Thuyết tương đối rộng
Từ cơ học cổ điển đến thuyết tương đối rộng > Phương trình trường Einstein

Bài chi tiết: Phương trình trường Einstein và Toán học của thuyết tương đối rộng
Tuy đã nhận ra được hình học Riemann là công cụ toán học cần thiết nhằm mô tả các hiệu ứng hấp dẫn, chúng ta còn cần phải xác định thêm những nguồn của trường hấp dẫn. Trong mô hình hấp dẫn Newton, nguồn hấp dẫn là khối lượng. Trong thuyết tương đối hẹp, khối lượng là một thành phần trong đại lượng tổng quát hơn là tenxơ năng lượng–động lượng, bao gồm mật độ năng lượng và mật độ động lượng cũng như ứng suất (bao gồm áp suất và lực cắt). Tenxơ năng lượng–động lượng không chứa năng lượng của trường hấp dẫn. Nếu nguồn hấp dẫn trong thuyết tương đối rộng chỉ là khối lượng-năng lượng, thì chúng ta cần phải lựa chọn ưu tiên một hệ quy chiếu quán tính và do đó đòi hỏi tồn tại một hệ quy chiếu quán tính toàn cục, điều này là không được phép trong thuyết tương đối tổng quát. Nhờ nguyên lý tương đương Einstein, ngoài khối lượng, năng lượng thì ứng suất cũng trở thành một nguồn cho trường hấp dẫn. Và tenxơ ứng suất–năng lượng ngay lập tức tổng quát cho không thời gian cong và trở thành tenxơ miêu tả mật độ nguồn cho trường hấp dẫn. Để cho phép thu về trường hợp giới hạn của lực hấp dẫn Newton cổ điển, một cách tự nhiên chúng ta giả thiết rằng phương trình trường hấp dẫn liên hệ tenxơ ứng suất–năng lượng hạng hai với một tenxơ độ cong hạng hai gọi là tenxơ Ricci, tenxơ này có ý nghĩa vật lý miêu tả một trường hợp đặc biệt của hiệu ứng thủy triều: nó cho biết sự thay đổi thể tích của một đám nhỏ hạt thử ban đầu đứng yên tương đối với nhau, và sau đó rơi tự do trong trường hấp dẫn. Trong thuyết tương đối hẹp, định luật bảo toàn năng lượng–động lượng tương ứng với phương trình toán học là phân kỳ của tenxơ ứng suất–năng lượng phải bằng 0 (hay tự do). Công thức này cũng được tổng quát hóa sang cho không thời gian cong bằng cách thay thế đạo hàm riêng thông thường theo các trục tọa độ của đa tạp cong bằng đạo hàm hiệp biến của các tọa độ, đạo hàm này được nghiên cứu trong hình học vi phân. Các định luật bảo toàn phải luôn thỏa mãn ở phạm vi cục bộ — hay là phân kỳ hiệp biến của tenxơ mật độ ứng suất–năng lượng bằng 0, và do vậy phân kỳ hiệp biến của vế bên kia phương trình trường - vế cho biết độ cong cục bộ của không thời gian - cũng phải bằng 0. Ban đầu, Einstein nghĩ rằng vế hình học này chỉ có tenxơ Ricci (phân kỳ hiệp biến của tenxơ này khác 0), nhưng sau đó ông phát hiện ra phương trình trường cần phải tuân theo định lý phân kỳ hiệp biến tự do - và ông đã tìm ra dạng phương trình đơn giản nhất tuân theo định lý này, mà ngày nay gọi là Phương trình trường Einstein:
Vế trái của phương trình là tenxơ Einstein, phân kỳ hiệp biến của tenxơ này bằng 0. Tenxơ này là tổ hợp của tenxơ Ricci  R_{\mu \nu } và tenxơ mêtric  g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }. Đặc biệt
là độ cong vô hướng Ricci, với  g^{\alpha \beta } có thể coi là các phần tử của ma trận nghịch đảo của ma trận có phần tử  g_{\alpha \beta }. Tenxơ Ricci liên hệ với tenxơ độ cong Riemann  {R^{\alpha }}_{\mu \beta \nu } thông qua phép thu gọn chỉ số
Mặt khác, hệ số liên thông (hay ký hiệu Christoffel, nó không phải là tenxơ) có thể được tính từ tenxơ mêtric,
và tenxơ độ cong Riemann (miêu tả độ cong nội tại cục bộ của không thời gian) bằng
ở đây  {\partial _{\nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}} là đạo hàm riêng. Trong thuyết tương đối rộng, tenxơ độ xoắn bằng 0, do đó hệ số Christoffel có tính đối xứng  {\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }} cũng như tenxơ Ricci  R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }.
Trên vế phải của phương trình trường,  T_{\mu \nu } là tenxơ mật độ ứng suất–năng lượng. Định luật bảo toàn năng lượng-động lượng cục bộ tương đương với phân kỳ hiệp biến (đạo hàm hiệp biến) của nó
với
Tenxơ Einstein
và
Một khi giải phương trình Einstein và tìm được nghiệm là tenxơ mêtric (cho phép xác định được cấu trúc hình học của đa tạp không thời gian), chúng ta sẽ miêu tả được chuyển động của hạt (hay kể cả ánh sáng-photon) trong trường hấp dẫn thông qua phương trình đường trắc địa,
với  \lambda  là tham số của đường trắc địa. Tất cả các phương trình trên được viết trong hệ tọa độ  {x^{\alpha }} bất kỳ. Tất cả các tenxơ và hệ số Christoffel có thành phần viết theo ký hiệu chỉ số trừu tượng, và tuân theo quy tắc tính tổng Einstein. Để cho kết quả tiên đoán phù hợp với kết quả lý thuyết Newton về quỹ đạo các hành tinh và khi trường hấp dẫn yếu, Einstein tìm ra hằng số tỷ lệ trong phương trình κ = 8πG/c4, với G là hằng số hấp dẫn và c là tốc độ ánh sáng. Khi không có vật chất hay bức xạ, tenxơ mật độ ứng suất–năng lượng bằng 0, và chúng ta thu được phương trình chân không Einstein,
do vô hướng độ cong R là hàm của tenxơ Ricci nên nó cũng bằng 0 trong phương trình chân không.
Ngoài cách dẫn ra phương trình Einstein tuân theo định luật bảo toàn năng lượng-động lượng ở trên, chính Einstein và nhà toán học David Hilbert còn nêu ra phương pháp biến phân cho tác dụng Einstein-Hilbert và cũng thu được phương trình trường. Phương pháp biến phân có đặc điểm là nó thuận lợi cho việc tổng quát hay mở rộng thuyết tương đối tổng quát.
Các nhà vật lý cũng đã đề xuất ra những lý thuyết khác so với thuyết tương đối tổng quát và thu được những phương trình trường khác nhau. Những lý thuyết này cũng dựa trên ba điều kiện mà thuyết tương đối tổng quát thỏa mãn:
Các phương trình tuân theo nguyên lý hiệp biến tổng quát (và nguyên lý tương đương Einstein).
Phương trình trường tuân theo định luật bảo toàn năng lượng-động lượng cục bộ đối với mọi tenxơ mêtric.
Khi trường hấp dẫn yếu và vận tốc các vật thể là nhỏ so với tốc độ ánh sáng, lý thuyết sẽ thu về mô hình hấp dẫn Newton và cơ học cổ điển.
Ngoài ba điều kiện trên thì các lý thuyết này còn có thêm một số giả thiết khác, và do đó những lý thuyết đề xuất này phức tạp hơn về mặt toán học so với thuyết của Einstein. Ví dụ một số lý thuyết như thuyết Brans–Dicke, teleparallelism, và thuyết Einstein–Cartan (thuyết này coi tenxơ độ xoắn khác 0).