ผลกระทบฮอลล์
ทฤษฎี

ผลกระทบฮอลล์เกิดจากธรรมชาติของกระแสในตัวนำ กระแสเป็นการเคลื่อนที่ของพาหะของประจุ (อังกฤษ: charge carrier) ขนาดเล็กหลาย ๆ ตัว ซึ่งโดยปกติพาหะจะเป็นอิเล็กตรอน, โฮล, ไอออนหรือทั้งสามอย่าง (ดู การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน) เมื่ออยู่ในสนามแม่เหล็ก ประจุเหล่านี้ต้องเจอกับแรงหนึ่งที่เรียกว่าแรงลอเรนซ์ เมื่อสนามแม่เหล็กด้งกล่าวหายไป ประจุทั้งหลายจะเรียงตัวตามทิศทาง 'เส้นสายตา' ที่เกือบจะเป็นเส้นตรงระหว่างการชนกับสิ่งไม่บริสุทธ์, โฟนัน, ฯลฯ อย่างไรก็ตามเมื่อสนามแม่เหล็กที่มีส่วนประกอบที่ตั้งฉากถูกใส่เข้าไป เส้นทางของพาหะระหว่างการชนจะป็นรูปโค้งเพื่อที่ว่าประจุที่กำลังเคลื่อนที่จะสะสมกันบนด้านใดด้านหนึ่งของวัสดุ ซึ่งจะทำให้มีประจุขั้วตรงข้ามจำนวนที่เท่ากันปรากฏบนอีกด้านหนึ่งของวัสดุซึ่งด้านนี้จะขาดแคลนประจุที่เคลื่อนที่ได้ ผลที่ได้คือการกระจายแบบไม่สมมาตรของความหนาแน่นของประจุทั่ววัสดุนั้น การกระจายดังกล่าวจะเกิดจากแรงหนึ่ง (แกน Y) ที่ตั้งฉากกับทั้งเส้นทางกระแส 'เส้นสายตา' (แกน X) และสนามแม่เหล็กที่ใส่ให้ (แกน Z) การแยกตัวของประจุจะทำให้เกิดสนามไฟฟ้าที่ขัดขวางการย้ายถิ่นของประจุตัวต่อไป ดังนั้นศักย์ไฟฟ้าจะมีค่าคงที่นานเท่าที่ประจุยังคงไหลอยู่
ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าแบบเก่าอิเล็กตรอนจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามกระแส I  (โดยธรรมเนียมปฏิบัติ "กระแส" หมายถึง "การไหลของโฮล" ในทางทฤษฎี ดูกระแสไฟฟ้า) ในสารกึ่งตัวนำบางตัว "โฮล" จะไหลจริง ๆ เพราะทิศทางของแรงดันไฟฟ้าอยู่ตรงข้ามกับสูตรด้านล่าง
สำหรับโลหะธรรมดาอิเล็กตรอนจะเป็นพาหะของประจุเพียงอย่างเดียวเท่านั้น แรงดันไฟฟ้าฮอลล์ VH สามารถจะหามาได้โดยการใช้แรงลอเรนซ์และจะเห็นว่าในสภาวะมั่นคงประจุจะไม่เคลื่อนที่ไปในทิศทางแกน y เพราะแรงแม่เหล็กบนอิเล็กตรอนแต่ละตัวในทิศทางแกน y จะถูกหักล้างโดยแรงไฟฟ้​​าแกน y เนื่องจากการสะสมของประจุ ตัวแปร  v_{x} เป็นความเร็วลอย (อังกฤษ: drift velocity) ของกระแสที่สมมติว่าที่จุดนี้จะเป็นการไหลของโฮลโดยธรรมเนียม ตัวแปร  v_{x}B_{z} จะมีค่าเป็นลบในทิศทางแกน y ตามกฎมือขวา
ในสายไฟ อิเล็กตรอนจะไหลแทนโฮล ดังนั้น  v_{x}=-v_{x} และ  q=-q นอกจากนี้  E_{y}={\frac {-V_{H}}{w}} แทนค่าการเปลี่ยนแปลงลงไปจะได้
กระแส "โฮล" ตามธรรมเนียมปฏิบัติจะมีทิศทางของกระแสอิเล็กตรอนเป็นลบและประจุไฟฟ้าเป็นลบ ดังนั้น  I_{x}=ntw(-v_{x})(-e) เมื่อ  n คือความหนาแน่นของพาหะประจุ  tw เป็นพื้นที่หน้าตัด, และ  -e เป็นประจุของแต่ละอิเล็กตรอน เมื่อหาค่า  w ได้แล้วแทนค่าลงในสมการข้างต้น ก็จะได้แรงดันไฟฟ้าฮอลล์:
ถ้าประจุสร้างขึ้นเป็นบวก (อย่างที่มันเป็นในสารกึ่งตัวนำบางตัว) ดังนั้น  V_{H} ที่กำหนดให้ตามภาพน่าจะเป็นลบ (ประจุบวกน่าจะได้สร้างขึ้นทางด้านซ้าย)
ค่าสัมประสิทธิ์ฮอลล์ถูกกำหนดให้เป็น
เมื่อ j คือความหนาแน่นของกระแสของอิเล็กตรอนที่เป็นพาหะและ  E_{y} เป็นสนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำ ในหน่วย SI สมการข้างบนจึงกลายเป็น
(หน่วยของ RH มักจะแสดงเป็น m3/C, หรือ Ω·cm/G หรือตัวแปรอื่น) ผลก็คือ ผลกระทบฮอลล์เป็นประโยชน์อย่างมากในการเป็นเครื่องมือที่ใช้วัดความหนาแน่นของพาหะหรือสนามแม่เหล็กอย่างใดอย่างหนึ่ง
คุณลักษณะหนึ่งที่สำคัญมากของผลกระทบฮอลล์ก็คือว่ามันสร้างความแตกต่างระหว่างประจุบวกที่เคลื่อนที่ในทิศทางหนึ่งและประจุลบที่จะเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม ผลกระทบฮอลล์ได้นำเสนอหลักฐานจริงครั้งแรกว่ากระแสไฟฟ้าในโลหะถูกนำพาโดยอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ ไม่ใช่โดยโปรตอน ผลกระทบฮอลล์ยังแสดงให้เห็นด้วยว่าในสารบางอย่าง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสารกึ่งตัวนำแบบ P) มันจะเหมาะสมกว่าที่จะคิดว่ากระแสเป็นการเคลื่อนที่ของ "โฮล" ที่เป็นบวก แทนที่จะเป็นการเคลื่อนที่โดยอิเล็กตรอนที่เป็นลบ แหล่งทั่วไปของความสับสนเกี่ยวกับผลกระทบฮอลล์ก็คือว่าโฮลจะเคลื่อนที่ไปทางซ้ายแต่ที่จริงๆแล้วอิเล็กตรอนเคลื่อนที่ไปทางขวา ดังนั้นใครคนหนึ่งคาดว่าจะเห็นค่าสัมประสิทธิ์ฮอลล์มีเครื่องหมายเดียวกันทั้งอิเล็กตรอนและโฮล อย่างไรก็ตามความสับสนนี้สามารถแก้ไขได้โดยทฤษฎีควอนตัมกลที่ทันสมัย​​ของการขนส่งในของแข็ง
ตัวอย่างหนึ่งที่แสดงถึงความแตกต่างกันอาจทำให้เกิดสัญญาณปลอมของผลกระทบฮอลล์ แม้ว่าในคอนฟิกของแวน เดอร์ พอลในอุดมคติของขั้วไฟฟ้า ยกตัวอย่างเช่นผลกระทบฮอลล์ในเชิงบวกถูกสังเกตอย่างเห็นได้ชัดในสารกึ่งตัวนำแบบ N อีกแหล่งหนึ่งของของปลอม ในวัสดุเนื้อสม่ำเสมอ จะเกิดขึ้นเมื่ออัตราส่วนของตัวอย่างไม่ยาวนานมากพอ แรงดันฮอลล์ที่เต็มที่จะพัฒนาได้ในจุดที่ห่างไกลจากหน้าสัมผัสที่ใส่กระแสเท่านั้น เนื่องจากที่หน้าสัมผัสแรงดันไฟฟ้าขวางจะถูกลัดวงจรทำให้แรงดันไปอยู่ที่ศูนย์