Toán học và nghệ thuật
Mối quan hệ phức tạp > Từ toán học đến nghệ thuật

Xem thêm: Chủ nghĩa tiền lập thể và M. C. Escher
Tác phẩm La Science et l'Hypothèse (Khoa học và giả thuyết) của nhà toán học và vật lý lý thuyết Henri Poincaré đã được nhiều người theo chủ nghĩa lập thể đón nhận, bao gồm cả Pablo Picasso và Jean Metzinger. Poincaré đã không lạ gì với công trình hình học phi Euclid của Bernhard Riemann nên ông nhận thức rõ rằng hình học Euclid chỉ là một trong nhiều hệ thống hình học khả dĩ chứ không phải là chân lý khách quan tuyệt đối. Sự tồn tại có thể có của chiều không gian thứ 4 truyền cảm hứng cho các nghệ sĩ đặt câu hỏi về phối cảnh cổ điển thời Phục Hưng: hình học phi Euclid đã trở thành một sự lựa chọn hợp lý, có cơ sở. Có một khái niệm cho rằng hội họa có thể được thể hiện bằng toán học, bằng màu sắc, và hình thức và góp phần hình thành nên chủ nghĩa lập thể, phong trào nghệ thuật dẫn đến sự ra đời của nghệ thuật trừu tượng. Năm 1910, Metzinger viết rằng: "[Picasso] đưa ra một góc nhìn tự do, linh động để từ đó, nhà toán học Maurice Princet luận ra toàn bộ hình học". Sau này, Metzinger cũng viết trong hồi ký:
Maurice Princet thường xuyên nhập hội với chúng tôi... với tư cách là một nghệ sĩ, ông đã khái niệm hóa toán học, với tư cách là một nhà thẩm mỹ học, ông liên tục mở ra n-chiều không gian. Ông muốn nghệ sĩ quan tâm đến cái nhìn mới về không gian do Schlegel và một số người khác mở ra. Ông đã thành công ở điều đó.
—Jean Metzinger,
Man Ray đã chụp ảnh một số mô hình toán học, bao gồm cả Objet mathematique (Vật thể toán học) ở viện nghiên cứu toán học Institut Henri Poincaré thuộc Paris. Ông lưu ý rằng vật thể này là điển hình cho bề mặt Enneper có độ cong âm không đổi, bắt nguồn từ giả hình cầu. Nền tảng toán học này có tầm quan trọng với ông, vì nó cho phép ông phủ định rằng vật thể đó là trừu tượng để thay vào đó khẳng định nó là thật giống như chiếc bồn tiểu mà Duchamp sáng tạo thành tác phẩm nghệ thuật. Man Ray thừa nhận rằng công thức [bề mặt Enneper] của vật thể "chẳng có ý nghĩa gì với tôi, nhưng bản thân các dạng công thức này rất đa dạng và chân thực như bất kỳ dạng công thức nào trong tự nhiên." Phóng viên nghệ thuật Jonathan Keats viết trên tờ ForbesLife rằng Man Ray đã chụp ảnh "các paraboloid hình elip và điểm conic một cách nhẹ nhàng gợi cảm như những bức ảnh về [nữ người mẫu] Kiki de Montparnasse mà ông chụp", và "khéo léo sử dụng lại các phép tính toán học có vẻ ngầu để bộc lộ cấu trúc liên kết của dục vọng". Những nhà điêu khắc thế kỷ 20 như Henry Moore, Barbara Hepworth và Naum Gabo đều lấy cảm hứng từ mô hình toán học. Năm 1938, Moore viết trong Stringed Mother and Child rằng: "Không nghi ngờ gì nữa, nguồn cảm hứng cho bức tượng bện dây của tôi là đến từ Bảo tàng Khoa học... Mô hình toán học mà tôi thấy ở đó đã thực sự cuốn hút tôi... Đó không phải là nghiên cứu khoa học về những mô hình mà là khả năng nhìn qua những sợi dây như nhìn qua lồng chim và nhìn thấy hình dạng này bên trong hình dạng khác khiến tôi phấn khích."
Nghệ sĩ Theo van Doesburg và Piet Mondrian là hai người sáng lập nên phong trào De Stijl. Họ muốn "xây dựng nên một bảng từ vựng trực quan bao gồm các dạng hình học cơ bản mà tất cả mọi người đều có thể hiểu và có thể tương thích với bất kỳ môn học nào". Có thể thấy rõ những hình vuông và tam giác, đôi khi là hình tròn được sắp xếp theo nguyên tắc trong tác phẩm của họ. Nghệ sĩ De Stijl hoạt động trong lĩnh vực hội họa, đồ nội thất, thiết kế nội thất và kiến trúc. Sau khi De Stijl tan rã, Van Doesburg thành lập phong trào Art Concret. Ông mô tả tác phẩm Arithmetic Composition (1929–1930) thể hiện một dãy gồm bốn hình vuông màu đen, trên đường chéo của một nền được đóng khung là "một cấu trúc có thể mang tính sắp đặt trước, một mặt phẳng rõ ràng không có yếu tố ngẫu nhiên hay cá biệt", nhưng "không vì thế mà mất đi cái hồn, không vì thế mà thiếu đi tính phổ quát và không vì thế mà... trống rỗng vì tất cả mọi thứ đều hòa vào nhịp đập của nội tại". Nhà phê bình nghệ thuật Gladys Fabre nhận thấy rằng có hai sự tiến triển trong bức tranh, đó là những hình vuông màu đen to dần lên và những hình nền xen kẽ.
Toán học về tessellation, khối đa diện, tạo hình không gian và phép tự tham chiếu đã cung cấp cho nghệ sĩ đồ họa M. C. Escher (1898-1972) những tư liệu để đời trong việc tạo ra những bức tranh khắc gỗ. Trong tác phẩm Alhambra Sketch, Escher chỉ ra rằng nghệ thuật có thể được tạo nên từ những hình đa giác hoặc hình thông thường như hình tam giác, hình vuông và hình lục giác. Escher sử dụng các đa giác không đều khi ốp mặt phẳng và thường sử dụng phép phản chiếu, phép phản chiếu đối xứng và phép tịnh tiến để thu được thêm những mẫu hình khác. Nhiều tác phẩm của ông chứa đựng cả những cấu trúc bất khả thi. Chúng được thực hiện bằng cách sử dụng những vật thể hình học mà tạo ra sự mâu thuẫn giữa phép chiếu phối cảnh và ba chiều, nhưng lại dễ chịu đối với thị giác con người. Tác phẩm Ascending and Descending của Escher chịu ảnh hưởng từ "cầu thang bộ bất khả thi" do nhà khoa học y tế Lionel Penrose cùng với nhà toán học Roger Penrose tạo ra.
Một vài bức vẽ tessellation của Escher lấy cảm hứng từ cuộc trò chuyện với nhà toán học H. S. M. Coxeter về hình học hyperbol. Escher đặc biệt quan tâm đến năm khối đa diện đặc trưng, xuất hiện nhiều lần trong tác phẩm của ông. Các khối đa diện đều Platon bao gồm tứ diện, lập phương, bát diện, thập nhị diện, và nhị thập diện đều đáng chú ý trong hai tác phẩm Order and Chaos và Four Regular Solids. Những hình sao này thường bọc trong một hình khác, khiến cho góc nhìn và hình dáng của khối đa diện bị bóp méo dẫn tới sự hình thành tác phẩm nghệ thuật xếp tầng tầng lớp lớp.
Sự phức tạp về mặt hình ảnh của cấu trúc toán học như tessellation và khối đa diện đã truyền cảm hứng cho nhiều tác phẩm nghệ thuật toán học khác nhau. Stewart Coffin làm đồ chơi xếp hình đa diện bằng gỗ đẹp và hiếm; George W. Hart nghiên cứu lý thuyết về khối đa diện và điêu khắc nên những vật thể dựa trên lý thuyết đó; Magnus Wenninger tạo ra các mô hình "đặc biệt đẹp" của khối đa diện hình sao phức tạp.
Toán học tô pô đã truyền cảm hứng cho một số nghệ sĩ thời hiện đại. Nhà điêu khắc John Robinson (1935–2007) đã tạo ra các tác phẩm như Nút thắt Gordianvà Bands of Friendship, thể hiện lý thuyết nút thắt thông qua khối đồng được đánh bóng. Những tác phẩm khác của Robinson có sự nghiên cứu về tô pô của hình xuyến. Genesis được tạo ra dựa trên lý thuyết về một tập hợp gồm 3 vòng tròn gọi là vòng Borromean, không có 2 vòng nào trong tập hợp liên kết với nhau nhưng toàn bộ cấu trúc của nó không thể nào tách rời trừ khi đập vỡ ra. Nghệ sĩ Nelson Saiers đã kết hợp các các khái niệm và định lý toán học vào trong nghệ thuật của mình từ những tô pô và định lý bốn màu cho đến tính vô tỷ của số π.
Không gian bốn chiều áp dụng vào lập thể, theo Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions (Luận cơ bản về hình học bốn chiều) của Esprit Jouffret.
De Stijl: Tác phẩm Composition I (1916) của Theo van Doesburg.
Phương pháp giáo dục áp dụng nghệ thuật: Magnus Wenninger và một số khối đa diện hình sao của ông, 2009.