Pólya'nın sayma teoremi
Örnekler > Kolye ve bilezikler > Bilezikler

Kombinatorikte, n uzunluğunda bir k'lı bilezik, k elemanlı bir alfabe ile oluşturulan n karakterli dizelerin her bir döngüsel ötelemesinin ve yansımasının bir diğerine denk kabul edilmesiyle oluşan bir denklik sınıfı olarak tanımlanır (Bu durumda her bir dize, tersten yazılmış hâli ile aynı denklik sınıfında bulunur). Bu denklik sınıfları, kolyelerin temsil ettiği yapıların belli bir eksen etrafındaki yansımalarının birbirine denk kabul edilmesiyle somutlaştırılabilir. Bu tanımdan yola çıkılarak bir bilezik, bir dihedral grubun n karakterli dizeler üzerindeki davranışının bir yörüngesi olarak kabul edilebilir.
X, n adet boncuktan oluşan bir küme; Y, k farklı renkten oluşan bir küme ve G, dihedral grup Dn olsun. Birbirinden farklı, n uzunluğundaki k'lı bileziklerin sayısını Bk(n) ile gösterelim. Bu değerin hesaplanması için, kolyelerde de olduğu gibi, Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıksız versiyonu kullanılabilir. G = Dn grubu, n kenarlı bir düzgün çokgene ait n adet dönme simetrisi ve n adet yansıma simetrisinden oluşmaktadır. Bu çokgenin saat yönünde 360/n derecelik bir dönüşünü, a elemanı ile gösterelim. Benzer şekilde, çokgenin her bir yansıma simetrisini s1, s2, ..., sn elemanları ile gösterelim. Bu durumda G grubunu, a0 = e olmak üzere G = ({e, a, a2, ..., an, s1, s2, ..., sn},  \circ ) biçiminde ifade edebiliriz ( \circ , fonksiyonların bileşke işlemini göstermektedir).
Bir önceki bölümde belirtildiği üzere, z ∈ 




Z



{\textstyle \mathbb {Z} }

 olmak üzere 



c
(

a

z


)
=
e
b
o
b
(
n
,
z
)


{\textstyle c(a^{z})=ebob(n,z)}

 olur. Yansıma simetrisini gösteren elemanlar için ise simetri eksenlerinin düzgün çokgene ait köşe ve kenarları birbirine bağlama durumuna göre aşağıdaki eşitlik geçerli olur:
Böylelikle, şu sonuca ulaşılabilir:
dolayısıyla
Kolyelerde olduğu gibi bileziklerde de bu yolla ulaşılan bir bağıntı, yalnızca kullanılan boncuk ve renk sayısının bilindiği durumlarda istenen sonucu verir. Renkli boncuklardan oluşan her bir çoklu kümeden kaç farklı bilezik oluşturulabileceğini gösteren bir üretim fonksiyonunun elde edilmesi için Pólya'nın sayma teoreminin ağırlıklı versiyonu kullanılmalıdır. Bu fonksiyonu Bn,k(t1, t2, ...) ile gösterelim. Bir önceki bölümde belirtildiği üzere, z ∈ 




Z



{\textstyle \mathbb {Z} }

 olmak üzere G grubunun bir az elemanı, aynı zamanda X kümesinin bir permütasyonu olduğu için 



x
=


n

e
b
o
b
(
n
,
z
)





{\textstyle x={\frac {n}{ebob(n,z)}}}

 durumunda 




c

x


(

a

z


)
=
e
b
o
b
(
n
,
z
)


{\textstyle c_{x}(a^{z})=ebob(n,z)}

 ve x tam sayısının bundan farklı herhangi bir değeri için 




c

x


(

a

z


)
=
0


{\textstyle c_{x}(a^{z})=0}

 olur. Yansıma simetrisini gösteren elemanların bulundurduğu döngüler ise ya bir ya da iki elemanlı olacaktır. Bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerli olur:
Kullanılan renklerin ağırlıklandırılması, kolyelerdekine benzer şekilde gerçekleştirilebilir: 





a


1


=
(
1
,
0
,
⋯
,
0
)
,


{\textstyle \mathbf {a} _{1}=(1,0,\cdots ,0),}

 





a


2


=
(
0
,
1
,
0
,
⋯
,
0
)
,


{\textstyle \mathbf {a} _{2}=(0,1,0,\cdots ,0),}

 



…
,


{\textstyle \ldots ,}

 





a


k


=
(
0
,
⋯
,
0
,
1
)


{\textstyle \mathbf {a} _{k}=(0,\cdots ,0,1)}

 olmak üzere Y = {r1, r2, ..., rk} kümesinin her bir elemanı için 



w
(

r

i


)
=


a


i




{\textstyle w(r_{i})=\mathbf {a} _{i}}

 olsun. Bu durumda, her ağırlık değeri (w) için fw = 1 olur. Buna göre,
yazılabilir. Böylece, istenen üretim fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilebilir:
dolayısıyla