stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Dãy Cauchy
Trong số thực > Mô đun hội tụ Cauchy

Nếu  (x_{1},x_{2},x_{3},...) là dãy số trong tập  X, thì mô đun hội tụ Cauchy cho dãy số là hàm  \alpha  từ tập các số tự nhiên tới chính nó, sao cho với mọi số tự nhiên  k và số tự nhiên  m,n>\alpha (k),  |x_{m}-x_{n}|<1/k.
Các dãy đi cùng với mô đun hội tụ Cauchy là dãy Cauchy. Sự tồn tại mô đun hội tụ Cauchy được suy ra từ tính xếp thứ tự tốt của các số tự nhiên  (gọi  \alpha (k) là số  N nhỏ nhất trong định nghĩa của dãy Cauchy, đặt  r là  1/k). SỰ tồn tại của mô đun cũng suy ra được từ nguyên lý chọn phụ thuộc,nguyên lý này là dạng yếu hơn của tiên đề chọn, thậm chí ta có thể suy ra từ điều kiện còn yếu hơn được gọi là AC00. Dãy Cauchy chính quy là các dãy đi với mô đun cho trước hội tụ (thường thì  \alpha (k)=k hoặc  \alpha (k)=2^{k}).
Trong không gian mêtric

Bởi định nghĩa của dãy Cauchy chỉ bao gồm duy nhất khái niệm mêtric, dễ tổng quát định nghĩa này sang cho bất cứ không gian mêtric X. 
Để làm vậy, giá trị tuyệt đối  \left|x_{m}-x_{n}\right| được thay bằng khoảng cách  d\left(x_{m},x_{n}\right) (trong đó d được gọi là mêtric) giữa  x_{m} và  x_{n}.
Nói chính xác, cho không gian mêtric  (X,d), dãy
 x_{1},x_{2},x_{3},\ldots 
là dãy Cauchy, nếu với số thực dương  \varepsilon >0 tồn tại số nguyên dương  N sao cho với mọi số tự nhiên  m,n>N, khoảng cách
 d\left(x_{m},x_{n}\right)<\varepsilon .
Nhìn qua, việc các phần tử trong dãy càng tiến đến gần nhau khi các giá trị  m,n tăng dần có vẻ gợi ý rằng dãy này có giới hạn nằm trong không gian  X
Song, giá trị giới hạn chưa chắc đã nằm trong X: tính chất của không gian mà tất cả các dãy Cauchy trong đó đều hội tụ được gọi là tính đầy đủ.
Tính đầy đủ

Không gian mêtric (X, d) mà mọi dãy Cauchy trong không gian hội tụ đến một giá trị nằm trong X được gọi là không gian mêtric đầy đủ.
Tính đầy đủ > Các ví dụ

Không gian các số thực đầy đủ dưới mêtric của giá trị tuyệt đối, và một trong những cách tiêu chuẩn để xây số thực bao gồm dãy Cauchy của các số hữu tỉ.
Một loại ví dụ khác là không gian X có mêtric rời rạc (trong không gian đó, bất cứ hai phần tử nào khác nhau thì đều có khoảng cách bằng 1).
Tính đầy đủ > Ví dụ không phải: số hữu tỉ

Không gian của các số hữu tỉ  \mathbb {Q}  không đầy đủ (cho mêtric định nghĩa):

Có các dãy số hữu tỉ hội tụ (trong  \mathbb {R} ) đến các giá trị vô tỉ; nghĩa là các dãy Cauchy này không hội tụ đến giá trị thuộc  \mathbb {Q} . Hơn nữa, nếu x là số vô tỉ, thì dãy số (xn), với phần tử thứ n là biểu diễn n chữ số của x, là dãy Cauchy có giới hạn là số vô tỉ x. Ngoài ra còn có các ví dụ khác về dãy các số hữu tỉ hội tụ về số vô tỉ:
Dãy số định nghĩa bởi  x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {2}{x_{n}}}}{2}} bao gồm các số hữu tỉ (1, 3/2, 17/12,...) là dãy các số hữu tỉ nhưng giá trị hội tụ của nó là căn bậc hai của hai, để chứng minh xem phương pháp Babylonian cho tính căn bậc hai.
Dãy  x_{n}=F_{n}/F_{n-1} của các phân số của các số Fibonacci liên tiếp nếu có hội tụ thì dãy phải hội tụ đến giá trị  \phi  thỏa mãn  \phi ^{2}=\phi +1, mà không có số hữu tỉ nào thỏa mãn được.  Nếu ta coi đây là dãy các số thực thì dãy này hội tụ đến giá trị  \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2, hay còn gọi là tỷ lệ vàng, giá trị này là số vô tỉ.
Các giá trị của hàm mũ , hàm sin và cosin, exp(x), sin(x), cos(x), được biết là số vô tỉ cho mọi số hữu tỉ  x\neq 0, nhưng mỗi hàm có thể định nghĩa là giới hạn của một dãy Cauchy hữu tỉ, sử dụng chuỗi Maclaurin chẳng hạn.
Tính đầy đủ > Ví dụ không phải: khoảng mở

