Poisson dağılımı
Nadir olaylar için Poisson dağılımı

Poisson dağılımının genel odaklandığı rassal değişken bir sayılabilen olaydır; bu olay belli bir sabit uzunlukta olan (genellikle zaman) aralıkta ayrık olarak ortaya çıkar ve bu aralıkta gözlenen olayların sayısı Poisson dağılım için rassal değişkendir. Bu sabit aralıkta ortaya çıkan olaylar sayısının beklenen değeri (ortaya çıkmanın ortalama sayısı) λ olarak sabittir ve bu ortalama değer aralık uzunluğuna orantılıdır. Eğer her 4 dakikalık zaman aralığı içinde ortalama 5 olay meydana geliyorsa, sabit 8 dakikalık aralıkta ortalama 10 (=8x5/4) olay ortaya çıkar. Herhangi bir negatif olmayan bir tam sayı olan k sayıda (k = 0, 1, 2, 3...) olay ortaya çıkma olasılığı şöyle ifade edilir:
burada
e, doğal logaritmanın tabanı (e = 2.71828...);
k, olasılığı fonksiyon ile verilmekte olan olayın ortaya çıkma sayısı;
k!, k için faktöriyel
λ verilen sabit aralıkta ortaya çıkma sayısının beklenen değeri; bir pozitif gerçel sayı.
Bu k'nin fonksiyonu Poisson dağılım için  olasılık kütle fonksiyonu olur.
Poisson dağılımı için λ  parametresi yalnızca beklenen değer, yani ortaya çıkan  \scriptstyle \langle k\rangle  sayıda olay için bir ortalama, değildir. Aynı zamanda
yani varyans da olur. Böylece gözlenen olay meydan çıkış sayısı bir ortalama değer λ ile bir standart sapması  \scriptstyle \sigma _{k}\,=\,{\sqrt {\lambda }} olması niteliklerini taşıyan bir olasılık dağılımı, Poisson dağılımı, göstermektedir.
Genellikle bir Poisson dağılımı büyük sayıda olay ortaya çıkabilmesi mümkün olduğu, ama bu ortaya çıkması mümkün olayların nadir olduğu kabul edilen, sistemlerde uygulanabilir. Bilimsel alanlarda klasik örnekler atomların nükleer parçalanması; verilen bir DNA zincirinde ortaya çıkan mutasyon sayısı vb. Bu örneklerle ve diğer birçok örneğin için, ortaya çıkan nadir olay sayısı ayrık denemelerin sonucudur ve daha kesinlikle  bir binom dağılım kullanılarak model haline getirilebilirler. Fakat n ve λ/n parametreli bir binom dağılımı (yani her deneme için λ/n başarı olasılığı olan  n sayıda deneme için belirli bir başarı sayısı için olasılık dağılımı), deneme sayısı n büyüyüp limitte sonsuzluğa yaklaştıkça, beklenen değeri λ olan bir Poisson dağılıma yakınsallaşır. Bu limit bazen nadir olaylar kuralı olarak anılmaktadır. Bu ifade bir bakıma yanıltıcıdır; çünkü birçok Poisson dağılımı ile modellenebilen olaylar arasında birçoğu (örneğin bir otobüs durağına yarım saat aralığında gelen otobüs sayısı; bir mobil telefona bir saat aralığında gelen çağrı sayısı gibi) hiç de nadir olmayan olaylar bulunur. Ancak binom dağılımının büyük sayılar için hesaplanması faktöriyel sayılar kullanılması gerektirdiği için, bu uzun hesaplama biraz sıkıcı görülebilmekte ve bu nedenle Poisson dağılımı yaklaşık olarak binom dağılım yerine kullanılmaktadır.
Binom dağılımından limitte Poisson dağılım olasılık kütle fonksiyonunun çıkartılmasının matematiksel kanıtı şöyle yapılır:
Önce, değişkenler hesabı (calculus) içinde kullanılan limitin şöyle ifade edildiği hatırlanır:
p = λ/n eşitliği bu ifade içine konulursa, şu genel denkleme varılır:
Şimdi bu son ifade biraz daha açılır ve şu elde edilir:
Limitte, ilk parantez içindeki ifade 1 e yakınsama gösterir (yani n ∞'a yaklaştıkça, ilk parantezdeki ifade 1'e yakınsar) ve ikinci parantez içindeki ifade, ifade içinde n olmaması nedeniyle, sabit kalır; üçüncü parantez içindeki ifade e−λ değerine yakınsar ve son olarak da dördüncü parantezdeki ifade, 1 e yakınsar. Sonuçta, limitte şu ortaya çıkar:
Daha genel olarak, n ve pn parametreleri olan  binom rassal değişkenler için bir sıra Binom ifadesi
olursa, bu seri dağılımda ortalaması λ olan bir Poisson rassal değişkeni için serilere yakınlaşır.
Örnek:
|  {\displaystyle k} |  P(k{\text{ taşkın seli 100 yılda}}) |
| --- | --- |
0: 0.368
1: 0.368
2: 0.184
3: 0.061
4: 0.015
5: 0.003
6: 0.0005
Bir nehirde ortalama olarak her 100 yılda bir taşkın seli meydana gelir. Poisson modelinin uygun olduğunu varsayarak, 100 yıllık bir aralıkta k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 taşkın seli olma olasılığını hesaplayın.
Ortalama olay oranı 100 yılda bir taşma olduğundan, λ = 1
P(k{\text{ taşkın seli 100 yıl içinde}})={\frac {\lambda ^{k}e^{\lambda }}{k!}}={\frac {1^{k}e^{-1}}{k!}}
P(k={\text{0  taşkın seli 100 yıl içinde}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368
P(k={\text{1  taşkın seli 100 yıl içinde}})={\frac {1^{1}e^{-1}}{1!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368
P(k={\text{2  taşkın seli 100 yıl içinde}})={\frac {1^{2}e^{-1}}{2!}}={\frac {e^{-1}}{2}}\approx 0.184