Triết học toán học
Trường phái tư tưởng đương đại > Các lý thuyết tâm trí hiện thân > Chủ nghĩa kinh nghiệm

Chủ nghĩa kinh nghiệm toán học là một hình thức của chủ nghĩa hiện thực phủ nhận rằng toán học có thể được biết đến một tiên nghiệm. Nó nói rằng chúng ta khám phá các sự kiện toán học bằng nghiên cứu thực nghiệm, giống như các sự kiện trong bất kỳ ngành khoa học nào khác. Nó không phải là một trong ba vị trí cổ điển được ủng hộ vào đầu ngày 20   thế kỷ, nhưng chủ yếu phát sinh vào giữa thế kỷ. Tuy nhiên, một người đề xướng sớm quan trọng về quan điểm như thế này là John Stuart Mill. Quan điểm của Mill bị chỉ trích rộng rãi, bởi vì, theo các nhà phê bình, như AJ Ayer, nó đưa ra những tuyên bố như "2 + 2 = 4" được đưa ra dưới dạng những sự thật không chắc chắn, mà chúng ta chỉ có thể tìm hiểu bằng cách quan sát các trường hợp của hai cặp đến với nhau và tạo thành một bộ tứ.
Chủ nghĩa kinh nghiệm toán học đương đại, được xây dựng bởi WVO Quine và Hilary Putnam, chủ yếu được hỗ trợ bởi lập luận tất yếu: toán học là không thể thiếu đối với tất cả các khoa học thực nghiệm và nếu chúng ta muốn tin vào thực tế của các hiện tượng được mô tả bởi các khoa học, chúng ta cũng nên tin vào thực tế của những thực thể cần thiết cho mô tả này. Đó là, vì vật lý cần nói về các điện tử để nói tại sao bóng đèn hoạt động như chúng, thì các electron phải tồn tại. Vì vật lý cần nói về các con số trong việc đưa ra bất kỳ lời giải thích nào, nên số phải tồn tại. Để phù hợp với triết lý chung của Quine và Putnam, đây là một lập luận tự nhiên.
Putnam đã từ chối mạnh mẽ thuật ngữ " Platonist " khi ngụ ý một bản thể học quá cụ thể không cần thiết cho thực hành toán học theo bất kỳ ý nghĩa thực tế nào. Ông ủng hộ một hình thức "chủ nghĩa hiện thực thuần túy" bác bỏ những quan niệm huyền bí về sự thật và chấp nhận nhiều chủ nghĩa kinh nghiệm trong toán học. Điều này phát triển từ sự khẳng định ngày càng phổ biến vào cuối thế kỷ 20 rằng không một nền tảng toán học nào có thể được chứng minh là tồn tại. Đôi khi nó còn được gọi là "chủ nghĩa hậu hiện đại trong toán học" mặc dù thuật ngữ đó được coi là quá tải bởi một số người và xúc phạm người khác. Chủ nghĩa kinh nghiệm thực nghiệm cho rằng khi thực hiện nghiên cứu của mình, các nhà toán học kiểm tra các giả thuyết cũng như chứng minh các định lý. Một lập luận toán học có thể truyền sai lệch từ kết luận đến các tiền đề cũng như nó có thể truyền sự thật từ các tiền đề đến kết luận. Putnam đã lập luận rằng bất kỳ lý thuyết nào về chủ nghĩa hiện thực toán học sẽ bao gồm các phương pháp gần đúng theo kinh nghiệm. Ông đề xuất rằng một loài người ngoài hành tinh làm toán học có thể chủ yếu dựa vào các phương pháp gần đúng theo kinh nghiệm, thường sẵn sàng từ bỏ các bằng chứng nghiêm ngặt và tiên đề, và vẫn có thể thực hiện toán học có lẽ có nguy cơ thất bại cao hơn trong tính toán. Ông đã đưa ra một lập luận chi tiết cho điều này trong Hướng dẫn mới. Chủ nghĩa kinh nghiệm cũng được phát triển bởi Imre Lakatos.
Những lời chỉ trích quan trọng nhất về quan điểm thực nghiệm của toán học là gần giống như quan điểm đối với Mill. Nếu toán học cũng giống như kinh nghiệm như các ngành khoa học khác, thì điều này cho thấy rằng kết quả của nó cũng dễ hiểu như của họ, và cũng như tình cờ. Trong trường hợp của Mill, sự biện minh theo kinh nghiệm xuất hiện trực tiếp, trong trường hợp của Quine, nó đến một cách gián tiếp, thông qua sự gắn kết của toàn bộ lý thuyết khoa học của chúng ta, tức là sự đồng thuận sau EO Wilson. Quine cho rằng toán học dường như hoàn toàn chắc chắn bởi vì vai trò của nó trong mạng lưới niềm tin của chúng ta là cực kỳ trung tâm, và chúng ta sẽ vô cùng khó khăn để sửa đổi nó, mặc dù không phải là không thể.
Đối với một triết lý toán học cố gắng khắc phục một số thiếu sót trong cách tiếp cận của Quine và Gôdel bằng cách xem xét từng khía cạnh của chủ nghĩa hiện thực của Penelope Maddy trong Toán học. Một ví dụ khác về một lý thuyết hiện thực là lý thuyết tâm trí hiện thân.
Để có bằng chứng thực nghiệm cho thấy trẻ sơ sinh của con người có thể làm số học cơ bản, xem Brian Butterworth.