stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Bầu cử tổng thống Afghanistan 2009
Hủy bỏ vòng nhì và tuyên bố người thắng

Ngày 2 tháng 11, Ủy ban bầu cử Afghanistan tuyên bố Tổng thống Karzai chiến thắng, hủy bỏ kế hoạch tổ chức cuộc đầu phiếu vòng nhì và chấm dứt cuộc khủng hoảng chính trị kéo dài hai tháng rưỡi qua sau cuộc bầu cử đầy tai tiếng trước đó. Chính phủ Obama, vốn trông đợi có một chính phủ được coi là chính thống ở Kabul trước khi loan báo quyết định về việc đưa thêm quân tới quốc gia này, nhanh chóng tán thành quyết định của ủy ban bầu cử. "Chúng tôi chúc mừng Tổng thống Karzai trước chiến thắng của ông trong cuộc bầu cử lịch sử này và trông đợi cùng làm việc với ông trong thời gian tới" để hỗ trợ cải cách và tăng cường an ninh, Tòa Đại Sứ Hoa Kỳ nói trong bản thông cáo gửi đến báo chí. Anh và Liên Hợp Quốc cũng đưa ra lời chúc mừng.
Việc hủy bỏ bầu cử là một điều nhẹ nhõm cho thành phần tổ chức đang vội vã chuẩn bị trước khi mùa Đông ở Afghanistan khởi sự cũng như đối với giới hữu trách lo sợ về các cuộc tấn công của Taliban. Chủ tịch ủy ban bầu cử Azizullah Lodin loan báo Karzai là người chiến thắng trong cuộc họp báo ở Kabul. Ủy ban có thẩm quyền đưa ra quyết định này vì Hiến pháp Afghanistan chỉ cho phép có cuộc bầu cử vòng nhì giữa hai ứng cử viên. Hoa Kỳ nói quyết định của ủy ban "phù hợp với quyền hạn của họ theo luật Afghanistan." Tuy nhiên một phát ngôn viên của Abdullah nói rằng quyết định này không phản ảnh luật lệ Afghanistan nhưng cũng không cho biết ông có chống lại quyết định này hay không. Tổng Thư ký Liên Hợp Quốc Ban Ki-moon bất ngờ đến Kabul ngày 2 tháng 11, trong một cuộc họp báo cũng tán thành việc hủy bỏ cuộc bỏ phiếu vòng nhì và cam kết Liên Hợp Quốc sẽ tiếp tục trợ giúp trong nỗ lực tái thiết Afghanistan.
Karzai hứa tạo đoàn kết và diệt tham nhũng

Ngày 3 tháng 11, Karzai hứa hẹn rằng chính phủ mới của ông sẽ tiêu diệt tham nhũng và tạo đoàn kết quốc gia sau nhiều tháng trời trong tình trạng hỗn loạn chính trị và cũng bày tỏ sự hòa hoãn với phía Taliban. Dưới áp lực của Obama để tiêu diệt tham nhũng sau một cuộc bầu cử đầy tai tiếng, Karzai trong lần xuất hiện đầu tiên trước công chúng kể từ khi ủy ban bầu cử loan báo ông là người chiến thắng để hứa hẹn sẽ có một chính phủ trong sạch hơn.
"Hình ảnh của Afghanistan bị hoen ố vì tham nhũng. Hình ảnh của chính quyền bị hoen ố vì tham nhũng," Karzai tuyên bố trong một cuộc họp báo, bên cạnh Phó Tổng thống Mohammad Qasim Fahim, người bị nhiều cáo buộc vi phạm nhân quyền. "Chúng ta sẽ cố gắng, bằng mọi cách, để xóa vết nhơ này." Nhiều nhà lãnh đạo trên thế giới kêu gọi Karzai hãy bảo đảm là chính quyền sắp tới của ông có được sự ủng hộ của tất cả dân chúng Afghanistan.
"Chính phủ tương lai sẽ là chính phủ của tất cả mọi người dân Afhganistan... Chúng ta hy vọng là sẽ không ai bị bỏ rơi bởi chính phủ này," ông nói. Karzai cũng kêu gọi các "người anh em" Taliban hãy "quay về với tổ quốc." Tuy nhiên phía Taliban chế diễu Karzai, coi ông chỉ là bù nhìn của Tây phương và bác bỏ lời kêu gọi này. "Chúng tôi không xem những lời tuyên bố hòa bình của Karzai có giá trị gì vì đây chỉ là những lời trống rỗng," theo Yousuf Ahmadi, một phát ngôn viên của Taliban, nói với AFP. Obama và Ban Ki-moon cùng các nhà lãnh đạo khác của thế giới chúc mừng Karzai. Tuy nhiên Tổng thống Obama cũng kêu gọi có "nỗ lực mạnh mẽ hơn" để diệt trừ tham nhũng.
Chú thích

1 2  http://www.nytimes.com/2009/11/03/world/asia/03afghan.html?_r=2&hp
↑  “Bản sao đã lưu trữ”. Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 11 năm 2009. Truy cập ngày 8 tháng 11 năm 2009.
↑  “BBC NEWS”. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “U.S., Afghans Criticize Call for Early Elections”. WSJ. 2 tháng 3 năm 2009. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “BBC NEWS”. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “Bản sao đã lưu trữ”. Bản gốc lưu trữ ngày 15 tháng 9 năm 2009. Truy cập ngày 9 tháng 12 năm 2009.
↑  “Maulavi Mustafa Barakzai, Afghan Member Of Panel Investigating Election Fraud, Resigns”. The Huffington Post. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “Search”. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.[liên kết hỏng]
↑  “Police Investigate Racist Signs Left Outside 2 Vt. Organizations”. NECN. Truy cập 9 tháng 11 năm 2023.
↑  “Fraud inquiry slashes Karzai vote to 48%, setting stage for runoff”. the Guardian. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “One in three Afghan votes fraudulent, says US diplomat”. the Guardian. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “Karzai accepts Afghanistan election runoff”. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “Latest headlines from Metro.us – Metro”. Bản gốc lưu trữ ngày 24 tháng 10 năm 2009. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “Afghan election plan criticized amid security concerns”. Reuters. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “BBC NEWS”. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “The National - Latest world news, sport & opinion”. The National. Truy cập 9 tháng 11 năm 2023.
↑  “Afghan chaos as Abdullah pulls out of election”. The Independent. 23 tháng 10 năm 2011. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
↑  “Abdullah Says Karzai's Confirmation as Afghan President Illegal”. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về .
Bảng hiển thị cuộc bầu cử của hai ứng viên ở Kandahar.
Săn cá voi tại Nhật Bản

Thịt cá voi bày bán tại siêu thị cá Tsukiji tại Tokyo, Nhật Bản
Việc săn bắt cá voi ở Nhật Bản có thể đã bắt đầu rất sớm vào thế kỷ 12. Trong suốt thế kỷ 20, Nhật Bản bị lôi kéo vào việc săn cá voi thương mại cho đến khi Ủy ban Săn cá voi Quốc tế ra lệnh cấm săn cá thương mại. Việc săn cá voi của Nhật Bản bị giới hạn bởi Viện Nghiên cứu Cá voi. Tuy nhiên, đó là nguồn tranh chấp chính trị giữa các quốc gia và tổ chức không chống và chống săn cá voi. Các quốc gia, nhà khoa học và tổ chức môi trường chống việc săn cá voi cho rằng các chương trình nghiên cứu của Nhật hết sức không cần thiết và tệ hại nhất chỉ là chiến dịch săn cá voi thương mại được ngụy trang một cách lộ liễu.
Nhật Bản duy trì việc săn cá voi hàng năm một cách bền vững và cần thiết cho việc nghiên cứu khoa học và quản lý cổ phiếu cá voi. Nhật Bản cũng lập luận rằng các sự chống đối săn cá voi dựa trên sự khác biệt văn hóa và thuyết hình người tình cảm.
Chú thích

↑  Briand, F; Colborn, T; Dawkins, R; Diamond, J; Earle, S; Gomez, E; Guillemin, R; Klug, A; Konishi, M; Lubchenco, J; MacDiarmid, A; Mee, L; Norse, E; Notarbartolo di Sciara, G; Orions, G; Payne, R; Safina, C; Suzuki, D; Terborgh, J; Wilson, E; Woodwell, G (20 tháng 5 năm 2002), “Một lá thư đến Chính phủ Nhật về "Săn cá voi Khoa Học"” (PDF), Bản sao đã lưu trữ, Thời báo New York, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 19 tháng 8 năm 2007, truy cập ngày 26 tháng 2 năm 2010
↑  Larter, Paul (8 tháng 2 năm 2008). “Úc lên án vụ giết cá voi đẫm máu của hạm đội Nhật Bản”. Times Online. Bản gốc lưu trữ ngày 3 tháng 6 năm 2010. Truy cập ngày 26 tháng 2 năm 2010.
↑  
Biggs, Stuart (30 tháng 5 năm 2007). “Kyokuyo tham gia Maruha để kết thúc bán thịt cá voi ở Nhật Bản”. Bloomberg.
↑
↑  “Bản sao đã lưu trữ” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 10 tháng 3 năm 2012. Truy cập ngày 26 tháng 2 năm 2010.
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về .
Chongpyong

| Chongpyong> Chuyển tự Tiếng Triều Tiên |
| --- | --- |
 • Hangul: 정평군
 • Hanja: 定平郡
 • Romaja quốc ngữ: Jeongpyeong-gun
 • McCune–Reischauer: Chŏngp'yŏng kun
 
 
 
 Vị trí tại Hamgyong Nam
Chongpyong
Quốc gia: Hàn Quốc
Diện tích
 • Tổng cộng: 762,69 km² km2 (Lỗi định dạng: giá trị đầu vào không hợp lệ khi làm tròn mi2)
Dân số (2008)
 • Tổng cộng: 179,114 người
Chongpyong (Hán Việt: Định Bình) là một huyện của tỉnh Hamgyong Nam tại Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Triều Tiên. Huyện giáp với tỉnh Pyongan Nam ở phía nam và giáp với vịnh Đông Triều Tiên ở phía đông.
Đỉnh cao nhất trên địa bàn là Noranbong. Hầu hết đất đai trong huyện là đồi núi, nhưng phía đông nam lại bằng phẳng. Dòng sông chính là sông Kumjin. Vào mùa đông, với khí hậu lục địa, thời tiết ở đây rất lạnh, tuy nhiên, ảnh hướng của dãy núi Rangrim đã làm cho khí hậu Chongpyong ông hòa hơn so với khu vực gần Hoàng Hải.
Lúa gạo được trồng tại các vùng đất thấp ở phía tây nam, nơi đất đai màu mỡ. Một số nông trại và cựa hoa quả cũng nằm trên địa bàn. Do vị trí ven biển, ngành ngư nghiệp cũng hoạt động tại huyện. Các tuyến đường sắt đi qua Chongpyong bao gồm tuyến Wonsan và tuyến Hamgyong (nay là tuyến Pyongra).
Năm 2008, dân số toàn Huyện Chongpyong là 179.114 người (84.130 nam và 94.984 nữ), trong đó, dân cư đô thị là 53.159 người (29,7%) còn dân cư nông thôn là 125.955 người (70,3%).
Chúa tể của những chiếc nhẫn: Cuộc chiến của Rohirrim

| Chúa tể của những chiếc nhẫn: Cuộc chiến của Rohirrim  |
| --- | --- |
Áp phích phim tại Việt Nam
Đạo diễn: Kenji Kamiyama
Kịch bản:  Jeffrey Addiss  Will Matthews  Phoebe Gittins  Arty Papageorgiou 
Cốt truyện:  Jeffrey Addiss  Will Matthews  Philippa Boyens 
Dựa trên: Chúa tể của những chiếc nhẫn của J. R. R. Tolkien
Sản xuất:  Philippa Boyens  Jason DeMarco  Joseph Chou 
Diễn viên:  Brian Cox  Gaia Wise  Luke Pasqualino  Miranda Otto 
Dựng phim: Tsuyoshi Sadamatsu
Âm nhạc: Stephen Gallagher
Hãng sản xuất:  Warner Bros. Animation  New Line Cinema  Sola Entertainment  WingNut Films  Domain Entertainment  Middle-earth Enterprises  
Phát hành: Warner Bros. Pictures
Công chiếu:  13 tháng 12 năm 2024 (2024-12-13) (Mỹ, Việt Nam)  
Thời lượng: 134 phút
Quốc gia:  Hoa Kỳ  Nhật Bản
Ngôn ngữ: Tiếng Anh
Kinh phí: 30 triệu USD
Doanh thu: 16 triệu USD
Chúa tể của những chiếc nhẫn: Cuộc chiến của Rohirrim (tên tiếng Anh: The Lord of the Rings: The War of the Rohirrim) là một bộ phim điện ảnh hoạt hình thuộc thể loại kỳ ảo do Kenji Kamiyama làm đạo diễn, với kịch bản do Phoebe Gittins và Arty Papageorgiou chấp bút, dựa trên câu chuyện được kể trong phụ lục từ tiểu thuyết Chúa tể những chiếc nhẫn của J. R. R. Tolkien. Phim được sản xuất bởi Warner Bros. Animation và New Line Cinema với công đoạn sản xuất hoạt hình do hãng Sola Entertainment đảm nhận. Đây là phần tiền truyện được lấy bối cảnh vào 261 năm trước các sự kiện xảy ra trong phần phim Chúa tể những chiếc nhẫn: Hai tòa tháp (2002), phimcó sự tham gia lồng tiếng của Brian Cox trong vai Helm Hammerhand, một vị vua huyền thoại của Rohan. Ngoài ra, phim cũng có sự tham gia của Miranda Otto, cô tiếp tục lồng tiếng vai diễn Éowyn từ chuỗi ba phim Chúa tể của những chiếc nhẫn bản người đóng.
Chúa tể của những chiếc nhẫn: Cuộc chiến của Rohirrim được phát hành tại Hoa Kỳ và Việt Nam vào ngày 13 tháng 12 năm 2024 bởi Warner Bros. Pictures.
Nội dung

Lấy bối cảnh 261 năm trước các sự kiện xảy ra trong Chúa tể những chiếc nhẫn: Hai tòa tháp, Cuộc chiến của Rohirrim là câu chuyện xoay quanh Helm Hammerhand, vị vua huyền thoại của Rohan, người phải đứng lên chống lại đoàn quân của Dunlendings.
Diễn viên

Brian Cox lồng tiếng vai Helm Hammerhand
Miranda Otto lồng tiếng vai Éowyn
Gaia Wise lồng tiếng vai Hera
Luke Pasqualino lồng tiếng vai Wulf
Laurence Ubong Williams lồng tiếng vai Fréaláf Hildeson
Shaun Dooley lồng tiếng vai Freca
Ngoài ra, phim còn có sự tham gia của Lorraine Ashbourne, Yazdan Qafouri, Benjamin Wainwright, Michael Wildman, Jude Akuwudike, Bilal Hasna và Janine Duvitski trong các vai diễn chưa được tiết lộ.
Sịa

Sịa (Còn gọi là Quảng Sịa) là thị trấn huyện lỵ của huyện Quảng Điền, thành phố Huế, Việt Nam.
Địa lý

Thị trấn Sịa có vị trí địa lý:
Phía đông giáp xã Quảng Phước
Phía tây giáp xã Quảng Vinh
Phía nam giáp xã Quảng Vinh và xã Quảng Thọ.
Phía bắc giáp xã Quảng Lợi và phá Tam Giang.
Lịch sử

Ngày 17 tháng 3 năm 1997, thành lập thị trấn Sịa, thị trấn huyện lỵ huyện Quảng Điền trên cơ sở 1.118,4 ha diện tích tự nhiên và 8.610 người của xã Quảng Phước.
Hành chính

Thị trấn Sịa được chia thành 10 tổ dân phố:
An Gia
Uất Mậu
Khuông Phò
Thủ Lễ
Giang Đông
Thạch Bình
Tráng Lực
Văn Căn
Lương Cổ
Vĩnh Hoà
Chú thích

↑  22/1997/CP
↑  Tổng cục Thống kê
↑  “Nghị định 22-CP năm 1997 về việc thành lập thị trấn và điều chỉnh địa giới hành chính một số xã thuộc các huyện Quảng Điền, Nam Đông, tỉnh Thừa Thiên Huế”.
Musan

| Musan> Chuyển tự Tiếng Triều Tiên |
| --- | --- |
 • Hangul: 무산군
 • Hanja: 茂山郡
 • Romaja quốc ngữ: Musan-gun
 • McCune–Reischauer: Musan kun
 
 

 
 Vị trí tại Hamgyong Bắc
Musan
Quốc gia: Hàn Quốc
Diện tích
 • Tổng cộng: 1,300 km² km2 (Lỗi định dạng: giá trị đầu vào không hợp lệ khi làm tròn mi2)
Dân số (2008)
 • Tổng cộng: 123,721 người
Ga Musan
Musan (Hán Việt: Mậu Sơn) là một huyện của tỉnh Hamgyong Bắc tại Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Triều Tiên. Huyện giáp với Trung Quốc ở phía bắc qua sông Đồ Môn. Huyện bao gồm 1 thị trấn, 6 khu lao động và 15 làng. Chính quyền của huyện nằm ở trấn Musan. Luogo và Dehua là hai đô thị Trung Quốc gần nhất của huyện.
Địa hình của Musan cao với trên 90% diện tích là đồi núi, có dân cư thưa thớt; phần lớn huyện nằm trên cao nguyên Paekmu, trong khi phần tây bắc là một phần của cao nguyên Musan. Dãy núi Hamgyong chạy dọc phần ranh giới tây bắc của huyện. Musan là nơi lạnh nhất tại tỉnh Hamgyong Bắc.
Khu vực Musan được biết đến với các mỏ quặng sắt, gỗ xẻ và khoai tây. Mỏ Musan, một mỏ quặng sắt lớn, nằm ở đây. Do nhiều cây đã bị chặt để làm nhiên liệu nên chỉ còn lại rất ít cây ở khu vực này.
Các nông dân ở Musan chăn nuôi bò, gà, vịt và thỏ. Tuy nhiên, chính phủ cấm người dân nuôi bò để lấy thịt. Những con bò ở đây chỉ được phép sử dụng để làm việc.
Các tuyến đường sắt đi qua địa bàn huyện là tuyến Musan và tuyến Paekmu.
Musan và khu vực xung quanh bị ảnh hưởng nặng nề bởi lũ lụt năm 2016 do hậu quả của cơn bão Lionrock.
Dân số

Năm 2008, dân số toàn huyện Musan là 123.721 người (59.354 nam và 64.367 nữ), trong đó, dân cư đô thị là 84.547 người (68,3%) còn dân cư nông thôn là 39.174 người (31.7%).
Cyperus trigonellus

| Cyperus trigonellus> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Poales
Họ (familia): Cyperaceae
Chi (genus): Cyperus
Loài (species): C. trigonellus
Danh pháp hai phần
Cyperus trigonellus Suess. 
Cyperus trigonellus là loài thực vật có hoa trong họ Cói. Loài này được Suess. mô tả khoa học đầu tiên năm 1951.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cyperus trigonellus”. Truy cập ngày 11 tháng 6 năm 2013.
Hongwon

| Hongwon> Chuyển tự Tiếng Triều Tiên |
| --- | --- |
 • Hangul: 홍원군
 • Hanja: 洪原郡
 • Romaja quốc ngữ: Hongwon-gun
 • McCune–Reischauer: Hongwŏn kun
 
 
 Vị trí tại Hamgyong Nam
Hongwon
Quốc gia: Hàn Quốc
Diện tích
 • Tổng cộng: 874,64 km² km2 (Lỗi định dạng: giá trị đầu vào không hợp lệ khi làm tròn mi2)
Dân số (2008)
 • Tổng cộng: 142,910 người
Hongwon (Hán Việt: Hồng Nguyên) là một huyện của tỉnh Hamgyong Nam tại Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Triều Tiên. Huyện nằm giữa biển Nhật Bản ở phía nam, và dãy núi Hamgyong ở phía bắc.
Phần phía tây bắc của Hongwon chủ yếu là đồi núi với đỉnh cao nhất là Palbong. Các dóng nước chính trên địa bàn là Tongdaechon (동대천) và Sodaechon (서대천). Khu vực ven biển có địa hình thấp hơn. Nhiệt độ thay đổi từ khu vực ven biển đến các vùng núi cao. Các ngọn núi đã góp phần điều hòa khí hậu cho huyện.
Kinh tế địa phương phụ thuộc vào nông nghiệp với các loại cây trồng chủ yếu như lúa gạo, đỗ tương, kê, yến mạch và khoai tây. Bên cạnh đó, ngành thủy sản cũng phát triển ở vùng ven biển. Huyện có một trưc lượng thấp các tài nguyên vàng, bạc, đá vôi, hoàng thạch và graphit. Ga Hongwon nằm trên tuyến đường sắt Hamgyong (nay là tuyến Pyongra).
Năm 2008, dân số toàn Huyện Hongwon là 142.910 người (67.216 nam và 75.694 nữ), trong đó, dân cư đô thị là 71.763 người (50,2%) còn dân cư nông thôn là 71.147 người (49,8%).
Công thức De Moivre

