Đa thức
Phân loại

Số mũ của một biến trong phần tử được gọi là bậc của biến đó trong cùng phần tử đó; bậc của một phần tử trong đa thức là tổng các bậc của các biến trong phần tử đó, và bậc của đa thức là bậc lớn nhất của các phần tử có hệ số khác không. Bởi x = x1, bậc của biến không viết số mũ ở trên đầu là một.
Đơn thức không có biến và đa thức không có biến được gọi tương ứng là phần tử hằng và đa thức hằng. Bậc của đơn thức hằng và đa thức hằng khác không luôn bằng 0. Bậc của đa thức không, tức 0 (không có đơn thức nào) thường được coi là không có bậc.
Lấy ví dụ:
là một đơn thức có hệ số bằng  −5 và các biến là x và y, trong đó bậc của x bằng hai, còn bậc của y bằng một. Vì bậc của đơn thức là tổng các bậc các biến trong đơn thức đó, nên trong ví dụ này, bậc của đơn thức đó là 2 + 1 = 3.
Tổng của các đơn thức lập thành một đa thức. Ví dụ sau là một đa thức:
Nó có ba đơn thức: đơn thức đầu tiên có bậc hai, đơn thức thứ hai có bậc một, và đơn thức cuối có bậc không.
Có hai đa thức bậc nhỏ có tên riêng của nó. Đa thức bậc không được gọi là đa thức hằng, hay nói gọn đi là hằng số. Đa thức bậc một có tên gọi khác là đa thức tuyến tính. Tên của đa thức cũng có thể dùng cho đơn thức. Lấy ví dụ,đơn thức 2x trong x2 + 2x + 1 là đơn thức tuyến tính trong đa thức bậc hai.
Đa thức 0 là đa thức không có đơn thức nào trong đó, được gọi là đa thức không. Không giống các đa thức khác, bậc của nó không có giá trị cụ thể, mà thay vào đó bậc của nó thường được để không xác định, hoặc được định nghĩa là âm (hoặc là −1 hoặc −∞). Đa thức không cũng là đa thức duy nhất trong một biến có vô số nghiệm. Đồ thị của đa thức không, tức f(x) = 0, là trục hoành.
Trong các đa thức có nhiều hơn một đơn thức, một đa thức được gọi là thuần nhất bậc n nếu tất cả các đơn thức của nó đều có bậc n. "Đa thức không" là đa thức thuần nhất nhưng không có bậc. Ví dụ, x3y2 + 7x2y3 − 3x5 là đa thức thuần nhất bậc 5. Xem thêm đa thức thuần nhất.
Luật giao hoán của phép cộng được dùng để xếp lại tuỳ ý vị trí các đơn thức trong đa thức. Trong các đa thức một biến, các đơn thức thường được xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần của các bậc. Ví dụ chẳng hạn, đa thức 3x2 - 5x + 4 được viết theo thứ tự giảm dần của bậc x. Đơn thức đầu tiên có hệ số bằng 3 và số bậc bằng 2. Vì bậc của đa thức khác không là bậc lớn nhất và cũng bởi đa thức này đã được viết theo thứ tự giảm dần, nên đa thức này có bậc bằng hai.
Nếu trong đa thức có hai hay nhiều đơn thức có các biến giống nhau và được nâng lên cùng số mũ thì chúng có thể gộp lại với nhau thành một đơn thức dưới luật phân phối. Hệ số của đơn thức đó sẽ là tổng của các đơn thức kia cộng lại. Giá trị của hệ số đó có thể bằng 0. Các đa thức có thể được phân loại bằng số đơn thức khác không của nó, đa thức có một đơn thức được gọi là đơn thức, đa thức có hai đơn thức được gọi là nhị thức, và đa thức có ba đơn thức được gọi là tam thức. Thuật ngữ "tứ thức" rất ít dùng cho đa thức có bốn phần tử.
Đa thức thực là đa thức có các hệ số là số thực. Nếu nó dùng để định nghĩa hàm số nói chung, thì tập xác định của nó không bị giới hạn. Tuy nhiên, nếu nói rõ là hàm đa thức thực, thì hàm này là hàm từ tập các số thực sang các số thực được định nghĩa bởi đa thức thực. Tương tự như vậy, đa thức nguyên là đa thức có hệ số nguyên, và đa thức phức là đa thức có hệ số phức.
Tính đa thức là thay các giá trị vào các biến của đa thức rồi thực hiện các phép cộng và nhân để tìm ra giá trị của đa thức đó. Đối với các đa thức chỉ có một biến, việc tính toán thường hiệu quả hơn (tức ít số lần phải tính toán hơn) khi dùng lược đồ Horner: