Monty Hall problemi
Olasılık yoluyla çözüm

Morgan ve diğerleri (1991) popüler çözümlerin çoğunun, Whitaker'ın Kapı 1'i seçen ve sunucunun Kapı 3'ü açtığını gören yarışmacıya ilişkin özgün sorusunu (Seymann) açıkça ele almadıkları için eksik olduğunu belirtti. Bu çözümler seçimini değiştiren tüm yarışmacılar için kazanma olasılığının 2/3 olduğunu doğru şekilde gösterir. Ancak belli varsayımlar yapılmaksızın bu, seçimin değiştirilmesiyle kazanma olasılığının mutlaka 2/3 olacağı anlamına gelmez. Bu olasılık, bir koşullu olasılıktır (Morgan et al. 1991; Gillman 1992; Grinstead and Snell 2006:137; Gill 2009b). Aradaki fark, analizin yarışmacının ilk seçimi ile sunucunun açtığı kapının toplam olası kombinasyonlarına göre ortalama olasılığına mı, yoksa yalnızca yarışmacının Kapı 1'i seçtiği ve sunucunun Kapı 3'ü açtığı belirli tek bir duruma mı dayandığına bağlıdır. Farkı açıklamanın bir diğer yolu da, yarışmacının seçimini değiştirmeye sunucu bir kapıyı açmadan önce karar vermek zorunda mı olduğu, yoksa sunucunun hangi kapıyı açtığını gördükten sonra karar vermesine izin verilip verilmediğine ilişkindir (Gillman 1992). Yukarıda kesin olarak belirtilen problem açıklaması için bu iki olasılık da 2/3 olmasına karşın, koşullu olasılık, toplam olasılığa ve bunlardan birinin ya da ikisinin birden problemin tam formülasyonuna bağlı olarak saptanıp saptanamayacağına göre değişebilir (Gill 2009b).
Sunucunun hangi kapıyı açtığını bilerek seçimi değiştirme sonucunda kazanmanın koşullu olasılığı, aşağıdaki genişletilmiş tabloya ya da aynı olasılıkları gösteren yandaki seçim ağacına başvurularak (Chun 1991; Grinstead and Snell 2006:137-138) veya aşağıdaki matematiksel formülasyon bölümüne bakılarak saptanabilir. Örneğin, sunucu Kapı 3'ü açar ve yarışmacı seçimini değiştirirse, yarışmacı, eğer araba Kapı 2'nin arkasındaysa 1/3 olasılıkla kazanır ve araba Kapı 1'in arkasındaysa 1/6 olasılıkla kaybeder. Sunucunun Kapı 2'yi açmasına bağlı olasılıklar bu hesaba dahil değildir. Bu koşullu olasılıkları dönüştürmek için, bunlar toplamlarına bölünür. Böylece yarışmacı Kapı 1'i seçtiği ve sunucu Kapı 3'ü açtığında kazanmanın koşullu olasılığı (1/3)/(1/3 + 1/6), yani 2/3'tür. Bu çözüm, problemde sunucunun kapılardan birini rastgele açmaya, yarışmacının ilk seçimini yapmasından sonra karar vereceğine ilişkin sınırlamaya bağlıdır.
| Araba 3>  kapının ardında.Oyuncunun ilk tercihi 1. kapı | Araba 1>  kapının ardında.Oyuncunun ilk tercihi 1. kapı | Araba 1>  kapının ardında.Oyuncunun ilk tercihi 1. kapı | Araba 2>  kapının ardında.Oyuncunun ilk tercihi 1. kapı |
| --- | --- | --- | --- |

| Sunucu 2. kapıyı açmak zorunda | Sunucu ardında keçi olan kapılardan herhangi birini rastgele açar | Sunucu ardında keçi olan kapılardan herhangi birini rastgele açar | Sunucu 3. kapıyı açmak zorunda |

| 1/3 olasılık | 1/6 olasılık | 1/6 olasılık | 1/3 olasılık |
| Tercih değiştirmek kazandırır | Tercih değiştirmek kaybettirir | Tercih değiştirmek kaybettirir | Tercih değiştirmek kazandırır |
| Sunucu 2. kapıyı açarsa, karar değiştirme durumundaki kazanma ihtimali, karar değiştirmeme durumunun iki katıdır | Sunucu 2. kapıyı açarsa, karar değiştirme durumundaki kazanma ihtimali, karar değiştirmeme durumunun iki katıdır | Sunucu 3. kapıyı açarsa, karar değiştirme durumundaki kazanma ihtimali, karar değiştirmeme durumunun iki katıdır | Sunucu 3. kapıyı açarsa, karar değiştirme durumundaki kazanma ihtimali, karar değiştirmeme durumunun iki katıdır |