phức của chúng là 0 trong miền thời gian liên tục). Các dao động xuất hiện khi các cực với phần thực bằng 0 có một phần ảo không bằng 0.
Những khác biệt giữa hai trường hợp là không mâu thuẫn với nhau. Biến đổi Laplace là trong hệ tọa độ Descartes và biến đổi z là trong hệ tọa độ tròn, và nó có thể được biểu diễn:
phần thực âm trong miền Laplace có thể ánh xạ vào phần trong của vòng tròn đơn vị
phần thực dương trong miền Laplace có thể ánh xạ vào phần ngoài của vòng tròn đơn vị
Nếu một hệ thống được xem xét có một đáp ứng xung:
thì biến đổi z (xem ví dụ này), là
sẽ có một cực ở  z=0.5 (zero phần ảo). Hệ thống này là ổn định BIBO(tiệm cận) vì cực của nó nằm trong vòng tròn đơn vị.
Tuy nhiên, nếu đáp ứng xung là
thì biến đổi z sẽ là
có một cực ở  z=1.5 và không ổn định BIBO vì cực của nó có một modul lớn hơn 1.
Rất nhiều công cụ dùng để phân tích các cực của một hệ thống. Những công cụ này bao gồm các hệ thống đồ thị như quỹ đạo nghiệm số, biểu đồ Bode hay biểu đồ Nyquist.
Các thay đổi cơ học có thể làm cho thiết bị (và các hệ thống điều khiển) ổn định hơn. Các thủy thủ dùng tải trọng dằn (ba-lát) để tăng độ ổn định của các con tàu. Tàu thủy chở khách sử dụng bộ ổn định chống dập dềnh bằng cách mở rộng chiều ngang khoảng 10m và quay liên tục xung quanh trục của chúng để tăng lực đối trọng với sự lắc lư của con tàu.