stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Pin Li-ion
Cơ chế sạc và xả > Nhiệt độ hoạt động

Nhiệt độ giới hạn của pin khi sạc quan trọng hơn nhiệt độ xả (nhiệt độ lúc sử dụng). Các nhà khoa học nhận thấy rằng chính việc hoạt động ở nhiệt độ quá cao làm giảm tuổi thọ pin. Pin sẽ hoạt động tốt nhất khi sạc ở 5-45oC, lúc này có thể sạc tốc độ cao. Nhiệt độ thấp hơn, tức 0-5 oC có thể sạc được nhưng dòng điện sẽ giảm, dù trong quá trình sạc, nhiệt độ của pin sẽ tăng lên đôi chút do điện trở trong của pin. Hiện tượng tăng nhiệt độ trong quá trình sạc là nguyên nhân làm giảm hiệu năng pin, khi nhiệt độ tăng lên trên 45 oC pin sẽ bị chai nhanh chóng. Mặc dầu vậy khi sạc ở nhiệt độ thấp, điện trở trong của pin lại tăng và làm giảm tốc độ và tăng thời gian sạc.
Pin LIB không nên sạc ở nhiệt độ dưới 0 oC. Ở nhiệt độ này, tuy hệ pin đang được sạc bình thường, nhưng do ở nhiệt độ thấp, độ dẫn của vật liệu điện cực kém sẽ làm giảm khả năng phản ứng của ion lithi với vật liệu điện cực, khi đó lithi sẽ được mạ lên bề mặt điện cực thay vì khuếch tán vào sâu bên trong vật liệu và tham gia phản ứng trong điều kiện sạc lạnh, lớp mạ này bám chặt trên điện cực dù có tiếp tục sạc hay xả. Vì thế hầu hết các pin đều không thể hoạt động ngoài khoảng 0-45 oC vì yếu tố an toàn.
Varta lithium-ion battery, Museum Autovision, Altlussheim, Đức
Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc

| --- | --- |
   Quang cảnh trụ sở Ngân hàng Hàn Quốc
Trụ sở chính: 39 Namdaemun-ro, Jung-gu, Seoul, Hàn Quốc
Tọa độ: 37°33′43″B 126°58′50″Đ﻿ / ﻿37,562°B 126,980661°Đ﻿ / 37.562; 126.980661
Thành lập: 12 tháng 6 năm 1950; 74 năm trước (1950-06-12)
Quyền sở hữu: Chính phủ Hàn Quốc
Thống đốc: Rhee Chang-yong
Quốc gia: Hàn Quốc
Tiền tệ: Won KRW (ISO 4217)
Vốn dự trữ: 510 triệu $US
Website: Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc Trang web chính thức
| --- | --- |
Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc
Hangul: 한국은행
Hanja: 韓國銀行
Romaja quốc ngữ: Hanguk Eunhaeng
McCune–Reischauer: Han'guk Ŭnhaeng
Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc (Tiếng Hàn: 한국은행, Tiếng Anh: Bank of Korea) là ngân hàng trung ương của Đại Hàn Dân Quốc, thành lập năm 1950 tại Seoul.
Mục tiêu hàng đầu là ổn định giá cả. Vì vậy, ngân hàng định hướng kiếm soát lạm phát. Mục tiêu thời gian 2010-2012 là CPI trung bình của 03 năm ở mức 3,0% ± 1%.
Lịch sử

Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc thành lập ngày 12 tháng 6 năm 1950 theo đạo luật cùng tên.
Chức năng hàng đầu của ngân hàng này được xác định trong đạo luật thành lập nó là theo đuổi sự ổn định của giá cả. Ngân hàng định ra mục tiêu kiểm ổn định giá cả với sự tư vấn của Chính phủ, soạn thảo và công bố kế hoạch thực hiện bao gồm cả soạn thảo và công bố chính sách tiền tệ.
Sau cùng, Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc thực hiện các chức năng cơ bản của một ngân hàng trung ương, đó là phát hành giấy bạc và tiền xu, công thức hóa và thực thi chính sách tín dụng và tiền tệ, cung cấp dịch vụ với vai trò ngân hàng của các ngân hàng và ngân hàng của chính phủ. Hơn nữa, Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc vận hành và quản lý các hệ thống thanh khoản và chi trả và quản lý quỹ  ngoại tệ quốc gia. Nó cũng đảm đương các chức năng giám sát ngân hàng nhất định theo luật thành lập Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc.
Các quan chức bao gồm Thống đốc, Phó thống đốc cấp cao và 5 Phó thống đốc điều hành các bộ phận chức năng ở trụ sở và 16 chi nhánh trong cả nước. Thêm vào đó, bộ phận kiểm toán trực thuộc Ủy ban Chính sách tiền tệ. Ông Lee Sungtae được bổ nhiệm là Thống đốc năm 2006. Trụ sở ngân hàng đặt tại đường Namdaemun Street, Jung-gu, Seoul.
Ủy ban Chính sách tiền tệ

Trên đỉnh của bộ máy Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc là Ủy ban Chính sách tiền tệ (Geumnyung Tonghwa Wiwonhoe). Chức năng chính của ủy ban là công thức hóa các chính sách tín dụng và tiền tệ. Ủy ban cân nhắc và giải quyết các vấn đề chính yếu liên quan đến hoạt động của Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc.
Ủy ban Chính sách tiền tệ bao gồm 7 thành viên đại diện cho các nhóm khác nhau của nền kinh tế:
Thống đốc, vị trí đương nhiên;
Phó Thống đốc cấp cao, vị trí đương nhiên;
Một thành viên được tiến cử bởi Bộ trưởng Tài chính;
Một thành viên được tiến cử bởi Thống đốc;
Một thành viên được tiến cử bởi Chủ tịch Ủy ban Dịch vụ Tài chính Hàn Quốc;
Một thành viên được tiến cử bởi Chủ tịch Phòng Thương mại và Công nghiệp;
Một thành viên được tiến cử bởi Chủ tịch hiệp hội Ngân hàng Hàn Quốc.
Các thành viên này được bổ nhiệm bởi Tổng thống theo nhiệm kỳ 4 năm ngoại trừ vị trí Phó Thống đốc với nhiệm kỳ 3 năm và có thể tái bổ nhiệm. Tất cả các thành viên phục vụ đủ thời gian và không thể bị miễn nhiệm trái với ý muốn. Thống đốc ngân hàng đảm nhiệm vị trí Chủ tịch Ủy ban.
Thống đốc qua các thời kỳ

