stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Asthenes flammulata
Chú thích

↑  BirdLife International (2012). “Asthenes flammulata”. Sách Đỏ IUCN các loài bị đe dọa. Phiên bản 2013.2. Liên minh Bảo tồn Thiên nhiên Quốc tế. Truy cập ngày 26 tháng 11 năm 2013.
↑  Clements, J. F.; Schulenberg, T. S.; Iliff, M. J.; Wood, C. L.; Roberson, D.; Sullivan, B.L. (2012). “The eBird/Clements checklist of birds of the world: Version 6.7”. Truy cập ngày 19 tháng 12 năm 2012.
Benthamia herminioides

| Benthamia herminioides> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Asparagales
Họ (familia): Orchidaceae
Chi (genus): Benthamia
Loài (species): B. herminioides
Danh pháp hai phần
Benthamia herminioides Schltr., 1924 
Benthamia herminioides là một loài thực vật có hoa trong họ Lan. Loài này được Schltr. mô tả khoa học đầu tiên năm 1924.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Benthamia herminioides”. Truy cập ngày 7 tháng 6 năm 2013.
Megachile nigra

| Megachile nigra> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Hymenoptera
Họ (familia): Megachilidae
Phân họ (subfamilia): Megachilinae
Tông (tribus): Megachilini
Chi (genus): Megachile
Loài (species): M. nigra
Danh pháp hai phần
Megachile nigra Schulten, 1977 
Megachile nigra là một loài Hymenoptera trong họ Megachilidae. Loài này được Schulten mô tả khoa học năm 1977.
Chú thích

↑  (2008) Integrated Taxonomic Information System (ITIS) Bee Checklist 3 oktober 2008
Cestrum atroxanthum

| Cestrum atroxanthum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Solanales
Họ (familia): Solanaceae
Chi (genus): Cestrum
Loài (species): C. atroxanthum
Danh pháp hai phần
Cestrum atroxanthum Kuntze, 1898 
Cestrum atroxanthum là loài thực vật có hoa trong họ Cà. Loài này được Kuntze mô tả khoa học đầu tiên năm 1898.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cestrum atroxanthum”. Truy cập ngày 14 tháng 6 năm 2013.
Brachymenium luteolum

| Brachymenium luteolum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Bryophyta
Lớp (class): Bryopsida
Phân lớp (subclass): Bryidae
Bộ (ordo): Bryales
Họ (familia): Bryaceae
Chi (genus): Brachymenium
Loài (species): B. luteolum
Danh pháp hai phần
Brachymenium luteolum (Müll.Hal.) A.Jaeger, 1875 
Brachymenium luteolum là một loài Rêu trong họ Bryaceae. Loài này được (Müll. Hal.) A. Jaeger mô tả khoa học đầu tiên năm 1875.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Brachymenium luteolum”. Truy cập ngày 19 tháng 8 năm 2013.
Cestrum azuense

| Cestrum azuense> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Solanales
Họ (familia): Solanaceae
Chi (genus): Cestrum
Loài (species): C. azuense
Danh pháp hai phần
Cestrum azuense Urb. & Ekman, 1929 
Cestrum azuense là loài thực vật có hoa trong họ Cà. Loài này được Urb. & Ekman mô tả khoa học đầu tiên năm 1929.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cestrum azuense”. Truy cập ngày 14 tháng 6 năm 2013.
Lindsaea madagascariensis

| Lindsaea madagascariensis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Pteridophyta
Lớp (class): Polypodiopsida/Pteridopsida (disputed)
Bộ (ordo): Polypodiales
(không phân hạng): Eupolypods II
Họ (familia): Dennstaedtiaceae
Chi (genus): Lindsaea
Loài (species): L. madagascariensis
Danh pháp hai phần
Lindsaea madagascariensis Baker, 1877 
Lindsaea madagascariensis là một loài thực vật có mạch trong họ Dennstaedtiaceae. Loài này được Baker mô tả khoa học đầu tiên năm 1877.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Lindsaea madagascariensis”. Truy cập ngày 13 tháng 8 năm 2013.
Cestrum benthamii

| Cestrum benthamii> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Solanales
Họ (familia): Solanaceae
Chi (genus): Cestrum
Loài (species): C. benthamii
Danh pháp hai phần
Cestrum benthamii Miers, 1846 
Cestrum benthamii là loài thực vật có hoa trong họ Cà. Loài này được Miers mô tả khoa học đầu tiên năm 1846.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cestrum benthamii”. Truy cập ngày 14 tháng 6 năm 2013.
Jinnenahalli, Channarayapatna

| Jinnenahalli |
| --- | --- |
—  Làng  —
 
Quốc gia:  Ấn Độ
Bang: Karnataka
Huyện: Hassan
Thành phố/thị trấn: Channarayapatna
Múi giờ: IST (UTC+5:30)
Jinnenahalli là một làng thuộc tehsil Channarayapatna, huyện Hassan, bang Karnataka, Ấn Độ.
Chloroclystis luciana

| Chloroclystis luciana> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Chloroclystis
Loài (species): C. luciana
Danh pháp hai phần
Chloroclystis luciana Prout 1958 
Chloroclystis luciana là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  “Home of Ichneumonoidea”. Taxapad. Dicky Sick Ki Yu. 1997–2012. Bản gốc lưu trữ ngày 13 tháng 8 năm 2017. Truy cập 2013. Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |access-date= (trợ giúp)
↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Benkana Gondi, Gubbi

| Benkana Gondi |
| --- | --- |
—  Làng  —
 
Quốc gia:  Ấn Độ
Bang: Karnataka
Huyện: Tumkur
Thành phố/thị trấn: Gubbi
Múi giờ: IST (UTC+5:30)
Benkana Gondi là một làng thuộc tehsil Gubbi, huyện Tumkur, bang Karnataka, Ấn Độ.
Charles Adolphe Würtz

| Charles Adolphe Würtz |
| --- | --- |

Sinh: 26 tháng 11 năm 1817 Wolfisheim, Pháp
Mất: 10 tháng 5, 1884(1884-05-10) (66 tuổi) Paris, Pháp
Quốc tịch:  Pháp
Nổi tiếng vì: Phản ứng Würtz
Giải thưởng: Huy chương Copley năm 1881
Sự nghiệp khoa học
Ngành: Hóa học
 
Charles Adolphe Würtz (1817-1884) là nhà hóa học người Pháp. Ông là người tìm ra phản ứng Würtz vào năm 1855. Ông cùng 71 nhân vật khác được ghi tên trên tháp Eiffel.
Chú thích

↑  Ôn tập kiến thức và luyện giải nhanh bài tập trắc nghiệm hóa học, Phó giáo sư, Tiến sĩ Nguyễn Xuân Trường, Thạc sĩ Quách Văn Long, xuất bản năm 2014, trang 58
Chorizema cordatum

| Chorizema cordatum |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Chi (genus): Chorizema
Loài (species): C. cordatum
Danh pháp hai phần
Chorizema cordatum Lindl. 
Chorizema cordatum là một loài thực vật thân thảo trong họ Đậu đặc hữu của các vùng phía tây của Tây Úc.
Chú thích

↑  “Chorizema cordatum, Ron Jackson, Australian National Botanic Gardens”.
Lương Điệu vương

Lương Điệu Vương (chữ Hán:梁悼王) là có thể là những nhân vật lịch sử sau:
Danh sách

Thục Hán Lương Điệu Vương Lưu Lý (hoặc An Bình Điệu Vương)
Đường triều Lương Điệu Vương Lý Ảm (còn gọi là Thục Điệu Vương hoặc Phù Lăng Điệu quận vương)
Đồ thị Cayley

