Spin
Công thức toán học > Toán tử

Spin thỏa mãn điều kiện giao hoán tương tự như momen động lượng orbital:
{\displaystyle [S_{j},S_{k}]=i\hbar \varepsilon _{jkl}S_{l}}
Trong đó εjkl là kí hiệu Levi-Civita.
{\displaystyle {\begin{aligned}S^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle \\S_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}
Toán tử lên và xuống tác động lên các eigenvectors cho ta
{\displaystyle S_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle }
trong đó S± = Sx ± i Sy.
Không giống như momen động lượng orbital, cac eigenvector không phải là hàm điều hòa cầu. Chúng không phải là hàm của θ và φ. Không có lý do nào để giải thích cho giá trị bán nguyên của s và  ms.
Một tính chất khác của nó, tất cả các hạt lượng tử đều có spin nội tại. Spin được lượng tử hóa theo đơn vị của hằng số Planck, do đó hàm trạng thái của hạt là ψ = ψ(r,σ) thay vì ψ = ψ(r) với  σ nhận các giá trị rời rạc
\sigma \in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\cdots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.
Ma trận Pauli
Toán tử của Spin A biểu diễn cho hạt có spin -1/2 là
là toán tử vector spin còn ̀σ-s là ma trận Pauli. Trong tọa độ Cartesian, cac thành phần của nó là
S_{x}={\hbar  \over 2}\sigma _{x},\quad S_{y}={\hbar  \over 2}\sigma _{y},\quad S_{z}={\hbar  \over 2}\sigma _{z}\,.
với trường hợp đặc biệt cho hạt spin -1/2 các ma trận Pauli cho bởi
\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.
Phép xoay
Như đã mô tả bên trên, cơ học lượng tử chỉ ra rằng thành phần momen động lượng đo được theo các chiều có thể nhận các giá trị rời rạc.Mô tả lượng tử đơn giản nhất của spin hạt là hệ các số phức tương ứng với biên độ xác suất của một giá trị hình chiếu cho trước của momen động lượng của một trục cho trước. Ví dụ, Một hạt có spin -1/2, ta cần hai số hạng
a±1/2, -biên độ để được hình chiếu ứng với momen động lượng ħ/2 và −ħ/2, thỏa mãn:
\left|a_{\frac {1}{2}}\right|^{2}+\left|a_{-{\frac {1}{2}}}\right|^{2}\,=1.
Với một hạt tổng quát với spin s, ta cần 2s+1 phép đo như vậy. Do các số trên phụ thuộc vào trục toạ độ, chúng biến đổi lẫn nhau một cách không bình thường khi trục tọa độ bị xoay. Rõ ràng định luật biến đổi phải là tuyến tính, do đó ta có thể biểu diễn chúng bằng một cách liên kết một ma trận với mỗi phép xoay, và tích của hai ma trận xoay  A và B phải tương đương với biểu diễn của phép xoay AB. Hơn nữa, phép xoay phải bảo toàn tích vô hướng của cơ học lượng tử, do đó ma trận biến đổi  thỏa mãn:
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}&=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right)\\\sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}&=\delta _{pq}.\end{aligned}}}
Nói một cách toán học, những ma trận này cho biết phép biểu diễn hình chiếu unitary của nhóm biến đổi SO(3). Mỗi phép biểu diễn như vật tương ứng với phép biểu diễn của nhóm bao trùm lên SO(3), đó chính là nhóm SU(2). Có một phép biểu diễn không thể tối giản của SU(2) cho mỗi chiều, tuy nhiên phép biểu diễn này là n-chiều thực cho n lẻ và n chiều phức cho n chẵn. Với phép xoay θ theo trục với vector chuẩn hóa   {\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}, U có thể viết là:
U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot {\mathbf {S} }},
trong đó  {\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}, và S là vectoer của toán tử spin