Ölçü (matematik)

Eşcebir kavramı için eşcebir ölçümü sayfasına bakınız.
Metrik (matematik) ile karıştırılmamalıdır.
Gayri resmi olarak, bir ölçü tekdüze olma özelliğine sahiptir, yani A, B’nin bir alt kümesi ise, A’nın ölçüsü B’nin ölçüsünden küçük veya ona eşittir. Ayrıca, boş kümenin ölçüsünün 0 olması gerekir.
Matematiğin bir alt dalı olana analizde ölçü bir kümeye ve bu kümenin uygun altkümelerine negatif olmayan bir genişletilmiş sayı atayan bir fonksiyondur. Ölçü kavramı,  uzunluk, alan ve hacim kavramlarının sistemli bir genellemesidir. Önemli ölçü örneklerinden birisi n-boyutlu Öklid uzayı Rn'nin uygun alt kümelerine Öklid geometrisindeki geleneksel uzunluk, alan ve hacim gibi kavramlarına karşılık gelen sayıları atayan Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki [0, 1] aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur; diğer deyişle, [0, 1] aralığının ölçüsü 1'dir.
Ölçülerin fonksiyonların integrallerinin alınması ile yakından ilgisi vardır ve Lebesgue integrali gibi modern integral kavramlarının temelini oluştururlar. 
Ölçülerin oluşturulması, özellikleri ve ölçülere göre integral almayı konu edinen matematik kuramına ölçü kuramı veya ölçü teorisi denir.
Teknik olarak, ölçü, bir X kümesinin (belirli) alt kümelerine negatif olmayan bir gerçel sayı veya +∞ atayan bir fonksiyondur (aşağıdaki Tanıma bakınız). Ayrıca sayılabilir şekilde toplanır olmalıdır: Sonlu (veya sayılabilir olarak sonsuz) sayıda "daha küçük" ayrık alt kümelere ayrıştırılabilen "büyük" bir alt kümenin ölçüsü, bu "daha küçük" alt kümelerin ölçülerinin toplamına eşittir. Genel olarak, bir ölçünün diğer aksiyomlarını yerine getirirken belirli bir kümenin her bir alt kümesiyle tutarlı bir boyutu ilişkilendirilmek istenirse, yalnızca sayma ölçüsü gibi önemsiz örnekler bulunur. Bu problem, ölçüsü bir σ-cebir oluşturmak için gerekli olan ölçülebilir alt kümeler olarak adlandırılan, yalnızca tüm alt kümelerin bir alt koleksiyonu üzerinde tanımlayarak çözüldü. Bu, sayılabilir birliklerin, sayılabilir kesişimlerin ve ölçülebilir alt kümelerin tamamlayıcılarının ölçülebilir olduğu anlamına gelir. Üzerinde Lebesgue ölçüsünün tutarlı bir şekilde tanımlanamadığı bir Öklid uzayındaki ölçülemeyen kümeler, tamamlayıcıları ile kötü bir şekilde karıştırılma anlamında zorunlu olarak karmaşıktır. Aslında onların varlığı, seçim aksiyomunun en az bir değişkeni sıfırdan farklı olan (non-trivial) bir sonucudur.
Ölçüm teorisi, 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarında diğerlerinin yanı sıra Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon ve Maurice Fréchet tarafından birbirini takip eden aşamalarda geliştirildi. Ölçülerin ana uygulamaları, Lebesgue integralinin temelleri içinde, Andrey Kolmogorov'un belitleştirilmesine ait olasılık teorisinde ve ergodik teoride yer almaktadır. Entegrasyon teorisinde, bir ölçü belirtmek, Öklid uzayının alt kümelerinden daha genel uzaylar üzerindeki integrallerin tanımlamasına izin verir; dahası, Öklid uzayları üzerine Lebesgue ölçümü ile ilgili integral daha geneldir ve selefi Riemann integralinden daha zengin bir teoriye sahiptir. Olasılık teorisi, tüm kümeye 1 büyüklüğünü atayan ölçüleri dikkate alır ve ölçülebilir alt kümeleri olasılıkları ölçü tarafından verilen olaylar olarak kabul eder. Ergodik teori, bir dinamik sistem altında değişmeyen veya doğal olarak ortaya çıkan ölçüleri dikkate alır.