Alfred Tarski
Mantıksal kavramlar üzerine çalışmalar

Tarski'nin son dönem felsefi literatürde dikkat çeken bir diğer teorisi de "Mantıksal Kavramlar Nelerdir? (What are Logical Notions?)" (Tarski 1986). Bu, ilk olarak 1966'da Londra'da ve daha sonra 1973'te Buffalo'da yaptığı konuşmanın yayınlanmış hali; John Corcoran tarafından doğrudan katılımı olmadan düzenlenmiştir. History and Philosophy of Logic dergisinde en çok alıntı yapılan makale oldu.
Konuşmada Tarski, mantıksal işlemlerin ("kavramlar" dediği) mantık dışı ile sınırlandırılmasını önerdi. Önerilen kriterler, 19. yüzyıl Alman matematikçi Felix Klein'ın Erlangen programından türetildi. Mautner (1946'da) ve muhtemelen Portekizli matematikçi Sebastiao e Silva tarafından yazılan bir makale, Tarski'nin Erlangen Programını mantığa uygulamasında bekledi.
Bu program, çeşitli geometri türlerini (Öklid geometrisi, afin geometri, topoloji, vb.), O geometrik teorinin nesnelerini değişmez bırakan, uzayın kendisine birebir dönüşümü türüne göre sınıflandırdı. (Birebir dönüşüm, mekanın her noktasının mekanın başka bir noktasıyla ilişkilendirilmesi veya eşleştirilmesi için mekanın kendi üzerine fonksiyonel bir haritasıdır. Bu nedenle, "30 derece döndür" ve "2 çarpanıyla büyüt", basit tek tip birebir dönüşümlerin sezgisel tanımlamalarıdır.) Sürekli dönüşümler, topoloji nesnelerine, Öklid geometrisine benzerlik dönüşümlerine vb. yol açar.
İzin verilen dönüşümlerin aralığı genişledikçe, dönüşümlerin uygulanmasıyla korunduğu şekliyle ayırt edilebilen nesnelerin aralığı daralır. Benzerlik dönüşümleri oldukça dardır (noktalar arasındaki göreceli mesafeyi korurlar) ve bu nedenle nispeten birçok şeyi (örneğin, eşkenar üçgenler eşkenar olmayan üçgenlerden) ayırt etmemize izin verir. Sürekli dönüşümler (sezgisel olarak tek tip olmayan gerdirme, sıkıştırma, bükme ve bükmeye izin veren, ancak yırtılmaya veya yapıştırmaya izin vermeyen dönüşümler olarak düşünülebilir), bir çokgeni bir halkadan (ortasında bir delik olan halka) ayırt etmemize izin verir ancak iki çokgeni birbirinden ayırt etmemize izin vermez.
Tarski'nin önerisi, bir alanın tüm olası birebir dönüşümlerini (otomorfizmleri) kendi üzerine düşünerek mantıksal kavramları sınırlandırmaktı. Alan terimi ile anlamsal mantık teorisi için bir modelin söylem evreni kastedilmektedir. Biri, etki alanı kümesiyle True doğruluk değeri ve boş kümeyle False doğruluk değeri tanımlanırsa, daha sonra aşağıdaki işlemler teklif kapsamında mantıksal olarak varsayılır:
Doğruluk fonksiyonları: Tüm doğruluk fonksiyonları teklif tarafından kabul edilir. Bu, sınırlı olmamakla birlikte, sonlu n için tüm n-inci doğruluk fonksiyonlarını içerir. (Aynı zamanda, herhangi bir sonsuz sayıda yerde doğruluk fonksiyonlarını da kabul eder.)
Bireyler: Alan adının en az iki üyesi olması koşuluyla, hiçbir birey yoktur.
Dayanaklar :
tek basamaklı toplam ve boş dayanaklar, ilki, uzantısında etki alanının tüm üyelerine sahip ve ikincisi, uzantısında etki alanının hiçbir üyesine sahip değildir.
iki basamaklı toplam ve boş dayanaklar, ilki tüm sıralı etki alanı üyesi çiftlerinin kümesini uzantısı olarak ve ikincisi uzantı olarak boş kümeyi içerir.
a, etki alanının bir üyesi olduğu uzantısında tüm sıralı-çiftlerinin <a, a> kümesiyle birlikte iki konumlu özdeşlik koşulu
a ve b'nin etki alanının farklı üyeleri olduğu <a, b> tüm sıralı çiftlerinin kümesiyle iki-konumlu çeşitlilik koşulu
Genel olarak n-inci dayanaklar: bağlaç, ayrılma ve değilleme ile birlikte özdeşlik koşulundan tanımlanabilen tüm dayanaklar (herhangi bir sıralı, sonlu veya sonsuza kadar)
Niceleyiciler: Tarski açıkça yalnızca tekli niceleyicileri tartışır ve bu tür tüm sayısal niceleyicilerin önerisi kapsamında kabul edildiğini belirtir. Bunlar, standart evrensel ve varoluşsal niceleyicileri ve örneğin "Tam dört", "Sonlu çok", "Sayılamayacak kadar çok" ve "Dört ile 9 milyon arasında" gibi sayısal niceleyicileri içerir. Tarski konuya girmemekle birlikte, poliadik niceleyicilerin teklif kapsamında kabul edildiği de açıktır. Bu gibi nicelik, iki dayanakları söyler Fx ve Gy, "More(x, y)", verilen olan "F'de G’nin sahip olduğundan daha fazla madde vardır."
Küme-Teorik ilişkiler: Alanın alt kümelerine uygulanan dahil etme, kesişme ve birleşme gibi ilişkiler mevcut anlamda mantıklıdır.
Küme üyeliği: Tarski, küme üyelik ilişkisinin kendi açısından mantıklı sayılıp sayılmadığını tartışarak dersini bitirdi. (Matematiğin (çoğunun) teoriye indirgenmesi göz önüne alındığında, bu aslında matematiğin çoğunun veya tamamının mantığın bir parçası olup olmadığı sorusuydu. Küme üyeliğinin, eğer küme teorisi tip teorisi doğrultusunda geliştirilirse mantıklı olduğunu, ancak kanonik Zermelo-Freankel küme teorisinde olduğu gibi küme teorisinin aksiyomatik olarak ortaya konulması halinde mantık dışı olduğunu belirtti.
Üst seviye mantıksal kavramlar: Tarski, tartışmasını birinci dereceden mantık işlemleriyle sınırlarken, önerisinde onu zorunlu olarak birinci dereceden mantıkla sınırlandıran hiçbir şey yoktur. (Tarski, konuşma teknik olmayan bir dinleyici kitlesine verildiği için muhtemelen dikkatini birinci dereceden kavramlarla sınırladı). Bu nedenle, yüksek dereceli niceleyiciler ve dayanaklar da kabul edilir.
Bazı yönlerden, mevcut öneri, Russell ve Whitehead'in Principia Mathematica’sının tüm mantıksal işlemlerinin, alanın kendisine birebir dönüşümleri altında değişmediğini kanıtlayan Lindenbaum ve Tarski'nin (1936) tersidir. Mevcut öneri ayrıca Tarski ve Givant (1987) 'de kullanılmaktadır.
Solomon Feferman ve Vann McGee, Tarski'nin ölümünden sonra yayınlanan çalışmasında önerisini tartıştılar. Feferman (1999) öneri için problemler ortaya koyar ve bir çare önerir: Tarski'nin korumasını otomorfizmlerle değiştirerek korumayı keyfi homomorfizmlerle değiştirmek. Özünde, bu öneri, Tarski'nin önerisinin, belirli bir kardinalitenin farklı alanları ve farklı kardinalitelerin alanları arasında mantıksal işlemlerin aynı olmasıyla başa çıkma konusundaki zorluğunu ortadan kaldırır. Feferman'ın önerisi, Tarski'nin orijinal önerisiyle karşılaştırıldığında mantıksal terimlerin radikal bir şekilde sınırlandırılmasına neden oluyor. Özellikle, yalnızca özdeşliği olmayan standart birinci dereceden mantığın operatörleri mantıksal olarak sayılır.
McGee (1996), Tarski'nin önerisi anlamında mantıksal olarak hangi işlemlerin mantıksal olduğunu, keyfi olarak uzun bağlaçlara ve ayrışmalara izin vererek birinci dereceden mantığı genişleten bir dilde ve rastgele birçok değişken üzerinde nicelemeye izin vererek tam bir açıklama sağlar. "Keyfi olarak", sayılabilir bir sonsuzluğu içerir.