Nguồn gốc của các phương trình Navier–Stokes
Xây dựng công thức hàm dòng > Dòng chảy hai chiều trong hệ tọa độ trực giao

Tiện ích thực sự của việc xây dựng công thức này được nhìn thấy rõ khi dòng chảy là dòng chảy hai chiều trong tự nhiên và phương trình được viết trong một hệ tọa độ trực giao tổng quát, hay nói cách khác, một hệ tọa độ mà các vectơ cơ sở trực giao với nhau. Lưu ý rằng điều này không có nghĩa là chỉ giới hạn áp dụng trọng hệ tọa độ Descartes, trên thực tế hầu hết các hệ tọa độ phổ biến đều là các hệ tọa độ trực giao, bao gồm cả những hệ tọa độ quen thuộc như hệ tọa độ trụ và các hệ tọa độ ít phổ biến hơn như hệ tọa độ hình xuyến toroidal.
Vận tốc dòng chảy 3D được thể hiện như sau (lưu ý rằng các cuộc thảo luận vẫn còn tiếp tục cho đến tận bây giờ):
Trong đó  \mathbf {e} _{i} là các vectơ cơ sở, không nhất thiết phải là hằng số và không nhất thiết phải được chuẩn hóa, và  u_{i}  là các thành phần vận tốc dòng chảy; chúng ta hãy cho các tọa độ của không gian là:  (x_{1},x_{2},x_{3}).
Bây giờ giả sử rằng dòng chảy là 2D. Điều này không có nghĩa là dòng chảy phải ở trên một mặt phẳng, mà nó có nghĩa là thành phần của vận tốc dòng chảy theo một hướng là bằng không và các thành phần vận tốc còn lại không phụ thuộc vào hướng đó. Trong trường hợp đó (lấy thành phần thứ 3 bằng không):
Hàm vector  {\vec {\psi }} vẫn được xác định thông qua:
nhưng điều này phải được đơn giản hóa theo một cách nào đó bởi vì dòng chảy được giả định là 2D. Nếu hệ tọa độ được giả định là hệ tọa độ trực giao, curl có dạng khá đơn giản, và phương trình trên được diễn giải trở thành:
Kiểm tra phương trình này cho thấy rằng chúng ta có thể coi  \psi _{1}=\psi _{2}=0 để duy trì dấu bằng mà không mất tính tổng quát, do đó:
chỗ quan trọng ở đây là việc chỉ còn lại một thành phần của  {\vec {\psi }},  do đó dòng 2D sẽ trở thành một bài toán chỉ với một biến phụ thuộc. Phương trình Navier-Stokes được lấy vi phân chéo trở thành hai phương trình 0 = 0 và một phương trình có ý nghĩa.
Thành phần còn lại  \psi _{3}=\psi  được gọi là hàm dòng. Phương trình cho   \psi  bây giờ có thể đơn giản hóa bởi vì một loạt các đại lượng sẽ bằng không, ví dụ:
nếu các hệ số tỉ lệ  h_{1} and  h_{2} cũng là độc lập với   x_{3}. Ngoài ra, từ định nghĩa của vector Laplacian
Thay phương trình Navier-Stokes đã được lấy vi phân chéo bằng hai phương trình trên và một loạt các đồng nhất thức cuối cùng sẽ được phương trình vô hướng 1 chiều 1D của hàm dòng:
trong đó  \nabla ^{4} là toán tử lưỡng điều hòa (biharmonic operator). Điều này là rất hữu ích vì nó là một phương trình vô hướng tự bao hàm đơn nhất (single self-contained scalar equation) mô tả cả bảo toàn động lượng và bảo toàn khối lượng trong không gian 2 chiều. Sự khác biệt duy nhất mà phương trình vi phân từng phần này cần so với các phương trình khác là các điều kiện ban đầu và các điều kiện biên.
Các giả định cho phương trình hàm dòng được liệt kê dưới đây:
Dòng chảy là không nén được và là dòng chảy chất lưu Newton.
Các trục tọa độ là trực giao.
Dòng chảy là 2 chiều:  u_{3}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=0
Hai hệ số tỉ lệ đầu tiên của hệ trục tọa độ độc lập với trục tọa độ còn lại:  {\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial h_{2}}{\partial x_{3}}}=0, nếu không thì sẽ có thêm các số hạng khác xuất hiện.
Hàm dòng có một số đặc tính hữu ích:
Bởi vì  -\nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\nabla \times (\nabla \times {\vec {\psi }})=\nabla \times \mathbf {u} , độ xoáy của dòng chảy ngược dấu với Laplacian của hàm dòng.
Các đường cong biểu diễn hàm dòng được gọi là các đường dòng