Lagrange mekaniği
Newton mekaniğinden Lagrange mekaniğine > Lagrange çarpanları ve kısıtların ifade edilmesi

Lagrangian Lnin kartezyen rk   koordinatlarında N parçacık için değişimini şu şekilde ifade edebiliriz;
Hamilton prensipleri, Lagrangian’daki genelleştirilmiş koordinatlar –sistemin davranışını tamamen tanımlıyor olması koşulu ile- bağımlı olsalar bile geçerlidir. Ancak kısıtların yine de holonomik olması gerekmektedir. Bu açıdan Hamilton prensipleri durum uzayı ifadeleri ile benzerlik gösterir.
Eğer seçilen genelleştirilmiş koordinatlar rkler bağımsız değil ise sanal işte ve yer değiştirmede yaptığımız gibi δrknin katsayılarını sıfıra eşitlememiz mümkün değildir. Çünkü artık bağımsız yer değiştirmelerin sıfır olmayacağından emin olsak bile bağlıların sıfır olma veya onları oluşturacak kuvvetlerin olmaması ya da olması gibi bilinmezlikler ortaya çıkmaktadır. Bu sorunu, Lagrange çarpanları metodunu kısıtları ifade edecek şekilde kullanarak çözebiliriz. Her kısıt denklemi fi(rk, t) = 0yı bir Lagrange çarpanı λi for i = 1, 2, ...,C ile çarpabiliriz. Ve bu ifadeleri orijinal Lagrangian ifadeleri ile birleştirdiğimizde artık yeni bir Lagrangian tanımlamış oluruz;
Bunu, bağımlı olarak tanımlanmış koordinatları bağımsız koordinatlara çevirmek yerine onları tanımlayan fonksiyonu değiştirmişiz gibi düşünebiliriz. Böylece, özellikle komplike sistemlerdeki bağımsız koordinat seçimi probleminden kurtularak; hesaplamaya daha uygun bir metodoloji ortaya konmuş olur.
Lagrange çarpanları zamanın herhangi birer fonksiyonudur, ancak genelleştirilmiş rk koordinatlarının fonksiyonu değillerdir. Dolayısıyla karmaşık fonksiyonlar oluşturmazlar(Çarpanlar, pozisyon koordinatları ile eşit düzeyde ifade bulmaktadırlar). Bu yeni Lagrangian, sistematik olarak koordinatlarımızın bağımsızlığı ve kısıtların ayrı ifadesi (ki bu iki durum birbirine yakından bağlıdır) sorunlarına çözüm bulabilmektedir. Dolayısıyla, yeni Lagrangian’ı Euler-Lagrange denklemlerine koyarak;
İfadesini kısıt denklemleri olarak elde edebiliriz. Ayrıca rk cinsinden hareket denklemlerini Lagrange’in  birinci tip denklemleriylede şu şekilde ifade edebiliriz;
Bu denklemlerde yeni Lagrangian’ın yukarıda bahsettiğimiz değişimini zaman göre integre edersek;
ifadesini buluruz ve temel aldığımız prensiplerden ötürü, uç noktaların ve ona bağlı anların sabit olduğunu her k için unutmamamız gerekir. (δrk(t1) = δrk(t2) = 0) Çarpanlar, daha önceki metotlarda olduğu gibi δrkların katsayılarını sıfırlayacak şekilde seçilirse, karşılaştığımız çarpan problem sorunu çözülür ve kısıtlar ile bağlılık problemini içsel bir şekilde ifade etmiş oluruz. Böylece bağımsız olmayan genelleştirilmiş koordinatlar için uygun çarpanlarla (kısıtları ifade eden çarpanlar) hareket denklemini bulabiliriz.
Eğer bir korunumlu kuvvetin gradyanı sisteme bir potansiyel enerji V bazında etkiyorsa ve bu V sadece rkların birer fonksiyonu ise Lagrangian L = T − Vnin denklemlere konulması ile;
elde edilir. Newton’un 2. Yasasının bu Lagrangian formunda, kinetik enerjinin türevi(negatif olarak denklemde yer bulmakta); k parçacığına etkiyen toplam kuvvete; potansiyel enerjilerin türevi de kısıtlayıcı olmayan kuvvetlere karşılık gelmektedir. Yani;
Ve bunu yukarıdaki temel denkleme koyduğumuzda, kısıtlayıcı kuvvetleri şöyle buluruz;
ve en temel denklemimize dönersek; birinci terim (pozisyona göre türevlenmiş) momentumun türevini ifade ederken diğer terimler ise kuvvetleri ifade eder ve sistemi çözmemizi sağlar. Burada hem kısıtlayıcı (ve belki sistemimizden boş yere enerji çekecek) kuvvetleri hem de diğer kuvvetleri ayrı olarak bulmamız da önemlidir. Bu sayede sistem optimizasyonu da yapılabilir.