stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
การคูณของทูม-คุก
รายระเอียดของกระบวนการ > การประเมินค่า

หลังจากที่เราจัดรูปเลขให้อยู่ในรูปของพหุนามเราต้องการหา r (x) ที่เป็นพหุนามที่เกิดจากการคูณกันของ p (x) และ q (x) โดบเราจะใช้วิธีการดังนี้
โดยปกติแล้วจำนวนพจน์ของพหุนามหาได้จาก เลขกำลังของพหุนาม +1 (บวกเพิ่มอีกหนึ่ง)  เช่น สมการพหุนามกำลัง 1 หรือสมการเส้นตรง จะมีจำนวนพจน์คือ 2 และ กำลังของพหุนามที่เกิดจากพหุนามย่อยมาคูณกันหาได้จากกำลังของพนุนามย่อมบวกกัน เช่น พหุนามกำลัง 2 คูณกับ พหุนามกำลัง 2 จะได้ผลลัพธ์ของออกมาเปนพนุนามกำลัง 4 ซึ่งมีทั้งหมด 4+1 พจน์ ดังนั้น หากเราต้องการสร้างพหุนาม r ที่มีทั้งหมด 5 พจน์ เราต้องการหาค่าทั้งหมด 5 ครั้งเพื่อหาค่ามีแทนในแต่ละตัวประกอบในแต่ละพจน์ของมัน โดยเราใช้เลขอะไรก็ได้ แต่เพื่อความง่ายต่อการคำนวณเราจะใช้ 0, 1, -1, -2 และ ∞ ในกรณีหลังที่แทนด้วย ∞ จะให้ค่าที่ออกมาเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่กำลังสูงสุดเสมอ เมื่อนำไปแทนจะได้ค่าดังนั้น
เมื่อแทนค่าของตัวอย่างลงไป จะสังเกตได้ว่าบางค่าสามารถมค่าเป็นลบได้
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| p (0) | = | m0 | = | 56789012 | = | 56789012 |
| p (1) | = | m0 + m1 + m2 | = | 56789012 + 78901234 + 123456 | = | 135813702 |
| p (−1) | = | m0 − m1 + m2 | = | 56789012 − 78901234 + 123456 | = | −21988766 |
| p (−2) | = | m0 − 2m1 + 4m2 | = | 56789012 − 2×78901234 + 4×123456 | = | −100519632 |
| p (∞) | = | m2 | = | 123456 | = | 123456 |
| q (0) | = | n0 | = | 54321098 | = | 54321098 |
| q (1) | = | n0 + n1 + n2 | = | 54321098 + 43219876 + 98765 | = | 97639739 |
| q (−1) | = | n0 − n1 + n2 | = | 54321098 − 43219876 + 98765 | = | 11199987 |
| q (−2) | = | n0 − 2n1 + 4n2 | = | 54321098 − 2×43219876 + 4×98765 | = | −31723594 |
| q (∞) | = | n2 | = | 98765 | = | 98765 |
เราสามารถนำเสนอการแทนค่าเหล่านนี้ในรูปแบบของแมกทริกส์ได้ซึ่งจะมีประโยชน์อย่างมากต่อการนำไปคำนวณต่อ
รายระเอียดของกระบวนการ > การเพิ่มความเร็วในการคำนวณ

เราสามารถทำการคำนวณให้รวดเร็วมากยิ่งขึ้นได้โดยเรากำหนด p0 ขึ้นมาใหม่เพราะในความจริงแล้วเลขจะใหญ่มากกว่านี้ และหากให้อัลกอลิทึมของทูม - คุก แล้วก็จะแทนค่าแบบนี้ทุกครั้งเพื่อความรวดเร็วในการคำนวณ และเหตุผลที่ทำไมไม่เลือกใช้ 2 แทน ∞ เพราะให่สังเกตการแทนค่า 2 ลงไป จำเป็นที่ต้องเกิดการคูณเกิดขึ้นทำให้เสียเวลาในช่วงนี้
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| p0 | ← | m0 + m2 | = | 56789012 + 123456 | = | 56912468 |
| p (0) | = | m0 | = | 56789012 | = | 56789012 |
| p (1) | = | p0 + m1 | = | 56912468 + 78901234 | = | 135813702 |
| p (−1) | = | p0 − m1 | = | 56912468 − 78901234 | = | −21988766 |
| p (−2) | = | (p (−1) + m2) ×2 − m0 | = | (− 21988766 + 123456 ) ×2 − 56789012 | = | − 100519632 |
| p (∞) | = | m2 | = | 123456 | = | 123456. |
รายระเอียดของกระบวนการ > การหาผลคูณของขั้นย่อย

เราจำเป็นที่ต้องการหาพหุนาม  r(x) ที่เกิดจาก  p(x)q(x) ในขั้นตอนนี้เราจะทำการคูณ  p และ  q ในเลขที่แทนในแต่ละตัว เพื่อเอาไปใช้ในการคำนวณต่อ จะสังเกตได้ว่าในขั้นตอนนี้เกิดการคูณเกิดขึ้น ถ้าเลขของเรานั้นยังมีขนาดใหญ่เราจะไม่ทำการคูณแบบปกติ (Multiplication algorithm) จนกว่าจะมีค่าที่เล็กพอ ถ้าไม่ทำเช่นนั้น จะไม่มีประโยชน์เลยที่เราหาผลคูณโดยอัลกอลิทึมนี้ ดังนั้นเราจะใช้วิธีการเรียกซ้ำไปเข้าในอัลกอลิทึมนี้อีกเพื่อไปใช้กับผลคูณย่อยเหล่านี้
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| r (0) | = | p (0) q (0) | = | 56789012 × 54321098 | = | 3084841486175176 |
| r (1) | = | p (1) q (1) | = | 135813702 × 97639739 | = | 13260814415903778 |
| r (−1) | = | p (−1) q (−1) | = | −21988766 × 11199987 | = | −246273893346042 |
| r (−2) | = | p (−2) q (−2) | = | −100519632 × −31723594 | = | 3188843994597408 |
| r (∞) | = | p (∞) q (∞) | = | 123456 × 98765 | = | 12193131840. |
จะสังเกตได้ว่าขั้นตอนนี้เป็นขั้นตอนที่เสียเวลามากที่สุดเพราะต้องเสียเวลาไปกับการคูณแบบปกติหรือกับการเรียกซ้ำ
รายระเอียดของกระบวนการ > การหาสัมประสิทธิ์

จากขั้นตอนที่แล้วที่ได้ค่าของการแทนค่าในพนุนาม  r มาแล้วหากเรามีใส่ในรูปของแมกทริกส์ ในขั้นตอนนี้เราต้องการที่จะหาค่าย้อนกลับไปเพื่อจะหาสัมประสิทธิ์ของพหุนาม  r จะได้ดังนี้
เราสามารถใช้วิธีต่าง ๆ มาเพื่อหา สัมประสิทธิ์เหล่านี้ เช่น วิธีการกำจัดของเกาเซียน (Gaussian elimination) แต่วิธีนี้จะเสียเวลาค่อนข้างสูงดังนั้นเราจะวิธีหาอินเวิร์ทแทนจะได้แมกทริกซ์ดังนี้
จะเห็นได้ว่าหลังจากอินเวิร์ทแมกทริส์แล้วจะมีบางกรณีที่เป็นเศษส่วน ถ้าหากเราคำนวณโดยใช้คมพิวเตอร์จะปัดเศษที่เกิดจากการหารที่ไม่ลงตัวออกอัตโนมัติอยู่แล้ว ถัดมาเราต้องการหาค่าสัมประสิทธิ์หากเราทำการคูณแมกทริส์แบบปกติเลยนั้นจะเสียเวลาอย่างมาก ในการหาค่า  r_{1}r_{2}r_{3} และเลขอาจคลาดเคลื่อนได้ ดังนั้น จึงไปใช้วิธีการของ โบดราโต ในการคำนวณช่วงนี้ โดยทำตามลำดับดังนี้
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| r0 | ← | r (0) | = | 3084841486175176 |
| r4 | ← | r (∞) | = | 12193131840 |
| r3 | ← | (r (−2) − r (1))/3 | = | (3188843994597408 − 13260814415903778)/3 |
|  |  |  | = | −3357323473768790 |
| r1 | ← | (r (1) − r (−1))/2 | = | (13260814415903778 − (−246273893346042))/2 |
|  |  |  | = | 6753544154624910 |
| r2 | ← | r (−1) − r (0) | = | −246273893346042 − 3084841486175176 |
|  |  |  | = | −3331115379521218 |
| r3 | ← | (r2 − r3)/2 + 2r (∞) | = | (−3331115379521218 − (−3357323473768790))/2 + 2×12193131840 |
|  |  |  | = | 13128433387466 |
| r2 | ← | r2 + r1 − r (∞) | = | −3331115379521218 + 6753544154624910 − 12193131840 |
|  |  |  | = | 3422416581971852 |
| r1 | ← | r1 − r3 | = | 6753544154624910 − 13128433387466 |
|  |  |  | = | 6740415721237444 |
จะได้พนุนาม  r ออกมาดังนี้ ถ้าหากเราใช้ การแบ่งส่วนในช่วงแรกในลักษณะที่จำนวนส่วนไม่เท่ากันแล้ว แมกทริกส์ที่ได้ออกมา ผลคูณในขั้นย่อยและวิธีการคำนวณจะต่างกันทำให้อาจไม่สามารถใช้วิธีที่กล่าวออกมาได้ และที่สำคัญที่สุด กระบวนการเหล่านี้ ไม่ขึ้นอยู่กับ ค่าที่ป้อนเข้ามา จึงอาจทำให้ยากต่อการกำหนดค่าต่าง ๆ
แมกทริส์ของการแบ่งส่วนต่าง ๆ > ทูม-1

ทูม -1 คือการแบ่งค่าออกเป็น 1 ส่วนทั้ง 2 ค่า  (km = kn = 1)  มี 1 พจน์ เลือกค่า 0 นำไปแทน จะเป็นลักษณะการคูณแบบปกติ
แมกทริส์ของการแบ่งส่วนต่าง ๆ > ทูม-1.5

ทูม -1.5 คือการแบ่งค่าออกเป็น 2 ส่วนค่าหนึ่งและอีกค่าหนึ่ง 1 ส่วน (km = 2, kn = 1) มี 2 พจน์ เลือกค่า 0 และ ∞ นำไปแทน
แมกทริส์ของการแบ่งส่วนต่าง ๆ > ทูม-2

ทูม - 2 คือการแบ่งค่าออกเป็น 2 ส่วนทั้งสองจำนวน (km = 2, kn = 2) มี 3 พจน์ เลือกค่า 0, 1 และ ∞ นำไปแทน เป็นอัลกอลิทึมของคารัสสุบา (Karatsuba multiplication)
แมกทริส์ของการแบ่งส่วนต่าง ๆ > ทูม-2.5

ทูม - 2.5 คือการแบ่งค่าออกเป็น 3 ส่วนและอีกค่าหนึ่งจำนวน 2 ส่วน (km = 3, kn = 2) มี 4 พจน์ เลือกค่า 0, 1, -1 และ ∞ นำไปแทน
แหล่งข้อมูลอื่น

Toom-Cook 3-Way Multiplication from GMP Documentations
ไข้หวัดใหญ่ในสุกร

| ไข้หวัดใหญ่ในสุกร |
| --- | --- |
ชื่ออื่น: ไข้หวัดหมู

ภาพกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน ของไวรัส H1N1 ไวรัสมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 80-120 นาโนเมตร
สาขาวิชา: โรคติดเชื้อ
สุกรสามารถเป็นแหล่งพำนักไวรัสไข้หวัดใหญ่ ให้วิวัฒนาร่วมกับไข้หวัดใหญ่ในมนุษย์ และไข้หวัดใหญ่ในสัตว์ปีกหรือไข้หวัดนก ให้เกิดการเปลี่ยนแปลงสายพันธุ์และการเป็น ภาวะระบาดทั่ว
คือ ท้องที่ระบาดตามที่มีการรับรองอย่างเป็นทางการแล้ว และมีผู้เสียชีวิต
  คือ ท้องที่ระบาดตามที่มีการรับรองอย่างเป็นทางการแล้ว
  คือ ท้องที่ระบาดตามที่ยังไม่มีการรับรอง
โปรดดู: แผนที่ล่าสุดของไข้หวัดใหญ่สุกร, แผนที่ล่าสุดของเชื้อ H1N1
ไข้หวัดใหญ่ในสุกร หรือ ไข้หวัดใหญ่สุกร (อังกฤษ: swine Influenza) ภาษาปากว่า ไข้หวัดหมู เป็นโรคไข้หวัดใหญ่ซึ่งเกิดจากเชื้อไวรัสกลุ่มออร์โทมิกโซไวรัส (Orthomyxoviruses) ที่เป็นโรคประจำถิ่นในประชากรหมู สายพันธุ์เชื้อไวรัสไข้หวัดใหญ่ในสุกรที่ถูกแยกได้ในปัจจุบันถูกจัดเป็น ไวรัสไข้หวัดใหญ่ ซี (Influenzavirus C) หรือเป็นหนึ่งในชนิดย่อยของสกุลไวรัสไข้หวัดใหญ่ เอ
อ้างอิงและเชิงอรรถ

↑  International Committee on Taxonomy of Viruses. "The Universal Virus Database, version 4: Influenza A". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ January 13, 2010.
↑  Veterinary Sciences Tomorrow article Swine influenza: a zoonosis by Paul Heinen dated 15 September 2003 says "Influenza B and C viruses are almost exclusively isolated from man, although influenza C virus has also been isolated from pigs and influenza B has recently been isolated from seals."
ดูเพิ่ม

การระบาดของไข้หวัดใหญ่สายพันธุ์ใหม่ 2009
ไข้หวัดนก
แหล่งข้อมูลอื่น

"Swine Flu Cases Without Swine Exposure"[ลิงก์เสีย] Center for Biosecurity of UPMC
The Swine Flu Affair: Decision-Making on a Slippery Disease Original 1978 U.S.A. Department of Health Education and Welfare review by Richard E. Neustadt and Harvey V Fineberg available from Louisiana State University Law Center Medical and Public Health Law Site.
Surface sanitation and interruption of influenza using NAV-CO2
The Swine Flu Episode and the Fog of Epidemics by Richard Krause in CDC's Emerging Infectious Diseases Journal Vol. 12, No. 1 January 2006 published December 20, 2005
SWINE INFLUENZA by Carol G. Woodlief of College of Veterinary Medicine at North Carolina State University เก็บถาวร 2009-04-25 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Overview, symptoms in pigs, treatment for pigs
In California and Texas, 5 New Swine Flu Cases Washington Post, By Rob Stein (Staff Writer)
Swine Flu In Mexico And U.S. May Lead To Pandemic, WHO Says เก็บถาวร 2009-04-29 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน AHN, Mayur Pahilajani (Staff Writer)
News and information on the 2009 human swine flu outbreak เก็บถาวร 2009-04-28 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
รูปหลายเหลี่ยม

ในทางเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยม (อังกฤษ: polygon) ตามความหมายดั้งเดิม หมายถึงรูปร่างอย่างหนึ่งที่เป็นรูปปิดหรือรูปครบวงจรบนระนาบ ซึ่งประกอบขึ้นจากลำดับของส่วนของเส้นตรงที่มีจำนวนจำกัด ส่วนของเส้นตรงเหล่านั้นเรียกว่า ขอบ หรือ ด้าน และจุดที่ขอบสองข้างบรรจบกันเรียกว่า จุดยอด หรือ เหลี่ยม (corner) ภายในรูปหลายเหลี่ยมบางครั้งก็เรียกว่า เนื้อที่ (body) รูปหลายเหลี่ยมเป็นวัตถุในสองมิติ ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของพอลิโทป (polytope) ที่อยู่ใน n มิติ
ด้านสองด้านที่บรรจบกันเป็นเหลี่ยม เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเกิดมุมที่ไม่เป็นมุมตรง (180°) ถ้าไม่เช่นนั้นแล้ว ส่วนของเส้นตรงทั้งสองจะถูกพิจารณาว่าเป็นด้านเดียวกันเชกเช่นวงกลม มีหลายเหลี่ยมไม่สิ้นสุดตามจำนวนองศา
ความคิดทางเรขาคณิตพื้นฐานได้ถูกดัดแปลงไปในหลากหลายทาง เพื่อที่จะทำให้เข้ากับจุดประสงค์เฉพาะ ตัวอย่างเช่นในสาขาวิชาคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ คำว่า รูปหลายเหลี่ยม ถูกนำไปใช้และมีการเปลี่ยนแปลงความหมายไปโดยเล็กน้อย ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการบันทึกและจัดการรูปร่างภายในคอมพิวเตอร์มากขึ้น
รูปหลายเหลี่ยม หลายชนิด
การจัดแบ่งประเภท > แบ่งตามจำนวนด้าน

โดยหลักแล้วรูปหลายเหลี่ยมสามารถจัดแบ่งได้โดยจำนวนด้านที่มี ดูได้จากการตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมด้านล่าง
การจัดแบ่งประเภท > ภาวะนูนเว้า

รูปหลายเหลี่ยมอาจแบ่งได้ตามองศาของภาวะนูนเว้า
รูปหลายเหลี่ยมนูน (convex) เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ (โดยไม่สัมผัสกับขอบหรือจุดยอด) จะตัดผ่านเส้นรอบรูปแค่สองครั้ง
รูปหลายเหลี่ยมไม่นูน (non-convex) เส้นตรงที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะผ่านเส้นรอบรูปมากกว่าสองครั้ง
รูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว (simple) เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะไม่เดินทางตัดกันเอง รูปหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว
รูปหลายเหลี่ยมเว้า (concave) เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมไม่นูนและเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว
รูปหลายเหลี่ยมคล้ายดาว (star-shaped) เนื้อที่ทั้งหมดสามารถมองเห็นได้จากจุดภายในจุดเดียว รูปนี้จะต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว อาจเป็นได้ทั้งรูปหลายเหลี่ยมนูนหรือเว้า
รูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง (self-intersecting) เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ จะเดินทางตัดกันเอง Branko Grünbaum เรียกรูปนี้ว่า คอปติก (coptic) ถึงแม้ว่าจะไม่ค่อยมีการใช้ชื่อนี้กันอย่างกว้างขวางนัก และบางครั้งคำว่า เชิงซ้อน (complex) ก็ถูกใช้แทนความหมายที่ตรงข้ามกับ เชิงเดียว แต่ก็อาจก่อให้เกิดความสับสนกับแนวความคิดของ รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน ที่มีอยู่แล้วในระนาบฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนสองมิติ
รูปดาวหลายแฉก (star) เป็นรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเองด้วยวิธีการตัดอย่างสม่ำเสมอ
การจัดแบ่งประเภท > แบ่งตามความสมมาตร

รูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular) มุมทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน
รูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic) จุดยอดทั้งหมดเรียงตัวอยู่บนรูปวงกลมรูปเดียว
isogonal หรือ vertex-transitive จุดยอดทั้งหมดเรียงตัวอยู่ภายในทางโคจรสมมาตร รูปนี้เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่าด้วย
รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) ด้านทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน (รูปหลายเหลี่ยมที่มีตั้งแต่ห้าด้านขึ้นไป สามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าได้ โดยไม่ต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน)
isotoxal หรือ edge-transitive ด้านทั้งหมดเรียงตัวอยู่ภายในทางโคจรสมมาตร รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
รูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular) เป็นทั้งรูปหลายเหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า ส่วนรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่ไม่นูน จะเรียกว่า รูปดาวหลายแฉกปรกติ (regular star polygon)
การจัดแบ่งประเภท > อื่น ๆ

รูปหลายเหลี่ยมเชิงเส้นตรง (rectilinear) ด้านสองด้านบรรจบกันเป็นมุมฉาก นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเป็น 90° หรือไม่ก็ 270°
รูปหลายเหลี่ยมทางเดียว (monotone) กำหนดเส้นตรง L ขึ้นมาเส้นหนึ่ง ทุกเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ L จะตัดกับเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมชนิดนี้ไม่เกินสองครั้ง
สมบัติ

สมมติว่ารูปหลายเหลี่ยมที่กำลังจะกล่าวถึงต่อไปนี้ เป็นรูปในเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยตลอด
สมบัติ > มุม

รูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ไม่ว่าจะปรกติหรือไม่ ตัดตัวเองหรือไม่ จะมีจำนวนเหลี่ยมเท่ากับจำนวนจุดยอด แต่ละเหลี่ยมก็มีมุมอยู่หลายมุม แต่มุมที่สำคัญที่สุดสองชนิดได้แก่
มุมภายใน - ผลบวกของมุมภายในของรูปเชิงเดียว n เหลี่ยม จะรวมเท่ากับ (n − 2) π เรเดียน หรือ (n − 2) 180 องศา ที่เป็นเช่นนี้เพราะรูปเชิงเดียว n เหลี่ยมจะถูกพิจารณาว่าสร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมจำนวน (n − 2) รูป ซึ่งแต่ละรูปมีผลรวมของมุมภายใน π เรเดียน หรือ 180 องศา ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมของรูป n เหลี่ยมปรกติที่เป็นรูปนูน จะมีขนาดเท่ากับ (n − 2) π / n เรเดียน หรือ (n − 2) 180 / n องศา มุมภายในของรูปดาวหลายแฉกปรกติมีการศึกษาเป็นครั้งแรกโดยปัวโซ (Poinsot) ในงานเขียนเรื่องเดียวกันกับที่เขาอธิบายทรงหลายหน้าดาวปรกติ
มุมภายนอก - ลองจินตนาการว่ากำลังเดินอยู่รอบรูปเชิงเดียว n เหลี่ยมที่เขียนอยู่บนพื้น ปริมาณ "การเลี้ยว" ที่จุดยอดก็คือมุมภายนอกที่กวาดไป และเมื่อเดินครบรอบ ก็หมายความว่าได้เดินหมุนรอบตัวครบหนึ่งรอบ ดังนั้นผลรวมของมุมภายนอกจะต้องเป็น 360° แต่สำหรับการเดินรอบรูป n เหลี่ยมโดยทั่วไป ผลรวมของมุมภายนอกสามารถเป็นพหุคูณจำนวนเต็ม d ของ 360° เช่น 720° สำหรับรูปดาวห้าแฉก (pentagram) และ 0° สำหรับรูปวนคล้ายเลขแปด ซึ่ง d นี้เป็นความหนาแน่นหรือความเป็นแฉกของรูปหลายเหลี่ยม ดูเพิ่มที่ ทางโคจร (orbit)
มุมภายนอกเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (supplementary angles) ของมุมภายใน สิ่งนี้ก็ยังเป็นจริงถ้าหากมุมภายในมีขนาดมากกว่า 180° เพราะมุมภายนอกจะมีขนาดเป็นลบ นั่นคือ สมมติให้การเลี้ยวตามเข็มนาฬิกาเป็นบวก และอาจมีบางครั้งที่จะต้องเลี้ยวซ้ายแทนเลี้ยวขวา ซึ่งจะทำให้มุมของการเลี้ยวเป็นปริมาณติดลบ
สมบัติ > พื้นที่และเซนทรอยด์

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือเมเชอร์ในบริเวณสองมิติที่ปิดล้อมโดยเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยม สำหรับรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว (ที่ไม่ตัดตัวเอง) ที่มีจุดยอด n จุด พื้นที่และเซนทรอยด์ของรูปนี้สามารถหาได้จาก
เพื่อที่จะทำให้รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปปิด จุดยอดแรกและจุดยอดสุดท้ายจะต้องเป็นจุดเดียวกัน นั่นคือ  x_{n},y_{n}=x_{0},y_{0} จุดยอดจะต้องเรียงลำดับกันไปตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา ถ้าหากเรียงตามเข็มนาฬิกา พื้นที่จะเป็นจำนวนลบแต่ก็แก้ไขได้ด้วยค่าสัมบูรณ์ สูตรนี้มักจะเรียกกันว่า Surveyor's Formula
สูตรดังกล่าวได้อธิบายไว้โดยไมชเตอร์ (Meister) เมื่อ พ.ศ. 2312 และโดยเกาส์ (Guass) เมื่อ พ.ศ. 2338 ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหลาย ๆ รูป หรืออาจจะมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของกรีน (Green's theorem)
เราสามารถคำนวณพื้นที่ A ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว ถ้าเราทราบความยาวของด้าน  a_{1},a_{2},...,a_{n} และมุมภายนอก  \theta _{1},\theta _{2},...,\theta _{n} โดยใช้สูตรดังนี้ ซึ่งอธิบายไว้โดย Lopshits เมื่อ พ.ศ. 2506
ถ้าหากรูปหลายเหลี่ยมถูกวาดขึ้นบนกริดหรือช่องตารางที่มีระยะเท่ากัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวจุดยอดจะอยู่บนจุดตัดของกริด ทฤษฎีบทของพิก (Pick's theorem) ได้ให้สูตรอย่างง่ายสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม โดยคิดจากจำนวนจุดตัดของกริดที่อยู่ภายในและบนเส้นขอบของรูป
ถ้ารูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวสองรูปมีพื้นที่เท่ากันแล้ว รูปที่หนึ่งจะสามารถตัดแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมชิ้นเล็ก ๆ ซึ่งสามารถประกอบใหม่ให้เป็นรูปที่สองได้ ดังที่กล่าวไว้ในทฤษฎีบทโบลไย-แกร์วีน (Bolyai-Gerwien theorem)
สมบัติ > พื้นที่และเซนทรอยด์ > รูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเองสามารถนิยามด้วยสองแนวทางที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละแนวทางก็ให้ผลลัพธ์ต่างกันด้วย
เมื่อใช้วิธีของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว เราจะพบว่ามีบริเวณบางส่วนภายในรูปหลายเหลี่ยมที่อาจมีการทับซ้อนมากกว่าหนึ่งครั้ง พื้นที่ของบริเวณนี้จะเพิ่มขึ้นเป็นเท่าตัวตามการทับซ้อน จำนวนการทับซ้อนนี้เรียกว่า ความหนาแน่น ของบริเวณ ตัวอย่างเช่น บริเวณตรงกลางของรูปดาวห้าแฉกเป็นรูปห้าเหลี่ยมและมีความหนาแน่นเท่ากับ 2 หรือบริเวณรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากรูปสี่เหลี่ยมไขว้ (คล้ายเลข 8) จะมีความหนาแน่นเป็นเครื่องหมายตรงข้ามกัน ซึ่งอาจทำให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมโดยรวมทั้งหมดเป็นศูนย์ก็ได้
เมื่อพิจารณาบริเวณที่ถูกปิดเป็นเซตของจุด เราสามารถหาพื้นที่ของบริเวณเหล่านี้ได้ ซึ่งจะสมนัยกับพื้นที่บนระนาบที่ถูกล้อมรอบโดยรูปหลายเหลี่ยม หรือสมนัยกับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวที่มีขอบเขตเดียวกันกับรูปหลายเหลี่ยมตัดตัวเอง ในกรณีเช่นนี้ รูปสี่เหลี่ยมไขว้ก็เป็นเพียงแค่รูปสามเหลี่ยมธรรมดาสองรูป
สมบัติ > องศาเสรี

