Điện động lực học lượng tử
Cách nhìn của Feynman về điện động lực học lượng tử > Biên độ xác suất

Cơ học lượng tử giới thiệu một sự thay đổi quan trọng trong cách xác suất được tính toán. Xác suất vẫn được biểu diễn bằng những số thực thông thường mà chúng ta sử dụng trong tính xác suất hàng ngày, nhưng xác suất lượng tử ở đây được tính bằng bình phương biên độ xác suất. Biên độ xác suất là những số phức.
Feynman tránh trình bày với độc giả những số phức toán học bằng cách sử dụng đơn giản nhưng chính xác hình ảnh của chúng như là những mũi tên trên trang sách hay bảng viết. (Không nên nhầm lẫn với các mũi tên của sơ đồ Feynman mà chúng thực sự là những biểu diễn đơn giản của mối liên hệ giữa hai điểm trong không gian ba chiều và một chiều thời gian.) Biên độ của các mũi tên là công cụ miêu tả cơ bản của lý thuyết lượng tử cho thế giới vi mô. Không có lý giải thỏa đáng nào cho câu hỏi tại sao chúng lại cần thiết như vậy. Nhưng thực tế chúng ta phải chấp nhận rằng chúng là một phần cơ bản trong miêu tả của chúng ta về mọi hiện tượng lượng tử. Chúng được liên hệ với ý tưởng xác suất trong toán học bởi quy tắc đơn giản đó là xác suất của một sự kiện bằng bình phương độ lớn của độ dài của mũi tên biên độ tương ứng. Do đó, đối với một quá trình cho trước, nếu có hai biên độ xác suất, v và w, xác suất của quá trình được cho bởi hoặc là
hoặc
Quy tắc giống như phép tính cộng và phép tính nhân, tuy nhiên là giống như miêu tả ở trên. Nhưng thông thường trong đời sống hàng ngày nơi chúng ta thực hiện cộng hoặc nhân các giá trị xác suất, thay vào đó trong điện động lực học lượng tử chúng ta thực hiện cộng hoặc nhân các biên độ xác suất là những số phức.
Phép cộng và nhân tương tự trong lý thuyết số phức và được minh họa bằng hình ảnh bên cạnh. Kết quả tổng được tính như sau. Đặt điểm đầu của mũi tên thứ hai vào điểm cuối của mũi tên thứ nhất. Tổng có được chính là mũi tên thứ ba nối trực tiếp từ điểm đầu của mũi tên thứ nhất với điểm cuối của mũi tên thứ hai. Tích của hai mũi tên là một mũi tên mới với độ dài là tích của hai độ dài của hai mũi tên. Hướng của mũi tên kết quả được tìm bằng cách cộng các góc của mỗi mũi tên được xoay theo một hướng quy chiếu: nó cho kết quả góc của phép nhân được xoay tương đối với một hướng quy chiếu.
Sự thay đổi trên, từ các xác suất thành các biên độ xác suất, làm phức tạp thêm các tính toán toán học nhưng không làm thay đổi cách tiếp cận cơ bản đã nêu. Nhưng sự thay đổi này vẫn chưa đủ bởi vì nó chưa tính đến cả photon và electron có đặc điểm là có thể phân cực, hay có nghĩa rằng hướng của chúng trong không gian và thời gian phải được tính đến. Do vậy, P(A đến B) thực sự chứa 16 số phức, hay các mũi tên biên độ xác suất. Cũng có một số thay đổi nhỏ liên quan tới đại lượng "j", mà phải quay hoặc nhân với 90° cho một số trường hợp phân cực, khi muốn thực hiện các phép tính yêu cầu chính xác cao hơn.
Đi kèm với thực tế rằng electron có thể phân cực còn có thêm những chi tiết nhỏ cần thiết khác liên quan tới tính chất một electron là hạt fermion và tuân theo thống kê Fermi–Dirac. Quy tắc cơ bản là nếu chúng ta có biên độ xác suất cho một quá trình phức tạp với sự tham gia của nhiều hơn một electron, thì khi chúng ta bao gồm vào (mà chúng ta luôn phải tính đến) biểu đồ Feynman bổ sung mà ở đó chúng ta chỉ trao đổi hai electron cho nhau, biên độ kết quả có giá trị ngược dấu – dấu âm – của biên độ đầu tiên. Ví dụ, trường hợp đơn giản nhất đó là hai electron bắt đầu tại A và B và kết thúc tại C và D. Lúc này biên độ xác suất cho toàn bộ sự kiện sẽ được tính toán như là "hiệu", E(A đến D) × E(B đến C) − E(A đến C) × E(B đến D), mà khác với kiến thức chúng ta được học từ lý thuyết xác suất, đó là phép tính "cộng".