Manyetik tek kutup
Parçacık fiziğindeki daha ileri tanımlar

Fizikte “manyetik monopole” öbeği genellikle Yang–Mills potansiyeli A ile gösterilir ve Higgs alanı ϕ aşağıdaki Yang–Mills aksiyonu ile ifade edilir;
Matematikte yukarıdaki öbek (“manyetik monopole” öbeği) geleneksel olarak Bogomolny–Parasad–Sommerfeld limiti ile yukarıdaki denklemin durağan çözümü ile adlandırılır ki aynı zamanda topolojik sınıf içinde  fonksiyonun kesin minimumu (absolutes minimum of the function) şöyle olur;
yani şu anlama ifade eder; R3 vasıtası ile  G-bundle]] üzerinde A ile bağlantı içerisindedir (ki aslında manifold -prensipte bir G objesi- ile de bağlantısı vardır) ve ayrıca Lie cebirininilintili adjoint demeti nin ϕ (kıvrımı FA ve kovaryant türevi DA ϕ Bogomolny equations  denklemlerini sağlar;
ve sınır kuşullarını da sağlar;
80'lerden beri süregelen monopol teorisindeki saf matematiktik gelişmeler sıklıkla fiziksel olarak motifli sorular üzerinden ilerledi. Denklemlerin ta kendisi ölçü dönüşümünde invaryanttır ve yönelimi koruyan simetrilerdir. γ değeri büyük olduğunda ϕ ℝ3ten adjoint yörüngesin G/k'ya yarıçapı γ olan iki küre arasında bir eşleme tanımlar ve bu eşlemenin homotopi sınıfı manyetik yük olarak adlandırılır. Birçok iş yükün pozitif bir k tam sayısı olduğu G = SU(2), durumunda kullanılır. Ardından fonksyonelin mutlak minimum değeri 8πk olur ve katsayı m ϕ k/2 nin asimptotik açılım olur.
İlk SU(2) çözümü 1975 E. B. Bogomolny, J. K. Parasad ve C. M. Sommerfield tarafından bulundu. Bu çözüm bir yükünün küresel simetrisidir ve aşağıdaki forma sahiptir;;
C.H.Taubes 1980 yılında yapıştıran yapı ile  gösterdi ki bütün büyük k değerleri için  bir çözüm vardır-dır ve hemen ardından kapalı eksensel-simetrik çözümler bulundu. Genel durumlar ve k = 2 için ilk  çözüm 1981'de R.S.Ward tarafından eliptik fonksionlarda sunuldu.
Bogomolny denklemlerini çözmenin iki yolu vardır. İlk yol twistor metodudur. N.J. Hitchin, in formülasyonunda keyfi bir çözüm TP1 karmaşık yüzeyi üzerinden bir holomorfoik vektör demetine karşılık gelir; projektif doğrunun teğet demetidir. Bu, R3'de yönelmil düz doğrulara  doğal bir izomorfiktir. Sınırlayan koşul gösterir ki holomorfoik demet (k - 1)2 (the spectral curve) cins bir kompakt cebirsel eğri tarafından belirlenen bir açılımdır; belirli sınırlamaları karşılar.
W.Nahm, tarafından geliştirilen ikinci yöntem, Dirac operatörü için öz değer sorununun çözümünü içerir ve denklemleri sınır koşulları ile birlikte sıradan difaransiyel denklemlere çevirir; Nahm denklemleri;
burada Ti(s) ifadesi (0,2) fonksiyonunda değerli matrsitir. İki yapı da instanton için geçerli prosedürlere benzer prosedürler üzerine dayanır; N.S. Manton dan dolayı önemli olan gözlem R4'te Yang–Mills denklemleridir (c.f. ayrıca Yang–Mills alanı).
İki metodun SU(2 için eşitliği ve genel olarak uygulanabilirlikleri ve bahsedilmiştir. A ve ϕ için kapalı formüller iki yöntem içinde eldesi zordur; Nahm denklemlerinin simetrik durumlarda kimi tam değer veren çözümlere rağmen.
SU(n)  ölçü grubu için Bogolomony–Parasad–Sommerfield limitinde maksimum gömülü küresel simetric manyetik monopol çözümleri Gannoulis, Goddard ve Olive, tarafından temellendirildi ve Farwell and Minami gösterdi ki Cartan matrix K level vektörü ile Lie cebirine karşılık gelen keyfi basit ölçü grubu için Bogolomony–Parasad–Sommerfield limitinde maksimum gömülü küresel simetrik manyetik monopol çözümleri Toda molecule denklemlerinin çözümleridir;
Tekil olmayan çözümler orijinde manyetik alan yok olması ile sonuçlanır. Lie cebirleri  An, Bn ve Cn için Belirgen sonlu enerji çözümleri bu yöntem kullanılarak elde edilegelmiştir. Daha genel Lie group G durumu için -ϕ nin sonsuzdaki  stabilizatörünün  en büyük torus olduğu durumlarda, M.K.Murray tarafından twistor bakış açısıyla -SU(2)-monopolünün tek spectral eğrisinin G Dynkin diagramınca endekslenen eğri koleksiyon ile değiştirildiği koşulda  -ele alındı. Bu duruma karşılık gelen Nahm yapısı  J.Hustubise ve Murray.
tarafından tasarlandı.
Ölçü eşitliğine kadar k yüklü SU(2) monopollerinin The moduli uzayı (c.f. also Moduli teorisi) Taubes tarafından 4k - 1 boyutuna sahip kompakt olmayan pürüzsüz bir manifol olarak gösterildi. Ölçü dönüşümlerini (gauge transformations) sonsuzda bağlantıyı koruyacak şekilde kısıtlamak  4k-boyutlu manifold Mk verir ki bu da gerçek modül uzayında çembersel demettir ve bir doğal, tamamlanmış hyper-Kähler metric  taşır. (c.f. also Kähler–Einstein manifoldu)
Ölçü twistor açısından bilinir ve Kähler potansiyeli spektral eğri Riemann theta fonksiyonları ile yazılabilir, ama sadece 2 durumda k = daha geleneksel ve kullanılabilir bir formda (2000) bilinmektedir. Bu Said–Hitchin manifold, Einstein Taub-metrik SOMUN ve ℝ4 olmayan triholomorphic SU(2) eylem ile sadece 4 boyutlu tam bir hiper-Kähler manifoldu vardır. Jeodezi onun monopole dynamics uygulamaya ilişkin Manton programı incelenmiştir. Daha fazla dinamik özellikler sayısal ve analitik teknikler tarafından izah edilmiştir.
A cyclic k-fold conering of Mk splits isometrically is a product M̃k × S1 × ℝ3, where M̃k is the space of strongly centred monopoles. This space features in an application of S-duality in theoretical physics, and in G.B.Segal and A.Selby studied its topology and the L2 harmonic forms defined on it, partially confirming the physical prediction.
Üç hiperbolik alanı, manyetik Monopol bakış twistor noktasından M. F. Said tarafından (P1 × P1-çapraz anti tamamlayıcı Murray ve M. A. Şarkıcının ayrık Nahm denklemler açısından ve TP1 karmaşık yüzey değiştirme) incelenmiştir.