Khoảng mở  X=(0,2) trong tập các số thực cùng với mêtric tầm thường của  \mathbb {R}  không phải là không gian đầy đủ: dãy số  x_{n}=1/n nằm trong đó là dãy Cauchy (cho bất cứ cận  d>0 tất cả các phần tử  x_{n} thỏa mãn  n>1/d đều nằm trong khoảng  (0,d)), tuy nhiên giá trị giới hạn của dãy không nằm trong  X — 'giới hạn' của nó, số 0, không nằm trong không gian  X.
Tính đầy đủ > Các tính chất khác

Tất cả các dãy hội tụ (có giới hạn s) là dãy Cauchy, bởi cho bất kỳ số thực dương  \varepsilon >0, , khi vượt qua một điểm cố định nào đó, mọi phần tử trong dãy đều nằm trong khoảng cách  \varepsilon /2 của s, do đó bất cứ hai phần tử trong dãy đều cách nhau tối đa  \varepsilon .
Trong bất cứ không gian mêtric nào, dãy Cauchy  x_{n} bị chặn (bởi cho một số N, tất cả các phần tử từ phần tử thứ N trở đi đều cách nhau 1, và nếu M là khoảng cách lớn nhất giữa  x_{N} và bất cứ các phần tử nào cho tới phần tử thứ N, thì không có cặp phần tử nào trong dãy có khoảng cách lớn hơn  M+1 đến  x_{N}).
Trong bất cứ không gian mêtric nào, dãy Cauchy nào có dãy con của nó hội tụ đến s thì chính nó cũng hội tụ đến giới hạn s, bởi: cho bất cứ số thực r > 0, khi qua một số điểm cố định nào đó trong dãy gốc, mọi phần tử trong dãy con đều nằm trong khoảng cách r/2 của s, và bất cứ hai phần tử trong dãy gốc đều nằm trong khoảng cách r/2 của nhau, do đó mọi phần tử trong dãy đều nằm trong khoảng cách r của s.
Hai tính chất cuối, cùng với định lý Bolzano–Weierstrass, đưa ra bài chứng minh cho tính đầy đủ của số thực, có liên hệ gần với định lý Bolzano–Weierstrass và định lý Heine–Borel. Mọi dãy Cauchy đều bị chặn, do đó theo định lý Bolzano–Weierstrass trong dãy sẽ có dãy con hội tụ, từ đó suy ra dãy đó cũng sẽ hội tụ. Cách chứng minh này có bao gồm việc sử dụng tiên đề cận trên nhỏ nhất. Một hướng giải khác được nhắc ở trên là xây dựng các số thực bằng hoàn thiện không gian các số hữu tỉ.
Nếu  f:M\to N là ánh xạ liên tục đều giữa không gian mêtric M và N và (xn) là dãy Cauchy trong M, thì  (f(x_{n})) là dãy Cauchy trong N. Nếu  (x_{n}) và  (y_{n}) là dãy Cauchy trong số hữu tỉ, số thực hoặc số phức, thì tổng  (x_{n}+y_{n}) và tích  (x_{n}y_{n}) cũng là dãy Cauchy.
2025

Năm lịchBản mẫu:SHORTDESC:Năm lịch
| --- | --- |
Thiên niên kỷ:: thiên niên kỷ 3
Thế kỷ::  thế kỷ 20  thế kỷ 21   thế kỷ 22
Thập niên::  thập niên 2000  thập niên 2010  thập niên 2020  thập niên 2030  thập niên 2040
Năm::  2022  2023  2024  2025  2026  2027  2028
| --- | --- |
Lịch Gregory: 2025 MMXXV
Ab urbe condita: 2778
Năm niên hiệu Anh: 3 Cha. 3 – 4 Cha. 3
Lịch Armenia: 1474 ԹՎ ՌՆՀԴ
Lịch Assyria: 6775
Lịch Ấn Độ giáo: 
 - Vikram Samvat: 2081–2082
 - Shaka Samvat: 1947–1948
 - Kali Yuga: 5126–5127
Lịch Bahá’í: 181–182
Lịch Bengal: 1432
Lịch Berber: 2975
Can Chi: Giáp Thìn (甲辰年) 4721 hoặc 4661     — đến — Ất Tỵ (乙巳年) 4722 hoặc 4662
Lịch Chủ thể: 114
Lịch Copt: 1741–1742
Lịch Dân Quốc: Dân Quốc 114 民國114年
Lịch Do Thái: 5785–5786
Lịch Đông La Mã: 7533–7534
Lịch Ethiopia: 2017–2018
Lịch Holocen: 12025
Lịch Hồi giáo: 1446–1447
Lịch Igbo: 1025–1026
Lịch Iran: 1403–1404
Lịch Julius: theo lịch Gregory trừ 13 ngày
Lịch Myanma: 1387
Lịch Nhật Bản: Lệnh Hòa 7 (令和７年)
Phật lịch: 2569
Dương lịch Thái: 2568
Lịch Triều Tiên: 4358
Thời gian Unix: 1735689600–1767225599
Năm 2025 (MMXXV) là một năm hiện tại và thường bắt đầu vào Thứ Tư của lịch Gregory, là năm thứ 2025 của Công nguyên hay Anno Domini, năm thứ 25 của thiên niên kỷ 3 và thế kỷ 21, và là năm thứ sáu của thập niên 2020. 2025 cũng sẽ là năm chính phương đầu tiên của thế kỷ 21 kể từ năm 1936, vì 2025 là bình phương của 45.
Sự kiện > Tháng 1

1 tháng 1:
Bulgaria và Romania dỡ bỏ kiểm soát biên giới đất liền trong Khu vực Schengen.
Thế hệ Beta chính thức bắt đầu, tiếp nối thế hệ Alpha.
Liechtenstein trở thành quốc gia thứ 39 hợp pháp hóa hôn nhân cùng giới.
Huế chính thức trở thành thành phố trực thuộc trung ương thứ sáu của Việt Nam.
Khủng bố ở New Orleans, một chiếc xe  lao vào đám đông trên phố Bourbon, vào đêm giao thừa khiến ít nhất 10 người thiệt mạng và 30 người bị thương.
Kênh Truyền hình Quốc hội Việt Nam chính thức ngừng phát sóng.
5 tháng 1: Việt Nam chiến thắng Giải vô địch bóng đá ASEAN 2024
6 tháng 1: Liên đoàn Bóng đá Indonesia (PSSI) đã thông báo chấm dứt hợp đồng với huấn luyện viên đội tuyển bóng đá quốc gia Indonesia Shin Tae-yong.
7 tháng 1: Indonesia trở thành thành viên của BRICS.
8 tháng 1: Patrick Kluivert trở thành huấn luyện viên của đội tuyển bóng đá quốc gia Indonesia.
11 tháng 1: IFT-7 được lên kế hoạch phóng, đánh dấu lần ra mắt của tàu vũ trụ SpaceX Starship Giai đoạn 2.
13 tháng 1:
Đại hội Thể thao Đại học Mùa Đông Thế giới 2025 tổ chức tại Torino, Ý.
Sao chổi C/2024 G3 có khả năng vượt qua điểm cận nhật, đạt đến độ sáng -2.0 hoặc cao hơn và có thể nhìn thấy bằng mắt thường.
14 tháng 1 – 2 tháng 2: Giải vô địch bóng ném nam thế giới 2025 tổ chức tại Croatia, Đan Mạch và Na Uy.
15 tháng 1: Đài Truyền hình Kỹ thuật số VTC, VOVTV và Truyền hình Nhân Dân chính thức ngừng phát sóng.
16 tháng 1: Kênh VNews chính thức ngừng phát sóng.
20 tháng 1: Donald Trump trở thành tổng thống thứ 47 của Hoa Kỳ, kế nhiệm ông Joe Biden.
23 tháng 1: Hôn nhân đồng giới chính thức được hợp pháp hóa tại Thái Lan.
Sự kiện > Tháng 2

