stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Thuần hóa
Xấp xỉ thời gian và địa điểm thuần hóa

Bằng chứng khảo cổ gần đây ở Síp cho thấy việc thuần hóa loài mèo có lẽ từ 9500 TCN.
| Loài | Thời gian | Địa điểm |
| --- | --- | --- |
| Chó (Canis lupus familiaris) | 15000 TCN | Đông Á và châu Phi |
| Cừu (Ovis orientalis aries) | giữa 9-11000 TCN | Tây Nam Á |
| Dê (Capra aegagrus hircus) | 10000 TCN  | Iran |
| Lợn (Sus scrofa domestica) | 9000 TCN | Cận Đông, Trung Quốc |
| Bò (Bos primigenius taurus) | 8000 TCN | Ấn Độ, Trung Đông, và Châu Phi hạ Sahara |
| Mèo (Felis catus) | 7500 TCN  | Síp và Cận Đông |
| Gà (Gallus gallus domesticus) | 6000 TCN | Ấn Độ và Đông Nam Á |
| Guinea pig (Cavia porcellus) | 5000 TCN | Peru |
| Lừa (Equus africanus asinus) | 5000 TCN | Ai Cập |
| Vịt (Anas platyrhynchos domesticus) | 4000 TCN | Trung Quốc |
| Trâu (Bubalus bubalis) | 4000 TCN | Ấn Độ, Trung Quốc |
| Ngựa (Equus ferus caballus) | 4000 TCN | Thảo nguyên Á-Âu |
| Lạc đà một bướu (Camelus dromedarius) | 4000 TCN | Bán đảo Ả Rập |
| Lạc đà không bướu (Lama glama) | 3500 TCN | Peru |
| Tằm/Ngài (Bombyx mori) | 3000 TCN | Trung Quốc |
| Tuần lộc (Rangifer tarandus) | 3000 TCN | Nga |
| Bồ câu (Columba livia) | 3000 TCN | Khu vực Địa Trung Hải |
| Ngỗng (Anser anser domesticus) | 3000 TCN | Ai Cập |
| Lạc đà hai bướu (Camelus bactrianus) | 2500 TCN | Trung Á |
| Bò Tây Tạng (Bos grunniens) | 2500 TCN | Tây Tạng |
| Bò banteng (Bos javanicus) | Chưa xác định | Đông Nam Á, Đảo Java |
| Gayal (Bos gaurus frontalis) | Chưa xác định | Đông Nam Á |
| Alpaca (Vicugna pacos) | 1500 TCN | Peru |
| Chồn sương (Mustela putorius furo) | 1500 TCN- | Châu Âu |
| Ngan bướu mũi/Vịt xiêm (Cairina momelanotus) | Chưa xác định | Nam Mỹ |
| Gà Phi | Chưa xác định | Châu Phi |
| Cá chép | Chưa xác định | Đông Á |
| Gà tây | 500 TCN | México |
| Cá vàng | Chưa xác định | Trung Quốc |
| Thỏ châu Âu | 1600 TCN | Châu Âu |
Xếp hạng trường trung học phổ thông Việt Nam

Kể từ năm 2007, Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam bắt đầu công bố nhiều số liệu thống kê về kết quả kì thi Đại học - Cao đẳng và kì thi Tốt nghiệp Trung học Phổ thông của học sinh Việt Nam ở cấp phổ thông trung học. Dựa vào những số liệu này, báo chí Việt Nam bắt đầu lập ra danh sách xếp hạng các trường trung học phổ thông của Việt Nam theo nhiều tiêu chí khác nhau, đây là bảng thống kê có giá trị tham khảo quan trọng với học sinh cấp phổ thông trung học vì vậy nó đã có truyền thống từ lâu ở nhiều nước trên thế giới. Nhìn chung các trường Chuyên nổi tiếng như: THPT Chuyên Lê Hồng Phong (Nam Định),THPT trọng điểm Quốc Gia Chu Văn An, Hà Nội, Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM, THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP.HCM) THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam (Hà Nội), THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên - ĐH KHTN - ĐHQG Hà Nội, THPT Chuyên Trần Phú (Hải Phòng),... là những trường thường xếp cao ở hầu hết các tiêu chí.
Theo mức độ cạnh tranh đầu vào

