stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Vevi Savaşı (1941)

Vevi Savaşı (veya Veve, Yunanca: Μάχη της Bεύης),
Yunanistan'da Klidi Geçidi Savaşı olarak da bilinir, II. Dünya Savaşı'nın Yunan cephesinin bir parçasıydı. 11-12 Nisan 1941'de Yunanistan'ın kuzeybatı sınırına yakın Amyntaion kasabasının kuzeyinde gerçekleşti. Müttefik birlikler Nazi Almanya'sından birlikler ile savaştı.
Johan Jensen

| Johan Jensen |
| --- | --- |

Doğum: 8 Mayıs 1859(1859-05-08) Nakskov, Danimarka
Ölüm: 5 Mart 1925 (65 yaşında) Kopenhag, Danimarka
Milliyet: Danimarkalı
Tanınma nedeni: Jensen eşitsizliği Jensen formülü

Kariyeri
Dalı: Matematik
 

Johan Ludwig William Valdemar Jensen (8 Mayıs 1859 - 5 Mart 1925), Danimarkalı bir matematikçi ve mühendis. Daha çok Johan Jensen olarak bilinir. 1892-1903 yılları arasında Danimarka Matematik Derneği'nin başkanlığını yaptı.
Yaşamı

Jensen, Danimarka'nın Nakskov kentinde doğdu; ancak çocukluğunun büyük bir kısmını babasının bir arazinin yöneticisi olarak İsveç'te iş bulması nedeniyle İsveç'in kuzeyinde geçirdi. Ailesi, Jensen'in İleri Teknoloji Koleji'ne kaydolduğu 1876 yılından önce Danimarka'ya geri döndü. Üniversitede çeşitli derslerin yanı sıra matematik eğitimi almış ve hatta matematik konusunda bir araştırma makalesi yayınlamış olmasına rağmen, daha sonra kendi kendine ileri matematik konularını öğrenmiş ve hiçbir zaman akademik bir görev almamıştır. Bunun yerine, 1881-1924 yılları arasında Kopenhag Telefon Şirketi'nde başarılı bir mühendis olarak çalıştı ve 1890'da teknik departmanın başına geçti. Matematikle ilgili tüm araştırmalarını boş zamanlarında gerçekleştiriyordu. Jensen, daha çok Jensen eşitsizliği ile tanınır. 1915 yılında Jensen, Jensen formülünü karmaşık analizde de kanıtladı.
Samsung Wave 3

| Samsung Wave 3 Samsung GT-S8600 |
| --- | --- |
Slogan: Born Smart
Üretici: Samsung Electronics
Arka kamera: 5 MP (4:3)
İşletim sistemi: Bada 2.0 (TouchWiz 3.0 arayüzü ile)
Hafıza: 4 GB
Bellek: Dahili 2 GB / 8 GB; 256 MB + 128 MB RAM
Bellek kartı: microSDHC (32 GB'a kadar destek)
Ağ: GSM 850/900/1800/1900/2100 3G: HSDPA 900/2100 HSPA 14,4/5,76 Mbps
Çıkış tarihi: Ekim 2011
Batarya: 1500 mAh lityum iyon pil
Veri girişi: T9, Abc, QWERTY, Multi-touch giriş metodu, el yazısı tanıma
Fiziksel büyüklük: 123,9 × 59,8 × 11,8 milimetre (4,88 in × 2,35 in × 0,46 in)
Ağırlık: 122 gram (4,3 oz)
Ekran: 4", 283 ppi'te 800x480 piksel, Super AMOLED ekran (Gorilla Glass ile)
Medya: MP3, AAC, AAC+, e-AAC+, WMA, AMR, WAV, MP4, FLAC, MPEG-4, H.263, H.264, WMV, DivX, XviD, MKV
İşlemci: 1,4 GHz saat hızında ARM Cortex-A8 (Scorpion)
Önceki: Samsung Wave 2 (GT-S8530)
Bağlantı: Wi-Fi 802.11b/g/n, A-GPS, Bluetooth 3.0, microUSB 2.0
Diğer: Çizilmeye dayanıklı yüzey Akıllı kilit açma İvmeölçer Yakınlık sensörü Manyetometre Pusula
İlişkili: Samsung Jet, Samsung Galaxy S, Samsung Wave S8500, Samsung Wave Y
Form faktörü: Arduvaz
Samsung Wave 3 (GT-S8600 olarak da bilinir), Samsung tarafından tasarlanan Bada 2.0 işletim sistemini çalıştıran Ağustos 2011 tarihinde ticari olarak piyasaya sürülen bir akıllı telefondur. Wave 3, Scorpion işlemcisi tarafından desteklenen ince bir dokunmatik ekran telefonudur. Bu işlemci, 1,4 GHz ARM Cortex-A8 merkezi işlem birimi ve güçlü bir grafik işlem birimi içerir, ayrıca Super LCD ekran ve 720p yüksek çözünürlüklü video çekme yetenekleri sunar. Bu modelin piyasaya sürülmesinin ana nedenlerinden biri, Super AMOLED ekranların kıtlığıydı.
Donanım özellikleri > Tasarım

