Kalkülüs
Prensipler > Diferansiyel hesap

Diferansiyel hesap, bir fonksiyonun türev tanımının, özelliklerinin ve uygulamalarının incelenmesidir. Türevi bulma işlemine "farklılaşma" (İngilizce: differentiation) denir. Bir fonksiyon ve tanım kümesinde bir nokta verildiğinde, o noktadaki türev, fonksiyonun o noktaya yakın küçük-ölçekli davranışını kodlamanın bir yoludur. Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her noktada türevini bularak, "türev fonksiyonu" veya sadece asıl fonksiyonun "türevi" denilen yeni bir fonksiyon üretmek mümkündür. Biçimsel olarak türev, girdi olarak bir fonksiyonu alan ve çıktı olarak ikinci bir fonksiyon üreten bir doğrusal operatördür. Bu, fonksiyonların genellikle bir sayı girdiği ve başka bir sayı çıkardığı temel cebirde çalışılan süreçlerin çoğundan daha soyuttur. Örneğin, eğer ikiye katlama işlevine üç girdi verilirse, o zaman altı çıktı verir ve kare alma işlevine girdi üç verilirse, o zaman dokuz çıktı verir. Ancak türev, kare alma fonksiyonunu girdi olarak alabilir. Bunun anlamı, türevin kare alma fonksiyonunun tüm bilgilerini almasıdır - örneğin ikinin dörde, üçün dokuza, dördün on altıya gönderilmesi vb. gibi - ve bu bilgiyi başka bir fonksiyon üretmek için kullanır. Kare alma fonksiyonunun türetilmesiyle üretilen fonksiyon, ikiye katlama fonksiyonu olur.
Daha açık bir ifadeyle, "çiftleme fonksiyonu" g(x) = 2x ve "kare alma fonksiyonu" f(x) = x2 gösterilebilir.
"Türev" artık "x2" ifadesiyle tanımlanan f(x) fonksiyonunu girdi olarak alır, yani tüm bilgi budur ve bu bilgiyi başka bir g(x) = 2x fonksiyonu çıktı olarak vermek için kullanır.
Bir türev için en yaygın sembol, asal olarak adlandırılan kesme işareti benzeri bir işarettir. Böylece, f adlı bir fonksiyonun türevi f′ ile gösterilir ve "f üssü" olarak okunur.
Örneğin, eğer f(x) = x2 kare alma işleviyse, f′(x) = 2x türevidir (yukarıdan ikiye katlama fonksiyonu g). Bu gösterim Lagrange gösterimi olarak bilinir. Fonksiyonun girişi zamanı temsil ediyorsa, türev zamana göre değişimi temsil eder. Örneğin, eğer f girdi olarak zamanı alan ve çıktı olarak bir topun o andaki konumunu veren bir fonksiyon ise, o zaman f nin türevi konumun zamanla nasıl değiştiği, yani topun hız değeridir.
Bir fonksiyon doğrusal ise (yani, fonksiyonun grafiği düz bir doğruysa), o zaman fonksiyon y = mx + b şeklinde yazılabilir. Burada x bağımsız değişken, y bağımlı değişken, b y-kesişim noktasıdır ve:
Bu, düz çizginin eğimi için kesin bir değer verir. Ancak fonksiyonun grafiği düz çizgi değilse, o zaman y'deki değişimin x'teki değişime bölümü değişir. Türevler, girdideki değişime göre çıktıdaki değişim kavramına tam bir anlam verir. Somut olmak gerekirse, f bir fonksiyon olsun ve f alanında bir a noktasını sabitleyelim. (a, f(a)) fonksiyonun grafiğindeki bir noktadır. h sıfıra yakın bir sayıysa, a + ha'ya yakın bir sayıdır. Bu nedenle (a + h, f(a + h)) (a, f(a)) yakındır.
Bu iki nokta arasındaki eğim
Bu ifadeye fark bölümü (İngilizce: difference quotient) denir. Bir eğri üzerinde iki noktadan geçen bir çizgiye kesen doğru denir, bu nedenle m, (a, f(a)) ile, (a + h, f(a + h))' arasındaki kesen doğrunun eğimidir. 
Kesen çizgi, fonksiyonun a noktasındaki davranışının yalnızca bir tahminidir çünkü a ile a + h arasında ne olduğunu hesaba katmaz. h değerini sıfıra ayarlayarak a'daki davranışı keşfetmek mümkün değildir çünkü bu tanımsız olan sıfıra bölme gerektirir. Türev, limit h sıfıra eğilimli olduğu için tanımlanır, yani h tüm küçük değerleri için f davranışını dikkate alır ve h sıfıra eşit olduğunda durum için tutarlı bir değer çıkarır:
Geometrik olarak türev, f grafiğine teğet doğrusunun a'daki eğimidir. Teğet çizgi, türevin fark bölümlerinin bir limiti olduğu gibi, kesen çizgilerin bir limitidir. Bu nedenle türev bazen f fonksiyonunun eğimi olarak adlandırılır.
İşte özel bir örnek, giriş 3'teki kare alma fonksiyonunun türevi. f(x) = x2 kare alma fonksiyonu olsun.
(3, 9) noktasındaki kare alma fonksiyonuna teğet olan doğrunun eğimi 6'dır, yani sağa gittiğinden altı kat daha hızlı yükselir. Az önce açıklanan limit işlemi, kare alma fonksiyonunun etki alanındaki herhangi bir nokta için gerçekleştirilebilir. Bu, kare alma işlevinin "türev işlevini" veya kısaca kare alma işlevinin "türevini" tanımlar. Yukarıdakine benzer bir hesaplama, kare alma fonksiyonunun türevinin ikiye katlama fonksiyonu olduğunu gösterir.