Số nguyên
Xây dựng

Trong quá trình dạy học ở trường tiểu học, các số nguyên thường được định nghĩa một cách trực quan là các số tự nhiên (dương), số 0 và các số đối của các số tự nhiên. Tuy nhiên, kiểu định nghĩa này dẫn đến nhiều trường hợp khác nhau (mỗi phép toán số học cần được xác định trên mỗi tổ hợp các kiểu số nguyên) và khiến việc chứng minh rằng các số nguyên tuân theo các định luật số học khác nhau trở nên tẻ nhạt. Do đó, trong toán học lý thuyết tập hợp hiện đại, một cấu trúc trừu tượng hơn cho phép người ta xác định các phép toán số học mà không có bất kỳ phân biệt trường hợp nào thường được sử dụng để thay thế. Do đó, các số nguyên có thể được xây dựng chính thức như các lớp tương đương của các cặp số tự nhiên có thứ tự (a,b).
Trực giác là (a,b) là viết tắt của kết quả của phép trừ  a-b. Để xác nhận kỳ vọng của chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị cùng một số, chúng ta xác định quan hệ tương đương ~ trên các cặp này với quy tắc sau:
(a,b)\sim (c,d)
chỉ khi
a+d=b+c.
Phép cộng và phép nhân các số nguyên có thể được định nghĩa theo các phép toán tương đương trên các số tự nhiên; bằng cách sử dụng [(a,b)] để biểu thị lớp tương đương có (a,b) là thành viên, lớp này có:
Số đối (hoặc phép nghịch đảo của phép cộng) của một số nguyên có được bằng cách đảo ngược thứ tự của cặp:
-[(a,b)]:=[(b,a)].
Do đó phép trừ có thể được định nghĩa là phép cộng với nghịch đảo của phép cộng:
[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].
Thứ tự tiêu chuẩn trên các số nguyên được đưa ra với bất đẳng thức:
[(a,b)]<[(c,d)] khi và chỉ khi  a+d<b+c.
Dễ dàng xác minh rằng các định nghĩa này không phụ thuộc vào việc lựa chọn đại diện của các lớp tương đương.
Mọi lớp tương đương có một thành viên duy nhất có dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả hai cùng một lúc). Số tự nhiên n được xác định với lớp [(n,0)] (nghĩa là, các số tự nhiên được nhúng vào các số nguyên bằng cách ánh xạ gửi n tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao gồm tất cả các lớp còn lại và cho lớp [(0,0)] 2 lần do −0 = 0.
Do đó, [(a,b)] được ký hiệu là
{\begin{cases}a-b,&{\mbox{nếu }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{nếu }}a<b.\end{cases}}
Nếu các số tự nhiên được xác định với các số nguyên tương ứng (sử dụng phép nhúng được đề cập ở trên), thì quy ước này không tạo ra sự mơ hồ.
Ký hiệu này phục hồi biểu diễn quen thuộc của các số nguyên là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.
Một số ví dụ:
{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}
Trong khoa học máy tính lý thuyết, các cách tiếp cận khác để xây dựng các số nguyên được sử dụng bởi các máy dò định lý tự động và các công cụ viết lại thuật ngữ. Số nguyên được biểu diễn dưới dạng các thuật ngữ đại số được xây dựng bằng cách sử dụng một vài phép toán cơ bản (ví dụ: zero, succ, pred) và, có thể, sử dụng các số tự nhiên, được giả định là đã được xây dựng (sử dụng phương pháp Peano).
Tồn tại ít nhất mười cách xây dựng các số nguyên có dấu. Các cấu trúc này khác nhau theo một số cách: số lượng các phép toán cơ bản được sử dụng cho cấu trúc, số lượng (thường là từ 0 đến 2) và các loại đối số được các phép toán này chấp nhận; sự hiện diện hay vắng mặt của các số tự nhiên làm đối số của một số phép toán này và thực tế là các phép toán này có phải là hàm tạo tự do hay không, tức là cùng một số nguyên có thể được biểu diễn chỉ bằng một hoặc nhiều số hạng đại số.
Kỹ thuật xây dựng các số nguyên được trình bày ở trên trong phần này tương ứng với trường hợp cụ thể trong đó có một cặp phép toán cơ bản duy nhất  (x,y) nhận đối số là hai số tự nhiên  x và  y và trả về một số nguyên (bằng  x-y). Thao tác này không tự do vì số nguyên 0 có thể được viết là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật xây dựng này được sử dụng bởi trợ lý chứng minh Isabelle; tuy nhiên, nhiều công cụ khác sử dụng các kỹ thuật xây dựng thay thế, đáng chú ý là những kỹ thuật dựa trên các cấu trúc tự do, đơn giản hơn và có thể được thực hiện hiệu quả hơn trong máy tính.