9 tháng 2:
Cuộc tổng tuyển cử Ecuador năm 2025 được tổ chức.
Cuộc tổng tuyển cử Liechtenstein năm 2025 được tổ chức.
12 tháng 2 – 1 tháng 3: Cúp bóng đá U-20 châu Á 2025 tổ chức tại Trung Quốc, đội tuyển bóng đá U-20 quốc gia Úc lần đầu tiên giành chức vô địch.
Sự kiện > Tháng 3

8 tháng 3 – 17 tháng 3: Thế vận hội Mùa đông Thế giới Đặc biệt năm 2025 tổ chức tại Torino, Ý.
11 tháng 3: Cựu Tổng thống thứ 16 của Philippines Rodrigo Duterte bị Cảnh sát Quốc gia Philippines và Interpol bắt giữ sau khi có quyết định truy nã từ Tòa án Hình sự Quốc tế với cáo buộc tội chống lại loài người.
Sự kiện dự kiến và đã lên kế hoạch

31 tháng 3: Đồng tiền guilder Caribe sẽ thay thế đồng guilder Antilles Hà Lan làm đơn vị tiền tệ cho Curaçao và Sint Maarten.
3 tháng 4 – 20 tháng 4: Cúp bóng đá U-17 châu Á 2025 tổ chức tại Ả Rập Xê Út.
31 tháng 5: Chung kết Hoa hậu Thế giới 2025 tổ chức tại Ấn Độ.
14 tháng 6 – 13 tháng 7: Giải vô địch bóng đá thế giới các câu lạc bộ 2025 tổ chức tại Hoa Kỳ.
2 – 27 tháng 7:  Giải vô địch bóng đá nữ châu Âu 2025 tổ chức tại Thụy Sĩ.
27 tháng 9 – 19 tháng 10: Giải vô địch bóng đá U-20 thế giới 2025 tổ chức tại Chile.
28 tháng 9: Cuộc bầu cử liên bang Đức năm 2025 dự kiến sẽ được tổ chức tuy nhiên có thể sẽ được dời đến ngày 23 tháng 2 do cuộc khủng hoảng chính phủ vào năm 2024.
17 tháng 10 – 8 tháng 11: Giải vô địch bóng đá nữ U-17 thế giới 2025 tổ chức tại Maroc.
1 – 18 tháng 11: Cúp bóng đá các quốc gia Ả Rập 2025 tổ chức tại Qatar.
1 – 11 tháng 11: Giải vô địch bóng đá bãi biển thế giới 2025 tổ chức tại Seychelles.
5 – 27 tháng 11: Giải vô địch bóng đá U-17 thế giới 2025 tổ chức tại Qatar.
21 tháng 11 – 7 tháng 12: Giải vô địch bóng đá trong nhà nữ thế giới 2025 tổ chức tại Philippines.
9 tháng 12 – 20 tháng 12: Đại hội Thể thao Đông Nam Á 2025 tổ chức tại Băng Cốc, Thái Lan.
Sự kiện dự kiến và đã lên kế hoạch > Ngày chưa rõ

Shadow Labyrinth, trò chơi điện tử nối tiếp câu chuyện của tập phim Pac-Man trong loạt phim tuyển tập Secret Level, dự kiến ​​sẽ ra mắt.
Mất > Tháng 1

2 tháng 1: Lê Đăng Dần, đảng viên Đảng Cộng sản Việt Nam, nguyên Phó chủ nhiệm Chính trị Quân khu 4 (s. 1927)
3 tháng 1: Tiêu Lang (Nguyễn Văn Lộc), nghệ sĩ cải lương người Việt Nam, thân phụ của nghệ sĩ nhân dân Như Quỳnh (s. 1929)
5 tháng 1: Costas Simitis, Thủ tướng Hy Lạp (s. 1936)
7 tháng 1: Lee Hee-chul, nhân vật truyền hình người Hàn Quốc (s. 1985)
8 tháng 1: Yoo Ho-han, diễn viên lồng tiếng người Hàn Quốc (s. 1972)
11 tháng 1: Mai Đức Toại, Đại tá, Anh hùng Lực lượng Vũ trang nhân dân Việt Nam (s. 1931)
15 tháng 1: David Lynch, Đạo diễn người Mỹ (s. 1946)
17 tháng 1:
Denis Law, Cầu thủ bóng đá người Scotland (s. 1940)
Punsalmaagiin Ochirbat, Tổng thống đầu tiên của Mông Cổ (s. 1942)
Didier Guillaume, Thủ tướng thứ 25 của Monaco (s. 1959)
19 tháng 1: Thúy Hà, Nghệ sĩ ưu tú, ca sĩ hát dòng nhạc Opera người Việt Nam (s. 1949)
24 tháng 1: Nguyễn Quốc Triệu, Nguyên Bộ trưởng Y tế Việt Nam (s. 1951)
Mất > Tháng 2

1 tháng 2: Horst Köhler, Tổng thống thứ 9 của Đức (s. 1943)
2 tháng 2: Từ Hy Viên, nữ diễn viên người Đài Loan (s. 1976)
16 tháng 2: Kim Sae-ron, nữ diễn viên người Hàn Quốc (s. 2000)
Mất > Tháng 3

6 tháng 3: Quý Bình, nam diễn viên người Việt Nam (s. 1983)
David Lynch
Punsalmaagiin Ochirbat
Horst Köhler
William James Sidis

| William James Sidis |
| --- | --- |
Sidis tại lễ tốt nghiệp ở Đại học Harvard (1914)
Sinh: (1898-04-01)1 tháng 4, 1898 Manhattan, Thành phố New York, Hoa Kỳ.
Mất: 17 tháng 7, 1944(1944-07-17) (46 tuổi) Boston, Massachusetts, Hoa Kỳ.
Tên khác: John W. Shattuck Frank Folupa Parker Greene Jacob Marmor
Trường lớp: Harvard University Rice University Harvard Law School
Tác phẩm nổi bật: The Animate and the Inanimate (1925) The Tribes and the States (k. 1935)
William James Sidis (/ˈsaɪ dɪs/; 1 tháng 4 năm 1898 – 17 tháng 7 năm 1944) là một thần đồng người  được biết đến với khả năng toán học và ngôn ngữ đáng kinh ngạc. Sau khi William qua đời, em gái ông đã đưa ra tuyên bố chưa xác thực về IQ của anh trai là "cao nhất từng đạt được", nhưng bằng chứng về bài kiểm tra IQ mà Sidis thực sự từng làm đã bị thất lạc do biến động của lịch sử. Ông ghi danh vào Đại học Harvard năm 11 tuổi và khi trưởng thành, theo ghi nhận là thông thạo tới hơn 40 ngôn ngữ và phương ngữ.
Tuy nhiên có một số ghi nhận được tạo nên nhờ phóng đại, một nhà nghiên cứu cho biết "Tôi đã nghiên cứu tính xác thực về các thông tin từ một số nguồn chính trong khoảng 28 năm và chưa bao giờ tôi tìm thấy một chủ đề nào ứng với những lời bịa đặt, giai thoại, nửa sự thật, phóng đại và những dạng thông tin sai sự thật khác theo như lịch sử về William Sidis". William ban đầu nổi tiếng nhờ trí tuệ phát triển sớm, còn về sau tính tình trở nên kỳ quặc, dần tách rời hoạt động xã hội. Cuối cùng, ông hoàn toàn rời bỏ toán học, tập trung viết về các lĩnh vực khác dưới nhiều bút danh.
Tiểu sử > Những năm đầu đời (1898–1909)

William James Sidis được sinh tại New York, là con của những người Do Thái di cư từ Ukraine. Cha là ông Boris Sidis sinh năm 1867, có học vị tiến sĩ, bác sĩ y khoa, di cư sang Hoa Kỳ từ năm 1887 khi mới 20 tuổi để thoát khỏi đàn áp chính trị. Mẹ là bác sĩ Sarah Mandelbaum Sidis (sinh năm 1874) tốt nghiệp trường Y khoa thuộc Đại học Boston năm 1897. Sarah đã theo gia đình sang Mỹ để tránh khỏi các cuộc tàn sát vào năm 1889 khi 15 tuổi.
William được đặt theo tên của người cha đỡ đầu, người bạn kiêm đồng nghiệp của ông Boris, triết gia người Mỹ William James. Ông Boris là một nhà tâm thần học đã xuất bản nhiều cuốn sách và bài viết, đi tiên phong trong nghiên cứu về tâm lý học dị thường thuộc tâm bệnh học. Ông cũng là người sử dụng đa ngôn ngữ và cậu bé William cũng bộc lộ khả năng này từ rất sớm.
Ông bà Boris có tình yêu mãnh liệt với tri thức và niềm tin vào giáo dục trí tuệ sớm tạo ra thần đồng, cũng chính vì điều này mà cả hai nhận nhiều chỉ trích. Con trai của họ bắt đầu đọc tờ báo The New York Times khi mới 18 tháng. William được dạy học tại nhà, chưa từng đi học trường mẫu giáo hay trường tiểu học. Đến năm lên 8, theo ghi nhận cậu bé đã tự học 8 ngôn ngữ (tiếng Latin, tiếng Hy Lạp, tiếng Pháp, tiếng Nga, tiếng Đức, Hebrew, tiếng Thổ Nhĩ Kỳ và tiếng Armenia) và tự sáng tạo ngôn ngữ riêng có tên là Vendergood.
Tiểu sử > Quãng thời gian học Đại học Harvard (1909–1915)

Dù ngôi trường này đã nhiều lần từ chối nguyện vọng nhận con trai 9 tuổi của ông Boris vào học vì lý do cậu bé còn quá nhỏ. Năm 1909, cậu bé đã lập kỷ lục trở thành người trẻ nhất theo học tại Đại học Harvard. Đầu năm 1910, Sidis nắm vững toán học bậc cao đến mức đã diễn thuyết trong Câu lạc bộ Toán học Harvard về các vật thể bốn chiều. William bắt đầu chương trình đào tạo chính quy năm 1910 và nhận bằng cử nhân hạng giỏi (cum laude) vào ngày 18 tháng 6 năm 1914, khi 16 tuổi. Một thần đồng khác, nhà tiên phong về điều khiển học là Norbert Wiener cũng theo học Harvard cùng thời điểm với William Sidis.
Ngay sau khi tốt nghiệp, William nói với phóng viên rằng mình muốn sống cuộc đời trọn vẹn, nghĩa là được sống ẩn dật tránh xa những kỳ vọng về thần đồng. Ông đã nhận lời phỏng vấn của một phóng viên tờ Boston Herald. Bài báo ghi lại lời thề một đời độc thân không đổi của William Sidis nói rằng sẽ không bao giờ kết hôn, vì theo ông, phụ nữ không có sức hấp dẫn mình. Về sau, ông nảy sinh tình cảm mãnh liệt với nhà hoạt động xã hội Martha Foley. Sau khi nhận bằng cử nhân, William tiếp tục học lên Cao học Nghệ thuật và Khoa học của Harvard.
Theo The Prodigy: a Biography of William James Sidis, ông từng có thời gian làm tại Hội Quốc Liên nhưng ra đi do tin Tổng thống Mỹ Woodrow Wilson sẽ không rút quân đội đã triển khai trong Thế chiến thứ nhất. William thẳng thắn chia sẻ quan điểm về chủ nghĩa hòa bình của cá nhân.
Tiểu sử > Giảng dạy và học thêm (1915–1919)

Sau khi một nhóm sinh viên Harvard đe dọa Sidis về mặt thể chất, cha mẹ đã kiếm cho ông một công việc tại Viện nghiên cứu vì sự tiến bộ Văn Khoa và Nghệ thuật William Marsh Rice (nay là Đại học Rice) ở Houston, Texas với vai trò trợ giảng môn toán. William tới Rice vào tháng 9 năm 1915 khi mới 17 tuổi. Lúc này ông là một nghiên cứu sinh sau đại học đang nỗ lực đạt tới học vị tiến sĩ.
Sidis dạy 3 lớp: hình học Euclid, hình học phi Euclid và lượng giác. Sau không hơn 1 năm, thất vọng về khoa chuyên ngành, yêu cầu giảng dạy của bản thân và những hành xử của các sinh viên lớn tuổi hơn, Sidis đã rời khỏi vị trí và trở lại New England. Khi một người bạn hỏi lý do rời bỏ ngôi trường, ông đáp lại: "Tôi không biết vì sao họ đem đến cho tôi công việc đó ngay từ đầu— tôi không phải là một giáo viên. Tôi không bỏ đi - tôi đã được yêu cầu rời đi."
William Sidis đã từ bỏ việc theo đuổi tấm bằng thạc sĩ toán học và ghi danh vào trường Luật Harvard vào tháng 9 năm 1916, nhưng đã từ bỏ vị trí tốt vào năm cuối, tháng 3 năm 1919.
Tiểu sử > Cuối đời (1921–1944)

Sau khi trở về Bờ Đông Hoa Kỳ vào năm 1921, Sidis đã quyết tâm sống ẩn dật. William chỉ làm các công việc chạy máy cộng tiền hoặc những việc khá nghèo nàn khác. Ông làm việc tại thành phố New York và xa lánh cha mẹ mình. Phải mất nhiều năm trước khi ông được giải phóng hợp pháp để được quay về Massachusetts và ông lo ngại về nguy cơ bị bắt trong nhiều năm. Ông bị ám ảnh bởi sở thích sưu tầm vé xe điện, tự viết và xuất bản các tạp chí định kỳ và giảng dạy theo nhóm nhỏ cho những người bạn yêu thích các bài giảng về lịch sử Hoa Kỳ của ông. Năm 1933, Sidis vượt qua kỳ thi Công chức Dân chính ở New York, nhưng chỉ đạt thứ hạng thấp 254. Trong một lá thư riêng, Sidis viết rằng việc đó "không đáng khích lệ".
Năm 1944, Sidis đã thắng một vụ giàn xếp với tờ The New Yorker vì một bài viết xuất bản năm 1937. William đã cáo buộc nó chứa nhiều tuyên bố sai sự thật. Dưới tiêu đề "Bây giờ họ ở đâu?", bài viết mạo danh mô tả cuộc sống của Sidis là cô đơn, tại một "phòng ngủ rộng lớn tại South End tồi tàn của Boston". Tòa án cấp thấp đã bác bỏ tư cách nhân vật quần chúng của Sidis vì thế ông không có quyền khước từ việc công khai bản nhân. Ông đã mất quyền kháng cáo về vụ xâm phạm quyền riêng tư tại Tòa phúc thẩm khu vực địa hạt thứ hai (United States Court of Appeals for the Second Circuit) năm 1940 với cùng một bài viết. Thẩm phán Charles Edward Clark bày tỏ sự cảm thông với Sidis - người tuyên bố rằng ấn bản này đã đem William ra "khi dễ, khinh miệt và nhạo báng công khai" và làm cho ông "tổn thương tinh thần trầm trọng và bẽ mặt"—nhưng nhận thấy rằng tòa án không có khả năng "đem đến cách thức miễn nhiễm tuyệt đối khỏi sự tò mò của báo giới đối với những điều vụn vặt liên quan đến đời tư".
William Sidis qua đời năm 1944 vì xuất huyết não tại Boston ở tuổi 46. Cha ông cũng qua đời trước đó vì cùng chứng bệnh năm 1923 khi 56 tuổi.
Di sản

Sau khi William qua đời, cô em gái của ông tuyên bố về chỉ số thông minh của anh trai, nó được ghi trong cuốn sách Psychology for the Millions của Abraham Sperling năm 1946 là "mức cao nhất từng ghi nhận", nhưng sau đó các tác giả nhận thấy rằng một số người viết tiểu sử về William, như Amy Wallace đã phóng đại mức độ IQ và những gì Sperling thực sự đã tuyên bố. Sperling thực ra đã viết:
Helena Sidis nói với tôi rằng một vài năm trước khi qua đời, anh trai cô, Bill, đã kiểm tra trí thông minh với một nhà tâm lý học. IQ của ông là số điểm cao nhất từng ghi nhận. Về mặt chỉ số IQ, nhà tâm lý học kể lại rằng con số ước chừng sẽ là giữa khoảng 250 và 300. Cuối đời William Sidis đã làm bài kiểm tra trí thông minh tổng quát ứng tuyển vào vị trí công chức dân chính ở New York và Boston. Những điểm số phi thường của ông là chứng nhận kỷ lục.
Người ta nhận thấy rằng Helena và mẹ cô, bà Sarah thường khuếch trương danh tiếng bằng các tuyên bố phóng đại về gia đình nhà Sidis. Helena cũng tuyên bố sai rằng kỳ thi công chức dân chính mà William tham dự năm 1933 là một bài kiểm tra IQ và xếp hạng điểm số IQ là 254. Theo suy đoán về con số "254" thực chất là thứ tự tên William trên danh sách sau khi ông vượt qua kỳ thi, như ông đã nêu trong lá thư gửi cho gia đình. Cô em gái Helena cũng tuyên bố rằng "anh trai Billy biết tất cả các ngôn ngữ trên thế giới, trong khi cha tôi chỉ biết 27. Tôi luôn tự hỏi liệu có thứ gì mà anh Billy không biết không." Tuyên bố này không được chứng thực từ bất kỳ nguồn nào ngoại trừ gia đình nhà Sidis, thêm vào đó bà Sarah Sidis cũng đưa ra một tuyên bố không tưởng trong cuốn sách The Sidis Story (1950) của bà rằng con trai William có thể học 1 ngôn ngữ chỉ trong một ngày. Ông Boris Sidis từng một lần bác bỏ các bài kiểm tra IQ là "ngu ngốc, giả tạo, vô lý và lừa dối trắng trợn".
Cuộc đời và sự nghiệp của William Sidis, đặc biệt là những ý tưởng về thổ dân châu Mỹ, được thảo luận rộng rãi trong cuốn sách Lila: An Inquiry into Morals của Robert M. Pirsig (1991). Sidis cũng được nhắc đến trong cuốn tự truyện có tên Ex-Prodig của nhà toán học Norbert Wiener (1894-1964), cũng là một thần đồng và một người đồng niên của Sidis tại Harvard.
Một tác giả Đan Mạch là Morten Brask đã viết một cuốn tiểu thuyết hư cấu dựa trên cuộc đời của Sidis; The Perfect Life of William Sidis được xuất bản ở Đan Mạch vào năm 2011. Một cuốn tiểu thuyết khác dựa trên tiểu sử của William đã được xuất bản bởi tác giả Đức Klaus Cäsar Zehrer năm 2017.
Di sản > Thảo luận về giáo dục

Cuộc tranh luận về cách thức nuôi dạy của gia đình Sidis đã diễn ra tại một buổi tọa đàm cởi mở về cách thức tốt nhất để giáo dục trẻ em. Các tờ báo chỉ trích phương pháp nuôi dạy con của ông Boris Sidis. Hầu hết các nhà giáo dục hôm đó đều cho rằng các trường học nên cho trẻ nhỏ tiếp xúc với trải nghiệm đời thường để nuôi dưỡng trẻ thành người công dân có ích. Hầu hết các nhà tâm lý học cho rằng trí thông minh là di truyền, một quan điểm hướng tới xóa bỏ giáo dục mầm non tại nhà.
Những khó khăn mà William gặp phải trong việc ứng phó với môi trường xã hội khi bắt đầu vào đại học có thể đã tạo quan điểm không nên cho phép những đứa trẻ thần đồng bước chân vào đại học quá sớm trong thời của William. Nghiên cứu thì chỉ ra rằng một chương trình giáo dục mang tính kích thích có thể hạn chế bớt những khó khăn về mặt xã hội và cảm xúc mà trẻ thiên tài thường gặp phải. Đi theo những phát hiện này, một vài trường đại học hiện nay có các thủ tục với nhập học sớm. Viện Nghiên cứu Phát triển Tài năng sớm Davidson đã phát triển một sách hướng dẫn về chủ đề này.
William Sidis bị nhạo báng trên báo chí thời đó. Ví dụ trên The New York Times, miêu tả ông là "kết quả thành công tuyệt vời của một thí nghiệm khoa học ép buộc".