Số thực
Lịch sử

Phân số đơn giản được sử dụng bởi người Ai Cập khoảng 1000 BC; trong "Kinh điển Sulba " Vệ đà ("Các quy tắc của hợp âm"), c. 600 BC, bao gồm những gì có thể được gọi là "việc sử dụng" đầu tiên của số vô tỷ. Khái niệm về số vô tỷ đã được các nhà toán học Ấn Độ đầu tiên chấp nhận một cách ngầm định kể từ Manava (c. 750–690 BC), những người nhận thức được rằng căn bậc hai của một số số nhất định như 2 và 61 không thể được xác định chính xác. Khoảng 500 TCN, các nhà toán học Hy Lạp do Pythagoras làm lãnh đạo nhận ra sự cần thiết của các số vô tỷ, đặc biệt là sự vô tỷ của căn bậc hai của 2.
Thời Trung cổ đã đưa ra sự chấp nhận các số 0, âm, số nguyên và phân số, đầu tiên bởi các nhà toán học Ấn Độ và Trung Quốc, và sau đó là các nhà toán học Ả Rập, những người đầu tiên coi các số vô tỷ là các đối tượng đại số, nhờ sự phát triển của môn đại số. Các nhà toán học Ả Rập đã hợp nhất các khái niệm " số " và " độ lớn " thành một ý tưởng tổng quát hơn về các số thực. Nhà toán học Ai Cập Abū Kamil Shuja ibn Aslam (c. 850–930) là người đầu tiên chấp nhận số vô tỉ như các nghiệm của phương trình bậc hai hoặc như hệ số trong một phương trình, thường ở dạng của căn bậc hai, căn bậc ba và căn bậc bốn.
Vào thế kỷ 16, Simon Stevin đã tạo ra cơ sở cho ký hiệu thập phân hiện đại và nhấn mạnh rằng không có sự khác biệt giữa các số hữu tỷ và số vô tỷ trong vấn đề này.
Vào thế kỷ 17, Descartes đã giới thiệu thuật ngữ "thực" để mô tả nghiệm của một đa thức, phân biệt chúng với những nghiệm "ảo".
Trong thế kỷ 18 và 19, có nhiều công trình về những số vô tỷ và số siêu việt. Johann Heinrich Lambert (1761) đã đưa ra chứng minh sai đầu tiên rằng π không thể là số hữu tỷ; sau đó Adrien-Marie Legendre (1794) đã hoàn thành chứng minh này, và cho thấy rằng π không phải là căn bậc hai của một số hữu tỷ. Paolo Ruffini (1799) và Niels Henrik Abel (1842) đều đã chứng minh thành công định lý Abel-Ruffini: nội dung là phương trình bậc 5 hoặc cao hơn không thể được giải quyết bằng một công thức chung chỉ gồm các phép toán cộng trừ nhân chia và khai căn.
Évariste Galois (1832) đã phát triển các kỹ thuật để xác định liệu một phương trình đã cho có thể được giải bằng phép khai căn, điều này đã tạo ra lĩnh vực của lý thuyết Galois. Joseph Liouville (1840) đã chỉ ra rằng cả e và e2 đều không thể là nghiệm số của một phương trình bậc hai có hệ số nguyên, và sau đó thiết lập sự tồn tại của các số siêu việt; Georg Cantor (1873) đã mở rộng và đơn giản hóa rất nhiều chứng minh này. Charles Hermite (1873) lần đầu tiên chứng minh rằng e là số siêu việt, và Ferdinand von Lindemann (1882), chứng minh rằng π là siêu việt. Chứng minh của Lindemann đã được Weierstrass (1885) đơn giản hóa, và tiếp tục được David Hilbert (1893) đơn giản hóa tiếp, và cuối cùng đã được Adolf Hurwitz và Paul Gordan đơn giản hóa đến mức độ đại số sơ cấp.
Sự phát triển của vi tích phân trong thế kỷ 18 đã sử dụng toàn bộ tập hợp các số thực mà không xác định chúng rõ ràng. Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên của số thực được Georg Cantor công bố vào năm 1871. Năm 1874, ông chứng minh rằng tập hợp tất cả các số thực là vô hạn không đếm được nhưng tập hợp tất cả các số đại số là vô hạn đếm được. Trái với niềm tin rộng rãi, phương pháp chứng minh đầu tiên của ông không phải là lập luận đường chéo nổi tiếng của ông, mà ông đã xuất bản năm 1891. Xem bằng chứng không thể đếm được đầu tiên của Cantor.