stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Đan Nguyên

| Đan Nguyên> Thông tin cá nhân |
| --- | --- |
Sinh: 
Tên khai sinh: Nguyễn Đặng Đan
Ngày sinh: 9 tháng 7, 1984 (40 tuổi)
Nơi sinh: Phú Lộc, Thừa Thiên Huế, Việt Nam
 
Dân tộc: Kinh
Nghề nghiệp: Ca sĩ, diễn viên

Sự nghiệp âm nhạc
Nghệ danh: Đan Nguyên
Năm hoạt động: 2007–nay
Dòng nhạc: Nhạc vàng, Nhạc trữ tình
Nhạc cụ: Giọng hát
Hãng đĩa: Asia (2007–2016) Thúy Nga (2016–nay)
Hợp tác với: Y Phụng, Băng Tâm, Hoàng Thục Linh, Mai Thiên Vân
Ca khúc: Đắp mộ cuộc tình, Cánh diều mưa, Rao bán vần thơ say, Lại nhớ người yêu, Những lời này cho em...
Website: dannguyenentertainment.com
 
 
x • t • 
Nguyễn Đặng Đan (sinh ngày 9 tháng 7 năm 1984) thường được biết đến với nghệ danh Đan Nguyên, là một ca sĩ người Mỹ gốc Việt thành công với dòng nhạc vàng trước năm 1975. Anh từng cộng tác với Trung tâm Asia từ năm 2007 đến năm 2016 và Trung tâm Thúy Nga từ năm 2016 đến nay.
Tiểu sử

Đan Nguyên tên thật là Nguyễn Đặng Đan, sinh ngày 9 tháng 7 năm 1984 tại thị trấn Phú Lộc, Phú Lộc, Thừa Thiên Huế. Năm 1998, anh cùng mẹ và 2 em gái, 1 em trai sang định cư ở Hoa Kỳ theo diện Rover. Nơi sống đầu tiên của Đan Nguyên là Quận Cam, California. Họ Nguyễn tên Đan, nên anh đã lấy nghệ danh là Đan Nguyên, tên gọi thân mật là “Đan”. Hiện nay, Đan Nguyên thường xuyên góp mặt trong các chương trình ca nhạc của người Việt ở hải ngoại, cũng như lưu diễn ở Anh, Canada và Úc...
Năm 2006, Đan Nguyên bắt đầu tham dự các cuộc thi tuyển lựa ca sĩ tại hải ngoại và đã chiếm được tới 4 giải nhất, 1 giải nhì trong tổng cộng 6 cuộc thi từ miền Bắc California tới miền Nam California. Trong lần gặp gỡ ca sĩ Trish Thùy Trang tại một đại nhạc hội ở San Jose, California, Đan Nguyên đã nhờ Trish đưa CD của Đan đến tận tay Trúc Hồ và Thy Vân (giám đốc trung tâm Asia). 2 ngày sau thì Đan Nguyên nhận được điện thoại của Trúc Hồ mời Đan Nguyên đến thử giọng. Đan Nguyên bay xuống ngay ngày sau đó và thâu thử giọng bài Xin làm người xa lạ. Giọng ca đặc biệt ấy đã khiến Trung tâm Asia chú ý và mời trình diễn trong chương trình "Asia 55 - Hát Với Thần Tượng" thu hình mùa hè năm 2007. Trong lần đầu tiên xuất hiện đó, anh đã gây dấu ấn với khán giả khi song ca thành công cùng ca sĩ thần tượng âm nhạc của anh là Chế Linh, nhạc phẩm nổi tiếng Thói đời của nhạc sĩ Trúc Phương. Từ đó, Đan Nguyên bước vào con đường ca hát và mau chóng chiếm được sự ái mộ của rất nhiều người. Đầu năm 2016, Đan Nguyên bắt đầu cộng tác với Trung tâm Thúy Nga từ cuốn Paris By Night 118: "50 năm âm nhạc Đức Huy".
Đan Nguyên được khán giả trong nước và hải ngoại biết đến nhờ ngoại hình cơ bắp, chất giọng trầm buồn, cách phát âm “TR” đặc trưng - lôi cuốn những người trẻ tuổi và thậm chí những khán giả lớn tuổi đã từng đam mê với dòng nhạc vàng. Người hâm mộ đặt biệt danh cho anh là “Người Hùng Phong Trần” hay “Lãng tử Phong Trần”.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ | Do thấy "nhạc Vàng " không bao nhiêu người hát nữa thành ra Đan Nguyên muốn duy trì. Và cũng vì đam mê từ hồi nhỏ nên Đan Nguyên mới chọn hát thể loại "nhạc Vàng" này... | ” |
— Đan Nguyên
Ngoài ca hát, Đan Nguyên cũng sáng tác nhạc. Một số sáng tác của anh là Một lòng yêu em, Dòng máu Việt Nam, Cánh diều mưa.
Năm 2018, Đan Nguyên vào vai chính Đan trong bộ phim Cánh Diều Mưa của đạo diễn Cường Ngô. Trong phim này có hai MV là Cánh Diều Mưa và Đắp Mộ Cuộc Tình cũng do Đan Nguyên thể hiện.
Album

Không tính các album tổng hợp. Những album ký hiệu LP là đĩa than.
| Năm | Tựa đề | Hát cùng với | Mã đĩa |
| --- | --- | --- | --- |
| 2008 | Những Lời Này Cho Em |  | ASIACD260 |
| 2008 | Liên Khúc Khóc Thầm | Ngọc Huyền, Băng Tâm, Đặng Thế Luân | ASIACDCS16 |
| 2009 | The Best of Đan Nguyên & Y Phụng (Hãy Quên Anh) | Y Phụng | ASIACD274 |
| 2010 | Thành Phố Mưa Bay |  | ASIACD276 |
| 2010 | Xin Làm Người Tình Cô Đơn | Lâm Thúy Vân | ASIA CDCS26 |
| 2011 | Nhớ Mẹ | Quốc Khanh | ASIACDCS37 |
| 2011 | Có Thế Thôi |  | ASIACDCS42 |
| 2011 | The Best of Đan Nguyên & Y Phụng 2 (Thiệp Hồng Anh Viết Tên Em) | Y Phụng | ASIACD338 |
| 2014 | Ngày Xuân Thăm Nhau | Hoàng Thục Linh, Cát Lynh, Ngọc Anh Vi | ASIACD347 |
| 2015 | Nàng Áo Tím |  | ASIACD370 |
| 2015 | Thương Về Miền Trung |  | ASIACD374 |
| 2016 | 100 Phần Trăm | Nhiều ca sĩ | ASIACD376 |
| 2017 | Ngày Em Đi | Hoài Lâm, Mai Thiên Vân | TNCD582 |
| 2019 | Lại Nhớ Người Yêu LP |  | TNLP003 |
Những album ký hiệu KR là karaoke.
| Năm | Tựa đề | Hát cùng với | Mã đĩa |
| --- | --- | --- | --- |
| 2009 | The Best of Đan Nguyên & Y Phụng KR | Y Phụng | ASIA Selection 13 |
| 2010 | Liveshow Đêm Nhạc Tình | Băng Tâm, Nguyễn Hồng Nhung | ASIADVDS10 |
| 2010 | Lời Đắng Cho Cuộc Tình KR |  | ASIA Selection 16 |
| 2013 | Liveshow Tình Như Mây Khói | Tâm Đoan, Băng Tâm, Quốc Khanh, Hà Thanh Xuân | ASIADVDS10 |
| 2013 | The Best of Đan Nguyên & Y Phụng 2 KR | Y Phụng | ASIA Selection 37 |
| 2013 | Một Lòng Yêu Em KR |  | ASIA Selection 38 |
| 2014 | Liveshow Người Lính Và Mùa Xuân | Hoàng Thục Linh, Ngọc Anh Vi, Cát Lynh | ASIADVDS19 |
| 2015 | Liveshow Thương Về Miền Trung | Hoàng Thục Linh, Nguyễn Hồng Nhung, Băng Tâm, Quốc Khanh, Lâm Nhật Tiến | ASIADVDS21 |
| 2016 | Câu Chuyện Đầu Năm KR | Nhiều ca sĩ | ASIA Selection 41 |
Các tiết mục trình diễn trên sân khấu > Trung tâm Asia

| STT | Tiết mục | Thể hiện với | Chương trình | Năm |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | Thói đời (Trúc Phương) | Chế Linh | ASIA 55 | 2007 |
| 2 | Hãy Quên Anh (Phương Kim) | solo | ASIA 56 | 2007 |
| 3 | 24 Giờ Phép (Trúc Phương) | solo | ASIA 57 | 2007 |
| 4 | Kẻ Ở Miền Xa (Trúc Phương) | solo | ASIA 58 | 2008 |
| 5 | LK Một Ngày Không Có Em (Y Vân), Ngày Vui Qua Mau (Nhật Ngân, Nguyễn Long) | solo | ASIA 59 | 2008 |
| 6 | LK Duyên Kiếp, Trăm Nhớ Ngàn Thương, Thu Sầu (Lam Phương) | Băng Tâm, Y Phụng, Tường Nguyên, Tường Khuê, Ngọc Huyền, Đặng Thế Luân | ASIA 59 | 2008 |
| 7 | Tôi Chưa Có Mùa Xuân (Châu Kỳ) | solo | ASIA 60 | 2008 |
| 8 | Chuyện Tình Mộng Thường (Trần Thiện Thanh) | Băng Tâm | ASIA 61 | 2009 |
| 9 | LK Nỗi lòng Người Đi, Căn Nhà Ngoại Ô, Căn Gác Lưu Đày, Cõi Buồn (Anh Bằng) | Lâm Nhật Tiến, Quốc Khanh | ASIA 62 | 2009 |
| 10 | Chuyện Hoa Sim (Anh Bằng) | solo | ASIA 62 | 2009 |
| 11 | Ngày Cưới Em (Y Vũ) | solo | ASIA 63 | 2009 |
| 12 | Thành phố Mưa Bay (Bằng Giang) | solo | ASIA 64 | 2009 |
| 13 | LK Đêm Buồn Tỉnh Lẻ (Tú Nhi, Bằng Giang), Những đồi hoa sim (Dzũng Chinh) | Băng Tâm | ASIA 65 | 2010 |
| 14 | Thuở Ấy Có Em (Huỳnh Anh) | solo | ASIA 66 | 2010 |
| 15 | Lá Thư Trần Thế (Hoài Linh) | Giang Tử, Ngọc Minh | ASIA 66 | 2010 |
| 16 | Chuyện Tình Hoa Mai (Anh Bằng) | solo | ASIA 67 | 2010 |
| 17 | Sài Gòn Kỷ Niệm (Anh Bằng) | solo | ASIA 68 | 2011 |
| 18 | Nó (Anh Bằng) | Huỳnh Phi Tiễn | ASIA 69 | 2012 |
| 19 | Việt Nam Tôi Đâu (Việt Khang) | solo | ASIA 69 | 2012 |
| 20 | Đường Về Quê Hương (Lam Phương) | solo | ASIA 70 | 2012 |
| 21 | Nhớ Mẹ | Cardin, Quốc Khanh, Mai Thanh Sơn, Đoàn Phi, Nguyên Khang | ASIA 70 | 2012 |
| 22 | Tim Vỡ (Lam Phương) | solo | ASIA 71 | 2012 |
| 23 | Triệu Con Tim (Trúc Hồ) | Trúc Hồ, Quốc Khanh, Lâm Nhật Tiến, Nguyên Khang, Mai Thanh Sơn, Nguyễn Hồng Nhung, Y Phương, Lâm Thúy Vân | ASIA 71 | 2012 |
| 24 | Thúy Đã Đi Rồi (Y Vân) | solo | ASIA 72 | 2013 |
| 24 | Nhớ Người Yêu (Hoàng Hoa, Thảo Trang) | Hoàng Thục Linh | ASIA 73 | 2013 |
| 25 | Trên Bốn Vùng Chiến Thuật (Trúc Phương) | Quốc Khanh | ASIA 74 | 2014 |
| 26 | Những Lời Này Cho Em (Trúc Phương) | solo | ASIA 74 | 2014 |
| 27 | Con Đường Mang Tên Em (Trúc Phương) | Y Phụng | ASIA 74 | 2014 |
| 28 | LK Lạnh Trọn Đêm Mưa (Huỳnh Anh), Giã Từ Đêm Mưa (Văn Phụng), Mưa Đêm Độc Hành (Duy Hải) | Cát Lynh, Thùy Hương, Lê Quốc Tuấn | ASIA 75 | 2014 |
| 29 | Đừng Nói Xa Nhau (Châu Kỳ) | Hoàng Thục Linh | ASIA 75 | 2014 |
| 30 | Chuyện Tình Lan Và Điệp 3 (Mạc Phong Linh, Mai Thiết Lĩnh) | Y Phụng | ASIA 75 | 2014 |
| 31 | Việt Nam Ơi (Trúc Hồ) | Lâm Thúy Vân, Đoàn Phi, Hoàng Anh Thư, Mai Thanh Sơn, Y Phương, Quốc Khanh, Thiên Kim, Gia Huy, Huỳnh Phi Tiễn, Hoàng Thục Linh, Thế Sơn, Diễm Liên, Nhật Lâm | ASIA 76 | 2015 |
| 32 | Nàng Áo Tím (Anh Bằng) | solo | ASIA 76 | 2015 |
| 33 | LK Tình Chết Theo Mùa Đông, Trăm Nhớ Ngàn Thương (Lam Phương) | Hồ Hoàng Yến | ASIA 77 | 2015 |
| 34 | Khóc Mẹ Đêm Mưa (Anh Bằng) | solo | ASIA 77 | 2015 |
Các tiết mục trình diễn trên sân khấu > Trung tâm Asia > Chương trình thu hình khác

| STT | Tiết mục | Thể hiện với | Chương trình | Năm |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | Linh Hồn Tượng Đá (Mai Bích Dung) | solo | ASIA Viet Model | 2008 |
| 2 | Tình Chết Theo Mùa Đông (Lam Phương) | solo | ASIA Đêm Giáng Sinh | 2009 |
| 3 | Cảm Ơn (Nhật Ngân) | solo | ASIA Đón Giao Thừa | 2010 |
| 4 | Sương Lạnh Chiều Đông (Mạnh Phát) | solo | ASIA Noel, Noel | 2010 |
| 5 | Tôi Vẫn Cô Đơn (Anh Bằng) | solo | ASIA Golden 1 | 2010 |
| 6 | Trên Đầu Súng (Anh Việt Thu) | Quốc Khanh | ASIA Golden 2 | 2011 |
| 7 | Lá Thư Trần Thế (Hoài Linh) | solo | ASIA Noel Mùa Tình Yêu | 2011 |
| 8 | Thiệp Hồng Anh Viết Tên Em (Song Ngọc, Hoài Linh) | Y Phụng | ASIA Xuân Hy Vọng | 2012 |
| 9 | Mùa Xuân Đó Có Em (Anh Việt Thu) | solo | ASIA Xuân Hy Vọng | 2012 |
| 10 | Tà Áo Đêm Noel (Tuấn Lê) | solo | ASIA Niềm Vui Mùa Giáng Sinh | 2012 |
| 11 | Một Lần Đi (Nguyệt Ánh) | solo | ASIA Golden 3 | 2013 |
| 12 | Mai Lỡ Hai Mình Xa Nhau (Tú Nhi) | Băng Tâm | Băng Tâm Live Show - Cô Thắm Về Làng | 2014 |
| 13 | Nối Lại Tình Xưa (Ngân Giang) | Băng Tâm | Băng Tâm Live Show - Cô Thắm Về Làng | 2014 |
| 14 | LK Đón Xuân Này Nhớ Xuân Xưa (Châu Kỳ), Cánh Thiệp Đầu Xuân (Minh Kỳ, Lê Dinh), Câu Chuyện Đầu Năm (Hoài An) | Băng Tâm, Hoàng Thục Linh | ASIA Liên Khúc Mùa Xuân | 2015 |
| 15 | LK Sao Không Thấy Anh Về, Nén Hương Yêu (Duy Khánh) | Băng Tâm | Băng Tâm Live Show - Thiêng Liêng Tình Mẹ | 2015 |
| 16 | Xuân Này Con Về Mẹ Ở Đâu (Nhật Ngân) | solo | ASIA Mừng Xuân | 2016 |
Các tiết mục trình diễn trên sân khấu > Trung tâm Thúy Nga > Chương trình thu hình khác

| STT | Tiết mục | Thể hiện với | Chương trình | Năm |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | Nhớ Người Yêu (Hoàng Hoa & Thảo Trang) | Mai Thiên Vân | Mai Thiên Vân Live Show - Nhật Ký Đời Tôi | 2017 |
| 2 | Nhật Ký Đời Tôi (Thanh Sơn) | Mai Thiên Vân | Mai Thiên Vân Live Show - Nhật Ký Đời Tôi | 2017 |
| 3 | Xót Xa (Tô Thanh Tùng) | Solo | Mai Thiên Vân Live Show - Nhật Ký Đời Tôi | 2017 |
| 4 | Nắng Chiều (Lê Trọng Nguyễn) | Mai Thiên Vân, Hạ Vy, Minh Tuyết, Mạnh Quỳnh | Mai Thiên Vân Live Show - Nhật Ký Đời Tôi | 2017 |
| 5 | Mười Năm Tình Cũ (Trần Quảng Nam) | Solo | Nguyễn Hồng Nhung Live Show - Khi Giấc Mơ Về | 2017 |
| 6 | Rong Rêu (Nguyễn Tâm) | Nguyễn Hồng Nhung | Nguyễn Hồng Nhung Live Show - Khi Giấc Mơ Về | 2017 |
| 7 | Tiếng Hát Nửa Đêm (Trịnh Lâm Ngân) | Solo | Paris By Night Gloria 3 | 2017 |
| 8 | Đàn Bà (Song Ngọc) | Don Hồ, Bằng Kiều, Quang Dũng, Trần Thái Hòa, Thiên Tôn, Đình Bảo | Paris By Night Divos | 2018 |
| 9 | Ngày Em Đi (Lam Phương) | Solo | Paris By Night Divos | 2018 |
| 10 | Tình Chết Theo Mùa Đông (Lam Phương) | Don Hồ | Paris By Night Divos | 2018 |
| 11 | 60 Năm Cuộc Đời (Y Vân) | Solo | Paris By Night 128 VIP Party | 2018 |
| 12 | Thói Đời (Trúc Phương) | Solo | Le Gala Du Coeur - Gửi Tình Thương Về Sài Gòn | 2021 |
| 13 | Lại Nhớ Người Yêu (Giao Tiên) | Solo | Le Gala Du Coeur - Gửi Tình Thương Về Sài Gòn | 2021 |
| 14 | Anh Buồn Em Thương (Thanh Phong, Nguyễn Đào Nguyễn) | Băng Tâm | Paris By Night Tiếu Vương Hội | 2023 |
Chú thích

1 2 3 4  Thúy Nga (ngày 26 tháng 10 năm 2008). “Ca sĩ trẻ Đan Nguyên với dòng nhạc Trúc Phương”. Đài Á Châu Tự do. Truy cập ngày 16 tháng 4 năm 2013.
↑  Diện Rover là diện hồi hương gần giống như những diện như là con lai đoàn tụ gia đình nếu có người thân ở Hoa Kỳ.
↑  Cảm nghĩ về chương trình Asia 55 Lưu trữ 2013-10-06 tại Wayback Machine Phạm Phong Định, trungtamasia.com, 2007
Đồ thị phẳng

Trong lý thuyết đồ thị, một đồ thị phẳng là một đồ thị có thể được nhúng vào mặt phẳng, tức là có thể được vẽ trên mặt phẳng sao cho các cạnh chỉ gặp nhau ở các đỉnh.
Bài toán

Từ xa xưa đã lưu truyền một bài toán cổ "Ba nhà, ba giếng": Có ba nhà ở gần ba cái giếng,nhưng không có đường nối thẳng các nhà với nhau cũng như không có đường nối thẳng các giếng với nhau. 
Có lần bất hoà với nhau, họ tìm cách làm các đường khác đến giếng sao cho các đường này đôi một không giao nhau. Họ có thực hiện được ý định đó không?
Bài toán thực tế: Có 3 gia đình, 3 nhà cung cấp điện, nước, gas. Các gia đình đều cần điện, nước, gas và đều muốn đi dây riêng, do đó cần nối dây từ gia đình đến các nhà cung cấp sao cho không dây nào cắt dây nào.
Ngày nay cũng có những bài toán tương tự như bài toán đi dây trong mạch in.
Thiết lập bài toán

Bài toán này có thể được mô hình bằng đồ thị phân đôi đầy đủ  K_{3,3}. Câu hỏi ban đầu có thể diễn đạt như sau: Có thể vẽ  K_{3,3} trên một mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của các cạnh)?
Tổng quát:
Có thể vẽ một đồ thị trên một mặt phẳng không? Có các cạnh nào cắt nhau không?
Khi nào có thể tìm được ít nhất một cách biểu diễn đồ thị không có cạnh cắt nhau?
Đồ thị phẳng

| Minh Họa> Phẳng | Minh Họa> Không phẳng |
| --- | --- |
   Đồ thị cánh bướm:   K5
 K4:    K3,3
Một đồ thị được gọi là một đồ thị phẳng nếu ta có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao cho các cạnh của nó không cắt nhau ngoài ở đỉnh. Cách vẽ như vậy sẽ được gọi là biểu diễn phẳng của đồ thị. Ví dụ  K_{4} là một đồ thị phẳng.
Điều kiện cần và đủ để đồ thị là phẳng được chỉ ra trong định lý Kuratowski:
Trong thực tế việc sử dụng định lý Kuratowski để kiểm tra đồ thị có phải là đồ thị phẳng hay không thì rất khó khăn. Tuy nhiên, tồn tại thuật toán để kiểm tra vấn đề này. Xét đồ thị phẳng với n đỉnh và p cạnh, ta có:
Công thức Euler cho đồ thị phẳng

Euler đã chứng minh được rằng các biểu diễn phẳng khác nhau của một đồ thị đều chia mặt phẳng ra thành cùng một số miền qua định lý sau (thường được gọi là công thức Euler):
Chứng minh: 
Cho G là đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, m cạnh và r miền. 
Ta bỏ một số cạnh của G để được một cây khung của G. Mỗi lần ta bỏ một cạnh (m giảm 1) thì số miền của G cũng giảm 1 (r giảm 1), còn số đỉnh của G không thay đổi (n không đổi). Như vậy, giá trị của biểu thức n - m + r không thay đổi trong suốt quá trình ta bỏ bớt cạnh của G để được một cây. Cây này có n đỉnh, do đó có n - 1 cạnh và cây chỉ có một miền, vì vậy: 
n - m + r = n - (n -1) + 1 = 2.
Hệ thức n - m + r = 2 thường gọi là hệ thức Euler cho hình đa diện, vì được Euler chứng minh đầu tiên cho hình đa diện có n đỉnh, m cạnh và r mặt.
Một hệ quả đơn giản là:
Chứng minh: 
Trong đồ thị phẳng mỗi miền được bao bằng ít nhất 3 cạnh. Mặt khác, mỗi cạnh có thể nằm trên biên của tối đa hai miền. Gọi d là số miền, thì 3d ≤ 2p. 
Nếu trong đồ thị phẳng mà tất cả các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 6 thì do mỗi đỉnh của đồ thị phải là đầu mút của ít nhất 6 cạnh mà mỗi cạnh lại có hai đầu mút nên ta có 6n ≤ 2p hay 3n ≤ p. Từ đó suy ra 3d+3n ≤ 2p+p hay d+n ≤ p, trái với hệ thức Euler d+n = p+2.
Đồ thị không phẳng

Chứng minh: 
Giả sử  K_{3,3} là đồ thị phẳng. Khi đó ta có một đồ thị phẳng với 6 đỉnh (n=6) và 9 cạnh (p=9), nên theo hệ thức Euler đồ thị có số miền là d = p-n+2 = 5. 
Ở đây, mỗi cạnh chung cho hai miền. Bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy không thể có miền tạo ra từ 3 cạnh, do đó mỗi miền có ít nhất 4 cạnh. Do đó 4d ≤ 2p, tức là 4x5 ≤ 2x9, vô lý.
Như vậy định lý này cho ta lời giải của bài toán "Ba nhà ba giếng", nghĩa là không thể thực hiện được việc làm các đường khác đến giếng sao cho các đường này đôi một không giao nhau.
Chứng minh: Giả sử  K_{5} là đồ thị phẳng. Khi đó ta có một đồ thị phẳng với 5 đỉnh (n=5) và 10 cạnh (p=10), nên theo hệ thứcEuler đồ thị có số miền là d=p-n+2=7. 
Trong  K_{5}, mỗi miền có ít nhất 3 cạnh, mỗi cạnh chung cho 2 miền, vì vậy 3d ≤ 2n, tức là 3x7 ≤ 2x10, vô lý.
Tô màu đồ thị

Xem thêm: Tô màu đồ thị
Tô màu đồ thị > Tô màu bản đồ

Mỗi bản đồ có thể coi là một đồ thị phẳng. Trong một bản đồ, ta coi hai miền có chung nhau một đường biên là hai miền kề nhau (hai miền chỉ có chung nhau một điểm biên không được coi là kề nhau). Một bản đồ thường được tô màu, sao cho hai miền kề nhau được tô hai màu khác nhau. Ta gọi một cách tô màu bản đồ như vậy là một cách tô màu đúng.
Để đảm bảo chắc chắn hai miền kề nhau không bao giờ có màu trùng nhau, chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau. Tuy nhiên việc làm đó nói chung là không hợp lý. Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ rất khó phân biệt những màu gần giống nhau. Do vậy người ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô bản đồ. Một bài toán được đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu đúng một bản đồ.
Tô màu đồ thị > Ứng dụng

Những ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị:
Lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trong trường đại học sao cho không có sinh viên nào có hai môn thi cùng một lúc.
Có thể giải bài toán lập lịch thi bằng mô hình đồ thị, với các đỉnh là các môn thi, có một cạnh nối hai đỉnh nếu có sinh viên phải thi cả hai môn được biểu diễn bằng hai đỉnh này. Thời gian thi của mỗi môn được biểu thị bằng các màu khác nhau. Như vậy việc lập lịch thi sẽ tương ứng với việc tô màu đồ thị này.
Chẳng hạn, có 7 môn thi cần xếp lịch. Giả sử các môn học được đánh số từ 1 tới 7 và các cặp môn thi sau có chung sinh viên: 1 và 2, 1 và 3, 1 và 4, 1 và 7, 2 và 3, 2 và 4, 2 và 5, 2 và 7, 3 và 4, 3 và 6, 3 và 7, 4 và 5, 4 và 6, 5 và 6, 5 và 7, 6 và 7. Hình dưới đây biểu diễn đồ thị tương ứng. Việc lập lịch thi chính là việc tô màu đồ thị này. Vì số màu của đồ thị này là 4 nên cần có 4 đợt thi.
Phân chia tần số: Các kênh truyền hình từ số 1 tới số 12 được phân chia cho các đài truyền hình sao cho không có đài phát nào cách nhau không quá 240 km lại dùng cùng một kênh. Có thể chia kênh truyền hình như thế nào bằng mô hình tô màu đồ thị.
Ta xây dựng đồ thị bằng cách coi mỗi đài phát là một đỉnh. Hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh nếu chúng ở cách nhau không quá 240 km. Việc phân chia kênh tương ứng với việc tô màu đồ thị, trong đó mỗi màu biểu thị một kênh.
Các thanh ghi chỉ số: Trong các bộ dịch hiệu quả cao việc thực hiện các vòng lặp được tăng tốc khi các biến dùng thường xuyên được lưu tạm thời trong các thanh ghi chỉ số của bộ xử lý trung tâm (CPU) mà không phải ở trong bộ nhớ thông thường. Với một vòng lặp cho trước cần bao nhiêu thanh ghi chỉ số? Bài toán này có thể giải bằng mô hình tô màu đồ thị. Để xây dựng mô hình ta coi mỗi đỉnh của đồ thị là một biến trong vòng lặp. Giũa hai đỉnh có một cạnh nếu các biến biểu thị bằng các đỉnh này phải được lưu trong các thanh ghi chỉ số tại cùng thời điểm khi thực hiện vòng lặp. Như vậy số màu của đồ thị chính là số thanh ghi cần có vì những thanh ghi khác nhau được phân cho các biến khi các đỉnh biểu thị các biến này là liền kề trong đồ thị.
Đồ thị phẳng có nhiều ứng dụng quan trọng trong công nghệ chế tạo mạch in. Biểu diễn phẳng của đồ thị sẽ chia mặt phẳng ra làm các miền, bao gồm cả miền không bị chặn.
Ngoài ra, một trong các ứng dụng là ánh xạ từ ảnh số 2 chiều sang một đồ thị phẳng. Trong đó, ảnh số được biểu diễn dưới dạng ma trận lưới ô vuông; mỗi ô đặc trưng cho 1 pixel.
Chú thích

↑  Adams, Colin; Franzosa, Robert (2008). Topology, pure and applied. Prentice-Hall.
Bài toán ba nhà
Mạch in điện tử
Lamprocryptus alboannularis

| Lamprocryptus alboannularis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Hymenoptera
Họ (familia): Ichneumonidae
Chi (genus): Lamprocryptus
Loài (species): L. alboannularis
Danh pháp hai phần
Lamprocryptus alboannularis (Ashmead, 1895) 
Lamprocryptus alboannularis là một loài tò vò trong họ Ichneumonidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 22 tháng 6 năm 2014.
Đăk Trăm

|  Đăk Trăm  |
| --- | --- |
 Xã 
 Xã Đăk Trăm 
Hành chính
Quốc gia:  Việt Nam
Vùng: Tây Nguyên
Tỉnh: Kon Tum
Huyện: Đăk Tô
Thành lập: 2005
Địa lý
Diện tích: 52,77 km²
Dân số (2019)
Tổng cộng: 4.370 người
Mật độ: 83 người/km²
Khác
Mã hành chính: 23430
x t 
Đăk Trăm là một xã thuộc huyện Đăk Tô, tỉnh Kon Tum, Việt Nam.
Xã Đăk Trăm có diện tích 52,77 km², dân số năm 2019 là 4.370 người, mật độ dân số đạt 83 người/km².
Chú thích

↑  76/2005/NĐ-CP
1 2  Ban chỉ đạo Tổng điều tra dân số và nhà ở trung ương. “Dân số đến 01 tháng 4 năm 2019 - tỉnh Kon Tum” (PDF). Truy cập ngày 4 tháng 5 năm 2020.
↑  Tổng cục Thống kê
Chính phủ Bỉ lưu vong

Hubert Pierlot (bên trái), Thủ tướng chính phủ lưu vong, tháng 4 năm 1944.
Chính phủ Bỉ ở Luân Đôn (tiếng Pháp: Gouvernement belge à Londres, tiếng Hà Lan: Belgische regering in Londen), cũng gọi bằng Chính phủ Pierlot thứ tư, là chính phủ lưu vong của nước Bỉ trong Thế chiến lần thứ hai, bao gồm ba trụ cột là Đảng Công giáo, Đảng Tự do và Đảng Lao động. Sau khi Đức xâm lược Bỉ vào tháng 5 năm 1940 thì chính phủ của Thủ tướng Hubert Pierlot dời về Bordeaux ở Pháp trước rồi đến Luân Đôn. Sau đó, chính quyền Bỉ đã tự phong mình làm đại biểu Bỉ hợp pháp duy nhất trong lực lượng Đồng Minh.
Mặc dù mất hết thực quyền trong nước, chính quyền Bỉ vẫn cai trị Congo và đàm phán với những nước đồng minh khác về việc tái thiết đất nước sau chiến tranh. Những hiệp định được thỏa thuận trong thời chiến bao gồm thành lập Benelux và gia nhập Liên hợp quốc. Chính quyền Bỉ còn chỉ huy Lực lượng Bỉ tự do và vẫn giữ liên lạc với phong trào kháng chiến ngầm.
Trận Hannut
Chú thích

↑  contributed lightly armed infantry units retreating from Dutch territory. Also committed the Dutch Air Force on few, ineffective and costly missions.
↑  Gunsburg đưa ra con số như sau: Sư đoàn Thiết giáp số 2: 400 sĩ quan, 10.000 binh lính, 300 phương tiện chiến đấu bọc thép 
 Sư đoàn Thiết giáp số 3: khoảng 400 sĩ quan, 10.000 binh lính, 300 phương tiện chiến đấu bọc thép
↑  Gunsburg đưa ra con số này (tính cả Befehlspanzer): Sư đoàn Thiết giáp số 3: 400 sĩ quan, 13.187 binh lính, 343 xe tăng, 48 hỏa pháo,
 Sư đoàn Panzer số 4: 335 sĩ quan, 12.005 men, 331 binh lính, 60 hỏa pháo
Diệu Hương (nhạc sĩ)

| Diệu Hương |
| --- | --- |
Tên khai sinh: Lê Thị Diệu Hương
Tên gọi khác: Diệu Hương
Sinh: 26 tháng 10, 1955 (68 tuổi) Huế
Thể loại: Nhạc trẻ Nhạc hải ngoại
Nghề nghiệp: Nhạc sĩ
Bài hát tiêu biểu: Vì đó là em  Khắc khoải Phiến đá sầu
Ca sĩ trình bày thành công: Quang Dũng  Don Hồ

Diệu Hương (tên thật Lê Thị Diệu Hương; sinh năm 1955) là một nữ nhạc sĩ Việt Nam.