stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Chuyến bay 1354 của UPS Airlines
Điều tra

Ủy ban An toàn Giao thông Quốc gia (NTSB) đã mở một cuộc điều tra và cử một đội gồm 26 thành viên đến hiện trường vụ tai nạn để thu thập bằng chứng dễ hỏng. Máy ghi âm buồng lái (CVR) và máy ghi dữ liệu chuyến bay (FDR) đã được phục hồi vào ngày hôm sau và gửi đi phân tích.
Tại cuộc họp báo thứ ba của họ vào ngày 16 tháng 8 năm 2013, NTSB báo cáo rằng phi hành đoàn đã thông báo tóm tắt về cách tiếp cận đường băng 18 và được kiểm soát không lưu cho phép hạ cánh hai phút trước khi kết thúc đoạn ghi âm. Vào 16 giây trước khi kết thúc quá trình ghi, hệ thống cảnh báo khoảng cách gần mặt đất (GPWS) của máy bay phát ra hai cảnh báo "tốc độ chìm", nghĩa là máy bay đang hạ độ cao quá nhanh. Ba giây sau, Cơ trưởng Beal báo cáo đã nhìn thấy đường băng, điều này đã được xác nhận bởi Sĩ quan thứ nhất Fanning. CVR đã ghi lại âm thanh của vụ va chạm đầu tiên với cây cối 3 giây sau khi các phi công báo cáo đã nhìn thấy đường băng. Cảnh báo "địa hình quá thấp" cuối cùng của GPWS sau đó đã được ghi lại, tiếp theo là âm thanh va chạm cuối cùng.
Để đại diện cho quốc gia sản xuất, cơ quan điều tra tai nạn hàng không của Pháp, Cục Điều tra và Phân tích An toàn Hàng không Dân dụng (BEA), với sự hỗ trợ của các cố vấn kỹ thuật của Airbus, đã tham gia vào cuộc điều tra. Các thành viên của Nhóm phản hồi bằng chứng FBI cũng hỗ trợ NTSB. NTSB đã tuyên bố vào cuối tháng 8 rằng không có bất thường cơ học nào được phát hiện, nhưng cuộc điều tra hoàn chỉnh sẽ mất vài tháng.
Vào ngày 20 tháng 2 năm 2014, NTSB đã tổ chức một phiên điều trần công khai liên quan đến cuộc điều tra của mình. Các đoạn trích từ CVR đã được trình bày, trong đó cả cơ trưởng và cơ phó đều thảo luận về việc họ không ngủ đủ giấc trước chuyến bay.
Vào ngày 9 tháng 9 năm 2014, NTSB thông báo rằng nguyên nhân có thể xảy ra của vụ tai nạn là do phi hành đoàn đã thực hiện một cách tiếp cận không ổn định vào Sân bay Quốc tế Birmingham – Shuttlesworth, trong đó họ không giám sát đầy đủ độ cao của mình. Máy bay hạ độ cao xuống dưới độ cao hạ độ cao tối thiểu khi chưa nhìn thấy đường băng, dẫn đến chuyến bay có kiểm soát vào địa hình cách ngưỡng đường băng khoảng 3.300 ft (1.000 m). NTSB cũng phát hiện ra rằng các yếu tố góp phần gây ra vụ tai nạn là:
Phi hành đoàn không định cấu hình và xác minh đúng cách máy tính quản lý chuyến bay cho phương pháp tiếp cận hồ sơ
Cơ trưởng không truyền đạt ý định của mình cho cơ phó khi rõ ràng là mặt cắt dọc không được chụp
Kỳ vọng của phi hành đoàn rằng họ sẽ thoát ra khỏi đám mây ở độ cao 1.000 ft [300 m] so với mặt đất [do thông tin thời tiết không đầy đủ]
Cơ phó không thực hiện các chú thích tối thiểu cần thiết
Sự thiếu hiệu quả của cơ trưởng, có thể là do các yếu tố bao gồm, nhưng không giới hạn ở, sự mệt mỏi, mất tập trung hoặc nhầm lẫn, phù hợp với sự thiếu hiệu quả trong quá trình huấn luyện
Sự mệt mỏi của cơ phó do mất ngủ cấp tính do quản lý thời gian ngoài nhiệm vụ không hiệu quả của cô ấy
Hậu quả

