stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ernst von Prittwitz und Gaffron
Sự nghiệp quân sự

Vào năm 1851, von Prittwitz gia nhập Trung đoàn Pháo binh Cận vệ tại kinh đô Berlin, được phong quân hàm Thiếu úy vào năm 1851 rồi được lên chức Trung úy vào năm 1861. Trong cuộc Chiến tranh Đức-Đan Mạch năm 1845, ông được cắt cử đến phục vụ Tướng Helmuth von Moltke, Tham mưu trưởng quân đội Phổ. Trong cuộc chiến này, ông đã góp phần bắt giữ Otto Christian Hammer, người chỉ huy một đội binh thuyền tại các đảo Bắc Frisia, và tham gia cuộc đổ bộ thành công lên đảo Als vào ngày 29 tháng 6 năm 1864.
Được thăng cấp hàm Đại úy ở tuổi 32 vào năm 1865, ông được bổ nhiệm làm Khẩu đội trưởng một khẩu đội pháo của Trung đoàn Pháo binh Cận vệ ở Berlin vào năm 1867.
Khi cuộc Chiến tranh Áo-Phổ bùng nổ vào năm 1866, ông là chỉ huy một khẩu đội kỵ pháo Cận vệ và tham chiến trong chiến dịch tại Böhmen. Khẩu đội pháo này được đổi vào Trung đoàn Pháo dã chiến số 10 Hannover mới được thành lập. Do vậy, Prittwitz được điều sang Hannover vào mùa thu năm 1866 nhưng chỉ sau 3/4 của một năm ông trở về Berlin.
Sau khi cuộc chiến tranh chấm dứt, Prittwitz đi nhiều chuyến ra nước ngoài, trong đó có Anh, Pháp, Tây Ban Nha và Ý. Vào năm 1869, ông đến Romania với vai trò là tư vấn quân sự của Thái tử Friedrich nhà Hohenzollern, và cùng với Thái tử du ngoạn một phần phương Đông.
Trong cuộc Chiến tranh Pháp-Đức (1870 – 1871), Prittwitz chiến đấu trong các trận đánh khốc liệt ở Gravelotte-St. Privat, Sedan - tại đây ông bị thương do một quả lựu đạn - và trong cuộc chinh phạt pháo đài Montmédy. Khẩu đội mà ông chỉ huy là khẩu đội pháo đầu tiên lên đến cao điểm St. Privat và kịch chiến với quân Pháp, khiến cho không chỉ vua Phổ Wilhem I mà cả hoàng đế Pháp Napoléon III.
Không có thông tin cụ thể về những chặn đường kế tiếp của binh nghiệp ông.
Vinh danh và tặng thưởng

Prittwitz đã được phong danh hiệu Công dân Danh dự của Wyk auf Föhr.
Vinh danh và tặng thưởng > Phong tặng

Huân chương Đại bàng Đỏ hạng IV kèm theo Thanh kiếm (1864)
Huân chương Vương miện hạng IV kèm theo Thanh kiếm (1866)
một số huân chương hiệp sĩ bên ngoài Phổ
Lissoplaga edmondsi

| Lissoplaga edmondsi> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Lissoplaga
Loài (species): L. edmondsi
Danh pháp hai phần
Lissoplaga edmondsi Warren, 1894 
Lissoplaga edmondsi là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 17 tháng 6 năm 2014.
Aussac-Vadalle

| --- | --- |
 Aussac-Vadalle

Aussac-Vadalle
Vị trí trong vùng Poitou-Charentes Aussac-Vadalle 
Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Nouvelle-Aquitaine
Tỉnh: Charente
Quận: Angoulême
Tổng: Saint-Amant-de-Boixe
Liên xã: Boixe
Xã (thị) trưởng: Gérard Liot (2008-2014)
Thống kê
Độ cao: 84–162 m (276–531 ft) (bình quân 109 m (358 ft)[chuyển đổi: tùy chọn không hợp lệ])
Diện tích đất1: 17,61 km2 (6,80 dặm vuông Anh)
INSEE/Mã bưu chính: 16024/ 16560

Aussac-Vadalle  là một xã của tỉnh Charente, thuộc vùng Nouvelle-Aquitaine, tây nam nước Pháp.
Cis unicus

| Cis unicus> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Coleoptera
Họ (familia): Ciidae
Chi (genus): Cis
Loài (species): C. unicus
Danh pháp hai phần
Cis unicus Perkins, 1900 
Cis unicus là một loài bọ cánh cứng trong họ Ciidae. Loài này được Perkins miêu tả khoa học năm 1900.
Chú thích

↑  Hallan, J.  (2010) Synopsis of the described Coleoptera of the World 6 juni 2010
Lissosculpta alecto

| Lissosculpta alecto> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Hymenoptera
Họ (familia): Ichneumonidae
Chi (genus): Lissosculpta
Loài (species): L. alecto
Danh pháp hai phần
Lissosculpta alecto (Morley, 1915) 
Lissosculpta alecto là một loài tò vò trong họ Ichneumonidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 22 tháng 6 năm 2014.
Krishnapura, Hassan

| Krishnapura |
| --- | --- |
—  Làng  —
 
Quốc gia:  Ấn Độ
Bang: Karnataka
Huyện: Hassan
Thành phố/thị trấn: Hassan
Múi giờ: IST (UTC+5:30)
Krishnapura là một làng thuộc tehsil Hassan, huyện Hassan, bang Karnataka, Ấn Độ.
Lotongus

| Lotongus |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Họ (familia): Hesperiidae
Tông (tribus): Erionotini
Chi (genus): Lotongus
Lotongus là một chi bướm ngày thuộc họ Bướm nâu.
Lloydia

| Lloydia> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Liliales
Họ (familia): Liliaceae
Chi (genus): Lloydia
Phân cấp
 xem trong bài
Lloydia là một chi thực vật có hoa trong họ Liliaceae.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Lloydia”. Truy cập ngày 20 tháng 8 năm 2013.
Little Saigon, San Diego

Biểu ngữ Little Saigon trên đại lộ El Cajon.
Little Saigon, San Diego là một vùng bao bọc sắc tộc người Việt ở City Heights, San Diego, tọa lạc trên Đại lộ El Cajon giữa đại lộ Euclid và Highland.
Lịch sử

Quỹ Little Saigon San Diego thành lập tháng 11 năm 2008 với sứ mệnh "hồi sinh khu thương mại đông dân của người Việt trên Đại lộ El Cajon".
Ngày 4 tháng 6 năm 2013, Hội đồng Thành phố đã phê duyệt Khu Văn hóa và Thương mại Little Saigon ở City Heights, là khu vực gồm sáu dãy nhà của Đại lộ El Cajon từ đại lộ Euclid đến đại lộ Highland. Quận này vốn nổi tiếng như một trung tâm ẩm thực và văn hóa Việt Nam. Kể từ năm 2013, Quỹ Little Saigon San Diego đã tổ chức một trong những sự kiện Tết Nguyên Đán tại thành phố với  lễ hội Tết Nguyên Đán hàng năm tại Sân vận động SDCCU, nơi số tiền thu được dùng để phát triển và quảng bá quận này.
Ngày 1 tháng 2 năm 2019, các biển báo Little Saigon nằm gần lối ra Đại lộ El Cajon trên Xa lộ Liên tiểu bang 15 đã được khánh thành.
Liên minh các giải pháp công nghiệp viễn thông

| Liên minh các giải pháp công nghiệp viễn thông |
| --- | --- |
Loại: Tổ chức chuyên nghiệp
Tiêu điểm: Cơ sở hạ tầng, công nghệ và công nghiệp viễn thông
Vị trí: Washington, D.C.
Vùng phục vụ : Thế giới
Phương pháp: Các tiêu chuẩn công nghiệp, Các ủy ban, Các diễn đàn, Các xuất bản
Thành viên  : 225 công ty thành viên
Nhân vật chủ chốt: Susan M. Miller, President và CEO; John Donovan, Chairman
Công nhân  : 45
Trang web: www.atis.org
Liên minh các giải pháp công nghiệp viễn thông (ATIS) là một tổ chức tiêu chuẩn phát triển các tiêu chuẩn kỹ thuật và hoạt động cho nền công nghiệp viễn thông. ATIS có trụ sở chính tại Washington, D.C.. ATIS được công nhận bởi Viện Tiêu chuẩn Quốc gia Hoa Kỳ (ANSI).
Liên minh các giải pháp công nghiệp viễn thông có hơn 250 công ty thành viên, bao gồm các nhà cung cấp dịch vụ viễn thông, các nhà sản xuất thiết bị, và các nhà cung cấp. ATIS bao gồm một số lượng đông đảo các diễn đàn và ủy ban công nghiệp, tại các diễn đàn và ủy ban này thực hiện thảo luận, đánh giá và các hướng dẫn tác giả liên quan đến các chủ đề như an ninh dữ liệu, độ tin cậy mạng, tương tác công nghệ, các dịch vụ thuê bao và nhãn sản phẩm.
ATIS là một tổ chức thành viên của một số các tổ chức tiêu chuẩn khác. Ngoài là một thành viên sáng lập nên Phối hợp các tiêu chuẩn toàn cầu, ATIS còn là một tổ chức thành viên của Bộ phận tiêu chuẩn hóa viễn thông (ITU-T) và Bộ phận truyền thông vô tuyến ITU (ITU-R) của Liên minh Viễn thông Quốc tế. ATIS cũng còn là một tổ chức đối tác của Dự án đối tác thế hệ thứ 3 (3GPP).
Chú thích

