Lagrange mekaniği
Lagrangian'ın tanımı

Lagrange mekaniğindeki temel nicelik Lagrangian fonksiyonudur. Bu fonksiyon, sistemin dinamik davranışı hakkında önemli bilgiler barındırır. Ancak, her fiziksel sistem için tek bir Lagrangian ifadesi türetmek mümkün değildir. Esasen, Euler-Lagrange denklemlerini fiziksel yasalarla uyumlu bir şekilde türetebilecek her fonksiyon Lagrangian olarak ele alınabilir. Ancak yine de, bazı gruplanabilecek sistemler için genel Lagrangian ifadeleri oluşturmak mümkündür.
Örneğin, görelilik etkilerin ihmal edilebileceği sistemler için Lagrangian; L=T-V\,,
olarak ifade edilebilir. (mekanikte en sık karşılaşılan ifade budur, ancak bunun tüm sistemler için genel bir ifade olmadığına dikkat edilmesi gerekir. Farklı fiziksel yasaların da işin içine girmesiyle değişmesi gerektiğini unutmamak gerekir.) Burada T, sistemin toplam kinetik enerjisini ve V ise potansiyel enerjisini ifade eder. Lagrangian’ın birimi, seçilen enerji birimleriyle aynıdır.
Kütleleri m1, m2, ..., mN olan N parçacıktan oluşan bir sistem için toplam kinetik enerji her bir parçacığın kinetik enerjisi toplanarak bulunabilir. (Enerji metodlarındaki toplanabilme özelliği bu açıdan çok güçlüdür.) Her parçacığın enerjisi sistemin hareketine göre şöyle tanımlanabilir;
Burada, işaretlerin doğru verilmesi için noktasal çarpım kullanılmıştır. Yani kinetik enerji ne olursa olsun pozitif bir ifadedir. Bu ifadeye göre, kinetik enerji sadece hızların yani vk terimlerinin bir fonksiyonudur. Kinetik enerji rk'ya yani parçacıkların pozisyonlarına ve zamana bağlı değildir. Dolayısıyla T(v1, v2, ...) olarak ifade edilebilir. Ancak, yukarıdaki genelleştirilmiş koordinat ve hız ifadeleri göz önüne alındığında, özellikle zamana bağlı bir değişim söz konusu ise; genelleştirilmiş koordinatlar çerçevesinde ifade edilen kinetik enerji genelleştirilmiş hızlara, koordinatlara ve pozisyon vektörleri zamana bağlı çarpanlar içeriyorsa zamana bağlıdır. Yani T = T(q, dq/dt, t) olarak daha doğru bir şekilde ifade edilebilir.
Potansiyel enerji V ise sistemdeki parçacıkların birbirleri ile olan ilişkilerini yansıtır. Başka bir deyişle, bir parçacığın diğer tüm parçacıklara ve dış etkilere göre ne kadar enerjisi olduğunu ifade eder. korunumlu kuvvetlerin etkisinden ötürü oluşan potansiyel enerji, sadece parçacıkların pozisyonlarına bağlıdır yani V = V(r1, r2, ...)’dir. Korunumlu olmayan kuvvetler için de uygun potansiyel enerji fonksiyonları türetilebilir. Ancak bu durumda işin içine hızlar da girmek zorundadır. Yani korunumsuz kuvvetler için V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ...) olarak ifade edilebilir. Ayrıca dış bir fiziksel alan veya kuvvet zamana bağlı olarak değişiyorsa potansiyel enerji de bundan etkilenecektir. Dolayısıyla en genel haliyle; V = V(r1, r2, ..., v1, v2, ..., t) olacaktır.
Eğer potansiyel ve kinetik enerjilerden biri veya ikisi de zamana açık bir bağlılık gösteriyorsa (zamanla değişen kısıtlar, etkiler, çarpanlar veya sistem parametreleri) Lagrangian da zamana açık bir şekilde bağlı olacaktır. Yani L[q,dq/dt,t) olacaktır. Eğer potansiyel enerji ve kinetik enerji zamana göre değişmiyorsa bu durumda, Lagrangian, L(q, dq/dt) formunda olacaktır ve zamana açık bir bağlılık göstermeyecektir. Ancak zamana göre türev alındığı için zamana örtülü bir şekilde bağlı olacaktır. İki durumda da Lagrangian’ın zamana örtülü olarak bağlı olacağı kesindir (Genelleştirilmiş koordinatlar kullanılırsa).
Lagrangian’a ek olarak ayrıca, disipatif yani hareket süresince enerjiyi o an sistem içinde dönüştürülemez şekilde harcayan sistem elemanlarını göz önüne alarak çeşitli fonksiyonlar türetmek de mümkündür.
Göreli-mekanikde, L daha derin bir şekilde analiz edilip doğru ifade edilmelidir. Bunun için relativistik Lagrange mekaniğine bakılabilir. (Enerji ifadeleri artık daha farklı olacak ve dönüşümler, zamana bağımlılık farklı bir yapı gösterecektir.)