Đa thức
Phương trình > Giải phương trình

Bài chi tiết: Phương trình đại số
Nghiệm của đa thức một biến khác không P là giá trị a của x sao cho P(a) = 0. Nói cách khác, nghiệm của P là nghiệm của phương trình đa thức P(x) = 0 hoặc là không điểm của hàm số của hàm đa thức định nghĩa bởi P. Trong trường hợp của đa thức không, mọi số đều là không điểm của hàm tương ứng và do đó ít khi quan tâm tới nghiệm của đa thức này.
Số a là nghiệm của đa thức P khi và chỉ khi đa thức tuyến tính x − a là ước của P, nghĩa là tồn tại ma trận Q sao cho P = (x − a) Q. Nếu P là đa thức khác không, thì tồn tại số mũ  m cao nhất sao cho (x − a)m là ước của P, được gọi là số bội của a khi là ước của P. Số nghiệm của đa thức P, khi đếm cả số bội, không bao giờ vượt quá bậc của P, và chỉ bằng với bậc này nếu xét tất cả nghiệm phức (đây là hệ quả của định lý cơ bản của đại số).
Các hệ số và các nghiệm của đa thức có liên hệ với nhau qua các công thức Vieta.
Một số đa thức, ví dụ như x2 + 1, không có nghiệm trong tập các số thực. Nếu ta chấp nhận cả các số phức, mọi đa thức không hằng đều có ít nhất một nghiệm, điều này nằm trong định lý cơ bản của đại số. Bằng cách liên tục chia cho x − a, ta có thể thấy mọi đa thức với hệ số phức đều có thể viết thành tích của một hằng số với tích các đa thức có bậc một; và bởi vậy, số nghiệm phức đếm với số bội của nó luôn bằng với bậc của đa thức.
Khi giải phương trình, ta thường muốn biểu diễn nghiệm là một con số cụ thể; ví dụ, nghiệm duy nhất của 2x − 1 = 0 là 1/2. Tuy nhiên, không thể nào cũng có nghiệm duy nhất khi giải cho các phương trình có bậc cao hơn một. Ngay từ thời cổ đại , các nhà toán học đã tìm các biểu thức đại số để biểu diễn cho nghiệm; lấy ví dụ: tỷ lệ vàng  (1+{\sqrt {5}})/2 là nghiệm dương duy nhất của  x^{2}-x-1=0. Trong thời cổ đại, họ mới chỉ tìm được các biểu thức cho phương trình bậc nhất và bậc hai. Đối với các phương trình bậc hai, công thức bậc hai cho phép tìm ra các biểu thức của nghiệm. Kể từ thế kỉ 16 trở đi, các công thức tương tự (sử dụng thêm cả căn bậc ba với căn bậc hai), mặc dù phức tạp hơn nhưng đã được tìm thấy cho các phương trình bậc ba và bậc bốn (xem phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn). Song, việc tìm kiếm công thức cho các phương trình bậc năm trở lên đã gây nhiều khó khăn cho các nhà nghiên cứu. Vào năm 1824, Niels Henrik Abel đã chứng minh rằng tồn tại các phương trình bậc 5 mà nghiệm của nó không thể biểu diễn bằng một công thức hữu hạn các phần tử và chỉ bao gồm các phép số học và phép căn (xem định lý Abel–Ruffini). Trong 1830, Évariste Galois đã chứng minh rằng phần lớn các phương trình có bậc lớn hơn bốn không thể nào chỉ giải được bằng căn, và chứng minh rằng với mỗi phương trình, ta đều có thể quyết định xem nó có giải được bằng căn không và nếu được thì giải nó.Kết quả đánh dấu sự khởi đầu của lý thuyết Galois và lý thuyết nhóm, hai nhánh quan trọng trong đại số hiện đại. Chính Galois đã tự nhận rằng các tính toán từ phương pháp của ông chưa ứng dụng được, song nay đã có công thức giải cho các phương trình giải được bậc năm và bậc sáu (xem phương trình bậc năm và phương trình bậc sáu).
Nếu mà không có công thức đại số để tìm ra nghiệm, hoặc có công thức nhưng nó lại quá phức tạp để có thể áp dụng vào, thì thay vì đó ta nên tính xấp xỉ giá trị nghiệm. Có rất nhiều phương pháp để tính; một số được giới hạn chỉ giải cho đa thức và một số có thể giải cho hàm liên tục tuỳ ý. Các thuật toán tối ưu cho phép giải các đa thức (trong máy tính) có bậc lên tới hơn 1,000 (xem thuật toán tìm nghiệm).
Đối với các đa thức có nhiều hơn một biến, tổ hợp các giá trị sao cho hàm đa thức có giá trị 0 thường được gọi là không điểm thay vì "nghiệm". Nghiên cứu các tập không điểm của  các đa thức là đối tượng của hình học đại số. Đối với hệ các phương trình đa thức nhiều biến, có các thuật toán có thể quyết định liệu nó có hữu hạn số nghiệm phức và nếu số nghiệm hữu hạn thì có thể tìm ra các nghiệm. Xem hệ phương trình đa thức.
Trường hợp đặc biệt mà hệ các phương trình đa thức đều có bậc một được gọi là hệ phương trình tuyến tính. Có rất nhiều phương pháp giải hệ phương trình này, bao gồm cả phép khử Gauss.
Phương trình đa thức mà ta chỉ quan tâm đến nghiệm nguyên được gọi là phương trình Diophantos. Giải phương trình Diophantos là bài toán rất là khó. Nó đã được chứng minh là không có thuật toán chung nào để giải, hoặc thậm chí là quyết định xem tập nghiệm có rỗng hay không (xem bài toán thứ 10 của Hilbert). Một số bài toán nổi tiếng được giải trong 50 năm gần đây có liên hệ với phương trình Diophantos, ví dụ như định lý lớn Fermat.