stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Aloeides bamptoni
Chú thích

↑  Aloeides, Site of Markku Savela
↑  Woodhall, S. Field Guide to Butterflies of South Africa, Cape Town: Struik Publishers, 2005.
Karad Dayasinah

| Karad Dayasinah كراد داسنية Shamah |
| --- | --- |
—  Làng  —
 
Karad DayasinahĐịa điểm in Syria
Country:  Syria
Governorate: Homs
District: Homs
Subdistrict: Taldou
Dân số (2004)
 • Tổng cộng: 2,028
Múi giờ: EET (UTC+3)
 • Mùa hè (DST): EEST (UTC+2)
Karad Dayasinah (tiếng Ả Rập: كراد داسنية‎, còn được gọi là Akrad Dayasinah hoặc Akrad Dasnieh, còn được gọi là Shamah) là một ngôi làng ở miền bắc Syria, một phần hành chính của quận Homs, nằm ở phía tây bắc của Homs. Theo Cục Thống kê Trung ương Syria (CBS), Karad Dayasinah có dân số 2.028 trong cuộc điều tra dân số năm 2004. Cư dân của nó chủ yếu là người Hồi giáo dòng Sunni gốc Turkmen.
Tamba ochra

| Tamba ochra> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Noctuidae
Chi (genus): Tamba
Loài (species): T. ochra
Danh pháp hai phần
Tamba ochra Prout, 1932 
Tamba ochra là một loài bướm đêm trong họ Noctuidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 28 tháng 6 năm 2014.
↑  Beccaloni, G. W., Scoble, M. J., Robinson, G. S. & Pitkin, B. (Editors). (2003) The Global Lepidoptera Names Index (LepIndex). (Geraadpleegd maart 2013).
Karacurun, Elbeyli

| Karacurun |
| --- | --- |
—  Xã  —
 
KaracurunVị trí ở Thổ Nhĩ Kỳ
Quốc gia:  Thổ Nhĩ Kỳ
Tỉnh: Kilis
Huyện: Elbeyli
Dân số (2010)
 • Tổng cộng: 224 người
Múi giờ: EET (UTC+2)
 • Mùa hè (DST): EEST (UTC+3)
Karacurun là một xã thuộc huyện Elbeyli, tỉnh Kilis, Thổ Nhĩ Kỳ. Dân số thời điểm năm 2010 là 224 người.
Chú thích

↑  “Cities, towns and villages in Kilis”. Viện thống kê Thổ Nhĩ Kỳ. Lưu trữ bản gốc ngày 17 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2012.Quản lý CS1: bot: trạng thái URL ban đầu không rõ (liên kết)
Amphipogon laguroides

| Amphipogon laguroides> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Poales
Họ (familia): Poaceae
Chi (genus): Amphipogon
Loài (species): A. laguroides
Danh pháp hai phần
Amphipogon laguroides R.Br. 
Amphipogon laguroides là một loài thực vật có hoa trong họ Hòa thảo. Loài này được R.Br. mô tả khoa học đầu tiên năm 1810.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Amphipogon laguroides”. Truy cập ngày 6 tháng 6 năm 2013.
Heterophyllium mohrianum

| Heterophyllium mohrianum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Bryophyta
Lớp (class): Bryopsida
Phân lớp (subclass): Bryidae
Bộ (ordo): Hypnales
Họ (familia): Sematophyllaceae
Chi (genus): Heterophyllium
Loài (species): H. mohrianum
Danh pháp hai phần
Heterophyllium mohrianum (Müll. Hal.) M. Fleisch., 1923 
Heterophyllium mohrianum là một loài Rêu trong họ Sematophyllaceae. Loài này được (Müll. Hal.) M. Fleisch. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1923.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Heterophyllium mohrianum”. Truy cập ngày 10 tháng 8 năm 2013.
Euxoa binaloudica

| Euxoa binaloudica> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Noctuidae
Chi (genus): Euxoa
Loài (species): E. binaloudica
Danh pháp hai phần
Euxoa binaloudica Brandt, 1941 
Euxoa binaloudica là một loài bướm đêm trong họ Noctuidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 28 tháng 6 năm 2014.
↑  Beccaloni, G. W., Scoble, M. J., Robinson, G. S. & Pitkin, B. (Editors). (2003) The Global Lepidoptera Names Index (LepIndex). (Geraadpleegd maart 2013).
Gleichenia attenuata

| Gleichenia attenuata> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Pteridophyta
Lớp (class): Polypodiopsida
Bộ (ordo): Gleicheniales
Họ (familia): Gleicheniaceae
Chi (genus): Gleichenia
Loài (species): G. attenuata
Danh pháp hai phần
Gleichenia attenuata Wall., 1829 
Gleichenia attenuata là một loài dương xỉ trong họ Gleicheniaceae. Loài này được Wall. mô tả khoa học đầu tiên năm 1829.
Danh pháp khoa học của loài này chưa được làm sáng tỏ.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Gleichenia attenuata”. Truy cập ngày 28 tháng 5 năm 2014.
Amizour

| Amizour Amizūr |
| --- | --- |
—  Đô thị  —
 

 

AmizourVị trí ở Algérie
Quốc gia:  Algérie
Tỉnh: Béjaïa
Dân số (2002)
 • Tổng cộng: 34,217 người
Múi giờ: + 1
Mã bưu chính: 06300 
Amizour là một đô thị thuộc tỉnh Béjaïa, Algérie. Dân số thời điểm năm 2002 là 34.217 người.
Gomphidia

| Gomphidia |
| --- | --- |
Gomphidia kodauensis
Phân loại khoa học
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Odonata
Họ (familia): Gomphidae
Chi (genus): Gomphidia Selys, 1854
Gomphidia là một chi chuồn chuồn ngô thuộc họ Gomphidae. Nó gồm các loài:
Gomphidia bredoi
Gomphidia pearsoni
Gomphidia quarrei
Anthophora acutilabris

| Anthophora acutilabris> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Hymenoptera
Họ (familia): Apidae
Phân họ (subfamilia): Apinae
Tông (tribus): Anthophorini
Chi (genus): Anthophora
Loài (species): A. acutilabris
Danh pháp hai phần
Anthophora acutilabris Morawitz, 1880 
Anthophora acutilabris là một loài Hymenoptera trong họ Apidae. Loài này được Morawitz mô tả khoa học năm 1880.
Chú thích

↑  (2008) Integrated Taxonomic Information System (ITIS) Bee Checklist 3 oktober 2008
Aloeides braueri

| Aloeides braueri> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Lycaenidae
Phân họ (subfamilia): Lycaeninae
Chi (genus): Aloeides
Loài (species): A. braueri
Danh pháp hai phần
Aloeides braueri Tite & Dickson, 1968 
Brauer’s Copper (Aloeides braueri) là một loài bướm thuộc họ Lycaenidae. Loài này có ở Nam Phi, nơi nó được tìm thấy ở highland hillsides covered in sour grassveld in the East Cape.
Sải cánh từ 26–28 mm đối với con đực và 28–32 mm đối với con cái. Cá thể trưởng thành mọc cánh từ tháng 10 tới tháng 11 và từ tháng 1 tới tháng 2. Mỗi năm loài này có hai thế hệ.
Chú thích

↑  Aloeides, Site of Markku Savela
↑  Woodhall, S. Field Guide to Butterflies of South Africa, Cape Town: Struik Publishers, 2005.
Heterophyllium humbertii

| Heterophyllium humbertii> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Bryophyta
Lớp (class): Bryopsida
Bộ (ordo): Hypnales
Họ (familia): Sematophyllaceae
Chi (genus): Heterophyllium
Loài (species): H. humbertii
Danh pháp hai phần
Heterophyllium humbertii P. de la Varde, 1940 
Heterophyllium humbertii là một loài rêu trong họ Sematophyllaceae. Loài này được P. de la Varde mô tả khoa học đầu tiên năm 1940.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Heterophyllium humbertii”. Truy cập ngày 11 tháng 6 năm 2014.
Hàm liên tục

Hàm số không thay đổi đột ngột trong giá trịBản mẫu:SHORTDESC:Hàm số không thay đổi đột ngột trong giá trị
Trong toán học, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là hàm gián đoạn. Đến trước thế kỷ 19, các nhà toán học phần lớn sử dụng những khái niệm liên tục cảm tính, dẫn đến những nỗ lực chặt chẽ hóa nó như là định nghĩa epsilon–delta.
Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của  f như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập  x luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của  f(x). Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.
Tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng trong tô pô học. Phần mở đầu của bài viết này tập trung vào trường hợp đặc biệt khi đầu vào và đầu ra của hàm số là những số thực. Một dạng mạnh hơn của tính liên tục là liên tục đều. Ngoài ra, bài viết này cũng có định nghĩa cho những trường hợp hàm số giữa hai không gian mêtric. Trong lý thuyết thứ tự, đặc biệt là lý thuyết miền, ta có khái niệm liên tục gọi là tính liên tục Scott.
Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.
Một ví dụ đơn giản, hàm số H(t) thể hiện chiều cao của một cây đang mọc tại thời gian t có thể được coi là liên tục. Ngược lại, hàm số M(t) chỉ số tiền trong một tài khoản ngân hàng tại thời gian t là không liên tục, vì nó sẽ "nhảy" mỗi lần một số tiền được gửi vào hay rút ra.
Lịch sử

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của  f như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập  x luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của  f(x). Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.
Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.
Hàm số thực > Định nghĩa

Một hàm số thực, ở đây nghĩa là hàm số từ tập số thực đến tập số thực, có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ; một hàm số như thế là liên tục nếu, nói đại khái, đồ thị của nó là một đường duy nhất không bị đứt gãy chạy trên toàn tập số thực. Một định nghĩa chính xác hơn được đưa ở dưới.
Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm giới hạn. Hàm số f  theo biến x được gọi là liên tục tại điểm c trên trục số thực nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới c, bằng giá trị f(c); và hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các điểm gián đoạn.
Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm liên tục, cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:
Hàm số liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Theo nghĩa này, hàm số f(x) = tan(x) liên tục trên tập xác định là tất cả số thực x ≠ (2n+1)π/2, n số nguyên bất kỳ.
Tại giá trị biên của tập xác định, chỉ xét giới hạn một bên. Ví dụ, hàm số g(x) = √x, với tập xác định là các số thực không âm, chỉ có giới hạn bên phải tại x = 0. Trong trường hợp này chỉ cần giới hạn một bên của hàm số bằng giá trị của hàm số, tức g có thể coi là liên tục trên toàn bộ tập số thực không âm.
Hàm số liên tục tại mọi số thực. Theo nghĩa này, hai hàm số nêu trên không liên tục, còn các hàm đa thức, hàm sin, cosin, và hàm mũ đều liên tục.
Sử dụng ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo một trong ba cách hiểu nói trên.
Đặt f: D ⟶ R là hàm số định nghĩa trên một tập con D của tập số thực R. Tập con D này là tập xác định của f. Một số khả năng cho D bao gồm:
Trong trường hợp D là một khoảng mở, a và b không phải là giá trị biên của tập xác định, và các giá trị f(a) và f(b) không ảnh hưởng đến tính liên tục của f trên D.
Hàm số thực > Định nghĩa > Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm

Hàm  f gọi là liên tục tại điểm  c trên miền xác định nếu giới hạn của  f(x) khi  x tiến dần về  c tồn tại và bằng giá trị của  f(c). Ta viết:
{\underset {x\rightarrow c}{\lim }}f(x)=f(c)
hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là  f xác định tại  c, 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng  f(c).
Hàm  f là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.
Hàm số thực > Định nghĩa > Định nghĩa theo giới hạn của dãy

Cho dãy  (x_{n})_{n\in \mathbb {N} } bất kì trên miền xác định hội tụ về  c, thì tương ứng dãy  (f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} } hội tụ về  f(c)
Hàm số thực > Định nghĩa > Định nghĩa liên tục theo epsilon–delta

Cho số thực bất kỳ  \varepsilon >0, tồn tại số thực  \delta >0 sao cho với mọi  x trong miền xác định của  f với  c-\delta <x<c+\delta , giá trị của  f(x) thỏa
f(c)-\varepsilon <f(x)<f(c)+\varepsilon
Liên tục của  f\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}  tại  c là với mọi  \varepsilon >0, tồn tại  \delta >0 sao cho với mọi  x\in I
\vert x-c\vert <\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(c)\vert <\varepsilon
Hàm số thực > Ví dụ

Hàm 
 f(x)={\frac {2x-1}{x+2}}
liên tục trên miền xác định  \mathbb {R\backslash } \{-2\}
Hàm số thực > Phản ví dụ

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1,x>0\\0,x=0\\-1,x<0\end{cases}}
Ví dụ về hàm không liên tục với  \varepsilon ={\frac {1}{2}}, lấy với mọi  y\neq 0, khi đó không tồn tại  \delta >0\,:\,\vert y-0\vert =\vert y\vert <\delta  sao cho  \vert f(y)-f(0)\vert =<\epsilon ={\frac {1}{2}} vì  \vert f(y)-f(0)\vert =1\,\forall y\neq 0
Hàm số thực > Tính chất > Định lý giá trị trung gian

Cho  f\,:\,[a,b]\rightarrow \mathbb {R}  là liên tục, giả sử  s nằm giũa  f(a) và  f(b). Khi đó tồn tại ít nhất một  c\in [a,\,b] sao cho  f(c)=s.
Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m
Hàm số thực > Tính chất > Định lý giá trị cực biên

Cho khoảng  [a,\,b] (khoảng đóng và bị chặn) và  f\,:\,[a,\,b]\rightarrow \mathbb {R}  là liên tục, khi đó  f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  [a,\,b], hay tồn tại  c,\,d\in [a,\,b] sao cho  f(c)\leq f(x)\leq f(d) với mọi  x\in [a,b].
Hàm số thực > Tính chất > Định lý điểm cố định

Cho  a<b;\,a,\,b\in \mathbb {R} ,  f\,:\,[a,\,b]\rightarrow [a,\,b] liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một  c\in [a,\,b] sao cho  f(c)=c.
Hàm số thực > Tính chất > Quan hệ với tính khả tích và khả vi

Mọi hàm  f\,:\,(a,b)\rightarrow \mathbb {R}  khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.
Ví dụ hàm trị tuyệt đối
f(x)=|x|={\begin{cases}x,x\geq 0\\-x,x<0\end{cases}}
là liên tục trên  \mathbb {R}  nhưng không khả vi tại 0.
Đạo hàm  f^{'}(x) của hàm khả vi  f(x) không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm  C^{1}(a,b).
Xét tập các hàm
f\,:\,\Omega \rightarrow \mathbb {R}
Trong đó  \Omega  là tập con mở trong  \mathbb {R}  sao cho hàm  f khả vi liên tục đến bậc  k.
Tập các hàm này là không gian  C^{k}(\Omega ).
Mọi hàm
f\,:\,[a,\,b]\rightarrow \mathbb {R}
đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm  \operatorname {sign} (x)
Hàm số thực > Tính chất > Liên tục đều

Giả sử  \Omega  là tập con của  \mathbb {R}  khi đó
f\,:\,\Omega \rightarrow \mathbb {R}
liên tục đều trên  \Omega  nếu với mọi  \epsilon >0 cho trước tồn tại  \delta >0 chỉ phụ thuộc vào  \epsilon  sao cho  \vert x-x'\vert <\delta ,  \forall x,\,x^{'}\in \Omega  thì
\vert f(x)-f(x')\vert <\varepsilon
Ví dụ như hàm  y=\sin(x) và  y=x
Hàm số thực > Tính chất > Hội tụ của dãy hàm liên tục

Cho dãy  (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}
các hàm liên tục sao cho
f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)
tồn tại với mọi  x\in I, khi đó hàm  f(x) là giới hạn từng điểm của hãy  (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }, hàm  f không nhất thiết liên tục cho dù  f_{n} là liên tục.
Tuy nhiên nếu  f liên tục, khi đó dãy  (f_{n})_{n\in \mathbb {N} } hội tụ đều
Hàm số thực > Tính chất > Hàm không liên tục mọi nơi

Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định.
Hàm Dirichlet
Cho  c và  d là hai số thực(thường lấy  c=1 và  d=0), định nghĩa bởi
là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành
D(x)={\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}\cos ^{2n}(m!\pi x)
Nếu  E là tập con bất kì của không gian tô pô  X sao cho cả  E và phần bù của  E trù mật trong  X sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Liên tục trên không gian mêtric > Định nghĩa

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:
Cho  (X,d_{1}) và  (Y,d_{2}) là 2 không gian mê tric.
Ánh xạ  f\,\,:\,(X,d_{1})\,\rightarrow \,(Y,d_{2}) liên tục tại  x\in X nếu
\forall \varepsilon >0,\,\exists \sigma >0,\,d_{1}(x,y)\,<\,\sigma \,\Rightarrow d_{2}(f(y),f(x))\,<\varepsilon
hay với mọi  B(f(x),\varepsilon ) tâm tại  f(x) khi đó  \exists B(x,\sigma ) tâm tại  x sao cho
f(B(x,\sigma ))\subset B(f(x),\varepsilon ).
Liên tục trên không gian mêtric > Tính chất

Cho  (X,\,d) là không gian mêtric,  A là tập con của  X thì  f_{A}\,:\,X\rightarrow \mathbb {R}  với  f_{A}(x)=d(\{x\},\,A) là liên tục.
Liên tục trên không gian mêtric > Liên tục Lipchitz

Cho hai không gian mêtric  (X,d_{X}) và  (Y,d_{Y}) với  d_{X} là mêtric trên  X và  d_{Y} là mêtric trên  Y.
f\,:\,X\rightarrow Y là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số  K\geq 0 sao cho với mọi  x_{1},\,x_{2}\in X
d_{Y}(f(x_{1}),\,f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},\,x_{2})
Liên tục trên không gian mêtric > Liên tục Lipchitz > Ví dụ

Hàm  f(x)={\sqrt {x^{2}}}+5 liên tục Lipchitz với  K=1.
Liên tục trên không gian mêtric > Liên tục Holder

Cho hai không gian mêtric  (X,d_{X}) và  (Y,d_{Y}) với  d_{X} là mêtric trên  X và  d_{Y} là mêtric trên  Y, với  \alpha  là số thực.
f\,:\,X\rightarrow Y là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số  K\geq 0 sao cho với mọi  x_{1},\,x_{2}\in X
d_{Y}(f(x_{1}),\,f(x_{2}))\leq K(\,d_{X}(x_{1},\,x_{2}))^{\alpha }
Liên tục trên không gian mêtric > Liên tục Holder > Ví dụ

f(x)={\sqrt {x}} là liên tục Holder với  \alpha \leq {\frac {1}{2}}, nhưng không liên tục Lipchitz.
Liên tục trên không gian mêtric > Liên tục Cauchy

Cho  X và  Y là hai không gian mêtric,  f là hàm từ  X vào  Y.
Hàm  f là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì  (x_{1},x_{2},...) trong  X, dãy  (f(x_{1}),\,f(x_{2}),\,...) là dãy Cauchy trong  Y.
Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục.
Nếu  X là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên  X là liên tục Cauchy.
Liên tục trên không gian mêtric > Liên tục Cauchy > ví dụ

Trên đường thẳng thực  \mathbb {R}  liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.
Hàm  f(x)=0 khi  x^{2}<2 và  f(x)=1 khi  x^{2}>2 với mọi số hữu tỉ  x. Hàm này liên tục trên  \mathbb {Q}  nhưng không liên tục Cauchy
Liên tục trong không gian tô pô

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.
Liên tục trong không gian tô pô > Định nghĩa

Cho  X và  Y là hai không gian tô pô. Ánh xạ  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y là liên tục tại điểm  x trong  X nếu mọi tập mở  V trong  Y chứa  f(x) thì có tập mở  U của  X chứa  x sao cho  f(U) chứa trong  V. Ta nói  f liên tục trên  X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên  X.
Lân cận của điểm  x\in X là tập con của  X chứa tập mở chứa  x. Lân cận không cần phải mở.
f liên tục tại  x nếu mọi tập mở  V chứa  f(x) thì tập  f^{-1}(V) là lân cận của  x.
Liên tục trong không gian tô pô > Định lý

Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập mở là tập mở. Hay  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y liên tục khi và chỉ khi với mọi  V mở trong  Y thì  f^{-1}(V) mở trong  X.
Liên tục trong không gian tô pô > Một số tính chất và mệnh đề

Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
Cho  X và  Y là hai không gian tô pô và  \mathbb {B}  là cơ sở của tô pô trên  Y. Khi đó  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y liên tục nếu và chỉ nếu  f^{-1}(B) là mở trong  X với mọi  B\in \mathbb {B} .
Cho  \mathbb {R}  với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức  p\,:\,\mathbb {R} \,\rightarrow \,\mathbb {R}  với  p(x)\,=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a+0 là liên tục.
Giả sử  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y là liên tục. Nếu dãy  (x_{1},\,x_{2},\,...) trong  X hội tụ về  x khi đó dãy  (f(x_{1}),\,f(x_{2}),\,...) trong  Y hội tụ về  f(x).
Cho  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y và  g\,\,:\,Y\,\rightarrow \,Z liên tục. Khi đó hàm hợp  g\,\circ \,f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Z là liên tục.
Cho  X,Y là hai không gian tô pô,  A là không gian con của  X. Cho  f\,:\,X\rightarrow Y liên tục. Khi đó  f|_{A}\,:\,A\rightarrow Y liên tục.
Liên tục trong không gian tô pô > Liên tục trong không gian tô pô liên thông

Cho  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y liên tục, nếu  X liên thông thì  f(X) liên thông.
Cho  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y liên tục, nếu  X liên thông đường thì  f(X) liên thông đường.
Cho  X là không gian tô pô liên thông, và  f\,:\,X\rightarrow \mathbb {R}  liên tục. Nếu  p,\,q\in f(X) và  p\leq r\leq q, khi đó  r\in f(X). (Định lý giá trị trung bình mở rộng)
Cho  f\,:\,S^{2}\rightarrow \mathbb {R}  liên tục, khi đó tồn tại  c\in S^{2} sao cho  f(c)=f(-c).
Liên tục trong không gian tô pô > Liên tục trong không gian tô pô compact

Cho  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y liên tục, nếu  X compact thì  f(X) compact.
Cho  X compact và  f\,:\,X\rightarrow \mathbb {R}  là liên tục, khi đó  f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  X, hay tồn tại  a,\,b\in X sao cho  f(a)\leq f(x)\leq f(b) với mọi  x\in X.
Cho  [a,\,b] là khoảng đóng và bị chặn trong  \mathbb {R} . Giả sử  f\,:\,[a,\,b]\rightarrow \mathbb {R}  là liên tục. Khi đó ảnh của  f là khoảng đóng và bị chặn trong  \mathbb {R} .
Liên tục trong không gian tô pô > Mở rộng > Tô pô sinh bởi ánh xạ

Cho  (X,\tau _{X}) là không gian tô pô,  Y là một tập, và  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên  Y sao cho  f liên tục.
Cho  X là một tập,  (Y,\tau _{Y}) là không gian tô pô, và  f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên  X sao cho  f liên tục.
Liên tục trong không gian tô pô > Mở rộng > Đồng phôi

Bài chi tiết: Phép đồng phôi
Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là  X\approx Y, nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.
Liên tục trong không gian tô pô > Mở rộng > Đồng luân

Bài chi tiết: Đồng luân
Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục  f và  g từ không gian tô pô  X vào không gian tô pô  Y được định nghĩa là ánh xạ  H:\,X\times [0,1]\rightarrow Y từ tích của không gian  X với đoạn đơn vị  [0,1] vào  Y sao cho với mỗi  x thuộc  X ta có  H(x,0)=f(x) và  H(x,1)=g(x).
Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của  H như là "thời gian", khi đó  H mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ  f thành ánh xạ  g: tại thời điểm  0 ta có ánh xạ  f và tại thời điểm  1 ta có ánh xạ  g.
Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ  X vào  Y. Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu  f_{1},\,g_{1}\,:\,X\rightarrow Y là đồng luân và  f_{2},\,g_{2}\,:\,Y\rightarrow Z là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng  f_{2}\circ f_{1} và  g_{2}\circ g_{1}: Y\rightarrow Z là đồng luân