Toán học của thuyết tương đối rộng
Đa tạp không thời gian > Ý nghĩa hình học của vectơ phản biến và vectơ hiệp biến

Chúng ta có thể kết hợp các định nghĩa trên đây để đi đến một miêu tả thống nhất về vectơ phản biến và vectơ hiệp biến. Đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa gradien dọc một đường cong (27) và viết lại thành
do đó vectơ phản biến  \mathbf {V}  có thể được coi như là một đối tượng hình học tiếp tuyến với đường cong có tham số  \lambda  và đo tỉ số  {d\phi }/{d\lambda } cho một hàm vô hướng bất kỳ  \phi  dọc đường cong. Theo cách này, có thể coi vectơ là đại lượng độc lập với hệ tọa độ, và xác định lên, ít nhất trong một miền lân cận nhất định, đường cong mà nó tiếp xúc. Thành phần phản biến  V^{\mu } của nó cho phép đo sự thay đổi của hệ tọa độ dọc theo đường cong đó và những thứ này có mối liên hệ chặt với cách lựa chọn hệ tọa độ; một hệ tọa độ khác sẽ dẫn tới những thành phần tọa độ khác, cũng như hàm gradien  ({\tilde {d}}\phi )_{\mu } khác.
Tất nhiên, chúng ta có thể thực hiện mà không cần hàm vô hướng  \phi  trong (1.35) và coi vectơ như là một đối tượng xác định bằng
mà chúng ta đưa ra ký hiệu
để chỉ bốn vectơ cơ sở  \{e_{\mu }\} dọc theo hướng xác định bởi tọa độ  \{x_{\mu }\} Những cơ sở vectơ này, mà có liên hệ chặt với hệ tọa độ đang áp dụng, được gọi là tọa độ cơ sở. Theo cách này, biểu thức (36) nói một cách đơn giản rằng  \mathbf {V}  là tổ hợp của các thành phần phản biến  V^{\mu } dọc theo hướng tọa độ.
Định nghĩa vectơ theo phương trình (36) mang bản chất hình học của vectơ và có vẻ rất khác thường. Nhưng thực ra nếu xem xét kỹ, khi coi đa tạp ba chiều đi kèm với đạo hàm theo hướng (directional derivative)  \{{\boldsymbol {\partial }}/{{\boldsymbol {\partial x}}^{i}}\} với cơ sở vectơ  \{e_{i}\} của giải tích vectơ cổ điển, khi đó rõ ràng rằng vectơ trong (36) lại được biểu diễn trùng với hệ ba vectơ ba chiều, tức là
khi  {\overrightarrow {\mathbf {V} }} được biểu diễn trong hệ tọa độ DeCartes (phương trình thứ hai) và trong hệ tọa độ cầu (phương trình thứ ba) hoặc trong bất kỳ cơ sở tọa độ nào. Cách nhìn mới về vec tơ này cũng hữu ích khi mở ra cách nhìn mới về đối vectơ hay một dạng một (covector, one form). Quả vậy, chúng ta có thể quay trở lại định nghĩa trong (35) và xét tới vectơ hiệp biến  {\boldsymbol {\tilde {d}}} như là một toán tử  {\boldsymbol {{\tilde {d}}(.)}} tác dụng lên vectơ sao cho khi áp dụng đối với vectơ  \mathbf {V}  nó trả lại một số thực, nghĩa là
Khi coi là một toán tử tác dụng lên vectơ, đối vec tơ là một toán tử tuyến tính tức là
với a, b là các hệ số hằng số. Ngoài ra, nó còn tuân theo luật phân phối
Cách giải thích hình học này đã thực sự thống nhất các khái niệm vectơ và đối vectơ (1-dạng, 1-form). Theo cách này, một vec tơ  \mathbf {V}  xác định lên đường cong mà nó tiếp tuyến với, trong dạng một  {\tilde {d}} xác định gradien của một hàm vô hướng dọc cùng cung đó. Hơn nữa, dạng một tác dụng lên vectơ tạo ra một số độc lập với tọa độ và do vậy là bất biến tương đối tính. Tính chất quan trọng này được chứng minh bắt đầu bằng định nghĩa (39) khi viết trong hệ tọa độ mới  \{x^{\mu '}\}
Tính chất bất biến này cũng áp dụng cho định nghĩa (36) của vectơ và cho phép chúng ta suy ra quy tắc biến đổi của cơ sở vectơ
do đó, gộp các thành phần của vectơ  \mathbf {V}  ta được
Vì thế, đối với mọi vectơ không tầm thường ta có
Mặc dù biểu thức (45) không phải là phương trình biến đổi cho thành phần tọa độ, nhưng chúng ta nhận ra ngay lập tức sự tương tự giữa (45) và quy tắc biến đổi cho thành phần của đối vectơ trong (32). Vì vậy có thể nói rằng cơ sở vectơ biến đổi theo quy tắc giống như các thành phần của đối vectơ biến đổi và theo "cách ngược lại" với thành phần của vectơ. Chú ý rằng chữ "ngược" trong dấu hai phẩy vì nếu ta đọc biến đổi vectơ cơ sở trong (45) như là biểu diễn ma trận của sự thay đổi cơ sở, thì biểu diễn ma trận tương ứng trong (19) chấp nhận nghịch đảo của ma trận chuyển vị sử dụng trong (45) chứ không phải nghịch đảo của ma trận này (xem ở phần Gradien của hàm số).
Cuối cùng, khi đã giới thiệu định nghĩa cơ sở vectơ, sẽ tự nhiên khi đặt ra câu hỏi về định nghĩa cơ sở của đối vectơ do vectơ và đối vectơ (hay dạng một) là những đại lượng đối ngẫu, nghĩa là
do đó một cơ sở vectơ  \{{\boldsymbol {e}}_{\nu }\} sinh ra một cơ sở đối vectơ  \{{\boldsymbol {{\tilde {\omega }}^{\mu }}}\}, và bất kỳ một đối vectơ  {\boldsymbol {\tilde {p}}} có thể biểu diễn theo các thành phần của nó
Để chứng minh (46) là đúng, chúng ta có thể sử dụng (36) và (47) để nhận được