stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ma trận (toán học)
Ký hiệu

Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc vuông:
Một cách ký hiệu khác là sử dụng dấu ngoặc đơn lớn thay cho dấu ngoặc vuông:
Ký hiệu cụ thể cho ma trận rất đa dạng, với một số xu hướng viết phổ biến cho nó. Ma trận thường được ký hiệu bằng chữ cái viết hoa (như A trong ví dụ trên), trong khi với chữ cái viết thường có hai chỉ số viết dưới (ví dụ a11, hay a1,1) biểu diễn cho phần tử của ma trận. Ngoài cách sử dụng ký hiệu chữ viết hoa cho ma trận, nhiều tác giả sử dụng kiểu viết nhấn mạnh cho từ, mà phổ biến là cách viết đậm (không nghiêng), để phân biệt ma trận với những đối tượng toán học khác.  Một cách ký hiệu khác là sử dụng cách viết hai đường gạch dưới chân của từ ký hiệu, mà có hoặc không có cách viết đậm, (ví dụ  {\underline {\underline {A}}}).
Phần tử trong hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A đôi khi được viết thành i,j, (i,j), hoặc phần tử thứ (i,j) của ma trận, và cách viết hay gặp nhất đó là ai,j, hay aij. Cách ký hiệu khác cho phần tử của ma trận là A[i,j] hay Ai,j. Ví dụ, phần tử (1,3) trong ma trận A là 5 (cũng được viết là a13, a1,3, A[1,3] hoặc A1,3):
Thỉnh thoảng, các phần tử của ma trận có thể được xác định theo một công thức như ai,j = f(i, j). Ví dụ, mỗi phần tử của ma trận A dưới đây được xác định bằng aij = i − j.
Trong trường hợp này, chính ma trận được xác định theo công thức đó, với cách viết trong dấu ngoặc vuông hoặc ngoặc đơn mở rộng. Ví dụ, ma trận ở trên được ký hiệu là A = [i-j], hoặc A = ((i-j)). Nếu ma trận có kích thước m × n, công thức đề cập ở trên f(i, j) là đúng cho bất kỳ i = 1,..., m và bất kỳ j = 1,..., n. Có thể viết tách biệt kích thước của ma trận, hoặc sử dụng cách viết m × n như là chỉ số dưới. Ví dụ, ma trận A ở trên bằng 3 × 4 và có thể viết ký hiệu là A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1,..., 4), hay A = [i − j]3×4.
Một số ngôn ngữ lập trình sử dụng cách viết những mảng có hai chỉ số (hay mảng của mảng) để biểu diễn ma trận m-×-n. Một số ngôn ngữ lập trình bắt đầu ma trận bằng cách đánh số chỉ số của mảng tại 0, như trong trường hợp mảng m-×-n được đánh số bằng 0 ≤ i ≤ m − 1 và 0 ≤ j ≤ n − 1. Bài viết này tuân theo cách quy ước thường gặp trong toán học với chỉ số bắt đầu bằng 1.
Dấu hoa thị đôi khi được sử dụng để chỉ toàn bộ các hàng hoặc cột trong ma trận. Ví dụ, ai,∗ để chỉ hàng thứ i của ma trận A, và a∗,j để chỉ cột thứ  j của ma trận A. Tập hợp mọi ma trận dạng m-×-n ký hiệu là  \mathbb {M} (m,n), hoặc  \mathbb {R} ^{m\times n} cho mọi ma trận.
Các phép toán cơ bản

| --- | --- |
 How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito, TED ED
Có một số phép toán cơ bản tác dụng lên ma trận, bao gồm cộng ma trận, nhân một số với ma trận, chuyển vị, nhân hai ma trận, phép toán hàng, và ma trận con.
Các phép toán cơ bản > Phép cộng, nhân một số với ma trận, và ma trận chuyển vị

Bài chi tiết: Phép cộng ma trận, Nhân vô hướng, và Ma trận chuyển vị
| Phép toán | Định nghĩa | Ví dụ |
| --- | --- | --- |
| Cộng hai ma trận | Tổng A+B của hai ma trận cùng kích thước m-x-n A và B được một ma trận cùng kích thước với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận: (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ n. |   {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}} |
| Nhân (vô hướng) một số với ma trận | Tích cA của số c (cũng được gọi là vô hướng trong đại số trừu tượng) với ma trận A được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của A với c:  (cA)i,j = c • Ai,j. Phép toán này được gọi là nhân vô hướng, nhưng không nên nhầm lẫn với khái niệm "tích vô hướng" hay "tích trong". |  2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}} |
| Chuyển vị | Chuyển vị của ma trận m-x-n A là ma trận n-x-m AT (cũng còn ký hiệu là Atr hay tA) tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng:  (AT)i,j = Aj,i. |  {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}} |
Những tính chất tương tự đối với số thực có thể mở rộng ra đối với phép toán ma trận. Cộng hai ma trận có tính chất giao hoán, hay tổng của các ma trận không phụ thuộc vào thứ tự của phép tính:
Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận.
Các phép toán cơ bản > Nhân ma trận

Phép nhân hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải. Nếu A là một ma trận m-x-n và B là một ma trận n-x-p, thì ma trận tích AB là ma trận m-x-p với các phần tử được xác định theo tích vô hướng của hàng tương ứng trong A với cột tương ứng trong B:
với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ p. Ví dụ, phần tử gạch chân bên dưới 2340 trong tích được xác định bằng (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:
Phép nhân ma trận thỏa mãn quy tắc (AB)C = A(BC) (tính chất kết hợp), và (A+B)C = AC+BC cũng như C(A+B) = CA+CB (luật phân phối trái và phải), khi kích thước của các ma trận tham gia vào phép nhân thỏa mãn yêu cầu của tích hai ma trận. Tích AB có thể xác định trong khi BA không nhất thiết phải xác định, tức là nếu A và B lần lượt có số chiều m-x-n và n-x-k, và m ≠ k. Thậm chí khi cả hai tích này đều tồn tại thì chúng không nhất thiết phải bằng nhau, tức là
hay phép nhân ma trận không có tính giao hoán, một đặc điểm khác với các trường số (hữu tỉ, thực, hay phức) mà tích của các số không phụ thuộc vào thứ tự của các số thực hiện trong phép nhân. Ví dụ về nhân hai ma trận không có tính giao hoán:
trong khi
Bên cạnh phép nhân ma trận thông thường như đã miêu tả, có một số phép toán tác dụng lên ma trận ít gặp mà có thể coi như là phép nhân ma trận, ví dụ như tích Hadamard và tích Kronecker. Chúng xuất hiện khi giải phương trình ma trận, như phương trình Sylvester.
Các phép toán cơ bản > Phép toán hàng

Bài chi tiết: Ma trận sơ cấp
Có ba loại phép toán hàng:
cộng hàng, tức là cộng các hàng lại với nhau.
nhân hàng, tức là nhân mọi phần tử trong hàng với một hằng số khác 0;
chuyển hàng, thay đổi vị trí hai hàng cho nhau trong ma trận;
Các phép toán này được áp dụng trong một số lĩnh vực, bao gồm giải phương trình tuyến tính và tìm ma trận ngược.
Các phép toán cơ bản > Ma trận con

Ma trận con của một ma trận nhận được bằng cách xóa bất kỳ các hàng và các cột. Ma trận con được ký hiệu là Mij với i là dòng bị xóa, j là cột bị xóa. Ví dụ, từ ma trận 3 x 4, chúng ta có thể tạo ra ma trận con 2x3 bằng cách xóa hàng 3 và cột 2:
Định thức con và phần phụ đại số của ma trận tìm được bằng cách tính định thức của những ma trận con nhất định.
Ma trận con chính là một ma trận con vuông thu được bằng cách xóa đi một số hàng và cột. Mỗi tác giả có một cách định nghĩa khác nhau. Theo một số tác giả, ma trận con chính là một ma trận con mà tập chỉ số hàng còn lại bằng tập chỉ số cột còn lại. Một số tác giả khác định nghĩa ma trận con chính là một trong những ma trận con có k hàng và cột đầu tiên, đối với một số giá trị k, là những ma trận còn lại sau khi xóa hàng hoặc/và cột; loại ma trận con này còn được gọi là ma trận con chính trước (leading principal submatrix).
Phương trình tuyến tính

Bài chi tiết: Phương trình tuyến tính và Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận được dùng để viết gọn và nghiên cứu phương trình tuyến tính cũng như hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, nếu A là một ma trận mxn, x là vectơ cột (ma trận n×1) của n biến x1, x2,..., xn, và b là một vectơ cột m×1, thì phương trình ma trận
là tương đương với hệ phương trình tuyến tính
Khi sử dụng ma trận, cách viết này có thể được giải quyết gọn gàng hơn thay vì cách viết ra tất cả các phương trình riêng biệt. Nếu n = m và các phương trình là độc lập khi đó để giải quyết bài toán này ta viết
trong đó A−1 là ma trận khả nghịch của A. Nếu A không nghịch đảo, các giải pháp — nếu có — có thể được áp dụng bằng cách sử dụng giả nghịch đảo.
Biến đổi tuyến tính

Bài chi tiết: Biến đổi tuyến tính và Ma trận của biến đổi tuyến tính
Ma trận và phép nhân ma trận cho thấy những đặc điểm cơ bản của chúng khi liên hệ với biến đổi tuyến tính, cũng còn gọi là ánh xạ tuyến tính.Một ma trận thực mxn A đại diện cho phép biến đổi tuyến tính Rn → Rm ánh xạ mỗi vectơ x trong Rn vào tích (hay ma trận) Ax, mà là một vectơ trong Rm. Ngược lại, mỗi biến đổi tuyến tính f: Rn → Rm đại diện bởi một ma trận duy nhất A mxn: một cách tường minh, phần tử (i, j) của A là tọa độ thứ i của f(ej), với 
ej = (0,...,0,1,0,...,0) là vectơ đơn vị với một trong vị trí thứ j và 0 ở những vị trí khác. Ma trận A được nói là biểu diễn cho ánh xạ tuyến tính f, và A được gọi là ma trận biến đổi của f.
Ví dụ, ma trận vuông 2×2
có thể coi như là biến đổi của hình vuông đơn vị thành một hình bình hành với các đỉnh của nó nằm tại (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), và (c, d). Hình bình hành trong ảnh bên cạnh thu được bằng cách nhân A với mỗi vectơ cột  {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}} và  {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}. Những vectơ này xác định lên đỉnh của hình vuông đơn vị sau phép biến đổi.
Bảng sau liệt kê một số ma trận thực 2 × 2 găn với ánh xạ tuyến tính của R2. Hình màu lam ban đầu được ánh xạ thành hình màu lục. Điểm gốc (0,0) được đánh dấu là điểm màu đen.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Phép trượt ngang (Horizontal shear) với m=1.25. | Phép lật theo phương ngang (Horizontal flip) | Phép nén (Squeeze mapping) với r=3/2 | Phép phóng tỉ lệ (scale) với tỉ lệ 3/2 | Phép quay một góc π/6R = 30° |
|  {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{R})&-\sin(\pi /6^{R})\\\sin(\pi /6^{R})&\cos(\pi /6^{R})\end{bmatrix}} |

Đặt tương ứng 1-1 giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính, phép nhân ma trận tương ứng với phép hợp các ánh xạ: nếu một ma trận kxm B biểu diễn cho một ánh xạ tuyến tính khác g: Rm → Rk, thì hợp của g ∘ f biểu diễn bằng BA vì
Phương trình cuối cùng là hệ quả từ tính kết hợp của phép nhân ma trận.
Hạng của ma trận A là số lớn nhất các vectơ hàng độc lập tuyến tính của ma trận, mà cũng bằng số lớn nhất các vectơ cột độc lập tuyến tính của nó. Tương đương với hạng của ma trận là chiều Hamel của ảnh của ánh xạ tuyến tính biểu diễn bởi A. Định lý hạng và số chiều của hạch nói rằng số chiều của hạch (kernel) ma trận cộng với hạng của nó bằng số cột của ma trận.
Ma trận vuông

Bài chi tiết: Ma trận vuông
Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận nxn còn gọi là ma trận vuông bậc n. Bất kỳ hai ma trận vuông có cùng bậc đều thực hiện được phép cộng và nhân với nhau. 
Các phần tử aii tạo thành đường chéo chính của ma trận vuông. Chúng nằm trên một đoạn thẳng tưởng tượng bắt đầu từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của ma trận.
Khía cạnh tính toán

Tính toán các tính chất liên quan tới ma trận có thể dùng nhiều kỹ thuật khác nhau. Nhiều vấn đề được giải quyết bằng cả những thuật toán trực tiếp hoặc bằng phương pháp lặp. Ví dụ, có thể tìm vectơ riêng của một ma trận vuông bằng cách tính dãy các vectơ xn hội tụ về một vectơ riêng khi n tiến tới vô tận.
Để có thể chọn thuật toán thích hợp hơn cho mỗi vấn đề cụ thể, điều quan trọng là xác định được cả tính chính xác và hiệu quả của mọi thuật toán khả dĩ. Phạm vi nghiên cứu những vấn đề này được gọi là đại số tuyến tính bằng số (numerical linear algebra). Với những vấn đề về phương pháp tính khác, hai khía cạnh chính đó là độ phức tạp của thuật toán (complexity of algorithm) và sự ổn định bằng số (numerical stability) của chúng.
Xác định độ phức tạp của thuật toán có nghĩa là tìm chặn trên hoặc ước lượng có bao nhiêu thao tác cơ bản như phép cộng và nhân vô hướng cần thiết để thực hiện một số thuật toán, ví dụ như phép nhân hai ma trận. Ví dụ, tính tích của hai ma trận bậc n x n sử dụng định nghĩa ở trên cần n3 phép nhân, do bất kỳ n2 phần tử của tích, cần có n phép nhân.  Thuật toán Strassen tốt hơn thuật toán "thô" này; nó chỉ cần n2,807 phép nhân. Cách tiếp cận đẹp hơn thường kết hợp với những đặc điểm nhất định của thiết bị tính toán.
Trong nhiều vấn đề thực tiễn, chúng ta biết thêm các thông tin về những ma trận tham gia vào quá trình tính toán. Một trường hợp đặc biệt đó là "ma trận thưa" (sparse matrix), tức là phần lớn các phần tử trong ma trận bằng 0. Có những thuật toán được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b cho những ma trận thưa A, như phương pháp gradien liên hợp (conjugate gradient method).
Nói một cách sơ lược, một thuật toán được gọi là ổn định bằng số (numerically stable), nếu những độ lệch nhỏ trong giá trị đưa vào không dẫn tới sự thay đổi lớn trong kết quả của chúng. Ví dụ, khi tính nghịch đảo của ma trận thông qua công thức Laplace (Adj (A) ký hiệu cho ma trận phụ hợp của A)
có thể dẫn tới sai số lớn do làm tròn nếu định thức của ma trận rất nhỏ. Ma trận chuẩn tắc (norm matrix) được ứng dụng để nắm bắt điều kiện của những vấn đề đại số tuyến tính, như tính ma trận nghịch đảo.
Hầu hết ngôn ngữ lập trình máy tính hỗ trợ mảng nhưng không được thiết kế với các lệnh cài sẵn cho ma trận. Thay vào đó, các thư viện bên ngoài có sẵn cung cấp các phép toán ma trận trên mảng, trong gần như tất cả các ngôn ngữ lập trình được sử dụng hiện nay. Thao tác ma trận là một trong những ứng dụng số sớm nhất của máy tính. Dartmouth BASIC ban đầu có các lệnh tích hợp cho phép số học ma trận trên mảng từ việc triển khai thế hệ thứ 2 vào năm 1964. Ngay từ những năm 1970, một số máy tính để bàn kỹ thuật như HP 9830 có hộp ROM (ROM cartridges) để cho thêm các lệnh BASIC đối với ma trận. Một số ngôn ngữ máy tính như APL được thiết kế để thao tác với ma trận và các chương trình phần mềm toán học khác nhau có thể được sử dụng để hỗ trợ tính toán với ma trận.
Phân tích ma trận

Bài chi tiết: Phân tích ma trận, Ma trận chéo hóa được, Phép khử Gauss, và Thuật toán Bareiss
Có một số phương pháp để đưa ma trận về những dạng dễ nghiên cứu hơn. Các nhà toán học thường coi chúng là kỹ thuật phân tích ma trận hoặc  nhân tử hóa ma trận. Họ quan tâm tới những kỹ thuật này vì chúng bảo tồn một số tính chất nhất định của ma trận trong quá trình biến đổi, như định thức, hạng hay nghịch đảo, do đó những đại lượng này có thể dễ dàng tính toán sau khi áp dụng phép biến đổi, hoặc những tính toán ma trận sẽ dễ dàng hơn về mặt thuật toán thực thi đối với một số ma trận đặc biệt.
Phương pháp phân tích LU ma trận chính là kỹ thuật phân tích ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới (L) với một ma trận tam giác trên (U). Khi phương pháp phân tích này được thực hiện, những hệ phương trình tuyến tính có thể giải một cách hữu hiệu hơn bằng những kỹ thuật đơn giản như thay thế tiến và lùi (forward and back substitution). Tương tự, tính nghịch đảo của ma trận tam giác sẽ dễ dàng hơn nhiều so với ma trận tổng quát. Phép khử Gauss tương tự như một thuật toán; nó biến đổi ma trận bất kỳ thành dạng hàng bậc thang (row echelon form). Cả hai phương pháp được tiến hành bằng cách nhân ma trận với những ma trận cơ sở phù hợp, hay những ma trận thu được từ việc hoán vị các cột hoặc hàng cho nhau và cộng thêm một số bội lần một hầng vào hàng khác.  Kỹ thuật phần tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition) biểu diễn ma trận bất kỳ A thành tích của UDV∗, với U và V là các ma trận unita và D là ma trận chéo hóa.
Phân tích ma trận thành ma trận chỉ có các phần tử là các giá trị riêng (eigendecomposition) hay chéo hóa biểu diễn A thành tích VDV−1, với D là ma trận đường chéo và V là một ma trận khả nghịch phù hợp.  Nếu A được viết theo dạng này, nó được gọi là ma trận chéo hóa được (diagonalizable matrix). Tổng quát hơn, và áp dụng đối với mọi ma trận, phép phân tích Jordan biến đổi ma trận thành dạng chuẩn tắc Jordan (Jordan normal form), để đưa các ma trận về dạng mà chỉ những phần tử khác 0 là các giá trị riêng λ1 đến λn của A, nằm trên đường chéo chính và có thể có các phần tử nằm bên trên đường chéo chính đều bằng 1 như chỉ ra ở hình bên. Dựa theo kỹ thuật phân tích ma trận theo giá trị riêng, lũy thừa bậc n của A (tức là thực hiện nhân ma trận A với chính nó n lần) sẽ được tính toán thông qua
và lũy thừa của ma trận đường chéo được tính trực tiếp khi lấy lũy thừa của các phần tử nằm trên đường chéo chính, mà cách này dễ dàng hơn rất nhiều khi thực hiện từng lần nhân với A. Phương pháp này còn được ứng dụng để tính lũy thừa ma trận (matrix exponential) eA, do nó xuất hiện thường xuyên trong lúc giải phương trình vi phân tuyến tính, logarit của ma trận (matrix logarithm) và căn bậc hai của ma trận (square root of a matrix). Để tránh trường hợp sai số lớn khi thay đổi dữ liệu số đầu vào (condition number), các nhà toán học nêu những thuật toán tốt hơn như phân tích Schur sẽ được ứng dụng.
Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa

Các nhà toán học đã tổng quát hóa ma trận theo một số cách khác nhau. Đại số trừu tượng sử dụng ma trận với các phần tử là những dạng tổng quát hơn như là trường hay thậm chí là vành, trong khi đại số tuyến tính mã hóa các tính chất của ma trận thành khái niệm các ánh xạ tuyến tính. Có thể coi ma trận với vô số hàng và cột. Sự mở rộng khác đó là tenxơ, mà có thể coi như những mảng nhiều chiều chứa các phần tử số, khi nó khác với vectơ ở chỗ vectơ là dãy các số, thì ma trận là mảng hai chiều chứa các số. Ma trận với những tính chất đòi hỏi nhất định có xu hướng tạo thành nhóm gọi là nhóm ma trận. Tương tự trong những điều kiện nhất định, ma trận dạng vành được gọi là vành ma trận. Mặc dù tích của ma trận nói chung không giao hoán nhưng ma trận nhất định có dạng trường được gọi là trường ma trận.
Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa > Ma trận với các phần tử mở rộng

Bài này viết chủ yếu về ma trận mà các phần tử là số thực hoặc số phức.Tuy nhiên có thể coi ma trận với phần tử tổng quát hơn số thực hoặc số phức. Bước đầu tiên trong việc tổng quát hóa, bất kỳ trường toán học nào, tức là các tập hợp có thể thực hiện được phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia được xác định, có thể được sử dụng thay cho R hoặc C, như số hữu tỉ hoặc trường hữu hạn. Ví dụ, lý thuyết mã hóa sử dụng ma trận trên các trường hữu hạn. Khi xét tới trị riêng, mà chúng là những nghiệm của một đa thức mà chỉ có thể tồn tại trong một trường lớn hơn trường của các phần tử của ma trận; chẳng hạn chúng có thể là phức trong trường hợp ma trận với các phần tử thực. Khả năng để giải thích lại các phần tử của ma trận như là các phần tử của một trường lớn hơn (ví dụ để coi một ma trận thực như là một ma trận phức khi các phần tử của nó đều là thực) sẽ cho phép mỗi ma trận vuông có một tập đầy đủ các giá trị riêng của nó. Nói cách khác ta chỉ có thể coi ma trận với các phần tử thuộc một trường đóng đại số, như C, từ một tập hợp ngoài.
Tổng quát hơn, ngành đại số trừu tượng sử dụng nhiều khái niệm ma trận với các phần tử thuộc một vành R. Vành là những khái niệm tổng quát hơn khái niệm trường mà trong nó không nhất thiết phải có phép chia. Phép cộng và phép nhân ma trận cũng được mở rộng ra cho tính chất này. Tập hợp M(n, R) của mọi ma trận vuông n x n trên R là một vành gọi là vành ma trận, đẳng cấu vào vành tự đồng cấu của R-mô đun Rn bên trái. Nếu vành R là giao hoán, nghĩa là phép nhân của nó có tính giao hoán, thì M(n, R) là một đại số kết hợp (associative algebra) không giao hoán unita (trừ khi n = 1) trên R. Định thức của ma trận vuông trên một vành giao hoán R vẫn xác định nhờ sử dụng công thức Leibniz; ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó là khả nghịch trong R, được tổng quát lên đối với trường F, nơi mà mọi phần tử khác 0 là khả nghịch. Ma trận trên một siêu vành (superring) được gọi là siêu ma trận (supermatrix).
Ma trận không phải lúc nào cũng có toàn bộ các phần tử của nó thuộc về cùng một vành – hay thậm chí trong vành bất kỳ nào đó. Một trường hợp đặc biệt nhưng hay gặp đó là ma trận khối (block matrix), mà có thể coi là ma trận với phần tử chính là những ma trận. Những phần tử này không cần thiết phải là ma trận toàn phương, và do vậy không cần phải là thành viên của một vành thông thường bất kỳ; nhưng kích thước của chúng phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa > Mối liên hệ với ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ tuyến tính Rn → Rm là tương đương với ma trận m x n, như đã miêu tả ở trên. Tổng quát hơn, bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào f: V → W giữa hai không gian vectơ có chiều hữu hạn có thể được miêu tả bằng ma trận A = (aij), sau khi chọn cơ sở v1,..., vn của V, và w1,..., wm của W (do vậy n là chiều của V và m là chiều của W), sao cho
Nói cách khác, cột j của A biểu diễn ảnh của vj theo các vectơ cơ sở  wi của W; vì thế mối liên hệ này xác định một cách duy nhất các phần tử của ma trận A. Chú ý rằng ma trận phụ thuộc vào cách lựa chọn cơ sở: chọn cơ sở khác nhau sẽ cho các ma trận khác nhau nhưng tương đương. Nhiều khái niệm cụ thể nêu ở trên có thể được giải thích lại theo cách này, ví dụ, ma trận chuyển vị AT miêu tả chuyển vị của một ánh xạ tuyến tính cho bởi A, mà liên quan tới cơ sở đối ngẫu.
Những tính chất này có thể được phát biểu lại theo một cách tự nhiên hơn: phạm trù của mọi ma trận với phần tử trong một trường  k trang bị phép nhân như là tổ hợp tương đương với phạm trù của không gian vectơ hữu hạn chiều và ánh xạ trên trường này.
Tổng quát hơn, tập hợp các ma trận m×n có thể dùng để biểu diễn ánh xạ tuyến tính R giữa những mô đun tự do Rm và Rn cho một vành bất kỳ R với phần tử đơn vị. Khi hợp n = m của những ánh xạ này xảy ra sẽ đưa đến vành ma trận của các ma trận n×n biểu diễn cho vành tự đẳng cấu của Rn.
Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa > Nhóm ma trận

Bài chi tiết: Nhóm ma trận
Nhóm là một cấu trúc toán học chứa một tập hợp các đối tượng cùng với một phép toán hai ngôi, tức là phép toán kết hợp hai đối tượng bất kỳ cho kết quả một đối tượng thứ ba mà tuân theo những đòi hỏi nhất định. Một nhóm trong đó các đối tượng là những ma trận và phép toán nhóm là phép nhân ma trận được gọi là nhóm ma trận. Vì trong nhóm mỗi phần tử đều phải có phần tử nghịch đảo của nó, nhóm ma trận tổng quát nhất là những nhóm chứa mọi ma trận khả nghịch trong số chiều cho trước, hay còn gọi là nhóm tuyến tính tổng quát.
Bất kỳ tính chất nào của ma trận được bảo toàn dưới phép nhân ma trận và phép nghịch đảo có thể được sử dụng để định nghĩa ra một nhóm ma trận. Ví dụ,  ma trận với kích thước cho trước và định thức bằng 1 tạo thành nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát, gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt. Ma trận trực giao xác định bằng điều kiện
tạo thành nhóm trực giao. Mỗi nhóm trực giao có định thức bằng 1 hoặc −1. Các ma trận trực giao có định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con gọi là nhóm trực giao đặc biệt.
Mỗi nhóm hữu hạn là phép đẳng cấu vào một nhóm ma trận, mà chúng ta có thể coi là biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng. Nhóm tổng quát có thể được nghiên cứu thông qua nhóm ma trận, mà các nhà đại số đã hiểu khá tốt về chúng, thông qua lý thuyết biểu diễn.
Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa > Ma trận rỗng

Ma trận rỗng được định nghĩa là ma trận với số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) bằng 0. Khái niệm ma trận rỗng giúp giải quyết với những ánh xạ có sự tham gia của không gian vectơ không (zero vector space). Ví dụ, nếu A là ma trận 3 x 0 và B là ma trận 0 x 3, thì AB là ma trận không 3 x 3 tương ứng với ánh xạ rỗng từ không gian 3 chiều V vào chính nó, trong khi BA là ma trận 0 x 0. Không có ký hiệu chung cho ma trận rỗng, nhưng hầu hết các hệ thống đại số máy tính cho phép tạo ra và thực hiện tính toán với chúng. Định thức của ma trận 0 x 0 định nghĩa bằng 1 khi xét tới tích rỗng (empty product) xuất hiện trong công thức Leibniz cho định thức bằng 1. Giá trị này cũng tương thích với thực tế rằng ánh xạ đồng nhất từ không gian hữu hạn chiều nào vào chính nó đều có định thức bằng 1, một kết quả thường được coi là một phần của đặc trưng hóa của định thức.