Benford'un savı
Açıklama

Bu savın açıklaması, eğer ilk tam sayıların belirli bir dağılımı gerçekte bulunursa bu dağılımın ölçme birimlerinden bağımsız olması gerekliliğine dayandırılır. Örneğin, eğer uzunluk ölçülerimizi santimetreden milimetreye çevirirsek (yani bir sabit 1/10 ile çarpım işlemi uygulanırsa), dağılımın değişmemesi gerekir - yani dağılım ölçekle değişmez. Bu gerçeğe uyan tek istatistik dağılım logaritması tekdüze olan dağılımdır.
Örneğin, herhangi iki nesne arasındaki uzaklığın sıfır olmayan ilk tam sayısı için dağılım, bunun santimetre, milimetre, hatta inç veya yarda biriminde/ölçeğinde olmasına bakmadan, aynı şeklini koruyacaktır. Yani eğer ilk tam sayılar için belirlenen bir dağılım varsa, o dağılım verinin ne ölçekte olduğuna hiç dayanmadan uygulanabilecektir.
Daha matematiksel deyimle, X bir rassal değişken ise ve bu değişken olasılığı herhangi bir pozitif tam sayı olan x'e eşit olması (eğer s>1 ise) s−s değerine oranlıdır; yani
Bu oran için sabit 1/ζ(s) olur ve burada ζ Riemann zeta fonksiyonu olur (bakın zeta dağılımı). X içindeki ilk tam sayının n olmasının olasılığı, s değeri 1'e yaklaştıkça
log10(n + 1) − log10(n)
ifadesine yaklaşır.
Benford'un savının şeklinin çok daha kesinlikle açıklanması eğer sayıların "logaritma" değerlerinin ayrık tekdüze dağılım gösterdiği varsayımının gerçekte doğruluğu ile mümkün olabilir. Bu demektir ki bir sayının 100 ile 1000 arasında (yani logaritma ile 2 ile 3 arasında) olması, 10,000 ile 100,000 (logaritma ile 4 ile 5 arası) olması ile aynı olasılıktadır. Birçok veri sayılar, özellikle gelirler, hisse senedi fiyatları, diğer borsa fiyatları gibi üstel büyüme gösteren değişkenler için bu pratik gerçeklere uygun bir varsayım olacaktır.
Bunun nasıl ortaya çıktığı için bir basit örnek verilebilir. Bir nesne miktarının üstel bir oranda büyüme göstermesi demek bu artış haddinin bir sabit olduğunu kabul etmektir. Eğer miktarın iki misline büyümesi bir yıl gerektiriyorsa, gelecek yıl da tekrar iki misli büyüme gösterecek demektir ve bu şekilde 3. yılda da ve diğer yıllarda iki kat artma devam edip duracağı varsayılıdır. Düşünelim; her yıl iki misli artış gösteren bir nesneyi ölçmek için başlama anının sayının 100'e geldiği zaman olduğunu kabul edelim. Bütün birinci yıl sayısının ilk rakamı 1 olacaktır. İkinci yıl için ilk rakam ancak ilk yedi ay için 2 olacaktır ve diğer beş ay 3 olacaktır. Üçüncü yılda ise sayının ilk rakamı 4, 5, 6 ve 7'yi aşacak ve takip eden rakamlardan daha çok uzaklaşmaya başlayacaktır. Dördüncü yılın hemen başlarında ilk rakam 8 ve 9 değerlerini geçecektir ve miktarın değeri 1000'i aştığı zaman bu süreç yeniden başlayacaktır.
Bu örnekten kolayca görülmektedir ki eğer miktar değeri bir yıl içinde rassal zamanlarda örnek alıp ölçülürse, örnek ölçülmesinde bulunan en olabilir ilk rakam değeri 1 olacaktır. Bunu takip eden ölçmelerde değer için daha büyük ilk rakamlar bulunması, değerin daha yüksek ilk rakamlara geçiş göstermesi dolayısıyla, çok daha az olabilirlilikte bulunacaktır.
Buna göre üstel olarak büyüme gösteren miktarların ölçülmesi sonucu ele geçirilen tabloların Benford'un savı kurallarına uymaları çok imkân dahilindedir. Ancak şunu da hatırlamalıdır ki birçok halde üstel büyüme şekli göstermeyen sayılar için bile Benford'un savı uygulanabilir.
Şuna dikkatin çekilmesi gerekir ki eğer eldeki sayılar çok değişik çeşitli dağılımlardan ortaya çıkartılmışlarsa, örneğin zeka testi sonuçları, kişilerin boyları gibi değişik normal dağılım gösteren değişkenlerse, bu sav geçerli olmayacaktır. Fakat, bu rakamlar ana kaynaktan değil diğer sayılarda karışık diğer bir kaynaktan elde edilmişlerse (örneğin anket sonuçlarını 'karışık' olarak veren bir makaleden) Benford'un savı tekrar geçerli olmaya başlayacaktır. Hill [1998] matematikle ispat etmiştir ki eğer bir araştırmacı "rassal" olarak bir sıra olasılık dağılımı seçerse ve sonra da seçtiği dağılıma uyan bir sayı seçerse, sonuç olarak ortaya çıkan sayılar için Benford'un savı uygulanabilir.