Süper kütleçekimi
4D N = 1 SUGRA

SUGRA gerçekliğine geçmeden önce, genel görelilik ile ilgili önemli detayları tekrarlayalım. Üzerinde (3,1)Dönüş demeti olan türevlenebilir 4 boyutlu M dağıtıcımız var. Bu esas demeti Lorentz simetrisine göre şekillenmiştir. Buna ek olarak, dağıtıcımızda dönüşü (3,1)'in altında olan fiber gerçek dört boyutlu T vektör demetimiz var Eğimi TM'den T'ye ters çevrilebilir doğrusal haritamız var. Bu harita dört boyutlu uzay zamanlar haritasıdır.Yerel Lorentz simetrisi bununla ilişkili ölçüm bağlantısına sahiptir ve buna dönüş bağlantısı denir. Aşağıdaki konu süper uzay gösterimi ile ilgili olacak ve bileşen gösterimin karşıtı olarak SUSY'nin altında eşdeğişkeni açıkça gösterilemeyecektir. Süper kütleçekimi'nin aslında birbirine eş olmayan ve burulma açısı tensörünün farklı olmasına neden olan birçok farklı versiyonu vardır, ancak önünde sonunda bir versiyondan diğerine geçerken elde edilen dönüş bağlantısı ve süper dört boyutlu uzay gösteriminin alan tanımlamasını her zaman eşitlik olarak gösterebiliriz.
4D N=1 Süper kütleçekimi'nde 4|4 gerçek türevlenebilir süper dağıtıcı M'de 4 gerçek bozonik boyut ve 4 gerçek fermiyonik boyuta sahibiz. Süper simetrik olmayan durumda olduğu gibi M'de (3,1) dönüşümüz var. M'deki T vektör demetinden ise R4|4 kadar var. Lorentz yerel grubunun altındaki T dönüşümlerinin fiberi şöyledir; dört gerçek bozonik boyut vektöre dönüşür ve dört gerçek fermiyonik boyur Majorana spinoruna dönüşür.Bu Majorana spinorları karmaşık solak Weyl spinoru ve onun sağlak bileşeni Weyl spinoru olarak tekrar ifade edilebilir. (Birbirine bağımlılardır). Bu dönüş bağlantılarına eskisi gibi sahibiz.
Aşağıdaki düzenler; uzaysal (bozonik ve fermiyonik) indeksler M, N,… ile gösterilir. Bozonik uzaysal indeksler μ, ν, ... ile, solak Weyl uzaysal indeksleri α, β, ... ile ve sağlak Weyl uzaysal indeksleri  {\dot {\alpha }},  {\dot {\beta }}, ... ile gösterilir. T'nin fiberi için olan indeksler de benzer bir gösterime sahiptir, ancak şapkalı olarak gösterilirler;  {\hat {M}},{\hat {\alpha }}
Süper dört boyutlu uzay  e_{N}^{\hat {M}} ile gösterilirken, dönüş bağlantısı  \omega _{{\hat {M}}{\hat {N}}P} ile gösterilir ve ters süper dört boyutlu uzay ise  E_{\hat {M}}^{N} ile gösterilir.
Süper dört boyutlu uzay ve dönüş bağlatısı gerçek durumlarda mantıklı bir şekilde denklemleri sağlar; 
 e_{N}^{\hat {M}}(x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=e_{N^{*}}^{{\hat {M}}^{*}}(x,\theta ,{\overline {\theta }}),  \mu ^{*}=\mu ,  \alpha ^{*}={\dot {\alpha }} ve  {\dot {\alpha }}^{*}=\alpha  and  \omega (x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=\omega (x,\theta ,{\overline {\theta }}).
Eşdeğişken türevi şöyle tanımlanır;
Eşdeğişken dış türevi ise süper dağıtıcıların süper değerlendirilmesi ile tanımlanır. Bu demek olur ki, iki fermiyonik indeksi değiştirdiğimiz her zaman, +1 işaret faktörünü -1 yerine yazarız. R simetrilerinin yokluğu ya da varlığı isteğe bağlıdır, ancak eger R-simetrisi varsa tam süper uzayın bütünleyicisi 0'ın R-yüküne sahip olmak zorundadır ve bütünleyicinin üstü kiral süper uzay ise 2'nin R-yüküne sahip olmak zorundadır.
Kiral süper alan X  {\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}X=0 ‘na uyan bir süper alandır. Bu bileşeni kısıtlamak için “c” katsayılarını bütünleyici durumlara ihtiyaç duyarız;  \left\{{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}},{\overline {D}}_{\hat {\dot {\beta }}}\right\}=c_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\dot {\gamma }}}{\overline {D}}_{\hat {\dot {\gamma }}}.
SUSY olmayan kütleçekiminin aksine, en azından fermiyonik yönlere göre burulma açısı sıfır olamaz. Zaten, düz bir uzayda bile  D_{\hat {\alpha }}e_{\hat {\dot {\alpha }}}+{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}e_{\hat {\alpha }}\neq 0 ‘dır. Süper kütleçekiminin bir versiyonun da burulma açısı tensörlerinin üzerindeki kısıtlamalar şöyledir;
Burada,  {\underline {\alpha }} stenografi gösterimi Weyl spinorlarının sola mı sağa mı dizileceğini gösterir. Süper dört boyutlu uzayın,  \left|e\right|, süper belirleyici faktörü bize M’in hacim faktörünü verir. Eşit bir biçimde 4|4 hacmimiz olur ve süper biçimi şöyledir;  e^{{\hat {\mu }}=0}\wedge \cdots \wedge e^{{\hat {\mu }}=3}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=1}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=2}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=1}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=2}.
Eğer bu süper difeomorfizmleri ölçümü  E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\mu }=0,  E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\beta }=0 ve  E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\dot {\beta }}=\delta _{\dot {\alpha }}^{\dot {\beta }}. olacak şekilde daha karmaşık hale getirirsek süper uzay kiralımız x ve Θ koordinatlarına sahip olur.
R süper dört boyutlu uzaydan ve dönüş bağlantısından türevlenebilen yönsüz süper alan kiralidir.
If f is any superfield,  is always a chiral superfield.
Eğer f herhangi bir süper alansa,  \left({\overline {D}}^{2}-8R\right)f her zaman kiral süper alandır.
Kiral süper alanlı süper kütleçekimi kuramı için “X”;
K Kahler potansiyeline, W süper potansiyele ve  {\mathcal {E}} kiral hacim faktörüne eşittir. Düz süper uzaydaki olayın aksine, Kahler ya da süper potansiyel sabitlerini eklemek artık fiziksel bir olaydır. Sabit süper kozmolojik potansiyel değişikliğine kayarken, Kahler potansiyelinin sabit değişimi etkili Planck sabitini değiştirir. Kiral süper alan X'in değeri Planck sabitine bağlıdır, bu yüzden Planck sabitini elde edebilmek için süper dört boyutlu uzayı tekrar ölçeklendirmek gerekir. Buna Einstein çerçevesi denir.