Toán học của thuyết tương đối rộng
Đa tạp không thời gian > Đại số tenxơ

Khi sử dụng thuyết tương đối rộng không thể tránh gặp phải những tính toán với sự có mặt của tenxơ và do vậy việc làm quen với các tính toán cơ bản của đại số tenxơ là điều cần thiết, và cuối cùng chúng ta đi tới giải tích tenxơ trong phần Không thời gian cong trong thuyết tương đối rộng. Bên cạnh những tính chất tuyến tính đã gặp ở đối vectơ hay dạng một (covector, one form) trong (39) mà đã được mở rộng thông thường khi coi vectơ  {\boldsymbol {V}} và dạng một  {\boldsymbol {\tilde {d}}}\phi  là những tenxơ. Chúng ta liệt kê dưới đây một số tính chất quan trọng nhất của tenxơ cũng như các phép toán liên quan:
Tenxơ không: Nếu một ten xơ mà mọi thành phần của nó bằng 0 trong một hệ tọa độ, thì nó là tenxơ không và các thành phần của nó sẽ bằng 0 trong mọi hệ tọa độ.
Tenxơ đồng nhất bằng nhau: Nếu hai ten xơ cùng loại mà mọi thành phần của chúng tương ứng bằng nhau trong một hệ tọa độ, thì chúng được nói là đồng nhất bằng nhau, và các thành phần sẽ tương ứng bằng nhau trong mọi hệ tọa độ.
Hàm vô hướng: Tích của một trường vô hướng φ với một tenxơ có kiểu cho trước sẽ thu được một tenxơ có cùng kiểu, tức là nếu  {\boldsymbol {X}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m} và  {\boldsymbol {Y}}:={\boldsymbol {X}}\phi  thì  {\boldsymbol {Y}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m}.
Phép cộng: Khi cộng hai tenxơ cùng kiểu sẽ thu được một tenxơ cùng kiểu, nếu  {\boldsymbol {X,Y}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m} thì  {\boldsymbol {Z:=X+Y}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m}.
Phép nhân: Khi nhân hai tenxơ có kiểu bất kỳ sẽ thu được một tenxơ có kiểu bằng tổng các kiểu tương ứng (tức là tổng các chỉ số phản biến và hiệp biến), hay còn gọi là tích ngoài của tenxơ, nếu  {\boldsymbol {X}}\in {\boldsymbol {V}}_{n}^{m} và  {\boldsymbol {Y}}\in {\boldsymbol {V}}_{q}^{p} thì  {\boldsymbol {Z}}:={\boldsymbol {X}}\otimes {\boldsymbol {Y}} khi đó  {\boldsymbol {Z}}\in {\boldsymbol {V}}_{n+q}^{m+p}. Sử dụng ký hiệu thành phần, với m=q=2 và n=p=1 thì  Z^{\alpha \beta \gamma }{}_{\lambda \mu \nu }=X^{\alpha \beta }{}_{\lambda }Y^{\gamma }{}_{\mu \nu }.
Rút gọn tenxơ: Thực hiện thu gọn một cặp chỉ số của tenxơ kiểu (m, n) thu được tenxơ kiểu mới (m-1, n-1) tức là  Z^{\alpha \beta \gamma }{}_{\gamma \mu \nu }=Z^{\alpha \beta }{}_{\mu \nu }.
Tenxơ đối xứng và phản xứng: Một tenxơ kiểu (m, n) được nói là đối xứng trên một cặp chỉ số bất kỳ p và q (hoặc là hiệp biến hoặc là phản biến) nếu các thành phần của nó không thay đổi khi thay đổi hai chỉ số này cho nhau. Ngược lại, ten xơ là phản xứng nếu nó đổi dấu khi thay đổi hai cặp chỉ số này cho nhau. Ví dụ đối với m = 0 và n = 2,
Theo kết quả của (56) và (57) có thể xây dựng một tenxơ đối xứng hoặc phản xứng bằng một tenxơ bất kỳ
với các dấu ngoặc tròn và ngoặc vuông ký hiệu cho tương ứng tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng. Và hệ quả rõ ràng từ (58) đó là một tenxơ bất kỳ luôn luôn có thể phân tích ra thành tổng của tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng
Biểu thức (58) có thể mở rộng ra cho ten xơ có kiểu bất kỳ, ví dụ ten xơ đối xứng và ten xơ phản xứng hiệp biến kiểu (0,3) có thể viết dưới dạng tổng của các ten xơ có chỉ số hoán vị của nó:
Những tính chất cuối này cho phép chúng ta đưa ra khái niệm tenxơ Levi-Civita, nó là mở rộng bốn chiều của ký hiệu Levi-Civita  \epsilon _{i}jk. Cụ thể, đối với một tenxơ g loại (0, 2) và với định thức g,  g:=det(g_{\mu \nu }), chúng ta định nghĩa tenxơ Levi-Civita là
với  \eta _{\alpha \beta \gamma \delta } là ký hiệu phản xứng toàn phần định nghĩa bởi
Thêm vào đó, khi thực hiện thu gọn tenxơ Levi-Civita chúng ta có tenxơ hoán vị
mà ten xơ hoán vị chính là mở rộng của ký hiệu Kronecker  \delta _{\beta }^{\alpha } tức là,
Tại sao chúng ta phải sử dụng tenxơ và đại số tenxơ đối với thuyết tương đối rộng? Bởi vì trong vật lý học nói chung và thuyết tương đối nói riêng, các nhà vật lý quan tâm tới định nghĩa và xác định các đại lượng độc lập với lựa chọn hệ tọa độ cụ thể sử dụng để phủ đa tạp. Chúng ta đã thấy các thành phần của tenxơ rất phụ thuộc vào hệ tọa độ, nhưng tenxơ và quan trọng nhất là phương trình tenxơ lại không phụ thuộc vào hệ tọa độ. Ví dụ, chúng ta xét phương trình tenxơ sau đây trong hệ tọa độ  \{x^{\mu }\}
với k là hằng số và ta có thể coi  G_{\nu }^{\mu } như là một toán tử vi phân biểu diễn dưới dạng thành phần tenxơ. Để thu được phương trình (70) trong hệ tọa độ  \{x^{\mu '}\} ta sử dụng trực tiếp về biến đổi tọa độ cho mỗi vế của phương trình (1.70)
khi nhóm thừa số chung lại ta có
Vì phương trình (72) phải đúng trong mọi hệ tọa độ, do vậy phải có
mà nó có dạng giống hệt với phương trình (70). Hay phương trình tenxơ được nói là hiệp biến theo nghĩa chúng có cùng dạng trong mọi hệ tọa độ. Kết quả là nếu chúng đúng (hay thỏa mãn) trong một hệ tọa độ, thì chúng cũng đúng trong mọi hệ tọa độ. Tính hiệp biến của phương trình tenxơ thể hiện một tính chất rất quan trọng của tenxơ và có nguồn gốc rất sâu sắc từ thuyết tương đối rộng.