Hilbert uzayı
Tanımı > Giriş

Hilbert uzayının en bilinen örneklerinden biri R3 ile gösterilen ve nokta çarpımı ile donatılmış üç boyutlu vektörlerden oluşan Öklid vektör uzayıdır. Nokta çarpımı iki vektör x ve y'yi alır ve x ⋅ y gerçel sayısını verir. Eğer x ve y Kartezyen koordinatlarda temsil edilirse, nokta çarpımı şu şekilde tanımlanır:
 {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.
Nokta çarpımı şu özellikleri sağlar:
x ve y için simetri (bakışım) özelliği vardır: x ⋅ y = y ⋅ x.
Birinci değişkene göre doğrusaldır: Bütün a, b gerçel sayıları ve bütün x1, x2 ve y vektörleri için, (ax1 + bx2) ⋅ y = a(x1 ⋅ y) + b(x2 ⋅ y)
Kesin pozitiftir: tüm  x için, x ⋅ x ≥ 0  olur. 0'a eşitlik ise ancak ve ancak x = 0 olursa vardır.
Nokta çarpımı gibi bu üç özelliği sağlayan vektör çiftleri üzerindeki bir işlem (gerçel) iç çarpım olarak bilinir. Böyle bir iç çarpımla donatılmış bir vektör uzayı (gerçel) iç çarpım uzayı olarak bilinir. Her sonlu boyutlu iç çarpım uzayı aynı zamanda bir Hilbert uzayıdır. Nokta çarpımının onu Öklid geometrisine bağlayan temel özelliği, hem bir vektörün uzunluğu (veya normu) olan ||x||'e hem de iki vektör x ve y arasındaki açı olan θ ile aşağıdaki gösterilen bir ilişki içinde olmasıdır: 
 \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.
Öklit uzayları üzerinde yapılan vektör hesabı limitleri hesaplayabilme tekniklerine veya bu limitlerin varlığını göstermek için kullanılan kriterlere ihtiyaç duyar.  R3'teki vektörler tarafından tanımlanmış bir seri,
 \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}
eğer bu vektörlerin uzunluklarının toplamı olan
 \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|\,
serisi bir gerçek sayı serisi olarak yakınsadığı takdirde kesinlikle yakınsaktır.
Tıpkı bir sayı dizisi gibi, mutlak olarak yakınsayan bir vektör dizisi de Öklid uzayında L limit vektörüne yakınsar, yani
 N\to \infty {\text{ iken }}{\Biggl \|}\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}{\Biggr \|}\to 0\,.
Bu özellik, Öklit uzayının tamlığını ifade eder : mutlak olarak yakınsayan bir seri, aynı zamanda olağan anlamda da yakınsar.
Hilbert uzayları genellikle karmaşık sayılar üzerinde alınır. C ile gösterilen karmaşık düzlemde büyüklük, karmaşık sayıların mutlak değeri |z| ile tanımlanır. Burada bir karmaşık sayı ile eşleniğinin çarpımı mutlak değerin karesini vermektedir:
 |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.
Eğer z karmaşık sayısı gerçel ve sanal kısmını gösterecek şekilde z = x + iy biçiminde yazılırsa, o zaman 
 |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,
olur. İki karmaşık sayı z ve w'nin iç çarpımı z'nin w'nin karmaşık eşleniğiyle olan çarpımıdır:
 \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.
Bu çarpım karmaşık değerlidir. ⟨z, w⟩'nin gerçek kısmı, olağan iki boyutlu Öklid nokta çarpımını verir.
İkinci bir örnek, elemanları  z = (z1, z2) karmaşık sayı çiftleri olan C2  uzayıdır. O zaman, z'nin w = (w1, w2) ile iç çarpımı 
 \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w_{1}}}+z_{2}{\overline {w_{2}}}\,
olur.
⟨z, w⟩'nin gerçek kısmı o zaman iki boyutlu Öklit nokta çarpımıdır. Bu iç çarpım Hermit bakışımlıdır (simetriktir); yani, z ve w yer değiştirince elde edilen iç çarpım ilk iç çarpımın karmaşık eşleniğidir:
 \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.