stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
สมเด็จพระราชินีนาถมาร์เกรเธอที่ 1 แห่งเดนมาร์ก
สวรรคต

ในปีค.ศ. 1412 พระนางมาร์เกรเธอทรงพยายามเรียกร้องดินแดนดัชชีชเลสวิชคืน จึงทรงประกาศสงครามกับฮ็อลชไตน์ ก่อนหน้านั้นทรงพยายามเรียกคืนดินแดนฟืนแลนด์และกอตแลนด์ ในขณะที่ทรงกำลังจะชนะสงคราม พระนางมาร์เกรเธอสวรรคตอย่างกระทันหันบนเรือพระที่นั่งที่เมืองท่าเฟล็นส์บวร์ค
ในเดือนตุลาคม ค.ศ. 1412 พระนางทรงล่องเรือไปยังซีแลนด์ ในบันทึก Trinity ระบุว่าพระนางทรงมีกรณีพิพาทหลายเรื่อง ซึ่งเป็นปัญหาเกี่ยวกับการเมือง เมื่อทรงเสด็จขึ้นเรือเพื่ออกจากท่าเรือไป พระนาง "ประชวรอย่างกะทันหันและรุนแรง" พระนางมาร์เกรเธอทรงทราบว่านี้เป็นจุดจบของพระชนม์ชีพของพระนาง พระนางจึงมีรับสั่งให้นำเงินจำนวน 37 มาร์กไปบริจาคตามอารามใกล้ๆแคมเปน เพื่อประกอบศีลมหาสนิทสุดท้ายของพระนาง นอกจากนี้ไม่มีการบันทึกทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับรายละเอียดการสวรรคตของพระนาง พระนางมาร์เกรเธอสวรรคตในวันที่ 28 ตุลาคม ค.ศ. 1412 โดยมีการสวดภาวนาถึงนักบุญซีโมนเศโลเทและยูดาอัครทูต มีการบรรยายถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปได้คือเกิดโรคระบาด หรือทรงตกพระทัยจากการตายของอับราฮัม บรอเดอร์สันที่ปรึกษาคนสนิทของพระนาง หรือบ้างก็ว่าทรงถูกลอบวางยาพิษโดยกษัตริย์อีริค
โลงหินของพระนางนั้นแกะสลักโดยโจฮันเนส จุนเก ประติมากรชาวลือแบร์ก ในปี 1423 และประดิษบานเบื้องหลังแท่นบูชาสูงของมหาวิหารรอสกิลด์ ใกล้เมืองโคเปนเฮเกน พระนางทรงพระราชทานทรัพย์สมบัติแก่มหาวิหารเพื่อประกอบศีลมหาสนิทซึ่งเป็นสิ่งที่พระนางพึงปฏิบัติบ่อยครั้งและดำเนินประกอบพิธีศีลต่อไปเรื่อยๆหลังสวรรคตไปแล้ว แต่ก็ต้องหยุดลงในปี 1536 ระหว่างการปฏิรูปศาสนาฝ่ายโปรเตสแตนต์ แต่ก็มีการสั่นระฆังดังสองครั้งต่อวันเพื่อเป็นการระลึกถึงพระนาง
รูปลักษณ์และบุคลิกภาพ

มีการบรรยายว่าพระนางเป็นสตรีที่ทรงพระสิริโฉม มีพระเกศาสีดำ พระเนตรดำ ทรงมีสายพระเนตรที่ข่มขู่ให้กลัว และทรงมีรัศมีของความเป็นผู้นำที่มีอำนาจเด็ดขาด พระนางทรงมีพระพลานามัยแข็งแรงในช่วงวัยชรา มีความเป็นเผด็จการ และไม่ทรงย่อท้อต่อเรื่องใดๆ ด้วย "สติปัญญาที่แหลมคมเหมือนบุรุษ" และยังทรงถูกบรรยายว่าทรงเฉลียวฉลาด ยุติธรรม มีไหวพริบและมีเมตตา  ฮัดสัน สตรอด์เขียนว่า "พระนางมาร์เกรเธอทรงเป็นเหมือนนักบุญบริจิต คือมีความไม่ย่อท้อเหมือนบุรุษเพศ ซึ่งทำให้ทรงมีความแข็งแกร่งโดยไม่ต้องสงสัย ไม่มีข้าราชการชายคนใดทำงานหนักเท่า พระนางทรงใช้ความสามารถเชิงสร้างสรรค์ ความสามารถทางการทูต และความตั้งมั่นในการทำให้สหภาพประสบความสำเร็จและสามารถรักษาอภิสิทธิ์ของพระมหากษัตริย์ได้ด้วย"
ความคลุมเครือเกี่ยวกับพระอิสริยยศ

