Nửa nhóm

Cấu trúc đại số bao gồm tập hợp đi cùng phép toán hai ngôiBản mẫu:SHORTDESC:Cấu trúc đại số bao gồm tập hợp đi cùng phép toán hai ngôi
Các cấu trúc đại số nằm giữa magma và nhóm: nửa nhóm là magma đi kèm theo tính kết hợp. monoid là nửa nhóm kèm thêm phần tử đơn vị.
Trong toán học, nửa nhóm là cấu trúc đại số bao gồm một tập hợp đi cùng với một phép toán hai ngôi có tính kết hợp.
Phép toán hai ngôi của nửa nhóm thường được ký hiệu theo phép nhân: x·y, hoặc đơn giản là xy, ký hiệu cho kết quả của phép toán cho cặp được sắp (x, y). Tính kết hợp thường được viết như sau: (x·y)·z = x·(y·z) với mọi x, y và z thuộc nửa nhóm.
Nửa nhóm được coi là một trường hợp đặc biệt của các magma, trong đó phép toán có tính kết hợp, hoặc là dạng tổng quát của các nhóm bởi không cần đến phần tử đơn vị hay phần tử nghịch đảo. Giống như nhóm hoặc magma, phép toán trong nửa nhóm không cần phải có tính giao hoán, nên x·y không nhất thiết phải bằng với y·x; Một ví dụ nổi bật về phép toán có tính kết hợp nhưng không có tính giao hoán là phép nhân ma trận. Nếu phép toán có tính giao hoán, thì nửa nhóm đó được gọi là nửa nhóm giao hoán hoặc (tương tự cách gọi nhóm Abel nhưng ít khi gọi hơn) là nửa nhóm abel.
Monoid là cấu trúc đại số trung gian nằm giữa nửa nhóm và nhóm, là nửa nhóm đi kèm theo phần tử đơn vị, do đó thỏa mãn tất cả các tiên đề của nhóm ngoại trừ tiên đề phần tử nghịch đảo. Một ví dụ chẳng hạn như tập các xâu cùng với phép nối xâu làm phép toán hai ngôi và phần tử đơn vị là xâu rỗng. Nếu bỏ đi xâu rỗng thì tập các xâu này tạo thành một nửa nhóm không phải monoid. Tập các số nguyên dương cùng phép cộng tạo thành nửa nhóm giao hoán nhưng không phải monoid, trong khi tập các số nguyên không âm có tạo thành một monoid. Nửa nhóm có thể dễ dàng biến thành monoid bằng cách thêm phần tử đơn vị. Bởi vậy, các monoid thường được nghiên cứu trong lý thuyết nửa nhóm thay vì trong lý thuyết nhóm. Ta không nên nhầm lẫn giữa nửa nhóm với tựa nhóm, tựa nhóm là dạng tổng quát của nhóm theo hướng khác; phép toán trong tựa nhóm không cần tính giao hoán nhưng cần bảo toàn phép chia. Phép chia trong nửa nhóm (hoặc trong monoid) thường không khả thi.
Nghiên cứu các nửa nhóm chính thức bắt đầu từ ban đầu thế kỷ 20. Các kết quả ban đầu bao gồm định lý Cayley cho các nửa nhóm, trong đó các hàm tùy ý thay thế vị trí của các song ánh trong lý thuyết nhóm. Một kết quả sâu hơn nằm trong phân loại các nửa nhóm hữu hạn là lý thuyết Krohn–Rhodes, tương tự với phân tích Jordan–Hölder cho nhóm hữu hạn. Một số kỹ thuật để nghiên cứu nửa nhóm như các quan hệ của Green, không có trong lý thuyết nhóm.
Lý thuyết của các nửa nhóm hữu hạn có ứng dụng quan trọng trong khoa học máy tính lý thuyết kể từ những năm 1950 bởi liên hệ tự nhiên giữa các nửa nhóm hữu hạn và automata hữu hạn qua monoid cú pháp.  Trong lý thuyết xác suất, nửa nhóm thường được xét trong các tiến trình Markov. Trong các nhánh khác của toán học ứng dụng, nửa nhóm là mô hình cơ bản cho các hệ thống tuyến tính bất biến thời gian.  Trong các phương trình vi phân riêng phần, Nửa nhóm thường được xét với các phương trình có tiến hóa không phụ thuộc vào thời gian.
Có nhiều lớp đặc biệt của nửa nhóm, là các nửa nhóm đi kèm thêm một số tính chất đặc biệt. Một số lớp còn biểu hiện gần hết các tính chất của nhóm. Trong đó bao gồm: nửa nhóm chính quy, nửa nhóm cùng phép chập, nửa nhóm khả nghịch và nửa nhóm khử được.