Các bài toán của Hilbert
Danh sách các bài toán của Hilbert

| Bài Toán | Giải thích ngắn gọn | Trạng thái | Năm đã giải quyết |
| --- | --- | --- | --- |
| Số 1 | Giả thuyết continuum (nghĩa là không có tập hợp nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập các số tự nhiên và nhỏ hơn lực lượng của tập các số thực. ) | Được chứng minh là không thể chứng minh hoặc bác bỏ trong khuôn khổ lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel bất kể có bao gồm hay không Tiên đề chọn (miễn là lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel là nhất quán, tức là nó không chứa mâu thuẫn). Không có sự đồng thuận về việc liệu đây có phải là một giải pháp cho vấn đề này hay không. | 1940,  1963 |
| Số 2 | Chứng minh rằng các tiên đề của số học là nhất quán. | Không có sự nhất trí nào về việc liệu kết quả của Gödel và Gentzen có đưa ra giải pháp cho vấn đề như Hilbert đã nêu hay không. Các định lý bất toàn của Gödel được chứng minh vào năm 1931 cho thấy rằng không có bằng chứng nào về tính nhất quán của nó có thể được thực hiện trong chính số học. Năm 1936, Gentzen đã chứng minh rằng tính nhất quán của số học dựa trên tính nền tảng của thứ tự  ε 0 . | 1931, 1936 |
| Số 3 | Cho bất kỳ hai khối đa diện nào có thể tích bằng nhau, có phải luôn luôn có thể cắt khối thứ nhất thành bao nhiêu mảnh đa diện để có thể ghép lại được để thu được khối thứ hai? | Đã giải quyết. Kết quả: Không, được chứng minh bằng cách sử dụng bất biến Dehn. | 1900 |
| Số 4 | Xây dựng tất cả các không gian mêtric trong đó các đường là đường trắc địa. | Quá mơ hồ để được tuyên bố giải quyết hay không. | - |
| Số 5 | Các nhóm liên tục có tự động phân nhóm Lie không? | Được giải quyết bởi Andrew Gleason, giả sử một cách diễn giải của tuyên bố ban đầu. Tuy nhiên, nếu nó được hiểu là tương đương với giả thuyết Hilbert – Smith, thì nó vẫn chưa được giải đáp. | Năm 1953 ? |
| Số 6 | Xử lý toán học bằng các tiên đề vật lý (a) Xử lý tiên đề xác suất với các định lý giới hạn cho nền tảng của vật lý thống kê (b) Lý thuyết chặt chẽ về các quá trình giới hạn "dẫn từ quan điểm nguyên tử đến quy luật chuyển động của liên tục" | Giải quyết một phần tùy thuộc vào cách giải thích câu lệnh ban đầu. Mục (a) và (b) là hai bài toán cụ thể được Hilbert đưa ra trong một giải thích sau này. Tiên đề của Kolmogorov (1933) hiện đã được chấp nhận là tiêu chuẩn. Có một số thành công trên con đường từ "quan điểm nguyên tử đến các quy luật chuyển động của lục tục." | Năm 1933–2002? |
| Số 7 | Tính siêu việt của A b , đối với đại số a ≠ 0,1 và đại số vô tỉ b? | Đã giải quyết. Kết quả: Đúng, được minh họa bằng định lý Gelfond hoặc định lý Gelfond – Schneider. | 1934 |
| Số 8 | Giả thuyết Riemann(Tất cả các không điểm phức phi tầm thường của hàm zeta đều có phần thực bằng ½) và các bài toán số nguyên tố khác, trong số đó có giả thuyết Goldbach và phỏng đoán số nguyên tố song sinh | Chưa được giải quyết. | - |
| Số 9 | Tìm định luật tổng quát nhất của định lý tương hỗ trong bất kỳ trường số đại số nào. (Bài toán về tính nghịch đảo toàn phương) | Đã giải quyết một phần. | - |
| Số 10 | Tìm một thuật toán để xác định xem một phương trình Diophantine có đa thức đã cho với hệ số nguyên có nghiệm nguyên hay không. | Đã giải quyết. Kết quả: Không thể; Định lý Matiyasevich ngụ ý rằng không có thuật toán nào như vậy. | 1970 |
| Số 11 | Giải các phương trình bậc hai với hệ số đại số. | Đã giải quyết một phần. | - |
| Số 12 | Mở rộng định lý Kronecker – Weber trên mở rộng Abelian của số hữu tỉ cho bất kỳ trường cơ sở nào. | Đã giải quyết một phần. | - |
| Số 13 | Giải phương trình bậc 7 sử dụng hàm đại số (biến thể: liên tục) của hai tham số. | Chưa được giải quyết. Biến thể liên tục của vấn đề này đã được Vladimir Arnold giải quyết vào năm 1957 dựa trên công trình của Andrei Kolmogorov, nhưng biến thể đại số chưa được giải. | - |
| Số 14 | Có phải vành bất biến của một nhóm đại số tác dụng trên một vành đa thức luôn sinh ra hữu hạn không? | Đã giải quyết. Kết quả: Không, một ví dụ phản chứng được Masayoshi Nagata xây dựng. | 1959 |
| Số 15 | Nền tảng vững chắc của phép tính toán của Schubert. | Đã giải quyết một phần. | - |
| Số 16 | Mô tả vị trí tương đối của các hình bầu dục bắt nguồn từ một hình học đại số thực và như các chu kỳ giới hạn của trường vectơ đa thức trên mặt phẳng. | Chưa giải quyết được, ngay cả đối với các hình học đại số bậc 8. | - |
| Số 17 | Biểu thị một hàm hữu tỉ không âm dưới dạng thương của hai tổng của các số chính phương. | Đã giải quyết. Kết quả: Có, do Emil Artin giải quyết. Hơn nữa, một giới hạn trên đã được thiết lập cho số các số chính phương phải xét. | 1927 |
| Số 18 | (a) Có hình đa diện nào chỉ thừa nhận một mặt phẳng ngoại tiếp theo ba chiều không?  (b) Khối cầu nào đóng gói dày đặc nhất ? | (a) Đã giải quyết. Kết quả: Có (bởi Karl Reinhardt). (b) Được nhiều người tin rằng sẽ được giải quyết, bằng chứng minh có sự hỗ trợ của máy tính (của Thomas Callister Hales). Kết quả: Mật độ cao nhất đạt được khi xếp gần nhau, mỗi gói có mật độ xấp xỉ 74%, chẳng hạn như bao bì đóng khối lập phương tâm mặt và bao bì đóng hình lục giác.  | (a) 1928 (b) 1998 |
| Số 19 | Các lời giải của các bài toán thường xuyên trong phép tính biến thiên có nhất thiết phải là phép phân tích không? | Đã giải quyết. Kết quả: Đúng, được chứng minh bởi Ennio de Giorgi và, một cách độc lập và sử dụng các phương pháp khác nhau, bởi John Forbes Nash. | 1957 |
| Số 20 | Có phải tất cả các bài toán biến phân với các điều kiện biên nhất định đều có lời giải không? | Đã giải quyết. Một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong suốt thế kỷ 20, với đỉnh cao là các giải pháp cho trường hợp phi tuyến tính. | ? |
| Số 21 | Chứng minh sự tồn tại của phương trình vi phân tuyến tính có một nhóm monodromic quy định | Đã giải quyết một phần. Kết quả: Có / Không / Mở tùy thuộc vào công thức chính xác hơn của vấn đề. | ? |
| Số 22 | Đồng nhất hóa các quan hệ giải tích bằng các hàm tự động hóa | Đã giải quyết một phần. Định lý đồng nhất | ? |
| Số 23 | Phát triển thêm về phép tính của các biến thể | Quá mơ hồ để được tuyên bố giải quyết hay không. | - |