Cebirsel topoloji
Örnekler > Homoloji grupları

Homoloji grupları  H_{k}(X) ile gösterilen gruplardır. Temel grubun aksine homoloji gruplarının inşaları zor, hesaplanabilirlikleri kolaydır. Her  X uzayına,  C(X) ile gösterilen bir zincir kompleksi denk gelir. Zincir kompleksi, tanım gereği, bir değişmeli grup dizisinden ibarettir.  C(X) in elemanları  C_{j}(X) ile gösterilir. Bu zincir kompleksinin ardıl koordinatları,  \scriptstyle \partial  ile gösterilen sınır morfizmazları ile bağlanmıştır. Başka bir ifadeyle,
ifadesi  C(X) i göstermektedir. Bu  \scriptstyle \partial  gönderimlerinin temel özelliği  \scriptstyle \partial \scriptstyle \partial =0 olmasıdır. Yani, sınır morfiması art arda iki kere uygulandığında 0 morfizmasını verir. Bu özelliğin bir sonucu olarak, bir morfizmanın imaj kümesi bir sonraki mozfizmanın 0 kümesinin, yani çekirdeğinin, içindedir. İmaj gruplarını  B_{k}(X) ve çekirdekleri  Z_{k}(X) ile gösterirsek,  H_{k}(X) grubu   Z_{k}(X) in  B_{k}(X) e bölümü ile bulunur.
Yukarıda tanımlanan  H_{k}(X) grupları,  C(X)˙gruplarının fonksiyonları olduklarından,  C(X) değiştirildiğinde farklı  H_{k}(X) grupları elde edilir.  C(X) in inşasına göre,  H_{k}(X) lere değişik isimler verilir.  C(X) grubu,  X uzayının tekil fonksiyonları kullanılarak tanımlanmış ise, elde edilen homoloji teorisine tekil homoloji teori denir. Benzer şekilde basit homoloji, demet homolojisı gibi farklı homoloji teoreleri elde etmek mümkündür. Bu teorilerin birçoğu  CW kategorisinde aynı sonucu verir. Bazı özel homoloji teorileri, mesela Borel-Moore homoloji teorisi, lokal tıkız uzaylar için dizayn edilmiştir.
Genel olarak, topolojik kategori üzerindeki homoloji teorisi, o topolojik kategori ile değişmeli bir kategori arasında bir izleç tir.  T ile objeleri  (X,A) olan ve okları sürekli gönderimler olan topolojik kategoriyi gösterelim.  H izleci her  (X,A) ikilisine bir basamaklı değişmeli grup  (H_{k}(X,A)) ve her sürekli gönderim  f:(X,A) \rightarrow   (Y,B) ye de bir morfizma  f_{*}:H_{k}(X,A) \rightarrow   H_{k}(Y,B) atar. Ayrıca,  H_{k}(X,A) ile  H_{k}(A) arasında  \scriptstyle \partial _{*}:H_{k}(X,A) \rightarrow   H_{k-1}(A) doğal geçiş izleçleri vardır.  H nin bir homoloji teorisi olması için, aşağıda listelenen beş koşulun sağlanması gerekir. Bu koşul listesine Eilenberg-Steenrod-Milnor koşulları denir.
(1) Homotopy Koşulu:  f,g:(X,A) \rightarrow   (Y,B) haritaları homotopik iseler, bunlara denk gelen morfizmalar aynı olmalıdırlar.
(2) Tamlık Koşulu:  \iota \colon A \rightarrow   X ve  j\colon X \rightarrow   (X,A), doğal alt uzaylık haritaları ise,
tamdır.
(3) Kesme Koşulu:  U\subset X açık kümesinin kapanışı  A nın içinde ise, dahil olma haritası  k\colon (X-U,A-U)\rightarrow (X,A) ya denk gelen  k_{*}\colon H_{*}(X-U,A-U)\rightarrow H_{*}(X,A) morfizma birerbir ve örten olmalıdır.
(4) Boyut Koşulu: Sadece bir noktası olan uzayın bütün homoloji grupları 0 olmalıdır.
(5) Toplamsal Koşul: Uzayların topolojik toplamlarının homolojisi, homolojilerinin dik toplamı olmalıdır.
Bazı homoloji teorileri yukarıda verilen bütün koşulları sağlamayabilir. Tekil homoloji bu koşulların hepsini sağlar ve homoloji gruplarının hesaplanabilirliği Kesme Koşulunun bir sonucudur. Tekil homolojinin, kesme koşulunu sağladığı gösterilirken altbölüm tekniği kullanılır.