stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Toplama
Toplama işlemi yapma > Ondalık taban > Bilimsel gösterim

Ana madde: Bilimsel gösterim
Bilimsel gösterimde, reel sayılar  x=a\times 10^{b} şeklinde yazılır. Bu terimde,  a tabandır ve  10^{b} 'üs'tür. Toplama, sayıların aynı üslere sahip olmasını gerektirir. Bu sayede, tabanlar basitçe toplanabilir.
Örneğin:
Toplama işlemi yapma > Ondalık-olmayan tabanlarda işlemler

Ana madde: İkili sayı sistemi
Ondalık-olmayan tabanlarda toplama, ondalık tabandaki toplamaya benzerdir. Buna ikili tabanda toplama örnek gösterilebilir. Tek basamaklı ikili sayıları eklemek, yukarıda bahsedilen 'taşıma' yöntemiyle gerçekleştirilebilir:
İkili tabanda, iki "1" rakamının eklenmesi "0" rakamını üretir; bir sonraki sütuna da 1 eklenir. Bu, ondalık tabanda belirli rakamların eklenmesinde de görülür Eğer bir sütun toplamı '10' sayısına eşit veya bu sayıdan büyükse, sol sütuna 1 eklenir:
Bu yöntem 'taşıma' (İngilizce carrying) olarak bilinir.
Sayıların toplanması

Toplama işleminin genel özelliklerini kanıtlamak için, öncelikle söz konusu bağlamda toplama işleminin tanımı yapılmalıdır. İlk olarak, toplama işlemi doğal sayılar üzerinde tanımlanır. Daha sonra, bu tanımlama, küme teorisi içinde, doğal sayılardan daha büyük kümelere genişletilir: tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılar gibi. (Matematik eğitiminde, negatif sayılar ele alınmadan önce pozitif kesirler toplanır; bu aynı zamanda tarihsel bir yaklaşımdır.)
Sayıların toplanması > Doğal sayılar

Daha fazla bilgi: Doğal sayılar
İki doğal sayının a ve b toplamını tanımlamanın iki yaygın yolu vardır. Doğal sayıların sonlu kümelerin kardinal sayıları olduğu şeklinde tanımlanması durumunda (bir kümenin kardinalitesi kümenin içerdiği öğelerin sayısıdır), toplama işlemi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:
N(S), S kümesinin kardinal sayısı olsun. A ve B, N(A) = a ve N(B) = b olacak şekilde ayrık iki küme seçilir. Bu durumda a + b,  N(A\cup B) olarak tanımlanır. Burada, A ∪ B, A ve B'nin birleşimidir. Bu tanımın alternatif bir versiyonu, A ve Bnin örtüşebileceğine izin verir ve ardından ortak elemanların ayrılmasını, dolayısıyla iki kez sayılmasını sağlayan ayrık birleşimlerini alır.
Diğer popüler tanım ise yinelemelidir (rekursif):
n'+, nin varisi olsun, yani nin doğal sayılardaki ardılı, 0+=1, 1+=2 olsun. a + 0 = a olarak tanımlayın. Genel toplamı yinelemeli olarak a + (b+) = (a + b)+ şeklinde tanımlayın. Böylece 1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2 olur.
Yine, bu tanım üzerinde literatürde küçük varyasyonlar vardır. Sözcüğün tam anlamıyla, yukarıdaki tanım, kısmi sıralı küme N2 üzerinde özyinelemenin bir uygulamasıdır. Diğer taraftan, bazı kaynaklar sadece doğal sayılar kümesine uygulanan kısıtlı bir yineleme teoremini tercih eder. Biri ayı geçici olarak "sabit" olarak kabul eder, b üzerinde yineleme uygular "a +" fonksiyonunu tanımlar ve bu tekli işlemleri tüm alar için bir araya getirerek tam ikili işlemi oluşturur.
Sayıların toplanması > Rasyonel sayılar (kesirler)

Rasyonel sayıların toplama işlemi, en küçük ortak payda kullanılarak gerçekleştirilebilir; ancak, daha anlaşılır ve kavramsal olarak basit bir tanım, yalnızca tam sayıların toplama ve çarpma işlemlerini gerektirir:
Toplama işlemi  {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}} formülü ile tanımlanır.
Bir örnekte,  {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}} şeklinde toplam hesaplanmıştır; bu, kesirlerin toplanması sırasında yapılan işlemlerin basit bir gösterimidir.
Kesirlerin toplanması, paydaların eşit olması durumunda oldukça basitleşir; bu durumda, paylar doğrudan toplanırken payda sabit tutulur:  {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}} formülüyle, örneğin  {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}} hesaplanır.
Rasyonel sayıların toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri, tam sayı aritmetiğinin temel yasalarının doğal bir sonucudur.
Sayıların toplanması > Reel sayılar

Reel sayılar kümesinin oluşturulması sıklıkla, rasyonel sayılar kümesinin Dedekind yöntemiyle tamamlanması şeklinde gerçekleştirilir. Reel bir sayı, rasyonel sayıların Dedekind kesiti olarak ifade edilir; bu, aşağı doğru kapalı ve en büyük elemanı olmayan rasyonel sayılardan oluşan boş olmayan bir küme olarak karakterize edilir. a ve b gibi reel sayıların toplamı, elemanlar üzerinden aşağıdaki şekilde tanımlanır:
Toplama işlemi,  a+b={q+r\mid q\in a,r\in b} formülü ile elemanlar bazında belirlenir. Bu tanımlama, her iki reel sayı içindeki elemanların kapsamlı bir şekilde birleştirilmesini sağlar ve bu birleştirme sonucu yeni bir reel sayı kümesi oluşturulur.
Bu tanım, Richard Dedekind tarafından 1872 yılında, orijinalinden biraz değiştirilmiş bir biçimde ilk kez yayımlanmıştır.
Reel sayıların toplama işlemi üzerine tanımlanan değişme ve birleşme yasaları, hemen kavranabilir niteliktedir; reel sıfır sayısının negatif rasyonel sayılar kümesi olarak tanımlanmasıyla, bu sayının toplamsal özdeşlik elemanı olduğu açıkça görülmektedir. Bu yapısal tanımın toplama ile ilişkili en zorlu kısmı, toplamsal terslerin tanımlanmasıdır. Bu, yapısal matematikte önemli bir meydan okumayı temsil eder ve matematiksel titizliğin önemini vurgular.
Ne yazık ki, Dedekind kesitlerinin çarpılması, işaretli tam sayıların toplanmasına benzer şekilde, zaman alıcı ve duruma özgü bir süreç gerektirir. Alternatif bir yöntem olarak rasyonel sayıların metrik tamamlanması önerilmektedir. Reel sayı, temelde rasyonel sayıların bir Cauchy dizisinin limiti olarak tanımlanmaktadır, lim an. Bu bağlamda toplama işlemi, terim terim şeklinde belirlenir:
\lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}) şeklinde tanımlanır.
Bu tanım ilk olarak Georg Cantor tarafından 1872 yılında ortaya konulmuştur, ancak onun kullandığı formalizm biraz daha farklı niteliktedir.
Bu toplama işleminin uygun şekilde tanımlandığının kanıtlanması gerekmektedir, bu da yardımcı-Cauchy dizileri ile ilgili işlemleri kapsar. Bu aşama tamamlandığında, reel sayıların toplama işlemine ilişkin tüm özellikler, rasyonel sayıların özelliklerinden doğrudan türetilebilir. Ek olarak, çarpma dahil olmak üzere diğer aritmetik işlemler de benzer bir şekilde basit ve benzeşen tanımlara sahiptir. Bu kavramsal çerçeve, sayı teorisindeki aritmetik işlemlerin genişletilmesi için temel oluşturur.
Sayıların toplanması > Karmaşık sayılar

Karmaşık sayıların toplanması, bu sayıların gerçek ve sanal bileşenlerinin toplanarak hesaplanması işlemiyle yapılmaktadır:
Karmaşık sayıların karmaşık düzlemde görselleştirilmesiyle, toplama işleminin geometrik yorumu şu şekilde gerçekleştirilir: Karmaşık düzlemde, noktalar olarak kabul edilen iki karmaşık sayı A ve B'nin toplamı, O, A ve B noktaları arasında oluşturulan bir paralelkenar ile elde edilen X noktasıdır. Alternatif bir ifadeyle, X noktası, köşeleri O, A, B ve diğer üçgenin köşeleri X, B, A olan ve birbirleriyle eşleşik olan üçgen aracılığıyla tanımlanmaktadır. Bu yorumlama, karmaşık sayıların toplamının, geometrik olarak nasıl temsil edilebileceğini açıklamaktadır.
Genellemeler

Reel sayılardaki toplama işlemine benzer birçok ikili işlem bulunmaktadır. Soyut cebir disiplini, bu tür genelleştirilmiş işlemlerle yoğun olarak ilgilenmektedir ve bu işlemler küme teorisi ile kategori teorisi alanlarında da sıklıkla ele alınmaktadır.
Genellemeler > Soyut cebir > Vektörler

Lineer cebir alanında, bir vektör uzayı, herhangi iki vektörün toplanabilmesini ve vektörlerin ölçeklendirilebilmesini mümkün kılan cebirsel bir yapıdır. Reel sayı çiftlerinin tümü, tanıdık bir vektör uzayını oluşturur; (a,b) sıralı çifti, Öklid düzlemindeki orijinden (a,b) noktasına uzanan bir vektör olarak yorumlanabilir. İki vektörün toplamı, onların koordinatlarının tek tek toplanması ile sağlanır:
Bu toplama işlemi, klasik mekanik alanında temel bir işlem olarak kabul edilir; bu alanda hızlar, ivmeler ve kuvvetler vektörlerle ifade edilir. Bu, vektörlerin fiziksel büyüklükleri temsil etme kapasitesinin önemini vurgular.
Genellemeler > Soyut cebir > Matrisler

İki matrisin toplama işlemi, yalnızca aynı boyutlardaki matrisler için uygulanabilir bir işlemdir. m × n (okunuşu "m çarpı n") ebatlarında olan A ve B matrislerinin toplamı, A + B ile ifade edilir ve sonuç olarak elde edilen matris yine bir m × n matrisidir. Bu toplama işlemi, matrislerin karşılık gelen elemanlarının birbiriyle toplanması yoluyla gerçekleştirilir: Bu yöntem, lineer cebirde temel bir araç olarak kabul edilir ve matrislerin eleman bazında işlem görmesi, bu alandaki çeşitli problemlerin çözümünde kullanılır.
Örneğin:
Genellemeler > Soyut cebir > Modüler aritmetik

Ana madde: Modüler aritmetik
Modüler aritmetikte, kullanıma sunulan sayılar kümesi tam sayıların sonlu bir alt kümesine indirgenmiş olup, toplama işlemi bir modülüs değerine ulaşıldığında döngüsel bir karakter gösterir. Örneğin, 12 modülü tam sayılar kümesi on iki eleman içerir ve tam sayılardan miras alınan bir toplama operasyonunu barındırır ki bu operasyon, müzikal set teorisinde temel bir role sahiptir. İki elemandan oluşan 2 modülü tam sayılar kümesi, Boolean mantığı içerisinde "exclusive or" fonksiyonu olarak tanımlanan bir toplama operasyonunu miras alır. Geometride de benzer bir döngüsel işlem gözlemlenir; burada iki açı ölçüsünün toplamı, genellikle reel sayılar cinsinden 2π modülünde hesaplanır. Bu durum, daire üzerinde bir toplama işlemine işaret eder ve bu işlem, çok boyutlu toruslar üzerindeki toplama operasyonlarının genelleştirilmesine olanak tanır.
Genellemeler > Soyut cebir > Genel teori

Soyut cebirin genel kuramı, bir küme üzerinde tanımlanan "toplama" işleminin birleşimli ve değişmeli nitelikteki herhangi bir işlem olabileceğini öngörür. Bu tür bir toplama işlemine dayanan temel cebirsel yapılar, değişmeli monoidler ve abelyen gruplar gibi yapıları içerir.
Genellemeler > Küme teorisi ve kategori teorisi

