stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Chân trời sự kiện
Chân trời sự kiện của vũ trụ quan sát được

Bài chi tiết: Số phận của vũ trụ
Chân trời phần tử của vũ trụ quan sát được là biên giới thể hiện khoảng cách xa nhất tại đó các sự kiện có thể được quan sát hiện tại. Với những sự kiện ở bên ngoài khoảng cách đó, ánh sáng không có đủ thời gian để tới được chỗ chúng ta, thậm chí nếu ánh sáng đã được phát ra từ khi vũ trụ bắt đầu. Chân trời phần tử thay đổi thế nào phụ thuộc vào trạng thái của sự mở rộng của vũ trụ. Nếu sự mở rộng có một số đặc tính, có những phần của vũ trụ sẽ không bao giờ quan sát được, dù người quan sát có phải đợi bao lâu chăng nữa để chờ ánh sáng phát ra từ các vùng đó tới nơi. Phần biên giới mà các sự kiện không bao giờ có thể được quan sát là một chân trời sự kiện, và nó thể hiện tầm mức lớn nhất của chân trời phần tử.
Các tiêu chí để xác định liệu một chân trời sự kiện của vũ trụ có tồn tại không như sau. Xác định một comoving distance  d_{E} bởi
Ở phương trình này, a là scale factor, c là tốc độ ánh sáng, và t0 là tuổi của vũ trụ. Nếu  d_{E}\rightarrow \infty , (ví dụ các điểm được cho là xa ở mức tối đa chúng ta có thể quan sát được), thì không có chân trời sự kiện. Nếu  d_{E}\neq \infty , có chân trời sự kiện.
Các ví dụ về các mô hình vũ trụ không có một chân trời sự kiện là các vụ trụ bị chi phối bởi vật chất hay bởi bức xạ. Một ví dụ về một mô hình vũ trụ với một chân trời sự kiện là một vũ trụ bị chi phối bởi hằng số vũ trụ (một de Sitter universe).
Oxalis linearis

| Oxalis linearis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Oxalidales
Họ (familia): Oxalidaceae
Chi (genus): Oxalis
Loài (species): O. linearis
Danh pháp hai phần
Oxalis linearis Jacq. 
Oxalis linearis là một loài thực vật có hoa trong họ Chua me đất. Loài này được Jacq. mô tả khoa học đầu tiên năm 1794.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Oxalis linearis”. Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2013.
Chuyến thăm Ukraina của Joe Biden 2023

| --- | --- |
Tổng thống Hoa Kỳ Joe Biden và Tổng thống Ukraina Vladimir Zelensky trước Tu viện Mái vòm Vàng của Thánh Michael ở Kyiv
Thời điểm: 20 tháng 2 năm 2023 (2023-02-20)
Địa điểm: Kyiv, Ukraina
Vào ngày 20 tháng 2 năm 2023, tổng thống Hoa Kỳ Joe Biden đã có chuyến thăm đến Kyiv, thủ đô của Ukraina. Đây là chuyến thăm đầu tiên của ông kể từ khi Nga xâm lược Ukraina vào năm 2022. Đồng thời, đây cũng là chuyến thăm đầu tiên của đương kiêm Tổng thống Hoa Kỳ đặt chân lên lãnh thổ của Ukraina kể từ khi Tổng thống Mỹ George W. Bush đến thăm đất nước này vào tháng 4 năm 2008 và là lần đầu tiên trong lịch sử hiện đại, một Tổng thống Hoa Kỳ đến thăm vùng chiến sự không do quân đội Hoa Kỳ kiểm soát kể từ khi Abraham Lincoln đến khảo sát tiền tuyến của cuộc nội chiến Hoa Kỳ. Cuộc gặp giữa hai nguyên thủ quốc gia kéo dài khoảng 5 giờ đồng hồ.
Bối cảnh

Ngày 24 tháng 2 năm 2022, Nga đã bắt đầu cuộc xâm lược Ukraina và làm leo thang tình hình chiến tranh giữa Nga và Ukraina. Hoa Kỳ là một trong các quốc gia ủng hộ lớn nhất cho Ukraina trong suốt cuộc chiến khi cung cấp hơn 27 tỷ đô la Mỹ viện trợ cho đất nước này kể từ khi cuộc xâm lược bắt đầu. Kể từ lúc đó, chính quyền Joe Biden đã cố gắng né tránh về các chuyến thăm có thể xảy ra của tổng thống Hoa Kỳ tới Ukraina trong khi đang bị chiến tranh tàn phá. Trong chuyến thăm của Biden tới Ba Lan vào cuối tháng 3 năm 2022, Nhà Trắng tuyên bố sẽ không xem xét đến khả năng thăm một quốc gia châu Âu đang có chiến sự và áp dụng các biện pháp an ninh chưa từng có. Đồng thời, chính Joe Biden đã nói trong một cuộc phỏng vấn với CNN vào tháng 4 năm 2022 về việc không loại trừ khả năng đến thăm Ukraina.
Chuyến thăm Ukraina

Vào ngày 19 tháng 2 năm 2023, ông Biden đã rời Nhà Trắng, đến Căn cứ chung Andrews để đáp chuyến bay đến Rzeszów, Ba Lan đi ngang Đức trên chiếc Boeing C-32 A có biển hiệu "SAM060". Khi đến Rzeszów, ông được di chuyển chuyển bằng ô tô đến Przemyśl và sau đó lên tàu đến Kyiv, phương thức mà nhiều nhà lãnh đạo thế giới đã đến thăm Kyiv kể từ khi bắt đầu cuộc xâm lược. Chính phủ Nga đã được thông báo trước chuyến thăm của Biden. Trong thời gian Biden ở Kyiv, ông được chở bằng một chiếc limousine màu đen chứ không phải xe bọc thép thông thường của tổng thống.
Trong chuyến thăm của mình, Biden đã gặp Volodymyr Zelenskyy, Tổng thống Ukraina, và Olena Zelenska, Đệ nhất phu nhân Ukrainea. Nhà Trắng đã đưa ra tuyên bố chuyến thăm tới một vùng chiến sự đang diễn ra là hoạt động chưa từng có vì Hoa Kỳ không có sự hiện diện quân sự ở Ukraina cũng như không có dấu ấn ngoại giao quan trọng ở Kyiv. Theo đài Australian Broadcasting Corporation, chuyến thăm này là "chuyến thăm đầu tiên trong lịch sử hiện đại bởi một nhà lãnh đạo Hoa Kỳ đến thăm một vùng chiến sự bên ngoài lá chắn của quân đội Hoa Kỳ".
Chuyến thăm Ukraina > Họp báo giữa hai nguyên thủ

Joe Biden, Tổng thống Hoa Kỳ, đã tổ chức một cuộc họp báo chung với Zelenskyy tại Cung điện Mariinskyi.
Ông cho rằng "Sau một năm, Kyiv đứng vững. Và Ukraina đứng vững. Nền dân chủ đứng vững. Người Mỹ sẽ sát cánh cùng các bạn và thế giới sát cánh cùng các bạn".
Chuyến thăm Ukraina > Viện trợ quân sự

Hoa Kỳ đã công bố gói viện trợ quân sự bổ sung cho Ukraina với trị giá 500 triệu đô la Mỹ, bao gồm cả đạn dược cho hệ thống phóng tên lửa HIMARS.
Phản ứng

Luke Harding của tờ báo The Guardian đã gọi chuyến thăm "được cho là quan trọng nhất mà bất kỳ tổng thống Mỹ nào thực hiện tới một quốc gia Châu Âu kể từ khi kết thúc chiến tranh Lạnh". Các Dân biểu Đảng Cộng hòa Hoa Kỳ bao gồm Andy Ogles, Marjorie Taylor Greene và Matt Gaetz đã đăng tải những lời chỉ trích của họ trên Twitter, trong khi các Đảng viên Đảng Dân chủ lại ca ngợi sự lãnh đạo của Biden và sự ủng hộ đối với Ukraina.
Hình ảnh

Chuyến thăm Ukraine của Joe Biden 2023
Biden gặp gỡ Zelenskyy
Zelenskyy tiếp Biden tại Kyiv
Biden và Zelenskyy tại Kyiv
Joe Biden đến thăm Bức tường tưởng niệm những người lính Ukraine đã ngã xuống trong Chiến tranh Nga-Ukraine.
Tổng thống Biden và Tổng thống Zelenskyy gặp mặt nhau vào ngày 20 tháng 2 năm 2023.
Bidens chodatii

| Bidens chodatii> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Asterales
Họ (familia): Asteraceae
Chi (genus): Bidens
Loài (species): B. chodatii
Danh pháp hai phần
Bidens chodatii Hassl., 1913 
Bidens chodatii là một loài thực vật có hoa trong họ Cúc. Loài này được Hassl. mô tả khoa học đầu tiên năm 1913.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Bidens chodatii”. Truy cập ngày 4 tháng 6 năm 2013.
Ischalea spinipes

| Ischalea spinipes> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Phân ngành (subphylum): Chelicerata
(không phân hạng): Arachnomorpha
Lớp (class): Arachnida
Bộ (ordo): Araneae
Họ (familia): Stiphidiidae
Chi (genus): Ischalea
Loài (species): I. spinipes
Danh pháp hai phần
Ischalea spinipes L. Koch, 1872 
Ischalea spinipes là một loài nhện trong họ Stiphidiidae.
Loài này thuộc chi Ischalea. Ischalea spinipes được Ludwig Carl Christian Koch miêu tả năm 1872.
Chú thích

↑  Platnick, Norman I. (2010): The world spider catalog, version 10.5. American Museum of Natural History.
Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong toán học, một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là  R[[X]].
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức > Cấu trúc vành

Một phần tử của  R[[X]] có thể được coi như một phần tử của  R^{\mathbb {N} }. Ta định nghĩa phép cộng
và phép nhân
Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này,  R^{\mathbb {N} } trở thành một vành giao hoán với phần tử không  (0,0,0,\ldots ) và đơn vị  (1,0,0,\ldots ).
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức > Cấu trúc tô pô

Theo qui ước
một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên  R^{\mathbb {N} }. Có nhiều định nghĩa tương đương.
Chúng ta có thể gán cho  R^{\mathbb {N} } tô pô tích, với mỗi bản sao của  R mang tô pô rời rạc.
Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt  (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} }, được định nghĩa là
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức > Ví dụ

Lưu ý rằng trong  \mathbb {R} [[X]] giới hạn
không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới
Các phép toán khác > Lũy thừa

Với một số tự nhiên n ta có
trong đó
Các phép toán khác > Nghịch đảo

Chuỗi
là khả nghịch trong  R[[X]] hệ số hằng  a_{0} là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo  B có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh
Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong  R[[X]]:
Các phép toán khác > Hợp

Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức
ta có thể định nghĩa phép hợp
với
Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k,j) với  k\in \mathbb {N}  và  j\in \mathbb {N} _{+}^{k} sao cho  |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.
Các phép toán khác > Đạo hàm hình thức

Cho một chuỗi lũy thừa hình thức
ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi
Tính chất > Tính chất tô pô

Không gian metric  (R[[X]],d) là hoàn chỉnh
Vành  R[[X]] là compact khi và chỉ khi R là hữu hạn.
Pleurothallis grandiflora

| Pleurothallis grandiflora> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Monocots
Bộ (ordo): Asparagales
Họ (familia): Orchidaceae
Chi (genus): Pleurothallis
Loài (species): P. grandiflora
Danh pháp hai phần
Pleurothallis grandiflora Lindl. 
Pleurothallis grandiflora là một loài thực vật có hoa trong họ Lan. Loài này được Lindl. miêu tả khoa học đầu tiên năm 1835.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Pleurothallis grandiflora”. Truy cập ngày 7 tháng 6 năm 2013.
Oxalis luteola

| Oxalis luteola |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Oxalidales
Họ (familia): Oxalidaceae
Chi (genus): Oxalis
Loài (species): O. luteola
Danh pháp hai phần
Oxalis luteola Jacq. 
Danh pháp đồng nghĩa
 Oxalis balsamifera E. Mey. ex Sond.
Oxalis luteola là một loài thực vật có hoa trong họ Chua me đất. Loài này được Jacq. mô tả khoa học đầu tiên năm 1794.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Oxalis luteola”. Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2013.
Otar Javashvili

| Thông tin cá nhân |
| --- | --- | --- | --- |
Ngày sinh:  17 tháng 8, 1993 (31 tuổi)
Nơi sinh:  Tbilisi, Gruzia
Chiều cao:  1,81 m (5 ft 11+1⁄2 in)
Vị trí:  Hậu vệ
Thông tin đội
Đội hiện nay:  Gomel
Số áo:  19
Sự nghiệp cầu thủ trẻ
Năm:  Đội
2011–2012:  WIT Georgia
Sự nghiệp cầu thủ chuyên nghiệp*
| Năm |  Đội |  ST |  (BT) |
| 2011–2013 |  WIT Georgia |  34 |  (2) |
| 2014 |  Zugdidi |  24 |  (1) |
| 2015 |  Arka II Gdynia |  4 |  (0) |
| 2015–2016 |  Zugdidi |  23 |  (0) |
| 2017 |  Slavia Mozyr |  24 |  (2) |
| 2018– |  Gomel |   |   |
 *Số trận ra sân và số bàn thắng ở câu lạc bộ tại giải quốc gia, chính xác tính đến 26 tháng 12 năm 2017
Otar Javashvili (tiếng Gruzia: ოთარ ჯავაშვილი; sinh ở Tbilisi ngày 17 tháng 8 năm 1993) là một cầu thủ bóng đá Gruzia. Tính đến năm 2018, anh thi đấu cho Gomel.
Kamov V-50

Mô hình Kamov V-50
Hình vẽ mô hình ban đầu của Kamov V-50
V-50 là một đề án trực thăng vận tải vũ trang của hãng Kamov, V-50 có thể đạt vận tốc tới 400 km/h. Đề án đã bị hủy bỏ vào cuối thập niên 1960 và chỉ có 2 mô hình khác nhau được chế tạo.
Cienfuegosia sulfurea

| Cienfuegosia sulfurea> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Malvales
Họ (familia): Malvaceae
Chi (genus): Cienfuegosia
Loài (species): C. sulfurea
Danh pháp hai phần
Cienfuegosia sulfurea (A.St.Hil.) Garcke, 1860 
Cienfuegosia sulfurea là một loài thực vật có hoa trong họ Cẩm quỳ. Loài này được (A.St.Hil.) Garcke mô tả khoa học đầu tiên năm 1860.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cienfuegosia sulfurea”. Truy cập ngày 4 tháng 6 năm 2013.
Bidens cervicata

| Bidens cervicata> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Asterales
Họ (familia): Asteraceae
Chi (genus): Bidens
Loài (species): B. cervicata
Danh pháp hai phần
Bidens cervicata Sherff, 1920 
Bidens cervicata là một loài thực vật có hoa trong họ Cúc. Loài này được Sherff mô tả khoa học đầu tiên năm 1920.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Bidens cervicata”. Truy cập ngày 4 tháng 6 năm 2013.
Pitnus robustus

| Pitnus robustus> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Coleoptera
Họ (familia): Ptinidae
Chi (genus): Pitnus
Loài (species): P. robustus
Danh pháp hai phần
Pitnus robustus Bellés, 1992 
Pitnus robustus là một loài bọ cánh cứng trong họ Ptinidae. Loài này được Bellés miêu tả khoa học năm 1992.
Chú thích

↑  Hallan, J.  (2010) Synopsis of the described Coleoptera of the World 6 juni 2010
Cienfuegosia subprostrata

| Cienfuegosia subprostrata> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Rosids
Bộ (ordo): Malvales
Họ (familia): Malvaceae
Chi (genus): Cienfuegosia
Loài (species): C. subprostrata
Danh pháp hai phần
Cienfuegosia subprostrata Hochr., 1902 
Cienfuegosia subprostrata là một loài thực vật có hoa trong họ Cẩm quỳ. Loài này được Hochr. mô tả khoa học đầu tiên năm 1902.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Cienfuegosia subprostrata”. Truy cập ngày 4 tháng 6 năm 2013.
Oxycnemis yuma

| Oxycnemis yuma |
| --- | --- |

Phân loại khoa học
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Noctuidae
Chi (genus): Oxycnemis
Loài (species): O. yuma
Danh pháp hai phần
Oxycnemis yuma Smith, 1907 
Oxycnemis yuma là một loài bướm đêm trong họ Noctuidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 28 tháng 6 năm 2014.
↑  Beccaloni, G. W., Scoble, M. J., Robinson, G. S. & Pitkin, B. (Editors). (2003) The Global Lepidoptera Names Index (LepIndex). (Geraadpleegd maart 2013).
Ingrid de Kok

Ingrid de Kok aka Ingrid Fiske (sinh năm 1951) là một tác giả và nhà thơ người Nam Phi.
Tiểu sử

Ingrid de Kok lớn lên ở Stilfontein, một thị trấn khai thác vàng ở miền Tây thời đó là Transvaal. Khi cô 12 tuổi, cha mẹ cô chuyển đến Johannesburg. Năm 1977, cô di cư đến Canada, nơi cô sống cho đến khi trở về Nam Phi vào năm 1984. Ingrid de Kok có một đứa con, trai. Đối tác của cô là Tony Morphet.
Ingrid de Kok là thành viên của Đại học Cape Town, Phó giáo sư về Nghiên cứu ngoài tranh tường, và là thành viên của một nhóm gồm hai người thiết kế và điều hành chương trình giáo dục phi chính quy tạo thành Chương trình ngoài tranh tường tại Đại học Cape Town. Ingrid de Kok cũng đã thiết kế và phối hợp các chương trình văn hóa và hội thảo quốc gia, như một chương trình về Công nghệ và Tái thiết và Chính sách cơ hội bình đẳng, và tại Đường đứt gãy: Truy vấn văn hóa vào sự thật và hòa giải. Ingrid de Kok điều hành nhiều chương trình xây dựng năng lực, các chương trình công dân và công đoàn, và luân phiên trong vai trò Giám đốc.
Ingrid de Kok đã đóng vai trò là nhà tư vấn cho các khóa học hoặc sự kiện giáo dục dành cho người lớn khác nhau, bao gồm hội thảo của các nhà văn, diễn đàn văn hóa và Đại học Tây Bắc và các chương trình Du học của Đại học Chicago. Cô cũng đã phối hợp các trường học và các chương trình công cộng dành cho sự phát triển của văn hóa đọc. Ingrid de Kok là thành viên của PEN, Nam Phi và là Ủy viên của Dự án xuất bản của Hội. Cô là thành viên của ủy ban Liên hoan nghệ thuật quốc gia ở Grahamstown, Nam Phi, chịu trách nhiệm triệu tập Trường học mùa đông từ năm 2000 đến năm 2005, và hiện đang trong Ủy ban cố vấn văn học của Hội đồng nghệ thuật quốc gia. Bà là Chủ tịch Hiệp hội Nghiên cứu Canada Nam Phi.
Idiodes andravahana

| Idiodes andravahana> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Idiodes
Loài (species): I. andravahana
Danh pháp hai phần
Idiodes andravahana Viette 1968 
Idiodes andravahana là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 17 tháng 6 năm 2014.
Bidens chippii

| Bidens chippii> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
Bộ (ordo): Asterales
Họ (familia): Asteraceae
Chi (genus): Bidens
Loài (species): B. chippii
Danh pháp hai phần
Bidens chippii (M.B.Moss) Mesfin, 1984 
Bidens chippii là một loài thực vật có hoa trong họ Cúc. Loài này được (M.B.Moss) Mesfin mô tả khoa học đầu tiên năm 1984.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Bidens chippii”. Truy cập ngày 4 tháng 6 năm 2013.
Hệ tọa độ cực

