Tiền thứ tự
Xây dựng > Tiền thứ tự và thứ tự riêng phần trên phân hoạch tập hợp

Cho tiền thứ tự  \,\lesssim \, trên  S, ta có thể định nghĩa quan hệ tương đương trên  \,\sim \, trên  S sao cho 
 a\sim b\quad {\text{ khi và chỉ khi }}\quad a\lesssim b\;{\text{ và }}\;b\lesssim a. 
Quan hệ thu được  \,\sim \, có tính phản xạ bởi  \,\lesssim \, phản xạ; có tính bắc cầu bằng cách áp dụng tính bắc cầu của  \,\lesssim \, hai lần; và có tính đối xứng theo định nghĩa.
Dùng quan hệ này, ta có thể xây quan hệ thứ tự riêng phần trên tập thương của quan hệ tương đương  S/\sim ,, tập thương là tập của tất cả các lớp tương đương của  \,\sim . Nếu tiền thứ tự được ký hiệu là  R^{+=}, thì  S/\sim  là tập hợp của các lớp tương đương  R-chu trình: 
 x\in [y] khi và chỉ khi  x=y hoặc  x nằm trong  R-chu trình của  y.
Trong bất kỳ trường hợp, có thể định nghĩa trên  S/\sim  quan hệ  [x]\leq [y] khi và chỉ khi  x\lesssim y. 
Định nghĩa này hoàn toàn xác định bởi điều kiện định nghĩa của nó không phụ thuộc vào lựa chọn đại diện của  [x] và  [y]. Ta có thể kiểm chứng tập hợp này là tập sắp thứ tự riêng phần.
Ngược lại, từ bất kỳ quan hệ thứ tự riêng phần trên  S, ta có thể xây dựng tiền thứ tự trên chính  S, bởi có tương ứng một-một giữa tập tiền thứ tự và các cặp (phân hoạch, thứ tự riêng phần).
Ví dụ: Cho  S là lý thuyết hình thức, tức là tập của các câu có tính chất đặc biệt (nội dung này có thể xem thêm trong bài viết về chủ đề đó). Chẳng hạn như,  S có thể là lý thuyết bậc nhất (ví dụ lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel) hoặc đơn giản hơn là lý thuyết bậc không. Một trong rất nhiều tính chất của  S là nó phải đóng dưới các hệ quả logic, ví dụ chẳng hạn, câu  A\in S theo logic suy ra câu  B, sẽ được viết là  A\Rightarrow B hoặc cũng được viết là  B\Leftarrow A, do đó phải  B\in S (theo modus ponens).
Quan hệ  \,\Leftarrow \, là tiền thứ tự trên  S bởi  A\Leftarrow A luôn đúng và bất cứ khi nào  A\Leftarrow B và  B\Leftarrow C đều đúng thì cũng  A\Leftarrow C. 
HƠn nữa, cho bất kỳ  A,B\in S,  A\sim B khi và chỉ khi  A\Leftarrow B{\text{ và }}B\Leftarrow A; tức là, hai câu tương đương với nhau tương ứng với quan hệ  \,\Leftarrow \, khi và chỉ khi chúng tương đương logic với nhau. Quan hệ tương đương cụ thể này  A\sim B thường được ký hiệu bằng ký hiệu riêng của nó  A\iff B, và do vậy, ký hiệu  \,\iff \,có thể dùng thay  \,\sim . Lớp tương đương của câu  A, được ký hiệu bởi  [A], bao gồm tất cả các câu  B\in S tương đương logic với  A (tức là, tất cả các câu  B\in S sao cho  A\iff B). 
Quan hệ thứ tự riêng phần trên  S/\sim  cảm sinh bởi  \,\Leftarrow ,\, sẽ được ký hiệu cùng ký hiệu  \,\Leftarrow ,\, định nghĩa như sau:  [A]\Leftarrow [B] khi và chỉ khi  A\Leftarrow B, trong đó điều kiện vế phải không phụ thuộc lựa chọn đại diện câu  A\in [A] và  B\in [B] của các lớp tương đương. 
Tất cả những gì đã nói về  \,\Leftarrow \, có thể áp dụng tương tự cho quan hệ ngược \,\Rightarrow .\, 
Tập sắp tiền thứ tự  (S,\Leftarrow ) là tập có hướng bởi nếu  A,B\in S và nếu  C:=A\wedge B ký hiệu câu được lập bởi phép logic hội  \,\wedge ,\, thì  A\Leftarrow C và  B\Leftarrow C khi  C\in S. Do vậy, theo hệ quả, tập  \left(S/\sim ,\Leftarrow \right) cũng là tập có hướng. 
Xem đại số Lindenbaum–Tarski để thêm ví dụ.