Emmy Noether
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên thứ hai (1920–26) > Điều kiện dây chuyền tăng và giảm

Trong kỷ nguyên này, Noether trở lên nổi tiếng với điều kiện dây chuyền tăng (Teilerkettensatz) hoặc giảm (Vielfachenkettensatz). Một dãy các tập hợp con không rỗng A1, A2, A3, v.v. của một tập hợp S được nói là tăng dần, nếu mỗi tập là tập con của tập hợp tiếp theo
Ngược lại, một dãy các tập hợp con của S được gọi là giảm dần nếu mỗi tập con chứa tập hợp tiếp theo:
Một dây chuyềntrở thành không đổi sau một số hữu hạn các bước nếu tồn tại n sao cho  A_{n}=A_{m} đối với mọi m ≥ n. Tập hợp chứa các tập con của một tập hợp cho trước thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu bất kỳ dãy tăng nào trở thành không đổi (hằng số) sau một số hữu hạn các bước. Nó thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm nếu bất kỳ dãy giảm nào trở thành không đổi sau một số hữu hạn các bước.
Các điều kiện dây chuyền tăng và giảm là rất tổng quát, chúng có thể áp dụng nhiều kiểu đối tượng toán học—và nhìn bề ngoài chúng có vẻ như không phải là công cụ mạnh cho lắm. Noether chỉ ra bằng cách nào có thể sử dụng những điều kiện này để tận dụng tối đa ưu điểm của chúng: ví dụ, làm cách nào để sử dụng chúng để chứng minh rằng mỗi tập hợp của những đối tượng con có một phần tử cực đại/cực tiểu hoặc một đối tượng phức có thể sinh ra từ một số các phần tử nhỏ hơn. Những kết luận này thường là bước quan trọng trong phép chứng minh.
Nhiều đối tượng trong đại số trừu tượng thỏa mãn hai điều kiện dây chuyền, và nếu chúng thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng, chúng được gọi là Noetherian để vinh danh bà. Bằng định nghĩa, vành Noetherian thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng trên các i đê an trái và phải của nó, trong khi nhóm Noetherian được định nghĩa là một nhóm mà mọi điều kiện tăng giới hạn của các nhóm con là hữu hạn. Mô đun Noetherian là mô đun trong đó mọi điều kiện tăng giới hạn của các mô đun con kết thúc sau một số hữu hạn bước. Không gian Noetherian là không gian tô pô trong đó mọi điều kiện tăng giới hạn của các không gian con mở kết thúc sau một số hữu hạn các số hạng, định nghĩa này được sử dụng để cho phổ của một vành Noetherian là không gian tô pô Noetherian.
Điều kiện dây chuyền thường được thừa hưởng bởi các đối tượng con. Ví dụ, mọi không gian con của một không gian Noetherian tự chúng là các Noetherian; mọi nhóm con và nhóm thương của một nhóm Noetherian là Noetherian; và, mutatis mutandis, điều tương tự co các mô đun con và mô đun thương của một mô đun Noetherian. Mọi vành thương của một vành Noetherian là Noetherian, nhưng điều đó không nhất thiết phải thỏa mãn đối với các vành con của nó. Điều kiện dây chuyền cũng có thể được thừa hưởng từ những tổ hợp hoặc mở rộng của một đối tượng Noetherian. Ví dụ, tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Noetherian là Noetherian, như vành của các chuỗi lũy thừa trên một vành Noetherian.
Ứng dụng khác của các điều kiện dây chuyền là trong phép quy nạp Noetherian, một sự tổng quát hóa của phép quy nạp toán học. Các nhà đại số thường sử dụng nó để giản lược những phát biểu tổng quát về tập hợp các đối tượng thành phát biểu cho những đối tượng cụ thể trong tập hợp đó. Giả sử rằng S là tập sắp thứ tự bộ phận (partially ordered set). Một cách để chứng minh phát biểu về các đối tượng trong S là giả sử sự tồn tại của một phản ví dụ và suy luận ra sự mâu thuẫn, do vậy chứng minh được phát biểu ban đầu. Giả thuyết cơ bản của phép đệ quy Noetherian là mỗi tập con không rỗng của S chứa một phần tử cực tiểu. Đặc biệt, tập hợp mọi phản ví dụ chứa một phần tử cực tiểu, phần tử phản ví dụ cực tiểu. Để có thể chứng minh phát biểu ban đầu, do đó, chỉ cần chứng minh vừa đủ một số thứ mà dường như yếu hơn: Đối với bất kỳ phản ví dụ nào, tồn tại một phản ví dụ nhỏ hơn.