Lý thuyết thứ tự
Định nghĩa cơ bản > Các phần tử đặc biệt trong thứ tự

Trong tập hợp sắp thứ tự riêng phần, có một số phần tử đóng vai trò đặc biệt. Ví dụ cơ bản là phần tử nhỏ nhất của poset. Ví dụ chẳng hạn, 1 là phần tử nhỏ nhất trong các số nguyên dương và tập rỗng là tập nhỏ nhất dưới thứ tự tập con. Dưới hình thức, phần tử m là phần tử nhỏ nhất nếu:
Ký hiệu 0 thường dùng cho phần tử nhỏ nhất, kể cả khi không có số nào được xét. Tuy nhiên, trên tập các con số, ký hiệu này có thể gây nhầm lẫn và không rõ nghĩa vì số 0 không phải lúc nào cũng cũng là phần tử nhỏ nhất. Một ví dụ đến từ thứ tự là ước của |, trong đó 1 là phần tử nhỏ nhất vì nó là ước của tất cả các số còn lại. Ngược lại, 0 là số chia hết cho mọi số còn lại. Do đó, nó là phần tử lớn nhất của thứ tự. Các tên gọi cho phần tử nhỏ nhất và lớn nhất bao gồm không và đơn vị.
Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất có thể không tồn tại, như ví dụ của các số thực cho thấy. Nhưng nếu chúng tồn tại, thì chúng sẽ là duy nhất. Trái lại, xét quan hệ là ước của | trên tập hợp{2,3,4,5,6}. Mặc dù tập này không có lớn nhất hay nhỏ nhất, các phần tử 2, 3, và 5 không có phần tử nào dưới chúng, trong khi 4, 5 và 6 không có cái nào ở trên. Các phần tử đó được gọi là phần tử tối tiểu và phần tử tối đại. Dưới hình thức, phần tử m là phần tử tối tiểu nếu:
Thay ≤ với ≥ ra định nghĩa của phần tử tối đại. Như ví dụ trên đã cho thấy, có thể có vô số phần tử vừa tối đại vừa tối tiểu (ví dụ như 5 trong ví dụ trên). Tuy nhiên, nếu có phần tử nhỏ nhất thì phần tử đó sẽ là phần tử tối tiểu duy nhất. Và, trong các poset vô hạn, các phần tử tối đại chưa chắc đã tồn tại, ví dụ chẳng hạn, tập hợp các tập con hữu hạn của một tập vô hạn cho trước, khi sắp xếp theo thứ tự bao hàm sẽ không có phần tử tối đại. Bổ đề Zorn là một công cụ quan trọng đảm bảo sự tồn tại của các phần tử tối đại dưới một số điều kiện.
Tập con của tập sắp thứ tự riêng phần thừa kế thứ tự của tập hợp đó.Ngay từ ví dụ trên, tập con {2,3,4,5,6} của tập các số tự nhiên đã thừa hưởng thứ tự là ước của. Trong poset, sẽ có một số phần tử đặc biệt tương ứng với một số tập con của thứ tự. Điều này dẫn tới định nghĩa của cận trên. Cho tập con S của poset P, cận trên của S là một phần tử b thuộc P và đứng trên mọi phần tử thuộc S. Dưới hình thức, có nghĩa là
Cận dưới được định nghĩa bằng cách đảo ngược lại thứ tự. Lấy ví dụ khi xét tập các số tự nhiên là tập con của các số nguyên thì, -5 sẽ là cận dưới của các số tự nhiên. Cho tập của các tập hợp, cận trên của các tập hợp này dưới thứ tự bao hàm là hợp của các tập hợp đó. Hơn nữa, cận trên này còn có một tính chất đặc biệt khác: nó là tập hợp nhỏ nhất chứa tất cả các tập hợp. Người ta gọi cận trên này là cận trên nhỏ nhất (hay cận trên đúng). Khái niệm này còn được gọi là supremum hay nối, và đối với tập hợp S, ta viết sup(S) hoặc  \bigvee S cho cận trên nhỏ nhất. Ngược lại, cận dưới lớn nhất (hay còn gọi là cận dưới đúng hoặc infimum hoặc gặp) được ký hiệu là inf(S) hoặc  \bigwedge S. Các khái niệm đóng vai trò quan trong nhiều ứng dụng của lý thuyết thứ tự. Cho hai phần tử x và y, ta có thể viết   x\vee y và  x\wedge y cho sup({x,y}) và inf({x,y}), tương ứng
Ví dụ chẳng hạn, 1 là infimum của các số nguyên dương là tập con của các số nguyên.
Xét lại lần nữa quan hệ "là ước của" trên các số tự nhiên. Cận trên nhỏ nhất của hai số này là số nhỏ nhất chia hết cho cả hai số đó (tức là bội chung nhỏ nhất). Ngược lại, cận dưới lớn nhất sẽ là ước chung lớn nhất.