Lực thủy triều
Giải thích > Xử lý toán học

Đối với một trường hấp dẫn phát sinh bên ngoài đã cho, gia tốc thủy triều tại một điểm đối với một vật thể thu được cách trừ vectơ gia tốc hấp dẫn tại tâm vật thể (do trường phát sinh ngoài đã cho) khỏi gia tốc hấp dẫn (do cùng trường này sinh ra) tại điểm đã cho. Tương ứng, thuật ngữ lực thủy triều được sử dụng để mô tả các lực do gia tốc thủy triều. Lưu ý rằng đối với các mục đích này trường hấp dẫn duy nhất được xem xét là là trường bên ngoài; trường hấp dẫn của vật thể đó (như chỉ ra trong đồ thị) là không liên quan (Nói cách khác, sự so sánh là với các điều kiện tại điểm đã cho như chúng có thể sẽ là vậy nếu không có trường phát sinh ngoài tác động không đều tại điểm đã cho và tại tâm của vật thể tham chiếu. Trường phát sinh ngoài thường là trường tạo ra bởi vật thể thứ ba gây nhiễu, thông thường là Mặt Trăng hay Mặt Trời đối với các điểm trên bề mặt Trái Đất trong hệ tham chiếu địa tâm).
Gia tốc thủy triều không yêu cầu sự tự quay hay các vật thể đang quay; chẳng hạn vật thể có thể rơi tự do theo một đường thẳng dưới ảnh hưởng của trường hấp dẫn trong khi vẫn chịu ảnh hưởng bởi gia tốc thủy triều (thay đổi).
Theo Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton và các định luật về chuyển động, một vật thể với khối lượng m ở khoảng cách R từ tâm của một khối cầu với khối lượng M chịu một lực  {\vec {F}}_{g},
tương đương gia tốc  {\vec {a}}_{g},
trong đó  {\hat {r}} là đơn vị vectơ có hướng từ vật thể M tới vật thể m (ở đây gia tốc từ m về phía M có dấu âm).
Xét gia tốc do khối cầu khối lượng M mà một hạt gần với vật thể khối lượng m phải chịu. Với R là khoảng cách từ tâm M tới tâm m, đặt ∆r (tương đối nhỏ) là khoảng cách của hạt từ tâm vật thể khối lượng m. Để đơn giản hóa, các khoảng cách chỉ được xem xét theo hướng về phía hoặc ra xa khỏi khối cầu khối lượng M. Nếu vật thể khối lượng m là một khối cầu bán kính ∆r thì hạt mới đang xem xét có thể nằm trên bề mặt khối cầu khối lượng m, ở khoảng cách R ± ∆r từ tâm của khối cầu khối lượng M và ∆r có thể là dương khi khoảng cách của hạt từ M lớn hơn R. Bỏ qua gia tốc hấp dẫn mà hạt phải chịu về phía m vì khối lượng của chính m, ta có gia tốc lên hạt do lực hấp dẫn về phía M là:
Rút R2 ra khỏi mẫu số ta có:
Chuỗi Maclaurin của  1/(1\pm x)^{2} là  1\mp 2x+3x^{2}\mp \cdots  cho ta biểu thức:
Số hạng thứ nhất là gia tốc hấp dẫn do M gây ra tại tâm của khối tham chiếu  m, nghĩa là tại điểm mà  \Delta r bằng 0. Số hạng này không ảnh hưởng tới gia tốc được quan sát của các hạt trên bề mặt m do đối với M thì m (và mọi thứ trên bề mặt nó) là rơi tự do. Khi lực lên hạt ở phía xa trừ đi lực lên hạt ở gần (hay ngược lại) thì số hạng đầu tiên này đều bị triệt tiêu, cũng như tất cả các số hạng có bậc chẵn khác. Các số hạng còn lại chính là khác biệt đề cập trên đây và là các số hạng của lực thủy triều (gia tốc). Khi ∆r là nhỏ so với R thì các số hạng sau số hạng còn lại đầu tiên là rất rất nhỏ và có thể bỏ qua, nên gia tốc thủy triều gần đúng là  {\vec {a}}_{t,{\text{axial}}} đối với khoảng cách ∆r được xem xét, dọc theo trục nối các tâm của m và M:
Khi tính toán theo cách này cho trường hợp khi ∆r là khoảng cách dọc theo trục nối các tâm m và M,  {\vec {a}}_{t} có hướng ra ngoài từ tâm của m (nơi ∆r bằng 0).
Các gia tốc thủy triều cũng có thể tính cho các điểm nằm ngoài trục nối tâm các vật thể m và M dựa theo tính toán vectơ. Trong mặt phẳng vuông góc với trục nối tâm, gia tốc thủy triều có hướng vào trong (về phía tâm nơi ∆r bằng 0), và biên độ của nó bằng 





1
2



|




a
→




t
,

axial



|



{\textstyle {\frac {1}{2}}\left|{\vec {a}}_{t,{\text{axial}}}\right|}

 trong xấp xỉ tuyến tính như trong Hình 4.
Các gia tốc thủy triều tại bề mặt các hành tinh trong hệ Mặt Trời nói chung là rất nhỏ. Chẳng hạn, tgia tốc thủy triều mặt trăng tại bề mặt Trái Đất dọc theo trục Mặt Trăng-Trái Đất chỉ khoảng 1,1 × 10−6 g, trong khi gia tốc thủy tiều mặt trời tại bề mặt Trái Đất dọc theo trục Mặt Trời-Trái Đất chỉ khoảng 0,52 × 10−6 g, trong đó g là gia tốc hấp dẫn tại bề mặt Trái Đất (9,80665 m/s2). Vì thế, lực dâng (gia tốc) thủy triều do Mặt Trời chỉ bằng khoảng 45% lực dâng thủy triều do Mặt Trăng. Gia tốc thủy triều mặt trời tại bề mặt Trái Đất được Newton tính đầu tiên trong Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.