Mô hình Ramsey-Cass-Koopmans
Lịch sử

Spear và Young đã kiểm tra lại lịch sử phát triển của học thuyết phát triển tối ưu trong những năm 1950 và 1960, tập trung khai thác tính xác thực của sự phát triển độc lập và đồng thời trong công bố của Cass về "Tăng trưởng tối ưu trong mô hình tổng hợp của tích lũy vốn" (công bố năm 1965 trong "Xét lại những nghiên cứu kinh tế" (Review of Economic Studies) và phát biểu của Tjalling Koopman’s trong "Khái niệm tăng trưởng kinh tế tối ưu" (xuất bản trong tuần nghiên cứu về phương pháp tiếp cận kinh tế lượng để quy hoạch phát triển, năm 1965, Rome: Viện hàn lâm Giáo hoàng về Khoa học).
Trong cả cuộc đời mình, cả Cass và Koopmans đều không đề xuất rằng kết quả nghiên cứu của họ trong việc mô tả đặc trưng của tăng trưởng tối ưu tại một lĩnh vực hay mô hình tăng trưởng theo thời gian là một điều gì đó khác hơn việc "độc lập và đồng thời". Điều này đã dấy lên một tranh luận bởi có một chứng minh chỉ ra rằng trong bản công bố nghiên cứu của Koopmans, ông đã trích dẫn một chương từ luận án của Cass (mà sau đó, được công bố như một đề tài nghiên cứu). Trong luận văn của mình, Koopmans đã trình bày trong một chú thích rằng Cass đã tiến hành nghiên cứu độc lập trong cùng những điều kiện và cho ra kết quả tương tự Koopmans, và rằng Cass cũng cân nhắc những trường hợp hạn chế mà tỉ lệ chiết khấu xuống đến 0. Trong phần này, Cass ghi chú rằng "sau bản nghiên cứu ban đầu đã được hoàn tất, thì bản phân tích trùng hợp của Koopmans đã thật sự khiến chúng tôi bất ngờ. Chúng tôi đã đưa kết quả nghiên cứu của anh ấy vào thảo luận các trường hợp giới hạn, khi mà chỉ số chiết khấu xã hội hiệu quả xuống đến 0". Trong bài phòng vấn của Cass với tờ Macroeconomic Dynamics, ông đã tin tưởng Koopmans và thừa nhận rằng từ kết quả của nhà nghiên cứu này mà ông biết đến các nghiên cứu trước đây của Frank Ramseys. Ông cũng nói rằng ông lấy làm xấu hổ vì sự thiếu hụt kiến thức của mình, nhưng cũng không đả động gì đến việc thừa nhận cụ thể rằng các nghiên cứu của ông và Koopmans được tiến hành một cách độc lập.
Spear và Young đã dựa vào sự việc trên, cùng với việc một bản nghiên cứu (đã bị bỏ qua) trước đó của Koopmans, tiền đề của bài thuyết trình đầy cảm hứng của ông sau đó tại Viện Hàn Lâm Giáo hoàng về Khoa Học vào tháng 10 năm 1963. Bài nghiên cứu này thực ra có một lỗi sai. Đó là khi Koopmans trình bày kết quả chính của nghiên cứu rằng phương trình Euler là điều kiện cần và đủ để mô tả quỹ đạo tối ưu trong mô hình, bởi bất kỳ kết quả nào của các phương trình Euler cũng đều không hội tụ về trạng thái ổn định tối ưu và đạt mức tiêu thụ bằng 0 hoặc ranh giới vốn 0 trong thời gian hữu hạn. Lỗi này, sau đó đã được trình bày tại hội nghị ở Vatican, mặc dù tại thời điểm Koopmans thuyết trình, không có ai bình luận về vấn đề này. Điều này có thể được lý giải là bởi vì các cuộc thảo luận sau mỗi lần trình bày nghiên cứu tại hội nghị Vatican đều được bảo lưu đầy đủ trong kho lưu trữ.
Trong buổi thảo luận của Vatican về buổi thuyết trình của Edmond Malinvaud, vấn đề trên đã được dấy lên bởi nhận định của Malinvaud về "điều kiện trục hoành" (được Malinvaud gọi là Điều kiện I) trong bản nghiên cứu của mình. Cuối bài phát biểu, Koopmans hỏi Malinvaud xem liệu rằng có trường hợp Điều kiện I đơn giản củng cố cho các đáp án của phương trình Euler không hội tụ về trạng thái ổn định tối ưu, đạt mức ranh giới trong thời gian hữu hạn. Malinvaud trả lời rằng không có trường hợp đó xảy ra, và gợi ý cho Koopmans nhìn lại ví dụ với các phương trình hữu dụng logarit (log ulility fuctions) và hàm sản xuất Cobb-Douglass (Cobb-Douglas production functions).
Trong điểm này, Koopmans rõ ràng nhận ra vấn đề của nghiên cứu, tuy nhiên, dựa vào phần phụ lầm gây khó hiểu trong bản tái bản sau đó của bài nghiên cứu, được phát hành sau hội nghị Vatican, ông dường như không thể xác định cách thức xử lý vấn đề mà Điều kiện I của Malinvaud đưa ra.
Từ bài phóng vấn Macroeconomic Dynamics, cùng với Cass, việc Koopmans gặp cố vấn luận văn của Cass, ông Hirofumi Uzawa, tại các buổi gặp mặt mùa đông của Cộng đồng kinh tế lượng vào tháng 1 năm 1964, đã giúp Koopmans có được lời khuyên của Uzama về việc học trò của ông (Cass) thực tế đã giải quyết được thiếu sót trong nghiên cứu của Koopmans. Uzama đã đưa cho Koopmans bản sao một chương luận án của Cass và ông được coi là cũng gửi kèm cùng một bản báo cáo kỹ thuật IMSSS mà Koopmans đã trích dẫn trong bản công bố nghiên cứu của mình. Từ "được coi" dùng với ý nghĩa là số báo cáo kỹ thuật được liệt kê trong trích dẫn của Koopmans có ngày phát hành báo cáo vào những năm đầu 1950, tuy nhiên điều này không đúng thực tế.
Trong phần công bố nghiên cứu của Koopmans, ông đã áp dụng một Điều kiện Alpha mới, bổ sung thêm cho các phương trình Euler, chỉ ra rằng chỉ duy nhất những quỹ đạo được thừa nhận trong những đáp án thỏa mãn phương trình Euler là những kết quả có hội tụ để cân bằng trạng thái ổn định tối ưu của mô hình. Kết quả này được đưa ra từ nghiên cứu của Cass, thông qua việc áp dụng điều kiện trục hoành mà Cass rút ra từ những phần có liên quan trong cuốn sách của Lev Pontryagin, Vladimir Boltyansky, Revaz Gamkrelidze, và Evgenii Mishchenko (ru).[9] Spear và Young phỏng đoán rằng Koopmans đã vướng vào sai lầm này bởi ông không muốn "mượn" kỹ thuật trục hoành của bất kể Malinvaud hay Cass.
Dựa vào sự kiện này cũng như những đóng góp khác của Malinvaud những năm 1950, đặc biệt là dự cảm của ông về tầm quan trọng của điều kiện trục hoành, Spear và Young đưa ra gợi ý rằng mô hình phát triển tân cô điển nên được gọi là mô hình Ramsey- Malinvaud- Cass hơn là tên gọi Ramsey- Cass- Koopmans như hiện nay.