| Tên trường | Tỷ lệ chọi 2024 | Nguồn |
| --- | --- | --- |
| Trường Trung học phổ thông chuyên Khoa học Tự nhiên | 1/35 |  |
| Trường Trung học chuyên Đại Học Sư Phạm, Thành phố Hà Nội | 1/29 |  |
| Trường Trung học phổ thông chuyên Hà Nội – Amsterdam | 1/20 |  |
| Trường Trung học phổ thông Quốc Gia Chu Văn An, Thành phố Hà Nội | 1/19 |  |
| Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh | 1/17 |  |
| Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Huệ | 1/17 |  |
| Trường Trung học phổ thông chuyên Ngoại Ngữ | 1/17 |  |
| Trường Trung học phổ thông chuyên Khoa học xã hội và Nhân văn | 1/15 |  |
| Trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh | 1/15 |  |
| Trường Trung học phổ thông chuyên Trần Đại Nghĩa (Thành phố Hồ Chí Minh) | 1/14 |  |
Theo kết quả thi quốc gia

Báo chí Việt Nam đôi khi còn xếp hạng các trường trung học phổ thông theo kết quả Kì thi Học sinh giỏi Quốc gia cấp phổ thông trung học của mỗi trường. Do đặc thù đào tạo nên các trường có kết quả cao nhất trong kì thi này luôn luôn là các trường chuyên, cơ sở đào tạo có thi tuyển đầu vào và chất lượng dạy, học được Sở Giáo dục và Đào tạo các tỉnh, thành phố quan tâm đặc biệt. Dưới đây là danh sách 10 trường trung học phổ thông đứng đầu Kì thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2009 xếp theo số giải quốc gia mỗi đơn vị giành được. Danh sách này cũng chỉ có giá trị tham khảo vì không phải đơn vị dự thi nào cũng tham gia đầy đủ 12 môn của kì thi này (gồm Toán học, Vật lý, Hóa học, Tin học, Sinh học, Ngữ văn, Lịch sử, Địa lý, Anh văn, Pháp văn, Trung văn và Nga văn), số lượng thí sinh dự thi của các trường thuộc từng đơn vị dự thi cũng khác nhau.
| TT | Trường | Địa phương | GQG (2009) | GQG (2008) | GQG (2007) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 01 | THPT chuyên Lê Hồng Phong | Nam Định | 79 | 60 | 56 |
| 02 | THPT chuyên Lê Quý Đôn | Đà Nẵng | 65 | 45 | 44 |
| 03 | THPT chuyên Trần Phú | Hải Phòng | 63 | 50 | 45 |
| 04 | THPT chuyên Lam Sơn | Thanh Hóa | 62 | 37 | 44 |
| 05 | THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam | Hà Nội | 60 | 43 | 39 |
| 06 | THPT chuyên KHTN, ĐH QG HN | Hà Nội | 59 | 36 | 45 |
| 07 | THPT chuyên Nguyễn Trãi | Hải Dương | 57 | 51 | 59 |
| 08 | THPT chuyên Phan Bội Châu | Nghệ An | 54 | 49 | 49 |
| 09 | THPT chuyên Biên Hòa | Hà Nam | 53 | 42 | 45 |
| 10 | THPT chuyên Vĩnh Phúc | Vĩnh Phúc | 51 | 50 | 52 |
Ghi chú: Trường Trung học phổ thông chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội là đơn vị dự thi bao gồm cả năm khối chuyên của Đại học Quốc gia Hà Nội là chuyên Toán, Lý, Hóa, Sinh và Tin Học.  Năm 2009 là năm đầu tiên Hà Nội dự thi sau khi sáp nhập địa giới Hà Tây vì vậy đoàn Hà Nội trong một số môn được đặc cách cho 12 thí sinh dự thi thay vì từ 6 đến 8 như thông thường để đảm bảo quyền lợi cho học sinh trường chuyên cũ của tỉnh Hà Tây là Trung học Phổ thông Chuyên Nguyễn Huệ vốn cũng là một đơn vị mạnh trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia trước đó.
Chú thích

↑  Classement 2009: Lycées publics et privés, L'Express số 3014 từ 9 đến 15 tháng 4 năm 2009.
1 2 3 4 5 6 7  “Một chọi 29 thí sinh vào lớp chuyên Anh Sư phạm Hà Nội”. Báo điện tử VnExpress. Truy cập ngày 26 tháng 3 năm 2022.
↑  Yên, Hải (15 tháng 7 năm 2020). “Công bố tỉ lệ chọi Trường Trung học Thực hành - ĐH Sư phạm TP.HCM”. Cổng thông tin tuyển sinh. Truy cập ngày 26 tháng 3 năm 2022.
1 2  “Tỷ lệ chọi vào lớp 10 ở TPHCM có biến động, thí sinh cân nhắc điều chỉnh nguyện vọng”. Báo điện tử Tiền Phong. 5 tháng 5 năm 2021. Truy cập ngày 26 tháng 3 năm 2022.
↑  “Công bố 200 trường THPT dẫn đầu về điểm thi ĐH”. Thanhnien.com.vn. ngày 16 tháng 1 năm 2009.
↑  “Tốp 200 trường THPT có điểm thi ĐH cao năm 2008”. Hanoimoi.com.vn. ngày 14 tháng 1 năm 2009.
1 2  “200 trường THPT điểm thi ĐH cao nhất 2008”. Vietnamnet.vn. ngày 13 tháng 1 năm 2009.
↑  “Có bao nhiêu bảng "xếp hạng" trường "top 100"?”. Vietnamnet.vn. ngày 6 tháng 6 năm 2007.
↑  Tham khảo Điểm trúng tuyển Đại học, Cao đẳng hệ Chính quy các năm 2006, 2007, 2008 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
1 2  “Top 100 trường THPT có điểm thi ĐH cao”. Vietnamnet.vn. ngày 5 tháng 6 năm 2007.
1 2  Nguyễn Hùng (ngày 10 tháng 8 năm 2009). “Top 200 trường THPT có điểm thi ĐH cao nhất năm 2009”. Dantri.com.vn.
↑  “Hà Nội đoạt 107 giải học sinh giỏi quốc gia”. Anninhthudo.vn. ngày 2 tháng 4 năm 2009.
↑  Theo thống kê của Bộ Giáo dục và Đào tạo thì Trung học Phổ thông Chuyên Nguyễn Huệ giành được lần lượt 38, 36 và 44 giải trong các Kì thi Học sinh giỏi Quốc gia 2009, 2008 và 2007.
Sárospatak

| Sárospatak |
| --- | --- |
—  Thành phố  —
 

  Hiệu kỳ Huy hiệu
Sárospatak
Quốc gia:  Hungary
Hạt: Borsod-Abaúj-Zemplén
Tiểu vùng: Sárospataki
Diện tích
 • Tổng cộng: 139,19 km2 (53,74 mi2)
Dân số (2010)
 • Tổng cộng: 13.060
 • Mật độ: 94/km2 (240/mi2)
Múi giờ: CET (UTC+1)
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+2)
3950 
Mã điện thoại: 47 
Thành phố kết nghĩa: Collegno, Soest, Nokia, Phần Lan, Krosno, Tekirdağ, Jasło 
Sárospatak là một thành phố thuộc hạt Borsod-Abaúj-Zemplén, Hungary. Thành phố này có diện tích 139,19 km², dân số năm 2010 là 13060 người, mật độ 94 người/km².
Hải quân Việt Nam hành khúc

Hải quân Việt Nam hành khúc là 1 ca khúc do nhạc sĩ Văn Cao sáng tác khoảng năm 1945, lúc quân chủng này còn chưa được thành lập tại Việt Nam. Sau này bài hát được Hải quân Nhân dân Việt Nam sử dụng và gia đình nhạc sĩ Văn Cao thừa nhận ca khúc này là viết cho Hải quân Nhân dân Việt Nam vì nó được viết khi nhạc sĩ tham gia Việt Minh.
Lời bài hát

