Normal dağılım

| --- | --- |
Olasılık yoğunluk fonksiyonu  Standard normal dağılım yeşil çizgi ile gösterilir
Yığmalı dağılım fonksiyonu  Renkler yukarıdaki gösterim ile aynıdır
Parametreler:  \mu  konum (reel)  \sigma ^{2}>0 kare ölçek (reel)
Destek:  x\in \mathbb {R} \!
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF):  {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF):  {\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!
Ortalama:  \mu 
Medyan:  \mu 
Mod:  \mu 
Varyans:  \sigma ^{2}
Çarpıklık: 0
Fazladan basıklık: 0
Entropi:  \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!
Moment üreten fonksiyon (mf):  M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)
Karakteristik fonksiyon:  \chi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)
Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.
Bu dağılım ailesinin her bir üyesi sadece iki parametreyle tam olarak tanımlanabilir: Bunlar konum gösteren ortalama (μ, aritmetik ortalama) ve ölçek gösteren varyans (σ2, "yayılım")dır.
Standart normal dağılım, ortalama değeri 0 ve varyans değeri 1 olan normal dağılım ailesinin tek bir elemanıdır. Carl Friedrich Gauss bu dağılımlar grubu ile, astronomik verileri analiz etmekte iken, ilgilenmiş ve bu dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu ilk defa tanımlamıştır. Bu olasılık fonksiyonunun grafiği, bir çana benzediği için çoğu kez çan eğrisi olarak da anılmaktadır.
Doğa ve davranış bilimleri içinde bulunan birçok fenomenin niceliksel modeli yapılmasında normal dağılımın kullanılmasına neden merkezsel limit teoreminin uygulanmasından doğmaktadır. Birçok psikolojik ölçümler ve fiziksel fenomen normal dağılım kullanılarak çok iyi yaklaşık olarak açıklanmaktadır. Bu fenomenlerin altında yatan mekanizmalar çoğu zaman bilinmemekte fakat normal dağılım modelinin açıklamada uygulanmaktadır. Bunun pratik yaklaşımın teorik olarak savunması ise her bir reel gözlemin oluşması için geri planda çok sayıda birbirinden bağımsız etkilerin ayrı ayrı toplam olarak katkıda bulundukları varsayımıdır.
Normal dağılım istatistik biliminin birçok alanında kullanılmaktadır. Örneğin örneklem ortalaması için örnek dağılımı, örneğin kaynağı olan anakütle için dağılımın normal olmadığı gayet açık olsa bile, yaklaşık olarak normal dağılım göstermektedir. Bunun yanında, değerleri bilinen ortalaması ve varyansı olan bütün dağılımlar içinde enformasyon entropisini maksimum yapan dağılımın normal olduğu ispat edilmiştir. Böylece örnek ortalaması ve varyansı ile özetlenen her veri için bilinmeyen kaynak dağılımı olarak normal dağılımı kullanmak gayet doğal bir yaklaşım olması çok uygun bir davranıştır. İstatistikte kullanılan dağılımlar aileleri arasında normal dağılım pratikte en çok kullanılanıdır ve birçok istatistiksel test, normal dağılımın varolduğu varsayımına dayanılarak geliştirilmiştir ve kullanılmaktadır. Olasılık kuramı içinde birkaç sürekli olasılık dağılımları ve ayrık olasılık dağılımlarının limite giden dağılımları yani rassal değişkenlerin yakınsama analizinde kullanılmaktadır.