Đại số
Lịch sử

Bài chi tiết: Lịch sử đại số
Nguồn gốc đại số đến từ những nỗ lực giải quyết bài toán liên quan đến tính toán số học và đại lượng chưa biết. Các tiến trình này diễn ra trong thời cổ đại ở nền văn minh cổ Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc và Ấn Độ. Một trong những tài liệu lâu đời nhất về bài toán đại số là cuộn giấy Rhind của Ai Cập cổ đại, viết vào khoảng năm 1650 TCN. Văn bản này có nội dung về nghiệm của phương trình tuyến tính như được diễn đạt trong các bài toán như "Một đại lượng; một phần tư được thêm vào nó. Nó thành mười lăm. Hỏi đại lượng đó bằng mấy?" Các phiến đất sét Babylon từ cùng khoảng thời gian này đã giải thích một số phương pháp giải phương trình tuyến tính và đa thức bậc hai, ví dụ như phương pháp phần bù bình phương.
Nhiều trong số vốn hiểu biết trên được lan truyền đến Hy Lạp cổ đại. Từ thế kỷ 6 TCN, người Hy Lạp quan tâm chủ yếu đến hình học thay vì đại số nhưng đã áp dụng phương pháp đại số để giải bài toán hình học. Chẳng hạn, họ đã nghiên cứu các đối tượng hình học với kích thước và diện tích là đại lượng chưa biết cần xác định, như được minh họa trong phát biểu phương pháp hiệu hai số chính phương của Pythagoras và bộ Cơ sở của Euclid sau đó. Vào thế kỷ 3 CN, Diophantus đưa ra luận bàn chi tiết về cách giải phương trình đại số trong một bộ sách có tên Arithmetica. Ông là người đầu tiên thử nghiệm ký hiệu biểu tượng để biểu diễn đa thức. Tác phẩm của Diophantus đã truyền cảm hứng cho sự phát triển của đại số Ả Rập với nhiều phương pháp từ ông được phản ánh ở các khái niệm và kỹ thuật áp dụng trong đại số Ả Rập trung cổ. Tại Trung Hoa cổ đại, Cửu chương toán thuật, một quyển sách được biên soạn trong giai đoạn từ thế kỷ 10 TCN đến thế kỷ 2 CN, đã khám phá nhiều kỹ thuật giải phương trình đại số bao gồm ý tưởng tương tự như xây dựng ma trận ngày nay.
Những bước phát triển sớm trên có phải là bộ phận hay chỉ là tiền thân của đại số vẫn chưa có sự đồng thuận. Chúng nhằm đưa ra lời giải cho các bài toán đại số nhưng không thể nhận thức những bài toán đó theo cách trừu tượng và tổng quát, mà chỉ tập trung vào các trường hợp và ứng dụng cụ thể. Điều này đã thay đổi khi nhà toán học Ba Tư al-Khwārizmī cho xuất bản Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân bằng vào năm 825 CN. Cuốn sách này trình bày luận bàn chi tiết đầu tiên về các phương pháp chung có thể được áp dụng để biến đổi phương trình bậc nhất và bậc hai bằng cách "giảm trừ" và "cân bằng" hai vế. Một số đóng góp quan trọng khác cho đại số đến từ nhà toán học Ả Rập Thābit ibn Qurra cũng vào thế kỷ 9 và nhà toán học Ba Tư Omar Khayyám vào thế kỷ 11 và 12.
Tại Ấn Độ, Brahmagupta đã nghiên cứu cách thức giải phương trình bậc hai và hệ phương trình nhiều ẩn từ thế kỷ 7 và lần đầu tiên sử dụng số không và số âm trong phương trình đại số. Các phương pháp và khái niệm từ Brahmagupta về sau được hoàn thiện hơn nữa bởi nhà toán học Mahāvīra vào thế kỷ 9 và Bhāskara II ở thế kỷ 12. Năm 1247, nhà toán học Trung Quốc Tần Cửu Thiều chắp bút Số thư Cửu chương trong đó nêu một thuật toán để tính giá trị của đa thức, bao gồm đa thức bậc cao.
François Viète (trái) và René Descartes đã phát minh hệ ký hiệu biểu tượng để biểu diễn phương trình một cách trừu tượng và súc tích.
