Hârizmî
Cebir alanındaki çalışmaları

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |

Solda: Al-Khwārizmī'nin kitabının Muhammed ibn Musa (Banu Musa) tarafından düzenlenmiş halinin orijinal sayfası. Sağda: Fredrick Rosen tarafından yazılan The Algebra of Al-Khwarizmi (Harizmi'nin cebri) kitabından bir sayfa.
Tamamlama ve Dengeleme ile Hesaplama Üzerine Özlü Kitap (Arapça: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala)  820 yılı dolaylarında yazılmış bir matematik kitabıdır. Bu kitap ticaret, ölçüm ve yasal miras alanlarında, çok geniş yelpazedeki problemlerin çözümü için örnekler ve uygulamalarla dolu popüler bir hesaplama çalışması olarak halife el-Memun'un teşviki ile yazılmıştır. “Cebir” terimi bu kitapta tanımlanan temel işlemlerden biri olan denklemlerden gelmektedir (al-jabr'ın manası "restorasyon"dur, terimlerin birleştirilmesi veya sadeleştirilmesi için denklemin her iki tarafına bir sayı eklenmesi anlamına gelir). Bu eser aynı zamanda Doğu ve Batı'nın ilk müstakil cebir kitabı olma özelliğini taşımaktadır. Bu kitap Robert of Chester (Segovia, 1145) ve daha sonra Gerardus Cremonensis tarafından Latinceye çevrilmiştir. Özgün bir Arapça kopyası Oxford'da bulunmaktadır ve F. Rosen tarafından 1831 yılında tercüme edilmiştir. Latince bir çevirisi Cambridge'de muhafaza edilmektedir.
Matematik alanındaki çalışmaları cebirin temelini oluşturmuştur. Bir dönem bulunduğu Hindistan’da sayıları ifade etmek için harfler ya da heceler yerine basamaklı sayı sisteminin kullanıldığını saptamıştır. Harezmî'nin bu konuda yazdığı kitabın Algoritmi de numero Indorum adıyla Latinceye tercüme edilmesi sonucu, sembollerden oluşan bu sistem ve sıfır, 12. yüzyılda Batı dünyasına sunulmuştur. Hesab-ül Cebir vel-Mukabele adlı kitabı, matematik tarihinde, birinci ve ikinci dereceden denklemlerin sistematik çözümlerinin yer aldığı ilk eserdir. Bu nedenle Hârizmî (Diophantus ile birlikte) "Cebir'in babası" olarak da bilinir. İngilizcedeki "algebra" ve bunun Türkçedeki karşılığı olan "cebir" sözcüğü, Harezmî'nin kitabındaki ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerinden biri olan "el-cebr"den gelmektedir.[kaynak belirtilmeli]
Hârizmî sıfır rakamını (0) ve x bilinmeyenini kullandığı bilinen ilk kişidir.
İkinci dereceye kadar polinom denklemlerinin çözülmesinin kapsamlı bir hesabını sağlamıştır ve terimleri bir denklemin diğer tarafına aktarmaya istinaden, diğer bir deyişle denklemin zıt taraflarındaki benzer terimleri iptal etmek olan, “indirgeme” ve “dengeleme” temel metotlarını ele almıştır.
El-Harezmī'nin doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi, denklemi altı standart formdan birine indirgeyerek başlar.
Karelerin köklere eşitlenmesi (ax2 = bx)
Karelerin sayıya eşitlenmesi (ax2 = c)
Köklerin sayıya eşitlenmesi (bx = c)
Karelerin ve köklerin sayıya eşitlenmesi (ax2 + bx = c)
Karelerin ve sayının köklere eşitlenmesi (ax2 + c = bx)
Köklerin ve sayının karelere eşitlenmesi (bx + c = ax2)
Karenin katsayısını bölme ve al-jabr (Arapça: الجبر "düzenleme" veya "tamamlama") ve al-muqābala (“dengeleme”) işlemleri. Cebir, denklemin her bir yanına aynı değeri ekleyerek negatif birimleri, kökleri ve kareleri kaldırma işlemidir. Örneğin, x2 = 40x − 4x2 denklemi 5x2 = 40x 'e dönüştürülür. Al-Muqābala, aynı türden terimleri denklemin aynı tarafına getirme işlemidir. Örneğin, x2 + 14 = x + 5 denklemi x2 + 9 = x hâlini alır.
Yukarıdaki gösterimler, kitabın ele aldığı problem türleri için modern matematiksel gösterimi kullanır. Ancak Harezmi'nin zamanında bu matematiksel ifadelerin büyük çoğunluğu henüz bulunmamıştı, bu sebepten dolayı problemleri ve çözümlerini sunmak için basit metinler kullanmak zorunda kaldı. Örneğin bir problemle ilgili şöyle yazmıştır (1831'deki bir çeviriden)
Eğer biri size, "10'u iki parçaya ayırın: bir parçayı (10-x) kendisi ile çarpın; diğerinin (x) seksen bir katı ile birbirine eşit olacaktır” derse;

Hesaplama: Siz ona: "10'dan çıkartılıp kendisi ile çarpılan şey, yüz artı kare eksik yirmi şeydir ve bu seksen bir şeye eşittir. Yirmi şeyi yüz ve kareden ayırıp seksen bir şeye eklenir. Yüz ve kare, yüz bir kök’e eşit olur. 101 kök’ü yarıya bölünce elli buçuk kök elde edilir. Bunu kendisiyle çarpınca iki bin beş yüz elli ve bir çeyrek eder. Yüz’ü bunda çıkarırsak iki bin dört yüz elli ve bir çeyrek kalır. Buradan kökü bulursak kırk dokuz buçuk olur. Bunu kök’ün yarısı olan elli buçuk’tan çıkartınca geriye bir kalır ve bu iki parçadan biridir." deyin.
Bu işlem “şey” (شيء shayʾ) yerine modern gösterim olan “x” ifadesi kullanılarak, şu adımlar izlenerek yapılır:
Denklemin kökleri 'p' ve 'q' olsun, sonra  {\tfrac {p+q}{2}}=50{\tfrac {1}{2}},  pq=100 ve
Dolayısıyla köklerden biri şu şekildedir:
Ebu Hanife Dineverî, Ebu Kamil Şüca bin Aslam, Ebu Muḥammad el-Adli, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, Abdülhamid İbni Türk, Sind ibn Ali-Musa, Sahl ibn Bišr ve Şerafeddin al-Tusi'ninde aralarında bulunduğu birkaç yazar da Kitāb al-jabr wal-muqābala adıyla metinler yayınlamışlardır.
J. J. O'Conner ve E. F. Robertson, MacTutor History of Mathematics archive'e şöyle yazmışlardır:
Belki de Arap matematiğindeki yapılan en önemli gelişmelerden biri Hârizmî'nin çalışmaları ile bu zamanlarda, yani cebrin miladıyla başladı. Bu yeni fikrin ne kadar kayda değer olduğunun anlaşılması önemlidir. Bu, temelde geometri olan yunan matematiğinden uzaklaşan devrimsel bir hareketti. Cebir; rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, geometrik büyüklükler gibi tamamının "cebirsel nesneler" olarak ele alınmasına izin veren birleştirici bir teoriydi. Matematiğe daha önce var olandan çok daha geniş kapsamlı, yeni bir gelişim yolu sundu ve kendinden sonraki konulara yol gösterici bir araç sağladı. Cebirsel düşüncenin ortaya çıkmasının bir diğer önemli yanı da, matematiğin kendisine uygulanmasına daha önce olmayan bir şekilde izin vermesiydi.
R. Rashed ve Angela Armstrong şöyle yazar:
Harezmi’nin metninin yalnızca Babil tabletlerinden değil, aynı zamanda Diophantus Arithmetica'dan da farklı olduğu görülür. Bundan böyle çözülmesi gereken bir dizi problem yerine, basit terimlerle başlayan ve denklemler için, olası bütün örneklerin kombinasyonlarını veren ve gerçek bir araştırmanın nesnesi olan bir anlatımla ilgili yorumlamadır. Öte yandan, bir denklem fikri başlangıçta göründüğü gibi, sadece bir problemin çözülmesinde değil aynı zamanda genel olarak sayısız problemin tanımlamasında kullanılır.