Apollonios (Pergeli matematikçi)
Apollonius'un belgelenmiş eserleri > Konikler (Conics) > Kitap I

Kitap I, 58 önerme sunmaktadır. En dikkat çekici içeriği, koniler ve konik kesitler ile ilgili tüm temel tanımlardır. Bu tanımlar aynı kelimelerin modern tanımlarıyla tamamen aynı değildir. Etimolojik olarak modern sözcükler eskiden türetilmiştir, ancak sözcük kökü, anlam açısından refleksinden sıklıkla farklıdır.
Konik bir yüzey, bir açıortay noktası etrafında döndürülen bir çizgi parçası tarafından üretilir, öyle ki uç noktalar, her biri kendi düzleminde daireler çizer. Çift konik yüzeyin bir dalı olan bir koni, nokta (apeks veya verteks), daire (taban) ve tepe ile tabanın merkezini birleştiren bir çizgi olan eksen ile oluşan yüzeydir.
Bir "kesit" (Latince sectio, Yunanca tome), bir koninin bir düzlem tarafından hayali bir "dilimi"dir.
Önerme I.3: "Bir koni, tepe noktasından bir düzlem tarafından kesilirse, bölüm bir üçgendir." Bir çift koni durumunda, bölüm, tepe noktasındaki açılar dikey açılar olacak şekilde iki üçgendir.
Önerme I.4, bir koninin tabana paralel bölümlerinin eksen üzerinde merkezleri olan daireler olduğunu ileri sürer.* Önerme I.13, tabanın düzlemine eğimli bir düzlem tarafından tek bir koninin kesilmesi ve ikincisiyle koninin dışına uzanan tabanın çapına dik bir çizgide kesişmesi olarak tasarlanan elipsi tanımlar (gösterilmemiştir). Eğik düzlemin açısı sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde bölüm bir daire olacaktır. Şeklin bir parabol haline geldiği eksenel üçgenin karşılık gelen taban açısından da daha küçük olmalıdır.
Önerme I.11 bir parabolü tanımlar. Düzlemi, eksenel üçgenin konik yüzeyinde bir kenara paraleldir.
Önerme I.12 bir hiperbolu tanımlar. Düzlemi eksene paraleldir. Çiftin her iki konisini de keserek iki farklı dal elde eder (yalnızca bir tanesi gösterilmiştir).
Yunan geometriciler, Arşimet gibi büyük mucitlerin yapmaya alıştıkları gibi, mühendislik ve mimarinin çeşitli uygulamalarında envanterlerinden seçilmiş şekilleri düzenlemekle ilgilendiler. Konik kesitler için bir talep vardı ve halen vardır. Matematiksel karakterizasyonun gelişimi, geometriyi, bu tür cebirsel temelleri, değişkenler olarak çizgi parçalarına değer atamak gibi görsel olarak öne çıkaran Yunan geometrik cebirine doğru kaydırmıştı. Bir ölçüm kılavuzu ile Kartezyen koordinat sistemi arasında bir koordinat sistemi kullandılar. Oran teorileri ve alanların uygulanması, görsel denklemlerin geliştirilmesine izin verdi. (Aşağıda Apollonius'un Yöntemleri bölümüne bakın).
"Alanların uygulanması", bir alan ve bir çizgi parçası verildiğinde dolaylı olarak bu alanın geçerli olup olmadığını sorar; yani, parçadaki kareye eşit mi? Evet ise, bir uygulanabilirlik (parabol) oluşturulmuştur. Apollonius Öklid'i takip ederek kesitin herhangi bir noktasının apsisindeki dikdörtgenin koordinatın karesine uygulanıp uygulanmadığını sordu. Eğer öyleyse, kelime denklemi, bir parabolün modern denklemlerinden biri olan 




y

2



=

k
x


{\textstyle y^{2}{=}kx}

'e eşdeğerdir. Dikdörtgenin kenarları  k ve  x'tir. Buna göre şekle, parabol, "uygulama" adını veren oydu.
"Uygulanabilirlik yok" durumu ayrıca iki olasılığa bölünmüştür. Bir işlev verildiğinde, 



f
(
x
)


{\textstyle f(x)}

, uygulanabilirlik durumunda 




y

2



=

g
(
x
)


{\textstyle y^{2}{=}g(x)}

, uygulanabilirlik olmadığı durumda 




y

2


>
g
(
x
)


{\textstyle y^{2}>g(x)}

 veya 




y

2


<
g
(
x
)


{\textstyle y^{2}<g(x)}

. Birincisinde, 



g
(
x
)


{\textstyle g(x)}

, "eksiklik (deficit)" olarak adlandırılan bir miktar nedeniyle 




y

2




{\textstyle y^{2}}

 altında kalıyor. İkincisinde ise, 



g
(
x
)


{\textstyle g(x)}

, "fazlalık (surfeit)" olarak adlandırılan bir miktar tarafından aşılır.
Uygulanabilirlik, eksiklik, 




y

2



=

f
(
x
)

=

g
(
x
)
+
d


{\textstyle y^{2}{=}f(x){=}g(x)+d}

 eklenerek veya 



g
(
x
)
−
s


{\textstyle g(x)-s}

 fazlalık çıkarılarak sağlanabilir. Bir açığı kapatan şekil elips olarak; bir fazlalık ise hiperbol olarak adlandırıldı. Modern denklemin terimleri şeklin orijinden ötelenmesi ve döndürülmesine bağlıdır, ancak bir elips için genel denklem;
aşağıdaki biçime dönüştürülebilir;
y^{2}{=}\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}
burada, denklem bir hiperbol içinse C/B, d'dir. (deficit=eksik miktar)
olur,
y^{2}{=}\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|-{\frac {C}{B}}
burada C/B s'dir. (surfeit=fazla miktar)