Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian trong vật lý thiên văn > Sóng hấp dẫn

Khi coi hệ phương trình trường Einstein (281) là một tập các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến bậc hai sẽ không dễ để nhận ra phương trình có chứa các nghiệm hoạt động như dạng sóng. Quả thực, khái niệm sóng hấp dẫn viết dưới dạng nghiệm của phương trình trường Einstein là phương trình sóng đồng nhất và tuyến tính chỉ đúng dưới một số giả sử nhất định, như không thời gian chân không và tiệm cận phẳng, với chế độ tuyến tính hóa và chuẩn phù hợp (suitable gauge). Nếu loại bỏ những giả sử này, định nghĩa về sóng hấp dẫn trở lên khó hơn nhưng vẫn là có thể được. Tuy nhiên cũng nên chú ý rằng trong trường hợp này sóng hấp dẫn vẫn không phải là trường hợp kỳ lạ. Thực tế, bất kỳ hiện tượng kiểu sóng nào có thể miêu tả dưới dạng phương trình sóng thuần nhất chỉ trong một số giả sử đơn giản hóa, như đòi hỏi một nền đồng đều cho trường lan truyền như một sóng.
Những suy sét này gợi cho việc tìm kiếm nghiệm kiểu sóng đối với phương trình trường Einstein là nên thử trong một không thời gian có độ cong rất nhỏ và nguyên tố đoạn là của không thời gian phẳng nhưng có độ lệch độ cong không thời gian
nơi chế độ tuyến tính hóa được đảm bảo bằng điều kiện  |h_{\mu \nu }|<\!\!<1. Trước khi viết phiên bản tuyến tính hóa của phương trình (218) ta cần phải đưa ra dạng tuyến tính hóa của ký hiệu Christoffel. Trong cơ sở tọa độ Decartes, chúng ta nhớ lại biểu thức tổng quát cho liên thông affine cho bởi phương trình (165) với đạo hàm từng phần được tính trực tiếp bằng
Do vậy ký hiệu Christoffel dưới dạng tuyến tính hóa viết thành
Chú ý rằng thao tác nâng và hạ chỉ số trong biểu thức (279) không thực hiện qua các mêtric  g_{\mu \nu },g^{\mu \nu } mà qua các mêtric không thời gian  \eta _{\mu \nu },\eta ^{\mu \nu }. Đây chỉ là hệ quả của xấp xỉ tuyến tính và mặc dù thế, không thời gian thực sự là cong.
Một khi ký hiệu Christoffel dạng tuyến tính hóa đã được tính toán, biểu thức cho tenxơ Ricci dạng tuyến tính cũng sẽ tìm được
trong đó
là vết của phần nhiễu loạn mêtric. Độ cong vô hướng Ricci khi đó bằng
Sử dụng các kết quả của (281) và (282), phương trình trường Einstein (218) viết lại dưới dạng tuyến tính hóa là
Mặc dù đã là dạng tuyến tính hóa, phương trình Einstein (283) dường như chưa cho thấy dạng của phương trình sóng. Để làm điều này, chúng ta cần thực hiện thêm một biến đổi nữa, đưa phương trình về dạng gọn hơn, bằng cách sử dụng "tenxơ vết tự do" định nghĩa bằng
với toán tử gạch ngang mũ trong (284) có thể áp dụng cho bất kỳ tenxơ đối xứng nào, ví dụ  {\bar {R}}_{\mu \nu }=G_{\mu \nu } và lặp lại  {\bar {{\bar {h}}_{\mu \nu }}}=h_{\mu \nu }. Sử dụng biến đổi này, phương trình Einstein (283) viết thành dạng gọn hơn
với số hạng thứ nhất trong vế trái của phương trình (285) có thể dễ dạng nhận ra đó là toán tử d'Alembert  \partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }{\bar {h}}_{\mu \nu }=\Box {\bar {h}}_{\mu \nu }. Đến bước này, có thể khai thác tính tự do chuẩn (gauge freedom) của thuyết tương đối rộng để viết lại phương trình (285) thành dạng thuận tiện hơn. Cụ thể, nhờ chuẩn tự do cho phép chọn phần nhiễu loạn mêtric  h_{\mu \nu } bị loại bỏ trong phương trình (285) và thu được phương trình dạng sóng. Nổi bật nhất là, phần nhiễu loạn của mêtric có thể được chọn sao cho
Nhờ biến đổi chuẩn (286), còn gọi là chuẩn Lorenz (hay chuẩn Hilbert), phương trình trường tuyến tính hóa thu được
và áp dụng đối với chân không
Phương trình (288) chỉ ra rằng, trong chuẩn Lorenz, phần mêtric nhiễu loạn lan truyền như dạng sóng làm biến dạng không thời gian phẳng.
Nghiệm đơn giản nhất của phương trình Einstein tuyến tính hóa (288) đó là nghiệm sóng phẳng có phương trình
và tất nhiên chúng ta chỉ quan tâm tới phần thực của (289) với A là tenxơ biên độ sóng,  \kappa  là bốn-vectơ trống tức là nó thỏa  \kappa ^{\alpha }\kappa _{\alpha }=0. Trong những nghiệm như thế, sóng phẳng (289) lan truyền trong hướng không gian  {\overrightarrow {k}}=(\kappa _{x},\kappa _{y},\kappa _{z})/\kappa _{0} với tần số  \omega =\kappa ^{0}=(\kappa _{j}\kappa ^{j})^{1/2}. Chú ý rằng tenxơ biên độ A về nguyên lý có 16 - 6 = 10 thành phần độc lập, nhưng dễ dàng nhận thấy chỉ có hai thành phần độc lập tương ứng với bậc tự do động lực của thuyết tương đối tổng quát. Sự giảm số lượng thành phần độc lập có thể giải thích một cách đơn giản. Đầu tiên, A và  {\boldsymbol {\kappa }} không thể tùy ý nếu chúng được dùng để miêu tả một sóng phẳng, kết quả là điều kiện trực giao giữa hai đại lượng sẽ giới hạn 4 trong 10 thành phần của A (xem điều kiện (a) ở bên dưới). Thứ hai, đó là chuẩn Lorenz toàn cục đã được chọn (phương trình (286)) điều này không hoàn toàn cố định hệ tọa độ của lý thuyết tuyến tính. Phần chưa rõ còn lại, thực chất được bảo tồn thông qua sự thay đổi chuẩn tùy ý (arbitrary gauge change), thông qua phép biến đổi tọa độ vô cùng bé mà không bị giới hạn hoàn toàn ngay cả khi một chuẩn toàn cục đã được chọn. Để đánh giá đúng hơn điều này, xét một biến đổi tọa độ vô cùng bé bởi một bốn-vectơ dịch chuyển vô cùng bé  {\boldsymbol {\xi }}
Áp dụng biến đổi này đối với mêtric (277) tạo ra một tenxơ mêtric mới, mà đối với bậc thấp nhất có dạng
do vậy nhiễu loạn "mới" và "cũ" được liên hệ bởi biểu thức sau
hay cách khác
Để hệ tọa độ mới thỏa mãn điều kiện chuẩn Lorenz (277)  \partial ^{\alpha }{\bar {h}}_{\mu \alpha }^{new}=0, đòi hỏi bốn vectơ dịch chuyển là nghiệm của phương trình sóng thuần nhất
Kết quả là vectơ sóng phẳng với thành phần
thông qua bốn-hằng số bất kỳ  C^{\alpha }, sinh ra biến đổi chuẩn làm thay đổi bốn thành phần tùy ý của A cùng với điều kiện  {\boldsymbol {A.\kappa }}=0. Do vậy,  A_{\mu \nu } chỉ còn 10 - 4 - 4 = 2 thành phần độc lập tuyến tính, tương ứng với số bậc tự do trong thuyết tương đối rộng. Chú ý rằng những xem xét này không phải là duy nhất đối với thuyết tương đối rộng và những lập luận tương tự cũng có thể thực hiện đối với điện động lực học cổ điển, nơi phương trình Maxwell là bất biến dưới phép biến đổi thế vectơ (vector potential) kiểu  A_{\mu }\rightarrow A_{\mu '}=A_{\mu }+\partial _{\mu }\Psi  với  \Psi  là một hàm vô hướng bất kỳ, do vậy tenxơ điện từ tương ứng sẽ là  F_{\mu '\nu '}^{new}=\partial _{\nu '}A_{\mu '}-\partial _{\mu '}A_{\nu '}=F_{\mu '\nu '}^{old}. Tương tự, trong lý thuyết tuyến tính hóa thuyết tương đối rộng, biến đổi chuẩn trong (292) sẽ bảo tồn các thành phần của tenxơ Riemann  R_{\alpha \beta \mu \nu }^{new}=R_{\alpha \beta \mu \nu }^{old}+{\mathcal {O}}(R^{2}).
Tổng kết lại, cách thuận tiện để giới hạn các thành phần của tenxơ biên độ thông qua các điều kiện sau: