stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Hàm lượng giác
Định nghĩa bằng tam giác vuông

Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng việc dựng nên một tam giác vuông chứa góc A. Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:
Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất của tam giác vuông, h trên hình vẽ.
Cạnh đối là cạnh đối diện với góc A, a trên hình vẽ.
Cạnh kề là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, b trên hình vẽ.
Dùng hình học Euclid, tổng các góc trong tam giác là pi radian (hay 180⁰). Khi đó:
| Hàm | Định nghĩa | Biểu thức |
| --- | --- | --- |
| Sin | Cạnh đối chia cho cạnh huyền |  \sin A={\frac {a}{h}} |
| Cos | Cạnh kề chia cho cạnh huyền |  \cos A={\frac {b}{h}} |
| Tan | Cạnh đối chia cho cạnh kề |  \tan A={\frac {a}{b}} |
| Cot | Cạnh kề chia cho cạnh đối |  \cot A={\frac {b}{a}} |
| Sec | Cạnh huyền chia cho cạnh kề |  \sec A={\frac {h}{b}} |
| Csc | Cạnh huyền chia cho cạnh đối |  \csc A={\frac {h}{a}} |
Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị

Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.
Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị > Dùng đại số

Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trên mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn:
Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có thể được định nghĩa là:
| --- | --- |
Hàm: Định nghĩa
sin(θ): y
cos(θ): x
tan(θ): y/x
cot(θ): x/y
sec(θ): 1/x
csc(θ): 1/y
Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và csc trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 360 độ:
Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ.
Tan và Cot tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ.
Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị > Dùng hình học

Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O. Với θ là nửa cung AB:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Hàm | Định nghĩa | Chú thích |
| sin(θ) | AC | định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ |
| cos(θ) | OC |  |
| tan(θ) | AE | đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "tiếp tuyến" |
| cot(θ) | AF |  |
| sec(θ) | OE | đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đường cắt vòng tròn" |
| csc(θ) | OF |  |
| versin(θ) | CD | versin(θ) = 1 − cos(θ) |
| exsec(θ) | DE | exsec(θ) = sec(θ) − 1 |
Theo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ phân kỳ khi θ tiến tới π/2 (90 độ), csc và cot phân kỳ khi θ tiến tới 0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học.
Định nghĩa bằng chuỗi

Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại.
Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.
Trong bảng dưới, quy ước:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Hàm | Định nghĩa | Cụ thể |
| sin(x) |  \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}} |  x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots  |
| cos(x) |  \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}} |  1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots  |
| tan(x) |  \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)U_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}} |  x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots  |
| cot(x) |  {\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}U_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}} |  {\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots  |
| sec(x) |  1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}x^{2n}}{(2n)!}},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}} |  1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots  |
| csc(x) |  {\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}} |  {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots  |
Trên trường số phức

Từ định nghĩa bằng gì đó có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo:
Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1.
Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, gồm các điểm z = eix, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.
Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:
Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực
Định nghĩa bằng phương trình vi phân

Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân
Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.
Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.
Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.
Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:
với điều kiện biên y(0) = 0. Xem  Lưu trữ 2004-06-02 tại Wayback Machine cho một chứng minh của công thức này.
Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k. Ví dụ, nếu x được tính bằng độ, k sẽ là:
Lúc đó:
và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này:
Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn:
Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác.
Các định nghĩa khác

Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác khác suy ra từ hai hàm này, có thể được định nghĩa là hàm sin và cos trong định lý sau:
Tồn tại duy nhất cặp hàm sin và cos trên trường số thực thỏa mãn:
sin2(x) + cos2(x) = 1
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
0 < xcos(x) < sin(x) < x với mọi 0 < x < 1
Ở đây  x,y\in \mathbb {R} .
Miền xác định và miền giá trị

Các hàm số lượng giác trên trường số thực có miền xác định và miền giá trị được tổng kết trong bảng sau:
| Hàm | Miền xác định | Miền giá trị |
| --- | --- | --- |
| sin | R (toàn bộ trục số thực) | [-1, 1] |
| cos | R | [-1, 1] |
| tang | R/{π/2 + kπ|k nguyên} (các số thực khác π/2 + kπ, với k là các số nguyên) | R |
| cotang | R/{kπ|k nguyên} (các số thực khác kπ, với k là các số nguyên) | R |
Phương pháp tính

