Lý thuyết tập hợp
Lịch sử > Thế kỷ 20

Trong thế kỷ XX, những ý tưởng của Cantor tiếp tục chiếm ưu thế; đồng thời, trong Logic toán, một lý thuyết Axiomatic Quantum đã được thiết lập, qua đó có thể vượt qua các mâu thuẫn hiện thời.
Năm 1903/1908 Bertrand Russell phát triển Type theory của mình, trong đó tập hợp luôn luôn có một kiểu cao hơn các phần tử của chúng, do đó sự hình thành các tập hợp có vấn đề sẽ không thể xảy ra. Ông chỉ ra cách đầu tiên ra khỏi những mâu thuẫn và cho thấy trong "Principia Mathematica" của 1910-1913 cũng là một phần hiệu quả của Type theory ứng dụng. Cuối cùng, tuy nhiên, nó chứng tỏ là không thích hợp với lý thuyết tập hợp của Cantor và cũng không thể vượt qua được sự phức tạp của nó.
Tiên đề lý thuyết tập hợp được phát triển bởi Ernst Zermelo vào năm 1907 ngược lại dễ sử dụng và thành công hơn, trong đó schema of replacement của ông là cần thiết để bổ sung vào. Zermelo thêm nó vào hệ thống Zermelo-Fraenkel năm 1930, mà ông gọi tắt là hệ thống-ZF. Ông đã thiết kế nó cho Urelement mà không phải là tập hợp, nhưng có thể là phần tử của tập hợp và được xem như cái Cantor gọi là "đối tượng của quan điểm của chúng tôi." Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, tuy nhiên, theo ý tưởng Fraenkel là lý thuyết tập hợp thuần túy mà đối tượng hoàn toàn là các tập hợp.
Tuy nhiên, nhiều nhà toán học thay vì theo một tiên đề hợp lý lại chọn một lý thuyết tập hợp thực dụng, tránh tập hợp có vấn đề, chẳng hạn như những áp dụng của Felix Hausdorff 1914 hoặc Erich Kamke từ năm 1928. Dần dần các nhà toán học ý thức hơn rằng lý thuyết tập hợp là một cơ bản không thể thiếu cho cấu trúc toán học. Hệ thống ZF chứng minh được trong thực hành, vì vậy ngày nay nó được đa số các nhà toán học công nhận là cơ sở của toán học hiện đại; không còn có mâu thuẫn có thể bắt nguồn từ hệ thống ZF. Tuy nhiên, sự không mâu thuẫn chỉ có thể được chứng minh cho lý thuyết tập hợp với tập hợp hữu hạn, chứ không phải cho toàn bộ hệ thống ZF, mà chứa lý thuyết tập hợp của Cantor với tập hợp vô hạn. Theo Gödel's incompleteness theorems năm 1931 một chứng minh về tính nhất quán về nguyên tắc là không thể được. Những khám phá Gödel chỉ là chương trình của Hilbert để cung cấp toán học và lý thuyết tập hợp vào một cơ sở tiên đề không mâu thuẫn được chứng minh, một giới hạn, nhưng không cản trở sự thành công của lý thuyết trong bất kỳ cách nào, vì vậy mà một khủng hoảng nền tảng của toán học, mà những người ủng hộ của Intuitionismus, trong thực tế không được cảm thấy.
Tuy nhiên, sự công nhận cuối cùng của lý thuyết tập hợp ZF trong thực tế trì hoãn trong một thời gian dài. Nhóm toán học với bút danh Nicolas Bourbaki đã đóng góp đáng kể cho sự công nhận này; họ muốn mô tả mới toán học đồng nhất dựa trên lý thuyết tập hợp và biến đổi nó vào năm 1939 tại các lãnh vực toán học chính thành công. Trong những năm 1960, nó trở nên phổ biến rộng rãi rằng, lý thuyết tập hợp ZF thích hợp là cơ sở cho toán học. Đã có một khoảng thời gian tạm thời trong đó lý thuyết số lượng đã được dạy ở tiểu học.
Song song với câu chuyện thành công của thuyết tập hợp, tuy nhiên, việc thảo luận về các tiên đề tập hợp vẫn còn lưu hành trong thế giới chuyên nghiệp. Nó cũng hình thành những lý thuyết tập hợp tiên đề thay thế khoảng năm 1937 mà không hướng theo Cantor và Zermelo-Fraenkel, nhưng dựa trên Lý thuyết kiểu (Type Theory) của Willard Van Orman Quine từ New Foundations (NF) của ông ta, năm 1940 lý thuyết tập hợp Neumann-Bernays-Godel, mà khái quát hóa ZF về các lớp, hay năm 1955, lý thuyết tập hợp Ackermann, khai triển mới định nghĩa tập hợp của Cantor.