Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar kümesini temsil eden simge
Rasyonel sayılar kümesi,  \mathbb {Q} , reel sayılar kümesi,  \mathbb {R} , içerisinde konumlanmaktadır ki bu reel sayılar kümesi de karmaşık sayılar kümesi,  \mathbb {C} , tarafından kapsanmaktadır. Rasyonel sayılar kümesi, aynı zamanda, tam sayılar kümesi,  \mathbb {Z} , içermekte olup, bu tam sayılar kümesi de doğal sayılar kümesi,  \mathbb {N} , tarafından kapsanmaktadır.
Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay p ve sıfırdan farklı bir payda q olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin,  {\tfrac {3}{7}} rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da (mesela,  -5={\tfrac {-5}{1}} gibi) rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak  \mathbb {Q}  şeklinde ifade edilir.
Rasyonel sayı, reel sayılar kümesine ait bir sayıdır. Bu sayılar, ondalık açılımlarının sonlu sayıda rakam içermesiyle karakterize edilir ve bu açılım ya bir noktadan sonra sonlanır (örneğin: 3/4 = 0.75) ya da belirli bir dizinin rakamlarının sürekli olarak tekrar edilmesiyle devam eder (örneğin: 9/44 = 0.20454545...). Bu özellik, yalnızca on tabanlı sistemde geçerli olmayıp, ikili, on altılı gibi diğer tüm tam sayı taban sistemlerinde de geçerlidir.
Rasyonel olmayan bir reel sayı, irrasyonel olarak tanımlanır. Bu kapsamda irrasyonel sayılara örnek olarak Karekök 2 ( {\sqrt {2}}), π, e ve altın oran (φ) gösterilebilir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir bir yapıda olması ve reel sayılar kümesinin ise sayılamaz bir yapıya sahip olması sebebiyle, reel sayıların büyük çoğunluğu irrasyoneldir.
Rasyonel sayılar, belirli tam sayı çiftleri olan (p, q) için, q ≠ 0 koşulu altında, eşdeğerlik sınıfı olarak formel bir şekilde ifade edilebilir. Bu çerçevede, eşdeğerlik ilişkisi şu şekilde tanımlanır:
Bu bağlamda,  {\tfrac {p}{q}} kesri, belirtilen (p, q) çiftinin eşdeğerlik sınıfını temsil eder.
Rasyonel sayılar tam sayıların bir genişlemesidir.  \mathbb {Q}  kümesi genelde şöyle tanımlanır:
{\frac {2}{3}} ve  {\frac {4}{6}} veya  {\frac {6}{9}} eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit biçimi  a\! ve  b\! tam sayılarının ortak bölen'inin olmadığı  a/b\! ifadesidir.
Her tam sayı rasyonel sayıdır. Çünkü  -3={\frac {-3}{1}} veya  0={\frac {0}{1}} veya  43={\frac {43}{1}} şeklinde yani rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi  \mathbb {Q} , tam sayılar kümesi  \mathbb {Z} 'yi kapsar. Yani  \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} .
Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir rasyonel sayı olarak anılır.  \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}  kümesinden seçilmiş keyfi (a,b) ve (c,d) ögeleri için "~" bağıntısı  (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc,\quad b,d\not =0 olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları  {\overline {(a,b)}}=\{(a,b)|(a,b)\sim (c,d)\} olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe  {\frac {a}{b}}={\overline {(a,b)}} şeklinde tanımlanır. Tanımda paydanın sıfır olmama şartı  {\frac {a}{0}} ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi  \mathbb {Q} ^{+}ile, negatif rasyonel sayılar kümesi  \mathbb {Q} ^{-}ile gösterilir.
Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta
Yandaki şekilde, bir yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi  {\frac {1}{4}} olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3'te 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu  {\frac {3}{4}} ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3'e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4'e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.
Rasyonel sayılar, toplama ve çarpma işlemleri ile birleştirildiğinde, tam sayıları barındıran ve aynı zamanda tam sayılar içeren herhangi bir matematiksel cismin (İng. field) bir parçası olan bir cismi meydana getirir. Bu bağlamda, rasyonel sayılar cismi bir asal cisim niteliğindedir ve bir cismin sıfır karakteristiğe sahip olması, yalnızca o cismin rasyonel sayıları bir alt cisim olarak barındırması ile mümkündür.  \mathbb {Q} 'nun sonlu genişlemeleri cebirsel sayı cisimleri olarak isimlendirilir ve  \mathbb {Q} 'nun cebirsel kapanışı, cebirsel sayılar cismidir.
Matematiksel analiz çerçevesinde, rasyonel sayılar, reel sayılar içerisinde yoğun bir alt küme teşkil eder. Reel sayıların tanımlanması, rasyonel sayılar baz alınarak, Cauchy dizileri, Dedekind kesitleri veya sonsuz ondalık sayılar kullanılarak gerçekleştirilebilir.