Phiếm hàm (toán học)
Chi tiết

Tính đối ngẫu
Ánh xạ
f:\ x_{0}\longmapsto f(x_{0})
là một hàm, trong đó  x_{0} là đối số của  f. Đồng thời, ánh xạ biến một hàm thành giá trị của hàm đó tại một điểm
F:\ f\longmapsto F(f)=f(x_{0})
được gọi là một phiếm hàm, còn  x_{0} được gọi là môt tham số.
Với điều kiện  f là một hàm tuyến tính từ một không gian vectơ đến trường vô hướng bên dưới, các ánh xạ tuyến tính trên là đối ngẫu với nhau, và trong giải tích hàm cả hai đều được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Tích phân xác định
Những tích phân như
I:\ f\longmapsto I[f]=\displaystyle \int \limits _{\Omega }H{\big (}f(x),f'(x),\dots {\big )}\mu (dx)
tạo thành một lớp phiếm hàm đặc biệt. Chúng ánh xạ một hàm  f thành một số thực, với điều kiện  H là giá trị thực. Các ví dụ gồm có
Diện tích (area) của hình phẳng bên dưới đồ thị của một hàm số dương  f trên miền  [x_{0},x_{1}]
A:\ f\longmapsto A[f]=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\ dx
Chuẩn  L^{p} của một hàm  f trên một tập  D
\|\ \ \|_{_{L_{p}}}:\ f\longmapsto {\big \|}f{\big \|}_{_{L_{p}}}=\left(\int \limits _{D}{\big |}f(x){\big |}^{p}\ dx\right)^{\frac {1}{p}}
chiều dài cung (arclength) của đồ thị của một hàm số một biến  f trên miền  [x_{0},x_{1}] trong mặt phẳng Oxy (một dạng của đường cong 2 chiều trong không gian Euclide)
L:\ f\longmapsto L[f]=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\ dx
Không gian tích trong (không gian Hausdorff tiền Hilbert)
Cho một không gian tích trong (Inner product space)  X với tích trong  \langle \ ,\ \rangle , và một véc tơ cố định  {\overset {\rightarrow }{x_{0}}}\in X. Ánh xạ xác định bởi
{\overset {\rightarrow }{y}}\longmapsto {\big \langle }{\overset {\rightarrow }{x_{0}}},{\overset {\rightarrow }{y}}{\big \rangle }
là một phiếm hàm tuyến tính trên  X. Tập hợp
{\big \{}{\overset {\rightarrow }{y}}\in X\ |\ {\big \langle }{\overset {\to }{x_{0}}},{\overset {\to }{y}}{\big \rangle }=0{\big \}}
là một không gian véctơ con của  {\displaystyle {\Big (}X,\langle \ ,\ \rangle {\Big )}}, gọi là không gian rỗng - null space, hay còn được biết là nhân - kernel của phiếm hàm, hoặc phần bù trực giao của  {\overset {\rightarrow }{x_{0}}}, kí hiệu là  {\big \{}{\overset {\rightarrow }{x_{0}}}{\big \}}^{\perp }
Lấy ví dụ, trên tập  L^{2}{\big (}[-\pi ,\pi ]{\big )} gồm những hàm khả tích bậc 2 trên  [-1,1], và một hàm có định  g_{0}\in {\displaystyle L^{2}{\big (}[-1,1]{\big )}}, ta xác định được một phiếm hàm tuyến tính
\langle \ ,\ \rangle :\ f\longmapsto {\big \langle }g_{0},f{\big \rangle }=\int \limits _{-1}^{1}g_{0}(x)f(x)\ dx
Tính địa phương
Nếu giá trị của một phiếm hàm có thể được tính toán cho các đoạn nhỏ của đường cong đầu vào và sau đó lấy tổng lại để tìm tổng giá trị, thì hàm được gọi là có tính địa phương. Nếu không nó được gọi là không địa phương. Ví dụ :
F:\ f\longmapsto F[y]=\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\ dx
là địa phương trong khi
F:\ f\longmapsto F[y]=\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\ dx}{\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}{\big [}1+y(x)^{2}{\big ]}dx}}
là phi địa phương. Điều này thường xảy ra khi các tích phân nằm riêng biệt ở tử số và mẫu số của một biểu thức, chẳng hạn như trong các phép tính khối lượng tâm.
Giải phương trình
Bài viết chính : Phương trình hàm
Cách sử dụng truyền thống cũng được áp dụng khi người ta nói về một phương trình hàm, nghĩa là một phương trình giữa các phiếm hàm: một phương trình  F=G giữa các phiếm hàm có thể được đọc như một 'phương trình cần giải', với các nghiệm chính là các hàm. Trong các phương trình như vậy có thể có nhiều biến số chưa biết, như khi người ta nói rằng một hàm cộng tính  f là một hàm thỏa mãn phương trình hàm :
f(x+y)=f(x)+f(y)