stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Giá trị riêng và vectơ riêng
Các ví dụ > Ví dụ ma trận vuông cấp 2

Xét ma trận
Hình ảnh bên phải cho thấy tác động của phép biến đổi này lên các điểm tọa độ trong mặt phẳng. Các vectơ riêng v của phép biến đổi này thỏa mãn Phương trình (1), và các giá trị của λ sao cho định thức của ma trận (A − λI) bằng 0 là các giá trị riêng.
Lấy định thức để tìm đa thức đặc trưng của A,
Đặt cho phương trình đặc trưng bằng 0 và giải phương trình, nó có các nghiệm tại λ = 1 và λ = 3, cũng chính là hai giá trị riêng của ma trận A.
Với λ=1, từ Phương trình (2) ta có,
Mọi vectơ khác vectơ không với v1 = −v2 sẽ thỏa mãn phương trình này. Vì vậy,
là một vectơ riêng của A tương ứng với λ = 1, các bội vô hướng của vectơ này cũng vậy.
Với λ=3, Phương trình (2) trở thành
Mọi vectơ khác không với v1 = v2 thỏa mãn phương trình trên. Vì vậy,
và các bội vô hướng của nó là các vectơ riêng của A, ứng với λ = 3.
Vậy các vectơ vλ=1 và vλ=3 là các vectơ riêng của A tương ứng với các giá trị riêng λ=1 và λ=3.
Từ hình trên ta có thể thấy mỗi vectơ riêng không lệch khỏi span của nó.
Các ví dụ > Ví dụ ma trận vuông cấp 2 > Công thức tổng quát cho giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2

Giá trị riêng của một ma trận thực  A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}} là
Một cách biểu diễn khác là:  \lambda ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\det(A)}}.
Chú ý các giá trị riêng luôn dương nếu b và c cùng dấu, do số hạng bên dưới dấu căn phải dương.
Các ví dụ > Ma trận vuông cấp 3

Xét ma trận
Đa thức đặc trưng của A là
Các nghiệm của đa thức đặc trưng là 2, 1, và 11, cũng là ba giá trị riêng duy nhất của A. Các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng  {\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},  {\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}, và  {\begin{bmatrix}0&1&2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}, và bất kỳ các bội khác 0 của chúng.
Các ví dụ > Ma trận vuông cấp 3 với giá trị riêng phức

Xét ma trận hoán vị cyclic sau
Ma trận này dịch chuyển mỗi tọa độ thứ hai và thứ ba của vectơ lên vị trí liền trước đó và chuyển tọa độ thứ nhất xuống vị trí cuối cùng.
Đa thức đặc trưng của nó là 1 − λ3, với các nghiệm
trong đó  \mathbf {i}  là đơn vị ảo với  \mathbf {i} ^{2}=-1.
Với giá trị riêng thực λ1 = 1, mỗi vectơ với ba thành phần của nó đều bằng nhau và khác 0 là vectơ riêng. Ví dụ,
Với cặp giá trị riêng liên hợp phức ta thấy,
Vậy
và
Vì vậy, hai vectơ riêng khác của A là phức,  v_{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}} và  v_{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}} tương ứng với giá trị riêng λ2 và λ3. Hai vectơ riêng phức cũng theo cặp liên hợp phức,
Các ví dụ > Ma trận khả nghịch

Xét ma trận
Ta tìm cách biểu diễn ma trận nghịch đảo theo  A
Đa thức đặc trưng của ma trận  A là
có các giá trị riêng λ1 =  −2, λ2 = 2, và λ3 = 3. Mọi giá trị riêng đều khác 0, vì thế  A khả nghịch.
Theo tính chất ở trên ta có:
Do đó:
Đặt  B={\dfrac {1}{12}}(-A^{2}+3A+4I_{3}).
Ta có:
Do đó  A khả nghịch và
Các ví dụ > Ma trận đường chéo

Ma trận với chỉ với các phần tử nằm trên đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Các giá trị riêng của một ma trận chéo chính là các phần tử trên đường chéo chính. Xét ma trận
Đa thức đặc trưng của A là
nó có các nghiệm λ1 = 1, λ2 = 2, và λ3 = 3. Các nghiệm này là các giá trị riêng, cũng là các phần tử trên đường chéo chính của A.
Mỗi phần tử trên đường chéo tương ứng với một vectơ riêng với thành phần khác 0 duy nhất ở cùng hàng với phần tử đó. Trong ví dụ này, các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng có dạng sau  {\bigl (}c\neq 0{\bigr )},
Các ví dụ > Ma trận tam giác

Một ma trận vuông mà các phần tử ở nửa trên của đường chéo chính đều bằng 0 thì được gọi là ma trận tam giác dưới, trong khi một ma trận với các phần tử ở nửa dưới đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên. Tương tự các ma trận chéo, các giá trị riêng của ma trận tam giác chính là các phần tử của đường chéo chính.
Xét ma trận tam giác dưới sau,
Đa thức đặc trưng của A là
có các nghiệm hay giá trị riêng là λ1 = 1, λ2 = 2, và λ3 = 3, cũng là các phần tử đường chéo của A.
Các giá trị riêng này tương ứng với các vectơ riêng có dạng sau (với c khác 0),
Các ví dụ > Ma trận với giá trị riêng lặp lại

Tương tự ví dụ trước, ma trận tam giác dưới
có đa thức đặc trưng là mà nghiệm là các phần tử trên đường chéo,
Nghiệm của đa thức này, tức các giá trị riêng là 2 và 3. Số bội đại số của mỗi giá trị riêng này là 2; nói cách khác chúng đều là các nghiệm kép. Tổng số bội đại số của tất cả các giá trị riêng phân biệt là μA = 4 = n, luôn bằng bậc của đa thức đặc trưng hay số kích thước của ma trận A.
Mặt khác, số bội hình học của giá trị riêng 2 chỉ là 1, bởi không gian con riêng của nó được span bởi duy nhất một vectơ riêng  {\begin{bmatrix}0&1&-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}} nên chỉ có số chiều bằng 1. Tương tự, số bội hình học của giá trị riêng 3 cũng là 1 bởi không gian con riêng của nó được span bởi chỉ một vectơ riêng  {\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}. Số bội hình học tổng cộng γA là 2, là giá trị số bội hình học nhỏ nhất có thể có của một ma trận với hai giá trị riêng khác nhau. Số bội hình học được định nghĩa tổng quát ở mục sau.
Định nghĩa tổng quát

Khái niệm giá trị riêng và vectơ riêng được mở rộng một cách tự nhiên cho các biến đổi tuyến tính trên các không gian vectơ tùy ý. Cho V là một không gian vectơ bất kỳ trên một trường vô hướng K, và cho T là một tự đồng cấu tuyến tính từ V vào chính nó,
Ta gọi một vectơ v ∈ V khác vectơ không là một vectơ riêng của T khi và chỉ khi tồn tại vô hướng λ ∈ K sao cho
Phương trình này được gọi là phương trình (định nghĩa) giá trị riêng của T, và vô hướng λ được gọi là một giá trị riêng của T tương ứng với vectơ riêng v. T(v) là kết quả sau khi áp dụng biến đổi T lên vectơ v, còn λv là tích của vô hướng λ với vectơ v.
Định nghĩa tổng quát > Không gian con riêng, số bội hình học và cơ sở riêng

Cho một giá trị riêng λ, xét tập hợp
đây là tập hợp tất cả vectơ riêng ứng với λ hợp với vectơ không. E được gọi là không gian con riêng hay không gian đặc trưng của T tương ứng với giá trị riêng λ.
Bởi định nghĩa của một biến đổi tuyến tính ta có,
với mọi cặp (x,y) ∈ V và α ∈ K. Vì thế, nếu u và v là các vectơ riêng của T tương ứng với giá trị riêng λ, tức là u,v ∈ E, thì
Vì vậy, cả u + v và αv hoặc là vectơ không hoặc là vectơ riêng của T tương ứng với λ, tức là u + v, αv ∈ E, và E là đóng đối với phép cộng vectơ và nhân vô hướng. Không gian con riêng E tương ứng với λ vì thế là một không gian con của V. Nếu không gian con riêng đó có số chiều bằng 1, đôi khi nó được gọi là đường thẳng riêng.
Số bội hình học γT(λ) của một giá trị riêng λ là số chiều của không gian con riêng ứng với λ, tức là số tối đa các vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng đó. Bởi định nghĩa của giá trị riêng và vectơ riêng, ta có γT(λ) ≥ 1 vì mỗi giá trị riêng đều ứng với ít nhất một vectơ riêng.
Các không gian con riêng của T luôn tạo thành một tổng trực tiếp. Hệ quả là các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau luôn là độc lập tuyến tính. Vì thế, tổng các số chiều của các không gian con riêng không thể vượt quá số chiều n của không gian vectơ V, và không thể có nhiều hơn n giá trị riêng khác nhau.
Một không gian con bất kỳ được span bởi các vectơ riêng của T là một không gian con bất biến của T, sự thu hẹp của biến đổi T về không gian con đó là chéo hóa được. Hơn nữa, nếu các vectơ riêng của T có thể span toàn bộ không gian V, hay tương đương là V là tổng trực tiếp của các không gian con riêng tương ứng với mọi giá trị riêng của T, thì có thể lập một cơ sở của V từ các vectơ riêng độc lập tuyến tính của T được gọi là cơ sở riêng. Nếu T có một cơ sở riêng thì T được gọi là chéo hóa được.
Định nghĩa tổng quát > Vectơ riêng là vectơ không

Trong khi định nghĩa vectơ riêng sử dụng trong bài viết này loại trừ vectơ không, ta vẫn có thể định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng theo một cách mà vectơ không có thể là một vectơ riêng.
Ta lại xét Phương trình định nghĩa (5). Định nghĩa giá trị riêng là bất kỳ vô hướng λ ∈ K sao cho tồn tại một vectơ khác không v ∈ V thỏa mãn (5). Cần chú ý rằng định nghĩa giá trị riêng theo cách này phải yêu cầu vectơ khác vectơ không, nếu không thì bất kỳ vô hướng nào trong K cũng sẽ là giá trị riêng của vectơ không. Định nghĩa vectơ riêng v tương ứng với giá trị riêng λ là một vectơ bất kỳ thỏa mãn (5) với λ được cho trước. Cho trước một giá trị riêng, vectơ không cũng là một vectơ thỏa mãn Phương trình (5), nên nó cũng là một vectơ riêng theo định nghĩa này.
Định nghĩa tổng quát > Lý thuyết phổ

Nếu λ là giá trị riêng của T, thì toán tử (T − λI) không là song ánh hay không tồn tại nghịch đảo (T − λI)−1. Mệnh đề đảo là đúng đối với trường hợp không gian vectơ hữu hạn chiều nhưng không đúng với vô hạn chiều. Tổng quát, toán tử tuyến tính (T − λI) có thể vẫn có nghịch đảo ngay cả khi λ không phải là giá trị riêng.
Vì lý do này, trong giải tích hàm các giá trị riêng có thể được tổng quát hóa thành phổ của một toán tử tuyến tính T tức là tập hợp tất cả các vô hướng λ sao cho toán tử (T − λI) không có nghịch đảo bị chặn. Phổ của một toán tử chứa tất cả các giá trị riêng nhưng không chỉ giới hạn ở chúng.
Định nghĩa tổng quát > Đại số kết hợp và lý thuyết biểu diễn

Bài chi tiết: Lý thuyết biểu diễn
Ta có thể tổng quát hóa cấu trúc đại số tác động lên không gian vectơ, thay thế một toán tử tác động lên một không gian vectơ bằng một biểu diễn đại số – một đại số kết hợp tác động lên một mô đun. Nghiên cứu các tác động này là lĩnh vực của lý thuyết biểu diễn.
Khái niệm trọng số trong lý thuyết biểu diễn là một tương tự của khái niệm giá trị riêng, trong đó vectơ trọng số và không gian trọng số tương ứng là các tương tự của vectơ riêng và không gian con riêng.
Ứng dụng > Giá trị riêng của các phép biến hình

Bảng dưới đây liệt kê các ví dụ về các phép biến đổi hình học trong mặt phẳng cùng các ma trận 2×2 của chúng và các giá trị riêng và vectơ riêng.
|  | Phép tỉ lệ | Phép tỉ lệ không đều | Phép quay | Phép trượt ngang | Phép quay hyperbolic |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
Hình minh họa: 
| Ma trận |  {\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}} |
| Đa thức  đặc trưng |  \ (\lambda -k)^{2} |  (\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2}) |  \lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1 |  \ (\lambda -1)^{2} |  \lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1 |
| Giá trị riêng,  \lambda _{i} |  \lambda _{1}=\lambda _{2}=k |  {\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}} |  {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}} |  \lambda _{1}=\lambda _{2}=1 |  {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}} |
| Số bội đại số,  \mu _{i}=\mu (\lambda _{i}) |  \mu _{1}=2 |  {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}} |  {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}} |  \mu _{1}=2 |  {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}} |
| Số bội hình học,  \gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i}) |  \gamma _{1}=2 |  {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}} |  {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}} |  \gamma _{1}=1 |  {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}} |
| Vectơ riêng | Mọi vectơ khác vectơ không |  {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}} |  {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}} |  \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}} |  {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}} |
Ứng dụng > Phương trình động lực

Phương trình hiệu (công thức truy hồi) đơn giản nhất có dạng tuyến tính
Các nghiệm của phương trình này là liên hệ tường minh của x theo t, có thể giải được từ phương trình đặc trưng
Để tìm phương trình đặc trưng, ta lập hệ k phương trình bao gồm phương trình thứ nhất là phương trình truy hồi (a) và k – 1 phương trình còn lại có dạng
x_{t-1}=x_{t-1},\ \dots ,\ x_{t-k+1}=x_{t-k+1}, đây là hệ bậc nhất k chiều với vectơ biến  {\begin{bmatrix}x_{t}&\cdots &x_{t-k+1}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}
Tìm đa thức đặc trưng của ma trận của hệ rồi giải ra được k nghiệm đặc trưng  \lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{k}, để thay vào liên hệ tường minh
Một ví dụ điển hình là tìm công thức tổng quát của dãy Fibonacci.
Phương pháp tương tự cũng được dùng để giải một phương trình vi phân có dạng
Ứng dụng > Phương trình Schrödinger

Một ví dụ về phương trình giá trị riêng mà biến đổi  T được biểu diễn dưới dạng một toán tử vi phân là phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian trong cơ học lượng tử:
trong đó  H hay toán tử Hamilton, là một toán tử vi phân cấp 2 và  \psi _{E}, hàm sóng là một trong số các hàm riêng của nó tương ứng với giá trị riêng  E, được hiểu là năng lượng.
Tuy nhiên, trong trường hợp ta chỉ quan tâm đến các nghiệm trạng thái biên (bound state) của phương trình Schrödinger, ta tìm hàm riêng  \psi _{E} trong không gian các hàm khả tích bình phương. Bởi không gian này là một không gian Hilbert với tích vô hướng được định nghĩa, ta có thể xác định một tập cơ sở sao cho  \psi _{E} và  H có thể được biểu diễn tương ứng dưới dạng một mảng một chiều (tức là một vectơ) và một ma trận. Điều này cho phép biểu diễn phương trình Schrödinger dưới dạng ma trận.
Ký hiệu bra-ket thường được sử dụng trong ngữ cảnh này. Một vectơ biểu diễn trạng thái của một hệ, trong không gian Hilbert của các hàm khả tích bình phương được ký hiệu bởi  |\Psi _{E}\rangle . Với cách ký hiệu này, phương trình Schrödinger có thể viết là:
trong đó  |\Psi _{E}\rangle  là một trạng thái riêng của  H, và  E biểu diễn cho giá trị riêng.  H là một toán tử tự liên hợp quan sát được, đây là khái niệm vô hạn chiều tương tự với ma trận Hermite. Giống trường hợp ma trận, trong phương trình trên,  H|\Psi _{E}\rangle  được hiểu là vectơ có được khi áp dụng biến đổi  H tác động lên  |\Psi _{E}\rangle .
Ứng dụng > Orbital phân tử

Trong cơ học lượng tử, và đặc biệt là trong vật lý nguyên tử và phân tử, theo lý thuyết Hartree–Fock, các orbital của nguyên tử hay phân tử có thể được định nghĩa là các vectơ riêng của toán tử Fock. Các giá trị riêng tương ứng được hiểu là các thế ion hóa qua định lý Koopmans. Trong trường hợp này, thuật ngữ vectơ riêng được sử dụng với một ý nghĩa khá chung hơn, vì toán tử Fock phụ thuộc tường minh vào các orbital và các giá trị riêng của chúng. Vậy nếu ta muốn nhấn mạnh khía cạnh này, ta phải nói về các bài toán giá trị riêng phi tuyến tính. Những phương trình này thường được giải bằng một quá trình lặp, được gọi trong trường hợp này là phương pháp trường tự nhất quán. Trong hóa lượng tử, ta có thể biểu diễn phương trình Hartree–Fock trong một tập hàm cơ sở hóa học không trực giao. Biểu diễn này là một bài toán giá trị riêng tổng quát gọi là các phương trình Roothaan.
Ứng dụng > Phân tích thành phần chính

Bài chi tiết: Phép phân tích thành phần chính
Xem thêm: Ma trận nửa xác định dương và Phân tích nhân tố
Phân tích riêng của một ma trận đối xứng nửa xác định dương hay PSD (positive semi-definite) thu được một cơ sở trực giao gồm các vectơ riêng, mỗi vectơ riêng có giá trị riêng tương ứng không âm. Phân tích trực giao của một ma trận PSD được sử dụng trong phân tích đa biến, trong đó các ma trận hiệp phương sai mẫu là PSD. Phép phân tích trực giao này được gọi là phép phân tích thành phần chính (PCA) trong thống kê. PCA nghiên cứu liên hệ tuyến tính giữa các biến. PCA được tiến hành trên ma trận hiệp phương sai hay ma trận tương quan (trong đó mỗi biến được tỉ lệ để có phương sai mẫu bằng 1). Đối với ma trận hiệp phương sai hay ma trận tương quan, các vectơ riêng tương ứng với các thành phần chính và các giá trị riêng tương ứng với phương sai giải thích bởi các thành phần chính. Phân tích thành phần chính của một ma trận tương quan cung cấp một cơ sở trực giao cho không gian của dữ liệu đã quan sát. Trong cơ sở này, các giá trị riêng lớn nhất tương ứng với các thành phần chính có liên hệ với tối đa hiệp phương sai trong một số dữ liệu đã quan sát.
Phép phân tích thành phần chính được sử dụng như một phương tiện để giảm chiều dữ liệu trong nghiên cứu các tập hợp dữ liệu lớn, chẳng hạn trong tin sinh học. Trong phương pháp luận Q, các giá trị riêng của ma trận tương quan xác định phán đoán về ý nghĩa thực tiễn của nhà phương pháp luận (khác với ý nghĩa thống kê trong kiểm định giả thuyết; xem tiêu chí xác định số nhân tố). Khái quát hơn, phân tích thành phần chính có thể được sử dụng làm phương pháp phân tích nhân tố trong mô hình phương trình cấu trúc (SEM).
Ứng dụng > Phân tích rung động

