stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ballıbabagiller
Lamiaceae (Ballıbabagiller) Familyasının Önemi > Uçucu yağ çalışmalarındaki yeri

İlaçlarda var olan selüloz, pektin, şeker gibi bazı maddeler yanında çoğunluğunu uçucu yağların oluşturduğu esanslar da bulunmakta ve bu maddelerin önemli bir farmakolojik etkiye sahip oldukları bilinmektedir. Bitkilerden veya bitkisel droglardan elde edilen temel yağlar olarak da bilinen uçucu yağlar hücre zarından kolaylıkla geçebilir, deriden ve akciğerlerden kolaylıkla emilirler. Uçucu yağlar oda sıcaklığında sıvı, bazen donabilen uçucu, kuvvetli kokulu ve yağımsı karışımlar halinde olurlar. Metabolizmada asetat birimlerinden oluşan uçucu yağlar bakterilere, mantarlara hatta bir hücrelilerden protistalara karşı oldukça aktiftirler. Bitkilerin yaprak, gövde, çiçek, meyve, köksap, reçine ve odun gibi kısımlarında bulunan uçucu yağların, hücreler arası iletişim, hormon gibi birçok görevi bulunmaktadır. Ballıbabagiller (Lamiaceae) uçucu yağ bileşenlerince zengin familyaların arasında başta gelirler. Çay bitkileri ve baharat olarak da kullanılan Ballıbabagiller familyası ticareti yapılan bitki türleri arasında birinci sıradadır. Söz konusu familyaya ait olan türlerin yüksek biyolojik ve farmakolojik aktiviteleri yıllardır tespit edilmeye çalışılmaktadır. Bitkilerin içeriğindeki temel yağlar bu bitkilere fitoterapide kullanılma özelliği kazandırmaktadır.
Galeri

Eflatun çiçekli ballıbaba (Lamium purpureum)
Nane - Mentha spp.
Cleordendron formicarum
Ahmet Suat Özyazıcı

| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
 
Kişisel bilgileri
Tam adı:  Ahmet Suat Özyazıcı
Doğum tarihi:  20 Nisan 1936(1936-04-20)
Doğum yeri:  Trabzon, Türkiye
Ölüm tarihi:  18 Şubat 2023 (86 yaşında)
Ölüm yeri:  Trabzon, Türkiye
Profesyonel kariyeri*
| Yıllar |  Takım |  Maç |  (Gol) |
| 1954-1956 |  Trabzon Yolspor |   |   |
| 1956-1967 |  İdmanocağı |   |   |
| 1967-1972 |  Trabzonspor |   |   |
Teknik direktörlük kariyeri
1973-1975:  Trabzonspor
1975-1978:  Trabzonspor
1979-1980:  Trabzonspor
1981-1984:  Trabzonspor
1986-1987:  Trabzonspor
1988:  Trabzonspor
1988:  Bursaspor
1990-1992:  Sarıyer
1999-2000:  Trabzonspor
 * Yalnızca lig maçları ve gollerini içerir. 
Trabzon'daki Ahmet Suat Özyazıcı Stadyumu
Ahmet Suat Özyazıcı (20 Nisan 1936 - 18 Şubat 2023), Türk eski futbolcu ve teknik direktör. Trabzonspor ilk şampiyonluğunu ve üç şampiyonluk hariç diğer tüm şampiyonluklarını onun yönetiminde kazanmıştır. Kendisine, taktikleri başarıyla uygulayabilmesinden ötürü taraftar ve yorumcular tarafından "Brezilyalı" benzetmesi yapılmıştır.
Kariyeri > Futbolculuk kariyeri

Futbol hayatına 17 yaşında Trabzon Yolspor'da başlamıştır. Daha sonra zamanının Trabzon'daki (İdmangücü ile birlikte) en popüler futbol takımı olan İdmanocağı'nda gerçek anlamıyla futbola kendini adamıştır. İdmanocağı ve İdmangücü arasındaki rekabetin bir getirisi olarak; Trabzon'daki futbol kültürünün bağrında yetişen Özyazıcı, Trabzon'daki futbol kulüplerinin Trabzonspor çatısı altında birleşmesiyle Trabzonspor'da top koşturmaya başlamıştır.
Kariyeri > Teknik direktörlük kariyeri

Futbolu bıraktıktan sonra teknik direktörlük kariyerine başlayan Özyazıcı, Trabzonspor'u değişik dönemlerde çalıştırmıştır. Trabzonspor'un Anadolu İhtilali yaparak, 1975-1980 ve 1983-84 aralıklarında kazandığı şampiyonluklarda Trabzonspor'un önderliğini yapmıştır. Bu şampiyonluklarla Türk futbol tarihinde bir ilk gerçekleşmiş; İstanbul takımları olan Beşiktaş, Fenerbahçe ve Galatasaray dışında ilk kez bir Anadolu takımı şampiyon olmuştur. Bu şampiyonluklar Türk futboluna "Dört Büyükler" kavramını kazandırmıştır. Özyazıcı'nın bu başarıları, onun Trabzonspor taraftarları arasında "efsanevi" olarak tanımlanmasını sağlamıştır. Özyazıcı ayrıca Türkiye'nin en çok şampiyonluk gören 2. yerli teknik direktörüdür.
Özyazıcı, son olarak Sarıyer ve Vanspor'u çalıştırmış; daha sonra ise herhangi bir takımı çalıştırmamıştır. 2010 yılında ise Trabzonspor teknik heyeti ve yönetimine danışmanlık yapmıştır. Şu an Trabzon'da Kemeraltı çarşısında bir nalburiye dükkânını 3 oğlu Hakan, Can ve Okan ile işletmektedir. Ahmet Suat Özyazıcı ayrıca Trabzonspor'a kazandırdığı 4 şampiyonluğun yanı sıra 4 kez Cumhurbaşkanlığı Kupası şampiyonluğu, 2 kez Başbakanlık Kupası şampiyonluğu, 3 kez Türkiye Kupası şampiyonluğu ve bir kere düzenlenen Kıbrıs Barış Kupası şampiyonluğu kazandırmıştır.
Kariyeri > Son yılları ve vefatı

2022 yılında kalça kırığı nedeniyle ameliyat olan Özyazıcı, hayatının son dönemlerinde alzheimer ile de mücadele ediyordu. Ahmet Suat Özyazıcı 18 Şubat 2023'te evinde öldü. Bir gün sonra Hüseyin Avni Aker Millet Bahçesi'nde anısına Trabzonspor tarafından bir tören düzenlendi. Cenaze törenine Ali Kemal Denizci, Hüseyin Tok, Lemi Çelik ve Sadi Tekelioğlu gibi isimler katılmıştır. Cenazesi öğle namazına müteakip İskenderpaşa Camii'nde kılındıktan sonra Sülüklü Mezarlığı'nda 2020 yılında ölen eşinin yanında defnedildi.
Başarıları > Teknik direktör olarak

Süper Lig: 1975-76, 1976-77, 1979-80, 1983-84
Türkiye Kupası: 1976-77, 1977-78, 1983-84
Süper Kupa: 1976, 1977, 1978, 1980, 1983
Başbakanlık Kupası: 1976, 1978
Fırat Altunmeşe

| Fırat Altunmeşe |
| --- | --- |
Doğum: 16 Mart 1990 (34 yaşında) İstanbul, Türkiye
Milliyet:  Türkiye
Meslek: Oyuncu
Etkin yıllar: 2013-günümüz
Boy: 1,89 m (6 ft 2 in)
Kilo: 81 kilogram 
Ebeveyn(ler): İzzet Altınmeşe

Fırat Altunmeşe (d. 16 Mart 1990, İstanbul), Türk oyuncu. İzzet Altınmeşe'nin oğludur.
Filmografisi

| Televizyon> Yıl | Televizyon> Yapım | Televizyon> Rol | Televizyon> Notlar | Televizyon> Kanal |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2013 | Vicdan | Emre | Yardımcı oyuncu | Kanal D |
| 2014-2015 | Kaçak Gelinler | Can | Başrol oyuncusu | Star TV / TV8 |
| 2015 | Maral: En Güzel Hikayem | Oytun Feyman | Yardımcı oyuncu | TV8 |
| 2016 | Kehribar | Kemal Bozoğlu | Yardımcı oyuncu | atv |
| 2016-2017 | Cesur ve Güzel | Kemal | Yardımcı oyuncu | Star TV |
| 2017-2018 | Aslan Ailem | Umut Aslan | Başrol oyuncusu | TRT 1 |
| 2019-2021 | Mucize Doktor | Demir Aldırmaz | Yardımcı oyuncu | FOX |
| 2021 | Evlilik Hakkında Her Şey | Ural Beyaz (Aztek) | Yardımcı oyuncu | FOX |
| 2024 | Bahar | Efe | Konuk oyuncu | Show TV |
| 2025- | Piyasa | Adar |  | Kanal D |
| Sinema | Sinema | Sinema | Sinema |  |
| Yıl | Yapım | Rol | Notlar |  |
| 2015 | Hesapta Aşk | Numan | Başrol Oyuncusu |  |
| 2017 | Sofra Sırları | Ramo | Başrol Oyuncusu |  |
| 2022 | Son Parti | Deniz | Başrol Oyuncusu |  |
The Bar (profesyonel güreş)

| Cesaro and Sheamus |
| --- | --- |

Takım
Üyeler: Cesaro Sheamus
Ad(lar)ı: Cesaro and Sheamus
Boyları: Cesaro: 6 ft 5 in (1,96 m) Sheamus: 6 ft 4 in (1,93 m)
Toplam Ağırlıkları: 499 lb (226 kg)
Debut: 26 Eylül 2016
Etkin yılları: 2016-günümüz
Federasyonlar: WWE
Cesaro and Sheamus, WWE'nin Raw brand'inde faaliyet gösteren profesyonel güreş takımı. İki kez Raw Takım şampiyonluğu kemerlerine sahip olmuştur. İkili ilk başta rekabet hâlindeyken 'best of seven' series berabere bitince Raw Genel Müdürü Mick Foley tarafından takım olmaya zorlanmıştır.
Tarihi > Rekabetleri ve takımın oluşumu

19 Temmuz SmackDown bölümünde yapılan 2016 WWE seçmelerinde Cesaro ve Sheamus, Raw brand'ine seçildi. Seçmelerden kısa bir süre sonra iki güreşçi rekabete başladı. Cesaro, üst üste iki maçta Sheamus'ı yenince Birleşik Devletler Şampiyonluğu kemer maçına hak kazandı. 8 Ağustos Raw bölümünde Rusev ile kemer maçına çıksa da Sheamus maça karışınca kemeri alamadı. Cesaro, SmackDown brand'inde daha fazla şans bulabileceğini söylerken; Sheamus, The League of Nations dağıldığından beri kariyerinde bir çöküş yaşadığını söyleyerek ikisi de Raw'da şans bulamamalarından yakındı. Raw Genel Müdürü Mick Foley, ikisi arasında best-of-seven series olacağını ve kazananın gelecekte kemer maçında yer alacağını açıkladı. SummerSlam'de ilk maçı kazanan Sheamus, üst üste ikinci ve üçüncü maçları da kazandı. Ancak sonraki üç maçı Cesaro kazanınca seri 3-3'e geldi. Clash of Champions'ta yapılan son maçta iki adam da devam edemeyene kadar güreşti ve maç sonuçsuz bitince yedi maçlık seri berabere bitti. Foley, ikisinin de yedinci maçtaki performansı ve etkileyici çabayı görmezden gelmeyeceğini, ayrıca sekizinci maç olursa birbirlerini sakatlayabileceklerinden dolayı iki güreşçiyi takım yapma kararı aldı ve onları Raw Takım Şampiyonluğu adayı yaptı.
Güreşte