Việc tính giá trị số cho các hàm lượng giác là bài toán phức tạp. Ngày nay, đa số mọi người có thể dùng máy tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá trị các hàm này. Dưới đây trình bày việc dùng bảng tính trong lịch sử để tra giá trị các hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày nay trong máy tính, và một số giá trị chính xác dễ nhớ.
Trước hết, việc tính giá trị các hàm lượng giác chỉ cần tập trung vào các góc nằm, ví dụ, từ 0 đến π/2, vì giá trị của các hàm lượng giác ở các góc khác đều có thể được suy ra bằng tính chất tuần hoàn và đối xứng của các hàm.
Trước khi có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác bằng cách nội suy từ một bảng tính sẵn, có độ chính xác tới nhiều chữ số thập phân. Các bảng tính này thường được xây dựng bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, như công thức chia đôi góc, hay công thức cộng góc, bắt đầu từ một vài giá trị chính xác (như sin(π/2)=1).
Các máy tính hiện đại dùng nhiều kỹ thuật khác nhau (Kantabutra, 1996). Một phương pháp phổ biến, đặc biệt cho các máy tính có các bộ tính số thập phân, là kết hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ) với các bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính tìm đến giá trị tính sẵn trong bảng nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, rồi dùng đa thức để sửa giá trị trong bảng về giá trị chính xác hơn. Trên các phần cứng không có bộ số học và lô gíc, có thể dùng thuật toán CORDIC (hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính hiệu quả hơn, vì thuật toán này chỉ dùng toán tử chuyển vị và phép cộng. Các phương pháp này đều thường được lắp sẵn trong các phần cứng máy tính để tăng tốc độ xử lý.
Đối với các góc đặc biệt, giá trị các hàm lượng giác có thể được tính bằng giấy và bút dựa vào định lý Pytago. Ví dụ như sin, cos và tang của các góc là bội của π/60 radian (3 độ) có thể tính được chính xác bằng giấy bút.
Một ví dụ đơn giản là tam giác vuông cân với các góc nhọn bằng π/4 radian (45 độ). Cạnh kề b bằng cạnh đối a và có thể đặt a = b = 1. Sin, cos và tang của π/4 radian (45 độ) có thể tính bằng định lý Pytago như sau:
Nên:
Một ví dụ khác là tìm giá trị hàm lượng giác của π/3 radian (60 độ) và π/6 radian (30 độ), có thể bắt đầu với tam giác đều có các cạnh bằng 1. Cả ba góc của tam giác bằng π/3 radian (60 độ). Chia đôi tam giác này thành hai tam giác vuông có góc nhọn π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông có cạnh ngắn nhất là 1/2, cạnh huyền bằng 1 và cạnh còn lại bằng (√3)/2. Như vậy:
Hàm lượng giác ngược

Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm ngược, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác ngược:
| --- | --- |
Giới hạn miền: Định nghĩa
-π/2 ≤ y ≤ π/2: y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 ≤ y ≤ π: y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2: y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
0 < y < π: y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2: y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0: y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)
Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos
Các hàm lượng giác ngược cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.
Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác ngược ra cho các biến phức:
Tính chất và ứng dụng

Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng trong lượng giác học. Bên ngoài lượng giác học, tính tuần hoàn của chúng có ích cho việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; đây là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng.
Các tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác trong lượng giác học được thể hiện ở ba định lý:
Tính chất và ứng dụng > Định lý sin

Định lý sin phát biểu cho bất kỳ một tam giác nào:
Có thể chứng minh định lý này bằng cách chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông, rồi dùng định nghĩa của hàm sin. (sinA)/a là nghịch đảo của đường kính đường tròn đi qua ba điểm A, B và C. Định lý sin có thể dùng để tính độ dài của một cạnh khi đã biết độ dài hai cạnh còn lại của tam giác. Đây là bài toán hay gặp trong kỹ thuật tam giác, một kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo các góc và các khoảng cách dễ đo khác.
Tính chất và ứng dụng > Định lý cos

Định lý cos là một kết quả mở rộng của định lý Pytago:
Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng việc chia tam giác thành hai tam giác vuông. Định lý này có thể được dùng để tìm các dữ liệu chưa biết về một tam giác nếu đã biết độ lớn hai cạnh và một góc.
Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ hơn 90°, thì sẽ có hai tam giác thỏa mãn định lý cos, ứng với hai góc C nằm trong khoảng từ 0 đến 180°Cùng cho một giá trị cos C
Tính chất và ứng dụng > Định lý tan

Định lý tan phát biểu là:
Một tam giác vuông luôn chứa một góc 90° (π/2 radian), được ký hiệu là C trong hình này. Góc A và B có thể thay đổi. Các hàm lượng giác thể hiện mối liên hệ chiều dài các cạnh và độ lớn các góc của tam giác vuông.
Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.
Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O.
Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 (màu hồng).
Định luật sin và định luật cos có thể được chứng minh bằng việc chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông.
Trọng trường Trái Đất

Trọng trường Trái Đất do NASA thực hiện trong phi vụ thí nghiệm GRACE, thể hiện độ lệch với trọng trường lý thuyết của dạng trái đất làm trơn lý tưởng, vốn được gọi là ellipsoid Trái Đất. Màu đỏ là nơi trọng trường mạnh hơn giá trị tiêu chuẩn, còn màu lam là nơi yếu hơn.
Trọng trường Trái Đất (Gravity of Earth), ký hiệu là g, đề cập đến gia tốc mà Trái Đất gây ra cho các đối tượng ở trên hoặc gần của bề mặt Trái Đất. Trong hệ đơn vị SI gia tốc này được đo bằng mét trên giây bình phương (ký hiệu (m/s2 hoặc m•s−2), hoặc tương đương với Newtons trên kilogram (N/kg hoặc N•kg−1). Nó có giá trị xấp xỉ 9,81 m/s2, tức là nếu  bỏ qua ảnh hưởng của sức cản không khí, tốc độ của một vật rơi tự do gần bề mặt Trái Đất sẽ tăng thêm khoảng 9,81 m/s (32,2 ft/s) sau mỗi giây. Giá trị này đôi khi được gọi không chính thức là g nhỏ (ngược lại, các hằng số hấp dẫn G được gọi là G lớn).
Nghiên cứu trọng trường Trái Đất là một lĩnh vực của địa vật lý. Kết quả của nghiên cứu cũng áp dụng để miêu tả trọng trường tại các hành tinh, các thiên thể khác.
Trên thực tế, trọng lực Trái Đất thật sự phụ thuộc vào vị trí. Xét trên bề mặt Trái Đất, giá trị trung bình của trọng lực Trái Đất là 9.80665 m/s², với nhiều ký hiệu khác nhau, lần lượt là gn, ge (đôi khi là giá trị pháp tuyến xích đạo của Trái Đất, 9.78033 m/s2 ),g0, hoặc đơn giản là g.
Trọng lượng của một vật trên bề mặt Trái Đất là lực hướng xuống của vật đó, được đề cập ở Định Luật II Newton, hay F = ma (lực kéo = trọng lượng x gia tốc). Gia tốc trọng trường cũng góp phân vào gia tốc trọng lực, nhưng đối với các yếu tố khác, chẳng hạn như sự tự chuyển động của Trái Đất cũng đóng góp một phần vào và làm ảnh hưởng đến trọng lượng của vật. Trọng lực thường không bao gồm lực hút của Mặt Trời hay Mặt Trăng (liên quan đến hiện tượng thuỷ triều).
Sự thay đổi về độ lớn

Một hình cầu hoàn hảo không quay có mật độ khối đồng nhất, hoặc có mật độ chỉ thay đổi theo khoảng cách từ tâm (đối xứng hình cầu), sẽ tạo ra một trường trọng lực đồng nhất về độ lớn tại mọi điểm trên bề mặt của nó. Trái Đất tuy nhiên luôn luôn xoay quay trục và không phải là một hình cầu đối xứng vì sự lệch nhau của hai cực trên Trái Đất nên được xem là hình cầu dẹt. Bởi thế nên trọng lực Trái Đất tại mọi vị trí trên bề mặt của nó là khác nhau.
Trọng lực trên bề mặt Trái Đất dao động vào khoảng 0,7%, từ 9,7639 m/s2 tại núi Nevado Huascarán ở Peru đến 9,8337 m/s2 tại bề mặt của biển Bắc Băng Dương. Ở những thành phố lớn nó dao động từ 9,7760 tại Kuala Lumpur, thành phố Mexicô và Singapore cho đến 9,825 tại Oslo và Helsinki.
Sự thay đổi về độ lớn > Giá trị quy ước

Năm 1901, tại Hội nghị toàn thể về Cân đô (lần thứ 3), đã đưa ra một gia trị tiêu chuẩn cho gia tốc trọng trường trên bề mặt Trái Đất là : gn= 9,80665 m/s2 . Nó được dựa trên kết quả đo lường được thực hiện tại Pavillon de Breteuil gần Paris năm 1888, với sự hiệu chỉnh lý thuyết được áp dụng để chuyển đổi thành vĩ độ 45° ở mực nước biển. Tuy nhiên đây không phải là một giá trị của một nơi cụ thể nào đó hay là giá trị trung bình, mà thực chất chỉ là giá trị tạm để sử dụng và sẽ được thay thế nếu có phát hiện mới.
Sự thay đổi về độ lớn > Vĩ độ

Bề mặt Trái Đất luôn chuyển động, vì thế nó không phải là khung tham chiếu không quán tính. Tại những vĩ độ gần đường xích đạo, lực ly tâm hướng ra ngoài do vòng quay của Trái Đất tạo ra lớn hơn ở vĩ độ hai cực. Điều này làm cho trọng lực Trái Đất giảm xuống một mức độ nhỏ hơn – lên đến tối đa 0.3% tại đường xích đạo – và làm giảm gia tốc hướng xuống của các vật vật rơi một cách rõ ràng.
Lý do chính thứ hai cho sự khác biệt về trọng lực ở các vĩ độ khác nhau là do sự phình của đường xích đạo của Trái Đất (một phần cũng từ lực ly tâm khi quay) khiến các vật thể ở xích đạo nằm xa trung tâm của Trái Đất hơn các vật ở hai cực. Bởi vì lực do lực hấp dẫn giữa hai vật thể (Trái Đất và vật thể nặng) dao động ngược chiều với bình phương khoảng cách giữa chúng, một vật ở xích đạo chịu lực hấp dẫn yếu hơn hơn được đặt ở hai cực Trái Đất.
Tóm lại, độ phình của đường xích đạo và tác dụng của lực ly tâm do sự tự quay quanh trục của Trái Đất làm cho trọng lực mực nước biển tăng từ khoảng 9,780 m/s2 tại xích đạo đến 9,832 m/s2 tại hai cực. Do đó một vật bất kì sẽ nặng hơn khoảng 0,5% nhiều hơn tại hai cực so với tại xích đạo.
Sự thay đổi về độ lớn > Độ cao

Trọng lực giảm dần theo độ cao (khi độ cao càng tăng thì trọng lực càng giảm và ngược lại) vì độ cao càng lớn thì khoảng cách lớn hơn tính từ tâm Trái Đất. Tất cả các thứ khác đều bằng nhau, việc tăng độ cao từ mực nước biển lên 9000m (30.000ft) khiến trọng lượng giảm khoảng 0,29% (Một yếu tố bổ sung ảnh hưởng đến trọng lượng rõ ràng là sự giảm mật độ không khí ở độ cao, làm giảm độ nổi của vật thể. Điều này sẽ làm tăng trọng lượng của một người ở độ cao 9000m khoảng 0,08%).
Một quan niệm sai lầm phổ biến rằng các phi hành gia trên quỹ đạo là không trọng lượng vì cho rằng họ đã bay đủ cao để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất. Nhưng trên thực tế, ở độ cao 400km (250 dặm), tương đương với quỹ đạo điển hình của ISS, trọng lực vẫn gần bằng 90% so với trên mặt đất. Không trọng lượng thật sự xảy ra do các vật thể quay quanh đang rơi tự do.
Sự ảnh hưởng của độ cao mặt đất phụ thuộc vào mật độ của mặt đất (xem hình bên). Một trường đang bay ở độ cao là 30000 ft so với mực nước biển trên núi sẽ cảm thấy sự hiện diện của trọng lực nhiều hơn so với một người ở cùng độ cao nhưng đang trên biển. Tuy nhiên, một người đứng trên về mặt trái đất cảm thấy ít trọng lực hơn khi độ cao cao hơn.
Công thức sau đây xấp xỉ thể hiện trọng lực Trái Đất theo độ cao:
g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}
Trong đó:
gh là gia tốc trọng trường ở độ cao h so với mực nước biển
Re là bán kính Trái Đất
g0 là gia tốc trọng trường tiêu chuẩn
Trong công thức này, Trái Đất được xem là một khối cầu hoàn hảo với sự phân bố khối lượng đối xứng hoàn toàn.
Sự thay đổi về độ lớn > Độ sâu

