Christoffel sembolleri
Uygulamaları > Silindirik koordinatlar için örneği

\Upsilon (r,\theta ,z)=r.cos(\theta )e_{1}+r.sin(\theta )e_{2}+z.e_{3} denklemi silindirik koordinatların denklemidir.3 boyutlu silindirik koordinat sisteminde kartezyen koordinat cinsinden  metrikleri yazdığımızda:
x=r.cos(\theta )
y=r.sin(\theta )
z=z
Silindirik koordinatların metrik tensörünü  hesaplamak için denklemin birim vektörlerini hesap edersek:
{\partial \Upsilon  \over \partial r}=e_{r}=cos(\theta ).e_{1}+sin(\theta ).e_{2}
{\partial \Upsilon  \over \partial \theta }=e_{\theta }=-r.sin(\theta ).e_{1}+r.cos(\theta ).e_{2}
{\partial \Upsilon  \over \partial z}=e_{z}=e_{3}
Ana Madde:Metrik Tensör
g_{ij}={\partial \Upsilon  \over \partial x^{i}}\otimes {\partial \Upsilon  \over \partial x^{j}}=e_{i}\otimes e_{j}  i,j=r,\theta ,z
Metrik tensörü yazdığımızda,
g_{ij}={\begin{bmatrix}g_{rr}&g_{r\theta }&g_{rz}\\g_{\theta r}&g_{\theta \theta }&g_{\theta z}\\g_{zr}&g_{z\theta }&g_{zz}\\\end{bmatrix}}
Şimdi bileşenlerini tek tek hesap edelim.
Not=Kartezyen koordinat sisteminde metrik tensör:
g_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{eğer }}i=j\\0,&{\text{eğer }}i\neq j\end{cases}}
g_{rr}=e_{r}.e_{r}=(cos(\theta )e_{1}+sin(\theta )e_{2}).(cos(\theta )e_{1}+sin(\theta )e_{2})=cos^{2}(\theta )+sin^{2}(\theta )=1
g_{r\theta }=e_{r}.e_{\theta }=(cos(\theta ).e_{1}+sin(\theta )e_{2}).(-r.sin(\theta )e_{1}+r.cos(\theta )e_{2})=-cos(\theta ).rsin(\theta )+ cos(\theta )r.sin(\theta )=0
g_{rz}=e_{r}.e_{z}=(cos(\theta ).e_{1}+sin(\theta )e_{2}).e_{3}=0
g_{\theta r}=e_{\theta }.e_{r}=(-r.sin(\theta ).e_{1}+r.cos(\theta ).e_{2}).(cos(\theta ).e_{1}+sin(\theta )e_{2})=0
g_{\theta \theta }=(-r.sin(\theta ).e_{1}+r.cos(\theta )e_{2}).(-rsin(\theta )e_{1}+r.cos(\theta )e_{2})=r^{2}.(sin^{2}(\theta )+cos^{2}(\theta ))=r^{2}
g_{\theta z}=e_{\theta }.e_{z}=(-r.sin(\theta ).e_{1}+r.cos(\theta ).e_{2}).e_{3}=0
g_{zr}=e_{z}.e_{r}=(cos(\theta )e_{1}+sin(\theta )e_{2}).e_{3}=0
g_{z\theta }=e_{z}.e_{\theta }=(-r.sin(\theta ).e_{1}+r.cos(\theta ).e_{2}).e_{3}=0
g_{zz}=e_{z}.e_{z}=e_{3}.e_{3}=1
Sonunda silindirik koordinatlar için metrik tensörü elde ettik.
g_{ij}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}
Şimdi silindirik koordinatlar için Christoffel sembollerini hesap edeceğiz.
Baştaki kanıtlardan şu özdeşliği hesap etmiştik;
\Gamma _{ij}^{k}={\partial e_{i} \over \partial x^{j}}e_{k}  ve baz vektörü sembolün yanına yazıp satır matris formunda gösterdiğimizde:
{\partial e_{i} \over \partial x^{j}}=\Gamma _{ij}^{k}.e_{k}=(\Gamma _{ij}^{r},\Gamma _{ij}^{\theta },\Gamma _{ij}^{z}).
Christoffel sembollerinin aslında tensör olmadığını sadece baz vektörlerin türevlerinin bileşenleri olduğunu görürüz.
Birim vektörlerin terslerini de şöyle hesap edebiliriz:
e^{r}=1/e_{r}=1/cos(\theta ).e_{1}+sin(\theta ).e_{2}
Örneğin  \Gamma _{\theta \theta }^{r} şöyle hesaplanabilir.
\Gamma _{\theta \theta }^{r}={\partial e_{\theta } \over \partial x^{\theta }}.e_{r}={\partial  \over \partial x^{\theta }}-r.cos(\theta )e_{1}+r.sin(\theta ).e_{2}
\Gamma _{\theta \theta }^{r}=(-r.cos(\theta ).e_{1}-r.sin(\theta ).e_{2}).(cos(\theta ).e_{1}+sin(\theta ).e_{2})=-r
Diğerlerini hesaplamak çok uzun süreceğinden direk diğer değerleri yazalım.
{\begin{bmatrix}\Gamma _{rr}^{r}&\Gamma _{\theta r}^{r}&\Gamma _{zr}^{r}\\\Gamma _{rr}^{\theta }&\Gamma _{\theta r}^{\theta }&\Gamma _{zr}^{\theta }\\\Gamma _{rr}^{z}&\Gamma _{\theta r}^{z}&\Gamma _{zr}^{z}\\\end{bmatrix}}  ={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&r&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\Gamma _{r\theta }^{r}&\Gamma _{\theta \theta }^{r}&\Gamma _{zr}^{r}\\\Gamma _{r\theta }^{\theta }&\Gamma _{\theta \theta }^{\theta }&\Gamma _{z\theta }^{\theta }\\\Gamma _{r\theta }^{z}&\Gamma _{\theta \theta }^{z}&\Gamma _{z\theta }^{z}\\\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}-1&-r&0\\1/r&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}
{\begin{bmatrix}\Gamma _{rz}^{r}&\Gamma _{\theta z}^{r}&\Gamma _{zz}^{r}\\\Gamma _{rz}^{\theta }&\Gamma _{\theta z}^{\theta }&\Gamma _{zz}^{\theta }\\\Gamma _{rz}^{z}&\Gamma _{\theta z}^{z}&\Gamma _{zz}^{z}\\\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}