Ma trận (toán học)
Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa > Ma trận vô hạn

Cũng có thể coi ma trận có vô số hàng và/hoặc cột ngay cả khi là các đối tượng vô hạn, người ta không thể viết ra các ma trận như vậy một cách rõ ràng. Tất cả những gì quan trọng là đối với mọi phần tử trong các hàng tập chỉ mục và mọi phần tử trong các cột tập chỉ mục đều có một mục nhập được xác định rõ ràng (các tập chỉ mục này thậm chí không cần phải là tập con của các số tự nhiên). Các phép toán cơ bản của cộng, trừ, nhân vô hướng và chuyển vị vẫn có thể được xác định mà không gặp vấn đề gì; tuy nhiên phép nhân ma trận có thể liên quan đến các phép tổng vô hạn để xác định các mục nhập kết quả và chúng không được định nghĩa nói chung.
Nếu R là bất kỳ vành nào có sự thống nhất, sau đó là vành của các biến thể  M=\bigoplus _{i\in I}R như một mô-đun bên phải R là đẳng cấu với vòng của ma trận hữu hạn cột  \mathbb {CFM} _{I}(R) có mục nhập được chỉ mục bởi  I\times I và mỗi cột chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0. Các tự đồng cấu của M được coi là kết quả mô-đun R bên trái trong một đối tượng tương tự, ma trận hữu hạn hàng  \mathbb {RFM} _{I}(R) mà mỗi hàng chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0.
Nếu ma trận vô hạn được sử dụng để mô tả bản đồ tuyến tính thì chỉ những ma trận đó mới có thể được sử dụng cho tất cả các cột của chúng có trừ một số hữu hạn các mục nhập khác 0, vì lý do sau. Đối với ma trận A để mô tả ánh xạ tuyến tính f: V→W, căn cứ cho cả hai không gian phải được chọn; nhớ lại rằng theo định nghĩa, điều này có nghĩa là mọi vectơ trong không gian có thể được viết duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các vectơ cơ sở, do đó được viết dưới dạng vectơ (cột)  v của hệ số, chỉ có hữu hạn mục nhậpvi là số khác 0. Bây giờ các cột của A mô tả hình ảnh bằng f của các vectơ cơ sở riêng lẻ của V trong cơ sở của W, điều này chỉ có ý nghĩa nếu các cột này chỉ có hữu hạn nhiều mục khác. Tuy nhiên, không có hạn chế đối với các hàng của A: trong kết quả A·v chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 của v có liên quan, vì vậy mỗi một trong số các mục nhập của nó, ngay cả khi nó được cho dưới dạng tổng vô hạn của các tích, chỉ liên quan đến rất nhiều số hạng khác nhau và do đó được xác định rõ ràng. Hơn nữa, điều này dẫn đến việc hình thành một tổ hợp tuyến tính của các cột A mà chỉ liên quan đến hữu hạn trong số chúng một cách hiệu quả, trong khi kết quả chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0 vì mỗi cột đó đều có. Kết quả của hai ma trận thuộc loại đã cho được xác định rõ ràng (với điều kiện là bộ chỉ mục cột và chỉ số hàng khớp với nhau), có cùng kiểu và tương ứng với thành phần của bản đồ tuyến tính.
Nếu R là vành định mức thì điều kiện về tính hữu hạn của hàng hoặc cột có thể được nới lỏng. Với quy chuẩn được đưa ra, chuỗi hoàn toàn hội tụ có thể được sử dụng thay cho các tổng hữu hạn. Ví dụ, ma trận có tổng cột là chuỗi hội tụ tuyệt đối tạo thành một vành. Tương tự, các ma trận có tổng hàng là chuỗi hội tụ tuyệt đối cũng tạo thành một vành.
Ma trận vô hạn cũng có thể được sử dụng để mô tả toán tử trên không gian Hilbert, nơi nảy sinh các câu hỏi hội tụ và liên tục, dẫn đến một số ràng buộc nhất định phải được áp đặt. Tuy nhiên, quan điểm rõ ràng về ma trận có xu hướng làm xáo trộn vấn đề, và các công cụ trừu tượng và mạnh mẽ hơn của Giải tích hàm được sử dụng để thay thế.