ดาวแคระขาว
องค์ประกอบและโครงสร้าง > ความสัมพันธ์ระหว่างมวลกับรัศมีและขีดจำกัดมวล

เป็นการง่ายที่จะหาความสัมพันธ์อย่างคร่าว ๆ ระหว่างมวลกับรัศมีโดยใช้การใช้ Energy minimization argument พลังงานของดาวแคระขาวสามารถประมาณได้จากการรวมกันของพลังงานศักย์โน้มถ่วงและพลังงานจลน์ พลังงานศักย์โน้มถ่วงของหน่วยมวลของดาวแคระขาว Eg จะคือ -GM/R เมื่อ G เป็นค่าคงที่แรงโน้มถ่วง M เป็นมวลของดาวแคระขาวและ R เป็นรัศมี พลังงานจลน์ต่อหน่วยมวล Ek ขั้นต้นจะหาได้จากการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน ดังนั้นจึงมีค่าประมาณ N p2/2m เมื่อ p เป็นโมเมนตัมเฉลี่ยของอิเล็กตรอน m คือมวลอิเล็กตรอนและ N คือจำนวนอิเล็กตรอนต่อหน่วยมวล เพราะอิเล็กตรอน degenerate ดังนั้นจึงสามารถประมาณ p ได้จากหลักความไม่แน่นอนของโมเมนตัม Δp จาก ΔpΔx ในออร์เดอร์ของ ค่าคงที่ของพลังค์ ħ และ Δx คือระยะทางเฉลี่ยระหว่างอิเล็กตรอนซึ่งประมาณ n-1/3 นั่นคือ รากที่สามของจำนวนความหนาแน่น เมื่อ n คือจำนวนอิเล็กตรอนต่อหน่วยปริมาตร เพราะว่า N M อิเล็กตรอนในดาวแคระขาวและปริมาตรของมันอยู่ในออร์เดอร์ R3 n จึงอยู่ในออร์เดอร์ของ N M/R3
ในการพิสูจน์หาพลังงานจลน์ต่อหน่วยมวล Ek หาจาก
ดาวแคระขาวจะอยู่ในสภาวะสมดุลเมื่อ Eg + Ek มีค่าต่ำสุด จากจุดนี้จึงสามารถเปรียบเทียบพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ได้ ดังนั้นเราจึงหาความสัมพันธ์ของมวลและรัศมีโดยการคำนวณขนาดของมัน
พิสูจน์หารัศมี R, ให้
ตัด N ซึ่งขึ้นกับองค์ประกอบของดาวแคระขาวและค่าคงที่จักรวาลทิ้ง เหลือความสัมพันธ์ของมวลกับรัศมี
นั่นคือรัศมีของดาวแคระขาวแปรผกผันตามสัดส่วนของรากที่สามของมวลเพราะการวิเคราะห์นี้ไม่ใช้สูตรสัมพัทธภาพ คือ p2/2m สำหรับพลังงานจลน์ ถ้าเราวิเคราะห์สถานการณ์ที่ความเร็วของอิเล็กตรอนในดาวแคระขาวใกล้เคียงกับความเร็วแสงมาก c เราต้องแทน p2/2m ด้วยการประมาณ relativistic p c สำหรับพลังงานจลน์ ถ้าแทนด้วยการประมาณนี้จะได้
ถ้าเราเปรียบเทียบกับขนาดของ Eg เราจะพบว่า R ตัดออกจากมวลและถูกบังคับให้กลายเป็น
จะเห็นว่าว่าเมื่อเราเพิ่มมวลให้กับดาวแคระขาว รัศมีของมันก็จะลดลง จากการใช้หลักความไม่แน่นอนจะพบว่าโมเมนตัมหรือความเร็วจะเพิ่มขึ้นจนความเร็วใกล้เคียงแสง การใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะแน่นอนแม่นยำที่สุด หมายความว่ามวล M ของดาวแคระขาวจะต้องเข้าใกล้ Mlimit
เพื่อที่จะทำให้การคำนวณความสัมพันธ์ระหว่างมวลและรัศมีเพิ่มขึ้นและขีดจำกัดมวลของดาวแคระขาวแม่นยำขึ้น ต้องคำนวณสมการสถานะซึ่งจะอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นและความดันในสสารของดาวแคระขาวด้วย ถ้าให้ความหนาแน่นและความดันทั้งคู่เป็นฟังก์ชันของรัศมีจากศูนย์กลางของดาว สมการของระบบก็จะประกอบด้วยสมการสถิตยศาสตร์ของไหล พร้อมกับสมการสถานะจะสามารถแก้สมการเพื่อหาโครงสร้างของดาวแคระขาวในสภาวะสมดุลได้ ในกรณีของ non-relativistic เราจะยังคงหาได้ว่ารัศมีแปรผกผันกับสัดส่วนของรากที่สามของมวล การแก้โดยสัมพัทธภาพจะได้ผลลัพธ์ที่เปลี่ยนแปลงไปคือรัศมีจะกลายเป็น 0 เมื่อมีมวลเท่ากับขีดจำกัดมวล (หรือขีดจำกัดจันทรเศขร) เมื่อดาวแคระขาวไม่สามารถที่จะถูกพยุงด้วยความดันสถานะเสื่อมของอิเล็กตรอนได้ จากกราฟแสดงให้เห็นถึงผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณเส้นสีน้ำเงินคือแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงรัศมีและมวลซึ่ง non-relativistic และเส้นสีเขียวคือ relativistic แบบจำลองทั้งสองถูกแก้โดยให้ดาวแคระขาวเป็นแก๊สเฟอร์มิเย็นในสภาวะสมดุลอุทกสถิตค่าเฉลี่ยของมวลโมเลกุลกำหนดให้เป็น 2 มวลและรัศมีถูกวัดในหน่วยเท่าของดวงอาทิตย์
ในการคำนวณทั้งหมดสมมติให้ดาวแคระขาวไม่หมุน ถ้าดาวแคระขาวหมุน สมการ Hydrostatic จะต้องคิดแรงสู่ศูนย์กลางเทียมในกรอบหมุนด้วย สำหรับดาวแคระขาวที่หมุนอย่างสม่ำเสมอ ขีดจำกัดมวลจะเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อย ในปี 1947 Fred Hoyle ได้แสดงให้เห็นถึงดาวหมุนอย่างไม่สม่ำเสมอและไม่คิดถึงความหนืดว่ามวลจะไม่มีขีดจำกัดสำหรับแบบจำลองที่เป็นไปได้ของดาวแคระขาวที่อยูในสภาวะสมดุลอุทกสถิตอย่างไรก็ตามมันก็จะอยู่ในสภาวะสมดุลไดนามิก