Henri Léon Lebesgue
Matematik kariyeri

Lebesgue'nin ilk makalesi 1898'de yayınlandı ve Sur l'approximation des fonctions (Fonksiyonların yaklaşıklığı üzerine) başlığını taşıyordu. Polinomlarla sürekli fonksiyonlara yaklaşım üzerine Weierstrass teoremi ile ilgilendi. Mart 1899 ile Nisan 1901 arasında Lebesgue, Comptes Rendus’da altı not yayınladı. Bunlardan ilki, onun Lebesgue integralini geliştirmesiyle ilgisi olmayan, Baire teoreminin iki değişkenli fonksiyonlara genişletilmesiyle ilgiliydi. Sonraki beşi, bir düzleme uygulanabilen yüzeyler, çarpık çokgenlerin alanı, belirli bir sınırla minimum alanın yüzey integralleri ve son not, bazı f(x) fonksiyonları için Lebesgue entegrasyonunun tanımını verdi. Lebesgue'nin büyük tezi, Intégrale, longueur, aire, bu çalışmanın tam açıklamasıyla birlikte 1902'de Annali di Matematica’da yayınlandı. İlk bölüm, ölçü teorisini geliştirir (bkz. Borel ölçümü). İkinci bölümde integrali hem geometrik hem de analitik olarak tanımlar. Sonraki bölümler uzunluk, alan ve uygulanabilir yüzeylerle ilgili Comptes Rendus notlarını genişletir. Son bölüm esas olarak Plateau problemi ile ilgilidir. Bu tez, bir matematikçi tarafından yazılmış tezlerin en iyilerden biri olarak kabul edilir.
1902'den 1903'e kadar olan dersleri, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives adlı bir "Borel risalesi"nde toplandı. İlkel bir fonksiyon arayışı olarak görülen entegrasyon problemi, kitabın kilit noktasıdır. Lebesgue, entegrasyon problemini tarihsel bağlamında Augustin-Louis Cauchy, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ve Bernhard Riemann'a değinerek sunar. Lebesgue, integralin karşılaması gereken altı koşul sunar; bunlardan sonuncusu "Eğer fn(x) dizisi f(x) sınırına yükselirse, fn(x)'nin integrali, f(x)'in integraline eğilimlidir." Lebesgue, koşullarının ölçü teorisi, ölçülebilir fonksiyonlara ve integralin analitik ve geometrik tanımlarına yol açtığını gösteriyor.
1903 tarihli makalesi "Sur les serie trigonometriques" ile trigonometrik fonksiyonlarına yöneldi. Bu çalışmada üç ana teorem sunmuştur: sınırlı bir fonksiyonu temsil eden trigonometrik bir serinin bir Fourier serisi olduğu, n. Fourier katsayısının sıfır olma eğiliminde olduğu (Riemann-Lebesgue lemması) ve Fourier serisi terim terim integrallenebilirdir. 1904-1905'te Lebesgue bir kez daha Collège de France'da bu kez trigonometrik diziler üzerine ders verdi ve derslerini bir başka "Borel risalesi"nde yayınlamaya devam etti. Bu risalede konuyu bir kez daha tarihsel bağlamı içinde ele alır. Fourier serileri, Cantor-Riemann teorisi, Poisson integrali ve Dirichlet problemi hakkında açıklamalar yapar.
1910 tarihli Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz (Bir Lipschitz koşulunu sağlayan fonksiyonların yaklaşık trigonometrik gösterimi) adlı bir makalede, kalan terimin büyüklük sırasının bir değerlendirmesiyle, bir Lipschitz koşulu'nu sağlayan Fourier fonksiyonları dizisi ile ilgilenir. Ayrıca Riemann–Lebesgue lemması'nın sürekli fonksiyonlar için mümkün olan en iyi sonuç olduğunu kanıtlar ve Lebesgue sabitleri'ne bir miktar giriş yapar.
Lebesgue bir keresinde şöyle yazmıştı: "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu." ("Reduced to general theories, mathematics would be a beautiful form without content.") ["Genel teorilere indirgenirse, matematik içeriksiz güzel bir biçim olurdu."]
Ölçü-teorik analizde ve matematiğin ilgili dallarında, Lebesgue–Stieltjes integrali, Riemann – Stieltjes ve Lebesgue entegrasyonunu genelleştirir ve ikincisinin birçok avantajını daha genel bir ölçü-teorik çerçevede korur.
Kariyeri boyunca Lebesgue, karmaşık analiz ve topoloji alanlarına da deneysel girişimler yaptı. Ayrıca Émile Borel ile kimin integralinin daha genel olduğu konusunda bir anlaşmazlığı vardı. Ancak, gerçel analiz'e yaptığı katkılarla karşılaştırıldığında bu küçük hamleler sönük kalıyor; bu alana yaptığı katkılar, bugün alanın şekli üzerinde muazzam bir etkiye sahipti ve yöntemleri modern analizin önemli bir parçası haline geldi. Bunların, aşağıda belirtildiği gibi, Lebesgue'nin tamamen habersiz olacağı temel fizik için önemli pratik sonuçları vardır.