stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Cây Dyson
Cây Dyson trong khoa học viễn tưởng

Cây Dyson được nhắc đến nhiều lần trong khoa học viễn tưởng, bắt đầu từ những năm 1980:
Một trong những con nuôi đầu tiên của Trope là Ngôi nhà trên cây của Rachel Pollack (1984).
Khái niệm này được thảo luận trong Carl Sagan và cuốn sách phi tiểu thuyết Comet của Ann Druyan vào năm 1985, và một số bức tranh của cây Dyson xung quanh sao Thổ và trong không gian giữa các vì sao được minh họa trong cuốn sách của Jon Lomberg.
Tiểu thuyết Vacuum Flowers của nhà triết học siêu nhân học Michael Swanwick vào năm 1987, 'dysonsworlders' đã thiết lập các khu định cư cây trong Đám mây Oort.
Dưới cái tên "Space Poplars", cây Dyson được mô tả trong hai tiểu thuyết khoa học viễn tưởng của Donald Moffitt, The Genesis Quest và Second Genesis. Ở đây, chúng được sử dụng như cả môi trường sống và tàu vũ trụ, được đẩy bởi những chiếc lá phản chiếu bên ngoài được sử dụng như những cánh buồm mặt trời hữu cơ.
Dan Simmons, với Endymion (1996) và Rise of Endymion (1997) - cả hai phần của Hyperion Cantos của ông - đề cập đến cây Dyson, và trong tiểu thuyết sau về một hệ thống cây khổng lồ bao quanh toàn bộ một ngôi sao (gợi nhớ đến quả cầu Dyson).
Trong Manifold: Space (2001) của Stephen Baxter, nhân vật chính của Baxter Reid Malenfant tại một thời điểm thấy mình ở trong một cây Dyson.
Trong Nhánh Orion chia sẻ về vũ trụ (thành lập 2000), cây Dyson và cây "rừng" Dyson được gọi là orwoods; những cái này đã được thiết lập trong một số hệ thống sao trên khắp không gian terragen. Từ "Orwood" trong bối cảnh này ban đầu được đặt ra bởi Anders Sandberg.
Trò chơi nhập vai Transhuman Space bao gồm sự khởi đầu của một nỗ lực của cây Dyson trên Trạm Yggdrasil (Deep Beyond, trang 70, 2003)
Trong sê -ri Tenchi Muyo OVA, Jurai sử dụng những cây có thể sống trong không gian như những con tàu và trong ngôi đền của nhân vật giống nữ thần Tokimi, một cây khổng lồ có rễ bao quanh một hành tinh.
Trong loạt The Dirty Pair, tập "Chạy từ tương lai" miêu tả môi trường sống của Nimkasi, một môi trường sống bao bọc bên ngoài là một cây Dyson.
Trò chơi video Eufloria dựa trên khái niệm cây Dyson.
Cyclophora aestiva

| Cyclophora aestiva> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Cyclophora
Loài (species): C. aestiva
Danh pháp hai phần
Cyclophora aestiva Vorbrodt 1930 
Cyclophora aestiva là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Cyclophora albescens

| Cyclophora albescens> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Cyclophora
Loài (species): C. albescens
Danh pháp hai phần
Cyclophora albescens Lempke 1949 
Cyclophora albescens là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Cylindrothecium columnare

| Cylindrothecium columnare> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Bryophyta
Lớp (class): Bryopsida
Phân lớp (subclass): Bryidae
Bộ (ordo): Hypnales
Họ (familia): Entodontaceae
Chi (genus): Cylindrothecium
Loài (species): C. columnare
Danh pháp hai phần
Cylindrothecium columnare (Schwägr.) Paris, 1894 
Cylindrothecium columnare là một loài Rêu trong họ Entodontaceae. Loài này được (Schwägr.) Paris mô tả khoa học đầu tiên năm 1894.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cylindrothecium columnare”. Truy cập ngày 10 tháng 8 năm 2013.
Neutroni

Neutroni (đôi khi được gọn là neutri), kí hiệu hoá học là Nu là tên được đề nghị để gọi thực thể có cấu tạo hoàn toàn từ neutron.
Tên này được nhà khoa học Đức Andreas von Antropoff (1878-1956) đặt ra vào năm 1926 cho "nguyên tố có số nguyên tử bằng không", trước cả khi khám phá ra neutron, mà ông phỏng đoán rằng đặt nó ở phần đầu của bảng tuần hoàn . Tuy nhiên ý nghĩa của thuật ngữ đã thay đổi theo thời gian, và từ nửa cuối của thế kỷ 20 trở đi nó đã được sử dụng hợp pháp để tham chiếu đến thực thể vật chất cực kỳ dày đặc như các thể vật chất neutron thoái hóa, về lý thuyết là tồn tại trong lõi của các sao neutron, sau đây gọi là "neutroni thoái hóa" (degenerate neutronium). Khoa học viễn tưởng và văn chương đại chúng thường sử dụng thuật ngữ "neutroni" để chỉ giai đoạn dày đặc cao của vật chất gồm chủ yếu là neutron.
Neutroni và sao neutron

Bài chi tiết: Sao neutron
Neutroni và bảng tuần hoàn

Nhiều nhà khoa học đề xuất về vị trí của neutroni trong bảng tuần hoàn, ở cột khí hiếm, xếp trên heli.
Chỉ dẫn

Neutroni được các nhà khoa học đề xuất xếp trên heli (cột khí hiếm).
Cyphostemma nanellum

| Cyphostemma nanellum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Vitales
Họ (familia): Vitidaceae
Chi (genus): Cyphostemma
Loài (species): C. nanellum
Danh pháp hai phần
Cyphostemma nanellum (Gilg & R.E.Fr.) Desc. ex Wild & R.B.Drumm., 1966 
Cyphostemma nanellum là một loài thực vật hai lá mầm trong họ Nho. Loài này được (Gilg & R.E.Fr.) Desc. ex Wild & R.B.Drumm. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1966.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cyphostemma nanellum”. Truy cập ngày 8 tháng 6 năm 2013.
Cây Dâu tây và Kem

| Cây dâu và kem |
| --- | --- |
Cây dâu và kem nở rộ, cho thấy hoa màu hồng và trắng đặc biệt.
Loài: Anh đào dại (Prunus avium) + Kanzan (P. serrulata 'Kanzan') graft hybrid
Địa điểm: Đường Rodney, Backwell, Bắc Somerset, Anh Quốc
Tọa độ: 51°24′52,3″B 02°44′42,2″T﻿ / ﻿51,4°B 2,73333°T﻿ / 51.40000; -2.73333
Ngày trồng: k. 1950s
Tổ chức quản lý: Hội đồng Bắc Somerset
Cây dâu và kem (tiếng Anh: The strawberries and cream tree) là một cây anh đào lai ghép (giữa Anh đào dại và P. serrulata 'Kanzan') ở Backwell, Bắc Somerset, Anh. Được trồng trên đất công vào những năm 1950, nó được ghi nhận là tạo ra hai màu sắc riêng biệt của hoa. Hoa màu hồng ở một bên của cây và mặt kia màu trắng, mỗi khi nó nở vào mùa xuân. Điều này đã tạo ra cái tên 'Dâu và kem', được đặt ra bởi những đứa trẻ trong làng.
Đây là một trong hai ví dụ được báo cáo về cây lai ghép Anh đào-Kanzan ở Anh, cái kia ở Portchester, Hampshire.
Thực vật học

Cây dâu và kem là một cây anh đào dại bản địa (Prunus avium) được ghép với Prunus 'Kanzan', một giống anh đào trang trí từ Nhật Bản. Anh đào  tạo ra hoa trắng, trong khi 'Kanzan' tạo ra hoa hồng. Hoa kép đã tạo ra cái tên 'Dâu tây và kem', được đặt ra bởi những đứa trẻ trong làng.
Cây ăn quả có xu hướng được ghép vào gốc ghép của một loại cây cứng cáp hơn, thường là để cung cấp cho chúng thêm nước và chất dinh dưỡng. Trong trường hợp của cây Dâu tây và Cây kem, gốc ghép phát triển cùng với cây, tạo ra một giống ghép.
Lịch sử

Cây dâu và kem được trồng trên đất công thuộc sở hữu của Hội đồng Bắc Somerset, trên đường Rodney ở làng Backwell. Người ta không biết ai ban đầu trồng và ghép cây, nhưng nó được cho là đã được trồng vào cuối những năm 1950.
Lịch sử > Bảo tồn

Do sự hiếm có của nó, cây dâu và kem đã được cấp lệnh bảo tồn sáu tháng từ ngày 14 tháng 12 năm 2019. Lệnh ngăn chặn sự cắt bỏ, đốn hạ hoặc tỉa ngọn của cây mà không có sự cho phép của hội đồng. Lệnh có thể được thực hiện vĩnh viễn trong tương lai.
Một biển báo gần đó ghi tên và các thông tin của cây
Cyphostemma natalitium

| Cyphostemma natalitium> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Vitales
Họ (familia): Vitidaceae
Chi (genus): Cyphostemma
Loài (species): C. natalitium
Danh pháp hai phần
Cyphostemma natalitium (Szyszyl.) J.J.M.van der Merwe, 1971 
Cyphostemma natalitium là một loài thực vật hai lá mầm trong họ Nho. Loài này được (Szyszyl.) J.J.M.van der Merwe miêu tả khoa học đầu tiên năm 1971.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cyphostemma natalitium”. Truy cập ngày 8 tháng 6 năm 2013.
Neusalza-Spremberg

| Neusalza-Spremberg   |
| --- | --- |

  Huy hiệu
Vị trí của Neusalza-Spremberg   thuộc Huyện Görlitz  
Neusalza-Spremberg  
Quốc gia: Đức
Bang: Sachsen
Vùng hành chính: Dresden
Huyện: Görlitz
Liên xã: Neusalza-Spremberg 
Phân chia hành chính: 4
Chính quyền
 • Thị trưởng: Matthias Lehmann (CDU)
Diện tích
 • Tổng cộng: 23,89 km2 (922 mi2)
Độ cao: 325 m (1,066 ft)
Dân số (2007-12-31)
 • Tổng cộng: 3.804
 • Mật độ: 1,6/km2 (4,1/mi2)
Múi giờ: CET (UTC+01:00)
 • Mùa hè (DST): CEST (UTC+02:00)
Mã bưu chính: 02742
Mã vùng: 035872
Biển số xe: GR
Thành phố kết nghĩa: Donzdorf 
Trang web: www.neusalza-spremberg.de
Neusalza-Spremberg là một đô thị huyện Görlitz, trong bang tự do Sachsen, nước Đức. Đô thị Neusalza-Spremberg có diện tích 23,89 km², dân số thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2006 là 3804 người. Đô thị này nằm ở biên giới với Cộng hòa Séc, bên sông Spree, 6 km về phía tây bắc Ebersbach, và 17 km về phía đông nam Bautzen.
| x t Xã và đô thị của huyện Görlitz |
| --- | --- | --- |
|  Bad Muskau •  Beiersdorf •  Bernstadt •  Berthelsdorf •  Bertsdorf-Hörnitz •  Boxberg •  Dürrhennersdorf •  Ebersbach-Neugersdorf •  Eibau •  Gablenz •  Görlitz •  Groß Düben •  Großschönau •  Großschweidnitz •  Hähnichen •  Hainewalde •  Herrnhut •  Hohendubrau •  Horka •  Jonsdorf •  Kodersdorf •  Königshain •  Krauschwitz •  Kreba-Neudorf •  Lawalde •  Leutersdorf •  Löbau •  Markersdorf •  Mittelherwigsdorf •  Mücka •  Neißeaue •  Neusalza-Spremberg •  Niedercunnersdorf •  Niesky •  Obercunnersdorf •  Oderwitz •  Olbersdorf •  Oppach •  Ostritz •  Oybin •  Quitzdorf •  Reichenbach •  Rietschen •  Rosenbach •  Rothenburg •  Schleife •  Schönau-Berzdorf •  Schönbach •  Schöpstal •  Seifhennersdorf •  Sohland •  Trebendorf •  Vierkirchen •  Waldhufen •  Weißkeißel •  Weißwasser •  Zittau  |  Bad Muskau •  Beiersdorf •  Bernstadt •  Berthelsdorf •  Bertsdorf-Hörnitz •  Boxberg •  Dürrhennersdorf •  Ebersbach-Neugersdorf •  Eibau •  Gablenz •  Görlitz •  Groß Düben •  Großschönau •  Großschweidnitz •  Hähnichen •  Hainewalde •  Herrnhut •  Hohendubrau •  Horka •  Jonsdorf •  Kodersdorf •  Königshain •  Krauschwitz •  Kreba-Neudorf •  Lawalde •  Leutersdorf •  Löbau •  Markersdorf •  Mittelherwigsdorf •  Mücka •  Neißeaue •  Neusalza-Spremberg •  Niedercunnersdorf •  Niesky •  Obercunnersdorf •  Oderwitz •  Olbersdorf •  Oppach •  Ostritz •  Oybin •  Quitzdorf •  Reichenbach •  Rietschen •  Rosenbach •  Rothenburg •  Schleife •  Schönau-Berzdorf •  Schönbach •  Schöpstal •  Seifhennersdorf •  Sohland •  Trebendorf •  Vierkirchen •  Waldhufen •  Weißkeißel •  Weißwasser •  Zittau  |  |
Chuỗi Taylor

Tính xấp xỉ hàm số bằng tổng chuỗiBản mẫu:SHORTDESC:Tính xấp xỉ hàm số bằng tổng chuỗi
Hình vẽ miêu tả hàm số sin(x) và các xấp xỉ Taylor của nó, tức là các đa thức Taylor bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và 13 của hàm tại gần điểm x = 0. Khi bậc của đa thức Taylor tăng, chuỗi này càng tiệm cận đến hàm chính xác ở gần điểm x = 0.
Trong toán học, chuỗi Taylor của một hàm số là tổng vô hạn của các phần tử biểu diễn bằng các đạo hàm của hàm đó tại một điểm. Với mọi hàm thường gặp, giá trị hàm và tổng chuỗi Taylor bằng nhau khi gần điểm này. Chuỗi Taylor được đặt theo tên nhà toán học Brook Taylor, người giới thiệu chúng trong 1715. Nếu 0 là điểm để tính đạo hàm, thì chuỗi Taylor cũng được gọi là chuỗi Maclaurin, theo Colin Maclaurin, người nghiên cứu trường hợp đặc biệt này của Taylor vào giữa thập niên 1700.
Tổng từng phần của n + 1 phần tử đầu tiên của chuỗi Taylor là đa thức bậc n được gọi là đa thức Taylor bậc n của hàm số. Các đa thức Taylor là các xấp xỉ của hàm số, và thường xấp xỉ tốt hơn khi n tăng. Định lý Taylor tính xấp xỉ sai số của các đa thức đó. Nếu chuỗi Taylor của hàm đó hội tụ, tổng của nó là giới hạn của dãy các đa thức Taylor. Giá trị hàm số có thể khác với tổng của chuỗi Taylor, kể cả khi chuỗi Taylor của nó hội tụ. Một hàm số là hàm giải tích tại điểm x khi nó bằng tổng chuỗi Taylor của nó trên một khoảng mở (hay hình tròn mở trong mặt phẳng phức) nào đó chứa x. Điều này cho thấy hàm số giải tích tại mọi điểm trên khoảng (hay trên hình tròn).
Định nghĩa

Chuỗi Taylor của hàm thực hay phức f (x) khả vi vô hạn tại số thực hay phức a tương ứng là chuỗi lũy thừa sau:
trong đó n! ký hiệu giai thừa của n.  Để gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu Sigma, công thức trên được viết lại thành
trong đó f(n)(a) ký hiệu đạo hàm thứ n của f tính tại a. Đạo hàm với bậc 0 của f được định nghĩa là chính hàm f và hai giá trị (x − a)0 và 0! đều định nghĩa bằng với 1.
Khi a = 0, chuỗi trên cũng được gọi là chuỗi Maclaurin.
Các ví dụ

Chuỗi Taylor của đa thức bất kỳ là chính đa thức đó.
Chuỗi Maclaurin của 1/1 − x là chuỗi hình học
Bằng cách thay x thành 1 − x, chuỗi Taylor của 1/x tại a = 1 là
Bằng cách tính nguyên hàm của chuỗi Maclaurin trên, ta tìm thấy chuỗi Maclaurin của ln(1  − x), trong đó ln ký hiệu lôgarit tự nhiên:
Chuỗi Taylor tương ứng của ln x tại a = 1 là
và tổng quát hơn thì, chuỗi Taylor của ln x tại điểm a khác không tùy ý là:
Chuỗi Maclaurin của hàm mũ ex là
Khai triển trên đúng là bởi đạo hàm của ex đối với  x cũng là ex, và e0 bằng với 1. Do đó ta được (x − 0)n tại tử số và n! tại mẫu số của mỗi phần tử trong chuỗi.
Lịch sử

