Termodinamiğin ikinci yasası
İstatistiksel mekaniğin kökeni

Loschmidt paradoksuna rağmen, ikinci yasanın kökeninin geçmişe dair bazı varsayımlara sahip olması gerekmektedir. Tabi sistemin geçmişte bazı durumlarda bağımsız hareket ettiği de olmuştur. Bu durum basit bir olasılık hesabıyla hareket etmemize imkân sağlar. Bu durum limit durumu olarak da bilinir ve ikinci yasa, eninde sonunda başlangıç değerinin neticesinde ortaya çıkmıştır hatta muhtemelen evrenin oluşması ile sonuçlanan büyük patlamanın bile başında.
Verilen varsayımlardan yola çıkıldığında, istatistiksel mekanikte bahsedilen ikinci yasa tam anlamıyla doğru varsayılmamaktadır. Bunun yerine temel bir kavramın sonucu olarak kabul edilir. İkinci yasanın ilk kısmında bahsedilen ısıca yalıtılmış sistemlerin entropisi sadece öncelikli denk olasılığın göz ardı edilebilecek bir kısmını artırır varsayımı ancak ısıl denge halindeki bir sistemi kısıtladığımızda ortaya çıkar. Isıl dengedeki izole bir sistemin entropisinin depoladığı enerji miktarını  E ile gösterecek olursak,
Farz edelim ki boyutu belirli bir sayıda değişkenle sabit tutulmuş izole bir sistemimiz var. Bu değişkenler, sistemin hacmini, kütlesini ya da pistonların konumunu belirliyor olabilir.  \Omega  Değeri sistemdeki bahsettiğimiz değişkenlere bağlı olacaktır. Eğer bir değişken sabitlenmemişse (pistonun ulaşacağı en yüksek nokta gibi) sistemdeki dengeden dolayı, bağımsız değişkene etki yapacak olan  \Omega  değeri değişkeni olabilecek en muhtemel değerde sabitleyecektir.
Eğer değişken başlangıçtan itibaren sabit bir değere sahipse ve yeni dengeye an itibarıyla ulaşılmışsa  \Omega  değerini maksimuma ulaştırmak için değişken kendini ayarlayacaktır. 
Denge halinde değilken sistemin entropisi,
Isıl dengede, iç enerji aralığı  P_{j} olan durumların oluşma olasılığı 1/\Omega . Eğer böyle bir durum olursa S'nin tanımı da önceki ısıl denge durumunda kullanılan açılım ile aynıdır. 
Denge durumunda başladıktan bir süre sonra değişken sayısındaki sınırlamayı kaldırdığımızı varsayalım. Bundan hemen sonra da sisteme  \Omega  kadar microstate (anlık yapı oluşturma) eklediğimizde ve sistem hâlâ denge durumuna ulaşmadığında sistemin çalışabilir durumda olma ihtimali 1/\Omega . Daha önce en son denge halinde gördüğümüz gibi entropi ya önceki denge durumunda kalacak ya da öncekine nazaran ufak bir artış gösterecektir. 
Geri Dönüştürülebilir İşlemler için Entropideki Değişim
İkinci yasanın ikinci bölümünde de belirtildiği üzere, geri dönüşümü mümkün olan yöntemlerdeki entropi değişimi şekildeki gibidir:
Bu durumda sıcaklık ise,
Sistemde rolü olan bazı dış değişkenler de mevcut. Genel olarak bunların sistemi değiştirme imkânı var çünkü enerji dışarıdan sağlanır ve sistem için her şey demektir. Kuantum mekaniğinin ısı değişimsiz kuramına göre, neredeyse hiç değişmeyen bir sistemin durumunun limitini aldığımızda, sistemin enerji özünde bir değişim olmaz. 
Genel haliyle kuvvet, X, dış etkenleri ayarlayan değişken ise x olarak gösterildiğinde  Xdx tabiri sistem tarafından yapılan saf işi verir. Buradaki değişim ise dx ile gösterilir. Mesela x e hacim X e de basınç dememiz gibi. Sistemdeki enerji miktarı  E_{r} ise;
Ortalama değeri değerlendirecek olursak,  \Omega \left(E\right) değerini parçalara ayırıyoruz. Bunun nedeni olarak da   Y ve  Y+\delta Y aralığı içinde   {\frac {dE_{r}}{dx}} değere karşılık gelecek kaç tane değer olduğunu kontrol ediyoruz. Karşımıza çıkan değere de :
 \Omega _{Y}\left(E\right) diyoruz. Sonuç olarak elimizde,
 \Omega \left(E\right)=\sum _{Y}\Omega _{Y}\left(E\right)\,
Ortalama gücü genellemek adına da şöyle yazabiliriz;
Bu açılımı entropinin türeviyle bağdaşlaştırabiliriz. Denklemde x i x + dx diye değiştirdiğimizi varsayalım. Bu durumda  \Omega \left(E\right) değeri de etkilenir x e bağlı olduğundan ve de  E ile  E+\delta E arasındaki değerleri alabilir.
Yukarıdaki denklem ele alındığında eğer   Ydx\leq \delta E durumu sağlandığında bütün enerji değerleri  E ile  E+\delta E değerleri arasında yerini alır ve  \Omega  değerinin artışına yardımcı olurlar. Sistemlerin başlangıç enerjilerinin toplamı aşağı yukarı  N_{Y}\left(E+\delta E\right) olur ve aralarındaki fark da
İlk terim bazı durumlarda sınırları aşabileceği için alternatif olarak kullanabileceğimiz,
Ve
Bu ikisini bir araya getirmeye çalıştığımızda ise elimize geçen denklem;