stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Hệ tiên đề Peano
Lý thuyết số học bậc nhất > Các hệ tiên đề tương đương

Có nhiều tiên đề khác nhau, nhưng tương đương, của số học Peano. Trong khi một số tiên đề, chẳng hạn như mô tả vừa mô tả, sử dụng signature chỉ có số 0 và các phép toán nhân, phép cộng, phép nhân; các hệ tiên đề khác sử dụng ngôn ngữ về nửa vành có thứ tự, và bổ sung thêm ký hiệu quan hệ thứ tự. Một hệ tiên đề như vậy bắt đầu với các tiên đề sau đây mô tả một nửa cung có thứ tự rời rạc.
\forall x,y,z\ ((x+y)+z=x+(y+z)), tức là phép cộng có tính kết hợp.
\forall x,y\ (x+y=y+x), tức là phép cộng có tính giao hoán.
\forall x,y,z\ ((x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)), tức là phép nhân có tính kết hợp.
\forall x,y\ (x\cdot y=y\cdot x), tức là phép nhân có tính giao hoán.
\forall x,y,z\ (x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)), tức là phép nhân phân phối trên phép cộng.
\forall x\ (x+0=x\land x\cdot 0=0), tức là số 0 là một phần tử đơn vị cho phép cộng và là một phần tử hấp thụ cho phép nhân (thực ra là thừa thãi ).
\forall x\ (x\cdot 1=x), tức là, một là một phần tử đơn vị cho phép nhân.
\forall x,y,z\ (x<y\land y<z\Rightarrow x<z), tức là toán tử ' < ' mang tính bắc cầu.
\forall x\ (\neg (x<x)), tức là toán tử ' < ' là không phản xạ.
\forall x,y\ (x<y\lor x=y\lor y<x), tức là, quan hệ thứ tự thỏa mãn luật tam phân.
\forall x,y,z\ (x<y\Rightarrow x+z<y+z), tức là quan hệ thứ tự được bảo toàn khi cộng thêm cùng phần tử vào hai vế.
\forall x,y,z\ (0<z\land x<y\Rightarrow x\cdot z<y\cdot z), tức là quan hệ thứ tự được bảo toàn dưới phép nhân hai vế bởi cùng một phần tử dương.
\forall x,y\ (x<y\Rightarrow \exists z\ (x+z=y)), cho hai phần tử khác nhau, phần tử lớn hơn là tổng của phần tử nhỏ hơn với một phần tử khác.
0<1\land \forall x\ (x>0\Rightarrow x\geq 1), tức là không và một khác nhau và không có phần tử nào nằm giữa chúng.
\forall x\ (x\geq 0), tức là 0 là phần tử nhỏ nhất.
Lý thuyết được định nghĩa bởi các tiên đề này được gọi là PA−; lý thuyết PA thu được bằng cách thêm sơ đồ quy nạp bậc nhất. Một tính chất quan trọng của PA− là bất kỳ cấu trúc nào  M thỏa mãn lý thuyết này có một đoạn mở đầu (được sắp bởi  \leq ) đẳng cấu với  \mathbf {N} . Các phần tử trong đoạn đó được gọi là phần tử chuẩn mực, trong khi các phần tử khác được gọi là các phần tử không chuẩn mực.
Mô hình

Một mô hình của các tiên đề Peano là một bộ ba (N, 0, S), trong đó N là một tập hợp (nhất thiết là vô hạn), 0 ∈ N và S: N → N thỏa mãn các tiên đề ở trên. Dedekind đã chứng minh trong cuốn sách năm 1888 của mình, Bản chất và ý nghĩa của những con số (tiếng Đức: Was sind und was sollen die Zahlen?, tức là, "Số là gì và chúng có công dụng gì?") rằng hai mô hình bất kì của tiên đề Peano (bao gồm cả tiên đề quy nạp bậc hai) là đẳng cấu. Đặc biệt, với hai mô hình (NA, 0A, SA) và (NB, 0B, SB) của các tiên đề Peano, có một phép đồng hình duy nhất f: NA → NB thỏa mãn
và nó là một song ánh. Điều này có nghĩa là các tiên đề Peano bậc hai là có tính phạm trù. Tuy nhiên, điều này không áp dụng với bất kỳ cách xây dựng lại bậc nhất nào của các tiên đề Peano.
Mô hình > Các mô hình lý thuyết tập hợp

Các tiên đề Peano có thể được rút ra từ các cấu trúc được xây dựng bởi lý thuyết tập hợp của các số tự nhiên và các tiên đề của lý thuyết tập hợp như ZF. Cấu trúc chuẩn mực của số tự nhiên, theo John von Neumann, bắt đầu từ định nghĩa 0 là tập rỗng, ∅, và một toán tử s trên các tập hợp với định nghĩa:
Tập hợp các số tự nhiên N được định nghĩa là giao của tất cả các tập đóng dưới s mà có chứa tập rỗng. Mỗi số tự nhiên bằng (dưới dạng tập hợp) với tập hợp số tự nhiên nhỏ hơn số đó:
và cứ thế. Tập N cùng với 0 và hàm kế tiếp s: N → N thỏa mãn các tiên đề Peano.
Số học Peano có tính nhất quán tương đương với một số hệ thống yếu của lý thuyết tập hợp. Một ví dụ là hệ thống ZFC với tiên đề vô cùng được thay thế bằng phủ định của nó. Một ví dụ khác bao gồm lý thuyết tập hợp tổng quát (tiên đề quảng tính sự tồn tại của tập hợp rỗng và tiên đề về tập phụ thêm) được bổ sung thêm một sơ đồ tiên đề nói rằng một thuộc tính đúng với tập rỗng và đúng với tập phụ thêm bất cứ khi nào nó đúng với phần phụ thêm thì đúng với tất cả các tập hợp.
Mô hình > Diễn giải trong lý thuyết phạm trù

Các tiên đề Peano cũng có thể được hiểu bằng lý thuyết phạm trù. Đặt C là một phạm trù với đối tượng đầu cuối 1C và định nghĩa phạm trù của các hệ thống đơn phân nhọn, US1(C) như sau:
Các đối tượng của US1(C) là bộ ba (X, 0X, SX) trong đó X là đối tượng của C và 0X: 1C → X và SX: X → X là một C-cấu xạ.
Một cấu xạ φ: (X, 0X, SX)→ (Y, 0Y, SY)là một C-cấu xạ φ: X → Y với φ 0X = 0Y và φ SX = SY φ
Sau đó, C được cho là thỏa mãn các tiên đề Peano của Dedekind, nếu US1(C) có một đối tượng mở đầu; đối tượng mở đầu này được gọi là đối tượng số tự nhiên trong C. Nếu (N, 0, S) là đối tượng mở đầu này và (X, 0X, SX) là bất kỳ đối tượng nào khác, thì ánh xạ duy nhất u: (N, 0, S) → (X, 0X, SX) là
Đây chính xác là định nghĩa đệ quy của 0X và SX.
Mô hình không chuẩn mực

Mặc dù các số tự nhiên thông thường thỏa mãn các tiên đề của PA, nhưng cũng có các mô hình khác (được gọi là " mô hình không chuẩn mực "); định lý compact cho thấy rằng sự tồn tại của các phần tử không chuẩn mực là không thể loại trừ được trong logic thứ nhất. Định lý Löwenheim–Skolem đi lên cho thấy rằng có những mô hình PA không chuẩn mực cho tất cả các số đếm vô hạn. Điều này không áp dụng với hệ tiên đề Peano nguyên gốc (bậc hai), mô hình của nó là duy nhất sai khác đẳng cấu. Điều này minh họa một mặt mà hệ thống PA bậc một yếu hơn hệ tiên đề Peano bậc hai.
Khi được diễn giải như một định lý trong lý thuyết tập hợp bậc nhất, chẳng hạn như ZFC, định lí phạm trù của Dedekind cho PA cho thấy mỗi mô hình của lý thuyết tập hợp có một mô hình duy nhất của các tiên đề Peano, cho đến đẳng cấu, là một phân đoạn ban đầu của tất cả các mô hình PA khác có trong mô hình lý thuyết tập hợp đó. Trong mô hình chuẩn của lý thuyết tập hợp, mô hình PA nhỏ nhất này là mô hình chuẩn của PA; tuy nhiên, trong một mô hình không chuẩn mực của lý thuyết tập hợp, nó có thể là một mô hình không chuẩn mực của PA. Tình trạng này không thể tránh được với bất kỳ cách hình thức hóa bậc nhất nào của lý thuyết tập hợp.
Hiển nhiên là có câu hỏi liệu một mô hình không chuẩn mực đếm được có thể được xây dựng rõ ràng hay không. Vào năm 1933, Skolem khẳng định là có thể khi đưa ra một cấu trúc rõ ràng của một mô hình phi tiêu chuẩn như trên. Mặt khác, định lý của Tennenbaum, đã được chứng minh vào năm 1959, cho thấy rằng không có mô hình PA không chuẩn mực đếm được nào trong đó phép cộng hoặc nhân là có thể tính toán được. Kết quả này cho thấy rất khó để làm rõ ràng hoàn toàn trong việc mô tả các phép cộng và nhân của một mô hình PA không chuẩn mực có thể đếm được. Chỉ có một kiểu số đếm khả dĩ cho một mô hình không chuẩn mực có thể đếm được. Cho ω là kiểu thứ tự của các số tự nhiên, ζ là kiểu thứ tự của các số nguyên, và η là kiểu thứ tự của số hữu tỉ, kiểu thứ tự của bất cứ mô hình không chuẩn mực đếm được của PA là ω + ζ·η có thể hình dung như một bản sao của các số tự nhiên theo sau là một thứ tự tuyến tính dày đặc của các bản sao của các số nguyên.
Mô hình không chuẩn mực > Overspill

Một lát cắt trong mô hình không chuẩn mực M là tập con khác rỗng C của M sao cho C đóng theo chiều xuống (x < y và y ∈ C ⇒ x ∈ C) và C đóng dưới hàm kế tiếp. Một lát cắt thực sự là một lát cắt là tập con thực sự của M. Mỗi mô hình không chuẩn mực có nhiều lát cắt thực sự, bao gồm một mô hình tương ứng với các số tự nhiên chuẩn mực. Tuy nhiên, sơ đồ quy nạp trong số học Peano ngăn không cho bất kì lát cắt thực sự nào có thể được định nghĩa. Bổ đề overspill, lần đầu tiên được chứng minh bởi Abraham Robinson, hình thức hóa điều này.
Tính nhất quán

Khi các tiên đề Peano lần đầu tiên được đề xuất, Bertrand Russell và những người khác đã đồng ý rằng các tiên đề này ngầm định nghĩa những gì chúng ta muốn nói là "số tự nhiên". Henri Poincaré thận trọng hơn, nói rằng chúng chỉ định nghĩa số tự nhiên nếu chúng nhất quán; nếu có một bằng chứng bắt đầu chỉ từ những tiên đề này và tạo ra mâu thuẫn như 0 = 1, thì các tiên đề không nhất quán và không định nghĩa bất cứ điều gì. Năm 1900, David Hilbert đặt ra vấn đề chứng minh tính nhất quán của chúng chỉ sử dụng phương pháp hữu hạn như vấn đề thứ hai trong số hai mươi ba vấn đề của ông ấy. Năm 1931, Kurt Gödel đã chứng minh định lý bất hoàn chỉnh thứ hai của mình, điều này cho thấy một định lý nhất quán như vậy không thể được hình thức hóa bởi chính số học Peano.
Mặc dù người ta cho rằng định lý của Gödel loại trừ khả năng chứng minh tính nhất quán hữu hạn cho số học Peano, nhưng điều này phụ thuộc vào ý nghĩa chính xác của một định lý hữu hạn. Chính Gödel đã chỉ ra khả năng đưa ra một định lý nhất quán hữu hạn về số học Peano hoặc các hệ thống mạnh hơn bằng cách sử dụng các phương pháp hữu hạn không hình thức hóa được trong số học Peano, vào năm 1958, Gödel đã xuất bản một phương pháp chứng minh tính nhất quán của số học sử dụng lý thuyết kiểu. Năm 1936, Gerhard Gentzen đã đưa ra một định lý về tính nhất quán của các tiên đề của Peano, sử dụng quy nạp siêu hạn cho tới một số thứ tự gọi là ε0. Gentzen giải thích: "Mục đích của bài viết hiện tại là chứng minh tính nhất quán của lý thuyết số cơ bản hay nói đúng hơn là rút gọn câu hỏi về tính nhất quán về các nguyên lí cơ bản nhất định". Định lí của Gentzen được cho là có tính hữu hạn, vì số thứ tự siêu hạn ε0 có thể được mã hóa bằng các đối tượng hữu hạn (ví dụ, như một máy Turing mô tả một trật tự phù hợp trên các số nguyên, hoặc trừu tượng hơn là bao gồm các cây hữu hạn, được sắp xếp tuyến tính phù hợp). Việc định lí của Gentzen có đáp ứng các yêu cầu mà Hilbert đã hình dung hay không vẫn chưa rõ ràng: không có định nghĩa được chấp nhận chung về nghĩa chính xác của định lý hữu hạn là gì, và bản thân Hilbert không bao giờ đưa ra một định nghĩa chính xác.
Đại đa số các nhà toán học đương đại tin rằng các tiên đề của Peano là nhất quán, dựa vào trực giác hoặc chấp nhận một định lý nhất quán như định lý của Gentzen. Một số ít các nhà triết học và toán học, trong số họ cũng ủng hộ chủ nghĩa hữu hạn cực đoan, từ chối các tiên đề của Peano vì việc chấp nhận các tiên đề cũng có nghĩa là chấp nhận tập hợp vô hạn của các số tự nhiên. Ví dụ như, phép cộng (bao gồm cả hàm liền sau) và phép nhân được coi là toàn ánh. Kì lạ là, tồn tại các lý thuyết tự kiểm chứng tương tự như PA nhưng có phép trừ và phép chia thay vì phép cộng và phép nhân, mà được tiên đề hóa theo cách để tránh chứng minh các mệnh đề tương ứng với tính toàn xạ của cộng và nhân, nhưng vẫn có thể chứng minh tất cả định lý đúng lớp  \Pi _{1} của PA, và vẫn có thể được mở rộng thành một lý thuyết nhất quán chứng minh tính nhất quán của chính nó (rằng không tồn tại một định lí "0 = 1" theo kiểu Hilbert).
Chú thích

↑  " \forall x\ (x\cdot 0=0)" có thể được chứng minh từ các tiên đề khác (trong logic bậc nhất) như sau. Thứ nhất,  x\cdot 0+x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0=x\cdot 0+0 bởi luật phân phối và phần tử đơn vị trên phép cộng. Thứ hai,  x\cdot 0=0\lor x\cdot 0>0 theo tiên đề 15. Nếu  x\cdot 0>0 thì  x\cdot 0+x\cdot 0>x\cdot 0+0 bởi phép cộng với cùng một phần tử và tính giao hoán, và vì thế  x\cdot 0+0>x\cdot 0+0 bằng phép thay thế, mâu thuẫn với tính không phản xạ. Vậy  x\cdot 0=0.
Saint-Crépin-et-Carlucet

| --- | --- |
 Saint-Crépin-et-Carlucet
Saint-Crépin-et-Carlucet

Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Nouvelle-Aquitaine
Tỉnh: Dordogne
Quận: Sarlat-la-Canéda
Tổng: Salignac-Eyvigues
Liên xã: Cộng đồng các xã Salignacois
Xã (thị) trưởng: Alain Vilatte (2008-2014)
Thống kê
Độ cao: 270 m (890 ft) bình quân
Diện tích đất1: 18,51 km2 (7,15 dặm vuông Anh)
INSEE/Mã bưu chính: 24392/ 24590

Saint-Crépin-et-Carlucet là một xã, nằm ở tỉnh Dordogne vùng Aquitaine của Pháp. Xã này có diện tích 18,51 km², dân số năm 2006 là 463 người. Xã nằm ở khu vực có độ cao trung bình 270 m trên mực nước biển.
Thông tin nhân khẩu

| Năm | 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 | 2006 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Dân số | 370 | 331 | 321 | 310 | 372 | 407 | 463 |
Psychotria balansae

| Psychotria balansae> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Gentianales
Họ (familia): Rubiaceae
Chi (genus): Psychotria
Loài (species): P. balansae
Danh pháp hai phần
Psychotria balansae Pit. 
Psychotria balansae là một loài thực vật có hoa trong họ Thiến thảo. Loài này được Pit. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1924.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Psychotria balansae”. Truy cập ngày 3 tháng 6 năm 2013.
Cồn Cát Tây

| Thực thể địa lý tranh chấp Cồn Cát Tây |
| --- | --- |
Quần đảo Hoàng Sa
Địa lý
cồn Cát Tây
Vị trí: Biển Đông
Tọa độ: 16°58′39″B 112°12′43″Đ﻿ / ﻿16,9775°B 112,21194°Đ﻿ / 16.97750; 112.21194﻿ (cồn Cát Tây)
Diện tích: 0,25 km2 (0,097 dặm vuông Anh)
Quốc gia quản lý:  Trung Quốc
Tranh chấp giữa
Quốc gia:  Đài Loan
Thành phố: Cao Hùng
Quốc gia:  Trung Quốc
Tỉnh: Hải Nam
Quốc gia:  Việt Nam
Thành phố: Đà Nẵng
Cồn Cát Tây là một cồn cát thuộc nhóm đảo An Vĩnh của quần đảo Hoàng Sa. Cồn này nằm cách đảo Cây khoảng 4 hải lý (7,4 km) về phía tây. Theo Google Maps thì khoảng cách này chỉ là 2,92 hải lý (5,41 km).
Cồn Cát Tây là đối tượng tranh chấp giữa Việt Nam, Đài Loan và Trung Quốc. Hiện nay, Trung Quốc đang kiểm soát cồn này.
Tên gọi: cồn Cát Tây; tiếng Anh: West Sand; tiếng Trung: 西沙洲; bính âm: Xī shāzhōu, Hán-Việt: Tây sa châu
Đặc điểm: theo Trung Quốc, cồn Cát Tây có chiều dài khoảng 800 m tính từ đông sang tây, chiều rộng khoảng 400 m tính từ bắc xuống nam, diện tích khoảng 0,25 km² và cao 2 m so với mặt biển. Theo Google Maps thì Cồn cát Tây có dạng hình elíp với đường kính 2 trục là 840 m (đông sang tây) và 390 m (bắc xuống nam).
Môi trường: trơ trụi cát, ít cây cối.
Dendroleon similis

| Dendroleon similis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Neuroptera
Họ (familia): Myrmeleontidae
Phân họ (subfamilia): Myrmeleontinae
Tông (tribus): Dendroleontini
Phân tông (subtribus): Dendroleontina
Chi (genus): Dendroleon
Loài (species): D. similis
Danh pháp hai phần
Dendroleon similis Esben-Petersen, 1923 
Dendroleon similis là một loài côn trùng trong họ Myrmeleontidae thuộc bộ Neuroptera. Loài này được Esben-Petersen miêu tả năm 1923.
Chú thích

↑  Oswald, J. D. (2007). Neuropterida Species of the World. Version 2.0.
Lissonota michaelis

| Lissonota michaelis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Hymenoptera
Họ (familia): Ichneumonidae
Chi (genus): Lissonota
Loài (species): L. michaelis
Danh pháp hai phần
Lissonota michaelis Rey del Castillo, 1990 
Lissonota michaelis là một loài tò vò trong họ Ichneumonidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 22 tháng 6 năm 2014.
Prosaptia capillipes

| Prosaptia capillipes> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Pteridophyta
Lớp (class): Polypodiopsida
Bộ (ordo): Polypodiales
Họ (familia): Polypodiaceae
Chi (genus): Prosaptia
Loài (species): P. capillipes
Danh pháp hai phần
Prosaptia capillipes (C. Chr.) Copel. 
Prosaptia capillipes là một loài dương xỉ trong họ Polypodiaceae. Loài này được Copel. mô tả khoa học đầu tiên năm 1953.
Danh pháp khoa học của loài này chưa được làm sáng tỏ.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Prosaptia capillipes”. Truy cập ngày 28 tháng 5 năm 2014.
Trại Tang

| Trại Tang> Thông tin cá nhân |
| --- | --- |
Giới tính: nam
Gia quyến: 
Thân phụ: Mãng Cổ Tư
Phối ngẫu: Bác Lễ
Hậu duệ: Hải Lan Châu, Ngô Khắc Thiện, Mãn Châu Tập Lễ, Hiếu Trang Văn Hoàng hậu
 
Gia tộc: Bột Nhi Chỉ Cân
Quốc tịch: nhà Thanh
x • t • 
Trại Tang (chữ Hán: 寨桑; ? - ?) hay Tể Tang (宰桑) là một Bối lặc của bộ tộc Khoa Nhĩ Thấm, Mông Cổ, đồng thời là ngoại thích nổi tiếng thời Hậu Kim và thời kỳ đầu nhà Thanh.
Là thông gia quan trọng của Hoàng tộc Ái Tân Giác La, ông có quan hệ với nhiều nhân vật nổi tiếng. Ông là huynh trưởng của Hiếu Đoan Văn Hoàng hậu - Hoàng hậu của Hoàng Thái Cực; thân phụ của Hiếu Trang Văn Hoàng hậu và Mẫn Huệ Cung Hòa Nguyên phi - hai vị phi tần của Hoàng Thái Cực. Ngoài ra còn là ông ngoại của Thuận Trị Đế; ông nội của Bác Nhĩ Tề Cát Đặc Phế hậu và là ông cố nội của Hiếu Huệ Chương Hoàng hậu - vị Hoàng hậu thứ hai của Thuận Trị Đế.
Thân thế

Trại Tang xuất thân từ quý tộc Bác Nhĩ Tề Cát Đặc thị thuộc Khoa Nhĩ Thấm, Mông Cổ. Ông là hậu duệ trực hệ của Chuyết Xích Cáp Tát Nhi - em trai ruột của Thành Cát Tư Hãn. Vào đầu thời nhà Thanh, sử sách không ghi chép đầy đủ, nhiều nhận định cho rằng dòng dõi của Trại Tang có thể là một phân nhánh của Khoa Nhĩ Thẩm khi ấy.
Tổ phụ của Trại Tang là Nạp Mục Tắc (纳穆塞), có tước Bối lặc truyền đời. Con trai Nạp Mục Tắc, tên Mãng Cổ Tư (莽古斯), cũng chính là cha của Trại Tang và Hiếu Đoan Văn Hoàng hậu (Hoàng hậu của Hoàng Thái Cực), kế vị Bối lặc. Sử sách không đề cập mẹ của Trại Tang, nhưng khả năng cao ông và Hiếu Đoan Hoàng hậu là anh em cùng cha khác mẹ. Mẹ Hiếu Đoan Hoàng hậu là Khoa Nhĩ Thấm Đại Phi, sau khi Mãng Cổ Tư mất thì tái giá lấy con Trại Tang, sinh Kính Hiếu Nghĩa Hoàng hậu (vợ của Đa Nhĩ Cổn). Người này không thể là mẹ của Trại Tang, vì không lý nào bộ tộc lại cho phép bà nội và cháu lấy nhau như vậy.
Về sau, Trại Tang lên ngôi Bối lặc Khoa Nhĩ Thấm, trở thành thông gia thân thiết của triều đình Hậu Kim và nhà Thanh.
Qua đời được truy phong

Năm Thuận Trị thứ 11 (1654), sau khi Trại Tang qua đời nhiều năm, Phúc tấn của ông cũng qua đời. Thuận Trị Đế truy phong ông làm Hòa Thạc Trung Thân vương (和硕忠亲王), Phúc tấn của ông làm Hòa Thạc Hiền phi. Sách văn viết:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ | 锡土建邦, 必视功以崇报. 展亲布泽, 咸推本以加恩. 成宪具存. 世以为重. 外大父寨桑, 尔乃嫩科尔沁贝勒为我圣母昭圣慈寿恭简皇太后之父. 本以勋亲世守忠悫. 既效力于先皇固守边圉之地. 矧诞育乎圣母, 肇开久远之祥勉笃忠清罔渝终始. 应加称号, 以示显扬. 人虽云亡, 益深悼念. 兹特册赠外大父为和硕忠亲王. 外大母为和硕忠亲王贤妃. 呜呼. 休称允锡, 位逾五等之尊. 纶诰并颁, 恩被九原之下. 受兹宠命. 永裕后人. . Tích thổ kiến bang, tất thị công dĩ sùng báo. Triển thân bố trạch, hàm thôi bản dĩ gia ân. Thành hiến cụ tồn. Thế dĩ vi trọng. Ngoại đại phụ Trại Tang, nhĩ nãi nộn Khoa Nhĩ Thấm Bối lặc vi ngã Thánh Mẫu Chiêu Thánh Từ Thọ Cung Giản Hoàng thái hậu chi phụ. Bản dĩ huân thân thế thủ trung khác. Ký hiệu lực vu Tiên Hoàng cố thủ biên ngữ chi địa. Thẩn đản dục hồ thánh mẫu, triệu khai cửu viễn chi tường miễn đốc trung thanh võng du chung thủy. Ứng gia xưng hào, dĩ kỳ hiển dương. Nhân tuy vân vong, ích thâm điệu niệm. Tư đặc sách tặng ngoại đại phụ vi Hòa Thạc Trung Thân vương. Ngoại đại mẫu vi Hòa Thạc Trung Thân vương Hiền phi. Ô hô. Hưu xưng duẫn tích, vị du ngũ đẳng chi tôn. Luân cáo tịnh ban, ân bị cửu nguyên chi hạ. Thụ tư sủng mệnh. Vĩnh dụ hậu nhân. | ” |
— Thế Tổ Chương Hoàng đế Thực lục
Gia đình

Thân phụ: Mãng Cổ Tư, truy phong Hòa Thạc Phúc Thân vương (和硕福亲王).
Kế mẫu: Khoa Nhĩ Thấm Đại phi, truy phong Hòa Thạc Phúc phi (和硕福妃). Tái giá lấy Sách Nạp Mộc - con trai Trại Tang.
Anh chị em:
Hiếu Đoan Văn Hoàng hậu, Hoàng hậu tại vị duy nhất của Hoàng Thái Cực.
Phối ngẫu: Khoa Nhĩ Thấm Thứ phi, truy phong Hòa Thạc Hiền phi (和硕贤妃).
Con trai:
Trác Lễ Khác Đồ Thân vương Ô Khắc Thiện (乌克善), còn gọi là Ngô Khắc Thiện (吴克善);
Cố Sơn Bối tử Sát Hãn (察罕);
Khoa Nhĩ Thấm Quận vương Sách Nạp Mộc (索诺木), còn xưng là Ôn Đô Nhĩ Thân vương (温都尔亲王);
Đạt Nhĩ Hán Ba Đồ Lỗ Thân vương Mãn Châu Tập Lễ (满珠习礼), lấy Hòa Thạc Công chúa - con gái Nhạc Thác, con nuôi của Hoàng Thái Cực.
Con gái:
Hiếu Trang Văn Hoàng hậu, phi tần của Hoàng Thái Cực;
Mẫn Huệ Cung Hòa Nguyên phi, phi tần của Hoàng Thái Cực.
Cháu nội:
Cháu nội trai:
Trác Lý Khắc Đồ Thân vương Bật Nhĩ Tháp Cáp Nhĩ, con trai Ô Khắc Thiện;
Trấn Quốc công Xước Nhĩ Tế (綽爾濟), con trai Sát Hãn;
Khoa Nhĩ Thấm Quận vương Kỳ Tháp Đặc, con trai Sách Nạp Mộc, lấy Cố Luân Tĩnh Đoan Trưởng Công chúa;
Đạt Nhĩ Hán Thân vương Hòa Tháp (和塔), con trai kế tự của Mãn Châu Tập Lễ.
Cháu nội gái:
Bác Nhĩ Tề Cát Đặc Phế hậu, con gái Ô Khắc Thiện, Hoàng hậu đầu tiên của Thuận Trị Đế;
Bác Nhĩ Tề Cát Đặc thị, con gái Sách Nạp Mộc, Đích Phúc tấn của Đa Nhĩ Cổn, truy phong Kính Hiếu Nghĩa Hoàng hậu;
Đạt Triết (達哲), con gái Sách Nạp Mộc, Kế Phúc tấn của Đa Đạc;
Điệu phi Bác Nhĩ Tề Cát Đặc thị, con gái Mãn Châu Tập Lễ, phi tần của Thuận Trị Đế;
Bác Nhĩ Tề Cát Đặc thị, con gái Mãn Châu Tập Lễ, Kế Phúc tấn của Thạc Tắc.
Cháu ngoại:
Cố Luân Ung Mục Trưởng Công chúa;
Cố Luân Thục Tuệ Trưởng Công chúa;
Cố Luân Đoan Hiến Trưởng Công chúa;
Thuận Trị Đế.
Cháu cố:
Hiếu Huệ Chương Hoàng hậu, con gái Xước Nhĩ Tế, Hoàng hậu thứ hai của Thuận Trị Đế;
Thục Huệ phi, con gái Xước Nhĩ Tế, phi tần của Thuận Trị Đế;
Hòa Thạc Cung Khác Trưởng Công chúa;
Dụ Hiếu Thân Vương Phúc Toàn;
Cung Thân vương Thường Ninh;
Khang Hi Đế.
Chú thích

↑  Hội đồng biên soạn nhà Thanh 1672, p111
↑  Con trai thứ hai của Anh Thân vương A Tế Cách.
↑  Con trai thứ năm của Túc Thân vương Hào Cách
↑  Con trai của Trấn quốc Tướng quân Hoằng Hưởng, cháu nội của Hằng Thân vương Dận Kì
Đông Bắc Luân Đôn

Đông Bắc Luân Đôn có thể đề cập đến:
Đông Bắc (tiểu vùng Luân Đôn)
Phần phía đông của Bắc Luân Đôn
Đông Bắc (khu cử tri Hội đồng Luân Đôn)
Quận Brčko

| Quận Brčko Brčko Distrikt  Брчко дистрикт |
| --- | --- |

  Hiệu kỳ Huy hiệu
 Vị trí của Quận Brčko trong Bosnia và Herzegovina
Quận Brčko
Tọa độ: 44°52′0″B 18°47′0″Đ﻿ / ﻿44,86667°B 18,78333°Đ﻿ / 44.86667; 18.78333 
Quốc gia: Bosna và Hercegovina
Thành lập: 5 tháng 3 năm 1999
Quy chế có hiệu lực: 8 tháng 3 năm 2000
Thủ phủ: Brčko 
Chính quyền
 • Thị trưởng: Dragan Pajić
 • Chủ tịch Hội đồng Quận: Mirsad Đapo
 • Giám sát Quốc tế: Raffi Gregorian
Diện tích
 • Tổng cộng: 493 km2 (190 mi2)
Dân số (1991)
 • Tổng cộng: 87.332
Múi giờ: CET (UTC+1)
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+2)
Mã bưu điện: 76100
Mã điện thoại: (+387) 49
Mã ISO 3166: BA-BRC 
Trang web: Official Web Site,  Official District Assembly Website  Official District Prosecutor Web Site
Vị trí của Quận Brčko (vàng) trong Bosnia và Herzegovina (xanh)
Lãnh thổ của Liên bang Bosna và Hercegovina (xanh lục) và Cộng hoà Srpska (xanh lam) trước Hoà ước Dayton cùng với ranh giới Hoà ước định ra (đỏ)
Bản đồ
Quận Brčko chiếm lãnh thổ có màu xanh lá cây trong hình, Liên bang Bosnia và Herzegovina chiếm lãnh thổ có màu xanh lam và Cộng hòa Serbia của Bosnia có màu đỏ.
Quận Brčko (tiếng Bosna, tiếng Croatia và tiếng Serbia: Brčko distrikt, tiếng Serbia chữ Kirin: Брчко дистрикт) nằm ở phía đông bắc của Bosna và Hercegovina là một quận trung lập, tự trị và nằm dưới chủ quyền của Bosna và Hercegovina. Về mặt chính thức, quận thuộc về cả hai thực thể của đất nước này là Cộng hòa Srpska và Liên bang Bosna và Hercegovina. Thực thể này được thành lập vào năm 1999 để phản ánh bản chất đa sắc tộc và địa vị đặc biệt của nó và các khu vực xung quanh trong đất nước Bosnia mới độc lập. Trên thực tế, Quận Brčko hoạt động như một khu vực tự trị địa phương, giống như các thành phố tự trị khác trong cả nước. Thủ phủ của quận này là thành phố Brčko. Huyện có diện tích 208 km² với tổng dân số khoảng 87.332 người (ước tính năm 2007). Thủ phủ của nó là thành phố Brčko, với khoảng 31.500 cư dân (ước tính năm 2007).