Tiên đề Euclid về đường thẳng song song
Lịch sử

Từ ban đầu, người ta cho rằng đây không phải là một tiên đề khi nó có thể chứng minh được, và trong suốt hai nghìn năm, có rất nhiều nỗ lực của các nhà toán học trong việc sử dụng bốn tiên đề đầu tiên và các hệ quả của nó để giải quyết vấn đề. Lý do cho những sự cố gắng này là vì, không giống với bốn tiên đề đầu tiên, tiên đề song song này trông không hiển nhiên lắm. Dù cho nhiều nỗ lực đã được bỏ ra, có một số chứng minh được cho là đúng cho tới khi những sai lầm được chỉ ra, với lỗi sai phổ biến nhất thường là thừa nhận những mệnh đề tương đương với tiên đề cần chứng minh, ví dụ như tiên đề của Playfair là đúng. Tiên đề này cũng đã được John Playfair yêu cầu thay thế nguyên bản của Euclid trong một lời bình luận nổi tiếng về Euclid vào năm 1795, tuy nhiên cho tới nay, tiên đề này vẫn là một tiên đề không thể chứng minh.
Proclus (410-485) đã bình luận về bộ sách Cơ sở rằng ông cũng đã thử chứng minh để từ đó rút gọn định đề thứ năm thông qua bốn tiên đề đầu tiên, cũng chỉ ra Ptolemy đã đưa ra một chứng minh sai, tuy nhiên ông cũng không khá hơn là bao. Tuy nhiên, ông cũng đã phát biểu được một mệnh đề tương đương với tiên đề này.
Ibn al-Haytham hay Alhazen (965-1039), một nhà toán học người Ả Rập đã cố gắng chứng minh định đề này bằng phản chứng, việc này đã vô tình giúp ông đưa ra khái niệm về các phép dời hình trong hình học. Ông cũng đưa ra định nghĩa về tứ giác Lambert, mà sau đó được Boris Abramovich Rozenfeld đặt tên là "tứ giác Ibn-al-Haytham-Lambert", và sự chứng minh của ông cũng sử dụng các yếu tố trong tứ giác Lambert và tiên đề của Playfair.
Nhà toán học người Ba Tư Omar Khayyám (1050-1123) cũng đã thử đưa ra chứng minh bằng việc chứng minh một mệnh đề tương tự được đưa ra thông qua bốn mệnh đề ban đầu: "Hai đường thẳng hội tụ sẽ cắt nhau, và không thể khiến hai đường thẳng phân kì ở phía mà chúng hội tụ". Ông cũng đã đưa ra được các kết quả mà sau này thuộc về hình học elliptic và hình học hyperbol, mặc dù định đề mà ông sử dụng chứa đựng nhiều sự mâu thuẫn. Ông không cố gắng chứng minh tiên đề song song như các nhà toán học đi trước và đi sau ông (mà trong đó có Giovanni Girolamo Saccheri), nhưng cũng phát hiện ra rằng nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng mà cắt một đường thẳng khác song song với đường thẳng được cắt. Nếu như hai góc mới được tạo thành là góc vuông, ta thu được tiên đề thứ năm của Euclid, nhưng nếu không phải, hai góc đó hoặc cùng nhọn hoặc cùng tù. Khayyam đã chỉ ra rằng hai trường hợp này sẽ dẫn tới những sự mâu thuẫn chiếu theo tiên đề ông đề ra, tuy nhiên tiên đề của ông không tương đương với tiên đề của Euclid.
Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) trong cuốn "Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya" (Luận về những vấn đề của các đường thẳng song song - viết năm 1250) đã đưa ra những lời phê bình về tiên đề song song và những nỗ lực chứng minh của Khayyam hơn một thế kỉ trước. Nasir cũng đã thử chứng minh tiên đề này bằng phản chứng, và xét các trường hợp mà ngày nay là hình học elliptic/hyperbolic dù không tin những trường hợp này có thể xảy ra.Con trai của ông, Sadr al-Din (được biết tới là Pseudo-Tusi) cũng đã viết một cuốn sách về chủ đề này vào năm 1298 dựa trên những suy nghĩ sau này của người cha - cuốn sách đã đưa ra một trong những tranh cãi sớm nhất về hình học phi Euclid trong việc có một mệnh đề tương đương với tiên đề song song. Ông đã sửa đổi tương đối hệ thống tiên đề và mệnh đề của Euclid, đi kèm với đó là đưa ra các chứng minh mới và khác so với nguyên bản bộ sách Cơ sở. Những nghiên cứu này của Sadr al-Din được lần đầu tiên công khai ở Rome vào năm 1594 và được các nhà hình học châu Âu tiếp tục bổ sung, cũng góp phần giúp Saccheri bắt tay vào vấn đề này mà cuối cùng đưa ra được các phản biện trong lý luận của Sadr và sau đó làm việc với Wallis.
Giordano Vitale (1633-1711) trong cuốn sách Euclide restituo (Tái dựng Euclid, 1680, 1686) của mình đã sử dụng tứ giác Saccheri để chứng minh rằng nếu có 3 điểm trên hai cạnh AB và CD cách đều nhau, thì mọi điểm trên hai đường thẳng này cách đều nhau. Girolamo Saccheri (1667-1733) cũng đã theo đuổi chứng minh tương tự, đã vô tình chứng minh được mệnh đề này đúng từ một trường hợp sai nhưng không thể chứng minh trong trường hợp tổng quát.
Năm 1766, Johann Heinrich Lambert đã viết cuốn Theorie der Parallellinien (Lý thuyết của sự song song) nhưng không xuất bản, mà ở trong đó ông - giống với Saccheri đã cố chứng minh tiên đề thứ năm này. Ông sử dụng đối tượng mà ngày nay ta gọi là tứ giác Lambert - một tứ giác có ba góc vuông. Lambert nhanh chóng loại trừ khả năng rằng góc thứ tư còn lại phải vuông, từ đó đi tới nhiều định lý sau khi coi góc còn lại nhọn hoặc tù. Không giống với Saccheri, ông chưa bao giờ cảm thấy bản thân mình đã chạm được vào sự vô lí của phản chứng khi đi theo hướng này, nhưng cũng đã chứng minh trong hình học phi Euclid rằng tổng ba góc trong một tam giác tăng nếu như diện tích tam giác đó giảm - từ đó đi tới phỏng đoán về khả năng tồn tại một mô hình toán học mới, tuy nhiên không đưa ý tưởng này đi xa hơn.
Khi mà các hướng đi của Khayyam hay Saccheri trong việc chứng minh tiên đề thứ năm của Euclid thông qua việc bác bỏ khả năng duy nhất có thể xảy ra, thế kỉ IXX chứng kiến việc các nhà toán học đã tìm ra những khả năng mới và thấy rằng vấn đề này có thể nằm ở sự thiếu nhất quán về mặt logic. Trong năm 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky công bố nghiên cứu của mình về một loại hình học mới trên một tạp chí tiếng Nga, sau này được tái công bố lại bằng tiếng Đức năm 1840. Năm 1831, János Bolyai đã bổ sung thêm vào cuốn sách do cha ông viết một phụ lục về hình học hyperbol - hay nói theo cách khác ông và Lobachevsky đang cùng phát triển một ý tưởng một cách độc lập với nhau. Carl Friedrich Gauß cũng nghiên cứu vấn đề này nhưng không công bố bất cứ kết quả nào. Sau khi nhận được thư của người cha của Bolyai - Farkas Bolyai nói về kết quả nghiên cứu của Bolyai, ông đã đáp lại rằng:
Nếu tôi nói ngay rằng tôi không thể khen công trình này, chắc hẳn ông sẽ phải bất ngờ lắm, nhưng tôi thật sự không thể. Nếu tôi khen công trình này, chẳng khác nào tôi đang ca ngợi chính mình cả. Xuyên suốt nội dung của bản nghiên cứu này, những điều mà con trai ông đã làm được và những kết quả cậu ấy đã rút ra được, nó gần như giống với những gì tôi đã suy nghĩ và đưa ra, điều đã luôn khiến tôi đau đầu trong suốt ba mươi - ba mươi lăm năm qua.
Các loại hình học hệ quả được phát triển sau này bởi Lobachevsky, Riemann và Henri Poincaré gồm có hình học hyperbol (trong trường hợp góc còn lại nhọn) và hình học elliptic (trong trường hợp góc còn lại tù). Sự độc lập với tiên đề song song của Euclid với các tiên đề khác lần đầu tiên được thể hiện bởi Eugenio Beltrami vào năm 1868.