Doğrusal denklem dizgesi
Doğrusal denklemler dizgesinin çözümü > Sıra azaltma

a_ij katsayıları rasyonel sayılar, gerçek sayılar ya da karmaşık sayılar ya da herhangi bir cisimden gelen sayılar olmak üzere
a_11 x_1 + a_12 x_2 + ... + a_1n x_n  = b_1
a_m1 x_1 + a_m2 x_2 + ... + a_mn x_n  = b_m  denklem sistemi,
A m satir ve n sutundan olusan ve değerlerini (bir cisimden alan) bir matris, x n satirlik bir sutun vektoru, b (değerlerini ayni cisimden alan) m satirlik bir sutun vektoru olmak üzere
Ax = b
seklinde yazabiliriz.
Boyle bir sistemin çözümü, x_i degiskenlerinin hangi degerlerinin denklem sistemini sağladığını bulmak anlamina gelmektedir.
Gauss tipi indirgemede temel indirgeme islemleri uygulanir.
Temel satir indirgeme islemleri aşağıdakilerdir. Dikkat edelim ki bu islemler denklem sisteminin çözüm kumesini degistirmezler.
Satir Ekleme
i. satirin herhangi k katini j. satira eklemek. Bu islemi k * Satir_i + Satir_j -> Satir_j ya da Satir (k*i+j->j) ile gösterelim.
Not: bu islem A matrisini, I+ kE_ji matrisi ile soldan carpmaya karsilik gelmektedir. Burada I kosegen terimleri 1 olan m * m boyutundaki matrisi, E_ji, sadece j. satir ve i. sutundaki terimi 1 olan matrisi göstermektedir. Boylece incelenen doğrusal sistem Ax = b yerine (I+kE_ji)A x = (I+kE_ji)b doğrusal sistemi olmaktadır.
Satir Degistirme
i. satirla j. satiri yer degistirmek. Bu islemi Degistir (i, j) ile gösterelim.
Bu islem i ve j indeksleri haric diğer indekslerde sadece kosegen terimleri 1, diğer durumlarda (i, j) ve (j, i) terimleri 1 olan matris ile A matrisini soldan carpmak ile elde edilir. Boylece incelenen doğrusal sistem Ax = b yerine (I-E_ii-E_jj+E_ij+E_ji)A x = (I-E_ii-E_jj+E_ij+E_ji)b doğrusal sistemi olmaktadır.
Gauss-Jordan Indirgeme yöntemi:
Serbest degisken kavrami:
Eger ilk sutun (ya da herhangi bir j. sutun) sadece sifirlardan olusuyorsa o zaman ilk degisken (ya da j. degisken) aslında denklem sistemi tarafından kısıtlanmamaktadır. Yani bu degiskenin herhangi bir degeri alabilir. Herhangi degeri alabilen degiskenlere serbest degisken denir.
Sifir olmayan ilk sutundan baslamak üzere (bu sutun j_1. sutun olsun)
1. j_1. sutundaki ilk sifirdan farklı sayınn bulunduğu satiri (bu satir i_1. satir olsun) ilk satirla degistir.
Bu adimdan sonra olusan matrisin 1. satir ve j1. sutunundaki sifirdan farklı sayı A olsun. (Matristeki bu tip terimlere pivot ya da eksen terimleri denir. Cozumler bu ikinci satirdan baslamak üzere j1. sutunda sifir olmayan ilk terim B olsun ve bu terim i_2. satirda yer alsin.
2. Ilk satirin (-B/A) katini i_2. satira ekle. Boylece i_2. satirin j_1. terimi sifira donusecektir.
3. Bu islemi bitirdikten sonra j_1. sutunda hala incelenmemis satir varken bir sonraki satira gecerek 2. adimi tekrarla.
4. j_1. sutundaki islem bittikten sonra yukaridaki adımları degistirilmis A matrisinin j1 den büyük sutunları ve 1den büyük satırlarından olusan matrise uygula.
(Bundan sonraki adimda A matrisi yerine A >= j1, >=1 matrisine uygula.)
Bu işlemlerin sonunda (j_1,1) (j_2,2) (j_k, k) pivot konumları olsun. En son sifirdan farklı satirdan baslayip yukari cikarak doğrusal sistemin çözümune ulasabiliriz.
Islemleri kolaylastirmak için j_v. sutunda v degerinden küçük satirlardaki sifirdan farklı terimleri yukaridaki 2. adimdaki islemi kullanarak indirgeyebiliriz.
Ayrıca pivot degerlerin 1 olmasi kosulunu da ekleyerek, bu çözüm yöntemine degisiklikler yapabiliriz.