stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
รายชื่อผู้ชนะเลิศฟุตบอลอังกฤษ
สโมสรที่เคยชนะเลิศลีกสูงสุด > แบ่งตามเมือง

| เมือง | ชนะเลิศ | สโมสร |
| --- | --- | --- |
| แมนเชสเตอร์ | 30 | แมนเชสเตอร์ยูไนเต็ด (20), แมนเชสเตอร์ซิตี (10) |
| ลิเวอร์พูล | 28 | ลิเวอร์พูล (19), เอฟเวอร์ตัน (9) |
| ลอนดอน | 21 | อาร์เซนอล (13), เชลซี (6), ทอตนัมฮอตสเปอร์ (2) |
| เบอร์มิงแฮม | 7 | แอสตันวิลลา (7) |
| ซันเดอร์แลนด์ | 6 | ซันเดอร์แลนด์ (6) |
| เชฟฟีลด์ | 5 | เชฟฟีลด์เวนส์เดย์ (4), เชฟฟีลด์ยูไนเต็ด (1) |
| นิวคาสเซิล | 4 | นิวคาสเซิลยูไนเต็ด (4) |
| แบล็กเบิร์น | 3 | แบล็กเบิร์นโรเวอส์ (3) |
| ฮัดเดอส์ฟีลด์ | 3 | ฮัดเดอส์ฟีลด์ทาวน์ (3) |
| ลีดส์ | 3 | ลีดส์ยูไนเต็ด (3) |
| วุลเวอร์แฮมป์ตัน | 3 | วุลเวอร์แฮมป์ตันวอนเดอเรอส์ (3) |
| เบิร์นลีย์ | 2 | เบิร์นลีย์ (2) |
| ดาร์บี | 2 | ดาร์บีเคาน์ตี (2) |
| พอร์ตสมัท | 2 | พอร์ตสมัท (2) |
| เพรสตัน | 2 | เพรสตันนอร์ทเอนด์ (2) |
| อิปสวิช | 1 | อิปสวิชทาวน์ (1) |
| เลสเตอร์ | 1 | เลสเตอร์ซิตี (1) |
| นอตทิงแฮม | 1 | นอตทิงแฮมฟอเรสต์ (1) |
| เวสต์บรอมมิช | 1 | เวสต์บรอมมิชอัลเบียน (1) |
ดูเพิ่ม

พรีเมียร์ลีก
ฟุตบอลลีกเฟิสต์ดิวิชัน
ทอเลมีที่ 1

ทอเลมีที่ 1 โซเตอร์ (/ˈtɒləmi/; กรีก: Πτολεμαῖος Σωτήρ, Ptolemaîos Sōtḗr, "ทอเลมี ผู้กอบกู้"; ประมาณ 367 ปีก่อนคริสตกาล – มกราคม 282 ปีก่อนคริสตกาล) เป็นนายพลชาวกรีกมาซิโดเนีย นักประวัติศาสตร์ และผู้สืบทอดตำแหน่งต่อจากอเล็กซานเดอร์มหาราช ทรงก่อตั้งอาณาจักรทอเลมีที่มีศูนย์กลางอยู่ที่อียิปต์และปกครองโดยราชวงศ์ทอเลมีตั้งแต่ 305 ปีก่อนคริสตกาล – 30 ปีก่อนคริสตกาล ทอเลมีทรงเป็นทั้งบาซิลีอุสและฟาโรห์แห่งอียิปต์ตั้งแต่ 305/304 ปีก่อนคริสตกาลจนกระทั่งเสด็จสวรรคต ในช่วงเวลาดังกล่าวอียิปต์กลายเป็นศูนย์กลางที่เจริญรุ่งเรืองแห่งอารยธรรมเฮเลนิสต์ และเมืองอเล็กซานเดรียกลายเป็นแหล่งวัฒนธรรมกรีกอันยิ่งใหญ่
ทอเลมีที่ 1 ทรงเป็นบุตรชายของอาร์ซิโนเอแห่งมาซิโดเนียกับลากุส หรือฟิลิปที่ 2 แห่งมาซิโดเนีย ผู้ทรงเป็นพระราชบิดาของอเล็กซานเดอร์มหาราช อย่างไรก็ตาม อาจเป็นไปไม่ได้ที่กษัตริย์ฟิลิปที่ 2 จะเป็นพระราชบิดาของพระองค์และอาจเป็นเพียงแค่ตำนานที่สร้างขึ้นเพื่อเชิดชูราชวงศ์ทอเลมี พระองค์ทรงเป็นหนึ่งในพระสหายและนายทหารที่ได้รับความไว้วางใจมากที่สุดของอเล็กซานเดอร์มหาราช หลังจากการเสด็จสวรรคตของอเล็กซานเดอร์มหาราชใน 323 ปีก่อนคริสตกาล ทอเลมีได้ทรงนำพระบรมศพของอเล็กซานเดอร์มหารราช ขณะที่กำลังทรงถูกฝังในมาซิโดเนีย และนำไปไว้ที่เมืองเมมฟิสแทน ซึ่งต่อมาถูกย้ายไปฝังที่เมืองอเล็กซานเดรียในสุสานหลวงแห่งใหม่แทน หลังจากนั้นพระองค์ได้เข้าร่วมแนวร่วมต่อต้านเพอร์ดิกคัส ซึ่งรั้งตำแหน่งผู้สำเร็จราชการแทนพระองค์ของกษัตริย์ฟิลิปที่ 3 แห่งมาซิโดเนีย ซึ่งหลังจากนั้นเพอร์ดิกคัสได้บุกเข้าอียิปต์แต่ถูกนายทหารในกองทัพลอบสังหารใน 320 ปีก่อนคริสตกาล ทำให้ทอเลมีที่ 1 รวบรวมการควบคุมเหนือดินแดนได้ หลังจากสงครามหลายครั้งระหว่างผู้สืบทอดของอเล็กซานเดอร์มหาราช ทอเลมีได้รับสิทธิเหนือแคว้นยูเดียทางตอนใต้ของซีเรีย ซึ่งเป็นข้อพิพาทกับกษัตริย์เซลิวคัสที่ 1 แห่งซีเรีย นอกจากนี้ ยังเข้าควบคุมไซปรัสและไซเรไนกา ซึ่งไซเรไนกาอยู่ภายใต้การควบคุมของพระราชโอรสบุญธรรมของทอเลมีนามว่า มากุส และทอเลมียังได้ทรงโปรดให้สร้างห้องสมุดแห่งอเล็กซานเดรียด้วยเช่นกัน
ทอเลมีที่ 1 อาจจะทรงอภิเษกสมรสกับธาอิส ผู้เป็นที่รักของพระองค์ในช่วงที่อเล็กซานเดอร์มหาราชยังทรงมีพระชนม์ชีพอยู่ และยังเป็นที่รู้กันว่าพระองค์ทรงได้อภิเษกสมรสกับอาร์ตาคามา ผู้เป็นสตรีสูงศักดิ์ชาวเปอร์เซียตามพระราชโองการของอเล็กซานเดอร์มหาราข ต่อมาพระองค์ได้ทรงอภิเษกสมรสกับยูริดิซ ผู้เป็นบุตรสาวของผู้สำเร็จราชการแห่งมาซิโดเนียนามว่าอันติพาเตอร์ ทั้งสองพระองค์มีพระราชโอรสสองพระองค์คือ ทอเลมี เครอนอส และเมเลอาเกอร์ ซึ่งทั้งสองได้ทรงขึ้นปกครองในฐานะกษัตริย์แห่งมาซิโดเนีย การอภิเษกสมรสครั้งสุดท้ายของทอเลมี คือ การอภิเษกสมรสกับเบเรนิซที่ 1 ซึ่งเป็นพระญาติและเคยเป็นนางสนองพระโอษฐ์ของยูริดิซ ทอเลมีที่ 1 เสด็จสวรรคตเมื่อ 282 ปีก่อนคริสตกาล และทอเลมีที่ 2 ผู้เป็นพระราชโอรสกับเบเรนิซที่ 1 ทรงขึ้นครองพระราชบัลลังก์ต่อจากพระองค์
พระชนมชีพช่วงต้นและอาชีพ

ทอเลมีเสด็จพระราชสมภพใน 367 ปีก่อน ค.ศ. ในราชอาณาจักรมาเกโดนีอาโบราณ พระราชมารดาของพระองค์คืออาร์ซิโนเอ
แหล่งข้อมูลอื่น

Ptolemy Soter I at LacusCurtius — (Chapter II of E. R Bevan's House of Ptolemy, 1923)
Ptolemy I (at Egyptian Royal Genealogy, with genealogical table)
Livius, Ptolemy I Soter เก็บถาวร 2016-03-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน by Jona Lendering
Ptolemy I Soter entry in historical sourcebook by Mahlon H. Smith
A genealogical tree of Ptolemy, though not necessarily reliable Alexander the Great
เหรียญสมัยทอเลมีแสดงอเล็กซานเดอร์มหาราชสวมหนังหัวช้าง ซึ่งเป็นสัญลักษณ์การพิชิตอินเดียของเขา
เดรดนอต

เรือหลวงเดรดนอตแห่งราชนาวี เรือชั้นเดรดนอตลำแรกของโลก
ยูเอสเอส เท็กซัส เรือเดรดนอตที่เหลือรอดเพียงลำเดียว ปัจจุบันเป็นพิพิธภัณฑ์เรือ
เดรดนอต (อังกฤษ: dreadnought) เป็นเรือประจัญบานชนิดที่แพร่หลายที่สุดในต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 เรือลำแรกของรุ่น เดรดนอต ของราชนาวี สร้างความประทับใจแรงกล้าต่อจิตใจของประชาชนเมื่อปล่อยลงน้ำใน ค.ศ. 1906 จนเรือประจัญบานคล้ายกันที่สร้างต่อมาถูกเรียกรวม ๆ ว่า "เดรดนอต" และเรือประจัญบานก่อนหน้านี้เรียกว่า "ก่อนเดรดนอต" (pre-dreadnought) การออกแบบของเดรดนอต มีลักษณะปฏิวัติสองอย่าง คือ แผนอาวุธ "ปืนใหญ่หมด" (all-big-gun) โดยมีปืนใหญ่กว้างปากลำกล้องหนักมากกว่าเรือก่อน ๆ และการขับเคลื่อนด้วยกังหันไอน้ำ เมื่อเดรดนอตกลายเป็นสัญลักษณ์สำคัญของอำนาจแห่งชาติ การมีเรือรบชนิดใหม่นี้กลายเป็นเชื้อสำคัญในการทวีความรุนแรงของการแข่งขันในทางอาวุธนาวิกระหว่างสหราชอาณาจักรและเยอรมนี ด้วยการปล่อยเรือลำเดียวลงน้ำ คือ เรือหลวงเดรดนอต ขนาดของอำนาจนาวิกก็ตั้งใหม่ชั่วคืน ผลคือ มีการแข่งขันเดรดนอตผุดขึ้นทั่วโลก รวมทั้งในทวีปอเมริกาใต้ ระหว่างสมัยก่อนสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง การออกแบบหลัง ๆ เพิ่มขนาดอย่างรวดเร็วและใช้พัฒนาการด้านอาวุธ เกราะและการขับเคลื่อนตลอดสมัยเดรดนอต ภายในห้าปีเรือประจัญบานใหม่ก็เบียดเดรดนอตตกชั้นไป เรือทรงพลังกว่าเหล่านี้เรียก "ซูเปอร์เดรดนอต" (super-dreadnought) เดรดนอตดั้งเดิมส่วนใหญ่ถูกปลดหลังสงครามโลกครั้งที่หนึ่งยุติภายใต้เงื่อนไขของสนธิสัญญานาวิกวอชิงตัน แต่ยังมีการใช้ซูเปอร์เดรดนอตใหม่กว่าหลายลำตลอดสงครามโลกครั้งที่สอง เดรดนอตลำเดียวที่ยังเหลือรอด คือ ยูเอสเอส เท็กซัส ตั้งอยู่ใกล้แหล่งประวัติศาสตร์รัฐสมรภูมิซันคารินโต (San Jacinto Battleground State Historic Site)
การต่อเดรดนอตกินทรัพยากรมหาศาลในต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่มีการยุทธ์ระหว่างกองเรือเดรดนอตขนาดใหญ่ครั้งเดียว ในยุทธนาวีที่จัตแลนด์ ค.ศ. 1916 ทัพเรือบริติชและเยอรมันปะทะกันโดยไม่รู้แพ้ชนะ คำว่า "เดรดนอต" ค่อย ๆ เลิกใช้หลังสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง โดยเฉพาะหลังสนธิสัญญานาวิกวอชิงตัน เพราะเรือประจัญบานที่เหลือแทบทั้งหมดต่างมีลักษณะของเดรดนอต คำนี้ยังใช้อธิบายเรือลาดตระเวนประจัญบาน (battlecruiser) ซึ่งเป็นเรืออีกชนิดที่เป็นผลของการปฏิวัติเดรดนอตด้วย
รูปภาพ > เดรดนอต

เรือหลวงเนปจูน (ค.ศ. 1909) ของราชนาวี
เรือประจัญบานเซ็ตสึ ของกองทัพเรือจักรวรรดิญี่ปุ่น
เรือประจัญบานกูร์แบ (ค.ศ. 1911) ของกองทัพเรือฝรั่งเศส
ยูเอสเอส เดลาแวร์ (BB-28) ของกองทัพเรือสหรัฐ
เรือประจัญบานกังกุต (ค.ศ. 1911) ของกองทัพเรือจักรวรรดิรัสเซีย
เรือหลวงไคเซอร์ (ค.ศ. 1911) ของกองทัพเรือจักรวรรดิเยอรมัน
เรือประจัญบานคอนเตดีกาวูร์ ของเรจามารีนา
เรือหลวงนักบุญอิชต์วาน ของกองทัพเรือออสเตรีย-ฮังการี
เรือประจัญบานเรซาดิเย ของกองทัพเรือออตโตมัน
เรือประจัญบานมีนัชเจไรช์ ของกองทัพเรือบราซิล
รูปภาพ > ซูเปอร์เดรดนอต

เรือหลวงวอร์สไปท์ (03) ของราชนาวี
เรือประจัญบานนางาโตะ ของกองทัพเรือจักรวรรดิญี่ปุ่น
เรือประจัญบานพรอว็องส์ ของกองทัพเรือฝรั่งเศส
ยูเอสเอส นิวยอร์ก (BB-34) ของกองทัพเรือสหรัฐ
เออาร์เอ ริวาดาเวีย ของกองทัพเรืออาร์เจนตินา
เรือประจัญบานอัลมิแรนเตลาตอร์เร ของกองทัพเรือชิลี
ดูเพิ่ม

เรือประจัญบานก่อนเดรดนอต
แหล่งข้อมูลอื่น

British and German Dreadnoughts
| ด ค กประวัติศาสตร์เรือประจัญบาน |
| --- | --- |
 เรือรบแนวเส้นประจัญบาน  เรือรบหุ้มเหล็ก  เรือประจัญบานก่อนเดรดนอต  เดรดนอต  เรือลาดตระเวนประจัญบาน  เรือประจัญบานเร็ว  เรือประจัญบานตามสนธิสัญญา  เรือประจัญบานในสงครามโลกครั้งที่สอง
Ophiocordyceps

| Ophiocordyceps |
| --- | --- |

มดตายที่ติดเชื้อ Ophiocordyceps unilateralis

การจำแนกชั้นทางวิทยาศาสตร์ 
โดเมน:: ยูแคริโอตา Eukaryota
อาณาจักร:: เห็ดรา Fungi
หมวด:: แอสโกไมโคตา 
ชั้น:: Sordariomycetes 
อันดับ:: Hypocreales 
วงศ์:: Ophiocordycipitaceae 
สกุล:: Ophiocordyceps  Petch (1931)

