stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Thuyết tương đối hẹp
Vận tốc và vận tốc-4 > Công thức cộng vận tốc

Một tên lửa chuyển động với tốc độ  {\vec {v}}\, so với Trái Đất và từ Trái Đất bắn lên quả pháo với tốc độ  {\vec {w}}\, đo bởi tên lửa. Vậy vận tốc  {\vec {w}}'\, của đạn pháo đo từ Trái Đất bằng bao nhiêu ?
Theo thuyết động học Gallile các vec tơ vận tốc được cộng và ta có
Nhưng trong động học tương đối tính các vec tơ vận tốc được cộng như sau:
Mối liên hệ này cho thấy định luật cộng vận tốc trong thuyết tương đối hẹp không còn là phép cộng thuần túy hai vận tốc và vận tốc ánh sáng c là lớn nhất dù đo được trong hệ tọa độ bất kỳ nào (dễ dàng xác nhận được rằng khi cộng hai vec tơ vận tốc có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng c thì kết quả thu được vẫn là vận tốc có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng c).
Tuy nhiên, công thức trên áp dụng trong trường hợp hai vận tốc  {\vec {v}}\, và  {\vec {w}}\, song song với nhau. Công thức cộng vận tốc hai vec tơ cho trường hợp song song có thể thực hiện thêm một cách nữa như sau. Có thể biến đổi vec tơ v thành dạng tham số vec tơ vận tốc góc θ như đã nêu ở trên, áp dụng phương pháp rapidity.
Lúc này định luật cộng vận tốc trở thành định luật cộng các tham số vận tốc góc.
Đặt  \theta =\operatorname {artanh} (v/c);  \alpha '=\operatorname {artanh} (w'/c);  \alpha =\operatorname {artanh} (w/c)
và sử dụng công thức cộng trong các hàm hypebolic  \tanh(\theta +\alpha ')={\frac {\tanh \theta +\tanh \alpha '}{1+\tanh \theta \,\tanh \alpha '}}=\tanh \alpha , ta tìm được  \alpha =\alpha '+\theta
Tham số góc tương ứng với vận tốc c bằng vô cùng vì artanh (x), hàm tang hypebolic của đối số x, tiến đến vô cùng khi x tiến đến 1. Từ đây chúng ta tìm được vận tốc c là vận tốc giới hạn lớn nhất độc lập với hệ tọa độ. Tốc độ này là giới hạn không thể đạt tới bởi hạt có khối lượng, chỉ những hạt có khối lượng bằng zero, như photon, mới có thể chuyển động với tốc độ ánh sáng.
Tưởng tượng một quả đạn pháo được bắn ra với vận tốc w'  = 0,75c trong hệ quy chiếu của tên lửa chuyển động với vận tốc v = 0,75c so với Trái Đất. Vậy vận tốc của quả đạn pháo so với Trái Đất bằng bao nhiêu? Rõ ràng giá trị 1,5c tìm theo công thức cộng vận tốc của Galileo là không đúng bởi vì giá trị nhận được lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không. Trong trường hợp này ta phải áp dụng công thức cộng vận tốc tương đối tính. Tham số vận tốc góc của tên lửa bằng
 \alpha '=\operatorname {artanh} (0{,}75)=0{,}973\,.
Tương tự tham số vận tốc góc của tên lửa so với Trái Đất bằng
 \theta =0{,}973\,.
Theo công thức cộng vận tốc tham số vận tốc góc của quả đạn pháo so với Trái Đất bằng  \alpha =0{,}973+0{,}973=1{,}946, hay vận tốc của nó đo theo hệ quy chiếu Trái Đất bằng
 w=c\,\tanh(1{,}946)=0{,}96\,c\,.
Có thể tìm được giá trị w bằng trực tiếp thay vào công thức ở trên với w ’ và v.
Vận tốc và vận tốc-4 > Véctơ-4

Bài chi tiết: Véctơ-4
Bài chi tiết: Vận tốc-4
Trong cơ học Newton, chúng ta nghiên cứu chuyển động của một hạt bằng vec tơ vị trí của nó  {\vec {r}} như là hàm của thời gian t, thời gian này là thời gian tuyệt đối, độc lập với mọi đồng hồ đo nó. Trong thuyết tương đối, chúng ta từ bỏ quan niệm này bằng cách coi chuyển động của một hạt như là một chuỗi các sự kiện  {\mathcal {P}} nối tiếp nhau, đường cong miêu tả sự kiện này trong không gian bốn chiều (ba chiều không gian, một chiều thời gian) được gọi là "tuyến thế giới".
Giống như trong cơ học cổ điển chúng ta định nghĩa vận tốc của một hạt bằng cách lấy đạo hàm
của vị trí theo thời gian, và tương tự trong cơ học tương đối tính chúng ta định nghĩa vec tơ vận tốc bốn chiều (hay vận tốc-4)
với  \tau \, là thời gian riêng của hạt.
Bằng cách viết các thành phần của vec tơ vận tốc-4 này theo một hệ quy chiếu ta có được
trong đó xuất hiện hệ số c cho phép đồng nhất giữa các tọa độ.
Do tính bất biến của bình phương khoảng không-thời gian sau mỗi lần thay đổi hệ tọa độ quy chiếu, bình phương của chuẩn vec tơ-bốn cũng là một đại lượng bất biến dưới sự thay đổi hệ quy chiếu. Và trong hệ quy chiếu gắn với hạt (theo hướng tiếp tuyến với tuyến thế giới và ở thời điểm tức thì), chỉ có thành phần tọa độ thời gian của vận tốc-bốn của hạt là khác 0 và bằng c (bởi vì thời gian trong hệ quy chiếu này bằng thời gian riêng của chính hạt và vận tốc theo không gian của nó bằng 0): vận tốc-bốn có các thành phần (c, 0, 0, 0). Do đó trong bất kỳ hệ quy chiếu Galile chúng ta có liên hệ
Dựa trên bất biến của chuẩn này cho phép coi vận tốc-bốn của một hạt là một đại lượng độc lập với hệ tọa độ.
Véctơ-4 của năng lượng và động lượng

Động lượng của một hạt  {\vec {p}}=m{\vec {v}} là tích của khối lượng và vận tốc của hạt, giống như tích m \mathbf {u}  của vectơ-4 «  \mathbf {u}  với khối lượng m của hạt trở thành động lượng-4. Nó thường được gọi là vec tơ năng lượng-động lượng, với ý nghĩa biểu diễn rằng năng lượng và động lượng (ít nhất đối với chuyển động) được thống nhất thành một khái niệm vật lý không tách rời, giống như không gian và thời gian kết hợp lại thành không-thời gian. Quả thực nếu các thành phần không gian của véctơ-4 này được đồng nhất với các thành phần của khái niệm động lượng cổ điển, thì các nhà vật lý mà dẫn đầu là Einstein đã đồng nhất thành phần thời gian của véctơ-4 chính là năng lượng của hạt.
Trong một hệ quy chiếu quán tính (ví dụ, hệ quy chiếu gắn với Trái Đất trong xấp xỉ bậc nhất, mà từ đây về sau gọi là hệ quy chiếu gắn với phòng thí nghiệm), các tọa độ của sự kiện liên hệ với quỹ đạo của hạt và (t, x, y, z) là các thành phần tọa độ trong hệ quy chiếu này. Véctơ-4 của năng lượng và động lượng của hạt là:
Vì véctơ-4 này tỉ lệ với vận tốc-4 bởi hệ số bất biến đối với bất kỳ sự thay đổi hệ quy chiếu quán tính nào, chúng ta có mối liên hệ sau: \left(E/c\right)^{2}-\left({\vec {p}}\right)^{2}=m^{2}c^{2}
Véctơ-4 của năng lượng và động lượng > Ứng dụng của phép biến đổi Lorentz

Định nghĩa véctơ-4 năng lượng-động lượng, sử dụng các phần tử  \ (dt;dx;dy;dz) và thời gian riêng  \ d\tau  cùng tính bất biến dưới sự thay đổi hệ tọa độ, cho phép áp dụng phép biến đổi Lorentz đối với sự thay đổi hệ quy chiếu quán tính  \ p_{x} song song với  \ V vận tốc tương đối giữa hai hệ quy chiếu:
Véctơ-4 của năng lượng và động lượng > Biểu thức năng lượng tương đối tính

Từ định nghĩa của véctơ-4 năng lượng-động lượng, đặc biệt là tọa độ thời gian của nó, chúng ta thu được biểu thức của tổng năng lượng của hạt trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm, mà trong đó hạt chuyển động với vận tốc  {\vec {v}} (bởi vì năng lượng phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà nó tính toán trên đó) trong dạng của:
Trong thuyết tương đối hẹp, tổng năng lượng của một hạt bằng năng lượng nghỉ của hạt mc2 cộng với động năng K của hạt. Tính đến biểu thức năng lượng tương đối tính của hạt, chúng ta thu được biểu thức động năng của hạt tương đối tính:
Ở những vận tốc "nhỏ" (tức là tương đối bé so với tốc độ ánh sáng, và áp dụng ở cơ học "cổ điển"), chúng ta thu được, (trong xấp xỉ bậc nhất):
Đối với vận tốc rất gần vận tốc ánh sáng, đại lượng của nó bằng 1 - β = [1 - (v/c)] trở lên đáng kể.
Véctơ-4 của năng lượng và động lượng > Biểu thức động lượng tương đối tính

Mặt khác thành phần vận tốc của hạt trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm là:
Tính đến hệ số giãn thời gian giữa dt và d \tau , chúng ta thu được công thức quan trọng của động lượng trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm:
Véctơ-4 của năng lượng và động lượng > Sự tương đương giữa năng lượng và khối lượng nghỉ

Véc tơ-4 năng lượng-động lượng có đặc trưng ở chuẩn của nó, hoặc bình phương vô hướng (hay bình phương của khoảng không-thời gian), là đại lượng bất biến dưới phép thay đổi hệ tọa độ. Viết ngắn gọn đại lượng:
là độc lập với hệ quy chiếu được tính toán. Khi chuyển sang hệ quy chiếu của hạt thì vận tốc của nó bằng 0, và tương ứng động lượng bằng 0, do vậy chuẩn của đại lượng bất biến này trở thành (m c)2. Trong hệ quy chiếu bất kỳ chúng ta có mối liên hệ sau:
hoặc:
Các hệ số c được đưa vào trong công thức nhằm đảm bảo tính đồng nhất giữa các hệ tọa độ, p có độ lớn (mv), và E có độ lớn (mv2).
Có một số nhận xét như sau:
Sự tương đương khối lượng năng lượng được cho theo công thức nổi tiếng E=mc2. Để chứng tỏ sự tương đương này là một bước tiến quan trọng, bởi vì khái niệm vật chất và năng lượng được coi là hai khái niệm tách biệt cho đến thời điểm đấy, một số nhà khoa học, như Poincaré và Lorentz, đã độc lập với nhau thử xấp xỉ nguyên lý này trong thuyết điện từ học. Chú ý rằng trong khi khối lượng là chuẩn của véc tơ-4 năng lượng-động lượng, năng lượng chỉ là một trong các "thành phần" của véc tơ-4 này. Khối lượng cho bởi:
là bất biến dưới sự thay đổi hệ tọa độ (nó là như nhau trong mọi hệ quy chiếu). Năng lượng, ngược lại giá trị của nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu lựa chọn, rõ ràng là nếu vận tốc của hệ quy chiếu thay đổi, thì động năng cũng thay đổi theo.
Sự bảo toàn của véc tơ-4 năng lượng-động lượng trong một hệ kín

