Planck yasası
Türetimi

Bir köşesinin uzunluğu L olan T sıcaklığında termal denge durumunda bulunan elektromanyetik radyasyon ile dolu iletken duvarlarla oluşan bir küp düşünün. Eğer duvarlardan birinde küçük bir delik bulunuyorsa bu delikten yayılan radyasyon kara cismin karakteristik özelliklerini mükemmel bir şekilde taşıyacaktır. Biz öncelikle bir boşluğun içindeki spektral enerji yoğunluğunu hesaplayacağız ve ondan sonra ise yayılan radyasyonun spektral radyansına karar vereceğiz.
Kübün duvarlarında elektrik alanın paralel bileşenleri ve manyetik alanın ortogonal bileşinlerinin kesinlikle sıfırlanması gerekir. Bir kutuda bulunan yalnız bir parçacığın dalga fonksiyonuna benzer bir şekilde manyetik alanın ve elektrik alanın periyodik fonksiyonun süperpozisyonda olduklarını söyleyebiliriz. Duvarlara ortogonal olan üç yöndeki üç adet dalga boyu λ1, λ2 ve λ3 şu şekilde olacaktır.
Formüldeki ni bir tam sayıyı ifade etmektedir. Her bir ni kümesi için birbirinden bağımsız iki tane liner çözüm bulunur(modlar). Kuantum teorisine göre bir modun enerji seviyeleri şu şekilde formülize edilebilir:
Bir kuantum numarası olan r moddaki foton sayısını ifade eder şeklinde yorumlayabiliriz. Her bir ni kümesi için bulunan iki mod spini 1 olan fotonların iki polarizasyon durumuna karşılık gelmektedir. Buradaki önemli noktalardan biri de r = 0 için modun enerjisi sıfır değildir. Elektromanyetik alanın bu vakum enerjisi Casimir etkisi nden sorumludur. Devam eden işlemlerde T gibi belirli bir sıcaklıkta bulunan bir kutunun iç enerjisini hesaplayacağız.
İstatistiksel mekanik göz önünde bulundurulduğunda, belirli bir modun enerji seviyeleri üzerindeki olasılıksal dağılımı şu şekilde formülize edilir:
Burada,
Paydadaki Z(β), yalnız bir modun bölüşüm fonksiyonunu ifade eder ve Pr düzgün bir şekilde normalize edilir:
Burada dolaylı olarak tanımlama yapılmıştır
ve tek bir fotonun enerjisidir. Bir moddaki ortalama enerji bölüşüm fonksiyonu ile ifade edilebilir:
İlk vakum enerjisi terimi dışında bu formül Bose-Einstein istatistiğine göre tanımlanabilen parçacıklar için genel formüle nazaran özel bir durumdur. Bunun nedeni ise fotonun toplam sayısında herhangi bir kısıtlamanın olmamasıdır, yani kimyasal potansiyelinin sıfır olmasıdır.
Eğer biz enerjiyi yerel duruma göre ölçersek, kutudaki toplam enerji  \scriptstyle {\left\langle E\right\rangle }-{\frac {\varepsilon }{2}} bütün tek foton durumlarının toplamıyla bulunur. Bu işlem aynı zamanda aynı şekilde termodinamik limitte L sonsuza yaklaşırken de yapılıp çözüme ulaşılabilir. Bu limitte ε sürekli olur ve sonrasında  \scriptstyle {\left\langle E\right\rangle }-{\frac {\varepsilon }{2}} ifadesinin belirlediğimiz parametre üzerinden integrali alınır. Bu yolla kutudaki toplam enerjiyi hesaplamak için verilen enerji aralığında kaç tane foton olduğunu bilmemiz gerekir. Eğer enerjisi ε ve ε + dε böylece g(ε)dε, burada g(ε) yoğunluğu (belirli bir anda hesaplayabileceğimiz) ifade eder. Sonuç olarak:
Yoğunluğu hesaplamak için denklemi (1) yeniden aşağıdaki gibi yazarız:
burada n norm vektörüdür n = (n1, n2, n3):
Her n vektörünün tam sayı bileşeninin büyük ya da sıfıra eşit olduğu koşulda iki foton durumu vardır. Bunun anlamı belirli bir n-uzayda bölgesindeki toplam foton sayısının bu bölgedeki hacimden iki kat daha fazla olduğudur. dε şeklinde bir enerji aralığı n-uzayda dn = (2L/hc)dε kalınlığındaki bir kabuğa tekabül eder. Bu kabuk bir kürenin oktantına yayılır çünkü n bileşenleri pozitif olmak zorundadır. Foton sayısı g(ε)dε, bir enerji aralığında dεyi ifade eder. Böylece:
Bunu denklem (2)'de yerine koyarsak elde edeceğimiz formülizasyon şudur:
Bu denklemden herhangi biri spektral enerji yoğunluğunu frekansının bir fonksiyonuymuş   u_{\nu }(T) gibi ve bir dalga boyu fonksiyonuymuş uλ(T) gibi türetebilir:
burada:
Ve:
burada:
Bu aynı zamanda birim hacimdeki birim dalga boyunun enerjisinin birimiyle beraber bir spektral enerji yoğunluğu fonksiyonunu ifade eder. Bose ve Fermi gazları için bu tip integraller polilogaritmalarla ilgili olarak ifade edilebilirler. Ancak bu durumda, yalnızca temel fonksiyonları kullanarak kapalı formdaki integrali hesaplamak mümkün olmaktadır. Böylece:
Denklem (3) integrasyonu boyutsuz bir şekilde aşağıdaki gibi yapar:
buradaki J aşağıda verildiği üzere bir Bose–Einstein integrali'dir:
Kutunun içerisindeki toplam elektromanyetik enerji böylelikle şu hali alır:
burada V = L3 kutunun hacmini ifade eder.
hc/kB kombinasyonu 14 387.770 μm·K değerindedir.
Bu bir Stefan-Boltzmann yasası (birim zamanda birim yüzeye kara cisim tarafından yansıtılan toplam enerjiyi ifade eder) değildir ama Stefan–Boltzmann sabiti σ kullanılarak aşağıdaki gibi daha öz bir şekilde yazılabilir:
4σ/c sabiti bazen radyasyon sabiti olarak ifade edilir.
Küçük delikten çıkan radyasyonun spektral radyansı aşağıdaki gibidir çünkü radyasyon bütün yönlerde birbirine eşittir ve ışık hızında (c) yayılır.
buradan
Dalga boyu birimindeki Bλ(T) için bu formülizasyon   \nu  ifadesi yerine c/λ koyularak ve hesaplanarak başka bir ifade şekline dönüştürülebilir:
Unutulmamalıdır ki boyutsal analiz yukarıdaki denklemin sol tarafındaki paydadaki steradyanın birimini gösterir. Bu birim türetim sürecinde oluşturulmuş ve bitene kadar devam etmiştir ancak denklemin sol tarafındaki parçası için hiçbir boyutun hiçbir parçasında yoktur.
Bu türetme Brehm & Mullin'in 1989 yılındaki çalışmalarına dayanmaktadır.