ชนิดต้นแบบ
Ophiocordyceps blattae (Petch) Petch (1931)
ชื่อพ้อง
 รายชื่อ Cordycepioideus Stifler (1941)  Desmidiospora Thaxt. (1891)  Papiliomyces Luangsa-ard, Samson & Thanakitp. (2020)  Podonectrioides Kobayasi & Shimizu (1983)  Syngliocladium Petch (1932) 
Ophiocordyceps เป็นสกุลของเห็ดราในวงศ์ Ophiocordycipitaceae สกุลที่แพร่หลายนี้ได้รับการอธิบายทางวิทยาศาสตร์ครั้งแรกโดยนักเห็ดราวิทยา ชาวอังกฤษชื่อ Tom Petch ในปี ค.ศ. 1931 มีประมาณ 140 ชนิดที่เติบโตบนแมลง สกุลในระยะการสืบพันธุ์แบบไม่อาศัยเพศที่สอดคล้องกับชนิดในสกุล Ophiocordyceps ได้แก่ Hirsutella Hymenostilbe Isaria Paraisaria และ Syngliocladium
Ophiocordyceps unilateralis ซึ่งเป็นชนิดทับซ้อนหนึ่ง ซึ่งเป็นที่รู้จักกันว่าปรสิตบนมด โดยที่จะเปลี่ยนพฤติกรรมของมดในลักษณะที่จะขยายพันธุ์ตัวเองได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น โดยฆ่ามดแล้วขยายดอกที่ส่วนหัวของมดและปล่อยสปอร์ออกมา เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ มดที่ติดเชื้อจะต้องกำจัดการกลัวความสูงตามสัญชาตญาณ และออกจากรังที่ปลอดภัยโดยปีนขึ้นต้นไม้ที่อยู่ใกล้ที่สุด ซึ่งเป็นกลุ่มอาการที่เรียกว่า "โรคยอดเขา" หรือ "summit disease" มดจะงับขากรรไกรของมันไว้รอบ ๆ ต้นไม้ในลักษณะ "จับแน่น" หรือ "death grip" จากนั้นไมซีเลียมจะเติบโตจากเท้าของมดและยึดติดกับพื้นผิวของต้นไม้ สปอร์ที่ปล่อยออกมาจากซากมดจะตกลงสู่พื้นและแพร่เชื้อไปยังมดตัวอื่นที่สัมผัสกับสปอร์ ทำให้วงจรนี้ดำเนินต่อไป พื้นที่ที่มีมดอาศัยอยู่หนาแน่นและมีเชื้อราชนิดนี้เติบโตออกมาถูกเรียกว่าสุสาน (graveyards)
ฟอสซิลของมดอายุ 48 ล้านปีที่ถูกควบคุมของ Ophiocordyceps unilateralis ถูกค้นพบในประเทศเยอรมนี
แหล่งที่มาและการนำไปใช้

Ophiocordyceps sinensis (ถั่งเช่า) เป็นชนิดที่ติดเชื้อในตัวอ่อนของผีเสื้อกลางคืนทิเบตและถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในแพทย์แผนโบราณจีน ปัจจุบันไม่มีหลักฐานทางวิทยาศาสตร์ที่ระบุว่าการใช้เห็ดราชนิดนี้มีผลทางคลินิกต่อโรคของมนุษย์
ในวัฒนธรรมสมัยนิยม

"cordyceps" เป็นสายพันธุ์ที่ไม่ระบุชนิดในสกุลนี้เป็นสาเหตุของการระบาดใหญ่ทั่วโลกและ "ผู้ติดเชื้อ" จะมีลักษณะเหมือนซอมบี้ ในวิดีโอเกม The Last of Us ในปี ค.ศ. 2013 และภาคต่อ ในปี ค.ศ. 2020 และภาพยนตร์ที่ดัดแปลงเป็นรายการโทรทัศน์ ในปี ค.ศ. 2023
ในนวนิยายเรื่อง The Girl with All the Gifts ในปี ค.ศ. 2014 และในภาพยนตร์ที่ดัดแปลง ในปี ค.ศ. 2016 การกลายพันธุ์ของเชื้อ Ophiocordyceps unilateralis ทำให้เกิดการติดเชื้อที่ทำให้อารยธรรมล่มสลาย
ในหนังสือการ์ตูนเรื่อง Poison Ivy ในปี ค.ศ. 2022 ที่เขียนโดย G. Willow Wilson ตัวละครหลักใช้ชนิดของเชื้อราที่สมมติขึ้นและอยู่ในสกุลนี้
โปเกมอนภาค Paras และ Parasect มีพื้นฐานมาจากแมลงที่ถูกเชื้อรา Ophiocordyceps เบียน
แหล่งข้อมูลอื่น

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับ Ophiocordyceps
| --- | --- |
การแยกแยะหน่วยอนุกรมวิธาน:  Wikidata: Q1610767  Wikispecies: Ophiocordyceps  EoL: 6471306  EPPO: 1OCORG  Fungorum: 3598  GBIF: 2560546  iNaturalist: 179205  IRMNG: 1032515  MycoBank: 3598  NBN: NHMSYS0001491455  NCBI: 474995  NZOR: 495232e1-ce5c-4433-bc91-17586457843e
เม็นไตฟร็องส์

เม็นไตฟร็องส์ (ญี่ปุ่น: 明太フランス; โรมาจิ: mentai furansu, ฝรั่งเศส: mentai france) หรือ เม็นไตโกะฟร็องส์ (明太子フランス) เป็นขนมปังของญี่ปุ่นชนิดหนึ่งที่ทำโดยการทาน้ำปรุงรสที่ทำจากคาราชิเม็นไตโกะ และ เนย ลงบนขนมปังฝรั่งเศส แล้วนำไปอบ
ลักษณะ

