stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Prosopocoilus wallacei

| Prosopocoilus wallacei> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Coleoptera
Họ (familia): Lucanidae
Phân họ (subfamilia): Lucaninae
Chi (genus): Prosopocoilus
Loài (species): P. wallacei
Danh pháp hai phần
Prosopocoilus wallacei Parry, 1862 
Prosopocoilus wallacei là một loài bọ cánh cứng trong họ Lucanidae. Loài này được Parry mô tả khoa học năm 1862.
Saint-Jean-de-Nay

| --- | --- |
 Saint-Jean-de-Nay
Saint-Jean-de-Nay

Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Auvergne-Rhône-Alpes
Tỉnh: Haute-Loire
Quận: Le Puy-en-Velay
Tổng: Loudes
Xã (thị) trưởng: Jean-Marie Pelisse
Thống kê
Độ cao: 868–1.301 m (2.848–4.268 ft) (bình quân 847 m (2.779 ft)[chuyển đổi: tùy chọn không hợp lệ])
Diện tích đất1: 28,26 km2 (10,91 dặm vuông Anh)
Nhân khẩu2: 430  (1999)
 - Mật độ: 15/km2 (39/sq mi)
INSEE/Mã bưu chính: 43197/ 43320
1 Dữ liệu địa chính Pháp loại trừ các hồ và ao lớn hơn 1 km² (0.386 dặm vuông hoặc 247 acre) cũng như các cửa sông.
2 Dân số không tính hai lần: cư dân của nhiều xã (ví dụ, các sinh viên và quân nhân) chỉ tính một lần.
Saint-Jean-de-Nay là một xã thuộc tỉnh Haute-Loire trong vùng Auvergne-Rhône-Alpes ở nam trung bộ nước Pháp. Khu vực này có độ cao trung bình 847 mét trên mực nước biển. Theo điều tra dân số năm 1999 của INSEE có dân số 430 người.
Psychotria aroensis

| Psychotria aroensis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Gentianales
Họ (familia): Rubiaceae
Chi (genus): Psychotria
Loài (species): P. aroensis
Danh pháp hai phần
Psychotria aroensis Steyerm. 
Psychotria aroensis là một loài thực vật có hoa trong họ Thiến thảo. Loài này được Steyerm. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1972.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Psychotria aroensis”. Truy cập ngày 3 tháng 6 năm 2013.
Điệu Hy Vương

Điệu Hy Vương (chữ Hán: 悼僖王) là thụy hiệu của một số vị phiên vương, quận vương hoặc thân vương trong lịch sử các triều đại phong kiến Trung Quốc.
Danh sách

Minh triều Từ Câu Điệu Hy Vương
Minh triều Tĩnh Giang Điệu Hy Vương
Minh triều Hòa Xuyên Điệu Hy Vương
Minh triều Đại Dã Điệu Hy Vương
Minh triều Hành Dương Điệu Hy Vương
Minh triều Ma Dương Điệu Hy Vương
Minh triều Đường Sơn Điệu Hy Vương
Minh triều Đô Xương Điệu Hy Vương
Minh triều Cao Đường Điệu Hy Vương
Liparis simmondsii

| Liparis simmondsii> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Asparagales
Họ (familia): Orchidaceae
Chi (genus): Liparis
Loài (species): L. simmondsii
Danh pháp hai phần
Liparis simmondsii F.M.Bailey 
Liparis simmondsii là một loài thực vật có hoa trong họ Lan. Loài này được F.M.Bailey mô tả khoa học đầu tiên năm 1891.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Liparis simmondsii”. Truy cập ngày 7 tháng 6 năm 2013.
K'Linh

| Nguyễn K'Linh> Thông tin cá nhân |
| --- | --- |
Sinh: 
Tên khai sinh: Nguyễn K'Linh
Ngày sinh: 1975 (48–49 tuổi)
 
Giới tính: nam
Quốc tịch:  Việt Nam
Dân tộc: Kinh
Nghề nghiệp: Nhà quay phim
Danh hiệu: Nghệ sĩ Ưu tú (2023)

Sự nghiệp điện ảnh
Năm hoạt động: 2001 - nay
Đào tạo: Trường Đại học Sân khấu – Điện ảnh Thành phố Hồ Chí Minh
Tác phẩm: Tôi thấy hoa vàng trên cỏ xanh, Tro tàn rực rỡ
 
 
Giải thưởng
Giải Cánh diều  2008 Quay phim điện ảnh xuất sắc 2012 Quay phim điện ảnh xuất sắc 2015 Quay phim điện ảnh xuất sắc 2023 Quay phim điện ảnh xuất sắc
Liên hoan phim Việt Nam  2011 Quay phim điện ảnh xuất sắc 2015 Quay phim điện ảnh xuất sắc 2019 Quay phim điện ảnh xuất sắc 2023 Quay phim điện ảnh xuất sắc
Website
K'Linh trên IMDb
x • t • 
Nguyễn K'Linh (sinh năm 1975) là nhà quay phim / đạo diễn hình ảnh, anh được coi là một trong những "tay máy vàng" của điện ảnh Việt Nam khi giành được giải Quay phim xuất sắc tại các kỳ Liên hoan phim Việt Nam và Giải Cánh diều.
Tiểu sử

Nguyễn K'Linh sinh năm 1975 gốc Hà Nội, anh được mẹ đặt tên theo thác nước Dak K'Linh ở Buôn Ma Thuật. Mẹ anh là họa sĩ vẽ tranh lụa Hoàng Minh Hằng, sau khi bố mẹ ly hôn, anh vào thành phố Hồ Chí Minh theo mẹ.
Sự nghiệp

Ban đầu, K'Linh dự định thi vào trường Mỹ thuật để nối nghiệp của mẹ, nhưng vì mải đi du lịch cùng bạn bè mà trễ hạn nộp đơn. Anh được nhà thơ Phan Vũ giúp nộp đơn vào trường Sân khấu Điện ảnh thành phố Hồ Chí Minh, mục đích ban đầu là học tạm một năm rồi thi vào Mỹ thuật. Sau khi ra trường, anh làm nhiều công việc trong các đoàn phim, tham gia sản xuất MV và trở thành quay phim chính.
K'Linh sau đó xin vào làm trong Ban Văn nghệ thuộc cơ quan thường trú của Đài Truyền hình Việt Nam tại Thành phố Hồ Chí Minh. Tại đây, anh làm các công việc vặt phụ giúp đoàn làm video ca nhạc. Chán nản, K'Linh tiếp tục xin vào Hãng phim Truyền hình Thành phố Hồ Chí Minh (TFS). Năm 1999, sau một năm phụ việc, K'Linh bắt đầu làm quay phim chính.
Năm 2005, K'Linh được một suất du học Pháp 2 năm với điều kiện phải biết tiếng Pháp. Do đó, anh xin phép hãng TFS nghỉ không lương một năm để học ngoại ngữ. Không được cơ quan chấp thuận, K'Linh đành phải xin thôi việc. Tuy nhiên, do môn ngoại ngữ không đạt nên anh không thể thực hiện dự định của mình.
Cũng trong năm 2005, đạo diễn Nguyễn Nghiêm Đặng Tuấn về nước làm bộ phim 1375km và mời K'Linh làm đạo diễn hình ảnh. Là bộ phim điện ảnh đầu tiên của Việt Nam làm theo phương pháp của Hollywood, đồng thời cũng là bộ phim điện ảnh đầu tay của K'Linh, song, phim lại thất bại cả về doanh thu và nghệ thuật.
Năm 2009, K'Linh nhận được học bổng ngắn hạn tại trường Đại học Nam California (USC) về quay phim và có thêm kỹ năng mới trong công việc. Trong năm này, K'Linh lần đầu cộng tác với Victor Vũ khi thực hiện bộ phim Chuyện tình xa xứ và tham gia làm đạo diễn hình ảnh cho phim Huyền thoại bất tử. Một năm sau, anh giành giải Quay phim xuất sắc tại Giải Cánh diều 2015. Năm 2012, tại Liên hoan phim Việt Nam lần thứ 17, K'Linh giành giải Quay phim xuất sắc với bộ phim Cô dâu đại chiến. Sau đó, K'Linh tiếp tục hợp tác cùng Victor Vũ với phim điện ảnh Thiên mệnh anh hùng. Bộ phim sau đó chiến thắng 5 giải ở hạng mục Phim điện ảnh tại Giải Cánh diều 2012, trong đó có giải Quay phim xuất sắc dành cho K'Linh.
Năm 2017, anh cùng Bob Nguyễn và Lý Thái Dũng thành lập Sài Gòn Cinematographers, một hiệp hội dành riêng cho các nhà quay phim. Năm 2018, đánh dấu lần thứ 11 K'Linh cộng tác cùng Victor vũ qua bộ phim điện ảnh Người bất tử. Với bộ phim này anh giành được giải Quay phim xuất sắc tại Liên hoan phim Việt Nam lần thứ 21. Năm 2023, với bộ phim Tro tàn rực rỡ hợp tác cùng Bùi Thạc Chuyên, bộ phim giành được nhiều giải thưởng trong và ngoài nước. Bản thân K'Linh cũng giành giải được một giải Quay phim xuất sắc hạng mục phim điện ảnh tại Liên hoan phim Việt Nam lần thứ 23.
Năm 2023, K'Linh được Nhà nước Việt Nam trao tặng danh hiệu Nghệ sĩ ưu tú. Cũng trong năm này, anh giành "cú đúp" khi chiến thắng hạng mục Quay phim xuất sắc của hai giải thưởng điện ảnh là Liên hoan phim Việt Nam lần thứ 23 và Giải Cánh diều 2023.
Giải thưởng

