Nhóm Lie
Các ví dụ của các nhóm Lie

Sau đây là một ví dụ của các nhóm Lie và mối quan hệ của chúng đến các ngành khác của toán học và vật lý học.
Không gian Euclid Rn là một nhóm Lie abelian (với phép cộng vectơ như là phép toán trên nhóm đó).
Nhóm GLn(R) của các ma trận khả nghịch (dưới phép nhân ma trận) là một nhóm Lie với số chiều là n2, được gọii là nhóm tuyến tính tổng quát. Nó có nhóm con là SLn(R) của các ma trận với định thức bằng 1 cũng là một nhóm Lie, được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt.
Nhóm trực giao On(R) là một nhóm Lie được biểu diễn bởi các ma trận trực giao. Nó bao gồm các phép quay và các phép phản xạ của một không gian vectơ n-chiều. Nó có một nhóm con SOn(R) của các ma trận với định thức 1, được gọi là nhóm trực giao đặc biệt hay là nhóm quay.
Nhóm unitary U(n) là một nhóm compact với số chiều n2 biểu diễn bởi các ma trận unitary. Nó có một nhóm con SU(n) với các phần tử với định thức bằng 1, được gọi là nhóm unitary đặc biệt.
Nhóm spin là các phủ kép (double cover) của nhóm trực giao đặc biệt (special orthogonal group), sử dụng trong việc nghiên cứu fermion trong lý thuyết trường lượng tử (quantum field theory)
Nhóm Sp2n(R) của tất cả các ma trận bảo toàn một dạng symplectic là một nhóm Lie gọi là nhóm symplectic.
Các mặt cầu S0, S1, và S3 có thể được làm thành nhóm Lie bằng cách xác định chúng với số thực, số phức, hay quaternion với giá trị 1. Không có mặt cầu nào khác là nhóm Lie. Nhóm Lie S1 đôi khi được gọi là nhóm hình tròn (circle group).
Nhóm của các ma trận n nhân n tam giác góc trên (upper triangular n by n matrices) là một nhóm Lie giải được với số chiều bằng n(n + 1)/2.
Nhóm Lorentz và nhóm Poincare, các isometries của không thời gian, là các nhóm Lie 6 và 10 chiều được sử dụng trong thuyết tương đối hẹp.
Nhóm Heisenberg là một nhóm Lie 3 chiều, sử dụng trong cơ học lượng tử.
Nhóm U(1)×SU(2)×SU(3) là một nhóm Lie có 1+3+8=12 chiều là một nhóm chuẩn (gauge group) của mô hình tiêu chuẩn (standard mode)l, với số chiều tương ứng với 1 photon + 3 vector boson + 8 gluoncủa mô hình tiêu chuẩn (standard model).
Nhóm metaplectic là một nhóm Lie 3 chiều là phủ kép của SL2(R) và được sử dụng trong lý thuyết modular form. Nó không thể được biểu diễn như các ma trận hữu hạn.
Nhóm Lie ngoại lệ của kiểu G2, F4, E6, E7, E8 có số chiều 14, 52, 78, 133, và 248. Cũng có nhóm E7½ với số chiều 190.
Graph of 24-cell regular polytope
Graph of E6 Gosset polytope, 221
E7
E8
Nhiều ví dụ khác trong bảng các nhóm Lie và danh sách các nhóm Lie đơn và nhóm ma trận.
Có những cách để tạo thành một nhóm Lie mới từ các nhóm Lie cho trước:
Tích của hai nhóm Lie là một nhóm Lie.
Nhóm con đóng của một nhóm Lie là nhóm Lie.
Nhóm thương của nhóm Lie cho nhóm con đóng chuẩn tắc là nhóm Lie.
Phủ phổ dụng của một nhóm Lie liên thông là nhóm Lie. For example, the group R is the universal cover of the circle group S1.
Vài ví dụ các nhóm không phải là nhóm Lie:
Nhóm vô hạn chiều, ví dụ như là nhóm dưới phép cộng của một không gian vector vô hạn chiều. Chúng không phải là các nhóm Lie bởi vì chúng không phải là các đa tạp hữu hạn chiều.
Một số nhóm hoàn toàn rời rạc (totally disconnected), như là nhóm Galois của một mởi rộng vô hạn của các trường, or the additive group of the số p-adic. These are not Lie groups because their underlying spaces are not real manifolds. (Some of these groups are "p-adic Lie groups".)