Trigonometrik yerine koyma
Durum I: a2 − x2 içeren integraller > Durum I için örnekler > Örnek 2

\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx,
integrali, 


x
=
a
sin
⁡
θ
,

d
x
=
a
cos
⁡
θ

d
θ
,

θ
=
arcsin
⁡



x
a



,

x=a\sin \theta ,\,dx=a\cos \theta \,d\theta ,\,\theta =\arcsin {\dfrac {x}{a}},

 burada  a>0 olarak alınarak hesaplanabilir, böylece 





a

2




=
a

{\sqrt {a^{2}}}=a

 ve 


−
π

/

2
≤
θ
≤
π

/

2

-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2

 arksin değer kümesine göre  \cos \theta \geq 0 ve 






cos

2


⁡
θ


=
cos
⁡
θ


{\textstyle {\sqrt {\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta }

'dır.
Böylece,
 {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(\cos ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.\end{aligned}}
Belirli bir integral için, yerine koyma işlemi gerçekleştirildikten sonra sınırlar değişir ve 


θ
=
arcsin
⁡



x
a




\theta =\arcsin {\dfrac {x}{a}}

 denklemi kullanılarak 


−
π

/

2
≤
θ
≤
π

/

2

-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2

  aralığındaki değerlerle belirlenir. Alternatif olarak, sınır terimlerini doğrudan ters türev formülüne uygulayın.
Örneğin,
\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx,
belirli integrali,  x=2\sin \theta ,\,dx=2\cos \theta \,d\theta , yerine 


θ
=
arcsin
⁡



x
2




\theta =\arcsin {\dfrac {x}{2}}

 kullanılarak belirlenen sınırlarla hesaplanabilir.
\arcsin(1/{2})=\pi /6 ve  \arcsin(-1/2)=-\pi /6 olduğundan,
{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}=[2\theta +\sin 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi /6}^{\pi /6}\\[6pt]&=\left({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-\left(-{\frac {\pi }{3}}+\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}.\end{aligned}}
Öte yandan, sınır terimlerinin daha önce elde edilen ters türev formülüne doğrudan uygulanması, daha önce olduğu gibi aşağıdaki sonucu verir:
{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[{\frac {2^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\right]_{-1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\arcsin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)-\left(2\arcsin \left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {-1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)\\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \left(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}