stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Olha Mykolaivna Kovalova
Tiểu sử

Olha Mykolaivna Kovalova sinh ngày 18 tháng 3 năm 1942 tại thành phố Sarapul thuộc Cộng hòa Udmurtia, Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Liên bang Nga trong một gia đình có cha kỹ sư, mẹ là bác sĩ phẫu thuật trong quân đội và sau này là nhà trị liệu.
Năm 1959, bà tốt nghiệp trung học danh dự và theo học tại Viện Y Kharkiv. Bà là cựu sinh viên của nhiều nhà khoa học nổi tiếng, trong đó có Giáo sư Liubov Trokhymivna Mala [uk].
Năm 1965, bà tốt nghiệp loại xuất sắc tại Viện Y Nhà nước Kharkiv.
Từ năm 1965 đến năm 1968, bà công tác tại Bệnh viện thành phố Kharkiv số 3.
Từ năm 1968 đến năm 1970, bà được đào tạo trở thành bác sĩ nội trí tại Khoa Nội khoa của Trường Y thuộc Viện Y Kharkiv. Tại đây, bà đã thực hiện các công trình nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Giáo sư M. I.  Shtelmakha. Sau khi hoàn thành chương trình đào tạo bác sĩ nội trú, bà được giữ lại làm trợ lý tại khoa.
Năm 1975, bà bảo vệ luận án Phó tiến sĩ về "Đặc thù liên quan đến tuổi của glycosaminoglycan và lipid máu trong xơ vữa động mạch vành".
Năm 1980, bà được phong hàm phó giáo sư.
Từ năm 1984 đến năm 1986, bà là nghiên cứu viên cấp cao tại viện.
Năm 1989, bà hoàn thành và bảo vệ luận án Tiến sĩ khoa học về "Phân tích lâm sàng, dịch tễ học và di truyền học về cấu trúc của bẩm chất tăng huyết áp động mạch".
Năm 1990, bà được trao bằng Tiến sĩ khoa học Y học. Năm 1992, bà được phong hàm Giáo sư khoa Nội khoa.
Năm 1991, bà được thuyên chuyển giữ chức trưởng khoa Y học cơ sở Nội khoa số 1 tại Trường Y của viện.
Năm 2000, bà được bầu làm thành viên chính thức của Hội Tim mạch học châu Âu [en] (F.E.S.C.) như một ghi nhận đối với những thành tựu của bà.
Hoạt động khoa học

Trong 23 năm giữ chức trưởng các khoa tại Đại học Y Quốc gia Kharkiv, bà là người cố vấn luận án cho 32 Phó tiến sĩ và 5 Tiến sĩ khoa học.
Giáo sư Kovaleva là người sáng lập Trung tâm Chẩn đoán và Điều trị Tăng huyết áp động mạch. Trung tâm hoạt động từ năm 2002 đến 2016 với tư cách trực thuộc bệnh viện nội trú của Bệnh viện lâm sàng thành phố Kharkiv số 11.
Bà là người khởi xướng và đồng tác giả soạn thảo và xuất bản các đầu sách giáo khoa được Bộ Y tế và Bộ Giáo dục và Khoa học Ukraina phê duyệt như: Nhập môn Nội khoa (tiếng Ukraina: Пропедевтика внутрішньої медицини), Nhiệm vụ luận trong y học (tiếng Ukraina: Деонтологія в медицині), Chăm sóc người bệnh (tiếng Ukraina: Догляд за хворими), được viết bằng tiếng Ukraina, tiếng Anh và tiếng Nga. Bà là người sáng lập bộ môn "Nguyên tắc cơ bản về đạo đức sinh học và an toàn sinh học" tại Đại học Y Quốc gia Kharkiv và là người khởi xướng việc đổi tên khoa thành "khoa Y học cơ sở Nội khoa số 1 - Nguyên tắc cơ bản về đạo đức sinh học và an toàn sinh học" từ năm 2012.
Bà đã dẫn đầu hoạt động giảng dạy bộ môn mới tại khoa. Sách giáo khoa cho bộ môn đã được bộ Y tế và Bộ Giáo dục và Khoa học Ukraina phê chuẩn. Các sách hướng dẫn về phương pháp luận cũng đã được phát hành.
Giải thưởng

Năm 2001, Viện Hàn lâm Khoa học Y tế Ukraina [uk] đã trao tặng Olha Mykolaivna Kovalova huân chương Viện sĩ M. D. Strazheska "Vì thành tích trong lĩnh vực y tế" vì những thành tựu cá nhân của bà trong việc phát triển khoa học y tế và phòng ngừa, chẩn đoán và điều trị các bệnh tim mạch.
Năm 2007, bà được trao danh hiệu nhân vật Khoa học và Công nghệ Ukraina được vinh danh [uk].
Công trình khoa học > Chuyên khảo

О. Н. Ковалева, Т. В. Ащеулова (2003). Фактор некроза опухолей-α. Клиническое исследование активности при артериальной гипертензии. Kharkiv: Оригинал. tr. 172.
О. Н. Ковалева, Т. Н. Амбросова (2003). Патогенез и лечение тромбоцитарных нарушений в кардиологии. Kharkiv: Торнадо. tr. 80. ISBN 966-635-440-3.
О. Н. Ковалева, С.А. Шаповалова (2005). Фармакотерапия гипертонической болезни (PDF). Kharkiv. tr. 136.
О. Н. Ковалева, В. Н. Лесовой, Т. Н. Амбросова, Н. И. Питецкая (2006).  О. Н. Ковалева, В. Н. Лесовой (biên tập). Биоэтические аспекты клинической практики и научных исследований. Kharkiv: Торнадо. tr. 95.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)[liên kết hỏng]
О. Н. Ковалева та ін. (2007). Цитокины: общебиологические и кардиальные эффекты. Kharkiv. tr. 226. ISBN 978-966-2046-01-4.
О. М. Біловол, О. М. Ковальова, С. С. Попова, О. Б. Тверетінов (2009). Ожиріння в практиці кардіолога та ендокринолога. Тернопіль: Укрмедкнига. tr. 620. ISBN 978-966-673-132-9.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О. Н. Ковалева, Т. В. Ащеулова, Т. Н. Амбросова (2009). Морфо-функциональные изменения сердца при ожирении. Kharkiv: Новое слово. tr. 151. ISBN 978-966-2046-72-4.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О. Н. Ковалева, А. В. Демиденко (2010). Механизмы формирования и методы коррекции эндотелиальной дисфункции при артериальной гипертензии. Kharkiv: Новое слово. tr. 158.
О.Н. Ковалева, С.В. Виноградова (2010). Антигипертензивные, метаболические и органопротекторные эффекты телмисартана. Kharkiv. tr. 134.
О. М. Ковальова та ін. (2011). Серцево-судинний ризик: стратифікація, патогенез, прогноз (PDF). Kharkiv: Раритети України. tr. 223. ISBN 978-966-2408-39-3.
О. М. Ковальова та ін. (2014). Біомаркери кардіоваскулярного ризику при артеріальній гіпертензії. Kharkiv: Планета-прінт. tr. 165. ISBN 978-617-7229-03-1.
О. М. Ковальова, Д. О. Микитенко. Медичні та етичні аспекти генетичного тестування і консультування. — Kyiv: МНТУ, 2020—194 tr. — ISBN 978-617-7783-84-7.
Công trình khoa học > Sách hướng dẫn

