stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Chuyến bay 17 của Malaysia Airlines
Thông tin khác

Nhà báo C.J. Chivers của tờ New York Times dẫn lại nguồn tin từ một quan chức hàng không cho biết có sự trùng lặp những con số 7 đáng chú ý xoay quanh thảm họa nhân đạo này. Theo trang Airline Reporter, chiếc máy bay Boeing 777 này được Boeing giao cho Malaysia Airlines vào năm 1997 và chuyến bay đầu tiên của nó là ngày 17 tháng 7 năm 1997, đúng 17 năm trước ngày định mệnh của chiếc máy bay này với chuyến bay MH17, vào ngày 17 tháng 7 năm 2014 (2 lần 7=14 hay 2+1+4=7).
Đường bay của MH17
Người dân đặt hoa tưởng niệm nạn nhân tại Sân bay Amsterdam Schiphol
Maria Victoria Henao

Maria Victoria Henao (sinh năm 1961) là một người Colombia. Bà là góa phụ, vợ của trùm ma túy khét tiếng Pablo Escobar. Bà kết hôn với Escobar cho đến khi hắn bị bắn chết vào năm 1993. Bà tiếp tục cuộc sống sau đó giống như người tị nạn cùng với những đứa con của mình. Cảnh sát cáo buộc bà về việc tham gia buôn bán ma túy, điều mà sau đó bị chứng minh là sai. Dù có một cuộc sống nhiều vấn đề bởi vì tai tiếng của chồng mình, bà không bao giờ làm điều gì đó chống lại ông, thể hiện đầy đủ hình ảnh của người vợ đúng nghĩa cho đến khi ông Escobar bị bắn chết. Sau khi phải chống lại tất cả những trở ngại của xã hội, bây giờ Maria đã được sống tại một căn nhà ở Buenos Aires, Argentina.
Cuộc đời

Maria Voctoria Henao sinh vào năm 1961 tại Colombia. Người anh trai của bà làm việc với Pablo khi Pablo vẫn còn trong những ngày đầu tiên của một tội phạm ma túy. Có người cho rằng mẹ của bà đã giới thiệu bà cho Pablo. Vì anh của bà trở thành một thành viên quan trọng của xí nghiệp bất hợp pháp cỡ nhỏ của Pablo nên Maria có cơ hội để gặp Pablo trong một số dịp. Họ trúng phải tình cảm của nhau sớm và tiếp theo đó là quyết định đi đến kết hôn.
Cuộc đời > Cuộc sống với Pablo Escobar

Gia đinh của Maria đã phản đối mối quan hệ này, vì vị trí thấp trong xã hội thấp của Pablo. Sự phản đối đã ép họ phải trốn vào năm 1976. Khi Pablo đã được 27 tuổi vào thời điểm hai người cưới nhau, Maria mới được 15 tuổi. Họ đã có đứa con đầu tiên là Juan Pablo Escobar vào ngày 24 tháng 2 năm 1977. Đứa con gái của họ, Manuela Escobar được sinh ra vào năm 1984.
Mặc dù Maria và Pablo hạnh phúc trong hôn nhân, kẻ tội phạm đang nổi đã tham gia vào nhiều phi vụ và có nhiều tình nhân. Cuộc tình ái của ông với một nhà báo tên Virginia Vallejo được biết đến và đã được ghi chép lại. Maria biết đến tất cả những điều đó và biết cả những tình nhân khác của Pablo, nhưng bà không từ bỏ ông.
Khi có nhiều người cho rằng tình yêu của Maria dành cho Pablo là tình yêu vô điều kiện làm cho bà phải chịu đựng tất cả sự truy lạc của chồng bà, trong cuốn sách Yêu Pablo, ghét Escobar, Virginia đã cho rằng Maria đã quá phụ thuộc vào lối sống lãng phí bà có khi sống với Pablo. Có lẽ, Maria biết rằng gần như không tưởng đối với bà để có thể tự chăm sóc cho mình và những đứa con mà không có sự hỗ trợ của người chồng. Tương tự, vì bà đã cắt đứt mọi mối quan hệ với gia đình mình để có thể cưới Pablo, bà không thể tìm kiếm được sự giúp đỡ của gia đình mình.
Cuộc đời > Sau khi Pablo qua đời

Maria có cuộc hôn nhân với Pablo kéo dài 17 năm cho đến khi Pablo bị bắn bởi cảnh sát vào năm 1993. Hậu quả, một nhóm cảnh sát đã bao vây ngôi nhà của Pablo và tịch thu hết tài sản của ông khiến cho gia đình ông trở nên khánh kiệt. Maria buộc phải chạy từ Colombia vì sợ những cuộc trả thù của những đối thủ của chồng. Bà bắt đầu cuộc sống của một người tị nạn ở Colombia và nhiều quốc gia khác trước khi chạy đến Argentina.
Mặc dù bà muốn cư ngụ lâu dài tại một nơi an toàn hơn, nhưng tai tiếng của Pablo đã buộc bà phải sống một cuộc đời trốn tránh như việc bà phải đổi tên cũng như phải đổi sự nhận diện thường xuyên. Bà đã đổi tên thành Maria Isabel Santos Caballero để có thể tìm đến một nơi trú ẩn tại Argentina. Các con của bà cũng phải đổi tên. Trong khi Juan trở thành Sebastian Marroquin, Manuela lại đổi thành Juana Manuela Marroquin Santos.
Vào năm 2000, bà bị điều tra sau khi chỗ ở của bà đã bị vạch trần bởi một chương trình truyền hình. Bà bị điều tra cùng với con trai của mình với nhiều tội khác nhau, trong đó có tội rửa tiền. Cuộc điều tra đã cho biết Maria đã tham gia vào việc buôn bán ma túy và bà có những chi tiết của công việc của Pablo. Maria đã phủ nhận tất cả những lý lẽ và cho biết bà chỉ là vợ của Pablo và bà không có làm gì trong công việc của Pablo. Sau đó bà được thả sau không có tội nào cáo buộc liên quan đến bà.
Vào năm 2015, Netflix đã đưa ra một series, dựa trên cuộc đời của trùm ma túy Pablo Escobar. Series này được đặt tên là Narcos, nhân vật Maria được một diễn viên người Mexico Paulina Gaitan thủ vai. Trong phim này, nhân vật Maria đã được thể hiện như là một người phụ nữ mạnh mẽ. Trong một vài tập của series này, bà được thể hiện là có đưa ra lời khuyên cho Pablo trong các phi vụ làm ăn của ông.
Cuộc đời > Hiện tại

Bà đang sống tại một ngôi nhà tại Buenos Aires, cùng với con trai và mẹ của Pablo. Duy trì một cuộc sống thấp là một trong những ưu tiên trước tiên hiện nay bởi vì bà không muốn thu hút sự chú ý không cần thiết. Con bà đã tạo ra cái tên cho chính mình. Con gái bà là Manuela đảm bảo gia đình của cô tránh xa những tờ báo lá cải. Cô chưa bao giờ nói gì về cha mình và cắt đứt tất cả các liên hệ với gia đình của mình. Sebastian lại viết một cuốn sách tên Pablo Escobar: Cha tôi. Anh đang làm việc như một nhà điêu khắc và một người diễn thuyết.
Chú thích

1 2  https://www.thefamouspeople.com/profiles/maria-victoria-henao-34934.php
Pyzy (món ăn)

| --- | --- |
 Nấu ăn: Pyzy (món ăn)
Pyzy ([pɨ'zɨ] Tập tin:Pyzy audiofile.ogg) là một loại bánh bao (kluski). Món ăn thường được nhắc đến nhiều nhất ở dạng số nhiều là pyzy, vì nó thường được phục vụ như một bữa ăn chính: kluski lớn hình bầu dục, đặc trưng cho ẩm thực Ba Lan.
Các món ăn được chế biến tương tự như pyzy bao gồm kartacze, goły, khoai tây knedle và bánh bao Silesian (kluski ląskie).
Pyzy khoai tây

Pyzy khoai tây được chuẩn bị từ hỗn hợp khoai tây sống và luộc, tùy ý có thêm bột mì, trứng và muối, nấu chín trong nước sôi. Nhồi với thịt, twaróg hoặc nấm nhồi, thay vào đó nếu phục vụ mà không nhồi, chúng sẽ được ăn kèm với thịt xông khói, mỡ lợn hoặc hành tây chiên.
Pyzy men

Pyzy hay pyzy drodżowe được làm sẵn từ bột mì, sữa, bơ, đường và muối. Chúng được nấu trong nước sôi (tương tự như pampuchy) hoặc trên hơi nước. Trong văn học, pyzy được cho là cũng được chuẩn bị bằng cách nướng trong lò nướng.
Bóng chày tại Đại hội Thể thao Đông Nam Á 2005

Bộ môn Bóng chày tại Đại hội Thể thao Đông Nam Á 2005, được thi đấu tại khu liên hợp thể thao Rezal Memorial ở thủ đô Manila, Philippines, từ ngày 28 tháng 11 cho đến ngày 4 tháng 12 năm 2005 tranh một bộ huy chương ở nội dung dành cho nam. Bóng chày không phải là môn thể thao thường được thi đấu tại SEA Games, lần này có mặt trong nội dung thi đấu do là một môn thể thao rất phổ biến và được hâm mộ của nước chủ nhà Philippines.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Tổng sắp huy chương SEA Games 2005 Bộ môn bóng chày | Tổng sắp huy chương SEA Games 2005 Bộ môn bóng chày | Tổng sắp huy chương SEA Games 2005 Bộ môn bóng chày | Tổng sắp huy chương SEA Games 2005 Bộ môn bóng chày | Tổng sắp huy chương SEA Games 2005 Bộ môn bóng chày |  |
| Hạng | Đoàn | Vàng | Bạc | Đồng | Tổng |
| 1 |  Philippines | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 |  Thái Lan | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 |  Indonesia | 0 | 0 | 1 | 1 |
|  | Tổng | 1 | 1 | 1 | 3 |
Bảng thành tích

| Vàng | Bạc | Đồng |
| --- | --- | --- |
|  Philippines |  Thái Lan |  Indonesia |
Chính sách thị thực của Uzbekistan

Du khách đến Uzbekistan phải xin thị thực từ một trong những phái bộ ngoại giao Uzbekistan trừ khi họ đến từ một trong những quốc gia được miễn thị thực.
Miễn thị thực

Công dân của 9 quốc gia sau có thể đến Uzbekistan mà không cần thị thực lên đến 90 ngày (trừ trường hợp chú thích):
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|   Armenia   Azerbaijan   Belarus |   Gruzia   Kazakhstan   Kyrgyzstan (60 ngày) |   Moldova   Nga   Ukraina |  |
Turkmenistan —công dân của vùng Daşoguz và vùng Lebap được miễn thị thực đến tỉnh Xorazm và tỉnh Bukhara cũng như quận Amudaryo, Xo'jayli, Shumanay, Qo'ng'irot và thành phố Taxiatosh city of Karakalpakstan và các quận Dehkanabad, Guzar, Nishon và Myrishkor của tỉnh Qashqadaryo và các quận Sherobod và Muzrabot của tỉnh Surxondaryo được miễn thị thực lên đến 3 ngày trong chu kỳ mỗi tháng. Trong Eid al-Fitr và Eid al-Adha họ có thể đến 2 lần mỗi tháng, nhưng không quá 7 ngày.
Miễn thị thực cũng áp dụng với người sở hữu hộ chiếu ngoại giao của Brasil, Trung Quốc, Estonia, Hungary, Ba Lan, Hàn Quốc, Tajikistan, Thổ Nhĩ Kỳ và Việt Nam, và người sở hữu hộ chiếu công vụ của Latvia, Romania và Slovakia.
Một thỏa thuận song phương về miễn thực cho hộ chiếu phổ thông với  Kuwait được ký vào tháng 2 năm 2017 nhưng chưa được thông qua.
Miễn thị thực với nhân viên Quân đội Hoa Kỳ và Bộ Quốc phòng Hoa Kỳ nếu họ có thẻ căn cước chính phủ/quân đội và bản sao nhiệm vụ.
Thị thực tại cửa khẩu

Người sở hữu Chứn nhận Thị thực (dấu), cấp bởi Bộ Ngoại giao Uzbekistan, có thể xin thị thực tại Sân bay quốc tế Tashkent.
Đơn giản hóa thủ tục

