stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Cereophagus

| Cereophagus futilalis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Crambidae
Chi (genus): Cereophagus Dyar, 1922
Loài (species): C. futilalis
Danh pháp hai phần
Cereophagus futilalis Dyar, 1922 
Cereophagus là một chi bướm đêm thuộc họ Crambidae.
Chú thích

↑  “global Pyraloidea database”. Globiz.pyraloidea.org. Truy cập ngày 11 tháng 10 năm 2011.
Charles Bailyn

| Charles Bailyn |
| --- | --- |
Sinh: 27 tháng 10, 1959 (64 tuổi) Cambridge, MA
Quốc tịch: Mỹ
Tư cách công dân: Mỹ
Trường lớp: Đại học Yale
Giải thưởng: Giải Robert J. Trumpler (1990) Giải Bruno Rossi (2009)
Sự nghiệp khoa học
Ngành: thiên văn học và vật lý học
Nơi công tác: Đại học Yale
Các nghiên cứu sinh nổi tiếng: Eric P. Rubenstein Jerry Orosz
 
Charles David Bailyn (sinh ngày 27.10.1959) là giáo sư Thiên văn học và Vật lý học ở Đại học Yale. Bản luận án tiến sĩ của ông về các sao kép phát ra tia X đã mang lại cho ông Giải Robert J. Trumpler.
Lãnh vực nghiên cứu của Bailyn gồm Thiên văn học Năng lượng cao và Thiên văn học thiên hà. Ông đã xuất bản trên 100 bài khảo cứu về các đề tài trên.
Mùa xuân 2007, Bailyn đã ghi âm ASTR 160, Frontiers and Controversies in Astrophysics, một phần của sáng kiến Open Yale Courses.
Bailyn đoạt Giải Bruno Rossi 2009 cho công trình nghiên cứu khối lượng các lỗ đen.
Centeterus alpinus

| Centeterus alpinus> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Hymenoptera
Họ (familia): Ichneumonidae
Chi (genus): Centeterus
Loài (species): C. alpinus
Danh pháp hai phần
Centeterus alpinus (Cameron, 1885) 
Centeterus alpinus là một loài tò vò trong họ Ichneumonidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 22 tháng 6 năm 2014.
Cheumatopsyche capitata

| Cheumatopsyche capitata> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Trichoptera
Họ (familia): Hydropsychidae
Chi (genus): Cheumatopsyche
Loài (species): C. capitata
Danh pháp hai phần
Cheumatopsyche capitata L Navas, 1936 
Cheumatopsyche capitata là một loài Trichoptera trong họ Hydropsychidae. Chúng phân bố ở miền Ấn Độ - Mã Lai.
Giải vô địch bóng đá Nam Mỹ 1927

| Chi tiết giải đấu |
| --- | --- |
Nước chủ nhà: Peru
Thời gian: 30 tháng 10 – 27 tháng 11
Số đội: 4 (từ 1 liên đoàn)
Địa điểm thi đấu: 1 (tại 1 thành phố chủ nhà)
Vị trí chung cuộc
Vô địch:  Argentina (lần thứ 3)
Á quân:  Uruguay
Hạng ba:  Peru
Hạng tư:  Bolivia
Thống kê giải đấu
Số trận đấu: 6
Số bàn thắng: 37 (6,17 bàn/trận)
Vua phá lưới:  Alfredo Carricaberry    Segundo Luna    Roberto Figueroa    Pedro Petrone    Héctor Scarone   (3 bàn)
← 1926 1929 → 
Giải vô địch bóng đá Nam Mỹ 1927 là giải vô địch bóng đá Nam Mỹ lần thứ 11, diễn ra ở Lima, Peru từ 30 tháng 10 đến 27 tháng 11 năm 1927. Giải đấu có 4 đội tuyển tham gia, đấu vòng tròn tính điểm để chọn ra nhà vô địch. Argentina giành chức vô địch lần thứ ba sau khi vượt qua đương kim vô địch Uruguay ở lượt trận đấu cuối.
Danh sách cầu thủ tham dự

Bài chi tiết: Danh sách cầu thủ tham dự giải vô địch bóng đá Nam Mỹ 1927
Kết quả

| Đội | Tr | T | H | B | BT | BB | HS | Đ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  Argentina | 3 | 3 | 0 | 0 | 15 | 4 | +11 | 6 |
|  Uruguay | 3 | 2 | 0 | 1 | 15 | 3 | +12 | 4 |
|  Peru | 3 | 1 | 0 | 2 | 4 | 11 | −7 | 2 |
|  Bolivia | 3 | 0 | 0 | 3 | 3 | 19 | −16 | 0 |
Trận đấu

30 tháng 10 năm 1927
| Argentina  | 7–1 |  Bolivia |
| --- | --- | --- |
| Luna  18', 56'   Carricaberry  20', 36'   Recanattini  24' (ph.đ.)   Seoane  29', 79' |  | Alborta  42' |
Trọng tài: Benjamín Fuentes (Peru)
1 tháng 11 năm 1927
| Uruguay  | 4–0 |  Peru |
| --- | --- | --- |
Ulloa  49' (l.n.)   Sacco  52', 71'   Castro  75': 
Trọng tài: Consolato Nay Foino (Argentina)
6 tháng 11 năm 1927
| Uruguay  | 9–0 |  Bolivia |
| --- | --- | --- |
Petrone  18', 65', 81'   Figueroa  19', 67', 69'   Arremón  43'   Castro  68'   Scarone  86': 
Trọng tài: Benjamín Fuentes (Peru)
13 tháng 11 năm 1927
| Peru  | 3–2 |  Bolivia |
| --- | --- | --- |
| Neyra  41'   Sarmiento  41'   Montellanos  43' |  | Bustamante  13', 14' |
Trọng tài: Alberto Parodi (Chile)
20 tháng 11 năm 1927
| Argentina  | 3–2 |  Uruguay |
| --- | --- | --- |
| Recanattini  56' (ph.đ.)   Luna  70'   Canavessi  85' (l.n.) |  | Scarone  33', 79' |
Trọng tài: David Thurner (Anh)
27 tháng 11 năm 1927
| Argentina  | 5–1 |  Peru |
| --- | --- | --- |
| Ferreira  1', 30'   Maglio  22', 25'   Carricaberry  38' |  | Villanueva  3' |
Trọng tài: Victorio Gariboni (Bolivia)
Danh sách cầu thủ ghi bàn

3 bàn
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|   Alfredo Carricaberry   Segundo Luna   |   Roberto Figueroa   Pedro Petrone   |   Héctor Scarone   |
2 bàn
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|   Manuel Ferreira   Juan Maglio   Humberto Recanattini   |   Manuel Seoane   José Bustamante   Héctor Castro   |   Antonio Sacco   |
1 bàn
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|   Mario Alborta   Alberto Montellanos   |   Demetrio Neyra   Jorge Sarmiento   |   Alejandro Villanueva   Juan Arremon   |
phản lưới nhà
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|   Daniel Ulloa (trận gặp Uruguay)   |   Adhemar Canavessi (trận gặp Argentina)   |    |
Cheumatopsyche carmentis

| Cheumatopsyche carmentis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Trichoptera
Họ (familia): Hydropsychidae
Chi (genus): Cheumatopsyche
Loài (species): C. carmentis
Danh pháp hai phần
Cheumatopsyche carmentis Malicky & Chantaramongkol in Malicky, 1997 
Cheumatopsyche carmentis là một loài Trichoptera thuộc họ Hydropsychidae. Chúng phân bố ở miền Ấn Độ - Mã Lai.
Chaetomitrium frondosum

| Chaetomitrium frondosum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Bryophyta
Lớp (class): Bryopsida
Bộ (ordo): Hookeriales
Họ (familia): Hookeriaceae
Chi (genus): Chaetomitrium
Loài (species): C. frondosum
Danh pháp hai phần
Chaetomitrium frondosum Mitt., 1868 
Chaetomitrium frondosum là một loài Rêu trong họ Hookeriaceae. Loài này được Mitt. mô tả khoa học đầu tiên năm 1868.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Chaetomitrium frondosum”. Truy cập ngày 1 tháng 6 năm 2014.
Ceraclea modesta

| Ceraclea modesta> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Trichoptera
Họ (familia): Leptoceridae
Chi (genus): Ceraclea
Loài (species): C. modesta
Danh pháp hai phần
Ceraclea modesta Banks, 1920 
Ceraclea modesta là một loài Trichoptera trong họ Leptoceridae. Chúng phân bố ở miền Ấn Độ - Mã Lai.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập 5 tháng 6 năm 2012.
Ceraclea ophioderus

| Ceraclea ophioderus> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Trichoptera
Họ (familia): Leptoceridae
Chi (genus): Ceraclea
Loài (species): C. ophioderus
Danh pháp hai phần
Ceraclea ophioderus HH Ross, 1938 
Ceraclea ophioderus là một loài Trichoptera trong họ Leptoceridae. Chúng phân bố ở miền Tân bắc.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập 5 tháng 6 năm 2012.
Chaetoria

| Chaetoria |
| --- | --- |

Phân loại khoa học 
Vực:: Eukaryota
Giới:: Animalia
Ngành:: Arthropoda
Lớp:: Insecta
Bộ:: Diptera
Họ:: Tachinidae
Phân họ:: Exoristinae
Tông:: Exoristini
Chi:: Chaetoria Becker, 1908

Loài điển hình
Chaetoria stylata Becker, 1908
Các đồng nghĩa
 Clistorrhinia Bezzi & Lamb, 1926  Phrynactia Townsend, 1926  Vorina Malloch, 1930
Chaetoria là một chi ruồi trong họ Tachinidae.
Các loài

Chaetoria aurifrons (Bezzi, 1926)
Chaetoria micronyx Mesnil, 1971
Chaetoria setibasis (Malloch, 1930)
Chaetoria spinicosta (Thomson, 1869)
Chaetoria stylata Becker, 1908
Chú thích

1 2 3  Becker, T. (1908). “Dipteren der Kanarischen Inseln”. Mitteilungen aus dem Zoologischen Museum in Berlin. 4: 1–180, 4 pls. Truy cập ngày 7 tháng 10 năm 2023.
1 2  Bezzi, M.; Lamb, C.G. (1926). “Diptera (excluding Nematocera) from the Island of Rodriguez”. Transactions of the Entomological Society of London. 73 (3–4): 537–573.
↑  Townsend, C.H.T. (1926). “Fauna sumatrensis. (Beitrag No. 25). Diptera Muscoidea II”. Supplementa Entomologica. 14: 14–42.
1 2  Malloch, J.R. (1930). “Notes on Australian Diptera. XXIV”. Proceedings of the Linnean Society of New South Wales. 55: 303–353. Truy cập ngày 28 tháng 3 năm 2022.
↑  O'Hara, James E.; Henderson, Shannon J.; Wood, D. Monty (5 tháng 3 năm 2020). “Preliminary Checklist of the Tachinidae (Diptera) of the World” (PDF). Tachinidae Resources. Truy cập ngày 21 tháng 8 năm 2023.
↑  Mesnil, L.P. (1971). “Quelques nouveaux tachinaires (Dipt. Tachinidae) de l'Ancien Monde”. Entomophaga. 16: 67–73. doi:10.1007/BF02370690.
↑  Thomson, C.G. (1869). Diptera. Species nova descripsit. Pp. 443-614, In Kongliga svenska fregatten Eugenies resa omkring jorden under befäl af C. A. Virgin, åren1851-1853. 2 (Zoologi) 1, Insecta. Stockholm: P. A. Norstedt & Soner. tr. 617 pp., pl. 9.
| --- | --- |
Thẻ nhận dạng đơn vị phân loại:  Wikidata: Q13635338  AFD: Chaetoria  BOLD: 517150  EoL: 78569  Fauna Europaea: 145347  GBIF: 1462911  IRMNG: 1335136  NCBI: 1155473
Chalenata bilinea

| Chalenata bilinea> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Noctuidae
Chi (genus): Chalenata
Loài (species): C. bilinea
Danh pháp hai phần
Chalenata bilinea Schaus, 1904 
Chalenata bilinea là một loài bướm đêm trong họ Noctuidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 28 tháng 6 năm 2014.
↑  Beccaloni, G. W., Scoble, M. J., Robinson, G. S. & Pitkin, B. (Editors). (2003) The Global Lepidoptera Names Index (LepIndex). (Geraadpleegd maart 2013).
Cercis occidentalis

| Cercis occidentalis |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Fabales
Họ (familia): Fabaceae
Chi (genus): Cercis
Loài (species): C. occidentalis
Danh pháp hai phần
Cercis occidentalis Torr. ex Gray 
 
Cercis occidentalis là một loài thực vật có hoa trong họ Đậu. Loài này được A.Gray miêu tả khoa học đầu tiên.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cercis occidentalis”. Truy cập ngày 5 tháng 6 năm 2013.
12565 Khege

| Tên định danh |
| --- | --- |
Tên định danh: 12565
Tên định danh thay thế: 1998 SV53
Đặc trưng quỹ đạo
Kỷ nguyên 14 tháng 5 năm 2008
Cận điểm quỹ đạo: 2.8912063
Viễn điểm quỹ đạo: 3.4862145
Độ lệch tâm: 0.0932992
Chu kỳ quỹ đạo: 2079.7974370
Độ bất thường trung bình: 146.31294
Độ nghiêng quỹ đạo: 6.23720
Kinh độ điểm mọc: 205.23756
Góc cận điểm: 264.38617
Đặc trưng vật lý
Cấp sao tuyệt đối (H): 13.3
 
12565 Khege (1998 SV53) là một tiểu hành tinh vành đai chính.
Ceraclea nibenica

| Ceraclea nibenica> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Trichoptera
Họ (familia): Leptoceridae
Chi (genus): Ceraclea
Loài (species): C. nibenica
Danh pháp hai phần
Ceraclea nibenica MA Gonzalez & LSW Terra, 1988 
Ceraclea nibenica là một loài Trichoptera trong họ Leptoceridae. Chúng phân bố ở miền Cổ bắc.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập 5 tháng 6 năm 2012.
Chalenata noxia

| Chalenata noxia> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Noctuidae
Chi (genus): Chalenata
Loài (species): C. noxia
Danh pháp hai phần
Chalenata noxia Schaus, 1911 
Chalenata noxia là một loài bướm đêm trong họ Noctuidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 28 tháng 6 năm 2014.
↑  Beccaloni, G. W., Scoble, M. J., Robinson, G. S. & Pitkin, B. (Editors). (2003) The Global Lepidoptera Names Index (LepIndex). (Geraadpleegd maart 2013).
Chersotis ebertorum

| Chersotis ebertorum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Noctuidae
Chi (genus): Chersotis
Loài (species): C. ebertorum
Danh pháp hai phần
Chersotis ebertorum Koçak, 1980 
Chersotis ebertorum là một loài bướm đêm trong họ Noctuidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 28 tháng 6 năm 2014.
↑  Beccaloni, G. W., Scoble, M. J., Robinson, G. S. & Pitkin, B. (Editors). (2003) The Global Lepidoptera Names Index (LepIndex). (Geraadpleegd maart 2013).
Chambéon

| --- | --- |
 Chambéon
Chambéon

Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Auvergne-Rhône-Alpes
Tỉnh: Loire
Quận: Montbrison
Tổng: Feurs
Xã (thị) trưởng: Albert Mousse (2001–2008)
Thống kê
Độ cao: 331–388 m (1.086–1.273 ft) (bình quân 346 m (1.135 ft)[chuyển đổi: tùy chọn không hợp lệ])
Diện tích đất1: 16,85 km2 (6,51 dặm vuông Anh)
Nhân khẩu2: 369  (1999)
 - Mật độ: 22/km2 (57/sq mi)
INSEE/Mã bưu chính: 42041/ 42110
1 Dữ liệu địa chính Pháp loại trừ các hồ và ao lớn hơn 1 km² (0.386 dặm vuông hoặc 247 acre) cũng như các cửa sông.
2 Dân số không tính hai lần: cư dân của nhiều xã (ví dụ, các sinh viên và quân nhân) chỉ tính một lần.
Chambéon là một xã trong tỉnh Loire miền trung nước Pháp.
Tính giao hoán

Tính chất của phép toán hai ngôiBản mẫu:SHORTDESC:Tính chất của phép toán hai ngôi
| --- | --- |
Phép toán  \circ  có tính giao hoán khi và chỉ khi  x\circ y=y\circ x với mọi  x và  y. Bức ảnh này mô tả rõ khái niệm của phép toán dưới hình ảnh của "máy tính toán". Đầu ra của cỗ máy không phụ thuộc vào  x\circ y hay  y\circ x tương ứng với các tham số đầu vào  x và  y có – giá trị tính ra sẽ đều như nhau.
Loại: Luật, quy tắc thay
Lĩnh vực:  Đại số sơ cấp  Đại số Boole  Lý thuyết nhóm  Lý thuyết vành  Calculus mệnh đề 
Phát biểu: Phép toán hai ngôi có tính giao hoán nếu thay đổi thứ tự hai toán hạng không làm thay đổi kết quả.
Phát biểu tương đương:  Định nghĩa 1:  x*y=y*x\qquad \forall x,y\in S.  Logic mệnh đề:  (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)   (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P) 
Trong toán học, một phép toán hai ngôi có tính giao hoán khi thay đổi thứ tự của hai toán hạng không làm thay đổi giá trị kết quả. Nó là tính chất cơ bản của nhiều phép toán hai ngôi và nhiều chứng minh toán học dựa trên tính chất này. Các ví dụ dễ thấy của tính chất là "3 + 4 = 4 + 3" hay "2 × 5 = 5 × 2". Lý do cần nhận biết tính giao hoán là bởi có những phép toán như phép chia và phép trừ không có nó (lấy ví dụ, "3 − 5 ≠ 5 − 3"); các phép toán đó không có tính giao hoán, nên thường được gọi là phép toán không giao hoán. Bởi ý tưởng rằng các phép toán đơn giản như phép nhân và phép cộng của số thực luôn có tính giao hoán, tính giao hoán thường được mặc định trước trong rất nhiều năm. Do đó, phải tới thế kỷ 19 khi toán học đang được chuẩn hoá tính chất này mới có cái tên riêng. Có một tính chất tương tự dành cho quan hệ hai ngôi; một quan hệ hai ngôi được gọi là đối xứng nếu quan hệ đúng bất kể thứ tự toán hạng trong đó; ví dụ, quan hệ bằng nhau đối xứng là vì hai đối tượng toán học bằng nhau sẽ bằng nhau bất kể thứ tự của nó.
Định nghĩa

Phép toán hai ngôi  * trên tập S được gọi là giao hoán nếu
 x*y=y*x\,{\mbox{với mọi }}x,y\in S. 
Phép toán không thoả mãn tính chất trên được gọi là phép toán không giao hoán.
Có thể nói x giao hoán với y hay x và y giao hoán dưới phép toán  * nếu
 x*y=y*x.
Nói cách khác, phép toán hai ngôi có tính giao hoán khi mọi cặp phần tử giao hoán dưới phép toán đó.
Định nghĩa > Lưu ý

Tính giao hoán chỉ cho phép thứ tự toán hạng có thể thay đổi trong một cặp phần tử đang tính. Ta chỉ được phép thay đổi tuỳ ý thứ tự các toán hạng trong các biểu thức có nhiều hơn hai toán hạng khi phép toán hai ngôi đang xét vừa có tính kết hợp vừa có tính giao hoán. Thật vậy, giả sử trong biểu thức a * b * c, ta muốn nhân a với c rồi mới nhân b. Thứ tự thực hiện phép toán như vậy không thể làm được bởi
a*b*c=(a*b)*c=(b*a)*c\neq b*(a*c)
và  a*b*c\neq a*(b*c)=a*(c*b)
Các ví dụ > Phép toán giao hoán

Phép cộng và phép nhân có tính giao hoán trong gần như mọi hệ thống số, cụ thể là trong số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực và số phức. Tính chất này đúng trong tất cả các trường.
Phép cộng trong mọi không gian vectơ và trong mọi đại số.
Phép hợp và giao có tính giao hoán trên các tập hợp.
"Hội" và "tuyển" là hai phép toán logic có tính giao hoán.
Các ví dụ > Phép toán không giao hoán

Một số phép toán không giao hoán:
Các ví dụ > Phép toán không giao hoán > Phép chia, phép trừ và phép mũ

Phép chia không giao hoán, bởi  1\div 2\neq 2\div 1.
Phép trừ không giao hoán bởi  0-1\neq 1-0. Tuy nhiên ta có thể gọi nó có tính phản giao hoán, bởi  0-1=-(1-0).
Phép mũ không giao hoán bởi  2^{3}\neq 3^{2}.
Các ví dụ > Phép toán không giao hoán > Hàm chân lý

Một số hàm chân lý không có tính giao hoán, bởi bảng chân lý cho các hàm đó thay đổi khi ta thay đổi thứ tự toán hạng. Lấy ví dụ, bảng chân lý cho   (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) và (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) là
|  A |  B |  A ⇒ B |  B ⇒ A |
| --- | --- | --- | --- |
|  F |  F |  T |  T |
|  F |  T |  T |  F |
|  T |  F |  F |  T |
 T
Các ví dụ > Phép toán không giao hoán > Hợp các hàm tuyến tính

Phép hợp các hàm tuyến tính từ các số thực sang số thực gần như luôn không giao hoán. Lấy ví dụ, đặt  f(x)=2x+1 và  g(x)=3x+7. Khi đó
và
Điều này cũng cho các biển đổi tuyến tính và biến đổi affin từ một không gian vectơ tới chính nó (xem biểu diễn ma trận bên dưới).
Các ví dụ > Phép toán không giao hoán > Phép nhân ma trận

Phép nhân các ma trận vuông gần như luôn không giao hoán, lấy ví dụ:
Các ví dụ > Phép toán không giao hoán > Tích vectơ

Tích vectơ của hai vectơ trong không gian ba chiều có tính phản giao hoán; tức là b × a =  −(a × b).
Lịch sử và từ nguyên học

Các bản ghi lại sử dụng tính giao hoán đã có từ thời cổ đại. Người Ai Cập sử dụng tính giao hoán của phép nhân để đơn giản hoá các tích trong tính toán. Euclid được biết đã mặc định tính chất giao hoán của phép nhân trong cuốn Elements của ông. Sử dụng tính chất này theo cách chuẩn tắc bất đầu vào cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, khi các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu lý thuyết của các hàm số. Nay tính giao hoán được biết rộng rãi và được sử dụng trong đa số các nhánh của toán học.
Từ commutative (nghĩa là có giao hoán) được viết lần đầu trong hồi ký năm 1814 của François Servois, Bài viết sử dụng từ commutatives khi mô tả các hàm số có tính giao hoán. Từ này là kết hợp của từ commuter nghĩa là "để thay hoặc đổi" và hậu tố -ative nghĩa là "dẫn tới" nên toàn bộ từ có nghĩa "dẫn tới thay hoặc đổi". Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh vào năm 1838 và trong mục của Duncan Farquharson Gregory với tiêu đề "Trên các tính chất tự nhiên của đại số ký hiệu", sau đó xuất bản vào năm 1840 trong các kỷ yếu của hiệp hội hoàng gia xứ Edinburgh.
Logic mệnh đề > Quy tắc thay

Trong logic mệnh đề, Giao hoán, hay tính giao hoán thường nhắc tới hai quy tắc thay hợp lệ. Hay quy tắc cho phép ta chuyển vị các biến mệnh đề trong các công thức mệnh đề trong bài chứng minh logic. Các quy tắc thay như sau
và
trong đó " \Leftrightarrow " là ký hiệu metalogic biểu diễn "có thể thay trong bài chứng minh với".
Logic mệnh đề > Liên kết logic mệnh đề

Tính giao hoán là tính chất của một số liên kết logic của logic mệnh đề. Các tương đương logic sau là ví dụ của các liên kết có tính chất giao hoán.
Lý thuyết tập hợp

Trong lý thuyết nhóm và lý thuyết tập hợp, nhiều cấu trúc đại số được gọi là giao hoán khi phép toán của nó thoả mãn tính chất giao hoán. Trong các nhánh cao hơn của toán học như giải tích hay đại số tuyến tính thì tính giao hoán của phép cộng và phép nhân trên tập số thực và số phức thường được mặc định trước không nhắc đến trong các bài chứng minh.
Giao hoán trong các cấu trúc toán học

Nửa nhóm giao hoán là tập đi kèm phép toán đóng, giao hoán và kết hợp.
Nếu nửa nhóm trên có thêm phần tử đơn vị, thì ta có monoid giao hoán
Nhóm Abel, hay nhóm giao hoán là nhóm mà phép toán nhóm có tính giao hoán.
Vành giao hoán là vành mà phép nhân có tính giao hoán. (phép cộng trong vành luôn có tính giao hoán.)
Trong trường, cả hai phép cộng và nhân đều có tính giao hoán.
Các tính chất có liên quan > Tính kết hợp

Bài chi tiết: Tính kết hợp
Tính kết hợp có quan hệ gần gũi với tính giao hoán.  Tính kết hợp trong biểu thức chứa hai hay nhiều hơn lần xuất hiện của cùng một phép toán phát biểu rằng thứ tự thực hiện phép toán không thay đổi kết quả cuối miễn là thứ tự các toán hạng không thay đổi. Ngược lại tính giao hoán phát biểu rằng thay đổi thứ tự các toán hạng khi tính trên một cặp sẽ không làm thay đổi kết quả cuối.
Các phép toán giao hoán thường thì sẽ cũng có tính kết hợp. Song, tính giao hoán không suy ra tính kết hợp. Một ví dụ phản chứng là hàm số sau
Hàm số này giao hoán (đổi x và y không thay đổi kết quả), nhưng nó không có tính kết hợp (bởi lấy ví dụ như  f(-4,f(0,+4))=-1 nhưng  f(f(-4,0),+4)=+1). Nhiều các ví dụ khác có thể tìm thấy trong các magma giao hoán không kết hợp. Ngược lại, tính kết hợp cũng không suy ra tính giao hoán. Lấy ví dụ, phép nhân ma trận luôn kết hợp nhưng chưa chắc đã giao hoán.
Các tính chất có liên quan > Tính phân phối

Bài chi tiết: Tính phân phối
Các tính chất có liên quan > Tính đối xứng

Một số dạng của đối xứng có thể liên hệ trực tiếp với tính giao hoán.  Khi phép toán hai ngôi được viết thành hàm nhị phân  z=f(x,y), thì hàm số đó được gọi là hàm đối xứng, và đồ thị của nó trong không gian ba chiều đối xứng qua mặt phẳng   y=x. Ví dụ nếu hàm f định nghĩa là  f(x,y)=x+y thì  f là hàm đối xứng.
Trong đại số quan hệ, quan hệ đối xứng tương tự với tính giao hoán, nghĩa là nếu quan hệ R đối xứng thì  aRb\Leftrightarrow bRa.