Hệ tiên đề Peano
Phát biểu

Khi Peano phát biểu các tiên đề của mình, ngôn ngữ của logic toán học đang ở giai đoạn sơ khai. Hệ thống ký hiệu logic mà ông tạo ra để trình bày các tiên đề đã không trở nên phổ biến, mặc dù đó là nguồn gốc của ký hiệu hiện đại cho quan hệ liên thuộc (∈, xuất phát từ kí tự ε của Peano) và bao hàm (⊃, xuất phát từ chữ 'C' đảo ngược của Peano). Peano duy trì sự phân biệt rõ ràng giữa các ký hiệu toán học và logic, điều vốn chưa phổ biến trong toán học; một sự tách biệt như vậy lần đầu tiên được giới thiệu trong cuốn Begriffsschrift bởi Gottlob Frege, xuất bản năm 1879. Peano không biết gì về công trình của Frege và đã tái dựng lại bộ máy logic của ông ấy dựa trên công trình của Boole và Schröder.
Các tiên đề Peano xác định các tính chất số học của các số tự nhiên, thường được biểu diễn dưới dạng tập N hoặc  \mathbb {N} . Các ký hiệu phi logic cho các tiên đề bao gồm ký hiệu hằng số 0 và ký hiệu hàm một biến S.
Tiên đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là số tự nhiên:
0 là một số tự nhiên.
Bốn tiên đề tiếp theo mô tả quan hệ bằng nhau. Vì chúng đều đúng về logic trong logic bậc nhất chứa quan hệ bằng nhau, chúng không được coi là một phần của "tiên đề Peano" trong các phương pháp hiện đại.
Với mọi số tự nhiên x, x = x. Tức là, quan hệ bằng nhau có tính phản xạ.
Với mọi số tự nhiên x và y, nếu x = y, thì y = x. Tức là, quan hệ bằng nhau có tính đối xứng.
Với mọi số tự nhiên x, y và z, nếu x = y và y = z, thì x = z. Tức là, quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu.
Với mọi a và b, nếu b là một số tự nhiên và a = b, thì a cũng là một số tự nhiên. Tức là, tập số tự nhiên là đóng dưới quan hệ bằng nhau.
Các tiên đề còn lại xác định các tính chất số học của các số tự nhiên. Các số tự nhiên được coi là đóng dưới một hàm "liền sau" (successor) đơn trị S.
Với mọi số tự nhiên n, S(n) là một số tự nhiên. Tức là, tập số tự nhiên là đóng dưới S.
Với mọi số tự nhiên m và n, m = n khi và chỉ khi S(m) = S(n). Tức là, S là một ánh xạ.
Với mọi số tự nhiên n, S(n) = 0 là sai. Tức là, không tồn tại số tự nhiên nào mà số liền sau là 0.
Công thức ban đầu của Peano về các tiên đề sử dụng 1 thay vì 0 là số tự nhiên "đầu tiên". Lựa chọn này là tùy ý, vì tiên đề 1 không cung cấp thêm bất kỳ thuộc tính bổ sung nào cho số 0. Tuy nhiên, vì 0 là phần tử đơn vị của phép cộng trong số học, nên hầu hết các phát biểu hiện đại của các tiên đề Peano bắt đầu từ số 0. Tiên đề 1, 6, 7, 8 định nghĩa một cách biểu diễn đơn phân của khái niệm trực quan về số tự nhiên: số 1 có thể được định nghĩa là S(0), 2 là S(S(0)), v.v. Tuy nhiên, khi xem xét khái niệm số tự nhiên được xác định bởi các tiên đề này, các tiên đề 1, 6, 7, 8 không ngụ ý rằng hàm liền sau tạo ra tất cả các số tự nhiên khác 0. Nói cách khác, chúng không đảm bảo rằng mọi số tự nhiên khác 0 phải đứng liền sau một số tự nhiên khác.

Khái niệm trực quan rằng mỗi số tự nhiên có thể đạt được bằng cách tìm số liền sau từ số 0 đủ nhiều lần đòi hỏi một tiên đề bổ sung, đôi khi được gọi là tiên đề quy nạp.
Nếu K là một tập hợp thỏa mãn: thì K chứa mọi số tự nhiên.
0 thuộc K, và
với mỗi số tự nhiên n, n thuộc K suy ra S(n) thuộc K,
Tiên đề quy nạp đôi khi được nêu ở dạng sau:
Nếu φ là một vị từ sao cho: thì φ (n ) đúng với mọi số tự nhiên n .
φ(0) đúng, và
với mọi số tự nhiên n, φ(n) đúng bao hàm rằng φ(S(n)) cũng đúng,
Trong công thức ban đầu của Peano, tiên đề quy nạp là một tiên đề bậc hai. Hiện nay người ta thường thay thế nguyên tắc bậc hai này bằng sơ đồ quy nạp bậc nhất yếu hơn. Có sự khác biệt quan trọng giữa các công thức bậc hai và bậc nhất, như được thảo luận trong phần § Mô hình dưới đây.