Bell teoremi
Varyasyonlar ve ilgili sonuçlar > Bell (1964)

Bell'in 1964 tarihli makalesi, sınırlı koşullar altında, yerel gizli değişken modellerinin kuantum mekaniğinin tahminlerini yeniden üretebileceğine işaret ediyor. Daha sonra bunun genel olarak doğru olamayacağını gösterir. Bell, Einstein–Podolsky–Rosen (EPR) düşünce deneyinin David Bohm tarafından geliştirilmiş hali üzerinde duruyor. Bu senaryoda, bir çift parçacık, bir spin tekli durumu (dolaşnık duruma bir örnektir) tarafından tanımlanacak şekilde birlikte oluşturulur. Parçacıklar daha sonra zıt yönlerde birbirinden uzaklaşır. Her parçacık bir Stern–Gerlach cihazı ile ölçülür; bu, farklı yönlerde yönlendirilebilen ve  +1 ve  -1 ile gösterilebilen iki olası sonuçtan birini raporlayan bir ölçüm aletidir. Her ölçüm aletinin konfigürasyonu bir birim vektör ile temsil edilir ve  {\vec {a}} ve  {\vec {b}} ayarlarına sahip iki dedektör arasındaki korelasyon için kuantum mekanik tahmini 
 P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,.'dir
Özellikle, iki dedektörün oryantasyonu aynıysa ( {\vec {a}}={\vec {b}}), o zaman bir ölçümün sonucu, diğerinin sonucunun negatifi olacağı kesindir ve  P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1'i verir. Ve eğer iki detektörün yönelimleri ortogonal ( {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0) ise, o zaman sonuçlar ilintisizdir ve  P({\vec {a}},{\vec {b}})=0'dır. Bell, bu özel durumların gizli değişkenler açısından açıklanabileceğini örneklerle kanıtlıyor, ardından ara açıları içeren tüm olasılıkların açıklanamayacağını göstermeye devam ediyor.
Bell, bu korelasyonlar için yerel bir gizli değişken modelinin, bunları  \lambda  gizli parametresinin olası değerleri üzerinden bir integral olarak açıklayacağını öne sürdü:
 P({\vec {a}},{\vec {b}})=\int d\lambda \,\rho (\lambda )A({\vec {a}},\lambda )B({\vec {b}},\lambda )\,,
burada  \rho (\lambda ) bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. İki işlev  A({\vec {a}},\lambda ) ve  B({\vec {b}},\lambda ), yönlendirme vektörleri ve gizli değişken verilen iki dedektörün yanıtlarını sağlar: 
 A({\vec {a}},\lambda )=\pm 1,\,B({\vec {b}},\lambda )=\pm 1\,.
En önemlisi,  A dedektörünün sonucu  {\vec {b}}'ye bağlı değildir ve benzer şekilde  B'ün sonucu  {\vec {a}}'e bağlı değildir, çünkü iki dedektör fiziksel olarak ayrılmıştır. Şimdi, deneyi yapan kişinin ikinci dedektör için bir ayar seçeneğine sahip olduğunu varsayalım:  {\vec {b}} veya  {\vec {c}}. Bell, bu iki dedektör ayarı seçeneği arasındaki korelasyon farkının aşağıdaki eşitsizliği karşılaması gerektiğini kanıtlıyor.
 |P({\vec {a}},{\vec {b}})-P({\vec {a}},{\vec {c}})|\leq 1+P({\vec {b}},{\vec {c}})\,.
Ancak, kuantum mekaniğinin Bell eşitsizliğini ihlal ettiği durumları bulmak kolaydır. Örneğin,  {\vec {a}} ve  {\vec {b}} vektörlerinin ortogonal olduğunu ve  {\vec {c}}'ün onların kendi düzlemlerinde her ikisinden de 45° açıda olduğunu varsayalım. Bu durumda
 P({\vec {a}},{\vec {b}})=0\,,
 P({\vec {a}},{\vec {c}})=P({\vec {b}},{\vec {c}})=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,,
iken
ancak
 {\frac {\sqrt {2}}{2}}\nleq 1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\,.
Bu nedenle, tüm  {\vec {a}},  {\vec {b}} ve  {\vec {c}} seçimleri için kuantum mekaniğinin tahminlerini yeniden üretebilen yerel bir gizli değişken modeli yoktur. Deneysel sonuçlar klasik eğrilerle çelişir ve deneysel eksiklikler hesaba katıldığı sürece kuantum mekaniği tarafından tahmin edilen eğriyle eşleşir.
Bell'in 1964 teoremi, mükemmel anti-korelasyon olasılığını gerektirir: birincinin sonucunu bilerek, ikinci detektörün sonucu hakkında bir olasılık tahmini yapma yeteneği. Bu, Einstein, Podolsky ve Rosen tarafından 1935 tarihli bir makalede tanıtılan bir kavram olan "EPR gerçeklik kriteri" ile ilgilidir. Bu makale, "Bir sistemi herhangi bir şekilde bozmadan, fiziksel bir niceliğin değerini kesin olarak (yani, bire eşit olasılıkla) tahmin edebiliyorsak, o zaman o niceliğe karşılık gelen bir gerçeklik unsuru vardır" diyor.