Diffie-Hellman anahtar değişimi
Tanım

Diffie-Hellman yaygın olarak gizli iletişimlerde kullanılabilecek yalnızca tarafların bildiği gizli anahtar (İngilizce: common secret) üretmek için kullanılır. Bu anahtar da ortak ağlarda (güvenli olmayan kanaldan) güvenli veri alışverişini sağlamak için kullanılabilir. Aşağıdaki diyagram anahtar değişiminin genel çalışma mantığını çok büyük sayılar yerine renkler kullanarak açıklar. Bu sürecin önemli bir parçası olarak Alice ve Bob kendi gizli renklerini sadece karışım içinde değişirler. Sonunda her iki taraf matematiksel olarak arada dinleyen başka bir kişi tarafından geri döndürülmesi zor olan (Tek Yönlü Fonksiyon, İng: One Way Function) aynı anahtarı elde eder. Bu aşamadan sonra Alice ve Bob oluşturmuş oldukları ortak gizli anahtarla aralarındaki veri alışverişini şifrelemek ve şifre çözmek için kullanırlar. Sarı rengin zaten Alice ve Bob tarafından anlaştıklarına dikkat edin:
Yukarıdaki renk değişimini ve aşağıdaki mantıksal gösterimi de dikkate alarak Diffie-Hellman değişimi şu şekilde açıklanabilir: Kullanılacak protokol üzerindeki grup-üretimi algoritması G, asal sayı p ve grup üretimi için kullanılacak fonksiyon g belirlenir ve tüm taraflar bu değerler üzerinde anlaşarak hesaplamalarını yapar. Yukarıdaki sarı boyalar, iki tarafın da bu protokol üzerinde (G, p, g) anlaştığını belirtir.
İletişim kurmak isteyen taraf, grup fonksiyonunu (g) ve kendi gizli anahtarlarını (a) kullanarak kendi açık anahtarını (ga) hesaplar. Hesapladığı bu açık anahtarı bilinen sistemler üzerinden karşı tarafa iletir. Diğer taraf da aynı şekilde kendi gizli anahtarını hesaplar. Kırmızı ve yeşil boyalar iki tarafın da hesapladığı bu değerleri ga ve gb gösterir. Her iki taraf da birbirleriyle bu değerleri değişirler ve böylece Alice Bob'un açık anahtarı (gb)'ye ve Bob da Alice'in açık anahtarı (ga)'ya erişmiş olur. Böylece Bob Alice'ten eldiği ettiği anahtarı kendi anahtarıyla matematiksel çarpım yaparak (gab)'ye ulaşırken Alice de aynı işlemi uygulayarak (gba)'ya ulaşmış olur. Böylece, iki taraf da matematiğin üslü sayılarda kuvvet birleşimini kullanarak beraber anlaştıkları ortak ve gizli bir anahtara sahip olmuş olurlar. Bu işlemde iki taraf da sahip olduğu gizli anahtarını güvenli olmayan bir sistem üzerinden paylaşmak zorunda kalmaz. Paylaşılan bu anahtarın güvenliliği karar verici Diffie-Hellman probleminin güvenliğine dayanır. (İng: decisional Diffie-Hellman problem) Kısaca, Alice ve Bob arasındaki iletişimi izleyen biri sadece (gab) değerini göreceği ve bunu kullanarak tek yönlü fonksiyon değerleri olan (ga)'yı ve (gb)'yi hesaplayamayacağı varsayıldığı için Diffie-Hellman çözülmesi zor bir problem olarak kabul edilir.
Alice ve Bob aralarında asal sayı olarak p=23 ve taban olarak g=5'i seçmeyi anlaşırlar.
Alice gizli bir tam sayı seçer a =6 ve Bob'a A = g a mod p hesaplayıp gönderir.
A = 56 mod 23
A = 15.625 mod 23
A = 8
Bob da gizli bir tam sayı seçer b =15 ve aynı şekilde Alice'e B = g b mod p hesaplayıp gönderir.
B = 515 mod 23
B = 30.517.578.125 mod 23
B = 19
Alice s = B a mod p yi hesaplar.
s = 196 mod 23
s = 47.045.881 mod 23
s = 2
Bob da s = A b mod p yi hesaplar.
s = 815 mod 23
s = 35.184.372.088.832 mod 23
s = 2
Bu aşamada Alice ve Bob aynı gizli anahtara sahiptirler: s = 2 . Çünkü 6 *15 ile 15 *6 aynıdır. Bu yüzden bu iki gizli tam sayıyı bilen biri de s yi aşağıdaki gibi hesaplayabilir:
s = 56*15 mod 23
s = 515*6 mod 23
s = 590 mod 23
s = 807.793.566.946.316.088.741.610.050.849.573.099.185.363.389.551.639.556.884.765.625 mod 23
s = 2
Alice de Bob da aynı sonuca ulaştılar, çünkü (ga)b ve (gb)a ikisi de mod p'ye göre aynıdır. Dikkat ederseniz sadece a, b ve gab = gba mod p gizli tutulmuştu. Geri kalan bütün değerler – p, g, ga mod p, and gb mod p – açıkça gönderilmişti (hesaplanarak). Bir kere Alice ve Bob sadece kendilerinin bildiği ortak gizli anahtarı oluşturduktan sonra, bunu açık iletişim kanalında mesaj gönderimlerinde şifreleme anahtarı olarak kullanabilirler. 
Tabii ki, bu örneğimizi daha güvenli hale getirmek için daha büyük a, b ve p değerlerine ihtiyacımız var, çünkü gab mod 23 bütün olası değerlerini denemek oldukça basit. Burada olası 23 tane tam sayı değeri vardır mod 23'ün sonucunda. Eğer p en az 300 haneli asal sayı olsaydı ve a, b en az 100 haneli olsalardı, işte o zaman günümüzde bilinen en iyi algoritmalar bile sadece g, p, gb mod p ve ga mod p verilmiş bile olsa a yı bulamazlar, hatta insanoğlunun bütün işlem gücü verilse de. Bu ayrık logaritma problemi olarak bilinir. Dikkat edin g'nin büyük olmasına gerek yoktur ve pratikte genelde 2, 3 veya 5 kullanılır.
Protokol hakkında daha genel bir açıklama:
Alice ve Bob sınırlı bir devirli grup olan G ve G de bulunan G'nin üretici g elemanında anlaşırlar. (Bu işlem genellikle protokolün geri kalan kısmından daha önce yapılır; g nin saldırganlar tarafından bilindiğini varsayıyoruz.) Grup G yi çarpımsal olarak yazacağız.
Alice rastgele bir a doğal sayısı seçer ve ga yı Bob'a gönderir.
Bob da rastgele bir b doğal sayısı seçer ve aynı şekilde gb yi hesaplayıp Alice gönderir.
Alice (gb)a hesaplar.
Bob da (ga)b hesaplar.
Şu aşamada Alice de Bob da ortak gizli anahtar olarak kullanılabilecek gab ye sahipler. (gb)a ve (ga)b değerleri aynıdır çünkü gruplara kuvvet birleşimi uygulanabilir. (Ayrıca bakınız: Üslü sayı.)
mgab olarak gönderilen şifreli m metnini çözebilmek için, Bob (ya da Alice) ilk önce (gab)-1 aşağıdaki gibi hesaplamalı:
Bob |G|, b, ve ga yı biliyor. Grup teoriden G yapısına göre sonuç saptanır, x|G| = 1 G de bulunan tüm x ler için.
Bob daha sonra (ga)|G|-b = ga(|G|-b) = ga|G|-ab = ga|G|g-ab = (g|G|)ag-ab=1ag-ab=g-ab=(gab)-1 hesaplar.
Alice Bob'a, mgab şeklinde şifreli mesaj gönderdiğinde, Bob orijinal metni elde edebilmek için (gab)-1 uygular ve orijinal metni mgab(gab)-1 = m(1) = m geri döndürmüş olur.