Viễn tải lượng tử
Chi tiết

Giả sử Alice có một electron e1 có trạng thái  |\phi \rangle _{1} = a  |\uparrow \rangle _{1} + b  |\downarrow \rangle _{1} và muốn truyền trạng thái của hạt này cho Bob.
Alice tạo ra một hệ hai electron vướng lượng tử với nhau e2, e3 có trạng thái  |\psi \rangle _{23} =  {\frac {1}{\sqrt {2}}} ( |\uparrow \rangle _{2}|\downarrow \rangle _{3}+|\downarrow \rangle _{2} |\uparrow \rangle _{3})
Alice giữ e2 lại cho mình và đưa e3 cho Bob. Trạng thái của hệ ba hạt là:
|\psi \rangle _{123} =  |\phi \rangle _{1}  |\psi \rangle _{23}
Alice đo trạng thái của hệ 2 hạt e1, e2. Có bốn khả năng xảy ra:
|\psi \rangle _{12}^{+} =  {\frac {1}{\sqrt {2}}} (|\uparrow \rangle _{1}|\downarrow \rangle _{2}+|\downarrow \rangle _{1} |\uparrow \rangle _{2})
|\psi \rangle _{12}^{-} =  {\frac {1}{\sqrt {2}}} (|\uparrow \rangle _{1}|\downarrow \rangle _{2}-|\downarrow \rangle _{1} |\uparrow \rangle _{2})
|\phi \rangle _{12}^{+} =  {\frac {1}{\sqrt {2}}} (|\uparrow \rangle _{1}|\uparrow \rangle _{2}+|\downarrow \rangle _{1} |\downarrow \rangle _{2})
|\phi \rangle _{12}^{-} =  {\frac {1}{\sqrt {2}}} (|\uparrow \rangle _{1}|\uparrow \rangle _{2}-|\downarrow \rangle _{1} |\downarrow \rangle _{2})
Trạng thái của hệ ba hạt:
|\psi \rangle _{123} =  |\phi \rangle _{1}  |\psi \rangle _{23}
= (a  |\uparrow \rangle _{1} + b  |\downarrow \rangle _{1}) ( {\frac {1}{\sqrt {2}}} ( |\uparrow \rangle _{2}|\downarrow \rangle _{3}+|\downarrow \rangle _{2} |\uparrow \rangle _{3}))
=  {\frac {a}{\sqrt {2}}}( |\uparrow \rangle _{1}|\uparrow \rangle _{2}|\downarrow \rangle _{3}-|\uparrow \rangle _{1}|\downarrow \rangle _{2}|\uparrow \rangle _{3}) +  {\frac {b}{\sqrt {2}}}( |\downarrow \rangle _{1}|\uparrow \rangle _{2}|\downarrow \rangle _{3}-|\downarrow \rangle _{1}|\downarrow \rangle _{2}|\uparrow \rangle _{3})
Nhân vô hướng các khả năng với  |\psi \rangle _{123} ta có:
\langle \psi _{12}^{-}|\psi _{123}\rangle ={\frac {1}{2}}(-a|\uparrow \rangle _{3}-b|\downarrow \rangle _{3})
\langle \psi _{12}^{+}|\psi _{123}\rangle ={\frac {1}{2}}(-a|\uparrow \rangle _{3}+b|\downarrow \rangle _{3})
\langle \phi _{12}^{-}|\psi _{123}\rangle ={\frac {1}{2}}(a|\uparrow \rangle _{3}+b|\downarrow \rangle _{3})
\langle \phi _{12}^{+}|\psi _{123}\rangle ={\frac {1}{2}}(a|\uparrow \rangle _{3}-b|\downarrow \rangle _{3})
Bởi vì:
|\psi _{12}^{-}\rangle \langle \psi _{12}^{-}|+|\psi _{12}^{+}\rangle \langle \psi _{12}^{+}|+|\phi _{12}^{-}\rangle \langle \phi _{12}^{-}|+|\phi _{12}^{+}\rangle \langle \phi _{12}^{+}|={\hat {1}}
Ta có:
|\psi \rangle _{123}={\hat {1}}|\psi \rangle _{123}
=  |\psi _{12}^{-}\rangle \langle \psi _{12}^{-}|\psi \rangle _{123}+|\psi _{12}^{+}\rangle \langle \psi _{12}^{+}|\psi \rangle _{123}+|\phi _{12}^{-}\rangle \langle \phi _{12}^{-}|\psi \rangle _{123}+|\phi _{12}^{+}\rangle \langle \phi _{12}^{+}|\psi \rangle _{123}
=  {\frac {1}{2}}(|\psi _{12}^{-}\rangle (-a|\uparrow \rangle _{3}-b|\downarrow \rangle _{3})+|\psi _{12}^{+}\rangle (-a|\uparrow \rangle _{3}+b|\downarrow \rangle _{3})+|\phi _{12}^{-}\rangle (a|\uparrow \rangle _{3}+b|\downarrow \rangle _{3})+|\phi _{12}^{+}\rangle (a|\uparrow \rangle _{3}-b|\downarrow \rangle _{3})
Từ phương trình trên, suy ra:
Nếu Alice đo được  |\psi _{12}^{-}\rangle  thì e3 sẽ có trạng thái  |\psi \rangle _{3}=-a|\uparrow \rangle _{3}-b|\downarrow \rangle _{3}
Bob tác động  {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-a\\-b\end{pmatrix}}=|\phi \rangle _{1}
Nếu Alice đo được  |\psi _{12}^{+}\rangle  thì e3 sẽ có trạng thái  |\psi \rangle _{3}=-a|\uparrow \rangle _{3}+b|\downarrow \rangle _{3}
Bob tác động  {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-a\\b\end{pmatrix}}=|\phi \rangle _{1}
Nếu Alice đo được  |\phi _{12}^{-}\rangle  thì e3 sẽ có trạng thái  |\psi \rangle _{3}=a|\uparrow \rangle _{3}+b|\downarrow \rangle _{3}
Bob tác động  {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix}}=|\phi \rangle _{1}
Nếu Alice đo được  |\phi _{12}^{+}\rangle  thì e3 sẽ có trạng thái  |\psi \rangle _{3}=a|\uparrow \rangle _{3}-b|\downarrow \rangle _{3}
Bob tác động  {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}=|\phi \rangle _{1}