Bell teoremi
Teorem

Temel fikir üzerinde birçok varyasyon vardır, bazıları diğerlerinden daha güçlü matematiksel varsayımlar kullanır. Önemli bir şekilde, Bell tipi teoremler herhangi bir yerel gizli değişkenler teorisine atıfta bulunmaz, bunun yerine kuantum fiziğinin klasik doğa resimlerinin ardındaki genel varsayımları ihlal ettiğini gösterir. Bell tarafından 1964'te ispatlanan orijinal teorem, deneye en uygun teorem değildir ve Bell tipi eşitsizlikler türünü daha sonraki bir örnekle tanıtmak uygundur.
Varsayımsal karakterler Alice ve Bob geniş ölçüde ayrılmış konumlarda duruyor. Meslektaşları Victor bir çift parçacık hazırlar ve birini Alice'e, diğerini Bob'a gönderir. Alice parçacığını aldığında, iki olası ölçümden birini yapmayı seçer (belki hangisine karar vermek için yazı tura atarak). Bu ölçümleri şu şekilde belirtin:  A_{0} ve  A_{1}. Hem  A_{0} hem de  A_{1} "ikili" ölçümlerdir:  A_{0}'ın sonucu ya  +1 ya da  -1'dir ve aynı şekilde  A_{1} için de geçerlidir. Bob parçacığını aldığında, ikisi de ikili olan  B_{0} ve  B_{1} olmak üzere iki ölçümden birini seçer.
Her ölçümün parçacığın zaten sahip olduğu bir özelliği ortaya çıkardığını varsayalım. Örneğin, Alice  A_{0}'ı ölçmeyi seçer ve  +1 sonucunu elde ederse, aldığı parçacık  a_{0} özelliği için  +1 değerini taşır.
Aşağıdaki kombinasyonu göz önünde bulundurun:
a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1}=(a_{0}+a_{1})b_{0}+(a_{0}-a_{1})b_{1}\,.
Hem  a_{0} hem de  a_{1},  \pm 1 değerlerini aldığından, o zaman ya  a_{0}=a_{1} ya da  a_{0}=-a_{1}'dir. İlk durumda  (a_{0}-a_{1})b_{1}=0, ikinci durumda ise  (a_{0}+a_{1})b_{0}=0. Böylece, yukarıdaki ifadenin sağ tarafındaki terimlerden biri kaybolacak ve diğeri  \pm 2'ye eşit olacaktır. Sonuç olarak, Victor'un yeni parçacık çiftleri hazırlamasıyla deney birçok denemede tekrarlanırsa,  a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}-a_{1}b_{1} kombinasyonunun tüm denemelerdeki ortalama değeri 2'den küçük veya ona eşit olacaktır. Hiçbir "tek" deneme bu miktarı ölçemez, çünkü Alice ve Bob her biri yalnızca bir ölçüm seçebilir, ancak altta yatan özelliklerin var olduğu varsayımına göre, toplamın ortalama değeri her terimin ortalamalarının toplamıdır. Ortalamaları belirtmek için köşeli parantez kullanırsak,
\langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2\,.
Bu bir Bell eşitsizliğidir, özellikle CHSH eşitsizliği. Buradaki türetilmesi iki varsayıma bağlıdır: birincisi, temel fiziksel özellikler  a_{0},a_{1},b_{0}, ve  b_{1}'in gözlemlenmekten veya ölçülmekten bağımsız olarak var olduğu (bazen "gerçekçilik" varsayımı olarak adlandırılır); ve ikincisi, Alice'in eylem seçimi Bob'un sonucunu etkileyemez veya tersi de etkileyemez. (genellikle "yerellik" varsayımı olarak adlandırılır).
Kuantum mekaniği, CHSH eşitsizliğini aşağıdaki gibi ihlal edebilir. Victor, Bell durumu ile tanımladığı bir çift qubit hazırlar.
|\psi \rangle ={\frac {|0\rangle \otimes |1\rangle -|1\rangle \otimes |0\rangle }{\sqrt {2}}},
burada  |0\rangle  ve  |1\rangle , Pauli matrisleri'nin birinin özdurumlarıdır,
\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.
Victor daha sonra ilk kübiti Alice'e ve ikincisini Bob'a iletir. Alice ve Bob'un olası ölçüm seçimleri de Pauli matrisleri cinsinden tanımlanır. Alice, iki gözlemlenebilir olan  \sigma _{z} ve  \sigma _{x}'den birini ölçer:
A_{0}=\sigma _{z},\ A_{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};
ve Bob iki gözlemlenebilirden birini ölçer
 B_{0}=-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{z}}{\sqrt {2}}},\ B_{1}={\frac {\sigma _{x}-\sigma _{z}}{\sqrt {2}}}.
Victor, Born yasasınını kullanarak bu gözlemlenebilirlerin çiftleri için kuantum beklenti değerlerini hesaplayabilir:
 \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.
Deneyin bir denemesinde bu dört ölçümden sadece biri yapılabilirken, toplam
 \langle A_{0}\otimes B_{0}\rangle +\langle A_{0}\otimes B_{1}\rangle +\langle A_{1}\otimes B_{0}\rangle -\langle A_{1}\otimes B_{1}\rangle =2{\sqrt {2}}
Victor'un birden çok denemede bulmayı beklediği ortalama değerlerin toplamını verir. Bu değer, yerel gizli değişkenler hipotezinden çıkarılan klasik 2 üst sınırını aşıyor.  2{\sqrt {2}} aslında kuantum fiziğinin bu beklenti değerleri kombinasyonu için izin verdiği en büyük değerdir ve onu bir Tsirelson sınırı yapar.
CHSH eşitsizliği, Alice ve Bob'un eylemlerini koordine etmeye çalıştıkları bir “oyun” olarak da düşünülebilir. Victor,  x ve  y olmak üzere iki biti bağımsız olarak ve rastgele hazırlar.  x bitini Alice'e ve  y bitini Bob'a gönderir.
Alice ve Bob,  a ve  b yanıt bitlerini Victor'a döndürerek,
 xy=a+b\mod 2\,.
denklemini sağlarlarsa kazanırlar.
Veya, eşdeğer olarak,  x ve  y'nin mantıksal VE'si,  a ve  b'nin mantıksal XOR'u ise, Alice ve Bob kazanır. Alice ve Bob, oyundan önce istedikleri herhangi bir strateji üzerinde anlaşabilirler, ancak oyun başladıktan sonra iletişim kuramazlar. Yerel gizli değişkenlere dayalı herhangi bir teoride, Alice ve Bob'un kazanma olasılığı, önceden hangi strateji üzerinde anlaşırlarsa anlaşsınlar,  3/4'ten büyük değildir. Ancak, dolanık bir kuantum durumunu paylaşıyorlarsa, kazanma olasılıkları 
 {\frac {2+{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.85\,. 
kadar büyük olabilir.