Kepler yörüngesi
Yasaların geliştirilmesi > Yukarıdaki diferansiyel denklemin (1) matematiksel çözümü

Herhangi bir merkez kuvveti altında yani r bir kuvvet paraleli ve hareket için, belirli bağıl açısal momentumu  \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }} sabit kalır:

 {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}
Pozisyonun çapraz ürünü vektör ve onun hızı olduğu için sabit kaldığından, aynı düzelmde bulunmak zorundadırlar. ( \mathbf {H} 'ye ortogonal). Bu vektör, fonksiyonun, bir düzlem eğrisi olduğu  anlamına gelir. Denklemin kökeni etrafında simetri vardır, çünkü kutupsal koordinatlarda çözmek kolaydır. Bununla birlikte, bu denklem dikkat etmek önemlidir 1 doğrusal ivmeye refere eder  \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right), açısalın karşıtı olarak  \left({\ddot {\theta }}\right) yahut radyal  \left({\ddot {r}}\right) ivmelenme. Bu nedenle, denklemi değiştiren kişinin dikkatli olması gerekir.Şimdi kartezyen koordinat sistemine  ({\hat {\mathbf {x} }}\ ,\ {\hat {\mathbf {y} }}) ve kutupsal birim vektörlere  ({\hat {\mathbf {r} }}\ ,\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}) düzlemi octoganelinde bakalım  \mathbf {H} :
{\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}

 {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}
Şimdi vektör  \mathbf {r}  fonksiyonunu yeniden yazabiliriz ve diferansiyali şöyledir as:
\mathbf {r} =r(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }})=r{\hat {\mathbf {r} }}
{\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}
{\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}
(Vektör calculusunu inceleyiz). Bunları yerine yazarsak şunu buluruz:
 (1)
({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\left(-{\frac {\mu }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\boldsymbol {\theta }}}
Bu sıradan olmayan polar diferansiyel denklem verir:
Bu denklemi çözmek için, öncelikle her zaman diferansiyel lineerini ortadan kaldırmak gerekir. Şuna ulaşırız:
H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=|(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),0)\times ({\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }},{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }},0)|=|(0,0,r^{2}{\dot {\theta }})|=r^{2}{\dot {\theta }}
(3)'ün zaman diferansiyalinii aldığımız zaman, şuna ulaşırız:
(3) ve (4}) denklemleri 'ın diferansiyellerini elememize izin verir.. In order to eliminate the time derivatives of  \theta 'ın zaman diferansiyellerini ellimine etmek için uygun kısaltmaları bulmak bunun için de zincir kuralı kullanmamız gerekir.
{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}
{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}
{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}
Diferansiyel denklem (7) değişken değişimi ile analitik çözülebilir
Bu verilenleri kullanarak, in (2)'deki tüm zaman diferansiyelleri yoksayılabilir ve bizi  r\theta \,.

 {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}
(10) ve (9)'da belirtilenleri   {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}} ve  {\frac {dr}{d\theta }} için kullanarak
genel bir sonuca ulaşılır.
e ve  \theta _{0}\,'un başlangıçtaki s ve  {\frac {ds}{d\theta }}'n başlangıç değerlerinin integral sabitleri olursa, integralinin sabitini kullanmak yerine birim vektörleri    kullanıma alınır ve seçilen yörünge alanındaki koordinat sistemini belirler, böylece   sıfır değerini alır ve e is pozitiftir. Bu şu anlama gelir: 'in maksimum olduğu yerde  sıfırdır ve böylece   minimumdur. p parametresini  {\frac {H^{2}}{\mu }} olarak tanımlarsak şu ortaya çıkar.