Fourier dönüşümü
Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları > Dağılımlar

Fourier dönüşümleri bu tablo (Erdélyi 1954) içinde bulunabilir veya Kammler 2000 in eki.
|  | Fonksiyon | Fourier dönüşümü   birim, sıradan frekans | Fourier dönüşümü  birim, açısal frekans | Fourier dönüşümü   birim-olmayan, açısal frekans | Açıklamalar |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  \displaystyle f(x) |  \displaystyle {\hat {f}}(\xi )=    \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx |  \displaystyle {\hat {f}}(\omega )=    \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx |  \displaystyle {\hat {f}}(\nu )=    \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx |  |
| 301 |  \displaystyle 1 |  \displaystyle \delta (\xi ) |  \displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega ) |  \displaystyle 2\pi \delta (\nu ) | δ(ξ) dağılımı  Dirac delta fonksiyonu'nu ifade eder. |
| 302 |  \displaystyle \delta (x)\, |  \displaystyle 1 |  \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\, |  \displaystyle 1 | 301'in kural ikizi. |
| 303 |  \displaystyle e^{iax} |  \displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right) |  \displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a) |  \displaystyle 2\pi \delta (\nu -a) | Bunu 103 ve 301'den izleyin |
| 304 |  \displaystyle \cos(ax) |  \displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}} |  \displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\, |  \displaystyle \pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right) | 101 ve 303 kuralından aşağıda  Euler formülü kullanılıyor: \textstyle \cos(ax)=    (e^{iax}+e^{-iax})/2. |
| 305 |  \displaystyle \sin(ax) |  \displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}} |  \displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}} |  \displaystyle -i\pi \left(\delta (\nu -a)-\delta (\nu +a)\right) | 101 ve 303 kuralından aşağıda \textstyle \sin(ax)=    (e^{iax}-e^{-iax})/(2i).kullanılıyor |
| 306 |  \displaystyle \cos(ax^{2}) |  \displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  \displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  |
| 307 |  \displaystyle \sin(ax^{2})\, |  \displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  \displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  \displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  |
| 308 |  \displaystyle x^{n}\, |  \displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )\, |  \displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\, |  \displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )\, | Burada, n bir doğal sayılar sicimi  \textstyle \delta ^{(n)}(\xi ) Dirac delta fonksiyonunun türevinin  n-inci dağılımıdır. Bu kural 107 ve 301 kuralından izlenir.Bu 101 ile kombine ediliyor, tüm polinomlar dönüştürülbilir. |
| 309 |  \displaystyle {\frac {1}{x}} |  \displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi ) |  \displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega ) |  \displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\nu ) | Burada sgn(ξ)  işaret fonksiyonudur. Unutmadan 1/x bir dağılım değildir.Bu fonksiyonların üyelerini test ediyor ise  Cauchy temel değeri kullanmak için gereklidir.Bu kural Hilbert dönüşümüçalışmalarında kullanılıyor |
| 310 |  \displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}:=    \displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x| |  \displaystyle -i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi ) |  \displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega ) |  \displaystyle -i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu ) | 1/xn homojen dağılım ve  \textstyle {\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x| dağılımsal türev ile tanımlanır |
| 311 |  \displaystyle |x|^{\alpha }\, |  \displaystyle -2{\frac {\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha +1)}{|2\pi \xi |^{\alpha +1}}} |  \displaystyle {\frac {-2}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}} |  \displaystyle -2{\frac {\sin(\pi \alpha /2)\Gamma (\alpha +1)}{|\nu |^{\alpha +1}}} | Bu formül  0 > α > −1 için değerlidir.α > 0 için  başlangıçtan ortaya çıkan bazı tekil terimler bu 318 türevi ile bulunabilir. Eğer Re α > −1,ise   |x|^{\alpha } bir yerel integrallenebilir fonksiyondur ve gibi bir katkılı dağılım.Fonksiyon  \textstyle \alpha \mapsto |x|^{\alpha }katkılı dağılımın  uzayına sağ yarı düzlemden bir holomorf fonksiyondur. Bu bir katkılı dağılıma bir benzersiz meromorfik uzantı kabul ediliyor, ayrıca   |x|^{\alpha } için α ≠ −2, −4, ... ile ifade edilir (bakınız homojen dağılım.) |
| 312 |  \displaystyle \operatorname {sgn}(x) |  \displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }} |  \displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }} |  \displaystyle {\frac {2}{i\nu }} | 309 kuralının ikizidir. Ve yine  Cauchy temel değeri olarak düşünüldüğünde gerekli olan Fourier dönüşümüdür,. |
| 313 |  \displaystyle u(x) |  \displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right) |  \displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right) |  \displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right) | u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyonudur; 101, 301 ve 312 kurallarından bunu izleyin. |
| 314 |  \displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT) |  \displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right) |  \displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right) |  \displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right) | Bu fonksiyon Dirac comb fonksiyonu olanarak  bilinir. Bu, dağılımlar  ile birlikte    \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=  2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)   olarak aslında 302 ve 102  den elde edilebilir sonuçtur |
| 315 |  \displaystyle J_{0}(x) |  \displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}} |  \displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}} |  \displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}} | J0(x) fonksiyonu  sıfırıncı dereceden birinci türün Bessel fonksiyonudur |
| 316 |  \displaystyle J_{n}(x) |  \displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}} |  \displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}} |  \displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}} | Bu  315'in genellemesidir.Fonksiyon Jn(x) n-inci dereceden Besselbirinci türün Bessel fonksiyonudur.Fonksiyon Tn(x) birinci türün Chebyshev polinomudur |
| 317 |  \displaystyle \log \left|x\right| |  \displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\left|\xi \right|}}-\gamma \delta \left(\xi \right) |  \displaystyle -{\frac {\sqrt {\pi /2}}{\left|\omega \right|}}-{\sqrt {2\pi }}\gamma \delta \left(\omega \right) |  \displaystyle -{\frac {\pi }{\left|\nu \right|}}-2\pi \gamma \delta \left(\nu \right) |  \gamma  Euler–Mascheroni sabitidir. |
| 318 |  \displaystyle \left(\mp ix\right)^{-\alpha } |  \displaystyle {\frac {\left(2\pi \right)^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha -1} |  \displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1} |  \displaystyle {\frac {2\pi }{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \nu \right)\left(\pm \nu \right)^{\alpha -1} | Bu formül 1 > α > 0 için değerdir. Yüksek üsteller için türev formülüne kullanılan diferansiyasyondur.u Heaviside fonksiyonudur. |