stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Mặt Mobius
Dải Mobius có biên tròn

Cạnh hay biên của một dải Mobius là đồng phôi (topo tương đương) với một vòng tròn. Theo phép nhúng thường của dải trong không gian Euclide như ở trên, biên không phải là một vòng tròn. Tuy nhiên, nó có thể nhúng một dải Mobius trong không gian ba chiều để các biên là tròn như một vòng tròn. Tham khảo chi tiét hơn tại "Geometry and the imagination"..
Để dễ dàng thấy điều này, ta xét phép nhúng vào quả cầu S3 là một tập hợp con của R4.
Tham số hoá phép nhúng bằng  {z1(η,φ), z2(η,φ)}, với
Ở đây ta ký hiệu số phức trong R4 như trong C2. Tham số η chạy từ 0 đến π và φ là khoảng từ 0 đến 2π. Khi 
 | z1 |2 + | z2 |2 = 1  thì phép nhúng thuộc hoàn toàn vào S3. Biên của dãy là | z2 | = 1 (tương ứng với η=(0,π)), rõ ràng là 1 hình tròn trong không gian 3 chiều.
Để có được một phép nhúng của dải Mobius trong R3 ánh xạ S3 vào R3 thông qua một phép chiếu lập thể. Điểm chiếu có thể là bất kỳ điểm nào trên S3 mà không nằm trên phép nhúng dải Mobius (quy tắc này không áp dụng cho tất cả những điểm chiếu thông thường). Chọn  \left\{1/{\sqrt {2}},i/{\sqrt {2}}\right\}. Phép chiếu lập thể ánh xạ vòng để kết nối và bảo toàn biên của dải. Kết quả là một dải Mobius trơn được nhúng vào R3 với một cạnh tròn và không có phần tự giao.
Các dạng hình học liên quan

Một đối tượng hình học "lạ" liên quan chặt chẽ với Mobius là chai Klein. Một chai Klein có thể được tạo ra bằng cách nối hai dải Mobius lại với nhau dọc theo các cạnh của chúng. Tuy nhiên điều này lại không thể được thực hiện trong không gian Euclid ba chiều thông thường, mà không tạo nút tự giao.
Một dạng đa tạp khác liên quan tới Mobius là mặt phản xạ thực. Nếu một đĩa tròn được cắt ra khỏi mặt phản xạ thực, những gì còn lại sẽ là một dải Mobius. Hay nói cách khác, nếu dán 1 đĩa tròn vào một dải Mobius khi biết biên của nó, ta sẽ được 1 mặt phản xa thực.
Để dễ hình dung điều này, tốt nhất là bạn hãy làm biến dạng biên của dải Mobius thành 1 vòng tròn bình thường (xem ở trên). Mặt phản xạ thực, cũng như chai Klein, không thể  được tạo ra trong không gian 3 chiều mà không có nút tự giao.
Trong lý thuyết đồ thị, thang Mobius là một biểu đồ khối có liên quan chặt chẽ với dải Mobius.
Vào năm 1968, Gonzalo Vélez Jahn (UCV, Caracas, Venezuela) phát hiện ra thể ba chiều với đặc điểm Möbius đặc trưng, sau đó đã được mô tả thành vòng lăng trụ bởi Martin Gardner – sau này là khối đa diện.
Ứng dụng > Âm thanh

Một số ứng dụng kỹ thuật cho các dải Mobius như dải Mobius được áp dụng nguyên lý như băng tải kéo dài trên toàn bộ diện tích bề mặt của vành đai nên có cùng một lượng hao mòn. Chẳng hạn như băng ghi âm liên tục được thiết kế có các vòng lặp (tăng gấp đôi thời gian ghi âm). Mobius phổ biến trong sản xuất máy in vi tính trên vải và băng rôn.
Dải Mobius là không gian cấu hình của hai điểm có thứ tự trên một vòng tròn. Do đó, về mặt lý thuyết âm nhạc, không gian của tất cả các hợp hai nốt âm, được biết đến như những cặp, đều có hình dạng của một dải Mobius, điều này và khái quát đến các điểm là một ứng dụng quan trọng của lý thuyết âm nhạc.
Ứng dụng > Vật lý / điện công nghệ

Lý thuyết về Mobius ứng dụng khá rộng trong lĩnh vực vật lý, tạo ra nhiều thiết bị có tính ứng dụng cao, có thể liệt kê:
như một compact cộng hưởng với tần số cộng hưởng mà là một nửa của giống nhau xây dựng cuộn tuyến tính
như một điện trở giảm cảm ứng
như các chất siêu dẫn nhiệt độ chuyển tiếp cao
Điện trở Mobius là một phần tử mạch điện tử hủy bỏ cảm kháng của chính nó. Nikola Tesla được cấp bằng sáng chế công nghệ tương tự vào năm 1894: "cuộn nam châm điện" đã được sử dụng cùng với hệ thống phát điện toàn cầu mà không cần dây.
Ứng dụng > Hóa học / công nghệ nano

Trong hóa học cũng có nhiều ứng dụng quan trọng của Mobius:
như nút thắt phân tử với các đặc tính đặc biệt (Knotane [2], chirality)
là công cụ phân tử
như khối lượng lá graphit (nano than chì) với các đặc tính điện tử mới, như xoắn ốc từ tính
trong một loại đặc biệt của aromaticity: Mobius aromaticity
hạt tích điện trong từ trường của trái đất có thể di chuyển trên một dải Mobius
các cyclotide (protein vòng) Kalata B1, chất hoạt động của cây Oldenlandia affinis, có topo Mobius cho đường trục kết hợp của hai hay nhiều amino acid tạo thành chuỗi
Ứng dụng > Kiến trúc

Trong kiến trúc, Peter Eisenman có lẽ là người tiên phong phiên chuyển (tuy còn sơ khai) dạng Mobius vào toà nhà "Max Reinhardt Haus". Ở đây tác giả đã gọt phẳng phần tiếp đất nên đã làm hỏng tầm nhìn liên tục của hình Mobius. Mô hình toán học của dải Mobius không được đưa trực tiếp vào công trình nhưng nó lại được khái niệm hoá, và được nhìn thấy trong từng thành phần kiến trúc, chẳng hạn hệ thống ánh sáng, cầu thang và lối đi vào ra của ngôi nhà.
Đồ thị tham số hoá theo dấu tia của dải Mobius
Để biến một hình chữ nhật thành một dải Mobius, cần ghép các cạnh A theo chiều mũi tên như hình vẽ
Hindustan Paper Corporation Ltd. Township Area Panchgram

| Hindustan Paper Corporation Ltd>  Township Area Panchgram |
| --- | --- |
Hindustan Paper Corporation Ltd. Township Area Panchgram
Quốc gia:  Ấn Độ
Bang: Assam
Người sáng lập: Government of India
Dân số (2001)
 • Tổng cộng: 5.578
Múi giờ: UTC+05:30
Hindustan Paper Corporation Ltd. Township Area Panchgram là một thị trấn thống kê (census town) của quận Hailakandi thuộc bang Assam, Ấn Độ.
Nhân khẩu

Theo điều tra dân số năm 2001 của Ấn Độ, Hindustan Paper Corporation Ltd. Township Area Panchgram có dân số 5578 người. Phái nam chiếm 54% tổng số dân và phái nữ chiếm 46%. Hindustan Paper Corporation Ltd. Township Area Panchgram có tỷ lệ 73% biết đọc biết viết, cao hơn tỷ lệ trung bình toàn quốc là 59,5%: tỷ lệ cho phái nam là 79%, và tỷ lệ cho phái nữ là 67%. Tại Hindustan Paper Corporation Ltd. Township Area Panchgram, 14% dân số nhỏ hơn 6 tuổi.
Yoncalı, Suşehri

| Yoncalı |
| --- | --- |
—  Xã  —
 
YoncalıVị trí ở Thổ Nhĩ Kỳ
Quốc gia:  Thổ Nhĩ Kỳ
Tỉnh: Sivas
Huyện: Suşehri
Dân số (2011)
 • Tổng cộng: 51 người
 • Mùa hè (DST): EEST (UTC+3)
Yoncalı là một xã thuộc huyện Suşehri, tỉnh Sivas, Thổ Nhĩ Kỳ. Dân số thời điểm năm 2011 là 51 người.
Chú thích

