Lagrange mekaniği
Newton mekaniğinden Lagrange mekaniğine > Hamilton prensibi ile Euler-Lagrange denklemleri

Korunumlu olmayan kuvvetler, pozisyon ve zamana ek olarak, korunum kavramının tanımı gereği hıza da bağlıdır. Dolayısıyla, pozisyona ve hızlara bağlı bir potansiyel enerji fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Eğer genelleştirilmiş kuvvetler bir V potansiyelinden şu şekilde türetilebiliyorsa; Q_{j}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,
ve Lagrangian’ı L = T − V olarak tanımlayıp bunu Lagrange denklemlerine eşitlersek ikinci tip Lagrange denklemlerini veya Euler-Lagrange denklemlerini  elde ederiz;
Ancak, Euler-Lagrange denklemlerinde korunumsuz kuvvetler, sadece onları ifade edebilecek bir potansiyel fonksiyonu bulunursa ifade edilebilir. Dolayısıyla Lagrange denklemleri potansiyel içermediği, kuvvet içerdiği için Euler-Lagrange denklemlerinden daha geneldir. Çünkü Euler-Lagrange denklemlerinde kuvvetleri korunumlu veya korunumsuz; potansiyel fonksiyonları olarak ifade etmeye çalışıyoruz. Ve böyle bir potansiyel bulunamazsa EL denklemleri o kuvvetleri kapsayamıyor.
Euler-Lagrange denklemleri değişim hesabı metotlarıyla bulunabilir. Lagrangian fonksiyonunun değişimi şöyle ifade edilebilir;
Bu tanım, Lnin toplam diferansiyeline çok benzerdir. Ancak sanal yer değiştirmeler ve onların zamana göre türevleri sadece diferansiyel terimlerle yer değiştirir (del operatörü ile, belli bir büyüklük olarak ifade edilirler). Ayrıca, sanal yer değiştirme’nin tanımına uyacak şekilde, zaman artışı bu tanımda yer almamaktadır. Onun yerine genelleştirilmiş koordinatların zamanda bir ana göre ifade edilir ve türevlerden ziyade diferansiyel terimlerin çarpımları kullanılır. Zaman göre uygulanan bir parçalı integral yöntemi genelleştirilmiş koordinatların türevlerini yani δqjı ∂L/∂(dqj/dt) terimine dönüştürür. Diğer bir deyişle d(δqj)/dtnın δqjya dönüşümü gerçekleştirilir. Buradan, bağımsız sanal yer değiştirmelerin Lagrangian fonksiyonunun türevi ile türetilebileceği ortaya çıkar;
Eğer δqj(t1) = δqj(t2) = 0  koşulu her j terimi için doğru oluyorsa, integrali alınmayan terimler sıfır olur. Buna ek olarak eğer δLin zamana göre integrali sıfır ise, δqj  ‘ler bağımsız olduğu için, integralı sıfıra eşitlemenin tek yolu integrand’ın sıfır olması yani bağımsız genelleştirilmiş koordinat δqj'lerin katsayılarının sıfır olmasıdır. Burada, yukarıdaki figürde bahsedilen durağan etkiler altında, çok küçük değişimler sonucu alınan kırmızı yolun etkileri incelendiği için her durumda konfigurasyon değişimi sıfıra yakın olur (sanal yer değiştirme, diferansiyel yer değiştirme; δqj' çok küçük). Bu sonuçlardan, sistemin hareket denklemi ortaya konulabilir ve bu, Hamilton Prensibi ile şu şekilde özetlenebilir;
Bu duruma göre eğer sistem durağan etkiler altındaysa, Lagrangian’ın zamana göre toplamı sıfır olmaktadır. Eğer sistem üzerinde dinamik etkiler varsa, sistemin yukarıdaki hareket eğrisi kırmızıdan etkiye göre sapmakta ve mavi eğrilere gelmektedir. Bu durumda, Lagrangian’ın zaman göre integralı bize esasen dinamik etkileri verecektir. Dolayısıyla dinamik etkileri tanımlayan bir eylem ifadesini şu şekilde açıklayabiliriz; S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt\,,
S, yani eylem; bir fonksiyoneldir (fonksiyonun fonksiyonu). Lagrangian fonksiyonunu t1den t2ye kadar alır ve skaler bir nicelik döndürür. Açısal momentum, [zaman].[enerji], [momentum].[uzunluk] gibi terimlerin birimiyle aynı birime sahiptir. Bu tanıma göre Hamilton’un minimum eylem prensibi sanal iş, sanal-difreansiyel yer değiştirme gibi nicelikler arasındaki ilişki şöyle özetlenebilir;
Dolayısıyla, Hamilton Prensibi ve Lagrangian yaklaşımı; Newton mekaniğindeki anlayışı tamamen değiştirmiş oluyor. (Metotlar doğru uygulandığında, sonuçların birebir aynı olduğu unutulmamalıdır.) Parçacıklar üzerindeki kuvvetlerin çıktısı olarak ivmeleri düşünmek yerine, modelimizi en az eyleme sahip olan yola ve eylemlerin o yolu nasıl değiştireceğine göre tanımlayabiliriz. Elbette burada eylem ve enerji fonksiyonlarını (Lagrangian) uygun tanımlamak  ve genelleştirilmiş koordinatları veya değişkenleri doğru seçmek gerekmektedir. Parçacıkların konfigurasyon uzayında başlangıç ve bitiş anlık zamanları ile o zamanlara karşılık gelen noktaları tanımlayarak bu yolları ifade edebiliriz. Hamilton’un türettiği ilkeler bazen en az eylem ilkesi ile birebir tutulsa da, en az eylem ilkesinde hareket boyunca uygulanan eylemin durgun olması gerekmektedir. Hamilton prensipleri ile durgun olmayan dinamik eylemleri ve korunumsuz kuvvetleri de sistem modeline dahil etmemiz mümkündür ancak holonomik olmayan kısıtlarda çalışmamız yine mümkün değildir. Holonomik olmayan kısıtlar için ise D’Alambert’in sanal iş kavramından faydalanmamız gerekmektedir.