Nhóm (toán học)
Chú thích

Tạp chí Mathematical Reviews liệt kê 3.224 bài báo nghiên cứu về lý thuyết nhóm và sự tổng quát của nó trong năm 2005.
Kết quả phân loại công bố vào năm 1983, nhưng các nhà toán học tìm thấy có những kẽ hở trong chứng minh. Xem phân loại nhóm đơn giản hữu hạn để biết thêm thông tin.
Tiên đề đóng đã hàm chứa điều kiện rằng • là phép toán hai ngôi. Một số tác giả do vậy bỏ tiên đề này đi. Tuy nhiên, quá trình xây dựng nhóm thường bắt đầu bằng một phép toán xác định trên một siêu tập hợp, do vậy tính đóng là đòi hỏi trong phép chứng minh hệ đó là một nhóm. Lang2002
Xem, ví dụ, sách của Lang (2002, 2005) và Herstein (1996, 1975).
Tuy nhiên, một nhóm không được xác định bởi dàn của các nhóm con của nó. Xem Suzuki1951.
Thực tế rằng phép toán nhóm mở rộng sự chính tắc này là một ví dụ của tính chất phổ quát.
Ví dụ, nếu  là hữu hạn, thì kích thước (hay bậc) của nhóm con bất kỳ và nhóm thương bất kỳ chia hết cho kích thước của nhóm , như chỉ ra bởi định lý Lagrange.
Từ "homomorphism" phép đồng phôi dẫn xuất từ tiếng Hy Lạp ὁμός—đồng dạng hay giống nhau và μορφή—có nghĩa là cấu trúc.
Ký hiệu cộng cho các phần tử của nhóm xiclic có thể viết là .
Xem định lý Seifert–van Kampen.
Một ví dụ đó là nhóm đối đồng điều của một nhóm mà bằng kỳ dị đối đồng điều (singular homology) của không gian phân loại (classifying space) của nó.
Phần tử là kết quả của phép nhân một phần tử với phần tử nghịch đảo của nó gọi là phần tử đơn vị, xem Lang2002,§II.1, trang 84.
Sự chuyển tiếp từ số nguyên sang số hữu tỉ bằng cách cộng thêm phân số được tổng quát hóa bằng trường thương.
Điều tương tự cũng đúng đối với bất kỳ trường  thay vì . Xem Lang2005,§III.1, trang 86.
Ví dụ, một nhóm con hữu hạn của nhóm nhân của một trường cần thiết phải tuần hoàn (xiclic). Xem Lang2002,Theorem IV.1.9. Khái niệm xoắn của một môđun và đại số đơn giản là những ví dụ khác của nguyên lý này.
Tính chất thiết lập mở ra một định nghĩa cho số nguyên tố. Xem phần tử nguyên tố.
Ví dụ, xem giao thức Diffie-Hellman sử dụng logarit rời rạc.
Các nhà toán học biết tới nhóm có bậc lớn nhất là 2000. Đếm cả hệ đẳng cấu, có khoảng 49 tỷ nhóm. Xem Besche,EickO'Brien2001.
Khoảng trống giữa sự phân loại nhóm đơn giản và với mọi nhóm nằm ở "vấn đề mở rộng", một vấn đề quá khó để giải trong trường hợp tổng quát. Xem Aschbacher2004,trang 737.
Một cách tương đương, nhóm không tầm thường là đơn giản nếu và chỉ nếu nhóm thương là nhóm tầm thường và chính là nhóm đó. Xem Michler2006, Carter1989.
Một cách phức tạp hơn, mỗi nhóm là nhóm đối xứng của một số đồ thị; xem định lý Frucht, Frucht1939.
Chính xác hơn, tác dụng đơn đạo (monodromy) trên không gian vectơ của nghiệm các phương trình vi phân được xét tới. Xem Kuga1993,pp. 105–113.
Xem mêtric Schwarzschild cho ví dụ phép đối xứng làm giảm một cách đáng kể sự phức tạp của một hệ vật lý.
Điều này là trọng yếu đối với sự phân loại nhóm đơn giản hữu hạn. Xem Aschbacher2004.
Xem, ví dụ như bổ đề Schur cho tác động của tác dụng nhóm tới môđun đơn giản. Ví dụ có sự tham gia nhiều hơn là tác dụng của nhóm Galois tuyệt đối trên đối đồng điều Étale.
Đơn ánh và toàn ánh tương ứng với phép đơn cấu và phép toàn cấu. Chúng có thể trao đổi cho nhau khi sử dụng trong phạm trù đối ngẫu.