Knidoslu Ödoksus
Bilimsel çalışmaları > Matematik

Eudoxus, bazıları tarafından klasik Yunan matematikçilerinin en büyüğü olarak kabul edilir ve tüm Antik Çağ'da sadece Arşimet'ten sonra ikinci sırada yer alır. Eudoxus, muhtemelen Öklid'in Elementler V. kitabının çoğunun kaynağıydı. Antiphon'un, sonraki yüzyılda Arşimet tarafından ustaca bir şekilde kullanılan integral hesabın bir öncüsü olan tükenme yöntemini titizlikle geliştirdi. Yöntemi uygularken, Eudoxus aşağıdaki gibi matematiksel ifadeleri kanıtladı:
dairelerin alanları, yarıçaplarının kareleri ile birbirine orantılıdır,
kürelerin hacimleri, yarıçaplarının küpleri ile birbirine orantılıdır,
bir piramidin hacmi, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir prizmanın hacminin üçte biridir,
bir koninin hacmi, karşılık gelen silindirin üçte biridir.
Eudoxus, çizgiler, açılar, alanlar ve hacimler gibi sürekli geometrik varlıkları tanımlamak ve bunlarla çalışmak için ölçülmemiş matematiksel büyüklük fikrini ortaya attı, böylece irrasyonel sayıların kullanımından kaçındı. Bunu yaparken, Pisagor'un sayı ve aritmetik üzerindeki vurgusunu tersine çevirdi ve bunun yerine katı matematiğin temeli olarak geometrik kavramlara odaklandı. Eudoxus'un öğretmeni Archytas gibi bazı Pisagorcular sadece aritmetiğin ispatlara temel oluşturabileceğine inanıyordu. Ölçülemez miktarları anlama ve bunlarla çalışma ihtiyacının neden olduğu Eudoxus, açık aksiyomlar temelinde matematiğin ilk tümdengelimli düzeni olabilecek şeyi kurdu. Eudoxus'un odak noktasındaki değişiklik, matematikte iki bin yıl süren bir bölünmeyi tetikledi. Pratik sorunlarla ilgilenmeyen bir Yunan entelektüel yaklaşımı ile birlikte, aritmetik ve cebirdeki tekniklerin gelişiminde önemli bir gerileme yaşandı.
Pisagorcular, bir karenin köşegeninin karenin kenarlarıyla ortak bir ölçü birimine sahip olmadığını keşfetmişlerdi; bu, 2'nin karekökünün iki tam sayının oranı olarak ifade edilemeyeceğinin ünlü keşfidir. Bu keşif, tam sayıların ve rasyonel kesirlerin ötesinde ölçülemez büyüklüklerin varlığını müjdelemişti, ancak aynı zamanda bir bütün olarak geometride ölçüm ve hesaplamalar fikrini de sorguladı. Örneğin, Öklid, Pisagor teoreminin (Elementler I.47) ayrıntılı bir ispatını, alanların toplamasını kullanarak ve ancak çok daha sonra (Elementler VI.31), doğru parçalarının oranlarına dayanan benzer üçgenlerden daha basit bir kanıt sağlar.
Antik Yunan matematikçiler bugün yaptığımız gibi miktarlar ve denklemlerle hesaplama yapmadılar, bunun yerine nicelikler arasındaki ilişkiyi ifade etmek için orantıları kullandılar. Dolayısıyla, bugün düşündüğümüz gibi, iki benzer büyüklüğün oranı sadece sayısal bir değer değildi; iki benzer niceliğin oranı, aralarındaki ilkel bir ilişkiydi.
Eudoxus, iki oran arasındaki eşitliğin anlamı için şaşırtıcı bir tanım sağlayarak orantılılıkların kullanımına olan güveni yeniden sağladı. Bu oran tanımı, Öklid'in Elementler'inin V. kitabı'nın konusunu oluşturur.
Öklid'in V. kitabının 5. tanımında şunu okuyoruz:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ | Büyüklükleri aynı oranda olduğunda, birinci ile üçüncüden alınan eş çarpanlar ne olursa olsun ve ikinci ile dördüncünün eş çarpanları ne olursa olsun, eski eş çarpanlar aynı şekilde artar, benzer sırayla alınan ikinci eş çarpanlar benzer olurlar, veya benzer şekilde azalırlar. | „ |

Modern zaman gösterimini kullanılarak bu, aşağıdaki gibi açıklığa kavuşturulur. Dört miktar alırsak:  a,  b,  c ve  d, o zaman birinci ve ikincinin bir oranı olur  {\frac {a}{b}}; benzer şekilde üçüncü ve dördüncü de  {\frac {c}{d}}gibi bir orana sahiptir.
Şimdi  {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}} olduğunu söylersek Aşağıdakileri yaparız: Herhangi iki rastgele tam sayı için,  m ve  n, birinci ve üçüncünün  m\cdot a ve  m\cdot c eş çarpanlarını oluştururuz; benzer şekilde ikinci ve dördüncü  n\cdot b ve  n\cdot d eş çarpanlarını oluşturur.
Eğer  m\cdot a>n\cdot b olursa, o zaman  m\cdot c>n\cdot d'ye de sahip olmamız gerekir. Eğer  m\cdot a=n\cdot b olursa, o zaman  m\cdot c=n\cdot d'ye de sahip olmamız gerekir. Son olarak, eğer  m\cdot a<n\cdot b olursa, o zaman  m\cdot c<n\cdot d'ye de sahip olmamız gerekir.
Tanımın benzer miktarlar  m\cdot a ve  n\cdot b ile benzer miktarlar  m\cdot c ve  n\cdot d'yi karşılaştırmaya bağlı olduğuna ve bu miktarları ölçmek için ortak bir birimin varlığına bağlı olmadığına dikkat edin.
Tanımın karmaşıklığı, ilgili derin kavramsal ve metodolojik yeniliği yansıtır. Öklid'in paralelliklerle ilgili meşhur beşinci postülatını akla getiriyor ki bu tanım, ifadeleri açısından diğer postülalardan daha kapsamlı ve karmaşıktır.
Eudoxus'un orantılılık tanımı, modern limit ve sürekliliğin epsilon-delta tanımlarında olduğu gibi, sonsuz ve sonsuz küçük olanı kullanmak için "her bir ... için" niceleyiciyi kullanır.
Ek olarak, Öklid'in V. kitabının 4. tanımı olarak belirtilen Arşimet özelliği, aslında Arşimet'e değil, Eudoxus'a aittir.