stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Nhóm (toán học)
Ví dụ và ứng dụng > Đồng dư

Trong phép đồng dư, ban đầu cộng hai số nguyên với nhau sau đó lấy tổng chia cho một số nguyên, số nguyên này gọi là mô đun. Kết quả của phép cộng mô đun là phần dư của phép chia đó. Đối với mô đun n bất kỳ, tập hợp các số nguyên từ 0 tới n−1 tạo thành một nhóm dưới phép cộng mô đun: phần tử nghịch đảo của a là n−a, và 0 là phần tử đơn vị. Nhóm này tương tự từ phép cộng các số giờ trên mặt đồng hồ: nếu kim giờ ở vị trí số 9 và quay thêm 4 tiếng, nó chỉ vào số 1 như thể hiện trên hình. Tức là 9 + 4 bằng 1 "mô đun 12" hay viết thành công thức,
Nhóm các số nguyên mô đun n ký hiệu là Zn hoặc Z/nZ.
Đối với bất kỳ số nguyên tố p, cũng tồn tại một nhóm nhân các số nguyên mô đun p. Phần tử của nó gồm các số nguyên từ 1 tới p−1. Phép toán nhóm là phép nhân mô đun p. Tức là lấy tích thông thường chia cho p và phần dư của phép chia này là kết quả của phép nhân mô đun. Ví dụ, nếu 
p = 5, tồn tại một nhóm với bốn phần tử 1, 2, 3, 4. Trong nhóm này, 
4 • 4 = 1, bởi vì tích thông thường bằng 16 trong phép nhân này sẽ bằng 1, hay khi chia nó cho 5 thu được phần dư là 1. 
16 − 1 = 15, ký hiệu là
Tính nguyên tố của p đảm bảo rằng tích của hai số nguyên trong nhóm sẽ không bao giờ chia hết cho p, từ đó ám chỉ rằng tập hợp này là đóng dưới phép nhân mô đun. Phần tử đơn vị của nhóm là 1, như đối nhóm phép toán nhân thông thường, và tính kết hợp được thỏa mãn do tính chất của phép nhân các số nguyên. Cuối cùng, tiên đề nghịch đảo đòi hỏi rằng đối với một số nguyên a không là ước của p, tồn tại một số nguyên b sao cho
Có thể tìm phần tử nghịch đảo b thông qua đẳng thức Bézout và vì ước số chung lớn nhất gcd(a, p) bằng 1. Trong trường hợp 
p = 5 ở trên, phần tử nghịch đảo của 4 là 4, của 3 là 2, do 
3 • 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Từ đó mọi tiên đề nhóm được thỏa mãn. Thực sự là ví dụ này giống với nhóm (Q\{0}, •) ở trên: nó chứa chính xác các phần tử trong Z/pZ có phần tử nghịch đảo trong phép nhân. Các nhóm này được ký hiệu là Fp×. Chúng là các thành phần quan trọng trong lý thuyết mật mã hóa khóa công khai.
Ví dụ và ứng dụng > Nhóm xiclic

Bài chi tiết: Nhóm cyclic
Nhóm xiclic là nhóm mà các phần tử là lũy thừa của một phần tử đặc biệt a. Trong ký hiệu phép nhân, các phần tử của nhóm là:
với a2 có nghĩa là a • a, và a−3 thay cho a−1 • a−1 • a−1=(a • a • a)−1 v.v. Phần tử a gọi là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của nhóm. Trong ký hiệu phép cộng, sự đòi hỏi cho một phần tử trở thành phần tử nguyên thủy yêu cầu là mỗi phần tử trong nhóm có thể viết thành
Trong nhóm Z/nZ giới thiệu ở trên, phần tử 1 là nguyên thủy, do vậy những nhóm này là xiclic. Quả thực, mỗi phần tử có thể biểu diễn thành tổng mà tất cả các số hạng bằng 1. Bất kỳ nhóm xiclic với n phần tử là đẳng cấu với nhóm này. Một ví dụ thứ hai cho nhóm xiclic là nhóm các căn phức bậc n của đơn vị, xác định bởi số phức z thỏa mãn 
zn = 1. Những số này được minh họa là đỉnh của một đa giác đều có n đỉnh tô màu lam như hình bên với 
n = 6. Phép toán nhóm là phép nhân các số phức. Trong hình bên, nhân với z tương ứng với quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 60°. Sử dụng trong một số lý thuyết trường, có thể chứng minh được nhóm Fp× là xiclic: ví dụ, nếu 
p = 5, 3 là phần tử sinh do 
31 = 3, 
32 = 9 ≡ 4, 
33 ≡ 2, và 
34 ≡ 1.
Một số nhóm xiclic có vô hạn các phần tử. Trong các nhóm này, đối với mỗi phần tử khác 0 a, mọi lũy thừa của a là khác nhau; mặc dù tên gọi "nhóm xiclic" (nhóm tuần hoàn), lũy thừa của các phần tử không lặp lại tuần hoàn. Nhóm xiclic vô hạn là đẳng cấu với nhóm (Z, +), nhóm các số nguyên với phép cộng như đã giới thiệu ở trên. Vì hai nhóm đã giới thiệu đều là các nhóm giao hoán (nhóm Abel), cho nên các nhóm xiclic cũng là nhóm Abel.
Việc nghiên cứu các nhóm Abel sinh hữu hạn là khá kỹ lưỡng, bao gồm "định lý cơ bản về nhóm Abel sinh hữu hạn; và phản ánh trạng thái này với nhiều khái niệm nhóm liên quan như trung tâm và giao hoán tử, miêu tả sự mở rộng cho những nhóm phi Abel.
Ví dụ và ứng dụng > Nhóm tuyến tính tổng quát và lý thuyết biểu diễn

Bài chi tiết: Nhóm tuyến tính tổng quát và Lý thuyết biểu diễn
Nhóm ma trận chứa các ma trận cùng với phép nhân ma trận. Nhóm tuyến tính tổng quát 
GL(n, R) chứa mọi ma trận khả nghịch n x n với các phần tử thực. Các nhóm con của nó được coi như là nhóm ma trận hay nhóm tuyến tính. Ví dụ về nhóm nhị diện đề cập ở trên có thể coi như là nhóm ma trận (có bậc rất nhỏ). Một nhóm ma trận quan trọng khác là nhóm trực giao đặc biệt SO(n). Nó miêu tả mọi phép quay khả dĩ trong không gian n chiều. Thông qua góc Euler, ma trận quay được sử dụng trong lĩnh vực đồ họa vi tính.
Lý thuyết biểu diễn một mặt là ứng dụng của khái niệm nhóm nhưng mặt khác có vai trò quan trọng để hiểu ở mức sâu hơn đối với nhóm. Nó nghiên cứu nhóm thông qua tác dụng nhóm trên những không gian khác. Một lớp rộng của phép biểu diễn nhóm là biểu diễn tuyến tinh, ví dụ nhóm tác dụng lên một không gian vectơ, như không gian Euclid 3 chiều R3. Biểu diễn của G trên một không gian vectơ thực n chiều là phép đồng cấu nhóm đơn
từ nhóm vào nhóm tuyến tính tổng quát. Theo cách này, phép toán nhóm, mà có thể cho một cách trừu tượng, diễn dịch phép nhân ma trận khiến nó dùng được đối với những tính toán cụ thể.
Một phép toán nhóm còn cho một ý nghĩa xa hơn khi nghiên cứu đối tượng mà nó tác dụng lên. Mặt khác, nó cũng cho thông tin về cấu trúc nhóm. Biểu diễn nhóm là một nguyên lý tổ chức trong lý thuyết nhóm hữu hạn, nhóm Lie, nhóm đại số và nhóm tô pô, đặc biệt là nhóm compact (cục bộ).
Ví dụ và ứng dụng > Nhóm Galois

Bài chi tiết: Nhóm Galois
Nhóm Galois hình thành trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình đa thức dựa trên đặc điểm đối xứng của nghiệm. Ví dụ, nghiệm của phương trình bậc hai 
ax2 + bx + c = 0 cho bởi công thức
Khi hoán vị dấu "+" và "−" trong công thức, hay tương đương với hoán vị hai nghiệm của phương trình có thể coi như là một phép toán nhóm (một cách rất đơn giản). Có những công thức tương tự cho phương trình bậc ba và bậc bốn, nhưng không tồn tại một công thức tổng quát cho phương trình bậc năm và bậc cao hơn. Tính chất trừu tượng của nhóm Galois đi kèm với đa thức (đặc biệt là tính giải được) đưa ra một tiêu chuẩn cho những đa thức mà mọi nghiệm của nó có thể biểu diễn dưới dạng công thức chỉ bao gồm phép cộng, nhân và căn thức tương tự như công thức ở trên.
Vấn đề này có thể giải quyết được bằng cách dịch chuyển nó sang lý thuyết trường và xem xét trường tách của đa thức. Lý thuyết Galois hiện đại tổng quát hóa những loại nhóm Galois ở trên thành các mở rộng trường và thiết lập lên—thông qua định lý cơ bản của lý thuyết Galois—mối liên hệ chính xác giữa nhóm và trường, hàm chứa một lần nữa sự quan trọng của nhóm trong toán học.
Nhóm hữu hạn

Bài chi tiết: Nhóm hữu hạn
Nhóm gọi là hữu hạn nếu nó có hữu hạn các phần tử. Số lượng các phần tử của nhóm gọi là bậc của nhóm. Một lớp quan trọng là nhóm đối xứng SN, tức nhóm hoán vị của N chữ cái. Ví dụ, nhóm đối xứng trên 3 chữ cái S3 là nhóm chứa mọi thứ tự khả dĩ của tổ hợp ba chữ cái ABC, bao gồm bộ các chữ ABC, ACB,..., cho tới CBA, tổng cộng là có 6 phần tử (hoặc 3 thừa số). Lớp này là cơ bản bởi bất ký nhóm hữu hạn nào có thể biểu diễn dưới dạng nhóm con của nhóm đối xứng SN đối với những số nguyên N phù hợp (định lý Cayley). Song song với nhóm đối xứng của hình vuông nêu ra ở trên, có thể giải thích nhóm đối xứng S3 như là nhóm đối xứng của tam giác đều.
Bậc của một phần tử a trong nhóm G là số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho a n = e, với a n đại diện cho
có nghĩa là áp dụng phép toán nhóm • cho n bản sao của phần tử a. (nếu • biểu diễn cho phép nhân, thì an tương ứng với a lũy thừa n.) Trong nhóm hữu hạn, n có thể không tồn tại, và trong trường hợp này có thể nói bậc của a là vô hạn. Bậc của một phần tử bằng bậc của nhóm con xiclic sinh bởi phần tử này.
Đối với kỹ thuật đếm các đối tượng phức tạp hơn, ví dụ khi đếm các lớp (cosets), sẽ thu được phát biểu chính xác hơn về nhóm hữu hạn: định lý Lagrange phát biểu rằng đối với nhóm hữu hạn G bậc của bất kỳ nhóm con H nào sẽ là ước của bậc của G. Định lý Sylow đưa ra một phát biểu gần ngược lại.
Nhóm nhị diện (nêu ở trên) là nhóm hữu hạn có bậc 8. Bậc của r1 là 4, hay chính là bậc của nhóm con R mà nó sinh ra(xem ở trên). Bậc của các phần tử phản xạ fvv.v bằng 2. Cả hai đều là ước của 8 đúng như định lý Lagrange tiên đoán. Nhóm Fp× ở trên có bậc p − 1.
Nhóm hữu hạn > Phân loại các nhóm đơn hữu hạn

