Lagrange mekaniği
Giriş

Basit sarkaç.Burada,kütlenin rijit bir çubuğa bağlı olduğunu kabul ediyoruz.Bu durumda kütlenin çubuk boyunca hareketi kısıtlanmıştır.Bu hareket kısıtı  (, ) = 0 formunda ifade edilebilir.Kısıtlayıcı kuvvet  ise çubuktaki gerilimdir. ise kısıtlayıcı olmayan yerçekimi kuvvetidir.
Çift sarkaç, iki tane basit sarkacın uç uca bağlanması ile oluşur. Burada, her sarkaç topu için bir kısıt tanımlanabilir.
Lagrange mekaniğinin gücü, hareketi kısıtlanmış mekanik sistemlerde, bu kısıtları etkili ifade ederek sistem çözümüne dahil edebilmesinden gelir. Aşağıdaki örnekler, konseptleri ve terminolojiyi anlamada etkili olacaktır.
Rijit bir eğimli yolu ifade eden bir telde hareket eden bir küreyi düşündüğümüzde, ağırlığın etkili olduğu 2 boyutlu uzayda; hareket kısıtları f(r) = 0 formunda ifade edilebilir. Burada kürenin hareketi r = (x(s), y(s)) olarak yazılabilir ve s eğrisel uzunluk olarak tanımlanır (her eğri, yay parçaları olarak ifade edilebileceğinden, dsi diferansiyel yay uzunluğu, si de yay boyuncaki koordinat olarak tanımlayabiliriz). Eğride her noktadaki x ve y birbirine bağımlı olduğundan, aslında x ve y gibi iki koordinat tanımlamak yerine tek bir s koordinatı hareketimizi tanımlamamıza ve kısıtlarımızı ifade etmemize yetecektir. Çünkü hareket kısıtlarını ifade eden denklemler x ve y arasında bir bağıntı vermekte ve serbestlik derecesini düşürmektedir. Böylece x ve y den biri bilindiğinde öbürü bulunabilir.
Hareket kısıtlarının bir sonucu olan kısıtlayıcı kuvvetler ise, hareketin kısıtlandığı yönde uygulanan kuvvetlerdir veya başka bir açıdan, kürenin istenilen yolda kalmasını sağlayan kuvvetlerdir. Ayrıca ağırlık da, kısıtlayıcı olmayan bir kuvvet olarak küreye etki etmektedir.
Eğer telin şekli zamanla değişiyorsa (örneğin esneme ile), o zaman kısıtlayıcı denklemler ve pozisyon zamana bağlı olarak da değişmeye başlar. Çünkü koordinatlar zamanla değişmektedir. Zaman, koordinat tanımlarında örtülü olarak kalırken, kısıtlayıcı denklemlerde açık olarak gelir.
kıvrımlı açık yüzeyde, üç noktasal kütle, üç uzay-mekansal boyutta düzlemsel olarak kısıtlanmış
küresel yüzeyde, iki boyutun üç boyuta genişletilmesi
silindirik yüzeyde, iki boyutun üç boyuta genişletilmesi
Yine her bir kütle kısıtlayıcı kuvvet olarak  'ye sahiptir ve aynı şekilde yer çekimi  altındadırlar (, , )=0.
Başka bir ilginç 2 boyutlu örnek ise kaotik/düzensiz bir dinamiğe sahip olan çift sarkaçtır (yine yer çekimi altında). Bir sarkaçın uzunluğu L1 ve diğerinin uzunluğu ise L2 olsun. Her bir kütle hareketlerinin kısıtlanmasını ifade eden denklemlere sahiptir.
Her sarkacın kısıtlayıcı denklemi vardır,
Kütlelerin pozisyonları ise,
olarak ifade edilebilir.
θ 1 ve θ 2 belli bir referansa göre sarkaçların açısını ifade eder. Her sarkaç, kısıtlardan ötürü birer koordinatla ifade edilebilir. Çünkü bu kısıtlar mekansal koordinatları (2 tane) birbirine bağlar.
3 boyutlu bir örnek olarak, küresel eksenlerde hareket eden sarkaç örnek verilebilir. Sarkacın uzunluğu l ve sarkaç her yönde serbestçe sallanacak şekilde ağırlığının etkisine bırakılmış durumdadır. Bu durumda, hareket kısıtlanması şu şekilde ifade edilebilir;
Kütlenin pozisyonu ise daha önce s ve θ değişkenlerinin kullanıldığı gibi genel koordinatlarda şu şekilde ifade edilebilir;
ve burada (θ, φ) çifti küresel kutup açılarını ifade eder çünkü kütle bir kürenin yüzeyinde hareket edermişçesine davranır aynı zamanda küresel koordinatlarda tanımlanabilir ve aynı bu durumda olduğu gibi, yarıçapın sabit olduğu bir kürenin denklemi de kısıtımızı ifade eder. Böylece 3 koordinat yerine 2 koordinat bilgisi yeterli olmaktadır.
Özellikle sarkaç gibi sistemler, salınım hareketi yaparlar çünkü yükleme, pozisyon değişkeni olan açının sinüsel bir fonksiyonudur. Böylece basit harmonik osilatörler Lagrange mekaniği ile yine rahatça analiz edilebileceği anlaşılabilir. Ayrıca, bu tip enerji metotları denk sistemler bulmak, çoklu serbestlik dereceye sahip sistemlerin analizi gibi problemlerde ciddi işe yaramaktadırlar çünkü yazılımsal olarak adapte edilebilmeleri kolaydır. Dolayısıyla, bağlanmış harmonik osilatörler (çift sarkaç, üçlü sarkaç gibi) özellikle Lagrange dinamiği metotları ile incelenir.
3 boyutlu uzayda yer alan N partikül için, pozisyon vektörleri 3 değişkenli vektör fonksiyonları olarak şöyle ifade edilebilir;
Dolayısıyla, her bir parçanın net pozisyonunu bilmek için 3N kadar koordinata ihtiyacımız vardır. Zaten bir vektör uzayında da bir noktanın genel ifadesi r = (x, y, z). fonksiyonu ile yapılır. Bu partiküllerden herhangi birisi veya birkaçı holonom kısıtlara tabi tutulursa, kısıt ifadesi f(r, t) = 0 şeklinde yazılabilir. Bu, herhangi bir anda partiküllerin pozisyonları birbirlerine bağlanmaya başlar ve bağımsız olmaktan çıkarlar. Eğer sistemde C kadar kısıtlayıcı var ise, bunların her birinin fonksiyonel ifadesi için,
Fonksiyon eşitlikleri kullanılır ve her bir denklem bir koordinat ihtiyacını eler. Dolayısıyla bağımsız koordinatların sayısı n = 3N − C kadardır. Unutulmamalıdır ki bağımlı koordinatlar kullanılarak yapılan hesaplar modeli karmaşıklaştıracaktır.
Dolayısıyla, partikülleri veya sistemi tanımlamamız için n tane koordinata ihtiyacımız bulunmaktadır. Her pozisyon vektörü istenilen n elemanlı genelleştirilmiş koordinat setine dönüştürülebilir. Ve uygun bir şekilde q = (q1, q2, ... qn) olarak ifade edilebilir. Dolayısıyla pozisyonlar şu şekilde ifade edilebilir;
Böylece, pozisyonlar, genelleştirilmiş koordinatların fonksiyonu olarak karşımıza çıkar çünkü pozisyon değişkenlerini herhangi bir sete dönüştürebiliriz.
Genelleştirilmiş koordinatların birinci türevine genelleştirilmiş hızlar denir ve her partikül için hız vektörlerinin dönüşümleri;
(Noktalar Newton notasyonu olarak zamana göre türevi ifade eder.)
Burada unutulmamalıdır ki hız, pozisyonun toplam diferansiyelidir. Veya basitçe rk olarak tanımladığımız fonksiyonun zamana göre türevidir ve q da zamana bağlı olduğu için zincir kuralı kullanılır.
Önceki örneklerde, biri eğer her kütlenin hareketini partikül olarak inceleyecek basitleştirmeler yapabiliyorsa, Newton mekaniği zamana bağlı olarak değişen kısıtlayıcı kuvvetlerin (partikülleri kısıtlanmış hareket patikasında tutmaya yarayan kuvvetler) zamana göre değişimi ile uğraşmayı gerektirir (telin küreye uyguladığı kuvvet, çekme kuvvetinin sarkaca aktardığı kuvvet gibi).Aynı problem için Lagrange mekaniği, bizim partikülün aldığı yola bakarak uygun bir genelleştirilmiş koordinat seçmemize dayanır. Bu seçimlerdeki koordinatlar bağımsız olmalıdır ve hareketi tamamen karakterize edebilmelidir. Hareketin tamamen serbest olduğu koordinatlar seçilirse, kısıtlayıcı denklem ve kuvvetlerin işin içine girmesine gerek kalmaz. Örneğin x-y düzleminde tel üzerindeki bir kürenin hareketi her an tanjantlara dik olarak kısıtlanmıştır ama tek bir s koordinatı seçilirse, zaten o koordinat yolun ve hareketin kendisini tanımladığı için ve hareketin olmadığı yerlerde sıfır olduğu için ekstra kısıt ifadelerine gerek kalmaz. Böylece, kısıtların partiküller üzerindeki direkt etkisi hesaplanmadan daha az denklem çözülerek sistem modellenebilir.