Giới thiệu thuyết tương đối rộng
Hình học và hấp dẫn > Phương trình trường Einstein

Phương trình trường Einstein là mảnh ghép trung tâm của thuyết tương đối tổng quát. Chúng cung cấp một công thức chính xác của mối liên hệ giữa hình học không thời gian và các tính chất của vật chất, sử dụng ngôn ngữ của toán học. Cụ thể hơn, chúng được thiết lập nhờ các khái niệm của hình học Riemann, trong đó các tính chất hình học của một không gian (hoặc không thời gian) được miêu tả bởi một đại lượng gọi là metric. Metric chứa các thông tin cần thiết để tính toán ra những khái niệm hình học cơ bản đó là khoảng cách và góc trong không gian cong (hoặc không thời gian cong).
Một mặt cầu giống như Trái Đất cung cấp một ví dụ đơn giản. Vị trí của bất kì một điểm nào trên bề mặt có thể được miêu tả bằng hai tọa độ: độ vĩ và độ kinh địa lý. Không giống như tọa độ Đề Các trong một mặt phẳng, hiệu các tọa độ là không giống nhau về khoảng cách trên một mặt, như được chỉ ra ở hình bên phải: đối với một người tại xích đạo, di chuyển sang 30 độ kinh tây (đường màu hồng) tương ứng với khoảng cách gần 3.300 ki-lô-mét (2.051 mi). Mặt khác một người khác tại vĩ độ 55 độ, di chuyển sang 30 độ kinh tây sẽ chỉ tương ứng với khoảng cách 1.900 ki-lô-mét (1.181 mi). Các tọa độ do vậy không cung cấp đủ thông tin để miêu tả hình học của một mặt cầu, hay hình học của không gian hoặc không thời gian phức tạp hơn. Các thông tin chính xác được hàm chứa trong metric, là một hàm xác định tại mỗi điểm của bề mặt (hoặc không gian, hoặc không thời gian) và liên hệ theo khoảng cách hiệu giữa các tọa độ khác nhau. Những đại lượng thường gặp khác trong hình học, như độ dài của một đường cong bất kì, hay góc tại nơi hai đường cong cắt nhau, có thể được tính toán từ hàm metric này.
Hàm metric và tốc độ thay đổi của nó từ điểm này đến điểm khác có thể được sử dụng để định nghĩa một đại lượng hình học gọi là tenxơ độ cong Riemann, tenxơ này miêu tả một cách chính xác không gian (hoặc không thời gian) bị cong như thế nào tại mỗi điểm. Như đã được đề cập bên trên, thành phần vật chất trong không thời gian xác định một đại lượng khác, tenxơ năng lượng-động lượng T, và nguyên lý "không thời gian nói với vật chất cách di chuyển, và vật chất nói với không thời gian cong như thế nào" có nghĩa là những tenxơ này phải được liên hệ với nhau. Einstein đã thiết lập lên quan hệ này bằng cách sử dụng tenxơ độ cong Riemann và metric để xác định một đại lượng hình học khác gọi là tenxơ Einstein, nó miêu tả một số khía cạnh cách không thời gian cong. Phương trình trường Einstein được viết thành
\mathbf {G} ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\mathbf {T}
theo đó, nếu bỏ qua các hằng số, đại lượng G (đo độ cong) phải bằng với đại lượng T (đo thành phần vật chất). Các hằng số trong phương trình phản ánh các lý thuyết khác nhau được kết hợp vào trong thuyết tương đối rộng: G là hằng số hấp dẫn đã được biểu diễn trong mô hình hấp dẫn của Newton; c là vận tốc ánh sáng, một hằng số quan trọng trong thuyết tương đối hẹp; và π là một hằng số cơ bản của hình học.
Phương trình này thường được gọi theo số nhiều Hệ phương trình trường Einstein, do các đại lượng G và T, mỗi đại lượng được xác định bởi một số hàm của các tọa độ trong không thời gian, và các phương trình đặt sự bằng nhau với mỗi các hàm thành phần.Một nghiệm của những phương trình này miêu tả cấu trúc hình học cụ thể của không gian và thời gian; ví dụ, nghiệm Schwarzschild miêu tả hình học xung quanh một vật thể hình cầu, không quay như là các ngôi sao hoặc một lỗ đen, trong khi nghiệm Kerr miêu tả một lỗ đen quay. Lại có những nghiệm (lời giải) khác miêu tả sóng hấp dẫn hay vũ trụ đang giãn nở trong nghiệm Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker. Lời giải đơn giản nhất là không thời gian không bị cong Minkowski, không thời gian được miêu tả trong thuyết tương đối đặc biệt.