Felix Hausdorff
Çalışmaları ve resepsiyon > Sıralı kümeler teorisi

Hausdorff'un sıralı setlerin kapsamlı bir incelemesine girmesi, kısmen Cantor'un süreklilik probleminden kaynaklandı:  \aleph =2^{\aleph _{0}}serisinde  \aleph _{\alpha }kardinal sayısı hangi sırada yer alıyor? 29 Eylül 1904'te Hilbert'e yazdığı bir mektupta, bu problemden bahsediyor, "neredeyse bir monomani gibi rahatsız etti".  \mathrm {card} (T(\aleph _{0}))=\aleph  kümesinde probleme saldırmak için yeni bir strateji gördü. Cantor  \aleph =\aleph _{1}'den şüphelenmişti ama sadece  \aleph \geq \aleph _{1}'in sayılabilir bir kümenin olası iyi sıralamalarının "sayısı" olduğunu göstermişti.  \aleph _{1} bir sayılabilir kümenin olası iyi sıralamalarının "sayısı"dır;  \aleph  artık böyle bir miktardaki olası tüm sıraların "sayısı" olarak ortaya çıkmıştı. Bu nedenle, genel düzenlerden daha özel, ancak iyi sıralamalardan daha genel olan sistemleri incelemek doğaldı. Hausdorff, 1901'deki ilk cildinde, "derecelendirilmiş kümeler" teorik çalışmalarının yayınlanmasıyla tam da bunu yaptı. Kurt Gödel ve Paul Cohen'in sonuçlarından, süreklilik problemini çözmek için bu stratejinin, Cantor-Bendixson prensibini kapalı kümeler için genel sayılamaz kümelere genelleştirmeyi amaçlayan Cantor stratejisi kadar etkisiz olduğunu biliyoruz.
1904'te Hausdorff, kendi adını taşıyan özyinelemeyi yayınladı:
Sınırsız her ordinal  \mu  için  \aleph _{\mu }^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\mu }\;\aleph _{\mu -1}^{\aleph _{\alpha }}. eşitliğine sahibiz.
Bu formül, Hausdorff tarafından ortaya atılan sonraki eş sonluluk kavramı ile birlikte, Alef üssü için tüm diğer sonuçların temeliydi. Hausdorff'un bu tür dizilimin problemlerine ilişkin mükemmel bilgisi, Julius König'in 1904'te Heidelberg'deki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde verdiği konferanstaki hatayı ortaya çıkarma çabalarıyla da güçlendirildi. Orada König, sürekliliğin iyi düzenlenemeyeceğini, dolayısıyla sayallığının (kardinalitesinin) Alef olmadığını ve bu nedenle büyük bir heyecan yarattığını iddia etmişti. Hatayı açıklığa kavuşturanın Hausdorff olduğu iddiasının özel bir ağırlığı var çünkü Heidelberg'deki olayların 50 yılı aşkın süredir tarihsel literatürde yanlış bir imaj çizildi.
1906-1909 yıllarında Hausdorff, temel çalışmalarını düzenli kümeler üzerinde yaptı. Kısaca sadece birkaç noktaya dokunulabilir. Hausdorff'un ortaya koyduğu eş sonluluk (cofinality) kavramı, tüm teori için temel öneme sahiptir. Bir ordinal, daha küçük bir ordinal ile eş sonlu ise düzenli olarak adlandırılır; aksi takdirde tekildir. Hausdorff'un, endeksli normal sayılar olup olmadığı sorusu, bir limit ordinal indeksi, erişilemeyen kardinaller teorisinin başlangıç noktasıydı. Hausdorff, eğer varsa, bu tür sayıların "aşırı yüksek boyutta" olması gerektiğini çoktan fark etmişti.
Hausdorff'un aşağıdaki teoremi temel öneme sahiptir: her sınırsız sıralı yoğun küme için  A benzersiz olarak belirlenmiş iki normal başlangıç sayısı  \omega _{\xi },\omega _{\eta } vardır, öyle ki  A ile eş sonlu (cofinal)  \omega _{\xi } ve eş başlangıç (coinitial)  \omega _{\eta }^{*} (* Ters sıralamayı gösterir)'dir. Bu teorem, örneğin, sıralı kümelerdeki öğeleri ve boşlukları karakterize etmek için bir teknik sağlar. Böylece Hausdorff, kendisi tarafından sunulan boşluk karakterlerini ve öğe karakterlerini kullandı.
Eğer  W önceden belirlenmiş bir karakter kümesi (eleman ve boşluk karakterleri) ise, karakter seti tam olarak  W olan sıralı kümelerin olup olmadığı sorusu ortaya çıkar.  W için gerekli bir koşul kolayca bulunabilir. Hausdorff, bu durumun da yeterli olduğunu göstermeyi başardı. Bunun için zengin bir sıralı kümeler deposuna ihtiyaç vardır; Hausdorff bunu genel çarpımlar ve kuvvetler teorisiyle yaratmıştı.
Bu depoda, Hausdorff'un genelleştirilmiş süreklilik hipotezini ilk olarak formüle ettiği Hausdorff  \eta _{\alpha } normal tipler gibi ilginç yapılar bulunur. Hausdorff's  \eta _{\alpha }-kümeler, doymuş yapının önemli model teorisinin incelenmesi için başlangıç noktasını oluşturdu.
Hausdorff'un genel çarpanları ve kardinalite kuvvetleri, onu kısmen sıralı küme kavramına götürdü. Kısmen sıralı bir kümenin herhangi bir sıralı alt kümesinin maksimal sıralı bir alt kümede yer alıp almadığı sorusu, iyi sıralama teoremi kullanılarak Hausdorff tarafından olumlu olarak yanıtlandı. Bu, Hausdorff maksimal ilkesi'dir. Bu, yalnızca iyi sıralama teoreminden (veya (buna eşdeğer) seçim aksiyomundan değil), aynı zamanda, ortaya çıktığı gibi, seçim aksiyomuna bile eşdeğerdir.
Daha 1908'de Arthur Moritz Schoenflies, küme teorisi hakkındaki raporunun ikinci bölümünde, yeni sıralı kümeler teorisinin (yani, Cantor'un genişlemelerinden sonra ortaya çıkan) neredeyse tamamen Hausdorff'tan kaynaklandığını buldu.