Triết học gia Hy Lạp Zeno đã xét đến bài toán tính tổng vô hạn các phần tử nhưng kết quả thu được là hữu hạn, nhưng đã bác bỏ nó vì đây là nhiệm vụ bất khả thi; kết quả ra được nghịch lý Zeno. Sau đó, Aristotle đưa ra lời giải cho nghịch lý bằng triết học, nhưng phần toán học thì chưa được giải quyết cho đến khi được giải bởi Archimedes. Qua phương pháp vét cạn của Archimedes, ta mới nhận thấy rằng dù có chia vô hạn một giá trị nào đó thì tổng thu được vẫn là hữu hạn. Lưu Huy độc lập tìm ra phương pháp này vài thế kỷ sau đó.
Trong thế kỷ 14, các ví dụ sớm nhất của chuỗi Taylor và các phương pháp tương tự được nêu bởi Madhava xứ Sangamagrama. Mặc dù không bài viết nào của ông còn tồn tại, nhưng những bài viết sau đó của các nhà toán học Ấn Độ cho rằng ông đã tính được một số chuỗi, cụ thể hơn là chuỗi các hàm lượng giác sin, cos, tang, và arctan. Trường toán học và thiên văn của Kerala đã mở rộng thêm công trình của ông với nhiều khai triển chuỗi và xấp xỉ cho tới thế kỷ 16.
Trong thế kỷ 17, James Gregory cũng làm việc với chuỗi này và xuất bản một số chuỗi Maclaurin. Phải tới năm 1715 thì phương pháp tổng quát để xây các chuỗi cho các hàm mà chúng tồn tại mới được đưa bởi Brook Taylor, và sau đó chuỗi này được đặt theo tên ông.
Chuỗi Maclaurin được đặt tên theo Colin Maclaurin, một giáo sư tại Edinburgh, người xuất bản các trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor vào những năm 1700 .
Hàm giải tích

Bài chi tiết: Hàm giải tích
Nếu f (x) được xác định bởi chuỗi lũy thừa hội tụ trong hình tròn mở tâm b trên mặt phẳng phức (hay trên khoảng số thực), nó được gọi là hàm giải tích trên miền đó . Do đó, với x thuộc miền đó, và f được cho bởi chuỗi lũy thừa hội tụ sau
Tính đạo hàm bởi x cho công thức trên n lần, rồi đặt x = b thì được:
Vì vậy khai triển chuỗi lũy thừa khi ấy tương đương với chuỗi Taylor. Do đó, hàm số giải tích trong hình tròn mở tâm b khi và chỉ khi chuỗi Taylor của nó hội tụ đến giá trị hàm tại mỗi điểm thuộc hình tròn.
Nếu f (x) bằng với tổng chuỗi Talor tại mọi x thuộc mặt phẳng phức, thì nó được gọi là hàm nguyên . Các đa thức, hàm mũ ex, và các hàm lượng giác sin và cos, là các ví dụ của hàm nguyên. Các ví dụ của các hàm không nguyên bao gồm căn bậc hai, lôgarit, các hàm lượng giác tang, và nghịch đảo của nó, arctan. Đối với các hàm này, chuỗi Taylor không hội tụ khi x xa khỏi b. Nghĩa là chuỗi Taylor phân kỳ tại x khi khoảng cách giữa x và b lớn hơn bán kính hội tụ. Chuỗi Taylor có thể dùng để tính giá trị hàm nguyên tại mọi điểm, nếu giá trị của hàm đó cũng như các đạo hàm của hàm đó đã được tính trước tại một điểm.
Các ứng dụng của chuỗi Taylor cho hàm giải tích bao gồm :
Các tổng riêng (Các đa thức Taylor) của chuỗi có thể dùng để tính xấp xỉ giá trị hàm. Các xấp xỉ này tốt khi đủ số phần tử được xét.
Vi phân và tích phân của chuỗi lũy thừa có thể được tính dễ dàng hơn so với hàm ban đầu.
Hàm giải tích chỉ có thể mở rộng duy nhất thành hàm chỉnh hình trên hình tròn mở trong mặt phẳng phức. Điều này giúp cho ta làm việc trong giải tích phức.
Chuỗi (đã bị cắt đi một phần) có thể dùng để tính giá trị số của hàm, (bằng cách đưa các đa thức về dạng Chebyshev rồi dùng thuật toán Clenshaw).
Các phép đại số có thể sử dụng trên biểu diễn chuỗi lũy thừa, ví dụ như công thức Euler đến từ khai triển chuỗi Taylor cho các hàm lượng giác và hàm mũ. Kết quả này quan trọng trong giải tích điều hòa.
Xấp xỉ sử dụng các phần tử đầu của chuỗi Taylor có thể khiến một số bài toán bất khả thi giải được trong miền được giới hạn; Phương pháp này được sử dụng trong vật lý.
Sai số xấp xỉ và hội tụ

