Đối xứng gương (lý thuyết dây)
Lịch sử

Nguồn gốc ý tưởng về đối xứng gương có thể lần ngược lại tới những năm giữa thập kỉ 1980 khi người ta nhận thấy một dây lan truyền trong một đường tròn bán kính có thể chạm vào gương. Trong gương Lại có Khoảng cách với hình ảnh và được xây dựng cho tính hiện tại cuộc sống chữ Sinh. Chữ Hạnh  R tương đương về mặt vật lý với một dây lan truyền trong một đường tròn bán kính  1/R theo những đơn vị thích hợp. Hiện tượng này gắn bó gần gũi với đối xứng gương và về sau được gọi là đối ngẫu T. Trong một bài báo năm 1985, Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger, và Edward Witten chỉ ra rằng bằng cách compact hóa lý thuyết dây trên một đa tạp Calabi–Yau, người ta có thể thu được một lý thuyết gần tương tự như mô hình chuẩn của vật lý hạt, thứ cũng hàm chứa một cách nhất quán ý tưởng về siêu đối xứng. Kể từ đó, nhiều nhà vật lý bắt đầu nghiên cứu về compact hóa Calabi–Yau, hi vọng xây dựng những mô hình hiện thực về vật lý hạt dựa trên lý thuyết dây. Cumrun Vafa và những người khác ghi nhận rằng nếu có một mô hình vật lý như vậy, không thể tái tạo một đa tạp Calabi–Yau tương ứng duy nhất, mà là hai đa tạp Calabi–Yau cho cùng một hiện thực vật lý.
Bằng cách nghiên cứu mối quan hệ giữa những đa tạp Calabi-Yau và một số lý thuyết trường bảo giác gọi là các mô hình Gepner, Brian Greene và Ronen Plesser tìm thấy các ví dụ không tầm thường về quan hệ đối xứng gương. Những bằng chứng thêm về quan hệ này đến từ công trình của Philip Candelas, Monika Lynker, và Rolf Schimmrigk, những người khảo sát một lượng lớn đa tạp Calabi–Yau trên máy tính và thấy rằng chúng thuộc về các cặp đối xứng gương.
Các nhà toán học bắt đầu quan tâm về đối xứng gương khoảng năm 1990 khi các nhà vật lý Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, và Linda Parks chỉ ra rằng có thể sử dụng đối xứng gương để giải quyết các bài toán trong hình học liệt kê từng không chịu khuất phục giới toán học trong hàng thập kỉ. Những kết quả này được trình bày trong một cuộc hội thảo tại Viện nghiên cứu Các ngành khoa học về toán (MSRI) ở Berkeley, California vào tháng 5 năm 1991. Trong hội thảo này, người ta nhận thấy một trong những con số Candelas tính toán để đếm số đường cong hữu tỉ không bằng với kết quả các nhà toán học Na Uy Geir Ellingsrud và Stein Arild Strømme sử dụng những kĩ thuật có vẻ chặt chẽ hơn. Nhiều nhà toán học tại hội thảo xem công trình của Candelas chứa sai sót đâu đó vì nó không dựa trên các lập luận toán học vững chắc. Tuy nhiên, sau khi kiểm tra lại lời giải của họ, Ellingsrud và Strømme phát hiện ra một lỗi trong mã máy tính của họ và khi sửa lỗi, họ thu được đáp án phù hợp với đáp án của nhóm Candelas.
Năm 1990, Edward Witten đề xuất lý thuyết dây tôpô, một phiên bản đơn giản hóa của lý thuyết dây, và các nhà vật lý chỉ ra rằng có một phiên bản đối xứng gương cho lý thuyết mới này. Khẳng định này về lý thuyết dây tôpô thường được xem như là định nghĩa của đối xứng gương trong các tài liệu ngành toán. Trong bài phát biểu tại Đại hội Các nhà toán học Quốc tế năm 1994, nhà toán học Maxim Kontsevich trình bày một giả định toán học mới dựa trên ý tưởng đối xứng gương trong lý thuyết dây tô pô. Được gọi là đối xứng gương đồng đều, giả định này chuẩn tắc hóa đối xứng gương như một phép tương đương của hai cấu trúc toán học: "phạm trù phái sinh" của các "bó mạch lạc" trên một đa tạp Calabi–Yau và phạm trù Fukaya của đa tạp đối xứng gương với nó.
Cũng trong khoảng năm 1995, Kontsevich phân tích kết quả của Candelas, lập nên một công thức tổng quát cho bài toán đếm đường cong hữu tỉ trên một đa tạp 3 chiều bậc 5, và ông tái lập các kết quả này thành một giả định toán học. Năm 1996, Alexander Givental công bố một bài báo chứng minh giả định của Kontsevich. Ban đầu, nhiều nhà toán học thấy bài báo khó hiểu và nghi ngờ tính chính xác của nó. Nhưng sau đó, Bong Lian, Kefeng Liu, và Shing-Tung Yau công bố phép chứng minh độc lập trong một loạt bài báo. Mặc dù có cuộc tranh cãi về chuyện ai là người công bố phép chứng minh đầu tiên, ngày nay những bài báo được xem chung là chứng minh toán học của các kết quả ban đầu do các nhà vật lý sử dụng đối xứng gương thu được. Năm 2000, Kentaro Hori và Cumrun Vafa đưa ra cách chứng minh bằng vật lý dựa trên đối ngẫu T.
Các nghiên cứu về đối xứng gương tiếp tục tới ngày nay với những phát triển quan trọng liên quan tới dây trên các mặt Riemann có biên. Ngoài ra, đối xứng dây liên quan tới nhiều lĩnh vực nghiên cứu toán học sôi động, như tương ứng McKay, lý thuyết trường lượng tử tôpô, và lý thuyết về các điều kiện ổn định. Cùng lúc, các câu hỏi cơ bản vẫn tiếp tục nổi lên. Chẳng hạn, các nhà toán học vẫn còn chưa hiểu làm cách nào để xây dựng những ví dụ về các cặp Calabi–Yau dù có những tiến bộ nhất định trong mảng này.