stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Cracca conferta

| Cracca conferta> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Chi (genus): Cracca
Loài (species): C. conferta
Danh pháp hai phần
Cracca conferta (F. Muell.) Kuntze, 1891 
Cracca conferta là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được (F. Muell.) Kuntze mô tả khoa học đầu tiên năm 1891.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cracca conferta”. Truy cập ngày 6 tháng 6 năm 2013.
Indigofera prieureana

| Indigofera prieureana> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Chi (genus): Indigofera
Loài (species): I. prieureana
Danh pháp hai phần
Indigofera prieureana Guill. & Perr. 
Indigofera prieureana là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được Guill. & Perr. miêu tả khoa học đầu tiên.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Indigofera prieureana”. Truy cập ngày 5 tháng 6 năm 2013.
Harpactea rubicunda

| Harpactea rubicunda |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Phân ngành (subphylum): Chelicerata
(không phân hạng): Arachnomorpha
Lớp (class): Arachnida
Bộ (ordo): Araneae
Họ (familia): Dysderidae
Chi (genus): Harpactea
Loài (species): H. rubicunda
Danh pháp hai phần
Harpactea rubicunda (C. L. Koch, 1838) 
De Harpactea rubicunda (tên tiếng Anh: grote schorscelspin) là một loài nhện trong họ Dysderidae.
Loài này thuộc chi Harpactea en được miêu tả năm 1838 bởi Carl Ludwig Koch. Loài này được phát hiện ở België.
Chú thích

↑  Platnick, Norman I. (2010): The world spider catalog, version 10.5. American Museum of Natural History.
Granges-sur-Vologne

| --- | --- |
 Granges-sur-Vologne
Granges-sur-Vologne
Vị trí trong vùng Lorraine Granges-sur-Vologne 
Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Grand Est
Tỉnh: Vosges
Quận: Saint-Dié-des-Vosges
Tổng: Corcieux
Liên xã: Cộng đồng các xã Monts de Vologne
Xã (thị) trưởng: Sylvie Broglio (2008-2014)
Thống kê
Độ cao: [chuyển đổi: số không hợp lệ] (bình quân [chuyển đổi: số không hợp lệ])
Diện tích đất1: 29,64 km2 (11,44 dặm vuông Anh)
INSEE/Mã bưu chính: 88218/ 88640

Granges-sur-Vologne là một xã, nằm ở tỉnh Vosges trong vùng Grand Est của Pháp. Xã này có diện tích 29,64 km², dân số năm 1999 là 2449 người. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 499 m trên mực nước biển.
Dân địa phương tiếng Pháp gọi là Gringeauds.
Biến động dân số

| 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2626 | 2753 | 2794 | 2758 | 2485 | 2449 |
Số liệu từ năm 1962: Dân số không tính trùng
Heterocerus solitarius

| Heterocerus solitarius> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Coleoptera
Họ (familia): Heteroceridae
Chi (genus): Heterocerus
Loài (species): H. solitarius
Danh pháp hai phần
Heterocerus solitarius Pacheco, 1973 
Heterocerus solitarius là một loài bọ cánh cứng trong họ Heteroceridae. Loài này được Pacheco miêu tả khoa học đầu tiên năm 1973.
Chú thích

↑  Hallan, J.  (2010) Synopsis of the described Coleoptera of the World 6 juni 2010
Heriades arnoldi

| Heriades arnoldi> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Hymenoptera
Họ (familia): Megachilidae
Phân họ (subfamilia): Megachilinae
Tông (tribus): Osmiini
Chi (genus): Heriades
Loài (species): H. arnoldi
Danh pháp hai phần
Heriades arnoldi Friese, 1922 
Heriades arnoldi là một loài Hymenoptera trong họ Megachilidae. Loài này được Friese mô tả khoa học năm 1922.
Chú thích

↑  (2008) Integrated Taxonomic Information System (ITIS) Bee Checklist 3 oktober 2008
Kannahalli, Tirumakudal Narsipur

| Kannahalli |
| --- | --- |
—  Làng  —
 
Quốc gia:  Ấn Độ
Bang: Karnataka
Huyện: Mysore
Tehsil: Tirumakudal Narsipur
Múi giờ: IST (UTC+5:30)
Kannahalli là một làng thuộc tehsil Tirumakudal Narsipur, huyện Mysore, bang Karnataka, Ấn Độ.
Chú thích

↑  “Danh sách làng thuộc bang Karnataka”. Bộ Nhà ở Ấn Độ. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2012.
↑  “Làng Kannahalli”. Onefivenine.com. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2012.
Lubino

| Lubino |
| --- | --- |
—  Settlement  —
 
Lubino
Country:  Ba Lan
Voivodeship: West Pomeranian
County: Koszalin County
Gmina: Bobolice
Múi giờ: UTC+1, UTC+2 
Lubino [luˈbinɔ] (tiếng Đức: Christophshagen)  là một khu định cư ở khu hành chính của Gmina Bobolice, thuộc quận Koszalin, West Pomeranian Voivodeship, ở phía tây bắc Ba Lan.
Trước năm 1945, khu vực này là một phần của Đức.
HMS Superb (25)

Về những tàu chiến Anh Quốc khác mang cùng tên, xin xem HMS Superb.
| Lịch sử> Anh Quốc |
| --- | --- |
Tên gọi:  HMS Superb
Xưởng đóng tàu:  Swan Hunter, Wallsend, Tyne and Wear
Đặt lườn:  23 tháng 6 năm 1942
Hạ thủy:  31 tháng 8 năm 1943
Nhập biên chế:  16 tháng 11 năm 1945
Xuất biên chế:  1957
Số phận:  Bị tháo dỡ tại Dalmuir bởi hãng Arnott Young, 8 tháng 8 năm 1960
Đặc điểm khái quát
Lớp tàu:  Lớp tàu tuần dương Minotaur
Trọng tải choán nước:  8.885 tấn Anh (9.028 t) (tiêu chuẩn) 11.560 tấn Anh (11.750 t) (đầy tải)
Chiều dài:  555,5 ft (169,3 m)
Sườn ngang:  64 ft (20 m)
Mớn nước:  17,25 ft (5,26 m)
Động cơ đẩy:  4 × turbine hơi nước hộp số Parsons 4 × nồi hơi ống nước Admiralty 4 × trục công suất 72.500 shp (54.100 kW)
Tốc độ:  31,5 hải lý trên giờ (58,3 km/h)
Tầm xa:  2.000 hải lý (3.700 km) ở tốc độ 30 hải lý trên giờ (60 km/h) 8.000 hải lý (15.000 km) ở tốc độ 16 hải lý trên giờ (30 km/h)
Tầm hoạt động:  1.850 tấn (1.820 tấn Anh) dầu
Thủy thủ đoàn tối đa:  867
Vũ khí:  9 × pháo BL 6 in (150 mm) Mark XXIII (3×3) 10 × pháo QF 4 in (100 mm)/45 caliber Mk 16 HA (5×2) 16 × pháo phòng không QF 2 pounder (4×4) 6 × pháo phòng không 40 mm (6×1) 6 × ống phóng ngư lôi 21 inch (530 mm) (2×3)
Bọc giáp:  đai giáp chính: 3,25–3,5 in (83–89 mm); sàn tàu: 2 in (51 mm); tháp pháo: 1–2 in (25–51 mm); vách ngăn: 1,5–2 in (38–51 mm)
HMS Superb (25) là một tàu tuần dương hạng nhẹ lớp Minotaur được chế tạo cho Hải quân Hoàng gia Anh Quốc trong Chiến tranh Thế giới thứ hai. Nó được đặt lườn bởi hãng Swan Hunter tại Wallsend, Tyne and Wear vào ngày 23 tháng 6 năm 1942, được hạ thủy vào ngày 31 tháng 8 năm 1943 và đưa ra hoạt động vào ngày 16 tháng 11 năm 1945.
Superb là chiếc cuối cùng trong lớp Minotaurs được chế tạo, và được hoàn tất theo một thiết kế khác biệt đôi chút so với các thành viên dẫn trước trong lớp. Việc chế tạo những chiếc chị em với nó chưa hoàn tất bị ngưng lại sau khi chiến tranh kết thúc, và sau đó chúng bị tháo dỡ hoặc cải biến thành lớp tàu tuần dương tên lửa điều khiển Tiger.
Superb có một quảng đời hoạt động không mấy nổi bật, trải qua một thời gian như là soái hạm của Chuẩn Đô đốc Sir Herbert Packer. Nó cũng can dự vào vụ Khủng hoảng eo biển Corfu. Nó được cho ngừng hoạt động vào năm 1957; và bị bán ba năm sau đó. Nó được kéo đến xưởng tàu Dalmuir của hãng Arnott Young vào ngày 8 tháng 8 năm 1960 để tháo dỡ.
Harpactea paradoxa

| Harpactea paradoxa> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Phân ngành (subphylum): Chelicerata
(không phân hạng): Arachnomorpha
Lớp (class): Arachnida
Bộ (ordo): Araneae
Họ (familia): Dysderidae
Chi (genus): Harpactea
Loài (species): H. paradoxa
Danh pháp hai phần
Harpactea paradoxa Dunin, 1992 
Harpactea paradoxa là một loài nhện trong họ Dysderidae.
Loài này thuộc chi Harpactea. Harpactea paradoxa được miêu tả năm 1992 bởi Dunin.
Chú thích

↑  Platnick, Norman I. (2010): The world spider catalog, version 10.5. American Museum of Natural History.
Coussarea macrophylla

| Coussarea macrophylla> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Gentianales
Họ (familia): Rubiaceae
Chi (genus): Coussarea
Loài (species): C. macrophylla
Danh pháp hai phần
Coussarea macrophylla (Mart.) Müll.Arg. 
Coussarea macrophylla là một loài thực vật có hoa trong họ Thiến thảo. Loài này được (Mart.) Müll.Arg. mô tả khoa học đầu tiên năm 1875.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Coussarea macrophylla”. Truy cập ngày 3 tháng 6 năm 2013.
Hạng (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, hạng (rank) của một ma trận A là số chiều của không gian vectơ được sinh (span) bởi các vectơ cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc lập tuyến tính tối đa của A, và như vậy, cũng chính là số chiều của không gian vectơ sinh bởi các hàng của ma trận trên. Vì vậy hạng là một con số chỉ sự "không suy biến" của hệ phương trình tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính được biểu diễn bởi A. Còn có nhiều định nghĩa tương đương khác của khái niệm hạng. Hạng của một ma trận là một trong những thuộc tính cơ bản nhất của nó.
Hạng của A thường được ký hiệu là rank(A) hay rk(A), r(A); hoặc đôi khi cũng có thể viết không có dấu ngoặc như sau, rank A.
Định nghĩa

Trong mục này, chúng ta đưa ra một số định nghĩa về hạng của một ma trận.
Hạng cột (column rank) của A là số chiều của không gian cột của A, trong khi đó hạng hàng (row rank) của A là số chiều của không gian hàng của A (hoặc, đó là số hàng không phải là hàng zero của ma trận bậc thang rút gọn Ar).
Một kết quả quan trọng trong đại số tuyến tính đó là, hạng cột và hạng hàng luôn luôn bằng nhau. Giá trị các hạng này đơn giản được đồng nhất gọi là hạng của A.
Một ma trận được gọi là có hạng đầy đủ nếu hạng của nó bằng số hạng lớn nhất có thể của một ma trận có cùng kích thước, và đó là cái nhỏ hơn trong hai giá trị số hàng và số cột của A. Ngược lại, một ma trận được gọi là thiếu hạng nếu nó không có hạng đầy đủ.
Hạng cũng là số chiều của không gian ảnh của biến đổi tuyến tính được cho bởi phép nhân với ma trận A.
Tổng quát hơn, nếu một toán tử tuyến tính  \Phi  trên một không gian vectơ (có thể vô hạn chiều) có ảnh có số chiều hữu hạn (ví dụ một toán tử hữu hạn hạng), thì hạng của toán tử được định nghĩa là số chiều của ảnh:
trong đó  \dim  là số chiều của không gian vectơ, còn  \operatorname {img}  là ảnh của ánh xạ (toán tử).
Ví dụ

Ma trận sau đây
có hạng bằng 2: bởi vì hai cột đầu tiên của nó là độc lập tuyến tính, vì thế hạng ít nhất là 2, nhưng vì cột thứ ba là một tổ hợp tuyến tính của hai cột đầu (nó là cột thứ nhất trừ đi cột thứ hai), ba cột này là phụ thuộc tuyến tính, vì thế hạng phải nhỏ hơn 3.
Ma trận
có hạng bằng 1: có các cột khác không, vì vậy hạng là một số dương, nhưng bất kỳ cặp cột nào cũng phụ thuộc tuyến tính. Tương tự, chuyển vị của nó
cũng có rank bằng 1.
Thật vậy, vì các vectơ cột của A là các vectơ hàng của chuyển vị của A,  từ mệnh đề rằng hạng cột của một ma trận bằng hạng hàng ta có mệnh đề tương đương rằng hạng của một ma trận bằng hạng của chuyển vị của nó, rank(A) = rank(AT).
Một số ví dụ khác
A=\left[{\begin{matrix}2&3&1&8\\0&3&0&2\\0&0&-1&9\\\end{matrix}}\right]\Rightarrow r(A)=3
B=\left[{\begin{matrix}1&3&3&0\\1&0&0&5\\0&0&0&0\\\end{matrix}}\right]\Rightarrow r(B)=2
Tính toán hạng của ma trận > Đưa về dạng hàng bậc thang

Bài chi tiết: Phép khử Gauss
Một cách tiếp cận thông dụng để tìm hạng của một ma trận là đưa nó về một dạng đơn giản hơn, thường là dạng hàng bậc thang rút gọn, bằng các phép biến đổi hàng sơ cấp. Các phép biến đổi hàng không làm thay đổi không gian hàng (vì thế không làm thay đổi hạng hàng), và bởi tính khả nghịch, chúng ánh xạ không gian cột tới một không gian đẳng cấu (vì thế cũng không làm thay đổi hạng cột). Một khi đã đưa về dạng bậc thang rút gọn, hạng của cột và hàng rõ ràng là như nhau, và bằng số phần tử chính (pivot) hay số cột chính, cũng là số hàng khác zero.
Ví dụ, ma trận A được cho bởi
có thể được đưa về dạng hàng bậc thang rút gọn bằng dãy các phép biến đổi sơ cấp trên hàng sau:
Ma trận cuối cùng đã được đưa về dạng hàng bậc thang rút gọn có hai hàng khác zero và vì vậy rank của ma trận A là 2.
Tính toán hạng của ma trận > Tính toán

Khi áp dụng cho các tính toán với dấu phẩy động trên máy tính trong thời gian thực, sử dụng phương pháp khử Gauss (phân tích LU) có thể không hiệu quả, và thay vào đó nên sử dụng một thuật toán phân tích tìm hạng. Một phương pháp thay thế hiệu quả là phép phân tích giá trị suy biến (Singular value decomposition hay SVD), nhưng cũng có các cách ít tốn kém hơn, như phân tích QR có chọn phần tử chính (vì thế được gọi là phân tích tìm hạng QR), vẫn mạnh hơn về mặt tính toán số học so với phép khử Gauss. Việc xác định hạng bằng số yêu cầu một tiêu chí để quyết định khi nào một giá trị (chẳng hạn như một giá trị suy biến từ SVD) thì nên được coi là bằng 0, một lựa chọn thực tế phụ thuộc vào cả ma trận và mục đích ứng dụng.
Chứng minh hạng hàng bằng hạng cột

Một kết quả cơ bản trong đại số tuyến tính đó là hạng hàng và hạng cột của một ma trận là đồng nhất với nhau. Có nhiều chứng minh đã được đưa ra. Một trong những chứng minh đơn giản nhất đã được phác trong mục trên. Sau đây là một biến thể của cách chứng minh này:
Dễ chỉ ra rằng thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp không làm thay đổi cả hạng hàng và hạng cột. Bởi vì phép khử Gauss chính là thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp, dạng hàng bậc thang rút gọn của ma trận có cùng hạng hàng và hạng cột với ma trận ban đầu. Tiếp tục thực hiện các biến đổi sơ cấp trên cột để đưa ma trận về dạng một ma trận đơn vị có thể với các hàng và cột toàn số 0 ở xung quanh. Một lần nữa, thao tác này không làm thay đổi hạng hàng hay hạng cột. Ta thấy ngay hạng hàng và hạng cột của ma trận kết quả này đều bằng nhau và bằng số phần tử khác 0 trong nó.
Sau đây trình bày hai chứng minh khác của kết quả này. Chứng minh thứ nhất sử dụng các tính chất cơ bản của tổ hợp tuyến tính của các vectơ, và vẫn đúng với trường bất kỳ. Chứng minh này dựa trên Wardlaw (2005). Chứng minh thứ hai sử dụng tính trực giao và vẫn đúng với ma trận trên trường số thực; dựa trên Mackiw (1995). Cả hai chứng minh có trong sách của Banerjee và Roy (2014).
Chứng minh hạng hàng bằng hạng cột > Chứng minh sử dụng tổ hợp tuyến tính

Cho A là một ma trận m × n. Ký hiệu hạng cột của A là r, và c1, …, cr là một cơ sở bất kỳ của của không gian cột của A, đặt vào các cột của một ma trận C có kích thước m × r. Mỗi cột của A có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của r cột trong C. Điều này có nghĩa là tồn tại một ma trận R cỡ r × n sao cho A = CR. R là ma trận mà cột thứ i của nó gồm các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của r vectơ cột của C để tạo ra cột thứ i của A. Nói cách khác, R là ma trận chứa các bội của các vectơ cơ sở của không gian cột của A, còn C là ma trận gồm các vectơ cơ sở đó, hai ma trận này kết hợp để tạo ra A. Bây giờ, ta có mỗi hàng của A được cho bởi một tổ hợp tuyến tính của r hàng trong R. Vì vậy các hàng của R lập thành một hệ sinh của không gian hàng của A, và theo bổ đề trao đổi Steinitz, hạng hàng của A không thể vượt quá r. Điều này chứng tỏ rằng hạng hàng của A chỉ có thể là nhỏ hơn hoặc bằng hạng cột của A. Kết quả này có thể được áp dụng đối với ma trận bất kỳ, vì thế có thể áp dụng với chuyển vị của A. Vì hạng hàng của chuyển vị của A là hạng cột của A và hạng cột của chuyển vị của A là hạng hàng của A, chúng ta cũng có bất đẳng thức với chiều ngược lại, suy ra hạng hàng và hạng cột của A phải bằng nhau. (Xem thêm Phân tích hạng.)
Chứng minh hạng hàng bằng hạng cột > Chứng minh sử dụng tính trực giao

Cho A là một ma trận m × n với các phần tử là số thực với hạng hàng là r. Do đó, số chiều của không gian hàng của A là r. Gọi x1, x2, …, xr là một cơ sở của không gian hàng của A. Ta khẳng định rằng các vectơ Ax1, Ax2, …, Axr là độc lập tuyến tính. Để chứng tỏ, xét một liên hệ đồng nhất tuyến tính với các vectơ trên với các hệ số vô hướng c1, c2, …, cr:
trong đó v = c1x1 + c2x2 + ⋯ + crxr.  Ta quan sát rằng: (a) v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong không gian hàng của A, suy ra v thuộc không gian hàng của A, và (b) vì Av = 0, vectơ v trực giao với mọi vectơ hàng của A và, vì vậy, cũng trực giao với toàn bộ các vectơ trong không gian hàng của A. Từ (a) và (b) ta suy ra v trực giao với chính nó, điều này dẫn đến v = 0 hay là, theo định nghĩa của v,
Nhưng nhớ rằng xi được chọn là các vectơ cơ sở của không gian hàng của A và vì vậy độc lập tuyến tính. Suy ra c1 = c2 = ⋯ = cr = 0.  Vậy Ax1, Ax2, …, Axr cũng độc lập tuyến tính.
Đến đây, ta thấy mỗi vectơ Axi hiển nhiên là thuộc không gian cột của A. Vì thế, Ax1, Ax2, …, Axr là một tập hợp r vectơ độc lập tuyến tính trong không gian cột của A, suy ra số chiều của không gian cột của A (hay hạng cột của A) phải ít nhất bằng r. Điều này cho thấy hạng hàng của A không lớn hơn hạng cột của A. Bây giờ áp dụng kết quả này với chuyển vị của A để được bất đẳng thức chiều ngược lại và kết thúc như chứng minh trước.
Các định nghĩa khác

Trong tất cả các định nghĩa dưới đây, ma trận A được coi là có kích thước m × n trên một trường bất kỳ F.
Các định nghĩa khác > Số chiều của ảnh

Cho ma trận A, nó là biểu diễn của một ánh xạ tuyến tính
được định nghĩa bởi
Hạng của A được định nghĩa là số chiều của ảnh của  f.  Định nghĩa này có một ưu điểm là nó có thể áp dụng cho bất kỳ một ánh xạ tuyến tính nào mà không cần có ma trận biến đổi cụ thể.
Các định nghĩa khác > Hạng và số chiều của hạt nhân

Cho biến đổi tuyến tính f như trên, hạng là n trừ đi số chiều của hạt nhân của f (số vô hiệu). Từ định lý về hạng và số vô hiệu ta suy ra định nghĩa này là tương đương với định nghĩa trên.
Các định nghĩa khác > Hạng cột – số chiều của không gian cột

Hạng của ma trận A là số các cột độc lập tuyến tính c1, c2, …, ck tối đa của A; đây chính là số chiều của không gian cột của A (không gian cột là một không gian con của Fm được sinh bởi các vectơ cột của A, mà đây cũng chính là ảnh của ánh xạ tuyến tính f  liên hệ với A).
Các định nghĩa khác > Hạng hàng – số chiều của không gian hàng

Hạng của ma trận A là số các hàng độc lập tuyến tính tối đa của A; đây là số chiều của không gian hàng của A.
Các định nghĩa khác > Phân tích hạng

Hạng của A là số nguyên nhỏ nhất k sao cho A có thể được phân tích dưới dạng  A=CR, trong đó C là một ma trận m × k và R là ma trận k × n. Thật vậy, với mọi số nguyên k, những điều sau đây là tương đương:  (1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5) (xem phần trên)
hạng cột của A nhỏ hơn hoặc bằng k,
Tồn tại k cột c1, …, ck cỡ m sao cho mỗi cột của A là một tổ hợp tuyến tính của c1, …, ck,
tồn tại một ma trận C cỡ m × k  và một ma trận R cỡ k × n sao cho A = CR (nếu k là hạng, tích này gọi là phân tích hạng của A),
tồn tại k hàng r1, …, rk cỡ n sao cho mỗi hàng của A là một tổ hợp tuyến tính của r1, …, rk,
hạng hàng của A nhỏ hơn hoặc bằng k.
Để chứng minh mệnh đề (3) từ mệnh đề (2), chọn C là ma trận có các cột là c1, …, ck từ (2). Để chứng minh (2) từ (3), chọn c1, …, ck là các cột của C.
Từ sự tương đương  (1)\Leftrightarrow (5) suy ra hạng hàng bằng hạng cột.
Tương tự trường hợp định nghĩa "số chiều của ảnh", có thể mở rộng khái niệm hạng cho một biến đổi tuyến tính bất kỳ: hạng của một biến đổi tuyến tính f : V → W là số chiều tối thiểu k của một không gian trung gian X sao cho f  có thể được biểu diễn dưới dạng ánh xạ hợp của hai ánh xạ V → X và X → W. Tuy nhiên, định nghĩa này không cho một cách hiệu quả để tính toán hạng (nên sẽ tốt hơn nếu dùng các định nghĩa thay thế). Xem thêm chi tiết tại phân tích hạng.
Các định nghĩa khác > Hạng theo giá trị suy biến

Hạng của A bằng số giá trị suy biến khác 0, cũng là số phần tử khác 0 trên đường chéo của Σ trong phép phân tích giá trị riêng  A=U\Sigma V^{*}.
Các định nghĩa khác > Hạng theo định thức – kích thước của định thức con khác 0 lớn nhất

Hạng của A là bậc lớn nhất trong bất kỳ các định thức con trong A. (Bậc của một định thức con là cỡ của ma trận vuông con mà nó là định thức.) Giống như cách định nghĩa theo phân tích hạng, định nghĩa này không cho một cách hiệu quả để thực hiện tính hạng của ma trận, nhưng lại hữu ích về mặt lý thuyết: bậc của một định thức con đơn có cận dưới chính là hạng của ma trận, điều này có thể hữu ích, ví dụ trong việc chứng minh rằng một số phép toán không làm hạng của ma trận giảm đi.
Ma trận chứa một định thức con bậc p khác 0 (của ma trận con cỡ p × p với định thức khác 0) cho thấy các hàng và cột của ma trận con đó là độc lập tuyến tính, và do đó các hàng và cột đó của ma trận đầy đủ là độc lập tuyến tính, vì vậy hạng cột và hạng hàng ít nhất là bằng hạng theo định thức. Tuy nhiên, điều ngược lại không dễ chứng tỏ. Để làm rõ sự tương đương giữa hạng theo định thức và hạng cột ta cần làm mạnh hơn mệnh đề rằng nếu span của n vectơ có số chiều p, thì chỉ cần p trong số n các vectơ ấy để sinh không gian đó (một cách tương đương, ta khẳng định rằng ta có thể chọn một hệ sinh là một tập hợp con của các vectơ): từ điều này suy ra rằng một tập hợp con của các hàng và một tập hợp con của các cột đồng thời xác định một ma trận con khả nghịch (hay có thể nói, nếu span của n vectơ có số chiều p, thì p vectơ trong số các vectơ ấy cũng có thể sinh ra không gian đó và tồn tại một tập hợp gồm p tọa độ mà chúng độc lập tuyến tính).
Các định nghĩa khác > Hạng tenxơ

Bài chi tiết: Phân tích hạng tenxơ và Hạng tenxơ
Tính chất

Giả thiết rằng A là một ma trận m × n, và ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính f liên hệ với nó bởi f(x) = Ax như trên.
Hạng của một ma trận m × n là một số nguyên không âm và không thể lớn hơn m hay n. Tức là,
Chỉ có ma trận không là có hạng bằng 0.
r(A)=r({{A}^{T}}), trong đó A là ma trận thực.
Nếu hai ma trận A và B là tương đương thì  r(A)=r(B).
f là đơn ánh (hay "một-tới-một") khi và chỉ khi ma trận A có hạng bằng n (trong trường hợp này ta nói A có hạng cột đầy đủ).
f là toàn ánh khi và chỉ khi A có hạng bằng m (trong trường hợp này ta nói A có hạng hàng đầy đủ).
Nếu A là một ma trận vuông (tức là m = n), thì A khả nghịch khi và chỉ khi A có hạng bằng n (tức là A có hạng đầy đủ).
Nếu B là một ma trận cỡ n × k bất kỳ thì ta có bất đẳng thức
Cho B là một ma trận n × k có hạng bằng n, ta có
Cho C là một ma trận l × m có hạng bằng m
Hạng của A bằng r khi và chỉ khi tồn tại một ma trận khả đảo X cỡ m × m và một ma trận khả đảo Y cỡ n × n sao cho
Bất đẳng thức hạng Sylvester: nếu A là một ma trận m × n và B là ma trận n × k, ta có
Bất đẳng thức của Frobenius: nếu các tích AB, ABC và BC được xác định thì ta có
Tính cộng dưới:
Hạng cộng với số chiều của hạt nhân của một ma trận bằng số cột của ma trận đó. (Đây là định lý về hạng và số vô hiệu.)
Nếu A là một ma trận trên trường số thực thì rank của A và rank của ma trận Gram tương ứng là bằng nhau. Do đó, đối với ma trận thực
Nếu A là một ma trận trên trường số phức và  {\overline {A}} ký hiệu cho ma trận liên hợp phức của A và A∗ là chuyển vị liên hợp của A (tức là liên hợp Hermite của A), thì
Ứng dụng

Một ứng dụng hữu ích, điển hình của việc tính hạng của ma trận là xét số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính. Theo định lý Rouché–Capelli, hệ phương trình không nhất quán nếu hạng của ma trận bổ sung lớn hơn hạng của ma trận hệ số. Ngược lại, nếu hạng của hai ma trận này bằng nhau thì hệ phải có ít nhất một nghiệm. Nghiệm là duy nhất khi và chỉ khi hạng này bằng số biến. Nếu không, nghiệm tổng quát có k tham số (biến) tự do trong đó k là hiệu giữa số biến và hạng. Trong trường hợp này (và giả sử hệ phương trình số thực hoặc phức) thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Trong lý thuyết điều khiển, hạng của ma trận có thể được sử dụng để xác định xem một hệ thống tuyến tính là có thể điều khiển được hay có thể quan sát được.
Trong lĩnh vực về độ phức tạp truyền thông, hạng của ma trận truyền thông của một chức năng đưa ra giới hạn về lượng truyền thông cần thiết để hai bên tính toán chức năng.