Hiệu quả Pareto
Tổng quan > Hiệu quả Pareto phân số

Hiệu quả Pareto phân số là sự tăng cường hiệu quả Pareto trong bối cảnh phân bổ mặt hàng công bằng. Việc phân bổ các mục không thể phân chia là hiệu quả Pareto theo từng phần (fPE hoặc fPO) nếu nó không bị Pareto chi phối ngay cả khi phân bổ trong đó một số mục được phân chia giữa các tác nhân. Điều này trái ngược với hiệu quả Pareto tiêu chuẩn, vốn chỉ xem xét sự thống trị bằng cách phân bổ khả thi (rời rạc).
Ví dụ: hãy xem xét một vấn đề phân bổ mục với hai mục, mà Alice đặt giá trị ở {3, 2} và giá trị của George là {4, 1}. Hãy xem xét việc phân bổ đưa mục đầu tiên cho Alice và mục thứ hai cho George, trong đó hồ sơ tiện ích là (3, 1):
Nó là Pareto hiệu quả, vì bất kỳ phân bổ rời rạc nào khác (không chia nhỏ các mục) đều khiến ai đó trở nên tồi tệ hơn.
Tuy nhiên, nó không hiệu quả theo tỷ lệ Pareto, vì nó bị Pareto chi phối bởi việc phân bổ cho Alice 1/2 của mục đầu tiên và toàn bộ mục thứ hai, và 1/2 còn lại của mục đầu tiên cho George - tiện ích của nó hồ sơ là (3,5, 2).
Hiệu quả Pareto trước đó
Khi quá trình quyết định là ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong phân công ngẫu nhiên công bằng hoặc lựa chọn xã hội ngẫu nhiên hoặc biểu quyết chấp thuận theo phân đoạn, sẽ có sự khác biệt giữa hiệu quả Pareto trước và sau:
Hiệu quả Pareto hậu kỳ có nghĩa là bất kỳ kết quả nào của quá trình ngẫu nhiên là hiệu quả Pareto.
Hiệu quả Pareto trước đây có nghĩa là xổ số được xác định bởi quy trình là hiệu quả Pareto đối với các tiện ích mong đợi. Đó là: không có xổ số nào khác mang lại tiện ích kỳ vọng cao hơn cho một đại lý và ít nhất là tiện ích kỳ vọng cao cho tất cả các đại lý.
Nếu một số xổ số L là PE trước kỳ hạn, thì nó cũng là PE cũ. Chứng minh: giả sử rằng một trong các kết quả x của L bị Pareto chi phối bởi một số kết quả khác y. Sau đó, bằng cách di chuyển một số khối lượng xác suất từ ​​x sang y, người ta đạt được một xổ số khác L 'mà trước đây Pareto chiếm ưu thế L'.
Điều ngược lại là không đúng: PE cũ mạnh hơn PE cũ hơn. Ví dụ, giả sử có hai đối tượng - một chiếc ô tô và một ngôi nhà. Alice định giá chiếc xe là 2 và ngôi nhà là 3; George định giá chiếc xe là 2 và ngôi nhà là 9. Hãy xem xét hai giải xổ số sau:
Với xác suất 1/2, đưa ô tô cho Alice và nhà cho George; nếu không, hãy đưa xe hơi cho George và nhà cho Alice. Tiện ích mong đợi là (2/2 + 3/2) = 2,5 đối với Alice và (2/2 + 9/2) = 5,5 đối với George. Cả hai cách phân bổ đều là PE cũ, vì người có xe không thể trở nên khá giả hơn mà không gây hại cho người có nhà.
Với xác suất 1 thì đưa ô tô cho Alice, sau đó với xác suất 1/3 thì đưa nhà cho Alice, ngược lại thì đưa cho George. Tiện ích mong đợi là (2 + 3/3) = 3 đối với Alice và (9 × 2/3) = 6 đối với George. Một lần nữa, cả hai phân bổ đều là PE cũ.
Trong khi cả hai giải xổ số đều là PE trước sau, xổ số 1 không phải là PE trước, vì nó bị xổ số 2 chi phối bởi Pareto.
Một ví dụ khác liên quan đến sở thích phân đôi. Có 5 kết quả có thể xảy ra (a, b, c, d, e) và 6 người bỏ phiếu. Các bộ phê duyệt của cử tri là (ac, ad, ae, bc, bd, be). Tất cả năm kết quả đều là PE, vì vậy mọi cuộc xổ số đều là PE trước sau. Nhưng xổ số chọn c, d, e với xác suất 1/3 mỗi người không phải là PE cũ, vì nó mang lại hiệu quả kỳ vọng là 1/3 cho mỗi cử tri, trong khi xổ số chọn a, b với xác suất 1/2 mỗi người cho một tiện ích dự kiến ​​là 1/2 cho mỗi cử tri.