Toán học của thuyết tương đối rộng
Đa tạp không thời gian > Vectơ tiếp xúc

Tất cả những khái niệm đã giới thiệu về các đường cong và mặt có thể được coi như là những công cụ cơ bản để định nghĩa khái niệm rất quan trọng và hữu ích, đó là vectơ tiếp xúc (tangent vector) với đường cong  {\mathcal {C}}. Nếu coi đường cong là tập hợp các điểm với mỗi điểm được đánh dấu bởi một bộ các tọa độ sắp thứ tự bằng một tham số λ, thì vectơ tiếp xúc là khái niệm dùng để diễn giải sự thay đổi tọa độ như thế nào dọc theo đường cong này. Nói cách khác, khi cho trước một hệ tọa độ  \{x^{\mu }\} trong đa tạp  {\mathcal {M}} và một đường cong  {\mathcal {C}}\!:\{x^{\mu }(\lambda ),\lambda \in I\}, vectơ tiếp xúc  {\boldsymbol {V}}_{P} tại điểm P dọc cung  {\mathcal {C}} được định nghĩa là tập hợp gồm bốn tọa độ
Chú ý rằng tại mỗi điểm P chỉ có duy nhất một vectơ tiếp xúc với đường cong và thậm chí hai đường cong có thể có chung một vectơ tiếp tuyến tại điểm chung P, và hai đường này sẽ có thể có một số điểm chung ở một số nơi (hai đường khác nhau) hoặc hoàn toàn đồng nhất giống nhau. Vì điểm P là bất kỳ,  có thể viết biểu thức tổng quát cho định nghĩa của vectơ tiếp xúc  {\boldsymbol {V}} cho đường cong  {\mathcal {C}} là
Chúng ta nên phân biệt giữa vectơ là đối tượng hình học, viết là  {\boldsymbol {V}}, và cách biểu diễn nó trong một hệ tọa độ cụ thể, mà trong trường hợp này chúng ta nói đến các thành phần tọa độ của nó  V^{\mu }.
Sự quan trọng của biểu thức (16) là nó cho phép chúng ta có khả năng định nghĩa một đại lượng hình học theo các tính chất của phép biến đổi đối với nó dưới ảnh hưởng của sự thay đổi hệ tọa độ. Quả vậy, chúng ta xét một hệ tọa độ mới  \{x^{\mu '}\} và sử dụng biểu thức (2) để tính toán các thành phần tọa độ của cùng một vectơ tiếp xúc  {\boldsymbol {V}} đối với hệ tọa độ mới này
với phương trình thứ hai đã áp dụng định nghĩa của vi phân
và phương trình cuối cùng (17) có được từ định nghĩa của (16).
Bởi vì cách đặt ký hiệu tốt rất quan trọng và điều này càng có ý nghĩa đặc biệt trong thuyết tương đối rộng, đầu tiên chúng ta có thể viết gọn lại (17) bằng cách áp dụng ký hiệu quy ước tổng do Einstein đặt ra, mà khi ta gặp một chỉ số xuất hiện hai lần điều này sẽ hàm ý việc tính tổng giữa các chỉ số từ 0 đến 3, và thứ hai chúng ta có thể áp dụng cách viết rút ngắn hơn nhờ phương trình (5) cho phép biến đổi ma trận, tức là
Biểu thức (19) cần được giải thích rõ hơn, đầu tiên đó là chỉ số  \mu  là chỉ số được tính tổng (hay chỉ số rút gọn-contraction) tức là nó xuất hiện một lần với vai trò là chỉ số trên (phản biến-contravariance) trong  V^{\mu } và một lần với vai trò là chỉ số dưới (hiệp biến-covariance) trong  \Lambda ^{\mu '}{}_{\mu }. Chỉ số này còn được gọi là chỉ số câm (dummy) để phân biệt với chỉ số tự do  \mu ' xuất hiện như là một chỉ số không thể thu gọn được ở cả hai vế của phương trình tenxơ (19). Bằng cách kiểm tra số lượng các chỉ số tự do có ở hai vế của phương trình là cách đơn giản nhất, ít nhất về mặt toán học, đó là phương trình tenxơ đã đúng hay chưa (và có thể có nhiều lý do để phương trình chưa đúng).
Phương trình (19) là rất tổng quát và biểu diễn quy tắc biến đổi cho các vectơ phản biến. Về cơ bản, bốn phương trình trong (19) cho chúng ta cách tính các thành phần tọa độ của vectơ  \mathbf {V}  trong hệ tọa độ  \{x^{\mu '}\} một khi chúng ta biết các thành phần của nó trong hệ tọa độ  \{x^{\mu }\}.
Chúng ta có thể mở rộng biểu thức (19) cho trường hợp biến đổi tọa độ tổ hợp, tức là khi xét hai hệ tọa độ: biến đổi hệ tọa độ thứ nhất từ hệ  \{x^{\mu }\} thành  \{x^{\mu '}\} và sau đó chuyển sang  \{x^{\mu ''}\} hay
và coi đó như là một lần biến đổi
do vậy vectơ (phản biến) sẽ biến đổi theo quy tắc
Như đã nói ở phần trước, chúng ta có thể viết ra phép biển đổi ngược của (1.19) là
Bốn phương trình (23) cho chúng ta cách tính thành phần tọa độ của vec tơ  \mathbf {V}  trong hệ  \{x^{\mu }\} một khi đã biết các thành phần của nó trong hệ  \{x^{\mu '}\}. Rõ ràng là hai ma trận biến đổi của hai phép biến đổi ngược là ma trận nghịch đảo của nhau, hay
Điều này cũng đúng cho phép biến đổi ngược lại
Chú ý rằng cả hai phương trình (24) và (25) là tương đương với Jacobian của biến đổi khác 0,
Đại lượng  \delta _{\nu }^{\mu } được gọi là ký hiệu Kronecker.
Ở phần này, chúng ta đã giới thiệu một tập hợp tổng quát chứa các điểm được liên hệ với nhau thông qua một tham số, hay đường cong trong đa tạp, sau đó nêu ra định nghĩa khái niệm vectơ tiếp xúc tại một điểm P và học được cách biểu diễn đại lượng hình học này biến đổi như thế nào dưới những hệ tọa độ khác nhau. Điều này dẫn chúng ta tới một khái niệm tổng quát hơn đó là không gian tiếp xúc của đa tạp  {\mathcal {M}} tại điểm P: đó là không gian chứa mọi vectơ phản biến tại P.