stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Erannis bajaria

| Erannis bajaria> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Erannis
Loài (species): E. bajaria
Danh pháp hai phần
Erannis bajaria Schiffermüller 1775 
Erannis bajaria là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Hookeria disticha

| Hookeria disticha> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Bryophyta
Lớp (class): Bryopsida
Bộ (ordo): Hookeriales
Họ (familia): Hookeriaceae
Chi (genus): Hookeria
Loài (species): H. disticha
Danh pháp hai phần
Hookeria disticha (Ångström) Paris, 1896 
Hookeria disticha là một loài Rêu trong họ Hookeriaceae. Loài này được (Ångström) Paris mô tả khoa học đầu tiên năm 1896.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Hookeria disticha”. Truy cập ngày 1 tháng 6 năm 2014.
Erebochlora albocentrata

| Erebochlora albocentrata> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Geometridae
Chi (genus): Erebochlora
Loài (species): E. albocentrata
Danh pháp hai phần
Erebochlora albocentrata Thierry-Mieg 1907 
Erebochlora albocentrata là một loài bướm đêm trong họ Geometridae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Xã Morgan, Quận Harrison, Indiana

| Xã Morgan Morgan Township |
| --- | --- |
—  Xã  —
 
 
 Vị trí trong Quận Harrison, Indiana
 Vị trí quận Harrison trong tiểu bang Indiana ở Hoa Kỷ
Xã Morgan
Quốc gia: Hoa Kỳ
Tiểu bang: Indiana
Quận: Quận Harrison
Dân số (2010)
 • Tổng cộng: 4.153
Múi giờ: CST (UTC-5)
 • Mùa hè (DST): CDT (UTC-4)
Xã Morgan (tiếng Anh: Morgan Township) là một xã thuộc quận Harrison, tiểu bang Indiana, Hoa Kỳ. Năm 2010, dân số của xã này là 4.153 người.
Chú thích

↑  “2010 Census Gazetteer Files”. Cục Thống kê Dân số Hoa Kỳ. Truy cập ngày 13 tháng 10 năm 2012.
Ho Chi Minh City Wings

Ho Chi Minh City Wings (Đôi cánh Đô thành) là một đội bóng rổ chuyên nghiệp có trụ sở tại Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam. Đội đã tham dự giải bóng rổ chuyên nghiệp đầu tiên của Việt Nam VBA từ mùa giải đầu tiên năm 2016.
Sân nhà

Nhà thi đấu TDTT Hồ Xuân Hương
Thành tích

| Mùa giải | Giải đấu | Thành tích |
| --- | --- | --- |
| 2016 | VBA | Á quân |
| 2019 | VBA | Hạng 3 |
Đội Hình
Thành tích > Hiện tại

Lưu ý: Quốc kỳ cho đội tuyển quốc gia được xác định tại quy chuẩn FIBA. Các cầu thủ có quốc tịch không thuộc FIBA sẽ không được hiển thị.
Papleux

| --- | --- |
 Papleux
Papleux

Hành chính
Quốc gia:  Pháp
Vùng: Hauts-de-France
Tỉnh: Aisne
Quận: Vervins
Tổng: La Capelle
Liên xã: Thiérache du Centre
Xã (thị) trưởng: Frédéric Meura (2001-2008)
Thống kê
Độ cao: 189–228 m (620–748 ft) (bình quân 212 m (696 ft)[chuyển đổi: tùy chọn không hợp lệ])
Diện tích đất1: 1,93 km2 (0,75 dặm vuông Anh)
INSEE/Mã bưu chính: 02584/ 02260

Papleux  là một xã ở tỉnh Aisne, vùng Hauts-de-France thuộc miền bắc nước Pháp.
Highland League Cup 2012–13

| Chi tiết giải đấu |
| --- | --- |
Quốc gia:  Scotland
Số đội: 18
Vị trí chung cuộc
Vô địch: Keith
Á quân: Inverurie Loco Works
Thống kê giải đấu
Số trận đấu: 17
← 2011–12 
Breedon Highland League Cup 2012–13 là mùa giải thứ 68 trong lịch sử giải đấu, được tài trợ bởi Breedon Aggregates. Đội vô địch là Keith, đánh bại Inverurie Loco Works 2-1 trong trận chung kết trên sân Princess Royal Park ở Banff vào ngày 11 tháng 5 năm 2013.
Vòng Một

Trong bốc thăm vòng Một, 14 đội được đi thẳng vào vòng Hai, và 4 đội được bốc thăm để thi đấu với nhai trong vòng Một. Các trận đấu vòng Một diễn ra vào ngày thứ Bảy 2 tháng 3 năm 2013.
| Đội nhà | Tỉ số | Đội khách |
| --- | --- | --- |
| Clachnacuddin | 3-2 | Cove Rangers |
| Turriff United | 1-2 | Formartine United |
Vòng Hai

Các trận đấu vòng Hai diễn ra vào ngày thứ Bảy 16 tháng 3 năm 2013.
| Đội nhà | Tỉ số | Đội khách |
| --- | --- | --- |
| Brora Rangers | 2-1 | Wick Academy |
| Clachnacuddin | 5-0 | Fort William |
| Deveronvale | 12-2 | Fraserburgh |
| Forres Mechanics | 1-3 | Formartine United |
| Inverurie Loco Works | 6-0 | Huntly |
| Lossiemouth | 2-5 | Buckie Thistle |
| Nairn County | 3-0 | Strathspey Thistle |
| Rothes | 0-22 | Keith |

1 Sau hiệp phụ - Deveronvale thắng 3-1 trong loạt sút luân lưu 

2 Diễn ra vào ngày thứ Tư 27 tháng 3 năm 2013 vì hai lần hoãn đấu do sân bị ngập nước và tuyết phủ
Vòng Ba

Các trận đấu vòng Ba diễn ra vào ngày thứ Bảy 6 tháng 4 năm 2013.
| Đội nhà | Tỉ số | Đội khách |
| --- | --- | --- |
| Brora Rangers | 4-2 | Formartine United |
| Buckie Thistle | 3-31 | Keith |
| Inverurie Loco Works | 4-1 | Deveronvale |
| Nairn County | 2-1 | Clachnacuddin |
1 Sau hiệp phụ - Keith thắng 5-4 trong loạt sút luân lưu
Bán kết

Các trận đấu bán kết diễn ra vào ngày thứ Bảy 20 tháng 4 năm 2013.
| Đội nhà | Tỉ số | Đội khách |
| --- | --- | --- |
| Inverurie Loco Works | 2-0 | Brora Rangers |
| Keith | 1-0 | Nairn County |
Chung kết

15:00 BST (UTC+01)
| Keith | 2–1 | Inverurie Loco Works |
| --- | --- | --- |
| Andy MacAskill  57' Cammy Keith  75' (ph.đ.) | The Scotsman | Scott Begg  17' |
Trọng tài: Graham Beaton
Ternstroemia maltbyi

| Ternstroemia maltbyi> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
(không phân hạng): Angiospermae
(không phân hạng): Eudicots
(không phân hạng): Asterids
Bộ (ordo): Ericales
Họ (familia): Pentaphylacaceae
Chi (genus): Ternstroemia
Loài (species): T. maltbyi
Danh pháp hai phần
Ternstroemia maltbyi Rose 
Ternstroemia maltbyi là một loài thực vật có hoa trong họ Pentaphylacaceae. Loài này được Rose miêu tả khoa học đầu tiên năm 1899.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Ternstroemia maltbyi”. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2013.
Paramicromerys scharffi

| P>  scharffi.Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Phân ngành (subphylum): Chelicerata
(không phân hạng): Arachnomorpha
Lớp (class): Arachnida
Bộ (ordo): Araneae
Họ (familia): Pholcidae
Chi (genus): Paramicromerys
Danh pháp hai phần
Paramicromerys scharffi Huber, 2003 
Paramicromerys scharffi là một loài nhện trong họ Pholcidae. Loài này được phát hiện ở Madagascar.
Chú thích

↑  Huber, B. A. (2003) Cladistic analysis of Malagasy pholcid spiders reveals generic level endemism: Revision of Zatavua n. gen. and Paramicromerys Millot (Pholcidae, Araneae). Zool. J. Linn. Soc. 137: 261-318.
Mycerinus brevis

| Mycerinus brevis> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Coleoptera
Phân bộ (subordo): Polyphaga
Liên họ (superfamilia): Cerambycoidea
Họ (familia): Cerambycidae
Chi (genus): Mycerinus
Loài (species): M. brevis
Danh pháp hai phần
Mycerinus brevis (Aurivillius, 1914) 
Mycerinus brevis là một loài bọ cánh cứng trong họ Cerambycidae.
Chú thích

↑  Bisby, F.A.; Roskov, Y.R.; Orrell, T.M.; Nicolson, D.; Paglinawan, L.E.; Bailly, N.; Kirk, P.M.; Bourgoin, T.; Baillargeon, G.; Ouvrard, D. (2011). “Species 2000 & ITIS Catalogue of Life: 2011 Annual Checklist”. Species 2000: Reading, UK. Truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2012.
Yassıkışla, Doğanyurt

| Yassıkışla |
| --- | --- |
—  Xã  —
 
YassıkışlaVị trí ở Thổ Nhĩ Kỳ
Quốc gia:  Thổ Nhĩ Kỳ
Tỉnh: Kastamonu
Huyện: Doğanyurt
Dân số (2008)
 • Tổng cộng: 460 người
Múi giờ: EET (UTC+2)
 • Mùa hè (DST): EEST (UTC+3)
Yassıkışla là một xã thuộc huyện Doğanyurt, tỉnh Kastamonu, Thổ Nhĩ Kỳ. Dân số thời điểm năm 2008 là 460 người.
Chú thích

↑  “Cities, towns and villages in Kastamonu”. Viện thống kê Thổ Nhĩ Kỳ. Truy cập ngày 16 tháng 9 năm 2012.[liên kết hỏng]
Yassıhüyük, Çivril

| Yassıhüyük |
| --- | --- |
—  Xã  —
 
YassıhüyükVị trí ở Thổ Nhĩ Kỳ
Quốc gia:  Thổ Nhĩ Kỳ
Tỉnh: Denizli
Huyện: Çivril
Dân số (2010)
 • Tổng cộng: 280 người
Múi giờ: EET (UTC+2)
 • Mùa hè (DST): EEST (UTC+3)
Yassıhüyük là một xã thuộc huyện Çivril, tỉnh Denizli, Thổ Nhĩ Kỳ. Dân số thời điểm năm 2010 là 280 người.
Chú thích

↑  “Cities, towns and villages in Denizli”. Viện thống kê Thổ Nhĩ Kỳ. Lưu trữ bản gốc ngày 14 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 31 tháng 8 năm 2012.Quản lý CS1: bot: trạng thái URL ban đầu không rõ (liên kết)
Holomitrium sinuosum

| Holomitrium sinuosum> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Plantae
Ngành (divisio): Bryophyta
Lớp (class): Bryopsida
Bộ (ordo): Dicranales
Họ (familia): Dicranaceae
Chi (genus): Holomitrium
Loài (species): H. sinuosum
Danh pháp hai phần
Holomitrium sinuosum B.H. Allen, 1990 
Holomitrium sinuosum là một loài rêu trong họ Dicranaceae. Loài này được B.H. Allen mô tả khoa học đầu tiên năm 1990.
Chú thích

↑  The Plant List (2010). “Holomitrium sinuosum”. Truy cập ngày 31 tháng 5 năm 2014.
Izatha dasydisca

| Izatha dasydisca> Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Lớp (class): Insecta
Bộ (ordo): Lepidoptera
Họ (familia): Oecophoridae
Phân họ (subfamilia): Oecophorinae
Chi (genus): Izatha
Loài (species): I. dasydisca
Danh pháp hai phần
Izatha dasydisca Hoare, 2010 
Izatha dasydisca là một loài bướm đêm thuộc họ Oecophoridae. Nó là loài đặc hữu của New Zealand, ở đó nó is only known from nửa phía bắc của Đảo Bắc.
Sải cánh dài 15–19 mm đối với con đực và khoảng 26 mm đối với con cái. Con trưởng thành bay vào tháng 12, tháng 1 and tháng 2.
Chú thích

↑  “Động vật New Zealand - Izatha (Insecta: Lepidoptera: Gelechioidea: Oecophoridae)” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 24 tháng 7 năm 2011. Truy cập ngày 15 tháng 3 năm 2011.
Paramicromerys manantenina

| P>  manantenina.Phân loại khoa học |
| --- | --- |
Giới (regnum): Animalia
Ngành (phylum): Arthropoda
Phân ngành (subphylum): Chelicerata
(không phân hạng): Arachnomorpha
Lớp (class): Arachnida
Bộ (ordo): Araneae
Họ (familia): Pholcidae
Chi (genus): Paramicromerys
Danh pháp hai phần
Paramicromerys manantenina Huber, 2003 
Paramicromerys manantenina là một loài nhện trong họ Pholcidae. Loài này được phát hiện ở Madagascar.
Chú thích

↑  Huber, B. A. (2003) Cladistic analysis of Malagasy pholcid spiders reveals generic level endemism: Revision of Zatavua n. gen. and Paramicromerys Millot (Pholcidae, Araneae). Zool. J. Linn. Soc. 137: 261-318.
E (số)

Về các số E dành cho các phụ gia thực phẩm, xem bài Số E.
Đồ thị của hàm số y = 1/x. e là số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích phần được tô màu bằng 1.
Số e là một hằng số toán học có giá trị gần bằng 2,71828 và có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Nó là cơ số của logarit tự nhiên, là số duy nhất sao cho logarit tự nhiên của nó bằng 1, và đồng thời là giới hạn của (1 + 1/n)n khi n tiến về vô hạn, một biểu thức nảy sinh từ việc nghiên cứu lãi kép. Nó cũng bằng tổng của chuỗi vô hạn
e cũng được định nghĩa là số dương a duy nhất sao cho đồ thị của hàm y = ax có hệ số góc bằng 1 tại x = 0.
Hàm mũ (tự nhiên) f(x) = ex là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó và có giá trị ban đầu là f(0) = 1, và dễ thấy e = f(1). Logarit tự nhiên, hay logarit cơ số e, là hàm ngược của hàm mũ tự nhiên. Logarit tự nhiên của một số k > 1 được định nghĩa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm y = 1/x từ x = 1 đến x = k, khi đó e là giá trị của k sao cho diện tích đó bằng 1 (xem hình). e còn có nhiều cách biểu diễn khác.
e thỉnh thoảng còn được gọi là số Euler theo tên của nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler (không nên nhầm lẫn với hằng số Euler–Mascheroni γ, còn được gọi tắt là hằng số Euler), hoặc hằng số Napier. Tuy nhiên, ký hiệu e của Euler được cho là đã được giữ lại để vinh danh ông. Hằng số này được tìm ra bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli khi nghiên cứu về lãi kép.
Số e có tầm quan trọng lớn trong toán học cùng với số 0, 1, π và i. Cả năm số này đều đóng vai trò không thể thiếu trong toán học và cùng xuất hiện trong một phương trình của đồng nhất thức Euler. Giống như hằng số π, e là một số vô tỉ (không thể biểu diễn thành tỉ số giữa hai số nguyên) và là số siêu việt (không phải là nghiệm của một phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ). Giá trị của e đến 50 chữ số thập phân là:
(dãy số  trong bảng OEIS).
Lịch sử

Hằng số e được liên hệ lần đầu tiên vào năm 1618 ở bảng phụ lục trong công trình của John Napier về logarit, nhưng lại không nhắc đến trực tiếp về e mà chỉ liệt kê danh sách các logarit được tính từ nó. Bảng này được thừa nhận là do William Oughtred viết ra. Jacob Bernoulli đã tìm ra chính hằng số e vào năm 1683 khi tìm giá trị của biểu thức
Hằng số này được sử dụng lần đầu tiên với ký hiệu là b trong bức thư của Gottfried Leibniz gửi Christiaan Huygens vào năm 1690 và 1691. Leonhard Euler trong thư gửi Christian Goldbach vào ngày 25 tháng 11 năm 1731 đã gọi chữ cái e là cơ số của logarit tự nhiên. Euler bắt đầu sử dụng chữ e để ký hiệu cho hằng số vào khoảng 1727 hoặc 1728 trong một bài báo không được xuất bản về sức nổ của súng thần công, và e chỉ xuất hiện trong xuất bản phẩm lần đầu vào năm 1736 trong cuốn Mechanica của ông. Dù một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ c trong những năm sau đó, nhưng chữ e dần trở thành tiêu chuẩn về sau này.
Trong toán học, cách phổ biến nhất là viết hằng số thành chữ "e" in nghiêng, nhưng tiêu chuẩn ISO 80000-2 khuyến nghị sắp chữ các hằng số theo kiểu thẳng đứng như các chữ cái thông thường.
Ứng dụng > Lãi kép

Jacob Bernoulli tìm ra hằng số e vào năm 1683 khi nghiên cứu một bài toán về lãi kép:
Một tài khoản có số dư 1 đô la và nhận 100% lãi suất mỗi năm. Nếu lãi suất được tính một lần thì đến cuối năm, số dư của tài khoản đó là 2 đô la. Điều gì sẽ xảy ra khi lãi suất được tính và thanh toán thường xuyên hơn trong năm?
Nếu lãi được tính hai lần trong năm thì lãi suất cho mỗi 6 tháng sẽ là 50%, do đó 1 đô la ban đầu được nhân hai lần cho 1,5 để có 1,00 × 1,52 = 2,25 đô la vào cuối năm. Khi tính lãi theo quý thì ta có 1,00 × 1,254 = 2,4414… đô la, còn tính lãi theo tháng được 1,00 × (1 + 1/12)12 = 2,613035… đô la. Nếu có n khoảng thời gian tính lãi thì lãi suất trên mỗi khoảng là 100%/n và số dư vào cuối năm là 1,00 × (1 + 1/n)n.
Bernoulli nhận thấy chuỗi này tiến dần về một giới hạn với n càng lớn và khoảng thời gian tính lãi càng nhỏ. Tính lãi theo tuần (n = 52) được 2,692597... đô la, còn tính lãi theo ngày (n = 365) thì được 2,714567... đô la, chỉ nhiều hơn hai xu. Giới hạn khi n tăng lên chính là số e; khi tính lãi liên tục thì số dư của tài khoản tiệm cận đến 2,7182818... đô la.
Tổng quát hơn, một tài khoản có số dư ban đầu là 1 đô la và nhận lãi suất hằng năm là R thì sau t năm sẽ nhận được eRt đô la khi tính lãi liên tục. (Ở đây R là một số thực bằng với lãi suất phần trăm hằng năm, do đó với lãi suất 5% thì R = 5/100 = 0,05.)
Ứng dụng > Phép thử Bernoulli

Số e cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, nảy sinh từ một vấn đề không liên quan rõ ràng với lũy thừa. Giả sử một người chơi một máy đánh bạc n lần và xác suất để thắng là một phần n. Với n lớn (chẳng hạn như một triệu) thì xác suất để người đó thua mọi lần gần bằng 1/e. Với n = 20 thì tỉ số này đã gần bằng 1/2,79.
Đó là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần người đó chơi máy thì xác suất để thắng là một trên một triệu. Một triệu lần chơi như thế được mô hình hóa bằng phân phối nhị thức, vốn có liên hệ mật thiết với định lý nhị thức và tam giác Pascal. Xác suất để thắng k lần trên một triệu lần chơi là
Đặc biệt, xác suất để người đó không thắng lần nào (k = 0) là
rất gần với giới hạn
Ứng dụng > Phân phối chuẩn tắc

Bài chi tiết: Phân phối chuẩn
Phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1 được gọi là phân phối chuẩn tắc và được cho bởi hàm mật độ xác suất
Điều kiện phương sai bằng 1 (độ lệch chuẩn bằng 1) dẫn đến phân số 1/2 trong số mũ, và điều kiện tổng diện tích dưới đường cong ϕ(x) bằng 1 dẫn đến tỷ số  \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}. Hàm số này đối xứng quanh x = 0, tại đó nó đạt giá trị lớn nhất  \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}, và có các điểm uốn tại x = ±1.
Ứng dụng > Hoán vị vô trật tự

Bài chi tiết: Hoán vị vô trật tự
Một ứng dụng khác của e, vốn do Jacob Bernoulli và Pierre Raymond de Montmort tìm ra, nằm trong bài toán về hoán vị vô trật tự hay còn gọi là bài toán trả mũ. Có n vị khách được mời đến một bữa tiệc và đều phải trả mũ của họ cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào n hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Bài toán của de Montmort là tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được đặt đúng vào hộp của vị khách đó. Câu trả lời là
Khi số vị khách n tiến đến vô hạn thì pn tiệm cận về 1/e. Hơn nữa, số cách xếp mũ vào hộp để biến cố trên xảy ra là n!/e (làm tròn đến hàng đơn vị) với n là số dương.
Ứng dụng > Bài toán kế hoạch tối ưu

Một gậy chiều dài L bị vỡ thành n mảnh có độ dài bằng nhau. Giá trị của n để tích các độ dài này lớn nhất là
vì  x^{-1}\ln x đạt giá trị lớn nhất tại  x=e (bài toán Steiner, xem dưới đây). Đại lượng  x^{-1}\ln x là một độ đo lượng thông tin thu được từ một biến cố xảy ra với xác suất  1/x, do đó phép chia tối ưu trên xuất hiện trong các bài toán kế hoạch tối ưu, chẳng hạn như bài toán thư ký.
Ứng dụng > Tiệm cận

Số e xuất hiện khi liên hệ với nhiều bài toán liên quan đến tiệm cận. Một ví dụ là công thức Stirling về tiệm cận của hàm giai thừa có sự xuất hiện của cả hai số e và π:
Từ đó
Trong vi tích phân

Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số e, đặc biệt trong vi tích phân là từ các phép tính vi phân và tích phân với các hàm mũ và logarit. Tổng quát, hàm mũ y = ax có đạo hàm được cho bởi giới hạn:
Giới hạn trong ngoặc ở vế phải độc lập với biến x và chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số đó bằng e thì giới hạn trên bằng 1 nên e được định nghĩa tượng trưng bởi phương trình:
Do đó, hàm mũ cơ số e rất phù hợp cho việc tính vi tích phân, vì nó giúp đơn giản hóa nhiều phép tính liên quan đến đạo hàm.
Một cách tiếp cận khác đến từ việc tính đạo hàm của logarit cơ số a (loga x) với x > 0:
trong đó đặt u = h/x. Logarit cơ số a của e bằng 1 nếu a bằng e, do đó
Logarit với cơ số đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là ln, giúp đơn giản hóa phép vi phân do không cần tìm các giới hạn chưa biết.
Như vậy, có hai cách để tìm một số a đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ ax bằng với ax rồi giải phương trình để tìm a. Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số a bằng 1/x và giải tương tự. Cả hai nghiệm a thu được thực chất là giống nhau và bằng số e.
Trong vi tích phân > Các cách biểu diễn khác

Xem thêm:  § Biểu diễn, và Biểu diễn của hàm mũ
Có nhiều cách biểu diễn số e: giới hạn của một dãy, tổng của một chuỗi vô hạn hay các biểu thức liên quan đến giải tích tích phân. Trên đây, ta đã biết được hai tính chất:
e là số thực dương duy nhất sao cho  {\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}.
e là số thực dương duy nhất sao cho  {\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}.
Bốn cách biểu diễn sau cũng được chứng minh là tương tự như trên:
e là giới hạn
 e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}
Tương tự:
 e=\lim _{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac {1}{t}}
e là tổng của chuỗi vô hạn
 e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,

với n! là giai thừa của n. (Theo quy ước,  {0!}=1.)
e là số thực dương duy nhất sao cho
 \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.
Nếu f(t) là hàm mũ thì tỉ số  \tau =f(t)/f'(t) là không đổi, thỉnh thoảng được gọi là hằng số thời gian (nghịch đảo của hằng số tăng trưởng theo cấp số nhân hoặc hằng số phân rã). Hằng số thời gian là thời gian để một hàm mũ tăng e lần:  f(t+\tau )=ef(t).
Tính chất > Vi tích phân

Hàm mũ ex rất quan trọng một phần do đây là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó:
và do đó cũng có nguyên hàm bằng chính nó:
Tính chất > Bất đẳng thức

e là số thực duy nhất sao cho
với mọi số dương x.
Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức
với mọi số thực x, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Hơn nữa, e là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức ax ≥ x + 1 đúng với mọi x. Đó là một trường hợp giới hạn của bất đẳng thức Bernoulli.
Tính chất > Hàm tựa mũ

Bài toán Steiner yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Giá trị lớn nhất này đạt được tại x = e. Để chứng minh, từ bất đẳng thức  e^{y}\geq y+1 ở trên, đặt  y=(x-e)/e rồi rút gọn thì ta có  e^{x/e}\geq x. Do đó  e^{1/e}\geq x^{1/x} với mọi số dương x.
Tương tự, x = 1/e là điểm để hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất với x là số dương. Tổng quát hơn, hàm số
với x là số dương đạt giá trị lớn nhất tại x = 1/e khi n < 0 và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = e−1/n khi n > 0.
Tetration vô hạn
hội tụ khi và chỉ khi e−e ≤ x ≤ e1/e (hay x nằm giữa 0,0660 và 1,4447) theo một định lý của Leonhard Euler.
Tính chất > Lý thuyết số

Số thực e là một số vô tỉ. Euler chứng minh được điều này bằng cách cho thấy liên phân số của nó có thể được mở rộng ra vô hạn. Hơn nữa, theo định lý Lindemann–Weierstrass, e là một số siêu việt, có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ. Charles Hermite chứng minh được điều này vào năm 1873.
Có phỏng đoán cho rằng e là số bình thường, có nghĩa là khi e được biểu diễn trên bất kỳ hệ đếm cơ số nào thì các chữ số trong hệ đếm đó được phân bố đồng đều nhau (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ chuỗi nào với độ dài cho trước).
Tính chất > Số phức

Hàm mũ ex có thể được viết thành chuỗi Taylor:
Vì chuỗi trên hội tụ với bất kỳ giá trị phức nào của x nên nó có thể được dùng để mở rộng khái niệm ex cho số phức. Cùng với chuỗi Taylor cho sin x và cos x, ta suy ra được công thức Euler đúng với mọi số phức x:
Trường hợp đặc biệt với x = π là đồng nhất thức Euler:
từ đó suy ra, trong nhánh chủ yếu của logarit,
Hơn nữa, áp dụng các công thức lũy thừa,
đó chính là công thức de Moivre.
Biểu thức
còn được ký hiệu là cis(x).
Ta cũng suy ra được các biểu thức biểu diễn  \sin x và  \cos x theo các hàm mũ:
Tính chất > Phương trình vi phân

Họ các hàm số
với C là số thực, là nghiệm của phương trình vi phân
Biểu diễn

Bài chi tiết: Danh sách biểu diễn của e
Số e có thể được biểu diễn thành một số thực theo nhiều cách khác nhau: là một chuỗi vô hạn, một tích vô hạn, một liên phân số hay giới hạn của một dãy. Trong số đó, thông dụng nhất là giới hạn
đã cho ở trên, và chuỗi
có được bằng cách thay x = 1 vào chuỗi lũy thừa cho hàm mũ ex ở trên.
Một dạng khác ít phổ biến hơn là liên phân số
hoặc được viết thành
Nhiều cách biểu diễn khác của e dưới dạng chuỗi, dãy số, liên phân số và tích vô hạn cũng đã được tìm ra và phát triển.
Biểu diễn > Biểu diễn ngẫu nhiên

Cùng với các biểu thức giải tích chính xác, e còn có thể được tính gần đúng thông qua các kỹ thuật ngẫu nhiên. Một cách tiếp cận như thế bắt đầu từ một dãy vô hạn các biến độc lập ngẫu nhiên X1, X2,... trong một phân phối đều trên [0, 1]. Gọi V là số n nhỏ nhất để tổng của n biến đầu tiên như vậy lớn hơn 1:
Khi đó giá trị kỳ vọng của V là e hay E(V) = e.