รูป n เหลี่ยมมีองศาเสรี (degree of freedom) เท่ากับ 2n ซึ่งรวมทั้ง 2 สำหรับตำแหน่ง 1 สำหรับแนวการหมุน และ 1 สำหรับขนาดทุกขนาด ดังนั้นรูปร่างทั่วไปจะมีองศาเสรีเท่ากับ 2n − 4 ในกรณีของสมมาตรการสะท้อน จำนวนหลังจะลดลงเหลือ n − 2
กำหนดให้ k ≥ 2 สำหรับรูป nk เหลี่ยมที่มีสมมาตรแบบหมุน k ทบ ( C_{k}) รูปนี้จะมีองศาเสรีเท่ากับ 2n − 2 ถ้ารวมสมมาตรการสะท้อน ( D_{k}) เข้าไปอีก จะเท่ากับ n − 1
การวางนัยทั่วไป

โดยความรู้สึกทั่วไป รูปหลายเหลี่ยมหมายถึงลำดับหรือวงจรที่สลับไปมาโดยไม่สิ้นสุดระหว่างส่วนของเส้นตรง (ด้าน) กับมุม (เหลี่ยม) เหตุผลที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมไม่สิ้นสุดก็เพราะลำดับโครงสร้างนั้นวนรอบกลับมาหาจุดเดิมตลอดเวลา ในขณะที่รูปอนันต์เหลี่ยม (apeirogon) ไม่มีขอบเขต เพราะลำดับโครงสร้างของมันเดินทางต่อไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีจุดปลาย การทำความเข้าใจในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ได้อธิบายลำดับโครงสร้างนี้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบ "นามธรรม" ซึ่งเป็นเซตอันดับบางส่วนของสมาชิก เนื้อที่ภายในของรูปหลายเหลี่ยมก็คือสมาชิกอันหนึ่ง พอลิโทปว่าง (null polytope) ก็เป็นสมาชิกอันหนึ่งเช่นเดียวกัน (ด้วยเหตุผลทางเทคนิค)
รูปหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิตจึงทำให้เข้าใจว่า เป็นการทำรูปหลายเหลี่ยมนามธรรมให้เป็น "รูปธรรม" ซึ่งสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการจับคู่ของสมาชิกจากนามธรรมไปยังเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยมเช่นนี้จึงไม่จำเป็นว่าจะต้องวางอยู่บนระนาบ หรือมีด้านที่ตรง หรือเป็นพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ และสมาชิกที่ต่างกันก็อาจซ้อนเกยกันหรือแม้แต่ทับกันจนสนิท ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวของทรงกลม ซึ่งด้านของมันเป็นส่วนโค้งของเส้นวงกลมใหญ่ ดังนั้นเมื่อเราพูดถึงเรื่องรูปหลายเหลี่ยม เราจะต้องอธิบายอย่างระมัดระวังว่าเรากำลังพูดถึงชนิดใดอยู่
รูปสองเหลี่ยม เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดที่มีสองด้านและสองมุม เราสามารถกำหนดจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันบนทรงกลม (คล้ายขั้วเหนือกับขั้วใต้) เชื่อมถึงกันด้วยครึ่งหนึ่งของเส้นวงกลมใหญ่ และเพิ่มอีกเส้นหนึ่งด้วยมุมที่ต่างกันก็จะได้รูปสองเหลี่ยม การเติมเต็มพื้นผิวทรงกลมด้วยรูปสองเหลี่ยมจะทำให้เกิดทรงหลายหน้าที่เรียกว่า hosohedron แต่ถ้าหากเดินทางรอบเส้นวงกลมใหญ่จนครบรอบ ซึ่งจะเหลือจุดยอดเพียงจุดเดียวและมีด้านเดียว กลายเป็นรูปหนึ่งเหลี่ยม ถึงแม้ว่าผู้แต่งตำราหลายท่านจะไม่ถือว่ากรณีเช่นนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์
การวางนัยแบบอื่นของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้สามารถเกิดขึ้นได้บนพื้นผิวอื่น ๆ แต่ในระนาบแบบยุคลิดที่ราบแบน เนื้อที่ของรูปหลายเหลี่ยมไม่สามารถเกิดขึ้นเป็นรูปธรรมได้โดยสามัญสำนึก เราจึงเรียกกรณีเช่นนี้ว่าเป็นภาวะลดรูป (degenerate)
เนื่องจากแนวความคิดที่ใช้ในการวางนัยทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยมมีหลากหลายทาง ตัวอย่างต่อไปนี้จะเป็นกรณีลดรูป (หรือกรณีพิเศษ) บางส่วนของรูปหลายเหลี่ยม
รูปสองเหลี่ยม มีมุมภายใน 0° บนระนาบแบบยุคลิด ส่วนบนพื้นผิวทรงกลมก็ดังที่กล่าวไว้แล้วด้านบน
มุมภายใน 180° บนระนาบแบบยุคลิดคือรูปอนันต์เหลี่ยม ส่วนบนพื้นผิวทรงกลมคือทรงสองหน้า
รูปหลายเหลี่ยมเบ้ (skew) คือรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่วางตัวอยู่ในระนาบแบน แต่ซิกแซกในปริภูมิสามมิติหรือสูงกว่า รูปหลายเหลี่ยมเพทรี (Petrie polygon) ของทรงหลายหน้าปรกติก็เป็นตัวอย่างดั้งเดิมอย่างหนึ่ง
รูปหลายเหลี่ยมบนทรงกลม (spherical) คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านและมุมอยู่บนพื้นผิวทรงกลม
รูปอนันต์เหลี่ยม ลำดับของด้านและมุมเป็นอนันต์ ซึ่งไม่เป็นรูปปิด แต่ก็ไม่มีจุดปลายเพราะว่ามันขยายตัวไปถึงอนันต์
รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน (complex) เป็นรูปร่างที่คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยมธรรมดา แต่วางตัวอยู่บนระนาบฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน
ประวัติ

รูปหลายเหลี่ยมเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ ชาวกรีกโบราณรู้จักรูปหลายเหลี่ยมปรกติซึ่งอธิบายไว้โดยนักคณิตศาสตร์หลายท่าน รูปดาวห้าแฉก ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติไม่นูน (รูปดาวหลายแฉก) ปรากฏเป็นครั้งแรกบนแจกันของ Aristophonus ในเมือง Caere ซึ่งระบุว่าสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาล สำหรับรูปหลายเหลี่ยมไม่นูน ยังไม่มีการศึกษาอย่างเป็นระบบจนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 14 โดย Thomas Bredwardine
ในปี ค.ศ. 1952 Shephard ได้ขยายแนวความคิดของรูปหลายเหลี่ยมไปบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน ที่ซึ่งมิติส่วนจริงแต่ละส่วนประกอบกับมิติส่วนจินตภาพ เพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อน
รูปหลายเหลี่ยมในธรรมชาติ

รูปหลายเหลี่ยมจำนวนมากสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในโลกของธรณีวิทยา ผลึกของแร่ธาตุต่าง ๆ จะมีผิวหน้าหรือหน้าตัดที่เป็นรูปหลายเหลี่ยม โครงสร้างผลึกแบบ quasicrystal ก็สามารถมีหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปรกติได้ หรืออีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมื่อหินหลอมเหลวเย็นตัวลงในพื้นที่ที่ถูกจำกัดอย่างแน่นหนา จะกลายเป็นหินบะซอลต์แท่งหกเหลี่ยม ดังเช่นที่ Giant's Causeway ในไอร์แลนด์ หรือที่ Devil's Postpile ที่รัฐแคลิฟอร์เนีย
รูปหลายเหลี่ยมก็พบได้ในอาณาจักรสัตว์ เช่นรังผึ้งแต่ละช่องเป็นรูปหกเหลี่ยม ใช้สำหรับการเก็บน้ำผึ้งและเกสรดอกไม้ และเป็นสถานที่เจริญเติบโตของตัวอ่อน นอกจากนี้ก็ยังมีสัตว์ที่มีลักษณะใกล้เคียงกับรูปหลายเหลี่ยมปรกติ หรืออย่างน้อยก็มีความสมมาตรเหมือน ๆ กัน สัตว์ในไฟลัมเอไคโนดอร์มาทา เช่นดาวทะเลจะมีลักษณะเป็นรูปห้าเหลี่ยมหรือรูปดาวห้าแฉก หรือพบได้ยากกว่าคือรูปเจ็ดเหลี่ยม ส่วนพวกเม่นทะเลบางครั้งก็ปรากฏความสมมาตรให้เห็น ถึงแม้ว่าสัตว์ในไฟลัมเอไคโนดอร์มาทาไม่ได้มีพฤติกรรมที่สมมาตรตามรัศมีเหมือนพวกแมงกะพรุน
ความสมมาตรตามรัศมี (หรือความสมมาตรแบบอื่น) ก็สามารถสังเกตได้จากอาณาจักรพืช โดยเฉพาะดอกไม้ เมล็ด และผลไม้ รูปแบบทั่วไปมักจะสมมาตรแบบห้าเหลี่ยม ซึ่งเห็นได้ชัดจากมะเฟือง ผลไม้ที่มีรสเปรี้ยวน้อยในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้ เมื่อผ่าตามขวางจะได้รูปดาวห้าแฉก
ชาวคณิตศาสตร์สมัยก่อนที่ทำการคำนวณโดยใช้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน ได้ค้นพบว่าถ้าหากเทหวัตถุสองชนิด (เช่นดวงอาทิตย์กับโลก) โคจรรอบกันแล้ว จะมีจุดจุดหนึ่งที่แน่นอนในอวกาศ ที่ซึ่งเทหวัตถุขนาดเล็ก (อย่างเช่นดาวเคราะห์น้อยหรือสถานีอวกาศ) สามารถคงอยู่ในแนวโคจรที่เสถียร จุดนี้เรียกว่าจุดลากรานจ์ (Lagrangian points) ระหว่างดวงอาทิตย์กับโลกนั้นมีจุดลากรานจ์จำนวน 5 จุด ซึ่งมี 2 จุดในแนวโคจรของโลกที่ทำมุม 60 องศากับดวงอาทิตย์และโลกพอดี นั่นคือเมื่อเชื่อมจุดศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ โลก และจุดหนึ่งในสองจุดนั้น จะได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นักดาราศาสตร์ได้ค้นพบแล้วว่ามีดาวเคราะห์น้อยจำนวนหนึ่งอยู่ที่จุดเหล่านี้ แต่การทำให้สถานีอวกาศรักษาตำแหน่งอยู่ที่จุดลากรานจ์ในทางปฏิบัติยังเป็นข้อถกเถียงกันอยู่ ด้วยเหตุผลที่ว่า ถึงแม้ว่ามันจะไม่จำเป็นที่จะต้องปรับแต่งเส้นทาง มันก็อาจจะชนเข้ากับดาวเคราะห์น้อยที่มีอยู่ ณ ตำแหน่งนั้นโดยบ่อยครั้ง แต่ปัจจุบันนี้ก็มีดาวเทียมและเครื่องสังเกตการณ์อวกาศโคจรอยู่บนจุดลากรานจ์อื่นที่เสถียรน้อยกว่า
บรรณานุกรม

Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461-488. (pdf เก็บถาวร 2016-08-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน)
การตั้งชื่อจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมสองมิติ
Giant's Causeway ในไอร์แลนด์
มะเฟือง ผลไม้ในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้
เขตรักษาพันธุ์สัตว์ป่าพนมซำเก๊าะ

| เขตรักษาพันธุ์สัตว์ป่าพนมซำเก๊าะ |
| --- | --- |
ไอยูซีเอ็นประเภท 4 (เขตบริหารสิ่งแวดล้อม)
ที่ตั้งของเขตรักษาพันธุ์สัตว์ป่าพนมซำเก๊าะ
ที่ตั้ง: หลัก ๆ ในจังหวัดโพธิสัตว์ ประเทศกัมพูชา
เมืองใกล้สุด: เมืองโพธิสัตว์
พิกัด: 12°16′17″N 102°58′36″E﻿ / ﻿12.2713°N 102.9767°E﻿ / 12.2713; 102.9767
พื้นที่: 3,307.56 ตารางกิโลเมตร (1,277.06 ตารางไมล์)
จัดตั้ง: พ.ศ. 2536
หน่วยราชการ: กระทรวงสิ่งแวดล้อม
เขตรักษาพันธุ์สัตว์ป่าพนมซำเก๊าะ (เขมร: ដែនជម្រកសត្វព្រៃភ្នំសំកុស) เป็นเขตรักษาพันธุ์สัตว์ป่าทางตะวันตกของกัมพูชา ติดกับประเทศไทย เขตรักษาพันธุ์แห่งนี้ก่อตั้งขึ้นใน พ.ศ. 2536 และครอบคลุมพื้นที่ 3,307.56 ตารางกิโลเมตร (1,277.06 ตารางไมล์) นอกจากนี้ยังได้รับการกำหนดให้เป็นพื้นที่สำคัญเพื่อการอนุรักษ์นก (IBA)
เขตรักษาพันธุ์สัตว์ป่าพนมซำเก๊าะตั้งอยู่ในทิวเขาบรรทัด (พนมกระวาน) พื้นที่ดังกล่าวประกอบด้วยภูเขาที่เป็นป่าเป็นส่วนใหญ่ แต่มีแหล่งที่อยู่อาศัยและประเภทป่าที่แตกต่างกันมากมาย และภูมิประเทศมียอดเขาที่แตกต่างกันสามยอด ได้แก่ พนมซำเก๊าะ (1,717 เมตร (5,633 ฟุต) ซึ่งเป็นยอดเขาที่สูงเป็นอันดับสองของกัมพูชา) พนมขมาด (1,496 เมตร (4,908 ฟุต)) และพนมตุมปอร์ (1,250 เมตร (4,100 ฟุต))
ประวัติ

ในอดีต พื้นที่เขตรักษาพันธุ์แห่งนี้เคยเป็นที่อยู่อาศัยของกลุ่มชาติพันธุ์ปอร์ ซึ่งเป็นที่มาของชื่อกลุ่มชนปอร์ที่ครอบคลุมถึงกลุ่มชาติพันธุ์หลายกลุ่ม ในกัมพูชา กลุ่มชาติพันธุ์ที่อาศัยอยู่ในที่สูงของประเทศนี้เรียกรวมกันว่าเขมรเลอ (Khmer Loeu)