Trong vật lý cổ điển, tổng động lượng và động năng của một hệ kín được bảo toàn theo thời gian, ít nhất khi va chạm là đàn hồi. Nó là một tính chất tương thích độc lập với nguyên lý tương đối Galile. Khi chuyển hệ quy chiếu Galile sẽ cho giá trị thay đổi của năng lượng và động lượng nhưng tổng năng lượng và động lượng trong hệ mới này cũng được bảo toàn theo thời gian.
Trong thuyết tương đối hẹp, véc tơ-4 năng lượng-động lượng tổng cộng của hệ kín cũng là đại lượng bảo toàn, và cũng là một tính chất tương thích và độc lập với nguyên lý tương đối của Einstein. Các hệ tọa độ của véc tơ bốn chiều này được nhóm thành của năng lượng và động lượng, được bảo toàn bởi bất kỳ tương tác nào giữa các phần tử trong hệ kín. Trong vật lý phi tương đối tính, một sự thay đổi hệ quy chiếu cho ra một giá trị mới của tọa độ năng lượng (tọa độ thời gian) và tọa độ động lượng (các tọa độ không gian), và trong hệ quy chiếu mới này sự bảo toàn của các hệ tọa độ, theo thời gian, vẫn còn đúng.
Nguyên lý bảo toàn phát biểu như sau:
Nói cách khác ta có thể viết:
Vì véc tơ-4 được bảo toàn, mỗi thành phần của nó trong một hệ quy chiếu (mà từng giá trị phụ thuộc vào hệ quy chiếu) cũng được bảo toàn trong va chạm. Thành phần thời gian biểu diễn năng lượng E của hệ và thành phần không gian biểu diễn động lượng  {\vec {p}} của hệ, đối với mỗi hệ quy chiếu có hai quy tắc bảo toàn, một cho năng lượng và một cho động lượng (hoặc xung lượng).
Hai hạt va chạm theo hướng ngược chiều nhau. Hạt A khối lượng bằng 8 (cho theo đơn vị tổng quát) chuyển động với vận tốc v/c bằng 15/17 hướng về bên phải trong khi có một hạt khối lượng 12 chuyển động theo hướng ngược lại với vận tốc v/c bằng 5/13 (các số được chọn để phép tính cho đơn giản). Sau va chạm, A bật trở lại theo hướng khác và truyền một phần động lượng cho B. Tổng năng lượng, cộng năng lượng của các hạt A và B là đại lượng bảo toàn, và tương tự cho tổng động lượng. Đại lượng E và p biểu diễn thay cho các giá trị thực tế (E/c2) và (p/c) được biểu diễn theo đơn vị khối lượng bất kỳ. Với các khối lượng này chúng ta có liên hệ sau E 2 = p 2 + m 2. Hệ số γ luôn luôn xác định bằng γ = [1 - (v/c)2]-1/2.
Sự bảo toàn của véc tơ-4 năng lượng-động lượng trong một hệ kín > Va chạm đàn hồi

Trong máy gia tốc hạt một hạt có năng lượng rất cao va chạm với một hạt đứng yên và chuyển một phần động năng của nó cho hạt kia. Nếu chỉ coi năng lượng được chuyển hoàn toàn là động năng (và bảo toàn động lượng của hệ), chúng ta nói rằng va chạm này là va chạm đàn hồi. Công thức miêu tả sự bảo toàn của véc tơ-4 của hệ chứa hai hạt này cho phép phân tích xa hơn của quá trình va chạm. Trong cơ học Newton, hướng của hai hạt có cùng khối lượng sau va chạm đàn hồi tạo thành một góc vuông. Giá trị góc này không còn đúng trong trường hợp va chạm đàn hồi giữa hai hạt tương đối tính, nơi góc tạo bởi hai hạt sau va chạm tạo thành một góc nhọn. Hiện tượng này đã được ghi lại rõ ràng bằng buồng bọt từ các vụ chạm hạt cơ bản.
Xét một hạt electron khối lượng m có năng lượng rất lớn va chạm với một electron đứng yên. Các véc tơ động lượng của hai hạt được vẽ ra ở hình bên cạnh. Trước khi va chạm, véc tơ động lượng của electron đến là  {\vec {p}}. Sau va chạm, véc tơ động lượng của hai hạt lần lượt là  {\vec {p}}_{1} và  {\vec {p}}_{2}. Bằng cách viết năng lượng của electron bằng tổng của năng lượng nghỉ mc2 và động năng K, tổng năng lượng của hệ trước va chạm bằng:
Tương tự, năng lượng của mỗi hạt sau va chạm
Theo định luật bảo toàn năng lượng E = E1 + E2 và do vậy
công thức trên cho thấy động năng cũng được bảo toàn (trong va chạm đàn hồi).
Theo định luật bảo toàn động lượng
và do vậy nếu ta gọi θ là góc tạo bởi hai véc tơ  \ {\vec {p}}_{1} và  \ {\vec {p}}_{2} dẫn đến liên hệ
từ đây chúng ta rút ra được
Bằng cách lấy bình phương động lượng của mỗi electron như là hàm theo năng lượng và khối lượng, áp dụng công thức ở trên ta nhận được
cho electron đến trước va chạm và
cho các electron sau va chạm.
Vì K = K1 + K2 ta dễ dàng thu được công thức cuối cùng
Công thức trên cho thấy cos θ có giá trị dương và do đó hướng của hai electron sau va chạm tạo thành một góc nhọn.
Có thể dễ dàng tìm thấy trong các sách về thuyết tương đối có xét trường hợp va chạm đối xứng, với hai electron có cùng năng lượng K1 = K2 = K/2. Trong trường hợp đặc biệt này, công thức trên trở thành:
Trong giới hạn Newton ở vận tốc nhỏ, động năng nhỏ hơn rất nhiều so với năng lượng nghỉ mc2 do vậy
Ngược lại đối với trường hợp năng lượng rất cao, động năng trở lên lớn hơn so với mc2 do đó
Công thức trên cũng áp dụng cho va chạm giữa các hạt cơ bản khác như proton.
Sự bảo toàn của véc tơ-4 năng lượng-động lượng trong một hệ kín > Tán xạ Compton

Một ứng dụng vật lý của định luật bảo toàn động lượng và năng lượng đối với hệ hạt được sử dụng làm công cụ phân tích quá trình va chạm giữa một photon năng lượng cao với một electron ở trạng thái nghỉ hoặc có vận tốc rất nhỏ, hay còn gọi là quá trình tán xạ Compton.
Hệ quy chiếu khối tâm và khối lượng của hệ hạt

Giả sử một hệ gồm các hạt không có tương tác với nhau nằm trong hệ quy chiếu R: với năng lượng  E_{\mathrm {system} }=E_{s}=\Sigma _{\text{J}}\,E_{\text{J}} và động lượng  {\vec {p}}_{\mathrm {system} }={\vec {p}}_{s}=\Sigma _{\text{J}}\,{\vec {p}}_{\text{J}}\, của hệ này trong hệ quy chiếu này đã biết và không đổi theo thời gian.
Trong vật lý cổ điển, định nghĩa khối tâm, và hệ quy chiếu quán tính mà ở trong nó khối tâm này bất động, đối mặt với một vấn đề: đó là chúng ta sử dụng véc tơ khoảng cách và khối lượng của các hạt trong hệ để định nghĩa khối tâm. Trong cơ học tương đối tính, một định nghĩa tương tự gặp phải khó khăn trong việc tìm ra hệ quy chiếu phù hợp (và chúng ta phải chọn khối lượng hay năng lượng?) mà không có một tiêu chuẩn quyết định.
Bằng cách sử dụng định nghĩa sau mà có thể áp dụng cho mọi trường hợp tương đối tính: nếu lấy tổng động lượng theo "khối tâm" trong hệ quy chiếu  R*  mà động lượng tổng cộng bằng 0, hay  \mathbf {p^{*}} =\Sigma _{\text{J}}\,\mathbf {p^{*}} _{\text{J}}={\vec {0}}
Trong hệ quy chiếu này, năng lượng E* của hệ thỏa mãn  \ E^{*2}-p^{*2}c^{2}=E_{s}^{2}-p_{s}^{2}c^{2} bởi vì đây chỉ là sự thay đổi hệ quy chiếu, do vậy  \ E^{*2}=E_{s}^{2}-p_{s}^{2}c^{2}
Vận tốc tương đối giữa hai hệ quy chiếu R và R*, ký hiệu  \ v^{*}, thỏa mãn  \ p_{s}={\frac {E_{s}v^{*}}{c^{2}}}, 
nhưng vận tốc này hiếm khi được sử dụng trong tính toán.
Giá trị của khối lượng tổng  M*  của hệ do vậy nhận được là độc lập với hệ quy chiếu dùng để xác định nó:  M^{*2}c^{4}=E^{*2}=E_{s}^{2}-p_{s}^{2}c^{2}
Bất biến này không ảnh hưởng bởi sự thay đổi tọa độ, và là sự xác nhận cho công thức véc tơ-4 động lượng của hệ có nghĩa rằng định nghĩa này thỏa mãn mọi tính chất dự định cho khối lượng.
Theo định luật bảo toàn năng lượng, và trong hệ không có tương tác qua lại giữa các hạt (do đó không phát sinh năng lượng ảnh hưởng tới năng lượng tổng cộng), chúng ta có:  E^{*}=M^{*}c^{2}=\Sigma _{j}E_{j}^{*}
Năng lượng Ej* của mỗi hạt j (trong hệ quy chiếu R*) là tổng của năng lượng nghỉ mj c2 tương ứng với khối lượng nghỉ mj của mỗi hạt với động năng Kj* của hạt đó (tính trong hệ quy chiếu R*), hay:  \ E_{j}^{*}=\gamma _{j}^{*}m_{j}c^{2}=m_{j}c^{2}+K_{j}^{*}. Từ đây ta có:
Điều này chứng tỏ rằng: khối lượng tổng cộng của một hệ hạt lớn hơn tổng khối lượng từng hạt trong hệ.
Sự không bảo toàn của khối lượng

Sự bảo toàn của véc tơ năng lượng-động lượng giải thích cho lý do trong một phản ứng khối lượng của một hệ không thể tự nó chuyển đổi một phần hoặc toàn bộ thành năng lượng được. Điều này đã được xác nhận trong các phản ứng phân hạch hạt nhân, tổng hợp hạt nhân và sự hủy của các hạt.
Sự không bảo toàn của khối lượng > Phân rã tự phát của một hạt

Giả sử một hạt đứng yên có khối lượng M,phân rã tức thời thành các hạt nhỏ hơn (khối lượng nghỉ) tương ứng  \ m_{1} và  \ m_{2}: như đã chứng minh được rằng khối lượng M lớn hơn khối lượng cộng tổng \ (m_{1}+m_{2}) và sự chênh lệch này được tính vào động năng của các hạt.
Định luật bảo toàn năng lượng cho  \ Mc^{2}=E_{1}+E_{2}>m_{1}c^{2}+m_{2}c^{2} bởi vì  \ E_{i}=\gamma _{i}m_{i}c^{2}>m_{i}c^{2} và do  \ M>m_{1}+m_{2}
Trong sự kiện mà  \ M<m_{1}+m_{2}, sự phân rã này không thể xảy ra tự phát, và nó chỉ xảy ra nếu được cung cấp một lượng năng lượng ít nhất bằng "năng lượng liên kết" và bằng  \ m_{1}c^{2}+m_{2}c^{2}-Mc^{2}
Định luật bảo toàn động lượng cho  {\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}={\vec {0}}, do  p_{1}^{2}=p_{2}^{2}, từ đó rút ra  \ E_{1}^{2}-E_{2}^{2}=m_{1}^{2}c^{4}-m_{2}^{2}c^{4}
Cuối cùng, các đẳng thức  \ Mc^{2}=E_{1}+E_{2} và  \ E_{1}^{2}-E_{2}^{2}=m_{1}^{2}c^{4}-m_{2}^{2}c^{4} xác định năng lượng của hai hạt mới:  \ E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}c^{2} và  \ E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}c^{2}
Sự chênh lệch khối lượng  \ M-(m_{1}+m_{2}) biến đổi thành động năng của hai hạt mới, với năng lượng lần lượt là  \ E_{1} và  \ E_{2}.
Có thể tính được "chuẩn" của véc tơ động lượng của hai hạt, và do đó là vận tốc của từng hạt.
Sự phân rã của hạt cũng tuân theo các định luật bảo toàn khác của cơ học lượng tử: bảo toàn số lượng tử, điện tích, spin...
Trường hợp hạt khối lượng zero

Theo biểu thức cho E và p như là các hàm của m và v dẫn đến công thức
Nếu vận tốc của hạt bằng với tốc độ ánh sáng (tức là, nếu  v=c), do vậy  p=E/c bằng cách tính  E^{2}-p^{2}c^{2} chúng ta thấy rằng khối lượng của hạt phải bằng 0 và khi ấy  p=E/c và do vậy  v=c.
Cho nên một hạt có khối lượng bằng 0 tương đương với vận tốc của hạt bằng tốc độ ánh sáng.
Điện từ học trong thuyết tương đối

Trong không gian 3 chiều của cơ học Newton, một hạt mang điện tích q nằm trong điện trường  {\vec {E}} và từ trường  {\vec {B}} chịu tác động bởi lực Lorentz và phương trình chi phối chuyển động của hạt là
Để đưa công thức trên vào trong cơ học tương đối tính, chúng ta phải xét véc tơ-4 năng lượng-động lượng  \mathbf {p}  thay vì véc tơ  {\vec {p}} và xác định sự biến thiên của véc tơ-4 này không phải là trong hệ quy chiếu Galileo bất kỳ mà là trong hệ quy chiếu riêng của chính hạt. Thành phần vế trái có dạng  d\mathbf {p} /d\tau , với  \tau  là thời gian riêng của hạt. Trên vế phải là đại lượng độc lập với việc lựa chọn hệ quy chiếu và là một hàm tuyến tính của vận tốc  {\vec {v}} của hạt. Thật vậy thành phần không gian của phương trình động lực là tuyến tính trong  \,{\vec {v}}\, do nó được viết
Trong biểu thức này  \,u_{0}\, và  {\vec {u}} là các thành phần trong hệ quy chiếu của vectơ-4  \mathbf {u} \, có thể được viết thành:
Viết lại phương trình trên thành dạng tường minh với ba phương trình theo ba trục không gian:
Đối với thành phần thời gian của phương trình động lực (tương ứng với luật biến thiên của năng lượng) được viết thành
trong đó W là công sinh bởi lực  q{\vec {E}}
Bằng cách nhóm bốn phương trình trên như là các thành phần của không-thời gian bốn chiều, tốc độ thay đổi của véc tơ-4 năng lượng-động lượng viết thành
Phương trình ma trận chúng ta vừa viết ở trên cho thấy trong thuyết tương đối hẹp điện trường và từ trường cấu thành lên một thực thể duy nhất. Thực sự là cách trình bày chia nhỏ ở trên theo các trục tọa độ đôi khi không chính xác khi bỏ qua những ưu điểm mạnh của thuyết tương đối hẹp và cần phải sử dụng và biểu diễn bằng công cụ phép tính tensor. Phương trình ma trận ở trên là diễn giải thành các thành phần của phương trình tensor, có tính chất không phụ thuộc vào hệ tọa độ miêu tả quá trình vật lý
\mathbf {F}  là tensor của điện từ trường (tensor Maxwell hoặc tensor Faraday). Nó là đại lượng biểu diễn cho tính chất vật lý của điện từ trường. Các thành phần của nó biểu diễn theo hệ tọa độ cụ thể được viết ở phương trình ma trận bên trên.
Chú thích

↑  Mặc dù hai nhà vật lý Terrell và Penrose đã công bố về hiệu ứng này từ nhiều thập kỷ trước, các sách phổ biến khoa học thương tóm tắt lại và cho rằng hai hành động đo chiều dài và quan sát hình ảnh là một. Ví dụ, Michio Kaku viết trong Einstein's Cosmos (W. W. Norton & Company, 2004. p. 65): "... tưởng tượng rằng tốc độ ánh sáng chậm lại chỉ còn 20 dặm trên giờ. Nếu một xe hơi đang chạy trên đường, chiều dài của nó sẽ bị ngắn lại theo hướng chuyển động, giống như nén đàn accordéon ngắn đi 1 inch theo chiều dài."
↑  Trong những tình huống phức tạp nhất, tốc độ bất kỳ (với giá trị bất kỳ nào) là "tương đối tính", tuân theo các công thức của thuyết tương đối hẹp, ngay cả đối với các vận tốc "cổ điển" như thường gặp ở đời sống hàng ngày, và đối với những lực yếu nhất.
 Sự phân biệt giữa vận tốc cổ điển và vận tốc tương đối tính chỉ là những cảm nhận bởi con người, phụ thuộc chính xác vào kết quả nghiên cứu.
Chú thích > Sách

Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory.
Einstein, Albert (1996). The Meaning of Relativity. Fine Communications. ISBN 1-56731-136-9
Logunov, Anatoly A. (2005) Henri Poincaré and the Relativity Theory (transl. from Russian by G. Pontocorvo and V. O. Soleviev, edited by V. A. Petrov) Nauka, Moscow.
Charles Misner, Kip Thorne, and John Archibald Wheeler (1971) Gravitation. W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0334-3
Post, E.J., 1997 (1962) Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications.
Wolfgang Rindler (1991). Introduction to Special Relativity (2nd ed.), Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0; ISBN 0-19-853952-5
Harvey R. Brown (2005). Physical relativity: space–time structure from a dynamical perspective, Oxford University Press, ISBN 0-19-927583-1; ISBN 978-0-19-927583-0
Qadir, Asghar (1989). Relativity: An Introduction to the Special Theory. Singapore: World Scientific Publications. tr. 128. ISBN 9971-5-0612-2.
Silberstein, Ludwik (1914), The Theory of Relativity, Cambridge University Press.
Lawrence Sklar (1977). Space, Time and Spacetime. University of California Press. ISBN 0-520-03174-1.
Lawrence Sklar (1992). Philosophy of Physics. Westview Press. ISBN 0-8133-0625-6.[liên kết hỏng]
Taylor, Edwin, and John Archibald Wheeler (1992) Spacetime Physics (2nd ed.). W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-2327-1
Tipler, Paul, and Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.). W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-4345-0
Ethyl cyanoacrylate

| Ethyl cyanoacrylate |
| --- | --- |
 
 
Danh pháp IUPAC:  ethyl 2-cyanopropenoate
Tên khác:  ethyl 2-cyanoacrylate, ECA, ethyl alpha-cyanoacrylate,  910EM, ace-ee, CN2, CN4, cemedine 3000rs, Krazy glue, permabond 105, permabond 200, super glue, pro grip 4000, TK 200, TK 201, cyanolite 201, Cyanacrine, Cyano-Veneer

Nhận dạng
Số CAS:  7085-85-0
Ảnh Jmol-3D:  ảnh
SMILES:   List N#CC(=C)C(=O)OCC 
InChI:  1/C6H7NO2/c1-3-9-6(8)5(2)4-7/h2-3H2,1H3
Thuộc tính
Công thức phân tử:  C6H7NO2
Khối lượng mol:  125.13 g/mol
Khối lượng riêng:  1.06 g/mL
Điểm nóng chảy: −22 °C (251 K; −8 °F)
Điểm sôi: 54 đến 56 °C (327 đến 329 K; 129 đến 133 °F) ở 3 mmHg
Các nguy hiểm
Ethyl cyanoacrylate (ECA), một este cyanoacrylate, là một este etyl của axit 2-cyano-2-propenoic. Đây là chất lỏng không màu, có độ nhớt thấp và có một ít mùi ngọt ở dạng tinh khiết. Đây là thành phần chính của keo cyanoacrylate và có thể gặp dưới nhiều tên thương mại. Keo có tên là ECA. Các nhà sản xuất của Krazy Glue phát biểu trên trang web của họ, "Tên hóa học cho keo Krazy là ethyl cyanoacrylate." Keo Thủy ngân là một ví dụ của một ECA của Mỹ. Nó hòa tan trong aceton, methyl ethyl ketone, nitromethane, và methylene chloride. ECA polyme hóa nhanh chóng trong sự tham gia của độ ẩm.