Số nguyên tố
Chú thích

1 2  Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Largest Known Primes”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. tr. 26. ISBN 978-0-19-850105-3.
↑  Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (ấn bản thứ 2). Routledge. tr. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.
↑  Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. tr. 16. OCLC 6975809.
↑  Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. tr. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9.
↑  Dudley, Underwood (1978). “Section 2: Unique factorization”. Elementary number theory (ấn bản thứ 2). W.H. Freeman and Co. tr. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.
↑  Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (ấn bản thứ 2). Elsevier. tr. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
1 2  Ziegler, Günter M. (2004). “The great prime number record races”. Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414–416. MR 2039814.
↑  Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. tr. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.
↑  Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. tr. 40. MR 0170843.
↑  Nathanson, Melvyn B. (2000). “Notations and Conventions”. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.
↑  Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (ấn bản thứ 2). John Wiley & Sons. tr. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.
↑  Bruins, Evert Marie, bình duyệt trong Mathematical Reviews của Gillings, R.J. (1974). “The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?”. Archive for History of Exact Sciences. 12 (4): 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458.
↑  Caldwell, Chris K. “Euclid's Proof of the Infinitude of Primes (c. 300 BC)”. The Prime Pages. University of Tennessee. Bản gốc lưu trữ ngày 24 tháng 5 năm 2020. Truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2020.
1 2  Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản thứ 3). Springer. tr. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
1 2  Pomerance, Carl (tháng 12 năm 1982). “The Search for Prime Numbers”. Scientific American. 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.
1 2 3  Mollin, Richard A. (2002). “A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)”. Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.
↑  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”. Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor. Đại học St. Andrews. Lưu trữ bản gốc ngày 19 tháng 12 năm 2020. Truy cập ngày 10 tháng 3 năm 2021.
↑  Sandifer, C. Edward (2007). “8. Fermat's Little Theorem (November 2003)”. How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. tr. 45. ISBN 978-0-88385-563-8.
↑  Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. tr. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.
↑  Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. tr. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
↑  Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. 4 (ấn bản thứ 2). World Scientific. tr. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
↑  Narkiewicz, Wladyslaw (2000). “1.2 Sum of Reciprocals of Primes”. The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. tr. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.
↑  Tchebychev, P. (1852). “Mémoire sur les nombres premiers” (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (bằng tiếng Pháp): 366–390. (Phần chứng minh định đề: 371–382). Xem thêm Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, tập 7, tr. 15–33, 1854
↑  Apostol, Tom M. (2000). “A centennial history of the prime number theorem”.  Trong Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (biên tập). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. tr. 1–14. MR 1764793.
↑  Apostol, Tom M. (1976). “7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions”. Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. tr. 146–156. MR 0434929.
↑  Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. tr. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.
↑  Rosen, Kenneth H. (2000). “Theorem 9.20. Proth's Primality Test”. Elementary Number Theory and Its Applications (ấn bản thứ 4). Addison-Wesley. tr. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.
↑  Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. tr. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.
↑  Rosen 2000, tr. 245
↑  Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. tr. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.
↑  Katz, Shaul (2004). “Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem”. Science in Context. 17 (1–2): 199–234. doi:10.1017/S0269889704000092. MR 2089305.
1 2 3  Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. tr. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.
↑  Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. tr. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.
↑  Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. tr. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.
1 2  Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. tr. 18, 47. ISBN 978-0-19-109243-5.
1 2  Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). “The history of the primality of one: a selection of sources”. Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523. Đối với những câu nói chọn lọc của các nhà toán học Hy Lạp về vấn đề này, xem tr. 3–4. Đối với các nhà toán học Hồi giáo, xem tr. 6.
↑  Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua: A Series of Monographs on Ancient Philosophy. 39. Brill. tr. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.
↑  Caldwell và đồng nghiệp 2012, tr. 7–13. Đặc biệt xem mục về Stevin, Brancker, Wallis và Prestet.
↑  Caldwell và đồng nghiệp 2012, tr. 15
1 2 3  Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). “What is the smallest prime?” (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530.
↑  Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (ấn bản thứ 2). Basel, Switzerland: Birkhäuser. tr. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250.
1 2  Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. tr. 129–130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676.
↑  Đối với hàm phi Euler, xem Sierpiński 1988, tr. 245. Đối với hàm tổng các ước số, xem Sandifer 2007, tr. 59.
↑  Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (ấn bản thứ 12). Cengage Learning. tr. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.
↑  Dudley 1978, mục 2, định lý 2, tr. 16; Neale 2017, tr. 107
↑  du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. tr. 23. ISBN 978-0-06-093558-0.
↑  Dudley 1978, mục 2, bổ đề 5, tr. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. tr. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.
↑  Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (ấn bản thứ 2). Prentice Hall. tr. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.
↑  Thư của Goldbach gửi Euler bằng tiếng Latinh năm 1730 trong Fuss, P. H. biên tập (1843). “Lettre VIII. Goldbach à Euler”. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle [Thư từ toán học và vật lý của một số nhà hình học nổi tiếng thế kỷ 18]. Saint Petersbourg, Nga: Viện Hàn lâm Khoa học. tr. 32–34.
↑  Furstenberg, Harry (1955). “On the infinitude of primes”. American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.
1 2  Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. tr. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.
↑  Bộ Cơ sở của Euclid, quyển 9, mệnh đề 20. Xem bản dịch tiếng Anh của David Joyce hoặc Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. tr. 63. OCLC 642232959.
↑  Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. tr. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.
1 2 3  Matiyasevich, Yuri V. (1999). “Formulas for prime numbers”.  Trong Tabachnikov, Serge (biên tập). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. tr. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
↑  Mackinnon, Nick (tháng 6 năm 1987). “Prime number formulae”. The Mathematical Gazette. 71 (456): 113–114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496.
↑  Wright, E.M. (1951). “A prime-representing function”. American Mathematical Monthly. 58 (9): 616–618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356.
↑  Guy, Richard (2013). Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics. Springer. tr. vii. ISBN 978-0-387-26677-0.
↑  Guy 2013, C1 "Goldbach conjecture", tr. 105–107
↑  Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). “Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to  4\cdot 10^{18}”. Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1. MR 3194140.
↑  Tao, Terence (2009). “3.1 Structure and randomness in the prime numbers”. Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 239–247. ISBN 978-0-8218-4883-8. MR 2523047. Đặc biệt xem tr. 239.
↑  Guy 2013, tr. 159
↑  Ramaré, Olivier (1995). “On Šnirel'man's constant” (PDF). Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. MR 1375315.
↑  Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. tr. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.
↑  Koshy 2002, định lý 2.14, tr. 109. Riesel 1994 cũng có lập luận tương tự sử dụng giai thừa nguyên tố thay vì giai thừa.
1 2  Riesel 1994, tr. 78–79
↑  “Sloane's A100964 : Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n”. Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến. Tổ chức OEIS.
1 2 3  Ribenboim 2004, mục "Gaps between primes", tr. 186–192
1 2  Ribenboim 2004, tr. 183
↑  Chan, Joel (tháng 2 năm 1996). “Prime time!”. Math Horizons. 3 (3): 23–25. doi:10.1080/10724117.1996.11974965. JSTOR 25678057. Chú ý rằng Chan viết giả thuyết Legendre thành "tiên đề Sierpinski".
↑  Ribenboim 2004, tr. 201–202
↑  Sandifer 2007, tr. 205–208
↑  Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. tr. 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5.
↑  Apostol 1976, mục 1.6, định lý 1.13
↑  Apostol 1976, mục 4.8, định lý 4.12
1 2  Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. tr. 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7.
↑  Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (ấn bản thứ 2). Springer. tr. 6. ISBN 978-0-387-25282-7.
