stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Polyscias cissodendron

| Polyscias cissodendron> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Apiales
Họ (familia): Araliaceae
Chi (genus): Polyscias
Loài (species): P. cissodendron
Danh pháp hai phần
Polyscias cissodendron (C.Moore & F.Muell.) Harms, 1894 
Polyscias cissodendron là một loài thực vật có hoa trong Họ Cuồng cuồng. Loài này được (C.Moore & F.Muell.) Harms miêu tả khoa học đầu tiên năm 1894.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Polyscias cissodendron”. Truy cập ngày 7 tháng 6 năm 2013.
Xã Lake Andrew, Quận Kandiyohi, Minnesota

| Xã Lake Andrew Lake Andrew Township |
| --- | --- |
—  Xã  —
 
 Vị trí quận Kandiyohi trong tiểu bang Minnesota ở Hoa Kỷ
Xã Lake Andrew
Quốc gia: Hoa Kỳ
Tiểu bang: Minnesota
Quận: Quận Kandiyohi
Dân số (2010)
 • Tổng cộng: 982
Múi giờ: Múi giờ miền Trung
 • Mùa hè (DST): CDT (UTC-5)
Xã Lake Andrew (tiếng Anh: Lake Andrew Township) là một xã thuộc quận Kandiyohi, tiểu bang Minnesota, Hoa Kỳ. Năm 2010, dân số của xã này là 982 người.
Mariani

| Mariani |
| --- | --- |

Mariani
Quốc gia:  Ấn Độ
Bang: Assam
Độ cao: 155 m (509 ft)
Dân số (2001)
 • Tổng cộng: 23,065
Múi giờ: UTC+05:30
Mã điện thoại: 3771
Mariani là một thị xã và là nơi đặt ủy ban khu vực thị xã (town area committee) của quận Jorhat thuộc bang Assam, Ấn Độ.
Địa lý

Mariani có vị trí 26°40′B 94°20′Đ﻿ / ﻿26,67°B 94,33°Đ﻿ / 26.67; 94.33 Nó có độ cao trung bình là 155 mét (508 feet).
Nhân khẩu

Theo điều tra dân số năm 2001 của Ấn Độ, Mariani có dân số 23.065 người. Phái nam chiếm 54% tổng số dân và phái nữ chiếm 46%. Mariani có tỷ lệ 65% biết đọc biết viết, cao hơn tỷ lệ trung bình toàn quốc là 59,5%: tỷ lệ cho phái nam là 65%, và tỷ lệ cho phái nữ là 65%. Tại Mariani, 12% dân số nhỏ hơn 6 tuổi.
Pi

Bài viết này nói về hằng số toán học . Về chữ cái Hy Lạp cùng tên, xem Pi (chữ cái). Về các cách sử dụng khác, xem Pi (định hướng)
Số pi (ký hiệu: π), còn gọi là hằng số Archimedes, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường tròn đó. Hằng số này có giá trị xấp xỉ bằng 3,142 hoặc 22⁄7 hoặc 355⁄113. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp π từ giữa thế kỷ XVIII.
π là một số vô tỉ, nghĩa là nó không thể được biểu diễn chính xác dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Nói cách khác, nó là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Hơn nữa, π còn là một số siêu việt – tức là nó không phải là nghiệm của bất kì đa thức với hệ số hữu tỉ nào. Tính siêu việt của π kéo theo sự vô nghiệm của bài toán cầu phương. Các con số trong biểu diễn thập phân của π dường như xuất hiện theo một thứ tự ngẫu nhiên, mặc dù người ta chưa tìm được bằng chứng nào cho tính ngẫu nhiên này.
Trong hàng ngàn năm, các nhà toán học đã nỗ lực mở rộng tầm hiểu biết của con người về số π, đôi khi bằng việc tính ra giá trị của nó với độ chính xác ngày càng cao. Trước thế kỷ XV, các nhà toán học như Archimedes và Lưu Huy đã sử dụng các kĩ thuật hình học, dựa trên đa giác, để ước lượng giá trị của π. Bắt đầu từ thế kỷ XV, những thuật toán mới dựa trên chuỗi vô hạn đã cách mạng hóa việc tính toán số π, được những nhà toán học như Madhava của Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss và Srinivasa Ramanujan sử dụng.
Trong thế kỷ XXI, các nhà toán học và các nhà khoa học máy tính đã khám phá ra những cách tiếp cận mới – kết hợp với s – để mở rộng khả năng biểu diễn thập phân của số π tới hàng nghìn tỉ chữ số. Các ứng dụng khoa học thông thường yêu cầu không quá 40 chữ số của π, do đó động lực của những tính toán này chủ yếu là tham vọng của con người muốn đạt tới những kỉ lục mới, nhưng những tính toán đó cũng được sử dụng để kiểm tra các siêu máy tính và các thuật toán tính nhân với độ chính xác cao.
Do định nghĩa của π liên hệ với đường tròn, ta có thể tìm thấy nó trong nhiều công thức lượng giác và hình học, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường tròn, đường elip, hoặc hình cầu. Nó cũng xuất hiện trong các công thức của các ngành khoa học khác, như vũ trụ học, lý thuyết số, thống kê, phân dạng, nhiệt động lực học, cơ học và điện từ học. Sự có mặt rộng rãi của số π khiến nó trở thành một trong những hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả trong lẫn ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về số π đã được xuất bản; ngày số pi; báo chí thường đặt những tin tức về kỉ lục tính toán chữ số mới của π trên trang nhất. Một số người còn cố gắng ghi nhớ giá trị của π với độ chính xác ngày càng tăng, đạt tới kỉ lục trên 70.000 chữ số.
Tổng quan > Định nghĩa

π thông thường được định nghĩa là tỉ số giữa chu vi của đường tròn C với đường kính của nó d:
Tỉ số C/d là hằng số, bất kể kích thước của đường tròn dù to hay nhỏ. Ví dụ, nếu một đường tròn có đường kính gấp đôi đường kính của một đường tròn khác thì nó cũng có chu vi lớn gấp đôi, bảo toàn tỉ số C/d. Định nghĩa này về π không phổ quát, bởi vì nó chỉ đúng trong hình học Euclid (phẳng) và không đúng trong hình học phi Euclid (cong). Vì lý do này, một số nhà toán học ưa dùng những định nghĩa khác về π dựa trên vi tích phân hoặc lượng giác vốn không phụ thuộc vào đường tròn. Một định nghĩa như thế là: π bằng hai lần số x dương, nhỏ nhất mà với nó cos(x) bằng 0.
Tổng quan > Tên gọi

Ký hiệu được các nhà toán học sử dụng để biểu diễn tỉ số giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của nó là chữ cái Hy Lạp π. Chữ cái này được biểu diễn bằng từ Latin pi. Không được nhầm lẫn ký tự in thường π (hoặc dưới dạng chữ không có nét chân chữ π) với ký tự in hoa Π (Π trong toán học dùng để biểu diễn một tích dãy số hay dãy hàm).
Nhà toán học đầu tiên dùng π với định nghĩa như trên là William Jones, trong cuốn "Synopsis Palmariorum Matheseos" (tạm dịch, Nhập môn Toán học mới) năm 1706. Cụ thể, ký tự π lần đầu tiên xuất hiện trong cụm từ "1/2 Periphery (π)" trong đoạn bàn về một đường tròn với bán kính bằng 1. Có thể ông đã chọn π bởi vì nó là chữ cái đầu tiên trong cách ký âm tiếng Hy Lạp περιφέρεια của từ periphery (nghĩa là viền ngoài, cũng tức là chu vi). Jones viết rằng các phương trình của π được lấy từ "bản viết có sẵn của John Machin thiên tài", dẫn đến phỏng đoán rằng Machin có lẽ đã sử dụng ký tự Hy Lạp này trước Jones, tuy nhiên không có bằng chứng trực tiếp về điều này. Ngoài ra, ký tự π đã xuất hiện trước đó trong các ký hiệu hình học; chẳng hạn, vào năm 1631 William Oughtred đã dùng nó để biểu diễn nửa chu vi của hình tròn.
Sau khi Jones giới thiệu ký hiệu này năm 1706, nó đã không được các nhà toán học khác chấp nhận; thay vào đó họ thường dùng chữ cái c hoặc p. Điều này thay đổi khi Euler bắt đầu dùng nó năm 1736. Vì Euler thường xuyên trao đổi thư từ với những nhà toán học khác trên toàn châu Âu, việc sử dụng ký tự Hy Lạp này lan rộng nhanh chóng. Năm 1748, Euler sử dụng π trong cuốn sách rất phổ biến của ông, Introductio in analysin infinitorum (Dẫn nhập Giải tích vô hạn), trong đó ông viết: "để cho ngắn gọn chúng ta sẽ viết số này là π; nghĩa là, π bằng một nửa chu vi của đường tròn bán kính bằng 1". Cách ký hiệu này kể từ đó được chấp nhận rộng rãi ở phương Tây.
Tổng quan > Tính chất

π là một số vô tỉ, có nghĩa là nó không thể được biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên, như 22/7 hay các phân số khác thường được dùng để xấp xỉ π. Vì π là số vô tỉ, biểu diễn thập phân của nó có số chữ số vô hạn, và nó không kết thúc ở dạng lặp lại vô hạn (vô hạn tuần hoàn) các chữ số. Có nhiều cách để chứng minh π là số vô tỉ; phương pháp thường dùng là sử dụng phép vi tích phân và phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Mức độ xấp xỉ hóa π bằng số hữu tỉ (gọi là độ vô tỉ, hay hằng số Liouville–Roth) vẫn chưa được xác định chính xác; người ta ước lượng rằng độ vô tỉ của π lớn hơn e hoặc ln(2), nhưng nhỏ hơn số Liouville.
π là một số siêu việt, tức là nó không phải là nghiệm của bất cứ phương trình đại số với hệ số hữu tỉ nào, như  \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}\,-\,{\frac {x^{3}}{6}}\,+\,x\,=\,0. Tính chất siêu việt của π có hai hệ quả quan trọng: thứ nhất, π không thể được biểu diễn bằng tổ hợp các số hữu tỉ và căn bậc n như  \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}} hay  \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}. Thứ hai, vì không có số siêu việt nào có thể được xác định bằng phép dựng hình bằng thước kẻ và compa, nên không thể giải bài toán "cầu phương hình tròn". Nói cách khác, nếu chỉ sử dụng compa và thước kẻ thì không thể xây dựng một hình vuông mà diện tích của nó bằng diện tích của một hình tròn cho trước. Cầu phương hình tròn là một trong những bài toán hình học quan trọng trong thời cổ đại. Một số nhà toán học nghiệp dư thời hiện đại có lúc tuyên bố họ thành công dù điều này là không thể.
Các chữ số của π không có một quy luật rõ ràng nào và vượt qua những kiểm thử về tính ngẫu nhiên thống kê, trong đó có kiểm thử tính chuẩn tắc; một số vô hạn được gọi là 'chuẩn tắc' khi mọi dãy số khả dĩ (với độ dài bất kì) có tần suất xuất hiện là như nhau. Người ta vẫn chưa thể khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết rằng π là 'chuẩn tắc'. Kể từ khi máy vi tính ra đời, người ta đã tính được số π với số lượng chữ số lớn, đủ để thực hiện các phân tích thống kê. Yasumasa Kanada đã thực hiện các phân tích thống kê chi tiết về các chữ số thập phân của π, và thấy rằng chúng phù hợp với tính chuẩn tắc; chẳng hạn, tần suất xuất hiện các chữ số từ 0 tới 9 được sử dụng để kiểm tra ý nghĩa thống kê, và không tìm thấy bằng chứng về một hình mẫu nào. Bất chấp việc các chữ số của π đã vượt qua các bài kiểm tra về tính ngẫu nhiên, π dường như vẫn chứa những dãy số có vẻ có quy luật đối với những người không phải nhà toán học, như điểm Feynman, là một dãy sáu chữ số 9 liên tiếp bắt đầu từ vị trí thứ 762 trong biểu diễn thập phân của π.
Tổng quan > Phân số liên tục

Giống như tất cả các số vô tỉ khác, π không thể được biểu diễn bằng một phân số thường; nhưng mặt khác, mọi số vô tỉ, bao gồm cả π, có thể được biểu diễn bởi một chuỗi vô hạn những phân số lồng vào nhau, được gọi là phân số liên tục:
Chặt cụt phân số liên tục này ở bất kì điểm nào sẽ tạo nên một phân số xấp xỉ với π; hai phân số như vậy (22/7 và 355/113) từng được sử dụng trong lịch sử để tính gần đúng hằng số này. Các số gần đúng được sinh ra theo cách này là được gọi là 'xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất'; nghĩa là, chúng gần với π hơn bất kì phân số nào khác có mẫu số bằng hoặc nhỏ hơn. Mặc dù phân số liên tục đơn giản cho π (ở trên) không thể hiện một nguyên tắc nào, các nhà toán học đã khám phá ra vài phân số liên tục tổng quát (tổng quát hóa phân số liên tục thường trong dạng chính tắc) có quy luật, chẳng hạn:
Tổng quan > Giá trị gần đúng

Một số giá trị gần đúng của π bao gồm:
Dạng phân số: Các giá trị xấp xỉ bao gồm (theo thứ tự độ chính xác tăng dần)  {\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {52163}{16604}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}} và  {\frac {245850922}{78256779}}. (chọn lọc từ dãy số  A063674 và  A063673 trong bảng OEIS)
Dạng thập phân: 100 chữ số thập phân đầu của π là 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.... (xem  A000796)
Dạng căn:  {\sqrt {9,869604401089357}},{\sqrt[{3}]{31,00627668}}.
Dạng nhị phân: 11.001001000011111101101010100010001000010110100011... (xem  A004601)
Dạng thập lục phân: 3.243F6A8885A308D31319.... (xem  A062964)
Dạng lục thập phân: Năm chữ số đầu tiên của π trong hệ lục thập phân là 3;8,29,44,0,47 (xem  A060707)
Dạng hệ tam phân: 38 chữ số đầu tiên của π trong hệ tam phân là 10.0102110122220102110021111102212222201... (xem  A004602)
Lịch sử > Thời Cổ đại

Kim tự tháp Kheops ở Giza (xây dựng vào khoảng thời gian 2589–2566 tr.CN) được thiết kế với chu vi khoảng 1760 cubit (1 cubit bằng khoảng 0,5 mét) và chiều cao khoảng 280 cubit. Dựa vào tỉ lệ 1760/280 ≈ 6.2857, xấp xỉ bằng τ = 2π ≈ 6.2832, một số nhà Ai Cập học kết luận rằng những nhà xây dựng kim tự tháp đã biết đến số π và chủ ý thiết kế kim tự tháp theo tỉ lệ đường tròn. Tuy nhiên nhiều người không đồng tình với ý kiến này và khẳng định mối quan hệ với số π đơn thuần là một sự trùng hợp, bởi không có bằng chứng cho thấy những người xây dựng kim tự tháp đã biết đến số π, và kích thước của kim tự tháp còn dựa trên nhiều yếu tố khác.
Những ước lượng sớm nhất về π được tìm thấy ở Ai Cập và Babylon có niên đại từ thiên niên kỉ thứ 2 trước Công nguyên, với sai số tương đối cùng vào cỡ một phần trăm. Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng 1900–1600 tr.CN đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số π bằng 25/8 = 3,1250. Ở Ai Cập, cuộn giấy Rhind, có niên đại khoảng 1650 tr.CN, bản sao của một văn bản có từ khoảng 1850 tr.CN, có ghi một công thức tính diện tích hình tròn, trong đó gán cho giá trị của π bằng (16/9)2 ≈ 3,1605.
Ở Ấn Độ vào khoảng 600 năm trước Công nguyên, bộ Kinh Shulba (viết bằng tiếng Phạn với nhiều nội dung toán học) đã cho số π bằng (9785/5568)2 ≈ 3,088. Vào năm 150 tr.CN hoặc sớm hơn, có tài liệu của Ấn Độ đánh giá π bằng  \scriptstyle {\sqrt {10}} ≈ 3,1622.
Hai bài thơ trong Kinh thánh Hebrew (được viết giữa thế kỷ VIII và thế kỷ III tr.CN) mô tả một hồ nước dùng trong nghi lễ tại Đền Solomon có đường kính 10 cubit và chu vi 30 cubit, bài thơ ngụ ý rằng π bằng 3 nếu hồ có hình tròn. Học giả người Do Thái Rabbi Nehemiah giải thích sự sai khác nằm ở độ dày của hồ. Công trình về hình học của ông, Mishnat ha–Middot, viết vào khoảng năm 150 CN và coi π bằng 21/7.
Lịch sử > Những chuỗi số vô hạn > Tốc độ hội tụ

Một số chuỗi vô hạn cho π hội tụ nhanh hơn những chuỗi khác. Cho trước hai chuỗi vô hạn cho π, các nhà toán học thông thường sử dụng chuỗi hội tụ nhanh hơn bởi như thế đồng nghĩa với việc giảm được số lượng phép tính cho bất kì độ chính xác yêu cầu nào. Một chuỗi vô hạn cho π là chuỗi Gregory–Leibniz:
Khi các số hạng riêng lẻ của chuỗi vô hạn này được cộng thêm vào tổng, tổng số tiến gần hơn dần dần tới π, và – với một số lượng số hạng đủ – nó sẽ tiến đến π gần như mong muốn. Nó hội tụ khá chậm, sau 500 000 số hạng, nó chỉ sinh ra 5 chữ số chính xác của π.
Một chuỗi vô hạn cho π được công bố bởi Nilakantha vào thế kỷ XV hội tụ nhanh hơn nhiều chuỗi Gregory–Leibniz:
Bảng sau so sánh tốc độ hội tụ của hai chuỗi này:
| Chuỗi vô hạn cho π | Sau số hạng thứ nhất | Sau số hạng thứ 2 | Sau số hạng thứ 3 | Sau số hạng thứ 4 | Sau số hạng thứ 5 | Hội tụ tới |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots  | 4,0000 | 2,6666... | 3,4666... | 2,8952... | 3,3396... | π = 3,1415... |
|  \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots  | 3,0000 | 3,1666... | 3,1333... | 3,1452... | 3,1396... | π = 3,1415... |
Sau 5 số hạng, tổng của chuỗi Gregory–Leibniz nằm trong sai số tuyệt đối cỡ 0,2 của π, trong khi tổng của chuỗi Nilakantha sai số chỉ cỡ 0,002. Như vậy chuỗi Nilakantha hội tụ nhanh hơn và hữu dụng hơn trong việc tính toán số π. Những chuỗi thậm chí hội tụ còn nhanh hơn bao gồm các chuỗi kiểu Machin và chuỗi Chudnovsky, trong đó chuỗi Chudnovsky tạo ra 14 chữ số thập phân đúng cho mỗi số hạng thêm vào.
Lịch sử > Tính vô tỉ và tính siêu việt

Không phải tất cả các tiến bộ toán học liên quan tới π đều nhằm vào việc tăng độ chính xác của phép xấp xỉ. Khi Euler giải Bài toán Basel vào năm 1735, tìm ra giá trị chính xác của tổng các căn bậc hai, ông đã thiết lập một mối liên hệ giữa π và các số nguyên tố mà về sau góp phần vào sự phát triển và nghiên cứu hàm zeta Riemann:
Nhà khoa học Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert vào năm 1761 chứng minh rằng π là số vô tỉ, có nghĩa nó không bằng tỉ số của bất kì hai số hữu tỉ nào. Phép chứng minh của Lambert khai thác một biểu diễn phân số liên tục của hàm tang. Nhà toán học Pháp Adrien–Marie Legendre vào năm 1794 chứng tỏ rằng π2 cũng là số vô tỉ. Năm 1882, nhà toán học Đức Ferdinand von Lindemann chứng tỏ rằng π là số siêu việt, xác nhận một phỏng đoán được cả Legendre và Euler đưa ra trước đó.
Lịch sử > Kỉ nguyên máy tính và các thuật toán lặp

Sự phát triển của máy tính vào giữa thế kỷ XX một lần nữa đã cách mạng hóa cuộc săn lùng những chữ số của π. Các nhà toán học Hoa Kỳ là John Wrench và Levi Smith đã đạt tới 1120 chữ số vào năm 1949 với một máy tính bàn. Sử dụng một chuỗi vô hạn arctang, một nhóm đứng đầu bởi George Reitwiesner và John von Neumann đã đạt được 2037 chữ số với một phép tính đòi hỏi 70 giờ làm việc của máy tính ENIAC. Kỉ lục, luôn dựa vào các chuỗi arctang, liên tục bị phá vỡ sau đó (7.480 chữ số năm 1957, 10.000 chữ số năm 1958, 100.000 năm 1961) cho đến khi 1 triệu chữ số đạt được vào năm 1973.
Hai tiến bộ khác khoảng năm 1980 một lần nữa tăng tốc khả năng tính toán số π. Thứ nhất, khám phá ra các thuật toán lặp để tính π nhanh hơn nhiều các chuỗi vô hạn; và thứ hai, sự phát minh ra thuật toán nhân nhanh cho phép nhân những số lớn một cách nhanh chóng. Những thuật toán như vậy là đặc biệt quan trọng trong việc tính toán số π thời hiện đại, bởi hầu hết thời gian vận hành máy tính là dành cho các phép nhân. Chúng bao gồm thuật toán Karatsuba, phép nhân Toom–Cook, và các phương pháp dựa trên biến đổi Fourier.
Thuật toán lặp Gauss-Legendre:
Khởi tạo
Lặp
Sau đó một phép ước lượng π được tính từ
Các thuật toán lặp được công bố một cách độc lập trong năm 1975–1976 bởi nhà vật lý Hoa Kỳ Eugene Salamin và nhà khoa học Australia Richard Brent. Các thuật toán này chấm dứt sự phụ thuộc vào các chuỗi vô hạn. Một thuật toán lặp
(iterative algorithm) lặp lại một phép tính đặc trưng, mỗi lần lặp lại sử dụng đầu ra từ bước lặp trước làm đầu vào của nó, và sinh ra một kết quả trong mỗi bước hội tụ về giá trị mong muốn. Cách tiếp cận này thực ra đã được khám 160 năm trước đó bởi Carl Friedrich Gauss, trong một phương pháp mà ngày nay gọi là phương pháp AGM (arithmetic–geometric mean method, phương pháp trung bình hình học–đại số) hay thuật toán Gauss–Legendre. Vì được sửa đổi bởi Salamin và Brent, nó cũng còn được gọi là thuật toán Brent–Salamin.
Các thuật toán lặp được sử dụng rộng rãi sau 1980 bởi nó nhanh hơn các thuật toán chuỗi vô hạn: trong khi các chuỗi vô hạn thường tăng số chữ số chính xác dần dần một cách cộng thêm, các thuật toán lặp lại thường "nhân" số chữ số chính xác ở mỗi bước. Ví dụ, thuật toán Brent–Salamin nhân đôi số chữ số trong mỗi lần lặp. Năm 1984, hai anh em người Canada John và Peter Borwein tạo nên một thuật toán lặp nhân bốn lần số chữ số trong mỗi bước; và năm 1987, một thuật toán nhân năm lần mỗi bước. Các phương pháp lặp được sử dụng bởi nhà toán học Nhật Bản Yasumasa Kanada để lập lên một số kỉ lục giữa 1995 và 2002. Sự hội tụ nhanh có được kèm theo một cái giá: các thuật toán lặp đòi hỏi bộ nhớ nhiều hơn đáng kể so với các chuỗi vô hạn.
Lịch sử > Động lực tính toán số π

Đối với hầu hết các tính toán số liên quan tới π, một ít chữ số thôi đã cung cấp độ chính xác cần thiết. Chẳng hạn, theo Jörg Arndt và Christoph Haenel, 39 chữ số là đủ để thực hiện các tính toán vũ trụ học, bởi đây là độ chính xác cần thiết để tính thể tích vũ trụ hiện biết với độ chính xác cỡ một nguyên tử. Bất chấp điều này, nhiều người đã làm việc rất vất vả để tính toán π tới hàng nghìn, hàng triệu và nhiều hơn thế các chữ số. Nỗ lực này một phần có thể quy cho sự thúc ép con người phá vỡ các kỉ lục, và những thành tích như thế với π thường xuất hiện trên trang nhất báo chí trên khắp thế giới. Chúng cũng có những lợi ích thực tiễn, như là kiểm tra các siêu máy tính, kiểm tra các thuật toán giải tích số (bao gồm các thuật toán nhân chính xác cao); và trong địa hạt toán học thuần túy, chúng cung cấp dữ liệu để đánh giá tính ngẫu nhiên các chữ số của π.
Lịch sử > Các chuỗi hội tụ nhanh

Các phép tính số π hiện đại không chỉ sử dụng duy nhất thuật toán lặp. Các chuỗi vô hạn mới được phát hiện vào những thập niên 1980 và 1990 cũng hội tụ nhanh không kém các thuật toán lặp, nhưng đơn giản hơn và tốn ít bộ nhớ hơn. Chúng đã manh nha xuất hiện vào năm 1914, khi nhà toán học Ấn Độ Srinivasa Ramanujan công bố hàng chục công thức mới cho số π, chúng đáng nhớ do tính tao nhã, chiều sâu toán học và sự hội tụ nhanh. Một trong các công thức của ông, dựa trên các phương trình module:
Chuỗi này hội tụ nhanh hơn rất nhiều hầu hết mọi chuỗi arctang, bao gồm cả công thức Machin. Bill Gosper là người đầu tiên sử dụng nó để tạo nên những tiến bộ trong tính toán π, lập nên kỉ lục 17 triệu chữ số vào năm 1985. Các công thức của Ramanujan báo trước các thuật toán hiện đại phát triển bởi anh em nhà Borwein và anh em nhà Chudnovsky. Thuật toán Chudnovsky được phát triển vào năm 1987 là:
Nó sinh ra khoảng 14 chữ số của π mỗi số hạng, và đã được áp dụng cho một vài phép tính lập kỉ lục về π, trong đó có kỉ lục vượt một tỉ chữ số năm 1989 bởi anh em nhà Chudnovsky, tiếp theo là chữ số thứ 2,7 nghìn tỉ bởi Fabrice Bellard vào ngày 31 tháng 12 năm 2009, chữ số thứ 5 nghìn tỉ vào năm 2010 và chữ số thứ 10 nghìn tỉ vào năm 2011 bởi Shigeru Kondo, và chữ số thứ 100 nghìn tỉ vào năm 2022 bởi Emma Haruka Iwao.
Năm 2006, nhà toán học Canada Simon Plouffe đã sử dụng "thuật toán hệ thức nguyên PSLQ" (PSLQ: Partial Sum of Least Squares – tổng riêng phần của các bình phương cực tiểu) để tạo ra một vài công thức mới cho π, tuân theo mẫu sau:
trong đó  {\mathit {q}} là hằng số Gelfond eπ,  {\mathit {k}} là một số lẻ, và  {\mathit {a,b,c}} là những số hữu tỉ mà Plouffe đưa vào.
Lịch sử > Thuật toán miệng vòi

