Karekök

Başlığın diğer anlamları için Karekök (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.
Alanı  a olan bir karenin bir kenar uzunluğu  {\sqrt {a}} idir.
Matematikte negatif olmayan bir gerçel  x sayısının temel karekök bulma işlemi  {\sqrt {x}} şeklinde gösterilir ve karesi (bir sayının kendisiyle çarpılmasının sonucu)  x olan negatif olmayan bir gerçek sayıyı ifade eder.
Örneğin,  {\sqrt {9}}=3 'tür çünkü  3^{2}=3\times 3=9 'dur.
Bu örneğin de ileri sürdüğü gibi karekök bulma, ikinci dereceden denklemlerin (genel olarak  ax^{2}+bx+c=0 tipi denklemler) çözümünde kullanılabilir.
Karekök almanın sonucunda iki çözüm vardır. Negatif olmayan sayılar için bunlar temel kare kök ve negatif kare köktür. Negatif sayıların kare köklerini tanımlamak için ise sanal sayı ve karmaşık sayılar kavramları geliştirilmiştir.
Pozitif tam sayıların kare kökleri genel olarak irrasyonel sayılardır (iki tam sayının kesiri olarak ifade edilemeyen sayılardır).
Örneğin  {\sqrt {2}}, tam olarak m/n (m ve n tam sayı olacak şekilde) şeklinde yazılamaz. Buna karşın bu sayı kenarları 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğuna eşittir.
{\sqrt {2}} irrasyonel olduğunun bulunması Pythagoras'ın bir takipçisi olan Hippasus'a atfedilir. Bu konuyla ilgili şöyle bir rivayet anlatılır; Sayılara mutlak bir inançla bağlı olan Pisagor'un takipçilerinden birisi olan Metanpontumlu Hippasus, dik kenarları 1 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlamış. Bunu kabullenemeyen Pisagor, Hippasus'un kanıtlarının aksini de gösteremeyince, açık denizde Hippasus'u bir tekneden suya attırmış.
Kare kök sembolü ( \surd ) ilk olarak 16. yüz yılda kullanılmaya başlanmıştır. Latince kök demek olan radix kelimesinin baş harfinden, yani küçük r harfinden türetildiği söylenir.
Karekök Ortalama (matematikte İngilizcesinden dolayı ('root mean square', kısaltması RMS ya da rms) olarak da kullanılır), ayrıca kuadratik ortalama olarak da bilinir. Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan istatistiki bir ölçüttür. Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır.
Sürekli olarak değişen bir fonksiyonun sürekli olmayan değer serisi için hesaplanabilir. Karekök ortalama ismi karelerin ortalamasının karekökünün alınmasından gelir.
Karekökün sürekli kesri:
x-1=({\sqrt {x}}+1)({\sqrt {x}}-1) Burada x-1 in iki kare farkının açılımı yapıldı. İşleme devam edilip düzenlenirse:  {\sqrt {x}}-1={\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}} şeklinde olur. Şimdi burada sol taraftaki √x in değeri sağ taraftaki √x in yerine bir defa yazılırsa  {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{1+1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}} şekline dönüşür. Aynı işleme devam edilirse  {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}}}\Rightarrow {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{2+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}}}}} bu işlem sonsuz defa
uygulanırsa  {\sqrt {x}}=1+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+\ddots }}}}}}}}\, olur. Bu sürekli kesir aynı zamanda K sembolüyle gösterilirse ("K" burada Almanca bir kelime olan ve sürekli kesir manasına gelen Kettenbruch terimine işaret eder). {\sqrt {x}}=1+{\underset {a=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {x-1}{2}}.\, dir.