| # | Thống đốc | Bắt đầu | Kết thúc |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | Yong Suh Koo | 5 tháng 6 năm 1950 | 18 tháng 12 năm 1951 |
| 2 | Yoo Taik Kim | 18 tháng 12 năm 1951 | 12 tháng 12 năm 1956 |
| 3 | Chin Hyung Kim | 12 tháng 12 năm 1956 | 21 tháng 5 năm 1960 |
| 4 | Eui Hwan Pai | 1 tháng 6 năm 1960 | 8 tháng 9 năm 1960 |
| 5 | Ye Yong Chun | 8 tháng 9 năm 1960 | 30 tháng 5 năm 1961 |
| 6 | Chang Soon Yoo | 30 tháng 5 năm 1961 | 26 tháng 3 năm 1962 |
| 7 | Pyong Do Min | 26 tháng 3 năm 1962 | 3 tháng 6 năm 1963 |
| 8 | Jungwhan Rhi | 3 tháng 6 năm 1963 | 26 tháng 12 năm 1963 |
| 9 | Se Ryun Kim | 26 tháng 12 năm 1963 | 25 tháng 12 năm 1967 |
| 10 | Jin Soo Suh | 29 tháng 12 năm 1967 | 2 tháng 5 năm 1970 |
| 11 | Sung Whan Kim | 2 tháng 5 năm 1970 | 1 tháng 5 năm 1978 |
| 12 | Byonghyun Shin | 2 tháng 5 năm 1978 | 5 tháng 7 năm 1980 |
| 13 | Joon Sung Kim | 5 tháng 7 năm 1980 | 4 tháng 1 năm 1982 |
| 14 | Yeung-Ki Hah | 5 tháng 1 năm 1982 | 31 tháng 10 năm 1983 |
| 15 | Chang Nak Choi | 31 tháng 10 năm 1983 | 7 tháng 1 năm 1986 |
| 16 | Sung Sang Park | 13 tháng 1 năm 1986 | 26 tháng 3 năm 1988 |
| 17 | Kun Kim | 26 tháng 3 năm 1988 | 26 tháng 3 năm 1992 |
| 18 | Soon Cho | 26 tháng 3 năm 1992 | 14 tháng 3 năm 1993 |
| 19 | Myung Ho Kim | 15 tháng 3 năm 1993 | 23 tháng 8 năm 1995 |
| 20 | Kyung Shik Lee | 24 tháng 8 năm 1995 | 5 tháng 3 năm 1998 |
| 21 | Chol-Hwan Chon | 6 tháng 3 năm 1998 | 31 tháng 3 năm 2002 |
| 22 | Park Seung | 1 tháng 4 năm 2002 | 31 tháng 3 năm 2006 |
| 23 | Lee Seongtae | 1 tháng 4 năm 2006 | 31 tháng 3 năm 2010 |
| 24 | Kim Choong-soo | 1 tháng 4 năm 2010 | 31 tháng 3 năm 2014 |
| 25 | Lee Ju-yeol | 1 tháng 4 năm 2014 | 31 tháng 3 năm 2022 |
| 26 | Rhee Chang-yong | 20 tháng 4 năm 2022 | Nay |
Trụ sở Ngân hàng Trung ương Hàn Quốc tại Seoul
Chrysanthemum Tran

Chrysanthemum Tran là một nhà thơ, nhà văn và nghệ sĩ biểu diễn người Mỹ gốc Việt sống ở Rhode Island. Năm 2016, Tran trở thành người phụ nữ chuyển giới đầu tiên lọt vào vòng chung kết cuộc thi thơ dành cho phụ nữ của thế giới, Women of the World Poetry Slam. Năm 2019, Tran thắng 25.000 đô la để hoàn thành tập thơ đầu tiên của mình và phát triển một hội nghị chuyên đề về thơ ở Wakefield, Rhode Island. Năm 2022, cô góp mặt trong dự án của PBS, True Colors: LGBTQ+ Our Music, Our Stories.
Tác phẩm > Buổi diễn

Anthem, Oberon, 2019
Tác phẩm > Bài luận

"How Do You Create Community Out of a Rainbow of Difference?", The Nation, June 2019
"When Remembering Stonewall, We Need To Listen to Those Who Were There", them., June 2018
Tác phẩm > Thơ

"I Don't Even Like Sports", Poetry Foundation, 2022
"Biological Woman (After Maya Angelou)", Finals at Women of the World Poetry Slam, 2018
"Binge", Muzzle Magazine, June 2017
"Behold! A Spectacle", The Offing, February 2016
"This Poem Is For Us", National Poetry Slam Finals, 2016
"On Using the Trans Panic Defense", The Offing, February 2016
"On (Not) Forgiving My Mother", Finals at Rustbelt Regional Poetry Slam, 2016
"Discovery (For Jennifer Laude)", Finals at Providence Poetry Slam, 2016
"Vampires", College Unions Poetry Slam Invitational, 2016
"Transplant", College Unions Poetry Slam Invitational, 2016
"Why I Never Reported My Rape", Women of the World Poetry Slam, 2016
"Cognates", Women of the World Poetry Slam, 2016
"I Had An Ultrasound", National Poetry Slam Semi-Finals, 2015
Tác phẩm > Hợp tuyển văn thơ

"Ode to Enclaves", Ink Knows No Borders: Poems of the Immigrant and Refugee Experience, 2019
"On Using the Trans Panic Defense" & "On (Not) Forgiving My Mother", Bettering American Poetry Vol. 2, 2018
Tác phẩm > Phát biểu và bình luận

"The Lunch Room Episode 16", American Repertory Theater, 2020
"Who Threw the First Brick at Stonewall? Let's Argue About It", The New York Times, 2019
"Queering the Present", PanAsian Solidarity Coalition Spring Festival, 2018
"#WOCMakingHistory", We, Ceremony, 2018
Giải thưởng

Robert and Margaret MacColl Johnson Fund Fellow, Rhode Island Foundation, 2018
Poetry Slam Champion, Feminine Empowerment Movement Slam, 2017
Fellow, Pink Door, 2016
Best Poet & Best Poem, College Unions Poetry Slam Invitational, 2016
Poetry Slam Champion, Rustbelt, 2016
Finalist, Women of the World Poetry Slam, 2016
Pushing the Art Forward, College Unions Poetry Slam Invitational, 2015
Drombus ocyurus

| Drombus ocyurus |
| --- | --- |

Tình trạng bảo tồn
 Ít quan tâm  (IUCN 3.1)
Phân loại khoa học 
Vực:: Eukaryota
Giới:: Animalia
Ngành:: Chordata
Lớp:: Actinopterygii
Bộ:: Gobiiformes
Họ:: Gobiidae
Chi:: Drombus
Loài:: D. ocyurus
Danh pháp hai phần
Drombus ocyurus (Jordan & Seale, 1907)

Các đồng nghĩa
 Rhinogobius ocyurus Jordan & Seale, 1907  Quisquilius malayanus Herre, 1936
Drombus ocyurus là một loài cá biển thuộc chi Drombus trong họ Cá bống trắng. Loài cá này được mô tả lần đầu tiên vào năm 1907.
Tình trạng phân loại

D. ocyurus ban đầu được Jordan và Seale đặt trong chi Rhinogobius. Tuy nhiên, phân loại của Rhinogobius bị hiểu sai vào đầu thế kỷ 20, theo Herre (1933), nên R. ocyurus không chắc thuộc về chi Rhinogobius. Kunishima và cộng sự (2022) tạm thời coi loài này là thành viên của chi Acentrogobius dù đã cho biết hệ thống phân loại của Drombus và Acentrogobius đều chưa được xác định rõ ràng.
Từ nguyên

Từ định danh ocyurus được ghép bởi hai âm tiết trong tiếng Hy Lạp cổ đại: ōkús (ὠκῠ́ς; “mau lẹ”) và ourá (ουρά; “đuôi”), hàm ý không rõ, có lẽ đề cập đến vây đuôi dài và nhọn đầu của loài cá này.
Phân bố và môi trường sống

D. ocyurus có phân bố trải dài trên Đông Ấn - Tây Thái, bao gồm miền nam Nhật Bản (quần đảo Ryukyu), đảo Đài Loan, Trung Quốc (ngoài khơi Quảng Đông), Việt Nam (vịnh Hạ Long), Thái Lan (bờ biển Andaman và vịnh Thái Lan), Philippines (đảo Palawan và Luzon), Brunei, Papua New Guinea và bờ bắc Úc (Darwin qua Townsville, Queensland). D. ocyurus cũng được biết đến ở Singapore dưới danh pháp Quisquilius malayanus.
D. ocyurus sống trên nền đáy mềm (bùn, cát), được tìm thấy ở gần bờ, gồm cả vùng cửa sông, bãi triều và rừng ngập mặn, độ sâu đến khoảng 9 m.
Mô tả

Chiều dài cơ thể lớn nhất được ghi nhận ở D. ocyurus là 4,4 cm. Loài này bán trong suốt với 8 dải sẫm màu ở hai bên, lốm đốm sẫm khắp cơ thể. Dải sau cùng rõ nhất nối với một đốm sẫm màu hình tam giác gần của vây đuôi. Những dải và đốm sẫm này đôi khi mờ dần và không thấy được. Mỗi dải chứa 2–3 chấm xanh lam sáng, và có 2–3 đốm xanh trên nắp mang. Sọc đen ngang mắt. Các vây trong mờ, màu xám trắng. Vây lưng trước có 2 đốm lớn. Vây hậu môn và vây bụng ở con đực sẫm màu hơn ở con cái.
Số gai vây lưng: 7; Số tia vây lưng: 9–10; Số gai vây hậu môn: 1; Số tia vây hậu môn: 9; Số gai vây bụng: 1; Số tia vây bụng: 5; Số tia vây ngực: 15–18.
Lê Văn Phú (cầu thủ bóng đá)

| Thông tin cá nhân |
| --- | --- | --- | --- |
Ngày sinh:  13 tháng 6, 1983  (41 tuổi)
Nơi sinh:  Ghana
Chiều cao:  1,75 m (5 ft 9 in)
Vị trí:  Hậu vệ
Sự nghiệp cầu thủ chuyên nghiệp*
| Năm |  Đội |  ST |  (BT) |
| 2009–2012 |  Khatoco Khánh Hòa |  51 |  (2) |
| 2013–2019 |  Hải Phòng |  105 |  (4) |
| 2019–2020 |  Dược Nam Hà Nam Định |  21 |  (1) |
 *Số trận ra sân và số bàn thắng ở câu lạc bộ tại giải quốc gia
Lê Văn Phú (tên khai sinh là Issifu Ansah; sinh ngày 13 tháng 6 năm 1983) là một cựu cầu thủ bóng đá người Việt gốc Ghana thi đấu ở vị trí trung vệ.
Nowon-gu

| Nowon-gu> Chuyển tự Tiếng Triều Tiên |
| --- | --- |
 • Hangul: 노원구
 • Hanja: 蘆原區
 • Romaja quốc ngữ: Nowon-gu
 • McCune–Reischauer: Nowŏn-ku
 
 

 

Nowon-gu
Quốc gia: Hàn Quốc
Phân cấp hành chính: 24 dong
Diện tích
 • Tổng cộng: 35,44 km2 (13,68 mi2)
Dân số 
 • Tổng cộng: 619.509
 • Mật độ: 17.481/km2 (45,280/mi2)
Nowon-gu  (Hangul: 노원구; Hanja: 蘆原區; Hán Việt: Lô Nguyên khu) là một quận (gu) của thủ đô Seoul, Hàn Quốc. Quận này nằm ở đông bắc thành phố, đây là quận có mật độ cao nhất Seoul với 619.509 người sống trên diện tích 35,44 km2. Đại học Công nghệ quốc gia Seoul nằm ở quận này.
Không gian Hilbert

Trong toán học, không gian Hilbert (Hilbert Space) là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có trang bị tích trong, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt là khái niệm trực giao hay vuông góc). Hơn nữa, nó thỏa mãn một yêu cầu nữa là tính đầy đủ để chắc chắn rằng giới hạn là tồn tại khi cần, làm các định nghĩa khác nhau trong tính toán vi tích phân dễ dàng hơn. Các không gian Hilbert cho phép các trực giác hình học có thể được áp dụng vào một số không gian hàm vô hạn chiều. Chúng cung cấp một khung để hệ thống hóa và tổng quát hóa khái niệm chuỗi Fourier theo một hệ bất kì của các hàm số trực giao và của phép biến đổi Fourier, là những khái niệm trung tâm của giải tích hàm. Không gian Hilbert đóng vai trò quan trọng trong việc hình thức hóa toán học cơ học lượng tử.
Giới thiệu

