Đại số
Các nhánh chính > Đại số trừu tượng > Lý thuyết về quan hệ tương hỗ giữa các cấu trúc

Ngoài nhóm, vành và trường, đại số còn nghiên cứu nhiều loại cấu trúc khác như magma, nửa nhóm, monoid, nhóm Abel, vành giao hoán, mô đun, dàn, không gian vectơ, đại số trên một trường, đại số kết hợp và đại số phi kết hợp. Chúng khác nhau về loại đối tượng được mô tả và ràng buộc mà các phép toán trong chúng phải thỏa mãn. Nhiều cấu trúc có liên hệ với nhau ở chỗ một cấu trúc cơ bản có thể được chuyển thành cấu trúc nâng cao hơn thông qua đáp ứng các yêu cầu bổ sung. Chẳng hạn, một magma trở thành nửa nhóm nếu phép toán của nó có tính kết hợp.
Phép đồng cấu là công cụ khảo sát các yếu tố cấu trúc qua việc so sánh hai cấu trúc đại số. Đồng cấu là một hàm từ tập nền của một cấu trúc đại số sang tập nền của một cấu trúc đại số khác bảo toàn các đặc trưng cấu trúc nhất định. Nếu hai cấu trúc đại số sử dụng phép toán hai ngôi và có dạng  \langle A,\circ \rangle  và  \langle B,\star \rangle  thì hàm  h:A\to B là một đồng cấu khi nó thỏa mãn  h(x\circ y)=h(x)\star h(y). Sự tồn tại của một đồng cấu chỉ ra rằng phép toán  \star  ở cấu trúc thứ hai có cùng vai trò với phép toán  \circ  ở cấu trúc thứ nhất. Phép đẳng cấu là một dạng đặc biệt của đồng cấu biểu thị mức độ tương đồng cao giữa hai cấu trúc đại số. Đẳng cấu là phép đồng cấu song ánh, có nghĩa là nó thiết lập mối quan hệ một–một giữa các phần tử của hai cấu trúc đại số. Điều này mang hàm ý rằng mọi phần tử của cấu trúc thứ nhất đều được ánh xạ sang một phần tử duy nhất trong cấu trúc thứ hai mà không có phần tử nào không được ánh xạ ở cấu trúc thứ hai đó.
Một công cụ so sánh khác là quan hệ giữa một cấu trúc đại số với đại số con của nó. Cả cấu trúc đại số này và đại số con đều sử dụng chung các phép toán, đồng thời các phép toán đó tuân thủ cùng những tiên đề. Điểm khác nhau duy nhất là tập nền của đại số con là tập con của tập nền của cấu trúc đại số ứng với nó. Mọi phép toán trong đại số con phải là đóng trên tập nền, tức là chúng chỉ cho ra phần tử thuộc tập nền này. Chẳng hạn, tập hợp các số nguyên chẵn cùng với phép cộng là một đại số con của tập hợp các số nguyên cùng với phép cộng, do tổng của hai số chẵn là một số chẵn. Song, tập hợp các số nguyên lẻ cùng với phép cộng không phải là đại số con do nó không có tính đóng: tổng của hai số lẻ là một số chẵn không thuộc tập hợp con đã chọn.
Đại số phổ dụng là nghiên cứu về các cấu trúc đại số nói chung. Trong quan điểm chung, đại số phổ dụng không quan tâm tới các phần tử cụ thể tạo nên tập nền và xem xét cả những phép toán với nhiều hơn hai đầu vào, chẳng hạn như phép toán ba ngôi. Lĩnh vực này cho chúng ta một khuôn mẫu để tìm hiểu xem các cấu trúc đại số khác nhau có chung những đặc điểm cấu trúc nào. Một trong những đặc điểm trên có liên quan đến các đồng nhất thức luôn đúng trong các cấu trúc đại số khác nhau. Trong trường hợp này, đồng nhất thức là một phương trình phổ dụng hoặc phương trình luôn đúng với mọi phần tử trong tập nền. Ví dụ, tính giao hoán là một phương trình phổ dụng phát biểu rằng  a\circ b bao giờ cũng đồng nhất với  b\circ a. Đa tạp là một lớp chứa tất cả các cấu trúc đại số thỏa mãn một số đồng nhất thức nào đó. Nếu hai cấu trúc đại số cùng thỏa mãn tính giao hoán, chẳng hạn, thì chúng đều thuộc về đa tạp tương ứng.
Lý thuyết phạm trù sử dụng khái niệm phạm trù để tìm hiểu xem các đối tượng toán học có liên hệ với nhau như thế nào. Phạm trù là một bộ các đối tượng cùng với một bộ cấu xạ hoặc "mũi tên" giữa những đối tượng đó. Hai bộ trên phải đáp ứng một vài điều kiện nhất định. Chẳng hạn, cấu xạ có thể được liên kết hay hợp nối lại: nếu tồn tại một cấu xạ từ đối tượng  a sang đối tượng  b và một cấu xạ khác từ đối tượng  b sang đối tượng  c thì cũng phải tồn tại một cấu xạ từ đối tượng  a sang đối tượng  c. Phép hợp nối cấu xạ cần có tính kết hợp và mỗi đối tượng phải có một "cấu xạ đồng nhất" tương ứng. Phạm trù được ứng dụng phổ biến trong toán học đương đại do chúng cung cấp một khuôn khổ thống nhất để mô tả và phân tích nhiều khái niệm toán học cốt lõi. Ví dụ, tâp hợp có thể được mô tả bằng phạm trù tập hợp, và một nhóm bất kỳ có thể xem là các cấu xạ của một phạm trù với chỉ một đối tượng.