บทนำกลศาสตร์ควอนตัม
การทำสสารให้เป็นควอนตัม: แบบจำลองอะตอมของโปร์

เมื่อถึงต้นศตวรรษที่ 20 มีการค้นพบว่าอะตอมประกอบด้วยหมอกของอิเล็กตรอนที่มีประจุลบล้อมรอบนิวเคลียสที่มีประจุบวกซึ่งมีขนาดเล็กและหนาแน่น จึงจำเป็นต้องมีแบบจำลองอะตอมเพื่อมาอธิบาย ข้อเสนอแบบจำลองแรกอธิบายว่าอิเล็กตรอนหมุนรอบนิวเคลียสเหมือนที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดาวฤกษ์ตามทฤษฎีฟิสิกส์ดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีว่าอะตอมในแบบจำลองนี้จะไม่เสถียร อิเล็กตรอนที่โคจรอยู่รอบนิวเคลียสจะตกอยู่ภายใต้ความเร่งสู่ศูนย์กลางเนื่องจากการหมุนและปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาอยู่ตลอดเวลา ทำให้มันสูญเสียพลังงานและค่อย ๆ หมุนวนเข้าหานิวเคลียสและชนกันโดยใช้เวลาเพียงเสี้ยววินาที
ปริศนาข้อสองที่เกี่ยวข้องคือสเปกตรัมที่อะตอมเปล่งออกมา เมื่อแก๊สได้รับความร้อน มันจะเปล่งแสงที่มีความถี่เฉพาะและไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ตัวอย่างเช่น แสงที่มองเห็นได้ซึ่งปล่อยออกมาจากอะตอมไฮโดรเจน จะประกอบด้วยสีที่ต่างกัน 4 สี ดังที่แสดงในภาพด้านล่าง ความเข้มของแสงที่ความถี่ต่าง ๆ ก็ต่างกันด้วย ในทางตรงกันข้าม แสงสีขาวจะมีสเปกตรัมเปล่งออกที่ต่อเนื่องตลอดช่วงความถี่ที่มองเห็นทั้งหมด ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 มีกฎง่าย ๆ ที่เรียกว่าสูตรของบัลเมอร์ อธิบายว่าความถี่แต่ละเส้นสัมพันธ์กันอย่างไร หากแต่ไม่ได้อธิบายว่าเพราะเหตุใดจึงเป็นเช่นนี้ และไม่สามารถใช้ทำนายความเข้มได้ สูตรดังกล่าวยังได้ทำนายเส้นสเปกตรัมเพิ่มเติมในช่วงแสงอัลตราไวโอเลตและอินฟราเรดที่ยังไม่เคยมีการทดลองในขณะนั้น ต่อมาจึงมีการทดลองและสามารถสังเกตเห็นเส้นสเปกตรัมเหล่านี้ได้จริง สูตรนี้จึงได้รับการยอมรับมากขึ้น
สเปกตรัมที่ไฮโดรเจนเปล่งออกมา เมื่อแก๊สไฮโดรเจนได้รับความร้อนจะเปล่งแสงออกมาด้วยสเปกตรัมที่มองเห็นได้ 4 สีที่ต่างกัน (เส้นสเปกตรัม) นอกจากนี้ยังมีเส้นอีกจำนวนมากในช่วงอินฟราเรดและอัลตราไวโอเลต
สูตรทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายสเปกตรัมเปล่งออกของไฮโดรเจน
เมื่อปี 1885 โยฮัน บัลเมอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสได้ค้นพบว่าสเปกตรัมที่มองเห็นได้ของไฮโดรเจนมีความยาวคลื่น λ (แลมบ์ดา) ที่สัมพันธ์กับจำนวนเต็ม n บางตัวด้วยสูตร
โดย B คือค่าคงตัวหนึ่งที่เขากำหนดให้เท่ากับ 364.56 นาโนเมตร (nm)
ต่อมาในปี 1888 Johannes Rydberg ได้ปรับสูตรของบัลเมอร์ให้มีลักษณะทั่วไปและเพิ่มความสามารถในการอธิบายได้อย่างมาก เขาทำนายว่า λ สัมพันธ์กับจำนวนเต็มสองตัวคือ n และ m ตามสูตรที่รู้จักกันในปัจจุบันในชื่อสูตรของ Rydberg:
โดย R คือค่าคงตัวของ Rydberg มีค่าเท่ากับ 0.0110 nm−1 และ n ต้องมีค่ามากกว่า m