Telefon çoğunlukla metal alaşımdan yapılmış olup, kalınlığı 9,9 mm olarak ölçülmüştür. Form faktörü açısından, ön yüzünde çağrı, reddetme/kapatma ve ana menü düğmelerini içeren bir arduvaz formuna sahiptir.
Donanım özellikleri > Ekran

Ekran, üstünde çizilmeye dayanıklı temperli cam (Gorilla Glass Ekran) dokunmatik panelin üzerinde bulunan parmak izi önleyici oleofobik bir kaplamaya sahip 4 inç (100 mm) kapasitif dokunmatik ekran Super LCD'dir. Bu ekran, aşırı sürtünmeye karşı dayanıklı olduğu (çizilmeye karşı dayanıklı) gösterilen bir özelliğe sahiptir. Ekran çözünürlüğü 800x480 WVGA'dir ve 45,5 cm2 bir alanı kaplar (~233 ppi).
Donanım özellikleri > İşlemci

Telefon, içinde bir ARM Cortex-A8 merkezi işlem birimi çekirdeği bulunan Scorpion işlemcili 1,4 GHz Qualcomm S2 MSM8255T yongada sistemine sahiptir.
Donanım özellikleri > Kamera

Telefon, 2592 × 1944 pikseli destekleyen otomatik odaklama, LED flaş, coğrafi etiketleme, yüz ve göz kırpma algılama, görüntü sabitleme, dokunmatik odaklama vb. özelliklere sahip 5 MP bir kameraya sahiptir. Bu özelliklere ek olarak, güzellik çekimi, gülümseme çekimi, sürekli çekim, panorama ve vintage çekim gibi çeşitli çekim modları bulunmaktadır. Video çekimleri için ise flaşla 30 fps'te 720p HD kayıt (1280x720) yapabilme özelliğine sahiptir.
Donanım özellikleri > Diğer özellikler

Diğer özellikler arasında A-GPS, 2 GB/8 GB dahili depolama alanı ve ekstra 32 GB için bir microSDHC yuvası bulunmaktadır. Ayrıca bir manyetometre, yakınlık sensörü, ivmeölçer, 5.1 kanal surround sesli Mobile Theater, müzik tanıma, sahte çağrı servisi, akıllı arama, Social Hub ve Bluetooth 3.0 özelliklerine sahiptir.
Bluetooth 3.0'a ek olarak, telefon aynı zamanda Wi-Fi 802.11b/g/n, HSDPA 3,2 Mbit/s ve HSUPA 2 Mbit/s özelliklerine sahiptir.
Bu telefon, hem Avrupa/Asya 3G bantları hem de Kuzey Amerika 3G bantlarıyla uyumludur.
Yazılım özellikleri > Kullanıcı arayüzü

Telefon, Samsung Bada 2.0 işletim sistemi platformunu içeren az sayıdaki akıllı telefondan biridir.
Yazılım özellikleri > Uygulamalar

Varsayılan olarak telefon, .pdf ve Microsoft Office dosya biçimlerini okuyabilen Picsel Viewer ile birlikte gelir.
Samsung uygulamalarıyla ilgili olarak, kullanıcılar uygulama mağazasından uygulamalar, oyunlar ve widget'lar da indirebilirler.
Yazılım özellikleri > Medya desteği

Ses
MP3, AAC, AAC+, e-AAC+, WMA, AMR, WAV, MP4, FLAC
Video
MPEG-4, H.263, H.264, WMV, AVI, DivX, XviD, MKV
Yazılım özellikleri > Android desteği

Bu telefonda birçok özel Android ROM'u bulunmaktadır ve bunlar Android 4.4'e kadar çıkmaktadır.
Kentsel turizm

Dünyanın en popüler şehirlerinden biri Paris şehri
Kentsel turizm veya şehir turizmi genellikle her ülkenin büyük şehirlerinde veya kentsel alanlarında, büyük insan topluluklarında gerçekleşen bir turizm biçimidir. En popüler seyahat türlerinden biridir. Yaygın şehir aktiviteleri arasında mimari ve arkeolojik yapılar, tarihi mekanlar, işletme, konferans ve eğitim alanları, festivaller veya etkinlikler, anıtlar, müze, tiyatro, galeri ve sergiler, eğlence ve alışveriş alanları, millî parklar yer alır.
Ilex paraguariensis

Ilex paraguariensis (Yerba mate), Aquifoliaceae (çobanpüskülügiller) familyasından bir bitki türüdür. Yeşilimsi renkte, kafein ve tanen içeren, çaydan daha az acı, uyarıcı bir içecektir. Bilinen diğer ismi "Paraguay çayı"dır. Anlam itibarı ile yerba bitki, mate de kap anlamına gelmektedir.
Dağılımı

Yerba mate Orta tropik bir bitki olarak, yüksek sıcaklığa ve yıllık 1500 mm üzerinde yağışa ihtiyaç duyar. Kuzey Arjantin, Paraguay, Uruguay, güney Brezilya ve Bolivya gibi dönencealtı Güney Amerika ülkelerinde yerel olarak ve ticari amaçlı yetiştirilir.
Avrupalılar tarafından "yerlilerin yeşil altını" olarak nitelendirilmiştir. Özellikle Arjantin'in günlük yaşamında önemi büyüktür; zaman zaman fabrika işçilerinin içmeleri yasaklanmıştır.
Özellikleri

İçeriğinde potasyum, magnezyum ve manganez bulundurmaktadır. Hafif uyarıcı etkisi varsa bile çay ve kahvenin yanında çok düşük kalmaktadır. İştah kesme ve diüretik özelliği bilinmektedir.
Mate adını taşıyan içecek bitkinin öğütülmüş toz halinden hazırlanır. Genelde kendisine has kabında, mate tozunun üzerine sıcak su döküldükten sonra kendine has elekli pipeti ile içilmektedir. Aynı tozun üzerine defalarca (3-10) sıcak su döküp içmek mümkündür.
Sütle karıştırıp içmek de mümkündür; genelde çocuklara bu şekilde verilmektedir. Güney Amerika'da çok popüler bir içecektir. Kuzey Amerika'da ise genelde kahve alışkanlıklarını bırakmak isteyenler ve zayıflama çayı olarak kullanılmaktadır. Arjantinli Che Guevara'nın astımına karşı sürekli tükettiği bilinir.
Türkiye'de tarçın ya da nane katkılı çay poşeti şeklinde piyasada bulmak mümkündür.
Varyeteler

I. p. var. paraguariensis –
I. p. var. sincorensis –
I. p. var. vestita
Galeri

Kurutulmuş ve kıyılmış yerba mate'den, siyah çayda olduğu gibi bitkinin sıcak su içerisinde bekletilmesiyle içecek elde edilir. Yeşil çay tadını andırır biçimde acımsı bir tadı vardır. Tat açısından olduğu gibi kafein açısından da oldukça kuvvetlidir. Bu oran, bitkinin dişi türlerinde daha düşük yoğunlukludur.
Yerba mate, geleneksel kaplar içerisinde ve kendine özgü kamışı ile içilmektedir. Uruguay, Paraguay, Şili, Arjantin ve Bolivya'nın doğusunda insanlar için yaygın bir toplumsal yaşam biçimidir. Bir Uruguaylı için gün içinde yerba mate içmek gündelik yaşamın bir parçasıdır (Montevideo, Uruguay).
Kurutulmuş yerba mate bitkisinin çayı, bir kap içerisine konulur ve sürekli sıcak su takviyesi ile elde edilir.
Yerba mate, ağaç biçimli bitkilerdendir.
Kafkasya karma ormanları

| Inhaltsverzeichnis umschalten Kafkasya karma ormanları |
| --- | --- |

Baduksko Gölü, Karaçay-Çerkesya, Rusya
Coğrafya
Ülke(ler):   Azerbaycan   Ermenistan   Gürcistan   İran   Rusya   Türkiye 
Koordinatlar: 41°45′0″K 44°15′0″D﻿ / ﻿41.75000°K 44.25000°D﻿ / 41.75000; 44.25000
Özellikler
Durum: kritik, tehdit altında
Koruma alanı: 30.540 km2
Biyom: Ilıman bölge yaprak döken ve karma ormanlar
Biyocoğrafik bölge: Palearktik
Bitki türü:  Anadolu kestanesi  Carpinus betulus  Doğu Karadeniz göknarı  Doğu kayını  Doğu ladini  Sarıçam  İspir meşesi 
Hayvan türü:  Batı Kafkas dağ keçisi  Çengel boynuzlu dağ keçisi  Yaban keçisi  Maral  Avrasya boz ayısı  Kurt  İran parsı  Kaya kartalı  Sakallı akbaba 
Sıradağlar: Elbruz Dağı, Kuzey Anadolu Dağları
Yüzölçümü: 170.405 km2 (65.794 sq mi)
Yağış miktarı: 1500-2000 mm
Wikimedia Commons
Kafkasya karma ormanları, Kafkas Dağları, Küçük Kafkas sıradağları ve Karadeniz'in doğu ucundaki Kuzey Anadolu Dağları'nda konumlanmış geniş yapraklı karma ormanlardan oluşan ekolojik bölgedir.
Coğrafya

170.405 kilometrelik alanı kaplayan ekolojik bölge, Ermenistan, Azerbaycan, Gürcistan, İran, Rusya ve Türkiye'ye yayılmıştır. Büyük Kafkaslar olarak bilinen sıradağlar, Karadeniz'in kuzeyinden Hazar Denizi'ne doğru uzanmaktadır. Kafkasya, Avrupa ve Asya arasındaki geleneksel sınırı oluşturmaktadır. Kafkasya'nın en yüksek noktası 5.642 metre yüksekliğindeki Elbruz Dağı'dır. Ekolojik bölge, Kafkasya'nın güneyinde yer alan Küçük Kafkaslar ve Karadeniz'in güney kıyısı boyunca uzanan Kuzey Anadolu Dağları'nın doğu ucunu da içermektedir.
İklim

Ilıman iklim rakıma göre değişiklik göstermektedir. Ekolojik bölgenin batı kesiminde ortalama yıllık yağış daha fazladır. Doğu Karadeniz'de yıllık yağış miktarı 1500 ile 2000 mm arasındayken, ekolojik bölgenin doğu ve güney kesimlerinde bu rakam 600 ile 1000 mm arasındadır.
Bitki örtüsü

Ekolojik bölgede görülen bitki toplulukları rakıma göre değişiklik göstermektedir.
400-2000 metre arasında görülen ılıman karma ormanlar, ekolojik bölgenin yaklaşık %70'ini kaplamaktadır. Geniş yapraklı ağaçlar alçak kesimlerde daha sık görülürken, yüksek rakımlı yerlerde kozalaklı ağaçlar yaygındır.
Rakımın 400 ila 1000 metre arasında değiştiği yerlerde, Gürcü meşesi (Quercus iberica), adi gürgen (Carpinus betulus) ve yağışlı bölgelerde Anadolu kestanesi (Castanea sativa) yaygın olarak görülmektedir. 1000-1500 metre arasında ise oryantal kayın (Fagus orientalis) ve daha kuru bölgelerde Kafkas meşesi (Quercus macranthera) yaygındır.
1500 metreden sonra ise Doğu Karadeniz göknarı (Abies nordmanniana), Kafkas ladini (Picea orientalis) ve sarıçam (Pinus sylvestris var. Hamata) gibi kozalaklı ağaçlar yaygınlaşır. Cüce ormanları, 1800-2000 metre yükseklikteki ağaç sınırına yakının yerlerde görülmektedir. Nemli bölgelerde çoğunlukla huş ağacı (tüylü huş, Litwinowii ve Betula raddeana) ve daha kuru bölgelerde Oryantal meşesi ve Kafkas çamı yaygındır.
Subalpin çayırları 1800-2500 metre arasında, alpin çayırları 2500-3000 metre arasında, Rhododendron caucasicum çayırları ise 2000-2800 metre arasında görülmektedir. Subnival bitkiler ve likenler 3000-4000 metre arasında yaygındır.
Fauna

Ekolojik bölgede yaşayan büyük toynaklı memelilere Doğu Kafkas dağ keçisi (Capra cylindricornis), Batı Kafkas dağ keçisi (Capra caucasica), çengel boynuzlu dağ keçisi (Rupicapra rupicapra caucasica), muflon (Ovis orientalis gmelini), maral (Cervus elaphus maral) ve yaban keçisi (Capra aegagrus) örnek olarak gösterilebilir. Doğu Kafkas dağ keçisi ve Batı Kafkas dağ keçisi, sırasıyla Kafkas Dağları'nın doğu ve batı kısımlarında endemiktir. Bölgede yırtıcı hayvanlara ise Avrasya boz ayısı (Ursus arctos arctos), kurt (Canis lupus) ve İran parsı (Panthera pardus tulliana) örnek olarak gösterilebilir.
Kaya kartalı (Aquila chrysaetos) ve sakallı akbaba (Gypaetus barbatus) bölgede görülen yırtıcı kuşlardandır. Bölgedeki diğer yerleşik kuşlar ise Kafkas kara orman tavuğu (Lyrurus mlokosiewiczi), dağ horozu (Tetrao mlokosiewiczi), Kafkas kekliği (Tetraogallus caucasicus), büyük çütre (Carpodacus rubicilla) ve büyük kızılkuyruk'tur (Phoenicurus erythrogaster). Yerli su kuşları arasında boz ördek (Mareca strepera), ötücü kuğu (Cygnus cygnus), elmabaş patka (Aythya ferina), karabaş patka (Aythya marila), bayağı altın göz (Bucephala clangula) ve tepeli pelikan (Pelicanus crispus) bulunur.
Korunan alanlar

2017 yılında yapılan bir değerlendirme, ekolojik bölgenin %18'inin koruma altında olduğu tespit edilmiştir. Korunan alanlar arasında Lagodehi Koruma Alanları, Borcomi-Haragauli Millî Parkı, Tuşeti Ulusal Parkı, Zagatala Devlet Tabiatı Koruma Alanı ve Kafkas Biyosfer Rezervi yer almaktadır.
Kafkasya Karma Ormanları
Fourier serisi

Başlığın diğer anlamları için Fourier (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.
Bir kare dalga için ana frekans ve ilk üç harmonik.
Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların (sinüs ve kosinüs) toplamına çevirir.
Fourier serileri, Joseph Fourier (1768-1830) tarafından bir metal çubuk veya levhadaki ısı denklemlerinin çözümü için kullanılmıştır. Fourier'in bu çalışmasından evvel, parçalı diferansiyel denklemlerle ifade edilen ısı denklemlerine genel bir çözüm yoktu. Her ne kadar parçalı yaklaşımlar olsa da yeterli değildi çünkü bu yaklaşımlar ısı dağılımının basit denklemlere göre dağıldığını varsayaraktan probleme yaklaşıyordu. (Mesela: Eğer ısı kaynağı bir sinüs veya kosinüs denklemiyse...) Bu temel/basit çözümler  eigençözüm olarak adlandırılıyorlardı. Fourier'in düşüncesi basit denklemleri (sin ve cos) katsayılarla üst üste ekleyerek karmaşık ısı kaynağı kombinasyonları oluşturmaktı.
Fourier serileri ilk olarak ısı problemlerinin çözümü amacıyla kullanılmış olsa da bugün elektrik mühendisliğinde, titreşim analizinde, akustiklerde, sinyal işlemesinde, resim işlemesinde, kuantum mekaniğinde ve ekonomi hesaplamaları gibi birçok alanda kullanılmaktadır.
Konu hakkında ilk araştırmalar Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert ve Daniel Bernoulli tarafından yapılmıştır. Fourier bu araştırma ve sonuçlarını ısı sorularına uygulamıştır ve ilk sonuçları Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides adıyla 1807'de ve Théorie analytique de la chaleur adıyla 1822'de yayınlamıştır.
Dirichlet ve Riemann'ın katkılarıyla modern haline kavuşan Fourier Serileri, trigonometrik serilerde yaptığı önemli buluşlar sebebiyle Joseph Fourier (1768-1830) onuruna Fourier Serileri şeklinde adlandırılmıştır.
Tanım

ƒ(x) fonksiyonu, 2π periyodlu, gerçek değerli x'in fonksiyonudur. 
Bir başka deyişle tüm x değerleri için: ƒ(x + 2π) = ƒ(x).
Tanım > Fourier'in periyodu 2π olan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kullanarak yazılan formülü

s_{N}(x)   P . periyodu ile bir periyodik fonksiyondur. Denkliğin kullanımı:
biz de bu eşdeğer formlarda fonksiyon yazabiliriz:
burada:
Eğer katsayılar (Fourier katsayıları olarak bilinir) aşağıdaki gibi hesaplanırsa:
| --- | --- |
 a_{n}={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos({\tfrac {2\pi nx}{P}})\ dx   b_{n}={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \sin({\tfrac {2\pi nx}{P}})\ dx:              c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx,
2π ile periyodik olan ve [−π, π] aralığında integrali alınabilen ƒ(x) fonksiyonu için,
ve
elemanları ƒ'in Fourier katsayıları olarak adlandırılır.
Böylece Fourier seri'nin ƒ için parçalı toplamı aşağıdaki gibi ifade edilir:
ƒ parçalı toplamları trigonometrik polinomlardır. Sonuç olarak N sonsuza yaklaştıkça SN ƒ, ƒ 'in gerçek değerine yaklaşır.
sonsuz toplamı ƒ' 'in Fourier serisidir.
Fourier serileri her zaman uzaksak değildir. Hatta uzaksak olduğunda bile bazen x'in bazı x0 değerlerinde serinin toplamı orijinal fonksiyon değerinden farklı sonuç verebilir. Burada akla önemli bir soru gelmektedir: Hangi kurala göre harmonik analizde seri şekline getirip getiremeyeceğimize karar vereceğiz? Eğer fonksiyonun [−π, π] aralığında integrali alınabiliyor ve değer sonsuzdan başka bir şey çıkıyorsa ve bu, tüm noktalarda oluyorsa Fourier serisi geçerlidir ve bulunabilir. Mühendislik uygulamalarında genelde fonksiyonda devamsızlık noktası olmadığı müddetçe fonksiyonun uzaksadığı varsayılır. Çünkü, mühendislikte karşılaşılan fonksiyonlar genelde matematikçilerin önerebileceği karşı-örneklere uzaktır ve daha iyi davranışlı fonksiyonlardır. Genel anlamda, Fourier serisi, ƒ(x) in türevinin karesinin (ki her yerde türevi olmayabilir) integrali alınabiliyorsa, kesinlikle uzaksaksar.
Fourier katsayılarını daha genel fonksiyon ve dağılımlar için de kullanmak mümkündür. Ancak böyle durumlarda uzaksama veya zayıf uzaksama daha çok ilgi merkezidir.
Fourier serisinin alınan ilk 1,2,3 ve 4 terimleri ile bir kare dalganın yaklaşık bir diğer gösterimi
Yaklaşık bir gösterim için aynı genlik ve frekanstaki testere dişli bir dalganın karşılaştırılması
Tanım > Örnek: basit bir Fourier serisi

Şimdi çok basit bir denklemin Fourier açılımının denklemini görelim. Bir testere-dişi dalgası düşünün:
Bu durumda, Fourier katsayıları,
Şu kesindir ki bu Fourier serisinin ƒ in türevinin alınabildiği tüm x değerlerinde, toplamı orijinal ƒ(x) fonksiyonuna yaklaşır ve sonunda ona eşit olur. Bundan dolayı:
{\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}
x = π olduğunda, Fourier serisi 0 a eşit olur ki bu ƒ in  x = π deki sağdan ve soldan limitlerinin toplamının yarısına eşittir. Bu Fourier Serisi için Dirichlet teoreminde önemli bir noktadır.
Bakıyoruz ki Fourier serimizin açılımı ƒ(x) = x fonksiyonundan sadece azıcık daha karmaşıktır ve böyle bir serinin niçin kullanılabileceği de açıkçası hemencecik anlaşılacak bir şey değildir. Birçok uygulama alanı olmasıyla beraber biz Fourier serilerinin ısı denklemlerinin çözümündeki rolüne odaklanacağız. Örneğin, kenarları π uzunluğunda olan kare biçimindeki bir metal düşünün ve koordinatları (x, y) ∈ [0, π] × [0, π] olsun. Diyelim ki karenin 3 tarafı 0° derecede olsun ve y = π kenarı üzerinde sıcaklık denklemimiz T(x, π) = x olsun, ardından sabit/dengeye ulaşmış ısı dağılımının,
Burada, sinh hiperbolik sinüs fonksiyonudur. 
Bu ısı denkleminin çözümü iki tarafın da  {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}  ile  Eq.1 çarpılmasıyla bulundu. Böyle bir denklemdeki Fourier serimiz her ne kadar basit de olsa ısı dağılımızın denklemi T(x, y) kesinlikle havadan, basit bir denklem değildir. Burada T kapalı formlu bir ifade şeklinde yazılamaz. Isı problemlerinin bu şekilde çözülebilmesi ancak Fourier'in çalışmasıyla mümkün olabilmiştir.
Fourier serilerinin bir diğer kullanım alanı da Parseval teoremi'yle  Basel problem'lerinin çözümüdür. Örnek genelleşir ve ζ(2n) denklemini, n'in tüm pozitif tam sayı değerleri için çözmemiz gerekir.
Tanım > Üstel Fourier serileri

Euler formülü'nü kullanarak,
Burada i kompleks sayıdır ve daha genel olan şu denklemi verir:
Fourier katsayıları da aşağıdaki gibidir:
an, bn, cn
katsayıları da,
ve
gibi bağlantılıdır.
cn inin gösterimi birkaç Fourier fonksiyonun katsayılarını belirlemek için yetersizdir. Bundan dolayı isteğe göre ƒ in değişmiş bir hali olan(bizim örneğimizde) F veya
\scriptstyle {\hat {f}},
ile değiştirilir. Aynı zamanda fonksiyonel gösterim genelde yerine koyma yöntemiyle yapılır.
Böylece:
Mühendislikte, x zamanı ifade ettiğinde katsayı dizisi Frekans domain gösterimi olarak adlandırılır. Fonksiyondaki kare parantezler fonksiyonun discrete(devamsız) frekans seti olduğunu ifade eder.
Tanım > Genel Bir [a, b] aralığında Fourier Serileri

Aşağıdaki formül, uygun komplex değerli, G[n] fonksiyonu
için, bütün R: da τ ile periyodik bir fonksiyondur.
Eğer fonksiyonumuzun karesinin integrali [a, a + τ] aralığında alınabiliyorsa bu aralıkta, fonksiyonumuz yukarıdaki formülle ifade edilebilir. Eğer g(x) in integrali alınabiliyorsa Fourier katsayıları,
şeklinde olur.
Dikkat etmeniz gereken şu ki: ifade edilen fonksiyon τ ile periyodiktir. Böylece a rastgele b,r sayıdır ve en popüler değerler a = 0 ve a = −τ/2 dir.
Sıklıkla kullanılan bir diğer frekans domain gösterimi de Fourier serisi katsayılarını Dirac comb fonksiyonunu modüle etmek için kullanılır:
ƒ değişkeni sürekli bir frekans domain'i ifade eder. x değişkeni
x değişkeni saniye cinsinden olduğu yerlerde ƒ hertz cinsindendir. Testere dişi dalgasının "dişleri" 1/τ'nin tam katlarındadır ki bunlar temel frekansın harmonikleri olarak adlandırılırlar. Orijinal g(x) fonksiyonu seri tanım fonksiyonunun ters Fourier dönüşümüyle elde edilebilir:
Periyodik bir fonksiyonun Fourier integrali yakınsak olmasa da,G(ƒ) fonksiyonu yaygın olarak Fourier dönüşümü olarak anılır.
Tanım > Bir kare dalga üzerinde Fourier serisi

Aynı zamanda [−π, π]×[−π, π] aralığında Fourier serilerini iki (x ve y) değişkenli bir fonksiyon içinde tanımlayabiliriz :
Isı denklemleri gibi parçalı diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanılmasının dışında, Fourier serilerinin bir diğer dikkate değer uygulaması da görüntü sıkıştırma alanındadır. Bilhassa, jpeg görüntü sıkıştırma standartları kosinüs temel fonksiyonlarını kullanan bir Fourier dönüşümü olan iki boyutlu ayrık kosinüs dönüşümünü kullanır.
29 Aralık 2009 tarihli İngilizce vikipedideki Fourier Series makalesinden çevrilmiştir.
Başlangıçlar > Devrim niteliğindeki makale

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ |  \varphi (y)=a\cos {\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a''\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots . İki tarafı da  \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}} ile çarpıp ve sonra  y=-1 den  y=+1 e integralini aldığımızda:  a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy. | „ |
—30px, 30px
Bu modern yaklaşıma oldukça yakın olan birkaç satırda Fourier'in yaptığı bu denklemler fizik ve matemetikte devrim niteliğinde etki bırakmıştır. Her ne kadar burada kullanılan trigonometrik denklem ve seriler daha önceleri Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli ve Gauss tarafından kullanılmış olsa da Fourier bu denklemlerin sıradan, karmaşık dalga çeşitlerinin de bu serilerle gösterilebileceğini gösterir.
Bu teorinin kullanımı daha önceleri epey karmaşık olan  uzaksak seriler, fonksiyon uzayı ve harmonik analizinde önemli yenilik ve kolaylıklar getirmiştir.
Fourier bu çalışmasını 1807'de komiteye gösterdiğinde -ki komitede Lagrange, Laplace, Malus ve Legendre gibi önemli isimler vardı- ...yazarın bu denklemlere ulaşmadaki yolu karmaşıklıktan ve zorluktan tamamen uzak olup[...] onun analiz için sentezleri basitlik ve genellik bakımından şiddetli bir hayranlık uyandıracak seviyededir. diyerek yorumlarlar.