X ışını kristalografisi
Fourier dönüşümü olarak Saçılım

Gelen X-ışınının
kutuplaşması vardır ve bir vektör dalga olarak temsil edilir ancak basitlik
açısından burada o ölçeksel bir dalga olarak temsil edilmektedir. Biz aynı
zamanda dalganın zaman bağımlılığı komplikasyonunu yok sayıp sadece dalganın
mekânsal bağımlılığına odaklanıyoruz. Düzlem dalgalar bir dalga vektör grubu
ile temsil edilir ve dolayısıyla t=0 zamanında gelen dalganın gücü aşağıdaki
formül ile bulunur.
Örnekteki r konumunda
dağılma yoğunluğu f(r) olsun, bu
dağıtıcıların gelen dalga sayısı çarpı r'nin çevresindeki küçük hacimli (dV)
dağıtıcıların lokal sayısının genliği ile orantılı saçıntılı küresel dalga
genliği üretmeleri gerekir.
saçılan dalganın genliği: =A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }Sf(\mathbf {r} )\mathrm {d} V
Burada S orantı sabittir.
Saçılan dalgaların kout
giden dalga vektörü ile ayrılan ve ekrana rscreen ile çarpan kısmını
ele alalım. Hiçbir enerjinin (esnek saçılma) kaybolmaması nedeniyle, dalga
boyları dalga vektörlerin büyüklükleriyle aynıdır |kin| = |kout|.
Foton r'den saçıldığı andan itibaren rscreen'de emilene kadar geçen
süre içerisinde bir faz değişikliğine uğrar.
rscreen'e
gelen net radyasyon kristal içinde dağılan tüm dalgaların toplamıdır.
Ki bu da Fourier
dönüşümü olarak yazılabilir.
Burada
q=kout-kin. Yansımanın ölçülen yoğunluğu bu genliğin
karesi olacaktır.
Friedel ve Bijvoet Arkadaşlar
Karşılıklı uzaydaki bir q noktasına denk gelen her yansıma için karşıt
nokta 
-q'da aynı yoğunlukta başka bir yansıma vardır. Bu ters yansıma gerçek yansımanın
Friedel arkadaşı olarak bilinir. Bu simetri r pozisyonundaki elektronların f(r)
yoğunluğunun her zaman bir gerçek sayı olduğu matematiksel gerçeğinden
kaynaklanmaktadır. Yukarıda belirtildiği gibi f(r) Fourier dönüşümü F(q)'nun
ters dönüşümüdür, ancak böyle bir ters dönüşüm genellikle karmaşık bir sayıdır.
F(r)'nin gerçek olduğundan emin olmak için, Fourier F(q) Friedel arkadaşları
F(-q) ve F(q) birbirinin kompleks eşlenikleri şekilde olmalıdır. Bu nedenle, F(-q) F(q) ile aynı büyüklüğe
sahiptir fakat ters fazlardır, bunlar örneğin; φ (q) =-φ (q).
Onların büyüklüklerinin
eşitliği Friedel arkadaşlarının aynı yoğunlukta var olmasını sağlar |F|2.
Bu simetri bizim ful Fourier dönüşümünün karşılıklı uzayın sadece yarısını
hesaplamamıza yardımcı olur, örneğin; kristali tam tur 360°'den ise 180°'den biraz daha fazla çevirerek.
Önemli ölçüde simetrisi olan kristallerde daha da fazla yansımalar aynı
yoğunluğa (Bijvoet arkadaşlar) sahip olabilirler, bu gibi durumlarda daha da az
olan karşılıklı uzaylarının ölçülmesi gerekebilir. Yüksek simetrinin elverişli
durumlarında bazen sadece 90° ve hatta bazen sadece 45°'lik veri karşılıklı uzayı
tamamen keşfetmek için gereklidir.
Friedel-arkadaşlar
kısıtlama ters Fourier dönüşümü tanımından elde edilebilir.
Euler'in formülü eix =
cos(x) + i sin(x) olduğundan ters Fourier dönüşümü tamamen gerçek
bölüm ve tamamen hayali bölümün toplamı olucak şekilde ikiye ayrılabilir.
f(r) işlevi (fonksiyonu) sadece ve sadece ikinci
tümlev (integral) Isin r'nin tüm değerleri için 0 ise gerçektir. Buna
karşılık, bu sadece ve sadece yukarıdaki kısıtlama sağlandığında doğrudur.
Isin
= −Isin ifadesi Isin=0 manasına geldiği
için.