Cơ học lượng tử
Khuôn khổ toán học

Bài chi tiết: Phát biểu toán học của cơ học lượng tử
Trong khuôn khổ toán học chặt chẽ của cơ học lượng tử, trạng thái của một hệ cơ học lượng tử là một vectơ  \psi  trong một không gian Hilbert phức (tách được)  {\mathcal {H}}. Vectơ này được chuẩn hóa dưới phép toán tích vô hướng của không gian Hilbert, nghĩa là nó thỏa mãn  \langle \psi ,\psi \rangle =1, và nó được xác định rõ theo một số phức có mô đun bằng 1 (trạng thái toàn cục), tức là  \psi  và  e^{i\alpha }\psi  biểu diễn cùng một hệ vật lý. Nói cách khác, các trạng thái khả dĩ là các điểm trong không gian xạ ảnh của không gian Hilbert, thường gọi là không gian xạ ảnh phức. Bản chất chính xác của không gian Hilbert này phụ thuộc vào hệ – chẳng hạn, để miêu tả vị trí và xung lượng không gian Hilbert là không gian hàm phức bình phương khả tích (square-integrable function)  L^{2}(\mathbb {C} ), trong khi không gian Hilbert cho spin của một proton đơn lẻ chỉ đơn giản là không gian vectơ phức hai chiều  \mathbb {C} ^{2} được trang bị một tích vô hướng thông thường.
Các đại lượng vật lý quan tâm – vị trí, xung lượng, năng lượng, spin – được biểu diễn bằng các đại lượng quan sát được, gọi là các toán tử tuyến tính Hermit (chính xác hơn, toán tử tự liên hợp) tác dụng trên không gian Hilbert. Một trạng thái lượng tử là một vectơ riêng của một đại lượng quan sát được, trong trường hợp nó được gọi là trạng thái riêng, và giá trị riêng đi kèm tương ứng với giá trị của đại lượng quan sát được trong trạng thái riêng đó. Tổng quát hơn, một trạng thái lượng tử sẽ là tổ hợp tuyến tính của các trạng thái riêng, hay gọi là chồng chập lượng tử. Khi một đại lượng quan sát được được đo, kết quả đo sẽ là một trong các giá trị riêng của nó với xác suất cho bởi quy tắc Born: trong trường hợp đơn giản nhất giá trị riêng  \lambda  không suy biến và xác suất được cho bởi  |\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}, với  {\vec {\lambda }} là vectơ riêng kết hợp của nó. Trong trường hợp tổng quát, giá trị riêng là suy biến và xác suất được cho bởi  \langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle , với  P_{\lambda } là toán tử hình chiếu trên không gian riêng tương ứng của nó. Trong trường hợp liên tục, các công thức này thay vào đó sẽ cho mật độ xác suất.
Sau khi thực hiện phép đo, nếu nhận được kết quả  \lambda , thì trạng thái lượng tử được cho là suy sập thành  {\vec {\lambda }} trong trường hợp không suy biến, hoặc thành  P_{\lambda }\psi /{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }} trong trường hợp tổng quát. Bản chất xác suất của cơ học lượng tử do vậy có nguồn gốc từ tác động của phép đo. Đây là một trong những khía cạnh khó hiểu nhất của cơ học lượng tử. Nó là chủ đề trung tâm trong cuộc tranh luận Bohr–Einstein nổi tiếng, khi hai nhà vật lý học cố gắng hiểu rõ những nguyên lý cơ bản này bằng các thí nghiệm tưởng tượng. Trong hàng thập kỷ kể từ khi hình thành cơ học lượng tử, câu hỏi về cái gì tạo lên một "phép đo" đã được nghiên cứu rộng rãi. Các giải thích mới về cơ học lượng tử đã được đưa ra theo cách khác so với quan điểm "suy sập hàm sóng" (ví dụ như cách giải thích đa thế giới). Ý tưởng cơ bản đó là khi một hệ lượng tử tương tác với một thiết bị đo, hàm sóng tương ứng của nó trở lên vướng víu do đó hệ lượng tử ban đầu mất đi sự tồn tại như là một thực thể độc lập. Về chi tiết, xem bài viết về phép đo trong cơ học lượng tử.
Sự tiến triển theo thời gian của một hệ lượng tử được miêu tả bằng phương trình Schrödinger:
Ở đây  H là toán tử Hamilton, đại lượng quan sát được tương ứng với tổng năng lượng của hệ, và  \hbar  là hằng số Planck thu gọn. Hằng số  i\hbar  được đưa ra sao cho toán tử Hamilton trong cơ học lượng tử trở thành toán tử Hamilton cổ điển trong trường hợp hệ lượng tử có thể xấp xỉ bằng một hệ cổ điển; với khả năng có thể thực hiện được những phép xấp xỉ như thế trong một số giới hạn nhất định được gọi là nguyên lý tương ứng.
Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính trên được cho bởi:
Toán tử  U(t)=e^{-iHt/\hbar } được gọi là toán tử tiến triển theo thời gian, và nó có một tính chất quan trọng đó là tính unita. Sự tiến triển thời gian này là tất định theo nghĩa – khi cho một trạng thái lượng tử ban đầu  \psi (0) – có thể dự đoán được cụ thể trạng thái lượng tử  \psi (t) ở thời gian bất kỳ sau đó.
Một số hàm sóng có phân bố xác suất độc lập với thời gian, như trạng thái riêng của Hamiltonian. Nhiều hệ có tính động lực trong cơ học cổ điển được miêu tả bằng những hàm sóng tĩnh như thế. Ví dụ, một electron ở trạng thái bình thường trong nguyên tử được hình dung theo cách cổ điển như là một hạt chuyển động tròn trên quỹ đạo quanh hạt nhân nguyên tử, trong khi đó ở cơ học lượng tử, nó được miêu tả bằng một hàm sóng tĩnh (không phụ thuộc thời gian) bao quanh hạt nhân. Ví dụ, hàm sóng cho electron đối với một nguyên tử hydro ở trạng thái bình thường là một hàm đối xứng cầu gọi là orbital s (Hình 1).
Có ít các nghiệm giải tích của phương trình Schrödinger được biết một cách chính xác, chúng chủ yếu là nghiệm của các mô hình Hamilton tương đối đơn giản bao gồm dao động tử điều hòa lượng tử (quantum harmonic oscillator), hạt trong một hộp, cation hydro phân tử, và nguyên tử hydro. Ngay cả với nguyên tử heli – mà chỉ chứa có hai electron – hiện vẫn chưa có nghiệm giải tích chính xác miêu tả cho hệ này.
Tuy vậy đã có những kỹ thuật để tìm các nghiệm xấp xỉ. Một phương pháp gọi là lý thuyết nhiễu loạn, sử dụng kết quả giải tích của một một hình cơ học lượng tử đơn giản nhằm tạo ra kết quả cho những mô hình liên quan phức tạp hơn (chẳng hạn) bằng cách thêm vào một thế năng yếu. Một phương pháp khác gọi là "phương trình chuyển động bán cổ điển", áp dụng cho các hệ mà cơ học lượng tử chỉ tạo ra những chênh lệch nhỏ so với hệ cổ điển. Những chênh lệch nhỏ này khi ấy có thể được tính từ những chuyển động cổ điển. Cách tiếp cận này đặc biệt quan trọng trong lý thuyết hỗn loạn lượng tử (quantum chaos).