Biến đổi tuyến tính
Các ví dụ

Ví dụ đơn giản nhất bắt nguồn cho các ánh xạ tuyến tính cái tên của chúng là hàm số  f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto cx, với đồ thị là một đường thẳng qua gốc tọa độ.
Tổng quát hơn, bất kỳ một phép vị tự nào lấy tâm là gốc tọa độ của một không gian vectơ, 




v

↦
c

v



{\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }

 trong đó  c là vô hướng thì là một toán tử tuyến tính. Tuy nhiên, điều này nói chung không đúng đối với mô đun, khi một ánh xạ như vậy có thể chỉ là nửa tuyến tính.
Ánh xạ không 



x
↦
0


{\textstyle x\mapsto 0}

 giữa hai mô đun trái (hoặc hai mô đun phải) trên cùng một vành luôn là tuyến tính.
Ánh xạ đồng nhất trên một mô đun bất kỳ là một toán tử tuyến tính.
Đối với số thực, ánh xạ 



x
↦

x

2




{\textstyle x\mapsto x^{2}}

 không phải ánh xạ tuyến tính.
Đối với số thực, ánh xạ 



x
↦
x
+
1


{\textstyle x\mapsto x+1}

 không là ánh xạ tuyến tính (nhưng là một biến đổi afin; còn 



y
=
x
+
1


{\textstyle y=x+1}

 là một phương trình tuyến tính, bởi thuật ngữ này được dùng trong hình học giải tích.)
Nếu  A là một ma trận  m\times n, thì  A định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ  \mathbb {R} ^{n} vào  \mathbb {R} ^{m} bằng việc chuyển một vectơ cột  x\in \mathbb {R} ^{n} tới một vectơ cột  Ax\in \mathbb {R} ^{m}. Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vectơ hữu hạn chiều xuất hiện theo cách này; xem thêm mục sau.
Nếu 



f
:
V
→
W


{\textstyle f:V\rightarrow W}

 là một phép đẳng cự giữa hai không gian định chuẩn thực sao cho 



f
(
0
)
=
0


{\textstyle f(0)=0}

 thì  f là một ánh xạ tuyến tính. Kết quả này có thể không đúng cho không gian định chuẩn phức.
Phép vi phân định nghĩa một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả vi vào không gian tất cả các hàm số. Nó cũng xác định một toán tử tuyến tính trên không gian các hàm trơn (toán tử tuyến tính này là một tự đồng cấu tuyến tính, tức là một ánh xạ tuyến tính mà miền xác định và miền giá trị là bằng nhau). Ví dụ: {\frac {d}{dx}}\left({{c}_{1}}{{f}_{1}}\left(x\right)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}\left(x\right)+\cdots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}\left(x\right)\right)={{c}_{1}}{\frac {d{{f}_{1}}\left(x\right)}{dx}}+{{c}_{2}}{\frac {d{{f}_{2}}\left(x\right)}{dx}}+\cdots +{{c}_{n}}{\frac {d{{f}_{n}}\left(x\right)}{dx}}.
Một tích phân xác định trên một đoạn I là một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả tích thực trên I vào ℝ. Ví dụ, \int _{a}^{b}{[{{c}_{1}}{{f}_{1}}(x)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}(x)+\ldots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}(x)]dx}={{c}_{1}}\int _{a}^{b}{{{f}_{1}}(x)dx}+{{c}_{2}}\int _{a}^{b}{{{f}_{2}}(x)dx}+\ldots +{{c}_{n}}\int _{a}^{b}{{{f}_{n}}(x)dx}.
Một tích phân không xác định (hay nguyên hàm) với một điểm cố định khởi đầu tích phân định nghĩa ra một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả tích thực trên  \mathbb {R}  vào không gian các hàm giá trị thực khả vi trên  \mathbb {R} . Không có điểm khởi đầu cố định, một kết quả[cái gì?] trong lý thuyết nhóm sẽ cho thấy phép lấy nguyên hàm ánh xạ vào không gian thương của các hàm khả vi trên quan hệ tương đương "sai khác một hằng số", trong đó lớp tương đương đồng nhất gồm các hàm có giá trị hằng số 




(


∫

:
 
I
(
ℜ
)
 
→
 
D
(
ℜ
)

/

ℜ


)



{\textstyle \left(\,\int \!:\ I(\Re )\ \to \ D(\Re )/\Re \,\right)}

.[cần giải thích]
Nếu  V và  W là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường  {\textsf {F}}, thì các hàm đưa các ánh xạ tuyến tính 



f
:
V
→
W


{\textstyle f:V\rightarrow W}

 vào không gian các ma trận với kích thước 



d
i

m

F


(
W
)
×
d
i

m

F


(
V
)


{\textstyle dim_{F}(W)\times dim_{F}(V)}

 (theo cách được mô tả trong phần sau) cũng là các ánh xạ tuyến tính (và là đẳng cấu tuyến tính).
Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên (thực chất là một hàm, và là phần tử của một không gian vectơ) là tuyến tính, bởi đối với hai biến ngẫu nhiên  X và  Y ta có  E[X+Y]=E[X]+E[Y] và  E[aX]=aE[X], nhưng phương sai của một biến ngẫu nhiên không là tuyến tính.
Hàm 



f
:


R


2


→


R


2




{\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}

 với 



f
(
x
,
y
)
=
(
2
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)=(2x,y)}

 là ánh xạ tuyến tính. Hàm này nhân thành phần 



x


{\textstyle x}

 của một vectơ với hệ số  



2


{\textstyle 2}

.
Hàm 



f
(
x
,
y
)
=
(
2
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)=(2x,y)}

 là cộng tính: Không quan trọng các vectơ được cộng trước hay sau khi áp dụng ánh xạ: 



f
(
a
+
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)


{\textstyle f(a+b)=f(a)+f(b)}
Hàm 



f
(
x
,
y
)
=
(
2
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)=(2x,y)}

 có tính đồng nhất: Không quan trọng là một vectơ được nhân trước khi áp dụng ánh xạ hay ánh xạ trước rồi mới được nhân: 



f
(
λ
a
)
=
λ
f
(
a
)


{\textstyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}