stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Kim Ngân (ca sĩ)
Biến cố

Nhưng khi đang ở trên đỉnh cao của sự nghiệp, Kim Ngân lại sa ngã, lao vào cuộc sống buông thả khiến cô dần bị giới nghệ sĩ xa lánh và bị loại khỏi thị trường âm nhạc tại hải ngoại.
Kim Ngân kết hôn năm 19 tuổi, ly dị năm 29 tuổi. Thời điểm ấy, mọi thứ cứ ập vào lần lượt. Kim Ngân loay hoay giải quyết việc ly hôn, kinh doanh thua lỗ đến nỗi phải bán cả hãng đĩa mang tên mình để về Los Angeles ở. Cô đưa hai con gái nhỏ về nhà. Khi ấy, mẹ ruột của cô vẫn ở Mỹ, cả gia đình 4 thế hệ sống chung.
Khi ấy, tòa án xử Kim Ngân giữ quyền nuôi con. Chồng cũ được phép thăm con. Ông rất thương con nên lần nào đến thăm cũng dẫn 2 con đi chơi, đi mua sắm nhiều quần áo, đồ chơi. Vì thế, hai bé nằng nặc đòi ở với cha. Kim Ngân dù rất thương con nhưng nghĩ mình làm ăn thất bại, không còn tiền nên để chồng cũ nuôi con. Thời điểm đó, con gái lớn mới vài tuổi, con thứ một tuổi.
Sau đó, mẹ cô về Việt Nam mở một cửa hàng quần áo và đi về giữa 2 quốc gia. Trong thời gian này, Kim Ngân có bạn trai mới và mang thai với người này. "Không có chuyện Ngân lang thang ngoài đường bị người ta cưỡng hiếp mang bầu", bà Hương khẳng định.
Những cú sốc liên tiếp, Kim Ngân gặp phải nhiều sang chấn tâm lý, ảnh hưởng trầm trọng tới thần kinh và trí não. Lâu dần, Kim Ngân trở thành người khác, đi lang thang quanh các khu phố của người Việt tại California, Mỹ. Dù tâm thần, Kim Ngân vẫn nhớ tên thật của mẹ ruột, bà Hương là Võ Thị Nhơn.
Ca sĩ nổi danh một thời hiện nay không còn minh mẫn, lúc nhớ lúc quên. Bà luôn miệng nhắc rất nhiều cái tên và kể những câu chuyện không đầu đuôi, lẫn lộn nhau. Thỉnh thoảng, bà hát vu vơ những ca khúc ngày xưa khi còn là ca sĩ.
Theo chia sẻ của ca sĩ Trizzie Phương Trinh trước đó, ca sĩ Kim Ngân vẫn nhận ra mọi người nhưng không đồng ý ở nhà ai, thậm chí là nhà của hai con gái:
“Có rất nhiều người muốn giúp chị Kim Ngân nhưng chị ấy không chịu về nhà ai hết, chỉ thích đi lang thang ngoài đường thôi. Thậm chí, chính hai đứa con gái của chị ấy dù rất thương mẹ nhưng cũng không cách nào giúp được”
Bên cạnh đó, con gái ca sĩ Kim Ngân có ý định đưa cô vào bệnh viện tâm thần nhưng bất thành vì Kim Ngân không đồng ý.
Vào năm 2021, Thúy Nga tình cờ gặp nữ ca sĩ Kim Ngân và qua sự tận tình giúp đỡ của Thúy Nga, hiện nay Kim Ngân đã có một chỗ ở ổn định và tinh thần cô ngày một tiến triển hơn trước rất nhiều. Trong một ngày, nữ danh hài cùng ca sĩ Kim Ngân đi mua sắm, đi ăn... giúp cho Kim Ngân được thoải mái tinh thần và giúp bà hòa nhập lại với mọi người xung quanh. 2 người đã trải qua nhiều thử thách gian nan có khi tuyệt vọng nhưng không vì thế Thúy Nga nản chí, luôn để lại ấn tượng khó phai trong lòng khán giả trong và ngoài nước theo dõi cuộc hành trình hơn 80 tập của cả 2.
Bài hát

Bên nhau trong mơ
Bước tình hồng
Calypso
Cheri, cheri lady
Dracula's Tango (Sucker for your love)
Đêm cuối cùng bên anh
Em yêu dấu
Je ne veux pas rentrer chez moi seule (Em không về nữa)
Không
Kimi ga Suki (Kimi ga Suki yêu dấu)
Libertine
Love life in your eyes
Love me with all your heart
Mưa hồng
Naufrage en hiver (Ca khúc ái tình)
Oh l'amour (Là tình yêu)
Rước dâu về làng
Tôi muốn
Tuổi đá buồn
Un jour c'est toi, un jour c'est moi
Vì em quá yêu anh
What did I do? (Em đã làm chi)
Kurt Westergaard

| Kurt Westergaard |
| --- | --- |
Westergaard (2015)
Sinh: 13 tháng 7, 1935 (89 tuổi)
Quốc tịch: Đan Mạch
Nghề nghiệp: Họa sĩ biếm họa
Nổi tiếng vì: Vụ biếm họa Muhammad trên báo Jyllands-Posten
Kurt Westergaard (Sinh ngày 13-7-1935) là một họa sĩ vẽ tranh biếm họa người Đan Mạch đã vẽ tranh biếm họa tiên tri Muhammad của Hồi giáo mang một trái bom trên khăn quấn trên đầu, gây ra nhiều tranh cãi. Tranh biếm họa này là tranh gây tranh cãi nhất trong số 12 tranh biếm họa trong Vụ biếm họa Muhammad đăng trên nhật báo Jyllands-Posten (Bưu  điện Jutland),  đã gây ra các phản ứng mạnh – đôi khi dữ dội - từ các người Hồi giáo khắp thế giới.
Tranh biếm họa Mohammad

Mặc dù Westergaard là họa sĩ vẽ tranh biếm họa chuyên nghiệp từ nhiều năm, nhưng ông chỉ nổi tiếng về một tranh biếm họa mô tả tiên tri Muhammad của Hồi giáo mang một trái bom trên khăn quấn đầu của ông. Tranh này là tranh gây tranh cãi nhất trong số 12 tranh biếm họa đăng trên nhật báo Jyllands-Posten của Đan Mạch.
Trong cuộc phỏng vấn năm  2009, Westergaard nói rằng ông tìm cách "chỉ ra các tên khủng bố đã dùng vũ khí tinh thần từ Hồi giáo và cùng với dynamite và các chất nổ khác, họ đã giết dân chúng." Ông không đồng ý với cách mà Nhân dân Đan Mạch đã phán xét  ý định của ông, khi nói với Blogger người Canada Jonathan Kay rằng ông đã bị nhiều kẻ thù cũ tránh xa: "Một trong số các kẻ thù cũ của tôi từ phe tả, năm ngoái đã nói với tôi: 'Có nhiều người nói rằng đôi khi những gì mà anh đòi hỏi đã được đáp ứng đấy' — đó có thể là do lỗi của chính anh."
Westergaard cũng chỉ trích phản ứng của cộng đồng người nhập cư vào Đan Mạch đối với các tranh biếm họa của ông: "Nhiều người nhập cư vào Đan Mạch chẳng có cái  gì. Chúng tôi cho họ mọi thứ - tiền bạc, nhà ở, trường học, đại học miễn phí, chăm sóc sức khỏe vv.... Đổi lại, chúng tôi chỉ yêu cầu một điều – hãy tôn trọng các giá trị dân chủ, trong đó có tự do ngôn luận. Họ không bằng lòng ư? Đây chỉ là cách tôi thử xem phản ứng của họ ra sao." Tiếp theo việc chính trị gia Hà Lan Geert Wilders' phát hành phim Fitna, trong đó đã sử dụng tranh biếm họa của Westergaard mà không xin phép, Westergaard đã vẽ một tranh biếm họa mô tả Wilders với một trái bom và một dấu hiệu như sau: "Nguy hiểm! Tự do ngôn luận".
Các biện pháp an ninh

Ngày 12-2-2008, Cơ quan tình báo của Cảnh sát Đan Mạch (Politiets Efterretningstjeneste, viết tắt là PET) đã công bố việc bắt giữ 3 người Hồi giáo — 2 người Tunisia và một người Đan Mạch gốc Maroc — được cho là đã tìm cách giết Westergaard.
Nhà của Westergaard tại Aarhus Đan Mạch, được đặt dưới sự canh chừng thường xuyên của cảnh sát mật vụ Đan Mạch. Nhà này được lắp ráp các cửa bằng thép, có một phòng an toàn với các cửa sổ bằng kính gia cố cùng các máy quay phim canh chừng.
Ngày 1 tháng 1 năm 2010, một thanh niên Hồi giáo 28 tuổi người Somalia vũ trang bằng một cái rìu và một con dao đã xâm nhập vào nhà của Westergaard định giết ông nhưng ông đã chạy được vào phòng tắm an toàn, sau đó khi cảnh sát tuần tiễu được gọi đến để bắt tên khủng bố, thì tên này đã tấn công một sĩ quan cảnh sát, do đó tên khủng bố này đã bị cảnh sát bắn bị thương (ở tay và chân). Westergaard đã không bị tổn thương gì vì nhà ông có các biện pháp phòng ngừa an toàn. Tên tình nghi đã bị bắt và bị cáo buộc tội tìm cách mưu sát Westergaard cùng một sĩ quan cảnh sát.
Vụ tìm cách ám sát thứ hai này trong vòng 2 năm đã được các báo chí Đan Mạch đưa tin rộng rãi. Ấn bản chúa nhật của báo Jyllands-Posten có bài trên trang nhất về việc vì sao ngày nay Westergaard cần có một vệ sĩ để bảo vệ anh ninh cho ông; một bài choán hết trang nhất của ký giả John Hansen trên bối cảnh của các tranh biếm họa gây tranh cãi; một bài phỏng vấn Westergaard của Lars Pedersen; một danh sách các lời trích dẫn tỏ ra "căm phẫn và kết án" do kẻ tấn công đưa ra; một bài về sự xuất hiện của bị cáo trước tòa án Aarhus; 2 bài về chính kẻ khủng bố, dường như đã cư ngụ ở Đan Mạch 15 năm và được cơ quan tình báo biết đến; và việc bảo vệ xã hội phương Tây tức là sự tự do ngôn luận của họ, trong bài xã luận và trong ý kiến của nhà bình luận chính trị Ralf Pittelkow.
Theo Cơ quan an ninh và tình báo của Cảnh sát Đan Mạch, thì kẻ bị tình nghi này có liên hệ mật thiết với nhóm Hồi giáo Somalia nổi dậy al-Shabaab, thường được coi là tổ chức khủng bố, cũng như các nhà lãnh đạo của tổ chức al-Qaeda ở Đông Phi, và là một phần của "mạng lưới khủng bố" có các quan hệ ở Đan Mạch.
Giải thưởng

Kurt Westergaard đã được thưởng giải Sappho, một giải do tổ chức Free Press Society ở Đan Mạch dành cho một ký giả kết hợp việc làm xuất sắc với lòng can đảm và sự từ chối thỏa hiệp (với cái xấu)'.
Ngày 8-9-2010, ông được Thủ tướng Đức Angela Merkel trao giải M100 Media (M100-Medienpreis) của Đức vì có công đóng góp vào sự nghiệp tự do báo chí.
Nguồn Online

“Drabsforsøg på tegneren Kurt Westergaard” (bằng tiếng Đan Mạch). Danish Security and Intelligence Service. ngày 2 tháng 1 năm 2010. Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 1 năm 2010. Truy cập ngày 1 tháng 1 năm 2010.
Dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0  hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là:
Xếp các hình vuông có các cạnh là các số Fibonacci
Lịch sử

Dãy số Fibonacci được Fibonacci, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci - Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các "cụ tổ" của một ong đực.
Henry Dudeney (1857 - 1930) (là một nhà văn và nhà toán học người Anh) nghiên cứu ở bò sữa, cũng đạt kết quả tương tự.
Thế kỉ XIX, nhà toán học Edouard Lucas xuất bản một bộ sách bốn tập với chủ đề toán học giải trí, ông đã dùng tên Fibonacci để gọi dãy số kết quả của bài toán từ cuốn Liber Abaci – bài toán đã sinh ra dãy Fibonacci.
Những bài toán mở đầu

2 bài toán sau đây được trích từ sách Liber Abacci do Fibonacci viết vào năm 1202. Đây là những bài toán mẫu mực dẫn đến khảo sát dãy số Fibonacci.
Những bài toán mở đầu > Bài toán số con thỏ

Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) không sinh cho đến khi chúng đủ 2 tháng tuổi. Sau khi đủ 2 tháng tuổi, mỗi đôi thỏ sinh một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) mỗi tháng. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh
Trong hình vẽ trên, ta quy ước:
Cặp thỏ xám là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.
Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:
Với n = 1 ta được f(1) = 1.
Với n = 2 ta được f(2) = 1.
Với n = 3 ta được f(3) = 2.
Do đó với n > 2 ta được: f(n) = f(n-1) + f(n-2).
Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n -1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n - 2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n - 2).
Những bài toán mở đầu > Số các "cụ tổ" của một con ong đực

Fibonacci đã mô tả dãy các tổ tiên của một con ong đực như sau:
(Loài ong có thể thụ tinh đơn tính hoặc lưỡng tính).
Giả sử rằng:
Nếu một trứng ong thụ tinh bởi chính con ong cái nó nở thành một con ong đực
Tuy nhiên, nếu một trứng thụ tinh bởi một ong đực nó nở thành một con ong cái.
Như vậy một con ong đực sẽ luôn có một mẹ, và một con ong cái sẽ có cả bố và mẹ.
Ta bắt đầu tính số các con ong tổ tiên của một con ong đực. Xét một con ong đực ở thế hệ thứ n. Nhìn vào hình trên ta thấy:
Trước một đời, thế hệ n-1: Con ong đực chỉ có một mẹ (1 ong cái).
Trước hai đời, thế hệ n-2: Con ong cái đời n-1 có 2 bố mẹ, một ong bố (đực) và một ong mẹ (cái)(2 con ong: 1 đực+ một cái)).
Trước ba đời, thế hệ n-3: Con ong cái thế hệ n-2 lại có hai bố mẹ, một ong bố (đực) và một ong mẹ (cái), và con đực thế hệ n-2 có một mẹ (3 con ong: 1 ong đực + 2 ong cái)
Trước bốn đời, thế hệ n-4: Hai con cái, mỗi con có 2 cha, mẹ và mỗi con đực có một mẹ (5 con ong: 2 ong đực 3 ong cái)
Tiếp tục quá trình này ta sẽ có một dãy số Fibonacci.
Những bài toán mở đầu > Kết luận

Như vậy, công việc giải quyết hai bài toán trên của Fibonacci dẫn tới việc khảo sát dãy số f(n) xác định:
f(0)= 0.
f(1)= 1.
f(2)= 1.
f(n)= f(n-1) +f(n-2) với n > 2.
Đó là dãy Fibonacci và các số hạng trong dãy được gọi là các số Fibonacci.
Các phần tử đầu tiên của dãy

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | F(n) | n | F(n) | n | F(n) |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 2 | 4 | 3 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 7 | 13 | 8 | 21 |
| 9 | 34 | 10 | 55 | 11 | 89 |
| 12 | 144 | 13 | 233 | 14 | 377 |
| 15 | 610 | 16 | 987 | 17 | 1.597 |
| 18 | 2.584 | 19 | 4.181 | 20 | 6.765 |
| 21 | 10.946 | 22 | 17.711 | 23 | 28.657 |
| 24 | 46.368 | 25 | 75.025 | 26 | 121.393 |
| 27 | 196.418 | 28 | 317.811 | 29 | 514.229 |
| 30 | 832.040 | 31 | 1.346.269 | 32 | 2.178.309 |
| 33 | 3.524.578 | 34 | 5.702.887 | 35 | 9.227.465 |
| 36 | 14.930.352 | 37 | 24.157.817 | 38 | 39.088.169 |
...
Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là:
Quan hệ với tỷ lệ vàng

Tỷ lệ vàng  \varphi  (phi), được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ. Có thể chứng minh rằng nếu quy độ dài đoạn lớn về đơn vị thì tỷ lệ này là nghiệm dương của phương trình:
chính là số  \varphi ={\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}\approx 1.618\,033\,989.
Quan hệ với tỷ lệ vàng > Công thức dạng tường minh

Cũng như mọi dãy số xác định bởi công thức đệ quy tuyến tính, các số Fibonacci có thể tìm được công thức dạng tường minh.
Ta sẽ chứng minh (công thức Binet):
Như vậy, từ hệ thức truy hồi Fibonacci ta có:
sẽ dẫn tới phương trình xác định tỷ lệ vàng
(là phương trình đa thức đặc trưng của hồi quy).
Chứng minh
Chứng minh (bằng quy nạp):
Một nghiệm bất kỳ của phương trình trên thoả mãn tính chất  {\begin{matrix}x^{2}=x+1,\end{matrix}}\,. Nhân hai vế với  x^{n-1}\, có:
Chú ý rằng, theo định nghĩa  \varphi  là một nghiệm của phương trình và nghiệm kia là  1-\varphi . Do đó:
| --- | --- |
 \varphi ^{n+1}\,:  =\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}\, và
 (1-\varphi )^{n+1}\,:  =(1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1}\,
Bây giờ định nghĩa hàm:
Tất cả các hàm này thỏa mãn hệ thức truy hồi Fibonacci, thật vậy:
| --- | --- |
 F_{a,b}(n+1)\,:  =a\varphi ^{n+1}+b(1-\varphi )^{n+1}
:  =a(\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1})+b((1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1})
:  =a{\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}}+a{\varphi ^{n-1}+b(1-\varphi )^{n-1}}
:  =F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,
Bây giờ chọn  a=1/{\sqrt {5}} và  b=-1/{\sqrt {5}}. Tiếp tuc:
và
những chứng minh ở trên chứng tỏ rằng
Chú ý rằng, với hai giá trị khởi đầu bất kỳ của  a,b, hàm  F_{a,b}(n)\, là công thức tường minh cho một loạt các hệ thức truy hồi.
Quan hệ với tỷ lệ vàng > Giới hạn của thương kế tiếp

Johannes Kepler, đã chứng minh sự hội tụ sau:
Thực ra kết quả này đúng với mọi cặp giá trị khởi đầu, trừ (0, 0).
Từ công thức tường minh, ta có, với mọi  a\neq 0,b\neq 0:
| --- | --- |
 \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}}:  =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi ^{n+1}-b(1-\varphi )^{n+1}}{a\varphi ^{n}-b(1-\varphi )^{n}}}
:  =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi -b(1-\varphi )({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}{a-b({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}}
:  =\varphi ,
vì thế, như dễ dàng thấy,  \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right|<1 và như vậy  \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right)^{n}=0
Chứng minh
Phương pháp tính số

Việc giải một hệ thức truy hồi tổng quát dựa trên việc giải phương trình đặc trưng của nó. Lấy ví dụ như, cho hệ thức truy hồi dạng an = c1an-1+ c2an-2 +... +ckan-k              (1)
Khi đó nghiệm của hệ là r sẽ có dạng: rn = c1rn-1 + c2rn-2 +c3rn-3 +...+ckrn-k
Giải phương trình trên ta được các nghiệm phân biệt r1,r2,....,rn-1.Đồng thời ta có an=b1r1n +b2r2n +...+bn-1rn-1n   (2)
Do vậy giải hệ phương trình (2) với a1,a2,.., an cho trước ta sẽ nhận được các giá trị b1,b2,...,bn-1, thay trở lại ta sẽ có phương trình tổng quát dành cho hệ thức truy hồi (1)
Biểu diễn ma trận

