Kuadratik formül
Formülün türetimi > Lagrange çözücülerini kullanarak

İkinci dereceden formülü elde etmenin başka bir yolu, Galois teorisinin erken bir parçası olan Lagrange çözücüleri yöntemidir. Bu yöntem, kübik polinomların ve kuartik polinomların köklerini vermek için de genelleştirilebilir ve herhangi bir derecedeki cebirsel denklemlerin çözümünü, köklerinin simetri grubu olan Galois grubu açısından anlaşılmasını sağlayan Galois teorisine götürür.
Bu yaklaşım, orijinal denklemi yeniden düzenlemekten çok köklere odaklanır. İkinci dereceden bir monik polinom verildiğinde;
çarpanlarına ayrıldığını varsayalım
parantezleri açarsak
bu da bize şu eşitlikleri sağlayacaktır: p = −(α + β) ve q = αβ .
Çarpmanın değişme özelliğinden dolayı, 



p


{\textstyle p}

 ve  q değerleri değişmezken  \alpha  ve  \beta  'nın yerleri değiştirebilir ve: 



p


{\textstyle p}

 ve  q'nun   \alpha  ve  \beta  içinde simetrik polinomlar olduğu söylenebilir. Aslında, bunlar temel simetrik polinomdurlar - herhangi bir simetrik polinom içinde  \alpha  ve  \beta ,  \alpha +\beta  ve  \alpha \beta  cinsinden ifade edilir. Galois teorisinin polinomları çöze ve analiz etme yaklaşımı şudur: kat sayıları verilen bir polinomun ki bunlar köklerin içinde simetrik fonksiyonlardır, bir şekilde "simetriyi kırıp" kökler bulunabilir mi? Bu nedenle, n dereceli bir polinomun çözülmesi, n harfin üzerindeki simetrik grubu olarak adlandırılan ve Sn ile gösterilen n tane terimin yeniden düzenleme ("permütasyon") yollarıyla ilgilidir. Kuadratik polinom için, iki terimi yeniden düzenlemenin tek yolu onların yerini değiştirmektir (onları "transpoze etmektir") ve böylece ikinci dereceden bir polinomu çözmek basittir.
\alpha  ve  \beta  köklerini bulmak için toplamlarını ve farklarını ele alalım:
Bunlar polinomun Lagrange çözücüleri olarak adlandırılır; bunlardan birinin köklerin sırasına bağlı olduğuna dikkat edin, bu kilit bir noktadır. Yukarıdaki denklemleri ters çevirerek çözücülerden kökler de çıkarılabilir:
Böylece, çözücüleri çözmek orijinal kökleri verir.
Şimdi  \alpha  ve  \beta 'ya göre  r_{1}=\alpha +\beta  simetrik bir fonksiyondur, bu nedenle 



p


{\textstyle p}

 ve  q cinsinden ifade edilebilir ve aslında önceki  x^{2}+px+q notasyonunda belirtildiği gibi r1 = −p olacaktır. Ancak  \alpha  ve  \beta , yerleri değiştirildiğinde farklı bir sonuç olarak −r2 = β − α  verdiğinden   r_{2}=\alpha -\beta  simetrik değildir (formal olarak bu, köklerin simetrik grubunun bir grup hareketi olarak adlandırılır). r2 simetrik olmadığından, 



p


{\textstyle p}

 ve  q katsayılarıyla ifade edilemez, çünkü bunlar simetriktir ve dolayısıyla onları içeren herhangi bir polinom ifadesi de öyle olmalıdır. Köklerin sırasını değiştirmek sadece r2'yi -1 faktörüyle değiştirir ve böylece  r22 = (α − β)2 şeklinde yazılan bir eşitlik köklerde simetriktir ve bu nedenle 



p


{\textstyle p}

 ve  q cinsinden ifade edilebilir. Denklemi kullanarak aşağıdakiler çıkarılabilir:
bu eşitliği yukarıda bulduklarımızla sadeleştirirsek
olacaktır ve böylece
Pozitif kökün alınacağını var sayıp, simetriyi bozarsak, şu elde edilir:
ve böylece
Böylece kökler
olacaktır, bu ikinci dereceden formüldür. p = b/a, q = c/a eşitlikleri kullanılarak monic monik olmayan kuadratiklerin genel olarak bilinen hali tekrar elde edilebilir. Çözücüler şu şekilde tanınabilir: r1/2 = −p/2 = −b/2a tepe noktasıdır ve r22 = p2 − 4q ayırt edici, yani diskriminanttır (monik bir polinomun).
Benzer ancak daha karmaşık bir yöntem kübik denklemler için de vardır, üç çözücü ve r2 ve r3 ile ilgili ikinci dereceden bir denklemle (buna "çözüm polinomu" denir) çözülebilir ve benzer şekilde bir kuartik denklem (4.dereceden denklem) için, çözüm polinomu kübiktir ve bu da çözülebilir. Beşinci dereceden denklem için aynı yöntem, problemi basitleştirmeyen 24 dereceli bir polinom verir ki aslında da beşinci dereceden denklemlerin çözümleri genel olarak yalnızca kökler kullanılarak ifade edilemez.