Doğal sayıların toplamasının kapsamlı bir genelleştirmesi, küme teorisinde sıral sayılar ve kardinal sayıların toplanması şeklinde gerçekleştirilir. Bu yaklaşımlar, doğal sayıların toplanmasını sonluötesi sayılara taşıyan iki farklı metodoloji sunar. Çoğu toplama işleminden ayrılarak, sıral sayıların toplaması değişmeli bir özellik göstermez. Öte yandan, kardinal sayıların toplaması, ayrık birleşim operasyonuna sıkı sıkıya bağlı olan değişmeli bir işlem olarak tanımlanır.
Kategori teorisinde, ayrık birleşim, altçarpım işleminin belirli bir örneği olarak ele alınır, ve genel altçarpımlar, toplamanın genelleştirmeleri içinde muhtemelen en soyut olanlardır. Bazı altçarpımlar, doğrudan toplam ve çatal toplam gibi, adlandırmalarıyla toplama işlemiyle olan ilişkilerini yansıtmaktadırlar.
İlişkili işlemler

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme ile birlikte, temel işlemler arasında sayılır ve temel aritmetik alanında sıklıkla kullanılır.
İlişkili işlemler > Aritmetik

Çıkarma, bir toplamsal ters ekleme şeklinde, bir tür toplama işlemi olarak kabul edilebilir. Çıkarma, toplama işleminin bir tür tersi olarak işlev görür; zira x eklemek ve x çıkarmak, birbirinin ters fonksiyonu olarak hareket eder.
Bir toplama işlemine sahip olan kümede, her durumda karşılık gelen bir çıkarma işlemi tanımlamak mümkün olmayabilir; doğal sayılar kümesi bu duruma basit bir örnek teşkil eder. Öte yandan, bir çıkarma işlemi, bir toplama işlemi, toplamsal ters işlem ve toplamsal birim öğeyi zorunlu kılar; bu nedenle, toplamsal bir grup, çıkarma işlemine kapalı bir küme olarak ifade edilebilir.
Çarpma, tekrarlı toplama şeklinde yorumlanabilir. Eğer bir toplam içerisinde x terimi n kere bulunuyorsa, bu toplam n ve x değerlerinin çarpımına eşittir. n bir doğal sayı değilse bile, çarpma işlemi anlamını korur; örneğin, −1 ile yapılan çarpma, bir sayının toplamsal tersine ulaşılmasını sağlar.
Reel ve karmaşık sayılar alanında, üstel fonksiyon aracılığıyla toplama ve çarpma işlemleri birbirinin yerine geçebilir:
Bu eşitlik, çarpma işleminin, tablolardaki logaritma değerlerine başvurularak ve toplama işleminin elle hesaplanarak yapılmasını mümkün kılar; bu aynı zamanda bir cetvel kullanılarak çarpma işlemi yapılmasını da sağlar. Bu formül, Lie grubunun geniş bağlamında hala geçerli bir birinci derece yaklaşım sunar; burada, ilişkili Lie cebirinde vektörlerin toplanması ile sonsuz küçük grup elemanlarının çarpımı arasında bir bağ kurulur.
Çarpma işlemi, toplama işlemine kıyasla daha fazla genelleştirilebilir. Genel olarak, çarpma işlemleri sürekli olarak toplama üzerinde dağılım göstermektedir; bu zorunluluk bir halkanın tanımında somutlaştırılmıştır. Bazı durumlarda, örneğin tam sayılar gibi, toplama üzerindeki dağılma ve çarpmada birim elemanın bulunması, çarpma işleminin kendine özgü şekilde tanımlanmasını sağlar. Dağılma özelliği, toplama işlemi hakkında da bilgi verir; (1 + 1)(a + b) çarpımını her iki taraftan açarak, toplamanın değişmeli olması gerektiği sonucuna ulaşılır. Bu sebeple, genellikle halka toplamaları değişmelidir.
Bölme işlemi, toplama işlemiyle dolaylı olarak ilişkili bir aritmetik işlem olarak tanımlanır. a/b = a(b−1), ifadesi gereğince, bölme işlemi toplama işlemine göre sağdan dağılımlıdır: (a + b) / c = a/c + b/c. Bununla birlikte, bölme işlemi toplama işlemine göre soldan dağılım özelliği göstermez; örneğin, 1 / (2 + 2) ifadesi 1/2 + 1/2 ile eşdeğer değildir.
İlişkili işlemler > Sıralama