Hai thuật toán được khám phá vào năm 1995 đã mở ra một hướng đi mới cho nghiên cứu về số π. Chúng gọi là các thuật toán "miệng vòi" (spigot algorithms) bởi vì, giống như nước nhỏ giọt khỏi một miệng vòi, chúng tạo ra từng chữ số riêng lẻ của π không được tái sử dụng sau khi đã được tính ra. Điều này đối lập với các chuỗi vô hạn hay những thuật toán lặp, là những thuật toán lưu giữ và sử dụng tất cả những chữ số trung gian cho đến khi kết quả cuối cùng được tạo ra.
Các nhà toán học Hoa Kỳ Stan Wagon và Stanley Rabinowitz đã tạo nên một thuật toán miệng vòi đơn giản vào năm 1995. Tốc độ của nó là tương đương với các thuật toán arctang, nhưng không nhanh bằng các thuật toán lặp.
Một thuật toán miệng vòi khác, thuật toán trích xuất chữ số Bailey–Borwein–Plouffe (BBP digit extraction algorithm), được phát hiện vào năm 1995 bởi Simon Plouffe:
Công thức này, không giống những công thức trước đó, có thể sinh ra bất kì chữ số hệ thập lục phân của π mà không tính toán tới các chữ số đứng trước nó. Các chữ số nhị phân hay bát phân riêng rẽ có thể trích xuất từ các chữ số hệ thập lục phân. Các biến thể của thuật toán này đã được phát hiện, nhưng cho tới nay chưa tìm thấy thuật toán trích xuất chữ số nào sinh ra nhanh chóng các chữ số thập phân. Một ứng dụng quan trọng của các thuật toán trích xuất chữ số là hợp thức hóa những tuyên bố mới về kỉ lục tính toán số π: sau khi một kỉ lục được tuyên bố, các kết quả thập phân được chuyển sang hệ thập lục phân, và sau đó một thuật toán trích xuất chữ số được dùng để tính toán một số ngẫu nhiên những chữ số gần cuối, nếu chúng phù hợp, điều này cung cấp một phương pháp tin cậy rằng tính toán tổng thể là đúng.
Giữa năm 1998 và 2000, dự án tính toán phân bố PiHex sử dụng công thức Bellard (một bản chỉnh sửa của thuật toán BBP) để tính toán bit thứ một triệu tỉ (1015) của π, đã cho ra kết quả là 0. Tháng Chín năm 2010, một nhân viên của Yahoo! đã sử dụng ứng dụng Hadoop của công ty trên một ngàn máy tính trong một thời gian 23 ngày để tính toán 256 bit của π ở vị trí bit 2 triệu tỉ (2×1015).
Sử dụng

Do π liên hệ chặt chẽ với đường tròn, nó xuất hiện trong nhiều công thức thuộc các lĩnh vực hình học và lượng giác, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường tròn, hình cầu, hoặc elip. Một số ngành khoa học khác cũng có các công thức liên quan tới π, như thống kê, phân dạng, cơ học, vũ trụ học, lý thuyết số, và điện từ học.