Vào năm 2014, Hiệp hội Phi công Độc lập đã đệ đơn kiện FAA yêu cầu chấm dứt việc miễn trừ yêu cầu nghỉ ngơi tối thiểu của phi hành đoàn trên máy bay chở hàng. Vào năm 2016, vụ kiện đã bị tòa án ở Washington, DC, bác bỏ, xác định FAA đã hành động hợp lý bằng cách loại các hãng hàng không chở hàng khỏi yêu cầu nghỉ ngơi dựa trên phân tích chi phí so với lợi ích.
Bret Fanning, chồng của Cơ phó Shanda Fanning, đã đệ đơn kiện Honeywell Aerospace vào năm 2014, cáo buộc rằng GPWS của họ được cài đặt trên A300 đã không thể cảnh báo cho các phi công rằng máy bay của họ đang ở gần mặt đất một cách nguy hiểm. Fanning tuyên bố rằng GPWS đã không phát ra âm thanh báo động cho đến một giây sau khi máy bay bắt đầu cắt ngọn cây; tuy nhiên, NTSB đã xác định từ FDR của máy bay rằng GPWS phát ra cảnh báo "tốc độ rơi" khi máy bay ở độ cao 250 ft (76 m) so với mặt đất, 8 giây trước khi va chạm đầu tiên với cây cối.
Trên truyền hình

Chuyến bay 1354 của UPS Airlines cũng được đề cập trong tập thứ 10 của phần 21 vào Mayday có tựa đề "Deadly Delivery".
Các nhà điều tra NTSB kiểm tra đống đổ nát tại địa điểm vụ tai nạn
Phần đầu và mũi máy bay
Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam 2023

Đừng nhầm lẫn với Miss Universe Vietnam 2023.
| Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam 2023 |
| --- | --- |
Ngày: 26 tháng 12 năm 2023 (Bán kết) 31 tháng 12 năm 2023 (Chung kết)
Dẫn chương trình: Đức Bảo Ngọc Châu (Bán kết) Thanh Thanh Huyền (Chung kết)
Biểu diễn: Hoàng Dũng, Thảo Trang, Lamoon (Bán kết) Thu Phương, Hương Giang, Anh Tú, Vũ Thảo My, Như Quỳnh (Chung kết)
Địa điểm: Tea Resort Prenn, Chân đèo Prenn, Phường 3, Đà Lạt, Lâm Đồng
Truyền hình: VTV3
Tham gia: 59
Số xếp hạng: 16
Người chiến thắng: Bùi Thị Xuân Hạnh Ninh Bình
Thân thiện: Trần Minh Quyên  Hà Nội
Quốc phục đẹp nhất: Hoàng Thị Nhung Hà Nội
Ăn ảnh: Đậu Hải Minh Anh Nghệ An
← 20222025 →
Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam 2023 (Tiếng Anh: Miss Cosmo Vietnam 2023) là cuộc thi Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam lần thứ 6 do Công ty Cổ phần Hoàn vũ Sài Gòn (Unicorp) tổ chức. Đây là năm đầu tiên mà Unicorp ngừng hợp tác cùng với UNI Media để tổ chức cuộc thi và tìm ra đại diện tham dự Hoa hậu Hoàn vũ, đêm chung kết sẽ được tổ chức vào ngày 31 tháng 12 năm 2023 tại Tea Resort Prenn, Chân đèo Prenn, Phường 3, thành phố Đà Lạt, tỉnh Lâm Đồng, chủ đề của cuộc thi năm nay là MADE, NOT BORN - Tôi luyện nên tôi. Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam 2022 - Nguyễn Thị Ngọc Châu đến từ Tây Ninh đã trao lại vương miện cho người kế nhiệm là Bùi Thị Xuân Hạnh đến từ Ninh Bình.
Lần đầu tiên trong lịch sử Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam đêm thi bán kết và chung kết được diễn ra tại sân khấu ngoài trời và đặc biệt đêm chung kết được diễn ra vào ngày cuối cùng trong năm 2023, trong khoảnh khắc chuyển giao giữa năm cũ và năm mới, sẽ có màn pháo hoa chào mừng năm mới. Tân Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam sẽ đại diện Việt Nam tham dự Miss Cosmo 2024 - (tên tiếng Việt: "Hoa hậu Hoàn vũ Quốc tế 2024") do UNI Media tổ chức.
Thay đổi

Đây là năm đầu tiên mà Unicorp sẽ ngừng hợp tác với Uni Media trong việc đề cử đại diện Việt Nam tham dự Hoa hậu Hoàn vũ nhưng vẫn sẽ giữ độc quyền thương hiệu cuộc thi là Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam và vẫn sẽ được tổ chức.
Ngày 18 tháng 2 năm 2023, Công ty Cổ phần Hoàn vũ Sài Gòn (Unicorp) – Đơn vị tổ chức cuộc thi Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam ra thông báo sẽ tiếp tục là đơn vị tổ chức cuộc thi Hoa hậu Hoàn Vũ Việt Nam, đồng thời công bố tạm ngưng hợp tác bản quyền đề cử đại diện Việt Nam tham gia Hoa hậu Hoàn vũ với tổ chức Hoa hậu Hoàn vũ.
Bắt đầu từ mùa 2023, khán giả sẽ bình chọn cho "Thí sinh được yêu thích nhất" để đưa thí sinh vào Top 16 như mùa 2022, tuy nhiên sẽ đóng góp số điểm này như một Giám khảo chính thức để chọn ra người chiến thắng (Khác với mùa 2022 là chỉ có thể đưa thí sinh có số vote cao nhất vào Top 16). Đồng thời, từ Top 5 sẽ chỉ còn công bố Top 2, và cuối cùng sẽ công bố Hoa hậu, đồng nghĩa với việc người còn lại là Á hậu.
Kết quả > Thứ hạng

| Kết quả | Thí sinh |
| --- | --- |
Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam 2023 (Miss Cosmo Vietnam 2024):  Ninh Bình – Bùi Thị Xuân Hạnh
Á hậu:  Hà Nội – Hoàng Thị Nhung
Top 5:  Thành phố Hồ Chí Minh – Ngô Bảo Ngọc  Điện Biên – Vũ Thúy Quỳnh  Thành phố Hồ Chí Minh – Cao Thị Thiên Trang
Top 10:  Thành phố Hồ Chí Minh – Phan Lê Hoàng An  Nghệ An – Đậu Hải Minh Anh  Hà Nội – Kiều Thị Thúy Hằng  Hải Phòng – Phạm Thu Huyền  Bình Phước – Lê Thị Tuyết Nhi §
Top 16:  Thành phố Hồ Chí Minh – Đặng Trần Ngọc  Thành phố Hồ Chí Minh – Thomas Iris Thanh  Đắk Lắk – Nguyễn Thị Bích Thùy  Phú Yên – Bùi Thị Thanh Thủy  Nghệ An – Nguyễn Thị Quỳnh Trang  Long An – Huỳnh Đào Diễm Trinh
§: Thí sinh được vào thẳng Top 16 do nhận được nhiều phiếu bình chọn từ khán giả nhất.
Kết quả > Thứ tự công bố

| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  Top 16 Bùi Thị Xuân Hạnh  Hoàng Thị Nhung  Phan Lê Hoàng An  Cao Thị Thiên Trang  Huỳnh Đào Diễm Trinh  Đặng Trần Ngọc  Đậu Hải Minh Anh  Kiều Thị Thúy Hằng  Ngô Bảo Ngọc  Lê Thị Tuyết Nhi  Thomas Iris Thanh  Bùi Thị Thanh Thủy  Nguyễn Thị Bích Thùy  Vũ Thúy Quỳnh  Nguyễn Thị Quỳnh Trang  Phạm Thu Huyền   |  Top 10 Phạm Thu Huyền  Hoàng Thị Nhung  Đậu Hải Minh Anh  Phan Lê Hoàng An  Lê Thị Tuyết Nhi  Cao Thị Thiên Trang  Kiều Thị Thúy Hằng  Ngô Bảo Ngọc  Bùi Thị Xuân Hạnh  Vũ Thúy Quỳnh   |  Top 5 Vũ Thúy Quỳnh  Hoàng Thị Nhung  Cao Thị Thiên Trang  Ngô Bảo Ngọc  Bùi Thị Xuân Hạnh   |  Top 2 Bùi Thị Xuân Hạnh  Hoàng Thị Nhung   |
Các giải thưởng phụ

| --- | --- |
Giải phụ: Thí sinh
Người đẹp Biển:  678 – Ngô Bảo Ngọc
Người đẹp Áo dài:  676 – Hoàng Thị Nhung
Người đẹp Thể thao:  188 – Trần Thu Huyền
Người đẹp Tài năng:  080 – Trương Thanh Diễm
Người đẹp Ảnh:  686 – Đậu Hải Minh Anh
Người đẹp Bản lĩnh:  684 – Đặng Trần Ngọc
Người đẹp Thời trang:  579 – Bùi Thị Xuân Hạnh
Người đẹp Truyền thông:  696 – Vũ Thúy Quỳnh
Người đẹp Thân thiện:  181 – Trần Minh Quyên
Người đẹp được yêu thích nhất:  692 – Lê Thị Tuyết Nhi
Best Social Media:  789 – Cao Thị Thiên Trang
Các giải thưởng phụ > Giải thưởng phụ chính thức > Người đẹp Tài năng

| --- | --- |
Kết quả: Thí sinh
Chiến thắng:  080 – Trương Thanh Diễm
Top 4:  375 – Huỳnh Ngọc Lan Anh  575 – Kiều Thị Thúy Hằng  288 – Bùi Thị Thanh Thủy
Top 10:  382 – Phan Lê Hoàng An  289 – Trần Thị Thùy Trâm  686 – Đặng Trần Ngọc  188 – Trần Thu Huyền  099 – Đỗ Thị Minh Tâm  100 – Lê Ngọc Phương Thảo
Các giải thưởng phụ > Giải thưởng phụ chính thức > Người đẹp Thời trang

| --- | --- |
Kết quả: Thí sinh
Chiến thắng:  579 – Bùi Thị Xuân Hạnh
Top 10:  575 – Kiều Thị Thúy Hằng  182 – Phạm Thu Huyền  678 – Ngô Bảo Ngọc  676 – Hoàng Thị Nhung  696 – Vũ Thúy Quỳnh  099 – Đỗ Thị Minh Tâm  289 – Trần Thị Thùy Trâm  789 – Cao Thị Thiên Trang  086 – Huỳnh Đào Diễm Trinh
Các giải thưởng phụ > Giải thưởng phụ chính thức > Người đẹp Biển - Best in Swimsuit

| --- | --- |
Kết quả: Thí sinh
Chiến thắng:  678 – Ngô Bảo Ngọc
Top 6:  382 – Phan Lê Hoàng An  579 – Bùi Thị Xuân Hạnh  676 – Hoàng Thị Nhung  696 – Vũ Thúy Quỳnh  088 – Nguyễn Thanh Thanh
Các giải thưởng phụ > Giải thưởng phụ chính thức > Người đẹp Bản lĩnh

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
Kết quả: Thí sinh
| Chiến thắng | Đại sứ Vì cộng đồng |  684 – Đặng Trần Ngọc |
| Top 4 | Đại sứ Di sản văn hóa |  090 – Thomas Iris Thanh |
| Top 4 | Đại sứ Du lịch |  578 – Trần Thị Thanh Thanh |
| Top 4 | Đại sứ Sinh thái và Môi trường |  678 – Ngô Bảo Ngọc |
Top 8:  382 – Phan Lê Hoàng An  676 – Hoàng Thị Nhung  288 – Bùi Thị Thanh Thủy  789 – Cao Thị Thiên Trang
Top 12:  097 – Nguyễn Thị Lan  777 – Lê Đàm Hồng Thọ  579 – Bùi Thị Xuân Hạnh  696 – Vũ Thúy Quỳnh
Thí sinh tham gia > Top 59 thí sinh truyền hình thực tế

| Họ tên> Bị loại ở tập 2 | Năm sinh> Bị loại ở tập 2 | SBD> Bị loại ở tập 2 | Chiều cao> Bị loại ở tập 2 | Quê quán> Bị loại ở tập 2 | Ghi chú> Bị loại ở tập 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Nguyễn Thị Hồng Mỹ | 2003 | 592 | 1,70 m | Đồng Nai |  |
| Hồ Nguyễn Kiều Oanh | 2004 | 581 | 1,68 m | Bà Rịa – Vũng Tàu |  |
Bị loại ở tập 3
| Lê Thị Yến Ngọc | 1994 | 079 | 1,69 m | Bến Tre | Rút lui vì lý do cá nhân |
| Lê Huỳnh Ni | 1998 | 487 | 1,70 m | Cà Mau |  |
Bị loại ở tập 5
| Hoàng Thị Vân Anh | 2001 | 176 | 1,67 m | Lạng Sơn |  |
| Đàng Thị Kim Lệ | 2000 | 293 | 1,63 m | Bình Thuận |  |
| Lê Thị Thanh Ngân | 1998 | 287 | 1,68 m | Thành phố Hồ Chí Minh |  |
| Nguyễn Thị Thanh Vân | 2005 | 783 | 1,69 m | An Giang |  |
Bị loại ở tập 6
| Phạm Mỹ Duyên | 2005 | 590 | 1,65 m | Hà Nội |  |
| Bùi Hạnh Nguyên | 1997 | 089 | 1,80 m | Long An |  |
Bị loại ở tập 7
| Lê Thị Ngọc Bích | 1996 | 576 | 1,70 m | Đà Nẵng | Rút lui vì lý do cá nhân |
| Nguyễn Thị Thanh Thủy | 1999 | 591 | 1,75 m | Đồng Nai |  |
| Võ Thị Thủy Tiên | 2001 | 094 | 1,70 m | Hà Tĩnh |  |
| Lê Huỳnh Thảo Uyên | 1998 | 077 | 1,69 m | Thành phố Hồ Chí Minh |  |
Bị loại ở tập 9
| Đặng Lâm Giang Anh | 1999 | 175 | 1,68 m | Đồng Nai |  |
| Lương Thị Trúc Hà | 2004 | 700 | 1,75 m | Đà Nẵng |  |
| Hồ Nguyễn Ngọc Như | 1996 | 092 | 1,71 m | Thành phố Hồ Chí Minh |  |
| Đỗ Thị Cẩm Tiên | 1997 | 795 | 1,64 m | Kiên Giang |  |
| Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc | 2003 | 279 | 1,66 m | Đồng Nai |  |
Ban giám khảo

| Họ tên | Danh hiệu, nghề nghiệp | Vai trò |
| --- | --- | --- |
| Lê Diệp Linh | Tiến sĩ, Bác sĩ Nhân trắc học | Thành viên |
| Trần Thị Hương Giang | Hoa hậu Hải Dương 2006 | Thành viên |
| Vũ Thu Phương | Doanh nhân, Siêu mẫu | Thành viên |
| Nguyễn Trần Khánh Vân | Giải Bạc Siêu mẫu Việt Nam 2018 Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam 2019 | Thành viên |
| H'Hen Niê | Hoa hậu Hoàn vũ Việt Nam 2017 | Thành viên |
| Kathy Uyên | Đạo diễn, Nhà giáo dục | Thành viên |
| Quỳnh Hoa | MC, Ca sĩ | Thành viên |
Dự thi quốc tế

| Cuộc thi | Đại diện |  Danh hiệu  | Thứ hạng |  Giải thưởng đặc biệt |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  Miss Tourism Queen Worldwide 2023 | Nguyễn Thị Thanh Thùy | Top 40 | 4th Runner-up | Best in Evening Gown |
|  Miss Tourism International 2023 | Hồ Nguyễn Kiều Oanh | Top 59 | Không đạt giải | Không |
|  Miss Cosmo 2024 | Bùi Thị Xuân Hạnh | Hoa hậu | Top 5 | Best in Evening Gown |
| Miss Global 2025 | Kiều Thị Thúy Hằng | Top 10 |  |  |
Số vô tỉ

Hằng số toán học π là một số vô tỉ được thể hiện nhiều trong văn hóa đại chúng.
Số √2 là số vô tỉ
Trong toán học, các số vô tỷ là tất cả các số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Khi tỷ lệ độ dài của hai đoạn thẳng là một số vô tỉ, các đoạn thẳng này cũng được mô tả là không thể đo lường được, có nghĩa là chúng không chia sẻ "thước đo" chung, nghĩa là không có độ dài ("số đo") chung, dù là ngắn đến đâu, mà có thể được sử dụng để thể hiện độ dài của cả hai đoạn thẳng đã cho dưới dạng bội số nguyên của cùng một đoạn thẳng đơn vị chung.
Các ví dụ về số vô tỉ là tỷ lệ π của chu vi của vòng tròn với đường kính của nó, số Euler e, tỷ lệ vàng φ, và căn bậc hai của hai; trong thực tế, tất cả các căn bậc hai của số tự nhiên, trừ căn bậc hai của các số chính phương, đều là các số vô tỉ.
Có thể chỉ ra rằng các số vô tỉ, khi được biểu thị trong một hệ thống cơ số (ví dụ như số thập phân hoặc với bất kỳ cơ số tự nhiên nào khác), là các chuỗi không chấm dứt, cũng không lặp lại, nghĩa là không chứa một chuỗi các chữ số, mà có sự lặp lại ở phần đuôi của cách biểu diễn số. Ví dụ: biểu diễn thập phân của số π bắt đầu bằng 3.14159, nhưng không có số chữ số hữu hạn nào có thể đại diện chính xác cho số π, và cũng không có sự lặp lại. Việc chứng minh cho thấy việc mở rộng thập phân của số hữu tỉ phải chấm dứt hoặc lặp lại khác với chứng minh rằng việc mở rộng thập phân chấm dứt hoặc lặp lại phải là một số hữu tỉ, và mặc dù sơ cấp và không dài, cả hai chứng minh đều không đơn giản. Các nhà toán học thường không coi việc thể hiện thập phân là "chấm dứt hoặc lặp lại" là định nghĩa của khái niệm số hữu tỉ.
Số vô tỉ cũng có thể được xử lý thông qua các liên phân số không kết thúc.
Như một hệ quả của chứng minh của Cantor rằng các số thực là không thể đếm được và các số hữu tỷ có thể đếm được, theo đó hầu như tất cả các số thực là các số vô tỉ.
Biểu diễn thập phân

Có thể dùng biểu diễn thập phân (hay sự biểu diễn của một số trong hệ thập phân) của một số để định nghĩa số hữu tỉ và số vô tỉ.
Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ:  {\frac {1}{2}}=0,5\,) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ:  {\frac {1}{11}}=0,(09)) thì số vô tỉ có biểu diễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn (ví dụ:  \pi =3,141592653589793...\,.)
Một số thực là số vô tỉ khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của nó là vô hạn.
Các ví dụ về cách chứng minh > Căn bậc hai của 2

Giả sử rằng  {\sqrt {2}} là một số hữu tỉ. Tức là √2 có thể viết được dưới dạng a/b với a và b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau (vì √2 >0)
{\sqrt {2}} có thể được viết dưới dạng:  {\frac {a}{b}} với a, b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau (vì √2 >0)
Khi đó  {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\Rightarrow a^{2}=2b^{2}
Nên  a^{2} chia hết cho  b^{2} suy ra a chia hết cho b (vì a và b là 2 số nguyên dương)
Suy ra  mâu thuẫn với giả thiết a và b là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau ở (1)
Vậy nên giả sử  {\sqrt {2}}  là một số hữu tỉ là sai và ta có kết luận  {\sqrt {2}} là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng tỏ rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
Các ví dụ về cách chứng minh > Căn bậc hai của 2 > Các cách chứng minh khác

Để chứng minh: " {\sqrt {2}} là một số vô tỉ" người ta còn dùng phương pháp phản chứng theo cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.
Giả sử rằng  {\sqrt {2}} là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho  {\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}
Biến đổi đẳng thức trên, ta có: {\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}
Vì  {\sqrt {2}} > 1, nên từ (1) suy ra  m>n\Leftrightarrow m>2n-m
Từ (2) và (3) suy ra  {\frac {2n-m}{m-n}} là phân số rút gọn của phân số  {\frac {m}{n}}
Từ (4) suy ra,  {\frac {m}{n}} không thể là phân số tối giản hay  {\sqrt {2}} không thể là số hữu tỉ - mâu thuẫn với giả thiết  {\sqrt {2}} là một số hữu tỉ. Vậy  {\sqrt {2}} phải là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số  {\sqrt {2}} - một loại phương pháp chứng minh được sử dụng bởi các nhà hình học Hy Lạp cổ đại. Xét một tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và cạnh huyền là hai số nguyên dương n và m. Áp dụng Định lý Pytago, ta suy ra tỉ số  {\frac {m}{n}} bằng  {\sqrt {2}}. Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng  m-n và  2n-m. Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai, ta suy ra tỉ số  {\frac {2n-m}{m-n}} cũng bằng  {\sqrt {2}}. Như vậy,  {\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}, điều này chứng tỏ phân số  {\frac {m}{n}} không thể là phân số tối giản hay  {\sqrt {2}} không phải là số hữu tỉ mà phải là số vô tỉ.
Các ví dụ về cách chứng minh > Căn bậc hai của 10

Giả sử  {\sqrt {10}} là số hữu tỉ, tức là bằng  {\frac {m}{n}}, vậy:
Tuy nhiên, trong hệ thập phân, bất kỳ số bình phương nào cũng có số chẵn số 0 ở cuối. (Chứng minh: Bất kỳ số nguyên n nào, trong hệ thập phân, đều có dạng:  a\times 10k;k\geq 0, trong đó a không kết thúc bằng số 0. Vậy bất kỳ số bình phương  n^{2} nào cũng có dạng:  a^{2}\times 10^{2k};k\geq 0.)
Như vậy, trong đẳng thức ở trên, vế trái có số chẵn số 0 ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết  {\sqrt {10}} là số hữu tỉ phải sai.
Các ví dụ về cách chứng minh > Căn bậc ba của 2

Giả sử A =  {\sqrt[{3}]{2}} là một số hữu tỉ. Có nghĩa là tồn tại m, n là số nguyên sao cho  A={\frac {m}{n}}. Suy ra A là nghiệm hữu tỉ của phương trình:
x^{3}=2;
Suy ra m là ước của 2, n là ước của 1. Tuy nhiên không có m nào là ước của 2 mà lũy thừa 3 bằng 2. Vậy A là vô tỉ.
Các ví dụ về cách chứng minh > Căn bậc n của tất cả các số nguyên tố

Dùng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh rằng căn bậc n của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ.
Lấy số nguyên bất kỳ r.
Ví dụ, r = 2.
Trong hệ nhị phân,  2=10_{2}
Vậy, như ở trên, nếu  {\sqrt {10_{2}}} =  {\frac {m}{n}} thì, trong hệ nhị phân:
Trường hợp n = 1 không thể xảy ra, vì ta biết  {\sqrt {2}} không phải là số nguyên.
Lập luận như trên, vế trái có số chẵn số 0 (trong hệ nhị phân) ở cuối, nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết  {\sqrt {10_{2}}} là số hữu tỉ phải sai.
Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r - phân:
Nếu n = 1 thì  m^{2}=10_{r}=r, vậy  {\sqrt {r}} là số nguyên.
Còn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r - phân phải có số chẵn số 0 (trong hệ r - phân) ở cuối. Do đó trong đẳng thức này vế trái có số chẵn số 0 ở cuối nhưng vế phải lại có số lẻ số 0 ở cuối. Vậy  {\sqrt {r}} không thể là số hữu tỉ.
Các ví dụ về cách chứng minh > Tỉ lệ vàng

Điểm I chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ vàng nếu A, I, B thẳng hàng và
{AI \over AB}={IB \over AI}={1+{\sqrt {5}} \over 2} với Ai > IB
Tỉ số vàng là một số vô tỉ. Thật vậy, giả sử tỉ số này là một số hữu tỉ, thì nó có dạng phân số tối giản là  {\frac {x}{a}}, với x là chiều dài của cả đoạn và a là chiều dài của phần lớn. Suy ra, chiều dài của phần nhỏ là x − a. Và ta có:
{x \over a}={\mathrm {whole}  \over \mathrm {longer} \ \mathrm {part} }={\mathrm {longer} \ \mathrm {part}  \over \mathrm {shorter} \ \mathrm {part} }={a \over x-a}
Điều này có nghĩa là phân số tối giản  {\frac {x}{a}} được rút gọn thành  {\frac {a}{x-a}} - một sự vô lý. Sự vô lý này chứng tỏ việc thừa nhận tỉ số φ là số hữu tỉ là sai. Vậy φ là một số vô tỉ.
Các ví dụ về cách chứng minh > Lôgarít

Có lẽ, các số vô tỉ dễ nhận ra nhất là các lôgarít. Dưới đây ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh rằng log23 là một số vô tỉ:
Giả sử log23 là một số hữu tỉ. Khi đó tồn tại hai số nguyên dương m và n thỏa mãn: log23 =  {\frac {m}{n}}
Từ (1) suy ra 2m/n = 3.
Nâng hai vế của (2) lên lũy thừa bậc n, ta có: 2m = 3n.
Mặt khác, 2m - lũy thừa cơ số 2 với số mũ nguyên dương luôn lớn hơn 0 và chẵn (vì là tích với ít nhất một thừa số 2), còn 3n - lũy thừa cơ số 3 với số mũ nguyên dương luôn lớn hơn 0 và lẻ (vì là tích của các thừa số lẻ), nên 2m ≠ 3n.
Từ (3) và (4) suy ra mâu thuẫn, chứng tỏ điều giả sử ban đầu: "log23 là một số hữu tỉ" là sai.
Tương tự, bạn có thể chứng minh cho trường hợp: log102.
Các ví dụ về cách chứng minh > Chứng minh e là số vô tỉ

Xem chứng minh ở bài số e.
Số vô tỉ siêu việt và vô tỉ đại số

Một số vô tỉ hoặc là số siêu việt hoặc là số đại số (hay Không đa thức với các hệ số nguyên), trong đó hầu hết các số vô tỉ đều là số siêu việt và số siêu việt là số vô tỉ. Ví dụ:  {\sqrt {2}},  {\sqrt {3}} là các số vô tỉ đại số; còn e và π là các số vô tỉ siêu việt.
Có thể tạo ra các số vô tỉ đại số, bằng cách xét các phương trình đa thức:
Trong đó, các hệ số  a_{i} là số nguyên và  a_{n}\neq 0
Giả sử rằng có ít nhất một số thực x sao cho  p(x)=0 (ví dụ, với n lẻ ta luôn tìm được một số x như vậy) thì x là số vô tỉ khi phương trình đa thức trên không có nghiệm hữu tỉ. Nếu đa thức p có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó có dạng  {\frac {r}{s}}, trong đó: r là ước của  a_{0} và s là ước của  a_{n}. Vì thế bằng cách thử trực tiếp các giá trị  {\frac {r}{s}} trên bạn có thể biết chúng có phải là nghiệm của p không. Nếu tất cả các giá trị đó đều không là nghiệm của p thì x phải là số vô tỉ.
Để tạo ra các số vô tỉ siêu việt, bạn không thể dùng cách kết hợp các số đại số với nhau, vì các số đại số lập thành một trường, hơn nữa, là một trường đóng. Nhưng bạn có thể dùng cách kết hợp các số siêu việt với các số đại số. Ví dụ:  3\pi +2,  \pi +{\sqrt {2}}, và  e+{\sqrt {3}} là các số vô tỉ (cũng là các số siêu việt).
Câu hỏi chưa có lời giải

Các số  \pi +e và  \pi -e là số vô tỉ hay không phải là số vô tỉ? Thực tế, chưa ai tìm ra được một cặp số nguyên khác 0 m và n để khẳng định rằng  m\pi +ne hoặc là số vô tỉ hoặc không phải là số vô tỉ.
Cũng chưa ai khẳng định được các số:  2^{e},  \pi ^{e},  \pi ^{\sqrt {2}}, hằng số Catalan và hằng số Euler-Mascheroni γ có phải là số vô tỉ hay không.
Mặt khác, theo Công thức Euler thì eiπ + 1 = 0 nên eiπ = -1 lại là một số nguyên, tức là số hữu tỉ
Tập hợp số vô tỉ

Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được (trong khi tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được và tập hơp số thực là tập hợp cả số vô tỉ và hữu tỉ. Tập hợp số vô tỉ đại số, hay tập hợp số vô tỉ không siêu việt, là tập hợp đếm được. Tập hợp số vô tỉ dùng giá trị tuyệt đối làm độ đo khoảng cách là một không gian Metric không đầy đủ. Tuy nhiên, không gian Metric này đồng phôi với không gian Metric đầy đủ của tất cả các dãy số nguyên dương; với ánh xạ đồng phôi cho bởi liên phân số mở rộng. Điều đó được chứng minh bằng định lý Baire cho không gian các số vô tỉ. Trong khi, tập hợp các số thực với tính tô-pô thông thường là liên thông, thì không gian Barie, cùng với tính tô-pô như các số thực, được gọi là tô-pô thứ tự, lại hoàn toàn rời rạc: không có một ánh xạ nào đi từ số vô tỉ này đến độ dài của một số vô tỉ khác.
Tập hợp số vô tỉ: Kí hiệu là  \mathbb {I} (*).