Đại số
Ứng dụng

Xem thêm: Toán học ứng dụng
Đại số có tầm ảnh hưởng rất rộng rãi cả trong toán học và trong ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác. Đại số hóa toán học là quá trình áp dụng phương pháp và nguyên lý đại số cho các nhánh toán học khác như hình học, tô pô, lý thuyết số và vi tích phân. Việc này được thực hiện bằng cách sử dụng ký hiệu dưới dạng biến số để biểu diễn tri thức toán học ở cấp độ tổng quát hơn, cho phép các nhà toán học phát triển mô hình hình thức để mô tả cách mà các đối tượng tương tác và liên hệ lẫn nhau.
Một ứng dụng có trong hình học là sử dụng phát biểu đại số để mô tả các đối tượng hình học. Ví dụ, phương trình  y=3x-7 biểu diễn một đường thẳng trong không gian hai chiều còn phương trình  x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 biểu diễn một mặt cầu trong không gian ba chiều. Hình học đại số đặc biệt chú ý đến đa tạp đại số, tập nghiệm của hệ phương trình đa thức vốn có thể được sử dụng để mô tả các đối tượng hình học phức tạp. Lập luận đại số còn có thể giúp giải quyết các bài toán hình học. Chẳng hạn ta có thể xác định vị trí tương đối và giao điểm giữa đường thẳng có phương trình  y=x+1 và đường tròn có phương trình  x^{2}+y^{2}=25 bằng cách giải hệ gồm hai phương trình đã nêu. Tô pô học nghiên cứu tính chất của đối tượng hình học hoặc không gian tô pô vốn luôn bất biến dưới các phép toán biến đổi liên tục. Tô pô đại số dựa vào các lý thuyết đại số như lý thuyết nhóm để phân lớp không gian tô pô. Ví dụ, nhóm đồng luân phân lớp không gian tô pô dựa trên sự tồn tại nút hoặc lỗ trong chúng.
Lý thuyết số quan tâm đến tính chất và quan hệ giữa các số nguyên. Lý thuyết số đại số ứng dụng các phương pháp và nguyên lý của đại số trong lĩnh vực tra vấn này, chẳng hạn như dùng biểu thức đại số để mô tả các luật tổng quát như định lý lớn Fermat hay áp dụng cấu trúc đại số để phân tích dáng điệu của các số, ví dụ như vành số nguyên. Một lĩnh vực liên quan là toán học tổ hợp sử dụng kỹ thuật đại số để giải quyết những bài toán liên quan đến đếm, sắp xếp và tổ hợp các đối tượng rời rạc. Một ví dụ trong đại số tổ hợp là ứng dụng lý thuyết nhóm để phân tích đồ thị và đối xứng. Kiến thức đại số cũng có ý nghĩa đối với vi tích phân, vốn sử dụng biểu thức toán học để khảo sát tốc độ thay đổi và tích lũy của đại lượng. Vi tích phân phụ thuộc vào đại số để hiểu được cách biến đổi các biểu thức đó và vai trò của biến số trong chúng, chẳng hạn. Logic đại số áp dụng các phương pháp của đại số để mô tả và phân tích các cấu trúc và quy luật nền tảng cho luận cứ logic, khám phá bản thân các cấu trúc toán học và ứng dụng của chúng trong những vấn đề logic cụ thể. Logic đại số bao gồm tìm hiểu đại số Boole để mô tả logic mệnh đề cũng như việc tạo thành và phân tích cấu trúc đại số ứng với các hệ logic phức tạp.
Phương pháp đại số cũng được sử dụng phổ biến trong các lĩnh vực khác, chẳng hạn như khoa học tự nhiên. Một ví dụ là chúng được áp dụng để diễn đạt các định luật và giải phương trình trong vật lý, hóa học và sinh học. Kinh tế học, địa lý, kỹ thuật (bao gồm điện tử học và robot học) và khoa học máy tính cũng có ứng dụng tương tự nhằm diễn đạt các mối quan hệ, giải quyết vấn đề và mô hình hóa hệ thống. Đại số tuyến tính đóng vai trò quan trọng trong trí tuệ nhân tạo và học máy nhờ cho phép xử lý và phân tích các tập dữ liệu lớn một cách hiệu quả chẳng hạn. Một số lĩnh vực có phụ thuộc vào các cấu trúc do đại số trừu tượng khảo sát. Các môn khoa học vật lý như tinh thể học và cơ học lượng tử áp dụng lý thuyết nhóm rất nhiều, và lý thuyết nhóm cũng được ứng dụng để nghiên cứu các câu đố như Sudoku và lập phương Rubik, cũng như origami. Lý thuyết mã hóa và mật mã học dựa vào đại số trừu tượng để giải quyết các vấn đề liên quan đến truyền dữ liệu, bao gồm giảm thiểu tác động từ tiếng ồn và bảo đảm bảo mật dữ liệu.