Chu kỳ Rabi
Đạo hàm của công thức Rabi theo phương pháp bất định bằng ma trận Pauli

Cho một ma trận Hamiltonian   \mathbf {H} =E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.
Trị riêng của ma trận là  \lambda _{+}=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}} và  \lambda _{-}=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}.Với  \mathbf {W} =W_{1}+\imath W_{2} và  {\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}. Do đó ta có  \mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{-\imath \phi }.
Vectơ riêng của  E_{+} có thể rút ra từ biểu thức sau: {\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}.
Do đó  b=-{\frac {a(E_{0}+\Delta -E_{+})}{W_{1}-\imath W_{2}}}.
Với điều kiện chuẩn hóa của vectơ riêng,
{\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1.Do đó  {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }})^{2}=1.
Cho   \sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}} và   \cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}. do đó  \tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}.
Ta được  {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1. Với  {\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\theta /2. Lấy một góc tùy ý  \phi ,ta viết  a=\exp(\imath \phi /2)\cos \theta /2. Tương tự  b=\exp(-\imath \phi /2)\sin \theta /2.
Vậy vectơ riêng của E_{+} trị riêng được biểu diễn như sau  |E_{+}\rangle =e^{\imath \phi /2}{\begin{pmatrix}\cos \theta /2\\e^{-\imath \phi }\sin \theta /2\end{pmatrix}}.
Ta có thể viết  |E_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta /2\\e^{-\imath \phi }\sin \theta /2\end{pmatrix}}=\cos(\theta /2)|1\rangle +e^{-\imath \phi }\sin(\theta /2)|2\rangle .
Tương tự ta có tìm vectơ riêng của  E_{-} và ta có  |E_{-}\rangle =-e^{\imath \phi }\sin(\theta /2)|1\rangle +\cos(\theta /2)|2\rangle .
Từ 2 phương trình trên, ta có  |1\rangle =\cos(\theta /2)|E_{+}\rangle -\sin(\theta /2)e^{-\imath \phi }|E_{-}\rangle  và  |2\rangle =e^{\imath \phi }\sin(\theta /2)|E_{+}\rangle +\cos(\theta /2)|E_{-}\rangle .
Giả sử tại t=0, hệ đang ở trạng thái  |1\rangle  tức là  |\psi (0)\rangle =|1\rangle =\cos(\theta /2)|E_{+}\rangle -\sin(\theta /2)e^{-\imath \phi }|E_{-}\rangle .
Trạng thái của hệ sau thời gian t là  |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iEt}{\hbar }}|\psi (0)\rangle =\cos(\theta /2)e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}|E_{+}\rangle -\sin(\theta /2)e^{-\imath \phi }e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}|E_{-}\rangle .
Tại đây hệ chỉ tồn tại tại một trạng thái riêng là  |1\rangle  hoặc  |2\rangle , nó vẫn giữ nguyên với trạng thái tương tự, Tuy nhiên trong tình trạng chung như trên sự phát triển thời gian là không tầm thường.
Xác suất biên độ của việc tìm kiếm hệ thống tại thời điểm t tại trạng thái  |2\rangle  được cho bơi  |\langle \ 2|\psi (t)\rangle |=e^{-\imath \phi }\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}).
Tại đây xác suất để hệ có trạng thái  |\psi (t)\rangle  sẽ được tìm thấy như một trạng thái tùy ý  |2\rangle  được cho bởi  P_{1}\to _{2}(t)={|\langle \ 2|\psi (t)\rangle |}^{2}=e^{+\imath \phi }\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{t}}{\hbar }})e^{-\imath \phi }\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {i\imath E_{t}}{\hbar }})={\frac {\sin ^{2}\theta }{4}}(2-2\cos({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{\hbar }}))
Rút gọn  P_{1}\to _{2}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }})={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}).........(1).
Điều này chứng tỏ xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái  |2\rangle  là có hạn khi hệ ở trạng thái ban đầu  |1\rangle . Xác suất dao động theo tần số góc  \omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}, đơn giản là tần số Bohr duy nhất của hệ thống và được gọi là Tần số Rabi. Công thức (1) được biết đến là công thức Rabi. Sau thời gian t xác suất mà hệ wor trạng thái  |1\rangle  được cho bởi {|\langle \ +X|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}), cũng dao động. Kiểu dao động giữa 2 cấp là gọi là Dao động Rabi và xuất hiện trong rất nhiều đề tài như Dao động Neutrino, Phân tử ion hóa Hydro, Tính toán lượng tử, Ammonia maser vân vân.