Bài chi tiết: Rung động
Các bài toán giá trị riêng thường gặp trong lĩnh vực phân tích rung động của các cấu trúc cơ học với nhiều bậc tự do. Các giá trị riêng chính là các tần số tự nhiên (hay tần số riêng) của rung động, còn các vectơ riêng  x biểu diễn hình dạng của các mốt rung động. Cụ thể, rung động không cưỡng bức được mô tả bởi
hay
tức là gia tốc tỉ lệ với vị trí (ta sẽ có  x là hàm sin theo thời gian).
Trong  n chiều,  m trở thành ma trận khối lượng và  k là ma trận độ cứng.
Vậy các nghiệm được chọn là một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm của bài toán giá trị riêng tổng quát sau
trong đó  \omega ^{2} là giá trị riêng  \omega  là tần số góc (ảo).
Hơn nữa, rung động cưỡng bức được cho bởi
dẫn đến một bài toán gọi là bài toán giá trị riêng bậc hai,
Có thể được đơn giản về một bài toán giá trị riêng tổng quát bằng các biến đổi đại số nhưng phải giải một hệ lớn hơn.
Tính trực giao của các vectơ riêng  x cho phép tách các phương trình vi phân sao cho hệ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng tuyến tính của các vectơ riêng. Bài toán giá trị tổng quát của các cấu trúc phức tạp thường có thể được giải bằng phân tích phần tử hữu hạn.
Ứng dụng > Tenxơ mô men quán tính

Trong cơ học, các vectơ riêng của tenxơ mô men quán tính xác định các trục chính của một vật rắn. Tenxơ mô men quán tính là một đại lượng quan trọng để xác định sự quay của một vật rắn quanh khối tâm của nó.
Ứng dụng > Tenxơ ứng suất

Trong cơ học chất rắn, tenxơ ứng suất là đối xứng và vì thế có thể được phân tích thành một tenxơ đường chéo với các giá trị riêng nằm trên đường chéo và các vectơ riêng là một cơ sở. Vì nó là chéo nên theo định hướng này tenxơ ứng suất không có thành phần trượt; các thành phần nó có là các thành phần chính.
Ứng dụng > Đồ thị

Trong lý thuyết phổ đồ thị, một giá trị riêng của một đồ thị được định nghĩa là giá trị riêng của ma trận kề  A của đồ thị đó, hay của ma trận Laplace của đồ thị dưới toán tử Laplace rời rạc. Vectơ riêng chính thứ  k của một đồ thị được định nghĩa là vectơ riêng ứng với giá trị riêng lớn thứ  k hoặc nhỏ thứ  k của ma trận Laplace. Vectơ riêng chính thứ nhất của đồ thị được gọi ngắn gọn là vectơ riêng chính.
Vectơ riêng chính được sử dụng để đo độ trung tâm của các đỉnh của nó. Một ví dụ là thuật toán PageRank của Google. Vectơ riêng chính của một ma trận kề được chỉnh sửa của đồ thị World Wide Web cho xếp hạng trang là các thành phần của nó. Vectơ này tương ứng với phân phối tĩnh của xích Markov được biểu diễn bởi ma trận kề đã được chuẩn hóa hàng. Tuy nhiên ma trận kề trước đó phải được chỉnh sửa để chắc rằng một phân phối tĩnh tồn tại. Vectơ riêng nhỏ thứ hai có thể được sử dụng để phân vùng đồ thị thành các cụm (cluster), qua phân vùng phổ hay các phương pháp có sẵn khác.
Tuyên Từ Hoàng hậu

Tuyên Từ hoàng thái hậu (chữ Hán: 宣慈皇太后, ? - 14 tháng 9, 1318), là hoàng hậu thứ hai của Trần Nhân Tông.
Tiểu sử

Hầu như không có nhiều thông tin về bà. Theo Đại Việt sử ký toàn thư, bà là em gái của Khâm Từ Bảo Thánh hoàng hậu, con gái thứ của Hưng Đạo đại vương Trần Quốc Tuấn và Thiên Thành Trưởng công chúa. Theo vai vế, bà là dì ruột của Trần Anh Tông.
Sau khi Bảo Thánh hoàng hậu qua đời (1293), bà được quyền quản lý mọi việc trong Hậu cung. Sách ĐVSKTT ghi nhận, "Bấy giờ, Tuyên Từ thái hậu từ khi Khâm Từ băng, phải quản việc trong cung, tính người khó khăn nóng nảy, dạy bảo rất nghiêm, mà vua vâng theo rất kính cẩn" .
Năm Hưng Long thứ 16 (1308), Thái thượng hoàng Trần Nhân Tông băng hà.
Năm Hưng Long thứ 22 (1314), Anh Tông nhường ngôi cho Thái tử Trần Mạnh kế nghiệp, tức Trần Minh Tông. Theo lý thuyết, bà là tổ mẫu (trên danh nghĩa) của Minh Tông, nên có lẽ tôn làm Thái hoàng thái hậu. Anh Tông khi ấy từng hỏi Chiêu Văn vương Trần Nhật Duật chuyện này và tấn phong, tuy nhiên việc này chép sau khi Tuyên Từ Thái hậu băng, và rất có thể việc tấn tôn là truy tặng, như trường hợp Anh Tông đã làm khi lập Minh Tông làm Thái tử (1309), đã tấn tôn mẹ ruột Khâm Từ Thái hậu làm Thái hoàng thái hậu.
Năm Mậu Ngọ thứ 5 (1318), ngày 19 tháng 8, bà mất. Mùa đông năm ấy, bà được an táng ở bên cạnh lăng của Nhân Tông.
Theo ĐVSKTT: Trước đây, Nhân Tông từng dặn lại Anh Tông ngày sau phải đem dì (tức là Tuyên Từ Thái hậu) táng ở cạnh lăng và vẽ bản đồ chôn cất thành huyệt hình thước thợ trao lại. Đến đây, Thượng hoàng theo di mệnh, đào cạnh lăng để chôn. Đất lăng nhiều bùn lầy, tiếng đào đắp vang động cả khu lăng. Thượng hoàng có vẻ lo. Trước đây, khi sắp chôn Thái hậu [vào đấy], các quan tâu rằng không nên làm kinh động lăng tẩm. Thượng hoàng nói: "Tiên đế có lệnh, ta không dám trái. Nếu có tổn hại gì, ta sẽ chịu cả".
Ngoại Vương Nội Đế

Trong xưng đế, ngoài xưng vương là một thuật ngữ sử dụng trong lĩnh vực quan hệ giữa các quốc gia trong khu vực văn hóa Á Đông. Những vị quân chủ cai trị các quốc gia nhỏ hơn sẽ lấy danh hiệu Hoàng đế (皇帝 hoặc các danh hiệu tương đương) và/hoặc các đế hiệu khác ở trong nước, và lấy danh hiệu Quốc vương (國王 hoặc các danh hiệu tương đương) khi giao thiệp với triều đại của Trung Quốc. Khuôn khổ này được áp dụng tại Nhật Bản, Hàn Quốc, Việt Nam cùng nhiều quốc gia khác.
Vì Trung Quốc là một cường quốc bá quyền ở khu vực Đông Á trong phần lớn lịch sử nên các quốc gia xung quanh buộc phải triều cống cho các hoàng đế Trung Quốc để đổi lấy hòa bình và tính chính danh quân chủ. Trong hệ thống này, các nhà nước nhỏ hơn chấp nhận quyền bá chủ của Trung Quốc và thừa nhận hoàng đế Trung Quốc là bá chủ danh nghĩa của họ. Vì các hoàng đế Trung Quốc tự xưng là thiên tử và nắm giữ quyền lực tối cao trên khắp thiên hạ, nên những người cai trị các quốc gia nhỏ hơn phải sử dụng danh hiệu dưới của hoàng đế. Học thuyết này đảm bảo quan niệm chỉ có thể có một thiên tử duy nhất cai trị dưới vòm trời trong bất kỳ thời điểm nào.