Toán học của thuyết tương đối rộng
Đa tạp không thời gian > Hệ tọa độ

Ý tưởng về không thời gian (tập hợp chứa mọi sự kiện), như là một đa tạp (không gian phủ bởi các hệ tọa độ), là rất hấp dẫn từ quan điểm hình học, nhưng cũng phải là nguồn để đề cập đến từ quan điểm vật lý học, vì sự lựa chọn tùy ý hệ tọa độ có thể đưa đến việc làm mất các thông tin vật lý. Tuy vậy, đây là một lập luận không đúng và các phép đo phải là độc lập với hệ tọa độ, tức là, các phép đo sẽ cho cùng một kết quả trong mọi hệ tọa độ được lựa chọn. Tương tự, vẫn có thể dẫn ra được các phương trình độc lập với hệ tọa độ khi không thời gian được coi là một đa tạp.
Bước đầu tiên để học quá trình này đó là làm quen với các đối tượng cơ bản của một đa tạp, như đường cong, đại lượng vô hướng và vectơ, và cách chúng biến đổi như thế nào khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác. Kể từ đây chúng ta giả sử rằng  {\mathcal {M}} là đa tạp khả vi gồm bốn chiều (ba chiều không gian và một chiều thời gian), nhưng việc tổng quát hóa các tính chất của đa tạp lên đa tạp n chiều là trực tiếp.
Xét không thời gian được phủ bởi hai hệ tọa độ,  \{x^{\mu }\} và  \{x^{\mu '}\} , hoặc tương đương, xét hai ánh xạ khác nhau  \Phi  và  \Phi ' đi từ  {\mathcal {M}} vào  \mathbb {R} ^{4}. Mỗi điểm P của  {\mathcal {M}} do đó được biểu diễn bằng hai tọa độ khác nhau, mỗi tọa độ chứa bốn phần tử,  \{x_{P}^{\mu }\} và  \{x_{P}^{\mu '}\}. Phép biến đổi tọa độ  \{x^{\mu }\}\rightarrow \{x^{\mu '}\} tại điểm P được biểu diễn bằng bốn hàm số đơn trị, liên tục và khả vi  f^{\mu } sao cho
ở đây ký hiệu x có bốn tọa độ  x^{\mu } ám chỉ những đối tượng bôi đậm thuộc về  {\mathcal {M}}. Bởi vì đa tạp là khả vi, do vậy phép biến đổi tọa độ không chỉ đúng tại điểm P, tức là
Hàm f cũng phải khả nghịch, do đó hàm f−1 là phép biến đổi tọa độ nghịch đảo  \{x^{\mu '}\}\rightarrow \{x^{\mu }\} và
với phép toán kết hợp  f\circ f^{-1} trở thành đồng nhất, nghĩa là  x^{\mu }=x^{\mu }(x^{\mu '})=x^{\mu }(x^{\mu '}(x^{\mu })).
Ví dụ coi mặt phẳng là một đa tạp hai chiều với hai hệ tọa độ  \{x^{\mu }\}=(x,y) và  \{x^{\mu '}\}=(r,\theta ) do vậy
và nếu áp dụng hàm hợp  f\circ f^{-1} đối với tập tọa độ thứ nhất ta thu được đồng nhất thức  x=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}cos[tan^{-1}(y/x)]=x.
Khai thác tính khả vi của đa tạp, chúng ta có thể lấy vi phân của tọa độ x' theo x và thu được ma trận biến đổi
với định thức
là định thức Jacobi (hay Jacobian) của biến đổi tọa độ  f trong (2). Nếu J' khác 0 tại mọi điểm, khi đó phương trình (2) sẽ có nghiệm và chúng ta nhận được phép biến đổi ngược (3). Ngược lại, nếu J' = 0 tại một điểm, ta nói phép biến đổi là kỳ dị tại điểm đó. Tương tự ta có thể lấy vi phân tọa độ x theo x' và thu được ma trận biến đổi ngược
Đến đây, sử dụng quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng, sẽ không khó để chứng minh được rằng hai ma trận (5) và (7) là nghịch đảo của nhau, tức là
với  \mathbf {\Lambda ',\Lambda } ,\mathbb {I}  lần lượt là các ma trận tương ứng của  \Lambda ^{\mu '}{}_{\mu },\Lambda ^{\mu }{}_{\mu '} và ma trận đơn vị. Hệ quả trực tiếp của (8) đó là định thức Jacobi của hai ma trận là nghịch đảo của nhau, tức là J' = 1/J.
Ví dụ ma trận biến đổi giữa hai hệ tọa độ trong (4) là
và
với  J'=1/(x^{2}+y^{2})^{1/2}=1/J.