Pi sayısı
Geçmiş > Sonsuz dizi

π hesaplamasında, 16. ve 17. yüzyıllarda sonsuz seriler tekniklerinin geliştirilmesiyle devrim yaratıldı. Sonsuz bir seri, sonsuz bir dizi terimlerinin toplamıdır. Sonsuz seriler, matematikçilerin π'yi Arşimet ve geometrik teknikler kullanan diğerlerinden çok daha yüksek bir hassasiyetle hesaplamasına izin verdi. Sonsuz seriler π için James Gregory ve Gottfried Wilhelm Leibniz gibi Avrupalı matematikçiler tarafından kullanılmasına rağmen, yaklaşım 14. veya 15. yüzyılda bir zaman Kerala astronomi ve matematik okulunda ortaya çıktı. MS 1500 civarında, Nilakantha Somayaji tarafından Tantrasamgraha'daki Sanskrit ayette π'yi hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz bir dizinin yazılı bir açıklaması ortaya kondu. Seriler kanıt olmadan sunulur, ancak kanıtlar MS 1530 civarında daha sonraki bir çalışma olan Yuktibhāṣā da sunulur. Sinüs (Nilakantha'nın Madhava'ya atfettiği), kosinüs ve artık bazen Madhava serisi olarak anılan arktanjant serileri dahil olmak üzere birkaç sonsuz seri açıklanmıştır. Arktanjant serisine bazen Gregory serisi veya Gregory-Leibniz serisi denir. Madhava, π'yi 1400 yılı civarında 11 haneye kadar tahmin etmek için sonsuz seriler kullandı.
1593'te François Viète, şimdi Viète'nin formülü olarak bilinen, sonsuz bir çarpım olan (daha tipik olarak π hesaplamalarında kullanılan sonsuz bir toplam yerine) aşağıdaki formülü yayınladı:
{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots
1655'te John Wallis, aynı şekilde sonsuz bir çarpım olan, şimdi Wallis çarpımı olarak bilinen aşağıdaki formülü yayınladı:
{\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots
1660'larda İngiliz bilim adamı Isaac Newton ve Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz, π'ye yaklaşmak için birçok sonsuz serinin geliştirilmesine yol açan kalkülüs'ü keşfetti. Newton'un kendisi, 1665 veya 1666'da π'nin 15 basamaklı bir yaklaşımını hesaplamak için bir arksinüs serisi kullandı, daha sonra bununla ilgili olarak "O zamanlar başka bir işim olmadığı için, bu hesaplamaları kaç rakama kadar yaptığımı size söylemeye utanıyorum" yazdı.
1671'de James Gregory bağımsız olarak, 1673'te Leibniz'te, arktanjant için Taylor serisi genişletmesini keşfetti:
\arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots
Bazen Gregory–Leibniz serisi olarak adlandırılan bu dizi, z = 1 ile değerlendirildiğinde π/4'e eşittir. Ancak z = 1 için pratik olmayacak şekilde yavaş yakınsar (yani, cevaba çok yavaş yaklaşır) ve her ek basamağı hesaplamak için yaklaşık on kat daha fazla terim gerekir.
1699'da İngiliz matematikçi Abraham Sharp, π'yi 71 haneye kadar hesaplamak için 



z
=


1

3





{\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}

 eşitliği ile Gregory–Leibniz serisini kullandı ve çokgen bir algoritma ile belirlenen 39 haneli önceki rekoru kırdı.
1706'da John Machin, çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullandı:
{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.
Machin bu formülle π'nin 100 basamağına ulaştı. Diğer matematikçiler, π basamaklarını hesaplamada birkaç ardışık rekor için kullanılan, şimdi Machin benzeri formül olarak bilinen varyantlar yarattı.
Isaac Newton, 1684'te Gregory-Leibniz serisinin yakınsamasını hızlandırdı (yayınlanmamış bir çalışmada; diğerleri sonucu bağımsız olarak keşfetti).
Leonhard Euler bu seriyi 1755 diferansiyel hesabı ders kitabında popüler hale getirdi ve daha sonra bunu Machin benzeri formüllerle kullandı, örneğin 






π
4



=
5
arctan
⁡



1
7



+
2
arctan
⁡



3
77



,


{\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{77}},}

 ile bir saatte π'nin 20 basamağını hesapladı.
Machin benzeri formüller, bilgisayar çağına kadar π'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kaldı ve 250 yıl boyunca rekorlar kırmak için kullanıldı ve 1946'da Daniel Ferguson tarafından 620 basamaklı bir yaklaşımla sonuçlandı. (bir hesaplama cihazının yardımı olmadan elde edilen en iyi yaklaşım).
1844'te, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un kontrolünde kafasında π'nin 200 ondalığını hesaplamak için bir Machin benzeri formül kullanan Zacharias Dase tarafından bir rekor kırıldı.
1853'te İngiliz matematikçi William Shanks, π'yi 607 basamak olarak hesapladı, ancak 528. basamakta bir hata yaparak sonraki tüm basamakların yanlış olmasına yol açtı. 1873'te ek 100 basamak hesaplayarak toplamı 707'ye çıkarsa da, önceki hatası tüm yeni basamakların da yanlış hesaplanmasına yol açtı.