stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Trường (đại số)
Trường hữu hạn

Bài chi tiết: Trường hữu hạn
Trường hữu hạn (còn gọi là trường Galois) là những trường có hữu hạn số phần tử, số này gọi là bậc của trường đó. Trong ví dụ ở trên trường F4 có bốn phần tử. Trường colà trường nhỏ nhất, do theo định nghĩa trường phải có ít nhất hai phần tử phân biệt 1 ≠ 0.
Trường hữu hạn đơn giản nhất, với bậc là số nguyên tố, có thể được xây dựng dựa trên số học mô đun. Với một số nguyên dương n cho trước, số học "mô đun n" nghĩa là làm việc với các số
Phép cộng và nhân trên tập này được thực hiện như trên tập số nguyên Z, chia cho n rồi lấy số dư là kết quả cuối cùng. Ta nhận được một trường khi và chỉ khi n là một số nguyên tố. Ví dụ, lấy số nguyên tố n = 2 cho ta trường F2 ở trên. Với n = 4, hay tổng quát hơn, với mọi hợp số (tức là số n = r ⋅ s có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai số nhỏ hơn), Z/nZ không phải là một trường: tích của hai phần tử khác 0 có thể bằng không, như r ⋅ s = 0 trong Z/nZ, do đó như đã giải thích ở trên, khiến Z/nZ không phải là một trường. Trường Z/pZ gồm p phần tử (p nguyên tố) được tạo theo cách này thường được kí hiệu là Fp.
Mọi trường hữu hạn F có q = pn phần tử, với p là số nguyên tố và n ≥ 1. Điều này có thể suy ra từ việc xem trường F là một không gian vectơ trên trường nguyên tố của nó. Số chiều của không gian vectơ này là hữu hạn, giả sử là n, từ đó suy ra biểu thức trên.
Một trường với q = pn phần tử có thể xây dựng từ trường phân rã của đa thức:
Nhóm, Vành, Dàn, Mô đun, Đại số.
Một trường phân rã như thế là một mở rộng của Fp trong đó đa thức F có q nghiệm. Điều này nghĩa là F có nhiều nghiệm nhất có thể do bậc của F là q. Với q = 22 = 4, có thể kiểm tra bằng tính toán rằng cả bốn phần tử của F4 thỏa mãn phương trình x4 = x, vậy nên chúng đều là nghiệm của F. Mặt khác, trong F2, F chỉ có hai nghiệm (0 và 1), nên F không phân tích ra thừa số bậc nhất trong trường này. Sử dụng những khái niệm khác trong lý thuyết trường, ta có thể chứng minh rằng hai trường hữu hạn có cùng bậc thì đẳng cấu. Vì thế đôi khi trường hữu hạn với q phần tử được nói chung, ký hiệu là Fq hay GF(q).
Xây dựng trường > Xây dựng trường từ vành

Một vành giao hoán là một tập hợp, cùng với phép toán cộng và nhân, thỏa mãn tất cả tiên đề của trường, ngoại trừ việc tồn tại nghịch đảo phép nhân a−1. Ví dụ, tập số nguyên Z tạo thành một vành giao hoán, nhưng không phải một trường: nghịch đảo của một số nguyên n không phải là một số nguyên, trừ khi n = ±1.
Trong hệ thống cấp bậc các cấu trúc đại số, trường có thể được coi là vành giao hoán R mà trong đó bất kỳ phần tử khác 0 nào đều là một đơn vị (nghĩa là chúng khả nghịch). Tương tự, trường là vành giao hoán với đúng hai ideal (ideal), (0) và R. Trường cũng là vành giao hoán mà trong đó (0) là ideal nguyên tố duy nhất.
Với một vành giao hoán R, có hai cách để xây dựng một trường liên quan đến R, hay hai cách để thay đổi R sao cho mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch: xây dựng trường các thương và xây dựng trường thặng dư. Trường các thương của Z là các số hữu tỉ Q, còn trường thặng dư của Z là các trường hữu hạn Fp.
Xây dựng trường > Xây dựng trường từ vành > Trường các thương

Cho trước miền nguyên R, trường các thương Q(R) của nó được tạo từ thương số giữa hai phần tử của R giống như Q được tạo từ các số nguyên. Chính xác hơn, phần tử của Q(R) là phân số a/b với a và b  thuộc R, trong đó b ≠ 0. Hai phân số a/b và  c/d bằng nhau khi và chỉ khi ad = bc. Các phép toán trên phân số hoạt động giống hệt như số hữu tỉ. Ví dụ,
Không khó để chỉ ra rằng, nếu vành này là miền nguyên thì tập các thương tạo thành một trường.
Trường F(x) các hàm phân thức trên một trường (hay miền nguyên) F là trường các phân thức của vành đa thức F[x]. Truòng F((x)) của chuỗi Laurent
trên một trường F là trường các phân thức của vành F[[x]] của chuỗi lũy thừa hình thức (trong đó k ≥ 0). Do bất kỳ chuỗi Laurent nào là một phân số của một chuỗi lũy thừa chia cho lũy thừa của x (không như chuỗi lũy thừa bất kỳ), việc biểu diễn thành phân thức không quá quan trọng trong trường hợp này.
Xây dựng trường > Xây dựng trường từ vành > Trường thặng dư

Bài chi tiết: Trường thặng dư
Ngoài trường các thương, nhúng R bằng một đơn ánh vào một trường field, một trường có thể nhận được từ vành giao hoán R bằng một toàn ánh lên trường F. Bất kỳ trường nào nhận được bằng cách này là một vành R / m, trong đó m là ideal cực đại của R. Nếu R chỉ có một ideal cực đại m, trường này được gọi là trường thặng dư của R.
Ideal sinh ra bởi một đa thức F trong vành đa thức R = E[X] (trên trường E) là cực đại khi và chỉ khi F bất khả quy trong E, tức F không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức trong E[X] có bậc nhỏ hơn. Điều này cho ta trường
Trường F này chứa phần tử x (lớp thặng dư của x) thỏa mãn phương trình
Ví dụ, C nhận được từ R bằng cách thêm đơn vị ảo i, thỏa mãn f(i) = 0 với f(X) = X2 + 1. Thêm nữa, F bất khả quy trên R, nghĩa là ánh xạ biến một đa thức f(X) ∈ R[X] thành f(i) cho ta phép đẳng cấu
Xây dựng trường > Xây dựng trường từ một trường lớn hơn

Trường có thể được dựng trong một trường cho trước lớn hơn. Giả sử trường F chứa E là trường con. Với mọi phần tử x của F, tồn tại một trường con nhỏ nhất của F chứa E và x, gọi là trường con của F tạo bởi x và ký hiệu là E(x). Việc chuyển từ E sang E(x) được gọi là thêm một phần tử cho E. Tổng quát, với một tập con S ⊂ F, tồn tại một trường con nhỏ nhất của F chứa E và S, ký hiệu là E(S).
Compositum của hai trường con E và E'  của một trường F là trường con nhỏ nhất chứa cả E và E' . Compositum có thể dùng để dựng trường con lớn nhất của F thỏa mãn một số tính chất nào đó, ví dụ như trường con lớn nhất của F đại số trên E.
Xây dựng trường > Mở rộng trường

Bài chi tiết: Mở rộng trường
Khái niệm trường con E ⊂ F cũng có thể được xem xét từ góc nhìn đối nghịch, bằng cách gọi F là một mở rộng trường (hay chỉ mở rộng) của E, ký hiệu bằng
đọc là "F trên E".
Một thông tin cơ bản của một mở rộng trường là bậc của nó [F : E], tức là chiều của không gian vectơ F trên E. Nó thỏa mãn hệ thức
Mở rộng có bậc hữu hạn được gọi là mở rộng hữu hạn. Các mở rộng C / R và F4 / F2 có bậc là 2, còn R / Q là một mở rộng vô hạn.
Xây dựng trường > Mở rộng trường > Mở rộng đại số

Một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu mở rộng trường F / E là phần tử đại số. Một phần tử x ∈ F gọi là đại số trên E nếu nó là nghiệm của một đa thức với hệ số thuộc E, tức là nó thỏa mãn phương trình đa thức
với en, ..., e0 in E, và en ≠ 0. Ví dụ, đơn vị ảo i trong C là đại số trên R, thậm chí là trên Q, do nó thỏa mãn phương trình
Một mở rộng trường F / E mà trong đó mọi phần tử của F đại số trên E được gọi là mở rộng đại số. Bất kỳ mở rộng hữu hạn nào cũng là mở rộng đại số, có thể suy ra từ hệ thức bậc của mở rộng trường ở trên.
Trường con E(x) sinh ra bởi phần tử x như trên, là một mở rộng đại số của E khi và chỉ khi x là một phần tử đại số. Có nghĩa là, nếu x đại số, tất cả phần tử khác của E(x) cũng là đại số. Hơn nữa, bậc của mở rộng E(x) / E, bằng với số n nhỏ nhất sao cho tồn tại một phương trình đa thức bậc n nhận xlàm nghiệm. Khi ấy các phần tử của E(x) có dạng
Ví dụ, trường Q(i) của số hữu tỉ Gauss là trường con của C bao gồm tất cả các số có dạng a + bi trong đó both a and b are số hữu tỉ: những số hạng có dạng i2 (và tương tự với số mũ cao hơn) không cần phải xem xét, do a + bi + ci2 rút gọn thành a − c + bi.
Xây dựng trường > Mở rộng trường > Cơ sở siêu việt

Trường phân thức E(X) nói trên không là mở rộng đại số của E do không tồn tại phương trình đa thức nào có hệ số thuộc E mà có nghiệm là X. Những phần tử không đại số, như X, được gọi là siêu việt. Nói đơn giản, ẩn X và lũy thừa của nó không tác động đến các phần tử của E. Ta có thể xây dựng tương tự với nhiều ẩn, không chỉ một.
Một lần nữa, mở rộng trường E(x) / E xét trên là một ví dụ chính: nếu x không đại số (tức x không là nghiệm của một đa thức có hệ số thuộc E), thì E(x) đẳng cấu với E(X). Đẳng cấu này được suy ra từ việc thay x vào X trong các phân thức.
Một tập con S của trường F là một cơ sở siêu việt nếu như nó độc lập đại số (không thỏa bất kỳ phương trình đa thức nào) trên E và F là mở rộng đại số của E(S). Bất kỳ mở rộng trường F / E nào cũng có một cơ sở siêu việt. Do đó, mở rộng trường có thể phân thành hai dạng: E(S) / E (mở rộng siêu việt) và mở rộng đại số.
Xây dựng trường > Phép toán đóng

Một trường gọi là đóng đại số nếu như nó không có mở rộng đại số nào lớn hơn thực sự, hoặc tương đương, nếu bất kì phương trình đa thức
có nghiệm x ∈ F. Theo định lý cơ bản của đại số, C là một trường đóng đại số, tức là bất kỳ phương trình đa thức với hệ số phức nào cũng có nghiệm phức. Số hữu tỉ và số thực không đóng đại số do phương trình
không có nghiệm hữu tỉ hay nghiệm thực. Một trường chứa F gọi là một bao đóng đại số của F nếu nó đại số trên F (đại khái, không quá lớn so với F) và đóng đại số (đủ lớn để chứa nghiệm của tất cả phương trình đa thức).
Theo như trên, C là một bao đóng đại số của R. Trường hợp bao đóng đại số là một mở rộng hữu hạn của trường F khá đặc biệt: theo định lý Artin-Schreier, bậc của mở rộng đó phải bằng 2, và F tương đương cơ bản (elementary equivalence) với R. Những trường như thế còn gọi là trường thực đóng.
Bất kỳ trường F nào cũng có một bao đóng đại số, và nó là duy nhất theo phép đẳng cấu. Từ đó, bao đóng này thường được nhắc chung và ký hiệu là F. Ví dụ, bao đóng đại số Q của số hữu tỉ Q gọi là trường số đại số. Sự tồn tại và duy nhất của bao đóng đại số có thể được chứng minh sử dụng  định lý ideal nguyên tố Boole, một tiên đề trong lý thuyết tập hợp yếu hơn tiên đề chọn. Về mặt này, bao đóng đại số của Fq là hợp của tất cả trường hữu hạn chứa Fq (những trường có bậc qn). Với trường đóng đại số F đặc số 0, bao đóng đại số của trường F((t)) của chuỗi Laurent là trường các chuỗi Puiseux, tạo bởi thêm các ghiệm của t.
Trường với tính chất khác

Do sự phổ biến trong toán học, vài điều chỉnh trong khái niệm trường được đưa ra để phù hợp với nhu cầu của những ngành khác nhau.
Trường với tính chất khác > Trường sắp thứ tự

Một trường F được gọi là trường sắp thứ tự nếu bất kỳ hai phần tử nào cũng có thể được so sánh, sao cho x + y ≥ 0 và xy ≥ 0 nếu x ≥ 0 và y ≥ 0. Lấy ví dụ, các số thực tạo thành một trường sắp thứ tự, với quan hệ thứ tự ≥. Định lý Artin-Schreier phát biểu rằng một trường có thể sắp thứ tự nếu và chỉ nếu nó là một trường thực hình thức, nghĩa là phương trình bậc hai
chỉ có nghiệm x1 = x2 = ... = xn = 0. Tập tất cả những quan hệ thứ tự khả dĩ trên một trường F đẳng cấu với tập các đồng cấu vành từ vành Witt W(F) của các dạng toàn phương trên F, đến Z.
Một trường Archimedes là một trường sắp thứ tự sao cho với mỗi phần tử tồn tại một biểu thức hữu hạn
có giá trị lớn hơn phần tử đó, nói cách khác, không có phần tử lớn vô hạn. Tương tự, trường đó không chứa vô cùng bé (phần tử bé hơn tất cả số hữu tỉ); hay, trường đó đẳng cấu với một trường con của R.
Một trường sắp thứ tự gọi là đầy đủ Dedekind nếu mọi tập con bị chặn của F phải có cận trên đúng. Bất kỳ trường đầy đủa nào cũng là trường Archimedes.
Do bất kỳ trường con thực sự nào của tập số thực cũng chứa "khoảng trống", R là trường sắp thứ tự đầy đủ duy nhất, xét theo đẳng cấu. Một số kết quả quan trọng trong giải tích suy ra từ tính chất này của tập số thực.
Các số siêu thực R* tạo thành một trường sắp thứ tự nhưng không là Archimedes. Nó là mở rộng của trường số thực bằng cách thêm những số vô cùng lớn (lớn hơn mọi số thực) và vô cùng bé (bé hơn mọi số thực).
Trường với tính chất khác > Trường tôpô

Một điều chỉnh khác trong khái niệm trường là một trường tôpô, trong đó tập F là một không gian tôpô, sao cho tất cả phép toán của trường (cộng, nhân, các ánh xạ a ↦ −a và a ↦ a−1) là ánh xạ liên tục đối với tôpô của không gian.
Tôpô của tất cả những trường xét đến bên dưới được cảm sinh từ một mêtric, tức là hàm số
đo khoảng cách giữa hai phần tử của F.
Hoàn chỉnh của F là một trường khác mà trong đó, nói đại khái, những "khoảng trống" trong F được lấp đầy. Ví dụ, bất kỳ số vô tỉ x nào, như √2, là một "khoảng trống" trong các số hữu tỉ Q mà có thể được xấp xỉ gần tùy ý với số hữu tỉ p/q, tức là khoảng cách giữa x và p/q là giá trị tuyệt đối |x − p/q| có thể nhỏ tùy ý.
Bảng sau liệt kê một số ví dụ của việc xây dựng này. Cột thứ tư cho một ví dụ của dãy không, một dãy số có giới hạn (khi n → ∞) bằng 0.
| Trường | Mêtric | Hoàn thành | Dãy không |
| --- | --- | --- | --- |
| Q | |x − y| (hàm giá trị tuyệt đối thông thường) | R | 1/n |
| Q | nhận được sử dụng định giá p-adic, với một số nguyên tố p | Qp các số p-adic | pn |
| F(t) (F là trường bất kỳ) | nhận dược sử dụng định giá t-adic | F((t)) | tn |
Trường Qp được dùng trong lý thuyết số và lý thuyết p-adic. Bao đóng đại số Qp tuy không đầy đủ, nhưng hoàn thành của nó là đóng đại số. Do có phần giống với các số phức, nó được gọi là trường số p-adic phức và ký hiệu là Cp.
Trường với tính chất khác > Trường tôpô > Trường địa phương

Những trường tôpô sau được gọi là trường địa phương:
Mở rộng hữu hạn của Qp (trường địa phương có đặc số không)
Mỡ rộng hữu hạn của Fp((t)), trường các chuỗi Laurent trên Fp (trường địa phương đặc số p).
Hai dạng trường địa phương này có chung một số tính chất cơ bản. Trong đó, phần tử p ∈ Qp và t ∈ Fp((t)) (gọi là uniformizer) tương ứng với nhau. Bằng chứng đầu tiên của sự tương quan ở mức độ phần tử: phần tử của cả hai trường có thể được biểu diễn thành chuỗi lũy thừa của uniformizer, với hệ số trong Fp. (Tuy nhiên, do phép cộng trong Qp sử dụng nhớ còn Fp((t)) thì không, hai trường này không đẳng cấu). Sự tương quan này còn đi sâu hơn nữa. Ví dụ, bất kỳ mệnh đề bậc nhất đúng với hầu hết Qp cũng đúng với hầu hết Fp((t)). Một ứng dụng là Định lý Ax–Kochen mô tả các nghiệm của đa thức thuần nhất trong Qp.
Trường với tính chất khác > Trường vi phân

Trường vi phân là những trường mà trên đó có phép lấy đạo hàm những phần tử trong trường. Ví dụ, trường R(X), cùng với đạo hàm bình thường của đa thức tạo thành một trường vi phân. Những trường này là đối tượng chính của lý thuyết Galois vi phân, một nhánh của lý thuyết Galois nghiên cứu các phương trình vi phân tuyến tính.
Lý thuyết Galois

Bài chi tiết: Lý thuyết Galois
Lý thuyết Galois nghiên cứu mở rộng đại số của trường bằng cách xem xét sự đối xứng trong những phép toán cộng và nhân. Một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực này là mở rộng Galois hữu hạn F / E, mà theo định nghĩa là tách được và chuẩn tắc. Định lý phần tử nguyên thủy chỉ ra rằng mở rộng hữu hạn tách được là đơn giản, tức là nó có dạng
trong đó f là một đa thức bất khả quy. Với mở rộng như vậy, việc chuẩn tắc và tách được nghĩa là tất cả nghiệm của f nằm trong F và f chỉ có nghiệm đơn giản. Điều kiện sau luôn được thỏa mãn nếu trường E có đặc số 0.
Với một mở rộng Galois hữu hạn, nhóm Galois Gal(F/E) là nhóm của những phép tự đẳng cấu trường của F mà tầm thường trên E (tức là những song ánh σ : F → F giữ nguyên phép cộng và phép nhân và biến những phần tử của E thành chính nó). Tầm quan trọng của nhóm này bắt nguồn từ định lý cơ bản của lý thuyết Galois, đã xây dựng một tương ứng một-một giữa tập các nhóm con của Gal(F/E) và tập những mở rộng trung gian của mở rộng F/E. Bằng tương ứng này, những tính chất của nhóm biến thành những tính chất của trường. Ví dụ, nếu nhóm Galois của một mở rộng Galois trên không giải được (không thể xây dựng từ nhóm giao hoán), thì các nghiệm của f không thể biểu diễn dưới dạng tổng, tích hay khai căn. Ví dụ, nhóm đối xứng Sn không giải được với n ≥ 5. Hệ quả là nghiệm của những phương trình sau không biểu diễn được thành tổng, tích hay căn. Với đa thức thứ hai, kết quả này được biết là định lý Abel–Ruffini:
Tích tensor của trường thường không phải là một trường. Ví dụ, mở rộng hữu hạn F / E với bậc n là một mở rộng Galois khi và chỉ khi tồn tại một đẳng cấu của các đại số F:
Kết quả này đã bắt đầu cho lý thuyết Galois của Grothendieck, một mở rộng của lý thuyết Galois có tầm ảnh lớn.
Bất biến của trường

Những bất biến cơ bản của trường F bao gồm đặc số và bậc siêu việt (số phần tử tối đa của F độc lập đại số trên trường nguyên tố) của F trên trường nguyên tố. Hai trường đóng đại số E và F đẳng cấu khi và chỉ khi hai dữ kiện trên bằng nhau. Điều này nghĩa là hai trường đóng đại số không đếm được có cùng lực lượng và cùng đặc số thì đẳng cấu. Lấy ví dụ, Qp, Cp và C là đẳng cấu (nhưng không đẳng cấu như trường tôpô).
Bất biến của trường > Lý thuyết mô hình của trường

Trong lý thuyết mô hình, một nhánh của logic toán, hai trường E và F được gọi là tương đương phần tử nếu mọi phát biểu toán học đúng với E cũng đúng với F và ngược lại. Những mệnh đề đó phải là những phát biểu bậc nhất (bao gồm 0, 1, phép nhân và phép cộng). Một ví dụ điển hình là
Nguyên lý Lefschetz phát biểu rằng C tương đương phần tử với bất kỳ trường đóng đại số đặc số không. Hơn nữa, bất kỳ phát biểu φ đúng trong C khi và chỉ khi nó đúng trong mọi trường đóng đại số có đặc số đủ cao.
Bất biến của trường > Nhóm Galois tuyệt đối

Bài chi tiết: Nhóm Galois tuyệt đối
Với trường không đóng đại số, nhóm Galois tuyệt đối Gal(F) rất quan trọng: tổng quát trường hợp mở rộng Galois hữu hạn ở trên, nhóm này kiểm soát tất cả mở rộng hữu hạn tách được của F. Bằng phương pháp sơ cấp, nhóm Gal(Fq) có thể được chứng minh là nhóm Prüfer, hoàn thành cận hữu hạn của Z. Phát biểu này bao hàm việc những mở rộng đại số duy nhất của Gal(Fq) là các trường Gal(Fqn) với n > 0, và nhóm Galois của những mở rộng hữu hạn này được cho bởi
Biểu diễn của nhóm Galois và những nhóm liên quan như nhóm Weil có tầm quan trọng trong số học, ví dụ như chương trình Langlands. Nghiên cứu đối đồng điều của những biểu diễn đó sử dụng đối đồng điều Galois. Lấy ví dụ, nhóm Brauer, thường được định nghĩa là nhóm của F-đại số trung tâm đơn giản, có thể được xem là một nhóm đối đồng điều Galois:
Bất biến của trường > K-lý thuyết

K-lý thuyết Milnor được định nghĩa là
Định lý đẳng cấu thặng dư norm, chứng minh vào khoảng trước năm 2000 bởi Vladimir Voevodsky, liên hệ với đối đồng điều Galois bằng đẳng cấu
K-Lý thuyết đại số liên quan đến nhóm các ma trận khả nghịch với hệ số thuộc một trường nhất định. Ví dụ, quá trình lấy định thức của một ma trận khả nghịch cho ta đẳng cấu K1(F) = F×. Định lý Matsumoto chứng minh rằng K2(F) bằng với K2M(F). Ở những bậc cao hơn, K-lý thuyết khác với K-lý thuyết Milnor và nhìn chung khó để tính.
Ứng dụng > Đại số tuyến tính và đại số giao hoán

Nếu a ≠ 0, thì phương trình
có nghiệm duy nhất x thuộc F, đó là x = b/a. Hệ quả của định nghĩa của trường là một thành phần quan trọng để cho thấy bất kỳ không gian vectơ nào cũng có một cơ sở. Nói đơn giản, điều này cho phép ta chọn một hệ tọa độ trong một không gian vectơ bất kỳ, điều vô cùng quan trọng trong đại số tuyến tính về cả lý thuyết lẫn ứng dụng.
Môđun (khái niệm tương tự với không gian vectơ) trên hầu hết vành, bao gồm vành số nguyên Z, có cấu trúc phức tạp hơn. Một trường hợp đặc biệt nảy sinh khi một vành R là một không gian vectơ trên trường F. Những trường như thế được gọi là F-đại số và được nghiên cứu kỹ càng trong đại số giao hoán. Ví dụ, bổ đề chuẩn hóa Noether khẳng định rằng bất kỳ F-đại số hữu hạn sinh có liên hệ mật thiết (chính xác hơn, là một môđun sinh hữu hạn trên) một vành đa thức F[x1, ..., xn].
Ứng dụng > Trường hữu hạn: mật mã và lý thuyết mã hóa

Một thuật toán mã hóa được áp dụng rộng rãi dựa trên một sự thật cơ bản, đó là tính lũy thừa rời rạc
trong một trường hữu hạn Fq (lớn) có thể được thực hiện nhanh hơn rất nhiều so với lôgarit rời rạc, tương đương với phép toán ngược lại, tức là xác định nghiệm n của phương trình
Trong mật mã đường cong elliptic, phép nhân trong một trường hữu hạn được thay thế bằng phép cộng các điểm trên một đường cong elliptic, một đường cong định nghĩa bởi phương trình
Trường hữu hạn cũng được sử dụng trong lý thuyết mã hóa và tổ hợp.
Ứng dụng > Hình học: trường các hàm số

Hàm số trên một không gian tôpô thích hợp X vào một trường k có thể được cộng và nhân tại từng điểm, ví dụ, tích của hai hàm số được định nghĩa là tích từng giá trị của chúng trong tập xác định:
Điều này khiến những hàm này là một k-đại số giao hoán.
Để có một trường các hàm số, cần phải xét những đại số của hàm là miền nguyên. Trong trường hợp này tỉ số của hai hàm số, có dạng
tạo thành một trường, gọi là trường các hàm số.
Nếu X là một đa tạp phức, ta xét đại số của những hàm chỉnh hình, những hàm khả vi phức. Tỉ số của chúng tạo thành trường các hàm phân hình trên X.
Trường hàm của một đa tạp đại số X (một vật thể hình học gồm những nghiệm chung của các phương trình đa thức) gồm tỉ số của những hàm chính quy, tức tỉ số các hàm đa thức trên đa tạp. Trường hàm của không gian n chiều trên một trường k là k(x1, ..., xn). Trường hàm của X bằng với trường hàm của một đa tạp con trù mật mở. Nói cách khác, trường hàm không thay đổi thi thay X với một đa tạp con nhỏ hơn.
Ứng dụng > Lý thuyết số: trường toàn cục

Trường toàn cục là trung tâm của lý thuyết số đại số và hình học số học.
Theo định nghĩa, trường toàn cục là những trường số (mở rộng hữu hạn của Q) hoặc trường hàm trên Fq (mở rộng hữu hạn của Fq(t)). Hai loại trường này có chung một số tính chất, mặc dù chúng có đặc số lần lượt là 0 và dương. Sự tương quan giữa hai trường này giúp hình thành các phỏng đoán toán học, thường là hiểu bản chất của trường các hàm trước rồi xét đến trường số. Ví dụ, giả thuyết Riemann liên quan đến các nghiệm của hàm zeta Riemann (chưa được chứng minh đến năm 2019) có thể được xem là tương quan với giả thuyết Weil (được chứng minh năm 1974 bởi Pierre Deligne).
Trường chia đường tròn là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhiều nhất trong lý thuyết số. Chúng có dạng Q(ζn), trong đó ζn là một nghiệm đơn vị nguyên thủy bậc n, một số phức thỏa ζn = 1 và ζm ≠ 1 với mọi m < n. Trong trường hợp n là một số nguyên tố chính quy, Kummer sử dụng trường chia đường tròn để chứng minh định lý lớn Fermat, khẳng định không tồn tại nghiệm nguyên khác không của phương trình
Trường địa phương là hoàn thành của trường toàn cục. Định lý Ostrowski khẳng định rằng những hoàn thành duy nhất của trường toàn cục Q là các trường địa phương Qp và R. Những câu hỏi số học trong trường toàn cục đôi khi được giải quyết bằng cách nhìn từ góc độ địa phương. Kỹ thuật này được gọi là nguyên lý địa phương-toàn cục. Ví dụ, định lý Hasse–Minkowski thu gọn bài toán tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc hai xuống còn giải những phương trình đó trong R và Qp, với nghiệm có thể được dễ dàng nghiên cứu.
Không như trường địa phương, nhóm Galois của trường toàn cục chưa được biết đến. Bài toán Galois nghịch đặt câu hỏi liệu mọi nhóm hữu hạn có phải là nhóm Galois Gal(F/Q) của một trường số F nào đó. Lý thuyết trường các lớp mô tả các mở rộng abel, những mở rộng với nhóm giao hoán Galois. Định lý Kronecker–Weber, mô tả những mở rộng abel Qab cực đại của Q: trường
nhận được bằng cách thêm tất cả nghiệm đơn vị nguyên thủy cấp n. Bài toán thứ mười hai của Hilbert yêu cầu một mô tả cụ thể của Fab của một trường số F nói chung. Với các trường bậc hai ảo, F = Q(√−d), d > 0, có thể mô tả Fab sử dụng đường cong elliptic. Trong trường hợp trường số tổng quát, bài toán vẫn chưa được giải quyết.
Khái niệm liên quan

Ngoài những cấu trúc phụ thêm vào trường, có một số khái niệm khác liên quan đến trường. Do trong một trường 0 ≠ 1, bất kỳ trường nào cũng có ít nhất hai phần tử. Tuy nhiên, có khái niệm trường có một phần tử, được đề nghị là giới hạn của những trường hữu hạn Fp, khi p tiến đến 1. Ngoài vành chia, còn một số cấu trúc đại số yếu hơn liên quan tới trường như tựa trường, gần-trường và nửa trường.