Bài chi tiết: Phân loại nhóm đơn hữu hạn
Các nhà toán học thường nỗ lực thu được sự phân loại (hoặc danh sách) đầy đủ của một khái niệm toán học. Trong trường hợp các nhóm đơn hữu hạn, mục đích này nhanh chóng dẫn tới sự khó khăn và sự sâu sắc trong toán học. Theo định lý Lagrange, nhóm hữu hạn bậc p, với p là số nguyên tố, cần thiết là nhóm xilic (Abel) Zp. Cũng có thể chứng minh nhóm có bậc p2 là nhóm Abel, nhưng phát biểu này không còn đúng khi tổng quát hóa cho nhóm bậc p3, vì nhóm phi Abel D4 có bậc 8 = 23 như chỉ ra ở trên. Những hệ thống máy tính đại số được dùng để liệt kê ra những nhóm nhỏ, nhưng không có cách phân loại mọi nhóm hữu hạn. Một bước trung gian là phân loại các nhóm đơn hữu hạn. Nhóm không tầm thường gọi là đơn giản chỉ nếu các nhóm con chuẩn tắc của nó là nhóm tầm thường và cũng đối với chính nhóm đó. Định lý Jordan–Hölder chỉ ra các nhóm đơn hữu hạn là những viên gạch cơ bản cho mọi nhóm hữu hạn. Công việc liệt kê ra mọi nhóm đơn hữu hạn là một thành tựu lớn đạt được của lý thuyết nhóm hiện nay. Richard Borcherds giành Huy chương Fields năm 1998 nhờ chứng minh thành công phỏng đoán quái vật giả tưởng (monstrous moonshine conjectures), một mối liên hệ sâu sắc và kỳ lạ giữ nhóm bất định đơn giản hữu hạn lớn nhất (the largest finite simple sporadic group)— "nhóm quỷ"—với những hàm môđula nhất định, một thành phần trong giải tích phức cổ điển, và lý thuyết dây, lý thuyết tìm cách miêu tả thống nhất nhiều hiện tượng vật lý trong tự nhiên.
Nhóm được trang bị thêm cấu trúc

Nhiều nhóm tập hợp một cách đồng thời là nhóm và là ví dụ về cấu trúc toán học cho những nhóm khác. Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, chúng là các vật thể nhóm trong một phạm trù, có nghĩa là chúng là các vật thể (tức là làm ví dụ cho những cấu trúc toán học khác) đi kèm với các phép biến đổi (gọi là cấu xạ- morphism) mà bắt chước giống với những tiên đề nhóm. Ví dụ, mọi nhóm (như định nghĩa ở trên) đều là tập hợp, do vậy một nhóm là vật thể nhóm trong phạm trù các tập hợp.
Nhóm được trang bị thêm cấu trúc > Nhóm tô pô

Bài chi tiết: Nhóm tô pô
Một số không gian tô pô có thể sử dụng với luật nhóm. Để cho luật nhóm và không gian tô pô kết hợp được với nhau, phép toán nhóm phải là hàm liên tục, tức là, g • h, và g−1 phải không thay đổi quá lớn nếu g và h chỉ thay đổi rất ít. Những nhóm này gọi là các nhóm tô pô, và chúng là các vật thể nhóm trong phạm trù các không gian tô pô. Những ví dụ cơ bản nhất là nhóm các số thực R đi kèm với phép toán cộng, (R \ {0}, •), và tương tự với bất kỳ trường tô pô nào như số phức hoặc số p-adic. Mọi nhóm này đều compact địa phương, do đó chúng có độ đo Haar và có thể nghiên cứu chúng thông qua giải tích điều hòa. Lĩnh vực giải tích điều hòa đưa ra hình thức luận trừu tượng cho các phép tích phân bất biến. Tính bất biến có nghĩa là, ví dụ trong trường hợp số thực:
với c là hằng số bất kỳ. Nhóm ma trận trên những trường này nằm vào phạm vi này, như đối với vành Adele và nhóm đại số Adele mà chúng là cơ sở đối với lý thuyết số. Nhóm Galois của mở rộng trường vô hạn như nhóm Galois tuyệt đối cũng có thể được trang bị với một tô pô, gọi là tô pô Krull, mà đến lượt là trung tập của sự tổng quát hóa mối liên hệ phác thảo ở trên giữa trường và nhóm của mở rộng trường vô hạn. Tổng quát hóa hơn nữa cho ý tưởng này, nhằm chấp nhận những đòi hỏi của hình học đại số, là nhóm cơ bản Étale.
Nhóm được trang bị thêm cấu trúc > Nhóm Lie

Bài chi tiết: Nhóm Lie
Nhóm Lie (theo tên nhà toán học Thụy Điển Sophus Lie) là nhóm có thêm cấu trúc đa tạp, tức là chúng là những không gian nhìn trên cục bộ giống như không gian Euclid với chiều thích hợp. Thêm nữa, cấu trúc được đưa vào, mà ở đây là cấu trúc đa tạp, phải là tương thích, tức là ánh xạ tương ứng với phép nhân và phép nghịch đảo phải đảm bảo tính trơn.
Một ví dụ mẫu là nhóm tuyến tính tổng quát giới thiệu ở trên: nó là một tập con mở của không gian chứa mọi ma trận n x n, bởi nó tuân theo bất đẳng thức
với A ký hiệu cho ma trận n x n.
Nhóm Lie có vai trò quan trọng cơ bản trong vật lý hiện đại trong khi định lý Noether liên hệ các đối xứng liên tục với các đại lượng bảo toàn. Phép quay, cũng như phép tịnh tiến trong không gian và thời gian là những đối xứng cơ bản đối với các định luật của cơ học. Chúng có thể được sử dụng, ví dụ, để xây dựng những mô hình đơn giản—hàm ý rằng đối xứng trục trong một số tình huống sẽ giúp các nhà vật lý làm đơn giản đi rất nhiều những phương trình phức tạp giúp họ tìm ra những nghiệm chính xác miêu tả hệ vật lý nhất định, như ở trường hợp các nghiệm Schwarzschild (đối xứng cầu) và nghiệm Kerr (đối xứng trục, bảo toàn động lượng) của phương trình trường Einstein trong thuyết tương đối rộng. Một ví dụ khác là phép biến đổi Lorentz, nó liên hệ phép đo thời gian với vận tốc của hai quan sát viên chuyển động đều tương đối với nhau. Chúng có thể thu được theo cách của lý thuyết nhóm thuần túy, bằng cách thể hiện phép biến đổi như là đối xứng quay trong không gian Minkowski. Không gian này phục vụ—trong trường hợp bỏ qua ảnh hưởng của trường hấp dẫn—như là mô hình của không thời gian trong thuyết tương đối hẹp. Nhóm đối xứng đầy đủ của không gian Minkowski, tức là bao gồm cả phép tịnh tiến, được biết đến là nhóm Poincaré. Theo trên, nó đóng vai trò quan trọng trong thuyết tương đối hẹp và cho cả lý thuyết trường lượng tử. Các đối xứng thay đổi theo vị trí là khái niệm trung tâm trong cách miêu tả hiện đại về những tương tác vật lý với sự giúp đỡ của lý thuyết trường chuẩn (gauge theory).
Tổng quát hóa

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. | Các cấu trúc giống với nhóm. Cột tính chất thể hiện chúng có những đặc điểm nào. |  |
|  | Toàn phần* | Tính kết hợp | Phần từ đơn vị | Phần tử nghịch đảo | Giao hoán |  |  |  |  |  |
| Magma | Có | Không | Không | Không | Không |  |  |  |  |  |
| Nửa nhóm | Có | Có | Không | Không | Không |  |  |  |  |  |
| Monoid (vị nhóm) | Có | Có | Có | Không | Không |  |  |  |  |  |
| Nhóm | Có | Có | Có | Có | Không |  |  |  |  |  |
| Nhóm Abel | Có | Có | Có | Có | Có |  |  |  |  |  |
| Vòng | Có | Không | Có | Có | Không |  |  |  |  |  |
| Tựa nhóm | Có | Không | Không | Có | Không |  |  |  |  |  |
| Groupoid (Phỏng nhóm) | Không | Có | Có | Có | Không |  |  |  |  |  |
| Phạm trù nhỏ | Không | Có | Có | Không | Không |  |  |  |  |  |
| Nửa phạm trù | Không | Có | Không | Không | Không |  |  |  |  |  |
: *Bao đóng, nhiều tác giả sử dụng để định nghĩa các cấu trúc giống nhóm, là tương đương về mặt tiên đề với tính toàn phần, mặc dù chúng xác định khác nhau.
Trong đại số trừu tượng, những cấu trúc tổng quát hơn được xác định bằng cách nới lỏng một số tiên đề nhóm.
Ví dụ, nếu yêu cầu rằng mọi phần tử phải có phần tử nghịch đảo bị loại bỏ, thì cấu trúc đại số thu được gọi là monoid. Tập hợp số tự nhiên N (bao gồm 0) với phép cộng tạo thành một monoid, cũng như đối với số nguyên khác 0 dưới phép nhân,  \mathbb {Z} ^{*}, xem ở trên. Có một phương pháp tổng quát để thêm vào một cách hình thức các phần tử nghịch đảo đối với bất kỳ monoid nào (có tính chất giao hoán), rất giống với cách mà  \mathbb {Z}  thu được từ  \mathbb {N} , cách này còn gọi là nhóm Grothendieck.
Các groupoid giống với nhóm ngoại trừ phép kết hợp a • b không cần thiết phải xác định với mọi a và b. Chúng xuất hiện trong việc nghiên cứu những dạng phức tạp hơn của đối xứng, thường trong các cấu trúc tô pô và giải tích toán học, như groupoid cơ bản hay chùm (stack).
Cuối cùng, có thể tổng quát hóa cho bất kỳ khái niệm nào bằng cách thay thế phép toán hai ngôi bởi một mảng bất kỳ n-ary (tức là phép toán có n tham số). Cũng với sự tổng quát hóa thông thường của các tiên đề nhóm sự kết hợp này hình thành lên nhóm ''n''-ary.(xem thêm đại số phổ dụng)
Bảng kế bên liệt kê danh sách một vài cấu trúc tổng quát hóa của nhóm.
Tim Hortons

| --- | --- |

Tim Hortons ở Vancouver
Tên cũ: Tim Horton Donuts Tim Donuts Limited The TDL Group
Loại hình: Công ty con
Ngành nghề: Nhà hàng
Thành lập: 17 tháng 5 năm 1964; 60 năm trước (1964-05-17) Hamilton, Ontario, Canada
Người sáng lập: Tim Horton Jim Charade
Trụ sở chính: Toronto, Ontario, Canada
Số lượng trụ sở: 5,701 (30 tháng 9, 2023)
Thành viên chủ chốt: J. Patrick Doyle (chủ tịch điều hành, RBI) Joshua Kobza (CEO, RBI) Axel Schwan (chủ tịch Tim Hortons Canada và Mỹ)
Sản phẩm: Đồ ăn nhanh, cà phê
Lãi thực:  958 triệu USD (2023)
Tổng tài sản:  13,99 tỉ USD (2021)
Công ty mẹ: Restaurant Brands International
Website: timhortons.com
Ghi chú 
Tim Hortons Inc., tên thường gọi là Tim's, Timmies hay Timmy's, là công ty đa quốc gia chuyên về nhà hàng và cà phê của Canada, có trụ sở chính ở Toronto. Hãng phục vụ các loại cà phê, sandwich, bánh vòng và các loại đồ ăn nhanh khác. Đây là thương hiệu đồ ăn nhanh lớn nhất Canada với 5.701 nhà hàng ở 13 quốc gia, tính đến tháng 9 năm 2023.
Công ty do vận động viên khúc côn cầu trên băng Tim Horton (1930–1974) và Jim Charade (1934–2009) thành lập năm 1964 tại Hamilton, Ontario sau một kế hoạch đầu tư vào các nhà hàng hamburger trước đó. Năm 1967, Horton hợp tác với nhà đầu tư Ron Joyce. Năm 1974 khi Horton mất, Joyce đứng ra quản lý nhà hàng và dần đưa công ty trở thành một thương hiệu giá trị hàng tỉ đô. Charade rời hãng năm 1966, sau đó quay lại vào năm 1970 và từ năm 1993 tới 1996. Năm 1995, The Wendy's Company sáp nhập vào Tim Hortons dưới dạng công ty con và được quản lý tới năm 2006.
Ngày 26 tháng 8 năm 2014, Burger King đồng ý sáp nhập vào Tim Hortons với giá 11,4 tỉ USD. Cả hai thương hiệu được công ty mẹ Restaurant Brands International quản lý từ ngày 15 tháng 12 năm 2014.
Thực đơn

Những nhà hàng mới mở đầu tiên chỉ phục vụ cà phê và bánh donut. Hiện ngoài cà phê, trà, socola nóng và donut, hãng có các loại bánh nướng, bánh ngọt như bagel. Thông tin dinh dưỡng được giới thiệu online, nhưng nguyên liệu cụ thể không được chia sẻ. Menu của Tim Hortons ở các cửa hàng thường giống nhau, tuy nhiên có thể có một số biến đổi hương vị tuỳ theo ẩm thực địa phương.
Địa điểm

Tính tới ngày 31 tháng 12 năm 2018, Tim Hortons có 4846 nhà hàng ở 14 quốc gia, trong đó 3802 cơ sở ở Canada, 807 ở Mỹ, 60 ở Mexico, 29 ở khu vực Trung Đông và 25 ở Anh Quốc. Tính đến  tháng 8 năm 2024, Tim Hortons có 5702 nhà hàng.
Chương trình Thăm dò Sao Hỏa

Mẫu kích cỡ giống thật của robot tự hành Curiosity
Chương trình thăm dò sao Hỏa  (Mars Exploration Program - MEP) là một nỗ lực lâu dài để khám phá sao Hỏa được cơ quan không gian Hoa Kỳ National Aeronautics and Space Administration (NASA) tài trợ và lãnh đạo. Hình thành vào năm 1993, MEP đã sử dụng tàu vũ trụ quỹ đạo, tàu hạ cánh và rô bốt tự hành trên sao Hỏa để khám phá những khả năng của cuộc sống trên sao Hỏa cũng như  khí hậu và tài nguyên của hành tinh này. Chương trình được Science Mission Directorate của NASA quản lý với  Doug McCuistion của Ban Khoa học hành tinh. Trong năm tài chính 2013, với việc cắt giảm 40% ngân sách cho NASA, Mars Program Planning Group (MPPG) đã được thành lập để giúp sắp xếp lại MEP, kết hợp các nhà lãnh đạo của công nghệ, khoa học, con người hoạt động, và nhiệm vụ khoa học vào một mối.
Bối cảnh

