Dışbükey fonksiyon
Güçlü dışbükey fonksiyonlar

Kesin dışbükeylik kavramını bir paramatre aracılığıyla genelleştiren güçlü dışbükeylik kavramı da mevcuttur. Sezgisel olarak, güçlü dışbükey bir fonksiyon, en az ikinci dereceden bir fonksiyon kadar hızlı büyüyen bir fonksiyondur. Güçlü dışbükey bir fonksiyon kesin dışbükeydir; ancak, bu ifâdenin tersi her zaman doğru değildir. Tek gerçel değişkene bağlı ve tanım kümesi reel sayı doğrusu olan bir  f fonksiyonu iki kez sürekli türevlenebilirse dışbükeyliği şu şekilde karakterize edebilir:
f nin dışbükeyliği ancak ve ancak her  x için  f''(x)\geq 0 ise mümkündür.
Her  x için   f''(x)>0 ise  f kesin dışbükeydir; ancak, bu yeterli bir koşuldur ve gerekli değildir.
fnin güçlü dışbükeyliği ancak ve ancak her  x için  f''(x)\geq m>0 sağlayan pozitif gerçel bir  m sayısı ile mümkündür.
Örneğin,   f  kesin dışbükey olsun ve diyelim ki  f''(x_{n})={\tfrac {1}{n}} özelliğinin sağlandığı bir  (x_{n}) noktalar dizisi olsun. f''(x_{n})>0 olmasına rağmen fonksiyon yine de güçlü dışbükey değildir çünkü  f''(x) keyfi olarak küçük olup sıfıra yaklaşacaktır.
Daha genel olarak, türevlenebilir bir  f fonksiyonunun bir  m>0 parametresi aracılığıyla güçlü dışbükeyliği şu şekilde tanımlanabilir. Fonksiyonun tanım kümesindeki her  x,y sayısı için
 (\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y)\geq m\|x-y\|_{2}^{2}
sağlanıyorsa fonksiyona güçlü dışbükey denilir.
Daha genel bir ifâdeyle,  \langle \cdot ,\cdot \rangle  herhangi bir iç çarpımı temsil etsin ve  \|\cdot \| ise bu iç çarpım tarafından doğurulan bir norm olsun.  f fonksiyonunun tanım kümesindeki her  x,y sayısı için
 \langle \nabla f(x)-\nabla f(y),x-y\rangle \geq m\|x-y\|^{2}
sağlanıyorsa fonksiyona güçlü dışbükey denilir. Bazı yazarlar, örneğin , bu eşitsizliği sağlayan fonksiyonlara eliptik fonksiyonlar olarak da adlandırırlar.
Yukarıda verilen şartlara eşdeğer bir şart da şöyle tanımlanabilir:
 f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {m}{2}}\|y-x\|_{2}^{2}.
Bir fonksiyonun güçlü dışbükey olması için türevlenebilir olması gerekli değildir. Bir fonksiyonun  m parametreli güçlü dışbükeyliliği için üçüncü bir tanım şöyle verilebilir: tanım kümesindeki her  x,y ve her  t\in [0,1] için
 f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-{\frac {1}{2}}mt(1-t)\|x-y\|_{2}^{2}
sağlanıyorsa fonksiyon  m parametreli güçlü dışbükeydir. Gerçekten de,   m\to 0 iken tanım güçlü dışbükeylilik tanımına yaklaşmaktadır ve  m=0 olduğuğunda da dışbükeylik tanımına özdeştir. Yine de, herhangi bir  m>0 sayısı için kesin dışbükey olup da güçlü dışbükey olmayan fonksiyonlar da vardır.
Bir  f fonksiyonu iki kez türevlenebilirse, o zaman bir  m parametresine bağlı güçlü dışbükeyliliği ancak ve ancak tanım kümesindeki her  x için  \nabla ^{2}f(x)\succeq mI ise mümkündür. Burada,  I birim matristir,  \nabla ^{2}f ise Hesse matrisidir;  \succeq  ile kastedilen ise  \nabla ^{2}f(x)-mI matrisinin kesin pozitif matris olmasıdır ki bu da her  x için  \nabla ^{2}f(x) matrisinin en küçük özdeğerinin en az   m olması demektir. Eğer tanım kümesi gerçel sayı doğrusu ise   \nabla ^{2}f(x) ifadesi ikinci türeve  denk gelir. Böylece, güçlü dışbükeylilik için gerekli ve yeterli şart  f''(x)\geq m  olmasıdır.  m=0 olursa, o zaman bu durumda Hesse matrisi yarı-kesin pozitif matris olur (ya da tanım kümesi gerçel doğru ise  f''(x)\geq 0 olur) ki bu durumda da fonksiyon dışbükey olur. Aynı durumda, fonksiyon kesin dışbükey olabilir ama güçlü dışbükey değildir.
Fonksiyonun iki kez sürekli olarak türevlenebilir olduğunu varsayarak  \nabla ^{2}f(x) ifadesinin alt sınırının güçlü dışbükeyliliği verdiğini şu şekilde gösterilebiliriz: Taylor teoremi kullanarak
 f(y)=f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {1}{2}}(y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)
eşitliğini sağlayan bir  z\in \{tx+(1-t)y:t\in [0,1]\} bulunabilir. Özdeğer varsayımından hareketle 
 (y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)\geq m(y-x)^{T}(y-x)
elde edilir. Yukarıdaki eşitlik kullanılarak yukarıdaki ikinci güçlü dışbükeylik koşulunun sağlandığı gösterilmiş olur.
Yine, bir  f fonksiyonunun  m parametresine bağlı güçlü dışbükeyliliği
 x\mapsto f(x)-{\frac {m}{2}}\|x\|^{2}
gönderiminin dışbükeyliliği aracılığıyla da tanımlanabilir.
Tanım kümesi tıkız bir   X olan ve iki kez sürekli türevlenebilen bir  f fonksiyonu için   f''(x)>0 ifadesi her  x\in X için sağlanıyorsa, o zaman  f fonksiyonu güçlü dışbükeydir. Bu sonucun ispâtı tıkız bir küme üzerinde sürekli bir fonksiyonun bir maksimum ve bir minimuma sahip olduğunu belirten uç değer teoremi kullanılarak verilebilir.
Güçlü dışbükey fonksiyonlar sınıfı daha küçük olduğu için bu tür fonksiyonlarla çalışılması dışbükey veya kesin dışbükey fonksiyonlara göre genellikle daha kolaydır. Kesin dışbükey fonksiyonlar gibi, güçlü dışbükey fonksiyonların da tıkız kümelerde biricik minimumu vardır.