stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Н

| En |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

อักษรซีริลลิก
| А | Б | В | Г | Ґ | Ѓ | Д |
| Ђ | Е | Ѐ | Ё | Є | Ж | З |
| Ѕ | И | Ѝ | І | Ї | Й | Ј |
| К | Л | Љ | М | Н | Њ | О |
| П | Р | С | Т | Ћ | Ќ | У |
| Ў | Ф | Х | Ц | Ч | Џ | Ш |
| Щ | Ъ | Ы | Ь | Э | Ю | Я |
ไม่ใช่กลุ่มภาษาสลาฟ
| Ӑ | Ӓ | Ә | Ӛ | Ӕ | Ғ | Ҕ |
| Ӻ | Ӷ | Ԁ | Ԃ | Ӗ | Ӂ | Җ |
| Ӝ | Ԅ | Ҙ | Ӟ | Ԑ | Ӡ | Ԇ |
| Ӣ | Ҋ | Ӥ | Қ | Ӄ | Ҡ | Ҟ |
| Ҝ | Ԟ | Ԛ | Ӆ | Ԓ | Ԡ | Ԉ |
| Ԕ | Ӎ | Ӊ | Ң | Ӈ | Ҥ | Ԣ |
| Ԋ | Ӧ | Ө | Ӫ | Ҩ | Ҧ | Ҏ |
| Ԗ | Ҫ | Ԍ | Ҭ | Ԏ | Ӯ | Ӱ |
| Ӳ | Ү | Ұ | Ҳ | Ӽ | Ӿ | Һ |
| Ҵ | Ҷ | Ӵ | Ӌ | Ҹ | Ҽ | Ҿ |
| Ӹ | Ҍ | Ӭ | Ԙ | Ԝ | Ӏ |   |
อักษรซีริลลิกโบราณ
| Ҁ | Ѻ | Ѹ | Ѡ | Ѿ | Ѣ | Ꙓ |
| Ꙗ | Ѥ | Ѧ | Ѫ | Ѩ | Ѭ | Ѯ |
| Ѱ | Ѳ | Ѵ | Ѷ | Ꙟ |   |   |
En (Н, н) เป็นอักษรหนึ่งในอักษรซีริลลิก ใช้แทนเสียง /n/ เหมือน n ในภาษาอังกฤษ หรือ น ในภาษาไทย แต่จะเปลี่ยนเป็น /nʲ/ เมื่ออักษรตัวนี้อยู่ก่อนหน้าสระที่เลื่อนเสียงไปทางเพดานแข็ง อักษรนี้มีลักษณะเหมือนกับอักษรละติน H ทั้งตัวเล็กและตัวใหญ่
อักษรนี้มีพัฒนาการมาจากอักษรกรีก นิว (Ν, ν) ซึ่งมีชื่อเดิมคือ našǐ และมีค่าเลขซีริลลิกเท่ากับ 50
ตำแหน่งอักขระ

| ชุดอักขระ | อักษร | ฐานสิบ | ฐานสิบหก |
| --- | --- | --- | --- |
| ยูนิโคด | ตัวใหญ่ | 1053 | U+041D |
| ยูนิโคด | ตัวเล็ก | 1085 | U+043D |
| ISO 8859-5 | ตัวใหญ่ | 189 | 0xBD |
| ISO 8859-5 | ตัวเล็ก | 221 | 0xDD |
| KOI8 | ตัวใหญ่ | 238 | 0xEE |
| KOI8 | ตัวเล็ก | 206 | 0xCE |
| Windows-1251 | ตัวใหญ่ | 205 | 0xCD |
| Windows-1251 | ตัวเล็ก | 237 | 0xED |
เกเลน

ภาพวาดเกเลนในศตวรรษที่ 18 โดยเกออร์ก เพาล์ บัสช์
เกเลน (อังกฤษ: Galen; กรีก: Γαληνός, Galēnos; ละติน: Claudius Galenus; ค.ศ. 129 - ประมาณ ค.ศ. 200 หรือ 216) แห่งเพอร์กามอน เป็นแพทย์ชาวโรมันเชื้อสายกรีกซึ่งเขามีอิทธิพลต่อวิทยาศาสตร์การแพทย์ของตะวันตกมาเป็นเวลานานกว่าพันปี ชื่อหน้า "Claudius" ซึ่งไม่ได้ระบุเอาไว้ในเอกสารภาษากรีก ปรากฏอยู่ในเอกสารในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา
ชีวิต

เกเลนเกิดที่เมืองเพอร์กามอน (Pergamum), มีเชีย (Mysia) (ปัจจุบันคือเมืองเบอร์กามา (Bergama) ประเทศตุรกี)  เป็นบุตรของสถาปนิกที่มีฐานะชื่อ อียูลิอุส นิคอน (Aeulius Nicon) เขามีความสนใจในหลายๆ ด้าน เช่น เกษตรกรรม สถาปัตยกรรม ดาราศาสตร์ โหราศาสตร์ ปรัชญา ก่อนที่สุดท้ายจะสนใจในวิชาการแพทย์
เมื่อเขาอายุ 20 ปี เขาได้ทำงานเป็นผู้ช่วยรักษาโรคของเทพเจ้าแอสคลีปิอุส (Asclepius) ในโบสถ์ท้องถิ่นเป็นเวลา 4 ปี แม้ว่าเกเลนจะสนใจศึกษาร่างกายมนุษย์ แต่การชำแหละร่างกายมนุษย์ในสมัยนั้นถือว่าขัดกับกฎหมายของโรมัน เขาจึงศึกษาในหมู เอป และสัตว์อื่นๆ แทน ข้อจำกัดทางกฎหมายที่ไม่อนุญาตให้ศึกษาร่างกายมนุษย์ทำให้เขาเข้าใจอวัยวะต่างๆ ของมนุษย์ผิดไป ตัวอย่างเช่นเขาคิดว่า rete mirabile ซึ่งเป็นกลุ่มหลอดเลือดที่อยู่ใกล้ด้านหลังของสมองนั้นพบได้ทั่วไปในมนุษย์ แต่ความเป็นจริงแล้วโครงสร้างนี้พบได้เฉพาะในสัตว์บางชนิดเท่านั้น หลังจากที่บิดาของเขาเสียชีวิตในปี ค.ศ. 148 หรือ ค.ศ. 149 เข้าได้ออกจากเมืองเพอร์กามอนเพื่อไปศึกษาในเมืองสเมอร์นา (Smyrna), โครินธ์ และอเล็กซานเดรีย เป็นเวลา 12 ปี ในปี ค.ศ. 157 เกเลนได้กลับมาที่เมืองเพอร์กามอน และทำงานเป็นแพทย์ในโรงเรียนสอนกลาดิอาตอร์เป็นเวลา 3-4 ปี ในช่วงเวลานี้เองที่เขาได้รับประสบการณ์มากมายในการรักษาอาการบาดเจ็บโดยเฉพาะบาดแผล ซึ่งในเวลาต่อมาเขาเรียกว่าเป็น หน้าต่างที่เปิดเข้าสู่ร่างกาย (windows into the body)
เกเลนเป็นผู้ที่กล้าผ่าตัดในบริเวณที่ไม่มีใครกล้าทำ เช่น การผ่าตัดสมองหรือดวงตา ซึ่งแม้กระทั่งหลังจากยุคเกเลนเป็นเวลากว่าสองพันปีก็ไม่มีใครกล้าทำเช่นเขา ในการผ่าตัดต้อกระจก เกเลนได้ใส่เครื่องมือลักษณะคล้ายเข็มเข้าไปในหลังเลนส์ตา แล้วจึงดึงเครื่องมือไปทางด้านหลังเล็กน้อยเพื่อเอาต้อกระจกออก การดึงเครื่องมือไถลไปแม้เพียงเล็กน้อยก็อาจทำให้ตาบอดถาวรได้
เกเลนย้ายไปที่โรมในปี ค.ศ. 162 ซึ่งเป็นที่ที่เขาบรรยาย มีงานเขียน และสาธิตความรู้ทางด้านกายวิภาคศาสตร์อย่างมาก เกเลนเริ่มมีชื่อเสียงมากขึ้นในฐานะที่เป็นแพทย์ที่มีประสบการณ์ ทำให้มีนักเรียนมาเรียนกับเขามากมาย ซึ่งในจำนวนนั้นก็มีกงสุลนามว่า ฟลาวิอุส โบเอธิอุส (Flavius Boethius) ซึ่งได้แนะนำเขาให้เข้าสู่อิมพีเรียล คอร์ท (imperial court) เกเลนได้เป็นแพทย์ประจำพระองค์ของจักรพรรดิมาร์คุส ออเรลิอุส (Marcus Aurelius) แม้เกเลนจะเป็นสมาชิกของอิมพีเรียล คอร์ท แต่เกเลนกลับเลี่ยงที่จะใช้ภาษาละติน แต่พูดและเขียนภาษากรีกซึ่งเป็นภาษาแม่ของเขา เกเลนเป็นแพทย์ที่ถวายการรักษาจักรพรรดิของโรมันหลายพระองค์ เช่น ลูซิอุส เวรุส (Lucius Verus) , คอมโมดุส (Commodus) , และเซพติมิอุส เซเวรุส (Septimius Severus) ในปี ค.ศ. 166 เกเลนได้เดินทางกลับเมืองเพอร์กามอน และอยู่ที่นั่น แล้วเดินกลับมาที่โรมครั้งสุดท้ายในปี ค.ศ. 169
เกเลนใช้เวลาที่เหลือของชีวิตในอิมพีเรียล คอร์ท และทำงานเขียนและการทดลอง เขาได้ทดลองชำแหละสัตว์ที่มีชีวิตอยู่หลายชนิดเพื่อศึกษาหน้าที่ของไตและไขสันหลัง
มีรายงานว่าเกเลนใช้เสมียนจำนวน 12 คนในการจดบันทึกงานของเขา ในปี ค.ศ. 191 เกิดเพลิงไหม้ในวิหารแห่งความสงบ (Temple of Peace) เพลิงทำลายงานเขียนของเขาบางส่วน จากเอกสารอ้างอิงในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 10 กล่าวว่าเกเลนน่าจะเสียชีวิตในราว ค.ศ. 200 แต่มีนักวิจัยบางคนแย้งว่ามีหลักฐานงานเขียนของเกเลนที่เขียนในราวปี ค.ศ. 207 ดังนั้นเกเลนน่าจะมีชีวิตหลังจากนี้ ปีที่เกเลนน่าจะเสียชีวิตที่มีการเสนอขึ้นคือในราวปี ค.ศ. 216
มรดกของเกเลน

มีการแปลงานของเกเลนจำนวน 129 ชิ้นเป็นภาษาอาหรับในราวปี ค.ศ. 830 - ค.ศ. 870 โดยฮุไนน์ อิบน์ อิชาก (Hunayn ibn Ishaq) และผู้ช่วย และมีการก่อตั้งแบบแผนของการแพทย์อิสลามขึ้นตามแนวคิดของเกเลนที่ยึดมั่นในการหาความรู้ทางการแพทย์อย่างเป็นระบบที่มีเหตุและผล ซึ่งแบบแผนนี้ได้แพร่กระจายไปทั่วจักรวรรดิอาหรับ ชาวอาหรับนับถือเกเลนเป็นอย่างสูง แต่ก็ไม่มีการผ่าตัดอย่างที่เกเลนเคยทำ ส่วนในโลกคริสเตียนตะวันตกมีการห้ามผ่าตัดเนื่องจากถือว่าเป็นบาปและเป็นพวกนอกศาสนา หนังสือของมุฮัมมัด อิบน์ ซะกะรียะ ราซิ (Muhammad ibn Zakarīya Rāzi, เสียชีวิต ค.ศ. 925) ที่ชื่อ "Doubts on Galen" (ข้อสงสัยเกี่ยวกับเกเลน) รวมทั้งงานเขียนของ อิบน์ อัล-นะฟิส (Ibn al-Nafis) แสดงให้เห็นว่างานของเกเลนนั้นไม่ใช่งานที่ปราศจากข้อสงสัย แต่เป็นพื้นฐานที่น่าท้าทายสำหรับการศึกษาเพิ่มเติมในอนาคต ทำให้มีการศึกษาจากการทดลองและประสบการณ์เกิดเป็นความรู้และข้อสังเกตใหม่ๆ ซึ่งมีทั้งที่ต่างไปจากของเกเลนและเพิ่มเติมเนื้อหาของเกเลนให้สมบูรณ์โดยแพทย์ชาวอาหรับ เช่น ราซี (Razi) , อาลี อิบน์ อับบัส อัล-มะจุซิ (Ali ibn Abbas al-Majusi, Haly Abbas) , อาบู อัล-กาซิม อัล-เซาะห์ระวิ (Abu al-Qasim al-Zahrawi, Abulasis) , แอวิเซนนา (Avicenna) , อิบน์ ซุห์ร (Ibn Zuhr, Avenzoar) และ อิบน์ อัล-นะฟิส (Ibn al-Nafis)
คอนสแตนตินชาวแอฟริกา (Constantine the African) เป็นผู้หนึ่งที่ช่วยนำการแพทย์สมัยกรีกกลับไปยังยุโรป ผลงานการแปลงานของฮิปโปกราเตสและเกเลนของเขา ทำให้ชาวตะวันตกเห็นมุมมองการแพทย์ของกรีกทั้งหมดเป็นครั้งแรก
ต่อมาในยุโรปยุคกลาง งานเขียนของเกเลนเกี่ยวกับกายวิภาคศาสตร์กลายมาเป็นตำราหลักของหลักสูตรการเรียนแพทย์ในมหาวิทยาลัย แต่ก็มีอุปสรรคเนื่องจากการหยุดชะงักและความซบเซาของการศึกษา ในทศวรรษที่ 1530 นักกายวิภาคและแพทย์ชาวเบลเยียมชื่อว่า แอนเดรียส เวซาเลียส (Andreas Vesalius) ได้แปลตำราของเกเลนจากภาษากรีกเป็นภาษาละติน งานของเวซาเลียสอันมีชื่อเสียงชื่อว่า De humani corporis fabrica ได้รับอิทธิพลอย่างมากจากงานเขียนของเกเลน เนื่องจากเวซาเลียสต้องการจะรื้อฟื้นวิธีการและทัศนคติการศึกษาของเกเลน เขาจึงทำการชำแหละร่างกายมนุษย์ถือเป็นการปฏิวัติปรัชญาธรรมชาติของเกเลน เวซาเลียสถือเป็นผู้รือฟื้นงานเขียนของเกเลนและทำให้เกเลนเป็นที่รู้จักมากขึ้นผ่านทางหนังสือและงานสอน ตั้งแต่มีการแปลตำราส่วนใหญ่ของเกเลนเป็นภาษาอาหรับทำให้ชาวตะวันออกกลางรู้จักและเรียกเขาว่า "Jalinos" (จาลินอส)  เกเลนเป็นผู้ที่สามารถจำแนกหลอดเลือดดำ (สีแดงเข้ม) ออกจากหลอดเลือดแดง (สีจางกว่าและเล็กกว่า) ซึ่งทำหน้าที่แตกต่างกัน โดยเชื่อว่าเลือดดำมีต้นกำเนิดมาจากตับ และเลือดแดงมีต้นกำเนิดจากหัวใจ เลือดจะไหลจากอวัยวะเหล่านี้ไปให้ส่วนต่างๆ ของร่างกายได้นำไปใช้
การรักษาโรคเกือบทุกโรคของเกเลนโดยการผ่าเอาเลือดออก (bloodletting) มีอิทธิพลอย่างมากและมีการปฏิบัติจนถึงคริสต์ศตวรรษที่ 19
แหล่งข้อมูลอื่น > งานของเกเลน

Galen, On the Natural Faculties English translation
Galen, Commentary on Hippocrates "On the nature of man"
Galen, Exhortation to the Study of the Arts especially Medicine: To Menodotus
Galen, On diagnosis from dreams
แหล่งข้อมูลอื่น > อื่นๆ

Galen University เก็บถาวร 2007-10-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Galen เก็บถาวร 2007-12-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Galen, University of Dayton เก็บถาวร 2006-08-19 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Galen: A Biographical Sketch เก็บถาวร 2007-12-29 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Greek Biology and Medicine by Henry Osborn Taylor (1922) เก็บถาวร 2006-02-11 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Greek Biology and Medicine by Henry Osborn Taylor (1922) : Chapter 5 - "The Final System: Galen" เก็บถาวร 2007-04-06 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Galen and the Greek-Hellenic History of Medicine เก็บถาวร 2009-09-19 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Misconceptions เก็บถาวร 2008-03-24 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
เส้นโค้งเชิงวงรี

เส้นโค้งเชีงพีชคณิตแบบหนึ่ง
ระวังสับสนกับ วงรี
แคตตาล็อกเส้นโค้งเชิงวงรี บริเวณของกราฟคือ x, y ∈ [−3,3]
(หมายเหตุ: เมื่อ (a, b) = (0, 0) ฟังก์ชันนี้ไม่เรียบ ฉะนั้นจึงไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี)
ในคณิตศาสตร์ เส้นโค้งเชิงวงรี (อังกฤษ: elliptic curve) คือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตโปรเจคทีฟที่เป็นเส้นโค้งเรียบและมีจีนัสเท่ากับ 1 และจุดพิเศษ O กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งเชิงวงรีนิยามบนฟีลด์ K และประกอบไปด้วยจุดใน K2 ถ้าค่าแคแรคเตอริสติกของฟีลด์นั้นไม่เท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วเส้นโค้งเชิงวงรีสามารถเขียนอยู่ในรูปผลเฉลยของสมการ
สำหรับบาง a และ b ใน K
เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน นั่นคือจะต้องไม่มีบัพแหลม (cusp) และไม่ตัดตัวเอง (non-self-intersecting) ซึ่งสมมูลกับเงื่อนไขที่ว่า 4a3 + 27b2 ≠ 0 นั่นคือสมการข้างต้นไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร x โดยทั่วไปถือว่าเส้นโค้งเชิงวงรีอยู่บนระนาบเชิงการฉายโดยมีจุด O  ผู้เขียนหลายคนนิยามให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งที่กำหนดด้วยสมการข้างต้น (ถ้า K มีแคแรคเตอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการข้างต้นจะไม่ครอบคลุมเส้นโค้งกำลังสามทั้งหมด, ดูหัวข้อ § เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป ด้านล่าง)
เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นวาไรอิตีอาบีเลียน นั่นคือมีกรุปอาบีเลียนนิยามบนเส้นโค้งดังกล่าว และ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป
ถ้า y2 = P(x) เมื่อ P เป็นพหุนามกำลังสามใด ๆ ที่ไม่มีรากซ้ำ แล้วเซตของผลเฉลยของสมการข้างต้นจะเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่ไม่เอกฐานและมีจีนัสเท่ากับ 1 ทำให้เซตดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี แต่ถ้า P มีดีกรีเท่ากับ 4 และปลอดกำลังสองแล้วสมการข้างต้นเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่มีจีนัสเท่ากับ 1 แต่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ที่เลือกมาแบบธรรมชาติได้ ยิ่งไปกว่างนั้น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่มีจีนัสเท่ากับ 1 ใด ๆ เช่นที่เกิดจากรอยตัดระหว่างพื้นผิวกำลังสอง (quadric surface) ในปริภูมิเชิงภาพฉายสามมิติ (three-dimensional projective space) จะเป็นเส้นโค้งเชิงวงรีหากมีจุดพิเศษที่ระบุให้เป็นเอกลักษณ์
โดยใช้ทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงวงรี (elliptic function) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนจะสัมพันธ์กันกับการฝังทอรัสเข้าไปในปริภูมิเชิงภาพฉายเชิงซ้อน ทอรัสนั้นเป็นกรุปอาบีเลียน และความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุปทั้งสองด้วย
เส้นโค้งเชิงวงรีมีความสำคัญมากโดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวน และเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญหัวข้อหนึ่งในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาใช้เส้นโค้งเชิงวงรี นอกจากนี้เส้นโค้งเชิงวงรียังมีบทประยุกต์ในการเข้ารหัสโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (elliptic curve cryptography, ECC) และการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
เส้นโค้งเชิงวงรีไม่ใช่วงรี ที่เป็นภาคตัดกรวยเชิงภาพฉายซึ่งต้องมีจีนัสเป็น 0 ที่มาของชื่อมาจากปริพันธ์เชิงวงรี (elliptic integral) อย่างไรก็ตาม เรามีการระบุเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำนวนจริงผ่านตัวยืนยัง j ≥ 1 ซึ่งสามารถแสดงแทนได้เป็นวงรีบนระนาบไฮเพอร์บอลิก  \mathbb {H} ^{2}
ในเชิงทอพอโลยี เส้นโค้งเชิงวงรีเชิงซ้อนเป็นทอรัส และวงรีเชิงซ้อนเป็นทรงกลม
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริง

ถึงแม้ว่าบทนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่เราอาจแสดงลักษณะที่สำคัญของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริงผ่านพีชคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานได้
ภายใต้มุมมองพื้นฐาน เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งบนระนาบที่สามารถเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้นให้อยู่ในรูป
เมื่อ a และ b  เป็นจำนวนจริง สมการในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการไวเออร์ชตราส (Weierstrass equation) และเรียกเส้นโค้งเชิงวงรีในรูปแบบนี้ว่าอยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราส (Weierstrass form) หรืออยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราสปรกติ (Weierstrass normal form)
นิยามของเส้นโค้งเชิงวงรีระบุเพิ่มเติมอีกว่าเส้นโค้งนั้นต้องไม่เอกฐาน นั่นคือกราฟของเส้นโค้งไม่มีบัพแหลม ไม่ตัดตัวเอง และไม่มีจุดเอกเทศ (isolated point) ซึ่งจะเกิดขึ้นหากดิสคริมิแนนต์  \Delta  ไม่เท่ากับศูนย์:
เส้นกราฟเชิงจริงของเส้นโค้งไม่เอกฐานจะมีสองชิ้น (เรียกว่า คอมโพแนนต์ (component)) หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก และมีชิ้นเดียวหากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ในกราฟด้านข้างสมการ y2 = x3 − x มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 64 จึงมีคอมโพแนนต์ของเส้นกราฟสองส่วน ในขณะที่สมการ y2 = x3 − x + 1 มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ -368 จึงมีคอมโพแนนต์เดียว
กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี

เมื่อเราทำงานในระนาบเชิงภาพฉาย (projective plane) สมการของเส้นโค้งเชิงวงรีในระบบพิกัดเอกพันธ์ (homogeneous coordinate) จะกลายเป็น :
สมการข้างต้นไม่นิยามบนเส้นตรงที่อนันต์ (line at infinity) แต่เราสามารถคูณตลอดด้วย  Z^{3} เพื่อให้ได้สมการที่นิยามทุกที่บนระนาบเชิงภาพฉาย :
เส้นโค้งข้างต้นสามารถฉายลงให้ได้เส้นโค้งเชิงวงรีบนระนาบในหัวข้อข้างต้น เพื่อหาว่าเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ที่ใด เราแทนค่า  Z=0 ซึ่งจะทำให้ได้   X^{3}=0 นั่นคือ  X=0 ส่วนค่า  Y จะเป็นจำนวนใดก็ได้ดังนั้นทุกสามสิ่งอันดับ  (0,Y,0) สอดคล้องกับสมการข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงภาพฉายจะได้ว่าเซตของทุกสามสิ่งอันดับแทนด้วยจุดเดียว ฉะนั้นจุดตัดมีเพียงจุดเดียวซึ่งคือจุด  O=[0:1:0]
เนื่องจากเส้นโค้งข้างต้นเป็นเส้นโค้งเรียบ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดที่อนันต์นี้เป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างกรุปที่เราจะนิยามต่อไป
เส้นโค้งนี้สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน x หากกำหนดจุด P บนเส้นโค้งมา เรานิยาม −P ให้เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันเมื่อเทียบกับแกน x เราจะได้   -O=O เพราะ  O อยู่บนระนาบ XZ ฉะนั้น  -O เป็นจุดที่สมมาตรกับจุด  O เมื่อเทียบกับแกน x
ถ้า P และ Q เป็นจุดบนเส้นโค้ง เรานิยาม P + Q ให้เป็นจุดที่กำหนดดังต่อไปนี้ ลากเส้นตรงเชื่อมระหว่าง P และ Q เส้นตรงนี้มักจะตัดเส้นโค้งเชิงวงรีที่จุดที่สาม กำหนดให้เป็นจุด R แล้วจะนิยาม P + Q ให้เป็นจุด −R ที่อยู่ตรงข้ามกับ R
นิยามข้างต้นใช้ได้ทั่วไปเว้นแต่กรณีเฉพาะบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับจุดที่อนันต์และการตัดซ้ำซ้อน ในกรณีที่มีจุดบางจุดเป็น O เราจะนิยามให้ P + O = P = O + P ส่งผลให้ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป ถ้า P = Q เราจะมีจุดเพียงจุดเดียว ฉะนั้นจะนิยามเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองไม่ได้เพราะไม่ได้มีเพียงเส้นตรงเดียว เราจึงเลือกเส้นที่สัมผัสเส้นโค้งแทน โดยทั่วไปเส้นสัมผัสจะตัดเส้นโค้งนี้อีกครั้งซึ่งเราสามารถกำหนดให้เป็น R และหา −R ได้ ในขณะที่หาก P และ Q เป็นจุดบนเส้นโค้งที่อยู่ตรงข้ามกัน เรานิยามให้  P + Q = O และสุดท้าย หาก P เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เรานิยาม R ให้เป็นจุด P เอง และ P + P คือจุดที่ตรงข้ามตัวมันเอง ซึ่งก็คือจุด P เอง
ให้ K เป็นฟีลด์ที่เส้นโค้งนี้นิยามบนฟีลด์นั้น หรือก็คือสัมประสิทธิ์ของสมการนิยามเส้นโค้งอยู่ใน K และเขียนแทนเส้นโค้งด้วย E แล้วจุด K-rational points ของ E คือจุดบน E ที่ทุกพิกัดอยู่ใน K รวมถึงจุดที่อนันต์
เซตของจุด K-rational point กำหนดโดย E(K) จะเป็นกรุปภายใต้การบวกจุดข้างต้น นอกจากนี้ หาก K เป็นฟีลด์ย่อยของ L แล้ว E(K) จะเป็นสับกรุปของ E(L)
กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี > มุมมองเชิงพีชคณิต

