ไอแซก นิวตัน
ผลงาน > ด้านคณิตศาสตร์

กล่าวกันว่า ผลงานของนิวตันเป็น "ความก้าวหน้าอันยิ่งใหญ่ในทุกสาขาของคณิตศาสตร์ในยุคนั้น ผลงานที่เขาเรียกว่า Fluxion หรือแคลคูลัส ซึ่งปรากฏอยู่ในงานเขียนชุดหนึ่งเมื่อเดือนตุลาคม ค.ศ. 1666 ในปัจจุบันได้รับการตีพิมพ์อยู่รวมกับงานด้านคณิตศาสตร์อื่นๆ ของนิวตัน ในจดหมายที่ไอแซก แบร์โรว์ ส่งไปให้จอห์น คอลลินส์เมื่อเดือนสิงหาคม ค.ศ. 1669 กล่าวถึงผู้เขียนต้นฉบับ De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ที่เขาส่งไปให้คอลลินส์เมื่อเดือนมิถุนายนปีเดียวกันนั้นว่า
Mr Newton, a fellow of our College, and very young ... but of an extraordinary genius and proficiency in these things.
ต่อมานิวตันมีข้อขัดแย้งกับไลบ์นิทซ์ในเรื่องที่ว่า ใครเป็นผู้คิดพัฒนาแคลคูลัสก่อนกัน นักประวัติศาสตร์ยุคใหม่เชื่อว่าทั้งนิวตันและไลบ์นิทซ์ต่างคนต่างก็พัฒนาแคลคูลัสกณิกนันต์กันโดยอิสระ แม้ว่าจะมีบันทึกที่แตกต่างกันมากมาย ดูเหมือนว่า นิวตันจะไม่เคยตีพิมพ์อะไรเกี่ยวกับแคลคูลัสเลยก่อนปี พ.ศ. 2236 และไม่ได้เขียนบทความฉบับสมบูรณ์ในเรื่องนี้ตราบจนปี พ.ศ. 2247 ขณะที่ไลบ์นิทซ์เริ่มตีพิมพ์บทความฉบับเต็มเกี่ยวกับกระบวนวิธีคิดของเขาในปี พ.ศ. 2227 (บันทึกของไลบ์นิทซ์และ "กระบวนวิธีดิฟเฟอเรนเชียล" เป็นที่ยอมรับนำไปใช้โดยนักคณิตศาสตร์ในภาคพื้นยุโรป และต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจึงค่อยรับไปใช้ในปี พ.ศ. 2363) แต่อย่างไรก็ดี แนวคิดนี้ไม่ได้ให้ข้อสังเกตในเนื้อหาของแคลคูลัส ซึ่งนักวิจารณ์ทั้งในยุคของนิวตันและยุคสมัยใหม่ต่างระบุว่า มีอยู่ในเล่มที่ 1 ของหนังสือชุด Principia ของนิวตัน (ตีพิมพ์ปี 2230) และในต้นฉบับลายมือเขียนที่มีมาก่อนหน้านี้ เช่น De motu corporum in gyrum ("การเคลื่อนที่ของวัตถุในวงโคจร") เมื่อปี 1684  Principia ไม่ได้เขียนในภาษาแคลคูลัสแบบที่เรารู้จัก แต่มีการใช้แคลคูลัสกณิกนันต์ในรูปแบบเรขาคณิต ว่าด้วยจำนวนที่ถูกจำกัดด้วยสัดส่วนของจำนวนที่เล็กลงไปเรื่อยๆ นิวตันสาธิตวิธีการนี้เอาไว้ใน Principia โดยเรียกชื่อมันว่า กระบวนวิธีสัดส่วนแรกและสัดส่วนสุดท้าย (method of first and last ratios) และอธิบายไว้ว่าเหตุใดเขาจึงแสดงความหมายของมันในรูปแบบเช่นนี้ โดยกล่าวด้วยว่า "นี้คือการแสดงวิธีแบบเดียวกันกับกระบวนการของการแบ่งแยกไม่ได้อีกต่อไป"
ด้วยเหตุนี้ในยุคปัจจุบัน Principia จึงถูกเรียกว่าเป็น "หนังสือที่อัดแน่นด้วยทฤษฏีและการประยุกต์ใช้แคลคูลัสกณิกนันต์" และ "lequel est presque tout de ce calcul" ("แทบทุกสิ่งอย่างเกี่ยวกับแคลคูลัส") ในยุคของนิวตัน การใช้กระบวนวิธีเช่นนี้ของเขาที่เกี่ยวข้องกับ "จำนวนกณิกนันต์หนึ่งอันดับหรือมากกว่านั้น" ได้แสดงไว้ในงานเขียน De motu corporum in gyrum ของเขาเมื่อปี 1684 และในงานเขียนเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ที่เขียนขึ้น "ระหว่าง 2 ทศวรรษก่อนปี 1684"
นิวตันลังเลในการเผยแพร่แคลคูลัสของเขาก็เพราะเขากลัวข้อโต้แย้งและคำวิพากษ์วิจารณ์ เขาเคยสนิทสนมกับนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส นีกอลา ฟาซีโย เดอ ดุยเย ครั้นปี 2234 ดุยเยเริ่มต้นเขียน Principia ของนิวตันขึ้นในรูปแบบใหม่ และติดต่อกับไลบ์นิทซ์ มิตรภาพระหว่างดุยเยกับนิวตันเริ่มเสื่อมลงตั้งแต่ปี 2236 และหนังสือนั้นก็เลยเขียนไม่เสร็จ
สมาชิกราชสมาคมแห่งลอนดอนหลายคน (สมาคมซึ่งนิวตันเป็นสมาชิกอยู่ด้วย) เริ่มกล่าวหาไลบ์นิทซ์ว่าลอกเลียนผลงานของนิวตันในปี พ.ศ. 2242 ข้อโต้แย้งรุนแรงขึ้นถึงขั้นแตกหักในปี 2254 เมื่อทางราชสมาคมฯ ประกาศในงานศึกษาชิ้นหนึ่งว่า นิวตันคือผู้ค้นพบแคลคูลัสที่แท้จริง และตราหน้าไลบ์นิทซ์ว่าเป็นจอมหลอกลวง งานศึกษาชิ้นนั้นกลายเป็นที่เคลือบแคลงสงสัยเมื่อพบในภายหลังว่าตัวนิวตันนั่นเองที่เป็นคนเขียนบทสรุปของงานโดยเฉพาะส่วนที่เกี่ยวกับไลบ์นิทซ์ ข้อขัดแย้งในเรื่องนี้กลายเป็นรอยด่างพร้อยในชีวิตของทั้งนิวตันและไลบ์นิทซ์ตราบจนกระทั่งไลบ์นิทซ์เสียชีวิตในปี พ.ศ. 2259
นิวตันได้รับยกย่องโดยทั่วไปเนื่องจากทฤษฎีบททวินามที่ใช้ได้สำหรับเลขยกกำลังใดๆ เขาเป็นผู้ค้นพบ Newton's identities, Newton's method, เส้นโค้งกำลังสามบนระนาบ (พหุนามกำลังสามในตัวแปรสองตัว) เขามีส่วนอย่างสำคัญต่อทฤษฎี finite differences, และเป็นคนแรกที่ใช้เลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม และนำเรขาคณิตเชิงพิกัดมาใช้หาคำตอบจากสมการไดโอแฟนทีน เขาหาค่าผลบวกย่อยโดยประมาณของอนุกรมฮาร์โมนิกได้โดยใช้ลอการิทึม (ก่อนจะมีสมการผลรวมของออยเลอร์) และเป็นคนแรกที่ใช้อนุกรมกำลังและพิจารณาอนุกรมแปลงกลับของอนุกรมกำลัง (reverse power series) งานของนิวตันเกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ได้รับแรงบันดาลใจจากเลขทศนิยมของไซมอน สเตวิน (Simon Stevin)
นิวตันได้รับแต่งตั้งให้เป็นศาสตราจารย์ลูเคเชียนด้านคณิตศาสตร์เมื่อปี พ.ศ. 2212 โดยการเสนอชื่อของแบร์โรว์ ซึ่งในวันรับตำแหน่งนั้น ผู้รับตำแหน่งที่เป็นภาคีสมาชิกของเคมบริดจ์หรือออกซฟอร์ดจะต้องบวชเข้าเป็นพระในนิกายแองกลิกัน อย่างไรก็ดี ตำแหน่งศาสตราจารย์ลูเคเชียนนี้ไม่ได้บังคับว่าผู้รับตำแหน่งจะต้องปฏิบัติหน้าที่ทางศาสนา (คาดว่าคงเพราะต้องการให้มีเวลาเพื่อวิทยาศาสตร์มากกว่า) นิวตันจึงยกเป็นข้ออ้างว่าตนไม่จำเป็นต้องบวช และได้รับพระราชานุญาตจากพระเจ้าชาลส์ที่ 2 แห่งอังกฤษ
ช่วงปี 2213-2215 นิวตันสอนวิชาทัศนศาสตร์ ในระหว่างช่วงเวลานี้ เขาศึกษาเรื่องการหักเหของแสง โดยแสดงให้เห็นว่า ปริซึมสามารถแตกแสงขาวให้กลายเป็นสเปกตรัมของแสงได้ และถ้ามีเลนส์กับปริซึมอีกแท่งหนึ่งจะสามารถรวมแสงสเปกตรัมหลายสีกลับมาเป็นแสงขาวได้ นักวิชาการยุคใหม่เปิดเผยว่างานวิเคราะห์แสงขาวของนิวตันนี้เป็นผลมาจากวิชาเล่นแร่แปรธาตุเชิงคอร์พัสคิวลาร์
เขายังแสดงให้เห็นว่า แสงที่มีสีจะไม่เปลี่ยนคุณสมบัติไปไม่ว่าจะถูกกระจายลำแสงออกส่องไปยังพื้นผิววัตถุใดๆ ก็ตาม นิวตันให้ข้อสังเกตว่า ไม่ว่าแสงนั้นจะสะท้อน กระจาย หรือเคลื่อนผ่านอะไร มันก็ยังคงเป็นสีเดิมอยู่นั่นเอง นอกจากนี้เขาสังเกตว่า สีนั้นคือผลลัพธ์จากการที่วัตถุมีปฏิกิริยากับแสงที่มีสีอยู่แล้ว ไม่ใช่ว่าวัตถุนั้นสร้างสีของมันออกมาเอง แนวคิดนี้รู้จักในชื่อ ทฤษฎีสีของนิวตัน (Newton's theory of colour)