stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ของขวัญดัตช์
งานอื่นๆ

งานสี่ชิ้นที่มิได้เขียนโดยจิตรกรอิตาลี สองชิ้นเป็นงานเขียนโดยเกอร์ริท ดู, “แม่สาว” (The Young Mother) (ค.ศ. 1658) เพิ่งเขียนได้เพียงสองปีก่อนหน้านั้น ผู้ว่าราชการของเมืองไลเดนอาจจะเลือกภาพนี้เพื่อเสริมชื่อเรือยอชต์หลวง “แมรี” เพื่อเป็นนัยให้สมเด็จพระเจ้าชาร์ลส์ไม่ทรงลืมที่จะดูแลผลประโยชน์ของราชวงศ์ออเรนจ์ในเนเธอร์แลนด์ ที่สูญเสียอำนาจทางการเมืองในปี ค.ศ. 1650 เมื่อมีการฟื้นฟูราชวงศ์ เจ้าฟ้าหญิงแมรีพระปิตุจฉาของสมเด็จพระเจ้าชาร์ลส์ทรงอยู่ในภาวะคับขันทางการเมือง เมื่อทรงเป็นผู้ดูแลพระโอรสเจ้าชายวิลเลียมที่ 3 แห่งออเรนจ์ ภาพนี้ก็เป็นอีกภาพหนึ่งที่สมเด็จพระเจ้าวิลเลียมที่ 3 ทรงนำกลับไปเนเธอร์แลนด์ ที่ปัจจุบันอยู่ที่ Mauritshuisในกรุงเฮก
ภาพที่ได้รับความเสียหายอย่างหนัก “เยาะเซเรส” (The Mocking of Ceres, ราว ค.ศ. 1605) โดยจิตรกรเยอรมันอาดัม เอลสไฮเมอร์ที่เดิมเชื่อกันว่าเป็นงานก๊อปปี แต่ในปัจจุบันเชื่อกันว่าเป็นงานต้นฉบับ ที่ปรากฏขึ้นในวงการตลาดศิลปะในคริสต์ทศวรรษ 1970 ปัจจุบันเป็นงานสะสมส่วนบุคคลที่มิลวอกี งานเขียนทราบว่ามีได้จากหลักฐานของภาพก๊อปปีที่ปราโด และงานแกะพิมพ์ และภาพนี้ก็ยังคงเป็นส่วนหนึ่งของงานสะสมศิลปะหลวงในรัชสมัยของสมเด็จพระเจ้าจอร์จที่ 2 ความเสียหายของภาพเกิดขึ้นจากเพลิงไหม้ ที่อาจจะเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1698 เมื่อเกิดเพลิงไหม้ขึ้นในพระราชวังไวท์ฮอลล์ และงานศิลปะเป็นจำนวนพอสมควรของงานสะสมศิลปะหลวงของพระราชวงศ์อังกฤษสูญเสียไปกับเพลิงไหม้ ที่อาจจะรวมทั้งงานประติมากรรมที่เป็นส่วนหนึ่งของของขวัญดัตช์ของปี ค.ศ. 1660 ซึ่งยังคงอยู่เหลืออยู่เพียงชิ้นหนึ่งในอังกฤษ
งานอีกสี่ชิ้นที่มิได้เขียนโดยจิตรกรอิตาลีเป็นงานเขียนของเปียเตอร์ ยานสซ์ แซนเรอดัม (Pieter Jansz Saenredam) ที่เพิ่งเขียนในปี ค.ศ. 1648) ที่เป็นภาพขนาดใหญ่กว่าปกติของ “Groote Kerk” ในฮาร์เล็ม ที่อาจจะเป็นภาพที่เป็นนัยยะที่ทำให้สมเด็จพระเจ้าชาร์ลส์ทรงรำลึกถึงบรรยากาศของเนเธอร์แลนด์ ต่อมาสมเด็จพระเจ้าวิลเลียมอาจจะพระราชทานให้แก่วิลเลียม ฟาน ฮุลส์พนักงานพระภูษามาลาคนหนึ่งของพระองค์ เพราะอยู่ในบรรดาภาพที่ฟาน ฮุลส์ขาย ปัจจุบันภาพนี้เป็นของหอศิลป์แห่งชาติแห่งสกอตแลนด์
ระเบียงภาพ

“ภาพเหมือนของ
อันเดรีย โอโดนิ”
ลอเร็นโซ ล็อตโต
ค.ศ. 1527
“การแต่งงานของ
นักบุญแคทเธอริน”
เพาโล เวโรเนเซ
ราว ค.ศ. 1562-1569
“ภาพเหมือนของ
มาเกอรีตา พาเลาโลกา”
จูลีโอ โรมาโน
ราว ค.ศ. 1531
“พระเยซูแบกกางเขน”
จาโคโป บาซซาโน
หอศิลป์แห่งชาติ, ลอนดอน
บรรณานุกรมและอ่านเพิ่มเติม

Lucy Whitaker, Martin Clayton, The Art of Italy in the Royal Collection; Renaissance and Baroque, Royal Collection Publications, 2007, ISBN 978 1 902163 291
Gleissner, Stephen, Reassembling a royal art collection for the restored King of Great Britain, Journal of the History of Collections 1994 6(1):103-115
Halbertsma, R. B. (2003), Scholars, Travellers, and Trade: The Pioneer Years of the National Museum of Antiquities in Leiden, 1818-1840, Routledge, p. 9-10
Inge Broekman, Helmer Helmers, ‘Het hart des offraers’ – The Dutch Gift as an act of self-representation, Dutch Crossing: A Journal in Low Countries Studies, Vol. 31, No. 2 (Winter 2007)
Rüdiger Klessmann and others, Adam Elsheimer 1578-1610, 2006, Paul Holberton Publishing/National Galleries of Scotland; ISBN 1 903278 783
Michael Levey, Pictures in the Royal Collection, The Later Italian Pictures, 1964, Phaidon Press, London
Logan, Anne-Marie S. , "The 'Cabinet' of the Brothers Gerard and Jan Reynst" (Amsterdam, 1979).
Denis Mahon, Notes on the 'Dutch Gift' to Charles II:, The Burlington Magazine, Vol. 91, Part I in: No. 560 (Nov., 1949), pp. 303-305, Part II in No. 561 (Dec., 1949), pp. 349-350, Part III No. 562 (Jan., 1950), pp. 12-18. (All on JSTOR: Pt I, Pt II, Pt III and a letter.)
Notes on the Royal Collection, 3 : The 'Dutch gift' to Charles I / Bruyn, J.; Millar, Oliver, Sir, 1923-. 1962
Penny, Nicholas, National Gallery Catalogues (new series): The Sixteenth Century Italian Paintings, Volume II, Venice 1540-1600, 2008, National Gallery Publications Ltd, ISBN 1857099133
Thiel, P. J. J. Van, Het Nederlandse geschenk (Dutch gift) aan Koning Karel II van Engeland 1660, Amsterdam, Rijksmuseum, 1965
ดูเพิ่ม

งานสะสมศิลปะหลวงของพระราชวงศ์อังกฤษ
จิตรกรรมชั้นครู
งานสะสมศิลปะเรย์นสท์
แหล่งข้อมูลอื่น

Royal Collection, paintings acquired by Charles II
ขั้นตอนวิธีมินิแมกซ์

ขั้นตอนวิธีการหาเกณฑ์ค่าเสียโอกาสมากน้อยที่สุด (อังกฤษ: Minimax Algorithm) คือขั้นตอนวิธีในการหลีกเลี่ยงโอกาสที่จะทำให้เกิดความสูญเสียมากที่สุดในการเล่นเกมเชิงตรรกะที่มีผู้เล่นสองคน เช่นหมากรุก, หมากฮอส หรือ โอเอกซ์ โดยมีเป้าหมายเพื่อให้ผู้เล่น A สามารถเลือกเส้นทางที่มีโอกาสมากที่สุดที่จะทำให้ผู้เล่น B ได้เปรียบน้อยที่สุดในแต่ละรอบ โดยในขั้นตอนวิธีนี้ ผู้เล่น A จะถูกเรียกว่าผู้เล่นหาค่าสูงสุด ส่วนผู้เล่น B จะถูกเรียกว่าผู้เล่นหาค่าต่ำสุด เพราะว่าตัวแปรของค่าเสียโอกาสจะเพิ่มขึ้นเมื่อผู้เล่น A ได้เปรียบ และจะลดลงเมื่อผู้เล่น B ได้เปรียบตามทฤษฎีเกมประกอบเชิงการจัด (Combinatorial Game Theory) ของจอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์ (John Horton Conway)
ที่มาของขั้นตอนวิธี

ขั้นตอนวิธีการหาเกณฑ์ค่าเสียโอกาสมากน้อยที่สุดมีที่มาจากทฤษฎีเกมของจอห์น ฟอน นอยมันน์ ซึ่งเกิดจากการศึกษาเกมศูนย์เพื่อหาวิธีการลดความเสี่ยงจากการสูญเสียเมื่อแพ้
หลักการและวิธีค้นหา

ขั้นตอนวิธีการหาเกณฑ์ค่าเสียโอกาสมากน้อยที่สุดใช้หลักการของการค้นแบบจำกัดความลึก โดยเก็บค่าตัวแปรของค่าเสียโอกาสไว้ในแต่ละปม (node) ของต้นไม้ค้นหา (Search Tree) ตัวแปรนี้มีค่าได้ตั้งแต่ติดลบอนันต์ถึงอนันต์ ค่ามากกว่าศูนย์บ่งบอกว่าผู้เล่น A ได้เปรียบผู้เล่น B อยู่ ส่วนค่าอนันต์บ่งบอกว่าผู้เล่น A ชนะเกมนั้นอย่างแน่นอน ในทางกลับกันค่าติดลบอนันต์ก็บ่งบอกว่าผู้เล่น B เป็นผู้ชนะเกมนั้นแทน
หลักการและวิธีค้นหา > ข้อจำกัดของขั้นตอนวิธี

ในการเลือกค่าเสียโอกาสนั้น ต้นไม้ค้นหาจะทำการค้นค่าเสียโอกาสที่สูงที่สุดมาจากใบ (leaf node) และตัดสินว่าเส้นทางนั้นเป็นเส้นทางที่ดีที่สุด สังเกตว่าเกมที่มีความซับซ้อนสูงอย่างหมากรุกหรือโกะจะไม่สามารถบันทึกทุกความเป็นไปได้ของทั้งเกมได้ทั้งหมดตั้งแต่ต้นเกม เพราะจะต้องบันทึกเยอะมาก หากแต่พอจะอ่านล่วงหน้าไปก่อนได้หลายตาเพื่อหาความได้เปรียบที่มากที่สุดไปเรื่อยๆจนไปจบที่ค่าอนันต์หรือลบอนันต์
หลักการและวิธีค้นหา > รหัสเทียม

1.ตรวจค่าที่ส่งเข้ามาว่าเป็นปมบนสุดหรือไม่ ถ้าใช่ให้คืนค่าที่ค้นหามาได้จากปมที่แล้ว
2.กำหนดค่าลบอนันต์ให้ตัวแปร A
3.เรียกวงวน (loop) ตามปมลูก (child node) แต่ละตัว
4.ในวงวนหาค่ามากที่สุดระหว่างค่าที่หามาของปมลูกกับ A แล้วเก็บค่าไว้ใน A
5.คืนค่า A
การประยุกต์ใช้

ขั้นตอนวิธีการหาเกณฑ์ค่าเสียโอกาสมากน้อยที่สุดถูกนำไปประยุกต์ใช้กับสาขาวิชาอื่นอยู่มาก ได้แก่เศรษฐศาสตร์, สถิติ, ปรัชญา, ทฤษฎีเกม และทฤษฎีการตัดสินใจ (Decision Theory) เพื่อใช้ในการหลีกเลี่ยงเส้นทางที่จะเกิดความสูญเสียมากที่สุด
แหล่งข้อมูลอื่น

Minimax Explained - AI Depot
Minimax Algorithm Visualization (Java Applet) เก็บถาวร 2009-03-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
The Minimax Theorem: an Interactive Gizmo
ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม

ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (อังกฤษ: randomized algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีที่ยอมให้มีการโยนเหรียญได้ ในทางปฏิบัติเครื่องที่ใช้ทำงานขั้นตอนวิธีนี้จะต้องใช้ตัวสร้างเลขสุ่มเทียม (pseudo-random number generator) ในการสร้างตัวเลขสุ่มขึ้นมา อัลกอรึทึมโดยทั่ว ๆ ไปมักใช้บิตสุ่ม (random bit) สำหรับเป็นข้อมูลป้อนเข้าเสริม เพื่อชี้นำการกระทำต่อไป โดยมีความหวังว่าจะช่วยให้มีประสิทธิภาพที่ดีในกรณีส่วนมาก (average case) หรือหากพูดในทางคณิตศาสตร์ก็คือประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีมีค่าเท่ากับตัวแปรสุ่ม (random variable) ซึ่งคำนวณจากบิทสุ่มโดยหวังว่าจะมีค่าคาดหมาย (expected value) ที่ดี กรณีที่แย่ที่สุดมักจะมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยมากจนแทบจะไม่ต้องสนใจ
เวลาที่ใช้ในการทำงาน

หากพิจารณาการหาตัวอักษร a ในแถวลำดับขนาด n เมื่อสมมุติว่าครึ่งหนึ่งในแถวลำดับนี้เป็น a และอีกครึ่งหนึ่งเป็น b วิธีที่เห็นชัดวิธีหนึ่งคือการดูแต่ละตัวในแถวลำดับ แต่วิธีนี้อาจทำให้ต้องดูถึง n/2 ตัวในกรณีที่แย่ที่สุด (นั่นคือครึ่งแรกของแถวลำดับเป็น b ทั้งหมด) การพยายามแก้ไขเหตุการณ์นี้โดยเปลี่ยนลำดับการดูเช่นอ่านจากหลังมาหน้าหรืออ่านตัวเว้นตัว ก็ไม่ได้ช่วยให้อะไรดีขึ้นเลย ที่จริงแล้ววิธีการใดก็ตามที่ลำดับของการตรวจสอบสมาชิกแต่ละตัวถูกกำหนดไว้ตายตัวแล้ว (นั่นคือขั้นตอนวิธีดิเทอร์มินิสติก) ก็จะไม่สามารถรับประกันได้เลยว่าขั้นตอนวิธีจะทำงานสำเร็จอย่างรวดเร็ว ในทุกๆอินพุทที่เป็นไปได้แต่ถ้าหากตรวจสอบสมาชิกในแถวลำดับแบบสุ่ม (ไม่มีลำดับที่แน่นอน) มีความน่าจะเป็นสูงที่จะสามารถหา a พบในเวลาอันรวดเร็วไม่ว่าอินพุทจะเป็นเช่นไรก็ตาม
ลองจินตนาการว่าเราจะต้องเผชิญหน้ากับ ผู้ประสงค์ร้ายที่เก่งกาจ กล่าวคือคน ๆ นั้นสามารถล่วงรู้วิธีการในการจัดการกับปัญหาของขั้นตอนวิธีและสามารถหาอินพุทที่แย่ที่สุดมาทำให้ขั้นตอนวิธีทำงานได้ประสิทธิภาพไม่ดีได้เสมอ (ดูที่การวิเคราะห์เชิงแข่งขัน) อย่างไรก็ตามผู้ประสงค์ร้ายคนนี้จะสามารถทำร้ายขั้นตอนวิธีของเราได้น้อยลง หากขั้นตอนวิธีไม่ได้มีพฤติกรรมที่แน่นอน ทำให้ผู้ประสงค์ร้ายไม่สามารถเดาได้ถูก ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้ที่ทำให้ การสุ่ม เป็นที่แพร่หลายในวิทยาการเข้ารหัสลับ ในงานประยุกต์ทางด้านการเข้ารหัสลับนั้น ตัวเลขสุ่มเทียมไม่สามารถนำมาใช้ได้ เนื่องจากผู้ประสงค์ร้ายสามารถทายเลขนี้ได้ ทำให้ขั้นตอนวิธีมีลักษณะเป็นแบบดิเทอร์มินิสติก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีแหล่งกำเนิดที่สามารถสร้างเลขสุ่มจริงได้ หรือไม่ก็ต้องมีตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมที่มีความปลอดภัยในการเข้ารหัสลับ อีกศาสตร์หนึ่งที่การสุ่มได้หยั่งรากฝังลึกเข้าไปคือคอมพิวเตอร์ควอนตัม (quantum computer)
ในตัวอย่างที่กล่าวมานี้ ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอเพียงแต่ว่ามีความเป็นไปได้อยู่บ้างที่ขั้นตอนวิธีจะใช้เวลานานในการทำงาน บางครั้งเราอาจต้องการขั้นตอนวิธีที่ทำงานได้เร็วในทุกๆสถานการณ์แต่ก็ต้องแลกด้วยโอกาสเกิดความผิดพลาด ขั้นตอนวิธีประเภทแรก ถูกต้องเสมอ แต่ใช้เวลานาน เรียกว่าขั้นตอนวิธีลาสเวกัส และแบบหลัง ทำงานเร็ว แต่มีข้อผิดพลาดได้ เรียกว่าขั้นตอนวิธีมอนเตการ์โล (ตามชื่อของวิธีมอนเตการ์โลที่ใช้ในการจำลอง (simulation)) สังเกตว่าขั้นตอนวิธีลาสเวกัสทุกอันสามารถแปลงเป็นขั้นตอนวิธีมอนเตการ์โลได้ โดยการตอบมั่วหากไม่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาที่กำหนด
ความซับซ้อนและความผิดพลาด

ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับทรัพยากรทางการคำนวณที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาหนึ่ง ๆ ได้สร้างแบบจำลองของขั้นตอนวิธีแบบสุ่มให้เป็นเครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น ทั้งขั้นตอนวิธีลาสเวกัสและมอนเตการ์โลได้ถูกนำมาพิจารณา รวมถึง "คลาสของความซับซ้อน" หลาย ๆ คลาสก็ได้ถูกนำมาศึกษา คลาสของความซับซ้อนแบบสุ่มแบบที่เป็นพื้นฐานที่สุดคือแบบอาร์พีซึ่งเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจที่มีขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (หรือเครื่องจักรทัวริงเชิงความน่าจะเป็น) ที่มีประสิทธิภาพ (ทำงานได้ได้ในเวลาโพลิโนเมียล) ที่สามารถตอบว่า "ไม่" ได้ถูกต้องเสมอ และสามารถตอบว่า "ใช่" ได้โดยมีโอกาสถูกต้องอย่างน้อย 1/2 คลาสส่วนกลับ (complement) ได้แก่โค-อาร์พี และคลาสของปัญหาซึ่งทั้งคำตอบ "ใช่" และ "ไม่" สามารถมีค่าความน่าจะเป็นได้ทั้งคู่ (นั่นคือ ไม่ได้บังคับให้ต้องตอบถูกต้องเสมอ) เรียกว่าซีพีพี (ZPP) สำหรับปัญหาซึ่ง (เชื่อกันว่า) อยู่นอกคลาสนี้ เช่นปัญหาเอ็นพีแบบยาก (ซึ่งแม้แต่ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มก็ไม่สามารถแก้ได้) จำเป็นต้องแก้ด้วยขั้นตอนวิธีการประมาณ
ในประวัติศาสตร์ ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มเริ่มเป็นที่รู้จัก จากการค้นพบของมิลเลอร์และราบินในปี ค.ศ. 1976 ว่าปัญหาการตรวจสอบการเป็นจำนวนเฉพาะของตัวเลข สามารถแก้ได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม ในเวลานั้น ยังไม่มีขั้นตอนวิธีดิเทอร์มินิสติกสำหรับปัญหานี้เลย
การตรวจสอบการเป็นจำนวนเฉพาะมิลเลอร์-ราบินนั้น มีหลักการพื้นฐานอยู่บนความสัมพันธ์ทวิภาค ระหว่างจำนวนเต็มบวกสองตัว k และ n ใด ๆ ที่สามารถบอกได้ว่า k "เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ" n สามารถแสดงได้ว่า
ถ้ามีตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ n แล้ว n เป็นจำนวนประกอบ (หมายความว่า n ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ) และ
ถ้า n เป็นจำนวนประกอบแล้ว มีอย่างน้อยสามในสี่ของจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่า n ที่เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ n ได้ และ
มีขั้นตอนวิธีที่ทำงานได้รวดเร็วพอ ที่เมื่อให้ค่า k และค่า n ขั้นตอนวิธีสามารถบอกได้ว่า k เป็นตัวยืนยันการเป็นจำนวนประกอบของ n หรือไม่
สังเกตว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้ทำให้สรุปได้ว่าปัญหาการทดสอบการเป็นจำนวนเฉพาะอยู่ในโค-อาร์พี
สมมุติ n เป็นจำนวนประกอบ ถ้าเราเลือกตัวเลขที่น้อยกว่า n มี 100 ตัว ความน่าจะเป็นที่จะหา "ตัวยืนยัน" ดังกล่าวไม่เจอจะเป็น (1/4) 100 ซึ่งในทางปฏิบัติแล้ววิธีนี้ก็เป็นการทดสอบการเป็นจำนวนเฉพาะที่ใช้ได้วิธีหนึ่ง และอาจจะไม่มีวิธีใดเลยที่ใช้ได้ดีในทางปฏิบัติเมื่อ n มีขนาดใหญ่มาก เราสามารถลดความน่าจะเป็นที่จะเกิดความผิดพลาดให้เหลือเท่าใดก็ได้ โดยการเพิ่มรอบการทำงานให้มากพอ
ดังนั้น ในทางปฏิบัติแล้ว จึงมักไม่ค่อยมีใครสนใจกับโอกาสเกิดความผิดพลาดที่มีเล็กน้อยนี้สักเท่าไร เพราะเราสามารถทำให้มันน้อยลงเท่าไรก็ได้ตามใจปรารถนา ที่จริงแล้ว ถึงแม้ว่าเราจะมีขั้นตอนวิธีในการตรวจสอบการเป็นจำนวนเฉพาะแบบดิเทอร์มินิสติกที่สามารถทำงานได้ในเวลาโพลิโนเมียลแล้ว มันก็ยังไม่ได้ถูกนำไปใช้แทนวิธีเชิงความน่าจะเป็นแบบเดิมในซอฟต์แวร์ด้านการเข้ารหัสลับ และก็ยังไม่มีใครคิดว่าจะเป็นเช่นนั้นได้ในอนาคตอันใกล้นี้ด้วย
ตัวอย่าง > ควิกซอร์ต

ควิกซอร์ต น่าจะเป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้จริงที่คุ้นเคยที่สุดที่ใช้การสุ่มอย่างได้ผลดี ขั้นตอนวิธีนี้ในแบบที่เป็นดิเทอร์มินิสติกต้องใช้เวลา O (n^2)  ในการเรียงเลข n ตัว สำหรับอินพุทบางรูปแบบเช่นแถวลำดับที่ถูกเรียงมาอยู่แล้ว อย่างไรก็ตามถ้าขั้นตอนวิธีสลับตัวในแถวลำดับแบบสุ่มก่อนที่จะเริ่มทำงาน มันจะมีความน่าจะเป็นสูงที่จะทำงานเสร็จในเวลา O (n log n)  สำหรับอินพุททุกรูปแบบ ความแตกต่างระหว่างสองแบบนี้จะมีความสำคัญมากเมื่อต้องจัดเรียงข้อมูลจำนวนมาก
ตัวอย่าง > การตัดให้น้อยที่สุด

ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นกว่าอีกคือการใช้ขั้นตอนวิธีเชิงสุ่มแก้ปัญหาทางด้านทฤษฎีกราฟ นี่คือขั้นตอนวิธีสำหรับแก้ปัญหา การตัดให้น้อยที่สุด (minimum cut)
หาการตัดน้อยสุด (กราฟไม่มีทิศทาง G) {
       ตราบใดที่ G ยังมีโหนดมากกว่า 2 โหนด ให้ทำ{
           สุ่มเลือกเส้นเชื่อม (u,v) จาก G
           หด (contract) เส้นเชื่อม โดยให้รักษาการมีเส้นเชื่อมหลายเส้น (multi-edge) เอาไว้
           ลบลูปทั้งหมดออก
       }
       ให้เส้นเชื่อมที่เหลืออยู่เป็นเอาต์พุต
   }
ในที่นี้ การหดเส้นเชื่อม (u,v) หมายความถึงการเพิ่มโหนดขึ้นใหม่ (ให้ชื่อ w)
แล้วให้แทนทุกเส้นเชื่อม (u,x) และ (v,x) ด้วย (w,x) แล้วลบโหนด u และ v
ออกจาก G
ให้ n = |V[G]|
แสดงได้ว่าขั้นตอนวิธีนี้ให้ผลเป็นการตัดที่น้อยที่สุดด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย n-2
ดังนั้นหากให้ทำงาน n2log (n)  รอบและเลือกผลลัพธ์ที่มีค่าน้อยที่สุด
ก็จะสามารถหาการตัดที่น้อยที่สุดได้ด้วยความน่าจะเป็นสูง
ขั้นตอนวิธีของโบรุฟกา

ขั้นตอนวิธีโบรุฟกา (อังกฤษ: Borůvka's algorithm) คือขั้นตอนวิธีสำหรับหาต้นไม้ทอดข้ามน้อยที่สุดในกราฟที่ทุกเส้นเชื่อมมีน้ำหนักไม่เท่ากัน
ประวัติที่มา

ทฤษฏีนี้ได้จำหน่ายขึ้นในปี ค.ศ. 1962 โดย Otakar Borůvka เพื่อเป็นวิธีการสำหรับสร้างโครงข่ายไฟฟ้าที่มีประสิทธิภาพสำหรับ เขตมอเรเวีย-ไซลีเชีย เมืองออสตราวา ใน สาธารณรัฐเช็ก หลังจากนั้นขั้นตอนวิธีนี้ได้ถูกค้นพบอีกครั้งโดย Florek, Łukasiewicz, Perkal, Steinhaus, และ Zubrzycki ในปี ค.ศ. 1951 และค้นพบโดย Sollin ในปี ค.ศ. 1965 เนื่องจากว่า Sollin เป็นนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เพียงคนเดียวในที่กล่าวมาข้างต้นอาศัยอยู่ในประเทศที่ใช้ภาษาอังกฤษเป็นภาษาประจำชาติ ขั้นตอนวิธีนี้จึงมักถูกเรียกในอีกชื่อหนึ่งว่า ขั้นตอนวิธีโซลลิน
เนื้อหา

ขั้นตอนวิธีนี้ถือว่าเป็นขั้นตอนวิธีแบบละโมบ เริ่มต้นจากการพิจารณาจุดยอดทีละจุดและทำการเลือกเส้นเชื่อมที่เชื่อมจุดยอดนั้นและจุดยอดใดๆที่มีน้ำหนักน้อยที่สุดและไม่ทำให้เกิดวัฏจักรโดยไม่คำนึงว่าเส้นเชื่อมนั้นได้ถูกเลือกไปแล้ว ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนกว่า จุดเชื่อมทุกจุดจะกลายเป็น ต้นไม้ทอดข้าม
โครงสร้างข้อมูล

โครงสร้างข้อมูลที่สำคัญสำหรับขั้นตอนวิธีโบรุฟกา คือ กราฟที่จะใช้ต้องเป็นกราฟแบบไม่มีทิศทาง
รหัสเทียม

Given G = (V,E)
T = graph consisting of V with no edges
 while T has < n-1 edges do
  for each connected component C of T do
  e = min cost edge (v,u) s.t. v in C and u not in C
  T := T union {e}
รหัสเทียม > การวิเคราะห์รหัสเทียม

ในแต่ละการวนของวงวนนั้น ต้อง
หา connected component ซึ่งสามารถหาได้ในเวลา  O(|E|+|V|) โดยใช้การค้นแบบจำกัดความลึก
หาเส้นเชื่อมที่สั้นที่สุด สามารถหาได้ในเวลา  O(|E|) โดยการเปรียบเทียบ ทุกเส้นเชื่อมของ  v และ  u กับเส้นเชื่อมที่สุดที่สุดของ  v และเส้นเชื่อมที่สั้นที่สุดชอง  u
จำนวนของ connected component จะลดลงโดยประมาณ 2 เท่าต่อการวนหนึ่งรอบ ดังนั้นจึงสามารถทราบได้ว่ามีการวนมากที่สุด  log|V| ครั้ง
ดังนั้น เวลาที่ใช้ทั้งหมดจึงเป็น  O(|E|log|V|)
ขั้นตอนวิธีอื่นๆที่แก้ไขปัญหาเดียวกัน

ขั้นตอนวิธีสำหรับหาต้นไม้ทอดข้ามน้อยที่สุด นอกจากขั้นตอนวิธีนี้แล้วยังรวมไปด้วยขั้นตอนวิธีครูสกาลและขั้นตอนวิธีพริม สำหรับขั้นตอนวิธีที่เร็วกว่านั้น สามารถคำนวณได้โดยขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม และใช้ขั้นตอนวิธีพริมและขั้นตอนวิธีโบรุฟการ่วมกัน ซึ่งจะสามารถคำนวณได้ในเวลา  O(|E|) สำหรับขั้นตอนวิธีเชิงกำหนดที่เร็วที่สุดก็ใช้ขั้นตอนวิธีโบรุฟการ่วมด้วย มีเวลาการทำงาน  O(E\alpha (E,V)) โดย  \alpha  เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันแอคเคอร์แมน
ตัวอย่างการทำงาน
ขีปนาวุธปล่อยจากเรือดำน้ำ

UGM-133 Trident II
 ขณะทะยานพ้นจากผิวน้ำหลังจากถูกปล่อยจากเรือดำน้ำนิวเคลียร์ของกองทัพเรือสหรัฐในปี พ.ศ. 2527
ขีปนาวุธปล่อยจากเรือดำน้ำ (อังกฤษ: Submarine-launched ballistic missile หรือ SLBM) เป็นขีปนาวุธที่ติดตั้งและสามารถปล่อยจากเรือดำน้ำได้ ปัจจุบันได้มีการพัฒนาจนสามารถบรรทุกหัวรบกลับสู่ชั้นบรรยากาศชนิดแยกเป้าโจมตีได้ หรือ MIRV ได้อีกด้วย โดยแต่ละหัวรบเป็นหัวรบนิวเคลียร์ที่สามารถกำหนดเป้าโจมตีแยกค่างหากจากกันได้ ระยะทำการของขีปนาวุธทิ้งตัวติดเรือดำน้ำในปัจจุบัน มีความใกล้เคียงกับขีปนาวุธข้ามทวีป ซึ่งมีระยะทำการมากกว่า 5,500 กิโลเมตร (3,000 ไมล์ทะเล)
ประวัติ

แนวคิดการปล่อยขีปนาวุธจากเรือดำน้ำได้รับการพัฒนาขึ้นในช่วงท้ายของสงครามโลกครั้งที่สอง และทวีความเข้มข้นขึ้นในยุคสงครามเย็น เรือดำน้ำโจมตีชั้นซูลู (Zulu-class submarine) ของสหภาพโซเวียตประสบความสำเร็จในการปล่อยขีปนาวุธติดเรือดำน้ำ R-11FM จากการยิงใต้น้ำได้เป็นครั้งแรกของโลกในปี ค.ศ. 1955. ทางฝั่งกองทัพเรือสหรัฐอเมริกาเริ่มต้นจากการปรับปรุงขีปนาวุธจูปิเตอร์ของกองทัพบก แต่ภายหลังหันมาพัฒนาจรวดเชื้อเพลิงแข็งซึ่งมีขนาดเล็กกว่า และเหมาะกับการติดตั้งในเรือดำน้ำมากกว่า. หัวหน้าฝ่ายปฏิบัติการกองทัพเรือสหรัฐ (Chief of Naval Operations) ในขณะนั้นจึงทุ่มทรัพยากรทางการวิจัยของกองทัพเรือเพื่อพัฒนาขีปนาวุธแบบเชื้อเพลิงแข็ง "โพลาริส" ขึ้น และประสบความสำเร็จในการยิงขีปนาวุธ โพลาริส-เอ1 จากเรือดำน้ำติดตั้งขีปนาวุธทิ้งตัวพลังงานนิวเคลียร์ (SSBN) ยูเอสเอส จอร์จ วอชิงตัน (SSBN-598) เมื่อเดือนธันวาคม ค.ศ. 1959. ในระยะแรกขีปนาวุธโพลาริสมีระยะโจมตีอยู่ในพิสัยกลาง คือ ราว 1,900 กิโลเมตร (1,000 ไมล์ทะเล) แต่พอถึงปลายทศวรรษที่ 1960 กองทัพเรือสหรัฐสามารถพัฒนาจรวดโพลาริสรุ่นใหม่ (โพลาริส-เอ3) ซึ่งมีรัศมีปฏิบัติการถึง 4,600 กิโลเมตร (2,500 ไมล์ทะเล) เป็นผลสำเร็จ. ด้วยเหตุนี้ขีปนาวุธทิ้งตัวติดเรือดำน้ำ (SLBMs) ของอเมริกาทั้งหมดจึงใช้เทคโนโลยีจรวดเชื้อเพลิงแข็งมาจวบจนปัจจุบัน
พอถึงช่วงต้นทศวรรษที่ 1970 กองทัพเรือสหรัฐฯ ก็พัฒนาขีปนาวุธโพเซดอน ขึ้นเพื่อเข้าประจำการแทนที่โพลาริส. ขีปนาวุธโพเซดอนมีขีดความสามารถแบบ  MIRV สูง โดยสามารถบรรทุกหัวรบที่โปรแกรมแยกเป้าโจมตีได้ถึง 14 หัวรบ และพอถึงปลายทศวรรษที่ '70s สหรัฐอเมริกาก็สามารถพัฒนาขีปนาวุธทอดตัวพิสัยไกลเพื่อติดตั้งในเรือดำน้ำนิวเคลียร์ได้สำเร็จ ได้แก่ ขีปนาวุธไทรเดนท์ I (C-4) ซึ่งมีพิสัยโจมตีถึง 7,400 กิโลเมตร (4,000 ไมล์ทะเล) โดยสามารถติดตั้งหัวรบแยกเป้าโจมตีได้ 8 หัวรบ.
| ด ค กประเภทของมิสไซล์ |
| --- | --- |
แบ่งตามการเดินทาง:  ขีปนาวุธ (BM)  อาวุธปล่อยครูซ (CM) 
แบ่งตามการปล่อย:  ขีปนาวุธปล่อยจากอากาศ (ALBM)  อาวุธปล่อยครูซจากอากาศ (ALCM)  อาวุธปล่อยอากาศสู่อากาศ (AAM)  อาวุธปล่อยอากาศสู่ผิวพื้น (ASM)  ขีปนาวุธข้ามทวีป (ICBM)  ขีปนาวุธพิสัยกลาง (IRBM)  มิสไซล์ประทับบ่ายิง  ขีปนาวุธปล่อยจากเรือดำน้ำ (SLBM)  อาวุธปล่อยครูซจากเรือดำน้ำ (SLCM)  อาวุธปล่อยผิวพื้นสู่อากาศ (SAM)  อาวุธปล่อยผิวพื้นสู่ผิวพื้น (SSM) 
แบ่งตามเป้าหมาย:  อาวุธปล่อยต่อต้านขีปนาวุธ (ABM)  อาวุธต่อต้านดาวเทียม (ASAT)  ขีปนาวุธต่อต้านเรือ (ASBM)  อาวุธปล่อยต่อต้านเรือ (AShM)  อาวุธปล่อยต่อต้านเรือดำน้ำ (ASM)  อาวุธปล่อยต่อต้านรถถัง (ATGM)
ขีดจำกัดฮายาชิ

ขีดจำกัดฮายาชิ (อังกฤษ: Hayashi limit) คือ ขีดจำกัดมากที่สุดของรัศมีของดาวฤกษ์ซึ่งถูกกำหนดโดยมวลของดาวฤกษ์ เมื่อดาวมีสภาวะสมดุลอุทกสถิตอยู่ภายใน (คือเงื่อนไขของดาวที่มีแรงโน้มถ่วงที่มีทิศเข้าสู่ภายในพอดีกันกับความดันของพลาสมาที่ดันออกมา) ในขณะที่ดาวมีรัศมีน้อยกว่าขีดจำกัดฮายาชิก็จะมีนัยสำคัญในการวิวัฒนาการของดาวทั้งในระหว่างคาบการหดตัวของดาวและหลังจากที่ดาวใช้ไฮโดรเจนในปฏิกิริยานิวเคลียร์ฟิวชัน
ในแผนภาพ HR Diagram ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิพื้นผิวต่อกำลังส่องสว่าง ในแผนภาพนี้ขีดจำกัดฮายาชิจะเป็นเส้นแนวตั้งใกล้ ๆ กับอุณหภูมิ 3,500 เคลวิน ดาวอุณหภูมิต่ำจะปรากฏแต่ชั้นพาความร้อน และแบบจำลองโครงสร้างของดาวสำหรับดาวที่มีเฉพาะชั้นพาความร้อนไม่สามารถหาคำอธิบายเมื่ออยู่ทางด้านขวาของเส้นนี้ในขณะที่ดาวอยู่ในสภาวะสมดุล (และมีอุณหภูมิต่ำ) ดังนั้นดาวจะถูกบังคับให้หลงเหลืออยู่ทางด้านซ้ายของขีดจำกัดนี้ตลอดทุกคาบเมื่อมันอยู่ในสภาวะสมดุลอุทกสถิต และบริเวณที่อยู่ทางด้านขวาของเส้นนี้จะจัดอยู่ในประเภท "Forbidden zone" (บริเวณต้องห้าม) อย่างไรก็ตามก็ยังมีข้อยกเว้นของขีดจำกัดฮายาชิอยู่ ซึ่งนั่นรวมถึงดาวโปรโตสตาร์ที่ยุบตัวลงและดาวที่มีสนามแม่เหล็กแทรกสอดกับการพาพลังงานภายในดาวด้วยวิธีการพาความร้อน.
ดาวยักษ์แดงเป็นดาวที่มีการขยายตัวจากเปลือกหุ้มชั้นนอกจากปฏิกิริยาฟิวชั่นของฮีเลียมซึ่งจะเคลื่อนย้ายดาวขึ้นและไปทางขวาของ H-R Diagram อย่างไรก็ตามมันถูกบังคับโดยขีดจำกัดฮายาชิไม่ให้ขยายตัวไปไกลกว่ารัศมีที่แน่นอน.
ขีดจำกัดนี้ถูกตั้งชื่อโดย จูชิโร ฮายาชิ (Chūshirō Hayashi) นักดาราศาสตร์ฟิสิกส์ชาวญี่ปุ่น.
ดูเพิ่ม

Hayashi track
Eddington limit
ขยะอิเล็กทรอนิกส์

มอนิเตอร์ที่ถูกทิ้ง
ขยะอิเล็กทรอนิกส์ (อังกฤษ: Electronic waste) เป็นของเสียที่ประกอบด้วย เครื่องใช้ไฟฟ้าหรืออุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่เสียหรือไม่มีคนต้องการแล้ว ขยะอิเล็กทรอนิกส์เป็นประเด็นวิตกกังวล เนื่องจากชิ้นส่วนหลายชิ้นในอุปกรณ์เหล่านั้น ถือว่าเป็นพิษ และไม่สามารถย่อยสลายตามธรรมชาติได้ หลายประเทศโดยเฉพาะแถบยุโรปตะวันตกถึงกับออกกฎหมายออกมารองรับกรณีดังกล่าวนี้ โดยให้บริษัทผู้ผลิตที่จะวางตลาดในผลิตภัณฑ์ด้านคอนซูเมอร์อิเล็กทรอนิกส์ต้องจัดเก็บขยะอิเล็กทรอนิกส์ไปกำจัดก่อนถึงจะวางใหม่ได้ ซึ่งเป็นอีกหนึ่งมาตรการสำคัญที่ถูกนำออกมาใช้เพื่อแก้ปัญหาขยะอิเล็กทรอนิกส์ที่เป็นขยะพิษ ขณะเดียวกันด้วยพฤติกรรมการบริโภคที่มีลักษณะใช้แล้วทิ้งที่เกิดขึ้นทั่วโลก ส่งผลกระทบไม่เพียงแค่ในขอบข่ายของขยะอิเล็กทรอนิกส์เท่านั้น บรรจุภัณฑ์อื่น ๆ ก็ถูกทิ้งลงถังขยะมากมายจนล้นเกิน หลาย ๆ ประเทศต้องสูญเสียงบประมาณเพื่อทำการจัดเก็บและทำลายขยะแต่ละปีเป็นมูลค่ามหาศาล ซึ่งพฤติกรรมการใช้แล้วทิ้งที่เกิดขึ้นทั่วโลกนี้ หากยังไม่สามารถพัฒนาวัสดุที่สามารถย่อยสลายได้ง่าย หรือประเภทใช้แล้วสามารถนำมารีไซเคิลใหม่ได้ อาจก่อให้เกิดปัญหาขยะล้นโลกได้
บทนิยาม

ขยะอิเล็กทรอนิกส์นั้น มีมากมาย เช่น ขยะจากคอมพิวเตอร์ อุปกรณ์เครื่องเสียง เครื่องเล่นเพื่อความบันเทิงต่าง ๆ โทรศัพท์มือถือ หรือโทรศัพท์ในบ้านก็เหมือนกัน พูดง่าย ๆ ว่า อุปกรณ์เครื่องใช้อิเล็กทรอนิกส์ทั้งหลาย เมื่อไม่ใช้ หมดสภาพ จะทิ้งแล้ว ก็กลายเป็นขยะอิเล็กทรอนิกส์ ไม่มีราคาค่างวดอะไร
สำหรับนิยามชัด ๆ ของคำว่า ขยะอิเล็กทรอนิกส์นั้นไม่มีกำหนดชัดเจน โดยมากจะเป็นผลิตภัณฑ์อิเล็กทรอนิกส์จำพวกประมวลผลข้อมูล โทรคมนาคม หรือเพื่อความบันเทิง ดังกล่าวมาข้างต้น ไม่ว่าจะใช้ส่วนตัวหรือใช้เพื่อธุรกิจ ในสำนักงานก็ตามที ถ้าชำรุด ผุพัง ซ่อมไม่ได้ ไม่ต้องการแล้ว ก็เป็นอันว่าอยู่ในจำพวกนี้
อย่างไรก็ตาม ประเด็นสำคัญอยู่ที่ว่า ขยะเหล่านี้มีปัญหาในเรื่องของมลพิษ โดยเฉพาะสารเคมีที่มีอยู่ในชิ้นส่วนต่าง ๆ ซึ่งไม่สามารถกำจัดได้ง่าย ๆ ไม่ว่าจะเป็นโลหะหนัก สารพิษ ไอพิษ หรือสิ่งตกค้างอื่น ๆ เช่น กัมมันตรังสี ประจุไฟฟ้า ฯลฯ
เมื่อปี ค.ศ. 1991 ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ได้เริ่มจัดทำระบบรีไซเคิลขยะอิเล็กทรอนิกส์ขึ้น โดยรวบรวมเครื่องใช้จำพวกตู้แช่ตู้เย็นเป็นอย่างแรก เวลาผ่านไปหลายปี ก็เริ่มมีอุปกรณ์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์อื่น ๆ เข้ามาอยู่ในกลุ่มนี้มากขึ้นจนครอบคลุมทุกประเภท กฎหมายหลังปี 1998 และนับตั้งแต่มกราคม 2005 มีความเป็นไปได้ที่จะนำขยะอิเล็กทรอนิกส์ทั้งหมดคืนไปสู่จุดขาย และจุดรวบรวมอื่น ๆ โดยไม่เสียค่าใช้จ่าย ทั้งนี้ได้มีการก่อตั้งองค์กรหลักสองรับผิดชอบผู้ผลิต (Producer Responsibility Organisations : PRO) สององค์กร คือ SWICO ซึ่งส่วนใหญ่มีภารกิจจัดการขยะอิเล็กทรอนิกส์ และ SENS ส่วนใหญ่รับผิดชอบการใช้งานอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ ปริมาณรวมของขยะอิเล็กทรอนิกส์ที่นำไปรีไซเคิลจะเกิน 10 กิโลกรัมต่อคนต่อปี
สำหรับในสหภาพยุโรปได้ใช้ระบบที่คล้ายกันกับที่กล่าวไว้ใน Waste Electrical and Electronic Equipment Directive (WEEE 2002/96/EC) โดยที่ระเบียบ WEEE ได้กำหนดไว้ในกฎหมายและมีผลแล้วในเวลานี้ ผู้ผลิตจะต้องรับผิดชอบทางการเงินสำหรับอุปกรณ์ตามระเบียบ WEEE ตั้งแต่ 13 สิงหาคม 2005 และเมื่อถึงสิ้นปีที่ผ่านมา (สำหรับสมาชิกใหม่ของอียู ให้เวลาอีกหนึ่งถึงสองปี) ทุกประเทศจะต้องรีไซเคิลขนะอิเล็กทรอนิกส์อย่างน้อย 4 กิโลกรัมต่อหัว หรือต่อประชากร 1 คน นั่นเอง
บทนิยามตาม WEEE directive
เครื่องใช้ขนาดใหญ่ในบ้าน (เช่น เตาอบ, เตาอบไมโครเวฟ, ตู้เย็น, เครื่องซักผ้า ฯลฯ)
เครื่องใช้ขนาดเล็กในบ้าน (เครื่องปิ้งขนมปัง, เครื่องโกนหนวด, เครื่องดูดฝุ่น, เตารีด ฯลฯ)
เครื่องมือสื่อสารและเครื่องใช้ในสำนักงาน (คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล, เครื่องพิมพ์, โทรศัพท์, เครื่องถ่ายเอกสาร, เครื่องโทรสาร ฯลฯ)
เครื่องใช้เพื่อความบันเทิง (โทรทัศน์, วิทยุ, เครื่องเสียง, เครื่องเล่นซีดี, เครื่องเล่นดีวีดี ฯลฯ)
อุปกรณ์ให้แสงสว่าง (ส่วนใหญ่เป็นหลอดฟลูออเรสเซนต์)
อุปกรณ์ไฟฟ้า (สว่านไฟฟ้า, เครื่องตัดหญ้าไฟฟ้า ฯลฯ)
อุปกรณ์กีฬา และสันทนาการ (ของเล่นไฟฟ้า, เครื่องออกกำลังกาย ฯลฯ)
เครื่องมือและอุปกรณ์ทางการแพทย์
อุปกรณ์ตรวจสอบ
ระบบจ่ายอัตโนมัติ (เช่น เครื่องขายตั๋วอัตโนมัติ ฯลฯ)
เครื่องมือเครื่องใช้ในโรงงานอุตสาหกรรม
ของเสียที่เหลือทิ้งจากกระบวนการผลิต
ธาตุที่มีอยู่ในขยะอิเล็กทรอนิกส์ > ธาตุที่มีมาก

ตะกั่ว ดีบุก ทองแดง ซิลิกอน คาร์บอน เหล็ก อะลูมิเนียม
ธาตุที่มีอยู่ในขยะอิเล็กทรอนิกส์ > ธาตุที่มีปริมาณน้อย

แคดเมียม ปรอท
ธาตุที่มีอยู่ในขยะอิเล็กทรอนิกส์ > ธาตุที่มีอยู่บ้างเล็กน้อย

เจอร์เมเนียม แกลเลียม แบเรียม นิกเกิล แทนทาลัม อินเดียม วานาเดียม เทอร์เบียม เบริลเลียม ทองคำ ยูโรเพียม ไทเทเนียม รูทีเนียม โคบอลต์ แพลเลเดียม แมงกานีส เงิน พลวง บิสมัท ซีลีเนียม ไนโอเบียม อิตเทรียม โรเดียม แพลตทินัม สารหนู ลิเทียม โบรอน อะเมริเซียม