Quan hệ hai ngôi
Các ví dụ

| AB′ | cốc | bát | đũa | thìa |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| W | + | − | − | − |
| X | − | − | + | − |
| Z | − | + | − | − |
| AB | cốc | bát | đũa | thìa |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| W | + | − | − | − |
| X | − | − | + | − |
Y: −
| Z | − | + | − | − |
1) Ví dụ sau cho thấy tầm quan trọng trong việc chọn đối miền. Giả sử ta có tập 4 vật thể  A=\{{\text{cốc, bát, đũa, thìa}}\} và tập 4 bạn  B=\{{\text{W, X, Y, Z}}\}. Giả sử quan hệ giữa A và B là "được sở hữu bởi" cho như sau:  R=\{({\text{cốc, W}}),({\text{bát, X}}),({\text{thìa, Z}})\}. Nghĩa là W sở hữu cái cốc, X thì có cái bát còn Z thì sở hữu cái thìa. Không ai sở hữu cái đũa và Y thì không sở hữu cái gì cả, xem ví dụ 1. Bởi trong tập R không có Y nên tập R có thể được xem là tập con của  A\times \{{\text{W, X, Z}}\}, hay nói cách khác mối quan hệ giữa A và  \{{\text{W, X, Z}}\}, xem ví dụ 2. Ví dụ 2 có tính toàn ánh (xem dưới) trong khi ví dụ 1 thì không.
|  | NA | SA | AF | EU | AS | AU | AA |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Ấn Độ dương | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| Nam đại dương | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Bắc băng dương | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Thái bình dương | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
2) Đặt A = {Ấn Độ dương, Nam đại dương, Bắc băng dương, Thái bình dương} là tập đại dương và B = { NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA }, tập các châu lục. Giả sử aRb là quan hệ a kề với b. Khi đó ma trận logic của quan hệ này là:
Tính kết nối của trái đất có thể xem qua R RT và RT R, cái đầu là quan hệ phổ dụng  4\times 4 trên A ( A\times A hoặc ma trận logic bao gồm toàn giá trị 1). Quan hệ phổ dụng này phản ánh mỗi đại dương đều cách các đại dương khác ít nhất 1 châu lục. Mặt khác, RT R là quan hệ trên  B\times B nhưng không phổ dụng bởi phải đi qua ít nhất hai đại dương để đi từ châu Âu đến châu Úc.
3) Ta có thể biểu diễn các quan hệ hai ngôi bằng đồ thị: Đối với các quan hệ trên cùng 1 tập (quan hệ thuần nhất), đồ thị có hướng thường được dùng để mô tả quan hệ , trong trường hợp quan hệ đó là quan hệ đối xứng thì có thể dùng đồ thị không hướng. Đối với quan hệ không thuần nhất, siêu đồ thị có cạnh có thể nối nhiều hơn hai nút có thể biểu diễn bằng đồ thị hai phía.
Clique là phần không thể thiếu khi xét các quan hệ thuần nhất, còn clique hai chiều thì được dùng khi xét các quan hệ không thuần nhất; thật vậy, "dựa vào" đó ta có thể sinh ra lưới của quan hệ.
4) Trực giao hyperbol: Thời gian và không gian là hai phạm trù khác nhau với các tính chất thời gian phân biệt với không gian. Ý tưởng của việc sự việc đồng thời khá đơn giản trong không gian và thời gian tuyệt đối bởi mỗi thời điểm t ta xác định đồng thời một siêu phẳng trong vũ trụ đó. Herman Minkowski thay đổi ý tưởng trên bằng việc đưa ra khái niệm đồng thời tương đối, cái mà chỉ tồn tại khi các sự kiện không gian "chuẩn tắc" với thời gian được đặc trưng bởi vận tốc. Ông sử dụng một tích nội không giới hạn và chỉ ra rằng vecto thời gian chuẩn tắc với vecto không gian khi tích đó bằng không. Tích nội không giới hạn trong đại số hợp được tính như sau:
Nếu ta xét quan hệ hai ngôi giữa sự kiện thời gian và sự kiện không gian, trực giao hyperbol (cũng được tìm thấy trong số tách phức) là quan hệ không thuần nhất