Joule genişlemesi
Entropi (Dağıntı) Üretimi

Bu süreçte entropi üretimini ölçmek de zordur çünkü musluk açıldıktan sonra genişlemenin izlediği yol ve denge durumuna ulaşıncaya kadar geçen zaman ısısal denge durumundan çok uzak durumlar içerir. Fakat entropi bir hal (durum) işlevidir. Böylelikle entropi değişimi ilk ve son denge hallerindeki bilgiyle doğrudan hesaplanabilir. Tek atomlu ideal bir gaz için entropi; iç enerji U, hacim V ve atomların sayısı n'in bir işlevidir. Sactur-Tetrode eşitliğine göre;
Bu ifadedeki m parçacık kütlesi ve h Planck sabitidir. İdeal gaz için  U = (3/2)nRT = nCVT' dir. CV sabit hacimdeki molar ısı sığasıdır. Klasik termodinamiğe göre ideal gazın entropisi aşağıda verildiği gibidir;
buradaki  S0,T0. sıcaklığında ve V0 hacminde rastgele seçilmiş bir entropi değeridir. Görüldüğü gibi sabit U veya T değerinde hacmi iki katına çıkarmak entropiyi  ΔS = nR ln(2) kadar artırır. Bu sonuç gaz tek atomlu olmasa bile geçerlidir. Entropinin hacme bağımlılığı tüm ideal gazlar için aynıdır.
Entropi değişimi ilk (önceki) halden son hale alınacak başka bir yolla da ispatlanabilir. Böyle bir yol sadece değişimlerin sonsuz ölçüde yavaş sınırlandırılmasıyla gerçekleşebilir. Bu gibi yollar hemen hemen duruk yollar veya duruğumsu yollar olarak da adlandırılır. Bazı kitaplarda duruğumsu yolun geri döndürülebilir olması gerektiği talep edilebilir. Burada bunu gerekli bir durum olarak eklemeyeceğiz. Tam bağıntı değişimi, ilk hal ile son hal arasındaki duruğumsu yolun özel seçiminden bağımsızdır çünkü durum işlevidir.
Hacmi iki katına çıkan gazın serbest genişleme yapmadığını, bunun yerine izin verilen çok küçük bir miktarda δV hacim kadar genişlediğini varsayılır. Isısal dengeye ulaşıldıktan sonra gazın tekrar δV  miktarında serbest genişleme yapmasına izin verilir ve ısısal dengeye ulaşılması tekrar beklenir. Bunu gazın hacmi iki katına çıkıncaya (iki kabın toplam hacmine) kadar tekrar edelir. δV 'nin sınırlandırılması sıfıra yaklaştıkça en iyi duruğumsu fakat tersinemeyen bir süreç elde edilmiş olur. Şimdi, esas termodinamik ilişkisine göre;
Bu eşitlik termodinamikteki hal ve hal değişkenlerinin değişimlerini ilişkilendirdiğinden tersinebilir veya tersinemezliğine bağlı olmaksızın herhangi bir duruğumsu değişim için geçerlidir. Yukarıda tanımlanan yol için dU=0 eşitliğine sahibiz ve böylece Tds=PdV'dir. Ve sonunda Joule'ün genişlemesindeki entropi artışı aşağıdaki eşitlikteki gibidir;
Seçilebilecek bir başka yolda sistemi tersinebilir ısı geçirmeyen genişleme altına sokmaktır. Burada hacim iki katına çıkar. Daha sonra sistem iş yapar hale gelir ve gazın ısısı düşer. Böylece Joule genişlemesi olayında olduğu gibi sergilenen işi eşitlemek ve aynı final durumunda sonlanması için sisteme ısı sağlamak zorundayız. Ters çevrilebilir ısı geçirmez genişleme boyunca dS=0'dır. Entropinin klasik açıklamasından, sabit entropide hacmi iki katına çıkardıktan sonra, sonraki ısı tüketilebilir.
Gazı ilk ısıs Ti ye kadar ısıtmak entropiyi şu şekilde artırır;
Gazın bastırılarak sol kısma koyulmasında Joule genişlemesi gözlemlendiğinde yapılan işin ne olduğunu sorulabilir. En iyi yöntem ters çevrilebilir eşsıcaklık baskılamadır;
Joule genişlemesi boyunca çevre değişmez yani çevre entropisi sabittir. Evrenin entropi değişimi gazın entropi değişmi nRln2'ye eşittir.