Toán học của thuyết tương đối rộng
Đa tạp không thời gian > Tenxơ quan trọng nhất: Tenxơ metric

Chúng ta vẫn chưa nói tới vấn đề làm thế nào để tính tích vô hướng giữa hai vectơ và đo được độ lớn của một vectơ. Cả hai phép toán tích vô hướng và tìm mô đun độ lớn đòi hỏi đa tạp không thời gian được trang bị một toán tử g, đó là ten xơ đối xứng hạng 2 hay kiểu (0, 2), mà khi nó tác dụng lên hai vectơ,  \mathbf {U,V}  thì chúng ta thu được một số
Biểu thức trên chính là định nghĩa của tích vô hướng hai vectơ, và khi tích này bằng 0 ta nói hai vectơ trực giao với nhau. Theo cách tương tự đã chứng minh hàm  \mathbf {{\tilde {d}}(V)}  là không phụ thuộc hệ tọa độ (phương trình (42)), chúng ta có thể chứng minh tích vô hướng cũng là một đại lượng bất biến, tức là  g_{\mu '\nu '}U^{\mu '}V^{\nu '}=g_{\mu \nu }U^{\mu }V^{\nu }. Định nghĩa mô đun độ lớn (hay độ dài) của một vectơ bất kỳ chính là trường hợp đặc biệt của (74) và tương ứng với tích vô hướng của chính nó,
Bây giờ chúng ta có thể quay trở lại phần Đa tạp không thời gian và coi không thời gian như là đa tạp  {\mathcal {M}} mà trên đó phủ một số hệ tọa độ. Khi có hai sự kiện P tại  \{x^{\mu }\}_{P} và Q tại  \{x^{\mu }\}_{Q} trên  {\mathcal {M}}, chúng ta mong muốn đo được bình phương khoảng không thời gian vô cùng bé (hay yếu tố đoạn-line element), ds2, theo vectơ dời chỗ vô cùng bé dx mà các thành phần của nó chính là  dx^{\mu }:=\{x^{\mu }\}_{P}-\{x^{\mu }\}_{Q}. Khoảng cách này chính là tích vô hướng của hai vectơ và là đại lượng độc lập với hệ tọa độ
Bởi vì có vai trò trong đo khoảng cách như ở phương trình (76) tenxơ đối xứng g thường được gọi là tenxơ metric (hay chỉ đơn giản là metric) và nó là tenxơ quan trọng nhất trong thuyết tương đối tổng quát. Dấu của tenxơ metric được định nghĩa bằng số giá trị riêng dương, âm hay bằng 0 của metric.
Khi đã lựa chọn hệ tọa độ để định vị và xếp thứ tự các sự kiện trong không thời gian, tenxơ metric cho phép chúng ta đo được khoảng cách giữa các sự kiện và do đó thực hiện được những phép đo vật lý. Trong khi biểu thức (76) chỉ giới hạn ở khoảng cách vô cùng bé, chúng ta có thể mở rộng nó ra cho khoảng cách hữu hạn và khoảng cách riêng giữa hai sự kiện nối với nhau bằng cung  {\mathcal {C}} bằng
Chúng ta có thể dễ dàng nhận ra biểu thức (76) rất giống với định lý Pythagoras áp dụng cho không thời gian khác với không gian Euclid. Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau
Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes  (x,y,z); hệ tọa độ trụ  (\rho ,\phi ,z) và hệ tọa độ cầu  (r,\theta ,\phi ). Rõ ràng đối với mỗi hệ tọa độ, tenxơ metric sẽ có dạng lần lượt  g_{ij}=diag(1,1,1)\quad ;\quad g_{ij}=diag(1,\rho ^{2},1)\quad ;\quad g_{ij}=diag(1,r^{2},r^{2}sin^{2}\theta ). Chúng ta cũng thấy rằng hệ tọa độ Descartes có metric dạng đơn giản nhất và viết tương đương thành  g_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }.
Định thức của tenxơ metric ký hiệu bằng  g:=det(g_{\mu \nu }) và chúng ta sử dụng nó để tính yếu tố thể tích riêng (proper volume element) khi tích phân trên miền không gian bốn chiều giới hạn bởi siêu mặt ∑
Hơn nữa metric là không kỳ dị khi và chỉ khi  g\neq 0 khắp nơi đối với ánh xạ. Trong trường hợp này  g_{\mu \nu } có nghịch đảo  g^{\mu \nu } sao cho
Tính chất (82) cho phép chúng ta thực hiện nâng và hạ chỉ số của tenxơ bằng cách thu gọn tenxơ với tenxơ metric hoặc nghịch đảo của nó. Trong phép toán này, chỉ số được thu gọn (hay chỉ số câm) bị triệt tiêu và các chỉ số còn lại của tenxơ metric hoặc là hạ thấp (khi metric được sử dụng trong phép thu gọn) hoặc được nâng lên (trong trường hợp metric nghịch đảo được sử dụng). Ví dụ, đối với tenxơ T loại (2, 2) phép thu gọn nó với metric và metric nghịch đảo là
hoặc tổng quát hơn đối với ten xơ bất kỳ
Hai trường hợp đặc biệt đối với thu gọn ten xơ bằng ten xơ metric đó là đối với ten xơ hạng hai, khi kết quả thu gọn hoặc là dẫn tới vết nếu ten xơ đối xứng, hoặc bằng 0 nếu ten xơ phản xứng
Tính chất nâng và hạ chỉ số không chỉ là cách thuận tiện khi làm việc với đại số ten xơ mà còn là một cách để chứng tỏ ten xơ metric có thể được sử dụng để ánh xạ vectơ vào dạng một. Để thấy điều này, ta hãy xem lại phương trình (74) và coi metric như là một toán tử tác động lên hai vectơ. Hơn nữa, nếu cố định một vec tơ, U chẳng hạn, và coi nó như là một toán tử khi tác động lên một vectơ sẽ thu được một số (hay vô hướng)
mà ở cặp phương trình đầu tiên nhấn mạnh vào tính đối xứng của toán tử khi chúng ta có kết quả như nhau nếu "điền vào" dấu chấm một vectơ. Và khi cặp phương trình thứ nhất và cặp phương trình thứ hai tác động lên một vec tơ V sẽ cho cùng một kết quả
Về cơ bản phương trình (86) nói rằng ten xơ metric có thể dùng để ánh xạ một vec tơ U vào một đối vec tơ (hay dạng một) Ũ mà các thành phần sẽ là Uμ. Tương tự, nghịch đảo của metric g−1 sẽ cho ánh xạ từ đối vectơ vào vectơ, do đó hoàn thiện bức tranh đầy đủ về tính đối ngẫu giữa vectơ và dạng một. Ngoài ý nghĩa của tenxơ metric như đã nêu, chúng ta có thể viết lại tích vô hướng dưới đây
và viết lại thành
Hay nói cách khác, các thành phần của metric trong một hệ tọa độ biểu diễn tích vô hướng của các vectơ cơ sở của hệ đó. Đặc biệt, nếu hệ vectơ cơ sở thỏa mãn  |{\boldsymbol {e}}_{\mu }.{\boldsymbol {e}}_{\nu }|=\delta _{\mu \nu } thì hệ cơ sở này được gọi là hệ cơ sở trực chuẩn.