stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Nguyễn Hữu Có
Tiểu sử và Binh nghiệp > Quân đội Liên hiệp Pháp

Năm 1948, Quốc gia Việt Nam chính thức ra đời, ông được cử theo học khóa 1 tại trường Võ bị Quốc gia ở Huế, khai giảng ngày 1 tháng 10 năm 1948. Ngày 1 tháng 6 năm 1949 mãn khóa. Ông tốt nghiệp Thủ khoa với cấp bậc Thiếu úy hiện dịch. Sau khi tốt nghiệp, ông cùng 9 sĩ quan trẻ người Việt có thành tích học tập tốt nhất được đưa sang Pháp học tiếp 1 năm tại trường École d'Application d'Infanterie ở tỉnh Bretagne. Trong số này có các Thiếu úy Nguyễn Văn Thiệu, Đặng Văn Quang, Tôn Thất Đính... về sau đều giữ những vai trò quan trọng trong chính trường Việt Nam Cộng hòa.
Tiểu sử và Binh nghiệp > Quân đội Quốc gia Việt Nam

Sau khi về nước năm 1950, ông được thăng cấp Trung úy và được cử giữ chức vụ Chỉ huy trưởng trường Thiếu sinh quân Gia Định. Năm 1952, ông chuyển ngạch sang phục vụ Quân đội Quốc gia, được thăng cấp Đại úy tại nhiệm. Tháng 7 năm 1953, ông bàn giao chức vụ Chỉ huy trưởng trường Thiếu sinh quân lại cho Đại úy Cao Minh Điến. Sau đó ông được chuyển ra vùng Bùi Chu, Nam Định ở miền Bắc với nhiệm vụ cùng với các sĩ quan cao cấp khác tổ chức lại các Tiểu đoàn Khinh quân để làm nòng cốt thành lập Liên đoàn 31 Bộ binh biệt lập. Ngày 16 tháng 4 năm 1954, ông được thăng cấp Thiếu tá giữ chức Chỉ huy trưởng Liên đoàn 31 Bộ binh thay thế Trung tá Tôn Thất Đính. Sau Hiệp định Genève (20 tháng 7) năm 1954, ông cùng đơn vị di chuyển vào Nam, đóng quân ở Quảng Nam.
Tiểu sử và Binh nghiệp > Quân đội Việt Nam Cộng hòa

Ngày 1 tháng 1 năm 1955, ông được thăng cấp Trung tá Tư lệnh đầu tiên Sư đoàn 31 Bộ binh tân lập vừa được thành lập tại Quảng Nam, miền Trung Việt Nam. Ngày 15 tháng 6 cùng năm, ông được lệnh bàn giao Sư đoàn 31 lại cho Đại tá Tôn Thất Xứng. Ngay sau đó ông được chuyển về miền Nam giữ chức vụ Chỉ huy trưởng Phân khu miền Đông Nam phần.
Sau một thời gian ngắn, Quân đội Việt Nam Cộng hòa được cải danh từ Quân đội Quốc gia (cuối tháng 10 năm 1955). Tháng 4 năm 1956, ông được thăng cấp Đại tá, Chỉ huy phó Chiến dịch Bình định miền Đông Nam phần do Thiếu tướng Văn Thành Cao làm Chỉ huy trưởng.
Năm 1957, ông được cử đi du học lớp Tham mưu cao cấp tại Học viện Chỉ huy và Tham mưu Fort Leavenworth, Kansas, Hoa Kỳ. Mãn khóa học về nước, ông được bổ nhiệm chức vụ Tư lệnh Sư đoàn 16 Khinh chiến đồn trú ở Cao nguyên Trung phần. Cuối tháng 3 năm 1959, Sư đoàn 16 giải tán, ông được chuyển đi làm Tham mưu trưởng Quân đoàn II tại Ban Mê Thuột thay thế Đại tá Nguyễn Văn Mạnh.
Tiểu sử và Binh nghiệp > Bên lề thời cuộc

