stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
บุคคลที่เสียชีวิตในปี พ.ศ. 2568
มีนาคม

1 มีนาคม – เจ้าชายเฟรเดอริกแห่งลักเซมเบิร์ก พระโอรสของเจ้าชายรอแบร์แห่งลักเซมเบิร์ก (ประสูติ 18 มีนาคม พ.ศ. 2545)
2 มีนาคม – นาวาอากาศเอกตะวัน กังวานพงศ์ อดีตอธิการบดีมหาวิทยาลัยเชียงใหม่และอดีตคณบดีคณะแพทยศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ (เกิด 26 ธันวาคม พ.ศ. 2463)
3 มีนาคม – ยอดชาย เมฆสุวรรณ นักแสดง (เกิด 25 มิถุนายน พ.ศ. 2485)
5 มีนาคม –
สุทิน นพเกตุ อดีตสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรกรุงเทพมหานครและอดีตกรรมการสิทธิมนุษยชนแห่งชาติ
พาเมล่า บาค นักแสดงชาวอเมริกันและภรรยาของเดวิด แฮสเซลฮอฟ (เกิด 16 ตุลาคม พ.ศ. 2506)
7 มีนาคม – ด'เวย์น วิกกินส์ นักร้อง นักดนตรีและนักกีตาร์และนักแต่งเพลงและโปรดิวเซอร์ชาวอเมริกัน (เกิด 14 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2504)
9 มีนาคม – วินัย ละอองสุวรรณ (อดีตพระยันตระ อมโรภิกขุ) นักปฎิบัติธรรม (เกิด 14 ตุลาคม พ.ศ. 2494)
11 มีนาคม – แทน จันทรวิโรจน์ อดีตนักแสดง
12 มีนาคม – สุริยา ยอดรัก นักแสดงลิเก
15 มีนาคม – เสริมเวช ช่วงยรรยง อดีตสมาชิกวงรอยัสสไปรท์ส
หม่อมเจ้าอุทัยเที่ยง ชยางกูร
พระคุณเจ้ายอห์นบอสโก ปัญญา กฤษเจริญ
ฌ็อง-มารี เลอ แปน
เดนิส ลอว์
เมาริซิโอ ฟูเนส
พระราชวิมลโมลี (มานพ ปิยสีโล)
ฮอสท์ เคอเลอร์
คมกฤช อุ่ยเต็กเค่ง
ธานินทร์ กรัยวิเชียร
มิเชลล์ แทคเทิลเบิร์ค
กลศาสตร์แฮมิลตัน

ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา
นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน

ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตันและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ  เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1  เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี พ.ศ. 2376 (ค.ศ. 1833) โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน  ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ
1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation)
2. หลักการแปรผัน (Variational Principle)
เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน

 p(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q,{\dot {q}},t\right)}{\partial {\dot {q}}}}

โดย  q(t) คือพิกัดทั่วไป  {\dot {q}}(t) คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ  t คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ
เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว  {\dot {q}}(t) ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space
ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ

 H(q(t),p(t),t)=p(t){\dot {q}}(q,p,t)-L(q,{\dot {q}}(q,p,t),t)

โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)
นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน > ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป

ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด  N ตัว

 q\equiv \left\{q_{1}(t),q_{2}(t),...,q_{N}(t)\right\}

เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน

 L\left(q,{\dot {q}},t\right)\equiv L\left(q_{1},q_{2},...q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{N},t\right)

เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว  p_{i}(t) ได้โดย

 p_{i}(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q_{1},q_{2},...q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{N},t\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\qquad \qquad i=1,2,...,N

ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม

 {\dot {q}}_{i}=f_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N},t\right)

เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์

 H\left(q(t),p(t),t\right)=\sum _{i}p_{i}(t){\dot {q}}_{i}(q,p,t)-L\left(q,{\dot {q}}(q,p,t),t\right)
ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้
นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน > ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียน

เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2
เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ  \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,{\dot {q}},t) เราจะได้

