Karmaşık düzlem
Düzlemi kesmek > Çok değerli ilişkiler ve dallanma noktaları

İki değerli basit
ilişkisini göz önüne alalım. Bu ilişkiyi tek değerli bir fonksiyon olarak incelemeden önce, sonuç değerinin görüntüsü bir şekilde sınırlandırılmış olmalıdır. Gerçel sayıların karekökleriyle uğraşırken bu yapılan çok kolaydır. Mesela, y2 = x olacak şekilde
ifadesinde negatif olmayan bir y sayısı tanımlanabilir. Ancak, bu fikir iki boyutlu karmaşık düzlemde iyi bir fikir değildir. Neden olduğunu görmek için, z değeri birim çember üzerinde hareket ettikçe f(z)'nin değerinin nasıl değiştiğine bakalım.
ifadesini yazabiliriz.
Açık bir şekilde, z çemberin tümünü turladıkça, w sadece çemberin yarısını turlar. Böylelikle, karmaşık düzlemdeki sürekli bir hareket e0 = 1 pozitif karekökünü eiπ = -1 negatif kareköküne dönüştürmüştür.
Bu problemin çıkış nedeni z ≠ 0 olan her karmaşık sayının iki karekökü varken z = 0 'ın sadece bir karekökünün olmasıdır. Gerçel sayı doğrusu üzerinde bu problemden x = 0 noktasında bir bariyer dikerek kaçınabiliriz. Herhangi kapalı bir kontürü dallanma noktası z = 0'ı çevrelemekten korumak için, karmaşık düzlemde daha büyük bir bariyere ihtiyaç duyulur. Bu bariyer bir dallanma kesimi veya başka bir deyişle dallanma kesiği ile yapılır ve bu durumda "kesik" z = 0 noktasından pozitif gerçel eksen boyunca sonsuz noktasına kadar uzanır. Böylece, z 'nin kesik düzlemdeki argumenti 0 ≤ arg(z) < 2π aralığına sınırlandırılmış olur.
Şimdi w = z½ 'nin tam bir tanımını verebiliriz. Bunu yapmak içinse, her ikisi de gerçel eksen boyunca kesilmiş z-düzleminin iki kopyasına ihtiyaç duyulur. Bir kopya üzerinde, 1'in karekökünü e0 = 1 olarak tanımlarız ve diğerinde ise 1'in karekökünü eiπ = -1 olarak tanımlarız. Bu iki tam düzlem kesiğine ise yaprak denmektedir. Süreklilik tartışmasıyla, bu (şimdi tek değerli olan) w = z½ fonksiyonunun ilk yaprağı 0 ≤ arg(w) < π olacak şekilde w-düzleminin yukarı düzlemine gönderdiğini, ikinci yaprağı ise π ≤ arg(w) < 2π olacak şekilde w-düzleminin aşağı düzlemine gönderdiğini gözlemleyebiliriz.
Bu örnekteki dallanma kesiği gerçel eksen boyunca uzanmak ve hatta doğru olmak zorunda bile değildir. z = 0 noktasını sonsuz noktasına bağlayan herhangi bir sürekli eğri işimizi görecektir. Bazı durumlarda, dallanma kesiği sonsuz noktasından geçmek zorunda bile değildir. Mesela,
ilişkisini ele alalım. Burada z2 - 1 polinomu z = ±1 değerlerinde 0 değerini alır ve böylece g 'nin açıkça iki dallanma noktası olur. Düzlemi gerçel eksen boyunca, -1 'den 1 'e kadar, "kesebiliriz" ve g(z) 'nin tekdeğerli olduğu bir yaprak elde edebiliriz. Alternatif bir kesim ise z = 1 noktasından sonsuz noktasına kadar pozitif gerçel eksen boyunca gidilip sonra bu sonsuz noktasından  z = -1 noktasına negatif gerçel eksen boyunca gidilerek yapılabilir.
Bu durum en kolay biçimde yukarıda açıklanmış stereografik izdüşüm kullanılarak görülebilir. Küre üzerinde, bu kesiklerden birisi ekvatordaki bir noktayı (z = -1) ekvatordaki başka bir noktaya (z = 1) bağlayacak şekilde boylam boyunca güney yarımkürede yolunun üstündeki güney kutbundan (z = 0) geçecek şekilde hareket eder. Kesiğin ikincisi ise kuzey yarımkürede yine boylam şeklinde gider ve yine aynı ekvator noktasını kuzey kutbundan (yani sonsuzdaki noktadan) geçecek şekilde birleştirir.