1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
Genellemeler

1 − 1 + 1 − 1 + …'in üç katlı Cauchy çarpımı olan 1 − 3 + 6 − 10 + …, üçgensel sayıların almaşık serisidir.
Bu serinin Abel ve Euler toplamı 1⁄8'dir.
1 − 1 + 1 − 1 + …'in dört katlı Cauchy çarpımı 1 − 4 + 10 − 20 + … ise tetrahedral sayıların almaşık serisidir ve Abel toplamı 1⁄16'dır.
1 − 2 + 3 − 4 + …'in biraz daha farklı bir genellemesiyse, n'in farklı değerleri için 1 − 2n + 3n − 4n + … serisidir.
Pozitif n tam sayıları için bu dizinin Abel toplamı aşağıdaki gibidir; formüldeki Bn, Bernoulli sayılarını ifade eder:
n'in çift değerleri için,
ifadesine sadeleşen bu toplam, Niels Henrik Abel'e 1826 yılında şöyle alay konusu olmuştur:
"Iraksak diziler tümüyle şeytan işidir ve birinin bu dizilere kanıt araması utanç vericidir. Bunlardan istenileni elde etmek işten değildir ama bugüne dek karşılaşılan pek çok mutsuzluğun ve paradoksun sorumlusu da bu dizilerdir. n bir pozitif sayı olmak koşuluyla,
ifadesinden daha dehşet verici bir şey düşünülebilir mi? İşte arkadaşlar, bu resmen gülünçtür.
Cesàro'nun öğretmeni Eugène Charles Catalan da ıraksak dizileri hor görmüştür. Öğretmeninin de etkisiyle Cesàro önceleri, 1 − 2n + 3n − 4n + … için üretilmiş "geleneksel" formülleri "saçma eşitlikler" olarak nitelemiş ve 1883'te de zamanın tipik görüşleri doğrultusunda, bu formüllerin yanlış olduğunu ancak bir şekilde işe yaradıklarını söylemiştir. Nihayet 1890'de, yazdığı Sur la multiplication des séries adlı yapıtında, tanımlardan başlayarak çağdaş bir yaklaşım sergilemiştir.
1 − 2n + 3n − 4n + … serisi, n'in tam sayı olmayan değerleri için de incelenmiştir ki, bunlar Dirichlet eta fonksiyonunu oluştururlar.
Euler'in 1 − 2 + 3 − 4 + … ile ilintili seriler üzerinde çalışmaya yönelmesinin bir nedeni, eta fonksiyonunun, doğrudan Riemann zeta fonksiyonu fonksiyonel eşitliğine yönlendiren bir fonksiyonel eşitlik olmasıdır.
Euler, bu fonksiyonların pozitif çift tam sayılar kümesindeki değerlerini Basel problemini de içerecek şekilde bulmasıyla zaten ünlenmişti ve aynı başarıyı, Apéry sabitini de içerecek şekilde, pozitif tek tam sayılar kümesi için de yinelemeye çalışıyordu.
Bu problem günümüzde hâlâ çözülememiştir.
Eta fonksiyonu üzerinde Euler yöntemleriyle uğraşmak daha kolaydır çünkü bu fonksiyonun Dirichlet serisini, herhangi bir kompleks sayı için Abel yöntemiyle toplamak mümkündür.
Zeta fonksiyonunun Dirichlet serisi ise ıraksamaya başladığı noktadan itibaren çok daha zor toplanır.
Örneğin, 1 − 2 + 3 − 4 + … serisinin zeta fonksiyonundaki karşılığı, işaretleri ardışık değişkenlik göstermeyen 1 + 2 + 3 + 4 + … serisidir.
Bu serinin modern fizikte önemli uygulama alanları olsa da toplanması için çok daha güçlü yöntemler gereklidir.
Yalnızca kaydırma ve terim terim toplama yöntemi kullanılarak 1 − 2 + 3 − 4 + … serisinin dört kopyası toplandığında, 1 elde edilir. Şeklin her iki yanında, 1 − 2 + 3 − 4 + …'in iki kopyasının 1 − 1 + 1 − 1 + ….'e eklenmesi gösterilmiştir.
1⁄4'e eşit olan (H, 2) toplamına ilişkin veriler
1−2x+3x2+…; 1/(1 + x)2'nin bazı parçaları ve 1 noktasındaki limitleri
Serinin, Euler yöntemiyle 1⁄2 − 1⁄4'e toplanması
Tahminen 1755 tarihli E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum'den bir bölüm: Euler, benzer serilerin toplanışını gösteriyor.