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Lời 1:  Toán chiến sĩ hải quân ra khơi hôm nay  Bờ nước Nam gió khơi nồng máu say  Ra đi không vương thê nhi  Miền Bắc núi tuyết rét mướt  Quen vui trong cơn phân ly  Sống trên ngàn trùng sóng  Thân phơi trên Nam Băng Dương  Nước xanh hồn Thái Bình Dương    Xa khơi sóng vang dạt dào  Mênh mông sóng va thân tàu  Nghe âm u ù ù  Át tiếng máy rầm rầm  Quân ca theo trầm trầm, tàu nhấp nhô  Mờ mờ xa mây mù  Dần dần xa mây mù  Đi không quên bến bờ chờ  Ra đi trùng dương bát ngát  Ngày về tổ quốc ghi công   |  Lời 2:  Hướng tới ánh hải đăng soi trong đêm sương  Đoàn chúng ta chí tang bồng bốn phương  Thi gan trong cơn phong ba  Tàu thét khói lướt gió tiến  Khi trăng trên boong in phơi  Giấc mơ người ngàn ngàn bến  Xông pha chung quên đau thương  Với gia đình lớn Trùng Dương   |  Lời 3:  Quyết chiến thắng thủy binh ngăn quân xâm lăng  Hồn Yết Kiêu, máu sông Đằng nhớ chăng ?  Say men năm châu tha phương  Đời khát máu, khát gió mới  Tay tung bao thây yêu thương  Xuống chôn vùi mồ cá !  Hy sinh sao nêu cao gương  Nước Nam miền Thái Bình Dương   |
Aloe schoelleri

| Aloe schoelleri |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocot
Bộ (ordo): Asparagales
Họ (familia): Asparagaceae
Chi (genus): Aloe
Loài (species): A. schoelleri
Danh pháp hai phần
Aloe schoelleri Schweinf. 
Aloe schoelleri là một loài thực vật có hoa trong họ Măng tây. Loài này được Schweinf. mô tả khoa học đầu tiên năm 1894.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Aloe schoelleri”. Truy cập ngày 16 tháng 7 năm 2013.
Thành phố thơ

Biểu tượng của lễ hội
Thành phố thơ là một lễ hội văn học được tổ chức từ năm 2008 bởi Trung tâm "Cổng Grodzka - Nhà hát NN" ở Lublin. Ý tưởng của lễ hội là quảng bá truyền thống văn học của thành phố Lublin. Đây là nơi sản sinh ra các nhà thơ nổi tiếng của Ba Lan như Wincenty Pol, Józef Czechowicz, Józef Łobodowski, Franciszka Arnsztajnowa, Anna Kamieńska và Julia Hartwig.
Chi tiết

"Thành phố thơ" là một chuỗi các sự kiện văn hóa có tính chất khác nhau, bao gồm nghệ thuật, triễn lãm, khoa học (liên quan đến văn học và sự hiện diện của văn học) ở Lublin và diễn ra trong thời gian lễ hội. Khẩu hiệu của lễ hội là "Thành phố thơ - thơ thành phố".
Trong những năm gần đây, ban tổ chức lễ hội đề xuất một mô hình mới, đó là bổ sung thêm không gian của lễ hội (trước đây chủ yếu diễn ra ở Quảng trường chính, ngay tòa nhà Thị chính của Thành phố) bằng chiến dịch "Căn hộ thơ". Nghĩa là triễn lãm được diễn ra ngay tại các hộ gia đình, ban đầu các thành viên trong ban tổ chức đã cung cấp căn hộ của mình cho sự kiện này. Trong các cuộc gặp gỡ, những người tham gia có thể đọc những bài thơ họ yêu thích, trao đổi sự đam mê đối với thơ ca, hoặc nói chuyện trực tiếp với các tác giả, thậm chí là được gặp gỡ và giao lưu với các nhà thơ nổi tiếng.
Ban tổ chức cũng chú trọng hướng đến những cuộc tọa đàm thơ ca trong viện dưỡng lão, bệnh viện, đền thờ với nhiều giáo phái khác nhau và trường học. Lễ hội được đi kèm với triển lãm, các cuộc họp với các tác giả, buổi hòa nhạc, buổi biểu diễn và chiếu phim. Trong một số lần tổ chức, ban tổ chức đã bổ sung các hạng mục dành để tưởng nhớ các nhà thơ Lublin, ví dụ Józef Czechowicz, Józef obodowski, Edward Stachura.
Giải thương "Kamień"

Trong mỗi mùa lễ hội, Ban tổ chức sẽ trao giải thưởng "Kamień" (Đá) cho nhà thơ xuất sắc. Tên của giải thưởng này gắn liền với tiêu đề của tập đầu tay của nhà thơ Józef Czechowicz, được xuất bản năm 1927 tại Lublin. Giải thưởng đã được trao lần đầu tiên vào tháng 5 năm 2008 trong phiên bản đầu tiên của lễ hội. Người vinh dự được nhận giải thưởng là nhà thơ Ryszard Krynicki.
Tháng 3 năm 2010

Tháng 3 năm 2010 bắt đầu vào Thứ Hai và kết thúc sau 31 ngày vào Thứ Tư.
Chủ đề:Thời sự

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 2009 | Sự kiện theo tháng | 2011 |
2010 · Tháng 1 | Tháng 2 | Tháng 3 | Tháng 4 | Tháng 5 | Tháng 6 | Tháng 7 | Tháng 8 | Tháng 9 | Tháng 10 | Tháng 11 | Tháng 12
Thousand Miles

Error đĩa đơn của the Kid LaroiBản mẫu:SHORTDESC:Error đĩa đơn của the Kid Laroi
"Thousand Miles" là một bài hát của rapper người Úc The Kid Laroi. Bài hát được phát hành dưới dạng đĩa đơn thông qua Columbia Records vào ngày 22 tháng 4 năm 2022 và được viết lời bởi Laroi, Andrew Watt, Louis Bell và Billy Walsh.
Bối cảnh

Những thông tin đầu về bài hát "Thousand Miles" đã rất trôi nổi từ năm 2021, nhưng phải đến năm sau bài hát mới được phát hành. Vào ngày 13 tháng 4 năm 2022, Laroi thông báo ngày phát hành của bài hát với một liên kết để lưu trước đĩa đơn bài hát. Sau đó, anh đã đăng một đoạn video dài 10 giây trên TikTok của chính anh quay, cho thấy anh đang chơi một đoạn của bài hát. Đoạn clip đã thu về hơn 50.000 lượt thích trong vòng hai giờ kể từ khi đăng tải. Vào ngày 19 tháng 4 năm 2022, Laroi đã đăng lên mạng xã hội một đoạn clip dài 6 giây ghi lại cảnh anh đang ngồi trên một chiếc ghế dài trước khi một cây đàn piano bất ngờ rơi vào người anh. Đoạn video sau đó chuyển sang màu đen và hiển thị ngày phát hành của đĩa đơn.
Thành công thương mại

Tại Úc, "Thousand Miles" đứng ở vị trí thứ 4 trên ARIA Singles Chart, là đĩa đơn thứ năm của Laroi lọt vào top 10. Bài hát cũng lọt vào bảng xếp hạng Billboard Hot 100 của Hoa Kỳ ở vị trí thứ 15, trở thành bản hit thư tư của anh đứng trong top 20.
Video âm nhạc

Video âm nhạc chính thức của bài hát đã được phát hành trên YouTube vào ngày 22 tháng 4 năm 2022, cùng ngày bài hát được phát hành. Bài hát có sự xuất hiện của Katarina Deme, bạn gái của Laroi.
Bài hát bắt đầu với cảnh với Deme - một nhân viên pha cà phê đang phục vụ cho Laroi một cốc cà phê, cùng lúc này Laroi nảy sinh ý định xin số điện thoại của cô. Phần còn lại của video mô tả Laroi "thiện", mặc đồ trắng, bị tra tấn nhiều lần bởi chính phiên bản phản diện của mình - Laroi "ác", mặc đồ đỏ. Cuối cùng, Laroi "thiện" bị một đoàn tàu do chính Laroi "ác" điều khiển và được hắn phẫu thuật, cứu chữa. Video kết thúc với cảnh Laroi "thiện" bị đánh mất bạn gái và bị một chiếc xe cứu thương khác đâm phải.
Nhân sự

The Kid Laroi - nhạc sĩ, hát nền, sáng tác
Andrew Watt - sản xuất, sáng tác, đánh guitar
Louis Bell - sản xuất, sáng tác, lập trình, sắp xếp thanh nhạc
Billy Walsh - sáng tác
Anthony Vilchis - trợ lý kỹ thuật
Trạm Trey - trợ lý kỹ thuật
Zach Pereyra - trợ lý kỹ thuật
Manny Marroquin - pha trộn âm thanh
Xếp hạng

| Bảng xếp hạng (2022) | Thứ hạng cao nhất |
| --- | --- |
Canada (Canadian Hot 100): 11
Denmark (Tracklisten): 19
France (SNEP): 172
Global 200 (Billboard): 14
Greece (IFPI): 56
Iceland (Plötutíðindi): 16
Lithuania (AGATA): 47
New Zealand (Recorded Music NZ): 6
Norway (VG-lista): 13
Slovakia (Singles Digitál Top 100): 61
South Africa (RISA): 37
Sweden (Sverigetopplistan): 14
US Billboard Hot 100: 15
US Adult Top 40 (Billboard): 19
US Mainstream Top 40 (Billboard): 14
US Rhythmic (Billboard): 19
Hàm số chẵn và lẻ

Hàm sin và tất cả các đa thức Taylor của nó đều là các hàm lẻ. Hình ảnh này cho thấy  \sin(x) và các xấp xỉ Taylor của nó, các đa thức bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và 13.
Hàm cosine và tất cả các đa thức Taylor của nó đều là các hàm chẵn. Hình ảnh này cho thấy  \cos(x) và xấp xỉ Taylor của nó ở bậc 4.
Trong toán học, hàm số chẵn và hàm số lẻ là các hàm số thỏa mãn các quan hệ đối xứng nhất định khi lấy nghịch đảo phép cộng. Chúng rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của giải tích toán, đặc biệt trong lý thuyết chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier. Chúng được đặt tên theo tính chẵn lẻ của số mũ lũy thừa của hàm lũy thừa thỏa mãn từng điều kiện: hàm số  f(x)=x^{n} là một hàm chẵn nếu n là một số nguyên chẵn, và nó là hàm lẻ nếu n là một số nguyên lẻ.
Định nghĩa và ví dụ

Hàm số thực thường được phân loại thành hàm chẵn hoặc lẻ, tức là các hàm số với giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, có thể định nghĩa tổng quát hơn khi miền xác định và miền đích của hàm đều có tính nghịch đảo phép cộng. Các tập này bao gồm các nhóm Abel, mọi vành, trường và không gian vectơ. Vì thế, chẳng hạn một hàm thực hay một hàm giá trị phức của một biến vectơ đều có thể là hàm chẵn hoặc lẻ, và cứ như vậy.
Dưới đây là một số ví dụ về các hàm thực để minh họa tính đối xứng của đồ thị các hàm đó.
Định nghĩa và ví dụ > Hàm số chẵn

Cho f là một hàm số giá trị thực của một đối số thực. Vậy thì f là chẵn nếu điều kiện sau được thỏa mãn với mọi x sao cho cả x và -x đều thuộc miền xác định của f:
hoặc phát biểu một cách tương đương, nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi x trong miền xác định:
Về mặt hình học, đồ thị của một hàm số chẵn đối xứng qua trục y, nghĩa là đồ thị của nó giữ không đổi sau phép lấy đối xứng qua trục y.
Ví dụ về các hàm chẵn là:
Hàm giá trị tuyệt đối  x\mapsto |x|
Các hàm đơn thức dạng  x\mapsto x^{2n}
Hàm cosin  \cos ,
Hàm cosin hyperbolic  \cosh .
Định nghĩa và ví dụ > Hàm số lẻ

Tiếp tục cho f là một hàm có giá trị thực của một đối số (biến) thực. Vậy f là hàm số lẻ nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi x sao cho x và -x đều nằm trong miền xác định của f:
hoặc một cách tương đương nếu phương trình sau đúng với mọi x thuộc miền xác định của f:
Về mặt hình học, đồ thị của một hàm lẻ có tính đối xứng tâm quay qua gốc tọa độ, nghĩa là đồ thị của nó không đổi sau khi thực hiện phép quay 180 độ quanh điểm gốc.
Ví dụ về các hàm lẻ là:
Hàm đồng nhất  x\mapsto x,
Các hàm đơn thức dạng  x\mapsto x^{2n+1}
Hàm sin  \sin ,
Hàm sin hyperbol  \sinh ,
Hàm lỗi  \operatorname {erf} .
Các tính chất cơ bản > Tính duy nhất

