Johann Jakob Burckhardt
Araştırmaları ve diğer çalışmaları

Burckhardt, kendisi tarafından yazılan standart bir çalışmanın konusu olan kristalografik uzay gruplarını türetmesiyle tanınır. 230 uzay grubu 1888 yılında Schoenflies tarafından ve bağımsız olarak 1891 yılında Fedorov tarafından yayımlanmıştır. İki boyutlu durum 1924 yılında Pólya ve Niggli tarafından matematiksel olarak ele alınmıştı.  Burckhardt 1930'larda üç boyutlu durumu matematiksel olarak çözdü, yani cebirsel bir belirleme yöntemi belirledi. Frobenius ve Bieberbach'ın n-boyutlu uzaylardaki uzay grupları üzerine sonuçlarını kullandı ve Arithmetische Kristallklasse (aritmetik kristal sınıfı) kavramını ortaya attı. Onun yöntemi daha yüksek boyutlarda da kullanılabilir.
Speiser ve Fueter'in ısrarıyla Burckhardt, Paul Finsler'in küme teorisinin bir tanımını yazdı. Bu, Fueter ve Speiser'in önerisi üzerine, Finsler'in çoğunlukla belirsiz olan fikirlerini diğer matematikçilere anlaşılır bir şekilde açıklamak amacıyla yapılmıştır.
Burckhardt ayrıca matematik tarihi üzerine de yayınlar yapmıştır. Matematik tarihi üzerine diğer çalışmalarının yanı sıra Ludwig Schläfli'nin matematiği ile ilgilenmiş ve Schläfli'nin toplu eserlerinin yayınlanmasından sorumlu Steiner-Schläfli Komitesi'nin bir üyesi olmuştur. Burckhardt,  Dictionary of Scientific Biography için Schläfli hakkında bir makale ve Elemente der Mathematik dergisi için Schläfli'nin biyografisini yazdı.
Schläfli ile ilgili çalışmalarının yanı sıra, Fueter, Marcel Grossmann, Heinz Hopf, Karl Heinrich Gräffe, Ferdinand Rudio, Carl Friedrich Geiser, Rudolf Wolf ve Jakob Steiner hakkında Neue Deutsche Biographie ve Dictionary of Scientific Biography için matematiksel biyografiler yazdı.
Burckhardt (kısmen van der Waerden ile birlikte), Orta Çağ İslam astronomlarının yazılarını (örneğin Harezmi'nin gezegen tabloları) incelemiştir.
1957'den 1975'e kadar başkan yardımcılığını yaptığı İsviçre Euler Komisyonu'nun (1952-1975) 1957'den 1975'e kadar üyesiydi. Karl Matter ve Edmund Hoppe ile birlikte Euler'in toplu eserlerinin III/2 cildinin, Rechenkunst (Cenevre 1942), editörlüğünü yapmıştır. Bu bağlamda, Euler'in bazı fiziksel incelemelerini düzenlemiş ve yazışmalar listesinin derlenmesinde yer almıştır (Seri IV A, Cilt 1, 1975).
1950'den 1982'ye kadar Commentarii Mathematici Helvetici dergisinin editörlüğünü yaptı.
Burckhardt ayrıca kristalografinin tarihi üzerine bir kitap ve Schoenflies ve Fedorov tarafından uzay gruplarının keşfinin tarihi üzerine denemeler yazdı. 1966'da Ulrich Wagner'in 1483 tarihli "Bamberger Rechenbuch" (Bamberg aritmetik kitabı) adlı eserinin Zentralbibliothek Zürich'te bulunan bir nüshasının tıpkıbasımını yayınladı. (1483 baskısının sadece iki nüshası bilinmektedir. Diğer nüsha Zwickau'dadır).
Burckhardt aynı zamanda çevirmen olarak da çalışmıştır. Emil Schubarth ile işbirliği içinde Leonard Dickson'ın 1923 tarihli Algebras and their arithmetics kitabını Andreas Speiser'in verdiği görev üzerine Algebren und ihre Zahlentheorie (Orell Füssli, Zürich 1927) adıyla Almancaya çevirdi. Dickson'ın kitabının Almanya'da cebirsel teori ve cebirsel sayılar teorisinin gelişimi üzerinde büyük etkisi oldu. Burckhardt, Coxeter'in 1961 tarihli ünlü geometri ders kitabı "Geometriye Giriş" ("Introduction to Geometry") adlı eseri 1981'de yeni ve gözden geçirilmiş 2. baskısıyla "Unvergängliche Geometrie" (Birkhäuser, Basel 1963) adıyla Almancaya çevirdi.