stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Senna tora

| Senna tora |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Tông (tribus): Cassieae
Phân tông (subtribus): Cassiinae
Chi (genus): Senna
Loài (species): S. tora
Danh pháp hai phần
Senna tora (L.) Roxb. 
Danh pháp đồng nghĩa
 Numerous, see text
Senna tora là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được (L.) Roxb. miêu tả khoa học đầu tiên.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Senna tora”. Truy cập ngày 5 tháng 6 năm 2013.
María Teresa Castillo

María Teresa Castillo (15 tháng 10 năm 1908 – 22 tháng 6 năm 2012) là một nhà báo, chính trị gia, nhà hoạt động chính trị, nhà hoạt động nhân quyền người Venezuela. Cô là nhà sáng lập của Caracas Athenaeum, một viện văn hóa dẫn đầu trong việc phổ biến nghệ thuật Caracas. Cô cũng là chủ tịch của Caracas Athenaeum từ năm 1958 đến khi cô mất vào năm in 2012. Là một nhà hoạt động nhân quyền nổi trội, cô cũng đóng một vai trò lớn trong việc thiết lập chương Amnesty International của Venezuela vào năm 1978.
Chú thích

1 2 3  Roche Rodríguez, Michelle (ngày 22 tháng 6 năm 2012). “María Teresa Castillo: 103 años dedicados al progreso de Venezuela”. El Nacional (Caracas). Truy cập ngày 22 tháng 6 năm 2012.
Chlorophytum lancifolium

| Chlorophytum lancifolium> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocot
Bộ (ordo): Asparagales
Họ (familia): Asparagaceae
Chi (genus): Chlorophytum
Loài (species): C. lancifolium
Danh pháp hai phần
Chlorophytum lancifolium Welw. ex Baker 
Chlorophytum lancifolium là một loài thực vật có hoa trong họ Măng tây. Loài này được Welw. ex Baker mô tả khoa học đầu tiên năm 1878.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Chlorophytum lancifolium”. Truy cập ngày 16 tháng 7 năm 2013.
Falciano del Massico

Falciano del Massico là một đô thị ở tỉnh Caserta trong vùng Campania của Ý, có vị trí cách khoảng 45 km về phía tây bắc của Napoli và khoảng 35 km về phía tây bắc của Caserta. Tại thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2004, đô thị này có dân số 3.831 người và diện tích là 42,0 km².
Falciano del Massico giáp các đô thị: Cancello e Arnone, Carinola, Francolise, Grazzanise, Mondragone, Sessa Aurunca.
Ectropis sigai

| Ectropis sigai> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Ectropis
Loài (species): E. sigai
Danh pháp hai phần
Ectropis sigai Herbulot 1981 
Ectropis sigai là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Dạng thức bắc cầu

Dạng thức bắc cầu (bridge pattern) là một dạng thức thiết kế được dùng trong công nghệ phần mềm.
Dạng thức bắc cầu dùng để "tách riêng tính trừu tượng ra khỏi thực thể của nó để cho cả hai có thể thay đổi một cách độc lập" (Gamma et. al.). Dạng thức bắc cầu dùng tính đóng gói, tính kết hợp, và có thể dùng tính kế thừa để tách riêng việc xử lý (trách nhiệm) giao cho từng lớp khác nhau.
Khi mà các lớp thường xuyên bị thay đổi, thì các đặc tính của lập trình hướng đối tượng trở nên rất hữu ích vì sự thay đổi ở các mã lệnh của chương trình có thể được thực hiện dễ dàng với ít công sức nhất trong việc tìm hiểu toàn bộ chương trình. Dạng thức bắc cầu rất hữu ích khi không chỉ bản thân lớp thay đổi thường xuyên mà ngay cả những công việc mà nó thực hiện cũng thay đổi. Bản thân lớp có thể được xem là một sự trừu tượng và những gì mà lớp đó có thể thực hiện là sự hiện thực.
Khi mà sự trừu tượng và sự hiện thực được tách riêng thì sự thay đổi của mỗi cái là không phụ thuộc nhau. Một ví dụ hay của dạng thức thiết kế bắc cầu trong tác phẩm Design Patterns Explained: A New Perspective on Object-Oriented Design của Shalloway và Trott. Giả sử bạn có một sự trừu tượng, đó là một shapes. Bạn muốn có nhiều loại shapes (i.e.: rectangle, triangle, circle...) và mỗi cái có các thuộc tính riêng nhưng có những điểm chung, đó là những điểm mà mọi shapes đều có thể có. Một trong chúng là mọi shapes có thể tự vẽ (draw) chúng. Tuy nhiên, việc vẽ các hình lên màn hình đôi khi phụ thuộc vào các hiện thực đồ họa (hình dáng của mỗi loại shape) khác nhau và hệ điều hành khác nhau. Bạn muốn các shapes của mình có thể thực hiện thao tác vẽ trên nhiều loại hệ thống nhưng nếu để cho shape tự xử lý toàn bộ hay phải chỉnh sửa từng shape class để phù hợp cho từng kiến trúc khác nhau là không thực tiễn. Dạng thức bắc cầu giúp cho bạn tạo ra các lớp mới có thể cung cấp hiện thực các tác vụ vẽ. Lớp trừu tượng, shape, cung cấp các phương thức để lấy các thông tin kích thước và thuộc tính của một shape trong khi lớp hiện thực, vẽ, cung cấp một giao diện cho các tác vụ vẽ. Bây giờ nếu shape mới cần được tạo ra (một hình bông tuyết chẳng hạn) hay nếu muốn có thể vẽ các hĩnh vẽ của bạn bằng các hàm đồ họa API mới thì chỉ việc thêm một lớp mới để xây dựng (implement) các đặc tính bạn cần.
Cấu trúc

