stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Matematik Konu Sınıflandırması
Tarihi

Amerikan Matematik Topluluğu'nun (İng. AMS) MSC hakkındaki yardım sayfasına göre, MSC 1940'tan beri birçok kez revize edilmiştir. AMS'nin Matematik Offprint Servisi'ni (MOS) organize etme şemasına bağlı olarak, AMS Sınıflandırması 1960'larda Mathematical Reviewsteki incelemelerin sınıflandırılması için oluşturulmuştur ve yıllar içinde çeşitli özel değişiklikler görmüştür. Eksikliklerine rağmen, Zentralblatt für Mathematik de 1970'lerde bu sınıflandırmayı kullanmaya başlamıştır. 1980'lerin sonlarında, Mathematical Reviews ve Zentralblatt für Mathematik tarafından Matematik Konu Sınıflandırması adı altında daha biçimsel kurallara sahip ve ortak revize edilmiş bir şema üzerinde anlaşmaya varılmıştır. MSC1990 , MSC2000 ve MSC2010 olarak çeşitli revizyonlar görmüştür. Temmuz 2016'da Mathematical Reviews ve zbMATH, MSC'nin bir sonraki revizyonu için matematik topluluğundan görüş toplamaya başladı. Bu revizyon Ocak 2020'de MSC2020 olarak yayınlandı.
Eskiden varolan alanların orijinal sınıflandırması değiştirilmedi. İlk seviyedeki değişiklikler (güncel  kodlarıyla) 03, 08, 12-20, 28, 37, 51, 58, 74, 90, 91, 92 kodlu konuları içeriyordu.
Diğer sınıflandırma şemalarıyla ilişkisi

Fizik makaleleri için genellikle Fizik ve Astronomi Sınıflandırma Şeması (PACS) kullanılır. Matematik ve fizik araştırmaları arasındaki büyük örtüşme nedeniyle, özellikle arXiv gibi disiplinler arası dergiler ve depolar için araştırma makalelerinde hem PACS hem de MSC kodlarını görmek oldukça yaygındır.
ACM Hesaplama Sınıflandırma Sistemi (CCS), bilgisayar bilimi için benzer bir hiyerarşik sınıflandırma şemasıdır. AMS ve ACM sınıflandırma şemaları arasında, hem matematik hem de bilgisayar bilimiyle ilgili konularda bazı örtüşmeler vardır; ancak, iki şema bu konuların organizasyonunun ayrıntılarında farklılık gösterir.
arXiv'de kullanılan sınıflandırma şeması, sunulan makaleleri yansıtacak şekilde seçilmiştir. arXiv çok disiplinli olduğundan sınıflandırma şeması MSC, ACM veya PACS sınıflandırma şemalarına tamamen uymaz. Bu şemalardan bir veya daha fazlasından gelen kodları tek tek makalelerde görmek yaygındır.
Birinci seviye alanlar

00: Genel ve kapsayıcı konular; koleksiyonlar
01: Tarih ve biyografi
03: Matematiksel mantık ve temeller (model teorisi, hesaplanabilirlik teorisi, küme teorisi, ispat teorisi ve cebirsel mantık da dahil olmak üzere)
05: Kombinatorik
06: Sıra, latisler, sıralı cebirsel yapılar
08: Genel cebirsel sistemler
11: Sayılar teorisi
12: Cisim teorisi ve polinomlar
13: Değişmeli cebir (Değişmeli halkalar ve cebirler )
14: Cebirsel geometri
15: Doğrusal ve çoklu doğrusal cebir; matris teorisi
16: Birleşmeli halkalar ve (birleşmeli) cebirler
17: Birleşmesiz halkalar ve (birleşmesiz) cebirler
18: Kategori teorisi; homolojik cebir
19: K-teorisi
20: Grup teorisi ve genellemeler
22: Topolojik gruplar, Lie grupları
26: Gerçel fonksiyonlar
28: Ölçü ve integral
30: Bir karmaşık değişkenli fonksiyonlar
31: Potansiyel teorisi
32: Çok karmaşık değişkenli analiz ve analitik uzaylar
33: Özel fonksiyonlar
34: Adi diferansiyel denklemler
35: Kısmi diferansiyel denklemler
37: Dinamik sistemler ve ergodik teori
39: Fark denklemleri ve fonksiyonel denklemler
40: Diziler, seriler, toplanabilirlik
41: Yaklaştırımlar ve açılımlar
42: Öklid uzaylarında harmonik analiz
43: Soyut harmonik analiz
44: İntegral dönüşümleri, İşleç analizi
45: İntegral denklemleri
46: Fonksiyonel analiz
47: Operatör teorisi
49: Varyasyonlar hesabı ve optimum kontrol; optimizasyon
51: Geometri
52: Dışbükey ve ayrık geometri
53: Diferansiyel geometri
54: Genel topoloji
55: Cebirsel topoloji
57: Manifoldlar ve hücre kompleksleri
58: Global analiz, çok katlılar üzerinde analiz
60: Olasılık teorisi ve stokastik süreçler
62: İstatistik
65: Sayısal analiz
68: Bilgisayar bilimi
70: Parçacık ve sistemlerin mekaniği
74: Deforme olabilen katıların mekaniği
76: Akışkanlar mekaniği
78: Optik, elektromanyetik teori
80: Klasik termodinamik, ısı transferi
81: Kuantum teorisi
82: İstatistiksel mekanik, maddenin yapısı
83: Görelilik ve kütle çekimi teorisi
85: Astronomi ve astrofizik
86: Jeofizik
90: Yöneylem araştırması, matematiksel programlama
91: Oyun teorisi, ekonomi, finans ve diğer sosyal bilimler ve davranış bilimleri
92: Biyoloji ve diğer doğa bilimleri
93: Sistemler teorisi; kontrol
94: Enformasyon ve iletişim, devreler
97: Matematik eğitimi
Çizgi integrali

Matematikte bir çizgi integrali (bazen yol integrali, eğri integrali veya eğrisel integral de denilir), integrali alınan fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı eğrinin kullanıldığı durumlarda integrale kontür integrali denildiği de olmaktadır.
İntegrali alınan fonksiyon (integrand), skaler alan veya vektör alanı olabilir. Çizgi integralinin değeri, alanın eğri üzerinde bir skaler fonksiyonla ağırlıklaştırılmış (genelde bu ağırlık yay uzunluğudur veya bir vektör alanı için, vektör alanının diferansiyel bir eğriyle skaler çarpımıdır) olarak aldığı tüm değerlerin toplamının değeridir. Bu ağırlık, çizgi integralini aralıklar üzerinde tanımlanan daha basit integrallerden ayırır. Fizikteki çoğu basit formül (mesela,  W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}), çizgi integrali bağlamında doğal sürekli analoglara sahiptir ( W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}). Çizgi integrali yandaki resimdeki gibi, bir elektrik veya yerçekimsel alanda hareket eden bir nesnenin üzerinde yapılan işi bulur.
Vektör hesabı

Niteliksel bağlamda, çizgi integrali bir eğri boyunca verilmiş olan bir alanın toplam etkisinin ölçümü olarak düşünülebilir.
Vektör hesabı > Bir skaler alanın çizgi integrali

Bir f : U ⊆ Rn  \to  R skaler alanı için, bir C ⊂ U boyuncaki çizgi integrali
şeklinde tanımlanır. Burada r: [a, b]  \to  C ise r(a) ve r(b) C 'nin son noktaları olacak şekilde, C 'nin herhangi bir birebir örten parametrizasyonudur.
f fonksiyonu integrand, C eğrisi integralin tanım kümesi ve ds sembolü ise yay uzunluğudur. Skaler alanların çizgi integralleri seçilmiş r parametrizasyonuna bağlı değildir.
Vektör hesabı > Bir vektör alanının çizgi integrali

Bir F : U ⊆ Rn  \to  Rn vektör alanı için, C ⊂ U boyunca, r yönündeki çizgi integrali
şeklinde tanımlanır. Burada  \cdot  nokta çarpımdır ve r: [a, b]  \to  C ise, r(a) ve r(b) C 'nin sonnoktaları olacak şekilde, C eğrisinin birebir örten bir parametrizasyonudur.
Bir skaler alanın çizgi integrali bu yüzden vektörlerin doğruya her zaman teğet olduğu bir vektör alanının çizgi integralidir.
Vektör alanlarının çizgi integralleri, mutlak değer içindeki r parametrizasyonuna bağlı değildir; ancak eğrinin yönüne bağlıdır. Dha ayrıntılı bir şekilde, parametrizasyonun yönündeki tersi bir değişim çizgi integralinin işaretini değiştirir.
Vektör hesabı > Yol bağımsızlığı

