Laurent serisi
Yakınsak Laurent serileri

Karmaşık katsayılara sahip Laurent serilerinin karmaşık analizde önemli bir yeri vardır. Özellikle, tekilliklerinin yanında fonksiyonların davranışlarını incelemek için kullanılırlar.
Mesela, f(0) = 0 olan f(x) = e-1/x² fonksiyonunu ele alalım. Gerçel bir fonksiyon olarak, her yerde sonsuz kere türevlenebilir bir fonksiyondur; ancak karmaşık bir fonksiyon olarak x = 0 'da türevli değildir. Üstel fonksiyonun kuvvet serisinde x 'i -1/x2 ile değiştirerek, x = 0 tekilliği dışındaki bütün x karmaşık sayıları için yakınsayan ve f(x) 'e eşit olan Laurent serisini elde ederiz. Yandaki resimde, e-1/x2 siyah çizgi ile gösterilmiştir. Aynı fonksiyonun N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve 50 için Laurent yaklaşımları
de verilmiştir. N → ∞ oldukça, yaklaşım x = 0 tekillik noktası haricindeki tüm x karmaşık sayılarında daha düzgün olur.
Daha genel olarak, Laurent serileri, diskte tanımlı holomorf fonksiyonları ifade etmekte kullanılan kuvvet serileri kadar, bir halka üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonları ifade etmekte kullanılır.
serisinin an karmaşık katsayılarına ve c karmaşık merkezine sahip bir Laurent serisi olduğunu varsayalım. O zaman biricik bir iç yarıçap r ve dış yarıçap R vardır; öyle ki
Laurent serisi A := {z : r < |z - c| < R} açık halkasında yakınsar. Laurent serisi yakınsar denirken burada hem pozitif dereceli kuvvet serisinin hem de negatif dereceli kuvvet serisinin yakınsadığı denilmektedir. Dahası, bu yakınsaklık tıkız kümeler üzerinde düzgün olacaktır. Sonuçta, yakınsak seri açık halka üzerinde holomorf bir f(z) fonksiyonu tanımlar.
Halka dışında, Laurent serisi ıraksar. Yani, A 'nın dışındaki her noktada, pozitif dereceli ya da negatif dereceli kuvvet serisi ıraksar.
Halkanın sınırı üzerinde, iç sınırın üzerindeki en az bir noktada ve dış sınırın üzerindeki en az bir noktada f(z) 'nin holomorf bir şekilde bu noktalara devam ettirilemeyeceğini söylemek dışında genel bir yargıya varmak söz konusu değildir.
r 'nin sıfır olması veya R 'nin sonsuz olması da muhtemeldir ancak r 'nin R 'den küçük olması pek de muhtemel değildir. Bu yarıçaplar şu şekilde hesaplanabilir.
Bu sonraki lim sup sıfır olduğunda R sonsuz olarak alınır.
Tersi bir şekilde,
A = {z : r < |z - c| < R} biçimindeki bir halkayla ve A üzerinde tanmlı, holomorf bir fonksiyon ile başlarsak, o zaman her zaman (an azından) A üzerinde yakınsayan ve f(z) 'yi temsil eden c merkezli bir biricik Laurent serisi vardır.
Örnek olarak
ile başlayalım. Bu fonksiyonun paydanın sıfır ve bu yüzden tüm ifadenin tanımsız olduğu z = 1 ve z = 2i noktalarında tekillikleri vardır. z = 0 civarındaki Taylor serisi (ki bu da bir kuvvet serisidir), 1'de tekillikten geçtiği için sadece 1 yarıçaplı bir disk içinde yakınsayacaktır
Bununla birlikte, z 'nin bulunduğu bölgeye bağlı olarak z = 0 civarında muhtemel üç çeşit Laurent serisi vardır:
Birisi |z| < 1; olan diskte geçerlidir ve Taylor serisiyle, yani
ile aynıdır.
(Buradaki teknik, f(z) için olan orijinal ifadeyi kısmi kesirleri kullanarak daha basit iki kesire ayırmayı ve 1/(1-z) 'nin geometrik seri olduğundan yararlanmayı içerir.)
Diğeri ise iki tekillik arasında yakalanır ve 1 < |z| < 2 halkasında tanımlıdır.
Üçüncüsü ise 2 < |z| < ∞ olan sonsuz halkada tanımlıdır.
(Yukarıdaki terimler polinom bölümünden çıkarılabilirler.)
r = 0 olan durum; yani bir f(z) holomorf fonksiyon sadece bir c noktasında tanımsız olduğu durum; özellikle önemlidir. 

Böyle bir fonksiyonun Laurent açılımındaki a−1 katsayısına f(z) 'nin c noktasındaki kalıntısı adı verilir ve kalıntı teoreminde önemli bir role sahiptir.
Örnek olarak;
fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon z = 0 dışındaki her yerde holomorftur. c = 0 civarındaki Laurent açılımını belirlemek için üstel fonksiyon için bildiğimiz Taylor serisini kullanalım:
Böylece kalıntının 2 olduğunu buluruz.