Số nguyên
Tính chất

Giống như các số tự nhiên,  \mathbb {Z}  là tập hợp đóng với các phép toán cộng và nhân, tức là tổng và tích của hai số nguyên bất kỳ là một số nguyên. Tuy nhiên, với việc bao gồm cả các số nguyên âm (và quan trọng là 0),  \mathbb {Z} , không giống như các số tự nhiên, cũng là tập hợp đóng với phép trừ.
Các số nguyên tạo thành một vành đơn vị, vốn là vành cơ bản nhất, theo nghĩa sau: đối với bất kỳ vành đơn vị nào, đều có một  phép đồng cấu duy nhất từ các số nguyên vào vành này. Thuộc tính phổ quát này, cụ thể là một đối tượng ban đầu trong loại vành, là đặc trưng cho vành  \mathbb {Z} .
\mathbb {Z}  không đóng với phép chia, vì thương của hai số nguyên (ví dụ: 1 chia cho 2) có thể không là số nguyên. Mặc dù các số tự nhiên là đóng với phép lũy thừa, nhưng các số nguyên thì không (vì kết quả có thể là một phân số khi số mũ là âm).
Bảng sau liệt kê một số tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân đối với bất kỳ số nguyên a, b và c:
|  | Phép cộng | Phép nhân |
| --- | --- | --- |
| Tính đóng: | a + b là số nguyên | a × b là số nguyên |
| Tính kết hợp: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
| Tính giao hoán: | a + b = b + a | a × b = b × a |
| Tồn tại phần tử đơn vị: | a + 0 = a | a × 1 = a |
| Tồn tại phần tử nghịch đảo: | a + (−a) = 0 | Số nguyên duy nhất có phần tử nghịch đảo (gọi là đơn vị) là −1  và 1. |
Thuộc tính phân phối:: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
| Không có ước số của 0: |  | Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai) |
Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, năm thuộc tính đầu tiên được liệt kê ở trên khẳng định rằng  \mathbb {Z}  là một nhóm abel với phép cộng. Nó cũng là một nhóm cyclic, vì mọi số nguyên khác 0 đều có thể được viết dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tế,  \mathbb {Z}  với phép cộng là nhóm tuần hoàn vô hạn duy nhất — theo nghĩa là bất kỳ nhóm tuần hoàn vô hạn nào đều là đẳng cấu với  \mathbb {Z} .
Bốn thuộc tính đầu tiên được liệt kê ở trên cho phép nhân nói rằng  \mathbb {Z}  cùng với phép nhân là một monoid giao hoán. Tuy nhiên, không phải mọi số nguyên đều có nghịch đảo nhân (như trường hợp của số 2), có nghĩa là  \mathbb {Z}  với phép nhân không phải là một nhóm.
Tất cả các quy tắc từ bảng thuộc tính trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), khi được kết hợp với nhau, nói rằng  \mathbb {Z}  cùng với phép cộng và phép nhân là một vành giao hoán có phần tử đơn vị. Nó là nguyên mẫu của tất cả các đối tượng của cấu trúc đại số như vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong  \mathbb {Z}  cho tất cả các giá trị của biến, thì cũng là đúng trong bất kỳ vành giao hoán có đơn vị nào. Một số số nguyên khác 0 ánh xạ tới 0 trong một số vành nhất định.
Việc thiếu các ước số của 0 trong các số nguyên (thuộc tính cuối cùng trong bảng) có nghĩa là vành giao hoán  \mathbb {Z}  là một miền nguyên.
Việc thiếu các phép nghịch đảo của phép nhân, tương đương với thực tế là  \mathbb {Z}  không phải là đóng với phép chia, có nghĩa là  \mathbb {Z}  không phải là một trường. Trường nhỏ nhất chứa các số nguyên dưới dạng một vành con là trường các số hữu tỉ. Quá trình xây dựng các số hữu tỉ từ các số nguyên có thể được bắt chước để tạo thành trường phân số của bất kỳ miền nguyên nào. Và ngược lại, bắt đầu từ trường số đại số (phần mở rộng của số hữu tỉ), vành số nguyên của nó có thể được trích xuất, bao gồm  \mathbb {Z}  như là vành con của nó.
Mặc dù phép chia thông thường không được định nghĩa trên  \mathbb {Z} , phép chia "với phần dư" được xác định trên chúng. Nó được gọi là phép chia Euclid, và có tính chất quan trọng sau: cho hai số nguyên a và b với b ≠ 0, tồn tại các số nguyên q và r duy nhất sao cho a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị giá trị tuyệt đối của b. Số nguyên q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của phép chia a cho b. Thuật toán Euclid để tính ước số chung lớn nhất hoạt động với một chuỗi các phép chia Euclid.
Một lần nữa, trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, phần trên nói rằng  \mathbb {Z}  là một vành Euclid. Điều này ngụ ý rằng  \mathbb {Z}  là một vành ideal chính và bất kỳ số nguyên dương nào cũng có thể được viết dưới dạng tích của các số nguyên tố theo một cách cơ bản duy nhất. Đây là định lý cơ bản của số học.