Vektörlerin kovaryansı ve kontravaryansı

Fizikte, özellikle çokludoğrusal cebir ve tensör analizinde, kovaryans ve kontravaryans belirli geometrik veya fiziksel varlıkların nicel tanımının temelin değişmesiyle nasıl değiştiğini açıklar. Modern matematiksel gösterimde bu roller bazen yer değiştirir.
Basit bir örnek olarak vektör verilebilir. Bir vektör için, bir temel vektörler kümesi tanımlandıktan sonra, bu vektörün bileşenleri her zaman temel vektörlerinkine "zıt" olarak değişecektir. Bu nedenle bu vektör bir kontravaryant tensör olarak tanımlanır. Standart bir konum vektörü ele alındığında, referans eksenlerinin ölçeğini metreden santimetreye değiştirerek (yani referans eksenlerinin ölçeğini 100'e "bölerek", böylece temel vektörler artık  .01 metre uzunluğunda olur), ölçülen konum bileşenleri vektör 100 ile "çarpılır". Bir vektörün bileşenleri, referans eksenlerindeki ölçek değişikliklerine göre "tersine" ölçek değiştirir ve sonuç olarak bir vektöre "kontravaryant" tensör denir.
Buna karşılık, "dual vektör" olarak da adlandırılan bir kovektör, ilgili vektör uzayında temel vektörlerle "birlikte" değişen bileşenlere sahiptir. Bu bir "kovaryant" tensör örneğidir. Kovektör, vektörlerden skalerlere doğrusal bir eşlemeyi temsil eden bir nesnedir. Aslında bir vektör değildir, ancak bir dual vektör uzayında yaşayan bir nesnedir. Kovektörlerin bazı iyi örnekleri vektörleri içeren nokta çarpım operatörleridir. Örneğin  \mathbf {v}  bir vektör ise, dual uzayda buna karşılık gelen nesne  \mathbf {v} \ \cdot  doğrusal operatörü olacaktır. Bazen,  \mathbf {v} \ \cdot  kovektörünün bileşenleri  \mathbf {v} 'nin kovaryant bileşenleri olarak adlandırılır, ancak bu potansiyel olarak yanıltıcıdır (kontravaryant anlamda her zaman değişen bileşenlere sahip bir vektör nedeniyle). Potansiyel karışıklığa rağmen, burada "bir vektörün kovaryant bileşenlerine" atıfta bulunulduğunda kastedilen bu olacaktır.
Gradyan genellikle bir kovektör örneği olarak gösterilir, ancak bu yanlıştır. Eğer bir  f fonksiyonunun gradyanının bileşenleri,  (\nabla f)^{i}, belirli bir baz,  \mathbf {e} _{i} cinsinden ifade edilirse, o zaman bu bileşenler, gözlemlenerek görülebileceği gibi (Einstein toplama kuralı kullanılarak) aslında hâlâ baz vektörlerinin tersine değişecektir:
\nabla f=\mathbf {e} _{i}(\nabla f)^{i}=\mathbf {e} _{i}\delta _{j}^{i}(\nabla f)^{j}=\mathbf {e} _{i}(T)_{k}^{i}(T^{-1})_{j}^{k}(\nabla f)^{j}\ ,
burada  \delta _{j}^{i} kronecker delta sembolüdür ve  (T)_{k}^{i}  T dönüşümüne karşılık gelen bazı dönüşüm matrisinin bileşenlerini temsil eder. Görülebileceği gibi, temel vektörler üzerinde hangi dönüşüm etki ederse etsin, ters dönüşüm bileşenleri üzerinde etki etmelidir.
Kovaryans ve kontravaryant ile ilgili üçüncü bir kavram değişmezliktir. Bir skaler (tip-0 veya rank-0 tensör olarak da adlandırılır), temeldeki değişimle değişmeyen bir nesnedir. Skaler olan bir fiziksel gözlemlenebilir örneği, bir parçacığın kütlesidir. Kütlenin tek, skaler değeri baz vektörlerindeki değişikliklerden bağımsızdır ve sonuç olarak değişmez olarak adlandırılır. Bir vektörün büyüklüğü (mesafe gibi) değişmezin bir başka örneğidir, çünkü geometrik vektör bileşenleri değişse bile sabit kalır. (Örneğin,  3 metre uzunluğundaki bir konum vektörü için, tüm Kartezyen temel vektörlerinin uzunluğu  1 metreden  .01 metreye değiştirilirse, vektör bileşenlerinin tümü  100 kat artacak olsa da, konum vektörünün uzunluğu  3 metrede değişmeden kalır).
Temelde daha genel değişiklikler altında:
Bir vektör veya teğet vektör, telafi etmek için bir temel değişikliği ile karşıt değişen bileşenlere sahiptir. Yani, vektör bileşenlerini dönüştüren matris, temel vektörleri dönüştüren matrisin tersi olmalıdır. Vektörlerin bileşenlerinin (kovektörlerin aksine) kontravaryant olduğu söylenir. Einstein notasyonunda (tekrarlanan indis üzerinde örtük toplama), kontravaryant bileşenler aşağıdaki gibi üst indisler ile gösterilir
 \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}
Bir kovektör veya kotanjant vektör, karşılık gelen (başlangıç) vektör uzayında bir temel değişikliği ile "birlikte değişen" bileşenlere sahiptir. Yani, bileşenler karşılık gelen (başlangıç) vektör uzayında temel değişim matrisi ile aynı matris tarafından dönüştürülmelidir. Kovektörlerin bileşenlerinin (vektörlerinkinin aksine) kovaryant olduğu söylenir. Einstein gösteriminde, kovaryant bileşenler aşağıdaki gibi alt indisler ile gösterilir
 \mathbf {w} =w_{i}\mathbf {e} ^{i}.
Silindirik veya küresel koordinatlar gibi Eğrisel koordinat sistemi, fiziksel ve geometrik problemlerde sıklıkla kullanılır. Herhangi bir koordinat sistemi ile ilişkili olarak, uzayın her noktasında bulunan vektörler için doğal bir koordinat temeli seçimi söz konusudur. Kovaryans ve kontravaryans, bir vektörün koordinat tanımının bir koordinat sisteminden diğerine geçerek nasıl değiştiğini anlamak için özellikle önemlidir.
"Kovaryant" ve "kontravaryant" terimleri 1851 yılında James Joseph Sylvester tarafından ilişkili cebirsel formlar teorisi bağlamında ortaya atılmıştır. Tensörler çokludoğrusal cebirde hem kovaryans hem de kontravaryans özelliklerine sahip olabilen nesnelerdir.
Kategori teorisi sözlüğünde, kovaryans ve kontravaryans, funktorların özellikleridir; ne yazık ki, genel olarak pullbacklere sahip olan alt indisli nesneler (kovektörler) kontravaryant iken, üst indisli nesneler (vektörler) bunun yerine pushforwardlara sahiptir, bunlar kovaryanttır. Bu terminolojik çatışma, "kovektör" terminolojisine uygun olarak kontravaryant funktörleri "yardımcı işlevler" (cofunctors) olarak adlandırarak önlenebilir.