Doğum günü problemi
Olasılığın hesaplanması

Problem, n kişiden oluşan bir grup içindeki en az iki kişinin doğum gününün aynı olma olasılığını yaklaşık olarak hesaplamaktır. Basitlik adına, artık yıllar, ikizler, sezonluk veya iş günü değişiklikleri gibi dağılımdaki değişimler göz ardı edilmiştir ve 365 olası doğum gününün hepsinin eşit derecede olası olduğu varsayılmıştır. (Gerçekte doğum günü dağılımları düzenli değildir çünkü tüm tarihler eşit derecede olası değildir, fakat bu düzensizliklerin analiz üzerinde çok az etkisi vardır. Aslında, doğum günlerinin düzenli dağılımı en kötü durumdur.)
Amaç, P(A) ile ifade edilen, odadaki en az iki kişinin doğum gününün aynı olma olasılığını hesaplamaktır. Ancak, P(A') ile ifade edilen, odadaki hiç kimsenin doğum gününün aynı olmama olasılığını hesaplamak daha kolaydır. Bu durumda, sadece A ve A' olasılık dahilinde ve ayrık olaylar olduğu için, P(A)=1-P(A').
P(A)’nın %50’den fazla olması için gereken kişi sayısının en az 23 olduğunu belirten yaygın çözümleri dikkate alarak, aşağıdaki P(A) hesaplamasında örnek olarak 23 kişi kullanılacaktır. Eğer 23 kişi 1’den 23’e kadar numaralandırılırsa, 23 kişinin hepsinin farklı doğum günlerine sahip olması olayı, 2. kişinin 1. kişi ile aynı doğum gününe sahip olmama olayı ile ve 3. kişinin 1. ve 2. kişiyle aynı doğum gününe sahip olmama olayı, vb.; ve son olarak 23. kişinin 1’den 22’ye kadar olan kişilerin hiçbiri ile aynı doğum gününe sahip olmama olayı ile aynıdır. Bu olaylar sırasıyla “Olay 2”, “Olay 3” vb. olarak isimlendirilsin. “Olay 1” olarak ise, 1. kişinin doğum gününe sahip olma olayı ki bu olayın olasılığı 1'dir, eklenebilir. Bu olayların birleşimi koşullu olasılık kullanılarak hesaplanabilir: Olay 2'nin olasılığı 364/365'tir, çünkü 2. kişinin doğum günü, 1. kişinin doğum günü dışındaki herhangi bir günde olabilir. Benzer şekilde, Olay 2'nin gerçekleştiği göz önüne alındığında, Olay 3'ün olasılığı 363/365'tir, çünkü 3. kişinin doğum günü 1. ve 2. kişinin doğum günleri dışında her gün olabilir. Bu, önceki tüm olayların gerçekleştiği göz önüne alındığında, Olay 23'ün olasılığı 343/365 olana kadar devam eder. Son olarak, koşullu olasılık prensibi, P(A')’nın bu ayrı olasılıkların çarpımına eşit olduğunu belirtir:
Denklem ( 1 )’in terimleri tek tarafta toplanırsa:
Denklem ( 2 ) çözümü  P(A′) ≈ 0.492703'ü verir.
Bu nedenle, P(A) ≈ 1 − 0.492703 = 0.507297   (50,7297%).
Bu yöntem n kişiden oluşan bir grup için genelleştirilebilir, p(n) n kişiden en az iki kişinin bir doğum günü paylaşması olasılığıdır. Öncelikle, tüm n doğum günlerinin farklı olma olasılığını, p(n), hesaplamak daha kolaydır. Güvercin yuvası prensibine göre, n>365 ise p(n) sıfırdır. n ≤ 365 ise:
! faktöriyel operatörü, (365n) binom katsayısı ve kPr permütasyonu ifade eder.
Bu denklem, ilk kişinin kimseyle doğum günü paylaşmadığı gerçeğini ifade eder, bununla birlikte, ikinci kişi ilk kişi ile (364/365 ) aynı doğum gününe sahip olamaz, üçüncü kişinin doğum günü ilk iki kişi ile (364/365) ve genel olarak n’inci doğum günü önceki hiçbir n-1 doğum günü ile aynı olamaz.
n kişiden en az ikisinin aynı doğum gününe sahip olma olayı, tüm n doğum günlerinin farklı olması ile tamamlayıcıdır. Bu nedenle, olasılığı
Aşağıdaki tablo n’in diğer bazı değerleri için olasılıkları göstermektedir (bu tabloda artık yılların varlığı göz ardı edilmiştir ve her doğum gününün eşit derecede olası olduğu varsayılmıştır):
| n | p(n) |
| --- | --- |
1: 00.0%
5: 02.7%
10: 11.7%
20: 41.1%
23: 50.7%
30: 70.6%
40: 89.1%
50: 97.0%
60: 99.4%
70: 99.9%
75: 99.97%
100: 99,99997%
200: 99,9999999999999999999999999998%
300: (100 − 6×10-80)%
350: (100 − 3×10-129)%
365: (100 − 1,45×10-155)%
≥ 366: 100%
Artık yıllar. Eğer  {\bar {p}}(n)  formülünde 365 yerine 366 yazarsak, benzer bir hesaplama ile artık yıllar için, bir eşleşme olasılığının %50'den fazla olması için gerekli kişi sayısının 23 olduğunu gösterir; bu durumda eşleşme olasılığı %50.6'dır
Üstel fonksiyonun Taylor serisi açılımı (sabit e ≈ 2,718281828)
|x|\ll 1 değerleri için, ex  için birinci dereceden yaklaşım sağlar.
Bu yaklaşımı p(n) için türetilmiş ilk denkleme uygulamak için,
x = −a/365. Böylece,
Bu durumda, a = n − 1 olana kadar  p(n) formülündeki a negatif olmayan tam sayılarla değiştirilirse, örneğin, ne a = 1 iken,
p(n) için türetilmiş ilk denklem, şu şekilde yaklaşık olarak bulunabilir:
Bu nedenle,
Daha kaba bir yaklaşım şu şekilde verilir
ki, grafikte görüldüğü üzere, hala oldukça doğrudur.
Yaklaşıma göre, aynı yöntem herhangi bir sayıda “insan” ve “gün” için de uygulanabilir. Eğer 365 gün yerine d varsa, n kişi varsa ve n ≪ d ise, o zaman yukarıdaki yaklaşımı kullanarak, p(n, d) n kişiden en az iki kişinin, d uygun gün içerisinden aynı doğum gününü paylaşma olasılığını belirtiyor ise, ulaşacağımız sonuç: