stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Quaternion
Định nghĩa > Tích Hamilton

Cho hai phần tử a1 + b1i + c1j + d1k and a2 + b2i + c2j + d2k, tích của chúng, được gọi là tích Hamilton (a1 + b1i + c1j + d1k) (a2 + b2i + c2j + d2k), được xác định bởi tích các phần tử cơ sở và luật phân phối. Nhờ có luật phân phối mà ta có thể khai triển tích thành tổng của tích các phần tử cơ sở. Ta được kết quả sau:
{\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}
Sau đó, các phần tử cơ sở có thể nhân với nhau theo luật trên để thu được:
{\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}
Tích của hai quaternion quay sẽ tương ứng với phép quay a2 + b2i + c2j + d2k theo sau bởi phép quay với  a1 + b1i + c1j + d1k.
Định nghĩa > Phần vô hướng và phần thực

Quaternion dưới dạng a + 0 i + 0 j + 0 k, trong đó phần tử a là số thực và được gọi là phần tử vô hướng,còn quaternion dạng 0 + b i + c j + d k, trong đó b, c, và d là số thực và có ít nhất một trong b, c, hoặc d khác không, thì được gọi là quaternion vector.  Nếu a + b i + c j + d k là quaternion tuỳ ý, thì a được gọi là phần vô hướng và b i + c j + d k được gọi là phần vector của nó. Mặc dù mọi quaternion có thể xem là vector trong không gian vectơ bốn chiều, người ta thường hay xem phần vector là vectơ trong không gian ba chiều hơn. Với cách quy ước này, phần vector tương tự với phần tử của không gian vectơ ba chiều  \mathbb {R} ^{3}.
Hamilton còn gọi quaternion vectơ là các quaternion phải và gọi các số thực (được coi là các quaternion có phần vectơ là vectơ không) là quaternion vô hướng.
Nếu một quaternion được chia thành phần vô hướng và phần vectơ:
\mathbf {q} =(r,\ {\vec {v}}),~~\mathbf {q} \in \mathbb {H} ,~~r\in \mathbb {R} ,~~{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},
thì công thức cho phép cộng, phép nhân và nghịch đảo của phép nhân sẽ là
{\begin{aligned}(r_{1},\ {\vec {v}}_{1})+(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2},\ {\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})\,,\\[5mu](r_{1},\ {\vec {v}}_{1})(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\ r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})\,,\\[5mu](r,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},{\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right)\,,\end{aligned}}
trong đó " \cdot " và " \times " ký hiệu tương ứng tích vô hướng và tích có hướng.
Liên hợp, chuẩn và nghịch đảo phép nhân

Liên hợp của quaternion giống với liên hợp của số phức và giống với chuyển vị (hay còn gọi là đảo chiều ) của các phần tử của đại số Clifford. Để định nghĩa, gọi  q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}  là quaternion. liên hợp của q là quaternion  q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} . Nó được ký hiệu bằng q∗, qt,  {\tilde {q}}, hay q. Phép liên hợp là phép đối hợp, nghĩa là nó là nghịch đảo của chính nó, do đó liên hợp lại một quaternion đã được liên hợp sẽ ra quaternion gốc. Liên hợp của tích hai quaternion là tích của hai liên hợp theo thứ tự ngược lại. Tức là nếu p và q là quaternion, thì (pq)∗ = q∗p∗, chứ không phải p∗q∗.
Liên hợp của quaternion trái ngược bên ngoài với các số phức ở chỗ các liên hợp của chúng đều có thể biểu diễn bằng phép nhân và cộng của quaternion:
q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+\,\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\,\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\,\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).
Phép liên hợp có thể dùng để lấy phần vô hướng và phần vectơ của quaternion. Phần vô hướng của p là 1/2(p + p∗), còn phần vectơ của p là 1/2(p − p∗).
Căn bậc hai của tích của một quaternion với liên hợp của chính nó được gọi là chuẩn và được ký hiệu là {{math|{{|q}}}} (Hamilton gọi giá trị này là tensor của q, song điều này dẫn tới mâu thuẫn với định nghĩa đương đại của "tensor"). Trong các công thức, nó được biểu diễn như sau:
\lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}
Kết quả luôn là số thực không âm, và nó tương tự với chuẩn Euclid khi  \mathbb {H}  được xét là không gian vectơ \mathbb {R} ^{4}. Nhân quaternion bằng một số thực thì cũng sẽ nhân lên giá trị tuyệt đối của số thực đó vào chuẩn. Nghĩa là, nếu α thực, thì
\lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert ~.
Đây là trường hợp đặc biệt của nội dung chuẩn có tính nhân tính, tức là
\lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert
với mọi quaternion p và q. Tính nhân tính là hệ quả của công thức liên hợp của tích. Hoặc ta có thể chứng minh từ định thức.
\det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},
(trong đó i là đơn vị ảo quen thuộc) và từ tính nhân tính của định thức của các ma trận vuông.
Chuẩn này cho phép ta định nghĩa khoảng cách d(p, q) giữa p và q là chuẩn của hiệu giữa chúng:
d(p,q)=\lVert p-q\rVert ~.
Từ đây,  \mathbb {H}  là không gian mêtric.
Phép cộng và phép nhân liên tục tương ứng với tô pô mêtric.
Cái này có thể lập luận từ cùng một bài chứng minh cho số thực  \mathbb {R}  từ nội dung  \mathbb {H}  là đại số định chuẩn.
Liên hợp, chuẩn và nghịch đảo phép nhân > Quaternion đơn vị

Quaternion đơn vị là quaternion có chuẩn 1. Chia quaternion q khác không cho chuẩn không của nó sẽ ra quaternion đơn vị Uq được gọi là versor của q:
\mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.
Mỗi quaternion khác không đều có dạng phân tích cực duy nhất  q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q, trong khi quaternion không có thể lập thành từ bất kỳ quaternion đơn vị.
Sử dụng liên hợp và chuẩn giúp định nghĩa nghịch đảo của quaternion đơn vị. Tích của quaternion với nghịch đảo của nó phải bằng 1, và từ các nội dung trên sẽ suy ra rằng tích của  q và  q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2} bằng 1 (theo cả hai hướng nhân). Do đó nghịch đảo của q được định nghĩa là
q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.
Bởi phép nhân không giao hoán, các giá trị p q−1 hoặc q−1p  khác nhau (trừ khi p và q là bội của nhau hoặc một trong số chúng vô hướng): ký hiệu p/q không xác định và do đó không nên dùng.
Tính chất đại số

Tập hợp  \mathbb {H}  của tất cả quaternion là không gian vectơ trên số thực với số chiều 4. Phép nhân các quaternion có tính kết hợp và phân phối trên phép cộng vectơ. Trừ khi là nhân với phần tử trong tập các phần tử vô hướng, phép nhân không có tính giao hoán . Do đó, tập các quaternion  \mathbb {H}  là đại số kết hợp và không giao hoán trên số thực. Mặc dù  \mathbb {H}  có chứa bản sao của số phức, nó không phải đại số kết hợp trên số phức.
Bởi có thể chia quaternion, chúng lập thành đại số chia. Cấu trúc tương tự với trường ngoại trừ tính không giao hoán của phép nhân. Đại số chia, kết hợp mà hữu hạn chiều trên số thực cực kỳ hiếm. Định lý Frobenius phát biểu chỉ có ba đại số như thế:  \mathbb {R} ,  \mathbb {C} , và  \mathbb {H} . Định nghĩa chuẩn khiến cho tập các quaternion lập đại số định chuẩn. Đại số định chuẩn trên số thực cũng rất hiếm, định lý Hurwitz nói rằng chỉ có đúng bốn:  \mathbb {R} ,  \mathbb {C} ,  \mathbb {H} , và  \mathbb {O}  (octonion). Các quaternion còn là ví dụ của đại số hợp thành và của đại số Banach unita.
Bởi tích của hai vectơ cơ sở hoặc ra giá trị âm hoặc ra giá trị dương của vectơ cơ sở còn lại, tập {±1, ±i, ±j, ±k} lập thành một nhóm dưới phép nhân. Nhóm không giao hoán này được gọi là nhóm quaternion và ký hiệu là Q8. Vành nhóm thực của Q8 là vành  \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}] và cũng đồng thời là không gian vectơ 8 chiều trên  \mathbb {R} . Nó có một vectơ cơ sở cho mỗi phần tử của  \mathrm {Q} _{8}. Các quaternion đẳng cấu với vành thương của  \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}] chia bởi ideal sinh bởi các phần tử 1 + (−1), i + (−i), j + (−j), và k + (−k). Ở đây phần tử đầu tiên trong mỗi hiệu là một trong các phần tử cơ sở 1, i, j, và k, còn phần tử cơ sở thứ hai là một trong −1, −i, −j, và −k, chứ không phải nghịch đảo phép cộng của 1, i, j, và k.
Quaternion và hình học ba chiều

Phần vectơ của quaternion có thể xem là vectơ toạ độ trong  \mathbb {R} ^{3}; do đó các phép toán đại số với quaternion phản ánh hình học của  \mathbb {R} ^{3}. Các phép toán như phép nhân vô hướng và phép nhân có hướng có thể định nghĩa bằng quaternion, và do đó ta có thể áp dung chúng bất cứ khi nào xuất hiện vectơ không gian. Một ứng dụng hữu ích của quaternion đó là nội suy giữa các hướng của khung chính trong đồ hoạ máy tính.
Trong phần còn lại của mục này, i, j, và k sẽ đồng thời ký hiệu ba vectơ cơ sở ảo của  \mathbb {H}  và là cơ sở của  \mathbb {R} ^{3}. Thay i bằng −i, j bằng −j, và k bằng −k sẽ đổi vectơ thành nghịch đảo phép cộng của nó, do đó nghịch đảo phép cộng của vectơ tương ứng với liên hợp của quaternion. Vì vậy, đôi khi liên hợp được gọi là nghịch đảo không gian.
Cho hai quaternion p = b1i + c1j + d1k  và q = b2i + c2j + d2k , tích vô hướng của chúng tương ứng với vectơ trong  \mathbb {R} ^{3}, là
p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}~.
Nó cũng có thể biểu diễn như sau mà không phải phân tích ra
p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).
Giá trị này bằng với phần vô hướng của pq∗, qp∗, p∗q, và q∗p. Lưu ý phần vectơ của chúng khác nhau.
Tích có hướng của p và q tương ứng với hướng xác định bởi i, j, và k là
p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} \,.
(Lưu ý hướng được dùng để xác định dấu.) Giá trị này bằng với phần vectơ của pq, và cũng bằng phần vectơ của −q∗p∗. Nó có công thức sau
p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).
Đối với giao hoán tử, [p, q] = pq − qp, ta cũng có thể suy ra rằng
[p,q]=2p\times q.
Tổng quát, gọi p và q là quaternion và viết
{\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}
trong đó ps và qs là phần vô hướng, còn pv là qv là phần vectơ của p và q, thì ta có công thức
pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).
Công thức cho thấy tính không giao hoán của phép nhân quaternion đến từ phép nhân phần vectơ của chúng. Nó cũng cho thấy hai quaternion giao hoán với nhau khi phần vectơ của chúng đối tuyến tính. Hamilton chứng minh rằng tích này tính ra toạ độ thứ ba của hình tam giác cầu từ hai đỉnh cho trước và độ dài góc tương ứng của chúng, và cũng đồng thời là đại số điểm trong hình học elliptic.
Quaternion đơn vị đồng nhất với phép quay trong  \mathbb {R} ^{3} và được gọi là versor bởi Hamilton. Để hiểu rõ hơn, xem quaternion và phép quay không gian về mô hình hoá quay ba chiều sử dụng quaternion.
Xem Hanson (2005) cách hiển thị quaternion.
Định lý bốn số chính phương của Lagrange

Quaternion cũng được dùng trong một trong trong các bài chứng minh cho định lý bốn số chính phương của Lagrange trong lý thuyết số, định lý này phát biểu rằng mọi số nguyên không âm là tổng của bốn số chính phương. Bên cạnh việc định lý này rất là gọn, định lý còn có ứng dụng hữu ích trong các nhánh toán học ngoài lý thuyết số, chẳng hạn như trong lý thuyết thiết kế tổ hợp. Bài chứng minh dựa trên quaternion sử dụng các quaternion Hurwitz, các quaternion này là vành con của vành các quaternion có chứa thuật toán với thuật toán Euclid.
Quaternion  là cặp số phức

Quaternion có thể biểu diễn bằng cặp hai số phức. Từ góc nhìn này, các quaternion là kết quả của việc áp dụng xây dựng Cayley–Dickson đến số phức. Đây là dạng tổng quát của xây dựng số phức từ cặp hai số thực.
Gọi  \mathbb {C} ^{2} là không gian vectơ hai chiều trên số phức. Chọn cơ sở bao gồm hai phần tử  1 và j. Một vectơ trong  \mathbb {C} ^{2} có thể viết thành tổ hợp của các phần tử cơ sở 1 và j như sau
(a+bi)1+(c+di)\mathbf {j} \,.
Nếu ta định nghĩa j2 = −1 và i j = −j i, thì ta có thể định nghĩa phép nhân vectơ sử dụng luật phân phối. Sử dụng k làm ký hiệu viết tắt cho tích i j dẫn tới cùng luật cho phép nhân của quaternion. Do đó, vectơ trên của các số phức tương ứng với quaternion a + b i + c j + d k. Nếu ta viết phần tử của  \mathbb {C} ^{2} là cặp được sắp và các quaternion là bộ bốn, thì tương ứng giữa chúng
(a+bi,\ c+di)\leftrightarrow (a,b,c,d).
Căn bậc hai > Căn bậc hai của −1

Trong số phức,  \mathbb {C} , có đúng hai số, i và −i, cho ra −1 khi bình phương lên. Trong  \mathbb {H} , có vô hạn giá trị cho căn bậc hai của -1: nghiệm quaternion cho căn bậc hai của −1 là mặt cầu đơn vị trong  \mathbb {R} ^{3}.Để hiểu rõ, gọi q = a + b i + c j + d k  là quaternion và là căn bậc hai của −1. Khi đó, xét a, b, c, và d, ta được
{\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}
Để thoả mãn ba phương trình cuối, hoặc a = 0 hoặc b, c, và d đều bằng 0. Lựa chọn sau bất khả thi bởi a là số thực và nếu chọn như thế thì sẽ suy ra a2 = −1. Do đó, a = 0 và b2 + c2 + d2 = 1. Nói cách khác: quaternion có bình phương bằng −1 khi và chỉ khi nó là quaternion vectơ với chuẩn 1. Theo định nghĩa, mọi vectơ như thế lập thành mặt cầu đơn vị.
Chỉ có số quaternion thực và âm mới có vô hạn số căn bậc hai. Những giá trị còn lại chỉ có hai (hoặc một trong trường hợp của 0).[cần dẫn nguồn]
Căn bậc hai > Căn bậc hai của −1 > Khi là hợp của các mặt phẳng phức

Mỗi cặp đối cực của căn bậc hai của −1 tạo một bản sao phân biệt của số phức trong các quaternion. Nếu q2 = −1, thì bản sao là ảnh của hàm số
a+bi\mapsto a+bq\,.
Đây là đơn cấu vành từ  \mathbb {C}  đến  \mathbb {H} , định nghĩa đẳng cấu trường từ  \mathbb {C}  đến ảnh của nó. Ảnh của phép nhúng tương ứng với q và −q bằng nhau.
Mọi quaternion không thực sinh đại số con của các quaternion mà đẳng cấu với  \mathbb {C} , và do đó là không gian con phẳng của  \mathbb {H} \colon  viết q thành tổng của phần vô hướng và phần vectơ:
q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}.
Phân tích phần vectơ thành tích của chuẩn của nó với versor:
q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}=q_{s}+\|{\vec {q}}_{v}\|\,{\frac {{\vec {q}}_{v}}{\|{\vec {q}}_{v}\|}}.
(Cái này khác với  q_{s}+\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q.) Versor của phần vectơ q,  \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}, là versor phải với –1 là bình phương của nó. Dễ kiểm chứng rằng
 a+bi\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}
định nghĩa đồng cấu đại số có tính đơn ánh của các đại số định chuẩn từ  \mathbb {C}  đến các quaternion. Dưới đồng cấu này, q là ảnh của số phức  q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert i.
Bởi  \mathbb {H}  là hợp của tất cả các ảnh của đồng cấu, ta có thể xem các quaternion là chùm các mặt phẳng giao nhau trên đường số thực. Mỗi mặt phẳng phức này chỉ chứa cặp hai điểm đối cực của mặt cầu của căn bậc hai của -1.
Căn bậc hai > Căn bậc hai của −1 > Vành con giao hoán

Mối quan hệ của các quaternion với nhau trong mặt phẳng phức của  \mathbb {H}  có thể xác định và biểu diễn bằng các vành con giao hoán. Cụ thể, bởi hai quaternion p và q giao hoán (tức p q = q p) chỉ khi chúng nằm trong cùng mặt phẳng phức của  \mathbb {H} , ý tưởng  \mathbb {H}  là hợp của các mặt phức nảy sinh khi ta muốn tìm tất cả vành con giao hoán của vành quaternion.
Căn bậc hai > Căn bậc hai của quaternion tuỳ ý

Bất kỳ quaternion  \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}}) (biểu diễn dưới dạng cặp vô hướng và vectơ) có ít nhất một căn bậc hai  {\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}}) giải phương trình  {\sqrt {\mathbf {q} }}^{2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q} . Nhìn riêng biệt vào phần vô hướng và vectơ trong phương trình sẽ ra hai phương trình, sau khi giải chúng sẽ ra nghiệm
{\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}}\,)}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\|\mathbf {q} \|+r}{2}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {\frac {\|\mathbf {q} \|-r}{2}}}\right),
trong đó 



‖



v
→



‖
=





v
→



⋅



v
→





=


−




v
→




2






{\textstyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {-{\vec {v}}^{2}}}}

 là chuẩn của  {\vec {v}} và 



‖

q

‖
=




q


∗



q



=

r

2


+
‖



v
→




‖

2




{\textstyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}=r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}}

 là chuẩn của  \mathbf {q} . Đối với quaternion vô hướng  \mathbf {q} , phương trình này cho đúng giá trị căn bậc hai nếu 







v
→



‖



v
→



‖





{\textstyle {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}}

 được coi là vectơ đơn vị tuỳ ý.
Do đó, các quaternion không vô hướng và khác không hoặc các quaternion dương có chính xác hai căn bậc hai, trong khi 0 chỉ có một (0), còn quaternion vô hướng và âm thì có vô số căn bậc hai, và là các quaternion vectơ nằm trên  \{0\}\times S^{2}({\sqrt {-r}}),tức phần vô hướng bằng 0 còn phần vectơ thì nằm trên 2-cầu có bán kinh  {\sqrt {-r}}.
Hàm với biến quaternion

Giống hàm số với biến phức, các hàm với biến quaternion gợi ý đến mô hình vật lý hữu dụng. Chẳng hạn, mô tả gốc của Maxwell về từ trường và điện trường sử dụng hàm biến quaternion. Các ví dụ khác bao gồm mở rộng  tập Mandelbrot và tập Julia sang không gian bốn chiều.
Hàm với biến quaternion > Hàm mũ, hàm lôgarit và hàm luỹ thừa

Cho quaternion,
q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,
hàm mũ được tính như sau
\exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right),
còn hàm lôgarit là
\ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.
Từ đây, ta có thể viết dạng cực (dạng lượng giác) của quaternion
q=\|q\|e^{{\hat {n}}\varphi }=\|q\|\left(\cos(\varphi )+{\hat {n}}\sin(\varphi )\right),
trong đó góc đến từ
a=\|q\|\cos(\varphi )
còn vectơ đơn vị  {\hat {n}} định nghĩa bởi:
\mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\varphi )\,.
Bất kỳ quaternion đơn vị có thể biểu diễn dưới dạng cực như sau:
q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.
Luỹ thừa của quaternion với bậc x thực tuy ý là:
q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}\left(\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(x\varphi )\right)~.
Hàm với biến quaternion > Chuẩn trắc địa

Khoảng cách trắc địa dg(p, q) giữa quaternion đơn vị p và q được định nghĩa là:
d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .
và tương ứng với giá trị tuyệt đối của một nửa góc đối diện bởi  p và q trên cung lớn của mặt S3-cầu.
Góc này cũng có thể tính từ tích vô hướng của quaternion mà không sử dụng lôgarit:
\arccos(2(p\cdot q)^{2}-1).
Nhóm quay ba chiều và nhóm quay bốn chiều

Từ "liên hợp", ngoài nghĩa ở trên còn có nghĩa là biến đổi phần tử a thành r a r−1 trong r là quaternion khác không nào đó. Tất cả phần tử liên hợp với một phần tử cho trước (theo nghĩa của "liên hợp" trong đây) có cùng phần thực và cùng giá trị chuẩn của phần vectơ. (Do đó liên hợp ở trên là một trong họ các phần tử "liên hợp" dưới đây.)
Do vậy, nhóm nhân tính của quaternion khác không tác động bằng liên hợp lên bản sao của  \mathbb {R} ^{3} bao gồm các quaternion có phần thực bằng không. Liên hợp bởi quaternion đơn vị (quaternion có chuẩn 1) với phần thực cos(φ) là phép quay với góc 2φ, trục quay là hướng của phần vectơ. Các ưu điểm của phép quay bằng quaternion này là:
Tránh khoá gimbal (gimbal lock), một vấn đề với các hệ thống như góc Euler.
Nhanh hơn và gọn hơn khi tính với ma trận.
Biểu diễn không kỳ dị (so sánh với góc Euler chẳng hạn).
Cặp quaternion đơn vị có thể biểu diễn phép quay trong không gian bốn chiều (xem Quay trong không gian Euclid 4 chiều).
Tập các quaternion đơn vị (versor) lập thành 3-cầu S3 và nhóm (nhóm Lie) dưới phép nhân, phủ hai lần nhóm   {\text{SO}}(3,\mathbb {R} ) của các ma trận trực giao thực 3×3 với định thức 1 bởi hai quaternion đơn vị tương ứng với phép quay dưới tương ứng trên. Xem mẹo đĩa.
Ảnh của nhóm con các versor  là nhóm điểm, và ngược lại, tạo ảnh của nhóm điểm là nhóm con các versor. Tạo ảnh của nhóm điểm hữu hạn được gọi cùng tên nhưng thêm hậu tố nhị phân. Lấy ví dụ, tạo ảnh của nhóm icosahedral là nhóm icosahedral nhị phân.
Nhóm các versor đẳng cấu với SU(2), nhóm các ma trận unita 2×2  có định thức 1.
Gọi A là tập các quaternion dưới dạng a + b i + c j + d k  trong đó a, b, c, và d hoặc đều là số nguyên hoặc đều là số bán nguyên. Tập A này là vành (thậm chí còn là miền) và là lưới, được gọi là vành các quaternion Hurwitz . Có 24 quaternion đơn vị này và chúng đều là đỉnh của 24-cell đều (hình 24 đỉnh trong không gian 4 chiều) với dấu Schläfli {3,4,3}.
Đại số quaternion

Các quaternion có tổng quát hơn nữa thành đại số gọi là đại số quaternion. Gọi F là bất kỳ có đặc trưng khác 2, và a và b là các phần tử của F; đại số kết hợp, unita và bốn chiều có thể định nghĩa trên F với cơ sở  1, i, j, và i j, trong đó i2 = a, j2 = b và i j = −j i (nên (i j)2 = −a b).
Đại số quaternion đẳng cấu với đại số các ma trận 2×2 trên F .
Quaternion là phần chẵn của Cl3,0(R)

Tính hữu dụng của quaternion cho tính toán hình học có thể tổng quát cho các chiều khác bằng việc xác định quaternion là phần chẵn  \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ) của đại số Clifford  \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ). Đây là đại số đa vectơ kết hợp được xây từ các phần tử cơ sở nền tảng σ1, σ2, σ3 sử dụng quy tắc tính tích sau
\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,
 \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (j\neq i).
Nếu các phần tử cơ sở này được dùng để biểu diễn vectơ trong không gian 3D, thì ta có thể nhận ra rằng phản xạ của vectơ r trong mặt phẳng vuông góc với vectơ đơn vị w có thể viết thành:
r^{\prime }=-w\,r\,w.
Hai phản xạ sẽ tạo phép quay bởi góc gấp đối góc giữa hai mặt phẳng phản xạ, do đó
r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}
tương ứng với quay 180° trong mặt phẳng chứa σ1 và σ2.  Điều này rất tương tự với công thức quaternion tương ứng,
r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .
Thật vậy, hai cấu trúc  \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ) và  \mathbb {H}  đẳng cấu với nhau. Một ánh xạ dễ tìm đó là
1\mapsto 1\,,\quad \mathbf {k} \mapsto \sigma _{2}\sigma _{1}\,,\quad \mathbf {i} \mapsto \sigma _{3}\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto \sigma _{1}\sigma _{3}\,,
và dễ kiểm chứng lại nó bảo toàn các quan hệ của Hamilton
\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1~.