stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ขั้นตอนวิธีของคาร์เกอร์

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีกราฟ ขั้นตอนวิธีของคาร์เกอร์ (อังกฤษ: Karger's algorithm) เป็น Monte Carlo method เพื่อคำนวณหา การตัดน้อยสุด (minimun cut) ของกราฟต่อเนื่อง ซึ่งถูกพัฒนาขึ้นโดย David Karger
โดยการตัดน้อยสุด คือ จำนวนเส้นเชื่อมน้อยสุดที่ต้องลบออกเพื่อให้กราฟแยกเป็น 2 ส่วน(component)
ขั้นตอนวิธี

หลักการของขั้นตอนวิธีนี้ใช้แนวคิดในการย่อเส้นเชื่อม  e ในกราฟ หรือกล่าวได้ว่าเป็นการย่อเส้นเชื่อมทำให้ปม 2 ปมที่ต่อกับ e ซ้อนกัน ทำให้ลดจำนวนปมทั้งหมดของกราฟลงไปหนึ่งปม ขั้นตอนวิธีนี้จะดำเนินการย่อไปเรื่อยๆ จนกว่าจะเหลือปมในกราฟเพียง 2 ปมเท่านั้น ซึ่งการกระทำนี้มีความเป็นไปได้สูงที่ขั้นตอนวิธีนี้จะคืนการตัดน้อยสุด โดยจะคืนเซตของเส้นเชื่อมที่ต่อกับปมที่เหลือทั้งสอง
การย่อ

การกระทำนี้เอาเส้นเชื่อม  e ที่มีปลาย  x และ  y และย่อมันลงในปมใหม่  v_{e} ซึ่งจะกลายเป็นเส้นประชิด(adjacent)ของปมเก่าทั้งหมดที่ต่อกับ x และ  y โดยสามารถเขียนแนวคิดนี้ให้อยู่ให้รูปคณิตศาสตร์ได้
ให้กราฟ  G=\left(V,E\right) และ  e=\lbrace x,y\rbrace \in E, การย่อของ  G ไปเป็น  e (เขียนเป็น  G/e=\left(V',E'\right)) เป็น มัลติกราฟ เมื่อ:
และ:
เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ว่าการกระทำนี้ไม่ได้ลดภาวะเชิงการนับของการตัดน้อยสุด แต่อาจเป็นการเพิ่มให้มากขึ้น
รหัสเทียม

รหัสเทียมนี้สามารถสร้างขึ้นโดยใช้ 2 ฟังก์ชัน
function Karger(G, K)
 min :=  +\infty 
 for i = 1 to K do
   t := Full_contraction(G)
   if t < min then
     min := t
 return min
function Full_contraction(G)
 for i := 1 to |V| - 2 do
   e := Random( \varepsilon )
   G' = ( V',  \varepsilon ') :=  G/e
   V := V'
    \varepsilon  :=  \varepsilon '
 return | \varepsilon |
ฟังก์ชัน Full_contraction ทำการย่อเส้นเชื่อมตามขั้นตอนวิธีที่ได้ระบุไว้ จากนั้นทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะเหลือปมในกราฟเพียงสองปม จากนั้นจึงคืนค่าจำนวนเส้นเชื่อมระหว่างสองปมนั้น ซึ่งจะเท่ากับจำนวนตัดน้อยสุด
แต่มันไม่สามารถประกันได้ว่าขั้นตอนวิธีนี้จะคืนการตัดที่น้อยที่สุดจริงๆ เพราะฉะนั้นการ excution Full_contraction K ครั้งโดยฟังก์ชัน Karger  จะส่ง parameter K เพื่อให้ทำการคำนวณค่าน้อยสุดเป็นจำนวน K ครั้ง และเก็บคำตอบครั้งที่น้อยที่สุด ซึ่งวิธีนี้จะช่วยลดโอกาสที่จะคืนค่าการตัดน้อยสุดผิด
ประสิทธิภาพเชิงเวลา

ฟังก์ชัน Full_contraction ใช้เวลาในการทำงานในรูปสัญกรณ์โอใหญ่ได้เป็น O(e) เมื่อe คือ จำนวนเชิงเชื่อม เนื่องจากต้องทำการลบเส้นเชื่อมทุกเส้นเชื่อมจนกว่าจะเหลือปมเพียง 2 ปม และการทำฟังก์ชัน Karger เป็นการทำ Full_contraction ซ้ำเป็นจำนวน K รอบ แต่เนื่องจาก K เป็นค่าคงที่ ดังนั้นประสิทธิภาพเชิงเวลาจึงยังคงเป็น O(e) หรือ O(V 2) สำหรับกราฟหนาแน่น
ตัวอย่างการลดเส้นเชื่อม
ขั้นตอนวิธีของคาราซูบา

ขั้นตอนวิธีของคาราซูบา (อังกฤษ: Karatsuba algorithm)  เป็น ขั้นตอนวิธี ที่ค้นพบโดย Anatolii Alexeevitch Karatsuba ในปี ค.ศ. 1960 และตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1962 เป็นขั้นตอนวิธีสำหรับการคูณเลข 2 จำนวนที่มีค่ามากๆ หรือการคูณกันของพหุนามโดยใช้ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ (Divide and conquer algorithm)
ขั้นตอนวิธีของคาราซูบาเป็นการคูณแบบเร็วโดยที่มีประสิทธิภาพเชิงเวลา (time complexity) เป็นสัญกรณ์โอใหญ่คือ O(n1.58) มีความเร็วกว่าขั้นตอนวิธีการคูณแบบธรรมดา (grade-school multiplication) ซึ่งมีประสิทธิภาพเชิงเวลาเป็น O(n2)
กระบวนการของขั้นตอนวิธีของคาราซูบาและการวิเคราะห์ประสิทธิภาพเชิงเวลา

การคูณ เลข 2 จำนวน x, y ที่มีขนาด n หลัก เราสามารถเขียน x, y ใหม่ โดยใช้ จำนวน m โดยที่ m<n โดยที่เราจะเลือก m = n/2
ดังนั้น x คูณ y จะได้เป็น
กำหนดให้
จะได้
รหัสเทียม

//input x, y (n digit integers)
//output x*y

def karatsuba(x, y) {
    if(n = 1)
        return x * y
    else
        //แบ่ง x, y เป็นครึ่งๆ
        x = x1 * 10^(n/2) + x0
        y = y1 * 10^(n/2) + y0
        A = karatsuba(x1,y1)
        B = karatsuba(x0,y0)
        C = karatsuba(x1 + x0, y1 + y0)
        D = C - A - B
        return A * 10^n + D * 10^(n/2) + B
}
ตัวอย่าง

การคูณเลข 2 จำนวน 5678×8765
แหล่งข้อมูลอื่น

ทดลองขั้นตอนวิธีของคาราซูบา
ขวดรูปชมพู่

ขณะเทของเหลวลงไปในขวดรูปชมพู่
ขวดรูปชมพู่ (อังกฤษ: Erlenmeyer flask; conical flask (บริติช); titration flaskทรงกรวย และคอทรงกระบอก ถูกตั้งชื่อตาม เอมิล เออเลนเมเยอร์ (Emil Erlenmeyer; ค.ศ. 1825–1909) ผู้สร้างขึ้นมาเมื่อ ค.ศ. 1860
การออกแบบ

ขวดรูปชมพู่มีฐานกว้าง ด้านข้างแคบลงไปยังปลายที่สั้นและตั้งตรง อาจมีขีดบอกปริมาตร และมักมีจุดที่เป็นกระจกด้านหรือมีการเลือบให้สามารถทำเครื่องหมายได้ด้วยดินสอ แตกต่างกับบีกเกอร์ตรงที่มีทรงกรวยและปากแคบ อาจทำจากพลาสติกหรือแก้วแล้วแต่จุดประสงค์ และมีหลายขนาด
ปากของขวดรูปชมพู่อาจมีส่วนยื่นออกมาเพื่อให้สามารถปิดด้วยจุกหรือที่คลุม ตรงคออาจทำด้วยแก้วแบบด้าน สำหรับจุกปิดแบบเฉพาะ หรืออาจมีจุดต่อไว้สำหรับเชื่อมกับอุปกรณ์พิเศษ ขวดบุชเนอร์ (Büchner flask) เป็นขวดที่ดัดแปลงเพื่อการกรองใต้ภาวะสุญญากาศ
การใช้ > การใช้ในเคมี

ด้านข้างที่เรียวลงและคอที่แคบทำให้สามารถทำการผสมสารโดยการเขย่าเป็นวงกลม โดยไม่ต้องกลัวกระเด็น ทำให้เหมาะกับการไทเทรต โดยวางไว้ใต้บิวเรตต์ และใส่ตัวทำละลายกับตัวบ่งชี้ลงไปในขวดรูปชมพู่ รูปลักษณ์เหล่านี้ยังทำให้เหมาะสำหรับการต้มของเหลว ไอน้ำร้อนรวมตัวกันในส่วนบนของขวดรูปชมพู่ ทำให้ลดการสูญเสียของตัวทำละลาย นอกจากนี้ความแคบของคอทำให้สามารถใช้ร่วมกับกรวยกรอง
สองคุณสมบัติทำให้ขวดรูปชมพู่เหมาะกับการเกิดผลึกใหม่ (recrystallization) เริ่มจากการให้ความร้อนตัวอย่างที่ต้องการเพิ่มความบริสุทธิ์จนเดือด จากนั้นจึงเติมตัวทำละลายจนละลายอย่างสมบูรณ์ ขวดรับถูกเติมด้วยตัวทำละลายปริมาณเล็กน้อย และให้ความร้อนจนเดือด ขณะกำลังร้อนตัวทำละลายถูกกรองผ่านกระดาษกรองที่ถูกพับไปยังขวดรับ ไอน้ำร้อนจากตัวทำละลายที่กำลังเดือดทำให้กรวยกรองยังคงอุ่น และป้องกันการตกผลึกก่อนที่จะผ่านลงไป
ขวดรูปชมพู่ไม่เหมาะกับการวัดปริมาตรแบบแม่นยำ เช่นเดียวกับบีกเกอร์ ขีดบนขวดมีความแม่นยำในระยะ 5%
การใช้ > การใช้ในชีววิทยา

ขวดรูปชมพู่ยังถูกใช้ในจุลชีววิทยาสำหรับการเพาะเลี้ยงจุลชีพ ขวดรูปชมพู่ที่ใช้เพื่อเพาะเลี้ยงเซลล์ต้องผ่านการฆ่าเชื้อ และอาจมีจุกปิดเพื่อให้แก๊สสามารถแลกเปลี่ยนได้ระหว่างการฟักตัวและการเขย่า ปกติแล้วจะใช้ของเหลวปริมาณไม่มาก และมักไม่เกินหนึ่งในห้าของความจุขวด เพื่อให้แก๊สแลกเปลี่ยนได้อย่างสะดวก และส่งเสริมการผสมอย่างทั่วถึงเมื่อขวดถูกเขย่า อัตราการแลกเปลี่ยนแก๊สในขวดรูปชมพู่ขึ้นอยู่กับความเร็วในการเขย่า, ปริมาณของเหลว และการออกแบบของขวด โดยความเร็วในการเขย่าเป็นปัจจัยที่ส่งผลสูงสุดต่ออัตราการแลกเปลี่ยนออกซิเจน
ข้อจำกัดทางกฎหมาย

เพื่อกีดขวางการผลิตยาเสพติด รัฐเท็กซัสจำกัดการขายขวดรูปชมพู่ โดยจะขายให้กับผู้ที่มีใบอนุญาตเท่านั้น
ดูเพิ่ม

Fleaker
Florence flask
รูปเพิ่มเติม

ขวดรูปชมพู่แบบต่าง ๆ
รูปวาดต้นฉบับของขวดรูปชมพู่
ขวดรูปชมพู่หลายขนาด
ขวดรูปชมพู่ที่ผ่านการฆ่าเชื้อแล้ว
การเขย่าขวดรูปชมพู่เป็นวงกลมขณะไทเทรต
คอโลนี Microcystis ที่กำลังลอยอยู่ในขวดรูปชมพู่
ขั้วท้องฟ้า

แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างขั้วท้องฟ้ากับแกนหมุนของโลก ระนาบวงโคจร และความเอียงของแกน
เส้นทางการเคลื่อนย้ายขั้วท้องฟ้าเหนือบนทรงกลมท้องฟ้าโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วโลกเหนือของระบบพิกัดสุริยวิถีเนื่องจากการเคลื่อนถอยของวิษุวัต
ขั้วท้องฟ้า หรือ ขั้วฟ้า (อังกฤษ: celestial pole) คือจุดที่แกนหมุนของโลกและทรงกลมท้องฟ้าตัดกัน มี 2 จุดคือขั้วท้องฟ้าเหนือ หรือ ขั้วฟ้าเหนือ (north celestial pole) ในซีกฟ้าเหนือ และ ขั้วท้องฟ้าใต้ หรือ ขั้วฟ้าใต้ (south celestial pole) ในซีกฟ้าใต้ ซึ่งยื่นมาจากขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้ของแกนโลก ตามลำดับ ขณะที่โลกหมุนรอบตัวเอง วัตถุท้องฟ้าทั้งหมดก็จะดูเหมือนกับว่ากำลังโคจรรอบขั้วท้องฟ้าซึ่งอยู่นิ่ง
ขั้วท้องฟ้ายังเป็นขั้วของระบบพิกัดศูนย์สูตรด้วย โดยมีค่ามุมเดคลิเนชัน +90° ที่ขั้วท้องฟ้าเหนือ และเดคลิเนชัน -90° ที่ขั้วท้องฟ้าใต้ แม้ว่าขั้วท้องฟ้าดูเหมือนจะคงที่ แต่ในความเป็นจริงแล้วมีการเคลื่อนที่เป็นวงกลมเนื่องจากการเคลื่อนถอยของวิษุวัต โดยมีคาบการหมุนเป็น 25,700 ปี ดังนั้นดาวที่อยู่ที่ขั้วท้องฟ้าก็จะเปลี่ยนแปลงไปเรื่อย ๆ ไม่ใช่สิ่งถาวร
แกนโลกยังมีการเคลื่อนที่เนื่องจากสาเหตุอื่น ๆ อีกด้วย จึงทำให้ขั้วท้องฟ้ามีการขยับเขยื้อนเล็กน้อย เช่น การส่าย ความเอียงของแกน เป็นต้น นอกเหนือจากการเคลื่อนที่ที่กล่าวข้างต้นแล้ว ตัววัตถุท้องฟ้าเองก็มีเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาที่ยาวนานเนื่องมาจากการเคลื่อนที่เฉพาะด้วย
คำว่าขั้วท้องฟ้ายังสามารถนำไปใช้กับดาวเคราะห์ดวงอื่นได้ด้วย โดยใช้แนวคิดเดียวกัน เนื่องจากดาวเคราะห์ในเอกภพมีแกนการหมุนของตัวเองแตกต่างกันไป ขั้วท้องฟ้าจึงอยู่ในตำแหน่งต่าง ๆ ที่แตกต่างไปจากโลก และพารัลแลกซ์ก็ยังทำให้ตำแหน่งปรากฏของดาวแตกต่างจากตำแหน่งบนโลกด้วย
ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ (อังกฤษ: divide and conquer algorithm; D&C) เป็นวิธีการออกแบบขั้นตอนวิธีโดยมีพื้นฐานมาจากการเรียกซ้ำ ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะทำงานโดยแบ่งปัญหาออกเป็นปัญหาย่อย 2 ส่วนหรือมากกว่านั้นแบบเวียนเกิด ปัญหาถูกแบ่งไปเรื่อย ๆ จนเล็กและง่ายพอที่จะแก้อย่างง่ายดาย หลังจากแก้ปัญหาย่อยเล็ก ๆ เหล่านั้นแล้วก็จะนำคำตอบมารวมกันขึ้นไปเรื่อย ๆ จนสุดท้ายได้คำตอบของปัญหาดั้งเดิม
กลวิธีนี้เป็นพื้นฐานของขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพจำนวนมากมาย เช่น การเรียงลำดับ (การเรียงลำดับแบบเร็ว การเรียงลำดับแบบผสาน) การคูณเลขขนาดใหญ่ (ขั้นตอนวิธีของคาราซูบา) การคำนวณการแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่อง
ในอีกด้าน การที่จะเข้าใจและสามารถออกแบบขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะได้นั้นต้องใช้ทักษะในระดับหนึ่ง เพราะในการที่จะทำให้ขั้นตอนวิธีมีการเรียกซ้ำต่อไปได้เรื่อย ๆ ในเวลาที่ต้องการ บางครั้งอาจจะต้องหาวิธีสร้างปัญหาย่อยซึ่งซับซ้อนและยากมาก นอกจากนี้ การสร้างขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะนั้นไม่มีขั้นตอนอย่างเป็นระบบ ตัวอย่างความซับซ้อนจากการวิเคราะห์หรือออกแบบขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ เช่น การคำนวณหาจำนวนฟีโบนัชชีในเวลา  O(\log n) โดยใช้รูปเมทริกซ์ร่วมกับการยกกำลังโดยการยกกำลังสอง
ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ ยังรวมไปถึงขั้นตอนวิธีที่แต่ละปัญหาแบ่งออกเป็นปัญหาย่อยหลายส่วน แต่กลับใช้คำตอบหรือคำนวณคำตอบจากเพียงแค่ปัญหาย่อยเดียวเท่านั้น เช่น การค้นหาแบบทวิภาคบนแถวลำดับที่เรียงแล้ว (หรือขั้นตอนวิธีแบ่งครึ่ง สำหรับการหาคำตอบของรากในการวิเคราะห์เชิงจำนวน) หากนิยามของขั้นตอนวิธีนี้รวมไปถึงขั้นตอนวิธีที่มีเพียงปัญหาย่อยเดียวด้วย อาจทำให้ทุก ๆ ขั้นตอนวิธีที่มีการเรียกซ้ำหรือมีวงวนกลายเป็น "การแบ่งแยกและเอาชนะ" ไปเสียหมด บางคนจึงนับว่าขั้นตอนวิธีจะเป็น "การแบ่งแยกและเอาชนะ" ก็ต่อเมื่อมีการแบ่งปัญหาออกเป็นปัญหาย่อย 2 ส่วนหรือมากกว่าเท่านั้น และเรียก "การลดและเอาชนะ" (decrease and conquer) สำหรับขั้นตอนวิธีที่แบ่งแล้วได้ปัญหาย่อยเดียวเหมือนเดิมแทน
โดยมากแล้ว ความถูกต้องของขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะสามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่เวลาการคำนวณของขั้นตอนวิธีสามารถหาได้จากการแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิด
ข้อได้เปรียบ > แก้ไขปัญหาที่ยาก

ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะเป็นวิธีในการแก้ปัญหาที่ยากบางปัญหาได้อย่างดี เช่น ปัญหาหอคอยแห่งฮานอย ในการที่จะแก้ปัญหานี้ สิ่งที่ต้องการมีเพียงวิธีการแบ่งปัญหาเป็นปัญหาย่อย และวิธีการในการประกอบคำตอบของปัญหาย่อยมาเป็นคำตอบของปัญหาดั้งเดิม
ข้อได้เปรียบ > ประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธี

ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะมักจะช่วยในการสร้างขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพ เช่น การคูณอย่างรวดเร็วด้วยขั้นตอนวิธีของคาราซูบา การเรียงลำดับอย่างรวดเร็วด้วยการเรียงลำดับแบบเร็วหรือการเรียงลำดับแบบผสาน การคูณเมทริกซ์ด้วยขั้นตอนวิธีของสแตรสเซน หรือการคำนวณการแปลงฟูรีเยไม่ต่อเนื่องแบบเร็ว
ในตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวมา ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะช่วยในการลดความซับซ้อนในการคำนวณได้อย่างมีนัยยะสำคัญ ยกตัวอย่างเช่นการเรียงลำดับแบบผสาน ซึ่งคำนวณกรณีฐานได้ในเวลาคงที่ และการแบ่งและรวมปัญหาในแต่ละครั้งใช้เวลา  O(n) เมื่อ n คือขนาดปัญหาที่กำลังแก้ในขณะนั้น จะได้ว่าประสิทธิภาพโดยรวมของขั้นตอนวิธี คือ  O(n\log n) ซึ่งดีกว่าการเรียงลำดับแบบอื่น ๆ ที่คิดค้นขึ้นมาก่อนหน้านั้น ซึ่งส่วนใหญ่จะใช้เวลา  O(n^{2})
ขบวนการทิเบตเอกราชนานาชาติ

Non-profit organisation
| --- | --- |
คําขวัญ: Bhod Rangzen!
ก่อตั้ง: 1995
ประเภท: 501(c)(3)
สถานะตามกฎหมาย: Non-profit organization
วัตถุประสงค์: Tibetan independence, human rights in Tibet
President: Benjamin Cox
องค์กรแม่: Board of directors
หมายเหตุ: Rangzen means independence
ขบวนการทิเบตเอกราชนานาชาติ (อังกฤษ: International Tibet Independence Movement) เป็นขบวนการที่ก่อตัวขึ้นเพื่อรวมดินแดนทิเบตสามจังหวัดคือ อัมโด คาม และอูจั้งเป็นราชอาณาจักรเอกราช การสนับสนุนขบวนการนี้ในเขตปกครองตนเองทิเบตถือเป็นสิ่งผิดกฎหมายในประเทศจีน ขบวนการนี้ได้รับการสนับสนุนจากชาวทิเบตที่ลี้ภัยไปอยู่ทั่วโลก ชาวทิเบตที่ไม่ใช่ชาวพุทธได้ร่วมสนับสนุนขบวนการนี้ด้วย
ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

บทความหลัก: ประวัติศาสตร์ทิเบต
บทความหลัก: การรุกรานทิเบตของอังกฤษ พ.ศ. 2446
หลังจากที่เจ้าชายมองโกล เกอเดน ข่านเข้าควบคุมบริเวณโกโกนอร์ เมื่อ พ.ศ. 1782 เขาส่งนายพลโดโอร์ดา ดาร์กันเข้าสู่ทิเบตเมื่อ พ.ศ. 1783 เมื่อเข้ามาถึงกาดัมปา มีการเผาหมู่บ้านชาวทิเบตและมีชาวทิเบตถูกฆ่ากว่า 500 คน การตายของ เออเกอเดย ผู้นำมองโกลเมื่อ พ.ศ. 1784 ทำให้ความต้องการครองโลกของกองทัพมองโกลระงับลงชั่วคราว ความสนใจทิเบตของมองโกลเริ่มขึ้นเมื่อ พ.ศ. 1787 เมื่อเจ้าชายเกอเดนส่งจดหมายเชิญลามะนิกายสักยะไปยังเมืองหลวงของมองโกล ผู้นำนิกายสักยะไปถึงโกโกนอร์พร้อมกับหลานชายคือ โดรกอน ชอกยัล พักปา และชนาโดริเยเมื่อ พ.ศ. 1789 เหตุการณ์นี้ถูกย้ำในการรวมทิเบตเข้ากับจีนในพุทธศตวรรษที่ 23 รัฐบาลจีนยุคราชวงศ์ชิงส่งผู้แทนมายังกรุงลาซา ทิเบตก่อกบฏใน พ.ศ. 2302 และฆ่าผู้แทนของจีน กองทัพราชวงศ์ชิงบุกเข้าปราบกบฏและตั้งผู้แทนจีนคนใหม่ จำนวนทหารในทิเบตถูกกำหนดให้มีไม่เกิน 2,000 คน หน้าที่ป้องกันประเทศเป็นของกองทหารท้องถิ่น ที่อยู่ภายใต้การควบคุมของรัฐบาลจีน
ใน พ.ศ. 2447 กองทัพอังกฤษนำโดย พ.อ. ฟรานซิส ยังฮัสแบนด์ ได้เข้ายึดกรุงลาซาของทิเบตซึ่งมีสาเหตุมาจากความกลัวว่ารัสเซียจะแผ่อิทธิพลเข้าไปในทิเบตก่อน ในเส้นทางสู่ลาซา กองทัพของยังฮัสแบนด์ได้ฆ่าชาวทิเบตไปกว่า 1,300 คน เอกสารบางแหล่งระบุว่ามีถึง 5,000 คน
สนธิสัญญาอังกฤษ-จีน พ.ศ. 2449 ยอมรับอำนาจอธิปไตยของจีนเหนือทิเบตและข้อตกลงระหว่างอังกฤษ – รัสเซียที่รัฐบาลจีนไม่ยอมรับ ได้ยอมรับอำนาจของจีนเหนือทิเบตเช่นกัน รัฐบาลของราชวงศ์ชิงเข้ามาปกครองทิเบตโดยตรงเมื่อ พ.ศ. 2452 ดาไล ลามะองค์ที่ 13 ลี้ภัยไปอินเดียของอังกฤษเมื่อเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2452 ในอีก 1 เดือนต่อมา รัฐบาลจีนประกาศสถาปนาดาไล ลามะองค์ใหม่
หลังจากสงครามโลกครั้งที่ 1 และสงครามประชาชนในจีน ทำให้มหาอำนาจตะวันตกรวมทั้งขุนศึกที่ต่อสู้กันเองภายในจีนลดความสนใจเกี่ยวกับทิเบตลง และดาไล ลามะองค์ที่ 13 กลับมาบริหารทิเบตอีกครั้ง รัฐบาลของทิเบตในขณะนั้นครอบคลุมบริเวณอู-จั้ง และคามตะวันตกซึ่งเป็นเขตแดนของเขตปกครองตนเองทิเบตในทุกวันนี้ ส่วนคามตะวันออกที่แยกออกจากกันด้วยแม่น้ำยังเซ อยู่ภายใต้การควบคุมของขุนศึกชาวจีน ลิง เวอชิง สถานการณ์ในอัมโดซับซ้อนยิ่งกว่าเมื่อบริเวณซินิงถูกควบคุมโดบขุนศึกชาวหุย มา บูฟัง ผู้พยายามขยายอำนาจครอบครองส่วนอื่น ๆ ของอัมโด
ทั้งสาธารณรัฐจีนและสาธารณรัฐประชาชนจีนไม่เคยประกาศอำนาจอธิปไตยเหนือทิเบต ใน พ.ศ. 2493 กองทัพปลดปล่อยประชาชนของสาธารณรัฐประชาชนจีนเข้าสู่ทิเบตหลังจากได้ปกครองจีนแผ่นดินใหญ่ทั้งหมด หลังจากการสู้รบในสงครามประชาชนนาน 5 ปี ใน พ.ศ. 2494 แผนการปลดปล่อยทิเบตอย่างสันติซึ่งเป็นสัญญาที่ลงนามระหว่างตัวแทนของดาไล ลามะและปันเชน ลามะ ซึ่งจะเข้าร่วมในการบริหารภายใต้ระบบตัวแทนจากรัฐบาลกลางและรัฐบาลทิเบต ประชาชนส่วนใหญ่ของทิเบตในขณะนั้นเป็นทาสและมีภาระผูกพันอยู่กับลามะ ความพยายามปฏิรูปที่ดินจึงไม่เป็นที่พอใจของเจ้าที่ดิน ข้อตกลงนี้เริ่มเข้ามามีผลกระทบในทิเบต อย่างไรก็ตาม คามตะวันออกและอัมโด ซึ่งอยู่นอกการบริหารของรัฐบาลทิเบตและถูกปกครองเช่นเดียวกับชาวจีนในส่วนอื่นๆของประเทศคือมีการปฏิรูปที่ดินอย่างเต็มรูปแบบ ในที่สุดเกิกการก่อกบฏโดยเริ่มจากบริเวณนั้นในเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2499 การก่อกบฏได้ลุกลามเข้าสู่ลาซา ใน พ.ศ. 2502 ดาไล ลามะองค์ที่ 14 และเจ้าหน้าที่รัฐบาลอื่น ๆ ได้ลี้ภัยไปอินเดีย
สถานะของทิเบต

สถานะของทิเบตก่อน พ.ศ. 2493 ในช่วงระหว่าง พ.ศ. 2455 – 2493 ยังเป็นข้อโต้แย้งเกี่ยวกับความเป็นเอกราชของทิเบต
ในกลุ่มที่สนับสนุนเกี่ยวกับความเป็นเอกราชของทิเบต ทิเบตเป็นชาติต่างหากและเป็นรัฐอิสระก่อนยุคจักรวรรดิมองโกล (ราชวงศ์หงวน) เมื่อ 700 ปีมาแล้วระหว่างการตกต่ำของจักรวรรดิมองโกลใน พ.ศ. 1911 และถูกปราบโดยราชวงศ์ชิงเมื่อ พ.ศ. 2263 และเป็นเอกราชอีกครั้งระหว่างการตกต่ำของราชวงศ์ชิงจนเข้าร่วมในสาธารณรัฐประชาชนจีนเมื่อ พ.ศ. 2494 นอกจากนั้น เหตุการณ์ในช่วงที่อยู่ภายใต้จักรวรรดิมองโกลและจักรวรรดิของราชวงศ์ชิง ทิเบตยังมีการปกครองตนเองอยู่
ในอีกมุมมองหนึ่ง จะมองว่าทิเบตเป็นส่วนหนึ่งของจีนตั้งแต่สมัยราชวงศ์หงวนและถูกปกครองโดยรัฐบาลจีนราชวงศ์ต่าง ๆ มาจนถึงยุคสาธารณรัฐ โดยรัฐบาลจีนยังคงมีอำนาจอธิปไตยเหนือทิเบตในช่วงที่ทิเบตกล่าวอ้างว่าตนเป็นเอกราช ไม่มีประเทศใดยอมรับว่าทิเบตเป็นประเทศต่างหาก และทิเบตยังยอมรับอำนาจอธิปไตยของจีน และส่งตัวแทนรัฐไปยังจีนในโอกาสต่าง ๆ จีนกล่าวว่าขบวนการที่ต้องการเรียกร้องเอกราชของทิเบตได้รับการสนับสนุนจากตะวันตกที่จะทำลายความเป็นเอกภาพของจีน และทำลายภาพพจน์ของจีนในประชาคมโลก นอกจากนั้น จีนยังกล่าวว่ารัฐอรุณาจัลประเทศเป็นส่วนหนึ่งของทิเบตที่ถูกอินเดียยึดครอง
สถานะของทิเบตหลัง พ.ศ. 2493

รัฐบาลพลัดถิ่นของทิเบตกล่าวอ้างว่ามีชาวทิเบตที่ตายโดยผิดธรรมชาติตั้งแต่ พ.ศ. 2493 ราว 1.2 ล้านคน แต่รัฐบาลจีนปฏิเสธ อย่างไรก็ตาม ข้อมูลเกี่ยวกับการหายสาบสูญไปของชาวทิเบตไม่แน่นอนเพราะขาดแคลนข้อมูลที่เชื่อถือได้มาตั้งแต่ต้น จากเอกสารของทางรัฐบาลจีนระบุว่ามีชาวทิเบต 2.8 ล้านคน ใน พ.ศ. 2496 และลดลงเหลือ 2.5 ล้านคน ใน พ.ศ. 2507
ฝ่ายบริหารกลางทิเบตกล่าวว่ามีการอพยพชาวจีนฮั่นหลายล้านคนเข้าสู่ทิเบตเพื่อหลอมรวมทางวัฒนธรรม และโดยการแต่งงานข้ามกลุ่มชน มีความพยายามฟื้นฟูวัฒนธรรมดั้งเดิมของทิเบตไว้เพื่อการท่องเที่ยว แต่วิถีประจำวันแบบดั้งเดิมถูกเปลี่ยนแปลง แม้ว่าทางรัฐบาลกลางจะให้เสรีภาพทางศาสนาพอสมควร แต่พระและชียังคงรู้สึกว่าถูกจำกัดเสรีภาพอยู่และชาวทิเบต (ส่วนใหญ่เป็นพระ) ยังคงหลบหนีออกจากทิเบตทุกปี ชาวทิเบตส่วนใหญ่ยังเชื่อว่าโครงการที่รัฐบาลจีนอ้างว่าจะเป็นประโยชน์ต่อทิเบต เช่นถนนสายทิเบต-ชิงไห่ เป็นการเอื้อประโยชน์ให้กับการควบคุมทิเบตของรัฐบาลกลางและชาวจีนฮั่นที่อพยพเข้ามาจะได้ประโยชน์มากกว่าชาวทิเบตดั้งเดิม ข้อมูลของทางรัฐบาลจีนกล่าวว่าใน พ.ศ. 2280 ทิเบตมีประชากร 8 ล้านคน จากนั้นลดลงเหลือ 1.9 ล้านคนใน พ.ศ. 2502 จนปัจจุบันประชากรเพิ่มเป็น 7.3 ล้านคน โดยเป็นชาวทิเบตแท้ 5 ล้านคน ซึ่งการเพิ่มประชากรเป็นผลมาจากการปรับปรุงสภาพชีวิตความเป็นอยู่ให้ทันสมัยขึ้น รัฐบาลจีนยังปฏิเสธข้ออ้างของรัฐบาลพลัดถิ่นทิเบตเรื่องการกลืนชาติโดยชาวจีน โดยรัฐบาลจีนกล่าวว่าขอบเขตของทิเบตตามที่รัฐบาลพลัดถิ่นกล่าวอ้างใหญ่เกินไป บางส่วนคนส่วนใหญ่แต่เดิมไม่ใช่ชาวทิเบต
รัฐบาลจีนปฏิเสธข้อกล่าวอ้างที่ว่าคุณภาพชีวิตของชาวทิเบตตกต่ำลง โดยชี้ให้เห็นว่ามีการใช้ภาษาทิเบตในโรงเรียนและในศาล และชีวิตของชาวทิเบตได้รับการพัฒนาให้ดีกว่าสมัยดาไลลามะหลายด้าน ตัวอย่างเช่น ค่าจีดีพีของเขตปกครองตนเองทิเบตในปัจจุบันเป็น 30 เท่าของเมื่อ พ.ศ. 2493 มีทางหลวงมากกว่า 22,500 กิโลเมตร ซึ่งสร้างหลังจาก พ.ศ. 2493 มีการจัดระบบการศึกษาหลังจากรวมเข้ากับสาธารณรัฐประชาชนจีน และมีสถาบันวิจัยทางวิทยาศาสตร์ 25 แห่งที่รัฐบาลจีนสร้าง อัตราการตายของทารกลดลงจาก 43% ใน พ.ศ. 2493 เหลือ 0.66% ใน พ.ศ. 2543 ช่วงชีวิตเพิ่มขึ้นจาก 35.5 ปีใน พ.ศ. 2493 เป็น 67 ปี ใน พ.ศ. 2543 การปฏิวัติวัฒนธรรมและการทำลายวัฒนธรรมทั่วทั้งประเทศจีนถูกประณามว่าเป็นภัยพิบัติแห่งชาติ ซึ่งผู้ปลุกปั่นได้ถูกตัดสินในศาล และการริเริ่มขึ้นอีกเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ในประเทศจีนปัจจุบัน แผนพัฒนาภาคตะวันตกของจีนรวมทั้งทิเบตด้วย เป็นการมุ่งจะพัฒนาคุณภาพชีวิตของประชากรให้ดีขึ้น
พัฒนาการและอิทธิพล

ดาไลลามะองค์ปัจจุบันได้ตระเวนกล่าวปราศัยในหลายประเทศทั้งในสหรัฐและยุโรป ใน พ.ศ. 2528 ได้เริ่มการรณรงค์ให้มีการแก้ปัญหาโดยสันติเพื่อการเรียกร้องเอกราช จนกระทั่งกลายเป็นเอกราชไม่สำคัญ การได้ปกครองตนเองเป็นสิ่งที่ยอมรับได้ แนวคิดนี้เป็นที่รู้จักในชื่อทางสายกลาง ดาไลลามะได้รับการสนับสนุนอย่างกว้างขวางมากว่า 40 ปี แต่ไม่เคยได้รับการยอมรับจากรัฐบาลชาติต่าง ๆ ว่าในฐานะรัฐบาลพลัดถิ่น
ขบวนการที่เคลื่อนไหวเพื่อเอกราชของทิเบตมีหลายกลุ่มได้แก่
ขบวนการทิเบตเอกราช เริ่มก่อตั้งในทิเบตเมื่อ พ.ศ. 2530 – 2532 รัฐบาลจีนได้จับกุมพระสงฆ์ในขบวนการนี้ 10 รูปขังคุก และมี 3 รูปที่ยังคงถูกคุมขังจนปัจจุบัน
สภาเยาวชนทิเบต มีที่ตั้งที่ธรรมศาลาซึ่งเป็นที่ตั้งของรัฐบาลพลัดถิ่นทิเบตในอินเดีย กล่าวอ้างว่ามีสมาชิกถึง 70,000 คน
ขบวนการทิเบตเอกราชนานาชาติ มีที่ตั้งที่รัฐอินดีแอนา สหรัฐ ก่อตั้งเมื่อ พ.ศ. 2538 ในฐานะองค์กรที่เป็นทางการและมีจุดเน้นที่กิจกรรมระหว่างชาติ
องค์กรช่วยเหลือทิเบตนานาชาติ มีที่ตั้งที่อัมสเตอร์ดัม เนเธอร์แลนด์ ก่อตั้งเมื่อ พ.ศ. 2547 เพื่อเป็นองค์กรฝั่งยุโรปของขบวนการทิเบตเอกราชนานาชาติ
คอนเสิร์ตเพื่อเอกราชทิเบต

หลังจากที่วง Beastie Boys ได้ออกอัลบั้ม Ill Communication ใน พ.ศ. 2537 ได้มีการจัดตั้งกองทุนมิลาเรปะซึ่งตั้งชื่อตามลามะองค์สำคัญของทิเบตขึ้น เพื่อใช้ดนตรีสร้างความสนใจแก่ประชาชน ผู้ก่อตั้งกองทุนมิลาเรปะได้ร่วมมืองกับวง Beastie Boys และเกิดแนวคิดในการจัดคอนเสิร์ตเพื่อเอกราชทิเบตขึ้น
การจัดคอนเสิร์ตครั้งแรกมีขึ้นที่ ซานฟรานซิสโกเมื่อเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2539 ซึ่งมีผู้ให้ความสนใจถึง 100,000 คน และได้รายได้ 800,000 เหรียญสหรัฐเพื่อช่วยเหลือเอกราชของทิเบต และทำให้มีการศึกษาเกี่ยวกับทิเบตเพิ่มขึ้น
หนังสือเดินทางของทิเบต

ผู้ต่อสู้เพื่อเอกราชทิเบตหลายคนสนับสนุนแนวคิดว่ารัฐบาลพลัดถิ่นทิเบตควรจะออกหนังสือเดินทางทิเบตได้ แต่ยังไม่แน่นอนว่ารัฐบาลของประเทศต่าง ๆ จะยอมรับผู้ถือหนังสือเดินทางของทิเบตหรือไม่ ในบางประเทศยอมรับผู้ถือหนังสือเดินทางทิเบตในฐานะนักท่องเที่ยว แต่ยังไม่ได้ยอมรับอย่างเต็มรูปแบบ นอกจากนั้นยังเป็นปัญหากับทางรัฐบาลพลัดถิ่นทิเบตเองว่าจะตั้งสำนักงานออกหนังสือเดินทางที่ใด หนังสือเดินทางจะเป็นรูปแบบใด แบบดั้งเดิม แบบอ่านด้วยเครื่องจักร หรือแบบบันทึกข้อมูลทางชีวภาพ
แหล่งข้อมูลอื่น

International Tibet Independence Movement เก็บถาวร 2009-04-16 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
International Campaign for Tibet
Free Tibet Campaign (UK)
Free Tibet Campaign (USA) เก็บถาวร 2008-04-13 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Tibetan Youth Congress
ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก–ไซเดิล

ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก–ไซเดิล (อังกฤษ: Kirkpatrick–Seidel algorithm) หรือเรียกอีกชื่อว่า "ขั้นตอนวิธีแต่งงานก่อนเอาชนะ" (marriage-before-conquest algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้สำหรับคำนวณหา convex hull ของเซทจุดบนระนาบ โดยมีความซับซ้อนด้านเวลา (time complexity) เป็น O(n log h) ซึ่ง n คือจำนวนจุดนำเข้า และ h คือจำนวนขอบของ hull ดังนั้นขั้นตอนวิธีนี้เวลาในการคำนวณจึงขึ้นอยู่กับทั้งขนาดของข้อมูลนำเข้าและข้อมูลส่งออก (output-sensitive algorithm) ชื่อของขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก–ไซเดิล มาจากชื่อหลังของผู้คิดค้นได้แก่ เดวิด จี. เคิร์กแพทริก (David G. Kirkpatrick) และ ไรมุนด์ ไซเดิล (Raimund Seidel)
ขั้นตอนวิธี

ขั้นตอนวิธีที่ใช้หา convex hull แบบเดิมจะใช้ขั้นตอนวิธีการแบ่งแยกและเอาชนะ (divide-and-conquer algorithm) คือการแบ่งจุดที่นำเข้าออกเป็นสองส่วนที่เท่ากัน โดยใช้เส้นแนวตั้งในการแบ่ง และเวียนเกิดหา convex hull ของส่วนย่อยซ้ายและส่วนย่อยขวา จากนั้นนำทั้งสองส่วนย่อยมาผสานกัน ด้วยการหา "bridge edges" ซึ่งก็คือเส้นที่เชื่อมและสัมผัสทั้งสอง hulls จากทั้งด้านบนและด้านล่าง
ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก–ไซเดิล นั้นจะมีขั้นตอนกลับลำดับกันกับวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ คือหา bridge edges เลยโดยไม่จำเป็นต้องหา convex hull ก่อน ซึ่งในขั้นตอนแรกคือการแบ่งจุดโดยการหาเส้นแบ่งแนวตั้งที่ถูกกำหนดโดยค่ามัธยฐานของพิกัดแกน x ของจุดที่นำเข้าทั้งหมด ขั้นตอนต่อไปคือการหาเส้นขอบของ convex hull ที่ตัดกับเส้นแบ่งนั้น ซึ่งขั้นตอนนี้จะใช้เวลาเป็นเชิงเส้น (O(n)) หากจุดบนฝั่งซ้ายหรือฝั่งขวาของเส้นแบ่งที่ไม่ช่วยในการหาเส้นขอบจะถูกละทิ้ง ซึ่งในการหาขอบบนของ convex hull นั้นจุดที่ไม่ช่วยในการหาเส้นขอบและจะถูกละทิ้งคือ จุดที่อยู่ใต้ bridge edge ลงมา ในขณะที่การหาขอบล่างของ convex hull นั้นจุดที่อยู่เหนือ bridge edge ขึ้นไปจะถูกละทิ้ง จากนั้นเวียนเกิดด้วยจุดทางฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งที่ยังไม่ถูกละทิ้ง และด้วยจุดทางฝั่งขวาของเส้นแบ่งที่ยังไม่ถูกละทิ้งไปเรื่อยๆ จนกระทั่งได้ขอบของ convex hull ครบทั้งหมด โดยขั้นตอนวิธีนี้จะต้องแยกดำเนินการเพื่อหาขอบบน และขอบล่างของ convex hull อีกครั้ง
การหาเส้นขอบบนในเวลา O(n) นั้นเราจะสมมติให้เส้นขอบมีความชันเป็น K* จากนั้นเดาค่าความชัน K ขึ้นมาแล้วพยายามคำนวณค่า K* โดยเปรียบเทียบกับค่า K นั้น ให้ li จากนั้นทำการหาเส้นตรงที่มีความชัน K และผ่านจุดใดๆ ในเซทของจุดทั้งหมดที่นำเข้า ที่ทำให้ทุกๆ จุดในเซทอยู่ใต้มัน (เส้นนี้จะตัดกับเส้นแบ่งสูงที่สุด) เราสามารถหาเส้นนี้ได้ในเวลา O(n) ถ้าเส้นที่หาได้นี้ผ่านทั้งจุดทางฝั่งซ้ายและฝั่งขวาของเส้นแบ่ง เส้นนี้ก็คือเส้นขอบบนที่เรากำลังหาอยู่ แสดงว่าค่า K=K* แล้ว แต่ถ้าเส้นนี้ผ่านเฉพาะจุดทางฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งเท่านั้น แสดงว่าค่า K>K* จึงต้องเดาค่า K ใหม่ให้มีค่าที่น้อยลง และถ้าเส้นนี้ผ่านเฉพาะจุดทางฝั่งขวาของเส้นแบ่งเท่านั้น แสดงว่าค่า K<K* จึงต้องเดาค่า K ใหม่ให้มีค่าที่มากขึ้น จนกว่าจะเจอค่า K ที่เท่ากับ K* ซึ่งก็คือเส้นขอบบนที่หาอยู่ ในการหาเส้นขอบล่างก็ใช้วิธีคล้ายๆ แบบนี้ในการหาเช่นเดียวกัน
ความซับซ้อนด้านเวลา

ให้ h คือจำนวนขอบของ hull ถ้า h = 1 ในขั้นของการเวียนเกิดใดๆ แสดงว่าเส้นขอบเชื่อมระหว่างจุดซ้ายสุดและจุดขวาสุด ซึ่งจุดอื่นๆ ถูกละทิ้งไปหมดแล้ว ดังนั้นจึงใช้เวลา O(n)
ถ้าฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งมี  h_{L}\,\! ขอบ และฝั่งขวาของเส้นแบ่งมี  h_{R}\,\! ขอบ ดังนั้นจะได้  h=1+h_{L}+h_{R}\,\! และให้เวลาในการคำนวณของขั้นตอนวิธีนี้อธิบายได้โดย  T(n,h)\,\!
ให้  T(m,h')\leq cm\log h' เมื่อ  m<n\,\! และ  1<h'<h\,\! จะได้ว่า
จากนั้นใช้ความจริงที่ว่า  {\frac {1}{2}}(\log h_{L}+\log h_{R})\leq \log {\frac {h_{L}+h_{R}}{2}}\,\! จะได้
ดังนั้น  T(n,h)=O(n\log h)\,\!
แหล่งข้อมูลอื่น

ตัวอย่างการหา Convex Hull โดยใช้ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก–ไซเดิล
เรขาคณิตเชิงคำนวณ