| Năm | Sự kiện | Hạng mục | Phim | Kết quả | Chú thích |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2009 | Giải Cánh diều 2008 | Quay phim xuất sắc - Phim truyện điện ảnh | Huyền thoại bất tử | Đoạt giải |  |
| 2011 | Liên hoan phim Việt Nam lần thứ 17 | Quay phim xuất sắc - Phim truyện điện ảnh | Cô dâu đại chiến | Đoạt giải |  |
| 2013 | Giải Cánh diều 2012 | Quay phim xuất sắc - Phim truyện điện ảnh | Thiên mệnh anh hùng | Đoạt giải |  |
| 2015 | Liên hoan phim Việt Nam lần thứ 19 | Quay phim xuất sắc - Phim truyện điện ảnh | Tôi thấy hoa vàng trên cỏ xanh | Đoạt giải |  |
| 2016 | Giải Cánh diều 2015 | Quay phim xuất sắc - Phim truyện điện ảnh | Tôi thấy hoa vàng trên cỏ xanh | Đoạt giải |  |
| 2019 | Liên hoan phim Việt Nam lần thứ 21 | Quay phim xuất sắc - Phim truyện điện ảnh | Người bất tử | Đoạt giải |  |
| 2023 | Liên hoan phim Việt Nam lần thứ 23 | Quay phim xuất sắc - Phim truyện điện ảnh | Tro tàn rực rỡ | Đoạt giải |  |
| 2023 | Giải Cánh diều 2023 | Quay phim xuất sắc - Phim truyện điện ảnh | Tro tàn rực rỡ | Đoạt giải |  |
Tác phẩm > Phim ngắn

| Năm | Tự đề | Đạo diễn | Hình thức | Chú thích |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2015 | Sắc màu định mệnh | Victor Vũ | Phim ngắn |  |
| 2016 | Color Your Life | Victor Vũ | Video clip |  |
| 2017 | Sinh mệnh thiên thần | Bùi Tuấn Dũng | Phim ngắn |  |
| 2019 | Hết thương cạn nhớ - Đức Phúc | Vũ Hồng Thắng | MV |  |
Tác phẩm > Phim truyền hình

| Năm | Tự đề | Đạo diễn | Hình thức | Chú thích |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2001 | Gấu cổ trắng | Trương Dũng | Điện ảnh truyền hình |  |
| 2003 | Tài tử nghiệp dư | Phan Hoàng | Dài tập |  |
| 2004 | Lục Vân Tiên | Đỗ Phú Hải, Lê Bảo Trung, Nguyễn Phương Điền | Dài tập |  |
| 2005 | Mầm sống | Phan Hoàng | Dài tập |  |
| 2005 | Dốc tình | Lưu Trọng Ninh | Dài tập |  |
| 2006 | Bà mẹ nhí | Nguyễn Minh Chung | Sitcom |  |
| 2008 | Cô gái xấu xí | Nguyễn Minh Chung | Sitcom |  |
| 2010 | Những thiên thần áo trắng | Lê Hoàng | Dài tập |  |
Tác phẩm > Phim điện ảnh

| Năm | Tự đề | Đạo diễn | Chú thích |
| --- | --- | --- | --- |
| 2005 | 1735 km | Nguyễn Nghiêm Đặng Tuấn |  |
| 2006 | 2 trong 1 | Đào Duy Phúc |  |
| 2006 | Hồn Trương Ba, da hàng thịt | Nguyễn Quang Dũng |  |
| 2007 | Chuông reo là bắn | Trương Dũng |  |
| 2007 | Thủ Tướng | Lê Hoàng |  |
| 2009 | Chuyện tình xa xứ | Victor Vũ |  |
| 2009 | Huyền thoại bất tử | Victor Vũ |  |
| 2010 | Cô dâu đại chiến | Victor Vũ |  |
| 2010 | Giao lộ định mệnh | Victor Vũ |  |
| 2011 | Lệnh xóa sổ | Cao Cường Đặng |  |
| 2011 | Tối nay 8h | Lê Hoàng |  |
| 2012 | Thiên mệnh anh hùng | Victor Vũ |  |
| 2013 | Scandal – Bí mật thảm đỏ | Victor Vũ |  |
| 2014 | Quả tim máu | Victor Vũ |  |
| 2014 | Hiệp sĩ mù | Lưu Huỳnh, Đàm Vĩnh Hưng |  |
| 2015 | Cha và con và... | Phan Đăng Di |  |
| 2015 | Tôi thấy hoa vàng trên cỏ xanh | Victor Vũ |  |
| 2016 | Lộc phát | Lê Bảo Trung |  |
| 2017 | Lôi báo | Victor Vũ |  |
| 2018 | Người bất tử | Victor Vũ |  |
| 2019 | Tìm chồng cho mẹ | Thủy Trần |  |
| 2019 | Ngốc ơi tuổi 17 | Đinh Tuấn Vũ, Chu Thiện |  |
| 2023 | Tro tàn rực rỡ | Bùi Thạc Chuyên |  |
Sainte-Colombe, Yonne

| --- | --- |
 Sainte-Colombe
Sainte-Colombe
Vị trí trong vùng Burgundy Sainte-Colombe 
Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Bourgogne-Franche-Comté
Tỉnh: Yonne
Quận: Avallon
Tổng: L'Isle-sur-Serein
Liên xã: Cộng đồng các xã la Haute Vallée du Serein
Xã (thị) trưởng: M. Claude Leblond (2008 - 2014)
Thống kê
Độ cao: 199–361 m (653–1.184 ft) (bình quân 270 m (890 ft)[chuyển đổi: tùy chọn không hợp lệ])
Diện tích đất1: 18,48 km2 (7,14 dặm vuông Anh)
INSEE/Mã bưu chính: 89339/ 89440

Sainte-Colombe là một xã của Pháp,tọa lạc ở tỉnh Yonne trong vùng Bourgogne.
Hành chính

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
Danh sách các thị trưởng
| Giai đoạn | Giai đoạn | Tên | Đảng | Tư cách |
| tháng 3 2008 | 2014 | Claude Leblond |  |  |
| 2001 | 2008 | Claude Leblond |  |  |
Tất cả các dữ liệu trước đây không rõ.
Crocallis marginenuda

| Crocallis marginenuda> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Crocallis
Loài (species): C. marginenuda
Danh pháp hai phần
Crocallis marginenuda Lempke 1951 
Crocallis marginenuda là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Preah Vihear

Preah Vihear có thể là:
Đền Preah Vihear, một di sản văn hóa của Campuchia.
Tỉnh Preah Vihear
Thị xã Preah Vihear, thủ phủ tỉnh Preah Vihear
Puertasaurus

| --- | --- |
Thời điểm hóa thạch: Phấn trắng muộn 70.6–66.043 triệu năm trước đây  TiềnЄ Є O S D C P T J K Pg N  ↓  
Hình phục dựng
Phân loại khoa học
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Chordata 
Nhánh: Craniata
 
Phân ngành (subphylum): Vertebrata
Phân thứ ngành (infraphylum): Gnathostomata
Liên lớp (superclass): Tetrapoda
Nhánh (clade): Dinosauria
Chi (genus): Puertasaurus Novas Salgado Calvo & Agnolín, 2005
Puertasaurus là một chi khủng long, được Novas Salgado Calvo & Agnolín mô tả khoa học năm 2005. Các loài trong chi này đã từng sinh sống ở Nam Mỹ trong thời kỳ cuối kỷ Phấn trắng. Nó được biết đến từ một mẫu vật duy nhất được thu hồi từ các đá trầm tích của hệ tầng Cerro Fortaleza ở phía tây nam Patagonia, Argentina, có lẽ thuộc Tiểu Đức hoặc Maastrichtian. Loài duy nhất là Puertasaurus reuili. Được mô tả bởi nhà cổ sinh vật học Fernando Novas và các đồng nghiệp vào năm 2005, nó được đặt tên để vinh danh Pablo Puerta và Santiago Reuil, người đã phát hiện và chuẩn bị mẫu vật. Nó bao gồm bốn đốt sống được bảo tồn tốt, bao gồm một đốt sống cổ, một đốt sống lưng và hai đốt sống đuôi. Puertasaurus là một thành viên của Titanizardia, nhóm thống trị của loài khủng long trong kỷ Phấn trắng.
Chú thích

↑  “Dinosaur Genera List”. Bản gốc lưu trữ ngày 15 tháng 7 năm 2011. Truy cập ngày 3 tháng 7 năm 2015.
Điệu Vũ Vương

Điệu Vũ Vương (chữ Hán: 悼武王) là thụy hiệu của một số vị quân chủ chư hầu trong lịch sử khu vực Á Đông.
Danh sách

Đông Chu Tần Điệu Vũ Vương (có các thụy hiệu khác như: Nguyên Vũ Vương, Vũ Vương và Vũ Liệt Vương)
Tây Hán Lã Điệu Vũ Vương (truy tôn)
Leptoscapha crassilabrum

| Leptoscapha crassilabrum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Mollusca
Lớp (class): Gastropoda
Liên họ (superfamilia): Muricoidea
(không phân hạng): nhánh Caenogastropoda nhánh Hypsogastropoda nhánh Neogastropoda
Họ (familia): Volutidae
Phân họ (subfamilia): Volutinae
Chi (genus): Leptoscapha
Loài (species): L. crassilabrum
Danh pháp hai phần
Leptoscapha crassilabrum (Tate, 1889) 
Leptoscapha crassilabrum là một loài ốc biển, là động vật thân mềm chân bụng sống ở biển trong họ Volutidae, họ ốc dừa.
Chú thích

↑  Leptoscapha crassilabrum (Tate, 1889). World Register of Marine Species, truy cập 25 tháng 4 2010.
Cryptotriton

| Cryptotriton> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Chordata
Lớp (class): Amphibia
Bộ (ordo): Caudata
Họ (familia): Plethodontidae
Chi (genus): Cryptotriton García-París & Wake, 2000
Các loài
 See table.
Cryptotriton là một chi động vật lưỡng cư trong họ Plethodontidae, thuộc bộ Caudata. Chi này có 6 loài và 100% bị đe dọa hoặc tuyệt chủng.
Crocallis juncta

| Crocallis juncta> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Crocallis
Loài (species): C. juncta
Danh pháp hai phần
Crocallis juncta Schille 1918 
Crocallis juncta là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Điệu Khang Vương

Điệu Khang Vương (chữ Hán: 悼康王) là thụy hiệu của một số vị quân chủ.
Danh sách

Minh triều Lăng Xuyên Điệu Khang Vương
Minh triều Hoa Dương Điệu Khang Vương
Minh triều Ninh Hóa Điệu Khang Vương
Minh triều Long Bình Điệu Khang Vương
Pueraria xyzhuii

| Pueraria xyzhuii> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Chi (genus): Pueraria
Loài (species): P. xyzhuii
Danh pháp hai phần
Pueraria xyzhuii H. Ohashi & Iokawa, 2006 
Pueraria xyzhuii là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được H. Ohashi & Iokawa mô tả khoa học đầu tiên năm 2006.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Pueraria xyzhuii”. Truy cập ngày 6 tháng 6 năm 2013.
Leptotarsus brevitarsis

| Leptotarsus brevitarsis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Diptera
Họ (familia): Tipulidae
Chi (genus): Leptotarsus
Danh pháp hai phần
Leptotarsus brevitarsis Edwards, 1923 
Leptotarsus brevitarsis là một loài ruồi trong họ Ruồi hạc (Tipulidae). Chúng phân bố ở miền Australasia.
Saint-Jean-de-Niost

| --- | --- |
 Saint-Jean-de-Niost
Saint-Jean-de-Niost

Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Auvergne-Rhône-Alpes
Tỉnh: Ain
Quận: Bourg-en-Bresse
Tổng: Meximieux
Liên xã: Plaine de l'Ain
Xã (thị) trưởng: Jean-Pierre Herman (2008-2014)
Thống kê
Độ cao: 193–242 m (633–794 ft) (bình quân 220 m (720 ft)[chuyển đổi: tùy chọn không hợp lệ])
Diện tích đất1: 14,19 km2 (5,48 dặm vuông Anh)
INSEE/Mã bưu chính: 01361/ 01800

Saint-Jean-de-Niost là một xã ở tỉnh Ain, vùng Auvergne-Rhône-Alpes thuộc miền đông nước Pháp.
Hệ tiên đề Peano

Giuseppe Peano
Trong logic toán học, các tiên đề Peano, còn được gọi là các tiên đề Peano – Dedekind hay các định đề Peano, là các tiên đề cho các số tự nhiên được trình bày bởi nhà toán học người Ý thế kỷ 19 Giuseppe Peano. Những tiên đề đã được sử dụng gần như không thay đổi trong nhiều nghiên cứu siêu toán học, trong đó có nghiên cứu về vấn đề căn bản như việc liệu lý thuyết số có nhất quán và hoàn chỉnh hay không.
Nhu cầu hình thức hóa số học không được đánh giá cao cho tới công trình của Hermann Grassmann, người đã chỉ ra vào những năm 1860 rằng nhiều sự thật trong số học có thể được rút ra từ những sự thật cơ bản hơn về hàm successor và phép quy nạp. Năm 1881, Charles Sanders Peirce đã lập ra một hệ tiên đề về số học số tự nhiên. Trong năm 1888, Richard Dedekind đề xuất một tiên đề khác về số học số tự nhiên, và trong năm 1889, Peano đã xuất bản một phiên bản đơn giản hơn dưới dạng một tập hợp các tiên đề trong cuốn sách của ông, Các nguyên tắc số học được trình bày bởi một phương pháp mới (tiếng Latinh: Arithmetices principia, nova methodo exposita).
Các tiên đề Peano chứa ba loại mệnh đề. Tiên đề đầu tiên khẳng định sự tồn tại của ít nhất một phần tử trong tập hợp các số tự nhiên. Bốn tiên đề tiếp theo là những mệnh đề chung về quan hệ bằng nhau; trong các lí thuyết hiện đại, chúng thường không được coi là một phần của tiên đề Peano, mà là của "nền tảng logic" đằng sau nó. Ba tiên đề tiếp theo là các mệnh đề bậc nhất về số tự nhiên biểu thị các tính chất cơ bản của hàm successor. Tiên đề thứ chín – tiên đề cuối cùng, là một mệnh đề bậc hai về nguyên tắc quy nạp toán học trên các số tự nhiên. Một hệ thống bậc nhất yếu hơn gọi là số học Peano có được bằng cách thêm các ký hiệu phép toán cộng và nhân một cách tường minh và thay thế tiên đề quy nạp bậc hai bằng sơ đồ tiên đề bậc nhất.
Số học

Các tiên đề Peano có thể được bổ sung bằng các phép toán cộng và nhân và quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) thông thường trên N. Các hàm và quan hệ tương ứng được xây dựng theo lý thuyết tập hợp hoặc logic bậc hai, và có thể được cho thấy là duy nhất bằng cách sử dụng các tiên đề Peano.
Số học > Phép cộng

Phép cộng là một hàm ánh xạ hai số tự nhiên (hai phần tử của N) sang một số khác. Nó được định nghĩa đệ quy là:
Ví dụ:
Cấu trúc (N, +) là một monoid giao hoán với phần tử đơn vị 0. (N, +) cũng là một magma triệt tiêu, và do đó nhúng được trong một nhóm. Nhóm nhỏ nhất nhúng N là tập hợp số nguyên.
Số học > Phép nhân

Tương tự, phép nhân là một hàm ánh xạ hai số tự nhiên sang số khác. Ngoài ra, nó được định nghĩa đệ quy là:
Dễ dàng thấy rằng S (0) (hoặc "1", trong ngôn ngữ quen thuộc của biểu diễn thập phân) là đơn vị phải của phép nhân:
Để chỉ ra rằng S(0) cũng là phần tử đơn vị trái của phép nhân cần có tiên đề quy nạp do cách định nghĩa phép nhân:
S(0) là phần tử đơn vị bên trái của 0: S(0) · 0 = 0.
Nếu S(0) là phần tử đơn vị bên trái của a (tức là S(0) · a = a), thì S(0) cũng là phần tử đơn vị bên trái của S(a): S(0) · S(a) = S(0) + S(0) · a = S(0) + a = a + S(0) = S(a+0) = S(a).
Do đó, bởi tiên đề quy nạp S (0) là phần tử đơn vị trái của phép nhân của tất cả các số tự nhiên. Hơn nữa, có thể chỉ ra rằng phép nhân có tính phân phối trên phép cộng:
Do đó, (N, +, 0, ·, S(0)) là một nửa vành giao hoán.
Số học > Bất đẳng thức

