Boyut analizi
Huntley toplamı > Engelleri ve Geliştirilmesi: Yönelimsel çözümleme

Huntley toplamının bazı ciddi engelleri vardır. Ne çapraz çarpım içeren vektör denklemleri ile uğraşır ve ne de açıları fiziksel değişkenler olarak iyi şekilde kullanır. Ayrıca genellikle ilgilenilen problemlerde L'yi,  L_{x},  L_{y},  L_{z} olarak göstermek de oldukça zordur. Huntley fiziksel problemlerde "simetri"'yi içeren bir prosedürü hatırlatmaktadır. Bu ise genellikle güvenilir şekilde uygulamak için çok zordur: "simetri" kavramını içeren problemin hangi parçasının çağrılacağı açık değildir. Bu kuvvetlerin üzerine etkidiği fiziksel gövdenin simetrisi midir veya kuvvetlerin uygulandığı noktaların, çizgilerin veya alanların simetrisi midir? Peki ya farklı simetrilerde birden fazla gövde işin içindeyse?Silindirik tüpe eklenmiş küresel bir balonu düşünelim, burada havanın akış oranını basınç değişiminin bir fonksiyonu olarak iki parçada isteriz. Bağlı parçalarda taşınan havanın viskozitesinin genişletilmiş Huntley boyutları nelerdir? Bu iki parçanın basıncının genişletilmiş boyutları nelerdir? Bu zorluklar Huntley toplamının gerçek problemlere uygulamasındaki kısıtlamalardan sorumludur.
Açılar geleneksel olarak boyutsuz değişkenler olarak düşünülmektedirler ve bu yüzden boyut analizinde açıların fiziksel değişken olarak kullanımı daha az anlamlı sonuçlar verir. Örneğin, yukarıdaki top örneğini düşünelim. Düşünün ki, x- ve y- ilk hız bileşenleri yerine, hızın büyüklüğü v ve fırlatılış açısı  \theta 'yı seçelim. Açı geleneksel olarak boyutsuz olarak düşünülür ve bir vektörün büyüklüğü yönle ilgili bir bilgi taşımamaktadır, bu yüzden g, v, R ve θ değişkenlerindenhiçbir boyutsuz değişken oluşturulamaz. Geleneksel analiz doğru şekilde g ve v'nin kuvvetlerini verir, fakat boyutsuz açı θ ile ilgili hiçbir bilgi vermez.
Siano (Siano, 1985-I, 1985-II) Huntley'in yönlü boyutlarının, vektörlerin yönlerini ve yönelimsiz sembol  1_{0}\,'i ifade etmek için yönelimsel semboller  1_{x},\;1_{y},\;1_{z}'i önermiştir. Böylece Huntley'in  L_{x}'si L ile  L\,1_{x} haline gelir; uzunluk boyutunu belirtir ve  1_{x}'de yönelimi belirtir. Siano daha sonra yönelimsel sembollerin kendi cebirleri olduğunu göstermiştir. 1_{i}^{-1}=1_{i} gerekliliği ile birlikte, aşağıda yönelim sembollerinin çarpım tablosu gösterilmiştir:
Yönelimsel sembollerin matematiksel grup oluşturduğuna dikkat edin. Bu sistemde, skalerler, "problemin simetrisi"nden bağımsız olarak, daima aynı yönelimi tanımlayıcı eleman olarak bulundurur. Vektör olan fiziksel büyüklükler ise şu yönelimlere sahiptirler: x-yönlü bir kuvvetin veya hızın yönelimi  1_{x}'dir.Açılar için, z düzleminde bir θ açısı düşünün.z düzleminde açılarından biri θ olan bir dik üçgen çizin. Dik üçgenin açımızın yanındaki kenarının yönelimi  1_{x} olur ve diğer kenarında yönelimi  1_{y} olur. Sonra, tan(θ) = ly/lx = θ + ... olduğundan xy düzlemindeki bir açının  1_{y}/ 1_{x} =  1_{z} yönelimine sahip olduğu sonucuna varırız ki bu da oldukça mantıklıdır. Benzer şekilde sin(θ)'nın yönelimi  1_{z} ve cos(θ)'nın yönelimi de  1_{0}'dır.Bunlar farklıdır, bu yüzden a ve b skalerken a sin(θ) + b cos(θ) şeklindeki fiziksel eşitlklerin çözümü olmadığı sonucuna varan biri doğru bir sonuç bulmuş olur.
Fiziksel büyüklüklerin yönelimsel sembollerinin görevleri ve fiziksel denklemlerin yönelimsel olarak homojen olma gereklilikleri gerçekte boyut analizine, fiziksel problemlerin kabul edilebilir çözümleri hakkında çok az bilgi türetme açısından benzerdir. Bu sebepten boyutsal denklemi kurduğumuzda ancak yapabildiğimiz kadarını çözeriz. Eğer bir fiziksel değişkenin en düşük kuvveti kesirli ise, çözümün her iki tarafı da tğm kuvvetlerin integrali alınmış gibi bir kuvvete yükselir. Bu da denklemi "normal form"'a getirir.Daha sonra yönelimsel denklem, yönelimsel sembollerin bilinmeyen kuvvetlerine daha kısıtlayıcı şartlar koymak için çözülür ve boyut analizinin tek başına verdiği sonuçtan daha tam bir sonuca ulaşılır. Sıklıkla, eklenen bilgi belli bir değişkenin kuvvetlerinden birinin tek mi çift mi olduğudur.
Örneğin, fırlatma probleminde, yönelimsel sembolleri kullanırsak, θ, x-y düzleminde olacaktır ve boyutu  1_{z} olacaktır ve menzil R şöyle olacaktır:
Boyutsal homojenlik şimdi doğru şekilde a=-1 ve b=2'yi sağlar ve yönelimsel homojenlik c'nin bir tek tam sayı olmasını gerektirir. Aslında θ'nın gereksinilen fonksiyonu  \sin(\theta )\cos(\theta ) olacaktır ve bu da  \theta 'nın tek kuvvetlerinin bir serisidir.
Yukarıdaki çarpım tablosunu kullandığımızda,  \sin(\theta ) ve  \cos(\theta )'nın Taylor serileri yönelimsel olarak homojendir,  \cos(\theta )+\sin(\theta ) ve  \exp(\theta )'nin Taylor serileri homojen değildir ve fiziksel olmadıkları varsayılır.
Yönelimsel semboller için kullanılan çarpım kuralının iki vektörün çapraz çarpımı kuralıyla aynı olduğu açıktır. İki özdeş vektörün çapraz çarpımları sıfırdır, nitekim özdeş iki yönelimsel sembolün çarpımı da özdeş elemandır.