stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Cyperus platycaulis

| Cyperus platycaulis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Poales
Họ (familia): Cyperaceae
Chi (genus): Cyperus
Loài (species): C. platycaulis
Danh pháp hai phần
Cyperus platycaulis Baker 
Cyperus platycaulis là loài thực vật có hoa trong họ Cói. Loài này được Baker mô tả khoa học đầu tiên năm 1887.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cyperus platycaulis”. Truy cập ngày 11 tháng 6 năm 2013.
Hite Brewery

Hite Lager
Bia Hite
Dấu hiệu chỉ dẫn nhiệt độ mang lại hương vị tốt nhất trên chai bia Hite. Trái: nhiệt độ bình thường; Phải: nhiệt độ có hương vị ngon nhất
Hite Brewery Company Limited (/ˈhaɪt/; tiếng Hàn: 하이트맥주; KRX: 000080) là một công ty sản xuất bia của Hàn Quốc có trụ sở tại Yeongdeungpo-gu, Seoul. Sản phẩm chính của công ty là bia, rượu gạo và nước khoáng. Công ty được thành lập dưới tên Chosun Breweries vào năm 1933. Năm 2001 công ty có ba nhà máy, năm 2002 thị phần bia trong nước vào khoảng 55%, tăng từ 30% vào năm 1992.
Vào năm 2006, Hite Brewery mua lại công ty rượu soju nổi tiếng Hàn Quốc là HiteJinro.
Tài trợ

Công ty tài trợ cho một đội thi đấu Starcraft chuyên nghiệp có tên Hite Entus. Vào ngày 4 tháng 5 năm 2011, có thông báo rằng hợp đồng giữa Hite và Entus đã hết hạn, và không được gia hạn. Sau đó nhóm đã thông báo sự trở lại của họ với cái tên CJ Entus.
Hite Brewery đã tài trợ cho đội bóng đá the POSCO Atoms vào thập niên 1990.
Thương hiệu và sản phẩm

Hite (tiếng Hàn: 하이트)
Prime Max (tiếng Hàn: 프라임 맥스)
Hite Stout (tiếng Hàn: 스타우트)
Exfeel S (tiếng Hàn: 엑스필 에스)
Seok Su & Puriss Water (tiếng Hàn: 석수와 퓨리스)
Hite d dry finish
Hite Soju (tiếng Hàn: 하이트 소주)
Mittenwalde

| Mittenwalde |
| --- | --- |

  Hiệu kỳ Huy hiệu
Vị trí của Mittenwalde thuộc Huyện Dahme-Spreewald  
Mittenwalde
Quốc gia: Đức
Bang: Brandenburg
Huyện: Dahme-Spreewald
Phân chia hành chính: 6 Ortsteile
Chính quyền
 • Thị trưởng: Uwe Pfeiffer (CDU)
Diện tích
 • Tổng cộng: 98,48 km2 (3,802 mi2)
Độ cao: 37 m (121 ft)
Dân số (ngày 31 tháng 12 năm 2006)
 • Tổng cộng: 8.684
 • Mật độ: 0,88/km2 (2,3/mi2)
Múi giờ: CET (UTC+01:00)
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+02:00)
Mã bưu chính: 15749
Mã vùng: 033764
Biển số xe: LDS
Trang web: www.mittenwalde.de
Mittenwalde là một đô thị thuộc huyện Dahme-Spreewald, bang Brandenburg, Đức. Đô thị Mittenwalde có diện tích 98,48 km², dân số thời điểm 31 tháng 12 năm 2006 là 8684 người.
Đô thị này cách Berlin.
| x t Xã và đô thị của Dahme-Spreewald |
| --- | --- | --- |
| Alt Zauche-Wußwerk | Bersteland | Bestensee | Byhleguhre-Byhlen | Drahnsdorf | Eichwalde | Golßen | Groß Köris | Halbe | Heideblick | Heidesee | Jamlitz | Kasel-Golzig | Königs Wusterhausen | Krausnick-Groß Wasserburg | Lieberose | Lübben (Spreewald) | Luckau | Märkisch Buchholz | Märkische Heide | Mittenwalde | Münchehofe | Neu Zauche | Rietzneuendorf-Staakow | Schlepzig | Schönefeld | Schönwald | Schulzendorf | Schwerin | Schwielochsee | Spreewaldheide | Steinreich | Straupitz | Teupitz | Unterspreewald | Wildau | Zeuthen  | Alt Zauche-Wußwerk | Bersteland | Bestensee | Byhleguhre-Byhlen | Drahnsdorf | Eichwalde | Golßen | Groß Köris | Halbe | Heideblick | Heidesee | Jamlitz | Kasel-Golzig | Königs Wusterhausen | Krausnick-Groß Wasserburg | Lieberose | Lübben (Spreewald) | Luckau | Märkisch Buchholz | Märkische Heide | Mittenwalde | Münchehofe | Neu Zauche | Rietzneuendorf-Staakow | Schlepzig | Schönefeld | Schönwald | Schulzendorf | Schwerin | Schwielochsee | Spreewaldheide | Steinreich | Straupitz | Teupitz | Unterspreewald | Wildau | Zeuthen  |  |
Thanh xuân 18×2: Lữ trình hướng về em

| Thanh xuân 18x2: Lữ trình hướng về em  |
| --- | --- |
Áp phích chiếu rạp của phim tại Việt Nam
Đạo diễn: Michihito Fujii
Kịch bản: Michihito Fujii Hirokawa Hayashida
Dựa trên: Tiểu luận du lịch Thanh xuân 18×2: Chuyến lang thang trên ô tô Nhật Bản của Jimmy Lai
Sản xuất: Trương Chấn
Diễn viên: Hứa Quang Hán Kiyohara Kaya Trương Hiếu Toàn Shunsuke Michieda Haru Kuroki Yutaka Matsushige Kuroki Hitomi
Âm nhạc: Takashi Ohmama
Hãng sản xuất: JUMPBOYS FILMS BABEL LABEL 
Phát hành: Happinet Phantom Studios Corporation
Công chiếu:  14 tháng 3 năm 2024 (2024-03-14) (Đài Loan)  12 tháng 4 năm 2024 (2024-04-12) (Việt Nam)  3 tháng 5 năm 2024 (2024-05-03) (Nhật Bản)  
Thời lượng: 123 phút
Quốc gia:  Nhật Bản  Đài Loan
Ngôn ngữ: Tiếng Nhật Tiếng Đài Loan
Thanh xuân 18×2: Lữ trình hướng về em (Nhật: 青春18×2 君へと続く道, Hepburn: Seishun 18×2 Kimi e to Tsuzuku Michi?, tiếng Hoa: 青春18×2 通往有你的旅程) là bộ phim điện ảnh thuộc thể loại lãng mạn hợp tác giữa hai nước Nhật Bản và Đài Loan. Bộ phim được đạo diễn bởi Michihito Fujii cùng với sự tham gia diễn xuất của hai diễn viên chính là Hứa Quang Hán và Kiyohara Kaya. Bộ phim đã được chọn để tham gia vào Hội nghị Golden Horse Film Project Promotion năm 2019.
Thanh xuân 18x2: Lữ trình hướng về em được dự kiến sẽ công chiếu tại Nhật Bản vào ngày 3 tháng 5, 2024 và tại Đài Loan vào ngày 14 tháng 3, 2024. Tại thị trường Việt Nam, bộ phim được ra mắt tại các rạp vào ngày 12 tháng 4, 2024.
Nội dung

Cậu học sinh trung học Jimmy (Hứa Quang Hán thủ vai) gặp Ami (Kyoya Kiyohara thủ vai), một du khách đến từ Nhật Bản, hơn anh 4 tuổi tại nơi anh làm việc. Cả hai cùng làm việc trong cùng một cửa hàng vào mùa hè năm đó và thế là Jimmy dần dần nảy sinh tình cảm với Ami. Qua những lần cùng nhau chạy xe máy, cùng nhau đi xem phim buổi tối, khoảng cách giữa hai người được rút ngắn lại. Nhưng đột nhiên Ami lại quyết định quay trở về Nhật Bản. Đối diện với Jimmi người vẫn còn đang mơ hồ với tình cảm của mình, Ami đã để lại một "lời hứa".
Thời gian trôi qua, Jimmy có cơ hội về thăm quê hương sau một thời gian dài vắng bóng và tìm thấy một tấm bưu thiếp được gửi từ Ami, người đã trở về Nhật Bản từ 18 năm trước. Jimmy, nhớ lại mối tình đầu của mình, lần đầu tiên đi du lịch một mình đến Nhật Bản để đối mặt với quá khứ và tập trung vào hiện tại. Trên chuyến tàu hướng tới quê nhà của Ami, anh lặng nghe những bài nhạc mà cả hai từng cùng nhau nghe.
Diễn viên

Hứa Quang Hán thủ vai Jimmy Lâm Gia Minh
Kiyohara Kaya thủ vai Ami
Trương Hiếu Toàn thủ vai Anh Lưu
Shunsuke Michieda thủ vai Koji
Haru Kuroki thủ vai Yukiko
Yutaka Matsushige thủ vai Nakazato
Kuroki Hitomi thủ vai Yuko
Khuất Trung Hằng thủ vai Ba của Jimmy
Uất Bàng thủ vai Mẹ của Jimmy
Lưu Chủ Bình thủ vai Em gái của Jimmy
Toyoharu Kitamura thủ vai Đảo Điền, ông chủ của quán Karaoke Kobe
Liêu Huệ Trân thủ vai Thục Nghi, đồng nghiệp của Jimmy tại quán Karaoke Kobe
Trần Nghiên Phi thủ vai Tiểu Đình, đồng nghiệp của Jimmy tại quán Karaoke Kobe
Lý Quán Nghị thủ vai A Uy, đồng nghiệp của Jimmy tại quán Karaoke Kobe
Tăng Thiếu Tôn thủ vai A Long, đối tác làm ăn của Jimmy
Hồng Quần Quân thủ vai Tiểu Trương, đối tác làm ăn của Jimmy
Yamanaka Takashi thủ vai Đối tác từ công ty Nhật của Jimmy, A Long và Tiểu Trương
Sản xuất

Trương Chấn, giám đốc sản xuất của bộ phim, đã lấy cảm hứng từ tiểu luận du lịch Thanh xuân 18×2: Chuyến lang thang trên ô tô Nhật Bản của Jimmy Lai để lên kế hoạch chuyển thể thành một bộ phim điện ảnh và dự án được bắt đầu với sự tham gia của Michihito Fujii trong vai trò đạo diễn của phim.
Chú thích

1 2  “グレッグ・ハン×清原果耶W主演、藤井道人監督　日台合作映画『青春18×2』2024年5月公開”. Real Sound映画部. blueprint. 7 tháng 10 năm 2023. Truy cập ngày 19 tháng 3 năm 2024.
1 2  “「余命10年」のスタッフが贈る新たなラブストーリー、24年5月公開　藤井道人初の国際プロジェクト”. 映画.com. エイガ・ドット・コム. 7 tháng 10 năm 2023. Truy cập ngày 19 tháng 3 năm 2024.
↑  “「余命10年」のスタッフが贈る新たなラブストーリー、24年5月公開　藤井道人初の国際プロジェクト”. 映画.com (bằng tiếng Nhật). Bản gốc lưu trữ ngày 18 tháng 10 năm 2023. Truy cập ngày 7 tháng 10 năm 2023.
↑  “「グレッグ・ハン× 清原果耶W主演、藤井道人監督作『青春18×2 君へと続く道』24年5月公開決定”. cinemacafe (bằng tiếng Nhật). Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 10 năm 2023. Truy cập ngày 7 tháng 10 năm 2023.
↑  “清原果耶、台湾の俳優グレッグ・ハンとダブル主演 藤井道人監督『余命10年』のスタッフによる新たなラブストーリー【コメントあり】”. ORICON NEWS (bằng tiếng Nhật). Bản gốc lưu trữ ngày 13 tháng 10 năm 2023. Truy cập ngày 7 tháng 10 năm 2023.
↑  “2019金馬創投會議 40+8件企劃強勢齊發”. 台北金馬影展 (bằng tiếng Trung). Lưu trữ bản gốc ngày 21 tháng 3 năm 2024. Truy cập ngày 5 tháng 10 năm 2019.
↑  “許光漢主演《青春18x2 通往有你的旅程》預告曝光：與黑木瞳、松重豐、張孝全同場飆戲日文超流利！”. GQ (bằng tiếng Trung). Bản gốc lưu trữ ngày 25 tháng 1 năm 2024. Truy cập ngày 25 tháng 1 năm 2024.
↑  “主題歌は「Mr.Children」！ 道枝駿佑、黒木華らが藤井道人監督作「青春18×2」に参加 公開日決定＆予告編披露”. 映画.com (bằng tiếng Nhật). Bản gốc lưu trữ ngày 25 tháng 1 năm 2024. Truy cập ngày 25 tháng 1 năm 2024.
↑  “日台合作映画「青春18×2」にジョセフ・チャンや道枝駿佑ら 追加キャスト発表”. フォーカス台湾 日本語版. 中央通訊社. 25 tháng 1 năm 2024. Truy cập ngày 19 tháng 3 năm 2024.
1 2 3 4  “なにわ男子・道枝駿佑ら、シュー・グァンハン＆清原果耶W主演日台合作「青春18×2 君へと続く道」追加キャスト発表 主題歌はMr.Children”. モデルプレス. ネットネイティブ. 25 tháng 1 năm 2024. Truy cập ngày 19 tháng 3 năm 2024.
Giá trị riêng và vectơ riêng

Ma trận biến đổi A tác động bằng việc kéo dài vectơ x mà không làm đổi phương của nó, vì thế x là một vectơ riêng của A.
Trong đại số tuyến tính, một vectơ riêng hay vectơ đặc trưng (Tiếng Anh: eigenvector)  của một biến đổi tuyến tính là một vectơ khác vectơ không mà được nhân với một hệ số vô hướng khi biến đổi tuyến tính đó được áp dụng lên nó. Hệ số vô hướng tương ứng, thường được ký hiệu là  \lambda , được gọi là giá trị riêng (Tiếng Anh: eigenvalue).
Nói một cách hình học, một vectơ riêng tương ứng với một giá trị riêng thực khác 0 có cùng phương sau khi nó được kéo dài ra bởi phép biến đổi và giá trị riêng là hệ số nhân. Nếu giá trị riêng là âm thì vectơ sẽ đổi chiều. Một cách dễ hiểu, trong một không gian vectơ đa chiều, vectơ riêng không bị quay đi.
Định nghĩa chính tắc

Giả thiết T là một biến đổi tuyến tính từ một không gian vectơ V trên trường F vào chính nó và v là một vectơ khác 0 trong V.
Vậy thì v là một vectơ riêng của T khi ảnh của nó qua phép biến đổi T(v) bằng một vô hướng nhân với v. Tức là:
trong đó λ là một vô hướng trong F, gọi là giá trị riêng, giá trị đặc trưng, hay nghiệm đặc trưng tương ứng với v.
Có sự tương ứng trực tiếp giữa các ma trận vuông cấp n và các biến đổi tuyến tính tự đồng cấu từ một không gian vectơ n chiều vào chính nó, trên cơ sở bất kỳ của không gian vectơ. Vì vậy trong một không gian vectơ hữu hạn chiều, việc định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng sử dụng ngôn ngữ của ma trận và ngôn ngữ biến đổi tuyến tính là tương đương.
Nếu V là hữu hạn chiều, phương trình trên là tương đương với
trong đó A là ma trận vuông biểu diễn cho tự đồng cấu T và u là vectơ tọa độ của v.
Lịch sử

Trong các giáo trình, giá trị riêng thường được giới thiệu trong ngữ cảnh đại số tuyến tính hay lý thuyết ma trận. Tuy nhiên, về mặt lịch sử, khái niệm này phát sinh từ nghiên cứu các dạng toàn phương và phương trình vi phân.
Vào thế kỷ thứ 18, Leonhard Euler đã nghiên cứu về chuyển động quay của một vật rắn và khám phá ra vai trò của các trục chính. Joseph-Louis Lagrange nhận ra rằng các trục chính là các vectơ riêng của ma trận quán tính.
Vào đầu thế kỷ thứ 19, Augustin-Louis Cauchy đã thấy cách mà các công trình của họ có thể được sử dụng vào việc phân loại các mặt bậc hai, và đã tổng quát hóa nó  cho trường hợp số chiều tùy ý. Cauchy cũng là người đặt ra thuật ngữ racine caractéristique (nghiệm đặc trưng) cho cái ngày nay được gọi là eigenvalue (giá trị riêng); thuật ngữ của ông gắn với phương trình đặc trưng.
Sau đó, Joseph Fourier ứng dụng các công trình của Lagrange và Pierre-Simon Laplace vào việc giải phương trình nhiệt bằng phép tách biến số trong cuốn Théorie analytique de la chaleur xuất bản năm 1822. Charles-François Sturm đã phát triển thêm các ý tưởng của Fourier, và đã thu hút được sự quan tâm của Cauchy, người đã kết hợp chúng với các ý tưởng của riêng ông và đã đi đến kết quả rằng các ma trận đối xứng thực có các giá trị riêng thực. Kết quả này được mở rộng hơn bởi Charles Hermite vào năm 1855 đối với cái mà ngày nay gọi là ma trận Hermite.
Khoảng cùng thời gian đó, Francesco Brioschi đã chứng minh được các giá trị riêng của ma trận trực giao nằm trên đường tròn đơn vị, và Alfred Clebsch đã tìm ra kết quả tương ứng cho ma trận đối xứng chéo. Cuối cùng, Karl Weierstrass đã làm rõ một khía cạnh quan trọng trong lý thuyết ổn định khởi xướng bởi Laplace, bằng cách nhận ra rằng các ma trận khiếm khuyết (defective) có thể gây ra sự mất ổn định.
Cũng trong cùng thời gian này, Joseph Liouville đã nghiên cứu các vấn đề về giá trị riêng tương tự các vấn đề của Sturm; phân ngành được phát sinh từ công trình của họ ngày nay được gọi là lý thuyết Sturm–Liouville. Schwarz đã nghiên cứu giá trị riêng đầu tiên của phương trình Laplace trên các miền tổng quát, đến hồi cuối thế kỷ 19, trong khi đó Poincaré nghiên cứu phương trình Poisson sau đó vài năm.
Vào đầu thế kỷ 20, David Hilbert đã nghiên cứu các giá trị riêng của các toán tử tích phân bằng cách coi các toán tử là các ma trận vô hạn. Ông là người đầu tiên sử dụng từ tiếng Đức eigen, có nghĩa là "sở hữu", để chỉ các vectơ riêng và giá trị riêng vào năm 1904, mặc dù ông có thể đã dựa theo một cách dùng từ liên quan bởi Hermann von Helmholtz. Một thời gian thuật ngữ tiêu chuẩn để chỉ giá trị riêng trong tiếng Anh là "proper value", nhưng ngày nay thuật ngữ dễ nhận biết hơn "eigenvalue" là từ tiêu chuẩn.
Thuật toán tính số đầu tiên cho việc tính toán các giá trị riêng và vectơ riêng ra đời vào năm 1929, khi Richard von Mises xuất bản phương pháp lặp lũy thừa. Một trong những phương pháp phổ biến nhất hiện nay, thuật toán QR, được đề xuất một cách độc lập bởi John G. F. Francis và V. Kublanovskaya năm 1961.
Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận

Xem thêm: Vectơ và Ma trận (toán học)
Giá trị riêng và vectơ riêng thường được giới thiệu đến sinh viên khi học về các khóa đại số tuyến tính tập trung vào các ma trận. Hơn nữa, các biến đổi tuyến tính trên một không gian vectơ hữu hạn chiều có thể được biểu diễn nhờ sử dụng các ma trận, điều này đặc biệt phổ biến trong các ứng dụng tính toán số.
Để bắt đầu, ta xét các vectơ n chiều gồm bộ n phần tử có thứ tự, ví dụ các vectơ ba chiều sau
Các vectơ này được gọi là các bội vô hướng của nhau, hay song song hoặc cùng phương, nếu tồn tại một vô hướng λ sao cho
Trong trường hợp này  \lambda =-1/20.
Bây giờ xét biến đổi tuyến tính trên các vectơ n chiều được xác định bởi một ma trận A cỡ n × n,
hay
trong đó đối với mỗi hàng ta có,
Nếu v và w là các bội vô hướng của nhau, tức là nếu
thì v là một vectơ riêng của biến đổi tuyến tính A và hệ số nhân λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng đó. Phương trình (1) là phương trình giá trị riêng cho ma trận A.

Phương trình (1) có thể được nêu một cách tương đương dưới dạng
trong đó I là ma trận đơn vị n × n và 0 là vectơ không.
Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận > Số bội đại số

Cho λi là một giá trị riêng của ma trận A cỡ n × n. Số bội đại số μA(λi) của một giá trị riêng λi là số bội của nghiệm λi của đa thức đặc trưng, tức là số nguyên dương lớn nhất k sao cho đa thức đó chia hết cho (λ − λi)k.
Giả sử ma trận vuông A có kích thước n và có d ≤ n các giá trị riêng phân biệt. Ở Phương trình (4) đa thức đặc trưng của A được phân tích thành tích của n thừa số tuyến tính với một vài thừa số có thể lặp lại, nhưng thay vào đó ta có thể viết đa thức đặc trưng thành tích của d thừa số, mỗi thừa số chỉ tương ứng với một giá trị riêng riêng biệt và được lũy thừa lên bậc bằng số lần lặp, chính là số bội đại số.
Nếu d = n thì ở vế phải là tích của n thừa số tuyến tính tương tự Phương trình (4). Số bội đại số của mỗi giá trị riêng liên hệ với kích thước của ma trận n như sau.
Nếu μA(λi) = 1, thì λi được gọi là giá trị riêng đơn. Nếu μA(λi) bằng số bội hình học của λi , γA(λi), được định nghĩa ở mục sau, thì λi được gọi là giá trị riêng nửa đơn.
Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận > Các tính chất bổ sung của giá trị riêng

Cho  A là ma trận vuông số phức  n\times n với các trị riêng  \lambda _{1},...,\lambda _{n}. Mỗi trị riêng dưới đây có thể lặp lại tới  \mu _{A}(\lambda _{i}) lần, trong đó  \mu _{A}(\lambda _{i}) là số bội đại số. Sau đây là các tính chất của ma trận và các giá trị riêng của nó:
Vết của  A, được định nghĩa là tổng của các phần tử trên đường chéo chính của nó, cũng chính là tổng của các giá trị riêng
 \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.
Định thức của  A chính là tích của các giá trị riêng,
 \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.
Các giá trị riêng của lũy thừa bậc  k của  A; tức là các giá trị riêng của  A^{k} với số nguyên dương bất kỳ  k, là   \lambda _{1}^{k},...,\lambda _{n}^{k}.
Ma trận  A khả nghịch khi và chỉ khi mỗi giá trị riêng của nó đều khác 0.
Nếu  A khả nghịch thì các giá trị riêng của  A^{-1} là  {\frac {1}{\lambda _{1}}},...,{\frac {1}{\lambda _{n}}} và số bội hình học của mỗi giá trị riêng đều bằng nhau. Hơn nữa, các giá trị riêng cũng có cùng số bội đại số.
Nếu  A bằng ma trận chuyển vị liên hợp phức  A^{*}, hay nếu  A là ma trận Hermite, thì mọi giá trị riêng đều là thực. Điều này cũng đúng với các ma trận đối xứng thực bất kỳ.
Nếu  A không chỉ là ma trận Hermite mà còn là xác định dương, hay nửa xác định dương, xác định âm, hoặc nửa xác định âm thì mỗi giá trị riêng cũng tương ứng là đều dương, đều không âm, đều âm, hoặc đều không dương.
Nếu  A là ma trận unita thì mỗi giá trị riêng có giá trị tuyệt đối  |\lambda _{i}|=1.
Nếu  A là một ma trận  n\times n và  \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\} là các giá trị riêng của nó thì các giá trị riêng của ma trận  I+A (trong đó  I là ma trận đơn vị) là  \{\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{k}+1\}. Hơn nữa nếu có số  \alpha \in \mathbb {C} , các giá trị riêng của ma trận  \alpha I+A là  \{\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}. Tổng quát hơn nữa, với một hàm đa thức với biến ma trận  P ta có các giá trị riêng của ma trận  P(A) là  \{P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{k})\}. Vậy  A là nghiệm của đa thức đặc trưng biến ma trận của chính nó.
Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có một cách để tính nhanh định thức  |A-aI|. Đó là ta tìm đa thức đặc trưng  P({\lambda })=|A-{\lambda }I| của ma trận  A. Sau đó, tính giá trị của  P(a)
Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận > Các tính chất bổ sung của giá trị riêng > Đặc trưng biến thiên

Trong trường hợp ma trận Hermite, các giá trị riêng có thể được cho với một đặc trưng biến thiên. Giá trị riêng lớn nhất của ma trận Hermite  H là giá trị lớn nhất của dạng toàn phương  x^{\textsf {T}}Hx/x^{\textsf {T}}x. Một vectơ  x sao cho dạng toàn phương đạt giá trị lớn nhất đó, là một vectơ riêng.
Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận > Vectơ riêng trái và phải

Nhiều lĩnh vực nghiên cứu biểu diễn các vectơ dưới dạng ma trận chỉ với một cột đơn hơn là ma trận với một hàng đơn. Vì lý do đó, từ "vectơ riêng" của một ma trận hầu như luôn đề cập đến vectơ riêng phải tức là một vectơ cột được nhân vào phía bên phải của một ma trận  A cỡ  n\times n trong phương trình định nghĩa (1),
Tuy vậy, vấn đề vectơ riêng và giá trị riêng cũng có thể được định nghĩa cho các vectơ hàng được nhân trái với ma trận  A. Theo đó phương trình định nghĩa là
trong đó  \kappa  là một vô hướng và  u là ma trận hàng  1\times n. Một vectơ hàng  u thỏa mãn phương trình này được gọi là một vectơ riêng trái của  A và  \kappa  là giá trị riêng tương ứng. Lấy chuyển vị của phương trình này ta có
So sánh với Phương trình (1), ta thấy ngay rằng một vectơ riêng trái của  A chính là chuyển vị của một vectơ riêng phải của  A^{\textsf {T}}, với cùng giá trị riêng. Hơn nữa, vì đa thức đặc trưng của  A^{\textsf {T}}cũng bằng đa thức đặc trưng của  A, giá trị riêng của các vectơ riêng trái của  A cũng bằng giá trị riêng của các vectơ riêng phải của  A^{\textsf {T}}.
Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận > Phân tích riêng và chéo hóa

Giả sử các vectơ riêng của A tạo thành một cơ sở, hay tương đương là A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2, ..., vn tương ứng với các giá trị riêng λ1, λ2, ..., λn (không nhất thiết phân biệt). Định nghĩa một ma trận vuông Q có các cột là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A,
Vì mỗi cột của Q là một vectơ riêng của A, nhân phải Q với A chính là nhân mỗi cột của Q với các giá trị riêng tương ứng,
Định nghĩa một ma trận chéo Λ với các phần tử đường chéo Λii là các giá trị riêng tương ứng với cột thứ i của Q. Vậy thì
Vì mỗi cột của Q độc lập tuyến tính nên Q khả nghịch. Nhân phải mỗi vế của phương trình với Q−1,
hoặc nhân trái mỗi vế với Q−1, ta có
Vì vậy A có thể được phân tích thành tích của một ma trận với các cột là các vectơ riêng, một ma trận chéo với các giá trị riêng nằm trên đường chéo, và nghịch đảo của ma trận với vectơ riêng. Đây được gọi là phân tích riêng của ma trận và nó là một biến đổi đồng dạng. Một ma trận A như vậy được gọi là đồng dạng với ma trận chéo Λ hay chéo hóa được. Ma trận Q chính là ma trận chuyển cơ sở của phép biến đổi đồng dạng. Về cơ bản, hai ma trận A và Λ thể hiện cùng một biến đổi tuyến tính khi biểu diễn trong hai cơ sở khác nhau, trong đó các vectơ riêng được chọn làm cơ sở khi biểu diễn phép biến đổi dưới dạng ma trận Λ.
Bây giờ, giả sử ma trận A chéo hóa được. Cho P là một ma trận vuông không suy biến sao cho P−1AP là một ma trận đường chéo D. Nhân trái hai vế với P, ta được  AP = PD. Mỗi cột của P vì thế phải là một vectơ riêng của A với giá trị riêng tương ứng là phần tử trên đường chéo của D. Vì các cột của P phải độc lập tuyến tính để P khả nghịch nên tồn tại n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A. Vì vậy, suy ra các vectơ riêng của A tạo thành cơ sở khi và chỉ khi A là chéo hóa được.
Một ma trận không chéo hóa được thì được gọi là khiếm khuyết. Đối với các ma trận khiếm khuyết, ta có sự tổng quát hóa của các vectơ riêng trở thành các vectơ riêng tổng quát và ma trận chéo trở thành dạng chuẩn tắc Jordan. Trên một trường đại số đóng, một ma trận bất kỳ A luôn có dạng chuẩn tắc Jordan.
Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận > Đẳng thức giá trị riêng-vectơ riêng

Đối với một ma trận Hermite, có thể tính bình phương của chuẩn của thành phần thứ j của một vectơ riêng đã chuẩn hóa, chỉ sử dụng các giá trị riêng của ma trận và các giá trị riêng của ma trận con tương ứng:
trong đó 




M

j




{\textstyle M_{j}}

 là ma trận con được tạo ra bằng cách bỏ đi các hàng và cột thứ j từ ma trận ban đầu.
Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử vi phân

Định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng của một biến đổi tuyến tính T vẫn có thể áp dụng với trường hợp không gian vectơ là một không gian Hilbert hay không gian Banach vô hạn chiều. Một lớp các biến đổi tuyến tính trên không gian vô hạn chiều thường được sử dụng là các toán tử vi phân trên các không gian hàm. Cho D là một toán tử vi phân tuyến tính trên không gian các hàm khả vi vô hạn thực C∞ với đối số thực t. Phương trình định nghĩa giá trị riêng cho D là một phương trình vi phân
Các hàm thỏa mãn phương trình này chính là các vectơ riêng của D và thường được gọi là hàm riêng.
Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử vi phân > Ví dụ toán tử đạo hàm

Xét toán tử đạo hàm  {\tfrac {d}{dt}} với phương trình giá trị riêng
Phương trình vi phân này có thể được giải ra bằng cách nhân cả hai vế với dt/f(t) rồi lấy tích phân. Nghiệm của nó là hàm mũ
là một hàm riêng của toán tử đạo hàm. Trong trường hợp này hàm riêng chính là hàm của giá trị riêng tương ứng với nó. Đặc biệt, với λ = 0 hàm riêng f(t) là một hàm hằng.