จำนวนจุดลอยตัว
ภาพรวม

การแทนจำนวน (หรือเรียกว่าระบบเลขในคณิตศาสตร์) เป็นการกำหนดวิธีการเก็บบันทึกจำนวนหนึ่ง ๆ ที่อาจถูกเข้ารหัสให้เป็นสายอักขระของเลขโดด เลขคณิตของจำนวนถูกนิยามให้เป็นกลุ่มของการปฏิบัติกับรูปแบบนั้น ซึ่งเป็นการจำลองการดำเนินการทางเลขคณิตแบบดั้งเดิม
มีกลไกหลายประเภทที่ใช้สายอักขระของเลขโดดแทนจำนวน ในสัญกรณ์คณิตศาสตร์ทั่วไป สายอักขระของเลขโดดสามารถยาวเท่าใดก็ได้ และตำแหน่งของจุดฐานแสดงไว้โดยการใส่จุดทศนิยม (ซึ่งอาจเป็นมหัพภาคหรือจุลภาค) ไว้ตรงนั้น ถ้าจุดฐานไม่ปรากฏ จะถูกสมมติโดยนัยว่าวางอยู่ทางขวาสุด (นัยสำคัญน้อยสุด) ของสายอักขระของเลขโดด (นั่นคือจำนวนนั้นเป็นจำนวนเต็ม) ในระบบจำนวนจุดตรึง สมมติฐานบางข้อถูกกำหนดขึ้นว่าจุดฐานจะอยู่ที่ตำแหน่งใดของสายอักขระ ตัวอย่างเช่น ข้อตกลงเกิดขึ้นว่าสายอักขระประกอบด้วยเลขโดดฐานสิบ แปดหลัก โดยมีจุดทศนิยมอยู่ตรงกลาง ดังนั้นจำนวน "00012345" จึงหมายถึงค่า 1.2345
ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ จำนวนที่กำหนดจะเปลี่ยนสเกลด้วยกำลังของ 10 ดังนั้นเลขนัยสำคัญจึงมีค่าอยู่ในช่วงจำเพาะคืออยู่ระหว่าง 1 ถึง 10 โดยจุดฐานจะปรากฏถัดจากเลขโดดตัวแรกทันที ตัวคูณสเกลที่เป็นกำลังของ 10 จะแสดงแยกต่างหากไปที่ท้ายจำนวน ตัวอย่างเช่น เวลาที่ใช้ในการหมุนรอบตัวเองของดวงจันทร์ไอโอของดาวพฤหัสบดีเท่ากับ 152853.5047 วินาที จำนวนนี้สามารถแสดงได้ในสัญกรณ์คณิตศาสตร์รูปแบบมาตรฐานเป็น 1.528535047×105 วินาที
จำนวนจุดลอยตัวเป็นแนวคิดที่คล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ จึงประกอบด้วยสองส่วนตามหลักเหตุผล
สายอักขระของเลขโดดที่มีเครื่องหมายบวกลบ ตามความยาวและฐานที่กำหนด ส่วนนี้เรียกว่า ซิกนิฟิแคนด์ (significand) หรือบางครั้งเรียกว่า แมนทิสซา (mantissa) หรือ สัมประสิทธิ์ จุดฐานนั้นไม่ได้รวมอยู่ด้วย แต่อาจสมมติโดยนัยว่าวางอยู่ที่ใดที่หนึ่งในซิกนิฟิแคนด์ ซึ่งบ่อยครั้งอยู่ก่อนหรือหลังเลขโดดที่มีนัยสำคัญมากสุด หรืออยู่ทางขวาสุดก็ได้ (บทความนี้จะใช้ข้อตกลงว่าจุดฐานอยู่หลังเลขโดดที่มีนัยสำคัญมากสุด) ความยาวของซิกนิฟิแคนด์เป็นตัวพิจารณาความเที่ยงของจำนวนที่ใช้แทน
เลขชี้กำลังจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายบวกลบ หรือเรียกว่า แคแรกเทอริสติก (characteristic) หรือสเกล ซึ่งเป็นตัวดัดแปรขนาดมากน้อยของจำนวน
ซิกนิฟิแคนด์ คูณด้วย ฐาน ที่ยกกำลังด้วย เลขชี้กำลัง จะเทียบเท่ากับการเลื่อนจุดฐานจากตำแหน่งสมมติ ไปเป็นจำนวนหลักเท่ากับค่าของเลขชี้กำลัง โดยเลื่อนไปทางขวาถ้าเลขชี้กำลังเป็นบวกหรือไปทางซ้ายถ้าเลขชี้กำลังเป็นลบ
หากอธิบายด้วยเลขฐานสิบอันเป็นสัญกรณ์ที่คุ้นเคย จำนวน 152853.5047 ซึ่งมีเลขโดดฐานสิบ ความเที่ยงสิบหลัก การแทนจำนวนจะได้ 1528535047 เป็นซิกนิฟิแคนด์ และเลขชี้กำลังเป็น 5 (โดยจุดฐานถูกสมมติขึ้นที่หลังเลข 1 ซึ่งเป็นเลขโดดที่มีนัยสำคัญมากสุด) และเพื่อที่จะเรียกคืนค่าแท้จริง จะเติมจุดทศนิยมที่หลังเลขโดดตัวแรกของซิกนิฟิแคนด์ แล้วนำไปคูณด้วย 105 จนได้ 1.528535047×105 ซึ่งนั่นก็คือจำนวน 152853.5047 ในการเก็บบันทึกจำนวนเช่นนี้ ฐาน 10 ไม่จำเป็นต้องเก็บบันทึกไปด้วย เนื่องจากมันมีใช้เหมือนกันในทุก ๆ จำนวน และสามารถอนุมานได้ในภายหลัง จำนวนนี้จึงอาจเขียนอย่างง่ายได้เป็น 1.528535047 E 5 ซึ่ง "E" กำหนดให้หมายถึง "คูณด้วยสิบยกกำลัง..." เช่นเดียวกับข้อตกลงอันเป็นที่ทราบ
หากเขียนเป็นสัญลักษณ์ ค่าสุดท้ายที่ได้ออกมาคือ
เมื่อ s คือซิกนิฟิแคนด์ที่เติมจุดฐานสมมติเข้าไปแล้ว b คือฐาน และ e คือเลขชี้กำลัง
หรือเทียบเท่ากับประโยคนี้
เมื่อ s คือจำนวนเต็มจากซิกนิฟิแคนด์ทั้งหมดโดยไม่พิจารณาจุดฐานสมมติ ส่วน p คือความเที่ยง (precision) หมายถึงจำนวนหลักของซิกนิฟิแคนด์
ในอดีตที่ผ่านมา ฐานที่แตกต่างกันถูกใช้แทนจำนวนจุดลอยตัว เช่นฐานสองที่เป็นปกติสามัญที่สุด ตามมาด้วยฐานสิบ และฐานสิบหกที่พบได้น้อยกว่า จำนวนจุดลอยตัวถือว่าเป็นจำนวนตรรกยะเพราะมันสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษหนึ่งส่วนจำนวนอื่น อย่างไรก็ตาม ฐานจะเป็นตัวพิจารณาว่าเศษส่วนจะถูกเขียนแทนอย่างไร ตัวอย่างเช่น 1/5 ไม่สามารถเขียนแทนด้วยจำนวนจุดลอยตัวในฐานสองได้อย่างแม่นยำ แต่สามารถเขียนแทนในฐานสิบได้อย่างถูกต้อง
วิธีการที่ซิกนิฟิแคนด์ เลขชี้กำลัง และบิตเครื่องหมายถูกเก็บบันทึกภายในคอมพิวเตอร์ขึ้นอยู่กับวิธีการทำให้เกิดผล รูปแบบปกติของ IEEE ได้อธิบายรายละเอียดในเวลาต่อมา ตัวอย่างเช่น การแทนจำนวนจุดลอยตัวฐานสองขนาดความเที่ยงหนึ่งเท่า (32 บิต) ซึ่งมีความเที่ยง p = 24 หมายความว่าจะเก็บบันทึกซิกนิฟิแคนด์ได้เป็นสายอักขระ 24 บิต (ประกอบด้วย 0 และ 1) กำหนดให้ค่าของพาย 33 บิตแรกคือ 11001001 00001111 11011010 10100010 0 การปัดเศษให้เหลือ 24 บิตในฐานสองทำได้โดยเพิ่มค่าบิตที่ 24 ซึ่งกระจายมาจากบิตที่ 25 จะได้ 11001001 00001111 11011011 เมื่อเก็บบันทึกในการเข้ารหัส IEEE 754 จำนวนนี้จะกลายเป็นซิกนิฟิแคนด์ s โดยที่ e = 1 (เมื่อสมมติให้จุดทวินิยมอยู่หลังบิตแรกสุดใน s) หลังจากมีการปรับค่าเข้าสู่ทางซ้ายแล้วซึ่งจะทำให้เลขศูนย์นำหน้าหรือตามหลังจำนวนถูกตัดออกถ้ามี (แต่จากตัวอย่างนี้ไม่เกิดผลใด ๆ) ดังนั้นบิตแรกสุดของซิกนิฟิแคนด์จึงเป็น 1 เสมอ (หากค่านั้นไม่ใช่การแทนจำนวน 0) ทำให้เกิดบิตเพิ่มเติมของความเที่ยงซึ่งไม่จำเป็นต้องเก็บบันทึก ค่าของพายจึงคำนวณได้จากสูตร
เมื่อ n คือบิตที่ n จากทางซ้ายของซิกนิฟิแคนด์ที่ปรับแต่งแล้ว การปรับแต่งซิกนิฟิแคนด์หรือเรียกว่า การทำให้เป็นบรรทัดฐาน (normalization) คือการสงวนค่า 1 ที่บวกเข้าไปในภายหลัง และอาจเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการบีบอัด นั่นคือซิกนิฟิแคนด์ฐานสองจะย่อลงจากเดิมหนึ่งบิตจากความเที่ยงมากสุด ในการประมวลผลเพิ่มเติม
คำว่า แมนทิสซา มักจะใช้เรียกเป็นคำคล้ายกับซิกนิฟิแคนด์แม้ว่ามันจะไม่ถูกต้องนัก เนื่องจากแมนทิสซาในความหมายดั้งเดิมนิยามขึ้นจากส่วนจำนวนเศษของลอการิทึม ในขณะที่ แคแรกเทอริสติก ก็เป็นส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึม คำนี้ปรากฏอยู่ในตารางลอการิทึมก่อนที่จะมีคอมพิวเตอร์ใช้กันทั่วไป ตารางลอการิทึมความจริงแล้วก็คือตารางของแมนทิสซา ดังนั้นแมนทิสซาจึงเป็นลอการิทึมของซิกนิฟิแคนด์