stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Thuyết tương đối hẹp
Các tiên đề > Cấu hình tiêu chuẩn

Để hiểu rõ hơn về cách tọa độ không thời gian được đo bởi các nhà quan sát trong các khung tham chiếu khác nhau so với nhau, thật hữu ích khi làm việc với một thiết lập đơn giản với các khung trong cấu hình tiêu chuẩn.Với sự cẩn thận, điều này cho phép đơn giản hóa toán học mà không mất tính tổng quát trong các kết luận đạt được. Trong hình 2‑1, hai khung tham chiếu Galilê (tức là khung 3 không gian thông thường) được hiển thị theo chuyển động tương đối. Khung S thuộc về người quan sát thứ nhất O và khung S' (phát âm là "S Prime" hoặc "S dash") thuộc về người quan sát thứ hai O'.
Trục x, y, z  là các trục của khung S được định hướng song song với các trục được mồi theo khung tương ứng S′.
Frame S′ di chuyển, để đơn giản, theo một hướng duy nhất: x-hướng của khung S với vận tốc không đổi v được đo trong khung S.
Nguồn gốc của khung S và S′ là trùng hợp khi thời gian t = 0 cho khung S và t = 0 cho khung S.
Vì không có khung tham chiếu tuyệt đối trong lý thuyết tương đối, nên một khái niệm di chuyển không tồn tại nghiêm ngặt, vì mọi thứ có thể đang chuyển động đối với một số khung tham chiếu khác. Thay vào đó, bất kỳ hai khung hình nào di chuyển với cùng tốc độ theo cùng một hướng được gọi là comoving. Do đó, "S và S không phải là comoving.
Không có hệ quy chiếu tuyệt đối

Nguyên lý tương đối, mà nội dung là các định luật vật lý có cùng dạng thức trong mọi hệ quy chiếu quán tính, có lịch sử từ Galileo, và được đưa vào vật lý Newton. Nhưng vào cuối thế kỷ 19, việc khám phá ra sự tồn tại của sóng điện từ đưa các nhà vật lý đề xuất ra một chất nền ête (aether) tràn ngập trong vũ trụ mà nó có vai trò là môi trường giúp ánh sáng lan truyền. Ête được cho là thành phần của một "hệ quy chiếu tuyệt đối" mà trên đó dùng để đo tốc độ, và hệ quy chiếu này được xem là cố định và bất biến. Chất ête giả thuyết này có những tính chất kỳ lạ: nó đủ đàn hồi để hỗ trợ cho sóng điện từ, và các sóng này có thể tương tác với vật chất, và môi trường ête không gây ra ma sát khi vật thể đi qua nó. Tuy nhiên, nhiều kết quả thí nghiệm khác nhau bao gồm thí nghiệm Michelson–Morley chỉ ra rằng không tồn tại chất ête này. Thuyết tương đối đặc biệt của Einstein đã bác bỏ khái niệm aether và sự tồn tại của hệ quy chiếu tuyệt đối. Trong thuyết tương đối, trong cùng một hệ quy chiếu bất kỳ chuyển động đều, mọi định luật vật lý sẽ cho cùng một kết quả. Đặc biệt là, tốc độ ánh sáng trong chân không luôn luôn đo được bằng c, ngay cả khi đang đo trong nhiều hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc đều khác nhau.
Không có hệ quy chiếu tuyệt đối > Hệ quy chiếu và chuyển động tương đối

Hệ quy chiếu đóng một vai trò quan trọng trong thuyết tương đối hẹp. Thuật ngữ hệ quy chiếu được sử dụng ở đây là một khung cảnh quan sát trong không gian mà không đang trải qua một thay đổi nào trong chuyển động đều (tức là xuất hiện chuyển động gia tốc), và từ khung cảnh này vị trí có thể đo theo ba trục không gian. Thêm vào đó, một hệ quy chiếu có khả năng xác định các phép đo thời gian của các sự kiện sử dụng một 'đồng hồ' (nghĩa là bất kỳ một thiết bị tham chiếu nào có cơ cấu chuyển động tuần hoàn).
Một sự kiện là một sự xuất hiện mà có thể gán cho tọa độ trong một hệ quy chiếu ở một thời điểm duy nhất trong thời gian và vị trí trong không gian: nó là một "điểm" trong không thời gian. Vì tốc độ ánh sáng là không đổi trong thuyết tương đối trong mọi hệ quy chiếu, các xung ánh sáng có thể được sử dụng để đo khoảng cách một cách rõ ràng và tham chiếu đến thời gian mà các sự kiện xảy ra ở đồng hồ đo, thậm chí khi ánh sáng mất một khoảng thời gian để đi tới đồng hồ sau khi sự kiện đã diễn ra.
Ví dụ, vụ nổ một bánh pháo có thể coi như là một "sự kiện". Chúng ta có thể xác định hoàn toàn sự kiện này trong không thời gian bốn chiều: Thời gian xảy ra và vị trí không gian 3 chiều của nó xác định lên điểm tọa độ. Đặt hệ quy chiếu này là S.
Trong thuyết tương đối chúng ta thường muốn tính vị trí của một điểm từ một điểm quy chiếu khác.
Giả sử chúng ta có hệ quy chiếu thứ hai S′, mà các trục không gian và đồng hồ nằm trùng với của hệ S ở lúc thời điểm bằng 0, và bắt đầu chuyển động với vận tốc đều v so với S dọc theo trục x.
Bởi vì không có hệ quy chiếu tuyệt đối trong thuyết tương đối, khái niệm 'đang chuyển động' không mang nghĩa tuyệt đối, khi có thể coi một thứ như đang chuyển động với một hệ quy chiếu khác. Thật vậy, bất kỳ hai hệ quy chiếu nào chuyển động với cùng vận tốc trong cùng một hướng được nói là cùng chuyển động. Do vậy, S và S′ không cùng chuyển động.
Không có hệ quy chiếu tuyệt đối > Phép biến đổi Lorentz

Bài chi tiết: Phép biến đổi Lorentz
Xét hai hệ quy chiếu  {\mathcal {R'}} và  {\mathcal {R}}, trong đó hệ quy chiếu  {\mathcal {R'}} chuyển động với vận tốc đều  {\vec {v}} so với hệ  {\mathcal {R}}. Để phân tích cho đơn giản, đầu tiên chúng ta xét trường hợp "đặc biệt", trong đó ký hiệu ba trục không gian của hai hệ quy chiếu lần lượt tương ứng là x, y, z và x′, y′, z′ song song với nhau, ban đầu các trục trùng nhau tại O và O' và cả hai đồng hồ đều chỉ t = 0 và t' = 0. Sau đó O′x′ bắt đầu chuyển động với vận tốc  {\vec {v}} so với trục Ox. Trường hợp "đặc biệt" này không làm ảnh hưởng đến kết quả tổng quát. Công thức của phép biến đổi cho trường hợp hai hệ quy chiếu chuyển động theo hướng bất kỳ sẽ được đưa ra ở dưới.
Hai tiên đề của Einstein đưa đến phép biến đổi mang tên nhà vật lý Hendrik Lorentz. Công thức Lorentz cho phép biểu diễn các tọa độ (x, y, z, t) của một sự kiện nằm trong hệ quy chiếu đứng yên (chẳng hạn trên Trái Đất) như là hàm của các tọa độ (x′, y′, z′, t′) của cùng sự kiện nhưng ở trong hệ quy chiếu đang chuyển động (chẳng hạn trong tên lửa). Công thức liên hệ:
với  \beta  và  \gamma  là các hệ số xác định bằng 
 \beta =v/c\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}
Các công thức này là dạng thu gọn và sẽ trở thành công thức cho phép quay nếu chúng ta sử dụng hàm hyperbolic đối số θ, cho vận tốc, tương ứng với quay một góc trong không gian Minkowski, xác định bởi
 \tanh \theta =v/c\equiv \beta \qquad {\text{và}}\qquad \theta =\operatorname {artanh} (v/c)\equiv \operatorname {artanh} \,\beta
Bằng cách đặt trên thu được
 \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}=(1-\tanh ^{2}\,\theta )^{-1/2}=\cosh \,\theta 
và
Phép biến đổi ngược có thể thu được bằng cách đặt β bằng -β, và θ bằng -θ.
Lưu ý: để xác định dấu của sinh θ chỉ cần xét một điểm đứng yên trong hệ quy chiếu (chẳng hạn trong hệ quy chiếu gắn cùng với tên lửa, ví dụ với x′ = 0) và xét xem dấu của các tọa độ không gian còn lại ở hệ quy chiếu kia (chẳng hạn hệ quy chiếu cố định trong đó x tăng dần nếu vận tốc của tên lửa có dấu dương).
Viết công thức của phép biến đổi Lorentz và dạng nghịch đảo của nó theo hiệu của các tọa độ, mà ví dụ một sự kiện có tọa độ (x1, t1) và (x′1, t′1), một sự kiện khác có tọa độ (x2, t2)  và (x′2, t′2), và hiệu các tọa độ này bằng
chúng ta thu được
Các hiệu ứng này có liên hệ tường minh với cách chúng ta đo khoảng thời gian giữa các sự kiện xảy ra ở cùng vị trí trong một hệ tọa độ (gọi là các sự kiện "đồng cục bộ"). Những khoảng thời gian này sẽ khác nhau trong một hệ quy chiếu khác chuyển động so với hệ quy chiếu đầu tiên, trừ khi các sự kiện xảy ra đồng thời. Tương tự, các hiệu ứng này cũng liên hệ với khoảng cách đo giữa hai sự kiện xảy ra đồng thời nhưng tách biệt về vị trí trong một hệ tọa độ. Nếu các sự kiện này không đồng cục bộ, nhưng cách nhau bởi một khoảng cách (không gian), chúng sẽ không xảy ra ở cùng một khoảng cách không gian so với nhau khi nhìn từ một hệ quy chiếu đang chuyển động đều khác. Tuy nhiên, khoảng không thời gian sẽ là như nhau đối với mọi quan sát viên.
Không có hệ quy chiếu tuyệt đối > Phép đo so với hình ảnh nhìn thấy

Hiệu ứng giãn thời gian và co độ dài không phải là những ảo ảnh quang học mà là những hiệu ứng thực sự. Các phép đo hai hiệu ứng này không phải là hiệu ứng Doppler giả, chúng là kết quả của sự bỏ qua thời gian ánh sáng truyền đi trên một quãng đường từ một sự kiện đến quan sát viên.
Do đó, các nhà vật lý phân biệt rõ ràng giữa phép đo hoặc quan sát so với hình ảnh nhìn thấy, hoặc đơn giản là nhìn thấy.
Trong nhiều năm, việc phân biệt giữa hai hành động này không được xem xét một cách cẩn thận. Ví dụ, trước đây các nhà vật lý đa số nghĩ rằng sự co độ dài của một vật vượt qua một quan sát viên thực ra chỉ là nhìn thấy độ dài co lại. Năm 1959, James Terrell và Roger Penrose đã độc lập chỉ ra các hiệu ứng từ sự chênh lệch trễ thời gian trong tín hiệu đến quan sát viên từ những phần khác nhau của vật thể đang chuyển động tạo ra hình ảnh của vật thể đang chuyển động khá khác so với hình dạng đo được. Ví dụ, một vật đang chạy ra xa sẽ dường như co lại, trong khi vật đang chạy lại gần dường như bị kéo dài ra, và một vật bằng qua sẽ có hình ảnh trông bị xiên mà như bởi sự quay. Một quả cầu chuyển động vẫn giữ hình ảnh của quả cầu, mặc dù các ảnh gắn trên bề mặt của nó sẽ bị bóp méo.
Hình 1‑13 minh họa một khối lập phương nhìn từ khoảng cách xa bằng 4 lần chiều dài cạnh của nó. Ở vận tốc cao, các cạnh của khối lập phương mà vuông góc với hướng chuyển động trông như có dạng đường hypebol. Khối lập phương thực sự không bị quay. Thực sự là, ánh sáng từ đằng sau khối lập phương mất thêm thời gian để đi tới mắt của quan san viên so với từ cạnh trước, trong khoảng thời gian ấy thì khối lập phương đã di chuyển sang phía phải. Hình minh họa cho hiện tượng được biết đến đó là sự quay Terrell hoặc hiệu ứng Terrell–Penrose.
Một ví dụ khác về hình ảnh biểu kiến hiện lên khác lạ so với đo lường từ quan sát của chuyển động siêu sáng (superluminal motion) ở nhiều thiên hà vô tuyến, vật thể BL Lac, quasar, và các thiên thể thiên văn vật lý khác phát ra các tia có vận tốc tương đối tính chứa vật chất dưới một góc hẹp so với tầm nhìn của quan sát viên. Và ảo ảnh quang học xuất hiện khi dường như chùm tia đang chuyển động nhanh hơn so với tốc độ ánh sáng. Ở hình. 1‑14, thiên hà M87 phóng ra chùm các hạt hạ nguyên tử với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng hướng về Trái Đất, nhưng hiệu ứng quay Penrose–Terrell khiến cho chùm tia dường như hiện lên đang chuyển động ngang so với hướng quan sát tương tự như hình ảnh hiện lên của khối lập phương trong hình. 1‑13 đã bị kéo dãn ra.
Các hệ quả rút ra từ phép biến đổi Lorentz

Từ phép biến đổi Lorentz rút ra được một số hệ quả quan trọng trong thuyết tương đối hẹp. Những hệ quả này, và do vậy là thuyết tương đối hẹp, dẫn đến những tiên đoán vật lý khác hẳn so với cơ học Newton khi các vận tốc trở lên đáng kể so với tốc độ ánh sáng. Tốc độ ánh sáng rất lớn so với những cảm nhận hàng ngày của con người dẫn đến một số hệ quả của thuyết tương đối ban đầu dường như là phản trực giác.
Các hệ quả rút ra từ phép biến đổi Lorentz > Tính tương đối của sự đồng thời

Thuyết tương đối hạn chế khái niệm của sự đồng thời cho các sự kiện nhìn từ một hệ quy chiếu Galilleo: nếu hai sự kiện xảy ra đồng thời trong  {\mathcal {R}}, ở hai điểm khác nhau thuộc  {\mathcal {R}}, thì nói chung, chúng sẽ không còn xảy ra đồng thời trong hệ quy chiếu  {\mathcal {R'}} chuyển động đều so với  {\mathcal {R}}.
Phép biến đổi Lorentz có thể giải thích được điều này: về mặt tổng quát chúng ta có  \ \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}), do vậy nếu  \ \Delta t=0 trong hệ quy chiếu  {\mathcal {R}}, thì trong hệ quy chiếu  {\mathcal {R'}} chúng ta có  \Delta t'=-\gamma v\Delta x/c^{2}\neq 0 nếu  \ \Delta x\neq 0.
Chú ý rằng nếu trong  {\mathcal {R}} đoạn thẳng nối hai điểm vuông góc với phương của vận tốc của hai hệ quy chiếu, tức là  \ \Delta x=0, nhưng  \ \Delta y\neq 0 và /hoặc  \ \Delta z\neq 0, thì hai sự kiện xảy ra đồng thời trong hai hệ quy chiếu đang xét đến. Trên đây là ví dụ chỉ ra sự tương đối về kết quả trong phép đo giữa hai hệ quy chiếu, có những hiệu ứng khác nhau giữa hướng song song với hướng vận tốc chuyển động của hai hệ và hướng vuông góc với hướng vận tốc này.
Các hệ quả rút ra từ phép biến đổi Lorentz > Sự giãn thời gian

Bài chi tiết: Sự giãn thời gian
Khoảng thời gian giữa hai sự kiện trong một hệ quy chiếu được đo sẽ có giá trị khác khi nó được đo trong một hệ quy chiếu khác đang chuyển động tương đối với hệ thứ nhất. Một đồng hồ đặt trong hệ quy chiếu chuyển động sẽ chạy chậm hơn một đồng hồ giống hệt như nó nhưng đặt trong hệ quy chiếu đứng yên so với hệ quy chiếu nay.
