Khâu Thành Đồng
Đóng góp chính cho toán học > Giả thuyết Calabi

Năm 1978, thông qua việc nghiên cứu phương trình Monge-Ampere phức (xem thêm ở [3]), Khâu đã giải quyết giả thuyết Calabi, được nêu ra bởi Eugenio Calabi vào năm 1954. Ông đã chứng minh được rằng metric Kahler-Einstein tồn tại trên bất kỳ đa tạp Kahler đóng nào có lớp Chern (Chern class) thứ nhất không âm. Phương pháp của Khâu là vận dụng một cách thích hợp những khám phá trước đó của Calabi, Jurgen Moser và Aleksei Pogorelov cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic tựa tuyến tính (quasilinear elliptic) và phương trình Monge-Ampere thực để giải quyết phương trình Monge-Ampere phức.
Định lý năng lượng dương
Định lý năng lượng dương, được chứng minh bởi Khâu và Richard Schoen - một học trò và là đồng nghiệp cộng tác của ông, được phát biểu theo ngôn ngữ vật lý như sau:
Trong thuyết tương đối tổng quát của Einstein, năng lượng tương đối của một hệ vật lý cô lập là không âm.
Tuy nhiên, nó lại là một vấn đề cụ thể trong hình học vi phân và giải tích hình học. Cách tiếp cận của Schoen và Yau dựa trên nghiên cứu của họ về đa tạp Riemann với độ cong vô hướng (scalar curvature) dương.
Nguyên lý cực đại Omori-Khâu (Omori-Yau)
Năm 1975, Khâu đã mở rộng một phần định lý của Hideki Omori, cho phép áp dụng nguyên lý cực đại vào các không gian không compact, các không gian mà trên đó giá trị lớn nhất chưa chắc tồn tại. Định lý có thể phát biểu như sau:
Cho  (M,g) là một đa tạp Riemann trơn, đủ có độ cong Ricci bị chặn dưới. Xét u là một hàm khả vi liên tục cấp 2 trên  M sao cho u bị chặn trên. Khi đó tồn tại một dãy  p_{k} trên  M sao cho:
\lim _{k\rightarrow \infty }u(p_{k})=\sup _{M}u  \lim _{k\rightarrow \infty }|du(p_{k})|_{g}\rightarrow 0  \limsup _{k\rightarrow \infty }\Delta ^{g}u(p_{k})\leq 0
Công thức của Omori yêu cầu giả thiết chặt hơn đó là độ cong mặt cắt (sectional curvature) của g bị chặn dưới bởi một hằng số, mặc dù nó cho ta một kết luận mạnh hơn, khi toán tử Laplace của có thể thay bằng Hessian.
Một áp dụng trực tiếp của nguyên lý cực đại Omori-Yau là một mở rộng của bổ đề Schwarz (một kết quả cổ điển trong giải tích phức) của Yau năm 1978.
Các bất đẳng thức Harnack vi phân
Trong bài báo của mình về nguyên lý cực đại Omori-Yau, áp dụng ban đầu là để thiết lập một đánh giá gradient cho một số phương trình đạo hàm riêng elliptic bậc hai.  Xét một đa tạp Riemann trơn, đủ  (M,g) và một hàm  f trên  M thoả mãn một điều kiện nào đó liên kết  \Delta f với  f và  df. Yau đã sử dụng nguyên lý cực đại cho các khai triển có dạng:
u={\frac {f+c_{1}}{\sqrt {|df|_{g}^{2}+c_{2}}}}
để chỉ ra rằng  u phải bị chặn dưới bởi một hằng số dương. Kết luận này cho ta một chặn trên cho cỡ của gradient của hàm  \log(f+c_{1}).
Những đánh giá mới lạ này được gọi là các bất đẳng thức Harnack vi phân do ta có thể tích phân trên một đường bất kì trong  M để xây dựng được các bất đẳng thức có dạng bất đẳng thức Harnack cổ điển (tham khảo thêm [4]), trực tiếp so sánh các giá trị của một nghiệm cho một phương trình vi phân tại hai điểm đầu vào khác nhau.
Một điểm đáng lưu ý là các bất đẳng thức Harnack vi phân xuất hiện trong chứng minh giả thuyết Hình học hoá Thurston của nhà toán học nga Grigori Perelman.