Đạo hàm hữu hình
Nguồn gốc

Xem xét một đại lượng vô hướng φ = φ(x, t), trong đó t được hiểu là thời gian và x là vị trí. φ có thể là một số biến vật lý nào đó như nhiệt độ hay nồng độ hóa chất. Đại lượng vật lý này tồn tại trong một môi trường liên tục, có vận tốc vĩ mô được đại diện bởi trường vector u(x, t).
Đạo hàm (toàn phần) theo thời gian của φ được mở rộng thông qua quy tắc chuỗi đa biến:
Rõ ràng là đạo hàm này phụ thuộc vào vector:
vector này mô tả quỹ đạo đã chọn x(t) trong không gian. Ví dụ, nếu chọn  {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} , đạo hàm thời gian sẽ bằng với đạo hàm thời gian từng phần, điều này nhất quán với định nghĩa của đạo hàm từng phần (đạo hàm riêng): ''là một đạo hàm được thực hiện đối với một biến nào đó (trong trường hợp này là thời gian) trong khi giữ cho các biến khác không đổi (không gian trong hợp này)''. Điều này hoàn toàn hợp lý bởi vì nếu  {\dot {\mathbf {x} }}=0, thì tức là đạo hàm được thực hiện tại một vị trí cố định nào đó. Đạo hàm tại vị trí cố định này được gọi là đạo hàm Euler.
Một ví dụ cho trường hợp này là: một vận động viên bơi đứng yên tại một vị trí nào đó trong hồ bơi và cảm nhận được sự thay đổi nhiệt độ trong một hồ nước vào sáng sớm: nước dần dần trở nên ấm áp hơn vì sức nóng từ mặt trời.
Nếu, thay vào đó, quỹ đạo x(t) không dừng lại, đạo hàm thời gian (toàn phần) của φ có thể thay đổi do sự thay đổi của quỹ đạo x(t). Ví dụ, hãy tưởng tượng một vận động viên đang ở trong một hồ bơi trong nhà, tĩnh lẵng, và không bị ảnh hưởng bởi ánh mặt trời. Một đầu của hồ bơi được giữ tại một nhiệt độ nóng không đổi nào đó và đầu kia cũng được giữ tại một nhiệt độ lạnh không đổi. Thì, bằng cách bơi từ đầu này qua đầu kia người vận động viên bơi sẽ cảm nhận được sự thay đổi của nhiệt độ theo thời gian, mặc dù nhiệt độ tại một điểm (cố định) bất kỳ là một hằng số. Điều này là do đạo hàm được lấy theo vị trí đang thay đổi của người vận động viên. Nếu một cảm biến nhiệt độ gắn với vận động viên bơi thì nó sẽ hiển thị nhiệt độ thay đổi theo thời gian, mặc dù hồ bơi được giữ tại một phân bố nhiệt độ ổn định (không thay đổi theo thời gian).
Cuối cùng ta có được đạo hàm hữu hình khi quỹ đạo quy chiếu x (t) được gắn cố định (solidal) với dòng cục bộ trong môi trường liên tục đang xét (hệ quy chiếu Lagrange) và do đó vận tốc tham chiếu bằng với vận tốc vĩ mô trong môi trường liên tục:
Vì vậy, đạo hàm hữu hình của trường vô hướng φ là:
Ví dụ cho trường hợp này là một vật thể trọng lượng nhẹ, nổi tự nhiên, trôi dạt trên một dòng sông đang chảy và nhiệt độ dòng sông thay đổi, có thể do một phần của dòng sông chịu nắng và phần còn lại nằm dưới bóng dâm. Toàn bộ nước sông sẽ được làm nóng lên khi mặt trời ngày càng lên cao. Những thay đổi gây ra bởi sự chuyển động của vật thể (bản thân chuyển động của vật thể là do chuyển động của chất lưu gây ra) được gọi là bình lưu (hoặc được gọi là đối lưu nếu trong trường hợp vận chuyển trường vector).
Định nghĩa trên được rút ra dựa vào tính chất vật lý của dòng chảy chất lưu; Tuy nhiên không có quy luật vật lý nào được viện dẫn ở đây (ví dụ, đã không chứng minh rằng một phần tử trọng lượng nhẹ nổi trên một dòng sông sẽ chảy cùng với vận tốc nước). Vì vậy, nhiều khái niệm vật lý có thể được viết ngắn gọn với việc sử dụng đạo hàm hữu hình. Trường hợp tổng quát của sự bình lưu (advection), tuy nhiên, lại dựa vào sự bảo toàn khối lượng trong dòng chảy chất lưu; do đó tình huống trở nên hơi khác nếu sự bình lưu xảy ra trong môi trường không bảo toàn.
Chỉ có một quỹ đạo duy nhất được xem xét cho trường vô hướng nói trên. Đối với trường vector, gradient của trường vector sẽ trở thành một đạo hàm tensor; còn đối với các trường tensor chúng ta phải kể đến không chỉ chuyển động tịnh tiến của hệ tọa độ do sự chuyển dịch của chất lưu mà còn phải kể đến sự xoay và co giãn của hệ tọa độ. Điều này đạt được nhờ đạo hàm thời gian đối lưu phía trên.