Spektral yoğunluk
Spektral Enerji Yoğunluğu

Spektral enerji yoğunluğu, sinyalin veya zaman serilerinin enerjisinin frekansla nasıl dağıtıldığını açıklar. Burada enerji terimi genelleştirilmiş sinyal sürecinin algısında kullanılır. Buna göre sinyalin enerjisi  x(t) ;
 \int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt. ‘ile gösterilir.
Spektral enerji yoğunluğu geçici olaylar için uygundur.Örneğin,toplam enerjisi sınırlı olan sinyal gibi titreşimler.Bu olayda Parseval’ın Teorisi, sinyalin enerjisi için bize Fourier dönüşümü cinsinden yeni bir ifade verir.
 {\hat {x}}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ift}x(t)dt.
Buradaki  f Hz(Hertz) ‘ yi ifade eder, saniyede yapılan devir sayısı.Genelde kullanılan cinsi açısal hızlı olanıdır  \omega =2\pi f.Sağ tarafın integrali bize sinyalin enerjisini verir. |{\hat {x}}(f)|^{2}‘in intregralinin alınmış hali sinyalin birim frekanstaki enerjisini tanımlayan yoğunluk fonksiyonu olarak yorumlanabilir.Bunun ışığında bir sinyalin spektral enerji yoğunluğu  x(t)
Fiziksel bir örnek olarak bir sinyalin spektral enerji yoğunluğunu ele alırsak, elektriksel darbenin potansiyeli   V(t) empedansın  Z iletim hattı boyunca yayılır ve bu hat sonuna bağlanan direçle sonlandırılır.Böyle bütün darbe enerji dirence aktarılır ve hiçbiri geri yansıtılmaz.Ohm Yasası ile  t zamanda dirence aktarılan güç  V(t)^{2}/Z ‘ ye eşit olur.Böylece sistemin toplam enerjisi  V(t)^{2}/Z ’nin zamana bağlı integralinin alınmasıyla bulunur.Spektral enerji yoğunluğu  S_{xx}(f) nun   f frekansındaki enerjisini bulmak için frekansa ilginin yakın olduğu iletim hattı ile direnç arasına sadece dar aralıklı frekansları geçiren dalga geçirici filtre konulmalıdır ve sistemin alıcıdan geçen dağılmış toplam enerjisi  E(f) hesaplanır.Spektral enerji yoğunluğunun değeri   E(f)/\Delta folarak tahmin edilir.Güç  V(t)^{2}/Z olarak (birimi V2 Ω−1),enerji   E(f) olarak (birimi V2 s Ω−1 = J) olarak alındığında spektral enerji yoğunluğu  E(f)/\Delta f nun birimi J Hz−1 olur(Joule kere frekans).
Spektral Güç Yoğunluğu
Yukarıda belirtilen spektral enerji yoğunluğuyla iligi tanımlar geçici dalgalar(darbe-sinyaller gibi) için uygundur ve Fourier dönüşümü sinyaller genellikle bulunurlar. Tüm zaman boyuncaki sürekli sinyaller için örneğin sabit süreçte bir tanesi mutlaka spektral güç yoğunluğu (PSD) olarak belirtilmelidir.Bu sayede önceki örnekte de olduğu gibi sinyalin gücü ya da zaman serilerinin belli bir frekans boyunca nasıl dağıtıldığını anlayabiliriz.Burada güç, fiziksel bir güçtür ya da daha sık olarak sinyalin karesiyle özdeşleşmiştir ve ayrıca soyut sinyaller için kolaylık sağlanır.Örneğin istatistikçiler fonksiyonun zamana bağlı değişimini x(t) (veya başka bir bağımsız denklem üzerine) çalışıyorlar ve elektrik sinyalleriyle analoji(iki farklı şey arasındaki benzerlik veya benzerliklerden hareket edilerek birincisi için dile getirilenlerin diğeri için de söz konusu olduğunu ileri sürme) kullanıyorlar(diğer fiziksel süreçler arasında da).Sistemde herhangi bir fiziksel güç içeren bir şey olamasa bile geleneksel olarak güç spektrumuna denk gelir.Eğer herhangi biri  x(t)) ile takip eden fiziksel voltaj kaynağı oluşturursa ve uç bölümleri 1 ohm ‘luk bir dirence maruz bırakılırsa dirençteki anlık dağıtılmış güç  x2 watt olarak ifade edilir.
Bir sinyalin x(t)bütün zaman aralığı boyunca ortalama gücü P ortalama zaman ile verilir:
Örnek olarak durağan süreçlerde sonsuz enerji bulunmasına rağmen sınırlı güç bulunabilir.Bütün bunlardan sonra enerji gücün integral alınmış halidir ve durağan(sabit) sinyal sonsuz zaman diliminde süreklidir. Bu yüzdendir ki spektral enerji yoğunluğunu yukarıda belirtilen durumlardaki gibi kullanamayız.
Herhangi bir sinyalin  x(t) frekans bileşenlerini kontrol ederken herhangi bir sinyalin hesaplanması sıradan bir Fourier Dönüşümü’ne benzer   {\hat {x}}(\omega ) .Fakat çoğu Fourier Dönüşümü’yle ilgili sinyaller aslında hiç var olmamışlardır.Çünkü bu karmaşıklık kesik Fourier dönüşümüyle  {\hat {x}}_{T}(\omega ) daha iyi çalışır.Fourier dönüşümünde sinyalin sadece [0, T] kapalı aralığında integrali alınır.
Ve sonrasında spektral güç yoğunluğu
Olarak ifade edilir.Buradaki  E beklenen değeri belirtir.Sonra elimize aşağıdaki gibi bir fonksiyon geçer.
En son halinde (sabit/durağan gelişigüzel süreçte değişkenler ile  \Delta t=t-t' değişiklik yapılabilir ve integralin limitiyle sonsuza yaklaşır.Sonuç olarak elde edilen spektral güç yoğunluğu  S_{xx}(\omega ) olur ve bu sinyalin otokorelasyon(, çoklu regresyon analizinde hata teriminin birbirini izleyen değerleri arasında ilişki bulunması hali) fonksiyonu Fourier’in dönüşümleriyle karşımıza çıkabilir.Fonksiyondaki otokorelasyonun istatistiksel tanımı   \gamma (\tau )=\langle X(t)X(t+\tau )\rangle  (veya daha genel olarak X(t)'in karmaşık bir değerde olduğu durumlarda  \gamma (\tau )=\langle X(t)X^{*}(t+\tau )\rangle  olarak tanımlanır).
\gamma (\tau )‘ın her koşulda integrallenebilir olduğu durumlarda :
Çoğu yazar spektral güç yoğunluğunu bu formülle tanımlarlar.
Verilen bir frekans aralığındaki  [f_{1},f_{2}] veya  [\omega _{1},\omega _{2}] sinyalin gücü frekans aralığının integralinin alınmasıyla hesaplanabilir.  S_{xx}(-\omega )=S_{xx}(\omega ) eşitliği söz konusu olduğundan eşit miktarda güç pozitif ve negatif frekanslara dağıtılabilir.Aşağıda belirtilen formda ikinin katıyla hesaplanır.Budenli ufak tefek faktörler kullanılan toplama bağlıdır.
Daha genel olarak benzer teknikler zaman değişkenli spektral yoğunlukların tahmin edilmesinde kullanılabilir.Bu durumda kesik Fourier dönüşümü yukarıda belirtilen sınırlı zaman aralığında (0, T) T’nin limitinin sonsuza yaklaştığını söyleyemeyiz.Bu düşük spektral kapsamına ve düşük çözünürlüğe sebep olur.Çünkü  1/T’ den düşük frekanslar örnek olarak denenmemiştir ve frekansların, 1/T’nin katsayılarının bir tam sayı olmamasına sebep olur.Sadece tek zaman dizisi kullanarak tahmin edilen spektral güç yoğunluğu çok fazla gürültülü olacaktır.Fakat bu hafifletilebilirdir. Eğer beklenen değeri (yukarıdaki denklemde) kısa süreli spektra (tafy) büyük sayılar (veya sonsuz) kullanarak istatistiksel birliğe göre hitap edecek şekilde spesifik bir zaman aralığında x(t) gerçekleştirilen değerlendirmelerle yapılabilir.
Spektral güç yoğunluğunun bu tanımı ayrık zaman  x_{n} olarak genelleştirilebilir.Yukarıda  1\leq n\leq N sınırlı bir aralıklıla birlikte farklı zamanlarda   x_{n}=x(n\Delta t) toplam periyod ölçümü  T=N\Delta t için bir sinyal örneği belirlemiştik. Daha sonra tek bir spektral güç yoğunluğu tahmini için integrasyondan ziyade toplama ile elde edilinebilinecektir.
Daha önceden, asıl spektral güç yoğunluğunu N (ve böylelikle T) sonsuza yaklaştığında elde edebiliriz ve beklenen değer resmen uygulanmış olur.Gerçek Dünya uygulamasında biri tipik olarak ortalama spektral güç yoğunluğunun tek bir ölçümünde fiziksel süreç boyunca yapılan denemelerde bir tane fazladan daha kesin tahmini teorik spektral güç yoğunluğu elde etmek için bireysel çalışmalar altında gerçekleştirilir.Bu ölçülen spektral güç yoğunluğuna bazen periodogram(spektral yoğunluk tahmini) adı verilir.Bu periodogram ortalama zaman aralığı sonsuza yaklaşırken doğru spektral güç yoğunluğunu tahmini değerlerin sayısıyla birleştirir.
Eğer iki sinyalde spektral güç yoğunluğunu etkilerse çapraz spektral yoğunluk benzer bir şekilde hesaplanabilir.Bunun için spektral güç yoğunluğunun otokorelasyonla bağlantılı olması gerekir ve böylece çapraz spektral yoğunluk çapraz korelasyonla bağlantılı olur.
Çapraz korelasyon, sinyal sürecinde iki seri fonksiyonun birbirine bağlı olan gecikmelerin benzerliklerinin hesaplanmasıdır.Aynı zamanda nokta çarpım olarak ya da içler çarpımı olarak da bilinir.