Một giá trị gần đúng cho trọng lực ở khoảng cách r từ tâm Trái Đất có thể thu được bằng cách giả sử rằng mật độ của Trái Đất là một hình cầu đối xứng. Trọng lực chỉ phụ thuộc vào duy nhất khối lượng bên trong khối cầu có bán kính là r. Tất cả các sự tác dụng từ bên ngoài huỷ bỏ do kết quả của nghịch đảo bình phương trọng lực. Một kết quả khác là trọng lực được xem là tổng khối lượng được tập trung tại tâm. Do đó, gia tốc trọng trường tại bán kính này là:
g(r)=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}.
Trong đó G là hằng số hấp dẫn và M(r) là tổng khối lượng trong vòng bán kính r. Nếu Trái Đất có mật độ không đổi ρ thì tổng khối lượng sẽ là M(r) = (4/3)πρr3 và sự phụ thuộc của trọng lực vào độ sâu sẽ là:
g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.
g tại độ sâu là d sẽ được tính bằng g'=g(1-d/R), trong đó g là gia tốc do trọng lực gâu ra trên bề mặt Trái Đất. d là độ sâu và R là bán kính của Trái Đất. Nếu mật độ giảm tuyến tính so với bán kính tăng từ mật độ ρ0 tại trung tâm đến ρ1 trên bề mặt thì ρ(r) = ρ0 − (ρ0 − ρ1) r / re và sự phụ thuộc sẽ là:
g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho _{0}r-{\frac {4\pi }{3}}G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{r_{\mathrm {e} }}}..
Sự phụ thuộc của độ sâu vào mật độ và trọng lực, được suy ra từ địa chấn qua các mốc thời gian (xem phương trình Adams-Williamson), được thể hiện trong các biểu đồ dưới đây.
Sự thay đổi về độ lớn > Địa hình và địa chất

Sự khác biệt cục bộ về địa hình (như sự hiện diện của núi), địa chất (như mật độ đá ở vùng lân cận) và cấu trúc kiến tạo sâu hơn gây ra sự khác biệt cục bộ và khu vực trong trường hấp dẫn của trái Đất, được gọi là dị thường hấp dẫn. Một số trong những dị thường này có rất sâu rộng, dẫn đến sự phình ra ở mực nước biển và đồng hồ quả lắc chạy không đồng bộ.
Nghiên cứu về những dị thường này tạo nên nền tảng của địa vật lý hấp dẫn. Các dao động được đo bằng ống đo trọng lực có độ chính xác cao, sự ảnh hưởng của địa hình và các yếu tố đã biết khác đã bị loại bỏ, từ đó tìm ra được dữ liệu và kết quả đã được rút ra. Những kỹ thuật như vậy hiện đang được các nhà thăm dò địa chất sử dụng để tìm kiếm các mỏ dầu và khoáng sản. Đá dày đặc hơn (thường chứa quặng khoáng sản) gây ra lớn hơn so với các trường hấp dẫn cục bộ trên bề mặt Trái Đất. Đá trầm tích ít dày đặc gây ra điều ngược lại.
Sự thay đổi về độ lớn > Các yếu tố khác

Trong không khí, các vật thể trải qua một lực nổi hỗ trợ làm giảm cường độ của trọng lực (được đo bằng trọng lượng của vật thể đó). Độ lớn của hiệu ứng này phụ thuộc vào mật độ không khí (và do đó có liên quan đến áp suất không khí).
Sự tác động lực từ Mặt Trăng và Mặt Trời (cũng là nguyên nhân của thuỷ triều) có ảnh hưởng rất nhỏ đến cường độ trọng lực của Trái Đất, tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của chúng; các biến thể điển hình là 2 µm/s2 (0,2 mGal) trong vòng một ngày.
Sự thay đổi theo hướng

Gia tốc trọng trường là một đại lượng véc-tơ. Trong một Trái Đất đối xứng hình cầu, trọng lực sẽ hướng thẳng vào tâm của quả cầu. Vì Trái Đất hơi phẳng hơn nên sẽ có những sai lệch nhỏ về hướng của trọng lực.
Các giá trị so sánh trên toàn thế giới

Các công cụ tồn tại để tính toán sức mạnh của trọng lực tại các thành phố khác nhau trên thế giới. Ảnh hưởng của vĩ độ có thể thấy rõ với lực hấp dẫn ở các thành phố có vĩ độ cao: Anchorage (9,826 m/s2), Helsinki (9,825 m/s2), lớn hơn khoảng 0,5% so với các thành phố gần xích đạo: Kuala Lumpur (9,776 m/s2), Manila (9,780 m/s2). Ảnh hưởng của độ cao có thể thấy ở thành phố Mexicô (9,776 m/s2; độ cao 2,240m (7.350 ft)) và bằng cách so sánh Denver (9,798 m/s2; 1.616m (5.302 ft)) với Washington, DC (9.801 m/s2; 30m (98 ft)), cả hai đều gần 39° Bắc. Các giá trị đo được có thể được lấy từ Bảng vật lý và Toán học bằng T.M.Yarwood và F.Castle, Macmillan, phiên bản sửa đổi 1970.