Nghịch lý đường bờ biển
Khía cạnh toán học

Khái niệm cơ bản về chiều dài thì bắt nguồn từ Khoảng cách Euclid. Trong hình học Euclid, một đường thẳng biểu thị khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm. Đường này chỉ có một độ dài. Trên bề mặt của một hình cầu, điều này được thay thế bằng chiều dài trắc địa (còn gọi là chiều dài vòng tròn lớn), được đo dọc theo đường khúc (đường cong) bề mặt có tồn tại trong mặt phẳng chứa cả điểm cuối và tâm của hình cầu. Độ dài của các đường khúc cơ bản [en] thì rắc rối hơn nhưng cũng có thể được tính toán. Đo bằng thước kẻ thì người ta có thể tính xấp xỉ độ dài của đường khúc (cụ thể ở đây là đường cong) bằng cách cộng tổng của các đoạn thẳng nối các điểm:
Sử dụng ít đoạn thẳng để tính xấp xỉ độ dài của đường khúc thì sẽ tạo ra ước lượng thấp hơn độ dài thực; nếu tăng số lượng các đoạn thẳng lên nhiều hơn, tổng đấy sẽ tiếp cận độ dài thực của đường khúc. Có thể tìm ra giá trị chính xác cho độ dài này bằng cách sử dụng vi tích phân – nhánh toán học giúp tính toán các khoảng cách nhỏ li ti. Hoạt họa sau đây minh họa cách mà chúng ta có thể định rõ một độ dài chính xác một cách có ý nghĩa cho một đường khúc trơn nhẵn [en]:
Tuy nhiên, không phải tất cả các đường khúc đều có thể được đo lường theo cách này. Theo định nghĩa, một fractal là một đường khúc có độ phức tạp thay đổi theo thang đo. Trong khi phép xấp xỉ một đường khúc trơn nhẵn có xu hướng tiến đến một giá trị đơn nhất khi độ chính xác của phép đo tăng lên, thì giá trị đo được cho một fractal lại không hội tụ.
Đường khúc Sierpiński (một dạng Đường khúc lấp đầy không gian) – có cùng một mô thức được lặp lại ở quy mô càng ngày càng nhỏ – này có độ dài liên tục tăng lên. Nếu hiểu là lặp đi lặp lại bên trong một không gian hình học có thể chia nhỏ vô hạn, thì chiều dài của nó có khuynh hướng tới vô cùng. Đồng thời, cái "diện tích" mà được đường khúc này bao bọc thì lại hội tụ về một hình thù chính xác – cũng một cách tương tự, phần đất liền của một hòn đảo thì có thể được tính toán một cách dễ dàng hơn độ dài đường bờ biển của nó.
Vì chiều dài của đường khúc fractal luôn phân kỳ tới vô cực, nên nếu người ta đo đường bờ biển với độ phân giải vô cùng hoặc gần vô cùng, thì độ dài của các đoạn khúc khuỷu vô hạn trong đường bờ biển sẽ cộng lên vô cùng. Tuy nhiên, con số này dựa trên giả định rằng không gian có thể được chia nhỏ thành các phần nhỏ vô cùng. Giá trị chân lý của giả định – được làm nền cho hình học Euclid và dùng như một mô hình hữu ích trong việc đo lường hằng ngày – này là một vấn đề của tư biện triết học, và có thể có hoặc không phản ánh các thực tế hay biến đổi của "không gian" và "khoảng cách" tại mức nguyên tử (xấp xỉ quy mô của một na-nô-mét). Chẳng hạn, độ dài Planck – nhỏ nhiều bậc cỡ hơn một nguyên tử – được đề xuất làm đơn vị đo lường nhỏ nhất có thể trong vũ trụ.
Các đường bờ biển về mặt kiến tạo đều mang tính ít minh xác hơn những 'fractal trong lý tưởng' như tập Mandelbrot bởi vì chúng được hình thành bởi nhiều sự kiện tự nhiên khác nhau, các sự kiện đấy tạo ra các mô thức theo những cách mang tính ngẫu nhiên thống kê [en], trong khi đó các 'fractal trong lý tưởng' đều được hình thành thông qua các lần lặp lại của các 'trình tự đơn giản, mang tính công thức'.