จำนวนจุดลอยตัว
ปัญหาความแม่นยำ

ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจุดลอยตัวไม่สามารถแทนค่าจำนวนจริงทั้งหมดได้อย่างแม่นยำ และการดำเนินการจุดลอยตัวไม่อาจใช้แทนการดำเนินการเลขคณิตที่แท้จริงได้ นำมาซึ่งสถานการณ์ที่ไม่คาดหวัง สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความเที่ยงที่มีขนาดจำกัดที่คอมพิวเตอร์ใช้แทนจำนวนต่าง ๆ
จากตัวอย่างต่อไปนี้ 0.1 และ 0.01 ในฐานสิบไม่สามารถแทนค่าได้ในฐานสองอย่างแม่นยำ หมายความว่าผลลัพธ์ของการพยายามคำนวณ 0.1 ยกกำลังสอง จะไม่ได้จำนวน 0.01 หรือจำนวนที่แทนค่าได้และใกล้เคียงที่สุดเลย ในการแทนค่า 24 บิต (ความเที่ยงหนึ่งเท่า) จำนวน 0.1 ฐานสิบ ดังที่เคยกล่าวไว้ว่าแทนค่าได้เป็น e = −4; s = 110011001100110011001101 มีค่าที่แท้จริงเท่ากับ
เมื่อนำจำนวนนี้มายกกำลังสองจะได้ผลลัพธ์แท้จริงเป็น
หากนำมายกกำลังสองด้วยฮาร์ดแวร์จุดลอยตัวความเที่ยงหนึ่งเท่า (พร้อมทั้งปัดเศษ) จะได้
แต่จำนวนที่แทนค่าได้และใกล้เคียง 0.01 ที่สุดคือ
อีกตัวอย่างหนึ่ง จำนวนที่ไม่สามารถแทนค่าได้อย่าง π (และ π/2) ทำให้การพยายามคำนวณ tan(π/2) จะไม่ได้ผลลัพธ์เป็นค่าอนันต์หรือแม้แต่ภาวะมากเกินเก็บ ฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์มาตรฐานไม่สามารถคำนวณ tan(π/2) เพราะ tan(π/2) ไม่สามารถแทนค่าได้อย่างแม่นยำ เช่นในการคำนวณในภาษาซีดังนี้
/* เลขโดดจำนวนมากเพื่อให้แน่ใจว่าการประมาณจะถูกต้อง */
double pi = 3.1415926535897932384626433832795;
double z = tan(pi/2.0);
จะให้ผลลัพธ์เป็น 16331239353195370.0 แต่ในความเที่ยงหนึ่งเท่า (ใช้ฟังก์ชัน tanf) ผลลัพธ์จะเป็น −22877332.0
ในกรณีคล้ายกัน การพยายามคำนวณ sin(π) จะไม่ได้ค่าศูนย์ ผลลัพธ์ที่ได้โดยประมาณจะเท่ากับ 0.1225×10−15 ในความเที่ยงสองเท่า หรือ −0.8742×10−7 ในความเที่ยงหนึ่งเท่า
การบวกและการคูณจำนวนจุดลอยตัวมีสมบัติการสลับที่ (a + b = b + a และ a × b = b × a) แต่ไม่จำเป็นว่าจะต้องมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ นั่นคือ (a + b) + c ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ a + (b + c) เสมอไป เช่นตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเลขคณิตฐานสิบเจ็ดหลัก กำหนดให้ a = 1234.567, b = 45.67834, c = 0.0004
| --- | --- |
 กรณี (a + b) + c    1234.567   (a)  +   45.67834 (b)  ____________    1280.24534  ปัดเศษเป็น  1280.245    1280.245   (a + b)  +    0.0004  (c)  ____________    1280.2454   ปัดเศษเป็น  1280.245:  กรณี a + (b + c)      45.67834 (b)  +    0.0004  (c)  ____________      45.67874      45.67874 (b + c)  + 1234.567   (a)  ____________    1280.24574  ปัดเศษเป็น  1280.246
การบวกและการคูณจำนวนจุดลอยตัวก็ไม่จำเป็นต้องมีสมบัติการแจกแจง นั่นคือ (a + b) × c ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ a × c + b × c เสมอไป จากตัวอย่างนี้กำหนดให้ a = 1234.567, b = 1.234567, c = 3.333333
| --- | --- |
 กรณี (a + b) × c  a + b = 1234.567 + 1.234567 = 1235.802   (a + b) × c        = 1235.802 × 3.333333 = 4119.340:  กรณี a × c + b × c  a × c = 1234.567 × 3.333333 = 4115.223  b × c = 1.234567 × 3.333333 = 4.115223  a × c + b × c        = 4115.223 + 4.115223 = 4119.338
นอกเหนือจากการสูญเสียนัยสำคัญ ความไม่สามารถในการแทนค่าจำนวนอาทิ π และ 0.1 ได้อย่างแม่นยำ และความไม่เที่ยงตรงเล็กน้อยอื่น ๆ ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว ปรากฏการณ์ต่อไปนี้ก็อาจเกิดขึ้นได้เช่นกัน
การตัดออกหมด: การลบระหว่างตัวถูกดำเนินการที่มีค่าเกือบเท่ากันอาจทำให้สูญเสียความถูกต้องไปมาก สิ่งนี้อาจเป็นปัญหาความแม่นยำที่พบบ่อยและร้ายแรง
การแปลงเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นไปตามที่คาด: เช่นการแปลง 63.0/9.0 เป็นจำนวนเต็มจะได้ 7 แต่การแปลง 0.63/0.09 อาจได้ 6 เนื่องจากการแปลงมักจะตัดเศษทิ้งมากกว่าปัดเศษ ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานอาจให้คำตอบที่ต่างจากค่าคาดหวังอยู่หนึ่ง
พิสัยของเลขชี้กำลังจำกัด: ผลลัพธ์อาจล้นเกินเก็บทำให้เกิดอนันต์ หรือน้อยเกินเก็บทำให้เกิดจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐานหรือศูนย์ ในกรณีเหล่านี้ความเที่ยงจะสูญเสียไป
การทดสอบการหารที่ปลอดภัยเป็นปัญหา: การตรวจสอบว่าตัวหารไม่เป็นศูนย์ ไม่รับประกันได้ว่าผลหารจะไม่ล้นเกินเก็บ
การทดสอบภาวะเท่ากันเป็นปัญหา: ลำดับการคำนวณสองลำดับที่เท่ากันในเชิงคณิตศาสตร์ อาจให้ผลลัพธ์ต่างกันในจำนวนจุดลอยตัว บ่อยครั้งที่โปรแกรมเมอร์ทำการเปรียบเทียบภายในความคลาดเคลื่อนยินยอมบางค่า (มักจะเป็นค่าคงตัวฐานสิบ ซึ่งโดยตัวมันเองไม่สามารถแทนค่าได้อย่างแม่นยำ) แต่ก็ไม่จำเป็นว่าปัญหานี้จะหมดไป