Grupoid
Önermeler

Denklik bağıntısı ile ilişkisi
\sim  ilişkisi,  \operatorname {ob} (G) üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:  f\in  \operatorname {mor} _{G}(x,x)  olan rastgele bir  ff^{-1}\in   \operatorname {ob} (G) alalım. Bariz bir şekilde  ff^{-1} olur. Dolayısıyla  gg^{-1}\sim ff^{-1}’dir. Böylelikle  \sim  bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele  ff^{-1},gg^{-1},hh^{1}\in   \operatorname {ob} (G) alalım.  ff^{-1}\sim gg^{-1} ve  gg^{-1}\sim hh^{-1} olduğunu varsayalım ve  ff^{-1}\sim hh^{-1} olduğunu gösterelim.
ff^{-1}\sim gg^{-1} ve  gg^{-1}\sim hh^{-1} olduğundan;  ff^{-1}=gg^{-1} ve  gg^{-1}=hh^{-1} olur. Buradan da  ff^{-1}=hh^{-1} eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla  ff^{-1}\sim hh^{-1}’dir. Sonuç olarak  \sim  ilişkisi  \operatorname {ob} (G) kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi
Kategori teorisel herhangi bir  G grupoidi alalım. Her   x\in   \operatorname {ob} (G) nesnesi için  \operatorname {mor} (x,x) kümesi bir gruptur.
Kanıtını açıklayalım;
• Kapalılık: Rastgele  f,g\in   \operatorname {mor} (x,x) alalım.  fg bileşke fonksiyonu da  x’ten  x’e giden bir morfizma olacağından  \operatorname {mor} (x,x) kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.
• Bileşim: Herhangi  f,g,h\in   \operatorname {mor} (x,x) alalım.  G grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre  f(gh)=(fg)h eşitliği sağlandığından bileşke işlemi  \operatorname {mor} (x,x) kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.
• Birim eleman:  G grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her  x\in   \operatorname {ob} (G) nesnesi için   \operatorname {id} _{x}\in   \operatorname {mor} (x,x) olduğundan ve  f\operatorname {id} _{x}=f,\operatorname {id} _{x}f=f özellikleri sağlandığından birim eleman  \operatorname {id} _{x} vardır ve tektir.
• Ters eleman: Rastgele bir  f\in   \operatorname {mor} (x,x) alalım.  G’nin kategori teorisindeki tanımından  f^{-1}\in   \operatorname {mor} (x,x)’dir ve  ff^{-1}=\operatorname {id} _{x} ve  f^{-1}f=\operatorname {id} _{x} olmaktadır.
Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi
G bağlı bir grupoid olsun. Rastgele  x,y\in   \operatorname {ob} (G) alalım.
Bir  \eta \in   \operatorname {mor} (y,x) morfizması için  \varphi _{\eta }\colon   \operatorname {mor} (x,x)\to   \operatorname {mor} (y,y) öyle ki  \gamma \mapsto \eta \gamma \eta ^{-1} bir grup izomorfizmasıdır. Yani:
(i)  \varphi _{\eta } bir grup homomorfizmasıdır.
(ii)  \varphi _{\eta } birebirdir.
(iii)  \varphi _{\eta } örtendir.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:
Rastgele  \gamma _{1}\gamma _{2}\in   \operatorname {mor} (x,x) alalım. O halde,
\varphi _{\eta }(\gamma _{1}\gamma _{2})=\eta \gamma _{1}\gamma _{2}\eta ^{-1}
=\eta \gamma _{1}\eta ^{-1}\eta \gamma _{2}\eta ^{-1}
=\varphi _{\eta }(\gamma _{1})\varphi _{\eta }(\gamma _{2})
Sonuç olarak  \varphi _{\eta } bir grup homomorfizmasıdır.
Herhangi iki  \gamma _{1}\gamma _{2}\in   \operatorname {mor} (x,x) alalım ve  \varphi _{\eta }(\gamma _{1})=\varphi _{\eta }(\gamma _{2}) olsun. O halde,
\eta \gamma _{1}\eta ^{-1}=\eta \gamma _{2}\eta ^{-1}
\gamma _{1}\eta ^{-1}=\gamma _{2}\eta ^{-1}
Buradan da  \gamma _{1}=\gamma _{2} elde edilir. O halde  \varphi _{\eta } birebirdir.
Görüntü kümesinden yani  \operatorname {mor} (y,y)’den bir  f elemanı alalım. O halde öyle bir  \gamma \in   \operatorname {mor} (x,x) arıyoruz ki  \varphi _{\eta }(\varphi )=f olsun. O halde  \gamma =\eta ^{-1}f\eta  alırsak;
\varphi _{\eta }(\gamma )=\varphi _{\eta }(\eta ^{-1}f\eta )=\eta (\eta ^{-1}f\eta )\eta ^{-1}=(\eta \eta ^{-1})f(\eta \eta ^{-1})=f olur. O halde  \varphi _{\eta } örtendir.
Sonuç olarak  \varphi _{\eta } bir grup izomorfizmasıdır.