Felix Hausdorff
Çalışmaları ve resepsiyon > "Magnum Opus": "Küme teorisinin ilkeleri"

Önceki fikirlere göre, küme teorisi sadece genel küme teorisini ve nokta kümeleri teorisini değil, aynı zamanda boyut ve ölçü teorisini de içeriyordu. Hausdorff'un çalışması, tüm küme teorisini bu geniş anlamda, sistematik ve tam ispatlar ile sunan ilk ders kitabıydı. Hausdorff, insan zihninin ne kadar kolay hata yapabileceğinin ve aynı zamanda kesinlik ve gerçeği aradığının farkındaydı. Bu yüzden çalışmanın önsözünde şunları önerdi:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ | İnsanın hata ayrıcalığının mümkün olduğunca ekonomik bir kullanımını yapmak. | „ |

Bu kitap, bilineni ustaca betimlemesinin çok ötesine geçti. Ayrıca, yazarın yalnızca aşağıda ima edilebilecek bir dizi önemli orijinal katkılarını da içeriyordu.
İlk altı bölüm, genel küme teorisinin temel kavramlarını ele alıyor. Hausdorff başlangıçta, bazı öncü yeni kavramlarla (fark zincirleri, küme halkaları ve küme cisimleri,  \delta - ve  \sigma -sistemleri). Kümeler ve bağlantıları hakkındaki bu giriş paragrafları, örneğin, modern küme-teorik fonksiyon kavramını içeriyordu. Daha sonra 3. ve 5. bölümlerde klasik kardinal sayıları, sıra türleri ve sıra sayıları teorisi takip etti. Altıncı bölümde "Sıralı ve iyi sıralı kümeler arasındaki ilişkiler" ile Hausdorff, diğer şeylerin yanı sıra, sıralı kümeler üzerine yaptığı araştırmanın en önemli sonuçlarını sundu.
"Nokta kümeleri" (topolojik bölümler) ile ilgili bölümlerde Hausdorff, bilinen komşuluk aksiyomlarına dayanarak ilk kez geliştirdi, topolojik uzayların sistematik teorisine ek olarak daha sonra onun adını taşıyan ayırma aksiyomunu ekledi. Bu teori, diğer matematikçilerin önceki yaklaşımlarının ve Hausdorff'un uzay problemi üzerine kendi düşüncelerinin kapsamlı bir sentezinden ortaya çıkar. Klasik nokta küme teorisinin kavramları ve teoremleri  \mathbb {R} ^{n} -olabildiğince genel- duruma aktarılır ve böylece yeni oluşturulan genel veya küme-teorik topolojinin bir parçası haline gelir. Ancak Hausdorff sadece bu "dönüşüm işini" yapmakla kalmadı, aynı zamanda çekirdeklenme (iç, kendi içinde yoğun çekirdek) ve kabuk oluşumu (kapanış) gibi temel topolojinin yapım yöntemini de geliştirdi ve açık küme (kendisi tarafından "alan" olarak adlandırılır) ve Fréchet tarafından sunulan tıkızlık kavramının temel önemini işledi. Ayrıca, özellikle "bileşen" ve "yarı bileşen" terimlerinin başlangıcıyla bağlantılı küme teorisini kurdu ve geliştirdi.
Birinci ve en sonunda ikinci Hausdorff sayılabilirlik aksiyomları ile, dikkate alınan uzaylar kademeli olarak daha da uzmanlaşmıştır. Sayılabilir ilk aksiyomu karşılayan büyük bir uzay sınıfı metrik uzaylardır. 1906'da Fréchet tarafından "(E) sınıfları" adı altında tanıtıldılar. "Metrik uzay" terimi Hausdorff'tan gelmektedir. İlkelerde (Principles), metrik uzaylar teorisini geliştirdi ve bir dizi yeni kavramla sistematik olarak zenginleştirdi: Hausdorff metriği, tam, toplam sınırlılık,  \rho  -bağlantı, indirgenebilir kümeler. Fréchet'in çalışması çok az fark edilmişti; yalnızca Hausdorff'un İlkeleri aracılığıyla metrik uzaylar matematikçinin ortak özelliği haline geldi.
Çizimler bölümü ve ölçü ve entegrasyon teorisine yer veren İlkeler'in son bölümü, malzemenin genelliği ve sunumun orijinalliği ile zenginleştirilmiştir. Hausdorff'un olasılık için ölçü teorisinin öneminden bahsetmesi, özlü kısalığına rağmen, büyük bir tarihsel etkiye sahipti. Bu bölümde, Émile Borel'in büyük sayıların güçlü yasasının ilk doğru kanıtı bulunur. Son olarak, ek, tüm kitabın en muhteşem sonucunu, yani Hausdorff'un  \mathbb {R} ^{n}( n\geq 3) 'in tüm sınırlı alt kümeleri için bir hacim tanımlayamayacağına dair teoremini içerir. Kanıt, Hausdorff'un çarpımı seçim aksiyomunu gerektiren paradoksal top ayrıştırmasına dayanmaktadır.
20. yüzyılda, aksiyomatik küme teorisi üzerine matematiksel teoriler inşa etmek standart hale geldi. Genel topoloji gibi aksiyomatik olarak kurulup genelleştirilmiş teorilerin yaratılması, diğer şeylerin yanı sıra, çeşitli özel durumlar veya bölgeler için ortak yapısal çekirdeği ayırmaya ve ardından tüm bu parçaları özel durumlar olarak içeren soyut bir teori kurmaya hizmet etti. Bu, sadeleştirme ve uyumlaştırma biçiminde büyük bir başarı getirdi ve sonuçta kendisiyle birlikte düşünce ekonomisini de getirdi. Haussdorf kendisi ilkeler'inde bu yönünü vurgulamıştır. Topolojik bölüm temel kavramlar metodolojik olarak öncü bir çabadır ve modern matematiğin gelişiminin yolunu göstermiştir.
Küme teorisinin ilkeleri (Principles of set theory), Birinci Dünya Savaşı'nın arifesinde zaten gergin bir zamanda ortaya çıktı. Ağustos 1914'te, Avrupa'daki bilim hayatını da önemli ölçüde etkileyen savaş. Bu koşullar altında, Hausdorff'un kitabı ortaya çıktıktan sonraki ilk beş ila altı yıl içinde pek etkili olamazdı. Savaştan sonra, yeni nesil genç araştırmacılar, bu çalışmaya dahil edilen önerileri bu kadar bol miktarda genişletmek için yola çıktılar ve şüphesiz topoloji ilgi odağıydı. Fundamenta Mathematicae dergisi, Hausdorff'un 1920'de Polonya'da kurulan fikirlerinin el alınmasında özel bir rol oynadı. Küme teorisi, topoloji, gerçek fonksiyonlar teorisi, ölçü ve entegrasyon teorisi, fonksiyonel analiz, mantık ve matematiğin temellerine özel vurgu yapan ilk matematik dergilerinden biriydi. Bu yelpazede, genel topoloji özel bir odak noktasıydı. Hausdorff'un İlkeleri, Fundamenta Mathematicae'de ilk ciltten itibaren dikkate değer bir frekansta mevcuttu. 1920'den 1933'e kadar ilk yirmi ciltte yer alan 558 eserden (Hausdorff'un kendi üç eseri hesaplanmadı) 88'i İlkeler’den alıntı yapmıştır. Hatta Hausdorff'un kavramları gittikçe yaygınlaştıkça, bu kavramların onlardan açıkça bahsetmeyen birkaç çalışmada da kullanıldığını hesaba katmak gerekir.
Paul Alexandroff ve Paul Urysohn tarafından kurulan Rus topoloji okulu, ağırlıklı olarak Hausdorff'un İlkeler’ine dayanıyordu. Bu, Hausdorff'un Urysohn'la Nachlass'ında ve özellikle Alexandroff ve Urysohn'un Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes adlı Urysohn'un geliştirdiği boyut teorisi ve İlkeleri'n 60'tan daha az alıntı yapılmadığı bir kitap boyutundaki eseri ile sürdürülen yazışmalarla gösterilmiştir.
İkinci Dünya Savaşı'ndan uzun süre sonra Hausdorff'un kitabına güçlü bir talep vardı ve Chelsea'de 1949, 1965 ve 1978'den üç yeni baskı yaptı.