Trong toán học, công thức de Moivre (hay định thức de Moivre, đẳng thức de Moivre, tiếng Anh: de Moivre's formula) phát biểu rằng với mọi số thực x và số nguyên n, đẳng thức sau luôn xảy ra, với i là đơn vị ảo (i2 = −1):
Công thức được đặt theo tên của nhà toán học Abraham de Moivre, mặc dù ông chưa bao giờ đề cập nó trong các tác phẩm của mình. Công thức này có giá trị chủ yếu ở việc liên kết các số phức với công thức lượng giác. Bằng việc khai triển biểu thức ở vế trái sau đó sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau, công thức de Moivre có thể được sử dụng để khai triển cos nx và sin nx dưới dạng đơn giản hơn là đa thức của cos x và sin x.
Như nội dung của công thức, đẳng thức này không được áp dụng hoàn toàn cho trường hợp n không phải là số nguyên.
Ví dụ

Với  x=30^{\circ } và  n=2, công thức de Moivre có thể được áp dụng như sau: \left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),hoặc tương đương với \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.Trong ví dụ này, có thể kiểm tra được đẳng thức có đúng hay không bằng cách khai triển phép bình phương ở vế trái.
Mối quan hệ với công thức Euler

Công thức de Moivre là hệ quả cho công thức Euler - công thức thiết lập mối quan hệ giữa các hàm lượng giác và hàm mũ với số mũ phức:
e^{ix}=\cos x+i\sin x,
Sử dụng tính chất của phép lũy thừa, có thể sử dụng công thức Euler để suy ra công thức de Moivre, bằng cách viết như sau:
\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},
sử dụng công thức Euler cho vế trái, vế trái tương đương với  \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}, vế phải sẽ tương đương với:
e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.
Chứng minh bằng quy nạp

Công thức de Moivre có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép quy nạp cho các số tự nhiên, từ đó mở rộng ra các số nguyên. Với số nguyên n cho trước, gọi mệnh đề sau đây là S(n):
(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.
Với n > 0, phép quy nạp toán học bắt đầu từ đây. S(1) là một mệnh đề đúng, từ đó giả sử S(k) là mệnh đề đúng với số k nguyên nào đó, điều này tương đương với:
\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.
Xét mệnh đề S(k + 1):
{\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{do S(k) là mệnh đề đúng}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{sử dụng công thức lượng giác}}\end{alignedat}}
Từ đó dẫn tới khi S(k) đúng, S(k + 1) cũng đúng, từ đó theo phép quy nạp toán học, công thức này đúng với mọi số tự nhiên. S(0) cũng là mệnh đề đúng do cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1. Với các số nguyên âm. xét một số nguyên âm −n là số đối của n, khi đó:
{\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\qquad (*)\\\end{aligned}}
phương trình (*) là một phương trình đúng nhờ có tính chất:
 z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}, ở đó z = cos nx + i sin nx.
Từ đó, S(n) đúng với mọi số nguyên n
Công thức hạ bậc của sin và cosin

Để hai số phức có thể bằng nhau, phần thực và phần ảo của chúng đều phải đôi một bằng nhau. Nếu như x, hay cos x và sin x đều là những số thực, khi đó chúng đều có thể được sử dụng để thiết lập mối quan hệ bằng nhau bằng việc sử dụng định lý nhị thức. Công thức này được phát biểu lần đầu tiên vào thế kỷ thứ 16 bởi nhà toán học người Pháp François Viète:
{\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}
Ở vế phải của cả hai đồng nhất thức, hệ số tự do hoặc là 1, -1 hay 0. Hai đồng nhất thức này đúng kể cả khi x là một số phức. Dưới đây là hai ví dụ cho trường hợp n = 2 và n = 3:
{\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}
Bản chất vế trái của đồng nhất thức với cos nx là giá trị của Tn(cos x) - một đa thức Chebyshev.
Số mũ không nguyên

Công thức de Moivre không chắc chắn đúng khi số mũ không nguyên, do khi một số phức được lũy thừa hóa với số mũ không nguyên, có nhiều hơn một kết quả được thu lại. Ví dụ, với n = 1/2, công thức de Moivre khi được áp dụng cho ra kết quả:
Với x = 0, công thức tương đương 11/2 = 1 và,
Với x = 2π, công thức lại tương đương với 11/2 = −1
Điều này xảy ra do 11/2 vừa bằng 1, vừa bằng -1, nên công thức không đúng trong trường hợp này.
Phát biểu đồng dạng > Hàm lượng giác hyperbolic

Do cosh x + sinh x = ex, một phát biểu đồng dạng cũng xuất hiện với các hàm hyperbol, rằng với mọi số nguyên n:
(\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.
Nếu n là một số hữu tỉ, khi đó cosh nx + sinh nx sẽ là một giá trị của (cosh x + sinh x)n
Phát biểu đồng dạng > Mở rộng với số phức

Công thức với số phức  z=x+iy vẫn có dạng:
(\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}., khi mà:
{\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}
Phát biểu đồng dạng > Ma trận vuông 2x2

Xét ma trận  A={\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}, khi đó:
{\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &\sin n\phi \\-\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}
Đẳng thức này có thể được chứng minh bằng phép quy nạp như công thức de Moivre.
Chú thích

↑  Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). College Algebra and Trigonometry (ấn bản thứ 4). Boston: Pearson/Addison Wesley. tr. 792. ISBN 9780321497444.
↑  Mukhopadhyay, Utpal (tháng 8 năm 2006). “Some interesting features of hyperbolic functions”. Resonance. 11 (8): 81–85. doi:10.1007/BF02855783. S2CID 119753430.
Lacy Duarte

Elvira Lacy Duarte Cardoso (15 tháng 9 năm 1937 – 27 tháng 12 năm 2015) là một nghệ sĩ thị giác người Uruguay.
Tiểu sử

Elvira Lacy Duarte Cardoso sinh ra ở Mataojo, Sở Salto ở Uruguay vào ngày 15 tháng 9 năm 1937 gần biên giới với Brazil, một vùng nông thôn sẽ đến để mô tả tác phẩm nghệ thuật của cô. Năm 1952, cô chuyển đến Thành phố Salto và hai năm sau đó tham gia Hội thảo Figari của Hiệp hội Horacio Quiroga, nơi cô tham dự các lớp học vẽ với họa sĩ José Cziffery [es], bản thân được đào tạo trong hội thảo tại Paris của Henri Matisse, và Ernesto Aroztegui [es].
Năm 1959, Duarte kết hôn với họa sĩ Aldo Peralta và có hai con, Pablo và Pedro Peralta [es], cả hai sau này cũng trở thành các họa sĩ. Năm 1962, gia đình này chuyển đến San Carlos ở Maldonado, nơi Duarte bắt đầu dạy các lớp vẽ giáo dục trung học và bắt đầu học dệt. Năm 1975, gia đình chạy trốn từ chế độ độc tài quân sự-dân sự của Uruguay đến Porto Alegre, Brazil và bỏ lại xưởng dệt thảm Duarte Tapices cho các thợ dệt thảm địa phương. Aldo qua đời năm 1981, và Duarte trở lại Montevideo ngay sau đó và tiếp tục vẽ tranh. Năm 1986, cô được chọn đại diện cho Uruguay tại Havana Biennial 1987 và nghệ thuật của cô được triển lãm tại Hoa Kỳ và Châu Âu.
Năm 1990, Duarte bắt đầu thực hiện một loạt các tác phẩm nghệ thuật bao gồm các bức tranh và đồ vật như chạm khắc gỗ, vụn bánh mì, khăn trải giường rách rưới, tình trạng của phụ nữ và trẻ em ở nông thôn và những người thực hiện các nhiệm vụ nông thôn (Nông dân, thợ săn, người đánh bẫy, v.v.). Dự án này, mang tên Memoria y ritos en el espacio de la mujer campesina, đã đề cập đến sự khác biệt mà Duarte quan sát được giữa người dân thành thị và nông thôn. Sê-ri tác phẩm này sẽ được trưng bày tại Bảo tàng Juan Manuel Blanes ở khu phố Prado của Montevideo, Bảo tàng nghệ thuật Rio Grande do Sul ở Porto Alegre, Phòng trưng bày Linda Moore ở San Diego, California và tại hai năm một lần ở Paris và Cuenca và các viện bảo tàng khác về nghệ thuật của Uruguay.