stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Sam Bith

| Sam Bith |
| --- | --- |
Sinh: Samuel Bith 1 tháng 5 năm 1933 Campuchia
Mất: 15 tháng 2 năm 2008 Campuchia

Kết án: bắt cóc, âm mưu giết người, khủng bố và cướp bóc có tính toán trước
 
Sam Bith (1 tháng 5 năm 1933 – 15 tháng 2 năm 2008) là viên chỉ huy du kích Campuchia bị kết án giết người theo lệnh của Khmer Đỏ, và là cấp phó cũ của tư lệnh tàn quân Khmer Đỏ Ta Mok.
Ngày 26 tháng 7 năm 1994, Bith và đám phiến quân của ông đã phục kích một đoàn tàu chở ba du khách ba lô – David Wilson người Úc, Mark Slater người Anh và Jean-Michel Braquet người Pháp, với ít nhất mười người Campuchia bị giết trong cuộc tấn công này. Nhóm này còn giam giữ ba người nước ngoài và một số người Campuchia trong "điều kiện khốn khổ" tại căn cứ của phiến quân đóng tại Núi Vine ở tỉnh Kampot, miền nam Campuchia. Họ bị giết ba tháng sau vụ tấn công khi các cuộc đàm phán được chính phủ hậu thuẫn nhằm trả tự do cho họ và khoản tiền chuộc 150.000 đô la Mỹ không thành công.
Đồng đội của Bith là Nuon Paet bị kết án tù chung thân vì vai trò của ông trong vụ này vào tháng 6 năm 1999. Trong phiên tòa, Paet đã làm chứng chống lại Bith với lời tuyên bố rằng Bith, vốn là sĩ quan cấp trên đã ra lệnh cho ông phải giết họ. Vào thời điểm cuộc truy lùng bắt đầu cùng năm đó thì Bith trở thành tướng lĩnh trong Quân đội Hoàng gia Campuchia sau khi đào ngũ khỏi Khmer Đỏ vào năm 1996.
Người ta chỉ tìm ra Bith sau khi có bài báo đăng trên một tờ báo Thái Lan viết về ngôi nhà xa hoa của ông ở Pailin, miền tây Campuchia. Ông bị buộc tội bắt cóc, âm mưu giết người, khủng bố và cướp bóc có chủ đích vào tháng 12 năm 2002 và nhận án tù chung thân. Bith đã tuyên bố mình vô tội trước những lời cáo buộc đó, khẳng định trước tòa rằng lãnh đạo Khmer Đỏ Pol Pot đã cách chức chỉ huy khu vực của ông vài tuần trước khi xảy ra vụ phục kích đoàn tàu. Bith gặp phải vấn đề về sức khỏe một ngày trước khi bị bắt và chính phủ đành chỉ định hai bác sĩ tới chăm sóc ông.
Bith mất ngày 15 tháng 2 năm 2008, hưởng thọ 74 tuổi. Mặc dù chưa đưa ra nguyên nhân chính thức về cái chết này, nhưng vợ ông là Khem Ri cho biết ông vốn mắc "bệnh nặng" với bệnh tiểu đường và cao huyết áp và được đưa đến bệnh viện Calmette trước đó mười ngày. Sam Bith được chôn cất tại một nghĩa trang Hoa kiều ở Battambang, dựa theo dòng máu gốc Hoa của ông.
Catherine Untalan

| Catherine Untalan |
| --- | --- |
Catherine trong đêm chung kết Hoa hậu Trái Đất 2006
Sinh: Catherine Yu Untalan 8 tháng 8, 1985 (39 tuổi)
Danh hiệu:  Hoa hậu Trái Đất Philippines 2006 
Thông tin chỉ số
Chiều cao: 1,83 m (6 ft 0 in)
Màu mắt: Nâu
Màu tóc: Đen
 
Thành tích sắc đẹp
Cuộc thi lớn:  Hoa hậu Trái Đất Philippines 2006   (Chiến thắng)   Hoa hậu Trái Đất 2006   (Hoa hậu Nước/Á hậu 2) 
 
Catherine Untalan (sinh ngày 8 tháng 8 năm 1985) là một nhà môi trường học, nhà tâm lý học và người mẫu thời trang người Phillipines. Cô từng tham dự hai cuộc thi là Hoa hậu Trái Đất Philippines 2006 và Hoa hậu Trái Đất 2006. Cô là Giám đốc điều hành của Quỹ Hoa hậu Trái Đất, chi nhánh tiếp cận môi trường - xã hội - nhân đạo của cuộc thi Hoa hậu Trái Đất 2006.
Đời tư

Catherine Untalan tốt nghiệp trường St. Paul College of Parañaque. Cô học ngành tâm lý học ở Trường Đại học Philippines. Sau đó, cô nhận bằng tốt nghiệp về Quản lý tài nguyên và môi trường.
Ngày 18 tháng 8 năm 2006, cô tổ chức đêm trao giải của Liên hoan phim Moonawn, một liên hoan phim thường niên về các vấn đề môi trường và văn hóa, được tài trợ bởi Trung tâm Nhận thức và Giáo dục Môi trường, được tổ chức tại Trung tâm thương mại Gateway ở Cubao, Thành phố Quezon.
Cô là phóng viên bên lề của San Beda Red Lions trong nửa đầu mùa giải thứ 82 của Hiệp hội thể thao trường đại học quốc gia (NCAA). Hai năm sau, cô trở thành phóng viên bên lề cho đội bóng của trường cũ của mình, UP Fighting Maroons trong Hiệp hội Thể thao Đại học Philippines mùa thứ 67.
Cô là người phát ngôn của Bộ Tài nguyên và Môi trường Philippines cho các chiến dịch khác nhau và của Bộ Y tế Philippines cho chiến dịch chống thuốc lá của họ. Chương trình phát triển năng lượng bền vững của Cơ quan phát triển quốc tế Hoa Kỳ (USAID) cũng chọn cô làm người phát ngôn cho các chiến dịch nhiên liệu sinh học của họ. USAID trích dẫn những nỗ lực và sự tham gia của cô ấy trong các chương trình của họ và cô ấy đã được trao một sự công nhận của đại sứ môi trường, người đầu tiên được cơ quan này trao cho sự phân biệt như vậy. Cô đã tổ chức một chương trình trong NBN Channel 4 mang tên  Kapihan ng Bayan  với các nhà báo kỳ cựu, Mario Garcia và Ely Saludar
.Hiện tại, cô ấy là chuyên mục trong tạp chí lối sống màu xanh lá cây đầu tiên ở Philippines, được gọi là, Tạp chí Gen G.
Các cuộc thi sắc đẹp

Cô đăng quang Hoa hậu Trái Đất Philippines 2006. Sau đó, cô đại diện cho quốc gia này tại Hoa hậu Trái Đất 2006 được tổ chức ở quê nhà. Tại đây, cô đoạt ngôi vị Hoa hậu Nước (tức Á hậu 2). Cô là người đẹp đầu tiên đến từ Philippines giành được một trong những danh hiệu cao nhất của cuộc thi. Đại diện của Chile, cô Hil Hernández là chủ nhân mới của vương miện Hoa hậu Trái Đất.
Chú thích

1 2  Dimaculangan, Jocelyn (ngày 4 tháng 3 năm 2008). “RP showbiz personalities who excel academically”. GMA Network Inc. Truy cập ngày 28 tháng 12 năm 2009.
↑  Avante, Wells (ngày 14 tháng 11 năm 2006). “Global beauties campaign against global warming”. Philippine Entertainment Portal Inc. Bản gốc lưu trữ ngày 21 tháng 5 năm 2008. Truy cập ngày 28 tháng 12 năm 2009.
↑  Online News, Inquirer & GMA 7 (ngày 12 tháng 8 năm 2006). “Moonrise Film Festival a Must See”. www.inq7.net. Truy cập ngày 28 tháng 12 năm 2009.
↑  Escandor Jr., Juan (ngày 19 tháng 3 năm 2009). “Cop tells kids: Help mangroves”. The INQUIRER Network. Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 3 năm 2009. Truy cập ngày 28 tháng 12 năm 2009.
↑  Roberto, Julles (ngày 12 tháng 3 năm 2009). “Bakawan Children's Book Launching”. Woman of the Earth. Bản gốc lưu trữ ngày 24 tháng 5 năm 2009. Truy cập ngày 20 tháng 6 năm 2019.
↑  “Meet more champs: Earth advocate”. Philippine Daily Inquirer/The INQUIRER Network. ngày 11 tháng 3 năm 2009. Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 12 năm 2008. Truy cập ngày 28 tháng 12 năm 2009.
↑  “DENR, Miss Earth join hands to save nature”. Manila Bulletin. ngày 7 tháng 4 năm 2007. Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 11 năm 2012. Truy cập ngày 28 tháng 12 năm 2009 – qua Highbeam.
Dmitri Pletnyov

| Thông tin cá nhân |
| --- | --- | --- | --- |
Tên đầy đủ:  Dmitri Andreyevich Pletnyov
Ngày sinh:  16 tháng 1, 1998 (26 tuổi)
Nơi sinh:  Sankt Peterburg, Nga
Chiều cao:  1,73 m (5 ft 8 in)
Vị trí:  Tiền vệ
Thông tin đội
Đội hiện nay:  F.K. Zenit Sankt Peterburg/F.K. Zenit-2 Sankt Peterburg
Số áo:  49
Sự nghiệp cầu thủ chuyên nghiệp*
| Năm |  Đội |  ST |  (BT) |
| 2015– |  F.K. Zenit Sankt Peterburg |  1 |  (0) |
| 2017– |  → F.K. Zenit-2 Sankt Peterburg (mượn) |  16 |  (1) |
Sự nghiệp đội tuyển quốc gia
| Năm |  Đội |  ST |  (BT) |
| 2014–2015 |  U-17 Nga |  22 |  (4) |
| 2016 |  U-18 Nga |  3 |  (0) |
 *Số trận ra sân và số bàn thắng ở câu lạc bộ tại giải quốc gia, chính xác tính đến 12 tháng 5 năm 2018
Dmitri Andreyevich Pletnyov (tiếng Nga: Дмитрий Андреевич Плетнёв; sinh ngày 16 tháng 1 năm 1998) là một cầu thủ bóng đá người Nga. Anh thi đấu cho F.K. Zenit Sankt Peterburg và F.K. Zenit-2 Sankt Peterburg.
Sự nghiệp câu lạc bộ

Anh có màn ra mắt tại Giải bóng đá Quốc gia Nga cho F.K. Zenit-2 Sankt Peterburg vào ngày 6 tháng 9 năm 2017 trong trận đấu với F.K. Rotor Volgograd.
Anh ra mắt tại Giải bóng đá ngoại hạng Nga cho F.K. Zenit Sankt Peterburg vào ngày 5 tháng 5 năm 2018 trong trận đấu với F.K. Lokomotiv Moskva.
Quốc tế

Anh thi đấu cho Đội tuyển bóng đá U-17 quốc gia Nga tại Giải vô địch bóng đá U-17 châu Âu 2015 và Giải vô địch bóng đá U-17 thế giới 2015.
Thống kê sự nghiệp

| Câu lạc bộ | Mùa giải | Giải vô địch> Hạng đấu | Giải vô địch> Số trận | Giải vô địch> Bàn thắng | Cúp> Số trận | Cúp> Bàn thắng | Châu lục> Số trận | Châu lục> Bàn thắng | Tổng cộng> Số trận | Tổng cộng> Bàn thắng |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Zenit St. Petersburg | 2015–16 | Premier League | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Zenit St. Petersburg | 2016–17 | Premier League | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Zenit St. Petersburg | 2017–18 | Premier League | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Zenit St. Petersburg | Tổng cộng | Tổng cộng | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Zenit-2 St. Petersburg | 2017–18 | FNL | 16 | 1 | – | – | – | – | 16 | 1 |
| Tổng cộng sự nghiệp | Tổng cộng sự nghiệp | Tổng cộng sự nghiệp | 17 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 17 | 1 |
Cyperus turbatus

| Cyperus turbatus> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Poales
Họ (familia): Cyperaceae
Chi (genus): Cyperus
Loài (species): C. turbatus
Danh pháp hai phần
Cyperus turbatus Baijnath, 1976 
Cyperus turbatus là loài thực vật có hoa trong họ Cói. Loài này được Baijnath mô tả khoa học đầu tiên năm 1976.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cyperus turbatus”. Truy cập ngày 11 tháng 6 năm 2013.
Brugg (huyện)

| Brugg District Bezirk Brugg |
| --- | --- |
—  Huyện  —
 
 

Brugg District
Quốc gia:  Thụy Sĩ
Bang:  Aargau
Thủ phủ: Brugg
Thủ phủ: Brugg
Diện tích
 • Tổng cộng: 149,31 km2 (5,765 mi2)
Dân số (Bản mẫu:Swiss populations Y)
 • Tổng cộng: 46.425
 • Mật độ: 3,1/km2 (8,1/mi2)
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+2)
Số đô thị: 29
Huyện Brugg là một huyện ở bang Aargau, Thụy Sĩ.
Huyện này nằm ở phía nam Aare còn dãy núi Jura Aargauer chạy qua huyện. Huyện lỵ là Brugg.
Các đô thị

| Huy hiệu | Đô thị | Dân số  (30/6/2009) | Diện tích (km²) |
| --- | --- | --- | --- |
|  | Auenstein | 1.487 | 5.68 |
|  | Birr | 3.840 | 5,05 |
|  | Birrhard | 643 | 3,00 |
|  | Bözen | 668 | 3,96 |
|  | Brugg | 10.246 | 6,38 |
|  | Effingen | 624 | 6,85 |
|  | Elfingen | 249 | 4,21 |
|  | Gallenkirch | 132 | 1,37 |
|  | Habsburg | 390 | 2.23 |
|  | Hausen bei Brugg | 2.735 | 3,21 |
|  | Linn | 146 | 2,54 |
|  | Lupfig | 1.964 | 5,15 |
|  | Mandach | 319 | 5,54 |
|  | Mönthal | 410 | 3,94 |
|  | Mülligen | 887 | 3,16 |
|  | Oberbözberg | 509 | 5,45 |
|  | Oberflachs | 475 | 3,38 |
|  | Remigen | 1.018 | 7,87 |
|  | Riniken | 1.364 | 4,76 |
|  | Rüfenach | 804 | 4,17 |
|  | Scherz | 577 | 3,30 |
|  | Schinznach-Bad | 1.250 | 1,90 |
|  | Schinznach-Dorf | 1660 | 8.91 |
|  | Thalheim | 757 | 9.92 |
|  | Unterbözberg | 703 | 6.11 |
|  | Veltheim | 1.366 | 5,24 |
|  | Villigen | 1.883 | 11,21 |
|  | Villnachern | 1.410 | 5,75 |
|  | Windisch | 6.672 | 4,91 |
| x t s Huyện của bang Aargau |
| --- | --- |
 Aarau  Baden  Bremgarten  Brugg  Kulm  Laufenburg  Lenzburg  Muri  Rheinfelden  Zofingen  Zurzach 
 Huyện của Thụy Sĩ  Đô thị của bang Aargau 
↑  Statistical Department of Canton Aargau -Bereich 01 -Bevölkerung Lưu trữ 2012-02-22 tại Wayback Machine (tiếng Đức) accessed ngày 20 tháng 1 năm 2010
Đá Tốc Tan

| Thực thể địa lý tranh chấp Đá Tốc Tan |
| --- | --- |
Ảnh vệ tinh chụp đá Tốc Tan (tháng 4, 2024)
Địa lý
đá Tốc Tan
Vị trí: Biển Đông
Tọa độ: 8°48′42″B 113°59′0″Đ﻿ / ﻿8,81167°B 113,98333°Đ﻿ / 8.81167; 113.98333﻿ (đá Tốc Tan)
Tổng số đảo: 3
Các đảo chính: Tốc Tan A
Diện tích: 2 ha (đảo Tốc Tan A)
Quản lý
Quốc gia quản lý:  Việt Nam
Tỉnh: Khánh Hòa
Huyện: Trường Sa
Thị trấn: Trường Sa
Tranh chấp giữa
Quốc gia:  Đài Loan
Quốc gia:  Philippines
Quốc gia:  Trung Quốc
Quốc gia:  Việt Nam
Đá Tốc Tan (tiếng Anh: Alison Reef; tiếng Filipino: De Jesus; tiếng Trung: 六门礁; bính âm: Liùmén jiāo, Hán-Việt: Lục Môn tiêu) là một rạn san hô vòng thuộc cụm Trường Sa của quần đảo Trường Sa. Đá Tốc Tan cách đảo Phan Vinh 14,6 hải lý (27 km) về phía đông nam và cách đá Núi Le 6 hải lý (11 km) về phía tây bắc.
Bản đồ hành chính đều thể hiện danh từ riêng là Tốc Tan còn danh từ chung để mô tả thực thể là đá. Về bản chất địa lý, đá Tốc Tan không phải là một đảo mà là rạn san hô vòng.
Đá Tốc Tan là đối tượng tranh chấp giữa Việt Nam, Đài Loan, Philippines và Trung Quốc. Hiện Việt Nam đang kiểm soát đá này như một phần của thị trấn Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa.
Đặc điểm > Địa lý

Rạn san hô đá Tốc Tan có chiều dài khoảng 19,4 km và chiều rộng trung bình 4,1 km; diện tích nền san hô khoảng 36.8 km². Vụng biển của rạn vòng sâu từ 15 đến 25 m, rộng khoảng 35.7 km². Có một số hòn đá riêng lẻ nhô lên khỏi mặt biển khi thủy triều xuống.
Đặc điểm > Công trình nhân tạo

Xem thêm: Việt Nam bồi đắp đảo nhân tạo ở Trường Sa
Hải quân Việt Nam đã đóng quân tại 3 tiền đồn, được đặt tên là Đảo Tốc Tan A, B, C, có tọa độ địa lý là (trong ngoặc là tọa độ ghi trên bia chủ quyền):
Đảo Tốc Tan A (ở thêm san hô phía đông nam của đá Tốc Tan): 8°46′46″B 114°03′9″Đ﻿ / ﻿8,77944°B 114,0525°Đ﻿ / 8.77944; 114.05250 (8°46′46″B 114°03′9″Đ﻿ / ﻿8,77944°B 114,0525°Đ﻿ / 8.77944; 114.05250), gồm 2 nhà lâu nối với nhau bằng cầu bê tông.
Đảo Tốc Tan B (ở thềm san hô phía tây bắc của đá Tốc Tan): 8°49′59″B 113°55′27″Đ﻿ / ﻿8,83306°B 113,92417°Đ﻿ / 8.83306; 113.92417 (8°50′0″B 114°00′0″Đ﻿ / ﻿8,83333°B 114°Đ﻿ / 8.83333; 114.00000), gồm một nhà lâu đóng quân nối với một nhà văn hoá đa năng (hoàn thành tháng 12, 2014)
Đảo Tốc Tan C (ở thềm san hô phía bắc của đá Tốc Tan): 8°49′32″B 113°59′34″Đ﻿ / ﻿8,82556°B 113,99278°Đ﻿ / 8.82556; 113.99278 (8°50′0″B 114°11′0″Đ﻿ / ﻿8,83333°B 114,18333°Đ﻿ / 8.83333; 114.18333), gồm một nhà lâu đóng quân nối với một nhà văn hoá đa năng (khánh thành tháng 4 năm 2024).
Binh lính đồn trú trồng được một số rau xanh, chủ yếu là rau muống, cải, mồng tơi và nuôi vịt và chó mang từ đất liền ra.
Đầu tháng 12 năm 2022, Việt Nam bắt đầu tiến hành các hoạt động nạo vét, bồi đắp ở điểm Đảo Tốc Tan A. Tính đến tháng 11 năm 2023, Tốc Tan A đã trở thành đảo nhân tạo có diện tích khoảng 2 ha, dài khoảng 150 m, rộng khoảng 140 m.  Việt Nam bắt đầu bồi đắp và nạo vét ở điểm Đảo Tốc Tan C từ tháng 9 năm 2024, và Đảo Tốc Tan B từ tháng 12 năm 2024.
Lịch sử

Ngày 22/2/1988, Bộ Tư lệnh Hải quân cử một biên đội gồm tàu HQ-713 và HQ-07 thuộc Lữ đoàn 171 Hải quân do trung tá Hoàng Kim Nông làm chỉ huy đưa quân ra đóng giữ đá Tốc Tan.
Sáng 25/2/1988, đội tàu của Lữ đoàn 171 đến khu vực Tốc Tan - Núi Le - Tiên Nữ. Thấy tàu Trung Quốc có dấu hiệu chiếm đóng trái phép đá Tốc Tan, chỉ huy biên đội quyết định hạ xuồng lên đá cắm cờ khẳng định chủ quyền. Tổ cắm cờ gồm 6 người, do trung tá Hoàng Kim Nông trực tiếp chỉ huy. Cắm cờ xong, biên đội bố trí 2 ca xuồng trực 24/24 bảo vệ cờ. Đe dọa không hiệu quả, các tàu Trung Quốc phải rút đi.
Một số nguồn khác ghi ngày chiếm giữ đá Tốc Tan là 27/2/1988.
Tỉnh Quảng Nam - Đà Nẵng đã xây dựng một nhà ở phía tây đá Đảo Tốc Tan, hoàn thành ngày 8/8/1988. Trong khi đó công binh Hải quân cũng xây dựng 3 nhà cao chân trên đá này.
Tháng 8/1988, Phòng bảo đảm hàng hải Quân chủng Hải quân đã thả trong lòng Hồ Tốc Tan 3 phao buộc tàu mỗi phao nặng 2 tấn, khi thời tiết xấu tàu có thể vào neo đậu tránh sóng gió.
Phương trình Pell

Phương trình Pell (Pell's equation) là bài toán tìm nghiệm nguyên Diophantine bậc hai với yêu cầu là giải một trong những phương trình nghiệm nguyên sau:
Ngoài ra, còn có các dạng:
Lagrange chứng minh rằng với d không phải là số chính phương, phương trình Pell có vô số nghiệm nguyên dương.
Phương trình được đặt tên là Pell bắt nguồn từ sơ suất của Leonhard Euler. Khi Euler đọc tác phẩm của Lord Brouncker, nhà toán học châu Âu đầu tiên tìm ra lời giải tổng quát của bài toán, Euler đã nhầm Brouncker với John Pell.
Người đầu tiên nghiên cứu phương trình Pell là Brahmagupta ở Ấn Độ cổ đại.
Brahmagupta là người đã phát triển phương pháp chakravala nhằm giải quyết phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác trong tác phẩm Brahma Sphuta Siddhanta vào năm 628, trước Pell 1000 năm.
Tác phẩm Brahma Sphuta Siddhanta đã được dịch sang tiếng Ả-rập vào năm 773, và dịch sang tiếng La-tin vào năm 1126.
Ngoài ra, Braskara II vào thế kỉ 12 và Narayana vào thế kỉ 14 đã tìm ra lời giải tổng quát cho phương trình Pell và các phương trình bậc hai bất định khác.
Lời giải của một số dạng đặc biệt của phương trình Pell (ví dụ khi số biến nhiều hơn 2), đã được biết đến từ rất lâu ít nhất là từ thời Pi-ta-go ở Hy Lạp cổ.
Muốn biết rõ hơn, hãy xem Lenstra (2002) and Barbeau (2003).
Lịch sử

Từ năm 400 TCN, ở Ấn Độ và Hy Lạp, người ta đã nghiên cứu phương trình Pell. Chủ yếu trong trường hợp riêng:
vì có nghiệm liên quan đến căn bậc hai của 2.  Cụ thể hơn, nếu x, y là nghiệm nguyên của phương trình này, thì x / y xấp xỉ  {\sqrt {2}}. Braudhayana khám phá ra rằng, với x = 17, y = 12 và x = 577, y = 408 là 2 nghiệm của phương trình Pell, đồng thời 17 / 12, 577 / 408 xấp xỉ rất sát với  {\sqrt {2}}.
Sau đó, Ácsimét đã sử dụng một phương trình tương tự để ước lượng căn bậc hai của 3, và tìm ra phân số 1351/780.
Vào khoảng năm 250 Công Nguyên, Diophantus (Diophantine) đã nghiên cứu 1 dạng khác của phương trình Pell:
Diophantus đã giải phương trình trong trường hợp  a = 1 và c = −1, 1, và 12, và cho a = 3 và c = 9.
Brahmagupta phát minh ra phương pháp tổng quát cho phương trình Pell, được biết đến với tên gọi phương pháp chakravala. Alkarkhi cũng nghiên cứu các vấn đề tương tự như Diophantus. Bhāskara I đã sáng tạo ra phương pháp sinh các nghiệm mới từ một nghiệm đã biết, công trình này được E. Strachey xuất bản bằng tiếng Anh vào năm 1813.
Vào năm 1766-1769, Lagrange đã phát triển 1 lý thuyết tổng quát về phương trình Pell, dựa trên phân số liên tục và các thao tác đại số với các số thực có dạng  P+Q{\sqrt {a}}.
Lời giải của phương trình Pell loại I và II

Nhận xét, nếu (x,y) là nghiệm nguyên của phương trình đã cho thì (-x,y), (x,-y), (-x,-y) cũng là nghiệm, do đó ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm.
Phương trình Pell  x^{2}-dy^{2}=1 luôn có nghiệm tầm thường là x=1, y=0. Do đó, ta chỉ quan tâm đến các nghiệm nguyên không âm và không tầm thường.
Lời giải của phương trình Pell loại I và II > Một số điều kiện của d để có nghiệm

Định lý 1: Với mọi d không phải là số chính phương, phương trình  x^{2}-dy^{2}=1 luôn có nghiệm nguyên dương.
Định lý 2: Nếu d có ước nguyên tố dạng 4k+3 thì phương trình  x^{2}-dy^{2}=-1 vô nghiệm.
Lời giải của phương trình Pell loại I và II > Phương pháp sinh từ nghiệm nguyên dương nhỏ nhất

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất theo nghĩa: x,y >0 và  x+y{\sqrt {d}} là nhỏ nhất.
Phương pháp này dùng để tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình  x^{2}-dy^{2}=1, với d không phải là số chính phương.
Khi biết nghiệm nhỏ nhất của phương trình là (x1,y1), cho phép tìm ra tất cả các nghiệm nguyên dương còn lại theo công thức tổng quát:
Công thức truy hồi tương đương:
Chứng minh
Ta thừa nhận, phương trình Pell tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là (x1,y1).
Trước hết chứng minh các số (xi,yi) cho bởi công thức tổng quát cũng là nghiệm của phương trình Pell.
Với các số (xi,yi) thỏa mãn:
thì cũng thỏa mãn:
Suy ra:
Nên  (x_{i},y_{i}) cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Bây giờ ta chứng minh tất cả các nghiệm nguyên dương đều có thể biểu diễn trong công thức:
Thật vậy, giả sử tồn tại nghiệm  x^{*},y^{*} không thỏa mãn công thức tổng quát. Do đó tồn tại i nguyên dương sao cho:
Khi đó:
Dễ thấy là:  (x^{*}x_{i}-y^{*}y_{i}d),(x_{i}y^{*}-y_{i}x^{*}) cũng là nghiệm nguyên dương của phương trình. Và đồng thời nó còn nhỏ hơn cả nghiệm nguyên nhỏ nhất. Suy ra điều mâu thuẫn.
Vậy điều giả sử là sai, do đó mọi nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho đều có dạng:
Ví dụ:
Trong ví dụ trước  x^{2}-2y^{2}=1, ta tìm ra nghiệm nhỏ nhất là (3,2). Tìm các nghiệm còn lại:
Lời giải của phương trình Pell loại I và II > Lời giải dựa trên phân số liên tục

Xem thêm bài phân số liên tục, xem thêm .
Lời giải của phương trình Pell loại I và II > Lời giải dựa trên phân số liên tục > Định lý 1

Viết dãy các giản phân của  {\sqrt {d}}:  {\frac {h_{n}}{k_{n}}}.
Biểu diễn liên phân số của  {\sqrt {d}} có dạng vô hạn tuần hoàn, gọi r là độ dài của 1 chu kì. Khi đó:
Ví dụ:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
Lời giải của phương trình Pell loại I và II > Lời giải dựa trên phân số liên tục > Định lý 2

Phương trình Pell  x^{2}-dy^{2}=-1 có nghiệm khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của  {\sqrt {d}} có chu kì r lẻ và các nghiệm nguyên dương của phương trình sẽ là  (h_{n},k_{n}) với n có dạng  2\cdot t\cdot r-r-1.
Ví dụ:
Giải phương trình nghiệm nguyên:
Lời giải của phương trình Pell loại I và II > Dạng biểu diễn rút gọn và các thuật toán nhanh

Trong các bài toán cụ thể, ngay cả nghiệm nhỏ nhất cũng có thể rất lớn. Và trong nhiều trường hợp, người ta phải biểu diễn nó dưới dạng gọn hơn là:
với các hệ số ai, bi, and ci nhỏ hơn rất nhiều (nếu so sánh với nghiệm nhỏ nhất).
Ví dụ, bài toán đàn gia súc Archimedes có thể giải quyết bằng cách dùng phương trình Pell, nhưng nghiệm nhỏ nhất của nó quá lớn, nếu viết hết nghiệm này ra giấy có thể đến 206545 chữ số. Và như thế phải viết nghiệm đó dưới dạng rút gọn:
với:
và  \scriptstyle x'_{1} và  \scriptstyle y'_{1} lần lượt có 45 và 41 chữ số thập phân.
Chính xác hơn là:
u=(300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}})^{2}.
(Lenstra 2002).
Các phương pháp liên quan đến sàng toàn phương (quadratic sieve) (dùng trong phân tích số ra ước số nhỏ hơn (integer factoriaztion)), được dùng để tập hợp các mối quan hệ giữa các số nguyên tố trong trường số tổng quát hóa bởi √n, và kết hợp các mối quan hệ này nhằm tìm ra dạng biểu diễn của dạng số đó. Những thuật toán sử dụng phương trình Pell hiệu quả hơn các thuật toán dùng liên phân số rất nhiều; bởi vì hàm thời gian của các thuật toán dùng phương trình Pell không phải là các hàm đa thức. Sử dụng giả thiết Riemann tổng quát hóa (generalized Riemann hypothesis), ta ước lượng được thời gian:
với N = log n kích thước dữ liệu vào, đối với sàng toàn phương (Lenstra 2002).
Mối liên hệ với các đối tượng toán học khác

Phương trình Pell có mỗi liên hệ với một số đối tượng toán học quan trọng khác
Mối liên hệ với các đối tượng toán học khác > Đa thức Chebyshev

Demeyer (2007) đề cập về mối liên hệ giữa phương trình Pell và đa thức Chebyshev: Cụ thể, nếu Ti (x) và Ui (x) là đa thức Chebyshev loại I và đa thức Chebyshev loại II. Thì các đa thức thỏa mãn phương trình Pell trong vành đa số thực R[x], với  n=x^{2}-1.
Như vậy, có thể sử dụng các kĩ thuật giải phương trình Pell, để tìm công thức tổng quát và truy hồi của đa thức Chebyshev.
Ngược lại, thay x = x1 vào ta có:
với  {\sqrt {x_{1}^{2}-1}}=y_{1}{\sqrt {d}},
Do đó, xi = Ti (x1) và yi = y1Ui − 1(x1) (Barbeau, chapter 3).
Các biến thể khác của phương trình Pell

Xét phương trình Pell biến thể:
với k là số tự nhiên lớn hơn 1.
I. k=2
Legendre đã chứng minh rằng nếu d là số nguyên tố có dạng 4m+3 thì phương trình (eq3)có nghiệm, cụ thể hơn:
Phương trình (eq3) có các nghiệm liên hệ với phương trình Pell ở dạng chính tắc. Thật vậy, nếu ta bình phương hai vế của nó:
Thay  dv^{2}=u^{2}\mp 2 ta được
Như vậy nếu (u,v) là nghiệm của phương trình: u^{2}-dv^{2}=\pm 2, thì  (x,y)=(u^{2}\mp 1,uv) là nghiệm của phương trình Pell chính tắc sau  x^{2}-dy^{2}=1. Ví dụ với d=3, (u,v) = (1,1) là nghiệm của  u^{2}-3v^{2}=-2, thì (x,y) = (2,1) là nghiệm của  x^{2}-3v^{2}=1.
II. k = 4:
Từ nghiệm của (eg.4) có thể tìm ra nghiệm của phương trình Pell chính tắc (cả Pell âm) với d tương ứng. Xem dạng biến thể , nếu nghiệm {u,v} đều là lẻ, thì có thể tìm được nghiệm cơ bản {x,y}.
1. Nếu u2-dv2 = -4, và {x,y} = {(u2+3)u/2, (u2+1)v/2}, thì x2-dy2 = -1.
Ví dụ: Cho d = 13, thì {u,v} = {3, 1}và {x,y} = {18, 5}.
2. Nếu u2-dv2 = 4, và {x,y} = {(u2-3)u/2, (u2-1)v/2}, thì x2-dy2 = 1.
Ví dụ. Cho d = 13, thì {u,v} = {11, 3} và {x,y} = {649, 180}.
3. Nếu u2-dv2 = -4, và {x,y} = {(u4+4u2+1)(u2+2)/2, (u2+3)(u2+1)uv/2}, thì x2-dy2 = 1.
Ví dụ. Cho d = 61, thì {u,v} = {39, 5} và {x,y} = {1766319049, 226153980}.
III.  k=a^{2}
Nếu (x,y) là nghiệm của phương trình  x^{2}-dy^{2}=\pm 1 thì (u,v) = (ax, ay) là nghiệm của  u^{2}-dv^{2}=\pm a^{2}.