Henri Léon Lebesgue
Lebesgue entegrasyon teorisi

Bu, tarihsel bir genel bakıştır. Teknik bir matematiksel inceleme için bkz. .
Entegrasyon, bir fonksiyon'un grafik altındaki alan'ını bulmanın gayri resmi fikrine karşılık gelen matematiksel bir işlemdir. İlk entegrasyon teorisi Arşimet tarafından MÖ 3. yüzyılda kareler yöntemiyle geliştirildi, ancak bu yalnızca yüksek derecede geometrik simetriye sahip sınırlı durumlarda uygulanabilir. 17. yüzyılda, Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz, entegrasyonun özünde farklılaşma ile bağlantılı olduğu fikrini keşfetti; ikincisi, bir fonksiyonun ne kadar hızlı olduğunu ölçmenin bir yoluydu. grafiğin herhangi bir noktasında değişti. Kalkülüsteki iki ana geometrik işlem, türev alma ve integrasyon arasındaki bu şaşırtıcı ilişki, şimdi Hesabın temel teoremi olarak biliniyor. Matematikçilerin ilk kez geniş bir integral sınıfını hesaplamasına izin verdi. Ancak, Arşimet'in Öklid geometrisine dayanan yönteminden farklı olarak, matematikçiler Newton'un ve Leibniz'in integral hesabı kesin bir temele sahip olmadığını hissettiler.
19. yüzyılda, Augustin Cauchy epsilon-delta limiti geliştirdi ve Bernhard Riemann, şimdi Riemann integrali olarak adlandırılan şeyi resmîleştirerek bunu takip etti. Bu integrali tanımlamak için, grafiğin altındaki alan giderek daha küçük dikdörtgenler ile doldurulur ve her aşamada dikdörtgenlerin alanlarının toplam limiti alınır. Ancak bazı fonksiyonlar için bu dikdörtgenlerin toplam alanı tek bir sayıya yaklaşmaz. Bu nedenle, Riemann integrali yoktur.
Lebesgue, bu problemi çözmek için yeni bir entegrasyon yöntemi icat etti. Lebesgue, fonksiyonun tanım bölgesi'ne odaklanan dikdörtgenlerin alanlarını kullanmak yerine, temel alan birimi için fonskiyonun eş tanım bölgesine'ne baktı. Lebesgue'nin fikri, önce hem kümeler hem de bu kümelerdeki fonksiyonlar için ölçüyü tanımlamaktı. Daha sonra basit fonksiyonların dediği şeyin integralini oluşturmaya başladı; sadece sonlu birçok değer alan ölçülebilir fonksiyonlar. Daha sonra, daha karmaşık fonksiyonlar için, söz konusu fonksiyondan daha küçük basit fonksiyonların tüm integrallerinin en küçük üst sınırı olarak tanımladı.
Lebesgue entegrasyonu, bir Riemann integrali ile sınırlı bir aralıkta tanımlanan her fonksiyonun aynı zamanda bir Lebesgue integraline sahip olma özelliğine sahiptir ve bu fonksiyonlar için iki integral uyuşmaktadır. Ayrıca, kapalı bir sınırlı aralıktaki her sınırlı fonksiyonun bir Lebesgue integrali vardır ve Lebesgue integrali olan ve Riemann integrali olmayan birçok fonksiyon vardır.
Lebesgue entegrasyonunun geliştirilmesinin bir parçası olarak Lebesgue, uzunluk fikrini aralıklardan ölçülebilir kümeler olarak adlandırılan çok büyük bir küme sınıfına genişleten ölçü kavramını icat etti (yani, daha kesin olarak, basit fonksiyonlar, sonlu sayıda değer alan ve her değer ölçülebilir bir kümede alınan fonksiyonlardır).
Lebesgue integrali bir açıdan eksiktir. Riemann integrali, tanım alanı kapalı aralık olmayan fonksiyonları ölçmek için uygun olmayan Riemann integrali'ne genellenir. Lebesgue integrali bu fonksiyonların çoğunu bütünleştirir (yaptığında her zaman aynı cevabı üretir), ancak hepsini değil.
Gerçek doğru üzerindeki fonksiyonlar için, Henstock integrali, hem Lebesgue entegrasyonunu hem de uygun olmayan Riemann entegrasyonunu kapsayan (Lebesgue'den ziyade Riemann'ın teorisine dayanan) daha da genel bir integral kavramıdır. Bununla birlikte, Henstock integrali gerçek doğrunun belirli sıralama özelliklerine bağlıdır ve bu nedenle daha genel uzaylarda (örneğin, manifoldlar) entegrasyona izin verecek şekilde genelleme yapmazken, Lebesgue integrali bu tür uzaylara oldukça doğal bir şekilde uzanır.