Điều trớ trêu là sau khi tướng Thi bị loại, đến lượt ông trở thành đối tượng mà tướng Thiệu và tướng Kỳ phải gạt bỏ. Năm 1967, trong khi đang đi công tác ở Đài Loan, ông bị gạt ra khỏi mọi chức vụ trong Quân đội đồng thời buộc phải giải ngũ. Ông sang Hongkong xin tị nạn chính trị, mãi đến năm 1970 mới được Tổng thống Nguyễn Văn Thiệu cho hồi hương.
Sau khi được hồi hương, ông quyết định không tham gia chính trường và mở một trại gà ở Thủ Đức để sinh kế. Bên cạnh đó, ông cũng theo học thêm các chứng chỉ về Văn khoa, Kinh tế. Với những kiến thức này, về sau ông tham gia thương trường và từng giữ chức Phó tổng giám đốc Tín Nghĩa Ngân hàng do ông Nguyễn Tấn Đời làm Tổng giám đốc. Sau khi Tín Nghĩa Ngân hàng bị chính quyền Việt Nam Cộng hòa thanh tra và buộc phải ngừng hoạt động năm 1973, ông chuyển sang hợp tác với các cựu tướng từng bị ông phế truất là Trần Văn Đôn, Mai Hữu Xuân, Lê Văn Kim dựng nên một xưởng sản xuất dép mềm lấy thương hiệu theo tên ghép của 4 người DOXUKICO. Ông còn có một hiệu buôn xe đạp và một tiệm chế biến khô mực xuất khẩu.
Tuy được xem là kẻ cựu thù, nhưng ông lại là người ủng hộ tướng Dương Văn Minh làm lãnh đạo của Lực lượng thứ ba tham gia chính trường. Khi tướng Dương Văn Minh nhậm chức Tổng thống, ông xin tái ngũ và được cử giữ chức Cố vấn cho Trung tướng Vĩnh Lộc tân Tổng Tham mưu trưởng (thay thế Đại tướng Cao Văn Viên), đồng thời ông còn được kiêm chức Phụ tá cho cựu Trung tướng Trần Văn Đôn, tân Tổng trưởng Quốc phòng trong Nội các mới thành lập của tân Thủ tướng Nguyễn Bá Cẩn. Ông là một trong 2 tướng lĩnh còn ở lại bên Tổng thống đến giờ phút cuối cùng của Sài Gòn (người kia là Chuẩn tướng Nguyễn Hữu Hạnh).
Sau ngày 30 tháng 4 năm 1975, ông bị chính quyền mới bắt đi cải tạo đến năm 1987. Sau khi được trả tự do, ông không xuất cảnh theo diện H.O mà ở lại Việt Nam. Năm 1994, ông được Mặt trận Tổ quốc Tp Hồ Chí Minh mời tham gia như một "nhân sĩ tự do". Đại tướng Võ Nguyên Giáp, lần đầu tiên gặp ông, khi ông được Mặt trận Tổ quốc mời ra Hà Nội họp, đã nói: "Chào mi, ta với mi lúc trước hai đứa hai chiến tuyến nhưng nay ta đã là hai anh em".
Đến cuối năm 2004, ông được bầu làm Ủy viên Ủy ban Trung ương Mặt trận Tổ quốc Việt Nam với tư cách là nhân sĩ tự do và là thành viên "Ban liên lạc Việt kiều yêu nước". Ông được Chính phủ Việt Nam xem như một biểu tượng của sự hòa giải dân tộc, xóa bỏ hận thù của 30 năm chiến tranh.
Ông qua đời vào lúc 11 giờ 38 phút ngày 3 tháng 7 năm 2012. Hưởng thọ 87 tuổi.
Những chi tiết khác

Tướng Nguyễn Hữu Có được cho là người quyết định cấp hiệu sĩ quan cấp tá của QLVNCH được gắn thêm một vạch ngang phía dưới bông mai trắng để dễ phân biệt giữa cấp úy với cấp tá.
Trong thời gian trong trại cải tạo, ông chiêm niệm về ý nghĩa cuộc đời và tìm hiểu Kinh Thánh. Ông cải sang đạo Tin Lành và nhận báp-têm vào năm 1983.
Gia đình

Phu nhân: Bà Nguyễn Thị Tín (Nguyên Ủy viên Ủy ban Mặt trận Tổ quốc Việt Nam tại Thành phố Hồ Chí Minh)
Singapore thuộc Nhật

