stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
คีตโลกา

| คีตโลกา |
| --- | --- |
ประเภท: ละครโทรทัศน์
สร้างโดย: บริษัท มีเดีย สตูดิโอ จำกัด
เขียนโดย: รอมแพง
แสดงนำ: วงศกร ปรมัตถากร  อัษฎาพร สิริวัฒน์ธนกุล ลิขิต บุตรพรม   อรลีฬห์ โสตถิวันวงศ์   เจจินตัย อันติมานนท์
ผู้ประพันธ์ดนตรีแก่นเรื่อง: เพลง หนึ่งในไม่กี่คน ร้องโดย อัษฎาพร สิริวัฒน์ธนกุล เพลง ไม่รู้จักฉัน ไม่รู้จักเธอ ร้องโดย วงศกร ปรมัตถากร, อัษฎาพร สิริวัฒน์ธนกุล เพลง ปฏิหาริย์ที่รอคอย ร้องโดย ลิขิต บุตรพรม
ภาษาต้นฉบับ: ภาษาไทย
จำนวนตอน: 20 ตอน
การผลิต
ผู้อำนวยการผลิต: ปัญญา ชุ่มฤทธิ์
สถานที่ถ่ายทำ:  ประเทศไทย
ความยาวตอน: 130 นาที/ตอน
ออกอากาศ
เครือข่าย: สถานีโทรทัศน์สีกองทัพบกช่อง 7
ออกอากาศ: 29 สิงหาคม พ.ศ. 2557 – 10 ตุลาคม พ.ศ. 2557
คีตโลกา เป็นละครโทรทัศน์ไทย สร้างครั้งแรกปี พ.ศ. 2557 นำแสดงโดย วงศกร ปรมัตถากร, อัษฎาพร สิริวัฒน์ธนกุล บทประพันธ์ รอมแพง บทโทรทัศน์ แกมบรรจง ผลิตโดย บริษัท มีเดีย สตูดิโอ จำกัด ออกอากาศทางสถานีโทรทัศน์สีกองทัพบกช่อง 7 ผู้กำกับ : ปัญญา ชุ่มฤทธิ์
เรื่องย่อ

คีตโลกา เป็นเรื่องราวของ อัญมา คุณหนูเอาแต่ใจลูกสาวคนเดียวของ อรรณพ และ ภรณี ได้รู้ความจริงอันแสนเจ็บปวดว่า จิรายุ คู่หมั้นของเธอซึ่งเป็นญาติกับ สุคนธรส เพื่อนรักของอัญมาเป็นเกย์และแอบมีสัมพันธ์ลึกซึ้งกับเลขาของเธอเองเธอจึงตัดสินใจกระโดดสะพานฆ่าตัวตายแต่ระหว่างอยู่ในน้ำเธอกลับไม่อยากตายจึงหมดสติไปและเมื่อฟื้นขึ้นมาเธอพบว่าเธออยู่ในร่างของ ไอ้อัญ เด็กส่งยาของนายวินิจหรือ พี่บัง เจ้าของค่ายมวยและเป็นลูกสาวของ อุบล แม่ค้าขายส้มตำผู้สูญเสีย รัตน์ เรืองเดช สามีที่ตายเพราะถูกยิงระหว่างเข้าไปช่วยเด็กคนหนึ่ง
ทางด้านผู้กอง ภควัต ตำรวจหนุ่มที่กำลังสืบคดีเกี่ยวกับยาเสพติดได้พบกับอัญมาในร่างของไอ้อัญจึงได้ชักชวนให้มาเป็นสายให้กับตำรวจแต่ระหว่างเป็นสายให้กับผู้กองภควัตอัญมาก็ได้รู้ความจริงว่ารัตน์พ่อของไอ้อัญคือคนที่เข้าไปช่วยชีวิตเด็กในวันนั้นและเด็กคนนั้นก็คือผู้กองภควัตนั่นเอง
อัญมาจึงตัดสินใจกระโดดน้ำอีกครั้งจนกลับมาอยู่ในโลกของความจริงและเริ่มต้นสืบเรื่องราวของเธอจนความจริงเปิดเผยว่าเธอไม่ใช่ลูกสาวแท้ๆของอรรณพและภรณีแต่เป็นลูกสาวของอุบลที่นำมาทิ้งไว้หน้าบ้านของอรรณพหลังจากรัตน์สามีของอุบลถูกยิงตาย
ขณะเดียวกัน อธิคม ลูกชายของนายวินิจก็พยายามจีบอัญมาส่วนผู้กองภควัตก็ถูก  สารวัตรกฤษณ์ เพื่อนร่วมทีมหักหลังนำความลับไปบอกนายวินิจทางด้านอัญมาก็ถูกสุคนธรสหักหลัง
เช่นเดียวกันเธอจึงตัดสินใจกระโดดน้ำกลับไปอยู่ในร่างของไอ้อัญและได้ร่วมมือกับผู้กองภควัตในการเกลี้ยกล่อมสารวัตรกฤษณ์จนเกือบจะกลับตัวเป็นคนดีได้สารวัตรกฤษณ์ก็ถูกนายวินิจยิงตายเสียก่อนและทำให้ผู้กองภควัตได้รู้ความจริงว่าผู้ที่ฆ่าพ่อแม่ของผู้กองภควัตก็คือนายวินิจนั่นเอง
ทั้งคู่จึงได้ร่วมมือกันกวาดล้างแก๊งค้ายาของนายวินิจ
และอธิคมเป็นผลสำเร็จ
นักแสดง

| ตัวละคร | นำแสดงโดย |
| --- | --- |
พันตำรวจตรีภควัต: วงศกร ปรมัตถากร
อัญมา/อัญ: อัษฎาพร สิริวัฒน์ธนกุล
อธิคม: ลิขิต บุตรพรม
สุคนธรส: อรลีฬห์ โสตถิวันวงศ์
พันตำรวจโทกฤษณ์: เจจินตัย อันติมานนท์
นายวินิจ / พี่บัง: ภูธฤทธิ์ พรหมบันดาล
อุบล: ปิยะดา เพ็ญจินดา
อรรณพ: วิวัฒน์ ผสมทรัพย์
ภรณี: รัชนี ศิระเลิศ
รัฐมนตรีอภิกานต์: วสันต์ โพธิพิมพานนท์
หม่อมราชวงศ์หญิงวรจันทร์/คุณหญิงวรจันทร์: ดวงดาว จารุจินดา
ขวัญอนงค์: กัญจน์ณิชา กิตติพรภาณุวงศ์
สัญชัย: กษาปณ์ จำปาดิบ
เจ๊ว่าน: ชนานา นุตาคม
รัตน์ เรืองเดช: ธิตินันท์ สุวรรณศักดิ์
เก้า: ณัฏฐพล อิศรางกูร
จริยา: วิมลรัตน์ บาลี
นวย: ธีระธันญ์ ขจรชัยเดชาวัฒน์
จิรายุ: ธนัฑสอัศม์ ชื่นพันธุ์
จ่าสิบตำรวจเดชเดชา: ต๋อง ชวนชื่น
พลตำรวจตรีจักรภพ: กฤตย์ อัทธเสรี
พันตำรวจโทประพจน์: ธนา สินประสาธน์
รางวัล

รางวัลเพชรละคร ครั้งที่ 1 ประจำปี 2557
เพขรบทโทรทัศน์ (1 ใน 5 รายชื่อเข้าชิง)
เพชรนักแสดงสมทบชาย (1 ใน 5 รายชื่อเข้าชิง)
ลิขิต บุตรพรม
เพขรผู้กำกับการแสดง (1 ใน 5 รายชื่อเข้าชิง)
เพขรละคร (1 ใน 5 รายชื่อเข้าชิง)
รางวัลนาฏราช ครั้งที่ 6 ประจำปี 2557
(เข้าชิงรางวัล) ประเภทละครโทรทัศน์ สาขาลำดับภาพยอดเยี่ยม
แหล่งข้อมูลอื่น

เรื่องย่อละคร คีตโลกา : Drama - Manager Online เก็บถาวร 2016-03-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
เรื่องย่อละคร  คีตโลกา  : Gossipstar เก็บถาวร 2014-09-20 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน MThai
คีตโลกา ที่สยามโซน
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ระวังสับสนกับ การอนุมานแบบอุปนัย หรือ การให้เหตุผลแบบอุปนัย
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สามารถถูกแสดงให้เห็นอย่างอรูปนัยได้ด้วยการเทียบกับผลกระทบลูกโซ่แบบโดมิโนที่ล้มทับกัน
การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (อังกฤษ: Mathematical induction) เป็นเทคนิคการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ที่ใช้พิสูจน์ว่าข้อความ P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจำนวนธรรมชาติ n = 0, 1, 2, 3, . . .  นั่นคือกรณีต่าง ๆ P(0), P(1), P(2), P(3), . . . . ของข้อความดังกล่าวที่มีจำนวนมากไม่สิ้นสุดเป็นจริงทั้งหมด การอุปนัยเริ่มจากการพิสูจน์กรณีที่ง่ายก่อน แล้วพิสูจน์ว่าหากข้อความเป็นจริงในกรณีใดแล้ว กรณีถัดไปจะเป็นจริงด้วย เราสามารถใช้คำอุปมาเพื่ออธิบายการอุปนัยอย่างคร่าว โดยเทียบกับโดมิโนที่ล้มตามกันหรือการปีนบันได:
"การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่าเราสามารถปีนบันไดสูงเท่าไหร่ก็ได้ โดยพิสูจน์ว่าสามารถปีนขึ้นขั้นแรกได้ และพิสูจน์ว่าจากแต่ละขั้นสามารถปีนขึ้นขั้นต่อไปได้"
การพิสูจน์ด้วยการอุปนัย (proof by induction) ประกอบไปด้วยกรณีสองกรณี กรณีแรกคือ กรณีฐาน (base case หรือ basis) เป็นการพิสูจน์สำหรับข้อความที่ n = 0 โดยไม่ต้องรู้อะไรเกี่ยวกับกรณีอื่น ๆ เลย กรณีที่สองคือ ขั้นตอนอุปนัย (induction step) เป็นการพิสูจน์ว่าถ้าข้อความเป็นจริงสำหรับ n = k ใด ๆ แล้ว มันก็ต้องเป็นจริงสำหรับกรณี n  = k + 1 ถัดไปด้วย ขั้นตอนสองขั้นตอนนี้แสดงให้เห็นว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน กรณีฐานไม่จำเป็นต้องเริ่มด้วย n = 0 แต่มักจะเริ่มด้วย n = 1 และก็เป็นไปได้ที่จะใช้จำนวนธรรมชาติ n = N คงที่ใด ๆ เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ≥ N ทุกตัว
วิธีการนี้สามารถนำมาขยายใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับโครงสร้างรากฐานดี (well-founded) ที่ทั่วไปมากขึ้นเช่นต้นไม้ (tree (set theory)) การวางนัยทั่วไปนี้ซึ่งมีชื่อว่าการอุปนัยเชิงโครงสร้าง (structural induction) ถูกใช้ในคณิตตรรกศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ในความหมายแบบขยายมีความใกล้เคียงกับการเรียกซ้ำ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นกฏการอนุมาน (rule of inference) ที่ถูกใช้ในการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และในบางรูปแบบก็เป็นรากฐานของการพิสูจน์ความถูกต้องของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (formal verification) ทั้งหมด
แม้ชื่อจะคล้ายกันแต่ไม่ควรสับสนการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์กับการให้เหตุผลแบบอุปนัยที่ใช้ในปรัชญา (ดูปัญหาของการอุปนัย (Problem of induction)) ซึ่งเป็นการสรุปผลที่อาจเป็นไปได้จากตัวอย่างจำนวนมาก การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ตรวจสอบกรณีจำนวนมากเป็นอนันต์เพื่อพิสูจน์ข้อความทั่วไปข้อหนึ่ง แต่ทำเช่นนั้นด้วยการให้เหตุผลแบบนิรนัยจำนวนจำกัดข้อความซึ่งใช้ตัวแปร n แทนค่าจำนวนได้มากเป็นอนันต์ ผลที่ได้เป็นบทพิสูจน์ที่รัดกุม และไม่ใช่ว่าข้อความนั้นน่าจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง
ประวัติ

ในปี 370 ก่อนคริสต์ศักราช พาร์เมนิเดสของเพลโตมีตัวอย่างแรก ๆ ของการพิสูจน์แบบอุปนัยโดยปริยาย การนำการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มาใช้อย่างชัดเจนเป็นครั้งแรกที่สุดสามารถพบได้ในการพิสูจน์ของยุคลิดที่บอกว่ามีจำนวนเฉพาะมากเป็นอนันต์ เทคนิคการทำซ้ำซึ่งตรงข้ามกันใช้การนับลงแทนการนับเพิ่มขึ้นที่ละหนึ่งและสามารถพบได้ในปฏิทรรศน์กองทราย (sorites paradox) ซึ่งมีการอ้างเหตุผลว่าหากทราย 1,000,000 เม็ดก่อตัวเป็นกองทรายและการเอาทรายออกเม็ดหนึ่งกองนั้นก็ยังถูกนับได้ว่าเป็นกองทรายแล้ว ทรายเพียงเม็ดเดียว (หรือไม่มีสักเม็ดเลย) ก็เป็นกองทรายเช่นเดิม
การพิสูจน์โดยปริยายด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แรก ๆ ในประเทศอินเดียปรากฏอยู่ใน "จักรวาลวิธี" (Chakravala method) ของภาสคาราที่ 2 (Bhāskara II) และใน อัลฟะครี (al-Fakhri) ซึ่งถูกเขียนขึ้นในประมาณปี ค.ศ. 1000 โดยอัลกะระญี (al-Karaji) ซึ่งเขานำมาประยุกต์ใช้กับอนุกรมเลขคณิตเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททวินามและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมปัสกาล
เกร์โซนิเดส (Gersonides) (ค.ศ. 1288-1344) เป็นผู้ใช้การอุปนัยอย่างเคร่งครัดเป็นครั้งแรก แบลซ ปัสกาล บัญญัติหลักของการอุปนัยอย่างชัดแจ้งเป็นครั้งแรกใน Traité du triangle arithmétique (ค.ศ. 1665) ชาวฝรั่งเศสอีกคนหนึ่งชื่อ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา นำหลักการที่เกี่ยวข้องมาใช้: การพิสูจน์อ้อมด้วยการลดหลั่นอนันต์ (Proof by infinite descent)
สมมติฐานการอุปนัยนี้ยังถูกนำมาใช้โดย ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) และก็กลายเป็นที่รู้จักตั้งแต่นั้นมา การปฏิบัติต่อหลักการนี้อย่างรูปนัยแบบสมัยใหม่มีขึ้นในคริสตศตวรรษที่ 19 โดย จอร์จ บูล ออกัสตัส เดอ มอร์แกน (Augustus de Morgan), ชารลส์ แซนเดอรส์ เพิร์ซ (Charles Sanders Peirce),
จูเซ็ปเป เปอาโน (Giuseppe Peano) และ ริชาร์ด เดเดคินด์ (Richard Dedekind)
คำบรรยาย

รูปแบบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ง่ายและพบเจอได้มากที่สุดอนุมานว่าข้อความใด ๆ ที่มีเกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติ  n (นั้นคือจำนวนเต็ม  n\geq 0 หรือ 1) เป็นจริงสำหรับค่า  n ใด ๆ การพิสูจน์ประกอบด้วยสองขั้นตอนคือ:
กรณีฐาน หรือ กรณีต้น: พิสูจน์ว่าข้อความเป็นจริงสำหรับค่า 0 หรือ 1
ขั้นตอนอุปนัย หรือ กรณีขั้นตอน: พิสูจน์ว่าสำหรับทุกค่า  n หากข้อความเป็นจริงสำหรับ  n แล้วข้อความจะเป็นจริงสำหรับ  n+1 ด้วย หรือพูดอีกแบบคือให้สมมุติว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ  n สักตัว แล้วพิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ  n+1
สมมติฐานในขั้นตอนอุปนัยที่สมมติว่าข้อความเป็นจริงกับค่า  n ค่าหนึ่งเรียกว่า สมมติฐานอุปนัย ต้องมีการสมุมติสมมติฐานอุปนัยสำหรับค่า  n และใช้สมมติฐานนี้เพื่อพิสูจน์ว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ  n+1 เพื่อพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัย
ผู้ที่นิยมนิยามของจำนวนธรรมชาติซึ่งเริ่มจาก 0 จะใช้จำนวนนี้ในกรณีฐาน ผู้ที่นิยมนิยามของจำนวนธรรมชาติซึ่งเริ่มจาก 1 จะใช้จำนวนนี้แทน
ตัวอย่าง > ผลบวกของจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องตามลำดับ

การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สามารถใช้พิสูจน์ข้อความ  P(n) ดังต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ  n ได้
นี่เป็นสูตรทั่วไปสำหรับผลบวกของจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ  n ซึ่งประกอบไปด้วยข้อความที่มีจำนวนมากเป็นอนันต์:  0={\tfrac {(0)(0+1)}{2}},   0+1={\tfrac {(1)(1+1)}{2}},   0+1+2={\tfrac {(2)(2+1)}{2}}, ฯลฯ
ประพจน์  สำหรับ  n\in \mathbb {N}  ใด ๆ,   0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}}
การพิสูจน์  ให้ P(n) เป็นข้อความ  0+1+2+\cdots +n={\tfrac {n(n+1)}{2}} เราจะพิสูจน์โดยการอุปนัยบน  n
กรณีฐาน: แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นจริงกับจำนวนธรรมชาติที่น้อยทีสุด n = 0
P(0) เป็นจริงอย่างชัดเจน:   0={\tfrac {0(0+1)}{2}}
ขั้นตอนอุปนัย: แสดงให้เห็นว่าสำหรับค่า k ≥ 0 ใด ๆ หาก P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จะเป็นจริงด้วย
สมมุติสมมติฐานอุปนัยว่าสำหรับค่า k ค่าหนึ่ง ให้ n = k เป็นจริง นั่นคือหมายความว่า P(k) เป็นจริง:
0+1+\cdots +k\ =\ {\frac {k(k{+}1)}{2}}.
ดังนั้น:
ฝั่งขวาสามารถจัดรูปด้วยวิธีการทางพีชคณิตได้เป็น:
ฝั่งซ้ายมือสุดและฝั่งขวาสุดเท่ากันตรงกลาง เรานิรนัยได้ว่า:
0+1+2+\cdots +k+(k{+}1)\ =\ {\frac {(k{+}1)((k{+}1)+1)}{2}}.
นั่นคือข้อความว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย เป็นการแสดงขั้นตอนอุปนัย
ข้อสรุป: เนื่องจากทั้งกรณีฐานและขั้นตอนอุปนัยถูกพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริง ข้อความ P(n) จึงเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ n ด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ∎
ตัวอย่าง > อสมการตรีโกณมิติ

อสมการมักถูกพิสูจน์ด้วยการอุปนัย เราจะพิสูจน์ว่า  |\!\sin nx|\leq n|\!\sin x| สำหรับจำนวนจริง  x และจำนวนธรรมชาติ  n ใด ๆ
แวบแรกที่มอง รูปแบบของสมการที่ทั่วไปกว่า  |\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x| สำหรับจำนวนจริง  n,x ใด ๆ อาจดูเหมือนว่าสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องอุปนัย แต่กรณีที่ 



n
=


1
2


,

x
=
π


{\textstyle n={\frac {1}{2}},\,x=\pi }

 แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้สามารถเป็นเท็จได้สำหรับค่า  n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ทำให้เราต้องพิจารณาข้อความสำหรับจำนวน  n ที่เป็นจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะและการอุปนัยเป็นเครื่องมือที่พร้อมนำมาใช้ที่สุด
ประพจน์.  สำหรับค่า  x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}  ใด ๆ,   |\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|.
การพิสูจน์  กำหนดจำนวนจริง  x ค่าใด ๆ ค่าหนึ่ง, และให้  P(n) เป็นข้อความ  |\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|. และเราพิสูจน์โดยการอุปนัยกับ  n.
กรณีฐาน: การคำนวณ  |\!\sin 0x|=0\leq 0=0\,|\!\sin x| พิสูจน์ว่า  P(0) เป็นจริง.
ขั้นตอนอุปนัย: เราจะแสดงว่า  P(k)\implies P(k{+}1) สำหรับจำนวนธรรมชาติ  k ใด ๆ.  สมมุติสมมติฐานอุปนัยว่าสำหรับค่า  n=k\geq 0 กรณีของ  P(k) จะเป็นจริง เรานิรนัยโดยใช้สูตรผลบวกของมุมและอสมการอิงรูปสามเหลี่ยมได้:
อสมการระหว่างฝั่งซ้ายและฝั่งขวาแสดงให้เห็นว่า  P(k{+}1) เป็นจริง ขั้นตอนอุปนัยจึงเสร็จสมบูรณ์
ข้อสรุป: ประพจน์  P(n) เป็นจริงสำหรับเลขจำนวนธรรมชาติ  n ทุกค่า ∎
รูปแบบอื่น

ในทางปฏิบัติ การพิสูจน์โดยการอุปนัยมักมีแบบแผนที่ต่างกันซึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของคุณสมบัติที่เราต้องการจะพิสูจน์ รูปแบบอื่น ๆ ของการอุปนัยทุกรูปแบบเป็นกรณีพิเศษของการอุปนัยเชิงอนันต์ ดูด้านล่าง
รูปแบบอื่น > ฐานของการอุปนัยนอกเหนือจาก 0 หรือ 1

หากเราไม่ประสงค์จะพิสูจน์ข้อความหนึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน แต่ต้องการพิสูจน์เพียงสำหรับจำนวน n ทุกจำนวนที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่า b เท่านั้นแล้ว การพิสูจน์ด้วยการอุปนัยจะประกอบด้วย:
การแสดงให้เห็นว่าข้อความเป็นจริงเมื่อ  n=b
การแสดงให้เห็นว่าหากข้อความเป็นจริงสำหรับค่า 



n
≥
b


{\textstyle n\geq b}

 ค่าหนึ่งแล้ว ข้อความเดียวกันนี้ก็จะเป็นจริงสำหรับค่า  n+1 ด้วย
เราสามารถนำวิธีนี้มาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่า 




2

n


≥
n
+
5


{\textstyle 2^{n}\geq n+5}

 สำหรับ  n\geq 3
เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อความ  P(n) ข้อความหนึ่งเป็นจริงสำหรับค่า  n\geq 1 หรือแม้แต่สำหรับค่า  n\geq -5 การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์รูปแบบนี้ความจริงแล้วเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบก่อนหน้าเพราะหากข้อความที่ถูกพิสูจน์คือ  P(n) แล้ว การพิสูจน์ด้วยกฎสองข้อนี้ก็เท่ากับการพิสูจน์ข้อความ  P(n+b) สำหรับจำนวนธรรมชาติ  n ทุกจำนวนโดยมีกรณีฐานอุปนัยกับค่า  0
รูปแบบอื่น > ฐานของการอุปนัยนอกเหนือจาก 0 หรือ 1 > ตัวอย่าง: การใช้เหรียญบาทต่าง ๆ เพื่อให้รวมได้จำนวนเงินจำนวนหนึ่ง

สมมติว่าเรามีเหรียญสี่บาทและเหรียญห้าบาทจำนวนไม่จำกัด เราสามารถใช้การอุปนัยเพื่อพิสูจน์ได้ว่าจำนวนเต็มของเงินบาทใด ๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ  12 สามารถใช้เหรียญสี่บาทและห้าบาทมารวมกันได้จำนวนนั้น ให้  S(k) เป็นข้อความว่า "จำนวนเงิน  k บาทสามารถรวมมาจากเหรียญสี่บาทและเหรียญห้าบาท" การพิสูจน์ว่า  S(k) เป็นจริงสำหรับค่า  k\geq 12 ทุกค่าสามารถทำได้ด้วยการอุปนัยกับ  k ดังนี้:
กรณีฐาน: การแสดงให้เห็นว่า  S(k) เป็นจริงสำหรับ  k=12 ง่ายมาก เพียงแค่มีเหรียญสี่บาทสามเหรียญ
ขั้นตอนอุปนัย: กำหนดให้  S(k) เป็นจริงสำหรับค่า  k\geq 12 ค่าหนึ่ง (สมมติฐานอุปนัย) พิสูจน์ว่า  S(k+1) เป็นจริงด้วย:
เพราะฉะนั้น  S(k) เป็นจริงสำหรับค่า  k\geq 12 ทุกค่าด้วยหลักการอุปนัย และการพิสูจน์จึงสมบูรณ์
แม้  S(k) จะเป็นจริงสำหรับค่า  k\in \{4,5,8,9,10\} ในตัวอย่างนี้ด้วย เราไม่สามารถดัดแปลงค่าต่ำสุด  12 ให้น้อยไปกว่านี้ได้อีกเป็นค่า  m ในการพิสูจน์ข้างบน 
สำหรับ  m=11 กรณีฐานเป็นเท็จ 
สำหรับ  m=10 กรณีที่สองในขั้นตอนอุปนัยจะใช้ไม่ได้ (การแทนเหรียญห้าบาทเป็นเหรียญสี่บาททำไม่ได้) 
ส่วนสำหรับค่า  m ที่น้อยกว่านี้ก็ไม่จำเป็นต้องเอ่ยถึงเลย
รูปแบบอื่น > การอนุมานกับตัวนับมากกว่าหนึ่งตัว

บางครั้งการใช้จำนวนธรรมชาติสองจำนวน n กับ m เพื่อพิสูจน์ข้อความข้อหนึ่งด้วยการทำกระบวนการอุปนัยซ้ำนั้นดีกว่า นั่นคือการพิสูจน์กรณีฐานและขั้นตอนอุปนัยบนตัวแปร n และในแต่ละขั้นตอนอุปนัยก็พิสูจน์อุปนัยบนตัวแปร m ด้วย ดูตัวอย่างได้ใน
การพิสูจน์สมบัติการสลับที่ (Proofs involving the addition of natural numbers) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการบวกจำนวนธรรมชาติ การอ้างเหตุผลที่ซับซ้อนกว่านี้อาจมีตัวนับได้ถึงสามตัวหรือมากกว่า
รูปแบบอื่น > การลดหลั่นอนันต์

วิธีการการลดหลั่นอนันต์ (อังกฤษ: Infinite descent) เป็นรูปแบบหนึ่งของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา ใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความ Q(n) ข้อหนึ่งเป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน รูปแบบดั้งเดิมประกอบไปด้วยการแสดงว่าถ้า Q(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ค่าหนึ่งก็จะเป็นจริงสำหรับค่า m ที่น้อยกว่า n โดยแท้ แต่เพราะลำดับของจำนวนธรรมชาติที่มีค่าลดหลั่นลงอย่างไม่สิ้นสุดไม่มีอยู่จริงจึงทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปไม่ได้ และดังนั้นจึงเป็นการแสดง (โดยข้อขัดแย้ง) ว่า Q(n) ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับค่า n ใด ๆ
เราสามารถพิสูจน์ยืนยันความสมเหตุสมผลของวิธีการนี้ได้จากหลักปกติของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ด้วยการใช้การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์กับข้อความ P(n) ซึ่งถูกนิยามไว้ว่า "Q(m) เป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ m ทุกค่าที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n" จึงแสดงว่า P(n) เป็นจริงสำหรับ n ทุกค่า ซึ่งแปลว่า Q(n) เป็นเท็จสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวน
รูปแบบอื่น > การอุปนัยตัวเติมหน้า

รูปแบบของการพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ที่พบได้ทั่วไปที่สุดมีความจำเป็นให้พิสูจน์ในขั้นตอนอุปนัยว่า
ซึ่งต่อจากนั้นหลักการอุปนัยจะ "ทำโดยอัตโนมัติ" (automate) การใช้ขั้นตอนนี้จำนวน n ครั้งเพื่อไปจาก P(0) สู่ P(n) นี่เรียกได้ว่าเป็น "การอุปนัยตัวนำหน้า" เพราะในแต่ละขั้นตอนก็เป็นการพิสูจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเลขตัวหนึ่งจากบางสิ่งที่เกี่ยวกับเลขที่นำหน้าเลขตัวนั้น
สิ่งหนึ่งซึ่งได้รับความสนใจในเรื่องความซับซ้อนในการคำนวณคือ "การอุปนัยตัวเติมหน้า" (อังกฤษ: prefix induction) ซึ่งเป็นการพิสูจน์ข้อความดังต่อไปนี้ในขั้นตอนอุปนัย
หรือซึ่งสมมูลกัน
แล้วหลักการอุปนัยจึง "ทำโดยอัตโนมัติ" การใช้การอนุมานนี้จำนวน log n ครั้งเพื่อไปจาก P(0) สู่ P(n) ที่เรียกว่า "การอุปนัยตัวเติมหน้า" เพราะแต่ละขั้นตอนเป็นการพิสจน์บางสิ่งเกี่ยวกับเลขตัวหนึ่งจากบางสิ่งที่เกี่ยวกับ "ตัวเติมหน้า" (prefix) ของเลขตัวนั้นซึ่งถูกสร้างขึ้นจากการตัดปลายบิต (bit) ส่วนต่ำของการแทนเลขแบบฐานสอง และยังสามารถมองเป็นการประยุกต์การอุปนัยแบบดั้งเดิมกับความยาวของการแทนแบบฐานสอง
หากการอุปนัยตัวนำหน้าถูกตีความทางคำนวณว่าเป็นวงวน (loop) n ขั้นตอนแล้ว การอุปนัยตัวเติมหน้าก็จะสมนัยกับวงวน log n ขั้นตอน เพราะฉะนั้นการพิสูจน์โดยใช้การอุปนัยตัวเติมหน้าจึง "สรรค์สร้างอย่างเป็นไปได้" (feasibly constructive) มากกว่าการพิสูจน์ซึ่งใช้การอุปนัยตัวนำหน้า
การอุปนัยตัวนำหน้าสามารถจำลองการอุปนัยตัวเติมหน้ากับข้อความเดียวกันได้อย่างชัด การอุปนัยตัวเติมหน้าสามารถจำลองการอุปนัยตัวนำหน้าได้แต่ต้องแลกมาด้วยการทำให้วากยสัมพันธ์ของข้อความซับซ้อนขึ้น (เพิ่มตัวบ่งปริมาณทั้งหมดซึ่งมีขอบเขต) ผลลัพธ์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ของการอุปนัยตัวเติมหน้ากับการคำนวณซึ่งใช้เวลาพหูพจน์ (polynomial time) จึงขึ้นอยู่กับการเอาตัวบ่งปริมาณซึ่งไม่มีขอบเขตออกไปทั้งหมดและการจำกัดจำนวนการสับเปลี่ยนระหว่างตัวบ่งปริมาณทั้งหมดซึ่งมีขอบเขตกับตัวบ่งปริมาณบางตัวที่อนุญาตให้ทำในข้อความ
รูปแบบอื่น > การอุปนัยอย่างเข้ม

รูปแบบอื่นอีกรูปหนึ่งเรียกว่า การอุปนัยอย่างเข้ม (อังกฤษ: Complete induction หรือ Strong induction) (ในทางตรงกันข้าม รูปแบบของการอุปนัยที่ได้กล่าวไปก่อนหน้านี้บางครั้งเรียกว่า การอุปนัยอย่างอ่อน (weak induction)) ทำให้ขั้นตอนอุปนัยพิสูจน์ได้ง่ายขึ้นด้วยการใช้สมมติฐานที่แรงขึ้น: เราพิสูจน์ข้อความ P(m + 1) ภายใต้สมมติฐานว่า P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกจำนวนซึ่งน้อยกว่า m + 1 ในขณะที่รูปแบบพื้นฐานของการอุปนัยสมมุติเพียงแค่ว่า P(m) เป็นจริง ชื่อ "การอุปนัยอย่างเข้ม" ไม่หมายความว่าวิธีนี้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้เยอะกว่า "การอุปนัยแบบอ่อน" แต่หมายถึงเพียงสมมติฐานที่ถูกใช้ในขั้นตอนอุปนัยที่แรงขึ้น
ความจริงแล้วเราสามารถแสดงให้เห็นว่าทั้งสองวิธีนั้นสมมูลกันตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในการอุปนัยอย่างเข้มยังต้องพิสูจน์กรณีฐาน P(0) และอาจจำเป็นต้องพิสูจน์กรณีฐานเพิ่มเติมด้วยเช่น P(1) ก่อนที่การอ้างเหตุผลจะใช้ได้ อย่างเช่นในตัวอย่างของจำนวนฟีโบนัชชี Fn ด้านล่าง
แม้การอุปนัยอย่างเข้มต้องพิสูจน์กรณีฐาน เราไม่จำเป็นต้องพิสูจน์หากสามารถพิสูจน์ P(m) (โดยสมมติ P(n) สำหรับค่า n ที่น้อยกว่าทุกค่า) ได้สำหรับค่า m ≥ 0 ทุกตัว นี่เป็นกรณีพิเศษของการอุปนัยเชิงอนันต์อย่างที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในรูปแบบนี้กรณีฐานถูกรวมอยู่ในกรณี m = 0 ซึ่ง  P(0) ถูกพิสูจน์โดยไม่มีการสมมติ P(n) อื่น เราอาจต้องจัดการกับกรณีนี้แยกไปแต่บางครั้งการอ้างเหตุผลเดียวกันใช้ได้กับ m = 0 และ m > 0 ซึ่งทำให้การพิสูจน์เรียบง่ายและสวยงามกว่า อย่างไรก็ตามสิ่งที่สำคัญคือต้องมั่นใจว่าการพิสูจน์ P(m) ไม่ได้สมมติโดยนัยว่า m > 0 เช่นด้วยการบอกว่า "เลือกจำนวน n < m ค่าหนึ่ง" หรือด้วยการสมมติว่าเซตซึ่งมีสมาชิกจำนวน m มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัว
การอุปนัยอย่างเข้มสมมูลกับการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบธรรมดาอย่างที่อธิบายไว้ด้านบนในแง่ที่สามารถแปลงการพิสูจน์ด้วยวิธีการหนึ่งไปเป็นการพิสูจน์ด้วยอีกวิธีได้ สมมุติว่ามีการพิสูจน์ P(n) ด้วยการอุปนัยอย่างเข้ม ให้ Q(n) หมายถึง "P(m) เป็นจริงสำหรับค่า m ใด ๆ โดยที่ 0 ≤ m ≤ n" แล้ว Q(n) จะเป็นจริงสำหรับ n ทุกค่าก็ต่อเมื่อ P(n) เป็นจริงสำหรับ n ทุกค่า และการพิสูจน์ P(n) ของเราก็ถูกแปลงเป็นการพิสูจน์ Q(n) ได้อย่างง่ายดายด้วยการอุปนัย (แบบธรรมดา) ในทางกลับกันหาก P(n) ได้ถูกพิสูจน์โดยการอุปนัยธรรมดาแล้ว การพิสูจน์นั้นกลายเป็นอันที่ทำด้วยการอุปนัยแบบเข้มแล้วโดยประสิทธิผล: P(0) ถูกพิสูจน์ในกรณีฐานโดยไม่ใช้สมมติฐานและ P(n + 1) ถูกพิสูจน์ในขั้นตอนอุปนัยแล้วซึ่งอาจมีการสมมุติกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมดแต่ต้องใช้เพียงกรณี P(n) เท่านั้น
รูปแบบอื่น > การอุปนัยอย่างเข้ม > ตัวอย่าง: จำนวนฟีโบนัชชี

การอุปนัยอย่างเข้มมีประโยชน์เมื่อต้องใช้สมมติฐานอุปนัยหลาย ๆ รอบต่อขั้นตอนอุปนัยขั้นตอนหนึ่ง เช่นเราสามารถการอุปนัยอย่างเข้มเพื่อแสดงให้เห็นว่า
เมื่อ  F_{n} เป็นจำนวนฟีโบนัชชีลำดับที่ n, 



φ
=



1
+


5



2




{\textstyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}

 (อัตราส่วนทอง) และ 



ψ
=



1
−


5



2




{\textstyle \psi ={{1-{\sqrt {5}}} \over 2}}

 เป็นรากทั้งสองของพหุนาม  x^{2}-x-1 เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ข้างต้นด้วยการคำนวณ 




F

n
+
2




{\textstyle F_{n+2}}

 ตรง ๆ หากเราสมมุติว่าเอกลักษณ์ดังกล่าวเป็นจริงสำหรับ 




F

n
+
1




{\textstyle F_{n+1}}

 และ 




F

n




{\textstyle F_{n}}

 และใช้ข้อเท็จจริงว่า  F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} สำหรับทุก  n\in {\mathbb {N}}
เพื่อให้การพิสูจน์โดยการอุปนัยอย่างเข้มเสร็จสมบูรณ์ เราจะต้องพิสูจน์เอกลักษณ์ในกรณีฐานสองกรณี ได้แก่  n=0 และ 



n
=
1


{\textstyle n=1}
รูปแบบอื่น > การอุปนัยอย่างเข้ม > ตัวอย่าง: การแยกตัวประกอบเฉพาะ

การพิสูจน์ด้วยการอุปนัยอย่างเข้มอีกอันหนึ่งใช้สมมติฐานว่าข้อความเป็นจริงสำหรับจำนวน  n ทุกค่าที่น้อยกว่า พิจารณาข้อความที่ว่า "จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนซึ่งมากกว่า 1 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวนหรือมากกว่า" ซึ่งเป็นส่วน "การมีอย฿าจริง" (existence) ของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ในการพิสูจน์ขั้นตอนอุปนัย สมมติฐานอุปนัยคือ "สำหรับค่า  m>1 ที่กำหนดมาให้ เราสมมติว่าข้อความเป็นจริงทุกจำนวนนับ  n>1 ซึ่งน้อยกว่า  m" หาก  m เป็นจำนวนเฉพาะแล้วมันเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะหนึ่งตัวอย่างแน่นอน และหากไม่ใช่แล้ว  m จะเท่ากับผลคูณ  m=n_{1}n_{2} ตามนิยามของจำนวนประกอบ โดยตัวประกอบทั้งสองไม่เท่ากับ 1 ดังนั้นทั้ง  n_{1},n_{2} จึงไม่เท่ากับ  m เพราะฉะนั้นทั้งสองจึงมากกว่าหนึ่งและน้อยกว่า  m เราสามารถใช้สมมติฐานอุปนัยกับ  n_{1} และ  n_{2} ดังนั้นทั้งสองแต่ละตัวเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ฉะนั้น  m เป็นผลคูณของผลคูณของจำนวนเฉพาะและจึงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเอง
รูปแบบอื่น > การอุปนัยอย่างเข้ม > ตัวอย่าง: กลับมาหาจำนวนเงินบาท

เราจะดูการพิสูจน์ตัวอย่างเดียวกับด้านบน ครั้งนี้ด้วย การอุปนัยอย่างเข้ม แต่ข้อความยังคงเดิม:
S(n):\,\,n\geq 12\to \,\exists \,a,b\in \mathbb {N} .\,\,n=4a+5b
แต่ทว่าโครงสร้างและสมมติฐานของการพิสูจน์จะมีความแตกต่างเล็กน้อย เริ่มจากกรณีฐานที่ขยายจำนวนกรณี:
กรณีฐาน: แสดงให้เห็นว่า  S(k) เป็นจริงสำหรับค่า  k=12,13,14,15
ฉะนั้นกรณีฐานเป็นจริง
สมมติฐานอุปนัย: กำหนดจำนวน  j>15 ค่าหนึ่ง สมมติว่า  S(m) เป็นจริงสำหรับค่า  m ทุกค่าที่  12\leq m<j.
ขั้นตอนอุปนัย: จะพิสูจน์ว่า  S(j) เป็นจริง
เลือกค่า  m=j-4 และสังเกตว่า  15<j\to 12\leq j-4<j แสดงให้เห็นว่า  S(j-4) เป็นจริงโดยสมมติฐานอุปนัย นั่นคือผลบวก  j-4 สามารถถูกสร้างขึ้นมาด้วยส่วนผสมของเหรียญ  4 และ  5 บาท แล้วดังนั้นเพียงแค่เพิ่มเหรียญ  4บาทลงไปในกองเหรียญนั้น แล้วจะให้ผลบวกค่าเหรียญทั้งหมดเท่ากับ  j นั่นคือ  S(j) เป็นจริง ∎
รูปแบบอื่น > การอุปนัยเดินหน้า-ถอยหลัง

บางครั้งการพิสูจน์ถอยหลัง หรือการพิสูจน์ข้อความในกรณี  n-1 เมื่อทราบว่าข้อความเป็นจริงในกรณี  n จะสะดวกกว่า อย่างไรก็ตามไม่มีเลขตัวใดเพียงตัวเดียวที่เหมาะสมจะเป็นกรณีฐานของการอุปนัยได้ เราต้องพิสูจน์ข้อความสำหรับเซตย่อยอนันต์ของจำนวนธรรมชาติบางตัวแทน เช่น โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชีใช้การอุปนัยเดินหน้า (หรือการอุปนัยปรกติ) เพื่อพิสูจน์อสมการมัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (inequality of arithmetic and geometric means) ในกรณีจำนวนตัวแปรเท่ากับกำลังของ 2 ทุกค่า แล้วใช้การอุปนัยถอยหลังเพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนด้วย
ตัวอย่างของความผิดพลาดในขั้นตอนอุปนัย

ขั้นตอนอุปนัยจะต้องถูกพิสูจน์สำหรับ n ทุกค่า เพื่อแสดงสิ่งนี้ให้เห็น โจเอล อี. โคเฮน ได้นำเสนอการอ้างเหตุผลว่าสามารถพิสูจน์ว่าม้าทุกตัวมีสีเดียวกัน (All horses are the same color) ได้ด้วยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ดังต่อไปนี้:
กรณีฐาน: ในเซตของม้าแค่หนึ่งตัว จะมีสีแค่หนึ่งสี
ขั้นตอนอุปนัย: สมมติว่าในเซตของม้า  n ตัวเซตใด ๆ ก็จะมีสีเพียงหนึ่งสีเป็นสมมติฐานอุปนัย คราวนี้ดูที่เซตของม้า  n+1 ตัว ใส่ลำดับเลขแต่ละตัวเป็น:  1,\;2,\;3,\;\dotsc ,\;n,\;n+1 พิจารณาเซต 




{

1
,

2
,

3
,

…
,

n

}



{\textstyle \left\{1,\;2,\;3,\;\dotsc ,\;n\right\}}

 และ 




{

2
,

3
,

4
,

…
,

n
+
1

}



{\textstyle \left\{2,\;3,\;4,\;\dotsc ,\;n+1\right\}}

 แต่ละเซตเป็นเซตของม้า   n ตัวเพราะฉะนั้นจึงมีสีเพียงสีเดียวในแต่ละเซตและทั้งสองเซตเหลื่อมกัน ม้า  n+1 ตัวทุกตัวจึงจะต้องมีสีเพียงสีเดียวเท่านั้น
กรณีฐาน  n=1 เป็นเรื่องธรรมดา (เพราะไม่ว่าม้าตัวไหนก็จะมีสีเดียวกับตัวมันเอง) และขั้นตอนอุปนัยถูกต้องในกรณีที่   n>1 ทุกกรณี แต่ทว่าตรรกะของขั้นตอนอุปนัยสำหรับค่า  n=1 ไม่ถูกต้องเพราะข้อความที่ว่า "ทั้งสองเซตเหลื่อมกัน" เป็นเท็จ (มีม้าเพียง  n+1=2 ตัวทั้งก่อนและหลังการเอาม้าตัวหนึ่งออกจากเซต เซตของม้าตัวเดียวจึงไม่เหลื่อมกัน)