Ana madde: Gradyan teoremi
Bir F vektör alanı, bir G skaler alanının gradyanıysa; yani
ise, o zaman G ve r(t) 'nin bileşkesinin türevi
olur ki bu da F 'nin r(t) üzerindeki çizgi integralinin integrandıdır. O zaman, verilen bir C yolu için
olmaktadır. Yazıyla ifade edilirse, F 'nin C üzerindeki integrali sadece G nin r(b) ve r(a) noktalarındaki değerlerine bağlıdır ve bu yüzden aradaki yoldan bağımsızdır.
Bu sebeple, bir skaler alanın gradyanı olan bir vektör alanının çizgi integrali yoldan bağımsız olarak adlandırılır.
Vektör hesabı > Uygulamalar

Çizgi integralinin fizikte birçok uygulaması vardır. Mesela, bir F vektör alanı olarak temsil edilen bir kuvvet alanı içinde yer alan bir C eğrisi üzerinde hareket etmekte olan bir parçacığın üzerinde yapılan iş F 'nin C üzerindeki çizgi integralidir.
Karmaşık çizgi integrali

Çizgi integrali karmaşık analizde temel bir araçtır. U, C'nin açık bir kümesi olsun,  \gamma  : [a, b]  \to  U doğrultulabilir eğri ve f : U  \to  C bir fonksiyon olsun. O zaman
çizgi integrali, [a, b] aralığını a = t0 < t1 < ... <  tn = b olacak şekilde daha küçük aralıklara ayırılarak ve
ifadesi göz önüne alınarak düşünülebilir. O zaman, alt aralıkların uzunlukları sıfıra gittikçe, integral bu toplamın limiti olur.
Eğer  \gamma  sürekli türevlenebilir bir eğriyse, çizgi integrali gerçel değişkenli bir fonksiyonun integrali olarak değerlendirilebilir:
\gamma  kapalı bir eğri olduğu zaman, yani, başlangıç ve bitiş noktaları aynıysa,
gösterimi, f 'nin  \gamma  boyuncaki çizgi integrali için kullanılır.
Karmaşık fonksiyonların çizgi integralleri çeşitli teknikler kullanılarak değerlendirilebilir: İntegral, gerçel ve karmaşık kısımlarına bölünüp problem iki tane gerçel integralin bulunması problemine düşürülebilir, Cauchy integral formülü diğer durumlarda kullanılabilir. Eğer çizgi integralinin alındığı eğri, fonksiyonun analitik olduğu ve tekillik içermediği bir bölgede kapalı bir eğriyse, o zaman integralin değeri sadece 0 olur ki bu da Cauchy integral teoremi'nin bir sonucudur. Kalıntı teoremi sebebiyle, gerçel değişkene sahip gerçel değerli fonksiyonların integralini bulmak için çoğu zaman karmaşık düzlemde kontür integralleri kullanılır. (örnek için kalıntı teoremine bakınız.)
Karmaşık çizgi integrali > Örnek

f(z)=1/z fonksiyonunu ele alalım. C kontürü, eit,  t\in [0,2\pi ] şeklinde parametrize edilebilen, 0 etrafındaki birim çember olsun. Değişken değiştirmeyle
ifadesini buluruz. Burada, herhangi bir karmaşık z sayısının r, z 'nin modülüsü (mutlak değeri) olacak şekilde reit olarak yazılabileceğini kullandık. Birim çember üzerinde r = 1 olduğu için geriye kalan tek değişken t ile gösterilen açı değişkenidir. 
Cevap, aynı zamanda Cauchy integral formülü ile de doğrulanabilir.
Karmaşık çizgi integrali > Bir vektör alanının integrali ile karmaşık çizgi integrali arasındaki ilişki

Karmaşık sayıları 2 boyutlu vektörler olarak alırsak, 2 boyutlu bir vektör alanının çizgi integrali, karşılık gelen karmaşık değerli karmaşık fonksiyonun eşleniğinin çizgi integralinin gerçel kısmına denk gelir. Daha ayrıntılı bir şekilde,  \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j}  ve  f(z)=u(z)+iv(z) ise, o zaman sağ taraftaki her iki integral de var olduğu ve C 'nin  z(t) parametrizasyonu  \mathbf {r} (t) ile aynı yönde olduğu sürece
eşitliği elde edilir.
Cauchy-Riemann denklemleri sebebiyle, bir holomorf fonksiyonun eşleniğine karşılık gelen bir vektör alanının körlü sıfırdır. Bu da her iki tip integralin de sıfır olduğu Stokes teoremi ile ilişkilidir.
Ayrıca, çizgi integrali değişken değiştirme kullanılarak da değerlendirilebilir.
Kari Rueslåtten

Kari Rueslåtten "The Sirens" ekibi ile beraber şarkı söylerken
Kari Rueslåtten (d. 3 Ekim 1973, Norveç), solo ve başka sanatçılarla beraber çalışan Norveçli vokalist.
Yerel birkaç grupla çalıştıktan sonra, beraber The 3rd And Mortal demosunu (1993), Sorrow EP sini(1993) ve Tears Laid in Earth (1994) adlı albümü çıkartacağı The 3rd And Mortal isimli doom metal grubuna katıldı. Yapılan çalışmalar "Voices of Wonder" isimli şirket tarafından yayınlandı. Kari, "Storm" projesine katılmak için gruptan ayrıldı ve ikisi de folk tarzında olan "Norvdavind" ile ilk solo albümü olan "Demo Recordings" i çıkarttı.
İlk resmî solo albümü olan "Spindelsinn", 1997 yılında Sony Norway'den çıktı. Albüm folk tarzını yüceltir, buı yüzden tamamen Norveççedir. Kari Rueslåtten, Norveç Grammy Ödülleri'nde "En İyi Solist" ve Norveç Hit Ödülleri'nde ise "En İyi Kadın Sanatçı" ödüllerine aday gösterilmiştir.
1998 yılında, sanatçının bir sonraki albümü olan "Mesmerised" çıktı. Yumuşak bir sound'a sahip olan albümde, sanatçının artık folk stilini bıraktığını, bunun yerini daha kişisel sözlerin ve modern ses tarzının aldığını görebiliriz. Sanatçının şarkı söyleme stili yer yer Tori Amos'u hatırlatır.
Şarkılarda istediği sound'a ulaşmak için prodüktörlere güvenmekten sıkılan Kari, prodüktörlük çalışmaları için birkaç seneliğine Londra'ya gitti. İsveçli müzik şirketi "GMR Music Group"a katıldıktan sonra, Kari "Pilot" isminde deneysel ve modern bir sound'a sahip bir geri dönüş albümü çıkarttı. Albüm Björk'ün stiline benzer, fakat Kari'nin müziğinin karakteristik özelliği olan tutku ön plândadır. Kari, Ocak 2005'te "Other People's Stories" albümünü çıkarttı. Albümde Kari, müziğinin daha basit olan yönünü, performansındaki tutkusunu ve modernliğini kaybetmeden ortaya koymuştur.
Albümleri > The 3rd and the Mortal ile birlikte

Sorrow (1993)
Tears Laid in Earth (1994)
Albümleri > Solo ALbümleri

Demo Recordings (1995)
Spindelsinn (1997)
Mesmerised (1998)
Pilot (2002)
Other People's Stories (2005)
Albümleri > Diğer Projeleri

Storm - Nordavind (1995)
Basıklık

Yassılaşma ile karıştırılmamalıdır.
Olasılık kuramı ve bir dereceye kadar istatistik bilim dallarında basıklık (İngilizce: kurtosis) kavramı 1905da K. Pearson tarafından ilk defa açıklanmıştır. Basıklık kavramı bir reel değerli rassal değişken için olasılık dağılımının, grafik gösteriminden tanımlanarak ortaya çıkarılan bir kavram olan, sivriliği veya basıklığı özelliğinin ölçümüdür. Basıklık kavramının ayrıntıları olasılık kuramı içinde geliştirilmiştir. Betimsel istatistik için bir veri setinin basıklık karakteri pek dikkate alınmayan bir özellik olarak görülmektedir. Buna bir neden parametrik çıkarımsal istatistik alanında basıklık hakkında hemen hemen hiçbir kestirim veya sınama bulunmamasındandır ve pratik istatistik kullanımda basıklık pek önemsiz bir karakter olarak görülmektedir. Belki de basıklık ölçüsünün elle hesaplanmasının hemen hemen imkânsızlığı buna bir neden olmuştur.
Basıklık tanımlaması

Dördüncü standarize edilmiş moment şöyle tanımlanır;
Burada μ4 dördüncü ortalama etrafındaki moment ve σ standart sapmadır. Biraz eski istatistik kitaplarında bazen bu ifade basıklık tanımlaması olarak kullanılmaktaydı.
Daha alışılagelmiş bir şekilde basıklık, bir olasılık dağılımının "dördüncü kümülant değeri bölü varyans karesi" olarak şöyle tanımlanır:
Bu bir ölçü olarak kullanılırsa basıklık fazlalığı olarak bilinir. Formülün son terimi olan eksi 3 çok kere basıklık tanımlama formülüne yapılan bir ayarlama olarak açıklanır. Bu ayarlama sayesinde, normal eğrisinin basıklık ölçüsü değeri sıfır olur.
Bu ayarlamanın yapılmasının diğer bir nedeni ise birkaç rassal değişken toplamı için basıklık ölçüsünü incelemekle açıklanır. Ölçü kümülant kullanılarak tanımlandığı için eğer Y rassal değişkeni n tane istatistiksel bağımsız ve her biri aynı dağılım gösteren Xlerin bir toplamı ise; o halde
olacaktır ve bu basit bir ortalama gibi görünüş verir. Bir genel ifade ile X1, ..., Xn rassal değişkenin hepsi aynı varyansa sahipler ve ayni dağılım gösterirlerse, toplam rassal değişken Y için basıklık şu olur:
Eğer ayar yapılmasa ve hatta dördüncü moment ölçü formülü olarak kullanılırsa idi bu basit toplam formülü ele geçmezdi.
Dördüncü standardize edilmiş moment için en küçük değer 1dir; bu nedenle en küçük basıklık fazlalığı değeri -2 olur. Dördüncü moment ve kümülant değeri için üst bir sınırlama yoktur ve üst değer artı sonsuz kadar büyük olabilir. Bu nedenle basıklık ölçüsü değeri -2 ile artı sonsuzluk arasında bulunabilir.
Terminoloji ve örneğinler

Eğer bir olasılık dağılımının veya veri setinin basıklık ölçüsü 0 (sıfır) değerde ise, bu çeşit veri seti veya olasılık dağılımına meso-basık (İngilizcesi 'meso-kurtic') adı verilir. Sıfır (0) basıklık ölçülü, yani meso-basık, en iyi bilinen olasılık dağılımı (parametreleri ne değerlerde olursa olsun) normal dağılımdır. Parametre değerlerine göre birkaç diğer olasılık dağılımı da meso-basık, yani 0 basıkliık ölçü değeri gösterirler. Örneğin, eğer  p=1/2\pm {\sqrt {1/12}} ise bir binom dağılım meso-basıktır.
'Basıklık' ölçüsü ve terminolojisi dağılım meso-basıklık karakteri göstermiyorsa bazen fikir karmaşıklığına yol açabilir.
Bir olasılık dağılımı veya bir veri seti için basıklık ölçüsü sıfırın üstünde pozitif (0 ile sonsuz arasında) olursa, bu türlü dağılıma lepto-basık adı verilir. Eğer bir olasılık dağılımı veya veri seti lepto-basık karakterli (yani pozitif basıklık ölçülü) ise, olasılık dağılım yoğunluk grafiği veya veri seti çokluluk grafiği, ortalama değerinde (normal dağılıma nazaran) daha sivri ve kuyrukları daha "şişman" olma görüntüsü verirler. Bu tip olasılık dağılımlarına şişman kuyruklu dağılım ve bazen de yüksek-Gauss tipi dağılım adı verilir. Laplace dağılımı ve logistik dağılım lepto-basık dağılımlara örnektirler. Basitçe bir ifade ile bir dağılımın ortası sivri, kuyrukları şişman ise, lepto-basık olur ve pozitif basıklık ölçüsü gösterir.
Bir olasılık dağlımı veya bir veri seti için basıklık ölçüsü sıfırın altında, negatif 0 ile -2 arasında olursa, bu türlü dağılıma plati-basık adı verilebilir. En alt sınırda basıklık ölçüsü -2 olan bir olasılık dağılım örneği, parametre değeri p = ½ olan bir Bernoulli dağılımıdır. Bu çeşit negatif basıklık ölçüsü gösteren dağılımların grafikleri ortalama etrafında düşük ve yayvan ve kuyrukları kısa sıska görünümünde veya ortası basık yamaçları dik yokuş bir "masa dağı" görünüşünde olurlar. Ayrık veya sürekli tekdüze dağılım ve yükseltilmiş kosinus dağılımı plati-basıklık (yani negatik basıklık ölçüsü) gösteren dağılımlara örnektirler. Bu türlü dağılımlar bir normal dağılımın yoğunluk grafiğine nazaran hem ortasında ve hem de kuyruklarında daha alçak görünüşlü olduğu için, alçak-Gauss tipi adı da verilir.
Eğer yukarıda verilen 'basıklık' ölçüsü yüksek pozitif değer gösteriyorsa dağılımın yoğunluk grafiğinde sivri bir doruk ve şişman kuyrukları bulunur; diğer taraftan basıklık ölçüsü negatif ve düşük ise (yani -2ye yakın), doruk daha yuvarlanmıştır ve genişçe yüksek omuzları bulunan bir "masa dağ" görünüşü almaktadır.
Grafik örneğinler > Pearson VII. tip ailesi

Basıklık özelliğinin etkileri bir parametrik dağılımlar ailesi olan VII tip Pearson ailesi ile gösterilebilir. Bu parametrik ailenin basıklık özelliği (düşük derecede momentler ve kumulantlar sabit kalırken) değiştirilebilmektedir. Bunlar için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilmiştir:
Burada a bir olcek parametresi ve m bir sekil parametresi olurlar.
Bu aile için bütün olasılık yoğunluk fonksiyonları simetriktir. Eğer  m>(k+1)/2 anlamlı ise, kinci moment de bulunur. 0dan değişik bir basıklık ölçüsü bulunması için  m>5/2 olması gerekmektedir. O halde hem ortalama hem de çarpıklık aynen sıfıra eşit olurlar. a değeri  a^{2}=2m-3 olacak şekilde seçilirse, varyans değeri 1e eşit olur. Bu koşullar altında tek serbestçe değiştirilebilecek parametre m olur ve bu dördüncü moment (ve kumulant), yani basıklık özelliğini, kontrol eder. Bu dağılım fonksiyonu  m=5/2+3/\gamma _{2}, olarak parametrelenebilir ve burada 
 \gamma _{2} basıklık ölçüsü olur. Bunun sonucunda bir-parametreli lepto-basık aile elde edilir ve bunlar için ortalamalar hep 0, varyanslar hep 1, çarpıklık hep 0 ve basıklık yukarıda verilmiş şekilde değişken olur. Bu halde olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:
Limitte  \gamma _{2}\to \infty  yakınsalamsı ile olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekli alır:
Bu gösterimde kırmızı eğridir.
Diğer tarafa yakınsalama, yani  \gamma _{2}\to 0, limitte dağılım olarak standart normal dağılımı verir ve bu siyah eğri olarak gösterilmiştir.
Mavi eğri basıklığı 2'ye eşit  x\mapsto g(x;2) olasılık yoğunluk gösterir. Mavi eğri ile siyah eğri arasında olasılık yoğunlukları 2 = 1, 1/2, 1/4, 1/8 ve 1/16 olarak elde edilen eğriler verilir. Kırmızı eğri VII Tip Pearson dağılımları için  \gamma _{2}=\infty  ile (yani dördüncü momenti bulunmayan) bir yukarı limit verir. Bu kırmızı eğri için eğri orijinden uzaklaştıkça en az düşüş gösterir ; yani "şişman kuyrukları" vardır.
Bu aile içinde en üstteki eğri, meso-basık normal dağılıma kıyasla, çok lepto-basıklık karakteri gösterir. VII. tip Pearson yoğunluklarının doğasal üstel logaritmalarinin grafik gösterimi olan ikinci grafik ise lepto-basık yoğunlukların şişman kuyruklarını açıkça göstermektedir. Bu grafikte siyah renkli eğri ters bir parabolya benzeyen normal dağılım eğrisidir. Görülmektedir ki, basıklık derecesi 2 lepta-basık karakterli VII. tip Pearson dağılımın gösteren mavi eğri olan mavi eğriye nazaran, siyah normal eğri yoğunluk ortalamadan uzak bölgelere çok daha az olasılık vermektedir (yani "daha sıska kuyrukludur).
Grafik örneğinler > Bazı dağılımlar için basıklık

Bu gösterimlerde değişik parametrik ailelere bağlı olan bazı iyi bilinen dağılımlar karşılaştırılmaktadır. Tümünün yoğunluğu tek-modlu ve simetriktir. Her birinin ortalaması bulunmaktadır. Parametre değerleri öyle seçilmiştir ki bütün örneğinler için varyans bire eşittir. Doğrusal ölçekte ve logaritmalı ölçekte şu yedi dağılım karşılaştırılmaktadır:
D: Laplace dağılımı - Bazen çift üstel dağılım denir. Kırmızı eğri (log-ölçekte grafikte iki doğru olarak görülmekte)- basıklık ölçümü = 3
S: Hiperbolik sekant dağılımı - turuncu eğri - basıklık ölçümü = 2
L: logistik dağılım - yeşil eğri - basıklık ölçümü = 1.2
N: normal dağılım - siyah eğri (log-ölçümünde tepesi aşağıda bir parabol) - basıklık ölçümü = 0
C: yükseltilmiş kosinus dağılımı -mavimsi eğri - basıklık ölçümü= −0.593762…
W: Wigner'in yarım-daire dağılımı - mavi eğri - basıklık ölçümü = -1
U: sürekli tekdüze dağılım - morumsu eğri - basıklık ölçümü = -1.2
Örneklem için basıklık

n sayıda gözlem değeri bulunan bir rassal örneklem için örneklem basıklığı şöyle ölçülür:
Burada m4 örneklem ortalaması etrafındaki örneklem dördüncü momenti, 
m2 ortalama etrafındaki ikinci moment (yahut örneklem varyansı, xi gözümlenen iinci değer ve  {\overline {x}} ise 
örneklem ortalamasıdır.
Şu formül de
kullanılmaktadır, Burada n - örneklem büyüklüğü, D - hesaptan önce bilinen varyans değeri, xi x'inci ölçüm değeri ve  {\bar {x}} - hesaptan önce bilinen ortalama değeri olurlar.
Anakütle basıklık kestirimcileri

Bir anakütleden bir altset olan örneklem verilirse, yukarıda verilmiş olan örneklem basıklık ölçüsü anakütle basıklık ölçüsünün yanlı kestirimi olur. Bilgisayar için hazırlanmış istatistik paketleri (SAS, Minitab, SPSS ve Excel) anakütle basıklık kestirimci değeri G için şu formülü kullanmaktadır:|-
|
| ={\frac {n^{2}\,((n+1)\,m_{4}-3\,(n-1)\,m_{2}^{2})}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {(n-1)^{2}}{n^{2}\,m_{2}^{2}}}\!
|-
|
| ={\frac {n-1}{(n-2)\,(n-3)}}\left((n+1)\,{\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3\,(n-1)\right)\!
|-
|
| ={\frac {n-1}{(n-2)(n-3)}}\left((n+1)\,g_{2}+6\right)\!
|-
|
| ={\frac {(n+1)\,n\,(n-1)}{(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}}-3\,{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)\,(n-3)}}\!
|-
|
| ={\frac {(n+1)\,n}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{k_{2}^{2}}}-3\,{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}\!
|}
Burada k4 dördüncü kümülant değerinin tek simetrik yanlı olmayan kestirimidir; k2 anakütle varyansı için yanlı olmayan kestirim değeridir; m4 ortalama etrafında dördüncü örneklem momentidir; 
m2 örneklem varyansıdır; xi iinci değer ve  {\bar {x}} örneklem ortalamasıdır.
Sadece BDMP istatistik paketi bu formülü kullanmaktadır.
Ne yazıktır ki bu  G_{2} kendisi genellikle yanlı kestirimdir. Bu sadece bir normal dağılım için yanlı değildir çünkü o halde beklenen değeri sıfır olmaktadır.
Dış kaynaklar

Spiegel, Murray R ve Stephens, Larry J. (Tr.Çev.: Çelebioğlu, Salih) (2013) İstatistik, İstanbul: Nobel Akademik Yayıncılık ISBN 9786051337043
VII tip Pearson dağılımında basıklık: sonsuz=kırmızı, 2=mavi ve 0=siyah
Ha*Ash

| Ha*Ash |
| --- | --- |

Genel bilgiler
Başladığı yer: Lake Charles, Louisiana, ABD
Tarzlar: country pop
Etkin yıllar: 2002–Bugün
Resmî site: Resmi site

Üyeler: Hanna Nicole Pérez Mosa   Ashley Grace Pérez Mosa

Ha*Ash 2002 yılında Lake Charles, Louisiana'de kurulan Amerikalı country pop grubu. Ha*Ash, şu anda Hanna Nicole (vokal/klavye/gitar), Ashley Grace (vokal/klavye/gitar) oluşuyor.