Temel grup
Yollar ve Homotopiler > Homotopi > Önermeler

Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.
Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz:  \varphi _{0},  \varphi _{1}, \varphi _{0}^{'} ve  \varphi _{1}^{'} :  [0,1]\rightarrow X şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer   \varphi _{0}\simeq \varphi _{0}^{'} ve  \varphi _{1}\simeq \varphi _{1}^{'}olduğunda   \varphi _{0}\circ \varphi _{1}\simeq \varphi _{0}^{'}\circ \varphi _{1}^{'} denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır.  \varphi _{0}{\text{ ve }}\varphi _{0}^{'}  arasında  F homotopisi  ve  \varphi _{1}{\text{ ve }}\varphi _{1}^{'} arasında ise  G homotopisi tanımlı olsun.  {\displaystyle F\circ G} homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz.
F\circ G(s,t)={\begin{cases}F(2s,t),&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\G(2s-1,t),&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1\end{cases}} olduğunda  {\displaystyle (F\circ G)(s,0)=F(2s,0)=\varphi _{0}{\text{, }}(F\star G)(s,1)=G(2s-1,1)=\varphi _{1}^{'}} eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden  {\displaystyle \varphi _{0}\circ \varphi _{1}\simeq \varphi _{0}^{'}\circ \varphi _{1}^{'}} denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.
Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir  \varphi  yolunun homotopi sınıfı  [\varphi ] ile gösterilir.
İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli.
•yansıma:  \varphi _{1}\colon I\to X,  p’den  q’ya giden bir yol olsun.  F\colon I\times I\to X,  F(a,t)=f(t) şeklinde tanımlanmış  F fonksiyonu  \varphi _{1} ile  \varphi _{1} arasında bir homotopidir; çünkü her  a için,
F(a,t)\colon I\to X fonksiyonu  p’den  q’ya giden bir yoldur ve  F(0,t)=\varphi _{1}(t),F(1,t)=\varphi _{1}(t)’dir. Sonuç olarak  \varphi _{1}\simeq \varphi _{1} elde edilir.
•simetri:  \varphi _{1},\varphi _{2}\colon I\to X,  p’den  q’ya giden 2 yol olsun.  \varphi _{1}\simeq \varphi _{2} olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir  \ F\colon I\times I\to X şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit  a için,
\ F(a,t)\colon I\to X fonksiyonu  p’den  q’ya giden bir yol olur ve  F(0,t)=  \varphi _{1}(t),  F(1,t)=  \varphi _{2}(t)’dir.
Şimdi  \ F'\colon I\times I\to X fonksiyonunu  F'(a,t)=  \ F(1-a,t) şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit  a için,  F'(a,t)=  \ F(1-a,t) fonksiyonu  p’den  q’ya giden bir yoldur ve
F'(0,t)=  \ F(1,t)=  \varphi _{2}(t) ve  F'(1,t)=  \ F(0,t)=  \varphi _{1}(t) olur. Sonuç olarak \ g\simeq f elde edilir.
•geçişme:  \varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\colon I\to X şeklinde tanımlı 3 yol olsun.  \varphi _{1}\simeq \varphi _{2} ve  \varphi _{2}\simeq \varphi _{3} olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken;  \varphi _{1}\simeq \varphi _{3}dir.
\varphi _{1}\simeq \varphi _{2} ve  \varphi _{2}\simeq \varphi _{3} olduğundan öyle  F ve  G homotopileri vardır ki;  \ F\colon I\times I\to X,  \ F(0,t)=  \varphi _{1}(t) ve  \ F(1,t)=  \varphi _{2}(t),  \ G\colon I\times I\to X,  \ G(0,t)=  \varphi _{2}(t) ve
\ G(1,t)=  \varphi _{3}(t)’dir. Şimdi bir  \ H\colon I\times I\to X fonksiyonunu
Öte yandan  a=1/2 için  \lim _{a\to 1/2^{+}}H(a,t)=G(0,t)=  \varphi _{2}(t) ve  \lim _{a\to 1/2^{-}}H(a,t)=F(1,t)=  \varphi _{2}(t) olmaktadır.
Dolayısıyla  \ H(a,t) fonksiyonu  \ a=1/2 noktasında da süreklidir. Ayrıca,  H(0,t)=F(0,t)=  \varphi _{1}(t) ve  H(1,t)=G(1,t)=  \varphi _{3}(t) olduğunu görüyoruz.
Sonuç olarak  \varphi _{1}\simeq \varphi _{3}
\varphi _{1}\simeq \varphi _{3} elde edilir.
\pi _{1}(X,x_{0}) gruptur.
Kanıtını göstermek için, örnek olarak  x_{0}\in X ve  \pi _{1}(X,x_{0}),  x_{0}'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.
•Birim elemanı   e_{x_{0}}:[0,1]\longrightarrow X,  e_{x_{0}}(t)=x_{0}  olan   [e_{x_{0}}]   döngüsünün sınıfıdır. Herhangi bir  f döngüsü için  [e_{x_{0}}]\star [f]=[f]  eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır:  F(s,t)={\begin{cases}e_{x_{0}},&0\leq t\leq {\frac {1-s}{2}}\\f({\frac {(2t+s-1)}{(s+1)}}),&{\frac {1-s}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}.
•  f,  \pi _{1}(X,x_{0})'te bulunan herhangi bir döngü olsun.  f'in  tersini  {\overline {f(s)}}=f(1-s) olarak tanımlayalım.  f'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise   e{\text{ ve }}f\star {\overline {f}} arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır:  F(s,t)={\begin{cases}f(2ts),&0\leq t\leq {\frac {1}{2}}\\f(2s(1-t),&{\frac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}.
•  f,g,h\in \pi _{1}(X,x_{0}) herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise  [f]\star ([g]\star [h])=([f]\star [g])\star [h] olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır:  F(t,s)={\begin{cases}f({\frac {4t}{1+s}}),&0\leq t\leq {\frac {s+1}{4}}\\g(4t-1-s),&{\frac {s+1}{4}}\leq t\leq {\frac {s+2}{4}}\\h(1-4{\frac {1-t}{2-s}}),&{\frac {s+2}{4}}\leq t\leq 1\end{cases}}.
Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü  \pi _{1}(X,x_{0}) bir gruptur.