stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Behram Kurşunoğlu
Yayınları > Modern-Fizik  mecmuasında

1957 Correspondence in the Generalized Theory of Gravitation
Balina Grubu

| Balina Grubu |
| --- | --- |
Grubun en parlak gökadası NGC 584.
Gözlem verisi (Dönem J2000)
Takımyıldız: Balina
Sağ açıklık (α): 01sa 33d 21.4s
Dik açıklık (δ): -07° 01′ 17″
En parlak üye: NGC 584
Galaksi sayısı: 10
Katalog belirtmeleri
Balina Grubu, NGC 584 Grubu, LGG 27

Balina Grubu (ayrıca NGC 584 Grubu olarak da bilinir) yaklaşık olarak 6 milyon ışık yılı uzaklıkta bulunan bir gökada grubu. En parlak üyesi NGC 584 ile birlikte sekiz üyesi olduğu hesaplanmaktadır.
Üyeler

Aşağıdaki tabloda Balina Grubunun dikkat çeken altı üyesi özellikleriyle belirtilmiştir.
| Adı | Türü | S> A. (J2000) | D> A. (J2000) | Kırmızıya kayma (km/s) | Görünen parlaklık |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| NGC 584 | E4 | 01sa 31d 20.7s | -06° 52′ 05″ | (6011 ± 11) . 10−6 | 11.44 |
| NGC 586 | SA(s)a:? | 01sa 31d 36.8s | -06° 53′ 37″ | (6254 ± 150) . 10−6 | 14.28 |
| NGC 596 | E+ pec: | 01sa 32d 52.1s | -07° 01′ 55″ | (6258 ± 37) . 10−6 | 12.50 |
| NGC 600 | (R')SB(rs)d  HII | 01sa 33d 05.3s | -07° 18′ 41″ | (6144 ± 3) . 10−6 | 13.65 |
| NGC 615 | SA(rs)b | 01sa 35d 05.7s | -07° 20′ 25″ | (6164 ± 17) . 10−6 | 12.47 |
| NGC 636 | E3 | 01sa 39d 06.5s | -07° 30′ 45″ | (6204 ± 20) . 10−6 | 12.76 |
Sayı

Sayı, sayma, ölçme ve etiketleme için kullanılan bir matematiksel nesnedir. En temel örnek, doğal sayılardır (1, 2, 3, 4 ve devamı). Sayılar, sayı adı (numeral) ile dilde temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tekil sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Yalnızca nispeten az sayıda sembolün ezberlenebilmesi nedeniyle, temel rakamlar genellikle bir rakam sisteminde organize edilir, bu da herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yoludur. En yaygın rakam sistemi Hint-Arap rakam sistemidir, bu sistem on temel sayısal sembol, yani rakam kullanılarak herhangi bir negatif olmayan tam sayının temsil edilmesine olanak tanır. Sayılar sayma ve ölçme dışında, etiketlerde (telefon numaraları gibi), sıralamada (seri numaraları gibi) ve kodlarda (ISBN'ler gibi) kullanılmak için de sıklıkla kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam ile temsil ettiği sayı net bir şekilde ayrılmaz.
Matematikte, sayı kavramı yüzyıllar boyunca peyderpey genişletilmiştir: sıfır (0), negatif sayılar,  \left({\tfrac {1}{2}}\right) gibi rasyonel sayılar, karekök 2  \left({\sqrt {2}}\right) ve π gibi gerçek sayılar, ve gerçek sayıları −1'in karekökü ile genişleten karmaşık sayılar buna dahil edilmiştir. Sayılarla yapılan hesaplamalar aritmetik işlemler ile yapılır; en bilindik işlemler toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs almadır. Bunların çalışılması veya kullanılması aritmetik olarak adlandırılır, bu terim ayrıca sayıların özelliklerinin incelendiği sayılar teorisini de ifade edebilir.
Sayıların pratik kullanımlarının yanı sıra, dünya genelinde kültürel bir önemi de bulunmaktadır. Örneğin, Batı toplumunda, 13 sayısı genellikle uğursuz olarak kabul edilir ve "milyon", kesin bir miktar yerine "çok" anlamına gelebilir. Artık sahte bilim olarak kabul edilse de, sayıların mistik bir önemine dair inanç, bilinen adıyla nümeroloji, antik ve Orta Çağ düşüncelerine derinden işlemiştir. Nümeroloji, Yunan matematiğinin gelişimini büyük ölçüde etkilemiş ve günümüzde hala ilgi çeken birçok sayı teorisi problemi üzerine araştırmaları teşvik etmiştir.
19. yüzyılda matematikçiler, sayıların bazı özelliklerini paylaşan ve kavramı genişletiyor olarak görülebilecek pek çok farklı soyutlama geliştirmeye başladılar. İlkler arasında, karmaşık sayı sistemini çeşitli şekillerde genişleten veya değiştiren hiperkompleks sayılar bulunmaktadır. Modern matematikte, sayı sistemleri, halkalar ve alanlar gibi daha genel cebirsel yapıların önemli özel örnekleri olarak kabul edilir ve "sayı" teriminin uygulanması, temel bir öneme sahip olmaksızın, bir konvansiyon meselesidir.
Tarihçe > Sayıların ilk kullanımı

