Mô hình Ramsey-Cass-Koopmans
Phương trình chính của mô hình

Cũng giống như mô hình Solow-Swan, mô hình Ramsey- Cass- Koopmans bắt đầu với hàm sản xuất tổng hợp, thỏa mãn các điều kiện Inada, thuộc dạng Cobb- Douglas,  F(K,AL), với yếu tố vốn  K, lao động  L, và kỹ thuật gia tăng lao động  A. Số lượng lao động tương ứng với số dân trong nền kinh tế, và phát triển với tỷ lệ cố định  n. Tương tự, trình độ công nghệ phát triển với một tỷ lệ không đổi  g. Phương trình quan trọng đầu tiên của mô hình Ramsey- Cass- Koopmans chính là luật chuyển động để tích lũy vốn:
Khi đó,   k là cường độ vốn (số vốn trên mỗi lao động),  {\dot {k}} là sự thay đổi vốn trên mỗi lao động theo thời gian ( {\tfrac {dk}{dt}}),  c  là mức tiêu thụ của mỗi lao động,  f(k) là thành quả của mỗi lao động, và  \delta \, là tỉ lệ khấu hao vốn. Theo các giả định đơn giản hóa mà không bao gồm tốc độ tăng trưởng dân số hay sự gia tăng trình độ công nghệ, phương trình này nói rằng vốn đầu tư, hoặc việc tăng vốn trong bình quân lao động là một phần của đầu ra chưa tiêu thụ, trừ đi tỷ lệ khấu hao vốn. Vốn đầu tư, do đó, cũng giống như các khoản tiết kiệm.
Điều này cũng mang lại một tiềm năng trạng thái ổn định tối ưu của mô hình tăng trưởng, trong đó  {\dot {k}}=0, giả như không có (thêm) thay đổi cường độ vốn. Bây giờ, người ta đã xác định được trạng thái ổn định mà giúp tối đa hoá tiêu dùng  c, và mang lại một tỷ lệ tiết kiệm tối ưu  s=1-c. Đây là "vàng quy tắc" tối ưu điều kiện của Edmund Phelps đề xuất vào năm 1961.
Với  I mức độ đầu tư,  Y là mức độ thu nhập và  s tỉ lệ tiết kiệm hoặc phần trăm tiết kiệm trên thu nhập.
Phương trình thứ hai liên quan đến hành vi tiết kiệm của các hộ gia đình và ít trực quan hơn. Nếu hộ gia đình được tối đa hóa tiêu thụ của họ qua các giai đoạn thời gian, tại mỗi thời điểm họ cân bằng giữa lợi ích cận biên của mức tiêu thụ hiện nay với lượng tiêu thụ trong tương lai, hoặc tương đương, lợi ích cận biên của tiêu thụ trong tương lai với chi phí cận biên của nó. Bởi đây là một vấn đề liên thời gian có nghĩa một cân bằng các tỉ lệ chứ không phải mức. Có hai lý do tại sao các hộ gia đình thích tiêu thụ tức thì hơn là trong tương lai. Đầu tiên, họ giảm tiêu dùng trong tương lai. Thứ hai, vì các hàm hữu ích là dạng cầu lõm, trong khi các hộ gia đình thích một đường tiêu thụ trơn. Sự tăng hoặc giảm phần tiêu thụ làm giảm mức độ tiêu thụ trong tương lai. Vì vậy mối quan hệ sau đây sẽ mô tả sự liên quan tối ưu giữa các tỉ lệ biến.
Tỉ lệ lợi nhuận trên tiết kiệm = tỉ lệ tiêu dùng đã chiết khấu – phần tram thay đổi của thỏa dụng cận biên nhân với sự gia tăng tiêu dùngrate of return on savings = rate at which consumption is discounted − percent change in marginal utility times the growth of consumption.
Phương trình toán học:
Một nhóm các hàm thỏa dụng phù hợp với một trạng thái ổn định của mô hình này là các chức năng thỏa dụng đẳng đàn hồi hoặc các hàm thỏa dụng ngại rủi ro cố định (CRRA), được cho là:
Trong trường hợp đó ta có:In this case we have:
Sau đó giải phương trình động lực trên cho sự gia tăng tiêu dùng, ta có:
Đây là phương trình động lực chính thứ hai của mô hình, và thường được gọi là "phương trình Euler"
Với phương trình sản xuất tân cô điển có lợi nhuận không đổi theo quy mô, tỉ lệ lãi, r, sẽ bằng năng suất biên của nguồn vốn cho mỗi công nhân. Một trường hợp cụ thể được đưa ra bởi hàm sản xuất Cobb-Douglas
Trong đó hàm ý rằng tỷ lệ lãi gộp
Do đó lãi suất ròng r
Đặt  {\dot {k}} và  {\dot {c}} bằng 0, chúng ta có thể tìm được trạng thái cân bằng của mô hình này.