stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
Tổng quát

Năm học đầu tiên 1991-1992, trường chỉ có 60 học sinh của 3 lớp 10 chuyên và 8 cán bộ, giáo viên, công nhân viên, cơ sở vật chất tạm bợ được ghép chung với Trung tâm hướng nghiệp dạy nghề của tỉnh. Năm học 1992-1993, trường được chuyển sang dùng chung cơ sở với trường Bổ túc văn hóa tại chức tỉnh, năm học này trường đã phát triển được 13 lớp (có cả hệ Trung học cơ sở). Từ năm học 1996-1997, trường được tách riêng ra và chuyển về cơ sở mới (do trường Cao đẳng sư phạm Vĩnh Long để lại), bấy giờ chỉ có 1 khu học tập gồm 18 phòng học, xung quanh toàn là đất ruộng, nền thấp, luôn chịu ảnh hưởng của triều cường.
Sau 30 năm thành lập, cơ sở vật chất được nâng cấp, nhà trường đã có đội ngũ 116 cán bộ, giáo viên, nhân viên và tập thể 27 lớp với 894 học sinh. Trường đã đạt được các tiêu chuẩn quy định đối với một trường THPT đạt chuẩn quốc gia.
Đào tạo > Cơ cấu tổ chức > Lớp học

Gồm 9 lớp chuyên và 1 lớp không chuyên:
Chuyên Toán (2 lớp)
Chuyên Vật lí
Chuyên Hóa học
Chuyên Ngữ văn
Chuyên Tiếng Anh (2 lớp)
Chuyên Sinh học, Tin học, Lịch sử (lớp ghép)
Chuyên Vật lí - Hóa học (lớp ghép)
Đào tạo > Cơ cấu tổ chức > Lớp học > Các tổ chuyên môn

Tổ Toán học - Tin học
Tổ Vật lí - Công nghệ
Tổ Hóa học
Tổ Sinh học - Kỹ thuật
Tổ Ngữ văn
Tổ Ngoại ngữ
Tổ Lịch sử - Địa lí - Giáo dục công dân
Tổ Thể dục - Quốc phòng
Tổ Văn phòng
Lịch sử > Các đời hiệu trưởng

| Nhiệm kỳ | Hiệu trưởng |
| --- | --- |
1991-2006: Tăng Như Lăng
2006-2013: Bùi Chí Hiếu
2013-2020: Nguyễn Hồng Phước
2020-2024: Ngô Thanh Trúc
2024-nay: Nguyễn Hồng Bảo
Thành tích dạy và học > Đối với tập thể

Chủ tịch nước tặng Huân chương lao động hạng ba năm 2003 và Huân chương lao động hạng nhì năm 2012.
Thủ tướng Chính phủ tặng Bằng khen.
Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo tặng bằng công nhận trường THPT đạt chuẩn quốc gia giai đoạn 2001-2010.
Ủy ban nhân dân tỉnh Vĩnh Long tặng bằng công nhận trường THPT đạt chuẩn quốc gia giai đoạn 2013-2018.
Được công nhận là lá cờ đầu của phong trào thi đua ngành giáo dục đào tạo giai đoạn 1990-2000.
Được cờ khen của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2004, cờ khen của Đoàn Thanh niên, của Tổng Liên đoàn Lao động Việt Nam, huy chương của Hội Chữ thập đỏ.
Nhiều bằng khen của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Ủy ban nhân dân tỉnh hàng năm.
Chi bộ được công nhận là chi bộ trong sạch vững mạnh nhiều năm liền.
Thành tích dạy và học > Đối với đội ngũ giáo viên, công nhân viên

Đến năm 2018, có 100% giáo viên đạt chuẩn và trên chuẩn; có 49 giáo viên đạt trình độ Thạc sĩ. 50% giáo viên được công nhận là giáo viên giỏi cấp tỉnh, trong đó có 06 giáo viên giỏi cấp tỉnh không thời hạn, 07 giáo viên đạt danh hiệu viên phấn vàng và 1 nguyên phó hiệu trưởng được công nhận là nhà giáo ưu tú.
Hơn 100 đề tài, sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên được tổng kết, đánh giá.
Thành tích dạy và học > Đối với học sinh

Tỉ lệ học sinh xếp loại giỏi hàng năm đều đạt trên 60%.
Tỉ lệ trúng tuyển vào các trường Đại học hàng năm luôn đạt trên 90%.
Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm là những trường có điểm thi vào Đại học cao nhất cả nước.
Đã có trên 10.000 học sinh được công nhận là học sinh giỏi cấp tỉnh và trên 355 học sinh được công nhận là học sinh giỏi quốc gia và 23 học sinh được công nhận đạt giải Cuộc thi Khoa học, Kỹ thuật cấp quốc gia.
Nhiều học sinh đạt huy chương vàng, bạc, đồng trong các kỳ thi Olympic học sinh giỏi, Hoá học Hoàng gia Australia, giải toán trên máy tính cầm tay Casio,...
Đặc biệt, trong 3 năm liên tục 2000, 2001 và 2002 trường có các học sinh Trần Ngọc Minh, Đỗ Thị Hồng Nhung, Lương Phương Thảo đã dự thi vòng chung kết của cuộc thi Đường lên đỉnh Olympia đạt 2 giải nhất và 1 giải nhì.
Trường cũng mở rộng các hoạt động giao lưu, tìm hiểu các nước trong khu vực và trên thế giới nhất là trong lĩnh vực giáo dục. Nhiều học sinh của trường đã đi du học ở các nước như Úc, Singapore, Canada, Mỹ,... Thông qua tổ chức CRS, trường cũng đã thực hiện dự án "Nhịp cầu thông tin" nhằm mục đích cho học sinh của trường  được giao lưu với học sinh các trường ở Mỹ.
Học sinh nhà trường tích cự tham gia cuộc vận động "Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh", các cuộc thi tìm hiểu và các đợt tuyên truyền, vận động phòng chống ma tuý, AIDS, giáo dục môi trường, giáo dục an toàn giao thông, tìm hiểu về pháp luật.
Các hoạt động giao lưu liên trường kết hợp với các cuộc thi khu vực như Cuộc thi Olympic truyền thống 30 tháng 4, Trại hè Phương Nam.
Văn hóa > Chuỗi sự kiện "Giờ ra chơi cuối cùng - Lễ Tri ân trưởng thành"

Diễn ra lần đầu tiên vào năm 2012, sự kiện Giờ ra chơi cuối cùng đã trở thành nét đặc trưng của trường.
Văn hóa > Lễ hội hoá trang (trước đây là Halloween)

Được tổ chức hàng năm vào dịp lễ Halloween, do học sinh các lớp chuyên Anh. Buổi lễ thường bao gồm các tiết mục cosplay, nghệ thuật và trò chơi.
Trong những năm đầu tiên diễn ra, sự kiện đã trở thành một "cơn sốt" đối với học sinh THPT trên địa bàn tỉnh.
Văn hóa > Lễ hội hoá trang (trước đây là Halloween) > Tên gọi

Trước đây, sự kiện được đặt tên theo sự kiện Halloween. Tuy nhiên, sự kiện đã phải đổi tên thành "Lễ hội hóa trang" theo khoản 12, Điều 5, Luật Giáo dục 2019.
Văn hóa > Hội trại Truyền Thống

Diễn ra đầu tiên vào năm 2015, và được tiếp tục cho tới tận năm 2020. Sau đó, sự kiện đã bị tạm ngưng do ảnh hưởng của đại dịch Covid-19. Ngày 29 tháng 9 năm 2022, trang thông tin chính thức của sự kiện trên Facebook đăng tải nội dung ẩn ý rằng sự kiện sẽ trở lại. Tuy nhiên, không có bất kì thông tin thêm nào được tiết lộ và sự kiện cũng không được diễn ra; các học sinh của trường cho rằng đó là do một số vấn đề liên quan tới sự an toàn của học sinh.
Văn hóa > Các câu lạc bộ

Trường có các câu lạc bộ được quản lí và vận hành chủ yếu bởi học sinh, các câu lạc bộ có thể kể đến như Mosaic Media, Guitar NBK, Chi Hội Lịch sử Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (trực thuộc Hội Khoa học Lịch sử tỉnh Vĩnh Long).
Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian

Lý thuyết bất biến theo thời gian tuyến tính, thường được gọi là lý thuyết hệ thống LTI, xuất phát từ toán ứng dụng và có các ứng dụng trực tiếp trong quang phổ học cộng hưởng từ hạt nhân, địa chấn học, mạch điện, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển, và các lĩnh vực kỹ thuật khác. Nó nghiên cứu đáp ứng của một hệ thống tuyến tính và bất biến theo thời gian đối với một tín hiệu đầu vào tùy ý. Quỹ đạo của các hệ thống này thường được đo lường và theo dõi khi chúng di chuyển theo thời gian (ví dụ như, một dạng sóng âm), nhưng trong các ứng dụng như xử lý hình ảnh và lý thuyết trường, các hệ thống LTI cũng có quỹ đạo theo chiều không gian. Do đó, các hệ thống này cũng được gọi là tuyến tính dịch chuyển bất biến để tạo cho lý thuyết này tính tổng quát nhất có thể. Trong trường hợp các hệ thống thời gian rời rạc nói chung (tức là, lấy mẫu), tuyến tính dịch chuyển bất biến là một thuật ngữ tương ứng. Một ví dụ tốt về hệ thống LTI là mạch điện mà được tạo thành từ điện trở, tụ điện và cuộn cảm.
Các hệ thống thời gian liên tục > Đáp ứng xung và tích chập

Hành vi của một hệ thống tuyến tính, thời gian liên tục, bất biến theo thời gian với tín hiệu đầu vào x(t) và tín hiệu đầu ra y(t) được mô tả bởi tích phân tích chập:
trong đó  \textstyle h(t) là đáp ứng của hệ thống đối với một xung:   \textstyle x(\tau )=\delta (\tau ).    \textstyle y(t) do đó tỷ lệ với một trọng số trung bình của hàm đầu vào  \textstyle x(\tau ).  Hàm trọng số là  \textstyle h(-\tau ), dịch chuyển đơn giản một lượng   \textstyle t.   Khi  \textstyle t thay đổi, hàm trọng số làm nổi bật các phần khác nhau trong hàm đầu vào. Khi  \textstyle h(\tau ) bằng không cho tất cả  \textstyle \tau ,âm,    \textstyle y(t) chỉ phụ thuộc vào các giá trị củaf  \textstyle x hơn là thời gian  \textstyle t,  và hệ thống được xem là nhân quả.
Để hiểu lý do tại sao tích chập tạo ra ở đầu ra của một hệ thống LTI, ta ký hiệu \textstyle \{x(u-\tau );\ u\} để biểu diễn hàm  \textstyle x(u-\tau ) với biến  \textstyle u và hằng số  \textstyle \tau . Và ký hiệu ngắn hơn  \textstyle \{x\}\, để biểu diễn  \textstyle \{x(u);\ u\}.Sau đó một hệ thống thời gian liên tục chuyển đổi một hàm đầu vào,  \textstyle \{x\}, thành một hàm đầu ra,  \textstyle \{y\}. Và nói chung, mỗi giá trị của đầu ra có thể phụ thuộc vào tất cả giá trị của đầu vào. Khái niệm này được biểu diễn bởi:
trong đó  \textstyle O_{t} là toán tử biến đổi theo thời gian  \textstyle t.  Trong một hệ thống điển hình,  \textstyle y(t) phụ thuộc nhiều nhất vào các giá trị của  \textstyle x xảy ra gần thời gian  \textstyle t.  Trừ phi tự biến đổi chính nó theo  \textstyle t, hàm đầ ra là hằng số, và hệ thống này chả có gì để chú ý.
Đối với một hệ thống tuyến tính,  \textstyle O phải thỏa mãn Eq.1 :
Và yêu cầu bất biến theo thời gian là:
Chúng ta có thể viết đáp ứng xung này theo ký hiệu trên như sau   \textstyle h(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{\delta (u);\ u\}.
Tương tự:
Thay kết quả này vào tích chập:
which has the form of the right side of Eq.2 for the case  \textstyle c_{\tau }=x(\tau ) and  \textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).
Eq.2 then allows this continuation:
Tóm lại, hàm đầu vào,  \textstyle \{x\},  có thể được mô tả bởi một continuum của các hàm xung dịch chuyển theo thời gian, liên kết "tuyến tính", như phương trình Eq.1 ở trên. Thuộc tính tuyến tính của hệ thống cho phép đáp ứng của hệ thống được thể hiện bởi continuum của các đáp ứng xung tương ứng, liên kết cùng cách thức tương tự. Và thuộc tính bất biến theo thời gian cho phép liên kết đó được mô tả bởi tích phân tích chập.
Các phép toán trên có một mô phỏng đồ họa đơn giản.
Các hệ thống thời gian liên tục > Dùng hàm mũ làm hàm riêng

Một hàm riêng là một hàm mà đầu ra của phép toán là một bản đồng dạng tỷ lệ của cùng hàm số. Đó là,
trong đó f là hàm riêng và  \lambda  là vectơ riêng, một hằng số.
Các hàm mũ  Ae^{st}, trong đó  A,s\in \mathbb {C} , là các hàm riêng của một toán tử bất biến thời gia, tuyến tính. Một ví dụ minh họa đơn giản khái niệm này. Giả sử đầu vào là is  x(t)=Ae^{st}. Đầu ra của hệ thống với đáp ứng xung  h(t) sẽ là
trong đó, với thuộc tính giao hoán của tích chập, tương đương với
Trong đó đại lượng vô hướng
chỉ phụ thuộc vào tham số s.
Vì vậy đáp ứng của hệ thống là tỉ lệ đồng dạng với đầu vào. Đặc biệt, đối với bất kỳ  A,s\in \mathbb {C} , đầu ra của hệ thống là tích của đầu vào  Ae^{st} và hằng số  H(s). Trong đó,  Ae^{st} là một hàm riêng của một hệ thống LTI, và vectơ riêng tương ứng là  H(s).
Các hệ thống thời gian liên tục > Biến đổi Fourier và Laplace

Tính chất hàm mũ của hàm riêng rất hữu ích cho việc phân tích và tìm hiểu các hệ thống LTI. Các biến đổi Laplace
chính la cách để có được các giá trị riêng từ đáp ứng xung. Đăch biệt là các tín hiệu theo hình sin chuẩn (nghĩa là các hàm mũ có dạng  e^{j\omega t} trong đó  \omega \in \mathbb {R}  và  j\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {-1}}). Chúng thường được gọi là các hàm mũ phức ngay cả khi argument chỉ có phần ảo. Biến đổi Fourier  H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\} cho ta các giá trị riêng cho các tín hiệu thuần sin phức. Cả  H(s) và  H(j\omega ) đều được gọi là hàm hệ thống, đáp ứng hệ thống, hoặc hàm truyền.
Biến đổi Laplace thường được sử dụng trong bối cảnh của các tín hiệu một chiều, tức là tín hiệu là zero cho tất cả các giá trị của t ít hơn so với một số giá trị khác. Thông thường, "thời gian bắt đầu" này được thiết lập bằng zero, để thuận tiện và không mất tính tổng quát, với biến đổi tích phân được lấy từ zero đến vô cùng (các biến đổi chỉ ra ở trên cùng với giới hạn dưới của tích phân âm vô cùng được chính thức biết đến là biến đổi Laplace song phương).
Các hệ thống thời gian liên tục > Các ví dụ

Một ví dụ đơn giản của một toán tử LTI là đạo hàm.
{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)   (nghĩa là nó là tuyến tính)
{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )   (nghĩa là nó là bất biến theo thời gian)
Một toán tử LTI đơn giản khác là toán tử lấy trị trung bình
Các hệ thống thời gian liên tục > Các thuộc tính quan trọng của hệ thống

Hai tính chất quan trọng nhất của một hệ thống là tính nhân quả và tính ổn định. Tính nhân quả là một điều cần thiết nếu biến độc lập là thời gian, nhưng không phải tất cả các hệ thống đều lấy thời gian là một biến độc lập. Ví dụ, một hệ thống xử lý hình ảnh tĩnh không cần phải có tính nhân quả. Các hệ thống phi nhân quả có thể được xây dựng và có thể hữu ích trong nhiều tình huống. Ngay cả các hệ thống không thực có thể được xây dựng và rất hữu ích trong nhiều trường hợp.
Các hệ thống thời gian liên tục > Các thuộc tính quan trọng của hệ thống > Tính nhân quả

Một hệ thống là nhân quả nếu đầu ra chỉ phụ thuộc vào hiện tại và quá khứ, mà không phụ thuộc đầu vào tương lai. Một điều kiện cần và đủ của quan hệ nhân quả là(đoạn này khó hiểu thế)
trong đó  h(t) là đáp ứng xung. Nói chung không thể  xác định tính nhân quả từ biến đổi Laplace, vì biến đổi nghịch đảo là không duy nhất. Khi một vùng hội tụ được xác định, thì tính nhân quả có thể được xác định.
Các hệ thống thời gian liên tục > Các thuộc tính quan trọng của hệ thống > Tính ôn định

Một hệ thống là ổn định giới hạn đầu vào, giới hạn đầu ra (ổn định BIBO) nếu, với mỗi đầu vào bị chặn, đầu ra là hữu hạn. Về mặt toán học, nếu mỗi đầu vào đáp ứng
sẽ dẫn tới một đầu ra thỏa mãn
(do đó, một giá trị tuyệt đối cực đại của  x(t) bao hàm giá trị tuyệt đối cực đại của  y(t)), thì hệ thống đó là ổn định. Một điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung  h(t) phải nằm trong L1 (có một chuẩn mực L1 hữu hạn):
Trong miền tần số, vùng hội tụ phải chứa trục ảo   s=j\omega .
As an example, the ideal low-pass filter with impulse response equal to a sinc function is not BIBO stable, because the sinc function does not have a finite L1 norm. Thus, for some bounded input, the output of the ideal low-pass filter is unbounded. In particular, if the input is zero for  t<0\, and equal to a sinusoid at the cut-off frequency for  t>0\,, then the output will be unbounded for all times other than the zero crossings.
Các hệ thống thời gian rời rạc

Hầu hết tất cả mọi thứ trong các hệ thống thời gian liên tục đều có một bản sao trong các hệ thống thời gian rời rạc.
Các hệ thống thời gian rời rạc > Các hệ thống thời gian rời rạc từ các hệ thống thời gian liên tục

Trong nhiều trường hợp, một hệ thống thời gian rời rạc (DT-discrete time) thực sự là một phần của một hệ thống thời gian liên tục (CT-continuous time) lớn hơn. Ví dụ, một hệ thống ghi âm kỹ thuật số có một âm thanh analog, số hóa nó, có thể xử lý tín hiệu kỹ thuật số này, và phát lại một âm thanh analog tương tự cho mọi người nghe.
Về mặt hình thức, các tín hiệu DT được nghiên cứu hầu như luôn luôn là các phiên bản lấy mẫu đồng đều của tín hiệu CT. Nếu  x(t) là một tín hiệu CT, thì mộtbộ chuyển đổi từ analog sang kỹ thuật số sẽ chuyển đổi nó thành tín hiệu DT:
Trong đó T là chu kỳ lấy mẫuperiod. Việc giới hạn dải  tần số trong tín hiệu đầu vào để thể hiện chính xác trong tín hiệu DT là rất quan trọng, vì định lý lấy mẫu đảm bảo rằng không có thông tin về tín hiệu CT bị mất. Một tín hiệu DT có thể chỉ chứa một dải tần số bằng  1/(2T); các tần số khác bịlàm méo (qui) về dải lấy mẫu.
Các hệ thống thời gian rời rạc > Đáp ứng xung và tích chập

Cho  \{x[m-k];\ m\} thể hiện chuỗi {x[m-k]; đối với tất cả các giá trị nguyên của m}.
And let the shorter notation  \{x\}\, represent  \{x[m];\ m\}.
Một hệ thống rời rạc biến đổi một chuỗi đầu vào,  \{x\} thành một chuỗi đầu ra,  \{y\}. Tổng quát, mọi thành phần của đầu ra có thể phụ thuộc vào mọi thành phần của đầu vào. Biểu diễn phép toán biến đổi này bởi  O, chúng ta có thể viết:
Lưu lý rằng trừ phi biến đổi này tư nó thay đổi theo n, chuỗi đầu ra chỉ là hằng số, và hệ thống là đơn điệu. (Do đó chỉ số dưới, n.) Trong một hệ thống điển hình, y[n] hầu như phụ thuộc phần lớn vào thành phần x, thành phần có chỉ số gần như n.
Trong trường hợp đặc biệt của hàm delta Kronecker,  x[m]=\delta [m],  chuỗi đầu ra là đáp ứng xung:
Đối với một hệ thống tuyến tính,  O phải thỏa mãn:
Và bất biến theo thời gian yêu cầu là:
Trong một hệ thống như vậy, đáp ứng xung,  \{h\},\, mô tả đặc điểm của hệ thống hoàn toàn. Tức là, đối với bất kỳ chuỗi đầu vào nào, chuỗi đầu ra có thể được tính toán trong điều kiện của đầu vào và đáp ứng xung. Để xem điều này được thực hiện như thế nào hãy xem đồng nhất thức sau:
trong đó biểu thức  \{x\}\, theo tổng các hàm trọng số delta.
Do đó:
trong đó chúng ta viện dẫn phương trình Eq.4 trong trường hợp   c_{k}=x[k]\, và  x_{k}[m]=\delta [m-k].\,
VÀ bởi vì phương trình Eq.5, chúng ta có thể viết:
Do đó:
đó là công thức chập rời rạc quen thuộc. Toán tử O_n\,  có thể được hiểu là tỷ lệ thuận với trung bình trọng số của hàm x[k]. Hàm trọng số này là h[k], chỉ đơn giản là thay đổi bởi lượng n. Khi n thay đổi, hàm trọng số nhấn mạnh các phần khác nhau của hàm đầu vào. Một cách tương đương, đáp ứng của hệ thống đối với một xung tại n = 0 là một bản sao đảo ngược "thời gian"  của hàm trọng số không dịch chuyển. Khi h[k] là zero cho tất cả số âm k, hệ thống được gọi là nhân quả.
Các hệ thống thời gian rời rạc > Dùng hàm mũ làm hàm riêng

Hàm riêng là một hàm mà đầu ra của các toán hạng có hàm tương đương, chỉ thay đổi bởi một lượng tỉ lệ. Trong các biểu tượng,
trong đó f là hàm riêng và  \lambda  là vectơ riêng, một hằng số.
Hàm mũ  z^{n}=e^{sTn}, trong đó  n\in \mathbb {Z} , là hàm riêng của toán tử tuyến tính, bất biến theo thời gian.  T\in \mathbb {R}  khoảng thời gian lấy mẫu, và  z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} . Một ví dụ đơn giản minh họa khái niệm này.
Cho đầu vào là  x[n]=\,\!z^{n}. Đầu ra của hệ thống với đáp ứng xung  h[n] sẽ là
là tương đương với tính chất giao hoán sau của tích chập
chỉ phụ thuộc vào tham số z.
Do đó  z^{n} là một hàm riêng của một hệ thống LTI bởi vì đáp ứng của hệ thống đó là tương đương với đầu vào nhân với hằng số  H(z).
Các hệ thống thời gian rời rạc > Biếu đổi Z và biến đổi Fourier thời gian rời rạc

Thuộc tính riêng của hàm mũ là rất hữu ích cho cả việc phân tích và nghiên cứu sâu vào các hệ thống LTI. Biến đổi Z
chính là cách để lấy vectơ riêng từ đáp ứng xung. Đặc biệt là đối với các tín hiệu thuần sin, nghĩa là hàm mũ có dạng  e^{j\omega n}, trong đó  \omega \in \mathbb {R} . Biểu thức này cũng có thể viết lại theo  z^{n} với  z=e^{j\omega }. Điều này thường được gọi là hàm mũ phức ngay cả khi argument chỉ toàn là phần ảo. Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT)  H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\} cho các vectơ rieng của hàm sin chuẩn. Cả  H(z) và  H(e^{j\omega }) đều được gọi là hàm hệ thống, đáp ứng hệ thống, hoặc hàm truyền.
Biến đổi Z thường được sử dụng trong bối cảnh của các tín hiệu một chiều, tức là tín hiệu mà zero cho tất cả các giá trị của t nhỏ hơn so với một số giá trị. Thông thường, "thời gian bắt đầu" này được thiết lập bằng không, để thuận tiện và không mất tính tổng quát. Biến đổi Fourier được sử dụng để phân tích các tín hiệu trong phạm vi vô tận.
Do tính chất tích chập của cả hai biến đổi này, tích chập cung cấp đầu ra của hệ thống có thể được biến đổi thành một phép nhân trong miền biến đổi. Đó là,
Cũng như với biến đổi Laplace của hàm truyền trong phân tích hệ thống thời gian liên tục, biến đổi Z làm cho việc phân tích các hệ thống dễ dang hơn và hiểu sâu hơn về hành vi của chúng. Người ta có thể nhìn vào các mô đun hàm hệ thống |H(z)| để xem liệu đầu vào z^n được thông qua (cho qua) bởi hệ thống, hoặc bị từ chối hoặc bị suy giảm bởi hệ thống (không cho qua).
Các hệ thống thời gian rời rạc > Các ví dụ

