stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Spice (album)

Album phòng thu năm 1996 của Spice GirlsBản mẫu:SHORTDESC:Album phòng thu năm 1996 của Spice Girls
Spice là album phòng thu đầu tay của nhóm nhạc nữ Anh quốc Spice Girls, phát hành ngày 19 tháng 9 năm 1996 bởi Virgin Records. Được thu âm từ năm 1995 đến năm 1996 tại London, nhóm đồng sáng tác tất cả các bài hát và hợp tác với những nhà sản xuất như Matt Rowe, Eliot Kennedy và Richard Stannard, bên cạnh đội sản xuất Absolute. Trong quá trình thực hiện, Spice Girls trải qua nhiều mâu thuẫn về định hướng phát triển với công ty quản lý Heart Management, trước khi họ rời đi và mời Simon Fuller làm người quản lý. Spice là một bản thu âm pop kết hợp với phong cách âm nhạc dance, R&B và hip hop, trong đó nội dung ca từ chủ yếu đề cập đến nữ quyền, tình bạn và những mối quan hệ tình cảm. Album theo đuổi thông điệp về Sức mạnh thiếu nữ, và sự cường điệu xung quanh nhóm đã được so sánh với Beatlemania. Đây được xem như một trong những tác phẩm giúp dòng nhạc teen pop phổ biến trở lại, mở đường cho làn sóng những nghệ sĩ trẻ vào cuối thập niên 1990.
Sau khi phát hành, Spice nhận được những phản ứng trái chiều từ các nhà phê bình âm nhạc, những người đánh giá cao thành quả sản xuất nhưng cũng cho rằng phong cách Spice Girls đang theo đuổi là thiếu chiều sâu. Tuy nhiên, album vẫn gặt hái nhiều giải thưởng và đề cử tại những lễ trao giải lớn, bao gồm chiến thắng tại giải thưởng Âm nhạc Billboard năm 1997 cho Album Billboard 200 hàng đầu và giải thưởng Âm nhạc Mỹ năm 1998 cho Album Pop/Rock được yêu thích. Spice cũng gặt hái những thành công vang dội về mặt thương mại, đứng đầu các bảng xếp hạng tại hơn 17 quốc gia, bao gồm những thị trường lớn như Canada, Pháp, Tây Ban Nha, Thụy Sĩ và Vương quốc Anh. Album đạt vị trí số một trên bảng xếp hạng Billboard 200 tại Hoa Kỳ trong năm tuần không liên tiếp, trở thành album quán quân duy nhất của Spice Girls và là album bán chạy nhất năm 1997 tại đây. Spice sau đó được chứng nhận bảy đĩa Bạch kim bởi Hiệp hội Công nghiệp Ghi âm Hoa Kỳ (RIAA), công nhận lượng đĩa xuất xưởng đạt bảy triệu bản.
Bốn đĩa đơn đã được phát hành từ Spice, và giúp Spice Girls trở thành nghệ sĩ đầu tiên trong lịch sử có bốn đĩa đơn đầu tay đều đạt ngôi vị quán quân tại Vương quốc Anh. Đĩa đơn đầu tiên "Wannabe" thống trị các bảng xếp hạng ở 31 quốc gia, và là một trong những đĩa đơn bán chạy nhất mọi thời đại. Hai đĩa đơn tiếp theo "Say You'll Be There" và "2 Become 1" lọt vào top 10 ở nhiều thị trường lớn, trong đó "2 Become 1" trở thành đĩa đơn quán quân mùa Giáng sinh đầu tiên của nhóm tại Vương quốc Anh. "Mama" và "Who Do You Think You Are" được phát hành làm đĩa đơn mặt A-đôi, với "Who Do You Think You Are" là đĩa đơn chính thức của tổ chức từ thiện Comic Relief năm 1997. Để quảng bá album, nhóm trình diễn trên nhiều chương trình truyền hình và lễ trao giải lớn, như Saturday Night Live, Top of the Pops, giải Brit năm 1997 và Giải Video âm nhạc của MTV năm 1997. Spice đã bán được hơn 23 triệu bản trên toàn thế giới, trở thành album bán chạy nhất của nhóm nhạc nữ và là một trong những album bán chạy nhất mọi thời đại.
Chứng nhận

| Quốc gia | Chứng nhận | Số đơn vị/doanh số chứng nhận |
| --- | --- | --- |
| Argentina (CAPIF) | 2× Bạch kim | 140,000 |
| Úc (ARIA) | 6× Bạch kim | 420.000^ |
| Áo (IFPI Áo) | Bạch kim | 50.000* |
| Bỉ (BEA) | 3× Bạch kim | 150.000* |
| Brasil (Pro-Música Brasil) | 2× Bạch kim | 500.000* |
| Canada (Music Canada) | Kim cương | 1,300,000 |
| Đan Mạch (IFPI Đan Mạch) | 6× Bạch kim | 120.000‡ |
| Phần Lan (Musiikkituottajat) | Bạch kim | 76,375 |
| Pháp (SNEP) | Kim cương | 1.000.000* |
| Đức (BVMI) | 3× Vàng | 750.000^ |
| Hồng Kông (IFPI Hồng Kông) | Bạch kim | 20.000* |
| Ý (FIMI) | 4× Bạch kim | 400.000* |
| Nhật Bản (RIAJ) | 2× Bạch kim | 718,432 |
| México (AMPROFON) | Vàng | 100.000^ |
| Hà Lan (NVPI) | 3× Bạch kim | 300.000^ |
| New Zealand (RMNZ) | Bạch kim | 15.000^ |
| Na Uy (IFPI) | 2× Bạch kim | 100.000* |
| Ba Lan (ZPAV) | 2× Bạch kim | 200.000* |
| Tây Ban Nha (PROMUSICAE) | 10× Bạch kim | 1,000,000 |
| Thụy Điển (GLF) | 2× Bạch kim | 160.000^ |
| Thụy Sĩ (IFPI) | 2× Bạch kim | 100.000^ |
| Anh Quốc (BPI) | 10× Bạch kim | 3,022,090 |
| Hoa Kỳ (RIAA) | 7× Bạch kim | 7,500,000 |
Tổng hợp
| Châu Âu (IFPI) | 8× Bạch kim | 8.000.000* |
| Toàn cầu | — | 23,000,000 |
 * Chứng nhận dựa theo doanh số tiêu thụ. ^ Chứng nhận dựa theo doanh số nhập hàng. ‡ Chứng nhận dựa theo doanh số tiêu thụ và phát trực tuyến.
Lịch sử phát hành

| Khu vực | Ngày | Định dạng | Phiên bản | Hãng đĩa | Ct>  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Nhật Bản | 19 tháng 9 năm 1996 | CD | Tiêu chuẩn | EMI Music Japan |  |
| Vương quốc Anh | 4 tháng 11 năm 1996 | CD LP cassette | Tiêu chuẩn | Virgin |  |
| Canada | 10 tháng 12 năm 1996 | CD | Tiêu chuẩn | Virgin |  |
| Hoa Kỳ | 4 tháng 2 năm 1997 | CD cassette | Tiêu chuẩn | Virgin |  |
| Hoa Kỳ | 1 tháng 4 năm 1997 | LP | Tiêu chuẩn | Virgin |  |
| Vương quốc Anh | 21 tháng 10 năm 2016 | LP | Tái bản | UMC |  |
| Various | 29 tháng 10 năm 2021 | CD LP cassette tải nhạc số phát trực tuyến | Spice25 | UMC EMI |  |
Tài liệu

Berenguer, Juan de Ribera (1997). Spice Girls. Editorial La Mascara. ISBN 978-8-4797-4236-2.
Canfield, Jack; Hansen, Mark Victor; Geffen, Jo-Ann; Dozier, Lamont (2009). Chicken Soup for the Soul: The Story Behind the Song. Chicken Soup for the Soul. ISBN 978-1-9350-9640-5.
Kutner, Jon; Leigh, Spencer (2005). 1000 UK Number One Hits. Omnibus Press. ISBN 978-1-8444-9283-1.
McGibbon, Rob (1997). Spice Power: The Inside Story. Macmillan Publishers. ISBN 978-0-7522-1142-8.
Sinclair, David (2004). Wannabe: How The Spice Girls Reinvented Pop Fame. Omnibus Press. ISBN 978-0-7119-8643-5.
Spice Girls (1997). Girl Power!. Zone/Chameleon Books. ISBN 978-0-2339-9165-8.
Almoster

Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về .
| Almoster Almoster |
| --- | --- |

 
 Vị trí của Almoster

Quốc gia:  Tây Ban Nha
Vùng
Tỉnh:  Tarragona
Quận (comarca): Baix Camp
Thủ phủ: Reus, Reus
Diện tích
 • Đất liền: 5,95 km2 (230 mi2)
Độ cao: 290 m (950 ft)
Dân số 
 • Tổng cộng: 1.241
 • Mật độ: 208,57/km2 (54,020/mi2)
Múi giờ: UTC+1
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+2)
Mã bưu chính: 43393
Số khu dân cư: 4
Tên gọi dân cư: almosterenc
Website: Página del municipio
Almoster là một đô thị trong comarca Baix Camp, tỉnh Tarragona, cộng đồng tự trị Catalonia, Tây Ban Nha. Dân số năm 2005 là 1.241 người.
Bozbük, Milas

| Bozbük |
| --- | --- |
—  Xã  —
 
BozbükVị trí ở Thổ Nhĩ Kỳ
Quốc gia:  Thổ Nhĩ Kỳ
Tỉnh: Muğla
Huyện: Milas
Dân số (2011)
 • Tổng cộng: 448 người
Múi giờ: UTC+3, Giờ ở Thổ Nhĩ Kỳ
 • Mùa hè (DST): EEST (UTC+3)
Bozbük là một xã thuộc huyện Milas, tỉnh Muğla, Thổ Nhĩ Kỳ. Dân số thời điểm năm 2011 là 448 người.
Chú thích

↑  “Cities, towns and villages in Muğla”. Viện thống kê Thổ Nhĩ Kỳ. Bản gốc lưu trữ ngày 14 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 23 tháng 9 năm 2012.
Lý thuyết biểu diễn

Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách nhóm đối xứng của các đa giác biến đổi đa giác, bao gồm phép phản xạ và phép quay.
Lý thuyết biểu diễn là một nhánh của toán học nghiên cứu các cấu trúc đại số trừu tượng bằng cách biểu diễn các phần tử của chúng dưới dạng biến đổi tuyến tính của các không gian vectơ, cũng như nghiên cứu về mô-đun trên các đối tượng đại số trừu tượng này. Về cơ bản, một biểu diễn cụ thể hoá những cấu trúc đại số trừu tượng bằng cách mô tả các phần tử của chúng bằng ma trận và các toán tử đại số của nó (ví dụ như phép cộng ma trận và phép nhân ma trận). Vì lý thuyết ma trận và toán tử tuyến tính đã được hiểu rõ nên biểu diễn của những cấu trúc trừu tượng hơn thông qua những cấu trúc đại số tuyến tính quen thuộc giúp chắt lọc những tính chất toán học và đôi khi giúp đơn giản hoá những phép tính trên những lý thuyết trừu tượng.
Những cấu trúc đại số nằm trong định nghĩa này bao gồm nhóm, đại số kết hợp và đại số Lie. Trong số đó, nổi bật nhất (và đầu tiên trong lịch sử) là lý thuyết biểu diễn nhóm, trong đó các phần tử của 1 nhóm sẽ được biểu diễn bằng các ma trận khả nghịch sao cho toán tử trên nhóm là phép nhân ma trận.
Lý thuyết biểu diễn là một phương pháp hữu ích vì nó đơn giản hoá những bài toán trong đại số trừu tượng thành những vấn đề vốn đã được hiểu rõ, là những bài toán trong đại số tuyến tính. Ngoài ra, không gian vectơ mà một nhóm (ví dụ) trên đó được biểu diễn có thể tổng quát hoá thành vô hạn chiều, và nếu nó là một không gian Hilbert, những phương pháp giải tích toán học cũng có thể được áp dụng vào lý thuyết nhóm. Lý thuyết biểu diễn đóng vai trọng quan trọng trong vật lý vì nó mô tả ảnh hưởng của các nhóm đối xứng của 1 hệ vật lý lên nghiệm của các phương trình biểu diễn hệ đó.
Lý thuyết biển diễn thâm nhập khắp các lĩnh vực của toán học bởi 2 lý do. Thứ nhất, ứng dụng của lý thuyết biểu diễn rất đa dạng, bên cạnh tác động của nó lên đại số, nó còn:
giải thích và tổng quát hoá giải tích Fourier thông qua giải tích hàm điều hoà,
liên quan với hình học thông qua lý thuyết bất biến và chương trình Erlangen,
tác động đến lý thuyết số thông qua hàm tự đẳng cấu và chương trình Langlands.
Thứ hai, có rất nhiều hướng tiếp cận lý thuyết biểu diễn. Cùng 1 đối tượng có thể được nghiên cứu bằng nhiều phương pháp từ hình học đại số, lý thuyết mô-đun, lý thuyết số giải tích, hình học vi phân, lý thuyết toán tử, tổ hợp đại số và tô pô.
Sự thành công của lý thuyết biểu diễn đã dẫn đến nhiều sự tổng quát hoá. Một trong những kết luận tổng quát nhất là trong lý thuyết phạm trù. Áp dụng lý thuyết biểu diễn, các cấu trúc đại số có thể được xem là một loại phạm trù (category) đặc biệt và các biểu diễn là hàm tử (functor) từ phạm trù của đối tượng đến phạm trù của mô-đun. Định nghĩa này dẫn đến 2 sự tổng quát hoá hiển nhiên: thứ nhất, các cấu trúc đại số có thể được thay thế bởi các phạm trù tổng quát hơn; thứ hai, phạm trù của mô-đun có thể được thay thế bởi những phạm trù khác đã được hiểu rõ hơn.
Định nghĩa và khái niệm

