Emmy Noether
Đóng góp cho toán học và vật lý > Kỷ nguyên đầu tiên (1908–19) > Lý thuyết bất biến đại số

Nhiều công trình của Noether trong kỷ nguyên thứ nhất của sự nghiệp gắn liền với lý thuyết bất biến, đặc biệt là lý thuyết bất biến đại số. Lý thuyết bất biến xem xét đến các biểu thức mà không thay đổi (bất biến) dưới một nhóm các phép biến đổi. Như ví dụ thường gặp, nếu một thước đặc bị quay đi, các tọa độ (x, y, z) của hai điểm đầu và cuối nó thay đổi, nhưng độ dài L của thước cho bởi công thức L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 vẫn là như nhau. Lý thuyết bất biến là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động vào cuối thế kỷ 19, một phần nhờ chương trình Erlangen do Felix Klein đề xuất, theo đó các loại hình học khác nhau có thể được đặc trưng bởi những bất biến của chúng dưới các phép biến đổi, ví như tỷ số kép trong hình học xạ ảnh.
Ví dụ điển hình cho bất biến đó là biệt thức B2 − 4AC của phương trình bậc hai Ax2 + Bxy + Cy2. Nó được gọi là bất biến bởi vì nó không thay đổi sau khi áp dụng phép thay thế x→ax + by, y→cx + dy với định thức ad − bc = 1. Những thay thế này tạo thành nhóm tuyến tính đặc biệt SL2. (Không có bất biến đối với nhóm tuyến tính tổng quát của mọi phép biến đổi khả nghịch bởi vì các phép biến đổi này có thể trở thành phép nhân bởi một hệ số tỷ lệ. Để khắc phục điểm này, lý thuyết bất biến cổ điển cũng xét đến bất biến tương đối, mà tạo thành dạng bất biến cho cả hệ số tỷ lệ.) Các nhà toán học có thể yêu cầu đối với mọi đa thức mà A, B, and C không thay đổi bởi tác dụng của SL2; đây được gọi là bất biến của dạng trùng phương bậc hai, tương ứng với biệt thức của đa thức. Một cách tổng quát hơn, có thể tổng quát đối với dạng bất biến của phương trình đa thức thuần nhất A0xry0 +... + Arx0yr có bậc cao hơn, mà sẽ là đa thức với các hệ số A0,..., Ar, và thậm chí tổng quát hơn, ta có thể đặt câu hỏi tương tự đối với đa thức thuần nhất có nhiều hơn hai biến.
Một trong những mục đích chính của lý thuyết bất biến là giải quyết "vấn đề cơ sở hữu hạn". Tổng hay tích của hai bất biến bất kỳ là không đổi, và vấn đề cơ sở hữu hạn đòi hỏi liệu có thể thu được mọi bất biến chỉ từ một số hữu hạn các bất biến, gọi là các phần tử sinh, và sau đó thực hiện cộng hoặc nhân các phần tử sinh với nhau. Ví dụ, biệt thức cho một cơ sở hữu hạn (với một phần tử) cho các bất biến của dạng trùng phương bậc hai. Thầy hướng dẫn của Noether, Paul Gordan, được coi là "ông hoàng của lý thuyết bất biến", và đóng góp chính của ông đối với toán học là lời giải đưa ra vào năm 1870 về vấn đề cơ sở hữu hạn cho các bất biến của những đa thức thuần nhất hai biến. Ông chứng minh vấn đề này bằng phương pháp xây dựng để tìm mọi bất biến và các phần tử sinh của chúng, nhưng đã không thể áp dụng phương pháp này cho các bất biến của đa thức với ba hay nhiều biến hơn. Năm 1890, David Hilbert chứng minh mệnh đề tương tự cho bất biến của đa thức thuần nhất có số biến bất kỳ. Hơn thế nữa, phương pháp của ông áp dụng không những cho nhóm tuyến tính đặc biệt, mà còn đối với các nhóm con của nó như nhóm trực giao đặc biệt. Trong chứng minh đầu tiên của ông gây ra một số tranh cãi bởi vì nó không đưa ra phương pháp xây dựng cho các phần tử sinh, tuy vậy điều này đã được ông nêu ra sau đó. Đối với luận án của bà, Noether mở rộng phép chứng minh tính toán của Gordan đối với các đa thức thuần nhất có ba biến. Cách xây dựng của Noether đưa ra khả năng nghiên cứu mối liên hệ giữa các bất biến. Sau này, sau khi bà chuyển sang các phương pháp trừu tượng, Noether nhớ lại luận án của mình như là Mist (mớ hỗn độn) và Formelngestrüpp (một rừng các phương trình).