Kuantum mekaniği
Klasik mekanik, kuantum mekaniği ve kuantum mekaniğinin matematiği

Klasik mekanik, nesnelerin konum ve momentumları bilgilerini kullanarak, çeşitli kuvvet alanları altında nasıl hareket etmeleri gerektiğini bulmaya çalışır. Kökleri çok eskiye dayansa da başlangıcının Newton'un Principia'sı olduğunu kabul etmek yanlış olmaz. Daha sonra Euler, Lagrange, Jacobi, Hamilton, Poisson, Maxwell, Boltzman (İstatiksel mekanik ve klasik elektromanyetik teori de klasik mekaniğe katılabilir) gibi birçok ad tarafından çok çeşitli bakış açıları geliştirilmiş ve birçok alanda başarılı bir şekilde uygulanmıştır. Klasik mekaniğin tamamlanmasının Einstein'ın görelilik kuramları ile gerçekleştiğini söylemek yanlış olur. Klasik mekanik çok başarılı olmasına karşın, 1800'lü yılların sonlarına doğru, siyah cisim ışıması, tayf çizgileri, fotoelelektrik etki gibi birtakım olayları açıklamada yetersiz kalmıştır. Açıklamaların yanlışlığı bilim adamlarının yetersizliğinden değil aksine klasik mekaniğin yetersizliğinden kaynaklanıyordu. Klasik mekanikteki sorunun ne olduğunu anlatmak aşırı teknik kaçacaktır, ancak en yalın halde klasik mekanik, evreni sürekli olarak modeller ve bu yaklaşım kendi içinde tutarlı değildir. Bunu görmek için termodinamikteki eş-dağılım prensibine ("İngilizce: equipartition theorem") bakmalıyız. Üç konum (x, y, z) ve üç momentumla (px, py, pz) tanımlanan parçacıklar, sonsuz sayıda parametreyle tanımlanan alanlarla bir aradadır. Eş-dağılım kuramınca sistemin enerjisinin, denge durumunda, sistemin tüm bileşenlerine eşit biçimde dağılması gerekir. Alanlar sonsuz bileşene sahip olduğundan bütün enerji alanlara dağılmalıdır. (Daha teknik bir ifade ile, denge durumundaki sistemde enerji, bütün serbestlik derecelerine eş olarak dağılır, alanlar sonsuz serbestlik derecesine sahip olduğu için bütün enerji alanlara akmalıdır.) Evren dengede varsayılırsa, deneysel olarak böyle bir gözlemin olmaması, klasik mekaniğin "süreklilik" paradigmasında bir soruna işaret eder.
Kuantum kuramı ise olayı bambaşka bir şekilde ele alır. Parçacıklar artık doğrudan 3 konum ve 3 momentumla tanımlanmak yerine bir "dalga fonksiyonu" ile tanımlanırlar. Bu dalga fonksiyonu parçacığın bütün bilgisini içinde barındırır ve dalga fonksiyonuna uygun "sorular" sorularak gerekli bilgi alınır. Örneğin konum bilgisi için dalga fonksiyonuna "Parçacık nerede?" sorusunu sorarsınız, o ise size parçacığın soruyu sorduğunuz anda nerede olabileceğini söyler. Buradaki kritik nokta olabilirliktir. Bu, dalga fonksiyonunun bir de "olasılık fonksiyonu" olarak anılmasına neden olmaktadır. Daha sonra, bu olasılıksal durumu bilinçli olup olmama durumuna bağlayan Kopenhag Yorumu ortaya atılmıştır. (Matematik altyapısı yetersiz olanlar denklemleri görmezden gelebilirler.) Matematiksel olarak olayı şöyle tanımlayabiliriz:
\Psi (x,t) parçacığı tanımlayan dalga fonksiyonumuz olsun, 

 \langle x\rangle =\int \Psi ^{*}(x,t)x\Psi (x,t)dx 

integrali bize x'in beklenen değerini verir. Yukarıda bahsedilen soru sorma işlemi tam olarak böyle yapılır. Benzer şekilde momentumun beklenen değeri için; 

 \langle p\rangle =\int \Psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {d}{dx}}\Psi (x,t)dx 
şeklinde soruyu sorarız.  \Psi ^{*}(x,t) dalga fonksiyonumuzun karmaşık eşleniğidir. Karmaşık eşlenik ve dalga fonksiyonu arasında kalan ifadeler gözlemlenebilirlerimizin, yani konum ve momentumun, konum uzayındaki operatörleridir. Operatörler sorunun ta kendisidir.
Konum ve momentum dışında daha birçok gözlemlenebilir ile işlem yapılabilir. Ancak konum ve momentum operatörleri kullanılarak diğer birçok operatörü elde etmek mümkündür. İşin ilginç yanı bu operatörle elde etmek için klasik formüller kullanılır. Örneğin kinetik enerji klasik mekanikte;

