stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Trigonometrik özdeşlikler listesi
Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik

Birim çember incelenerek trigonometrik fonksiyonların aşağıdaki özellikleri belirlenebilir.
Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik > Yansımalar

Bir Öklid vektörünün yönü bir  \theta , açısı ile temsil edildiğinde, bu açı serbest vektör (orijinden başlayan) ve pozitif  x-birim vektörü tarafından belirlenen açıdır. Aynı kavram, Öklid uzayında doğrulara da uygulanabilir; burada açı, verilen doğruya orijinden ve pozitif  x-ekseninden geçen bir paralel doğru tarafından belirlenen açıdır.  \theta  doğrultulu bir doğru (vektör)  \alpha , doğrultulu bir doğru etrafında yansıtılırsa, bu yansıtılan doğrunun (vektörün)  \theta ^{\prime } doğrultu açısı 



θ

′


=
2
α
−
θ
.

\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .


değerine sahiptir.
Bu açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri  \theta ,\;\theta ^{\prime } belirli açılar  \alpha  için basit özdeşlikleri karşılar: ya eşittirler, ya zıt işaretlidirler ya da tamamlayıcı trigonometrik fonksiyon kullanırlar. Bunlar indirgeme formülleri olarak da bilinir.
|  \alpha =0'da yansıtılan  \theta  tek/çift özdeşlikler |  \alpha ={\frac {\pi }{4}}'te yansıtılan  \theta  |  \alpha ={\frac {\pi }{2}}'de yansıtılan  \theta  |  \alpha ={\frac {3\pi }{4}}'te yansıtılan  \theta  |  \alpha =\pi 'de yansıtılan  \theta   \alpha =0 ile karşılaştıtma |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  \sin(-\theta )=-\sin \theta  |  \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta  |  \sin(\pi -\theta )=+\sin \theta  |  \sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta  |  \sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta ) |
|  \cos(-\theta )=+\cos \theta  |  \cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta  |  \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta  |  \cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta  |  \cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta ) |
|  \tan(-\theta )=-\tan \theta  |  \tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta  |  \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta  |  \tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta  |  \tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta ) |
|  \csc(-\theta )=-\csc \theta  |  \csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta  |  \csc(\pi -\theta )=+\csc \theta  |  \csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta  |  \csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta ) |
|  \sec(-\theta )=+\sec \theta  |  \sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta  |  \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta  |  \sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta  |  \sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta ) |
|  \cot(-\theta )=-\cot \theta  |  \cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta  |  \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta  |  \cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta  |  \cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta ) |
Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik > Kaymalar ve periyodiklik

| Bir çeyrek periyot kaydırma | Bir yarım periyot kaydırma | Tam periyotlarla kaydırma | Periyot |
| --- | --- | --- | --- |
|  \sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta  |  \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta  |  \sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta  |  2\pi  |
|  \cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta  |  \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta  |  \cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta  |  2\pi  |
|  \csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta  |  \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta  |  \csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta  |  2\pi  |
|  \sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta  |  \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta  |  \sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta  |  2\pi  |
|  \tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }} |  \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta  |  \tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta  |  \pi  |
|  \cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }} |  \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta  |  \cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta  |  \pi  |
Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik > İşaretler

Trigonometrik fonksiyonların işareti açının çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır. Eğer  {-\pi }<\theta \leq \pi  ve sgn işaret fonksiyonu ise,
{\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&\ 0<\theta <\pi \ {\text{  ise}}\\-1&\ {-\pi }<\theta <0\ {\text{  ise}}\\0&\ \theta \in \{0,\pi \}\ {\text{  ise}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&\ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \ {\text{  ise}}\\-1&\ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{veya}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \ {\text{  ise}}\\0&\ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\ {\text{  ise}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&\ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{veya}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \ {\text{  ise}}\\-1&\ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{veya}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \ {\text{  ise}}\\0&\ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\ {\text{  ise}}\end{cases}}\end{aligned}}
Trigonometrik fonksiyonlar ortak periyot  2\pi , ile periyodiktir, bu nedenle  (-\pi ,\pi ], aralığının dışındaki θ değerleri için tekrar eden değerler alırlar (yukarıdaki § Kaymalar ve periyodiklik bölümüne bakın).
Açı toplam ve fark özdeşlikleri > Sonsuz sayıda açının toplamlarının sinüs ve kosinüsleri

∑

i
=
1


∞



θ

i



\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}

 serisi, mutlak yakınsar olduğunda;
{\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{tek}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{çift}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}
∑

i
=
1


∞



θ

i



\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}

 serisi mutlak yakınsadığı için, 



lim

i
→
∞



θ

i


=
0
,

\lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,

 



lim

i
→
∞


sin
⁡

θ

i


=
0
,

\lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,

 ve 



lim

i
→
∞


cos
⁡

θ

i


=
1.

\lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.

 Özellikle, bu iki özdeşlikte sonlu sayıda açının toplamları durumunda görülmeyen bir asimetri ortaya çıkar: her çarpımda yalnızca sonlu sayıda sinüs çarpanı vardır, ancak dual sonlu çok sayıda kosinüs çarpanı vardır. Sonsuz sayıda sinüs çarpanı olan terimler zorunlu olarak sıfıra eşit olacaktır.
\theta _{i} açılarının yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklı olduğunda, sağ taraftaki terimlerin yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklıdır çünkü sonlu sayıda sinüs çarpanı hariç hepsi yok olur (sadeleşir). Ayrıca, her bir terimde sonlu sayıda kosinüs çarpanı hariç hepsi birimdir (tekildir).
Açı toplam ve fark özdeşlikleri > Toplamların tanjantları ve kotanjantları

e_{k} ( k=0,1,2,3,\ldots  için) değişkenler içinde kinci derece temel simetrik polinom olsun:
 x_{i}=\tan \theta _{i}
i=0,1,2,3,\ldots , için yani,
{\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}
Öyleyse yukarıdaki sinüs ve kosinüs toplam formüllerini kullanarak,
{\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{tek}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{çift}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}
Sağ taraftaki terim sayısı sol taraftaki terim sayısına bağlıdır.
Örneğin:
 {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}
ve bunun gibi. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu matematiksel tümevarım ile kanıtlanabilir. Sonsuz sayıda terim olması durumu, bazı temel eşitsizlikler kullanılarak kanıtlanabilir.
Açı toplam ve fark özdeşlikleri > Toplamların sekantları ve kosekantları

{\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}
Burada  e_{k}, n değişkenlerinde kinci derece temel simetrik polinom olup,  x_{i}=\tan \theta _{i},  i=1,\dots ,n, ve paydadaki terim sayısı ile paydaki çarpımdaki çarpan sayısı soldaki toplamdaki terim sayısına bağlıdır. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu, bu tür terimlerin sayısı üzerine matematiksel tümevarım yoluyla kanıtlanabilir.
Örneğin,
{\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}
Açı toplam ve fark özdeşlikleri > Batlamyus teoremi

Ana madde: Batlamyus teoremi
Ayrıca bakınız: Trigonometri tarihi § Klasik antik dönem
Batlamyus teoremi, trigonometrik özdeşlikler tarihinde önemlidir, çünkü sinüs ve kosinüs için toplam ve fark formüllerine eşdeğer sonuçlar ilk kez bu şekilde kanıtlanmıştır. Teorem, yandaki şekilde gösterildiği gibi  ABCD çembersel dörtgeninde, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Köşegenlerden veya kenarlardan birinin dairenin çapı olduğu özel durumlarda, bu teorem doğrudan açı toplamı ve fark trigonometrik özdeşliklerine yol açar. Bu ilişki en kolay şekilde, burada gösterildiği gibi daire bir çap uzunluğunda olacak şekilde inşa edildiğinde ortaya çıkar.
Thales teoremi ile,  \angle DAB ve  \angle DCB her ikisi de dik açıdır. Dik açılı  DAB ve  DCB üçgenlerinin her ikisi de uzunluğu 1 olan  {\overline {BD}} hipotenüsünü paylaşır. Böylece kenar  {\overline {AB}}=\sin \alpha ,  {\overline {AD}}=\cos \alpha ,  {\overline {BC}}=\sin \beta  ve  {\overline {CD}}=\cos \beta  olur.
Çevre açı teoremine göre, çemberin merkezindeki  {\overline {AC}} akorunun merkezde oluşturduğu açı  \angle ADC açısının iki katıdır, yani  2(\alpha +\beta ). Dolayısıyla, simetrik kırmızı üçgen çiftinin her birinin merkezinde  \alpha +\beta  açısı vardır. Bu üçgenlerin her birinin 



1
2


{\frac {1}{2}}

 uzunluğunda bir hipotenüsü vardır, dolayısıyla  {\overline {AC}} uzunluğu 


2
×


1
2


sin
⁡
(
α
+
β
)

2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )

, yani basitçe  \sin(\alpha +\beta ). Dörtgenin diğer köşegeni 1 uzunluğundaki çaptır, dolayısıyla köşegenlerin uzunluklarının çarpımı da  \sin(\alpha +\beta )'dır.
Bu değerler, Batlamyus teoreminin  |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}| ifadesinde yerine konulduğunda, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir:  \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .  \sin(\alpha -\beta ) için açı farkı formülü,  {\overline {CD}} kenarının  {\overline {BD}} yerine çap olarak kullanılmasıyla benzer şekilde türetilebilir.
Açının katları ve yarım açı formülleri

| --- | --- |
Tn, ninci Chebyshev polinomudur:  \cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )
de Moivre formülü, i sanal birimdir:  \cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}
Açının katları ve yarım açı formülleri > Açının katları formülleri > Çift açı formülleri

Bir açının iki katı için formüller.
Açının katları ve yarım açı formülleri > Açının katları formülleri > Üç kat açı formülleri

Üç kat açılar için formüller.
Açının katları ve yarım açı formülleri > Açının katları formülleri > Çok kat açı formülleri

Çok katlı açılar için formüller.
Açının katları ve yarım açı formülleri > Açının katları formülleri > Chebyshev yöntemi

Chebyshev yöntemi,  (n-1)inci ve  (n-2)inci değerleri bilerek ninci çok katlı açı formülünü bulmak için bir özyineleme algoritmasıdır.
\cos(nx) değeri,  \cos((n-1)x),  \cos((n-2)x) ve  \cos(x)'den  \cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x) eşitliği yardımıyla hesaplanabilir.
Bu durum aşağıdaki formüllerin toplanmasıyla kanıtlanabilir:
{\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}
Tümevarım yoluyla  \cos(nx)'in  \cos x, 'in bir polinomu olduğu sonucuna varılır, buna birinci türden Chebyshev polinomu denir, bkz. Chebyshev polinomları#Trigonometrik tanım.
Benzer şekilde,  \sin(nx),  \sin((n-1)x),  \sin((n-2)x), ve  \cos x'ten  \sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x) yardımıyla hesaplanabilir.
Bu,  \sin((n-1)x+x) ve  \sin((n-1)x-x) formülleri eklenerek kanıtlanabilir.
Chebyshev yöntemine benzer bir amaca hizmet ederek, tanjnat için şunu yazabiliriz:
\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.
Açının katları ve yarım açı formülleri > Yarım açı formülleri

{\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}
Ayrıca
 {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}
Çarpım-toplam ve toplam-çarpım özdeşlikleri

Çarpım-toplam özdeşlikleri veya prosthaphaeresis formülleri, açı toplam teoremleri kullanılarak sağ tarafları genişletilerek kanıtlanabilir. Tarihsel olarak, bunlardan ilk dördü, astronomik hesaplamalar için kullanan Johannes Werner'den sonra Werner formülleri olarak biliniyordu. 
Çarpım-toplam formüllerinin bir uygulaması için  genlik modülasyonu ve toplam-çarpım formüllerinin uygulamaları için vuru (akustik) ile faz dedektörü bölümlerine bakınız.
Çarpım-toplam ve toplam-çarpım özdeşlikleri > Toplam-çarpım özdeşlikleri

Toplam-çarpım özdeşlikleri aşağıdaki gibidir:
Çarpım-toplam ve toplam-çarpım özdeşlikleri > Hermite kotanjant özdeşliği

Charles Hermite aşağıdaki özdeşliği göstermiştir.  a_{1},\ldots ,a_{n} sayılarının, hiçbiri π'nin bir tam sayı katı kadar farklı olmayan karmaşık sayılar olduğunu varsayalım. Varsayalım ki
A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})
(özellikle,  A_{1,1}, bir boş çarpım olmak üzere, 1'dir).O halde
\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).
Aşikar olmayan en basit örnek n = 2 durumudur:
\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).
Çarpım-toplam ve toplam-çarpım özdeşlikleri > Trigonometrik fonksiyonların sonlu çarpımları

n, m aralarında asal tam sayıları için
\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)
burada Tn Chebyshev polinomudur.[kaynak belirtilmeli]
Sinüs fonksiyonu için aşağıdaki ilişki geçerlidir;
\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.
Daha genel olarak bir n > 0 tam sayı için
\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).
veya kiriş fonksiyonu 



crd
⁡
x
≡
2
sin
⁡



1
2



x


{\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}

 cinsinden yazılabilir,
\operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).
Bu, 




z

n


−
1


{\textstyle z^{n}-1}

 polinomunun doğrusal çarpanlara ayrılmasından gelir. (bkz. birimin kökü): Herhangi bir karmaşık z ve bir tam sayı n > 0 için,
z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}\right).
Doğrusal kombinasyonlar

Bazı amaçlar için, aynı periyot veya frekansta ancak farklı faz kaymaları olan sinüs dalgalarının herhangi bir doğrusal kombinasyonunun da aynı periyot veya frekansa ancak farklı bir faz kaymasına sahip bir sinüs dalgası olduğunu bilmek önemlidir. Bu sinüzoidal veri uydurma için kullanışlıdır. Ölçülen veya gözlemlenen veriler, aşağıdaki faz içi ve kareleme bileşenleri temelinin a ve b bilinmeyenleri ile doğrusal olarak ilişkili olduğundan,  c ve  \varphi  ile karşılaştırıldığında daha basit bir Jacobyen ile sonuçlanır.
Doğrusal kombinasyonlar > Sinüs ve kosinüs

Sinüs ve kosinüs dalgalarının doğrusal kombinasyonu veya harmonik toplamı, faz kayması ve ölçeklendirilmiş genliğe sahip tek bir sinüs dalgasına eşdeğerdir,
a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )
burada  a\neq 0 olduğu göz önüne alındığında  c ve  \varphi  şu şekilde tanımlanır:
{\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}
Doğrusal kombinasyonlar > Keyfi faz kayması

Daha genel olarak, keyfi faz kaymaları için
a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )
Burada  c ve  \varphi  aşağıdaki ifadeleri sağlar:
 {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}
Doğrusal kombinasyonlar > İkiden fazla sinüzoid

Ayrıca bakınız: Fazör toplama
Genel durum şu şekildedir
 \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),
burada
 a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})
ve
 \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.
Lagrange trigonometrik özdeşlikleri

Adını Joseph Louis Lagrange'dan alan bu özdeşlikler şunlardır:
{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}
 \theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }} için.
İlgili bir fonksiyon Dirichlet çekirdeğidir:
 D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.
Benzer bir özdeşlik
\sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.
Kanıt aşağıdaki gibidir. açı toplam ve fark özdeşlikleri kullanılarak,
\sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.
O zaman aşağıdaki formülü inceleyelim,
2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha
ve bu formül yukarıdaki özdeşlik kullanılarak yazılabilir,
{\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}
Dolayısıyla, bu formülü  2\sin \alpha  ile bölmek kanıtı tamamlar.
Belirli doğrusal kesirli dönüşümler

Eğer  f(x) doğrusal kesirli dönüşüm tarafından veriliyorsa
f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},
ve benzer şekilde
 g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},
öyleyse
 f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.
Daha açık bir ifadeyle, eğer tüm  \alpha  için  f_{\alpha } yukarıda  f olarak adlandırdığımız şey olsun.
f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.
Eğer  x bir doğrunun eğimi ise,  f(x) doğrunun  -\alpha  açısı boyunca dönüşünün eğimidir.