stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Leventpınarı, İliç
Nüfus

| Yıllara göre köy nüfus verileri |
| --- | --- |
2022: 88
2021: 86
2020: 91
2019: 95
2018: 158
2017: 64
2016: 73
2015: 80
2014: 80
2013: 72
2012: 70
2011: 82
2010: 81
2009: 80
2008: 76
2007: 81
2000: 167
1990: 285
1985: 509
Perçem, Refahiye

| Perçem |
| --- | --- |
Köy

 Erzincan'ın konumu
PerçemPerçem'in Erzincan'daki konumu
Ülke:  Türkiye
İl: Erzincan
İlçe: Refahiye
Coğrafi bölge: Karadeniz Bölgesi
İdare
 • Yönetici: Muhtar İhtiyar heyeti
Rakım: 1837 m
Nüfus (2022)
 • Toplam: 47
Zaman dilimi: UTC+03.00 (TSİ)
İl alan kodu: 0446
İl plaka kodu: 24
Posta kodu: 24302
Perçem, Erzincan ilinin Refahiye ilçesine bağlı bir köydür.
Tarihçe

Köyün eski adı, 1916 yılı kayıtlarında Perçem olup, Kurmaci'de "berçem" sözcüğü "dere önü" anlamına gelmektedir.
Köyle ilgili ilk yazılı bilgiler 1642 tarihli Avârız defterlerinde yer almaktadır. Bu tarihte Erzurum Eyaleti'nin Gercanis kazasının Orçol nahiyesine bağlı "Perçem" adıyla bir köy olarak bahsedilen yerleşimde, avârıza konu 2 Müslüman hane yaşamaktaydı. 1896 tarihli kayıtlarda erkek nüfusun tespiti için yapılan sayımda; Orçul nahiyesine bağlı sadece Müslümanların yaşadığı Perçem köyünde, 25 hanede 87 erkek nüfus bulunmaktaydı.
Coğrafya

Köy, Erzincan il merkezine 104 km, Refahiye ilçe merkezine 35 km uzaklıktadır. Köy, Karadeniz Bölgesi sınırları içerisinde kalmaktadır.
Nüfus

| Yıllara göre köy nüfus verileri |
| --- | --- |
2022: 47
2021: 40
2020: 46
2019: 52
2018: 63
2017: 36
2016: 39
2015: 41
2014: 56
2013: 65
2012: 52
2011: 45
2010: 46
2009: 46
2008: 54
2007: 36
2000: 96
1990: 150
1985: 264
Üçören, Refahiye

| Üçören |
| --- | --- |
Köy

 Erzincan'ın konumu
ÜçörenÜçören'in Erzincan'daki konumu
Ülke:  Türkiye
İl: Erzincan
İlçe: Refahiye
Coğrafi bölge: Karadeniz Bölgesi
İdare
 • Yönetici: Muhtar İhtiyar heyeti
Rakım: 1640 m
Nüfus (2022)
 • Toplam: 53
Zaman dilimi: UTC+03.00 (TSİ)
İl alan kodu: 0446
İl plaka kodu: 24
Posta kodu: 24302
Üçören, Erzincan ilinin Refahiye ilçesine bağlı bir köydür.
Tarihçe

Köy, 1916'dan beri aynı adı taşımaktadır.
Köyle ilgili ilk yazılı bilgiler 1642 tarihli Avârız defterlerinde yer almaktadır. Bu tarihte Erzurum Eyaleti'nin Gercanis Kazası'nın Orçol nahiyesine bağlı "Uçviran" adıyla bir köy olarak bahsedilen yerleşimde, avârıza konu 6 Müslüman hane yaşamaktaydı. 1896 tarihli kayıtlarda erkek nüfusun tespiti için yapılan sayımda; Orçul nahiyesine bağlı sadece Müslümanların yaşadığı köyde, 11 hanede 60 erkek nüfus bulunmaktaydı.
Coğrafya

Köy, Erzincan il merkezine 99 km, Refahiye ilçe merkezine 30 km uzaklıktadır. Köy, Karadeniz Bölgesi sınırları içerisinde kalmaktadır.
Nüfus

| Yıllara göre köy nüfus verileri |
| --- | --- |
2022: 53
2021: 60
2020: 60
2019: 77
2018: 50
2017: 42
2016: 41
2015: 41
2014: 55
2013: 44
2012: 48
2011: 46
2010: 32
2009: 37
2008: 39
2007: 22
2000: 59
1990: 57
1985: 103
Dinamik sistem

Bu sayfa dinamik sistemlere dair genel bakış açılarını içerir ayrıntılı bilgi için dinamik sistem (tanım) veya çalışmak amaçlı dinamik sistemler teorisine bakabilirsiniz.
The Lorenz attractor Lorenz salınımlarında ortaya çıkan, dinamik sistem.
Dinamik sistem, geometrik uzay katmanındaki bir noktanın zamana bağlı durumunu tarif eder. Sarkaçlı bir saatin sarkacının salınımını, bir borudan geçen suyun hareketini ve her ilkbaharda bir göldeki balık sayısını (n değişimini/miktarını) anlatan matematiksel modeller buna bir örnektir.
Dinamik bir sistemin herhangi bir zaman aralığında/anında, reel sayılar ile (vektör ile) gösterilen bir konumu vardır, bu konum uzayda (çok katlı uzayda) uygun bir noktayla gösterilebilir. Sistemin durumunda meydana gelen ufak değişikliklere onu temsil eden rakamların değişikliği eşlik eder. Dinamik sistemlerdeki gelişim kanunu, dinamik bir sistemin şu anki durumunun gelecekteki geçireceği değişimleri açıklayan bir (şu anki durumun fonksiyonu) fonksiyonudur. Bu prensip rastgele sonuçlar üretmez, diğer bir deyişle sistemin şu anki durumunu takip edecek sadece tek bir gelecek durum vardır.
Tarihçe

Pek çok kişi dinamik sistemlerin kurucusu olarak Henri Poincaré'yi görür. Poincaré, "New Methods of Celestial Mechanics" (gök mekaniğinde yeni yöntemler) (1892–1899) ve "Lectures on Celestial Mechanics" (gök mekaniği üstüne dersler) (1905–1910) isimli iki adet monografi yayınladı. Bu kitaplarda üçlü sistemler (hareketleri) üstündeki çalışmalarının sonucunda elde ettiği yöntemleri hatasız bir şekilde uyguladı ve çözümleri üstünde daha detaylı çalışmalar yaptı (frekansları, yörüngelerin denklikleri, asimptotları vb.). Bu kağıtlardaki çalışmalara göre. (Poincare'in yineleme teorisini de içeriyorlardı) Herhangi bir sistem yeterli bir zaman geçtikten sonra, yeterli ancak ölçülebilir zaman, ölçümün başladığı o ilk pozisyonuna çok yakın bir yere dönüyordu.
Aleksandr Lyapunov pek çok, önemli, yaklaşım yöntemleri geliştirdi. 1899 yılında geliştirdiği bu yöntemleri,adi diferansiyel denklem kümelerinin kararlığının hesaplanmasını mümkün kılıyordu. Dinamik sistemler için modern kararlılık teorisini üretmiştir.
1913 yılında, George David Birkhoff'un  Poincaré'nin "son geometrik teorisini,üçlü sistemdeki özel bir durum için, kanıtlaması ismini dünyaya tanıttı. 1927 yılında, şimdi ergodik teorem olarak bilinen ve ortaya atmış olduğu en uzun ömürlü çalışması olan Dynamical Systems22 Nisan 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. i yayınladı. Ergodik hipotezden edilmiş fiziksel sezinin ve matematiksel hesaplamayla kombine olması, en azından prensipte, istatistiksel mekaniğin temel sorununun çözümünü oluşturuyordu. Ergodik teori aynı zamanda dinamikten esinlenmeler de içerir.
Stephen Smale'in de büyük katkıları olmuştur. İlk katkısı at nalı haritası (ayrıntılı bilgi için bkz Horseshoe map) ile dinamik sistemlerde kayda değer çalışmalar yapmıştır. Ayrıca başkalarının pek çok kez baş vurduğu bir araştırma programı da yapmıştır.
1964 yılında Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky, kesintili (bkz discrete dynamical system) dinamik sistemlerin periyotları üstünde çalışması sonucu Sharkovsky teorisini geliştirmiştir. Teoremin çıkarımlarından birine göre, sayı doğrusundaki, kesintili bir dinamik sistem eğer üç adet periyot noktası barındırıyorsa diğer her periyotlarda da periyodik nokta bulundurmak zorundadır.
Temel tanımlar

Dinamik bir sistem çok katlı bir uzay (lineer uzanan, M diye adlandırılan, gelişim/evrilen fonksiyonlar Φt kümesini içeren uzay)  katmanındaki noktanın tekrar o katmana (t  geçen zamanı ifade ederken, t ∈ T) dönüşünü gösteren bir harita olarak düşünülebilir. Fonksiyonlardaki lineerlik kavramı, kullanılan uygulamalara ve çok katlıların tiplerine göre değişiklik gösterir. T kümeleri için birden fazla  seçim olanağı olabilir. T gerçek sayılar kümesi olarak alındığında, dinamik sistem akışkan olarak nitelenebilir (bkz flow); eğer T sadece pozitif gerçek sayılar kümesi olarak alındığında, dinamik sistem yarı akışkan olarak nitelenir. T tam sayı kümesi olarak alındığında kaskat (cascade, şelale, ardışık kelimelerine karşılık gelir) ya da bir plan, sadece pozitif tam sayılar olarak alınırsa yarı kaskat olarak nitelendirilebilir.
Temel tanımlar > Örnekler

Φt ile gösterilen gelişim fonksiyonu genelde hareket için yazılmış diferansiyel denklemin bir çözümüdür;
Bu denklem, faz uzayında, x0 (herhangi bir ilk konum demektir)dan başlayıp x(t)'yi izleyen yörüngenin zamanının türevini verir (üstünde noktayla gösterilmiş, türev). v(x) ile gösterilen vektör alanı, Min bu alanın her noktasında (faz uzayının her noktasında) dinamik sistem için hız vektörünü oluşturduğu lineer bir fonksiyondur (Tabii ki, bu  hız vektörleri M faz uzayında/uzay katmanındaki herhangi bir vektör değil herhangi bir x noktası için TxM  ile gösterilen eğim uzayında bulunan vektörlerdir-eğim uzayından kasıt, eğimi oluşturan ögelerin meydana getirdiği uzaydır-). Verilen Φt lineer fonksiyonundan otonom bir vektör alanı türetilebilir.
v(x) için ne yüksek dereceli türevlere ne de zaman parametresini kullanmaya gerek vardır çünkü bu çokluklar sistemleri çok boyutlu uzayda açıkladığımız zaman ortadan kalkarlar. Adi diferansiyel denklemlerin dışında kalan diğer diferansiyel denklem türleri de gelişim kuralını ifade etmek için kullanılabilir:
denklemi kompleks karışıklıklardan dolayı ifade edilmesi güçleşen mekanik bir sistemin farklı bir gösterimine örnektir.
Φt gelişim fonksiyonunu anlatmak için genelde adi diferansiyel denklemler kullanılır, bu durumda M, sonlu olan, çok katlı uzay boyutunu gösterir.Dinamik sistemlerdeki pek çok kavram, sonsuz katmanlı uzaylara dek genişletilebilir. Örnek: Banach uzayları-ayrıntılı bilgi için bkz banach sapaces- tabii bu durumda kısmi diferansiyel denklemler kullanılır. Yirminci yüzyılın sonlarında dinamik sistemlere kısmi diferansiyel kullanarak yaklaşmak oldukça yaygın bir kullanım olmuştu.
Temel tanımlar > İleri düzey örnekler(ayrıntılı bilgi için orijinal isimlerine bakabilirsiniz)

Logistic map,Bifurkasyon
Complex quadratic polynomial,karmaşık karesel polinom
Dyadic transformation,çiftli/diyadik dönüşüm
Tent map,çadır planı
Double pendulum,çifte sarkaç
Arnold's cat map,Arnold'un kedi planı/haritası
Horseshoe map
Baker's map is an example of a chaotic piecewise linear map
Billiards and outer billiards
Hénon map
Lorenz system
Circle map
Rössler map
Kaplan-Yorke map
List of chaotic maps,kaos haritaları listesi
Swinging Atwood's machine,Salınan makara düzeneği
Quadratic map simulation system
Bouncing ball dynamics
Lineer dinamik sistemler

Lineer dinamik sistemler basit fonksiyonlar ya da sınıflandırılmış yörüngeler kullanılarak rahatlıkla ifade edilebilen dinamik sistemler sınıfıdır. N boyutlu Öklid uzayındaki uzay katmanları (nın herhangi biri) N tane vektör ile gösterilebilir. Lineer sistemler üstünde çalışmak mümkündür çünkü, çakışma prensibine uyarlar; eğer u(t) ve w(t) vektör alanı için olan diferansiyel denklemi sağlarlarsa (ilk konumu sağlamaları şart değildir) bunların toplamı da sağlar u(t)+w(t).
Lineer dinamik sistemler > Akışlar

Bir akış için(sıvının akışı) Φ(x)  vektör alanı, uzay katmanındaki bir konum için, afin fonksiyonudur,
bu denklemde A matris, b sayıların oluşturduğu vektör, x ise konum vektörüne karşılık gelir.Bu sistem çakışma prensibi(lineerlik) kullanılarak çözülebilir.
b ≠ 0 with A = 0 olması durumunda bu denklem b yönündeki bir doğru denklemidir.
b  sıfır ve A≠0 iken, orijin akıştaki bir denge noktasıdır ve eğer x0= 0 ise yörünge sabit kalır.Bundan farklı ilk konumlar için bu hareket denklemi; matrisin, x0 ilk konumu için, üslü fonksiyonu kullanılarak oluşturulabilir.
b = 0 iken, Anın eigen değerleri uzay katmanının yapısını belirler. Anın eigen değerleri ve eigen vektörleri kullanılarak ilk konumun denge noktasına doğru yaklaşacağı ya da uzaklaşacağını hesaplamak mümkündür.
A ≠ 0 olduğu durumlarda iki farklı ilk konum arasındaki mesafe üssel olarak değişir, ya üssel olarak yaklaşır ya da üssel olarak uzaklaşırlar. Lineer sistemler, yaklaşma durumlarında, ilk konumlara oldukça hassas bir şekilde bağlıdırlar (ufak değişiklikler bile sonuçları değiştirir). Lineer olmayan sistemlerde bu (gerekli ancak yine de yeterli gelmeyen) kaotik teori için de gerekli şartlardandır.
Lineer dinamik sistemler > Haritalar

Kesintili-zaman, afin dinamik sistemleri matris diferansiyel denklemi ile gösterilir (ayrıntılı bilgi için bkz;matrix difference equation):
A bir matrisi,b ise bir vektörü gösteriyor.Devamlı olan durumlarda, koordinatların dğişimi x → x + (1 − A) –1b denklemdeki b yi ortadan kaldırır.Yeni koordinat sisteminde, orijin haritada belli bir noktadadır ve lineer sistemin çözümleri;A nx0 ile gösterilir.
haritanın çözümleri artık eğrilerle değil, uzay katmanlarından atlayan noktalarla gösterilir.Yörüngeler(haritanın üstündeki noktalar toplamının oluşturduğu),eğriler veya lifler şeklinde düzenlenir.
Devamlı olan durumlarda(devamlı fonksiyon gibi)olduğu gibi, Anın eigen değerleri ve vektörleri uzay katmanının yapısını belirler.Örneğin, u1 Anın eigen vektörü olsun, birden küçük eigen değeri için,α u1 noktalarından geçen doğrular(α ∈ R) haritadaki sabit eğrilerdir.Bu doğrudaki noktalar sabit değerlerdir.
Kesintili dinamik sistemlere daha çok örnek için bkz(List of chaotic maps,).
Yerel dinamikler

Dinamik sistemlerin niteliksel özellikleri koordinatlarda lineer değişimler olsa bile değişmez(bu açıklama bazen nitelik kavramının tanımı olarak görülür):vektör alanındaki yalnız bir nokta(v(x) = 0 olduğu nokta)lineer değişimler sonucu yine tek bir nokta olarak kalacaktır;periyodik yörünge, uzay katmanındaki bir döngü/düğümdür ve bu uzay katmanındaki lineer dönüşümler sonucu yine aynı döngü olarak kalacaktır.Dinamik sistemlerde uzay katmanındaki tek noktalar ve döngüsel yörüngelerin yakınları yeterince iyi anlaşılabilmektedir.Dinamik sistemler üstündeki kapsamlı çalışmalar gösteriyor ki;koordinatlardaki değişimi(değişimler spesifik olarak bilinmese de hesaplanabilir olduğu zaman) kullanarak dinamik sistemlerin analizleri çok daha kolay oluyor.
Yerel dinamikler > Düzenleme,idealleştirme

Uzay katmanının küçük parçacıklarının akışı çok basit formlara indirgenebilir.Eğer y v(y) ≠ 0 denkliğini sağlayan bir noktaysa, o halde ynin çevresindeki vektör alanının birbirine paralel ve aynı büyüklükte geçen vektörler olmasını sağlayacak bir koordinat değişikliği yapılabilir (bu değişiklik vardır).Bu düzenleme teoremi olarak bilinir.
Düzenleme teoremi der ki;tek noktalardan uzaktaki bir paketin içindeki noktanın dinamikleri bir doğruyu meydana getirir.Bu paket bazen başka paketlerle birleşerek büyüyebilir ve bu çözüldüğünde, tüm uzay katmanı M için uzay integrallenebilirdir.Çoğu durumda bu paket tüm uzay katmanını dolduramaz.Vektör alanında tek noktalar olabilir (v(x) = 0 olduğunda)veya paketler bir noktaya yaklaşırken git gide küçülebilir.Bu genelin doldurulamayışı için daha sağlam bir neden, yörüngelerin paketten çıktıktan sonra(belki diğer paketlere uğradıktan sonra) yine aynı yerine dönmesi olabilir.Eğer yörünge bir döngüye girerse, bu vektör alanını düzenlemek tüm paketler için düzenlemek imkânsız olur.
Yerel dinamikler > periyodik yörüngelerin komşulukları

Genel olarak, periyodik bir yörüngenin çevresi için düzenleme teoremi kullanılamaz.Poincaré periyodik yörüngenin yakınlarının üstünde hesaplama yapılabilmesi için bir dönüşüm formülü geliştirdi .γ yörüngesinde bir   x0 noktası seçin ve uzay katmanındaki o noktaya yakın noktaların v ye dik olduğunu görün(x0 iken). Bu noktalara,S(γ, x0) Pontcare kesiti(ayrıntılı bilgi için bkz,Poincaré section) denir.Şimdi akış bir haritayı gösteriyor,Poincaré haritasını F : S → S,Sden başlayıp Se dönen noktalar için.Her noktanın dönmesi için farklı farklı zamanlar geçecektir ancak geçen zamanlar ilk konumdan başlayana yakın olacaktır (x0).
Periyodik yörünge ile Poincare kesitinin kesiştiği nokta Poincare haritasında belirli bir noktaya karşılık gelir (F).Doğrusal yer değiştirme sonucu bu noktanın x = 0 a denk geleceği var sayılabilir.Haritanın Taylor serileri ile gösterilişi;F(x) = J • x + O(x2), yani koordinatlardaki bir değişikliğin,h,sadece Fnin lineer kısmının basitleşmesine neden olacağı tahmin edilebilir;
Bu birleşim denklemi olarak bilinir.Bu denklemin geçerli olduğu koşulların bulunması, dinamik sistemler üstündeki araştırmalarda en önemli önceliklerden biri olmuştur.Poincaré ilk olarak tüm fonksiyonların analiz edilebilir olduğunu varsayarak yaklaşmış ve rezonans olmama koşulunu keşfetmiştir.Eğerλ1, ..., λν sayıları J nin eigen değerleriyse ve eigen değerlerinden biri lineer olarak(iki veya daha fazlasının)kombine edilmiş haliyse bu sayılar birbirinin rezonansı olmalıdır.λi – ∑ terimleri (diğer eigen değerlerinin katları)h fonksiyonunda payda da  yer alırsa, rezonans olmama koşulu aynı zamanda küçük bölen problemi olarak da bilinir.
Yerel dinamikler > Birleşim/girişim Sonuçları

Birleşim denkleminin sonuçları olabilmesi,Jnin eigen değerlerine ve hnin derecesinin bir olmasına bağlıdır (lineer olması için).Jnin herhangi özel bir simetriye sahip olmasına gerek olmadığından,Jnin eigen değerleri karmaşık sayılar olabilir.jnin eigen değerleri birim çember üzerinde olmadığında,F üstündeki sabit x0 noktaları sabit hiperbolik noktalar olarak adlandırılır ve eigen değerleri çember üzerinde olmasının yanı sıra karmaşık sayılar olurlarsa eliptik  olarak adlandırılır.
Hiperbolik olduğu durumda, Hartman–Grobman teoremi lineer haritadaki sabit J • x noktasının komşuluğunun devamlı olduğu fonksiyonu verecek olan şartları ortaya koyar.Hiperbolik durum aynı zamanda yapısal kararlılığa da sahiptir.Vektör alanındaki küçük değişiklikler Poincare haritasında sadece küçük değişiklikler yaratacak ve bu küçük değişiklikler Jnin eigen değerlerinde ufak değişiklikleri meydana getirecek(karmaşık sayılar düzleminde) ki bu yeni eigen değerlerinin görünümü yine hiperbolik bir şekle sahip olacak.
Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) teoremi eliptik noktanın komşuluğunun davranışını açıklar.
Bifurkasyon(çatallanma) teorisi

Ana madde: Bifurkasyon
Gelişim haritası(ya da ondan türetilen vektör alanı) Φt μ gibi bir parametreye bağlı olduğu zaman uzay katmanının yapısı da bu parametreye bağlı olur.Belli bir μ0 değerine ulaşmadan, bu parametredeki değişimler uzay katmanında bir değişiklik yaratmazlar.O nokta aşıldıktan sonra uzay katmanı ölçülebilir bir şekilde değişir (değişim gözlemlenecek bir şekilde) ve dinamik sistemde bir çatallanma meydana gelir.
Bifurkasyon teorisi, uzay katmanının yapısı(özellikle sabit noktalar(bakzfized point,periyodik yörüngeler ya da sabit yumrular(bkztorus için)ve μ parametresi için davranışını/değişimini inceler.Çatallanma noktasında, yapı kararlılığını değiştirebilir, yeni yapılar oluşturmak üzere bölünebilir ya da diğer yapılarla birleşebilir.Taylor serileriyle yaklaşımları kullanarak ve koordinat değişikliği nedeniyle eksik kalan(yok olan) parametreleri anlayarak dinamik sistemlerdeki çatallanmaları sınıflandırmak mümkün olabilir.
Fμ ailesine ait bir hiperboliğin x0 noktasındaki çatallanmaları DFμ(x0) ile sistemin çatallanma noktasındaki ilk türevi alınarak hesaplanabilir.Haritada,DFμnin eigen değerlerinin bir çember üstünde olması orada çatallanma olacağını gösterir.Bir akışta eigen değerleri sanal eksen üstünde olduğunda çatallanma olur.Daha fazla bilgi için bkz Bifurkasyon teorisi
Bazı çatallanmalar uzay katmanında oldukça karışık yapıların meydana çıkmasına sebep olurlar.Öreğin;Ruelle–Takens senaryosu periyodik bir çatallanmanın bit yumruya, yumrunun da oldukça karmaşık bir çekiciye dönmesini anlatır (ayrıntılı bilgi için bkzstrange attractor,Ruelle–Takens scenario).Başka bir örnekle,Feigenbaum'un periyod çiftleşmesi sabit bir periyodik yörüngenin çifter periyodik çatallanmalara ayrıldıını anlatır (ayrıntılı bilgi çin bkz,period-doubling bifurcation).
Ergodik sistemler > Lineer olamayan dinamik sistemler ve kaos

Ana madde: kaos teorisi
Basit lineer olmayan denklemler ve hatta parçalı lineer sistemler bazen öngörülmemiş davranışlar sergileyebilir, rastgele davranır gibi, temelde tanımlı fonksiyonlar olsalar bile.Bu rast gele gibi görünen davranış kaos olarak adlandırılır.Anosov kaotik sistemler olarak adlandırılan bu sistemlere benzer davranışlar sergileyen dinamik sistemler tanımlamıştır (yüksek kesinliklerle, ayrıntılı bilgi için bkz,Hyperbolic systems).Hiperbolik sistemlerde eğim uzaylarının esas yörüngeye dik olduğu sistemler iki kısma ayrılabilir;yörüngeye yakınsak noktalar içerenler(kararlı çokkatlılar) ve yörüngeye ıraksak noktalar içeren(karasız çokkatlılar)ler.
Matematiğin bu dalı dinamik sistemlerin uzun dönem davranışlarını araştırır.Yani sadece spesifik bir kısmına odaklanmak o dinamik sistem için genel çözümler üretmemize yardımcı olmaz(bu yüzden bu dal böyle soruları sormak yerine) ancak sistem uzun bir dönem sonra kararlılık kazanacaksa bu dinginlik konumları hangi zamana denk gelir ya da uzun dönem davranışı sergileyen bu sistem kendisinin ilk şartlarından bağımsız mı hareket eder(gibi sorularla uğraşır)?
Karmaşık sistemlerin kaotik davranışından bahsetmediğimize dikkat edin.Meteoroloji karmaşık sistemler hatta kaotik davranışlar sergileyen sistemler üstüne uzun zamanlar boyunca çalışma yapmıştır.Koss teorisi hep şaşırtıcı olmuştur çünkü dikkat edilmeyen önemsiz sistemlerin dahi kaos içerdiği görülmüştür.Lojistik harita tek ikinci derece polinom dinamik sistemdir, atnalı haritası parçalı lineer sistem bir örnektir (ayrıntılı bilgi için bkz,horseshoe map,logistic map).
Ergodik sistemler > Geometrik tanım

Dinamik sistem bir değişkenler grubudur  \langle {\mathcal {M}},f,{\mathcal {T}}\rangle ,  {\mathcal {M}} birçok katlıyı gösterir (Banach  veya Öklid uzayındaki),  {\mathcal {T}} ise zamanın tanım kümesidir (pozitif gerçek sayılar tam sayılar vb ile gösterilebilir) ve f ise t → f t ile veya  f t gösterilen gelişim kuralı( t\in {\mathcal {T}} iken)ve çokkatlının diferansiyelidir (ayrıntılı bilgi için bkz,diffeomorphism).Yani f zamana bağlı  {\mathcal {T}}nin kendi katlarına bağlı değişiminin haritasıdır.Başka bir deyişle,f(t) bir diferansiyellenebilir morfizmadır ( {\mathcal {T}} nin tanımlı olduğu her zaman,tdeğeri çin).
Ergodik sistemler > Teorik tanımın hesaplanması

Dinamik sistem formüllerle tanımlanabilir; sigma-cebirinde denkliğin korunduğu dönüşümler buna bir örnek olabilir (X, Σ, μ, τ dörtlüsü kullanılarak). Diyelim ki, X bir matematiksel küme ve Σ ise sigma-cebiri X ile olan, (ayrıntılı bilgi için bkz,sigma-algebra) sonuç olarak (X, Σ) ikilisi ölçülebilir bir uzay katanıdır. μ de  sigma-cebiri ile ilişkilendirilmiş sonlu bir hesaplanma olsun ve (X, Σ, μ) üçlüsü olasılıksal uzayı oluşturur(ayrıntılı bilgi için bkz, probability space). Bir haritaın τ: X → X adlı ölçülebilir bir fonksiyonu sadece  σ ∈ Σ nun  \tau ^{-1}\sigma \in \Sigma  olduğu koşullarda vardırve bir haritanın korunur denkliği/hesabı her σ ∈ Σ için sadece  \mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma ) olduğunda vardır.Yukarıdakileri kombine edersek korunur denkliği/hesabı olan bir harita için(Xin yine X e döndüğü) Σ ile hesaplanabilir ve bu hesap korunurdur((X, Σ, μ, τ) dörtlüsü,τ için ifade edilirse dinamik sistem olarak gösterilebilir).
τ haritası somut bir zamana bağlı gelişimsel dinamik sistemdir.Bundan dolayı, kesintili dinamik sistemler için bu fonksiyon tekrarlanır  \tau ^{n}=\tau \circ \tau \circ \cdots \circ \tau (nlerşn tam sayı olduğu değerler için).Devamlı dinamik sistemler için bu τ haritası sonlu zamanla geişen bir gelişim fonksiyonu olarak düşünülebilir ve daha karmaşık sistemler kurulabilir.
Dinamik sistem örnekleri

Arnold's cat map
Baker's map is an example of a chaotic piecewise linear map
Circle map
Double pendulum
Billiards and Outer billiards
Hénon map
Horseshoe map
Irrational rotation
List of chaotic maps
Logistic map
Lorenz system
Rossler map
Çok boyutlu  genelleme

Dinamik sistemler tek bir bağımsız değişken üstüne kuruludur(genelde bu değişken zamandır).Daha genel sistem sınıfları çoklu bağımsız değişkenler üstüne kuruludur ve bu yüzden  çok boyutlu sistemler olarak adlandırılırlar.Bu tip sistemler matematiksel modelleme için kullanışlıdır, örneğin, görüntü işleme.
Tülüköy, Refahiye

| Tülüköy |
| --- | --- |
Köy

 Erzincan'ın konumu
TülüköyTülüköy'ün Erzincan'daki konumu
Ülke:  Türkiye
İl: Erzincan
İlçe: Refahiye
Coğrafi bölge: Karadeniz Bölgesi
İdare
 • Yönetici: Muhtar İhtiyar heyeti
Rakım: 1590 m
Nüfus (2022)
 • Toplam: 15
Zaman dilimi: UTC+03.00 (TSİ)
İl alan kodu: 0446
İl plaka kodu: 24
Posta kodu: 24302
Tülüköy, Erzincan ilinin Refahiye ilçesine bağlı bir köydür.
Tarihçe

Köy, 1916'dan beri aynı adı taşımaktadır. Tülü Türkçede "tüylü" sözcüğü "deve" anlamına gelmektedir.
Köyle ilgili ilk yazılı bilgiler 1642 tarihli Avârız defterlerinde yer almaktadır.Bu tarihte Erzurum Eyaleti'nin Gercanis kazasının Dignasor nahiyesine bağlı "Tülü" adıyla bir köy olarak bahsedilen yerleşimde, avârıza konu 4 Müslüman hane yaşamaktaydı. 1896 tarihli kayıtlarda erkek nüfusun tespiti için yapılan sayımda; Merkez (Melikşerif) nahiyesine bağlı sadece Müslümanların yaşadığı Tülü köyünde, 11 hanede 34 erkek nüfus bulunmaktaydı.
Coğrafya

Köy, Erzincan il merkezine 97 km, Refahiye ilçe merkezine 28 km uzaklıktadır. Köy, Karadeniz Bölgesi sınırları içerisinde kalmaktadır.