ความยาวส่วนโค้ง

ส่วนของเส้นตรงบนส่วนโค้งย่อย
ความยาวส่วนโค้ง คือการหาความยาวระหว่างจุดสองจุดที่เชื่อมต่อกันเป็นเส้นโค้งบนระนาบ (ส่วนโค้งหมายถึงส่วนหนึ่งของเส้นโค้งที่สามารถหาอนุพันธ์ได้) การหาความยาวส่วนโค้งเป็นเรื่องที่ยุ่งยากตั้งแต่อดีต ถ้าส่วนโค้งนั้นไม่ใช่รูปแบบปกติอย่างรูปวงกลมหรือพาราโบลา แนวคิดดั้งเดิมคือการแบ่งเส้นโค้งออกเป็นส่วนย่อย ๆ เป็นจำนวนจำกัด ลากส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดแบ่งทำให้เกิดสายโซ่หลายเหลี่ยม (polygonal chain) ความยาวของส่วนของเส้นตรงถือว่าเป็นความยาวของส่วนโค้งที่แบ่งไว้ ความยาวรวมของเส้นโค้งก็คือผลรวมของความยาวของส่วนของเส้นตรง (ส่วนโค้ง) เหล่านั้นโดยประมาณ ยิ่งแบ่งย่อยมากเท่าไรค่าที่ได้ก็จะยิ่งใกล้เคียงกับความเป็นจริงมากขึ้น แต่ส่วนของเส้นตรงเหล่านั้นก็ไม่ได้กลายเป็นเส้นโค้ง เพียงแค่ใกล้เคียงกับเส้นโค้ง
สำหรับเส้นโค้งที่มีจำนวน L น้อยที่สุด ซึ่งเป็นขอบเขตบนของการประมาณด้วยสายโซ่หลายเหลี่ยม ถ้ามีจำนวนเช่นนั้น เส้นโค้งนั้นจะกล่าวว่าสามารถ หาความยาวได้ (rectifiable) และเส้นโค้งนั้นจะถูกกำหนดให้มี ความยาวส่วนโค้ง เท่ากับ L
| ด ค กแคลคูลัส |
| --- | --- |
ก่อนแคลคูลัส:  ทฤษฎีบททวินาม  ฟังก์ชันเว้า  ฟังก์ชันต่อเนื่อง  แฟกทอเรียล  ผลต่างอันตะ  ตัวแปรเสรีและตัวแปรแบบมีขอบเขต  กราฟของฟังก์ชัน  ฟังก์ชันเชิงเส้น  เรเดียน  ทฤษฎีบทของโรลล์  เส้นตัด  ความชัน  เส้นสัมผัส 
ลิมิต:  รูปแบบยังไม่กำหนด  ลิมิตของฟังก์ชัน ลิมิตข้างเดียว  ลิมิตของลำดับ  อันดับของการประมาณ  นิยาม(ε, δ)ของลิมิต 
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์:  อนุพันธ์  อนุพันธ์อันดับสอง  อนุพันธ์ย่อย  ผลต่างเชิงอนุพันธ์  ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์  ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม  สัญกรณ์ สัญกรณ์ของไลป์นิซ  สัญกรณ์ของนิวตัน  กฎการหาอนุพันธ์ สภาพเชิงเส้น  เลขยกกำลัง  ผลบวก  ลูกโซ่  โลปีตาล  ผลคูณ กฎทั่วไปของไลบ์นิทซ์  ผลหาร  เทคนิคอื่น ๆ  การหาอนุพันธ์โดยปริยาย  ฟังก์ชันผกผันและการหารอนุพันธ์  อนุพันธ์โดยลอการิทึม  อัตราสัมพันธ์  จุดนิ่ง การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง  การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง  ทฤษฎีบทค่าสุดขีด  ค่าต่ำสุด-สูงสุด  การประยุกต์ใช้ วิธีของนิวตัน  ทฤษฎีบทเทย์เลอร์  สมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ  สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย  สมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก 
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์:  ปฏิยานุพันธ์  ความยาวส่วนโค้ง  ปริพันธ์แบบรีมันน์  สมบัติพื้นฐาน  ค่าคงตัวของการหาปฎิยานุพันธ์  ทฤษฎีมูลฐานของแคลคูลัส หาอนุพันธ์ในเครื่องหมายปริพันธ์  การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน  การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า ตรีโกณมิติ  ออยเลอร์  การแทนค่าด้วยแทนเจนต์ครึ่งมุม  เศษส่วนย่อยในการหาปริพันธ์ ปริพันธ์กำลังสอง  หลักเกณฑ์เชิงสี่เหลี่ยมคางหมู  ปริมาตรจากการหมุน วิธีจานและแหวน  วิธีเปลือก  สมการเชิงปริพันธ์  สมการเชิงปริพันธ์-อนุพันธ์ 
แคลคูลัสเวกเตอร์:  อนุพันธ์ เคิร์ล  อนุพันธ์ระบุทิศทาง  ไดเวอร์เจนซ์  เกรเดียนต์  ลาปลาเชียน  ทฤษฎีบทพื้นฐาน ปริพันธ์ตามเส้น  กรีน  สโตกส์  เกาส์ 
แคลคูลัสหลายตัวแปร:  ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์  เชิงเรขาคณิต  เมทริกซ์เฮสเซียน  เมทริกซ์จาโคเบียนและดีเทอร์มิแนนต์  ตัวคูณลากรานจ์  ปริพันธ์ตามเส้น  แคลคูลัสเมทริกซ์  ปริพันธ์หลายชั้น  อนุพันธ์ย่อย  ปริพันธ์ตามผิว  ปริพันธ์ตามปริมาตร  หัวข้อขั้นสูง ฟอร์มเชิงอนุพันธ์  อนุพันธ์ภายนอก  ทฤษฎีบทของสโตกส์วางนัยทั่วไป  แคลคูลัสเทนเซอร์ 
ลำดับและอนุกรม:  ลำดับเลขคณิต-เรขาคณิต  ชนิดของอนุกรม สลับ  ทวินาม  ฟูเรียร์  เรขาคณิต  ฮาร์มอนิก  อนันต์  กำลัง แมคลอริน  เทย์เลอร์  เทเลสโกป  การทดสอบการลู่ออก อาเบล  อนุกรมสลับ  ความควบแน่นโคชี  เปรียบเทียบโดยตรง  ดีรีเคล  เชิงปริพันธ์  เปรียบเทียบลิมิต  อัตราส่วน  ราก  พจน์ 
ฟังก์ชันและ ตัวเลขพิเศษ:  เลขแบร์นูลลี  e (ค่าคงตัว)  ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง  ลอการิทึมธรรมชาติ  การประมาณสเตอร์ลิง 
ประวัติของแคลคูลัส:  ความสมบูรณ์  บรูก เทย์เลอร์  คอลิน แมคลอริน  การวางนัยทั่วไปของพีชคณิต  ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์  กณิกนันต์  แคลคูลัสกณิกนันต์  ไอแซก นิวตัน  ฟลักเซียน  กฎของความต่อเนื่อง  เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์  Method of Fluxions  The Method of Mechanical Theorems 
รายการ:  กฎการหาอนุพันธ์  รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง  รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก  รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผัน  รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน  รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันอตรรกยะ  รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม  รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะ  รายการปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เซแคนต์  เซแคนต์กำลังสาม  รายการลิมิต  รายการปริพันธ์ 
หัวข้อพิเศษ:  แคลคูลัสเชิงซ้อน ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ  เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แมนิโฟลด์  ความโค้ง  ของเส้นโค้ง  ของผิว  เทนเซอร์  สูตรออยเลอร์-แมคลอริน  แตรของแกรเบรียล  อินทีเกรชันบี  บทพิสูจน์ที่ว่าค่าของ 22/7 มากกว่า π  ปัญหามุมมากสุดของเรจีโอมอนมานุส  ของแข็งสไตน์เม็ทส์