Du khách đến từ các quốc gia sau có thể xin thị thực nhập cảnh nhiều lần ở lại lên đến 1 tháng mà không cần chứng chỉ du khách hay thư mời từ Uzbekistan. Thị thực được cấp trong 2 ngày làm việc. Trong trường hợp công dân Thổ Nhĩ Kỳ là 3 ngày làm việc không kể ngày nhận giấy tờ. Bao gồm:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|   Áo   Bỉ   Cộng hòa Séc   Pháp   Đức   Ý   Nhật Bản   Latvia |   Malaysia   Ba Lan    Tây Ban Nha   Thụy Sĩ   Thái Lan   Thổ Nhĩ Kỳ   Vương quốc Anh |  |
Đơn xin có thể được điền trực tuyến, in ra và nộp tại phái bộ ngoại giao.
Thị thực quá cảnh có thể được cấp cho tất cả các quốc tịch lên đến 72 giờ, không cần chứng chỉ du lịch hay thư mời.
Kế hoạch cải cách

Vào ngày 2 tháng 12 năm 2016 Tổng thống Uzbekistan Shavkat Mirziyoyev ký 3 sắc lệnh về "Tìm cách đảm bảo phát triển ngành du lịch của Cộng hòa Uzbekistan" mà dự tính miễn thị thực cho 15 nước cũng như công dân lớn hơn 55 tuổi của 12 quốc gia. Họ phải trả phí ở cửa khẩu. Nó được dự định có hiệu tự vào năm 2020.
Tuy nhiên, vào 22 tháng 12 2016 một sắc lệnh mới được đưa ra bởi Tổng thống Uzbekistan sửa đổi về sắc lệnh ngày 2 tháng 12 năm 2016, lùi lại đến ngày 1 tháng 1 năm 2021. Thay đổi về danh sách các nước sẽ dựa trên cơ sở quan hệ song phương, tình hình thị trường du lịch quốc tế và tình hình anh ninh quốc tế và khu vực.
Uzbekistan cũng dự kiến đưa ra thị thực điện tử vào năm 2021. Uzbekistan muốn dùng hệ thống thị thực điện tử của Azerbaijan làm mẫu.
Vào tháng 12 năm 2017 họ thông báo rằng Uzbekistan dự tính đơn giản hóa thủ tục thêm cho 25 nước và bỏ yêu cầu thị thực với công dân Nhật Bản, Hàn Quốc, và Singapore. Thời hạn có hiệu lực của thị thực được mở rộng thành 30 ngày. Tháng 1 năm 2018 họ thông báo Uzbekistan dự tính sẽ đơn giản hóa thủ tục thêm cho 40 nước và bỏ yêu cầu thị thực với 5 nước.
Chính sách thị thực Uzbekistan  Uzbekistan  Miễn thị thực 90 ngày  Miễn thị thực 60 ngày  Miễn thị thực 30 ngày  Thị thực điện tử / Quá cảnh mà không cần thị thực  Thị thực điện tử  Quá cảnh mà không cần thị thực  Cần xin thị thực
Trường (đại số)

Đối với các định nghĩa khác, xem Trường.
Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.
Trong toán học, một trường là một tập hợp mà trên đó các phép cộng, trừ, nhân, chia được định nghĩa, và có tính chất như những phép tính trên số hữu tỉ và số thực. Một trường như vậy là một cấu trúc đại số cơ bản, được sử dụng rộng rãi trong đại số, lý thuyết số và nhiều ngành khác trong toán học.
Những trường thông dụng nhất là trường số hữu tỉ, trường số thực và trường số phức. Nhiều trường khác, như trường hàm phân thức, trường hàm đại số, trường số đại số, và trường p-adic cũng được sử dụng và nghiên cứu thường xuyên, cụ thể trong lý thuyết số và hình học đại số. Hầu hết giao thức mật mã dựa trên trường hữu hạn, tức là trường có hữu hạn phần tử.
Mối liên hệ giữa hai trường được thể hiện qua một mở rộng trường. Lý thuyết Galois, khởi xướng bởi Évariste Galois trong những năm 1830, nghiên cứu về sự đối xứng của các mở rộng trường. Trong số những kết quả khác, lý thuyết này chứng minh được rằng việc chia ba một góc và cầu phương hình tròn không thể thực hiện được chỉ bằng thước thẳng và compa. Ngoài ra, nó cũng chỉ ra rằng phương trình bậc năm không thể giải được về mặt đại số.
Trường đóng vai trò là một khái niệm nền tảng trong một số ngành của toán học, bao gồm các nhánh của giải tích, sử dụng trường với những cấu trúc phụ. Những định lý cơ bản của giải tích dựa trên tính chất của trường số thực. Quan trọng hơn cả, bất kì trường nào đều có thể dùng làm vô hướng cho một không gian vectơ, là những đối tượng chính của đại số tuyến tính. Trường số đại số, người anh em họ của trường số hữu tỉ, được nghiên cứu trong lý thuyết số.
Định nghĩa

Về căn bản, một trường là một tập hợp, cùng với hai phép toán được định nghĩa trên tập đó: một phép cộng được viết là a + b, và một phép nhân được viết là a ⋅ b, cả hai đều có tính chất như với số hữu tỉ và số thực, bao gồm cả sự tồn tại của một nghịch đảo phép cộng −a cho mọi phần tử a, và một nghịch đảo phép nhân b−1 cho mọi phần tử b khác 0. Điều này cho ta những phép toán nghịch đảo bao gồm phép trừ a − b, và phép chia a / b, bằng cách định nghĩa:
Định nghĩa > Định nghĩa cổ điển

Đầy đủ hơn, một trường là một tập F cùng với hai phép toán (còn gọi là luật hợp thành trong) gọi là phép cộng và phép nhân. Một phép toán là một ánh xạ gán mỗi cặp phần tử trong tập hợp với một phần tử của nó. Kết quả của phép cộng a và b được gọi là tổng của a và b và ký hiệu là a + b. Tương tự, kết quả của phép nhân a và b được gọi là tích của a và b, và ký hiệu bằng ab hoặc a ⋅ b. Các phép toán này cần phai tuân thủ những tính chất sau, được gọi là các tiên đề trường. Trong những tiên đề dưới đây, a, b và c là những phần tử bất kỳ của trường F.
Tính kết hợp của phép cộng và phép nhân: a + (b + c) = (a + b) + c và a · (b · c) = (a · b) · c.
Tính giao hoán của phép cộng và phép nhân: a + b = b + a và a · b = b · a.
Đơn vị cộng và đơn vị nhân: tồn tại hai phần tử khác nhau 0 và 1 thuộc F sao cho a + 0 = a và a · 1 = a.
Nghịch đảo phép cộng: với mọi a thuộc F, tồn tại một phần tử thuộc F, ký hiệu là −a, gọi là nghịch đảo phép cộng của a, sao cho a + (−a) = 0.
Nghịch đảo phép nhân: với mọi a ≠ 0 thuộc F, tồn tại một phần tử thuộc F, ký hiệu là a−1, 1/a, hoặc 1/a, gọi là nghịch đảo phép nhân của a, sao cho a · a−1 = 1.
Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Ta có thể tóm tắt lại như sau: một trường có hai phép toán là phép cộng và phép nhân; nó là một nhóm giao hoán dưới phép cộng, với 0 là đơn vị cộng; những phần tử khác 0 tạo thành một nhóm giao hoán dưới phép nhân, với 1 là đơn vị nhân; phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng.
Định nghĩa > Định nghĩa khác

Trường cũng có thể được định nghĩa theo những cách khác tương đương. Ta có thể định nghĩa trường bằng bốn phép toán hai ngôi (cộng, trừ, nhân, chia) và những tính chất của chúng. Chia cho không, theo định nghĩa, không được tính. Để tránh việc sử dụng lượng tử tồn tại, trường có thể được định nghĩa với hai phép toán hai ngôi (cộng và nhân), hai phép toán một ngôi (cho ra nghịch đảo phép cộng và phép nhân), và hai phép toán rỗng (các hằng số 0 và 1). Những phép toán này cần phải thỏa mãn những điều kiện trên. Tránh lượng tử tồn tại là một điều kiện quan trọng mang tính xây dựng và trong điện toán. Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa một trường bằng hai phép toán hai ngôi cộng và nhân, một phép toán một ngôi (nghịch đảo phép nhân) và hai hằng số 1 và −1, vì 0 = 1 + (−1) và −a = (−1)a.
Ví dụ > Số hữu tỉ

Bài chi tiết: Số hữu tỉ
Số hữu tỉ được sử dụng rộng rãi từ lâu trước khi khái niệm trường được đưa ra và xem xét chi tiết. Chúng là những số có thể viết dưới dạng phân số a/b, với a và b là các số nguyên, và b ≠ 0. Nghịch đảo phép cộng của một phân số như vậy là −a/b, và nghịch đảo phép nhân là (với điều kiện a ≠ 0) là b/a, do:
Những tiên đề trường trừu tượng trở thành các tính chất cơ bản của số hữu tỉ. Ví dụ, tính chất phân phối có thể được chứng minh như sau::
Ví dụ > Số thực và phức

Bài chi tiết: Số thực và Số phức
Tập số thực R, cùng với các phép cộng và nhân, cũng tạo thành một trường. Tập số phức C bao gồm các biểu thức
trong đó i là đơn vị ảo, tức là một số (không thực) thỏa i2 = −1. Phép cộng và phép nhân của số thực được định nghĩa sao cho những biểu thức dạng này cũng thỏa tất cả tiên đề trường và vẫn áp dụng cho C. Ví dụ, tính phân phối cho ta
Rõ ràng biểu thức này cũng có dạng như trên, tức là số phức đóng dưới phép nhân. Tương tự ta có thể suy ra số phức tạo thành một trường. Số phức có thể được biểu diễn bằng hình học như các điểm trong mặt phẳng, với tọa độ Descartes là các số thực trong biểu thức của nó, hoặc sử dụng những mũi tên từ gốc tọa độ đến những điểm đó, xác định bởi độ dài và góc tạo bởi nó theo một hướng nhất định. Phép cộng khi ấy tương đương với kết hợp hai mũi tên theo hình bình hành (cộng các tọa độ Descartes), còn phép nhân tương đương với việc quay và phóng to hay thu nhỏ các mũi tên (cộng các góc và nhân chiều dài). Trường số thực và số phức được sử dụng trong cả toán học, vật lý, kỹ thuật, thống kê và nhiều lĩnh vực khoa học khác.
Ví dụ > Số dựng được

Từ xưa, có nhiều bài toán hình học liên quan đến tính khả thi của việc dựng một số số chỉ bằng thước kẻ và compa. Ví dụ, người Hy Lạp không biết rằng không thể chia ba một góc bằng cách này. Những vấn đề này có thể được giải quyết sử dụng trường các số dựng được. Những số thực dựng được, theo định nghĩa, là độ dài của những đoạn thẳng có thể dựng được từ hai điểm 0 và 1 trong hữu hạn bước chỉ sử dụng thước kẻ và compa. Những số này, cùng với các phép toán của số thực trên chúng, tạo thành một trường, trong đó bao hàm trường số hữu tỉ Q. Hình minh họa cho thấy cách dựng căn bậc hai của số dựng được, không nhất thiết thuộc Q. Sử dụng ký hiệu như trong hình, dựng một các đoạn thẳng AB, BD, và một nửa đường tròn có đáy AD (tâm đặt tại trung điểm C), cắt đường thẳng qua B vuông góc với AD tại điểm F. Nếu độ dài của AB và BD lần lượt là p và 1 thì độ dài đoạn BF là h = √p.
Không phải tất cả số thực đều dựng được. Ta có thể chứng minh rằng 3√2 không phải là một số dựng được, nghĩa là không thể dựng độ dài cạnh một hình lập phương có thể tích là 2 bằng thước kẻ và compa, một bài toán được đưa ra bởi người Hy Lạp cổ đại.
Ví dụ > Một trường với bốn phần tử

Ngoài những tập số quen thuộc như số hữu tỉ hay số thực, có những ví dụ của trường khác ít hiển nhiên hơn của. Ví dụ sau là một trường gồm có bốn phần tử là O, I, A, và B. O đóng vai trò là đơn vị cộng (ký hiệu là 0 trong hệ tiên đề trên), và I là đơn vị nhân (ký hiệu là 1 trong hệ tiên đề trên). Những tiên đề trên có thể được kiểm chứng bằng một số lý thuyết trường, hoặc bằng tính toán trực tiếp. Ví dụ,
Trường này được gọi là trường hữu hạn với bốn phần tử, và được ký hiệu là F4 hay GF(4). Tập con chứa O và I (màu đỏ ở bảng bên) cũng là một trường, gọi là trường nhị phân F2 hay GF(2). Trong khoa học máy tính và đại số Boole, O và I thường lần lượt đại diện cho false và true, phép cộng khi ấy được ký hiệu là XOR (exclusive or), và phép nhân ký hiệu là AND. Nói cách khác, cấu trúc của trường nhị phân là cấu trúc cơ bản cho phép tính toán với bit.
Khái niệm cơ bản

Trong phần này, F ký hiệu một trường tùy ý và a, b là những phần tử bất kỳ của F.
Khái niệm cơ bản > Hệ quả từ định nghĩa

Ta có a · 0 = 0 và −a = (−1) · a. Cụ thể, ta có thể suy ra nghịch đảo phép cộng của mọi phần tử ngay khi biết –1.
Nếu ab = 0 thì a hoặc b phải bằng 0. Thực vậy, nếu a ≠ 0, thì 
0 = a–1⋅0 = a–1(ab) = (a–1a)b = b. Điều này nghĩa là mọi trường là một miền nguyên.
Khái niệm cơ bản > Nhóm cộng và nhóm nhân của một trường Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.

Các tiên đề của một trường F chỉ rằng nó là một nhóm giao hoán dưới phép cộng. Nhóm này được gọi là nhóm cộng của trường, và đôi khi được kí hiệu là (F, +).
Tương tự, các phần tử khác 0 của F tạo thành một nhóm giao hoán dưới phép nhân, gọi là nhóm nhân, và thường ký hiệu là (F \ {0}, ·) hoặc F \ {0} hay F*.
Từ đó, một trường có thể được định nghĩa là một tập F với hai phép toán cộng và nhân sao cho F là nhóm giao hoán dưới phép cộng, F \ {0} là nhóm giao hoán dưới phép nhân (với 0 là đơn vị cộng), và phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng. Một số tính chất cơ bản của trường có thể được suy ra bằng những tính chất của nhóm. Ví dụ, nghịch đảo phép cộng và phép nhân −a và a−1 được xác định duy nhất bởi a.
Từ đó ta suy ra 1 ≠ 0, vì 1 là đơn vị của nhóm không chứa 0. Do đó, vành không, chỉ chứa một phần tử, không phải là một trường.
Tất cả nhóm con hữu hản của nhóm nhân của một trường đều là cyclic (xem Nghiệm đơn vị § Nhóm cyclic).
Khái niệm cơ bản > Tính chất

Ngoài phép nhân hai phần tử của F, ta có thể định nghĩa tích n ⋅ a của phần tử a bất kỳ của F với một số nguyên dương n là tổng n số hạng là a
Nếu không tồn tại số nguyên dương nào sao cho
thì trường F có đặc số 0. Ví dụ, trường số hữu tỉ Q có đặc số 0 vì không có số nguyên dương n nào bằng 0. Nếu tồn tại một số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên thì nghiệm nhỏ nhất phải là số nguyên tố. Số này thường được ký hiệu là p và khi ấy ta nói trường có đặc số p. Trong ví dụ ở trên, trường F4 có đặc số 2 vì I + I = O.
Nếu F có đặc số p, thì p ⋅ a = 0 với mọi a thuộc F. Nghĩa
Do tất cả hệ số nhị thức xuất hiện trong khai triển nhị thức đều chia hết cho p. Ở đây, ok các bạn nhé ! (p nhân tử) là lũy thừa bậc p của a. Do đó, ánh
tương thích với phép cộng trong F (và với phép nhân), do đó nó là một phép tự đồng cấu trường. Sự tồn tại của đồng cấu này khiến trường đặc số p có nhiều điểm khác với trường đặc số 0.
Khái niệm cơ bản > Trường con và trường nguyên tố

Một trường con E của trường F là một tập con của F và là một trường đối với các phép toán của F. Nói cách khác, E là tập con của F chứa 1, và đóng dưới phép cộng, phép nhân, nghịch đảo phép cộng và nghịch đảo phép nhân của một phần tử khác 0. Điều này nghĩa là 1 ∈ E, với mọi a, b ∈ E thì cả a + b và a · b cũng thuộc E, với mọi a ≠ 0 thuộc E, thì –a và 1/a đều thuộc E.
Phép đồng cấu trường là một ánh xạ f: E → F giữa hai trường sao cho
trong đó e1 và e2 là những phần tử bất kỳ của E. Tất cả đồng cấu trường đều là đơn ánh. Nếu F cũng là toàn ánh, nó được gọi là phép đẳng cấu (hoặc trường E và F đẳng cấu).
Một trường được gọi là một trường nguyên tố nếu như nó không có trường con thực sự nào. Bất kỳ trường F nào cũng chứa một trường nguyên tố, trường này là giao của tất cả trường con của F. Nếu đặc số của F là một số nguyên tố p, trường nguyên tố đó đẳng cấu với trường hữu hạn Fp ở dưới. Nếu không thì trường nguyên tố này đẳng cấu với Q.