Lagrange mekaniği
Newton mekaniğinden Lagrange mekaniğine > D’Alambert prensibiden çıkartılan hareket denklemleri

Eğer k parçacığının üzerinde kısıtlar varsa, kartezyen uzaydaki  rk = (xk, yk, zk) pozisyonundaki koordinatlar kısıt denklemleri ile birbirine bağlanır. Burada sanal yer değiştirmeler; δrk = (δxk, δyk, δzk) olarak tanımlanabilir. Bu koordinatları hareket denklemleri içerisinde kısıt denklemleri ile uğraşmamak için genelleştirilmiş koordinatlara sanal yer değiştirme olarak dönüştürebiliriz. Sanal yer değiştirmeler diferansiyel boyutta olduğu için toplam diferansiyel formunu kullanabiliriz. Yani türevleri kullanarak yine işimizi analitik olarak kolaylaştırabiliriz. \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,.
Bu sayede direkt δrkyı kullanarak yaşayacağımız sorunları, genelleştirilmiş koordinatları kullanarak ve sanal küçük hareketlerin aslında diferansiyel (türev ile ilintili) olduğu gerçeğini kullanarak hareket denklemlerini çıkarmayı kolaylaştırabiliriz.
Unutulmamalıdır ki, burada zamana göre kısmi türevin yine küçük bir zaman artışıyla çarpımı yoktur. Burada artağan bir zamandan ziyade anlık bir zamandaki ufak-diferansiyel yer değiştirmeler söz konusudur dolayısıyla türevlemeler ve artışlar yer değiştirmeler cinsindendir.
D’alambert prensibinin birinci terimi, kısıtlayıcı olmayan  Nk kuvvetlerinin diferansiyel δrk boyunca yaptığı sanal işi kapsar. Ve genel olarak bu terim genelleştirilmiş kuvvetler analojisiyle ifade edilebilir(genelleştirilmiş koordinatlar boyunca etkiyen);
dolayısıyla,
şeklinde ifade edilir.
Burada yapılan genelleştirilmiş koordinatlara yapılan dönüşümün yarısını içerir. Geriye, ivmeleri içeren terimin genelleştirilmiş koordinatlara dönüştürülmesi kalır. Bu hemen görülebilir değildir. Yukarıda bahsedilen Newton Yasalarının Lagrange formu, kinetik enerjinin genelleştirilmiş koordinatlara ve hızlara göre kısmi türevini kullanarak istenilen sonucu verebilir; \sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\,.
Bu sayede D’alambert prensibini istediğimiz şekilde genelleştirilmiş koordinatlarda şu şekilde yazabiliriz;
Dolayısıyla artık sanal yer değiştirmeler genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden yapılabilir. δqjler birbirlerinden bağımsız ve sıfırdan farklıdır. Çünkü herhangi bir zaman anında belirli bir yer değiştirmeden bahsediliyor. Bu nedenle δqjların katsayıları sıfıra eşitlenebilir. Bu katsayılar da özellikle statik durumlar için genelleştirilmiş kuvvetler olarak adlandırılabilir. Bu sayede, esasen Lagrange denklemlerini veya genelleştirilmiş hareket denklemlerini elde etmiş oluyoruz.
Lagrange Denklemleri; Euler-Lagrange Denklemleriyle karıştırılmamalı, burada enerji terimleri yerine genelleştirilmiş kuvvet terimleri yer alır.
Bu denklemler, kısıtlayıcı olmayan kuvvetler altında bize Newton’un yasaları ile aynı sonucu verir. Yukarıdaki denklemlerdeki genelleştirilmiş kuvvetler sadece kısıtlayıcı olmayan kuvvetlerden türetilmiş ve kısıtlayıcı kuvvetler dışarıda D’Alambert’in sanal iş prensibi sayesinde bırakılmıştır ve ihtiyaç yoktur. D’Alambert prensibi kuvvetlerin korunumluluğu üzerinde geneldir. Bu kuvvetler D’Alambert prensibini sağladığı sürece korunumsuz olabilir.