stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Trận Sekigahara
Mầm mống nổi loạn

Trong khi phần lớn các gia tộc đều bằng lòng với vị trí mới của mình, có những gia tộc, đặc biệt là những người ở phía Tây, cay đắng vì việc bị thuyên chuyển lãnh địa hay cảm thấy việc bại trận hay bị trừng phạt là một sự sỉ nhục. Ba gia tộc sau trận Sekigahara bị thiệt hại nặng nề:
Gia tộc Mori, đứng đầu là Mori Terumoto, vẫn giận dữ với Mạc phủ Tokugawa vì phải chuyển khỏi thái ấp của mình, Aki, và được phân cho lãnh địa Chōshū, mặc dù gia tộc này không hề tham gia vào trận đánh này.
Gia tộc Shimazu, đứng đầu là Shimazu Yoshihiro, việc thu thập thông tin tình báo yếu kém, và họ vẫn không bị thuyên chuyển khỏi tỉnh nhà Satsuma, họ vẫn không hoàn toàn trung thành với Mạc phủ Tokugawa. Tận dụng lợi thế là xa Edo và ở trên đảo Kyushu cũng như tăng cường công tác thám báo, gia tộc Shimazu công khai tuyên bố rằng đây gần như là một vương quốc tự trị độc lập khỏi Mạc phủ Tokugawa.
Gia tộc Chosokabe, đứng đầu là Chosokabe Morichika, bị lột bỏ tước hiệu và lãnh địa ở Tosa và bị lưu đày. Các thuộc hạ cũ của Chosokabe không bao giờ phục vụ cho những người mới đến, gia tộc Yamauchi, tạo ra sự khác biệt giữa các thuộc hạ của họ với các thuộc hạ cũ của Chosokabe, khiến họ phải chịu địa vị thấp hơn cũng như sự phân biệt đối xử. Việc phân biệt đẳng cấp này tiếp diễn hàng thế hệ cho đến khi gia tộc Chosokabe sụp đổ.
Hậu duệ của ba gia tộc này hai thế kỷ sau đã cộng tác để lật đổ Mạc phủ Tokugawa, dẫn đến cuộc Minh Trị Duy Tân.
Miyamoto Musashi

Theo lưu truyền lại, kensei (kiếm thánh) huyền thoại Miyamoto Musashi cũng tham chiến trong hàng ngũ quân đội của Ukita Hideie. Người ta cho là ông đã chiến đấu anh dũng và thoát khỏi quân đội thất trận của Ukita mà không bị một vết thương nào. Đây là thực tế hay huyền thoại vẫn còn chưa rõ ràng; nhưng Musashi mới chỉ khoảng 16 tuổi vào thời điểm đó.
Xuất hiện trong văn hóa đại chúng

Trận đánh này là cảnh chiến đấu chính trong phim Sengoku jieitai 1549 (2005). Trong phim cũng xuất hiện một số nhân vật chính và tình huống chính trị, khá trụy lạc do kịch bản phim.
Trận đánh này được miêu tả nổi bật trong seri manga và anime Samurai Deeper Kyo.
Trận đánh xuất hiện trong video game Kessen và Samurai Warriors 2 cho dòng máy Playstation 2. Cả hai game có những kịch bản viễn tưởng, một vài chuyển thắng lợi về cho phe Tây Quân.
Trận chiến cũng xuất hiện trong Age of Empires III: The Asian Dynasties trong phần các chiến dịch Nhật Bản.
Trận chiến xuất hiện trong Shogun: Total War, là một trong những trận chiến lịch sử PC.
Trong Azumi, Trận Sekigahara là một trong những yếu tố quan trọng của kịch bản.
Tiểu thuyết best-seller của James Clavell, "Shogun" miêu tả các sự kiện dẫn đến trận chiến đỉnh điểm này, mặc dù chính bản thân trận chiến lại chỉ được kể trong hai khổ ngắn ngủi.
Seri nhỏ năm 2003, Musashi bắt đầu với việc Miyamoto Musashi trẻ tuổi trở dậy từ hàng đống tử thi sau trận chiến Sekigahara. Manga Nhật Bản Vagabond cũng bắt đầu với cảnh tương tự.
Chú thích

1 2  Davis 1999, tr. 204.Lỗi sfn: không có mục tiêu: CITEREFDavis1999 (trợ giúp)
1 2  Bryant 1995.Lỗi sfn: không có mục tiêu: CITEREFBryant1995 (trợ giúp)
↑  『関原合戦記』
↑  『関原軍記大成』
↑  “The Battle of Sekigahara”. Truy cập 9 tháng 9 năm 2008.
↑  “Japan - AD 1573-1615 Momoyama”. Bản gốc lưu trữ ngày 27 tháng 4 năm 2009. Truy cập 6 tháng 3 năm 2009.
↑  “Edo Period”. Truy cập 6 tháng 5 năm 2009.
↑  Turnbull 2003, trang 47.
↑  Bryant 1995, trang 84.
↑  Berry, trang 74.
↑  Berry, trang 78.
1 2  Berry, trang 179.
↑  Berry, các trang 184–186.
↑  Berry, các trang 85–86.
↑  Berry, trang 83.
↑  Berry, trang 84.
↑  Berry, pp. 87–93.
↑  Berry, pp. 91–93.
↑  Berry, các trang 102–106.
↑  Berry, các trang 93–96.
↑  Berry, các trang 223–225.
1 2  Tomados del ejército principal de Mitsunari.
↑  Tomados del ejército de Yoshihiro.
↑  El historiador George Sansom estimó que 95.000 soldados estuvieron en el campo de batalla en el bando de Mitsunari según un cálculo basado en los ingresos en koku de cada feudo representado en la batalla. Sanson, 1961:412.
↑  El historiador George Sansom estimó que 138.000 soldados estuvieron en el campo de batalla en el bando de Ieyasu según un cálculo basado en los ingresos en koku de cada feudo representado en la batalla. Sanson, 1961:412.
Súng hỏa mai Nhật Bản thời kỳ Edo.
Đài tưởng niệm trận Sekigahara ngày nay
Vùng

Đối với các định nghĩa khác, xem Địa.
Trong địa lý, các vùng là các khu vực rộng được phân chia bởi các đặc tính vật lý (Địa lý tự nhiên), các đặc tính tác động của con người (Địa lý nhân văn), và các tương tác con người và môi trường (Địa lý tích hợp). Các vùng địa lý hay phân vùng được mô tả chủ yếu theo các định nghĩa tương đối, và đôi khi là các ranh giới tạm thời, trừ trong địa lý nhân văn, nơi các khu vực tài phán như biên giới quốc gia được định nghĩa rõ ràng theo luật.
Religulous

| Religulous  |
| --- | --- |
Áp phích phim Religulous
Đạo diễn: Larry Charles
Tác giả: Bill Maher
Sản xuất: Bill Maher Jonah Smith Palmer West
Diễn viên: Bill Maher
Quay phim: Anthony Hardwick
Dựng phim: Jeff Groth Christian Kinnard Jeffrey M. Werner
Hãng sản xuất: Thousand Words 
Phát hành: Lionsgate
Công chiếu:  6 tháng 9 năm 2008 (2008-09-06) (TIFF)  1 tháng 10 năm 2008 (2008-10-01) (limited)  
Thời lượng: 101 phút
Quốc gia:  Hoa Kỳ
Ngôn ngữ: tiếng Anh
Kinh phí: 2.500.000 Mỹ kim
Doanh thu: 13.136.074 Mỹ kim
Religulous (/rɪˈlɪɡjʊləs, rɪˈlɪdʒʊləs/) là một bộ phim tài liệu của Hoa Kỳ sản xuất vào năm 2008, với đạo diễn là Larry Charles và danh hài Bill Maher đóng vai người dẫn truyện.
Tựa đề phim "Religulous" là một sự kết hợp (portmanteau) của hai từ "religion" (tôn giáo) và "ridiculous" (nhảm nhí). Nội dung bộ phim này có hàm ý chỉ trích các tôn giáo và tín ngưỡng.
Nội dung

Bộ phim giới thiệu các góc nhìn về thế giới của nhiều tôn giáo khác nhau khi Bill Maher du hành qua nhiều trung tâm tôn giáo khác nhau, ví dụ như Jerusalem, Vatican, Salt Lake City, phỏng vấn các tín đồ có xuất thân và nguồn gốc khác nhau. Trong số đó bao gồm các cựu tín đồ của hội thánh Kitô "Jews for Jesus", cựu tín đồ Kitô, Hồi giáo, Mormon, và Do Thái giáo Hasidi. Maher cũng du hành đến Góc Diễn thuyết tại Công viên Hyde, Luân Đôn, và "thuyết giảng" tín ngưỡng Khoa Luận giáo (Scientology). Ông cũng tham quan Bảo tàng Sáng tạo và công viên Holy Land Experience.
Sản xuất

Maher nói rằng khi phỏng vấn các tín đồ, ông nói dối rằng tên của bộ phim là "Hành trình Tâm linh" (A Spiritual Journey) để có thể được phép phỏng vấn. Tín đồ Thuyết sáng tạo Ken Ham, thành viên của tổ chức Answers in Genesis, một người được phỏng vấn trong phim, đã chỉ trích việc Bill Maher sử dụng tên phim giả để được thực hiện phỏng vấn.
Religulous được sản xuất bởi hãng Thousand Words và phát hành bởi Lions Gate Entertainment. Theo dự tính, thời điểm phim được phát hành trên diện quốc tế là ngày 23 tháng 3 năm 2008, đúng vào dịp Phục sinh, tuy nhiên điều này đã bị hoãn lại do ảnh hưởng của cuộc đình công 2007-2008 của giới biên kịch. Cuối cùng phim đã được phát hành vào ngày 3 tháng 10 năm 2008.
Doanh thu

Doanh thu phòng vé của Religulous trong tuần đầu công chiếu tính từ ngày 1 tháng 10 tại Los Angeles và Thành phố New York và trong 502 rạp là 3,5 triệu Mỹ kim, trung bình doanh thu là 6.972 Mỹ kim/rạp, đứng hạng 10 trong số doanh thu của các bộ phim tuần đó. Doanh thu trung bình mỗi lần chiếu của nó cao gấp 3 lần so với An American Carol, một bộ phim cổ xúy cho chủ nghĩa bảo thủ được báo giới so sánh như là đối trọng của Religulous. An American Carol có tổng doanh thu tuần đó đứng hạng 9, cao hơn Religulous, nhưng doanh thu trên 1 lần chiếu chỉ có 2.325 Mỹ kim. Beverly Hills Chihuahua, bộ phim đứng hạng 1, là phim duy nhất có doanh thu trên lần chiếu cao hơn Religulous (9.020 Mỹ kim). Doanh thu phòng vé tuần 2 của Religulous giảm 35,5% và tụt xuống hạng 13 (2.200.000 Mỹ kim trên 568 rạp chiếu với doanh thu trung bình/rạp là 3.873 Mỹ kim).
Tổng doanh thu của Religulous là hơn 13 triệu Mỹ kim trong khi chi phí sản xuất là 2,5 triệu. Nó xếp thứ 2 trong nhóm các phim tài liệu có doanh thu cao nhất năm 2008 và đứng đầu bảng trong nhóm các phim phát hành hạn chế (Limited Relase) cùng năm đó.
Phát hành đĩa DVD

Lions Gate Entertainment đã phát hành phiên bản đĩa DVD của Religulous vào ngày 17 tháng 2 năm 2009. Phiên bản DVD có thêm một đoạn bình luận của Bill Maher và đạo diễn Larry Charles và một số cảnh quay bị cắt bỏ trong đoạn phim gốc.
Đảng Quốc gia Cấp tiến (Lào)

Đảng Quốc gia Cấp tiến (tiếng Lào: ພັກຊາດກ້າວຫນ້າ Phak Xat Kao Na) là đảng phái chính trị ở Lào hoạt động trong thập niên 1950 và được thành lập vào năm 1950.
Trong cuộc bầu cử Quốc hội Lào vào tháng 8 năm 1951, đảng này đã giành được 15 trên 39 ghế, vốn được coi là một chiến thắng vang dội vào lúc đó. Lãnh đạo của đảng là Souvanna Phouma đã chính thức trở thành Thủ tướng của Vương quốc Lào.
Đảng Quốc gia Cấp tiến vẫn tồn tại cho đến năm 1958 thì bị giải thể vì sáp nhập vào một đảng mới là Đại hội Nhân dân Lào.
Tập hợp (toán học)

Đối với các định nghĩa khác, xem Tập hợp.
Một tập hợp hình đa giác trong một biểu đồ Euler
Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), các số nguyên (Z), các số tự nhiên (N). Các số thực cũng bao gồm các số vô tỷ (R \ Q).
Trong toán học, một tập hợp là một bộ các phần tử. Các phần tử tạo nên một tập hợp có thể là bất kỳ loại đối tượng toán học nào: số, ký hiệu, điểm trong không gian, đường thẳng, các hình dạng hình học khác, các biến hoặc thậm chí các tập hợp khác. Tập hợp không có phần tử nào là tập hợp rỗng; một tập hợp với một phần tử duy nhất là một đơn điểm. Một tập hợp có thể có một số phần tử hữu hạn hoặc là một tập hợp vô hạn. Hai tập hợp bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chính xác các phần tử giống nhau.
Tập hợp có mặt khắp nơi trong toán học hiện đại. Thật vậy, lý thuyết tập hợp, cụ thể hơn là lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, đã là phương pháp tiêu chuẩn để cung cấp nền tảng chặt chẽ cho tất cả các phân nhánh của toán học kể từ nửa đầu thế kỷ 20.
Nguồn gốc

Khái niệm tập hợp xuất hiện trong toán học vào cuối thế kỷ 19. Từ tập hợp trong tiếng Đức, Menge, được Bernard Bolzano đặt ra trong tác phẩm Paradoxes of the Infinite.
Georg Cantor, một trong những người sáng lập ra lý thuyết tập hợp, đã đưa ra định nghĩa sau đây ở đầu cuốn sách Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:
Tập hợp là sự gộp lại với nhau thành một tổng thể các đối tượng xác định, riêng biệt của nhận thức hoặc suy nghĩ của chúng ta — được gọi là các phần tử của tập hợp.
Bertrand Russell gọi một tập hợp là một lớp: "Khi các nhà toán học xử lý những gì họ gọi là đa tạp, tổng hợp, Menge, tổ hợp hoặc một số tên tương đương, thì điều đó là phổ biến, đặc biệt là khi số lượng các thuật ngữ liên quan là hữu hạn, coi đối tượng được đề cập. (thực tế là một lớp) được xác định bằng cách liệt kê các thuật ngữ của nó, và có thể bao gồm một thuật ngữ duy nhất, trong trường hợp đó là lớp."
Nguồn gốc > Lý thuyết tập hợp ngây thơ

Thuộc tính quan trọng nhất của một tập hợp là nó có thể có các phần tử. Hai tập hợp bằng nhau khi chúng có các phần tử giống nhau. Chính xác hơn, tập A và B là bằng nhau nếu mọi phần tử của A là phần tử của B, và mọi phần tử của B là một phần tử của A ; thuộc tính này được gọi là tính mở rộng của các tập hợp.
Khái niệm đơn giản về một tập hợp đã tỏ ra vô cùng hữu ích trong toán học, nhưng nghịch lý lại nảy sinh nếu không có giới hạn nào được đặt ra về cách các tập hợp có thể được xây dựng:
Nghịch lý Russell cho thấy rằng "tập hợp của tất cả các tập hợp không chứa chính chúng", tức là, {x|x là một tập hợp và x ∉ x} , không thể tồn tại.
Nghịch lý Cantor cho thấy “tập hợp của tất cả các tập hợp” không thể tồn tại.
Lý thuyết tập hợp ngây thơ định nghĩa một tập hợp là bất kỳ tập hợp được xác định rõ ràng của các phần tử riêng biệt, nhưng các vấn đề nảy sinh từ sự mơ hồ của thuật ngữ được xác định rõ ràng.
Nguồn gốc > Lý thuyết tập hợp tiên đề

Trong những nỗ lực tiếp theo để giải quyết những nghịch lý này kể từ thời điểm hình thành lý thuyết tập hợp sơ khai ban đầu, các tính chất của tập hợp đã được xác định bởi các tiên đề. Thuyết tập hợp tiên đề lấy khái niệm tập hợp làm khái niệm sơ khai. Mục đích của tiên đề là cung cấp một khuôn khổ cơ bản để từ đó suy ra tính đúng hay sai của các mệnh đề toán học cụ thể (phát biểu) về tập hợp, sử dụng logic bậc nhất. Tuy nhiên, theo các định lý về tính không đầy đủ của Gödel, không thể sử dụng logic bậc nhất để chứng minh bất kỳ lý thuyết tập tiên đề cụ thể nào mà không có nghịch lý.
Cách các tập hợp được xác định và thiết lập ký hiệu

Các sách báo toán học thường biểu thị tập hợp bằng chữ in hoa in nghiêng, chẳng hạn như A, B, C Một tập hợp cũng có thể được gọi là tập hợp hoặc họ, đặc biệt là khi bản thân các phần tử của nó lại là các tập hợp.
Cách các tập hợp được xác định và thiết lập ký hiệu > Ký hiệu danh sách

Kí hiệu danh sách hoặc bảng liệt kê xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó giữa các dấu ngoặc nhọn, được phân tách bằng dấu chấm phẩy:
A = {4; 2; 1; 3}
Trong một tập hợp, tất cả những gì quan trọng là liệu mỗi phần tử có nằm trong đó hay không, vì vậy thứ tự của các phần tử trong ký hiệu danh sách là không liên quan (ngược lại, trong một chuỗi, một bộ hoặc một hoán vị của một tập hợp, thứ tự của các phần tử là quan trọng).
Đối với những tập hợp có nhiều phần tử, đặc biệt là những tập hợp theo một mẫu không tường minh, danh sách các phần tử có thể được viết tắt bằng cách sử dụng dấu chấm lửng '…'. Ví dụ: tập hợp 1000 số nguyên dương đầu tiên có thể được chỉ định trong bảng liệt kê như
{1, 2, 3, …, 1000}
Cách các tập hợp được xác định và thiết lập ký hiệu > Ký hiệu danh sách > Tập hợp vô hạn trong ký hiệu danh sách

Tập hợp vô hạn là tập hợp có danh sách vô tận các phần tử. Để mô tả một tập hợp vô hạn trong ký hiệu danh sách, một dấu chấm lửng được đặt ở cuối danh sách hoặc ở cả hai đầu, để chỉ ra rằng danh sách tiếp tục mãi mãi. Ví dụ: tập hợp các số nguyên không âm là
{0, 1, 2, 3, 4, …},
và tập hợp tất cả các số nguyên là
{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}.
Cách các tập hợp được xác định và thiết lập ký hiệu > Định nghĩa ngữ nghĩa

Một cách khác để xác định một tập hợp là sử dụng quy tắc để xác định các phần tử là gì:
Định nghĩa như vậy được gọi là mô tả ngữ nghĩa.
Cách các tập hợp được xác định và thiết lập ký hiệu > Ký hiệu cách tạo tập hợp

Ký hiệu cách tạo tập hợp chỉ định một tập hợp là một lựa chọn từ một tập hợp lớn hơn, được xác định bởi một điều kiện trên các phần tử. Ví dụ, một tập F có thể được định nghĩa như sau:
F =\{n\mid n{\text{ là một số nguyên, và }}0\leq n\leq 19\}.
Trong ký hiệu này, thanh dọc "|" có nghĩa là "sao cho", và mô tả có thể được hiểu là " F là tập hợp tất cả các số n sao cho n là một số nguyên trong phạm vi từ 0 đến 19". Một số tác giả sử dụng dấu hai chấm ":" thay cho thanh dọc.
Tập hợp có thể xác định bằng đệ quy. Chẳng hạn tập các số tự nhiên lẻ L có thể cho như sau:
1\in L
Nếu  n\in L thì  n+2\in L.
Tập hợp rỗng

Tập hợp rỗng là tập hợp duy nhất không có phần tử nào. Nó được ký hiệu là ∅ hoặc  \emptyset  hoặc { } hoặc ϕ (hoặc ϕ).
Tập hợp đơn điểm

Tập hợp đơn điểm là tập hợp có chính xác một phần tử; một tập hợp như vậy cũng có thể được gọi là một tập hợp đơn vị. Bất kỳ tập hợp nào như vậy có thể được viết dưới dạng {x}  , trong đó x là phần tử. Tập hợp {x} và phần tử x có nghĩa khác nhau; Halmos chỉ ra một phép tương tự rằng một chiếc hộp đựng một chiếc mũ không giống với chiếc mũ.
Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập A cũng có mặt trong B, thì A được mô tả là một tập con của B, hoặc được chứa trong B, được viết A ⊆ B, hoặc B ⊇ A. Kí hiệu thứ hai có thể được đọc là B chứa A, hoặc B bao gồm A. Các mối quan hệ giữa các tập hợp lập ra bởi ⊆ được gọi bao gồm hay chứa đựng. Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng chứa nhau: A ⊆ B và B ⊆ A tương đương với A = B.
Nếu A là tập con của B mà A không bằng B thì A được gọi là tập con thực sự của B. Điều này có thể được viết A ⊊ B. Tương tự như vậy, B ⊋ A có nghĩa là B là một tập hợp chứa thực sự của A, tức là B chứa A, và không bằng A.
Cặp toán tử thứ ba ⊂ và ⊃ được các tác giả khác nhau sử dụng khác nhau: một số tác giả sử dụng A ⊂ B và B ⊃ A có nghĩa là A là bất kỳ tập con nào của B (và không nhất thiết phải là tập hợp con thực sự), trong khi những người khác chỉ viết A ⊂ B và B ⊃ A khi mà A là một tập hợp con thực sự của B.
Sơ đồ Euler và sơ đồ Venn

Sơ đồ Euler là một biểu diễn đồ họa của một tập hợp các tập hợp; mỗi tập hợp được mô tả như một vùng phẳng được một vòng tròn bao quanh, với các phần tử của nó bên trong. Nếu A là một tập con của B, thì vùng đại diện cho A nằm hoàn toàn bên trong vùng đại diện cho B. Nếu hai tập hợp không có phần tử nào chung thì các vùng không giao nhau.
Ngược lại, một sơ đồ Venn là một biểu diễn đồ họa của n tập hợp, trong đó n vòng chia mặt phẳng thành 2n vùng sao cho mỗi cách chọn một số trong n tập hợp (có thể là tất cả hoặc không), có một vùng cho các phần tử thuộc về tất cả các tập hợp đã chọn và không thuộc về các tập hợp khác. Ví dụ, nếu các tập hợp là A, B và C, thì phải có một vùng cho các phần tử bên trong A và C và bên ngoài B (ngay cả khi các phần tử đó không tồn tại).
Các tập hợp số đặc biệt

Có những tập hợp có tầm quan trọng toán học, mà các nhà toán học đề cập đến thường xuyên, đến nỗi chúng có được những cái tên đặc biệt và các quy ước ký hiệu để xác định chúng.
Nhiều tập hợp quan trọng này được biểu diễn trong các văn bản toán học sử dụng chữ in đậm (ví dụ:  {\mathbf {Z}}) hoặc chữ viền đậm (ví dụ:  \mathbb {Z} ). Chúng bao gồm
{\mathbf {N}} hoặc  \mathbb {N} , tập hợp tất cả các số tự nhiên:  {\mathbf {N}}=\{0,1,2,3,...\}(thông thường các tác giả loại trừ 0 ra khỏi tập  \mathbb {N} );
{\mathbf {Z}} hoặc  \mathbb {Z} , tập hợp tất cả các số nguyên (cho dù là số dương, số âm hay số 0):  {\mathbf {Z}}=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\};
{\mathbf {Q}} hoặc  \mathbb {Q} , tập hợp tất cả các số hữu tỉ (nghĩa là tập hợp tất cả các phân số):  {\mathbf {Q}}=\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in {\mathbf {Z}},b\neq 0\right\}. Ví dụ, −7/4 ∈ Q
{\mathbf {R}} hoặc  \mathbb {R} , tập hợp tất cả các số thực bao gồm tất cả các số hữu tỉ và tất cả các số vô tỉ (bao gồm các số đại số chẳng hạn như  {\sqrt {2}} mà không thể viết dưới dạng phân số, cũng như các số siêu việt như π và e);
{\mathbf {C}}hoặc  \mathbb {C} , tập hợp của tất cả các số phức: C = {a + bi | a, b ∈ R}, ví dụ 1 + 2i ∈ C.
Mỗi tập hợp số trên có vô số phần tử. Mỗi tập hợp là một tập hợp con của các tập hợp được liệt kê bên dưới nó.
Tập hợp các số dương hoặc âm đôi khi được biểu thị bằng dấu cộng và dấu trừ tương ứng. Ví dụ,  \mathbf {Q} ^{+} biểu thị tập hợp các số hữu tỉ dương.
Hàm số

Một hàm số (hoặc ánh xạ) từ tập hợp A đến tập hợp B là một quy tắc gán cho mỗi phần tử "đầu vào" của A một "đầu ra" là phần tử của B ; chính thức hơn, một hàm là một loại quan hệ đặc biệt, một quan hệ liên quan mỗi phần tử của A với chính xác một phần tử của B. Một hàm được gọi là
đơn ánh nếu nó ánh xạ bất kỳ hai phần tử khác nhau của A với các phần tử khác nhau của B ,
toàn ánh nếu với mọi phần tử của B, có ít nhất một phần tử của A ánh xạ tới nó, và
song ánh nếu hàm vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh - trong trường hợp này, mỗi phần tử của A được nối với một phần tử duy nhất của B và mỗi phần tử của B được nối với một phần tử duy nhất của A, và không có phần tử chưa được ghép nối.
Các phép toán cơ bản > Các định nghĩa

Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A  \cup  B
Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A  \cap  B
Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu  A\setminus B
Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A \subset B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu CAB (hay CB A)
Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang xét đều là tập con của một tập hợp U (được gọi là tập vũ trụ-đôi khi có nghĩa như trường hay không gian - trong vật lý; hay cũng gọi là tập phổ dụng, giống như trong đại số phổ dụng), người ta thường xét phần bù của mỗi tập A, B, C,... đang xét trong tập U, khi đó ký hiệu phần bù không cần chỉ rõ U mà ký hiệu đơn giản là CA,CB,... hoặc  {\overline {A}},  {\overline {B}}...
Các phép toán cơ bản > Các tính chất cơ bản

Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau:
Luật luỹ đẳng:
Phát biểu: giao hoặc hợp của một tập hợp với chính nó cho kết quả là chính nó. Mặt khác, hợp của một tập với phần bù của nó cũng là chính nó nhưng giao của một tập với phần bù của nó lại là một tập rỗng.
Luật hấp thụ (còn gọi là luật bao hàm):
Luật giao hoán:
Luật kết hợp:
Luật phân phối:
Luật De Morgan:
Các phép toán cơ bản > Tích Descartes

Một tập hợp mới có thể được xây dựng bằng cách liên kết mọi phần tử của một tập hợp với mọi phần tử của một tập hợp khác. Tích Descartes của hai tập A và B, ký hiệu là A × B, là tập hợp của tất cả các cặp có thứ tự (a, b) sao cho a là phần tử của A và b là phần tử của B.
Ví dụ:
{1, 2} × {red, white, green} = {(1, red), (1, white), (1, green), (2, red), (2, white), (2, green)}.
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
{a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.
Một số tính chất cơ bản của tích Descartes:
A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
Cho A và B là các tập hữu hạn; thì lực lượng của tích Descartes là tích của các lực lượng:
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.
Lực lượng

Bài chi tiết: Lực lượng (tập hợp)
Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về .
Khái quát hoá khái niệm số lượng phần tử của các tập hợp hữu hạn là khái niệm lực lượng của tập hợp (Cardinality).
Hai tập hợp được gọi là có cùng lực lượng nếu có một song ánh giữa chúng. Các tập hợp hữu hạn có cùng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử theo nghĩa thông thường.
Khác biệt cơ bản của các tập hữu hạn với các tập vô hạn là mọi tập hữu hạn không có cùng lực lượng với một tập con thực sự của nó. Đối với các tập hợp vô hạn thì không phải như vậy. Sau đây là một vài ví dụ đơn giản:
Tập con  \mathbb {N} \setminus \{0\} là tập con thực sự của  \mathbb {N} , tuy nhiên ta có thể kiểm tra ánh xạ sau là song ánh hay không:
Nghĩa là chúng có cùng lực lượng.
Georg Cantor đã chứng minh rằng không thể có một song ánh giữa tập các số tự nhiên và tập hợp các số thực, vì thế lực lượng của tập hợp số tự nhiên là "nhỏ hơn" lực lượng của tập số thực. Các tập có cùng lực lượng với tập số tự nhiên được gọi là các tập đếm được, các tập hợp có cùng lực lượng với tập số thực được gọi là tập có lực lượng continuum.
Phân hoạch

Bài chi tiết: Phân hoạch tập hợp
B(E) là tập các bộ phận của tập E. 


Khi đó, P gọi là 1 phân hoạch của E ( Une Partition d'ensemble E ) nếu:
P là một bộ phận của B(E).
Với mọi tập Ai của \in  P, Ai ≠  \emptyset
Với mọi phần tử Ai ≠ Aj  \in  P, Ai  \cap  Aj =  \emptyset
Với mọi phần tử x  \in  E, luôn tìm thấy phần tử A của P sao cho x là phần tử của \in  A. (Nói cách khác hợp tất cả các phần tử Ai của P ta được E)
Ví dụ: E = {a,b,c}.

P={{a},{b,c}} là 1 phân hoạch của E. Vì:
P là một bộ phận của B(E) (Hiển nhiên).
Xét tất cả các phần tử của P:  A1 = {a} ≠  \emptyset  và A2 = {b,c} ≠  \emptyset
{a}  \cap  {b,c} =  \emptyset
{a} U {b,c} = E