Çizilebilir sayı
Cebirsel özellikler

Cebirsel olarak çizilebilir sayıların tanımı, ilgili sayıların toplamları, farkları, çarpımları ve çarpmaya bağlı tersleri gibi işlemleri kapsar; bu işlemler, soyut cebir içerisinde bir alanın tanımlanmasında kullanılan temel işlemlerle özdeştir. Bu bağlamda, ele alınan herhangi bir yöntemle tanımlanan konstrüktif sayılar bir alan yapısını oluşturur. Özellikle, çizilebilir reel sayılar, pozitif elemanlarının her birinin bir karekökünü barındıran, sıralanabilir bir alan olan bir Öklid alanını meydana getirir. Bu alanın ve alt alanlarının incelenmesi, bir sayının çizilebilir olabilmesi için zorunlu koşulları belirlememize olanak tanır. Bu koşullar, klasik geometrik yapı problemlerinde karşımıza çıkan ve çizilebilir olmayan belirli sayıların tespit edilmesinde kullanılabilir.
Çizilebilir sayıların genel alanı yerine, herhangi bir çizilebilir sayı  \gamma  ile üretilen ve bu sayıya özgü  \mathbb {Q} (\gamma ) alt alanını incelemek ve  \gamma 'nın cebirsel yapısını kullanarak söz konusu alanı parçalara ayırmak daha faydalıdır.  \gamma , çizilebilir bir reel sayı olduğunda, bu sayının çizilebilirliğini mümkün kılan formülasyondaki değerlerin kullanılması, her bir  i için,  \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i})'nın,  \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i-1})'ya kıyasla derecesi 2 olan bir genişlemesi olduğu bir  \alpha _{1},\dots ,a_{n}=\gamma  reel sayı dizisinin oluşturulmasına imkan tanır. Alternatif bir terminoloji ile ifade edildiğinde, bir reel sayının çizilebilir olması, yalnızca bu sayının,  \mathbb {Q}  rasyonel alanı ile başlayıp,  \gamma 'nın bulunduğu  K_{n}'ye kadar uzanan ve her  0<j\leq n için  [K_{j}:K_{j-1}]=2 olan sonlu bir kuadratik genişleme alan kulesinin zirvesindeki bir alanda yer alması durumuna bağlıdır. Bu ayrışma sürecinden,  [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ] alan genişlemesinin derecesinin, kuadratik genişleme aşamalarının sayısını gösteren  r ile  2^{r} olduğu anlaşılır.
Reel sayıların durumuna paralel olarak, bir karmaşık sayının çizilebilirliği, yalnızca o sayının, sonlu sayıda karmaşık kuadratik genişlemelerden oluşan bir alan kulesinin en üstünde yer alan bir alanda bulunması ile mümkündür. Daha açık bir tanımla,  \gamma  sayısının çizilebilir olması;
 \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},,
şeklinde bir alanlar dizisi var olduğunda,  \gamma  sayısının  F_{n} içinde yer alması ve her  0<j\leq n için  [F_{j}:F_{j-1}]=2 ilişkisinin geçerli olması durumunda gerçekleşir. Bu tanımlama ile reel çizilebilir sayılara ilişkin tanımlama arasındaki temel fark, bu kapsamdaki alanların yalnızca reel sayıları kapsamak zorunda olmayışıdır. Dolayısıyla, bir karmaşık sayı  \gamma  çizilebilirse, bu durumda  [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ], ikinin bir kuvveti şeklinde ifade edilir. Ancak, bu gerekli koşul, tek başına yeterli olmayıp; derecesi ikinin bir kuvveti olan fakat kuadratik genişlemeler dizisi ile ayrıştırılamayan alan genişlemelerinin var olduğu durumlar da bulunmaktadır.
\mathbb {Q}  üzerinden kuadratik genişlemelerin kuleleri aracılığıyla oluşturulabilen alanlar,  \mathbb {Q}  için tekrarlanan kuadratik genişlemeler olarak adlandırılır. Reel ve karmaşık çizilebilir sayıların oluşturduğu alanlar,  \mathbb {Q}  üzerinden gerçekleştirilen tüm gerçek veya karmaşık tekrarlanan kuadratik genişlemelerin birleşimlerinden meydana gelir.