Matematik tarihi
Modern > 20. yüzyıl

20. yüzyılda matematik büyük bir meslek haline geldi. Her yıl, matematikte binlerce yeni doktora ödülü verildi ve hem öğretimde hem de endüstride matematikle ilgili işler mevcuttu. Klein'in Matematiksel Bilimler Ansiklopedisinde matematiğin alanlarını ve uygulamalarını kataloglama çalışması yapılmıştır.
David Hilbert, 1900'de Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde yaptığı bir konuşmada matematikte çözülmemiş 23 problemin bir listesini çıkardı. Matematiğin birçok alanını kapsayan bu problemler, 20. yüzyıl matematiğinin çoğu için merkezi bir odak noktası oluşturdu. Bugün 10 tanesi çözüldü, 7 tanesi kısmen çözüldü ve 2 tanesi hala açıktır. Kalan 4 tanesi çözülmüş ya da çözülmemiş olarak ifade edilemeyecek kadar genel hatlarıyla formüle edilmiştir.
Önemli tarihsel varsayımlar nihayet kanıtlandı. 1976'da Wolfgang Haken ve Kenneth Appel, o zamanlar bir bilgisayarın bunu yapması tartışmalı olan dört renk teoremini ispatladılar. Andrew Wiles, başkalarının çalışmalarını temel alarak 1995 yılında Fermat'nın son teoremi kanıtladı. Paul Cohen ve Kurt Gödel, süreklilik hipotezinin küme teorisinin standart aksiyomlarından bağımsız olduğunu (ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir) kanıtladı. 1998'de Thomas Callister Hales, Kepler varsayımını kanıtladı.
Eşi görülmemiş büyüklük ve kapsamda matematiksel işbirlikleri gerçekleşti. Bir örnek olarak, 1955 ile 2004 yılları arasında ispatı yaklaşık 100 yazarın 500 küsur dergi makalesini gerektiren ve on binlerce sayfayı dolduran sonlu basit grupların sınıflandırılmasıdır ("muazzam teorem" olarak da adlandırılır). "Nicolas Bourbaki" takma adıyla yayın yapan Jean Dieudonné ve André Weil'in de aralarında bulunduğu bir grup Fransız matematikçi, bilinen tüm matematiği tutarlı ve titiz bir bütün olarak açıklamaya çalıştı. Elde edilen birkaç düzine cilt, matematik eğitimi üzerinde tartışmalı bir etkiye sahipti.
Albert Einstein, genel görelilik teorisinde kullanmasıyla diferansiyel geometri hak ettiği yere geldi. Matematiksel mantık, topoloji ve John von Neumann'ın oyun teorisi gibi tamamen yeni matematik alanları, matematiksel yöntemlerle cevaplanabilecek soru türlerini değiştirdi. Her türlü yapı, aksiyomlar kullanılarak soyutlandı ve metrik uzaylar, topolojik uzaylar vb. gibi isimler verildi. Matematikçilerin yaptığı gibi, soyut bir yapı kavramının kendisi soyutlandı ve kategori teorisine yol açtı. Grothendieck ve Serre demet teorisini kullanarak cebirsel geometriyi yeniden biçimlendirdi. Poincaré'nin 1890'larda başlattığı dinamik sistemlerin nitel çalışmasında büyük ilerlemeler kaydedildi. Ölçü teorisi, 19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında geliştirilmiştir. Ölçülerin uygulamaları arasında Lebesgue integrali, Kolmogorov'un olasılık teorisinin belitleştirilmesi ve ergodik teori bulunur. Düğüm teorisi büyük ölçüde genişledi. Kuantum mekaniği, fonksiyonel analizin geliştirilmesine yol açtı. Diğer yeni alanlar arasında Laurent Schwartz'ın dağılım teorisi, sabit nokta teorisi, tekillik teorisi, René Thom'un felaket teorisi, model teorisi ve Mandelbrot'un fraktalleri bulunmaktadır. Lie grupları ve Lie cebirleri ile Lie teorisi ana çalışma alanlarından biri haline geldi.
Abraham Robinson tarafından sunulan standart dışı analiz, gerçek sayılar alanını sonsuz küçük ve sonsuz büyüklükleri içeren Hiperreal sayılara doğru genişleterek, limit teorisi lehine itibarını yitirmiş olan kalkülüs için sonsuz küçük yaklaşımı rehabilite etti. Daha da büyük bir sayı sistemi olan gerçeküstü sayılar, kombinatoryal oyunlarla bağlantılı olarak John Horton Conway tarafından keşfedildi.
Bilgisayarların, önce mekanik analog makinelerde ve ardından dijital elektronik makinelerde geliştirilmesi ve sürekli iyileştirilmesi, endüstrinin seri üretimi, dağıtımı ve iletişimi kolaylaştırmak için gittikçe daha fazla miktarda veriyle uğraşmasına izin verdi ve bununla başa çıkmak için yeni matematik alanları geliştirildi: Alan Turing'in hesaplanabilirlik teorisi; karmaşıklık teorisi; Derrick Henry Lehmer'in sayı teorisini ve Lucas-Lehmer testini ilerletmek için ENIAC'ı kullanması; Rózsa Péter'in özyinelemeli fonksiyon teorisi; Claude Shannon'un bilgi teorisi; sinyal işleme; veri analizi; optimizasyon ve yöneylem araştırmasının diğer alanları. Önceki yüzyıllarda matematiksel odakların çoğu hesap ve sürekli fonksiyonlar üzerindeydi, ancak hesaplama ve iletişim ağlarının yükselişi, ayrık kavramların artan önemine ve graf teorisi dahil kombinatoriklerin genişlemesine yol açtı. Bilgisayarların hızı ve veri işleme yetenekleri, kalem ve kağıt hesaplamalarıyla uğraşmak için çok zaman alan matematik problemlerinin ele alınmasını da sağladı ve bu da sayısal analiz ve sembolik hesaplama gibi alanlara yol açtı. 20. yüzyılın en önemli yöntem ve algoritmalarından bazıları şunlardır: simpleks algoritma, hızlı Fourier dönüşümü, hata düzeltme kodları, kontrol teorisinden Kalman filtresi ve açık anahtar şifrelemesinin RSA algoritması.
Aynı zamanda matematiğin sınırlamaları hakkında derinlemesine kavrayışlar yapıldı. 1929 ve 1930'da, doğal sayılar artı toplama ve çarpma işlemlerinden biri hakkında formüle edilen tüm ifadelerin doğruluğunun veya yanlışlığının karar verilebilir olduğu, yani bir algoritma ile belirlenebileceği kanıtlandı. 1931'de Kurt Gödel, bunun doğal sayılar artı hem toplama hem de çarpma için geçerli olmadığını buldu; Peano aritmetiği olarak bilinen bu sistem aslında tamamlanamazdı. (Peano aritmetiği, asal sayı kavramı da dahil olmak üzere birçok sayı teorisi için yeterlidir.) Gödel'in iki eksiklik teoreminin bir sonucu, Peano aritmetiğini (tüm analiz ve geometri dahil) içeren herhangi bir matematiksel sistemde, hakikatin zorunlu olarak kanıtlanması aşmasıdır, yani sistem içinde kanıtlanamayan gerçek ifadeler vardır. Bu nedenle matematik matematiksel mantığa indirgenemez ve David Hilbert'in tüm matematiği eksiksiz ve tutarlı hale getirme hayalinin yeniden formüle edilmesi gerekir.
20. yüzyıl matematiğindeki en renkli şahsiyetlerden biri Srinivasa Aiyangar Ramanujan'dı (1887–1920), süper kompozit sayıların özellikleri, parçalanış fonksiyonu ve asimptotikleri ile sahte teta fonksiyonu dahil olmak üzere 3000'den fazla teoremi varsayan veya kanıtlayan Hint bir otodidakt (kendi kendini yetiştirmiş kimse)'dı. Ayrıca gama fonksiyonları, modüler formlar, ıraksak seriler, hipergeometrik seriler ve asal sayı teorisi alanlarında da büyük araştırmalar yaptı.
Paul Erdős, yüzlerce kişiyle birlikte çalışarak tarihteki diğer matematikçilerden daha fazla makale yayınladı. Matematikçilerin, matematikçileri bir Erdős sayısına götüren Kevin Bacon Oyununa eşdeğer bir oyunu vardır. Bu sayı, matematiksel makalelerin ortak yazarlığı ile ölçülen, bir kişi ile Paul Erdős arasındaki "işbirlikçi mesafeyi" açıklar.
Emmy Noether birçokları tarafından matematik tarihindeki en önemli kadın olarak tanımlanmıştır. Halkalar, alanlar ve cebir teorileri üzerinde çalıştı.
Çoğu çalışma alanında olduğu gibi, bilim çağındaki bilgi patlaması uzmanlaşmaya yol açtı: yüzyılın sonunda matematikte yüzlerce uzmanlık alanı vardı ve Matematik Konu Sınıflandırması düzinelerce sayfa uzunluğundaydı. Giderek daha fazla matematik dergisi yayınlandı ve yüzyılın sonunda World Wide Web (İnternet)'in gelişimi çevrimiçi yayıncılığa yol açtı.