Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian phẳng: Thuyết tương đối hẹp

Xét hai hệ quy chiếu quán tính  {\mathcal {O}} và  {\mathcal {O}}' chuyển động tương đối so với nhau với tốc độ hằng. Bởi vì tốc độ này là thuần túy thuộc về không gian và do vậy là vectơ-3, chúng ta sẽ ký hiệu nó là vận tốc-3  {\overrightarrow {\boldsymbol {V}}} với các thành phần được tính bằng
ở đây chỉ số Latin i chạy từ 1 đến 3 và t là tọa độ thời gian. Trong phần này, chúng ta sẽ coi  {\overrightarrow {\boldsymbol {V}}} hướng dọc theo trục x trong cả hai hệ quy chiếu  {\mathcal {O}} và  {\mathcal {O}}'. Do vậy,  V^{i}=(V^{x},0,0)=(V,0,0). Trong vật lý Newton, phép biến đổi đúng giữa hai hệ quy chiếu được miêu tả bằng phép biến đổi Galilei:
chúng là cơ sở cho tính bất biến của các định luật động lực học Newton Ý tưởng về một cái gì đó bị sai đến với Einstein sau khi ông nhận ra rằng phương trình Maxwell không bất biến dưới phép biến đổi Galilei (101) và (102) Thuyết tương đối hẹp đã được phát triển để giải quyết sự không tương thích này và nó là lý thuyết vật lý đầu tiên về không thời gian như là một thực thể. Mặc dù đã có nhiều thí nghiệm kiểm chứng tính đúng đắn của lý thuyết, thuyết tương đối đặc biệt có cấu trúc toán học tiên đề rất rõ ràng, khi nó dựa trên những giả sử sau đây:
Không có hệ quy chiếu quán tính ưu tiên nào và các định luật vật lý là bất biến khi chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính.
Tốc độ ánh sáng c là tốc độ lớn nhất mà thực thể vật lý và các sóng lan truyền có thể đạt tới.
Chú ý rằng, và nó cũng là hệ quả của tiên đề thứ hai, và bởi vì tốc độ ánh sáng xuất hiện trong phương trình Maxwell, c phải có giá trị như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Cấu trúc tôpô và vi phân của thuyết tương đối hẹp là giống với cấu trúc toán học của lý thuyết Newton nhưng với định nghĩa khác về khoảng cách hay khác về mêtric. Trong hệ tọa độ Descarte, tenxơ metric  g_{\mu \nu } của không thời gian trong thuyết tương đối hẹp, hay không thời gian Minkowski là
Mêtric này còn gọi là mêtric không thời gian phẳng do độ cong hình học tương ứng của không gian bằng 0 ở khắp nơi (xem Tenxơ Riemann). Nguyên tố đoạn (76) viết theo metric (103) được viết thành
Rõ ràng là, trong cùng một không thời gian phẳng, một hệ tọa độ khác - ví dụ hệ tọa độ cầu, sẽ cho tenxơ mêtric khác với dạng của (103). Tuy nhiên có một định lý quan trọng đối với không thời gian phẳng đó là: độc lập với hệ tọa độ dùng để bao phủ đa tạp không thời gian phẳng, luôn luôn có một biến đổi tọa độ toàn cục để đưa tenxơ mêtric của hệ tọa độ đó về dạng (103).
Chúng ta vẫn phải tìm ra phép biến đổi chính xác thay thế cho biến đổi Galilei ở trong (101) và (102) và cũng là cốt lõi của thuyết tương đối hẹp. Bên cạnh thể hiện được sự chuyển đổi từ hệ quy chiếu quán tính  {\mathcal {O}} sang  {\mathcal {O}}' và đáp ứng được đòi hỏi về tính bất biến của nguyên tố đoạn  ds^{2}=ds'^{2} (xem phần Tenxơ quan trọng nhất: Tenxơ mêtric), phép biến đổi cũng phải đáp ứng được những điều kiện khác. Không những  ds^{2} không thay đổi giá trị mà nó phải giữ nguyên dạng phương trình khi chuyển sang hệ quy chiếu quán tính khác, hay  ds'^{2}=dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}. Điều kiện thứ hai này là cần thiết vì nếu không sẽ có cách phân biệt các hệ quy chiếu quán tính. Phép biến đổi Lorentz đáp ứng được những điều kiện này:
trong đó
là hệ số Lorentz có giá trị bằng 1 (khi V = 0) và tiến tới  \infty  khi V  \rightarrow  1. Sử dụng (5), dạng ma trận cho biến đổi vectơ giữa các hệ tọa độ trong thuyết tương đối hẹp - hay ma trận biến đổi Lorentz (xem phần Vectơ tiếp tuyến)
mà cần nhấn mạnh một lần nữa đó là biến đổi tọa độ này tương đương với sự chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính. Chú ý rằng ma trận biến đổi (108) có dạng đối xứng, và vì vậy nó bằng ma trận chuyển vị của nó, ma trận có định thức bằng 1 vì ma trận nghịch đảo có thể nhận được bằng cách thay V bằng -V. Ma trận nghịch đảo này có thể dùng cho phương trình (45) để tìm hệ cơ sở vectơ đơn vị của quan sát viên  {\mathcal {O}}' theo hệ cơ sở vectơ đơn vị của quan sát viên  {\mathcal {O}}.
Tất cả những hệ quả kỳ lạ của thuyết tương đối hẹp mà không có ở vật lý Newton, như khái niệm về tính tương đối của sự đồng thời, sự co độ dài Lorentz, sự giãn thời gian, nghịch lý sinh đôi đều có thể rút ra từ các phương trình (105) (106). Hai sự kiện P và Q được nói là tách nhau kiểu thời gian nếu nguyên tố đoạn giữa chúng ds2 < 0, theo nghĩa trong mỗi hệ quy chiếu khoảng cách không gian giữa hai sự kiện  dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}} luôn có thể đạt tới bằng một vật chuyển động với vận tốc v < c trong khoảng thời gian  dt=|dt_{P}-dt_{Q}|. Khi ds2 = 0 hai sự kiện được nói là tách nhau rỗng và chúng chỉ có thể liên hệ nhân quả được với nhau thông qua tia sáng. Lấy một sự kiện P(xi, t) bất kỳ trong không thời gian, tập hợp các tia sáng từ nó sẽ định ra nón ánh sáng của P về quá khứ và trong tương lai phụ thuộc vào hướng đến hay hướng ra của tia sáng. Cuối cùng hai sự kiện P và Q được nói là tách nhau kiểu không gian nếu ds2 > 0, hàm ý rằng trong mọi hệ quy chiếu khoảng cách không gian dl giữa hai sự kiện luôn luôn lớn hơn khoảng cách mà ánh sáng có thể lan truyền trong khoảng thời gian  dt=|dt_{P}-dt_{Q}|. Nội dung này được thể hiện trong hình 1.1 với nón ánh sáng quá khứ và tương lai của sự kiện P. Hai sự kiện được nói là có liên hệ nhân quả nếu và chỉ nếu chúng nằm trong nón ánh sáng của nhau.
Chúng ta có thể mở rộng khái niệm này đối với vectơ: một vectơ-bốn bất kỳ U gọi là vectơ kiểu thời gian, kiểu không gian và vectơ rỗng nếu có tương ứng U.U < 0, U.U > 0, U.U = 0, các ví dụ về những vec tơ này được thể hiện trong hình 1.1.
Nếu hai sự kiện tách nhau kiểu thời gian, thì khoảng thời gian tối thiểu dτ giữa chúng đo bởi một quan sát viên khi anh ta thực hiện gán cho mỗi sự kiện có cùng tọa độ không gian, hay dx = dy = dz = 0, do vậy ds2 = -dt2 = -d \tau 2. Bời vì tính bất biến của nguyên tố đoạn, điều kiện này phải thỏa mãn trong mọi hệ quy chiếu khác, nơi chúng có dạng
từ đó ta có
Bởi vì  \tau  là thời gian đo bởi quan sát viên từ đồng hồ gắn liền với anh ta, nên thời gian này thường được gọi là thời gian riêng.
Từ đây, chúng ta định nghĩa ra vectơ-bốn vận tốc u:
mà chúng ta coi nó như là một vec tơ tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong được xác định bởi tham số  \tau  (xem phương trình (15)), ví dụ tuyến thế giới của hạt nếu u là vận tốc-bốn của hạt. Hơn nữa, theo định nghĩa của thời gian riêng  \tau  trong (109) có thể dễ dàng kết luận rằng vectơ-bốn vận tốc u phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
Các biểu thức (111) và (112) được viết cho trường hợp tổng quát, do vậy chúng cũng đúng cho trường hợp được viết trong không thời gian cong mà sẽ giới thiệu ở phần tiếp theo. Dễ dàng thiết lập lên mối liên hệ giữa vectơ-bốn vận tốc u và vận tốc-ba không gian  {\overrightarrow {v}} và nó được biểu diễn thông qua thành phần của vectơ-bốn vận tốc
từ đây vận tốc-ba được biểu diễn bằng
Lưu ý rằng trong hệ tọa độ mà hạt đứng yên,  u^{i}=v^{i}=0 vectơ-bốn vận tốc có thành phần  u^{\mu }=(u^{0},0,0,0)=(1,0,0,0). Kết quả là, trong hệ quy chiếu mà hạt đứng yên, vectơ-bốn vận tốc có hướng chỉ theo vectơ cơ sở thời gian  {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {e}}_{t}. Bây giờ giả sử hệ quy chiếu  {\mathcal {O}}' chuyển động với vận tốc V dọc theo trục x so với hệ quy chiếu  {\mathcal {O}}, và vận tốc-ba của hạt trong  {\mathcal {O}} là  {\overrightarrow {\boldsymbol {v}}}=d{\overrightarrow {\boldsymbol {x}}}/dt cũng như trong  {\mathcal {O}}' là  {\overrightarrow {{\boldsymbol {v}}'}}=d{\overrightarrow {{\boldsymbol {x}}'}}/dt, chúng ta có định luật cộng vận tốc đối với vận tốc-ba
Có thể dễ dàng nhận ra rằng định luật (1.115) thu về định luật cộng vận tốc Galilei  v^{x}=v^{x'}+V,\quad v^{y}=v^{y'},\quad v^{z}=v^{z'} khi  V\ll 1.
Nếu m là khối lượng nghỉ của hạt thì động lượng tương đối tính của nó được định nghĩa bằng:
và các thành phần của nó là:
Năng lượng tương đối tính được định nghĩa bằng:
mà nó trùng với thành phần thứ 0 của động lượng-bốn
và thỏa mãn
Với  p^{2}=p^{i}p_{i}, sử dụng khai triển Taylor theo đối số  v=(v^{i}v_{i})^{1/2} giúp nhận rõ ra được năng lượng tương đối tính khác so với năng lượng trong cơ học Newton như thế nào:
Trong khi số hạng thứ hai chính là động năng của hạt trong cơ học Newton thì số hạng thứ nhất lại mới lạ và vắng mặt trong cơ học cổ điển. Nó biểu diễn cho năng lượng nghỉ của hạt
mà giá trị này khác 0 ngay cả khi hạt đứng yên. Hiệu số E - E0 được coi là động năng tương đối tính
Chú ý rằng, khi v = 1 cả động năng và năng lượng phân kỳ cho thấy bản chất không có một vật thể với khối lượng hữu hạn nào có thể chuyển động với vận tốc ánh sáng được. Tuy nhiên, photon, hạt lượng tử ánh sáng, có khối lượng bằng 0 nhưng nó vẫn có động lượng
Một lưu lý khác, đó là vận tốc-bốn (111) không xác định cho photon (và những hạt không có khối lượng khác) vì chúng di chuyển trên đường thế giới kiểu ánh sáng (null worldline), do vậy thời gian riêng của chúng bằng 0 và khoảng bất biến  d\tau ^{2}=-ds^{2}=-{\boldsymbol {dx.dx}}=0. Điều này tương đương với phát biểu không có hệ quy chiếu chuyển động cùng với photon và do đó chúng đứng yên trong hệ đó.