Leonhard Euler
Matematik ve fiziğe katkıları > Analiz

Sonsuz küçük hesabı'nın gelişimi 18. yüzyıl matematik araştırmalarının ön saflarında yer aldı ve Bernoulliler —Euler'in aile dostları— bu alandaki erken ilerlemelerin çoğundan sorumluydu. Etkileri sayesinde, matematik çalışmak Euler'in çalışmalarının ana odak noktası oldu. Euler'in kanıtlarından bazıları matematiksel kesinlik (özellikle cebrin genelliği ilkesine dayanması) modern standartlarına göre kabul edilemez olsa da, onun fikirleri birçok büyük ilerlemeye yol açtı.
Euler, analiz'de, fonksiyonların aşağıda bir örneği verilen gibi sonsuz sayıda terimin toplamı olarak ifadesi olan kuvvet serileri'ni sık kullanımı ve geliştirmesiyle tanınır:
e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).
Euler'in kuvvet serilerini kullanması, 1735'te ünlü Basel probleminin çözmesini sağladı (1741'de daha ayrıntılı bir argüman sağladı):
\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.
Artık Euler sabiti veya Euler–Mascheroni sabiti olarak bilinen
\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,
sabitini tanıttı ve harmonik seriler, gama fonksiyonu ve Riemann zeta fonksiyonu değerleri ile ilişkisini inceledi.
Euler, analitik ispatlarda üstel fonksiyon ve logaritmalar'ın kullanımını tanıttı. Kuvvet serilerini kullanarak çeşitli logaritmik fonksiyonları ifade etmenin yollarını keşfetti ve negatif ve karmaşık sayı'lar için logaritmaları başarıyla tanımladı, böylece logaritmaların matematiksel uygulamalarının kapsamını büyük ölçüde genişletti. Ayrıca karmaşık sayılar için üstel fonksiyonu tanımladı ve trigonometrik fonksiyonlar ile ilişkisini keşfetti. Herhangi bir gerçel sayı φ için (radyan olarak alınır), Euler formülü, karmaşık üstel fonksiyonun  e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi . 'i sağladığını belirtir.
Yukarıdaki formülün özel bir durumu Euler özdeşliği olarak bilinir,  e^{i\pi }+1=0, Richard P. Feynman tarafından toplama, çarpma, üs alma ve eşitlik kavramlarının ve 0, 1, e, i ve π önemli sabitlerin tekil kullanımları ile "matematiğin en dikkat çekici formülü" olarak adlandırılmıştır.
Euler, gama fonksiyonu'nu tanıtarak daha yüksek aşkın fonksiyonlar teorisini geliştirdi ve kuartik denklemleri çözmek için yeni bir yöntem tanıttı. Modern karmaşık analiz gelişiminin habercisi olarak, karmaşık limitli integralleri hesaplamanın bir yolunu buldu. Varyasyonlar hesabı'nı icat etti ve bu alandaki optimizasyon problemlerini diferansiyel denklemler çözümüne indirgemek için Euler-Lagrange denklemi'ni formüle etti.
Euler, sayı teorisi problemlerini çözmek için analitik yöntemlerin kullanılmasına öncülük etti. Bunu yaparken, matematiğin iki farklı dalını birleştirdi ve yeni bir çalışma alanı olarak analitik sayı teorisini başlattı. Bu yeni alan için temel atarken, Euler hipergeometrik seriler teorisi, q-serisi, hiperbolik trigonometrik fonksiyonlar ve sürekli kesirler'in analitik teorisini yarattı. Örneğin, harmonik seriler'in ıraksamasını kullanarak asal sayıların sonsuzluğunu kanıtladı ve asal sayıların dağılımının nasıl olduğunu anlamak için analitik yöntemler kullandı. Euler'in bu alandaki çalışması asal sayı teoremi'nin geliştirilmesine yol açtı.