↑  Crandall & Pomerance 2005, mục 3.7, "Counting primes", tr. 152–162
1 2  Crandall & Pomerance 2005, tr. 10
↑  du Sautoy, Marcus (2011). “What are the odds that your telephone number is prime?”. The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. tr. 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0.
↑  Apostol 1976, mục 4.6, định lý 4.7
↑  Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. tr. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.
↑  Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. tr. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.
↑  Crandall & Pomerance 2005, định lý 1.1.5, tr. 12
↑  Green, Ben; Tao, Terence (2008). “The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”. Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481.
↑  Hua, L.K. (2009) [1965]. Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 176–177. ISBN 978-0-8218-4942-2. MR 0194404. OCLC 824812353.
↑  Dãy các giá trị nguyên tố này, bắt đầu tại  n=1 thay vì  n=0, có trong Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). “Chapter 33. Formule fortunate”. 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (bằng tiếng Ý). Ulrico Hoepli Editore S.p.A. tr. 133. ISBN 978-88-203-5804-4.
↑  Chamberland, Marc (2015). “The Heegner numbers”. Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. tr. 213–215. ISBN 978-1-4008-6569-7.
1 2  Guy 2013, tr. 7–10
↑  Patterson, S.J. (1988). An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 14. Cambridge University Press, Cambridge. tr. 1. doi:10.1017/CBO9780511623707. ISBN 978-0-521-33535-5. MR 0933558.
↑  Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. New York: Springer. tr. 10–11. doi:10.1007/978-0-387-72126-2. ISBN 978-0-387-72125-5. MR 2463715.
↑  Sandifer 2007, tr. 191–193
↑  Borwein và đồng nghiệp 2008, giả thuyết 2.7 (giả thuyết Riemann), tr. 15
↑  Patterson 1988, tr. 7
1 2  Borwein và đồng nghiệp 2008, tr. 18
↑  Nathanson 2000, chương 9, "The prime number theorem", tr. 289–324
↑  Zagier, Don (1977). “The first 50 million prime numbers”. The Mathematical Intelligencer. 1 (S2): 7–19. doi:10.1007/bf03351556. Đặc biệt xem tr. 14–16.
↑  Kraft & Washington 2014, mệnh đề 5.3, tr. 96
↑  Shahriari, Shahriar (2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts. 27. American Mathematical Society. tr. 20–21. ISBN 978-1-4704-2849-5.
↑  Dudley 1978, định lý 3, tr. 28
↑  Shahriari 2017, tr. 27–28
↑  Ribenboim 2004, "Fermat's little theorem and primitive roots modulo a prime", tr. 17–21
↑  Ribenboim 2004, "The property of Giuga", tr. 21–22
↑  Ribenboim 2004, "The theorem of Wilson", tr. 21
1 2 3  Childress, Nancy (2009), Class Field Theory, Universitext, Springer, New York, tr. 8–11, doi:10.1007/978-0-387-72490-4, ISBN 978-0-387-72489-8, MR 2462595. Xem thêm tr. 64.
↑  Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (ấn bản thứ 2). Boca Raton, FL: CRC Press. tr. 200. ISBN 978-1-4987-1749-6. MR 3468748.
↑  Weil, André (1995). Basic Number Theory. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. tr. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916. Chú ý rằng một số tác giả như Childress (2009) sử dụng thuật ngữ "vị trí" để chỉ một lớp chuẩn tương đương.
↑  Koch, H. (1997). Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. tr. 136. doi:10.1007/978-3-642-58095-6. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965.
↑  Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. tr. 127. doi:10.1017/CBO9780511804229. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325.
↑  Lauritzen 2003, hệ quả 3.5.14, tr. 133; bổ đề 3.5.18, tr. 136
↑  Kraft & Washington 2014, mục 12.1, "Sums of two squares", tr. 297–301
↑  Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Mục 3.3. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.
↑  Shafarevich, Igor R. (2013). “Definition of  \operatorname {Spec} A”. Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (ấn bản thứ 3). Springer, Heidelberg. tr. 5. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288.
↑  Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Nguyên tắc cơ bản của khoa học toán học]. 322. Berlin: Springer-Verlag. tr. 50. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859.
↑  Neukirch 1999, mục I.7, tr. 38
↑  Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W., Jr. (1996). “Chebotarëv and his density theorem”. The Mathematical Intelligencer. 18 (2): 26–37. doi:10.1007/BF03027290. MR 1395088.
↑  Hall, Marshall (2018). The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. Đối với định lý Sylow, xem tr. 43; với định lý Lagrange, xem tr. 12; với định lý Burnside, xem tr. 143.
↑  Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet. Princeton University Press. tr. 178. ISBN 978-0-691-13118-4.
↑  Hardy, Godfrey Harold (2012) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. tr. 140. ISBN 978-0-521-42706-7. OCLC 922010634. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years.
↑  Giblin, Peter (1993). Primes and Programming. Cambridge University Press. tr. 39. ISBN 978-0-521-40988-9.
↑  Giblin 1993, tr. 54
1 2  Riesel 1994, tr. 220
↑  Bullynck, Maarten (2010). “A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817”. Revue d'Histoire des Mathématiques. 16 (2): 133–216.
↑  Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library. 68. American Mathematical Society. tr. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3.
↑  Crandall & Pomerance 2005, tr. 121
↑  Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). “On the complexity of computing prime tables”.  Trong Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa (biên tập). Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. 9472. Springer. tr. 677–688. arXiv:1504.05240. doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57.
↑  Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43. Springer. tr. 1. ISBN 978-3-662-04658-6.
1 2  Hromkovič, Juraj (2001). “5.5 Bibliographic Remarks”. Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. tr. 383–385. doi:10.1007/978-3-662-04616-6. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669.
1 2  Koblitz, Neal (1987). “Chapter V. Primality and Factoring”. A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114. Springer-Verlag, New York. tr. 112–149. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 0910297.
↑  Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). “2.3.9 Probabilistic Computations”. Fundamentals of Computer Security. Springer. tr. 51–52. ISBN 978-3-662-07324-7.
1 2  Tao, Terence (2010). “1.11 The AKS primality test”. An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics. 117. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 82–86. doi:10.1090/gsm/117. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010.
1 2  Atkin, A. O. L.; Morain, F. (1993). “Elliptic curves and primality proving” (PDF). Mathematics of Computation. 61 (203): 29–68. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x. JSTOR 2152935. MR 1199989.
1 2  Morain, F. (2007). “Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm”. Mathematics of Computation. 76 (257): 493–505. arXiv:math/0502097. Bibcode:2007MaCom..76..493M. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4. MR 2261033.
↑  Lenstra, Jr., H.W.; Pomerance, Carl (2019). “Primality testing with Gaussian periods” (PDF). Journal of the European Mathematical Society. 21 (4): 1229–1269. doi:10.4171/JEMS/861. MR 3941463.
↑  Pomerance, Carl; Selfridge, John L.; Wagstaff, Samuel S. Jr. (tháng 7 năm 1980). “The pseudoprimes to 25·109” (PDF). Mathematics of Computation. 35 (151): 1003–1026. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7. JSTOR 2006210.
↑  Baillie, Robert; Wagstaff, Samuel S. Jr. (tháng 10 năm 1980). “Lucas Pseudoprimes” (PDF). Mathematics of Computation. 35 (152): 1391–1417. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6. JSTOR 2006406. MR 0583518.
1 2  Monier, Louis (1980). “Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms”. Theoretical Computer Science. 12 (1): 97–108. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9. MR 0582244.
↑  Tao 2009, tr. 36–41
↑  Kraft & Washington 2014, tr. 41
↑  Chẳng hạn xem Guy 2013, A3 "Mersenne primes. Repunits. Fermat numbers. Primes of shape  k\cdot 2^{n}+1", tr. 13–21.
↑  “Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize”. Tổ chức Biên giới Điện tử. 14 tháng 10 năm 2009. Bản gốc lưu trữ ngày 17 tháng 10 năm 2009. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  “EFF Cooperative Computing Awards”. Tổ chức Biên giới Điện tử. 29 tháng 2 năm 2008. Bản gốc lưu trữ ngày 13 tháng 3 năm 2008. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  “GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2136,279,841-1”. Mersenne Research, Inc. 21 tháng 10 năm 2024. Bản gốc lưu trữ ngày 21 tháng 10 năm 2024. Truy cập ngày 21 tháng 10 năm 2024.
↑  “PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 12 tháng 11 năm 2016. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Factorial”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Primorial”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Twin Primes”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  Kraft & Washington 2014, tr. 275
↑  Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, Joseph H. (2014). An Introduction to Mathematical Cryptography. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản thứ 2). Springer. tr. 329. ISBN 978-1-4939-1711-2.
↑  Pomerance, Carl (1996). “A tale of two sieves”. Notices of the American Mathematical Society. 43 (12): 1473–1485. MR 1416721.
↑  Zimmermann, Paul (28 tháng 2 năm 2020). “Factorization of RSA-250”. cado-nfs-discuss (Danh sách thư). Bản gốc lưu trữ ngày 28 tháng 2 năm 2020. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011). “Chapter 8. Shor's Algorithm”. Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. tr. 163–176. ISBN 978-0-262-01506-6.
↑  Martín-López, Enrique; Laing, Anthony; Lawson, Thomas; Alvarez, Roberto; Zhou, Xiao-Qi; O'Brien, Jeremy L. (ngày 12 tháng 10 năm 2012). “Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling”. Nature Photonics. 6 (11): 773–776. arXiv:1111.4147. Bibcode:2012NaPho...6..773M. doi:10.1038/nphoton.2012.259.
↑  Chirgwin, Richard (9 tháng 10 năm 2016). “Crypto needs more transparency, researchers warn”. The Register. Lưu trữ bản gốc ngày 11 tháng 10 năm 2016. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  Hoffstein, Pipher & Silverman 2014, mục 2.3, "Diffie–Hellman key exchange", tr. 65–67.
↑  Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. “11.3 Universal hashing”. Introduction to Algorithms (ấn bản thứ 2). MIT Press và McGraw-Hill. tr. 232–236. ISBN 0-262-03293-7. Đối với băm  k-độc lập xem bài toán 11–4, tr. 251. Đối với phần ghi công Carter và Wegman xem chú thích chương, tr. 252.
↑  Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2006). Data Structures & Algorithms in Java (ấn bản thứ 4). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-73884-8. Xem "Quadratic probing", tr. 382, và bài tập C–9.9, tr. 415.
↑  Kirtland, Joseph (2001). Identification Numbers and Check Digit Schemes. Classroom Resource Materials. 18. Mathematical Association of America. tr. 43–44. ISBN 978-0-88385-720-5.
↑  Deutsch, P. (1996). ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3. Request for Comments. 1950. Network Working Group.
↑  Knuth, Donald E. (1998). “3.2.1 The linear congruential model”. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical algorithms (ấn bản thứ 3). Addison-Wesley. tr. 10–26. ISBN 978-0-201-89684-8.
↑  Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji (1998). “Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator”. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 8 (1): 3–30. doi:10.1145/272991.272995.
↑  Roth, K.F. (1951). “On a problem of Heilbronn”. Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 26 (3): 198–204. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.198. MR 0041889.
↑  Cox, David A. (2011). “Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first” (PDF). American Mathematical Monthly. 118 (1): 3–31. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 26 tháng 3 năm 2023. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.
↑  Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211. Berlin; New York: Springer-Verlag. tr. 90. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556.