Vi phân
Lịch sử vi phân

Khái niệm về vi phân theo nghĩa của một đường tiếp tuyến là một khái niệm rất cũ, quen thuộc đối với các nhà nghiên cứu hình học Hy Lạp như Euclid (c. 300 TCN), Archimedes (c 287-212 TCN.) Và Apollonius của Pergaeus (c. 262 – 190 TCN). Archimedes cũng giới thiệu việc sử dụng infinitesimals, mặc dù chúng chủ yếu được sử dụng để nghiên cứu diện tích và khối lượng hơn là các dẫn xuất và tiếp tuyến; xem sử dụng infinitesimals của Archimedes.
Việc sử dụng infinitesimals để nghiên cứu tốc độ thay đổi có thể được tìm thấy trong toán học Ấn Độ, có lẽ sớm nhất là vào năm 500 sau Công nguyên, khi nhà thiên văn học và nhà toán học Aryabhata (476-550) sử dụng infinitesimals để nghiên cứu quỹ đạo của Mặt trăng. Việc sử dụng infinitesimals để tính toán tỷ lệ thay đổi đã được Bhāskara II (1114411185) phát triển đáng kể; thật vậy, người ta đã lập luận rằng  rằng nhiều khái niệm chính của phép tính vi phân có thể được tìm thấy trong công trình của ông, chẳng hạn như " Định lý Rolle ".
Nhà toán học Ba Tư, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), trong tác phẩm Chuyên luận về phương trình, đã thiết lập các điều kiện để một số phương trình bậc ba có các nghiệm, bằng cách tìm cực đại của đa thức bậc ba thích hợp. Ví dụ, ông đã chứng minh rằng tối đa của biểu thức bậc 3 a x2 — x3 xảy ra khi x = 2a/3 và kết luận rằng phương trình a x2 — x3 = c có chính xác một nghiệm dương khi c = 4 a3/27 và hai nghiệm dương khi 0 < c < 4 a3/27  Nhà sử học khoa học, Roshdi Rashing, đã lập luận rằng al-Tūsī phải sử dụng đạo hàm của hàm bậc 3 để có được kết quả này. Tuy nhiên, kết luận của Rash đã được tranh luận bởi các học giả khác, những người lập luận rằng ông ta có thể thu được kết quả bằng các phương pháp khác không yêu cầu đạo hàm của hàm.
Sự phát triển hiện đại của tính toán thường được ghi nhận cho Isaac Newton (1643-1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), trong đó cả hai người có tiếp cận độc lập  và thống nhất về vi phân và đạo hàm. Tuy nhiên, cái nhìn sâu sắc quan trọng của hai người để được ghi công, là định lý cơ bản của giải tích liên quan đến vi phân và tích phân: điều này làm cho hầu hết các phương pháp trước đây dùng để tính toán diện tích và thể tích, vốn không được mở rộng đáng kể kể từ thời Ibn al -Haytham (Alhazen), trở nên lỗi thời. Đối với ý tưởng về đạo hàm, cả Newton và Leibniz đều xây dựng dựa trên công trình quan trọng trước đó của các nhà toán học như Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens (1629), Blaise Pascal (1623-1662) và John Wallis (1616 sừng1703). Về ảnh hưởng của Fermat, Newton từng viết trong một bức thư rằng " Tôi đã có gợi ý về phương pháp này từ cách vẽ tiếp tuyến của Fermat, và bằng cách áp dụng nó vào các phương trình trừu tượng, trực tiếp và đảo ngược, tôi đã đưa nó thành tổng quát. "  Isaac Barrow thường được công nhận cho sự phát triển ban đầu của đạo hàm. Tuy nhiên, Newton và Leibniz vẫn là những nhân vật quan trọng trong lịch sử của vi phân, không chỉ bởi vì Newton là người đầu tiên áp dụng vi phân vào vật lý lý thuyết, trong khi Leibniz đã phát triển một cách có hệ thống phần lớn các ký hiệu vi phân mà vẫn được sử dụng cho đến ngày nay.
Từ thế kỷ 17, nhiều nhà toán học đã đóng góp cho lý thuyết về vi phân. Vào thế kỷ XIX, giải tích đã được các nhà toán học như Augustin Louis Cauchy (1789 –1857), Bernhard Riemann (1826 –1866) và Karl Weierstrass (1815 – 1897). Cũng trong thời kỳ này, vi phân được khái quát hóa thành không gian Euclide và mặt phẳng phức.
Đường tiếp tuyến tại (x,f(x))
Đạo hàm tại các điểm khác nhau của hàm phân biệt