สูตรของ Rydberg สามารถอธิบายความยาวคลื่นของไฮโดรเจนที่มองเห็นได้ทั้ง 4 ความยาวคลื่นโดยกำหนดให้ m = 2 และ n = 3, 4, 5, 6 นอกจากนี้สูตรดังกล่าวยังทำนายความยาวคลื่นเพิ่มเติมในสเปกตรัมเปล่งออก โดยเมื่อ m = 1 และ n > 1 สเปกตรัมเปล่งออกจะมีความยาวคลื่นในช่วงอัลตราไวโอเลต และเมื่อ m = 3 และ n > 3 จะมีความยาวคลื่นในช่วงอินฟราเรด การทดลองเพื่อสังเกตความยาวคลื่นในช่วงดังกล่าวเกิดขึ้น 20 ปีหลังจากนี้ โดยเมื่อปี 1908 Louis Paschen ได้ค้นพบความยาวคลื่นที่มีการทำนายไว้ในช่วงอินฟราเรดบางตำแหน่ง และในปี 1914 Theodore Lyman ได้ค้นพบความยาวคลื่นในช่วงอัลตราไวโอเลตบางตำแหน่ง
สูตรทั้งสองนี้มีตัวแปรที่เป็นจำนวนเต็ม หากใช้ศัพท้ปัจจุบันอาจกล่าวได้ว่าสูตรดังกล่าวได้บอกเป็นนัยถึงสมบัติบางประการของอะตอมว่าเป็นควอนตัม การศึกษาทำความเข้าใจคุณสมบัติเหล่านี้เป็นส่วนสำคัญต่อการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม
ในปี 1913 นิลส์ โปร์ได้เสนอแบบจำลองใหม่ของอะตอมที่มีการเพิ่มวงโคจรของอิเล็กตรอนแบบแจงหน่วย นั่นคือ อิเล็กตรอนยังคงโคจรรอบนิวเคลียสเสมือนที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ แต่อิเล็กตรอนแต่ละตัวจะอยู่ในวงโคจรเฉพาะของมันเองเท่านั้น ไม่สามารถโคจรได้ที่ระยะต่าง ๆ ได้ตามอำเภอใจ เมื่ออะตอมปล่อยหรือดูดซับพลังงาน อิเล็กตรอนจะไม่เปลี่ยนวงโคจรจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่งในแนวโค้งเป็นเกลียวที่ต่อเนื่องอย่างที่คาดกันไว้แต่เดิม หากแต่อิเล็กตรอนจะกระโดดทันทีจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่ง ในขณะเดียวกันมันก็ปล่อยพลังงานออกมาในรูปของโฟตอน พลังงานที่เป็นไปได้ของโฟตอนที่ปล่อยออกมาจากธาตุแต่ละชนิดถูกกำหนดโดยความต่างของพลังงานของทั้งสองวงโคจร ดังนั้นสเปกตรัมของธาตุแต่ละชนิดที่เปล่งออกมาจึงประกอบด้วยเส้นสเปกตรัมจำนวนหนึ่ง
การเริ่มจากสมมติฐานง่าย ๆ เพียงข้อเดียวที่กล่าวว่าวงโคจรต้องเป็นไปตามกฎ แบบจำลองของโปร์จึงสามารถเชื่อมโยงระหว่างเส้นสเปกตรัมที่มองเห็นได้ในสเปกตรัมเปล่งออกของไฮโดรเจนกับค่าคงตัวที่รู้จักก่อนหน้านี้ได้ แบบจำลองของโปร์อธิบายว่าอิเล็กตรอนไม่สามารถปล่อยพลังงานออกมาอย่างต่อเนื่องและทำให้มันชนนิวเคลียส แต่อิเล็กตรอนจะโคจรอยู่ในวงโคจรที่ใกล้ที่สุดที่มันอยู่ได้และจะอยู่อย่างเสถียรตลอดไป แบบจำลองของโปร์ไม่ได้อธิบายว่าทำไมวงโคจรจึงถูกแจงเป็นหน่วยด้วยวิธีนั้น และยังไม่สามารถทำนายอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวได้อย่างแม่นยำ หรือแม้กระทั่งอธิบายว่าทำไมเส้นสเปกตรัมบางเส้นจึงสว่างกว่าเส้นอื่น
สมมติฐานพื้นฐานบางประการในแบบจำลองของโปร์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าผิดไม่นานหลังจากนี้ แต่ผลลัพธ์หลักที่ว่าเส้นที่ไม่ต่อเนื่องในสเปกตรัมเปล่งออกนั้นเกิดจากคุณสมบัติบางอย่างของอิเล็กตรอนในอะตอมที่ถูกแจงเป็นหน่วยนั้นถูกต้อง ธรรมชาติที่แท้จริงของอิเล็กตรอนนั้นแตกต่างจากแบบจำลองของโปร์อย่างมากรวมถึงโลกที่เราสังเกตได้ในชีวิตประจำวัน แบบจำลองเชิงกลศาสตร์ควอนตัมของอะตอมในยุคใหม่จะกล่าวถึงอีกครั้งด้านล่าง
บทอธิบายเพิ่มเติมเรื่องแบบจำลองอะตอมของโปร์
นิลส์ โปร์ได้ตั้งทฤษฎีว่าโมเมนตัมเชิงมุม L ของอิเล็กตรอนหนึ่งตัวถูกแจงเป็นหน่วยตามสมการ
โดย n คือจำนวนเต็ม และ h กับ ħ คือค่าคงตัวของพลังค์กับค่าคงตัวลดรูปของพลังค์ตามลำดับ เมื่อเริ่มจากสมมติฐานดังกล่าวแล้ว กฎของคูลอมบ์และชุดสมการการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนตัวหนึ่งที่มีโมเมนตัมเชิงมุม n หน่วยจะโคจรรอบโปรตอนตัวหนึ่งด้วยระยะห่าง r ตามสมการ
โดย ke คือค่าคงตัวคูลอมบ์, m คือมวลของอิเล็กตรอน และ e คือประจุของอิเล็กตรอนหนึ่งตัว
ซึ่งสามารถเขียนลดรูปได้ว่า
โดย a0 คือรัศมีของโปร์ เป็นรัศมีวงโคจรที่เล็กที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ มีค่าเท่ากับ 0.0529 nm
นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณพลังงานของอิเล็กตรอนได้จาก
ดังนั้นสมมติฐานของโปร์ที่โมเมนตัมเชิงมุมถูกแจงเป็นหน่วยคือการที่อิเล็กตรอนตัวหนึ่งสามารถอยู่ในวงโคจรเฉพาะของมันเองรอบนิวเคลียสและมีพลังงานได้ค่าเฉพาะค่าหนึ่งเท่านั้น สิ่งที่ตามมาคืออิเล็กตรอนจะไม่ชนเข้ากับนิวเคลียส มันจะไม่ปลดปล่อยพลังงานต่อเนื่องออกมาและไม่อยู่ใกล้นิวเคลียสในระยะห่างที่น้อยกว่ารัศมีของโปร์ a0
อิเล็กตรอนตัวหนึ่งจะปล่อยพลังงานออกมาโดยกระโดดอย่างทันทีจากวงโคจรเดิมไปสู่วงโคจรที่มีระดับต่ำกว่า (เข้าใกล้นิวเคลียส) พลังงานจะถูกปล่อยออกมาในรูปโฟตอน ส่วนอิเล็กตรอนที่ดูดซับโฟตอนจะได้รับพลังงานและกระโดดจากวงโคจรเดิมไปสู่วงโคจรที่ห่างออกไปจากนิวเคลียส
โฟตอนแต่ละหน่วยที่มาจากอะตอมไฮโดรเจนเปล่งแสงเกิดขึ้นเมื่ออิเล็กตรอนย้ายตำแหน่งจากวงโคจรที่ระดับสูงกว่า (รัศมี rn) ไปยังวงโคจรที่ระดับต่ำกว่า (รัศมี rm) พลังงานของโฟตอนหน่วยนี้ Eγ คือผลต่างระหว่างพลังงานของอิเล็กตรอนที่วงโคจรระดับสูง En กับวงโคจรระดับต่ำ Em:
สมการของพลังค์แสดงความสัมพันธ์ของพลังงานของโฟตอนกับความยาวคลื่นจากสมการ Eγ = hc/λ ความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจึงเป็น
สมการดังกล่าวมีรูปเหมือนกับสูตรของ Rydberg และได้ทำนายว่าค่าคงตัว R ควรมีค่าเท่ากับ
กล่าวโดยสรุปคือแบบจำลองอะตอมของโปร์สามารถทำนายสเปกตรัมเปล่งออกของอะตอมไฮโดรเจนได้โดยใช้ตัวแปรค่าคงตัวพื้นฐาน แต่แบบจำลองดังกล่าวยังคงไม่สามารถใช้กับอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัวได้อย่างแม่นยำ รวมทั้งยังไม่สามารถอธิบายว่าเพราะเหตุใดเส้นสเปกตรัมบางเส้นจึงสว่างกว่าเส้นอื่น