Đối xứng gương (lý thuyết dây)
Tổng quan > Đa tạp Calabi-Yau

Sự compact hóa có thể được dùng để xây dựng nên các mô hình trong đó không thời gian hiện ra như thể 4 chiều. Tuy nhiên, không phải mọi cách compact hóa các chiều phụ đều tạo nên một mô hình mô tả thích hợp các thuộc tính của tự nhiên. Trong một mô hình vật lý hạt có triển vọng, các chiều phụ compact phải có dạng giống một đa tạp Calabi–Yau. Trong lĩnh vực lý thuyết dây, một đa tạp Calabi–Yau là một không gian 6 chiều, đặt tên theo các nhà toán học Eugenio Calabi và Shing-Tung Yau.
Sau khi các đa tạp Calabi-Yau chứng tỏ khả năng compact hóa các chiều phụ, nhiều nhà vật lý bắt đầu nghiên cứu các đa tạp này. Cuối những năm 1980, Cumrun Vafa và những người khác nhận thấy với một sự compact hóa lý thuyết dây cho trước, không thể tái tạo một đa tạp Calabi-Yau tương ứng duy nhất với nó. Thay vào đó, hai phiên bản lý thuyết dây gọi là lý thuyết dây loại IIA và loại IIB có thể compact hóa theo những đa diện Calabi–Yau hoàn toàn khác nhau mà vẫn tạo ra những kết quả vật lý giống hệt. Trong trường hợp này, các đa tạp đó được gọi là đa tạp gương, và mối quan hệ giữa hai lý thuyết được gọi là đối xứng gương.
Quan hệ đối xứng gương là một ví dụ cụ thể của thứ mà các nhà vật lý gọi là tính đối ngẫu. Nói chúng, thuật ngữ đối ngẫu (tiếng Anh: duality) chỉ một tình huống trong đó hai lý thuyết vật lý có vẻ khác nhau thực ra là tương đương theo một cách đặc biệt. Nếu một lý thuyết có thể biến đổi khiến nó trông giống lý thuyết kia, hai lý thuyết đó được gọi là cặp đối ngẫu theo phép biến đổi đó; nói cách khác, hai lý thuyết là những mô tả toán học khác nhau về cùng một hiện tượng. Những cặp đối ngẫu như thế đóng một vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại, đặc biệt là lý thuyết dây.
Bất kể compact hóa Calabi-Yau về lý thuyết dây có cung cấp một mô tả chính xác về tự nhiên hay không, sự tôn tại của cặp đối ngẫu gương giữa các lý thuyết dây khác nhau đã dẫn tới những hệ quả toán học đáng chú ý. Các đa tạp Calabi–Yau sử dụng trong lý thuyết dây cũng được toán học thuần túy quan tâm, và đối xứng gương cho phép các nhà toán học giải các bài toán trong lĩnh vựng hình học đại số liệt kê, một nhánh toán học liên quan tới việc đếm số nghiệm của các bài toán hình học. Một bài toán cổ điển của hình học liệt kê là đếm số đường cong hữu tỉ trên một đa tạp Calabi-Yau như minh họa ở trên. Bằng cách áp dụng đối xứng gương, các nhà toán học đã diễn dịch bài toán này thành một bài toán tương tự cho Calabi-Yau đối xứng gương, đa tạp này tỏ ra dễ tính toán hơn là đa tạp ban đầu.
Đối xứng gương được chứng minh trên địa hạt vật lý, tuy nhiên các nhà toán học thông thường đòi hỏi những phép chứng minh chặt chẽ không cần viện tới trực giác vật lý. Từ quan điểm toán học, phiên bản đối xứng gương mô tả trên đây chỉ là một phỏng đoán hay giả định, nhưng có một phiên bản khác trong ngữ cảnh lý thuyết dây tô pô, một dạng lý thuyết dây đơn giản hóa do Edward Witten đề xuất, đã được chứng minh chặt chẽ về mặt toán học. Theo lý thuyết dây tô pô, đối xứng gương khẳng định rằng hai lý thuyết gọi là mô hình A và mô hình B là tương đương với nhau theo nghĩa tồn tại một cặp đối ngẫu liên hệ giữa chúng. Ngày nay đối xứng gương là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động trong toán học, các nhà toán học đang làm việc để phát triển một nền tảng hiểu biết đầy đủ hơn về đối xứng gương dựa trên trực giác của giới vật lý.