Hermit polinomu
Tanım

Diğer klasik dik polinomlar gibi, Hermit polinomları birkaç farklı başlangıç noktasından tanımlanabilir. Hermit polinomlarının tam ortak kullanımı olmadığı için iki farklı denklemi vardır.
Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomu;
{\textstyle He_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}{d^{n} \over dx^{n}}e^{\left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}}
Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomu;
{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x^{2}}}
Bu denklemler bir Rodrigues formülü biçimindedir ve şu şekilde de yazılabilir;
{\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}
İki tanım tam olarak aynı değildir, her biri bir diğerinin yeniden ölçeklendirilmesidir.
{\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}
Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;
H

e

0


(
x
)
=
1




{\textstyle {\displaystyle He_{0}(x)=1}}
H

e

1


(
x
)
=
x




{\textstyle {\displaystyle He_{1}(x)=x}}
H

e

2


(
x
)
=

x

2


−
1




{\textstyle {\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1}}
H

e

3


(
x
)
=

x

3


−
3
x




{\textstyle {\textstyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}}
H

e

4


(
x
)
=

x

4


−
6

x

2


+
3




{\textstyle {\textstyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}}
H

e

5


(
x
)
=

x

5


−
10

x

3


+
15
x




{\textstyle {\textstyle He_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x}}
H

e

6


(
x
)
=

x

6


−
15

x

4


+
45

x

2


−
15




{\textstyle {\textstyle He_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15}}
H

e

7


(
x
)
=

x

7


−
21

x

5


+
105

x

3


−
105
x




{\textstyle {\textstyle He_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x}}
H

e

8


(
x
)
=

x

8


−
28

x

6


+
210

x

4


−
420

x

2


+
105




{\textstyle {\textstyle He_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105}}
H

e

9


(
x
)
=

x

9


−
36

x

7


+
378

x

5


−
1260

x

3


+
945
x




{\textstyle {\textstyle He_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x}}
H

e

10


(
x
)
=

x

10


−
45

x

8


+
630

x

6


−
3150

x

4


+
4725

x

3


−
945




{\textstyle {\textstyle He_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{3}-945}}
Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;
H

0


(
x
)
=
1


{\textstyle H_{0}(x)=1}
H_{1}(x)=2x
H

2


(
x
)
=
4

x

2


−
2


{\textstyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}
H

3


(
x
)
=
8

x

3


−
12
x


{\textstyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x}
H

4


(
x
)
=
16

x

4


−
48

x

2


+
12


{\textstyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}
H

5


(
x
)
=
32

x

5


−
160

x

3


+
120


{\textstyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120}
H

6


(
x
)
=
64

x

6


−
480

x

4


+
720

x

2


−
120


{\textstyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}
H

7


(
x
)
=
128

x

7


−
1344

x

5


+
3360

x

3


−
1680
x


{\textstyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x}
H

8


(
x
)
=
256

x

8


−
3584

x

6


+
13440

x

4


−
13440

x

2


+
1680


{\textstyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680}
H

9


(
x
)
=
512

x

9


−
9216

x

7


+
48384

x

5


−
80640

x

3


+
30240
x


{\textstyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x}
H

10


(
x
)
=
1024

x

10


−
2340

x

8


+
161280

x

6


−
403200

x

4


+
302400

x

2


−
30240


{\textstyle H_{10}(x)=1024x^{10}-2340x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240}