stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Repunit
Các tính chất

Bất cứ repunit trong bất cứ cơ số nào có số chữ số là hợp số thì số đó cũng là hợp số.  Chỉ có các số repunit (trong bất cứ cơ số nào) có số chữ số là số nguyên tố thì mới là số nguyên tố. Đây là điều kiện cần nhưng chưa đủ. Lấy ví dụ
R35(b) = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,
Nếu p là số nguyên tố lẻ, thì với mọi số nguyên tố q là ước của Rp(b) đều phải hoặc là tổng của 1 cộng với bội của 2p, hoặc là ước của b − 1. Lấy ví dụ, ước nguyên tố của R29 là 62003 = 1 + 2·29·1069. Lý do đứng đằng sau tính chất này là bởi p là số mũ nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho q là ước của bp − 1, và bởi p là số nguyên tố. Do đó, trừ phi q là ước của b − 1, thì p là ước của hàm Carmichael của q, giá trị của hàm bằng với q − 1.
Bất kỳ bội của Rn(b) chứa ít nhất n chữ số khác không trong cơ số b.
Bất kỳ số x là số repunit cơ số x − 1.
Các số duy nhất được biết là có nhiều hơn 3 chữ số trong 2 hệ cơ số trở lên là số 31 (111 trong cơ số 5, 11111 trong cơ số 2) và 8191 (111 trong cơ số 90, 1111111111111 trong cơ số 2). Giả thuyết Goormaghtigh cho rằng đây là hai trường hợp duy nhất.
Sử dụng nguyên lý ngăn kéo Dirichlet, ta dễ chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và b nguyên tố cùng nhau, tồn tại số repunit cơ số b là bội của n. Để chứng minh, ta xét R1(b),...,Rn(b). Bởi có n repunits nhưng chỉ có n−1 phần dư khác 0 khi chia n, tồn tại hai số Ri(b) và Rj(b) với 1 ≤ i < j ≤ n sao cho Ri(b) và Rj(b) đồng dư mô đun n. Từ đây dễ thấy rằng Rj(b) − Ri(b) sẽ dư 0 khi mô đun n, tức là chia hết cho n. Bởi Rj(b) − Ri(b) chứa j − i chũ số 1 rồi theo sau bởi i chữ số không, Rj(b) − Ri(b) = Rj−i(b) × bi. Vì n là ước của vế trái của phương trình, nên nó cũng là ước vế phải, nhưng vì n và b nguyên tố cùng nhau, n phải là ước của Rj−i(b).
Giả thuyết Feit–Thompson cho rằng Rq(p) không bao giờ là ước của Rp(q) với mọi hai số nguyên tố phân biệt p và q.
Sử dụng thuật toán Euclid cho định nghĩa số repunit: R1(b) = 1; Rn(b) = Rn−1(b) × b + 1, bất kỳ cặp số repunit liên tiếp Rn−1(b) và Rn(b) đều nguyên tố cùng nhau cho mọi cơ số b và mọi giá trị n.
Nếu m và n có ước chung d, Rm(b) và Rn(b) sẽ có ước chung Rd(b) trong mọi cơ số b cho bất kỳ m và n. Nghĩa là, dãy các số repunit dưới một cơ số cố định sẽ lập thành dãy chia mạnh. Hệ quả từ đó là, nếu m và n nguyên tố cùng nhau thì Rm(b) và Rn(b) cũng nguyên tố cùng nhau. Thuật toán Euclid dựa trên tính chất gcd(m, n) = gcd(m − n, n) cho m > n. Tương tự như vậy, áp dụng Rm(b) − Rn(b) × bm−n = Rm−n(b), dễ thấy rằng gcd(Rm(b), Rn(b)) = gcd(Rm−n(b), Rn(b)) for m > n. Do đó, nếu gcd(m, n) = d, thì gcd(Rm(b), Rn(b)) = Rd(b).
Phân tích thừa số của các số repunit hệ thập phân

(Các ước nguyên tố được tô màu đỏ nghĩa là "ước nguyên tố mới", tức là các số nguyên tố là ước của Rn nhưng không phải là ước của Rk với mọi k < n) (dãy số A102380 trong bảng OEIS)
Dãy uớc nguyên tố nhỏ nhất của Rn với n > 1 là dãy số sau:
Số nguyên tố repunit

Lý do các nhà toán học tiêu khiển định nghĩa số repunit là bởi họ muốn tìm hiểu các ước nguyên tố của các số đó.
Dễ chứng minh rằng nếu n chia hết cho a, thì Rn(b) chia hết cho Ra(b):
trong  \Phi _{d}(x) là đa thức cyclotomic thứ d và d chạy trên các ước của n. Khi p là số nguyên tố,
có dạng của số repunit khi x được thay bằng b.
Lấy ví dụ, 9 chia hết cho 3, nên R9 chia hết cho R3—cụ thể hơn, 111111111 = 111 · 1001001. Đa thức cyclotomic tương ứng là  \Phi _{3}(x) và  \Phi _{9}(x), tức  x^{2}+x+1 và  x^{6}+x^{3}+1 tương ứng. Do đó, để Rn là số nguyên tố, thì n phải là số nguyên tố, nhưng điều kiện này chưa đủ. Lấy ví dụ, R3 = 111 = 3 · 37 không phải là số nguyên tố. Ngoại trừ trường hợp R3 ra,  p chỉ có thể là ước của Rn với n là số nguyên tố nếu p = 2kn + 1 với một số giá trị k.
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số thập phân

Rn là số nguyên tố khi n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 ... (dãy A004023 trong OEIS). R86453 là số có thể nguyên tố.  Vào ngày 3 tháng 4 năm 2007, Harvey Dubner (đồng thời là người tìm ra R49081) công bố rằng R109297 là số có thể nguyên tố. Rồi đến ngày 15 tháng 7 cùng năm, Maksym Voznyy công bố rằng R270343 là số có thể nguyên tố. Serge Batalov và Ryan Propper tìm ra rằng R5794777 và R8177207 là số có thể nguyên tố vào ngày 20 tháng 4 và ngày 8 tháng 5 trong cùng năm 2021, tương ứng. Vào thời điểm họ tìm ra, đây cũng là các số có thể nguyên tố lớn nhất. Vào ngày 22 tháng 3 năm 2022 số có thể nguyên tố R49081 cũng được chứng minh là số nguyên tố.
Hiện ta đang có giả thuyết rằng sẽ có vô số số nguyên tố repunit và có vẻ mật độ của nó sẽ dựa trên định lý số nguyên tố tiên đoán: số mũ của số nguyên tố repunit thứ N thường nằm quanh bội của số nguyên tố repunit thứ N-1.
Số nguyên tố repunit là tập con tầm thường của số nguyên tố hoán vị, số nguyên số hoán vị là các số nguyên tố giữ tính nguyên tố bất kể hoán vị các chữ số trong đó.
Số repunit cơ số thập phân có tính chất cơ bản rằng, nếu số chữ số tức n là bội của 3 hoặc 9 thì số đó cũng là bội của R3 hoặc R9 tương ứng. Thật vậy, bởi 10a ≡ 1 (mod 9), và 10a ≡ 1 (mod 3) với bất kỳ a ≥ 0 nên
n ≡ 0 (mod 3) ⇔ Rn ≡ 0 (mod 3) ⇔ Rn ≡ 0 (mod R3),
n ≡ 1 (mod 3) ⇔ Rn ≡ 1 (mod 3) ⇔ Rn ≡ R1 ≡ 1 (mod R3),
n ≡ 2 (mod 3) ⇔ Rn ≡ 2 (mod 3) ⇔ Rn ≡ R2 ≡ 11 (mod R3).
Do đó, 3 | n ⇔ 3 | Rn ⇔ R3 | Rn.
n ≡ r (mod 9) ⇔ Rn ≡ r (mod 9) ⇔ Rn ≡ Rr (mod R9),
với 0 ≤ r < 9.
Do đó, 9 | n ⇔ 9 | Rn ⇔ R9 | Rn.
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 2

Bài chi tiết: số nguyên tố Mersenne
Các số nguyên tố repunit cơ số 2 được gọi là số nguyên tố Mersenne.
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 3

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 3 là
tương ứng với  n bằng
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 4

Số nguyên tố repunit duy nhất cơ số 4 là số 5 ( 11_{4}).  4^{n}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right), và 3 là ước của  2^{n}+1 khi n lẻ và của  2^{n}-1 khi n chẵn. Khi n lớn hơn 2 thì cả  2^{n}+1 và  2^{n}-1 đều lớn hơn 3, do đó bỏ đi 3 vẫn để lại hai ước nguyên tố khác lớn hơn 1. Do đó không tồn tại số nguyên tố repunit cơ số 4 nào khác ngoài số 5 .
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 5

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 5 là
tương ứng với  n bằng
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 6

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 6 là
tương ứng với  n bằng
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 7

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 7 là
tương ứng với  n bằng
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 8

Số nguyên tố repunit cơ số 8 duy nhất là số 73 ( 111_{8}).  8^{n}-1=\left(4^{n}+2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right), và 7 là ước của  4^{n}+2^{n}+1 khi n không chia hết cho 3 và của  2^{n}-1 khi n là bội của 3.
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 9

Không tồn tại nguyên tố repunit cơ số 9 nào. Bởi  9^{n}-1=\left(3^{n}+1\right)\left(3^{n}-1\right), và cả hai  3^{n}+1 và  3^{n}-1 đều chẵn và lớn hơn 4.
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 11

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 11 là
tương ứng với  n bằng
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 12

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 12 là
tương ứng với  n bằng
Số nguyên tố repunit > Số nguyên tố repunit cơ số 20

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 20 là
tương ứng với  n bằng
Số nguyên tố repunit > Phân tích đại số của các số repunit tổng quát

Nếu b là lũy thừa hoàn hảo (tức là có thể viết thành mn, trong đó m, n là các số nguyên và n > 1) khác 1, thì chỉ có tối đa một số repunit cơ số b. Nếu n là lũy thừa nguyên tố (tức là có thể viết thành pr, với p là số nguyên tố, r là số nguyên và p, r >0), thì tất cả các số repunit cơ số b đều không phải số nguyên tố ngoại trừ các số Rp và R2. Rp có thể là số nguyên tố và hợp số, ví dụ nó là số nguyên tố là các số b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, các ví dụ sau thì bao gồm, b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, vv., và R2 có thể là số nguyên tố (khi p khác 2) nếu b âm hoặc là lũy thừa của −2, lấy ví dụ như b = −8, −32, −128, −8192, vv., kể cả vậy R2 vẫn có thể là hợp số, lấy ví dụ như b = −512, −2048, −32768, vv. Nếu n không phải lũy thừa nguyên tố thì không có số nguyên tố cơ số b nào tồn tại, lấy ví dụ b = 64, 729 (với n = 6), b = 1024 (với n = 10), và b = −1 hoặc 0 (với n là số tự nhiên tùy ý).
Số nguyên tố repunit > Giả thuyết tổng quát cho repunit

Một giả thuyết liên quan đến dạng tổng quát của số repunit: (giả thuyết này tiên đoán số nguyên số Mersenne tổng quát tiếp theo, và nếu giả thuyết này đúng thì có vô số số nguyên tố repunit cho mọi cơ số  b khả thi)
Cho bất kỳ số tự nhiên  b thỏa mãn các điều kiện sau:
|b|>1.
b không phải lũy thừa hoàn hảo. (bởi nếu  b là lũy thừa hoàn hảo bậc  r, thì ta có thể chứng minh chỉ có tối đa một giá trị của  n sao cho  {\frac {b^{n}-1}{b-1}} là số nguyên tố, và giá trị này của  n hoặc là  r hoặc là căn bậc  k của  r với một số số k)
b không nằm dưới dạng  -4k^{4}. (nếu có thì số đó có phân tích thừa số dạng aurifeuillean)
thì sẽ có số nguyên tố repunit tổng quát dưới dạng
với  p là số nguyên tố, các số nguyên tố sẽ được phân phối gần với đường sau
trong đó giới hạn  n\rightarrow \infty ,  G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...
và có khoảng
số nguyên tố cơ số b nhỏ hơn N. Trong đó:
e là cơ số của lôgarit tự nhiên.
\gamma  là hằng số Euler–Mascheroni.
\log _{|b|} là logarit trong cơ số  |b|
R_{(b)}(n) là số nguyên tố repunit tổng quát thứ  n trong cơ số b (cùng số nguyên tố p)
C là hằng số hợp dữ liệu phụ thuộc vào  b.
\delta =1 nếu  b>0,  \delta =1.6 nếu  b<0.
m là số tự nhiên lớn nhất sao cho  -b là lũy thừa  2^{m-1}.
Ngoài ra chúng ta còn có 3 tính chất sau:
Số các số nguyên tố dưới dạng  {\frac {b^{n}-1}{b-1}} (với  p là số nguyên tố) nhỏ hơn hoặc bằng  n xấp xỉ với  e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}.
Ước tính số các số nguyên tố dưới dạng  {\frac {b^{n}-1}{b-1}} cùng với số nguyên tố  p nằm giữa  n và  |b|\cdot n là vào khoảng  e^{\gamma }.
Xác suất rằng số dưới dạng  {\frac {b^{n}-1}{b-1}} là số nguyên tố (với  p là số nguyên tố) nằm vào khoảng  {\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}.
Lịch sử

Vào thời gian mà các số repunit chưa được đặt tên, các số repunit trong hệ thập phân được nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán học trong thế kỷ 19 để tìm ra và tiên đoán tính chất của các số lặp lại chữ số.
Ta phát hiện được rất sớm rằng với mọi số nguyên tố p lớn hơn 5, chu kỳ của khai triển của 1/p bằng với độ dài của số repunit nhỏ nhất chia hết cho p. Bảng chu kỳ của nghịch đảo các số nguyên tố cho tới 60,000 đã được xuất bản vào năm 1860 và cho phép các nhà toán học như Reuschle tìm ra phân tích thừa số nguyên tố của các số repunit lên tới R16 và nhiều số lớn hơn. Tới năm 1880, các số R17 cho tới R36 đã được phân tích thừa số nguyên tố và mặc dù Édouard Lucas đã chứng minh rằng không có số nguyên tố nằm dưới ba triệu có chu kỳ 19, phải tới đầu thế kỉ 20, các nhà toán học mới bắt đầu kiểm tra tính nguyên tố của các số repunit. Nhà toán học Mỹ Oscar Hoppe đã chứng minh R19 là số nguyên tố trong năm 1916. Sau đó Lehmer và Kraitchik độc lập tìm ra R23 là số nguyên tố trong 1929.
Tiến bộ trong công cuộc nghiên cứu các số repunit phải mãi tới những năm 1960 mới có, khi mà các máy tính bắt đầu xuất hiện, cho phép các nhà toán học có thể tìm ra các ước nguyên tố và sửa lại bảng các chu kỳ nguyên tố. R317 được chứng minh là số có thể nguyên tố quanh năm 1966 và được chứng minh là số nguyên tố sau 11 năm, trong khi đó R1031 được chứng minh là số có thể nguyên tố cuối cùng có số chữ số nhỏ hơn mười nghìn. Sau đó, số đó được chứng minh là số nguyên tố trong năm 1986, nhưng công cuộc tìm các số nguyên tố repunit lớn hơn nó liên tục gặp thất bại. Tuy nhiên, nhờ việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết của các số repunit tổng quát, nay ta đã tìm được nhiều số nguyên tố mới và số có thể nguyên tố mới.
Kể từ năm 1999, bốn số có thể nguyên tố đã được tìm thấy, nhưng hiện khó có thể chứng minh bất kỳ một trong bốn số đó là số nguyên tố bởi kích thước số rất lớn.
Dự án Cunningham đã nỗ lực ghi lại phân tích thừa số nguyên tố của các số repunit (trong nhiều số khác) cho các cơ số 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, và 12.
Số Demlo

D. R. Kaprekar định nghĩa số Demlo là số được nối bởi phần trái, phần giữa và phần phải, trong đó phần trái và phần phải phải có cùng độ dài(có thể thêm chữ số 0 dẫn trước ở phần trái) và khi cộng các phần với nhau phải ra số repdigit, và phần giữa có thể chứa thêm một số chữ số của chữ số lặp lại. 
Chúng được đặt tên theo nhà ga Demlo  (nay được gọi là Dombivili) cách 30 miles từ Bombay đến đường tàu G.I.P., nơi mà Kaprekar 
bắt đầu nghiên cứu chúng.
Ông gọi số Demlo kỳ lạ là các số có dạng  1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Bởi các số này là bình phương của các số repunits đã dẫn tới việc một số tác giả đã gọi các số Demlo là dãy vô hạn các số repunit, 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (dãy số A002477 trong bảng OEIS), mặc dù ta có thể kiểm tra các số sau không phải số Demlo khi p = 10, 19, 28, ...
Chú thích cuối > Chú thích

↑  Albert H. Beiler coined the term “repunit number” as follows:A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number” (repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1.
Tham khảo sách

Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (ấn bản thứ 2), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999), History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and primality (ấn bản thứ 2), Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-1934-0
Francis, Richard L. (1988), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal, 19 (3): 240–246, doi:10.1080/07468342.1988.11973120
Gunjikar, K. R.; Kaprekar, D. R. (1939), “Theory of Demlo numbers” (PDF), Journal of the University of Bombay, VIII (3): 3–9
Kaprekar, D. R. (1938a), “On Wonderful Demlo numbers”, The Mathematics Student, 6: 68, Bản gốc lưu trữ ngày 10 tháng 2 năm 2009, truy cập ngày 10 tháng 10 năm 2022
Kaprekar, D. R. (1938b), “Demlo numbers”, J. Phys. Sci. Univ. Bombay, VII (3)
Kaprekar, D. R. (1948), Demlo numbers, Devlali, India: Khareswada
Ribenboim, Paulo (ngày 2 tháng 2 năm 1996), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (ấn bản thứ 3), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Yates, Samuel (1982), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8
Thị tộc Nogai

Thị tộc Nogai hay Orda Nogai (tiếng Nga: Ногайская Орда) – một thể chế nhà nước phong kiến của những người du mục trên vùng lãnh thổ từ phía bắc vùng ven biển Caspi và ven biển Aral tới sông Tura ở Siberia và sông Kama cũng như từ ven sông Volga tới sông Irtysh. Thị tộc Nogai tách ra từ Kim Trướng hãn quốc vào cuối thế kỷ 14 - đầu thế kỷ 15 trong thời kỳ của Edigei. Nhà nước này cuối cùng đã được hình thành trong thời con trai của ông ta là Nuraddin Batyr-bii (trị vì từ 1426 tới 1440).
Thị tộc Nogai là lãnh thổ của người Mangut (hay Mangit) và người Kungtat, mà từ nửa sau của thế kỷ 15 được gọi chung là người Nogai, cũng như của các bộ lạc gốc Turk khác. Tất cả họ từ nửa sau của thế kỷ 13 nằm trong thành phần của một thị tộc là temnik Nogai. Trung tâm của hãn quốc này là thành phố Saraichik (hay Saraidjuk) – nằm ở hạ lưu sông Jaik (sông Ural) - đã từng là điểm trung chuyển hàng hóa lớn trên con đường thương mại từ vùng ven biển Đen tới Trung Á.
Công việc và nghề nghiệp chính của dân cư thị tộc này là chăn thả gia súc theo kiểu du mục. Trong thế kỷ 16, trên thị trường Moskva và Kazan, các nhà quý tộc Nogai cung cấp hàng chục ngàn ngựa và cừu. Cùng với các quan hệ phong kiến, tại nhà nước Nogai cũng phổ biến các dạng chiếm hữu nô lệ trong các gia đình. Thị tộc Nogai được phân chia ra thành một loạt các ulus, đứng đầu là các mirza (hay murza), thông thường về mặt danh nghĩa chỉ phụ thuộc vào bii. Ngôi vị được thừa kế theo trật tự tuổi tác trong dòng tộc, trong đó người kế vị (nuraddin) đứng hàng thứ hai sau bii tại triều đình.
Trong nửa sau thế kỷ 16, sau khi các hãn quốc khác như hãn quốc Kazan và hãn quốc Astrakhan bị sáp nhập vào Nga, thì thị tộc Nogai bị phân chia ra thành một số nhà nước độc lập: Nogai Lớn, Nogai Nhỏ và hãn quốc Altyul (với các vùng du cư tại lưu vực sông Emba). Sử thi Edigei đã được hình thành tại thị tộc Nogai trong nửa đầu thế kỷ 15, trong đó cuộc đấu tranh giữa Edigei và hãn của Kim Trướng khi đó là Tokhtamysh, người có ý định cản trở sự ly khai của thị tộc Nogai, có sự phản ánh rõ nét; về sau này bộ sử thi được phổ biến rộng khắp trong các sắc tộc nói tiếng Turk.
Các vị cầm quyền > Thị tộc Nogai

Edigei-bii, con trai của Baltychak-bek: bii, 1392-1412, chết năm 1419
Nuraddin Batyr-bii, con trai của Edigei-bii, bii: 1412-1419
Mansur-bii, con trai của Edigei-bii, bii: 1419-1427
Gazi-bii, con trai của Edigei-bii, bii: 1427-1428
Vakkas-bii, con trai của Nuraddin Batyr-bii, bii: 1428-1447
Khorazmi-bii, con trai của Vakkas-bii, bii: 1447-1473
Abbas-bii, con trai của Nuraddin Batyr-bii, bii: 1473-1491
Musa-bii, con trai của Vakkas-bii, bii: 1491-1502
Iagmurchi-bii, con trai của Vakkas-bii, bii: 1502-1504
Hasan-bii, con trai của Vakkas-bii, bii: 1504-1508
Sheikh Muhammad-bii, con trai của Musa-bii, bii: 1508-1510, 1516-1519
Alchagir-bii, con trai của Musa-bii, bii: 1508-1516
Agish-bii, con trai của Iagmurchi-bii, bii: 1521-1524
Saiid Akhmad-bii, con trai của Musa-bii, bii: 1524-1541
Hadji Muhammad-mirza, con trai của Musa-bii, nuraddin: 1537-1541
Sheikh Mamai-bii, con trai của Musa-bii, kekovat: 1537-1541, bii: 1541-1549
Iusuf-bii, con trai của Musa-bii, bii: 1549-1554, chết 1556
Uraz Ali-mirza, con trai của Sheikh Muhammad-bii, kekovat: 1549-1554
Các vị cầm quyền > Tại Mansurul

Din Sufi-bii, con trai của Mansur-bii, bii
Timur-bii, con trai của Mansur-bii, bii: 1440-1486
Djan Kubad-bii, con trai của Din Sufi-bii, bii: 1486-1490
Hadji Akhmad-bii, con trai của Din Sufi-bii, bii: 1490-?
Baki-bii, con trai của Hasan-mirza, bii: 1532-1535, 1540-1542
Hodja Akhmad-bii, con trai của Hasan-mirza, bii: 1535-1540
Divei-bii, con trai của Hasan-mirza, bii: 1542-1573
Isanai-bii, con trai của Divei-bii, bii: 1573-1588
Arslanai-bii, con trai của Divei-bii, bii: 1588-1595
Muhammad-bii, con trai của Arslanai-bii, bii: 1595-?
Các vị cầm quyền > Tại Altyul

Kasim-bii, con trai của Sheikh Mamai-bii, kekovat: 1541-1549, bii: 1549-1555
Các vị cầm quyền > Tại Nogai Lớn

Ismail-bii, con trai của Musa-bii, nuraddin: 1541-1554, bii: 1554-1557, 1557-1563
Iunus-bii, con trai của Iusuff-bii, nuraddin: 1556-1557, bii: 1557, chết 1561
Ali Akram-mirza, con trai của Iusuf-bii, nuraddin: 1557
Muhammad-mirza, con trai của Ismail-bii, nuraddin: 1557-1562
Din Akhmad-bii, con trai của Ismail-bii, nuraddin: 1562-1563, bii: 1563-1578
Urus-bii, con trai của Ismail-bii, nuraddin: 1563-1578, bii: 1578-1590
Dinbai-mirza, con trai của Ismail-bii, nuraddin: 1578-1584
Said Akhmad-mirza, con trai của Muhammad-mirza, nuraddin: 1584-1587
Uraz Muhammad-bii, con trai của Din Akhmad-bii, taibuga: 1584-1590, bii: 1590-1598
Din Muhammad-bii, con trai của Din Akhmad-bii, nuraddin: 1590-1598, bii: 1598-1600
Ish Tarak-bii, con trai của Din Akhmad-bii, bii: 1600-1619
Kuchuk-mirza, con trai của Din Akhmad-bii, nuraddin: 1600-1604
Iash Tarak-mirza, con trai của Kuchuk-mirza, kekovat: 1600-1619
Shai Tarak-mirza, con trai của Kuchuk-mirza, nuraddin: 1604-1619
Karakel Muhammad-mirza, con trai của Uraz Muhammad-bii, taibuga: 1604-1622, nuraddin: 1622-1631
Kanai-bii, con trai của Dinbai-mirza, bii: 1622-1634
Các vị cầm quyền > Tại Nogai Nhỏ

Gazi-bii, con trai của Urak-mirza, mirza: 1554-1569, bii: 1569-1576
Iakhshisaad-bii, con trai của Mamai-mirza, bii: 1576-1590
Baran Gazi-bii, con trai của Said Akhmad-mirza, bii: 1600-1621
Kasim-bii, con trai của Islam-mirza, bii: 1621-1639
Platylesches

| Platylesches> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Họ (familia): Hesperiidae
Tông (tribus): Erionotini
Chi (genus): Platylesches Holland, 1896
Platylesches là một chi bướm ngày thuộc họ Bướm nâu, commonly called Hoppers, được tìm thấy ở Africa.
Các loài

Listed alpabetically.
Platylesches affinissima Strand, 1920
Platylesches ayresii (Trimen, 1889) – Peppered Hopper
Platylesches batangae (Holland, 1894)
Platylesches chamaeleon (Mabille, 1891)
Platylesches dolomitica Henning & Henning, 1997 – Hilltop Hopper, Dolomite Hopper
Platylesches fosta Evans, 1937
Platylesches galesa (Hewitson, 1877) – White-tail Hopper, Black Hopper
Platylesches iva Evans, 1937
Platylesches lamba Neave, 1910
Platylesches langa Evans, 1937
Platylesches larseni Kielland, 1992
Platylesches moritili (Wallengren, 1857) – Common Hopper, Honey Hopper
Platylesches neba (Hewitson, 1877) – Flower-girl Hopper
Platylesches panga Evans, 1937
Platylesches picanini (Holland, 1894) – Banded Hopper
Platylesches rasta Evans, 1937
Platylesches robustus Neave, 1910 – Robust Hopper
Platylesches rossii Belcastro, 1986
Platylesches shona Evans, 1937
Platylesches tina Evans, 1937 – Small Hopper
Piquerobi

Piquerobi là một đô thị ở bang São Paulo của Brasil. Đô thị này nằm ở vĩ độ 21º52'03" độ vĩ nam và kinh độ 51º43'43" độ vĩ tây, trên khu vực có độ cao 440 m. Dân số năm 2004 ước tính là 3.586 người. 
Đô thị này có diện tích 483,72 km².
Thông tin nhân khẩu

Dữ liệu dân số theo điều tra dân số năm 2000
Tổng dân số: 3.478
Thành thị: 2.454
Nông thôn: 1.024
Nam giới: 1.765
Nữ giới: 1.713
Mật độ dân số (người/km²): 7,21
Tỷ lệ tử vong trẻ sơ sinh dưới 1 tuổi (trên một triệu người): 19,56
Tuổi thọ bình quân (tuổi): 69,36
Tỷ lệ sinh (số trẻ trên mỗi bà mẹ): 2,03
Tỷ lệ biết đọc biết viết: 84,49%
Chỉ số phát triển con người (HDI-M): 0,744
Chỉ số phát triển con người - Thu nhập: 0,664
Chỉ số phát triển con người - Tuổi thọ: 0,739
Chỉ số phát triển con người - Giáo dục: 0,829
(Nguồn: IPEADATA)
Plagiochila salazariae

| Plagiochila salazariae> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Marchantiophyta
Lớp (class): Jungermanniopsida
Bộ (ordo): Jungermanniales
Họ (familia): Plagiochilaceae
Chi (genus): Plagiochila
Loài (species): P. salazariae
Danh pháp hai phần
Plagiochila salazariae Inoue, 1989 
Plagiochila salazariae là một loài rêu trong họ Plagiochilaceae. Loài này được Inoue mô tả khoa học đầu tiên năm 1989.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Plagiochila salazariae”. Truy cập ngày 10 tháng 6 năm 2014.
Plecoptera dimorpha

| Plecoptera dimorpha> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Erebidae
Chi (genus): Plecoptera
Loài (species): P. dimorpha
Danh pháp hai phần
Plecoptera dimorpha Gaede, 1939 
Plecoptera dimorpha là một loài bướm đêm trong họ Erebidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 28 tháng 6 năm 2014.
↑  Beccaloni, G. W., Scoble, M. J., Robinson, G. S. & Pitkin, B. (Editors). (2003) The Global Lepidoptera Names Index (LepIndex). (Geraadpleegd maart 2013).
Plecoptera diplosticha

| Plecoptera diplosticha> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Erebidae
Chi (genus): Plecoptera
Loài (species): P. diplosticha
Danh pháp hai phần
Plecoptera diplosticha Hampson, 1926 
Plecoptera diplosticha là một loài bướm đêm trong họ Erebidae.