Dalga fonksiyonu
Tanım(tek boyutlu uzayda spinsiz bir parçacık) > Konum-uzay dalga fonksiyonları

Böyle bir parçacığın durumu yalnızca o parçacığın dalga fonksiyonuyla tanımlanabilir,
\Psi (x,t),
bu fonksiyonda  x pozisyon  t ise zamandır. Bu karmaşık-değerli fonksiyon  x ve  t değişkenlerine bağlıdır.
1d uzaydaki spinsiz bir parçacık için, dalga fonksiyonu, olasılık genliği olarak yorumlanırsa, dalga fonksiyonunun mutlak değerinin karesi, pozitif gerçel sayı
\mid \Psi (x,t)\mid ^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x,t),
parçacığın  x konumundaki olasılık yoğunluğunu verir. Yıldız işareti( ^{\ast }) fonksiyonun kompleks eşleniğini ifade eder. Parçacığın konumu bilinirse, parçacığın lokasyonu dalga fonksiyonundan belirlenemez, ancak konumunun olasılık dağılımından açıklanabilir.
Normalleştirme koşulu
x olarak betimlenen konumunun a ≤ x ≤ b aralığında olma olasılığı bu aralıktaki yoğunluğun integrali olarak bulunabilir.
P_{a\leq x\leq b}(t)=\int \limits _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx
Buradaki t parçacığın ölçüldüğü zamanı ifade eder. Buradan normalleştirme koşulu ortaya çıkar:
\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,
çünkü eğer parçacık gözlemlendiyse herhangi bir yerde var olma olasılığı 100%dür.
Belirli bir sistemde bütün normalleştirilebilen dalga fonksiyonlarının kümesi (herhangi bir zamanda) soyut matematiksel bir vektör uzayı yaratır. Bu iki farklı dalga fonksiyonun toplanabileceği ve hatta karmaşık sayılarla çarpılabilecekleri anlamına gelir. Teknik olarak normalleştirme koşulu yüzünden dalga fonksiyonları normal bir vektör uzayı yaratmaktansa projektif bir uzay yaratırlar. Bu vektör uzayı sonsuz boyutludur çünkü farklı kombinasyonlarla toplananınca mümkün olan bütün fonksiyonları üretebilecek sonlu bir fonksiyon kümesi yoktur. Ayrıca bu bir Hilbert uzayıdır çünkü iki dalga fonksiyonu Ψ1 ve Ψ2'nin iç çarpımı karmaşık sayı olarak tanımlanabilir. (t zamanında)
(\Psi _{1},\Psi _{2})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)dx.
İki dalga fonksiyonunun iç çarpımı her ne kadar bir karmaşık sayı olsa da bir dalga fonksiyonunun kendisi ile olan iç çarpımı,
her zaman bir pozitif gerçek sayıdır. ||Ψ|| sayısı (||Ψ||2 değil) bir dalga fonksiyonunun normudur.
Eğer (Ψ, Ψ) = 1 sağlanıyorsa o zaman Ψ is normalleşmiştir. Eğer Ψ normalleşmemişse, kendisini normuna bölmek normalleşmiş fonksiyonu verir Ψ/||Ψ||. Eğer (Ψ1, Ψ2) = 0 ise bu iki dalga fonksiyonu ortogonaldir. Eğer hem normalleşmiş hem de otrogonalseler o zaman otronormaldirler. Ortogonalite ve ortonormalite dalga fonksiyonlarının sahip olması gereken zorunlu koşullar değillerdir fakat göz önünde bulundurması faydalı kavramlarıdr çünkü bu foksiyonların doğrusal bağımsızlıklarını garantilerler. Ortogonal dalga fonksiyonlarının Ψn doğrusal kombinasyonlarında aşağıdaki durum olur,
Eğer dalga fonksiyonları ortogonal olmasaydı katsayıları elde etmek daha karmaşık olurdu.
Vektörel olarak kuantum durumları
Kopenhag yorumlamasında, iç çarpımın (karmaşık bir sayı) modülünün karesi gerçel bir sayı verir.
Eğer iki fonksiyon da normalleştirilmişse bu sayı bir Ψ2 fonksiyonunun yeni bir Ψ1 fonksiyonuna çökme olasılığını verir. Bu Born kuralıdır ve kuantum mekaniğinin temel varsayımlarından bir tanesidir.
Zamanın belirl bir noktasında Ψ(x, t) dalga fonksiyonunun tüm değerleri bir vektörün bileşenleridir. Bu vektörlerden sonsuz tane vardır ve toplama yerine entegrasyon kullanılır. Bra-ket gösteriminde vektör aşağıdaki gibi gösterilir,
ve bir "kuantum durum vektörü" olarak adlandırılır (ya da basitçe bir kuantm durumu). Dalga fonksiyonlarını soyut bir vektör uzayını temsil edicek şekilde düşünmenin birkaç avantajı vardır:
Lineer cebirin bütün araçları dalga fonksiyonlarını anlamak ve manipüle etmek için kullanılabilir. Örneğin:
Lineer cebir bir vektör uzayının bir baz olarak nasıl ifade edilebileceğini açıklar. Sonrasında vektör uzayındaki herhangi bir vektör bu baz içerisinde ifade edilebilir. Bu konum uzayındaki bir dalga fonksiyonu ile momentum uzayındaki bir dalga fonksiyonu arasındaki ilişkiyi göstermek için kullanılabilir.
Bra-ket gösterimi dalga foksiyonlarını manipüle etmek için kullanılabilir.
Kuantum durumlarının soyut bir vektör uzayında vektör olmaları kuantum mekaniği ve kuantum dalga kuramının bütünü için doğru sayılabilecek genel bir fikirdir. Fakat kuantum durumlarının uzaydaki karmaşık değerli "dalga" fonksiyonlaı olması sadece belirli durumlarda geçerliliğini korur.
Zaman parametresi genelde bastırılır ve aşağıdakilerde olacaktır. x koordinatı sürekli bir indekstir. |x⟩ler baz vektörlerdir ve ortonormallerdir yani iç çarpımları bir delta fonksiyonudur;
yani
ve
bu da kimlik operatörünü açığa çıkarır.
Bir bazdaki kimlik operatörünü bulmak soyut durumun baz içinde açıkça ifade edilmesini sağlar. (iki durum vektörünün iç çarpımları ve gözlemlenebilirler için diğer operatörler baz içerisinde ifade edilebilir).