Fonksiyon
Fonksiyonların yapıştırılması ya da birleşimi

f:A\longrightarrow V ve  g:B\longrightarrow V iki fonksiyon olsun.  A üzerinde  f olan,  B üzerinde  g olan ve  A\cup B'den  V'ye giden bir  f\cup g fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer  x\in A\setminus B ise  (f\cup g)(x)=f(x) olmalı. Eğer  x\in B\setminus A ise  (f\cup g)(x)=g(x) olmalı. Ama  x\in A\cap B olduğunda,  (f\cup g)(x) için  f(x) ya da  g(x) arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer  f(x)\neq g(x) ise... Bu durumda hangi seçimi yapılırsa yapılsın istediğimiz iki şarttan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her  x\in A\cap B için  f(x)=g(x), yani  f ve  g fonksiyonları  A\cap B kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle  f_{|A\cap B}=g_{|A\cap B}. O zaman  f\cup g:A\cup B\longrightarrow V fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz:
Bu fonksiyona  f ve  g fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarıda gösterildiği gibi bu fonksiyon  f\cup g olarak yazılır.
Mesela  f:[0,\infty )\longrightarrow \mathbb {R}  fonksiyonu  f(x)=x olarak tanımlanmışsa ve  g:(\infty ,0]\longrightarrow \mathbb {R}  fonksiyonu  g(x)=-x olarak tanımlanmışsa, o zaman  f\cup g:A\cup B\longrightarrow \mathbb {R}  fonksiyonu aynen mutlak değer fonksiyonudur:  (f\cup g)(x)=|x|.
Elbette  (f\cup g)_{|A}=f ve  (f\cup g)_{|B}=g.
Gene doğal olarak  f\cup g diye bir fonksiyon varsa  g\cup f diye bir fonksiyon de vardır ve bu iki fonksiyon birbirine eşittir.
Yukarıdaki yapıştırmayı yapabilmemiz için  f ve  g fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer  f:A\longrightarrow U ve  g:B\longrightarrow V iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların  A\cap B kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman  A üzerinde  f olan,  B üzerinde  g olan bir  f\cup g:A\cup B\longrightarrow U\cup V fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.
İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli şartlar sağlanıyorsa:  (f_{i}:A_{i}\longrightarrow V_{i})_{i\in I} bir fonksiyon ailesi olsun. Ayrıca her  i,\,j\in I göstergeçleri (endisleri) için  f_{i} ve  f_{j} fonksiyonlarının  A_{i}\cap A_{j} kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her  i\in I ve her  x\in A_{i} için  (\cup _{i\in I}f_{i})(x)=f_{i}(x) eşitliğini sağlayan bir  \cup _{i\in I}f_{i}\longrightarrow \cup _{i\in I}V_{i} fonksiyonu,
kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.
Bir fonksiyonun altkümeler kümesinde neden olduğu fonksiyon.  f:A\longrightarrow B bir fonksiyon olsun.  A'nın her  X altkümesi için,  B'nin  f(X) altkümesi şöyle tanımlanır:
Bu  f(X) yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü  A'nın  X altkümesi bal gibi de aynı zamanda  A'nın bir elemanı olabilir, o zaman  f(X) ifadesinin  f:A\longrightarrow B fonksiyonunun  X'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukarıdaki gibi  B' nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Mesela,  A=\{0,\{0\}\} olsun.  B=\{5,6\} olsun.  f:A\longrightarrow B fonksiyonu,  f(0)=5,  f(\{0\})=6 olarak tanımlansın. Ve son olarak  X=\{0\} olsun.  X, hem  A'nın bir elemanı hem de bir alt kümesidir.  X eleman olarak görüldüğünde  f(X)=6 olur ama altküme olarak görüldüğünde  f(X)=\{5\} olur. Belki bu yüzden
tanımı yerine,
tanımını yapmak daha yerinde olur.
Eğer  P(X),  X'in alt kümeleri kümesiyse, yukarıdaki  {\tilde {f}} kuralı,  P(X)'ten  P(Y)'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu  {\tilde {f}} fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.