stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Beş Aile
Tarih > Komisyonun oluşumu

Maranzano'nun 1931'de öldürülmesinin ardından Luciano, Chicago'da bir toplantı düzenledi. Kendisini "capo di tutti i capi" (tüm patronların patronu) ilan edebilirdi ve bu pozisyon için çok az itiraz olacaktı. Ancak, bu unvanı kaldırmayı tercih etti çünkü bunun aileler arasında sorun yaratacağını ve kendisini başka bir hırslı rakibin hedefi haline getireceğine inanıyordu. Luciano'nun Komisyon'daki hedefleri, tüm aileler üzerindeki gücünü sessizce korumak ve gelecekteki çete savaşlarını önlemekti. Patronlar, Komisyon fikrini onayladılar.
Komisyon, Amerika Birleşik Devletleri'ndeki tüm Mafya faaliyetlerini denetleyecek ve aileler arasındaki çatışmalarda arabuluculuk yapacak bir "yönetim kurulu" gibi işlev görecekti. Yedi aile reisi Komisyonu oluşturuyordu: New York'un Beş Ailesi'nin liderleri Charlie "Lucky" Luciano, Vincent Mangano, Tommy Gagliano, Joseph Bonanno ve Joe Profaci; Chicago Outfit patronu Al Capone; ve Buffalo ailesinin lideri Stefano Magaddino. Luciano, Komisyonun başkanlığına getirildi. Komisyon, her beş yılda bir ya da aile meselelerini tartışmaları gerektiğinde toplantılar yapmayı kararlaştırdı.
Tarih > Mafyanın Çöküşü

New York şehrindeki beş mafya ailesi, eskisi kadar güçlü olmasalar da hala aktiftir. Mafyanın Amerika Birleşik Devletleri'ndeki zirve dönemi, 1940'lar ve 1950'lerdi. Ancak, 1970'te Racketeer Influenced and Corrupt Organizations Act (RICO Yasası) yürürlüğe girdiğinde, mafyayı ve organize suçu durdurmaya yönelik ciddi adımlar atıldı. RICO Yasası, mafya üzerinde büyük bir etki yarattı ve tutuklanan birçok üyenin muhbir olmasına yol açtı. Bu etki zamanla daha da güçlendi, mafyanın kontrolü zayıfladı.
Popüler kültüre etkileri

Mario Puzo'nun The Godfather adlı hikâyesinde de geçmektedir. New York'un yeraltı işlerini kontrolünde tutan beş mafya ailesidir. Bunlar Manhattan adasında, Cuneo, Corleone'da Barzini; New Jersey'de, Stracci ve Brooklyn'de de Tattaglia aileleridir. Bunlar oluşturdukları bir konsey ile New York'un yeraltı işlerini beşe bölmüştür. Kendi bölgeleri vardır. Daha sonra Corleone ailesi güçlenip artık diğer aileleri tehdit eder duruma gelince en güçlü aile olan Barzini ailesinin patronu Emilio Barzini Corleone ailesiyle sık sık sürtüşmeler yaşayan Tattagli ailesini gizli bir şekilde destekleme kararı alır ve bir plan yapar. Bu plan dahilinde uyuşturucu satıcısı Virgil Sollozzo Tattaglia ailesiyle iş yapar ve bununla birlikte Don Vito Corleone'ye teklif götürür. Arkasına New York polis şefi Captain Mcluskey'i de alan Sollozzo bu beş ailenin arasında yıllarca sürecek bir savaş çıkmasına neden olur.
Bu savaşta Don Vito Corleone'ye yapılan saldırı ile ilk kan dökülmüş olur. Don Corleone'nin hastanede yattığı sürede aileyi büyük oğlu Santino yönetir. Bu dönem içerisinde ailenin küçük oğlu ve mafya faaliyetlerinden uzak duran Michael Corleone'nin de aile işlerine girmesi ile olaylar farklı bir hal alır. Şiddet ve gayri meşru faaliyet karşıtı olan Michael, babasına saldırı düzenleten Virgil Solozzo ve uyuşturucu çeteleri ile iş birliği içinde olan Captain Mcluskey'i lokantada öldürerek, yer altı dünyasına adım atar. Aslında serinin en önemli olayı da budur. Çünkü Michael bu geri dönülemez olaydan sonra, düşman mafya aileleri için sonun başlangıcının fitilini ateşler.[kaynak belirtilmeli]
Hamilton optiği

Hamiltonyan optik ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.
Hamilton Prensibi

Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin  \left(q_{1}\left(\sigma \right),\cdots ,q_{N}\left(\sigma \right)\right),  \sigma _{A} ve  \sigma _{B} parametreleriyle belirtilen iki durum arasında  N genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle,
{\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma  olmak üzere,
\delta S=0\   koşulu ancak ve ancak  k=1,\cdots ,N iken Euler-Lagrange denklemleri
şartını sağladığında geçerlidir.
Momentum,
olarak tanımlandığında,  {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma   iken Euler-Lagrange denklemleri,
şeklinde yeniden yazılabilir.
Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak),
Lagrange'ın parametre  \sigma 'ya, konumlara  q_{i}\  ve konumların  \sigma 'ya göre türevlerine  {\dot {q}}_{i} nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi  t zamanı genel bir parametre  \sigma  ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler  k=1,\cdots ,N iken Hamilton denklemleridir.
Hamilton denklemleri birinci dereceden Diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir.
Lagrange optiği

Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir. 3 boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık Öklid uzayının koordinatlarıdır.
Fermat İlkesi

Ana madde: Fermat ilkesi
Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki  A ve  B arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm (büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında
yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu  {\mathbf {A} }=\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)\  noktasından başlayarak
noktasında bitmek üzere
q_{k}\  nın rolünü  
 x_{1}\  ve 
 x_{2}\  koordinatları alırken, 
 x_{3}\  ise 
 \sigma \  parametresinin rolünü alır yani parametre  \sigma =x_{3} ve  N=2.
Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem  ds,
olarak yazılabilir.  {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3} olmak üzere optik Lagrange
şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır:
burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir.
Euler-Lagrange denklemleri

Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine  \sigma =x_{3} ve  N=2 parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri,
Sonucunu verir, burada  k=(1,2),  L optik Lagrange ve
Optik momentum

Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır:
ve optik Lagrangian
burada 
 \mathbf {\hat {e}}  bir birim vektördür ve açılar  \alpha _{1},  \alpha _{2} ve  \alpha _{3},  p'nin sırasıyla  x_{1},x_{2} ve  x_{3} eksenlerine şekil "optik momentum ”da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir
burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör  p, ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve  p vektörü ışık rayına teğettir.
Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir.  {\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1 olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir,
Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır,
Hamilton denklemleri

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi  N=2 için yukarıda karşılığı verilmiş  
 x_{1}\left(x_{3}\right) ve  x_{2}\left(x_{3}\right) denklemleriyle şu şekilde tanımlanır,
Bu ifadeyi Lagrange için
Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri,
şeklinde yazılabilir. Burada 
 {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3} and 
 {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3} olarak alınmıştır.
Uygulamalar

Işığın  x_{3} ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde,  x_{1}\  ve  x_{2}\  koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar  q_{k}\  rolünü alırken,  x_{3}\  σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre  \sigma =x_{3} ve  N=2.
Kırılma ve yansıma

Eğer  x_{1}x_{2} düzlemi, aşağıda  n_{A} ve altında  n_{B} kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir
 n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\mbox{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\mbox{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}
ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir,
Ve böylece 
 {\dot {p}}_{k}=0 ya da  
 p_{k}={\text{Constant}}\  çıkarımları yapılabilir.
Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde ( x_{1}x_{2} düzleminin altında)  p_{A} momentumuna ve kırılma sonrasında ( x_{1}x_{2} düzlemi üzerinde)  p_{B} momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce  x_{3} ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile  \theta _{A} açısı ve kırılma sonrası  x_{3} ekseni ile  \theta _{B} açısı yapar. Momentumun  p_{1} ve  p_{2} bileşenleri sabit olduğu için yalnızca  p_{3}  p_{3A}'dan  p_{3B}'ye değişir.
Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma
bu ifade Snell kırılma yasasını verir.
“Kırılma” şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali  x_{3} ekseninin ve
burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki  birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın ( {\mathbf {p} }_{B} yönünde) gelen ışın ( {\mathbf {p} }_{A} yönünde) ve yüzey normali  {\mathbf {n} }\  ile aynı düzlemdedir. 
Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an  n_{A}=n_{B} eşitliği,  \theta _{A}=\theta _{B} ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca,  i ve  r, sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak  n_{A}=n_{B} ile verilir
Vektör formunda, eğer  i, gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve  n, yüzeyin normali ise, kırılan  r ışınının yönü şöyledir: {\mathbf {r} }={\frac {n_{A}}{n_{B}}}{\mathbf {i} }+\left(-\left({\mathbf {i} }\cdot {\mathbf {n} }\right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right){\mathbf {n} }
burada Δ aşağıdaki ifadeye eşittir.
Eğer i⋅n<0 ise hesaplamalarda −n kullanılmalıdır.  \Delta <0 olduğunda, ışık tam iç yansıma gösterir ve yansıyan ışının yansıma ifadesi şu şekilde yazılabilir,
Işınlar ve Dalga cepheleri

Optik yol uzunluğunun tanımından 
 S=\int L\,dx_{3}.k=1,2 iken Euler-Lagrange denklemlerinden yararlanılarak,
 {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}
İfadesi yazılabilir. Ayrıca Hamilton denklemlerinin sonuncusunu  \partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}, yukarıda kanıtlanan  H=-p_{3}\  eşitliğini ve
P, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan,  S= Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum  p gösterilmiştir.
Vektör alanı  {\mathbf {p} }=\nabla S korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak
elde edilir ve  A ve  B noktaları arasındaki  C eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu  S, sadece  A ve  B uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle  A=B olur böylece
 S=\oint \nabla S\cdot d{\mathbf {s} }=0 sonucuna ulaşılır.
Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir  ABCDA yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,
Eğri doğru parçası  AB için optik momentum  p,  AB eğrisi boyunca bir  ds yer değiştirmesine diktir yani 
 {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=0. Aynı şey  CD doğru parçası için de geçerlidir.  BC doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme  ds ile aynı yöndedir ve 
 {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=nds.
 DA doğru parçası için, optik momentum  p, yer değiştirme  ds ile zıt yönde ve 
 {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=-n\,ds.
Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik  {\mathbf {p} }\cdot d{\mathbf {s} }=n\,ds olur. Bunlar hesaba katıldığında 
 \int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds
ya da
 S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} } sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca  B ve  C noktaları arasındaki optik yol uzunluğu  S_{BC},  A ve  D noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu  S_{AD} ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.
Faz uzayı

Ana madde: Faz uzayı
Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada  x_{2}=0  p_{2}=0 olduğundan ışık  x_{1}x_{3} düzlemi doğrultusunda artan  x_{3} değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda,  p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2} ve  p_{2}=0 olduğundan ışınının yönü momentumun  p_{1} bileşeni tarafından tamamen tanımlanır 
 {\mathbf {p} }=(p_{1},p_{3}).  P_{1} verilirse,  p_{3} hesaplanabilir (kırılma indisi  n değeri verilirse) ve bu nedenle  p_{1}, ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi  \|\mathbf {p} \|=n ifadesiyle belirlenir.
Örneğin, ışın  r_{C}  x_{1} eksenini,  x_{B} konumunda ortalayan yarıçapı  n olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum  P_{C} ile  x_{B} koordinatından kesmektedir.  X_{B} Koordinatını ve momentum  p_{C}'nin yatay koordinatını  p_{1C}, ışını  r_{C}'yi,  x_{1} eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi  x_{1}p_{1} uzayında bir nokta  r_{C}=(x_{B},p_{1C}) ile tanımlanabilir. Uzay  x_{1}p_{1}'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.
Bu durumda, en üstte gösterilen ışın  r_{D}, alttaki faz uzayında bir nokta  r_{D} ile temsil edilir.  r_{C} ve  r_{D} Işınları arasında bulunan  x_{B} koordinatında  x_{1} ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında  r_{C} ve  r_{D} noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre,  r_{A} ve  r_{B} ışınları arasında bulunan  x_{A} koordinatında  x_{1} eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında  r_{A} ve  r_{B} noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak,  x_{l} ekseni  x_{L} ve  x_{R} arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir  R hacmi ile gösterilir.  R hacminin  \partial R sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin,  x_{1} ekseni koordinat  x_{A}'da, ışınlar  r_{A} ve  r_{B}, diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.
Üç boyutlu geometride momentum
with  p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}.  P_{1} ve  p_{2} verilirse,  p_{3} hesaplanabilir (kırılma indisinin  n değeri verilir) ve bu nedenle  p_{1} ve  p_{2} ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir.  X_{3} ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra  x_{1}x_{2} düzleminde bir nokta  (x_{1},x_{2}) ve bir yönde  (p_{1},p_{2}) tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı  x_{1}x_{2}p_{1}p_{2}'deki bir nokta ile tanımlanabilir.
Etendue korunması

Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu),  A alanı ile sınırlanmış bir hacim  V'yi gösterir. Zamanla,  A sınırı hareket ederse,  V hacmi değişebilir. Bilhassa, sonsuz küçük alan birimi  dA dışa doğru işaret eden bir birim normali  n doğrultusunda  v hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar:
Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam  V hacminin zaman içerisinde değişimi:
En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim  V'nin sınır  A'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca,  v,  V noktalarının hangi hareket ettiği hızdır.
Optikte 
 x_{3}\  zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını  {\mathbf {v} }=({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})\  “hızı” ile ilerleyen bir nokta  (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\  ile tanımlanır. Burada nokta  x_{3}\ ’e göre türevi temsil eder.
x_{1}\   koordinatında  dx_{1}\,x_{2}\  koordinatında  dx_{2}\,p_{1}\   koordinatında  dp_{1}\   ve  p_{2}\  koordinatında  dp_{2}\   üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında  dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}\  hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim  V yi kaplar,
Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,
sonucuna varılır. Yani, 
 dV/dx_{3}=0\  ve  dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}\
bu, ışık bir optik sistem boyunca ilerledikçe faz alan hacminin korunması anlamına gelir.
Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim,  x_{3} yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.
Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseldir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte  2N boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta,  N, molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır.
Görüntüleme ve görüntülemesiz optik

Şekil "etendue korunumu" solda,  x_{2}=0 ve  p_{2}=0 olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan  x_{1}x_{3} yönünde ilerler.
Noktanın  x_{1}=x_{l} noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında  r_{A} ve  r_{B} noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları  r_{A} ve  r_{B} arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge  r_{I} ile temsil edilir.
Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında  r_{A} ve  r_{B} noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları  r_{A} ve  r_{B} arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge  r_{O} ile gösterilir.
Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki  R_{I} tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki  r_{O} tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.
Görüntülenen optikte giriş diyaframını  x_{1}=x_{l}'de geçen tüm ışık ışını  x_{1}=x_{0}  x_{I}=mx_{O} olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme  m ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu,  R_{O}'da dikey çizgi  r_{A}  r_{B}'nin  R_{O}'da dikey çizgi  r_{A}  r_{B}'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu,  R_{I}'nın kenar ışınları  \partial R_{I}'yi  R_{O}'nun kenar ışınlarına  \partial R_{O} dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.
Genelleştirmeler

Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, 
 x_{1}\   ve  x_{2}\  koordinatları  q_{k}\  genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken,  x_{3} parametre  \sigma  rolünü üstlenir, yani parametre  \sigma =x_{3} ve  N=2'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.
Genel ışın parametrizasyonu

Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu 
 s=\left(x_{1}\left(\sigma \right),x_{2}\left(\sigma \right),x_{3}\left(\sigma \right)\right)\  
olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla,  x_{1}\,x_{2}\  ve  x_{3}\  koordinatları,  q_{k}\  genelleştirilmiş koordinatlarının  N=3 olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,
ve şimdi 
 L=nds/d\sigma \ 
 {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma  
ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,
burada  k=1,2,3 ve  L optik Lagrange'dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:
ve Hamilton denklemlerinde  P, yukarıda tanımlanan ve  N=3 için verilen  x_{1}\left(\sigma \right),x_{2}\left(\sigma \right) ve  x_{3}\left(\sigma \right) fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır.
Ve  k=1,2,3 iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,
burada  {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma  ve  {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma  olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,
ve açıkça parametre  \sigma 'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen  \sigma  üzerine  L'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.
Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,
burada  {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma  ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,
L için bu ifadeyi Hamilton  P ifadesi ile karşılaştırıldığında,
 P=0\  sonucuna ulaşılır.  p_{k}\ 'nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,
Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir:
Genelleştirilmiş koordinatlar

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar  \left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)\  ve genelleştirilmiş momenta  \left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)\  ve Hamilton işlevi  P açısından yazmak mümkündür:
burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:
ve  \mathbf {\hat {e}} _{1},  \mathbf {\hat {e}} _{2} ve  \mathbf {\hat {e}} _{3} birim vektörlerdir.
Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Ortonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir.
Bu durumda optik momentum  \mathbf {p}  ile birim vektör  \mathbf {\hat {e}} _{k} arasındaki açının kosinüsü  u_{k}a_{k}/n\  ifadesine eşittir.
Optik momentum
Yansıma
Işınlar ve dalga cepheleri
Optik yol uzunluğu
2B faz uzayı
Hacim varyasyonu
Etenduenin korunumu
Virginia Tech

Spor logosu
Cassell Spor Tesisi
Burruss Bina
Virginia Tech, uzun adıyla Virginia Polytechnic Institute and State University (Virginia Politeknik ve Devlet Üniversitesi), ABD'nin Virginia eyaletinin Blacksburg şehrinde yer alan, özellikle mühendislik ve işletme fakülteleri ile tanınan bir devlet okuludur. Tam zamanlı öğrenci sayısı ile Virginia eyaletinin en büyük üniversitesidir. En büyük rakibi Charlottesville şehrinde bulunan University of Virginia (Virginia Üniversitesi) ile birçok konuda yarış halindedir. Akademik başarısının yanında tamamen doğal New River vadisi ve Apalaş Dağları üzerine kurulmuş fevkalade kampüsü ile de ünlüdür.1990'lı yılların başından itibaren Amerikan futbolu takımı ile ulusal tanınırlığını artırmıştır. Üniversite 1872 yılında devlet kredisi ile askeri ve ziraat eğitimi amacıyla kurulmuştur.
Virginia Tech katliamı

Cho Seung-hui isimli Güney Koreli öğrenci Glock 9 mm'lik yarı otomatik silahı ile kampüsü bastı. 32 kişiyi öldüren saldırgan en son olarak intihar etti. Önce kız arkadaşının odasını basan saldırgan, odada kız arkadaşı ile başka bir erkeği görünce ilk önce onları öldürdü. Aradan 2 saat geçtikten sonra yurttan ayrılan saldırgan, mühendislik binasına geçti ve sınıfları basarak rastgele ateş etmeye başladı.