Mặc dù sao Hỏa đã được những người Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, và nhiều nền văn minh cổ đại khác quan sát từ rất lâu, chỉ đến thế kỷ 17, khi con người phát minh ra kính viễn vọng thì sao Hỏa mới được nghiên cứu kỹ càng. Lần đầu tiên con người gửi một tàu thăm dò tới bề mặt sao Hỏa, có biệt danh là "Marsnik 1", là của Liên Xô trong năm 1960. Con tàu đã không lên được tới quỹ đạo Trái Đất, và điệp vụ thất bại. Việc không hoàn thành mục tiêu nhiệm vụ đã trở nên phổ biến trong các nhiệm vụ được thiết kế để khám phá sao Hỏa; khoảng hai phần ba trong số tất cả các tàu vũ trụ dành cho sao Hỏa đã thất bại trước khi bất kỳ quan sát nào có thể được thực hiện.
Bản thân Chương trình thăm dò sao Hỏa cũng chỉ được thành lập chính thức sau khi nhiệm vụ Mars Observer thất bại vào tháng 9 năm 1992, vốn là điệp vụ sao Hỏa đầu tiên của NASA sau các dự án Viking 1 và Viking 2 projects trong năm 1975. Tàu vũ trụ này dựa trên một vệ tinh truyền thông đã sửa đổi trên quỹ đạo Trái Đất (tức là vệ tinh Astra 1A của SES), mang một loạt các thiết bị được thiết kế để nghiên cứu địa chất, địa vật lý và khí hậu của sao Hỏa từ quỹ đạo. Dự án kết thúc vào tháng 8 năm 1993 khi tàu mất thông tin liên lạc ba ngày trước khi tàu vũ trụ được lên kế hoạch để bay vào quỹ đạo.
Mục đích/chiến lược

Theo NASA, có bốn mục tiêu lớn của MEP, tất cả đều liên quan đến việc hiểu rõ tiềm năng của sự sống trên sao Hỏa.
Journey to Mars – Science, Exploration, Technology.
Các kế hoạch cho tương lai

Do ngân sách bị thu nhỏ hơn cho MEP, NASA đã buộc phải hủy bỏ dự án Mars Science Orbiter, được lên kế hoạch cho năm 2016 mà nếu được thực hiện thì đã có thể nghiên cứu khí hậu của hành tinh này. NASA không có bất kỳ nhiệm vụ nào cho tương lai của MEP, chỉ có một kế hoạch vẫn đang được phát triển trong vài thập kỷ tới.
Hình ảnh sao Hỏa được Kính viễn vọng không gian Hubble ghi lại
Chilo tamsi

| Chilo tamsi> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Crambidae
Chi (genus): Chilo
Loài (species): C. tamsi
Danh pháp hai phần
Chilo tamsi
Chilo tamsi là một loài bướm đêm trong họ Crambidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 19 tháng 6 năm 2014.
↑  Beccaloni, G. W., Scoble, M. J., Robinson, G. S. & Pitkin, B. (Editors). (2003) The Global Lepidoptera Names Index (LepIndex). (Geraadpleegd maart 2013).
Hyloscirtus tapichalaca

| Hyloscirtus tapichalaca |
| --- | --- |

Tình trạng bảo tồn
 Nguy cấp  (IUCN 3.1)
Phân loại khoa học 
Vực:: Eukaryota
Giới:: Animalia
Ngành:: Chordata
Lớp:: Amphibia
Bộ:: Anura
Họ:: Hylidae
Chi:: Hyloscirtus
Loài:: H. tapichalaca
Danh pháp hai phần
Hyloscirtus tapichalaca (Kizirian, Coloma [fr], and Paredes-Recalde, 2003)

Các đồng nghĩa
 Hyla tapichalaca  Kizirian, Coloma, and Paredes-Recalde, 2003  Boana tapichalaca  (Kizirian, Coloma, and Paredes-Recalde, 2003)   Colomascirtus tapichalaca  (Kizirian, Coloma, and Paredes-Recalde, 2003) 
Hyloscirtus tapichalaca là một loài ếch trong họ Nhái bén. Chúng là loài đặc hữu của Ecuador.
Môi trường sống tự nhiên của nó là các khu rừng vùng núi ẩm nhiệt đới hoặc cận nhiệt đới và sông. Loài này đang bị đe dọa do mất môi trường sống.