 \delta \left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\delta p_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t+\sum _{i}\left(p_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\delta {\dot {q}}_{i}

จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย  p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}} ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ  {\dot {q}}_{i} ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์  \delta q_{i} เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน

 \delta H(q,p,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\delta p_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t

จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้

 {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}

ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ

 {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\Longleftrightarrow p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}

ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์
เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ
 \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-H(q,p,t)
จะพบว่า

 \delta \left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-H(q,p,t)\right)=\sum _{i}p_{i}\delta {\dot {q}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t+\sum _{i}\left({\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right)\delta p_{i}

และเมื่อใช้นิยามของ  {\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i} จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง

 \delta L(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}p_{i}\delta {\dot {q}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t

นอกจากนั้นเราพบว่า

 {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}

และ

 {\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial t}}

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร  q_{i} และ  t ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์
ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์
นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน > การแปลงแบบคาโนนิคัล

การแปลงแบบคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด  q_{i} ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่  Q_{i} ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น  Q_{i}=Q_{i}{(q_{k},p_{k},t)} และ  P_{i}=P_{i}{(q_{k},p_{k},t)}
กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง  Q และ  P ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน  K{(Q,P,t)} ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน  K ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัล
การจะแปลงจากพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันก่อกำเนิด เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิมกับตัวแปรอิสระใหม่ จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์
1.  G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)
2.  G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)
3.  G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)
4.  G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)
ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน > การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ

ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน

 L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}

โดย  x(t) คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ  k คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด  x(t) คือ

 p={\frac {\partial L(x,{\dot {x}})}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}

ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด  x(t) ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้

 {\dot {x}}={\frac {p}{m}}

ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ

 H(x,p)=p{\dot {x}}(p)-L(x,{\dot {x}}(p))=p{\frac {p}{m}}-{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}

สังเกตว่า

 H(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=T(p)+V(x)

เมื่อ  T(p) คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ  V(x) คือพลังงานศักย์ของระบบ
ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน > การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential)

แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)

 V=V(r)

ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า

 q_{1}(t)=r(t),\qquad q_{2}(t)=\theta (t),\qquad q_{3}(t)=\phi (t)

การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ  ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ

 L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)

ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ

 p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}

และ

 p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}

โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ

 {\dot {r}}={\frac {p_{r}}{m}}


 {\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }}{mr^{2}}}

สังเกตว่าอัตราเร็ว  {\dot {\phi }} เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด  \phi  เองและฟังก์ชันของพิกัด  r ด้วย
ในกรณีนี้จะได้

 H(r,\phi ,p_{r},p_{\phi })={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)

ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน
ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน > อนุภาคในสนามไฟฟ้า

สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ( v<<c) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ

 L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)

โดยที่  e คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค  \phi =\phi (r) คือศักย์สเกลาร์
ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ

 \mathbf {p} _{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}

ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum  m{\dot {r}} ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ

 H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {\mathbf {p} _{r}^{2}}{2m}}+e\phi (r)

ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้
ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน > อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ ( v<<c) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก

 L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}

โดยที่  \mathbf {A} =\mathbf {A} (r) คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)
ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ

 \mathbf {p} _{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} 

ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum  m{\dot {r}}
ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ

 H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi (r)

ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป  {\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}(\mathbf {p} _{r}) ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
เมื่อใดที่ H = T + V

ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน  H=T+V เมื่อ  T คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ  V คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก
เมื่อใดที่ H = T + V > กรณีทั่วไป

เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์

 L(q,p)=T({\dot {q}}^{2})-V(q)

และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น

 T({\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}

โดยที่  a_{ik}=a_{ik}(q) อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ

 p_{i}(q,p)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{k}a_{ik}{\dot {q}}_{k}

ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้

 q_{i}(q,p)=f_{i}(q,p,t)

เมื่อ  f_{i}(q,p) คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า

 \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}=\sum _{i,k}{\dot {q}}_{i}a_{ik}{\dot {q}}_{k}=2T

ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น

 H(q,p)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L=2T-(T-V)=T(p)+V(q)

โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)
สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป

 L(q,{\dot {q}},t)={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}+\sum _{i}b_{i}{\dot {q}}_{i}-V(q)

โดยที่  a_{ik} และ  b_{i} อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า

 p_{i}=\sum _{k}a_{ik}{\dot {q}}_{k}+b_{i}

ดังนั้น

 H(q,p,t)=\sum {p_{i}{\dot {q}}_{i}}-L=2T+\sum _{i}b_{i}{\dot {q}}_{i}-L={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}(q,p,t){\dot {q}}_{k}(q,p,t)+V(q)

สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด"  H=T+V
เมื่อใดที่ H = T + V > ตัวอย่าง

ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน

 L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)

เป็นฟังก์ชันของ  {\dot {r}}^{2},{\dot {\phi }}^{2},r โดย  a_{rr}=m และ  a_{\phi \phi }=mr^{2} ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้
ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม  {\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }} ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์
เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์

สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา
เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์ > ตัวอย่าง

เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)

 L(q,\lambda {\dot {q}})=\lambda L(q,{\dot {q}})

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า

 p{\dot {q}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=L

ดังนั้น

 H(q,p)=p{\dot {q}}-L(q,p)=L-L=0
เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์ > อนุภาค relativistic

ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา  t เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์  \tau  ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ

 x^{\mu }=x^{\mu }(\tau )=\left(t(\tau ),\mathbf {x} (\tau )\right)\qquad \qquad \mu =0,1,2,3

สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง
ในกรณีที่เราเลือก  \tau  ที่ทำให้

 \sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }\equiv \sum _{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx_{\mu }}{d\tau }}=1

เราจะสามารถใช้  \tau  เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร  {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}
ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ

 L({\dot {x}})=m{\sqrt {\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}}

เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว

 L(\lambda {\dot {x}})=m{\sqrt {\sum _{\mu }\lambda {\dot {x}}^{\mu }\lambda {\dot {x}}_{\mu }}}=\lambda m{\sqrt {\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}}=\lambda L({\dot {x}})

โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime  ({\dot {x}}^{\mu }) คือ

 p_{\mu }(\tau )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}={\frac {m{\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}

เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์

 H(x,p)=\sum _{\mu }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}{\dot {x}}^{\mu }-L=L-L=0
สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ

 p_{\mu }(\lambda {\dot {x}})={\frac {m\lambda {\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }\lambda ^{2}{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}=p_{\mu }({\dot {x}})

ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ  {\dot {x}}^{\mu } ที่ลากระหว่างจุด  {\dot {x}}^{\mu } ใดๆกับจุด  \lambda {\dot {x}}^{\mu } จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค

 p^{2}\equiv \sum _{\mu }p_{\mu }p^{\mu }={\frac {m{\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}{\frac {m{\dot {x}}^{\mu }}{\sqrt {\sum _{\sigma }{\dot {x}}^{\sigma }{\dot {x}}_{\sigma }}}}=m^{2}

ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า

 p^{2}=E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}

ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน
เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์ > วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่

ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่  i และหลักที่  j คือ

 {\frac {\partial {p_{i}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\qquad \qquad i,j=1,2,3,...N

โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้

 {\dot {q}}_{i}={\dot {q}}_{i}(q,p,t)\qquad \qquad i=1,2,...,N

ก็ต่อเมื่อ

 {\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\neq 0
ส่วนในกรณีที่

 {\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0

เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง
ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบี

การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม  {(q,p)} ที่เวลาใดๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น  {(q_{0},p_{0})} การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น
สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใดๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ
เมื่อ  K เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ {(P,Q)} เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า (H) และแฮมินโทเนียนใหม่ (K) ได้ดังสมการ
โดย  F เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ดังนั้น ถ้า  K=0 ฟังก์ชัน  Fจะเป็นไปตามสมการ
ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดชนิดที่ 2 คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิมและโมเมนตัมทั่วไปใหม่ จะเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น
โดยที่  S=S(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N},t) เป็นฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (Hamilton's principal function)
สมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ  การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงได้
วงเล็บปัวส์ซอง

เนื่องจากสมการการเคลื่อนที่ของสมการของแฮลมิลตันสามารถให้หาการขึ้นกับเวลาของ  (q_{i},\,p_{i}) ในปริภูมิเฟส จากความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถหาสมการการเคลื่อนที่ของฟังก์ชัน F(q, p; t) ใดๆ ได้โดยใช้วงเล็บปัวส์ซอง (Poisson bracket) เสนอโดย Siméon Denis Poisson (1781–1840)
สำหรับฟังก์ชัน  f(p_{i},\,q_{i},t) และ  g(p_{i},\,q_{i},t) ใดที่ขึ้นกับตัวแปรคาโนนิคัล (q, p) เขียนนิยามของวงเล็บปัวส์ซองได้เป็น
สมบัติของสมการวงเล็บปัวส์ซองที่เป็นพื้นฐานและถูกใช้บ่อย คือ
โดยที่ δij คือ Kronecker delta.
สมบัติของวงเล็บปัวส์ซอง

1)   \{f,f\}=0
2)   \{f,g\}=-\{g,f\}
3)   \{f+g,h\}=\{f,h\}+\{g,h\}
4)  \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}
5)  \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0
พี.เอ.เอ็ม.ดิเรก (P.A.M.Direc) พบว่าวงเล็บปัวส์ซองในแบบกลศาสตร์คลาสสิคมีความเชื่อมโยงกันกับวงเล็บการสลับที่ของกลศาสตร์ควอนตัม โดย พี.เอ.เอ็ม.ดิเรกสามารถที่จะกำหนดค่าวงเล็บปัวส์ซองในกลศาสตร์คลาสสิคได้จากการสลับที่ของตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงความหมายว่ากลศาสตร์คลาสสิคอยู่ในขอบเขตที่ค่าคงที่แพลงค์เป็นศูนย์
สมบัติของค่าคงที่ของการเคลื่อนที่

วงเล็บปัวส์ซองไม่สามารถหาคำตอบของที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ได้ แต่มีประโยชน์มากในการใช้อธิบายและหาสมบัติของการเป็น Constant of motion ของการเคลื่อนที่ โดยค่าคงที่ดังกล่าวนี้จะเปลี่ยนไปกับแฮมิลโทเนียนภายใต้วงเล็บปัวส์ซอง สมมติว่าฟังก์ชัน f(p, q) เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ หมายความว่า ถ้า  p(t), q(t) เป็นวิธีการแก้สมการแฮมิลโทเนียนของการเคลื่อนที่ ดังนั้น
ตลอดการเคลื่อนที่ จากนั้น
ชนกสุดา พุคยาภรณ์

| ชนกสุดา พุคยาภรณ์ |
| --- | --- |
ชื่อเกิด: ชนกสุดา รักษนาเวศ
เกิด: 6 กรกฎาคม พ.ศ. 2537 (30 ปี) กรุงเทพมหานคร ประเทศไทย
คู่สมรส: ร.ต.อ.กรกฎ พุคยาภรณ์ (สมรส 2566)
อาชีพ: นักแสดง
ปีที่แสดง: พ.ศ. 2556–ปัจจุบัน
ผลงานเด่น: สินีนาฏ – นางอาย (2559)  ลาวัลย์ – ประกาศิตกามเทพ (2561)  จินตนา – วาสนารัก (2563)  แก้ว – ซ่านเสน่หา (2565)
สังกัด: สถานีวิทยุโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 3 (2558–ปัจจุบัน)
ชนกสุดา พุคยาภรณ์ (สกุลเดิม: รักษนาเวศ; เกิด 6 กรกฎาคม พ.ศ. 2537) ชื่อเล่น แก๊ป เป็นนักแสดงหญิงชาวไทย เริ่มเข้าสู่วงการบันเทิงจากการชักชวนของเอ ศุภชัย จนได้เซ็นสัญญากับทางสถานีวิทยุโทรทัศน์ไทยทีวีสีช่อง 3