Đại số
Các nhánh chính > Đại số tuyến tính

Bài chi tiết: Đại số tuyến tính
Đại số tuyến tính bắt đầu với khảo sát về hệ phương trình tuyến tính. Một phương trình được gọi là tuyến tính nếu nó biểu diễn được dưới dạng  a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b, trong đó  a_{1},  a_{2}, ...,  a_{n} và  b là hằng số. Ví dụ,  x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0 và 





1
4


x
−
y
=
4


{\textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4}

 là phương trình tuyến tính. Hệ phương trình tuyến tính là tập hợp phương trình tuyến tính mà ở đó ta quan tâm đến nghiệm chung giữa các phương trình.
Ma trận là mảng giá trị hình chữ nhật ban đầu ra đời làm ký hiệu mang tính tổng hợp và cô đọng cho hệ phương trình tuyến tính. Chẳng hạn, hệ phương trình
có thể viết lại thành
trong đó  A,X và  B là các ma trận
Dưới một vài điều kiện về số dòng và số cột, ma trận có thể được thực hiện phép cộng, phép nhân và đôi lúc lấy nghịch đảo. Mọi phương pháp giải hệ tuyến tính đều được diễn đạt thành phép biến đổi ma trận qua các phép toán nêu trên. Hệ phương trình trong ví dụ trên được giải bằng cách tính ma trận nghịch đảo  A^{-1} sao cho  A^{-1}A=I với  I là ma trận đơn vị. Sau đó, nhân hai vế của phương trình ma trận đã nêu cho  A^{-1} về phía bên trái, ta được nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là
Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính dao động từ cấp độ nhập môn như phép thế và cộng đại số đến các kỹ thuật nâng cao sử dụng ma trận như quy tắc Cramer, phép khử Gauss và phân tích LU. Một số hệ phương trình là không tương thích do chúng vô nghiệm; hệ tương thích có thể có một nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm.
Nghiên cứu về không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính cấu thành một bộ phận lớn trong đại số tuyến tính. Không gian vectơ là cấu trúc đại số được hình thành từ một tập hợp cùng với phép cộng (vốn khiến nó trở thành nhóm Abel) và phép nhân vô hướng tương hợp với phép cộng. Ánh xạ tuyến tính là hàm giữa các không gian vectơ tương hợp với phép cộng và phép nhân vô hướng. Trong trường hợp của không gian vectơ hữu hạn chiều, vectơ và ánh xạ tuyến tính có thể được ký hiệu bằng ma trận. Theo đó, lý thuyết về ma trận và không gian vectơ hữu hạn chiều về cơ bản là giống nhau, và đặc biệt không gian vectơ cho ta một cách thức thứ ba để biểu diễn và biến đổi hệ phương trình tuyến tính. Dưới góc độ này, ma trận là biểu diễn của ánh xạ tuyến tính: nếu ta chọn một cơ sở nhất định để mô tả những vectơ được biến đổi thì các phần tử trong ma trận cho ta kết quả của phép ánh xạ tuyến tính áp dụng cho các vectơ cơ sở.
Hệ phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng hình học. Đối với hệ hai ẩn, mỗi phương trình tương ứng với một đường thẳng trong không gian hai chiều. Giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ vì đây là điểm duy nhất nghiệm đúng cả hai phương trình trong hệ. Đối với hệ không tương thích, hai đường thẳng này sẽ song song với nhau, có nghĩa là hệ vô nghiệm do chúng không cắt nhau. Nếu hai phương trình không độc lập với nhau thì chúng cùng đại diện cho một đường thẳng, tức là mọi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai. Nhờ các quan hệ nói trên mà chúng ta có thể tìm được nghiệm về mặt hình học bằng cách vẽ đồ thị các phương trình và xác định nơi giao nhau giữa chúng. Nguyên lý này cũng áp dụng cho hệ phương trình nhiều hơn hai ẩn với điểm khác biệt là mỗi phương trình đại diện cho một đối tượng hình học nhiều chiều thay vì đường thẳng. Chẳng hạn, phương trình ba ẩn tương ứng với mặt phẳng trong không gian ba chiều và giao điểm của tất cả các mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình.