Grup teorisi
Önemli Grup Sınıfları

1) Değişmeli gruplar, eleman sayılarına göre sonlu veya sonsuz olabilirler. Değişmeli grupların sınıflandırılması şöyledir: Grup eğer sonlu ise, mertebesi asal sayıların kuvvetleri olan devirli değişmeli grupların toplamı şeklinde yazılabilir. Mesela,  \mathbb {Z} _{15} i düşünelim.  15=3*5 olduğundan  \mathbb {Z} _{15}=\mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5} tir. Aynı mertebeye sahip olan fakat birbirlerine izomorf olmayan değişmeli gruplar bulunabilir. Örnek olarak, mertebesi 8 olan değişmeli gruplar ailesi şu farklı grupları içermektedir:  \mathbb {Z} _{8},  \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2} ve  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}. Sonsuz mertebeli değişmeli gruplar kendi içlerinde sonlu eleman tarafından üretilenler ve sonsuz eleman tarafından üretilenler olmak üzere iki sınıfa ayrılırlar. Sonlu eleman tarafından üretilen sonsuz değişmeli gruplar,  \mathbb {Z}  nin  r tane kopyasının ve bir sonlu değişmeli grubun toplamı şeklinde ifade edilebilirler. Örnek olarak,  \mathbb {Z} _{8}\oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}  yi verebiliriz. Burada  r sayısına o grubun rütbesi, yani rankı, denir.  \mathbb {Z} _{8}\oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}  örneğinde rütbe 2 dir. Dikkat edilecek olursa, grubun rütbesinin tanımlandığı kısım, örnekte  \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} , grubun sonsuz kısmını ifade eder. Geriye kalan kısım, örnekte  \mathbb {Z} _{8} kısmı, grubun burulma (veya kıvrılma) kısmını ifade eder. Sonlu gruplar her zaman sonlu bir küme tarafından üretildiklerinden şu sonuca varırız: Sonlu eleman tarafından üretilen değişmeli gruplar (sonlu veya sonsuz olabilirler) her zaman bir serbest değişmeli kısım (yani  \mathbb {Z}  li kısım) ve burulmalı kısmın toplamı şeklinde ifade edilebilirler.
Başka bir örnek olarak, mertebesi 12 olan grupları düşünelim. Mertebesi 12 olan değişmeli gruplar  \mathbb {Z} _{12}=\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{3} ve  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{3} tür. Mertebesi 12 olan fakat değişmeli olmayan gruplar,  A_{4},  D_{6}=<a,b\colon a^{6}=b^{2}=1,bab^{-1}=a^{-1}> ve  T=<a,b\colon a^{6}=1,b^{2}=a^{3},bab^{-1}=a^{-1}> dir. Bu lisetenin başka bir grup içermediği gösterilirken, başka bir deyişle, mertebesi 12 olan bir grubun bu listelenmiş gruplardan biri olduğu gösterilirken Sylow teoremleri kullanılır. Mertebesi 12 olan değişmeli grupların listesi hazırlanırken yukarıda bahsedilen sınıflandırma kullanılır.
2) Aşağıdaki tabloda, mertebesi küçük gruplar listelenmiştir.
| Mertebe; | Grup |
| --- | --- |
1:  \mathbb {Z} _{1}
2:  \mathbb {Z} _{2}
3:  \mathbb {Z} _{3}
4:  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2},  \mathbb {Z} _{4}
5:  \mathbb {Z} _{5}
6:  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{3}=\mathbb {Z} _{6},  S_{3}
7:  \mathbb {Z} _{7}
8:  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2},  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{4},  \mathbb {Z} _{8},  D_{4},  Q
9:  \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{3},  \mathbb {Z} _{9}
10:  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{5}=\mathbb {Z} _{10},  D_{5}
11:  \mathbb {Z} _{11}
12:  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{3},  \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{3},  A_{4},D_{6},T
13:  \mathbb {Z} _{13}
14:  \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{7},  D_{7}
15:  \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5}
3) Keyfi seçilmiş her grup bir grup gösterimine sahiptir.  G grubu verildiğinde, öncelikle  G yi üreten bir  S altkümesi seçilir. Böyle bir  S her zaman vardır çünkü  S=G seçilebilir. Serbest gruplar gruplar kategorisinin serbest objeleri olduklarından  S tarafından üretilen serbest grup  F(S) her zaman vardır.  S kümesi  G yi ürettiğinden,  S nin elemanları tarafından üretilmiş sadeleşmiş serbest kelimelerin bir kısmı  G nin elemanlarını temsil ederler. Diğer bir kısmı ise  G içinde birim elemana eşit olan elemanları temsil ederler.  R kümesi ile,  G içinde birim elemanı temsil eden  S-kelimelerini gösterirsek,  G=<S|R> grup gösterimini elde ederiz.
Örnek olarak,  \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}=<a,b\colon a^{m}=1,b^{n}=1,ab=ba> verilebilir. Bu gösterimden  \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n} grubunun  a ve  b gibi iki eleman tarafından üretildiği ve bu iki eleman arasında  a^{m}=1,b^{n}=1 ve  ab=ba ilişkilerinin olduğu görülür.  ab=ba ilişkisi grubun değişmeli olduğunu gösterir. Ayrıca,  a ve  b tarafından üretilen serbest grup  F_{2} nin kelimelerinin, bu ilişkilere göre sadeleştirilmiş halleri  \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n} grubunun elemanlarını ifade ederler.
Gruplar, sonlu gösterimli ve sonsuz gösterimli olmak üzere iki sınıfa ayrılırlar. Sonlu gösterimli gruplar  R kümesi sonlu olan en az bir gösterimi kabul eden gruplardır. Hiçbir gösterimi sonlu olmayan gruplar ise gösterimi sonsuz sınıfına düşerler.
Sonlu gösterimli grupların Descartes çarpımları da serbest çarpımları da sonlu gösterimlidir.  G_{1}=<S_{1}|R_{1}> ve  G_{2}=<S_{2}|R_{2}> olsun.  G_{1}\times G_{2} nin bir gösterimi  <S_{1},S_{2}|R_{1},R_{2},[S_{1},S_{2}]> dir.  G_{1}\star G_{2} nin bir gösterimi ise  <S_{1},S_{2}|R_{1},R_{2}> dir.
4)  G üzerinde tanımlanan ikili işlemin, yine  G üzerinde tanımlanmış bir topolojiye göre sürekli olup olmaması önemli grup sınıfları oluşturur. Eğer, bu ikili işlem  G\times G in topolojisine göre sürekli ise,  G grubuna topolojik grup denir. Benzer şekilde,  G üzerinde bir topoloji ve ayrıca gerçel analitik yapı var ise, mesela  G bir çokkatlı olabilir ve ikili işlem gerçel analitik ise,  G grubuna Lie grubu denir. Örnek olarak, 2 boyutlu tersinir kare matris grubu, bir gerçel 4 boyutlu tıkız olmayan bağlantısız Lie gruptur. Eğer gerçel yapı karmaşık yapıyla değiştirilirse, karmaşık Lie grubu elde edilir.
5) Gruplar ayrıca, hiperbolik gruplar, uyumlu grup lar (amenable group), T-özelliğine sağlayan veya sağlamayan gruplar gibi ana sınıflara ayrılırlar.