Felix Hausdorff
Çalışmaları ve resepsiyon > Tanımlayıcı küme teorisi, ölçü teorisi ve analizi

1916'da Alexandroff ve Hausdorff, Borel kümeleri için süreklilik problemini bağımsız olarak çözdü: Tam ayrılabilir bir metrik uzaydaki her Borel kümesi ya sayılabilir ya da sürekliliğin temel özelliğine sahiptir. Bu sonuç, böyle bir ifadenin  \mathbb {R} ^{n}'in kapalı kümeleri için geçerli olduğu Cantor-Bendixson teoremini genelleştirir. Doğrusal  G_{\delta } kümeleri için William Henry Young sonuçları 1903'te ispatladı,  G_{\delta \sigma \delta } kümeleri için Haussdorf 1914 yılında İlkeler’de karşılık gelen bir sonuç elde etti. Alexandroff ve Hausdorff teoremi, tanımlayıcı küme teorisinin daha da geliştirilmesi için güçlü bir itici güçtü.
Hausdorff'un Greifswald zamanında yaptığı yayınlar arasında 1919'dan itibaren Boyut ve dış ölçü (Dimension and outer measure) çalışması özellikle göze çarpmaktadır. Son derece güncel kaldı ve daha sonraki yıllarda muhtemelen 1910'dan 1920'ye kadar olan on yılda en çok alıntı yapılan matematiksel orijinal çalışma oldu. Bu çalışmada, artık Hausdorff ölçüsü ve Hausdorff boyutu olarak bilinen kavramlar tanıtıldı.
Hausdorff boyutu kavramı, "oldukça düzensiz miktarların (highly rugged quantities)" karakterizasyonu ve karşılaştırılması için kullanışlıdır. Boyut ve dış ölçü kavramları, dinamik sistemler teorisi, geometrik ölçüm teorisi, kendine benzeyen kümeler ve fraktallar teorisi, stokastik süreçler teorisi, harmonik analiz, potansiyel teorisi ve sayı teorisi gibi birçok alanda uygulama ve ileri gelişmeler yaşamıştır.
Hausdorff'un önemli analitik çalışması Bonn'da ikinci kez gerçekleşti. 1921'de Toplama yöntemleri ve moment dizileri I (Summation methods and moment sequences I)’de, bugün Hausdorff yöntemleri olarak adlandırılan ıraksak seriler için bütün bir toplama yöntemleri sınıfı geliştirdi. Hardy'nin klasik Divergent Series adlı eserinde, bir bölümün tamamı Hausdorff yöntemine ayrılmıştır. Hölder ve Cesàro'nun klasik yöntemlerinin özel Hausdorff yöntemi olduğunu kanıtlandı. Her Hausdorff yöntemi bir moment dizisi ile verilir; bu bağlamda Hausdorff, sürekli kesirler teorisini atlayarak, sonlu bir aralık için moment probleminin zarif bir çözümünü verdi. 1923'te Sonlu bir aralık için moment problemleri (Moment problems for a finite interval)’nde, yoğunluk oluşturmak için,  \varphi (x) yoğunluğu oluşturmak için belirli kısıtlamalara sahip olanlar, örneğin  \varphi (x)\in L^{p}[0,1] gibi daha özel moment problemlerini ele aldı. Çözülebilirlik kriterleri ve moment problemlerinin belirlenmesi, Hausdorff'u Nachlass'ın yüzlerce sayfalık çalışmasının da kanıtladığı gibi yıllarca meşgul etti.
Yirmili yıllarda ortaya çıkan fonksiyonel analize önemli bir katkı, Hausdorff'un 1923 yılındaki Parseval teoreminin Fourier serileri üzerine bir uzantısı (An extension of Parseval's theorem on Fourier series) çalışmasında Riesz-Fischer teoreminin  L^{p} uzaylarına uzatmasıydı. Kendisinin ve W. H. Young'ın adını verdiği eşitsizlikleri kanıtladı. Hausdorff-Young eşitsizlikleri büyük ve yeni gelişmelerin başlangıç noktası oldu.
Hausdorff'un Küme Teorisi (Set Theory) adlı kitabı 1927'de yayınlandı. Bu, İlkeler’in ikinci baskısı olarak ilan edildi, ancak aslında tamamen yeni bir kitaptı. Ölçek, Goschen'in öğretim kütüphanesinde görünmesi nedeniyle önemli ölçüde küçültüldüğünden, sıralı kümeler ve ölçü teorisinin ve entegrasyon teorisinin büyük bölümleri kaldırıldı. "Okuyucu bu silme işlemlerinden daha çok pişman olacaktır" (dedi Hausdorff önsözde), "noktasal küme teorisinde daha fazla yer kazanmak için, ilk baskının görünüşe göre pek çok arkadaş edindiği topolojik bakış açısını terk ettim, kendimi daha kolay metrik uzaylar teorisiyle sınırladım".
Aslında bu, çalışmayı inceleyen bazı eleştirmenlerin açık bir pişmanlığıydı. Bir tür telafi olarak Hausdorff, tanımlayıcı küme teorisinin o zamanki mevcut durumunu ilk kez gösterdi. Bu gerçek, kitabın özellikle Fundamenta Mathematicae'de İlkeler kadar yoğun bir resepsiyonu sağladı. Ders kitabı olarak çok popülerdi. 1935'te genişletilmiş bir baskı yayınlandı ve bu 1944'te Dover tarafından yeniden basıldı. 1957'de, 1962 ve 1967'de yeniden basılmış bir İngilizce çevirisi yayınlandı.
Ayrıca kısmen sadık bir çeviri ve kısmen Alexandroff ile Kolmogorov tarafından yeniden çalışılmasına rağmen bir Rusça baskısı da (1937) vardı. Bu çeviride topolojik bakış açısı yine ön plana çıktı. 1928'de Hans Hahn'ın kaleminden Küme Teorisi (Set Theory)'nin bir incelemesi çıktı. Belki de Hahn, bu tartışmayı şu cümleyle kapatırken kafasında Alman anti-Semitizmi tehlikesini taşıyordu:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ | Zor ve çetrefilli bir alanın her açıdan örnek bir tasviri, Alman biliminin dünya çapında ününü taşımış olanlarla eşit ve tüm Alman matematikçilerin gurur duyabileceği bir çalışma. | „ |