Nhóm (toán học)
Định nghĩa và minh họa > Ví dụ thứ hai: nhóm đối xứng

Hai hình trong mặt phẳng là tương đẳng với nhau nếu một hình có thể trở thành hình kia bằng cách sử dụng kết hợp các phép quay, đối xứng trục, và tịnh tiến. Bất kỳ hình nào cũng đều tương đẳng với chính nó. Tuy nhiên, một số hình tương đẳng với chính chúng không chỉ theo một cách, và những cách tương đẳng thêm này gọi là đối xứng. Một hình vuông có tám đối xứng của nó. Bao gồm:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|    id (giữ nguyên nó) |    r1 (quay phải 90°) |    r2 (quay phải 180°) |    r3 (quay phải 270°) |
|    fv (lật theo phương đứng) |    fh (lật theo phương ngang) |    fd (lật theo 1 đường chéo) |    fc (lật theo đường chéo còn lại) |
Các phần tử trong nhóm đối xứng của hình vuông (D4). Các đỉnh được tô màu và đánh số để phân biệt giữa chúng.
phép toán đồng nhất không làm thay đổi đối tượng, ký hiệu là id;
quay hình vuông xung quanh tâm nó về phía phải một góc 90°, 180°, và 270°, lần lượt ký hiệu là r1, r2 và r3;
đối xứng trục (phản xạ) hình vuông qua đường trung bình theo phương đứng và phương ngang (fh và fv), hoặc qua hai đường chéo (fd và fc).
Các biến đổi đối xứng này được biểu diễn bằng các hàm số. Mỗi hàm này đặt một điểm trong hình vuông tương ứng với một điểm qua phép đối xứng. Ví dụ, r1 biến một điểm thành điểm thông qua phép quay về phía phải nó 90° xung quanh tâm hình vuông, và fh biến đổi điểm thông qua phép đối xứng trục qua đường trung bình theo phương thẳng đứng. Kết hợp hai hàm đối xứng sẽ thu được một hàm đối xứng khác. Các hàm đối xứng này tạo thành một nhóm gọi là nhóm nhị diện bậc 4, ký hiệu D4. Tập cơ bản của nhóm là tập các hàm đối xứng trên và phép toán nhóm là hàm hợp. Hai đối xứng được kết hợp bằng hợp của các hàm, do vậy biến đổi đối xứng thứ nhất tương đương với áp dụng hàm thứ nhất đối với hình vuông, sau đó phép biến đối xứng với hình vuông kết quả chính bằng áp dụng hàm thứ hai vào hình vuông kết quả thu được. Kết quả của thực hiện đối với a đầu tiên sau đó đối với b được viết theo các ký hiệu từ phải sang trái như
b • a ("áp dụng đối xứng b sau khi thực hiện đối xứng a").
Quy ước phải sang trái là giống với quy ước sử dụng các hàm hợp.
Bảng nhóm bên phải liệt kê các kết quả của mọi hàm hợp khả dĩ. Ví dụ, quay về bên phải 270° (r3) sau đó lật ngược hình vuông theo phương ngang (fh) cho cùng kết quả khi thực hiện đối xứng trục dọc theo đường chéo thứ nhất (fd). Sử dụng các ký hiệu ở trên, ô kết quả được tô màu xanh trong bảng nhóm:
fh • r3 = fd.
| • | id | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| id | id | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
| r1 | r1 | r2 | r3 | id | fc | fd | fv | fh |
| r2 | r2 | r3 | id | r1 | fh | fv | fc | fd |
| r3 | r3 | id | r1 | r2 | fd | fc | fh | fv |
| fv | fv | fd | fh | fc | id | r2 | r1 | r3 |
| fh | fh | fc | fv | fd | r2 | id | r3 | r1 |
| fd | fd | fh | fc | fv | r3 | r1 | id | r2 |
| fc | fc | fv | fd | fh | r1 | r3 | r2 | id |
Các phần tử id, r1, r2, và r3 tạo thành một nhóm con, tô màu đỏ (vùng bên trái phía trên). Lớp (coset) bên trái và bên phải của nhóm con này lần lượt được tô màu lục (ở hàng cuối) và màu vàng (cột cuối).
Với tập hợp các phép đối xứng này cùng phép toán như đã miêu tả, những tiên đề nhóm có thể hiểu như sau:
Tiên đề đóng đòi hỏi rằng hàm hợp b • a của hai đối xứng bất kỳ a và b cũng phải là một phép đối xứng. Một ví dụ khác cho phép toán nhóm đó là
r3 • fh = fc,
tức là quay về phải 270° sau khi lật hình vuông theo phương ngang sẽ bằng phép biến đổi lật ngược hình vuông theo đường chéo thứ hai (fc). Quả thực mỗi phép kết hợp hai đối xứng sẽ cho kết quả một phép đối xứng tương đương, và điều này có thể kiểm tra dễ dàng thông qua bảng nhóm.
Tính kết hợp đặt ra giới hạn khi thực hiện kết hợp nhiều hơn hai phép đối xứng: Với ba phần tử a, b và c của D4, có hai cách sử dụng ba hàm đối xứng này theo thứ tự để xác định lên phép đối xứng hình vuông. Một cách đó là đầu tiên kết hợp hàm a và b để thu được hàm đối xứng kết quả, sau đó kết hợp hàm đối xứng này với phép đối xứng c. Cách thứ hai là đầu tiên kết hợp hàm b với c, sau đó kết hợp hàm kết quả với hàm đối xứng a. Điều kiện kết hợp
(a • b) • c = a • (b • c)
có nghĩa là hai cách kết hợp này luôn cho cùng một kết quả, tức là tích của nhiều phần tử nhóm có thể làm đơn giản bằng cách nhóm các phần tử lại.
Ví dụ, tích (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) có thể dễ dàng kiểm tra dựa trên bảng nhóm ở bên phải (bảng Cayley)
(fd • fv) • r2 =r3 • r2 =r1, và bằngfd • (fv • r2)=fd • fh=r1.
Trong khi tính kết hợp đúng cho các phép đối xứng áp dụng cho hình vuông và phép cộng các con số, tính chất này không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, phép trừ hai số không có tính kết hợp: (7 − 3) − 2 = 2 khác kết quả với 7 − (3 − 2) = 6.
Phần tử đơn vị là phép đối xứng đồng nhất id không làm thay đổi hình: đối với một đối xứng bất kỳ a, thực hiện hàm id sau a (hoặc a sau id) cho kết quả bằng a, viết là:
id • a = a,
a • id = a.
Phần tử nghịch đảo khôi phục lại phép biến đổi của những phần tử khác. Mỗi phép biến đổi đối xứng có thể được khôi phục lại: mỗi phép biến đổi sau—biến đổi đồng nhất id, phép lật ngược fh, fv, fd, fc và quay 180° r2—có phần tử nghịch đảo là chính nó, bởi vì khi thực hiện chúng hai lần thì hình vuông sẽ trở lại hướng ban đầu. Phép quay r3 và r1 - mỗi hàm là nghịch đảo của nhau, bởi vì quay 90° rồi sau đó quay 270° (hay ngược lại) tương đương với phép quay 360° và không làm thay đổi hình vuông. Viết là
fh • fh = id,
r3 • r1 = r1 • r3 = id.
Ngược lại với nhóm các số nguyên ở trên, khi thứ tự phép toán là bất kỳ đối với phép cộng, thì thứ tự thực hiện phép toán nhóm trong D4 lại quan trọng: fh • r1 = fc nhưng r1 • fh = fd. Nói cách khác D4 là nhóm phi giao hoán (phi Abel), khiến cấu trúc nhóm của nó trở lên khó hơn so với nhóm số nguyên.