Nếu một hàm số vừa chẵn và vừa lẻ, nó bằng 0 ở mọi điểm mà nó được xác định.
Nếu một hàm là lẻ thì giá trị tuyệt đối của hàm đó là một hàm chẵn.
Các tính chất cơ bản > Cộng và trừ hàm số chẵn lẻ

Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
Tổng của hai hàm lẻ là hàm lẻ.
Hiệu của hai hàm lẻ là hàm lẻ.
Hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn.
Tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ thì không chẵn cũng không lẻ, trừ khi một trong các hàm ấy bằng 0 trên miền đã cho.
Các tính chất cơ bản > Nhân và chia hàm số chẵn lẻ

Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn.
Tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.
Tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.
Thương của hai hàm chẵn là một hàm chẵn
Thương của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.
Thương của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm lẻ.
Các tính chất cơ bản > Hàm hợp (tích ánh xạ)

Hàm hợp của hai hàm chẵn là hàm chẵn.
Hàm hợp của hai hàm lẻ là hàm lẻ.
Một hàm chẵn hợp với một hàm lẻ là hàm chẵn.
Hàm hợp của bất kỳ hàm nào với một hàm chẵn là hàm chẵn (nhưng điều ngược lại không đúng).
Phân tích chẵn-lẻ

Mọi hàm có thể được phân tích duy nhất thành tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ, được gọi tương ứng là phần chẵn và phần lẻ của một hàm số, nếu ta đặt như sau:
và
sau đó  f_{\text{e}} là hàm chẵn,  f_{\text{o}} là hàm lẻ, và
Ngược lại, nếu
trong đó g là chẵn và h là lẻ, thì  g=f_{\text{e}} và  h=f_{\text{o}},  bởi vì
Ví dụ, hàm cosin hyperbolic và sin hyperbolic có thể được coi là các phần chẵn và phần lẻ của hàm số lũy thừa tự nhiên, bởi vì hàm thứ nhất là chẵn, hàm thứ hai là lẻ, và
e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}
Các tính chất đại số nâng cao

Bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các hàm chẵn đều là chẵn và các hàm chẵn tạo thành một không gian vectơ trên trường số thực. Tương tự, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các hàm lẻ thì đều là lẻ, và các hàm lẻ cũng tạo một không gian vectơ trên trường số thực. Trên thực tế, không gian vectơ của mọi hàm thực là tổng trực tiếp của các không gian con của các hàm chẵn và hàm lẻ. Đây là một cách diễn đạt trừu tượng hơn tính chất phân tích nói ở mục trước.
Không gian của các hàm số có thể được coi là một cấu trúc đại số phân bậc trên các số thực dựa theo tính chất này, cùng với một vài tính chất khác ở trên.
Các hàm chẵn tạo thành một đại số giao hoán trên trường số thực. Tuy thế, các hàm lẻ không tạo một cấu trúc đại số trên trường số thực, bởi chúng không có tính đóng đối với phép nhân.
Các tính chất về mặt giải tích

Một hàm là lẻ hay chẵn không suy ra được tính khả vi hay thậm chí là tính liên tục. Ví dụ, hàm Dirichlet là chẵn, nhưng không liên tục tại mọi nơi.
Trong phần tiếp theo, các tính chất liên quan tới đạo hàm, chuỗi Fourier và chuỗi Taylor, và cứ như vậy giả sử rằng các khái niệm trên đã được định nghĩa đối với  hàm đang xét.
Các tính chất về mặt giải tích > Các tính chất giải tích cơ bản

Đạo hàm của một hàm chẵn là một hàm lẻ.
Đạo hàm của một hàm lẻ là chẵn.
Tích phân của một hàm lẻ từ − A đến + A bằng 0 (trong đó A là hữu hạn và hàm không có tiệm cận đứng nằm giữa − A và A). Đối với một hàm lẻ có tích phân trên một khoảng đối xứng, ví dụ  [-A,A], kết quả của tích phân trong khoảng đó bằng 0; tức là
\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0
Tích phân của một hàm chẵn từ −A đến +A bằng hai lần tích phân từ 0 đến +A (trong đó A là hữu hạn và hàm không có tiệm cận đứng giữa −A và A. Điều này cũng đúng khi A là vô hạn, nhưng chỉ khi tích phân hội tụ); tức là
\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx
Các tính chất về mặt giải tích > Chuỗi

Khai triển chuỗi Maclaurin của một hàm chẵn chỉ bao gồm các lũy thừa chẵn.
Chuỗi Maclaurin của một hàm lẻ chỉ bao gồm các lũy thừa lẻ.
Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn chẵn chỉ bao gồm các số hạng dạng cosin.
Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn lẻ chỉ bao gồm các số hạng dạng sin.
Biến đổi Fourier của một hàm số chẵn có giá trị thuần số thực là thực và chẵn.
Biến đổi Fourier của một hàm số lẻ có giá trị thuần số thực là ảo và lẻ.
Hàm điều hòa

Trong xử lý tín hiệu, méo hài xảy ra khi một tín hiệu sóng sin được gửi qua một hệ thống phi tuyến không có bộ nhớ, tức là một hệ thống mà đầu ra tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào đầu vào tại chính thời điểm đó và không phụ thuộc vào đầu vào tại bất kỳ thời điểm nào trước đó. Một hệ thống như vậy được biểu diễn bằng một hàm đáp ứng  V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t)). Loại hàm điều hòa sinh ra phụ thuộc vào hàm đáp ứng f:
Khi hàm đáp ứng là chẵn, tín hiệu kết quả sẽ chỉ chứa các điều hòa bậc chẵn của sóng sin đầu vào; 0f,2f,4f,6f,\dots
Chế độ cơ bản  f cũng là một điều hòa bậc lẻ, nên nó sẽ không xuất hiện.
Một ví dụ đơn giản trong trường hợp này là một bộ chỉnh lưu toàn sóng.
Thành phần  0f thể hiện DC offset, do bản chất một phía của các hàm truyền đối xứng chẵn.
Khi hàm là lẻ, tín hiệu kết quả chỉ gồm các điều hòa bậc lẻ của sóng sin đầu vào; 1f,3f,5f,\dots
Tín hiệu đầu ra sẽ có đối xứng nửa sóng.
Một ví dụ đơn giản là sự xén âm trong một bộ khuếch đại đẩy kéo.
Khi hàm không có tính đối xứng, tín hiệu kết quả có thể chứa điều hòa bậc chẵn hoặc lẻ; 1f,2f,3f,\dots
Một ví dụ đơn giản là một bộ chỉnh lưu nửa sóng, và xén âm trong một bộ khuếch đại lớp A bất đối xứng.
Cần lưu ý rằng điều này không còn đúng đối với các dạng sóng phức tạp hơn. Một sóng dạng răng cưa chẳng hạn, chứa cả điều hòa bậc chẵn và lẻ. Sau khi chỉnh lưu chẵn toàn sóng, nó trở thành một sóng tam giác, sóng này ngoài DC offset ra thì chỉ chứa các điều hòa bậc lẻ.
Tổng quát hóa > Hàm đa biến

Đối xứng chẵn:
Một hàm  f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}  được gọi là có đối xứng chẵn nếu thỏa mãn:
Đối xứng lẻ:
Một hàm  f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}  được gọi là có đối xứng lẻ nếu thỏa mãn:
Tổng quát hóa > Các hàm có giá trị phức

Các định nghĩa cho đối xứng chẵn và lẻ cho các hàm giá trị phức với đối số thực là tương tự như trường hợp hàm giá trị thực nhưng liên quan đến liên hợp phức.
Đối xứng chẵn:
Một hàm giá trị phức với đối số thực  f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}  được gọi là có đối xứng lẻ nếu:
Đối xứng lẻ:
Một hàm giá trị phức với đối số thực  f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}  được gọi là có đối xứng lẻ nếu: