stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
กัปตัน
ตำแหน่ง

ผู้บังคับการเรือ ใช้สำหรับเรือทหาร
กัปตันเรือ ใช้สำหรับเรือพลเรือน
ผู้กอง คำเรียกไม่เป็นทางการของหัวหน้ากองร้อย
กีฬา

กัปตัน (กีฬา) หัวหน้าทีมของผู้เล่นกีฬาประเภททีม
กัปตัน (ฟุตบอล) หัวหน้าทีมของผู้เล่นฟุตบอล
กัปตัน (ออสเตรเลียน รูลส์ ฟุตบอล) หัวหน้าทีมของผู้เล่นออสเตรเลียน รูลส์ ฟุตบอล
กัปตัน (เบสบอล) หัวหน้าทีมของผู้เล่นเบสบอล
กัปตัน (คริกเกต) หัวหน้าทีมของผู้เล่นคริกเกต
กัปตัน (ฮอกกี้) หัวหน้าทีมของผู้เล่นฮอกกี้
กัปตัน (แฮนด์บอล) หัวหน้าทีมของผู้เล่นแฮนด์บอล
กัปตัน (ฮอกกี้น้ำแข็ง) หัวหน้าทีมของผู้เล่นฮอกกี้น้ำแข็ง
กัปตัน (รักบี้ลีก) หัวหน้าทีมของผู้เล่นรักบี้ลีก
กัปตัน (วอลเลย์บอล) หัวหน้าทีมของผู้เล่นวอลเลย์บอล
ผลคูณอนันต์

ในคณิตศาสตร์ ผลคูณอนันต์ (อังกฤษ: Infinite product) ของลำดับ a1, a2, a3, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย
นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย a1a2...an เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่า ลู่เข้า เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้ลู่ออก โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ an เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง
ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า π เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ:
{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}...
{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}...=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)
เกณฑ์ในการลู่เข้า

ผลคูณของจำนวนจริงบวก
จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม
ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี an เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้
สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ  a_{n}\geq 1 หรือเขียนเป็น  a_{n}=1+p_{n},\ p_{n}\geq 0 จะได้อสมการ
ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ pn ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า  p_{n}\to 0 แล้ว
ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ
เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ
บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก  a_{n}=1-q_{n},\ 0\leq q_{n}<1 แล้ว  \prod _{n=1}^{\infty }(1-q_{n}) ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม  \sum _{n=1}^{\infty }q_{n} ลู่เข้า
หากอนุกรม  \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n}) ลู่ออกไปสู่  -\infty  แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ an จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่า ลู่ออกไปสู่ศูนย์
สำหรับ  p_{n}\  ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ  \sum _{n=1}^{\infty }p_{n} ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ  \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n}) ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก  \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}| ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม (ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์) กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก  \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2} ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน
รูปผลคูณของฟังก์ชัน

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) f(z) ทุกฟังก์ชัน (นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า f มีรากอันดับ m ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ u1, u2, u3, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว
เมื่อ λn เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ φ(z) เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ λn อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด p ที่เมื่อ λn = p แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) p นี้เรียกว่า อันดับ (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ p = 0 จะได้เป็น
ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ φ (z) เป็นค่าคงที่
นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| ขั้วอย่างง่าย (simple pole) |  {\frac {c}{c-z}}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}} |  |
|  |  {\frac {1}{1-z}}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right) |  |
| ฟังก์ชัน sinc |  {\textrm {sinc}}(\pi z)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right) | มาจากออยเลอร์ มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษ |
| ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ |  {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}} |  |
| ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส |  \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}} |  \Lambda _{*} หมายถึง แลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิด |
| เครื่องหมาย q-Pochhammer |  (z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n}) | ใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ |
| ฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน |  {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}} | แสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบี |
| ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ |  \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}} | pn หมายถึง ลำดับของจำนวนเฉพาะ เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์ |
โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก ζ ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ ζ (z) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (z) > 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า ζ (z)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด z = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย
ดูเพิ่ม

อนุกรมอนันต์
เศษส่วนต่อเนื่อง
การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ
เมทริกซ์มากเลขศูนย์