Gọi V là không gian vectơ trên trường F. Lấy ví dụ V là Rn hoặc Cn, lần lượt là không gian chuẩn n-chiều của các vectơ cột trên trường số thực và số phức. Ý tưởng của lý thuyết biểu diễn là cụ thể hoá đại số trừu tượng trong ví dụ này bằng cách sử dụng ma trận vuông n × n của số thực hoặc số phức.
Có 3 loại cấu trúc đại số có thể được sử dụng: nhóm, đại số kết hợp, và đại số Lie:
Tập hợp mọi ma trận khả nghịch n × n là nhóm với phép nhân ma trận, lý thuyết biểu diễn nhóm phân tích 1 nhóm bằng cách mô tả ("biểu diễn") các phần tử của nó dưới dạng ma trận khả nghịch.
Phép cộng và phép nhân ma trận biến tập hợp mọi ma trận n × n thành một đại số kết hợp, do đó tồn tại một lý thuyết biểu diễn đại số kết hợp tương ứng.
Nếu phép nhân ma trận MN được thay thế bằng giao hoán tử ma trận MN - NM, khi đó các ma trận n × n trở thành 1 đại số Lie, dẫn đến lý thuyết biểu diễn đại số Lie.
Khi tổng quát hoá cho mọi trường F và mọi không gian vectơ V trên F, ma trận được thay thế bằng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ma trận được thay thế bằng hàm hợp: tồn tại 1 nhóm GL(V,F) là nhóm tự đẳng cấu của V, 1 đại số kết hợp EndF(V) của mọi phép tự đồng cấu trên V, và 1 đại số Lie gl(V,F) tương ứng.
Định nghĩa và khái niệm > Định nghĩa

Có 2 cách định nghĩa 1 biểu diễn. Cách thứ nhất dùng ý tưởng từ phép đồng cấu nhóm, tổng quát hoá thành phép nhân ma trận thể hiện sự tác dụng của ma trận lên vectơ cột. Một biểu diễn của 1 nhóm G hoặc đại số A (kết hợp hoặc Lie) trên không gian vectơ V là 1 ánh xạ:
\Phi :{G}\times {V}\mapsto {V} hoặc  \Phi :{A}\times {V}\mapsto {V}
thoả mãn 2 tính chất. Thứ nhất, với mọi phần tử g trong G (hoặc a trong A), ánh xạ:
\Phi (g):{V}\mapsto {V}

          v\mapsto \Phi (g,v)
là tuyến tính (trên F). Thứ hai, nếu ký hiệu g · v thay cho  \Phi (g,v), thì với mọi phần tử g1, g2 trong G và v trong V:
(1)  e\cdot {v}=v
 (2)  g_{1}\cdot {(g_{2}\cdot {}v)}=(g_{1}g_{2})\cdot {v}
trong đó e là phần tử đơn vị của G và tích g1g2 là tích trong G. Điều kiện tương tự cho đại số kết hợp, ngoại trừ việc các đại số kết hợp không phải lúc nào cũng có phần tử đơn vị, nên phương trình (1) không được xét cho những trường hợp đó. Phương trình (2) là một biểu thức trừu tượng của tính kết hợp của phép nhân ma trận. Điều này không áp dụng cho hoán tử ma trận và cũng không có phần tử đơn vị cho giao hoán tử. Đo đó đói với đại số Lie, điều kiện cần duy nhất cho mọi a1, a2 trong A và v trong V là:
(2')  a_{1}\cdot {(a_{2}\cdot {v})}-a_{2}\cdot {(a_{1}\cdot {v})}=[a_{1},a_{2}]\cdot {v}
trong đó [a1,a2] là hoán tử Lie, và có thể tổng quát hoá thành hoán tử ma trận MN-NM.

Cách thử hai để định nghĩa 1 biểu diễn dựa vào ánh xạ  \Phi  tạo ảnh là ánh xạ tuyến tính  \Phi (g):V\rightarrow {V} của phần tử g trong G, thoả mãn:
\varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{1})\circ \varphi (g_{2}) với mọi  g_{1},g_{2}\in {G}
và tương tự cho các trường hợp khác. Cách tiếp cận này súc tích hơn mà cũng trừu tượng hơn. Từ quan điểm này:
1 biểu diễn của 1 nhóm G trên 1 không gian vectơ V là 1 phép đồng cấu nhóm  \Phi :G\mapsto GL(V,{\bf {{F})}},
1 biểu diễn của 1 đại số kết hợp A trên không gian vectơ V là 1 phép đồng cấu đại số  \Phi :A\mapsto End_{\bf {F}}(V),
1 biểu diễn của 1 đại số Lie  {\mathfrak {a}} trên không gian vectơ V là 1 phép đồng cấu đại số Lie  \Phi :{\mathfrak {a}}\mapsto gl(V,{\bf {{F})}}.
Định nghĩa và khái niệm > Thuật ngữ

Không gian vectơ V được gọi là không gian biển diễn của  \Phi  và chiều (nếu hữu hạn) được gọi là chiều của biểu diễn (đôi khi gọi là bậc). V cũng thường được quy ước là biểu diễn của chính nó trong trường hợp phép đồng cấu  \Phi  tường minh trong ngữ cảnh; nếu không ký hiệu (V, \Phi ) sẽ được dùng để chỉ rõ 1 biểu diễn.
Khi V có hữu hạn chiều n, 1 bộ cơ sở có thể được chọn cho V để đồng nhất V với Fn, do đó thu được 1 biểu diễn ma trận có các phần tử trong trường F.
Một biểu diễn trung thực một biểu diễn (V, \Phi ) sao cho phép đồng cấu  \Phi  là đơn ánh.
Định nghĩa và khái niệm > Ánh xạ đẳng biến và phép đẳng cấu

Xét V và W là các không gian vectơ trên trường F, lần lượt với biểu diễn  \Phi  và  \Psi  của nhóm G, thì 1 ánh xạ đẳng biến từ V đến W là 1 ánh xạ tuyến tính  \alpha :V\mapsto {W} sao cho:
\alpha (g\cdot {v})=g\cdot {\alpha (v)}
với mọi phần tử g trong G và v trong V. Mà  \Phi :G\mapsto {GL(V)} và  \Psi :G\mapsto {GL(W)}, suy ra:
\alpha \circ \phi (g)=\psi (g)\circ \alpha  với mọi phần tử g trong G, đồng nghĩa với giản đồ giao hoán sau:
Các ánh xạ đẳng biến cho các biểu diễn của 1 đại số kết hợp hoặc đại số Lie cũng được định nghĩa tương tự. Xét  \alpha  khả nghịch, thì  \alpha  được gọi là 1 phép đẳng cấu, trong đó V và W (hay chính xác hơn là  \Phi  và  \Psi ) là biểu diễn đẳng cấu, hay còn gọi là biểu diễn tương đương. Một ánh xạ đẳng biến thường được gọi là ánh xạ đan bện của biểu diễn. Trong trường hợp nhóm G, đôi khi nó cũng được gọi là ánh-xạ-G.
Trong thực tế, biểu diễn đẳng cấu là "như nhau"; chúng cung cấp cùng một thông tin về nhóm hoặc đại số được biểu diễn. Do đó, lý thuyết biểu diễn phân loại biểu diễn theo sự đẳng cấu.
Định nghĩa và khái niệm > Biểu diễn con, không gian thương, và biểu diễn tối giản

Xét (V, \Psi ) là 1 biểu diễn của nhóm G, và W là không gian con tuyến tính của V bảo toàn dưới tác dụng của G sao cho  g\cdot {w}\in {W} với mọi  w\in {W} (còn gọi là ổn định dưới G), khi đó W được gọi là biểu diễn con: bằng cách định nghĩa  \Phi (g) là chế hạn của của  \Psi (g) đối với W, (W, \Phi ) là 1 biểu diễn của G và ánh xạ bao hàm của W vào trong V là 1 ánh xạ đẳng biến. Không gian thương  V/W cũng có thể đóng vai trò là biểu diễn của nhóm G.
Xét V có chính xác 2 biểu diễn con, là không gian tầm thường con {0} và chính V, khi đó biểu diễn của V được gọi là tối giản; nếu V có biểu diễn phi tầm thường con cố hữu, biểu diễn của V được gọi là khả quy (rút gọn được).
Định nghĩa của biểu diễn tối giản đã bao hàm cả bổ đề Schur: 1 ánh xạ đẳng biến  \alpha :V\mapsto {W} giữa các biểu diễn tối giản chỉ có thể là ánh xạ không hoặc 1 phép đẳng cấu, do hạch (kernel) và ảnh (image) của nó đều là biểu diễn con. Cụ thể thông qua định nghĩa, khi  V=W, phép tự đồng cấu đẳng biến của V tạo thành 1 đại số chia kết hợp trên trường F. Xét F là trường đóng đại số, phép tự đồng cấu đẳng biến duy nhất của 1 biểu diễn tối giản là phép nhân vô hướng của phần tử đơn vị.
Biểu diễn tối giản là nền tảng của lý thuyết biểu diễn: xét 1 biểu diễn V không tối giản, khi đó V được cấu tạo từ những biểu diễn con và 1 không gian thương "đơn giản hơn" (theo 1 mức độ nào đó); chẳng hạn, xét V hữu hạn chiều, khi đó cả biểu diễn con lẫn không gian thương sẽ có số chiều nhỏ hơn.
Định nghĩa và khái niệm > Tổng trực tiếp và mô-đun không khải triển được

Xét (V, \Phi ) và (W, \Psi ) là các biểu diễn của nhóm G, tổng trực tiếp của V và W cũng là 1 biểu diễn được viết dưới dạng chính tắc qua phương trình:
g\cdot (v,w)=(g\cdot {v},g\cdot {w})
Tổng trực tiếp của 2 biểu diễn không mang nhiều thông tin về nhóm hơn từng biểu diễn riêng lẻ. Nếu 1 biểu diễn là tổng trực tiếp của 2 biểu diễn phi tầm thường con cố hữu, nó được coi là khai triển được. Nếu không thì nó được coi là không khai triển được.
Định nghĩa và khái niệm > Tính khả quy đầy đủ

Trong một số trường hợp nhất định, mỗi biểu diễn hữu hạn chiều là 1 tổng trực tiếp của những biểu diễn tối giản: các biểu diễn như vậy được gọi là nửa đơn giản (semisimple). Trong trường hợp đó, chỉ cần biết thông tin về biểu diễn tối giản là đủ. Những ví dụ về hiện tượng "khả quy đầy đủ" bao gồm các nhóm hữu hạn và nhóm compact, và các đại số Lie nửa đơn giản.
Trong trường hợp không khả quy đầy đủ, cần phải biết làm cách nào mô-đun không khai triển được được xây dựng từ biểu diễn tối giản thông qua mở rộng 1 không gian thương bằng 1 biểu diễn con.
Định nghĩa và khái niệm > Tích tenxơ của biểu diễn

Giả sử  \Phi _{1}:G\mapsto (V_{1}) và  \Phi _{2}:G\mapsto (V_{2}) là biểu diễn của nhóm G. Khi đó ta có thể suy ra 1 biểu diễn  \Phi _{1}\otimes \Phi _{2} của G tác dụng lên không gian tích tenxơ là 1 không gian vectơ  V_{1}\otimes {V_{2}} như sau:
(\Phi _{1}\otimes \Phi _{2})(g)=\Phi _{1}(g)\otimes \Phi _{2}(g)
Nếu  \Phi _{1} và  \Phi _{2} là các biểu diễn của 1 đại số Lie, công thức sẽ trở thành:
(\Phi _{1}\otimes \Phi _{2})(A)=\Phi _{1}(A)\otimes {I}+I\otimes \Phi _{2}(A)
Một cách tổng quát, tích tenxơ của biểu diễn tối giản thì không tối giản; các phương pháp khai triển 1 tích tenxơ thành tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản thuộc về lý thuyết Clebsch-Gordan.
Trong lý thuyết biểu diễn của nhóm SU(2) (hoặc tương ứng với đại số Lie phức hoá  sl(2;\mathbb {C} ) của nó), khai triển này là dễ. Các biểu diễn tối giản được đánh dấu bằng 1 tham số  l nguyên hoặc bán nguyên; khi đó biểu diễn có số chiều bằng  2l+1. Giả sử ta lấy tích tenxơ của 2 biểu diễn có tham số là  l_{1} và  l_{2}, giả thiết  l_{1}\geqslant {l_{2}}. Khi đó tích tenxơ khai triển thành tổng trực tiếp của mỗi biểu diễn được đánh dấu  l, với  l trong khoảng từ  l_{1}-l_{2} đến  l_{1}+l_{2} và số gia là 1. Ví dụ, xét  l_{1}=l_{2}=1, khi đó các giá trị của  l là 0, 1, và 2. Suy ra, biểu diễn tích tenxơ có số chiều  3\times {3}=9 khai triển thành tổng trực tiếp có số chiều tương ứng  1+3+5=9 chiều, trong đó 1 biểu diễn 1-chiều  (l=0) (m_{l}=\{0\}), 1 biểu diễn 3-chiều  (l=1) (m_{l}=\{-1;0;1\}), và 1 biểu diễn 5-chiều  (l=2) (m_{l}=\{-2;-1;0;1;2\}).
Các nhánh và chủ đề nghiên cứu

Lý thuyết biểu diễn nổi bật vì số lượng nhánh nghiên cứu mà nó có, và sự đa dạng các hướng tiếp cận để nghiên cứu biểu diễn của nhóm và đại số. Mặc dù điểm chung của tất cả các lý thuyết là các khái khái niệm cơ bản đã được thảo luận, nhưng chúng cũng có sự khác biệt đáng kể về mặt chi tiết. Ít nhất 3 điểm khác nhau như sau có thể được liệt kê:
Lý thuyết biểu diễn phụ thuộc vào loại cấu trúc đại số được biểu diễn. Có nhiều lớp nhóm, đại số kết hợp, và đại số Lie; và mỗi lý thuyết biểu diễn của chúng đều có màu sắc riêng.
Lý thuyết biểu diễn phụ thuộc vào tính chất của không gian vectơ mà cấu trúc đại số được biểu diễn trên đó. Phân biệt quan trọng nhất là giữa biểu diễn hữu hạn chiều và biểu diễn vô hạn chiều. Trong trường hợp vô hạn chiều, các cấu trúc bổ trợ trở nên quan trọng (ví dụ, việc xét không gian có phải là không gian Hilbert hay không gian Banach, v.v...). Cấu trúc đại số bổ trợ cũng có thể phải được xét trong trường hợp hữu hạn chiều.
Lý thuyết biểu diễn phụ thuộc vào trường mà không gian vectơ được định nghĩa trên đó. Những trường hợp quan trọng nhất bao gồm trường số phức, trường số thực, trường hữu hạn, và các trường số p-adic. Những thách thức khác bao gồm trường có định trị dương và trường đóng đại số.
Các nhánh và chủ đề nghiên cứu > Biểu diễn mô-đun

Biểu diễn mô-đun của 1 nhóm hữu hạn G là biểu diễn trên 1 trường mà định trị của nó không đồng nguyên tố với  \left\vert G\right\vert , dẫn đến định lý Maschke không còn hữu hiệu (vì  \left\vert G\right\vert  không khả nghịch trong F nên nó không chia được). Dù vậy, Richard Brauer đã mở rộng được phần lớn lý thuyết định trị thành biểu diễn mô-đun, và lý thuyết này đóng vai trò quan tọng trong sự phát triển của lớp các nhóm đơn giản hữu hạn, đặc biệt là đối với các nhóm đơn giản có định trị không tuân theo các phương pháp thuần tuý lý thuyết nhóm bởi vì 2-nhóm con Sylow của nó "quá nhỏ".
Cũng tương tự như ứng dụng trong lý thuyết nhóm, biểu diễn mô-đun xuất hiện 1 cách tự nhiên trong các nhánh nghiên cứu khác của toán học, ví dụ như hình học đại số, lý thuyết mã hoá, toán học tổ hợp, và lý thuyết số.
Các nhánh và chủ đề nghiên cứu > Biểu diễn đơn nguyên (unitary)

Một biểu diễn đơn nguyên của 1 nhóm G là 1 biểu diễn tuyến tính  \Phi  của G trên 1 không gian Hilbert thực hoặc (thường là) phức, sao cho  \Phi (g) là 1 toán tử đơn nguyên với mọi  g\in G. Các biểu diễn như vậy đã được sử dụng rộng rãi trong cơ học lượng tử từ những thập niên 1920, nhờ vào công trình đặc biệt của Hermann Weyl, và điều này đã tạo cảm hứng để phát triển lý thuyết này, nổi bật nhất là qua công trình khảo sát biểu diễn nhóm Poincaré của Eugene Wigner. Một trong những nhà tiên phong trong việc xậy dựng 1 lý thuyết tổng quát cho biểu diễn đơn nguyên (cho mọi nhóm G thay vì những nhóm cụ thể có ứng dụng hữu ích trong cơ học lượng tử) là George Mackey, và 1 lý thuyết mở rộng đã được phát triển bởi Harish-Chandra và những nhà nghiên cứu độc lập khác vào những thập niên 1950 và 1950.
Mục đích chính là để mô tả "đối ngẫu đơn nguyên", là không gian các biểu diễn đơn nguyên tối giản của G. Lý thuyết này được phát triển hoàn thiện nhất cho trường hợp G là nhóm tôpô compact địa phương (Hausdorff) và biểu diễn là tôpô mạnh. Đối với nhóm G abel, đối ngẫu đơn nguyên là không gian các định trị; đối với nhóm G compact, định lý Peter-Weyl chứng minh biểu diễn đơn nguyên tối giản có hữu hạn chiều và đối ngẫu đơn nguyên là rời rạc. Ví dụ, nếu G là nhóm tròn S1, thì định trị là số nguyên, và đối ngẫu là được cho bởi vành số nguyên  \mathbb {Z} .
Đối với nhóm G không compact, việc xác định biểu diễn nào đơn nguyên là mơ hồ. Mặc dù biểu diễn đơn nguyên tối giản phải được "thừa nhận" (là mô-đun Harish-Chandra) và việc xác định biểu diễn được thừa nhận nào có dạng hàm bán song tuyến tính bất biến không suy biến (nondegenerate invariant sesquilinear form), việc phát hiện khi nào hàm này xác định dương (positive definite) vẫn là rất khó. Dù là cho các nhóm tương đối khoẻ mạnh (well-behaved) như nhóm Lie nửa đơn giản thực (đề cập bên dưới), một phương pháp hiệu quả để mô tả đối ngẫu đơn nguyên vẫn còn là 1 vấn đề mở quan trọng trong lý thuyết biểu diễn. Nó đã được giải cho nhiều nhóm cụ thể, chẳng hạn như SL(2,R) và nhóm Lorentz.