Trường (đại số)
Lịch sử

Trong lịch sử, có ba lĩnh vực đại số chính đã dẫn đến khái niệm của một trường: câu hỏi về việc giải phương trình đa thức, lý thuyết số đại số và hình học đại số. Một bước tiến trong khái niệm về trường trong năm 1770 khi nhà toán học Joseph-Louis Lagrange để ý rằng hoán đổi các nghiệm x1, x2, x3 của một đa thức bậc ba trong biểu thức
(với ω là nghiệm đơn vị cấp 3) chỉ cho ra hai kết quả. Từ đó, Lagrange đã có thể giải thích được phương pháp tìm nghiệm của Scipione del Ferro và François Viète, trong đó phương trình bậc ba theo ẩn x được rút gọn thành phương trình bậc hai theo x3. Cùng với những quan sát tương tự cho phương trình bậc bốn, Lagrange đã liên kết được thứ mà sau này trở thành khái niệm trường và khái niệm nhóm. Cũng trong năm 1770, Vandermonde, và sâu rộng hơn, Carl Friedrich Gauss, trong tác phẩm Disquisitiones Arithmeticae (1801), nghiên cứu phương trình
với số p nguyên tố và, sử dụng ngôn ngữ hiện đại, nhóm Galois cyclic tương ứng. Gauss chứng minh rằng một đa giác đều p cạnh có thể dựng được nếu và chỉ nếu p = 22k + 1. Sử dụng các kết quả của Lagrange, Paolo Ruffini khẳng định (1799) rằng phương trình bậc năm không có nghiệm đại số, tuy nhiên lập luận của ông có lỗ hổng. Những lỗ hổng này được khắc phục bởi Niels Henrik Abel năm 1824. Évariste Galois, năm 1832, đưa ra điều kiện cần và đủ để một phương trình đa thức giải được bằng đại số, bắt đầu cho lý thuyết Galois. Cả Abel và Galois đều sử dụng cái ngày nay gọi là trường số đại số, nhưng không nhận ra rõ ràng khái niệm một trường hay một nhóm.
Năm 1871 Richard Dedekind đưa ra từ tiếng Đức Körper, nghĩa là "cơ thể" hay "vật thể", cho một tập các số thực hoặc phức đóng dưới bốn phép toán số học. Từ tiếng Anh "field" được giới thiệu bởi Moore (1893).
Một trường nghĩa là mọi hệ thống vô hạn các số thực hoặc phức đóng và hoàn hảo đến mức cộng, trừ, nhân, chia bất kỳ hai số nào cho ra một số thuộc hệ thống.
—Richard Dedekind, 1871
Năm 1881 Leopold Kronecker định nghĩa cái ông gọi là miền hữu tỉ, thực chất là trường các hàm phân thức theo hiện nay. Khái niệm của Kronecker không bao gồm trường các số đại số, nhưng mặt khác trừu tượng hơn định nghĩa của Dedekind do nó không giả sử gì về tính chất của các phần tử của một trường. Kronecker xem một trường như Q(π) trừu tượng như trường hàm hữu tỉ Q(X). Trước đó, ví dụ của số siêu việt được biết từ công trình của Joseph Liouville năm 1844, đến khi Charles Hermite (1873) và Ferdinand von Lindemann (1882) lần lượt chứng minh sự siêu việt của e và π.
Định nghĩa rõ ràng đầu tiên của một trường do Weber (1893). Cụ thể, định nghĩa của Heinrich Martin Weber bao gồm trường Fp. Giuseppe Veronese (1891) nghiên cứu trường của chuỗi lũy thừa chính quy, dẫn đến Hensel (1904) đưa ra trường số p. Steinitz (1910) tổng hợp những kiến thức về trường đã có. Ông nghiên cứu những tính chất của trường và định nghĩa nhiều khái niệm trong lý thuyết trường. Phần lớn các định lý trong phần Lý thuyết Galois, Xây dựng trường và Khái niệm cơ bản đều có thể được tìm thấy trong công trình của Steinitz. Artin & Schreier (1927) liên hệ khái niệm của thứ tự trong trường, một lĩnh vực của giải tích, với những tính chất thuần đại số. Emil Artin phát triển lại lý thuyết Galois từ năm 1928 đến năm 1942 mà không dựa vào định lý phần tử nguyên thủy.