Sóng dừng
Hai sóng đối nghịch giao thoa > Mô tả toán học

Trên một chiều không gian, hai sóng có cùng bước sóng và biên độ, truyền theo hai hướng ngược nhau gặp nhau sẽ gây giao thoa và tạo ra sóng dừng. Ví dụ, một sóng truyền sang phải dọc theo một sợi dây căng được giữ cố định ở đầu bên phải của sợi dây. Khi sóng tới đầu dây này thì nó sẽ phản xạ lại theo hướng ngược lại dọc theo dây, và hai sóng tới và sóng phản xạ sẽ chồng chập lên nhau để tạo ra sóng dừng. Để tạo ra một sóng dừng, hai sóng có hướng truyền ngược nhau phải có cùng biên độ và tần số (phải là hai sóng kết hợp). Hiện tượng này có thể được chứng minh bằng toán học bằng cách rút ra phương trình tổng của hai sóng chuyển động ngược nhau:
Một sóng điều hòa truyền sang phía bên phải dọc trên trục x được mô tả bằng phương trình ly độ sau:
Một sóng điều hòa tương tự truyền sang trái thì được mô tả bằng phương trình:
với:
A\, là biên độ của sóng,
\omega \, (gọi là tần số góc và có đơn vị radian trên giây) bằng 2π nhân với tần số của sóng (tính theo đơn vị hertz).
\lambda \, là bước sóng của sóng (đơn vị mét)
x\, và  t\, lần lượt là các biến tọa độ của một điểm phần tử của sóng và thời gian.
Vì vậy phương trình của sóng kết quả chồng chập y sẽ là tổng của các sóng thành phần y1 và y2:
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích lượng giác  \sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({a-b \over 2}\right)\, để đơn giản biểu thức sóng, ta có phương trình sóng dừng:
Phương trình này mô tả một sóng có dao động theo thời gian, nhưng theo không gian thì nó là tĩnh; và ở mọi điểm x bất kì thì biên độ của dao động ở đó luôn không thay đổi với một giá trị luôn là  2A\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\,. Tại những điểm có tọa độ bằng một bội số chẵn lần một phần tư bước sóng thì hai sóng thành phần ngược pha nhau và giao thoa triệt tiêu:
chúng được gọi là các điểm nút, biên độ ở đó luôn bằng 0. Trong khi đó ở những vị trí bằng bội lẻ lần một phần tư bước sóng như:
thì được gọi là các điểm bụng, biên độ tại đó là lớn nhất với giá trị bằng hai lần biên độ của hai sóng thành phần ban đầu do tại đó chúng cùng pha nên giao thoa tăng cường. Khoảng cách giữa hai điểm nút hoặc hai điểm bụng liên tiếp bất kỳ của sóng dừng luôn là λ/2, giữa chúng là một bó sóng, trong đó mọi phần tử thuộc nó đều dao động cùng pha. Khi sợi dây mang sóng dừng có hai đầu cố định thì vì vậy chiều dài của sợi dây bằng một số nguyên n lần độ dài một của bó sóng:  l=n{\frac {\lambda }{2}}.
Dao động ở hai bó sóng kề nhau ngược pha nhau, còn ở hai bó liên tiếp xen kẽ thì cùng pha nhau. Các tần số dao động lên một dây mà ở đó sóng dừng được thiết lập được gọi là các mode hay chế độ hòa âm (harmonics), phụ thuộc vào bản chất của dây và lực căng được áp dụng cho nó và đều là bội số nguyên lần tần số nhỏ nhất gây được sóng dừng. Hoặc bằng công thức:  f_{n}=nf_{0}, với  f_{n} là tần số của họa âm,  n là số bó sóng hay bậc của sóng điều hòa  (n\in \mathbb {N} ) và  f_{0} là tần số mode cơ bản của dây.
Sóng dùng còn có thể xảy ra trong các bộ cộng hưởng hai hoặc ba chiều. Đối với sóng dừng trên các màng rung hai chiều, như mặt trống, như trong minh họa ở hình phía trên, tập hợp các điểm nút trở thành một đường nút, tức đường thuộc bề mặt rung mà trên đó không có dao động và phân cách giữa các vùng của bề mặt dao động ngược pha nhau. Các dạng đường nút này gọi là các hình Chladni. Ở trong các bộ cộng hưởng 3 chiều, ví dụ như hộp đàn ghita hay các bộ cộng hưởng hốc vi sóng, tương tự cũng có các bề mặt nút.