stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Duy Khánh
Băng nhạc, CD > Trường Sơn Duy Khánh:

Trường Sơn Duy Khánh 1: Quê hương ta (1990) với Hương Lan
Trường Sơn Duy Khánh 2: Tình đời, Tình bạn, Tình yêu (1990) với Hương Lan, Ngọc Lan
Trường Sơn Duy Khánh 3: Lính và đời lính (1990) với Hương Lan, Như Mai
Trường Sơn Duy Khánh 4: Xa nguồn yêu thương (1991) với Hương Lan, Giao Linh, Lê Uyên, Thanh Huyền
Trường Sơn Duy Khánh 5: Sớm muộn tôi cũng về (1991) với Hương Lan, Thiên Trang, Lê Uyên, Thanh Huyền
Trường Sơn Duy Khánh 6: Không chủ đề 1 (1991) với Hương Lan, Hà Thanh, Thanh Huyền, Carol Kim
Trường Sơn Duy Khánh 7: Mẹ trong lòng người đi (1991) với Hương Lan, Giao Linh, Thiên Trang, Hạ Lan
Trường Sơn Duy Khánh 8: Vườn dâu xanh (1991) với Hương Lan, Khánh Ly, Thiên Trang, Như Mai, Thiện Cơ, Xuân Sơn
Trường Sơn Duy Khánh 9: Những chiều không có em (1991)
Trường Sơn Duy Khánh 10: Những mảnh tình quê (1991) với Hương Lan, Hà Thanh, Thanh Tuyền, Thanh Huyền, Hồng Hạnh
Trường Sơn Duy Khánh 11: Lời đầu năm cho con (1992) với Carol Kim, Thanh Huyền, Hồng Hạnh, Quốc Biên, Nhật Quang
Trường Sơn Duy Khánh 12: Nương chiều (1992)
Băng nhạc, CD > Cali Music:

Cali Music 1: Chiều trên phố Bolsa (1994) với Hương Lan, Thanh Huyền, Mộng Huyền
Cali Music 2: Tình yêu và nỗi nhớ (1994) với Dạ Thảo
Cali Music 2': Từ tiếng hát tiếp nối (1996)
Cali Music 3: Ở hai đầu nỗi nhớ (1994) với Hương Lan, Thanh Huyền, Nhật Quang, Hà Thanh
Cali Music 4': Gửi người về cát bụi (1995)
Cali Music 5: Người bạn tình xưa (1994)
Cali Music 6': Điệu buồn chia xa (1996)
Cali Music 7: Quê hương đi về (1994)
Cali Music 8: Huế tình yêu của tôi (1997) với Hương Lan, Hà Thanh
Cali Music 9: Tâm sự người hát bài quê hương (1997-98)
Cali Music 10: Người lính già xa quê hương (1998)
Cali Music 11: Năm 2000 năm (1999)
Cali Music 12: Con Quốc Việt Nam (2000)
Băng nhạc, CD > Khác:

Dạ Lan 35: Trên 4 Vùng Chiến Thuật (1987) collection nhạc thâu trước 1975
Giáng Ngọc 92: Vỹ Dạ đò trăng (1989) với Hương Lan, Thiên Trang
Giáng Ngọc 167: Tấm ảnh ngày xưa (1992) với Hương Lan
Giáng Ngọc 185: Bao giờ em quên (1993) với Hương Lan
Hải Âu 87: Niềm thương nhớ (1993) với Mỹ Huyền
Hải Âu 98: Để nhớ đến công ơn dưỡng dục sinh thành 2 với Dalena, Mỹ Huyền, Thiên Trang, Khả Tú, Randy, Thu Hương
Phượng Hoàng 41: Hòn vọng phu (1992) với Hương Lan ngâm thơ
Phượng Hoàng 42: Ngày xuân thăm nhau (1993) với Hương Lan, Trang Thanh Lan, Thanh Huyền
Phượng Hoàng 43: Cuối đường kỷ niệm (1993) với Chế Linh, Thanh Tuyến, Giao Linh, Trang Thanh Lan
Phượng Hoàng 46: Đi chơi chùa hương (1993) với Phựong Vũ, Phưong Hồng Quế, Trang Thanh Lan, Sơn Ca, Phượng Mai
Phượng Hoàng 47: Chốn xưa em về (1993) với Hương Lan, Thái Châu, Hải Lý
Phượng Nga 12: Đi tìm bóng mát quê hương (1992)
Thái 2: Chờ em trong mưa (199?) với nhiếu ca sĩ
Thanh Hằng 6: Dòng sông hò hẹn (1994) với Nhật Trường, Giao Linh, Hương Lan
Thanh Hằng: Kiếp sau (1996) với Thanh Tuyền, Phi Long
Tình Ca 20 số 2: Phượng hồng, phượng tím (1990) với Chế Linh, Thiên Trang, Như Mai, Phương Dung
Tình Nhớ 46: Không biết hôm nay vì sao tôi buồn (1994)
Tú Quỳnh 83: Trăng rụng xuống cầu (1995) song ca
Trình diễn trên sân khấu > Trung tâm Asia

| STT | Tiết mục | Thể hiện với | Chương trình | Năm |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | Xuân này con không về (Trịnh Lâm Ngân) | đơn ca | ASIA 10 | 1995 |
| 2 | LK Tàu đêm năm cũ, Kẻ Ở Miền Xa, Mưa Nửa Đêm, Ai cho tôi tình yêu (Trúc Phương) | Phương Hồng Quế, Thanh Thuý | ASIA 11 | 1996 |
| 3 | Xin Anh Giữ Trọn Tình Quê (Duy Khánh) | đơn ca | ASIA 12 | 1996 |
| 4 | Việt Nam Về Trong Nỗi Nhớ (nhạc Trúc Hồ, lời Trầm Tử Thiêng) | Hợp Ca | ASIA 12 | 1996 |
| 5 | LK 24 Giờ Phép (Trúc Phương), Một Người Đi (Mai Châu), Sao Không Thấy Anh Về (Duy Khánh) | Hoàng Oanh | ASIA 14 | 1997 |
| 6 | Người Lính Già Xa Quê Hương (Nhật Ngân) | đơn ca | ASIA 36 | 2002 |
| 7 | Xin Anh Giữ Trọn Tình Quê (Duy Khánh) | Đặng Thế Luân (dùng lại hình ảnh và giọng hát Duy Khánh) | ASIA 48 | 2005 |
| 8 | Việt Nam Về Trong Nỗi Nhớ (Trầm Tử Thiêng, Trúc Hồ) | Hợp Ca (dùng lại hình ảnh và giọng hát Duy Khánh) | ASIA 54 | 2007 |
| 9 | Xuân này con không về (Trịnh Lâm Ngân) | Đặng Thế Luân (dùng lại hình ảnh và giọng hát Duy Khánh) | ASIA 60 | 2009 |
Liên kết

Tiểu sử Duy Khánh
| x t sTứ trụ nhạc vàng |
| --- | --- |
 Chế Linh  Duy Khánh  Hùng Cường  Nhật Trường
Decatur, Illinois

| --- | --- |
Decatur

City

Quận: Hoa Kỳ
Bang: Illinois
Quận: quận Macon, Illinois


Tọa độ: phố(81860)_region:US-IL 39°51′6″B 88°56′39″T﻿ / ﻿39,85167°B 88,94417°T﻿ / 39.85167; -88.94417


Diện tích: 45,9 dặm vuông Anh (119 km2)
 - đất: 45,9 dặm vuông Anh (119 km2)


Dân số: 81.860 (2000)
Mật độ: 1.969,7/sq mi (761/km2)


Thành lập: 1823
Ngày: 1823


Múi giờ: CST (UTC-6)
 - Giờ mùa hè: CDT (UTC-5)
Mã bưu chính: 62521 62525
Mã khu vực: 217


 vị trí của Decatur within Illinois 
Wikimedia Commons:  Decatur, Illinois


Decatur (phát âm /dəˈkeɪtər/) là một thành phố ở tiểu bang Illinois, Hoa Kỳ. Thành phố này thuộc quận Macon. Thành phố có diện tích km2, dân số là 81.500 người (thời điểm năm 2000).
Số tự nhiên

Trong toán học, các số tự nhiên được sử dụng để đếm (như trong "có sáu đồng xu trên bàn") và thứ tự (như trong "đây là thành phố lớn thứ ba trong cả nước"). Đôi khi, các số tự nhiên có thể xuất hiện dưới dạng một bộ mã thuận tiện (nhãn hoặc "tên"), nghĩa là, như những gì các nhà ngôn ngữ học gọi là số danh nghĩa, loại bỏ nhiều hoặc tất cả các thuộc tính của một số theo nghĩa toán học. Tập hợp các số tự nhiên thường được kí hiệu bằng kí hiệu  \mathbb {N} .
Trong tiêu chuẩn của ISO 80000-2 và tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam, số tự nhiên được định nghĩa là các số nguyên không âm 0, 1, 2, 3,... (đôi khi được ký hiệu chung là biểu tượng  \mathbb {N} _{0}, để nhấn mạnh rằng số 0 cũng được bao gồm), trong khi những số khác bắt đầu bằng 1, tương ứng với các số nguyên dương 1, 2, 3,... (đôi khi được ký hiệu chung bằng ký hiệu  \mathbb {N} _{1},  \mathbb {N} ^{+}, hoặc  \mathbb {N} ^{*} với nhấn mạnh rằng số 0 bị loại trừ).
Các số tự nhiên là cơ sở mà từ đó nhiều tập hợp số khác có thể được xây dựng bằng cách mở rộng: tập hợp các số nguyên, được xây dựng bằng cách bao gồm (nếu chưa có) phần tử trung tính 0 và một phép cộng nghịch đảo ( − n ) cho mỗi số tự nhiên khác nhau n ; tập hợp các số hữu tỉ, bằng cách bao gồm một nghịch đảo phép nhân (1/n ) cho mỗi số nguyên khác n (và cả tích của các phép nghịch đảo này với các số nguyên); tập hợp các số thực bằng cách bao gồm với các số hữu tỉ các giới hạn của (hội tụ) dãy Cauchy của các số hữu tỉ; các số phức, bằng cách cộng với các số thực căn bậc hai chưa giải của trừ một (và cả tổng và tích của chúng),....   Những chuỗi mở rộng này làm cho các số tự nhiên được nhúng (nhận dạng) về mặt quy tắc trong các hệ thống số khác.
Các tính chất của số tự nhiên, chẳng hạn như tính chia hết và phân phối của các số nguyên tố, được nghiên cứu trong lý thuyết số. Các vấn đề liên quan đến việc đếm và sắp xếp thứ tự, chẳng hạn như phân vùng và liệt kê, được nghiên cứu trong tổ hợp.
Theo ngôn ngữ thông thường, đặc biệt là trong giáo dục tiểu học, số tự nhiên có thể được gọi là số đếm để loại trừ trực quan các số nguyên âm và số 0, và cũng để đối chiếu tính rời rạc của phép đếm với tính liên tục của phép đo - một đặc điểm nổi bật của số thực.
Lịch sử > Thời cổ đại

