Yüzey
Yüzeylerin sınıflandırılması

Matematiğin temel uğraşlarından biri sınıflamadır. Tanımladığı bir nesne türünde, nesnelerin bazılarını bibirinden ayırt etmeden, olası tüm nesneleri listelemek sınıflamadaki amaçtır. Dolayısıyla yukarıda soyut tanımı verilen yüzeylerin tümünü listelemek, topolojinin ilgilendiği bir sorudur. Bunu yaparken iki homeomorfik yüzeyi bir tutar, bunların arasında ayrım gözetmez. Bu koşullar altında listeyi oluşturmaya çalışır. Örneğin bu listede (içi boş) bir küp ve bir küre birlikte görünmeyecektir; yalnızca biri listede yer alacaktır çünkü bu iki yüzey, R³'ten tetiklenen topolojileriyle birbirine homeomorfik yüzeylerdir.
Şu ve benzeri soruların yanıtlanması gerekir: Bir küreyle bir simit, Möbius şeridiyle daire, kenarı olan yüzeyle olmayan ve yön verilebilir olanla olmayan birbirine homeomorfik midir?
Yüzeylerin sınıflandırılması problemi ilk kez August Ferdinand Möbius tarafından çalışılmış ve R³'te yatan yön verilebilir yüzeyler için 1870 yılında sonuç ilan edilmiştir. Max Wilhelm Dehn ve P. Heegard 1907 yılında üçgenlenebilir yüzeyler için tüm sınıflandırmayı vermiştir. Her topolojik yüzeyin üçgenlenebilir olduğunu 1925 yılında Tibor Radó ispatlayarak sınıflandırmayı sona erdirmiştir (ispat için L. V. Ahlfors ve L. Sario'nun aşağıda listelenmiş kitabına bakınız).
Bu sınıflandırmaya göre, tıkız, yön verilebilir, kenarsız yüzeyler, şunlardan biri(ne homeomorfik) olmak zorundadır:
İlk şekil bir küredir (S²). İkincisi bir simit (T²). Üçüncü şekil çift delikli bir yüzeyi (F²) anlatır. Listede sırasıyla 3, 4, 5, … delikli yüzeyler (sırasıyla F3, F4, F5, …) yer alacaktır. Dikkat edilirse, iki ayrı simitten birer daire oyulup kalan yüzeyler birbirlerine yapıştırılırsa, çıkan yüzey, iki delikli bir yüzey olacaktır. Üzerindeki topoloji, bu yapıştırma sırasında kullanılan özdeşleştirme aracılığıyla gelen bölüm topolojisidir. Bu işlem şöyle gösterilir:
F2 = T² # T²
Daireler oyarak yapıştırma işlemine bağlantılı toplam denir. Üç delikli bir yüzey, çift delikli bir yüzeyle torusun bağlantılı toplamı olarak inşa edilebilir.
Bu sınıflandırmadan anlaşılıyor ki, tıkız, yön verilebilir, kenarsız yüzeyler delik sayılarıyla anlatılabilirler. Kürenin delik sayısına 0 diyoruz. Simidin delik sayısı 1'dir.
Tıkız, yön verilebilir, kenarsız S adlı bir yüzey için 2 - 2g sayısı yüzeyin Euler sayısına eşittir ve şöyle gösterilir:
\chi (S)=2-2g.
Yön verilemez yüzeyler için sınıflandırmaysa temelde aynı olmasına karşın, söz konusu yüzeylere daha az aşinayız. Tıkız, yön verilemez, kenarsız yüzeylerin en basiti gerçel izdüşümsel düzlemdir (RP²). Bu yüzey, bir Möbius şeridiyle bir dairenin kenarlarından birbirlerine yapıştırılmasıyla inşa edilir. Üzerindeki topoloji, bu yapıştırma aracılığıyla gelen bölüm topolojisidir. İki tane RP²'nin bağlantılı toplamına Klein şişesi (K²) denir:
K² = RP² # RP²
Bu işlem iki Möbius şeridinin kenarlarından birbirlerine yapıştırılmasından başka bir şey değildir.
Sınıflandırma şunu söyler: tıkız, yön verilemez, kenarsız yüzeyler aşağıdakilerden biri(ne homeomorfik) olmak zorundadır:
RP², K² = RP² # RP², (RP² # RP² # RP²), (RP² # RP² # RP² # RP²),  \cdots
Gösterilebilir ki bu listedeki yüzeylerin Euler sayıları 1'den başlar ve birer birer azalır:
\chi (RP^{2})=1
\chi (RP^{2}\#RP^{2})=0
\chi (RP^{2}\#RP^{2}\#RP^{2})=-1...
Dolayısıyla, (tıkız, kenarsız) bir yüzeyin Euler sayısını ve yön verilebilir olup olmadığını söylemek, yüzeyi anlatmaya yeter.