Manyetik tek kutup
Dirac kuantizasyonu

Kuantum teorisini tanımlayan gelişmelerden biri de Paul Dirac'ın rölativistik kuantu elektromanyetizma hakkındaki çalışmalarıdır. Onun formüllerinden önce elektrik yüklerinin varlığı basit bir şekilde kuantum mekaniğinin denklemlerine eklendi, fakat, 1931 yılında Dirac gösterdi ki soyu bir elektrik yükü doğal olarak kuantum mekaniğinden “dışarıya düşer”. Yani başka bir deyişle manyetik yüke sahip olsak bile Maxwell denklemleri sahip olduğu formu koruyabilir. Durgun bir elektrik monopol (elektron gibi) ve durgun bir manyetik monopole sahip bir sistem düşünün. Klasik olarak baktığımızda bu sistemin etrafını saran bir momentum yoğunluğu vardır (Poynting vektörü ile verilen) ve aynı zamanda qeqm, çarpımına doğrusal, birbirleri arası mesafeden bağımsız bir toplam açısal momentum a sahiptir. Fakat, kuantum mekaniğinin “diktesine” göre açısal momentum ħ birimlerince kuantize olur yani yukardaki çarpımda kuantize olur. Bu demektir ki eğer evrende tek bir manyetik monopol var ise ve Maxwell denklemlerini formunu koruyorsa bütün elektrik yüklerinin kuantize olması gerekir. Kuantize olmuş bir manyetik yükün birimi nedir? Yukarıdaki örnekte toplam açısal momentumu bütün uzay boyunca integral alarak bulabiliyor olsak da, Dirac farklı bir şekilde yaklaştı ve bu sayede yeni fikirlere ulaştı. Dirac, aslında bulunan, manyetik alanı qm / r 2 şeklinde radyal uzanan bir nokta şeklinde manyetik bir yük düşündü. B nin diverjansının hemen hemen her yerde sıfır olmasından dolayı, r=0 da manyetik monopol mahalin haricinde, potansiyelinin vektör potansiyeli manyetik alana eşit olan bir manyetik alan tanımlanabilir.
Fakat, vektör potansiyeli, küresel olarak kesin bir şekilde tanımlanamaz çünkü manyetik alan orijindeki Dirac delta fonksiyonu ile orantılıdır. Kuzey yarımküredeki (yarım uzay z > 0 üstünde kalan) vektör potansiyeli için bir fonksiyon kümesi ve güney yarımküredeki vektör potansiyelleri için yine ayrı bir fonksiyon kümesi tanımlamamız gerekir. Bu iki vektör fonksiyonu “ekvatorda” birleşir (parçacığı içeren z = 0  düzlemi)  ve gösterge dönüşümünce ayrılırlar. ”Ekvatorda” bir yörüngede olan elektriksel olarak yüklenmiş bir parçacığın (“probe yükü”)  Dalga fonksiyonu genellikle bir faz ile değişir, tıpkı Aharonov–Bohm efekti gibi. Bu faz elektrik yükü qe  ile ve kaynağın manyetik yükü  qm ile doğru orantılıdır. Dirac, dalga fonksiyonu Dirac denklemi ile açıklanan bir elektron düşünmüştü.
Bir tam tur sonunda elektron yörüngede aynı noktaya döndüğünden, dalga fonksiyonunun eiφ fazı φ  değişmemelidir ki bu dalga fonksiyonuna eklenen bir φ fazının 2πnin bir katı olması gerektiğini gösterir;
| Birimler | Şartlar |
| --- | --- |
Gaussian-cgs:  2{\frac {q_{\mathrm {e} }q_{\mathrm {m} }}{\hbar c}}\in \mathbb {Z} 
SI (weber):  {\frac {q_{\mathrm {e} }q_{\mathrm {m} }}{2\pi \hbar }}\in \mathbb {Z} 
SI (amper·metre):  {\frac {q_{\mathrm {e} }q_{\mathrm {m} }}{2\pi \epsilon _{0}\hbar c^{2}}}\in \mathbb {Z} 

burada ε0 boşluk geçirgenliğini, ħ = h/2π indirgenmiş Planck sabitini, c ışık hızını  ve Z ise tam sayılar kümesini ifade eder.
Bu “Dirac kuantizasyonu” olarak bilinir. Manyetik monopolün varsayımsal varlığı elektrik yükünün belirli birimleri ile kuantize olduğunu ifade eder ve ayrıca elektrik yükünün varlığı varsayımsal manyetik monopolün manyetik yükünün, eğer varlığı kesin ise, elementer elektrik yüküne ters orantılı birimler ile kuantize olduğunu ifade eder.
Vakti zamanında böyle bir şeyin var olduğu fikri hatta gerekli olup olmadığı dahi kesin değildi. Daha sonraları monopole ihtiyaç duyulmaksızın yük kuantizasyonunun açıklayan bir teori çıkageldi. Yani manyetik monopol konsepti merak edilmeye devam etti. Fakat, bu yeni ufuklar açan çalışmadan dolayı yük kuantizasyonun kabul edilen başka bir açıklaması olmadı. (Yerel ölçünün değişmezliği  kavramı -aşağıdaki ölçü teorisine baknınız- yük kuantizasyonu için monopol fikrinin yardımı olmadan doğal bir açıklama getirir fakat U(1) ölçü grubu kompakt ise; diğer durumlarda yine de manyetik monopole ihtiyaç duyarız ).
Eğer güney yarıküre için vektör potansiyeli kavramının tanımını uzatırsak, orijinden başlayıp kuzey yarıküre yönünde uzanan  yarı-sonsuz  doğru haricinde her yerde kuantizasyon tanımlı olacaktır. Bu yarı-sonsuz doğru Dirac sicimi olarak tanımlanır ve doğrunun dalga fonksiyonuna etkisi Aharonov–Bohm efektindeki selenodi etkisine çok benzerdir. Dirac sicimi etrafındaki fazların değersiz oluşundan dolayı kuantizasyon koşulu var olur; ki bu da Dirac siciminin fiziksel olmayana bir şey olduğunun gösterir. Dirac sicimi kullanılan koordinat sisteminin ancak bir ürünüdür ve ciddi olarak düşünülmesi gerekilmez.
Dirac monopolü Maxwell denkleminin eşsiz bir çözümüdür; (çünkü dünyaçizgisinin uzay-zamandan silinmesini gerektirir) daha karmaşık teorilerde, Hooft–Polyakov monopolü gibi daha hassas çözümler ile “ayağı kaydırılabilir”.