Cebirin temel teoremi
Kanıtlar > Karmaşık analizdeki kanıtlar

Kanıt 1: |z| ≥ r iken |p(z)| > |p(0)| olacak şekilde orijin merkezli ve r yarıçaplı bir kapalı D diski alalım. D tıkız olduğu için |p(z)| fonksiyonunun minimumum D üzerinde vardır ve dahası bu minimum D 'nin sınır üzerinde değildir. Minimumun var olduğu nokta z0 ise, o zaman minimum mutlak değer ilkesi kullanılarak p(z0) = 0 elde edilir. Başka bir deyişle, z0 p(z) 'nin bir sıfırıdır.
Kanıt 2: Kanıt 1'in biraz daha değiştirilmiş haliyle teorem yine kanıtlanabilir. Kanıt minimum mutlak değer teoremi kullanmadan yapılabilir (bu tür kanıtların birçoğu Cauchy integral teoremini veya sonuçlarını kullanır); ancak bu kez yapılan şey minimum mutlak değer teoreminin polinomlar için basit adımlarla kanıtlanmasıdır. Daha kesin bir ifadeyle, çelişki yoluyla kanıt yapmaya çalışırsak,  a:=p(z_{0})\neq 0 olsun. O zaman,  p(z) 'yi  z-z_{0}'ın kuvvetleri halinde açıp şu şekilde yazabiliriz:
Burada,  c_{j}'ler  z\to p(z+z_{0}) polinomunun katsayılarıdır ve  k de sabit terimden sonra sıfır olmayan ilk terimin indeksini temsil etmektedir. Ama,  z_{0} 'a yeteri kadar yakın  z'ler için bu polinomun asimptotik olarak  q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k} polinomuna benzer davrandığını gözlemleyebiliriz. Başka bir deyişle, 
 \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|
ifadesi  z_{0} noktasının belli bir komşuluğunda pozitif bir  M sabiti tarafından sınırlandırılmıştır. Bu yüzden,  \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k tanımlarsak ve  z=z_{0}+re^{i\theta _{0}} alırsak, o zaman yeteri kadar küçük pozitif  r sayısı için üçgen eşitsizliğini de kullanarak
elde ederiz. r, 0'a yeteri kadar yakın olduğunda, üstte |p(z)| için bulunan bu üst sınır |a| 'dan kesinlikle daha küçük olacaktır ve bu da z0 'ın tanımıyla çelişmektedir.
Kanıt 3: Bu bağlamda elde edilen bir başka kanıt ise, D'nin dışında|p(z)| > |p(0)| olduğunu gözlemlenmesine ve bu yüzden |p(z)| 'nin karmaşık düzlemdeki minimumunun z0 gerçekleşmesine dayanmaktadır. |p(z0)| > 0 ise, o zaman 1/p karmaşık düzlemin tümünde sınırlı bir holomorf fonksiyon olur. Karmaşık düzlemin tümünde sınırlı olan holomorf bir fonksiyonun sabit olması gerektiğini belirten Liouville teoremi kullanılarak 1/p 'nin sabit olduğu sonucuna ulaşılır. Bu yüzden p de sabit olur. Ama bu çelişkidir ve bu yüzden p(z0) = 0 olmalıdır.
Kanıt 4: Bir diğer kanıt ise arguman ilkesini kullanmaktadır. Pozitif bir R gerçel sayısı seçelim öyle ki p(z) 'nin köklerinin mutlak değerinin her biri bu R sayısından küçük olsun. Böyle bir R sayısı vardır; çünkü sabit olmayan ve derecesi n olan bir polinomun en fazla n tane sıfırı olduğunu biliyoruz. r > R koşulunu sağlayan her r için
sayısını ele alalım. Burada, c(r) 0 merkezli, r yarıçaplı ve saatin tersi yöndeki çemberdir. O zaman, arguman ilkesi kullanılarak bu sayının p(z) 'nin 0 merkezli ve r yarıçaplı açık daire içinde sahip olduğu sıfır sayısı N'ye eşit olduğu elde edilir. r > R olduğu için bu aynı zamanda p(z) 'nin toplam sıfır sayısına eşittir. Diğer taraftan, n/z 'nin c(r) boyunca alınan integralinin 2πi 'ye bölünmesiyle n sayısı elde edilir. Ama, o zaman bu iki sayı arasındaki fark şöyle olur:
Sağdaki integralin içinde bulunan rasyonel ifadenin payını derecesi en fazla n − 1 iken, paydanın derecesi ise n + 1 dir. Bu sebeple, yukarıdaki ifadedeki farkı temsil eden sayı, r sonsuza giderken 0'a yaklaşmaktadır. Ancak, bu sayı aynı zamanda N − n sayısına eşittir. O zaman, N = n olmalıdır.
Kanıt 5: Bir başka kanıt ise doğrusal cebir ve Cauchy integral teoreminin birleştirilmesinden elde edilir. Derecesi n > 0 olan her karmaşık polinomun bir tane sıfırı olduğunu göstermek için nxn lik her karmaşık matrisin karmaşık bir özdeğerinin olduğunu göstermek yeterlidir. Çelişki yöntemiyle tartışalım:
A, nxn lik karmaşık bir kare matris olsun ve In de nxn lik birim matris olsun.
resolvent fonksiyonunu ele alalım. R(z) karmaşık düzlemde tanımlı ve matrislerin vektör uzayında değerler olan bir meromorf fonksiyondur. A 'nın özdeğerleri, kesinlikle R(z) 'nin kutuplarıdır. Varsayımımızdan dolayı A 'nın özdeğeri olmadığı için, o zaman R(z) tam fonksiyon olur ve Cauchy integral teoremi sayesinde
elde ederiz. Diğer taraftan, R(z) 'yi geometrik seri olarak açarsak
elde ederiz. Bu formül, yarıçapı ||A|| (A'nın operatör normu) olan kapalı diskin dışında geçerlidir. Bu halde, r > ||A|| alalım. O zaman,
elde edilir. Burada sadece toplamdaki indeksin k = 0 olduğu durumda integralin değeri 0 olmaz. Bu bir çelişkidir. O yüzden, A'nın özdeğeri vardır.
Jean le Rond D'Alembert teoremi kanıtlama ihtiyacı hisseden ilk matematikçiydi ve teoremi tamamen analitik amaçla kanıtlamaya çalışmıştı; ancak verdiği kanıt eksikti.