Ramsey teorisi
Kanıt

Kanıt, iki aşamada gerçekleşir. Birinci aşamada, sonsuz tane   a_{0},a_{1},a_{2}...,a_{i},a_{i+1},a_{j+2},... noktası alınır, her  a_{i} kendisinden sonra gelen   a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3},... noktalarıyla aynı renk çizgiyle (ya hep kırmızı, ya hep mavi çizgiyle) bağlanmıştır.
 a_{0}  herhangi bir nokta olsun .  a_{1},a_{2},a_{3},... noktaları öyle seçilmeli ki,  a_{0} noktası bu noktalarla hep aynı renk çizgiyle bağlanmış olsun.
a_{0} noktası, (kişileri simgeleyen) öbür noktalarla ya kırmızı ya da mavi bir çizgiyle bağlanmıştır. Sonsuz tane nokta olduğundan ve yalnızca iki tane bağlantı rengi olduğundan,  a_{0}'ın aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır.  a_{0}'ın hep aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz bir nokta kümesi alalım. Bu kümeye  A_{0} diyelim. Demek ki,  a_{0},  A_{0}'ın noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.
a_{0} noktasından sonraki   a_{1},a_{2},a_{3},... noktalarını   A_{0}kümesinden seçelim. Böylece  a_{0} noktası istenen koşulu sağlar.
A_{0}'dan herhangi bir  a_{1} noktası alalım.  a_{1} noktası,  A_{0}'ın öbür noktalarına ya kırmızı ya da mavi bir renkle bağlanmıştır.  A_{0}'da sonsuz tane nokta olduğundan ve yalnızca iki rengimiz olduğundan,  A_{0} kümesinde,  a_{1}'in aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. Yani, ya 
{a∈ A_{0}:  a_{1} noktası a'yla kırmızı bir çizgiyle bağlanmış} kümesi ya da {a∈ A_{0}:  a_{1} noktası a'yla mavi bir çizgiyle bağlanmış }  kümesi sonsuzdur. Bu kümelerden sonsuz olanına  A_{1} diyelim. Demek ki,  a_{1},  A_{1}'in noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.
a_{2},a_{3},a_{4},... noktaları da   A_{1} kümesinden seçilir  ve böylece yukarıdaki koşul  a_{1} için sağlanmış olur.
A_{1}'den herhangi bir  a_{2} noktası alalım.  a_{2} noktası  A_{1}'in öbür noktalarıyla ya kırmızı ya da mavi bir çizgiyle bağlanmıştır.  A_{1}'de sonsuz nokta olduğundan ve yalnızca iki rengimiz olduğundan,  A_{1}'de,  a_{1}'in hep aynı renkle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. Bir başka deyişle, ya 
{a∈ A_{1}:  a_{2} noktası a'yla kırmızı bir çizgiyle bağlanmış} kümesi ya da 
{a∈ A_{1}:  a_{2} noktası a'yla mavi bir çizgiyle bağlanmış} kümesi sonsuzdur. Bu kümelerden sonsuz olanına  A_{2} diyelim. Demek ki,  a_{2},  A_{2}'nin noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.
a_{3},a_{4},a_{5}... noktalarını  A_{2}'de seçilir ve böylece yukarıdaki koşul  a_{2} için sağlanmış olur.
A_{2}'den herhangi bir  a_{3} noktası alalım. Yukarıda yapılanları  a_{3} ve  A_{2} için yapalım.  A_{2}'nin içinde, öyle bir sonsuz  A_{3} kümesi bulalım ki,  a_{3},  A_{3}'ün her noktasıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmış olsun. Bunu böylece sonsuza kadar  sürdürebiliriz. Demek ki, öyle   a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...,a_{i},a_{i+1},a_{i+2},...noktaları bulunur  ki, her nokta kendisinden sonra gelen noktalarla aynı renk çizgiyle bağlanmış olur.
Kanıtın birinci aşaması tamamlandı. İkinci aşama:
Seçilen  a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},... noktalarının her birine bir renk verilir. Eğer bir nokta kendisinden sonra gelen noktalarla hep kırmızı çizgiyle bağlanmışsa, o noktaya kırmızı nokta diyelim. Yoksa, o noktaya mavi nokta diyelim. Örneğin, eğer  a_{0} noktası, kendisinden sonra gelen  a_{1},a_{2},a_{3},... noktalarıyla hep kırmızı bir çizgiyle bağlanmışsa,  a_{0} noktası kırmızı noktadır. Eğer  a_{5} noktası kendisinden sonra gelen  a_{6},a_{7},a_{8},... noktalarıyla hep mavi çizgiyle bağlanmışsa,  a_{5} noktası mavi noktadır.
Sonsuz sayıda  nokta olduğundan ve yalnızca iki renk olduğundan,  a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},... noktalarından sonsuz tanesi aynı renk noktadır. Bir başka deyişle, ya kırmızı noktalar kümesi ya da mavi noktalar kümesi sonsuzdur. Matematiksel olarak, ya  { a_{i}:  a_{i} kırmızı bir nokta} ya  da   { a_{i}:  a_{i} mavi bir nokta} kümesi sonsuzdur. İki küme birden de sonsuz olabilir, ama en azından birinin sonsuz olduğunu biliyoruz. İki kümeden sonsuz olanını alalım. Öbür noktaları atalım. Noktaları yeniden adlandırarak, her noktanın aynı renk olduğunu varsayalım, hepsi kırmızı olsun. Demek ki,  a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},... noktalarının her birinin kırmızı olduğunu varsaydık. Bu kümeden iki nokta alalım:  a_{i} ve  a_{j}. i, j'den daha küçük.  a_{i}, kırmızı bir nokta olsun.  a_{i} noktası  a_{j}noktasıyla kırmızı bir çizgiyle bağlanır. Demek ki yukarıdaki sonsuz nokta birbirleriyle aynı renk çizgiyle (kırmızıyla) bağlanmıştır. Ramsey'in teoremi kanıtlanmış oldu.