Bài toán người bán hàng
Tìm kiếm lời giải > Các thuật toán

Các thuật toán: phương pháp chính xác để giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi các thuật toán tạo ra cả một giới hạn dưới và một trên ràng buộc về giá trị nhỏ nhất thực sự của các trường hợp vấn đề. Bất kỳ tour du lịch vòng quanh chuyến đi mà đi qua mỗi thành phố đúng một lần là một giải pháp khả thi với một chi phí nhất định mà không thể nhỏ hơn so với các tour du lịch chi phí tối thiểu. Thuật toán xây dựng các giải pháp khả thi, và do đó giới hạn trên đối với các giá trị tối ưu, được gọi là công nghệ tự động. Những giải pháp chiến lược sản xuất câu trả lời nhưng không có bất kỳ đảm bảo chất lượng như thế nào xa họ có thể từ câu trả lời tối ưu. Các thuật toán heuristic mà cố gắng để tìm ra giải pháp khả thi trong một nỗ lực duy nhất được gọi là công nghệ tự động xây dựng trong khi các thuật toán đó lặp đi lặp lại thay đổi và cố gắng cải thiện một số giải pháp bắt đầu được gọi là công nghệ tự động cải thiện. Khi một giải pháp có được phụ thuộc vào điểm xuất phát ban đầu của thuật toán, cùng một thuật toán có thể được sử dụng nhiều lần từ nhiều điểm khởi đầu (ngẫu nhiên). Đối với một cuộc khảo sát tuyệt vời của công nghệ tự động cải thiện ngẫu nhiên, xem Junger, Reinelt và Rinaldi (1994). Thông thường, nếu một trong những nhu cầu một giải pháp nhanh chóng, người ta có thể giải quyết cho một thuật toán heuristic được thiết kế tốt đã được chứng minh bằng thực nghiệm để tìm tour du lịch "gần như tối ưu" đến nhiều vấn đề TSP. Nghiên cứu của Johnson (1990), và Junger, Reinelt và Rinaldi (1994)  mô tả thuật toán tìm giải pháp cho TSPs rất lớn (vấn đề với hàng chục ngàn, thậm chí hàng triệu biến) để trong vòng 2% của tối ưu trong thời gian rất hợp lý. Đối với phương pháp tiếp cận thuật toán di truyền để TSP, xem Potvin (1996), cách tiếp cận ủ mô phỏng thấy Aarts, et al. (1988), cách tiếp cận mạng lưới thần kinh, xem Potvin (1993), và cách tiếp cận tìm kiếm kỵ, xem Fiechter (1990). Bảo lãnh thực hiện cho chẩn đoán được đưa ra trong Johnson và Papadimitriou (1985), phân tích xác suất của công nghệ tự động sẽ được thảo luận trong Karp và Steele (1985), và sự phát triển và thử nghiệm thực tế về chẩn đoán được báo cáo trong Golden và Stewart (1985).
Để biết về sự gần gũi của các ràng buộc trên với giá trị tối ưu, người ta cũng phải biết một thấp hơn ràng buộc về giá trị tối ưu. Nếu trên và giới hạn dưới trùng, một bằng chứng của tối ưu là đạt được. Nếu không, một ước tính bảo thủ của sai số tương đối thực sự của các ràng buộc trên được cung cấp bởi sự khác biệt của phần trên và phần dưới bị ràng buộc chia cho ràng buộc thấp hơn. Do đó, cần cả trên và kỹ thuật ranh giới thấp hơn để tìm thể chứng minh giải pháp tối ưu cho các vấn đề tổ hợp khó khăn hoặc thậm chí để có được các giải pháp đáp ứng một sự đảm bảo chất lượng.
Vì vậy, làm thế nào để có được và cải thiện thấp hơn ràng buộc? Một thư giãn của một vấn đề tối ưu hóa là một vấn đề tối ưu hóa mà bộ các giải pháp khả thi đúng có chứa tất cả các giải pháp khả thi của vấn đề ban đầu và có giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn hoặc bằng với đúng giá trị hàm mục tiêu cho các điểm khả thi cho vấn đề ban đầu. Do đó chúng tôi thay thế các "true" vấn đề bằng một với một khu vực có tính khả thi hơn đó là khả năng giải quyết dễ dàng hơn. Thư giãn này được tiếp tục tinh chế để thắt chặt các khu vực có tính khả thi để nó đại diện cho chặt chẽ hơn vấn đề thực sự. Các kỹ thuật tiêu chuẩn để đạt được giới hạn thấp hơn trên các vấn đề TSP là sử dụng một thư giãn mà là dễ dàng hơn để giải quyết hơn vấn đề ban đầu. Những nới lỏng có thể có một trong hai bộ khả thi rời rạc hay liên tục. Một số nới lỏng đã được xem xét cho TSP. Trong số đó là thư giãn n-đường dẫn, thư giãn chuyển nhượng, thư giãn 2 phù hợp, thư giãn 1-cây, và các chương trình thư giãn tuyến tính. Để tạo ra một cách ngẫu nhiên TSPs không đối xứng, vấn đề có đến 7500 thành phố đã được giải quyết bằng cách sử dụng thư giãn khoán, trong đó cho biết thêm subtours trong một khuôn khổ chi nhánh và ràng buộc và trong đó sử dụng một phỏng đoán ranh giới trên dựa trên subtour vá, (Miller và Pekny, 1991) . Đối với TSP đối xứng, thư giãn 1-cây và nới lỏng 2 phù hợp đã thành công nhất. Những nới lỏng đã được nhúng vào một khuôn khổ chi nhánh và cắt.
Quá trình tìm kiếm hạn chế được vi phạm bởi một thư giãn nhất định, được gọi là một máy bay cắt kỹ thuật và tất cả những thành công cho các vấn đề TSP lớn đã sử dụng máy bay để cắt liên tục thắt chặt việc xây dựng của vấn đề. Điều quan trọng cần nhấn mạnh rằng tất cả các phương pháp tính toán thành công với TSP sử dụng khía cạnh-định bất bình đẳng như cắt máy bay. Máy bay cắt chung loại của văn học lập trình số nguyên sử dụng đơn cơ sở-đại diện để có được cắt giảm, chẳng hạn như Gomory hoặc cắt giảm giao lộ, từ lâu đã bị bỏ rơi vì tính chất hội tụ nghèo.
Một trong những cắt giảm đơn giản đã được chứng minh để xác định các khía cạnh của TSP polytope cơ bản là cắt giảm loại bỏ subtour. Bên cạnh những khó khăn, bất bình đẳng lược, sự bất bình đẳng cây bè lũ, con đường, xe cút kít và xe đạp bất bình đẳng, bất bình đẳng thang và vương miện đã được hiển thị để xác định các khía cạnh của polytope này. Lý thuyết cơ bản của thế hệ khía cạnh cho việc đi lại vấn đề nhân viên bán hàng đối xứng được cung cấp trong Grötschel và Padberg (1985) và Junger, Reinelt và Rinaldi (1994). Các mô tả thuật toán như thế nào chúng được sử dụng trong việc cắt giảm các cách tiếp cận chiếc máy bay sẽ được thảo luận trong Padberg và Rinaldi (1991) và Junger, Reinelt và Rinaldi (1994). Triển khai thực hiện xử lý song song được trình bày trong Christof và Reinelt (1995)  và Applegate, et al. (1998). Cắt giảm các thủ tục máy bay sau đó có thể được nhúng vào một cây tìm kiếm được gọi là chi nhánh và cắt giảm. Một số vấn đề TSP lớn nhất giải quyết đã sử dụng xử lý song song để hỗ trợ trong việc tìm kiếm tối ưu. Theo sự hiểu biết của chúng ta về cấu trúc toán học cơ bản của vấn đề TSP được cải thiện, và với sự tiến bộ liên tục trong công nghệ máy tính, có khả năng là nhiều vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khó khăn và quan trọng sẽ được giải quyết bằng cách kết hợp cắt thủ tục thế hệ máy bay, chẩn đoán, sửa chữa biến thông qua tác động hợp lý và giảm chi phí và tìm kiếm cây.