Belirsizlik ilkesi
Matematiksel Detay

Heisenberg bağıntısını ortaya koyduğunda, argümanı yalnızca nitel örneklere dayanıyordu. Bağıntılarının genel ve kesin bir türevini vermemiştir. Aslında, δq belirsizliklerinin bir tanımını bile vermemiştir. vb. bu ilişkilerde ortaya çıkmaktadır.
Elbette bu, o makalenin ilan edilen hedefiyle, yani basit deneyler için kuantum mekaniğinin niteliksel olarak anlaşılmasını sağlamakla tutarlıydı. Belirsizlik ilişkilerinin matematiksel olarak ilk kesin formülasyonu Kennard'a aittir. Kennard, 1927 yılında, tüm normalleştirilmiş durum vektörleri için |ψ⟩ aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
\Delta _{\psi }P\Delta _{\psi }Q\geq h/2
Burada, ΔψP ve ΔψQ durum vektöründeki konum ve momentumun standart sapmalarıdır |ψ⟩
yani,
(\Delta _{\psi }P)^{2}=\langle P^{2}\rangle _{\psi }-\langle P\rangle _{\psi }^{2}
(\Delta _{\psi }Q)^{2}=\langle Q^{2}\rangle _{\psi }-\langle Q\rangle _{\psi }^{2}
burada ⟨⋅⟩ψ=⟨ψ∣⋅∣ψ⟩ durumundaki beklenti değerini ifade eder |ψ⟩. Eşdeğer olarak ψ(q) dalga fonksiyonunu kullanabiliriz. ve Fourier dönüşümü:
\psi (q)=\langle q|\psi \rangle
{\overline {\psi }}(p)=\langle p|\psi \rangle =1/\surd 2\pi h\int dqe^{-ipq/h}\psi (q)
yazmak için
(\Delta _{\psi }Q)^{2}=\int dq|\psi (q)|^{2}q^{2}-{\Bigl (}\int dq|\psi (q)|^{2}q){\Bigr )}^{2}
(\Delta _{\psi }P)^{2}=\int dp|\psi (p)|^{2}p^{2}-{\Bigl (}\int dp|\psi (p)|^{2}p){\Bigr )}^{2}
Bu eşitsizlik Robertson (1929) tarafından genelleştirilmiş ve tüm gözlemlenebilirler (öz-eşlenik operatörler) için A ve B:
\Delta _{\psi }A\Delta _{\psi }B\geq 1/2|\langle [A,B]\rangle _{\psi }|
burada [A, B]:= AB-BA komütatörü gösterir.
Heisenberg'in orijinal yarı niceliksel formülasyonunun aksine, yukarıdaki eşitsizlikler kesin olma erdemine sahip olduğundan, bunları Heisenberg'in bağıntılarının tam karşılığı olarak görmek caziptir. Aslında, Heisenberg'in kendi görüşü de böyleydi. Chicago Dersleri'nde Kennard'ın bağıntı türetimini sunmuş ve "bu ispatın matematiksel içerik olarak yarı niceliksel argümanından hiç farklı olmadığını", tek farkın şimdi "ispatın tam olarak gerçekleştirilmesi" olduğunu iddia etmiştir.
Ancak Kennard'ın eşitsizliği ile Heisenberg'in önceki formülasyonu arasında hem statü hem de amaçlanan rol açısından bir fark olduğunu belirtmek faydalı olabilir. Burada tartışılan eşitsizlikler ampirik olgu ifadeleri değil, kuantum mekaniksel formalizmin teoremleridir. Bu nedenle, sezgisel içeriğini açıklamaktan veya bu formalizmin geçerliliği için "alan" veya "özgürlük" yaratmaktan ziyade, bu formalizmin ve özellikle de komütasyon ilişkisinin geçerliliğini varsayarlar. En iyi ihtimalle, yukarıdaki eşitsizlikleri, formalizmin Heisenberg'in ampirik ilkesiyle tutarlı olduğunu göstermek olarak görmek gerekir.
ile arasında kayda değer ikinci bir fark daha vardır. Heisenberg "belirsizlikler" δp için genel bir tanım vermemiştir. Bununla beraber δq. Bunlar hakkında yaptığı en kesin açıklama, bunların "ortalama hata gibi bir şey" olarak alınabileceğiydi. Düşünce deneyleri tartışmalarında, o ve Bohr belirsizlikleri her zaman eldeki deneyle ilgili olan bazı parametreleri seçerek duruma göre ölçerdi. Buna karşılık, eşitsizlikler ve "belirsizlik" ölçüsü olarak tek bir spesifik ifade kullanırlar: standart sapma. O zamanlar, bu ifadenin hata teorisinde ve istatistiksel dalgalanmaların tanımlanmasında iyi bilindiği ve yaygın olarak kullanıldığı göz önüne alındığında, bu seçim doğal değildi. Ancak, bu seçimin belirsizlik ilişkilerinin genel bir formülasyonu için uygun olup olmadığı konusunda çok az tartışma vardı ya da hiç yoktu. Standart sapma, belirli bir durumdaki bir gözlemlenebilirin bir dizi ölçümündeki yayılmayı veya beklenen dalgalanmaları yansıtır. Bu fikri, bir mikroskobun çözümleme gücü gibi bir ölçümün "yanlışlığı" kavramıyla ilişkilendirmek hiç de kolay değildir. Aslında, Heisenberg Kennard'ın eşitsizliğini belirsizlik ilişkisinin kesin formülasyonu olarak almış olsa da, o ve Bohr düşünce deneylerine ilişkin birçok tartışmalarında hiçbir zaman standart sapmalara dayanmamışlardır ve aslında bu tartışmaların standart sapmalar açısından çerçevelenemeyeceği gösterilmiştir (Uffink ve Hilgevoord 1985; Hilgevoord ve Uffink 1988).
Titreşim sayısı ve enerji niceliği az  \Rightarrow  Dalga boyu uzun  \Rightarrow  Bekleme süresi uzun  \Rightarrow  Belirsizlik büyük
Titreşim sayısı ve enerji niceliği çok  \Rightarrow  Dalga boyu kısa  \Rightarrow  Bekleme süresi kısa  \Rightarrow  Belirsizlik küçük
Enerji niceliği ne denli azsa, aynı oranda dalga boyuyla bağlantılı olarak bekleme süresi uzar ve ölçülen zaman belirsizleşir.
Tersine; Enerji niceliği ne denli çoksa, aynı oranda dalga boyuyla bağlantılı olarak bekleme süresi azalır ve ölçülen zamanın belirsizliği azalır.