Çemberin kareleştirilmesi
Tarihçe

Verilen bir dairenin yaklaşık alanını hesaplamak için, daireyi kareleştirmenin öncül problemi olarak düşünülebilecek yöntemler, birçok eski kültürde zaten biliniyordu. Bu yöntemler, ürettikleri π'ye yaklaşım belirtilerek özetlenebilir. MÖ 2000 civarında, Babilli matematikçiler,  \pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3,125, yaklaşımını kullanmış ve yaklaşık aynı zamanda antik Mısırlı matematikçiler,  \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3,16. yaklaşımını kullanmıştır. 1000 yıldan fazla bir süre sonra, Eski Ahit Books of Kings daha basit bir yaklaşım olan  \pi \approx 3'ü kullanmıştır. Eski Hint matematiği, Shatapatha Brahmana ve Shulba Sutraları'nda kaydedildiği üzere,  \pi 'ye to  Arşimet bir dairenin alanı için bir formül kanıtlamıştır, buna göre  3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3,141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3,143. MS. 3. yüzyılda Çin matematiğinde, Liu Hui Arşimet'inkine benzer bir yöntem kullanarak daha da doğru yaklaşımlar buldu ve beşinci yüzyılda Zu Chongzhi, Milü olarak bilinen bir yaklaşım olan  \pi \approx 355/113\approx 3,141593 değerini buldu.
Alanı tam olarak bir dairenin alanı kadar olan bir kare inşa etme problemi Yunan matematiğinden gelmektedir. Yunan matematikçiler, herhangi bir çokgeni eşdeğer alana sahip bir kareye dönüştürmek için pergel ve çizgeç yapıları bulmuşlardır. Bu yapıyı, modern matematikte daha tipik olan sayısal alan hesaplamasından ziyade, çokgenlerin alanlarını geometrik olarak karşılaştırmak için kullanmışlardır. Proclus'un yüzyıllar sonra yazdığı gibi, bu durum çokgen olmayan şekillerle karşılaştırma yapmaya olanak tanıyacak yöntemlerin araştırılması konusunda eski matematikçileri motive etti:
Bu problemden yola çıkan eskilerin dairenin kuadratürünü de aradıklarına inanıyorum. Çünkü bir paralelkenar herhangi bir doğrusal şekle eşit bulunursa, doğrusal şekillerin dairesel yaylarla bağlı şekillere eşit olduğunun kanıtlanıp kanıtlanamayacağı araştırılmaya değerdir.
Problem üzerinde çalıştığı bilinen ilk Yunan Anaksagoras hapisteyken bu problem üzerinde çalışmıştır. Sakız Adalı Hipokrat, bu probleme dairesel yaylarla sınırlandırılmış ve karesi alınabilen bir şekil, Hipokrat ayı olarak bilinen şekli bularak saldırmıştır. Sofist Antiphon, bir dairenin içine düzenli çokgenler çizmenin ve kenar sayısını iki katına çıkarmanın sonunda dairenin alanını dolduracağına inanıyordu (bu tüketme yöntemidir). Herhangi bir çokgenin kareleştirilebildiğinden, dairenin karesinin alınabileceğini savunmuştur. Buna karşılık, Eudemus büyüklüklerin sınırsız bölünemeyeceğini, dolayısıyla dairenin alanının asla tükenmeyeceğini savunmuştur. Antiphon ile eşzamanlı olarak, Herakleialı Bryson, daha büyük ve daha küçük dairelerin her ikisi de var olduğundan, eşit alana sahip bir daire olması gerektiğini savundu; bu ilke modern ara değer teoreminin bir biçimi olarak görülebilir. Tüm geometrik yapıları yalnızca pergel ve çizgeç kullanarak gerçekleştirmeye yönelik daha genel amaç genellikle Oenopides'e atfedilmiştir, ancak buna ilişkin kanıtlar ikinci derecededir.
Günümüzde kalkülüs'te entegrasyon veya sayısal analizde kuadratür olarak bilinen keyfi bir eğrinin altındaki alanı bulma problemi, kalkülüsün icadından önce "kareleştirme" olarak biliniyordu.  Kalkülüs teknikleri bilinmediğinden, genellikle kareleştirmenin geometrik inşalarla, yani pergel ve çizgeçle yapılması gerektiği varsayılırdı. Örneğin, Newton 1676'da Oldenburg'a şöyle yazmıştır: "Sanırım M. Leibnitz mektubumun başında sayfa 4'te eğri çizgileri geometrik olarak kareleştirmek için kullandığım teoremden hoşlanmayacaktır."  Modern matematikte bu terimlerin anlamları farklılaşmıştır; kuadratür genellikle kalkülüs yöntemlerine izin verildiğinde kullanılırken, eğrinin kareştirilmesi yalnızca sınırlı geometrik yöntemlerin kullanılması fikrini korumaktadır.
1667'de James Gregory, Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Dairenin ve Hiperbolün Gerçek Kareleştirmesi) adlı eserinde daireyi kareleştirmenin imkânsızlığını kanıtlamaya çalışmıştır. İspatı hatalı olsa da,  \pi 'nin cebirsel özelliklerini kullanarak problemi çözmeye çalışan ilk makaleydi. Johann Heinrich Lambert, 1761 yılında  \pi 'nin bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamıştır. 1882 yılında Ferdinand von Lindemann, π'nin aşkın sayı olduğunu kanıtlayarak ve buradan yola çıkarak pergel ile çizgeç yardımıyla daireyi kareleştirmenin imkansızlığını kanıtlayana kadar hiç kimse daha güçlü bir şekilde farklı bir kanıt üretmeyi başaramadı.
Lindemann'ın imkansızlık kanıtından sonra, problemin profesyonel matematikçiler tarafından çözüldüğü düşünülmüştür ve sonraki matematik tarihine sözde-matematiksel olarak büyük ölçüde amatörler tarafından yapılan daireyi kareleştirme girişimleri ve bu çabaların çürütülmesi hakimdir. Ayrıca, Srinivasa Ramanujan da dahil olmak üzere daha sonraki birkaç matematikçi, problemi birkaç adımda doğru bir şekilde yaklaştıran pergel ve çizgeç yapıları geliştirdi.
Antik çağın imkânsızlıklarıyla ünlü diğer iki klasik problemi küpün hacmini ikiye katlama ve bir açıyı üçe bölme idi. Daireyi kareleştirme gibi, bunlar da pergel ve çizgeç ile çözülemez. Ancak, daireyi kareleştirmekten farklı bir karaktere sahiptirler, çünkü çözümleri aşkın olmaktan ziyade bir kübik denklemin kökünü içerir. Bu nedenle, neusis inşası veya matematiksel kağıt katlama gibi pergel ve çizgeç yapımından daha güçlü yöntemler bu problemlerin çözümlerini oluşturmak için kullanılabilir.