Sayı
Tarihçe > Karmaşık sayılar

Negatif sayıların kareköklerine dair ilk geçici değinme, İskenderiyeli Heron'nun 1. yüzyılda gerçekleştirdiği çalışmalarda, gerçekleştirilemez bir kesik piramidin hacmini değerlendirirken görülmüştür. Bu konsept, Niccolò Fontana Tartaglia ve Gerolamo Cardano gibi İtalyan matematikçiler tarafından 16. yüzyılda üçüncü ve dördüncü derece polinomların kökleri için kapalı formüllerin keşfedilmesiyle daha da önem kazandı. Bu formüllerin, gerçek çözümlere olan ilgiye rağmen, bazen negatif sayıların kareköklerinin işlenmesini gerektirdiği kısa sürede fark edildi.
Bu durum, negatif sayıların o dönemde bile sağlam bir temele oturtulmamış olması nedeniyle daha da rahatsız ediciydi. René Descartes'ın 1637'de bu nicelikler için "imajiner" terimi türettiğinde, bunu küçümseyici bir niyetle yapmıştı. Karışıklığa neden olan bir diğer faktör, şu denklemin
cebirsel özdeşlikle keyfi bir şekilde çelişkili görünmesiydi
bu, pozitif gerçek sayılar a ve b için geçerlidir ve a, b'den biri pozitif diğeri negatifken karmaşık sayı hesaplamalarında kullanılmıştır. Bu özdeşliğin yanlış kullanımı ve ilgili özdeşlik
her iki a ve b de negatif olduğunda bile Euler'i zor durumda bırakmıştır. Bu zorluk, Euler'i bu hatadan korumak amacıyla  {\sqrt {-1}} yerine özel i sembolünü kullanmaya yönlendirir.
18. yüzyıl, Abraham de Moivre ve Leonhard Euler gibi matematikçilerin önemli çalışmalarına sahne oldu. De Moivre'in formülü (1730), aşağıdaki matematiksel ifadeyi ortaya koydu:
Öte yandan, karmaşık analiz alanında Euler'in formülü (1748), matematiğe şu önemli eşitliği kazandırdı:
Bu formüller, trigonometri ve karmaşık sayılar teorisindeki temel ilişkileri kurarak, bu alanlarda derinlemesine çalışmalara olanak tanımıştır.
Karmaşık sayıların mevcudiyeti, Caspar Wessel'in 1799 yılında geometrik bir yorumlamayla açıklamasına kadar tam anlamıyla kabul görmemişti. Carl Friedrich Gauss, bu konsepti birkaç yıl sonra yeniden keşfedip popülerleştirdi ve bunun sonucunda karmaşık sayılar teorisi önemli ölçüde genişletildi. Ancak, karmaşık sayıların grafiksel olarak temsil edilme fikri, John Wallis'in 1685 yılında yayımlanan De algebra tractatus isimli çalışmasında zaten mevcuttu.
Gauss, aynı yıl içerisinde, karmaşık sayılar alanında her polinomun bu alan içerisinde tam bir çözüm setine sahip olduğunu ispatlayarak, cebirin temel teoremine dair genel kabul görmüş ilk kanıtı ortaya koymuştur. Gauss, a ve b değerlerinin tam sayılar (günümüzde Gauss tam sayıları olarak bilinir) veya rasyonel sayılar olduğu a + bi biçimindeki karmaşık sayıları ele almıştır. Gauss'un öğrencisi Gotthold Eisenstein ise, ω değerinin x3 − 1 = 0 denkleminin karmaşık bir kökü olduğu a + bω şeklindeki karmaşık sayıları incelemiştir (bu sayılar günümüzde Eisenstein tam sayıları olarak adlandırılır). xk − 1 = 0 denkleminden türetilen birlik kökleri için k değerinin yüksek olduğu durumlar için tanımlanan diğer karmaşık sayı sınıfları (döngüsel alanlar olarak adlandırılır), karmaşık sayılar alanındaki bu genişlemeye katkıda bulunmuştur. Bu genelleme, büyük ölçüde Ernst Kummer'a aittir; Kummer, ideal sayıları da icat etmiş olup, bu sayılar 1893 yılında Felix Klein tarafından geometrik nesneler olarak tanımlanmıştır.
1850 yılında Victor Alexandre Puiseux, karmaşık sayılar teorisinde önemli bir gelişmeye imza atarak kutuplar ile dalga kırılma noktaları arasındaki farkı belirginleştirdi ve matematiksel tekilliklerin temelini oluşturan esas tekillik noktaları kavramını ortaya koydu. Bu yaklaşım, genişletilmiş karmaşık düzlem kavramının temellerinin atılmasına önayak oldu.