Çember sıkıştırma teoremi
Benzersizlik

Bir maksimal düzlemsel çizge G, düzlemselliği korurken daha fazla kenarın eklenemeyeceği sonlu basit bir düzlemsel çizgedir. Böyle bir çizgenin, gömme işleminin her yüzünün (dış yüz dahil) bir üçgen olduğu her zaman benzersiz bir düzlemsel gömmesi vardır. Diğer bir deyişle, her bir maksimal düzlemsel çizge G, küreye homeomorfik olan basit bir kompleksin 1-iskeletidir. Çember sıkıştırma teoremi, kesişme çizgesi G'ye izomorfik olan sonlu sayıda çember ile sıkıştırılmış bir çemberin varlığını garanti eder. Aşağıdaki teoremin daha formal olarak belirttiği gibi, her maksimal düzlemsel çizge en fazla bir sıkıştırmaya sahip olabilir.
Koebe–Andreev–Thurston teoremi: G sonlu bir maksimal düzlemsel çizge ise, teğet çizgesi G’ye izomorfik olan çember sıkıştırması, Möbius dönüşümlerine ve doğrulardaki yansımalara kadar benzersizdir.
Thurston, bu benzersizliğin Mostow rijitlik teoreminin bir sonucu olduğunu gözlemler. Bunu görmek için, G bir çember sıkıştırmasıyla temsil edilsin. Daha sonra çemberlerin sıkıştırıldığı düzlem, üç boyutlu hiperbolik uzay için bir yarı uzay modelinin sınırı olarak görülebilir; bu bakış açısıyla, her çember hiperbolik uzay içindeki bir düzlemin sınırıdır. Bu şekilde sıkıştırmanın çemberlerinden bir dizi ayrık düzlem ve sıkıştırma içindeki üç çemberin arasındaki her bir üçgen boşluğu çevreleyen çemberlerle tanımlanan ikinci bir ayrık düzlemler kümesi tanımlanabilir. Bu iki düzlem kümesinin dik açılarla kesişir ve temel alanı hiperbolik bir manifold olarak görülebilen bir yansıma grubunun jeneratörlerini oluşturur. Mostow rijitliği ile, bu alanın hiperbolik yapısı, hiperbolik uzayın izometrisine kadar benzersiz bir şekilde belirlenir; bu izometriler, yarı düzlem modelin sınırındaki Öklid düzlemindeki eylemleri açısından bakıldığında, Möbius dönüşümlerine çevrilir.
Maksimum prensibine ve üç karşılıklı teğet çemberin merkezlerini birbirine bağlayan üçgende, çemberlerden birinin merkezinde oluşan açı, yarıçapında azalan monoton, diğer iki yarıçapta artan monotondur ve aynı benzersizlik özelliğinin daha basit bir kanıtı da vardır. Aynı G çizgesi için iki sıkıştırma verildiğinde, bu iki sıkıştırmadaki dış çemberlerin birbirine karşılık gelmesi ve aynı yarıçaplara sahip olması için yansımalar ve Möbius dönüşümleri uygulanabilir. O halde v, iki sıkıştırmadaki çemberlerin olabildiğince birbirinden uzak boyutlara sahip olduğu bir G iç tepe noktası olsun: bu, v’nin iki sıkıştırmadaki çemberlerinin yarıçaplarının r1/r2 oranını maksimize etmek için seçilmesi demektir. G’nin v içeren her bir üçgen yüzü için, birinci sıkıştırmadaki v için çemberin merkezindeki açının, ikinci sıkıştırmadaki açıya eşit veya daha küçük olduğu izlenir; eşitlik yalnızca üçgeni oluşturan diğer iki daire iki sıkıştırmada aynı r1/r2 yarıçap oranına sahipken olur. Ancak, üçgenin merkezini çevreleyen tüm bu üçgenlerin açılarının toplamı, her iki sıkıştırmada da 2, olmalıdır, bu nedenle, v’ye komşu tüm köşeler, v’nin kendisiyle aynı orana sahip olmalıdır. Aynı argümanı diğer çemberlere sırayla uygulayarak, her iki sıkıştırmadaki tüm çemberlerin aynı orana sahip olduğu sonucu çıkar. Ancak dış çemberler oran 1 olacak şekilde dönüştürülmüştür, yani r1/r2 = 1 ve iki sıkıştırmada tüm çemberler için aynı yarıçaplara sahiptir.