Fonksiyon
Örnekler

A ve  B iki küme ise,  A'nın her elemanını bir şekilde  B'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirilmiştir. Mesela  A=\mathbb {R}  (gerçel sayılar kümesi),  B de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani  B=(-3,\infty ) olsun. İlişkilendirme de şöyle yapılmalı:  A'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirilmiş olsun. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi  x\mapsto x^{2} olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, mesela -3 sayısı 9'la,  {\sqrt {2}} sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte  A'dan  B'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon  f sembolüyle ifade edilir. Verilen örnek için  f(x)=x^{2} yazılır.
A yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun.  f fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu,  A'dan  A'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden  A kümesine giden bir fonksiyondur.
A'dan  B'ye giden bir  f:A\longrightarrow B fonksiyonu,  A kümesinin her elemanını  B'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İleride, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)
Özet olarak, verilmiş bir  f:A\longrightarrow B fonksiyonu,  A'nın her elemanını bir şekilde  B'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.
Yukarıdaki örnekte, kural,  f(x)=x^{2} olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca  A ve  B kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile  A ve  B kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukarıdaki örnek üzerinden gidelim:
Yukarıda  A= R ve  B=(-3,\infty ) almış ve fonksiyonu  f(x)=x^{2} kuralıyla tanımlanmıştı. Şimdi  A yerine  A_{1}=(-5,\infty ) alırsak ve formülü ve  B kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen  A_{1}\longrightarrow B fonksiyonunu gene  f ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır.  A_{1}'den  B'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu mesela  g ile gösterilebilir.
Bunun gibi,  B kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; mesela  B_{1}=[0,\infty ) ise, kare alma kuralı  A'dan  B_{1}'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukarıdakilerle karışmasın diye,  f ya da  g ile değil, bir başka sembolle, mesela  h ile gösterilir.
Aynı şekilde  A_{1}'den  B_{1}'e giden bir fonksiyon,  f,\,g ya da  h ile değil, mesela  k ile gösterilmelidir.
Yukarıda koyu renkle yazılı kelimeler şu nedenle önemlidir: Bir  f:A\longrightarrow B fonksiyonu,  A kümesinin her elemanını  B'nin bir elemanına götürür, yani  A'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Mesela, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi  \mathbb {R} 'den  \mathbb {R} 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da  A=B=\mathbb {N}  (doğal sayılar kümesi) ise,  f(x)=x-1 kuralı,  A'dan  B'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü  f(0)=-1'dir ve  0\in A olmasına karşın  -1 sayısı  B'de değildir. Öte yandan bu  f(x)=x-1 kuralı,  \mathbb {N} 'den tam sayılar kümesi  \mathbb {Z} 'ye giden bir fonksiyon tanımlar.
İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir  f:A\longrightarrow B fonksiyonu,  A'nın her elemanını  B'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani  A'nın aynı elemanı  B'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarıda verilen kardeş misali hatırlanmalı.) Mesela  A=B=\mathbb {R}  ise,  A'nin bir  x elemanını  x^{2}=y^{2} denkleminin  y çözümlerine götüremez, çünkü eğer  x=0 değilse, bu denklemin R'de iki değişik  y çözümü vardır, nitekim  x^{2}=y^{2} denkleminin çözümleri  y=x ve  y=-x'tir. Burada,  y'nin  x'e mi yoksa  -x'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir  f:A\longrightarrow B fonksiyonunda,  A'nın her elemanını  B'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)