stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Mustafa Denizli
Teknik direktörlük kariyeri > Fenerbahçe

2000 Avrupa Futbol Şampiyonası sonrasında Mustafa Denizli, Fenerbahçe ile anlaştı. Yardımcılığına Oğuz Çetin'i alan Denizli, sezona Almanya kampı ile başladı. Sezona 4 maçta 3 galibiyet 1 mağlubiyet ile başladı. 5. hafta Beşiktaş ile oynanan maçta 3-0 yenilirlerken, Denizli o sıralar var olan 5+1 yabancı kuralını unutarak maçın ikinci yarısı yaptığı değişiklikler sonucu sahaya 6 yabancıyla çıktı. Beşiktaş'ın galibiyeti 3-0'lık hükmen galibiyet olarak tescillendi. Denizli ve yönetim arasında sorunlar baş gösterdi. Ancak daha sonra toparlanan takım ilk yarıyı Galatasaray'ın ardından averajla bitirdi. İkinci yarı 25. haftaya kadar puan kaybı yaşamadılar. Şampiyonlar adaylarından Gaziantepspor'a karşı ilk yarısını 3-0 kaybettikleri maçı 4-3'e çevirdiler. Sonraki hafta Trabzonspor'a yenilip, ikinciliğe düşseler de sonraki maç Kadıköy'de Galatasaray'ı 2-1 yenip liderliğe tekrar geldiler ve son üç maçlarını da kazanıp şampiyon oldular. Kupayı ise finalde penaltılarla kaybettiler. Denizli, böylece Galatasaray'dan sonra bir başka büyük takım olan Fenerbahçe'yi de şampiyon yapıyordu. Fenerbahçe'yi şampiyon yapan ilk Türk teknik direktör oldu.
Sonraki sezon katıldığı UEFA Şampiyonlar Ligi'nde hiç puan alamayarak grup sonuncusu oldu. Fenerbahçe, Kosice takımından sonra ilk kez grup seviyesinde 0 puan alan takım oldu. Ligde de alınan kötü sonuçlardan sonra Diyarbakırspor yenilgisinden sonra Fenerbahçe yönetimi tarafından görevinden gönderildi.
Teknik direktörlük kariyeri > Manisaspor

2003 Mayıs'ında Denizli, 1. Lig takımlarından Vestel Manisaspor ile anlaştığını açıkladı. Yardımcılığına eski Beşiktaşlı Ali Gültiken'i aldı. Sezona çok iyi başlangıç yapıp yıl sonuna kadar liderliği götürdüler ancak yıl sonuna doğru aldıkları yenilgiler ile liderliği kaybettiler. İkinci yarı performansı ile liderliği tekrar geri alsalar da Nisan ayında tekrar liderliği kaybettiler. Çekişmeli geçen ligin sonunda Manisaspor 4. olup, Süper Lig'e çıkamayınca yönetim ve Denizli yollarını ayırdı.
Teknik direktörlük kariyeri > PAS Tahran

2004-05 sezonunun ikinci yarısı önceki sezonunun İran şampiyonu PAS FC takımı Mustafa Denizli ile anlaştı. 15 hafta sonunda 11. olan takımı alan Denizli, ilk maçında Berg-e Şiraz takımına karşı 5-1'lik galibiyet aldı. Yardımcısı olarak yine Ali Gültiken'i getirdi. Sene sonunda onları 6. lığa taşıdı. AFC Şampiyonlar Ligi'nde ise grup birincisi oldular. Çeyrek finale çıkan takım BAE takımı Al Ain'e 1-1 ve 3-3'lük beraberliklerle elendi. Denizli, 2005-06 sezonuna takımının başında başladı. Şampiyonluk mücadelesi devam ederken, 5 hafta kala Denizli, yönetimle anlaşamayıp görevi bıraktığını söyledi. Denizli'nin takımla sahaya çıkmadığı maçta Pas, hükmen mağlup oldu. Sezon sonuna doğru takıma geri dönen Denizli, son haftaya liderin bir puan gerisinde girdi. Ancak Pas da rakipleri İstiklâl de maçı kazanınca 1 puan geride ikinci oldular. Denizli sezon sonunda takımı tamamen bıraktı.
Teknik direktörlük kariyeri > Persepolis (1. dönem)

Ağustos 2006'da Denizli, bir başka İran takımı Perspolis'e transfer oldu. Sezona kötü başlayan Denizli ve takımı, geçen senenin şampiyonu Şampiyonlar Ligi'ne katılacak ikinci takımı belirleyecek play-off'larda Sepahan takımına penaltılarla elendiler. Ancak daha sonra toparlayan takım, son haftaya rakiplerinin puan kaybetmesi ile şampiyon olacaktı ancak son hafta rakipleri puan kaybetmeyince Persepolis, lig üçüncüsü oldu. Sezon sonunda takımdan ayrılan Denizli, Türkiye'ye dönünce bir süre takım çalıştırmadı ve Lig TV'de yorumculuk yaptı.
Teknik direktörlük kariyeri > Beşiktaş

Beşiktaş, UEFA Kupası'nda Metalist Kharkiv'e farklı yenilip elenince teknik direktörü Ertuğrul Sağlam istifa etti. Mustafa Denizli, Sağlam'ın yerine 9 Ekim 2008 tarihinde Beşiktaş'ın teknik direktörlüğüne getirildi. Denizli'li Beşiktaş ilk maçını Gençlerbirliği karşısında 3-1 kazandı ve liderliğe yükseldi. Bu parlak başlanıça rağmen sezonun ilk yarısının sonunda Beşiktaş, lig 6.sı oldu. Denizli 10 lig maçında 4 galibiyet, 2 beraberlik ve 4 yenilgi alarak Yıldırım Demirören döneminin en başarısız teknik adamı olmuştu. Denizli ikinci yarıya başlamadan Fabian Ernst ve Yusuf Şimşek'i transfer ederek değişikliklerle başladı. İkinci yarıdaki başarılı performans ile önce 13 Mayıs 2009 tarihinde Fenerbahçe ile oynanan maçta rakiplerini 4-2 yenerek Türkiye Kupası'nı kazandı. Sezonun son maçında ise Denizli yönetimindeki Beşiktaş, Denizlispor'u 2-1 yenerek 13. Şampiyonluğunu ilan etti. Beşiktaş 6 yıl sonra şampiyonluğu, 19 yıl sonra çifte kupayı gördü. Mustafa Denizli de aynı ligde 3 takımı da şampiyon yapan ilk teknik adam oldu. Ayrıca ilk yarıda sonucundaki kötü tablo nedeniyle suçlanan Denizli, "26. haftayı bekleyin" demişti. 26. haftada Beşiktaş'ın lider Sivasspor'un 1 puan gerisine gelmesi, daha sonra ise şampiyonluğu yakalaması sonucu "kahin" lakabı takıldı.
Sezon sonu Beşiktaş'tan ayrılacağı söylentileri çıksa da, Denizli takımda kalmayı tercih etti. Sezona iyi başlayamayan Beşiktaş, ilk yarının ortalarında bir seri yakalasa da ilk yarıyı yine kötü bitirdi. Şampiyonlar Ligi ve Türkiye Kupası gruplarından çıkamayan Beşiktaş, ligde bir ara 2.liğe kadar gelse de son haftalarda aldığı puan kayıpları ile ligi dördüncü bitirdi.
2009-10 sezonunun sonunda Mustafa Denizli, sağlık sorunları nedeniyle Beşiktaş'taki görevinden ayrıldı. Çocukluk aşkı Beşiktaş'tan bir süre ayrı kalıp, dinleneceğini bildirdi. Başkan Yıldırım Demirören, bu ayrılık konuşmasını yaparken 10 yıllık Beşiktaş yönetimi tarihinde yaptığı en zor konuşma olarak betimledi.
Teknik direktörlük kariyeri > Persepolis (2. dönem)

Denizli, televizyon ekranlarındaki yorumculuk döneminden sonra yeniden İran'a döndü ve 2006-2007 sezonunda çalıştırdığı Perspolis'le 24 Aralık 2011'de 1.5 yıllık sözleşme imzaladı. 5 Ocak 2012'de Malavan FC ile oynanan ilk maçında mağlubiyet ile tanıştı. Bir hafta sonra ise ilk galibiyetini aldı. 2 Şubat'taki Tahran derbisinde İstiklâl'i deplasmanda, 2-0 yenik durumdan 10 kişi ile 2-3'e getirerek mağlup etti. 2012 AFC Şampiyonlar Ligi'nde takımı gruplardan çıkarıp, son 16'ya soktu. Ancak ligi 12. bitiren takım, Şampiyonlar Ligi'nden de elenince 21 Haziran tarihinde, Denizli takımından istifa etti.
Teknik direktörlük kariyeri > Rizespor

21 Aralık 2012 tarihinde Mustafa Denizli, 1. Lig ekibi Çaykur Rizespor'la 1,5 yıllık anlaşma imzalayarak, Karadeniz ekibinin teknik direktörlüğüne getirildi. 20 Ocak 2013'te Gaziantep Belediyespor galibiyeti ile Rizespor kariyerine başlayan Denizli, takımını 28 Nisan'da MKE Ankaragücü galibiyeti ile ligin bitimine 2 hafta kala Süper Lig'e çıkarmayı başarmıştır.
24 Mayıs 2013 tarihinde, 2013-14 sezonu bütçesi konusunda Çaykur Rizespor ile anlaşamayan Mustafa Denizli, kulüp ile karşılıklı anlaşarak yollarını ayırdı.
Teknik direktörlük kariyeri > Hazar Lenkeran

2013 yılında adı Beşiktaş, Kayserispor, Trabzonspor ve Fenerbahçe gibi kulüplerle anılan Denizli, son olarak Galatasaray sportif direktörlüğü için düşünüldü. Bu takımların hiçbirine imza atmayan Denizli, 25 Kasım 2013'te John Benjamin Toshack ile yollarını ayıran Azerbaycan'ın Hazar Lenkeran takımına transfer oldu. Takımın başına 3 Aralık 2013'te geçen Denizli, ilk maçına bir gün sonra Azerbaycan Kuboku'da çıktı ve Neftçala FK'yı 4-0 mağlup ettiler. Lige de iyi bir başlangıç yapan takım Şubat ayına kadar yenilgi yüzü görmedi. Ancak daha sonra kötü bir performans gösteren Lenkeran, ligi altıncı olarak bitirirken, kupada da yarı finalde elendi. Sezon sonunda Hazar Lenkeran ile Mustafa Denizli'nin yolları ayrıldı.
Teknik direktörlük kariyeri > Galatasaray (3. dönem)

23 Kasım 2015'te Denizli, Galatasaray başkanı Dursun Özbek ile yaptığı görüşme sonrası Galatasaray'ın teklifini kabul etti. 26 Kasım 2015 tarihinde Florya Metin Oktay Tesisleri'nde düzenlenen imza töreniyle üçüncü kez Galatasaray teknik direktörlüğü görevine getirildi. 3 gün sonra ligde Kasımpaşa SK ile oynanan maç ile uzun yıllar sonra ilk kez Galatasaray'ın başında bir resmî maça çıktı. Galatasaray, bu maçta rakibiyle 2-2 berabere kaldı. 4 Aralık 2015'te Bursaspor'u 3-0 yenerek ilk galibiyetini aldı.
Denizli'li Galatasaray, Türkiye Kupası'nda 8 maçta 7 galibiyet alarak büyük bir başarı gösterdi. Ancak aynı başarıyı Avrupa ve ligde yakalayamadılar. UEFA Şampiyonlar Ligi'nde Astana ile berabere kalan takım, grup üçüncüsü olarak UEFA Avrupa Ligi'ne geçti. Ancak deplasmanda aldıkları mağlubiyet nedeniyle Lazio'ya elendiler. Ligde ise 11 maçta sadece 4 tane galibiyet aldılar. Bu galibiyetlerin hepsi kendi sahalarındaydı. 28 Şubat 2016'da Gaziantepspor'a 2-0 yenildikleri maçtan sonra Denizli istifa sinyallerini verdi. 1 Mart 2016'da da görevinden istifa etti.
Teknik direktörlük kariyeri > Kasımpaşa

1 Ekim 2018 tarihinde Kemal Özdeş'in ardından Kasımpaşa'nın teknik direktörlük görevine getirildi.
Teknik direktörlük kariyeri > Altay

28 Nisan 2021 tarihinde Altay ile anlaşmıştır. Bu anlaşmadan alacağı Mehmetçik Vakfı ile Türkiye Gaziler ve Şehit Aileleri Vakfı'na bağışlanmasını istemiştir. Altay ile 1. Lig'de normal sezonu 5. sırada bitirip play off müsabakaları sonrasında şampiyon olup Süper Lig'e yükselmiştir. 13 Ocak Perşembe günü takımla yollar ayrıldı.
Türk futbolundaki ilkleri

Bir Türk takımı ile Şampiyon Kulüpler Kupası'nda yarı finale çıkan ilk ve tek teknik direktör.
Fenerbahçe'yi şampiyon yapan ilk Türk teknik direktör
Beşiktaş'a Türkiye kupasını ve şampiyonluğu kazandıran ilk Türk teknik direktör
Üç büyük takım olan; Beşiktaş, Fenerbahçe ve Galatasaray'da şampiyonluk yaşayan tek teknik direktördür.
Millî takımı uluslararası bir turnuvada çeyrek finale çıkaran ilk teknik direktör.
Özel Hayatı

1977 yılında Türk Musevilerden olan Juliette Aruh ile dünya evine girdi. Çift 1989'da boşandı bu evlilikten kızı Selin Denizli doğdu. Çiğdem Kayalı ile yaşadığı birliktelikten 1991 yılında Lâl isminde bir kızı oldu. Kızı Lâl, 2024 Türkiye yerel seçimleri'nde Çeşme belediyesinde ilk kadın başkan oldu. Denizli, 2010 yılında Şerafettin Elçi'nin kızı Evin Elçi ile evlendi. Çift 2017 yılında boşanma kararı aldı.
Teknik Direktörlük Kariyeri İstatistikleri

| Ülke | Takım | Başlangıç | Bitiş | Başarı> Maç | Başarı> G | Başarı> B | Başarı> M | Başarı> Kaz. % | Kaynakça |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Galatasaray | 1987 | 1989 | &0000000000000074.00000074 | &0000000000000047.00000047 | &0000000000000018.00000018 | &0000000000000009.0000009 | &0000000000000063.51000063,51 |  |
|  | Aachen | 1989 | 1990 | &0000000000000017.00000017 | &0000000000000007.0000007 | &0000000000000002.0000002 | &0000000000000008.0000008 | &0000000000000041.18000041,18 |  |
|  | Galatasaray | 1990 | 1992 | &0000000000000060.00000060 | &0000000000000038.00000038 | &0000000000000010.00000010 | &0000000000000012.00000012 | &0000000000000063.33000063,33 |  |
|  | Kocaelispor | 1994 | 1996 | &0000000000000076.00000076 | &0000000000000032.00000032 | &0000000000000022.00000022 | &0000000000000022.00000022 | &0000000000000042.11000042,11 |  |
|  | Fenerbahçe | 2000 | 2001 | &0000000000000051.00000051 | &0000000000000035.00000035 | &0000000000000005.0000005 | &0000000000000011.00000011 | &0000000000000068.63000068,63 |  |
|  | Manisaspor | 2003 | 2004 | &0000000000000036.00000036 | &0000000000000018.00000018 | &0000000000000008.0000008 | &0000000000000010.00000010 | &0000000000000050.00000050,00 |  |
|  | Pas | 2004 | 2006 | &0000000000000045.00000045 | &0000000000000023.00000023 | &0000000000000015.00000015 | &0000000000000007.0000007 | &0000000000000051.11000051,11 |  |
|  | Perspolis | 2006 | 2007 | &0000000000000030.00000030 | &0000000000000014.00000014 | &0000000000000011.00000011 | &0000000000000005.0000005 | &0000000000000046.67000046,67 |  |
|  | Beşiktaş | 2008 | 2010 | &0000000000000062.00000062 | &0000000000000035.00000035 | &0000000000000016.00000016 | &0000000000000011.00000011 | &0000000000000056.45000056,45 |  |
|  | Perspolis | 2011 | 2012 | &0000000000000017.00000017 | &0000000000000005.0000005 | &0000000000000005.0000005 | &0000000000000007.0000007 | &0000000000000029.41000029,41 |  |
|  | Rizespor | 2012 | 2013 | &0000000000000017.00000017 | &0000000000000010.00000010 | &0000000000000002.0000002 | &0000000000000005.0000005 | &0000000000000058.82000058,82 |  |
|  | Hazar Lenkeran | 2013 | 2014 | &0000000000000021.00000021 | &0000000000000009.0000009 | &0000000000000007.0000007 | &0000000000000005.0000005 | &0000000000000042.86000042,86 |  |
|  | Galatasaray | 2015 | 2016 | &0000000000000011.00000011 | &0000000000000004.0000004 | &0000000000000003.0000003 | &0000000000000004.0000004 | &0000000000000036.36000036,36 |  |
| Toplam | Toplam | Toplam | Toplam | &0000000000000517.000000517 | &0000000000000277.000000277 | &0000000000000124.000000124 | &0000000000000116.000000116 | &0000000000000053.58000053,58 |  |
Başarılar > Futbolcu olarak

Türkiye Kupası (2): 1967, 1980
Başarılar > Teknik direktör olarak

Avrupa Futbol Şampiyonası Çeyrek final (1): 2000
Süper Lig (1): 1988 İkincilik (1): 1991
Süper Kupa (2): 1988, 1991
Türkiye Kupası (1): 1991
Şampiyon Kulüpler Kupası Yarı final (1): 1989
UEFA Kupa Galipleri Kupası Çeyrek final (1): 1992
Süper Lig (1): 2001
Süper Lig (1): 2009
Türkiye Kupası (1): 2009
Fars Körfezi Pro Ligi İkincilik (1): 2006
AFC Şampiyonlar Ligi Çeyrek final (1): 2005
Hafzi Kupası Finalist (1): 2006
Altay
1. Lig Play Off Şampiyonluğu (1): 2020-2021
Başarılar > Bireysel

Süper Lig Gol Kralı (1): 1980 (12 gol) (Bahtiyar Yorulmaz ile birlikte)
Süper Lig en çok gol atan 22. futbolcu (124 Gol)
124 Gol ile Süper Lig 100'ler kulübü Üyesi
Türkiye Kupası 1978-79, 1971-72, 1967-68 - İkincilik (Altay)
Fenerbahçe'ye Süper Lig'de şampiyonluk kazandıran ilk yerli teknik direktör.
Beşiktaş'a Süper Lig'de şampiyonluk kazandıran ilk yerli teknik direktör.
Beşiktaş'ta tüm zamanlarda Süper Lig'de en çok maça çıkan 2. Türk teknik direktör (62 maç) (Rekor 63 maçla Şenol Güneş'e ait.)
Milliyet Spor Ödülleri Yılın Türk Antrenörü (4): 1987, 1988, 1989, 1991
Milliyet Spor Ödülleri Yılın Antrenörü (1): 2009
Zaman Spor Ödülleri Türkiye'de Yılın Teknik Direktörü (1): 2009
Mustafa Denizli Beşiktaş - SivasSpor maçında
Rasgele değişken

Rasgele değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistiğin temeli kurulmuştur.
Son birkaç yüzyılda olasılıkla ilgili matematiksel fikirler geliştirilirken rasgele değişkenlerlerle ilişkili teori ve kullanım matematik kuramı biçimlerine konulmuştur. Rasgele değişkenleri modern matematik görüşle tam olarak anlamak için, daha yakın zamanlarda matematikçiler tarafından geliştirilmiş olan ölçüm kuramı hakkında geniş bilginin kazanılması gerekmektedir. Rasgele değişken kavramı, bu kuram içinde tüm özellikleri ile arka planda kalmakla beraber, kuramın içeriğinde önemli bir yeri bulunmaktadır. Bununla beraber, rasgele değişkenler kavramının matematiksel teoride değişik ileri seviyelerde fazla teori gerektirmeyen çok daha az ileri matematiksel bilgisi ile de anlaşılması mümkündür. Böylece rasgele değişkenler hakkında temel bilgileri anlamak için sadece küme kuramı ve değişkenler hesabının bilinmesi yeterli olmaktadır.
Geniş bir tanımlama ile, bir rasgele değişken, değerleri rasgele olan ve bu değerler için bir olasılık dağılımı saptamak imkânı olan bir sayıdır. Daha matematiksel biçimde, bir rasgele değişken bir örneklem uzayından değişkenin mümkün değerlerinden oluşan ölçülebilir uzaya değişimi gösterir. rasgele değiskenlerin bu formel tanımlanması reel değerli sonuçlar veren deneyleri çok sıkı bir surette matematiksel ölçüm kuramı çerçevesi içine sokmakta ve reel değerli rasgele değişkenler için dağılım fonksiyonu kurulmasına imkân sağlamaktadır.
Sezgisel tanımlama

Genellikle bir rasgele değişken sayı şeklinde değerler alır. Ama bu her zaman doğru değildir; çünkü vektör, karmaşık sayılar, sıralamalar veya fonksiyonlardan oluşan rasgele değişkenler bulunmaktadır. Eğer değişkenler reel-değerli iseler o zaman bir rasrasgele al değişken her ele alınıp incelendiği zaman değer değiştirebilen bir bilinmez sayı olarak düşünülebilir. Böylece bir rasgele değişken bir rastgele sürecinin örnek uzayını bir sayı setine eşlemesini yapan bir fonksiyon olarak görülebilir. Bunu daha göze çarpar bir şekilde şu örneğinlerle gösterebiliriz:
Sezgisel tanımlama > Örnekler

Hileli olmayan bir metal parayı havaya atma ve hangi yüzü geleceğini ele alma deneyini önce ele alalım. Tek bir deney için mümkün sonuç olaylar ya "yazı" ya da "tura" olur. Birkaç defa para atılması ve bunlardan kaç tane yazı geleceği şu rasgele değişken ile ifade edilebilir:
ve eğer metal para için bu iki sonuç eşit olabilirlikli ise o zaman bu rasgele değişken için bir olasılık kütle fonksiyonu bulunur ve şöyle ifade edilir:
Bazen daha kolaylık sağlamak için bu haldeki değerler olarak ("yazı" veya "tura" kategorileri yerine) sayılar şeklinde olan bir rasgele değişken tanımlanabilir. Bunu  Y reel rasgele değişkenini kullanarak ve bunu şu şekilde tanımlayarak yapabiliriz:
ve eğer metal para için bu iki sonuç için her iki taraf eşit olabilirlikli ise o zaman olasılık kütle fonksiyonu şöyle ifade edilir:
Bir rasgele ayrık rasgele değişken kavramı kullanılması için diğer bir örneğin, hileli olmayan bir zar atılması ve düşen zarda üste gelen nokta sayısını görme şeklindeki deneyidir. Bu halde en basit açıklama, olası sonuçlar olan {1, 2, 3, 4, 5, 6} sayıları setinin "örnek uzayı" ve zar atınca gelen sayı X'in de rasgele değişken şeklinde yapılabilir. Bu halde
Bir sürekli rasgele değişken için bir örnek sonunda belli bir yöne yönelip kalan bir döner ibreli aletin ibresi ele alınabilir. Bu örneğinde rasgele  değişken tarafından sonuç değerler yönlerdir. Bu yönler ayrık olarak Kuzey batı, Doğu güneydoğu vb. şekilde ifade edilebilirler. Fakat genellikle örnek uzayını bir rasgele değişkene eşlendirilmesi yapılırken reel sayılar kullanmak daha kullanışlı olacaktır. Bunu başarmak için döner ibresini son durma yönünü Kuzey'den olan saat yönündeki açısının derece birimi ile ifade edebiliriz. Böylece rasgele değişken [O, 360] aralığında herhangi bir sayı şekilde ifade edilir ve her bir mümkün sayının açıklığı rasgelirliği "eşit olasılıklı"dır. Bu halde rasgele değişken X= ibre duruş açısı olur. Herhangi bir belirli sayının olasılığı 0 olur ama bir sayısal aralık için bir pozitif olasılık sayısı verilebilir. Örneğin, [0,180] arasında bir sayının gelme olasılığı ½ olur. Bu halde olasılık kütle yoğunluk fonksiyonu demeyiz ama X için olasılık yoğunluğu 1/360 olur. (0, 360) alt-seti icin olasılık bu setin ölçüsünü 1/360 ile çarpma ile elde edilir. Genel olarak, bir belirlenmemiş sürekli rasgele değişken seti için olasılık yoğunluğun verilmiş set üzerinde entegrasyonunu bulmak suretiyle elde edilir.
Karışık ayrık ve sürekli rasgele değişken için örneğin bir matal parayı atmak ile eğer para "yazı" gelmişse bir döner ibreli aletin ibresini döndürmek şeklinde verilebilir. Bu deneyin sonucunun matematiksel ifadesi şöyle olur: Eğer para atış "tura" gelirse X= -1; aksi halde X döner ibreli aletin ibresinin durduğunda gösterdiği yönün Kuzeye göre saat yönündeki açı değeridir. Bu ikili deney için rasgele değişken değerinin -1 olma olasılığı ½ olur; diğer aralıklar için rasgele değişken değerleri bir önceki deneyin sonuçlarının yarısına eşittir.
Reel değerli rasgele değişkenler

Bu halde,  \scriptstyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}}\!,\;P) bir olasılık uzayı olsun. O zaman, bir rasgele değişken olan X formel bir tanınımla
ölçülebilir fonksiyonu olur.
Reel değerli rasgele değişkenler > Rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonları

Bir yığmalı dağılım fonksiyonunu belli bir rasgele değişkeni ile birlikte olduğunu düşünmek bir değişkene bir değer tahsis etmenin bir genelleştirilmesidir. Eğer yığmalı dağılım fonksiyonu sağdan sürekli bir Heaviside basamak fonksiyonu ise, o halde rasgele değişken bu sıçrama için 1 olasılık değerini alır. Genel olarak, yığmalı dağılım fonksiyonu değişkenin belirli değerinde ne olasılık göstereceğini tanımlar.
Eğer
olasılık uzayında tanımlanmış bir rasgele değişken olan
bilinmekte ise, şu şekilde soru sorulabilir:
Bunu aynı anlamda
olarak sorabiliriz veya matematiksel ifade ile kısaca  P(X>2) olarak yazabiliriz.
Bir reel değerli rasgele değişken olan Xin çıktılarının bütün değerlerinin olasılıklarının hepsinin kaydı yapılırsa X için olasılık dağılımı ortaya çıkar. Olasılık dağılımı Xi tanımlamak için kullanılan belirli bir olasılık uzayını unutur ve sadece X çeşitli değerlerinin olasılığını kaydeder. Bu türlü olasılık dağılımı her zaman şu yığmalı dağılım fonksiyonu tarafından ele geçirilebilir:
ve bazen de ele geçirme bir olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak gerçekleştirilebilir. Ölçüm kuramında rasgele değişken olan Xi Ω üzerindeki P ölçüsünü R üzerinde bir F ölçüsüne "ileri itmek" için kullanırız.
Teorinin altında bulunan Ω olasılık uzayı rasgele değişkenlerin varoluşlarını garanti etmek için, bazen de onları inşa etmek için bir teknik gereçtir. Pratikte çok defa Ω uzayı tümüyle bir tarafa bırakılır. Doğrudan doğruya R üzerine reel doğrunun tümüne 1 ölçü değeri tahsis eden bir yeni ölçü koyulur. Yani rasgele değişkenler yerine olasılık dağılımları doğrudan doğruya kullanılır.
Reel değerli rasgele değişkenler > Momentler

Bir rasgele değişkenin olasılık dağılımı, çok kere pratikte anlanması ve uygulanması kolay olan küçük sayıda parametreler ile nitelendirilir. Örneğin, sadece "ortalama değer" olan λ değerini bilmek Poisson dağılımını bilmek için yeterlidir. Ortalama kavramı matematik teoride bir rasgele değişkenin beklenen değeri olarak, yani E[X] olarak ifade edilir. Genellikle E[f(X)] ifadesi f(E[X]) ifadesine eşit değildir. "Ortalama değer" bilinince, bu ortalama değerin X tipik değerlerinden ne kadar fazla uzaklıkta olduğu sorusu hemen akla gelir ve bu soruya yanıt bu rasgele değişkenin standart sapması ve varyansı ile bulunur.
Matematik kuramı içinde bu (genelleştirilmiş) momentler problemi olarak bilinmektedir: Bilinmekte olan bir sınıf rasgele değişkenler olan X için, E[fi(X)] ifadesindeki beklenen değerler ile rasgele değişken Xin dağılımını tam olarak nitelendiren bir {fi} fonksiyonlar koleksiyonu bulunması istenmektedir.
Rasgele değişkenlerin fonksiyonları

Eğer X rasgele değişkeni Ω üzerinde bulunursa ve f ölçülebilir fonksiyon R → R ise, bu halde de Y = f(X) de Ω, üzerinde bir rasgele değişken olacaktır. Buna neden ölçüculebilir bir fonksiyonun kompozisyonu da ölçüulebilir olmalıdır. Bizi bir olasılık uzayi olan (Ω, P) den (R, dFX)ye gitmemize izin veren yordam Y için dağılımı bulmak için de kullanılabilir. Y için yığmalı dağılım fonksiyonu
olur.
Rasgele değişkenlerin fonksiyonları > Örnek 1

X reel değerli bir sürekli rasgele değişken olsun ve Y = X2 olsun. O halde,
Eğer y<0, o halde
ve bu nedenle
Eğer y ≥ 0 ise, o zaman
olur ve bundan dolayı
Rasgele değişkenlerin fonksiyonları > Örnek 2

\scriptstyle X bir rasgele değişken olsun ve yığmalı dağılımı şöyle ifade edilsin
Burada  \scriptstyle \theta >0 sabit bir parametredir. Şimdi şu rasgele değişkene,
yani  \scriptstyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}). bakılsın. O zaman
Bu son ifade  X,in yığmalı dağılımı terimleri ile şöyle hesaplanabilir:
Rasgele değişkenlerin birbirine eşitliliği

Rasgele değişkenlerin birbirlerine eşitliliği kavramı birbirlerinden değişik anlamları olan çeşitli şekillerde açıklanabilir. Bu değişik şekiller şöyle sıralanabilir: iki rasgele değişkenin eşitliliği; nerede ise kesinlikle eşitliği; ortalama olarak eşitliliği; dağılım içinde eşitliliği. Bu sıralama değişik eşitlilik kavramının tarifinin artan teorik sıkılığına göre (en çok bağlayıcı tanımdan en zayıf tanıma doğru) yapılmıştır. Bu değişik eşitlilik kavramların ayrıntılı tanımları aşağıda verilmektedir.