Các điểm trong hệ tọa độ cực với gốc cực O và trục cực L. Điểm màu xanh lá có bán kính là 3 và góc phương vị là 60°, tọa độ là (3, 60°). Điểm màu xanh dương có tọa độ là (4, 210°).
Trong toán học, hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm bất kỳ trên một mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc và góc từ hướng gốc cho trước. Điểm gốc đó (tương tự với gốc tọa độ trong hệ tọa độ Descartes) được gọi là gốc cực và tia vẽ từ gốc theo hướng gốc đã cho được gọi là trục cực. Khoảng cách từ điểm gốc được gọi là bán kính và góc đó được gọi là góc phương vị. Bán kính được ký hiệu là r hoặc ρ, còn góc phương vị được ký hiệu là φ, θ, hoặc t. Góc trong hệ tọa độ cực có thể được biểu diễn theo độ hoặc radian (2π rad bằng 360°).
Grégoire de Saint-Vincent và Bonaventura Cavalieri đưa ra các khái niệm trên một cách độc lập vào giữa thế kỷ 17, mặc dù thuật ngữ hệ tọa độ cực được cho là do Gregorio Fontana tìm ra vào thế kỷ 18. Sự ra đời của hệ tọa độ cực chủ yếu đến từ nghiên cứu chuyển động tròn và chuyển động theo quỹ đạo.
Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp mà trong đó quan hệ giữa hai điểm dễ được viết dưới dạng góc và khoảng cách, chẳng hạn như các đường xoắn ốc. Có thể dễ dàng xây dựng một mô hình hệ vật lý phẳng gồm các chất điểm chuyển động quanh một điểm cố định thông qua hệ tọa độ cực.
Hệ tọa độ cực được mở rộng sang không gian ba chiều qua các hệ tọa độ trụ và cầu.
Lịch sử

Khái niệm góc và bán kính đã được người xưa sử dụng từ thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên. Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) đã lập một bảng hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung cho mỗi góc. Có tài liệu cho rằng ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà. Trong cuốn On Spirals (Bàn về tuyến xoắn), Archimedes đã mô tả xoắn ốc Archimedean, một hàm mà bán kính của nó phụ thuộc vào góc. Tuy nhiên, công trình của nhà khoa học Hy Lạp lại không mở rộng ra một hệ tọa độ đầy đủ.
Từ thế kỷ 8 trở về sau, các nhà thiên văn đã phát triển các phương pháp cho việc xấp xỉ và tính toán phương hướng và khoảng cách từ bất kỳ vị trí nào trên Trái Đất đến Thánh địa Mecca (qibla). Sau thế kỷ 9, họ đã sử dụng lượng giác hình cầu và các phép chiếu bản đồ để tính toán những con số này một cách chính xác. Việc tính toán về cơ bản là chuyển tọa độ cực xích đạo của Mecca thành tọa độ cực của chính Thánh địa đó so với một hệ thống có kinh tuyến tham chiếu là vòng tròn lớn qua các vị trí nhất định và các cực của Trái Đất, và có trục cực là đường thẳng qua các vị trí này và điểm đối cực của nó.
Có nhiều lý giải khác nhau của lời giới thiệu tọa độ cực như là một phần của một hệ tọa độ chính quy. Lịch sử đầy đủ của chủ đề này đã được mô tả trong Origin of Polar Coordinates của giáo sư Harvard Julian Lowell Coolidge. Grégoire de Saint-Vincent và Bonaventura Cavalieri giới thiệu các khái niệm vào giữa thế kỷ 17. Saint-Vincent đã viết chúng một cách riêng tư năm 1625 và xuất bản vào năm 1647, trong khi Cavalieri xuất bản công trình của ông vào năm 1635 và một phiên bản hiệu đính trong năm 1653. Lúc đầu Cavalieri sử dụng tọa độ cực để giải quyết một bài toán liên quan đến diện tích của xoắn ốc Archimedean. Sau đó Blaise Pascal sử dụng hệ tọa độ cực để tính độ dài của vòng cung parabol.
Trong cuốn Method of Fluxions (viết năm 1671, xuất bản năm 1736), Isaac Newton đã khảo sát sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ cực, mà ông gọi là "Phương pháp Thứ bảy; Dành cho xoắn ốc", và chín hệ toạ độ khác. Trong tạp chí Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli đã sử dụng một hệ gồm một điểm nằm trên một đường thẳng, gọi là cực và trục cực tương ứng. Các tọa độ được xác định bằng khoảng cách từ cực và góc từ trục cực. Công trình của Bernoulli đã mở rộng cách tìm bán kính cong của các đường cong biểu diễn qua những tọa độ này.
Thực tế thuật ngữ tọa độ cực được công nhận do Gregorio Fontana đưa ra và được sử dụng bởi các nhà văn Ý thế kỷ 18. Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh tại bản dịch Differential and Integral Calculus của Lacroix do George Peacock dịch năm 1816. Alexis Clairaut là người đầu tiên suy nghĩ về tọa độ cực trong không gian ba chiều, và Leonhard Euler là người đầu tiên thực sự phát triển các ý tưởng đó.
Quy ước

Toạ độ bán kính thường được ký hiệu là r hoặc ρ, còn toạ độ góc là φ, θ, hoặc t. Toạ độ góc được quy định là φ theo tiêu chuẩn ISO 31-11. Tuy nhiên, trong một số tài liệu toán học góc được ký hiệu là θ thay vì φ.
Các góc trong ký hiệu cực thường được biểu diễn bằng một trong hai đơn vị đo độ là độ hoặc radian (2π rad bằng 360°). Thông thường độ được sử dụng trong định hướng, khảo sát xây dựng và nhiều lĩnh vực khác, trong khi radian phổ biến hơn trong toán học và vật lý toán học.
Góc φ được xác định là bắt đầu tại 0° từ hướng gốc và tăng dần khi quay ngược chiều hoặc cùng chiều kim đồng hồ. Trong toán học, hướng gốc là tia vẽ từ điểm gốc qua bên phải, và góc cực tăng lên giá trị dương khi quay ngược chiều kim đồng hồ, trong khi trong định hướng trục 0° được vẽ hướng lên và góc cực tăng dần khi quay cùng chiều kim đồng hồ. Khi quay ngược lại với chiều tương ứng thì góc cực giảm xuống giá trị âm.
Quy ước > Tính duy nhất của tọa độ cực

Thêm một vòng quay (360°) vào toạ độ góc không làm thay đổi phương hướng của góc ban đầu. Tương tự, một toạ độ bán kính âm nên được hiểu là khoảng cách dương tương ứng đo theo chiều ngược lại (thêm vào góc cực 180°). Do đó, một điểm có thể được biểu diễn bằng vô số các tọa độ cực khác nhau có dạng (r, φ + n × 360°) và (−r, φ + 180° + n × 360°) = (−r, φ + (2n + 1) × 180°), trong đó n là số nguyên bất kỳ. Hơn nữa, bản thân cực có thể được biểu diễn thành (0, φ) với mọi góc φ.
Trong trường hợp cần một biểu diễn duy nhất đối với mọi điểm ngoài góc cực, cần giới hạn r là các số không âm (r > 0) và φ nằm trong khoảng [0, 360°) hoặc (−180°, 180°] (trong đơn vị radian là [0, 2π) hoặc (−π, π]). Một quy ước khác dựa trên tập hợp đích của hàm arctan, cho phép giá trị của bán kính là một số thực khác không và giới hạn góc cực trong khoảng (−90°, 90°]. Trong mọi trường hợp, cần phải chọn một góc phương vị riêng cho cực, ví dụ, φ = 0.