Phép đo lượng tử yếu
Giá trị yếu

Xét một hệ hạt được chuẩn bị ở trạng thái  |\Psi \rangle _{i} và ta muốn đo biến lượng tử  {\hat {A}} trên hệ hạt này. Một phép đo chỉ diễn ra khi có sự tương tác giữa hệ cần đo và máy đo. Theo mô hình von Neumann cho phép đo lượng tử, sự tương tác này được biểu diễn bởi hàm Hamiltonian tương tác:
trong đó  {\hat {P}} là toán tử động lượng của kim chỉ trên máy đo. Toán tử liên hiệp với nó là toán tử tọa độ của kim chỉ  {\hat {Q}};  g(t) là hàm phụ thuộc thời gian, biểu trưng cho sự tương tác giữa hệ cần đo và máy đo. Thông thường, phép đo chỉ diễn ra trong một khoảng thời gian rất ngắn. Do đó, ta có thể giả định  g(t)=g\delta (t-t_{0}), trong đó  g là một hằng số. Bởi vì phép đo cũng là một hệ lượng tử, do đó nó phải có trạng thái lượng tử, giả sử  |\Phi \rangle . Ban đầu, trạng thái của toàn hệ là  |\Psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle . Khi máy đo tương tác với hệ cần đo, trạng thái của toàn hệ sẽ là  e^{-ig{\hat {A}}{\hat {P}}}|\Psi _{i}\rangle |\Phi \rangle . Sau đó, sự lựa chọn sau  \langle \Psi _{f}|được áp đặt lên hệ cần đo, dẫn đến trạng thái của kim chỉ trên máy đo (chưa được chuẩn hóa) biến đổi thành:
Trong các phép đo thông thường, hệ số tương tác  g lớn, nên hàm sóng của kim chỉ trên máy đo sau tương tác sẽ có dạng  \Phi (Q-g\langle {\hat {A}}\rangle ) với  \langle {\hat {A}}\rangle  là giá trị trông đợi của toán tử  {\hat {A}}. Nếu ta giới hạn hệ số tương tác  g ở mức rất nhỏ, ta có thể bỏ qua các phần tử chứa bậc cao và chỉ giữ lại phần tử phụ thuộc bậc nhất theo  g trong khai triển Taylor của trạng thái của kim chỉ trên máy đo:
Kết quả này cho thấy khi tiến trình đo kết thúc, hàm sóng của kim chỉ sẽ là  \Phi (Q-gA_{w}). Ở đây,  A_{w} được định nghĩa là giá trị yếu của toán tử  {\hat {A}} với  |\Psi _{i}\rangle  và  |\Psi _{f}\rangle  là các trạng thái lựa chọn trước và sau:
Trong các phép đo thông thường, cơ học lượng tử bắt buộc rằng kim chỉ của máy đo bị giới hạn trong vùng trị riêng của toán tử và nó phải là số thực. Quan sát công thức này, ta thấy rằng  A_{w} nói chung là một số phức và có thể nằm ngoài khoảng trị riêng khả dĩ của  {\hat {A}}. Điểm đặc trưng này của phép đo yếu không hoàn toàn bác bỏ các lập luận của cơ học lượng tử. Thay vào đó, nó có thể được coi là một kết quả của nguyên lý bất định Heisenberg. Nghĩa là, vì ta đã suy giảm hệ số tương tác của phép đo, ta không thể thu được thông tin chính xác về kết quả của phép đo, ở đây là giá trị trông đợi  \langle {\hat {A}}\rangle .
Trong trường hợp tổng quát, trạng thái chọn lọc trước có thể là trạng thái hỗn hợp: {\hat {\rho }} và sự chọn lọc sau được thay thế bởi bộ phép đo các toán tử dương: \left\{{\hat {\Pi }}^{i}\right\} (tiếng Anh: Positive-operator valued measure - POVM) thì biểu thức tổng quát cho giá trị yếu được cho bởi:
Lưu ý rằng hiện nay có 2 cách trình bày để dẫn đến giá trị yếu. Cách lập luận theo hệ số tương tác được trình bày ở đây dựa trên bài báo của R. Jozsa và được coi là cách thuận tiện nhất để giới thiệu giá trị yếu và dễ dàng cho ngành thông tin lượng tử. Một cách dẫn giải khác dựa trên độ bất định ban đầu của kim chỉ được trình bày trong bài báo của AAV . Cách dẫn giải này phù hợp với trường hợp liên tục (tọa độ, động lượng,...) và dễ nêu lên mối liên hệ với nguyên lý bất định Heisenberg nhưng quá trình tính toán khá phức tạp.