Biến đổi Z
Các tính chất

ROC2
Tương quan chéo
| Miền thời gian 	 | Biến đổi Z 	 | Ví dụ  	 | ROC   |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Chú giải 	 |  x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}  |  X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}  |  |  |
| Tuyến tính  |  a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]  |  a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)  |  {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}  | Contains ROC1 ∩ ROC2  |
| Thời gian mở rộng  |  x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}} r: integer  |  X(z^{K})  |  {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}  |  R^{\frac {1}{K}}  |
| Decimation 	 |  x[nK]  |  {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)  | ohio-state.edu  or  ee.ic.ac.uk  |   |
| Chuyển dịch thời gian 	 |  x[n-k]  |  z^{-k}X(z)  |  {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}  | ROC, except z = 0 if k > 0 and z = ∞ if k < 0   |
| Scaling in  the z-domain  |  a^{n}x[n]  |  X(a^{-1}z)  |  {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}  |  |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}  |
| Đảo thời gian 	 |  x[-n]  |  X(z^{-1})  |  {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}  |  {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}  |
| Liên hợp phức  |  x^{*}[n]  |  X^{*}(z^{*})  |  {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}  |  |
| Phần thực  |  \operatorname {Re} \{x[n]\}  |  {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]  |  |  |
| Phần ảo  |  \operatorname {Im} \{x[n]\}  |  {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]  |   |  |
| Vi phân 	 |  nx[n]  |  -z{\frac {dX(z)}{dz}}  |  {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}  |   |
| Tích chập  |  x_{1}[n]*x_{2}[n]  |  X_{1}(z)X_{2}(z)  |  {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}  | Contains ROC1 ∩ |
|  r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]  |  R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)  | Contains the intersection of ROC of  X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}}) and  X_{2}(z)  |  |  |
| Vi phân bậc một 	 |  x[n]-x[n-1]  |  (1-z^{-1})X(z)  |   | Contains the intersection of ROC of X1(z) and z ≠ 0   |
Tích lũy			 	  : 
| Tích  |  x_{1}[n]x_{2}[n]  |  {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v  | At least  r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u} |- |  |
Định lý Parseval
Định lý giá trị ban đầu: nếu x[n] là quan hệ nhân quả (nghĩa là x(n)=0 với mọi n<0), thì:  x(0)=\lim _{z\to \infty }X(z)
Định lý giá trị cuối cùng: nếu các cực của (z−1)X(z) ở trong vòng tròn đơn vị, thì:  \lim _{n\to \infty }x(n)=\lim _{z\to 1}{\Bigr [}(z-1)\cdot X(z){\Bigr ]}