Temel grup
Yollar ve Homotopiler > Homeomorfizma > Önermeler

\operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) kümesi fonksiyon bileşkesi  \circ   altında bir gruptur.
Kanıtı için, önce  \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) kümesinin  \circ  işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi  f,g\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) seçelim.  f\circ g\colon I\to I\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) olduğunu göstereceğiz.
f, daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde  g için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından  f\circ g fonksiyonu da artan olur.
İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan  f\circ g fonksiyonu da sürekli olur.
Öte yandan,  f^{-1} ve  g^{-1} fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde  (f\circ g)^{-1}=  g^{-1}\circ f^{-1} fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak  f\circ g\colon I\to I\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)  elde ederiz.
Şimdi ( \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I),\circ ) kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.
•Bileşim özelliği: Herhangi  f,g,h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) seçelim. Rastgele bir  x\in I elemanı alalım. O halde,
•  h\circ (g\circ f)(x)=h(g\circ f(x))=h(g(f(x))) ve
•  (h\circ g)\circ f(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x))) olduğundan her  x\in I için  h\circ (g\circ f)(x)=(h\circ g)\circ f(x) olur.
•Birim eleman:  \operatorname {Id} \colon I\to I fonksiyonu,  \operatorname {Id} (x)=x olduğunda ( \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I),\circ )’nun birim elemanıdır çünkü  \operatorname {Id}  (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.
Öte yandan  \operatorname {Id} ^{-1}\colon I\to I ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her  x\in I için  \operatorname {Id} ^{-1}(x)=\operatorname {Id} (x)\Leftrightarrow \operatorname {Id} ^{-1}=\operatorname {Id} .
Sonuç olarak her  x\in I için  (f\circ \operatorname {Id} )(x)=f(\operatorname {Id} (x))=f(x),(\operatorname {Id} \circ f)(x)=\operatorname {Id} (f(x))=f(x) olmaktadır.
•Terslenebilme: Herhangi bir  f\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) alalım.  \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I)’ın tanımından dolayı,  f’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve  f^{-1}’in de sürekli olduğunu biliyoruz.
f^{-1}\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için,  f^{-1}’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir.
Herhangi  x,y\in I alalım ve  x<y olduğunu varsayalım.  f^{-1}(x)<f^{-1}(y) olduğunu gösterelim.
f daima artandır ve  x<y olduğu için  f(x)<f(y) olur.  f’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı  f(a)=x ve  f(b)=y olan biricik  a,b\in I elemanları vardır.
f daima artan ve  x<y olduğu için,  f(a)<f(b) olur. Bu yüzden  a<b  ve   f^{-1}(x)<f^{-1}(y) olur. Sonuç olarak,  \circ  işlemi altında  \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) bir gruptur.
Eğer  h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) ise  h(0)=0 ve  h(1)=1 olur.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi  h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) alalım; yani  h\colon I\to I sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde  f^{-1}’ fonksiyonu da süreklidir.
h(0)\neq \{0,1\} olsun ki bu  h(0)=x\in (0,1) anlamına gelir.  (0,1] aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz. O zaman  h sürekli olduğundan  h((0,1])’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.
h birebir ve örten olduğundan,  h((0,1])=[0,x)\cup [x,1] olur. Fakat  [0,x)\cup [x,1] bağlantılı değildir. Bu yüzden  h(0)\neq {0,1} varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani  h(0)=\{0,1\} olur.
Şimdi  h(0)=0 olduğunu gösterelim.  h(0)=1 olduğunu varsayalım.  h fonksiyonu daima artan ve  0<1 olduğundan,  h(0)<h(1)olur; bu da  1<h(1)demektir.
h\colon [0,1]\to [0,1] olduğundan  h(1) değeri  1’den büyük olamaz. O halde  h(0)=0 olur. Aynı muhakeme ile  h(1)=1 sonucu elde edilir.
Sonuç olarak, her  h\in \operatorname {Homeo} ^{+}(I,I) için,  h(0)=0 ve  h(1)=1 olur.