Quan hệ thứ tự toàn phần thông thường trên các số tự nhiên có thể được định nghĩa như sau: giả sử 0 là số tự nhiên
Mối quan hệ này ổn định dưới phép cộng và nhân: cho  a,b,c\in \mathbf {N} , nếu a ≤ b, thì:
a + c ≤ b + c và
a · c ≤ b · c.
Do đó, cấu trúc (N, +, ·, 1, 0, ≤) là một nửa vành có thứ tự; bởi vì không có số tự nhiên trong khoảng từ 0 đến 1, nên nó là một nửa vành có thứ tự rời rạc.
Tiên đề quy nạp đôi khi được nêu ở dạng sau sử dụng giả thuyết mạnh hơn, sử dụng quan hệ thứ tự "≤":
φ(0) đúng, và
cho mỗi n, k ∈ N nếu k ≤ n suy ra rằng φ(k) đúng, thì φ(S(n)) là đúng,
Dạng tiên đề quy nạp này, được gọi là quy nạp mạnh, là hệ quả của cách phát biểu chuẩn mực, nhưng thường phù hợp hơn cho việc lí giải về quan hệ thứ tự ≤. Ví dụ, để chỉ ra rằng tập hợp các số tự nhiên được sắp tốt — mọi tập hợp con không rỗng của N có một phần tử nhỏ nhất, ta có thể lý giải như sau. Cho X ⊆ N không rỗng và giả sử X không có phần tử nhỏ nhất.
Vì 0 là phần tử nhỏ nhất của N, nên 0 ∉ X
Với mọi n ∈ N, giả sử với mọi k ≤ n, k ∉ X Khi đó S(n) ∉ X, bởi nếu không nó sẽ là phần tử nhỏ nhất của X.
Do đó, theo nguyên lý quy nạp mạnh, với mọi n ∈ N, n ∉ X Do đó, X ∩ N = ∅, mâu thuẫn với giả thiết rằng X là tập con không rỗng của N. Do đó X có phần tử nhỏ nhất.
Lý thuyết số học bậc nhất

Tất cả các tiên đề Peano ngoại trừ tiên đề thứ chín (tiên đề quy nạp) là các mệnh đề trong logic bậc nhất. Các phép toán số học của phép cộng và phép nhân và quan hệ thứ tự cũng có thể được xác định bằng các tiên đề bậc nhất. Tiên đề quy nạp có bậc hai, vì nó định lượng trên các vị từ (theo nghĩa tương đương, trên các tập hợp số tự nhiên chứ không phải trên các số tự nhiên), nhưng nó có thể được chuyển đổi thành sơ đồ tiên đề bậc nhất cho phép quy nạp. Một sơ đồ như vậy bao gồm một tiên đề cho mỗi vị ngữ định nghĩa được trong ngôn ngữ bậc nhất của số học Peano, khiến cho nó yếu hơn tiên đề bậc hai. Lý do nó yếu hơn là vì số lượng vị từ trong ngôn ngữ bậc nhất là có thể đếm được, trong khi số lượng các tập hợp số tự nhiên là không đếm được. Do đó, tồn tại các tập hợp không thể được mô tả bằng ngôn ngữ bậc nhất (trên thực tế, hầu hết các tập hợp đều có thuộc tính này).
Các tiên đề bậc nhất của số học Peano có một hạn chế kỹ thuật khác. Trong logic bậc hai, có thể định nghĩa các phép toán cộng và nhân từ hàm liền sau, nhưng điều này không thể được thực hiện trong cấu trúc hạn chế hơn của logic bậc một. Do đó, các phép toán cộng và nhân được bao gồm trực tiếp trong signature của số học Peano và các tiên đề được đưa vào có liên quan đến ba phép toán với nhau.
Danh sách các tiên đề sau (cùng với các tiên đề thông thường về quan hệ bằng nhau), chứa sáu trong số bảy tiên đề của số học Robinson, là đủ cho mục đích này:
\forall x\ (0\neq S(x))
\forall x,y\ (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)
\forall x\ (x+0=x)
\forall x,y\ (x+S(y)=S(x+y))
\forall x\ (x\cdot 0=0)
\forall x,y\ (x\cdot S(y)=x\cdot y+x)
Ngoài danh sách các tiên đề số này, số học Peano còn chứa sơ đồ quy nạp, bao gồm một tập hợp các tiên đề đếm được đệ quy. Đối với mỗi công thức φ(x, y1,..., yk) trong ngôn ngữ của Peano số học, tiên đề quy nạp bậc nhất cho φ là mệnh đề
Ở đâu  {\bar {y}} là viết tắt của y 1,..., y k. Sơ đồ quy nạp bậc nhất bao gồm tất cả các dạng của tiên đề quy nạp bậc nhất, có nghĩa là, nó bao gồm các tiên đề quy nạp cho mỗi công thức φ.