Güven aralığı
Örnekler > Pratik bir örnek

Bir firma ürettiği margarini paketlemek için margarini küçük plastik kaplara dolduran bir makine kullanmaktadır. Bu makine her bir plastik kaba 250g margarin doldurmak üzere ayarlanmıştır. Ancak gerçekte doldurulan her bir kabın muhteviyatı tıpatıp 250g olmayıp bu miktardan ufak farklar göstermektedir. Gerçek muhteviyat bu nedenle rassal değişken X olarak alınabilir. Makinanın ayarının istenilir şekilde olması için muhteviyat rassal değişkeni X, 250g ortalama etrafında ve 2,5g. standart sapma gösteren bir normal dağılıma uyması uygun olduğu kabul edilsin. Bu makinanın ayarının istenilene uygun olup olmadığını belirlemek için gerçekte üretilen dolu plastik kaplardan rastgele bir örneklem alınmıştır ve bunların muhteviyatı ölçülmüştür. Bu rastgele örneklem büyüklüğü  n = 25 olsun. Rassal değişken X için bu örneklem değerleri X1, ..., X25 olur.
X için beklenen değer yani normal dağılım parametresi olan anakütle ortalaması μ olsun. Bunun bir uygun kestirimi elde edilen örneklem ortalamasıdır; yani
Bu 25 kaptan oluşan örneklem için gerçek muhteviyat ağırlıkları  x1, ..., x25 olarak ifade edilir ve bunların ortalaması (yani örneklem ortalaması) şöyle bulunur:
Bulunan 250,2 örneklem ortalaması anakütle ortalaması μ için bir nokta kestirimi olarak kabul edilebilir. Fakat bilinmektedir ki başka birkaç 25 büyüklükte rastgele örneklem seçilirse örneklem ortalamalar (diyelim) 250,4 veya 251,1 olabilir ama bu örneklem ortalamasının 280 gm olmasının olasılığı çok küçüktür. Gerçekte gözlemlenen kestirim değeri olan 250,2 gm etrafında bir aralık bulunduğu ve eğer gerçek anakütle ortalaması bu aralık içine düşerse, gözlemlenen verinin ender bir şekilde istenilenden değişik olmayacağı kabul edilebilir. Bu türlü aralığa μ parametresi için "güven aralığı" adı verilir. Bu aralığı nasıl hesaplayabiliriz? Aralığın alt ve üst uç noktaları bulmak için elimizde bulunan örneklem verilerini kullanabilir. Böylece aralık uç noktaları bir "istatistik" olurlar; ve X1, ..., X25 örnekleminin fonksiyonu olurlar ve bunlar da rassal değişkenler olurlar.
Elimizdeki problemde anakütle ağırlıkları normal dağılım gösterdiği için örneklem ortalaması 
 {\bar {X}}da normal dağılım gösterir ve bu örneklem ortalaması normal dağılımı için beklenen değer μ ve standart hatası σ/√n = 0.5 (gram) olur. Böylece örneklem ortalama değerini standardize edebilip z-değerini şöyle bulabiliriz:
Bu ifade içinde kestirimi yapılmak istenen μ parametresine bağlıdır ama bu standart normal dağılım μ parametresine bağımlı değildir. Bu nedenle μ değerinden bağımsız olan ve Z değişkeninin, ne kadar güvenimiz olmasını istediğimizi bildirip ölçen 1 − α, olasılığı ile arasında bulunduğu −z ve z sayılarını bulmak mümkündür. Bu hal için 1 − α = 0.95 olmasını kabul edelim yani
Şu yığmalı dağılım fonksiyonu bulunur
kullanarak z sayısı şöyle bulunur:
Bu sonuç şöyle yorumlanabilir: 0,95 olasılık ile μ parametresinin
ve
stokastık uç noktaları arasında olduğuna dair bir güven aralığı bulunmaktadır.
Bu yorumda şuna dikkati çekmek gerekir: Burada μ parametresinin hesaplanan aralığın içine düşmesinin olasılığı 0,95 olduğu ifade edilmemektedir. Elde edilen güven aralığı şöyle açıklanmaktadır. Her zaman yeni ölçüler alınması tekrarlanınca yeni bir örneklem için ortalama  {\bar {X}} değeri bulunur ve yeni bir güven aralık üç değerleri elde edilebilir. Bu tekrarlama ile elde edilen aralıkların %95ı anakütle μ değerini içinde bulunduracak ve %5 μ değerini ihtiva etmeyecektir.
Buna göre güven aralıkları ortaya çıkartılan -z ve z değerleri formülüne konularak elde edilir. Bundan dolayısı margarın kabı doldurma makinası için anakütle ortalama muhteviyat ağırlığı için %95 güven aralığı şöyle elde edilir:
Parametre μ için istenilen 250gm değeri hesaplanan güven aralığı içinde bulunduğu için, makinenin ayarının bozuk olduğuna inanmaya neden bulunmamaktadır.
Hesaplanan aralık için, μ değeri içinde bulunsa da bulunmasa da, sabit alt ve üst üç değerleri bulunmaktadır. Böylece μnin güven aralığı içinde bulunma olasılığı ya (aralık içinde ise) 1 olur ya da (aralık dışında ise) 0 olur. Bu nedenle güven aralığı kavramı için "parametre μ değerinin güven aralığı içinde bulunma olasılığı (1 − α) olur", şeklinde açıklama yapmak hatalıdır. Yani güven aralığı ve ilişkili güven düzeyi olasılık değerleri değildirler. Güven aralığı tekrar edilen örneklem alınmaları ve her bir örneklem için güven aralıkları hesaplanması halinde bu aralıkların %100(1 − α) oranının parametre μ değerini ihtiva edeceğini bildirmektedir. Bu halde hesaplanan aralıkların %100α oranı parametreyi ihtiva etmeyecektir. Ne yazıktır ki elde edilen örneklemlerin hangisinin güven aralığının parametreyi ihtiva edeceğini bilmemize ve kestirebilmemize imkân yoktur. Bunun için güven aralığı açıklaması "%100(1 − α) güven düzeyi ile μ değeri güven aralığı içinde bulunacaktır" şeklinde yapılmaktadır.
Kenarda verilen gösterim bir simülasyon sonucu vermektedir ve 50 simülasyon gerçekleşmesi için hesaplanıp elde edilen 50 güven aralığının verilen bir düzey doğru olarak verilen μ anakütle ortalama değerini ihtiva edip etmediğini göstermektedir. Eğer rastgele tek bir simülasyon gerçekleşmesi seçersek parametreyi ihtiva edecek bir aralığı seçmemizin olasılığı %95'tir; ancak kader kısmet olarak parametreyi ihtiva etmeyen bir gerçekleşmeyi seçme de mümkündür. Bunun hangisinin gerçeğe çıkacağını bilmemizin imkâni ihtimali yoktur; elimizde bildiğimiz sadece bir güven aralığı vardır!!