Phương trình

Phương trình là một biểu thức toán học có chứa các biến số và các phép toán, trong đó các giá trị của các biến được tìm kiếm để làm cho cả biểu thức trở thành một phép tính đúng. Phương trình thường chứa dấu bằng (=), biểu thị sự bằng nhau giữa hai biểu thức. Mục tiêu của việc giải phương trình là tìm ra các giá trị của các biến để biểu thức trở nên đúng và có nghĩa. Có nhiều loại phương trình khác nhau, bao gồm phương trình đại số, phương trình vi phân, phương trình vi phân tử và nhiều hơn nữa. Phương trình được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như toán học, khoa học, kỹ thuật và kinh tế.
Phương trình một ẩn đầu tiên là 14x + 15 = 71. Xuất hiện trong The Whetstone of Witte của Robert Recorde xứ Wales (1557).
Trong toán học, phương trình là một từ biểu thị sự bằng nhau giữa hai biến (mối quan hệ giữa các biến số). Phương trình trong các ngôn ngữ khác nhau có thể có nhiều ý nghĩa khác nhau; ví dụ, trong tiếng Pháp, từ "équation" có nghĩa là đẳng thức chứa một hoặc nhiều biến; còn trong tiếng Anh, từ "equation" có nghĩa là bất kỳ đẳng thức nào.
Giải một phương trình chứa biến là việc xác định giá trị của các biến làm cho đẳng thức trở nên đúng. Biến còn được gọi là ẩn số, các giá trị của ẩn số thỏa mãn được gọi là nghiệm của phương trình. Có hai loại phương trình là đồng nhất thức và phương trình có điều kiện. Một đồng nhất thức đúng với tất cả các giá trị của biến còn phương trình có điều kiện chỉ đúng với các giá trị nhất định của các biến số, hoặc không đúng với giá trị nào (còn gọi là phương trình vô nghiệm).
Một phương trình được viết dưới dạng hai biểu thức, nối với nhau bằng dấu bằng (=). Biểu thức nằm phía bên trái dấu bằng còn được gọi là "vế trái", còn biểu thức nằm phía bên phải dấu bằng còn được gọi là "vế phải".
Loại phương trình phổ biến nhất là phương trình đại số, trong đó hai vế là các biểu thức đại số. Mỗi bên của một phương trình đại số chứa một hoặc nhiều số hạng. Ví dụ, phương trình  Ax^{2}+Bx+C=y có vế trái là  Ax^{2}+Bx+C với ba hạng tử, và vế phải là y chỉ có một số hạng. Các ẩn số là x và y, còn A, B, C là các tham số.
Để biến đổi một phương trình mà không làm thay đổi tập nghiệm của nó, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia giống nhau phải được thực hiện trên cả hai vế của một phương trình.
Trong hình học, phương trình được sử dụng để mô tả các hình dạng khác nhau. Các phương trình chẳng hạn như phương trình ẩn hoặc phương trình tham số có vô số nghiệm và thay vì xác định cụ thể các nghiệm hoặc liệt kê chúng, người ta sử dụng phương trình để nghiên cứu tính chất của những hình dạng. Đây là ý tưởng khởi đầu của hình học đại số, một lĩnh vực quan trọng của toán học.
Đại số nghiên cứu hai loại phương trình chính là phương trình đa thức và phương trình tuyến tính. Khi chỉ có một biến, phương trình đa thức có dạng P(x) = 0, trong đó P(x) là một đa thức; còn phương trình tuyến tính có dạng ax + b = 0, trong đó a và b là các tham số. Để giải các phương trình dạng này, người ta sử dụng các kỹ thuật hình học hoặc thuật toán bắt nguồn từ giải tích hoặc đại số tuyến tính. Đại số cũng nghiên cứu phương trình Diophantos trong đó các hệ số và nghiệm là các số nguyên. Có nhiều kỹ thuật khác nhau được sử dụng, chủ yếu đến từ lý thuyết số.
Phương trình vi phân là phương trình liên quan đến một hoặc nhiều hàm và đạo hàm của chúng. Chúng được giải khi ta tìm được một biểu thức cho hàm không phụ thuộc vào đạo hàm của nó. Phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa các quá trình liên quan đến tốc độ thay đổi của biến số và được sử dụng trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế.
Ký hiệu "=" xuất hiện trong mọi phương trình, được phát minh vào năm 1557 bởi Robert Recorde, người cho rằng không gì bằng nhau hơn hai đường thẳng song song có cùng độ dài.