Triết học toán học
Lịch sử > Triết học đương đại

Một vấn đề lâu năm trong triết học toán học liên quan đến mối quan hệ giữa logic và toán học tại các nền tảng chung của họ. Trong khi các nhà triết học thế kỷ 20 tiếp tục đặt câu hỏi được đề cập ở đầu bài viết này, thì triết học toán học trong thế kỷ 20 được đặc trưng bởi sự quan tâm chủ yếu đến logic hình thức, lý thuyết tập hợp và các vấn đề cơ bản.
Đó là một câu đố sâu sắc rằng một mặt sự thật toán học dường như có một sự tất yếu hấp dẫn, nhưng mặt khác, nguồn gốc của "tính trung thực" của chúng vẫn còn khó nắm bắt. Điều tra về vấn đề này được gọi là nền tảng của chương trình toán học.
Vào đầu thế kỷ 20, các nhà triết học toán học đã bắt đầu phân chia thành nhiều trường phái tư tưởng khác nhau về tất cả những câu hỏi này, được phân biệt rộng rãi bằng hình ảnh của họ về nhận thức luận và bản thể học toán học. Ba trường phái, chủ nghĩa hình thức, trực giác và logic, xuất hiện vào thời điểm này, một phần để đáp lại sự lo lắng ngày càng lan rộng mà toán học đứng vững, và đặc biệt là phân tích, không tuân theo các tiêu chuẩn về sự chắc chắn và nghiêm ngặt đã được đưa ra được coi là đương nhiên. Mỗi trường giải quyết các vấn đề nổi bật tại thời điểm đó, hoặc cố gắng giải quyết chúng hoặc cho rằng toán học không được hưởng trạng thái như kiến thức đáng tin cậy nhất của chúng ta.
Những phát triển đáng ngạc nhiên và phản trực giác trong logic hình thức và đặt lý thuyết vào đầu ngày 20   thế kỷ dẫn đến những câu hỏi mới liên quan đến những gì được gọi là nền tảng của toán học. Khi thế kỷ mở ra, trọng tâm ban đầu của mối quan tâm đã mở rộng sang một khám phá mở về các tiên đề cơ bản của toán học, phương pháp tiên đề đã được áp dụng kể từ thời Euclid khoảng 300 TCN là cơ sở tự nhiên cho toán học. Các khái niệm tiên đề, mệnh đề và chứng minh, cũng như khái niệm mệnh đề là đúng với một đối tượng toán học, đã được chính thức hóa, cho phép chúng được xử lý bằng toán học. Các tiên đề của Zermelo-Fraenkel cho lý thuyết tập hợp đã được xây dựng trong đó cung cấp một khung khái niệm trong đó nhiều diễn ngôn toán học sẽ được diễn giải. Trong toán học, cũng như trong vật lý, những ý tưởng mới và bất ngờ đã nảy sinh và những thay đổi đáng kể đang đến. Với cách đánh số của Godel, các mệnh đề có thể được hiểu là đề cập đến chính chúng hoặc các mệnh đề khác, cho phép tìm hiểu về tính nhất quán của các lý thuyết toán học. Phê bình phản xạ này, trong đó lý thuyết đang xem xét "trở thành bản thân đối tượng của một nghiên cứu toán học" dẫn đến việc Hilbert gọi nghiên cứu như vậy là metamathematics hoặc lý thuyết chứng minh.
Vào giữa thế kỷ, một lý thuyết toán học mới được tạo ra bởi Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane, được gọi là lý thuyết phạm trù, và nó trở thành một ứng cử viên mới cho ngôn ngữ tự nhiên của tư duy toán học. Như ngày 20   Tuy nhiên, thế kỷ đã tiến triển, các ý kiến triết học chuyển hướng sang việc các câu hỏi về nền tảng được nêu ra từ đầu thế kỷ được đặt ra như thế nào. Hilary Putnam đã tóm tắt một quan điểm chung về tình hình vào thứ ba cuối cùng của thế kỷ bằng cách nói:
Khi triết lý phát hiện ra điều gì đó sai trái với khoa học, đôi khi khoa học có được changed- nghịch lý Russell nói đến cái tâm, cũng như Berkeley tấn công 's trên thực tế vô cùng -Nhưng thường xuyên hơn nó được triết lý đó phải được thay đổi. Tôi không nghĩ rằng những khó khăn mà triết học tìm thấy với toán học cổ điển ngày nay là những khó khăn thực sự; và tôi nghĩ rằng những diễn giải triết học về toán học mà chúng ta đang được cung cấp trên mỗi bàn tay là sai, và "giải thích triết học" chỉ là những gì toán học không cần.
Triết học toán học ngày nay tiến hành theo nhiều dòng nghiên cứu khác nhau, bởi các nhà triết học toán học, logic và toán học, và có nhiều trường phái tư tưởng về chủ đề này. Các trường được giải quyết riêng trong phần tiếp theo, và giả định của họ được giải thích.