เมทริกซ์มากเลขศูนย์ที่ได้เมื่อแก้ปัญหาด้วยระเบียบวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ในสองมิติ องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์จะเป็นสีดำ
ในสาขาการวิเคราะห์เชิงตัวเลข และ วิทยาการคอมพิวเตอร์ เมทริกซ์มากเลขศูนย์ (อังกฤษ: sparse matrix) หรือ แถวลำดับมากเลขศูนย์ (อังกฤษ: sparse array) หมายถึงเมทริกซ์ที่องค์ประกอบส่วนใหญ่เป็นศูนย์ ไม่มีคำจำกัดความที่แน่ชัดว่าต้องมีองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อยู่มากเท่าไดจึงจะถือว่าเป็นเมทริกซ์ที่ มากเลขศูนย์ (sparse) แต่เงื่อนไขโดยทั่วไปคือจำนวนองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์นั้นใกล้เคียงกับจำนวนแถวหรือสดมภ์โดยประมาณ ในทางกลับกัน เมทริกซ์ที่องค์ประกอบส่วนใหญ่ไม่เป็นศูนย์จะถือว่าเป็นเมทริกซ์ที่ หนาแน่น (dense) จำนวนองค์ประกอบที่เป็นศูนย์ในเมทริกซ์หารด้วยจำนวนองค์ประกอบทั้งหมด บางครั้งเรียกว่า ความมากเลขศูนย์ (sparsity) ของเมทริกซ์
ตามหลักการแล้ว ความมากเลขศูนย์จะเกิดขึ้นกับระบบที่มีการโต้ตอบแบบคู่กันเพียงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ถ้าเราพิจารณาเส้นของลูกบอลที่เชื่อมต่อถึงกันด้วยสปริง นี่เป็นระบบแบบมากเลขศูนย์ เนื่องจากลูกบอลแต่ละลูกจะจับคู่กับตัวข้าง ๆ เท่านั้น ในทางตรงข้าม ระบบนี้จะเป็นเมทริกซ์หนาแน่น หากลูกบอลลูกหนึ่งเชื่อมต่อกันด้วยสปริงกับลูกบอลอีกลูกที่อยู่ในแนวเดียวกัน แนวคิดเรื่องความมากเลขศูนย์มีประโยชน์ในด้านการใช้งาน เช่น คณิตศาสตร์เชิงการจัด และ ทฤษฎีโครงข่าย และ การวิเคราะห์เชิงตัวเลข ซึ่งโดยปกติแล้วความหนาแน่นของข้อมูลสำคัญและการเชื่อมต่อจะต่ำ เมทริกซ์มากเลขศูนย์ขนาดใหญ่มักปรากฏในการประยุกต์ใช้ทางวิทยาศาสตร์ และ วิศวกรรมศาสตร์ เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
เมื่อจัดเก็บและจัดการเมทริกซ์แบบมากเลขศูนย์บนคอมพิวเตอร์ จะเป็นประโยชน์และมักจำเป็นต้องใช้ ขั้นตอนวิธีพิเศษและโครงสร้างข้อมูลที่ใช้ประโยชน์จากโครงสร้างแบบมากเลขศูนย์ของเมทริกซ์ เนื่องจากเมทริกซ์มากเลขศูนย์มักใช้ในด้านการเรียนรู้ของเครื่อง  บางเครื่องจึงอาจถูกสร้างขึ้นมาสำหรับเมทริกซ์แบบนี้โดยเฉพาะ การดำเนินการที่ใช้โครงสร้างเมทริกซ์หนาแน่นมาตรฐานจะช้าและไม่มีประสิทธิภาพเมื่อนำไปใช้กับเมทริกซ์มากเลขศูนย์ขนาดใหญ่ การสูญเสียการประมวลผลและหน่วยความจำไปกับค่าศูนย์ ข้อมูลมากเลขศูนย์จะบีบอัดได้ง่ายกว่าดังนั้นจึงใช้พื้นที่จัดเก็บน้อยกว่ามาก สำหรับเมทริกซ์มากเลขศูนย์ที่มีขนาดใหญ่มาก อาจเป็นไปได้ที่จะใช้การดำเนินการกับเมทริกซ์หนาแน่นมาตรฐาน
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอรจถูกวิเคราะห์ได้โดยใช้ วิธีผลต่างอันตะ วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ ฯลฯ โดยทั่วไปจะกลายเป็น ระบบสมการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์มากเลขศูนย์ เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ์
ในสาขาการวิเคราะห์เชิงตัวเลข มีวิธีการแก้ปัญหาหลายวิธีที่ใช้เมทริกซ์มากเลขศูนย์ การจัดเก็บเฉพาะองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์มากเลขศูนย์อย่างชาญฉลาด จะช่วยให้จัดการกับปัญหามิติขนาดใหญ่ได้ง่ายขึ้น ข้อดีอีกประการหนึ่งคือ ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณผลคูณของเวกเตอร์และเมทริกซ์ได้โดยใช้ความพยายามเพียงเล็กน้อย ตัวประมวลผลเวกเตอร์นั้นใช้ได้ดีในการประมวลผลทางคอมพิวเตอร์โดยใช้เมทริกซ์มากเลขศูนย์ซึ่งมักจะเกี่ยวข้องกับการเข้าถึงหน่วยความจำแบบสุ่ม และยังคงเป็นกระบวนการที่ตัวประมวลผลแบบสเกลาร์ ทั่วไปและ GPGPU นั้นยังทำได้ไม่ค่อยดี
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล

โดยทั่วไปเมทริกซ์จะถูกเก็บไว้ในแถวลำดับสองมิติ แต่ละองค์ประกอบของแถวลำดับแสดงถึงองค์ประกอบ ai,j ของเมทริกซ์ และเข้าถึงได้โดยใช้ดัชนี สองตัว i และ j ตามแบบแผนทั่วไป i หมายถึงดัชนีแถวโดยนับจากบนลงล่าง และ j หมายถึงดัชนีสดมภ์โดยนับจากซ้ายไปขวา สำหรับเมทริกซ์ขนาด m × n จำนวนหน่วยความจำที่ต้องใช้ในการจัดเก็บเมทริกซ์ในรูปแบบนี้เป็นสัดส่วนกับ m × n (แม้ว่าจะมักลืมไปว่าขนาดของเมทริกซ์ก็ต้องถูกจัดเก็บด้วย)
ในกรณีของเมทริกซ์มากเลขศูนย์ การจัดเก็บเฉพาะองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์จะช่วยลดจำนวนหน่วยความจำที่ต้องการได้อย่างมาก การใช้โครงสร้างข้อมูลที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับจำนวนและการกระจายขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ ช่วยให้ประหยัดหน่วยความจำได้มากเมื่อเทียบกับวิธีการพื้นฐาน ข้อเสียคือการเข้าถึงแต่ละองค์ประกอบนั้นซับซ้อนกว่า และจำเป็นต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติมเพื่อให้สามารถกู้คืนเมทริกซ์ดั้งเดิมได้อย่างชัดเจน
ด้วยเหตุนี้ จึงมีรูปแบบไฟล์แบบต่าง ๆ สำหรับจัดเก็บเมทริกซ์มากเลขศูนย์
รูปแบบจะแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม
รูปแบบที่รองรับการแก้ไขอย่างมีประสิทธิภาพ
DOK (พจนานุกรมคีย์)
LIL (รายการ)
COO
รูปแบบที่รองรับการเข้าถึงที่มีประสิทธิภาพและการจัดการเมทริกซ์
CSR
CSC
BSR
ชื่อต่อไปนี้เป็นไปตามที่ใช้ใน Netlib, Intel Math Kernel Library และ SciPy ให้พิจารณาเมทริกซ์มากเลขศูนย์ A ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง
{\begin{bmatrix}1&2&3&0\\0&0&0&1\\2&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล > พจนานุกรมคีย์

พจนานุกรมคีย์ (Dictionary of Key, DOK) เป็นวิธีการที่ใช้ (แถว, สดมภ์) เป็นคีย์และจัดเก็บไว้ในแถวลำดับแบบจับคู่
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล > รายการของรายการ

รายการของรายการ (list of list, LIL) เป็นวิธีการที่สร้างรายการสำหรับแต่ละแถวและจัดเก็บสิ่งอันดับ (สดมภ์, ค่า) ในรายการนั้น
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล > พิกัด

พิกัด (coordinate, COO) เป็นวิธีการแสดงเมทริกซ์เป็นชุดของหลายสิ่งอันดับ [ค่า, ดัชนีแถว, ดัชนีสดมภ์]
การจัดเรียงองค์ประกอบของเมทริกซ์ A พร้อมกับพิกัด (ดัชนี) จะให้ผลลัพธ์ดังนี้
A = [1 2 3 0 0 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 1] # ค่า
IA = [1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4] # ดัชนีแถว
JA = [1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4] # ดัชนีสดมภ์
ในที่นี้หากระบุว่า "ค่าที่ไม่มีอยู่จะถือเป็นองค์ประกอบศูนย์" องค์ประกอบที่เป็นศูนย์ทั้งหมดสามารถลบทิ้ง ซึ่งส่งผลให้ได้
A = [1 2 3 1 2 2 1] # ค่า
IA = [1 1 1 2 3 3 4] # ดัชนีแถว
JA = [1 2 3 4 1 4 4] # ดัชนีสดมภ์
เป็นการแทนด้วยเมทริกซ์มากเลขศูนย์ A ในรูปแบบ COO
หากต้องการแก้ไของค์ประกอบที่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์ COO ให้ไม่เป็นศูนย์ ก็แค่ต้องเพิ่มหลายสิ่งอันดับที่ไม่เป็นศูนย์หลังจากนั้นเท่านั้น ซึ่งเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพ
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล > ที่เก็บข้อมูลแถวบีบอัด

ที่เก็บข้อมูลแถวที่ถูกบีบอัด (compressed row storage, CRS) หรือ แถวมากเลขศูนย์บีบอัด (compressed sparse row, CSR) เป็นวิธีการบีบอัดแถวลำดับดัชนีแถว
ในวิธี CSR ขั้นแรกให้จัดเรียงเมทริกซ์สองมิติตามทิศทางของแถว ต่อไปจะพิจารณาว่า "ค่าที่ไม่มีอยู่จะถือเป็นองค์ประกอบศูนย์" และองค์ประกอบที่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะถูกลบทิ้ง ในขั้นตอนนี้ หากจัดเรียงดัชนีด้วยแถวและสดมภ์ จะมีลักษณะดังนี้:
data = [1 2 3 1 2 2 1] # ค่า
IA = [1 1 1 2 3 3 4] # ดัชนีแถว
JA = [1 2 3 4 1 4 4] # ดัชนีสดมภ์
ในที่นี้เราจะมุ่งความสนใจไปที่แถวลำดับดัชนีแถว (IA) ในปัจจุบัน แต่ละองค์ประกอบมีดัชนีแถวที่ชัดเจน แต่สามารถรับมาได้โดยอัตโนมัติหากทราบการแบ่งแถว ตัวอย่างเช่น IA[1] = IA[2] = IA[3] = 1 แต่ถ้ารู้ว่า "บรรทัดแรกเริ่มจากองค์ประกอบแรก และบรรทัดที่ 2 เริ่มจากองค์ประกอบที่ 4" ดังนั้นจะได้ว่า IA[1:4]=[1 1 1] ในทันที นี่เป็นผลมาจากกฎที่ว่าวิธี CSR จัดเรียงทีละแถวแล้วลบองค์ประกอบที่เป็นศูนย์
การแสดงดัชนีแถวนี้สามารถมองได้ว่าเป็นแถวลำดับของตัวชี้ส่วนหัวของแถว นั่นคือ indptr = [ptr_row_1 ptr_row2 ...] ขณะนี้แถวลำดับดัชนีสดมภ์ JA เป็นเพียงแถวลำดับเดียวที่ระบุดัชนีโดยตรง ดังนั้นจะเปลี่ยนชื่อเป็น indices ซึ่งจะได้ว่า
data = [1 2 3 1 2 2 1] # ค่า
indices = [1 2 3 4 1 4 4] # ดัชนีสดมภ์
indptr = [1 4 5 7] # ตัวชี้แถว
นี่เป็นการแสดงเมทริกซ์มากเลขศูนย์ A ในรูปแบบ CSR
รูปแบบ CSR ช่วยให้เข้าถึงแถวได้ดีขึ้น เมื่อเข้าถึงแถวแรกสามารถดึงเอาข้อมูลโดย data[indptr[1]:indptr[2]] และดัชนีสดมภ์ที่มี indices[indptr[1]:indptr[2]] (ดัชนีแถวคือ 1 แน่นอน) ในขณะที่ ในรูปแบบ COO ขั้นแรกจะกวาดดูความยาวทั้งหมดของแถวลำดับดัชนีแถว IA แสดงรายการหมายเลของค์ประกอบ k ที่สอดคล้องกับ IA[k] == 1 จากนั้นจะต้องทำการเข้าถึง k ทั้งหมดโดยใช้ data[k], indices[k]
ในทางตรงกันข้าม รูปแบบ CSR ทำให้เข้าถึงสดมภ์ได้ไม่ดี เมื่อต้องการเข้าถึงสดมภ์แรก ต้องกวาดหา indices ตามความยาวทั้งหมด และแสดงรายการหมายเลของค์ประกอบ k ที่ indices[k] == 1 จากนั้นกวาดหา indptr เพื่อให้ได้ดัชนีแถว และต้องค้นหา n ที่ทำให้ indptr[n] <= k < indptr[n+1] ที่แต่ละ k
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล > ที่เก็บข้อมูลสดมภ์บีบอัด

ที่เก็บข้อมูลสดมภ์บีบอัด (compressed column storage, CCS) หรือ สดมภ์มากเลขศูนย์บีบอัด (compressed sparse Column, CSC) จะเหมือนกับ CRS แต่อิงสดมภ์แทนที่จะอิงแถว
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล > ที่เก็บข้อมูลแนวทแยงบีบอัด

ที่เก็บข้อมูลแนวทแยงบีบอัด (compressed diagonal storage, CDS) และ diagonal (DIA) เป็นรูปแบบ CRS/CSR ในหน่วยเมทริกซ์แนวทแยง
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล > เมทริกซ์เส้นขอบฟ้า (SKS, SKY)

เมทริกซ์เส้นขอบฟ้า (skyline matrix) ใช้สำหรับเมทริกซ์สามเหลี่ยม
รูปแบบการจัดเก็บข้อมูล > ที่จัดเก็บแถวบีบอัดแบบบล็อก

ที่จัดเก็บแถวบีบอัดแบบบล็อก (block compressed row storage, BCRS) หรือ แถวมากเลขศูนย์แบบบล็อก (Block Sparse Row, BSR) เหมือนกับ CRS แต่ทำเป็นในหน่วยบล็อก
บัตรกรุงไทย

| --- | --- |

ประเภท: บริษัทมหาชน
การซื้อขาย: SET:KTC
อุตสาหกรรม: ธุรกิจการเงิน เงินทุนและหลักทรัพย์
ก่อตั้ง: 4 ธันวาคม พ.ศ. 2539 (28 ปี)
สำนักงานใหญ่: อาคารสมัชชาวาณิช 2 ชั้น 14, 591 แขวงคลองตันเหนือ เขตวัฒนา กรุงเทพมหานคร
บุคลากรหลัก: นายประสงค์ พูนธเนศ (กรรมการอิสระ ประธานกรรมการ และประธานกรรมการสรรหาและกำหนดค่าตอบแทน) พิทยา วรปัญญาสกุล (ประธานเจ้าหน้าที่บริหาร และกรรมการ)
รายได้:  รายได้ 6,763 ล้านบาท (1Q2024)บาท (2562)
สินทรัพย์:  สินทรัพย์ 106,434 ล้านบาท (1Q2024)บาท (2562)
ส่วนของผู้ถือหุ้น:  ส่วนของผู้ถือหุ้น 37,638 ล้านบาท (1Q2024)บาท (2562)
อันดับความน่าเชื่อถือ: TRIS: AA-
เว็บไซต์: www.ktc.co.th  ศูนย์ลูกค้าสัมพันธ์ : 02 123 5000
บริษัท บัตรกรุงไทย จำกัด (มหาชน) (“บริษัท” หรือ “เคทีซี”) (ตัวย่อตลาดหลักทรัพย์ฯ : KTC)  จดทะเบียนเป็นนิติบุคคลเมื่อวันที่ 4 ธันวาคม 2539 ด้วยทุนจดทะเบียนเริ่มต้นที่ 50 ล้านบาท ในวันที่ 28 ตุลาคม 2545 บริษัทได้เข้าจดทะเบียนในตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทย หมวดธุรกิจเงินทุนและหลักทรัพย์ ตั้งแต่ปี 2561 เคทีซีได้รับเลือกเข้าอยู่ใน SET 50 Index  และ ณ ณ วันที่ 31 มีนาคม 2567 บริษัทมีทุนจดทะเบียน 2,578,334,070 บาท เรียกชำระแล้ว 2,578,334,070 บาท แบ่งเป็นหุ้นสามัญ 2,578,334,070 หุ้น มูลค่าหุ้นละ 1 บาท โดยมีธนาคารกรุงไทย จำกัด (มหาชน) เป็นผู้ถือหุ้นใหญ่โดยมีสัดส่วนการถือหุ้น 49.29%
เคทีซีประกอบธุรกิจหลักด้านบัตรเครดิต ตลอดจนธุรกิจที่เกี่ยวเนื่องกับธุรกิจบัตรเครดิต ธุรกิจร้านค้ารับบัตร การให้บริการรับชำระเงินแทน และธุรกิจสินเชื่อบุคคล ซึ่งครอบคลุมไปถึงสินเชื่อส่วนบุคคลภายใต้การกำกับและสินเชื่อที่มีทะเบียนรถเป็นประกัน นอกจากนี้ เพื่อให้บริษัทมีการปรับตัวให้ทันต่อการเปลี่ยนแปลงของเทคโนโลยีและสังคม บริษัทได้จัดตั้งบริษัทย่อยเพื่อให้มีผลิตภัณฑ์ทางการเงินซึ่งครอบคลุมธุรกิจสินเชื่อรายย่อยเพื่อการประกอบอาชีพภายใต้การกำกับ ธุรกิจเงินอิเล็กทรอนิกส์ ธุรกิจเช่าซื้อและธุรกิจลิสซิ่ง
โดย ณ วันที่ 31 มีนาคม 2567  มีจำนวนบัญชีรวม ประมาณ 3.4 ล้านบัญชี แบ่งเป็น บัตรเครดิต 2,695,453 บัตร และบัญชีสินเชื่อบุคคล 727,694 บัญชี มีจำนวนศูนย์บริการ KTC TOUCH ทั้งสิ้น 12 แห่ง แบ่งเป็น กรุงเทพมหานคร 8 แห่ง ปริมณฑล 3 แห่ง และเชียงใหม่ 1 แห่ง
ผู้ถือหุ้นรายใหญ่

| ลำดับที่ | รายชื่อผู้ถือหุ้น | จำนวนหุ้นที่ถือ (หุ้น) | สัดส่วนการถือหุ้น |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | ธนาคารกรุงไทย จำกัด (มหาชน) | 1,270,908,500 | 49.29% |
| 2 | นายมงคล ประกิตชัยวัฒนา | 288,736,400 | 11.20% |

| 3 | บริษัท ไทยเอ็นวีดีอาร์ จำกัด | 154,289,824 | 5.98% |
| 4 | นางสาวฉันทนา จิรัฐิติภัทร์ | 116,173,900 | 4.51% |
| 5 | UBS AG SINGAPORE BRANCH | 104,500,000 | 4.05% |
| 6 | UOB KAY HIAN PTE LTD A/C - R | 94,758,200 | 3.68% |
| 7 | BNP PARIBAS SINGAPORE BRANCH | 90,520,000 | 3.51% |
| 8 | นางสาวจารุวรรณ ภัทรปัญญาดี | 48,840,000 | 1.89% |
| 9 | SOUTH EAST ASIA UK (TYPE C) NOMINEES LIMITED | 36,359,831 | 1.41% |
| 10 | บริษัทหลักทรัพย์ เมย์แบงก์ (ประเทศไทย) จำกัด (มหาชน) | 25,800,000 | 1.00% |
| 11 | STATE STREET EUROPE LIMITED | 20,189,400 | 0.78% |
| 12 | นายชาญวิทย์ ประกิตชัยวัฒนา | 18,592,700 | 0.72% |
| รวม | รวม | 2,269,668,755 | 88.02% |
* รายชื่อผู้ถือหุ้น 10 รายแรก รวมถึงผู้ถือหุ้นที่ถือหุ้นตั้งแต่ร้อยละ 0.5 ของทุนชําระแล้วของบริษัทจดทะเบียน
ดิ ไอดอลมาสเตอร์ มิลเลียนไลฟ์

| --- | --- |
ดิ ไอดอลมาสเตอร์ มิลเลียนไลฟ์
アイドルマスター ミリオンライブ！ (Aidorumasutā Mirion Raibu!)
ชื่อภาษาอังกฤษ: THE iDOLM@STER MILLION LIVE!
แนว: ไอดอล
เกม
ผู้พัฒนา: บันไดนัมโคสตูดิโอ
ผู้จัดจำหน่าย: บันไดนัมโคเอนเตอร์เทนเมนต์
แนว: เกมจำลองสถานการณ์, เกมเครือข่ายสังคม
แพลตฟอร์ม: GREE (ไอโอเอส, แอนดรอยด์, คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล)
วางจำหน่ายเมื่อ: JP: 7 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2556
เกม
ดิไอดอลมาสเตอร์ มิลเลียนไลฟ์! เทียเตอร์เดส์
ผู้พัฒนา: บันไดนัมโคสตูดิโอ
ผู้จัดจำหน่าย: บันไดนัมโคเอ็นเตอร์เทนเมนต์
แนว: เกมจำลองสถานการณ์, เกมจังหวะ, เกมเครือข่ายสังคม
แพลตฟอร์ม: ไอโอเอส, แอนดรอยด์
วางจำหน่ายเมื่อ: JP: 29 มิถุนายน พ.ศ. 2560
อนิเมะโทรทัศน์
กำกับโดย: ชินยะ วาตาดะ
เขียนบทโดย: โยอิจิ คาโต
ดนตรีโดย: แลนทิส
สตูดิโอ: ชิโรงูมิ
ฉาย:  8 ตุลาคม พ.ศ. 2566  –  24 ธันวาคม พ.ศ. 2566
ตอน: 12
 สถานีย่อยการ์ตูนญี่ปุ่น
ดิ ไอดอลมาสเตอร์ มิลเลียนไลฟ์ (ญี่ปุ่น: アイドルマスター ミリオンライブ！; โรมาจิ: Aidorumasutā Mirion Raibu!; ชื่อภาษาอังกฤษทางการว่า THE iDOLM@STER MILLION LIVE!) เป็นซีรีส์สื่อผสมญี่ปุ่นภาคแยกของดิไอดอลมาสเตอร์  เริ่มด้วยเกมชื่อเดียวกัน เกี่ยวกับกลุ่มไอดอลกลุ่มใหม่ที่ทำงานร่วมกับไอดอลของ 765 โปรดักชันส์ และโปวดิวเซอร์ที่บริษัท 765 เทียเตอร์
เกมต้นฉบับเป็นเกมจำลองสถานการณ์ปั้นไอดอลญี่ปุ่น พัฒนาและบริหารโดยบันไดนัมโคเอนเตอร์เทนเมนต์ จำหน่ายทางแพลตฟอร์มเครือข่ายสังคม GREE ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2556 สำหรับแพลตฟอร์มแอนดรอยด์และไอโอเอส และสำหรับฟีเจอร์โฟน เกมจังหวะ ชื่อ ดิไอดอลมาสเตอร์ มิลเลียนไลฟ์! เทียเตอร์เดส์ จำหน่ายในวันที่ 29 มิถุนายน พ.ศ. 2560 เกมต้นฉบับสิ้นสุดการให้บริการในวันที่ 18 มีนาคม พ.ศ. 2561 เหลือเพียง เทียเตอร์เดส์ ในฐานะเกมหลักของ มิลเลียนไลฟ์ ซีรีส์อนิเมะโทรทัศน์ดัดแปลงผลิตโดยสตูดิโอชิโรงูมิ ออกอากาศตั้งแต่เดือนตุลาคม พ.ศ. 2566, โดยก่อนการออกอากาศทางโทรทัศน์ ซีรีส์อนิเมะ เรื่องนี้ได้เข้าฉายในโรงภาพยนตร์โดยแบ่งฉายเป็น 3 ภาค
ภาพรวม