Kemikler ve üzerlerine kesik izleri yapılmış diğer eserler ile keşfedilmiştir ki, birçok kişi bunların çetele olduğuna inanmaktadır. Bu çeteleler, geçen zamanın, örneğin gün sayısının, ay döngülerinin sayılması ya da çeşitli miktarların, örneğin hayvan sayılarının kaydı, tutulması için kullanılmış olabilir.
Bu çetele - çizik atma sistemi, modern ondalık gösterimdeki gibi basamak değeri kavramına sahip değildir. Bu da büyük sayıların temsilini sınırlar. Yine de, çetele - çizik atma sistemleri, ilk tür soyut sayı sistemi olarak kabul edilir.
Basamak kavramına sahip bilinen ilk sistem, M.Ö. 3400 civarına ait Antik Mezopotamya ölçü birimleri sistemidir ve bilinen en eski onlu sayı sistemi ise M.Ö. 3100 yılında Mısır'da gözlemlenmiştir.
Tarihçe > Rakamlar

Ana madde: Sayı sistemi
Sayılar, sayıları temsil etmek için kullanılan semboller olan rakamlardan ayırt edilmelidir. Mısırlılar ilk şifreli rakam sistemini icat ettiler ve Yunanlar sayma sayılarını İyon ve Dorik alfabesine aktararak bu yöntemi takip ettiler. Roma rakamları, Roma alfabesinden harflerin kombinasyonlarını kullanan bir sistem, Avrupa'da 14. yüzyılın sonlarına doğru Hint-Arap rakam sisteminin yayılmasına kadar baskın kaldı ve Hint-Arap rakam sistemi günümüzde dünyada sayıları temsil etmek için kullanılan en yaygın sistem oldu. Bu sistemin etkinliğinin sebebinin, M.S. 500 civarında antik Hint matematikçiler tarafından geliştirilen sıfır sembolü olduğu düşünülmektedir.
Tarihçe > Negatif sayılar

Negatif sayı kavramının soyut bir anlayışı, M.Ö. 100-50 yılları arasında Çin'de erkenden kabul görmüştür. Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm adlı eser, geometrik şekillerin alanlarının hesaplanması yöntemlerini sunmakta ve bu bağlamda kırmızı çubuklar pozitif katsayıları, siyah çubuklar ise negatif katsayıları temsil etmek üzere kullanılmıştır. Batı literatüründe negatif sayılara dair ilk atıf, M.S. 3. yüzyılda Yunanistan'da kaydedilmiştir. Diophantus, Arithmetika eserinde 4x + 20 = 0 (çözüm negatif) denklemine değinmiş ve bu denklemin mantıksız bir sonuç ortaya koyduğunu ifade etmiştir.
600'lerde, Hindistan'da negatif sayılar, borç miktarlarını ifade etme amacıyla kullanılmaya başlanmıştır. Diophantus'un daha önceki bahsi, 628 yılında Brāhmasphuṭasiddhānta eseriyle Brahmagupta tarafından daha detaylı bir şekilde ele alınmıştır. Brahmagupta, günümüzde de kullanılan genel ikinci dereceden denklem formülünün üretimi için negatif sayıları kullanmıştır. Ancak, 12. yüzyılda Hindistan'da Bhaskara, ikinci dereceden denklemler için negatif kökler sunmuş, fakat negatif değerin "bu durumda dikkate alınmaması gerektiğini, çünkü yetersiz olduğunu; negatif köklerin kabul görmediğini" ifade etmiştir.
17. yüzyıla dek Avrupa'daki matematikçiler genellikle negatif sayılar konseptine karşı çıkmışlardır; ancak Fibonacci, bu sayıların borçlar olarak yorumlanabileceği finansal sorunlarda negatif çözümlere yer vermiştir (Liber Abaci, 13. bölüm, 1202) ve sonraki çalışmalarında zararlar bağlamında da bunu sürdürmüştür (Flos'ta). René Descartes, cebirsel polinomlarda karşılaştığı negatif kökleri "yanlış kökler" olarak nitelendirmiş, fakat zamanla gerçek köklerle yanlış kökler arasında bir yer değiştirme yöntemi geliştirmiştir. Bu dönemde Çinliler, pozitif sayının karşılık gelen rakamının en sağdaki sıfır olmayan basamağının üzerine çapraz bir çizgi çekerek negatif sayıları göstermekteydi. Negatif sayıların bir Avrupa çalışmasında kullanımına ilk rastlanan örnek, 15. yüzyılda Nicolas Chuquet tarafından gerçekleştirilmiştir. Chuquet, bu sayıları üsler olarak kullanmış, ancak onlara "absürt sayılar" demiştir.
18. yüzyıla dek matematiksel pratiklerde, denklemlerden elde edilen negatif sonuçların anlamsız olduğu kabulüyle bu tür sonuçların dikkate alınmaması genel bir yaklaşımdı.
Tarihçe > Rasyonel sayılar

Kesirli sayı kavramının tarihöncesi dönemlere uzandığı düşünülmektedir. Antik Mısır uygarlığı, Rhind Matematik Papirüsü ve Kahun Papirüsü gibi matematiksel dokümanlarında rasyonel sayılar için özel bir Mısır kesri notasyonu geliştirmiştir. Antik Yunan ve Hint matematikçiler, sayı teorisinin genel incelemesi çerçevesinde, rasyonel sayılar teorisine dair çalışmalar yapmışlardır. Bu çalışmalar arasında en meşhuru, M.Ö. 300 yıllarına tarihlenen Öklid'in Elementleri eseridir. Hint literatüründe ise, matematiksel çalışmaların genel bir parçası olarak sayı teorisini ele alan Sthananga Sutra ön plana çıkmaktadır.
Ondalık kesirlerin kavramı, ondalık basamak gösterimiyle sıkı bir bağlantıya sahiptir ve bu iki kavramın paralel olarak geliştiği düşünülmektedir. Örneğin, Jain matematiğine ait sutralarda pi sayısının veya 2'nin kare kökünün ondalık kesir yaklaşıklarının hesaplamaları sıkça yer almaktadır. Ayrıca, Babil matematik metinlerinde altmışlık sistem (taban 60) kullanılarak kesirler yaygın olarak işlenmiştir.
Tarihçe > Aşkınsal (Transendental) sayılar

Aşkınsal (Transendental) sayıların ve reel sayıların mevcudiyeti, Liouville tarafından 1844 ve 1851 yıllarında ilk defa ispatlanmıştır. Hermite,, 1873 yılında gerçekleştirdiği çalışmada, e sayısının aşkınsal nitelikte olduğunu ortaya koymuştur ve Lindemann da 1882 yılında π sayısının aşkınsal olduğunu kanıtlamıştır. Cantor ise, reel sayılar kümesinin sayılamaz derecede sonsuz olduğunu, fakat cebirsel sayılar kümesinin sayılabilir derecede sonsuz olduğunu göstererek, sayılamaz derecede sonsuz miktarda aşkınsal sayının var olduğunu ispatlamıştır. Bu bulgular, matematikte aşkınsal sayılar ve reel sayılar teorisinin temel taşlarını oluşturmaktadır.
Tarihçe > Sonsuz ve Sonsuzküçükler

Matematiksel sonsuzluk anlayışının en antik örneği, Yajur Veda gibi eski bir Hint yazıtında bulunmaktadır. Bu metinde, "Eğer sonsuzluktan bir kısmı çıkartırsanız ya da sonsuzluğa bir kısmı eklerseniz, geriye kalan yine de sonsuz olacaktır." ifadesi yer almaktadır. Sonsuzluk, M.Ö. 400 yıllarında Jain matematikçileri arasında yoğun bir şekilde felsefi bir tartışma konusu olmuştur. Bu matematikçiler, sonsuzluğun beş farklı türünü tanımlamışlardır: tek ve iki yönde sonsuz, alansal olarak sonsuz, her yönden sonsuz ve sürekli olarak sonsuz. Sonsuz bir niceliği ifade etmek için sıklıkla  {\text{∞}} sembolü kullanılmaktadır.
Aristo, Batı matematiğinin geleneksel sonsuzluk kavramını tanımlamıştır. Gerçek sonsuzluk ile potansiyel sonsuzluk arasında bir ayrım yapmış ve genel olarak sadece sonuncusunun gerçek bir değere sahip olduğu kabul edilmiştir. Galileo Galilei'nin Two New Sciences adlı çalışması, sonsuz kümeler arasında birbirine tekabül eden eşlemelerin fikrini ele almıştır. Ancak, teorideki önemli bir sonraki ilerleme Georg Cantor tarafından gerçekleştirilmiştir. Cantor, 1895 yılında yeni küme teorisini konu alan bir eser yayımlamış, bu eserinde transfinite sayılarını tanıtmış ve süreklilik hipotezini formüle etmiştir. Bu çalışmalar, matematikte sonsuzluk teorisinin gelişiminde önemli dönüm noktaları olarak kabul edilir.
1960'larda Abraham Robinson, sonsuz büyüklükteki ve sonsuz küçüklükteki sayıların, standart olmayan analiz alanını geliştirecek şekilde kesin olarak tanımlanabileceği ve kullanılabileceği bir yöntem ortaya koymuştur. Hiper reel sayılar sistemi, Isaac Newton ve Gottfried Leibniz'in sonsuz küçük hesaplamalarını icat etmelerinden bu yana matematikçiler, bilim insanları ve mühendisler tarafından yaygın bir şekilde kullanılan sonsuz ve sonsuzküçük sayılarla ilgili fikirleri kesin bir metodoloji çerçevesinde ele alır. Bu sistem, söz konusu kavramların matematikte daha sistematik bir şekilde işlenmesine olanak tanımıştır.
Projektif geometri, sonsuzluğun modern bir geometrik yorumunu sunar ve her bir uzaysal yönde "sonsuzluktaki ideal noktaları" tanımlar. Belirli bir yöndeki paralel çizgi ailelerinin her birinin, ilgili ideal noktaya doğru yakınsaması öngörülür. Bu kavram, perspektif çizimlerdeki kaybolma noktaları fikriyle sıkı bir şekilde bağlantılıdır ve geometrik çizimlerde derinlik ve uzaklık hissi oluşturulmasında temel bir rol oynar.
Tarihçe > Asal sayılar

