stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
การยกกำลัง
0 ยกกำลัง 0

ผู้เขียนตำราส่วนมากเห็นพ้องกับประโยคที่เกี่ยวข้องกับ 00 ในรายการสองรายการด้านล่าง รายการแรกไม่เกี่ยวกับความต่อเนื่อง ส่วนรายการถัดไปเกี่ยวกับความต่อเนื่อง แต่ "ตัดสินใจ" ไม่เหมือนกันเพื่อที่จะนิยาม 00 หรือไม่นิยาม (ดูรายละเอียดที่มุมมองที่แตกต่างในอดีต)
ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 00 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น
การพิจารณา a0 ให้เป็นผลคูณว่างซึ่งมีค่าเป็น 1 แม้ว่า a จะเท่ากับ 0
การตีความทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดถือว่า 00 คือจำนวนของศูนย์สิ่งอันดับของสมาชิกจากเซตว่าง ดังนั้นจึงมีศูนย์สิ่งอันดับหนึ่งตัว
ในทางเดียวกัน การตีความทางทฤษฎีเซตของ 00 คือจำนวนฟังก์ชันจากเซตว่างไปยังเซตว่าง ซึ่งมีเพียงหนึ่งฟังก์ชันเท่านั้นนั่นคือ ฟังก์ชันว่าง (empty function)
สัญกรณ์  \textstyle \sum a_{n}x^{n} สำหรับพหุนามและอนุกรมกำลังขึ้นอยู่กับการนิยามให้ 00 = 1 เอกลักษณ์อย่างเช่น  {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n} และ  e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}} และทฤษฎีบททวินาม  (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k} จะใช้งานไม่ได้เมื่อ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 00 = 1
ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ กฎการยกกำลัง  \textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1} จะใช้ไม่ได้สำหรับ n = 1 ที่ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 00 = 1
ในทางตรงข้าม เมื่อ 00 เกิดจากลิมิตในรูปแบบ  \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^{y} ซึ่งเป็นการกำหนดที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่อง จะถูกพิจารณาให้เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate form)
ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเชิงพีชคณิต มักจะสามารถประเมินค่าได้ด้วยการแทนที่นิพจน์ย่อยด้วยลิมิตของมัน ถ้านิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ไม่สามารถกำหนดลิมิตดั้งเดิมได้ นิพจน์นั้นจะเรียกว่าเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด  หาก f (t) และ g (t) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ (เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงจำนวนหนึ่งหรือ ±∞) โดยที่ f (t) > 0 แล้วฟังก์ชัน f (t) g (t)  ไม่จำเป็นต้องมีค่าเข้าใกล้ 1 เสมอไป; ลิมิตของ f (t) g (t)  อาจให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่เป็นลบหรือ +∞ หรืออาจไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับ f และ g ว่านิยามไว้อย่างไร ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันด้านล่างนี้อยู่ในรูปแบบ f (t) g (t)  ซึ่ง f (t), g (t)  → 0 เมื่อ t → 0+ แต่ลิมิตของมันมีค่าต่างกันดังนี้
::  \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{-t}=+\infty ,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t})^{at}=e^{-a}
: ดังนั้น 00 จึงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดชนิดหนึ่ง พฤติกรรมนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร xy แม้ว่าจะต่อเนื่องบนเซต { (x, y) : x > 0} ไม่สามารถขยายเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตใด ๆ ที่รวม (0, 0) อยู่ด้วย ไม่ว่า 00 จะถูกนิยามขึ้นอย่างไร  อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะเช่นเมื่อ f กับ g เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) ทั้งคู่และ f ไม่เป็นลบ ลิมิตทางด้านขวาจะเท่ากับ 1 เสมอ
ในโดเมนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน zw ถูกนิยามขึ้นสำหรับ z ไม่เท่ากับศูนย์ โดยเลือกกิ่งหนึ่งของ log z และกำหนดให้ zw := ew log z แต่ไม่มีกิ่งของ log z ที่นิยามไว้สำหรับ z เท่ากับศูนย์ จึงทิ้งไว้เป็นไม่นิยาม
0 ยกกำลัง 0 > มุมมองที่แตกต่างในอดีต

ผู้แต่งตำราหลายคนตีความสถานการณ์ข้างต้นในวิธีที่แตกต่างกันเช่น
กลุ่มหนึ่งให้เหตุผลว่าค่าที่ดีที่สุดของ 00 ขึ้นอยู่กับบริบท และการนิยามครั้งหนึ่งเพื่อใช้กับทุกกรณีเป็นต้นไปทำให้เกิดปัญหา  เบนสัน (Benson) กล่าวว่า "ทางเลือกว่าจะนิยาม 00 หรือไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับความสะดวก ไม่ใช่ความถูกต้อง"
อีกกลุ่มหนึ่งแย้งว่า 00 ควรจะเท่ากับ 1 คนูธบอกว่าจำนวนนี้ "ต้องเป็น 1" แม้เขาก็ได้กล่าวต่อไปอีกว่า "โคชีก็มีเหตุผลที่ดีในการพิจารณา 00 ให้เป็น รูปแบบลิมิต ที่ไม่นิยาม" และกล่าวอีกว่า "ในความรู้สึกที่แรงกล้าอย่างมาก ค่าของ 00 ได้ถูกนิยามไว้น้อยกว่าค่าของ 0+0 เป็นต้นเสียอีก"
การถกเถียงเกิดขึ้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นอย่างน้อย ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนมากยอมรับว่า 00 = 1 จนกระทั่งโคชี (Cauchy) ได้แสดงรายการ 00 พร้อมกับนิพจน์อื่น ๆ เช่น 0/0 ในตารางรูปแบบที่ไม่นิยาม 
ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1830 ลิบรี (Libri) ได้เผยแพร่เกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ทำให้ไม่น่าเชื่อว่า 00 = 1  กล่าวคือ การอ้างว่า  \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1 เมื่อใดก็ตามที่  \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0 เป็นการสันนิษฐานที่ผิด และเมอบิอุส (Möbius) ก็เห็นด้วยกับเขา  ผู้ออกความเห็นคนหนึ่งที่ใช้ชื่อว่า "S" ได้ให้ตัวอย่างของการโต้แย้ง (e−1/t) t ตัวอย่างนี้ทำให้การถกเถียงสงบเงียบลงชั่วระยะเวลาหนึ่ง ผลสรุปที่ปรากฏของเรื่องนี้คือ 00 ไม่ควรนิยาม
0 ยกกำลัง 0 > การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์ > มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE

มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE 754-2008 ใช้ในการออกแบบไลบรารีเกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวเป็นส่วนมาก มาตรฐานดังกล่าวได้แนะนำฟังก์ชันที่แตกต่างกันสำหรับคำนวณการยกกำลังต่อไปนี้
pow ให้ค่า 00 เป็น 1 ฟังก์ชันนี้เป็นรุ่นที่นิยามไว้เก่าที่สุด ถ้ากำลังเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ผลลัพธ์จะเหมือนกับ pown หากไม่เป็นเช่นนั้นผลลัพธ์จะเหมือนกับ powr (ยกเว้นกรณีพิเศษบางกรณี)
pown ให้ค่า 00 เป็น 1 กำลังต้องเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ฟังก์ชันนี้ได้นิยามสำหรับฐานที่เป็นลบด้วยเช่น pown (−3, 5)  ให้ผลลัพธ์ −243
powr ให้ค่า 00 เป็น ค่าไม่ใช่จำนวน (อังกฤษ: NaN (Not a Number)) ฟังก์ชันนี้ก็ยังให้ผลลัพธ์เป็นค่าไม่ใช่จำนวน ในกรณีฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์เช่น powr (−3, 2)  ค่าของมันนิยามขึ้นจาก e เลขชี้กำลัง×log (ฐาน)
0 ยกกำลัง 0 > การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์ > ภาษาโปรแกรม

ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ที่มีฟังก์ชันการยกกำลังถูกนำมาทำให้เกิดผลโดยใช้ฟังก์ชัน pow ของ IEEE ดังนั้นมันจึงให้ค่า 00 เป็น 1 มาตรฐานภาษาซีและภาษาซีพลัสพลัสในเวลาต่อมาได้อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นพฤติกรรมเชิงบรรทัดฐาน (normative)  มาตรฐานภาษาจาวาก็ประกาศให้ใช้พฤติกรรมนี้  System.Math.Pow ในดอตเน็ตเฟรมเวิร์ก ก็ให้ค่า 00 เป็น 1 เช่นกัน
0 ยกกำลัง 0 > การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์ > ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์

เซจ ลดรูป a0 เป็น 1 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข  ไม่ลดรูป 0a และให้ค่า 00 เป็น 1
เมเพิล ลดรูป a0 เป็น 1 และ 0a เป็น 0 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข (แต่รูปแบบอย่างหลังสามารถใช้งานได้เฉพาะเมื่อกำหนดค่า a > 0) และให้ค่า 00 เป็น 1
แมกซิมา ก็ลดรูป a0 เป็น 1 และ 0a เป็น 0 ด้วยเช่นกัน ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข แต่จะเกิดข้อผิดพลาดสำหรับ 00
แมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟา ลดรูป a0 เป็น 1 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข  แมเทอแมติกาไม่ลดรูป 0a ในขณะที่วุลแฟรมแอลฟาให้ผลลัพธ์สองอย่างคือ 0 และรูปแบบยังไม่กำหนด  ทั้งแมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟาให้ค่า 00 เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด
หมายเหตุ "ลดรูป" หมายถึง ให้ค่าผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ แม้จะไม่ระบุค่าของ a
ลิมิตของการยกกำลัง

หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 00 ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร xy ไม่มีลิมิตที่จุด (0, 0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง
เพื่อความถูกต้องยิ่งขึ้น พิจารณาฟังก์ชัน f (x, y)  = xy ที่นิยามบนโดเมน D = { (x, y)  ∈ R2 : x > 0} ดังนั้น D อาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของ R2 (นั่นคือเซตของคู่อันดับ (x, y) ทั้งหมด ซึ่ง x, y อยู่บนเส้นจำนวนจริงขยาย R = [−∞,  +∞] โดยสร้างขึ้นจากทอพอโลยีผลคูณ) ซึ่งจะรวมจุดต่าง ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชัน f มีลิมิต
โดยข้อเท็จจริง f จะมีลิมิตที่จุดสะสม (accumulation point) ต่าง ๆ ของ D ยกเว้น (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) และ (1, −∞)  ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถนิยามการยกกำลัง xy ด้วยความต่อเนื่องเมื่อใดก็ตามที่ 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞ โดยยกเว้น 00, (+∞) 0, 1+∞ และ 1−∞ ซึ่งเหลือเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด
ภายใต้การนิยามโดยความต่อเนื่องนี้ จะได้
a+∞ = +∞ และ a−∞ = 0 เมื่อ 1 < a ≤ +∞
a+∞ = 0 และ a−∞ = +∞ เมื่อ 0 ≤ a < 1
0b = 0 และ (+∞) b = +∞ เมื่อ 0 < b ≤ +∞
0b = +∞ และ (+∞) b = 0 เมื่อ −∞ ≤ b < 0
กำลังเหล่านี้ได้มาจากการหาลิมิตของ xy สำหรับค่า x ที่เป็นบวก วิธีการนี้ไม่อนุญาตให้นิยาม xy เมื่อ x < 0 เพราะคู่อันดับ (x, y) ต่าง ๆ ที่ x < 0 ไม่ใช่จุดสะสมของ D
ในอีกทางหนึ่ง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม การยกกำลัง xn มีความหมายอยู่แล้วสำหรับ x ทุกค่าซึ่งรวมทั้งค่าลบด้วย สิ่งนี้อาจทำให้การนิยาม 0n = +∞ ที่ได้มาข้างต้นสำหรับค่า n ที่เป็นลบเกิดปัญหาเมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เนื่องจากกรณีนี้ tn → +∞ เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางบวก แต่ไม่ใช่ทางลบ
การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ

วิธีการคำนวณที่ง่ายที่สุดของ an คือการคูณเป็นจำนวน n−1 ครั้ง แต่มันก็อาจคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นดังตัวอย่างต่อไปนี้ เช่นโจทย์ให้คำนวณ 2100 แต่เราทราบว่า 100 = 64 + 32 + 4 เราอาจคำนวณตามลำดับดังนี้
22 = 4
(22) 2 = 24 = 16
(24) 2 = 28 = 256
(28) 2 = 216 = 65,536
(216) 2 = 232 = 4,294,967,296
(232) 2 = 264 = 18,446,744,073,709,551,616
264 232 24 = 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376
ขั้นตอนเหล่านี้จำเป็นต้องใช้การคูณเพียงแค่ 8 ครั้ง (ผลคูณในขั้นตอนสุดท้ายใช้การคูณ 2 ครั้ง) แทนที่จะต้องคูณถึง 99 ครั้ง
จำนวนครั้งของการคูณที่จำเป็นสำหรับคำนวณ an โดยทั่วไปสามารถลดให้เหลือ Θ (log n) โดยใช้การยกกำลังด้วยกำลังสอง (exponentiation by squaring) หรือโดยนัยทั่วไปขึ้นอีกคือ การยกกำลังด้วยลูกโซ่การบวก (addition-chain exponentiation) การหาลำดับของการคูณ น้อยที่สุด ของ an (ลูกโซ่การบวกสั้นที่สุดของเลขชี้กำลัง) เป็นข้อปัญหาที่ยากข้อหนึ่ง เพราะขั้นตอนวิธีอันมีประสิทธิภาพยังไม่เป็นที่ทราบในปัจจุบัน (ดูเพิ่มที่ปัญหาผลรวมเซตย่อย) แต่ขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก (heuristic) ที่มีประสิทธิภาพอย่างสมเหตุสมผลก็มีให้ใช้มากมาย
สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน

การใส่ตัวยกจำนวนเต็มถัดจากชื่อหรือสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ซึ่งดูเหมือนว่าฟังก์ชันนั้นกำลังถูกยกกำลัง โดยทั่วไปจะหมายถึงการประกอบฟังก์ชัน (function composition) มากกว่าจะเป็นการคูณซ้ำ ๆ ดังนั้น f 3 (x) จึงอาจหมายถึง f (f (f (x) ) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง f −1 (x) ตามปกติใช้แสดงถึงฟังก์ชันผกผันของ f; ฟังก์ชันซ้อน (iterated function) ที่เกิดจากการประกอบฟังก์ชันเป็นประโยชน์ในการศึกษาแฟร็กทัลและระบบเชิงพลวัต (dynamical system) ชาร์ลส แบบเบจ เป็นคนแรกที่เริ่มศึกษาปัญหาการหาค่าของรากที่สองเชิงฟังก์ชัน f 1/2 (x)
อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin2x เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin x) 2 โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin−1x หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin x เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/ (sin x) = (sin x) −1 ก็คือ csc x เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log2x หมายถึง (log x) 2 ไม่ใช่ log log x
การวางนัยทั่วไป > พีชคณิตนามธรรม

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม
กำหนดให้ X เป็นเซตที่มีการดำเนินการทวิภาคอย่างหนึ่ง ซึ่งมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง (power associativity) และเขียนอยู่ในรูปแบบการคูณแล้ว xn ถูกนิยามให้เป็นผลคูณของ x จำนวน n ตัว สำหรับสมาชิก x ใด ๆ ของ X และจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งนิยามแบบเวียนเกิดได้ว่า
จะมีสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี้
(x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\; (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง)
x^{m+n}=x^{m}x^{n}\;
(x^{m})^{n}=x^{mn}\;
ถ้าการดำเนินการนี้มีสมาชิกเอกลักษณ์ทั้งสองด้านเป็น 1 (มักแสดงด้วย e) ดังนั้น x0 จะถูกนิยามให้เท่ากับ 1 สำหรับค่า x ใด ๆ
x1=1x=x\; (เอกลักษณ์สองด้าน)
x^{0}=1\;
ถ้าการดำเนินการนี้ก็มีสมาชิกผกผันทั้งสองด้านและการคูณเปลี่ยนหมู่ได้ จะทำให้แม็กม่า (magma) กลายเป็นกรุป ตัวผกผันของ x สามารถแสดงได้ด้วย x−1 และเป็นไปตามกฎปกติทั้งหมดของเลขชี้กำลัง
xx^{-1}=x^{-1}x=1\; (ตัวผกผันสองด้าน)
(xy)z=x(yz)\; (การคูณเปลี่ยนหมู่ได้)
x^{-n}=\left(x^{-1}\right)^{n}\;
x^{m-n}=x^{m}x^{-n}\;
ถ้าการคูณสามารถสลับที่ได้ (ตัวอย่างเช่นในอาบีเลียนกรุป) จะทำให้การดำเนินการมีสมบัตินี้ด้วย
(xy)^{n}=x^{n}y^{n}\;
ถ้าการดำเนินการทวิภาคนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบการบวก ซึ่งมักใช้กับอาบีเลียนกรุป ดังนั้นวลี "การยกกำลังคือการคูณซ้ำ ๆ" จึงสามารถตีความได้เป็น "การคูณคือการบวกซ้ำ ๆ" เพราะฉะนั้นกฎแต่ละข้อของการยกกำลังข้างต้นก็เทียบเคียงได้กับกฎต่าง ๆ ของการคูณ
เมื่อเรามีการดำเนินการหลายอย่างแล้ว การดำเนินการใด ๆ อาจถูกกระทำซ้ำโดยใช้การยกกำลัง การแสดงว่าการดำเนินการกำลังถูกกระทำซ้ำ โดยปกติจะใส่สัญลักษณ์กำกับตัวยก อาทิ x∗n หมายถึง x ∗ ··· ∗ x หรือ x#n หมายถึง x # ··· # x ไม่ว่า ∗ กับ # จะเป็นการดำเนินการอะไรก็ตาม
สัญกรณ์ตัวยกก็มีใช้เช่นกัน โดยเฉพาะในเรื่องทฤษฎีกรุป เพื่อแสดงการสังยุค (conjugation) อาทิ gh = h−1gh เมื่อ g และ h เป็นสมาชิกของกรุปบางกรุป แม้ว่าการสังยุคจะปฏิบัติตามกฎของการยกกำลังเหมือนกัน แต่ไม่ใช่ตัวอย่างของการคูณซ้ำในกรณีใด ๆ ; ควอนเดิล (quandle) เป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตชนิดหนึ่งที่มีกฎของการสังยุคเหล่านี้เป็นบทบาทหลัก
การวางนัยทั่วไป > เซต

บทความหลัก: ผลคูณคาร์ทีเซียน
ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติและ A เป็นเซตใด ๆ นิพจน์ An มักถูกใช้เพื่อแสดงเซตของ n สิ่งอันดับของสมาชิกของ A สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้ An หมายถึงเซตของฟังก์ชันจาก {0,  1,  2,  ...,  n−1} ไปยัง A; n สิ่งอันดับ (a0,  a1,  a2,  ...,  an−1) เป็นตัวแทนของฟังก์ชันที่ส่งค่าจาก i ไปยัง ai
กำหนดให้จำนวนเชิงการนับ κ ที่ไม่จำกัดและเซต A เซตหนึ่ง สัญกรณ์ Aκ ก็ยังใช้แสดงถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่มีขนาดเท่ากับ κ ไปยัง A บางครั้งก็เขียนในรูปแบบ κA เพื่อทำให้แตกต่างจากการยกกำลังเชิงการนับ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป
การยกกำลังแบบนัยทั่วไปสามารถนิยามขึ้นได้สำหรับการดำเนินการบนเซต หรือสำหรับเซตที่มีโครงสร้างพิเศษเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นในพีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถแจกแจงดัชนีผลบวกตรงของปริภูมิเวกเตอร์บนเซตดัชนีใด ๆ หรืออาจกล่าวได้ว่า
เมื่อ Vi แต่ละตัวคือปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิหนึ่ง ดังนั้นถ้า Vi = V สำหรับแต่ละค่า i แล้ว ผลลัพธ์จากผลบวกตรงสามารถเขียนให้อยู่ในสัญกรณ์ยกกำลังเป็น V⊕N หรือเขียนเพียงแค่ VN โดยทำความเข้าใจว่าเป็นผลบวกตรงโดยปริยาย นอกจากนี้เราอาจแทนที่เซต N ด้วยจำนวนเชิงการนับ n เพื่อให้ได้ Vn แม้ว่าไม่ต้องเลือกเซตมาตรฐานเจาะจงที่มีภาวะเชิงการนับเป็น n สิ่งนี้สามารถนิยามโดยขึ้นอยู่กับสมสัณฐาน (isomorphism) เพียงเท่านั้น เมื่อนำเอา V มาเป็นฟีลด์ R สำหรับจำนวนจริง (เทียบได้กับปริภูมิเวกเตอร์บนตัวเอง) และ n เป็นจำนวนธรรมชาติบางจำนวน จะได้ปริภูมิเวกเตอร์สามัญที่สุดที่ศึกษากันในพีชคณิตเชิงเส้น นั่นคือปริภูมิแบบยุคลิด Rn
ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น n สิ่งอันดับ (n-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น SN จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก N ไปยัง S ในกรณีนี้
สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |SN| = |S||N| เมื่อ |X| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ X; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2X| = 2|X| เมื่อ 2X ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P (X) คือเซตกำลังของ X; เซตย่อย Y แต่ละเซตของ X สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน X ที่ให้ค่า 1 สำหรับ x ∈ Y และค่า 0 สำหรับ x ∉ Y
การวางนัยทั่วไป > ทฤษฎีประเภท

ในเรื่องของประเภทปิดคาร์ทีเซียน (Cartesian closed category) การดำเนินการยกกำลังถูกใช้เพื่อกำหนดให้อ็อบเจกต์ใด ๆ เป็นกำลังของอ็อบเจกต์อีกอย่างหนึ่ง สิ่งนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของผลคูณคาร์ทีเซียนในประเภท (category) ของเซต ถ้า 0 เป็นอ็อบเจกต์เริ่มต้น (initial object) ในประเภทปิดคาร์ทีเซียน ดังนั้นอ็อบเจกต์เลขชี้กำลัง (exponential object) 00 จะสมสัณฐานกับอ็อบเจกต์ปลายทาง 1 ใด ๆ
การวางนัยทั่วไป > จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่

ในทฤษฎีเซต ก็มีการยกกำลังสำหรับจำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่เช่นกัน
กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κλ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ  ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 23
การยกกำลังของจำนวนเชิงการนับแตกต่างจากการยกกำลังของจำนวนเชิงอันดับที่ ซึ่งนิยามโดยกระบวนการลิมิตที่เกี่ยวข้องกับอุปนัยเชิงอนันต์ (transfinite induction)
การยกกำลังซ้อน

เนื่องจากการยกกำลังของจำนวนธรรมชาติมีเหตุมาจากการคูณซ้ำ ๆ จึงมีความเป็นไปได้ที่จะนิยามการดำเนินการที่มีเหตุมาจากการยกกำลังซ้ำ ๆ เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้บางครั้งเรียกว่า เทเทรชัน (tetration) และเทเทรชันซ้ำ ๆ ก็สามารถนำไปสู่การดำเนินการอีกอย่างหนึ่งเช่นกัน เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ได้ถูกแสดงไว้ด้วยฟังก์ชันอัคเคอร์มันน์ (Ackermann function) และสัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (Knuth's up-arrow notation) และเนื่องด้วยการยกกำลังมีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการคูณ การคูณก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการบวก ดังนั้นเทเทรชันก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการยกกำลัง ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดค่า (3, 3) ให้กับฟังก์ชันการบวก การคูณ การยกกำลัง และเทเทรชัน จะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987 ตามลำดับ
ในภาษาโปรแกรม

สัญกรณ์ตัวยก xy สะดวกในการเขียนด้วยมือ แต่อาจไม่สะดวกในการกดบนเครื่องพิมพ์ดีดหรือคอมพิวเตอร์เทอร์มินัล ซึ่งจัดอักขระทุกตัวอยู่บนเส้นบรรทัดเดียวกัน ภาษาโปรแกรมหลายภาษามีวิธีการอย่างอื่นในการแสดงการยกกำลังโดยไม่ใช้ตัวยก อาทิ
x ↑ y: อัลกอล, คอมโมดอร์เบสิก
x ^ y: เบสิก, เจ, แมตแล็บ, อาร์, ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เทกซ์ (TeX และตัวต่อยอดอื่น ๆ), ทีไอ-เบสิก, บีซี (เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ), ลัว (Lua), เอเอสพี และระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่
x ^^ y: แฮสเกลล์ (ฐานเศษส่วน เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), ดี
x ** y: เอดา, แบช, โคบอล, ฟอร์แทรน, ฟอกซ์โพร, กนูพล็อต, โอแคเมล, เพิร์ล, พีแอล/วัน, ไพทอน, เรกซ์ (REXX), รูบี, แซส (SAS), ทีซีแอล, อาบัป, แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนจุดลอยตัว), ทัวริง, วีเอชดีแอล
x⋆y: เอพีแอล
Power (x, y) : ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เดลฟี/ปาสกาล (ประกาศในยูนิต Math)
pow (x, y) : ซี, ซีพลัสพลัส, พีเอชพี, ทีซีแอล
math.pow (x, y) : ไพทอน
Math.pow (x, y) : จาวา, จาวาสคริปต์, มอดูลา-3, เอ็มแอลมาตรฐาน
Math.Pow (x, y)  หรือ BigInteger.Pow (x, y) : ซีชาร์ป (และภาษาอื่นที่ใช้บีซีแอล)
(expt x y) : คอมมอนลิสป์, สกีม
math:pow (x, y) : เออร์แลง
สัญลักษณ์ ^ ที่ไม่เกี่ยวกับการยกกำลังเช่น ในแบช ซี ซีพลัสพลัส ซีชาร์ป จาวา จาวาสคริปต์ เพิร์ล พีเอชพี ไพทอน และรูบี หมายถึงการดำเนินการ XOR ระดับบิต; ในปาสกาล หมายถึงการอ้างถึงทางอ้อม (indirection); ในโอแคเมลและเอ็มแอลมาตรฐาน หมายถึงการต่อสายอักขระ (concatenation)
ประวัติของสัญกรณ์

คำว่า กำลัง (power) ถูกใช้โดยยุคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก สำหรับยกกำลังสองเส้นตรง  ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริซมีย์ (Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) ใช้คำว่า มัล (mal) สำหรับยกกำลังสองและ กับ (kab) สำหรับยกกำลังสาม ในเวลาต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามได้ใช้ m และ k เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ตามลำดับ ดังเห็นได้จากงานเขียนของ อะบู อัลฮะซัน อิบน์ อะลี อัลเกาะละศอดี (Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī) ในคริสต์ศตวรรษที่ 15
นีโกลา ชูว์เก (Nicolas Chuquet) ใช้รูปแบบสัญกรณ์ยกกำลังในคริสต์ศตวรรษที่ 15 ต่อมาในคริสต์ศตวรรษที่ 16 เฮนรีคุส กรัมมาทอยส์ (Henricus Grammateus) และมีคาเอล ชตีเฟิล (Michael Stifel) ก็ใช้เช่นกัน แซมวล จีก (Samuel Jeake) ได้แนะนำให้ใช้คำว่า ดัชนี (index) ในปี ค.ศ. 1696  ในคริสต์ศตวรรษที่ 16 โรเบิร์ต เรคอร์ด (Robert Recorde) ใช้คำว่า สแควร์ (square), คิวบ์ (cube), เซนซิเซนซิก (zenzizenzic), เซอร์ฟอไลด์ (surfolide), เซนซิคิวบ์ (zenzicube), เซเคินด์เซอร์ฟอไลด์ (second surfolide) และ เซนซิเซนซิเซนซิก (zenzizenzizenzic) สำหรับการยกกำลังสองถึงแปดตามลำดับ  นอกจากนี้ก็มีการใช้คำว่า ไบควอเดรต (biquadrate) เพื่ออ้างถึงการยกกำลังสี่อีกด้วย
นักคณิตศาสตร์บางคน (เช่นไอแซก นิวตัน) ใช้เลขชี้กำลังเฉพาะเมื่อมีกำลังมากกว่าสอง และนิยมแสดงกำลังสองเป็นการคูณซ้ำสองตัว ดังนั้นเมื่อพวกเขาเขียนพหุนาม พวกเขาจะเขียนเป็นรูปแบบดังตัวอย่าง ax + bxx + cx3 + d เป็นต้น
คำอีกคำหนึ่งที่มีความหมายเหมือนการยกกำลังในอดีตคือ อินโวลูชัน (involution)  แต่ในปัจจุบันความหมายที่สามัญกว่าของคำนี้คือ อาวัตนาการ (involution) คือฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง
ดูเพิ่ม

สถานีย่อยคณิตศาสตร์
ลอการิทึม
ลอการิทึมเชิงซ้อน
การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
การยกกำลังมอดุลาร์
รากที่ n
เทเทรชัน
แหล่งข้อมูลอื่น

sci.math FAQ: What is 00?
Introducing 0th power on PlanetMath
Laws of Exponents with derivation and examples
What does 0^0 (zero to the zeroth power) equal? on AskAMathematician.com
เลขยกกำลังพื้นฐาน เก็บถาวร 2011-07-29 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
| --- | --- |
ฐานข้อมูลการควบคุมรายการหลักฐาน: ประจำชาติ :  อิสราเอล  สหรัฐ 
จากบนลงล่าง: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ez สามารถนิยามโดยลิมิตของ  (1 + z/N) N เมื่อ N มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และเมื่อเป็นเช่นนั้น eiπ ก็จะเป็นลิมิตของ  (1 + iπ/N) N ในภาพเคลื่อนไหวนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นจาก 1 ถึง 100 การคำนวณ  (1 + iπ/N) N แสดงเป็นผลร่วมที่เกิดจากการคูณซ้ำ ๆ N ตัวในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งจุดสุดท้ายเป็นค่าที่แท้จริงของ  (1 + iπ/N) N แสดงให้เห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น  (1 + iπ/N) N จะมีค่าเข้าใกล้ −1 ดังนั้น eiπ = −1 ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อเอกลักษณ์ของออยเลอร์
รากที่สามของ 1 ทั้งสามราก
กราฟของ z = abs (x) y ซึ่งเส้นโค้งสีแดงมีลิมิตต่างกันเมื่อ (x, y) มีค่าเข้าใกล้ (0, 0) ในขณะที่เส้นโค้งสีเขียวทุกเส้นมีลิมิตเท่ากับ 1
ปรีดา กรรณสูต

| ปรีดา กรรณสูตม> ป.ช., ม.ว.ม., ท.จ.ว. |
| --- | --- |


รัฐมนตรีว่าการกระทรวงเกษตรและสหกรณ์
ดำรงตำแหน่ง 11 พฤศจิกายน พ.ศ. 2520 – 21 ธันวาคม พ.ศ. 2521
นายกรัฐมนตรี: เกรียงศักดิ์ ชมะนันทน์
ก่อนหน้า: อินทรีย์ จันทรสถิตย์
ถัดไป: เกรียงศักดิ์ ชมะนันทน์
 
ข้อมูลส่วนบุคคล
เกิด: 1 กันยายน พ.ศ. 2463 อำเภอบางปลาม้า จังหวัดสุพรรณบุรี
เสียชีวิต: 8 ธันวาคม พ.ศ. 2551 (88 ปี)
คู่สมรส: หม่อมราชวงศ์เติมแสงไข รพีพัฒน์ ธีราณี สิรยายน

ปรีดา กรรณสูต (1 กันยายน พ.ศ. 2463 — 8 ธันวาคม พ.ศ. 2551) อดีตรัฐมนตรีว่าการกระทรวงเกษตรและสหกรณ์ อดีตรัฐมนตรีประจำสำนักนายกรัฐมนตรี และอดีตปลัดกระทรวงเกษตรและสหกรณ์ อดีตอธิบดีกรมประมง
การทำงาน

ปรีดา กรรณสูต หรือที่รู้จักกันในนาม ดร.ปรีดา กรรณสูต เริ่มเข้ารับราชการครั้งแรกในกระทรวงเกษตรและสหกรณ์ จนได้รับตำแหน่งอธิบดีกรมประมงในปี พ.ศ. 2504 ถึง พ.ศ. 2514 และเข้ามารับตำแหน่งปลัดกระทรวงเกษตรและสหกรณ์ ก่อนจะได้รับตำแหน่งรัฐมนตรีว่าการกระทรวงเกษตรและสหกรณ์ เมื่อวันที่ 11 พฤศจิกายน พ.ศ. 2520 ต่อจากอินทรีย์ จันทรสถิตย์ และพ้นจากตำแหน่งเมื่อ 21 ธันวาคม พ.ศ. 2521 และได้ย้ายไปรับตำแหน่งรัฐมนตรีประจำสำนักนายกรัฐมนตรี เมื่อวันที่ 24 พฤษภาคม พ.ศ. 2522 ในสมัยรัฐบาลพลเอกเกรียงศักดิ์ ชมะนันทน์ และพ้นจากตำแหน่งเมื่อ 11 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2523 เพื่อไปดำรงตำแหน่งรัฐมนตรีช่วว่าการกระทรวงเกษตรและสหกรณ์
ปรีดา กรรณสูต เคยร่วมก่อตั้งพรรคการเมือง ร่วมกับพลเอกเกรียงศักดิ์ ชมะนันทน์ ในปี พ.ศ. 2525 และได้รับแต่งตั้งเป็นรองหัวหน้าพรรคชาติประชาธิปไตย
ครอบครัว

ปรีดา กรรณสูต สมรสกับหม่อมราชวงศ์เติมแสงไข รพีพัฒน์ ธิดาของหม่อมเจ้าไขแสงรพี รพีพัฒน์ (พระโอรสในพระเจ้าบรมวงศ์เธอ กรมหลวงราชบุรีดิเรกฤทธิ์กับหม่อมอ่อน รพีพัฒน์ ณ อยุธยา) กับหม่อมเจ้าเริงจิตร์แจรง อาภากร (พระธิดาในพระเจ้าบรมวงศ์เธอ กรมหลวงชุมพรเขตอุดมศักดิ์กับหม่อมกิม อาภากร ณ อยุธยา) มีบุตรสี่คน คือ รุจน์, จรัลธาดา, แสงสูรย์ และดาลัต กรรณสูต
ถึงแก่อนิจกรรม

ปรีดา กรรณสูต ถึงแก่อนิจกรรมเมื่อวันที่ 8 ธันวาคม พ.ศ. 2551 โดยได้รับพระราชทานโกศแปดเหลี่ยม และ ฉัตรเบญจาประกอบศพ (ลงโกศจริง) และได้มีพิธีพระราชทานเพลิงศพใน วันจันทร์ ที่ 17 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2557 โดยสมเด็จพระนางเจ้าสิริกิติ์ พระบรมราชินีนาถ พระบรมราชชนนีพันปีหลวง ทรงพระกรุณาโปรดฯ ให้ สมเด็จพระกนิษฐาธิราชเจ้า กรมสมเด็จพระเทพรัตนราชสุดาฯ สยามบรมราชกุมารี เสด็จพระราชดำเนินแทนพระองค์ ในการพระราชทานเพลิงศพ
เครื่องราชอิสริยาภรณ์

ปรีดา กรรณสูต ได้รับพระราชทานเครื่องราชอิสริยาภรณ์ของประเทศไทยและเครื่องราชอิสริยาภรณ์ของต่างประเทศต่างๆ ดังนี้
เครื่องราชอิสริยาภรณ์ > เครื่องราชอิสริยาภรณ์ไทย

พ.ศ. 2518 –  เครื่องราชอิสริยาภรณ์อันเป็นที่เชิดชูยิ่งช้างเผือก ชั้นสูงสุด มหาปรมาภรณ์ช้างเผือก (ม.ป.ช.)
พ.ศ. 2515 –  เครื่องราชอิสริยาภรณ์อันมีเกียรติยศยิ่งมงกุฎไทย ชั้นสูงสุด มหาวชิรมงกุฎ (ม.ว.ม.)
พ.ศ. 2516 –  เครื่องราชอิสริยาภรณ์จุลจอมเกล้า ชั้นที่ 2 ทุติยจุลจอมเกล้าวิเศษ (ท.จ.ว.) (ฝ่ายหน้า)
พ.ศ. 2478 –  เหรียญพิทักษ์รัฐธรรมนูญ (พ.ร.ธ.)
พ.ศ. 2512 –  เหรียญจักรพรรดิมาลา (ร.จ.พ.)
พ.ศ. 2511 –  เหรียญรัตนาภรณ์ รัชกาลที่ 9 ชั้นที่ 3 (ภ.ป.ร.3)
พ.ศ. 2493 –  เหรียญบรมราชาภิเษก รัชกาลที่ 9 (ร.ร.ศ.9)
พ.ศ. ไม่ปรากฎ –  เหรียญกาชาดสมนาคุณ ชั้นที่ 1 (เหรียญทอง)
เครื่องราชอิสริยาภรณ์ > เครื่องราชอิสริยาภรณ์ต่างประเทศ

เดนมาร์ก :
พ.ศ. 2515 –  เครื่องราชอิสริยาภรณ์แดนเนอโบร ชั้นที่ 2
ญี่ปุ่น :
พ.ศ. 2528 –  เครื่องราชอิสริยาภรณ์มงคลรัตน์ ชั้นที่ 1
วัดพระธาตุดอยปูเข้า

| วัดพระธาตุดอยปูเข้า |
| --- | --- |
พระธาตุดอยปูเข้า

ชื่อสามัญ: วัดดอยปูเข้า, วัดพระธาตุปูเข้า, วัดพระธาตุดอยภูเข้า, วัดพระธาตุดอยภูข้าว
ที่ตั้ง: บ้านสบรวก หมู่ที่ 1 ตำบลเวียง อำเภอเชียงแสน จังหวัดเชียงราย
นิกาย: เถรวาท
 สถานีย่อยพระพุทธศาสนา
วัดพระธาตุดอยปูเข้า (หรือ วัดพระธาตุดอยภูเข้า, วัดพระธาตุดอยภูข้าว) เป็นวัดและโบราณสถานที่สร้างในสมัยหิรัญนครเงินยาง ตั้งอยู่ในอำเภอเชียงแสน จังหวัดเชียงราย ไม่ไกลจากบริเวณพรมแดนสามเหลี่ยมทองคำ สามารถชมทิวทัศน์ได้จากบริเวณของวัด
ตามตำนานได้เล่าว่าพระยาลาวจังราช (บางตำนานสะกดว่า ลาวจง) ปฐมกษัตริย์แห่งหิรัญนครเงินยาง มีพระราชโอรสสามพระองค์ คือ ลาวก่อ (บางตำนานเขียนว่า ลาวครอบ) ลาวเกื้อ (บางตำนานเขียนว่า ลาวช้าง) และ ลาวเก้า (บางตำนานสะกดว่า ลาวเกล้า) มีครั้นหนึ่งพระราชโอรสทั้งสามพระองค์ได้เสด็จท่องเที่ยวและพบปูขนาดใหญ่ตัวหนึ่ง จึงพากันไล่จับ แต่ปูตัวนั้นได้หนีเข้ารูไป ลาวก่อและลาวเกื้อจึงรับสั่งให้ลาวเก้านั่งรออยู่ที่ห้วยระหว่างที่ทั้งสองพระองค์จะตามหาปูยักษ์ตัวนั้น เมื่อลาวเก้ารออยู่นานจึงเสด็จกลับไปทูลพระบิดา พระบิดาทรงเห็นว่าโอรสทั้งสามไม่รักใคร่สมานกัน หากอยู่ด้วยกันคงไม่เป็นสุข จึงได้มีรับสั่งให้ลาวก่อ (ลาวครอบ) ครองเมืองกวาง (บางตำนานระบุว่าคือ เชียงของ), ลาวเกื้อ (ลาวช้าง) ครองเมืองผาลานผานอง (บางตำนานระบุว่าคือ เมืองยอง)  และ ส่วนลาวเก้า (ลาวเกล้า) ให้ครองเมืองของพระองค์เองคือหิรัญนครเงินยาง หลังสถาปนาขึ้นครองราชย์ลาวเก้าได้สถาปนาพระนามขึ้นว่า พระยาลาวเก้าแก้วเมืองมา เสด็จขึ้นครองราชย์เป็นกษัตริย์พระองค์ที่ 2 ของหิรัญนครเงินยาง เพื่อรำลึกถึงเหตุการณ์ดังกล่าว พระองค์ได้ทรงสร้างพระเจดีย์บนดอยที่ปูยักษ์ตัวดังกล่าวหนีไปในราวปี พ.ศ. 1302 จึงเป็นที่มาของวัดพระธาตุดอยปูเข้า
ดูเพิ่ม

หิรัญนครเงินยาง