Singapore dưới sự chiếm đóng của Nhật Bản là Singapore trong giao đoạn từ 1942–1945 (trong chiến tranh thế giới thứ hai), nơi người Nhật chiếm đóng Singapore. Sự chiếm đóng bắt đầu sau khi quân đội Nhật Bản đánh bại đơn vị đồn trú của Úc, Mã Lai thuộc Anh, Anh và Ấn Độ. Đó là tại trận Singapore. Nó đã chính thức được trả lại cho người Anh sau khi hiệp ước hòa bình kết thúc chiến tranh thế giới thứ hai được ký kết.
Người Nhật đã không đối xử tốt với mọi người trong suốt thời gian chiếm đóng. Họ đã cố giết tất cả những người chống lại Nhật. Có một lượng lớn lạm phát vì tiền giấy của Nhật Bản cho Singapore sử dụng, không có bất kỳ số nhận dạng nào. Cũng được gọi là "tiền chuối" vì họ có hình cây chuối trên đó, các ghi chú giấy có thể được in bởi những người có máy in hiện đại và đủ giấy.
Lịch sử

Bài chi tiết: Lịch sử Singapore
Nhật Bản đầu hàng

Bài chi tiết: Nhật Bản đầu hàng
Sau khi Nhật Bản đầu hàng vào ngày 15 tháng 8 năm 1945 (vì Hoa Kỳ thả bom nguyên tử ở Hiroshima và Nagasaki), nhiều hoạt động đã được tổ chức trên khắp Singapore để ăn mừng chiến thắng của cuộc chiến chống Nhật.
Với sự đầu hàng của Nhật Bản, người dân Singapore rất vui mừng. Vì quân đội Anh chưa đến Singapore, nên nó vẫn do người Nhật quản lý. Những người làm việc cho Nhật Bản trong quá khứ đã bị trả thù bởi những người xung quanh họ. Trại quân sự Nhật Bản đã bị đốt cháy và các cửa hàng bị cướp phá. Singapore gần như đã rơi vào tình trạng hỗn loạn. Cuối cùng, vào ngày 5 tháng 9 năm 1945, quân đội Anh đã đổ bộ vào Singapore. Vào ngày 12 tháng 9, tòa nhà chính phủ đã tổ chức một buổi lễ đầu hàng. Singapore là nước ở khu vực Đông Nam Á thay mặt chỉ huy liên quân tại trưởng Louis Mountbatten chung, phía Nhật Bản là có nguồn gốc từ miền nam Nhật Bản chỉ huy Terauchi Hisaichi hiệu lệnh, nhưng vì ông ngã bệnh tại Sài Gòn, vì vậy thay đổi bằng cách tổng tư lệnh của bán đảo Mã Lai Seishirō Itagaki để thay thế.
Độc lập

Mặc dù sự trở lại của quân đội Anh được người dân hoan nghênh, nhưng uy tín của họ không còn tốt như trước. Trong mắt mọi người, họ không quá bất khả chiến bại. Người dân Singapore bắt đầu có một sự thức tỉnh chính trị. Mùa thu này đã khiến người dân Singapore tin rằng họ phải tự bảo vệ vùng đất này và đóng góp gián tiếp cho nền độc lập của Singapore.
Trong văn hóa đại chúng

Các tác phẩm Singapore thuộc Nhật Bản đã được miêu tả trên các phương tiện truyền thông và văn hóa phổ biến, bao gồm phim ảnh, phim truyền hình và sách
Trong văn hóa đại chúng > Phim

Leftenan Adnan (2000), bộ phim Malaysia lấy bối cảnh Trận Singapore
Trong văn hóa đại chúng > Phim truyền hình

Tập đầu tiên của Tenko, BBC/ABC sản xuất.
Hero (1988), đồng sản xuất Úc-Anh.
Hero II: Return (1991), loạt phim Úc.
Nhịp điệu cuối cùng (1996), loạt tiếng Trung Quốc được sản xuất bởi Tổng công ty Truyền hình Singapore (ONE).
Bảo mật giá (1997), được sản xuất bởi ONE.
Nhật ký chiến tranh (2001), được sản xuất bởi MediaCorp.
Theo đuổi hòa bình (2001), được sản xuất bởi MediaCorp.
Tôi (2001), được sản xuất bởi Tổng công ty Phát thanh truyền hình Úc.
Travel: The Riot of the River (2014), được sản xuất bởi MediaCorp
Di sản

