İç içe kökler
İç içe sonsuz kökler

ax^{n}+bx+c=0 genel denklemi için:
ax^{n}=-bx-c\Rightarrow x^{n}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}} yandaki denklemde her iki tarafın n dereceden kökü alınırsa  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}x}} şeklinde düzendi.
x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}x}} denkleminde sol tarafta x ve sağ tarafta kökün içinde x vardır. Her ikisi de x tir. Sol taraftaki x kök içindeki kökün içine bir defa yazılırsa  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}x}}}} olur.
İki defa yazılırsa  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}x}}}}}} olur. Burada -x/a ve -b/a şeklinde bir tekrarlanma var.
Sol taraftaki x kök içindeki kökün sonsuz defa yazılırsa : {\color {Violet}x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}} şeklinde bir içe sonsuz kökler meydana gelir. İç içe sonsuz köklerin kaynağı buradan gelmektedir.
Bunun tersi de doğrudur. Birinci kökün içindeki -b/a nın çarpım durumunda olan köklü ifadeye  x denilirse  ax^{n}+bx+c=0 elde edilir.
Çünkü :  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}} içe içe sonsuz kökün her tarafın n ninci kuvveti alınırsa  x^{n}={-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}\Rightarrow -x^{n}-{\frac {c}{a}}={{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}
 şeklinde olur işleme devam edilirse  {\frac {b}{a}}[-x^{n}-{\frac {c}{a}}]={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}} oldu sağ taraftaki ifade zaten x e eşitti.  {\frac {b}{a}}[-x^{n}-{\frac {c}{a}}]=x ve ispat tamamlanmış olur.
Genel Sonuç :  ax^{n}+bx+c=0\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}} dir.
Eğer denklem  ax^{n}+bx=0 şeklinde ise : Burada c sabit sayısı yoktur.
ax^{n}=-bx\Rightarrow x^{n}=-{\frac {b}{a}}x\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}x}} şekline dönüşür. Sol taraftaki x kök içindeki x yerine bir defa yazılırsa  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}x}}}} olur. İki defa yazılırsa  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}x}}}}}} şeklinde olur. Burada içe içe kök içinde -b/a lar devam eder. Bu işlem sonsuz defa uygulanırsa iç içe sonsuz kökler meydana gelir.  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}} şeklinde sonsuza gider. Bunun tersi de doğrudur.
Tersi için  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}} denkleminin her iki tarafının n dereceden kuvveti yani üssü alınırsa  x^{n}={-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}} devam edilirse  -{\frac {a}{b}}x^{n}={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}} bu denklemde ise sağ taraf x e eşitti.  {\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}} yerine x yazılırsa  -{\frac {a}{b}}x^{n}=x olur. Bu denklem düzenlenirse  ax^{n}+bx=0 denklemi elde edilir.  ax^{n}+bx=0 denkleminde  x^{n}=-{\frac {b}{a}}x\Rightarrow x^{n-1}=-{\frac {b}{a}}\Rightarrow x={\sqrt[{n-1}]{-{\frac {b}{a}}}} Şimdi iç içe köklü ifadelerin içindeki ikinci köklü ifadeye neden x denildiği ispatlandı.
Genel Sonuç 2 :  ax^{n}+bx=0\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}} ve  {\color {Blue}{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}={\sqrt[{n-1}]{-{\frac {b}{a}}}}} olur.
Genel Sonuç 2 için ikinci yol:  x={\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}  bu ifadede c=0 alınırsa sonuç 2 : yine elde edilir. Çünkü c=0 olması durumunda  ax^{n}+bx+c=0 denkleminde artık sabit sayı olmaz.
x={\sqrt[{n}]{-{\frac {0}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {0}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {0}{a}}-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{...}}}}}}}}\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}{\sqrt[{n}]{.}}..}}}}}} şeklinde olur.