Đồ thị sinh ra từ nhómBản mẫu:SHORTDESC:Đồ thị sinh ra từ nhóm
Đồ thị Cayley của nhóm tự do trên hai phần tử sinh a và b
Trong toán học, đồ thị Cayley, hay còn gọi là đồ thị tô màu Cayley, biểu đồ Cayley, biểu đồ nhóm, hay nhóm màu là đồ thị mô tả cấu trúc trừu tượng của nhóm. Định nghĩa của nó được lấy từ định lý Cayley (được đặt tên theo nhà toán học Arthur Cayley), và sử dụng một tập các phần tử sinh của nhóm. Nó là một trong những công cụ quan trọng trong lý thuyết nhóm tổ hợp và lý thuyết nhóm hình học.
Định nghĩa

Gọi  G là nhóm và  S là tập sinh của  G. Đồ thị Cayley  \Gamma =\Gamma (G,S) là đồ thị có hướng tô màu cạnh được xây dựng như sau:
Mỗi phần tử  g thuộc  G được gán 1 đỉnh: tập đỉnh của  \Gamma  đồng nhất với  G.
Mỗi phần tử  s thuộc  S được gán màu  c_{s}.
Với mọi  g\in G và  s\in S, có cạnh có hướng có màu  c_{s} từ đỉnh tương ứng với  g tới đỉnh tương ứng với  gs.
Không phải mọi tác giả đều yêu cầu rằng  S phải sinh nhóm. Nếu  S không phải tập sinh của nhóm  G, thì  \Gamma  là đồ thị không liên thông và mỗi thành phần liên thông biểu diễn lớp kề của nhóm con sinh bởi   S.
Nếu phần tử  s thuộc  S là nghịch đảo của chính nó, tức  s=s^{-1}, thì ta có thể biểu diễn nó bằng cạnh vô hướng.
Nếu tập  S được coi là tập đối xứng (tức là  S=S^{-1}) và không chứa phần tử đơn vị của nhóm, thì đồ thị Cayley không tô màu của nó có thể biểu diễn bằng đồ thị vô hướng.
Trong lý thuyết nhóm hình học, tập  S thường mặc định là hữu hạn, tương ứng với  \Gamma  hữu hạn địa phương.
Các ví dụ

Gọi  G=\mathbb {Z}  là nhóm cyclic vô hạn và tập  S chỉ chứa 1 và nghịch đảo của nó, −1 (trong ký hiệu phép cộng); thì đồ thị Cayley của nó có đường đi vô hạn.
Tương tự, nếu  G=\mathbb {Z} _{n} là nhóm cyclic cấp  n và tập  S chỉ chứa hai phần tử là phần tử sinh  G và nghịch đảo của nó, thì đồ thị Cayley là đồ thị chu trình  C_{n}. Tổng quát hơn, đồ thị Cayley của nhóm cyclic hữu hạn cấp luôn là đồ thị đường tròn.
Đồ thị Cayley của tích trực tiếp của nhóm (cùng với tích Descartes của các tập sinh làm tập sinh) là tích Descartes của các đồ thị Cayley tương ứng.  Do đó, đồ thị Cayley của nhóm Abel  \mathbb {Z} ^{2} cùng tập các phần tử sinh  (\pm 1,0),(0,\pm 1) là lưới vô hạn trên mặt phẳng  \mathbb {R} ^{2}, trong khi đó, tích trực tiếp của  \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{m} cùng với các phần tử sinh tương tự có đồ thị Cayley là lưới hữu hạn kích thước  n\times m trên hình xuyến.
Đồ thị Cayley của nhóm nhị diện  D_{4} trên hai phần tử sinh  a và  b được biểu diễn trong ảnh bên. Các mũi tên màu đỏ biểu diễn phép hợp với  a. Bởi  b tự nghịch đảo, nên các đường màu xanh của  b là các đường vô hướng. Do đó, đồ thị hỗn hợp giữa mũi tên và cạnh: nó có 8 đỉnh, 8 mũi tên và 4 cạnh. Bảng Cayley của nhóm  D_{4} có thể dẫn xuất từ biểu diễn quan hệ của nhóm  \langle a,b\mid a^{4}=b^{2}=e,ab=ba^{3}\rangle . Đồ thị Cayley khác của nhóm  D_{4} được biểu diễn ở bên phải. Phần tử  b vẫn là phản xạ ngang và được tô bằng màu xanh, trong khi  c là phản xạ chéo và được tô bằng màu hồng. Bởi cả hai phản xạ này đều tự nghịch đảo nên đồ thị Cayley ở bên phải hoàn toàn vô hướng. Đồ thị này tương ứng với trình diễn sau  \langle b,c\mid b^{2}=c^{2}=e,bcbc=cbcb\rangle .
Đồ thị Cayley của nhóm tự do trên hai phần tử sinh  a và  b tương ứng với tập  S=\{a,b,a^{-1},b^{-1}\} được biểu diễn ở ngay đầu bài viết, trong đó  e là phần tử đơn vị. Đi theo đường bên phải sẽ là phép nhân bên phải với  a, trong khi đi theo đường phía trên sẽ là phép nhân với  b. Bởi nhóm tự do không có quan hệ giữa các phần tử sinh nên đồ thị Cayley của nó không có chu trình. Đồ thị Cayley này là cây vô hạn 4-chính quy và là yếu tố quan trọng trong bài chứng minh nghịch lý Banach–Tarski.
Đồ thị Cayley của nhóm Heisenberg rời rạc  \left\{{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ x,y,z\in \mathbb {Z} \right\} nằm trong ảnh phải. Các phần tử sinh trong ảnh này là ba ma trận  X,Y,Z đưa bởi các hoán vị của 1, 0, 0 các mục  x,y,z. Các phần tử sinh này thoả mãn quan hệ  Z=XYX^{-1}Y^{-1},XZ=ZX,YZ=ZY. Nhóm này là nhóm vô hạn không giao hoán.
Đặc trưng

Nhóm  G tự tác động lên chính nó bằng phép nhân trái (xem định lý Cayley). Ta có thể xem đây là tác động của  G trên đồ thị Cayley của nó. Nói rõ hơn, phần tử  h\in G ánh xạ đỉnh  g\in V(\Gamma ) sang đỉnh  hg\in V(\Gamma ). Tập các cạnh và màu của đỉnh được bảo toàn bởi tác động này: cạnh  (g,gs) được ánh xạ sang cạnh  (hg,hgs), cả hai đều được tô màu  c_{s}. Tác động nhân trái của nhóm lên chính nó có tính bắc cầu đơn, và cụ thể hơn, đồ thị Cayley có tính bắc cầu đỉnh. Từ đây, ta có định lý gần như ngược lại như sau:
Định lý Sabidussi — Đồ thị có hướng (chưa tô màu và chưa dán nhãn)  \Gamma  là đồ thị Cayley của nhóm  G khi và chỉ khi nó có tác động bắc cầu đơn của nhóm  G bằng tự đẳng cấu đồ thị (nghĩa là bảo toàn tập các cạnh có hướng).
Để thu về nhóm  G và tập sinh  S từ đồ thị có hướng chưa dán nhãn  \Gamma , chọn một đỉnh  v_{1}\in V(\Gamma ) và nhãn nó là phần tử đơn vị của nó. Sau đó dán nhãn mỗi phần tử  v thuộc  \Gamma  bằng phần tử phân biệt thuộc  G ánh xạ  v_{1} sang  v. Tập sinh  S của  G tạo đồ thị Cayley  \Gamma (G,S) là tập các đỉnh đích của  v_{1}.
Các tính chất cơ bản

Đồ thị  \Gamma (G,S) phụ thuộc vào việc chọn tập sinh  S. Lấy ví dụ, nếu tập sinh  S có  k phần tử thì mỗi đỉnh của đồ thị Cayley sẽ có  k mũi tên đi vào và  k mũi tên đi ra. Trong trường hợp tập sinh  S đối xứng chứa  r phần tử thì đồ thị Cayley là đồ thị chính quy có hướng bậc  r.
Chu trình trong đồ thị Cayley biểu diễn mối quan hệ giữa các phần tử sinh trong tập  S. Trong xây dựng phức Cayley của nhóm, các chu trình này tương ứng với quan hệ "đổ đầy" bằng các đa giác. Nghĩa là bài toán xây đồ thị Cayley cho tập quan hệ cho trước  {\mathcal {P}} tương đương với giải bài toán từ cho  {\mathcal {P}}.
Nếu  f:G'\to G là toàn cấu nhóm và ảnh của các phần tử thuộc tập sinh  S' sang  G' phân biệt với nhau, thì nó cảm sinh ra phủ các đồ thị  {\bar {f}}:\Gamma (G',S')\to \Gamma (G,S), trong đó  S=f(S'). Cụ thể hơn, nếu nhóm  G có  k phần tử sinh, tất cả đều có bậc khác 2, và tập  S chỉ chứa các phần tử sinh này cùng nghịch đảo của chúng thì đồ thị Cayley  \Gamma (G,S) được phủ bởi cây có bậc  2k tương ứng với nhóm tự do được sinh bởi cùng tập sinh đó.
Đối với bất kỳ đồ thị Cayley hữu hạn và vô hướng, giá trị liên thông đỉnh phải lớn hơn hoặc bằng 2/3 của bậc của đồ thị.  Nếu tập sinh tối thiểu (tức là nếu bỏ đi bất kỳ phần tử nào trong tập hợp, và nghịch đảo của phần tử đó nếu có, thì tập đó sẽ không còn là tập sinh), thì giá trị liên thông đường sẽ bằng với bậc của đồ thị.  Giá trị liên thông cạnh trong mọi trường hợp đều bằng với bậc của đồ thị.
Nếu  \rho _{\text{reg}}(g)(x)=gx là biểu diễn chính quy trái cùng dạng ma trận  |G|\times |G| được ký hiệu là  [\rho _{\text{reg}}(g)], thì ma trận kề  \Gamma (G,S) là 



A
=

∑

s
∈
S


[

ρ

reg


(
g
)
]


{\textstyle A=\sum _{s\in S}[\rho _{\text{reg}}(g)]}

.
Mọi ký tự nhóm  \chi  của nhóm  G cảm sinh vectơ riêng của ma trận kề của  \Gamma (G,S). Khi  G là nhóm giao hoán, thì các giá trị riêng tương ứng là   \lambda _{\chi }=\sum _{s\in S}\chi (s), nằm dưới dạng  \sum _{s\in S}e^{2\pi ijs/|G|} cho các số nguyên  j=0,1,\dots ,|G|-1.
Đồ thị lớp ghép Schreier

Bài chi tiết: Đồ thị lớp ghép Schreier
Nếu thay vì đó ta lấy đỉnh là lớp ghép phải của nhóm con cố định  H, thì ta thu về được đồ thị có cấu trúc tương tự, được đặt tên là đồ thị lớp ghép Schreier. Đồ thị này là nền tảng cho liệt kê lớp ghép trong tiến trình Todd-Coxeter.
Liên hệ với lý thuyết nhóm

Các thông tin của nhóm có thể thu về được bằng cách nghiên cứu ma trận kề của đồ thị và áp dụng các định lý trong lý thuyết phổ đồ thị. Ngược lại, đối với các tập sinh đối xứng, lý thuyết phổ và lý thuyết biểu diễn của  \Gamma (G,S) được gắn với nhau trực tiếp: xét  \rho _{1},\dots ,\rho _{k} là tập các biểu diễn bất khả quy đầy đủ của  G, và 




ρ

i


(
S
)
=

∑

s
∈
S



ρ

i


(
s
)


{\textstyle \rho _{i}(S)=\sum _{s\in S}\rho _{i}(s)}

 cùng với các giá trị riêng  \Lambda _{i}(S). Khi đó tập các giá trị riêng của  \Gamma (G,S) là 




⋃

i



Λ

i


(
S
)
,


{\textstyle \bigcup _{i}\Lambda _{i}(S),}

 trong đó  \lambda  là bội của  \dim(\rho _{i}) cho mỗi lần  \lambda  là giá trị riêng của  \rho _{i}(S).
Giống của nhóm là giống tối thiểu của các đồ thị Cayley của nhóm đó.
Tính mở rộng

Khi  S=S^{-1}, đồ thị Cayley  \Gamma (G,S) là  |S|-chính quy, nên các kỹ thuật phổ có thể được dùng được phân tích các tính chất mở rộng của đồ thị. Lấy cụ thể như nhóm giao hoán, các giá trị riêng của đồ thị Cayley dễ tính hơn so với trường hợp không giao hoán và được xác định bởi công thức 




λ

χ


=

∑

s
∈
S


χ
(
s
)


{\textstyle \lambda _{\chi }=\sum _{s\in S}\chi (s)}

 trong đó giá trị riêng đứng đầu bằng với  |S|, do đó ta có thể dùng bất đẳng thức Cheeger để chặn tỷ lệ mở rộng cạnh sử dụng khoảng cách phổ.
Lý thuyết biểu diễn có thể dùng để xây dựng các đồ thị giãn Cayley, dưới dạng tính chất Kazhdan (T). Mệnh đề sau được thoả mãn:
Lấy ví dụ, nhóm  G=\mathrm {SL} _{3}(\mathbb {Z} ) có tính chất (T) và được sinh bởi các ma trận sơ cấp là một trong những ví dụ cụ thể của đồ thị giãn.
Phân loại đồ thị nguyên

Đồ thị nguyên là đồ thị mà các giá trị riêng của nó đều là số nguyên. Mặc dù bài toán phân loại toàn bộ các đồ thị nguyên vẫn là bài toán mở, đồ thị Cayley của một số nhóm được biết luôn là đồ thị nguyên.
Sử dụng các đặc trưng của phổ của các đồ thị Cayley, lưu ý rằng  \Gamma (G,S) là đồ thị nguyên khi và chỉ khi các giá trị riêng của  \rho (S) là số nguyên cho mọi biểu diễn  \rho  của  G.
Phân loại đồ thị nguyên > Nhóm đơn nguyên Cayley

Nhóm  G được gọi là nhóm đơn nguyên Cayley hay còn gọi là nhóm CIS nếu đồ thị Cayley liên thông  \Gamma (G,S) là đồ thị nguyên khi tập sinh đối xứng  S là phần bù của một nhóm con của  G. Một kết quả từ Ahmady, Bell, và Mohar đã chứng minh rằng tất cả các nhóm CIS đều đẳng cấu với  \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} , hoặc  \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2} với  p là số nguyên tố. Lưu ý rằng tập  S phải sinh ra toàn bộ nhóm  G để cho đồ thị Cayley có tính liên thông. (Nếu  S không sinh  G, đồ thị Cayley vẫn có thể nguyên, nhưng bù của  S không nhất thiết phải là nhóm con.)
Lấy ví dụ  G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} , các tập sinh đối xứng (xê xích đẳng cấu đồ thị) là
S=\{1,4\}:  \Gamma (G,S) là chu trình  5 có các giá trị riêng  2,{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}},{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}},{\tfrac {-{\sqrt {5}}-1}{2}},{\tfrac {-{\sqrt {5}}-1}{2}}
S=\{1,2,3,4\}:  \Gamma (G,S) là đồ thị  K_{5} cùng với các giá trị riêng  4,-1,-1,-1,-1
Các nhóm con duy nhất của  \mathbb {Z} /5\mathbb {Z}  là nhóm tầm thường và chính nhóm đó, và tập sinh đối xứng duy nhất của  S mà sinh ra đồ thị nguyên là bù của nhóm tầm thường. Do đó  \mathbb {Z} /5\mathbb {Z}  là nhóm CIS.
Phân loại các nhóm CIS lợi dụng tính chất sau: các nhóm con và ảnh đồng cấu của nhóm CIS cũng là nhóm CIS.
Lịch sử

Đồ thị Cayley được lần đầu nghiên cứu và sử dụng cho các nhóm hữu hạn bởi Arthur Cayley trong 1878. Max Dehn trong các bài giảng chưa xuất bản của ông cho lý thuyết nhóm từ năm 1909–10 đã giới thiệu lại đồ thị Cayley dưới tên Gruppenbild (biểu đồ nhóm), dẫn tới phát triển của lý thuyết nhóm hình học ngày nay. Ứng dụng quan trọng nhất của ông là lời giải của bài toán từ cho các nhóm cơ bản của các phẳng có giống ≥ 2
Dàn Bethe

Bài chi tiết: Dàn Bethe
Đồ thị Cayley của nhóm nhị diện  D_{4} trên hai phần tử sinh a và b
Đồ thị Cayley của nhóm  D_{4} trên hai phần tử sinh tự nghịch đảo
Một phần của đồ thị Cayley cho nhóm Heisenberg.)
Đồ thị Cayley cho nhóm  Q_{8} biểu diễn các chu trình phép nhân quaternion của i, j và k
Cevizpınar, Gerger

| Cevizpınar |
| --- | --- |
—  Xã  —
 
CevizpınarVị trí ở Thổ Nhĩ Kỳ
Quốc gia:  Thổ Nhĩ Kỳ
Tỉnh: Adıyaman
Huyện: Gerger
Dân số (2011)
 • Tổng cộng: 620 người
Múi giờ: EET (UTC+2)
 • Mùa hè (DST): EEST (UTC+3)
Mã bưu chính: 02700 
Cevizpınar là một xã thuộc huyện Gerger, tỉnh Adıyaman, Thổ Nhĩ Kỳ. Dân số thời điểm năm 2011 là 620 người.
Chú thích

↑  “Cities, towns and villages in Adıyaman”. Viện thống kê Thổ Nhĩ Kỳ. Lưu trữ bản gốc ngày 22 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2012.Quản lý CS1: bot: trạng thái URL ban đầu không rõ (liên kết)
Chorizema carinatum

| Chorizema carinatum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Chi (genus): Chorizema
Loài (species): C. carinatum
Danh pháp hai phần
Chorizema carinatum (Meisn.) J.M. Taylor & Crisp, 1992 
Chorizema carinatum là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được (Meisn.) J.M. Taylor & Crisp miêu tả khoa học đầu tiên năm 1992.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Chorizema carinatum”. Truy cập ngày 6 tháng 6 năm 2013.
Zethlingen

| Zethlingen   |
| --- | --- |
 
Vị trí của Zethlingen   thuộc Huyện Altmarkkreis Salzwedel  
Zethlingen  
Quốc gia: Đức
Bang: Sachsen-Anhalt
Huyện: Altmarkkreis Salzwedel
Liên xã: Salzwedel-Land
Chính quyền
 • Thị trưởng: Doris Benecke
Diện tích
 • Tổng cộng: 16,72 km2 (646 mi2)
Độ cao: 36 m (118 ft)
Dân số (2006-12-31)
 • Tổng cộng: 325
 • Mật độ: 0,19/km2 (0,50/mi2)
Múi giờ: CET (UTC+01:00)
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+02:00)
Mã bưu chính: 39624
Mã vùng: 039009
Biển số xe: SAW
Trang web: www.vg-salzwedel-land.de
Zethlingen là một đô thị thuộc huyện Altmarkkreis Salzwedel, bang Saxony-Anhalt, Đức.
| x t Xã và đô thị của huyện Altmarkkreis Salzwedel |
| --- | --- | --- |
|  Apenburg-Winterfeld  Arendsee  Beetzendorf  Dähre  Diesdorf  Gardelegen  Jübar  Kalbe  Klötze  Kuhfelde  Rohrberg  Salzwedel  Wallstawe  |  Apenburg-Winterfeld  Arendsee  Beetzendorf  Dähre  Diesdorf  Gardelegen  Jübar  Kalbe  Klötze  Kuhfelde  Rohrberg  Salzwedel  Wallstawe  |  |
Castilleja virgata

| Castilleja virgata> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Asterids
Bộ (ordo): Lamiales
Họ (familia): Orobanchaceae
Chi (genus): Castilleja
Loài (species): C. virgata
Danh pháp hai phần
Castilleja virgata Dombey ex Wedd., 1860 
Castilleja virgata là loài thực vật có hoa thuộc họ Cỏ chổi. Loài này được Dombey ex Wedd. mô tả khoa học đầu tiên năm 1860.
Kisrozvágy

| Kisrozvágy |
| --- | --- |
—  Thị trấn  —
 

  Hiệu kỳ Huy hiệu
Kisrozvágy
Quốc gia:  Hungary
Hạt: Borsod-Abaúj-Zemplén
Tiểu vùng: Bodrogközi
Diện tích
 • Tổng cộng: 8,34 km2 (3,22 mi2)
Dân số (2010)
 • Tổng cộng: 140
 • Mật độ: 17/km2 (40/mi2)
Múi giờ: CET (UTC+1)
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+2)
3965 
Mã điện thoại: 47 
Kisrozvágy là một thị trấn thuộc hạt Borsod-Abaúj-Zemplén, Hungary. Thị trấn này có diện tích 8,34 km², dân số năm 2010 là 140 người, mật độ 17 người/km².
La Liga 2020–21

| --- | --- |
Mùa giải: 2020–21
Thời gian: 12 tháng 9 năm 2020 – 23 tháng 5 năm 2021
Vô địch: Atlético Madrid Danh hiệu thứ 11
Xuống hạng: Huesca Valladolid Eibar
Champions League: Atlético Madrid Real Madrid Barcelona Sevilla Villarreal (với tư cách là đội vô địch Europa League)
Europa League: Real Sociedad Real Betis
Số trận đấu: 380
Số bàn thắng: 953 (2,51 bàn mỗi trận)
Vua phá lưới: Lionel Messi (30 bàn)
Thủ môn xuất sắc nhất: Jan Oblak (0.66 bàn/trận)
Chiến thắng sân nhà đậm nhất: Atlético Madrid 6–1 Granada (27 tháng 9 năm 2020) Atlético Madrid 5–0 Eibar (18 tháng 4 năm 2021)
Chiến thắng sân khách đậm nhất: Real Sociedad 1–6 Barcelona (21 tháng 3 năm 2021)
Trận có nhiều bàn thắng nhất: Atlético Madrid 6–1 Granada (27 tháng 9 năm 2020) Barcelona 5–2 Real Betis (7 tháng 11 năm 2020) Levante 4–3 Real Betis (29 tháng 12 năm 2020) Huesca 3–4 Celta Vigo (7 tháng 3 năm 2021) Real Sociedad 1–6 Barcelona (21 tháng 3 năm 2021) Celta Vigo 3–4 Sevilla (12 tháng 4 năm 2021) Barcelona 5–2 Getafe (22 tháng 4 năm 2021)
Chuỗi thắng dài nhất: Atlético Madrid (8 trận)
Chuỗi bất bại dài nhất: Barcelona (19 trận)
Chuỗi không thắng dài nhất: Eibar Elche (16 trận)
Chuỗi thua dài nhất: Eibar (5 trận)
← 2019–20 2021-22 → 
La Liga 2020–21, còn được gọi là La Liga Santander vì lý do tài trợ, là mùa giải La Liga thứ 90 kể từ khi thành lập.