Bayes teoremi
Örnekler > Örnek #4: Monty Hall problemi

Ana madde: Monty Hall problemi
Bir TV oyun programında üç tane (kırmızı, yeşil ve mavi boyalı) kapalı kapı gösterilmekte ve bu kapılardan birisinin arkasında bir armağan bulunmaktadır. Kırmızı kapıyı seçtiğimizi düşünelim; ama bu kapı program sunucunun bir faaliyet göstermesini bitirmeden açılmamaktadır. Program sunucusu hangi kapı arkasında armağan bulunduğunu bilmektedir; ama ona verilen direktife göre ne arkasında armağan bulunan kapıyı ne de seçtiğimiz kapıyı açabilir. Yeşil kapıyı açar ve arkasında bir armağan bulunmadığını gösterir ve şu soruyu yarışmacıya sorar: "İlk tercihiniz olan kırmızı kapı hakkında fikrinizi değiştirmek ister misiniz?" İncelenecek sorun şudur: "Armağanın mavi veya kırmızı kapılar arkasında bulunma olasılıkları nedir?"
Yarışmanın ana sonuçları olan değişik renkli kapılar arkasında armağan bulunmasını şöyle ifade edelim: :Ak, Ay ve Am. İlk olarak her bir kapı arkasında armağan bulunması birbirine eşit olasılık olduğu kabul edilir yani  P(A_{k})=P(A_{y})=P(A_{m})={\frac {1}{3}} olur. Yine düşünelim kırmızı kapıyı yarışmacı seçmiş durumdadır. Sunucunun yeşil kapıyı açması olayına B olayı adını verelim. Arkasında armağan bulunan kapıyı bilmeseydi bu olay için olasılık %50 olacaktır.
Eğer gerçekte armağan kırmızı kapı arkasında ise, sunucu ya yeşil ya da mavi kapıyı açmakta serbest olacaktır. Bu halde  P(B|A_{k})=1/2
Eğer gerçekte armağan yeşil kapı arkasında ise, sunucu mavi kapıyı açacaktır. Yani  P(B|A_{y})=0.
Eğer gerçekte armağan mavi kapı arkasında ise, sunucu yeşil kapıyı açacaktır. Yani  P(B|A_{m})=1.
Böylece
{\begin{matrix}P(A_{k}|B)&={\frac {P(B|A_{k})P(A_{k})}{P(B)}}&={\frac {{\frac {1}{2}}{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}&={\frac {1}{3}}\\P(A_{y}|B)&={\frac {P(B|A_{y})P(A_{y})}{P(B)}}&={\frac {0{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}&=0\\P(A_{m}|B)&={\frac {P(B|A_{m})P(A_{m})}{P(B)}}&={\frac {1{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}&={\frac {2}{3}}\end{matrix}}
Dikkatle incelenirse bunun P(B) değerine bağlı olduğu görülecektir. Bir an armağanın kırmızı kapı arkasında olmadığını farz edelim; o halde sunucunun yeşil kapıyı açma olasılığı çok yüksek olacaktır - diyelim %90. Bundan dolayı, eğer sunucu başka kapı açmaya zorlanmadıkça, yeşil kapıyı açmayı tercih edecektir. Böylece, B olayı olasılığı 1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 9/10 = 19/30 olur.
{\begin{matrix}P(A_{k}|B)&={\frac {P(B|A_{k})P(A_{k})}{P(B)}}&={\frac {{\frac {9}{10}}{\frac {1}{3}}}{\frac {19}{30}}}&={\frac {9}{19}}\\P(A_{y}|B)&={\frac {P(B|A_{y})P(A_{y})}{P(B)}}&={\frac {0{\frac {1}{3}}}{\frac {19}{30}}}&=0\\P(A_{m}|B)&={\frac {P(B|A_{m})P(A_{m})}{P(B)}}&={\frac {1{\frac {1}{3}}}{\frac {19}{30}}}&={\frac {10}{19}}\end{matrix}}
Bu nedenle sunucunun yeşil kapıyı açması bize çok az bilgi vermektedir - zaten bu seçimi yapmak zorundadır. Pr(Am) olasılığı 1/2'nin çok az üstündedir.
Buna karşılık, armağanın kırmızı kapı arkasında olduğunu farz edersek; o halde sunucunun yeşil kapı açma olasılığı çok küçük olacaktır - diyelim %10. Bu demektir ki özellikle zorlanmadıkça sunucu nerede ise hiçbir halde yeşil kapıyı açmayacaktır.
O halde B olasılığı 1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 1/10 = 11/30 olur.
{\begin{matrix}P(A_{k}|B)&={\frac {P(B|A_{k})P(A_{k})}{P(B)}}&={\frac {{\frac {1}{10}}{\frac {1}{3}}}{\frac {11}{30}}}&={\frac {1}{11}}\\P(A_{y}|B)&={\frac {P(B|A_{y})P(A_{y})}{P(B)}}&={\frac {0{\frac {1}{3}}}{\frac {11}{30}}}&=0\\P(A_{m}|B)&={\frac {P(B|A_{m})P(A_{m})}{P(B)}}&={\frac {1{\frac {1}{3}}}{\frac {11}{30}}}&={\frac {10}{11}}\end{matrix}}
Bu halde, gerçekte sunucunun yeşil kapıyı açması bize çok önemli bilgi vermektedir. Armağan nerede ise hiç şüphesiz olarak mavi kapı arkasında bulunmaktadır. Eğer mavi kapı arkasında değilse, sunucu çok muhtemelen mavi kapıyı açacaktı.