Toán học của thuyết tương đối rộng
Chú thích

↑  Franken 2011, Ch 2
↑  Chúng ta sẽ trở lại điểm này khi thảo luận ở phần Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng.
↑  Chú ý, chúng ta ký hiệu hệ tọa độ  \{x^{\mu }\} giữa những dấu ngoặc nhọn để nhấn mạnh rằng thực sự chúng ta đang xét tới bốn số khác nhau tại mỗi điểm của đa tạp
↑  Về mặt nguyên lý, hệ tọa độ mới có thể viết là  \{(x')^{\mu }\} nhưng cách viết này hơi rườm rà. Tương tự cách viết  \{x^{'\mu }\} và  \{x^{\mu '}\} có thể gây ra hiểu nhầm về ý nghĩa của dấu phẩy mà thường được sử dụng để ký hiệu một hệ tọa độ khác với chỉ số  \mu . Ở đây chúng ta chấp nhận cách ký hiệu thuận tiện  \{x^{\mu '}\}
↑  Nhiều tác giả chỉ đơn giản gọi nó là vectơ.
↑  Về mặt nguyên lý, chúng ta nên coi (27) được xác định tại P trên đường cong (như chỉ ra trong (15) rồi sau đó mở rộng ra cho một điểm chung (generic point). Trong thực hành, chúng ta đã bỏ qua bước trung gian và viết theo biểu thức tổng quát.
↑  Trong phần Ý nghĩa hình học của vectơ phản biến và vectơ hiệp biến, chúng ta sẽ thấy rằng các thành phần của vectơ hiệp biến biến đổi giống như vectơ cơ sở tọa độ, trong khi các thành phần của vectơ phản biến biến đổi theo cách ngược lại.
↑  J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
↑  Chúng ta viết  \{e_{\mu }\} cho cơ sở vectơ giữa các dấu ngoặc nhọn để nhấn mạnh rằng chúng ta đang thực sự coi đây là bốn vectơ. Từ đây, chỉ số dưới trong (37) không ám chỉ các thành phần khác của một vectơ cơ sở, nhưng nó phân biệt bốn vec tơ khác nhau tạo nên cơ sở.
↑  Chúng ta ký hiệu chữ viết đậm với dấu ngã ở trên  {\boldsymbol {\tilde {p}}} để biểu diễn đối vectơ (covector) hay dạng một (one form) như là một toán tử, và viết chữ thường với chỉ số bên dưới, ví dụ  p_{\mu } để chỉ thành phần của nó.
↑  Một số nhà toán học sử dụng ký hiệu tenxơ này là  {2 \choose 0}
↑  Một số nhà toán học sử dụng ký hiệu tenxơ này là  {0 \choose 2} Hơn nữa nếu tenxơ là phản xứng (ví dụ xem phương trình (56) về định nghĩa) thì nó là dạng hai (two form)
↑  Một số người ký hiệu ten xơ này là  {4 \choose 2}
↑  Tenxơ cũng là dạng hai nếu nó phản xứng, hay nó tuân theo phương trình (56)
↑  Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nhận thấy ten xơ này thực sự là tenxơ metric và cần thiết  \epsilon  biến đổi như là tenxơ
↑  Một số tác giả sử dụng định nghĩa khác, ví dụ trong Misner1973, định nghĩa  \epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }:=-\eta ^{\alpha \beta \gamma \delta }/{\sqrt {-g}}
↑  Chú ý rằng bởi vì  \eta _{\alpha \beta \gamma \delta } không phải là ten xơ, chỉ số dưới của nó không có nghĩa là chỉ số hiệp biến mà chỉ là một dãy các số, vì lý do này  \eta _{\alpha \beta \gamma \delta }=\eta ^{\alpha \beta \gamma \delta }=[\alpha \beta \gamma \delta ].
↑  Có thể chứng minh được rằng, khi thu gọn hai ten xơ hạng bất kỳ mà có hai chỉ số là đối xứng ở một ten xơ và phản xứng ở ten xơ kia thì kết quả thu được bằng 0, nghĩa là  T^{\alpha \beta [\gamma \delta ]...\epsilon }R_{\mu \nu (\gamma \delta )...\rho }=0
↑  Nói một cách tương đương, hệ quy chiếu quán tính được định nghĩa là hệ quy chiếu mà nguyên lý quán tính Galilei được thỏa mãn, tức là một vật nằm trong nó không chịu tác động của lực nào hoặc các lực tác dụng vào nó là cân bằng thì vật đó sẽ giữ nguyên chuyển động đều hoặc đứng im.
