Leonhard Euler
Matematik ve fiziğe katkıları > Müzik

Euler'in daha sıra dışı ilgi alanlarından biri de matematiksel fikirlerin müzikte uygulanmasıydı. 1739'da "Tentamen novae theoriae musicae" ("Müzik Teorisinde Yeni Bir Girişim", Attempt at a New Theory of Music) adlı eseri yazdı ve sonunda müzik teorisi'ni matematiğin bir parçası olarak birleştirmeyi umdu. Bununla birlikte, çalışmalarının bu kısmı fazla ilgi görmedi ve bir zamanlar müzisyenler için fazla matematiksel ve matematikçiler için fazla müzikal olarak tanımlandı. Müzikle uğraşırken bile, örneğin, oktavlar'ın kesirli parçalara bölünmesini sayısal olarak tanımlamanın bir yolu olarak ikili logaritmaların tanıtılması dahil, Euler'in yaklaşımı esas olarak matematikseldir. Müzik üzerine yazıları özellikle çok sayıda değildir (yaklaşık otuz bin sayfalık toplam üretiminde birkaç yüz sayfadır), ancak bunlar erken dönemlerindeki ve hayatı boyunca onu terk etmeyen bir meşguliyeti yansıtır.
Euler'in müzik teorisinin ilk noktası, "türlerin", yani 3 ve 5 asal sayıları kullanılarak oktavın olası bölümlerinin tanımıdır. Euler, genel tanımı 2m A ile bu biçimde 18 tür tanımlar; burada A, türün "üssü"dür (yani 3 ve 5'in üslerinin toplamıdır) ve 2m ("m, sesler algılanabildiği sürece küçük veya büyük belirsiz bir sayıdır"), ilişkinin ilgili oktav sayısından bağımsız olarak geçerli olduğunu ifade eder. A = 1 olan ilk tür, oktavın kendisidir (veya kopyalarıdır); ikinci tür, 2m .3, oktavın beşinciye bölümüdür (beşinci + dördüncü, C–G–C); üçüncü tür 2m .5, majör üçüncü + minör altıncı (C–E–C); dördüncüsü 2m .32, dörtte iki ve bir ton (C–F–B♭–C); beşincisi 2m .3.5 (C–E–G–B–C); vb. Tür 12 (2m .33 .5), 13 (2m .32 .52) ve 14 (2m .3.53), sırasıyla Antik dönemlerdeki diyatonik, kromatik ve enharmonik'in düzeltilmiş versiyonlarıdır. Tür 18 (2m .33 .52) "diatonik-kromatik", "genel olarak tüm kompozisyonlarda kullanılır", ve Johann Mattheson tarafından açıklanan sistemle aynı olduğu ortaya çıktı. Euler daha sonra 7 asal sayısı da dahil olmak üzere türleri tanımlama olasılığını tasavvur etti.
Euler, diyatonik-kromatik türü göstermek için Speculum musicum, adlı özel bir çizge tasarladı ve Königsberg'in yedi köprüsü'ne olan ilgisini hatırlatarak bu çizgedeki yolları belirli aralıklarla tartıştı (bkz. yukarı). Cihaz, neo-Riemann teorisinde Tonnetz olarak yeniden ilgi gördü (ayrıca bkz. Kafes (müzik)).
Euler ayrıca "üssü" ilkesini, aralıkların ve akorların gradus suavitatis (incelik, uygunluk derecesi) temel faktörlerinden türetilmesini önermek için kullandı - onun sadece tonlamayı düşündüğünü akılda tutmak gerekir, yani 1 ve sadece 3 ve 5 asal sayıları. Bu sistemi herhangi bir sayıda asal sayıya genişleten formüller önerilmiştir, örneğin  ds=\sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1, biçiminde, burada pi asal sayılardır ve ki onların üsleridir.
Leonhard Euler'in geniş ilgi alanlarında yaptığı bazı katkılar aşağıda özetlenmiştir:
Gama fonksiyonları ve gama yoğunluk fonksiyonlarını tanıtarak yüksek transandantal fonksiyonlar teorisini ayrıntılandırdı.
Dördüncü derece polinomların çözümü için yeni bir yöntem tanıttı.
Newton özdeşlikleri, Fermat'nın küçük teoremi ve Fermat'nın iki kare toplamı teoremini ispatladı ve Lagrange dört kare teoremine önemli katkılarda bulundu.
Kombinasyonlar, değişkenler hesabı ve diferansiyel denklemlere katkılarda bulundu.
Hipergeometrik seriler teorisi, q-serileri ve sürekli kesirlerin analitik teorisinin yaratıcısı oldu.
Bir Diophantine denklemler dizisini çözdü. Hiperbolik trigonometrik fonksiyonları tanıttı ve üzerinde çalışmalar yaptı.
Kompleks limitli integralleri hesapladı ve Cauchy üzerinden çevresel integral ve kompleks analizi gerçekleştirdi.
Eliptik integraller için ek bir teorem geliştirdi.
Euler-Lagrange denklemini ortaya çıkaran değişkenler hesabını geliştirdi.
Gerçel sayı üslü iki terimliler için binom teoremini ispatladı.
Bernoulli sayıları, Fourier serileri, Venn diyagramı, Euler sayıları, e ve π sabitleri, sürekli kesirler ve integrallerin pek çok uygulamasını tanımladı.
Sonsuz çarpım ve trigonometrik fonksiyonların kısmi kesir gösterimini keşfetti.
Negatif sayıların logaritmasını ayrıntılandırdı.
Leibniz'in diferansiyel hesabını Newton'un akışkanlar yöntemine entegre etti. Değişkenler hesabının fiziğe olan uygulamasında öncülük etti.
İntegraller, toplamlar ve serilerin hesabını kolaylaştıran Euler-Maclaurin formülünün yaratıcılarından biri oldu.
Diferansiyel denklemler teorisine çok önemli katkılarda bulundu.
Hesaplamalı mekanikte kullanılan yaklaştırmalar serisini tanımladı. Bu yaklaştırmalardan en kullanışlı olanı Euler yöntemi olarak bilinir.
Howard Garns'ın sayı yapbozu Sudoku’ya esin kaynağı olmuş Latin karesi’ni Euler’in yarattığı yönünde bir yanlış anlaşılma bulunmaktadır. Greco-Latin karelerinin birkaç bin yıllık tarihi vardır. Özellikle kabir ve mezarların üstünde tılsım olarak kullanılırdı ve Euler doğmadan bin yıl önce Jabirean Corpus’ta üçten dokuza kadar Arap sayıbilimciler tarafından etraflıca numaralanmıştı. Euler’in tek yaptığı popülaritesini canlandırmak olmuştu.
Sayı teorisinde totient fonksiyonunu buldu. Pozitif tam sayı n’in totient’i φ(n), n’e eşit ya da küçük pozitif tam sayılar ve “n” ile asal olan sayıların sayısı olarak tanımlanır. Örneğin, φ(8) = 4'tür çünkü 1, 3, 5 ve 7 olmak üzere dört sayı 8 ile aralarında asaldır. Bu fonksiyon yardımı ile Euler Fermat'nın küçük teoremini Euler teoremine genelleştirebildi.
1735 yılında Euler uzun süredir çözülemeyen Basel problemini çözerek bilimsel şöhretini tekrar doğrulatmış oldu:
\zeta (s) Riemann zeta fonksiyonudur ve aynı zamanda herhangi bir çift sayıda zeta fonksiyonunun nasıl değerlendirileceğini tanımlamıştır.
1735 yılında diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanışlı olan Euler-Mascheroni sabitini tanımladı:
Geometri ve cebirsel topolojide, kenar sayıları, köşeler ve dışbükey çokyüzlülerin yüzleri arasında bir ilişki bulunmaktadır (Euler Formülü olarak da adlandırılır). Birçok yüzlü için, köşelerin ve yüzlerin sayısının toplamı kenar sayısının toplamı artı ikidir, örneğin Y + KÖ = KE + 2. Teoremi herhangi bir düzlemsel grafiğe uygulamak mümkündür. Düzlemsel olmayan grafiklerde bir genelleme vardır: Eğer grafik bir “M” manifoldunun içine gömülebiliyorsa Y - KE + KÖ = χ(M) olarak yazılabilir (χ manifoldun Euler karakteristiği, sürekli deformasyon altında değişmez bir sabittir). Bir küre ya da düzlem gibi basit bağlanmış manifoldun Euler karakteristiği 2'dir. Euler formülünün gelişigüzel düzlemsel grafikler için genelleştirilmiş şekli mevcuttur: “Y” – “KE” + “KÖ” - C = 1 (“C” grafikteki bileşenlerin sayısıdır).
1736 yılında Königsberg'in yedi köprüsü olarak bilinen bir problemi çözdü ve grafik teorisi ve topolojinin ilk uygulaması olan Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis isimli makaleyi çıkardı.
1739 yılında matematik ve müziği bir araya getirmek için Tentamen novae theoriae musicae adlı eseri yazdı. Yapılan yorumlarda “müzisyenler için çok ileri, matematik ve matematikçiler için çok müzikal” deniyordu.