Hesaplanabilir sayı
Rakam dizileri ve Cantor ile Baire uzayları

Turing'in orijinal makalesi hesaplanabilir sayıları şu şekilde tanımlamıştır:
Bir reel sayı, rakam dizisi bir algoritma ya da Turing makinesi tarafından üretilebiliyorsa hesaplanabilirdir. Algoritma, bir tam sayı  n\geq 1 girdisi alır ve reel sayının ondalık genişlemesinin  n-inci rakamını çıktı olarak üretir.
(a'nın ondalık genişlemesi yalnızca ondalık noktasından sonraki rakamlara atıfta bulunur.)
Turing, bu tanımının yukarıda sunulan  \epsilon -yaklaşım tanımıyla eşdeğer olduğunu biliyordu. Argüman şöyle ilerler: Eğer bir sayı Turing bağlamında hesaplanabilirse, o zaman  \epsilon  bağlamında da hesaplanabilir:  n>\log _{10}(1/\epsilon ) olduğunda, a sayısının ondalık genişlemesinin ilk n rakamı, a için bir  \epsilon  yaklaşımı temin eder. Tersini kanıtlamak için,  \epsilon  ile hesaplanabilir bir reel sayı a alınır ve ondalık noktasından sonra gelen ninci rakam kesin olana kadar giderek daha doğru yaklaşımlar üretilir. Bu işlem her zaman a ile eşit bir ondalık genişleme sağlar ancak yanlış bir biçimde sonsuz bir 9 dizisiyle sonlanabilir ki bu durumda, sonlu (ve bu nedenle hesaplanabilir) bir düzgün ondalık genişlemesi olmalıdır.
Reel sayıların belirli topolojik özellikleri göz önüne alınmadığında,  [0,1] içerisindeki reel sayılar yerine  2^{\omega } elemanlarıyla çalışmak sıklıkla daha avantajlıdır.  2^{\omega } elemanları, ikili ondalık genişlemelerle özdeşleştirilebilir; ancak  .d_{1}d_{2}\ldots d_{n}0111\ldots  ve  .d_{1}d_{2}\ldots d_{n}10 ondalık genişlemeleri aynı reel sayıyı temsil ettiğinden,  [0,1] aralığı yalnızca sonu tümüyle 1'lerle bitmeyen  2^{\omega } alt kümesiyle bijektif (ve alt küme topolojisi altında homeomorfik) bir biçimde özdeşleştirilebilir.
Ondalık genişlemelerin bu karakteristiği, ondalık genişleme temelinde tanımlanan hesaplanabilir reel sayılar ile  \epsilon  yaklaşımı kavramı temelinde tanımlananlar arasında etkin bir şekilde ayrım yapılmasının mümkün olmadığını ortaya koymaktadır. Hirst, a hesaplanabilir sayısı için  \epsilon  yaklaşımları üreten bir Turing makinesinin açıklamasını girdi olarak alan ve Turing'in tanımı çerçevesinde a sayısının rakamlarını enumerate eden bir Turing makinesi üreten bir algoritmanın var olmadığını ispatlamıştır. Aynı şekilde, bu durum, hesaplanabilir reel sayılar üzerindeki aritmetik işlemlerin, ondalık sayılar eklenirken karşılaşılan durumda olduğu gibi, bu sayıların ondalık temsilleri üzerinde etkin olmadığını da göstermektedir. Tek bir rakam elde etmek için, mevcut konuma bir taşımanın olup olmadığını tespit etmek amacıyla sağa doğru keyfi bir mesafe bakılması gerekebilir. Bu düzensizlik, çağdaş hesaplanabilir sayı tanımının ondalık genişlemeler yerine  \epsilon  yaklaşımlarını tercih etmesinin temel sebeplerinden biridir.
Hesaplanabilirlik teorisi veya ölçüm teorisi açısından,  2^{\omega } ve  [0,1] yapılarının özdeş olduğu kabul edilir. Bu bağlamda, hesaplanabilirlik teorisyenleri, genellikle  2^{\omega } kümesinin elemanlarına reel sayılar olarak referans verirler. Her ne kadar  2^{\omega }, tamamen bağlantısız bir uzay olsa da,  \Pi _{1}^{0} sınıfları veya rastlantısallıkla ilgili soruların ele alınması  2^{\omega } çerçevesinde daha mümkündür.
Öte yandan,  \omega ^{\omega } elemanlarına da zaman zaman reel sayılar denilmekte olup, bu yapı  \mathbb {R} 'nin bir homeomorfik yansımasını içermesine rağmen, yerel olarak kompakt olmaktan uzaktır (aynı zamanda tamamen bağlantısızdır). Bu durum, hesaplama özellikleri açısından belirgin farklılıklara neden olmaktadır. Örneğin,  \phi (x,n) niceliksiz ifadesiyle  \forall (n\in \omega )\phi (x,n) koşulunu sağlayan  x\in \mathbb {R} , hesaplanabilir niteliktedir. Buna karşın, evrensel bir formülü sağlayan tekil  x\in \omega ^{\omega } elemanı, hiperaritmetik hiyerarşi içerisinde keyfi bir yüksekliğe sahip olabilir.