Nhà toán học người Ý Fibonacci là người mang các ý tưởng và kỹ thuật của al-Khwārizmī sang châu Âu trong nhiều đầu sách, trong đó gồm tác phẩm Liber Abaci của mình. Năm 1545, học giả Ý Gerolamo Cardano xuất bản Ars Magna, một tác phẩm có nội dung bao hàm nhiều chủ đề trong đại số, có bàn luận về số ảo và là tác phẩm đầu tiên trình bày phương pháp khái quát để giải phương trình bậc ba và bậc bốn. Trong thế kỷ 16 và 17, hai nhà toán học người Pháp François Viète và René Descartes cho ra đời chữ cái và biểu tượng để ký hiệu biến số và phép toán, giúp việc biểu diễn phương trình trở nên trừu tượng và súc tích hơn thay vì lệ thuộc vào mô tả bài toán và lời giải bằng câu chữ như trước. Một số nhà sử học xem đây là bước ngoặt trong lịch sử đại số và xem giai đoạn trước đó là tiền sử đại số do bị thiếu vắng bản chất trừu tượng dựa trên biến đổi ký hiệu.
Thế kỷ 17 và 18 chứng kiến nhiều cố gắng để tìm ra nghiệm tổng quát cho đa thức bậc năm trở lên, nhưng tất cả đều thất bại. Cuối thế kỷ 18, nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss chứng minh định lý cơ bản của đại số, vốn chỉ ra sự tồn tại nghiệm số của đa thức bậc tùy ý mà không đưa ra công thức nghiệm tổng quát nào. Đầu thế kỷ 19, nhà toán học Ý Paolo Ruffini và nhà toán học Na Uy Niels Henrik Abel chứng minh được rằng nghiệm tổng quát cho đa thức bậc năm trở lên không tồn tại. Không lâu sau phát kiến của hai người, nhà toán học Pháp Évariste Galois đã phát triển cái về sau được gọi là lý thuyết Galois nhằm đưa ra phân tích chi tiết hơn về nghiệm của đa thức cũng như đồng thời đặt nền móng cho lý thuyết nhóm. Giới toán học sớm nhận ra mối liên quan giữa lý thuyết nhóm với các lĩnh vực khác và áp dụng nó cho các bộ môn như hình học và lý thuyết số.
Từ giữa thế kỷ 19, mối quan tâm chủ yếu của đại số chuyển hướng từ nghiên cứu về đa thức gắn với đại số sơ cấp sang tra vấn tổng quát hơn về các cấu trúc đại số, đánh dấu sự xuất hiện đại số trừu tượng. Cách tiếp cận này khai phá cơ sở tiên đề của các phép toán đại số bất kỳ. Gắn liền với quá trình phát triển nói trên là việc phát minh các hệ đại số mới dựa trên những phép toán và phần tử khác nhau như đại số Boole, đại số vectơ và đại số ma trận. Các nhà toán học người Đức David Hilbert, Ernst Steinitz và Emmy Noether cũng như nhà toán học người Áo Emil Artin là những người làm nên tiến triển ban đầu có tầm ảnh hưởng trong đại số trừu tượng, khi họ đã nghiên cứu các dạng cấu trúc đại số khác nhau và phân chia thành nhiều loại dựa trên tiên đề làm cơ sở cho chúng như nhóm, vành và trường.
Ý tưởng về hướng tiếp cận tổng quát hơn nữa gắn với đại số phổ dụng do nhà toán học người Anh Alfred North Whitehead hình thành trong cuốn sách A Treatise on Universal Algebra năm 1898, sau đó được nhà toán học người Mỹ Garrett Birkhoff mở rộng thêm với nhiều khái niệm cốt lõi của lĩnh vực được phát triển từ thập niên 1930. Sự phát minh của đại số phổ dụng dẫn đến nhiều lĩnh vực mới ra đời tập trung vào đại số hóa toán học – tức là áp dụng các phương pháp đại số cho các nhánh toán học khác. Đại số tô pô xuất hiện vào đầu thế kỷ 20 nhằm tìm hiểu các cấu trúc đại số như nhóm tô pô và nhóm Lie. Đại số đồng điều nổi lên vào thập niên 1940 và 1950, ứng dụng các kỹ thuật đại số để nghiên cứu tính đồng điều. Cùng khoảng thời gian đó, lý thuyết phạm trù được triển khai và sau này đóng vai trò chủ chốt trong nền tảng toán học. Ngoài ra, lý thuyết mô hình và nghiên cứu về đại số tự do là những bước phát triển quan trọng khác.