stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Số thực
Tính chất > Tính hoàn chỉnh

Một lý do chính cho việc sử dụng số thực là nhiều dãy số có giới hạn không hữu tỷ. Về mặt hình thức hơn, các số thực là hoàn chỉnh (theo nghĩa của không gian số liệu hoặc không gian đồng nhất, nghĩa là khác với tính hoàn chỉnh Dedekind của thứ tự trong phần trước):
Một dãy (xn) gồm các số thực được gọi là dãy Cauchy nếu với bất kỳ ε > 0 nào tồn tại số nguyên N (có thể phụ thuộc vào ε) sao cho khoảng cách |xn − xm| nhỏ hơn ε với mọi n và m đều lớn hơn N. Định nghĩa này, ban đầu được Cauchy đưa ra, chuẩn hóa thực tế rằng xn cuối cùng tiến đến và gần sát nhau một cách tùy ý.
Một dãy (xn) hội tụ đến giới hạn x nếu các phần tử của nó cuối cùng đến và tiếp tục gần với x một cách tùy ý, nghĩa là, nếu với bất kỳ ε > 0 thì tồn tại một số nguyên N (có thể phụ thuộc vào ε) sao cho khoảng cách |xn − x| nhỏ hơn ε với mọi n lớn hơn N.
Mọi dãy hội tụ là một dãy Cauchy, và điều ngược lại đúng với các số thực, và điều này có nghĩa là không gian tôpô của các số thực là hoàn chỉnh.
Tập hợp các số hữu tỉ là không đầy đủ. Ví dụ, dãy (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421;...), trong đó mỗi số hạng thêm một chữ số của khai triển thập phân của căn bậc hai dương của 2, là dãy Cauchy nhưng nó không hội tụ thành một số hữu tỉ (ngược lại, trong tập hợp các số thực, nó hội tụ về căn bậc hai dương của 2).
Tính chất đầy đủ của các số thực là cơ sở để xây dựng phép vi tích phân, và nói chung là giải tích toán học. Đặc biệt, việc kiểm tra rằng một dãy là một dãy Cauchy cho phép chứng minh rằng một dãy có giới hạn, mà không cần tính toán giới hạn này, và thậm chí không cần biết về nó.
Ví dụ, chuỗi tiêu chuẩn của hàm mũ
e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}
hội tụ tới một số thực với mọi x, vì tổng
\sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}
có thể được làm nhỏ tùy ý (không phụ thuộc vào M) bằng cách chọn N đủ lớn. Điều này chứng tỏ rằng chuỗi này là một chuỗi Cauchy, và do đó hội tụ, cho thấy rằng  e^{x} được xác định rõ ràng với mọi x.
Tính chất > "Trường được xếp thứ tự hoàn chỉnh"

Các số thực thường được mô tả là "trường có thứ tự hoàn chỉnh", một cụm từ có thể được hiểu theo nhiều cách.
Đầu tiên, một thứ tự có thể là hoàn thành bên trong nó. Dễ dàng nhận thấy rằng không có trường có thứ tự nào có thể là hoàn chỉnh bên trong nó, bởi vì nó không thể có phần tử lớn nhất (với bất kỳ phần tử z, z+1 là lớn hơn).
Ngoài ra, một thứ tự có thể là hoàn chỉnh Dedekind.
Hai khái niệm về tính hoàn chỉnh này bỏ qua cấu trúc trường. Tuy nhiên, một nhóm có thứ tự (trong trường hợp này là nhóm phụ gia của trường) xác định cấu trúc đồng nhất, và cấu trúc đồng nhất có khái niệm về tính hoàn chỉnh là một trường hợp đặc biệt. (việc đề cập đến khái niệm đầy đủ trong không gian đồng nhất hơn là khái niệm có liên quan và được biết đến nhiều hơn cho không gian mêtric, vì định nghĩa của không gian metric dựa trên việc đã có đặc điểm của các số thực.)  \mathbb {R}  không phải là trường có thứ tự hoàn chỉnh thống nhất duy nhất, nhưng nó là trường Archimedes hoàn chỉnh đồng nhất duy nhất, và thực sự người ta thường nghe thấy cụm từ "trường Archimedes hoàn chỉnh" thay vì "trường có thứ tự hoàn chỉnh". Mọi trường Archimedes hoàn chỉnh đồng nhất cũng phải là trường hoàn chỉnh Dedekind (và ngược lại). Cảm giác đầy đủ này có liên quan chặt chẽ nhất đến việc xây dựng các thực từ các chuỗi Cauchy (việc xây dựng được thực hiện đầy đủ trong bài viết này), vì nó bắt đầu với trường Archimedean (các số hữu tỷ) và tạo thành sự hoàn thành đồng nhất của nó theo một cách tiêu chuẩn.
Nhưng cách sử dụng ban đầu của cụm từ "trường Archimedes hoàn chỉnh" là của David Hilbert, người có hàm ý với ý nghĩa khác. Ý của Hilbert là các số thực tạo thành trường Archimedes lớn nhất theo nghĩa là mọi trường Archimedes khác là một trường con của  \mathbb {R} . Như vậy  \mathbb {R}  là "hoàn chỉnh" theo nghĩa là không thể thêm gì nữa mà không làm cho nó không còn là một trường Archimedes. Cảm giác đầy đủ này có liên quan chặt chẽ nhất đến việc xây dựng các số thực từ các số siêu thực, vì việc xây dựng đó bắt đầu với một lớp thích hợp chứa mọi trường có thứ tự (số siêu thực) và sau đó chọn từ đó trường con Archimedes lớn nhất.
Ứng dụng và kết nối với các lĩnh vực khác > Số thực và logic