Asal sayılar, kayıtlı tarihin her evresinde araştırma konusu olmuştur. Bunlar, yalnızca 1 ve kendileri ile bölünebilme özelliğine sahip pozitif tam sayılardır. Öklid, Elementler adlı eserinin bir bölümünü asal sayılar teorisine adamıştır; bu bölümde, asal sayıların sonsuz olduğunu ve aritmetiğin temel teoremini ispatlamış, aynı zamanda iki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını tanıtmıştır.
M.Ö. 240 yılında, Eratosthenes, asal sayıları etkin bir şekilde saptamak için Eratosten kalburu yöntemini kullanmıştır. Ancak, asal sayılar teorisindeki önemli gelişmelerin çoğu, Avrupa'da Rönesans dönemi ve sonrasına aittir.
1796 yılında Adrien-Marie Legendre, asal sayıların asimptotik dağılımını açıklayan asal sayı teoremini tahmin etmiştir. Asal sayıların dağılımı ile ilgili diğer önemli bulgular arasında, Euler'in asal sayıların karşılıklı değerlerinin toplamının diverjansını ispatlaması ve herhangi bir yeterince büyük çift sayının iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini öne süren Goldbach varsayımı yer almaktadır. Asal sayıların dağılımı ile ilgili bir diğer önemli varsayım ise, Bernhard Riemann tarafından 1859 yılında formüle edilen Riemann hipotezidir. Asal sayı teoremi, Jacques Hadamard ve Charles de la Vallée-Poussin tarafından 1896 yılında kanıtlanmıştır. Goldbach ve Riemann'ın varsayımları ise hâlâ ne kanıtlanmış ne de çürütülmüştür.
Sınıflandırma

Sayılar, doğal sayılar ve reel sayılar gibi, 'sayı kümeleri' veya 'sayı sistemleri' adı verilen matematiksel kümeler içerisinde sınıflandırılabilir. Temel sayı sistemleri aşağıdaki gibidir:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  \mathbb {N}  | Doğal sayılar | 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... or 1, 2, 3, 4, 5, ...   \mathbb {N} _{0} veya  \mathbb {N} _{1} kullanılır. |
|  \mathbb {Z}  | Tam sayılar | ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... |
|  \mathbb {Q}  | Rasyonel sayılar | a/b'da a ve b tam sayı ve b ≠ 0 |
|  \mathbb {R}  | Reel sayılar | Rasyonel sayılardan oluşan bir yakınsak dizinin limit değeri |
|  \mathbb {C}  | Karmaşık sayılar | a + bi şeklinde ifade edilen, burada a ve b reel sayılar olup, i ise -1'in formal karekökünü temsil eder |
Bu sayı sistemlerinden her biri, bir sonraki sayı sisteminin alt kümesini oluşturur. Dolayısıyla, bir rasyonel sayının aynı zamanda bir reel sayı olduğu ve her reel sayının da bir karmaşık sayı olduğu söylenebilir. Bu durum sembolik olarak şu şekilde gösterilebilir:
Bir tablo olarak sayılar için şöyle sınıflandırma yapılabilir:
Aşağıdaki diyagramda, sayı kümelerine ilişkin daha kapsamlı bir listeleme yer almaktadır.
Sınıflandırma > Sayma sayılar

Ana madde: Sayma sayıları
Sayma sayıları boştan farklı bir kümenin elemanlarını azlık veya çokluk yönünden nitelemekten ziyade onların içindeki eleman miktarına göre verilen bir temsilciler kümesi olarak tanımlanır. Temsilcilere verilen isme kanonik temsilci denir. Her sayma sayısı aynı zamanda bir kanonik temsilcidir. Sayma sayılarına sıfırın dahil olmamasının sebebi boş kümenin içinde temsil edecek bir elemanın olmamasıdır.
\scriptstyle \mathbb {N} ^{+}=\left\{1,2,3,...\right\}
Sınıflandırma > Doğal sayılar

Ana madde: Doğal sayılar
Doğal sayılar 0'dan başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır. Matematikte doğal sayılar kümesi  \scriptstyle \mathbb {N}  ile gösterilir. Doğal sayılar ismi bu sayıların doğada görüp tanıdığımız sayılar olduğu fikrinden ileri gelmektedir. Doğal sayılar kümesi "0" ve pozitif tüm tam sayıların olduğu kümedir.
\scriptstyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,5,6,7,...\}
0 sayısı, Antik Yunan döneminde dahi sayı olarak kabul edilmezdi. Ancak 19. yüzyılda, küme teorisyenleri ve diğer matematikçiler, 0'ı (boş kümenin kardinalitesi, yani 0 eleman, bu nedenle 0 en küçük kardinal sayı olarak kabul edilir) doğal sayılar kümesine dahil etmeye başladılar. Günümüzde, matematikçilerin farklı yaklaşımları neticesinde, terim hem 0'ı içeren hem de içermeyen sayı kümelerini tanımlamak için kullanılmaktadır. Tüm doğal sayılar kümesini ifade etmek için kullanılan matematiksel sembol N olup,  \mathbb {N}  şeklinde gösterilir ve kümenin 0 ile mi yoksa 1 ile mi başlayacağını belirtmek amacıyla  \mathbb {N} _{0} veya  \mathbb {N} _{1} şeklinde ifade edilir.
Onlu sayı sistemi, günümüzde matematiksel işlemler için yaygın olarak kullanılan sistem olup, doğal sayıların gösterimi için on adet sayısal basamak kullanır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Radiks veya taban, bir sayı sisteminin sayıları ifade etmek için kullandığı, sıfır dahil olmak üzere, benzersiz sayısal basamakların toplam sayısını belirtir (ondalık sistem için bu değer 10'dur). Bu onlu taban sistemde, bir doğal sayının en sağdaki basamağının basamak değeri 1 olup, diğer basamakların her birinin basamak değeri, hemen sağında yer alan basamağın basamak değerinin on katı kadar olur.
Küme teorisi, modern matematiğin aksiyomatik bir temeli olarak görev yapabilir ve bu çerçevede, doğal sayılar, eşit büyüklükteki kümelerin sınıflandırılması yoluyla ifade edilebilir. Mesela, 3 sayısı, tam olarak üç öğeye sahip olan tüm kümelerin bir sınıfı olarak ifade edilebilir. Diğer bir yöntem olarak, Peano Aritmetiği'nde 3 sayısı, sss0 olarak gösterilir; burada 's', "ardıl" fonksiyonunu temsil eder (bu bağlamda 3, 0 sayısının üçüncü ardılı olarak kabul edilir). 3 sayısını formel olarak ifade etmek için birçok farklı yöntem mevcuttur; tek gereken, belirli bir sembolü veya sembol dizisini üç defa işaretlemektir.
Sınıflandırma > Tam sayılar

Ana madde: Tam sayılar
Tam sayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler. Yani "0"ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar. Tam sayılar kümesi  \scriptstyle \mathbb {Z}  ile gösterilir. Buradaki Z harfi, Almanca 'Zahl' (sayı) kelimesinden türemiştir.
\scriptstyle \mathbb {Z} =\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}
Sınıflandırma > Tam sayılar > Pozitif tam sayılar

Başında "+" işareti bulunan veya bir şey bulunmayan tam sayılar pozitif tam sayılar adını alırlar. Sayı ekseninde (sayı doğrusunda) 0'ın sağ yanında yer alırlar. Tüm sayma sayıları pozitif tam sayılardır. Pozitif tam sayılar kümesi  \scriptstyle \mathbb {Z} ^{+} ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlıdır:
\scriptstyle \mathbb {Z} ^{+}=\{+1,+2,+3,+4,+5...\}
Sınıflandırma > Tam sayılar > Negatif tam sayılar

Başında "-" işareti olan tam sayılar negatif tam sayılar adını alırlar. Sayı ekseninde 0'ın sol yanında yer alırlar. Negatif tam sayılar kümesi  \scriptstyle \mathbb {Z} ^{-} ile gösterilir. Cebirde çıkarma işlemi bu sayıların diğer tam sayılarla toplanması olarak ifade edilir.
\scriptstyle \mathbb {Z} ^{-}=\{...,-3,-2,-1\}
Sınıflandırma > Tam sayılar > Sıfır

Tam sayıdır. Sıfır (0) negatif veya pozitif bir tam sayı değildir. Bir uzlaşma noktasıdır. Bu iki kümeden herhangi birinde yer almaz. Ancak tam sayılar aşağıdaki gibi de tanımlanabilir:
\scriptstyle \mathbb {Z} =\scriptstyle \mathbb {Z} ^{-}\cup \{0\}\cup \scriptstyle \mathbb {Z} ^{+}
Sıfırın doğal sayı kabul edilmediği (akademik) çevreler azımsanmayacak kadar fazladır. Sıfırı dahil eden çevreler doğal sayılar kümesini  \scriptstyle \mathbb {N} _{(0)} sembolü ile gösterirler, sıfırı dahil etmeyen çevrelerse sıfırın dahil olmadığı sayma sayıları kümesini  \scriptstyle \mathbb {N} ^{+} ile gösterirler.
Sınıflandırma > Rasyonel sayılar

Ana madde: Rasyonel sayılar
Bir rasyonel sayı, tam sayı bir pay ve pozitif tam sayı bir payda ile ifade edilebilen bir kesir olarak tanımlanır. Negatif paydalar kullanılabilir ancak her rasyonel sayı pozitif bir payda ile eşit olduğundan, genellikle bu durumdan kaçınılır. Kesirler, pay ve payda olarak iki tam sayı ile ifade edilir ve bu iki sayı arasında bir bölme işareti bulunur. m/n kesri, n eşit parçaya bölünmüş bir bütünün m parçasını ifade eder. Farklı iki kesir, aynı rasyonel sayıyı temsil edebilir; örneğin 1/2 ile 2/4 birbirine eşittir, yani:
Genel bir ifade ile,
Eğer m sayısının mutlak değeri, pozitif kabul edilen n sayısından daha büyükse, kesirin mutlak değeri 1'den fazla olacaktır. Kesirler, 1'e göre büyük, küçük veya ona eşit olabilirler; ayrıca pozitif, negatif veya 0 değerlerini alabilirler. Tüm rasyonel sayılar kümesi, her bir tam sayının paydası 1 olarak belirlenebilen bir kesir biçiminde ifade edilebildiği için, tam sayıları da kapsar. Örnek olarak −7 sayısı, −7/1 şeklinde ifade edilebilir. Rasyonel sayılar için kullanılan sembol 'Q'dur (quotient, yani bölüm kelimesinden gelir) ve  \mathbb {Q}  şeklinde de gösterilir.
Sınıflandırma > Karmaşık sayılar

Ana madde: Karmaşık sayılar
Daha yüksek bir soyutlama düzeyine geçildiğinde, reel sayılar, karmaşık sayılara genişletilebilir. Bu sayılar kümesi, tarih boyunca kübik ve kuadratik polinomların köklerine ilişkin kapalı formüllerin araştırılması sürecinde gelişmiştir. Bu arayış, negatif sayıların kareköklerini içeren ifadelere ve sonuç olarak -1 sayısının karekökü olan yeni bir sayının tanımına yol açmıştır; bu sayı, Leonhard Euler tarafından i olarak sembolize edilen ve hayali birim olarak adlandırılan bir birimdir. Karmaşık sayılar, a ve b reel sayıları olmak üzere,  a+bi biçimindeki tüm sayıları kapsar. Bu bağlamda, karmaşık sayılar, iki gerçek boyutlu bir vektör uzayı olan karmaşık düzlem üzerinde noktalara denk gelir. a + bi ifadesinde a, gerçek kısmı ve b, hayali kısmı temsil eder. Bir karmaşık sayının gerçek kısmı 0 ise, bu sayı hayali sayı olarak adlandırılır veya tamamen hayali olarak nitelendirilir; hayali kısmı 0 ise, bu sayı bir gerçek sayıdır. Böylelikle, reel sayılar karmaşık sayıların bir alt kümesini oluşturur. Eğer bir karmaşık sayının gerçek ve hayali kısımları tam sayı ise, bu sayı Gauss tam sayısı olarak isimlendirilir. Karmaşık sayılar için kullanılan sembol, 'C' veya  \mathbb {C} 'dir.
Cebirin temel teoremi, karmaşık sayıların cebirsel olarak kapalı bir alan oluşturduğunu, yani karmaşık katsayılara sahip her polinomun karmaşık sayılar içinde bir kökü olduğunu ifade eder. Gerçek sayılar gibi, karmaşık sayılar da bir alan oluşturur ve bu alan tamdır; fakat gerçek sayılardan farklı olarak sıralı değildir. Yani, inin 1'den büyük olduğunu ya da inin 1'den küçük olduğunu ifade etmenin tutarlı bir anlamı yoktur. Teknik bir dille ifade edilecek olursa, karmaşık sayılar, alan işlemleriyle uyumlu bir total sıralamadan yoksundur.
Tam sayıların alt kategorileri > Çift ve tek sayılar

Ana madde: Parite (matematik)
Bir çift sayı, iki sayısına tam olarak bölünebilen ve böylece kalan bırakmayan bir tam sayıdır; buna karşılık, bir tek sayı çift olmayan tam sayılardır. Günümüzde "tam bölünebilir" şeklindeki eski usul ifade, genellikle "bölünebilir" şeklinde kısaltılarak kullanılmaktadır. Herhangi bir tek sayı n, uygun bir k tam sayısı için n = 2k + 1 formülü ile ifade edilebilir. k = 0 ile başlandığında, ilk negatif olmayan tek sayılar {1, 3, 5, 7, ...} olarak sıralanır. Her çift sayı m, yine bir tam sayı olan k için m = 2k şeklinde ifade edilebilir. Benzer biçimde, ilk negatif olmayan çift sayılar {0, 2, 4, 6, ...} olarak belirlenir.
Tam sayıların alt kategorileri > Asal sayılar

Ana madde: Asal sayı
Bir asal sayı, genellikle sadece asal olarak kısaltılan, 1'den büyük ve iki daha küçük pozitif tam sayının çarpımı olmayan bir tam sayıdır. İlk birkaç asal sayı 2, 3, 5, 7 ve 11'dir. Çift ve tek sayılar için mevcut olan basit formüllerin aksine, asal sayıları türetecek bir formül bulunmamaktadır. Asal sayılar üzerine 2000 yıldan fazla süredir yapılan geniş çaplı çalışmalar, çeşitli soruları gündeme getirmiş, bunların yalnızca bir kısmına yanıt bulunabilmiştir. Bu tür soruların ele alınışı, sayılar teorisi disiplinine aittir. Goldbach'ın varsayımı, halen yanıtlanmamış sorulardan birine örnek teşkil eder: "Her çift sayı, iki asal sayının toplamı mıdır?"
Bir'den büyük her tam sayının, asal sayıların çarpımı olarak yalnızca tek bir yolda ifade edilebileceği, asal sayıların yeniden düzenlenmesi dışında, sorusuna verilen yanıt doğrulanmıştır; bu ispatlanmış iddia, aritmetiğin temel teoremi olarak bilinir. Bir kanıt, Öklid'in Elementleri eserinde sunulmuştur.
Tam sayıların alt kategorileri > Diğer tam sayı sınıfları

Doğal sayıların çeşitli alt kümeleri, belirli çalışmaların odak noktası olmuş ve çoğunlukla bu sayılar üzerine çalışmalar yapan ilk matematikçinin adıyla anılmıştır. Fibonacci sayıları ve mükemmel sayılar gibi tam sayı kümeleri, bu tür örnekler arasında yer alır. Daha fazla örnek için ardışık sayılar maddesine başvurulabilir.