Tính chẵn lẻ của số không
Giáo dục > Hiểu biết của học sinh

Biểu đồ bên phải biểu thị quan điểm của học sinh về tính chẵn lẻ của số không, với các học sinh từ lớp 1 tới lớp 6 trong hệ thống giáo dục Anh. Dữ liệu được thu thập từ Len Frobisher, ông đã tiến hành các cuộc khảo sát với những học sinh tại Anh. Frobisher muốn tìm hiểu cách mà các kiến thức về tính chẵn lẻ của các số có một chữ số được vận dụng sang các số có nhiều chữ số, và số không thể hiện điều này khá nổi bật theo kết quả khảo sát.
Trong một cuộc khảo sát ban đầu gần 400 em nhỏ bảy tuổi, 45% chọn chẵn khi được hỏi về tính chẵn lẻ của số không. Một cuộc khảo sát tiếp sau đó cho thêm nhiều lựa chọn hơn: không chẵn không lẻ, cả hai và không biết. Lần này số em nhỏ cùng tuổi trả lời là chẵn giảm xuống còn 32%. Số học sinh trả lời đúng là chẵn ban đầu tăng lên ở các học sinh lớp 2 rồi sau đó giữ nguyên trong khoảng 50% với các học sinh từ lớp 3 tới lớp 6. Để so sánh, số học sinh hoàn thành được nhiệm vụ dễ nhất là xác định tính chẵn lẻ của một số có một chữ số, giữ nguyên trong khoảng 85%..
Trong các buổi phỏng vấn, Frobisher luận ra được lý do của các học sinh. Một em học sinh lớp 5 cho rằng 0 là số chẵn vì nó có trong bảng cửu chương số 2. Một vài học sinh lớp 4 nhận thấy rằng số không có thể được chia thành các phần bằng nhau. Một học sinh lớp 4 khác giải thích: "1 là số lẻ thì liền trước nó là số chẵn." Các buổi phỏng vấn cũng cho thấy những hiểu lầm đằng sau những câu trả lời sai. Một học sinh lớp 2 "khá chắc chắn" rằng không là số lẻ, dựa trên cơ sở rằng "đó là số đầu tiên mà bạn bắt đầu đếm". Một học sinh lớp 4 cho rằng 0 không lẻ cũng không chẵn vì "nó không phải là một số". Trong một nghiên cứu khác, Annie Keith nghiên cứu một nhóm 15 học sinh lớp 2 cố thuyết phục lẫn nhau rằng không là một số chẵn dựa trên sự luân phiên chẵn-lẻ và khả năng chia một nhóm có 0 thứ thành 2 nhóm bằng nhau.
Các cuộc khảo sát sâu hơn được thực hiện bởi Esther Levenson, Pessia Tsamir, và Dina Tirosh. Họ tiến hành phỏng vấn một cặp học sinh lớp 6, cả hai đều là các học sinh học toán tốt trong lớp. Một học sinh thích các cách giải thích kiểu suy diễn cho những khẳng định toán học, trong khi em còn lại thích các ví dụ thực tế. Cả hai học sinh, vì nhiều lý do, ban đầu nghĩ rằng 0 không chẵn cũng không lẻ. Levenson và các cộng sự đã cho thấy cách mà cách lập luận của học sinh đã phản ánh được khái niệm của các em về số không và phép chia.
Deborah Loewenberg Ball phân tích các ý tưởng của các học sinh lớp 3 về các số chẵn lẻ và số không, chủ đề vừa được đem ra bàn luận với một nhóm học sinh lớp 4. Các học sinh thảo luận về tính chẵn lẻ của số không, các quy luật với số chẵn và cách làm toán. Các ý kiến về số không khá đa dạng, được liệt kê ở bảng phía bên phải. Ball và các cộng sự cho rằng nghiên cứu này đã cho thấy cách mà học sinh có thể "làm toán tại trường".
Một trong những chủ đề trong các tài liệu nghiên cứu là sự mẫu thuẫn giữa hình ảnh của các học sinh về khái niệm tính chẵn lẻ và các định nghĩa về khái niệm này của họ. Hai học sinh lớp 6 trong nghiên cứu của Levenson và các cộng sự đều định nghĩa các số chẵn là các bội số của hai hoặc các số chia hết cho 2, nhưng hai em lại không thể áp dụng được định nghĩa này cho số không, vì cả hai đều không chắc chắn về cách nhân hoặc chia số không cho 2. Những người phỏng vấn rốt cuộc phải đưa cả hai tới kết luận rằng không là một số chẵn; dù vậy, hai học sinh vẫn chọn những con đường khác nhau để đi tới kết luận này, vẽ ra nhiều hình ảnh, định nghĩa và những lời giải thích cả thực tế và trừu tượng. Trong một nghiên cứu khác, David Dickerson và Damien Pitman tìm hiểu cách sử dụng các định nghĩa của năm sinh viên đại học giỏi chuyên ngành toán học. Họ phát hiện ra rằng các sinh viên hầu như có thể áp dụng định nghĩa "số chẵn" vào số không, nhưng các sinh viên vẫn chưa cảm thấy thuyết phục với cách làm này, vì nó mâu thuẫn với hình ảnh của họ về khái niệm này.