Student'in t dağılımı

| --- | --- |
Olasılık yoğunluk fonksiyonu 
Yığmalı dağılım fonksiyonu 
Parametreler:  \nu >0 serbestlik dereceleri (reel)
Destek:  x\in (-\infty ;+\infty )\!
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF):  {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF):  {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}} burada  \,_{2}F_{1}birhipergeometrik fonksiyon olur
Ortalama:  0{\text{ eğer }}\nu >1, diğer hallerde tanımlanmamış
Medyan:  0
Mod:  0
Varyans:  {\frac {\nu }{\nu -2}}{\text{ eğer }}\nu >2\!, diğer hallerde tanımlanmamış
Çarpıklık:  0{\text{ for }}\nu >3
Fazladan basıklık:  {\frac {6}{\nu -4}}{\text{ for }}\nu >4\!
Entropi:  {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}  \psi : digamma fonksiyonu,   B: beta fonksiyonu
Moment üreten fonksiyon (mf): ()
Karakteristik fonksiyon: 
Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında t-dağılımı ya da Student'in t dağılımı genel olarak örneklem sayısı veya sayıları küçük ise ve anakütle normal dağılım gösterdiği varsayılırsa çıkartımsal istatistik uygulaması için çok kullanılan bir sürekli olasılık dağılımıdır. Çok popüler olarak tek bir anakütle ortalaması için güven aralığı veya hipotez sınaması ve iki anakütle ortalamasının arasındaki fark için güven aralığı veya hipotez sınamasında, yani çıkarımsal istatistik analizlerde, uygulama görmektedir.
t-dağılımı ilk olarak 1908'de Dublin'de Guinness Bira Fabrikası'nda çalışan William Sealy Gosset tarafından yayımlanan bir makale ile ortaya konmuştur. Guinness'in, şirket sırlarının yayımlanmasını önlemek amacıyla çalışanlarının bilimsel yayın yapmasını yasaklamasından ötürü, bu yayının yazarı Student (öğrenci) olarak belirtilmişti. Gosset bu makalesinde "t" yerine "z" harfini kullanmıştır fakat sonradan "z" harfinin standart normal dağılım bağlamında kullanılmaya başlanmasıyla Student'in dağılımı "t" harfiyle anılmaya başlanmıştır. t-sınamaları ve ilişkili teori R.A. Fisher tarafından geliştirilmiş ve bu dağılım Student'in t dağılımı adıyla tanınmıştır.
Çıkarımsal istatistiksel çalışmalarda normal dağılımın yerine küçük orneklem bulunan problemler için kullanılmakla (ve bu nedenle normal dağılımın bir özel hali olarak yanlış intiba vermekle) beraber Student'in t-dağılımı teorik bakımdan genelleştirilmiş hiperbolik dağılımının bir özel halidir.
Farz edelim ki X1, ..., Xn istatistiksel olarak birbirlerinden bağımsız rassal değişkenlerdir ve beklenen değer μ ile dağılma σ değerleri ile normal dağılmaktadırlar.
örneklem ortalaması ve
Bu Z den, kesin standart sapma ifadesi olan  \scriptstyle \sigma  yerine bir rassal değişken olan  \scriptstyle S_{n} konulması suretiyle değişiklik gösterir. Teknik olarak : \scriptstyle (n-1)S_{n}^{2}/\sigma ^{2}
Cochran'ın teoremine göre bir ki-kare dağılımı gösterir. Gosset yazısında Tnin şu olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterdiğini ispat etmiştir:
Burada ν, n - 1 ifadesine eşittir ve Γ bir Gamma fonksiyonudur.
Bu ifade şöyle de yazılabilir:
Burada B bir Beta fonksiyonudur.
Sonradan T dağılımı t-dağılımı olarak anılmaya başlanmıştır. ν parametresi 
serbestlik derecesi olarak anılmaktadır. Dikkat edilirse t-dağılımı sadece ν parametresine dayanır ve (çıkarımsal istatistik analizi için bilinmeyen anakütle değerleri olan) μ veya σ t-dağılımı için parametre değildirler. İşte bu gerçek (yani μ ve σ nin parametre olmaması) hem teorik bakımdan ve daha belirgin olarak pratik çıkarımsal istatistik analizi bakımından, t-dağılımı istatistik bilimi için çok önemlidir.
t-dağılımının momentleri şunlardır:
Bir diğer işlemle de 0 < k < ν terimi, k çift sayı ise, Gamma fonksiyonunun özellikleri kullanılarak daha basitleştirilebilinir: