Yörünge
Newtoncu yörüngesel hareket analizi

Daha fazla bilgi: Kepler yörüngesi, Yörünge denklemi ve Kepler'in gezegensel hareket yasaları § Birinci_yasa
Aşağıdaki formül bu tür bir eliptik yörünge için geçerlidir. Sadece merkezi cisme doğru olan yerçekimi ivmesinin aralarındaki mesafenin karesinin tersi ile ilişkili olduğunu belirten Newton yerçekimi yasası ile başlanırsa:
Burada F2, m1 kütlesinin m2 kütlesine uyguladığı çekim kuvvetinin m2 kütlesine uyguladığı kuvvet, G evrensel çekim sabiti ve r iki kütle merkezi arasındaki mesafedir.
Newton'un İkinci Yasası'na göre, m2'ye etki eden kuvvetlerin toplamı o cismin ivmesiyle ilişkilidir:
Burada A2, m2'ye etki eden m1'in çekim kuvveti F2'nin neden olduğu m2'nin ivmesidir.
where is the acceleration of caused by the force of gravitational attraction F2 of m1 acting on m2.
1. ve 2. denklemlerin birleştirilmesi:
İvme için çözüm, A2:
burada  \mu \, standart yerçekimi parametresidir ki bu durumda  Gm_{1} olarak gösterilir. Tanımlanan sistemin m2 olduğu anlaşılmaktadır, bu nedenle alt simgeler atılabilir.
Merkezi cismin durağan olarak kabul edilebilecek kadar büyük olduğu varsayılmakta ve genel göreliliğin daha ince etkileri göz ardı edilmektedir.
Bir sarkaç veya yaya bağlı bir cisim elips içinde sallanırken,  A=F/m=-kr. formülünde gösterildiği gibi içe doğru ivme/kuvvet mesafesi ile orantılıdır. Vektörlerin toplanma şekli nedeniyle, kuvvetin  {\hat {\mathbf {x} }} veya  {\hat {\mathbf {y} }} yönlerindeki bileşenleri de mesafelerin ilgili bileşenleriyle orantılıdır,  r''_{x}=A_{x}=-kr_{x}. Dolayısıyla, tüm analiz bu boyutlarda ayrı ayrı yapılabilir. Bu, elipsin  x=A\cos(t) ve  y=B\sin(t) harmonik parabolik denklemleri ile sonuçlanır.
Yörüngedeki nesnenin 𝑡 anındaki konumu, kutupsal koordinatlarda vektör hesabı kullanılarak hem standart Öklid temelinde hem de orijini kuvvet merkeziyle çakışan kutupsal temelde düzlem üzerinde bulunur.  r cisim ile merkez arasındaki mesafe ve  \theta  cismin döndüğü açı olsun.  {\hat {\mathbf {x} }} ve  {\hat {\mathbf {y} }} standart Öklid tabanları olsun ve  {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }} ve  {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }} radyal ve enine kutupsal taban olsun; bu durumda ilki merkezi cisimden yörüngedeki nesnenin mevcut konumuna işaret eden birim vektör ve ikincisi yörüngedeki nesnenin saat yönünün tersine bir daire çizmesi halinde gideceği yöne işaret eden ortogonal birim vektördür. O zaman yörüngedeki nesneye giden vektör:
Bu mesafe ve açının zaman içinde nasıl değiştiğinin standart türevlerini belirtmek için  {\dot {r}} ve  {\dot {\theta }} kullanılır. Bir vektörün zaman içinde nasıl değiştiğini görmek için  t zamanındaki konumunu  t+\delta t zamanındakinden çıkarıp  \delta t'ye bölerek türevi alınır. Elde edilen sonuç da bir vektör olacaktır. Temel vektör  {\hat {\mathbf {r} }} nesne yörüngede döndükçe hareket ettiğinden, onu farklılaştırarak başlanır.  t zamanından  t+\delta t,  {\hat {\mathbf {r} }} vektörü başlangıcını orijinde tutar ve  \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t açısıyla dönerek başını  {\dot {\theta }}\ \delta t dik yönünde  \theta  mesafesi kadar hareket ettirir ve  {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},  {\hat {\boldsymbol {\theta }}} 'nin bir türevini verir.
Artık yörüngede dönen cismin hızı ve ivmesi bulunabilir.
{\hat {\mathbf {r} }} ve  {\hat {\boldsymbol {\theta }}} katsayıları radyal ve enine yönlerdeki ivmeleri verir. Belirtildiği gibi, yerçekimi nedeniyle bu ilkini Newton  -\mu /r^{2} olarak verir ikincisi ise sıfırdır.
Denklem (2), parçalara göre entegrasyon kullanılarak yeniden düzenlenebilir.
Yörüngedeki nesne çakılmadığı sürece sıfır olmadığı için bu değer  r ile çarpılabilir. Bu durumda türevin sıfır olması fonksiyonun sabit olduğunu gösterir.
Bu aslında Kepler'in ikinci yasasının teorik kanıtıdır (Bir gezegen ile Güneş'i birleştiren bir çizgi, eşit zaman aralıklarında eşit alanları süpürür). Bütünleşme sabiti olan "h", birim kütle başına düşen açısal momentumdur.
Denklem (1)'den bir yörünge denklemi elde edilebilmesi için zamanın elimine edilmesi gerekmektedir. (Ayrıca Binet denklemine bakınız.) Kutupsal koordinatlarda bu, yörüngedeki nesnenin merkeze olan uzaklığını  r açısının bir fonksiyonu olarak ifade edecektir  \theta  . Ancak,  u=1/r yardımcı değişkenini tanıtmak ve  u'yi  \theta 'nın bir fonksiyonu olarak ifade etmek daha kolaydır.  r'nin zamana göre türevleri,  u'nin açıya göre türevleri olarak yeniden yazılabilir.
Bunları (1)'e eklemek şunu sağlar:
Dolayısıyla, yerçekimi kuvveti için - ya da daha genel olarak, "herhangi bir" ters kare kuvvet yasası için - denklemin sağ tarafı bir sabit haline gelir ve denklemin harmonik denklem olduğu görülür (bağımlı değişkenin orijininin kaymasına kadar). Çözüm şudur:
Burada A ve θ0 rassal sabitlerdir. Cismin yörüngesinin bu sonuç denklemi, odak noktalarından birine göre Kutupsal formdaki bir elipsin denklemidir. Bu, e\equiv h^{2}A/\mu  dış merkezlik,  a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right) yarı büyük eksen olmak üzere daha standart bir forma sokulur. Son olarak  \theta _{0}\equiv 0 olarak alındığında elipsin uzun ekseni pozitif x koordinatı boyunca uzanır.
İki cisimli sistem torkun etkisi altında olduğunda, açısal momentum h sabit değildir. Aşağıdaki hesaplamadan sonra:
iki cisimli sistemin Sturm-Liouville denklemi elde edilir.