Hilbert uzayı
Tanımı > Tanım

Bir Hilbert uzayı, bir iç çarpım fonksiyonu tarafından oluşturulan uzaklık fonksiyonuna göre tam bir metrik uzay olan gerçek veya karmaşık bir iç çarpım uzayıdır.
Karmaşık bir vektör uzayı H'nin karmaşık bir iç çarpım uzayı olduğunu söylemek 
H'nin  her  x,y elemanına karşılık gelen bir karmaşık sayıyı veren bir iç çarpım fonksiyonu  \langle x,y\rangle 'nin varlığı analamına gelir.
İç çarpım eşlenik simetriktir; yani, bir eleman çiftinin iç çarpımı, yer değiştiren elemanların iç çarpımının karmaşık eşlenik değerine eşittir:  \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,. Dahası,  \langle x,x\rangle  bir gerçel sayıdır.
İç çarpım ilk değişkende doğrusaldır: Herhangi bir  a ve  b karmaşık sayısı için,  \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.
Bir elemanın kendisiyle iç çarpımı kesin pozitiftir. {\begin{alignedat}{4}{\text{ eğer }}x\neq 0{\text{ ise}},&\quad \langle x,x\rangle >0\\{\text{ eğer }}x=0{\text{ ise}},&\quad \langle x,x\rangle =0.\end{alignedat}}
1 ve 2 numaralı özelliklerden, karmaşık bir iç çarpımın ikinci değişkende antilineer, yani eşlenik doğrusal olduğu sonucu çıkar; bu da şu anlama gelir:
 \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.
Gerçel bir iç çarpım uzayı aynı şekilde tanımlanır; ancak, bu durumda, H gerçel bir vektör uzayıdır ve iç çarpım gerçel değerler alır. Böyle bir iç çarpım çifte doğrusal gönderim olacaktır ve  (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle ) bir eşiz (dual) sistem oluşturacaktır.
Norm, gerçel değerli bir fonksiyondur:  \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.
H'de yer alan  x,y elemenaları arasındaki uzaklık  norm üzerinden tanımlanır:
 d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.
Bu fonksiyonun bir uzaklık fonksiyonu olması, öncelikle  x ve  y,'ye göre  simetrik olduğu anlamına gelir. İkincisi,  x ile kendisi arasındaki uzaklık sıfırdır. Diğer durumda,  x ve  x'e eşit olmayan bir  yarasındaki uzaklık 
pozitif olmalıdır. Son olarak, üçgen eşitsizliğinin geçerli olduğudur. Diğer deyişle, xyz üçgeninin bir kenarının uzunluğunun diğer iki kenarının uzunluklarının toplamını aşamayacağıdır:
 d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.
Bu son özellik, Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin bir sonucudur ve şunu ifade eder:
 \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|.
Burada eşitlik ancak ve ancak  x ve  y doğrusal bağımlı ise olur.
Bu şekilde tanımlanan bir uzaklık fonksiyonu ile herhangi bir iç çarpım uzayı bir metrik uzaydır. 
Tam normlu bir uzay olarak Hilbert uzayları, tanım gereği Banach uzaylarıdır. Bu nedenle, alt kümelerin açıklığı ve kapalılığı gibi topolojik kavramların iyi tanımlandığı topolojik vektör uzaylarıdır. Önemli kavramlardan birisi Hilbert uzayının kapalı doğrusal alt uzayı kavramıdır. Eğer bir Hilbert uzayının kapalı bir altuzayında iç çarpım büyük uzaydaki iç çarpım sınırlandırılarak alınırsa, bu altuzay da tam bir metrik uzayın kapalı altuzayı olarak tam olur. Bu yüzden, Hilbert uzaylarının kapalı alt uzayları da kendi başlarına Hilbert uzayı olurlar.
Tamlık, bir paraçacığın  kırık bir yol (mavi) boyunca sonlu bir toplam mesafe kat ederek hareket etmesi durumunda, parçacığın iyi tanımlanmış bir net yer değiştirmeye (turuncu) sahip olması anlamına gelir.