Client
Đối tượng cần dùng dạng thức bắc cầu
Abstraction
định ra một abstract interface
quản lý việc tham chiếu đến đối tượng hiện thực cụ thể (Implementor)
Refined Abstraction
Mở rộng interface mà đã được định ra trong Abstraction
Implementor
định ra các interface cho các lớp hiện thực. (Thông thường thì Abstraction interface định ra các tác vụ ở mức cao dựa trên các hiện thực của interface này.)
ConcreteImplementor
hiện thực Implementor interface
Ví dụ > Java

Chương trình Java sau minh hoạ ví dụ "shapes" đã nói ở trên và đưa ra kết quả:
API1.circle at 1.000000:2.000000 radius 7.500000
API2.circle at 5.000000:7.000000 radius 27.500000
/** "Implementor" */
interface DrawingAPI {
    public void drawCircle(double x, double y, double radius);
}

/** "ConcreteImplementor" 1/2 */
class DrawingAPI1 implements DrawingAPI {
   public void drawCircle(double x, double y, double radius) {
        System.out.printf("API1.circle at %f:%f radius %f\n", x, y, radius);
   }
}

/** "ConcreteImplementor" 2/2 */
class DrawingAPI2 implements DrawingAPI {
   public void drawCircle(double x, double y, double radius) { 
        System.out.printf("API2.circle at %f:%f radius %f\n", x, y, radius);
   }
}

/** "Abstraction" */
interface Shape {
   public void draw();                                            // low-level
   public void resizeByPercentage(double pct);     // high-level
}

/** "Refined Abstraction" */
class CircleShape implements Shape {
   private double x, y, radius;
   private DrawingAPI drawingAPI;
   public CircleShape(double x, double y, double radius, DrawingAPI drawingAPI) {
       this.x = x;  this.y = y;  this.radius = radius; 
       this.drawingAPI = drawingAPI;
   }

   // low-level i.e. Implementation specific
   public void draw() {
        drawingAPI.drawCircle(x, y, radius);
   }   
   // high-level i.e. Abstraction specific
   public void resizeByPercentage(double pct) {
        radius *= pct;
   }
}

/** "Client" */
class BridgePattern {
   public static void main(String[] args) {
       Shape[] shapes = new Shape[2];
       shapes[0] = new CircleShape(1, 2, 3, new DrawingAPI1());
       shapes[1] = new CircleShape(5, 7, 11, new DrawingAPI2());

       for (Shape shape: shapes) {
           shape.resizeByPercentage(2.5);
           shape.draw();
       }
   }
}
|
Senecio bomanii

| Senecio bomanii> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Asterales
Họ (familia): Asteraceae
Chi (genus): Senecio
Loài (species): S. bomanii
Danh pháp hai phần
Senecio bomanii R.E.Fr., 1906 
Senecio bomanii là một loài thực vật có hoa trong họ Cúc. Loài này được R.E.Fr. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1906.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Senecio bomanii”. Truy cập ngày 4 tháng 6 năm 2013.
Macaranga mellifera

| Macaranga mellifera> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Malpighiales
Họ (familia): Euphorbiaceae
Chi (genus): Macaranga
Loài (species): M. mellifera
Danh pháp hai phần
Macaranga mellifera Prain 
Macaranga mellifera là một loài thực vật có hoa trong họ Đại kích. Loài này được Prain mô tả khoa học đầu tiên năm 1911.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Macaranga mellifera”. Truy cập ngày 3 tháng 6 năm 2013.
Lý thuyết số

Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó.
Lý thuyết số có thể chia thành một vài lĩnh vực dựa theo phương pháp giải và các dạng bài toán được xem xét. (Xem Danh sách các chủ đề của lý thuyết số).
Cụm từ "số học" cũng được sử dụng để nói đến lý thuyết số. Đây là cụm từ không còn được sử dụng rộng rãi nữa. Tuy nhiên, nó vẫn còn hiện diện trong tên của một số lĩnh vực toán học (hàm số học, số học đường cong elliptic, định lý cơ bản của số học). Việc sử dụng cụm từ số học ở đây không nên nhầm lẫn với số học sơ cấp.
Các lĩnh vực > Lý thuyết số sơ cấp

Trong lý thuyết số sơ cấp, các số nguyên được nghiên cứu mà không cần các kĩ thuật từ các lĩnh vực khác của toán học. Nó nghiên cứu các vấn đề về chia hết, cách sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất, phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố, việc nghiên cứu các số hoàn thiện và đồng dư.
Rất nhiều vấn đề trong lý thuyết số có thể phát biểu dưới ngôn ngữ sơ cấp, nhưng chúng cần những nghiên cứu sâu sắc và những tiếp cận mới bên ngoài lĩnh vực lý thuyết số để giải quyết.
Một số ví dụ:
Giả thuyết Goldbach nói về việc biểu diễn các số chẵn thành tổng của hai số nguyên tố.
Giả thuyết Catalan (bây giờ là định lý Mihăilescu) nói về các lũy thừa nguyên liên tiếp.
Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi nói rằng có thể có vô hạn số nguyên tố sinh đôi
Giả thuyết Collatz nói về một dãy đệ quy đơn giản
Định lý lớn Fermat (nêu lên vào năm 1637, đến năm 1994 mới được chứng minh) nói rằng phương trình  x^{n}+y^{n}=z^{n} không có nghiệm nguyên khác không với n lớn hơn 2.
Lý thuyết về phương trình Diophantine thậm chí đã được chứng minh là không có phương pháp chung đề giải (Xem Bài toán thứ 10 của Hilbert)
Các lĩnh vực > Lý thuyết số giải tích

Lý thuyết số giải tích sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vấn đề về số nguyên. Định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Bài toán Waring (biểu diễn một số nguyên cho trước thành tổng các bình phương, lập phương, v.v...), giả thuyết số nguyên tố sinh đôi và giả thuyết Goldbach cũng đang bị tấn công bởi các phương pháp giải tích. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là π hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết giải tích số. Trong khi những phát biểu về các số siêu việt dường như đã bị loại bỏ khỏi việc nghiên cứu về các số nguyên, chúng thực sự nghiên cứu giá trị của các đa thức với hệ số nguyên tại, ví dụ, e; chúng cũng liên quan mật thiết với lĩnh vực xấp xỉ Diophantine, lĩnh vực nghiên cứu một số thực cho trước có thể xấp xỉ bởi một số hữu tỉ tốt tới mức nào.
Các lĩnh vực > Lý thuyết số đại số

Trong Lý thuyết số đại số, khái niệm của một số được mở rộng thành các số đại số, tức là các nghiệm của các đa thức với hệ số nguyên. Những thứ này bao gồm những thành phần tương tự với các số nguyên, còn gọi là số nguyên đại số. Với khái niệm này, những tính chất quen thuộc của số nguyên (như phân tích nguyên tố duy nhất) không còn đúng. Lợi thế của những công cụ lý thuyết - Lý thuyết Galois, group cohomology, class field theory, biểu diễn nhóm và L-hàm - là nó cho phép lấy lại phần nào trật tự của lớp số mới.
Rất nhiều vấn đề lý thuyết số có thể được giải quyết một cách tốt nhất bởi nghiên cứu chúng theo modulo p với mọi số nguyên tố p (xem các trường hữu hạn). Đây được gọi là địa phương hóa và nó dẫn đến việc xây dựng các số p-adic; lĩnh vực nghiên cứu này được gọi là giải tích địa phương và nó bắt nguồn từ lý thuyết số đại sô.
Các lĩnh vực > Lý thuyết số hình học

Lý thuyết số hình học (cách gọi truyền thống là (hình học của các số) kết hợp tất cả các dạng hình học. Nó bắt đầu với định lý Minkowski về các điểm nguyên trong các tập lồi và những nghiên cứu về sphere packing.
Các lĩnh vực > Lý thuyết số tổ hợp

Lý thuyết số tổ hợp giải quyết các bài toán về lý thuyết số mà có tư tưởng tổ hợp trong công thức hoặc cách chứng minh của nó. Paul Erdős là người khởi xướng chính của ngành lý thuyết số này. Những chủ đề thông thường bao gồm hệ bao, bài toán tổng-zero, rất nhiều restricted sumset và cấp số cộng trong một tập số nguyên. Các phương pháp đại số hoặc giải tích rất mạnh trong những lĩnh vực này.
Các lĩnh vực > Lý thuyết số máy tính

Lý thuyết số máy tính nghiên cứu các thuật toán liên quan đến lý thuyết số. Những thuật toán nhanh chóng để kiểm tra tính nguyên tố và phân tích thừa số nguyên tố có những ứng dụng quan trọng trong mã hóa.
Lịch sử > Lý thuyết số thời kì Vedic

Các nhà toán học Ấn Độ đã quan tâm đến việc tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine từ thời kì Vedic. Những ứng dụng sớm nhất vào hình học của phương trình Diophantine có thể tìm thấy trong kinh Sulba, được viết vào khoảng giữa thế kỉ thứ 8 và thế kỉ thứ 6 trước Công nguyên. Baudhayana (năm 800 TCN) tìm thấy hai tập nghiệm nguyên dương của một hệ các phương trình Diophantine, và cũng sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới bốn ẩn. Apastamba (năm 600) sử dụng hệ phương trình Diophantine với tới năm ẩn.
Lịch sử > Lý thuyết số của người Jaina

Ở Ấn Độ, các nhà toán học Jaina đã phát triển lý thuyết số có hệ thống đầu tiên từ thế kỉ thứ 4 trước Công Nguyên tới thế kỉ thứ 2. Văn tự Surya Prajinapti (năm 400 TCN) phân lớp tất cả các số thành ba tập: đếm được, không đếm được và vô hạn. Mỗi tập này lại được phân thành ba cấp:
Đếm được: thấp nhất, trung bình, và cao nhất.
Không đếm được: gần như không đếm được, thật sự không đếm được, và không đếm được một cách không đếm được.
Vô hạn: gần như vô hạn, thật sự vô hạn, vô hạn một cách vô hạn
Những người Jain là những người đầu tiên không chấp nhận ý tưởng các vô hạn đều như nhau. Họ nhận ra năm loại vô hạn khác nhau: vô hạn theo một hoặc hai hướng (một chiều), vô hạn theo diện tích (hai chiều), vô hạn mọi nơi (ba chiều), và vô hạn liên tục (vô số chiều).
Số đếm được cao nhất N của người Jain tương ứng với khái niệm hiện đại aleph-không  \aleph _{0} (cardinal number của tập vô hạn các số nguyên 1,2,...), the smallest cardinal transfinite number. Người Jain cũng định nghĩa toàn bộ hệ thống các cardinal number, trong đó  \aleph _{0} là nhỏ nhất.
Trong công trình của người Jain về lý thuyết tập hợp, họ phân biệt hai loại transfinite number cơ bản. Ở cả lĩnh vực vật lý và bản thể học (ontology), sự khác nhau được tạo ra giữa asmkhyata và ananata, giữa vô hạn bị chặn ngặt và vô hạn bị chặn lỏng.
Lịch sử > Lý thuyết số Hellenistic

Lý thuyết số là một đề tài ưa thích của các nhà toán học Hellenistic ở Alexandria, Ai Cập từ thế kỉ thứ 3 sau Công Nguyên. Họ đã nhận thức được khái niệm phương trình Diophantine trong rất nhiều trường hợp đặc biệt. Nhà toán học Hellenistic đầu tiên nghiên cứu những phương trình này là Diophantus.
Diophantus cũng đã tìm kiếm một phương pháp để tìm nghiệm nguyên của các phương trình vô định tuyến tính, những phương trình mà thiếu điều kiện đủ để có một tập duy nhất các nghiệm phân biệt. Phương trình  x+y=5 là một phương trình như vậy. Diophantus đã khám phá ra nhiều phương trình vô định có thể biến đổi thành các dạng đã biết mặc dù thậm chí còn không biết được nghiệm cụ thể.
Lịch sử > Lý thuyết số Ấn Độ cổ điển

Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ. Họ là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine. Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính  ay+bx=c, được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông. Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của phương trình Diophantine bằng liên phân số. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong thiên văn học. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với phương trình tuyến tính vô định bằng phương pháp này.
Brahmagupta vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn. Ông sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của phương trình Pell, như là  61x^{2}+1=y^{2}. Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 và sau đó được dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Phương trình  61x^{2}+1=y^{2} sau đó đã được chuyển thành một bài toán vào năm 1657 bởi nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Leonhard Euler hơn 70 năm sau đã tìm được nghiệm tổng quát đối với trường hợp riêng này của phương trình Pell, trong khi nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được tìm ra hơn 100 năm sau đó bởi Joseph Louis Lagrange vào 1767. Trong khi đó, nhiều thế kỉ trước, nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được ghi lại bởi Bhaskara II vào 1150, sử dụng một dạng khác của phương pháp chakravala. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát đối với các phương trình vô định bậc hai và phương trình Diophantine bậc hai khác. Phương pháp chakravala của Bhaskara dùng để tìm nghiệm phương trình Pell đơn giản hơn nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã tìm được nghiệm của các phương trình vô định bậc hai, bậc ba, bốn và cao hơn. Narayana Pandit đã cải tiến phương pháp chakravala và tìm thêm được các nghiệm tổng quát hơn đối với các phương trình vô định bậc hai và cao hơn khác.
Lịch sử > Lý thuyết số của người Hồi giáo

Từ thế kỉ 9, các nhà toán học Hồi giáo đã rất quan tâm đến lý thuyết số. Một trong những nhà toán học đầu tiên này là nhà toán học Ả Rập Thabit ibn Qurra, người đã khám phá ra một định lý cho phép tìm các cặp số bạn bè, tức là các số mà tổng các ước thực sự của số này bằng số kia. Vào thế kỉ 10, Al-Baghdadi đã nhìn vào một ít biến đổi trong định lý của Thabit ibn Qurra.
Vào thế kỉ 10, al-Haitham có thể là người đầu tiên phân loại các số hoàn hảo chẵn (là các số mà tổng các ước thực sự của nó bằng chính nó) thành các số có dạng  2^{k-1}(2^{k}-1) trong đó  2^{k}-1 là số nguyên tố. Al-Haytham cũng là người đầu tiên phát biểu định lý Wilson (nói rằng p là số nguyên tố thì  1+(p-1)! chia hết cho p). Hiện không rõ ông ta có biết cách chứng minh nó không. Định lý có tên là định lý Wilson vì căn cứ theo một lời chú thích của Edward Waring vào năm 1770 rằng John Wilson là người đầu tiên chú ý đến kết quả này. Không có bằng chứng nào chứng tỏ John Wilson đã biết cách chứng minh và gần như hiển nhiên là Waring cũng không. Lagrange đã đưa ra chứng minh đầu tiên vào 1771.
Các số bạn bè đóng vai trò quan trọng trong toán học của người Hồi giáo. Vào thế kỉ 13, nhà toán học Ba Tư Al-Farisi đã đưa ra một chứng minh mới cho định lý của Thabit ibn Qurra, giới thiệu một ý tưởng mới rất quan trọng liên quan đến phương pháp phân tích thừa số và tổ hợp. Ông cũng đưa ra cặp số bạn bè 17296, 18416 mà người ta vẫn cho là của Euler, nhưng chúng tao biết rằng những số này còn được biết đến sớm hơn cả al-Farisi, có thể bởi chính Thabit ibn Qurra. Vào thế kỉ 17, Muhammad Baqir Yazdi đưa ra cặp số bạn bè 9.363.584 và 9.437.056 rất nhiều năm trước khi Euler đưa ra.
Lịch sử > Lý thuyết số châu Âu ban đầu

Lý thuyết số bắt đầu ở Châu Âu vào thế kỉ 16 và 17, với François Viète, Bachet de Meziriac, và đặc biệt là Fermat, mà phương pháp lùi vô hạn của ông là chứng minh tổng quát đầu tiên của phương trình Diophantine. Định lý lớn Fermat được nêu lên như là một bài toán vào năm 1637, và không có lời giải cho đến năm 1994. Fermat cũng nêu lên bài toán  61x^{2}+1=y^{2} vào năm 1657.
Vào thế kỉ 18, Euler và Lagrange đã có những cống hiến quan trọng cho lý thuyết số. Euler đã làm một vài công trình về lý thuyết số giải tích, và tình được một nghiệm tổng quát của phương trình  61x^{2}+1=y^{2}, mà Fermat nêu thành bài toán. Lagrange đã tìm được một nghiệm của phương trình Pell tổng quát hơn. Euler và Lagrange đã giải những phương trình Pell này bằng phương pháp liên phân số, mặc dù nó còn khó hơn phương pháp chakravala của Ấn Độ.
Lịch sử > Mở đầu lý thuyết số hiện đại

Khoảng đầu thế kỉ 19 các cuốn sách của Legendre (1798), và Gauss kết hợp thành những lý thuyết có hệ thống đầu tiên ở châu Âu. Cuốn Disquisitiones Arithmeticae (1801) có thể nói là đã mở đầu lý thuyết số hiện đại.
Sự hình thành lý thuyết đồng dư bắt đầu với cuốn Disquisitiones của Gauss. Ông giới thiệu ký hiệu
và đã khám phá ra hầu hết trong lĩnh vực này. Chebyshev đã xuất bản vào năm 1847 một công trình bằng tiếng Nga về chủ đề này, và ở Pháp Serret đã phổ biến nó.
Bên cạnh những công trình tổng kết trước đó, Legendre đã phát biểu luật tương hỗ bậc hai. Định lý này, được khám phá ra bởi quy nạp và được diễn đạt bởi Euler, đã được chứng minh lần đầu tiên bởi Legendre trong cuốn Théorie des Nombres của ông (1798) trong những trường hợp đặc biệt. Độc lập với Euler và Legendre, Gauss đã khám phá ra định luật này vào khoảng năm 1795, và là người đầu tiên đưa ra chứng minh tổng quát. Những người cũng có cống hiến quan trọng: Cauchy; Dirichlet với cuốn Vorlesungen über Zahlentheorie kinh điển; Jacobi, người đã đưa ra ký hiệu Jacobi; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, và Kronecker. Lý thuyết này đã được mở rộng để bao gồm biquadratic reciprocity (Gauss, Jacobi những người đầu tiên chứng minh luật tương hỗ bậc ba, và Kummer).
Gauss cũng đã đưa ra biểu diễn các số thành các dạng bậc hai cơ số hai.
Lịch sử > Lý thuyết số về số nguyên tố

Một chủ đề lớn và lặp đi lặp lại trong lý thuyết số đó là nghiên cứu về sự phân bố số nguyên tố. Carl Fiedrich Gauss đã dự đoán kết quả của định lý số nguyên tố khi còn là học sinh trung học.
Chebyshev (1850) đưa ra các chặn cho số số nguyên tố giữa hai giới hạn cho trước. Riemann giới thiệu giải tích phức thành lý thuyết về hàm zeta Riemann. Điều này đã dẫn đến mối quan hệ giữa các số không của hàm zeta và sự phân bố số nguyên tố, thậm chí dẫn tới một chứng minh cho định lý số về số nguyên tố độc lập với Hadamard và de la Vallée Poussin vào năm 1896. Tuy nhiên, một chứng minh sơ cấp đã được đưa ra sau đó bởi Paul Erdős và Atle Selberg vào năm 1949. Ở đây sơ cấp nghĩa là không sử dụng kĩ thuật giải tích phức; tuy nhiên chứng minh vẫn rất đặc biệt và rất khó. Giả thuyết Riemann, đưa ra những thông tin chính xác hơn, vẫn còn là một câu hỏi mở.