การให้เหตุผลแบบอุปนัย
เปรียบเทียบกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นรูปแบบของการอ้างเหตุผลซึ่งให้ข้อสรุปที่มีโอกาสเป็นเท็จแม้ข้อตั้งทั้งหมดจะเป็นจริงก็ตาม ความแตกต่างระหว่างการให้เหตุผลแบบอุปนัยกับนิรนัยถูกสะท้อนผ่านการใช้คำศัพท์เพื่ออธิบายการให้เหตุผลทั้งสองแบบ ในการให้เหตุผลแบบนิรนัย การอ้างเหตุผลจะ "สมเหตุสมผล" (validity (logic)) เมื่อข้อสรุปต้องเป็นจริงเมื่อเราสมมติให้ข้อตั้งของการอ้างเหตุผลเป็นจริง เมื่อการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลและข้อตั้งเป็นจริงแล้วการอ้างเหตุผลนั้นก็จะ "สมบูรณ์" (soundness) ในทางตรงกันข้ามในการให้เหตุผลแบบอุปนัย ข้อตั้งของการอ้างเหตุผลไม่สามารถรับประกันว่าข้อสรุปจะต้องเป็นจริง ดังนั้นการอ้างเหตุผลอุปนัยไม่สามารถสมเหตุสมผลหรือสมบูรณ์ได้ แต่การอ้างเหตุผลนั้นจะ "เข้ม" เมื่อข้อสรุปน่าจะเป็นจริงเมื่อเราสมมติให้ข้อตั้งของการอ้างเหตุผลนั้นเป็นจริง และหากการอ้างเหตุผลนั้นเข้มและข้อตั้งเป็นจริงแล้วการอ้างเหตุผลนั้นก็จะ "น่าเชื่อถือ" (cogent) หากพูดในเชิงรูปนัยน้อยกว่า การอ้างเหตุผลแบบอุปนัยสามารถเรียกได้ว่า "น่าจะเป็น" "ฟังขึ้น" "เป็นไปได้" "มีเหตุผล" หรือ "เที่ยงธรรม" แต่ไม่มีวัน "แน่นอน" หรือ "จำเป็น" ไม่มีสะพานเชื่อมระหว่างความน่าจะเป็นและความแน่นอนในตรรกศาสตร์
เราสามารถแสดงให้เห็นถึงความไร้ประโยชน์ที่จะพยายามบรรลุถึงความแน่นอนจากความน่าจะเป็นได้ผ่านการทอยเหรียญ สมมุติเราจะทดสอบว่าเหรียญ ๆ หนึ่งเป็นเหรียญที่ยุติธรรมหรือลำเอียง เราจึงทอยเหรียญไปสิบครั้งและทั้งสิบครั้งออกหัวทุกครั้ง ตอนนี้เรามีเหตุผลมากพอที่จะเชื่อว่าเหรียญนี้ลำเอียงในเมื่อมีโอกาสที่จะออกหัวติดกันถึงสิบรอบเพียง .000976 หรือน้อยกว่าหนึ่งในพันครั้งเสียอีก แล้วต่อจากนั้นทอยเหรียญอีกหนึ่งร้อยรอบแต่ทุกรอบก็ยังออกหัวเช่นเดิม คราวนี้มีความแน่นอน "เสมือนจริง" แล้วว่าเหรียญลำเอียง แต่เราไม่สามารถพิสูจน์โดยตรรกะหรือโดยประจักษ์ได้ว่าหากโยนครั้งต่อไปเหรียญจะไม่ออกหาง ไม่ว่าเหรียญจะออกหัวอีกกี่สักครั้งเราก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ดังเดิม หากมีใครสักคนเขียนโปรแกรมหุ่นยนต์ให้โยนเหรียญซ้ำเรื่อย ๆ ณ จุด ๆ หนึ่งหุ่นยนต์ตัวนั้นก็จะโยนออกหัวติดกันหนึ่งร้อยครั้ง และหากปล่อยให้หุ่นยนต์โยนต่อไปเรื่อย ๆ เป็นอนันต์รูปแบบทุกรูปแบบก็จะปรากฏออกมาในที่สุด
ส่วนโอกาสอันน้อยนิดที่เหรียญยุติธรรมจะทอยออกติดกันสิบครั้งซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้เหรียญถูกกล่าวหาว่าลำเอียงนั้น หลายคนอาจประหลาดใจว่าโอกาสที่ลำดับของหัว (H) และหาง (T) รูปแบบใด ๆ จะเกิดขึ้นนั้นมีค่าเท่ากันหมด (เช่น H-H-T-T-H-T-H-H-H-T) แต่แล้วมันก็เกิดขึ้นในทุก ๆ รอบที่เราทอยเหรียญสิบครั้ง หมายความว่าผลลัพธ์ทั้งหมดจากการทอยเหรียญสิบครั้งนั้นมีความน่าจะเป็นเท่ากับการที่เราจะได้หัวทั้งสิบครั้งซึ่งก็คือ 0.000976 หากเราไปวัดความน่าจะเป็นสำหรับลำดับหัว-หางรูปแบบอื่น ๆ ไม่ว่าผลจะออกมาเป็นอย่างไรลำดับนั้นก็จะมีโอกาสออกเท่ากับ 0.000976
การอ้างเหตุผลเป็นแบบนิรนัยเมื่อข้อสรุปจำเป็นเพราะข้อตั้ง นั่นก็คือข้อสรุปต้องเป็นจริงเมื่อข้อตั้งเป็นจริง
หากข้อสรุปแบบนิรนัยเป็นผลมาจากข้อตั้งตามที่กำหนดแล้ว ข้อสรุปจะสมเหตุสมผล มิฉะนั้นก็จะไม่สมเหตุสมผล (การที่การอ้างเหตุผลใด ๆ ไม่สมเหตุสมผลไม่ได้หมายความว่ามันเป็นเท็จ ข้อสรุปอาจเป็นจริงเพียงแต่ไม่ได้เป็นเพราะข้อตั้ง) การพิจารณาตัวอย่างดังต่อไปจะแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างข้อตั้งกับข้อสรุปคือ ความจริงของข้อสรุปอยู่ในข้อตั้งโดยปริยายอยู่แล้ว คนโสดไม่มีแฟนเพราะเราว่าอย่างนั้น มันคือนิยามที่เรากำหนด โสกราตีสเป็นมรรตัยเพราะเรานับเขาอยู่ในเซตของสิ่งที่ดำรงอยู่อย่างมรรตัย ข้อสรุปจากการอ้างเหตุผลแบบนิรนัยที่สมเหตุสมผลมีอยู่ในในข้อตั้งอยู่แล้วเนื่องจากความจริงของมันขึ้นกับความสัมพันธ์เชิงตรรกะโดยแท้ มันพูดอะไรมากกว่าข้อตั้งไม่ได้ กลับกันข้อตั้งแบบอุปนัยนำเนื้อหาของมันมาจากข้อเท็จจริงและหลักฐานและข้อสรุปก็อ้างหรือทำนายตามข้อเท็จจริงไปตามนั้น ความน่าเชื่อถือของมันผันแปรไปตามสัดส่วนกับหลักฐาน การอุปนัยต้องการเปิดเผยสิ่งที่ใหม่เกี่ยวกับโลก อาจกล่าวได้ว่าการอุปนัยต้องการจะพูดอะไรมากกว่าที่มีอยู่ในข้อตั้ง
เพื่อที่จะเห็นความแตกต่างระหว่างการอ้างเหตุผลแบบอุปนัยและแบบนิรนัยได้ดีขึ้น พิจารณาเมื่อเราบอกว่า: "สี่เหลี่ยมทั้งหมดที่เคยเจอมาจนถึงตอนนี้มีมุมฉากสี่มุม ดังนั้นสี่เหลี่ยมรูปต่อไปที่จะเจอมีมุมฉากสี่มุม" ก็จะไม่เข้าท่าเลย เพราะเป็นการปฏิบัติต่อความสัมพันธ์เชิงตรรกะเสมือนเป็นสิ่งที่เท็จจริงและถูกค้นพบจึงแปรผันและไม่แน่นอน ในทางเดียวกันเราอาจบอกแบบนิรนัยได้ว่า: "ยูนิคอร์นทุกตัวบินได้ ฉันมียูนิคอร์นชื่อปีเตอร์ ปีเตอร์บินได้" การอ้างเหตุผลแบบนิรนัยอันนี้นั้นสมเหตุสมผลเพราะความสัมพันธ์เชิงตรรกะนี้ถูกต้อง เราไม่สนใจความสมบูรณ์เชิงเท็จจริง
การให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่แน่นอน (uncertainty) โดยธรรมชาติ มันจัดการกับข้อสรุปที่ "น่าเชื่อถือ" ตามทฤษฎีใดเกี่ยวกับหลักฐานเนื่องมาจากข้อตั้งที่ได้มา ตัวอย่างเช่นตรรกศาสตร์หลายค่า (many-valued logic), ทฤษฎีเดมพ์สเตอร์-เชเฟอร์ (dempster-shafer theory), หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วยกฏแห่งการอนุมานเช่นกฏของเบย์ (baye's theorem)  การให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่ได้พึ่งพาขอบเขตของสัมพันธสาร (closed world assumption) เพื่อนำมาซึ่งข้อสรุปแบบการให้เหตุผลแบบนิรนัย จึงสามารถนำมาใช้ได้แม้ในกรณีที่มีความไม่แน่นอนทางญาณวิทยา (open world assumption) (อาจมีปัญหาทางเทคนิคเกิดขึ้น เช่นสัจพจน์ข้อสองของความน่าจะเป็นเป็นมูลบทโลกกว้าง)
ความแตกต่างที่สำคัญอีกอันหนึ่งระหว่างการอ้างสองรูปแบบนี้คือ ความแน่นอนแบบนิรนัยนั้นเป็นไปไม่ได้ในระบบไร้สัจพจน์เช่นความเป็นจริง ทำให้เหลือการให้เหตุผลแบบอุปนัยทิ้งไว้เท่านั้นที่เป็นเส้นทางหลักสู่ความรู้ (ที่เป็นในรูปแบบความน่าจะเป็น) ในระบบเหล่านั้น
ได้ว่า "ถ้า ก เป็นจริง แล้วจะทำให้ ข, ค และ ง เป็นจริง" ตัวอย่างของการนิรนัยเป็นเช่น "ก เป็นจริง ดังนั้นนิรนัยได้ว่า ข, ค และ ง เป็นจริง" ตัวอย่างของการอุปนัยเป็นเช่น "ข, ค และ ง ถูกสังเกตว่าเป็นจริง เพราะฉะนั้น ก อาจเป็นจริง" ก เป็นคำอธิบายที่มีเหตุผลที่ ข, ค และ ง เป็นจริง
ตัวอย่างเช่น:
แต่ทราบว่าคำอธิบายดาวเคราะห์น้อยนี้ไม่จำเป็นต้องถูก อาจมีเหตุการณ์อื่นที่มีความสามารถส่งผลต่อสภาพอากาศโลกที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาเดียวกันกับเหตุการณ์การสูญพันธุ์ของไดโนเสาร์ที่บินไม่ได้ เช่นการปดปล่อยก๊าซภูเขาไฟ (โดยเฉพาะซัลเฟอร์ไดออกไซด์) ในระหว่างการก่อตัวของหินทรัปป์เดกกันในอินเดีย
ตัวอย่างของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอีกอันคือ:
สามารถอ้างแบบนี้ได้ทุกครั้งที่ค้นพบสิ่งมีชีวิตใหม่ และอาจถูกทุกครั้ง แต่มันเป็นไปได้ที่ในอนาคตจะค้นพบสิ่งมีชีวิตทางชีววิทยาที่ไม่ต้องการน้ำเหลว ดังนั้นการอ้างนี้อาจกล่าวใหม่ได้เป็นทางการน้อยกว่าว่า:
ตัวอย่างสุดคลาสสิกของการอ้างแบบอุปนัยที่ ไม่ถูกต้อง ได้นำเสนอโดยจอห์น วิกเกอร์ส:
ข้อสรุปที่ถูกจะเป็น: เราคาด (expectation (epistemic)) ว่าหงส์ทุกตัวสีขาว
พูดสั้น ๆ ได้ว่า: การนิรนัยเกี่ยวกับ ความแน่นอน/ความจำเป็น การอุปนัยเกี่ยวกับ ความน่าจะเป็น ทุก ๆ การอ้างจะเป็นหนึ่งในสองรูปแบบนั้น อีกแนวทางการวิเคราะห์การให้เหตุผลคือตรรกศาสตร์อัญรูป (modal logic) ซึ่งจัดการกับการแบ่งแยกระหว่าง ความจำเป็น และ ความเป็นไปได้ โดยไม่ได้สนใจถึงความน่าจะเป็นในสิ่งที่ถือว่าเป็นไปได้
นิยามทางปรัชญาของการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้นแตกต่างจากการพัฒนาง่าย ๆ จากตัวอย่างเฉพาะใด ๆ ไปสู่การวางนัยทั่วไปกว้าง ๆ เพียงแต่ว่าข้อตั้งของการอ้างเหตุผล (argument) เชิงตรรกะแบบอุปนัยสนับสนุนแต่ไม่ได้ส่งผล (logical consequence) ต่อความน่าจะเป็นแบบอุปนัยของข้อสรุปในปริมาณใด ๆ นั่นคือ มันเสนอแต่ไม่ได้รับรองความเท็จจริง มันมีความเป็นไปได้ที่จะนำการวางนัยทั่วไปไปสู่กรณีเฉพาะในกิริยานี้ (เช่น ตรรกบทสถิติ มีต่อด้านล่าง)
ทราบว่านิยามของการให้เหตุผลแบบอุปนัยที่ระบุในที่นี่ต่างจากการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical induction) ซึ่งแท้จริงแล้วเป็นรูปแบบของการให้เหตุผลแบบนิรนัย กางอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของเซตที่ถูกนิยามแบบเวียนบังเกิดอย่างเคร่งครัด ความเป็นนิรนัยของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มาจากหลักที่ว่ามีจำนวนกรณีที่ไม่จำกัด ซึ่งตรงข้ามกับจำนวนกรณีที่จำกัดที่มีส่วนในกระบวนการการอุปนัยแบบแจงนับเช่นการพิสูจน์โดยการแจงกรณี (proof by exhaustion)  ทั้งการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และการพิสูจน์โดยแจงกรณีเป็นตัวอย่างของการอุปนัยสมบูรณ์