Öklid geometrisi
Mantıksal temel > Aksiyomatik formülasyonlar

Geometri, yanlış rakamlar üzerinde doğru akıl yürütme bilimidir.
Öklid aksiyomları: Cambridge'deki Trinity College'da yazdığı tezinde Bertrand Russell, o zamana kadar filozofların zihninde Öklid'in geometrisinin değişen rolünü özetledi. Deneysel girdi gerektiren, deneyden bağımsız belirli bilgi ile deneycilik arasında bir çatışmaydı. Paralellik postülatının zorunlu olarak geçerli olmadığı ve uygulanabilirliğinin deneysel bir mesele olduğu keşfedildiğinden, bu sorun netleşti ve uygulanabilir geometrinin Öklidsel mi yoksa Öklid dışı mı olduğuna karar verdi.
Hilbert aksiyomları: Hilbert'in aksiyomları, en önemli geometrik teoremlerin çıkarılabileceği basit ve eksiksiz bir bağımsız aksiyomlar kümesini tanımlama amacına sahipti. Göze çarpan hedefler, Öklid geometrisini (gizli varsayımlardan kaçınarak) kesin hale getirmek ve paralellik postülatının sonuçlarını açıklığa kavuşturmaktı.
Birkhoff aksiyomları: Birkhoff, Öklid geometrisi için ölçek ve açıölçer ile deneysel olarak doğrulanabilen dört varsayım önerdi. Bu sistem, büyük ölçüde gerçek sayıların özelliklerine dayanır. Açı ve mesafe kavramları ilkel kavramlar haline gelir.
Tarski aksiyomları: Alfred Tarski (1902-1983) ve öğrencileri, Hilbert'in aksiyomlarının aksine, birinci dereceden mantıkla ifade edilebilen ve mantıksal temeli için küme teorisine bağlı olmayan geometri olarak temel Öklid geometrisini tanımladılar. nokta kümelerini içeren. Tarski, temel Öklid geometrisinin aksiyomatik formülasyonunun belirli bir anlamda tutarlı ve eksiksiz olduğunu kanıtladı: Her önerme için doğru veya yanlış gösterilebilecek bir algoritma var. (Bu, Gödel'in teoremini ihlal etmez, çünkü Öklid geometrisi, teoremin uygulanması için yeterli miktarda aritmetiği tanımlayamaz. Bu, temel Öklid geometrisinin bir model olduğu gerçek kapalı cisimlerin karar verilebilirliğine eşdeğerdir.
Paralellik postülatı (Postülat 5): Eğer iki doğru, bir taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan daha az olacak şekilde üçüncü bir doğru ile kesişiyorsa, o zaman iki doğru kaçınılmaz olarak, eğer yeteri kadar uzağa uzanırsa, o tarafta birbiriyle kesişmelidir.
Bir doğru parçası verildiğinde, parçayı kenarlarından biri olarak içeren bir eşkenar üçgen oluşturabileceğine dair Öklid'in Elemanlar'ından bir kanıt: bir eşkenar üçgen ΑΒΓ, Α ve Ε noktaları üzerinde ortalanmış daireler çizerek yapılır ve üçgenin üçüncü köşesi olarak dairelerin bir kesişimi alınır.
Bir denklik örneği: Soldaki iki şekil denktir, üçüncüsü ise onlara benzerdir. Son şekil denk veya benzer değildir. Denklikler, konum ve yön gibi bazı özellikleri değiştirir, ancak mesafe ve açılar gibi diğerlerini değiştirmeden bırakır. İkinci tür özelliklere değişmezler denir ve bunları incelemek geometrinin özüdür.
Üçgenlerin denkliği, iki kenar ve aralarındaki açı (KAK), iki açı ve aralarındaki kenar (AKA) veya iki açı ve karşılık gelen bitişik kenar (AAK) belirtilerek belirlenir. Bununla birlikte, iki kenar ve bitişik bir açı (KKA) belirtmek, belirtilen açı bir dik açı olmadığı sürece iki farklı olası üçgen oluşturabilir.
Bir küre, çevreleyen silindirin 2/3'lük hacmine ve yüzey alanına sahiptir. Arşimet'in mezarı üzerine isteği üzerine bir küre ve silindir yerleştirildi.
René Descartes, Frans Hals'dan sonraki portre, 1648.
Daireyi kareleştirme: Bu kare ve bu çemberin alanları eşittir. 1882'de, bu şeklin idealleştirilmiş bir pergel ve cetvel ile sınırlı sayıda adımda çizilemeyeceği kanıtlandı.
İki boyutta eliptik, Öklid ve Hiperbolik geometrilerin karşılaştırılması
Öklid geometrisinin fiziksel uzayın bir tanımı olarak bir çürütülmesi. Genel görelilik teorisinin 1919'daki bir testinde, yıldızların (kısa yatay çizgilerle işaretlenmiş) bir güneş tutulması sırasında fotoğrafları çekildi. Yıldız ışığının ışınları, dünyaya giderken Güneş'in yerçekimi tarafından büküldü. Bu, Einstein'ın yer çekiminin Öklid geometrisinden sapmalara neden olacağı öngörüsünün lehine bir kanıt olarak yorumlanıyor.