Boyut analizi
Giriş

Bir fiziksel büyüklüğün boyutları M kütle, L uzunluk ve T zaman ile bağlatılıdır, bunların her biri de kuvvetleriyle orantılı olarak artar.Örneğin; fiziksel bir büyüklük olan hızın boyutu "uzunluk/zaman"dır (L/T) ve kuvvetin de boyutu "kütle×ivme" veya "kütle×(uzunluk/zaman)/zaman"dır (ML/T2).
Fiziksel bir büyüklüğün birimi ile boyutu birbirleri ile bağlantılıdır fakat kesin tanımlayıcı kavramlar değillerdir. Fiziksel bir büyüklüğün birimleri geleneksel olarak tanımlanır ve bazı standartlarla ilişkilidir; örneğin uzunluğun birimi metre, feet, inch veya mikrometre olabilir; fakat herhangi bir uzunluk, onu ölçmek için keyfi olarak seçilen birimden bağımsız olarak daima L boyutuna sahiptir. Aynı fiziksel büyüklüğün iki farklı birimi çeşitli dönüştürme faktörleriyle birbirlerine dönüştürülebilirler. Örneğin; 1 inç = 2.54 cm; böylece (2.54 cm/in) dönüşüm faktörü olarak adlandırılır (yaygın bir büyüklüğün farklı birimleriyle gösterimlerinin arasındaki dönüşümü yapar) ve boyutsuzdur ve bire eşittir. Boyut sembolleri arasında dönüşüm faktörleri yoktur.
Boyut sembolleri, L gibi, matematiksel bir grup oluştururlar: buna göre şu özdeşlik yazılabilir, L0=1; Lnin tersi ise ki bu 1/L veya L−1dir ve L'nin tüm oransal p kuvvetleri grubun bir üyesidir, tersi için de aynı şey geçerlidir L-p or 1/Lp.Grubun işlemi çarpımdır ve standart üslü işlemler uygulanır(Ln × Lm = Ln+m).
Mekanikte, herhangi bir fiziksel büyüklüğün boyutu M, L ve T tabanlı terimlerle ifade edilebilir. Bu tek mümkün seçenek değildir, fakat en sık kullanılanıdır. Örneğin, bazıları kuvvet F, uzunluk L ve kütle M boyutlarını temel almaktadırlar. Bu sebepten temel boyutların seçimi kısmen gelenekle ilgilidir ve kullanışlılığı ve aşinalığı arttırır. Bununla birlikte boyutların seçiminin sadece bir gelenek olmadığını da fark etmek önemlidir; örneğin, uzunluğu, hızı ve zamanı temel boyut olarak kullanmak iyi bir seçim deildir; çünkü mass—'i elde etmenin; veya force— gibi, ondan türetilen hiçbir şeyi başka bir temel boyut eklemeden elde etmenin yolu yoktur ve hız uzunluk ve zamandan türetilebildiğinden bu temel boyutlar en iyi anlatımla tam kullanılmaz ve en kötüsü de uygunsuzdur (örneğin eğer hızın temel birimi uzunluğun temel biriminin zamanın temel birimine oranı olan 1'e eşit değilse).
Kolaylık açısından tüm bilim dünyasının aynı seçimleri yapması önemlidir. SI birim sistemi en geniş kullanılan birimdir ve gerekli şekilde karmaşadan ve çakışmadan çeşitli birim dönüşümleri ile sakınır (santimetre gram saniye birim sistemi).
Fizik alanına bağlı olarak, boyut sembol setlerinden biri veya öbürünü seçmek avantajlı olabilir. Örneğin elektromagnetizmada M, L, T ve elektriksel yükü temsil eden Q boyutları kullanışlı olacaktır. Termodinamikte ise temel boyut setine sık sık sıcaklık için bir boyut eklenir. Kimyada moleküllerin sayısı da hesaba katılır ve bunun için bir boyut kullanılması da kullanışlı olur. Fiziğin farklı alanlarında kullanılacak boyutların veya hatta boyut sayısının seçimi daha çok keyfi olsa da kullanımdaki uyum ve iletişimdeki kolaylık en önemli husustur.
En ilkel formunda, boyut analizi fiziksel eşitliklerin olasılıklarını kontrol etmede kullanılabilir: herhangi bir eşitliğin iki tarafı da aynı ölçekte veya aynı boyutta olmalıdır, yani, eşitlik boyutsal olarak homojen olmalıdır. Bu gerekliliğin doğal bir sonucu olarak, fiziksel olarak anlamlı bir eşitlikte sadece aynı boyuttaki büyüklükler toplanabilir veya çıkarılabilir. Örneğin bir fare ile bir pirenin kütleleri birbirlerine eklenebilse de pirenin kütlesi ile farenin boyu anlamlı şekilde birbirine eklenemez. Farklı boyutlara sahip fiziksel büyüklükler birbirleriyle karşılaştırılamazlar da.Örneğin, "3 m > 1 g" anlamlı bir ifade değildir.
Sadece aynı boyuttaki büyüklükler toplanabilir, çıkarılabilir, karşılaştırılabilir veya eşitlenebilir. Farklı boyutlu büyüklükler "+", "-" ve "=" işaretlerinin tersi olarak görüldüğünde, o fiziksel eşitlik mümkün değildir, bunu kullanmadan önce hatalar düzeltilmelidir. Aynı veya farklı boyutlu büyüklükler çarpıldığında veya bölündüğünde, onların boyutsal sembolleri de çarpılır veya bölünür. Boyutlu büyüklüklerin üsleri alındığında ise aynı şey bunlara eklenen boyutsal sembollere de yapılır.
Üslü fonksiyonların, trigonometrik fonksiyonların, logaritmik ve diğer transandantal fonksiyonların skaler değişkenleri de boyutsuz olmalıdır. Bu gereklilik bu fonksiyonların Taylor açılımı alındığında açıklık kazanır.Örneğin, 3'ün logaritması neredeyse 0,477 iken 3 kg'ın logaritması tanımsızdır. ln3kg gibi bir hesap ise şu sonucu üretecektir
bu ise boyutsal olarak uyumsuzdur.
Boyutsal fiziksel bir büyüklüğün değeri onun biriminin ve boyutlu ve boyutsuz sayısal faktörlerin çarpımı şeklinde yazılır. Tam olarak, benzer boyutlu büyüklükler toplandığında, çıkarıldığında veya karşılaştırıldığında, bu boyutlu büyüklükler, sayısal büyüklükleri doğrudan toplanabilsin veya çıkarılabilsin diye, uyumlu birimlerle ifade edilmelidirler. Fakat, kavramsal olarak, farklı birimlerle ifade edilen aynı boyutlu büyüklükleri toplamada bir sorun yoktur. Örneğin, 1 metre 1 feet'e eklendiğinde bir uzunluk elde ederiz, fakat sonucu elde etmek için 1'e 1 eklemek yanlış olacaktır. Aynı boyutlu büyüklüklerin bir oranı olan ve boyutsuz bir sayıya eşit olan bir dönüşüm faktörüne gereksinim duyulur:
Buradaki faktör  0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}} boyutsuz 1'e özdeştir, böylece bu dönüşüm faktörünü kullanarak çarpım yapmak hiçbir şeyi değiştirmez. Aynı boyutta fakat farklı birimle ifade edilmiş iki büyüklüğü birbirine eklediğimizde, aslında 1'e eşit olan uygun dönüşüm faktörü, büyüklüklerin sayısal değerleri toplanabilsin veya çıkarılabilsin diye,birimleri özdeşleştirmek için dönüşüm yapmakta kullanılır.
| --- | --- |
 1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\ :  =1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\times 0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}}\ 
:  =1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\!\!\!\!/\times 0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{{\mbox{ft}}\!\!\!\!/}}\ 
:  =1\ {\mbox{m}}+0.3048\ {\mbox{m}}\ 
:  =1.3048\ {\mbox{m}}\ 
Sadece bu yolla farklı birimlerdeki büyüklükler birbirleriyle toplanabilirler.
Boyut analizi ayrıca birinin anlamak ve karakterize etmek istediği özel kavramların içinde bulunan fiziksel büyüklüklerin arasındaki ilişkileri türetmekte kullanılır. İlk kez 1872 yılında, gökyüzünün neden mavi olduğunu anlamaya çalışan Lord Rayleigh tarafından kullanılmıştır.