stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ฟุตซอลทีมชาติฝรั่งเศส
การแข่งขัน > 2016

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 22 March 2016 Friendly | ฝรั่งเศส  | 3–4 |  โรมาเนีย | Toulouse, France |
|  |  | Report |  |  |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 23 March 2016 Friendly | ฝรั่งเศส  | 2–0 |  โรมาเนีย | Toulouse, France |
|  |  | Report |  |  |
ดูเพิ่ม

Official website
| ด ค กฟุตซอลทีมชาติในสหภาพสมาคมฟุตบอลยุโรป |
| --- | --- | --- |
| ฟุตซอลชาย | กรีซ · โครเอเชีย · คอซอวอ · คาซัคสถาน · จอร์เจีย · เช็กเกีย · ซานมารีโน · เซอร์เบีย · ไซปรัส · เดนมาร์ก · ตุรกี · นอร์เวย์ · เนเธอร์แลนด์ · บอสเนียและเฮอร์เซโกวีนา · บัลแกเรีย · เบลเยียม · เบลารุส · โปรตุเกส · โปแลนด์ · ฝรั่งเศส · ฟินแลนด์ · หมู่เกาะแฟโร · มอนเตเนโกร · มอลโดวา · มอลตา · มาซิโดเนีย · ยูเครน · เยอรมนี· ยิบรอลตาร์ · รัสเซีย · โรมาเนีย · ลักเซมเบิร์ก · ลัตเวีย · ลิกเตนสไตน์ · ลิทัวเนีย · เวลส์ · สกอตแลนด์ · สเปน · สโลวาเกีย · สโลวีเนีย · สวิตเซอร์แลนด์ · สวีเดน · ออสเตรีย · อังกฤษ · อันดอร์รา · อาเซอร์ไบจาน · อาร์เมเนีย · อิตาลี · อิสราเอล · เอสโตเนีย · แอลเบเนีย · ไอซ์แลนด์ · สาธารณรัฐไอร์แลนด์ · ไอร์แลนด์เหนือ · ฮังการี | ไฟล์:UEFA.png |
| ฟุตซอลหญิง | กรีซ · โครเอเชีย · คอซอวอ · คาซัคสถาน · จอร์เจีย · เช็กเกีย · ซานมารีโน · เซอร์เบีย · ไซปรัส · เดนมาร์ก · ตุรกี · นอร์เวย์ · เนเธอร์แลนด์ · บอสเนียและเฮอร์เซโกวีนา · บัลแกเรีย · เบลเยียม · เบลารุส · โปรตุเกส · โปแลนด์ · ฝรั่งเศส · ฟินแลนด์ · หมู่เกาะแฟโร · มอนเตเนโกร · มอลโดวา · มอลตา · มาซิโดเนีย · ยูเครน · เยอรมนี· ยิบรอลตาร์ · รัสเซีย · โรมาเนีย · ลักเซมเบิร์ก · ลัตเวีย · ลิกเตนสไตน์ · ลิทัวเนีย · เวลส์ · สกอตแลนด์ · สเปน · สโลวาเกีย · สโลวีเนีย · สวิตเซอร์แลนด์ · สวีเดน · ออสเตรีย · อังกฤษ · อันดอร์รา · อาเซอร์ไบจาน · อาร์เมเนีย · อิตาลี · อิสราเอล · เอสโตเนีย · แอลเบเนีย · ไอซ์แลนด์ · สาธารณรัฐไอร์แลนด์ · ไอร์แลนด์เหนือ · ฮังการี | ไฟล์:UEFA.png |
| ด ค กฟุตบอลทีมชาติฝรั่งเศส |
| --- | --- |
หัวข้อทั่วไป:  สหพันธ์ฟุตบอลฝรั่งเศส  ประวัติ  ผู้จัดการทีม  ชุดแข่ง 
ผลการแข่งขัน:  1904–20  1921–59  1960–79  1980–99  2000–19  2020–ปัจจุบัน 
สนาม:  ปาร์กเดแพร็งส์  สตาดเดอฟร็องส์  สนามกีฬาโอลิมปิกอีฟว์ ดูว์ มานัวร์ 
สถิติ:  สถิติตลอดกาล  ผู้ทำประตูสูงสุดตลอดกาล  แฮตทริก  สถิติ 
ผู้เล่น:  ผู้เล่นเรียงตามจำนวนนัดที่ลงเล่น  กัปตัน 
ประตู:  ตีแยรี อ็องรี  ซีเนดีน ซีดาน 
ฟุตบอลโลก:  สรุป  1930  1934  1938  1954  1958  1966  1978  1982  1986  1998  2002  2006  2010  2014  2018  2022 
ฟุตบอลชิงแชมป์แห่งชาติยุโรป:  สรุป  1960  1984  1992  1996  2000  2004  2008  2012  2016  2020 
ยูฟ่าเนชันส์ลีก:  สรุป  2021 
ฟีฟ่าคอนเฟเดอเรชันส์คัพ:  สรุป  2001  2003 
การแข่งขันรายการอื่น:  โอลิมปิกฤดูร้อน  Tournoi de France  เมดิเตอร์เรเนียนเกมส์ 
คู่ปรับ:  อังกฤษ  เยอรมนี  อิตาลี 
วัฒนธรรม:  ภูมิหลังพหุวัฒนธรรม  INF Clairefontaine  USFSA 
ทีมอื่น ๆ:  หญิง  หญิง U-17  หญิง U-19  ฝรั่งเศส เบ  U-16  U-17  U-18  U-19  U-20  U-21  ฟุตซอล  ฟุตบอลชายหาด  สมัครเล่น (ยุบ)
ฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี

| --- | --- |

ผู้จัด: สมาพันธ์ฟุตบอลอเมริกาเหนือ อเมริกากลาง และแคริบเบียน
ก่อตั้ง: 1962
ภูมิภาค: ทวีปอเมริกาเหนือ
จำนวนทีม: 35
ทีมชนะเลิศปัจจุบัน:  สหรัฐ  (ครั้งที่ 3)
ทีมที่ประสบความสำเร็จที่สุด:  เม็กซิโก  (13 ครั้ง)
เว็บไซต์: เว็บไซต์หลัก
 ฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี 2022
ฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี (อังกฤษ: CONCACAF Under-20 Championship) เป็นการแข่งขันกีฬาฟุตบอลระดับนานาชาติที่จัดขึ้นยาวนานเป็นอันดับสองในอเมริกาเหนือ, อเมริกากลาง และภูมิภาค แคริบเบียน จัดโดยสมาพันธ์ฟุตบอลอเมริกาเหนือ อเมริกากลาง และแคริบเบียน และเป็นการแข่งขันรอบคัดเลือกสำหรับฟุตบอลโลก รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี รูปแบบของการแข่งขันมีการเปลี่ยนแปลงตลอดหลายปีที่ผ่านมา ขณะนี้รูปแบบการแข่งขันที่เหมาะสมจะใช้ในรอบแรกจะแบ่งเป็น 4 กลุ่ม แข่งขันแบบพบกันหมด ซึ่งสองทีมอันดับแรกจากแต่ละกลุ่มจะได้ผ่านเข้าสู่การแข่งขันชิงชนะเลิศแบบแพ้คัดออก
ผู้ชนะแยกตามประเทศ

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |

| ทีม | ครองตำแหน่ง | รองชนะเลฺส |
|  เม็กซิโก | 13 (1962, 1970, 1973, 1974, 1976, 1978, 1980, 1984, 1990, 1992, 2011, 2013, 2015) | 3 (1988, 1996, 2018) |
|  สหรัฐ | 3 (2017, 2018, 2022) | 6 (1980, 1982, 1986, 1992, 2009, 2013) |
|  ฮอนดูรัส | 2 (1982, 1994) | 3 (1964, 1976, 2017) |
|  แคนาดา | 2 (1986, 1996) | 2 (1978, 1984) |
|  คอสตาริกา | 2 (1988, 2009) | 2 (1994, 2011) |
|  เอลซัลวาดอร์ | 1 (1964) |  |
|  กัวเตมาลา |  | 2 (1962, 1973) |
|  คิวบา |  | 2 (1970, 1974) |
|  ตรินิแดดและโตเบโก |  | 1 (1990) |
|  ปานามา |  | 1 (2015) |
|  สาธารณรัฐโดมินิกัน |  | 1 (2022) |

หมายเหตุ: ไม่มีตำแหน่งชนะเลิศหรือรองชนะเลิศระหว่างปี ค.ศ. 1998 ถึง 2007
แหล่งข้อมูลอื่น

Official Site
Results by RSSSF
| ด ค กฟุตบอลเยาวชนชิงแชมป์โลก และ ฟุตบอลโลก รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี |
| --- | --- |
ทัวร์นาเมนต์:  1977 ตูนีเซีย  1979 ญี่ปุ่น  1981 ออสเตรเลีย  1983 เม็กซิโก  1985 สหภาพโซเวียต  1987 ชิลี  1989 ซาอุดิอาระเบีย  1991 โปรตุเกส  1993 ออสเตรเลีย   1995 การ์ตา   1997 มาเลเซีย   1999 ไนจีเรีย   2001 อาร์เจนตินา   2003 สหรัฐอาหรับเอมิเรต  2005 เนเธอร์แลนด์  2007 แคนาดา  2009 อียิปต์  2011  โคลอมเบีย  2013 ตุรกี  2015 นิวซีแลนด์  2017 เกาหลีใต้  2019 โปแลนด์  2021 อินโดนีเซีย  2023 อาร์เจนตินา  2025 ชิลี  2027 รอประกาศ  
นัดชิงชนะเลิศ:  1979  2017  2019  2023  2025 
ผู้เล่น:  1977  1979  1981  1983  1985  1987  1989  1991  1993  1995  1997  1999  2001  2003  2005  2007  2009  2011  2013  2015  2017  2019  2021  2023  2025 
รอบคัดเลือก:  AFC  CAF  CONCACAF  CONMEBOL  OFC  UEFA 
 ทีมที่ลงแข่งขัน  บันทึกและสถิติ 
| ด ค กฟุตบอลระหว่างประเทศ |
| --- | --- | --- |
 ฟีฟ่า  สหพันธ์  ทีม  การแข่งขัน  ฟุตบอลโลก ยู-20  ยู-17  โอลิมปิก  โอลิมปิกเยาวชน  กีฬามหาวิทยาลัยโลก  อันดับโลก  รางวัลฟุตบอลยอดเยี่ยมของฟีฟ่า  ไทม์ไลน์ 
| แอฟริกา |  ซีเอเอฟ – แอฟริกาคัพออฟเนชันส์ ยู-23  ยู-20  ยู-17  เนชันส์ลีก  ภูมิภาค (เหนือ, ตะวันตก, กลาง, ตะวันออก, ใต้)  ระหว่างทวีป (อาหรับ)  |  |
| เอเชีย |  เอเอฟซี – เอเชียนคัพ ยู-23  ยู-20  ยู-17  ภูมิภาค (อาเซียน, ตะวันออก, ใต้, กลาง, ตะวันตก)  ระหว่างทวีป (อาหรับ)  |  |
| ยุโรป |  ยูฟ่า – ยูโร ยู-21  ยู-19  ยู-17  เนชันส์ลีก  |  |
| อเมริกาเหนือและกลาง และแคริบเบียน |  คอนคาแคฟ – โกลด์คัพ ยู-20  ยู-17  ยู-15  เนชันส์ลีก  ภูมิภาค (แคริบเบียน, อเมริกากลาง)  |  |
| โอเชียเนีย |  โอเอฟซี – โอเอฟซีเนชันส์คัพ ยู-20  ยู-16/ยู-17  |  |
| อเมริกาใต้ |  คอนเมบอล – โกปาอาเมริกา ยู-20  ยู-17  ยู-15  |  |
| กีฬาคนพิการ |  พาราลิมปิกเกมส์ ฟุตบอล 5 คน  ฟุตบอล 7 คน  ฟุตบอลผู้พิการทางสมองชิงแชมป์โลก  ฟุตบอลคนตาบอดชิงแชมป์โลก เวิลด์กรังด์ปรีซ์  ฟุตบอลคนหูหนวกชิงแชมป์โลก  ฟุตบอลผู้พิการขาขาดชิงแชมป์โลก  |  |
| ไม่ได้จัดโดยฟีฟ่า |  ซีโอเอ็นไอเอฟเอ – ซีโอเอ็นไอเอฟเอเวิลด์ฟุตบอลคัพ  ซีโอเอ็นไอเอฟเอยูโรเปียนฟุตบอลคัพ  ไอไอเอ – ไอแลนด์เกมส์  คณะกรรมการสหพันธ์ใหม่แห่งอเมริกาใต้ (ซีเอสเอเอ็นเอฟ)  พันธมิตรความสามัคคีแห่งฟุตบอลโลก (ดับเบิลยูยูเอฟเอ)  |  |
| เกมส์ |  ออลแอฟริกาเกมส์  เอเชียนเกมส์  อเมริกากลาง  อเมริกากลางและแคริบเบียน  ภูมิภาคเอเชียตะวันออก  แฟรงโคโฟนเกมส์  เกาะมหาสมุทรอินเดีย  ลูโซโฟนีเกมส์  เมดิเตอร์เรเนียนเกมส์  แพนอเมริกันเกมส์  แพนอาหรับเกมส์  แปซิฟิกเกมส์  กีฬาภูมิภาคเอเชียใต้  ซีเกมส์  |  |
 ดูเพิ่ม ภูมิศาสตร์  รหัส  สโมสร/ผู้เล่นแห่งศตวรรษ ฟุตบอลทีมหญิงระหว่างประเทศ ฟุตบอลผู้พิการทางสมองระหว่างประเทศ ฟุตบอลคนตาบอดระหว่างประเทศ ฟุตบอลคนหูหนวกระหว่างประเทศ ฟุตบอลผู้พิการขาขาดระหว่างประเทศ
ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน

กราฟของฟังก์ชันพื้น
กราฟของฟังก์ชันเพดาน
ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฟังก์ชันพื้น (อังกฤษ: floor function) คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ก่อนหน้า นั่นคือ floor (x) เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่ไม่มากกว่า x
ส่วน ฟังก์ชันเพดาน (อังกฤษ: ceiling function) คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ถัดจากจำนวนนั้น นั่นคือ ceiling (x) คือจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ไม่น้อยกว่า x
กราฟของฟังก์ชันพื้นและเพดานทั้งหมด มีลักษณะคล้ายฟังก์ชันขั้นบันได แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันขั้นบันได เนื่องจากมีช่วงบนแกน x เป็นจำนวนอนันต์
สัญกรณ์

เกาส์ได้แนะนำสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม [x] สำหรับแทนฟังก์ชันพื้น ในการพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเขาเมื่อ ค.ศ. 1808  สิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เรื่อยมา  จนกระทั่งอิเวอร์สัน (Kenneth E. Iverson) ได้แนะนำให้ใช้ชื่อ "floor" และ "ceiling" พร้อมกับทั้งแนะนำสัญกรณ์ ⌊x⌋ และ ⌈x⌉ สำหรับฟังก์ชันทั้งสองตามลำดับ เพื่อเขียนโปรแกรมภาษาเอพีแอลเมื่อ ค.ศ. 1962  ปัจจุบันสัญกรณ์ทั้งสองแบบก็ยังมีการใช้กันอยู่ในคณิตศาสตร์ สำหรับบทความนี้จะอธิบายด้วยสัญกรณ์ของอิเวอร์สัน
ฟังก์ชันพื้นอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากสุด (greatest integer function) หรือ อองเทียร์ (entier หมายถึงจำนวนเต็มในภาษาฝรั่งเศส) และสำหรับฟังก์ชันพื้นของจำนวนที่ไม่เป็นลบ x อาจเรียกว่าเป็น ภาคจำนวนเต็ม (integral part) ของ x ในภาษาโปรแกรมอื่นที่นอกเหนือจากภาษาเอพีแอล มักจะใช้สัญกรณ์ว่า ENTIER (x)  (ภาษาอัลกอล), floor (x) , หรือไม่ก็ int (x)  (ภาษาซี/ซีพลัสพลัส)  ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้สามารถเขียนเป็นวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองก็ได้  [\![x]\!]
ส่วนฟังก์ชันเพดานอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มน้อยสุด (least integer function) ในภาษาโปรแกรมอื่นมักจะใช้แทนด้วย ceil (x)  หรือ ceiling (x)  ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งคือวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองที่หันออก  ]\!]x[\![ หรือใช้เพียงแค่วงเล็บเหลี่ยมธรรมดาหันออกก็ได้ ]x[
สัญกรณ์ > ตัวอย่าง

| ค่า x | ฟังก์ชันพื้น ⌊x⌋ | ฟังก์ชันเพดาน ⌈x⌉ | ภาคเศษส่วน {x} |
| --- | --- | --- | --- |
| 2.7 | 2 | 3 | 0.7 |
| −2.7 | −3 | −2 | 0.3 |
| −2 | −2 | −2 | 0 |
| 12/5 = 2.4 | 2 | 3 | 2/5 = 0.4 |
สำหรับนิยามของภาคเศษส่วน ดูในหัวข้อถัดไป
นิยามและสมบัติ

ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ x, y เป็นจำนวนจริง k, m, n เป็นจำนวนเต็ม และ  \mathbb {Z}  คือเซตของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)
ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้
เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม m และ n ที่ทำให้
เราจะได้  \lfloor x\rfloor =m และ  \lceil x\rceil =n ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน
นอกจากนี้ก็ยังมี  \{x\}=x-\lfloor x\rfloor  และ  x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor
นิยามและสมบัติ > การเทียบเท่า

สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์
และสำหรับอสมการ
สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม n ภายในฟังก์ชัน
อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า n ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน
นิยามและสมบัติ > ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน

จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า
สำหรับจำนวนเต็ม n ประโยคนี้จะเป็นจริง
สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน
สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน
ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล
ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด
กำหนดให้ y มีค่าคงตัว x mod y จะเป็นนิจพล
และจากนิยาม
นิยามและสมบัติ > ผลหาร

ถ้า n ≠  0 แล้ว
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวก
ซึ่งเมื่อ m = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้
กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก m
สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้
เนื่องจากสูตรข้างต้น m และ n มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้
และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน
นิยามและสมบัติ > ผลหารซ้อน

สำหรับจำนวนเต็มบวก m และ n และจำนวนจริง x
นิยามและสมบัติ > ความต่อเนื่อง

ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊x⌋ กับ ⌈x⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {x} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน x mod y เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ y ถ้าให้ y มีค่าคงตัว
⌊x⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈x⌉ กับ {x} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน x mod y จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ y เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ y เป็นจำนวนลบ
นิยามและสมบัติ > การกระจายอนุกรม

เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย
สำหรับ x mod y โดยที่ y มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้
ด้วยสมบัติที่ว่า {x} = x mod 1 ดังนั้นจะได้
ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและทางขวา สำหรับ x mod y ซึ่ง y มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า y / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ y ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง
จากสูตรที่ว่า {x} = x − ⌊x⌋ จึงสรุปได้ว่า
การประยุกต์ใช้ > ภาคเศษส่วน

ภาคเศษส่วน (fractional part) เป็นฟังก์ชันฟันเลื่อย เขียนแทนด้วย {x} สำหรับทุกจำนวนจริง x ซึ่งนิยามโดยสูตรนี้
ภาคเศษส่วนของ x จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นคือ
ถ้า x เป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันพื้นของ x สามารถสรุปได้อย่างง่ายว่า เป็นค่า x ที่ตัดตัวเลขหลังจุดทศนิยมออกไป ดังนั้นภาคเศษส่วนของ x ก็คือค่า x ที่ตัดตัวเลขหน้าจุดทศนิยมออกไป
การประยุกต์ใช้ > มอดุโล

การดำเนินการมอดุโล (modulo) เขียนแทนด้วย x mod y สำหรับจำนวนจริง x และ y โดยที่ y ≠ 0 นิยามโดยสูตรนี้
ผลลัพธ์ของ x mod y จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง y นั่นคือ
ถ้า x เป็นจำนวนเต็มและ y เป็นจำนวนเต็มบวก
ฟังก์ชัน x mod y โดยที่ y เป็นค่าคงตัว จะเป็นฟังก์ชันฟันเลื่อยเช่นกัน
การประยุกต์ใช้ > การแลกเปลี่ยนกำลังสอง

การพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเกาส์ครั้งที่สาม ซึ่งปรับปรุงแก้ไขโดยไอเซนสไตน์ (Ferdinand Eisenstein) มีสองขั้นตอนพื้นฐานดังนี้
กำหนดให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคี่คนละตัวกัน และกำหนดให้
ขั้นตอนแรก สัญลักษณ์เลอช็องดร์ถูกนำมาเขียนอธิบายด้วยบทตั้งของเกาส์
ขั้นตอนที่สองคือใช้การให้เหตุผลทางเรขาคณิตเพื่อที่จะแสดงว่า
จากนั้นจึงเอาสูตรทั้งสองมารวมกัน ทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนกำลังสอง
สูตรต่อไปนี้เป็นการใช้ฟังก์ชันพื้นเพื่อแสดงลักษณะกำลังสองของจำนวนขนาดเล็ก มอดุโลกับจำนวนเฉพาะ p
การประยุกต์ใช้ > การปัดเศษ

บทความหลัก: การปัดเศษ
การปัดเศษจำนวนบวก x ไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ใกล้ที่สุด จะใช้วิธีการปัดเศษโดยครึ่งหนึ่งให้ปัดขึ้นโดยปกติ สามารถเขียนได้เป็น  \lfloor x+0.5\rfloor
การประยุกต์ใช้ > จำนวนหลัก

จำนวนหลักของจำนวนเต็มบวก k ในฐาน b คำนวณได้จาก  \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1
การประยุกต์ใช้ > ตัวประกอบของแฟกทอเรียล

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ p เป็นจำนวนเฉพาะ (ซึ่งเป็นบวกเช่นกัน) กำลังสูงสุดของ p ที่สามารถหาร n! (แฟกทอเรียลของ n) ได้ลงตัว คำนวณได้จากสูตรนี้
ผลรวมของอนุกรมนี้จำกัด เนื่องจากฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อ pk > n
การประยุกต์ใช้ > ลำดับบีตตี

ลำดับบีตตี (Beatty sequence) ได้แสดงไว้ว่าจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวกทุกจำนวน เมื่อผ่านฟังก์ชันพื้นแล้วจะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นสมาชิกของลำดับสองลำดับคู่กัน
การประยุกต์ใช้ > ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี

สูตรที่ใช้แสดงค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี γ = 0.57721 56649 … ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นและเพดาน ตัวอย่างเช่น
การประยุกต์ใช้ > ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

ฟังก์ชันภาคเศษส่วนปรากฏในการแจกแจงปริพันธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างตรงไปตรงมาด้วยการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน  โดยสมมติว่า φ (x) คือฟังก์ชันใด ๆ ที่มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงปิด [a, b]
กำหนดให้ φ (n) = n−s สำหรับส่วนจริงของ s ที่มากกว่า 1 และกำหนดให้ a, b เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง b มีค่าเข้าใกล้อนันต์ จะได้
สูตรนี้สามารถใช้ได้กับทุกค่าของ s ที่มีส่วนจริงมากกว่า −1 (ยกเว้นเมื่อ s = 1 เพราะจุดนั้นเป็นโพล) และเมื่อรวมเข้ากับการกระจายฟูรีเยของ {x} จะทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันซีตาได้กับทั้งระนาบเชิงซ้อน และใช้สำหรับพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน
สำหรับ s = σ + i t ภายในแถบวิกฤต (critical strip) เช่น 0 < σ < 1 Balthasar van der Pol ได้ใช้สูตรนี้เพื่อสร้างคอมพิวเตอร์แอนะล็อกสำหรับคำนวณรากของฟังก์ชันซีตาเมื่อ ค.ศ. 1974
การประยุกต์ใช้ > สูตรเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

n จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ
กำหนดให้ r > 1 เป็นจำนวนเต็ม, pn คือจำนวนเฉพาะตัวที่ n และ α ซึ่งนิยามโดย
เราจะได้ว่า
มีจำนวน θ = 1.3064… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ  \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots  เป็นจำนวนเฉพาะ
และมีจำนวน ω = 1.9287800… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ  \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots  เป็นจำนวนเฉพาะ
π (x) เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ คือนับว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เท่าไรที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x ซึ่งเป็นการลดทอนมาจากทฤษฎีบทของวิลสันที่ว่า
และถ้าหาก n ≥ 2 จะได้
แต่สูตรในส่วนนี้ที่กล่าวมาทั้งหมด ไม่มีการนำไปใช้จริงในทางปฏิบัติ
การประยุกต์ใช้ > ข้อปัญหาที่แก้ได้

รามานุจันได้ส่งข้อปัญหาที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นเหล่านี้ลงใน Journal of the Indian Mathematical Society
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า
\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor
\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor
\left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor
การประยุกต์ใช้ > ข้อปัญหาที่แก้ไม่ได้

จากการศึกษาข้อปัญหาของวาริง ได้นำไปสู่ปัญหาที่ยังไม่สามารถแก้ได้จนปัจจุบัน นั่นคือ
จริงหรือไม่ที่จำนวนเต็มบวก k ใด ๆ โดยที่ k ≥ 6 ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง
เคิร์ต มาห์เลอร์ เคยพิสูจน์และสรุปว่า มีเพียงจำนวนจำกัดจำนวนหนึ่งเท่านั้นสำหรับ k ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น นอกเหนือจากนั้นยังไม่สามารถสรุปได้
การใช้งานในคอมพิวเตอร์ > ภาษาโปรแกรม

ภาษาซี ภาษาซีพลัสพลัส และภาษาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง (เช่นภาษาซีชาร์ป ภาษาจาวา) มีฟังก์ชันมาตรฐาน floor ()  สำหรับฟังก์ชันพื้น  และ ceil ()  สำหรับฟังก์ชันเพดาน
นอกจากนี้ยังมีอีกวิธีการหนึ่งคือการแปลงจำนวนจุดลอยตัว (floating point) ไปเป็นจำนวนเต็มโดยการกำกับชนิดข้อมูล  (int) value ซึ่งจะทำให้ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมถูกตัดออกไปทั้งหมด ไม่ว่าจำนวนนั้นจะเป็นบวกหรือลบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถูกปัดเศษไปยังค่าศูนย์
เชิงอรรถ

↑  Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
↑  Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
↑  Lemmermeyer, pp. 10, 23
↑  ตัวอย่างเช่น Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim ใช้สัญกรณ์ของเกาส์ ในขณะที่ Graham, Knuth & Patashnik และ Crandall & Pomerance ใช้สัญกรณ์ของอิเวอร์สัน
↑  Higham, p. 25
↑  Iverson
↑  Sullivan, p. 86
↑  Mathwords: Floor Function
↑  Mathwords: Ceiling Function
↑  Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 72
↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
↑  Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
↑  Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
↑  Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70
↑  Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32-1.33
↑  Hardy & Wright, §§ 6.11-6.13
↑  Lemmermeyer, p. 25
↑  Hardy & Wright, Th. 416
↑  Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77-78
↑  สูตรเหล่านี้มาจากบทความ ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี และยังมีอีกมาก
↑  Titchmarsh, p. 13
↑  Titchmarsh, pp.14-15
↑  Crandall & Pomerance, p. 391
↑  Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
↑  Hardy & Wright, § 22.3
↑  Ribenboim, p. 186
↑  Ribenboim, p. 186
↑  Ribenboim, p. 181
↑  Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
↑  Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
↑  Hardy & Wright, p. 337
↑  Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124
↑  "สำเนาที่เก็บถาวร". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-03-18. สืบค้นเมื่อ 2009-09-24.
↑  "สำเนาที่เก็บถาวร". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-03-29. สืบค้นเมื่อ 2009-09-24.
↑  ISO standard for C, § 6.3.1.4, p. 43.
ดูเพิ่ม

ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด
ฟังก์ชันขั้นบันได
กราฟของการแปลงเป็นจำนวนเต็ม (int)
ฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี 2022 รอบคัดเลือก

| รายละเอียดการแข่งขัน |
| --- | --- |
ประเทศเจ้าภาพ: สาธารณรัฐโดมินิกัน
วันที่: 5–13 พฤศจิกายน ค.ศ. 2021
ทีม: 18 (จาก 1 สมาพันธ์)
สถิติการแข่งขัน
จำนวนนัดที่แข่งขัน: 31
จำนวนประตู: 131 (4.23 ประตูต่อนัด)
ผู้ทำประตูสูงสุด:  จูรูเอล เบอร์นาดินา (6 ประตู)
← 2020 2024 → 
การแข่งขันฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี 2022 รอบคัดเลือก (อังกฤษ: 2022 CONCACAF U-20 Championship qualifying) จัดขึ้นระหว่างวันที่ 5–13 พฤศจิกายน พ.ศ. 2564 ในซานโตโดมิงโก สาธารณรัฐโดมินิกัน ทีมต่าง ๆ แข่งขันกันเพื่อคัดเลือกโควต้า 4 ทีมจากทั้งหมด 20 ทีมในการแข่งขันรอบสุดท้ายของการแข่งขันฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี
ทีม

คอนคาแคฟทั้ง 41 ทีมได้รับการจัดอันดับตามการจัดอันดับฟุตบอลชาย รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี ของคอนคาแคฟ ณ เดือนมิถุนายน ค.ศ. 2019 มีทั้งหมด 34 ทีมที่เข้าร่วมการแข่งขัน ผู้เข้าแข่งขันที่มีอันดับสูงสุด 16 ทีมได้รับการยกเว้นจากรอบคัดเลือกและได้ผ่านเข้าสู่รอบแบ่งกลุ่มของการแข่งขันรอบสุดท้ายโดยตรง ในขณะที่ผู้เข้าแข่งขันที่มีอันดับต่ำสุด 18 ทีมได้เข้าร่วมในรอบคัดเลือก โดยที่ผู้ชนะทั้งสี่กลุ่มได้ผ่านเข้าสู่รอบ 16 ทีมสุดท้ายของรอบแพ้คัดออกของ การแข่งขันรอบสุดท้าย
1 2 3 4 5 6  ไม่ใช่สมาชิกฟีฟ่าจึงไม่มีสิทธิ์เล่นฟุตบอลโลก
แหล่งข้อมูลอื่น

Under 20s – Men, CONCACAF.com
ฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี 2024 รอบคัดเลือก

| รายละเอียดการแข่งขัน |
| --- | --- |
ประเทศเจ้าภาพ: นิการากัว (กลุ่ม A) แอนติกาและบาร์บูดา (กลุ่ม B) กัวเตมาลา (กลุ่ม C) ตรินิแดดและโตเบโก (กลุ่ม ดี) เซนต์คิตส์และเนวิส (กลุ่ม E และ F)
วันที่: 23 กุมภาพันธ์ – 2 มีนาคม 2024
ทีม: 27 (จาก 1 สมาพันธ์)
สถิติการแข่งขัน
จำนวนนัดที่แข่งขัน: 48
จำนวนประตู: 204 (4.25 ประตูต่อนัด)
ผู้ทำประตูสูงสุด:  อาซาร์นี คอลวู้ด (6 ประตู)
← 2022 2026 → 
การแข่งขันฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี 2024 รอบคัดเลือก (อังกฤษ: 2024 CONCACAF U-20 Championship qualifying) จัดขึ้นระหว่างวันที่ 23 กุมภาพันธ์ถึง 2 มีนาคม พ.ศ. 2567 ในห้าประเทศในอเมริกากลาง และแคริบเบียน ทุกทีมแข่งขันกันเพื่อชิงโควต้า 6 ตำแหน่งจากทั้งหมด 12 ตำแหน่งเพื่อเข้าแข่งขันฟุตบอลชิงแชมป์คอนคาแคฟ รุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี 2024รอบสุดท้าย
การแข่งขันรอบคัดเลือกมีการเปลี่ยนแปลงรูปแบบจากสองครั้งก่อนหน้านี้ จำนวนทีมที่เข้าร่วมในรอบคัดเลือกเพิ่มขึ้นเนื่องจากมีเพียง 6 ทีมเท่านั้นที่ได้รับการยกเว้นจากรอบนี้ ด้วยเหตุนี้ กลุ่มที่ผ่านการคัดเลือกจึงเพิ่มจาก 4 กลุ่มเป็น 6 กลุ่ม โดยผู้ชนะของทั้งหกกลุ่มจะผ่านเข้ารอบสุดท้าย แทนที่จะเป็นสี่ทีมที่ผ่านเข้ารอบในสองครั้งก่อนหน้านี้
เช่นเดียวกับในการแข่งขันปี 2020 แต่ละกลุ่มที่ผ่านการคัดเลือกจะจัดขึ้นในประเทศใดประเทศหนึ่ง
ทีม

ทีมชาติทั้ง 41 ทีมของคอนคาแคฟ ได้รับการจัดอันดับตามการจัดอันดับฟุตบอลชายรุ่นอายุไม่เกิน 20 ปี ของคอนคาแคฟ ณ วันที่ 12 มิถุนายน พ.ศ. 2566 มีทีมทั้งหมด 33 ทีมเข้าร่วมการแข่งขันรอบคัดเลือกหรือรอบสุดท้าย ผู้เข้าแข่งขันที่มีอันดับสูงสุด 6 ทีมได้รับการยกเว้นจากรอบคัดเลือกและได้ผ่านเข้าสู่รอบแบ่งกลุ่มของการแข่งขันรอบสุดท้ายโดยตรง ในขณะที่ผู้เข้าแข่งขันที่มีอันดับต่ำสุด 27 ทีมจะต้องเข้าร่วมในรอบคัดเลือก โดยผู้ชนะทั้งหกกลุ่มจะเข้าร่วมกับหกทีมที่มีอันดับสูงสุดในรอบแบ่งกลุ่มของการแข่งขันรอบสุดท้าย
1 2 3 4 5 6  ไม่ใช่สมาชิกฟีฟ่าจึงไม่มีสิทธิ์แข่งขันฟุตบอลโลก
แหล่งข้อมูลอื่น

CONCACAF Under-20 Championship at CONCACAF.com
ฟุตซอลทีมชาติเนเธอร์แลนด์

ฟุตซอลแห่งชาติเนเธอร์แลนด์ (อังกฤษ: Netherlands national futsal team)เป็นตัวแทนของทีมชาติเนเธอร์แลนด์ ในการแข่งขันฟุตซอลนานาชาติเช่น ฟุตซอลชิงแชมป์โลก และ ฟุตซอลชิงแชมป์ยุโรป และอยู่ภายใต้การดูแลของราชสมาคมฟุตบอลเนเธอร์แลนด์ (KNVB)  เนเธอร์แลนด์ได้จัดฟุตซอลชิงแชมป์โลกเป็นครั้งแรกในปี1989 ที่เมืองรอตเทอร์ดาม และได้อันดับ2ในปีเดี่ยวกันนั้นเอง
รายการที่เข้าร่วม > ฟุตซอลชิงแชมป์โลก

ดูเพิ่ม: ฟุตซอลชิงแชมป์โลก
| ฟุตซอลชิงแชมป์โลก> ปี | ฟุตซอลชิงแชมป์โลก> รอบ | ฟุตซอลชิงแชมป์โลก> แข่ง | ฟุตซอลชิงแชมป์โลก> ชนะ | ฟุตซอลชิงแชมป์โลก> เสมอ | ฟุตซอลชิงแชมป์โลก> แพ้ | ฟุตซอลชิงแชมป์โลก> GS | ฟุตซอลชิงแชมป์โลก> GA |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  1989 | อันดับที่ 2 | 8 | 4 | 2 | 2 | 21 | 21 |
|  1992 | รอบ 2 | 6 | 3 | 1 | 2 | 15 | 15 |
|  1996 | รอบ 2 | 6 | 2 | 2 | 2 | 23 | 20 |
|  2000 | รอบ 2 | 6 | 3 | 0 | 3 | 17 | 20 |
|  2004 | ไม่ผ่านรอบคัดเลือก | - | - | - | - | - | - |
|  2008 | ไม่ผ่านรอบคัดเลือก | - | - | - | - | - | - |
|  2012 | ไม่ผ่านรอบคัดเลือก | - | - | - | - | - | - |
|  2016 | ไม่ผ่านรอบคัดเลือก | - | - | - | - | - | - |
| รวม | 4/8 | 26 | 12 | 5 | 9 | 76 | 76 |