ดูเพิ่ม: รายชื่อตัวละครในดิ ไอดอลมาสเตอร์ § มิลเลียนไลฟ์
มิลเลียนไลฟ์ แนะนำไอดอล 37 คน ทำงานร่วมกับไอดอล 13 คนของ 765 Production ส่วน เทียเตอร์เดส์ เพิ่มไอดอลอีก 2 คนและเลขาอีก 1 คน เมื่อเปรียบเทียบกับภาคแยกอื่น ๆ ในซีรีส์ ดิ ไอดอลมาสเตอร์ ไอดอลหน้าใหม่จะทำงานร่วมกับและและมีปฏิสัมพันธ์กับไอดอลจาก 765 การออกแบบโดยทั่วไปและองค์ประกอบภาพส่วนใหญ่ทำโดย เอ-1 พิกเจอร์ส ซึ่งเป็นสตูดิโอแอนิเมชันเดียวกับที่รับผิดชอบการสร้างแอนิเมชั่นอนิเมะซีรีส์ ดิ ไอดอลมาสเตอร์ หลายเรื่อง
แหล่งข้อมูลอื่น

อนิเมะ ดิ ไอดอลมาสเตอร์ มิลเลียนไลฟ์ ที่ฟลิกเซอร์
ดิ ไอดอลมาสเตอร์ มิลเลียนไลฟ์ (อนิเมะ) ที่เครือข่ายข่าวอนิเมะ
อรชุน รินทรวิฑูรย์

| อรชุน รินทรวิฑูรย์ |
| --- | --- |

เกิด: 5 ตุลาคม พ.ศ. 2523 (44 ปี) จังหวัดนครศรีธรรมราช ประเทศไทย
การศึกษา: คณะรัฐศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
อาชีพ: ผู้ประกาศข่าว
อรชุน รินทรวิฑูรย์ หรือ โจจิรัฏฐ์ รินทรวิฑูรย์ (เกิด 5 ตุลาคม พ.ศ. 2523) ชื่อเล่น โจ เป็นผู้ประกาศข่าวชาวไทย ปัจจุบันเป็นผู้ประกาศข่าวช่องวัน 31 โดยเขาเป็นผู้ประกาศข่าวที่มีความสามารถในการพูดภาษาจีนกลางได้
ประวัติ

อรชุนเกิดที่จังหวัดนครศรีธรรมราช พักอาศัยอยู่ในเขตเทศบาลตำบลจันดี ตำบลจันดี อำเภอฉวาง เข้าการศึกษาระดับประถมศึกษาจากโรงเรียนเจริญวิทย์ ก่อนย้ายเข้ามาศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนต้นและตอนปลาย (ปีที่ 1-5) ที่โรงเรียนโยธินบูรณะ และเคยศึกษาที่โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาขณะอยู่ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 แต่ภายหลังได้ลาออกแล้วย้ายกลับมาเรียนที่โรงเรียนโยธินบูรณะ เขาสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรี คณะรัฐศาสตร์ เอกความสัมพันธ์ระหว่างประเทศ โทภาษาจีน และปริญญาโท เอกความสัมพันธ์ระหว่างประเทศ (MIR) โทวิชากฎหมาย คณะรัฐศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
ผลงานข่าวและพิธีกรข่าว > ปัจจุบัน

ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าวเช้าช่องวัน คู่กับ พิพัฒน์ วิทยาปัญญานนท์ วันจันทร์ - วันศุกร์ เวลา 06:00 - 08:00 น. ทางช่องวัน 31 ในนามสำนักข่าววันนิวส์
ผู้ประกาศข่าวรายการ เกาะข่าวเที่ยง 25 คู่กับ ญาณิน ญาณัชปวีณ วันจันทร์ - วันศุกร์ เวลา 12:30 - 14:00 น. ทางจีเอ็มเอ็ม 25 ในนามสำนักข่าววันนิวส์
ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าวช่องวัน เสาร์-อาทิตย์ คู่กับ ญาณิน ญาณัชปวีณ, ศรัณภัสร์ ตั้งไพศาลธนกุล วันเสาร์ - วันอาทิตย์ เวลา 08:30 - 10:00 น. ทางช่องวัน 31 ในนามสำนักข่าววันนิวส์
ผลงานข่าวและพิธีกรข่าว > อดีต

พ.ศ. 2545 - 2548 : ผู้สื่อข่าวไอทีวีและทีไอทีวี
พ.ศ. 2549 - 31 มกราคม พ.ศ. 2551 : ผู้ประกาศข่าวทางช่อง 9 เอ็มคอตเอชดี ในนามสำนักข่าวไทย
15 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2551 - 27 ธันวาคม พ.ศ. 2552 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าวค่ำไทยพีบีเอส ทางช่องไทยพีบีเอส (วันเสาร์ - วันอาทิตย์)
15 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2551 - 26 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2553 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าวเช้าไทยพีบีเอส ทางช่องไทยพีบีเอส (วันจันทร์ - วันศุกร์)
1 มีนาคม พ.ศ. 2553 - กันยายน พ.ศ. 2554 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าวเช้าสปริงนิวส์ ทางช่องสปริงนิวส์ (วันจันทร์ - วันศุกร์) และ ผู้ช่วยบรรณาธิการข่าวต่างประเทศ
2 มกราคม - 31 ธันวาคม พ.ศ. 2555 : ผู้ประกาศข่าวรายการ โลกยามเช้า ทางช่อง 3 เอชดี
1 สิงหาคม พ.ศ. 2554 - 26 ธันวาคม พ.ศ. 2556 : ผู้ประกาศข่าวรายการ เรื่องเด่นเย็นนี้ ช่วง เอเซียคอนเน็กต์ ทางช่อง 3 เอชดี
พ.ศ. 2562 : ผู้ประกาศข่าวรายการ เช้าวันใหม่ ทางช่อง 3 เอชดี
1 พฤษภาคม พ.ศ. 2557 - 9 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2562 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าววันใหม่ ช่วง ตระเวนข่าว,ตะลอนโลก ทางช่อง 3 เอชดี
4 กุมภาพันธ์ - 28 มิถุนายน พ.ศ. 2562 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ค่ำทันข่าว ทางช่อง 3 แฟมิลี
1 กรกฎาคม พ.ศ. 2556 - 30 สิงหาคม พ.ศ. 2562 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ครอบครัวข่าวเช้า ทางช่อง 3 เอชดี
1 กรกฎาคม - 30 กันยายน พ.ศ. 2562 : ผู้ประกาศข่าวรายการ คนเฝ้าข่าว ทางช่อง 3 เอสดี
19 กันยายน พ.ศ. 2562 - 30 ธันวาคม พ.ศ. 2563 : ผู้ประกาศข่าวรายการ เรื่องเล่าหน้าหนึ่ง ทางช่อง 3 เอชดี
1 มกราคม - 30 เมษายน พ.ศ. 2564 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าว 3 ยามเช้า ทางช่อง 3 เอชดี
5 ตุลาคม พ.ศ. 2562 - 2 พฤษภาคม พ.ศ. 2564 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าวเด่นเย็น เสาร์-อาทิตย์ ทางช่อง 3 เอชดี
8 - 23 พฤษภาคม พ.ศ. 2564 : ผู้ประกาศข่าวรายการ เรื่องเด่นเย็นนี้ เสาร์-อาทิตย์ ทางช่อง 3 เอชดี
29 พฤษภาคม พ.ศ. 2564 - 2 มกราคม พ.ศ. 2565 : ผู้ประกาศข่าวรายการ ข่าวอรุณอมรินทร์ ทางช่องอมรินทร์ทีวี
ฟังก์ชันซีตาของรีมัน

ฟังก์ชันซีตาของรีมันสำหรับจำนวนจริง s > 1
ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันซีตาของรีมัน (อังกฤษ: Riemann zeta function) เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย
ซึ่งตั้งตามชื่อของแบร์นฮาร์ท รีมัน นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟังก์ชันนี้มีความสำคัญในด้านทฤษฎีจำนวนเนื่องจากว่ามันสามารถบ่งบอกถึงการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะได้ และยังสามารถประยุกต์ใช้ในทางฟิสิกส์ ความน่าจะเป็น และสถิติได้
สูตรผลคูณของอ็อยเลอร์

ในปี ค.ศ. 1737 อ็อยเลอร์ค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันซีตาของรีมันและจำนวนเฉพาะ ซึ่งพิสูจน์เอกลักษณ์ดังกล่าว
การพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ ใช้เพียงสูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิต และ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิก เมื่อ s = 1 เป็นอนุกรมลู่ออก
สูตรผลคูณของออยเลอร์สามารถใช้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มใด ๆ หารด้วยจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเต็ม) p ลงตัว คือ 1/p ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ตัวเลขจำนวน s ตัวหารด้วยจำนวนเฉพาะนี้ลงตัวคือ 1/ps และความน่าจะเป็นที่จะหารไม่ลงตัว คือ 1 − 1/ps สำหรับจำนวนเฉพาะ ดังนั้นความน่าจะเป็นจะได้มาจากผลคูณของลำดับของจำนวนเฉพาะทั้งหมด นั่นคือ
 \prod _{p{\text{is prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{is prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}
ดูเพิ่ม

สมมติฐานของรีมัน