Một ví dụ đơn giản của một toán tử LTI là toán tử trễ D\{x[n]\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x[n-1] .
D\left(c_{1}.x_{1}[n]+c_{2}.x_{2}[n]\right)=c_{1}.x_{1}[n-1]+c_{2}.x_{2}[n-1]=c_{1}.Dx_{1}[n]+c_{2}.Dx_{2}[n]   (nghĩa là nó là tuyến tính)
D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]\,   (nghĩa là nó là bất biến theo thời gian)
Một toán tử LTI đơn giản khác là toán tử trung bình
Các hệ thống thời gian rời rạc > Các thuộc tính quan trọng của hệ thống

Các đặc tính đầu vào-đầu ra của hệ thống thời gian rời rạc LTI hoàn toàn được mô tả bởi đáp xung h[n]. Một số thuộc tính quan trọng nhất của một hệ thống là tính nhân quả và ổn định. Không giống như các hệ thống CT, các hệ thống phi nhân quả DT có thể được thực hiện. Làm cho một hệ thống FIR phi nhân quả thành nhân quả bằng cách thêm các trễ thì không quan trọng. Ta thậm chí có thể làm cho các hệ thống IIR phi nhân quả. Các hệ thống không ổn định có thể được xây dựng và có thể hữu ích trong nhiều tình huống. Ngay cả hệ thống không thực cũng có thể được xây dựng và rất hữu ích trong nhiều trường hợp.
Các hệ thống thời gian rời rạc > Các thuộc tính quan trọng của hệ thống > Tính nhân quả

Một hệ thống LTI thời gian rời rạc là nhân quả nếu giá trị hiện tại của đầu ra chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại và giá trị quá khứ của đầu vào.,  Một điều kiện cần và đủ cho tính nhân quả là
trong đó  h[n] là đáp ứng xung. Không thể tổng quát khi xác định quan hệ nhân quả từ biến đổi Z, vì biến đổi nghịch đảo là không duy nhất. Khi một vùng hội tụ được xác định, thì quan hệ nhân quả có thể được xác định.
Các hệ thống thời gian rời rạc > Các thuộc tính quan trọng của hệ thống > Tính ổn định

Một hệ thống là giới hạn đầu vào, ổn định giới hạn đầu ra (ổn định BIBO) nếu, với mỗi đầu vào bị chặn, đầu ra là hữu hạn. Về mặt toán học, nếu
có nghĩa là
(nghĩa là, nếu đầu vào bị chặn bao gồm cả đầu ra bị chặn, nghĩa là các giá trị tuyệt đối lớn nhất của  x[n] và  y[n] là có giới hạn), thì hệ thống đó là ổn định. Một điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung  h[n], thỏa mãn
Một ví dụ đơn giản của một bộ điều khiển LTI là hàm trễ D\{x[n]\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x[n-1] .
D\left(c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right)=c_{1}x_{1}[n-1]+c_{2}x_{2}[n-1]=c_{1}Dx_{1}[n]+c_{2}Dx_{2}[n]   (có nghĩa là tuyến tính)
D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]\,   (có nghĩa là bất biến theo thời gian)
Các hệ thống thời gian rời rạc > Các thuộc tính quan trọng của hệ thống > Độ ổn định

Trong miền tần số,vùng hội tụ phải chứa vòng tròn đơn vị (nghĩa là, quỹ đạo nghiệm số phải thỏa mãn  |z|=1 với z là số phức).
Ostedes harmandi

| Ostedes harmandi> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Coleoptera
Phân bộ (subordo): Polyphaga
Liên họ (superfamilia): Cerambycoidea
Họ (familia): Cerambycidae
Chi (genus): Ostedes
Loài (species): O. harmandi
Danh pháp hai phần
Ostedes harmandi Breuning, 1968 
Ostedes harmandi là một loài bọ cánh cứng trong họ Cerambycidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.