↑  Quy ước khi đặt c = 1 không thực sự thuận tiện trong phần này bởi vì nó giấu đi bản chất rằng tọa độ thời gian t thực sự phải được viết bằng ct và vận tốc V bất kỳ phải được hiểu là V / c. Người đọc nên lưu ý điều này.
↑  Một định luật vật lý bất biến qua phép biến đổi có nghĩa là nó có cùng dạng phương trình toán học và nếu các hằng số vật lý xuất hiện trong phương trình không thay đổi giá trị theo thời gian.
↑  Xem Preti 2009Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPreti2009 (trợ giúp) về bối cảnh lịch sử.
↑  Landau & Lifshitz 1975, tr. 9Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFLandauLifshitz1975 (trợ giúp) và Schutz 2009, ph. 1.9
↑  Trường hợp tường minh có sự xuất hiện của c, là  u^{\mu }=(\gamma ,\gamma v^{i}/c)\quad u_{\mu }=(-\gamma ,\gamma v^{i}/c). Cũng chú ý rằng mọi vận tốc ở đây là vận tốc 'tương đối', so với một quan viên đứng yên có vận tốc - bốn  U^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }
↑  Khối lượng nghỉ được định nghĩa là khối lượng của hạt trong hệ quy chiếu chuyển động cùng với nó. Định nghĩa này giúp phân biệt với khối lượng tổng thể, mà còn bao gồm đóng góp từ trường hấp dẫn.
↑  Khi tốc độ ánh sáng không được đặt bằng 1, các biểu thức (118) - (124) viết thành  p^{\mu }p_{\mu }=-m^{2}c^{2},E=m\gamma c^{2},E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2},E=mc^{2}+mv^{2}+{\mathcal {O}}(v^{4}/c^{4}),E_{0}=mc^{2},p=E/c
↑  Có tồn tại một số dạng phát biểu của nguyên lý tương đương và vấn đề xác thực nguyên lý này bằng thực nghiệm thông qua những thí nghiệm phức tạp vẫn đang là một chủ đề nghiên cứu tích cực.
↑  Chú ý rằng, như đã nêu, nguyên lý tương đương đúng khi và chỉ chỉ khi hệ quy chiếu rơi tự do với gia tốc không đổi, tức là nó rơi trong một trường hấp dẫn đều. Rõ ràng là những trường hấp dẫn như thế chỉ là sự lý tưởng hóa và thực tế không tồn tại các trường hấp dẫn đều. Đối với trường hấp dẫn không đều, nói một cách sơ lược, nguyên lý tương đương không áp dụng được trong tình huống này, do sự có mặt của hiệu ứng thủy triều cho phép nhà vật lý có thể phân biệt được hiệu ứng hấp dẫn bằng quá trình rơi tự do của hai vật.
↑  Chúng ta nhớ lại rằng, khi chúng ta đưa ra khái niệm đa tạp trong phần 2 [Đa tạp không thời gian], chúng ta nhấn mạnh rằng tính cục bộ, tức là trong một lân cận đủ nhỏ của một điểm, đa tạp được coi giống như không gian Euclide và có thể được xấp xỉ bằng một không gian phẳng tiếp tuyến tại điểm đó.
↑  Định lý phổ (spectral theorem) nổi tiếng trong lý thuyết ma trận nói rằng luôn tồn tại một phép biến đổi ma trận biến một ma trận đối xứng bất kỳ thành một ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo là một trong các số -1, 0, +1, hay tenxơ mêtric không thời gian cong có thể đưa về dạng mêtric (103) không thời gian phẳng tại một điểm. Xem Schutz 2009, tr 145 chương 6
↑  Kể từ đây, chúng ta sẽ viết đạo hàm riêng theo cách rút gọn là  \partial _{\mu }:=\partial /\partial x^{\mu }.
↑  Xem De Felice & Clarke 1990, tr 65Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFDe_FeliceClarke1990 (trợ giúp)
↑  Xem De Felice & Clarke 1990, tr 66Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFDe_FeliceClarke1990 (trợ giúp)
↑  Xem De Felice & Clarke 1990, Chương 4, Spacetime and Tetrad formalism, tr 129Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFDe_FeliceClarke1990 (trợ giúp)
↑  Schutz 2009, tr 170
↑  Một số sách sử dụng kiểu ký hiệu khác cho đạo hàm hiệp biến, trong đó ký hiệu nabla được thành bằng dấu chấm phẩy, trong khi đạo hàm riêng thường được ký hiệu bằng dấu phẩy, ví dụ  U^{\mu }{}_{;\nu }=U^{\mu }{}_{,\nu }+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }U^{\lambda }. Xem Misner, Thorne & Wheeler 1973Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFMisnerThorneWheeler1973 (trợ giúp)
↑  Xem De Felice & Clarke 1990, Chương 3, The Cuvarture, tr 126Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFDe_FeliceClarke1990 (trợ giúp)
↑  Xem Landau & Lifshitz 1975, Chương 10, tr 263Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFLandauLifshitz1975 (trợ giúp)
↑  Phương trình (188) và (189) có thể mở rộng cho không thời gian có tenxơ xoắn khác 0,  {\mathcal {T}} và chúng có dạng



 \nabla _{[\mu }\nabla _{\nu ]}A_{\alpha }={\frac {1}{2}}R_{\alpha \nu \mu }^{\beta }A_{\beta }+{\frac {1}{2}}{\mathcal {T}}_{\mu \nu }^{\beta }\nabla _{\beta }A_{\alpha },\quad \nabla _{[\mu }\nabla _{\nu ]}A^{\alpha }={\frac {1}{2}}R_{\beta \nu \mu }^{\alpha }A^{\beta }+{\frac {1}{2}}{\mathcal {T}}_{\mu \nu }^{\beta }\nabla _{\beta }A^{\alpha }



 
 
 


 


(190)
↑  Nếu ten xơ Riemann là một thành phần động lực, tức là nó phụ thuộc vào thời gian, thì phương trình độ lệch trắc địa (198) có thể được sử dụng để xác định các hiệu ứng của bức xạ hấp dẫn tác dụng lên nhóm các hạt thử trong trạng thái rơi tự do. Xem Misner, Thorne & Wheeler 1973, Part III Gravitation WavesLỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFMisnerThorneWheeler1973 (trợ giúp)
↑  Xem Landau & Lifshitz 1975, Chương 11, phương trình 96Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFLandauLifshitz1975 (trợ giúp)
1 2  Riess, Adam G.year=1998. “Observational evidence from supernovae for an accelerating universe and a cosmological constant”. Astronomical J. 116 (3): 1009–38. arXiv:astro-ph/9805201. Bibcode:1998AJ....116.1009R. doi:10.1086/300499.
1 2  Perlmutter, S.journal=Astrophysical Journal (1999). “Measurements of Omega and Lambda from 42 high redshift supernovae”. 517 (2): 565–86. arXiv:astro-ph/9812133. Bibcode:1999ApJ...517..565P. doi:10.1086/307221. Chú thích journal cần |journal= (trợ giúp)
1 2  Misner, Thorne & Wheeler 1973Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFMisnerThorneWheeler1973 (trợ giúp)
↑  Xem De Felice & Clarke 1990Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFDe_FeliceClarke1990 (trợ giúp)
↑  Mặc dù hầu hết các nhà vật lý đều thống nhất rằng lý thuyết lượng tử về hấp dẫn có thể cung cấp sự miêu tả về nguồn gốc của hằng số vũ trụ, bây giờ nó có thể được coi là đóng góp thêm vào tenxơ ứng suất-năng lượng theo dạng  T_{\mu \nu }(\Lambda )=-(\Lambda /8\pi )g_{\mu \nu }
↑
Einstein, A.; Infeld, L.; Hoffmann, B. (1938). “The Gravitational Equations and the Problem of Motion”. Annals of Mathematics. Second series. 39 (1): 65–100. Bibcode:1938AnMat..39...65E. doi:10.2307/1968714. JSTOR 1968714.
↑  Schwarzschild, K. (1916). “Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie”. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 7: 189–196. arXiv:physics/9905030. Bibcode:1916AbhKP1916..189S.
↑  Chúng ta gọi nghiệm tĩnh của phương trình trường Einstein đó là nghiệm mà các thành phần của mêtric không phụ thuộc vào thời gian hay bị ảnh hưởng bởi sự đảo ngược thời gian, tức là thông qua biến đổi  t\rightarrow -t.
↑  Xem De Felice & Clarke 1990Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFDe_FeliceClarke1990 (trợ giúp), Schutz 2009, Misner, Thorne & Wheeler 1973Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFMisnerThorneWheeler1973 (trợ giúp), d'Inverno 1992
↑  Quả vậy, nếu quỹ đạo không nằm trên mặt phẳng nó sẽ tiến động theo một hướng, và không tuân theo giả sử về đối xứng cầu.
↑  Phương trình (233) có thể dễ dàng suy ra nếu để ý 2L = -m² rồi sử dụng các phương trình (232) và (235)
↑  Chú ý rằng hằng số một trong thế không làm nhiễu loạn nghiệm, không ảnh hưởng đến phương trình chuyển động.
↑  Xem thêm Những định luật của Kepler về chuyển động thiên thể.
↑  Chú ý rằng những quỹ đạo này không kín bởi vì sự tiến động của cận điểm quỹ đạo trong trường hấp dẫn (Misner, Thorne & Wheeler 1973Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFMisnerThorneWheeler1973 (trợ giúp)) do đó chúng là những quỹ đạo ellip nhưng không kín.
↑  Kerr, R. P. (1963). “Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics”. Phys. Rev. Lett. 11 (5): 237. Bibcode:1963PhRvL..11..237K. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
↑  Robinson D. C. (1975). “Uniqueness of the Kerr Black Hole”. Phys. Rev. Lett. 34 (14): 905. doi:10.1103/PhysRevLett.34.905.
↑  Các thành phần của mêtric vẫn độc lập với thời gian nhưng nghiệm bị ảnh hưởng bởi sự đảo ngược thời gian, tức là qua phép biến đổi  t\rightarrow -t.
↑  Frederick J. Ernst (1968). “New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem. II”. Phys. Rev. Lett. 168 (5): 1415. doi:10.1103/PhysRev.168.1415.
↑  Bardeen, J.M.; Press, W.H.; Teukolsky, S.A. (1972). “Rotating Black Holes: Locally Nonrotating Frames, Energy Extraction, and Scalar Synchrotron Radiation”. Astrophysical Journal. 178: 347–370. Bibcode:1972ApJ...178..347B. doi:10.1086/151796.
↑  R. Penrose, Gravitational Collapse: The Role of General Relativity, Rivista del Nuovo Cimento, Numero Speziale I, 252 (1969)
↑  R. Penrose and R. M. Floyd, "Extraction of Rotational Energy from a Black Hole," Nature Physical Science 229, 177 (1971).
↑  R. D. Blandford and R. L. Znajek (1977). “Electromagnetic extraction of energy from Kerr black holes”. MNRAS. 179 (3): 433–456. doi:10.1093/mnras/179.3.433.Quản lý CS1: sử dụng tham số tác giả (liên kết)
↑  B. Carter (1968). “Global structure of the Kerr family of gravitational fields”. Physical Review. 174 (5): 1559–1571. doi:10.1103/PhysRev.174.1559.
↑  Nguyên lý vũ trụ học (căn cứ trên các dữ liệu quan trắc nhưng vẫn là những giả sử cơ bản), nói rằng khi quan sát trên phạm vi đủ lớn, tính chất của Vũ trụ là như nhau đối với mọi quan sát viên. Nhìn theo cách khác, nguyên lý vũ trụ học là sự mở rộng của Nguyên lý Copernicus về con người không ở một vị trí đặc biệt nào trong Vũ trụ.
↑  Hubble, Edwin (1929). “A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae” (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences. 15 (3): 168–173. Bibcode:1929PNAS...15..168H. doi:10.1073/pnas.15.3.168. PMC 522427. PMID 16577160.
↑  Friedmann, Alexander (1922), “Über die Krümmung des Raumes”, Zeitschrift für Physik A, 10 (1): 377–386, Bibcode:1922ZPhy...10..377F, doi:10.1007/BF01332580
↑  Lemaître, Georges (1931), “Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ”, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 91: 483–490, Bibcode:1931MNRAS..91..483L, doi:10.1093/mnras/91.5.483
↑  Robertson, H. P. (1935), “Kinematics and world structure”, Astrophysical Journal, 82: 284–301, Bibcode:1935ApJ....82..284R, doi:10.1086/143681
↑  Walker, A. G. (1935), “On the formal comparison of Milne's kinematical system with the systems of general relativity”, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 95: 263–269, Bibcode:1935MNRAS..95..263W
↑  Planck collaboration. “Planck 2013 results. XVI. Cosmological parameters”. Astronomy & Astrophysics. 571. arXiv:1303.5076. doi:10.1051/0004-6361/201321591.Quản lý CS1: sử dụng tham số tác giả (liên kết)
↑  Toán tử gạch ngang mũ cũng có thể áp dụng cho vết và  {\bar {h}}=-h.
↑  Chuẩn Lorenz do Ludvig V. Lorenz nêu ra, không nên nhầm lẫn với chuẩn Lorentz theo tên của Hendrik Lorentz.
↑  Chú ý rằng điều kiện trực giao cố định ba chứ không phải bốn thành phần do cần phải có thêm điều kiện  \kappa ^{\mu }A_{\mu \nu }u^{\nu }=0.