ขนมปังชนิดนี้ทำโดยการทาน้ำปรุงรสที่ทำจากคาราชิเม็นไตโกะ เนย กระเทียม ฯลฯ ลงบนขนมปังฝรั่งเศสแล้วอบในเตาอบ สูตรอื่นใช้มายองเนสเม็นไตโกะซึ่งผสมขึ้นจากคาราชิเม็นไตโกะและมายองเนส มีจำหน่ายตามร้านขนมปัง และ ร้านสะดวกซื้อ ทั่วประเทศญี่ปุ่น
ประวัติศาสตร์

กระแสความนิยมขนมปังชนิดนี้มีต้นกำเนิดในจังหวัดฟุกุโอกะ ซึ่งขึ้นชื่อเรื่องคาราชิเม็นไตโกะเป็นพิเศษ ร้านเบเกอรี่ชื่อ ฟุรุฟุรุ (フルフル) ซึ่งมีสาขาส่วนใหญ่อยู่ในเมืองฟุกุโอกะ จังหวัดฟุกุโอกะ เป็นจุดเริ่มต้นของกระแสความนิยมนี้ ร้านฟุรุฟุรุได้ทำการจำหน่ายเม็นไตฟร็องส์มาตลอดตั้งแต่ปี 2002
เส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง คือเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง โดยไม่ตัดผ่านเส้นโค้งในบริเวณใกล้เคียงจุดนั้น เส้นสีแดงในภาพเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดซึ่งถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดสีแดง.
ระนาบสัมผัสกันกับทรงกลม
ในเรขาคณิต เส้นสัมผัสเส้นโค้ง (tangent line) ที่จุด ๆ หนึ่ง หมายถึงเส้นตรงที่ "แตะ" หรือ "สัมผัส" เส้นโค้งที่จุดนั้นโดยไม่ตัดผ่าน ไลบ์นิทซ์ นิยามว่าเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่อยู่ใกล้กันมาก ๆ อย่างกณิกนันต์บนเส้นโค้งนั้น นิยามที่แม่นยำขึ้นคือ เส้นตรงจะเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด x = c หากเส้นนั้นผ่านจุด (c, f(c)) บนเส้นโค้งและมีความชัน เท่ากับ f'(c) ซึ่ง f' คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน f นิยามที่คล้ายกันนี้สามารถใช้กับเส้นโค้งในปริภูมิและเส้นโค้งในปริภูมิยูคลิด n-มิติได้เช่นกัน
จุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งจวบกันหรือตัดกันเรียกว่าจุดสัมผัส อาจกล่าวได้ว่าเส้นสัมผัสโค้งไปในทิศทางเดียวกันกับเส้นโค้งที่มันสัมผัสอยู่ ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเป็นการประมาณด้วยเส้นตรงที่ดีสของเส้นโค้งที่จุดนั้น เส้นสัมผัสที่จุดใด ๆ บนเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้สามารถถือได้ว่าเป็นการประมาณเส้นโค้งด้วยเส้นสัมผัส ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประมาณฟังก์ชันเดิมได้ดีที่สุดที่จุดที่สัมผัส
ในทำนองเดียวกัน ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่จุดหนึ่งคือระนาบที่สัมผัส พื้นผิวนั้นที่จุดนั้น แนวคิดของวัตถุสัมผัสเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และสามารถวางนัยทั่วไปได้เป็นปริภูมิแทนเจนต์
ประวัติ

ยูคลิด ได้กล่าวถึงเส้นสัมผัส (ἐφαπτομένη ephaptoménē) ของวงกลมหลายครั้งในหนังสือ III ของ Elements (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ในงาน Conics ของอะพอลโลเนียส (ประมาณ 225 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เขาได้กำหนดว่าเส้นสัมผัสเป็นเส้นตรงที่ไม่มีเส้นตรงอื่นใดสามารถผ่านระหว่างมันกับเส้นโค้งได้
อาร์คิมิดีส (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) พบเส้นเวียนก้นหอยอาร์คิมิดีส โดยพิจารณาจากเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งนั้น
ในช่วงทศวรรษ 1630 แฟร์มาต์พัฒนาเทคนิคการคำนวณเส้นสัมผัสและปัญหาอื่น ๆ ในการวิเคราะห์ โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า "adequality" ซึ่งคล้ายกับการหาค่าความแตกต่างระหว่าง  f(x+h) และ  f(x) แล้วหารด้วยกำลังของ  h เรอเน เดการ์ตค้นพบวิธีของตนเองที่เรียกว่า method of normals โดยอิงจากการสังเกตว่ารัศมีของวงกลมจะตั้งฉากกับวงกลมเสมอ
วิธีการเหล่านี้นำไปสู่การพัฒนาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 หลายคนมีส่วนในการพัฒนา เช่น โรแบวาล ซึ่งค้นพบวิธีการทั่วไปในการวาดเส้นสัมผัสโดยการพิจารณาเส้นโค้งเป็นเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการเคลื่อนไหวที่ง่ายกว่าหลายแบบรวมกัน เรอเน-ฟรองซัวส์ เดอ สลูส และโยฮันเนส ฮุดเด ค้นพบอัลกอริทึมทางพีชคณิตในการหาค่าเส้นสัมผัส การพัฒนาเพิ่มเติมรวมถึงผลงานของจอห์น วอลลิส และไอแซก บาร์โรว์ ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีของไอแซก นิวตันและกอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ
ในปี 1828 เส้นสัมผัสถูกนิยามว่า "เส้นตรงที่แตะเส้นโค้ง แต่เมื่อขยายออกไปจะไม่ตัดเส้นโค้ง" นิยามนี้ป้องกันไม่ให้จุดเปลี่ยนเว้า มีเส้นสัมผัส ซึ่งถูกยกเลิกไปในภายหลัง นิยามสมัยใหม่ที่เทียบเท่ากับของไลบ์นิซคือ เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุด P บนเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเป็น ลิมิต ของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดบนเส้นโค้งเมื่อจุดทั้งสองนี้เคลื่อนที่เข้าใกล้จุด P
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ

แนวคิดเชิงสัญชาตญาณที่ว่าเส้นสัมผัส "สัมผัส" กับเส้นโค้งสามารถทำให้ชัดเจนขึ้นโดยการพิจารณาลำดับของเส้นตรง (เส้นสัมผัส) ที่ผ่านจุดสองจุด A และ B ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นโค้งของฟังก์ชัน เส้นสัมผัสที่จุด A คือขีดจำกัดเมื่อจุด B เข้าใกล้หรือมุ่งสู่ A การมีอยู่และเอกลักษณ์ของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันในชื่อ "การอนุพันธ์" (differentiability) เช่น ถ้าส่วนโค้งของวงกลมสองส่วนมาบรรจบกันที่จุดคม (vertex) จะไม่มีเส้นสัมผัสที่กำหนดอย่างชัดเจนที่จุดยอด เพราะการประมาณค่าของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับทิศทางที่ "จุด B" เข้าใกล้จุดยอด
ที่จุดส่วนใหญ่ เส้นสัมผัสจะสัมผัสเส้นโค้งโดยไม่ข้ามมัน (แม้ว่าเมื่อเส้นสัมผัสยืดออกไปอาจจะข้ามเส้นโค้งในที่อื่น ๆ ห่างจากจุดสัมผัส) จุดที่เส้นสัมผัส (ที่จุดนี้) ข้ามเส้นโค้งเรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า วงกลม พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และ วงรี ไม่มีจุดเปลี่ยนรูป แต่เส้นโค้งที่ซับซ้อนมากขึ้นมี เช่น กราฟของ ฟังก์ชันกำลังสาม ที่มีจุดเปลี่ยนรูปหนึ่งจุด หรือเส้นไซน์ (sinusoid) ที่มีจุดเปลี่ยนรูปสองจุดต่อแต่ละ ช่วงเวลา ของ ไซน์
ในทางกลับกัน อาจเกิดกรณีที่เส้นโค้งอยู่ทางด้านเดียวของเส้นตรงที่ผ่านจุดบนมัน และเส้นตรงนี้ไม่ใช่เส้นสัมผัส ตัวอย่างเช่น เส้นที่ผ่านจุดยอดของ สามเหลี่ยม และไม่ตัดกับมันที่อื่น ๆ—ซึ่งเส้นสัมผัสไม่สามารถมีได้จากเหตุผลที่กล่าวไว้ข้างต้น ใน เรขาคณิตนูน เส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า ไฮเปอร์เพลนรองรับ
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ > คำอธิบายที่เข้าใจได้ง่าย

สมมุติว่าเส้นโค้งกำหนดโดยกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)  เพื่อหาค่าของเส้นสัมผัสที่จุด p = (a, f(a)) ให้พิจารณาจุดใกล้เคียงอีกจุดหนึ่ง q = (a + h, f(a + h)) บนเส้นโค้ง ความชันของเส้นตัด ที่ผ่านจุด p และ q จะเท่ากับค่าของสัดส่วนต่าง (difference quotient) ซึ่งเป็น:
เมื่อจุด q เข้าใกล้ p มากขึ้น (ซึ่งสอดคล้องกับการทำให้ h เล็กลงเรื่อย ๆ) ค่าของสัดส่วนต่างนี้จะเข้าใกล้ค่าจำกัดที่แน่นอน kซึ่งเป็นความชันของเส้นสัมผัสที่จุด p หากทราบว่า k คือค่าความชัน สามารถหาสมการของเส้นสัมผัสได้ในรูปแบบสมการจุด-ความชัน:
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ > More rigorous description

เพื่อทำให้เหตุผลข้างต้นเป็นทางการ ต้องอธิบายว่าการคำนวณความแตกต่าง (difference quotient) เข้าใกล้ค่า k อย่างไร การกำหนดทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำถูกให้โดย โกชี ในศตวรรษที่ 19 และอิงจากแนวคิดของ ลิมิต
สมมุติว่าเส้นกราฟไม่มีการขาดหรือขอบคมที่จุด p และไม่เป็นแนวดิ่งหรือมีการแกว่งมากเกินไปใกล้ p ดังนั้นจะมีค่า k เฉพาะที่ทำให้เมื่อ h เข้าใกล้ 0, ความแตกต่างของการคำนวณความแตกต่างจะเข้าใกล้ k มากขึ้นเรื่อย ๆ และระยะห่างระหว่างพวกมันจะไม่สำคัญเมื่อเปรียบเทียบกับขนาดของ h ถ้า h เล็กพอ
นี่นำไปสู่การนิยามของความชันของเส้นสัมผัสที่กราฟว่าเป็นลิมิตของความแตกต่างของการคำนวณสำหรับฟังก์ชัน f ลิมิตนี้คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x = a ซึ่งเขียนว่า  f ′(a) ใช้อนุพันธ์ สมการของเส้นสัมผัสสามารถแสดงได้ดังนี้:
แคลคูลัสให้กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยสูตร เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล, ลอการิทึม, และการรวมกันต่าง ๆ ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสที่กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ รวมถึงฟังก์ชันอื่น ๆ สามารถหาได้โดยวิธีการของแคลคูลัส
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ > วิธีการที่อาจล้มเหลว

คณิตศาสตร์การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันและจุดบนกราฟของมันที่ลิมิตที่กำหนดความชันของเส้นสัมผัสไม่เป็นที่มีอยู่ สำหรับจุดเหล่านี้ ฟังก์ชัน f ถือว่าเป็น non-differentiable หรือไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ มีสาเหตุสองประการที่ทำให้วิธีการหาค่าของเส้นสัมผัสตามลิมิตและอนุพันธ์ล้มเหลว: คือ เส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตมีอยู่ แต่เป็นเส้นแนวตั้ง ซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปแบบจุด-ความชันได้เนื่องจากมันไม่มีความชัน หรือกราฟมีลักษณะหนึ่งในสามประเภทที่ไม่สามารถมีเส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตได้
กราฟ y = x1/3 แสดงตัวอย่างแรก: ที่นี่คำต่างต่างที่ a = 0 เท่ากับ h1/3/h = h−2/3 ซึ่งมีค่ามากเมื่อ h เข้าใกล้ 0 เส้นโค้งนี้มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดที่เป็นแนวตั้ง
กราฟ y = x2/3 แสดงอีกตัวอย่างหนึ่ง: กราฟนี้มี cusp ที่จุดกำเนิด ซึ่งหมายความว่า เมื่อลิมิต h เข้าใกล้ 0, คำต่างต่างที่ a = 0 จะเข้าใกล้อนันต์บวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ x ดังนั้นทั้งสองสาขาของเส้นโค้งอยู่ใกล้กับเส้นครึ่งหนึ่งแนวตั้งที่ y = 0 แต่ไม่มีสาขาใดใกล้กับส่วนลบของเส้นนี้ โดยพื้นฐานแล้วไม่มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดในกรณีนี้ แต่ในบางบริบทอาจถือว่าเส้นนี้เป็นเส้นสัมผัส และใน เรขาคณิตเชิงพีชคณิต อาจเรียกว่า double tangent
กราฟ y = |x| ของฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้นที่มีความชันต่างกันเชื่อมต่อที่จุดกำเนิด ขณะที่จุด q เข้าใกล้จุดกำเนิดจากขวา เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ 1 เสมอ ขณะที่จุด q เข้าใกล้จุดกำเนิดจากซ้าย เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ -1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นสัมผัสที่ชัดเจนที่จุดกำเนิด การมีความชันที่แตกต่างกันสองค่า (แต่เป็นค่าที่จำกัด) เรียกว่า corner
สุดท้าย เนื่องจากการมีอนุพันธ์หมายถึงความต่อเนื่อง การแย้งสลับที่ กล่าวว่า ความไม่ต่อเนื่อง หมายถึงการไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ การมีจุดกระโดดหรือการหยุดชะงักที่จุดใดจุดหนึ่งจะไม่มีเส้นสัมผัส ซึ่งรวมถึงกรณีที่ความชันเข้าใกล้อนันต์บวกในขณะที่อีกค่าหนึ่งเข้าใกล้อนันต์ลบ ซึ่งนำไปสู่การกระโดดที่ไม่สิ้นสุด
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ > สมการ

เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย y = f(x) ความชันของเส้นสัมผัสคือ  dy/dx ดังนั้นตาม สูตรจุด-ความชัน สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (X, Y) คือ
โดยที่ (x, y) เป็นพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นสัมผัส และการอนุพันธ์จะถูกประเมินที่  x=X.
เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย y = f(x) สมการของเส้นสัมผัสยังสามารถหาจาก การหารพหุนามแบบยาว โดยการหาร  f,(x) ด้วย  (x-X)^{2}; หากเศษที่เหลือคือ  g(x) สมการของเส้นสัมผัสคือ
เมื่อสมการของเส้นโค้งถูกกำหนดในรูปแบบ f(x, y) = 0 ค่าของความชันสามารถหาได้จาก ฟังก์ชันโดยนัย ซึ่งให้
สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (X, Y) ซึ่ง f(X, Y) = 0 คือ
สมการนี้ยังคงเป็นจริงหาก
ในกรณีนี้ความชันของเส้นสัมผัสจะเป็นอนันต์ หากอย่างไรก็ตาม
เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนดและจุด (X, Y) ถือเป็น จุดพิเศษ
สำหรับ เส้นโค้งพีชคณิต การคำนวณอาจถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็น พิกัดเอกพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งเป็น g(x, y, z) = 0 ซึ่ง g เป็นฟังก์ชันโฮโมจีนีของระดับ n ดังนั้นหาก (X, Y, Z) อยู่บนเส้นโค้ง ฟังก์ชันเอกพันธ์ กล่าว
{\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.
ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นสัมผัสคือ
สมการของเส้นสัมผัสในพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถหาจากการตั้ง z=1 ในสมการนี้.
เพื่อใช้กับเส้นโค้งเชิงพีชคณิต ให้เขียน f(x, y) เป็น
โดยที่แต่ละ ur เป็นผลรวมของทุกคำที่มีระดับ r สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งคือ
การใช้สมการข้างต้นและตั้ง z=1 จะให้
เป็นสมการของเส้นสัมผัส. สมการในรูปนี้มักจะใช้ง่ายกว่าเนื่องจากไม่ต้องทำการปรับปรุงเพิ่มเติมหลังจากที่มันถูกใช้.
หากเส้นโค้งถูกกำหนด parametrically โดย
ความชันของเส้นสัมผัสคือ
ทำให้สมการของเส้นสัมผัสที่  ,t=T,,X=x(T),,Y=y(T) เป็น
หาก
เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนด อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นว่าเส้นสัมผัสมีอยู่และสามารถคำนวณได้จากสมการเชิงพีชคณิตของเส้นโค้ง
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ > เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง

เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดสัมผัสเรียกว่า เส้นปกติ ที่จุดนั้น ความชันของเส้นที่ตั้งฉากมีผลคูณเป็น -1 ดังนั้นหากสมการของเส้นโค้งคือ y = f(x) ความชันของเส้นปกติคือ : -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}} และตามนั้น สมการของเส้นปกติที่จุด (X, Y) คือ : (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0. ในทำนองเดียวกัน หากสมการของเส้นโค้งมีรูปแบบ f(x, y) = 0 สมการของเส้นปกติคือ : {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.
หากเส้นโค้งถูกกำหนดตามพารามิเตอร์โดย : x=x(t),\quad y=y(t) สมการของเส้นปกติคือ : {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ > มุมระหว่างเส้นโค้ง

มุมระหว่างเส้นโค้งที่จุดที่พวกเขาตัดกันถูกกำหนดเป็นมุมระหว่างเส้นสัมผัสของพวกมันที่จุดนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งสองเส้นกล่าวว่ามีการสัมผัสที่จุดหากพวกมันมีเส้นสัมผัสเดียวกันที่จุดนั้น และมีลักษณะเป็นออร์โธโกนัลหากเส้นสัมผัสของพวกมันตั้งฉากกัน
เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ > เส้นสัมผัสหลายเส้นที่จุดเดียว

สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นล้มเหลวเมื่อจุดเป็น จุดเอกพจน์ของเส้นโค้ง ในกรณีนี้อาจมีหลายสาขาของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้นแต่ละสาขามีเส้นสัมผัสของตนเอง เมื่อตรงที่เป็นจุดกำเนิด สมการของเส้นเหล่านี้สามารถหาจากการแยกสมการที่กำจัดทุกอย่างที่มีระดับต่ำสุดจากสมการดั้งเดิม โดยเปลี่ยนจุดใด ๆ ให้เป็นจุดกำเนิดโดยการเปลี่ยนตัวแปร (หรือโดยการ การแปลง เส้นโค้ง) วิธีนี้ช่วยให้หาค่าของเส้นสัมผัสที่จุดพิเศษได้
ตัวอย่างเช่น สมการของ ไตรเซกทริกซ์แบบลิมาซอน ที่แสดงทางขวาคือ : (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})., การขยายและการกำจัดคำที่มีระดับต่ำสุดจะให้ : a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0, ซึ่งเมื่อแยกจะกลายเป็น : y=\pm {\sqrt {3}}x. ดังนั้นนี่คือสมการของเส้นสัมผัสสองเส้นผ่านจุดกำเนิด.
เมื่อเส้นโค้งไม่ข้ามตัวเอง, เส้นสัมผัสที่จุดอ้างอิงอาจยังไม่ถูกกำหนดอย่างชัดเจนเนื่องจากเส้นโค้งไม่สามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดนั้นแม้ว่ามันจะสามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดอื่นได้ ในกรณีนี้ อนุพันธ์ซ้ายและขวา จะถูกกำหนดเป็นลิมิตของอนุพันธ์เมื่อจุดที่มันถูกประเมินเข้าใกล้จุดอ้างอิงจากทางซ้าย (ค่าต่ำกว่า) หรือจากทางขวา (ค่าที่สูงกว่า) ตัวอย่างเช่น เส้นโค้ง y = |x | ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่ x = 0: ความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเป็น -1 และ 1 ตามลำดับ เส้นสัมผัสที่จุดนั้นที่มีความชันเหล่านี้เรียกว่าเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวา.
บางครั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเท่ากัน ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเหมือนกัน นี่เป็นจริงสำหรับเส้นโค้ง y = x 2/3 ซึ่งทั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามาที่ x = 0 เป็นอนันต์; ทั้งสองเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามามีสมการ x = 0
วงกลมสัมผัส

วงกลมสองวงที่แตกต่างกันในระนาบเดียวกันจะกล่าวว่าสัมผัสกันหากพวกมันพบกันที่จุดเดียวเท่านั้น
หากจุดในระนาบถูกอธิบายโดยใช้ พิกัดคาร์ทีเซียน, วงกลมสองวงที่มี รัศมี
 r_{1},r_{2} และ  (x_{1},y_{1}) และศูนย์กลางที่   (x_{2},y_{2}) จะสัมผัสกันเมื่อ:
วงกลมทั้งสองจะถูกเรียกว่า สัมผัสภายนอก หาก ระยะทาง ระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับผลรวมของรัศมีของพวกมัน:
หรือ สัมผัสภายใน หากระยะทางระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับความแตกต่างของรัศมี: