Bell teoremi
Varyasyonlar ve ilgili sonuçlar > GHZ–Mermin (1990)

1990'da Daniel Greenberger, Michael A. Horne ve Anton Zeilinger, daha sonra David Mermin'in yalnızca üç parçacık kullanacak şekilde basitleştirdiği, dört parçacıklı bir düşünce deneyi sundular. Bu düşünce deneyinde Victor, kuantum durumu
 |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,, tarafından tanımlanan üç spin-1/2 parçacığı kümesi üretir; burada yukarıdaki gibi  |0\rangle  ve  |1\rangle , Pauli matrisi  \sigma _{z}'nin özvektörleridir.
Victor daha sonra birbirinden çok farklı yerlerde bekleyen Alice, Bob ve Charlie'ye birer parçacık gönderir. Alice, parçacığı üzerinde  \sigma _{x} veya  \sigma _{y}'yi ölçer, Bob ve Charlie de öyle. Her ölçümün sonucu  +1 veya  -1 şeklindedir. Born kuralını üç kübitlik  |\psi \rangle  durumuna uygulayan Victor, üç ölçümün bir  \sigma _{x} ve iki  \sigma _{y} içerdiğinde, sonuçların ürününün her zaman  +1 olacağını tahmin ediyor. Bunun nedeni,  |\psi \rangle 'nin, özdeğeri  +1 olan  \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}'nin  bir özvektörü olmasıdır ve aynı durum  \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y} ve  \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x} için de geçerlidir. Bu nedenle, Alice'in  \sigma _{x} ölçümü için sonucunu ve Bob'un  \sigma _{y} ölçümü için sonucunu bilen Victor, Charlie'nin  \sigma _{y} ölçümü için hangi sonucu döndüreceğini 1 olasılıkla tahmin edebilir. EPR gerçeklik kriterine göre, Charlie'nin kübiti üzerindeki bir  \sigma _{y} ölçümünün sonucuna karşılık gelen bir "gerçeklik unsuru" olacaktır. Aslında, aynı mantık hem ölçümler hem de üç kübit için geçerlidir. O halde EPR gerçeklik kriterine göre, her parçacık, üzerinde bir  \sigma _{x} veya  \sigma _{y} ölçümünün sonucunu belirleyen bir "komut seti" içerir.
Üç parçacığın tamamı daha sonra 
 (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,, 
komut seti tarafından açıklanacak ve her giriş ya  -1 ya da  +1 olacak ve her  \sigma _{x} ya da  \sigma _{y} ölçümü basitçe uygun değeri döndürecektir. Alice, Bob ve Charlie'nin hepsi  \sigma _{x} ölçümünü yaparsa, sonuçlarının çarpımı  a_{x}b_{x}c_{x} olur. Bu değer şundan çıkarılabilir
 (a_{x}b_{y}c_{y})(a_{y}b_{x}c_{y})(a_{y}b_{y}c_{x})=a_{x}b_{x}c_{x}a_{y}^{2}b_{y}^{2}c_{y}^{2}=a_{x}b_{x}c_{x}\,, 
çünkü  -1 veya  +1'ün karesi  1'dir.
Parantez içindeki her faktör  +1'e eşittir, bu nedenle  a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,, ve Alice, Bob ve Charlie'nin sonuçları şöyle olacaktır: olasılık birliği ile  +1. Parantez içindeki her faktör  +1'e eşittir, yani 
 a_{x}b_{x}c_{x}=+1\,, olur 
ve Alice, Bob ve Charlie'nin sonuçlarının çarpımı olasılık birliği ile  +1 olacaktır. Ancak bu, kuantum fiziği ile tutarsızdır: Victor,  |\psi \rangle  durumunu kullanarak  \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x} ölçümünün bunun yerine olasılık birliği ile  -1'i vereceğini tahmin edebilir.
Bu düşünce deneyi, geleneksel bir Bell eşitsizliği olarak veya eşdeğer olarak, CHSH oyunuyla aynı ruhta yerel olmayan bir oyun olarak yeniden biçimlendirilebilir. İçinde Alice, Bob ve Charlie, Victor'dan  x,y,z bitlerini alırlar, her zaman çift sayıda bire, yani  x\oplus y\oplus z=0'ye sahip olacaklarına söz verilirler ve ona  a,b,c bitlerini geri gönderirler. Çift sayıda bire sahip olmaları gerektiğinde,  a,b,c'nin  x=y=z=0 dışındaki tüm girdiler için tek sayıda bire sahip olması durumunda oyunu kazanırlar. Yani,  a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z olursa oyunu kazanırlar. Yerel gizli değişkenlerle, sahip olabilecekleri en yüksek zafer olasılığı 3/4 iken, yukarıdaki kuantum stratejisini kullanarak kesin olarak kazanırlar. Bu, kuantum sözde telepatinin bir örneğidir.