Asal sayı
Tarihçe

M.Ö. 1550 civarından kalan Rhind Papirüsü, asal ve bileşik sayılar için farklı formdaki Mısır kesri genişlemelerini içerir. Ancak, asal sayıların incelenmesine dair en eski kayıtlar antik Yunan matematikçilerinden gelmektedir, onlar bu sayılara prōtos arithmòs (Grekçe: πρῶτος ἀριθμὸς) demektedirler. Öklid'in Elementleri (M.Ö. 300 civarı) asal sayıların sonsuzluğunu ve aritmetiğin temel teoremini kanıtlar ve bir Mersenne sayısından nasıl bir mükemmel sayı oluşturulacağını gösterir. Başka bir Yunan icadı olan Eratosten kalburu, asal sayı listeleri oluşturmak için hala kullanılmaktadır.
Miladi 1000 yıllarında, İslam dönemi matematikçisi İbnü'l-Heysem, asal sayıları,  (n-1)!+1 ifadesini tam bölünebilen  n sayıları olarak tanımlayan Wilson teoremi'ni buldu. Ayrıca, tüm çift mükemmel sayıların Öklid'in Mersenne asallarını kullanarak yapılan inşasından geldiğini öne sürdü ancak bunu kanıtlayamadı. Bir diğer İslam dönemi matematikçisi, Ibn al-Banna' al-Marrakushi, Eratosten kalburunun, üst sınırın kareköküne kadar olan asal bölenleri dikkate alarak hızlandırılabileceğini gözlemledi. Fibonacci, İslami matematikten gelen yenilikleri Avrupa'ya taşıdı. Onun kitabı Liber Abaci (1202), asallığı test etmek için deneme bölmesini tanımlayan ilk eser oldu ve yine kareköküne kadar olan bölenleri kullanmayı önerdi.
1640 senesinde, Pierre de Fermat tarafından ispatı yapılmamış olmasına rağmen ortaya atılan Fermat'nın küçük teoremi, sonradan Leibniz ve Euler tarafından ispatlanmıştır. Fermat,  2^{2^{n}}+1 formülüyle ifade edilen Fermat sayılarının asallık özelliklerini araştırmış, Marin Mersenne ise  p'nin asal olduğu durumlarda  2^{p}-1 formunda tanımlanan Mersenne asallarını incelemiştir. Goldbach, Euler'e yazdığı 1742 tarihli mektupta, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öneren Goldbach hipotezini dile getirmiştir. Euler, tüm çift mükemmel sayıların Mersenne asalları kullanılarak oluşturulabileceğini gösteren Heysem varsayımını (günümüzde Öklid–Euler teoremi olarak adlandırılır) kanıtlamıştır. Euler ayrıca, asal sayıların sonsuz olduğunu ve asal sayıların terslerinin toplamının diverjansını,  {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots , matematiksel analiz metodolojilerini bu alana taşıyarak kanıtlamıştır. 
19. yüzyılın başlarında, Legendre ve Gauss,  x sonsuza yaklaştıkça,  x'e kadar olan asal sayıların sayısının,  x/\log x ile asimptotik olduğunu tahmin etmişlerdir, burada  \log x,  x'in doğal logaritmasıdır. Asal sayıların bu yüksek yoğunluğunun bir zayıf sonucu Bertrand'ın postülatı idir; bu postülat her  n>1 için,  n ile  2n arasında bir asal sayı olduğunu öne sürer ve 1852'de Pafnuty Chebyshev tarafından kanıtlanmıştır. Bernhard Riemann'ın 1859 tarihli zeta-fonksiyonu üzerine yazdığı makalesindeki fikirleri, Legendre ve Gauss'un tahminini kanıtlamak için bir çerçeve çizdi. Yakından ilgili olan Riemann hipotezi hala kanıtlanmamış olmasına rağmen, Riemann'ın çizdiği çerçeve 1896'da Hadamard ve de la Vallée Poussin tarafından tamamlandı ve sonuç şimdi asal sayılar teoremi olarak bilinmektedir. 19. yüzyılın başka bir önemli sonucu Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi idi, belirli aritmetik dizilerin sonsuz çoklukta asal sayı içerdiğini belirtir.
Deneme bölmesinin pratikte uygulanabilir olduğu sayılardan daha büyük sayılar için birçok matematikçi asallık testi üzerinde çalışmıştır. Belirli sayı formlarına sınırlı yöntemler arasında Fermat sayıları için Pépin testi (1877), Proth teoremi (yaklaşık 1878), Lucas–Lehmer asallık testi (1856'da ortaya çıktı) ve genelleştirilmiş Lucas asallık testi bulunmaktadır.
1951 yılından itibaren, en büyük bilinen asal sayıların tümü, bilgisayarlarda gerçekleştirilen bu testlerle keşfedilmiştir. Büyük asal sayıları arama çabası, Great Internet Mersenne Prime Search ve benzeri dağıtık hesaplama projeleri vasıtasıyla matematiksel olmayan topluluklarda da büyük bir ilgi uyandırmıştır. Asal sayıların soyut matematik dışında önemli uygulamalara sahip olmadığına dair görüş, 1970'lerde, asal sayıları temel alan açık anahtarlı kriptografi ve RSA kriptosisteminin geliştirilmesi ile çürütülmüştür.
Bilgisayarla yapılan asallık testlerinin ve çarpanlara ayırma işleminin artan pratik önemi, kısıtlama olmaksızın büyük sayılarla başa çıkabilen gelişmiş yöntemlerin geliştirilmesine yol açtı. Asal sayılar teorisinin matematiksel gelişimi, asal sayıların keyfi olarak uzun aritmetik dizilerinin olduğunu belirten Green–Tao teoremi (2004) ve Yitang Zhang'ın 2013'te sınırlı büyüklükte sonsuz çoklukta asal boşluklarının olduğunun kanıtı ile de ileriye taşındı.