Ives và Stilwell đã thực hiện các thí nghiệm (1938, 1941) với mục đích xác nhận hiệu ứng giãn thời gian do tác động bởi chuyển động theo như đề xuất của Einstein về hiệu ứng Doppler trong tia anode có thể là một thí nghiệm phù hợp để đo hiệu ứng giãn thời gian. Các thí nghiệm này đo dịch chuyển Doppler của bức xạ phát ra từ tia âm cực, khi quan sát trực diện hoặc từ phía đằng sau chùm tia. Các tần số thấp và cao phát hiện được không thể giải thích được từ lý thuyết cổ điển
Có một thí nghiệm tưởng tượng trong đó có hai anh em sinh đôi, một người bước lên tàu vũ trụ rồi bay với vận tốc lớn sau đó một vài năm trở lại nhà gặp lại người kia trên Trái Đất thì người trên Trái Đất có tuổi nhiều hơn. Kết quả này dường như tạo ra một nghịch lý, bởi vì mỗi người đều có thể coi người kia đang chuyển động so với họ, và do vậy, theo như sự áp dụng không đúng và ngây thơ của hiệu ứng giãn thời gian và nguyên lý tương đối, mỗi người sẽ cho lập luận mang tính nghịch lý về tuổi của người còn lại ít hơn so với mình. Tuy vậy, kịch bản này có thể lý giải trong phạm vi khuôn khổ của thuyết tương đối hẹp: quỹ đạo của con tàu của người ở trong tàu bao gồm hai hệ quy chiếu quán tính khác nhau, một cho hành trình đi xa và một cho hành trình trở về, và do đó không có sự đối xứng ở biểu đồ không thời gian của cặp song sinh này. Do vậy, nghịch lý cặp song sinh không phải là "nghịch lý" mang nghĩa mâu thuẫn về logic.
Các hệ quả rút ra từ phép biến đổi Lorentz > Co ngắn chiều dài

Bài chi tiết: co ngắn chiều dài
Giả sử có một thước có chiều dài L nằm yên trong hệ  {\mathcal {R'}}, đặt cùng hướng với hướng chuyển động của hệ tọa độ  {\mathcal {R'}} so với  {\mathcal {R}} mà thực hiện phép đo trong hệ này, vượt qua, một thước đo đứng yên khác nằm trong hệ  {\mathcal {R}}. Kết quả sẽ cho chiều dài nhỏ hơn L: trong hệ quy chiếu  {\mathcal {R}}, thước ở hệ  {\mathcal {R'}} đang chuyển động và có chiều dài đo được ngắn hơn so với một thước giống hệt đặt trong  {\mathcal {R}}.
Phép biến đổi Lorentz ở đây được áp dụng cho trục (ox) với các hệ số  \beta ={\frac {v}{c}} và  \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}>1:
Đối với phép đo thực hiện trong hệ  {\mathcal {R}}, ta có  \Delta t=0, và ta thu được  L=\Delta x'=\gamma \Delta x\,\Rightarrow \,L'=\Delta x=\gamma ^{-1}L\,<\,L
Chú ý rằng  \ \Delta y'=\Delta y và  \ \Delta z'=\Delta z: phép đo độ dài của thước đặt vuông góc với hướng chuyển động của hai hệ tọa độ sẽ cho kết quả chiều dài không đổi.
Có thể chỉ ra sự không đồng thời ở hai điểm đầu cuối của thước đo khi xác định từ hệ quy chiếu khác:  c\Delta t'=-\gamma \beta \Delta x\,\neq 0, cho phép nói rằng khi nhìn từ một hệ quy chiếu đang chuyển động, các kết quả của phép đo thước kẻ đứng yên trong một hệ sẽ khác với kết quả đo ở hệ kia.
Giống như trường hợp đồng hồ chạy chậm trong hệ quy chiếu chuyển động, có một số nghịch lý xuất hiện từ hiệu ứng co ngắn độ dài. Một trong những nghịch lý nổi tiếng liên quan đến hiệu ứng này đó là nghịch lý mô tả về chiếc xe đi vào garage có chiều dài ngắn hơn nó, nếu nó chuyển động rất nhanh: xem nghịch lý cái thang (hay còn gọi là nghịch lý đoàn tàu, nghịch lý xe con).
Các hệ quả rút ra từ phép biến đổi Lorentz > Khoảng không thời gian giữa hai sự kiện

Bài chi tiết: Không thời gian
Lý thuyết tương đối tính có thể gây ấn tượng (như tên gọi của nó) về tính tương đối của phép đo khi nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính nào đang được tham chiếu đến. Tuy nhiên, thuyết tương đối hẹp cũng tập trung vào đại lượng có tính bất biến khi thực hiện chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu. Ở đây tính bất biến của khoảng không thời gian giữa hai sự kiện là một đặc điểm cơ bản của thuyết tương đối tính.
Trong một hệ quy chiếu, một sự kiện được đặc trưng bởi các khoảng tọa độ "không gian" của nó: "ở thời điểm và vị trí tức thời". Hai sự kiện có các tọa độ tương ứng (x1, y1, z1, t1) và (x2, y2, z2, t2) cách nhau bởi "khoảng không thời gian" định nghĩa bằng
Viết đơn giản hơn thành
Đại lượng  \ \Delta s^{2}, gọi là "bình phương của khoảng không thời gian", là một bất biến tương đối tính: giá trị của nó không phụ thuộc vào lựa chọn các hệ quy chiếu quán tính để xác định giá trị của nó, thật vậy bằng phép biến đổi Lorentz chứng tỏ được  \ c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}=c^{2}\Delta t'~^{2}-\Delta x'~^{2}-\Delta y'~^{2}-\Delta z'~^{2}
Bởi vì sự có mặt của dấu " - " trong công thức "bình phương" này, nó có thể mang giá trị dương hoặc âm: tên gọi "bình phương" chỉ mang ý nghĩa quy ước. Điều này khác biệt hoàn toàn so với bình phương khoảng cách Euclid, mà luôn luôn cho kết quả không âm: các đại lượng  \ \Delta t^{2} và  \ \Delta l^{2} là các bình phương "thực", luôn dương.
Dấu của bất biến không thời gian Δs2 cho phép phân loại hai kiểu sự kiện so với nhau, bằng sử dụng khái niệm nón ánh sáng, sự phân loại này có ý nghĩa tuyệt đối tương ứng với khả năng chúng có liên hệ nhân quả với nhau hay không.
Thời gian và không gian đóng vai trò đối xứng trong khoảng không thời gian, làm cho chúng có ý nghĩa khi thực hiện cùng một phép đo. Đây là điểm để đưa đến chấp nhận định nghĩa mới về tốc độ ánh sáng, mà có thể cố định ở giá trị bất kỳ, tạo nên sự tương đương giữa độ dài và thời gian, cho phép định nghĩa lại mét theo giây. Cụ thể hơn, vì tốc độ ánh sáng là đại lượng bất biến giữa các hệ quy chiếu khác nhau, ta có thể đo khoảng cách hoặc thời gian theo đơn vị cm hoặc giây.
Các hệ quả rút ra từ phép biến đổi Lorentz > Thời gian riêng

Thời gian riêng của một đồng hồ là thời gian trôi qua với tốc độ bằng tốc độ hiển thị của nó. Thời gian riêng của một hạt là thời gian riêng của đồng hồ gắn với nó, nó là thời gian trôi qua trong một hệ quy chiếu mà hạt đứng yên. Bởi vì "thời gian trôi chậm hơn ở đồng hồ chuyển động", một quan sát viên (ít nhất là trong hệ quy chiếu quán tính) đang chuyển động ước tính rằng thời gian của đồng hồ bị chậm lại so với thời gian riêng của nó, trừ khi là quan sát viên đứng yên so với đồng hồ. Thời gian riêng của một hệ quy chiếu được ký hiệu chung là  \ \tau .
Trong hệ quy chiếu quán tính đứng yên, thời gian riêng trôi qua của hạt  \ \Delta \tau  và hiệu các tọa độ không gian của nó bằng 0  \ \Delta x_{0}=\Delta y_{0}=\Delta z_{0}=0, và khi quan sát từ các hệ quy chiếu khác các hiệu số này bằng  \Delta t và  \Delta x;\ \Delta y;\ \Delta z. Vì sự bất biến của bình phương khoảng không thời gian, ta có  \ \Delta s^{2}=c^{2}.\Delta \tau ^{2}=c^{2}.\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}, do vậy  \ \Delta \tau ={\frac {\Delta s}{c}}: thời gian riêng và khoảng không thời gian sai khác nhau bởi hệ số  1 \over c, ít nhất bởi vì thời gian riêng là đại lượng bất biến khi thay đổi giữa các tọa độ.
Và giống như  \ c^{2}.\Delta \tau ^{2}=c^{2}.\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}>0, do vậy  \Delta \tau =\Delta t.{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}<\Delta t với  {\vec {v}}=\left({{\Delta x} \over {\Delta t}};{{\Delta y} \over {\Delta t}};{{\Delta z} \over {\Delta t}}\right) là vận tốc của chuyển động đều tương đối giữa hai hệ quy chiếu, như được tìm thấy trực tiếp từ phép biến đổi Lorentz.
Vì  \Delta \tau <\Delta t, thời gian riêng  \Delta \tau  ngắn hơn thời gian  \Delta t của hệ quy chiếu gắn với quan sát viên thực hiện phép đo: nó là hiệu ứng đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn.
Chú ý rằng một hạt chuyển động với tốc độ ánh sáng sẽ không có thời gian riêng của nó, hoặc thời gian riêng của nó không có sự trôi đi:  v=c\ {,}\ \Delta \tau =\Delta t.{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\Rightarrow \Delta \tau =0. Hạt chuyển động với tốc độ bằng tốc ánh sáng và không có thời gian riêng, thì nó sẽ có tính chất là khối lượng của nó bằng 0.
Có một điểm đặc biệt ở đây đó là tuyến thế giới của hạt đứng yên sẽ không còn là một điểm nữa mà sẽ là một đoạn thẳng vuông góc với trục x. Thật vậy, nếu một hạt không chuyển động (x = constant) thì thời gian sẽ vẫn tiếp tục trôi trong khoảng thời gian đang xét đến!
Biểu đồ Minkowski cho hệ quy chiếu quán tinh. Đường màu vàng là quỹ đạo của photon x = ct, với c = tốc độ ánh sáng.
Biểu diễn 3 hệ quy chiếu khác nhau: hai hệ tô màu (x'; ct' và x"; ct") đang chuyển động so với hệ trục (x; ct).
Biểu diễn thời gian riêng của hạt với thời gian của hệ quy chiếu.
Nếu một đoạn thẳng trên biểu đồ biểu diễn chuyển động với vận tốc đều, trong trường hợp tổng quát nó là đường cong biểu diễn chuyển động của một hạt.
Biểu đồ không thời gian

Trong cơ học Newton, không gian tách biệt khỏi thời gian và chúng ta nghiên cứu chuyển động của một hạt như là hàm số của thời gian tuyệt đối. Có thể biểu diễn bằng đồ thị quỹ đạo trong không gian, nhưng khó bao gồm cả thời gian, và các quỹ đạo như vậy có hình dạng đường thẳng hoặc elip.
Trong thuyết tương đối hẹp sự kiện được miêu tả bằng không thời gian bốn chiều, gồm ba chiều không gian và một chiều thời gian, do vậy hầu như không thể biểu diễn được đường cong chứa các sự kiện nối tiếp nhau phản ánh chuyển động của hạt ở cả đủ bốn chiều không gian và thời gian. Đường cong này được gọi là tuyến thế giới (world line) của hạt. Để khắc phục sự khó khăn gặp phải khi biểu diễn ở cả bốn chiều, các nhà vật lý thường chỉ giới hạn biểu diễn trong hai chiều, một chiều không gian và một chiều thời gian. Hay nói cách khác, chỉ có chuyển động dọc theo trục x là được xét tới, các tọa độ theo trục y và z là không thay đổi. Sự biến đổi chỉ còn lại ở tọa độ x và t, do đó có thể vẽ ra quỹ đạo trong hệ tọa độ Descartes hai chiều của không thời gian: hay tuyến thế giới của hạt.
Đoạn thẳng giữa thời điểm "xuất phát" và "đến nơi" dọc theo trục thời gian biểu diễn tuyến thế giới của Trái Đất, mà tọa độ không gian bằng 0, không bị biến đổi. Đường cong biểu diễn trình tự các sự kiện liên tiếp nhau của hành trình tên lửa. Tọa đọ cong cho phép xác định vị trí của một điểm trên đường cong này chính là thời gian riêng của tên lửa, đo bởi đồng hồ gắn trên tên lửa.
Công thức tương đối tính cho thấy thời gian riêng dọc theo quỹ đạo cong ngắn hơn thời gian riêng dọc theo quỹ đạo của hệ tọa độ Descartes (ở đây biểu diễn thời gian trên Trái Đất). Hiện tượng này là cơ sở để giải thích nghịch lý anh em sinh đôi. Một người lên tàu vũ trụ đi đến một nơi xa rồi quay trở lại với vận tốc gần bằng tốc độ ánh sáng (mặc dù thực tế khó đạt được, nhưng có thể tưởng tượng bằng thí nghiệm suy tưởng) trong khi người kia ở lại Trái Đất. Khi trở về đến nhà, người du hành có tuổi trẻ hơn người ở trên Trái Đất.