stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ความน่าจะเป็นแบบเบส์

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ การอนุมาน และปัญญาประดิษฐ์ บางครั้งจะพบคำว่า แบบเบส์ (Bayesian) มาขยายชื่อทฤษฎีหรือโมเดลต่าง ๆ โดยทุกครั้งที่พบคำขยายนี้หมายความว่าได้มีการนำปรัชญาหรือหลักการของ ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์ (บางท่านเรียก การอนุมานแบบเบส์ หรือ สถิติแบบเบส์) มาใช้กับสาขาความรู้นั้น ๆ
ถ้าจะกล่าวอย่างไม่เป็นทางการ, ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์แปลความหมายของคำว่า ความน่าจะเป็น เป็น ความเชื่อมั่นส่วนบุคคลในเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ซึ่งต่างจากทฤษฎีความน่าจะเป็นของคอลโมโกรอฟ (ที่มักถูกเรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่) ที่มักแปลความหมายของความน่าจะเป็น (โดยต้องแปลควบคู่ไปกับการทดลองเสมอ) ดังนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือ อัตราส่วนของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ที่ทดลองสำเร็จเทียบกับจำนวนครั้งที่ทดลองทั้งหมด จุดแตกต่างสำคัญระหว่างทฤษฎีทั้งสองประเภทมีดังนี้
ความหมายของความน่าจะเป็น
พวกเบส์มอง ความน่าจะเป็น เป็นความเชื่อส่วนบุคคล
พวกเชิงความถี่มอง ความน่าจะเป็น เป็นคุณสมบัติหนึ่งที่ถูกฝังอยู่ในวัตถุ (ไม่ขึ้นกับตัวบุคคล)
การนำทฤษฎีไปใช้งาน - ในการนำทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่ไปใช้จะต้องมีการทดลองเชิงแนวคิด (conceptual experiment) ควบคู่ไปด้วยเสมอ เหตุการณ์ใดๆ ก็ตามที่ไม่มีการทดลองเชิงแนวคิดที่สมเหตุสมผลพอ จะไม่สามารถนำทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่ไปใช้งานได้ เช่น เราไม่สามารถจินตนาการการทดลองเพื่อทดสอบว่า มีมนุษย์ต่างดาวอยู่หรือไม่ ได้. ฉะนั้นประโยค ความน่าจะเป็นที่จะมีมนุษย์ต่างดาว ไม่มีความหมายในทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่ แต่เราสามารถนำทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์มาอ้างความน่าจะเป็นประเภทนี้ได้ ในมุมมองนี้เราอาจกล่าวได้ว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์สามารถนำไปประยุกต์ใช้งานได้กว้างขวางมากกว่า
กล่าวโดยสรุปทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์ มีปรัชญาที่ต่างจากทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่เกือบสิ้นเชิงถึงแม้จะมีสัจพจน์พื้นฐานแบบเดียวกัน โดยในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์นั้นมอง ความน่าจะเป็น, สถิติ หรือการอนุมานเป็นเรื่องเดียวกัน
ประวัติของความน่าจะเป็นแบบเบส์

ชื่อเรียก "แบบเบส์" เพิ่งจะมาใช้ในราวปี ค.ศ. 1750 โดยมีต้นกำเนิดมาจากชื่อของ โทมัส เบส์ ผู้ซึ่งเสนอทฤษฎีบทของเบส์เป็นคนแรก (เท่าที่ทราบในประวัติศาสตร์) ในเวลาถัดมาปีแยร์-ซีมง ลาปลาสได้เสนอทฤษฎีบทของเบส์เช่นกัน โดยในขณะนั้นลาปลาสไม่ทราบว่ามีงานของเบส์อยู่ ทฤษฎีบทของเบส์ในแบบของลาปลาสถูกนำไปใช้งานอย่างกว้างขวางชนิดที่ตัวของเบส์เองก็อาจคาดไม่ถึง (ทั้งนี้เนื่องจากการแปลความหมายของ ความน่าจะเป็น ของลาปลาสนั้นกว้างมากอย่างที่ได้กล่าวเอาไว้ในบทนำ) โดยลาปลาสได้นำไปในประยุกต์ใช้ในปัญหาของกลศาสตร์, ดาราศาสตร์, สถิติการแพทย์ (medical statistics) หรือแม้แต่ นิติศาสตร์
ลาปลาสได้ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น (แบบเบส์) ในการทำนายมวลของดาวเสาร์โดยใช้ข้อมูลของวงโคจรดาวเสาร์ที่มีอยู่ในขณะนั้น โดยลาปลาสมั่นใจผลการทำนายมากถึงขนาดกล่าวว่า "ผมพนัน 1 ต่อ 11000 ว่ามวลของดาวเสาร์จะคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1/100 ของมวลที่ผมคำนวณได้" ถ้าเขายังมีชีวิตอยู่ไปอีก 150 ปี ลาปลาสคงจะได้ทราบว่าตัวเองชนะพนัน เนื่องจากในเวลานั้นพบว่ามวลของดาวเสาร์มีความคลาดเคลื่อนจากผลการคำนวณของลาปลาสเพียง 0.63%. สังเกตว่าไม่มีทางที่เราจะใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่ในปัญหานี้ได้เลย (ไม่สามารถสร้างการทดลองเชิงแนวคิดที่ว่า "ทดลองสร้างดาวเสาร์มา N ครั้ง มี M ครั้งที่ ..." ได้อย่างสมเหตุสมผล)
ประวัติของความน่าจะเป็นแบบเบส์ > ความหมายของตัวเลขค่าความน่าจะเป็น

ความหมายของตัวเลขของความน่าจะเป็นแบบเบส์ (เช่น ตัวเลข 0.72 ใน "มีความน่าจะเป็น 0.72 ที่ ...") มีการแปลในหลายความหมาย (เนื่องจากในหมู่ผู้สนับสนุนความน่าจะเป็นแบบเบส์ก็มีความเห็นไม่ค่อยตรงกันในรายละเอียดหลาย ๆ ประเด็น) การแปลความหมายหนึ่งที่นิยมใช้กันมากมีดังนี้
มองในแง่ของการพนัน ดังเช่นที่ลาปลาสใช้ เช่น ความน่าจะเป็น 1/3 มีความหมายเหมือนพนัน 1 ต่อ 2 (แทง 1 ได้ 2 ไม่รวมทุน) มุมมองนี้ถูกเสนออีกครั้งโดยบรูโน เด ฟิเนตติ หนึ่งในผู้บุกเบิกทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์ในศตวรรษที่ 20
มองในแง่ที่ว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นส่วนขยายของตรรกศาสตร์ นั่นคือในตรรกศาสตร์ดั้งเดิม ประพจน์จะมีค่าความจริง ได้แค่ จริง หรือ เท็จ นั่นคือ 1 หรือ 0 เท่านั้น การเพิ่มตัวเลขในช่วง 0 ถึง 1 จึงเป็นการเพิ่มความไม่แน่นอน เข้าไปในระบบตรรกศาสตร์ดั้งเดิม สังเกตว่าตัวเลขความน่าจะเป็นต้องอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 ตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น มุมมองนี้ถูกเสนอโดย แฮโรลด์ เจฟฟรีย์, ริชาร์ด คอกซ์ และ เอ็ดวิน ทอมป์สัน เจนส์
ผู้บุกเบิกทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์ที่มีชื่อเสียงคนอื่น ๆ คือ จอห์น เมย์นาร์ด เคนส์, เลโอนาร์ด ซาเวจ, แฟรงค์ แรมซีย์, รูดอร์ฟ คาร์นาพ โดยนักทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบส์ที่โด่งดังในยุคคลาสสิก (1930-1960) ที่ยังมีชีวิตอยู่ในปัจจุบันก็คือ เดนนิส ลินด์ลีย์ เจนส์ให้ข้อสังเกตไว้ว่าผู้สนับสนุนทฤษฎีแบบเบส์ที่มีชื่อเสียงมักเป็นบุคคลจากสาขาอื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นตัวเขา และคอกซ์ที่เป็นนักฟิสิกส์, เซอร์ แฮโรลด์ เจฟฟรีย์ที่เป็นนักธรณีวิทยา, เคนส์ที่เป็นนักเศรษฐศาสตร์ หรือ คาร์นาพที่เป็นนักปรัชญาวิทยาศาสตร์ ทั้งนี้อาจเป็นเพราะบุคคลเหล่านี้ต้องการนำทฤษฎีความน่าจะเป็นไปใช้งานจริง และต่างก็พบว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่ไม่กว้างขวางพอที่จะเอาไปใช้จริงได้ อีกทั้งสถิติเชิงความถี่ก็ไม่น่าเชื่อถือ และสมเหตุสมผลพอ บุคคลเหล่านี้จึงต้องพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นที่สามารถนำไปใช้ได้จริงขึ้นมา และต่างก็ค้นพบแนวทางเดียวกันซึ่งก็คือสิ่งที่ลาปลาสได้แสดงไว้แล้วเมื่อราวต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19
ความหมายทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทของเบย์ถูกระบุทางคณิตศาสตร์เป็นสมการต่อไปนี้
โดยที่  A และ  B คือ เหตุการณ์ และ  P(B)\neq 0
P(A\vert B) คือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์  A ที่เกิดขึ้น โดยที่  B เป็นจริง หรือเรียกอีกอย่างว่า ความน่าจะเป็นภายหลัง ของ  A เมื่อพิจารณาจาก  B
P(B\vert A) เป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเช่นเดียวกัน: ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์  B จะเกิดขึ้น เมื่อ  A เป็นจริง นอกจากนี้ยังสามารถตีความได้ว่าเป็น likelihood ของ  A ที่กำหนด  B คงที่ เพราะ  P(B\vert A)=L(A\vert B)
P(A) และ  P(B) คือความน่าจะเป็นที่  A และ  B จะเกิดขึ้นโดยไม่มีการกำหนดเงื่อนไขใด ๆ รู้จักกันในชื่อ ความน่าจะเป็นก่อนหน้า และ ความน่าจะเป็นส่วนเพิ่ม
แหล่งข้อมูลอื่น

On-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, by David MacKay, has many chapters on Bayesian methods, including introductory examples; compelling arguments in favour of Bayesian methods (in the style of Edwin Jaynes) ; state-of-the-art Monte Carlo methods, message-passing methods, and variational methods; and examples illustrating the intimate connections between Bayesian inference and data compression.
Jaynes, E.T. (2003) Probability Theory : The Logic of Science.
Bretthorst, G. Larry, 1988, Bayesian Spectrum Analysis and Parameter Estimation in Lecture Notes in Statistics, 48, Springer-Verlag, New York, New York;
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Ramsey.html เก็บถาวร 2019-06-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
W. Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1, 3rd Edition. John Wiley & Sons, INC, 1968.
novomind AG "Outlook categorizing tool based on Bayesian filtering" เก็บถาวร 2006-12-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Howard Raiffa Decision Analysis: Introductory Lectures on Choices under Uncertainty. McGraw Hill, College Custom Series. (1997) ISBN 007-052579-X
↑  Kemp, C. D.; Stuart, A.; Ord, J. K. (1988-03). "Kendall's Advanced Theory of Statistics, Volume 1, Distribution Theory". Biometrics. 44 (1): 313. doi:10.2307/2531923. ISSN 0006-341X. {{cite journal}}: ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |date= (help)
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด

ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด (อังกฤษ: Pollard's rho algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีแบบสุ่มที่ใช้หาตัวประกอบของจำนวนประกอบที่มีค่ามาก โดยอาศัยคุณสมบัติของการหาร เพื่อให้หาตัวประกอบของเลขจำนวนนั้น ๆ ได้เร็ว ขั้นตอนวิธีนี้ จอห์น พอลลาร์ด (John Pollard) นำเสนอขึ้นในปี 1975 และต่อมา ริชาร์ด เบรนท์ (Richard Brent) ปรับปรุงในปี 1980
แนวความคิดหลัก

ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดมีพื้นฐานมาจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ (en:Floyd's cycle-finding algorithm) และ จากการสังเกตถึงคุณสมบัติของตัวเลขที่จะมีคุณสมบัติหนึ่ง ๆ เหมือนกัน ซึ่งคล้ายกับในปัญหาวันเกิด (en:Birthday problem, en:Birthday paradox) นั่นคือ หากต้องการหาตัวเลข 2 ตัว x และ y ที่มีคุณสมบัติหารด้วยตัวเลข p แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน หรือ x สมภาคกับ y มอดุโล p (x congruent y modulo p) จะมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.5 หลังจากสุ่มตัวเลขมาแล้ว  1.177{\sqrt {p}} ตัว หากให้ p เป็น ตัวประกอบหนึ่งของ n เมื่อ n คือตัวเลขที่ต้องการหาตัวประกอบ จะได้ว่า  p\leq \gcd \left(x-y,n\right)\leq n เนื่องจาก p หาร  x-y และ  n ลงตัว
ขั้นตอนวิธีโรห์ จะใช้ f ฟังก์ชันมอดุโล n สำหรับการสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม (en:pseudo-random sequence) โดยลำดับทั้งสองจะมีความเร็วในการเลื่อนลำดับต่างกัน 2 เท่า กล่าวคือ ลำดับหนึ่งจะเลื่อนไป 2 ขั้น ในขณะที่อีกลำดับ จะเลื่อนไปเพียง 1 ขั้นเท่านั้น
หากให้ x และ y เป็นตัวแทนสำหรับตัวเลขในลำดับทั้ง 2 ในขณะหนึ่ง จะทำการหาค่า ห.ร.ม. (GCD) ของ  |x-y| และ  n โดยถ้าหาก ห.ร.ม. มีค่า
เท่ากับ n จะทำให้ขั้นตอนวิธีนี้จบการทำงานลงด้วยความผิดพลาด เนื่องจาก ห.ร.ม. จะมีค่าเท่ากับ n ได้ เมื่อ x = y ซึ่งจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ จะได้ว่า ลำดับที่สร้างได้พบกับวงวน และการทำงานในครั้งต่อ ๆ ไปก็จะเป็นการทำงานซ้ำเดิมกับงานที่เคยทำไปแล้ว
เท่ากับ 1 แสดงว่า ยังหาตัวประกอบไม่เจอ ให้กลับไปเลือก x และ y จากลำดับตัวเลขสุ่มเทียมตัวต่อไป โดย xใหม่ = f(xเดิม) และ yใหม่ = f(f(yเดิม)) แล้วกลับไปทำแบบเดิมอีกครั้งหนึ่ง
เท่ากับ ค่าอื่น ๆ แสดงว่า ค่าที่ได้นั้น คือตัวประกอบตัวหนึ่งของ n นั่นเอง
ขั้นตอนวิธี

นำเข้า: n, เป็นเลขจำนวนเต็มที่ต้องการหาตัวประกอบ; และ f (x), เป็นฟังก์ชันสุ่มเทียมมอดุโล n
ส่งออก: ตัวประกอบของ n, หรือพบข้อผิดพลาด (หาไม่เจอ)
x ← 2, y ← 2; d ← 1
While d = 1:
x ← f (x)
y ← f (f (y))
d ← GCD (|x − y|, n)
If d = n, return failure. (พบข้อผิดพลาด)
Else, return d
หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้อาจจะไม่พบตัวประกอบ และแจ้งว่าพบข้อผิดพลาดถึงแม้ว่า n จะเป็นจำนวนประกอบ สำหรับกรณีนี้ให้เปลี่ยน f (x) และลองทำอีกครั้ง
หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้ไม่สามารถทำงานได้หาก n เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก d จะเป็น 1 เสมอ
การปรับปรุง

ในปี 1980 ริชาร์ด เบรนท์ ได้ตีพิมพ์ผลงานที่เร็วกว่า เขาได้ใช้แนวความคิดหลักเช่นเดียวกับ พอลลาร์ด แต่แตกต่างกันในเรื่องของขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวน โดยได้ใช้ วิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของเบรนท์ (Brent's cycle finding method) แทนขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์
การเพิ่มประสิทธิภาพในครั้งต่อมาถูกกระทำโดย พอลลาร์ด และเบรนท์ ทั้ง 2 ได้พบว่า ถ้า  \gcd(a,n)>1 แล้ว  \gcd(ab,n)>1 สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก b ใดๆ กล่าวโดยละเอียดคือ แทนที่จะคำนวณหา  \gcd(|x-y|,n) ทุกๆขั้น, จะทำการกำหนดค่า z เป็นผลคูณของ พจน์  |x-y| จำนวน 100 พจน์ที่ติดกัน มอดุโล n และคำนวณหา  \gcd(z,n) เพียงหนึ่งครั้ง โดยความเร็วที่เพิ่มขึ้นนั้นได้จากการเปลี่ยน การหา ห.ร.ม. จำนวน 100 ครั้ง เป็นการ คูณ มอดุโล n จำนวน 99 ครั้ง และ การหา ห.ร.ม 1 ครั้ง
แต่ในบางครั้ง วิธีนี้อาจจะทำให้ขั้นตอนวิธีเกิดข้อผิดพลาดโดยการใช้ตัวประกอบที่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มกำลัง 2 แต่ก็สามารถจะแก้ไข้ได้โดยย้อนกลับไปที่จุดที่  \gcd(z,n)=1 แล้วใช้ ขั้นตอนวิธีโรห์ แบบปกติจากจุดนั้น
การใช้งาน

ขั้นตอนวิธีโรห์มักถูกนำไปใช้ในการหาตัวประกอบของจำนวนที่มีขนาดใหญ่ ที่ไม่สามารถหาได้อย่างรวดเร็วด้วยขั้นตอนวิธีแบบปกติ โดยเฉพาะจำนวนที่เกิดจากการนำจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่สองตัวคูณกัน
ขั้นตอนวิธีโรห์จะใช้เวลาในการหาตัวประกอบได้อย่างรวดเร็วหากตัวประกอบนั้นมีค่าน้อย ตัวอย่างเช่น บนเครื่องที่มีความเร็ว 3 GHz ขั้นตอนวิธิโรห์ของพอลลาร์ดสามารถหาตัวประกอบ 274177 ของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 (18446744073709551617) ในเวลา 26 มิลลิวินาที; ขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงโดยเบรนท์ สามารถหาตัวประกอบเดียวกันนี้ในเวลา 5 มิลลิวินาที แต่สำหรับจำนวนที่เกิดจากจำนวนเฉพาะสองตัวคูณกัน และที่มีความยาวเท่ากันกับจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 นั้น (10023859281455311421) การทำงานหาตัวประกอบบนเครื่องเดียวกัน ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดต้องใช้เวลาถึง 109 มิลลิวินาทีถึงจะพบตัวประกอบ ส่วนขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงใช้เวลา 31 มิลลิวินาที
สำหรับ f ฟังก์ชันตัวสุ่มเทียมมอดุโล n จะเลือกใช้ฟังก์ชัน พหุนาม พร้อมกับค่าคงที่จำนวนเต็ม c โดยรูปแบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือ
ขั้นตอนวิธีโรห์มีความโดดเด่นจากความสำเร็จในการหาตัวประกอบของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 8 โดย พอลลาร์ด และ เบรนท์ ซึ่งใช้เวลาทั้งหมด 2 ชั่วโมงบนเครื่อง UNIVAC 1100/42
ตัวอย่างการหาตัวประกอบ

ให้ n = 8051 และ f (x) = (x2 + 1) mod 8051
| i | xi | yi | GCD (│xi − yi│, 8051) |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 5 | 26 | 1 |
| 2 | 26 | 7474 | 1 |
| 3 | 677 | 871 | 97 |
97 เป็นตัวประกอบของ 8051 สำหรับการเปลี่ยนค่า c อาจจะให้คำตอบเป็นตัวประกอบอีกตัวคือ 83 แทนที่จะเป็น 97
อัตราการเติบโต

ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนี้ต้องแลกเปลี่ยนระหว่างเวลาที่ใช้ในการค้นหา กับโอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบ นั่นคือหากต้องการให้โอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบนั้นมีค่าสูง ก็จะต้องใช้เวลามากขึ้น ถ้าหาก n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน แต่มีค่าแตกต่างกัน ระยะเวลาที่ใช้สำหรับขั้นตอนวิธีนี้ จะต้องสุ่มตัวเลขมา O (n1/4 polylog (n)) ครั้ง ถึงจะมีความน่าจะเป็นในการค้นพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 สำหรับพจน์ n1/4 นั้นก็มาจากที่ n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน ดังนั้น n1/2 ก็จะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของ n และจากที่ทราบว่า ความน่าจะเป็นในการพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 เมื่อสุ่มตัวเลขมาแล้ว  1.177{\sqrt {p}} ตัว เมื่อ p คือตัวประกอบของ n ดังนั้นหากแทนค่า p ด้วย n1/2 ก็จะได้พจน์ n1/4 (หมายเหตุ: การวิเคราะห์นี้เป็นเพียงการประมาณโดยคร่าว ๆ สำหรับการวิเคราะห์อย่างละเอียด ยังรอให้พิสูจน์อยู่)
สรุป

ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดช่วยให้สามารถแยกตัวประกอบของจำนวนใหญ่ ๆ ได้อย่างรวดเร็ว โดยอาศัยขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (ใช้ฟังก์ชันสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม) ซึ่งทำได้ดีกว่าขั้นตอนวิธีตามปกติที่จะใช้เวลานานกว่ามาก แต่ก็ต้องพึงระวังว่าคำตอบที่บอกว่าไม่พบตัวประกอบนั้นอาจจะผิด เพราะมีโอกาสที่หาแล้วไม่พบ เนื่องจากสุ่มตัวเลขไม่มากพอที่จะเจอตัวประกอบนั้น การนำขั้นตอนวิธีโรห์ไปใช้จึงต้องเลือกให้ดีว่า อยากจะให้ทำงานได้เร็วแค่ไหน อยากจะให้โอกาสผิดน้อยขนาดไหนถึงยอมรับได้ ซึ่งเป็นสองสิ่งที่ต้องแลกเปลี่ยนกัน โดยสรุป ขั้นตอนวิธีโรห์นี้สามารถนำไปใช้งานในการแยกตัวประกอบได้จริง และมีประสิทธิภาพที่น่าประทับใจอีกด้วย
แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Prime Factorization Algorithms" จากแมทเวิลด์.
เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Pollard rho Factorization Method" จากแมทเวิลด์.
เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Brents Factorization Method" จากแมทเวิลด์.
เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Birthday Problem" จากแมทเวิลด์.
ตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่างในภาษาจาวา เก็บถาวร 2009-03-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
ตัวอย่างในภาษาไพทอน
ตัวอย่างโปรแกรมแสดงการหาตัวประกอบด้วยวิธีโรห์ของพอลลาร์ดด้วยภาษาจาวา เก็บถาวร 2012-09-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
กองทัพรัสเซีย

| กองทัพแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย |
| --- | --- |
Вооружё́нные си́лы Росси́йской Федера́ции
ตราราชการของกองทัพสหพันธรัฐรัสเซีย
ธงประจำกองทัพสหพันธรัฐรัสเซีย
ก่อตั้ง: 7 พฤษภาคม พ.ศ. 2535
เหล่า:  กองทัพบกรัสเซีย   กองทัพอากาศและอวกาศรัสเซีย   กองทัพอากาศรัสเซีย    กองทัพอวกาศรัสเซีย   กองทัพเรือรัสเซีย   กองกำลังขีปนาวุธทางยุทธศาสตร์   กองกำลังส่งทางอากาศ   กองกำลังปฏิบัติการพิเศษ
กองบัญชาการ: มอสโก
ผู้บังคับบัญชา
ผบ.สส.: ประธานาธิบดี วลาดิมีร์ ปูติน
รมว.กลาโหม: พลเอกอาวุโส เซียร์เกย์ ชอยกู
ผบ.ศูนย์เสนาธิการ: พลเอกอาวุโส วาเลรี เกราซีมอฟ
กำลังพล
อายุเริ่มบรรจุ: 18 ปี
การเกณฑ์: 24 เดือน
ยอดประจำการ: 4,750,000
ยอดสำรอง: 14,000,000
รายจ่าย
งบประมาณ: 470,000 ล้าน (อันดับที่ 5)
ร้อยละต่อจีดีพี: 3.1% (ประเมิน 2554)
อุตสาหกรรม
แหล่งผลิตในประเทศ: Sukhoi Mikoyan Mil Moscow Helicopter Plant Kamov Tupolev Ilyushin Tikhomirov Scientific Research Institute of Instrument Design Moscow Institute of Thermal Technology IZH Almaz-Antey Beriev GAZ ZiL Sevmash Admiralty Shipyard Yantar Shipyard Uralvagonzavod KAMAZ
บทความที่เกี่ยวข้อง
ประวัติ: ประวัติศาสตร์ทางทหารของรัสเซีย จักรวรรดิรัสเซีย สหภาพโซเวียต
กองทัพสหพันธรัฐรัสเซีย (รัสเซีย: Вооружённые си́лы Росси́йской Федера́ции) เป็นราชการทหารของประเทศรัสเซีย ก่อตั้งขึ้นหลังสหภาพโซเวียตล่มสลาย วันที่ 7 พฤษภาคม 2535 บอริส เยลต์ซินลงนามในคำสั่งประธานาธิบดีที่สถาปนากระทรวงกลาโหมรัสเซียและกำหนดให้หน่วยทหารกองทัพโซเวียตทั้งหมดในดินแดนสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตรัสเซียอยู่ใต้การควบคุมของรัสเซีย ประธานาธิบดีรัสเซียเป็นผู้บัญชาการทหารของกองทัพ
จำนวนกำลังพลมีระบุในคำสั่งประธานาธิบดีรัสเซีย วันที่ 1 มกราคม 2551 มีการกำหนดทหาร 2,019,629 นาย รวมถึงทหาร 1,134,800 นาย ในปี 2553 สถาบันศึกษายุทธศาสตร์ระหว่างประเทศประเมินว่ากองทัพรัสเซียมีกำลังพลประจำการราว 1,040,000 นาย และกองหนุน 2,035,000 นาย (ส่วนใหญ่เป็นอดีตทหารเกณฑ์) หอบัญชีรัสเซียรายงานกำลังพลในกองทัพและได้รับค่าจ้างแท้จริงไว้ที่ 766,000 นายในเดือนตุลาคม 2556 ซึ่งไม่ตรงกับกำลังพลที่ระบุไว้ในคำสั่งประธานาธิบดี จนถึงเดือนธันวาคม 2556 กองทัพมีกำลังพลอยู่ที่ร้อยละ 82 ของกำลังพลที่ต้องการ
ดูเพิ่ม

หน่วยพิทักษ์ชายแดน
กระทรวงสถานการฉุกเฉิน
สำนักงานความมั่นคงกลาง
แหล่งข้อมูลอื่น

Russian Ministry of Defense เก็บถาวร 2020-06-04 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน (อังกฤษ)
กองทัพประชาชนบัลแกเรีย

| กองทัพประชาชนบัลแกเรีย |
| --- | --- |
Bulgarska Narodna Armiya

คำขวัญ: "за нашата социалистическа родина!" Za nashata Soshtialistcheska rodina!  (เพื่อมาตุภูมิสังคมนิยม)
ก่อตั้ง: ค.ศ. 1952
ยุบเลิก: ค.ศ. 1990 (38 ปี)
เหล่า: กองทัพบก กองทัพอากาศ กองทัพเรือ กองกำลังป้องกันทางอากาศ หน่วยขีปนาวุธทางยุทธศาสตร์
กองบัญชาการ: โซเฟีย
ผู้บังคับบัญชา
รัฐมนตรีว่าการกระทรวงกลาโหมประชาชน: Dobri Dzhurov
ประธานคณะเสนาธิการทหาร: Hristo Dobrev
กำลังพล
การเกณฑ์: 2 ปี
ยอดประจำการ: 320,000 นาย (ค.ศ. 1989)
ยอดกำลังนอกประเทศ:  เชโกสโลวาเกีย
อุตสาหกรรม
แหล่งผลิตนอกประเทศ: "Former"   สหภาพโซเวียต
บทความที่เกี่ยวข้อง
ประวัติ: การบุกครองเชโกสโลวาเกียของฝ่ายกติกาสัญญาวอร์ซอ
กองทัพประชาชนบัลแกเรีย (บัลแกเรีย: Българска народна армия : Bulgarska Narodna Armiya, BNA) เป็นกองกำลังทหารของสาธารณรัฐประชาชนบัลแกเรีย ก่อตั้งขึ้นเมื่อ ค.ศ. 1946
โครงสร้าง

โครงสร้างของกองทัพประชาชนบัลแกเรียนั้น โดยยึดหลักนิยมทางทหารมาจากกองทัพโซเวียต แต่ไม่ได้มีบทบาทสำคัญทางทหารตาม กติกาสัญญาวอร์ซอ ในฐานะผู้ร่วมก่อตั้ง  กองทัพประชาชนบัลแกเรียได้เข้าร่วมปฏิบัติการทางทหารระหว่างการบุกครองเชโกสโลวาเกียของฝ่ายกติกาสัญญาวอร์ซอ เมื่อ ค.ศ. 1968 โดยมีภารกิจหลักในการปกป้องอธิปไตย ดูแลความสงบเรียบร้อยในประเทศ ในปี ค.ศ. 1990 กองทัพประชาชนบัลแกเรีย ได้เปลี่ยนสถานะภายหลังการล่มสลายของสหภาพโซเวียตเป็นกองทัพบัลแกเรีย
กองทัพประชาชนบัลแกเรียประกอบด้วยห้าเหล่า ได้แก่
กองทัพบก
กองทัพเรือ
กองทัพอากาศ
กองกำลังป้องกันทางอากาศ
หน่วยขีปนาวุธทางยุทธศาสตร์
รวมถึงกองกำลังกึ่งทหาร ที่ไม่ได้สังกัดการบังคับบัญชาของกระทรวงกลาโหมประชาชน
อาสารักษาดินแดน
เหล่าทหารสัญญาณ
เหล่าทหารขนส่ง
หน่วยพิทักษ์ชายแดน
กองกำลังแรงงาน
ตำรวจประชาชน
กำลังพลประจำการในกองทัพ 325,000 นาย ค.ศ. 1989
แหล่งข้อมูลอื่น

| ด ค กกองทัพในทวีปยุโรป |
| --- | --- |
รัฐเอกราช:  กรีซ  คาซัคสถาน2  โครเอเชีย  จอร์เจีย1  เช็กเกีย  ซานมารีโน  เซอร์เบีย  ไซปรัส1  เดนมาร์ก  ตุรกี2  นอร์เวย์  เนเธอร์แลนด์  บอสเนียและเฮอร์เซโกวีนา  บัลแกเรีย  เบลเยียม  เบลารุส  โปรตุเกส  โปแลนด์  ฝรั่งเศส  ฟินแลนด์  มอนเตเนโกร  มอลโดวา  มอลตา  นอร์ทมาซิโดเนีย  โมนาโก  ยูเครน  เยอรมนี  รัสเซีย2  โรมาเนีย  ลักเซมเบิร์ก  ลัตเวีย  ลิกเตนสไตน์  ลิทัวเนีย  นครรัฐวาติกัน  สเปน  สโลวาเกีย  สโลวีเนีย  สวิตเซอร์แลนด์  สวีเดน  สหราชอาณาจักร  ออสเตรีย  อันดอร์รา  อาเซอร์ไบจาน1  อาร์มีเนีย1  อิตาลี  เอสโตเนีย  แอลเบเนีย  ไอซ์แลนด์  ไอร์แลนด์  ฮังการี 
รัฐที่ได้รับการรับรองอย่างไม่สมบูรณ์:  คอซอวอ  อับฮาเซีย1  ไซปรัสเหนือ1  เซาท์ออสซีเชีย1  ทรานส์นิสเทรีย 
รัฐสิ้นสภาพ:  รัฐเอกราชโครเอเชีย  เชโกสโลวาเกีย  ราชอาณาจักรซาร์ดิเนีย  สาธารณรัฐประชาชนบัลแกเรีย  สาธารณรัฐประชาชนโปแลนด์  ราชอาณาจักรปรัสเซีย  ฝรั่งเศส จักรวรรดิฝรั่งเศสที่หนึ่ง ใหญ่  ยูโกสลาเวีย ราชอาณาจักร  สหพันธ์สาธารณรัฐสังคมนิยม  สหพันธ์สาธารณรัฐ  เยอรมนี สมาพันธรัฐเยอรมัน  จักรวรรดิเยอรมัน  สาธารณรัฐไวมาร์  นาซีเยอรมนี  เยอรมนีตะวันออก  รัสเซีย จักรวรรดิรัสเซีย  สหภาพโซเวียต  ออสเตรีย-ฮังการี  จักรวรรดิออตโตมัน  อิตาลี ราชอาณาจักร  สาธารณรัฐสังคมอิตาลี  แอลเบเนีย ราชอาณาจักรแอลเบเนีย  สาธารณรัฐประชาชนแอลเบเนีย  ฮังการี ราชอาณาจักรฮังการี  สาธารณรัฐประชาชนฮังการี 
องค์กรระหว่างประเทศ:  สหภาพยุโรป  คณะทหารองค์อธิปัตย์แห่งมอลตา 
 1. ทางภูมิศาสตร์อยู่ในทวีปเอเชีย แต่มักถูกจัดอยู่ในทวีปยุโรป เนื่องจากมีวัฒนธรรมที่คล้ายคลึงกัน  2. มีพื้นที่ทั้งในทวีปยุโรปและในทวีปเอเชีย 
แม่แบบ:กองกำลังกติกาสัญญาวอร์ซอ
เหรียญบำเน็จรับราชการทหารครบ 10 ปี
มหาวิทยาลัยราชภัฏนครราชสีมา

| --- | --- |
Nakhon Ratchasima Rajabhat University
ชื่อย่อ: มร.นม. (NRRU.)
คติพจน์: ธมฺมจารี สุขํเสติ  (ผู้ประพฤติธรรมย่อมอยู่เป็นสุข)
ประเภท: สถาบันอุดมศึกษาของรัฐ
สถาปนา: 15 มิถุนายน พ.ศ. 2547; 20 ปีก่อน (2547-06-15)
สังกัดการศึกษา: กระทรวงการอุดมศึกษา วิทยาศาสตร์ วิจัยและนวัตกรรม
สังกัดวิชาการ: คณะวิชา  10 ดูในบทความ  สำนัก  7 ดูในบทความ  ศูนย์  5 ดูในบทความ  หน่วยงานสนับสนุน  8 ดูในบทความ 
งบประมาณ: 525,799,000 บาท (พ.ศ. 2568)
นายกสภาฯ: สุวัจน์ ลิปตพัลลภ
อธิการบดี: รองศาสตราจารย์ อดิศร เนาวนนท์
อาจารย์: 571 คน (พ.ศ. 2567)
บุคลากรทั้งหมด: 1,197 คน (พ.ศ. 2567)
ผู้ศึกษา: 13,413 คน (พ.ศ. 2566)
ที่ตั้ง: เลขที่ 340 ถนนสุรนารายณ์ ตำบลในเมือง อำเภอเมืองนครราชสีมา จังหวัดนครราชสีมา 30000
เพลง: มาร์ชตะโกราย
ต้นไม้: ต้นราชพฤกษ์
สี:   เขียว   เหลือง
เว็บไซต์: เว็บไซต์ของมหาวิทยาลัย
มหาวิทยาลัยราชภัฏนครราชสีมา ตั้งอยู่ที่ 340  ถนนสุรนารายณ์  ตำบลในเมือง  อำเภอเมืองนครราชสีมา จังหวัดนครราชสีมา 30000
อยู่ห่างจากอนุสาวรีย์ท้าวสุรนารีไปทางตำบลจอหอ ประมาณ 3 กิโลเมตร มีพื้นที่ทั้งหมด 274 ไร่ 3 งาน 41 ตารางวา พื้นที่หลักอยู่ที่มหาวิทยาลัยราชภัฏนครราชสีมา จำนวน 174 ไร่ 3 งาน 41 ตารางวา และมีศูนย์ฝึกอบรมและวิจัยทางการเกษตร อีก 100 ไร่ อยู่ที่ ตำบลไชยมงคล อำเภอเมืองนครราชสีมา จังหวัดนครราชสีมา ติดกับสวนสัตว์จังหวัดนครราชสีมา ซึ่งอยู่ห่างจากมหาวิทยาลัยราชภัฏนครราชสีมา ประมาณ 15 กิโลเมตร
มีปรัชญาประจำมหาวิทยาลัยว่า
แหล่งวิชาการ สร้างสรรค์คนดี มีคุณธรรม นำสังคม
ประวัติ

การฝึกหัดครูได้เริ่มในมณฑลนครราชสีมา เมื่อกระทรวงธรรมการให้เปิดสอนหลักสูตรประโยคครูมูลสามัญ (ป.) ในโรงเรียนตัวอย่างประจำมณฑลนครราชสีมา โดยรับนักเรียนที่จบชั้นมัธยมปีที่ 3 เข้าศึกษาหลักสูตร 2 ปี เมื่อสำเร็จการศึกษาจะได้รับบรรจุเป็นข้าราชการครู
กระทรวงธรรมการได้จัดตั้งโรงเรียนฝึกหัดครูมูลกสิกรรม ที่ข้างวัดโพธิ์ ตำบลโพธิ์กลาง อำเภอเมือง จังหวัดนครราชสีมา เปิดสอนหลักสูตรประโยคครูมูลสามัญ (ป.) และประโยคครูประกาศนียบัตรจังหวัด (ว.) ต่อมาในปี พ.ศ. 2478 ได้เปลี่ยนชื่อเป็น “ โรงเรียนฝึกหัดครูประกาศนียบัตรจังหวัดนครราชสีมา ” เปิดสอนเฉพาะหลักสูตรประโยคครูประกาศนียบัตรจังหวัด (ว.)
ย้ายไปอยู่แทนที่โรงเรียนฝึกหัดครูประถมกสิกรรม อำเภอโนนสูง จังหวัดนครราชสีมา และในปี พ.ศ. 2485 เปลี่ยนชื่อเป็น “โรงเรียนฝึกหัดครูมูลโนนสูง” เปิดสอน 3 หลักสูตรได้แก่ ประโยคครูประกาศนียบัตรจังหวัด (ว.) ประโยคครูประชาบาล (ป.บ.) และประโยคครูมูล (ม.)
ย้ายเข้ามาอยู่ ณ ที่ตั้งปัจจุบันในอำเภอเมือง จังหวัดนครราชสีมา และเปลี่ยนชื่อเป็น “ โรงเรียนฝึกหัดครูนครราชสีมา ” ในปี พ.ศ. 2495 ได้ยุบเลิกหลักสูตรเดิม 3 หลักสูตร และเปิดสอนหลักสูตรประกาศนียบัตรประโยคครูประถม (ป.ป.) จนถึงปี พ.ศ. 2497 จึงเปิดสอนหลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาการศึกษา (ป.กศ.) แทนหลักสูตรประกาศนียบัตรประโยคครูประถม (ป.ป.)
ได้รับการยกฐานะเป็น “วิทยาลัยครูนครราชสีมา” และเปิดสอนหลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาการศึกษาชั้นสูง (ป.กศ. ชั้นสูง) ต่อจากระดับ ป.กศ.
พระบาทสมเด็จพระบรมชนกาธิเบศร มหาภูมิพลอดุลยเดชมหาราช บรมนาถบพิตร เสด็จพระราชดำเนินพร้อมด้วยสมเด็จพระนางเจ้าสิริกิติ์ พระบรมราชินีนาถ พระบรมราชชนนีพันปีหลวง เพื่อรับฟังคำกราบบังคมทูลรายงานความก้าวหน้าของการฝึกหัดครูไทยและทอดพระเนตรกิจการวิทยาลัยครูนครราชสีมาและนิทรรศการด้านวิชาการของนักศึกษา
ได้รับการยกฐานะเป็นสถาบันอุดมศึกษาสังกัดกระทรวงศึกษาธิการตามพระราชบัญญัติวิทยาลัยครู พุทธศักราช 2518 จึงขยายการผลิตครูถึงระดับปริญญาตรีครุศาสตรบัณฑิต (ค.บ.)
เริ่มโครงการอบรมครูและบุคลากรทางการศึกษาประจำการ (อคป.) แล้วพัฒนามาเป็นโครงการจัดการศึกษาเพื่อปวงชน (กศ.ปช.) ในปัจจุบัน
เริ่มเปิดสอนสาขาวิชาชีพอื่นนอกเหนือจากสาขาวิชาการศึกษาในระดับอนุปริญญาและขยายถึงระดับปริญญาตรีในระยะต่อมา ปัจจุบันมี 5 สาขาวิชา ได้แก่ สาขาวิชาการศึกษา สาขาวิชาวิทยาศาสตร์และวิทยาศาสตร์ประยุกต์ สาขาวิชาศิลปศาสตร์ สาขาวิชาบริหารธุรกิจ และสาขาวิชานิติศาสตร์
เปลี่ยนแปลงฐานะเป็น “สถาบันราชภัฏนครราชสีมา” สามารถเปิดสอนในระดับที่สูงกว่าปริญญาตรี
เริ่มเปิดสอนระดับปริญญาโท สาขาการบริหารการศึกษา และปีต่อ ๆ มา ตั้งแต่ พ.ศ. 2542-2545 ได้เปิดสอนสาขาอื่นเพิ่มอีก 6 สาขา ได้แก่ สาขาเทคโนโลยีและสื่อสารการศึกษา สาขาระบบสารสนเทศภูมิศาสตร์ สาขาการส่งเสริมสุขภาพ สาขาหลักสูตรและการสอน สาขาสังคมศาสตร์เพื่อการพัฒนา และสาขาการพัฒนาสุขภาพชุมชน
ได้รับการยกฐานะเป็น “มหาวิทยาลัยราชภัฏนครราชสีมา”
เปิดสอนระดับปริญญาโทเพิ่มอีก 1 สาขา คือ สาขาวิทยาศาสตร์มหาบัณฑิต
เปิดสอนระดับปริญญาเอก สาขาภาวะผู้นำทางการบริหารการศึกษา และเปิดสอนระดับปริญญาโทเพิ่มอีก 1 สาขา ได้แก่ สาขา
เทคโนโลยีการจัดการสิ่งแวดล้อม
พระบาทสมเด็จพระวชิรเกล้าเจ้าอยู่หัวเมื่อครั้งดำรงพระราชอิสริยยศสมเด็จพระบรมโอรสาธิราช เจ้าฟ้ามหาวชิราลงกรณ สยามมกุฎราชกุมาร เสด็จฯ เปิดอาคารยุพราชเบญจมงคล