stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Logarit
Ứng dụng

Logarit có nhiều ứng dụng cả trong lẫn ngoài toán học. Một vài trong số đó có liên quan đến khái niệm về tỉ lệ bất biến. Chẳng hạn, mỗi buồng trong vỏ ốc anh vũ đều gần giống với buồng liền sau, thu nhỏ lại bởi một hằng số tỉ lệ. Đó là một ví dụ về xoắn ốc logarit. Luật Benford về tần suất xuất hiện chữ số đầu tiên cũng có thể được giải thích qua tỉ lệ bất biến. Logarit cũng có liên hệ với tính chất tự đồng dạng. Chẳng hạn, logarit xuất hiện trong việc nghiên cứu các thuật toán giải bài toán bằng cách chia thành nhiều bài toán con tương tự rồi gộp các kết quả của chúng lại với nhau. Số chiều của các hình không gian tự đồng dạng, tức là những hình mà mỗi phần của nó đều giống như hình tổng thể, cũng dựa trên logarit. Thang đo logarit rất cần thiết để định lượng mức độ thay đổi tỉ đối của một đại lượng so với mức độ thay đổi tuyệt đối của nó. Hơn nữa, vì hàm số logarit log(x) tăng rất chậm khi x ngày càng lớn nên thang đo logarit được sử dụng để "nén" lại dữ liệu khoa học quy mô lớn. Logarit cũng xuất hiện trong nhiều phương trình khoa học như phương trình tên lửa Tsiolkovsky, phương trình Fenske hay phương trình Fernst.
Ứng dụng > Thang đo logarit

Bài chi tiết: Thang đo lôgarit
Các đại lượng khoa học thường được biểu diễn theo logarit của các đại lượng khác qua thang đo logarit. Chẳng hạn, decibel là đơn vị đo dựa trên các đại lượng liên quan đến logarit. Nó được dựa trên logarit thập phân của tỉ lệ – 10 lần logarit thập phân của một tỉ lệ công suất hoặc 20 lần logarit thập phân của tỉ lệ hiệu điện thế, và được dùng để định lượng sự hao phí mức điện áp trong truyền tải tín hiệu điện, để miêu tả độ lớn của âm trong âm học, và khả năng hấp thụ bức xạ ánh sáng trong quang học. Tỉ số tín hiệu trên nhiễu mô tả lượng âm không cần thiết so với tín hiệu cũng được đo bằng decibel. Tương tự, tỉ số tín hiệu cực đại trên nhiễu thường được sử dụng để đánh giá chất lượng âm thanh và phương pháp nén ảnh thông qua logarit.
Độ lớn của một trận động đất được đo theo logarit thập phân của năng lượng do nó sinh ra qua thang độ lớn mô men hay thang độ Richter. Chẳng hạn, một trận động đất 5,0 độ giải phóng năng lượng gấp 32 lần (101.5) và một trận động đất 6,0 độ giải phóng năng lượng gấp 1000 lần (103) so với một trận động đất 4,0 độ. Cấp sao biểu kiến là một thang đo logarit thông dụng khác, dùng để đo độ sáng của các ngôi sao qua logarit. Một ví dụ khác nữa là pH trong hóa học; pH là số đối của logarit thập phân của hoạt độ của các ion hydroni H3O+ trong dung dịch. Hoạt độ của các ion hydroni trong nước cất là 10−7 mol·L−1, nên pH của nước cất là 7. Giấm thường có pH là khoảng 3. Hiệu số bằng 4 tương đương với tỉ lệ hoạt độ của H3O+ trong một chất lớn hơn chất còn lại 104 lần, tức là hoạt độ của các ion hydroni trong giấm là khoảng 10−3 mol·L−1.
Đồ thị bán logarit (logarit-tuyến tính) ứng dụng logarit theo cách trực quan: một trục (thường là trục tung) được chia tỉ lệ theo logarit. Chẳng hạn, đồ thị ở bên phải thu nhỏ mức tăng từ 1 triệu lên 1 nghìn tỷ xuống cùng độ dài (trên trục tung) so với mức tăng từ 1 lên 1 triệu. Ở những đồ thị như vậy, các hàm mũ dạng f(x) = a · bx là đường thẳng với hệ số góc bằng với logarit của b. Đồ thị logarit chia tỉ lệ cả hai trục theo logarit, nên hàm mũ dạng f(x) = a · xk là đường thẳng có hệ số góc bằng với số mũ k. Nó được ứng dụng trong việc nghiên cứu các quy tắc lũy thừa.
Ứng dụng > Tâm lý học

