Debye modeli
Türetme

Debye modeli; elektromanyetik radyasyona kapalı bir kutudaki fotonlardan oluşmuş gaz olarak davranan Planck'ın siyah cisim ışımasının katı-hal muadilir. Debye modeli, atomik titreşimlere kutudaki (kutu = katı cisim) fononlar olarak yaklaşır. Hesaplamaların çoğu aynıdır.
Bir kenarı  uzunluğunda bir küp düşünün. Kutudaki parçacık başlığında, kutunun içindeki (sadece bir eksende hizalanmış) sonik bozuklukların rezonans modlarının dalga boyları:
olarak verilir.   bir tam sayıdır. Bir fononun enerjisi ise:
Planck sabiti ve   bu fononun frekansıdır. Eğer frekansın dalgaboyu ile ters orantılı olduğunu varsayarsak, elimizde:
Burada   katı içindeki ses hızıdır.
Üç boyutta ele alırsak:
fononun üç boyutta skaler momentum büyüklüğüdür.
Frekansın dalga boyuyla (ses hızını sabit kabul edersek) ters orantılı olduğu varsayımı yüksek-enerjili fononlar (detaylı bilgi için fonon başlığına bakınız) için olmasa da düşük-enerjili fononlar için iyi bir yaklaşımdır. Bu; Debye modelinin sınırlandırmalarından birisidir ve ara sıcaklıklarda sonuçların hatalı olmasına karşılık gelir. Oysaki düşük ve yüksek sıcaklıklarda hatasızlardır.
Şimdi kutudaki toplam enerjiyi hesaplarsak,
Burada   kutudaki  . Diğer bir deyişle, toplam enerji, enerji ve o enerjiye sahip (tek boyutta) fonon sayısının çarpımının toplamıdır. 3 boyutta:
Şimdi, burası Debye modeli ve Planck'ın siyah cisim ışıması farklılaştığı yerdir. Kutudaki elektromanyetik radyasyonun aksine, fononun enerji seviyesi sayısı sınırlıdır. Çünkü, bir fonon sınırsız frekansa sahip olamaz. Frekansı, ilerlediği ortamla—katının atomik örgüsü (atomic lattice of the solid) sınırlanmıştır. Aşağıdaki; enine(transverse) bir fononun tasvirine bakınız.
Alttaki figürden de anlaşılacağı üzere, bir fononun sahip olabileceği minimum dalga boyunun atom aralığının iki katı olduğunu varsaymak makul görünüyor. Bir katının içerisinde   atom var. Bizim katımızın şekli bir küp, bu da demektir ki kenar başına   atom var. Öyleyse atom aralığı  ve minimum dalga boyu:
Böylelikle; maksimum mod sayısı   (foton için sonsuz):
Bu, üçlü enerji toplamının üst sınırıdır.
Yavaşça değişen, sürekli (well-behaved) fonksiyonlar için, toplam integral olarak yazabilir. (Thomas-Fermi yaklaşımı):
Şimdiye kadar,    Fononlar Bose–Einstein istatistiklerine uyarlar. Dağılımları ünlü Bose–Einstein formülü ile verilir:
Bir fononun üç olası kutuplaşma durumu (bir boyuna ve yaklaşık olarak enerjisini etkilemeyen iki enine) onun
yukarıdaki enerji) olduğu için yukarıdaki formül 3 ile çarpılır,
(Aslında efektif ses hızı kullanırsak   Debye sıcaklığı   (aşağıya bakınız) ile  daha doğrusu
Bunu da enerji integralinde yerine yazarsak,
Bu integrallerin fotonlar için hesaplanmasının kolay olmasının sebebi, ışığın frekansının, en azından yarı klasik olarak, bağlanmamış olması gerçeğidir. Yukarıdaki resimde görüldüğü gibi, bu fononlar için geçerli değildir. Debye, bu üçlü integrali yaklaşık olarak hesaplayabilmek için küresel koordinatları kullandı.
ve küpü, kürenin sekizde biri olarak varsaydı.
kürenin yarıçapı, küpteki ve kürenin sekizde birindeki parçacık sayının korunumu ile bulunabilir. Küpün hacmi,   tane birim-hücre(unit-cell) hacmi toplamına eşit.
Yarıçap için çözüldüğünde:
Doğru integral için bir küreye göre integralin yerine yazılması, modele başka bir yanlışlık kaynağı getirir.
Öyleyse enerji integrali
İntegral için değişken değiştirirsek  ,
Görünümü basitleştirmek için, Debye Sıcaklığı
Birçok referans Debye sıcaklığını bazı sabitler ve materyale bağlı değişkenler için kısaltma olarak tanımlar. Ancak, aşağıda gösterildiği gibi,   kabaca minimum dalga boyu modunun fonon enerjisine eşittir. Böylelikle Debye sıcaklığını, en yüksek frekans modunun (ve dolayısıyla her modun) uyarıldığı sıcaklık olarak yorumlayabiliriz.
Devam edersek, elimizde özgül bir iç enerji var:
: (üçüncü) Debye fonksiyonu
'ye göre türevini aldığımızda, boyutsuz ısı kapasitesini elde ederiz:
Bu formüller, Debye modelini tüm sıcaklıklarda sağlar. Aşağıda verilen daha temel formüller, düşük ve yüksek sıcaklıkların sınırında asimptotik davranışı verir. Daha önce belirtildiği gibi, bu davranış, ara davranışa aksi olarak daha kesindir. Düşük ve yüksek enerjilerdeki kesinliğin temel nedeni, sırasıyla: (i) kesin dağılım ilişkisi (dispersion relation)   düşük frekanslar ve (ii) kesin seviye yoğunlukları(density of states)  frekans aralığı başına titreşim sayısı ile ilgili olarak.