Phương pháp nguyên thủy nhất để biểu diễn một số tự nhiên là đặt một ký hiệu cho mỗi đối tượng. Sau đó, một tập hợp các đối tượng có thể được kiểm tra xem có bằng nhau, thừa hay thiếu — bằng cách đánh dấu và xóa một đối tượng khỏi tập hợp đó.
Bước tiến lớn đầu tiên trong trừu tượng hóa là việc sử dụng các chữ số để biểu diễn các con số. Điều này cho phép các hệ thống được phát triển để ghi số lượng lớn. Người Ai Cập cổ đại đã phát triển một hệ thống chữ số mạnh mẽ với các chữ tượng hình riêng biệt cho 1, 10 và tất cả các quyền hạn của 10 đến hơn 1 triệu. Một tác phẩm chạm khắc trên đá ở Karnak, có niên đại khoảng năm 1500 TCN và bây giờ là Bảo tàng Louvre ở Paris, mô tả 276 như 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và tương tự cho số 4,622. Người Babylon có một hệ thống giá trị vị trí về cơ bản dựa trên các chữ số cho 1 và 10, sử dụng cơ số sáu mươi, với biểu tượng cho 60 giống với biểu tượng cho 1 — giá trị cụ thể của nó được xác định từ ngữ cảnh.
Một tiến bộ nữa trong việc trừu tượng hóa con số nhưng diễn ra trễ hơn nhiều: phát triển ý tưởng thể hiện số không như là một con số với biểu diễn số của riêng nó. Vào khoảng 700 TCN, những người Babylon đã dùng chữ số không trong hệ thống ký hiệu giá trị theo vị trí nhưng một điều khá lạ là mãi cho đến lúc nền văn hóa Babylon đến hồi suy tàn, người Babylon cũng chỉ biết dùng chữ số không ở giữa các con số (ví dụ: khi viết số 3605 họ biết đặt chữ số không vào giữa), và chữ số này vẫn chưa bao giờ được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số (ví dụ: người Babylon thể hiện số 3600 và 60 như nhau - người Babylon dùng hệ cơ số 60 - để phân biệt đâu là 3600 và 60 họ phải kèm thêm một chú thích bằng lời ở dưới). Các nền văn minh Olmec và Maya đã dùng số không như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 TCN (dường như được phát triển một cách độc lập), tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng Trung Bộ châu Mỹ. Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng xuất phát từ nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta vào năm 628. Mặc dầu số không đã được dùng như một con số bởi tất cả các nhà tính toán thời Trung Cổ (dùng để tính ngày Phục Sinh) mà khởi đầu là Dionysius Exiguus vào năm 525, nhưng nhìn chung vẫn không có một chữ số La Mã nào được dành riêng để viết số không. Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ Latinh là nullae, có nghĩa là"không có gì"để chỉ số không.
Người ta thường xem các nhà triết học Hy Lạp Pythagore và Archimedes là những người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách hệ thống về các con số như là một thực thể trừu tượng. Tuy nhiên, cùng thời kỳ đó, một số nơi như Ấn Độ, Trung Quốc và Trung Bộ châu Mỹ cũng có những nghiên cứu độc lập tương tự.
Lịch sử > Các định nghĩa hiện đại

Ở châu Âu thế kỷ 19, đã có cuộc thảo luận toán học và triết học về bản chất chính xác của các số tự nhiên. Một trường phái của chủ nghĩa tự nhiên tuyên bố rằng các số tự nhiên là hệ quả trực tiếp của tâm lý con người. Henri Poincaré là một trong những người ủng hộ nó, cũng như Leopold Kronecker, người đã tóm tắt niềm tin của mình là "Chúa tạo ra các số nguyên, tất cả những thứ khác là tác phẩm của con người".
Đối lập với các nhà Tự nhiên học, các nhà toán học kiến thiết thấy cần phải cải thiện tính chặt chẽ logic trong nền tảng của toán học.  Vào những năm 1860, Hermann Grassmann đề xuất một định nghĩa đệ quy cho các số tự nhiên, do đó nói rằng chúng không thực sự là tự nhiên - mà là hệ quả của các định nghĩa. Sau đó, hai lớp định nghĩa chính thức như vậy đã được xây dựng; về sau, chúng vẫn được chứng minh là tương đương trong hầu hết các ứng dụng thực tế.
Các định nghĩa lý thuyết tập hợp về số tự nhiên được Gottlob Frege khởi xướng. Ban đầu, ông định nghĩa một số tự nhiên là lớp của tất cả các tập hợp tương ứng 1-1 với một tập hợp cụ thể. Tuy nhiên, định nghĩa này hóa ra lại dẫn đến những nghịch lý, bao gồm cả nghịch lý Russell. Để tránh những nghịch lý như vậy, phép hình thức hóa đã được sửa đổi để một số tự nhiên được định nghĩa là một tập hợp cụ thể và bất kỳ tập hợp nào có thể được đưa vào tương ứng 1-1 với tập hợp đó được cho là có số phần tử đó.
Loại định nghĩa thứ hai được Charles Sanders Peirce đưa ra, được Richard Dedekind tinh chỉnh, và được Giuseppe Peano khám phá thêm; phương pháp này bây giờ được gọi là số học Peano. Nó dựa trên tiên đề về các tính chất của số thứ tự : mỗi số tự nhiên có một kế tiếp và mọi số tự nhiên khác 0 đều có một tiền nhiệm duy nhất. Số học Peano tương đương với một số hệ thống yếu của lý thuyết tập hợp. Một trong những hệ thống như vậy là ZFC với tiên đề về vô hạn được thay thế bằng sự phủ định của nó. Các định lý có thể được chứng minh trong ZFC nhưng không thể được chứng minh bằng cách sử dụng Tiên đề Peano bao gồm định lý Goodstein.
Với tất cả các định nghĩa qua tập hợp này, thật tiện lợi khi bao gồm cả số 0 (tương ứng với tập rỗng ) vào tập hợp số tự nhiên. Bao gồm cả số 0 hiện là quy ước chung giữa các nhà lý thuyết tập hợp và các nhà logic học. Các nhà toán học khác cũng bao gồm cả 0, và các ngôn ngữ máy tính thường bắt đầu từ 0 khi liệt kê các mục như bộ đếm vòng lặp và phần tử chuỗi hoặc mảng. Mặt khác, nhiều nhà toán học đã giữ truyền thống cũ hơn để lấy 1 là số tự nhiên đầu tiên.
Lịch sử > Ký hiệu

Các nhà toán học dùng ký hiệu N hay ℕ cho tập hợp tất cả các số tự nhiên. Một số văn bản cũ cũng đôi khi dùng kí hiệu J cho tập hợp này. Theo định nghĩa, tập hợp vô hạn và đếm được, tức lực lượng của tập hợp số tự nhiên là ℵ0
Vì các thuộc tính khác nhau thường được liên kết với các mã thông báo 0 và 1 (tương ứng là các phần tử trung tính cho phép cộng và phép nhân), điều quan trọng là phải biết phiên bản số tự nhiên nào được sử dụng trong trường hợp đang xem xét. Điều này có thể được thực hiện bằng cách giải thích bằng văn xuôi, bằng cách viết ra tập hợp một cách rõ ràng hoặc bằng cách định danh số nhận dạng chung bằng chỉ số viết lên trên hoặc chỉ số viết xuống dưới, chẳng hạn như thế này:
\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}.
\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}
Đôi khi một số tác giả dùng chỉ số dưới hoặc chỉ số trên "+" để ám chỉ khái niệm "dương" của số tự nhiên, tức là N+ hay N+ = { 1, 2,... }. Thế nhưng, cần thận trọng với ký hiệu kiểu này, vì trong một số trường hợp khác, ít nhất là đối với trường phái toán châu Âu, ký hiệu này lại ám chỉ cho khái niệm "không âm" , lấy ví dụ: R+ = [0,∞) hay Z+ = { 0, 1, 2,...}. Trong khi đó, ký hiệu * là chuẩn mực dùng cho khái niệm "khác số không" hay tổng quát hơn là dùng cho một phần tử có thể nghịch đảo được. Tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam, cũng dùng ký hiệu N*.
\{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}
\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}
Thuộc tính > Phép cộng

Cho tập hợp  \mathbb {N}  của các số tự nhiên và hàm kế thừa  S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}  ánh xạ mỗi số tự nhiên cho một số tiếp theo, người ta có thể định nghĩa phép cộng các số tự nhiên một cách đệ quy bằng cách đặt a + 0 = a và a + S(b) = S(a + b) với mọi a, b. Khi đó (ℕ, +) là một monoid giao hoán với phần tử đơn vị là 0. Nó là một monoid tự do trên phần tử sinh là 1. Monoid giao hoán này thỏa mãn thuộc tính hủy bỏ, vì vậy nó có thể được nhúng trong một nhóm. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là các số nguyên.
Nếu 1 được xác định là S(0), thì b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). Có nghĩa là, b + 1 đơn giản là phần tử kế thừa của b.
Định nghĩa hình thức

Trong lịch sử, quá trình đưa ra một định nghĩa toán học chính xác về số tự nhiên là một quá trình nhiều khó khăn. Các định đề Peano đưa ra những điều kiện tiên quyết cho một định nghĩa thành công về số tự nhiên. Một số phép xây dựng cho thấy rằng, với lý thuyết tập hợp đã biết, các mô hình của các định đề Peano chắc chắn tồn tại.
Định nghĩa hình thức > Các tiên đề Peano

Có một số tự nhiên 0.
Với mọi số tự nhiên a, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là S(a).
Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên. (Định đề này đảm bảo rằng phép quy nạp toán học là đúng.)
Cần lưu ý rằng "0" ở định nghĩa trên không nhất thiết phải là số không mà chúng ta vẫn thường nói đến."0" ở đây chẳng qua là một đối tượng nào đó mà khi kết hợp với một hàm liền sau nào đó thì sẽ thỏa mãn các tiên đề Peano. Có nhiều hệ thống thỏa mãn các tiên đề này, trong đó có các số tự nhiên (bắt đầu bằng số không hay bằng số một).
Định nghĩa hình thức > Xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp > Phép xây dựng chuẩn

Trong lý thuyết tập hợp có một trường hợp đặc biệt của phép xây dựng von Neumann định nghĩa tập hợp số tự nhiên như sau:
0 = { },
1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}, vân vân
Khi ta thấy một số tự nhiên được dùng như là một tập hợp, thì thông thường, ý nghĩa của nó như được trình bày ở trên. Theo định nghĩa đó, có đúng n phần tử (theo nghĩa thông thường) trong tập n và n ≤ m (cũng theo nghĩa bình thường) khi và chỉ khi n là một tập con của m.
Định nghĩa hình thức > Xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp > Các phép xây dựng khác

Mặc dù phép xây dựng chuẩn thông dụng nhưng nó không phải là phép xây dựng duy nhất. Ví dụ về phép dựng của Zermalo:
0 = { }
1 = {0} = {{ }}
2 = {1} = {{{ }}},...
Hay chúng ta có thể định nghĩa 0 = {{ }}
0 = {{ }}
1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
2 = {{ }, 0, 1},...
Có thể vẫn còn tranh cãi, nhưng nhìn chung người ta thường gán định nghĩa có tính lý thuyết tập hợp xưa nhất về số tự nhiên cho Frege và Russell. Trong định nghĩa của hai người này thì mỗi số tự nhiên n cụ thể được định nghĩa là tập hợp của tất cả các tập có n phần tử.
Frege và Rusell bắt đầu bằng cách định nghĩa 0 là  \{\{\}\} (rõ ràng đây là tập của tất cả các tập có 0 phần tử) và định nghĩa  \sigma (A) (với A là một tập bất kỳ) là  \{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}. Như vậy 0 sẽ là tập của tất cả các tập có 0 phần tử,  1=\sigma (0) sẽ là tập của tất cả các tập có một phần tử,  2=\sigma (1) sẽ là tập của tất cả các tập có 2 phần tử, và cứ thế. Sau đó, tập hợp của tất cả các số tự nhiên được định nghĩa như là phần giao của tất cả các tập có chứa 0 và là tập đóng với phép  \sigma  (tức là nếu tập này chứa phần tử n) thì nó cũng phải chứa  \sigma (n)).
Định nghĩa này sẽ không dùng được trong những hệ thống thông thường của lý thuyết tập hợp tiên đề vì những tập được tạo ra như vậy quá lớn (nó sẽ không dùng được trong bất kỳ lý thuyết tập hợp nào với tiên đề tách - separation axiom); nhưng định nghĩa này sẽ làm việc được trong Cơ sở Mới (New Foundations) (và trong các hệ thống tương thích với Cơ sở Mới) và trong một vài hệ thống của lý thuyết kiểu.
Trong phần còn lại của bài này, chúng ta sử dụng phép xây dựng chuẩn đã mô tả ở trên.
Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên

Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể định nghĩa nhờ phép đệ quy như sau:
Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên > Phép cộng

a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)
Nếu chúng ta ký hiệu S(0) là 1, khi đó b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b); tức là, số liền sau của b chẳng qua là b + 1.
Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên > Phép nhân

Tương tự như phép cộng, chúng ta định nghĩa phép nhân × như sau:
a × 0 = 0
a × S(b) = (a × b) + a
Nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa"không có số 0"và"bắt đầu bằng số 1"thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế, ngoại trừ sửa lại a + 1 = S(a) và a × 1 = a.
Trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết ab để ám chỉ tích a × b, và chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về thứ tự thực hiện các phép toán.
Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên > Quan hệ thứ tự

Chúng ta có thể định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập số tự nhiên như sau:
Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên > Phép chia có dư và tính chia hết

Cho hai số tự nhiên a, b và b ≠ 0. Xét tập hợp M các số tự nhiên p sao cho pb ≤ a. Tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của M là q. Khi đó bq ≤ a và b(q + 1) > a. Đặt r = a − bq. Khi đó ta có
Có thể chứng minh rằng các số q và r là duy nhất. Số q được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số r được gọi là số dư khi chia a cho b.
Nếu r = 0 thì a = bq. Khi đó ta nói rằng a chia hết cho b hay b là ước của a, a là bội của b.
Tổng quát hóa

Với hai hướng sử dụng như đã nêu ở phần giới thiệu, số tự nhiên trước hết được tổng quát hóa theo hai hướng sử dụng này: số thứ tự được dùng để mô tả vị trí của một phần tử trong một dãy sắp thứ tự và bản số dùng để xác định kích thước của một tập hợp nào đó.
Trong trường hợp dãy hữu hạn hay tập hợp hữu hạn, cả hai cách sử dụng này thực chất là đồng nhất với nhau.
Các tập hợp số

Xương Ishango (trưng bày tại Viện Khoa học Tự nhiên Hoàng gia Bỉ ) được cho là đã được sử dụng 20.000 năm trước để làm các phép tính số học với số tự nhiên.
Ký hiệu N hoa hai gạch được dùng để chỉ tập hợp số tự nhiên (xem danh sách ký hiệu toán học)
Tập hợp số thực
Tiếng Mông Cổ Ordos

| Ordos |
| --- | --- |
Sử dụng tại: Trung Quốc
Khu vực: Ordos, Nội Mông
Tổng số người nói: 120.000
Phân loại: Mông CổTrung Mông CổOrdos
Mã ngôn ngữ
Glottolog: ordo1245
ELP: Ordos
Tiếng Mông Cổ Ordos (còn gọi là Urdus; tiếng Mông Cổ:  ᠣᠷᠳᠣᠰ; tiếng Trung: 鄂尔多斯, È'ěrduōsī) là một biến thể của tiếng Mông Cổ trung tâm, được nói trong khu vực thành phố Ordos ở Nội Mông. Nó được phân loại là một ngôn ngữ trong ngữ hệ Mông Cổ hoặc là một phương ngữ của tiếng Mông Cổ tiêu chuẩn. Theo nghiên cứu của Antoine Mostaert, sự phát triển của phương ngữ này có thể bắt nguồn từ 100 năm trước.
Tiếng Ordos có vốn từ vựng như một phương ngữ Mông Cổ bình thường, với một số từ mượn tiếng Tạng và tiếng Trung.
Thư mục

Mostaert, Antoine (1937): Textes oraux ordos. Peiping: Đại học Công giáo Phụ Nhân.
Mostaert, Antoine (1941–1944): Dictionnaire ordos, vols. 1-3. Peiping: Đại học Công giáo Phụ Nhân.
Sečen, Č. (2003): Ordus aman ayalɣun-daki öbürmiče uruɣul-un ǰokičal buyu iǰilsil [ʊ] + [ʊ], [ʉ] + [ʉ]-yin tuqai. In: Mongγul kele udq-a ǰokiyal 2003/5: 33–36.
Sečen, Č., M. Baγatur, Sengge (2002): Ordus aman ayalγun-u sudulul. Kökeqota: Öbür mongγul-un arad-un keblel-ün qoriy-a.
Sečenbaγatur, Qasgerel, Tuyaγ-a, B. ǰirannige, U Ying ǰe (2005): Mongγul kelen-ü nutuγ-un ayalγun-u sinǰilel-ün uduridqal. Kökeqota: Öbür mongγul-un arad-un keblel-ün qoriy-a. ISBN 7-204-07621-4.
Sonum (2008): Ordus aman ayalγun-u üges-ün quriyangγui. Nemen ǰasaγsan debter. Beijing: Ündüsüten-ü keblel-ün qoriy-a.
Soyultu, I. (1982):Ordus-un aman ayalγun-u ɢɷːn ɡuːn-u daγaburi. Öbür mongγul-un yeke surγaγuli 1982/2: 29–43.
Georg, Stefan: Ordos. In: J. Janhunen (ed.): The Mongolic Languages. London: Routledge. ISBN 0-7007-1133-3, pp. 193–209.
Sông Brda

| Sông Brda |
| --- | --- |

Sông Brda (phát âm tiếng Ba Lan: [brda]; tiếng Đức: Brahe) là một con sông ở phía tây bắc Ba Lan, một nhánh của Vistula. Nó có tổng chiều dài là 245 km và diện tích lưu vực (tất cả trong lãnh thổ Ba Lan) là 4.665   km².
Điều hướng

Brda là một phần của tuyến đường thủy Odra - Vistula, nối hai con sông này bằng sông Warta và Noteć và kênh Bydgoszcz kể từ cuối thế kỷ 18. Đường thủy có thể điều hướng cho các xà lan khiêm tốn (của CEMT Class II) nhưng với một số lưỡng hạn chế.
Với việc mở rộng Liên minh châu Âu sang phía Đông, đường thủy có thể đóng một vai trò quan trọng. Đó là một liên kết trong kết nối dài hơn với Đông Âu thông qua các con sông Vistula, Narew, Bug, Mukhavets, Pripyat và Dnieper, nhưng kết nối này vẫn không thể thực hiện được do một con đập gần Brest, Belarus.
Hiện tại, chỉ có số lượng tàu hạn chế sử dụng sông Brda và các kênh liền kề (tuy nhiên, mật độ giao thông trên con sông này lớn hơn đáng kể từ những năm 1950 đến 1970, sau đó giảm dần từng bước khi thời gian trôi qua). Dự kiến tuyến đường thủy này sẽ được phát hiện bởi những người chèo thuyền giải trí trong tương lai. (Nguồn: Cơ sở dữ liệu đường thủy NoorderSoft)
Thị trấn bên sông Brda

Pr Dixlewo
Konarzyny (tiếng Đức: Konarschin (cho đến WW I), Kunertsfeld (trong Thế chiến II), Kashubian: Kònarzënë)
Tuchola (tiếng Đức: Tuchel)
Koronowo (tiếng Đức: Krone, Polnisch Krone, Krone an der Brahe)
Bydgoszcz (tiếng Đức: Bromberg)