Archimedes
Toán học

Tuy thường được coi như một người thiết kế các thiết bị cơ khí, Archimedes cũng có những đóng góp trong lĩnh vực toán học. Plutarch đã viết: "Ông đặt toàn bộ niềm đam mê và tham vọng trong những sự suy xét thuần tuý nơi không có sự hiện diện của những nhu cầu tầm thường của cuộc sống."
Archimedes đã có thể sử dụng các vi phân theo một cách tương tự như tính toán tích phân hiện đại ngày nay. Thông qua chứng minh mâu thuẫn (reductio ad absurdum), ông có thể đưa ra những câu trả lời cho những bài toán với một độ chính xác bất kỳ, trong khi xác định các giới hạn có câu trả lời ở bên trong. Kỹ thuật này được gọi là phương pháp rút gọn, và ông đã sử dụng nó để ước tính giá trị số π (pi). Ông đã thực hiện nó bằng cách vẽ một hình đa giác lớn bên ngoài một hình tròn và một hình đa giác nhỏ bên trong hình tròn. Khi số lượng các cạnh của hình đa giác tăng lên, nó sẽ gần như trở thành bằng với hình tròn. Khi các hình đa giác có 96 cạnh, ông tính các chiều dài các cạnh và thấy giá trị số π nằm trong khoảng 31⁄7 (xấp xỉ 3.1429) và 310⁄71 (xấp xỉ 3.1408), gần với giá trị thực của nó là xấp xỉ 3.1416. Ông cũng chứng minh rằng diện tích của một hình tròn bằng với π nhân với bình phương của bán kính của hình tròn. Trong Về hình tròn và hình trụ, Archimedes đã đưa ra định đề rằng bất kỳ độ lớn nào khi khi được thêm đủ thời gian sẽ vượt quá bất kỳ một độ lớn nào cho trước. Đây là thuộc tính Archimedes của các số thực.
Trong Đo đạc một hình tròn, Archimedes đã đưa ra giá trị của căn bậc hai của 3 nằm trong khoảng 265⁄153 (xấp xỉ 1.7320261) và 1351⁄780 (xấp xỉ 1.7320512). Giá trị thực là xấp xỉ 1.7320508, khiến đây là một ước tính rất chính xác. Ông đã đưa ra kết quả này mà không có sự giải thích về phương pháp tính toán nó. Cách làm việc này của Archimedes khiến John Wallis nhận xét rằng ông: "như có mục tiêu định trước là che giấu các cách thức thực hiện của mình như kiểu muốn giữ bí mật phương pháp với thế hệ sau trong khi vẫn muốn khiến họ phải thán phục với những kết quả mình đạt được."
Trong Phép cầu phương của hình parabol, Archimedes chứng minh rằng diện tích bị bao quanh bởi một hình parabol và một đường thẳng gấp 4⁄3 lần diện tích của một hình tam giác nội tiếp tương ứng ở hình bên phải. Ông đã thể hiện cách giải cho vấn đề như một chuỗi hình học vô định với tỷ lệ chung 1⁄4:
Nếu số hạng đầu tiên trong chuỗi này là diện tích của một hình tam giác, thì số hạng thứ hai là tổng của các diện tích của hai tam giác có đáy là hai cạnh cắt nhỏ hơn, và tiếp tục. Cách chứng minh này sử dụng một biến đổi của chuỗi 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + • • • với tổng là 1⁄3.
Trong Người đếm cát, Archimedes đã đặt ra cách để tính toán số lượng hạt cát mà vũ trụ có thể chứa đựng. Khi làm như vậy, ông đã bác bỏ ý kiến rằng số lượng hạt cát là quá lớn để có thể tính được. Ông viết: "Có một số người, Vua Gelo (Gelo II, con trai của Hiero II), nghĩ rằng số lượng hạt cát là vô hạn trong vô số; và tôi muốn nói tới số cát không chỉ tồn tại ở Syracuse và phần còn lại của Sicilia mà cả tới những hạt cát có trong mọi vùng nơi có hay không có người ở." Để giải quyết vấn đề này, Archimedes đặt ra một hệ thống tính toán dựa trên myriad. Từ tiếng Hy Lạp μυριάς murias, tương đương với 10,000. Ông đã đề xuất một hệ thống số sử dụng một myriad mũ myriad (100 triệu) và kết luận rằng số lượng hạt cát cần để lấp đầy vũ trụ sẽ là 8 vigintillion, hay 8×1063.