Quy tắc chia hết
Ví dụ > Tính chia hết cho 7

Phép chia hết cho 7 có thể được kiểm tra bằng các phương pháp đệ quy. Một số có dạng 10x + y chia hết cho 7 khi và chỉ khi x − 2y chia hết cho 7. Nói cách khác, trừ đi hai lần chữ số tận cùng của số vào số được tạo thành bởi các chữ số còn lại. Tiếp tục làm điều này cho đến khi thu được một số ta biết là chia hết cho 7. Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được sau khi sử dụng quá trình kiểm tra này chia hết cho 7. Ví dụ, số 371: 37 − (2 × 1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7; vậy, vì −7 chia hết cho 7 nên 371 chia hết cho 7.
Tương tự, một số có dạng 10x + y chia hết cho 7 khi và chỉ khi x + 5y chia hết cho 7. Vì vậy, cộng năm lần chữ số cuối cùng với số được tạo bởi các chữ số còn lại, và tiếp tục làm như vậy cho đến khi ta thu được số ta đã biết là chia hết cho 7.
Một phương pháp khác sử dụng phép nhân với 3. Một số dạng 10x + y có cùng số dư khi chia cho 7 như số 3x + y. Ta nhân chữ số tận cùng bên trái của số ban đầu với 3, cộng thêm chữ số tiếp theo, lấy phần dư khi chia cho 7, và tiếp tục lặp từ đầu: nhân với 3, cộng với chữ số tiếp theo, v.v. Ví dụ, số 371: 3 × 3 + 7 = 16 chia 7 dư 2 và 2 × 3 + 1 = 7. Phương pháp này còn có thể được sử dụng để tìm phần dư của phép chia cho 7.
Một thuật toán phức tạp hơn để kiểm tra tính chia hết cho 7 sử dụng các tính chất đồng dư: 100 ≡ 1, 101 ≡ 3, 102 ≡ 2, 103 ≡ 6, 104 ≡ 4, 105 ≡ 5, 106 ≡ 1,... (mod 7). Viết từng chữ số của số cần kiểm tra (371) theo thứ tự đảo ngược (173), nhân chúng liên tiếp với các chữ số trong dãy 1, 3, 2, 6, 4, 5, (lặp lại dãy nhân này nếu chưa hết) và cộng các tích với nhau (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28). Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được bằng cách sử dụng thuật toán này chia hết cho 7 (vì vậy 371 chia hết cho 7 vì 28 cũng chia hết cho 7).
Phương pháp này có thể được đơn giản hóa mà không cần phép tính nhân. Tất cả những gì cần làm với sự đơn giản hóa này là ghi nhớ dãy số ở trên (132645...), chỉ cần cộng và trừ, nhưng luôn làm việc với các số có một chữ số.
Thuật toán đơn giản hóa diễn ra như sau:
Lấy ví dụ số 371
Đổi tất cả các chữ số 7, 8 hoặc 9 thành 0, 1 hoặc 2, tương ứng. Trong ví dụ này, chúng ta nhận được số: 301. Bước thứ hai này có thể bỏ qua, nhưng ngoại trừ chữ số tận cùng bên trái nhất thiết phải đổi, nhưng nếu làm theo bước này có thể giúp cho các phép tính sau này dễ dàng hơn.
Bây giờ chuyển chữ số đầu tiên (3) thành chữ số tiếp sau nó trong dãy 13264513... Trong ví dụ của chúng ta, 3 trở thành 2.
Cộng kết quả có được ở bước trước (2) với chữ số thứ hai của số (301), và thay kết quả đó cho cả hai chữ số, để tất cả các chữ số còn lại không thay đổi: 2 + 0 = 2. Vậy 301 trở thành 21.
Lặp lại quá trình này cho đến khi bạn được bội số có thể nhận ra của 7 hoặc đến khi được một số từ 0 đến 6. Vì vậy, bắt đầu từ 21 (đã là một bội số có thể nhận ra của 7), nếu ta lại làm tiếp thì lấy chữ số đầu tiên (2) và chuyển nó thành số tiếp sau tương ứng trong dãy số trên: 2 trở thành 6. Sau đó cộng nó với chữ số thứ hai: 6 + 1 =  7.  Vậy ta có thể kết luận 371 là bội của 7.
Nếu ở bước nào đó ta gặp chữ số đầu tiên là 8 hoặc 9 thì chúng sẽ đổi thành tương ứng 1 hoặc 2, nhưng nếu chữ số đầu là 7 thì trở thành số 0 nên có thể bỏ đi. Ở bước trên ta còn lại một con số 7, cuối cùng thành số 0.
Nếu như kết quả thu được sau khi thực hiện quá trình trên là 0 hoặc một bội của 7 thì số ban đầu cũng là một bội của 7. Còn nếu chúng ta nhận được một con số nào khác từ 1 đến 6, nó có nghĩa là phải trừ thêm bao nhiêu đơn vị vào số ban đầu để được một bội của 7 (hay số dư khi chia số đó cho 7). Ví dụ, xét số 186.
Đầu tiên, đổi 8 thành 1: 116.
Bây giờ, đổi 1 thành chữ số sau trong dãy số (chữ số 3), cộng nó vào chữ số thứ hai và viết kết quả thay cho cả hai: 3 + 1 =  4. Vì vậy, 116 bây giờ trở thành 46.
Lặp lại quy trình, vì con số này lớn hơn 7. Bây giờ, dựa vào dãy số 4 trở thành 5, rồi cộng thêm vào chữ số 6 tận cùng. Tức là 11.
Lặp lại quy trình một lần nữa: 1 trở thành 3, được cộng vào chữ số thứ hai (1): 3 + 1 =  4.
Bây giờ chúng ta có được một số nhỏ hơn 7, và số này (4) là số dư của phép chia 186/7. Vì vậy, 186 trừ 4, hay là 182, phải là một bội số của 7.
Lưu ý: Lý do tại sao điều này có hiệu lực là vì nếu chúng ta có: a+b=c và b là một bội của một số n bất kỳ, thì a và c nhất thiết sẽ có cùng một số dư khi chia cho n. Ví dụ, trong 2 + 7 = 9 thì 7 chia hết cho 7. Vì vậy 2 và 9 phải có cùng một số dư khi chia cho 7. Số dư đó là 2.
Do đó, nếu một số n là một bội của 7 (nghĩa là: số dư của phép chia n/7 là 0) thì khi cộng (hoặc trừ) thêm vào n một bội khác của 7 ta vẫn được một bội của 7.
Điều mà thuật toán này thực hiện, như đã giải thích ở trên đối với hầu hết các quy tắc chia hết, chỉ đơn giản là trừ từng bội số nhỏ của 7 từ số ban đầu cho đến khi đạt được một số đủ nhỏ để chúng ta nhớ liệu nó có phải là bội số của 7. Nếu chữ số 1 trở thành 3 ở vị trí thập phân tiếp sau nó, điều đó tương tự như chuyển 10×10n thành 3×10n. Và điều này thực sự cũng giống như việc trừ 7×10n (rõ ràng là bội số của 7) vào 10×10n.
Tương tự, khi ta biến chữ số 3 thành chữ số 2 ở vị trí thập phân sau, thực chất ta đang biến 30×10n thành 2×10n, điều này cũng giống như phép trừ 30×10n − 28×10n, và đây lại là một phép trừ bội số của 7. Lý do tương tự cũng áp dụng cho tất cả các biến đổi còn lại:
20×10n − 6×10n = 14×10n
60×10n − 4×10n = 56×10n
40×10n − 5×10n = 35×10n
50×10n − 1×10n = 49×10n
Ví dụ phương pháp thứ nhất
1050 → 105 − 2×0 = 105 − 0 = 105 → 10 − 2×5 = 10 − 10 = 0.
ĐÁP ÁN: 1050 chia hết cho 7.
Ví dụ phương pháp thứ hai
1050 → 0501 (đảo ngược) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (nhân và cộng với các chữ số trong dãy).
ĐÁP ÁN: 1050 chia hết cho 7.
Phương pháp Vệ-đà (Vedic) xét tính chia hết cho 7
Có thể xét tính chia hết cho 7 nhờ phương pháp số mật tiếp trong Toán học Vệ-đà: bằng một phép nhân ước số với một số (nhân tử) gọi là số mật tiếp hay Ekhādika.  Cách làm này còn có thể áp dụng cho xét tính chia hết cho ước số bất kỳ. Đầu tiên đổi ước số cần kiểm tra (tức số 7) sang "họ số 9" bằng cách lấy 7 nhân với 7 để có số 49: 7×7 = 49. Cộng 1 được 50, bỏ đi chữ số đơn vị ta được 5, rồi lấy 5 làm Ekhādika hay nhân tử. Bắt đầu xét tính chia hết từ phía bên phải của số cần xét. Nhân chữ số tận cùng bên phải với 5 rồi cộng tích này với chữ số bên trái ngay sau đó. Viết kết quả vào một dòng ở ngay dưới chữ số đó. Lặp lại phương pháp đó, nhân chữ số tận cùng của số kết quả ở dòng dưới với 5 rồi cộng với chữ số hàng chục. Sau đó cộng thêm chữ số tiếp theo bên trái của số ban đầu. Viết kết quả đó ngay dưới chữ số đó, cứ tiếp tục lặp thuật toán cho đến hết bên trái. Nếu kết quả cuối cùng được là 0 hoặc là một bội số của 7 thì đúng là số ban đầu cũng chia hết cho 7. Nếu không thì không chia hết. Điều này tuân theo cách ghi một dòng lý tưởng trong kinh Vệ-đà.[nguồn không đáng tin?]
Ví dụ phương pháp Vệ-đà:
Xét xem số 438,722,025 có chia hết cho 7 hay không?  Nhân tử = 5.
 4  3  8  7  2  2  0  2  5
 |\ |\ |\ |\ |\ |\ |\ |\ |
42 37 46 37  6 40 37 27 05
ĐÚNG
Phương pháp Pohlman–Mass
Phương pháp Pohlman-Mass cung cấp một lời giải nhanh chóng có thể xác định xem hầu hết các số nguyên có chia hết cho 7 hay không trong ba bước hoặc ít hơn. Phương pháp này có thể hữu ích trong một cuộc thi toán học như MATHCOUNTS, trong đó thời gian là một yếu tố quyết định trong đánh giá kỹ năng giải không cần máy tính và tính điểm trong Vòng Nước rút.
Bước A: Nếu số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng 1.000, trừ hai lần chữ số tận cùng của số vào số được tạo thành bởi các chữ số còn lại. Nếu kết quả là bội số của bảy, thì số ban đầu cũng vậy (và ngược lại). Ví dụ:
112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4  =  7  CÓ
98  -> 9  − (8×2) = 9  − 16 = −7  CÓ
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8  = 55  KHÔNG
Vì 1,001 chia hết cho 7, ta có thể tìm thấy một phát hiện thú vị: cho các bộ số gồm 1, 2 hoặc 3 chữ số lặp lại và các chữ số 0 xen giữa tạo thành các số có 6 chữ số (cho phép các số 0 ở đầu) thì trong đó tất cả các số như vậy đều chia hết cho 7. Ví dụ:
001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730
01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430
111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857
576,576 / 7 = 82,368
Đối với tất cả các ví dụ trên, trừ ba chữ số đầu tiên cho ba chữ số cuối cùng sẽ cho kết quả là bội số của bảy. Lưu ý rằng các số 0 được phép ở đầu để tạo thành xâu gồm 6 chữ số. Phát hiện này là cơ sở cho các bước tiếp theo, B và C.
Bước B: Nếu số nguyên nằm trong khoảng từ 1,001 đến một triệu, hãy tìm xâu gồm các 1, 2 hoặc 3 chữ số lặp lại tạo thành một số có 6 chữ số gần với số nguyên cần xét (cho phép đặt các số 0 ở đầu và điều này có thể giúp bạn hình dung ra số xâu). Nếu hiệu dương giữa xâu đó và số cần xét nhỏ hơn 1.000, hãy áp dụng Bước A. Điều này có thể được thực hiện bằng cách trừ ba chữ số đầu tiên cho ba chữ số cuối cùng. Ví dụ:
341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7     CÓ
67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7   CÓ
Thực tế rằng 999,999 là một bội số của 7 có thể được sử dụng để xác định tính chia hết cho 7 của các số nguyên lớn hơn một triệu bằng cách giảm số nguyên ấy thành số có 6 chữ số có thể được xác định bằng bước B. Có thể được thực hiện dễ dàng điều đó bằng cách cộng thêm các chữ số bên trái sáu chữ số đầu tiên đến với số tạo bởi sáu chữ số và tiếp tục với Bước A.
Bước C: Nếu số nguyên cần xét lớn hơn một triệu, trừ nó cho bội số gần nhất của 999.999 và sau đó áp dụng Bước B. Đối với các số lớn hơn, sử dụng các bộ lớn hơn như số gồm 12 chữ số (999.999.999.999), v.v. Sau đó, biến đổi số nguyên thành một số nhỏ hơn có thể giải được bằng Bước B. Ví dụ:
22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442
   862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Bước A) = 42  CÓ
Điều này cho phép ta cộng và trừ các bộ ba chữ số xen kẽ nhau để xác định khả năng chia hết cho 7. Hiểu được các mẫu này cho phép bạn nhanh chóng tính toán xét chia hết cho 7 như được thấy trong các ví dụ mẫu sau:
Ví dụ phương pháp Pohlman−Mass xét tính chia hết cho 7:
Xét xem 98 liệu có chia hết cho 7?
98  -> 9  − (8×2) = 9  − 16 = −7  CÓ (Bước A)
Xét xem 634 có chia hết cho 7 hay không?
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8  = 55  KHÔNG (Bước A)
Xét xem 355,341 có chia hết cho 7 hay không?
355,341 − 341,341 = 14,000 (Bước B) -> 014 − 000 (Bước B) -> 14 = 1 − (4×2) (Bước A) = 1 − 8 = −7  CÓ
Xét xem 42,341,530 có chia hết cho 7 hay không?
42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Bước C)
341,572 − 341,341 = 231 (Bước B)
231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21  CÓ (Bước A)
Sử dụng một chuỗi cộng trừ đại số xen kẽ:
 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21  CÓ
Phương pháp nhân với 3 để xét tính chia hết cho 7, ví dụ:
Xét xem 98 liệu có chia hết cho 7?
98  -> lấy 9 chia 7 dư 2 -> 2×3 + 8 = 14 CÓ
Xét xem 634 liệu có chia hết cho 7?
634 -> 6×3 + 3 = 21 -> dư 0 -> 0×3 + 4 = 4 KHÔNG
Xét xem 355,341 liệu có chia hết cho 7?
3 * 3 + 5 = 14 -> dư 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> dư 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> dư 2 -> 2×3 + 1 = 7 CÓ
Tìm số dư của 1036125837 chia cho 7
1×3 + 0 = 3 
3×3 + 3 = 12 dư 5 
5×3 + 6 = 21 dư 0 
0×3 + 1 = 1 
1×3 + 2 = 5 
5×3 + 5 = 20 dư 6 
6×3 + 8 = 26 dư 5 
5×3 + 3 = 18 dư 4 
4×3 + 7 = 19 dư 5 
Đáp số là 5
Tìm số dư của một số khi chia cho 7 (một cách khác)
Sử dụng các dãy số sau:
Bắt đầu từ 7 — (1, 3, 2, —1, —3, —2, chu kỳ 6 của dãy được lặp lại cho sáu chữ số tiếp theo, quay lại từ 1, 3,...) Chu kỳ: 6 chữ số. Các số lặp lại: 1, 3, 2, −1, −3, −2. Đây là dãy số độ lớn cực tiểu
hoặc dãy số dương:
(1, 3, 2, 6, 4, 5, chu kỳ lặp lại cho sáu chữ số tiếp theo) Chu kỳ: 6 chữ số. Số lặp lại: 1, 3, 2, 6, 4, 5
Nhân chữ số tận cùng bên phải (hàng đơn vị) của số cần xét với chữ số bên trái đầu tiên của một trong hai dãy trên, sau đó lại nhân chữ số thứ hai tính từ bên phải tiếp đó của số cần xét với số thứ hai bên trái của dãy, cứ như vậy làm phép nhân cho đến hết. Sau đó, tính tổng tất cả các giá trị và lấy môđun của 7.
Ví dụ: Số dư khi 1036125837 chia cho 7 là bao nhiêu?
Phép nhân chữ số tận cùng bên phải = 1×7 = 7
Phép nhân chữ số thứ hai tính từ bên phải = 3 × 3 = 9
Chữ số thứ ba tính từ bên phải = 8 × 2 = 16
Chữ số thứ tư tính từ bên phải = 5 × −1 = −5
Chữ số thứ năm tính từ bên phải = 2 × −3 = −6
Chữ số thứ sáu tính từ bên phải = 1 × −2 = −2
Chữ số thứ bảy tính từ bên phải = 6 × 1 = 6
Chữ số thứ tám tính từ bên phải = 3 × 3 = 9
Chữ số thứ chín tính từ bên phải = 0
Chữ số thứ mười tính từ bên phải = 1 × −1 = −1
Tổng = 33
33 mod 7 = 5
Phần dư = 5
Phương pháp cặp chữ số chia hết cho 7
Phương pháp này sử dụng dãy mẫu 1, −3, 2 trên các cặp chữ số. Nghĩa là, có thể kiểm tra khả năng chia hết của bất kỳ số nào cho 7 bằng cách đầu tiên tách số đó thành các cặp chữ số, sau đó nhân từng cặp chữ số đó với từng số của dãy, làm vậy tới ba cặp chữ số (tức là tới sáu chữ số). Nếu số cần xét nhỏ hơn sáu chữ số, thì điền thêm các chữ số 0 vào bên phải cho đến khi có sáu chữ số. Nếu số cần xét lớn hơn sáu chữ số, thì lặp lại chu kỳ trên cho nhóm sáu chữ số tiếp theo và sau đó cộng các kết quả với nhau. Lặp lại thuật toán này cho đến khi kết quả được một số đủ nhỏ. Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được bằng cách sử dụng thuật toán này chia hết cho 7. Phương pháp này đặc biệt phù hợp với các số nguyên lớn.
Ví dụ 1:
Số cần kiểm tra là 157514. Đầu tiên ta tách số đó thành các cặp chữ số: 15, 75 và 14.
Sau đó ta áp dụng thuật toán: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
Vì kết quả là 182 nhỏ hơn sáu chữ số, ta thêm số 0 vào bên phải cho đến khi nó có sáu chữ số.
Sau đó, chúng ta lại áp dụng thuật toán: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42
Kết quả −42 ta đã biết chia hết cho 7, do đó số ban đầu 157514 cũng chia hết cho 7.
Ví dụ 2:
Số cần kiểm tra là 15751537186.
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
Kết quả −77 chia hết cho 7, do đó số ban đầu 15751537186 ​​chia hết cho 7.