Đài Tưởng niệm Chiến tranh dân sự
Đài Tưởng niệm và nghĩa trang Chiến tranh Kranji
Nhà nguyện và Bảo tàng Changi
YMCA trên đường Orchard
Bệnh viện Alexandra
Nhà máy Ford cũ
Quân đội Nhật Bản diễu hành trên đường phố Singapore, tháng 2 năm 1942.
Cộng đồng người Hoa tại Singapore mang quốc kỳ Trung Hoa Dân Quốc (viết chữ Tổ quốc vạn tuế 祖國萬歲) nhằm tán dương thắng lợi, cũng phản ánh vấn đề bản sắc Trung Hoa vào đương thời.
Đế quốc Gupta

Đế quốc Gupta hay Vương triều Gupta là một đế chế cổ đại của Ấn Độ tồn tại từ đầu thế kỷ 4 CN đến cuối thế kỷ 6 CN. Vào thời kỳ cực thịnh, từ khoảng năm 319 đến năm 467 CN, đế quốc bao phủ phần lớn tiểu lục địa Ấn Độ. Thời kỳ này được các nhà sử học coi là thời kỳ hoàng kim của Ấn Độ. Vương triều cai trị của đế chế do đức vua Sri Gupta thành lập; các nhà cai trị đáng chú ý nhất của triều đại là Chandragupta I, Samudragupta, và Chandragupta II, còn được gọi là Vikramaditya. Nhà thơ tiếng Phạn là Kalidasa ở thế kỷ thứ 5 sau Công nguyên đã ghi công những người Gupta đã chinh phục khoảng 21 vương quốc, cả trong và ngoài Ấn Độ, bao gồm các vương quốc Parasika, Hunas, Kamboja, các bộ lạc nằm ở phía tây và phía đông thung lũng Oxus, Kinnara, Kirata và những tộc khác.
Đỉnh cao của sáng tạo văn hóa thời kì này là các tuyệt tác kiến trúc, điêu khắc và hội họa. Thời kì Gupta đã sản sinh ra các học giả như Kalidasa, Aryabhata, Varahamihira, Vishnu Sharma và Vatsyayana, những người đã tạo ra những tiến bộ lớn trong nhiều lĩnh vực học thuật.
Những thiên sử thi đầu tiên của Ấn Độ cũng được cho là đã được viết khoảng thời gian này. Đế chế dần dần suy yếu do nhiều nguyên nhân như mất dần các vùng lãnh thổ và quyền lực hoàng đế gây ra bởi các chư hầu thuở trước của họ và cuộc xâm lược của dân tộc Huna từ Trung Á  Sau khi đế quốc Gupta sụp đổ vào thế kỷ thứ 6, Ấn Độ, một lần nữa được cai trị bởi rất nhiều vương quốc trong khu vực. Một dòng nhỏ của gia tộc Gupta tiếp tục cai trị xứ Magadha sau khi đế quốc tan rã. Triều đại Gupta này cuối cùng bị lật đổ bởi vị vua Vardhana Harsha Vardhana, người thành lập một đế chế trong nửa đầu của thế kỷ thứ 7.
Nguồn gốc của nhà Gupta

Theo nhiều sử gia, Đế quốc Gupta là nhà Vaishya. Sử gia Ram Sharan Sharma khẳng định rằng Vaishya Guptas "xuất hiện như một hành động nhằm chống lại sự áp bức của nhà cầm quyền". A.S. Altekar, một sử gia và nhà khảo cổ học, ông đã viết nhiều quyển sách về tiền đúc Gupta, cũng như đã đề cập đến đẳng cấp của Guptas như là Vaishya dựa trên cơ sở của các văn bản Ấn Độ cổ theo luận, trong đó quy định các tên cuối cùng với Gupta cho các thành viên của dòng dõi Vaishya. Theo sử gia Michael C. Brannigan, sự lớn mạnh của đế quốc Gupta là một trong những sự phá rối nổi bật nhất trong hệ thống đẳng cấp của Ấn Độ cổ đại.
Có nhiều giả thuyết trái ngược nhau về nơi phát sinh ra đế quốc Gupta. Theo HC Raychoudhuri, Gupta bắt nguồn từ vùng Varendri, hiện là một phần của Rangpur và Rajshahi thuộc Bangladesh. DC Ganguly thì cho rằng đó là nơi xung quanh khu vực Murshidabad.
Srigupta và Ghatotkacha

Thời gian có thể nhất về triều đại của Sri Gupta vào khoảng 240–280. Nhiều nhà sử học hiện đại trong đó có Rakhaldas Bandyopadhyay và K. P. Jayaswal, cho rằng ông và con trai ông có thể là chư hầu của Kushan. Con trai ông và là người kế nhiệm Ghatotkacha có lẽ đã lên ngôi vào khoảng 280–319. Trái ngược với người kế nhiệm của họ Chandragupta I, ông được xem là một Maharajadhiraja, ông và con trai ông Ghatotkacha được đề cập trong câu khắc là Maharaja Vào đầu thế kỷ 5, nhà Gupta đã thành lập và cai quản một vài vương quốc Hindu nhỏ ở Magadha và xung quanh vùng mà ngày nay là Bihar.
Nghệ thuật và kiến trúc

Một ngôi đền mang phong cách tetrastyle prostyle thời kỳ Gupta tại Sanchi bên cạnh hội trường Apsidal với nền móng Maurya, một ví dụ về kiến trúc Phật giáo. Thế kỷ thứ 5 CN.
Cấu trúc hiện tại của Chùa Mahabodhi có từ thời Gupta, thế kỷ thứ 5 CN. Đánh dấu vị trí nơi Đức Phật được cho là đã đạt cảnh giới giác ngộ.
Đền Dashavatara là một ngôi đền Hindu Vishnu được xây dựng trong thời kỳ Gupta.
Thời kỳ Gupta thường được coi là đỉnh cao cổ điển của nghệ thuật Ấn Độ phương Bắc đối với tất cả các nhóm tôn giáo lớn. Mặc dù hội họa đã phổ biến một cách rõ ràng, nhưng các tác phẩm còn sót lại hầu như đều là điêu khắc tôn giáo. Thời kỳ này chứng kiến sự xuất hiện của các vị thần bằng đá được chạm khắc mang tính biểu tượng trong nghệ thuật Ấn Độ giáo, cũng như tượng Phật và Jain tirthankara sau này thường đều ở quy mô rất lớn. Hai trung tâm điêu khắc lớn là Mathura và Gandhara, sau này là trung tâm của nghệ thuật Phật giáo Greco. Cả hai đều xuất khẩu tác phẩm điêu khắc sang các vùng khác của miền bắc Ấn Độ.
Vishnu ẩn mình trên con rắn Shesha (Ananta), Đền Dashavatara thế kỷ thứ 5
Đức Phật từ Sarnath, thế kỷ 5-6 CNĐức Phật từ Sarnath, thế kỷ 5-6 CN
Trimurti khổng lồ tại Động ElephantaTrimurti khổng lồ tại Động Elephanta
Bức tranh về Padmapani Hang động 1 tại Ajanta
Shiva mukhalinga (đối mặt - lingam) từ Chùa Bhumara
Bức tường thành Nalrajar Garh ở Rừng Chilapata, Tây Bengal, là một trong những pháo đài cuối cùng còn sót lại từ thời Gupta, hiện cao 5–7 mBức tường thành Nalrajar Garh ở Rừng Chilapata, Tây Bengal, là một trong những pháo đài cuối cùng còn sót lại từ thời Gupta, hiện cao 5–7 m
Đại học Nalanda được thành lập đầu tiên dưới đế chế Gupta
Đền Bitargaon từ thời Gupta đem đến một trong những ví dụ sớm nhất về mái vòm nhọn ở bất kỳ đâu trên thế giới
Các hang động Ajanta từ thời Gupta
Krishna chiến đấu với quỷ ngựa Keshi, thế kỷ thứ 5
Thư mục

Wikisource có văn bản gốc từ các bài viết của 1911 Encyclopædia Britannica .
Harle, J.C., The Art and Architecture of the Indian Subcontinent, 2nd edn. 1994, Yale University Press Pelican History of Art, ISBN 0300062176
Majumdar, R.C. (1977). Ancient India, New Delhi:Motilal Banarsidass, ISBN 81-208-0436-8
Raychaudhuri, H.C. (1972). Political History of Ancient India, Calcutta: University of Calcutta ISBN 1-4400-5272-7
Shiv Chhatrapati ngày 14 tháng 2 năm 2013 @ 5:43 pm
Quan hệ tương đương

So sánh hai phần tử toán họcBản mẫu:SHORTDESC:So sánh hai phần tử toán học
52 quan hệ tương đương trên tập 5 phần tử được biểu diễn dưới ma trận logic  5\times 5 (các ô được tô màu biểu diễn số 1, tức là có quan hệ với nhau, ; trường màu trắng là số 0, tức là không quan hệ với nhau.)
Trong toán học, quan hệ tương đương là quan hệ hai ngôi có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Mỗi quan hệ đối xứng phân hoạch tập thành các lớp tương đương không giao nhau. Hai phần tử trong cùng một tập hợp tương đương với nhau khi và chỉ khi chúng thuộc cùng 1 lớp tương đương.
Ký hiệu

Ký hiệu " a\sim b" và "a ≡ b", thường được dùng khi ta không nhắc đến quan hệ  R , còn dạng " a\sim _{R}b", "a ≡R b", hay " {a\mathop {R} b}" khi ta muốn nhắc đến  R. Khi muốn nói không tương đương ta có thể viết "a ≁ b" hoặc " a\not \equiv b".
Định nghĩa

Quan hệ hai ngôi  \,\sim \, trên tập  X được gọi là quan hệ tương đương khi và chỉ khi nó phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Nghĩa là, với mọi  a,b, và  c thuộc  X:
a\sim a (phản xạ).
a\sim b khi và chỉ khi  b\sim a (đối xứng).
Nếu  a\sim b và  b\sim c thì  a\sim c (bắc cầu).
X cùng với quan hệ tương đương  \,\sim \, được gọi là setoid. Lớp tương đương của  a dưới  \,\sim , được ký hiệu  [a], định nghĩa bởi  [a]=\{x\in X:x\sim a\}.
Định nghĩa > Định nghĩa dùng đại số của các quan hệ

Nếu  R\subseteq X\times Y và  S\subseteq Y\times Z là 2 hai quan hệ, thì quan hệ hợp thành  SR\subseteq X\times Z được định nghĩa là  x\,SR\,z khi chỉ khi tồn tại  y\in Y sao cho  x\,R\,y và  y\,S\,z. Định nghĩa này tổng quát định nghĩa của phép hợp hàm. Từ đó, ta có định nghĩa khác tương đương của quan hệ tương đương  R trên tập  X như sau::
\operatorname {id} \subseteq R. (phản xạ). (Ở đây,  \operatorname {id}  ký hiệu hàm đồng nhất trên  X.)
R=R^{-1} (đối xứng).
RR\subseteq R (bắc cầu).
Các ví dụ > Ví dụ đơn giản

Trên tập  X=\{a,b,c\}, quan hệ  R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\} là quan hệ tương đương.Các tập sau là các lớp tương đương của quan hệ này:
 [a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}.
Tập các lớp tương đương cho  R là  \{\{a\},\{b,c\}\}. Tập này là phân hoạch của tập  X với  R.
Các ví dụ > Các ví dụ tương đương khác

Các quan hệ sau là các quan hệ tương đương:
"Bằng với" trên tập số. Ví dụ  {\tfrac {1}{2}} bằng với  {\tfrac {4}{8}}.
"Có cùng sinh nhật" trên tập con người.
"đồng dạng với" trên tập tất cả tam giác.
"tương đẳng với" trên tập tất cả tam giác.
Cho số tự nhiên  n, "đồng dư với  n" trên tập số nguyên.
"Cùng giá trị tuyệt đối với" trên tập số thực.
"Có cùng giá trị cos với" trên tập các góc.
Các ví dụ > Ví dụ các quan hệ không tương đương

Quan hệ "≥" trong số thực bắc cầu và phản xạ nhưng không đối xứng. Ví dụ: 7 ≥ 5 nhưng không 5 ≥ 7.
Quan hệ "có cùng ước lớn hơn 1 với" giữa các số tự nhiên lớn hơn 1, có tính phản xạ và đối xứng nhưng không bắc cầu. Ví dụ: 5 và 10 có ước chung lớn hơn 1, 10 và 4 cũng có ước chung lớn hơn 1 nhưng 5 và 4 không có ước chung lớn hơn 1.
Quan hệ rỗng R (định nghĩa rằng aRb luôn sai) trên tập X nghiễm nhiên đối xứng và bắc cầu nhưng không phản xạ (trừ phi X rỗng).
Liên hệ với các loại quan hệ khác

Quan hệ thứ tự bộ phận là quan hệ phản xạ, phản xứng, và bắc cầu.
Đẳng thức vừa là quan hệ tương đương vừa là quan hệ thứ tự bộ phận. Đẳng thức cũng là quan hệ duy nhất trên tập mà có tính phản xạ, phản xứng và đối xứng. Trong các biểu thức đại số, các biến bằng nhau có thể thay cho nhau, còn các biến có quan hệ tương đương nhau thì không thể thay cho nhau được. Các lớp tương đương trong quan hệ có thể thay cho nhau, nhưng các phần tử trong lớp thì không được phép.
Quan hệ thứ tự bộ phận chặt không phản xạ, bắc cầu và không đối xứng.
Quan hệ tương đương một phần có tính bắc cầu và đối xứng. Quan hệ có tính phản xạ khi và chỉ khi nó có tính toàn phần, nghĩa là, nếu với mọi  a, , tồn tại  b{\text{ sao cho }}a\sim b. Do đó, quan hệ tương đương có thể định nghĩa là quan hệ đối xứng, bắc cầu và toàn phần.
Quan hệ tương đương tam ngôi là quan hệ tương đương trong ba ngôi tương ứng với trường hợp quan hệ hai ngôi.
Quan hệ phản xạ và đối xứng là quan hệ phụ thuộc (nếu hữu hạn), và là quan hệ dung sai nếu vô hạn.
Tiền thứ tự có tính phản xạ và bắc cầu.
Quan hệ tương đẳng là quan hệ tương đương mà tập  X làm tập nền cho cấu trúc đại số, thêm vào một số cấu trúc. Tổng quát thì, quan hệ tương đẳng thường đóng vai trò hạt nhân của các đồng cấu, và thương của cấu trúc bởi quan hệ tương đẳng có thể xác định được. Trong nhiều trường hợp quan trọng, quan hệ tương đẳng còn được coi là các cấu trúc con của cấu trúc mà chúng được định nghĩa trên (ví dụ như quan hệ tương đẳng trên các nhóm tương ứng với các nhóm con chuẩn tắc).
Các quan hệ mà vừa phản xạ vừa là quan hệ Euclid (trái hoặc phải) thì cũng là quan hệ tương đương.
Xác định hoàn toàn dưới quan hệ tương đương

Nếu  \,\sim \, là quan hệ tương đương trên  X, và  P(x) là tính chất của các phần tử thuộc  X, sao cho bất cứ khi nào  x\sim y, thì  P(x) đúng khi  P(y) đúng, và tính chất  P được gọi là xác định hoàn toàn hay bất biến lớp dưới quan hệ  \,\sim .
Một trường hợp cụ thể thường gặp là khi  f là hàm số từ tập  X sang tập  Y; sao cho nếu  x_{1}\sim x_{2} suy ra  f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) thì  f được gọi là cấu xạ cho  \,\sim , hay bất biến lớp dưới  \,\sim , hoặc ngắn gọn hơn là bất biến dưới  \,\sim . Trường hợp có thể xảy ra trong lý thuyết các ký tự của nhóm hữu hạn.
Tổng quát hơn, một hàm có thể ánh xạ các phần tử tương đương nhau (dưới quan hệ tương đương  \,\sim _{A}) sang các phần tử tương đương nhau khác (dưới quan hệ tương đương  \,\sim _{B}).  Hàm số có tính chất như vậy được gọi là cấu xạ từ  \,\sim _{A} sang  \,\sim _{B}.
Lớp tương đương, tập thương và phân hoạch

Đặt  a,b\in X., ta có một số định nghĩa sau:
Lớp tương đương, tập thương và phân hoạch > Lớp tương đương

Bài chi tiết: Lớp tương đương
Tập con Y của X sao cho  a\sim b luôn thỏa mãn với mọi a và b thuộc Y, và không bao giờ với a thuộc Y và b ngoài Y, được gọi là lớp tương đương của X bởi ~.  [a]:=\{x\in X:a\sim x\} ký hiệu lớp tương đương mà phần tử a thuộc về. Tất cả các phần tử thuộc X mà tương đương với nhau thì đều thuộc chung một lớp tương đương.
Lớp tương đương, tập thương và phân hoạch > Tập thương

Tập các lớp tương đương của X bởi ~, ký hiệu là  X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]:x\in X\}, là tập thương của X bởi ~. Nếu X là không gian tô pô, thì có cách tự nhiên để biến đổi  X/\sim  thành không gian tô pô; xem không gian thương để biết thêm.
Lớp tương đương, tập thương và phân hoạch > Phép chiếu

Phép chiếu của  \,\sim \, là hàm  \pi :X\to X/{\mathord {\sim }} định nghĩa bởi  \pi (x)=[x] ánh xạ các phần tử của  X sang lớp tương đương tương ứng của chúng theo  \,\sim .
Lớp tương đương, tập thương và phân hoạch > Hạt nhân tương đương

Hạt nhân tương đương của hàm  f là quan hệ tương đương ~ định nghĩa như sau:  x\sim y{\text{ khi và chỉ khi }}f(x)=f(y). Hạt nhân tương đương của đơn ánh là quan hệ đơn vị.
Lớp tương đương, tập thương và phân hoạch > Phân hoạch

Phân hoạch của X là tập P chứa các tập con của X, sao cho với mỗi một phần tử thuộc X chỉ thuộc đúng một tập thuộc P. Do đó, mỗi tập hợp thuộc P không giao nhau đôi một và hợp của tất cả các phần tử của P là X.
Lớp tương đương, tập thương và phân hoạch > Phân hoạch > Đếm số phân hoạch

Gọi X là tập hữu hạn chứa n phần tử. Bởi mỗi quan hệ tương đương trên X tương ứng với một phân hoạch trên X, và ngược lại số quan hệ tương đương trên X bằng với số phân hoạch riêng biệt của X, và bằng với số Bell thứ n, ký hiệu là Bn:
Định lý nền tảng của các quan hệ tương đương

Có hai quan hệ quan trọng sau nối giữa quan hệ tương đương với phân hoạch trong tập hợp:
Quan hệ tương đương ~ trên tập X phân hoạch X.
Ngược lại, với mỗi phân hoạch trên X, tồn tại quan hệ tương đương ~ trên X tương ứng với nó.
Trong cả hai, tập các phần tử trong phân hoạch của X đều được gọi là lớp tương đương của X bởi ~. Do đó, tồn tại song ánh giữa tập các quan hệ tương đương trên X với tập các phân hoạch trên X.
So sánh các quan hệ tương đương

Xem thêm: Phân hoạch tập hợp § Mịn hóa phân hoạch
Nếu  \sim  và  \approx  là hai quan hệ tương đương trên cùng tập  S, và  a\sim b suy ra  a\approx b với mọi  a,b\in S, thì quan hệ  \approx  được gọi là thô hơn quan hệ  \sim , và quan hệ  \sim  được gọi là mịn hơn quan hệ  \approx . Các cách nói tương đương:
\sim  mịn hơn  \approx  nếu mọi lớp tương đương của  \sim  là tập con của một lớp tương đương của  \approx , và do đó mọi lớp tương đương của  \approx  là hợp của các lớp tương đương của  \sim .
\sim  mịn hơn  \approx  nếu phân hoạch từ  \sim  là kết quả mịn hóa phân hoạch của  \approx .
Quan hệ bằng nhau là quan hệ mịn nhất trên bất kỳ tập hợp. Trong khi quan hệ phổ dụng (tức quan hệ trong đó mọi cặp phần tử đều có quan hệ với nhau) là quan hệ thô nhất.
Xét quan hệ " \sim  mịn hơn  \approx " trên tập các quan hệ tương đương trên cùng một tập nào đó, quan hệ này là quan hệ thứ tự một phần, và do đó tập hợp này là ví dụ về dàn hình học.