โครงสร้างกรุปข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยพีชคณิตเช่นเดียวกับที่ใช้เรขาคณิตกำหนด ให้ y2 = x3 + ax + b เป็นเส้นโค้งเหนือฟีลด์ K (ที่แคแรกเทอริสติกของฟีลด์ไม่ใช่ 2 หรือ 3) และกำหนดให้จุด P = (xP, yP) และ Q = (xQ, yQ) อยู่บนเส้นโค้ง สมมติเสียก่อนว่า xP ≠ xQ (ให้เป็นกรณีที่ 1) ให้ y = sx + d เป็นสมการของเส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งที่จุด P และ Q ดังนั้นจะมีความชันเท่ากับ
เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกันที่จุด xP, xQ, และ xR เมื่อแทนค่า y = sx + d ลงในสมการเส้นโค้งแล้วจะได้ว่า
ซึ่งสมมูลกับสมการ
และเนื่องจาก xP, xQ, and xR เป็นจุดที่เส้นตรงและเส้นโค้งตัดกัน จึงเป็นผลเฉลยของสมการข้างต้น และเป็นรากของสมการ
สมการทั้งสองมีรากเป็นตัวเดียวกัน ฉะนั้นจึงเป็นสมการเดียวกัน ด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์หน้า x2 จะได้ว่า
แก้หาตัวแปร xR ได้ว่า
yR หาได้จากสมการเส้นตรง
จะเห็นได้ว่า yR เป็นสมาชิกใน K เพราะ s เป็นสมาชิกใน K ด้วย
ถ้า xP = xQ แล้วจะมีความเป็นไปได้สองแบบ หนึ่งคือ yP = −yQ (กรณีที่ 3) ซึ่งรวมกรณี yP = yQ = 0 (กรณีที่ 4) เข้าไปด้วย แล้วเรานิยามให้ผลบวก P + Q คือ 0 ดังนั้นอินเวอร์สของแต่ละจุดบนเส้นตรงหาได้จากสะท้อนจุดนั้นข้ามแกน x
และถ้า yP = yQ ≠ 0 แล้ว Q = P และ R = (xR, yR) = −(P + P) = −2P = −2Q (กรณีที่สอง 2) ความชัดจะหาได้จากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (xP, yP):
กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี > เส้นโค้งไม่อยู่ในรูปไวเออร์ชตราส

สำหรับเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่อยู่ในรูปแบบของไอเออร์ชตราส เราสามารถนิยามโครงสร้างกรุปบนมันได้โดยกำหนดให้จุดเปลี่ยนเว้าจุดหนึ่งจากทั้งหมดเก้าจุดของเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์ O ในระนาบเชิงภาพฉาย เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดเส้นโค้งกำลังสามที่จุดสามจุด (เมื่อพิจารณาภาวะรากซ้ำเข้าไปด้วย) สำหรับแต่ละจุด P นิยามให้ −P เป็นจุดที่สามที่เป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงที่ผ่าน O และ P แล้วสำหรับแต่ละ P และ Q ให้ P + Q นิยามเป็น −R เมื่อ R คือจุดที่สามบนเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ

เส้นโค้งเชิงวงรี E นิยามเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะก็นิยามบนฟิลด์ของจำนวนจริงด้วย ดังนั้นวิธีการบวกจุดที่มีคู่อันดับเป็นจำนวนจริงที่นิยามผ่านเส้นสัมผัสสามารถทำได้บน E เช่นกัน สูตรที่เกี่ยวข้องแสดงให้เห็นว่าผลบวกระหว่างจุด P และ Q ที่มีพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะจะมีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจากสมการเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด P และ Q มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ฉะนั้นเซตของจุดตรรกยะบน E เป็นสับกรุปของเซตของจุดค่าจริงบน E และเป็นกรุปอาบีเลียน
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ > จุดจำนวนเต็ม

เส้นโค้งเชิงวงรีอาจมีจุดที่เป็นจำนวนเต็มได้หลายจุด
ตัวอย่างเช่นสมการ y2 = x3 + 17 มีผลเฉลยจำนวนเต็มทั้งหมด 8 จำนวนที่ y > 0:
อีกตัวอย่างหนึ่ง คือสมการของลยุงเกริน (Ljunggren's equation) ทีมี่รูปแบบไวเออร์ชตราสคือ y2 = x3 − 2x มีผลเฉลยเพียง 4 ผลเฉลยที่ y ≥ 0 :
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ > โครงสร้างของจุดตรรกยะ

จุดตรรกยะทั้งหมดสามารถหาได้จากวิธีเส้นสัมผัสและจุดตัด ถ้ามีจุดตรรกยะเริ่มต้นมาให้จำกัดจุด หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนยิ่งไปกว่านี้ได้โดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์ (Mordell–Weil theorem) ซึ่งระบุว่ากรุปของจุดตรรกยะ E(Q) เป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated group) ที่เป็นกรุปอาบีเลียน โดยทฤษฎีบทหลักมูลของกรุปก่อกำเนิดจำกัดอาบีเลียน เราจะได้ว่า E(Q) เป็นผลบวกตรงจำกัดตัวของ Z และกรุปวัฏจักรจำกัด
บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์มีสองส่วน ส่วนแรกแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจำนวนเต็ม m > 1 กรุปผลหาร E(Q)/mE(Q) เป็นกรุปจำกัด (นี่คือทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน (weak Mordell–Weil theorem)) และส่วนที่สองนิยามฟังก์ชันชื่อ height function h บนจุดตรรกยะของ E(Q) นิยามโดย h(P0) = 0 และ h(P) = log max(|p|, |q|) ถ้า P (ที่ไม่ใช่จุดที่อนันต์ P0) มีคู่อันดับตัวหน้าเป็นจำนวนตรรกยะในรูป x = p/q (เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ฟังก์ชัน h มีสมบัติว่า h(mP) ประพฤติตัวมีค่าใกล้เคียงรากที่สองของ m ยิ่งไปกว่านั้นมีจุดตรรกยะเพียงจำกัดจุดเท่านั้นที่มี height น้อยกว่าค่าคงตัวใด ๆ
บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทจึงเหมือนวิธี infinite descent รูปแบบหนึ่ง และใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดบน E: ให้ P ∈ E(Q) เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้ง และเขียน P ในรูปผลบวก 2P1 + Q1 เมื่อ Q1 เป็นตัวแทนสักตัวหนึ่งของ P ใน E(Q)/2E(Q) แล้ว height ของ P1 จะมีค่าประมาณ 1/4 ของ height ของ  P (หรือโดยทั่วไปกว่านั้น สามารถเปลี่ยน 2 ด้วย m > 1 ใด ๆ ก็ได้ และจะเปลี่ยน 1/4 ให้เป็น 1/m2) แล้วทำเช่นนี้กับ P1 นั่นคือให้ P1 = 2P2 + Q2 และ P2 = 2P3 + Q3,ไปเรื่อย ๆ เราสามารถเขียนจุด P ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของจุด Qi ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ height ของจุดดังกล่าวมีขอบเขตสักค่าหนึ่งที่เลือกไว้ก่อนหน้า ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน และสมบัติของ height function จะได้ว่า P เขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจุดจำกัดตัวและมีสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็ม
อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทข้างต้นไม่ได้ให้วิธีหาตัวแทนใด ๆ ของ E(Q)/mE(Q).
แรงก์ของกรุป E(Q) หรือจำนวนซ้ำของ Z ที่ปรากฎใน E(Q) ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดอิสระที่มีอันดับเป็นอนันต์ จะถูกเรียกว่าแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี E ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) เกี่ยวข้องกับการหาแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี โดยกล่าวว่าแรงก์จะมีค่ามากที่สุดเท่าใดก็ได้ ถึงแม้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่เรารู้จักจะมีแรงก์น้อย ๆ เท่านั้น เส้นโค้งเชิงวงรีที่มีแรงก์มากที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ
ซึ่งมีแรงก์เท่ากับ 20 และค้นพบโดย Noam Elkies และ Zev Klagsbrun ในปี 2020 เส้นโค้งที่มีแรงก์สูงกว่า 20 เราทราบว่ามีอยู่ตั้งแต่ปีค.ศ. 1994 โดยมีขอบเขตล่างตั้งแต่ 21 ถึง 28 แต่ไม่ทราบค่าแรงก์ที่แน่นอน และยังไม่มีบทพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีไหนมีแรงก์สูงกว่ากัน
สำหรับกรุปที่เป็นทอร์ชันสับกรุป (torsion subgroup) ของ E(Q) เรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ทอร์ชันสับกรุปของ E(Q) ที่เป็นไปได้อยู่ใน 15 กรุปดังต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทนี้ชื่อทฤษฎีบททอร์ชันของมาซูร์ (Mazur's torsion theorem) โดย Barry Mazur): Z/NZ สำหรับ N = 1, 2, ..., 10, หรือ 12, หรือ Z/2Z × Z/2NZ โดย N = 1, 2, 3, 4. เรารู้ส้นโค้งเชิงวงรีที่มีทอร์ชันสับกรุปตามทฤษฎีบทข้างต้นในทุกกรณี และเส้นโค้งเชิงวงรีที่มี Mordell–Weil groups เหนือ Q และมีทอร์ชันกรุปเดียวกันสามารถเขียนอยู่ในรูปอิงตัวแปรเสริมระหว่างกันได้
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด

ให้ K = Fq เป็นฟีลด์จำกัดที่มีสมาชิก q ตัว และ E เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีนิยามเหนือ K ถึงแม้ว่าจำนวนจุดตรรกยะของเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ K โดยทั่วไปแล้วจะคำนวณออกมาได้ยาก แต่ทฤษฎีบทของฮัสเซอว่าด้วยเส้นโค้งเชิงวงรี (Hasse's theorem on elliptic curves) ให้อสมการด้านล่าง
อีกนัยหนึ่งคือ จำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีโตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนสมาชิกในฟีลด์ ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีขั้นสูงที่ทั่วไปกว่า เช่น local zeta function และ étale cohomology
เซตของจุด E(Fq) จะเป็นกรุปอาบีเลียนจำกัด และเป็นกรุปวัฏจักรหรือผลคูณของกรุปวัฏจักรสองกรุปขึ้นกับภาวะคู่คี่ของ q ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ
เหนือ F71 มีจุดทั้งหมด 72 จุด (71 จุดสัมพรรค รวมถึง (0,0) และหนึ่งจุด ณ อนันต์) ในฟีลด์นี้ ซึ่งมีโครงสร้างกรุปที่กำหนดโดย Z/2Z × Z/36Z. จำนวนจุดบนเส้นโค้งจำเพาะสามารถคำนวณได้ด้วยขั้นตอนวิธีของสคูฟ
การศึกษาเส้นโค้งเหนือฟีลด์ภาคขยายของ Fq ทำได้โดยการสร้างฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta function) ของ E เหนือ Fq, นิยามโดยอนุกรมก่อกำเนิด
เมื่อฟิลด์ Kn เป็นฟีลด์ภาคขยาย (มีฟีลด์เดียวหากนับความสมสัณฐาน) ของ K = Fq ที่มีดีกรีเท่ากับ n (ซึ่งก็คือ Fqn).
ฟังก์ชันซีตานี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปร T ซึ่งสามารถพิสูน์ได้ดังนี้: จำนวนเต็ม  a_{n} ที่ทำให้
จะมีจำนวนเชิงซ้อน  \alpha  ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้
เมื่อ  {\bar {\alpha }} เป็นสังยุคเชิงซ้อนของ  \alpha  เราเลือก  \alpha  เพื่อให้ขนาดของมันเท่ากับ  {\sqrt {q}} ดังนั้น   \alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta } และ  \cos n\theta ={\frac {a_{n}}{2{\sqrt {q}}}} ฉะนั้นเราจะได้ว่า   \alpha ^{n}{\bar {\alpha }}^{n}=q^{n} และ  \alpha ^{n}+{\bar {\alpha }}^{n}=a_{n} หรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้ว่า  (1-\alpha ^{n})(1-{\bar {\alpha }}^{n})=1-a_{n}+q^{n}.
แล้ว  \alpha  สามารถใช้แทนค่าลงไปฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่เพราะค่าของมันเมื่อเราเปลี่ยเลขชี้กำลังจะมีค่าประมาณใกล้เคียงกับพฤติกรรมของ  a_{n}
เนื่องจาก  (1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2} ทำให้ได้ว่า
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของ E : y2 + y = x3 เหนือฟีลด์ F2 กำหนดโดย
ซึ่งได้มากจาก:
สมการเชิงฟังก์ชันคือ
เนื่องจากสนใจเฉพาะพฤติกรรมของ  a_{n} เราสามารถใช้ฟังก์ชันซีตาลดทอน
และจะได้ว่า
ทำได้ให้แอล-ฟังก์ชันเฉพาะที่ (local L-function)
ข้อความคาดการณ์ของซาโต-เทต (Sato–Tate conjecture) ระบุว่าเทอมความคาดเคลื่อน  2{\sqrt {q}} ในทฤษฎีบทของฮัสเซอขึ้นกับจำนวนเฉพาะ q ที่ต่างกันหากเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q อยู่ในรูปมอดุโล q ลดรูป ข้อความคาดการณ์ข้างต้นถูกพิสูจน์ (สำหรับเกือบทุกกรณีข้างต้น) ในปี 2006 โดย Taylor, Harris และ Shepherd-Barron
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีบทประยุกต์ใช้ในวิทยาการเข้ารหัสลับ และการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มค่ามาก ๆ ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรีจะอาศัยความเป็นกรุปของจุดบน E ฉะนั้นขั้นตอนวิธีที่ใช้ได้กับกรุปทั่วไป เช่นกรุปของสมาชิกที่หาอินเวอร์สได้ใน F*q จะสามารถประยุกต์ใช้กับกรุปของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนวิธีลอการิทึมวิยุต