Sayı
Sınıflandırma > Reel sayılar

Ana madde: Reel sayılar
İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesini oluşturur. Bu kümeye reel sayılar veya gerçek sayılar da denir.
Reel sayılar için kullanılan sembol 'R'dir ve  \mathbb {R}  şeklinde de ifade edilir. Bu sembol, ölçümle ilgili tüm sayıları kapsar. Her bir reel sayı, sayı doğrusu üzerinde belirli bir noktayla ilişkilendirilir. İzleyen metin, özellikle pozitif reel sayılar üzerine yoğunlaşacaktır. Negatif reel sayıların işlenişi, aritmetik kuralların genel prensipleri çerçevesinde gerçekleştirilir ve bunların gösterimi, karşılık gelen pozitif sayının önüne eksi işareti eklenerek yapılır, mesela -123.456.
Birçok reel sayı, ancak ondalık sayılar aracılığıyla yaklaşık bir biçimde temsil edilebilir; bu durumda ondalık nokta, birler basamağındaki rakamın hemen sağ tarafına konumlandırılır. Ondalık noktasının sağ tarafında yer alan her bir rakam, solundaki rakamın basamak değerinin onda birine eşit bir değere sahiptir. Mesela, 123.456 sayısı, 123456/1000 olarak ifade edilir ki bu, yüz iki on, üç bir, dört ondalık, beş yüzdelik ve altı binde bir anlamına gelir. Bir reel sayı, yalnızca rasyonel ise ve onun kesirli kısmı, 2 veya 5 sayılarının asal çarpanlarını içeren bir paydaya sahipse, sınırlı sayıda ondalık basamak ile ifade edilebilir. Bu sayılar, ondalık sistemdeki taban olan 10'un asal çarpanlarıdır. Örneğin, bir yarım için 0.5, bir beşte bir için 0.2, bir onda bir için 0.1 ve bir elli de bir için 0.02 değerleri kullanılır. Diğer reel sayıları ondalık olarak ifade etmek, ondalık noktasının sağ tarafında sonsuz bir rakam dizisi gerektirecektir. Eğer bu sonsuz rakam dizisi belli bir deseni izliyorsa, bu desen üç nokta veya deseni gösteren diğer bir gösterim ile ifade edilebilir. Bu tür bir ondalık sayıya 'tekrar eden ondalık' denir. Bu bağlamda, 1/3 sayısı, desenin sürekliliğini belirten üç nokta ile 0.333... şeklinde ifade edilir. Sürekli tekrar eden 3'ler ayrıca 0.3 şeklinde de gösterilir.
Bu tekrar eden ondalık sayılar (sıfırların yeniden oluşumu dahil), rasyonel sayıları kesinlikle belirtir; yani, her rasyonel sayı reel bir sayıdır ancak her reel sayının rasyonel olması gerekmez. Rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı adı verilir. Tanınmış irrasyonel gerçek sayılardan biri, herhangi bir dairenin çevresinin çapına oranı olan π sayısıdır. Pi, bazen
şeklinde ifade edildiğinde, noktalı virgül, ondalık kısmın tekrar ettiğini değil, ondalık kısmın sonunun olmadığını gösterir. π sayısının irrasyonel olduğu ispatlanmıştır. İrrasyonel bir reel sayı olduğu ispatlanan diğer bir ünlü sayı,
2'nin kareköküdür, yani karesi 2 olan benzersiz pozitif gerçek sayıdır. Bu iki sayı, trilyonlarca ( 1 trilyon = 1012 = 1,000,000,000,000 ) basamağa kadar (bilgisayar yardımıyla) yaklaşık olarak hesaplanmıştır.
Bu belirgin örneklerin yanı sıra, reel sayıların neredeyse tamamı irrasyonel niteliktedir ve bu sebepten ötürü tekrar eden desenlere sahip değillerdir, bu yüzden bunlara karşılık gelen ondalık gösterimleri de mevcut değildir. Bu sayılar, yalnızca ondalık gösterimlerle yaklaşık bir şekilde temsil edilebilirler; bu, yuvarlanmış ya da kesilmiş reel sayıları ifade eder. Herhangi bir yuvarlanmış veya kesilmiş sayı doğası gereği bir rasyonel sayıdır ve bunlardan yalnızca sayılabilir derecede çoklukta bulunur. Ölçümlerin tümü, doğaları gereği yaklaşık değerlerdir ve daima bir hata marjına sahiptirler. Bu çerçevede, 123.456 sayısı, 1234555/10000'den büyük veya eşit ve 1234565/10000'den kesinlikle küçük olan herhangi bir gerçek sayı için bir yaklaşık olarak kabul edilir (3 ondalık basamağa yuvarlama); ya da 123456/1000'den büyük veya eşit ve 123457/1000'den kesinlikle küçük olan herhangi bir reel sayı için bir yaklaşık olarak kabul edilir (3. ondalık basamağın ardından kesme). Ölçümün kendisi kadar hassasiyeti öneren rakamlar elenmelidir. Kalan rakamlar, o zaman önemli rakamlar olarak adlandırılır. Örneğin, bir cetvel ile yapılan ölçümler genellikle en az 0.001 metre hata payı olmaksızın gerçekleştirilemez. Eğer bir dikdörtgenin kenarları 1.23 m ve 4.56 m olarak ölçülürse, çarpım sonucunda dikdörtgenin alanı için 5.614591 m2 ile 5.603011 m2 arasında bir değer elde edilir. Ondalık noktasından sonra ikinci basamak bile korunmadığı için, sonraki basamaklar önemli kabul edilmez. Bu sebeple, sonuç genelde 5.61 olarak yuvarlanır.
Aynı kesir birden fazla şekilde ifade edilebildiği gibi, aynı reel sayının da birden fazla ondalık gösterimi mümkündür. Örnek olarak, 0.999..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., hepsi 1 doğal sayısını ifade eder. Bir reel sayı için mümkün olan ondalık gösterimler; belirli bir ondalık basamağına kadar olan bir yaklaşım, sınırsız sayıda ondalık basamağı boyunca devam eden bir desenin oluşturulduğu bir yaklaşım veya yalnızca sonlu sayıda ondalık basamağı içeren bir kesin değer şeklinde olabilir. Bu son durumda, son sıfır olmayan basamak, bir altındaki rakam ile değiştirilip ardından sınırsız sayıda 9 eklenerek veya son sıfır olmayan basamağın ardından sınırsız sayıda 0 eklenerek de ifade edilebilir. Dolayısıyla, kesin bir gerçek sayı olan 3.74, aynı zamanda 3.7399999999... ve 3.74000000000.... olarak da ifade edilebilir. Benzer biçimde, sınırsız sayıda 0 içeren bir ondalık sayı, sağdaki en uçtaki sıfır olmayan basamağın sağında yer alan 0'lar çıkarılarak; sınırsız sayıda 9 içeren bir ondalık sayı ise, 9'dan küçük olan en sağdaki basamağın bir artırılması ve bu basamağın sağında yer alan tüm 9'ların 0'a dönüştürülmesiyle yeniden yazılabilir. Son olarak, bir ondalık noktasının sağındaki sınırsız 0 dizisi göz ardı edilebilir. Örneğin, 6.849999999999... = 6.85 ve 6.850000000000... = 6.85 olarak kabul edilir. Eğer bir sayısal ifadedeki tüm rakamlar 0 ise, bu sayı 0 olarak kabul edilir ve eğer bir sayısal ifadedeki tüm rakamlar bitmeyen bir 9 dizisinden oluşuyorsa, ondalık noktasının sağındaki dokuzlar ihmal edilip, ondalık noktasının solundaki 9 dizisine bir eklenerek ifade edilebilir. Mesela, 99.999... = 100 olarak kabul edilir.
Reel sayılar, enaz ve enüs olarak bilinen ancak oldukça teknik düzeyde bir özelliğe sahiptir. Bir sıralı alanın, reel sayıların tamlık özelliğine de sahip olduğu ispatlandığında, bu alanın gerçek sayılarla izomorf olduğu ortaya konabilir. Fakat, gerçek sayılar  x^{2}+1=0 cebirsel denkleminin bir çözümünü (çoğunlukla eksi birin karekökü olarak ifade edilir) içermedikleri için, cebirsel kapalı cisim oluşturmazlar.