Lagrange mekaniği
Newton mekaniğinden Lagrange mekaniğine > Newton yasaları

Basitçe, Newton yasaları bir parçacık için en genel bir şekilde;
olarak ifade edilir. Burada a, ivme; pozisyonun 2. Türevidir. Bu sayede N parçacığa sahip bir sistemde her parçacığa bu prensip uygulanarak hareket denklemleri çıkartılır. F ise, parçacığa etkiyen toplam kuvvettir.
Üç mekansal koordinatta her bir parçacık için üç hareket denklemi ortaya çıkar. Ve bu denklemlerin her biri adi diferansiyel denklemdir. 3 boyutlu uzayda üç değişken içerecek sonuçlar, birer vektör olarak ifade edilebilir. Elbette, her bir çözüm ilk hız, ilk pozisyon gibi başlangıç değerlerine tabidir.
Newton yasalarının kartezyen koordinatlarda kullanımı çok rahattır. Ancak çoğu harekette (özellikle de eğrisel hareketlerde) kartezyen koordinat kullanımı zordur. Bu durumda kartezyen koordinatların uygun koordinatlara çevrilmesi ve denklemlerin bu şekilde ifade edilmesi gerekir. Ancak bu durumda da pozisyonların türevlenmesi gerektiği için hareket denklemleri karmaşıklaşır. Örneğin üç eğrisel koordinatta  ξ = (ξ1, ξ2, ξ3), Newton yasası "Lagrange formunda" şöyle ifade edilebilir;
Burada Fa, kartezyen uzaydan eğrisel uzaya geçişte, uzayların taban vektörlerinin değişmesinden ötürü değişen kuvvetlerinkarşıdeğişkeni a bileşenidir. Γa ise ikinci tip Christoffel sembolleridir. Burada bir parçacığın kinetik enerjisi;
olarak ifade edilebilir. gbc, eğrisel koordinat sisteminin metrik tensörün eşdeğişken bileşenidir.Her  a, b, c, indisi 1,2,3 gibi değerler alır. Burada dikkat edilmesi gereken husus, eğrisel hareketin önemi vurgulandığından; bu koordinat sisteminin genelleştirilmiş koordinatlarla karıştırılmaması gerektiğidir.
Burada yapılan türetmeler Newton yasalarının fazlaca karmaşıklaştırılması olarak düşünülebilir. Ancak bu yöntemin de çeşitli avantajları bulunmaktadır. Christoffel sembolleri cinsinden ifade edilen ivme bileşenleri, yukarıda tanımlanan kinetik enerjinin türevleri alınarak ifade edilebilir ve böylece  T gibi bir her referans yapısında aynı kalacak skalerin kolaylığı kullanılabilir. Zaten Lagrangian gibi enerji metodları da vektörlerin referanslara bağımlılığını elimine ederek işlemleri kolaylaştırma ihtiyacına dayanır (Bunu yaparken ise sistemin detaylarından feragat etmek durumunda kalırlar).
Eğer sistem üzerine etkiyen bir kuvvet yoksa, yani F = 0 ise, sistem ivmelenemez. Ya durur ya da hareketini değiştirmeden devam eder. Hareket durumu daha genel bir ifadeyle; doğru üzerinde sabit hızlı harekettir. Ancak bu, bildiğimiz anlamda doğru olmak zorunda değildir. Örneğin eğrisel koordinatlara geçtiğimizde (jeodezik koordinatlar) doğrular artık keseller olarak karşımıza çıkar. Dolayısıyla, eğrisel yüzeyler üzerinde hareket etmek üzere kısıtlanmış veya o şekilde dengeye gelmiş parçacıkların hareket denklemlerinin çözümü keselleri verir. Keseller uzayda iki genel nokta arasındaki en kısa uzunluğa karşılık gelen eğrilere verilen genel addır. Düzlemde ise bunlar basitçe doğrulardır. Dolayısıyla 3 boyutlu uzayda da keseller düz doğrulara karşılık gelirler. Dolayısıyla, serbest bir parçacık için, Newton’un 2. Yasası geometrik jeodezik denklemleri ile uyum halindedir ve keselleri takip eden serbest parçacıkların hareketlerini ifade etmede kullanılır. Burada en önemli nokta, kesellerin 3 boyutlu uzayda parçacıkların iki nokta arasında izleyeceği en kısa yolu ifade etmesidir. Eğer parçacıklar belli bir kuvvet altında kalırlarsa ivmelenirler ve bu nedenle jeodezik hareketten sapmaya başlarlar.
Uzayda noktalar arası en kısa yolları bulma fikri mekanikte doğal bir merak konusudur. Özellikle enerjinin tanımından sonra mekanik sistemlerin minimum enerjiyle amaçlarını gerçekleştirmeleri önem kazanmıştır. Bu nedenle, değişimler hesabı (kalkülüs) metotlarının mekaniğe uygulanması ile yukarıda bahsedilen sonuçlar elde edilmiştir. Brachistochrone problemi (sabit ivme altında en kısa yol) gibi önemli konular değişimler hesabı sayesinde açıklığa kavuşturulmuştur. [[Johann Bernoulli|Jean Bernoulli)), Leibniz, Daniel Bernoulli, L’Hôpital gibi bilim insanları bu konu üzerine çalışmış ve farklı zamanlarda benzer çözümler bularak katkı sağlamışlardır. Newton’un kendisi bile değişimler hesabı prensiplerini o zamanlarda düşünmeye başlamıştı. Hatta yukarıda bahsedilen eğri uzunluğu gibi kavramları tanımlayıp, onların türevlerine bakarak düzlemde en kısa yolu ifade eden doğruları eğrilere nasıl adapte edebileceğini düşünmekteydi. Bu fikirler üzerine varyasyonel prensipler Fermat, Maupertuis, Euler ve Hamilton gibi bilim adamları tarafından net bir şekilde ortaya kondu. Ayrıca, uzay-zaman gibi 4 boyutlu uzaylara da uygun şekilde genelleştirilerek Einstein’ın genel görelilik teorisine katkı sağladı. Bahsedildiği gibi uzay eğrisel olarak, zamanda büküldüğünde oluşan uzay zaman boyunca; serbest parçacıklar, düzlemde doğruya karşılık gelecek şekilde jeodezik hareket yaparlar.
Ancak, Newton mekaniğinde, parçacıkların hareketlerini tam olarak modelleyebilmek için üzerlerine etkiyen kuvvetleri F bilmek gerekir. Genel bir harekette bu kuvvet, hareketi çeşitli eksenlerde kısıtlayan veya kısıtlamayan kuvvetlerin birleşimidir. Kısıtlayıcı kuvvetleri C, kısıtlayıcı olmayan ve hareketi direkt sağlayan kuvvetlere ise N dersek;
olarak ifade edebiliriz.
Kısıtlayıcı kuvvetler karmaşık olabilir ve yola göre değişkenlik gösterebilir. Kısıtlanan mekanik sistemlerde genelde hareket yolu olabildiğinden çoğunlukla zamana (veya harekete) bağlı olurlar. Bu durumlarda eğrisel koordinatlar bağımsız değillerdir ve çeşitli kısıt denklemleri ile bağlıdırlar.