↑  “Cities, towns and villages in Sivas”. Viện thống kê Thổ Nhĩ Kỳ. Lưu trữ bản gốc ngày 14 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 23 tháng 9 năm 2012.Quản lý CS1: bot: trạng thái URL ban đầu không rõ (liên kết)
Chiến dịch Krym – Sevastopol (1941–1942)

| x t sMặt trận Xô-Đức |
| --- | --- |
Hoạt động hải chiến Biển Baltic • Biển Đen •  Bắc Cực (Rösselsprung • Wunderland) Năm 1941 Barbarossa (Białystok–Minsk • Baltic • Smolensk lần một • Kiev lần một • Leningrad • Kharkov lần một • Krym-Sevastopol • Moskva) • Phần Lan Năm 1942 Lyuban • Rzhev-Sychyovka-Vyazma (Rzhev-Vyazma lần một • Sao Mộc • Sao Hỏa)  • Kharkov lần hai • Blau • Kavkaz • Stalingrad • Sinyavino Năm 1943 Tia Lửa • Kharkov lần ba • Kursk • Smolensk lần hai • Tả ngạn Dniepr • Kiev lần hai Năm 1944 Hữu ngạn Dniepr • Leningrad-Novgorod • Narva • Krym • Karelia • Bagration • Lvov–Sandomierz • Lublin–Brest • Iaşi-Chişinău • Romania • Bulgaria • Baltic • Đông Carpath • Beograd • Debrecen • Petsamo-Kirkenes • Budapest Năm 1945 Wisla–Oder • Tây Carpath • Đông Phổ • Đông Pomerania • Sonnenwende • Hạ Silesia • Thượng Silesia • Hồ Balaton • Morava • Viên • Bratislava • Berlin • Praha • Đức đầu hàng
| x t sChiến dịch Barbarossa |
| --- | --- |
Mặt trận phía bắc Baltic  •  Leningrad (Thiết lập vòng vây) Mặt trận phía nam Brody •  Uman •  Kiev •  Kharkov •   Bessarabia •  Odessa •  Krym-Sevastopol •  Rostov Mặt trận trung tâm Brest •  Bialystok-Minsk •  Smolensk (Yelnya) •  Moskva
| x t sMặt trận Krym |
| --- | --- |
Krym-Sevastopol (1941-1942) •  Bán đảo Kerch (1942) •  Adzhimushkay •  Kerch–Eltigen •  Krym (1944) •  Perekov-Simferopol •  Kerch-Simferopol •  Sevastopol (1944)
Chiến dịch Krym – Sevastopol (1941–1942) bao gồm toàn bộ các trận chiến đấu của quân đội Xô Viết và quân đội Đức Quốc xã cùng với quân Romania tại bán đảo Krym từ tháng 10 năm 1941 cho đến tháng 7 năm 1942 tại ba khu vực mặt trận chủ yếu là khu vực Eupatoria (Yevpatoriya), căn cứ Hải - Lục - Không quân Sevastopol và khu phòng thủ Chiến lũy Thổ Nhĩ Kỳ trên bán đảo Kerch. Đây là một trận chiến dịch lớn trong chiến tranh Xô-Đức, kéo dài suốt từ ngày 30 tháng 10 năm 1941 tới ngày 9 tháng 7 năm 1942 giữa lực lượng của quân phát xít phe Trục với lục quân của Hồng quân Liên Xô, Hạm đội Biển Đen và một phần Không quân Xô Viết nhằm giành quyền kiểm soát khu vực căn cứ hải quân của Hạm đội Biển Đen. Việc chiếm Sevastopol không có ý nghĩa lớn lắm đối với lục quân vì vùng này chỉ là một bán đảo nhưng lại có ý nghĩa lớn đối với hải quân Đức và các đồng minh của họ. Chiếm được Sevastopol, hải quân Đức Quốc xã không chỉ có được một căn cứ hải lục không quân liên hợp mà còn chặn đứng sự chi viện của hải quân Liên Xô đối với các lực lượng lục quân của họ trong những trận đánh ven bờ Biển Đen, và do đó, hạn chế một phần sức kháng cự của lục quân Liên Xô. Sau 250 ngày bao vây và công phá bằng các loại vũ khí hạng nặng và hạng siêu nặng, kể cả đại bác từ loại 305 ly đến loại 800 ly, ngày 9 tháng 7 năm 1942, Quân đội Đức Quốc xã và đồng minh România của họ đã chiếm được Sevastopol với những tổn thất nặng nề.
Bối cảnh cuộc chiến

