Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng > Phương trình đường trắc địa

Xét một trường vectơ  {\boldsymbol {U}} trên đa tạp  {\mathcal {M}} và một đường cong  {\mathcal {C}} với vec tơ tiếp tuyến  {\boldsymbol {V}}. Đạo hàm đối lưu (convective derivative hoặc Lagrangian derivative) của  {\boldsymbol {U}} dọc theo  {\boldsymbol {V}} là
với  \lambda  là tham số dọc cung  {\mathcal {C}} và chúng ta sử dụng ký hiệu  D/D\lambda  để nhấn mạnh nó nên được coi là sự mở rộng của đạo hàm hiệp biến dọc theo hướng được chọn của trường vectơ  {\boldsymbol {V}}. Chú ý rằng nếu  {\boldsymbol {U}} là một hàm vô hướng  \phi , thì đạo hàm đối lưu (176) trùng với đạo hàm Lie của  \phi  dọc theo  {\boldsymbol {V}}
Đạo hàm đối lưu cho phép định nghĩa một khái niệm rất quan trọng đó là dịch chuyển song song (parallel transport) và ta nói rằng  {\boldsymbol {U}} được dịch chuyển song song dọc đường cong  {\mathcal {C}} với vectơ tiếp tuyến  {\boldsymbol {V}} nếu
Phát biểu theo cách khác, một trường vec tơ được dịch chuyển song song nếu nó di chuyển từ điểm P1 đến P2 dọc theo  {\mathcal {C}} và tại đó nó trùng với trường vectơ nằm tại điểm P1. Khái niệm dịch chuyển song song dẫn tới một cách tự nhiên định nghĩa một loại đường cong đặc biệt, với vectơ tiếp tuyến của đường cong này được dịch chuyển song song trên nó
Để thấy được ý nghĩa của phương trình (179), hãy xét không thời gian phẳng nơi các đường mà dịch chuyển song song các vectơ tiếp tuyến của chúng chỉ đơn giản là một đường thẳng. Trong trường hợp này, thực tế vectơ tiếp tuyến vẫn còn song song với nhau khi nó trượt trên đường thằng. Do vậy, phương trình (179) biểu diễn sự mở rộng sang không thời gian cong tổng quát hơn của khái niệm đường thẳng mà gọi là các đường cong trắc địa hay đường trắc địa.
Vì  {\boldsymbol {V}} là vectơ tiếp tuyến nên có thể viết nó dưới dạng  V^{\mu }=dx^{\mu }/d\lambda  (xem phương trình (16)) và từ phương trình (179) thu được
hay chính là phương trình trắc địa hoặc phương trình đường cong trắc địa như sau
Tham số  \lambda , mà dùng để biểu thị thời gian riêng trên một đường cong kiểu thời gian (timelike curve), được gọi là tham số aphin của đường trắc địa với tên gọi đến từ lý do rằng phương trình (181) bất biến dưới phép biến đổi aphin trong đó  \lambda \rightarrow {\lambda }'=a\lambda +b với a, b là hai hằng số.
Cũng có thể rút ra phương trình trắc địa (181) theo cách tiếp cận khác. Giống như đường thẳng trong không thời gian phẳng biểu thị cho đường cong có độ dài cực trị (extremal length), ta có thể đòi hỏi rằng đường cong trắc địa biểu thị cho đường cong có độ dài cực trị giữa hai điểm P1 và P2 trong không thời gian tổng quát, tức là  \delta {\mathcal {S}}=0 với
với  {\dot {x}}^{\mu }:=dx^{\mu }/d\lambda  và với  L=L(x^{\mu },{\dot {x}}^{\mu },\lambda ) là hàm Lagrangian. Một hệ quả quan trọng của cách tiếp cận bằng phép tính biến phân đó là nó chứng tỏ chỉ có duy nhất một đường trắc địa nối giữa hai điểm khác nhau.
Bây giờ giả sử đường cong  {\mathcal {C}} là tuyến thế giới của một hạt khối lượng m, và được tham số hóa bằng thời gian riêng, do đó vectơ tiếp tuyến chính là 4-vận tốc của hạt. Trong trường hợp này, đường trắc địa là đường cong mà trên nó 4-gia tốc của hạt bị triệt tiêu, hay có nghĩa là đường mà hạt rơi tự do. Suy luận ra điều này là khá đơn giản nếu xét không thời gian phẳng với hệ tọa độ Descartes nơi phương trình đường trắc địa suy biến thành
trong đó  F^{\mu } là các thành phần của 4-lực. Từ đây chúng ta thu được hai kết luận quan trọng. Thứ nhất, đường trắc địa quả thực là quỹ đạo của hạt rơi tự do, tức là hạt không chịu tác động của một hợp lực ngoài. Thứ hai, đó là gia tốc-4 của hạt, mà định nghĩa bằng đạo hàm đối lưu của vận tốc-4, bằng không dọc theo đường trắc địa của hạt
Có thể thiết lập mối liên hệ giữa đường cong trắc địa với các đối xứng Killing nêu ra ở phần trước. Trước hết chú ý nếu  {\boldsymbol {\xi }} là vectơ Killing và  {\boldsymbol {u}} là vectơ tiếp tuyến với đường trắc địa, thì dựa theo phương trình (184) ta có
tức là tích vô hướng  {\boldsymbol {u.\xi }} được bảo toàn dọc theo đường trắc địa. Như vậy là phương trình đường trắc địa được sử dụng để tìm các vectơ Killing có liên hệ với các định luật bảo toàn vật lý. Tính chất này đã biểu diễn ở phương trình (185) nhưng nó sẽ rõ ràng hơn nếu chúng ta xét phương trình đường trắc địa (179) và thực hiện thu gọn chỉ số với một trường vectơ Killing  \xi _{\nu } để tìm
Từ phương trình (170) ta có  V^{\mu }V^{\nu }\nabla _{\mu }\xi _{\nu }=V^{\mu }V^{\nu }\nabla _{(\mu }\xi _{\nu )} triệt tiêu, và ngay lập tức suy ra được đại lượng  \xi _{\mu }V^{\mu } được bảo toàn dọc theo đường trắc địa. Kết quả này có một ý nghĩa đẹp được giải thích theo kết quả vật lý. Khi mêtric không phụ thuộc vào một tọa độ, như đối với tọa độ thời gian và/hoặc tọa độ góc phương vị như tương ứng trong không thời gian dừng và/hoặc không thời gian đối xứng trục, thì một hạt thử chuyển động với vận tốc  V^{\mu } dọc theo đường trắc địa sẽ có hai thành phần  V_{t} và/hoặc  V_{\phi } được bảo toàn. Do hạt trên một đường trắc địa khi và chỉ khi nó không chịu một lực bất kỳ nào khác ngoài lực hấp dẫn, một cách tự nhiên ta có thể gán hai đại lượng  V_{t} và  V_{\phi } là hằng số của chuyển động, tương ứng cho năng lượng và động lượng của hạt.