ในเดนมาร์ก พระนางมาร์เกรเธอทรงถูกเรียกว่า "ท่านหญิงพระประมุขและลอร์ด และผู้พิทักษ์แห่งราชอาณาจักรเดนมาร์กทั้งมวล" (ต่อมาในนอร์เวย์และสวีเดนก็มีพระอิสริยยศคล้ายกัน) เป็นความพิเศษเมื่อมีคตำแหน่งของทั้งสองเพศในอิสริยยศเดียวกันซึ่งมีทั้งอำนาจของผู้ชาย (ลอร์ด) และผู้หญิง (sovereign lady-ท่านหญิงพระประมุข) และตำแหน่งทั้งสองเพศอย่าง "ผู้พิทักษ์" (Guardian) หลังจากนั้นเมื่ออีริคทรงได้รับเลือกเป็นกษัตริย์แห่งนอร์เวย์ในปี 1392 พระนางจึงทรงสละพระอิสริยยศของนอร์เวย์ และในปี 1396 เมื่อกษัตริย์อีริคสวมมงกุฎเป็นกษัตริย์แห่งเดนมาร์กและสวีเดน พระนางจึงทรงหยุดใช้พระอิสริยยศของทั้งสองประเทศต่อ แม้ว่าจะทรงเป็นผู้สำเร็จราชการแทนพระองค์ต่อก็ตาม
พระนางทรงมีพระอิสริยยศเพียง "สมเด็จพระราชินีนาถแห่งเดนมาร์ก" ในปีค.ศ. 1375 ทรงมักจะบรรยายพระนามของพระนางเองว่า "มาร์เกรเธอ โดยความดีงามของพระผู้เป็นเจ้า สมเด็จพระราชธิดาในวัลเดมาร์ พระมหากษัตริย์แห่งเดนมาร์ก" และ "องค์รัชทายาทผู้มีสิทธิโดยชอบธรรมแห่งเดนมาร์ก" เมื่อยามที่ทรงกล่าวถึงตำแหน่งของพระนางในเดนมาร์ก พระอิสริยยศในเดนมาร์ทรงได้รับมาจากพระราชบิดาของพระนางคือ พระเจ้าวัลเดมาร์ที่ 4 แห่งเดนมาร์ก บางแห่งมีการบรรยายถึงพระนางว่า "เลดี้ควีน" (ท่านหญิงพระราชินี) โดยไม่มีการระบุว่าทรงเป็นพระราชินีจากอาณาจักรใด แต่ถึงกระนั้น สมเด็จพระสันตะปาปาบอนิเฟซที่ 9 ทรงมีลายพระหัตถ์ถึงพระนางว่า "ธิดาผู้เป็นที่รักยิ่งของเราในคริสต์ มาร์เกรเธอ สมเด็จพระราชินีนาถผู้ทรงประเสริฐที่สุดแห่งเดนมาร์ก สวีเดนและนอร์เวย์" ("Carissime in Christo filie Margarete Dacie Suecie et Norwegie regine illustri")
เมื่อพระนางทรงอภิเษกสมรสกับพระเจ้าโฮกุนที่ 6 แห่งนอร์เวย์ในปีค.ศ. 1363 พระองค์เป็นกษัตริย์ร่วมแห่งสวีเดน ทรงสถาปนามาร์เกรเธอเป็นสมเด็จพระราชินี และแม้ว่าจะทรงถูกถอดจากบัลลังก์ ทั้งสองพระองค์ก็ไม่ทรงเคยถูกริบอิสริยยศคืน ในทางทฤษฎี การขับไล่พระเจ้าอัลเบรกท์แห่งสวีเดนออกจากบัลลังก์ในปีค.ศ. 1389 ได้ทำให้พระนางมาร์เกรเธอทรงกลับคืนสู่ตำแหน่งเดิม ตั้งแต่เดือนมีนาคม ค.ศ. 1353 ถึง 28 ตุลาคม ค.ศ. 1412 พระนางทรงเป็นสมเด็จพระราชินีนาถแห่งเดนมาร์ก นอร์เวย์และสวีเดน และทรงเป็นผู้ก่อตั้งสหภาพคาลมาร์ ซึ่งรวมประเทศกลุ่มสแกนดิเนเวียเป็นเวลากว่าศตวรรษ พระนางทรงดำรงเป็นสมเด็จพระราชินีนาถแห่งเดนมาร์ก แม้ว่าในช่วงยุคสมัยนั้นธรรมเนียมของชาวเดนมาร์กยังไม่อนุญาตให้สตรีครองราชสมบัติ
เกียรติภูมิ

เอลิซ ออตต์ได้เขียนไว้ในปี 1874 ว่า "ถ้าพระนางมาร์เกรเธอทรงมีผู้สืบบัลลังก์ โดยเป็นผู้นำที่มีความสามารถเหมือนพระนาง พระราชบัญญัติสหภาพคาลมาร์จักเป็นประโยชน์ต่อทั้งสามราชอาณาจักร เพราะมันเป็นเรื่องจริงตามที่สมเด็จพระราชินีนาถทรงตรัสว่า แต่ละรัฐดำรงอยู่รัฐเดียวอย่างโดดเดี่ยวอ่อนแอ เปิดให้อันตรายเข้ามาจากทุกฝ่าย แต่เมื่อสามอาณาจักรรวมเป็นหนึ่งจะทำให้สถาบันพระมหากษัตริย์แข็งแกร่งพอที่จะต่อต้านการโจมตีและแผนการของพ่อค้าฮันเซอ และเหล่าศัตรูทั้งหลายจากด้านนอกเยอรมนี และจะทำให้ทะเลบอลติกไร้อันตรายจากพวกต่างชาติ แต่อย่างไรก็ตามไม่มีประมุของค์ใดหลังจากนี้ที่ทรงปรีชาเทียบเท่าพระนางมาร์เกรเธอ และไม่มีใครที่จะมาเทียบพระนางได้"
ตามงานเขียนของสไตนาร์ อิมเซน ระบุว่า ไม่มีใครมาโต้แย้งความชาญฉลาดทางการเมืองของพระนางได้ แต่แรงจูงใจของพระนางมักจะเป็นเป้าของการโต้เถียง ในช่วงครึ่งแรกของคริสต์ศตวรรษที่ 19 พระนางมักจะทรงถูกอธิบายว่าเป็นนักอุดมคตินิยมที่ต่อสู้เพื่อถ่วงดุลอำนาจกับอิทธิพลเยอรมัน หลังจากเดนมาร์กพ่ายแพ้สงครามต่อปรัสเซียในปี 1864 ภาพลักษณ์ของพระราชินีมาร์เกรเธอผู้รักชาติก็เกิดขึ้น เมื่อไม่นานมานี้ พระนางทรงได้รับการยกย่องอย่างสูงว่าเป็นแบบแมคคิเวลเลียน (Machiavellist) ผู้ทรงต่อสู้เพื่อพระราชอำนาจและผลประโยชน์ของราชวงศ์เป็นหลัก
ริชาร์ด ไวท์ เขียนว่า "มีการเขียนว่าพระนางมาร์เกรเธอทรงทำให้เกิดปัญหามากมาย แต่การรวมอำนาจสามแผ่นดินของพระนางได้ก่อให้เกิดจุดเริ่มต้นใหม่และความรุ่งโรจน์แก่ชาวสแกนดิเนเวีย ในแง่ของประวัติศาสตร์อันสับสนวุ่นวายของอาณาจักรเหล่านั้น เป็นประวัติศาสตร์ของสงคราม โรคระบาดและการแย่งชิงอำนาจ ชัยชนะของพระนางมาร์เกรเธอทำให้ทรงเป็นหนึ่งในพระมหากษัตริย์ที่โดดเด่นที่สุดของยุโรป แต่ชื่อเสียงของพระนางก็ยังคงตามติดไม่หนีหายไปไหน ประวัติศาสตร์เป็นเกมที่ดีที่สุดสำหรับโอกาสและชื่อเสียงจะมีเมตตาต่อสายลมทุกสายที่พัดผ่าน ซึ่งนักเขียนประวัติศาสตร์จะกังวลถึงความยุติธรรม พระนามของมาร์เกรเธอ พระราชธิดาของวัลเดมาร์ กษัตริย์แห่งชาวเดนส์ จะมีชื่อเสียงขจรขจายไกลและจะเป็นหนึ่งในอีกหลายๆชื่อที่เด็กๆจะรู้จักในโรงเรียน"
ใน The Middle Ages: Dictionary of World Biography, Volume 2 แม็คฟัดเดนได้ระบุว่า "ความสำเร็จของพระนางมาร์เกรเธอนั้นเกิดขึ้นเมื่อเหล่าสแกนดิเนเวียทั้งมวลถูกคุกคามโดยวัฒนธรรมเยอรมันและการครอบงำทางเศรษฐกิจ ทำให้ต้องรวมอาณาจักรเข้าด้วยกัน และไม่เพียงแต่เอาคืนพวกเยอรมันเท่านั้นแต่ยังได้ดินแดนที่สูญเสียไปกลับคืนด้วย ในช่วงที่สวรรคต สหภาพสแกนดิเนเวียมีอำนาจสูงสุดในทะเลบอลติก กลายเป็นดินแดนที่มีขนาดใหญ่เป็นอันดับสองของยุโรปซึ่งอยู่ภายใต้พระประมุของค์เดียว"
พระราชลัญจกร

| ธรรมเนียมพระยศของ สมเด็จพระราชินีนาถมาร์เกรเธอที่ 1 |
| --- | --- |
ตราประจำพระอิสริยยศ
การทูล: Hendes Majestæt  (ใต้ฝ่าละอองธุลีพระบาท)
การแทนตน: ข้าพระพุทธเจ้า
การขานรับ: Deres Majestæt  (พระพุทธเจ้าข้า/เพคะ)
พระราชลัญจกรของพระนางมาร์เกรเธอ ใช้ในปีค.ศ. 1375–1376
พระราชลัญจกรของพระนางมาร์เกรเธอ ใช้ในปีค.ศ. 1381–1409
พระราชลัญจกรของพระนางมาร์เกรเธอที่ทรงใช้ในนอร์เวย์ ใช้ในปีค.ศ. 1388
พระราชลัญจกรของพระนางมาร์เกรเธอ ใช้ในปีค.ศ. 1390–1393
พระบรมสาทิสลักษณ์ สมเด็จพระราชีนีนาถมาร์เกรเธอที่ 1 ไม่ทราบปีและชื่อผู้วาด
ภาพอุปมานิทัศน์ อันเป็นสัญลักษณ์ของการก่อตั้งสหภาพคาลมาร์ สมเด็จพระราชินีนาถมาร์เกรเธอที่ 1 ทรงสวมมงกุฎเหนือพระเศียรของอีริคแห่งพอเมอเรเนีย กษัตริย์แห่งนอร์เวย์ ภาพนี้เป็นภาพกระจกสีที่พระราชวังเปนา ประเทศโปรตุเกส
พระบรมราชานุสาวรีย์สมเด็จพระราชินีนาถมาร์เกรเธอทรงม้า ณ ใจกลางเมืองรอสคิลด์ สร้างโดย แอนน์ มารี คาร์ล-นีลเซน
โลงหินพระศพของพระนางมาร์เกรเธอ ตั้งอยู่ใกล้กับโลงหินของเชื้อพระวงศ์ในวิหารรอสกิลด์
พระนางมาร์เกรเธอและอีริคแห่งพอเมอเรเนียในพระราชพิธีราชาภิเษก ฮันส์ ปีเตอร์ ฮันส์เซนวาดภาพเหตุการณ์จากจินตนาการ วาดในปี 1884
เจ้าอุปราช (มหาพรหม)

| เจ้ามหาพรหม |
| --- | --- |
เจ้าอุปราชนครน่าน
เจ้าอุปราชนครน่าน
ดำรงพระยศ: พ.ศ. 2399 - 14 สิงหาคม พ.ศ. 2430
รวมระยะเวลา: 31 ปี
ก่อนหน้า: พระยาอุปราช (เจ้ามหาวงษ์)
ถัดไป: เจ้าอุปราช (เจ้าสุริยะ ณ น่าน)
เจ้าผู้ครองนคร: พระเจ้าอนันตวรฤทธิเดช (เจ้าหลวง)

ประสูติ: พ.ศ. 2370 ณ นครน่าน
พิราลัย: 14 สิงหาคม พ.ศ. 2430 (60 ปี) ณ นครน่าน
ราชสกุล: ณ น่าน
ราชวงศ์: ติ๋นมหาวงศ์
เจ้าบิดา: เจ้าอนันตวรฤทธิเดช
เจ้ามารดา: แม่เจ้าสุนันทาอรรคราชเทวี
เจ้าอุปราช (หนานมหาพรหม ณ น่าน) (พ.ศ. 2370 - พ.ศ. 2430) เป็นราชโอรสองค์ใหญ่ในพระเจ้าอนันตวรฤทธิเดช เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 62 ประสูติแต่แม่เจ้าสุนันทาอรรคราชเทวี (ชายาที่ 1) และเป็นพระเชษฐาร่วมเจ้ามารดาในพระเจ้าสุริยพงษ์ผริตเดช เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 63
พระประวัติ

เจ้าอุปราช (หนานมหาพรหม ณ น่าน) มีพระนามเดิมว่า เจ้าหนานมหาพรหม ณ น่าน ประสูติเมื่อปี พ.ศ. 2370 เป็นพระโอรสองค์ใหญ่ในพระเจ้าอนันตวรฤทธิเดช เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 62 ประสูติแต่แม่เจ้าสุนันทาอรรคราชเทวี (พระชายาที่ 1) มีพระอนุชาและพระขนิษฐาร่วมเจ้ามารดา 6 องค์ มีรายพระนามตามลำดับดังนี้
เจ้ามหาพรหม ภายหลังเป็น เจ้าอุปราชนครน่าน
เจ้าสุริยะ ภายหลังเป็น พระเจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 63
เจ้าสิทธิสาร ภายหลังเป็น เจ้าอุปราชนครน่าน
เจ้าบุญรังสี ภายหลังเป็น เจ้าราชบุตรนครน่าน
เจ้านางหมอกแก้ว ณ น่าน
เจ้านางคำทิพ ณ น่าน
เมื่อปี พ.ศ. 2399 พระเจ้าอนันตวรฤทธิเดช เจ้าผู้ครองนครน่าน องค์ที่ 62 ได้โปรดให้เจ้าหนานมหาพรหมและเจ้าสุริยะ ผู้เป็นพระโอรสทั้ง 2 องค์ คุมเอาเจ้านายท้าวพระยาหัวเมืองสิบสองปันนา คือ เมืองเชียงรุ้ง เมืองหลวงภูคา เมืองล้า เมืองพง ลงไปทูลเกล้าทูลกระหม่อมถวายเครื่องราชบรรณาการแด่พระบาทสมเด็จพระจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว ณ กรุงเทพมหานคร 
ในครั้งนั้นพระบาทสมเด็จพระจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว ก็ทรงพระกรุณาโปรดเกล้าฯ พระราชทานสัญญาบัตรตั้ง เจ้าหนานมหาพรหม ขึ้นเป็น เจ้าอุปราชนครน่าน
การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน

ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน เป็นวิธีการที่ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ใช้เมื่อนิพจน์ที่มีตัวแปรเสริมเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งโดยปกติอยู่ในรูปของเลขยกกำลังของฟังก์ชันเบื้องต้น หรือผลคูณของฟังก์ชันอดิศัย และพหุนามที่มีดีกรีใด ๆ ไม่สามารถหาปริพันธ์โดยตรงได้ แต่การใช้วิธีการหาปริพันธ์อื่น ๆ สามารถกำหนดสูตรลดทอนเพื่อให้ได้ปริพันธ์ของนิพจน์เดียวกันหรือคล้ายกันที่มีตัวแปรจำนวนเต็มเสริมที่ต่ำลง โดยจะลดความซับซ้อนของปริพันธ์ลงทีละน้อยจนกระทั่งสามารถหาค่าได้  วิธีหาปริพันธ์นี้เป็นหนึ่งในวิธีแรก ๆ ที่ใช้กัน
วิธีการหาสูตรลดทอน

สูตรลดทอนสามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์ทั่วไป เช่นการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ การหาปริพันธ์โดยการหาเศษส่วนย่อย ฯลฯ แนวคิดหลักคือให้ปริพันธ์ที่มีตัวแปรเสริมจำนวนเต็ม (เช่น เลขยกกำลัง) ของฟังก์ชันเป็น In ปริพันธ์ที่มีกับค่าตัวแปรเสริมที่ต่ำลง (เลขยกกำลังต่ำกว่า) ของฟังก์ชันนั้นให้เป็น เช่น In -1 หรือ In -2 ซึ่งทำให้สูตรลดทอนเป็นประเภทหนึ่งของความสัมพันธ์เวียนเกิด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สูตรลดทอนจะทำให้ปริพันธ์
อยู่ในรูปของ
เมื่อ
วิธีการคำนวณหาปริพันธ์

ในการคำนวณหาปริพันธ์ เราให้ n เป็นค่าของตัวแปรเสริม และใช้สูตรลดทอนเพื่อแสดงอยู่ในรูปของปริพันธ์ของ (n – 1) หรือ (n – 2) ปริพันธ์ที่มีเลขยกกำลังต่ำกว่าสามารถนำมาใช้คำนวณปริพันธ์เลขยกกำลังสูงกว่าได้ โดยกระบวนการนี้ทำต่อไปซ้ำ ๆ จนกว่าจะถึงจุดที่สามารถหาปริพันธ์ฟังก์ชันได้ โดยปกติเมื่อเลขยกกำลังของฟังก์ชันดังกล่าวเป็น 0 หรือ 1 จากนั้นเราทำการแทนค่าผลลัพธ์ก่อนหน้านั้นอีกครั้งจนกระทั่งเราหา In ได้
วิธีการคำนวณหาปริพันธ์ > ตัวอย่าง

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้สูตรลดทอน
วิธีการคำนวณหาปริพันธ์ > ตัวอย่าง > ปริพันธ์ของฟังก์ชันโคไซน์

โดยทั่วไปปริพันธ์เช่น
สามารถหาค่าได้โดยการใช้สูตรลดทอน
เริ่มต้นโดยการตั้งให้
สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
หาปริพันธ์โดยการแทนค่าดังนี้
สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน
ดังนั้นสูตรลดทอนคือ
ตัวอย่างเพิ่มเติมจากตัวอย่างด้านบนสามารถนำมาใช้หาปริพันธ์สมมติให้ n = 5
คำนวนหาปริพันธ์ที่มีเลขดัชนีต่ำกว่า
แทนค่ากลับได้
โดยที่ C เป็นค่าคงที่
วิธีการคำนวณหาปริพันธ์ > ตัวอย่าง > ปริพันธ์ของเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างทั่วไปอีกอันคือ
เริ่มโดยการตั้งให้
หาปริพันธ์โดยการแทนค่า
สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน
เลื่อนดัชนีกลับไป 1 (n + 1 → n และ n → n – 1)
แก้หา In
ดังนั้นสูตรลดทอนคือ
วิธีทางเลือกอื่นในการหาสูตรลดทอนทำได้โดยเริ่มจากการแทนค่า  e^{ax}
หาปริพันธ์โดยการแทนค่า
e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!
I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!
สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน
{\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!
ซึ่งให้สูตรลดลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ
I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!
ซึ่งเท่ากับ
อีกทางเลือกหนึ่งในการหาสูตรลดทอนได้โดยการบูรณาการแบบแยกส่วน
จำไว้ว่า
ซึ่งให้สูตรลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ
ซึ่งเท่ากับ
บรรณานุกรม

Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.
| ด ค กIntegrals |
| --- | --- |
ชนิดของ   ปริพันธ์:  Riemann integral  Lebesgue integral  Burkill integral  Bochner integral  Daniell integral  Darboux integral  Henstock–Kurzweil integral  Haar integral  Hellinger integral  Khinchin integral  Kolmogorov integral  Lebesgue–Stieltjes integral  Pettis integral  Pfeffer integral  Riemann–Stieltjes integral  Regulated integral 
เทคนิกการหา   อนุพันธ์:  Substitution Trigonometric  Euler  Weierstrass  By parts  Partial fractions  Euler's formula  Inverse functions  Changing order  Reduction formulas  Parametric derivatives  Differentiation under the integral sign  Laplace transform  Contour integration  Laplace's method  Numerical integration Simpson's rule  Trapezoidal rule  Risch algorithm 
อนุพันธ์ไม่ตรงแบบ:  Gaussian integral  Dirichlet integral  Fermi–Dirac integral complete  incomplete  Bose–Einstein integral  Frullani integral  Common integrals in quantum field theory 
ปริพันธ์สโตแคสติก:  Itô integral  Russo–Vallois integral  Stratonovich integral  Skorokhod integral 
พิเศษ:  Basel problem  Euler–Maclaurin formula  Gabriel's horn  Integration Bee  Proof that 22/7 exceeds π  Volumes Washers  Shells 
\int \cos ^{n}(x)\,{\text{d}}x\!, สำหรับ n = 1, 2 ... 30
หมู่เกาะแคโรไลน์

ระวังสับสนกับ เกาะแคโรไลน์
06°03′N 147°05′E﻿ / ﻿6.050°N 147.083°E﻿ / 6.050; 147.083
แผนที่ประเทศไมโครนีเซีย โดยมีประเทศปาเลาอยู่ทางตะวันตกของแผนที่
ที่ตั้งของหมู่เกาะแคโรไลน์
พระอาทิตย์ตกดินที่แยป
หมู่เกาะแคโรไลน์ (อังกฤษ: Caroline Islands) เป็นกลุ่มของเกาะเล็กเกาะน้อยทางตะวันตกของมหาสมุทรแปซิฟิกทางตอนเหนือของเกาะนิวกินี ในทางการเมืองการปกครอง ส่วนตะวันออกของหมู่เกาะแห่งนี้เป็นของประเทศไมโครนีเซีย และส่วนตะวันตกสุดเป็นของประเทศปาเลา ในอดีตพื้นที่แห่งนี้ยังมีชื่อเรียกว่า นูเอบัสฟิลิปินัส (สเปน: Nuevas Filipinas) หรือ "ฟิลิปปินส์ใหม่" เพราะเป็นส่วนหนึ่งของอินเดียตะวันออกของสเปนและถูกปกครองจากมะนิลาในฟิลิปปินส์
หมู่เกาะแคโรไลน์มีระยะทางราว 3,540 กิโลเมตร นับตั้งแต่เกาะโตบีของปาเลาทางทิศตะวันตกสุด ไปจนถึงเกาะโคชาเอทางทิศตะวันออกสุด
เลนส์ความโน้มถ่วง

เลนส์ความโน้มถ่วง (อังกฤษ: gravitational lens) เป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นกับแสงอันเดินทางมาจากแหล่งกำเนิดส่องสว่างไกลโพ้น (เช่น เควซาร์) แล้วเกิดการ "บิดโค้ง" เนื่องจากแรงดึงดูดของวัตถุมวลมาก (เช่น กระจุกดาราจักร) ที่อยู่ระหว่างแหล่งกำเนิดแสงกับผู้สังเกต เป็นปรากฏการณ์ที่หนึ่งที่ไอน์สไตน์ทำนายเอาไว้จากทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของเขา
โอเรสต์ ควอลสัน (Orest Chwolson) เป็นผู้แรกที่นำเสนอบทความวิชาการว่าด้วยปรากฏการณ์นี้ (ในปี ค.ศ. 1924) แต่ชื่อของไอน์สไตน์มักเป็นที่รู้จักเกี่ยวเนื่องกับปรากฏการณ์นี้มากกว่า เพราะได้ตีพิมพ์บทความอันมีชื่อเสียงที่อธิบายสาเหตุของปรากฏการณ์นี้ในปี ค.ศ. 1936
ฟริตซ์ ชวิกกี้ (Fritz Zwicky) ทำนายไว้เมื่อปี ค.ศ. 1937 ว่า ปรากฏการณ์นี้สามารถเกิดขึ้นได้โดยมีกระจุกดาราจักรทำตัวเป็นเสมือนเลนส์ความโน้มถ่วง แต่มีการค้นพบหลักฐานสนับสนุนเป็นครั้งแรกเมื่อ ค.ศ. 1979 จากผลการสังเกตการณ์ "เควซาร์แฝด" Q0957+561
ภาพรวม

แรงโน้มถ่วงที่เกิดจากวัตถุมวลมาก (เช่น กระจุกดาราจักร หรือหลุมดำ) สามารถดึงดูดกาล-อวกาศ หรือทุกสิ่งที่อยู่ภายในได้ รวมถึงเส้นทางเดินของแสงที่มาจากแหล่งกำเนิดพื้นหลัง ทำให้เวลาที่แสงเดินทางมาถึงผู้สังเกตการณ์ผิดเพี้ยนไป ทั้งยังสามารถขยายหรือย่อภาพปรากฏของแหล่งกำเนิดพื้นหลังนั้นได้อีกด้วย
ลักษณะการย่อขยายจะแตกต่างจากเลนส์แสงตามปกติ กล่าวคือการบิดโค้งจะมีมากที่สุดเมื่อวัตถุเข้าใกล้ศูนย์กลางเลนส์ความโน้มถ่วง และบิดโค้งน้อยที่สุดเมื่ออยู่ห่างจากศูนย์กลางเลนส์ความโน้มถ่วง ผลสืบเนื่องจากคุณลักษณะนี้ ทำให้เลนส์ความโน้มถ่วงไม่มีจุดโฟกัสที่แน่ชัด แต่จะมีเส้นโฟกัสแทนที่ ถ้าหากว่าแหล่งกำเนิด วัตถุมวลมากที่ทำตัวเป็นเลนส์ กับผู้สังเกตการณ์ เรียงตัวกันอยู่เป็นเส้นตรง ผู้สังเกตจะมองเห็นแหล่งกำเนิดนั้นปรากฏเป็นภาพวงแหวนอยู่ด้านหลังวัตถุมวลมาก ปรากฏการณ์นี้มีการเอ่ยถึงเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1924 โดยนักฟิสิกส์ชาวเมืองเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ชื่อ โอเรสต์ ควอลสัน ต่อมาได้รับการขยายความเพิ่มเติมโดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ในปี ค.ศ. 1936 ในการอ้างอิงวิชาการมักเรียกลักษณะปรากฏของภาพวงแหวนนี้ว่า "วงแหวนไอน์สไตน์" (Einstein ring) เพราะควอลสันไม่ได้คาดการณ์ถึงผลลัพธ์จากการเกิดภาพรัศมีวงแหวน สำหรับแนวสังเกตการณ์อื่นที่ไม่เป็นเส้นตรง แหล่งกำเนิดแสงอาจกลายเป็นภาพเส้นโค้งอยู่รอบ ๆ เลนส์ ผู้สังเกตอาจมองเห็นภาพแหล่งกำเนิดแห่งเดียวนั้นกลายเป็นหลาย ๆ ภาพ จำนวนและรูปร่างของภาพที่ปรากฏขึ้นอยู่กับตำแหน่งระหว่างแหล่งกำเนิด เลนส์ และผู้สังเกต
ดูเพิ่ม

วงแหวนไอน์สไตน์
จุดตัดไอน์สไตน์
เควซาร์แฝด[ลิงก์เสีย]
แหล่งข้อมูลอื่น

การบิดโค้งของแสงจากแหล่งกำเนิดที่ไกลมาก ๆ และผ่านวัตถุมวลมาก ลูกศรสีส้มแสดงถึงตำแหน่งปรากฏของแหล่งกำเนิดในสายตาของผู้สังเกต เส้นสีขาวแสดงทิศทางการเดินทางของแสงจากแหล่งกำเนิดมายังผู้สังเกต
อนุสัญญาระหว่างประเทศว่าด้วยความปลอดภัยแห่งชีวิตในทะเล

| อนุสัญญาระหว่างประเทศว่าด้วยความปลอดภัยแห่งชีวิตในทะเล |
| --- | --- |
บริบท: การอับปางของเรืออาร์เอ็มเอส ไททานิก พ.ศ. 2455
วันร่าง:  เวอร์ชันเริ่มต้น พ.ศ. 2457 
วันมีผล:  26 พฤษภาคม 2508 (SOLAS 1960)  25 พฤษภาคม 2523 (ฉบับปัจจุบัน SOLAS 1974) 
ภาคี: 167
อนุสัญญาระหว่างประเทศว่าด้วยความปลอดภัยแห่งชีวิตในทะเล (อังกฤษ: International Convention for the Safety of Life at Sea: SOLAS) เป็นสนธิสัญญาทางทะเลระหว่างประเทศซึ่งกำหนดมาตรฐานความปลอดภัยขั้นต่ำในการสร้าง อุปกรณ์ และการดำเนินการของเรือพาณิชย์ อนุสัญญาขององค์การทางทะเลระหว่างประเทศ (IMO) กำหนดให้รัฐเจ้าของธงที่ลงนามต้องให้แน่ใจว่าเรือที่ตนถือธงปฏิบัติตามมาตรฐานเหล่านี้เป็นอย่างน้อย
ในช่วงแรกหลังการอับปางของเรืออาร์เอ็มเอส ไททานิกนั้น SOLAS ได้ถูกกำหนดให้เป็นเวอร์ชันปี พ.ศ. 2517 (ค.ศ. 1974) ซึ่งรู้จักกันในชื่อ SOLAS 1974 โดยมีผลบังคับใช้เมื่อวันที่ 25 พฤษภาคม พ.ศ. 2523 และมีการแก้ไขหลายครั้ง ข้อมูลเมื่อเดือนเมษายน 2022 SOLAS 1974 มี 167 รัฐภาคี ซึ่งมีธงประจำเรือสินค้าประมาณร้อยละ 99 ทั่วโลกในแง่ของตันน้ำหนักรวม
โดยทั่วไปแล้ว SOLAS ในรูปแบบต่อ ๆ มาถือเป็นสนธิสัญญาระหว่างประเทศที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับความปลอดภัยของเรือพาณิชย์
ผู้ลงนาม

ประเทศที่ไม่ได้เข้าร่วม SOLAS 1974 ได้แก่ ประเทศที่ไม่มีทางออกสู่ทะเลจำนวนมาก รวมถึงเอลซัลวาดอร์ ไมโครนีเซีย และติมอร์-เลสเต ประเทศอื่น ๆ เช่น โบลิเวีย เลบานอน และศรีลังกา ซึ่งถือเป็นรัฐที่ขึ้นทะเบียนเป็นรัฐธงสะดวก ถือว่ามี "ผลการดำเนินงานที่อาจติดลบ" ในแง่ของการให้สัตยาบัน
ข้อกำหนด

SOLAS 1974 กำหนดให้รัฐเจ้าของธงต้องรับรองว่าเรือที่รัฐธงของตนยึดถือนั้นเป็นไปตามมาตรฐานความปลอดภัยขั้นต่ำในการสร้าง อุปกรณ์ และการดำเนินการของเรือพาณิชย์ สนธิสัญญาดังกล่าวประกอบด้วยมาตราที่กำหนดภาระผูกพันทั่วไป ฯลฯ ตามด้วยหมวดที่แบ่งออกเป็น 12 หมวด โดยมีการเพิ่มหมวด 2 หมวดในปี พ.ศ. 2559 และ 2560 ในจำนวนนี้ หมวด 5 (มักเรียกว่า 'SOLAS V') เป็นบทเดียวที่ใช้กับเรือทุกลำในทะเล รวมถึงเรือยอทช์ส่วนตัวและเรือขนาดเล็กในทริปท้องถิ่น ตลอดจนเรือพาณิชย์ในเส้นทางระหว่างประเทศ หลายประเทศได้เปลี่ยนข้อกำหนดระหว่างประเทศเหล่านี้ให้เป็นกฎหมายระดับชาติ เพื่อให้ผู้ใดก็ตามในทะเลที่ละเมิดข้อกำหนด SOLAS V อาจพบว่าตนเองต้องถูกดำเนินคดีทางกฎหมาย
ประวัติ > ต้นกำเนิดและเวอร์ชันแรก

สนธิสัญญา SOLAS ฉบับแรกได้รับการผ่านในปี พ.ศ. 2457 เพื่อตอบสนองต่อการอับปางของเรืออาร์เอ็มเอส ไททานิก โดยกำหนดจำนวนเรือชูชีพและอุปกรณ์ฉุกเฉินอื่น ๆ รวมถึงขั้นตอนความปลอดภัย การเฝ้าระวังทางวิทยุอย่างต่อเนื่อง สนธิสัญญาปี พ.ศ. 2457 ไม่เคยมีผลบังคับใช้เนื่องจากการปะทุของสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง
เวอร์ชันแก้ไขเพิ่มเติมถูกนำมาใช้ในปี พ.ศ. 2472 และ พ.ศ. 2491
ประวัติ > เวอร์ชันปี พ.ศ. 2503 (SOLAS 1960)

อนุสัญญาปี พ.ศ. 2503 (ค.ศ. 1960; SOLAS 1960) ได้รับการรับรองเมื่อวันที่ 17 มิถุนายน พ.ศ. 2503 และมีผลใช้บังคับเมื่อวันที่ 26 พฤษภาคม พ.ศ. 2508 ถือเป็นอนุสัญญา SOLAS ฉบับที่สี่ และถือเป็นความสำเร็จครั้งสำคัญครั้งแรกขององค์การทางทะเลระหว่างประเทศ (IMO) อนุสัญญานี้ถือเป็นก้าวสำคัญในการปรับปรุงกฎระเบียบให้ทันสมัยและก้าวทันการพัฒนาทางเทคนิคในอุตสาหกรรมการเดินเรือ
ประวัติ > เวอร์ชันปี พ.ศ. 2517 (SOLAS 1974)

ในปี พ.ศ. 2517 ได้มีการนำอนุสัญญาฉบับใหม่มาใช้เพื่อให้ SOLAS สามารถแก้ไขและนำไปปฏิบัติได้ภายในระยะเวลาที่เหมาะสม แทนที่จะใช้ขั้นตอนเดิมในการนำการแก้ไขมาใช้ ซึ่งพิสูจน์แล้วว่าล่าช้ามาก ภายใต้ SOLAS 1960 อาจต้องใช้เวลาหลายปีกว่าที่การแก้ไขจะมีผลบังคับใช้ เนื่องจากประเทศต่าง ๆ ต้องแจ้งการยอมรับต่อ IMO และมีเกณฑ์ขั้นต่ำสำหรับประเทศและปริมาณการขนส่ง ภายใต้ SOLAS 1974 การแก้ไขจะมีผลบังคับใช้ผ่านขั้นตอนการยอมรับโดยปริยาย ซึ่งจะทำให้การแก้ไขมีผลบังคับใช้ในวันที่กำหนด เว้นแต่จะได้รับคำคัดค้านการแก้ไขจากฝ่ายต่าง ๆ ในจำนวนที่ตกลงกันไว้
SOLAS ปี พ.ศ. 2517 (ค.ศ. 1974) มีผลบังคับใช้เมื่อวันที่ 25 พฤษภาคม พ.ศ. 2523 12 เดือนหลังจากที่ประเทศอย่างน้อย 25 ประเทศที่มีปริมาณเรือบรรทุกอย่างน้อยร้อยละ 50 ของตันเรือทั้งหมดให้สัตยาบัน อนุสัญญาดังกล่าวได้รับการปรับปรุงและแก้ไขหลายครั้งตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา และอนุสัญญาที่มีผลบังคับใช้ในปัจจุบันบางครั้งเรียกว่า SOLAS ปี พ.ศ. 2517 (ค.ศ. 1974) แก้ไขเพิ่มเติม
ในปีพ.ศ. 2518 สมัชชาองค์การทางทะเลระหว่างประเทศ (IMO) ได้ตัดสินใจว่าอนุสัญญาปี พ.ศ. 2517 ในอนาคตควรใช้ระบบหน่วยวัดระหว่างประเทศ (เมตริก) เท่านั้น
ประวัติ > เวอร์ชันปี พ.ศ. 2531 (SOLAS 1988)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแก้ไขเพิ่มเติมในปี พ.ศ. 2531 ซึ่งอิงตามการแก้ไขข้อบังคับวิทยุระหว่างประเทศในปี พ.ศ. 2530 ได้แทนที่รหัสมอร์สด้วยระบบแจ้งเหตุฉุกเฉินและเพื่อความปลอดภัยทางทะเลทั่วโลก (GMDSS) และมีผลบังคับใช้ตั้งแต่วันที่ 1 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2535 ประเด็นที่ครอบคลุมโดยสนธิสัญญาดังกล่าวระบุไว้ในรายการหัวข้อ (ด้านบน) และมีการแก้ไขเพิ่มเติมเพิ่มเติมในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2554
ประวัติ > ข้อบังคับน้ำหนักตู้คอนเทนเนอร์ พ.ศ. 2558

ในปี พ.ศ. 2558 ข้อบังคับการตรวจสอบน้ำหนักตู้คอนเทนเนอร์ SOLAS VI/2 ได้แก้ไขเพิ่มเติม SOLAS ข้อบังคับนี้ซึ่งนำไปปฏิบัติโดยคณะกรรมการความปลอดภัยทางทะเล (MSC) ขององค์การทางทะเลระหว่างประเทศ (IMO) กำหนดว่าจะต้องได้รับน้ำหนักเต็ม (รวม) ของตู้คอนเทนเนอร์ที่บรรทุกทั้งหมดก่อนที่จะโหลดลงบนเรือเดินทะเล น้ำหนักสามารถคำนวณได้โดยการชั่งน้ำหนักตู้คอนเทนเนอร์ที่บรรทุก หรือชั่งน้ำหนักองค์ประกอบของสินค้าและบรรจุภัณฑ์แล้วบวกน้ำหนักนี้กับน้ำหนักตู้คอนเทนเนอร์ที่ไม่ได้บรรทุก การสื่อสารค่าน้ำหนักทำให้จำเป็นต้องมีการนำโปรโตคอลการสื่อสารการสับเปลี่ยนข้อมูลอิเล็กทรอนิกส์ (EDI) ใหม่มาใช้ เรียกว่า VGM (มวลรวมที่ตรวจสอบแล้ว) หรือ VERMAS (การตรวจสอบมวล) และเกี่ยวข้องกับความร่วมมือระหว่างผู้ให้บริการขนส่งทางทะเล ผู้รับจัดการขนส่งสินค้าระหว่างประเทศ/NVOCC ผู้ให้บริการ EDI และผู้ส่งออก ข้อบังคับดังกล่าวระบุว่าผู้ส่งออก (ผู้ส่งสินค้า) เป็นผู้รับผิดชอบขั้นสุดท้ายในการรับน้ำหนักตู้คอนเทนเนอร์ที่ตรวจสอบแล้ว เดิมกำหนดให้เริ่มบังคับใช้ในวันที่ 1 กรกฎาคม พ.ศ. 2559 โดยกฎระเบียบดังกล่าวอนุญาตให้มีความยืดหยุ่นและปรับปรุงในทางปฏิบัติได้จนถึงวันที่ 1 ตุลาคม พ.ศ. 2559
รายการแก้ไข SOLAS ที่เป็นปัจจุบันได้รับการดูแลโดยองค์การทางทะเลระหว่างประเทศ (IMO)
ดูเพิ่ม

ประมวลข้อบังคับว่าด้วยการรักษาความปลอดภัยของเรือและท่าเรือระหว่างประเทศ (ISPS)
ระบบสําแดงข้อมูลเรืออัตโนมัติ