Từ hệ thức truy hồi ta có phương trình liên hệ lặp tuyến tính 2 chiều mô tả dãy Fibonacci là
có thể ký hiệu lại dưới dạng
từ điều này suy ra:  {\vec {F}}_{n}=\mathbf {A} ^{n}{\vec {F}}_{0}. Các giá trị riêng của ma trận A là  \varphi ={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}}) và  -\varphi ^{-1}={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {5}}) tương ứng với các vectơ riêng
và
Ta có vectơ của giá trị ban đầu có dạng
suy ra biểu thức số hạng thứ n là
Từ đây ta có thể trực tiếp rút ra biểu thức dạng đóng cho số hạng thứ n trong dãy Fibonacci:
Một cách tương đương, ta có thể tính toán ma trận lũy thừa bằng cách chéo hóa ma trận A sử dụng phân tích riêng của nó, với  \Lambda  là ma trận đường chéo:
trong đó  \Lambda ={\begin{pmatrix}\varphi &0\\0&-\varphi ^{-1}\end{pmatrix}} và  S={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}.
Vì vậy biểu thức dạng đóng cho số hạng thứ n của dãy Fibonacci được cho bởi phương trình:
thực hiện nhân ma trận, tiếp tục ta suy ra được công thức Binet
Ma trận A có định thức là −1, và vì thế nó là một ma trận 2×2 đơn môđun (unimodular). Một ma trận đơn môđun là ma trận vuông có định thức là 1 hoặc −1.
Tính chất này có thể được hiểu theo cách biểu diễn liên phân số cho tỉ lệ vàng:
Các số Fibonacci chính là tỉ số giữa hai giản phân liên tiếp của liên phân số cho φ, mà ma trận được tạo ra từ các giản phân liên tiếp của một phân số liên tục bất kỳ thì có định thức là +1 hoặc −1, vậy nó là ma trận đơn môđun. Ta có biểu diễn ma trận đưa ra biểu thức dạng đóng sau đây cho các số Fibonacci:
Lấy định thức cho hai vế của phương trình này, ta có được đẳng thức Cassini:
Hơn nữa, vì An Am = An+m cho bất kỳ ma trận vuông A, có thể suy ra các đẳng thức bên dưới (chúng được rút ra từ hai hệ số khác nhau của ma trận tích, dễ dàng suy ra đẳng thức thứ hai từ cái đầu tiên bằng cách thay n bởi n + 1),
cụ thể, với m = n,
Hai đẳng thức cuối cùng cho ta một cách tính đệ quy các số Fibonacci với O(log(n)) phép toán số học trong thời gian O(M(n) log(n)), trong đó M(n) là thời gian để thực hiện phép nhân hai số có n chữ số. Thời gian tính toán số hạng thứ n của dãy Fibonacci sử dụng công thức này tương tự như cách tính với biểu thức ma trận dạng đóng, nhưng với ít hơn các bước không cần thiết nếu cần phải tránh thực hiện việc tính toán lại một số Fibonacci đã được tính ra trước đó (đệ quy có nhớ).
Tổng các nghịch đảo

Tổng vô hạn các nghịch đảo của các số Fibonacci có tính chất tương tự các hàm theta.
Giá trị mang tên hằng số nghịch đảo Fibonacci
đã được chứng minh là số vô tỷ bởi Richard André-Jeannin, nhưng chưa biết một biểu thức dạng chính xác của nó.
Tổng quát hóa > Mở rộng cho các số âm

Dùng Fn-2 = Fn - Fn-1, có thể mở rộng các số Fibonacci cho các chỉ số nguyên âm. Khi đó ta có:... -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... và F-n = -(-1)nFn.
Tổng quát hóa > Không gian vectơ

Thuật ngữ dãy Fibonacci cũng được dùng cho các hàm g từ tập các số nguyên tới một trường F thoả mãn g(n+2) = g(n) + g(n+1). Các hàm này có thể biểu diễn dưới dạng
do vậy các dãy Fibonacci hình thành một không gian vectơ với hàm F(n) và F(n-1) là một cơ sở.
Tổng quát hơn, giá trị của g có thể lấy trong một nhóm abel (xem như một z-module). Khi đó dãy Fibonacci là một Z-module 2 chiều.
Tổng quát hóa > Các dãy số nguyên tương tự > Các số Lucas

Đặc biệt, dãy Fibonacci L với L(1) = 1 và L(2) = 3 được gọi là số Lucas, theo tên của Edouard Lucas. Dãy Lucas đã được Leonhard Euler đề cập đến năm 1748, trong Nhập môn giải tích vô hạn (Introductio in Analysin Infinitorum). Về ý nghĩa, các sô Lucas L(n) là luỹ thừa bậc n của tỷ lệ vàng
Các số Lucas quan hệ với các số Fibonacci theo hệ thức
Một tổng quát hoá của dãy Fibonacci là các dãy Lucas. Nó có thể định nghĩa như sau:
trong đó dãy Fibonacci là trường hợp đặc biệt khi P = 1 và Q = −1. Một dạng khác của các dãy Lucas bắt đầu với V(0) = 2, V(1) = P. Các dãy này có ứng dụng trong lý thuyết số để kiểm tra tính nguyên tố.
Các dãy Padovan là tương tự với hệ thức truy hồi P(n) = P(n − 2) + P(n − 3).
Tổng quát hóa > Các dãy số nguyên tương tự > Các số Tribonacci

Các số tribonacci tương tự các số Fibonacci, nhưng thay vì khởi động với hai phần tử, dãy này khởi động với ba phân tử và mỗi số tiếp theo bằng tổng của ba phần tử đứng trước. Sau đây là một số sô tribonacci  A000073:
Giá trị của hằng số tribonacci là tỷ số (tỷ lệ mà các số tribonacci liền kề có xu hướng). Nó là nghiệm của đa thức x3 − x2 − x − 1, xấp xỉ 1.83929, và cũng thoả mãn phương trình x + x−3 = 2. Nó có vai trò quan trọng khi nghiên cứu khối snub.
Các số tribonacci cũng được cho bởi
ở đây cặp dấu ngoặc vuông ngoài là ký hiệu của hàm phần nguyên và
(Simon Plouffe, 1993). Lưu trữ 2006-04-05 tại Wayback Machine
Tổng quát hóa > Các tổng quát hóa khác

Các đa thức Fibonacci là một tổng quát hoá khác của dãy Fibonacci.
Một dãy Fibonacci ngẫu nhiên có thể xác định bằng việc ném đồng xu cho mỗi n trong dãy và lấy F(n)=F(n−1)+F(n−2) nếu đồng xu sấp và lấy F(n)=F(n−1)−F(n−2) nếu đồng xu ngửa.
Có thể định nghĩa dãy "ngẫu nhiên Fibonacci" là dãy các số fn xác định theo đệ quy
Hầu chắc chắn rằng căn bậc n của trị tuyệt đối của số hạng thứ n hội tụ về một hằng số khi n tăng vô hạn.
Số nguyên tố Fibonacci

Một số các số Fibonacci cũng là các số nguyên tố như: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,....
Các số nguyên tố Fibonacci với hàng nghìn chữ số đã được tìm thấy, song vẫn chưa biết liệu có vô số các số như vậy không.
Fkn chia hết bởi Fn, do đó, ngoại trừ F4 = 3, bất cứ số nguyên tố Fibonacci prime phải có chỉ số thứ tự cũng là số nguyên tố.
Không có số Fibonacci từF6 = 8 trở đi mà lớn hơn hay nhỏ hơn một so với số nguyên tố.
Số Fibonacci duy nhất chính phương không tầm thường là số 144.  Attila Pethő đã chứng minh trong 2001 chỉ có hữu hạn số lũy thừa hoàn hảo Fibonacci. Trong 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte, và S. Siksek đã chứng minh rằng chỉ duy nhất 8 và 144 là số lũy thừa hoàn hảo không tầm thường.
Các xâu (ký tự) Fibonacci

Cho xâu Fibonacci được định nghĩa đệ quy như sau:
trong đó dấu "+" ký hiệu cho phép ghép hai xâu.
Hãy viết giải thuật (đệ quy hoặc phi đệ quy) tính độ dài xâu.
Hãy cho biết giá trị của chuỗi với n = 7
Dãy các xâu Fibonacci khởi đầu là:
Độ dài của mỗi xâu Fibonacci chính là số Fibonacci, và có một xâu Fibonacci tương ứng với mỗi số Fibonacci.
Các xâu Fibonacci cung cấp dữ liệu vào cho các minh dụ cho một vài thuật toán máy tính.
Số Fibonacci trong tự nhiên > Thực vật

Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci.
Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, Họ Mao lương có 5 cánh, phi yến thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.
Nếu quan sát các 'mắt' trên vỏ của một trái thơm già, bạn có thể may mắn tìm thấy được số mắt trên 2 đường vòng cung chéo trên vỏ trái thơm là 2 số Fibonacci nào đó, thí dụ 13 và 21.
Chú thích

Leonardo Fibonacci (1170 - 1250)
Một trang của Liber Abaci từ Thư viện Trung tâm Quốc gia (Florence) với dãy Fibonacci với vị trí trong chuỗi được mô tả bằng Số La Mã và giá trị bằng chữ số Ả Rập.
Mười ba ( F   7 ) cách sắp xếp các âm tiết dài và ngắn theo một nhịp độ dài sáu. Năm ( F   5 ) kết thúc bằng âm tiết dài và tám ( F   6 ) kết thúc bằng âm tiết ngắn.
GIA ĐÌNH NHÀ THỎ SAU 6 THÁNG
Số cụ tổ của một con ong đực
Tỷ lệ vàng
Các số Fibonacci trong hoa hướng dương. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các hình xoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kết tiếp nhau (tỷ số của chúng tiến tới Tỷ lệ vàng)
Đầu hoa cúc vạn thọ thể hiện sự sắp xếp theo xoắn ốc 21 (xanh lam) và 13 (xanh dương).
Hình minh họa mô hình Vogel cho   n  = 1 ... 500
Hoa loa kèn có 3 cánh