stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Asal sayı
Tanım ve örnekler

Bir doğal sayı (1, 2, 3, 4, 5, 6, vb.), 1'den büyük olması ve kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilememesi durumunda asal sayı olarak nitelendirilir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayılar adı verilir. Diğer bir ifadeyle, eğer  n sayısı, kendinden küçük birden fazla eşit parçaya bölünemez ise, ya da  n kadar nokta tam bir dikdörtgen olarak şekillendirilemez ise,  n bir asal sayıdır.
Örneğin, 1 ile 6 arasındaki sayılar içinde, 2, 3 ve 5 sayıları asal sayılardır, zira bu sayıları kendinden başka tam bölebilen (kalan bırakmaksızın) başka bir sayı yoktur. 1 sayısı, tanım gereği asal olarak kabul edilmez. 4 = 2 × 2 ve 6 = 2 × 3 her ikisi de bileşik sayı kategorisindedir.
Bir doğal sayı  n'in bölenleri,  n sayısını eşit olarak bölebilen doğal sayılardır. Her doğal sayı, kendisi ve 1 olmak üzere iki temel bölene sahiptir. Eğer bir sayının bu ikisinden başka bir böleni varsa, asal sayı olamaz. Bu durum, asal sayıların alternatif bir tanımını sunar: Yalnızca iki pozitif bölene sahip olan sayılar asal sayılardır. Bu iki bölen, 1 ve sayının kendisidir. Tek bir bölene sahip olan 1 sayısı, bu tanım çerçevesinde asal kabul edilmez. Aynı kavramı başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bir sayı  n, 1'den büyükse ve  2,3,\dots ,n-1 sayılarından hiçbiri  n sayısını eşit bölmezse, o sayı asaldır.
İlk 25 asal sayı (100'den küçük tüm asal sayılar) şunlardır:
2'den büyük hiçbir çift sayı  n asal olamaz çünkü herhangi bir böyle sayı  2\times n/2 olarak ifade edilebilir. Bu nedenle, 2 dışındaki her asal sayı bir tek sayıdır ve tek asal olarak adlandırılır. Benzer şekilde, alışılagelmiş ondalık sistemde yazıldığında, 5'ten büyük tüm asal sayılar 1, 3, 7 veya 9 ile biter. Diğer rakamlarla biten sayılar hep bileşiktir: 0, 2, 4, 6 veya 8 ile biten ondalık sayılar çifttir ve 0 veya 5 ile biten ondalık sayılar 5'e bölünebilir.
Tüm asalların kümesi bazen  \mathbf {P}  (kalın harflerle büyük bir P) veya  \mathbb {P}  (tahtaya yazı tipiyle büyük bir P) ile gösterilir.
Tarihçe > 1 sayısının asallığı

Antik Yunanların çoğu, başlangıçta 1'i bir sayı olarak bile kabul etmemiştir, dolayısıyla asallığını tartışmaları mümkün değildi. Nicomachus, Iamblichus, Boethius ve Cassiodorus gibi birkaç Yunan ve sonraki Roma geleneği alimi, asal sayıları tek sayıların bir alt bölümü olarak kabul ettiği için, 2'yi de asal olarak kabul etmemişlerdir. Ancak, Öklid ve diğer birçok Yunan matematikçisi 2'yi asal olarak kabul etmiştir. Orta Çağ İslam matematikçileri genellikle Yunanların görüşlerini takip ederek 1'i bir sayı olarak görmemişlerdir. Orta Çağ ve Rönesans boyunca matematikçiler 1'i bir sayı olarak kabul etmeye başlamış ve bazıları onu ilk asal sayı olarak dahil etmiştir. 18. yüzyılın ortalarında Christian Goldbach, Leonhard Euler ile olan yazışmalarında 1'i asal olarak listelemiştir; ancak, Euler kendisi 1'i asal olarak kabul etmemiştir. 19. yüzyılda birçok matematikçi hala 1'i asal olarak kabul etmiş, ve 1'i içeren asal sayı listeleri en son 1956 yılında yayımlanmıştır.
1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır. Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.
Bir sayının asal olarak tanımlanması değiştirilip 1 asal olarak kabul edilseydi, asal sayılarla ilgili birçok ifade daha zor bir şekilde yeniden formüle edilmek zorunda kalırdı. Örneğin, aritmetiğin temel teoremi, her sayının 1'in istenilen sayıda kopyasıyla çeşitli faktörizasyonları olacağı için, 1'den büyük asallara göre faktörizasyonlar açısından yeniden ifade edilmek zorunda kalırdı. Benzer şekilde, Eratosthenes kalburu 1'i bir asal olarak ele alırsa doğru çalışmazdı çünkü 1'in tüm katlarını (yani, tüm diğer sayıları) elemek ve sadece 1 sayısını çıkarmak zorunda kalırdı. Asal sayıların bazı diğer daha teknik özellikleri de 1 numarası için geçerli değildir: örneğin, Euler'in totient fonksiyonu veya bölenler toplamı fonksiyonu için formüller asal sayılar için 1 ile farklıdır. 20. yüzyılın başlarında, matematikçiler 1'in asal olarak listelenmemesi, ancak daha çok "birim" olarak kendi özel kategorisinde yer alması gerektiği konusunda anlaşmaya başladılar.
Temel özellikler > Çarpanlama

Ana madde: Aritmetiğin temel teoremi
Bir sayının asal sayıların çarpımı olarak yazılması, o sayının asal çarpanlara ayrılması olarak adlandırılır. Örneğin:
Bu çarpımdaki terimlere asal çarpanlar denir. Aynı asal çarpan birden fazla bulunabilir; bu örnekte asal çarpan  3 iki defa görülmektedir. Bir asal sayı birden fazla kez bulunduğunda, üssel sayılar kullanılarak aynı asal sayı gruplandırılabilir: örneğin, yukarıdaki sonucun ikinci yazım şeklinde,  3^{2},  3 sayısının karesini veya ikinci kuvvetini gösterir.
Asal sayıların sayılar teorisi ve genel olarak matematiğe merkezi önemi, aritmetiğin temel teoreminden kaynaklanmaktadır. Bu teorem, 1'den büyük her tam sayının bir veya daha fazla asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini belirtir. Daha da önemlisi, bu çarpım özeldir; yani, aynı sayının her iki asal çarpanlarının çarpımı, çarpanların sıralaması farklı olsa bile, aynı asal sayıların aynı sayıda kopyasını içerecektir. Dolayısıyla, bir asal çarpanlarına ayırma algoritması kullanılarak çarpanlara ayırma işlemi yapmanın birçok farklı yolu olmasına rağmen, hepsi aynı sonucu üretmek zorundadır. Bu nedenle, asal sayılar doğal sayıların "temel yapı taşları" olarak kabul edilebilir.
Asal çarpanlara ayrılmanın benzersizliğinin kanıtlarından bazıları, Öklid'in lemmasına dayanır: Eğer  p bir asal sayıysa ve  p,  a ve  b, tam sayılarının çarpımı olan  ab'yi bölerse, o zaman  p, ya  a'yı ya da  b'yi (veya her ikisini de) böler. Aksine, bir sayı  p, bir çarpımı böldüğünde daima çarpımın en az bir faktörünü bölerse, o zaman  p asal olmalıdır.
Temel özellikler > Sonsuzluk

Ana madde: Öklid teoremi
Asal sayıların sayısı sonsuzdur. Diğer bir deyişle, asal sayı dizisi:
asla son bulmaz. Bu tez, antik Yunan matematikçisi Öklid onuruna, "Öklid Teoremi" olarak isimlendirilmiştir çünkü bu tezin bilinen ilk ispatı onun adıyla ilişkilendirilir. Asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlayan birçok metod mevcuttur; bunlar arasında, Euler tarafından gerçekleştirilen analitik ispat, Goldbach'ın Fermat sayıları üzerine kurulu ispatı, Furstenberg'in genel topoloji kullanarak sunduğu kanıtı, ve Kummer'in ispatı sayılabilir.
Öklid'in ispatı, herhangi bir sonlu asal sayı listesinin eksik olduğunu gösterir. Ana fikir, verilen listedeki asal sayıların hepsini çarparak  1 eklemektir. Eğer liste  p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}, asal sayılarından oluşuyorsa, bu
Temel teorem gereğince,  N sayısı,
şeklinde bir veya daha fazla asal çarpan içeren bir asal çarpanlara ayırımına sahiptir.  N sayısı, bu çarpanlarca tam bölünebilirken, verilen asal sayı listesindeki herhangi bir sayı ile bölündüğünde 1 kalanını verir; bu durum,  N sayısının asal çarpanlarının verilen liste içinde yer alamayacağını gösterir. Asal sayıların sonlu bir listesinin olmaması gerçeği, asal sayıların sonsuz olduğunu zorunlu kılar.
En küçük asal sayıların çarpımlarına bir eklenerek oluşturulan sayılara Öklid sayısı adı verilir. Bunlardan ilk beşi asal olmakla birlikte, altıncısı,
Temel özellikler > Asal sayı denklemleri

Asal sayıları tespit etmek için bilinen etkin bir yöntem mevcut değildir. Öyle ki, yalnızca asal sayı değerleri üreten, sabit olmayan çok değişkenli bir polinom dahi bulunamamıştır. Bununla birlikte, yalnızca asal sayıları veya tüm asal sayıları temsil edebilen çeşitli ifadeler mevcuttur. Bu ifadelerden biri, Wilson teoremi'ne dayalı olup, 2 sayısının defalarca ve diğer tüm asal sayıların ise sadece bir kez elde edilmesini sağlayan bir formüldür. Dokuz değişken ve bir parametreye sahip Diyofantus denklemlerinden oluşan bir küme de mevcuttur; bu kümenin belirgin bir özelliği şöyledir: Eğer ve ancak eğer bu denklem sistemi doğal sayılar kümesi üzerinde bir çözüme sahipse, ilgili parametre bir asal sayıdır. Bu özellik, tüm pozitif değerleri asal sayı olan bir formülün elde edilmesi amacıyla kullanılabilir.
Mills teoremi ve Wright tarafından öne sürülen bir teoremle ilgili olarak, asal sayılar üreten diğer formüller de mevcuttur. Bu teoremler,  A>1 ve  \mu  şeklinde ifade edilen gerçek sabitlerin varlığını öne sürer.
İlk formülde, herhangi bir doğal  n sayısı için belirtilen sayılar asal niteliktedir; ikinci formülde ise, üslerin herhangi bir sayıda oluşu durumunda da sayılar asal özellik gösterirler. Bu bağlamda,  \lfloor {}\cdot {}\rfloor  sembolü, incelenen sayıya eşit veya bu sayıdan daha az olan en yüksek tam sayıyı ifade eden taban fonksiyonunu belirtmektedir. Fakat,  A veya  \mu . değerlerinin hesaplanabilmesi için asal sayıların ilk etapta elde edilmiş olması gerekliliği göz önünde bulundurulduğunda, bu formüllerin asal sayı üretimi açısından pratikte bir yararı bulunmamaktadır.
Temel özellikler > Çözüm bekleyen sorular

