Toán học của thuyết tương đối rộng
Không thời gian trong vật lý thiên văn > Mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker

Vì phương trình trường Einstein miêu tả bất kỳ tương tác hấp dẫn nào, nó không những áp dụng cho các vật thể đặc như sao neutron và lỗ đen như đã nêu ở phần trước, mà còn áp dụng cho toàn thể Vũ trụ. Điểm bắt đầu để dẫn ra phương trình miêu tả động lực của Vũ trụ rõ ràng phải dựa trên các dữ kiện quan sát Vũ trụ. Chúng cung cấp các chứng cứ rằng, ít nhất trên phạm vi đủ lớn, Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng, hay tuân theo nguyên lý vũ trụ học. Thêm vào đó, các quan sát chứng tỏ vũ trụ đang giãn nở và đang thực sự giãn nở gia tốc.
Mêtric tổng quát nhất chứa đựng các kết quả quan trắc này, được nghiên cứu bởi Friedman (1922), Lemaître (1931), Robertson (1935) và Walker (1935) và được gọi là mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (mêtric FLRW)
Mêtric này đánh dấu thời điểm bắt đầu của ngành Vũ trụ học hiện đại. Đầu tiên, chúng ta thấy rằng thành phần hiệp biến thời gian-thời gian của mêtric gtt = -1, do vậy hàm ý rằng tọa độ thời gian t cũng là thời gian riêng đo bởi đồng hồ gắn với thiên hà trong sự giãn nở của không thời gian. Tất cả các thành phần hỗn hợp thời gian-không gian gti bằng 0 là điều kiện cần (và đủ) để cho tất cả các đồng hồ đồng chuyển động (comoving clock) có thể đồng bộ hóa được (synchronizable), như yêu cầu bởi tọa độ thời gian toàn cục t. Sự đồng bộ hóa có thể hiện thực bằng cách giả sử mọi quan sát viên đặt thời gian riêng của họ bằng một số khi mật độ nền đồng nhất đạt tới cùng một giá trị cho trước đo được bởi mọi quan sát viên.
Thành phần không gian trong mêtric (270) được biểu diễn thông qua hệ số bảo giác (conformal factor) a(t) mà được dùng để thay đổi tỉ lệ khoảng cách không gian. Kết quả là hệ số này miêu tả sự giãn nở hay co lại của Vũ trụ và còn được gọi là hệ số tỉ lệ (không nên nhầm lẫn với tham số spin của lỗ đen quay miêu tả ở phần trước), và tính động lực của nó được xác định từ phương trình trường Einstein như sẽ được chỉ ra ở dưới. Mặt khác, hằng số  \kappa  được chuẩn hóa và nhận các giá trị -1, 0, 1 và đo độ cong hằng số của mêtric không gian thuần túy. Thực tế, tại một kỷ nguyên bất kỳ, độ cong phải có cùng một giá trị tại mọi vị trí không gian, tức là không đổi nếu giả thiết tính đẳng hướng được bảo toàn. Giá trị  \kappa =0 tương ứng với nguyên tố đoạn phẳng và kết quả là một vũ trụ phẳng và mở. Giá trị  \kappa =1 tương ứng với độ cong không gian dương và miêu tả vũ trụ đóng kín trong một thể tích hữu hạn nhưng không có biên, tương tự như mặt cầu hai chiều. Cuối cùng, giá trị  \kappa =-1 biểu diễn vũ trụ có độ cong không gian âm và mở.
Chú ý rằng mêtric 270 chỉ cung cấp miêu tả động học của không thời gian tuân theo các giả sử vũ trụ học miêu tả ở trên. Tuy nhiên, khi kết hợp với phương trình trường Einstein và định luật bảo toàn năng lượng  \nabla _{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0 thì hệ số tỷ lệ chưa được biết a(t) và hằng số độ cong  \kappa  được liên hệ với thành phần năng lượng của vũ trụ và phương trình thu được gọi là các phương trình Friedmann:
với các dấu chấm chỉ đạo hàm theo thời gian vũ trụ t, và H=H(t) là tham số Hubble có thứ nguyên bằng nghịch đảo của thời gian. Chú ý rằng khi đưa ra các phương trình (271) và (272) chúng ta đã giả sử rằng tenxơ năng lượng-động lượng trong phương trình trường Einstein là của chất lỏng lý tưởng với mật độ tổng năng lượng e và áp suất p. Thêm vào đó, chúng ta đã gán hằng số vũ trụ học  \Lambda  với mật độ năng lượng hiệu dụng  e_{\Lambda }:=\Lambda /(8\pi ).
Sử dụng phương trình (271) ta biểu diễn độ cong của không thời gian là
với
Ở đây ec là mật độ năng lượng giới hạn trong khi  \Omega _{m},\Omega _{\Lambda } là mật độ năng lượng được chuẩn hóa của 'vật chất' (bao gồm cả đóng góp từ bức xạ) và của hằng số vũ trụ học. Trong thực hành, ec được dùng để xác định tô pô của không gian là đóng ( \kappa =1), phẳng ( \kappa =0), và mở ( \kappa =-1), nếu như tham số mật độ  \Omega :=\Omega _{m}+\Omega _{\Lambda } có giá trị lớn hơn 1, bằng 1, hoặc nhỏ hơn 1. Cũng có thể gán mật độ năng lượng hiệu dụng với độ cong không gian khi định nghĩa  e_{\kappa }:=-3\kappa /(8\pi a^{2}) và giá trị chuẩn hóa của nó là  \Omega _{\kappa }:=e_{\kappa }/e_{c}=-\kappa /(aH)^{2} do vậy phương trình (274) có thể viết thành
Phương trình thứ hai trong (276) biểu diễn giá trị ước lượng hiện tại của các mật độ thông qua nhiều phương pháp quan trắc khác nhau, chẳng hạn thông qua bức xạ nền vi sóng vũ trụ. Theo đó, có khoảng 70% thành phần năng lượng trong Vũ trụ trong dạng mà không thể gán cho bất kỳ vật chất nào và vì lý do này mà nó thường được gọi là năng lượng tối. Cũng chú ý rằng, sự đóng góp của vật chất vào mật độ tới hạn có thể chia thành các đóng góp của vật chất baryon thông thường,  \Omega _{b} và đóng góp của vật chất tối  \Omega _{dm} loại vật chất mà nguồn gốc của nó hiện tại chưa được biết và sự có mặt của nó không thể suy ra từ việc quan sát trong phổ điện từ mà là từ ảnh hưởng hấp dẫn của nó. Cũng vậy, nhiều quan sát thiên văn cho kết quả tương thích  \Omega _{m}:=\Omega _{b}+\Omega _{dm}\simeq 0,05+0,26\simeq 0,31. Phương trình (272) cũng nêu bật rằng nhiều mô hình vũ trụ học khác nhau hoặc các tính chất động lực đơn giản khác nhau trong cùng một mô hình có thể nhận được từ nhiều giá trị khác nhau của hằng số vũ trụ học và nhiều phương trình trạng thái khác nhau đối với chất lỏng choán đầy trong vũ trụ, tức là các mối liên hệ khác nhau giữa năng lượng và áp suất. Các mô hình với hằng số vũ trụ học bằng 0 được gọi là các mô hình Friedmann trong khi các mô hình với hằng số vũ trụ học gọi là các mô hình Lemaitre và mô hình nổi bật trong số đó là mô hình vũ trụ de Sitter và mô hình anti-de Sitter. Đó là các vũ trụ trống rỗng, e = p = 0 nhưng có hằng số vũ trụ tương ứng  \Lambda >0,\Lambda <0.