Çizilebilir sayı
Tarihçe

Çizilebilir sayılar kavramının doğuşu, küpün iki katına çıkarılması, bir açının üçe bölünmesi ve dairenin kareye çevrilmesi gibi üç imkansız pergel ve cetvel inşası ile yakından ilişkilidir. Geometrik inşalarda yalnızca pergel ve cetvel kullanımı kısıtlaması sık sık Platon'a atfedilir, çünkü bu Plutarkhos'ta geçen bir bölümden kaynaklanır. Plutarkhos'a göre, Platon, küpün iki katına çıkarılması (Delos) problemini Knidoslu Eudoksos, Archytas ve Menaechmus'a vermiş ve onlar problemi mekanik yöntemler kullanarak çözmüşler, ancak Platon'dan sentetik geometri kullanarak problemi çözmedikleri için bir azar işitmişlerdir. Ancak, bu atfın sorgulandığı bilinmektedir, kısmen, üçünün de çözüm bulduğu ancak bu çözümlerin pratik değerden yoksun olduğunu söyleyen başka bir hikâye versiyonunun varlığı nedeniyle (bu hikâye, Eratosthenes tarafından Askalonlu Eutokios'a atfedilir). Proklos, Rodoslu Eudemos'u alıntılayarak, iki cetvel ve pergel inşasını Oenopides'e (M.Ö. 450 civarı) atfetmiş ve bu, bazı yazarların Oenopides'in kısıtlamayı ortaya koyduğu hipotezini geliştirmelerine yol açmıştır. Pergel ve cetvelle yapılan kısıtlama, klasik inşaat problemlerinin çözülemezliği için esastır. Örneğin, açının üçe bölünmesi, antik Yunanlıların bildiği birçok yöntemle yapılabilir. Elisli Hippias'ın Quadratrix'i, Menaechmus'un konik kesitleri veya Archimedes'in işaretli cetveli (neusis) inşası gibi yöntemler kullanılmıştır, aynı zamanda daha modern bir yaklaşım olan kağıt katlama yöntemi de kullanılmıştır.
Klasik üç çizim probleminden biri olmamakla birlikte, cetvel ve pergel ile düzenli çokgenlerin çizimi problemi sıklıkla onlarla birlikte ele alınır. Yunanlılar,  n=2^{h} (herhangi bir  h\geq 2 tam sayısı için), 3, 5 veya bu sayıların herhangi iki veya üçünün çarpımı ile düzenli  n-genler çizmeyi biliyordu, ancak diğer düzenli  n-genler onlara meydan okuyordu. 1796 yılında, o zamanlar 18 yaşında bir öğrenci olan Carl Friedrich Gauss, bir gazetede cetvel ve pergel ile düzenli bir 17-geni inşa ettiğini duyurdu. Gauss'un yaklaşımı geometrikten ziyade cebirseldi; aslında, poligonu gerçekten inşa etmemiş, ancak merkezi bir açının kosinüsünün bir çizilebilir sayı olduğunu göstermişti. Argüman, 1801 yılında yayımlanan Disquisitiones Arithmeticae kitabında genelleştirilmiş ve bir düzenli  n-genin inşası için yeterli koşulu vermiştir. Gauss, bu koşulun aynı zamanda gerekli olduğunu iddia etti ancak kanıtlamadı ve özellikle Felix Klein, bu kanıtın bir kısmını ona atfetti. Heysem problemi de klasik üç problemden biri değildir, ancak İbnü'l-Heysem (Alhazen) adıyla anılmasına rağmen, bir ortaçağ İslam matematikçisi olmasına karşın, problem zaten ikinci yüzyıldan Batlamyus'un optik üzerine çalışmasında yer almaktadır.
Pierre Wantzel (1837) küpün iki katına çıkarılması ve bir açının üçe bölünmesi problemlerinin, yalnızca pergel ve cetvel kullanılarak çözülemeyeceğini cebirsel olarak kanıtladı. Aynı makalede, hangi düzenli çokgenlerin çizilebileceğini belirleyen problemin de çözümünü verdi: bir düzenli çokgenin çizilebilmesi ancak ve ancak kenar sayısının, bir ikinin kuvveti ile herhangi sayıda farklı Fermat asalının çarpımı olması durumudur (yani Gauss tarafından verilen yeterli koşullar aynı zamanda gerekli koşullardır). Dairenin kareye çevrilmesinin imkansızlığı üzerine bir kanıt girişimi, James Gregory tarafından 1667 yılında Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Dairenin ve Hiperbolün Gerçek Kareye Çevrilmesi) adlı eserinde verilmiştir. Kanıtı hatalı olsa da, bu makale, π'nin cebirsel özelliklerini kullanarak problemin çözümünü deneyen ilk çalışmadır. Dairenin kareye çevrilmesinin imkansızlığı, Ferdinand von Lindemann tarafından 1882 yılında, Charles Hermite'in çalışmalarını genişleterek ve π'nin bir transandantal sayı olduğunu kanıtlayarak kesin olarak ispatlanana kadar kanıtlanmadı. Heysem problemi'nin pergel ve cetvelle çözülemeyeceği, Elkin (1965)'in çalışmalarına kadar kanıtlanmadı.
Çizilebilir sayıların kendileri üzerine yapılan çalışma, René Descartes tarafından 1637 yılında yayımlanan kitabı Yöntem Üzerine Konuşmanın bir ek bölümü olan La Géométrie ile başlatılmıştır. Descartes, geometrik doğru parçalarına sayılar atayarak, İskenderiyeli Pappus tarafından öne sürülen antik bir cetvel ve pergel inşaat problemi çözümüyle felsefi yönteminin gücünü sergilemiştir.