Quỹ đạo

Một quỹ đạo hoặc đường bay là đường di chuyển của một vật thể có khối lượng chuyển động trong không gian theo thời gian. Trong cơ học cổ điển, quỹ đạo của một vật được xác định bởi cơ học Hamilton thông qua tọa độ chính tắc; do đó, một quỹ đạo hoàn chỉnh được xác định bởi vị trí và động lượng của vật . Quỹ đạo trong cơ học lượng tử là không xác định do nguyên lý bất định Heisenberg phát biểu rằng vị trí và động lượng không thể đo được đồng thời.
Trong cơ học cổ điển, quỹ đạo có thể là của một vật bị ném hoặc vệ tinh. Ví dụ, nó có thể là một quỹ đạo của hành tinh, một tiểu hành tinh hoặc sao chổi khi nó di chuyển xung quanh một thiên thể trung tâm.
Trong lý thuyết điều khiển, quỹ đạo là một tập hợp các trạng thái của hệ động lực (xem ví dụ Bản đồ Poincaré). Trong toán học rời rạc, một quỹ đạo là một chuỗi  (f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} } các giá trị được tính toán bởi ứng dụng lặp của ánh xạ  fđến một yếu tố  x của nguồn của nó.
Minh họa cho thấy quỹ đạo của một viên đạn bắn vào một mục tiêu.
-- Quỹ đạo vật lý --
Một ví dụ quen thuộc của một quỹ đạo là đường đi của một viên đạn, chẳng hạn như một quả bóng được ném hoặc đá. Trong một mô hình được đơn giản hóa, vật thể chỉ di chuyển dưới ảnh hưởng của trường lực hấp dẫn đồng nhất..Trong phép tính gần đúng này, quỹ đạo có hình dạng của một hình parabol. Nói chung khi xác định quỹ đạo, có thể cần phải tính đến lực hấp dẫn không đồng nhất và sức cản không khí (lực cản và khí động học). Đây là trọng tâm của định luật đạn đạo.
Một trong những thành tựu đáng chú ý của cơ học Newton là các định luật Kepler. Trong trường hấp dẫn của một khối điểm hoặc khối lượng mở rộng đối xứng hình cầu (như Mặt trời), quỹ đạo của một vật chuyển động là một hình nón, thường là hình elip hoặc hyperbola.  này phù hợp với quỹ đạo quan sát của hành tinh, sao chổi, và tàu vũ trụ nhân tạo, mặc dù nếu một sao chổi đi gần Mặt trời, sau đó nó cũng bị ảnh hưởng bởi khác lực như gió mặt trời và áp suất bức xạ, làm thay đổi quỹ đạo và khiến sao chổi đẩy vật chất vào không gian.
Lý thuyết của Newton sau này đã phát triển thành nhánh của vật lý lý thuyết được gọi là cơ học cổ điển. Nó sử dụng toán học của phép tính vi phân (cũng được Newton khởi xướng khi còn trẻ). Trong nhiều thế kỷ, vô số nhà khoa học đã đóng góp cho sự phát triển của hai ngành này. Cơ học cổ điển trở thành một minh chứng nổi bật nhất về sức mạnh của tư duy duy lý, tức là lý trí, trong khoa học cũng như công nghệ. Nó giúp hiểu và dự đoán một loạt các hiện tượng; quỹ đạo là một ví dụ.
Xét một hạt có khối lượng  m, di chuyển trong một lĩnh vực tiềm năng  V. Về mặt vật lý, khối lượng đại diện cho quán tính và trường  V đại diện cho các lực lượng bên ngoài của một loại cụ thể được gọi là "bảo thủ". Được lực  V tại mọi vị trí liên quan, có một cách để suy ra lực liên kết sẽ hoạt động tại vị trí đó, đến từ trọng lực. Tuy nhiên, không phải tất cả các lực lượng có thể được thể hiện theo cách này.
Chuyển động của hạt được mô tả bởi phương trình vi phân bậc hai
Ở phía bên tay phải, lực được đưa ra theo  \nabla V, độ dốc của điện thế, được lấy tại các vị trí dọc theo quỹ đạo. Đây là dạng toán của định luật chuyển động thứ hai của Newton: lực bằng với gia tốc khối lượng cho các tình huống như vậy.