stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
บทนำกลศาสตร์ควอนตัม
โฟตอน: การทำแสงให้เป็นควอนตัม

ในปี 1905 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เสนอว่าวิธีคิดแบบการแจงหน่วยไม่ได้เป็นเพียงภาพสร้างทางคณิตศาสตร์ หากแต่เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติ พลังงานได้เกิดขึ้นเป็นกลุ่มก้อนในลำแสงจริง ซึ่งกลุ่มก้อนของพลังงานแสงถูกเรียกกันในปัจจุบันว่า โฟตอน (photon) พลังงานของโฟตอนเดี่ยวที่ความถี่  f มีค่าเท่ากับความถี่คูณกับค่าคงที่ของพลังค์  h (ซึ่งเป็นจำนวนบวกที่น้อยมาก) เขียนเป็นสมการว่า
เป็นเวลาหลายศตวรรษที่นักวิทยาศาสตร์ถกเถียงกันเรื่องธรรมชาติของแสงที่เป็นไปได้สองทฤษฎี ฝั่งหนึ่งกล่าวว่าแสงเป็นคลื่น อีกฝั่งกล่าวว่าแสงคือกระแสของอนุภาคขนาดเล็ก เมื่อถึงคริสต์ศตวรรษที่ 19 การถกเถียงโดยส่วนใหญ่แสดงการยอมรับทฤษฎีคลื่น เพราะทฤษฎีดังกล่าวสามารถอธิบายปรากฏการณ์ของแสงที่สังเกตได้ เช่น การหักเห การเลี้ยวเบน การแทรกสอด และโพลาไรเซชัน นอกจากนี้ เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ได้แสดงให้เห็นว่าไฟฟ้า แม่เหล็ก และแสงล้วนเป็นการแสดงของปรากฏการณ์เดียวกันนั่นคือสนามแม่เหล็กไฟฟ้า สมการของแมกซ์เวลล์ ซึ่งเป็นชุดของกฎที่สมบูรณ์ของแม่เหล็กไฟฟ้าดั้งเดิม อธิบายว่าแสงเป็นคลื่นหรือเป็นผลมาจากการรวมกันของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่แกว่งไปมา จากหลักฐานที่ สนับสนุนทฤษฎีคลื่นของแสงมีมากกว่า ทำให้แนวคิดของไอน์สไตน์ในขณะนั้นจึงถูกตั้งข้อสงสัยเป็นอย่างมาก อย่างไรก็ตามภายหลังแบบจำลองโฟตอนจึงได้รับความนิยม หลักฐานสำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งที่สนับสนุนแบบจำลองนี้คือความสามารถในการอธิบายคุณสมบัติที่ทำให้ฉงนหลายประการของปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกซึ่งจะอธิบายในหัวข้อถัดไป อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีคลื่นยังคงถูกใช้อธิบายคุณสมบัติอื่น ๆ ของแสงซึ่งได้แก่ การเลี้ยวเบน การหักเห และการแทรกสอด อย่างขาดไม่ได้
โฟตอน: การทำแสงให้เป็นควอนตัม > ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก

บทความหลัก: ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก
ปี ค.ศ. 1887 ไฮน์ริช แฮทซ์สังเกตว่าเมื่อแสงที่มีความถี่เพียงพอกระทบพื้นผิวโลหะ พื้นผิวจะปลดปล่อยอิเล็กตรอนออกมา ต่อมาในปี ค.ศ. 1902 ฟิลิปป์ เลนาร์ดค้นพบว่าพลังงานสูงสุดที่เป็นไปได้ของอิเล็กตรอนที่หลุดออกมานั้นสัมพันธ์กับความถี่ของแสง ไม่ใช่ความเข้มของแสง หากแสงมีความถี่ต่ำเกินไป จะไม่มีอิเล็กตรอนถูกปลดปล่อยออกมาไม่ว่าแสงจะมีความเข้มมากเพียงใด ลำแสงที่มีความเข้มสูงจากปลายสีแดงของแถบสเปกตรัมอาจไม่สร้างศักย์ไฟฟ้าเลย ในขณะที่ลำแสงความเข้มต่ำเมื่อยิ่งเข้าใกล้ปลายสีม่วงของแถบสเปกตรัมจะยิ่งสร้างแรงดันไฟฟ้าสูงขึ้น ความถี่แสงที่ต่ำสุดที่ทำให้อิเล็กตรอนถูกปลดปล่อยออกมาได้เรียกว่า ความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน (threshold frequency) ซึ่งมีค่าแตกต่างกันไปตามโลหะแต่ละชนิด การสังเกตนี้ขัดแย้งกับแม่เหล็กไฟฟ้าแบบดั้งเดิม ซึ่งทำนายว่าพลังงานของอิเล็กตรอนควรเป็นสัดส่วนกับความเข้มของรังสีที่ตกกระทบ ดังนั้น เมื่อนักฟิสิกส์ประดิษฐ์อุปกรณ์ที่แสดงปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกได้เป็นครั้งแรก พวกเขาคาดว่าความเข้มของแสงที่สูงขึ้นจะสร้างแรงดันไฟฟ้าที่สูงขึ้น
ไอน์สไตน์อธิบายปรากฏการณ์นี้โดยตั้งสมมติฐานว่าลำแสงเป็นกระแสของอนุภาค (โฟตอน) และถ้าลำแสงมีความถี่  f แล้วแต่ละโฟตอนจะมีพลังงานเท่ากับ  hf  อิเล็กตรอนมีแนวโน้มที่จะถูกชนด้วยโฟตอนเพียงตัวเดียว ซึ่งส่งพลังงานให้กับอิเล็กตรอนมากที่สุดที่ค่า  hf  ดังนั้นความเข้มของลำแสงจึงไม่มีผล และมีเพียงความถี่เท่านั้นที่กำหนดพลังงานสูงสุดที่สามารถส่งให้กับอิเล็กตรอนได้
ในการอธิบายความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน ไอน์สไตน์แย้งว่าต้องใช้พลังงานปริมาณหนึ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชันงาน (work function) แทนด้วยสัญลักษณ์  \varphi  ในการดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ พลังงานปริมาณนี้แตกต่างกันไปตามโลหะแต่ละชนิด ถ้าพลังงานของโฟตอนมีค่าน้อยกว่าฟังก์ชันงาน พลังงานจะไม่เพียงพอที่จะดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ ความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน  f_{0} คือความถี่ของโฟตอนที่สร้างพลังงานเท่ากับฟังก์ชันงาน:
ถ้าหาก  f มีค่ามากกว่า  f_{0} พลังงาน  hf ก็เพียงพอที่จะดึงอิเล็กตรอนออก อิเล็กตรอนที่ถูกปลดปล่อยออกมาจะมีพลังงานจลน์  E_{K} ซึ่งมีค่ามากที่สุดเท่ากับพลังงานของโฟตอนลบด้วยพลังงานที่จำเป็นในการดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ:
คำอธิบายของไอน์สไตน์เกี่ยวกับแสงที่ประกอบด้วยอนุภาคได้ขยายแนวคิดของพลังค์เกี่ยวกับพลังงานเชิงการแจงหน่วย ซึ่งก็คือโฟตอนเดี่ยวที่มีความถี่  f จะให้ปริมาณของพลังงานที่ไม่แปรผันที่ค่า  hf กล่าวอีกนัยหนึ่ง โฟตอนแต่ละตัวจะมีพลังงานมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับความถี่เท่านั้น โฟตอนเดี่ยวแทบไม่เคยถูกพบในธรรมชาติ ดวงอาทิตย์และแหล่งกำเนิดรังสีทั้งหลายจากศตวรรษที่ 19 ปล่อยโฟตอนจำนวนมหาศาลออกมาทุก ๆ วินาที ทำให้ความสำคัญของพลังงานที่โฟตอนเดี่ยวแต่ละตัวมีไม่ชัดเจน แนวคิดของไอน์สไตน์ที่ว่าพลังงานที่บรรจุอยู่ในหน่วยแสงแต่ละหน่วยขึ้นอยู่กับความถี่ของแสงทำให้เราอธิบายผลการทดลองที่ดูขัดกับสัญชาตญาณได้ อย่างไรก็ตาม แม้ว่าโฟตอนจะเป็นอนุภาค มันก็ยังคงได้รับการอธิบายว่ามีคุณสมบัติของความถี่คล้ายคลื่น สุดท้ายแล้ว การอธิบายว่าแสงเป็นอนุภาคจึงยังไม่เพียงพอ และยังจำเป็นต้องมีคำอธิบายต่อธรรมชาติที่เหมือนคลื่นของมัน
โฟตอน: การทำแสงให้เป็นควอนตัม > ผลของแนวคิดแสงเป็นควอนตัม

ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าและพลังงานของโฟตอนแต่ละตัวสามารถนำมาอธิบายได้ว่าเพราะเหตุใดแสงอัลตราไวโอเลตทำให้เกิดอาการผิวไหม้จากแสงอาทิตย์ได้ แต่แสงที่ตามนุษย์มองเห็นหรือแสงอินฟราเรดไม่สามารถทำให้เกิดอาการเดียวกันได้ โฟตอนของแสงอัลตราไวโอเลตบรรจุพลังงานปริมาณมากเพียงพอที่จะทำให้เซลล์เสียหาย อย่างเช่นการถูกแดดเผา โฟตอนของแสงอินฟราเรดให้พลังงานน้อยกว่า เพียงพอที่จะทำให้ผิวหนังรู้สึกอุ่นเท่านั้น เพราะฉะนั้น หลอดอินฟราเรดจึงสามารถอุ่นพื้นผิวขนาดใหญ่ บางทีอาจมากพอที่จะทำให้มนุษย์รู้สึกสบายในห้องที่เย็น แต่ไม่สามารถทำให้ผิวหนังของใครไหม้ได้
โฟตอนทุกตัวที่มีความถี่เดียวกันจะมีพลังงานเท่ากัน และโฟตอนทุกตัวที่มีความถี่ต่างกันจะมีพลังงานต่างกันตามสัดส่วน (ลำดับชั้นที่ 1, Ephoton = hf ) อย่างไรก็ตาม แม้ว่าพลังงานที่โฟตอนให้จะไม่แปรผัน ณ ความถี่ใดความถี่หนึ่ง สถานะพลังงานเริ่มต้นของอิเล็กตรอนในอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกก่อนการดูดกลืนแสงไม่จำเป็นต้องเหมือนกันเสมอไป ผลลัพธ์ที่ผิดปกติอาจเกิดขึ้นในกรณีของอิเล็กตรอนแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนที่อยู่ในสถานะกระตุ้นเหนือระดับสมดุลของอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกอาจถูกดึงออกทันทีที่มันดูดซับแสงที่มีความถี่ต่ำกว่าความถี่ปกติมาก อย่างไรก็ตาม ในทางสถิติแล้วพฤติกรรมลักษณะเฉพาะของอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกจะสะท้อนถึงพฤติกรรมของอิเล็กตรอนส่วนใหญ่ซึ่งอยู่ในระดับสมดุล ประเด็นนี้ช่วยอธิบายความแตกต่างระหว่างการศึกษาอนุภาคเดี่ยวขนาดเล็กในพลศาสตร์ควอนตัม (quantum dynamics) และการศึกษาอนุภาคเดี่ยวขนาดใหญ่ในฟิสิกส์ดั้งเดิม
ทวิภาคของคลื่น–อนุภาค

บทความหลัก: ทวิภาคคลื่น–อนุภาค
นอกจากแสงที่มีคุณสมบัติเหมือนเป็นทั้งคลื่นและอนุภาคแล้ว สสารก็มีคุณสมบัติเป็นเหมือนคลื่นเช่นเดียวกัน เราเรียกคุณสมบัตินี้ว่า "ทวิภาคคลื่น–อนุภาค" (wave-particle duality)
พฤติกรรมความเป็นคลื่นของสสารได้รับการสาธิตครั้งแรกโดยใช้อิเล็กตรอน ลำแสงของอิเล็กตรอนสามารถแสดงการเลี้ยวเบนได้เช่นเดียวกับลำแสงหรือคลื่นน้ำ ต่อมาจึงมีการค้นพบปรากฏการณ์ของคลื่นที่คล้ายกันเกิดกับอะตอมหรือแม้แต่โมเลกุล
ความยาวคลื่น λ ของวัตถุใด ๆ มีความสัมพันธ์กับโมเมนตัม p ผ่านค่าคงที่ของพลังค์ h:
ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าสมมติฐานของเดอ เบรย ปรากฏอยู่ในสสารทุกประเภท สสารทั้งหมดแสดงคุณสมบัติของทั้งอนุภาคและคลื่น
แนวคิดทวิภาคของคลื่นและอนุภาคกล่าวว่าแนวคิดดั้งเดิมไม่ว่าจะเป็นของ "อนุภาค" หรือ "คลื่น" ไม่สามารถอธิบายพฤติกรรมของวัตถุระดับควอนตัมได้อย่างสมบูรณ์ ไม่ว่าจะเป็นโฟตอนหรือสสาร ทวิภาคของคลื่นและอนุภาคเป็นตัวอย่างหนึ่งของหลักการเติมเต็มในฟิสิกส์ควอนตัม ตัวอย่างการทดลองหนึ่งที่แสดงถึงสภาพคู่กันของคลื่นและอนุภาคที่มีความงดงามคือ "การทดลองช่องแคบคู่" ซึ่งจะกล่าวในหัวข้อถัดไป
ทวิภาคของคลื่น–อนุภาค > การทดลองช่องแคบคู่

การทดลองช่องแคบคู่ทำขึ้นครั้งแรกโดยโทมัส ยัง เมื่อ ค.ศ. 1803 และโอกุสแต็ง-ฌ็อง แฟรแนล ในหนึ่งทศวรรษหลังจากนั้น นักวิทยาศาสตร์ทั้งสองคนได้ส่องลำแสงผ่านช่องแคบสองช่องที่อยู่ใกล้กัน เกิดรูปแบบการแทรกสอดของแถบสว่างและแถบมืดบนฉากตรวจจับที่แสงส่องกระทบ และคาดว่าหากปิดช่องแคบช่องใดช่องหนึ่งไว้ ความเข้มของการแทรกสอดนั้นก็ควรจะลดลงไปครึ่งหนึ่งในทุกบริเวณ แต่ในความเป็นจริงแล้วเกิดปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนซึ่งซับซ้อนน้อยกว่านั้นมาก โดยเกิดขึ้นบนฉากตรงข้ามกับช่องแคบเดี่ยวที่เปิดไว้ และแสงมีการกระจายออกเป็นรัศมีเหมือนกับพฤติกรรมของคลื่นน้ำ การทดลองช่องแคบคู่นี้จึงถือว่าเป็นการสาธิตธรรมชาติความเป็นคลื่นของแสง
นักวิทยาศาสตร์ยังได้ทำการทดลองช่องแคบคู่โดยใช้อนุภาคอื่น ๆ นอกจากแสง ได้แก่ อิเล็กตรอน อะตอม หรือแม้กระทั่งโมเลกุลขนาดใหญ่ และได้เห็นรูปแบบการแทรกสอดเหมือนกับแสงทั้งหมด จึงเป็นการสาธิตและพิสูจน์ว่าสสารทั้งหมดมีคุณสมบัติของทั้งอนุภาคและคลื่น
หากลดความเข้มของแหล่งกำเนิดลงจนแม้จะเหลืออนุภาค (โฟตอนหรืออิเล็กตรอน) ที่เคลื่อนผ่านช่องแคบเพียงอนุภาคเดียวในแต่ละครั้ง  เมื่อทำซ้ำไปเรื่อย ๆ ก็จะเกิดรูปแบบของการแทรกสอดขึ้นเหมือนเดิม อนุภาคควอนตัมจะประพฤติตัวเป็นคลื่นเมื่อเคลื่อนผ่านช่องแคบคู่ แต่จะประพฤติตัวเป็นอนุภาคเมื่อมีการตรวจจับ ซึ่งสิ่งนี้เองเป็นคุณสมบัติทั่วไปของ "การเติมเต็มกันทางควอนตัม" (quantum complementarity) โดยอนุภาคควอนตัมอนุภาคหนึ่งจะประพฤติตัวเป็นคลื่นในการทดลองที่ทำเพื่อวัดคุณสมบัติคลื่น และจะประพฤติตัวเป็นอนุภาคในการทดลองที่ทำเพื่อวัดคุณสมบัติอนุภาค จุดบนฉากตรวจจับแต่ละจุดที่เกิดขึ้นจากอนุภาคแต่ละตัวนั้นเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการสุ่ม และรูปแบบการกระจายตัวของอนุภาคแต่ละตัวนั้นก็เลียนแบบรูปแบบของการเลี้ยวเบนที่เกิดจากคลื่น
ทวิภาคของคลื่น–อนุภาค > การประยุกต์ใช้กับแบบจำลองของโปร์

การทดลองที่ทำให้เกิดการค้นพบทวิภาคของคลื่น–อนุภาค ทำให้เดอ เบรยปรับแบบจำลองอะตอมของโปร์โดยแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนในวงโคจรรอบนิวเคลียสอาจถูกมองว่ามีคุณสมบัติเหมือนคลื่นได้ และเราจะตรวจจับอิเล็กตรอนหนึ่งตัวได้ก็ต่อเมื่อเกิดสถานการณ์ที่อนุญาตให้มีคลื่นนิ่งรอบนิวเคลียส ตัวอย่างของคลื่นนิ่งคือสายไวโอลินที่ถูกตรึงไว้ที่ปลายทั้งสองด้านและทำให้สั่นได้ คลื่นที่ถูกสร้างขึ้นโดยเครื่องสายนี้ดูเหมือนจะสั่นอยู่กับที่และเคลื่อนที่จากยอดคลื่นไปยังท้องคลื่นในลักษณะขึ้นและลง ความยาวคลื่นของคลื่นนิ่งสัมพันธ์กับความยาวของวัตถุที่สั่นและลักษณะของปลาย ตัวอย่างเช่น สายไวโอลินที่ปลายทั้งสองด้านถูกตรึงไว้จะมีคลื่นนิ่งที่มีความยาวคลื่นเท่ากับ  {\frac {2l}{n}} โดย  l คือความยาวของสาย และ  n คือจำนวนเต็มบวก เขายังเสนอว่าวงโคจรของอิเล็กตรอนที่เกิดขึ้นได้คือวงเดียวกันกับวงโคจรที่มีเส้นรอบวงเป็นจำนวนเต็มใดจำนวนเต็มหนึ่งของความยาวคลื่น ความยาวคลื่นของอิเล็กตรอนจึงเป็นตัวกำหนดว่าวงโคจรของโปร์ที่มีระยะห่างแน่นอนจากนิวเคลียสเท่านั้นที่จะเกิดขึ้นได้ ในทางกลับกันที่ระยะห่างใด ๆ จากนิวเคลียสที่มีค่าเล็กกว่าที่กำหนดไว้ก็จะไม่มีวงโคจรของอิเล็กตรอนเกิดขึ้น ระยะห่างจากนิวเคลียสที่ต่ำสุดที่เป็นไปได้เรียกว่า "รัศมีโปร์"
คำอธิบายปรากฏการณ์ควอนตัมของเดอ เบรยกลายเป็นจุดเริ่มต้นที่ชเรอดิงเงอร์เริ่มคิดค้นสมการคลื่นสมการหนึ่งขึ้นมาเพื่ออธิบายเหตุการณ์เชิงทฤษฎีควอนตัมต่าง ๆ
สปิน

บทความหลัก: สปิน (ฟิสิกส์)
ดูเพิ่ม: การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลค
ในปี 1922 อ็อทโท ชแตร์นและวัลเทอร์ แกร์ลัค ได้ทำการทดลองโดยยิงอะตอมของธาตุเงินผ่านสนามแม่เหล็กที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เมื่อโยนแท่งแม่เหล็กผ่านสนามแม่เหล็กดังกล่าว มันจะถูกแรงแม่เหล็กเบี่ยงเบนให้ขึ้นไปข้างบนหรือลงข้างล่างด้วยระยะมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับทิศของแท่งแม่เหล็กนั้นว่าชี้ขึ้นลงหรืออยู่ระหว่างกลางเมื่อเทียบกับขั้วเหนือ กลุ่มของอะตอมที่ชแตร์นและแกร์ลัคได้ยิงผ่านสนามแม่เหล็กนั้นก็ได้เบี่ยงเบนไปเหมือนกับแท่งแม่เหล็ก แต่สิ่งที่ต่างกันคือ แท่งแม่เหล็กถูกเบี่ยงเบนได้หลายรูปแบบขึ้นอยู่กับทิศของมันตามที่ได้กล่าวไว้ แต่อะตอมจะถูกเบี่ยงเบนเป็นระยะทางคงที่ระยะทางหนึ่งไม่ว่าขึ้นหรือลง สิ่งนี้บอกเป็นนัยว่าคุณสมบัติของอะตอมที่สอดคล้องกับทิศทางของแม่เหล็กจะต้องถูกแจงออกเป็นหน่วย โดยใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่า เช่น ขึ้นหรือลง แทนที่จะเลือกได้อย่างอิสระจากมุมใด ๆ
Ralph Kronig ได้เริ่มเสนอทฤษฎีที่ว่าอนุภาคเช่นอะตอมหรืออิเล็กตรอนมีพฤติกรรมราวกับว่าพวกมัน "หมุน" (สปิน, spin) รอบแกน ทฤษฎีสปินนี้อาจสามารถอธิบายถึงโมเมนต์แม่เหล็กที่หายไปได้ และยังยอมให้อิเล็กตรอนสองตัวในออร์บิทัลเดียวกันมีสถานะควอนตัมที่แตกต่างกันได้หากมัน "หมุน" ในทิศทางตรงกันข้ามกัน ซึ่งเป็นไปตาม "หลักการกีดกัน" (exclusion principle) เลขควอนตัมแสดงลักษณะของสปิน (บวกหรือลบ)
ชแตร์นและแกร์ลัคได้เลือกทิศทางของสนามแม่เหล็กในการทดลองตามอำเภอใจ ในวิดีโอแสดงสนามแม่เหล็กในแนวตั้งซึ่งจะทำให้อะตอมถูกเบี่ยงขึ้นหรือลง หากหมุนสนามแม่เหล็กไป 90° หรือทำให้สนามแม่เหล็กอยู่ในแนวนอน อะตอมที่ยิงเข้าไปก็จะเบี่ยงไปทางซ้ายหรือขวา สิ่งที่ต่างกันคือ เมื่อใช้สนามแนวตั้ง สปินตามแนวแกนตั้งก็จะถูกแจงออกเป็นหน่วย เมื่อใช้สนามแนวนอน สปินตามแนวแกนนอนก็จะถูกแจงออกเป็นหน่วย
หากปรับการทดลองโดยแทนที่จะให้อะตอมทั้งหมดชนเข้ากับฉากตรวจจับหลังสนามแม่เหล็ก แต่ส่งอะตอมหนึ่งในสองกลุ่มที่ออกมาจากสนามแม่เหล็กชุดแรกให้ผ่านเข้าไปในสนามแม่เหล็กใหม่ชุดที่สอง (ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน) โดยสนามแม่เหล็กชุดที่สองนี้มีตำแหน่งหมุนไป 90° เมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กชุดแรก แล้วจึงสังเกตการเบี่ยงเบนของอะตอมในกลุ่มนั้นอีกครั้ง ผลปรากฏว่าอะตอมครึ่งหนึ่งถูกเบี่ยงเบนไปในทางหนึ่งและอีกครึ่งถูกเบี่ยงเบนไปอีกทาง ทำให้ทราบว่าสปินของอะตอมตามแนวแกนนอนและแกนตั้งนั้นเป็นอิสระต่อกัน และถ้าหากส่งกลุ่มอะตอมหนึ่งในสองกลุ่มที่ออกมาจากสนามแม่เหล็กชุดที่สองผ่านเข้าไปในสนามแม่เหล็กชุดที่สามอีกครั้ง โดยที่สนามแม่เหล็กชุดที่สามวางตัวเหมือนกับสนามแม่เหล็กชุดแรก จะพบว่าอะตอมครึ่งหนึ่งถูกเบี่ยงเบนไปทางหนึ่งและอีกครึ่งไปอีกทาง แม้ว่าอะตอมทั้งหมดนี้จะได้เบี่ยงเบนไปในทางเดียวกันมาก่อนในตอนที่ผ่านสนามแม่เหล็กชุดแรก ทำให้ทราบว่าการกระทำเพื่อวัดค่าสปินของอะตอมตามแกนนอนจะส่งผลให้ค่าสปินของอะตอมตามแกนตั้งเปลี่ยนแปลงด้วย
การทดลองของชแตร์นและแกร์ลัคแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการของกลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่
คุณลักษณะของโลกธรรมชาติได้รับการพิสูจน์ว่ามีการแจงเป็นหน่วย และยินยอมให้ใช้ค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่องบางค่าเท่านั้น
อนุภาคต่าง ๆ มีโมเมนตัมเชิงมุมในตัวเอง (intrinsic angular momentum) ที่ทำหน้าที่คล้ายกับโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุหมุนแบบคลาสสิก
การวัดในกลศาสตร์ควอนตัมจะเข้าไปเปลี่ยนระบบที่วัดด้วย เราสามารถรู้ค่าสปินของวัตถุได้เพียงทิศทางเดียว และการวัดสปินในทิศทางอื่นจะทำลายข้อมูลสปินที่เราทราบอยู่เดิม
กลศาสตร์ควอนตัมคือศาสตร์ของความน่าจะเป็น ค่าสปินของอะตอมแต่ละตัวที่แสดงให้เห็นในอุปกรณ์วัดว่าเป็นบวกหรือลบนั้น เกิดขึ้นโดยสุ่ม
การพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่

ในปี 1925 แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์คพยายามแก้ปัญหาหนึ่งที่แบบจำลองของโปร์ไม่ได้รับคำตอบ ซึ่งคือการอธิบายความเข้มของเส้นต่าง ๆ ในสเปกตรัมที่ไฮโดรเจนเปล่งออกมา เขาได้ใช้การอุปมาระหว่างควอนตัมและกลศาสตร์เพื่อคำนวณความเข้มตามแบบดั้งเดิมโดยใช้ชุดแนวเทียบเชิงคณิตศาสตร์ หลังจากนั้นไม่นาน มัคส์ บอร์นซึ่งเป็นเพื่อนร่วมงานของเขาก็ตระหนักว่าวิธีที่ไฮเซินแบร์คใช้คำนวณความน่าจะเป็นสำหรับการเปลี่ยนระหว่างระดับชั้นพลังงานที่ต่างกันนั้น สามารถใช้แนวคิดคณิตศาสตร์เรื่องเมทริกซ์เพื่อแสดงผลได้ดีที่สุด
ในปีเดียวกัน แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ได้พัฒนาสมการที่อธิบายพฤติกรรมของคลื่นเชิงกล-ควอนตัมขึ้นโดยใช้สมมติฐานของเดอ เบรย เป็นพื้นฐาน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "สมการชเรอดิงเงอร์" ซึ่งตั้งตามชื่อของเขา ถือเป็นหัวใจของกลศาสตร์ควอนตัม สมการนี้ได้นิยามสถานะนิ่งของระบบควอนตัมที่ยินยอมให้เกิดได้ และได้อธิบายว่าสถานะควอนตัมของระบบกายภาพเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร ส่วนคลื่นนั้นมีการอธิบายโดยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ฟังก์ชันคลื่น" ชเรอดิงเงอร์กล่าวว่าฟังก์ชันคลื่นเป็น "วิธีการทำนายความน่าจะเป็นของผลการวัดเชิงควอนตัม"
ชเรอดิงเงอร์สามารถคำนวณระดับพลังงานของไฮโดรเจนได้โดยถือว่าอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนประพฤติเหมือนคลื่นแบบคลาสสิกที่เคลื่อนไปในหลุมศักย์ไฟฟ้าที่โปรตอนสร้างขึ้น การคำนวณนี้ให้ผลเหมือนกับระดับพลังงานตามแบบจำลองโปร์อย่างแม่นยำ
ในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 1926 ชเรอดิงเงอร์ได้พิสูจน์ว่ากลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซินแบร์คและกลศาสตร์คลื่นของเขาเองทำนายคุณสมบัติและพฤติกรรมของอิเล็กตรอนได้เหมือนกัน ทฤษฎีทั้งสองมีรูปแบบพื้นฐานร่วมกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ชายทั้งสองไม่ได้มีความคิดเห็นที่สอดคล้องกันในเรื่องการตีความทฤษฎีร่วมกันของพวกเขา เช่น ไฮเซินแบร์คยอมรับการทำนายทางทฤษฎีของการกระโดดของอิเล็กตรอนระหว่างออร์บิทัลในอะตอม แต่ชเรอดิงเงอร์คิดว่าทฤษฎีที่มีพื้นฐานจากคุณสมบัติคล้ายคลื่นที่มีความต่อเนื่องจะสามารถหลีกเลี่ยงสิ่งที่เขาเรียกว่า "เรื่องไร้สาระเกี่ยวกับการกระโดดทางควอนตัม" (ซึ่งถอดความโดยวิลเฮ็ล์ม วีน) สุดท้ายแล้วไฮเซินแบร์คก็ชนะและการกระโดดควอนตัมก็ได้รับการยืนยัน
การตีความโคเปนเฮเกน

นิลส์ โปร์, ไฮเซินแบร์คและนักฟิสิกส์คนอื่น ๆ พยายามอธิบายว่าผลการทดลองและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เหล่านี้แท้จริงแล้วมีความหมายเป็นเช่นไร คำอธิบายของพวกเขาซึ่งรู้จักในชื่อ "การตีความโคเปนเฮเกนทางกลศาสตร์ควอนตัม" (Copenhagen interpretation) มีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายธรรมชาติของความเป็นจริงที่ได้รับการพิสูจน์แล้วโดยการตรวจวัดและมีการอธิบายโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม
หลักการสำคัญของการตีความโคเปนเฮเกนคือ
ระบบหนึ่งถูกอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ได้โดยฟังก์ชันคลื่นหนึ่ง ปกติจะแสดงด้วยอักษรกรีก  \psi  ("พไซ") (ไฮเซินแบร์ค)
สมการชเรอดิงเงอร์อธิบายว่า  \psi  เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป
คำอธิบายของธรรมชาตินั้นคือความน่าจะเป็นเป็นหลัก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เช่น ตำแหน่งที่อนุภาคจะปรากฏขึ้นบนฉากในการทดลองช่องแคบคู่สัมพันธ์กับค่าสัมบูรณ์ยกกำลังสองของแอมพลิจูดของฟังก์ชันคลื่น (กฎของบอร์นโดยมัคส์ บอร์น ผู้ให้ความหมายเชิงกายภาพแก่ฟังก์ชันคลื่นในการตีความโคเปนเฮเกน: แอมพลิจูดของความน่าจะเป็น)
เราไม่สามารถทราบค่าคุณสมบัติทั้งหมดของระบบได้ในเวลาเดียวกัน คุณสมบัติที่ไม่ทราบด้วยความแม่นยำเหล่านั้นจะต้องอธิบายด้วยความน่าจะเป็น (หลักความไม่แน่นอนของไฮเซินแบร์ค)
สสารแสดงความเป็นทวิภาคของคลื่นและอนุภาคเหมือนกับพลังงาน การทดลองสามารถแสดงคุณสมบัติคล้ายอนุภาคของสสาร หรือคุณสมบัติคล้ายคลื่นของสสาร แต่ไม่สามารถแสดงคุณสมบัติทั้งสองอย่างได้ในเวลาเดียวกัน (หลักการเติมเต็มของโปร์)
อุปกรณ์วัดโดยพื้นฐานแล้วเป็นอุปกรณ์แบบคลาสสิกและวัดคุณสมบัติแบบคลาสสิก เช่น ตำแหน่งและโมเมนตัม
คำอธิบายทางกลศาสตร์ควอนตัมของระบบที่มีขนาดใหญ่ควรมีค่าประมาณใกล้เคียงกับคำอธิบายตามฟิสิกส์แบบดั้งเดิม (หลักการปฏิภาคของโปร์และไฮเซินแบร์ค)
รายละเอียดเพิ่มเติมของหลักการเหล่านี้จะกล่าวถึงในหัวข้อย่อยถัดไป
การตีความโคเปนเฮเกน > หลักความไม่แน่นอน

บทความหลัก: หลักความไม่แน่นอน
สมมุติว่าเราต้องการวัดตำแหน่งและความเร็วของวัตถุ เช่น รถที่แล่นผ่านเครื่องตรวจจับความเร็ว เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ารถมีตำแหน่งและความเร็วที่แน่นอน ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ค่าเหล่านี้จะวัดได้แม่นยำเพียงใดขึ้นอยู่กับคุณภาพของอุปกรณ์ที่วัด หากมีการปรับปรุงความแม่นยำของอุปกรณ์ที่วัดก็จะให้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับค่าความเป็นจริงมากขึ้น อาจสันนิษฐานได้ว่าเราสามารถกำหนดและวัดความเร็วของรถและตำแหน่งของรถได้พร้อม ๆ กันได้อย่างแม่นยำเท่าที่ต้องการ
ในปี 1927 แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์คได้พิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานข้อสุดท้ายไม่ถูกต้อง กลศาสตร์ควอนตัมแสดงให้เห็นว่าคู่คุณสมบัติทางกายภาพที่แน่นอนบางคู่ เช่น ตำแหน่งและความเร็ว ไม่สามารถวัดหรือกำหนดได้พร้อมกันที่ความแม่นยำใด ๆ ก็ตามที่ต้องการ ยิ่งวัดหรือกำหนดคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งให้แม่นยำมากขึ้น คุณสมบัติคู่อีกอย่างหนึ่งก็จะมีความแม่นยำน้อยลงไป ข้อความดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในชื่อ "หลักความไม่แน่นอน" (uncertainty principle) หลักความไม่แน่นอนนี้ไม่ได้เกี่ยวข้องกับความแม่นยำของอุปกรณ์การวัดของเราเท่านั้น หากแต่ลึกซึ้งกว่านั้น มันยังเกี่ยวกับธรรมชาติเชิงแนวคิดของปริมาณที่วัดได้ การสันนิษฐานที่ว่ารถมีตำแหน่งและความเร็วที่กำหนดไว้พร้อม ๆ กันนั้นใช้ไม่ได้ในกลศาสตร์ควอนตัม ในสเกลของรถยนต์และผู้คน ความไม่แน่นอนของสิ่งเหล่านี้ถือว่าเล็กน้อยจนละเว้นได้ แต่ในสเกลของอะตอมและอิเล็กตรอน ความไม่แน่นอนจะชัดเจนจนกลายเป็นค่าวิกฤต
หลักความไม่แน่นอนจะมีข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ในโดเมนของตำแหน่งและความเร็ว การที่จะทำให้เส้นโค้งในโดเมนของตำแหน่งมีความชันมากขึ้น (ซึ่งหมายถึงแม่นยำมากขึ้น) จะต้องทำให้เส้นโค้งในโดเมนของความเร็วราบลงไป (แม่นยำน้อยลง) และกลับกัน โดเมนของตำแหน่งที่มีความชันมากขึ้นต้องการส่วนประกอบจากความถี่ที่มากขึ้นในโดเมนของความเร็วเพื่อสร้างเส้นโค้งที่แคบลงและในทางกลับกันก็เช่นเดียวกัน ถือเป็นการประนีประนอมในระดับมูลฐานที่มีอยู่ในการวัดที่เกี่ยวข้องหรือเติมเต็มกัน เราจะสังเกตเห็นปรากฏการณ์นี้ได้อย่างชัดเจนในสเกลที่เล็กที่สุดเท่านั้น (สเกลพลังค์) ในขนาดของอนุภาคมูลฐาน
ในทางคณิตศาสตร์หลักความไม่แน่นอนแสดงให้เห็นว่าผลคูณของความไม่แน่นอนในตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคหนึ่ง (โมเมนตัมคือความเร็วคูณกับมวล) จะไม่มีทางน้อยกว่าค่าหนึ่ง และค่านี้สัมพันธ์กับค่าคงตัวของพลังค์
การตีความโคเปนเฮเกน > การยุบตัวของฟังก์ชันคลื่น

"การยุบของฟังก์ชันคลื่น" (wave function collapse) คือการวัดได้บังคับหรือแปลงสถานะควอนตัมหนึ่ง (ความน่าจะเป็นหรือศักย์) ให้เป็นค่าที่วัดได้แน่นอน ปรากฏการณ์นี้มีให้เห็นเฉพาะในกลศาสตร์ควอนตัมและไม่เห็นในกลศาสตร์คลาสสิก
ตัวอย่างคือ ก่อนที่โฟตอนจะ "ปรากฏ" บนฉากตรวจจับจริง ๆ เราจะอธิบายได้โดยใช้ชุดความน่าจะเป็นที่โฟตอนอาจปรากฏขึ้นเท่านั้น เมื่อมันปรากฏ เช่นในอุปกรณ์ถ่ายเทประจุ (CCD) ของกล้องอิเล็กทรอนิกส์ เราจะทราบเวลาและพื้นที่ที่โฟตอนได้มีปฏิสัมพันธ์กับอุปกรณ์ในขอบเขตจำกัดมาก อย่างไรก็ตาม โฟตอนได้หายไปในกระบวนการตรวจจับ (นั่นคือการวัด) และฟังก์ชันคลื่นควอนตัมของมันก็หายไปด้วย จากนั้นการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพในระดับมหภาคจึงปรากฏขึ้นบนฉากการตรวจจับ เช่น จุดที่เผยให้เห็นในแผ่นฟิล์มถ่ายภาพหรือการเปลี่ยนแปลงของศักย์ไฟฟ้าในเซลล์บางส่วนของ CCD
การตีความโคเปนเฮเกน > สถานะเฉพาะและค่าเฉพาะ

หลักความไม่แน่นอนทำให้ตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคสามารถระบุได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่านั้น ซึ่งในการคำนวณเราต้องการค่าตำแหน่งหรือโมเมนตัมที่เป็นตัวเลข ดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนดความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างสถานะของบางสิ่งที่มีค่าไม่แน่นอน เช่น อิเล็กตรอนในหมอกของความน่าจะเป็น และสถานะของบางสิ่งที่มีค่าแน่นอน เช่น เมื่อเราสามารถ "ตรึง" วัตถุลงที่ค่าใดค่าหนึ่งได้อย่างแน่นอน เราเรียกวัตถุนั้นว่ามี "สถานะเฉพาะ" (eigenstate)
ในการทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคที่กล่าวมาแล้ว สปินของอะตอมรอบแกนตั้งจะมี "สถานะเฉพาะ" สองสถานะได้แก่ขึ้นและลง ก่อนทำการตรวจวัดเราสามารถบอกได้เพียงว่าอะตอมแต่ละตัวมีความน่าจะเป็นเท่า ๆ กันที่จะถูกพบว่ามีสปินขึ้นหรือสปินลง เมื่อทำการวัดจะทำให้ฟังก์ชันคลื่นยุบลงกลายเป็นเพียงหนึ่งในสองสถานะ
สถานะเฉพาะของสปินรอบแกนตั้งไม่ใช่สถานะเฉพาะของการหมุนรอบแกนนอนโดยพร้อมกัน ดังนั้นอะตอมหนึ่งจึงมีความเป็นไปได้เท่ากันที่จะมีค่าสปินรอบแกนนอนค่าใดค่าหนึ่ง ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อสปินด้านบน การวัดสปินรอบแกนนอนสามารถทำให้อะตอมที่เคยมีสปินขึ้นกลายเป็นมีสปินลงได้ การวัดสปินรอบแกนนอนจะทำให้ฟังก์ชันคลื่นของมันยุบตัวลงเป็นค่าสถานะเฉพาะค่าหนึ่งของการวัดนี้ ซึ่งหมายความว่าอะตอมนี้จะไม่ได้อยู่ในสถานะเฉพาะของสปินรอบแกนตั้งอีกต่อไป ทำให้เป็นค่าใดค่าหนึ่งในสองค่าก็ได้
การตีความโคเปนเฮเกน > หลักการกีดกันของเพาลี

บทความหลัก: หลักการกีดกันของเพาลี
ในปี 1924 ว็อล์ฟกัง เพาลีได้เสนอระดับขั้นความเสรี (degree of freedom) ทางควอนตัมใหม่ (หรือเลขควอนตัม) ประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้สองค่า เพื่อแก้ไขความไม่สอดคล้องกันระหว่างสเปกตรัมของโมเลกุลที่สังเกตได้กับการทำนายของกลศาสตร์ควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจน มีดับเลต (doublet) หรือคู่ของเส้นที่แตกต่างกันเล็กน้อย โดยก่อนหน้านี้ทำนายว่าจะมีเพียงเส้นเดียว เพาลีจึงกำหนดหลักการกีดกันขึ้นมาโดยระบุว่า "ไม่มีอะตอมใดในสถานะควอนตัมที่อิเล็กตรอนสองตัวภายในนั้นจะมีเลขควอนตัมชุดเดียวกัน"
ปีต่อมา Uhlenbeck และ Goudsmit กำหนดระดับขั้นความเสรีที่เพาลีได้เสนอไปด้วยคุณสมบัติที่เรียกว่า สปิน ที่ได้มีการสังเกตผลลัพธ์ไปในการทดลองของสเติร์น-เกอร์แลค
สมการคลื่นของดิแรก

ในปี ค.ศ. 1928 พอล ดิแรก ได้ขยายสมการของเพาลีที่อธิบายถึงอิเล็กตรอนที่หมุนรอบตัว เพื่อใช้อธิบายทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ผลลัพธ์คือทฤษฎีใหม่ที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ได้อย่างเหมาะสม เช่น ความเร็วที่อิเล็กตรอนโคจรรอบนิวเคลียส ซึ่งมีค่าเป็นสัดส่วนกับความเร็วแสง เขาใช้ทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าที่ง่ายที่สุด จนสามารถทำนายค่าของโมเมนต์แม่เหล็กที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของอิเล็กตรอนและพบค่าที่ตรงกับค่าที่สังเกตได้จากการทดลอง ซึ่งมากเกินกว่าค่าของทรงกลมมีประจุที่หมุนอยู่หากอธิบายด้วยฟิสิกส์คลาสสิก เขาสามารถแก้ปัญหาเส้นสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจนและทำซ้ำได้โดยใช้หลักทางกายภาพหลักที่หนึ่ง ซึ่งเป็นสูตรของ Sommerfeld สำหรับโครงสร้างละเอียดของสเปกตรัมไฮโดรเจนที่ประสบความสำเร็จ
บางครั้งสมการของดิแรกให้ค่าพลังงานเป็นลบ เขาจึงได้เสนอวิธีแก้ปัญหาใหม่โดยเสนอการมีอยู่ของแอนติอิเล็กตรอนและสุญญากาศเชิงพลวัต สิ่งนี้นำไปสู่ทฤษฎีสนามควอนตัมของหลายอนุภาค
ทฤษฎีสนามควอนตัม

บทความหลัก: ทฤษฎีสนามควอนตัม
แนวคิดเรื่องทฤษฎีสนามควอนตัมเริ่มขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1920 จากพอล ดิแรก นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ โดยการทำพลังงานของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าให้เป็นควอนตัม เช่นเดียวกับการทำพลังงานของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนให้เป็นควอนตัมในทฤษฎีควอนตัม การทำให้เป็นควอนตัม (quantization) เป็นกระบวนการสร้างทฤษฎีควอนตัมขึ้นจากทฤษฎีคลาสสิกที่มีอยู่แล้ว
เมอร์เรียม-เว็บสเตอร์ นิยามคำว่า สนาม  (field) ในฟิสิกส์ว่าเป็น "บริเวณหรือพื้นที่ซึ่งมีผลกระทบของสิ่งที่กำหนด (เช่น ความเป็นแม่เหล็ก)" ปรากฏการณ์อื่นที่มีสนามได้แก่ ความโน้มถ่วงและไฟฟ้าสถิต ในปี 2008 นักฟิสิกส์ริชาร์ด แฮ็มมอนด์ กล่าวว่า
บางครั้งเราแยกความแตกต่างระหว่างกลศาสตร์ควอนตัม (QM) และทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) โดย QM หมายถึงระบบที่มีจำนวนอนุภาคคงที่ และสนามพลังงานต่าง ๆ (เช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้า) จะเป็นแบบต่อเนื่อง คล้ายกับฟิสิกส์ดั้งเดิม ส่วน QFT ... ไปอีกขั้นหนึ่ง โดยยอมให้มีการสร้างและการหายไปของอนุภาค ...
อย่างไรก็ตามเขาเสริมว่า กลศาสตร์ควอนตัม มักใช้เพื่ออ้างถึง "แนวคิดทั้งหมดของมุมมองเชิงควอนตัม"
ในปี ค.ศ. 1931 พอล ดิแรกเสนอการมีอยู่ของอนุภาคซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อปฏิสสาร (antimatter) เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ประจำปี 1933 ร่วมกับชเรอดิงเงอร์สำหรับ "การค้นพบทฤษฎีอะตอมรูปแบบใหม่ที่มีประสิทธิผล"