"max (a, b)" işlemi, toplama işlemine benzer bir ikili işlem olarak tanımlanır. Gerçekte, a ve b gibi iki negatif olmayan sayı farklı büyüklük mertebeleri gösterdiğinde, bunların toplamı genellikle maksimum değerlerine yaklaşık olarak eşdeğerdir. Bu yaklaşık değer, matematiğin çeşitli uygulama alanlarında, örneğin Taylor serisi kısaltmalarında büyük önem taşır. Ancak, "max" işleminin tersinir olmaması, nümerik analizde devam eden zorluklara neden olur. Eğer b değeri a değerinden önemli ölçüde büyükse, (a + b) − b şeklinde yapılan basit bir hesaplama, kabul edilemez düzeyde bir yuvarlama hatası toplayabilir ve hatta sonuç sıfır olarak dönebilir.
Bu yaklaşık değer, bir tür sonsuz sınır durumunda kesinlik kazanır; a veya b sonsuz bir kardinal sayı olduğunda, kardinal toplamları büyük olan iki değerle tam olarak eşitlenir. Bu nedenle, sonsuz kardinal sayılar için çıkarma işlemi tanımlanmamıştır.
Maksimizasyon, toplama işlemi gibi hem değişmeli hem de birleşmelidir. Dahası, toplama işlemi reel sayıların sıralamasını koruduğundan, çarpma işlemi toplama işlemi üzerinde nasıl dağılıyorsa, toplama işlemi de "max" işlemi üzerinde aynı şekilde dağılım gösterir:
Bu gerekçelerle, tropikal geometri alanında, çarpma işlemi toplama işlemi ile yer değiştirirken, toplama işlemi de maksimizasyon işlemi ile değiştirilmektedir. Bu kapsamda, toplama işlemi "tropikal çarpma" olarak, maksimizasyon ise "tropikal toplama" olarak isimlendirilir ve tropikal "toplamsal kimlik" negatif sonsuzluk olarak tanımlanmaktadır. Bazı yazarlar ise toplama işlemini minimizasyon ile değiştirmeyi yeğlemektedirler; bu durumda toplamsal kimlik pozitif sonsuzluk olarak kabul edilir.
Bu gözlemleri bir araya getirilmesiyle, tropikal toplama, logaritma kullanılarak standart toplama işlemiyle yaklaşık bir ilişki kurar:
Bu bağlantı, logaritmanın tabanı büyüdükçe artan bir doğrulukla sağlanmaktadır. Yaklaşık değer, kuantum mekaniği alanından alınan Planck sabitine benzetme yapılarak isimlendirilen h sabiti çıkarılarak tam bir doğruluk kazanabilir, ve h değeri sıfıra yaklaştıkça alınan "klasik limit" ile:
Bu perspektiften, maksimum işlem, toplamanın dekuantize edilmiş bir versiyonu olarak değerlendirilir.
İlişkili işlemler > Diğer toplama teknikleri

Artırma, diğer bir adıyla ardıl işlemi, bir sayıya 1 eklemeyi içerir.
Toplam işlemi, genellikle iki sayıdan fazlasının eklenmesini ifade eder ve bu kapsamda, bir sayının kendisiyle olan toplamı ve boş toplam olarak adlandırılan sıfır değeri de dahil edilir. Sonsuz bir toplam işlemi, seri olarak tanımlanan ve özen gerektiren bir süreçtir.
Bir sonlu kümenin sayılması, o kümedeki birlerin toplamına denk gelir.
İntegrasyon, genellikle bir süreklilik üzerinde veya daha geniş ve kesin bir ifadeyle, bir türevlenebilir manifoldlar üzerinde yapılan bir tür "toplam" işlemidir. Sıfır boyutlu bir manifold üzerindeki integrasyon, toplama işlemine indirgenmektedir.
Doğrusal kombinasyonlar, çarpma ve toplama işlemlerini bir araya getirirler; her bir terim, genellikle bir reel veya karmaşık sayı olan bir çarpan içerir. Doğrusal kombinasyonlar, özellikle basit toplamanın normalleştirme kurallarını ihlal edeceği durumlar için yararlıdır, örneğin oyun teorisinde stratejilerin karıştırılması veya kuantum mekaniğinde durumların süperpozisyonu gibi.
Konvolüsyon, dağılım fonksiyonları ile tanımlanmış iki bağımsız rassal değişkenin toplanmasında kullanılır. Bu işlemin standart tanımı, integrasyon, çıkarma ve çarpma işlemlerini birleştirir. Genel olarak, konvolüsyon, bir tür alan tarafından yapılan toplama işlemi olarak işlev görürken, vektör toplaması ise aralık tarafından yapılan toplama işlemi olarak değerlendirilir.
Diğer okumalar

Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development. Routledge. s. 75. ISBN 0-8058-3155-X.
Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Mathematics: Explorations & Applications. TE. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-435817-8.
Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The Historical roots of Elementary Mathematics. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0.
Poonen, Bjorn (2010). "Addition". Girls' Angle Bulletin. 3 (3–5). ISSN 2151-5743. 20 Nisan 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Nisan 2024.
Weaver, J. Fred (1982). "Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective". Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. s. 60. ISBN 0-89859-171-6.
"Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar" (PDF). 17 Kasım 2022 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 17 Kasım 2022.
Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1.".  Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (Ed.). Taschenbuch der Mathematik (Almanca). 1. Ziegler, Viktor tarafından çevrildi. Weiß, Jürgen (23 bas.). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). ss. 115-120. ISBN 978-3-87144-492-0.
Matematik Terimleri Sözlüğü. Türk Dil Kurumu. 1983.
Hempel, Carl G. (2001). The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality.
R., Fierro (2012). Mathematics for Elementary School Teachers (İngilizce). Cengage Learning.
Moebs, William; Ling, Samuel J. (2022). "1.4 Dimensional Analysis". University Physics Volume 1 (İngilizce). OpenStax. ISBN 978-1-947172-20-3. 2 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Kasım 2022.
Randerson, James (21 Ağustos 2008). "Elephants have a head for figures". The Guardian (İngilizce). 2 Nisan 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Mart 2015.
| --- | --- |
Otorite kontrolü :  BNF: cb11976283t (data)  GND: 4296282-1  LCCN: sh85000817  NKC: ph898518  NLI: 987007292953205171 
Toplama işareti
Sütun toplaması – sütunlardaki sayıların toplamı alt çizginin altına yazılan sayıdır.
4 + 2 = 2 + 4
2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3
5 + 0 = 5
Operasyonel yükselteç kullanılarak yapılan toplama işlemi.
Charles Babbage'ın fark makinesine ait parçalar, toplama ve taşıma mekanizmalarını içermektedir.
"Tam toplayıcı" mantık devresi, A ve B ikili basamaklarına ve bir taşıma girişi Cin olacak şekilde toplama işlemi yaparak, sonuç olarak toplam biti S ve bir taşıma çıkışı Cout elde eder.
π2/6 ve e sayılarının rasyonel sayılar üzerindeki Dedekind kesitleri ile toplama işlemi.
π2/6 ve e değerlerinin rasyonel sayıların Cauchy dizileri aracılığıyla toplanması.
İki karmaşık sayının toplama işlemi, bir paralelkenar konstrüksiyonu ile geometrik olarak gerçekleştirilebilir.
Bir dairesel cetvel.
x + 1 ile max (x, 1) arasındaki ilişkinin x = 0.001'den 1000'e kadar olan log-log grafiği
HK Neftyanik (Elmet)

| HK Neftyanik |
| --- | --- |
Şehir: Elmet
Lig: Tüm Rusya Hokey Ligi
Konferans: 2
Bölüm: C
Kuruluş: 1965
İç saha mekanı: Yubileyni Spor Sarayı
Renkler:        
Baş antrenör:  İlnur Gizatullin
Bağlı kuruluşlar: Ak Bars Kazan (KHL) Sputnik Almetyevsk (MHL-B)
Websitesi: ahc-neftyanik.ru
HK Neftyanik (Rusça: Хоккейный клуб Нефтяник; Tatarca: «Нефтче» Әлмәт хоккей клубы), Tüm Rusya Hokey Ligi'nde oynayan bir Rus erkek profesyonel buz hokeyi takımıdır. Kulüp, 1965 yılında kurulmuş olup Elmet merkezlidir ve iç saha maçlarını Yubileyni Spor Sarayı'nda oynamaktadır.
HK Neftyanik, Kıtasal Hokey Ligi takımlarından Ak Bars Kazan'ın yan takımıdır.
David Stone

| David Stone |
| --- | --- |

Doğum: 14 Ağustos 1972 Eaubonne, Fransa
Meslek: Oyuncu, yazar, yapımcı ve sihirbaz
Etkin yılları: 1999-günümüz

