stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
สถูปน้ำแข็ง

| สถูปน้ำแข็ง |
| --- | --- |
สถูปน้ำแข็งและคณะนักศึกษาของสถาบันแห่งหนึ่งในลาดักในการประกวดสถูปน้ำแข็งประจำปี 2019
เชิงพาณิชย์: ไม่ใช่
ชนิดของโครงการ: การอนุรักษ์น้ำ
ทำเลที่ตั้ง: ลาดัก ประเทศอินเดีย
เจ้าของ: ขบวนการการศึกษาและวัฒนธรรมชองนักเรียนในลาดัก (SECMOL)
ผู้ก่อตั้ง: โซนัม วังชุก
ประเทศ: อินเดีย
บุคคลสำคัญ: โซนัม วังชุก
ก่อตั้งเมื่อ: ตุลาคม 2013; 11 ปีที่แล้ว (2013-10)
งบประมาณ: เรี่ยไรเงินทุน
สถานะ: ใช้งานอยู่
เว็บไซต์: icestupa.org
สถูปน้ำแข็ง (อังกฤษ: Ice stupa) เป็นรูปแบบหนึ่งของวิธีการปลูกธารน้ำแข็ง ที่ใช้เพื่อสร้างธารน้ำแข็งเทียมสำหรับเก็บรักษาน้ำในฤดูหนาวในรูปของกองน้ำแข็งทรงกรวย โดยน้ำในฤดูหนาวที่ว่านี้หากไม่ได้เก็บรักษาก็จะเสียเปล่าไปโดยไม่ได้ใช้ประโยชน์ ในระหว่างฤดูร้อนซึ่งน้ำมักจะขาดแคลน น้ำแข็งเหล่านี้จะละลายเพื่อเพิ่มน้ำสำหรับใช้ในการเกษตร การทำทางน้ำและการแช่แข็งน้ำเพื่อใช้ในการชลประทานเช่นนี้มีมาหลายร้อยปีแล้ว กระทั่งโซนัม วังชุก ได้นำมาปรับใช้ในระดับมหภาคและทำให้แพร่หลายขึ้นในลาดัก ประเทศอินเดีย โครงการสถูปน้ำแข็งนี้ดำเนินงานโดยองค์การนอกรัฐ ขบวนการการศึกษาและวันธรรมของนักเรียนแห่งลาดัก เริ่มต้นดำเนินงานในเดือนตุลาคม 2013 และโครงการนำร่องเริ่มต้นในเดือนมกราคม 2014
เนื่องด้วยลาดักมีลักษณะภูมิประเทศเป็นทะเลทรายหนาว การเกษตรไม่สามารถมีได้ในฤดูหนาวเพราะดินแข็งตัวประกอบกับอุณหภูมิที่ต่ำ ส่วนในระหว่างฤดูใบไม้ผลิ ความต้องการน้ำเพื่อใช้ในการเพาะปลูกมีสูงขึ้น ในขณะที่ธารน้ำต่าง ๆ ในพื้นที่แห้งขอดลง ลาดักมีปริมาณน้ำฝนเฉลี่ยต่อปีอยู่ที่ 50 มิลลิเมตร (2.0 นิ้ว) ทำให้การเกษตรในลาดักพึ่งพาน้ำละลายจากธารน้ำแข็ง แต่เนื่องด้วยการเปลี่ยนแปรของสภาพอากาศ ลาดักเผชิญกับฤดูร้อนที่ร้อนขึ้น รวมถึงเวลาละลายของน้ำแข็งเพื่อนำน้ำมาใช้นั้นเกิดความคาดเคลื่อน ในช่วงฤดูใบไม้ผลิ น้ำจึงขาดแคลนอย่างมากโดยเฉพาะต่อการเกษตรและปศุสัตว์
ในเดือนตุลาคม 2013 โซนัม วังชุก ได้พัฒนาต้นแบบตัวอย่างแรกของสถูปน้ำแข็งสูง 6 เมตร (20 ฟุต) โดยการแช่แข็งน้ำ 150,000 L (40,000 US gal) ในเลห์ น้ำส่งผ่านทางท่อมาจากต้นน้ำโดยใช้แรงโน้มถ่วง และไม่มีการใช้งานเครื่องจักรที่พึ่งพาไฟฟ้า สถูปน้ำแข็งนี้ละลายจนหมดในกลางเดือนพฤษภาคม 2014 แม้อุณหภูมิจะสูงกว่า 20 องศาเซลเซียส (68 องศาฟาเรนไฮต์)
โครงการสถูปน้ำแข็งและธารน้ำแข็งเทียมยังคงมีการพัฒนาต่อยอดเพื่อให้เกิดประสิทธิภาพสูงสุดต่อการชลประทานในลาดัก และนับตั้งแต่ปี 2019 ได้มีการจัดการแข่งขันประกวดธารน้ำแข็งเทียมขึ้นในลาดัก โดยในปี 2019 มีการสร้างสถูปน้ำแข็งรวม 12 ชิ้น และในปี 2020 มีมากกว่า 25 สถูปน้ำแข็งที่หมู่บ้านต่าง ๆ ในลาดักสร้างขึ้น
แหล่งข้อมูลอื่น

วิดีโออธิบายเกี่ยวกับสถูปน้ำแข็ง (ภาษาอังกฤษ)
Adaptation: Ice stupas of Ladakh ทางช่องพีบีเอส ดำเนินรายการโดยนักวิจัยสภาพภูมิอากาศ Alizé Carrère (ภาษาอังกฤษ)
รายพระนามคู่อภิเษกสมรสในพระมหากษัตริย์บราซิล
สมเด็จพระราชินีแห่งสหราชอาณาจักรโปรตุเกส บราซิล และแอลการ์ฟ > ราชวงศ์บราแกนซา 1815–1822

| พระรูป | พระนาม | ประสูติ | อภิเษกสมรส | สถาปนาเป็นพระราชินี | พ้นจากตำแหน่ง | สวรรคต | คู่อภิเษกสมรส |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | สมเด็จพระราชินีการ์โลตา โคอากีนา | 25 เมษายน 1775 | 8 พฤษภาคม 1785 | 20 มีนาคม 1816 พระสวามีครองราชย์ | 7 กันยายน 1822 บราซิลเป็นเอกราชจากสหราชอาณาจักร | 7 มกราคม 1830 | ฌูเอาที่ 6 |
สมเด็จพระจักรพรรดินีแห่งบราซิล > ราชวงศ์บราแกนซา 1822–1889

| พระรูป | พระนาม | ประสูติ | อภิเษกสมรส | สถาปนาเป็นจักรพรรดินี | พ้นจากตำแหน่ง | สวรรคต | คู่อภิเษกสมรส |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | อาร์ชดัชเชสมาเรีย ลีโอโพลดีนาแห่งออสเตรีย | 22 มกราคม 1797 | 6 พฤศจิกายน 1817 | 12 ตุลาคม 1822 พระสวามีครองราชย์ | 11 ธันวาคม 1826 | 11 ธันวาคม 1826 | เปดรูที่ 1 |
|  | อเมลีแห่งเลาช์เทนเบิร์ก | 31 กรกฎาคม 1812 | 2 สิงหาคม 1829 | 2 สิงหาคม 1829 | 7 เมษายน 1831 พระสวามีสละราชสมบัติ | 26 มกราคม 1873 | เปดรูที่ 1 |
|  | เทเรซา คริสตินาแห่งทูซิชิลี | 14 มีนาคม 1822 | 30 พฤษภาคม 1843 | 30 พฤษภาคม 1843 | 15 พฤศจิกายน 1889 พระสวามีถูกเนรเทศ | 28 ธันวาคม 1889 | เปดรูที่ 2 |
ผู้อ้างสิทธิในตำแหน่งจักรพรรดินีแห่งบราซิล > ราชวงศ์บราแกนซา 1822–1889

| พระรูป | พระนาม | ประสูติ | สมรส | เริ่มอ้างสิทธิ | สิ้นสุด | สิ้นพระชนม์ | คู่สมรส |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | เทเรซา คริสตินาแห่งทูซิชิลี | 14 มีนาคม 1822 | 30 พฤษภาคม 1842 | 15 พฤศจิกายน 1889 พระสวามีถูกเนรเทศ | 28 ธันวาคม 1889 | 28 ธันวาคม 1889 | เปดรูที่ 2 |
|  | แกสตัน เคานต์แห่งอียู | 28 เมษายน 1842 | 15 ตุลาคม 1864 | 5 ธันวาคม 1891 พระชายาอ้างสิทธิ | 14 พฤศจิกายน 1921 พระชายสิ้นพระชนม์ | 28 สิงหาคม 1922 | เจ้าหญิงอิซาเบลแห่งบราซิล |
ผู้อ้างสิทธิในตำแหน่งจักรพรรดินีแห่งบราซิล > ราชวงศ์ออร์เลอองส์-บราแกนซา ตั้งแต่ 1921 > สายวาสซัวราส ตั้งแต่ 1921

| พระรูป | พระนาม | ประสูติ | สมรส | เริ่มอ้างสิทธิ | สิ้นสุด | สิ้นพระชนม์ | คู่สมรส |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | เจ้าหญิงมาเรีย เอลิซาเบธ | 9 กันยายน 1914 | 19 สิงหาคม 1937 | 19 สิงหาคม 1937 | 5 กรกฎาคม 1981 พระสวามีสิ้นพระชนม์ | 13 พฤษภาคม 2011 | เจ้าชายเปดรู เฮนริก |
ผู้อ้างสิทธิในตำแหน่งจักรพรรดินีแห่งบราซิล > ราชวงศ์ออร์เลอองส์-บราแกนซา ตั้งแต่ 1921 > สายเปดรูโปลิส ตั้งแต่ 1940

| พระรูป | พระนาม | ประสูติ | สมรส | เริ่มอ้างสิทธิ | สิ้นสุด | สิ้นพระชนม์ | คู่สมรส |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | มารีอา เดอ ลา เอสเปอรานซาแห่งทูซิซิลี | 14 มิถุนายน 1914 | 18 ธันวาคม 1944 | 18 ธันวาคม 1944 | 8 สิงหาคม 2005 | 8 สิงหาคม 2005 | เจ้าชายเปดรู แกสเทา |
|  | แพทริเซีย อเล็กซานดร้า บรานส์คอม | 22 พฤศจิกายน 1964 | 16 กรกฎาคม 1981 | 27 ธันวาคม 2007 พระสวามีอ้างสิทธิ | 21 พฤศจิกายน 2009 | 21 พฤศจิกายน 2009 | เจ้าชายเปโดร กาโลส |
ดูเพิ่ม

รายพระนามพระมหากษัตริย์บราซิล
รายพระนามพระมหากษัตริย์โปรตุเกส
กุนาฟะฮ์

| --- | --- |

ชื่ออื่น:   Kunafeh  Kunafa  Kanafeh  Knafeh  Konafi  Kunaftah  Künefe  Kinafa 
ประเภท: ของหวาน
แหล่งกำเนิด: ตะวันออกกลาง
ภูมิภาค:   ตะวันออกกลาง 
อุณหภูมิเสิร์ฟ: อุ่น, อุณหภูมิห้อง ถึงเย็น
ส่วนผสมหลัก:   แป้ง  น้ำตาล  ชีส  อัลมอนด์  พิสตาชีโอ  น้ำกุหลาบ  คัยมัค 
 ตำราอาหาร: กุนาฟะฮ์   สื่อ: กุนาฟะฮ์
กุนาฟะฮ์ (อาหรับ: كنافة) เป็นของหวานอาหรับ ทำจากแป้งเส้นที่เรียกว่า กาไตฟี (kataifi) ในน้ำเชื่อมที่เรียกว่าก็อฏร์ และมักใส่ส่วนผสมอื่น เช่น เนยแข็ง พิสตาชีโอ แตกต่างกันไปตามภูมิภาค ขนมหวานนี้เป็นที่นิยมในแถบตะวันออกกลาง
แหล่งข้อมูลอื่น

Kadayif, Sweet Noodles ใน Turkish Cooking Everyday Blog
Kadaif Noodles ในเว็บไซต์ของ Martha Stewart
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด

วิธีของยุคลิดสำหรับหาตัวหารร่วมมาก (หรม.) ของความยาวเริ่มต้น BA และ DC ซึ่งต่างนิยามให้เป็นพหุคูณของความยาว"หน่วย"เดียวกัน เพราะว่า DC สั้นกว่าจึงใช้"วัด" BA แต่เพียงครั้งเดียวเพราะเศษ EA น้อยกว่า CD ใช้ EA วัดความยาว DC ที่สั้นกว่าสองครั้ง จะเหลือเศษ FC สั้นกว่า EA แล้วใช้ FC วัดความยาว EA สามครั้ง เพราะว่าขั้นตอนนี้ไม่มีเศษ จึงจบโดยมี FC เป็น หรม. ด้านขวาเป็นตัวอย่างของนิโคมาคัสโดยจำนวน 49 และ 21 ให้ผลลัพธ์ค่าตัวหารร่วมมากเป็น 7 (ประยุกต์จาก Heath 1908:300)
ในวิชาคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด (อังกฤษ: Euclidean Algorithm) หรือ ขั้นตอนวิธีของยุคลิด เป็นวิธีคำนวณตัวหารร่วมมาก (หรม.) ของจำนวนเต็มสองจำนวน ตั้งชื่อตามยุคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้อธิบายทฤษฎีนี้ใน อิลิเมนต์ของยุคลิด เล่ม VII และ X
ตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวนคือจำนวนเต็มมากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวนนั้นได้โดยไม่เหลือเศษ
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดเริ่มต้นด้วยจำนวนเต็มบวกคู่หนึ่ง แล้วสร้างจำนวนคู่ใหม่ประกอบด้วยจำนวนที่น้อยกว่าและผลต่างระหว่างจำนวนทั้งสอง จากนั้นทำซ้ำจนจำนวนทั้งสองเท่ากัน จำนวนในขั้นตอนสุดท้ายเป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มบวกเริ่มต้น
หลักการสำคัญคือ หรม. ไม่เปลี่ยนค่าถ้านำจำนวนที่น้อยกว่าลบจำนวนที่มากกว่า เช่น หรม. ของ 252 และ 105 เท่ากับ หรม. ของ 147 (= 252 − 105) และ 105 จำนวนที่มากกว่าถูกลดลดค่าลงเสมอ ทำให้การทำวิธีนี้ซ้ำได้จำนวนที่เล็กลง การซ้ำนี้จึงจบอย่างแน่นอนเมื่อทั้งสองจำนวนมีค่าเท่ากัน (ถ้าทำอีกหนึ่งครั้ง จำนวนใดจำนวนหนึ่งจะเป็น 0)
หลักฐานเกี่ยวกับขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดพบในหนังสือ Elements ของยุคลิด (ในช่วงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล) ทำให้เป็นขั้นตอนวิธีเก่าแก่ที่สุดเกี่ยวกับจำนวนที่ยังใช้โดยทั่วไป ขั้นตอนวิธีฉบับดังเดิมใช้สำหรับจำนวนธรรมชาติและความยาวเชิงเรขาคณิต (จำนวนจริง) แต่นักคณิตศาสตร์ได้ขยายการใช้งานไปยังจำนวนชนิดอื่น เช่น จำนวนเต็มเกาส์เซียนและพหุนามหนึ่งตัวแปร อันนำไปสู่แนวคิดเชิงพีชคณิตนามธรรมสมัยใหม่ เช่น โดเมนแบบยุคลิด ซึ่งเป็นริงที่สามารถทำขั้นตอนวิธีของยุคลิดได้
ขั้นตอนวิธีของยุคลิดมีการประยุกต์ใช้ในทางทฤษฎีและปฏิบัติ อาจใช้ก่อกำเนิดจังหวะดนตรีที่สำคัญหลายรูปแบบที่พบในวัฒนธรรมต่าง ๆ ทั่วโลก  ขั้นตอนวิธีนี้เป็นส่วนประกอบสำคัญของการเข้ารหัสอาร์เอสเอ (การเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตรที่ใช้ทั่วไปในการพาณิชย์อิเล็กทรอนิกส์) ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดใช้แก้สมการไดโอแฟนไทน์แบบรูปแบบ เช่นการหาจำนวนที่สอดคล้องกับสมภาคหลายชุด (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) หรือตัวผกผันการคูณในฟิลด์จำกัด, ใช้สร้างเศษส่วนต่อเนื่อง, ใช้หาจำนวนรากจริงของพหุนามโดยวิธีโซ่ของสเติร์ม และในขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มสมัยใหม่ และที่สำคัญ ขั้นตอนวิธีของยุคลิดเป็นเครื่องมือสำหรับพิสูจน์ทฤษฎีบทในทฤษฎีจำนวน เช่น ทฤษฎีบทผลรวมกำลังสองของลากรองจ์และทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต
ถ้าปรับปรุงขั้นตอนวิธีให้ใช้เศษหารจากวิธีหารแบบยุคลิดแทนที่จะเป็นการลบ ขั้นตอนวิธีของยุคลิดคำนวณค่าตัวหารร่วมมากของจำนวนขนาดใหญ่อย่างมีประสิทธิภาพ โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหารเป็นจำนวนครั้งไม่เกินห้าเท่าของจำนวนหลักของจำนวนขนาดเล็กกว่า (ในฐานสิบ) ขั้นตอนวิธีแบบปรับปรุงนี้พิสูจน์ได้โดย Gabriel Lamé [en] เมื่อปี ค.ศ. 1844 นับเป็นจุดริเริ่มการศึกษาทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ และในคริสต์ศตวรรษที่ 20 มีการพัฒนาวิธีเพิ่มประสิทธิภาพในรูปแบบอื่นเพิ่มขึ้นมา
เมื่อย้อนขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด ตัวหารร่วมมากสามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของสองจำนวนที่นำมาดำเนินการ โดยที่แต่ละจำนวนคูณกับจำนวนเต็ม เช่น ตัวหารร่วมมากของ 252 และ 105 คือ 21 และ 21 = [5 × 105] + [(−2) × 252] สมบัตินี้เรียกว่าเอกลักษณ์ของเบซู
พื้นฐาน — ตัวหารร่วมมาก

บทความหลัก: ตัวหารร่วมมาก
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดคำนวณค่าตัวหารร่วมมาก (หรม.) ของจำนวนธรรมชาติสองจำนวน a และ b ค่าตัวหารร่วมมาก g เป็นจำนวนธรรมชาติค่ามากสุดที่หารทั้ง a และ b ลงตัว คำที่มีความหมายเหมือนกับ หรม. ได้แก่ ตัวประกอบร่วมค่ามากสุด (อังกฤษ: greatest common factor, GCF), ตัวประกอบร่วมค่ามากสุด (อังกฤษ: highest common factor, HCF) และ greatest common measure (GCM) ตัวหารร่วมมากมักเขียนแทนด้วย gcd(a, b) หรือ (a, b), แม้ว่าสัญลักษณ์แบบหลังใช้สำหรับความคิดรวบยอดทางคณิตศาสตร์อีกหลายอย่าง เช่น เวกเตอร์พิกัดสองมิติ
ถ้า gcd(a, b) = 1 แล้ว a กับ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ความเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ไม่ได้บ่งบอกว่า a หรือ b เป็นจำนวนเฉพาะเองแต่อย่างใด เช่น 6 และ 35 ต่างไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เพราะต่างมีตัวประกอบเฉพาะจำนวนละสองตัว: 6 = 2 × 3 and 35 = 5 × 7 อย่างไรก็ตาม 6 และ 35 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ไม่มีจำนวนธรรมชาตินอกเหนือจาก 1 หารทั้ง 6 และ 35 ลงตัว เพราะไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน
ให้ g = gcd(a, b) จากการที่ a และ b เป็นพหุคูณของ g สามารถเขียนในรูป a = mg และ b = ng และไม่มีจำนวนเต็ม G ที่มากกว่า g ที่ทำให้ข้อความดังกล่าวเป็นจริง m และ n ต้องเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะหากมีตัวประกอบร่วมของ m และ n จะทำให้ g มีค่ามากขึ้น ดังนั้นจำนวนเต็ม c ใด ๆ ที่หาร a และ b ลงตัว จะต้องหาร g ลงตัวด้วย ตัวหารร่วมมาก g ของ a และ b คือตัวหารร่วมบวกเพียงหนึ่งตัวของ a และ b ที่หารด้วยตัวหารร่วมอื่น c ลงตัว
ตัวหารร่วมมากสามารถอธิบายได้ด้วยการสมมติสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง a ยาว b และตัวหารร่วม c ที่หาร a และ b ลงตัว ด้านของสี่เหลี่ยมสามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยยาว c ซึ่งแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสย่อยยาวด้านละ c โดยตัวหารร่วมมาก g คือค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ c ตัวอย่างดังภาพคือสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 24 ยาว 60 สามารถแบ่งได้เป็นตารางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1  \times  1, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2  \times  2, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 3  \times  3, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 4  \times  4, สี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 \times 6 หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส 12  \times  12 ดังนั้น 12 คือตัวหารร่วมมากของ 24 และ 60 โดยสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 24 ยาว 60 สามารถแบ่งเป็นตารางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 12 ที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปติดด้านกว้าง (24/12 = 2) และสี่เหลี่ยมจัตุรัส 5 รูปติดด้านยาว (60/12 = 5)
ตัวหารร่วมมากของสองจำนวน a และ b คือผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่สองจำนวนนี้มีร่วมกัน โดยตัวประกอบเฉพาะหนึ่งค่าสามารถนำมาคูณได้หลายรอบ ตราบที่ผลคูณของตัวประกอบเหล่านี้หาร a และ b ลงตัว ตัวอย่างเช่น 1386 แยกตัวประกอบได้เป็น 2  \times  3  \times  3  \times  7  \times  11 และ 3213 แยกตัวประกอบได้เป็น 3  \times  3  \times  3  \times  7  \times  17 ตัวหารร่วมมากของ 1386 และ 3213 จึงเท่ากับ 63 = 3  \times  3  \times  7 ซึ่งก็คือผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วม ถ้าสองจำนวนไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน ตัวหารร่วมมากคือ 1 (เท่ากับค่าผลคูณว่าง) หรือก็คือทั้งสองจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ข้อได้เปรียบของขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดคือสามารถหาค่าตัวหารร่วมมากโดยไม่ต้องหาตัวประกอบเฉพาะร่วม
หรม. ของสามจำนวนขึ้นไปมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเหล่านั้น แต่ก็สามารถหาได้จากการหา หรม. ของแต่ละคู่จำนวน
ดังนั้นขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดที่หาหรม.ของสองจำนวนจะสามารถหา หรม. ของหลายจำนวนได้ด้วยเช่นกัน
คำอธิบาย > กระบวนการ

ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดดำเนินเป็นขั้นตอน โดยผลลัพธ์ในแต่ละขั้นตอนจะถูกใช้ในขั้นตอนต่อไป ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่นับจำนวนขั้นตอนในวิธีการยูคลิด เริ่มจากศูนย์ ดังนั้นในขั้นตอนที่หนึ่งมีค่า k = 0 ขั้นตอนที่สองมีค่า k = 1 เป็นแบบนี้ไปเรื่อย ๆ
แต่ละขั้นตอนเริ่มด้วยเศษสองจำนวนที่มีค่าไม่เป็นลบ rk−1 และ rk−2 เนื่องจากวิธีการนี้จะทำให้เศษมีค่าลดลงในทุกขั้นตอนเสมอ rk−1 มีค่าน้อยกว่าเศษตัวก่อน rk−2 เป้าหมายของขั้นตอนที่ k คือหาผลหาร qk และเศษ rk ที่สอดคล้องกับสมการ
จะได้ว่า 0 ≤ rk < rk−1 กล่าวได้ว่า จำนวนที่มากกว่า rk−2 ถูกลบด้วยพหุคูณของจำนวนที่น้อยกว่า rk−1 จนกว่าเศษ rk จะมีค่าน้อยกว่า rk−1
ในขั้นแรก (k = 0) เศษ r−2 และ r−1 มีค่าเท่ากับ a และ b ตามลำดับ ในขั้นต่อมา (k = 1) เศษมีค่าเท่ากับ b และเศษ r0 ของขั้นแรก ทำแบบนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ขั้นตอนวิธีดังกล่าวเขียนออกมาในรูปแบบลำดับของสมการได้ว่า
ถ้า a มีค่าน้อยกว่า b ให้สลับตัวเลขในขั้นแรก ตัวอย่างคือ ถ้า a < b ผลหารในขั้นแรก q0 จะมีค่าเท่ากับศูนย์ และเศษ r0 มีค่าเท่ากับ a ดังนั้น rk จะมีค่าน้อยกว่า rk−1 สำหรับทุก k ≥ 0
เพราะเศษมีค่าลดลงในทุกขั้นตอน แต่ไม่สามารถเป็นมีค่าเป็นลบ เศษ rN จึงจะต้องเท่ากับศูนย์ในสักขั้นตอน
คำอธิบาย > การพิสูจน์ความถูกต้อง

ความถูกต้องของขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดสามารถพิสูจน์ได้โดยสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เห็นได้ว่าเศษตัวสุดท้ายที่ไม่เท่ากับศูนย์ rN−1 จะหารทั้ง a และ b ลงตัว เพราะมันเป็นตัวหารร่วม จึงมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวหารร่วมมาก g และในขั้นตอนที่สอง เห็นได้ว่าตัวหารร่วมใด ๆ ของ a และ b (รวมถึงตัวหารร่วมมาก g ด้วย) ต้องหาร rN−1 ลงตัว ดังนั้น g ต้องมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ rN−1 ข้อสรุปสองอันนี้ไม่แน่นอน เว้นแต่ rN−1 = g
เพื่อแสดงให้เห็นว่า rN−1 หารทั้ง a และ b ลงตัว (ขั้นแรก) และ rN−1 หาร rN−2 ลงตัว
เพราะเศษตัวสุดท้าย rN คือศูนย์ ทำให้ rN−1 หาร rN−3 ลงตัวด้วย
คำอธิบาย > ตัวอย่างการใช้งาน

เพื่อให้เห็นภาพ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดสามารถนำมาใช้หาตัวหารร่วมมากของ a = 1071 และ b = 462 ได้ เริ่มต้นด้วย นำ 1071 เป็นตัวตั้ง ลบกับตัวคูณของ 462 จนกว่าเศษจะน้อยกว่า 462 ซึ่งเมื่อพิจารณาแล้ว การคูณด้วย 2 นั้นสามารถนำมาใช้ในการลบออกได้ (q0 = 2) โดยมีเศษคือ 147
ต่อมา ตัวคูณของ 147 จะถูกลบออกจาก 462 จนกว่าเศษจะมีค่าน้อยกว่า 147 เมื่อพิจารณาแล้ว การคูณด้วย 3 นั้นสามารถนำมาใช้ในการลบออกได้
ต่อมา ตัวคูณของ 21 จะถูกลบออกจาก 147 จนกว่าเศษจะมีค่าน้อยกว่า 21 ซึ่งการคูณด้วย 7 นั้นสามารถนำมาใช้ในการลบออกได้ (q2 = 7) ไม่เหลือเศษแล้ว
| ขั้นที่ k | สมการ | ผลหาร (q) และเศษเหลือ (r) |
| --- | --- | --- |
| 0 | 1071 = q0 462 + r0 | q0 = 2 และ r0 = 147 |
| 1 | 462 = q1 147 + r1 | q1 = 3 และ r1 = 21 |
| 2 | 147 = q2 21 + r2 | q2 = 7 และ r2 = 0; อัลกอริทึมจบลง |
คำอธิบาย > การอธิบายเป็นภาพ

เราสามารถทำขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดให้เห็นภาพได้ โดยใช้วิธีคล้ายกับการปูกระเบื้องในการหาตัวหารร่วมมาก สมมุติว่าเราต้องการปูพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด  a\times b โดยใช้กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยที่ a เป็นค่าที่มีค่ามากกว่าอีกจำนวน เริ่มแรก เราจะปูโดยใช้กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด  b\times b แต่ว่า กลับเหลือพื้นที่ที่ปูไม่ได้ มีขนาดเป็น  r_{0}\times b โดยที่  r_{0}<b เราก็เลยเปลี่ยนไปใช้กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด  r_{0}\times r_{0} แทน แต่ก็ยังปูพื้นที่ได้ไม่ครบอีก เหลือพื้นที่เป็น  r_{1}\times r_{0} เราก็เลยเปลี่ยนไปใช้กระเบื้องขนาด  r_{1}\times r_{1} แทน ทำแบบนี้ซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งไม่เหลือพื้นที่ที่ยังไม่ได้ปู นั่นคือ เมื่อกระเบื้องสี่เหลียมจัตุรัสสามารถปูพื้นที่ที่ยังไม่ได้ปูในขั้นที่แล้วได้ทั้งหมด โดยความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กที่สุดก็คือตัว ห.ร.ม. ของขนาดของสี่เหลี่ยมรูปต้นแบบนั่นเอง เช่น กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กที่สุดในรูปคือ  21\times 21 (ในรูปแสดงโดยใช้สีแดง) และ 21 เป็นตัวหารร่วมมากของ 1071 และ 462 ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมต้นฉบับ (แสดงโดยใช้สีเขียว)
คำอธิบาย > การหารแบบยูคลิด

ในทุกขั้นตอน k ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดคำนวณผลหาร qk และเศษ rk จากตัวเลขสองตัว rk−1 และ rk−2
โดยที่ rk เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และมีค่าน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของ rk−1 โดยมีทฤษฏีที่รับรองว่าขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดจะมีผลหารและเศษเสมอ
ในขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดแบบดั้งเดิม ผลหารและเศษหาได้จากการลบซ้ำ ๆ นั่นคือ
คำอธิบาย > การนำไปใช้งาน

การนำไปใช้งานของขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดจะถูกเขียนในรูปแบบโค้ดเทียม
function gcd(a, b)
    while b ≠ 0
        t := b
        b := a mod b
        a := t
    return a
function gcd(a, b)
    while a ≠ b 
        if a > b
            a := a − b
        else
            b := b − a
    return a
ในรูปแบบเรียกซ้ำ  จะขึ้นอยู่กับความเท่ากันของตัวหารร่วมมากของเศษเหลือต่อเนื่อง โดยมีเงื่อนไขการหยุดคือ gcd(rN−1, 0) = rN−1
function gcd(a, b)
    if b = 0
        return a
    else
        return gcd(b, a mod b)
(หากค่าที่รับมาเป็นลบ หรือฟังก์ชัน mod อาจให้ค่าที่ติดลบ ต้องเปลี่ยน "return a" เป็น "return max(a, −a)")
การประยุกต์ใช้ทางคณิตศาสตร์ > เอกลักษณ์ของเบซู

เอกลักษณ์ของเบซูระบุว่าตัวหารร่วมมาก g ของจำนวนนับสองจำนวน a และ b สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของจำนวนนับ a และ b ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ สามารถหาจำนวนนับ s และ t ที่ทำให้ g = sa + tb ได้เสมอ
จำนวนนับ s และ t สามารถคำนวณได้จากผลหาร q0, q1, ... โดยการย้อนกลับลำดับของสมการในอัลกอริธึมของยุคลิด โดยเริ่มต้นจากสมการรองสุดท้าย ซึ่งสามารถเขียน g ในรูปของผลหาร qN−1 และเศษที่เหลือสองตัวก่อนหน้า rN−2 และ rN−3 ได้ดังนี้
เศษที่เหลือทั้งสองนั้นสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของผลหารและเศษที่เหลือก่อนหน้าได้เช่นกัน
เมื่อแทนค่า rN−2 และ rN−3 ลงในสมการแรก จะได้ g เป็นผลรวมเชิงเส้นของเศษเหลือ rN−4 และ rN−5 การแทนที่สมการที่เหลือด้วยเศษที่เหลือก่อนหน้าสามารถทำต่อไปได้เรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงจำนวนนับเดิม a และ b
หลังจากแทนที่ส่วนที่เหลือทั้งหมด r0, r1, ... สมการสุดท้ายจะแสดงให้เห็นว่า g เป็นผลรวมเชิงเส้นของ a และ b คือ g = sa + tb จากเอกลักษณ์ของเบซู อัลกอริธึมข้างต้นจึงสามารถเขียนในรูปทั่วไปของโดเมนยุคลิด [en]ได้
บรรณานุกรม

Cohen, H. (1993). A Course in Computational Algebraic Number Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-55640-0.
Cohn, H. (1962). Advanced Number Theory. New York: Dover. ISBN 0-486-64023-X.
Cox, D.; Little, J.; O'Shea, D. (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
Crandall, R.; Pomerance, C. (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective (1st ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94777-9.
Lejeune Dirichlet, P. G. (1894).  Dedekind, Richard (บ.ก.). Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (ภาษาเยอรมัน). Braunschweig: Vieweg. LCCN 03005859. OCLC 490186017.. See also Vorlesungen über Zahlentheorie
Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-201-89684-2.
LeVeque, W. J. (1996) [1977]. Fundamentals of Number Theory. New York: Dover. ISBN 0-486-68906-9.
Mollin, R. A. (2008). Fundamental Number Theory with Applications (2nd ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-4200-6659-3.
Ore, O. (1948). Number Theory and Its History. New York: McGraw–Hill.
Rosen, K. H. (2000). Elementary Number Theory and its Applications (4th ed.). Reading, MA: Addison–Wesley. ISBN 0-201-87073-8.
Schroeder, M. (2005). Number Theory in Science and Communication (4th ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-15800-6.
Stark, H. (1978). An Introduction to Number Theory. MIT Press. ISBN 0-262-69060-8.
Stillwell, J. (1997). Numbers and Geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98289-2.
Stillwell, J. (2003). Elements of Number Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95587-9.
Tattersall, J. J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85014-8.
แหล่งข้อมูลอื่น

สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 24 ยาว 60 ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมขนาดด้านละ 12 จำนวนสิบรูป ซึ่ง 12 คือตัวหารร่วมมากของ 24 และ 60 ในกรณีทั่วไป สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง a ยาว b จะแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสย่อยด้านละ c ได้เฉพาะในกรณีที่ c เป็นตัวหารร่วมของ a และ b
แอนิเมชั่นแสดงขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดโดยใช้วิธีการลบ แรกเริ่ม สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด a = 1071 และ b = 462 ต่อมา สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 462×462 ถูกวางลงไป ทำให้เหลือสี่เหลี่ยมพืนผ้าขนาด 462×147 โดยสี่เหลี่ยมพืนผ้านี้จะถูกวางทับโดยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 147×147 จนกระทั่งเหลือสี่เหลี่ยมพื้นผ้าขนาด 21×147 ที่เหลือก็นำสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 21×21 มาวางให้ครบ ทำให้ไม่เหลือพื้นที่ที่ยังไม่ได้ปิด จึงสรุปได้ว่า ขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กที่สุด (21) คือ ห.ร.ม. ของ 1071 และ 462
ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดอาจถูกคิดค้นขึ้นก่อนยุคลิด ซึ่งในภาพนี้ที่ถูกวาดขึ้นในปี 1474 ยุคลิดได้ถือเข็มทิศไว้ในมือ
อาบาดิยา บินต์ อาลี

เจ้าหญิงเคาะดิญะฮ์ อาบาดิยา บินต์ อาลี (อาหรับ : عابدية بنت علي) (พ.ศ. 2450 - 14 กรกฎาคม พ.ศ. 2501) เป็นพระราชธิดาพระองค์ใหญ่ใน สมเด็จพระเจ้าอาลี บิน ฮุซัยน์แห่งฮิญาซ กับ เจ้าหญิงนาฟิซซา เป็นพระพี่นางเธอใน สมเด็จพระราชินีอะลียะฮ์แห่งอิรัก เป็นพระมาตุจฉา (ป้าฝ่ายแม่)ใน พระเจ้าฟัยศ็อลที่ 2 แห่งอิรัก พระองค์สิ้นพระชนม์จากการปฏิวัติ 14 กรกฎาคม พ.ศ. 2501
เจ้าหญิงบาดิยา บินต์ อาลี

เจ้าหญิงบาดิยา บินต์ อาลี (อาหรับ : بديعة بنت علي بن الحسين) (24 มกราคม พ.ศ. 2463 - 9 พฤษภาคม พ.ศ. 2563) เป็นพระราชธิดาใน สมเด็จพระเจ้าอาลี บิน ฮุซัยน์แห่งฮิญาซ ประสูติแต่ เจ้าหญิงนาฟิซซา เป็นพระน้องนางเธอใน สมเด็จพระราชินีอะลียะฮ์แห่งอิรัก เป็นพระมาตุจฉา (น้าหญิง)ใน พระเจ้าฟัยศ็อลที่ 2 แห่งอิรัก และยังทรงเป็นพระญาติผู้ใหญ่ใน สมเด็จพระราชาธิบดีอับดุลลอฮ์ที่ 2 แห่งจอร์แดน รัชกาลปัจจุบัน เป็นเจ้าหญิงแห่งฮิญาซ เป็นพระราชธิดาเพียงพระองค์เดียวของสมเด็จพระบรมชนกนาถที่ทรงพระชนม์เป็นพระองค์สุดท้าย ก่อนจะสิ้นพระชนม์เมื่อวันที่ 9 พฤษภาคม พ.ศ. 2563 สิริพระชันษา 100 ปี 105 วัน อันเป็นการปิดฉากพระชนม์ชีพเจ้าหญิงพระองค์สุดท้ายที่ดำรงพระอิสริยยศเป็น เจ้าหญิงแห่งฮิญาซ ซึ่ง บัรฮัม ศอเลียะห์ ประธานาธิบดีแห่งอิรักคนที่ 8 ได้ถวายคำอาลัยต่อการสิ้นพระชนม์ของพระองค์ ผ่านพระโอรสเพียงคนเดียว กระนั้น พระโอรสของพระองค์ได้กล่าวว่า ตนเองคือผู้พิทักษ์พระราชบัลลังก์ ซึ่งขัดแย้งกับ ราอัด บิน เซอิด พระญาติ ที่กำลังดำรงตำแหน่ง และเป็นที่ยอมรับมากกว่าพระโอรสของพระองค์ ต่อมา พระโอรสของพระองค์ได้ถึงแก่กรรมถัดจากพระองค์ 2 ปี การขัดแย้งในฐานะผู้พิทักษ์พระราชบัลลังก์จึงสิ้นสุดลง
ในเหตุการณ์ 14 กรกฎาคม พ.ศ. 2501 อันเป็นวันประหารราชวงศ์อิรักที่นำโดย อับดุลกะรีม กอซิม เจ้าหญิงฯ พระสวามี และพระโอรส มิได้ประทับในพระราชวัง ต่อมาทั้ง 3 ได้เสด็จไปยัง ประเทศอียิปต์ อันเป็นที่ปลอดภัยสำหรับการเริ่มต่นชีวิตใหม่ของเจ้าหญิง พระสวามี และ พระโอรส แต่หลังจากนั้นไม่นาน ครอบครัวของพระองค์ ก็ต้องเสด็จลี้ภัย พระองค์ได้ตั้งรกรากในสวิตเซอร์แลนด์ และในที่สุดก็ย้ายไปอยู่ที่ลอนดอน สหราชอาณาจักร
ประเทศไทยใน พ.ศ. 2565

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นใน พ.ศ. 2565 (ค.ศ. 2022) ในประเทศไทย
ผู้นำ

พระมหากษัตริย์: พระบาทสมเด็จพระวชิรเกล้าเจ้าอยู่หัว
นายกรัฐมนตรี :
ประยุทธ์ จันทร์โอชา (อิสระ; พักการปฏิบัติหน้าที่ระหว่างวันที่ 24 สิงหาคม – 30 กันยายน)
ประวิตร วงษ์สุวรรณ (พลังประชารัฐ; รักษาการ 24 สิงหาคม – 30 กันยายน)
สภาผู้แทนราษฎร: ชุดที่ 25
ประธานสภาผู้แทนราษฎร: ชวน หลีกภัย (ประชาธิปัตย์)
วุฒิสภา: ชุดที่ 12
ประธานวุฒิสภา: พรเพชร วิชิตชลชัย (แต่งตั้ง)
ประธานศาลฎีกา :
ปิยกุล บุญเพิ่ม (จนถึง 30 กันยายน)
โชติวัฒน์ เหลืองประเสริฐ (ตั้งแต่ 1 ตุลาคม)
เหตุการณ์ > มกราคม

5 มกราคม – การระบาดทั่วของโควิด-19 ในประเทศไทย: ประเทศไทยพบอัตราตัวเลขผู้ติดเชื้อโควิด-19 สายพันธุ์โอมิครอนมากเป็นอันดับ 13 ของโลกและเป็นอันดับ 4 ของเอเชีย โดยมีจำนวนผู้ติดเชื้อสะสม 2,062 คน
16 มกราคม
การระบาดทั่วของโควิด-19 ในประเทศไทย: พบผู้เสียชีวิตจากโรคโควิด-19 สายพันธุ์โอไมครอนรายแรกในประเทศ
มีการเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรแทนตำแหน่งที่ว่างในจังหวัดชุมพร เขต 1 และจังหวัดสงขลา เขต 6 ผลปรากฏว่าผู้สมัครจากพรรคประชาธิปัตย์ชนะการเลือกตั้งทั้ง 2 เขต
18 มกราคม – เกิดปัญหาเนื้อหมูราคาสูง โดยหมูสามชั้น ​เนื้อหมู ​หมูแดง​ และหมูสันในมีราคาสูงถึง 220 บาทต่อกิโลกรัม มีการตั้งข้อสงสัยว่ารัฐบาลปกปิดการระบาดของเชื้อโรคอหิวาต์แอฟริกาในสุกรเพื่อเอื้อต่อกลุ่มทุนขนาดใหญ่
20 มกราคม – ร้อยเอกธรรมนัส พรหมเผ่า ถูกขับออกจากพรรคพลังประชารัฐ พร้อมกับ ส.ส. อีก 20 คน
25–26 มกราคม
ประยุทธ์ จันทร์โอชา นายกรัฐมนตรี พร้อมคณะ เดินทางเยือนประเทศซาอุดีอาระเบียในฐานะแขกของรัฐบาล นับเป็นการเยือนระดับผู้นำรัฐบาลสองประเทศครั้งแรกในรอบ 30 ปี พร้อมทั้งมีการยกระดับเป็นความสัมพันธ์ปกติ
เกิดเหตุการณ์น้ำมันดิบรั่วไหลกลางทะเล บริเวณท่าเรืออุตสาหกรรมมาบตาพุด จังหวัดระยอง ส่งผลกระทบต่อสภาพแวดล้อมชายหาดเป็นบริเวณกว้าง
30 มกราคม – มีการเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรแทนตำแหน่งที่ว่างในกรุงเทพมหานคร เขต 9 ผลปรากฏว่าผู้สมัครจากพรรคเพื่อไทยชนะการเลือกตั้ง