↑  “Bản sao đã lưu trữ”. Bản gốc lưu trữ ngày 7 tháng 7 năm 2010. Truy cập ngày 29 tháng 8 năm 2010.
↑  “Bản sao đã lưu trữ”. Bản gốc lưu trữ ngày 7 tháng 7 năm 2010. Truy cập ngày 29 tháng 8 năm 2010.
↑  “Bản sao đã lưu trữ”. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 8 năm 2010. Truy cập ngày 29 tháng 8 năm 2010.
Luciola fissicollis

| Luciola fissicollis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Coleoptera
Họ (familia): Lampyridae (Đom đóm)
Chi (genus): Luciola
Loài (species): L. fissicollis
Danh pháp hai phần
Luciola fissicollis Fairmaire, 1891 
Luciola fissicollis là một loài bọ cánh cứng trong họ Đom đóm (Lampyridae). Loài này được Fairmaire miêu tả khoa học năm 1891.
Chú thích

↑  Hallan, J.  (2010) Synopsis of the described Coleoptera of the World 6 juni 2010
Little Rock, Iowa

| Thành phố Little Rock> Little Rock, Iowa.  |
| --- | --- |
 
 Vị trí trong Quận Lyon, Iowa
 Vị trí bang Iowa, Hoa Kỳ
Thành phố Little Rock
Quốc gia: Hoa Kỳ
Tiểu bang: Iowa
Quận: Quận Lyon
Dân số (2010)
 • Tổng cộng: 459
Múi giờ: CST (UTC-6)
 • Mùa hè (DST): CDT (UTC-5)
Mã bưu chính: 51243 
Little Rock là một thành phố thuộc quận Lyon, tiểu bang Iowa, Hoa Kỳ. Năm 2010, dân số của thành phố này là 459 người.
Dân số

Dân số qua các năm:
Năm 2000: 489 người.
Năm 2010: 459 người.
Lopholepis tecta

| Lopholepis tecta> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Pteridophyta
Lớp (class): Polypodiopsida
Bộ (ordo): Polypodiales
Họ (familia): Polypodiaceae
Chi (genus): Lopholepis
Loài (species): L. tecta
Danh pháp hai phần
Lopholepis tecta Paxton, 1849 
Lopholepis tecta là một loài dương xỉ trong họ Polypodiaceae. Loài này được Paxton mô tả khoa học đầu tiên năm 1849.
Danh pháp khoa học của loài này chưa được làm sáng tỏ.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Lopholepis tecta”. Truy cập ngày 28 tháng 5 năm 2014.
Gioan Baotixita Cỏn

| Gioan Baotixita Cỏn |
| --- | --- |
Sinh: 1805 Nam Định, Việt Nam
Mất: 8 tháng 11 năm 1835(1835-11-08) (29–30 tuổi)
Tôn kính: Giáo hội Công giáo Rôma
Chân phước: 27 tháng 5 năm 1900 bởi Giáo hoàng Lêô XIII
Tuyên thánh: 19 tháng 6 năm 1988, Roma bởi Giáo hoàng Gioan Phaolô II
Lễ kính: 19 tháng 12
Bị bách hại:  bởi Minh Mạng (Nhà Nguyễn)
Gioan Baotixita Cỏn là một lý trưởng, tử vì đạo dưới triều vua Minh Mạng, được Giáo hội Công giáo Rôma phong Hiển Thánh vào năm 1988.
Ông sinh năm 1805 tại làng Kẻ Báng, xã Kim Thái, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định (nay thuộc Tổng Giáo phận Hà Nội). Sau vụ kiện một lý trưởng lạm quyền, cậy thế, chiếm đoạt tài sản của dân làng, ông được tín nhiệm bầu làm lý trưởng. Ông tận tâm cho công việc chung và nhiệt tâm lo việc đạo. Khi vua Minh Mạng hạ lệnh truy nã các thừa sai, lý trưởng Cỏn thu xếp cho các giáo sĩ đến ẩn trốn trong làng. Ngày 30 tháng 5 năm 1840, tổng đốc Nam Định Trịnh Quang Khanh cho quân vây làng Kẻ Báng. Sau hai ngày, họ tìm bắt được ba linh mục người Việt. Với tội danh chứa chấp đạo trưởng, ông bị đóng gông giải về Nam Định. Vì không chịu bước qua thập giá, ông bị đánh năm mươi roi. Ngày 8 tháng 11 năm 1840, ông bị xử tử, được mai táng tại quê hương Kẻ Báng nay là giáo xứ Xuân Bảng (Tổng giáo phận Hà Nội).
Chú thích

↑  Hội đồng Giám mục Việt Nam, Giám mục Phêrô Nguyễn Văn Khảm (2018). Hạnh các thánh tử đạo Việt Nam. Tôn giáo. tr. 62–63.
↑  “Nhà thờ Giáo xứ Xuân Bảng (Kẻ Báng)”.
Liên Vân

Liên Vân (chữ Hán phồn thể:連雲區, chữ Hán giản thể:连云区) là một quận thuộc địa cấp thị Liên Vân Cảng, tỉnh Giang Tô, Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa. Quận này có diện tích 523 ki-lô-mét vuông, dân số năm 2005 là 180.000 người. Về mặt hành chính, quận Liên Vân được chia ra các đơn vị gồm 6 nhai đạo, 3 trấn, 3 hương.
Nhai đạo: Khư Câu, Đào Am, Trung Vân, Liên Vân, Liên Đảo, Bản Kiều, Vân Sơn.
Trấn: Triều Dương, Túc Thành, Cao Công Đảo, Tiền Tam Đảo.
| x t Giang Tô, Cộng hòa nhân dân Trung Hoa |
| --- | --- | --- |
Lịch sử • Chính trị • Kinh tế
| Nam Kinh | Huyền Vũ  •  Tần Hoài  •  Kiến Nghiệp  •  Cổ Lâu  •  Phổ Khẩu  •  Lục Hợp  •  Thê Hà  •  Vũ Hoa Đài  •  Giang Ninh  •  Lật Thủy  •  Cao Thuần |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Vô Tích | Lương Khê  •  Tân Hồ  •  Huệ Sơn  •  Tích Sơn  •  Giang Âm  •  Nghi Hưng  •  Tân Ngô |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Từ Châu | Vân Long  •  Cổ Lâu  •  Cửu Lý  •  Giả Uông  •  Đồng Sơn  •  Tuyền Sơn  •  Bi Châu  •  Tân Nghi  •  Tuy Ninh  •  Bái  •  Phong |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Thường Châu | Chung Lâu  •  Thiên Ninh  •  Thích Thự Yển  •  Tân Bắc  •  Vũ Tiến  •  Kim Đàn  •  Lật Dương |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Tô Châu | Cô Tô  •  Hổ Khâu  •  Ngô Trung  •  Tương Thành  •  Ngô Giang  •  Côn Sơn  •  Thái Thương  •  Thường Thục  •  Trương Gia Cảng |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Nam Thông | Sùng Xuyên  •  Cảng Áp  •  Thông Châu  •  Hải Môn  •  Khải Đông  •  Như Cao  •  Như Đông  •  Hải An |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Liên Vân Cảng | Tân Phố  •  Liên Vân  •  Hải Châu  •  Cám Du  •  Quán Vân  •  Đông Hải  •  Quán Nam |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Hoài An | Thanh Hà  •  Thanh Phố  •  Sở Châu  •  Hoài Âm  •  Kim Hồ  •  Hu Dị  •  Hồng Trạch  •  Liên Thủy |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Diêm Thành | Đình Hồ  •  Diêm Đô  •  Đông Đài  •  Đại Phong  •  Xạ Dương  •  Phụ Ninh  •  Tân Hải  •  Hưởng Thủy  •  Kiến Hồ |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Dương Châu | Quảng Lăng  •  Hàn Giang  •  Giang Đô  •  Nghi Chinh  •  Cao Bưu  •  Bảo Ứng |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Trấn Giang | Kinh Khẩu  •  Nhuận Châu  •  Đan Đồ  •  Dương Trung  •  Đan Dương  •  Cú Dung |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Thái Châu | Hải Lăng  •  Cao Cảng  •  Khương Yển  •  Tĩnh Giang  •  Thái Hưng  •  Hưng Hóa |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
| Túc Thiên | Túc Thành •  Túc Dự  •  Thuật Dương  •  Tứ Dương  •  Tứ Hồng |  Giang Tô trong Trung Quốc   |
Không gian thương (tô pô)

Đối với không gian thương trong đại số tuyến tính, xem không gian thương (đại số tuyến tính).
Hình cầu đồng phôi với không gian thương của một hình tròn, bằng cách dán tất cả các điểm biên của hình tròn với nhau thành một điểm.
[0,1]/\{0,1\} đồng phôi với đường tròn  S^{1}.
Trong tô pô và các ngành liên quan của toán học, không gian thương (quotient topology) của một không gian tô pô theo một quan hệ tương đương (hai ngôi) là một không gian tô pô mới, được xây dựng bằng cách gán tô pô thương cho tập hợp thương tương ứng, tức là tô pô mịn nhất sao cho các phép chiếu chuẩn tắc trở thành liên tục. Nói cách khác, một tập hợp trong không gian thương là mở khi và chỉ khi tạo ảnh của nó là mở trong không gian ban đầu.
Nói một cách trực quan, các điểm tương đương với nhau trong quan hệ tương đương sẽ được dính lại thành một điểm trong không gian thương. Ví dụ, nếu ta coi hai điểm đối xứng trên mặt cầu là tương đương với nhau, ta sẽ thu được một không gian thương là mặt phẳng xạ ảnh.
Định nghĩa

Cho  {\big (}X,\tau _{X}{\big )} là một không gian tô pô, và  \sim  là một quan hệ tương đương trên  X  {\big (}nhắc lại, một quan hệ toán học 2 ngôi  \sim  trên một tập  X là một tập con của  X\times X, nghĩa là
\sim   \subseteq {\displaystyle X\times X} {\big )}. Tập hợp thương  Q=X/\sim  là tập hợp gồm tất cả các lớp tương đương trên  X theo quan hệ  \sim  . Thông thường, lớp tương đương của một phần tử  x\in X được ký hiệu là  [x], hoặc  {\widetilde {x}}, hoặc  {\overline {x}}, nghĩa là:
[x]={\big \{}y\in X\ {\big |}\ y\sim x{\big \}}
Q={\big (}X/\sim {\big )}={\Big \{}[x]\ {\big |}\ x\in X{\Big \}}
Không gian thương  Q được trang bị tô pô thương:
là tô pô mà các tập mở là các tập  U\subseteq Q thỏa mãn tập  {\big \{}x\in X:[x]\in U{\big \}} là mở trong  {\big (}X,\tau _{X}{\big )}.
Một cách tương đương, các tập mở của không gian thương  {\big (}Q,\tau _{Q}{\big )} là các tập  U\subseteq Q sao cho dưới toàn ánh
f:\ {\big (}X,\tau _{X}{\big )}\longrightarrow {\displaystyle {\big (}Q,\tau _{Q}{\big )}}
x\longmapsto f(x)=[x]
nghịch ảnh  f^{-1}{\big (}U{\big )} là mở trong  {\big (}X,\tau _{X}{\big )}.
Tô pô thương là tô pô cuối (final topology) của tập hợp thương theo ánh xạ   x\longmapsto [x].
Ánh xạ thương (quotient map)

Một ánh xạ   f:\ {\big (}X,\tau _{X}{\big )}\longrightarrow {\displaystyle {\big (}X/\sim ,\tau _{X/\sim }{\big )}} được gọi là ánh xạ thương (identification map) nếu nó toàn ánh và  {\bigg (}U\in \tau _{X/\sim ,\tau _{X/\sim }}\iff f^{-1}{\big (}U{\big )}\in \tau _{X}{\bigg )}.
Một cách tương đương,   f là ánh xạ thương  \iff   f toàn ánh và   X/\sim   đươc trang bị tô pô cuối cùng theo  f.
Cho  {\big (}X,\tau _{X}{\big )} là một không gian tô pô với quan hệ tương đương  \sim  . Khi đó ánh xạ chính tắc (canonical map)   q:\ {\big (}X,\tau _{X}{\big )}\longrightarrow {\displaystyle {\big (}X/\sim ,\tau _{X/\sim }{\big )}} là một ánh xạ thương.
Ví dụ

Phép dán (gluing).  Các nhà tô pô học thường nói về việc dán các điểm lại với nhau. Cho không gian tô pô  {\big (}X,\tau _{X}{\big )}, dán 2 điểm  x,y  trong  X có nghĩa là ta xét không gian thương thu được từ quan hệ tương đương  a\sim b\Leftrightarrow a=b hoặc  (a,b)=(x,y) hoặc  (a,b)=(y,x).
Xét hình vuông đơn vị với quan hệ tương đương   \sim   sinh bởi điều kiện tất cả các điểm biên đều tương đương, do đó ta lập được 1 lớp tương đương gồm tất cả điểm biên của  [0,1]^{2}. Khi đó  {\Big (}[0,1]^{2}/\sim {\Big )}\cong S^{2},  với  S^{2} là một mặt cầu bất kỳ.
Không gian mở rộng (adjunction space).   Tổng quát, cho không gian tô pô {\big (}X,\tau _{X}{\big )} và không gian con  {\big (}A,\tau _{A}{\big )} với   \tau _{A}={\Big \{}A\cap U\ {\big |}\ U\in \tau _{X}{\Big \}}. Ta có thể gộp tất cả phần tử của  A thành một lớp tương đương và tất cả các phần tử của  X\setminus A thành một lớp tương đương., nghĩa là
\forall a\in A,\ [a]=A
\forall b\in X\setminus A,\ [b]=X\setminus A
Khi đó, ta nhận được không gian thương được kí hiệu là  X/A.  Mặt cầu 2 chiều đồng phôi với một hình tròn đóng, với biên được xác định bởi đúng một điểm:  D^{2}/\partial D^{2}.
Xét không gian  \mathbb {R}  với tô pô Euclide, với quan hệ tương đương  x\sim y\Leftrightarrow (x-y)\in \mathbb {Z} . Khi đó  \mathbb {R} /\sim  đồng phôi với đường tròn đơn vị  S^{1} qua phép đồng phôi   [x]\longmapsto e^{\frac {2\pi }{x}}.
Tổng quát hóa của ví dụ trước:  cho  {\big (}G,\cdot ,\tau _{G}{\big )} là một nhóm tô pô tác động liên tục lên không gian tô pô  {\big (}X,\tau _{X}{\big )}. Xét quan hệ tương đương trong  X bởi   x\sim y\Leftrightarrow \exists z\in G:\ x,y\in {\mathcal {O}}_{z}, với   {\mathcal {O}}_{z}=G\cdot z={\big \{}g\cdot z\ {\big |}\ g\in G{\big \}} là quỹ đạo của  z bởi tác động liên tục của  G lên tập hợp tất cả nhóm con của  G. Khi đó  X/\sim  được gọi là không gian quỹ đạo (orbit space), kí hiệu là  X/G. Trong ví dụ trước,  G=\mathbb {Z}  tác động tịnh tiến lên  \mathbb {R} . Không gian quỹ đạo  \mathbb {R} /\mathbb {Z}  đồng phôi với  S^{1}.
Ghi chú:    \mathbb {R} /\mathbb {Z}  là một khái niệm vẫn còn mơ hồ. Nếu hiểu theo nghĩa  \mathbb {Z}  là một nhóm với phép cộng tác động lên  \mathbb {R}  thì không gian thương đồng phôi với đường tròn. Nếu hiểu theo nghĩa   \mathbb {Z}  là một không gian con của  \mathbb {R}  thì không gian thương đồng phôi với vô hạn đếm được cánh hoa giao nhau tại 1 điểm.
Tính chất

Cho  {\displaystyle {\big (}Y,\tau _{Y}{\big )}} là một không gian thương của  {\displaystyle {\big (}X,\tau _{X}{\big )}}. Ánh xạ thương   q:\ {\big (}X,\tau _{X}{\big )}\longrightarrow {\displaystyle {\big (}Y,\tau _{Y}{\big )}},  là đặc trưng trong các toàn ánh do tính chất sau:
cho không gian tô pô  {\big (}Z,\tau _{Z}{\big )} và   f:\ {\big (}Y,\tau _{Y}{\big )}\longrightarrow {\big (}Z,\tau _{Z}{\big )}, khi đó  f liên tục  \iff  f\circ q liên tục.
Không gian thương  X/\sim  cùng với ánh xạ thương   q:\ X\longrightarrow X/\sim  được đặc trưng bởi tính phổ dụng (universal property) : nếu ánh xạ g:\ {\big (}X,\tau _{X}{\big )}\longrightarrow {\big (}Z,\tau _{Z}{\big )} là liên tục và thỏa mãn  g(a)=g(b),\ \forall a,b\in X:\ a\sim b,  thì khi đó  \exists   !  f:\ {\big (}X/\sim ,\tau _{X/\sim }{\big )}\longrightarrow {\big (}Z,\tau _{Z}{\big )} sao cho   g=f\circ q.           Ta nói  g là một ánh xạ hạn chế thương.   Do đó, các ánh xạ liên tục được xác định trên  X/\sim  chính là các ánh xạ được sinh bởi các ánh xạ liên tục được xác định trên  X theo quan hệ tương đương (theo nghĩa là chúng gửi các phần tử tương đương vào cùng một tạo ảnh). Tiêu chí này được sử dụng nhiều khi nghiên cứu không gian thương.
Cho toàn ánh liên tục  q:\ X\longrightarrow X/\sim . Ta có thể đặt câu hỏi với điều kiện nào thì  q là một ánh xạ thương ? Điều kiện đủ là  q là ánh xạ mở (điều này tương đương với  q là ánh xạ đóng).  Lưu ý rằng đây là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần (nhắc lại: cho 2 mệnh đề P và Q, nếu P đúng  \Rightarrow  Q đúng thì P là điều kiện đủ của Q và Q là điều kiện cần của P)  Ta có thể dễ dàng xây dựng các ví dụ về ánh xạ thương mà không phải là ánh xạ mở.   Đối với các nhóm tô pô, ánh xạ thương là ánh xạ mở.
Tương quan với các khái niệm tô pô khác

Sự tách (separation)
Nói chung, hệ tiên đề tách là không đúng đối với các không gian thương. Không gian thương  X/\sim  không nhất thiết kế thừa các tính chất tách của  X, và  X/\sim  có thể có những tính chất tách mà  X không có.
X/\sim  là không gian  T_{1}  \iff  mọi lớp tương đương là đóng trong  X.
Nếu ánh xạ thương là ánh xạ mở, thì  X/\sim   là Hausdorff  \iff   \sim  là một tập con đóng trong không gian tích  {\big (}X\times X,\rho {\big )} với  \rho  là tô pô tích  (nhác lại, một quan hệ toán học 2 ngôi  \sim  trên một tập  X là một tập con của  X\times X, nghĩa là  \sim   \subseteq {\displaystyle X\times X}).
Tính liên thông (connectedness)
Nếu một không gian là liên thông (hoặc liên thông đường) thì mọi không gian thương của nó cũng liên thông (hoặc liên thông đường)
Nếu một không gian là đơn liên (hoặc co rót được-contractible space) thì không gian thương của nó không nhất thiết có các tính chất đó.
Tính compact
Nếu một không gian là compact thì mọi không gian thương của nó cũng compact.
Nếu một không gian là compact địa phương thì không gian thương của nó không nhất thiết compact địa phương.
Số chiều (Dimension)
Số chiều tô pô của một không gian thương có thể lớn hơn hoặc bé hơn số chiều của không gian ban đầu. Đường cong phủ không gian cho ta các ví dụ như vậy.
1 2 3  Manetti (2014), tr. 90
↑  Manetti (2014), tr. 95
↑  Manetti (2014), tr. 30
Thư mục

Manetti, Marco (2014). Topology. ISBN 978-3-319-16958-3.
Ví Lưu trữ 2020-09-29 tại Wayback Machine dụ,  [0,1]/\{0,1\} đồng phôi với đường tròn  S^{1}
Sơ đồ hợp nối  ánh xạ giữa các không gian  X,Y và  Z
Lophomachia picturata

| Lophomachia picturata |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Lophomachia
Loài (species): L. picturata
Danh pháp hai phần
Lophomachia picturata Hampson, 1903 
Lophomachia picturata là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 17 tháng 6 năm 2014.
Lophomachia lepta

| Lophomachia lepta> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Lophomachia
Loài (species): L. lepta
Danh pháp hai phần
Lophomachia lepta West, 1930 
Lophomachia lepta là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 17 tháng 6 năm 2014.