O. Kovalyova (2001). Medical ethics. Kharkov. tr. 128.
О.Н. Ковалева, Н.А. Сафаргалина-Корнилова (2005). Диагностика заболеваний системы крови (PDF). Kharkiv: ЧФ "Антиква". tr. 140.
О.Н. Ковалева, Н.А. Сафаргалина-Корнилова, Т.Н. Амбросова (2005). Диагностика заболеваний органов дыхания (PDF). Kharkiv: ЧФ "Антиква". tr. 134.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О.Н. Ковалева, С.А. Шаповалова, Н.Н. Герасимчук (2005). Комбинированная терапия артериальной гипертензии (PDF). Hướng dẫn tham khảo cho bác sĩ đa khoa-y học gia đình, nhà trị liệu, bác sĩ tim mạch, thực tập sinh. Kharkiv: ЧФ "ПЛЕЯДА". tr. 48. ISBN 966-8922-01-8.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О.Н. Ковалева, Н.А. Сафаргалина-Корнилова, Н.И. Питецкая (2005). Эталонная модель истории болезни (расспрос, объективное исследование и синдромальная диагностика) (PDF). Kharkiv: ЧФ "Антиква". tr. 94.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О.М. Ковальова, В.М. Лісовий, С.І. Шевченко, Т.В. Фролова (2015). Догляд за хворими (практика) (ấn bản thứ 3). Kyiv: ВСВ «Медицина». tr. 488. ISBN 978-617-505-439-0.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О.М. Ковальова, Н.А.Сафаргаліна-Корнілова (2010). Пропедевтика внутрішньої медицини. Kyiv: ВСВ «Медицина». tr. 720. ISBN 978-617-505-094-1.
О.Н. Ковалева., Н.А.Сафаргалина-Корнилова (2013). Пропедевтика внутренней медицины. Kyiv: ВСИ «Медицина». tr. 752. ISBN 978-617-505-502-1.
О.Н. Ковалева, В.Н. Лесовой, С.И. Шевченко, Т.В. Фролова (2014). Уход за больными (практика). Kyiv: ВСИ «Медицина». tr. 432. ISBN 978-617-505-304-1.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О.М Ковальова, Н.А. Сафаргаліна-Корнілова, Н.М. Герасимчук. (2015). Деонтологія в медицині. Kyiv: ВСВ «Медицина». tr. 488. ISBN 978-617-505-439-0.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О.Н. Ковалева, В.Н. Лесовой, Т.Н. Амбросова, В.И. Смирнова (2015). Основы биоэтики и биобезопасности. Kyiv: ВСИ «Медицина». tr. 424. ISBN 978-617-505-440-6.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О.Н. Ковалева, Н.А. Сафаргалина-Корнилова, Н.Н. Герасимчук (2017). Деонтология в медицине. Kyiv: ВСИ «Медицина». tr. 240. ISBN 978-617-505-565-6.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
О.М. Ковальова, В.М. Лісовий, Т.М. Амбросова, В.І. Смирнова (2017). Основи біоетики та біобезпеки (ấn bản thứ 2). Kyiv: ВСВ «Медицина». tr. 392. ISBN 978-617-505-592-2.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
Kovalyova O.N., Ashcheulova T.V. (2017). Propedeutics to internal medicine. Part 1: Diagnostics. 1 . Вінниця: Нова Книга. tr. 424. ISBN 978-966-382-642-4.
Kovalyova O.N., Ashcheulova T.V. (2017). Propedeutics to internal medicine Part 2: Syndromes and diseases. 1 (ấn bản thứ 3). Вінниця: Нова Книга. tr. 264. ISBN 978-966-382-643-1.
O.M. Kovalyova, V.N. Lesovoy, S.I. Shevchenko (2018). Patient care (practical course) . Kyiv: AUS Medicine Publishing. tr. 320. ISBN 978-617-505-651-6.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
Nguồn và tài liệu tham khảo

Кафедра пропедевтики внутрішньої медицини № 1, основ біоетики та біобезпеки Lưu trữ 2018-02-27 tại Wayback Machine
Pikachu

| Pikachu |
| --- | --- |
Nhân vật trong Pokémon
National Pokédex Arbok – Pikachu (#025) – Raichu
Trò chơi đầu tiên: Pokémon Red và Blue (1996)
Thiết kế bởi: Atsuko Nishida và Ken Sugimori
Diễn xuất bởi: Jennifer Risser (Pokémon Live!) Ryan Reynolds (trong CGI) (phim Pokémon: Thám tử Pikachu)
Lồng tiếng bởi:  Ngôn ngữ tự nhiên Ikue Ōtani  Chika Sakamoto (Puka; tập 67)  Satomi Kōrogi (Sparky; tập 78)    Tiếng Anh Kaiji Tang (Trò chơi video Detective Pikachu)  Rachael Lillis (một số tập của mùa đầu tiên)  Craig Blair (PMD đặc biệt)  Kate Bristol (Pokémon the Movie 20: Tớ chọn cậu)  Ryan Reynolds (phim Pokémon: Thám tử Pikachu)    Tiếng Nhật Tomoe Hanba (PMD special)  Tōru Ōkawa (Meitantei Pikachu) Hidetoshi Nishijima (phim Pokémon: Thám tử Pikachu)  
Thông tin
| Pikachu> Thông tin loài Pokémon |
| --- | --- |
Hệ: Điện
Tiến hóa từ: Pichu
Tiến hóa thành: Raichu
Loài: Pokémon chuột
Thế hệ: I
Chiều cao: 0.4 m
Cân nặng: 6 kg
Danh sách Pokémon
Pikachu (Nhật: ピカチュウ, Hepburn: Pikachū?, phát âm, tiếng Anh: /ˈpiːkətʃuː/) là một trong những loài Pokémon xuất hiện trong các sản phẩm nhượng quyền thương mại như video game, anime, truyện tranh, và trò chơi thẻ bài liên quan đến Pokémon được hợp pháp hóa bởi The Pokémon Company, một công ty Nhật Bản. Chúng là những sinh vật giống như loài gặm nhấm màu vàng với khả năng điện mạnh mẽ. Trong hầu hết các lần xuất hiện, bao gồm cả anime và một số trò chơi video, chúng chủ yếu được lồng tiếng bởi Ikue Ōtani. Một Pikachu cũng xuất hiện như một phần của dàn diễn viên chính trong bộ phim hoạt hình người đóng sống động Pokémon: Thám tử Pikachu, đóng trong CGI và được lồng tiếng bởi Ryan Reynolds.
Thiết kế của Pikachu là do Atsuko Nishida nghĩ ra và Ken Sugimori hoàn thiện. Pikachu xuất hiện lần đầu trong Pokémon Red và Green ở Nhật Bản, và sau đó trong phiên bản video game Pokémon quốc tế đầu tiên, Pokémon Red và Blue, cho hệ máy Game Boy.
Như tất cả các loài Pokémon khác, Pikachu chiến đấu với các Pokémon trong anime, manga, và game của seri. Pikachu là một trong những Pokémon đặc trưng nhất vì một con Pikachu là nhân vật chính trong loạt anime Pokémon. Pikachu là Pokémon được coi là phổ biến rộng rãi nhất, là linh vật chính thức của Pokémon, và đã trở thành một biểu tượng của văn hóa Nhật Bản trong những năm gần đây. Trong Pokémon, Pikachu thường được tìm thấy trong nhà, rừng, vùng đồng bằng, và đôi khi ở gần núi, hải đảo, và nguồn điện (như nhà máy điện), trên hầu hết các châu lục của thế giới hư cấu. Là một Pokémon hệ điện, Pikachu có thể tích trữ điện trong má của nó và phóng sét trong các cuộc chiến.
Năm 2014, Pikachu được liên đoàn bóng đá Nhật Bản chọn làm linh vật của đội tuyển bóng đá nước này khi tham dự vòng chung kết World Cup diễn ra trong cùng năm.
Tổng quan

Pikachu là một loài gặm nhấm với thân hình lùn và nhỏ, được lấy cảm hứng từ loài sóc (Xem thêm: Ochotona). Pikachu rất dễ nhận ra bởi thân hình toàn màu vàng, với đôi tai dài và những sọc đen sau lưng, cạnh cái đuôi như tia điện xẹt.
Pikachu sống thành đàn trong những khu rừng. Chúng tích trữ nguồn điện bằng hai đốm trên má. Dù hai đốm đó là rất nhỏ, nhưng mọi người thường cho rằng chúng có thể tích được một lượng điện năng khổng lồ. Chính vì vậy mà mọi sự tiếp xúc với Pikachu đều có khả năng gây cho người tiếp xúc một cảm giác "tê liệt hoàn toàn" (Trên phương diện game, đây chính là khả năng đặc biệt của Pikachu (Xem Ability): Static. Có mối quan hệ chặt chẽ với điện, bản thân Pikachu rất nhạy cảm với điện trường, từ trường hoặc điện từ trường. Nếu ở gần vùng có điện từ trường mạnh, Pikachu sẽ bị mắc một chứng bệnh gần giống với bệnh cảm ở người.
Pikachu cùng với 2 loài trong chuỗi tiến hóa của chúng (Pichu, Raichu) là những loài duy nhất có khả năng sử dụng Volt Tackle, một chiêu khá mạnh của hệ điện. Tuy nhiên, bản thân Pikachu - cũng như Raichu không tự học được Volt Tackle, chúng chỉ có thể học được khi còn ở trạng thái Pichu. Một số trường hợp đặc biệt (các Pikachu nhận được qua event của Nintendo), Pikachu có thể điều khiển nước và có khả năng bay. Trong manga, Pikachu của Red có khả năng lướt sóng  và Pikachu của Yellow có khả năng bay (bằng bong bóng bay).
Nói tới các tuyệt chiêu, Pikachu có những tuyệt chiêu phổ biến như Tấn Công Nhanh, Điện 100 000 Vôn, Đuôi Sắt,... Đặc biệt, trong truyện Pocket Monster Special, Pikachu còn có khả năng Phân Thân nữa.
Dữ liệu > Thông tin từ Pokedex > Thế hệ thứ nhất

| Game | Tiếng Anh | Tiếng Việt |
| --- | --- | --- |
| Red, Blue, Green | When several of these Pokémon gather, their electricity could build and cause lightning storms | Khi một số lượng khá lớn các cá thể thuộc loài Pokemon này tập trung cùng một nơi, chúng có thể gây ra bão sấm sét |
| Yellow | It keeps its tail raised to monitor its surroundings. If you yank its tail, it will try to bite you. | Chúng giữ đuôi của mình ở vị trí thẳng đứng để điều khiển các thứ xung quanh. Nếu bạn phá đuôi chúng, chúng sẽ cắn bạn. |
| Stadium | Lives in forests away from people. It stores electricity in its cheeks for zapping an enemy if it is attacked. | Sống trong rừng ở xa con người. Nó tích trữ điện năng trên má, khi bị tấn công, nó sẽ phóng dòng điện năng đó vào kẻ thù. |
Dữ liệu > Thông tin từ Pokedex > Thế hệ thứ hai

| Game | Tiếng Anh | Tiếng Việt |
| --- | --- | --- |
| Gold | This intelligent Pokémon roasts hard berries with electricity to make them tender enough to eat. | Con Pokemon thông minh này nướng mấy trái berry cứng bằng điện năng để chúng mềm ra và có thể ăn được. |
| Silver | It raises its tail to check its surroundings. The tail is sometimes struck by lightning in this pose. | Nó giữ đuôi thằng đứng để kiểm tra mấy thứ xung quanh. Trong tư thế này, đuôi của nó đôi lúc bị sét đánh trúng. |
| Crystal | When it is angered, it immediately discharges the energy stored in the pouches in its cheeks. | Khi nó bị chọc tức, ngay lập tức nó sẽ giải phóng năng lượng đã tích trữ trong hai đốm ở má. |
| Stadium 2 | This intelligent Pokémon roasts hard berries with electricity to make them tender enough to eat. | Con Pokemon thông minh này nướng mấy trái berry cứng bằng điện năng để chúng mềm ra và có thể ăn được. |
Định lý giá trị trung bình

Đừng nhầm lẫn với Định lý giá trị trung gian.
Với mọi hàm số liên tục trên  [a,b] và khả vi trên  (a,b), tồn tại một điểm  c\in (a,b) sao cho đường thẳng nối hai điểm  (a,f(a)) và  (b,f(b)) song song với tiếp tuyến tại  c.
Trong giải tích, định lý giá trị trung bình (Tiếng Anh: mean value theorem) khẳng định rằng: cho một cung phẳng, trơn nối hai điểm phân biệt, khi đó tồn tại một điểm trên cung mà tiếp tuyến với cung tại điểm này song song với đường thẳng nối hai đầu cung.
Định lý này được sử dụng đề chứng minh các kết quả toàn cục về một hàm trên một khoảng xuất phát từ các giả thuyết địa phương về đạo hàm tại các điểm của khoảng đó.
Chính xác hơn, nếu một hàm số  f liên tục trên khoảng đóng  [a,b] với  a<b và khả vi trên khoảng mở  (a,b) thì tồn tại một điểm  c\in (a,b) sao cho
Một trường hợp đặc biệt của định lý này được mô tả lần đầu tiên bởi Parameshvara (1370-1460). Định lý giá trị trung bình ở dạng hiện đại của nó được phát biểu sau đó bởi Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Nó là một trong những kết quả quan trọng nhất của phép tính vi phân, cũng như một trong những định lý quan trọng nhất của giải tích toán học, và được sử dụng để chứng minh định lý cơ bản của giải tích. Định lý giá trị trung bình có thể được suy ra từ một trường hợp đặc biệt của nó là định lý Rolle, và có thể được sử dụng để chứng minh một kết quả tổng quát hơn là định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange).
Phát biểu chính thức

Cho  f:[a,b]\to \mathbb {R}  là một hàm số liên tục trên khoảng đóng  [a,b] và khả vi trên khoảng mở  (a,b), với  a<b. Khi đó tồn tại  c\in (a,b) sao cho
Định lý giá trị trung bình là một tổng quát hóa của định lý Rolle, trong đó giả sử  f(a)=f(b), khi đó vế phải của hệ thức bên trên bằng 0.
Định lý giá trị trung bình vẫn đúng với một giả thiết tổng quát hơn. Ta chỉ cần điều kiện  f:[a,b]\to \mathbb {R}  liên tục trên  [a,b], và với mọi  x\in (a,b), giới hạn
tồn tại (hữu hạn hoặc bằng  \pm \infty ). Nếu hữu hạn, giới hạn trên bằng  f'(x). Một ví dụ mà phiên bản này của định lý được áp dụng là hàm số  f:x\mapsto x^{1/3}, với đạo hàm tiến đến vô cùng tại gốc tọa độ.
Chú ý rằng định lý này sai nếu ta áp dụng cho hàm phức khả vi thay vì hàm thực. Ví dụ, lấy  f(x)=e^{\mathrm {i} x} với mọi số thực  x. Khi đó
trong khi  |f'(x)|=1.
Chứng minh

Biểu thức  {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}} cho chúng ta hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm  (a,f(a)) và  (b,f(b)), trong khi  f'(x) là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm  (x,f(x)). Do đó định lý giá trị trung bình phát biểu rằng: cho một cung bất kì của một đường cong phẳng, trơn, ta có thể tìm được một điểm nằm giữa hai đầu cung sao cho tiếp tuyến tại điểm đó của cung song song với dây cung. Cách chứng minh sau đây mô tả ý tưởng này.
Đặt  g(x)=f(x)-rx, với  r là một hằng số mà ta sẽ xác định sau. Vì  f liên tục trên  [a,b] và khả vi trên  (a,b), điều tương tự cũng đúng với  g. Ta sẽ chọn  r sao cho  g thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle, tức là
Theo định lý Rolle, vì  g liên tục và  g(a)=g(b) nên tồn tại một điểm  c thuộc  (a,b) sao cho  g'(c)=0. Khi đó, từ đẳng thức  g(x)=f(x)-rx, ta có
Đây chính là điều phải chứng minh.
Một ứng dụng đơn giản

Giả sử rằng  f là một hàm thực liên tục, xác định trên một khoảng  I bất kì trên trục số thực. Nếu đạo hàm của  f tại mọi điểm trong của  I tồn tại và bằng 0, khi đó  f là hàm hằng.
Chứng minh: Giả sử rằng đạo hàm của  f tại mọi điểm trong của  I tồn tại và bằng 0. Đặt  (a,b) là một khoảng mở bất kì trong  I. Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại một điểm  c\in (a,b) sao cho
Từ đó suy ra  f(b)=f(a). Do đó  f là hàm hằng trên mọi khoảng con của  I, và vì vậy, nó là hàm hằng trên  I do tính liên tục.
Nhận xét:
Tại các đầu của khoảng  I chỉ yêu cầu tính liên tục chứ không cần tính khả vi. Tính liên tục của  f không cần phải chỉ ra nếu như  I là một khoảng mở, vì từ sự tồn tại của đạo hàm trên khoảng mở  (a,b) suy ra tính liên tục của  f trên khoảng đóng  [a,b].
Định lý giá trị trung bình Cauchy

Định lý giá trị trung bình Cauchy, còn được biết dưới tên định lý giá trị trung bình mở rộng, là một tổng quát hóa của định lý giá trị trung bình. Nó phát biểu rằng: Nếu các hàm số  f và  g cùng liên tục trên khoảng đóng  [a,b] và khả vi trên khoảng mở  (a,b), khi đó tồn tại một điểm  c\in (a,b) sao cho
Nếu  g(a)\neq g(b) và  g'(c)\neq 0, điều này tương đương với
Nói theo ngôn ngữ hình học, điều này có nghĩa là tồn tại một tiếp tuyến với đồ thị của đường cong
sao cho tiếp tuyến này song song với đường thẳng nối hai điểm  {\big (}f(a),g(a){\big )},{\big (}f(b),g(b){\big )}. Tuy nhiên, định lý Cauchy không khẳng định sự tồn tại của một tiếp tuyến như thế trong mọi trường hợp  {\big (}f(a),g(a){\big )} và  {\big (}f(b),g(b){\big )} là các điểm phân biệt, bởi vì điều này được thỏa mãn chỉ khi tồn tại một giá trị  c sao cho  f'(c)=g'(c)=0, nói cách khác, một giá trị mà tại đó đường cong dừng. Một ví dụ cho trường hợp này là đường cong được cho bởi
trên khoảng  [a,b] đi từ điểm (-1,0) đến điểm (1,0), không có một tiếp tuyến nằm ngang. Tuy nhiên nó có một điểm dừng tại  t=0.
Định lý giá trị trung bình Cauchy có thể được dùng để chứng minh quy tắc l'Hôpital. Định lý giá trị trung bình là một trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình Cauchy khi  g là hàm số đồng nhất:  g(t)=t.
Định lý giá trị trung bình Cauchy > Chứng minh của định lý trung bình Cauchy

Chứng minh của định lý trung bình Cauchy được dựa trên ý tưởng tương tự với chứng minh của định lý giá trị trung bình.
Đặt  h(x)=f(x)-rg(x), với  r là một hằng số ta sẽ xác định sau. Vì  f,g là các hàm số liên tục trên  [a,b] và khả vi trên  (a,b), điều tương tự cũng đúng với  h. Ta sẽ chọn  r sao cho  h(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle, tức là
Theo định lý Rolle, tồn tại một điểm  c\in (a,b) sao cho  h'(c)=0, và từ đẳng thức  h(x)=f(x)-rg(x), ta suy ra
Đây chính là điều cần chứng minh.
Tổng quát hóa cho định thức

Giả sử rằng  f,g và  h là các hàm liên tục trên  [a,b] và khả vi trên  (a,b). Đặt
Khi đó tồn tại  c\in (a,b) sao cho  D'(c)=0.
Để ý rằng
và nếu ta lấy  h(x)\equiv 1, ta thu được định lý giá trị trung bình Cauchy. Nếu ta thay  h(x)\equiv 1 và  g(x)\equiv x, ta thu được định lý giá trị trung bình.
Chứng minh của tổng quát hóa này khá đơn giản: Ta có  D(a) và  D(b) là các định  thức có hai hàng bằng nhau, do đó  D(a)=D(b)=0. Từ định lý Rolle, ta suy ra tồn tại  c\in (a,b) sao cho  D'(c)=0.
Định lý giá trị trung bình với hàm nhiều biến

Định lý giá trị trung bình với hàm một biến được tổng quát lên với hàm nhiều biến bằng cách sử dụng tham số. Đặt  G là một tập con mở của  \mathbb {R} ^{n}, và đặt  f:G\to \mathbb {R}  là một hàm khả vi. Cố định các điểm  x,y\in G sao cho khoảng mở  (x,y) nằm trong  G và đặt  g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}. Vì  g là hàm một biến khả vi, áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có
với  c\in (0,1). Lại có  g(1)=f(y) và  g(0)=f(x), tính trực tiếp  g'(c), ta có
trong đó  \nabla  là vector gradient và  \cdot  ký hiệu tích vô hướng. Chú ý rằng đây chính là phiên bản tương tự của định lý với hàm một biến. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, đẳng thức trên cho ta
Đặc biệt, khi các đạo hàm riêng của  f bị chặn,  f liên tục Lipschitz (và do đó hội tụ đều). Chú ý rằng  f không được giả sử rằng khả vi liên tục cũng như liên tục trên bao đóng của  G. Tuy nhiên, ta đã sử dụng quy tắc xích, do đó sự tồn tại của  \nabla f là không cần thiết.
Ta sẽ chứng minh rằng  f là hàm hàng nếu  G liên thông và mọi đạo hàm riêng của  f đều bằng 0. Lấy  x_{0}\in G và đặt  g(x)=f(x)-f(x_{0}). Ta sẽ chỉ ra rằng  g(x)=0 với mọi  x\in G. Thật vậy, đặt  E=\{x\in G\mid g(x)=0\}. Khi đó  E đóng và khác rỗng. Đồng thời  E cũng là tập mở: với mọi  x\in E, ta có
với mọi  y trong một lân cận nào đó của  x. Vì  G liên thông, ta suy ra  E=G.
Chú ý rằng tất cả các lập luận bên trên không phụ thuộc vào tọa độ, do đó, trên thực tế chúng ta đã tổng quát cho trường hợp  G là tập con của một không gian Banach.
Định lý giá trị trung bình dạng tích phân > Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất

Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất khẳng định rằng:
Đặc biệt, nếu  \varphi (t)=1 với mọi  t\in (a,b), khi đó tồn tại  x\in (a,b) sao cho
Đẳng thức này thường được viết dưới dạng
Giá trị  G(x) được gọi là giá trị trung bình của  G(t) trên đoạn  [a,b].
Định lý giá trị trung bình dạng tích phân > Chứng minh của định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất

Không mất tính tổng quát, giả sử  \varphi (t)\geq 0 với mọi  t. Từ định lý cực trị, hàm liên tục  G có các giá trị cực tiểu  m và giá trị cực đại  M hữu hạn trên đoạn  [a,b]. Từ tính đơn điệu của tích phân và bất đẳng thức  m\leq G(t)\leq M,\,\forall t\in [a,b], cùng với giả thiết  \varphi (t) không âm, ta có
với  I:=\int _{a}^{b}\varphi (t)\,dt
ký hiệu tích phân của  \varphi (t) trên  [a,b]. Do đó, nếu  I=0, ta có đẳng thức xảy ra với mọi  x\in (a,b). Vì vậy, ta có thể giả sử  I>0. Chia cả hai vế cho  I và ta nhận được
Từ định lý giá trị trung gian, ta suy ra hàm liên tục  G(t) đạt được mọi giá trị trong đoạn  [m,M], đặc biệt, tồn tại  x\in [a,b] sao cho
Từ đây ta có điều cần chứng minh.