Đại số
Các nhánh chính > Đại số sơ cấp

Bài chi tiết: Đại số sơ cấp
Đại số sơ cấp là hình thức đại số lâu đời nhất và cơ bản nhất. Đây là dạng suy rộng của số học phụ thuộc nhiều vào biến số (còn gọi là "biến" hay "ẩn") và khảo sát cách thức mà các mệnh đề toán học có thể được biến đổi.
Số học là nghiên cứu về các phép toán số, tìm hiểu cách kết hợp và biến đổi các số qua phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép lũy thừa, khai căn và logarit. Chẳng hạn, phép toán cộng kết hợp hai số gọi là số hạng thành một số thứ ba gọi là tổng, ví dụ như  2+5=7.
Đại số sơ cấp lệ thuộc vào những phép toán trên nhưng có biến số xuất hiện đi kèm với các số. Biến là ký hiệu cho đại lượng chưa biết hoặc chưa được cho trước. Nhờ biến mà chúng ta có thể phát biểu các quan hệ toán học với giá trị chính xác không biết trước, cũng như diễn đạt các luật tổng quát với kết quả luôn đúng bất kể giá trị số nào đang sử dụng. Ví dụ, phương trình  2\times 3=3\times 2 thuộc về số học và biểu diễn một đẳng thức chỉ cho các số cụ thể đó. Khi thay các số bằng biến, ta có thể diễn đạt một luật chung áp dụng được cho bất kỳ tổ hợp số nào có thể có, chẳng hạn như tính chất giao hoán của phép nhân biểu diễn qua phương trình  a\times b=b\times a.
Biểu thức đại số được hình thành sử dụng các phép toán số học để kết hợp giữa số và biến. Theo quy ước, chữ cái viết thường  x,  y và  z đại diện cho biến. Trong một số trường hợp, chỉ số dưới được thêm vào để phân biệt giữa các biến, ví dụ như  x_{1},  x_{2} và  x_{3}. Chữ cái  a,  b và  c chủ yếu dùng cho hằng số và hệ số. Biểu thức  5x+3 là một biểu thức đại số được tạo ra bằng cách nhân số 5 cho biến  x rồi cộng kết quả cho số 3. Tương tự  32xyz và  64x_{1}^{2}+7x_{2}-c cũng là biểu thức đại số.
Một số biểu thức đại số có dạng mệnh đề liên hệ hai biểu thức với nhau. Phương trình là một mệnh đề được tạo thành qua so sánh hai biểu thức và cho biết chúng bằng nhau, biểu diễn thông qua dấu bằng ( =) chẳng hạn như  5x^{2}+6x=3y+4. Bất đẳng thức là một dạng so sánh khác, cho biết hai vế là khác nhau. Sự khác nhau đó có thể được biểu diễn bằng các ký hiệu như dấu nhỏ hơn ( <), dấu lớn hơn ( >) và dấu khác ( \neq ). Không giống như biểu thức khác, mệnh đề có thể đúng hoặc sai, và chân trị của chúng thường phụ thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ, mệnh đề  x^{2}=4 là đúng nếu  x bằng 2 hoặc −2, còn lại là sai. Phương trình chứa biến có thể được chia thành phương trình đồng nhất và phương trình có điều kiện. Phương trình đồng nhất luôn đúng với mọi giá trị có thể được gán cho biến, ví dụ như  2x+5x=7x. Phương trình có điều kiện chỉ đúng với một giá trị nào đó: chẳng hạn,  x+4=9 chỉ đúng nếu  x bằng 5.
Mục tiêu chính của đại số sơ cấp là xác định được giá trị sao cho một mệnh đề là đúng, bằng cách biến đổi mệnh đề theo một số quy tắc nhất định. Một nguyên lý quan trọng cho quá trình trên là phép toán khi áp dụng cho một vế của phương trình thì cũng phải áp dụng cho vế còn lại. Chẳng hạn khi trừ vế trái của phương trình cho 5 thì ta cũng phải trừ vế phải cho 5 để hai vế cân bằng. Các bước như vậy thường nhắm đến cô lập ẩn mà ta quan tâm ở một vế, một quá trình được gọi là giải phương trình theo ẩn đó. Ví dụ, phương trình  x-7=4 được giải theo  x bằng cách cộng cả hai vế cho 7 để cô lập  x ở vế trái và dẫn đến phương trình  x=11.
Có nhiều kỹ thuật khác được sử dụng để giải phương trình. Đơn giản hóa là kỹ thuật được áp dụng để thay thế một biểu thức phức tạp bằng biểu thức tương đương đơn giản hơn. Ví dụ, biểu thức  7x-3x có thể thay bằng biểu thức  4x vì  7x-3x=(7-3)x=4x theo tính chất phân phối giữa phép nhân và phép cộng. Đối với mệnh đề nhiều ẩn, phép thế là một kỹ thuật phổ biến khác để thay một ẩn bằng một biểu thức tương đương không chứa ẩn đó. Chẳng hạn nếu đã biết  y=3x thì ta có thể đơn giản biểu thức  7xy trở thành  21x^{2}. Tương tự, nếu đã biết giá trị của một ẩn thì ta cũng có thể sử dụng nó để xác định giá trị của ẩn khác.
Phương trình đại số có thể được biểu diễn bằng hình học để vẽ các hình không gian dưới hình thức đồ thị. Để làm được điều này, các biến khác nhau trong phương trình được xem là tọa độ và giá trị nghiệm đúng phương trình được biểu diễn thành các điểm trên đồ thị. Ví dụ, nếu cho  x bằng 0 trong phương trình  y=0,5x-1 thì  y phải bằng −1 để phương trình này nghiệm đúng. Điều này có nghĩa là cặp số  (0,-1) thuộc đồ thị của phương trình. Ngược lại, cặp  (0,7) không nghiệm đúng phương trình và do đó không thuộc đồ thị. Đồ thị này bao hàm toàn bộ các cặp số  (x,y) thỏa mãn phương trình đã cho.