Đường cong đại số
Cấu trúc giải tích

Nghiên cứu cấu trúc giải tích của đường cong đại số trong lân cận của điểm kỳ dị cho thêm thông tin chính xác về tô pô của các điểm kỳ dị. Thậm chí, khi gần điểm kỳ dị, đường cong đại số trở thành hợp của hữu hạn số nhánh chỉ giao với nhau tại điểm kỳ dị và có hình dạng giống với điểm lùi hoặc là đường cong trơn.
Gần điểm chính quy, một trong các toạ độ của đường cong có thể biểu diễn thành hàm giải tích của các toạ độ khác. Đây là hệ quả của định lý phương trình ẩn, và suy ra rằng đường cong sẽ trơn khi gần điểm đó. Khi gần điểm kỳ dị, bài toán trở nên phức tạp hơn và có bao gồm sử dụng chuỗi Puiseux, đưa ra các phương trình tham số của các nhánh.
Để mô tả điểm kỳ dị, ta nên tịnh tiến các điểm kỳ dị về gốc toạ độ. Tức là đổi toạ độ các biến về  X=x-a,Y=y-b, trong đó  a,b là toạ độ các điểm kỳ dị. Trong nội dung sau, các điểm kỳ dị được xét sẽ được ngầm trước là nằm ở gốc toạ độ.
Phương trình của đường con đại số là  f(x,y)=0, trong đó f là đa thức với biến x và y. Đa thức có thể coi là đa thức trong biến y, với hệ số trong trường đóng đại số của chuỗi Puiseux trong x. Do đó f có thể phân tích thành các phần tử dưới dạng  y-P(x), trong đó P là chuỗi Puiseux. Các phần tử khác nhau phân biệt nếu f là đa thức bất khả quy, bởi từ đây suy ra f không bình phương, tính chất này không phụ thuộc vào trường của các hệ số.
Chuỗi Puiseux ở đây có dạng sau
 P(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}x^{n/d},
trong đó d là số nguyên dương, và  n_{0} là số nguyên tuỳ ý mặc định trước ở đây là dương bởi ta chỉ xét các nhánh đi qua gốc toạ độ. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng d nguyên tố cùng nhau với ước chung lớn nhất của n sao cho  a_{n}\neq 0 (nếu không thì ta có thể chọn mẫu số chung nhỏ hơn cho các số mũ).
Gọi  \omega _{d} là căn đơn vị nguyên thuỷ thứ d.Nếu chuỗi Puiseux ở trên xuất hiện trong phân tích của  f(x,y)=0, thì chuỗi d sau
 P_{i}(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}\omega _{d}^{i}x^{n/d}
cũng xuất hiện trong phân tích đó (đây là hệ quả của lý thuyết Galois). Chuỗi d này được gọi là liên hợp đại số, và được coi là một nhánh của đường cong, với chỉ số rẽ nhánh d.
Trong trường hợp đường cong thực, tức là đường cong định nghĩa bởi đa thức có các hệ số thực, có ba trường hợp có thể xảy ra. Nếu không có  P_{i}(x) nào có hệ số thực, thì ta sẽ có một nhánh không thực. Nếu một số trong  P_{i}(x) có hệ số thực, thì ta có thể chọn một trong số đó làm  P_{0}(x). Nếu d lẻ, thì mọi giá trị thực của x sẽ tính ra giá trị thực của  P_{0}(x), và ta sẽ có một nhánh trông chính quy, mặc dù nó kỳ dị nếu d > 1. Nếu d chẵn, thì  P_{0}(x) và  P_{d/2}(x) có giá trị thực, nhưng chỉ đối với x ≥ 0. Trong trường hợp này, nhánh thực sẽ trông giống như hình chỏm.
Lấy ví dụ, hình chỏm thường sẽ chỉ có một nhánh. Nếu nó được định nghĩa bởi phương trình  y^{2}-x^{3}=0, thì phân tích của nó sẽ là  (y-x^{3/2})(y+x^{3/2}); chỉ số rẽ nhánh bằng 2, hai phần tử này đều thực và đều định nghĩa một nửa nhánh. Nếu hình được quay, phương trình của nó trở thành  y^{3}-x^{2}=0, và phân tích của nó là  (y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}), với  j=(1+{\sqrt {-3}})/2 (hệ số  (j^{2})^{2} chưa được giản hoá về j để cho thấy định nghĩa trên của  P_{i}(x)). Ở đây chỉ số rẽ nhánh là 3, và chỉ có một phần tử trong đây là thực; điều này cho thấy rằng. trong trường hợp ban đầu, cả hai phần tử đều phải định nghĩa cùng một nhánh.