Toán học của thuyết tương đối rộng
Đa tạp không thời gian > Tenxơ

Định nghĩa của vectơ và đối vectơ đã giới thiệu ở phần trước là cơ sở cho nội dung của phần này. Chúng đã được giới thiệu để xác định các đối tượng hình học độc lập với bất kỳ hệ tọa độ nào và chúng ta đã học được rằng khi đưa ra một hệ tọa độ và chuyển đổi sang hệ tọa độ khác, các vectơ phản biến và vectơ hiệp biến biến đổi theo những quy tắc đơn giản trong (19) và (30).
Có ít nhất hai khía cạnh của vec tơ (hoặc đối với vectơ phản biến hoặc hiệp biến) mà khá rõ ràng. Thứ nhất đó là chúng ta không nhất thiết phải giới hạn định nghĩa vectơ tại một điểm. Mặt khác chúng ta có thể nghĩ tới toàn bộ miền của đa tạp  {\mathcal {M}} và thông qua một hàm trơn khả vi chúng ta gắn mỗi vectơ tại mỗi điểm của miền này, qua đó định nghĩa lên trường vectơ
với  V^{\mu }(P),U_{\mu }(P) là giá trị của trường tại điểm P. Hơn nữa, trường vectơ được nói là khả vi nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Khía cạnh thứ hai đó là vectơ chỉ là thành phần đơn giản nhất của một lớp đối tượng hình học tổng quát hơn gọi là tenxơ. Cũng như đối vectơ hiệp biến và vectơ phản biến, ten xơ có thể coi như là những đối tượng hình học mà được xác định hoàn toàn theo những tính chất dưới một phép biến đổi tọa độ.
Nhất quán với cách tiếp cận này, chúng ta định nghĩa một tenxơ phản biến hạng hai là một đối tượng hình học  \mathbb {T} , mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ  \{x^{\mu }\} sang hệ mới  \{x^{\mu '}\}
Tương tự chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng hai là một đối tượng hình học  \mathbb {T} , mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ  \{x^{\mu }\} sang hệ  \{x^{\mu '}\}
Nếu hệ tọa độ là thông thường, cả hai biểu thức (50) và (51) sẽ thừa nhận phép biến đổi ngược và có thể suy ra trực tiếp dựa trên các biểu thức (23) và (31). Một cách tự nhiên, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp là một đối tượng hình học có cả thành phần hiệp biến và phản biến. Do vậy, ví dụ, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp loại (4,2) (tức là nó có bốn thành phần phản biến và hai thành phần hiệp biến)  R^{\alpha \beta \gamma \delta }{}_{\mu \nu } mà quy tắc biến đổi khi chuyển từ hệ tọa độ  \{x^{\mu }\} sang hệ  \{x^{\mu '}\} là
và biến đổi ngược sẽ là
Từ hai ví dụ trên sẽ không khó để hình dung ra cách xây dựng một tenxơ với số thành phần phản biến và hiệp biến là bất kỳ. Chúng ta có thể xây dựng lên không gian vectơ  \mathbf {V} ^{m}{}_{n} là tập hợp mọi tenxơ kiểu (m, n), ví dụ  R^{\alpha \beta \gamma \delta }{}_{\mu \nu }\in \mathbf {V} ^{4}{}_{2}.
Giờ đây chúng ta có thể coi vectơ và đối vectơ như là những tenxơ kiểu đặc biệt (lần lượt là kiểu (1, 0) và (0, 1)). Viết tenxơ theo các cơ sở vectơ (36) và cơ sở đối vectơ (47) để biểu diễn một tenxơ hỗn hợp như là đối tượng hình học độc lập với hệ tọa độ. Ví dụ đối với tenxơ hỗn hợp loại (1, 1) là
với ký hiệu  \otimes  là tích tenxơ. Chú ý rằng tích này không có tính giao hoán, tức là  \mathbf {e} _{\mu }\otimes {\mathbf {\tilde {\omega }} }^{\nu }\neq {\mathbf {\tilde {\omega }} }^{\nu }\otimes \mathbf {e} _{\mu }. Do vậy, hai tenxơ  \mathbf {R} =R^{\mu }{}_{\nu }\mathbf {e} _{\mu }\otimes {\mathbf {\tilde {\omega }} }^{\nu } và  \mathbf {\tilde {R}} ={\tilde {R}}_{\nu }{}^{\mu }{\mathbf {\tilde {\omega }} }^{\nu }\otimes \mathbf {e} _{\mu } là hai tenxơ khác nhau.
Tương tự như đối với vectơ, chúng ta có thể định nghĩa trường tenxơ bằng cách gán cho mỗi tenxơ kiểu (m, n) vào từng điểm P
với  V^{\alpha \beta ...}{}_{\mu \nu ...}(P) là giá trị của trường tenxơ tại P. Cũng vậy, trường tenxơ được nói là khả vi nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Kể từ đây, chúng ta luôn luôn ám chỉ đến trường tenxơ mặc dù đôi khi chỉ viết ngắn gọn là tenxơ.
Nói chung, nếu một tenxơ có N chỉ số xác định trên đa tạp có D chiều, thì nó sẽ có  D^{N} thành phần. Do vậy, trong đa tạp bốn chiều mà chúng ta quan tâm, chúng ta có thể coi tenxơ là những ma trận có 4, 16, 64, 256 thành phần tương ứng với các ten xơ có 1, 2, 3, và 4 chỉ số. Có thể xảy ra trường hợp những thành phần này không độc lập hoàn toàn với nhau, như sẽ nêu ở phần dưới.
Tóm lược lại phần này: