Quaternion
Lịch sử

Quaternion được giới thiệu bởi Hamilton vào năm 1843. Những kết quả quan trọng đi trước công trình này bao định thức bốn số chính phương của Euler (1748) và  phương pháp tham số hóa các phép quay chung bằng bốn tham số của Olinde Rodrigues' (1840), nhưng không tác giả nào trong đây đã xét tới các phép quay bốn tham số có thể lập thành thành một đại số. Carl Friedrich Gauss cũng đồng thời phát hiện ra quaternion trong 1819, nhưng công trình của ông phải mãi đến 1900 mới được xuất bản.
Hamilton đã biết rằng các số phức có thể được coi là các điểm trong một mặt phẳng, và ông lúc đó đang tìm cách định nghĩa tương tự cho không gian ba chiều. Các điểm trong không gian có thể được biểu diễn bằng tọa độ của chúng, tức một bộ ba số, và trong nhiều năm ông đã biết các để cách để cộng và trừ chúng. Tuy nhiên, cũng trong nhiều năm đó, ông cũng bị khựng lại trong vấn đề nhân và chia chúng. Ông không thể hình dung hay tưởng tượng ra cách nhân hai điểm trong một không gian (chỉ từ ba số). Quả thật, sau này Ferdinand Georg Frobenius đã chứng minh trong 1877 rằng để đại số chia trên các số thực vừa hữu hạn chiều vừa kết hợp, thì nó không thể ba chiều được, và chỉ có ba đại số chia như thế:  \mathbb {R,C}  (số phức) và  \mathbb {H}  (quaternion) với số chiều 1, 2, và 4 tương ứng.
Phát minh quan trọng với các số quaternion cuối cùng cũng đến vào ngày thứ hai, mùng 16 tháng 10 năm 1843 tại Dublin, khi Hamilton đang trên đường tới học viện Hoàng gia Irish để chủ trì tại một cuộc họp hội đồng. Khi ông đang đi trên đường kéo tàu trên kênh Hoàng gia với vợ, các khái niệm đằng sau quaternion bắt đầu hiện hình trong đầu ông, và khi câu trả lời xuất hiện trong đầu, Hamilton đã không thể ngăn bản thân khỏi khắc lại công thức nhân các quaternion,
\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1
vào đá của cầu Brougham khi ông dừng trên đó. Mặc dù vết khắc đã phai mờ đi, vẫn có cuộc hành hương diễn ra hằng năm kể từ năm 1989 được gọi là Hamilton Walk cho các nhà khoa học và các nhà toán học đi từ đài quan sát Dunsink cho tới cầu kênh hoàng gia để tưởng nhớ tới phát hiện của Hamilton.
Trong ngày hôm sau, Hamilton viết một bức thư cho bạn và đồng thời là nhà toán học, John T. Graves, mô tả dòng tư tưởng dẫn tới phát hiện này. Bức thư này sau được xuất bản trong bức thư gửi đến báo khoa học và tạp chí triết học London, Edinburgh, và Dublin; Hamilton đã nói rằng:
And here there dawned on me the notion that we must admit, in some sense, a fourth dimension of space for the purpose of calculating with triples ... An electric circuit seemed to close, and a spark flashed forth.
Tạm dịch: Và ngay khi đó, tôi nhận ra rằng chúng ta phải chấp nhận rằng, theo một cách nào đó, ta cần chiều thứ tư trong không gian để có thể tính toán với bộ ba số ... Một mạch điện đã đóng và từ đó một tia lửa đã được tóe ra.
Hamilton gọi bộ bốn số này cùng với quy tắc nhân là quaternion, và ông dành hầu như toàn bộ phần còn lại của cuộc đời để nghiên cứu và dạy chúng. Phương pháp xử lý của Hamilton nghiêng về hình học nhiều hơn hướng tiếp cận hiện đại sử dụng các tính chất đại số. Ông thành lập trường của các "quaternionist", và ông cũng đã gắng sức dạy và truyền bá quaternion trong nhiều sách. Cuốn cuối cùng và dài nhất của ông, Elements of Quaternions, dài 800 trang; nó được con trai ông biên tập và được xuất bản không lâu sau khi ông mất đi.
Sau khi Hamilton mất đi, nhà toán học vật lý người Scotland Peter Tait trở thành người đứng đầu. Tại thời điểm đó, quaternion trở thành chủ đề bắt buộc trong các bài thi ở Dublin. Các chủ đề trong vật lý và hình học mà ngày nay thường được diễn giải bằng vectơ (chẳng hạn như chuyển động học trong không gian hay phương trình Maxwell thì lúc đó được mô tả toàn bộ bằng các quaternion. Thậm chí còn có một hiệp hội các chuyên gia nghiên cứu, Hiệp hội Quaternion tập trung nghiên cứu các số quaternion và các hệ số siêu phức khác.
Kể từ giữa khoảng 1880s, quaternion bắt đầu được thay dần bằng giải tích vectơ, nhánh này được phát triển bởi Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside, và Hermann von Helmholtz. Giải tích vectơ mô tả cùng một hiện tượng với các quaternion, do đó nó lấy một số ý tưởng và thuật ngữ từ các bài viết của quaternion sang. Tuy nhiên, giải tích vectơ đơn giản hơn khi nói về khái niệm hay ký hiệu và do đó, quaternion chỉ còn đóng vai trò nhỏ trong toán học và vật lý. Một hiệu ứng phụ trong sự chuyển đổi này là công trình của Hamilton trở nên khó hiểu cho nhiều người đọc đương đại. Định nghĩa ban đầu của Hamilton không quen thuộc với hiện tại và cách viết của ông dài và rất khó có thể theo.
May mắn thay, quaternion được hồi sinh lại kể từ cuối thế kỉ 20, chủ yếu do ứng dụng của nó trong mô tả quay không gian. Biểu diễn của phép quay bằng quaternion gọn hơn và dễ tính hơn biểu diễn của ma trận. Bên cạnh đó, không như góc Euler, nó không bị dính "khóa gimbal". Bởi lý do này, quaternion được sử dụng trong đồ họa máy tính, thị giác máy tính, robotics, lý thuyết điều khiển, xử lý tín hiệu, điều khiển phương hướng, vật lý, tin sinh học, động lực phân tử, mô phỏng máy tính, và cơ học quỹ đạo. Thí dụ chẳng hạn, thường thì các hệ thống điều khiển phương hướng của các phi thuyền sẽ sử dụng quaternion.  Quaternion có ứng dụng khác với lý thuyết số bởi quan hệ của chúng với dạng toàn phương.