stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
USS Yarnall

Hai tàu chiến của Hải quân Hoa Kỳ từng được mang cái tên USS Yarnall, được đặt nhằm vinh danh Trung úy Hải quân John Yarnall (1786-1815):
USS Yarnall (DD-143) là một tàu khu trục lớp Wickes hạ thủy năm 1918, được chuyển cho Hải quân Hoàng gia Anh năm 1940 như là chiếc HMS Lincoln, cho Hải quân Hoàng gia Na Uy năm 1942 như là chiếc HNoMS Lincoln, cho Hải quân Hoàng gia Canada như là chiếc HMCS Lincoln, và cuối cùng cho Hải quân Liên Xô năm 1944 như là chiếc Druzhny và bị tháo dỡ năm 1952
USS Yarnall (DD-541) là một tàu khu trục thuộc lớp Fletcher hạ thủy năm 1943, được chuyển cho Hải quân Trung Hoa dân quốc năm 1968 và phục vụ như là chiếc ROCS Kun Yang (DD-8/DDG-919) cho đến năm 1999
USS Brush (DD-745)

| --- | --- |
Tàu khu trục USS Brush (DD-745) trên đường đi, 22 tháng 5 năm 1944
Lịch sử
Hoa Kỳ
Tên gọi:  USS Brush (DD-745)
Đặt tên theo:  Charles F. Brush
Xưởng đóng tàu:  Bethlehem Mariners Harbor, Staten Island, New York
Đặt lườn:  30 tháng 7 năm 1943
Hạ thủy:  28 tháng 12 năm 1943
Người đỡ đầu:  cô Virginia Perkins
Nhập biên chế:  17 tháng 4 năm 1944
Xuất biên chế:  27 tháng 10 năm 1969
Xóa đăng bạ:  27 tháng 10 năm 1969
Danh hiệu và phong tặng:  9 × Ngôi sao Chiến trận
Số phận:  Được chuyển cho Đài Loan, 9 tháng 12 năm 1969
Lịch sử
Đài Loan
Tên gọi:  ROCS Hsiang Yang (DD-1/DDG-901)
Đặt tên theo:  9 tháng 12 năm 1969
Xóa đăng bạ:  1984
Số phận:  Chuyển cho Trường Vũ khí Hải quân, tháo dỡ sau đó
Đặc điểm khái quát
Lớp tàu:  Lớp tàu khu trục Allen M. Sumner
Trọng tải choán nước:  2.200 tấn Anh (2.200 t) (tiêu chuẩn); 3.515 tấn Anh (3.571 t) (đầy tải)
Chiều dài:  369 ft (112 m) (mực nước); 376 ft 6 in (114,76 m) (chung)
Sườn ngang:  40 ft (12 m)
Mớn nước:  15 ft 9 in (4,80 m) (tiêu chuẩn); 19 ft (5,8 m) (đầy tải)
Động cơ đẩy:  4 × nồi hơi; 2 × turbine hơi nước hộp số; 2 × trục; công suất 60.000 shp (45.000 kW)
Tốc độ:  34 kn (39 mph; 63 km/h)
Tầm xa:  6.000 nmi (11.000 km) ở tốc độ 15 kn (17 mph; 28 km/h)
Thủy thủ đoàn tối đa:  336 sĩ quan và thủy thủ
Vũ khí:  6 × pháo 5 in (130 mm)/38 caliber (3×2) trên bệ Mk 38 nòng đôi; 12 × pháo phòng không Bofors 40 mm (2×4 & 2×2); 11 × pháo phòng không Oerlikon 20 mm; 10 × ống phóng ngư lôi Mark 15 21 in (530 mm) (2×5); 6 × máy phóng K-gun và 2 × đường ray thả mìn sâu
USS Brush (DD-745), là một tàu khu trục lớp Allen M. Sumner được Hải quân Hoa Kỳ chế tạo trong Chiến tranh Thế giới thứ hai. Nó là chiếc tàu chiến duy nhất của Hải quân Mỹ được đặt theo tên Charles F. Brush (1849-1929), một kỹ sư và là nhà sáng chế Hoa Kỳ. Nó đã hoạt động cho đến hết Thế Chiến II, và tiếp tục phục vụ sau đó trong Chiến tranh Triều Tiên và Chiến tranh Việt Nam cho đến khi xuất biên chế năm 1969 và được chuyển cho Đài Loan. Nó phục vụ cùng Hải quân Trung Hoa dân quốc như là chiếc ROCS Hsiang Yang (DD-1/DDG-901) cho đến khi ngừng hoạt động năm 1984 và bị tháo dỡ sau đó. Brush được tặng thưởng danh hiệu năm Ngôi sao Chiến trận do thành tích phục vụ trong Thế Chiến II, và thêm bốn Ngôi sao Chiến trận khác trong Chiến tranh Triều Tiên.
Thiết kế và chế tạo

Bài chi tiết: Allen M. Sumner (lớp tàu khu trục)
Brush được đặt lườn tại xưởng tàu của hãng Bethlehem Steel Co. ở Staten Island, New York vào ngày 30 tháng 7 năm 1943. Nó được hạ thủy vào ngày 28 tháng 12 năm 1943; được đỡ đầu bởi cô Virginia Perkins, chắt của ngài Charles Brush, và nhập biên chế vào ngày 17 tháng 4 năm 1944 dưới quyền chỉ huy của Trung tá Hải quân J. E. Edwards.
Lịch sử hoạt động > 1944 – 1945

Brush đi đến Trân Châu Cảng vào ngày 30 tháng 8 năm 1944, và sau các hoạt động huấn luyện tại khu vực quần đảo Hawaii, đã lên đường vào ngày 28 tháng 9 để đi thuộc Eniwetok quần đảo Marshall. Từ đây nó hộ tống các đoàn tàu vận tải đi Ulithi và Palau.
Brush sau đó gia nhập Đệ Tam hạm đội để tham gia Trận Leyte từ ngày 5 tháng 11 đến ngày 16 tháng 12 năm 1944; và sau đó là chiến dịch không kích Luzon-Đông Dương thuộc Pháp-Hải Nam-Đài Loan từ ngày 3 đến ngày 22 tháng 1 năm 1945. Chuyển thuộc cùng Đệ Ngũ hạm đội từ ngày 26 tháng 1, chiếc tàu khu trục tiếp tục tham gia hỗ trợ cho cuộc tấn công lên Iwo Jima từ ngày 15 tháng 2 đến ngày 5 tháng 3; và tiếp theo sau là cuộc đổ bộ lên Okinawa từ ngày 17 tháng 3 đến ngày 27 tháng 4, khi nó trực tiếp tham gia bắn phá lên Minamidaitō vào ngày 21 tháng 4.
Brush rút lui về Ulithi thuộc quần đảo Caroline, nơi nó nghỉ ngơi, bảo trì và tiếp liệu từ ngày 30 tháng 4 đến ngày 10 tháng 5, trước khi gia nhập trở lại Đệ Ngũ hạm đội chuẩn bị cho kế hoạch không kích tiếp theo lên Kyūshū. Nó thả neo tại vịnh Leyte từ ngày 13 tháng 6 đến ngày 1 tháng 7, rồi lên đường cho một đợt không kích xuống đảo Hokkaidō. Vào ngày 22 tháng 7, nó cùng các tàu khu trục khác tiến hành càn quét tàu bè đối phương gần lối ra vào vịnh Tokyo. Sau khi Nhật Bản đầu hàng vào ngày 15 tháng 9, nó tiếp tục ở lại ngoài khơi bờ biển Nhật Bản làm nhiệm vụ tìm kiếm giải cứu hỗ trợ cho việc chiếm đóng cho đến ngày 14 tháng 9, khi nó tiến vào vịnh Tokyo. Nó rời khu vực Viễn Đông vào ngày 24 tháng 9 để quay trở về Hoa Kỳ.
Brush về đến Seattle, Washington vào ngày 15 tháng 10, và tiếp tục hoạt động dọc theo vùng bờ Tây cho đến đầu năm 1946, khi nó lên đường đi Guam và ở lại đây cho đến ngày 9 tháng 3, khi nó lên đường đi Thanh Đảo, Trung Quốc, đến nơi vào ngày 19 tháng 3. Ngoại trừ hai chuyến đi đến khu vực quần đảo Philippine, con tàu hoạt động tại khu vực biển Hoa Đông giữa Thanh Đảo và Thượng Hải cho đến tháng 1, 1947. Nó đi đến Guam vào ngày 18 tháng 1, 1947 để sửa chữa, và sau khi hoàn tất nó lên đường quay trở về Hoa Kỳ vào ngày 16 tháng 2, đi ngang qua Saipan, Kwajalein và Trân Châu Cảng, về đến San Diego, California vào ngày 24 tháng 3. Cho đến tháng 5, 1950, chiếc tàu khu trục hoạt động dọc theo vùng bờ Tây trong các nhiệm vụ canh phòng máy bay, huấn luyện và tập trận.
Lịch sử hoạt động > Chiến tranh Triều Tiên

Brush được lệnh đi sang Viễn Đông vào tháng 5, 1950, nhưng Chiến tranh Triều Tiên đã nổ ra đang khi nó trên đường đi đến vùng biển Đài Loan, nơi nó gia nhập Lực lượng Đặc nhiệm 77 vào ngày 29 tháng 6. Nó đã hộ tống bảo vệ cho các tàu sân bay cho lực lượng Liên Hợp Quốc hoạt động không kích xuống Bắc Triều Tiên và trực tiếp tham gia bắn phá bờ biển. Đang khi bắn phá các mục tiêu ngoài khơi Tanchon vào ngày 26 tháng 9, nó trúng phải một quả thủy lôi làm hư hại nặng lườn tàu phía giữa tàu, khiến 13 thành viên thủy thủ đoàn thiệt mạng và 31 người khác bị thương. Con tàu được sửa chữa tạm thời tại Nhật Bản trước khi quay trở về Hoa Kỳ, đi vào Xưởng hải quân Puget Sound tại Bremerton, Washington vào ngày 22 tháng 12 để sửa chữa triệt để.
Gần một năm sau đó, Brush lại lên đường cho lượt hoạt động thứ hai tại Triều Tiên. Sau một chặng dừng kéo dài một tháng tại Trân Châu Cảng, nó gia nhập Lực lượng Đặc nhiệm 77 và đả nhiệm tuần tra phòng không và bảo vệ chống tàu ngầm cho đến ngày 25 tháng 2, 1952. Con tàu được điều sang nhiệm vụ tuần tra tại eo biển Đài Loan trong tháng 3, rồi tham gia các cuộc thực hành tìm-diệt tàu ngầm ngoài khơi Okinawa. Nó quay trở lại Nhật Bản vào ngày 12 tháng 4, rồi tiếp tục tham gia hoạt động phong tỏa dọc theo bờ biển phía Tây Triều Tiên cùng Lực lượng Đặc nhiệm 95 và Lực lượng Đặc nhiệm 77. Nó quay trở về San Diego vào ngày 26 tháng 6, hoạt động dọc theo bờ biển California cho đến tháng 2, 1953, khi nó lên đường cho lượt hoạt động thứ ba tại Triều Tiên; con tàu quay trở về Hoa Kỳ vào ngày 30 tháng 8.
Lịch sử hoạt động > 1954 - 1969

Trong một thập niên tiếp theo, Brush còn được bố trí sang hoạt động tại Viễn Đông thêm bảy lần: 4 tháng 5 đến 5 tháng 12, 1954; 30 tháng 6, 1955 đến 15 tháng 2, 1956; 31 tháng 8, 1957 đến 1 tháng 3, 1958; 25 tháng 10, 1958 đến 22 tháng 4, 1959; 1 tháng 1 đến 28 tháng 7, 1960; 29 tháng 7, 1961 đến 9 tháng 3, 1962; và 13 tháng 3 đến 1 tháng 10, 1964. Những lượt hoạt động này bao gồm nhiệm vụ hộ tống tàu sân bay, thực tập chống tàu ngầm và thỉnh thoảng tham gia tuần tra eo biển Đài Loan. Trong lượt hoạt động năm 1964, nó còn tham gia tuần tra trong vịnh Bắc Bộ khi Hoa Kỳ ngày càng can dự sâu hơn tại Việt Nam.
Trong 5 năm tiếp theo, Brush thực hiện ba lượt hoạt động trong Chiến tranh Việt Nam: từ 20 tháng 11, 1965 đến 13 tháng 5, 1966; từ 8 tháng 4 đến 6 tháng 10, 1967; và từ 20 tháng 8, 1968 đến 4 tháng 3, 1969. Nó hoạt động chủ yếu trong vai trò tuần tra chống xâm nhập và bắn hải pháo hỗ trợ những chiến dịch trên bộ.
Lịch sử hoạt động > ROCS Hsiang Yang (DD-1/DDG-901)

Brush được cho xuất biên chế và rút tên khỏi danh sách Đăng bạ Hải quân vào ngày 27 tháng 10, 1969. Nó được bán cho Đài Loan vào ngày 9 tháng 12, 1969, và phục vụ cùng Hải quân Trung Hoa dân quốc như là chiếc ROCS Hsiang Yang (DD-1/DDG-901). Nó được chuyển sang hoạt động cùng TRường Vũ khí Hải quân vào năm 1984, và cuối cùng bị tháo dỡ.
Phần thưởng

Brush được tặng thưởng năm Ngôi sao Chiến trận do thành tích phục vụ trong Thế Chiến II, và thêm bốn Ngôi sao Chiến trận khác trong Chiến tranh Triều Tiên.
Phương trình
Giới thiệu > Minh họa

Giả sử một phương trình tương tự như cái cân, cân bằng hoặc lệch.
Mỗi vế của phương trình tương ứng với một vế của lực Newton và sự cân bằng. Các đại lượng khác nhau có thể được đặt ở mỗi bên: nếu khối lượng ở hai bên bằng nhau thì cái cân sẽ cân bằng và tương tự như vậy thì cân bằng biểu thị số dư cũng là cân bằng (mặt khác, cân bằng tương ứng với một bất đẳng thức được biểu thị bằng một bất phương trình).
Trong hình minh họa, x, y, z là tất cả các đại lượng khác nhau (trong trường hợp này là số thực) được biểu diễn dưới dạng khối lượng các hạt tròn và mỗi đại lượng x, y, z được biểu diễn bởi mỗi hạt có khối lượng khác nhau. Phép cộng tương ứng với việc thêm khối lượng, trong khi phép trừ tương ứng với việc loại bỏ khối lượng. Nếu đẳng thức đúng, tổng khối lượng của mỗi bên sẽ như nhau.
Giới thiệu > Tham số và ẩn số

Tham số là một giá trị cố định trong một phương trình hoặc hệ phương trình. Nó được coi là một hằng số và không thay đổi trong quá trình giải phương trình. Tham số thường được ký hiệu bằng chữ m, hoặc bất kì chữ cái thường nào (ví dụ: a, b, c) và thường mang ý nghĩa đại diện cho một thông số và bánh mì hoặc cái j đó mà tui cũng k biết nữa í mọi ngừoi hay một đặc điểm cụ thể trong bài toán.
Ẩn số là một biến số mà chúng ta cần tìm giá trị của nó trong quá trình giải phương trình hoặc hệ phương trình. Ẩn số thường được ký hiệu bằng các chữ cái thường (ví dụ: x, y, z) và biểu thị một giá trị không xác định mà chúng ta muốn tìm ra. Khi giải phương trình, mục tiêu của chúng ta là tìm giá trị cụ thể cho ẩn số sao cho phương trình trở thành một phép tính đúng.
Để phân biệt giữa tham số và ẩn số trong một phương trình, chúng ta thường gán giá trị cụ thể cho tham số trước khi giải phương trình. Khi đó, chúng ta có thể xem phương trình là một phép tính với ẩn số mà chúng ta muốn tìm ra giá trị.
Phương trình thường chứa các số hạng khác với ẩn số. Các thuật ngữ khác này, được giả định là đã biết, thường được gọi là hằng số, hệ số hoặc tham số.
Một ví dụ về phương trình với ẩn số x, y và tham số R là:
x^{2}+y^{2}=R^{2}.
Khi R được chọn có giá trị là 2 (R = 2), phương trình này khi được phác thảo trong hệ tọa độ Descartes, là phương trình cho một đường tròn có bán kính là 2. Do đó, phương trình với R không xác định là phương trình tổng quát của đường tròn có bán kính R.
Thông thường, các ẩn số được ký hiệu bằng các chữ cái ở cuối bảng chữ cái: x, y, z, w,..., trong khi các hệ số (tham số) được ký hiệu bằng các chữ cái ở đầu bảng: a, b, c, d,... Ví dụ, phương trình bậc hai tổng quát thường được viết  ax^{2}+bx+c=0. Quá trình tìm nghiệm, hoặc trong trường hợp tham số, biểu diễn ẩn số dưới dạng tham số được gọi là giải phương trình. Biểu thức của nghiệm như vậy diễn đạt bằng các thông số còn được gọi là nghiệm số.
Hệ phương trình là một tập hợp các phương trình, thường có một số ẩn số, mà các nghiệm chung được tìm kiếm. Do đó, một nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các giá trị cho mỗi ẩn số, chúng cùng nhau tạo thành một nghiệm cho mỗi phương trình trong hệ thống. Ví dụ, hệ phương trình:
{\begin{aligned}{\begin{cases}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{cases}}\end{aligned}}
có nghiệm duy nhất  (x;y)=(1;1).
Giới thiệu > Phương trình vô số nghiệm

Phương trình vô số nghiệm là một phương trình đúng với tất cả các giá trị có thể có của (các) biến mà nó chứa. Trong quá trình giải một phương trình, một phương trình vô số nghiệm thường được sử dụng để đơn giản hóa một phương trình làm cho nó dễ giải hơn.
Trong đại số, một ví dụ về phương trình vô số nghiệm là hiệu của hai bình phương:
x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)
Phương trình này đúng với mọi x và y.
Lượng giác là một lĩnh vực tồn tại nhiều đồng nhất thức, chúng rất hữu ích trong việc vận dụng hoặc giải các phương trình lượng giác. Hai trong số nhiều đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosine là:
\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1     và      \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )
luôn đúng với mọi θ.
Ví dụ, để tìm giá trị của θ thỏa mãn phương trình:
3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,
trong đó θ được biết là giới hạn trong khoảng từ 0 đến 45 độ, chúng ta có thể sử dụng đồng nhất thức cho tích ở trên để tạo ra:
{\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,
cho kết quả
θ
=


1
2


arcsin
⁡

(


2
3


)

≈

20.9

∘


.


{\textstyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}
Vì hàm sin là một hàm tuần hoàn nên có vô số nghiệm nếu θ không có điều kiện. Trong ví dụ này, θ nằm trong khoảng từ 0 đến 45 độ nên phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.
Phương trình tương đương và phương trình hệ quả > Khái niệm

Phương trình tương đương là các phương trình mà khi giải cùng một cách, sẽ cho ra các nghiệm giống nhau. Điều này có nghĩa là nếu ta thay các giá trị của biến vào một phương trình tương đương, kết quả sẽ là như nhau.
Để chuyển đổi một phương trình thành phương trình tương đương, ta có thể áp dụng các phép biến đổi hợp lệ trên cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi giá trị nghiệm của nó. Các phép biến đổi phổ biến bao gồm cộng hoặc trừ cùng một số vào cả hai vế, nhân hoặc chia cả hai vế bởi cùng một số, sử dụng các quy tắc đổi dấu và bỏ qua các mục không cần thiết.
Ví dụ, hai phương trình sau đây là tương đương:
Phương trình 1:  2x+3=7
Phương trình 2:  2x=4
Bằng cách trừ 3 từ cả hai vế của Phương trình 1, ta nhận được Phương trình 2. Do đó, cả hai phương trình đều có cùng một nghiệm là x = 2.
Phương trình tương đương thường được sử dụng để đơn giản hóa hoặc thay đổi dạng của một phương trình mà không làm thay đổi nghiệm của nó, từ đó giúp trong việc giải phương trình hoặc phân tích bài toán liên quan.
Cho phương trình (1)  f(x)=g(x) có tập nghiệm là  S và phương trình (2)  f_{1}(x)=g_{1}(x) có tập nghiệm là  S_{1}.
Nếu   S=S_{1} thì 2 phương trình (1) và (2) là 2 phương trình tương đương.  Ta ký hiệu  f(x)=g(x)\Leftrightarrow f_{1}(x)=g_{1}(x).
Nếu   S\subset S_{1} thì phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1).  Ta ký hiệu  f(x)=g(x)\Rightarrow f_{1}(x)=g_{1}(x). Các nghiệm của phương trình (2) mà không là nghiệm của phương trình (1) được gọi là nghiệm ngoại lai.
Ví dụ, phương trình  x=1 có nghiệm  x=1. Nâng cả hai vế lên số mũ của 2 (có nghĩa là áp dụng hàm 



f
(
s
)
=

s

2




{\textstyle f(s)=s^{2}}

 về cả hai vế của phương trình) thay đổi phương trình thành  x^{2}=1, không chỉ có nghiệm trước đó mà còn tạo ra nghiệm ngoại lai là  x=-1.
Hơn nữa, nếu hàm không xác định tại một số giá trị (chẳng hạn như 1/x, không được xác định khi x = 0), các nghiệm tồn tại các giá trị đó có thể bị mất. Vì vậy, cần phải thận trọng khi áp dụng một phép biến đổi như vậy cho một phương trình.
Phương trình tương đương và phương trình hệ quả > Các phép biến đổi tương đương

Các phép toán sau đây biến một phương trình thành một phương trình tương đương - với điều kiện là các phép toán đó có ý nghĩa đối với các biểu thức mà chúng được áp dụng:
Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân và chia cùng một số khác 0 và không chứa điều kiện xác định.
Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi phạm điều kiện xác định.
Căn bậc n hoặc nâng lũy thừa bậc n nếu các biểu thức ở 2 vế cùng dấu và không vi phạm điều kiện xác định.
Các nghiệm phải thỏa mãn điều kiện xác định và làm 2 vế của phương trình bằng nhau.
Các phép biến đổi trên là cơ sở của hầu hết các phương pháp cơ bản để giải phương trình cũng như một số phương pháp ít cơ bản hơn, như phương pháp khử Gauss.
Đại số > Phương trình đa thức

Phương trình đa thức là một phương trình trong đó có ít nhất một biến và các hạng tử đa thức. Một đa thức là một biểu thức đại số có chứa các biến và các hệ số, và các phép toán như cộng, trừ, nhân và luỹ thừa.
Phương trình đa thức thường được biểu diễn dưới dạng đa thức bằng việc đặt biểu thức đa thức bằng 0. Mục tiêu khi giải phương trình đa thức là tìm các giá trị của biến mà khi thay vào phương trình, biểu thức trở thành phép tính đúng.
Ví dụ, phương trình đa thức sau đây là một phương trình đa thức bậc hai:
x^{2}-5x+6=0
Trong phương trình trên, x là biến, và các hệ số là 1, -5 và 6. Mục tiêu là tìm giá trị của x sao cho phương trình trở thành một phép tính đúng. Trong trường hợp này, các giá trị của x là 2 và 3, vì khi thay x = 2 hoặc x = 3 vào phương trình, ta có được phép tính đúng 0 = 0.
Phương trình đa thức được sử dụng rộng rãi trong toán học và các lĩnh vực liên quan như vật lý, kỹ thuật và kinh tế để mô hình hóa các tình huống phức tạp và giải quyết các vấn đề thực tế.
Nói chung, một phương trình đại số hoặc phương trình đa thức là một phương trình có dạng
P(x)=0      hoặc      P(x)=Q(x)
Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức với hệ số trong một tập hợp số nào đó (số thực, số phức, v.v...), và thường là tập hợp các số hữu tỉ. Một phương trình đại số là đơn biến nếu nó chỉ chứa một biến. Mặt khác, một phương trình đa thức có thể bao gồm một số biến, trong trường hợp đó nó được gọi là đa biến (nhiều biến, x, y, z,...). Thuật ngữ phương trình đa thức thường được ưu tiên hơn phương trình đại số.
Ví dụ,
x^{5}-3x+1=0
là một phương trình đại số (đa thức) đơn biến với các hệ số nguyên và
y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}
là một phương trình đa thức nhiều biến trên trường các số hữu tỉ.
Không phải tất cả các phương trình đa thức với hệ số hữu tỉ đều có nghiệm là biểu thức đại số với một số hữu hạn các phép toán chỉ liên quan đến các hệ số đó (nghĩa là nó có thể được giải bằng đại số).Phương pháp giải bằng đại số có thể được thực hiện cho tất cả các phương trình bậc một, hai, ba hoặc bốn; nhưng đối với bậc năm trở lên, nó có thể được giải cho một số phương trình, nhưng như định lý Abel-Ruffini chứng minh, không phải cho tất cả. Một lượng lớn nghiên cứu đã được dành để tính toán các giá trị gần đúng chính xác hiệu quả của các nghiệm thực hoặc nghiệm phức của một phương trình đại số đơn biến (xem phần Tìm nghiệm nguyên của đa thức) và các nghiệm chung của một số phương trình đa thức nhiều biến (xem Hệ phương trình đa thức).
Đại số > Hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính (hay hệ tuyến tính) là một tập hợp các phương trình tuyến tính liên quan đến cùng một tập các biến. Ví dụ:
{\begin{cases}{\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}\end{cases}}
Là một hệ ba phương trình theo ba biến x, y, z. Một nghiệm số cho một hệ thống tuyến tính là một phép gán các số cho các biến sao cho tất cả các phương trình được thỏa mãn đồng thời. Một nghiệm số cho hệ phương trình trên là
{\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}
vì nó làm cho cả ba phương trình cùng đúng. Từ "hệ" chỉ ra rằng các phương trình được xem xét chung, thay vì riêng lẻ.
Trong toán học, lý thuyết về hệ tuyến tính là cơ sở và là một phần cơ bản của đại số tuyến tính, một chủ đề được sử dụng trong hầu hết các phần của toán học hiện đại. Các thuật toán tính toán để tìm ra lời giải là một phần quan trọng của đại số tuyến tính và đóng một vai trò nổi bật trong vật lý, kỹ thuật, hóa học, khoa học máy tính và kinh tế. Một hệ phương trình tuyến tính thường có thể xấp xỉ bằng một hệ thống tuyến tính (xem tuyến tính hóa), một kỹ thuật hữu ích khi tạo mô hình toán học hoặc mô phỏng máy tính của một hệ thống tương đối phức tạp.
Hình học > Hình học giải tích

Trong hình học Euclid, có thể liên kết một tập hợp các tọa độ với mỗi điểm trong không gian, ví dụ bằng một lưới trực giao. Phương pháp này cho phép người ta mô tả các hình hình học bằng các phương trình. Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn dưới dạng tập nghiệm của một phương trình có dạng  ax+by+cz+d=0. Ở đây  a,b,c,d là các hệ số thực và  x,y,z là các ẩn số tương ứng với tọa độ của một điểm trong hệ được cho bởi lưới trực giao. Giá trị  a,b,c là tọa độ của một vectơ vuông góc với mặt phẳng được xác định bởi phương trình. Một đường được biểu thị là giao của hai mặt phẳng, đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính duy nhất với các giá trị trong  \mathbb {R} ^{2} hoặc dưới dạng tập nghiệm của hai phương trình tuyến tính với các giá trị trong  \mathbb {R} ^{3}.
Đường conic là tập hợp các giao điểm của một mặt nón có phương trình  x^{2}+y^{2}=z^{2} và một mặt phẳng. Nói cách khác, trong không gian, mọi hình nón được định nghĩa là tập nghiệm của phương trình mặt phẳng và phương trình của hình nón vừa cho. Chủ nghĩa hình thức này cho phép người ta xác định vị trí và thuộc tính của trọng tâm trong một đường conic.
Việc sử dụng các phương trình cho phép người ta sử dụng một lĩnh vực toán học rộng lớn để giải các câu hỏi hình học. Hệ tọa độ Descartes biến một bài toán hình học thành một bài toán phân tích, một khi các hình được biến đổi thành phương trình; do đó tên hình học giải tích. Quan điểm này do Descartes nêu ra đã làm phong phú và sửa đổi loại hình học được các nhà toán học Hy Lạp cổ đại hình thành.
Hiện nay, hình học giải tích chỉ định một nhánh hoạt động của toán học. Mặc dù nó vẫn sử dụng các phương trình để mô tả các số liệu, nó cũng sử dụng các kỹ thuật phức tạp khác như giải tích hàm và đại số tuyến tính.
Hình học > Phương trình Descartes

Một hệ tọa độ Descartes là một hệ tọa độ mà quy định cụ thể từng điểm duy nhất trong một mặt phẳng bởi một cặp số tọa độ, đó là những khoảng cách có dấu từ điểm đến hai trục cố định vuông góc với nhau, được đánh dấu bằng cách sử dụng cùng một vector đơn vị chiều dài.
Người ta có thể sử dụng cùng một nguyên tắc để xác định vị trí của bất kỳ điểm nào trong không gian ba chiều bằng cách sử dụng ba tọa độ Descartes, là những khoảng cách có dấu đến ba mặt phẳng vuông góc với nhau (hoặc tương đương, bằng phép chiếu vuông góc của nó lên ba đường vuông góc với nhau).
Việc phát minh ra hệ tọa độ vào thế kỷ XVII do René Descartes (tên Latinh: Cartesius) đã cách mạng hóa toán học bằng cách cung cấp mối liên hệ có hệ thống đầu tiên giữa hình học Euclid và đại số. Sử dụng hệ tọa độ Descartes, các hình dạng hình học (chẳng hạn như đường cong) có thể được mô tả bằng phương trình Descartes: phương trình đại số liên quan đến tọa độ của các điểm nằm trên hình dạng. Ví dụ, một đường tròn bán kính 2 trong một mặt phẳng, có tâm tại một điểm cụ thể được gọi là điểm gốc, có thể được mô tả là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ x và y thỏa mãn phương trình x2 + y2 = 4.
Hình học > Phương trình tham số

Phương trình tham số cho đường cong biểu thị tọa độ của các điểm trên đường cong dưới dạng hàm của một biến số, được gọi là tham số. Ví dụ,
{\begin{cases}{\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}\end{cases}}
Là phương trình tham số của đường tròn đơn vị, trong đó t là tham số. Cùng với nhau, những phương trình này được gọi là biểu diễn tham số của đường cong.
Khái niệm về phương trình tham số đã được tổng quát hóa cho các bề mặt, đa tạp và các dạng đại số có số chiều cao hơn, với số lượng tham số bằng thứ nguyên của đa tạp hoặc đa dạng, và số phương trình bằng thứ nguyên của không gian trong đó đa tạp hoặc đa dạng được xem xét (đối với đường cong, kích thước là một và một tham số được sử dụng, đối với bề mặt có kích thước hai và hai tham số, v.v...).