stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Lối sống
Chú thích

↑  "lifestyle"
↑  Online Etymology Dictionary
↑  Spaargaren, G., and B. VanVliet. 2000. ‘Lifestyle, Consumption and the Environment: The Ecological Modernisation of Domestic Consumption.’ Environmental Politics. 9(1): 50-75.
↑  Giuffrâe, K., & DiGeronimo, T. (1999). Care and Feeding of Your Brain: How Diet and Environment Affect What You Think and Feel. Career Press.
↑  Giddens, A. 1991. Modernity and self-identity: self and society in the late modern age. Cambridge: Polity Press.
↑  Ropke, I. 1999. ‘The Dynamics of Willingness to Consume. Ecological Economics. 28: 399-420.
↑  Bögenhold, Dieter. “Social Inequality and the Sociology of Life Style: Material and Cultural Aspects of Social Stratification”. American Journal of Economics and Sociology. Truy cập ngày 26 tháng 4 năm 2012.
↑  “Vén màn lối sống "thác loạn" của sinh viên VIP - VietNamNet”. VietNamNet. Truy cập 2 tháng 6 năm 2014, 3:17 AM. Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |ngày truy cập= (trợ giúp)
↑  “Thiếu nữ 15 tuổi kể về cuộc sống thác loạn”. Zing.vn. 11 tháng 5 năm 2012, 12:00 AM. Bản gốc lưu trữ ngày 19 tháng 12 năm 2012. Truy cập 2 tháng 6 năm 2014, 3:17 AM. Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |ngày truy cập= và |ngày= (trợ giúp)
↑  “Không nên phê phán lối sống phương Tây - VnExpress”. VnExpress - Tin nhanh Việt Nam. Truy cập 2 tháng 6 năm 2014, 3:17 AM. Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |ngày truy cập= (trợ giúp)
↑  Ponthiere G. (2011). Mortality, Family and Lifestyles.
Journal of Family and Economic Issues. June 2011. 32 (2), pg. 175-190
↑  Case, A., Lubotsky D. & Paxson C. (2002). Economic Status and Health in Childhood: The Origins of the Gradient. The American Economic Review, Vol. 92, No. 5. Dec., 2002. pp. 1308-1334
↑  U.S. Environmental Protection Agency; Backyard Composting: It's Only Natural; October 2009
↑  U.S. Environmental Protection Agency; The Consumer's Handbook for Reducing Solid Waste; September 1996
↑  ec.europa.eu/health-eu
Eriz

| Eriz |
| --- | --- |
  Hiệu kỳ Huy hiệu

ErizXem bản đồ Thụy SĩErizXem bản đồ Bang Bern
Quốc gia: Thụy Sĩ
Bang: Bern
Huyện: Thun
Diện tích
 • Tổng cộng: 21,80 km2 (840 mi2)
Độ cao: 1.005 m (3,297 ft)
Dân số (2017-12-31)
 • Tổng cộng: 490
 • Mật độ: 0,22/km2 (0,58/mi2)
Mã bưu chính: 3619
Mã SFOS: 033
Giáp với: Beatenberg, Habkern, Horrenbach-Buchen, Oberlangenegg, Röthenbach im Emmental, Schangnau, Teuffenthal
Website: www.eriz.ch   SFSO statistics
Eriz là một đô thị trong huyện Thun, bang Bern, Thụy Sĩ. Đô thị này có diện tích 21,8 km2, dân số thời điểm tháng 12 năm 2009 là 509 người.
Nhóm (toán học)

Đối với các định nghĩa khác, xem Nhóm.
Các thao tác bước xoay khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.
Trong toán học, một nhóm (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán hai ngôi kết hợp hai phần tử bất kỳ của tập hợp thành một phần tử thứ ba thỏa mãn bốn điều kiện gọi là tiên đề nhóm, lần lượt là tính đóng, tính kết hợp, sự tồn tại của phần tử đơn vị và tính khả nghịch. Một trong những ví dụ quen thuộc nhất về nhóm đó là tập hợp các số nguyên cùng với phép cộng; khi thực hiện cộng hai số nguyên bất kỳ luôn thu được một số nguyên khác. Hình thức trình bày trừu tượng dựa trên tiên đề nhóm, tách biệt nó khỏi bản chất cụ thể của bất kỳ nhóm đặc biệt nào và phép toán trên nhóm, cho phép nhóm bao trùm lên nhiều thực thể với nguồn gốc toán học rất khác nhau trong đại số trừu tượng và rộng hơn, và có thể giải quyết một cách linh hoạt, trong khi vẫn giữ lại khía cạnh cấu trúc căn bản của những thực thể ấy. Sự có mặt khắp nơi của nhóm trong nhiều lĩnh vực bên trong và ngoài toán học khiến chúng trở thành nguyên lý tổ chức trung tâm của toán học đương đại.
Nhóm chia sẻ mối quan hệ họ hàng cơ bản với khái niệm đối xứng. Ví dụ, nhóm đối xứng chứa đựng các đặc điểm đối xứng của một đối tượng hình học như: nhóm bao gồm tập hợp các phép biến đổi không làm thay đổi đối tượng và các phép toán kết hợp hai phép biến đổi này bằng cách thực hiện từng phép biến đổi một. Nhóm Lie là những nhóm đối xứng sử dụng trong Mô hình Chuẩn của vật lý hạt; nhóm đối xứng tâm được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng đối xứng trong hóa học phân tử; và nhóm Poincaré dùng để biểu diễn các tính chất đối xứng vật lý trong thuyết tương đối hẹp.
Khái niệm nhóm xuất phát từ nghiên cứu về phương trình đa thức, bắt đầu từ Évariste Galois trong thập niên 1830. Sau những đóng góp từ những lĩnh vực khác như lý thuyết số và hình học, khái niệm nhóm được tổng quát hóa và chính thức trở thành lĩnh vực nghiên cứu trong khoảng thập niên 1870. Lý thuyết nhóm hiện đại—nhánh toán học sôi động—nghiên cứu các nhóm bằng chính công cụ của chúng. Để khám phá nhóm, các nhà toán học phải nêu ra nhiều khái niệm khác nhau để chia nhóm thành những phần nhỏ hơn, có thể hiểu được dễ hơn như các nhóm con, nhóm thương và nhóm đơn. Thêm vào những tính chất trừu tượng của chúng, các nhà lý thuyết nhóm cũng nghiên cứu cách biểu diễn cụ thể một nhóm bằng nhiều cách khác nhau (hay lý thuyết biểu diễn nhóm), cả từ quan điểm lý thuyết và quan điểm tính toán thực hành (lý thuyết nhóm tính toán). Lý thuyết phát triển cho nhóm hữu hạn kết tập với phân loại nhóm đơn hữu hạn được công bố vào năm 1983. Từ giữa thập niên 1980, lý thuyết nhóm hình học, nghiên cứu các nhóm sinh hữu hạn như là những đối tượng hình học, đã trở thành lĩnh vực đặc biệt sôi nổi trong lý thuyết nhóm.
Định nghĩa và minh họa > Ví dụ thứ nhất: số nguyên

Một trong những nhóm quen thuộc nhất đó là tập hợp các số nguyên  \mathbb {Z}  chứa các số  ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... cùng với phép cộng
Các tính chất sau đây của phép cộng các số nguyên được coi như mô hình cho các tiên đề nhóm trừu tượng cho theo định nghĩa bên dưới.
Với hai số nguyên bất kỳ  a và  b, tổng a + b cũng là một số nguyên. Do vậy phép cộng hai số nguyên không bao giờ cho kết quả là một số loại khác, như phân số chẳng hạn. Tính chất này gọi là tiên đề đóng đối với phép cộng.
Đối với mọi số nguyên a, b và c, (a + b) + c = a + (b + c). Hay phát biểu bằng lời, thực hiện cộng a với b đầu tiên, sau đó cộng kết quả với c sẽ cho cùng kết quả khi cộng a với tổng của b và c, tính chất này gọi là tính chất kết hợp hay tiên đề kết hợp.
Nếu a là một số nguyên bất kỳ, thì 0 + a = a + 0 = a. Số 0 được gọi là phần tử đồng nhất của phép cộng bởi vì khi cộng nó với một số nguyên bất kỳ sẽ thu được cùng số nguyên ấy.
Với mọi số nguyên a, tồn tại số nguyên b sao cho a + b = b + a = 0. Số nguyên b được gọi là phần tử nghịch đảo của số nguyên a và được ký hiệu −a.
Các số nguyên cùng với phép toán +, tạo thành một đối tượng toán học thuộc về một lớp rộng có những tính chất cấu trúc toán học giống nhau. Để có thể hiểu được những cấu trúc này như một tập hợp, định nghĩa trừu tượng dưới đây được phát biểu như sau.
Định nghĩa và minh họa > Định nghĩa

Các tiên đề nhóm là ngắn gọn và tự nhiên... Mặc dù ẩn dưới những tiên đề này là nhóm đơn quỷ, một đối tượng toán học kỳ lạ và khổng lồ, mà dường như dựa trên một số lượng lớn sự trùng hợp kỳ lạ để tồn tại. Tiên đề nhóm không cho hướng dẫn hiển nhiên nào về những thứ như thế tồn tại.
Richard Borcherds (2009, Mathematicians, quoted in James Milne, group theory )
Nhóm là một tập hợp, G, cùng với phép toán hai ngôi • (còn gọi là luật nhóm của G) kết hợp hai phần tử a và b bất kỳ để tạo ra một phần tử khác, viết là a • b hoặc ab. Để trở thành một nhóm, tập hợp và phép toán, (G, •), phải thỏa mãn bốn yêu cầu gọi là tiên đề nhóm:
e • a = a • e = a được thỏa mãn. Phần tử này là duy nhất (xem ở dưới) trong nhóm G.
Kết quả của một phép toán có thể phụ thuộc vào thứ tự thực hiện. Nói cách khác, kết quả của việc kết hợp phần tử a với phần tử b không nhất thiết cho kết quả giống với khi kết hợp phần tử b với phần tử a; phương trình
a • b = b • a
có thể không phải lúc nào cũng đúng. Phương trình này luôn luôn đúng trong nhóm các số nguyên với phép cộng, bởi vì 
a + b = b + a đối với hai số nguyên bất kỳ (tính giao hoán của phép cộng). Nhóm mà tính chất giao hoán 
a • b = b • a luôn đúng được gọi là nhóm Abel (theo tên của nhà toán học Na Uy Niels Abel). Nhóm đối xứng miêu tả ở phần sau là ví dụ của nhóm phi giao hoán.
Phần tử đơn vị của nhóm G thường được viết thành 1 hay 1G, ký hiệu có nguồn gốc từ số 1 đơn vị. Phần tử đơn vị cũng có thể viết là 0, đặc biệt nếu phép toán nhóm được ký hiệu là +, và trong trường hợp này nhóm gọi là nhóm cộng tính. Phần tử đơn vị còn ký hiệu là id.
Tập G được gọi là tập cơ bản của nhóm (G, •). Tập cơ bản G được sử dụng một cách ngắn gọn cho tập (G, •). Theo cách rút ngắn tên gọi này, một cách viết ngắn gọn như "tập con của nhóm G" hay "phần tử của G" được sử dụng với ý nghĩa thực sự là "tập con của tập cơ bản G của nhóm (G, •)" hay "phần tử của tập cơ bản G của nhóm (G, •)". Thông thường, trong ngữ cảnh với ký hiệu như G là nhắc tới một nhóm hoặc tập cơ bản.
Những hệ quả cơ bản của tiên đề nhóm

Thực tế cơ bản về mọi nhóm có thể thu nhận trực tiếp từ các tiên đề nhóm thường được kết gộp vào lý thuyết nhóm cơ bản. Ví dụ, áp dụng cách lặp lại của tiên đề kết hợp chỉ ra rằng sự rõ ràng của
có thể tổng quát cho nhiều hơn ba phần tử. Bởi vì điều này hàm ý rằng dấu ngoặc đơn có thể điền vào bất kỳ vị trí nào bên trong một dãy các phần tử, cho nên dấu ngoặc đơn thường được bỏ đi.
Tiên đề nhóm có thể làm yếu đi bằng giả sử tồn tại của một phần tử đơn vị trái và phần tử nghịch đảo trái. Có thể chứng minh chúng thực sự là những phần tử đơn vị hai phía và phần tử nghịch đảo hai phía (trái và phải), do đó định nghĩa này là tương đương với cái định nghĩa ở trên.
Những hệ quả cơ bản của tiên đề nhóm > Tính duy nhất của phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo

Hai hệ quả quan trọng của tiên đề nhóm đó là tính duy nhất của phần tử đơn vị và tính duy nhất của phần tử nghịch đảo. Chỉ có một phần tử đơn vị của nhóm, và mỗi phần tử trong nhóm có chính xác một phần tử nghịch đảo.
Để chứng minh có duy nhất một phần tử nghịch đảo của phần tử a, giả sử rằng a có hai phần tử nghịch đảo, ký hiệu là b và c của nhóm (G, •). Khi đó
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| b | = | b • e |  | với e là phần tử đơn vị |
|  | = | b • (a • c) |  | bởi vì c là phần tử nghịch đảo của a, nên e = a • c |
|  | = | (b • a) • c |  | theo tiên đề kết hợp, nên có thể sắp xếp lại dấu ngoặc đơn |
|  | = | e • c |  | do b là phần tử nghịch đảo của a, tức b • a = e |
|  | = | c |  | do e là phần tử đơn vị |
Hai phần tử b và c là bằng nhau do chúng được liên hệ bởi một chuỗi các đẳng thức. Nói cách khác chỉ có duy nhất một phần tử nghịch đảo của a. Tương tự, để chứng minh phần tử đơn vị của nhóm là duy nhất, giả sử G là nhóm với hai phần tử đơn vị e và f. Thì e = e • f = f, do vậy e và f bằng nhau.
Những hệ quả cơ bản của tiên đề nhóm > Phép chia

Có thể thực hiện phép chia trong một nhóm: đối với hai phần tử a và b của nhóm G, tồn tại duy nhất một nghiệm x trong G thỏa mãn phương trình 
x • a = b. Thực vậy, nhân vế phải của phương trình với phần tử nghịch đảo a−1 thu được nghiệm 
x = x • a • a−1 = b • a−1. Tương tự có chính xác một nghiệm y thuộc G trong phương trình 
a • y = b, hay 
y = a−1 • b. Nói chung, x và y không nhất thiết phải bằng nhau.
Hệ quả của điều này là phép nhân bởi một phần tử g trong nhóm có tính chất song ánh.Đặc biệt, nếu g thuộc G, tồn tại một song ánh từ G vào chính nó gọi là tịnh tiến trái bởi g tác dụng vào h ∈ G thành g • h. Tương tự, tịnh tiến phải bởi g là song ánh từ chính G vào nó bằng tác dụng vào h thành h • g. Nếu G là nhóm Abel, song ánh tịnh tiến trái và tịnh tiến phải bởi một phần tử của nhóm là như nhau.
Khái niệm cơ bản

Các phần sau sử dụng các ký hiệu toán học như X = xyz
ký hiệu cho tập hợp X chứa các phần tử x, y, và z, hoặc x  X để nói rằng x là phần tử thuộc X. Ký hiệu  có nghĩa là hàm số f đặt tương ứng với mỗi phần tử của X với một phần tử của Y.
Xem thêm thông tin: Từ vựng lý thuyết nhóm
Để hiểu nhóm toán học vượt ngoài phạm vi chỉ là các thao tác ký hiệu như ở trên, các nhà toán học đã phát triển thêm nhiều khái niệm cấu trúc nhóm. Có một nguyên lý khái niệm nằm bên dưới những ký hiệu sau: để tận dụng những ưu điểm về cấu trúc của nhóm (mà tập hợp "không có cấu trúc" không có đặc điểm này), các phép xây dựng liên quan đến nhóm phải tương thích với phép toán nhóm. Sự tương thích này thể hiện chính nó thông qua các khái niệm sau theo nhiều cách. Ví dụ, các nhóm liên hệ với nhau thông qua một hàm gọi là đồng cấu nhóm. Bằng nguyên lý đề cập ở trên, chúng đòi hỏi cấu trúc nhóm được miêu tả theo nghĩa chính xác. Cấu trúc của nhóm cũng được nghiên cứu bằng cách chia nhỏ nó thành các phần gọi là nhóm con hoặc nhóm thương. Nguyên lý "bảo toàn cấu trúc"—chủ đề lặp lại trong toàn bộ toán học—là một ví dụ nghiên cứu bởi ngành lý thuyết phạm trù, trong trường hợp này là phạm trù các nhóm.
Khái niệm cơ bản > Đồng cấu nhóm

Bài chi tiết: Đồng cấu nhóm
Đồng cấu nhóm là những hàm bảo tồn cấu trúc nhóm. Hàm a: G → H giữa hai nhóm (G,•) và (H,∗) được gọi là đồng cấu nếu phương trình
thỏa mãn đối với mọi phần tử g, k thuộc G. Nói cách khác, kết quả thu được như nhau khi thực hiện phép toán nhóm trước hoặc sau khi áp dụng ánh xạ a. Đòi hỏi này đảm bảo rằng a(1G) = 1H, và a(g)−1 = a(g−1) đối với mọi g thuộc G. Do vậy đồng cấu nhóm giữ nguyên mọi cấu trúc của G cho bởi các tiên đề nhóm.
Hai nhóm G và H là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại hai phép đồng cấu nhóm a: G → H và b: H → G, sao cho khi áp dụng hàm hợp của hai hàm này trong hai trường hợp thứ tự tác dụng hàm đều cho hàm đồng nhất của G và H. Tức là, a(b(h)) = h và b(a(g)) = g đối với bất kỳ g thuộc G và h thuộc H. Từ quan điểm trừu tượng, các nhóm đẳng cấu mang thông tin như nhau. Ví dụ, để chứng minh g • g = 1G đối với các phần tử g thuộc G là tương đương logic với chứng minh a(g) ∗ a(g) = 1H, bởi vì áp dụng a đối với nhóm G thu được phần tử thuộc nhóm H và áp dụng b đối với nhóm H thu được kết quả thuộc nhóm G.
Khái niệm cơ bản > Nhóm con

Bài chi tiết: Nhóm con
Hình thức mà nói nhóm con là một nhóm H chứa trong một nhóm lớn hơn là G. Cụ thể là, phần tử đơn vị của G cũng thuộc H, và bất cứ h1 và h2 thuộc H, thì h1 • h2 và h1−1 cũng là các phần tử thuộc H, các phép toán nhóm trên G giới hạn vào H tạo thành một nhóm.
Trong ví dụ ở trên, các phần tử đơn vị và phần tử của phép quay tạo thành một nhóm con 
R = {id, r1, r2, r3}, tô bằng màu đỏ trong bảng nhóm ở trên: bất kỳ sự kết hợp hai phép quay nào cũng tạo thành một phép quay, một phép quay có thể rút lại bằng (ví dụ nghịch đảo của nó) phép quay bổ sung 270° cho 90°, 180° cho 180°, và 90° cho 270° (lưu ý rằng ở đây không định nghĩa phép quay theo hướng ngược lại). Phép thử nhóm con là điều kiện cần và đủ cho tập con H của nhóm G trở thành nhóm con: với mọi phần tử 
g, h ∈ H nếu g−1h ∈ H thì H là một nhóm con. Việc biết mọi nhóm con là một điều quan trọng khi nghiên cứu một nhóm trên tổng thể.
Bất kỳ tập con S nào của nhóm G, nhóm con sinh bởi S chứa tích các phần tử của S và nghịch đảo của chúng. Nó là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S. Trong ví dụ giới thiệu ở trên, nhóm con tạo bởi r2 và fv chứa hai phần tử này, phần tử đơn vị id và 
fh = fv • r2. Đến lượt đây là một nhóm con, bởi vì kết hợp bất kỳ hai trong bốn phần tử này hoặc những phần tử nghịch đảo của chúng (mà trong trường hợp đặc biệt là chính chúng) thu được các phần tử của chính nhóm con này.
Khái niệm cơ bản > Các lớp kề (Coset)

Bài chi tiết: Lớp kề
Trong nhiều tình huống các nhà toán học mong muốn coi hai phần tử nhóm là như nhau nếu chúng chỉ khác nhau bởi một phần tử của một nhóm con. Ví dụ, trong nhóm D4 ở trên, khi thực hiện thao tác lật ngược, hình vuông sẽ không bao giờ trở lại cấu hình r2 nếu chỉ áp dụng các thao tác quay (mà không cần lật nó), tức là phép quay không liên quan đến câu hỏi liệu phép lật ngược đã được thực hiện. Do vậy họ định nghĩa các lớp kề (coset) (hay các lớp ghép) để hình thức hóa vấn đề này: nhóm con H xác định lên các lớp kề trái và lớp kề phải, mà có thể coi như là sự tịnh tiến của H bởi một phần tử nhóm bất kỳ g. Theo ký hiệu, các lớp kề trái' và phải của H chứa g lần lượt là
gH = {g • h:h ∈ H} và 
Hg = {h • g:h ∈ H}.
Các lớp kề của một nhóm con bất kỳ H tạo thành phép phân hoạch của G; nghĩa là hợp của mọi lớp kề trái bằng G và hai lớp kề trái hoặc bằng nhau hoặc có giao là tập hợp rỗng. Trường hợp đầu tiên 
g1H = g2H xảy ra nếu và chỉ nếu g1−1 • g2 ∈ H, hay nếu hai phần tử khác nhau bởi một phần tử thuộc H. Kết luận cũng tương tự với các lớp kề phải của H. Các lớp kề trái và lớp kề phải của H có thể bằng hoặc không bằng nhau. Nếu chúng bằng nhau, ví dụ đối với mọi g thuộc G, gH = Hg, thì H được gọi là nhóm con chuẩn tắc.
Trong D4, ví dụ về nhóm đối xứng, các lớp trái gR của nhóm con R chứa phép quay hoặc là bằng R, nếu g là một phần tử của chính R, hoặc không thì bằng 
U = fcR = {fc, fv, fd, fh} (tô màu lam trong bảng nhóm). Nhóm con R cũng là chuẩn tắc, bởi vì 
fcR = U = Rfc và tương tự cho bất kỳ phần tử khác ngoài fc.
Khái niệm cơ bản > Nhóm thương

Bài chi tiết: Nhóm thương
Trong một số trường hợp, tập hợp các lớp ghép (coset) của một nhóm con sẽ tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm thương hay nhóm nhân tử. Để có được điều này, nhóm con phải chuẩn tắc. Đối với bất kỳ nhóm con chuẩn tắc N, nhóm thương được định nghĩa như sau:
Tập hợp này thừa hưởng phép toán nhóm (đôi khi gọi là phép nhân lớp ghép - coset multiplication, hoặc cộng lớp ghép) từ nhóm ban đầu G: 
(gN) • (hN) = (gh)N với mọi g và h trong G. Định nghĩa này xuất phát từ ý tưởng (tự nó là một ví dụ của sự xem xét cấu trúc tổng quát nêu ở trên) rằng ánh xạ G → G / N đặt tương ứng mỗi phần tử g với phần tử thuộc lớp gN là đồng cấu nhóm, hoặc bằng cách xem xét trừu tượng tổng quát hơn gọi là tính chất phổ quát. Lớp 
eN  = N trở thành như là đơn vị của nhóm này, và nghịch đảo của gN trong nhóm thương là 
(gN)−1 = (g−1)N.
| • | R | U |
| --- | --- | --- |
| R | R | U |
| U | U | R |
Bảng nhóm cho nhóm thương D4 / R.
Các phần tử của nhóm thương D4 / R chính là R, phần tử đơn vị là 
U = fvR. Phép toán nhóm trên thương nêu ở bên phải. Ví dụ, 
U • U = fvR • fvR = (fv • fv)R = R. Cả nhóm con 
R = {id, r1, r2, r3}, cũng như nhóm thương tương ứng là nhóm Abel, trong khi D4 không phải là nhóm Abel. Xây dựng nhóm lớn hơn từ những nhóm nhỏ hơn, như D4 từ nhóm con R và nhóm thương D4 / R được trừu tượng hóa gọi là tích nửa trực tiếp.
Nhóm thương và nhóm con cùng với nhau tạo thành cách miêu tả mọi nhóm theo biểu diễn: bất kỳ một nhóm là thương của nhóm tự do trên tập sinh của nhóm. Ví dụ, nhóm nhị diện D4, có thể sinh ra từ hai phần tử r và f (như r = r1, phép quay bên phải và f = fv phép lật theo phương thẳng đứng), có nghĩa là mỗi đối xứng của hình vuông là tổ hợp hữu hạn của hai phép đối xứng này và nghịch đảo của chúng. Cùng với các liên hệ
cho phép miêu tả hoàn toàn nhóm này. Biểu diễn nhóm cũng dùng để xây dựng lên đồ thị Cayley, một công cụ minh họa các nhóm rời rạc.
Nhóm con và nhóm thương có liên hệ với nhau như sau: một tập con H của G có thể coi như là một đơn ánh H → G, tức là bất kỳ phần tử nào của tập đích có nhiều nhất một phần tử tương ứng của tập nguồn. Ngược lại với đơn ánh là toàn ánh (mỗi phần tử của tập đích có ít nhất một phần tử tương ứng của tập nguồn), như ánh xạ chính tắc G → G / N. Giải thích nhóm con và nhóm thương theo ngôn ngữ của những đồng cấu nhấn mạnh vào khái niệm cấu trúc thừa hưởng từ những định nghĩa này ám chỉ ở phần giới thiệu. Nói chung, đồng cấu không là đơn ánh hay toàn ánh. Nhân và ảnh của đồng cấu nhóm và định lý đẳng cấu thứ nhất đề cập những vấn đề này.
Ví dụ và ứng dụng

Bài chi tiết: Các ví dụ về nhóm và Các ứng dụng của lý thuyết nhóm
Các phần tuần hoàn của giấy dán tường làm xuất hiện nhóm giấy dán tường.
Nhóm cơ bản của mặt phẳng trừ đi một điểm (đậm) chứa các vòng xung quanh điểm thiếu. Nhóm này đẳng cấu với các số nguyên.
Có rất nhiều ví dụ và những ứng dụng của nhóm. Như giới thiệu ở trên về nhóm các số nguyên Z với phép toán nhóm là phép cộng. Nếu thay phép cộng bằng phép nhân sẽ thu được nhóm phép nhân. Những nhóm này là các ví dụ quan trọng đầu tiên trong đại số trừu tượng.
Có nhiều lĩnh vực toán học khác ứng dụng lý thuyết nhóm. Các đối tượng toán học thường được kiểm tra bằng nhóm kết hợp với chúng và nghiên cứu tính chất của nhóm tương ứng. Ví dụ, Henri Poincaré thiết lập nên ngành tô pô đại số bằng giới thiệu nhóm cơ bản. Bằng sự kết nối này, các tính chất tô pô như lân cận và liên tục chuyển thành các tính chất nhóm. Ví dụ, các phần tử của nhóm cơ bản được biểu diễn bằng các vòng tròn. Ảnh thứ hai bên phải chỉ ra một số vòng trên mặt phẳng trừ đi một điểm. Vòng xanh coi như là không đồng luân (và do vậy không liên quan), bởi vì nó có thể liên tục thu nhỏ thành một điểm. Sự có mặt của một lỗ ngăn cản các vòng màu cam co lại thành một điểm. Nhóm cơ bản của mặt phẳng với một điểm loại trừ trở thành tuần hoàn vô hạn, sinh bởi các vòng cam (hoặc bởi bất kỳ vòng nào quay vòng một lần xung quanh lỗ). Theo cách này, nhóm cơ bản xác định ra lỗ.
Trong những ứng dụng gần đây, cũng có sự tác động ngược trở lại để thúc đẩy xây dựng hình học bằng nền tảng lý thuyết nhóm. Theo lối tương tự, lý thuyết nhóm hình học áp dụng các khái niệm hình học, như nghiên cứu các nhóm hypebolic. Những nhánh xa hơn áp dụng nhóm nhiều nhất bao gồm hình học đại số và lý thuyết số.
Ngoài những ứng dụng lý thuyết kể trên, có nhiều ứng dụng thực tế cho những lĩnh vực khoa học khác. Tinh thể học dựa trên sự tổ hợp của cách tiếp cận lý thuyết nhóm trừu tượng với những hiểu biết thuật toán miêu tả trong lý thuyết nhóm tính toán, đặc biệt khi áp dụng vào nhóm hữu hạn. Các ngành khoa học khác như vật lý học, hóa học và khoa học máy tính cũng hưởng lợi từ lý thuyết này.
Ví dụ và ứng dụng > Các số

Nhiều hệ thống số, như các số nguyên và số hữu tỉ thể hiện bản chất cấu trúc nhóm một cách tự nhiên. Trong một số trường hợp, như đối với số hữu tỉ, cả phép cộng và phép nhân đều làm xuất hiện cấu trúc nhóm. Những hệ thống số này là tiền tổ của những cấu trúc đại số tổng quát hơn gọi là vành và trường. Những khái niệm đại số trừu tượng hơn như mô đun, không gian vectơ và đại số trên một trường cũng tạo thành nhóm toán học.
Ví dụ và ứng dụng > Các số > Số nguyên

Nhóm các số nguyên Z dưới phép cộng, ký hiệu (Z, +), đã được miêu tả ở trên. Số nguyên, cùng với phép nhân thay vì phép cộng, (Z, •) không tạo thành một nhóm. Bởi vì chỉ có tiên đề đóng, tính kết hợp và phần tử đơn vị là thỏa mãn, còn tiên đề phần tử nghịch đảo thì không: ví dụ, 
a = 2 là một số nguyên, nhưng nghiệm duy nhất cho phương trình 
a • b = 1 trong trường hợp này là b = 1/2, là số hữu tỉ không phải là số nguyên. Do không phải mọi số nguyên Z có phần tử nghịch đảo (theo phép nhân).
Ví dụ và ứng dụng > Các số > Số hữu tỉ

Mong muốn cho tồn tại phần tử nghịch đảo đối với phép nhân gợi ra xem xét trường hợp đối với các số hữu tỉ
với a, b là các số nguyên và b khác 0. Tập hợp các số hữu tỉ này ký hiệu là Q. Vẫn còn một cản trở nhỏ cho các số hữu tỉ (Q, •), cho phép nhân trở thành một nhóm: bởi vì số hữu tỉ 0 không có phần tử nghịch đảo đối với phép nhân (vì không tồn tại x sao cho 
x • 0 = 1), (Q, •) vẫn chưa là một nhóm.
Tuy vậy, tập hợp mọi số hữu tỉ khác 0 
Q \ {0} = {q ∈ Q | q ≠ 0} tạo thành nhóm Abel dưới phép toán nhân, ký hiệu là (Q \ {0}, •). Các tiên đề kết hợp và phần tử đơn vị thỏa mãn theo như tính chất của các số nguyên. Đòi hỏi của tiên đề đóng vẫn thỏa mãn sau khi bỏ phần tử 0, bởi vì tích của hai số hữu tỉ khác 0 không bao giờ bằng 0. Cuối cùng phần tử nghịch đảo của a/b là b/a, do vậy tiên đề nghịch đảo được thỏa mãn.
Số hữu tỉ (gồm cả 0) cũng tạo thành một nhóm dưới phép cộng. Khi bao gồm cả phép cộng và phép nhân tạo thành một cấu trúc phức tạp hơn gọi là vanh—và nếu phép chia là có thể, như ở trong Q—sẽ thu được cấu trúc trường, cấu trúc có vị trí trung tâm trong ngành đại số trừu tượng. Do vậy các mệnh đề của lý thuyết nhóm thuộc về một phần của những cấu trúc này.