Doğal sayılar
Formel tanımlamalar > Küme Teorisel Tanım

Sezgisel olarak, n doğal sayısı, n sayıda elemana sahip tüm kümelerin paylaştığı ortak bir özelliktir. Bu bağlamda, n'nin "birbirleriyle bire bir denklik kurulabilir" ilişkisi çerçevesinde bir denklik sınıfı olarak tanımlanması doğal bir yaklaşım olarak düşünülebilir. Ne var ki, bu yöntem küme teorisi içerisinde uygulanabilir değildir, zira bu tür bir denklik sınıfı bir küme oluşturmayacaktır (Russell paradoksu sebebiyle). Standart çözüm, n sayıda elemana sahip özgün bir küme belirlemek ve bu kümeyi doğal sayı n olarak adlandırmaktır.
Aşağıda sunulan tanım, ilk kez John von Neumann tarafından yayımlanmıştır, fakat Levy, bu düşüncenin Zermelo'nun 1916 yılında yayımlanmamış eserlerine dayandığını ifade etmektedir. Bu tanımın sonsuz kümeler için de bir sıral sayı tanımı olarak uygulanabilir olması dolayısıyla, burada incelenen kümeler zaman zaman von Neumann sıralları olarak isimlendirilmektedir.
Tanım aşağıdaki adımlarla gerçekleştirilir:
: 0=\emptyset , boş küme olarak tanımlanır.
Bir a kümesinin ardılı S(a) olarak, S(a) = a ∪ {a} biçiminde belirlenir.
Sonsuzluk aksiyomu gereği, 0 değerini içeren ve ardıl fonksiyonu altında kapalı olan kümeler bulunmaktadır. Bu tür kümeler indüktif küme olarak ifade edilir. Tüm indüktif kümelerin kesişimi, yine bir indüktif küme oluşturur.
Bu kesişim, doğal sayılar kümesini oluşturur.
Doğal sayıların Peano aksiyomlarını sağladığı kontrol edilebilir.
Bu tanımla birlikte, bir doğal sayı n verildiğinde, "bir küme S, n elemanına sahiptir" cümlesi formel olarak "n ile S arasında bir bijeksiyon bulunur" şeklinde tanımlanabilir. Bu, S'nin elemanlarının sayılması işlemini formalize eder. Ayrıca, n ≤ m ifadesi, yalnızca n'nin m'nin bir alt kümesi olduğunda geçerlidir. Diğer bir deyişle, küme içerme ilişkisi, doğal sayılar üzerindeki alışılagelmiş tam sıralamayı tanımlar. Bu sıralama bir iyi sıralamadır.
Tanım gereği, her bir doğal sayı, kendisinden küçük olan tüm doğal sayıların topluluğuna denktir. Bu kavram, von Neumann'ın sıralı sayılar tanımı aracılığıyla von Neumann sıralı sayılar tanımı kullanılarak genişletilebilir ki bu, sonsuz olanlar da dâhil olmak üzere tüm sıral sayıların tanımlanmasını sağlar: "Her bir sıralı sayı, kendisinden küçük olan sıralı sayıların iyi bir şekilde sıralanmış topluluğudur."
Sonsuzluk aksiyomunun geçerli olmadığı finitist yaklaşımlarda, doğal sayılar bir küme olarak kabul edilmeyebilir. Bununla birlikte, doğal sayılar yukarıda açıklandığı üzere bireysel olarak tanımlanabilir ve Peano aksiyomlarını tatmin etmeye devam ederler.
Diğer küme teorik yapılanmalar mevcuttur. Özellikle, Ernst Zermelo tarafından sağlanan ve günümüzde yalnızca tarihsel bir öneme sahip olan bir yapı, Zermelo sıralı sayıları olarak adlandırılmaktadır. Bu yapıda 0, boş küme olarak tanımlanır ve S(a) = {a} ifadesi kullanılır.
Bu tanım çerçevesinde her bir doğal sayı, bir singleton kümesi olarak ele alınır. Bu nedenle, doğal sayıların kardinaliteleri temsil etme özelliği doğrudan erişilebilir değildir; yalnızca ordinal özellik (bir dizi içindeki n'inci eleman olma) derhal algılanabilir. Von Neumann yapısının aksine, Zermelo sıralı sayıları, sonsuz sıralı sayılara genişletilemez.