stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Cymothoida
Phân loại

Cymoithoida gồm các siêu họ và họ sau:
| --- | --- |
 Siêu họ Anthuroidea Leach, 1814 Antheluridae Poore & Lew Ton, 1988  Anthuridae Leach, 1814  Expanathuridae Poore, 2001  Hyssuridae Wägele, 1981  Leptanthuridae Poore, 2001  Paranthuridae Menzies & Glynn, 1968  Siêu họ Cymothooidea Leach, 1814 Aegidae White, 1850  Anuropidae Stebbing, 1893  Barybrotidae Hansen, 1890  Cirolanidae Dana, 1852  Corallanidae Hansen, 1890  Cymothoidae Leach, 1818  Gnathiidae Leach, 1814  Protognathiidae Wägele & Brandt, 1988  Tridentellidae Bruce, 1984  :  Siêu họ Cryptoniscoidea Kossmann, 1880 Asconiscidae Bonnier, 1900  Cabiropidae Giard & Bonnier, 1887  Crinoniscidae Bonnier, 1900  Cryptoniscidae Kossmann, 1880  Cyproniscidae Bonnier, 1900  Hemioniscidae Bonnier, 1900  Podasconidae Bonnier, 1900  Siêu họ Bopyroidea Rafinesque, 1815 Bopyridae Rafinesque, 1815  Colypuridae Richardson, 1905  Dajidae Giard & Bonnier, 1887  Entoniscidae Kossmann, 1881  Rhabdochiridae Richardson, 1905
Hiệp định khung Hợp tác Kinh tế

Hiệp định khung Hợp tác Kinh tế, (tiếng Anh: Economic Cooperation Framework Agreement ECFA, tiếng Trung giản thể: 两岸经济合作架构协议, phồn thể: 兩岸經濟合作架構協議, bính âm Hán ngữ: Liǎng'àn Jīngjì Hézuò Jiàgòu Xiéyì) là một thỏa thuận ưu đãi thương mại giữa chính phủ Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa (Trung Hoa đại lục) và Trung Hoa Dân quốc (Đài Loan) với mục đích giảm thuế quan và rào cản thương mại giữa hai bờ eo biển Đài Loan.
Hiệp ước đã được ký vào ngày 29 tháng 6 2010 tại Trùng Khánh, và được coi là một trong những thỏa thuận quan trọng nhất của hai bên kể từ nội chiến Trung Quốc năm 1949. Nó sẽ thúc đẩy thương mại song phương giữa hai bờ eo biển lên đến 110 tỷ đô la.
Bối cảnh

Chính phủ Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa đã sử dụng ảnh hưởng của mình lên các nền kinh tế khu vực để ngăn chặn các nước này ký các thỏa thuận thương mại tự do (FTA) với Đài Loan. Thực vậy, dưới sự lãnh đạo của Trung Quốc Quốc Dân Đảng, chính phủ Trung Hoa Dân quốc đã thúc đẩy ký kết ECFA với chính phủ CHND Trung Hoa với hy vọng rằng một khi thỏa thuận này được ký thì chính phủ Trung Quốc sẽ ngừng gây áp lực đối với các nước khác để ngăn cản họ ký kết các hiếp ước tương tự với Đài Loan. Mặc dù toàn bộ nội dung của thỏa thuận không được công khai, người ta suy đoán rằng nó sẽ đi theo cấu trúc của các Thoả thuận Đối tác Kinh tế Chặt chẽ hơn (Closer Economic Partnership Arrangement) mà Trung Quốc đại lục đã từng ký với các Vùng hành chính đặc biệt gồm Hong Kong và Macau.
Giao ước được nghĩ là xây dựng có lợi cho Đài Loan lớn hơn nhiều so với Trung Hoa đại lục. Danh sách "những gặt hái ban đầu" của sự giảm thuế quan bao gồm 539 sản phẩm của Đài Loan và 267 hàng hóa của Trung Hoa đại lục. Lợi thế của Đài Loan sẽ mang lại lợi ích khoảng 13,8 tỷ đô la, trong khi Trung Hoa đại lục có thể nhận được khoảng 2,86 tỷ đô la. Trung Hoa đại lục cũng sẽ mở cửa thị trường cho 11 lĩnh vực dịch vụ như ngân hàng, bảo hiểm, chứng khoán, tài chính và bệnh viện; trong khi đó Đài Loan đồng ý cho phép thâm nhập rộng hơn trong 7 lĩnh vực, gồm ngân hàng và điện ảnh.
ECFA được ký vào ngày 29 tháng 6 năm 2010 tại thành phố Trùng Khánh bởi những nhà thương thuyết của "Hiệp hội Quan hệ ngang qua Eo biển Đài Loan" (ARATS) phía Trung Hoa đại lục và "Quỹ Trao đổi qua Eo biển" (SEF) của Đài Loan. Một thỏa thuận về bảo vệ quyền sở hữu tài sản trí tuệ cũng được ký giữa hai bên.
Các vấn đề

Hiện tại có rất nhiều tranh luận xung quanh thỏa thuận ECFA, bao gồm những tác động tiềm ẩn đến các doanh nghiệp địa phương của Đài Loan, cũng như chính phủ phải làm thế nào để phổ biến nó ra công chúng.
Đảng Dân chủ Tiến bộ (DPP) đối lập và các nhóm đòi độc lập Đài Loan tin rằng ECFA là một trong những động thái cho sự thống nhất với Trung Hoa đại lục. Có một số điều khoản nó cũng không tuân theo giống như một số quyền trong Thỏa thuận Tự do Thương mại (FTA) mà sẽ làm giảm số lượng việc làm trong sản xuất và giảm mức lương trung bình, làm tăng sự chảy vốn ra nước ngoài và chảy máu chất xám đối với các chuyên gia trong lĩnh vực công nghệ và quản lý. Những người phản đối ECFA cũng chỉ ra mối lo lắng về sự cho phép hàng loạt các công nhân cổ trắng (white-collar worker) hoặc chuyên gia của Trung Hoa đại lục sang làm việc tại Đài Loan khiến cho vấn đề việc làm của người dân địa phương trở lên bấp bênh hơn. Cục Ngoại thương của Bộ Kinh tế Đài Loan (MOEA) đã làm dịu những quan ngại ám chỉ thị trường việc làm chuyên nghiệp không nên đưa ra trong đàm phán.
Thêm vào đó, một loạt các phim hoạt hình do Bộ Kinh tế Đài Loan sản xuất nhằm cố gắng giải thích một cách dập khuôn ECFA cho những nhóm dân tộc địa phương và những hưởng ứng của họ đối với thỏa thuận này, và sau đó chúng đã bị thu hồi sau nhiều phản đối.
Những người phản đối ECFA cũng đã chỉ ra là vòng đàm phán thứ hai đã không đạt được nhiều kết quả tốt đẹp. Vòng thứ hai đã được tổ chức tại huyện Đảo Viên của Đài Loan. Hiệp định đã được ký kết vào ngày 29 tháng 6 năm 2010. Ông Giang Bính Khôn, chủ tịch của "Quỹ Trao đổi giữa hai eo biển" (SEF) của Đài Loan, là người đại diện cho phía Đài Loan. Trần Vân Lâm là người đứng đầu phái đoàn đàm phán của Trung Quốc. Ông hiện là chủ tịch của "Hiệp hội hợp tác ngang qua eo biển Đài Loan" (ARATS).
Những nhà đàm phán Trung Hoa đại lục tự tin rằng họ sẽ có thể thảo luận và thương thuyết với các đại diện phía Đài Loan để áp đặt về nguồn gốc, giảm thuế cho gia súc của Đài Loan và các hàng hóa nông sản nhập vào Trung Hoa đại lục.
"Viện nghiên cứu Kinh tế Chung-hua" ở Đài Bắc đã ước lượng không chính thức rằng thỏa thuận có thể tạo ra 260.000 việc làm và làm tăng trưởng kinh tế Đài Loan thêm 1,7 phần trăm. Các nhà kinh tế học Dan Rosen và Wang Zhi ở "Viện Kinh tế Quốc tế Peterson" nghĩ rằng hiệp ước có thể làm tăng thêm 5,3 phần trăm tổng giá trị cho nền kinh tế Đài Loan đến năm 2020. Rosen và Wang miêu tả ECFA là "một thỏa thuận đầy tham vọng với những thay đổi căn bản trong mối quan hệ giữa Đài Loan và Trung Quốc và từ đó ảnh hưởng đến kinh tế trong khu vực hay thậm chí vượt qua Thái Bình Dương tới tận Mỹ."
Đảng đối lập đang cố gắng đưa thỏa thuận ECFA ra công chúng thông qua một cuộc trưng cầu dân ý. Tuy nhiên, chính phủ đã từ chối đề nghị này do đề xuất này đưa ra một tình huống giả thuyết và không đáp ứng được các yêu cầu của luật pháp.
Xem Thêm

Kinh tế Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa
Kinh tế Đài Loan
Tranh cãi ECFA
Anti-ECFA protest
Quan hệ giữa hai bờ eo biển Đài Loan
Aarambhada

| Aarambhada |
| --- | --- |
Aarambhada
Quốc gia:  Ấn Độ
Bang: Gujarat
Dân số (2001)
 • Tổng cộng: 15,008
Múi giờ: UTC+05:30
Aarambhada là một thị trấn thống kê (census town) của quận Jamnagar thuộc bang Gujarat, Ấn Độ.
Nhân khẩu

Theo điều tra dân số năm 2001 của Ấn Độ, Aarambhada có dân số 15.008 người. Phái nam chiếm 51% tổng số dân và phái nữ chiếm 49%. Aarambhada có tỷ lệ 53% biết đọc biết viết, thấp hơn tỷ lệ trung bình toàn quốc là 59,5%: tỷ lệ cho phái nam là 63%, và tỷ lệ cho phái nữ là 43%. Tại Aarambhada, 16% dân số nhỏ hơn 6 tuổi.
Gale Anne Hurd

| Gale Anne Hurd |
| --- | --- |
Hurd tại San Diego Comic-Con 2016
Sinh: 25 tháng 10, 1955 (69 tuổi) Los Angeles, California, Mỹ
Học vị: Đại học Stanford (B.A., 1977)
Nghề nghiệp: Nhà sản xuất phim
Phối ngẫu:  James Cameron (cưới 1985⁠–⁠ld.1989)  Brian De Palma (cưới 1991⁠–⁠ld.1993)  Jonathan Hensleigh  (cưới 1995) 
Con cái: 1
Gale Anne Hurd (sinh 25 tháng 10 năm 1955) là nhà sản xuất phim người Mỹ.
Thời thơ ấu

Hurd sinh ra tại thành phố Los Angeles, bà là con gái của Lolita (nhũ danh: Espiau) và Frank E. Hurd, một nhà đầu tư.
Hurd và ngôi sao của bà trên Đại lộ Danh vọng Hollywood, năm 2012
Mệnh đề toán học

Đối với các định nghĩa khác, xem Mệnh đề.
Trong logic toán, một phân ngành logic, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.
Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lý của nó, được quy định như sau:
Ký hiệu:
Người ta thường dùng các chữ cái a, b, c,... để ký hiệu cho các mệnh đề.
Nếu mệnh đề a có giá trị chân lý là 1 thì ta ký hiệu G(a) = 1; nếu mệnh đề a có giá trị chân lý là 0 thì ta ký hiệu là G(a) = 0.
Chẳng hạn, để ký hiệu a là mệnh đề "Paris là thủ đô của nước Pháp" ta sẽ viết:
a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" hoặc
a: "Paris là thủ đô của nước Pháp".
Ở đây, a là mệnh đề đúng nên G(a) = 1.
Chú ý:
Sáng nay bạn An đi học.
Trời mưa.
Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè.
Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không có mệnh đề nào không đúng cũng không sai.
Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.
Trên Sao Hỏa có sự sống.
Mệnh đề và câu

Mệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề. Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại: loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào. Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những mệnh đề. Vì vậy có thể nói: "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng hoặc sai".
Ví dụ:
| --- | --- |
1. "Paris là thủ đô của nước Pháp"  : ← là mệnh đề đúng.
2. "Nước Việt Nam nằm ở châu Âu"  : ← là mệnh đề sai.
3. "Tháng 12 có 28 ngày"  : ← là mệnh đề sai.
4. "Một năm có 12 tháng và mỗi tuần có 7 ngày"  : ← là mệnh đề đúng.
5. "20 là số chẵn"  : ← là mệnh đề đúng.
6. "Số 123 chia hết cho 3"  : ← là mệnh đề đúng.
7. "2 cộng với 3 bằng 7"  : ← là mệnh đề sai.
8. "15 lớn hơn 30"  : ← là mệnh đề sai.
9. Các câu sau: "Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?" "Bao giờ lớp mình đi tham quan Đền Hùng?" "Ôi! ngôi nhà mới đẹp làm sao!" "Tất cả hãy anh dũng tiến lên!": ← đều không phải là mệnh đề.
Nhận xét: nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề.
Mệnh đề logic và mệnh đề mờ

Nếu như trong logic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng logic mờ, mà ở đó giá trị chân lý của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 0 là sai, có giá trị chân lý 1 là đúng. Còn giá trị chân lý nằm giữa 0 và 1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lý.
Các phép toán logic cơ bản

Trong toán học, khi có hai số, người ta dùng các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia,...) tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự, khi có mệnh đề, người ta dùng các phép logic tác động vào chúng để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép toán này.
Các phép toán logic cơ bản > Phép phủ định

Mệnh đề phủ định: Mệnh đề phủ định của mệnh dề a là mệnh đề có giá trị đối lập với mệnh đề a, kí hiệu là  {\overline {a}}.
Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, ký hiệu là  {\overline {a}}, đúng khi a sai và sai khi a đúng.
| --- | --- |
a:  {\overline {a}}
1: 0
0: 1
Ví dụ 1:
Nếu a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" thì mệnh đề phủ định  {\overline {a}} có thể diễn đạt như sau:
{\overline {a}} = "Không phải Paris là thủ đô của nước Pháp"
hoặc  {\overline {a}} = "Paris không phải là thủ đô của nước Pháp".
Ở đây G(a) = 1 còn G( {\overline {a}}) = 0.
Ví dụ 2:
Nếu b = "15 lớn hơn 30" thì mệnh đề phủ định  {\overline {b}} có thể diễn đạt như sau:
{\overline {b}} = "Không phải 15 lớn hơn 30"
hoặc  {\overline {b}} = "15 không lớn hơn 30"
hoặc  {\overline {b}} = "15 nhỏ hơn hoặc bằng 30"
Ở đây G(b) = 0 còn G( {\overline {b}}) = 1.
Ví dụ 3:
Nếu c = "Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ" thì mệnh đề phủ định  {\overline {c}} có thể diễn đạt như sau:
Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định  {\overline {c}} sẽ sai (hoặc đúng).
Chú ý: Mệnh đề phủ định a thường được diễn đạt là "không phải a".
Các phép toán logic cơ bản > Phép hội (Tương Đương Hàm Min)

Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, ký hiệu a Λ b (hoặc a.b, \[a\intersec b\]), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| a | b | a Λ b |
1
1: 0
| 0 | 1 | 0 |
0
Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng,... hoặc dùng dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì.
Ví dụ 1:
"Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh" là hội của hai mệnh đề a = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội" và b = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh". Vì hai mệnh đề này không thể cùng đúng, nên G(a Λ b) = 0.
Ví dụ 2:
"Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đô" là hội của hai mệnh đề a = "Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước" và b = "Thành phố Hồ Chí Minh không phải là thủ đô". Rõ ràng là G(a) = 1 và G(b) = 1 nên G(a Λ b) = 1.
Ví dụ 3:
"Số π lớn hơn 2 song nhỏ hơn 3".
"Chị Nga nói thạo tiếng Pháp mà không biết tiếng Anh".
"ABC là tam giác vuông cân" là hội của hai mệnh đề a = "ABC là tam giác vuông" và b = "ABC là tam giác cân".
"Không những trời nắng to mà còn gió tây".
"Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa".
Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ "và" nhưng không có nghĩa của mệnh đề hội. Chẳng hạn:
"Số lẻ và số chẵn là hai tập con rời nhau của tập số tự nhiên".
"Hùng đạt được tất cả 20 điểm 9 và 10".
Các phép toán logic cơ bản > Phép tuyển (Tương Đương Hàm Max)

Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, ký hiệu là a ν b (hoặc a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| a | b | a ν b |
1
| 1 | 0 | 1 |
0: 1
0
Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ.
Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề a và b, chỉ đúng khi hoặc a, hoặc b đúng.
Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "hoặc" (hay liên từ khác cùng loại).
Ví dụ 1:
"Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4" là tuyển của hai mệnh đề a = "Tháng 12 có 31 ngày" và b = "2 + 2 = 4".
Ở đây G(a ν b) = 1.
Ví dụ 2:
"3 nhỏ hơn hoặc bằng 4"   ← là mệnh đề đúng
"Số lẻ là số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9"   ← là mệnh đề đúng
"20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3"   ← là mệnh đề sai
Chú ý: Trong thực tế, liên từ "hoặc" thường được dùng với hai nghĩa "loại trừ" và "không loại trừ".
Phép tuyển "hoặc a hoặc b" là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng không thể cả a lẫn b.
Phép tuyển "a hoặc b" là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b.
Chẳng hạn:
"Hôm nay là ngày Chủ nhật hoặc ngày lễ"   ← là phép tuyển không loại trừ.
"20 là số lẻ hoặc nó chia hết cho 2"   ← là phép tuyển loại trừ.
Các phép toán logic cơ bản > Phép kéo theo

a kéo theo b là một mệnh đề, ký hiệu là a  \rightarrow  b, chỉ sai khi a đúng và b sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| a | b | a  \rightarrow  b |
1
1: 0
0: 1
| 0 | 0 | 1 |
Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn:
Ví dụ:
"15 có chữ số tận cùng bằng 5 suy ra 15 chia hết cho 5"   ← mệnh đề đúng.
"Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng"   ← mệnh đề đúng.
Chú ý:
"Nếu mặt trời quay quanh Trái Đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu"   ← mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh Trái Đất" và b = "Việt Nam nằm ở châu Âu" đều sai.
"Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng"   ← mệnh đề sai.
Nếu a sai thì a  \rightarrow  b luôn đúng.
Nếu a đúng thì a  \rightarrow  b đúng khi b đúng.
Các phép toán logic cơ bản > Phép tương đương

Bài chi tiết: Tương đương logic
a tương đương b là một mệnh đề, ký hiệu là a  \Leftrightarrow  b, nếu cả hai mệnh đề a và b cùng đúng hoặc cùng sai.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| a | b | a  \leftrightarrow  b |
1
1: 0
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Chú ý:
"Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi Trái Đất quay quanh mặt trời" là mệnh đề đúng.
"12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó anh đang ở thành phố Hồ Chí Minh" là mệnh đề sai.
"Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố" là mệnh đề đúng.
==Sự tương đương logic
Các phép toán logic cơ bản > Công thức

Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề. Như vậy, nếu có các mệnh đề a, b, c,... khi dùng các phép toán logic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác:
Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới tác dụng của các phép toán logic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lý, dùng bảng chân lý của các phép logic ta khẳng định được công thức P là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P là mệnh đề đúng (hoặc sai) thì ta nói công thức P có giá trị chân lý bằng 1 (hoặc 0 ).
Ví dụ:
{\overline {a\land {\overline {a}}}}   (1) là công thức có giá trị chân lý bằng 1 (với mọi mệnh đề a).
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| a |  {\overline {a}} | a Λ  {\overline {a}} |  {\overline {a\land {\overline {a}}}} |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
{\overline {(a\rightarrow b)\Leftrightarrow ({\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}})}}   (2) là một công thức có giá trị chân lý bằng 0 (với mọi mệnh đề a, b)
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| a | b |  {\overline {a}} |  {\overline {b}} |  a\rightarrow b |  {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}} |  (a\rightarrow b)\Leftrightarrow ({\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}) |  {\overline {(a\rightarrow b)\Leftrightarrow ({\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}})}} |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Các phép toán logic cơ bản > Sự tương đương logic

Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q tương đương logic với nhau, ký hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lý gán cho các mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lý như nhau.
Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương logic, ký hiệu là a ≡ b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai.
Chú ý:
Các phép toán logic cơ bản > Đẳng thức

Dưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong logic mệnh đề:
Các phép toán logic cơ bản > Đẳng thức > Các đẳng thức về 0 và 1

Người ta còn dùng ký hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ một mệnh đề luôn luôn đúng (hoặc luôn luôn sai). Ta có các đẳng thức sau về 0 và 1:
Các phép toán logic cơ bản > Chứng minh đẳng thức

Để chứng minh một đẳng thức trong logic mệnh đề ta thường dùng phương pháp lập bảng giá trị chân lý.
Ví dụ 1: Chứng minh:  {\overline {a\land b}}   ≡    {\overline {a}}\vee {\overline {b}}
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| a | b |  {\overline {a\land b}} |  {\overline {a}}\vee {\overline {b}} |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
0: 1
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức    {\overline {a\land b}}   và    {\overline {a}}\vee {\overline {b}}   luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh:  a\rightarrow b   ≡    {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| a | b |  a\rightarrow b |  {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}} |
1
1: 0
0: 1
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức    a\rightarrow b   và    {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}   luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hàm mệnh đề. Các lượng từ tồn tại và tổng quát

Bài chi tiết: Logic bậc nhất
Hàm mệnh đề. Các lượng từ tồn tại và tổng quát > Khái niệm về hàm mệnh đề

Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: "Số tự nhiên n chia hết cho 5".
Về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song nếu ta thay n bằng số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn:
Thay n = 100 ta được mệnh đề đúng: "Số 100 chia hết cho 5".
Thay n = 101 ta được mệnh đề sai: "Số 101 chia hết cho 5".
Ví dụ 2: "x + 3 > 7".
Tương tự như trong ví dụ 1, x + 3 > 7 chưa phải là mệnh đề, song nếu ta thay x bởi một số thực cụ thể, chẳng hạn:
Thay x = 0 ta được mệnh đề sai: "0 + 3 > 7".
Thay x = 5 ta được mệnh đề đúng: "5 + 3 > 7".
Ví dụ 3: "Ông A là nhà toán học vĩ đại".
Câu trên chưa phải là mệnh đề. Nhưng nếu ta chọn "ông A" là "Gausơ" sẽ được mệnh đề đúng: "Gausơ là nhà toán học vĩ đại", nếu ta chọn "ông A" là "Đinh Bộ Lĩnh" thì sẽ được mệnh đề sai: "Đinh Bộ Lĩnh là nhà toán học vĩ đại".
Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến). Tập X gọi là miền xác định của hàm mệnh đề đó.
Ta dùng ký hiệu: T(n), F(x),... để chỉ các hàm mệnh đề.
Chẳng hạn:
Hàm mệnh đề T(n): "Số tự nhiên n chia hết cho 5" có miền xác định là tập các số tự nhiên N. Tập các số tự nhiên có tận cùng bằng 0 hoặc 5 là miền đúng của T(n).
Hàm mệnh đề F(x) = "x + 3 > 7" có miền xác định là các số thực. Tập các số thực lớn hơn 4 ta gọi là miền đúng của hàm mệnh đề F(x).
Hàm mệnh đề. Các lượng từ tồn tại và tổng quát > Mệnh đề tồn tại

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn tại  x\in X sao cho..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tồn tại. Ký hiệu là:
hoặc
Ký hiệu  \exists  gọi là lượng từ tồn tại.
Ví dụ:
Mệnh đề  \exists x,y\in \mathbb {R} ,\ {\begin{cases}3x+y=2\\y-7=-3x\end{cases}} là sai vì  {\begin{cases}3x+y=2\\y-7=-3x\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}3x+y=2\\3x+y=7\end{cases}}\Leftrightarrow 2=7 vô nghiệm với mọi  x,y\in \mathbb {R}
Mệnh đề  \exists k\in \mathbb {Z} ,k\neq \pm 1,4k(k+1)+{\frac {1}{k^{3}}}\left(k^{3}+k+1\right)\in \mathbb {Z}  là sai vì  4k(k+1)+{\frac {1}{k^{3}}}\left(k^{3}+k+1\right)=(2k+1)^{2}+{\frac {1}{k^{2}}}+{\frac {1}{k^{3}}} không là số nguyên khi  k\neq \pm 1
Mệnh đề  \exists x,y,z,n\in \mathbb {N} ,x^{n}+y^{n}=z^{n} đúng khi  n=2
Chú ý:
"Tồn tại ít nhất một  x\in X sao cho T(x)".
"Có một  x\in X sao cho T(x)".
"Có ít nhất một  x\in X sao cho T(x)".
"Ít ra cũng có một người là nhà toán học".
"Một số người là nhà toán học".
"Có nhiều người là nhà toán học"
..................
Hàm mệnh đề. Các lượng từ tồn tại và tổng quát > Mệnh đề tổng quát

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với mọi  x\in X ta có..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập,...). Ký hiệu là:
hoặc
hoặc
Ký hiệu  \forall  gọi là lượng từ tổng quát (hay toàn thể, phổ biến, phổ cập,...)
Ví dụ :
Mệnh đề  \forall x\in \mathbb {R} ,x^{4}+x^{2}+x+1>0 đúng vì : x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}+x^{2}+2x\left({\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}=x^{4}+\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}>0{\text{ }}\forall x
Mệnh đề  \forall n\in \mathbb {Z} ,(n+3)^{3}+8n^{3}~\vdots ~9 đúng vì : (n+3)^{3}+8n^{3}=n^{3}+9n^{2}+27n+27+8n^{3}=9n^{3}+9n^{2}+27n+27=9(n^{3}+n^{2}+3n+3)~\vdots ~9
Hàm mệnh đề. Các lượng từ tồn tại và tổng quát > Phủ định của mệnh đề tồn tại và tổng quát

Phủ định các mệnh đề tồn tại và tổng quát được thiết lập theo hai quy tắc dưới đây:
Như vậy, hai mệnh đề:
\exists x\in X:T(x) và   \forall x\in X,{\overline {T(x)}} là phủ định của nhau.
\forall x\in X,T(x) và   \exists x\in X:{\overline {T(x)}} là phủ định của nhau.