stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Emmy Noether
Tiểu sử > Qua đời

Tháng 4 năm 1935 các bác sĩ phát hiện một khối u trong xương chậu của Noether. Lo lắng về cần phải phẫu thuật phức tạp, đầu tiên họ yêu cầu bà nghỉ ngơi hai ngày nằm trên giường. Trong lúc phẫu thuật họ phát hiện ra khối u nang buồng trứng "to như quả dưa vàng". Hai khối u nhỏ hơn trong tử cung dường như đang hình thành và không được cắt bỏ để tránh thời gian phẫu thuật không kéo dài. Trong ba ngày bà hồi phục một cách bình thường, và bà khôi phục nhanh chóng sau khi hệ tuần hoàn bị hư hại trong ngày thứ tư. Ngày 14 tháng 4 bà rơi vào hôn mê, nhiệt độ cơ thể lên cao 109 °F (42,8 °C), và đã không qua khỏi. "Thật khó dễ dàng để nói rằng điều gì đã xảy ra với tiến sĩ Noether", một thầy thuốc viết. "Có thể đây là một trường hợp bất thường và bị nhiễm do nguyên nhân vi rút, tấn công vào trung tâm não nơi được cho chịu nhiệt độ cao."
Vài ngày sau khi Noether qua đời, đồng nghiệp và bạn bè ở Bryn Mawr tổ chức một lễ tưởng niệm nhỏ ở nhà của ông chủ tịch trường. Hermann Weyl và Richard Brauer đến từ Princeton và nói chuyện với Wheeler và Taussky về người đồng nghiệp đã khuất. Trong những tháng sau đó, nhiều bài văn tưởng niệm dần xuất hiện trên toàn cầu: Albert Einstein cùng với Van der Waerden, Weyl, và Pavel Alexandrov đều tỏ lòng thương tiếc bà. Thi thể bà được hỏa thiêu và tro được rải dưới hành lang của thư viện M. Carey Thomas ở Bryn Mawr.
Đóng góp cho toán học và vật lý

Điều đầu tiên và lớn nhất mà các nhà toán học nhớ về Noether đó là những công trình trong lĩnh vực đại số trừu tượng và tô pô học. Các nhà vật lý biết ơn bà với định lý nổi tiếng bởi những hệ quả rộng lớn của nó trong vật lý lý thuyết và hệ thống động lực. Bà chứng tỏ một xu hướng sắc bén cho tư duy trừu tượng cho phép bà tiếp cận các vấn đề toán học theo những cách mới và cơ bản. Người bạn và đồng nghiệp Hermann Weyl miêu tả đóng góp của bà theo ba giai đoạn:
Công trình khoa học của Emmy Noether chia thành ba kỷ nguyên rõ ràng:
(1) giai đoạn phụ thuộc tương đối, 1907–1919;

(2) khảo sát các nhóm xung quanh lý thuyết tổng quát về iđêan, 1920–1926;
(3) nghiên cứu đại số không giao hoán, biểu diễn chúng bằng các phép biến đổi tuyến tính, và những ứng dụng vào nghiên cứu các trường số giao hoán và số học.
—Weyl 1935
Trong kỷ nguyên đầu tiên (1907–19), Noether tập trung chủ yếu vào các bất biến đại số và bất biến vi phân, bắt đầu từ luận án của bà dưới sự hướng dẫn của Paul Gordan. Khi chân trời toán học của bà rộng mở, các công trình trở lên tổng quát hơn và trừu tượng hơn, như bà quen thuộc với các công trìn của David Hilbert, hay cộng tác với người kế nhiệm Gordan, giáo sư Ernst Sigismund Fischer. Sau khi chuyển đến Göttingen năm 1915, bà đã có đóng góp nền tảng vào lĩnh vực vật lý với hai định lý Noether.
Kỷ nguyên thứ hai (1920–26), Noether dành thời gian phát triển lý thuyết vành.
Trong kỷ nguyên thứ ba (1927–35), Noether tập trung cho đại số không giao hoán, các phép biến đổi tuyến tính và trường số giao hoán.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Bối cảnh lịch sử

Trong giai đoạn từ 1832 cho đến khi Noether qua đời năm 1935, lĩnh vực toán hoc—đặc biệt là đại số—trải qua một cuộc cách mạng sâu sắc, mà sự vang dội của nó vẫn còn truyền tới ngày nay. Những nhà toán học ở thế kỷ trước nghiên cứu dựa trên các phương pháp thực hành để giải quyết những loại phương trình cụ thể, ví dụ như phương trình bậc ba, bậc bốn, và phương trình bậc năm, cũng như bài toán liên quan đến dựng các đa giác đều sử dụng thước kẻ và compa. Mở đầu với chứng minh của Carl Friedrich Gauss năm 1832 rằng số nguyên tố như 5 có thể phân tích thành các số nguyên Gauss, Évariste Galois đưa ra nhóm hoán vị vào năm 1832 (mặc dù, bởi vì ông qua đời sớm, các bài viết của ông được Liouville công bố vào năm 1846), khám phá của William Rowan Hamilton về quaternion năm 1843, và định nghĩa hiện đại hơn của Arthur Cayley cho nhóm vào năm 1854, nghiên cứu chuyển sang xác định các tính chất của những hệ trừu tượng hơn xác định bởi những quy tắc phổ quát hơn. Đóng góp quan trọng nhất của Noether cho toán học đó là phát triển một lĩnh vực mới, đại số trừu tượng.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Bối cảnh lịch sử > Đại số trừu tượng và begriffliche Mathematik (toán học khái niệm) > Số nguyên như một ví dụ của vành

Các số nguyên tạo thành một vành giao hoán mà các phần tử là các số nguyên, và các phép toán là phép cộng và phép nhân. Bất kỳ cặp số nguyên nào có thể cộng hoặc nhân với nhau với kết quả luôn luôn là một số nguyên khác, và phép toán thứ nhất, phép cộng, có tính chất giao hoán tức là, đối với bất kỳ phần tử a và b thuộc vành, a + b = b + a. Phép toán thứ hai, phép nhân, cũng có tính chất giao hoán, nhưng điều này không cần phải thỏa mãn đối với các vành khác, có nghĩa là a kết hợp với b có thể khác khi b kết hợp với a. Ví dụ về các vành không giao hoán bao gồm ma trận và quaternion. Các số nguyên không tạo thành một vành chia, bởi vì phép toán thứ hai không luôn luôn khả nghịch; ví dụ không tồn tại số nguyên a sao cho 3 × a = 1.
Các số nguyên có thêm những tính chất khác mà có thể không thể tổng quát hóa cho mọi vành được. Một ví dụ quan trọng là định lý cơ bản của số học, nói rằng mỗi số nguyên dương có thể phân tích duy nhất thành tích các số nguyên tố. Sự phân tích duy nhất thành các nhân tử không phải lúc nào cũng đúng cho các vành khác, nhưng Noether tìm ra một định lý phân tích duy nhất, mà bây giờ gọi là định lý Lasker–Noether, đối với các iđêan của nhiều vành. Nhiều công trình của Noether đặt ra cách xác định tính chất nào thỏa mãn đối với mọi vành, theo cách tương tự đối với định lý cho các số nguyên, và xác định lên tập tối thiểu các giả sử cần thiết để thu được những tính chất nhất định của vành.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên đầu tiên (1908–19) > Lý thuyết Galois

Lý thuyết Galois đề cập tới các phép biến đổi của trường số làm hoán vị nghiệm của phương trình. Xét phương trình đa thức một biến x có bậc n, mà các hệ số của nó thuộc về tập hợp các trường nền, mà có thể là, ví dụ, trường các số thực, số hữu tỉ, hoặc số nguyên đồng dư 7. Có thể tồn tại hoặc không tồn tại x làm cho đa thức có giá trị bằng 0. Những lựa chọn này nếu tồn tại, được gọi là nghiệm của đa thức. Nếu đa thức là x2 + 1 và trường nền là số thực, thì đa thức vô nghiệm, bởi vì với bất kỳ x nào thì giá trị của đa thức luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Nếu trường nền là mở rộng, thì đa thức có thể có nghiệm, và nếu sự mở rộng này là đủ, thì số nghiệm của đa thức luôn luôn bằng số bậc của nó. Tiếp tục ví dụ ở trước, nếu trường được mở rộng tới trường số phức, thì đa thức có hai nghiệm i và −i, với i là đơn vị ảo, tức là i 2 = −1. Tổng quát hơn, trường mở rộng cho phép đa thức có thể phân tích thành các nghiệm của nó gọi là trường tách của đa thức.
Nhóm Galois của đa thức là tập hợp mọi cách biến đổi trường tách, trong khi vẫn bảo tồn trường nền và nghiệm của đa thức. (Trong ngôn ngữ toán học, những phép biến đổi này được gọi là phép tự đẳng cấu.) Nhóm Galois của x2 + 1 chứa hai phần tử: Phép biến đổi đồng nhất, mà biến mỗi số phức thành chính nó, và liên hợp phức, biến i thành −i. Do nhóm Galois không làm thay đổi trường nền, nó cũng không làm thay đổi các hệ số của đa thức, do vậy mọi nghiệm của đa thức cũng không bị thay đổi. Mỗi nghiệm có thể chuyển tới nghiệm kia, do vậy phép biến đổi chỉ làm hoán vị n nghiệm giữa chúng. Sự quan trọng của nhóm Galois rút ra từ định lý cơ bản của lý thuyết Galois, với kết quả là các trường nằm giữa trường nền và trường tách là tương ứng một một với các nhóm con của nhóm Galois.
Năm 1918, Noether công bố bài báo cột mốc về bài toán Galois nghịch đảo. Thay vì xác định nhóm Galois của các phép biến đổi đối với một trường và mở rộng của nó, Noether đặt ra câu hỏi liệu khi cho một trường và một nhóm, có thể luôn luôn tìm được một mở rộng trường mà sinh ra nhóm như nhóm Galois của nó. Bà thu hẹp vấn đề này thành "bài toán Noether", với câu hỏi liệu trường cố định của một nhóm con G của nhóm hoán vị Sn tác dụng lên trường k(x1,..., xn) luôn luôn là mở rộng siêu việt thuần túy của trường k. (Lần đầu tiên bà đề cập đến vấn đề này trong bài báo năm 1913, trong đó bà quy vấn đề cho đồng nghiệp Fischer.) Bà chứng tỏ bài toán này đúng với n = 2, 3, hay 4. Năm 1969, R. G. Swan tìm thấy một phản ví dụ đối với bài toán Noether, với n = 47 và G là nhóm xiclic có bậc 47 (mặc dù nhóm này có thể coi như nhóm Galois của số hữu tỉ theo cách đánh giá khác). Bài toán Galois nghịch đảo vẫn chưa được giải quyết triệt để cho tới nay.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên đầu tiên (1908–19) > Vật lý học

Bài chi tiết: Định lý Noether và Định luật bảo toàn
Noether chuyển đến Göttingen vào năm 1915 theo lời mời của David Hilbert và Felix Klein, khi họ muốn năng lực liên quan đến lý thuyết bất biến của bà giúp họ hiểu được thuyết tương đối tổng quát, lý thuyết hình học về lực hấp dẫn phát triển chủ yếu bởi Albert Einstein. Hilbert nhận thấy định luật bảo toàn năng lượng dường như bị vi phạm trong thuyết tương đối rộng, do thực tế là năng lượng hấp dẫn tự nó cũng đóng góp vào nguồn của trường hấp dẫn. Noether đã đưa ra biện pháp giải quyết cho nghịch lý này, và nó trở thành một công cụ cơ bản cho vật lý lý thuyết hiện đại, với định lý Noether thứ nhất, mà bà chứng minh vào năm 1915 nhưng không công bố cho tới tận năm 1918. Bà không những giải quyết vấn đề này trong thuyết tương đối tổng quát, mà còn xác định ra những đại lượng bảo toàn cho mọi hệ tuân theo các định luật vật lý mà tương ứng với các đối xứng liên tục.
Khi tiếp nhận công trình của bà, Einstein viết cho Hilbert: "Hôm qua tôi nhận được từ cô Noether một bài báo rất tuyệt về bất biến. Tôi bị ấn tượng rằng những thứ này có thể được hiểu theo cách tổng quát như thế. Người bảo vệ già ở Göttingen nên được học một số bài học từ cô Noether! Cô dường như biết được bí quyết của mình."
Để minh họa, nếu một hệ vật lý hành xử giống nhau bất kể nó hướng như thế nào trong không gian, thì định luật vật lý mà chi phối nó là dạng đối xứng quay; từ đối xứng này, định lý chỉ ra rằng mô men động lượng của hệ phải được bảo toàn. Hệ vật lý tự nó không cần thiết phải có dạng đối xứng; ví như một tiểu hành tinh hình dạng bất thường trôi nổi trong vũ trụ vẫn tuân theo định luật bảo toàn mô men động lượng mặc dù hình dáng không đối xứng của nó. Hơn thế, sự đối xứng của các định luật vật lý chi phối hệ là lý do chịu trách nhiệm cho các định luật bảo toàn. Một ví dụ khác, nếu một thí nghiệm vật lý có cùng kết quả ở bất kỳ vị trí nào trong không gian và thời gian, thì định luật chi phối thí nghiệm là đối xứng với các phép tịnh tiến liên tục trong không gian và thời gian; và theo định lý Noether, những đối xứng này lần lượt tương ứng với các định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng cho thí nghiệm.
Định lý Noether đã trở thành một công cụ cơ bản của vật lý lý thuyết hiện đại, bởi nó không những liên hệ các đối xứng liên tục với các định luật bảo toàn mà còn trở thành một công cụ tính toán trong thực hành. Định lý của bà cho phép các nhà nghiên cứu xác định các đại lượng bảo toàn từ những đối xứng quan sát thấy của hệ vật lý. Ngược lại, nó cho phép miêu tả một hệ vật lý dựa trên hiểu biết về những định luật bảo toàn. Ví dụ, giả sử một hiện tượng vật lý mới được khám phá. Lúc này định lý Noether cung cấp phép thử cho mô hình lý thuyết nhằm giải thích cho hiện tượng này: nếu lý thuyết có một đối xứng liên tục thì định lý Noether đảm bảo rằng trong lý thuyết phải có một đại lượng bảo toàn, và nếu lý thuyết là đúng thì sự bảo toàn nà phải quan sát thấy được trong thí nghiệm hoặc trong hiện tượng đó.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên thứ hai (1920–26)

Mặc dù các kết quả trong kỷ nguyên thứ nhất của Noether là ấn tượng và có ích, sự nổi tiếng của bà với vai trò là nhà toán học nằm chủ yếu ở những công trình đột phá trong kỷ nguyên thứ hai và thứ ba, như Hermann Weyl và B. L. van der Waerden nêu trong điếu văn của họ về bà.
Trong hai kỷ nguyên này, bà không chỉ áp dụng các ý tưởng và phương pháp của những nhà toán học tiền bối; hơn thế bà đã tạo ra những hệ thống mới các định nghĩa toán học mà các nhà toán học tương lai sẽ sử dụng. Đặc biệt, bà phát triển một lý thuyết hoàn toàn mới về các i đê an trong lý thuyết vành mà tổng quát hóa công trình trước đó của Richard Dedekind. Bà cũng nổi tiếng với việc phát triển điều kiện dây chuyền tăng (ascending chain conditions), một điều kiện đơn giản không hữu hạn mà thu được những kết quả mạnh trong công trình của bà. Những điều kiện này và lý thuyết i đê an cho phép Noether có thể tổng quát hóa nhiều kết quả cũ trước đây và giải quyết các bài toán còn tồn tại theo một khuôn khổ mới, chẳng hạn như các vấn đề của lý thuyết loại trừ (elimination theory) và các đa tạp đại số (algebraic variety) mà cha bà đã nghiên cứu trước đó.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên thứ hai (1920–26) > Vành giao hoán, iđêan, và mô đun

Bài báo của Noether, Idealtheorie in Ringbereichen (Lý thuyết i đê an trong miền vành, 1921), là cơ sở cho lý thuyết vành giao hoán tổng quát, và là một trong những định nghĩa tổng quát đầu tiên của vành giao hoán. Trước bài báo này, đa số kết quả trong đại số giao hoán bị giới hạn trong những ví dụ đặc biệt của vành giao hoán, như vành đa thức trên trường hoặc vành của số nguyên đại số. Noether chứng tỏ rằng trong một vành mà thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng trên các i đê an, mỗi i đê an được sản sinh một cách hữu hạn. Năm 1943, nhà toán học Pháp Claude Chevalley đưa ra thuật ngữ, vành Noether để miêu tả tính chất này. Một kết quả lớn trong bài báo năm 1921 của Noether là định lý Lasker–Noether, nó mở rộng định lý Lasker về phân hoạch cơ bản của i đê an của vành đa thức cho mọi vành Noether. Định lý Lasker–Noether có thể coi như là sự tổng quát hóa của định lý cơ bản của số học mà nói rằng bất kỳ số nguyên dương nào có thể biểu diễn thành tích của các số nguyên tố, và sự phân tích này là duy nhất.
Công trình của Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Cấu trúc trừu tượng của lý thuyết i đê an trong lĩnh vực số đại số và trường hàm, 1927) đặc trưng hóa vành mà trong nó các i đê an có thể phân tích duy nhất thành các i đê an nguyên tố như miền Dedekind: miền tích phân là Noetherian, 0 hoặc 1-chiều, và tích phân đóng trong trường thương của chúng. Bài báo này cũng chứa cái mà bây giờ gọi là định lý đẳng cấu, miêu tả một số đẳng cấu tự nhiên cơ bản, và một số kết quả cơ bản khác trên mô đun Noetherian và mô đun Artinian.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên thứ hai (1920–26) > Lý thuyết loại trừ

Năm 1923–24, Noether áp dụng lý thyết vành của bà cho lý thuyết loại trừ—trong khi bà hướng dẫn cho sinh viên Kurt Hentzelt—chứng tỏ rằng các định lý cơ bản về nhân tử hóa đa thức có thể thực hiện một cách trực tiếp. Thông thường, lý thuyết loại trừ được xem xét với sự loại trừ một hoặc nhiều biến từ một hệ phương trình đa thức, thường theo phương pháp của kết thức. Để minh họa, hệ phương trình thường có thể viết thành dạng của ma trận M (thiếu biến x) nhân với vectơ v (chỉ có lũy thừa khác của x) bằng vectơ không, M•v = 0. Từ đây, định thức của ma trận M phải bằng 0, chứng tỏ một phương trình mới trong đó biến x đã bị loại trừ.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên thứ hai (1920–26) > Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn

Các kỹ thuật như trong bài báo gốc của Hilbert về lời giải không chứa cách xây dựng cho bài toán cơ sở hữu hạn không thể sử dụng để nhận được thông tin định lượng về các bất biến của một tác dụng nhóm, và hơn nữa, chúng không áp dụng được cho mọi phép tác dụng nhóm. Trong bài báo năm 1915, Noether tìm ra một lời giải cho bài toán cơ sở hữu hạn cho một phép biến đổi nhóm hữu hạn G tác dụng lên một không gian vec tơ hữu hạn chiều trên một trường có đặc trưng 0. Giải pháp của bà cho thấy vành các bất biến được sinh ra từ các bất biến thuần nhất mà bậc của chúng nhỏ hơn hoặc bằng bậc của nhóm hữu hạn; hay gọi là giá trị biên Noether. Bài báo của bà đưa ra hai cách chứng minh cho giá trị biên Noether, cả hai đều có hiệu lực khi đặc trưng của trường là nguyên tố cùng nhau với |G|!, giai thừa của bậc |G| của nhóm G. Số lượng các phần tử sinh không nhất thiết phải thỏa mãn giá trị biên Noether khi đặc trưng của trường chia cho |G|, nhưng Noether đã không thể xác định liệu giá trị biên có đúng khi đặc trưng của trường chia cho |G|! chứ không phải |G|. Trong nhiều năm, việc xác định sự đúng đắn hay bác bỏ giá trị biên trong trường hợp này là một vấn đề mở mà các nhà toán học gọi là "khoảng trống Noether". Cuối cùng vấn đề này đã được giải quyết một cách độc lập bởi Fleischmann vào năm 2000 và Fogarty vào năm 2001, khi cả hai chứng tỏ rằng giá trị biên vẫn còn đúng.
Trong bài báo năm 1926, Noether mở rộng định lý Hilbert cho biểu diễn một nhóm hữu hạn trên trường bất kỳ; một trường hợp mới mà không tuân theo công trình của Hilbert khi đặc trưng của trường chia cho bậc của nhóm. Kết quả của Noether sau này được William Haboush mở rộng cho mọi nhóm giản lược trong chứng minh phỏng đoán Mumford của ông. Trong bài báo này Noether cũng giới thiệu ra bổ đề chuẩn hóa Noether, mà chứng minh rằng miền tích phân sinh hữu hạn A trên trường k có một tập hợp chứa x1,..., xn các phần tử độc lập đại số sao cho A lấy tích phân trên k[x1,..., xn].
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên thứ hai (1920–26) > Đóng góp cho tô pô học

Như nêu bởi Pavel Alexandrov và Hermann Weyl trong bài viết tưởng niệm của họ, đóng góp của Noether đối với ngành tô pô học thể hiện những ý tưởng phong phú và bằng cách nào mà tầm nhìn của bà đã làm biến đổi toàn bộ một lĩnh vực toán học. Trong tô pô, các nhà toán học nghiên cứu các tính chất của đối tượng mà vẫn bất biến ngay cả khi nó bị biến dạng, những tính chất như là tính không liên thông. Một câu nói đùa hay gặp khi nói về các nhà tô pô học là họ không thể phân biệt được một hình xuyến và một tách cà phê, do chúng có thể bị biến dạng liên tục để trở thành vật thể kia.
Tên tuổi của Noether gắn liền với những ý tưởng cơ bản dẫn tới sự phát triển của tô pô đại số từ lĩnh vực xuất hiện trước đó là tô pô tổ hợp, đặc biệt là ý tưởng về nhóm đồng điều. Theo bài viết của Alexandrov, Noether đã tham dự buổi giảng của Heinz Hopf và ông trong mùa hè năm 1926 và 1927, nơi "bà tiếp tục có những phát hiện về các vấn đề rất sâu sắc và tinh tế " và ông viết tiếp rằng,
Khi... bà đầu tiên trở lên quen với cách xây dựng có hệ thống của tô pô tổ hợp, bà ngay lập tức quan sát thấy sẽ rất có ích khi nghiên cứu trực tiếp nhóm các phức đại số và chu trình của một đa diện cho trước và Nhóm con của chu trình nhóm chứa chu trình thuần nhất tới 0; thay vì định nghĩa trước đó bằng Số Betti, bà ngay lập tức đề xuất định nghĩa nhóm Betti như là nhóm (thương) bổ trợ của nhóm của mọi chu trình bằng nhóm con của chu trình thuần nhất tới 0. Sự quan sát này hiện nay dường như là đúng. Nhưng trong các năm (1925–28) điều này hoàn toàn là một quan niệm mới mẻ.
Đề xuất của Noether rằng có thể nghiên cứu tô pô theo phương pháp của đại số đã ngay lập tức được Hopf, Alexandrov, và những người ủng hộ, và nó trở thành chủ đề thảo luận thường xuyên giữa các nhà toán học ở Đại học Göttingen. Noether nhận thấy ý tưởng của bà về nhóm Betti làm cho công thức Euler–Poincaré có thể hiểu một cách dễ hơn, và chính công trình của Hopf về chủ đề này  "mang những dấu ấn nổi bật của Emmy Noether". Noether chỉ đề cập những ý tưởng về tô pô xuất phát từ chính bà trong một chuyện bên lề của một bài báo năm 1926, khi bà trích dẫn tới nó như là một ứng dụng của lý thuyết nhóm.
Cách tiếp cận đại số để nghiên cứu tô pô cũng đã được phát triển một cách độc lập ở Áo. Trong khóa học năm 1926–27 tại Vienna, Leopold Vietoris nêu ra định nghĩa nhóm đồng điều, sau đó được Walther Mayer phát triển thành định nghĩa kiểu tiên đề hóa vào năm 1928.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên thứ ba (1927–35) > Số siêu phức và lý thuyết biểu diễn

Nhiều công trình về số siêu phức và biểu diễn nhóm được thực hiện trong thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, nhưng vẫn còn tản mát. Noether thống nhất các kết quả và đưa ra lý thuyết biểu diễn tổng quát đầu tiên cho nhóm và các đại số. Trong thời gian ngắn, Noether tổng kết cấu trúc lý thuyết đại số kết hợp và lý thuyết biểu diễn nhóm thành lý thuyết số học duy nhất về các mô đun và i đê an trong vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng. Công trình này của Noether có ý nghĩa quan trọng cơ bản cho sự phát triển của đại số hiện đại.
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên thứ ba (1927–35) > Đại số không giao hoán

Noether cũng có đóng góp vào một số sự phát triển khác của lĩnh vực đại số. Cùng với Emil Artin, Richard Brauer, và Helmut Hasse, bà lập lên cơ sở của lý thuyết các đại số đơn giản trung tâm.
Noether, Helmut Hasse, và Richard Brauer cùng nhau viết một bài báo kinh điển về đại số phép chia (division algebra), là cơ sở cho những hệ thống đại số nào mà có thể tồn tại phép chia. Họ chứng minh hai định lý quan trọng: định lý cục bộ-toàn cục nói rằng nếu một đại số phép chia trung tâm với số chiều hữu hạn trên một trường số tách một cách cục bộ khắp nơi khi nó tách một cách toàn cục (tức là tầm thường), và từ điều này họ suy ra Hauptsatz ("định lý chính"): mỗi đại số chia trung tâm hữu hạn chiều trên một trường số đại số F là tách trên một mở rộng xiclic cyclotomic. Những định lý này cho phép các nhà toán học phân loại mọi đại số chia trung tâm hữu hạn chiều trên một trường số. Hệ quả của bài báo Noether đó là nó chính là trường hợp đặc biệt của một định lý tổng quát hơn, mọi trường con tối đại của một đại số chia D là trường tách. Bài báo này cũng chứa định lý Skolem–Noether nói rằng hai nhúng mở rộng của một trường k vào một đại số đơn trung tâm hữu hạn chiều trên k là liên hợp với nhau. Định lý Brauer–Noether cho một đặc trưng hóa của trường tách của một đại số chia trung tâm trên một trường.