Tam sayı
Cebirsel özellikler

Doğal sayılar kümesi gibi,  \mathbb {Z}  kümesi de toplama ve çarpma gibi ikili işlemler bakımından kapalı bir yapıya sahiptir; bu, herhangi iki tam sayının toplamının ve çarpımının yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir. Bununla birlikte, negatif doğal sayıların ve özellikle 0'ın dahil edilmesi ile  \mathbb {Z} , doğal sayılar kümesinden farklı olarak, çıkarma işlemine yönelik de kapalı bir karakter gösterir.
Tam sayılar kümesi, her bir birimli halka yapısı için, bu yapılara doğru tam sayılardan tekil bir halka homomorfizmasının (İng. ring homomorphism) tesis edilebildiği, temel bir birimli halka olarak işlev görür. Bu evrensel özellik (İng. universal property), özgül olarak halkaların kategorisi içerisinde bir başlangıç objesi (İng. initial object) olarak tanımlanabilirlik,  \mathbb {Z}  halkasının ayırt edici niteliğini belirler.
\mathbb {Z}  kümesi, iki tam sayının birbirine bölünmesi işlemi (örnek olarak, 1 sayısının 2 sayısına bölünmesi durumu gösterilebilir) neticesinde her defasında tam sayı elde edilmeyebileceğinden, bölme işlemi açısından kapalı bir yapı sergilemez. Doğal sayılar kümesi, üs alma işlemine göre kapalılık özelliğine sahipken, tam sayılar kümesi bu özelliği taşımamaktadır; zira üssün negatif değer alması halinde, sonuç kesirli bir sayıya dönüşebilir.
Aşağıdaki tablo, herhangi bir a, b ve c tam sayısı için toplama ve çarpma işlemlerinin bazı temel özelliklerini listelemektedir:
|  | Toplama | Çarpma |
| --- | --- | --- |
| Kapalılık: | a + b bir tam sayıdır | a × b bir tam sayıdır |
| Birleşme: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
| Değişme: | a + b = b + a | a × b = b × a |
| Etkisiz elemanın varlığı: | a + 0 = a | a × 1 = a |
| Ters elemanların varlığı: | a + (−a) = 0 | Tersinir tam sayılar (−1 ve 1 olarak adlandırılan birimler) dışında tersi olan tam sayı yoktur. |
Dağılma:: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) ve (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
| Sıfır bölensiz: |  | Eğer a × b = 0, o zaman a = 0 veya b = 0 (veya her ikisi) |
Toplama işlemi çerçevesinde,  \mathbb {Z}  kümesine ilişkin olarak sıralanan başlıca beş özelliğin tanımladığı yapı, bu kümenin bir abelyen grup olduğunu ifade eder. Bu küme, her biri sıfırdan farklı olan tam sayıların, sonlu bir 1 + 1 + ... + 1 veya (−1) + (−1) + ... + (−1) şeklindeki toplamları ile ifade edilebilirliği dolayısıyla, aynı zamanda bir devirli grup özelliği taşır (İng. cyclic group). Gerçekte, toplama işlemi altında  \mathbb {Z} , herhangi bir sonsuz devirli grubun,  \mathbb {Z}  ile eşyapı grubu olduğu bağlamda, tek sonsuz devirli gruptur.
Çarpma işlemine ilişkin olarak sıralanan ilk dört özelliğin tanımı,  \mathbb {Z}  kümesinin çarpma altında bir değişmeli monoid yapısına sahip olduğunu gösterir. Ancak, 2 sayısının örneğinde olduğu gibi, her tam sayının çarpmaya ilişkin bir çarpımsal tersi bulunmamaktadır, bu durum  \mathbb {Z}  kümesinin çarpma işlemi bağlamında bir grup oluşturmadığını ifade eder.
Yukarıda sunulan özellikler cetvelinden (en sonuncu dışında) elde edilen kuralların tümü, toplama ve çarpma işlemleriyle bir arada  \mathbb {Z}  kümesinin, birimli değişmeli halka olarak tanımlandığını ortaya koyar. Bu yapı, benzer cebirsel yapılara ait nesnelerin ilk örneğidir.  \mathbb {Z}  içerisinde, değişkenlerin her bir değeri için gerçek olan, yalnızca herhangi bir birimli değişmeli halkada doğru kabul edilen eşitlikler ve ifadeler geçerlidir. Bazı sıfır olmayan tam sayılar, çeşitli halkalarda sıfır değerine karşılık gelir.
Tam sayılar kümesinde sıfır bölensizlerin bulunmaması (özellikler tablosundaki son özellik), değişmeli halka  \mathbb {Z} 'nin, bir tamlık bölgesi olarak nitelendirilebileceğini gösterir.
Çarpmaya ilişkin ters elemanların eksikliği, bu durumun  \mathbb {Z}  kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığı gerçeği ile eşdeğer olduğundan,  \mathbb {Z} 'nin bir alan olarak tanımlanamayacağı anlamına gelir. Tam sayıları bir althalka olarak barındıran en küçük alan yapı, rasyonel sayılar alanıdır. Tam sayılar kümesinden rasyonel sayılar kümesinin türetilmesi süreci, herhangi bir tamlık bölgesi için kesirler cisminin (İng. field of fractions) oluşturulması amacıyla modellenebilir. Ayrıca, bir cebirsel sayı cisminden (rasyonel sayılara bir uzantı olarak) başlanarak, içerisinde  \mathbb {Z}  kümesini de barındıran tam sayılar halkası (İng. ring of integers) elde edilebilir.
Her ne kadar  \mathbb {Z}  üzerinde geleneksel bölme işlemi tanımlanmamış olsa da, "kalan ile bölme" işlemi bu küme üzerinde tanımlanabilir. Bu işleme, Öklid bölmesi adı verilir ve şu kritik özelliği taşır: b ≠ 0 koşulunu sağlayan herhangi a ve b tam sayı çifti için, a = q × b + r ve 0 ≤ r < |b| ilişkilerini sağlayan benzersiz q ve r tams ayıları mevcuttur; burada |b|, b sayısının mutlak değerini ifade eder. Bu bağlamda, q tam sayısı bölüm, r ise a ile b'nin bölünmesi sonucu elde edilen kalan olarak isimlendirilir. En büyük ortak bölenlerin belirlenmesi sürecinde kullanılan Öklid algoritması, ardışık Öklid bölme işlemlerine dayanır.
İlgili metin,  \mathbb {Z}  kümesinin bir Öklid bölgesi (İng. Euclidean domain) olarak tanımlandığını belirtmektedir. Bu durum, aynı zamanda  \mathbb {Z} 'nin bir esas ideal bölgesi (İng. principal ideal domain) olduğunu gösterir ve her pozitif tam sayının, asal sayıların çarpımı şeklinde özünde benzersiz (İng. essentially unique) bir biçimde ifade edilebileceğini ima eder. Bu durum, aritmetiğin temel teoremi olarak bilinir.