Định lý Pythagoras
Lịch sử

Có tranh luận xung quanh liệu định lý Pythagoras được phát hiện ra một lần, hay phát hiện nhiều lần ở nhiều nơi, và ngày phát hiện đầu tiên là không xác định, cũng như thời điểm của chứng minh đầu tiên cho định lý. Theo nhà lịch sử toán học Joran Friberg, bằng chứng cho thấy các nhà toán học ở triều đại Babylon thứ nhất (khoảng thế kỷ XX đến thế kỷ XVI TCN) đã biết đến định lý Pythagoras, mà thời điểm này sớm hơn 1000 năm trước khi Pythagoras chào đời. Cũng vì vậy mà nhà thống kê học Stephen Stigler đã đề xuất một định luật cho rằng không có một khám phá khoa học nào được đặt tên theo người đầu tiên khám phá ra nó (định luật đặt tên theo khám phá khoa học của Stigler). Trong những nguồn khác, như ở cuốn sách của Leon Lederman và Dick Teresi, đề cập Pythagoras là người đã khám phá ra định lý, mặc dù Teresi sau đó phát biểu rằng người Babylon đã phát triển định lý "ít nhất mười lăm thế kỷ trước khi Pythagoras sinh ra." Có thể chia lịch sử liên quan đến định lý ra làm bốn phần: khám phá và hiểu biết về bộ ba số Pythagoras, hiểu biết về mối quan hệ giữa các cạnh của một tam giác vuông, hiểu biết về các mối quan hệ giữa các cạnh chung một góc trong tam giác, và các chứng minh định lý dựa trên phương pháp suy diễn từ hệ tiên đề.
Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996) phỏng đoán rằng bộ ba Pythagoras được phát hiện bằng đại số bởi các nhà toán học Babylon. Được viết vào khoảng 2000 và 1786 TCN, trong "cuộn giấy cói Berlin 6619" của Trung Vương quốc Ai Cập chứa một bài toán mà nghiệm cho bộ ba số Pythagoras 6:8:10, nhưng bài toán này không liên quan đến tam giác vuông. Phiến đất sét Lưỡng Hà Plimpton 322, viết trong giai đoạn 1790 và 1750 TCN trong thời kỳ vua Hammurabi cai trị, chứa nhiều đoạn miêu tả có liên hệ gần gũi với bộ ba số Pythagoras.
Ở Ấn Độ, trong đoạn kinh Sulba Sutra Baudhayana, thời điểm khoảng giữa thế kỷ VIII và V TCN, có chứa danh sách các bộ ba Pythagoras được khám phá ra bằng phương pháp đại số, một phát biểu về định lý Pythagoras, và một chứng minh bằng phương pháp hình học của định lý Pythagoras đối với trường hợp tam giác vuông cân. Đoạn kinh Sutra Sulba Apastamba (c. 600 BC) chứa đựng phương pháp chứng minh bằng số cho định lý Pythagoras đối với tam giác vuông bất kỳ, sử dụng cách tính diện tích hình. Van der Waerden tin rằng "nó chắc chắn dựa trên những truyền thống trước đó". Carl Boyer cho rằng định lý Pythagoras trong kinh Śulba-sũtram có thể bị ảnh hưởng từ toán học của người Lưỡng Hà cổ đại, nhưng không có bằng chứng thuyết phục ủng hộ hay bác bỏ giả thuyết này của ông.
Với nội dung đã được biết trước từ lâu, những các đoạn ghi chép lại còn lưu giữ được từ thế kỷ I TCN, quyển Chu bễ toán kinh (周髀算经) của Trung Hoa cổ đại, (đã được phương Tây dịch thành sách với nhan đề The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven) đưa ra giải thích cho định lý Pythagoras với bộ ba số (3, 4, 5) cho các cạnh của tam giác vuông—ở Trung Quốc gọi là "định lý Gougu" (勾股定理). Trong triều đại nhà Hán (202 TCN đến 220 SCN), bộ ba Pythagoras xuất hiện trong Cửu chương toán thuật, cùng với đề cập về các tam giác vuông. Một số nhà lịch sử toán học tin rằng định lý này xuất hiện đầu tiên ở Trung Quốc, dưới một tên gọi khác là "định lý Thương Cao" (商高定理), đặt tên theo nhà toán học và thiên văn học sống thời nhà Chu, ông này cùng với Chu Công Đán, đã tập hợp các thư tịch cổ để viết lên Chu bễ toán kinh. Tác phẩm cũng được các bậc hậu bối (như Lưu Huy, Lý Thuần Phong) bổ sung và chỉnh lý dần.
Pythagoras, trong khoảng 569–475 TCN, đã sử dụng phương pháp đại số để lập ra các bộ ba số Pythagoras, theo như bình luận của Proclus về quyển cơ sở của Euclid. Tuy vậy, Proclus cho rằng thời điểm viết vào khoảng 410 và 485 AD. Theo Thomas L. Heath (1861–1940), không có một ghi chép cụ thể về sự tồn tại của định lý Pythagoras trong các văn tự còn lưu lại của Hy Lạp từ 5 thế kỷ sau thời của Pythagoras. Tuy nhiên, khi các sử gia Plutarchus và Cicero ghi nhận định lý có công lao của Pythagoras, họ đã viết như thể những đóng góp của ông được mặc nhiên công nhận và biết đến rộng rãi. "Whether this formula is rightly attributed to Pythagoras personally, [...] one can safely assume that it belongs to the very oldest period of Pythagorean mathematics." "Liệu công thức này có đáng thuộc về đóng góp cá nhân của Pythagoras, [...] có thể giả sử một cách an toàn rằng nó thuộc về giai đoạn của toán học Pythagoras từ rất lâu trước đó."
Vào khoảng năm 400 TCN, theo như Proclus, Plato đã đưa ra phương pháp tìm các bộ ba Pythagoras bằng cách kết hợp đại số và hình học. Khoảng năm 300 TCN, trong cuốn Cơ sở của Euclid đã ghi lại chứng minh bằng toán học cổ xưa nhất từng được biết đến cho định lý này..
Chứng minh định lý Pythagoras
Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng.
Chứng minh đưa ra trong cuốn Elements của Euclid.
Minh họa chia hình vuông và dựng thêm đường.
Chứng minh hai tam giác bằng nhau và chúng lần lượt bằng một nửa diện tích hình chữ nhật BDLK và hình vuông BAGF.
Theo như chứng minh của Einstein, tam giác vuông với cạnh huyền được phân làm hai tam giác vuông nhỏ hơn với cạnh huyền của chúng là hai cạnh góc vuông của tam giác lớn hơn.
Minh họa hình học cho chứng minh bằng đại số.
Minh họa chứng minh của Garfield.
Hình vẽ cho chứng minh bằng vi tích phân.
Đường xoắn ốc Theodorus là chuỗi cách dựng các đường thẳng mà độ dài là căn bậc hai của một số nguyên dương.
Trị tuyệt đối của số phức z (hay mô-đun của số phức) là khoảng cách r từ z đến gốc tọa độ.
Tam giác đồng dạng bên phải chỉ ra sin và cos của góc θ.
Diện tích của hình bình hành xác định bằng tích trực tiếp; các vectơ a và b xác định mặt phẳng và a × b là vectơ trực chuẩn của mặt phẳng này.
Khoảng cách s giữa hai điểm (r1, θ1) và (r2, θ2) trong tọa độ cực được tính bằng định lý cos. Góc trong Δθ = θ1−θ2.
Tổng quát định lý Pythagoras bởi Tâbit ibn Qorra. Hình bên dưới: ảnh phản xạ của tam giác ABD (lam) tạo thành tam giác DBA (tím), đồng dạng với tam giác ABC (ở trên).
Tổng quát hóa cho một tam giác bất kỳ,
diện tích màu lam bằng diện tích màu lục.
Cách dựng hình cho chứng minh các hình bình hành dựng trên cạnh của tam giác tùy ý.
Định lý Pythagoras trong không gian ba chiều liên hệ cạnh chéo AD với ba cạnh của hình hộp chữ nhật.
Một tứ diện có ba góc vuông chung tại một đỉnh.
Các vectơ tham gia vào định lý hình bình hành.
Tam giác cầu.
Tam giác hyperbolic.
Khoảng cách giữa các điểm cách nhau một khoảng vô cùng bé trong hệ tọa độ Descartes (bên trên) và trong hệ tọa độ cực (bên dưới), cho bởi định lý Pythagoras.
Phiến Plimpton 322 ghi lại các bộ ba Pythagoras từ thời Babylon.
Chứng minh bằng hình học của định lý Pythagoras trong quyển Chu bễ toán kinh.