กฎของมาลุส
การพิสูจน์

โพลาไรเซอร์มีผลทำให้แอมพลิจูดของสนามไฟฟ้า E0 ของคลื่นที่ส่งผ่านเหลือแค่ในส่วนทิศที่ตรงกับแกนของลาไรเซอร์ ในกรณีของคลื่นแสงโพลาไรซ์แบบเส้นตรง ค่านี้จะเป็นสัดส่วนกับโคไซน์ของมุม θ ดังนั้นแอมพลิจูดขาออกคือ
และความเข้มของการส่องสว่าง ตามคำนิยามแล้ว แปรผันตามกำลังสองของแอมพลิจูดของคลื่น
I_{0}={\overrightarrow {E}}.{\overrightarrow {E}}=E_{0}^{2}
ดังนั้นเมื่อผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มแสงจึงเป็น
ในกรณีของคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ สูตรจะพิสูจน์ได้โดยการหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน  \cos ^{2}(\theta ) ซึ่งหากอนุมานแบบคร่าว ๆ เราจะเห็นว่าค่า  \cos ^{2}(\theta ) อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  \cos(0^{\circ })=1 |  \cos(90^{\circ })=0 |  \cos(180^{\circ })=-1 |  \cos(270^{\circ })=0 |
|  \cos ^{2}(0^{\circ })=1 |  \cos ^{2}(90^{\circ })=0 |  \cos ^{2}(180^{\circ })=1 |  \cos ^{2}(270^{\circ })=0 |
ดังนั้นค่าเฉลี่ยของ  \cos ^{2}(\theta ) จึงควรเป็น  {\frac {1}{2}} ดังนั้นสูตรคือ  I={\frac {I_{0}}{2}}
อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์อย่างเข้มงวดควรทำโดยหาค่าเฉลี่ยจากการคำนวณปริพันธ์ โดยฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดเป็น 1 ที่มุม 0° และมีค่าต่ำสุดเป็น 0 ที่มุม 90° ดังนั้น หาค่าเฉลี่ยระหว่างค่าทั้งสองโดย
{\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\color {OliveGreen}\cos ^{2}(\theta )}\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\color {OliveGreen}\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)}\,d\theta }{\pi /2-0}}
ซึ่งได้มาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
\color {OliveGreen}\cos ^{2}x={\frac {1+\cos(2x)}{2}}
จากนั้นทำการรวบแต่ละพจน์
={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}1\,d\theta }+{\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos(2\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {{\frac {1}{2}}{{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos(2\theta )\,d\theta }}}{\pi /2-0}}
เพื่อที่จะแก้หาปริพันธ์ ในที่นี้เราแทน  \color {YellowOrange}u=2\theta  และ  \color {YellowOrange}d\theta ={\tfrac {du}{2}}
={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(u)\,du}}{\pi /2-0}}={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{4}}\displaystyle \left[\sin(u)\right]_{0}^{\pi }}}{\pi /2-0}}
จากนั้นใช้สมบัติการแจกแจงของการคูณ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก
={\frac {{\frac {1}{2}}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{4}}\displaystyle \left[\sin(2\theta )\right]_{0}^{\pi /2}}}{\pi /2-0}}={\frac {\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\color {OliveGreen}\sin(2\theta )}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}}{\pi /2-0}}={\frac {\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\color {OliveGreen}2\sin(\theta )\cos(\theta )}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}}{\pi /2-0}}
ซึ่งได้มาจาก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
{\color {OliveGreen}\sin[2(x)]=2\sin(x)\cos(x)}
แล้วสุดท้ายก็จะได้
=\left[{\color {Plum}{\frac {\theta +\sin(\theta )\cos(\theta )}{2}}}\right]_{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cdot {\frac {2}{\pi }}=\left({\color {Plum}F({\tfrac {\pi }{2}})-F(0)}\right)\cdot {\frac {2}{\pi }}={\frac {\color {red}\pi }{4}}\cdot {\frac {2}{\color {red}\pi }}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}
จากผลการหาปริพันธ์ที่ได้นี้ ความเข้มแสงเฉลี่ยทั้งหมดตั้งแต่มุม 0° ถึง 90° จะเป็น
{\bar {I}}={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{I_{0}}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {{I_{0}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={I_{0}}{\frac {\color {red}\pi }{4}}\cdot {\frac {2}{\color {red}\pi }}={I_{0}}{\frac {2}{4}}={\frac {I_{0}}{2}}
ดังนั้นสำหรับคลื่นที่ไม่โพลาไรซ์ จึงได้ว่า
I={\frac {I_{0}}{2}}
นั่นคือเมื่อแสงไม่โพลาไรซ์แผ่ผ่านโพลาไรเซอร์ ความเข้มจะลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง