Xác suất
Lịch sử

Bài chi tiết: Lịch sử xác suất
Nghiên cứu khoa học về xác suất là một bước phát triển hiện đại của toán học. Cờ bạc cho thấy rằng đã có sự quan tâm đến việc định lượng các ý tưởng về xác suất trong nhiều thiên niên kỷ, nhưng các mô tả toán học chính xác đã xuất hiện muộn hơn nhiều. Có những lý do giải thích cho sự phát triển chậm chạp của toán học xác suất. Trong khi các trò chơi may rủi tạo động lực cho việc nghiên cứu toán học về xác suất, [cần giải thích]  vẫn bị che lấp bởi những mê tín của những người chơi cờ bạc.
Theo Richard Jeffrey, "Trước giữa thế kỷ XVII, thuật ngữ 'có thể xảy ra' (tiếng Latinh xác suất) có nghĩa là có thể chấp thuận được, và được áp dụng theo nghĩa đó, cho ý kiến và hành động. Một hành động hoặc ý kiến có thể xảy ra là một hành động chẳng hạn như những người hợp lý sẽ thực hiện hoặc nắm giữ, trong hoàn cảnh."  Tuy nhiên, đặc biệt là trong các bối cảnh pháp lý, 'có thể xảy ra' cũng có thể áp dụng cho các mệnh đề có bằng chứng xác đáng.
Các dạng xác suất và thống kê sớm nhất được biết đến đã được phát triển bởi các nhà toán học Trung Đông nghiên cứu mật mã từ thế kỷ 8 đến thế kỷ 13. Al-Khalil (717–786) đã viết cuốn sách Thông điệp mật mã trong đó có lần đầu tiên sử dụng các hoán vị và tổ hợp để liệt kê tất cả các từ tiếng Ả Rập có thể có và không có nguyên âm. Al-Kindi (801–873) đã sử dụng suy luận thống kê sớm nhất được biết đến trong công việc của mình về phân tích mật mã và phân tích tần số. Một đóng góp quan trọng của Ibn Adlan (1187–1268) là về kích thước mẫu để sử dụng phân tích tần số.
Nhà nghiên cứu đa ngành người Ý ở thế kỷ XVI Gerolamo Cardano đã chứng minh hiệu quả của việc xác định tỷ lệ cược là tỷ lệ giữa các kết quả thuận lợi và không thuận lợi (ngụ ý rằng xác suất của một sự kiện được cho bằng tỷ lệ các kết quả thuận lợi trên tổng số các kết quả có thể xảy ra ). Ngoài công trình cơ bản của Cardano, học thuyết về xác suất còn có từ sự tương ứng của Pierre de Fermat và Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) đã đưa ra phương pháp điều trị khoa học sớm nhất được biết đến đối với chủ đề này. Ars Conjectandi của Jakob Bernoulli (di cảo, 1713) và Học thuyết Cơ hội của Abraham de Moivre (1718) coi chủ đề này như một nhánh của toán học. Xem Sự xuất hiện của Xác suất  Ian Hacking và Khoa học về Phỏng đoán  của James Franklin để biết lịch sử về sự phát triển ban đầu của khái niệm xác suất toán học.
Lý thuyết sai số có thể bắt nguồn từ cuốn Opera Miscellanea của Roger Cotes (di cảo, 1722), nhưng một cuốn hồi ký do Thomas Simpson soạn năm 1755 (in năm 1756) lần đầu tiên áp dụng lý thuyết này vào cuộc thảo luận về sai số khi quan sát. Lần tái bản (1757) của cuốn hồi ký này đưa ra tiên đề rằng các lỗi tích cực và tiêu cực đều có thể xảy ra như nhau, và các giới hạn có thể ấn định nhất định xác định phạm vi của tất cả các lỗi. Simpson cũng thảo luận về các lỗi liên tục và mô tả một đường cong xác suất.
Hai định luật sai số đầu tiên được đề xuất đều bắt nguồn từ Pierre-Simon Laplace. Luật đầu tiên được xuất bản vào năm 1774, và tuyên bố rằng tần suất của một lỗi có thể được biểu thị dưới dạng một hàm số mũ của mức độ lỗi - dấu hiệu bỏ qua. Định luật sai số thứ hai được Laplace đề xuất vào năm 1778, và tuyên bố rằng tần số của sai số là một hàm số mũ của bình phương sai số. Luật sai số thứ hai được gọi là phân phối chuẩn hay luật Gauss. "Về mặt lịch sử, rất khó để gán định luật đó cho Gauss, người mặc dù có sự thông minh nổi tiếng của mình nhưng có lẽ đã không phát hiện ra điều này trước khi được hai tuổi."
Daniel Bernoulli (1778) đã đưa ra nguyên tắc tích cực đại của các xác suất của một hệ thống các lỗi đồng thời.
Adrien-Marie Legendre (1805) đã phát triển phương pháp bình phương nhỏ nhất và giới thiệu nó trong tác phẩm Nouvelles méthodes pour la détermination des obitanes des comètes (Phương pháp mới để xác định quỹ đạo của sao chổi). Khi thiếu hiểu biết về đóng góp của Legendre, một nhà văn người Mỹ gốc Ireland, Robert Adrain, biên tập viên của "The Analyst" (1808), lần đầu tiên suy luận ra quy luật điều kiện của sai số:
Ở đây  h là một hằng số phụ thuộc vào độ chính xác của quan sát, và  c là một hệ số tỷ lệ đảm bảo rằng diện tích dưới đường cong bằng 1. Ông đã đưa ra hai bằng chứng, chứng minh thứ hai về cơ bản giống với của John Herschel (1850).[cần dẫn nguồn] Gauss đã đưa ra bằng chứng đầu tiên dường như đã được biết đến ở Châu Âu (thứ ba sau Adrain) vào năm 1809. Các bằng chứng khác được đưa ra bởi Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), WF Donkin (1844, 1856) và Morgan Crofton (1870). Những người đóng góp khác là Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), và Giovanni Schiaparelli (1875). Công thức của Peters (1856)[cần giải thích] đối với r, lỗi có thể xảy ra của một lần quan sát, đã được biết tường tận.