Alfred Tarski
Matematikçi

Tarski'nin matematiksel ilgi alanları son derece genişti. Derlenmiş makaleleri, çoğu mantık değil matematik üzerine olmak üzere yaklaşık 2.500 sayfaya yayılıyor. Tarski'nin matematiksel ve mantıksal başarılarının eski öğrencisi Solomon Feferman tarafından kısa bir incelemesi için bkz. Feferman ve Feferman'daki "Interludes I – VI".
Tarski'nin 19 yaşında yayınlanan ilk makalesi, hayatı boyunca geri döndüğü bir konu olan küme teorisi üzerineydi.[kaynak belirtilmeli]. 1924'te, o ve Stefan Banach, Seçim Aksiyomu kabul edilirse, bir topun sınırlı sayıda parçaya bölünebileceğini ve daha sonra daha büyük boyutlu bir top halinde yeniden birleştirilebileceğini veya alternatif olarak iki top halinde yeniden birleştirilebileceğini kanıtladılar. her biri orijinal boyuta eşit boyuttadır. Bu sonuç artık Banach-Tarski paradoksu olarak adlandırılıyor.
Temel cebir ve geometri için bir karar yönteminde Tarski, niceleyici eleme yöntemi ile toplama ve çarpma altındaki gerçel sayıların birinci dereceden teorisinin karar verilebilir olduğunu gösterdi. (Bu sonuç sadece 1948'de ortaya çıkarken, geçmişi 1930'a dayanıyor ve Tarski'de (1931) bahsediliyor.) Bu çok ilginç bir sonuç, çünkü Alonzo Church 1936'da Peano aritmetiğinin (doğal sayılar teorisi) karar verilemeyeceğini kanıtladı. Peano aritmetiği, Gödel'in eksiklik teoremi tarafından da eksiktir. 1953 Kararsız teoriler (Undecidable theories)’inde Tarski ve ark. kafes teorisi, soyut projektif geometri ve kapanış cebirleri dahil olmak üzere birçok matematiksel sistemin karar verilemez olduğunu gösterdi. Abelyen gruplar teorisi karar verilebilir, ancak Abelyen olmayan grupların teorisi karar verilebilir değildir.
1920'lerde ve 30'larda Tarski genellikle lise geometri dersi verirdi. Tarski, 1926'da Mario Pieri'nin bazı fikirlerini kullanarak, Hilbert'inkinden çok daha özlü olan düzlem Öklid geometrisi için orijinal bir aksiyomatizasyon tasarladı. Tarski'nin aksiyomları, küme teorisinden yoksun, bireyleri nokta olan ve yalnızca iki ilkel ilişkiye sahip birinci dereceden bir teori oluşturur. 1930'da, bu teorinin karar verilebilir olduğunu kanıtladı, çünkü daha önce karar verilebilir olduğunu kanıtladığı başka bir teoriye, yani birinci dereceden gerçek sayı teorisine eşlenebilir.
1929'da Öklid katı geometrisinin çoğunun, bireyleri küreler (bir ilkel kavram), tek bir ilkel ikili ilişki "içinde bulunan" ve diğer şeylerin yanı sıra, çevrelemenin küreleri kısmen düzenlediğini ima eden iki aksiyom olan birinci dereceden bir teori olarak yeniden biçimlendirilebileceğini gösterdi. Tüm bireylerin küre olması gerekliliğini gevşetmek, Lesniewski'nin varyantından çok daha kolay ifşa edilmesi için mereolojinin resmîleştirilmesini sağlar. Tarski, hayatının sonlarına doğru Tarski ve Givant (1999) adıyla yayımlanan çok uzun bir mektup yazdı ve geometri üzerine yaptığı çalışmaları özetledi.
Kardinal Cebri (Cardinal Algebras), modelleri kardinal sayıların aritmetiğini içeren cebirleri inceledi. Ordinal Cebir (Ordinal Algebras), sıralama türlerinin toplamsal teorisi için bir cebir ortaya koyar . Kardinal, ancak ordinal değil, toplama takas edilir.
1941'de Tarski, binary ilişkiler üzerine önemli bir makale yayınladı ve ilişki cebiri ve onun metamatematiği üzerine çalışmaya başladı. Bu, Tarski ve öğrencilerini hayatının dengesinin büyük bir bölümünde meşgul etti. Bu keşif (ve Roger Lyndon'ın yakından ilgili çalışması) ilişki cebirinin bazı önemli sınırlamalarını ortaya çıkarırken, Tarski ayrıca (Tarski ve Givant 1987) ilişki cebirinin çoğu aksiyomatik küme teorisini ve Peano aritmetiğini ifade edebileceğini gösterdi. İlişki cebirine giriş için bkz. Maddux (2006). 1940'ların sonlarında, Tarski ve öğrencileri, klasik cümle mantığına göre İki elemanlı Boole cebrinin ne olduğu, birinci dereceden mantık için silindirik cebirler tasarladılar. Bu çalışma Tarski, Henkin ve Monk'un (1971, 1985) iki monografında doruğa ulaştı.