David Stone, (d. 14 Ağustos 1972, Eaubonne), Fransız oyuncu, yazar, yapımcı ve sihirbazdır. Yakın masa ve para sihirbazlığı konusunda uzmanlaşmıştır.
Hayatı

David Stone 14 Ağustos 1972 tarihinde Fransa'da Eaubonne şehrinde doğdu. Edebiyat ve sinema konusunda tutkulu bir ailenin çocuğu olarak büyüyen David, henüz 6 yaşında müzik ve gitarla tanıştı. 19 yaşında, bir okul arkadaşı onu sihir sanatı ve kart manipülasyonuyla tanıştırdı. 23 yaşında, Fransa'da Diavol Büyük Ödülünü kazandı. 24 yaşında, Avrupa Şampiyonası'nda Gold Dove ödülünü aldı. Aynı yıl Küba'da Close-up büyük ödülünü kazandı. 1995 yılında, Fransız sihirbaz Stephane Jardonnet ile tanıştı ve birlikte David'in oynadığı ilk videolarını çektiler. Bu video, Amerikan piyasasında çıkan ilk Fransız programı oldu. 40 ülkenin üzerinde satış yaptı. Amines Üniversitesi'nde Filozofi dalında diploma aldıktan sonra, David profesyonel sihirbazlığa başladı. 1999 yılından itibaren, masa sihirbazlığı konusunda konferanslar vermeye başladı. Bu çalışmalarını 19 ülkeye taşıdı. Ardından Saint Tropez'e gitti ve orada birçok ünlü restoranda çalıştı. Videoları ve komedi yaklaşımı ile, dünyanın tanınan sihirbazlarından biri oldu. 2001 yılında sihirbaz ve DVD yapımcısı Jean-Luc Bertrand ile tanıştı. Bu başarılı ortaklıkları çok sayıda kısa film ve sihir DVD'si üretimi sağladı. İlk kısa filmleri Las Vegas Magic Film Festivali'nde 1.lik ödülü aldı. 2003 yılında FFFF konferansında, David en değerli performansçı ödülünü aldı. Son kitabı "Close-Up: Sihrin gerçek sırları" Fransa'da en çok satanlar arasına girdi ve 15 gün içinde tükendi. Aynı kitabın DVD'si ise yılın sihir DVD'si ödülüne aday gösterildi. 2006 yılında David, Dünya Şampiyonası'nda, 3.'lük ödülünü kazandı. 2008 yılında ise TMW En İyi Sihirbaz ödülünü aldı. 2010 senesinde ise FFFF tarafından onur konuğu olarak davet aldı. David, bu onuru son kırk yıl içerisinde alan ikinci Fransız sihirbaz oldu.
Bibliyografi

Mietek (1998)
Secrets of table hopping (1999)
Light my Fire (1999)
X rated (2000)
Made in France (2001)
Cocoon (2002)
Close-up : The real secrets of magic (2005)
Filmografi

Basic coin magic (1995) - Stéphane Jardonnet Productions
Génération Imagik Vol. 2 (1996) - Joker Deluxe Productions
Coin Magic Vol. 2 (1997) - Stéphane Jardonnet Productions/David Stone
David Stone’s fabulous close-up lecture (1999) - International magic
Quit smoking (2001) - Magic Boutique
Live in Boston (2002)- MagicZoom Entertainment
Best of the best Vol. 11 (2003) - International Magicians Society
Best of the best Vol. 12 (2003) - International Magicians Society
Best of the best Vol. 13 (2003) - International Magicians Society
Live at FFFF (2004)- MagicZoom Entertainment
The real secrets of magic Vol. 1 (2006) - MagicZoom Entertainment/Close-up Magic
The real secrets of magic Vol. 2 (2007) - MagicZoom Entertainment/Close-up Magic
Cell (2008) - MagicZoom Entertainment/Bonne Nouvelle Production
Window (2009) - MagicZoom Entertainment/Close-up Magic
The Real Secrets of David Stone (2010) - MagicZoom Entertainment/Close-up Magic
Tool (2011) - MagicZoom Entertainment
Reel Magic (2012) - Issue n° 30 - Kozmo Magic
Yapımlar

Co-producer of Yannick Chretien (2009) - MagicZoom Entertainment/Close-up Magic
Co-producer of Nestor Hato (2008) - MagicZoom Entertainment/Close-up Magic