Matematik tarihi
Modern > 19. yüzyıl

19. yüzyıl boyunca matematik giderek daha soyut hale geldi. Carl Friedrich Gauss (1777–1855) bu eğilimi özetler. Bilime birçok katkısını bir kenara bırakarak, karmaşık değişkenlerin fonksiyonları, geometri ve serilerin yakınsaması üzerine devrim niteliğinde çalışmalar yaptı. Ayrıca, cebirin temel teoreminin ve ikinci dereceden karşılıklılık yasasının tatmin edici ilk kanıtlarını verdi.
Bu yüzyıl, Öklid geometrisinin paralellik postülatının artık geçerli olmadığı, Öklid dışı geometrinin iki formunun gelişimini gördü. Rus matematikçi Nikolai Ivanovich Lobachevsky ve rakibi Macar matematikçi János Bolyai, paralelliklerin benzersizliğinin artık geçerli olmadığı hiperbolik geometriyi bağımsız olarak tanımladı ve inceledi. Bu geometride, bir üçgendeki açıların toplamı 180°'den azdır. Eliptik geometri, 19. yüzyılda Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından geliştirildi; burada hiçbir paralel bulunamaz ve bir üçgenin iç açıların toplamı 180°'den fazladır. Riemann ayrıca üç tip geometriyi birleştiren ve büyük ölçüde genelleyen Riemann geometrisini geliştirdi ve eğri ile yüzey düşüncelerini genelleştiren bir manifold kavramını tanımladı.
19. yüzyıl, soyut cebirin başlangıcına dair büyük bir uğraşa tanık oldu. Almanya'daki Hermann Grassmann, vektör uzaylarının ilk versiyonunu verdi. İrlanda'daki William Rowan Hamilton değişmeli olmayan cebir geliştirdi. İngiliz matematikçi George Boole, kısa bir süre sonra Boole cebri olarak adlandırılan, rakamlarının sadece 0 ve 1 olduğu bir cebir geliştirdi. Boole cebri, matematiksel mantığın başlangıç noktasıdır ve elektrik mühendisliği ve bilgisayar bilimlerinde önemli uygulamaları vardır. Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann ve Karl Weierstrass, kalkülüsü daha titiz bir şekilde yeniden formüle etti.
Ayrıca ilk defa matematiğin sınırları araştırıldı. Norveçli Niels Henrik Abel ve bir Fransız olan Évariste Galois, dörtten büyük derecedeki polinom denklemlerini çözmek için genel bir cebirsel yöntem olmadığını kanıtladılar (Abel-Ruffini teoremi). Diğer 19. yüzyıl matematikçileri bunu, tek başına cetvel ve pergelle, verilen bir açıyı üçe bölmek, belirli bir küpün hacminin iki katı hacme sahip bir küp oluşturmak veya belirli bir alana sahip daireye eşit alana sahip bir kare oluşturmak için yeterli olmadığını kanıtlarken kullandılar. Antik Yunanlardan beri matematikçiler bu problemlerin hepsini boşuna çözmeye çalıştılar. Öte yandan, geometride üç boyutun sınırlaması, 19. yüzyılda parametre uzayı ve hiper karmaşık sayılar dikkate alınarak aşıldı.
Abel ve Galois'in çeşitli polinom denklemlerinin çözümlerine yönelik araştırmaları, grup teorisinin ve soyut cebirin ilişkili alanlarının daha fazla gelişmesi için zemin hazırladı. 20. yüzyılda fizikçiler ve diğer bilim adamları, grup teorisini simetriyi incelemenin ideal yolu olarak gördüler.
19. yüzyılın sonlarında, Georg Cantor sonsuzluk kavramının titiz bir şekilde ele alınmasını sağlayan ve neredeyse tüm matematiğin ortak dili haline gelen küme teorisinin ilk temellerini attı. Cantor'un küme teorisi ve matematiksel mantığın Peano, L.E.J. Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell ve A.N. Whitehead'in ellerinde yükselmesi, matematiğin temelleri üzerine uzun soluklu bir tartışma başlattı.
19. yüzyıl, bir dizi ulusal matematik toplumunun kurulmasına tanık oldu: 1865'te Londra Matematik Derneği, 1872'de Société Mathématique de France, 1884'te Circolo Matematico di Palermo, 1883'te Edinburgh Matematik Derneği ve 1888'de Amerikan Matematik Topluluğu kuruldu. İlk uluslararası, özel ilgi toplumu olan Kuaterniyon Derneği, bir vektör tartışması bağlamında 1899'da kuruldu.
1897'de Hensel p-sel sayıları tanıttı.