Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng > Đạo hàm Lie

Một khái niệm hữu ích khi lần đầu tiên thảo luận về đạo hàm trong không thời gian cong đó là đạo hàm Lie của một trường vectơ tương ứng với một trường vectơ khác. Để đưa ra toán tử vi phân mới này, đầu tiên chúng ta cần gắn cho một trường vectơ bất kỳ  {\boldsymbol {V}}(x^{\mu }) một họ các đường cong  {\mathcal {C}}_{V}, gọi là đoàn đường cong của  {\boldsymbol {V}}, với  {\boldsymbol {V}} là vectơ tiếp tuyến, tức là
với  \lambda  là tham số thay đổi dọc cung. Thứ hai, chúng ta thấy rằng sự hội tụ cung cấp một ánh xạ  \phi _{\lambda } từ đa tạp vào chính nó. Thực tế, tại một điểm P bất kỳ trên đa tạp, tồn tại một và chỉ một đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua nó. Do vậy điểm P có thể được ánh xạ vào điểm Q bằng cách kéo P dọc theo cung thuộc đoàn đường cong mà nó thuộc về, tức là
với  P={\mathcal {C}}(\lambda _{0}),\quad Q={\mathcal {C}}(\lambda _{0}+\lambda ) với  {\mathcal {C}} là đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua hai điểm P và Q. Rõ ràng là ánh xạ (130) có thể kéo không chỉ các điểm mà còn là toàn bộ một đường cong hay tập hợp của các điểm. Bây giờ giả sử có một trường vectơ thứ hai  {\boldsymbol {U}} gắn với đoàn  {\mathcal {C}}_{U}. Ý tưởng cơ bản về đạo hàm Lie của trường vectơ  {\boldsymbol {U}} tương ứng với trường vectơ  {\boldsymbol {V}} đó là so sánh vectơ  {\boldsymbol {U}}(Q) với vectơ nhận được sau khi kéo  {\boldsymbol {U}}(P) dọc theo đoàn đường cong của  {\boldsymbol {V}}. Theo đó, đạo hàm Lie của  {\boldsymbol {U}} dọc theo  {\boldsymbol {V}} là
với  \phi _{\lambda }^{*}({\boldsymbol {U}}(P)) là vectơ thu được bằng cách lấy vectơ tiếp tuyến tại điểm P thuộc đường cong của đoàn đường cong  {\mathcal {C}}_{U} và kéo (hay dịch chuyển) nó từ P tới Q. Hình 1.2 minh họa hai họ đoàn đường cong và các vectơ tiếp tuyến tương ứng trên chúng.
Theo thành phần tọa độ, phương trình (130) có thể biểu diễn theo phép biến đổi tọa độ như sau:
trong đó  \lambda V^{\mu } là sự thay đổi tọa độ dọc theo đường cong. Vì đạo hàm của  x^{{\mu }'} là
từ đây vec tơ  U^{\mu } biến đổi như sau
Mặt khác,  U^{{\mu }'}(x') trên vế trái của (135) có thể tính thông qua khai triển Taylor
và kết hợp hai phương trình cuối ta thu được
Nếu quay trở lại định nghĩa (131), chúng ta có thể suy luận ra công thức đạo hàm Lie của trường vectơ trong thành phần tọa độ hiệp biến và phản biến như sau
Điều mà chúng ta đã tìm thấy đó là có thể đặc biệt hóa một trường vec tơ thành một trường vô hướng hay tổng quát hóa thành một trường tenxơ bất kỳ. Ví dụ trong trường hợp hàm vô hướng  \phi  và một trường tenxơ tổng quát T, chúng ta có thể lặp lại lập luận ở trên và có
với công thức thứ hai chỉ đơn giản là đạo hàm của trường vô hướng dọc đoàn đường cong V, do đó nó nhấn mạnh rằng đạo hàm Lie có thể coi là sự tổng quát hóa của đạo hàm đối lưu (convective derivative hay material derivative) cho một đa tạp bất kỳ đối với một trường vô hướng dọc một đường cong (cũng xem phương trình (176)).
Rõ ràng từ định nghĩa (131) ta thấy đạo hàm Lie là một toán tử tuyến tính, nghĩa là đối với hai tenxơ tổng quát  {\boldsymbol {Y,Z}} đạo hàm Lie của tổ hợp tuyến tính hai tenxơ này bằng
với a và b là hai hằng số thực. Tương tự, quy tắc Leibnitz cũng áp dụng cho đạo hàm Lie
Hơn nữa, đạo hàm Lie ánh xạ một tenxơ kiểu (m,n) vào một tenxơ khác có cùng kiểu. Do vậy, đạo hàm Lie của ten xơ kiểu (1,1) là
Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng công thức (138) có thể viết thành dạng thu gọn là
mà chúng ta đã bỏ đi dạng thành phần,  [{\boldsymbol {V,U}}] còn được gọi là dấu ngoặc Lie và là thành phần cơ bản trong đại số Lie. Dấu ngoặc Lie cũng được sử dụng để nhấn mạnh một tính chất quan trọng của cơ sở tọa độ  {\boldsymbol {e}}_{\mu }={\boldsymbol {\partial }}_{\mu }. Nói chung, dấu ngoặc Lie của hai cơ sở tọa độ bất kỳ có biểu diễn theo cùng một cơ sở như
với các thành phần C_{\mu \nu }^{\lambda }, mà không phải là thành phần của một tenxơ, được đặt tên là các hệ số cấu trúc. Có thể chứng minh được rằng một hệ cơ sở vectơ là cơ sở tọa độ khi và chỉ khi mọi hệ số cấu trúc của chúng bằng 0.
Từ định nghĩa  {\boldsymbol {e}}_{\mu }={\boldsymbol {\partial }}_{\mu } (ví dụ xem phương trình (37)), thì cơ sở tọa độ có thể được xây dựng từ một hệ tọa độ bất kỳ, ví dụ  \{{\boldsymbol {e}}_{t},{\boldsymbol {e}}_{x},{\boldsymbol {e}}_{y},{\boldsymbol {e}}_{z}\}=\{{\boldsymbol {\partial }}_{t},{\boldsymbol {\partial }}_{x},{\boldsymbol {\partial }}_{y},{\boldsymbol {\partial }}_{z}\} là cơ sở tọa độ trong trường hợp hệ tọa độ Descartes và  \{{\boldsymbol {e}}_{t},{\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\phi }\}=\{{\boldsymbol {\partial }}_{t},{\boldsymbol {\partial }}_{r},{\boldsymbol {\partial }}_{\theta },{\boldsymbol {\partial }}_{\phi }\} là cơ sở tọa độ cho hệ tọa độ cầu. Rõ ràng các thành phần của hệ cơ sở tọa độ chỉ là  e_{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu } khi tính trong cùng một hệ cơ sở đó, nhưng không phải mọi hệ cơ sở tọa độ là trực chuẩn hay  {\boldsymbol {e}}_{\mu }.{\boldsymbol {e}}_{\nu }\neq \eta _{\mu \nu }. Quả vậy, khi sử dụng hệ tọa độ cong, ngay cả trong không thời gian phẳng, cơ sở tọa độ nói chung không là hệ trực chuẩn, nhưng có thể dễ dàng xây dựng lên một hệ trực chuẩn từ hệ này. Ví dụ, xét cơ sở tọa độ  \{{\boldsymbol {e}}_{t},{\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\phi }\} ta có thể xây dựng một hệ cơ sở trực chuẩn  \{{\boldsymbol {e}}_{\hat {t}},{\boldsymbol {e}}_{\hat {r}},{\boldsymbol {e}}_{\hat {\theta }},{\boldsymbol {e}}_{\hat {\phi }}\} như
mà lúc này sẽ trở thành một hệ cơ sở trực chuẩn, chẳng hạn  {\boldsymbol {e}}_{\hat {\mu }}.{\boldsymbol {e}}_{\hat {\nu }}=\eta _{{\hat {\mu }}{\hat {\nu }}}. Hơn nữa, nếu thành phần đầu tiên của một hệ cơ sở trực chuẩn là một vectơ 4-vận tốc của một quan sát viên, thì hệ cơ sở này được gọi là nhóm bốn (tetrad), và nó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đo lường trong thuyết tương đối rộng vì những đo đạc trong hệ cơ sở nhóm bốn là tương đương với đo đạc trong một hệ quy chiếu quán tính. Tính chất quan trọng của hệ cơ sở trực chuẩn mới (147) và (148) đó là nó không phải là hệ cơ sở tọa độ, vì không thể thực hiện phép biến đổi tọa độ đơn giản từ hệ tọa độ Descartes thành hệ này, hay một cách tương đương, các hệ số cấu trúc của hệ cơ sở trực chuẩn khác 0, ví dụ
Vì lý do này mà cơ sở trực chuẩn như (147) và (148) còn được coi là cơ sở phi tọa độ. Kể từ đây chúng ta sẽ ám chỉ cơ sở trực chuẩn với ký hiệu mũ bên trên chỉ số hiệp biến.
Định nghĩa đạo hàm Lie là rất cơ bản mà có thể xác định khi không cần một liên thông hay mêtric nào.