stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Asal sayı
Soyut cebir > p-sel sayılar

Ana madde: p-sel sayılar
Bir tam sayının  p-sel düzeni  \nu _{p}(n),  n sayısının asal çarpan ayrıştırmasında  p asalının kaç defa yer aldığının göstergesidir. Bu kavram, tam sayılar için geçerli olduğu gibi, rasyonel sayılar için de, bir kesirin  p-sel düzeninin  \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n) olarak tanımlanmasıyla genişletilebilir. Herhangi bir rasyonel sayı için  p-sel mutlak değer  |q|_{p},  |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)} şeklinde ifade edilir. Bir tam sayının  p-sel mutlak değeri ile çarpılması, onun çarpan ayrıştırmasındaki  p asal çarpanlarını ortadan kaldırır, sadece diğer asal sayıları bırakır. Tıpkı iki gerçek sayı arasındaki uzaklığın, onların farklarının mutlak değeri ile ölçülebilmesi gibi, iki rasyonel sayı arasındaki uzaklık da onların  p-sel uzaklığı, yani farklarının  p-sel mutlak değeri ile ölçülebilir. Bu uzaklık tanımına göre, iki sayı birbirine yakın kabul edilir (küçük bir uzaklığa sahiptirler) eğer farkları  p'nin yüksek bir derecesi ile bölünebiliyorsa. Rasyonel sayıların ve onların uzaklıklarının ek sınırlayıcı değerler eklenerek gerçek sayılar gibi bir tam alan oluşturulduğu şekilde,  p-sel uzaklık ile rasyonel sayılar, farklı bir tam alan olan  p-sel sayılar olarak genişletilebilir.
Bu düzen, mutlak değer ve bu kavramlardan türetilmiş tam alan kavramı, cebirsel sayı alanları ve bu alanların değerlendirmeleri (alanın çarpımsal grupundan tamamen sıralı bir toplamsal gruba, düzen olarak da adlandırılan, özel eşlemeler), mutlak değerler (alanı gerçek sayılara çarpan olarak eşleyen, norm olarak da bilinen, özel çarpan eşlemeler) ve yerler (verilen alanın yoğun bir küme olarak yer aldığı, tamamlamalar olarak adlandırılan, tam alanlara yapılan genişletmeler) kavramlarına genelleştirilebilir.
Örneğin, rasyonel sayılardan reel sayılara yapılan genişleme, sayılar arasındaki uzaklığın, onların farklarının alışılagelen mutlak değerine dayandığı bir yer olarak tanımlanabilir. Bu bağlamda, bir toplamsal gruba yapılan karşılık gelen eşleme, mutlak değerin logaritması olurdu, fakat bu, bir değerlendirme için gerekli olan tüm özellikleri sağlamaz. Ostrowski teoremine göre, doğal bir denklik anlayışına kadar, gerçek sayılar ve  p-sel sayılar, onların düzen ve mutlak değerleri ile, rasyonel sayılar üzerinde tanımlanmış tek değerlendirmeler, mutlak değerler ve yerlerdir. Yerel-küresel prensip, rasyonel sayılar üzerindeki belirli sorunların, onların her bir yerinden elde edilen çözümlerin birleştirilmesi yoluyla çözülebilmesini sağlar, bu durum asal sayıların sayı teorisindeki kritik önemini bir kez daha altını çizer.
Soyut cebir > Halkalarda asal elemanlar

Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin belirlendiği bir cebirsel yapı olan değişmeli halka, matematiksel yapıların bir çeşididir. Tam sayılar, bu yapıların bir örneği olup, tam sayılar içerisinde yer alan asal sayılar, asal elemanlar ve indirgenemez elemanlar şeklinde iki farklı yöntemle genellenmiştir.  R halkasındaki sıfırdan farklı  p elemanı, çarpmaya göre tersi olmadığında (yani bir birim olmadığında) ve  p elemanı,  R'nin iki elemanının çarpımı  xy'i böldüğünde,  x veya  y elemanlarından en az birini bölebilme özelliğini gösterdiğinde asal olarak nitelendirilir. Bir elemanın ne bir birim ne de iki birim olmayan elemanların çarpımı olmaması durumunda ise indirgenemez olarak tanımlanır. Tam sayılar halkasında asal ve indirgenemez elemanlar aynı küme içinde bulunur,
Herhangi bir halkada, bütün asal elemanlar indirgenemez niteliktedir. Bu durumun tersi genellikle doğru olmamakla birlikte, benzersiz çarpanlara ayırma alanları için geçerlidir.
Aritmetiğin temel teoremi, tanımı gereği, benzersiz çarpanlara ayırma alanları çerçevesinde geçerliliğini korur. Bu tür alanların bir örneği olarak  \mathbb {Z} [i] üzerinden tanımlanan Gauss tam sayıları gösterilebilir. Bu alan,  a ve  b herhangi tam sayılar olmak üzere,  a+bi formundaki karmaşık sayılardan oluşan bir halkayı ifade eder ve bu bağlamda  i, hayali birimi temsil eder. Bu yapıdaki asal elemanlara Gauss asal sayıları adı verilir. Tam sayılar arasında asal kabul edilen her sayının, Gauss tam sayıları içinde asal olarak kabul edilmemesi mümkündür; mesela, 2 sayısı,  1+i ve  1-i olmak üzere iki Gauss asalının çarpımı olarak ifade edilebilir. 3 mod 4 ile kongruent olan rasyonel asallar, Gauss tam sayılarında asal olarak kabul edilirken, 1 mod 4 ile kongruent olan rasyonel asallar asal olarak kabul edilmez. Bu durum, Fermat'nın iki kare toplamı üzerine teoreminden kaynaklanır; bu teorem, tek bir asal sayı  p'nin,  p=x^{2}+y^{2} formunda iki karenin toplamı olarak ifade edilebileceğini ve bu sayede  p 1 mod 4 iken  p=(x+iy)(x-iy) şeklinde çarpanlara ayrılabileceğini öngörür.
Soyut cebir > Asal idealler

Bütün halkaların benzersiz çarpanlara ayrılabilen bölgeler olduğu genellenemez. Örnek olarak, tam sayılar  a ve  b için tanımlanan  a+b{\sqrt {-5}} sayılar halkasında,  21 sayısı  21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}}) şeklinde iki farklı çarpanlara ayrılabilir, ancak bu çarpanların hiçbiri daha ileri indirgenebilir durumda değildir; bu da benzersiz çarpanlara ayrım özelliğinin bulunmadığını gösterir. Benzersiz çarpanlara ayrım özelliğinin geniş bir halkalar sınıfına uygulanabilmesi için, sayı kavramı, bir halkanın öğeleri alt kümesi olan ve bu öğelerin çiftlerinin tüm toplamları ile halka öğeleri ile olan tüm çarpımlarını barındıran bir ideal ile yer değiştirebilir.
Asal idealler, bir asal öğenin ürettiği başlangıç idealinin bir asal ideal olması anlamında asal öğeleri genelleştiren ve değişmeli cebir, cebirsel sayılar teorisi ile cebirsel geometri alanlarında önemli bir araç ve araştırma nesnesidir. Tam sayılar halkasının asal idealleri ise (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... şeklinde sıralanabilir. Aritmetiğin temel teoremi, bir Noetherian değişmeli halka içerisindeki her idealin, birincil ideallerin bir kesişimi olarak tanımlanabileceğini belirten Lasker–Noether teoremi ile genelleştirilmiştir; bu ideal türleri, asal kuvvetlerin uygun bir şekilde genellenmiş halidir.
Bir halkanın spektrumu, söz konusu halkanın asal ideallerini içeren noktalarla tanımlanan bir geometrik alandır. Aritmetik geometri alanı, bu kavramdan önemli ölçüde yararlanmakta ve sayı teorisi ile geometri disiplinleri arasında çeşitli kavramsal paralellikler bulunmaktadır. Mesela, bir alana genişletme işlemi sonucu asal ideallerin faktörizasyonu veya dalgalanması gibi cebirsel sayı teorisinin temel problemleri, geometride dalgalanma fenomeni ile benzer özellikler gösterir. Tam sayılar üzerine kurulu sayı teorisi problemlerinin çözümünde bu kavramlar etkili olabilir. Kuadratik sayı alanlarının tam sayılar halkasındaki asal idealler, tam sayı asal sayıları üzerinde kare köklerin varlığını ifade eden kuadratik karşılıklılık teoreminin ispatlanmasında kullanılabilmektedir.
Fermat'nın Son Teoremi'ni ispatlama çabalarının ilk aşamaları, siklotomik tam sayılarda benzersiz çarpanlara ayrılmanın başarısız olması ile ilişkilendirilen tam sayı asal sayıları olan düzenli asalların, Kummer tarafından literatüre kazandırılmasına yol açmıştır.
Cebirsel bir sayı alanında, kaç adet tam sayı asal sayısının, birden fazla asal idealin ürünü şeklinde faktörize olduğu meselesi, Çebotarev yoğunluk teoremi ile çalışılmıştır. Bu teorem, siklotomik tam sayılar bağlamında uygulandığında, aritmetik ilerlemelerde yer alan asal sayılar hakkındaki Dirichlet teoremini özel bir örnek olarak içermektedir.
Soyut cebir > Grup kuramı

Sonlu gruplar kuramında, Sylow teoremleri bir asal sayının  p^{n} kuvvetinin bir grubun mertebesine bölünebilmesi durumunda, ilgili grubun  p^{n} mertebesinde en az bir altgruba sahip olduğunu belirtir. Lagrange teoremi uyarınca, asal sayıda bir mertebe ile tanımlanan her grup bir döngüsel grup niteliğindedir
ve Burnside teoremi tarafından, mertebesi yalnızca iki farklı asal sayı ile bölünebilen her grup, çözülebilir özellik gösterir.
Hesaplamalı yöntemler

Genel anlamda sayı teorisi ve özellikle asal sayılar üzerine yapılan çalışmalar, uzun bir süre boyunca, saf matematiğin matematik dışında herhangi bir uygulaması olmayan kanonik bir örneği olarak kabul edilmiştir. Bunun istisnası, dişli çarkların aşınmasını eşit bir şekilde dağıtabilmek amacıyla dişli dişlerinin asal sayılarla belirlenmesi uygulamasıdır. Bu bağlamda, Britanya'dan matematikçi G. H. Hardy gibi sayı teorisyenleri, çalışmalarının açık bir şekilde herhangi bir askeri amaç taşımadığından dolayı övünç duymuştur.
1970'li yıllarda, asal sayıların açık anahtarlı şifreleme algoritmaları geliştirmek için bir temel olarak kullanılabileceğinin kamuoyuna duyurulmasıyla, sayı teorisinin saflık vizyonu ciddi bir şekilde sarsılmıştır.
Bu uygulamalar, asal sayılarla hesaplama yapabilen algoritmaların ve özellikle de bir sayının asal olup olmadığını belirlemeye yönelik yöntemlerin, yani asallık testlerinin, kapsamlı bir şekilde incelenmesini teşvik etmiştir.
Büyük sayılar için kullanışlı olmaktan uzak, en temel asallık testi yöntemi olan deneme bölme yöntemi, yavaşlığı sebebiyle eleştirilmiştir. Modern asallık testlerinin bir kısmı herhangi bir sayıya uygulanabilirken, özel türdeki sayılar için daha verimli testler geliştirilmiştir. Çoğunlukla, asallık testleri sadece argümanın asal olup olmadığını belirlemekle sınırlıdır. Bileşik argümanların bir asal çarpanını (veya tüm asal çarpanlarını) belirleyebilen rutinler, çarpanlara ayırma algoritmaları olarak tanımlanır.
Ayrıca, asal sayılar bilgisayar bilimlerinde denetim toplamlarında, anahtarlı tablolarda ve sanki rastgele sayı üreteçlerinde kullanım alanı bulmaktadır.
Hesaplamalı yöntemler > Deneme bölme yöntemi

Bir tam sayının asallık durumunun belirlenmesinde kullanılan en temel yöntem, deneme bölme olarak isimlendirilir. Bu metod, ilgili tam sayı  n'i 2'den başlayarak  n'in kareköküne kadar olan her tam sayıya bölme işlemi uygular. Bu sayılardan herhangi biri tarafından  n düzgün bir şekilde bölünebilirse,  n bileşik olarak tanımlanır; aksi halde asal olarak kabul edilir.
 n'in karekökünden büyük tam sayıların kontrol edilmesine gerek yoktur çünkü,  n=a\cdot b olduğu durumda,  a ve  b çarpanlarından biri her zaman  n'in kareköküne eşit veya ondan küçüktür. Bu yöntemin bir diğer iyileştirmesi, bu aralıkta yalnızca asal sayıların çarpan olarak kontrol edilmesidir.
Örnek olarak, 37 sayısının asal olup olmadığının belirlenmesi sürecinde, bu metod 2'den  {\sqrt {37}} değerine kadar olan asal sayılar, yani 2, 3 ve 5 sayıları ile bölme işlemi gerçekleştirir. Yapılan her bölme işlemi sıfırdan farklı bir kalan ile sonuçlandığı için, 37 sayısı asal olarak tanımlanır.
Bu metodun tanımı basit olmakla birlikte, büyük tam sayıların asallık testi için uygulanabilirliği sınırlıdır; zira, bu tam sayıların basamak sayısına bağlı olarak yürütülen testlerin sayısı, üstel bir artış göstermektedir. Bununla birlikte, bölücü büyüklüğü üzerinde karekökten daha az bir sınır belirlenerek kullanılan deneme bölme yöntemi, daha karmaşık yöntemlere başvurulmadan önce, küçük çarpanlara sahip bileşik sayıları hızla belirlemek amacıyla bu süzgeçten geçen sayılar üzerinde hâlâ tercih edilmektedir.
Hesaplamalı yöntemler > Kalbur yöntemleri

Ana madde: Eratosten kalburu
Bilgisayarların var olmadığı dönemlerde, verilen bir sınır değere kadar tüm asalların ya da asal çarpanlaştırmaların listelendiği matematiksel tablolar yaygın biçimde basılmaktaydı. Asal sayıların listesinin elde edilmesinde kullanılan en kadim yöntem, Eratosten kalburu olarak isimlendirilir. Bu yöntemin optimize edilmiş bir çeşidini gösteren animasyon, metodun uygulanışını görselleştirir.
Aynı problem için daha asimptotik açıdan daha verimli bir başka kalbur yöntemi Atkin kalburu olarak belirlenmiştir. İleri düzey matematikte, elek teorisi benzeri metodlar diğer problemlerin çözümünde de kullanılmaktadır.
Hesaplamalı yöntemler > Özel amaçlı algoritmalar ve en büyük bilinen asal sayı

Ana madde: Asal sayıların listesi
Bahse konu testlerin yanı sıra, özgün biçimdeki bazı sayıların asallık durumu, daha hızlı bir metodoloji kullanılarak test edilebilir. Örnek olarak, Lucas–Lehmer asallık testi, bir Mersenne sayısının (iki'nin bir kuvvetinden bir az olan) asal olup olmadığını, deterministik bir yaklaşımla, Miller–Rabin testinin tek bir yinelemesi kadar sürede tespit edebilmektedir. Bu sebepten ötürü, 1992 yılından itibaren ((21 Ekim 2024 (2024-10-21) itibarıyla)) en büyük bilinen asal sayı, sürekli olarak bir Mersenne asalı olagelmiştir.
Mersenne asallarının sonsuz olduğu varsayılmaktadır.
Aşağıdaki tablo, çeşitli kategorilerde tespit edilmiş en büyük asal sayıları içermektedir. Bu asal sayıların bir kısmı, dağıtık hesaplama yöntemiyle keşfedilmiştir. 2009 senesinde, en az on milyon rakam içeren bir asal sayıyı ilk defa bulma başarısı gösteren Great Internet Mersenne Prime Search projesi, yüz bin Amerikan doları mükafatına layık görülmüştür. Electronic Frontier Foundation, yüz milyon ve bir milyar rakam barındıran asal sayılar için sırasıyla yüz elli bin ve iki yüz elli bin dolar ödül sunmaktadır.
| Tip | Asal sayı | Basamak sayısı | Tarih | Kaşif |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Mersenne asal sayısı | 2136,279,841 − 1 | 41,024,320 | 12 Ekim 2024 | Luke Durant, Great Internet Mersenne Prime Search |
| Proth asal sayısı | 10,223 × 231,172,165 + 1 | 9,383,761 | Ekim 31, 2016 | Péter Szabolcs, PrimeGrid |
| Faktöriyel asal sayı | 208,003! − 1 | 1,015,843 | Temmuz 2016 | Sou Fukui |
| Primorial asal sayı | 1,098,133# − 1 | 476,311 | Mart 2012 | James P. Burt, PrimeGrid |
| İkiz asallar | 2,996,863,034,895 × 21,290,000 ± 1 | 388,342 | Eylül 2016 | Tom Greer, PrimeGrid |
Hesaplamalı yöntemler > Asal çarpanlara ayırma

Ana madde: Asal çarpanlara ayırma
Bir bileşik tam sayı olan  n için, onun bir veya tüm asal çarpanlarını tespit etme işlemi,  n sayısının çarpanlara ayrılması olarak isimlendirilir. Bu süreç, asallığın sınanmasından bariz bir şekilde daha zor bir hal almaktadır, ve birçok çarpanlara ayrılma algoritması tanımlanmış olmasına rağmen, bunlar en hızlı asallık testi metodlarına kıyasla daha yavaş çalışmaktadırlar. Deneme bölünmesi ve Pollard'ın rho algoritması gibi yöntemler,  n sayısının oldukça küçük çarpanlarını keşfetmek amacıyla kullanılabilir, ve  n sayısının az büyüklükte çarpanları varsa, elips eğri çarpanlarına ayırma yöntemi etkili olabilmektedir. Çarpanlarının büyüklüğünden bağımsız olarak, herhangi bir büyüklükteki sayılar için uygulanabilir yöntemler arasında kuadratik kalbur ve genel sayı alanı kalburu metodları yer almaktadır. Asallık testlerinde olduğu gibi, girdinin özgül bir yapıda olmasını zorunlu kılan çarpanlara ayrılma algoritmaları da mevcuttur; bunlar arasında özel sayı alanı kalburu bulunmaktadır. Aralık 2019 itibarıyla, genel amaçlı bir algoritmayla çarpanlarına ayrılmış en büyük sayı, 240 ondalık basamağa (795 bit) sahip RSA-240'dır ve bu, iki büyük asal sayının çarpımından meydana gelmektedir.
Shor algoritması, herhangi bir tam sayının çarpanlarına ayrıştırılmasını bir kuantum bilgisayar üzerinde polinomik sayıda işlem adımı ile gerçekleştirebilir. Bununla birlikte, günümüz teknolojisi, söz konusu algoritmayı sadece minimal büyüklükteki sayılar üzerinde uygulayabilmektedir. (Ekim 2012 (2012-10) itibarıyla), bir kuantum bilgisayarında Shor algoritmasını kullanarak çarpanlarına ayrılan en büyük sayı 21 olarak kaydedilmiştir.
Hesaplamalı yöntemler > Diğer bilgisayımsal uygulamalar

Çok sayıda açık anahtarlı şifreleme algoritması, örneğin RSA ve Diffie-Hellman anahtar değişimi gibi, büyük asal sayılar üzerine kuruludur (2048-bit asal sayılar yaygın kullanımdadır). RSA algoritması, iki (büyük) sayının çarpımı olan  x ve  y sayılarının çarpımını yapmanın, bu çarpım  xy sonucu bilindiğinde  x ve  y (aralarında aralarında asal kabul edilen) sayılarını bulmaktan çok daha kolay (yani daha etkili) olduğu önermesine dayalıdır. Diffie–Hellman anahtar değişim mekanizması,  a^{b}{\bmod {c}} şeklinde ifade edilen modüler üs alma işleminin etkili algoritmalarla gerçekleştirilebilmesi gerçeğine bağlıyken, bu işlemin tersi olan ayrık logaritma probleminin zor olduğu kabul edilmektedir.
Asal sayılar, hash tablolarında yaygın olarak tercih edilmektedir. Carter ve Wegman tarafından geliştirilen orijinal evrensel hashing metodolojisi, büyük asal sayılar cinsinden mod alınarak seçilen rastgele doğrusal fonksiyonlar aracılığıyla hash fonksiyonuların hesaplanmasına dayanır. Carter ve Wegman, bu metodu, yine büyük asal sayılar cinsinden mod alınarak daha yüksek dereceden polinomlar kullanılarak  k-bağımsız hashingi genelleştirerek iyileştirmiştir. Asal sayılar, hash fonksiyonlarının yanı sıra, kuadratik sondalama yöntemine dayalı hash tablolarında, sorgulama dizilerinin tablonun tamamını kapsayacak şekilde tasarlanmasını sağlamak amacıyla hash tablo boyutlarının belirlenmesinde de kullanılmaktadır.
Çeşitli sağlama toplamı yöntemleri, asal sayıların matematiğine dayalıdır. Mesela, Uluslararası Standart Kitap Numarası için kullanılan sağlama toplamları, asal bir sayı olan 11'e göre sayının mod alınarak hesaplanması yoluyla tanımlanmaktadır. 11 sayısının asal bir değere sahip olması, bu metodun hem tek basamaklı hataları hem de yan yana bulunan rakamların yer değiştirme hatalarını tespit edebilmesine olanak tanır. Adler-32 gibi başka bir kontrol toplamı yöntemi,  2^{16} değerinden küçük olan en büyük asal sayı 65521'e göre modüler aritmetik kullanmaktadır. Asal sayılar ayrıca, lineer eşleşik üreteciler ve Mersenne Twister gibi çeşitli rastgele sayı üreteci modellerinde temel birer bileşen olarak kullanılmaktadır.
Diğer uygulamalar

Asal sayılar, sayılar teorisinin yanı sıra, soyut cebir ve temel geometri gibi matematiğin diğer disiplinlerinde de geniş uygulama alanlarına sahiptir. Mesela, asal sayılar kadar noktanın iki boyutlu bir düzlem üzerine öyle bir yerleştirilmesi mümkündür ki, bu noktalardan herhangi üçü düz bir çizgi üzerinde konumlanmaz, üç-doğru-üzerinde-sorunu (İng. No-three-in-line problem) ya da bu noktalar arasından seçilen her üçlü tarafından oluşturulan üçgenlerin geniş alanlara sahip olması sağlanabilir. Ayrıca, bir polinomun indirgenemezliğinin, polinomun katsayılarının bir asal sayı ve bu asal sayının karesi ile bölünebilirliğine dayanarak tespit edilmesini sağlayan Eisenstein kriteri, indirgenemez polinomlar üzerine bir test olarak öne çıkmaktadır.
Asal sayı kavramı, matematiğin çeşitli dallarında farklı şekillerde genelleştirilmiş kadar önemlidir. Genellikle, "asal" kelimesi, uygun bir anlamda, minimaliteyi veya ayrıştırılamazlığı belirtir. Örneğin, verilen bir alanın asal alanı, hem 0 hem de 1'i içeren en küçük alt alandır. Bu, rasyonel sayılar alanı veya asal sayıda elemana sahip bir sonlu alandır, isminin kaynağı budur. Sıklıkla, "asal" kelimesi kullanılarak bir nesnenin, esasen benzersiz bir şekilde, asal bileşenlerine ayrıştırılabileceği anlamı da amaçlanır. Örneğin, düğüm teorisinde, bir asal düğüm iki önemsiz düğümün bağlı toplamı olarak yazılamayacak şekilde ayrıştırılamaz bir düğümdür. Herhangi bir düğüm, asal düğümlerin bağlı toplamı olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir. 3-boyutlu manifoldların asal ayrışımı bu türe başka bir örnektir.
Matematik ve bilgisayar bilimlerinin ötesinde, asal sayıların kuantum mekaniğine potansiyel ilişkileri mevcut olup, kültür ve edebiyat alanlarında metaforik öğeler olarak değerlendirilmişlerdir. Bunun yanı sıra, evrimsel biyoloji alanında, ağustos böceğilerinin yaşam evrelerinin izah edilmesinde asal sayılar başvurulan bir araç olmuştur.
Diğer uygulamalar > Yapılandırılabilir çokgenler ve çokgen bölümlendirmeleri

Fermat asalıları,
şeklinde tanımlanan ve  k negatif olmayan bir tam sayı olduğunda geçerli olan asal sayılar olarak bilinir. Bu terim, her biri bu formdaki sayıların asal olduğunu varsayan Pierre de Fermat'ya atfen kullanılır. İlk beş Fermat sayısı – 3, 5, 17, 257 ve 65,537 – asal niteliktedir,, fakat  F_{5} ve 2017 yılı itibarıyla incelenmiş diğer tüm Fermat sayıları bileşik olarak sınıflandırılmıştır. Bir düzenli  n-genin cetvel ve pergel kullanılarak çizilebilir olması, ancak ve ancak  n'in tek asal faktörleri (var ise) birbirinden farklı Fermat asalları olduğunda mümkündür. Benzer şekilde, bir düzenli  n-genin çizimi,  n sayısının asal çarpanlarının 2 veya 3'ün herhangi bir sayıda tekrarı ile birlikte, farklı Pierpont asalıları içeren (potansiyel olarak boş) bir küme olması durumunda, cetvel, pergel ve bir açı üçleyici kullanılarak gerçekleştirilebilir.
Herhangi bir dışbükey çokgenin,  n sayısı bir asal sayının kuvveti olduğunda, eşit alan ve eşit çevreye sahip  n adet daha küçük dışbükey çokgenlere ayrılması mümkündür; fakat  n değerinin asal sayının kuvveti dışındaki diğer değerleri için bu durumun geçerli olup olmadığı bilinmemektedir.
Diğer uygulamalar > Kuantum mekaniği

Hugh Montgomery ve Freeman Dyson'ın 1970'lerde gerçekleştirdikleri çalışmaların öncülüğünde, matematik ve fizik alanında uzmanlar, Riemann zeta fonksiyonunun kökleri ile kuantum sistemlerinin enerji düzeyleri arasında bir bağlantı olabileceğini öne sürmüşlerdir. Aynı zamanda, asal sayılar, karşılıklı olarak önyargısız tabanlar ve simetrik bilgi tamamlı pozitif-operatör-değerli ölçüm gibi matematiksel yapılar vasıtasıyla kuantum bilgi bilimi alanında da kritik bir öneme sahiptir.
Diğer uygulamalar > Biyoloji

Magicicada cinsi ağustos böceğilerinin uyguladığı evrimsel strateji, asal sayılardan faydalanmaktadır. Bu böcek türleri, ömürlerinin büyük bir kısmını yer altında larva formunda geçirmekte, yalnızca 7, 13 veya 17 yıl gibi asal sayıları temsil eden süreler sonunda erginleşip yeryüzüne çıkarlar, çiftleşirler ve birkaç hafta içinde yaşam döngülerini tamamlayarak ölürler. Bu asal sayılara dayanan üreme döngüsü sürelerinin, avcıların bu döngülere uyum sağlamasını engellemek amacıyla evrildiği biyologlar tarafından öne sürülmektedir.
Öte yandan, bambu bitkilerinde görülen çiçeklenme periyotlarının, çarpanlarında yalnızca küçük asal sayılar içeren pürüzsüz sayılar olduğu varsayılmaktadır. Bu durum, bambunun çiçeklenme zamanlamalarının küçük asal sayılara dayalı bir düzenlilik gösterdiğini işaret etmektedir.
Diğer uygulamalar > Sanat ve edebiyat

Asal sayılar, pek çok sanatçı ve yazar üzerinde derin bir etkiye sahip olmuştur.
Fransız besteci Olivier Messiaen, "doğal olaylar"ı referans alarak ametrik müzik üretmede asal sayıları kullanmıştır. La Nativité du Seigneur (1935) ve Quatre études de rythme (1949–50) eserlerinde, birbirinden farklı asal sayılara dayanan motif uzunluklarını simultane kullanımıyla öngörülemez ritimler oluşturmuştur: "Neumes rythmiques" adlı üçüncü etütte 41, 43, 47 ve 53 gibi asal sayılar yer almaktadır. Messiaen, bu kompozisyon tekniğini "doğanın hareketlerinden, serbest ve eşitsiz süreçlerde meydana gelen hareketlerden ilham alarak" geliştirdiğini belirtmiştir.
Bilimkurgu eseri Contact'ta, Carl Sagan, uzaylılarla iletişim kurma sürecinde iki boyutlu görüntü düzlemlerinin oluşturulmasında asal sayıların çarpanlarına ayrılmasının potansiyel bir yöntem olarak kullanılabileceğini ileri sürmüştür. Bu düşünceyi ilk defa 1975 yılında Amerikan astronom Frank Drake ile informal bir şekilde ortaya koymuştur. The Curious Incident of the Dog in the Night-Time adlı eserde, yazar Mark Haddon, ana karakterin, Asperger sendromuna sahip matematiksel yeteneği yüksek bir genç, zihinsel durumunu yansıtmak amacıyla hikayenin bölümlerini ardışık asal sayılar kullanarak düzenlemiştir. Paolo Giordano'nun The Solitude of Prime Numbers adlı romanında asal sayılar, yalnızlık ve tecrit duygularını sembolize etmek için kullanılmış, asal sayılar tam sayılar içerisinde "yabancı" olarak tasvir edilmiştir.
Asal oturanlar

Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.
Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:
23244 = 22 × 3 × 13 × 149
ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik asal çarpanlara ayırma algoritmaları vardır.