Toán học của thuyết tương đối rộng
Phương trình trường Einstein

Trong lý thuyết hấp dẫn của Newton, phương trình liên hệ thế hấp dẫn  \phi  với mật độ khối lượng  \rho  biểu diễn nguồn của trường, là phương trình Poisson
Đây là phương trình đạo hàm riêng bậc hai đối với thế hấp dẫn chưa biết  \phi  và  \nabla ^{2} là toán tử Laplace. Vì ý tưởng chính của thuyết tương đối tổng quát đó là trường hấp dẫn là một thực thể hình học, do vậy các hệ số mêtric  g_{\mu \nu } nên được coi như là những biến động lực mới của trường hấp dẫn. Để thu về giới hạn Newton, chúng ta mong muốn rằng phương trình trường hấp dẫn mới, phương trình trường Einstein, sẽ chứa các đạo hàm của ten xơ metric mà không quá đạo hàm bậc hai.
Hơn nữa, dạng của phương trình mới phải được giữ nguyên không phụ thuộc vào hệ tọa độ được chọn. Do vậy nó phải là phương trình tenxơ và ten xơ tự nhiên nhất tổng quát hóa mật độ khối lượng nằm ở bên phải phương trình (215) là tenxơ ứng suất–năng lượng  T^{\mu \nu }. Theo đó, phương trình trường Einstein phải có dạng
với \kappa  là một hằng số tỷ lệ, và tenxơ  G_{\mu \nu } phải có dạng phụ thuộc vào mêtric g và đạo hàm của nó như sau
để nó có dạng giống tương ứng với phương trình Poisson trong lý thuyết Newton. Thêm vào đó, nguồn của trường hấp dẫn sẽ phải thỏa mãn các định luật bảo toàn viết dưới dạng  \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0 cho nên chúng ta mong muốn rằng từ phương trình (216) sẽ có  \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0. Chỉ bằng ngôn ngữ hình học thuần túy, chúng ta đã xây dựng một tenxơ thỏa mãn các tính chất này, đó là tenxơ Einstein được định nghĩa trong phương trình (213).
Tenxơ ứng suất-năng lượng có một ý nghĩa tối quan trọng trong thuyết tương đối rộng. Trong lý thuyết Newton có mật độ  \rho  là nguồn của trường hấp dẫn. Nó được hiểu là mật độ khối lượng và bằng thành phần  T^{00} của tenxơ trong thuyết tương đối hay chính là khối lượng nghỉ  \rho _{0}. Nhưng một lý thuyết chỉ sử dụng khối lượng nghỉ là nguồn của trường sẽ trở lên kỳ lạ từ cách nhìn tương đối tính, do khối lượng nghỉ và năng lượng có thể biến đổi được cho nhau. Chúng ta có thể chứng minh được rằng một lý thuyết như vậy sẽ vi phạm trong những thí nghiệm chính xác cao. Do đó nguồn của trường phải là mọi dạng năng lượng bao gồm cả mật độ khối lượng tổng cộng  T^{00}. Nhưng nếu nguồn của trường chỉ là một thành phần của một tenxơ sẽ đưa tới một lý thuyết hấp dẫn không thỏa mãn tính bất biến: chúng ta sẽ cần phải chọn một hệ tọa độ ưu tiên để có thể tính toán  T^{00}. Do vậy, Einstein đoán rằng nguồn của trường phải là tenxơ ứng suất-năng lượng: mọi năng lượng, động lượng, áp suất và ứng suất cũng phải là nguồn của trường hấp dẫn. Kết hợp với trực giác về không gian cong đã đưa ông tới hoàn thiện thuyết tương đối tổng quát.
Áp suất đóng một vai trò cơ bản hơn trong thuyết tương đối tổng quát so với lý thuyết hấp dẫn cổ điển. Bởi vì nó là một nguồn của trường hấp dẫn, hãy xét một ngôi sao đặc mà trường hấp dẫn mạnh của nó đòi hỏi gradien áp suất phải lớn để duy trì trạng thái cân bằng của nó khỏi sự nén hấp dẫn về bên trong. Mặt khác gradien áp suất này lại đóng góp vào nguồn của trường, do đó gradien áp suất càng phải lớn hơn để giữ cho ngôi sao ổn định. Đối với những sao có áp suất  p\ll \rho  thì điều này không gây ra ảnh hưởng đáng kể nào. Nhưng khi p trở lên đáng kể so với  \rho  chúng ta thấy rằng sự tăng áp suất lại là một con đường tự hủy diệt: không một áp suất nào có thể giữ ngôi sao ổn định và sự suy sụp hấp dẫn phải xảy ra. Tuy đây chỉ là những lập luận sơ bộ, chi tiết hơn cần có những tính toán chặt chẽ, nhưng nó cho thấy bằng cách phân tích các khía cạnh của thuyết tương đối hẹp cũng cho ta những kết quả cơ bản trong thuyết tương đối rộng.
Tenxơ ứng suất-năng lượng chỉ chứa những thành phần năng lượng, động lượng phi hấp dẫn mà không chứa năng lượng, động lượng của hấp dẫn.
Vì đạo hàm hiệp biến của mêtric bằng 0, (164), việc cộng thêm vào tenxơ Einstein một số hạng tỷ lệ với tenxơ mêtric không làm thay đổi phân kỳ tự do của nó hay  \nabla _{\mu }(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu })=0, với  \Lambda  là hằng số. Về mặt lịch sử, hằng số này được Eintein đưa ra đầu tiên nhằm thu được nghiệm miêu tả vũ trụ tĩnh và nó được đặt tên là hằng số vũ trụ. Gần đây, hằng số vũ trụ đã xuất hiện trở lại với khả năng giải thích cho vũ trụ giãn nở gia tốc mà các nhà thiên văn học đã quan sát thấy. Vì giá trị nhỏ của hằng số vũ trụ nếu chỉ xét tới các vật thể thiên văn nên có thể coi  \Lambda =0.
Phương trình trường Einstein viết dưới dạng thành phần bao gồm tất cả các số hạng là
ở đây các hệ số  G,c,8\pi  xuất hiện để có thể thu về giới hạn trường hấp dẫn Newton yếu.
Có một cách khác để tìm ra phương trình trường Einstein đó là sử dụng nguyên lý biến phân cho tác dụng phù hợp của trường hấp dẫn (tác dụng Einstein–Hilbert). và phương pháp này có ích khi các nhà vật lý giới thiệu ra những lý thuyết thay thế khác về trường hấp dẫn.
Thực hiện tìm vết của phương trình (218) ta có
do vậy phương trình trường Einstein có thể viết lại thành
Phương trình này giúp nhìn thấy rõ mối liên hệ chặt (sự tương đương chặt chẽ) giữa hình học của không thời gian bên vế trái với thành phần khối lượng-năng lượng bên vế phải. Đây là một trong những đặc điểm cơ bản của thuyết tương đối rộng.
Từ phát biểu toán học, phương trình trường Einstein là một hệ chứa 10 phương trình vi phân riêng phần phi tuyến biểu diễn theo tenxơ mêtric  g_{\mu \nu }. Tuy nhiên chỉ có 6 phương trình độc lập do điều kiện  \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0. Kết quả này phản ánh thực tế rằng có bốn bậc tự do (bằng số tọa độ của không thời gian) trong 10 thành phần của tenxơ mêtric. Điều này không liên quan tới trường hấp dẫn mà chỉ là do chúng ta được lựa chọn hệ tọa độ một cách bất kỳ để miêu tả các thành phần của tenxơ mêtric, hay tự do chuẩn (gauge freedom). Vì phương trình trường Einstein là phi tuyến nên việc tìm và phân tích các nghiệm của nó khá phức tạp, đồng thời cũng hàm ý rằng không có nguyên lý chồng chập cho trường hấp dẫn (mạnh). Nói cách khác, tổng của hai nghiệm của phương trình không phải là một nghiệm khác. Ngay cả trong không thời gian chân không,  T_{\mu \nu }=0, phương trình trường Einstein trở thành dạng đơn giản  R_{\mu \nu }=0 nhưng nó vẫn ẩn chứa 10 phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Nghiệm tầm thường duy nhất của phương trình Einstein là của không thời gian phẳng, khi không có vật chất  T_{\mu \nu }=0 và mọi thành phần của tenxơ Riemann và tenxơ Einstein đều đồng nhất bằng 0.
Sự khác biệt cơ bản giữa phương trình trường Einstein và những phương trình trong các lý thuyết trường khác, ví dụ điện từ học, đó là nó cũng chứa thông tin về phương trình chuyển động cho nguồn của độ cong. Cụ thể là khi lấy phân kỳ div đối với phương trình Einstein (218) mà hệ quả quan trọng của nó là chuyển động của vật chất không thể được xác định một cách bất kỳ mà phải tuân theo định luật bảo toàn  \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0. Mặt khác, trong điện từ học, phương trình Maxwell không quy định lên chuyển động của các điện tích điểm, mà động lực của chúng chỉ có thể giải tách biệt thông qua lực Lorentz.