นิม
ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

นิมเป็นเกมที่แก้ด้วยคณิตศาสตร์ได้ และสามารถคำนวณได้ง่ายว่าผู้เล่นคนใดจะชนะ,ต้องหยิบอย่างไรถึงจะชนะ ตัวอย่างเช่น เกมที่เริ่มต้นด้วยกองหินที่มีก้อนหินอยู่ 3, 4, 5 ก้อน ผู้เล่นที่เล่นคนแรกจะชนะเสมอ ถ้าเขาเล่นด้วยกลยุทธ์ที่ถูกต้อง
และไม่ขึ้นกับว่ากติกาจะเป็นแบบปกติหรือแบบที่สองก็ตาม
หัวใจของทฤษฎีของเกมนี้ก็คือ ผลบวกเลขโดดฐานสอง (binary digital sum) ซึ่งเป็นผลบวกในเลขฐานสองที่ไม่มีการทด การดำเนินการนี้เรียกว่าการ exclusive or (xor) ในทฤษฎีเกมเชิงการจัดจะเรียกว่า ผลบวกนิม (nim-sum) ผลบวกนิมของ x และ y เขียนแทนด้วย x ⊕ y ซึ่งต่างจากผลบวกธรรมดาที่เขียนแทนด้วย x + y ตัวอย่างการคำนวณของกองหินที่มีก้อนหินอยู่ 3, 4, 5 ก้อน มีดังนี้
เลขฐานสอง  เลขฐานสิบ
 
    0112    310    กอง A
  1002    410    กอง B
  1012    510    กอง C
  ---
  0102    210    ดังนั้น ผลบวกนิมของกอง A, B, C เท่ากับ 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2
หรือจะคำนวณแบบนี้ก็ได้ ให้เขียนจำนวนก้อนหินในแต่ละกองให้อยู่ในรูปผลบวกของเลขกำลังสอง จากนั้นให้ตัดคู่ที่เท่ากันออกไป ถ้าตัดไม่ได้แล้ว ให้บวกเลขที่เหลือเข้าด้วยกัน ก็จะได้ผลลัพธ์ เช่น
3 = 2 + 1 = 2 + 1      กอง A
4 = 4     = 4          กอง B
5 = 4 + 1 = 4 + 1      กอง C
---
2 =         2          ผลลัพธ์ที่ได้จากการตัดคู่เลข 1 กับ คู่เลข 4
กลยุทธ์ในการเล่นให้ชนะคือ ทำผลบวกนิมให้เท่ากับ 0 เสมอ. ซึ่งถ้าผลบวกนิมก่อนที่คุณจะหยิบไม่เท่ากับ 0 แล้ว จะมีวิธีที่ทำให้ผลบวกนิมเท่ากับ 0 ได้เสมอ. ถ้าคุณไม่เล่นพลาดเลยสักตา ผู้เล่นอีกฝ่ายจะเป็นฝ่ายแพ้. เพื่อหาว่าจะต้องหยิบก้อนหินจากกองใดจำนวนเท่าไร เราจะให้ X คือผลบวกนิมของจำนวนก้อนหินทุกกอง ให้หาผลบวกนิมของจำนวนก้อนหินในแต่ละกอง กับ X. กลยุทธ์คือ คุณจะต้องทำให้จำนวนก้อนหินในกองใดกองหนึ่ง เหลือเท่ากับผลบวกนิมของจำนวนหินเดิมในกองนั้นกับ X. จากตัวอย่างข้างบน ผลบวกนิมของทุกกองเท่ากับ X = 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2 ผลบวกนิมของจำนวนก้อนหินในกอง A=3, B=4, C=5 กับ X เท่ากับ
มีเพียงกองเดียวที่สามารถลดจำนวนก้อนหินให้เท่ากับค่าที่ต้องการได้ คือ กอง A (เราสามารถลดก้อนหินในกอง A จาก 3 ก้อนเป็น 1 ก้อนได้ แต่ไม่สามารถลดกอง B จาก 4 ก้อนเป็น 6 ก้อนได้ และไม่สามารถลดกอง C จาก 5 ก้อนเป็น 7 ก้อนได้) ดังนั้น การเล่นที่ถูกคือต้องลดจำนวนก้อนหินในกอง A ให้เท่ากับ 1 (หยิบหินออกจากกอง A ออกไป 2 ก้อน)
ในกรณีที่มีกองหินอยู่ 2 กอง จะมีกลยุทธ์ที่ง่ายกว่าคือ ให้ลดก้อนหินของกองที่ใหญ่กว่า ให้เท่ากับอีกกองหนึ่ง หลังจากนั้น ไม่ว่าผู้เล่นอีกฝ่ายจะหยิบจำนวนก้อนหินเท่าใด คุณก็หยิบก้อนหินจำนวนเท่ากันจากอีกกอง วิธีนี้จะรับประกันว่าคุณจะเป็นผู้หยิบก้อนหินก้อนสุดท้ายเสมอ
ถ้าเล่นกติกาแบบที่สอง กลยุทธ์ในการเล่นยังคงเหมือนกัน ยกเว้น ในกรณีที่การหยิบจะทำให้กองหินทุกกองมีก้อนหินน้อยกว่า 2 ก้อน ในกรณีนี้ การหยิบที่ถูกต้องคือหยิบให้เหลือจำนวนกองที่มีก้อนหิน 1 ก้อน อยู่เป็นจำนวนคี่ (ซึ่งถ้าเล่นกติกาปกติ การหยิบที่ถูกต้องคือหยิบให้เหลือจำนวนกองที่มีก้อนหิน 1 ก้อน อยู่เป็นจำนวนคู่)
ในการเล่นกติกาแบบที่สอง ซึ่งเริ่มต้นด้วยกองหินที่มีก้อนหินอยู่ 3, 4, 5 ก้อน จะมีกลยุทธ์ในการเล่นเป็นดังนี้
A B C ผลบวกนิม
 
3 4 5 0102=210   เราหยิบก้อนหิน 2 ก้อน ออกจาก A ทำให้ผลบวกนิมเท่ากับ 000 ดังนั้น เราจะชนะ
1 4 5 0002=010   คุณหยิบก้อนหิน 2 ก้อน ออกจาก C
1 4 3 1102=610   เราหยิบก้อนหิน 2 ก้อน ออกจาก B
1 2 3 0002=010   คุณหยิบก้อนหิน 1 ก้อน ออกจาก C
1 2 2 0012=110   เราหยิบก้อนหิน 1 ก้อน ออกจาก A
0 2 2 0002=010   คุณหยิบก้อนหิน 1 ก้อน ออกจาก C
0 2 1 0112=310   ในการเล่นแบบปกติ เราจะหยิบก้อนหิน 1 ก้อนออกจากกอง B
                 ทำให้เหลือกองที่มีหิน 1 ก้อน อยู่เป็นจำนวนคู่
                                  ในการเล่นแบบกติกาที่สอง เราจะหยิบก้อนหินทั้งหมดออกจากกอง B
                 ทำให้เหลือกองที่มีหิน 1 ก้อน อยู่เป็นจำนวนคี่
0 0 1 0012=110   คุณหยิบก้อนหิน 1 ก้อน ออกจาก C ดังนั้น คุณจึงแพ้