Georg Cantor
Sự nghiệp toán học > Lý thuyết tập hợp

Bài báo của Cantor công bố năm 1874, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Về một thuộc tính của tập hợp tất cả số đại số thực") đã đánh dấu sự ra đời của lý thuyết tập hợp như một nhánh của toán học. Bài báo này lần đầu tiên cung cấp một phép chứng minh chặt chẽ rằng có nhiều hơn một loại vô hạn. Trước đó tất cả các tập vô hạn hoàn toàn quy là "cùng lực lượng" (nghĩa là cùng "kích thước" hay cùng số phần tử). Cantor chứng minh rằng tập các số thực và tập các số nguyên dương là không cùng lực lượng. Nói một cách khác, các số thực là không thể đếm được. Phép chứng minh này phức tạp hơn luận cứ chéo Cantor tao nhã hơn mà ông đưa ra năm 1891. Bài viết của Cantor cũng chứa một phương pháp mới để xây dựng các số siêu việt, thay cho phương pháp đầu tiên mà Joseph Liouville tìm ra năm 1844.
Cantor kiến tạo các kết quả này bằng cách sử dụng hai phép xây dựng. Phép xây dựng thứ nhất chỉ ra cách viết các số đại số thực như một dãy a1, a2, a3, .... Nói cách khác, các số đại số thực có thể đếm được. Cantor bắt đầu phép xây dựng thứ hai với bất kì dãy số thực nào. Sử dụng dãy này, ông xây dựng các khoảng lồng nhau mà giao của chúng chứa một số thực không nằm trong dãy. Bởi vì mọi dãy số thực có thể dùng để xây dựng một số thực không nằm trong dãy, các số thực không thể viết thành một dãy-nghĩa là, các số thực là không đếm được. Bằng cách áp dụng phép xây dựng đối với dãy các số thực đại số, Cantor tạo nên một số siêu việt. Ông chỉ ra rằng các phép xây dựng của mình chứng tỏ nhiều hơn thế; cụ thể, chúng cung cấp phép chứng minh mới cho định lý Liouville: mọi khoảng chứa nhiều vô hạn những số siêu việt. Bài báo tiếp theo của Cantor chứa một phép xây dựng chứng tỏ rằng tập hợp các số siêu việt có cùng lũy thừa với tập các số thực.
Giữa những năm 1879 và 1884, Cantor đã đăng một loạt sáu bài báo trên tờ Mathematische Annalen, cùng với nhau chúng tạo nên một dẫn nhập về lý thuyết tập hợp. Cùng lúc, có một sự phản đối ngày càng tăng lên đối với các ý tưởng của Cantor, do Kronecker chủ xướng, những người chấp chận các khái niệm toán học chỉ nếu chúng có thể xây dựng trong một số hữu hạn các bướcc từ những số tự nhiên, điều hợp với trực giác thông thường. Đối với Kronecker, các thứ bậc vô hạn khác nhau của Cantor là không thể chấp nhận được, vì tiếp thu quan niệm về vô hạn thực sẽ mở ra cánh cửa tới những nghịch lý thách thức tính đúng đắn của toàn thể toán học. Cantor cũng đưa ra khái niệm tập Cantor trong thời kỳ này.
Bài báo thứ năm trong loạt bài, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Những Nền tảng của một Lý thuyết Tổng quán về các Tập hợp") công bố năm 1883, là bài quan trọng nhất và được xuất bản dưới dạng chuyên khảo. Nó chứa đựng lời đáp trả của Cantor đối với những phê phán nhắm vào ông và chỉ ra cách làm thế nào những số siêu thực là một mở rộng hệ thống của các số tự nhiên. Nó bắt đầu bằng cách định nghĩa các tập chặt chẽ. Các tự số cũng được đưa ra, như là các loại thứ bậc của tập chặt chẽ. Sau đó Cantor định nghĩa phép cộng và nhân của các bản số và tự số. Năm 1885, Cantor mở rộng lý thuyết về các dạng thứ bậc khiến cho tự số đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của các dạng thứ bậc.
Năm 1891, ông công bố một bài báo chứa "luận cứ chéo" (phương pháp chéo) về sự tồn tại của một tập không đếm được. Ông áp dụng ý tưởng giống như khi chứng minh Định lý Cantor: lực lượng của một tập lũy thừa của tập A là lớn hơn lực lượng của A. Điều này thiết lập sự phong phú các thứ bậc của các tập vô hạn, và của số học về bản số và tự số mà ông định nghĩa. Luận cứ của ông có ý nghĩa cơ bản trong lời giải của bài toán dừng và phép chứng minh định lý thứ nhất về tính không đầy đủ của Gödel. Cũng vào năm 1894, Cantor viết bài về giả thuyết Goldbach.
Năm 1895 và 1897, Cantor xuất bản bài báo hai phần trên tờ Mathematische Annalen do Felix Klein biên tập; đây là bài báo quan trọng cuối cùng của ông về lý thuyết tập hợp. Phần thứ nhất bắt đầu bằng việc định nghĩa tập hợp, tập con, v.v.. theo cách mà ngày nay chấp nhận rộng rãi. Số học về bản số và tự số cũng được xem xét. Cantor muốn phần thứ hai bao gồm một phép chứng minh cho giả thuyết continuum, nhưng đã phải dành để diễn giải về các tập chặt chẽ và tự số. Cantor nỗ lực chứng minh rằng nếu A và B là các tập hợp với A tương đương với một tập con của B và B tương đương với một tập con của A, thì A và B tương đương với nhau. Ernst Schröder đã khẳng định định lý này ít lâu trước đó, nhưng phép chứng minh của ông này, cũng như của Cantor, còn có khe hở. Phải đến năm 1898 trong luận văn tiến sĩ Felix Bernstein mới cung cấp một phép chứng minh đúng đắn, do đó mà có tên định lý Cantor-Bernstein-Schroeder.