Thuyết tương đối hẹp
Ví dụ tia vũ trụ và muon

Trong thiên văn học đã phát hiện được các hạt với năng lượng rất cao: đó là các tia vũ trụ. Mặc dù cơ chế sản sinh ra các tia này vẫn còn là bí ẩn, nhưng các nhà thiên văn vật lý có thể đo được năng lượng của chúng. Kết quả đo được cho thấy giá trị năng lượng rất cao chứng tỏ phải áp dụng các công thức của thuyết tương đối hẹp để phân tích quá trình thiên văn vật lý này. Và do vậy tia vũ trụ cung cấp phương tiện lý tưởng để kiểm chứng thuyết tương đối của Einstein.
Năng lượng đo được của các hạt lớn tới cỡ 1020 electronvolt, hay bằng một trăm triệu lần TeV. Nếu giả sử tia vũ trụ là những hạt proton mang năng lượng cỡ 1020 eV, vậy thì vận tốc của những hạt này bằng bao nhiêu?
Trong biểu thức viết cho năng lượng E, số hạng m c2 biểu diễn cho năng lượng ứng với khối lượng nghỉ của hạt. Đối với của proton bằng khoảng 1 GeV, hay 109 eV. Tỉ số giữa E và m c2 là bằng 1020/109=1011 và do đó tính được hệ số  \gamma =\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}. Vậy vận tốc của proton bằng bao nhiêu? Viết  1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}=\left[1+\left({\frac {v}{c}}\right)\right]\left[1-\left({\frac {v}{c}}\right)\right]\simeq 2\left[1-\left({\frac {v}{c}}\right)\right] chúng ta tìm được
Nói cách khác vận tốc của proton rất cao và xấp xỉ tốc độ ánh sáng. Nó chỉ nhỏ hơn cỡ 10−22 (nhưng vẫn không thể bằng).
Hãy xem giá trị này hàm ý hệ số tương đối tính giữa hệ quy chiếu của hạt và hệ quy chiếu trên Trái Đất bằng bao nhiêu. Thiên hà của chúng ta, với đường kính 100.000 năm ánh sáng, hay ánh sáng mất 100.000 năm để đi từ rìa bên này sang rìa bên kia. Đối với một quan sát viên trên Trái Đất, hạt proton băng qua thiên hà trong thời gian gần bằng như thế. Trong hệ quy chiếu tương đối tính của proton, khoảng thời gian này tương ứng nhỏ hơn 1011 lần, hay chỉ 30 giây (một năm Trái Đất xấp xỉ 3×107 giây). Hạt băng qua Ngân Hà trong vòng 30 giây đo trong hệ quy chiếu gắn với hạt trong khi đối với quan sát viên trên Trái Đất thời gian để nó băng qua là hơn 100.000 năm.
Khi các tia vũ trụ va chạm với các nguyên tử ôxi hoặc nitơ trong khí quyển Trái Đất ở độ cao 20 đến 50 kilômét so với mặt đất, hình thành ra một luồng các hạt thứ cấp năng lượng cao bắn ra, bao gồm các hạt muon. Một số hạt chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng hướng xuống mặt đất, xấp xỉ bằng 300.000 kilômét trên giây so với hệ quy chiếu gắn với Trái Đất. Do vậy các hạt này vượt qua 30 kilômét bề dày của lớp khí quyển trong thời gia 10−4 giây (hay 100 micro giây).
Trong hệ quy chiếu mà một hạt muon đứng yên, nửa thời gian sống của hạt bằng 2 μs (2 micro giây, hay 2x10−6 s). Điều này có nghĩa là, đối với một tập hợp hạt muon tạo ra trên tầng cao của khí quyển, một nửa sẽ biến đổi thành hạt khác sau thời gian 2 micro giây. Sau đó một nửa số hạt còn lại tiếp tục biến đổi thành hạt khác sau 2 micro giây tiếp theo và cứ như thế. Nếu nửa thời gian sống của hạt (2 micro giây) cũng là giá trị đo được trên Trái Đất, thì trong thời gian 10−4 giây hạt đi qua lớp khí quyển số lượng hạt muon sẽ giảm đi và đến được Trái Đất bằng 10−4 / 2×10−6 = 50 nửa thời gian sống. Do đó số hạt đến được mặt đất giảm xuống bởi hệ số (1/2)50 hay khoảng 10−15 và do vậy trong thực tế không thể phát hiện được các muon đến từ tầng cao của khí quyển.
Nhưng số lượng đo được xấp xỉ 1/8, vào khoảng (1/2)3, số lượng muon ban đầu đến được bề mặt Trái Đất, chứng tỏ rằng chúng chỉ bị biến đổi 2/3 so với 2/50. Có nghĩa rằng thời gian hạt đi qua lớp khí quyển có nửa thời gian sống bằng 3 chứ không phải 50, chỉ 6 micro giây (và không phải 100 micro giây). Kết quả này ủng hộ mạnh mẽ cho độ chính xác của thuyết tương đối hẹp đặc biệt là hiện tượng giãn thời gian và co độ dài (ở đây là cho muon) khi thực hiện đo lường từ một hệ quy chiếu khác (ở đây là trên Trái Đất). Trong ví dụ bằng số hệ số giãn thời gian bằng  \gamma =[1-(v/c)^{2}]^{-(1/2)} và bằng 100/6.
Có thể tính được vận tốc và năng lượng của muon, quả thực giống như tính toán ở mục trên
mà dẫn đến
Vì khối lượng của muon vào khoảng 100 MeV, năng lượng của hạt bằng 100/6 lần lớn hơn, hay bằng 2000 MeV hoặc 2 GeV.