มัชฌิมเรขาคณิต
การประยุกต์ใช้กับค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

สมบัติพื้นฐานของมัชฌิมเรขาคณิตซึ่งมัชฌิมชนิดอื่น ๆ ไม่มีคือ หากมีลำดับสองลำดับ  X และ  Y ที่ความยาวเท่ากัน
จะทำให้มัชฌิมเรขาคณิตเป็นมัชฌิมชนิดเดียวที่ถูกต้องเมื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ซึ่งถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน (normalized) กล่าวคือผลลัพธ์ซึ่งแสดงออกเป็นอัตราส่วนกับค่าอ้างอิง  กรณีเช่นนี้เกิดขึ้นเมื่อต้องการแสดงประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์เมื่อเทียบกับคอมพิวเตอร์ที่นำมาอ้างอิง หรือเมื่อต้องการคำนวณดัชนีค่าเฉลี่ยค่าเดียวจากแหล่งที่ไม่เป็นแบบเดียวกัน (เช่นการคาดหมายคงชีพ ระยะเวลาการศึกษา และอัตราการเสียชีวิตทารก) ในสถานการณ์เหล่านี้ การใช้มัชฌิมเลขคณิตหรือฮาร์มอนิกจะเปลี่ยนการจัดลำดับของผลลัพธ์โดยขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้อ้างอิง ยกตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบเวลากระทำการของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:
ตาราง 1
|   | คอมพิวเตอร์ A | คอมพิวเตอร์ B | คอมพิวเตอร์ C |
| --- | --- | --- | --- |
| โปรแกรม 1 | 1 | 10 | 20 |
| โปรแกรม 2 | 1000 | 100 | 20 |
| มัชฌิมเลขคณิต | 500.5 | 55 | 20 |
| มัชฌิมเรขาคณิต | 31.622 . . . | 31.622 . . . | 20 |
| มัชฌิมฮาร์มอนิก | 1.998 . . . | 18.182 . . . | 20 |
ทั้งมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตเห็นพ้องกันว่าคอมพิวเตอร์ C มีความเร็วประมวลผลสูงที่สุด ทว่าเมื่อเราแสดงด้วยค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐานอย่างถูกต้องแล้ว แล้วใช้ค่ามัชฌิมเลขคณิต เราแสดงให้เห็นได้ว่าคอมพิวเตอร์ทั้งสองเครื่องเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด หากใช้ A เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:
ตาราง 2
|   | คอมพิวเตอร์ A | คอมพิวเตอร์ B | คอมพิวเตอร์ C |
| --- | --- | --- | --- |
| โปรแกรม 1 | 1 | 10 | 20 |
| โปรแกรม 2 | 1 | 0.1 | 0.02 |
| มัชฌิมเลขคณิต | 1 | 5.05 | 10.01 |
| มัชฌิมเรขาคณิต | 1 | 1 | 0.632 . . . |
| มัชฌิมฮาร์มอนิก | 1 | 0.198 . . . | 0.039 . . . |
ในขณะที่หากใช้ B เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ B จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด แต่หากอ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:
ตาราง 3
|   | คอมพิวเตอร์ A | คอมพิวเตอร์ B | คอมพิวเตอร์ C |
| --- | --- | --- | --- |
| โปรแกรม 1 | 0.1 | 1 | 2 |
| โปรแกรม 2 | 10 | 1 | 0.2 |
| มัชฌิมเลขคณิต | 5.05 | 1 | 1.1 |
| มัชฌิมเรขาคณิต | 1 | 1 | 0.632 |
| มัชฌิมฮาร์มอนิก | 0.198 . . . | 1 | 0.363 . . . |
และเมื่อใช้ C เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ C จะเร็วที่สุด แต่เมื่ออ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเร็วที่สุด:
ตาราง 4
|   | คอมพิวเตอร์ A | คอมพิวเตอร์ B | คอมพิวเตอร์ C |
| --- | --- | --- | --- |
| โปรแกรม 1 | 0.05 | 0.5 | 1 |
| โปรแกรม 2 | 50 | 5 | 1 |
| มัชฌิมเลขคณิต | 25.025 | 2.75 | 1 |
| มัชฌิมเรขาคณิต | 1.581 . . . | 1.581 . . . | 1 |
| มัชฌิมฮาร์มอนิก | 0.099 . . . | 0.909 . . . | 1 |
ในทุก ๆ กรณี ลำดับความเร็วที่อ้างอิงตามมัชฌิมเรขาคณิตคงลำดับเดิมเหมือนกับที่ได้จากค่าที่ยังไม่ได้ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน
อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลแนวนี้ถูกตั้งคำถาม การได้ผลลัพธ์อย่างคงเส้นคงวาไม่ได้หมายความว่าเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว จะเข้มงวดกว่าหากกำหนดให้แต่ละโปรแกรมมีน้ำหนักของตัวเอง คำนวณเวลากระทำการเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก (ด้วยมัชฌิมเลขคณิต) แล้วนำผลลัพธ์นั้นมาใช้เป็นบรรทัดฐานกับคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ทั้งสามตารางด้านบนเพียงแต่กำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละโปรแกรมต่างกัน เป็นเหตุที่ผลลัพธ์ของมัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกไม่สอดคล้องกัน (ตาราง 4 ให้น้ำหนักกับทั้งสองโปรแกรมเท่ากัน ตาราง 2 ให้น้ำหนัก 1/1000 กับโปรแกรมที่สอง และตาราง 3 ให้น้ำหนัก 1/100 กับโปรแกรมที่สองและน้ำหนัก 1/10 กับโปรแกรมที่หนึ่ง) ควรหลีกเลี่ยงการใช้งานมัชฌิมเรขาคณิตในการรวบรวมตัวเลขสมรรถภาพ เพราะการคูณเวลากระทำการด้วยกันไม่มีนัยทางกายภาพใด ๆ ซึ่งต่างจากการบวกเข้าด้วยกันสำหรับมัชฌิมเลขคณิต ตัวชี้วัดซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับเวลา (เช่นอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้นหรือคำสั่งต่อรอบ (Instructions per cycle)) ควรเฉลี่ยด้วยมัชฌิมฮาร์มอนิก
มัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักสามารถหาได้จากลิมิตของมัชฌิมทั่วไปเมื่อกำหนดให้เลขชี้กำลัง  p มีค่าเข้าใกล้ศูนย์