 T={\frac {p^{2}}{2m}} 
şeklinde tanımlanırken kuantum fiziğinde kinetik enerji operatörü yine aynı ifadeyle yazılır. Tek fark "p" artık bir sayı değil bir operatördür. Bu bize Ehrenfest teoremince sağlanır ve bütün operatörleri klasik yasaları kullanarak türetebiliriz. Bu noktada "Peki, dalga fonksiyonu nedir?" sorusuna dönmeliyiz. Dalga fonksiyonu bize Schrödinger denklemi tarafından verilen, bir bakıma parçacığın kimlik kartıdır. Bir boyutta Schrödinger denklemi;

 i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi +V(x,t)\Psi  

şeklinde yazılabilir. İfade bir bakıma enerji denklemidir ve bahsi geçen "kimlik" kartını sistemin enerjisine göre verir. (Burada kimlikten kasıt, parçacığın elektron mu yoksa nötron mu olduğu değil, momentumu, konumu, kinetik enerjisi gibi gözlemlenebilir olmalarıdır.) Bu denklem çözüldüğünde parçacığımızın dalga fonksiyonunu elde etmiş oluruz. En basit atom olan hidrojen atomunun zamandan bağımsız analitik olarak çözülmesi bile zordur, neyse ki belli formalizmlerle, daha karmaşık sistemleri yaklaşımlar yaparak çözmek mümkün oluyor.
Kuantum mekaniği temelinde bir olasılık teorisidir. Dalga fonksiyonu içinde sistemin bütün olası durumlarını barındırır. Siz soruyu sorduğunuzda size en olası cevabı verir, ancak soru sorma işlemi dalga fonksiyonunu "dağıtır" ve siz bir daha sorduğunuz zaman artık başka bir cevap alırsınız. Bunun yanı sıra kuantum mekaniği yapısı gereği belirsizlikler barındırır. Bu belirsizlikler, bazı gözlemlenebilir olanı ne kadar iyi bilirseniz, diğer bazıları hakkında o kadar az şey bileceğinizi söyler. Örneğin konum ve momentum böyle bir çift oluşturur. Birini ne kadar iyi bilirseniz diğeri hakkında o kadar az bilginiz olur. Bu Heisenberg belirsizlik ilkesi olarak bilinir. Konum ve momentum için Heisenberg belirsizlik ilkesi şöyle gösterilir:
\sigma _{x}\sigma _{p}\geqslant {\frac {\hbar }{2}} 

Bu ifade de  \sigma _{x} ve  \sigma _{p} ile verilenler sırasıyla konum ve momentumdaki belirsizliklerdir.
Yukarıda ele alınan kuantum mekaniği, öklidyen bir uzayda çalışılmış kuantum mekaniğidir, diğer bir deyişle göreceli değildir. Einstein'ın özel görelilik kuramına uyan bir kuantum mekaniği türetmek mümkündür. Hatta ilk bakışta kolay bir uğraştır. Kuantum fikrine ve özel göreliliğe biraz aşina olan biri bile çözüme kolayca ulaşır. Yukarıda değinilen Schrödinger denklemini daha sade bir formda şöyle ele alabiliriz:
i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =H\Psi
Burada H olarak verilen Hamiltonian operatörüdür. (Toplam enerji olarak düşünülebilir.) Relativistik olmayan serbest parçacık (potansiyel enerji sıfır) için Hamiltonian:
H={\frac {p^{2}}{2m}}
olarak verilir. Relativistik serbest parçacık içinse Hamiltonian:
H={\sqrt {m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}
şeklinde yazılabilir. İfade pek yabancı değil, değil mi? Hayır, olaya klâsik mekanik açısından bakarsanız, parçacığın durduğunu kabul edersek, momentum sıfır olacak ve ünlü  E=mc^{2}'yi elde etmiş olacaksınız. Şimdi relativistik Hamiltonianla Schrödinger denklemini yeniden yazalım:
{\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .
Karesi alınırsa
elde edilir. Bu denklem Klein-Gordon denklemi olarak bilinir. Ancak denklem birtakım teknik nedenden ötürü sorunludur. Daha geçerli relativistik çözüm Dirac tarafından keşfedilmiştir ve kendi adıyla anılan denklemle verilir. Ultramikroskobik boyutlarda (Planck Uzunluğu) uzayın küçük dalga boylarında bir kaos olduğu düşünülür. Evrenin milyarda birinin milyarda birinin milyonda biri boyutlarda gözleyecek olursanız evren bir kaos olarak görünür.
Kuantum mekaniği tarihi gelişimi boyunca birçok sınavdan alnının akıyla çıkmayı başarmıştır. Olguları büyük bir doğrulukla açıklaması, yeni olgulara ışık tutması bir teoriden beklenen özelliklerdir ve kuantum mekaniği bu işi gerçekten oldukça iyi başarmıştır. Kuantum fikirleri üzerine gelişen kuantum elektrodinamiği (QED) ve kuantum renk dinamiği (QCD) bu güne kadarki hiçbir teorinin ulaşamadığı hassasiyetlerde sonuçlar vermişlerdir. Ne var ki geçtiğimiz yüzyılın çok büyük iki teorik açılımı bir biriyle uyuşmamaktadır. Doğada bilinen 4 kuvvetten 3'ü, elektromanyetizma, zayıf ve güçlü kuvvetler, kuantum kuramlarıyla ele alınabilirken kütleçekimin henüz tutarlı bir kuantum kuramı bulunamamıştır. Her ne kadar sicim kuramları kuantum kütleçekime aday gibi görünse de çözülmesi gereken çok büyük sorunlar hâlen bulunmaktadır. Günümüzde yaygın kanı kuantum ve kütleçekimin üstünde, doğrusal olmayan daha genel bir kuramın yer aldığıdır.