Lý thuyết thứ tự
Các loại quan hệ đặc biệt

Trong lý thuyết thứ tự, có một số khái niệm quan hệ được để ý tới mặc dù không quan tâm tới thứ tự riêng phần, và một trong những cái thường được nhắc tới phải là khái niệm của tiền thứ tự. Tiền thứ tự là quan hệ hai ngôi có tính phản xạ và đối xứng nhưng không nhất thiết phải phản đối xứng.  Mỗi tiền thứ tự đều cảm sinh quan hệ tương đương tương ứng với nó, trong đó a tương đương với b, nếu a ≤ b và b ≤ a. Tiền thứ tự có thể biến đổi thành thứ tự thật bằng cách xác định tất cả các phần tử tương đương với nhau tương ứng với quan hệ này.
Nhiều loại quan hệ có thể được định nghĩa từ dữ liệu số trên các phần tử trong thứ tự: Thứ tự toàn phần lấy từ việc gán một số thực phân biệt cho mỗi phần tử và dùng số thực đó để so sánh giữa các phần tử; nếu như cho phép một số phần tử phân biệt có cùng một giá trị thì ta sẽ thu được thứ tự yếu nghiêm ngặt. Nếu yêu cầu hai số đó phải cách nhau theo ngưỡng cố định nào đó để chúng có khi so sánh được thì thứ tự đó được gọi là nửa thứ tự, và nếu cho phép ngưỡng đó phụ thuộc vào phần tử đang xét, thì ta thu được thứ tự khoảng.
Một tính chất khác hữu dụng được thêm vào dẫn tới định nghĩa của quan hệ lập tốt là yêu cầu mọi tập con khác rỗng phải có phần tử nhỏ nhất. Và để tổng quát hoá cho các thứ tự tốt từ tuyến tính tới riêng phần, ta gọi một tập hợp là tập sắp thứ tự riêng phần tốt nếu tất cả tập con khác rỗng của nó hữu hạn số phần tử tối tiểu.
Nhiều loại thứ tự khác nảy sinh khi đã đảm bảo trước sự tồn tại của infima và suprema của tập hợp. Tính chất này được gọi là tính đầy đủ của thứ tự, khi tập trung vào tính chất, ta thu được:
Poset bị chặn, tức là poset có phần tử lớn nhất và nhỏ nhất (và là supremum và infimum của tập rỗng),
Dàn, trong đó mọi tập hữu hạn khác rỗng có supremum và infimum,
Dàn đầy đủ, trong đó mọi tập hợp có supremum và infimum, và
Thứ tự riêng phần đầy đủ có hướng (dcpos), đảm bảo sự tồn tại của suprema của tất cả tập con có hướng và được nghiên cứu trong lý thuyết miền.
Thứ tự riêng phần cùng phần bù, còn được gọi là poc sets, là các poset có phần tử nhỏ nhất duy nhất 0, và phép chập đảo thứ tự  * sao cho  a\leq a^{*}\implies a=0.
Thậm chí, ta có thể đi xa hơn nữa: Nếu tồn tại cận trên cho tập hữu hạn khác rỗng, thì ∧ có thể xem là phép toán hai ngôi theo cách của đại số phổ dụng. Do đó, trong dàn khi thêm hai phép toán ∧ và ∨, ta có thể định nghĩa các tính chất mới bằng các định thức như
Điều kiện này được gọi là tính phân phối và nó nảy sinh ra định nghĩa của dàn phân phối. Có nhiều luật phân phối quan trọng được nhắc trong bài tính phân phối trong lý thuyết thứ tự. Một số cấu trúc thứ tự thêm vào thường được định nghĩa qua các phép toán đại số và các định thức. Một số ví dụ quan trọng bao gồm
Đại số Heyting và
Đại số Boole,
trong đó cả hai đều giới thiệu phép phủ ~. Cả hai đều đóng vai trò quan trọng trong logic toán học, và đặc biệt đại số Boole có ứng dụng rộng rãi trong khoa học máy tính.
Ngoài ra, nhiều cấu trúc trong toán học gộp thứ tự với nhiều phép toán đại số khác, ví dụ như cácquantale chẳng hạn, chúng cho phép định nghĩa thêm phép cộng.
Tồn tại nhiều tính chất quan trọng khác của poset. Chẳng hạn như, một poset được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi khoảng đóng [a, b] của nó hữu hạn. Poset hữu hạn địa phương từ đó sẽ nảy sinh thành các đại số liên thuộc, và rồi chính các đại số được dùng để định nghĩa đặc trưng Euler của poset bị chặn hữu hạn.