Toplama
Sayıların toplanması > Tam sayılar

Daha fazla bilgi: Tam sayı
Tam sayıların en temel tanımı, bir mutlak değer (bu bir doğal sayıdır) ve bir işaret (genellikle pozitif veya negatif) içermesine dayanır. Sıfır tam sayısı, ne pozitif ne de negatif olan özel bir durum olarak ele alınır. Bu tanımlamaya göre toplama işlemi, farklı durumlar göz önünde bulundurularak yapılmalıdır:
Bir tam sayı n için, |n| onun mutlak değeri olarak kabul edilsin. a ve b tam sayıları için, eğer a veya b sıfır ise, bu durumu bir özdeşlik olarak değerlendirin. a ve b her ikisi de pozitif olduğunda, a + b = |a| + |b| şeklinde ifade edilmelidir. a ve b her ikisi de negatif olduğunda, a + b = −(|a| + |b|) şeklinde tanımlanmalıdır. a ve b farklı işaretlere sahip ise, a + b ifadesi, |a| ve |b| değerlerinin farkı olarak tanımlanır ve bu farkın işareti, mutlak değeri daha yüksek olan terime ait işaret olarak belirlenir. Bir örnek olarak, −6 + 4 = −2; −6 ve 4 farklı işaretlere sahip olduğundan, mutlak değerler çıkarılır ve negatif terimin mutlak değeri daha büyük olduğu için, sonuç negatif olarak belirlenir.
Bu tanım, somut problemlerin çözümünde yararlı olmakla birlikte, ele alınması gereken durum sayısının fazlalığı, ispatları gereğinden fazla karmaşık hale getirir. Bu nedenle, tam sayıların tanımı için genellikle aşağıda açıklanan yöntem tercih edilir. Bu yöntem, her tam sayının iki doğal sayının farkı olarak ifade edilebileceği ve a – b ile c – d gibi farkların yalnızca a + d = b + c olduğunda eşit kabul edileceği gözlemine dayanmaktadır.
Bu çerçevede, tam sayılar, doğal sayı çiftlerinin sıralı çiftleri üzerinde kurulan denklik ilişkisi altında tanımlanan denklik sınıfları olarak formal bir şekilde tanımlanabilir:
(a, b) çiftinin denklik sınıfı, a ≥ b olduğu durumlarda (a – b, 0), aksi halde (0, b – a) olarak ifade edilir. Bir doğal sayı olan n için, (n, 0) çiftinin denklik sınıfı +n olarak ve (0, n) için denklik sınıfı ise –n olarak tanımlanabilir. Bu tanım, doğal sayı n'i denklik sınıfı +n ile özdeşleştirme olanağı sunar.
Sıralı çiftlerin toplama işlemi, elemanlar bazında gerçekleştirilir:
Yapılan temel hesaplamalar, sonuçların denklik sınıfının yalnızca toplanan değerlerin denklik sınıflarına bağımlı olduğunu ortaya koyar; bu durum, denklik sınıflarının toplamının tanımlanmasını sağlar ve bu tanım tam sayıları ifade eder. Başka bir temel hesaplama ise, bu toplama işleminin yukarıda açıklanan durum tanımıyla özdeş olduğunu belirler.
Doğal sayı çiftlerinin denklik sınıfları üzerinden tam sayıların tanımı, sadeleşme özelliğine sahip değişmeli bir yarıgrup yapısını herhangi bir toplamsal gruba entegre etmek amacıyla kullanılabilir. Bu bağlamda, doğal sayılar temel alınarak bir yarıgrup oluşturulmuş ve bu yarıgrup, tam sayıların toplamsal grubu şeklinde bir gruba dönüştürülmüştür. Rasyonel sayıların oluşturulması da benzer bir yöntemle, çarpma işlemine dayalı olarak sıfırdan farklı tam sayılar yarıgrubu kullanılarak gerçekleştirilir.
Bu yapısal çerçeve, herhangi bir değişmeli yarıgrup için Grothendieck grubu adıyla genelleştirilmiştir. Sadeleşme özelliğinin bulunmaması durumunda, yarıgruptan yapılan gruba olan yarıgrup homomorfizması enjektif olmayabilir. Özgün olarak, Grothendieck grubu, daha spesifik bir uygulama olarak, bir abelyen kategorinin nesneleri arasındaki izomorfizmler altında denklik sınıflarına bu yapısal dönüşümün uygulanmasıyla elde edilmiştir; burada yarıgrup operasyonu olarak doğrudan toplam kullanılmıştır.