İkili takım bitirici hareketleri
Spinebuster (Cesaro) / Brogue Kick (Sheamus) karışımı[kaynak belirtilmeli]
İkili takım imza hareketleri
The Bar (Double clothesline)
Double back kick
Double High Cross
Flapjack (Sheamus) ve European uppercut (Cesaro) karışımı
Rolling fireman's carry slam (Sheamus), ardından double foot stomp (Cesaro)
White Noise (Sheamus) / Diving neckbreaker (Cesaro) karışımı
Takma adı
"The Bar"
Giriş müziği
CFO$ - "Swiss Made" / "Hellfire" (2016-günümüz)
Şampiyonlukları ve başarıları

Wrestling Observer Newsletter
En Hafife Alınan (2016) – Cesaro
WWE
WWE Raw Tag Team Championship (3 kez, şu anki)
Cesaro, Sheamus ile güreşirken
IV. Pius

| IV>  Pius |
| --- | --- |

Doğum: Giovanni Angelo Medici 31 Mart 1499 Milano, Milano Dükalığı
Ölüm: 9 Aralık 1565 (66 yaşında) Roma, Papalık Devleti
Etkin yıllar: 25 Aralık 1559 - 9 Aralık 1565
Yerine geldiği: IV. Paulus
Yerine gelen: V. Pius
Din: Hristiyanlık (Katolik)
Ebeveyn(ler): Bernardino de' Medici ve Clelia Serbellon
İmza

Palazzo Altemps Sarayı'ında Papa IV. Pius arması
Papa IV. Pius veya doğum adı ile Giovanni Angelo Medici (d. 31 Mart 1499 Milano, Milano Dükalığı - ö. 9 Aralık 1565 Roma), 25 Aralık 1559 - 9 Aralık 1565 döneminde Papalık yapmıştır. Papa IV. Paulus yerine Papa seçilmiş ve ölünce 223'üncü Katolik Kilisesi papası olarak papalık görevine Papa V. Pius seçilmiştir. Papalık döneminde ortaya çıkan en önemli gelişme Trento Konsili'nin sona erip kapatılmasıdır.
Leoben ilçesi

| Leoben ilçesi |
| --- | --- |
İlçe

Ülke: Avusturya
Eyalet: Steiermark
Merkez: Leoben
Yüzölçümü
 • Toplam: 1.099.7 km²
Nüfus (2014)
 • Toplam: 61.774
 • Yoğunluk: 56/km²
Zaman dilimi: UTC+01.00 (OAS)
 • Yaz (YSU): UTC+02.00 (OAYS)
Leoben ilçesi, Avusturya'nın Steiermark eyaletinde bulunan bir ilçedir. İlçenin nüfusu 2014 yılı itibarıyla 61.771'dir. İlçenin merkezi Leoben şehridir.
| --- | --- |
Otorite kontrolü :  GND: 4035361-8  VIAF: 242977580
Beden dismorfik bozukluğu

| Beden dismorfik bozukluğu |
| --- | --- |
Diğer adlar: Dismorfofobi, dismorfik sendrom, beden algısı bozukluğu
Uzmanlık: Psikiyatri, klinik psikoloji
Komplikasyon: Depresyon, anksiyete bozuklukları, sosyal izolasyon, yeme bozuklukları, intihara teşebbüs, obsesif kompulsif bozukluk, madde bağımlılığı
Beden dismorfik bozukluğu (BDB/BDD) ya da beden algısı bozukluğu, kişinin fiziksel görünümünde saplattığı veya algıladığı bir kusura aşırı derecede takıntılı olmasıyla tanımlanan bir ruhsal bozukluktur. Bozukluktan etkilenen bireyler çoğunlukla biçimsiz veya çirkin olduklarına inanırlar ve görünüşlerinde algıladıkları ya da hayal ettikleri kusurları takıntı hâline getirirler.
BDB’nin sanrısal varyantında, bu kusur tamamen hayalidir. Gerçek bir fiziksel farklılık mevcut olduğunda ise, kişi bunun varlığını ve önemini zihninde orantısız bir şekilde büyütür. Fiziksel kusur gerçek olsun ya da olmasın, bu algılanan kusur üzerine yoğunlaşan düşünceler yaygın ve zorlayıcı hâle gelerek; bireyin zihinsel sağılını, günlük işlevselliğini ve duygularını negatif biçimde etkilemeye başlar. Bozukluktan etkilenen bireyler, dengesiz ve takıntılı duygusal düşünceleri yanısıra mesleki, akademik ve sosyal hayatlarında önemli rahatsızlıklar yaşarlar.
DSM-5, BDB’yi obsesif-kompulsif spektrum içinde sınıflandırarak anoreksiya nervoza gibi benzer bozukluklardan ayırır.  Bu bozukluk, eğitimsel ve mesleki işlevselliğin bozulması ile sosyal izolasyon nedeniyle yaşam kalitesini ciddi şekilde düşürdüğünden, etkilenen bireylerde intihar düşünceleri oranı yüksek olup intihara teşebbüs ihtimalleri yüksektir.
Aritmetiğin temel teoremi

In Disquisitiones Arithmeticae (1801) Gauss benzersiz çarpanlara ayırma teoremini kanıtladı  ve ikinci dereceden karşıtlık yasasını kanıtlamak için kullandı.
Matematik'te aritmetiğin temel teoremi, aynı zamanda benzersiz çarpanlara ayırma teoremi ve asal çarpanlara ayırma teoremi olarak da adlandırılır, şunu belirtir: 1'den büyük her tamsayı, benzersiz bir şekilde asal sayıların üslerinin çarpımı olarak gösterilebilir.
Örneğin,
Teorem bu örnekle ilgili iki şey söylüyor: birincisi, 1200 asal sayıların çarpımı olarak temsil edilebilir ve ikincisi, bu nasıl yapılırsa yapılsın her zaman tam olarak dört 2, bir 3 ve iki 5 olacaktır ve sonuç bunların dışında başka asal sayı içermeyecektir.
Çarpanların asal olması gereklidir: bileşik sayıları içeren çarpanlara ayırmalar benzersiz olmayabilir (örneğin,  12=2\cdot 6=3\cdot 4).
Bu teorem 1'in asal sayı olarak kabul edilmemesinin ana nedenlerinden biridir: eğer 1 asal olsaydı, asal sayılara ayırma benzersiz olmazdı; örneğin,  2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\ldots
Teorem, bir alan üzerinde benzersiz çarpanlara ayırma alanı olarak adlandırılan ve temel ideal alanları, Öklid alanlarını ve polinom halkalarını içeren diğer cebirsel yapılara genelleştirilir. Ancak teorem cebirsel tamsayılar için geçerli değildir. Benzersiz çarpanlara ayırmadaki bu başarısızlık, Fermat'ın Son Teoremi'nin ispatının zorluğunun nedenlerinden biridir. Cebirsel tamsayı halkalarında benzersiz çarpanlara ayırmanın örtülü kullanımı, Fermat'ın ifadesi ile Wiles'ın kanıtıdır.
Tarihçe

Temel teorem, Öklid'in Elementler'inin Kitap VII, 30, 31 ve 32. önermelerinden ve IX. Kitap, 14. önermesinden türetilebilir.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ |  İki sayının çarpımı, bir sayı ile bir asal sayının çarpımına eşit ise, bu asal sayı başlangıçtaki iki sayıdan birinin çarpanıdır. | „ |
—Öklid, Elementler Kitap VII, Önerme 30
(Modern terminolojide: Eğer bir asal p ab çarpımını bölüyorsa, o zaman p ya ayı ya da byi ya da her ikisini de böler.) Önerme 30'a gönderme yapılır. Öklid lemması olarak ve aritmetiğin temel teoreminin ispatında gereklidir.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ |  Herhangi bir bileşik sayı bazı asal sayıların çarpımı ile ifade edilir. | „ |
—Öklid, Elementler Kitap VII, Önerme 31
(Modern terminolojide: birden büyük her tam sayı bir asal sayıya eşit olarak bölünür.) Önerme 31 doğrudan sonsuz bölünebilme kanıtı ile kanıtlanır.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ |  Herhangi bir sayı ya asaldır ya da bir asal sayı ile tam olarak bölünür. | „ |
—Öklid, Elementler Kitap VII, Önerme 32
Önerme 32, önerme 31'den türetilmiştir ve çarpanlara ayırmanın mümkün olduğunu kanıtlamaktadır.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ |  Bir sayı asal sayıların çarpımı olarak ifade edilen en küçük sayı ise herhangi başka bir sayının çarpımı olarak ifade edilmez. Başlangıçtaki çarpanları dışında başka asal ççarpanı yoktur. | „ |
—Öklid, Elementler Kitap IX, Önerme 14
(Modern terminolojide: birkaç asal sayının en küçük ortak katı herhangi bir başka asal sayının katı değildir.) Kitap IX, önerme 14, Kitap VII, önerme 30'dan türetilmiştir ve çarpanlara ayırmanın benzersiz olduğunu kısmen kanıtlar. – André Weil. Aslında bu önermede üsler hepsi bire eşit olduğundan genel durum için hiçbir şey söylenmiyor.
Asal çarpanlara ayırmanın varlığına giden yolda ilk adımı Öklid atarken, son adımı ise Kamāl al-Dīn al-Fārisī attı ve aritmetiğin temel teoremini ilk kez belirtti.
Gauss' Disquisitiones Arithmeticae Madde 16'sı, modüler aritmetik kullanan erken modern bir ifade ve kanıttır.
Uygulamalar > Pozitif bir tam sayının kanonik gösterimi

Her pozitif tamsayı n > 1 asal kuvvetlerin çarpımı olarak tam olarak tek bir şekilde temsil edilebilir:
 n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}},
burada p1 < p2 < ... < pk  asal sayılardır ve ni pozitif tam sayılardır. Bu gösterim, boş çarpım'ın 1'e eşit olduğu kuralıyla genel olarak 1 dahil tüm pozitif tam sayılara genişletilir (boş çarpım k = 0'a karşılık gelir) .
Bu temsile n'nin kanonik temsili'
 of n, or the standard form
denir.. Örneğin,
p0 = 1 çarpanları, n değeri değiştirilmeden eklenebilir (örneğin, 1000 = 23×30×53). Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı, tüm pozitif asal sayıların üzerine alınan bir sonsuz çarpım olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir;
burada sonlu sayıda ni pozitif tamsayılardır ve diğerleri sıfırdır.
Negatif üslere izin vermek, pozitif rasyonel sayılar için kanonik bir form sağlar.
Uygulamalar > Aritmetik işlemler

a ve b iki sayısının en büyük ortak bölen (OBEB) ve en küçük ortak kat (EKOK) çarpımının kanonik gösterimleri basitçe şu şekilde ifade edilebilir: a ve bnin kanonik temsilleri:
a\cdot b=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots =\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},
EBOB(a,b)=2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots =\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},  EKOK(a,b)=2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots =\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})},
Bununla birlikte, özellikle büyük sayıların tamsayı çarpanlara ayırma işlemleri, ürünlerin, EBOB'ların veya EKOK'ların hesaplanmasından çok daha zordur. Dolayısıyla bu formüllerin pratikte kullanımı sınırlıdır.
Uygulamalar > Aritmetik fonksiyonlar

Şablon:Ana makale
Birçok aritmetik fonksiyon kanonik gösterim kullanılarak tanımlanır. Özellikle, toplama ve çarpım fonksiyonlarının değerleri, asal sayıların kuvvetleri üzerindeki değerlerine göre belirlenir.
İspat

İspat, Öklid lemmasını (Elementler VII, 30) kullanır: Eğer bir asal sayı iki tam sayının çarpımını bölüyorsa bölüyorsa, bu tam sayılardan en az birini bölmelidir.
İspat > Varlık

1'dan büyük her tam sayının ya asal ya da asal sayıların çarpımı olduğu gösterilmelidir. Birincisi, 2 asaldır. Daha sonra, güçlü tümevarım yoluyla, bunun 1'dan büyük ve n'den küçük tüm sayılar için doğru olduğunu varsayalım. Eğer n asalsa kanıtlayacak başka bir şey yoktur. Aksi takdirde, a ve b tamsayıları vardır; burada n = a b ve 1 < a ≤ b < n. Tümevarım hipotezine göre, a = p1 p2 ⋅⋅⋅ p' 'j ve b = q1 q2  ⋅⋅⋅ qk asal sayıların çarpımlarıdır. Ama sonra n = a b = p1 p2 ⋅⋅⋅ pj q1 q2 ⋅⋅⋅ q' 'k asal sayıların çarpımıdır.
İspat > Benzersizlik

Teoremin tersine, iki farklı asal çarpanlara ayırmaya sahip bir tamsayı olduğunu varsayalım. n böyle bir en küçük tamsayı olsun ve her bir pi ve qi asal olduğu n = p1 p2 ... pj = q1 q2 ... qk yazalım. p1'nin q1 q2 ... qk yi böldüğünü görürüz. Böylece by Öklid'in tezi'ne göre p1 bazı qi leri böler. Genelliği kaybetmeden, p1 q1 i böler diyelim. p1 ve q1 her ikisi de asal olduğundan, böylece p1 = q1 olur. n'yi çarpanlara ayırmamıza dönersek, p2 ... pj = q2 ... qk gerçekleşmesi için bu iki çarpanı sadeleştirebiliriz. Böylece elimizde kesin olarak n'den küçük iki asal tamsayı çarpan var ve bu da n'nin küçüklüğü ile çelişiyor.
İspat > Öklid'in tezi olmadan benzersizlik

Aritmetiğin temel teoremi, Öklid tezi kullanılmadan da kanıtlanabilir. Aşağıdaki kanıt, Öklid'in Öklid algoritması orijinal versiyonundan esinlenmiştir.
s'in asal sayıların iki farklı çarpımı olan en küçük pozitif tamsayı olduğunu varsayalım. Bu, eğer varsa,  s'in  1'den büyük bileşik sayı olduğu anlamına gelir.
Böylece,
{\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}
yazılabilir.
Her  p_{i}  q_{j}'den farklı olmalıdır. Aksi takdirde, eğer  p_{i}=q_{j} dersek,  s'den küçük bazı pozitif  t=s/p_{i}=s/q_{j} tamsayı çarpanları olacaktır. Gerektiğinde iki çarpan değiştirilerek  p_{1}<q_{1} olduğu da varsayılabilir.
P=p_{2}\cdots p_{m} ve  Q=q_{2}\cdots q_{n}, olarak ve  s=p_{1}P=q_{1}Q. olarak, ayrıca,  p_{1}<q_{1}, olduğundan  Q<P. olarak seçilir ve takiben
s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(P-Q)<s.
elde edilir.
 s'den küçük pozitif tamsayıların benzersiz bir asal çarpanlara ayırmaya sahip olduğu varsayıldığından,  p_{1},  q_{1}-p_{1}'in ya da  Q'nun çarpanları arasında yer almalıdır.  Q  s'den küçük olduğundan, benzersiz asal çarpanlara sahip olmalıdır ve her için  q_{j} için  p_{1} farklı olduğundan ikinci durum mümkün değildir. Eğer  p_{1},  q_{1}-p_{1}'in böleni ise,  q_{1},'in de böleni olacağından  p_{1} ve  q_{1} farklı asal sayılar olacağından ilk durum da mümkün değildir.
Böylece, tek bir farklı asal çarpanlara ayırmadan daha fazlasına sahip en küçük bir tam sayı olamaz. Her pozitif tamsayı ya benzersiz bir şekilde çarpanlara ayrılacak bir asal sayı ya da asal sayıları benzersiz bir şekilde çarpanlara ayıran bir bileşik ya da  1 tamsayısı durumunda herhangi bir asal çarpanı olmayan bir bileşik olmalıdır.
Genellemeler

Teoremin ilk genellemesi Gauss'un dördüncü dereceden karşıtlık üzerine ikinci monografisinde (1832) bulunur. Bu makale, şimdi Gauss tamsayı'larının halka olarak adlandırılan tüm karmaşık sayı'lar a + bi kümesini tanıttı; burada  a ve b tam sayılardır. Artık  \mathbb {Z} [i] ile gösterilmiştir. Bu halkanın sıfırdan farklı ±1 ve ±i dört birimine sahip olduğunu, birim olmayan sayıların asal sayılar ve bileşik sayılar olmak üzere iki sınıfa ayrıldığını ve bileşik sayılarrın asal sayıların bir ürünü olarak benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu gösterdi.
Benzer şekilde, 1844'te kübik karşıtlık üzerinde çalışırken, Eisenstein  \mathbb {Z} [\omega ] halkasını tanıttı; burada 



ω
=



−
1
+


−
3



2


,


{\textstyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},}

    \omega ^{3}=1 birliğin (küp)köküdür. Bu, Eisenstein tamsayılarının halkasıdır ve kendisi bunun altı birimi  \pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2} olduğunu ve benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu kanıtladı.
Ancak benzersiz çarpanlara ayırmanın her zaman geçerli olmadığı da keşfedildi. Örnek olarak  \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}] verilmiştir. Bu halkada
vardır.
Bunun gibi örnekler "asal" kavramının değişmesine neden oldu.  \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]'de yukarıdaki faktörlerden herhangi birinin bir çarpım olarak temsil edilebilmesi durumunda kanıtlanabilir, örneğin 2 =  ab ise a veya bden biri bir birim olmalıdır. Bu, "asal"ın geleneksel tanımıdır. Bu faktörlerin hiçbirinin Öklid tezine uymadığı da kanıtlanabilir; örneğin 2, çarpımları 6'yı bölmesine rağmen ne (1 + √−5) ne de (1 − √−5)'ı bölmez. Cebirsel sayılar teorisinde 2  \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]'de indirgenemez olarak adlandırılır (kendisine ve birim sayıya bölünebilir) ancak asal değildir (çarpımı bölüyorsa çarpanlardan birini de bölmelidir).  \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]'in belirtilmesi gereklidir çünkü 2 asaldır ve  \mathbb {Z} 'de indirgenemezdir. Bu tanımları kullanarak bir asal sayının indirgenemez olduğu kanıtlanabilir. Öklid'in klasik tezi " \mathbb {Z}  tamsayılar halkasında her indirgenemez asaldır" şeklinde yeniden ifade edilebilir. Bu aynı zamanda  \mathbb {Z} [i] ve  \mathbb {Z} [\omega ] için de doğrudur ancak  \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}] için geçerli değildir.
İndirgenemezler çarpanlara ayırmanın benzersiz olduğu yerlerde halkalara benzersiz çarpanlara ayırma alanı denir. Önemli örnekler, tamsayılar üzerindeki veya bir alan üzerindeki polinom halka'ları, Öklid alan'ları ve temel ideal alan'larıdır.
1843 yılında Kummer ideal sayı kavramını ortaya attı, bu kavram Dedekind tarafından 1876'da, halkaların özel bir alt alanı olan modern idealler teorisine geliştirildi. Burada idealler için çarpma tanımlanır ve bunların benzersiz çarpanlara ayrıldığı halkalara Dedekind alanları adı verilir.
sıra sayıları için benzersiz çarpanlara ayırmanın bir versiyonu vardır, ancak benzersizliği sağlamak için bazı ek koşullar gerektirir.