Các số thực thường được chuẩn tắc hóa bằng cách sử dụng tiên đề Zermelo-Fraenkel của lý thuyết tập hợp, nhưng một số nhà toán học nghiên cứu các số thực bằng các cơ sở logic khác của toán học. Đặc biệt, các số thực còn được nghiên cứu trong toán học đảo ngược và toán học kiến thiết.
Các số siêu thực được phát triển bởi Edwin Hewitt, Abraham Robinson và những người khác mở rộng tập hợp các số thực bằng cách giới thiệu các số vô hạn và vô hạn, cho phép xây dựng phép tính thập phân theo cách gần gũi hơn với trực giác ban đầu của Leibniz, Euler, Cauchy và những người khác.
Lý thuyết tập hợp bên trong của Edward Nelson đã làm phong phú thêm lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel về mặt cú pháp bằng cách giới thiệu một vị từ một ngôi "tiêu chuẩn". Theo cách tiếp cận này, các số tương đương là phần tử (không phải "tiêu chuẩn") của tập hợp các số thực (chứ không phải là phần tử của phần mở rộng của chúng, như trong lý thuyết của Robinson).
Giả thuyết continuum cho rằng bản số của tập hợp các số thực là  \aleph _{1}; tức là vô hạn nhỏ nhất số hồng y sau  \aleph _{0}, bản số của các số nguyên. Paul Cohen đã chứng minh vào năm 1963 rằng nó là một tiên đề độc lập với các tiên đề khác của lý thuyết tập hợp; nghĩa là: người ta có thể chọn giả thuyết liên tục hoặc phủ định của nó như một tiên đề của lý thuyết tập hợp, mà không có mâu thuẫn.
Ứng dụng và kết nối với các lĩnh vực khác > Trong vật lý

Trong khoa học vật lý, hầu hết các hằng số vật lý như hằng số hấp dẫn phổ quát và các biến vật lý, chẳng hạn như vị trí, khối lượng, tốc độ và điện tích, được mô hình hóa bằng cách sử dụng số thực. Trên thực tế, các lý thuyết vật lý cơ bản như cơ học cổ điển, điện từ học, cơ học lượng tử , thuyết tương đối rộng và mô hình chuẩn được mô tả bằng cách sử dụng các cấu trúc toán học, điển hình là đa tạp trơn hoặc không gian Hilbert, dựa trên các số thực, mặc dù các phép đo thực tế của các đại lượng vật lý có độ chính xác hữu hạn.
Các nhà vật lý thỉnh thoảng gợi ý rằng một lý thuyết cơ bản hơn sẽ thay thế các số thực bằng các đại lượng không tạo thành một continuum, nhưng những đề xuất như vậy vẫn mang tính suy đoán.
Ứng dụng và kết nối với các lĩnh vực khác > Trong tính toán

Với một số ngoại lệ, hầu hết các máy tính không hoạt động trên số thực. Thay vào đó, chúng hoạt động với các phép xấp xỉ chính xác hữu hạn được gọi là số dấu phẩy động. Trên thực tế, hầu hết các phép tính khoa học đều sử dụng số học dấu phẩy động. Các số thực thỏa mãn các quy tắc thông thường của số học, nhưng số dấu phẩy động thì không.
Máy tính không thể lưu trữ trực tiếp các số thực tùy ý có vô số chữ số. Độ chính xác có thể đạt được bị giới hạn bởi số lượng bit được phân bổ để lưu trữ một số, cho dù là số dấu phẩy động hay số có độ chính xác tùy ý. Tuy nhiên, các hệ thống đại số máy tính có thể hoạt động chính xác trên các đại lượng vô tỉ bằng cách thao tác các công thức cho chúng (chẳng hạn như  {\sqrt {2}}, \arcsin(2/23), hoặc  \textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx) chứ không phải là xấp xỉ hữu tỉ hoặc thập phân của chúng. Nói chung, không thể xác định xem hai biểu thức như vậy có bằng nhau hay không (bài toán hằng số).
Một số thực được gọi là có thể tính toán được nếu tồn tại một thuật toán đưa ra các chữ số của nó. Bởi vì chỉ có nhiều thuật toán có thể đếm được nhưng một số thực là không đếm được, hầu như tất cả các số thực đều không thể tính toán được. Hơn nữa, sự bằng nhau của hai số có thể tính toán được là một vấn đề không thể giải quyết được. Một số nhà toán học kiến tạo chỉ chấp nhận sự tồn tại của những số thực mà có thể tính toán được. Tập hợp các số có thể xác định được rộng hơn, nhưng vẫn chỉ có thể đếm được.
Ứng dụng và kết nối với các lĩnh vực khác > Số thực trong lý thuyết tập hợp

Trong lý thuyết tập hợp, cụ thể là lý thuyết tập hợp mô tả, không gian Baire được sử dụng làm đại diện cho các số thực vì sau này có một số thuộc tính tôpô (tính liên thông) gây bất tiện về kỹ thuật. Các phần tử của không gian Baire được gọi là "các số thực".
Các phép toán

Phép cộng: Trên  \mathbb {R} , phép cộng được xây dựng bởi ánh xạ sau:
Sao cho:
Có thể thấy phép cộng xác định như trên là tồn tại và duy nhất.
Ngoài ra, ta còn có thể chứng minh được rằng:
\forall \,\,a,\,b\,\in \,\mathbb {R} :a+b=b+a
\forall \,\,a,\,b,\,c\,\in \,\mathbb {R} :\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)
\forall \,\,a,\,b,\,c\,\in \,\mathbb {R} :a+c=b+c\,\Rightarrow \,a=b
Phép trừ
Phép nhân
Phép chia
Phép lũy thừa
Phép khai căn
Phép logarit
Giá trị tuyệt đối của số thực a là khoảng cách từ điểm a đến 0 trên trục số thực và kí hiệu là |a|.(Đọc là: Giá trị tuyệt đối của a).Lưu ý: Giá trị tuyệt đối của số thực a luôn được kết quả là một số lớn hơn hoặc bằng 0.
Các tập hợp số

Ngoài ra, một số thực có thể là số đại số hoặc số siêu việt.
Tập hợp số thực là tập hợp con của số phức  z=a+bi, khi hệ số  b=0
Các tập hợp con trên Tập hợp các số thực

Khoảng:
\mathbb {R} =\left(-\infty ,\,\infty \right)
Ví dụ:
x\in \mathbb {N} ^{*}\Leftrightarrow \,x\in \left(0,\,\infty \right)
Đoạn:
{\text{A}}=\left[3,\,5\right]\,\Leftrightarrow \,{\text{A}}=\left\{x\mid 3\leq x\leq 5\right\}
Nửa khoảng:
x\in \mathbb {N} \,\Leftrightarrow \,x\in \left[0,\,\infty \right)
Chú ý:
∞ đọc là vô cực.
Chú thích

↑  Chính xác hơn, với hai trường hoàn toàn được sắp xếp hoàn toàn, có một đẳng hình độc đáo giữa chúng. Điều này ngụ ý rằng danh tính là tự hình trường độc đáo của thực tế tương thích với thứ tự.
Các số thực (ℝ) bao gồm các số hữu tỷ (ℚ), bao gồm các số nguyên (ℤ), bao gồm các số tự nhiên (ℕ)
Tập hợp số thực
Lê Thị Ái

Lê Thị Ái (chữ Hán: 黎氏愛; 17 tháng 11 năm 1799 – 8 tháng 10 năm 1863), còn có tên húy là Cầu, phong hiệu Lục giai Tiệp dư (六階婕妤), là một thứ phi của vua Minh Mạng nhà Nguyễn trong lịch sử Việt Nam.
Tiểu sử

Tiệp dư Lê Thị Ái nguyên quán ở làng An Triền, huyện Phong Điền, tỉnh Thừa Thiên. Bà là con gái của Cẩm vệ Hiệu úy Lê Tiến Thành và phu nhân Nguyễn Văn Thị Nga. Ông Thành vốn là một Nho sinh cuối triều Lê, gặp thời loạn ẩn cư không ra làm quan. Dưới thời nhà Nguyễn, ông được phong Cẩm y vệ Hiệu úy. Bà Ái là con gái thứ 3 trong 5 người con gái của ông Thành (người em gái út khác mẹ). Người em gái thứ 4 của bà cũng được đưa vào cung hầu vua Minh Mạng, chính là Thất giai Quý nhân Lê Thị Lộc.
Bà sinh ngày 20 tháng 10 (âm lịch) năm Kỷ Mùi. Bà vào hầu vua Minh Mạng từ năm 1813 khi ông còn là Thái tử, được sung vào hàng cung nhân. Ngày 3 tháng 2 năm 1820, bà hạ sinh con trai đầu lòng là hoàng tử Miên Trinh, sau được tấn phong dần đến tước Tuy Lý Vương, là một hoàng thân rất nổi tiếng của nhà Nguyễn. Bà Tiệp dư sau này lớn tuổi nhiều bệnh, Vương vào Dưỡng Chính đường để hầu hạ, sớm khuya chẳng lúc nào trễ nải, mọi người đều khen là chí hiếu.
Năm 1820, vua Minh Mạng lên ngôi, phong cho bà Ái làm Tài nhân. Năm 1824, bà được tấn làm Mỹ nhân. Năm 1836 lại tấn làm Tiệp dư (ngôn ngữ hiện đại gọi là Tiệp dư) ở hàng Lục giai. Bà vốn là người chí hiếu, tư chất trung hậu, có quan hệ thân thiết với Thục tần Nguyễn Khắc Thị Bảo, là mẹ của Tùng Thiện Vương Miên Thẩm. Vua Tự Đức từng có lời khen rằng:
Năm 1847, hoàng tử Miên Trinh cho xây phủ riêng ở thôn Vĩ Dạ và rước bà về đấy phụng dưỡng.
Ngày 26 tháng 8 âm lịch năm Quý Hợi triều vua Tự Đức, tức ngày 8 tháng 10 năm 1863, Tiệp dư Lê Thị Ái qua đời, hưởng thọ 65 tuổi, được ban thụy là Tịnh Nhu (靜柔).
Bà được an táng tại xã Dương Xuân Thượng (nay là 199-203 đường Bùi Thị Xuân, phường Đúc, thành phố Huế), còn nhà thờ được dựng tại Phú Vang (Nay là  140 đường Nguyễn Sinh Cung, phường Vỹ Dạ, Thành phố Huế, tỉnh Thừa Thiên Huế).
Hậu duệ

Bà Tiệp dư sinh cho vua Minh Mạng tổng cộng 3 hoàng tử và 2 hoàng nữ. Ngoài Tuy Lý vương, cả 4 người còn lại đều mất khi còn khá trẻ.
Tuy Lý vương Nguyễn Phúc Miên Trinh (3 tháng 2 năm 1820 – 18 tháng 11 năm 1897), hoàng tử thứ 11.
Hoàng tử Miên Long, hoàng tử thứ 22. Tảo thương.
Hòa Mỹ Công chúa Nguyễn Phúc Trang Tĩnh (1 tháng 10 năm 1825 – 19 tháng 3 năm 1847), hoàng nữ thứ 22. mất khi chưa lấy chồng.
Kiến Tường công Nguyễn Phúc Miên Quan (21 tháng 5 năm 1827 – 3 tháng 2 năm 1847), hoàng tử thứ 36. Công mất khi còn khá trẻ.
Hoàng nữ Nhàn Trinh (1829 – 1 tháng 11 năm 1830), hoàng nữ thứ 30. Tảo thương.
Chú thích

1 2 3 4  Nguyễn Phúc tộc thế phả, sđd, tr.245
↑  Nguyễn Phúc tộc thế phả, sđd, tr.246
Vu Thành Long

| Vu Thành Long |
| --- | --- |
于成龍

Chức vụ
Tổng đốc Lưỡng Giang
Nhiệm kỳ: 1682 – 1684
Hoàng đế: Khang Hi
Tiền nhiệm: A Tịch Hi
Kế nhiệm: Vương Tân Mệnh
Vị trí: Giang Tây và Giang Nam
 
Trực Lệ Tuần phủ
Nhiệm kỳ: 1680 – 1682
Tiền nhiệm: Kim Thế Đức
Kế nhiệm: Cách Nhĩ Cổ Đức
 
Phúc Kiến Bố chính sứ
Nhiệm kỳ: 1679 – 1680
 
Phúc Kiến Án sát sứ
Nhiệm kỳ: 1678 – 1679
 
Đồng tri Hoàng Châu phủ
Nhiệm kỳ: 1669 – 1677
Vị trí: Phủ Hoàng Châu, Hồ Quảng
 
Tri châu Hợp Châu
Nhiệm kỳ: 1667 – 1669
Vị trí: Hợp Châu, Tứ Xuyên
 
Tri huyện La Thành
Nhiệm kỳ: 1661 – 1667
Vị trí: Huyện La Thành, Quảng Tây
 
Thông tin cá nhân
Sinh: (1617-09-26)26 tháng 9, 1617 Thôn Lai Bảo, trấn Bắc Võ Đang, Phương Sơn, Lữ Lương
Mất: 31 tháng 5, 1684(1684-05-31) (66 tuổi)
Dân tộc: Người Hán
Vợ: Hình thị (邢氏)
Con cái: Vu Đình Dực Vu Đình Mại Vu Đình Nguyên
Vu Thành Long (26 tháng 9 năm 1617 – 31 tháng 5 năm 1684) tự Bắc Minh (北溟) hay Bắc Khê (北溪), hiệu Vu Sơn (於山), là một vị quan thanh liêm nổi tiếng của triều đại Nhà Thanh trong lịch sử Trung Quốc.
Ông là một người Hán sinh vào cuối thời Minh và đầu thời Thanh. Năm Thuận Trị thứ 18 (1661), ông ra làm quan và lần lượt đảm nhiệm các chức vụ Tri huyện, Tri châu, Tri phủ và Đạo viên. Đến năm Khang Hi thứ 17 (1678) thì được thăng chức đến Phúc Kiến Án sát sứ. Ông được Phúc Kiến Tuần phủ Ngô Hưng Tộ tiến cử cho triều đình, khen ngợi là người có năng lực và liêm khiết bậc nhất tỉnh Phúc Kiến. Năm 1681, Khang Hi đặc biệt chọn Vu Thành Long làm Trực Lệ Tuần phủ. Vào khoảng thời gian giữa năm 1682 và 1684, ông đảm nhiệm vị trí Tổng đốc Lưỡng Giang. Cuộc đời làm quan của ông đã trở thành một trong các giai thoại về quan viên liêm khiết thời phong kiến Trung Hoa.
Xuất thân và giáo dục

Vu Thành Long sinh ra vào năm Minh Vạn Lịch thứ 45 (1617) trong một gia đình nông thôn có địa vị ở châu Vĩnh Ninh, phủ Phần Châu, huyện Sơn Tây (nay là quận Ly Thạch, địa cấp thị Lữ Lương, tỉnh Sơn Tây). Vào năm Chí Nguyên đầu tiên thời Nguyên Thuận Đế, tổ tiên của ông là Vu Bá Đạt, Vu Kiến Trung và Vu Sĩ Hiền đã dời đến thôn Bạch Sương Lý thuộc Thạch Châu (nay là quận Ly Thạch, địa cấp thị Lữ Lương). Vu Sĩ Hiền sinh Vu Uyên; Vu Uyên lại sinh bốn người con bao gồm Vu Thản. Năm Minh Cảnh Thái thứ 5 (1454), Vu Thản đậu Tiến sĩ trong khoa thi Giáp Tuất và làm quan đến chức Tuần phủ.
Đến năm Chính Đức đầu tiên (1506), một mạch tông tộc của Vu Tố dời đến Lai Bảo thôn, cách thành Hương Cự phía bắc Thạch Châu 30 cây số. Vu Tố sinh ra Vu Ân; Vu Ân lại sinh bốn người con bao gồm Vu Thời Hoàng. Năm Vạn Lịch thứ 45 (1617), ngày 21 tháng 8 (âm lịch), vợ cả của Vu Thời Hoàng là Điền thị sinh hạ người con trai thứ là Vu Thành Long. Không lâu sau khi sinh con thì Điền thị qua đời, Vu Thời Hoàng cưới người vợ kế là Lý thị. Quan hệ giữa Vu Thành Long và kế mẫu rất hòa hợp nên gia đình rất hòa thuận. Năm Minh Sùng Trinh thứ 12 (1639), khi mới 23 tuổi, ông tham gia khoa cử và đậu được Phó bảng Cống sinh nhưng vì suy nghĩ đến cha mình tuổi tác đã cao nên không nhận chức quan gì.
Sự nghiệp > Xuất sĩ làm quan

Năm Thuận Trị thứ 18 (1661), Vu Thành Long đã 45 tuổi thì nhận được ủy nhiệm của triều đình nhà Thanh đến La Thành của Quảng Tây nhận chức Tri huyện. Lúc bấy giờ, La Thành là nơi xa xôi lại thêm chiến loạn kéo dài và nhân khẩu trong vùng thưa thớt chỉ vẻn vẹn có sáu hộ gia đình, hoàn toàn không có thành trì hay nơi làm việc cho quan viên. Chỉ sau một thời gian, Vu Thành Long đã làm yên lòng bách tính đồng thời lập nên chế độ bảo giáp ở địa phương và nghiêm trị đạo tặc. Sau khi trị an trong thành dần ổn định, vì nhân khẩu trong thành quá ít mà ông đã chiêu mộ lưu dân để khôi phục sản xuất sinh hoạt và báo lên trên xin mở rộng lao dịch. Ngoài ra, ông còn động viên người dân tu sửa nhà ở, trường học, viện dưỡng lão và viện cứu tế giúp cho mọi người có thể tiếp cận với nền giáo dục và người nghèo lẫn mẹ góa con côi có nơi để sinh sống. Trong suốt khoảng thời gian này, ông rất được lòng dân nhờ sử dụng biện pháp có cương có nhu giải quyết những hành vi cường hào ác bá ức hiếp dân lành. Chỉ trong vòng ba năm, La Thành đã dần trở thành một nơi trăm họ an cư lạc nghiệp.
Năm Khang Hi thứ sáu (1667), nhờ những thành tích vượt trội của mình, Vu Thành Long được Tuần phủ Quảng Tây Kim Quang Tổ và Tổng đốc Lưỡng Quảng Lư Hưng Tổ tiến cử vì "Trác dị" (hơn hẳn mọi người). Ông được thăng chức thành Tri châu của Hợp Châu thuộc Tứ Xuyên. Hợp Châu sau khi trải qua thời gian dài chiến loạn, nhân khẩu chỉ khoảng hơn 100 người và hơn nữa thuế má sưu dịch lại cao. Sau khi Vu Thành Long nhận chức, ông nghiêm cấm quan viên quấy nhiễu người dân. Vì để khai thác nhiều đất hoang hơn, ông quy định người đầu tiên đến canh tác vùng đất nào thì sẽ là người sở hữu mảnh đất đó, đồng thời yêu cầu các quan huyện chú ý giúp đỡ những khó khăn trong việc canh tác và ổn định chỗ ở cho những người dân mới đến. Ông ra lệnh cho quan huyện hỗ trợ phân ranh giới ruộng đất nhà cửa, đăng ký ghi tên, cho vay tiền mua hạt giống để cày ruộng và thay đổi quy định thành ba năm không thu thuế ruộng. Chỉ trong vòng một tháng, nhân khẩu của Hợp Châu đã tăng đến hơn 1000 người.
Sự nghiệp > Lưỡng Hồ

Năm thứ tám (1669), Vu Thành Long được phong làm Đồng tri của Hoàng Châu phủ thuộc Hồ Quảng. Lúc bấy giờ, vấn đề trị an của Hoàng Châu cực kỳ bất ổn, ảnh hưởng lớn đến sự yên ổn của địa phương và sinh hoạt của người dân. Vì để hiểu rõ tình hình trộm cướp, ông nhiều lần cải trang đi tuần tra. Sau một thời gian tìm hiểu rõ ràng, ông liền tóm gọn nhóm đạo tặc ở địa phương. Đối với phạm nhân, Vu Thành Long chủ trương sử dụng hình phạt một cách thận trọng và lấy giáo dục làm điểm chính. Ông áp dụng tư tưởng "Khoan nghiêm tịnh trị" (Khoan dung nghiêm khắc rồi mới trị) và "Lấy đạo trị đạo", đạt hiệu quả rất tốt.
Trong phương diện kiện tụng và xử án, Vu Thành Long rất giỏi việc phát hiện vấn đề từ trong những chi tiết nhỏ nhặt. Ông thường cải trang vi hành, thể nghiệm và quan sát dân tình. Do nổi tiếng là quan thanh liêm, ông được người dân ca tụng là "Vu Thanh Thiên". Một lần nữa nhờ thành tích vượt trội của mình, Vu Thành Long được Tuần phủ Hồ Quảng Trương Triêu Trân tiến cử vì tiếp tục là "Trác dị" lần thứ hai.
Năm Khang Hi thứ 13 (1674), Vu Thành Long thay quyền Tri phủ Vũ Xương, đúng lúc gặp phải sự bùng nổ của Loạn Tam Phiên. Ông ra mặt kêu gọi hòa bình và làm ổn định tâm tình người dân địa phương khi tự mình dấn thân vào nguy hiểm để thuyết phục dân chúng bạo loạn chấm dứt hành động. Tháng tám năm đó, Vu Thành Long được điều đến Hoàng Châu làm Đồng tri. Cùng thời gian đó phản quân cầm đầu bởi Hà Vĩ Sinh từ Trường Sa chạy đến huyện Hoàng Cương để liên lạc với thân hào địa phương tạo phản với thế lực lớn khiến tình thế vô cùng nguy cấp. Vu Thành Long liền triệu tập dũng sĩ địa phương nghênh chiến và chính ông cũng đi đầu làm gương cho binh sĩ khiến sĩ khí nâng lên cực cao. Cuối cùng, Vu Thành Long dựa vào "hai ngàn dân chúng, giết mấy vạn địch" và còn bắt sống được Hà Vĩ Sinh. Sau đó, đợt nổi loạn này kết thúc.
Sự nghiệp > Phúc Kiến

Năm thứ 17 (1678), ông nhận chức Án sát sứ tại Phúc Kiến. Đương thời, triều đình Nhà Thanh vì để đối phó thế lực chống Thanh của họ Trịnh ở Đài Loan mà thi hành chế độ "Hải cấm" (cấm biển). Quan viên địa phương không quan tâm đến cảnh lầm than của dân suốt nhiều năm và thường xuyên lấy tội danh "thông hải" (đi đường biển) mà bắt oan bỏ tù nhiều dân chúng. Sau khi Vu Thành Long biết được việc này đã lập tức đưa các vụ án này ra thẩm tra lại kỹ càng. Sau sự nỗ lực và chủ trì của ông, hơn một ngàn dân chúng vô tội được thả ra. Cũng nhờ việc này mà Vu Thành Long được tiến cử "Trác dị" lần thứ ba.
Năm thứ 18 (1679), Vu Thành Long thăng chức làm Bố chính sứ của tỉnh Phúc Kiến, lúc Tuần phủ Phúc Kiến Ngô Hưng Tộ dâng tấu tiến cử lên triều đình đã xưng Vu Thành Long là "Mân tỉnh liêm năng đệ nhất". Năm sau, ông trực tiếp được đề bạt lên đến chức Trực Lệ Tuần phủ. Tháng hai năm kế tiếp, Khang Hi Đế đích thân triệu kiến Vu Thành Long ở Mậu Cần điện, ban thưởng cho hai ngàn lượng bạc trắng, một con ngựa ngự dụng, lại tự mình làm một bài thơ tán thưởng năng lực và sự liêm khiết của ông, lại khen ông là "Thanh quan đệ nhất" (quan thanh liêm đệ nhất). Đến tháng 10, ông lại đến hành cung thỉnh an, được Khang Hi Đế triệu vào bí mật bàn bạc về nghề sinh sống của dân chúng và công việc của quan chức địa phương. Lúc ra về thì Vu Thành Long được ban thưởng cho quần áo ngự dụng.
Sự nghiệp > Lưỡng Giang