Bài chi tiết: Định lý Taylor
Trong ảnh là xấp xỉ chính xác của hàm sin x quanh điểm x = 0. Đường màu hồng là đa thức Taylor bậc 7:
Sai số của xấp xỉ này không quá | x |9 / 9!. Với một chu kỳ đầy đủ (−π < x < π) sai số này nhỏ hơn 0.08215. Cụ thể hơn, với −1 < x < 1, sai số nhỏ hơn 0,000003.
Ngược lại là ảnh đồ thị của hàm ln(1 + x) và đa thức Taylor của nó quanh a = 0. Các xấp xỉ này hội tụ chỉ khi −1 < x ≤ 1; ngoài miền này các đa thức Taylor tính xấp xỉ kém hơn so với các đa thức trong miền.
Sai số xuất hiện trong xấp xỉ hàm số của đa thức Taylor bậc n được gọi là phần dư Taylor (hay cụ thể hơn, phần dư Taylor bậc n) và được ký hiệu bởi hàm Rn(x):
Trong đó  P_{n}(x) ký hiệu đa thức Taylor bậc n. Định lý Taylor được dùng để xác định cận trên và dưới của phần dư.
Tổng quát thì, chuỗi Taylor không nhất thiết phải hội tụ. Thêm nữa tập các hàm mà chuỗi Taylor của nó hội tụ là tập meagre trong không gian Fréchet của các hàm trơn. Và kể cả khi chuỗi Taylor của hàm f có hội tụ, giới hạn của nó cũng không nhất thiết phải bằng với giá trị của hàm f (x). Lấy ví dụ, hàm
khả vi vô hạn tại x = 0, và có mọi đạo hàm của nó bằng không tại đó. Do đó, chuỗi Taylor của f (x) quanh x = 0 cũng bằng không. Tuy nhiên, f (x) không phải hàm không, nên không bằng với chuỗi Taylor quanh x = 0. Do đó, hàm f (x) trên là ví dụ của hàm trơn không giải tích.
Trong giải tích thực, ví dụ này cho thấy có vô số các hàm khả vi vô hạn f (x) mà chuỗi Taylor của nó không bằng với f (x) kể cả khi chuỗi hội tụ. Ngược lại, các hàm chỉnh hình trong giải tích phức luôn có chuỗi Taylor của nó hội tụ,thậm chí kể cả các hàm phân hình, dù các hàm đó có các điểm kỳ dị nhưng chuỗi Taylor của nó không bao giờ hội tụ đến giá trị khác với giá trị hàm. Tuy nhiên, hàm phức liên tục e−1/z2, không tiến đến 0 khi z chạy tới 0 theo trục ảo, nên nó không trong mặt phẳng phức và chuỗi Taylor của nó không xác định tại 0.
Tổng quát hơn, mọi dãy số thực hay phức có thể làm hệ số của chuỗi Taylor cho một hàm số khả vi vô hạn trên đường số thực, một hệ quả của bổ đề Borel. Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi Taylor có thể bằng không. Có vô hạn các hàm khả vi vô hạn mà chuỗi Taylor của nó có bán kính hội tụ bằng 0 mọi điểm.
Hàm số không thể viết thành chuỗi Taylor tại các điểm kỳ dị; nếu muốn thì, ta vẫn có thể có khai triển chuỗi nếu cho phép sử dụng lũy thừa bậc âm của biến x; xem chuỗi Laurent. Lấy ví dụ, hàm f (x) = e−1/x2 có thể viết thành chuỗi Laurent.
Sai số xấp xỉ và hội tụ > Tổng quát hóa