Cuối tháng 9 năm 1941, quân đội Đức Quốc xã đã chiếm được Smolensk và Kiev, phong tỏa Leningrad. Trên hướng Tây Nam, quân đội Đức cũng đã đạt được những bước tiến đáng kể: trong những trận đánh tại Uman và Kiev, các lực lượng phòng thủ chính của Phương diện quân Tây Nam đã bị bao vây và đánh bại tại "vùng lòng chảo" Lokhvitsa - Romny - Kiev. Quân đội Đức Quốc xã đã chiếm đóng một phần lớn của Ukraina. Trung tuần tháng 9 năm 1941, các đơn vị đi đầu của tập đoàn quân 11 (Đức) đã tiến đến cửa ngõ của bán đảo Krym (Крым) ở miền Nam Ukraina.
Đối với nước Đức Quốc xã, bán đảo Krym có ý nghĩa tác chiến lớn không chỉ đối với lục quân Đức mà còn có ý nghĩa rất lớn đối với không quân và hải quân. Là một bán đảo ăn sâu vào Biển Đen, Krym giống như một "tàu sân bay không thể bị đánh chìm" và có sức khống chế toàn bộ khu vực phía Bắc Biển Đen và các vùng lân cận. Nếu có máy bay ném bom tầm xa, hiệu quả của việc sử dụng các căn cứ không quân tại Krym còn lớn hơn nữa. Hải quân Đức cũng coi Krym là một mối đe dọa thường xuyên đối với các tàu vận tải của họ chuyên chở trang bị, chiến cụ đến miền Nam Liên Xô cho Cụm tập đoàn quân Nam (Đức). Chiếm được Krym, quân Đức có thể tạo một bàn đạp để vu hồi vào Kavkaz từ hướng Tây Nam qua eo biển Kerch. Về phương diện chính trị, chiếm được Krym, nước Đức Quốc xã có thêm điều kiện địa - quân sự để gây sức ép đối với đường lối chính trị của Romania, Bulgaria và đặc biệt là Thổ Nhĩ Kỳ. Đó là nguyên nhân khiến cho Bộ Tư lệnh Cụm tập đoàn quân Nam (Đức) phải huy động toàn bộ tập đoàn quân 11 (Đức) cùng với một bộ phận của tập đoàn quân Romania 3 vào việc vây hãm và đánh chiếm bán đảo Krym.
Đối với Liên Xô, bán đảo Krym có tầm quan trọng mang tính chiến lược về kinh tế và quân sự do nó có đường ống dẫn dầu từ vựa dầu mỏ Kavkaz đến trung tâm Liên Xô thông qua các tuyến đường ống đặt ngầm dưới các eo biển Kerch và Taman. Ngoài ra, Krym cũng là vùng căn cứ không quân quan trọng. Việc để mất các căn cứ không quân tại Krym sẽ tước đi của không quân Xô Viết khả năng không kích vào các vùng khai thác dầu mỏ Ploiesti và cảng Constanta trên đất Romania. Từ đây, quân đội Đức đã có thể vượt qua eo biển Kerch để tấn công các mục tiêu ở Kavkaz. Mặc dù Đức đã chiếm được Odessa nhưng những tàu khu trục và tuần dương của hải quân Liên Xô từ Sevastopol vẫn có khả năng ngăn chặn và đánh chìm các đoàn tàu chở hàng của Đức đến cảng Odessa. Bộ Tổng tư lệnh tối cao quân đội Liên Xô hiểu rõ tầm quan trọng của bán đảo, đã củng cố và tập trung mọi nỗ lực vào việc bảo vệ Krym sau khi đã phải rút khỏi Odessa.
Krym là một bán đảo có "chiếc cổ hẹp" là eo đất Perekop nằm bên cạnh vịnh lầy Shivat nối với lục địa nên việc tiếp cận Krym rất khó khăn bằng đường bộ. Việc tiếp tế bằng tàu vận tải của hải quân được sử dụng phổ biến. Tuy nhiên, trong "cơn choáng váng ban đầu" bởi những đòn tấn công nhanh và mạnh của lục quân Đức Quốc xã mùa hè năm 1941, quân đội Liên Xô đã không đủ lực lượng để tổ chức một trận địa phòng thủ trên tuyến Perekop.
Tương quan lực lượng > Quân đội Đức Quốc xã

Tập đoàn quân dã chiến 11 của Đức do tướng Erich von Manstein chỉ huy được giao nhiệm vụ đánh chiếm bán đảo Krym, bao vây Sevastopol và vô hiệu hóa các cuộc phản kích của Hồng quân Liên Xô tại bán đảo Kerch và khu vực Eupatoria (Yevpatoriya). Vào thời điểm cuộc tiến công cuối cùng của quân Đức diễn ra trong tháng 6 năm 1942, Tập đoàn quân 11 bao gồm 9 sư đoàn bộ binh (tính cả hai sư đoàn mới được tăng cường trong quá trình diễn ra trận đánh) được chia làm 2 quân đoàn; cùng với 2 sư đoàn bộ binh người România và nhiều đơn vị quân khác. Trong biên chế có 180 xe tăng, 400 máy bay và sư đoàn pháo hạng nặng 306 là một trong những đơn vị pháo binh có mật độ hỏa lực lớn nhất và dày đặc nhất của quân đội phát xít Đức.
Tập đoàn quân 11 (Đức) do tướng Erich von Manstein chỉ huy, trong biên chế có:
Sư đoàn pháo binh hạng nặng 306, trong biên chế gồm có:
Đơn vị đặc biệt của Trung đoàn pháo binh 672 (gồm 1 khẩu pháo có cỡ nòng 800 mm di chuyển theo đường ray)
Khẩu đội cối hạng nặng 833 (2 khẩu cối cỡ nòng 600 mm)
Khẩu đội pháo chở trên đường ray số 688 (2 khẩu pháo cỡ nòng 283 mm)
Khẩu đội pháo hạng nặng số 458 (1 bích kích pháo cỡ nòng 420 mm)
Khẩu đội pháo hạng nặng số 459 (1 bích kích pháo cỡ nòng 420 mm)
Tiểu đoàn pháo binh 741 (bích kích pháo 283 mm)
Tiểu đoàn pháo binh 742 (bích kích pháo 283 mm)
Tiểu đoàn pháo binh 743 (bích kích pháo 283 mm)
Tiểu đoàn pháo binh 744 (bích kích pháo 283 mm)
Quân đoàn 65 (Đức):
Tiểu đoàn trinh sát pháo binh số 31 trực thuộc quân đoàn
Tiểu đoàn trinh sát pháo binh số 556 trực thuộc quân đoàn
Sư đoàn bộ binh 22 (Đức) do tướng Ludwig Wolff chỉ huy:
Trung đoàn bộ binh 16
Trung đoàn bộ binh 47
Trung đoàn bộ binh 65
Trung đoàn pháo binh 22
Trung đoàn xung kích 22
Sư đoàn bộ binh 24 (Đức):
Trung đoàn bộ binh 31
Trung đoàn bộ binh 32
Trung đoàn bộ binh 102
Trung đoàn pháo binh 24
Trung đoàn xung kích 24
Sư đoàn bộ binh 50 (Đức):
Trung đoàn bộ binh 121
Trung đoàn bộ binh 122
Trung đoàn bộ binh 123
Tiểu đoàn pháo binh 150
Trung đoàn xung kích 150
Sư đoàn bộ binh 132 (Đức):
Trung đoàn bộ binh 436 (2 tiểu đoàn)
Trung đoàn bộ binh 437 (2 tiểu đoàn)
Trung đoàn bộ binh 438
Trung đoàn pháo binh 132
Trung đoàn bộ binh 213 (2 tiểu đoàn) (đơn vị phối thuộc từ Sư đoàn bộ binh số 73)
Quân đoàn 30 (Đức) do trung tướng Hans von Salmuth chỉ huy:
Tiểu đoàn trinh sát 29 trực thuộc Bộ tư lệnh quân đoàn
Sư đoàn bộ binh nhẹ 28
Trung đoàn bộ binh săn lùng 49
Trung đoàn bộ binh săn lùng 83
Trung đoàn pháo binh 28
Trung đoàn xung kích 28
Sư đoàn bộ binh 72 (Đức)
Trung đoàn bộ binh 105
Trung đoàn bộ binh 124
Trung đoàn bộ binh 266
Trung đoàn pháo binh 172
Trung đoàn xung kích 172
Sư đoàn bộ binh 170 (Đức)
Trung đoàn bộ binh 391
Trung đoàn bộ binh 399
Trung đoàn bộ binh 401 (chỉ có khung trung đoàn)
Trung đoàn pháo binh 240
Trung đoàn xung kích 240
Trung đoàn cơ giới 240
Quân đoàn sơn cước số 1 Romania
Sư đoàn sơn cước số 1 (Romania)
Sư đoàn sơn cước số 4 (Romania)
Sư đoàn sơn cước số 18 (Romania)
Chiến sự tại các cửa ngõ Krym > Trận tấn công Perekop

Tập đoàn quân số 11 (Đức) do tướng Erich von Manstein chỉ huy được giao nhiệm vụ tấn công bán đảo Krym với mục đích thanh toán mối đe dọa đối với sườn phải của Cụm Tập đoàn quân Nam. Bản thân Hitler cũng dự tính sử dụng bán đảo Kerch làm một bàn đạp tấn công vào khu vực Kavkaz.
Von Manstein tin rằng Hồng quân sẽ tổ chức kháng cự rất quyết liệt ngay từ giai đoạn mở đầu chiến dịch Krym, vì vậy ông hoãn đợt tấn công của mình để có thể bổ sung thêm lực lượng cho tiền tuyến. Do các cuộc chiến đấu trên mặt trận phía Đông tạm thời lắng xuống và Tập đoàn quân 51 (Liên Xô) đang bận lo chuẩn bị các công sự phòng thủ, việc chuẩn bị thêm lực lượng cho chiến dịch Krym là hoàn toàn có thể. Tập đoàn quân số 11 được tăng cường thêm 3 quân đoàn và 3 sư đoàn:
Quân đoàn sơn cước 49 (Đức):
Quân đoàn 54 (Đức):
Các sư đoàn được tăng cường cho Quân đoàn 30
Đồng thời, tướng Erich von Manstein còn được nắm quyền chỉ huy Quân đoàn bộ binh sơn chiến 1 (Romania).
Trận Perekop bắt đầu vào ngày 24 tháng 9 năm 1941 khi quân đội Đức Quốc xã tung 2 sư đoàn bộ binh 46 và 73 với yểm hộ của pháo binh và không quân công kích sư đoàn bộ binh 276 (Liên Xô) đang phòng thủ tại eo đất Perekop. Với ưu thế gấp đôi về binh lực, ngày 26 tháng 9, quân đội Đức Quốc xã đã phá vỡ tuyến Chiến lũy Thổ Nhĩ Kỳ và đánh chiếm thành phố Armyansk. Bộ tư lệnh phòng thủ Sevastopol vội vã tung cụm kỵ binh cơ động của thiếu tướng P. I. Batov gồm sư đoàn kỵ binh 40 của đại tá F. F. Kudyurov và sư đoàn bộ binh 271 của đại tá M. A. Titov đến khu vực đột phá khẩu nhưng vẫn không cứu vãn được tình hình. Đến ngày 30 tháng 9, quân đội Liên Xô phải rút lui về Ishunsky (Ishun) và nỗ lực chặn đứng cuộc tấn công của quân đội Đức tại đây với những thiệt hại lớn. Theo tài liệu của Đức, ngay trong lần đầu tấn công, quân Đức đã phá hủy 135 pháo, 112 xe tăng và thiết giáp Liên Xô, bắt gần 10.000 tù binh. Tuy nhiên, theo tướng P. I. Batov, trên eo đất Perekop chỉ rộng 10 km với địa hình đầm lầy không thể triển khai hàng trăm xe tăng. Trung đoàn cơ giới 285 thuộc sư đoàn kỵ binh 40 chỉ có trong biên chế 10 xe tăng T-34 và 50 xe bọc thép các loại T-37 và T-38. Quân của tướng Erich von Manstein cũng bị thiệt hại lớn, hành chục xe tăng và xe thiết giáp chiến lợi phẩm thu được của quân đội Liên Xô sau trận Brody được tung vào trận này cùng với các xe tăng hạng nhẹ của quân Romania đều bị phá huỷ. Phần còn lại của sư đoàn cơ giới SS "Adolf Hitler" và quân đoàn sơn cước 49 lại tạm thời bị chuyển thuộc cho Tập đoàn quân xe tăng 1 đang tiến công trên hướng Rostov và không còn tác dụng yểm hộ cho cánh quân chủ lực đang phải dừng lại trước thị trấn Ishunsky..
Chiến sự tại các cửa ngõ Krym > Cuộc chiến tại thị trấn Ishunsky

Ngày 18 tháng 10, Tập đoàn quân 11 (Đức) tiếp tục mở cuộc tấn công vào Ishunsky với binh lực của 3 sư đoàn bộ binh. Ngoài các đơn bị còn lại của sư đoàn bộ binh 106, sư đoàn kỵ binh 40 và sư đoàn bộ binh 271 rút từ eo đất Perekop về, vị trí này còn được quân đội Liên Xô tăng cường phòng thủ bởi trung đoàn 9 hải quân đánh bộ thuộc hạm đội Biển Đen, có sự yểm hộ của pháo bờ biển. Sau 5 ngày liên tục chiến đấu, quân Đức dần dần ép quân Liên Xô bật ra khỏi thị trấn. Ngày 24 tháng 10, hải quân Hạm đội Biển Đen của Liên Xô tung trung đoàn hải quân đánh bộ vào cuộc phản công, đẩy lùi quân Đức khỏi thị trấn Ishunsky nhưng chỉ giữ được hai ngày. Ngày 26 tháng 10, tướng Erich von Manstein tung một đòn phản kích của hai sư đoàn mới tăng viện vào vị trí tiếp giáp giữa sư đoàn 271 và sư đoàn kỵ binh 40 Liên Xô và đến 28 tháng 10 thì phá vỡ trận tuyến phòng ngự của Quân đội Liên Xô tại Ishunsky.
Mất vị trí then chốt Ishunsky, quân đội Xô Viết đã phải bỏ ngỏ cửa ngõ vào Krym, một phần các đơn vị của quân đội Liên Xô tại khu vực này đã bị tan rã thành từng nhóm nhỏ. Họ tiếp tục dựa vào địa hình núi đá để tổ chức kháng cự và mở các trận đột kích lẻ tẻ vào các cụm quân cơ giới của quân đội Đức Quốc xã. Một phần lớn đã rút về đến Sevastopol và bán đảo Kerch. Mọi cố gắng để chấm dứt việc rút lui quân Liên Xô nhằm tạo được một căn cứ bàn đạp tại bán đảo Kerch đã không thành công. Dưới áp lực tấn công của ba sư đoàn thuộc quân đoàn 42 (Đức), ngày 16 tháng 11, bộ phận còn lại của tập đoàn quân 51 (Liên Xô) đã phải vượt eo biển Kerch sơ tán sang bán đảo Taman với sự yểm hộ và vận chuyển của hải quân và không quân thuộc Hạm đội Biển Đen. Ngày 20 tháng 11, các lực lượng đã chiến đấu tại eo Perekop gồm 5 trung đoàn bộ binh và 3 trung đoàn kỵ binh đã rút về đến Sevastopol sau khi vượt qua dãy núi Krym. Tại đây, các đơn vị này đã nhập vào đội hình của quân đoàn 54 (2 sư đoàn bộ binh, 1 lữ đoàn cơ giới) và quân đoàn bộ binh 30 (2 sư đoàn bộ binh). Quân đội Liên Xô triển khai phòng thủ phía Nam bán đảo Krym mà trung tâm là Sevastopol. Họ cũng cắt đứt tuyến đường sắt từ Alushta đi Sevastopol. Theo P. I. Batov cho rằng có tổng cộng 68.200 sĩ quan và binh sĩ Liên Xô đã tử trận, bị thương và bị bắt làm tù binh trong các trận đánh ở các cửa ngõ vào Krym.
Diễn biến giai đoạn đầu chiến dịch > Quân đội Liên Xô củng cố khu phòng thủ Sevastopol

Khi bắt đầu Cuộc chiến tranh vệ quốc vĩ đại của Liên Xô, công trình phòng thủ khu vực Sevastopol (SOR) là một trong những nơi được tăng cường củng cố mạnh nhất. Công trình này bao gồm hàng chục vị trí phòng thủ kiên cố, các lôcốt, các bãi mìn. Trong hệ thống phòng thủ có hai vị trí kiên cố nhất là các tháp pháo bọc thép («бронебашенные батареи» - ББ), trang bị đại bác tầm xã cỡ lớn. Tháp pháo ББ-30 do thiếu tá G. A. Alexander chỉ huy và tháp pháo ББ-35 do thiếu tá A. Y. Leshchenko chỉ huy, được trang bị hải pháo 305 mm. Ngoài hai tháp pháo này còn có 82 lô cốt ngầm có trang bị hải pháo, 22 vị trí trang bị súng máy đặt trong công sự bê tông và các ụ súng bằng gỗ và đất đắp, 33 km hào chống tăng, 56 km rào kẽm gai và 9.600 quả mìn đã được cài đặt khắp chung quanh thành phố.
Ngày 16 tháng 10, Bộ Tổng tư lệnh quân đội Liên Xô quyết định rút gần 8.000 quân còn lại tại Odessa về tăng cường phòng thủ Sevastopol. Cuối tháng 10, để thống nhất chỉ huy các lực lượng Bộ Tổng tư lệnh tối cao đã thành lập Tập đoàn quân độc lập Duyên hải, chỉ định thiếu tướng I. E. Petrov, nguyên chỉ huy cụm quân duyên hải tại Odessa trước đó làm tư lệnh cụm quân phòng thủ Sevastopol. Đại tá N. I. Krylov làm tham mưu trưởng, chính ủy sư đoàn N. C. Ryzhi là ủy viên hội đồng quân sự. Đến ngày 1 tháng 11 năm 1941, lực lượng Hồng quân phòng thủ tại Sevastopol thuộc Tập đoàn quân độc lập Duyên hải gồm các sư đoàn bộ binh 25, 95, 172, các lữ đoàn hải quân đánh bộ 2, 7, 40, sư đoàn kỵ binh 42 và tiểu đoàn thiết giáp độc lập 120. Ngoài ra, Tập đoàn quân độc lập Duyên hải có từ 3 trung đoàn pháo binh, một trung đoàn không quân tiêm kích và các đơn vị hậu cần.
Diễn biến giai đoạn đầu chiến dịch > Đợt tấn công Sevastopol lần thứ nhất

Từ ngày 30 tháng 10 đến ngày 21 tháng 11 năm 1941, các lực lượng phái đi trước của tập đoàn quân 11 (Đức) gồm hai sư đoàn và một lữ đoàn bộ binh đã tấn công trong hành tiến vào các vị trí tiếp cận ngoại vi Sevastopol. Đến ngày 2 tháng 11, cuộc tấn công đã diễn ra trên tuyến ngoài của khu phòng thủ Sevastopol. Các đơn vị quân đội trong thành phố phòng thủ bên cánh trái. Cánh phải giáp biển được bảo vệ bởi các lực lượng hải quân đánh bộ của hạm đội Biển Đen, pháo bờ biển, các đơn vị chống đổ bộ, pháo binh, phòng không với sự yểm hộ của hai đoàn tàu bọc sắt. Quân phát xít Đức đã cố gắng chọc thủng các tuyến phòng thủ Xô Viết ở phía Bắc, phía Đông Bắc và phía Đông nhưng tất cả các cuộc tấn công đầu tiên đều bị đập tan. Ngày 11 tháng 11, sau khi các đơn vị chủ lực đã tiếp cận ngoại vi thành phố, tướng Erich von Manstein huy động 60.000 quân mở đợt tấn công chính. Sau 10 ngày giao chiến ác liệt, bốn sư đoàn bộ binh, một lữ đoàn cơ giới và một trung đoàn sơn cước Romania chỉ chiếm được một vài vị trí phòng thủ ở vòng ngoài. Hầu hết các mũi tiến công của quân đội Đức vẫn bị chặn lại trên tuyến phòng thủ thứ nhất. Nguyên nhân của việc này là do tướng Manstein đã quyết định lấy trọng điểm của cuộc tấn công từ hướng Đông Nam vì cho rằng tuyến phòng thủ của quân đội Liên Xô ở khu vực này này mỏng hơn. Tuy nhiên, đây lại là nơi do các đơn vị hải quân đánh bộ thiện chiến của Liên Xô phòng thủ. Họ đã lợi dụng được địa hình núi đá hiểm trở để chặn đứng bộ binh Đức. Các xe tăng Đức cũng bị hạn chế tầm hoạt động do địa hình bị chia cắt bởi nhiều ngọn núi cao và vực sâu. Đến tháng 12, các chỉ huy quân đội Liên Xô tại Sevastopol báo cáo về Bộ Tổng tư lệnh rằng tuyến phòng thủ tại đây đã được giữ vững. Thất bại trong trận công phá đầu tiên của quân đội Đức vào Sevastopol còn do một sư đoàn của NKVD Liên Xô không di tản sang Taman theo tập đoàn quân 51 đã chọc thủ phòng tuyến. Họ đã tập hợp lại trong khu vực Simferopol và đánh tập hậu vào sau lưng cánh quân chủ lực của quân đoàn bộ binh 65 (Đức), buộc quân đoàn này phải dồn lực lượng chủ lực sang phía Đông để đối phó.