Matematik alanında, asal sayılarla ilgili bir dizi varsayım ileri sürülmüştür. Çoğunlukla temel bir ifade şekliyle ortaya konan bu varsayımlar, onlarca yıl süresince ispatlanamamıştır: 1912 yılında ortaya atılan Landau problemleri başlığı altındaki dört soru günümüze dek çözülememiştir. Bu varsayımlardan bir tanesi, 2'den büyük olan her çift tam sayı  n'nin, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini öne süren Goldbach hipotezi ile ilişkilendirilmiştir. 2014 itibarıyla, söz konusu varsayım,  n=4\cdot 10^{18} değerine ulaşan tüm sayılar için teyit edilmiştir. Bu iddiadan daha zayıf önermeler ispatlanmıştır; mesela, Vinogradov teoremi, yeterli büyüklükteki her tek tam sayının, üç asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini belirtmektedir. Chen teoremi, yeterli büyüklükteki herhangi bir çift sayının, bir asal sayı ile bir yarı asal (iki asal sayının çarpımı) toplamı şeklinde gösterilebileceğini öne sürmektedir. Bunun yanı sıra, 10 değerinden büyük olan her çift tam sayı, altı asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir. Bu tür soruların incelendiği sayı teorisi dalı, toplamsal sayı teorisi olarak adlandırılmaktadır.
Ardışık asal sayılar arasındaki farkları ifade eden asal boşlukları ile ilgili bir başka problem türü bulunmaktadır. Herhangi bir doğal  n sayısı için,  n!+2,n!+3,\dots ,n!+n dizisinin  n-1 adet bileşik sayı içerdiği göz önüne alındığında, istenilen büyüklükte asal boşlukların mevcudiyeti tespit edilebilir. Bununla birlikte, büyük asal aralıkların oluşumu, bu argümanın işaret ettiğinden çok daha önce gerçekleşmektedir. Mesela, 8 birimlik ilk asal sayı farkı, 89 ile 97 arasındaki asal sayılar arasında gözlemlenir, bu,  8!=40320 değerinden önemli ölçüde daha düşüktür.
İki asal sayı arasındaki farkın 2 olması durumunda, ikiz asal çiftlerinin sonsuz sayıda var olduğu öne sürülmektedir; bu önerme, 'ikiz asal hipotezi' olarak bilinir. Polignac hipotezi ise daha geniş bir perspektiften, her pozitif  k tam sayı değeri için, ardışık asal sayı çiftlerinin  2k farkla ayrıldığı durumların sonsuz sayıda olduğunu ifade etmektedir.
Andrica hipotezi, Brocard hipotezi, Legendre hipotezi ve Oppermann hipotezi,  1 ile  n arasındaki asal sayılar arasındaki maksimum boşlukların yaklaşık olarak en fazla  {\sqrt {n}} olması gerektiğini ileri sürmektedir; bu çıkarım, Riemann hipotezi çerçevesinde elde edilen bilinen bir sonuçtur. Ancak, daha iddialı olan Cramér hipotezi, en büyük boşluk boyutunu  O((\log n)^{2}) olarak tahmin etmektedir. İki asal sayı arasındaki boşluklar, asal sayıların arasındaki farkların desenlerini ifade eden asal  k-ikililer şeklinde genelleştirilebilir. Bu desenlerin sonsuz sayıda varlığı ve yoğunluğu, asal sayıların, asal sayı teoremi ile belirlenen yoğunluğa sahip rastgele bir sayı dizisi gibi davrandığını öneren sezgisel temellere dayanan ilk Hardy–Littlewood hipotezinin inceleme konusudur.
Analitik özellikler

Analitik sayı teorisi, sayı teorisini, sürekli fonksiyonlar, limitler, sonsuz seriler ve bunların yanı sıra sonsuzluk ve sonsuz küçük kavramlarıyla ilişkili matematiksel yapılar üzerinden detaylı bir şekilde araştırır.
Bu araştırma alanının kökenleri, Leonhard Euler'in Basel problemini çözümüyle ilişkilendirilen ilk önemli çalışmasına dayanır. İlgili sorun,  1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots , şeklinde ifade edilen sonsuz serinin değerinin ne olduğunu sorgulamaktadır; bu değer günümüzde Riemann zeta fonksiyonu'nun  \zeta (2) değeri olarak kabul edilmektedir. Söz konusu fonksiyon, asal sayılarla ve matematiğin en önemli çözülememiş problemlerinden biri olan Riemann hipotezi ile sıkı bir şekilde ilişkilidir. Euler'in bu konudaki katkısı,  \zeta (2)=\pi ^{2}/6 eşitliğini ispatlamasıyla öne çıkmaktadır. Bu sayının ters değeri olan  6/\pi ^{2}, geniş bir değer aralığından uniform dağılımla seçilen iki rastgele sayının birbirleriyle aralarında asal (yani ortak hiçbir çarpana sahip olmayan) olma ihtimalinin sınır değerini temsil etmektedir.
Büyük ölçekte asal sayıların dağılımı, örneğin belirli bir büyük eşik değerinden daha küçük olan asal sayıların sayısı gibi sorular, asal sayı teoremi tarafından açıklanmaktadır; fakat  n-inci asal sayıyı belirleyen etkin bir formül mevcut değildir. Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoreminin temel versiyonu, aralarında asal olan  a ve  b tam sayıları için
biçimindeki doğrusal polinomların sonsuz sayıda asal değere ulaştığını öne sürer. Teoremin ileri versiyonları, bu asal değerlerin terslerinin toplamının ıraksadığını ve aynı  b değerine sahip farklı doğrusal polinomların asal sayılar bakımından yaklaşık olarak aynı oranlara sahip olduğunu ifade eder.
Daha yüksek dereceli polinomlarda asal sayı oranlarına ilişkin varsayımlar ortaya konmuş olmakla birlikte, bu varsayımlar henüz kanıtlanmamıştır ve tam sayı girdileri için sonsuz kez asal olan bir kuadratik polinomun varlığı bilinmemektedir.
Analitik özellikler > Öklid teoreminin analitik ispatı

Euler'ın asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlama yöntemi, asal sayıların terslerinin toplamlarını incelemektedir,
Euler, herhangi bir reel sayı  x için, bu toplamın  x değerinden daha büyük olacağı bir asal  p sayısının mevcut olduğunu kanıtlamıştır.
Bu durum, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunun bir göstergesidir; zira sonlu sayıda asal sayı var olsaydı, bu toplam, her bir  x değerini aşmak yerine, en büyük asal sayıda en yüksek değerine erişirdi.
Bu serinin büyüme oranı, Mertens' ikinci teoremi ile daha detaylı bir biçimde tanımlanmıştır. Karşılaştırma amacıyla,
toplamı,  n sonsuza yaklaştıkça sonsuzluğa yönelmez (bkz. Basel problemi). Bu çerçevede, her iki küme de sonsuz sayıda olmasına rağmen, asal sayıların doğal sayı karelerine göre daha sıklıkla ortaya çıktığı görülmektedir.
Brun teoremi, ikiz asalların terslerinin toplamının,
sonlu bir değere sahip olduğunu ifade etmektedir. Brun teoremi nedeniyle, Euler metodunun, sonsuz sayıda ikiz asalın var olduğu iddiasını ele alan ikiz asal hipotezini çözümlemek amacıyla kullanılabilmesi mümkün değildir.
Analitik özellikler > Belirli bir üst sınıra kadar olan asal sayıların miktarı

Asal sayıları sayma fonksiyonu olarak adlandırılan  \pi (n),  n değerine eşit veya ondan küçük olan asal sayıların toplam sayısını ifade etmek için kullanılan bir fonksiyondur. Örnek olarak,  \pi (11)=5 olarak ifade edilir; zira 11 sayısına eşit veya bu sayıdan daha küçük olan beş adet asal sayı mevcuttur. Meissel–Lehmer algoritması gibi metodlar,  n'ye kadar olan asal sayıların her birini tek tek sıralamaktan çok daha hızlı bir şekilde  \pi (n) değerinin doğru hesaplamasını gerçekleştirebilir.
Asal sayı teoremine göre,  \pi (n) değeri,  n/\log n ifadesine asimptotiktir, yani
Bu durum,  \pi (n) ile sağ taraftaki ifadenin oranının,  n değeri sonsuzluğa ulaştıkça 1 değerine yakınsadığını ifade eder. Bu durum,  n değerinden daha küçük rastgele bir sayının asal sayı olma ihtimalinin, (yaklaşık olarak)  n sayısının basamak sayısına ters orantılı olduğunu göstermektedir.
Bu durum, aynı zamanda,  n sıradaki asal sayının büyüklüğünün  n\log n ile orantılı olduğunu ve bunun sonucu olarak, asal sayılar arasındaki ortalama boşluk büyüklüğünün  \log n ile orantılı olduğunu göstermektedir.  \pi (n) değerinin daha doğru bir tahmini, logaritmik integral kullanılarak sağlanmaktadır.
Analitik özellikler > Aritmetik diziler

Aritmetik dizi, dizide yer alan ardışık sayıların her biri arasında sabit bir fark bulunan, sonlu veya sonsuz bir sayılar dizisini ifade eder. Bu farka, dizinin modülü denir.

Örneğin,
9 modül değerine sahip bir sonsuz aritmetik diziyi temsil eder. Aritmetik bir dizideki sayılar, modül değerine bölündüklerinde aynı kalanı alır; bu durumun bir örneği olarak, kalanın 3 olduğu görülür. Modülün 9 ve kalanın 3 olması, her iki değerin de 3'ün katları olması anlamına gelir, bu yüzden dizideki her bir eleman da 3'ün katıdır. Bu sebeple, bu dizi sadece bir tek asal sayı içermektedir ki o da 3'tür. Genel anlamda, sonsuz dizi
ancak kalan  a ve modül  q birbirine göre asal olduğunda birden fazla asal sayı içerebilir. Eğer bu iki değer birbirine göre asal ise, Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi, ilerlemenin sonsuz sayıda asal sayı içerdiğini öne sürer.
İncelemiş olduğumuz yatay şeridin her bir sırası, modül 9'a göre mümkün olan dokuz farklı dizi ilerlemesinden bir tanesini temsil etmekte olup, asal sayılar kırmızı renkle vurgulanmıştır. Mod 9 değerleri 0, 3 veya 6 olan sayı dizileri, en fazla bir adet asal sayıyı (bu sayı 3'tür) barındırabilirken; mod 9 değerleri 2, 4, 5, 7 ve 8 olan sayı dizileri, her bir dizi içinde benzer asal sayı miktarlarıyla birlikte, sonsuz sayıda asal sayı içermektedir.
Green–Tao teoremi, yalnızca asal sayılardan müteşekkil ve herhangi bir uzunlukta olabilen sonlu aritmetik dizilerin mevcudiyetini ispatlamaktadır.
Analitik özellikler > Kuadratik polinomlar tarafından üretilen asal sayı değerleri

Euler,  n^{2}-n+41 biçiminde ifade edilen fonksiyonun  1\leq n\leq 40 aralığındaki n değerleri için asal sayı değerleri ürettiğine dikkat çekmiştir; bununla birlikte, bu fonksiyonun ileri değerleri arasında bileşik sayıların da yer aldığı gözlemlenmiştir. Bu fenomen için bir açıklama arayışı, Heegner sayıları ve sınıf sayısı problemi ile ilgili olarak, cebirsel sayı teorisinin derinliklerine dalmayı gerektirmiştir. Hardy–Littlewood F hipotezi, tam sayılı katsayılara sahip ikinci dereceden polinomların değerleri içerisindeki asal sayıların yoğunluğunun, logaritmik integral ve polinom katsayılarının fonksiyonu olarak öngörülmesine yöneliktir. Şu ana kadar, herhangi bir ikinci dereceden polinomun sonsuz sayıda asal sayı değeri ürettiği ispatlanamamıştır.
Ulam spirali, doğal sayıları, orijini çevreleyen konsantrik kareler halinde spiral bir düzende iki boyutlu bir ızgara üzerine yerleştirir ve asal sayıları belirginleştirir. Görsel bir inceleme sonucunda, asal sayıların belirli diyagonaller üzerinde, diğerlerine kıyasla daha yoğun bir şekilde gruplandığı görülmekte, bu durum bazı ikinci dereceden polinomların, diğerlerine nazaran daha sıklıkla asal değerler ürettiği yönünde bir izlenim uyandırmaktadır.
Analitik özellikler > Zeta fonksiyonu ve Riemann hipotezi

Ana madde: Riemann hipotezi
1859 yılından itibaren matematik alanında aydınlatılamamış en meşhur meselelerden biri, aynı zamanda Milenyum Problemleri arasında yer alan Riemann hipotezi, Riemann zeta fonksiyonu  \zeta (s)'nun sıfır noktalarının konumlarını sorgular.
Bu fonksiyon, karmaşık sayılar üzerinde tanımlı bir analitik fonksiyon niteliğindedir. Reel kısmı bir değerinden büyük  s karmaşık sayıları için, fonksiyon hem tüm tam sayılar üzerinden hesaplanan bir sonsuz seri, hem de asal sayılar üzerinden tanımlanan bir sonsuz çarpım ile ifade edilir,
Euler tarafından ortaya konulan bu toplam ile çarpım arasındaki denklik, Euler çarpımı olarak isimlendirilmiştir. Euler çarpımı, aritmetiğin temel teoremi sayesinde elde edilmiş olup, zeta fonksiyonunun asal sayılarla derinlemesine ilişkisini açığa çıkarır. Sonsuz sayıda asal sayı bulunması gerektiğini kanıtlama yolunda bu durum, eğer sadece sınırlı sayıda asal sayı varsa,
toplam-çarpım eşitliğinin  s=1 noktasında da geçerli olması gerekirken, toplamın diverjans gösterdiği (harmonik seri  1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots  gibi), çarpımın ise sonlu bir değer alması gerektiğiyle sonuçlanan bir çelişki ile karşı karşıya kalınır.
Riemann hipotezi, zeta fonksiyonunun sıfırlarının tamamının ya negatif çift sayılardan ya da reel kısımları 1/2'ye eşit olan karmaşık sayılardan oluştuğunu öne sürer. Asal sayı teoreminin ilk kanıtı, bu hipotezin bir versiyonuna, yani reel kısmı 1 olan sıfırların var olmadığı varsayımına dayanmaktaydı, fakat daha basit kanıtlar da ortaya konmuştur.
Asal sayı sayım fonksiyonu, Riemann'ın açık formülü aracılığıyla, zeta fonksiyonunun sıfırlarının her birinden bir terimin katkısıyla oluşan bir toplam şeklinde ifade edilebilir; bu toplamın temel bileşeni logaritmik integral olup, geri kalan terimler ana terimin üzerinde ve altında dalgalanmalara yol açar.
Bu bağlamda, sıfırların, asal sayıların dağılım düzenini belirlediği söylenebilir. Riemann hipotezi eğer doğruysa, bu dalgalanmalar minimale indirgenecek ve
asal sayıların asimptotik dağılımı, asal sayı teoreminin öngördüğü gibi,  x sayısına yakın aralıklarda (yaklaşık olarak  x sayısının karekökü büyüklüğündeki aralıklar için) da geçerli olacaktır.
Soyut cebir > Modüler aritmetik ve sonlu alanlar

Ana madde: Modüler aritmetik
Modüler aritmetik, modül olarak isimlendirilen bir doğal sayı  n için, yalnızca  {0,1,2,\dots ,n-1} sayılarının kullanıldığı, geleneksel aritmetik işlemlerin modifiye edilmiş bir şeklidir.
Diğer tüm doğal sayılar,  n ile bölme işlemi sonrasında elde edilen kalan değer ile bu sisteme dahil edilerek karşılıkları bulunur.
Modüler toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri, tam sayıların geleneksel toplama, çıkarma veya çarpma işlemlerinin sonucuna, bu sonucun modülünün alınarak yerine konulması yöntemiyle gerçekleştirilir.
Tam sayılar arasındaki eşitlik kavramı, modüler aritmetikte denklik olarak ifade edilir:
 x ile  y,  n ile bölündüklerinde aynı kalan değerine sahip olduklarında denk olmaları durumu ( x\equiv y mod  n şeklinde belirtilir).
Bu numaralandırma sisteminde, modül bir asal sayı olduğunda ve yalnızca o zaman, sıfır olmayan tüm sayılara bölme işlemi gerçekleştirilebilir. Mesela, modül olarak  7 asal sayısının seçilmesi durumunda,  3 sayısı ile bölme işlemi gerçekleştirilebilir:  2/3\equiv 3{\bmod {7}}, zira her iki tarafın da  3 ile çarpılması, paydalardaki terimlerin sadeleştirilmesi sonucunda  2\equiv 9{\bmod {7}} geçerli denklemini ortaya çıkarır. Ancak, bileşik bir modül olan  6 için,  3 ile bölme işlemi gerçekleştirilemez.  2/3\equiv x{\bmod {6}} denkleminin geçerli bir çözümü bulunmamaktadır: payda terimlerinin  3 ile çarpılması, denklemin sol tarafını  2 yaparken sağ tarafını  0 ya da  3 olarak değiştirir.
Soyut cebir terminolojisinde, bölme işleminin yapılabilir olması, bir asal sayının modülü altında modüler aritmetiğin bir alan, daha özgül bir ifadeyle bir sonlu alan oluşturduğu; ancak diğer modüllerin yalnızca bir halka sağladığı, fakat bir alan oluşturmadığı anlamına gelir.
Asal sayılarla ilgili birçok teorem, modüler aritmetik kullanılarak ifade edilebilir. Mesela, Fermat'nın küçük teoremi, eğer bir
 a\not \equiv 0 (mod  p) ise, o zaman  a^{p-1}\equiv 1 (mod  p) olacağını öne sürer.
Tüm  a değerleri için bu toplamın gerçekleştirilmesi, şu denklemi ortaya çıkarır:
bu denklem,  p asal sayı olduğu durumlarda geçerlidir.
Giuga hipotezi, bu denklemin,  p sayısının asal olması için yeterli bir koşul olduğunu ileri sürer. Wilson teoremine göre,  p>1 olan bir tam sayının asal olduğu; yalnız ve yalnız  (p-1)! faktöriyelinin,  p modunda  -1 ile denk olması durumunda geçerlidir. Bileşik bir sayı  ;n=r\cdot s; için bu durum söz konusu olamaz, zira bu sayının çarpanlarından birisi, hem n hem de  (n-1)!'i bölebilecek ve bu nedenle  (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}} eşitliği mümkün olmayacaktır.