Nguyên tử hydro
Phân tích giả định > Mô hình Bohr-Sommerfeld

Vào năm 1913, Niels Bohr đo được các mức năng lượng và tần số quang phổ của nguyên tử hydro sau khi làm một số giả định đơn giản để cố gắng sửa chữa mô hình cổ điển đã bị thất bại. Giả định bao gồm:
Electron chỉ có thể tồn tại trong quỹ đạo tròn nhất định, riêng lẻ hay trạng thái tĩnh tại, do đó có những bán kính và năng lượng riêng lẻ nhất định.
Electron không phát ra phóng xạ khi ở một trong những trạng thái này.
Một electron có thể đạt được hay mất đi năng lượng bằng cách nhảy từ một quỹ đạo riêng lẻ sang một quỹ đạo khác.
Bohr cho rằng mô men động lượng của electron được lượng tử hóa với các giá trị:
L=n\hbar  với  n=1,2,3,...
với  \hbar  là hằng số Plank trên  2\pi . Ông ấy cũng nghĩ rằng, lực hướng tâm giữ electron nằm trong quỹ đạo của mình, được phân phát bởi lực Coulomb, và năng lượng đó được bảo tồn. Bohr suy ra được năng lượng của mỗi quỹ đạo của nguyên tử hydro là:
với  m_{e} là khối lượng nghỉ electron,  e là điện tích cơ bản,  \epsilon _{0} là độ từ thấm, và  n là số lượng tử (bây giờ được biết đến như là số lượng tử chính). Dự đoán của Bohr phù hợp với những thí nghiệm đo chuỗi quang phổ của Hydro trước đó, tạo thêm cơ sở vững chắc về một lí thuyết sử dụng các giá trị lượng tử.
Cho  n=1, giá trị
được gọi là đơn vị năng lượng Rydberg. Nó có liên quan đến hằng số Rydberg  R_{\infty } của vật lý nguyên tử với  1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }.
Giá trị chính xác của hằng số Rydberg giả định rằng hạt nhân là lớn vô cùng đối với electron. Với hydro-1, hydro-2 (deuteri), và hydro-3 (triti) hằng số được sửa đổi một chút để sử dụng khối lượng rút gọn của hệ thống, chứ không phải chỉ đơn giản là khối lượng của electron. Tuy nhiên, vì hạt nhân nặng hơn nhiều so với electron nên các giá trị gần như giống nhau. Hằng số Rydberg RM của một nguyên tử hydro (một electron), R được cho là
R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}},
với  M là khối lượng hạt nhân nguyên tử. Với hydro-1, tỉ lệ  m_{\text{e}}/M, là khoảng 1/1836 (hay nói cách khác là tỉ lệ khối lượng electron-proton). Với deuteri và triti, tỉ lệ này lần lượt là khoảng 1/3670 và 1/5497. Những con số này, khi cộng thêm 1 vào mẫu số cho sửa chữa rất nhỏ giá trị của R, và do đó chỉ sửa chữa một chút cho tất cả mức năng lượng trong các đồng vị tương ứng của hydro.
Vẫn còn một số vấn đề về mô hình của Bohr:
nó thất bại trong việc dự đoán các chi tiết quang phổ khác như là cấu trúc tinh tế và cấu trúc siêu tinh tế
nó chỉ có thể dự đoán mức năng lượng chính xác cho bất kì nguyên tử một electron nào thôi (nguyên tử giống hydro)
những giá trị được dự đoán chỉ chính xác với  \alpha ^{2}\approx 10^{-5},  \alpha  là hằng số cấu trúc tinh tế.
Hầu hết những thiếu sót này được sửa chữa bởi mô hình sửa đổi từ Bohr của Arnold Sommerfeld. Ông giới thiệu thêm hai độ tự do, cho phép một electron di chuyển trên một quỹ đạo elip; được biểu thị bởi độ lệch tâm quỹ đạo và xích vĩ của nó đối với một trục được chọn. Điều này tạo ra thêm hai số lượng tử, tương ứng với các mô men động lượng quỹ đạo và hình chiếu của nó lên trục được chọn. Như vậy sẽ sửa lại đúng sự đa dạng của các trạng thái (ngoại trừ cho yếu tố 2 chịu trách nhiệm về spin của electron chưa biết) được tìm thấy. Hơn nữa, khi áp dụng thuyết tương đối hẹp với các quỹ đạo elip, Sommerfeld đã thành công trong việc suy ra được biểu thức đúng cho cấu trúc tinh tế của quang phổ hydro (điều mà giống hệt như trong lí thuyết thuyết Dirac phức tạp nhất). Tuy nhiên, một số hiện tượng được quan sát như hiệu ứng Zeeman bất thường vẫn bỏ ngỏ, không thể giải thích được. Những vấn đề này đã được giải quyết với sự phát triển của cơ học lượng tử và phương trình Dirac. Người ta thường xuyên nhận xét rằng chính phương trình Schrödinger là hoàn hảo hơn lí thuyết Bohr-Sommerfeld trong việc mô phỏng nguyên tử hydro. Tuy nhiên điều này là không phải đúng, vì hầu hết kết quả của việc tiếp cận của cả hai đều trùng lặp hoặc là rất gần giống nhau (một ngoại lệ đáng chú ý là vấn đề của nguyên tử hydro trong từ trường và điện từ trường, không thể giải quyết được trong khuôn khổ của lí thuyết Bohr-Sommerfeld), và cả hai đều thiếu sót do sự vắng mặt của spin electron trong hai lí thuyết. Lí thuyết Bohr-Sommerfeld hoàn toàn thất bại trong việc giải thích các hệ thống nhiều electron (như nguyên tử heli hoặc phân tử hydro), chứng minh sự thiếu hoàn hảo của nó trong việc mô tả hiện tượng lượng tử.