Dinamik sistem
Ergodik sistemler

Pek çok dinamik sistemde, hacmin(v boyutlu bir hacim) uzay katmanından bağımsız olacağı bir koordinat ekseni seçmek mümkündür.Bu Newton'un kanunlarına dayandırılarak üretilmiş sistemlerde mümkündür(kooridantlar konum ve momentum olacak şekilde bir koordinatlar ekseni ve hacmin birimi(konum) × (momentum) birimleri cinsinden belirtildikçe).Akışta A kümesinden bir alt küme  Φ t(A) fonksiyonuyla işleme sokulur ve uzay katmanından bağımsızlı şu denklikle gösterilir;
Hamilton mekaniğinde koordinatlar bilindikçe genel(çalışmalar için elverişli)bir momentum değeri, hacimden(akış sırasında hacmin korunan sistemler için) bulunabilir.Hacmin Liouville hesaplaması ile bulunabilir (ayrıntılı bilgi için bkz,Liouville measure).
Bir Hamilton sisteminde, her çeşit kozum-momentum değerini bulmak(ilk şartlar bilindiği takdirde) mümkün değildir.Çünkü  enerji korunumu sadece ilk şartlardaki enerji miktarı ile eşit olan durumlar için uygulanabilirdir. Ω adlı enerji kabuğundaki enerji miktarıyla aynı olan enerjiler o uzay katmanının alt kümeleridirler.Enerji katmanının hacmi Liouville hesabıyla bulunur ve gelişim şartları altında korunurdur.
Akışlarda hacimleri korunan sistemlerde, Poincaré,Poincaré yineleme teorisini ortaya koydu.Bu teoreme göre;bir uzay katmanının sonlu bir Liouville hacmine sahip olduğunu  ve Fnin  hacim korunumlu bir uzay katmanı haritası ve Anın da uzay katmanının alt kümesi olduğunu var sayın.O halde (neredeyse)her bir A noktası tekrar A noktasına sonsuz sıklıkta  döner.Poincaré'nin yineleme teorisi Zermelo tarafından Boltzmann'nın çarpışan atomların oluşturduğu dinamik sisteminden entropinin arttığı yönündeki çıkarımına itiraz etmek için kullanıldı.
Boltzmann'ın çalışmasına yöneltilen sorulardan biri, ortalama zaman ve ortalama  uzayın arasındaki eşitlik olma ihtimaliyle ilgiliydi(ergodik hipotez olarak adlandırdığı).Hipoteze göre zamanın uzunluğu(vektörel)nun A bölgesinde katettiği miktar;
vol(A)/vol(Ω) idi.
Ergodik hipotezin istatistiksel mekaniğin gelişimi için temel taş olmadığı ve ergodik benzeri diğer serilerin ilişkili fiziksel sistemlerin genel görünüşünü(çıkarım yapılabilecek görünüş)kısıtladığı ortaya atıldı.Koopman ergodik sistemlere fonksiyonel analiz kullanarak yaklaştı.a uzay katmanındaki her bir sayıyla(örneğin;ani basınç veya ortalama yükseklik) ilişkilendirilmiş olan bir fonksiyon olsun.Gözlemlenebilir değerleri başka bir zaman, gelişim fonksiyonu φ t,kullanarak ölçülebilir.Bu da bizi transfer operatörüne getirir ;U t
Lineer operatör(U)ün dağılımının özellikleri üzerinde çalışarak Φ t 'ın ergodik özelliklerini sınıflamak mümkündür.Koopman yaklaşımını kullanarak(akışın gözlemlenebilir bir fonksiyonu olduğu durumlar için),sonlu boyutlu lineer olmayan bir katman için geçerli bir problemde, Φ t fonksiyonu Uyu içeren sonlu-boyutlu bir harita ile ifade edilebilir.
Liouville hesabı, sadece enerji kabuğu(Ω)nun ortalama hesaplamları kullanıldığında geçerlidir (ayrıntılı bilgi için bkz,equilibrium statistical mechanics).Bir yönerge boyunca olan zamanın ortalamasının uzayın ortalamasının(vektörel) eşdeğer oluşu Boltzmann faktörüyle ölçülür(bkz, Boltzmann factor exp(−βH)).Bu fikir Sinai, Bowen ve Ruelle(SRB hesabı) gibi bilim insanları tarafından daha büyük sistem sınıfları  için(korunmayan sistemlerde dahil) genellenmiştir.SRB hesabı kaotik sistemler için  Boltzmann hesabı yerine kullanılmıştır.