แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน
นักคณิตศาสตร์

กรัสมันเข้าร่วมสอบหลายครั้ง การสอบครั้งหนึ่งของเขาบังคับให้เขาต้องส่งบทความเกี่ยวกับทฤษฎีกระแสน้ำ เมื่อปี ค.ศ. 1840 เขาได้ใช้ทฤษฎีพื้นฐานจากกลศาสตร์ท้องฟ้าของปีแยร์ ซีมง ลาปลัส และจากกลศาสตร์วิเคราะห์ของโฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ แต่แสดงการใช้ทฤษฎีนี้กับกระบวนการทางเวกเตอร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นเมื่อปี ค.ศ. 1832 เขาได้การตีพิมพ์บทความนี้เป็นครั้งแรกในงานสะสมแห่งปี ค.ศ. 1894–1911 มีเนื้อหาถึงเรื่องที่เพิ่งรู้จักเป็นครั้งแรกซึ่งปัจจุบันเราเรียกมันว่า พีชคณิตเชิงเส้นและปริภูมิเวกเตอร์ เขาพัฒนากระบวนการเหล่านี้ต่อไปในงานของเขา A1 และ A2 (ดู อ้างอิง)
เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสมันตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่ (Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik) [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า A1 และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง Ausdehnungslehre, ซึ่งแปลว่า ทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ เนื่องจาก A1 เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสมันก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด
เฟิร์นลีย์ แซนเดอร์ (Fearnley-Sander) (1979) เก็บถาวร 2012-06-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน อธิบายถึงรากฐานของพีชคณิตเชิงเส้นของกรัสมันไว้ดังต่อไปนี้
คำนิยามของปริภูมิเชิงเส้น (ปริภูมิเวกเตอร์)... เริ่มเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางช่วงปี ค.ศ. 1920 เมื่อแฮร์มัน ไวล์ (Hermann Weyl) และคนอื่น ๆ ได้ตีพิมพ์คำนิยามอย่างเป็นทางการ แท้จริงแล้ว เปอาโน (Peano) เคยให้คำนิยามแบบนี้เมื่อสามสิบปีก่อน เปอาโนคุ้นเคยกับงานทางคณิตศาสตร์ของกรัสมันเป็นอย่างดี กรัสมันไม่ได้ให้คำนิยามอย่างเป็นทางการไว้ แต่ไม่ต้องสงสัยว่าเขามีกรอบความคิดนั้น
เริ่มต้นด้วยกลุ่มของสมาชิกที่เรียกว่า "หน่วย" (unit) e1, e2, e3, ..., เขานิยามปริภูมิเชิงเส้นอิสระที่พวกมันทำให้เกิดขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพ พูดได้ว่าเขาพิจารณาถึงการจัดหมู่เชิงเส้นอย่างเป็นทางการ a1e1 + a2e2 + a3e3 + ... โดยที่ aj เป็นจำนวนจริง นิยามการบวกและการคูณด้วยจำนวนจริง [การบวกและการคูณจำนวนจริงเป็นเรื่องธรรมดาในปัจจุบัน] และพิสูจน์คุณสมบัติของปริภูมิเชิงเส้นสำหรับการดำเนินการเหล่านี้อย่างเป็นทางการ ... จากนั้นเขาก็พัฒนาทฤษฎีของความเป็นอิสระเชิงเส้น (linear independence) ในแนวทางเดียวกับการนำเสนอที่เราพบในตำราพีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ไว้อย่างน่าอัศจรรย์ เขานิยามกรอบความคิดของปริภูมิย่อย (subspace), ความเป็นอิสระเชิงเส้น, ส่วนขยายเชิงเส้น (linear span), มิติ, การเชื่อมและการต่อ (join and meet) ของปริภูมิย่อย และการแตกส่วนย่อย (projection) ของสมาชิกลงบนปริภูมิย่อย
...น้อยคนนักที่เข้าใกล้การสร้างวิชาใหม่เพียงลำพังมากกว่าแฮร์มัน กรัสมัน
ติดตามความคิดของพ่อของกรัสมัน A1 ยังได้นิยามผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์โพรดักต์ exterior product) ที่เรียกอีกอย่างว่าผลคูณเชิงการจัด "combinatorial product" ด้วย (äußeres Produkt หรือ kombinatorisches Produkt) สาขาหลักสาขาหนึ่งของพีชคณิตที่ปัจจุบันเราเรียกว่า พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา exterior algebra) (เราควรระลึกไว้ในใจว่าในสมัยของกรัสมัน ทฤษฎีที่ยอมรับกันโดยทั่วไปมีแค่เรขาคณิตแบบยูคลิด (Euclidean geometry) และยังต้องนิยามกรอบความคิดทั่วไปของพีชคณิตเชิงทฤษฎีอยู่) เมื่อปี ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด (William Kingdon Clifford) เชื่อมพีชคณิตเชิงเส้นนี้เข้ากับควาเทอร์เนียน (quaternions) ของวิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) โดยการเปลี่ยนกฎของกรัสมัน epep = 0 ด้วยกฎ epep = 1. (สำหรับ ควอเทอร์เนียน, เรามีกฎ i2 = j2 = k2 = −1.) รายละเอียดเพิ่มเติมดู พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา)
A1 เป็นตำราที่ปฏิวัติคณิตศาสตร์ ล้ำหน้ากว่าสมัยของมันมากเกินไปที่จะเป็นที่ยอมรับ กรัสมันนำเสนอมันในฐานะของวิทยานิพนธ์ดุษฎีบัณฑิตสาขาปรัชญา (Doctor of Philosophy) แต่เอากุสท์ แฟร์ดีนันท์ เมอบีอุส (August Ferdinand Möbius) พูดว่าเขาไม่สามารถประเมินค่าของมัน และส่งต่อให้แอ็นสท์ คุมเมอร์ แต่คุมเมอร์ไม่ยอมรับมันโดยที่เขายังไม่ได้อ่านเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน สิบกว่าปีต่อมากรัสมันได้เขียนงานหลายรูปแบบโดยประยุกต์ใช้ทฤษฎีส่วนขยายของเขา รวมถึงผลงานของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1845 ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้า (Neue Theorie der Elektrodynamik) และเอกสารหลายฉบับเกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิตด้วยความหวังว่าการประยุกต์ใช้งานเหล่านี้จะนำพาผู้คนอื่น ๆ ให้หันมาสนใจทฤษฎีของเขาอย่างจริงจัง
เมื่อปี ค.ศ. 1846 เมอบีอุสได้เชิญกรัสมันเข้าร่วมการแข่งขันแก้ปัญหาที่เสนอโดยก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ เป็นครั้งแรก: เพื่อที่จะคิดค้นแคลคูลัสเชิงเรขาคณิตโดยไม่มีระบบพิกัดและคุณสมบัติเชิงเมทริกซ์ (ซึ่งไลบ์นิทซ์เรียกว่า แบบโครงสร้างการวิเคราะห์ (analysis situs) การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตของกรัสมัน (Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik) เป็นผู้ชนะการแข่งขัน (เป็นผู้เข้าร่วมเพียงผู้เดียวอีกด้วย) ยิ่งไปกว่านั้นเมอบีอุสในฐานะผู้ตัดสินคนหนึ่งได้วิจารณ์วิธีที่กรัสมันเสนอกรอบความคิดเชิงทฤษฎีโดยไม่ช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจว่าทำไมกรอบความคิดนั้นจึงมีคุณค่า
เมื่อปี ค.ศ. 1853 กรัสมันได้ตีพิมพ์ทฤษฎีการผสมสีของแสง เรียกว่า กฎของกรัสมัน (Grassmann's law (optics)) ซึ่งยังคงมีการสอนกันอยู่ งานของกรัสมันในเรื่องนี้ไม่สอดคล้องกับงานของแฮร์มัน ฟ็อน เฮ็ล์มฮ็อลทซ์ กรัสมันยังได้เขียนเรื่องผลิกศาสตร์ (crystallography) วิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และกลศาสตร์ (mechanics)
เมื่อปี ค.ศ. 1861 กรัสมันได้แถลงถึงหลักฐานที่เป็นจริงเสมอทางเลขคณิต ทำให้เกิดการใช้หลักของการเหนียวนำอย่างอิสระ เปอาโนและลูกศิษย์ของเขาสนับสนุนงานชิ้นนี้อย่างอิสระเมื่อช่วงปี ค.ศ. 1890 ลอยด์ ซี. คานเนนเบิร์ก (Lloyd C. Kannenberg) ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีส่วนขยาย (Ausdehnungslehre) และผลงานอื่น ๆ ของกรัสมันเป็นภาษาอังกฤษเมื่อปี ค.ศ. 1955 (ISBN 0-8126-9275-6. -- ISBN 0-8126-9276-4)
เมื่อปี ค.ศ. 1862 กรัสมันได้ตีพิมพ์ A1 ที่ถูกเขียนขึ้นใหม่ทั้งหมดเป็นครั้งที่สอง โดยหวังที่จะให้ทฤษฎีส่วนขยายของเขาได้รับการยอมรับ และบรรจุคำอธิบายที่น่าเชื่อถือที่สมบูรณ์ที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ของเขา ผลที่ตามมาคือทฤษฎีส่วนขยายในรูปแบบที่ขัดเกลามาแล้วอย่างเข้มข้น (Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet) ที่เรียกว่า A2 มีอาการก็ไม่ดีกว่า A1 แม้ว่ารูปแบบของคำอธิบายของ A2 ได้ถูกเตรียมไว้เพื่อเป็นตำราของคริสต์ศตวรรษที่ 20