Nhóm (toán học)
Ví dụ và ứng dụng > Nhóm đối xứng

Bài chi tiết: Nhóm đối xứng
Xem thêm: Đối xứng phân tử, Nhóm không gian, và Đối xứng trong vật lý học
Nhóm đối xứng là những nhóm chứa tính đối xứng của các đối tượng toán học nhất định—có thể về bản chất hình học của chúng, như nhóm đối xứng của hình vuông đã giới thiệu ở trên, hoặc về bản chất đại số, như phương trình đa thức và các nghiệm. Về mặt khái niệm, có thể coi lý thuyết nhóm như là ngành nghiên cứu tính đối xứng. Sự đối xứng trong toán học làm đơn giản hóa rất nhiều trong việc nghiên cứu các đối tượng hình học và giải tích. Một nhóm được nói là tác dụng lên một đối tượng toán học X nếu mỗi phần tử của nhóm thực hiện một số phép toán trên X mà tương thích với luật nhóm. Trong ví dụ nằm ở ngoài cùng bên phải ở bảng dưới, một phần tử bậc 7 của nhóm tam giác (2,3,7) tác dụng lên phép lát gạch bằng cách hoán vị các tam giác cong tô màu nổi bật (và cũng cho những tam giác khác). Bằng tác dụng nhóm, thành phần của nhóm được liên hệ với cấu trúc của đối tượng mà nó tác dụng lên.
Trong lĩnh vực hóa học, như tinh thể học, nhóm không gian và nhóm điểm miêu tả tính chất đối xứng phân tử và đối xứng tinh thể. Những đối xứng này hàm chứa các hành xử vật lý và hóa học của các tinh thể, và lý thuyết nhóm cho phép đơn giản hóa sự phân tích của cơ học lượng tử cho những tính chất này. Ví dụ, lý thuyết nhóm được sử dụng để chứng tỏ rằng sự chuyển dịch quang học giữa những mức lượng tử nhất định không thể xảy ra đơn giản bởi vì có sự tham gia đối xứng của các trạng thái năng lượng.
Không chỉ nhóm có ích khi sử dụng để đánh giá đối xứng trong phân tử, nhưng chúng cũng tiên đoán một cách ngạc nhiên rằng thỉnh thoảng các phân tử cũng thay đổi tính đối xứng. Hiệu ứng Jahn-Teller là sự lệch cấu trúc phân tử ra khỏi đối xứng cao khi nó chấp nhận một trạng thái nền của đối xứng thấp hơn từ tập hợp các trạng thái nền khả dĩ có liên hệ với nhau bởi phép toán đối xứng đối với phân tử.
Tương tự như vậy, lý thuyết nhóm giúp tiên đoán sự thay đổi tính chất vật lý xảy ra khi vật liệu trải qua giai đoạn chuyển pha, ví dụ, từ dạng tinh thể lập phương sang thành tinh thể tứ diện. Một ví dụ về điều này đó là ở vật liệu sắt điện, nơi sự thay đổi từ trạng thái lưỡng cực điện sang trạng thái sắt điện xảy ra ở nhiệt độ Curie và có liên hệ với sự thay đổi từ trạng thái lưỡng cực điện đối xứng cao xuống trạng thái sắt điện có đối xứng thấp hơn, đi kèm với nó là mode phonon mềm, loại mode giàn rung động trở về tần số 0 ở giai đoạn chuyển pha.
Những hiệu ứng phá vỡ đối xứng tự phát đã được áp dụng ở trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản, nơi sự xuất hiện của nó có liên hệ với các boson Goldstone.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |

| Buckminsterfullerene thể hiện đối xứng đa diện 20 mặt thông qua liên kết 2 hóa trị làm giảm đối xứng này thành đối xứng tinh thể pyrit (pyritohedral symmetry). | Amonia, NH3. Nhóm đối xứng của nó có bậc 6, sinh bởi phép quay 120° và sự phản xạ. | Cubane C8H8 chứa  đối xứng bát diện. | Ion phức Hexaaquacopper(II), [Cu(OH2)6]2+. So sánh với một hình dạng đối xứng hoàn hảo, phân tử này bị kéo giãn theo phương đứng một tỷ lệ 22% (hiệu ứng Jahn-Teller). | Nhóm tam giác (2,3,7), nhóm hypebolic, tác dụng lên phép lát mặt phẳng hypebolic. |
Những nhóm đối xứng hữu hạn như nhóm Mathieu được ứng dụng trong lý thuyết mã hóa, mà đến lượt nó lại áp dụng vào lý thuyết hiệu chỉnh sai số trong việc truyền dữ liệu, và ở đầu đọc đĩa CD. Một ứng dụng khác là lý thuyết Galois vi phân, mà hàm đặc trưng hóa có nguyên hàm của dạng cho trước, đem lại tiêu chuẩn giới hạn lý thuyết nhóm khi nghiệm của những phương trình vi phân xác định tốt. Các tính chất hình học mà vẫn duy trì sự ổn định dưới tác dụng của nhóm được nghiên cứu trong lý thuyết bất biến hình học.