Giá trị riêng và vectơ riêng
Giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận > Không gian con riêng, số bội hình học và cơ sở riêng của ma trận

Cho một giá trị riêng cụ thể λ của một ma trận A cỡ n × n. Định nghĩa E là tập hợp tất cả vectơ v thỏa mãn Phương trình (2),
Mặt khác, tập hợp này chính là hạt nhân của ma trận (A − λI). Lại có, theo định nghĩa, bất kỳ một vectơ khác vectơ không nào thỏa mãn điều kiện này là một vectơ riêng của A tương ứng với λ. Vì thế, tập hợp E là hợp của vectơ không với tập hợp tất cả vectơ riêng của A tương ứng với λ, và E bằng tập hợp hạt nhân của (A − λI). E được gọi là không gian con riêng hay không gian con đặc trưng của A tương ứng với giá trị riêng λ. Tổng quát, λ là một số phức và các vectơ riêng là các ma trận cột n × 1 phức. Một tính chất của hạt nhân là nó cũng là một không gian con tuyến tính, nên E là một không gian con của ℂn.
Bởi không gian con riêng E là một không gian con tuyến tính, nó là đóng đối với phép cộng. Tức là, nếu hai vectơ u và v thuộc tập E, được viết là u, v ∈ E, thì vectơ tổng (u + v) ∈ E, hay tương đương là A(u + v) = λ(u + v): với cùng λ, tổng của hai vectơ riêng cũng là một vectơ riêng. Có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng tính phân phối của phép nhân ma trận. Tương tự, vì E là không gian con tuyến tính nên nó đóng đối với phép nhân vô hướng. Tức là, nếu v ∈ E và α là một số phức, ta có (αv) ∈ E hay tương đương là A(αv) = λ(αv): mỗi vectơ song song với một vectơ riêng cũng là một vectơ riêng. Có thể kiểm tra điều này bằng cách chú ý rằng phép nhân vô hướng của các số phức với ma trận phức có tính giao hoán. Vậy tóm lại nếu các vectơ u + v và αv khác vectơ không thì chúng cũng là các vectơ riêng của A tương ứng với λ.
Số chiều của không gian con riêng E ứng với giá trị riêng λ, hay số vectơ riêng độc lập tuyến tính tối đa ứng với λ, được gọi là số bội hình học γA(λ) của giá trị riêng đó. Bởi E còn là hạt nhân của (A − λI), số bội hình học của λ cũng là số chiều của hạt nhân, hay còn gọi là số vô hiệu của ma trận (A − λI), được liên hệ với kích thước và hạng của (A − λI) bởi
Bởi theo định nghĩa của giá trị riêng và vectơ riêng, số bội hình học của một giá trị riêng phải ít nhất bằng 1, tức là ứng với mỗi giá trị riêng có ít nhất một vectơ riêng. Hơn nữa, số bội hình học của một vectơ riêng không thể vượt quá số bội đại số của nó. Ngoài ra, nhớ lại rằng số bội đại số của một giá trị riêng không thể vượt quá n:
Để chứng minh bất đẳng thức  \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda ), trước tiên thấy rằng từ định nghĩa số bội hình học suy ra được sự tồn tại của  \gamma _{A}(\lambda ) các vectơ riêng trực chuẩn  {\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )} sao cho  A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}. Vì thế ta có thể tìm được một ma trận (unita)  V với  \gamma _{A}(\lambda ) cột đầu tiên là các vectơ riêng này, và các cột còn lại là một tập hợp trực chuẩn gồm  n-\gamma _{A}(\lambda ) vectơ và chúng trực giao với các vectơ riêng của  A. Vì vậy  V có hạng đầy đủ tức là nó khả nghịch, và  AV=VD với  D là ma trận mà khối ở phía trên bên trái là ma trận đường chéo  \lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}. Từ đẳng thức này ta có  (A-\xi I)V=V(D-\xi I). Nói cách khác,  A-\xi I đồng dạng với  D-\xi I, suy ra rằng  \det(A-\xi I)=\det(D-\xi I). Nhưng từ định nghĩa của  D ta biết rằng  \det(D-\xi I) có một nhân tử  (\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )},có nghĩa là số bội đại số của  \lambda  phải thỏa mãn  \mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda ).
Giả sử  A có  d\leq n các giá trị riêng phân biệt  \lambda _{1},...,\lambda _{d}, trong đó số bội hình học của  \lambda _{i} là  \gamma _{A}(\lambda _{i}). Ta có số bội hình học tổng cộng của  A,
là số chiều của tổng của các không gian riêng của tất cả các giá trị riêng của  A, hay tương đương là số vectơ riêng độc lập tuyến tính tối đa của  A. Nếu  \gamma _{A}=n thì
Tổng trực tiếp của các không gian riêng của tất cả giá trị riêng  A là toàn bộ không gian vectơ  \mathbb {C} ^{n}.
Một cơ sở của  \mathbb {C} ^{n} có thể được tạo ra từ  n vectơ riêng độc lập tuyến tính của  A; một cơ sở như vậy được gọi là cơ sở riêng
Mọi vectơ trong  \mathbb {C} ^{n} có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng của  A.