Quaternion

Mở rộng không giao hoán trong số phứcBản mẫu:SHORTDESC:Mở rộng không giao hoán trong số phức
| ↓ × → | 1 | i | j | k |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | −1 | k | −j |
| j | j | −k | −1 | i |
| k | k | j | −i | −1 |
Cột trái là phần tử đứng trước, hàng đầu là phần tử đứng sau. Bên cạnh đó,  a\mathbf {b} =\mathbf {b} a và  -\mathbf {b} =(-1)\mathbf {b}  với  a\in \mathbb {R} ,  \mathbf {b} =\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} .
Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi i, j và k. (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể được tô đậm bằng cách kéo chuột qua hoặc nhấn vào
Trong toán học, hệ quaternion mở rộng tiếp số phức. Các số quaternion được lần đầu mô tả bởi nhà toán học người Ireland William Rowan Hamilton trong 1843 và áp dụng cho cơ học trong không gian ba chiều. Đại số của quaternion thường được ký hiệu bằng H (cho Hamilton), hoặc trong phông chữ bảng đen in đậm  \mathbb {H} . Mặc dù phép nhân của quaternion không có tính giao hoán, nó đưa ra định nghĩa của thương của hai vectơ trong không gian ba chiều. Quaternion thường được biểu diễn dưới dạng
a+b\ \mathbf {i} +c\ \mathbf {j} +d\ \mathbf {k} ,
trong đó các hệ số a, b, c, d đều là các số thực, và 1, i, j, k được gọi là vectơ cơ sở hay phần tử cơ sở.
Quaternion được sử dụng trong toán học thuần tuý, nhưng cũng có áp dụng thực tiễn trong toán học ứng dụng, đặc biệt là cho tính toán bao gồm quay trong không gian ba chiều, chẳng hạn như trong đồ hoạ máy tính 3D, thị giác máy tính, và phân tích kiến trúc tinh thể. Chúng được dùng bên cạnh các phương pháp quay khác, chẳng hạn như góc Euler và ma trận quay, hoặc thay các phương pháp đó, tuỳ thuộc vào cách ứng dụng.
Trong thuật ngữ hiện đại, các quaternion lập thành đại số chia định chuẩn và hợp thành trên tập số thực, do đó lập thành 1 vành và đồng thời cũng là vành chia và miền. Nó là trường hợp đặc biệt của đại số Clifford, xếp thuộc loại  \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ). Nó là đại số chia không giao hoán đầu tiên được phát hiện.
Theo định lý Frobenius, đại số  \mathbb {H}  là một trong duy nhất hai vành chia hữu hạn số chiều có vành con chân chính đẳng cấu với các số thực; cái còn lại là của số phức. Các vành này đồng thời đều là đại số Euclidean Hurwitz, trong đó quaternion là đại số kết hợp lớn nhất và do đó là vành lớn nhất. Mở rộng tiếp các số quaternion sẽ ra các số octonion không kết hợp, các số này là đại số chia định chuẩn cuối cùng trên các số thực. Mở rộng thêm lần nữa ra các số sedenion, các số này có ước của không nên không thể lập thành đại số chia định chuẩn.
Các quaternion đơn vị có cấu trúc nhóm trên 3-cầu (mặt cầu trong không gian bốn chiều) S3 đẳng cấu với nhóm Spin(3) và SU(2), nhóm phủ phổ quát của SO(3). Các phần tử cơ sở âm và dương cùng nhau lập thành nhóm quaternion 8 phần tử.
Biểu diễn đồ họa của tích các đơn vị quaternion bằng các phép quay 90° trong các mặt phẳng của không gian 4 chiều, span bởi hai trong {1, i, j, k}. Phần tử trái được xem là quay bởi phần tử phải để chạm tới giá trị tích. Bên cạnh đó i ⋅ j = −(j ⋅ i).
Trong màu xanh:
1 ⋅ i = i (mặt 1/i)
i ⋅ j = k (mặt i/k)
Trong màu đỏ:
1 ⋅ j = j (mặt 1/j)
j ⋅ i = −k (mặt j/k)