ปัญหาของฮิลเบิร์ท
ข้อมูล

ปัญหาของฮิลเบิร์ท 23 ข้อ มีดังนี้
| # | สถานะ | อธิบาย |
| --- | --- | --- |
| 1 | สรุปไม่ได้ | สมมติฐานความต่อเนื่อง (ไม่มีเซตที่มีภาวะเชิงการนับอยู่ระหว่างเซตของจำนวนเต็มกับเซตของจำนวนจริง) |
| 2 | ไม่ชัดเจน | พิสูจน์ว่าสัจพจน์ของเลขคณิตมีความต้องกัน (นั่นคือระบบรูปนัยทางเลขคณิตต้องไม่ก่อให้เกิดข้อขัดแย้งใดๆ ขึ้นมา) (คำตอบ: เกอเดล พิสูจน์ในปี ค.ศ. 1931 ว่า ระบบรูปนัยทางเลขคณิตไม่สามารถพิสูจน์ความต้องกันด้วยตัวเองได้ ต่อมา ในปี ค.ศ. 1936 เกนท์เซนพิสูจน์ได้ว่าระบบรูปนัยทางเลขคณิตมีความต้องกัน จากคุณสมบัติรากฐานดีของจำนวนเชิงอันดับ  \epsilon _{0} แต่ยังขาดความเป็นเอกฉันท์ว่าข้อพิสูจน์เหล่านี้ตอบโจทย์ได้เพียงพอหรือไม่) |
| 3 | แก้ได้แล้ว | หากมีทรงหลายหน้าใด ๆ 2 ทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน เราสามารถตัดทรงแรกเป็นชิ้นส่วนจำนวนจำกัด โดยทุกชิ้นเป็นทรงหลายหน้า แล้วนำมาประกอบใหม่เป็นทรงที่สองได้เสมอหรือไม่  (คำตอบ: ไม่ได้ พิสูจน์โดยใช้สมบัติไม่แปรเปลี่ยนของเดห์น (Dehn invariant)) |
| 4 | คลุมเครือเกินไป | สร้างเมตริกทั้งหมด ที่มีเส้นเป็นจีโอเดสิก |
| 5 | ไม่ชัดเจน | กรุปที่ต่อเนื่องเป็นกรุปดิฟเฟอเรนเชียล (Differential group) เสมอหรือไม่ (คำตอบ: แอนดรูว์ กลีสัน พิสูจน์ว่าไม แต่ทั้งนี้ขึ้นกับการตีความโจทย์ ถ้าตีความว่าตรงกับ ข้อความคาดการณ์ฮิลเบิร์ต-สมิธ ยังไม่มีคำตอบ) |
| 6 | ไม่เป็นคณิตศาสตร์ | หาสัจพจน์ที่สามารถอธิบายฟิสิกส์ทั้งหมด (ทำฟิสิกส์ให้เป็นระบบรูปนัย) |
| 7 | แก้ได้แล้ว | หาก a ≠ 0,1 เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต และ b เป็นจำนวนอตรรกยะเชิงพีชคณิต a b จำเป็นต้องเป็นจำนวนอดิศัย (คำตอบr: จำเป็น โดยทฤษฎีบทของเกลฟอนด์ และ ทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์). |
| 8 | ยังแก้ไม่ได้ | สมมติฐานของรีมันน์ (ส่วนจริงของศูนย์ที่ไม่ชัด(non-trivial zeros) ของฟังก์ชันซีตาของรีมัน เป็น ½ เสมอ) และข้อคาดการณ์ของโกลด์บาค (จำนวนคู่ที่มากกว่า 2 ทุกตัวสามารถเขียนในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะ 2 ตัวได้เสมอ). |
| 9 | แก้ได้บางส่วน | หารูปทั่วไปที่สุดของทฤษฎี reciprocity ในฟีลด์จำนวนเชิงพีชคณิต (algebraic number field) ใด ๆ |
| 10 | แก้ได้แล้ว | พิสูจน์ความแก้ได้ของสมการไดโอแฟนไทน์ใด ๆ (คำตอบ: เป็นไปไม่ได้ จากทฤษฎีบทของมาทิยาเซวิช) |
| 11 | แก้ได้บางส่วน | การแก้ฟอร์มดีกรีสอง(quadratic form) โดยใช้สัมประสิทธิ์เชิงพีชคณิต |
| 12 | ยังแก้ไม่ได้ | ขยายทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์ว่าด้วยส่วนขยายอาเบเลียนของระบบจำนวนตรรกยะให้ใช้ได้กับฟีลด์ของจำนวนใด ๆ |
| 13 | แก้ได้บางส่วน | แก้พหุนามดีกรีเจ็ดใด ๆ โดยใช้ฟังก์ชันในสองตัวแปร |
| 14 | แก้ได้แล้ว | ริงของสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของกรุปเชิงพีชคณิตบนริงพหุนาม สามารถสร้างอย่างจำกัดได้เสมอหรือไม่ (คำตอบ: ไม่ มาซาโยชิ นางาตะ พบตัวอย่างค้าน) |
| 15 | แก้ได้บางส่วน | หารากฐานที่แม่นยำของแคลคูลัสการนับของชูแบร์ต. |
| 16 | ยังแก้ไม่ได้ | ทอพอโลยี ของเส้นและผิวโค้ง |
| 17 | แก้ได้แล้ว | การเขียนฟังก์ชันเศษส่วนพหุนามที่ไม่เป็นลบเป็นเศษส่วนของผลบวกกำลังสอง (คำตอบ: เอมิล อาร์แตง พิสูจน์หาขอบเขตบนของจำนวนพจน์กำลังสองที่ต้องการ) |
| 18 | แก้ได้แล้ว | มีทรงหลายหน้าที่ทำเทสเซลเลชันของพื้นที่ 3 มิติได้เฉพาะแบบไม่เป็นระเบียบหรือไม่ (คำตอบ: มี) การเรียงทรงกลมอย่างไรที่แน่นที่สุด (คำตอบ: จากการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์ พบว่าเป็นแบบ face-centred cubic และ hexagonal close-packing ซึ่งแน่น 74 %) |
| 19 | แก้ได้แล้ว | คำตอบของโจทย์ทั่วไปแคลคูลัสของการแปรผันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เสมอหรือไม่ (คำตอบ: เป็น พิสูจน์โดยเอนนิโอ เด จอร์จิ และ จอห์น แนช ด้วยวิธีการต่างกัน) |
| 20 | แก้ได้แล้ว | การแก้ปัญหาในแคลคูลัสของการแปรผันที่มีขอบเขตปกติ |
| 21 | แก้ได้บางส่วน | พิสูจน์ความมีตัวตนของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีโมโนโดรมิกกรุปตามต้องการ |
| 22 | ยังแก้ไม่ได้ | การรวมความสัมพันธ์เชิงวิเคราะห์เป็นหนึ่งเดียวโดยใช้ฟังก์ชันออโตมอร์ฟิก |
| 23 | คลุมเครือเกินไป | การพัฒนาวิชาแคลคูลัสของการแปรผันให้ลึกขึ้น |