Tuy nhiên, có dạng tổng quát của chuỗi Taylor có hội tụ đến giá trị hàm với bất kỳ hàm liên tục bị chặn trên (0,∞), sử dụng vi tích phân của số gia hữu hạn.  Đầy đủ hơn, ta có định lý sau bởi Einar Hille, rằng với bất kỳ t > 0,
Ở đây Δn
h là toán tử số gia hữu hạn thứ n với bước h. Chuỗi này là chuỗi Taylor, nhưng thay vì là đạo hàm thì thay vào đó là số gia: chuỗi này tương tự với chuỗi Newton. Khi hàm f giải tích tại a, các phần tử trong chuỗi hội tụ đến các phần tử trong chuỗi Taylor, do thế mới ám chỉ tổng quát chuỗi Taylor.
Tổng quát thì, với bất kỳ dãy vô hạn ai nào, định thức chuỗi lũy thừa sau được thỏa mãn:
Nên cụ thể hơn thì,
Chuỗi trong vế phải là giá trị kì vọng của f (a + X), trong đó X là biến ngẫu nhiên trong phân phối Poisson lấy giá trị jh với xác suất e−t/h·(t/h)j/j!. Do đó,
Luật số lớn cho rằng định thức này thỏa mãn.
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp

Xem thêm: Danh sách các chuỗi toán học
Sau đây là các khai triển chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp. Tất cả khai triển này đều đúng với x phức.
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp > Hàm mũ

Hàm mũ  e^{x} (với cơ số e) có chuỗi Maclaurin
Nó hội tụ với mọi x.
Hàm sinh mũ của các số Bell là hàm mũ của số trước đó của hàm mũ:
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp > Lôgarit tự nhiên

Bài chi tiết: Chuỗi Mercator
Lôgarit tự nhiên (với cơ số e) có chuỗi Maclaurin
Chúng hội tụ với  |x|<1. (Thêm nữa, chuỗi cho ln(1 − x) hội tụ khi x = −1, và chuỗi cho ln(1 + x) hội tụ khi x = 1.)
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp > Chuỗi hình học

Chuỗi hình học và các đạo hàm của nó có chuỗi Maclaurin như sau
Tất cả đều hội tụ cho  |x|<1.  Đây là các trường hợp đặc biệt cho chuỗi nhị thức trong mục sau.
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp > Chuỗi nhị thức

Chuỗi nhị thức là chuỗi lũy thừa
 (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}
trong đó các hệ số là các hệ số nhị thức:
 {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.
(Nếu n = 0, tích này thành tích rỗng và có giá trị 1.)  Nó hội tụ cho  |x|<1 với bất kỳ số thực hay phức α.
Khi α = −1, chuỗi này trở thành chuỗi hình học trong mục trước.  Trường hợp đặc biệt α = 1/2 và α = −1/2 cho hàm căn bậc hai và nghịch đảo của nó:
 {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}
Khi chỉ có mỗi các phần tử tuyến tính được giữ lại, xấp xỉ này đơn giản hóa thành xấp xỉ nhị thức.
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp > Các hàm lượng giác

Các hàm lượng giác thường gặp và nghịch đảo của chúng có chuỗi Maclaurin như sau:
Tất cả các góc đều trong radian. Các số Bk xuất hiện trong biểu thức tan x là các số Bernoulli. Các số Ek trong khai triển của sec x là các số Euler.
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp > Các hàm Hyperbolic

Các hàm hyperbolic có chuỗi Maclaurin gần giống với các hàm lượng giác:
Các số Bk xuất hiện trong chuỗi cho tanh x là các số Bernoulli.
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp > Hàm Polylogarit

Các hàm polylogarit có định thức sau:
Các hàm chi Legendre được định nghĩa như sau:
Các công thức bên dưới được gọi là nguyên hàm tiếp tuyến nghịch đảo:
Trong cơ học thống kê, các công thức này rất quan trọng.
Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp > Hàm Elliptic

Nguyên hàm Elliptic đầy đủ của loại đầu K và loại thứ hai E được định nghĩa như sau:
Các hàm theta Jacobi mô tả thế giới của hàm môđun elliptic và chúng thường có chuỗi Taylor như sau :
Dãy số phân hoạch P(n) có hàm sinh sau:
Dãy số phân hoạch nghiêm ngặt Q(n) có hàm sinh sau: