Richard Dedekind
Çalışmaları

Polytechnic okulunda ilk kez kalkülüs öğretirken, Dedekind artık reel sayılar kavramın standart bir tanımı olan Dedekind kesimi (Almanca: Schnitt) olarak bilinen kavramı geliştirdi. Kesim fikri, bir irrasyonel sayının rasyonel sayıları iki sınıfa (kümelere) ayırmasıdır, bir sınıfın (daha büyük) tüm sayıları diğer (daha küçük) sınıfın tüm sayılarından kesinlikle daha büyüktür. Örneğin, karekök 2, kareleri 2'den küçük olan tüm negatif olmayan sayıları ve negatif sayıları küçük sınıfa ve kareleri 2'den büyük olan pozitif sayıları büyük sınıfa tanımlar. Sayı doğrusu sürekliliğindeki her konum ya bir rasyonel ya da irrasyonel sayı içerir. Böylece boş konumlar, boşluklar veya süreksizlikler yoktur. Dedekind, irrasyonel sayılar ve Dedekind kesimleri konusundaki düşüncelerini Stetigkeit und irrationale Zahlen ("Süreklilik ve irrasyonel sayılar") adlı broşüründe yayınlamıştır; modern terminolojide, Vollständigkeit yani tamlık.
Dedekind, iki kümeyi birebir örten olduğunda "benzer" olarak tanımladı. sonsuz kümenin ilk kesin tanımını vermek için benzerliğe başvurdu: Bir küme, "kendisinin uygun bir parçasına benzer" olduğunda; modern terminolojide, uygun altkümelerinden biriyle eş sayılı ise sonsuzdur. Böylece doğal sayıların N kümesinin, üyeleri N’nin her üyesinin karesi olan N alt kümesine benzer olduğu gösterilebilir, (N →  N2):
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |  \cdots  |
|  |  |  |  |  ↓  |  |  |  |  |  |  |  |
| N2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |  \cdots  |

Dedekind'in bu alandaki çalışması, genellikle kümeler teorisi'nin kurucusu olarak kabul edilen Georg Cantor'un çalışmasını öngördü. Benzer şekilde, matematiğin temelleri'ne yaptığı katkılar, Gottlob Frege ve Bertrand Russell gibi Mantıkçılık'ın önde gelen savunucuları tarafından yapılan daha sonraki çalışmaları tahmin ediyordu.
Dedekind, Lejeune Dirichlet, Gauss ve Riemann'ın toplu eserlerinin editörlüğünü yaptı. Dedekind'in Lejeune Dirichlet'in çalışması üzerine çalışması, onu daha sonraki cebirsel sayı cisimleri ve idealler üzerine yaptığı çalışmasına götürdü. 1863'te Lejeune Dirichlet'in sayılar teorisi hakkındaki derslerini Vorlesungen über Zahlentheorie ("Sayı Teorisi Üzerine Dersler") olarak yayınladı ve hakkında şöyle yazıldı:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ | Kitap kesinlikle Dirichlet'in derslerine dayansa ve Dedekind'in kendisi hayatı boyunca kitaba Dirichlet'in kitabı olarak atıfta bulunsa da, kitabın kendisi tamamen Dedekind tarafından ama çoğunlukla Dirichlet'in ölümünden sonrasını öngörerek yazılmıştır. | „ |
—Edwards, 1983
Vorlesungen'in 1879 ve 1894 basımları, halka teorisi için temel olan bir ideal kavramını tanıtan ilaveleri içeriyordu. (Daha sonra Hilbert tarafından tanıtılan "halka" kelimesi Dedekind'in çalışmasında geçmiyor.) Dedekind, ideal'i, tamsayı katsayılı polinom denklemlerini sağlayan cebirsel tamsayılardan oluşan bir dizi sayının alt kümesi olarak tanımladı. Kavram Hilbert'in ve özellikle Emmy Noether'in elinde daha da geliştirildi. İdealler Ernst Eduard Kummer'in ideal sayı'larını genelleştirir, Kummer'in 1843 Fermat'nın Son Teoremi'ni kanıtlama girişiminin bir parçası olarak tasarlanmıştır. (Böylece Dedekind'in Kummer'in en önemli öğrencisi olduğu söylenebilir.) 1882 tarihli bir makalede, Dedekind ve Heinrich Martin Weber idealleri, Riemann yüzeylerine uygulayarak Riemann–Roch teoreminin cebirsel bir kanıtını verdi.
1888'de, Was sind was sollen die Zahlen? ("Sayılar nedir ve ne işe yararlar?" Ewald 1996: 790) başlıklı, sonsuz küme tanımını içeren kısa bir monografi yayınladı. Ayrıca, ilkel kavramları sayı bir ve ardıl fonksiyonu olan doğal sayılar için aksiyomatik bir temel önerdi. Ertesi yıl, Giuseppe Peano, Dedekind'den alıntı yaparak, eşdeğer fakat daha basit ve şimdi standart olan bir aksiyomlar kümesi formüle etti.
Dedekind cebir'e başka katkılarda da bulundu. Örneğin 1900 civarında modüler kafesler üzerine ilk makale yazdı. 1872'de Interlaken'de tatildeyken Dedekind, Georg Cantor ile tanıştı. Böylece kalıcı bir karşılıklı saygı ilişkisi başladı ve Dedekind, Cantor'un sonsuz kümelerle ilgili çalışmasına hayran olan ilk matematikçilerden biri oldu ve Cantor'un Leopold Kronecker ile felsefi olarak Cantor'un sonlu ötesi sayılara karşı olan anlaşmazlıklarında değerli bir müttefik olduğunu kanıtladı.