Lý thuyết biểu diễn
Các nhánh và chủ đề nghiên cứu > Nhóm hữu hạn

Biểu diễn nhóm là công cụ quan trọng trong nghiên cứu nhón hữu hạn. Nó cũng xuất hiện trong quá trình ứng dụng lý thuyết nhóm hữu hạn vào hình học và nhóm tinh thể. Biểu diễn nhóm hữu hạn thể hiện nhiều đặc trưng của 1 lý thuyết tổng quát và dẫn đến nhiều nhánh và chủ đề khác nhau trong lý thuyết biểu diễn.
Trên 1 trường có định trị không, biểu diễn của 1 nhóm hữu hạn H có một số tính chất tiện lợi. Thứ nhất, biểu diễn của G là nửa đơn giản (khả quy đầy đủ). Đây là hệ quả của định lý Maschke, phát biểu rằng biểu diễn con bất kỳ V của của 1 biểu diễn W trên G có 1 phần bù bất biến trên G. Một cách chứng minh là chọn 1 phép chiếu bất kỳ  \pi  từ W đến V và thay thế nó bằng lượng trung bình  \pi _{G} của nó được cho bởi:
\pi _{G}(x)={1 \over |G|}\sum _{g\in {G}}g\cdot \pi (g^{-1}\cdot {x})
\pi _{G} khi đó đẳng biến, và hạch của nó là phần bù yêu cầu.

Biểu diễn hữu hạn chiều của G có thể được hiểu dựa vào lý thuyết định trị (character theory): định trị của 1 biểu diễn  \Phi :G\mapsto GL(V)) là hàm lớp  \chi _{\varphi }:G\mapsto {F} định nghĩa bởi:
\chi _{\varphi }(g)=\mathrm {Tr} (\varphi (g))
trong đó Tr là vết. Một biểu diễn tối giản của G được xác đinh đầy đủ bởi định trị của nó.
Định lý Maschke đúng với các trường có định trị dương p tổng quát hơn, như các trường hữu hạn, miễn là số nguyên số p là số đồng nguyên tố đối với cấp của G. Khi p và |G| có ước số chung lớn nhất, tồn tại biểu diễn của G là phi nửa đơn giản, đây là 1 nhánh nghiên cứu con gọi là lý thuyết biểu diễn mô-đun.
Kỹ thuật lượng trung bình cũng cho thấy nếu trường F là số thực hoặc số phức, thì biểu diễn bất kỳ của G bảo toàn 1 tích trong  \langle \cdot ,\cdot \rangle  trên V theo cách:
\langle {g\cdot {v},g\cdot {w}}\rangle =\langle {v,w}\rangle
với mọi g trong G và v, w trong W. Nên biểu diễn bất kỳ trên G là đơn nguyên.
Các biểu diễn đơn nguyên tự động sẽ là nửa đơn giản, vì kết quả của Maschke có thể được chứng minh bằng cách lấy phần bù trực giao của 1 biểu diễn con. Khi nghiên cứu biểu diễn của các nhóm không hữu hạn, biểu diễn đơn nguyên cung cấp 1 sự tổng quát hoá tương đối tốt cho các biểu diễn thực và phức cho 1 nhóm hữu hạn.
Kết quả từ định lý Maschke và tính chất đơn nguyên dựa trên lượng trung bình có thể được tổng quát hoá thành các nhóm tổng quát hơn bằng cách thay thế lượng trung bình bằng tích phân, miễn là khái niệm phù hợp cho tích phân có thể được định nghĩa. Điều này có thể được thực hiện cho nhóm tôpô compact (bao gồm nhóm Lie compact), bằng cách sử dụng độ đo Haar, và kết quả là 1 lý thuyết với tên gọi giải tích điều hoà trừu tượng.
Trên các trường bất kỳ, tồn tại một lớp các nhóm hữu hạn khác có lý thuyết biểu diễn tương đối hoàn thiện là nhóm hữu hạn kiểu Lie. Minh hoạ tiêu biểu là nhóm đại số tuyến tính trên trường hữu hạn. Lý thuyết biểu diễn của nhóm đại số tuyến tính và nhóm Lie mở rộng các ví dụ này cho các nhóm vô hạn chiều, trong đó nhóm Lie có quan hệ mật thiết với biểu diễn đại số Lie. Tầm quan trọng của lý thuyết định trị cho nhóm hữu hạn có một sự tương tự như trong lý thuyết cân cho biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie.
Biểu diễn của nhóm hữu hạn G cũng liên quan trực tiếp đến biểu diễn đại số thông qua đại số nhóm F[G], là 1 không gian vector trên F với các phần tử của G là bộ cơ sở, cùng với một toán tử nhân đinh nghĩa bởi toán tử nhóm, độ tuyến tính, và điều kiện cần là ttoasn tử nhóm và phép nhân vô hướng phải giao hoán.