Dinamik sistem
Genel Bakış

Dinamik sistem orijinini klasik mekanik (Newton mekaniğinden) alır. Diğer doğa bilimleri ve mühendislik disiplinleri gibi, bir sistemin sadece kısa bir zaman sonraki durumunu bildiren gelişim kuralının, sistemle, kapalı bir ilişkisi vardır (bkz kapalı fonksiyon (bu ilişki diferansiyel denklem, yineleme ilişkisini açıklayan difference denklem ya da zaman -ölçek kalkulüsü-bkz time-scale calculus- gibi bağlamlardan herhangi biri olabilir). Sistemin gelecekteki tüm zamanlar boyunca durumunu gösterebilmek için bu hesaplama sürecinin, ölçülebilen her en düşük zaman aralığı için, tekrarlanması gerekir. Bu tekrarlama prosedürü sistemi analiz etmek/çözmek ya da integral hesabını (integral hesabında birim ölçütler toplanır özetle, ayrıntılı bilgi için integral) yapmak olarak da adlandırılabilir. Eğer sistem bu hesaplamalarla çözülebiliyorsa, verilen herhangi bir durum-zaman için bu sistemin gelecekteki durumları hesaplanabilir ve zaman boyunca sistemin durumunu simgeleyen bu noktalar orbit (yörünge, bir fonksiyonun grafiğinin noktalarla çizilmesi gibi) meydana getirir.
Bilgisayarların kullanımından önce, bu yörüngeyi bulmak oldukça kompleks matematiksel işlemler gerektiriyordu ve sadece sınırlı sayıda dinamik sistem için çözüm üretilebiliyordu. Sayısal yöntemleri kullanabilen elektronik hesaplama makineleri dinamik sistemlerin yörüngelerini belirleme hesaplamalarını basitleştirdi.
Basit dinamik sistemler için, yörüngesini bilmek yeterliydi ancak pek çok dinamik sistem sadece yörüngesiyle analiz edilemeyecek kadar komplekstir. Yörüngelerin bilinmesinin yetersiz kalmasının sebepleri:
Çalışılan sistem sadece yaklaşık olarak ifade ediliyor olabilir; bu sistemin parametreleri kesin olarak bilinmiyor olabilir ya da bu sistemi ifade eden denklem çözülürken bazı terimler tam olarak hesaba katılamıyor olabilir. Sistemin yaklaşımlarla ifade edilmesi, bizi kullanılan yöntemlerin uygun ya da genel geçer olup olmadığı sorusuna yönlendirir. Bu tür sorulara cevaben uygulanan yöntemlerin isabetliliğini gösteren birkaç yöntem geliştirilmiştir, Lyapunov denkliği ve kurulum denkliği (ayrıntılı bilgi için bkz, Lyapunov stability ve structural stability). Dinamik sistemin denkliği ya da kararlılığı, yörüngelerin matematiksel modelleme ile verilen ilk pozisyonu arasındaki eşitliğin kurulabileceğinin göstergesidir. Yörüngelerin sistemle eşitliğini göstermek için kullanılacak denklik kavramları değiştikçe eşitlik hesapları da değişir.
Yörüngenin ne tür olduğu daha önemli olabilir.Bazı yörüngeler, diğer yörüngeler sistemin farklı durumlarını gösteren farklı eğriler/doğrularken, periyodik olabilir. Genelde, hesaplamalar için bu farklı eğriler numaralandırılır (farklı sınıflara ayrılır) ya da tek bir sınıf altında toplanır. Tüm bu yörüngeleri sınıflandırma çalışmaları, bizi dinamik sistemler üstüne niteliksel bir çalışmaya götürür, koordinat değişiklikleriyle değişmeyen özelliklerin araştırılmasına. Lineer dinamik sistemler ve ikili ifadelerle durumu anlatan sistemler, sınıflandırılmış yörüngelerinden anlaşılmış dinamik sistemlere birer örnektir.
Yörüngelerin davranışının (yönelişleri, eğimleri vb.) bir parametreye göre fonksiyonu bir uygulama için gerekli olan durumlar. Bir parametre değiştiğinde, dinamik sistemin davranışının değiştiğini işaret eden, dinamik sistemin yörüngesi çatallanabilir/yörüngeler ayrılabilir (bkz ayrım noktaları, bifurcation points). Örneğin; sadece periyodik bir yol izlerken bir anda rastgele bir yol izleyebilir (sıvının türbülansında olduğu gibi).
Yörüngeler tamamen rastgele olabilir. Bu durumda en uzun yörüngeyi veya birden çok (fraklı davranan) yörüngeyi kullanarak ortalamanın alınması gerekebilir. Ergodik sistemler için ortalamalar oldukça iyi tanımlanmıştır (daha fazla bilgi için bkz Ergodik teori) ve daha detaylı olan hiperbolik sistemler içinde ortalama hesaplamaları ortaya konmuştur (bkz Anosov diffeomorphism). Dinamik sistemlerin olasılıklı halleri üstünde çalışmaların kazandırdığı kavrayış, istatistiksel mekanik ve kaos teorisinin temellerinin atılmasını sağlamıştır.