Hipparkos
Geometri, trigonometri ve diğer matematiksel teknikler

Hipparkhos, Ay ve Güneş'in yörüngelerinin eksantrikliğini hesaplarken ihtiyaç duyduğu bir trigonometrik tabloya sahip olduğu bilinen ilk matematikçi olarak kabul edildi. Bir çemberdeki merkez açı için, açının çemberi kestiği noktalar arasındaki düz doğru parçasının uzunluğunu veren kiriş fonksiyonu için değerleri tablolaştırdı. Bunu, çevresi 21.600 birim ve yarıçapı (yuvarlanmış) 3438 birim olan bir çember için hesapladı; bu çemberin çevresi boyunca birim uzunluğu 1 yay dakikadır. 7,5°'lik artışlarla açılar için kirişleri tablo haline getirdi. Modern terimlerle, belirli bir yarıçapa sahip bir çember içinde bir merkezi açı tarafından görülen kiriş, yarıçap çarpı açının sinüsünün iki katına eşittir, yani:
Hipparkhos'un kiriş tablosunu geliştirdiği söylenen şu anda kayıp olan eser, İskenderiyeli Theon'un Almagest’in I.10. bölümündeki dördüncü yüzyıl yorumunda Tōn en kuklōi eutheiōn (Of Lines Inside a Circle, Çember İçindeki Doğrular) olarak adlandırılır. Bazıları, Hipparkhos tablosunun Surya Siddhanta gibi Hindistan'daki astronomik incelemelerde hayatta kalmış olabileceğini iddia etmektedir. Trigonometri önemli bir yenilikti, çünkü Yunan astronomlarının herhangi bir üçgeni çözmesine izin verdi ve tercih ettikleri geometrik teknikleri kullanarak nicel astronomik modeller ve tahminler yapmayı mümkün kıldı.
Hipparkhos, π için 3+10⁄71 (3,14085) ve 3+1⁄7 (3,14286) arasında Arşimet'ten daha iyi bir yaklaşım kullanmış olmalıdır. Belki daha sonra Batlamyus tarafından kullanılan 3;8,30 (seksagesimal yani altmış tabanlı) (3,1417) (Almagest VI.7) değerine sahipti, ancak daha da geliştirilmiş bir değer hesaplayıp hesaplamadığı bilinmemektedir.
Bazı bilim insanları, Āryabhaṭa sinüs tablosunun Hipparkhos'un kiriş tablosu ile ilgisi olduğuna inanmazlar. Diğerleri, Hipparkhos'un bir kiriş tablosu oluşturduğunu bile kabul etmiyorlar. Bo C. Klintberg, "Matematiksel yeniden yapılandırmalar ve felsefi argümanlarla, Toomer'in 1973 tarihli makalesinin, Hipparkhos'un 3438' tabanlı bir kiriş tablosuna sahip olduğu ve Hintlerin bu tabloyu sinüs tablolarını hesaplamak için kullandığı iddiaları için hiçbir zaman kesin bir kanıt içermediğini gösteriyorum. Toomer'in 3600' yarıçaplı rekonstrüksiyonlarını yeniden hesaplamak - yani Batlamyus'un Almagest’indeki kiriş tablosunun yarıçapı, 'derece' yerine 'dakika' olarak ifade edilir - 3438' yarıçap tarafından üretilenlere benzer Hipparkhos'inkine benzer oranlar üretir. Bu nedenle, Hipparkhos'un kiriş tablosunun yarıçapının 3600' olması ve Hintlerden bağımsız olarak 3438' tabanlı sinüs tablosunu oluşturması mümkündür." der.
Hipparkhos, kiriş tablosunu Pisagor teoremini ve Arşimet tarafından bilinen bir teoremi kullanarak oluşturabilirdi. Ayrıca Batlamyus teoremi denen teoremi geliştirmiş ve kullanmış olabilir; bu, Batlamyus tarafından Almagest adlı eserinde (I.10) kanıtlandı (ve daha sonra Carnot tarafından genişletildi).
Hipparkhos, stereografik izdüşümün açıkorur olduğunu ve küre üzerindeki çemberleri, izdüşüm merkezinden geçmeyen çemberleri düzlemdeki çemberlere dönüştürdüğünü gösteren ilk kişiydi. Bu, usturlabın temeliydi.
Hipparkhos, geometrinin yanı sıra Keldaniler tarafından geliştirilen aritmetik teknikleri de kullandı. Bunu yapan ilk Yunan matematikçilerinden biriydi ve bu şekilde astronomlar ve coğrafyacılar için mevcut teknikleri genişletti.
Hipparkhos'un küresel trigonometriyi bildiğine dair birkaç gösterge vardır, ancak bunu tartışan hayatta kalan ilk metin, birinci yüzyılda İskenderiyeli Menelaus'a aittir ve şimdi, bu temelde, genellikle onun keşfiyle anılır. (Bir asır önce Menelaus'un kanıtlarının bulunmasından önce, Batlamyus küresel trigonometrinin icadıyla itibar kazanmıştı.) Batlamyus daha sonra küresel trigonometriyi ekliptiğin yükselme ve ayar noktaları gibi şeyleri hesaplamak veya ay paralaksını hesaba katmak için kullandı . Küresel trigonometri kullanmadıysa, Hipparkhos bu görevler için bir küre kullanmış olabilir, üzerine çizilen koordinat ızgaralarından değerleri okuyabilir veya düzlemsel geometriden yaklaşımlar yapmış olabilir veya belki de Keldaniler tarafından geliştirilen aritmetik yaklaşımları kullanmış olabilir.
Aubrey Diller, Strabon'nun Hipparkhos'tan korunmuş iklim hesaplamalarının, eski astronomlar tarafından kullanıldığı bilinen tek doğru eğiklik olan 23°40′ kullanılarak küresel trigonometri ile yapılabileceğini göstermiştir. On üç iklim rakamının tamamı Diller'in önerisine katılmaktadır. Hipparkhos'un Regulus boylamı ve Spica'nın her iki boylamındaki büyük hataların, üç örnekte de birkaç dakikayı kabul ettiği ve yıldızların konumlarını belirlemek için tutulmaları kullanırken paralaks düzeltmesi için yanlış işareti aldığına dair bir teori ile uyuşması, onun iddiasını daha da doğrulamaktadır.