Logarit xuất hiện trong các luật liên quan đến tri giác con người. Định luật Hick nhấn mạnh mối liên hệ logarit giữa thời gian mà một người bỏ ra để chọn một phương án và số lựa chọn mà người đó có. Định luật Fitts dự đoán rằng thời gian cần để di chuyển nhanh đến một vùng mục tiêu là một hàm logarit của quãng đường đến vùng đó và kích thước của mục tiêu. Trong tâm vật lý học, định luật Weber–Fechner nhắc đến mối liên hệ logarit giữa kích thích và giác quan, chẳng hạn như khối lượng thực tế so với khối lượng cảm giác của một vật mà một người đang cầm. (Tuy nhiên "định luật" này thiếu thực tế so với các mô hình mới hơn, chẳng hạn như định luật lũy thừa của Stevens.)
Các nghiên cứu về tâm lý học cho thấy những người ít được giáo dục về toán học thường ước lượng các đại lượng theo logarit, tức là họ đặt một số trên một đường thẳng không được đánh dấu dựa trên logarit của nó sao cho 10 gần với 100 như khi 100 gần với 1000. Khi được đào tạo kỹ càng hơn, họ có xu hướng chuyển sang ước lượng tuyến tính (đặt 1000 xa hơn 10 lần) trong một số trường hợp, trong khi logarit được dùng thay thế khi các số cần đặt quá lớn.
Ứng dụng > Lý thuyết xác suất và thống kê

Logarit được ứng dụng trong lý thuyết xác suất: luật số lớn cho rằng, với một đồng tiền hai mặt, khi số lần tung tiến đến vô hạn, tỉ lệ xuất hiện mặt ngửa tiệm cận về một nửa. Sự biến động của tỉ lệ này được giải thích qua luật về logarit lặp.
Logarit cũng xuất hiện trong phân phối loga chuẩn. Khi logarit của một biến ngẫu nhiên có một phân phối chuẩn, biến đó được gọi là có một phân phối loga chuẩn. Phân phối loga chuẩn thường gặp trong nhiều lĩnh vực khi một biến là tích của nhiều biến dương độc lập ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong nghiên cứu sự nhiễu loạn.
Logarit được dùng trong phép hợp lý cực đại của các mô hình thống kê tham số. Với một mô hình như vậy, hàm khả năng phụ thuộc vào ít nhất một tham số cần được lấy gần đúng. Giá trị lớn nhất của hàm khả năng xảy ra tại cùng giá trị tham số với giá trị lớn nhất của logarit của khả năng đó ("hợp lý logarit"), vì logarit là hàm số tăng. Giá trị lớn nhất của hợp lý logarit là dễ tìm hơn đặc biệt với các khả năng được nhân cho biến độc lập ngẫu nhiên.
Luật Benford mô tả sự xuất hiện của các chữ số trong nhiều bộ dữ liệu, chẳng hạn như chiều cao của các tòa nhà. Theo luật này thì xác suất để chữ số đầu tiên của một dữ liệu trong bộ dữ liệu đó là d (từ 1 đến 9) bằng log10(d + 1) − log10(d) bất kể đơn vị đo. Vì vậy, khoảng 30% dữ liệu có thể bắt đầu bằng chữ số 1, khoảng 18% bắt đầu bằng chữ số 2... Các kiểm toán viên thường đối chiếu dữ liệu với luật Benford để phát hiện các hành vi gian lận trong kế toán.
Ứng dụng > Độ phức tạp tính toán

Phân tích thuật toán là một nhánh của khoa học máy tính nghiên cứu về hoạt động của thuật toán (chương trình máy tính dùng để giải quyết một vấn đề nhất định). Logarit có vai trò trong việc mô tả các thuật toán chia nhỏ một vấn đề thành nhiều vấn đề con rồi hợp các kết quả lại với nhau.
Chẳng hạn, để tìm một số trong một mảng đã sắp xếp, thuật toán tìm kiếm nhị phân sẽ kiểm tra phần tử đứng giữa mảng và tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước hoặc nằm sau phần tử đứng giữa nếu không tìm thấy số đó. Thuật toán này cần trung bình log2(N) bước so sánh với N là số phần tử của mảng. Tương tự, thuật toán sắp xếp trộn sắp xếp một mảng bằng cách chia đôi thành hai mảng con và sắp xếp chúng trước khi gộp lại các kết quả. Thuật toán sắp xếp trộn thường tốn một khoảng thời gian xấp xỉ tỉ lệ thuận với N · log(N). Cơ số của logarit không được nhắc đến cụ thể, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số nhất định khi dùng cơ số khác. Người ta không quan tâm đến hằng số đó khi phân tích thuật toán dưới mô hình chi phí thống nhất tiêu chuẩn.
Một hàm số f(x) được gọi là hàm số tăng logarit nếu f(x) tỉ lệ thuận với logarit của x. (Tuy nhiên, một số tài liệu sinh học sử dụng thuật ngữ này đối với hàm mũ khi viết về sự sinh trưởng của sinh vật.) Chẳng hạn, mọi số tự nhiên N đều có thể được biểu diễn dưới dạng nhị phân sử dụng không quá log2(N) + 1 bit. Nói cách khác, lượng bộ nhớ cần dùng để lưu trữ N tăng theo logarit của N.
Ứng dụng > Entropy và sự hỗn loạn

Entropy là một phép đo về sự hỗn loạn của một hệ. Trong cơ học thống kê, entropy S của một hệ vật lý được xác định là
Tổng này được lấy trên tất cả các trạng thái i của hệ được xét, chẳng hạn như vị trí của các phân tử khí trong bình chứa, trong đó pi là xác suất để hệ nằm ở trạng thái i và k là hằng số Boltzmann. Tương tự, entropy thông tin mô tả mức độ hỗn loạn của thông tin. Nếu người nhận một thông điệp kỳ vọng nhận được bất kỳ trong số N thông điệp có thể với khả năng giống nhau thì lượng thông tin truyền tải bởi một thông điệp như vậy được định lượng là log2(N) bit.
Lũy thừa Lyapunov sử dụng logarit để đo mức độ hỗn loạn của một hệ thống động lực. Chẳng hạn, khi một chất điểm di chuyển trên một bàn bida, chỉ một thay đổi rất nhỏ về góc cũng có thể làm thay đổi hoàn toàn hướng đi của chất điểm đó. Hệ thống như vậy hỗn loạn một cách tất định, vì những sai sót nhỏ ở điều kiện ban đầu thường dẫn đến những kết quả khác hẳn nhau. Ít nhất một lũy thừa Lyapunov của một hệ hỗn loạn tất định có giá trị dương.
Ứng dụng > Phân dạng

Logarit xuất hiện trong định nghĩa về số chiều phân dạng. Phân dạng là một đối tượng hình học có cấu trúc tự đồng dạng: mỗi hình nhỏ hơn đều trông giống như hình tổng thể. Tam giác Sierpinski (hình bên) được tạo ra từ ba bản sao của chính nó, mỗi hình có cạnh bằng một nửa hình ban đầu. Theo đó, số chiều Hausdorff của cấu trúc này là ln(3)/ln(2) ≈ 1,58. Một khái niệm khác về số chiều dựa trên logarit được suy ra bởi việc đếm số hình vuông đơn vị để bao phủ hết bề mặt phân dạng được xét.
Ứng dụng > Âm nhạc

Bốn quãng tám khác nhau trên thang đo tuyến tính và thang đo logarit.
Logarit có liên hệ đến cung và quãng trong âm nhạc. Trong hệ thống âm tự nhiên, tỉ lệ tần số chỉ phụ thuộc vào quãng giữa hai tông nhạc, không phụ thuộc vào tần số hay cao độ của từng tông cụ thể. Chẳng hạn, nốt A có tần số là 440 Hz và nốt B♭ có tần số là 466 Hz. Quãng giữa nốt A và nốt B♭ là nửa cung, giống như quãng giữa nốt B♭ và nốt B (tần số 493 Hz), vì tỉ lệ tần số của hai quãng trên gần bằng nhau:
Do đó, logarit có thể được dùng để miêu tả các quãng: một quãng được đo theo đơn vị nửa cung bằng cách lấy logarit cơ số 21/12 của tỉ lệ tần số, trong khi logarit cơ số 21/1200 của nó đo quãng đó theo cent, bằng một phần trăm so với nửa cung.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Quãng (phát hai tông cùng lúc) | Tông 1/12 phátTập tin:1 step in 72-et on C.mid | Nửa cung phátTập tin:Minor second on C.mid | Quãng 5/4 phátTập tin:Just major third on C.mid | Quãng 3 trưởng phátTập tin:Major third on C.mid | Quãng 3 cung phátTập tin:Tritone on C.mid | Quãng tám phátTập tin:Perfect octave on C.mid |
| Tỉ lệ tần số r |  2^{\frac {1}{72}}\approx 1,0097 |  2^{\frac {1}{12}}\approx 1,0595 |  {\tfrac {5}{4}}=1,25 |  {\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1,2599\end{aligned}} |  {\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1,4142\end{aligned}} |  2^{\frac {12}{12}}=2 |
| Số nửa cung tương ứng  \log _{\sqrt[{12}]{2}}(r)=12\log _{2}(r) |  {\tfrac {1}{6}}\, |  1\, |  \approx 3,8631\, |  4\, |  6\, |  12\, |
| Số cent tương ứng  \log _{\sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200\log _{2}(r) |  16{\tfrac {2}{3}}\, |  100\, |  \approx 386,31\, |  400\, |  600\, |  1200\, |
Ứng dụng > Lý thuyết số

Logarit tự nhiên có liên hệ gần gũi với việc đếm số nguyên tố (2, 3, 5, 7, 11...), một chủ đề quan trọng trong lý thuyết số. Với mỗi số nguyên x, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x được ký hiệu là π(x). Theo định lý số nguyên tố, giá trị gần đúng của π(x) được cho bởi công thức
trong đó "gần đúng" ở đây có nghĩa là tỉ số giữa π(x) và x/ln(x) tiệm cận về 1 khi x tiến dần ra vô hạn. Nói cách khác, xác suất để một số được chọn ngẫu nhiên nằm giữa 1 và x là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của x. Một xấp xỉ chính xác hơn nữa của π(x) được cho bởi hàm tích phân logarit bù Li(x), được định nghĩa là
Giả thuyết Riemann, một trong những phỏng đoán toán học mở lâu đời nhất, có thể được phát biểu trên cơ sở so sánh π(x) và Li(x). Định lý Erdős–Kac mô tả số các thừa số nguyên tố khác nhau cũng liên quan đến logarit tự nhiên.
Logarit của n giai thừa, n! = 1 · 2 ·... · n, được cho bởi
Biểu thức này được dùng để suy ra phép xấp xỉ Stirling, một phép tính gần đúng n! với n lớn.
Khái quát hóa > Logarit phức

Mọi nghiệm phức a của phương trình
được gọi là logarit phức của z, với z là một số phức. Mỗi số phức thường có dạng z = x + iy với x và y là số thực và i là đơn vị ảo (căn bậc hai của −1). Một số như vậy có thể được biểu diễn bằng một điểm trong mặt phẳng phức như hình bên phải. Mặt phẳng phức thường biểu thị một số phức z khác không theo giá trị tuyệt đối của nó, tức là khoảng cách r đến điểm gốc, và một góc hợp bởi trục hoành thực Re và đường thẳng đi qua gốc tọa độ và z. Góc này được gọi là argumen của z.
Giá trị tuyệt đối r của z được tính bằng
Áp dụng biểu diễn hình học của  \sin  và  \cos  và tính tuần hoàn của chúng với chu kỳ  2\pi , mỗi số phức z cũng có thể được biểu diễn dưới dạng
với k là số nguyên. Rõ ràng argumen của z không phải là duy nhất: cả φ và φ' = φ + 2kπ đều là argumen của z với mọi số nguyên k, vì thêm 2kπ radian hoặc k⋅360° vào φ tức là "quay" góc φ quanh gốc tọa độ k vòng. Số phức cuối cùng luôn là z, như được minh họa trong hình bên phải với k = 1. Ta có thể chọn đúng một trong số các argumen của z làm argumen chính, ký hiệu là Arg(z) với chữ cái A in hoa, bằng cách giới hạn φ xuống một vòng quay nhất định, chẳng hạn như  -\pi <\varphi \leq \pi  hoặc  0\leq \varphi <2\pi . Các nửa khoảng này được gọi là nhánh chính của hàm argumen.
Công thức Euler liên hệ các hàm lượng giác sin và cosin với hàm mũ phức:
Áp dụng công thức trên và tính chất tuần hoàn, ta có:
với ln(r) là logarit tự nhiên thực duy nhất, ak là logarit phức của z và k là một số nguyên bất kỳ. Do đó, logarit phức của z, bao gồm tất cả các số phức ak sao cho lũy thừa bậc ak của e bằng z, là một tập hợp vô số các giá trị ak thỏa mãn
Đặt k sao cho  \varphi +2k\pi  nằm trong các nửa khoảng được xác định như trên thì ak được gọi là giá trị chính của logarit phức, ký hiệu là Log(z) với chữ cái L in hoa. Argumen chính của mọi số thực dương x bằng 0; do đó Log(x) là một số thực bằng với logarit tự nhiên thực. Tuy vậy, các công thức về logarit của một tích hay lũy thừa không áp dụng được cho giá trị chính của logarit phức.
Hình bên phải miêu tả miền tô màu của Log(z), trong đó z được giới hạn về nửa khoảng (-π, π]. Có thể thấy nhánh tương ứng của logarit phức bị đứt đoạn trên toàn bộ phần âm của trục hoành thực, tại đó sắc độ thay đổi bất chợt. Sự đứt đoạn này nảy sinh từ việc chuyển sang phân vùng khác trong cùng một nhánh khi đi qua một đường biên (không chuyển qua giá trị k tương ứng của nhánh lân cận). Một quỹ tích như vậy được gọi là nhánh cắt. Hiện tượng này chỉ có thể bị phá vỡ bằng cách loại bỏ điều kiện của argumen, và khi đó argumen của z và logarit của nó đều trở thành hàm đa trị.
Khái quát hóa > Hàm ngược của các hàm mũ khác

Lũy thừa xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học và hàm ngược của nó thường được gọi là logarit. Chẳng hạn, logarit của một ma trận là hàm ngược (đa trị) của hàm mũ ma trận. Một ví dụ khác là hàm logarit p-adic, hàm ngược của hàm mũ p-adic. Cả hai đều được xác định qua chuỗi Taylor tương tự như với số thực. Khác với số thực, logarit p-adic còn có thể được mở rộng cho mọi số p-adic khác 0. Trong hình học vi phân, ánh xạ mũ ánh xạ không gian tiếp tuyến tại một điểm của một đa tạp đến một lân cận của điểm đó, và ánh xạ ngược lại với nó được gọi là ánh xạ logarit.
Trong nhóm hữu hạn, lũy thừa là nhân lặp đi lặp lại một phần tử b trong nhóm với chính nó. Logarit rời rạc là nghiệm nguyên n của phương trình
với x là một phần tử trong nhóm. Phép lũy thừa rời rạc có thể dễ dàng thực hiện được, nhưng logarit rời rạc được cho là khó tính được trong một số nhóm. Tính bất đối xứng này có những ứng dụng quan trọng trong mật mã hóa khóa công khai, chẳng hạn như trong trao đổi khóa Diffie–Hellman, một phương pháp cho phép trao đổi khóa mật mã một cách bảo mật trên các kênh thông tin không an toàn. Logarit Zech có liên hệ với logarit rời rạc đối với nhóm nhân của các phần tử khác không trong một trường hữu hạn.
Các hàm ngược khác liên quan đến logarit bao gòm logarit kép ln(ln(x)), siêu logarit (có dạng gần giống với logarit lặp trong khoa học máy tính), hàm Lambert W và logit. Chúng lần lượt là hàm ngược của hàm mũ kép, tetration, f(w) = wew, và hàm logistic.
Khái quát hóa > Các khái niệm liên quan

Trong lý thuyết nhóm, đồng nhất thức log(cd) = log(c) + log(d) biểu thị một đẳng cấu nhóm giữa các số thực dưới phép nhân và các số thực dưới phép cộng. Hàm logarit là đẳng cấu liên tục duy nhất giữa các nhóm này. Bằng đẳng cấu đó, độ đo Haar (độ đo Lebesgue) dx trên các số thực tương ứng với độ đo Haar dx/x trên các số thực dương. Các số thực không âm dưới phép cộng và phép nhân tạo thành một bán vành được gọi là bán vành xác suất; sau đó, logarit chuyển phép nhân thành phép cộng (phép nhân log) và chuyển phép cộng thành phép cộng log (LogSumExp), cho một phép đẳng cấu giữa bán vành xác suất và bán vành log. Trong giải tích phức và hình học đại số, 1-dạng logarit df/f  là một dạng vi phân với cực điểm logarit.
Hàm đa loga là hàm số xác định bởi
Nó có liên hệ với logarit tự nhiên theo đồng nhất thức Li1(z) = −ln(1 − z). Hơn nữa, Lis(1) bằng với hàm zeta Riemann ζ(s).
Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, e và 10
John Napier, người phát minh ra logarit
Khái niệm logarit trong Encyclopædia Britannica (năm 1797)
Sơ đồ miêu tả thước loga. Bắt đầu từ vị trí 2 ở thước bên dưới, cộng khoảng cách đến 3 ở thước bên trên để đạt tích bằng 6. Thước loga hoạt động được vì nó được chia độ sao cho khoảng cách từ 1 đến x tỉ lệ thuận với logarit của x.
Đồ thị của hàm logarit logb(x) (màu xanh) đối xứng với đồ thị của hàm mũ bx (màu đỏ) theo đường thẳng x = y.
Đồ thị của hàm logarit tự nhiên (màu xanh lá) và tiếp tuyến của nó tại x = 1,5 (màu đen)
Logarit tự nhiên của t là diện tích phần hình được tô đậm nằm dưới đồ thị hàm số f(x) = 1/x (nghịch đảo của x).
Hình ảnh minh họa công thức tích của logarit tự nhiên
Các phím logarit (LOG cho cơ số 10 và LN cho cơ số e) trong một máy tính bỏ túi TI-83 Plus
Chuỗi Taylor của ln(z) có tâm tại z = 1. Hình ảnh động này thể hiện 10 xấp xỉ đầu tiên cùng xấp xỉ thứ 99 và 100. Các xấp xỉ này không hội tụ ngoài khoảng cách 1 đơn vị từ tâm.
Một con ốc anh vũ thể hiện đường cong xoắn ốc logarit
Một biểu đồ logarit thể hiện giá trị của một goldmark tính bằng papiermark trong cuộc siêu lạm phát tại Đức vào những năm 1920
Ba hàm mật độ xác suất (PDF) của biến ngẫu nhiên và phân phối loga chuẩn của chúng. Tham số vị trí μ, vốn bằng 0 với cả ba hàm trên, là trung bình của logarit biến ngẫu nhiên, không phải là trung bình của biến đó.
Biểu đồ thể hiện tần suất xuất hiện của chữ số đầu tiên trong dữ liệu dân số của 237 quốc gia trên thế giới. Các chấm đen chỉ phân bố do luật Benford dự đoán.
Một mô hình bàn bida. Hai hạt điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí trung tâm với hai góc sai khác nhau 1 độ, sau đó tách ra di chuyển hỗn loạn do sự phản xạ trên thành bàn.
Tam giác Sierpinski (bên phải) được tạo nên bằng cách lặp đi lặp lại việc thay thế một tam giác đều bằng ba tam giác đều nhỏ hơn.
Một điểm z = x + iy trong mặt phẳng phức. Cả hai góc φ và φ' đều là argumen của z.
Miền tô màu của logarit phức Log(z). Điểm màu đen tại z = 1 tương ứng với giá trị tuyệt đối bằng không. Màu sáng hơn, sẫm hơn biểu thị giá trị tuyệt đối lớn hơn. Sắc độ của màu chỉ argumen của Log(z).
Danh sách lâu đài ở Ba Lan

Dưới đây là danh sách các lâu đài ở Ba Lan theo thứ tự bảng chữ cái, dựa trên các danh sách tương tự được biên soạn bởi các tổ chức khác nhau.
Lâu đài Malbork, Di sản Thế giới của UNESCO.
Hugo Chávez

| Hugo Chávez |
| --- | --- |
Hugo Chávez vào năm 2011
Chức vụ
Tổng thống thứ 47 của Venezuela
Nhiệm kỳ: 2 tháng 2 năm 1999 – 5 tháng 3 năm 2013 14 năm, 31 ngày
Phó Tổng thống: Julián Isaías Rodríguez Diaz Adina Bastidas Diosdado Cabello José Vicente Rangel Jorge Rodríguez Ramón Carrizales Elías Jaua Nicolás Maduro
Tiền nhiệm: Rafael Caldera
Kế nhiệm: Nicolas Maduro
 
Thông tin cá nhân
Sinh: (1954-07-28)28 tháng 7 năm 1954 Sabaneta, Alberto Arvelo Torrealba, Barinas, Venezuela
Mất: 5 tháng 3 năm 2013(2013-03-05) (58 tuổi) Caracas, Venezuela (do Ung thư)
Nghề nghiệp: Quân nhân, Chính trị gia
Tôn giáo: Công giáo La Mã
Đảng chính trị: Phong trào Đệ ngũ Cộng hòa (1997–2006) Đảng Xã hội chủ nghĩa Thống nhất (2006–2013)
Vợ: Nancy Colmenares (đã ly dị)  Marisabel Rodríguez (1997–2004)
Con cái: Rosa Virginia  María Gabriela  Hugo Rafael y Rosinés
Alma mater: Học viện Quân sự Venezuela
Chữ ký: 
Tên người này tuân theo phong tục tên gọi Tây Ban Nha; họ thứ nhất hay họ cha là và họ thứ hai hay họ mẹ là .
Hugo Rafael Chávez Frías (phát âm tiếng Tây Ban Nha: [ˈuɣo rafaˈel ˈtʃaβes ˈfɾi.as]; 28 tháng 7 năm 1954 – 5 tháng 3 năm 2013) là Tổng thống Venezuela từ năm 1999 cho đến khi qua đời vào năm 2013. Ông từng là lãnh đạo của Chính đảng Phong trào Đệ ngũ Cộng hòa từ khi tổ chức này được thành lập vào năm 1997 cho đến khi nó giải thể, đồng thời ông trở thành lãnh đạo của Đảng Xã hội Chủ nghĩa Thống nhất Venezuela (PSUV). Tuân theo ý thức hệ chính trị chủ nghĩa Bolivar và "chủ nghĩa Xã hội thế kỷ 21" của mình, ông tập trung vào việc thực hiện các cải cách xã hội chủ nghĩa ở trong nước, xem chúng là một phần của một kế hoạch xã hội được gọi là cách mạng Bolivar, xây dựng một bản hiến pháp mới, các hội đồng Tham dự dân chủ chủ nghĩa, quốc hữu hóa một số ngành công nghiệp then chốt, tăng chi tiêu của chính phủ cho lĩnh vực chăm sóc sức khỏe và giáo dục, giảm đáng kể tỷ lệ đói nghèo theo số liệu của chính phủ.
Hugo Chávez mô tả chính sách của ông là chủ nghĩa phản đế quốc, ông lớn tiếng chỉ trích chủ nghĩa tân tự do và chủ nghĩa tư bản tự do kinh doanh. Nói theo một cách tổng quát hơn, Hugo Chávez là một đối thủ nổi bật với chính sách đối ngoại của Hoa Kỳ. Ông thiết lập liên minh mạnh mẽ với các chính phủ cộng sản của Fidel Castro và sau đó là Raúl Castro tại Cuba và các chính phủ xã hội của Evo Morales tại Bolivia, Rafael Correa tại Ecuador và Daniel Ortega tại Nicaragua, nhiệm kỳ tổng thống của ông được nhìn nhận là một bộ phận của "trào lưu cách tả" xã hội chủ nghĩa đang có tác động sâu rộng đến Mỹ La tinh. Ông ủng hộ hợp tác Mỹ Latinh và Caribe và xem đây là phương tiện để thiết lập các tổ chức liên khu vực như Liên minh các Quốc gia Nam Mỹ, Liên minh Bolivar cho châu Mỹ, và Ngân hàng Phương Nam, và hệ thống truyền hình khu vực TeleSur.
Cuộc sống ban đầu > Thời thơ ấu

Hugo Chávez sinh vào ngày 28 tháng 7 năm 1954 tại nhà người bà nội Rosa Inéz Chávez, một ngôi nhà ba phòng nằm ở ngôi làng Sabaneta, bang Barinas. Gia đình Chávez có nguồn gốc từ thổ dân châu Mỹ, người Venezuela gốc Phi, và người Tây Ban Nha. Phụ mẫu của ông, Hugo de los Reyes Chávez và Elena Frías de Chávez, là thầy cô giáo thuộc tầng lớp hạ trung lưu, sống tại ngôi làng nhỏ Los Rastrojos. Hugo Chávez là người con thứ hai trong số 7 người con, trong đó người anh cả là Adán Chávez. Hai vợ chồng sống trong cảnh nghèo khó, vì thế họ đã gửi Hugo Chávez và Adán Adán Chávez đến ở với bà nội, về sau Hugo Chávez mô tả bà nội của ông là "một con người đức hạnh..." Bà là một tín hữu Công giáo La Mã mộ đạo, và Hugo Chávez là một lễ sinh tại một nhà thờ địa phương. Hugo Chávez mô tả thời thơ ấu của ông là "nghèo túng...rất hạnh phúc", và đã trải qua "địa vị thấp kém, cảnh bần cùng, sự đau khổ, đôi khi không có bất kỳ thứ gì để ăn", và "sự bất công của thế giới này."
Hugo Chávez nhập học tại trường tiểu học Julián Pino, các sở thích của ông khi đó bao gồm vẽ, bóng chày và lịch sử. Ông đặc biệt quan tâm đến vị tướng liên bang chủ nghĩa Ezequiel Zamora, kị của ông đã phục vụ trong đội quân dưới sự chỉ huy của vị tướng này. Vào giữa thập niên 1960, Hugo Chávez cùng các anh em và bà chuyển đến thành phố Barinas để những cậu bé có thể theo học tại trường trung học Daniel O'Leary, trường trung học duy nhất tại bang vào thời điểm đó.