Các không gian Hilbert được đặt tên theo David Hilbert, người nghiên cứu chúng trong ngữ nghĩa của phương trình tích phân. Nguyên thủy là John von Neumann đã gọi "der abstrakte Hilbertsche Raum" trong công trình nổi tiếng của ông về các toán tử Hermitian không bị chặn vào năm 1929. Von Neumann có lẽ là nhà toán học nhận ra một cách rõ ràng nhất tầm quan trọng của khái niệm này trong công trình khai phá của ông về nền tảng của cơ học lượng tử bắt đầu với Hilbert và Lothar (Wolfgang) Nordheim và tiếp tục với Eugene Wigner. Cái tên "không gian Hilbert" nhanh chóng được dùng theo bởi những người khác, ví dụ như Hermann Weyl trong cuốn sách của ông với tựa đề Lý thuyết nhóm và vật lý lượng tử xuất bản năm 1931 (tiếng Anh là ISBN 0486602699).
Những phần tử của một không gian Hilbert trừu tượng đôi khi được gọi là "vectơ". Trong các ứng dụng, chúng thông thường là các chuỗi của các số phức hay của các hàm số. Trong vật lý lượng tử chẳng hạn, một hệ vật lý được miêu tả bởi một không gian Hilbert phức chứa các "hàm sóng" biểu diễn tất cả các trạng thái có thể của hệ thống. Xem sự hình thức hóa toán học của cơ học lượng tử để thêm chi tiết. Không gian Hilbert của các  sóng phẳng và các trạng thái biên thường được sử dụng trong cơ học lượng tử được biết chính thức hơn dưới tên rigged Hilbert space.
Định nghĩa > Định nghĩa hình thức

Không gian Hilbert là không gian véc-tơ  H trên trường số thực  \mathbb {R}  hoặc số phức  \mathbb {C}  đồng thời trang bị một tích trong  \langle \cdot ,\cdot \rangle  thoả mãn các điều kiện sau:
1. Không gian véc-tơ:
H là một không gian véc-tơ tuyến tính, như vậy là được tranh bị phép cộng và phép nhân vô hướng.
2. Tích trong:
Tích trong \langle x,y\rangle là một ánh xạ H\times H\to \mathbb {R} (hoặc \mathbb {C} ) thoả mãn:
Tuyến tính theo biến đầu:  \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .
Đối xứng liên hợp:  \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.
Xác định dương:  \langle x,x\rangle \geq 0 và  \langle x,x\rangle =0 khi và chỉ khi  x=0.
3. Độ dài và chuẩn:
Chuẩn của một véc-tơ  x được định nghĩa bởi  \|x\|=\langle x,x\rangle .
4. Đầy đủ
H là không gian metric đầy đủ dưới chuẩn  \|x-y\| nghĩa là giới hạn của mọi dãy Cauchy trong  H cũng là phần tử trong  H.
Nếu các điều kiện 1-3 được thoả mãn mà điều kiện 4 (Đầy đủ) không thoả mãn thì không gian là không gian tích trong.
Không gian Hilbert là trường hợp riêng của không gian Banach. Không gian Banach chỉ yêu cầu điều kiện về chuẩn mà có thể không cần tích trong.
Định nghĩa > Giải thích

Mỗi tích trong  \langle \cdot ,\cdot \rangle  trên một không gian vectơ định nghĩa trên số thực hay số phức H sẽ đưa đến một chuẩn ||·|| như sau:
Trong bất kì không gian có chuẩn nào, các quả cầu mở sẽ là một cơ sở của topo tương ứng; bất kì một không gian có chuẩn nào cũng là một không gian vectơ có trang bị topo và do đó bất kì không gian có tích trong nào cũng như vậy.
Tiêu chuẩn Cauchy có thể được định nghĩa cho các dãy (sequence) trong không gian này (cũng như trong bất kì một không gian thuần nhất nào): một dãy  \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} } là một dãy Cauchy nếu như cho bất kì số dương bất kỳ  \varepsilon >0, có một số tự nhiên  N=N(\varepsilon ) phụ thuộc vào  \varepsilon  sao cho với tất cả  m,n>N, ta có  \|x_{n}-x_{m}\|<\varepsilon . Ta gọi  H là một không gian Hilbert nếu như nó đầy đủ tương ứng với chuẩn này, nghĩa là bất kì dãy Cauchy nào hội tụ về một phần tử trong  H. Mỗi không gian Hilbert do đó cũng là một không gian Banach (một không gian định chuẩn đầy đủ), nhưng điều ngược lại là không đúng.
Tất cả các không gian hữu hạn chiều (ví dụ như không gian Euclid với tích vô hướng thông thường là những không gian Hilbert. Tuy nhiên, các ví dụ vô hạn chiều đóng vai trò quan trọng hơn trong các ứng dụng. Những ứng dụng này bao gồm:
Lý thuyết biểu diễn nhóm unitary
Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên bình phương tích phân được.
Lý thuyết không gian Hilbert của phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là công thức hóa bài toán Dirichlet
Phân tích phổ của các hàm, bao gồm những lý thuyết sóng nhỏ (wavelet)
Công thức hóa toán học của cơ học lượng tử
Tích vô hướng cho phép người ta có một quan điểm "hình học" và sử dụng các diễn đạt hình học tương tự trong không gian hữu hạn chiều. Trong tất cả các không gian vectơ có trang bị topo, những không gian Hilbert là những không gian "cư xử tốt nhất" và gần nhất với các không gian hữu hạn chiều.
Một mục tiêu của giải tích Fourier là viết được một hàm số như là một chuỗi (có thể vô hạn) của các hàm cơ sở cho trước (nhân với số vô hướng). Bài toán này có thể được nghiên cứu một cách trừu tượng trong không gian Hilbert: bất kì không gian Hilbert nào cũng có một cơ sở trực giao, và bất kì phần tử nào trong không gian Hilbert cũng có thể được viết ra duy nhất như là tổng các phần tử cơ sở này nhân với các hệ số.
Ví dụ

Trong nhũng ví dụ này, chúng ta giả sử rằng trường các số vô hướng là 
các số phức C, mặc dù các định nghĩa này cũng áp dụng cho trường hợp
mà trường số vô hướng là các số thực R.
Ví dụ > Không gian Euclid

Cn với định nghĩa tích vô hướng
và thanh ngang trên số phức ký hiệu số phức liên hợp.
Ví dụ > Không gian các chuỗi

Tuy vậy thường gặp hơn là các không gian Hilbert vô hạn chiều. 
Nếu B là một tập hợp bất kì, hữu hạn hay đếm được, chúng ta định nghĩa không gian chuỗi l2 trên B, ký hiệu bởi
Không gian này trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng sau đây
với mọi x và y trong l2(B).
B  cần phải là một tập đếm được trong định nghĩa này, vì nếu B là không đếm được, ta không định nghĩa được  tổng vô hạn không đếm được. Nếu B không đếm được, ta yêu cầu x(b) phải bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn hay đếm được phần tử b của B. Không gian Hilbert kết quả sẽ không khả ly. Theo một nghĩa được nói chính xác sau, bất kì không gian Hilbert nào cũng isomorphic với một dạng l2(B) cho một tập B được chọn một cách thích hợp.  Nếu B=N, chúng ta viết một cách đơn giản là l2.
Ví dụ > Các không gian Lebesgue

Đây là các không gian hàm liên hệ với các không gian đo (X, M, μ), trong đó M là một đại số σ- của các tập con của X và μ là một độ đo có thể cộng được (với một số đếm được các số hạng) trên M. Gọi L2μ(X) là không gian của các hàm có giá trị phức của các hàm đo được và bình phương là khả tích trên X, modulo bằng nhau hầu như khắp nơi. Bình phương khả tích nghĩa là tích phân của bình phương của giá trị tuyệt đối của hàm số đó là hữu hạn. Modulo bằng nhau hầu như khắp nơi nghĩa là các hàm số này có thể được xác định nếu và chỉ nếu chúng bằng nhau bên ngoài một tập có độ đo bằng 0.
Tích vô hướng của các hàm số f và g ở đây được cho bởi
Ta cần chúng minh:
Rằng tích phân này là có nghĩa;
Không gian kết quả là toàn vẹn.
Đây là những tính chất kỹ thuật, và người đọc nếu thích chi tiết có thể xem cuốn sách viết bởi Halmos liệt kê bên dưới, Chương 42. Lưu ý rằng việc sử dụng tích phân Lebesgue bảo đảm rằng không gian này là toàn vẹn. Xem Không gian Lp cho các thảo luận thêm về ví dụ này.
Ví dụ > Các không gian Sobolev

Không gian Sobolev, ký hiệu là  H^{s} hay  W^{s,2}, là các ví dụ khác của các không gian Hilbert, và thường được sử dụng trong lãnh vực các phương trình đạo hàm riêng.
Các thao tác trên các không gian Hilbert

Cho hai (hoặc nhiều hơn) các không gian Hilbert, chúng ta có thể gộp chúng lại thành một không gian Hilbert duy nhất bằng cách lấy tổng trực tiếp hay là tích tensor của chúng.
Hilbert-Curve 3D,
0th order
Hilbert-Curve 3D,
1st order
Hilbert-Curve 3D,
2nd order
Hilbert-Curve 3D,
orders 0 to 2
Mỗi không gian Hilbert có thể được vẽ bằng nhiều cung Hilbert, chúng nối tiếp nhau thành không gian duy nhất.
Hệ cơ sở

Một khái niệm quan trọng là một hệ cơ sở trực giao  của một không gian Hilbert H: đây là một hệ {ek}k ∈ B của H thỏa mãn:
Các phần tử được chuẩn hóa: Mọi phân tử của hệ đều có chuẩn là 1: ||ek|| = 1 với mọi k trong B
Các phần tử trục giao với nhau: Bất kì hai phần tử khác nhau nào của B cũng vuông góc với nhau: <ek, ej> = 0 với mọi k, j trong B với k ≠ j.
Span trù mật: span tuyến tính của B là trù mật trong H.
Chúng ta cũng dùng các từ ngữ dãy trực chuẩn (orthonormal sequence) và 
tập trực chuẩn (orthonormal set).
Các ví dụ về hệ cơ sở trực giao bao gồm:
tập hợp {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} tạo thành một cơ sở trực giao cho R3
dãy {fn: n ∈ Z} với fn(x) = exp(2πinx) tạo thành một hệ cơ sở trục giao cho không gian các hàm phức  L2([0,1])
Hệ {eb: b ∈ B} với eb(c) = 1 nếu b=c và 0 cho trường hợp khác, tạo thành một hệ cơ sở trực giao của  l2(B).
Chú ý rằng trong trường hợp không gian vô hạn chiều, một cơ sở trực giao không phải là một cơ sở theo nghĩa của đại số tuyến tính; để phân biệt hai khái niệm này, cơ sở sau cũng được gọi là cơ sở Hamel. Rằng span (hay còn gọi là "bao tuyến tính") của các vectơ cơ sở là trù mật nghĩa là mỗi vectơ trong không gian có thể được viết ra như là giới hạn của một chuỗi vô hạn và tính chất trực giao suy ra rằng các phân tích này là duy nhất.
Sử dụng bổ đề Zorn, người ta có thể chứng minh rằng mọi không gian Hilbert chứa một hệ cơ sở trực giao; hơn nữa, hai hệ cơ sở trực giao bất kì của cùng một không gian sẽ có cùng độ đếm|lực lượng|bảng số (cardinality). Một không gian Hilbert là khả ly nếu và chỉ nếu nó có một hệ cơ sở trực giao đếm được.
Bởi vì tất cả các không gian Hilbert vô hạn chiều khả ly (tách được) được là isomorphic, và bởi vì hầu hết các không gian Hilbert sử dụng trong vật lý là khả ly, khi các nhà vật lý nói về không gian Hilbert họ muốn nói đến các không gian tách được.
Nếu {ek}k ∈ B là một cơ sở trực giao của H, thì mọi phần tử  x của H có thể được viết là
Ngay cả nếu như B không đếm được, chỉ có đếm được các số hạng trong tổng đó là khác không, và do đó biểu thức này là được định nghĩa tốt. Tổng này cũng còn được gọi là khai triển Fourier của x.
Nếu {ek}k ∈ B là một cơ sở trực giao của H, thì H là isomorphic với l2(B) theo nghĩa sau đây: tồn tại một song ánh(bijective) tuyến tính map Φ: H → l2(B) sao cho
với mọi x và y trong H.