Phân phối mũ
Ứng dụng

Phân phối mũ được dùng để mô hình các quá trình Poisson, đó là các tình huống mà khi đó một đối tượng đang ở trạng thái A có thể chuyển sang trạng thái B với xác suất không đổi λ trong mỗi đơn vị thời gian. Thời điểm thay đổi trạng thái được mô tả bằng một biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số λ. Do đó, tích phân từ 0 đến T của f là xác suất đối tượng đang ở trạng thái B tại thời điểm T.
Phân phối mũ có thể được xem là một phân bố liên tục tương ứng với phân bố hình học. Phân bố hình học mô tả số phép thử Bernoulli (Bernoulli trial) cần thiết cho một quá trình rời rạc thay đổi trạng thái. Trong khi đó, phân phối mũ mô tả thời điểm mà một quá trình liên tục chuyển trạng thái.
Trong các tình huống thực, giả thuyết về một tỉ lệ hằng số (hay xác suất không đổi trong một đơn vị thời gian) hiếm khi được thỏa mãn. Ví dụ, tỉ lệ các cuộc điện thoại gọi đến thay đổi theo thời gian trong ngày. Tuy nhiên, nếu ta tập trung vào một khoảng thời gian khi tỉ lệ đó khá gần với hằng số, chẳng hạn từ 2 đến 4 giờ chiều trong ngày làm việc, phân phối mũ có thể là mô hình xấp xỉ tốt cho thời gian đến khi có cú điện thoại tiếp theo. Các dự đoán tương tự áp dụng cho các ví dụ sau, chúng cho ra các biến có phân bố xấp xỉ phân phối mũ:
thời gian cho đến khi bạn bị tai nạn giao thông lần nữa
thời gian cho đến khi một hạt phóng xạ phân rã, hay thời gian giữa hai tiếng bíp của một máy đếm geiger (geiger counter)
số lần thả súc sắc cần thiết cho đến khi bạn thả được lục liên tục 11 lần.
thời gian cho đến khi một thiên thạch lớn rơi xuống trái đất gây ra biến cố tuyệt chủng hàng loạt (mass extinction event).
Các biến phân phối mũ còn có thể được dùng để mô hình các tình huống khi một số biến cố nhất định xảy ra với một xác suất không đổi trong mỗi đơn vị khoảng cách:
khoảng cách giữa các đột biến trên một sợi DNA;
khoảng cách giữa hai đoạn hay xảy ra tai nạn trên một con đường cho trước;
Trong Lý thuyết hàng đợi, khoảng thời gian giữa các sự kiện đến (nghĩa là thời gian giữa các thời điểm khách hàng vào hệ thống) thường được mô hình bằng các biến phân phối mũ. Độ dài của một quá trình mà có thể được coi là một chuỗi các nhiệm vụ độc lập được mô hình tốt hơn bởi một biến theo phân bố Gamma (đó là tổng của một số biến độc lập theo phân phối mũ).
Lý thuyết về độ tin cậy (Reliability theory), và reliability engineering (ngành kỹ nghệ đảm bảo rằng một hệ thống sẽ đáng tin cậy khi được vận hành theo một quy cách được định trước) cũng ứng dụng phân phối mũ rất nhiều. Do tính chất không bộ nhớ, phân phối mũ rất thích hợp cho việc mô hình phần tỉ lệ rủi ro hằng số của đường cong hình chậu (bathtub curve) sử dụng trong lý thuyết về độ tin cậy. Nó cũng thuận tiện cho việc bổ sung các tỉ lệ thất bại (failure rate) vào mô hình độ tin cậy.
Tuy nhiên phân phối mũ không thích hợp cho việc mô hình toàn bộ đời sống của các cơ thể sống hoặc các thiết bị kỹ thuật, vì các "tỉ lệ thất bại" ở đây không phải hằng số: có nhiều thất bại xảy ra hơn đối với các hệ thống rất trẻ hoặc rất già.
Trong vật lý, nếu ta quan sát một chất khí tại một nhiệt độ và áp suất không đổi trong một trọng trường đều, độ cao của các phân tử cũng tuân theo một phân phối mũ xấp xỉ. Đó là kết luận của tính chất entropy được nêu dưới đây.