Lịch sử thuyết tương đối rộng
Sự hình thành thuyết tương đối tổng quát > Sự phát triển phương trình trường Einstein > Hai lý thuyết

Tháng Năm 1913, khi ông và Grossmann đặt bút viết cho bài báo về lý thuyết Entwurf, Einstein được mời giảng tại hội nghị thường niên của Hiệp hội các Nhà khoa học Tự nhiên và Thầy thuốc Đức được tổ chức vào tháng Chín tại Wien, một lời mời phản ánh sự tôn trọng cao của các đồng nghiệp dành cho người đàn ông 34 tuổi.
Tháng Bảy 1913, Max Planck và Walther Nernst, hai nhà vật lý đứng đầu ở Berlin, đã đến Zürich đề nghị với Einstein một vị trí được trả thù lao hậu hĩnh và tự do về giảng dạy tại Viện Hàn lâm Khoa học Phổ ở Berlin, mà ông đã chấp nhận và chuyển tới vào tháng 3 năm 1914. Lực hấp dẫn không phải là vấn đề trọng tâm đối với Planck và Nernst; họ chủ yếu quan tâm tới Einstein cho những vấn đề của vật lý lượng tử.
Một vài lý thuyết đã được đề xuất trong đó hấp dẫn, giống như lực điện từ, được biểu diễn bằng một trường trong không-thời gian phẳng của thuyết tương đối hẹp. Một trong số đó là lý thuyết đặc biệt đầy hứa hẹn xây dựng bởi nhà vật lý trẻ tuổi người Phần Lan Gunnar Nordström. Trong bài giảng ở Wien, Einstein đã so sánh lý thuyết Entwurf với lý thuyết của Nordström. Einstein nghiên cứu trên cả hai lý thuyết giữa tháng Năm và đến cuối tháng 8 năm 1913, khi ông đăng bản thảo của nội dung bài giảng trong kỷ yếu hội nghị Wien 1913.
Mùa hè 1913, Nordström thăm Einstein tại Zürich. Einstein đã thuyết phục được anh ta rằng nguồn của trường hấp dẫn trong cả hai lý thuyết của họ phải được xây dựng từ 'tenxơ năng lượng–động lượng': trong các lý thuyết trước thuyết tương đối, mật độ và luồng của năng lượng và động lượng được biểu diễn bằng những đại lượng riêng biệt; còn trong thuyết tương đối, chúng được kết hợp thành một đại lượng tenxơ hạng hai duy nhất với mười thành phần khác nhau.
Tenxơ năng lượng–động lượng này xuất hiện lần đầu vào năm 1907–8 trong hình thức luận tương đối tính hẹp phát biểu lại của lý thuyết điện từ của James Clerk Maxwell và Hendrik Antoon Lorentz bởi nhà toán học Hermann Minkowski. Người ta sớm nhận ra rằng tenxơ năng lượng–động lượng có thể xác định cho những hệ vật lý ngoài trường điện từ. Tenxơ trở thành nội dung trung tâm trong lý thuyết cơ học tương đối tính mới trình bày trong cuốn sách đầu tiên về thuyết tương đối hẹp, Das Relativitätsprinzip, viết bởi Max Laue năm 1911. Năm 1912, nhà vật lý trẻ người Wien, Friedrich Kottler, tổng quát hóa hình thức luận của Laue từ không-thời gian phẳng sang không-thời gian cong. Einstein và Grossmann đã dựa trên sự tổng quát hóa này trong phát biểu của họ về lý thuyết Entwurf. Trong bài giảng của mình tại Wien, Einstein đã mời Kottler đứng dậy và công nhận sự đóng góp của ông cho lý thuyết này.
Einstein cũng cộng tác với Besso trong mùa hè năm đó để khảo cứu liệu thuyết Entwurf có tính đến sự chênh lệch 43˝ trong một thế kỷ đối với điểm cận nhật của quỹ đạo Sao Thủy. Thật không may, họ tìm thấy rằng thuyết này chỉ tính ra được kết quả là 18˝. Lý thuyết của Nordström, mà Besso sau đó kiểm tra, cho độ lệch 7˝ theo suy đoán sai. Những tính toán này được lưu lại trong 'bản thảo Einstein–Besso' năm 1913.
Besso đóng góp quan trọng vào những phép tính và đặt ra các câu hỏi ý nghĩa. Ông tự hỏi, ví dụ, liệu phương trình trường trong lý thuyết Entwurf có một lời giải không mập mờ mà xác định một cách duy nhất trường hấp dẫn của Mặt Trời. Những phân tích lịch sử của các bản thảo còn lại gợi ra rằng những câu hỏi kiểu như thế đã đưa Einstein đến ý tưởng về lập luận thuyết phục ông rằng các phương trình của thuyết Entwurf bị hạn chế bởi tính hiệp biến. Lập luận này chỉ ra rằng phương trình trường hiệp biến tổng quát không thể xác định duy nhất trường hấp dẫn và do vậy không thể chấp nhận được.
Einstein và Besso cũng kiểm tra liệu các phương trình của thuyết Entwurf thỏa mãn trong một hệ tọa độ quay. Trong trường này lực quán tính của sự quay, như lực ly tâm mà chúng ta cảm nhận ở vòng kéo quân, có thể giải thích như là lực hấp dẫn. Lý thuyết dường như vượt qua cuộc thử nghiệm này. Tuy nhiên, trong tháng 8 năm 1913, Besso cảnh báo ông rằng nó đã không vượt qua. Einstein đã không để ý tới lời cảnh báo, mà về sau ông đã gặp lại điều này.
Trong bài giảng của ông tại Wien vào tháng 9 năm 1913, Einstein kết thúc bài giảng về sự so sánh giữa hai lý thuyết với kêu gọi các nhà vật lý thực hiện thí nghiệm để quyết định cái nào là đúng. Lý thuyết Entwurf tiên đoán trường hấp dẫn làm cong tia sáng, trong khi lý thuyết của Nordström thì không. Sẽ phải cần tới 6 năm nữa thì thực nghiệm mới xác nhận điều này. Erwin Finlay Freundlich, một nhà thiên văn sơ cấp tại Berlin mà ông đã gặp Einstein trong những ngày tại Praha, đã hành trình đến Crimea để quan sát nhật thực vào tháng 8 năm 1914 để xác định xem trường hấp dẫn của Mặt Trời có bẻ cong tia sáng từ các ngôi sao ở xa nhưng ông đã bị chặn lại tại biên giới Nga do Chiến tranh thế giới lần thứ nhất vừa mới nổ ra. Cuối cùng, năm 1919, nhà thiên văn học người Anh Arthur Eddington đã xác thực tiên đoán của Einstein về tia sáng bị bẻ cong bằng cách quan sát độ lệch của các ngôi sao ở xa khi nhìn gần rìa Mặt Trời trong thời gian nhật thực, đưa Einstein trở lên nổi tiếng.
Quay trở lại Zürich sau bài giảng tại Wien, Einstein cộng tác cùng một nhà vật lý trẻ khác, Adriaan Fokker, sinh viên của Lorentz, để tái thiết lập lý thuyết của Nordström sử dụng cùng một mô hình toán học mà ông và Grossmann đã sử dụng để thiết lập thuyết Entwurf. Einstein và Fokker chỉ ra trong các lý thuyết này trường hấp dẫn có thể được kết hợp vào cấu trúc của không-thời gian cong. Nghiên cứu này cũng đưa Einstein đến một bức tranh rõ ràng về cấu trúc của thuyết Entwurf, mà đã giúp ông và Grossmann hoàn thiện một bài báo thứ hai về thuyết này. Thời điểm nó được công bố vào tháng 5 năm 1914, Einstein đã chuyển đến Berlin.