Lagrange mekaniği

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
Lagrange mekaniği, klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesidir. İtalyan-Fransız matematikçi ve astronom Joseph-Louis Lagrange tarafından 1788’de geliştirilmiştir.
Lagrange mekaniğinde, parçacıkların ve parçacık sistemlerinin hareketleri ve gezingeleri Lagrange denklemlerinin iki formundan birinin çözülmesiyle bulunur. Birinci tip Lagrange denklemleri, parçacıkların hareketlerindeki kısıtlamaların, Lagrange’in kalkülüste de sık kullanılan Lagrange çarpanı yöntemi kullanılarak ifade edilmesidir. İkinci tip Lagrange denklemlerinde ise hareket kısıtlarını, sistemin yapısına uyacak makul genelleştirilmiş koordinat seçimi ile direkt olarak sistem denklemlerine dahil etmek üzerine kuruludur. İki durumda da matematiksel bir fonksiyon olarak tanımlanan, Lagrange’in sistem hakkında verdiği bilgilerden faydalanılır. Lagrangian, genelleştirilmiş koordinatların, onların türevlerinin (genelleştirilmiş hızlar) ve zamanın bir fonksiyonudur.
Lagrange mekaniğinde dikkat edilmesi gereken husus; yeni bir fiziğin ortaya atılmıyor oluşudur. Keza, Lagrange mekaniği Newton mekaniğinden daha sığ bir kapsama sahiptir çünkü Newton mekaniği korunumlu olmayan sürtünme gibi kuvvetleri de içerir. Ancak bu tip kuvvetlerin doğru ifade edilmesi için hareketi kısıtlayan kuvvetlerin de sistem denklemlerinde ifade edilmesi gerekir ve kartezyen koordinat sistemi haricindeki koordinatlar bu yönteme pek uygun değildir. Ancak, Lagrange mekaniğindeki yöntemler ile kısıtlayıcı kuvvetlerin ve korunumsuz kuvvetlerin ekstra karmaşık denklemler yaratması önlenebilir. Lagrange mekaniği bu açıdan, korunumlu kuvvetlerin etki ettiği ve iç kuvvetler ile ilgilenmediğimiz sistemlerde çok etkilidir ve kartezyen koordinat harici istediğimiz koordinat sistemini kullanmamızda bize kolaylık sağlar. Ayrıca bazı korunumsuz kuvvetleri de göz ardı etmemize olanak tanıyabilir. Dolayısıyla, kontak noktalarındaki ve yapısal sistemlerle ilgilenilmeyen ve sadece genel dinamiğin ve hareketin önemli olduğu sistemlerde Lagrange mekaniği kullanımı çok etkilidir.
Genelleştirilmiş koordinatlar sistemin serbestlik derecesine göre istenildiği gibi seçilebilir. Ancak Lagrange mekaniğinin kolaylıklarından etkin bir şekilde faydalanmak için, sistemdeki simetrileri ve geometrik kısıtları ve özellikleri dikkate alarak uygun seçimler yapmak gerekir. Böylece matematiksel model ve denklemler önemli oranda basitleşir.
Lagrange mekaniği uygulama açısından kolaylıklarının yanında, teorik olarak doğadaki korunum yasaları yani fiziksel işleyiş hakkında da bize önemli bilgiler verir. Korunan her fiziksel değişken ve onların simetrisi üzerine kurulu olan bu bilgi Noether teoremi ile daha da genelleştirilmiştir. Bu teori aynı zamanda minimum eylem prensibi ile de yakından ilişkilidir. Yine, Lagrange mekaniği, sadece denge (dinamik-statik-kaotik) problemlerine odaklandığından daha sığ kalmaktadır.  Ayrıca, Lagrange mekaniği, sadece holonomik kısıtları olan sistemlere uygulanabilmektedir çünkü formülasyon holonomik olmayan kısıtlar için çalışmamaktadır. Örneğin, integrallenebilir olmayan kısıtlayıcı denklemler (hareket kısıtları hakkındaki denklemler), Coulomb sürtünmesi gibi doğrusal olmayan karmaşık korunumsuz kuvvetler ve aralıklar ile eşitsizliklerle tanımlanmış hareket kısıtlarını tanımlayan denklemlere sahip sistemlerde Lagrange mekaniği etkin olamamaktadır. Holonomik olmayan sınırlamalar özel analiz gerekmektedir. Bu durumlarda Newton mekaniği veya başka yöntemler kullanılabilir zira bu durumlarda Lagrangian’in temelini oluşturan enerji terimlerinin ifadelerinde sıkıntılar yaşanmaktadır. Çünkü bu terimler kuvvet ve yola bağlı terimlerin integralleri ile ifade edilmektedir.
Daha önce de bahsedildiği gibi, Lagrange formülasyonu pratikteki uygulama kolaylıklarının yanı sıra, mekanik fiziği ve doğanın mekanik davranışını anlamamızda bize derin bir bakış açısı sağlar. Kuantum mekaniğinde, Planck sabiti ile ilişkili olan etki ve kuantum fazlarda, minimum eylem prensibi dalga yayılımı ve dalga yayılım denklemleri ile anlaşılabilmekte ve benzer mekanik yaklaşımlar bu gibi apayrı alanlarda da türetilebilmektedir. Lagrangian eğer simetri altında değişmez ise, sonuçta ortaya çıkan hareket denklemi de simetri altında değişmezdir. Bu karakteristik de özel görelilik ve genel görelilik teorisindeki açıklamalar için çok önemlidir. Minimum eylem prensibi, Lagrange formülasyonları gibi konular Noether teoremi ile yakından ilişkilidir ve bu teorilerin sonucunda daha önce sadece gözleme veya basit derivasyonlara dayalı kalmış olan korunum yasaları ve korunan nicelikler; inceleme altındaki fiziksel sistemin sürekli simetrileri ile ilişkilendirilebilmiştir. Dolayısıyla, bu algı; momentum, kütle gibi temel korunum sahibi niceliklerin ötesinde her sistem için farklı ve daha genel korunum ifadeleri yazabileceğimizi ortaya atmış ve bunların nasıl türetileceği, hangi durumlar altında kullanılabileceği hakkında bize bilgi vermiştir. Lagrange mekaniği ve Noether teoremi ayrıca komutatörleri içeren birinci kuantizasyonlar için doğal bir biçimcilik ortaya koymuştur ve bunu belli terimler ile Lagrangian ile türetilmiş hareket denklemleri arasında göstermiştir.
Lagrange mekaniği, Newton mekaniğinin uygun olmadığı, çok vakit aldığı veya etkili sonuç çıkartamadığı yerlerde hem teorik fizikte hem de pratik mekanik uygulamalarda çok etkilidir. Ayrıca minimum eylem prensibi ile yakından ilişkili olduğundan optimizasyon problemlerinde de kullanılabilmektedir. Mekanik biliminde, ikinci tip Lagrange denklemleri birinci tipe göre çok daha sık kullanılmaktadır.