Quy tắc chia hết
Chứng minh > Chứng minh sử dụng đại số sơ cấp

Nhiều quy tắc đơn giản có thể được lập ra chỉ bằng cách sử dụng các thao tác đại số, tạo ra các nhị thức và sắp xếp lại chúng. Bằng cách viết một số dưới dạng tổng của từng chữ số nhân với một lũy thừa của 10, có thể thao tác trên mỗi bậc chữ số riêng lẻ.
Trường hợp quy tắc cộng tất cả chữ số
Phương pháp này áp dụng cho xét các ước là thừa số (nhân tử) của 10 − 1 = 9.
Lấy 3 làm ví dụ, 3 chia hết 9 = 10 − 1. Vậy tức là  10\equiv 1{\pmod {3}} (xem thêm số học mô đun). Tương tự với các bậc lũy thừa cao hơn của 10:  10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}.  Tất cả chúng đều đồng dư với 1 modulo 3. Vì hai số đồng dư modulo 3 thì cả hai đều chia hết cho 3 hoặc đều không chia hết, ta có thể tùy ý hoán đổi giữa các giá trị đồng dư với 3. Vì thế, với một số chẳng hạn như sau, ta có thể thay tất cả các lũy thừa 10 trong đó bằng số 1:
và đây chính bằng tổng các chữ số có trong số đó.
Trường hợp quy tắc sử dụng tổng xen kẽ các chữ số
Phương pháp này phù hợp cho các ước là nhân tử của 10 + 1 = 11.
Lấy dấu hiệu của 11 làm ví dụ, 11 chia hết 11 = 10 + 1. Tức là  10\equiv -1{\pmod {11}}. Với các bậc lũy thừa cao hơn của 10, chúng đồng dư 1 đối với các bậc chẵn và đồng dư với −1 đối với các bậc lẻ:
Như ở trường hợp trên, ta có thể thay các bậc lũy thừa của 10 với các giá trị đồng dư tương ứng của chúng:
đây cũng chính là hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí hàng lẻ và tổng các chữ số ở vị trí hàng chẵn.
Trường hợp chỉ cần xét (các) chữ số cuối cùng
Quy tắc này áp dụng cho các ước là thừa số của một lũy thừa của 10 (chẳng hạn 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250...). Đó là do bậc lũy thừa đủ cao của cơ số (10) chia hết cho ước cần xét, và có thể bỏ qua.
Ví dụ, trong hệ cơ số 10, các thừa số của 101 bao gồm 2, 5, và 10. Vì thế, tính chia hết cho 2, 5, và 10 chỉ phụ thuộc vào 1 chữ số cuối cùng có chia hết cho các ước đó hay không. Các thừa số của 102 bao gồm 4 và 25, và tính chia hết cho các ước đó chỉ phụ thuộc vào 2 chữ số cuối cùng.
Trường hợp chỉ bỏ đi (các) chữ số cuối cùng
Hầu hết các số nguyên đều không chia hết 9 hoặc 10, nhưng chia hết lũy thừa cao hơn của 10n hoặc 10n − 1. Trong trường hợp này số sẽ vẫn được viết thành các bậc lũy thừa của 10, nhưng không khai triển hoàn toàn.
Ví dụ, 7 không chia hết 9 hay 10, nhưng có chia hết 98, là một số gần 100. Vì vậy, tiếp tục từ đây:
ở đó trong trường hợp này a là một số nguyên bất kỳ, và b có thể nằm trong khoảng từ 0 đến 99.  Tiếp theo đó,
và lại khai triển
và sau khi bỏ đi số hạng là bội số đã biết của 7, kết quả sẽ là:
đó chính là quy tắc "nhân đôi số tạo thành bởi phần còn lại ngoài hai chữ số cuối, rồi cộng thêm vào hai chữ số cuối".
Trường hợp (các) chữ số cuối cùng được nhân với một hệ số
Biểu diễn của số nguyên cũng có thể cần được nhân với một số nguyên tố cùng nhau với ước số đang xét mà không làm thay đổi tính chia hết của nó. Từ quan sát rằng 7 chia hết 21, chúng ta có thể thực hiện như sau:
sau khi nhân với 2, giá trị này trở thành
và sau đó thành
bỏ đi bội số 21 ta được
và nhân với −1 được
Có thể sử dụng một trong hai quy tắc cuối cùng để xét chia hết, tùy thuộc vào quy tắc nào dễ thực hiện tính toán hơn. Chúng tương ứng với quy tắc "trừ hai lần chữ số tận cùng vào phần còn lại".