Eski kuantum teorisi
Örnekler > Uyumlu Salıngaç (Harmonik Osilatör)

Eski kuantum kuramındaki en basit sistem uyumlu
(harmonic) salıngaçdır. Bunun Hamiltonyan'ı;
Bu denklemde,
 H'nin gruplarının seviyesi yörüngelerdir ve buradaki kuantum (nicem) durumu faz
boşluğunda, bir yörünge tarafından kapatılmış alandır ve bu alan bir
tam sayıdır. Planck kuralına göre, enerji nicemlenir;
Bu sonuç önceden de oldukça iyi bilinmekteydi ve eski
kuantum şartını formülize etmek için kullanılmıştır. Bu sonuç kuantum
mekaniğinin yardımlarıyla bulunan   {\frac {1}{2}}\hbar \omega  ile farklılık gösterir. Bu sabit, eski
kuantum kuramının türetimlerinde (türev almalarında) yok sayılırdır ve sabitin
değeri bu kullanılarak belirlenemez.
Nicemlenmiş bir salıngaçın (osilatörün) ısısal (termal)
özellikleri Boltzmann ağırlığı ile bağlanmış olduğunu varsaydığımız her bir
ayrık durgunun emerjilerinin ortalaması alınarak bulunabilir.
Bu denklemde  kT, Boltzmann sabitinin mutlak sıcaklıkla
çarpımıdır. Buradaki sıcaklık daha çok enerjinin doğal birimlerinde ölçülür. Termodinamikte
(Isı Devinimde)  \beta  miktarı sıcaklıktan daha temeldir çünkü  \beta  enerjiyle ilişkili
termodinamik (Isı Devinim) potansiyelidir (gerilimidir).
Bu ifadeden anlaşılacağı üzere, kolaylıkla
görülür ki büyük  \beta  değerlerinde, çok düşük sıcaklıklar için olmak kaydıyla,
Harmonik osilatördeki (Uyumlu Salıngaç) ortalama enerji süratle sıfıra
yaklaşır ve bu durum üssel (eksponent) olarak hızlıdır. Bunun arkasında yatan
sebep ise kT'nin bir T sıcaklığında rastgele seçilmiş olan bir hareketteki
kendine özgü enerji olmasıdır. Ayrıca  kT,  \hbar \omega  ’dan küçük olduğunda, ortamda
salıngaca verilecek bir kuantum enerjisi bile yeterli derecede olmaz.
Dolayısıyla salıngaç taban durumunda kalmaya devam eder. Bunun anlamı, çok
düşük sıcaklıklarda betaya göre enerjideki değişim veya eşit bir biçimde
sıcaklığa göre enerjideki değişim üssel olarak küçüktür. Sıcaklığa göre
enerjideki değişim öz ısıdır. Dolayısıyla öz ısı, düşük sıcaklıklarda üssel olarak küçüktür ve sıfıra
doğru aşağıdaki gibi gitmektedir;
Küçük  \beta  değerlerinde ve yüksek sıcaklıklarda, ortalama
enerji (U)  {\frac {1}{\beta }}=kT’ye eşittir. Bu klasik termodinamiğin eşbölüm kuramını tekrar
gündeme getirmektedir. Bu kuram “Bir T sıcaklığında,her uyumlu salıngacın kT
enerjisi vardır ve bu enerji ortalamadadır” der. Bunun anlamı, klasik mekanik de
herhangi bir salıngacın öz ısısı sabittir ve k'ya eşittir. Yaylarla bağlanmış
bir atom toplamı için, makul bir katı modeli olmak kaydıyla, toplam öz ısı
toplam salıngaç sayısının k ile çarpımına eşittir. Örnek vericek olursak
toplmada her atom için üç salıngacın olduğu bir yerde 3 boyutta bağımsız
salıngaçlar için 3 olası yön vardır. Dolayısıyla klasik bir katının öz ısısı
her zaman atom başına 3k'dır veya Kimya birimleriyle açıklayacak olursak bir
mol atom için 3R'dır.
Oda sıcaklığında, tek atomlu katılar yaklaşık olarak atom
başına 3k ile aynı öz ısıya sahiptirler. Fakat bu durum düşük sıcaklıklarda
geçerli değildir. Daha düşük
sıcaklıklarda öz ısı da daha küçüktür ve sıfıra doğru gitmektedir. Bu bütün
materyal sistemleri için doğrudur ve bu gözlem termodinamiğin üçüncü yasası
olarak bilinir. Klasik mekanik üçüncü yasayı açıklayamaz çünkü klasik mekanikde
öz ısı sıcaklıktan bağımsızdır.
Klasik mekanik ve soğuk malzemelerin öz ısısı arasındaki
bu çelişkiyi 19.yüzyılda James Clerk Maxwell dikkate almıştır. 1906'da Albert
Einstein bu problemi atomic hareketin nicemlenmiş olduğunu ileri sürerek
yeniden çözmüştür. Bu kuantum kuramının mekanik sistemlere uyarlanmış ilk
uygulamasaydı.
Çok kısa bir süre sonra, Peter Debye katıların öz ısıları
hakkında ortaya nicel bir kuram sunmuştur.