Hamilton mekaniği
Lagranjiyen mekaniğinin yeni bir formülasyonu olarak

Hareket denklemleri Larganjiyen mekaniği ile başlayarak genelleştirilmiş koordinat sistemi üzerine kurulmuştur
ve genelleştirilmiş hız ile örtüşmektedir.
Lagranjiyen genel formunda aşağıdaki şekilde yazılır;
alt indisler ise bu türdeki tüm N değişkenleri tanımlar. Hamilton mekaniğinin amacı genelleştirilmiş hız değişkenlerini genelleştirilmiş momentum değişkenleri ile değiştirmektir. Genelleştirilmiş momentum değişkenleri konjuge momentum olarak da bilinmektedir. Böylelikle bazı sistemleri ele alarak incelemek mümkün hale gelmektedir. Quantum mekaniğindeki bazı problemler bunlara örnek olarak sayılabilir ve Hamilton mekaniğinin yardımı olmadan bu sistemler çok daha karmaşık bir hal almaktadır.
Tanımlanan her bir genelleştirilmiş hız için, buna karşılık gelen bir genelleştirilmiş konjuge momentum vardır ve aşağıdaki şekilde ifade edilir;
Kartezyen koordinat sistemlerinde genelleştirilmiş momentum tam olarak lineer (doğrusal) momentuma karşılık gelir. Dairesel (kutupsal) koordinat sisteminde ise açısal hız ile ilişkilendirilen genelleştirilmiş momentum açısal momentuma karşılık gelir. Rastgele bir seçim ile tanımlanan genelleştirilmiş koordinat sistemleri her zaman sezgisel bir konjuge momentum karşılığına sahip olmayabilir.
Bu koordinata bağımlı formülasyonda açıkça görünmeyen bir durum vardır. Aynı simplektik (symplectic) manifoldlardaki farklı genelleştirilmiş koordinatlar, farklı koordinat yamalarından çok da farklı değillerdir (matematiksel formülasyonu aşağıda görünmektedir).
Lagranjiyenin Legendre dönüşümü olan Hamiltonyen şu şekildedir;
Eğer ki genelleştirilmiş koordinatları tanımlayan dönüşüm denklemleri t'den bağımsız ise ve Lagranjiyen 0, 1 veya 2. dereceden homojen bir fonksiyonun ürünlerinin toplamından oluşuyor ise, Hamiltonyen H toplam enerji E = T + V 'ye eşittir.
Hamiltonyen H'in tanımında gösterilen eşitliğin her tarafı bir diferansiyel denklem oluşturmaktadır:
Eşlenik katsayıları ve konjuge momentumun önceki tanımını bu denklemde yerine yazarak Hamilton mekaniğinin hareket denklemleri elde edilir. Bu denklemler aynı zamanda Hamilton mekaniğinin standart (canonical) denklemleri olarak da bilinir:
Hamilton denklemleri 2n tane birinci dereceden diferansiyel denklemden oluşmasına karşın Lagrange denklemleri n tane ikinci dereceden diferansiyel denklemden oluşur. Buna karşın Hamilton denklemleri, hareket denklemlerine açık bir çözüm bulmayı kolaylaştırmaz. Bir takım önemli teorik sonuçlar elde edilebilebilmesi Hamilton denklemlerinin sağladığı bazı avantajlardandır. Bu durum momentum ve koordinatların neredeyse simetrik role sahip bağımsız değişkenler olması ile mümkündür.
Hamilton denklemlerinin Lagrange denklemleri üzerindeki bir diğer avantajı ise simetri bulunan herhangi bir koordinatın çözüm denklemlerinin ihmal edilebilmesidir. Simetri bulunan sistemlerde yani Hamiltonyenin ortaya çıkmadığı koordinatlarda, bu sisteme karşılık gelen momentumlar korunur. Bu sayede problem  n koordinatdan (n − 1) koordinata indirgenmiş olur.
Lagrange ve Hamilton yaklaşımları, klasik mekanik teorisinde ve kuantum mekaniğinin formülasyonları için daha derin sonuçların zeminini oluşturmaktadır.