Ayar teorisi
Klasik Gauge teorisi > Skaler Gauge Teorisin Örneği

Aşağıdaki formüllerle sezgisel küresel simetri özelliklerinden başlayarak "motive" nasıl yerel gauge  değişmezliği gösterir ve başlangıçta olmayan etkileşim alanları arasındaki etkileşime nasıl yol açar. Aşağıdaki formüllerle örneklendirilmiştir.
n burada etkileşime girmeyen gerçek skaler alanlar, m burada kütleye eşittir. Sistem burada hareket halindedir. ve toplam hareket halindeki skaler alanlar
{\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]
Lagrange(yoğunluğu) küçük sıkı bir şekilde yazılabilir.
\ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{T}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{T}\Phi
Alanların vektörünün gösterimiyle
\ \Phi =(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})^{T}
4 boyutun her birinde Terim olan   \partial _{\mu } Einstein simgesi  \Phi  kısmi türevidir. Dönüşümün altındaki değişmeyen Lagrange şimdi daha şeffaf oldu.
\Phi \mapsto \Phi '=G\Phi
G  n-by-n ortogonal gruba ait olan sabit matrisdir.  \Phi  türevi benzer biçimde  \Phi  ve her iki nicelikte nokta çarpımının içindeki Lagrange belirdiği için Lagrange'nin korunuduğu görünür.
(\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi
Bu bu özel Lagrangian küresel simetri karakterize ve simetri grup genellikle ölçü grubu denir; Matematiksel terim özellikle G-yapıların teorik olarak yapı grubudur. Bu arada, Noether teoremi dönüşümleri bu grup altında değişmezlik akımların korunmasına yol açtığını ima edilir.
\ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{T}T^{a}\Phi
Burada Ta matrisleri SO(n) gruplarının jeneratörleridir. Her jeneratör için korunmuş bir akım vardır.
Şimdi Lagrangian lokal değişmeyen O(n) sahip olmalıdır. G matrisleri  x koordinatında uzayzaman fonksiyonun olmasına izin vermelidir.
Bu durumda  G=G(x) iken G matrisi geçemez.
\ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )
Bu sorunu çözmek için yeni bir türev alırız.
\ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi
Bu yeni türev eşdeğişken gauge türevi olarak adlandırılır ve bu forma sahiptir.
\ D_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }
Burada g eşleşen sabit olarak adlandırılır ve etkileşimin gücünü tanımlamada önemlidir. Basit birkaç hesaplamadan sonra Gauge Alanı A(x) aşağıdaki gibi dönüşmek zorundadır.
\ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}+{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}
Gauge alanı Lie cebirinin bir elementidir. Sonuç olarak aşağıdaki gibi genişletilebilir.
\ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}
Son olarak şimdi elimizde lokal Gauge değişmeyen bir Lagrangian' ımız var.
\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{T}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{T}\Phi
Bu Lagrange ve özgün küresel gauge  değişmeyen Lagrangian arasındaki fark Lagrange Etileşimi olduğu görülür.
\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{T}A_{\mu }^{T}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{T}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{T}A^{\mu }\Phi
Bu terim sadece yerel gauge değişmezliği için talebin bir sonucu olarak n skaler alanlar arasındaki etkileşimleri tanıtır. Bununla birlikte, bu etkileşimin fiziksel olup tamamen rastgele hale getirmek için, arabulucu A (X) uzayda yayılması gerekir. Bununla başa çıkmak için bir sonraki aşama  {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} } teriminin Lagrangiana eklenmesidir. Elde edilen klasik alan teorisi kuantize sürümünde, kuantum gauge alanı A (x) gauge bozonları denir. Kuantum alan teorisinde  Lagrangian etkileşiminin yorumlanması skaler bozonların değişen gauge bozonlarıyla etkileşimidir.