เส้นโค้งเชิงวงรี
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน

เราสามารถมองเส้นโค้งเชิงวงรีว่าเป็นการฝังทอรัสลงในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยอาศัยสมบัติพิเศษของฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์ชตราส โดยฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของของมันสอดคล้องกับสมการ
ในที่นี้ g2 และ g3 เป็นค่าคงที่ และ ℘(z) เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีไวเออร์ชตราส (Weierstrass elliptic function) สังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นสอดคล้องกับสมการเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันไวเออร์ตราสมีคาบแบบคู่  (doubly periodic) นั่นคือเป็นฟังก์ชันคาบเทียบกับแลตทิซ Λ ฉะนั้นฟังก์ชันไวเออร์ชตราสจึงนิยามได้บนทอรัส  T = C/Λ โดยธรรมชาติ ทอรัสนี้สามารถฝังเข้าไปในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยการส่ง
การส่งนี้เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของกรุปบนทอรัส (ภายใต้โครงสร้างกรุปตามธรรมชาติ) และกรุปลอว์ที่เกิดจากการสร้างเส้นคอร์ดและเส้นสัมผัสบนเส้นโค้งกำลังสามอันเป็นภาพของการส่งนี้ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของพื้นผิวรีมันน์จากทอรัสไปยังเส้นโค้งกำลังสามนั้นด้วย เพราะฉะนั้นในทางทอพอโลยีแล้ว เส้นโค้งเชิงวงรีจึงเป็นทอรัส หากแลตทิซ Λ สัมพันธ์ภายใต้การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน c ที่ไม่เป็นศูนย์กับแลตทิซ cΛ แล้วเส้นโค้งที่ได้จะสมสัณฐานกัน ชั้นสมมูลของเส้นโค้งเชิงวงรีกำหนดได้ด้วยตัวยืนยงเรียกว่า j-invariant
ชั้นสมมูลดังกล่าวสามารถมองได้ด้วยมุมมองที่ง่ายกว่าเช่นกัน ค่าคงตัว g2 และ g3 ซึ่งเรียกว่าตัวยืนยงมอดุลาร์ (modular invariants) ถูกกำหนดให้มีค่าได้เพียงค่าเดียวโดยแลตทิซ หรือก็คือโครงสร้างของทอรัส อย่างไรก็ตามทุกพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะแยกตัวประกอบเชิงเส้นเหนือจำนวนเชิงซ้อน (เพราะฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟีลด์จำนวนจริง) ฉะนั้นเราสามารถเขียนเส้นโค้งเชิงวงรีได้เป็น
เราจะได้ว่า
และ
โดยที่  j(\tau ) เป็น j-invariant และ  \lambda (\tau ) เรียกว่าฟังก์ชันแลมบ์ดามอดุลาร์ (modular lambda function) ตัวอย่างเช่น ให้  \tau =2i แล้ว  \lambda (2i)=(-1+{\sqrt {2}})^{4} ซึ่งส่งผลให้  g'_{2},  g'_{3} และ  {g'}_{2}^{3}-27{g'}_{3}^{2} ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดหาก  \tau  เกี่ยวข้องกับฟีลด์ควอดราติกเชิงซ้อน (imaginary quadratic field) ในกรณีนี้เราได้จำนวนเต็ม j(2i) = 663 = 287496 ด้วยซ้ำ
ในทางกลับกัน ค่าดิสคริมิแนนท์มอดุลาร์ (modular discriminant)
มักจะเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของฟังก์ชันอีตาดิริชเลต์ (Dedekind eta function) η(2i) คือ
สังเกตว่าทฤษฎีบทยูนิฟอร์มไมเซชัน (uniformization theorem) บ่งว่าทุกพื้นผิวรีมันน์ที่กระชับ (compact Riemann surface) ที่มีจีนัส 1 จะสามารถเขียนแทนได้ด้วยทอรัส นี่ทำให้เราสามารถเข้าใจจุดทอร์ชันบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ง่ายขึ้น: ถ้าแลตทิซ Λ ถูกสแปนโดยคาบพื้นฐาน ω1 and ω2 แล้วจุด n-ทอร์ชัน (n-torsion points) จะเป็นชั้นสมมูลของจุดในรูป
สำหรับจำนวนเต็ม a และ b ในช่วง 0 ≤ (a, b) < n
ถ้า
เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเฉพาะ และ
แล้วคู่ของคาบพื้นฐานของ E สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วจาก
เมื่อ M(w, z) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต (Arithmetic-geometric mean) ของ w และ z ในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต เครื่องหมายของ zn ที่เกิดจากความกำกวมในการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะถูกเลือกให้ |wn − zn| ≤ |wn + zn| เมื่อ wn และ zn คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตในขั้นที่ n ของ w และ z ตามลำดับ โดยเมื่อ |wn − zn| = |wn + zn| แล้วเรากำหนดเพิ่มเติมอีกว่า Im(zn/wn) > 0
เหนือจำนวนเชิงซ้อน ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) เก้าจุด  เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดจะผ่านจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุดเสมอ จุด 9 จุดและเส้นตรง 12 เส้นที่เกิดขึ้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ Hesse configuration