Grupoid
Örnekler > Tanımların denkliği

Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir.
İspatını yaparken, bir  G grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

 G grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla  \operatorname {ob} (G) ve  \operatorname {mor} (G) diyelim. Rastgele bir  x\in   \operatorname {ob} (G) nesnesi alalım.  x’ten x’e giden morfizmaların kümesi   \operatorname {mor} (x,x)'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim.
(i) Bileşim: Rastgele  \varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\in   \operatorname {mor} (x,x) alalım.  G’nin kategori teorisindeki tanımına göre  \varphi _{1}\varphi _{2} ve  \varphi _{2}\varphi _{3} tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre  (\varphi _{1}\varphi _{2})\varphi _{3}=\varphi _{1}(\varphi _{2}\varphi _{3}) özelliği sağlanır.
(ii) Tersinirlik: Herhangi bir  \varphi \in   \operatorname {mor} (x,x) morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla  \varphi ’nin de tersi vardır ve  \varphi ^{-1}\colon x\to x olur. Bu yüzden  \varphi ^{-1}\in   \operatorname {mor} (x,x). Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre  \varphi \varphi ^{-1}=id_{x} ve  \varphi ^{-1}\varphi =id_{x} olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.
(iii) Özdeşlik: Herhangi iki  \varphi _{1},\varphi _{2}\in   \operatorname {mor} (x,x) morfizmaları alalım.  \varphi _{1}\varphi _{2}\in   \operatorname {mor} (x,x)  olduğunu biliyoruz. O halde
•  \varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{2}^{-1}=\varphi _{1}id=\varphi
•  \varphi _{1}^{-1}\varphi _{1}\varphi _{2}=id\varphi _{2}=\varphi _{2}
•  (\varphi _{1}^{-1})^{-1}=\varphi _{1} ve
•  (\varphi _{1}\varphi _{2})^{-1}=\varphi _{2}^{-1}\varphi _{1}^{-1} özellikleri sağlanır.
Şimdi de grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan  G grupoidinin kategori teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim.  * operatörünü fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini oluşturalım.  f,g\in   \operatorname {mor} (x,x) olacak şekilde;
(i)  \operatorname {ob} (G)  =\left\{ff^{-1}\mid f\in G\right\}
(ii)  \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})  =\left\{\alpha \in G\mid \exists ff^{-1}\alpha ,\exists \alpha gg^{-1}\right\} kümeleri  G grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre (i) ve (ii) sağlanmış olur.
(iii) Rastgele bir  ff^{-1}\in   \operatorname {ob} (G)  nesnesi olsun.  id_{ff^{-1}}\colon ff^{-1}\to ff^{-1} şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun  \operatorname {mor} (ff^{-1},ff^{-1})  kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim.  G’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı  ff^{-1}id_{ff^{-1}}=ff^{-1}\in G  ve  id_{ff^{-1}}ff^{-1}=ff^{-1}\in G özellikleri sağlanacağından  id_{ff^{-1}}\in   \operatorname {mor} (ff^{-1},ff^{-1}) olur.
(iv) Herhangi üç  ff^{-1},gg^{-1},hh^{-1}\in   \operatorname {ob} (G) nesnelerini ele alalım. Rastgele iki  \alpha _{1}\in   \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1}),  \alpha _{2}\in   \operatorname {mor} (gg^{-1},hh^{-1}) morfizmaları olsun.  \alpha _{2}\alpha _{1}’nın  \operatorname {mor} (ff^{-1},hh^{-1}) olduğunu gösterelim.  \alpha _{2},\alpha _{1}\in G olduğundan  \alpha _{2}\alpha _{1}\in G olur dolayısıyla  ff^{-1}\alpha _{2}\alpha _{1}\in G ve  \alpha _{2}\alpha _{1}hh^{-1} elde edilir. Sonuç olarak,  \alpha _{2}\alpha _{1}\in   \operatorname {mor} (ff^{-1},hh^{-1})  olur.
(v) Rastgele  ff^{-1},gg^{-1}\in   \operatorname {ob} (G) nesneleri ve  \alpha \in   \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1}) morfizmasını ele alalım ve  \alpha _{1}\in   \operatorname {mor} (gg^{-1},ff^{-1})  olduğunu gösterelim.  G, grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından  \alpha ^{-1}\in G olmaktadır.  \alpha \in  \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1}) olduğundan  ff^{-1}\alpha \in G ve  \alpha gg^{-1}\in G sağlanmaktadır. Yine  G’nin sağladığı tanımdan dolayı  gg^{-1}\alpha ^{-1}=(\alpha gg^{-1})^{-1} ve  \alpha ^{-1}ff^{-1}=(ff^{-1}\alpha )^{-1} olduğu görülür. Sonuç olarak  gg^{-1}\alpha ^{-1},\alpha ^{-1}ff^{-1}\in G sağlanarak  \alpha ^{-1}\in   \operatorname {mor} (gg^{-1},ff^{-1}) elde edilmiş olur.
Öte yandan  \operatorname {ob} (G)  kümesi üzerinde  ff^{-1}\sim gg^{-1}\Leftrightarrow ff^{-1}=gg^{-1} olacak şekilde bir  \sim  ilişkisi vardır.
Sonuç olarak  G bir kategoridir.