Chu kỳ Rabi
Chuẩn bị thí nghiệm dao động trong một hệ lượng tử

Người ta có thể xây dựng một thí nghiệm dao động bao gồm các bước sau đây: [1]
(1) Chuẩn bị hệ thống trong một trạng thái cố định |1\rangle
(2) Hãy để nhà nước phát triển một cách tự do, theo một Hamilton H cho thời gian t
(3) Tìm xác suất P (t), mà trạng thái là  |1\rangle
Nếu  |1\rangle  là một trạng thái riêng của H, P (t) = 1 và không có dao động. Ngoài ra nếu hai quốc gia đang thoái hóa, mỗi trạng thái chứa  |1\rangle  là một trạng thái riêng của H. Kết quả là, không có dao động. Vì vậy, nếu H không có trạng thái thoái hóa riêng, không phải trong đó là  |1\rangle , sau đó sẽ có dao động. Hình thức tổng quát nhất của Hamiltonian của hệ hai trạng thái thể hiện sau đây
\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}
a_{0},a_{1},a_{2} và  a_{3} là số thực. Ma trận trên có thể phân tích như sau,
\mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};
Ma trận  \sigma _{0} là 2  \times  2 và các ma trận  \sigma _{k}(k=1,2,3) là Ma trận Pauli. phân tích này đơn giản hóa việc phân tích các hệ thống đặc biệt là trong trường hợp thời gian độc lập, nơi các giá trị của  a_{0},a_{1},a_{2} và  a_{3} là hằng số. Xét trường hợp của một spin-1/2 hạt trong một từ trường  \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}} . Các Hamiltonian tương tác cho hệ thống này là
H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ S_{z}B.Where  S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}
với  \mu  là độ lớn của hạt nhân magnetic moment, \gamma  là tỉ lệ Gyromagnetic và  {\boldsymbol {\sigma }} là vectơ Pauli matrices. Ở đây các trạng thái riêng của Hamiltonian là trạng thái riêng của  \sigma _{3} đó là  |1\rangle  và  |2\rangle . Xác suất để hệ có trạng thái  |\psi \rangle  sẽ được tìm thấy ở trong trạng thái tùy ý  |\phi \rangle  được cho bởi  {|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}. Hệ thống ban đầu với  t=0 ở trạng thái  |+X\rangle  đó là trạng thái riêng của  \sigma _{1},  |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}. Đó là  |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}. Ở đây, Hamiltonian là độc lập về thời gian. Vì vậy, bằng cách giải quyết phường trình thời gian độc lập Schrödinger, ta nhận được trạng thái sau thời gian t là  |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iEt}{\hbar }}|\psi (0)\rangle , với E tổng năng lượng của hệ. Do đó trạng thái sau thời gian t là  |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|2\rangle . Giả sử phép quay theo hướng x tại thời điểm t, xác suất tìm thấy spin-up là {|\langle \ +X|\psi (t)\rangle |}^{2}={|{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\langle \ 1|+\langle \ 2|)(e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|2\rangle )|}^{2}={\cos }^{2}({\frac {\omega t}{2}}) với  \omega  là một đặc tính của tần số góc đựuoc cho bởi \omega ={\frac {E_{-}-E_{+}}{\hbar }}=\gamma B khi ta giả sử  E_{-}\geq E_{+}. Vì vậy, trong trường hợp này xác suất tìm thấy quay lên trạng thái theo hướng X là dao động trong thời gian t khi hệ thống ban đầu theo hướng +X. Tương tự như vậy nếu chúng ta đo phép quay theo hướng z xác suất phát hiện  {\frac {\hbar }{2}} của hệ {\frac {1}{2}}.Trong trường hợp này  E_{+}=E_{-}, đó là khi Hamilton là thoái hóa không có dao động. Do đó ta có thể kết luận rằng nếu trạng thái riêng của ma trận Hamiltonian nêu trên biểu diễn trạng thái của một hệ, thì xác suất của hệ trở thành trạng thái đó không dao động, nhưng nếu chúng ta tìm thấy xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái khác, nó là dao động. Điều này đúng với ma trận phụ thuộc thời gian Hamiltonian. Ví dụ  H=-\gamma \ S_{z}Bsin(\omega t), xác suất mà một phép đo của hệ theo hướng Y tại thời gian t là  {\frac {+\hbar }{2}} is  {|\langle \ +Y|\psi (t)\rangle |}^{2}={\cos }^{2}({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \omega t), với trạng thái khởi tạo  |+Y\rangle .