กลศาสตร์ควอนตัม
ภาพรวมและแนวคิดพื้นฐาน

กลศาสตร์ควอนตัมใช้คำนวณคุณสมบัติและพฤติกรรมของระบบฟิสิกส์ โดยทั่วไปจะใช้กับระบบจุลทรรศน์ซึ่งได้แก่ โมเลกุล อะตอม และอนุภาคย่อยของอะตอม มีการพิสูจน์แล้วว่าทฤษฎีนี้ยังสามารถใช้กับโมเลกุลซับซ้อนที่ประกอบด้วยอะตอมนับพันได้ แต่การประยุกต์ใช้กับมนุษย์โดยตรงอาจทำให้เกิดคำถามเชิงปรัชญา เช่น การทดลองทางความคิด "เพื่อนของวิกเนอร์" การประยุกต์ใช้กับเอกภพทั้งเอกภพล้วนแล้วแต่เป็นเพียงการคาดเดา การทำนายที่เกิดจากกลศาสตร์ควอนตัมได้รับการตรวจสอบด้วยการทดลองแล้วว่ามีความแม่นยำสูงยวดยิ่ง เช่น การแบ่งละเอียดทางกลศาสตร์ควอนตัมที่ใช้สำหรับปฏิสัมพันธ์ระหว่างแสงกับสสารที่เรียกว่า ไฟฟ้าพลศาสตร์ควอนตัม (quantum eletrodynamics, QED) สอดคล้องกับผลการทดลองในระดับ 1 ส่วน 108 สำหรับคุณสมบัติเชิงอะตอมบางอย่าง
ลักษณะเด่นที่เป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมคือ กลศาสตร์ควอนตัมมักไม่สามารถทำนายได้อย่างแน่นอนว่าจะเกิดอะไรขึ้น โดยจะให้เพียงค่าความน่าจะเป็นเท่านั้น พูดในทางคณิตศาสตร์คือ ความน่าจะเป็นนี้มีค่าเท่ากับยกกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน หรือรู้จักเช่นเดียวกันว่าเป็น แอมพลิจูดความน่าจะเป็น (probability amplitude) ทั้งหมดนี้คือ กฎของบอร์น ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ มัคส์ บอร์น เช่น เราสามารถอธิบายระบบของอนุภาคควอนตัมเช่นอิเล็กตรอนได้ด้วยฟังก์ชันคลื่น ซึ่งเชื่อมแต่ละจุดในปริภูมิเข้าด้วยแอมพลิจูดความน่าจะเป็น เมื่อใช้กฎของบอร์นกับแอมพลิจูดเหล่านี้จะให้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) ซึ่งบอกตำแหน่งที่เราสามารถพบอิเล็กตรอนได้เมื่อทำการทดลองเพื่อวัดค่า นี่เป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่ทฤษฎีสามารถทำได้ ทฤษฎีนี้ไม่สามารถบอกเราได้ว่าจะพบอิเล็กตรอนแน่ ๆ ตรงไหน สมการชเรอดิงเงอร์ เป็นสมการที่ใช้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างชุดแอมพลิจูดความน่าจะเป็นในเวลาหนึ่งกับชุดแอมพลิจูดความน่าจะเป็นในอีกเวลาหนึ่ง
ผลที่ตามมาประการหนึ่งของกฎคณิตศาสตร์ในกลศาสตร์ควอนตัมคือการได้อย่างเสียอย่างของความสามารถที่จะทำนายค่าระหว่างปริมาณที่วัดได้ปริมาณต่าง ๆ นี่คือหลักความไม่แน่นอน รูปแบบที่มีชื่อเสียงที่สุดจากหลักนี้กล่าวว่า ไม่ว่าอนุภาคควอนตัมจะถูกเตรียมมาอย่างไร หรือถูกทำการทดลองอย่างพิถีพิถันเพียงใด เราไม่สามารถทำนายค่าที่แม่นยำของตำแหน่งและโมเมนตัมในเวลาเดียวกันได้เลย
ผลอีกประการหนึ่งคือปรากฏการณ์การแทรกสอดเชิงควอนตัม มักสาธิตด้วยการทดลองช่องแคบคู่ ในการทดลองเวอร์ชันพื้นฐานจะใช้แหล่งกำเนิดแสงอาพันธ์ (coherent light source) เช่น ลำแสงเลเซอร์ ส่องไปยังแผ่นที่ถูกเจาะด้วยช่องขนานเล็ก ๆ สองช่อง แสงที่ผ่านช่องสองช่องนี้จะตกกระทบฉากด้านหลัง และจึงทำการสังเกต แสงที่ผ่านช่องสองช่องนี้จะแทรกสอดกันเนื่องจากธรรมชาติความเป็นคลื่นของแสง ทำให้เกิดแถบสว่างและมืดสลับกันไปบนฉาก ซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่ควรเกิดขึ้นได้ตามหลักฟิสิกส์ดั้งเดิมที่ถือว่าแสงเป็นอนุภาค แต่แสงก็ยังคงมีคุณสมบัติของอนุภาคอยู่ด้วย โดยฉากจะดูดซับแสงเป็นจุด ๆ แยกกันไม่ต่อเนื่องเสมอ ดังอนุภาคเดี่ยว ไม่ใช่คลื่น รูปแบบการแทรกสอดจะเกิดขึ้นจากความแตกต่างของความหนาแน่นของอนุภาคที่ตกกระทบฉาก ในการทดลองอีกแบบหนึ่งที่มีการติดตั้งเครื่องตรวจจับไว้ที่ช่องแคบจะพบว่าโฟตอนที่ถูกตรวจจับได้จะวิ่งผ่านช่องใดช่องหนึ่งเท่านั้น (นั่นคือพฤติกรรมของอนุภาค) และจะไม่ผ่านช่องสองช่องพร้อมกัน (เหมือนพฤติกรรมของคลื่น) การทดลองนี้บอกเราว่าอนุภาคจะไม่ทำให้เกิดรูปแบบการแทรกสอดถ้าใช้เครื่องตรวจจับและทราบว่าอนุภาควิ่งผ่านช่องแคบใด นี่คือคุณสมบัติทวิภาคคลื่น–อนุภาค ที่เกิดขึ้นได้กับทั้งแสง (โฟตอน) อิเล็กตรอน อะตอม และแม้กระทั่งโมเลกุล
ปรากฏการณ์อีกอย่างที่กลศาสตร์ควอนตัมทำนายได้แต่กลศาสตร์ดั้งเดิมทำนายไม่ได้คือ อุโมงค์ควอนตัม อนุภาคสามารถวิ่งชนกำแพงศักย์และทะลุผ่านไปได้ แม้ว่าอนุภาคนั้นจะมีพลังงานจลน์น้อยกว่าค่าสูงสุดของศักย์ก็ตาม เมื่อใช้หลักกลศาสตร์ดั้งเดิม อนุภาคนี้จะติดอยู่และไม่สามารถทะลุกำแพงศักย์ได้ ปรากฏการณ์อุโมงค์ควอนตัมช่วยอธิบายธรรมชาติของการสลายตัวกัมมันตรังสี ปฏิกิริยานิวเคลียร์ฟิวชันในดาวฤกษ์ และยังสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในเชิงเทคโนโลยีเช่น กล้องจุลทรรศน์แบบส่องกราดในอุโมงค์ และไดโอดอุโมงค์
เมื่อระบบควอนตัมมีปฏิสัมพันธ์กันอาจเกิดผลลัพธ์เป็นการพัวพันเชิงควอนตัม ที่คุณสมบัติของพวกมันจะเกี่ยวพันกันจนไม่สามารถอธิบายรายละเอียดทั้งหมดของแต่ละส่วนแยกกันได้อีกต่อไป นักฟิสิกส์แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ เรียกการพัวพัน (entanglement) ว่าเป็น "... ลักษณะเฉพาะของกลศาสตร์ควอนตัม ลักษณะที่บังคับให้ออกพ้นไปจากวิธีคิดแบบดั้งเดิมอย่างสมบูรณ์" ปรากฏการณ์พัวพันเชิงควอนตัมช่วยเปิดโลกของการคำนวณเชิงควอนตัม (quantum computing) และยังเข้าไปเป็นส่วนหนึ่งของเกณฑ์วิธีการสื่อสารเชิงควอนตัม เช่น การกระจายคีย์ควอนตัม และการลงรหัสหนาแน่นยิ่งยวด แต่การพัวพันเชิงควอนตัมไม่สามารถทำให้สัญญาณส่งถึงกันได้ด้วยความเร็วเหนือแสงได้ ดังที่เป็นความเข้าใจผิดที่พบบ่อย ปัญหานี้ได้รับการอธิบายไว้ในทฤษฎีบทไม่มีการสื่อสาร (no-communication theorem)
ความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งที่ตามมาหลังการค้นพบการพัวพันเชิงควอนตัมคือการทดสอบ "ตัวแปรซ้อนเร้น" (hidden variables) ซึ่งเป็นคุณสมบัติสมมุติที่มีความเป็นมูลฐานมากกว่าปริมาณที่ระบุในทฤษฎีควอนตัมเอง ความรู้ในเรื่องนี้อาจนำไปสู่การทำนายที่แม่นยำกว่าที่ทฤษฎีควอนตัมจะทำได้ ผลจากการรวบรวมผลการทดลอง โดยมีส่วนประกอบที่สำคัญที่สุดคือทฤษฎีบทของเบลล์ ได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นที่กล่าวถึงโดยกว้างนั้นแท้จริงแล้วเข้ากันไม่ได้กับฟิสิกส์ควอนตัม ตามทฤษฎีบทของเบลล์ หากธรรมชาติประพฤติตัวถูกต้องตามทฤษฎีตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่ (local) ใด ๆ จะทำให้ผลลัพธ์จากการทดสอบเบลล์ จะถูกจำกัดในทางเฉพาะที่วัดปริมาณได้ มีการทดสอบเบลล์หลายครั้งและทุกครั้งก็แสดงผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้กับข้อจำกัดที่กำหนดโดยตัวแปรที่ซ่อนอยู่เฉพาะที่
มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเสนอแนวคิดของกลศาสตร์ควอนตัมเหล่านี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นโดยที่ไม่แตะต้องคณิตศาสตร์ การทำความเข้าใจกลศาสตร์ควอนตัมต้องมีความเข้าใจในเรื่องจำนวนเชิงซ้อน พีชคณิตเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีกรุป และหัวข้อขั้นสูงอื่น ๆ บทความนี้จะนำเสนอการจัดสูตรคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม และการประยุกต์ใช้สูตรเหล่านี้กับตัวอย่างที่มีประโยชน์และมีการศึกษาอยู่บ่อยครั้ง