Nhóm (toán học)
Lịch sử

Bài chi tiết: Lịch sử lý thuyết nhóm
Khái niệm hiện đại về nhóm trừu tượng phát triển thông qua một vài lĩnh vực toán học. Động lực thúc đẩy ban đầu của lý thuyết nhóm là mục miêu tìm ra nghiệm của phương trình đa thức có bậc lớn hơn 4. Nhà toán học người Pháp thế kỷ 19 Évariste Galois, bằng mở rộng những nghiên cứu trước đó của Paolo Ruffini và Joseph-Louis Lagrange, đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính giải được của một số phương trình đa thức đặc biệt tuân theo nhóm đối xứng của nghiệm phương trình. Các phần tử của nhóm Galois này tương ứng với một số hoán vị nhất định của các nghiệm. Lúc đầu, ý tưởng của Galois bị các nhà toán học đương thời ông phản đối, và công trình của ông xuất bản sau khi ông đã qua đời. Các nhà toán học khảo sát thêm nhiều nhóm hoán vị tổng quát hơn, đặc biệt là bởi Augustin Louis Cauchy. Luận án của Arthur Cayley On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) đưa ra định nghĩa trừu tượng đầu tiên về nhóm hữu hạn.
Hình học là lĩnh vực thứ hai mà ở đó lý thuyết nhóm được sử dụng một cách hệ thống, đặc biệt là các nhóm đối xứng trong chương trình Erlangen của Felix Klein năm 1872. Sau khi những hình học như hình học hyperbolic và hình học xạ ảnh mới nổi lên, Klein sử dụng lý thuyết nhóm để tổ chức chúng theo một cách thấu suốt hơn. Những ý tưởng đi xa hơn với Sophus Lie nghiên cứu nhóm Lie vào năm 1884.
Lĩnh vực thứ ba đóng góp vào lý thuyết nhóm là lý thuyết số. Cấu trúc một số nhóm Abel nhất định đã được sử dụng ngầm ý trong công trình lý thuyết số Disquisitiones Arithmeticae của Carl Friedrich Gauss (1798), và sử dụng một cách hiện rõ hơn trong các công trình của Leopold Kronecker. Năm 1847, Ernst Kummer thực hiện những cố gắng đầu tiên trong chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat bằng cách phát triển nhóm miêu tả nhân tử hóa (nhóm lớp) đối với các số nguyên tố.
Sự hội tụ nhiều nguồn lĩnh vực này vào thành lý thuyết nhóm thống nhất bắt đầu bằng công trình của Camille Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques (1870). Walther von Dyck (1882) đưa ra phát biểu đầu tiên về định nghĩa hiện đại của nhóm trừu tượng. Đến thế kỷ 20, nhóm đã thu hút được sự chú ý quan trọng bằng các công trình tiên phong về lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn của Ferdinand Georg Frobenius và William Burnside, lý thuyết biểu diễn modular của Richard Brauer và những bài báo của Issai Schur. Lý thuyết nhóm Lie, và tổng quát hơn là nhóm compact địa phương được Hermann Weyl, Élie Cartan và nhiều người khác nghiên cứu. Mảng đại số tương ứng với nó, lý thuyết nhóm đại số, lần đầu tiên được Claude Chevalley nghiên cứu (từ cuối thập niên 1930) và bởi các công trình của Armand Borel và Jacques Tits.
Năm Lý thuyết Nhóm 1960-61 tổ chức bởi Đại học Chicago thu hút các nhà lý thuyết nhóm lại với nhau như Daniel Gorenstein, John G. Thompson và Walter Feit, đặt ra nền tảng của quá trình cộng tác, mà với đầu vào từ nhiều nhà toán học khác, trong chương trình phân loại nhóm đơn hữu hạn vào năm 1982. Dự án này vượt xa những dự án trước đó bởi khối lượng công việc lớn, ở cả độ dài trong các bài báo chứng minh và số lượng nhà nghiên cứu. Các nghiên cứu vẫn còn đang tiếp tục nhằm đơn giản hóa chứng minh sự phân loại này. Ngày nay lý thuyết nhóm vẫn là một ngành toán học sôi động, có tác động đến nhiều lĩnh vực khác.