Năm thứ 21 (1682), ông được phong chức làm Tổng đốc Lưỡng Giang, một vị trí lãnh đạo trong hàng thứ nhất của triều Thanh. Trước khi thăng quan, ông đã đề bạt "tiểu Vu Thành Long" từ Tri phủ Thông Châu làm Tri phủ Giang Ninh. Đầu nhiệm kỳ, ông chỉ quản lý hai tỉnh của Giang Nam, còn Tổng đốc Giang Tây do Đổng Vệ Quốc đảm nhiệm. Sau khi tin tức Vu Thành Long nhận chức Tổng đốc truyền ra ngoài, giá vải ở Nam Kinh tăng lên nhanh chóng: "Toàn bộ thành Kim Lăng đều đổi thành quần áo vải, cho dù là cưới gả cũng không dám dùng âm nhạc, sĩ phu giảm bớt, thậm chí có người hoảng sợ không dám ra khỏi nhà". Cùng năm này, ông được ban hàm Thượng thư bộ Binh kiêm Hữu Phó Đô ngự sử Đô sát viện.
Năm thứ 23 (1684), giờ Mão ngày 18 tháng tư (âm lịch), Vu Thành Long qua đời khi đang giữ chức Tổng đốc Lưỡng Giang. Sau khi người dân Nam Kinh nghe tin, "bất kể nam nữ lớn nhỏ, khắp các ngõ hẻm đều khóc thương đình công"; Khang Hi Đế phá lệ đích thân soạn viết văn bia cho Vu Thành Long, lại ban cho một tấm biển "Cao hành thanh túy" ca ngợi một đời liêm khiết của ông, truy thụy cho Vu Thành Long hai chữ "Thanh Đoan" (清端) với hàm Thái tử Thái bảo. Vu Thành Long được đưa về chôn cất ở quê nhà Vĩnh Ninh. Năm Ung Chính thứ 10, Vu Thành Long được đưa vào thờ tự trong "Hiền lương từ".
Giai thoại

Vu Thành Long cả đời cần chính liêm khiết. Bất kể là ở nơi thành trì nhỏ thô sơ hay tại nơi giàu có như Giang Nam, ông đều không hề thay đổi tác phong tiết kiệm của mình bằng chứng qua việc ăn uống đạm bạc không xa hoa và cùng ăn với cả người hầu trong nhà; hơn nữa ông không ăn thịt mà chỉ ăn rau (thanh thái) vì vậy mà còn được xưng là "Vu Thanh Thái". Một đời làm quan của ông rất được dân chúng kính yêu và được triều dã biết đến với danh tiếng "Quan lại thanh liêm đệ nhất thiên hạ". Ông không chỉ sống tiết kiệm cho bản thân mà còn yêu cầu người nhà cũng phải tiết kiệm. Trong các cuộc hành trình công tác xa nhà, ông đều không dẫn theo gia quyến cho nên vợ ông cũng chỉ có thể gặp ông một vài lần trong suốt hai mươi năm xa cách.
Vu Thành Long trong khi đảm nhiệm các chức quan địa phương như Tri huyện, Tri châu, Tri phủ và Đạo viên hay đến các chức quan lớn như Án sát sứ và Bố chính sứ đều lập nhiều thành tích lớn. Đặc biệt là ông luôn giữ vững sự thanh liêm của mình nên rất được sĩ phu và người dân kính yêu. Sử sách đánh giá ông rằng "Vu Thành Long được lòng dân như vậy, lịch sử xưa nay hiếm thấy".
Sách Khang Càn thịnh thế có chép:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ | Năm Khang Hi thứ 23 (1684), Vu Thành Long qua đời. Lúc các quan viên đến viếng tang, thấy được đầu giường ông nằm chỉ có một bộ bào phục vải sồi, nhà sau cũng chỉ có mấy hủ gạo và muối, đều không khỏi bi thương mà khóc thất thanh. Người dân bất kể trai gái già trẻ nghe tin đều khóc thương đình công, mấy vạn người cầm hương xếp hàng dài, ngay cả các Sắc Mục, Phiên tăng đều khóc đến mức nằm rạp xuống đất. Khang Hi Đế từng cảm thán, 'Làm quan được như Vu Thành Long được mấy người?' | ” |
Trong cuốn Quan lại Trung Quốc thời Minh Thanh, tác giả Chu Thiệu đã nhận xét rằng:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ | Vu Thành Long chỉ là Cống sinh thời Minh mạt, cũng không phải là Tiến sĩ triều Thanh, người như vậy có thể trở thành quan lớn nơi biên cương, có thể nói là có một không hai. | ” |