Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng > Tenxơ Riemann

Mặc dù tenxơ mêtric chắc chắn là tenxơ quan trọng nhất trong thuyết tương đối rộng, nhưng nếu chỉ sử dụng một mình nó thì không thể suy luận ra không thời gian là phẳng hay cong. Chúng ta đã đề cập đến thực tế rằng một không thời gian phẳng được miêu tả bằng hệ tọa độ Descartes sẽ có tenxơ mêtric rất đơn giản với các thành phần là hằng số (xem (103)), cùng một không thời gian này sẽ có tenxơ mêtric phức tạp hơn khi đa tạp được phủ bằng những hệ tọa độ khác, chẳng hạn như hệ tọa độ cầu. Về mặt trực giác, khi thực hiện đo độ cong thì kết quả sẽ phụ thuộc vào tenxơ mêtric thay đổi như thế nào trên toàn bộ không thời gian (hay nó sẽ phải tỷ lệ với đạo hàm của ten xơ mêtric) và những sự thay đổi này sẽ có dạng toàn phương, với sự tương tự như ở độ cong nội tại Gauss đối với mặt. Từ đó, với cách lập luận đơn giản như thế đưa chúng ta nhận ra rằng tenxơ độ cong sẽ phải có thứ nguyên của nghịch đảo bình phương độ dài và là một đối tượng có kiểu
Có thể thực hiện định nghĩa chính xác hơn khi áp dụng các công cụ toán học đã được nêu ở các phần trước, đặc biệt là khái niệm đạo hàm hiệp biến dọc theo một đường cong. Xét một trường vectơ bất kỳ  {\boldsymbol {A}} và hai đoàn đường cong  {\mathcal {C}}_{\boldsymbol {U}} và  {\mathcal {C}}_{\boldsymbol {V}}, với  {\boldsymbol {U}} và  {\boldsymbol {V}} tương ứng là các vectơ tiếp tuyến. Cho giá trị của trường vectơ tại một điểm P hay  {\boldsymbol {A}}(P), chúng ta có thể tính giá trị tại một điểm Q sau khi đã kéo dọc giá trị từ P theo đoàn  {\mathcal {C}}_{\boldsymbol {U}} rồi sau đó kéo theo đoàn  {\mathcal {C}}_{\boldsymbol {V}}. Kết quả của hai sự dịch chuyển này là hai vectơ được so sánh tại điểm Q. Trong không gian thời gian phẳng, hai vectơ này sẽ đồng nhất giống nhau. Nhưng chúng sẽ khác nhau nếu không thời gian là cong và sự sai khác này có thể được sử dụng để đo độ cong của không thời gian. Việc so sánh này được nêu ra trong hình 1.3 với hai đoàn đường cong được vẽ ra và với các vec tơ tiếp tuyến. Chú ý rằng vec tơ  {\boldsymbol {A}}(P) sẽ có hai ảnh khác nhau tại điểm Q mới và hiệu giữa chúng sẽ đo độ cong của đa tạp.
Bằng cách tính toán trực tiếp nhưng khá dài bao gồm các định nghĩa của đạo hàm hiệp biến (154) và đạo hàm đối lưu (176) chúng ta thu được hai biểu thức sau cho các đạo hàm hiệp biến lần 2 cho tính giao hoán của bốn vec-tơ  {\boldsymbol {A}} như sau (hay còn gọi là đồng nhất thức Ricci)
với
là tenxơ độ cong Riemann mà  {\mathcal {O}}((\partial {\boldsymbol {g}})^{2},\partial ^{2}{\boldsymbol {g}}) như được mong đợi theo (187).
Cách lập luận ở trên không phải là cách duy nhất để tìm ra tenxơ độ cong Riemann. Có một cách suy luận gần gũi với trực giác vật lý hơn đó là chứng tỏ mối liên hệ giữa độ cong và sự có mặt của lực thủy triều do trường hấp dẫn. Để thấy điều này, trước tiên chúng ta cần tính đạo hàm đối lưu bậc hai của một trường vectơ tổng quát  {\boldsymbol {A}} dọc theo một đường trắc địa có vectơ tiếp tuyến  {\boldsymbol {u}}. Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng cách tính hai lần đạo hàm đối lưu bậc nhất (176) ta có
Bây giờ sử dụng định nghĩa của phương trình trắc địa (179), có thể mở rộng phương trình (192) thông qua quy tắc tính đạo hàm tiêu chuẩn và có
mà ở đây ký hiệu:
Tiếp theo, xét hai hạt điểm nằm gần nhau trong trạng thái rơi tự do và có nghĩa là hai hạt nằm trên hai đường trắc địa được tham số hóa bằng cùng một tham số  \lambda  (hay có cùng thời gian riêng). Trong không thời gian phẳng, chúng sẽ chuyển động theo đường thẳng và do đó khoảng cách giữa chúng, mà được đo thông qua vectơ chuyển dịch vị trí  \xi ^{\mu } giữa hai đường trắc địa, là không đổi (các đường thẳng song song không cắt nhau trong không gian phẳng). Tuy nhiên, điều này sẽ không còn đúng nếu không thời gian là cong, và chúng ta có thể đo sự biến đổi trong vectơ chuyển dịch vị trí bằng cách theo dõi hai đường trắc địa mà sẽ có phương trình
Trừ hai vế của hai phương trình (195) và (196), rồi khai triển nó tới bậc nhất của độ dịch chuyển tức là  \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }(x+\xi )=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }(x)+\xi ^{\nu }\partial _{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\mathcal {O}}({\boldsymbol {\xi }}^{2}) thu được
Sử dụng biểu thức (197) có thể tính tiếp đạo hàm đối lưu bậc hai của vectơ chuyển dịch vị trí  \xi ^{\mu } dựa theo công thức (193) cho vectơ tổng quát  {\boldsymbol {A}} cuối cùng nhận được
với tenxơ kiểu (1, 3)  R_{\nu \alpha \beta }^{\mu } trong (198) có cùng dạng với tenxơ Riemann được định nghĩa trong (191).
Phương trình (198) được gọi là phương trình độ lệch trắc địa cung cấp một kết quả rất quan trọng khi nó phát biểu các đường trắc địa lân cận nhau thay đổi khoảng cách giữa chúng theo cách gia tốc nếu tenxơ Riemann khác 0. Kết quả là, một sự biểu thị điển hình của trường hấp dẫn, sự xuất hiện của lực thủy triều, bây giờ được coi đơn giản như là một hiệu ứng hình học do độ cong khác không của không thời gian. Do vậy, tenxơ Riemann không những dùng để thăm dò độ cong của không thời gian, mà còn được coi là sự có mặt của trường hấp dẫn và hai thứ này không thể phân biệt được với nhau. Điều này được minh họa trên hình 1.4 thể hiện vectơ  {\boldsymbol {\xi }} tách biệt giữa hai đường trắc địa của hai hạt rơi tự do với vectơ tiếp tuyến  {\boldsymbol {u}}. Bên trái là không thời gian phẳng, với  R_{\nu \alpha \beta }^{\mu }=0 trong trường hợp này khoảng cách giữa hai đường là không đổi và hai đường trắc địa là những đường thẳng song song với nhau. Bên phải là trường hợp không thời gian cong,  R_{\nu \alpha \beta }^{\mu }\neq 0 như được tạo ra bởi vật thể khối lượng lớn chẳng hạn, trong trường hợp này vec tơ khoảng cách có độ lớn biến thiên gia tốc thu nhỏ dần khi hai hạt thử di chuyển trong trường hấp dẫn. (198)
Chúng ta đã biết rằng nếu không thời gian là phẳng thì có một hệ tọa độ mà trong đó các hệ số Christoffel bị triệt tiêu trên toàn bộ không thời gian. Do đó từ phương trình (191) tenxơ Riemann cũng triệt tiêu, và do là tenxơ nó cũng triệt tiêu trong mọi hệ tọa độ khác. Điều ngược lại cũng đúng, nghĩa là nếu tenxơ Riemann bằng 0 trên toàn bộ không thời gian, thì từ phương trình (198) sẽ có khoảng cách giữa hai đường trắc địa bất kỳ sẽ không đổi và do vậy không thời gian là phẳng. Tuy nhiên chú ý rằng, nếu các hệ số Christoffel chỉ bằng 0 trong phạm vi cục bộ điều này không thể suy ra được tenxơ Riemann sẽ bằng 0 tại điểm đó bởi vì ten xơ này còn phụ thuộc vào đạo hàm của hệ số Christoffel. Do vậy bằng cách lập luận này, luôn có thể phân biệt được hiệu ứng gây ra bởi một trường hấp dẫn thực sự hay do một hệ quy chiếu phi quán tính (các dẫn đến không thời gian phẳng trên cục bộ) với một cách đơn giản đó là kiểm tra xem tenxơ Riemann có bằng 0 hay không.
Khi viết một tenxơ có kiểu (0, 4), tenxơ Riemann thể hiện một số tính chất đối xứng đại số quan trọng như sau:
Nó đối xứng khi hoán vị giữa hai cặp chỉ số thứ nhất và thứ hai
Nó phản xứng khi đổi vị trí hai cặp chỉ số đầu tiên
Tương tự, nó phản xứng khi đổi vị trí hai cặp chỉ số thứ ba và thứ tư
Nó phản xứng ở ba chỉ số cuối (đồng nhất thức Bianchi)
Do tất cả những tính chất đối xứng và phản xứng này, số các thành phần độc lập của tenxơ Riemann trong đa tạp N chiều không phải là N4 mà là N2(N2-1)/12, vì thế trong không thời gian bốn chiều, có 20 thành phần độc lập trong số 256 thành phần của tenxơ Riemann. Ta có thể thực hiện thao tác thu gọn chỉ số của tenxơ Riemann nhưng chỉ có một trường hợp là không tầm thường, và thu được một tenxơ đối xứng hạng hai gọi là tenxơ Ricci
với phương trình cuối áp dụng theo phương trình (191) biểu diễn tenxơ Ricci theo hệ số Christoffel. Ta có thể thực hiện tiếp việc thu gọn chỉ số của tenxơ Ricci để thu được vết của nó hay gọi là độ cong vô hướng hoặc độ cong vô hướng Ricci cho bởi
Ý nghĩa hình học của độ cong vô hướng đó là nó thể hiện lượng thay đổi của thể tích một hình cầu trong đa tạp cong Riemann so với hình cầu cùng bán kính trong không gian Euclid.
Vì được xây dựng trực tiếp từ tenxơ Riemann nên cả tenxơ Ricci và vô hướng Ricci có thứ nguyên của nghịch đảo bình phương độ dài. Vô hướng Ricci cũng phân biệt với một loại vô hướng khác nhận được bằng cách thu gọn các chỉ số của hai tenxơ Riemann:
Độ cong vô hướng này còn được gọi là độ cong vô hướng Kretschmann, có thứ nguyên bằng nghịch đảo lũy thừa bậc bốn của độ dài. Các độ cong vô hướng này là những độ cong bất biến tại mỗi điểm và xác định lên hình học nội tại ở lân cận điểm đó. Độ cong bất biến rất có ích khi thực hiện đo độ cong của không thời gian cũng như nghiên cứu các kỳ dị vật lý. Để nhìn nhận một cách trực giác hơn về tính chất của tenxơ Riemann, hãy xét các thành phần của nó trong một không gian cong hai chiều đơn giản nhất, hay mặt cầu hai chiều trong không gian Euclid ba chiều  {\mathcal {S}}. Nếu  R_{S} là bán kính của mặt cầu hai chiều được phủ bằng hệ tọa độ  \{\theta ,\phi \} thì nguyên tố đoạn sẽ bằng
và do đó tenxơ mêtric sẽ có các thành phần
Các ký hiệu Christoffel khác 0 là
Từ đây có thể tính trực tiếp các thành phần khác 0 của tenxơ Riemann
và tenxơ Ricci bằng  R_{ij}=g_{ij}/R_{S}^{2} trong khi độ cong vô hướng Ricci bằng  R=2/R_{S}^{2}. Sự quan trọng của biểu thức (208) là nó cho thấy tenxơ độ cong tỷ lệ nghịch với bình phương bán kính cong cục bộ tại điểm đó, do vậy nó độc lập với không gian Euclid ba chiều, và có thể gắn cho tenxơ độ cong tại mỗi điểm bằng nghịch đảo bình phương của bán kính mặt cầu mật tiếp tại điểm đó. Với mặt cầu hai chiều bất kỳ có bán kính RS không đổi biểu thức (208) có thể mở rộng thành
Ngoài những tính chất đối xứng nêu trên, tenxơ Riemann cũng tuân theo các liên hệ vi phân sau (còn gọi là các đồng nhất thức Bianchi thứ hai)
Thu gọn chỉ số của phương trình Bianchi (210) hai lần sẽ thu được kết quả quan trọng được sử dụng ở phần sau
trong đó ở đây giới thiệu một tenxơ hạng hai, phân kỳ tự do còn gọi là tenxơ Einstein
Tenxơ Ricci có N(N+1)/2 thành phần độc lập và do vậy tenxơ Riemann có số thành phần độc lập nhiều hơn tenxơ Ricci trong đa tạp có số chiều N > 3. Hơn nữa, ten xơ Riemann cũng nhận sự phân tích thành một tenxơ khác, tenxơ Weyl (mang tên Hermann Weyl) định nghĩa bằng
Tenxơ Weyl triệt tiêu trong bất kỳ đa tạp nào có số chiều N < 4, nó có vết tự do và có cùng các tính chất đối xứng như tenxơ Riemann. Tương tự như tenxơ Riemann, tenxơ Weyl thể hiện lực thủy triều chịu bởi một vật chuyển động trong trường hấp dẫn (hay trong không thời gian cong). Tuy nhiên, khác với tenxơ độ cong, tenxơ Weyl cung cấp thông tin về hình dáng vật thể bị biến dạng như thế nào chứ không phải về thể tích của nó thay đổi bao nhiêu. Tenxơ Weyl đặc biệt hữu ích trong tính toán bức xạ hấp dẫn hình thành trong các mô phỏng số tương đối tính thông qua hình thức luận Newman-Penrose.