stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ขั้นตอนวิธี

ในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ขั้นตอนวิธี หรือ อัลกอริทึม (อังกฤษ: algorithm) คือ ชุดลำดับคำสั่งที่ใช้แก้ลำดับชั้นปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ใช้ในการคำนวณเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ เป็นกระบวนการแก้ปัญหาที่สามารถอธิบายออกมาเป็นขั้นตอนที่ชัดเจน เมื่อนำเข้าอะไร แล้วจะต้องได้ผลลัพธ์เช่นไร กระบวนการนี้ประกอบด้วยวิธีการเป็นขั้น ๆ และ ส่วนที่ต้องวนซ้ำ (loop) จนกระทั่งเสร็จสิ้นการทำงานและได้ผลลัพธ์ อัลกอริทึมที่ดีจะต้องมีความชัดเจนไม่คลุมเครือ การแก้ปัญหาโดยใช้อัลกอริทึมตรงข้ามกับการแก้ปัญหาโดยใช้สามัญสำนึก (ในทางวิทยาการคอมพิวเตอร์เรียกว่า การแก้ปัญหาแบบฮิวริสติก (heuristic)) ที่รับประกันคุณภาพความถูกต้องของคำตอบหรือความเร็วในการแก้ปัญหาไม่ได้
อัลกอริทึมสามารถใช้เขียนโปรแกรม เพื่อสั่งการคอมพิวเตอร์ให้ทำงานที่มอบหมายให้สำเร็จได้ ยกตัวอย่างเช่น การคำนวณทางคณิตศาสตร์, การประมวลผลข้อมูล, การให้เหตุผลโดยอัตโนมัติ และ งานอื่น ๆ ที่คอมพิวเตอร์สามารถทำได้
อัลกอริทึมเป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพ การเขียนอัลกอริทึมสามารถเขียนออกมาได้เป็นภาษาทางการ (formal language) โดยใช้ระยะเวลาและพื้นที่การเขียนที่จำกัด เพื่อที่จะคำนวณฟังก์ชันอย่างใดอย่างหนึ่ง เริ่มจากข้อความเริ่มต้น (initial state) และ อินพุตเริ่มต้น (initial input) ชุดคำสั่ง และพอผ่านข้อความคำสั่งต่าง ๆ ที่เรียงเป็นลำดับคำสั่งไว้แล้ว จะสามารถให้เอาต์พุตที่ต้องการได้ โดยทั่วไป อัลกอริทึม ประกอบด้วย วิธีการเป็นขั้น ๆ และมีส่วนที่ต้องทำแบบวนซ้ำ (iterate) หรือ เวียนเกิด (recursive) โดยใช้ตรรกะ (logic) และ/หรือ ในการเปรียบเทียบ (comparison) ในขั้นตอนต่าง ๆ จนกระทั่งเสร็จสิ้นการทำงาน
ในการทำงานอย่างเดียวกัน อาจจะเลือกขั้นตอนวิธีที่ต่างกันเพื่อแก้ปัญหาได้ โดยที่ผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นสุดท้ายจะออกมาเหมือนกันหรือไม่ก็ได้ และจะมีความแตกต่าง ที่จำนวนและชุดคำสั่งที่ใช้ต่างกันซึ่งส่งผลให้ เวลา (time) และขนาดหน่วยความจำ (space) ที่ต้องการต่างกัน หรือเรียกได้อีกอย่างว่ามีความซับซ้อน (complexity) ต่างกัน
การนำขั้นตอนวิธีไปใช้ ไม่จำกัดเฉพาะการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ แต่สามารถใช้กับปัญหาอื่น ๆ ได้เช่น การออกแบบวงจรไฟฟ้า, การทำงานเครื่องจักรกล, หรือแม้กระทั่งปัญหาในธรรมชาติ เช่น วิธีของสมองมนุษย์ในการคิดเลข หรือวิธีการขนอาหารของแมลง
หนึ่งในขั้นตอนวิธีอย่างง่าย คือ ขั้นตอนวิธีที่ใช้หาจำนวนที่มีค่ามากที่สุดในรายการ (ซึ่งไม่ได้เรียงลำดับไว้) ในการแก้ปัญหานี้ เราจะต้องดูจำนวนทุกจำนวนในรายการ ซึ่งมีขั้นตอนวิธีดังนี้
ดูแต่ละจำนวนในรายการ ถ้ามันมีค่ามากกว่า จำนวนที่มีค่ามากที่สุดที่เราเคยพบจดค่ามันไว้
จำนวนที่เราจดไว้ตัวสุดท้าย จะเป็นจำนวนที่มีค่ามากที่สุด
และนี่คือรหัสเทียมสำหรับขั้นตอนวิธีนี้
Algorithm LargestNumber   Output: จำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดในรายการ.
  Input: รายการจำนวนเต็ม.
  largest ← -∞
  for each item in รายการ, do
    if the item > largest, then
      largest ← the item
  return largest
หมายเหตุ
"←" หมายถึงการกำหนดค่า (assignment) ให้ตัวแปร เช่น "largest ← the item" หมายความว่า ให้ largest มีค่าเป็น item
"return" เป็นการจบขั้นตอนวิธี และส่งค่าของตัวแปรที่ตามหลัง ออกไปยังขั้นตอนวิธีก่อนหน้าที่เรียกใช้
ประวัติ

คำว่า Algorithm มีที่มาจากชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียในยุคศตวรรษที่ 9 อะบู อับดิลลาหฺ อิบน มูซา อัลคอวาริซมีย์ (Abu Abdillah Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi) คำว่า al-Khawarizmi ได้เพี้ยนเป็น Algoritmi เมื่องานเขียนของเขาได้รับการแปลเป็นภาษาละติน แล้วกลายเป็น Algorithm อัลกอริทึม ซึ่งใช้หมายถึงกฎที่ใช้ในการคิดคำนวณเลขคณิต และได้กลายมาเป็นคำ ขั้นตอนวิธี ในช่วงศตวรรษที่ 18 ในปัจจุบัน คำนี้ได้มีความหมายที่กว้างขึ้น หมายรวมถึง ขั้นตอนวิธีการในการแก้ปัญหาต่าง ๆ
ขั้นตอนวิธีแรกสำหรับคอมพิวเตอร์นั้น เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1842 โดย เอดา ไบรอน ใน notes on the analytical engine ทำให้ถือกันว่า เอดาเป็นนักพัฒนาโปรแกรมหรือนักเขียนโปรแกรมคนแรกของโลก แต่เนื่องจาก ชาร์ลส แบบเบจ ไม่ได้สร้าง analytical engine จนเสร็จ ขั้นตอนวิธีของเอดานั้นจึงไม่ได้มีการใช้จริง
ถึงแม้ว่าขั้นตอนวิธีนั้นเป็น ขั้นตอนวิธี การแก้ปัญหา ที่ถูกระบุไว้อย่างชัดเจน แต่ก็ขาดรูปแบบการวิเคราะห์ในรูปแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจน ปัญหาในทางขั้นตอนวิธีนี้โดยส่วนมากจึงมักจะถูกวิเคราะห์โดยใช้ เครื่องจักรทัวริง ซึ่งเป็นแบบจำลองนามธรรมของคอมพิวเตอร์ คิดค้นขึ้นโดย แอลัน ทัวริง ซึ่งเป็นเครื่องจักรที่ใช้ในการจำลองการทำงานของขั้นตอนวิธีใด ๆ
ราชบัณฑิตยสถาน ได้บัญญัติคำว่าอัลกอริทึม (Algorithm) เป็นภาษาไทยว่าขั้นตอนวิธี ซึ่งมีความหมายคือ เป็นลำดับของขั้นตอนการคำนวณที่ใช้แก้ปัญหา โดยการเปลี่ยนข้อมูลนำเข้าของปัญหา (input) ออกมาเป็นผลลัพธ์ (output) ขั้นตอนวิธีดังกล่าวนั้นจะสามารถนำมาเขียนเป็นโปรแกรมในคอมพิวเตอร์ได้
การประยุกต์ใช้อัลกอริทึม

อัลกอริทึมส่วนใหญ่มีจุดประสงค์เพื่อการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ และจุดประสงค์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการออกแบบทางคอมพิวเตอร์ นอกเหนือจากการประยุกต์ใช้ทางวิทยาการคอมพิวเตอร์ ยังมีการใช้อัลกอริทึมกับการศึกษาโครงข่ายประสาททางชีววิทยา (เช่น การวิเคราะห์การทำงานของสมองมนุษย์และสมองสัตว์), วงจรไฟฟ้า และ ในเครื่องจักรกล
อัลกอริทึมในระบบคอมพิวเตอร์

ในระบบคอมพิวเตอร์ อัลกอริทึมคือการเขียนระบบตรรกะในซอฟต์แวร์ที่เขียนโดยนักพัฒนาซอฟต์แวร์ เพื่อให้มีประสิทธิภาพในการส่งออกเอาต์พุต (Output) จากอินพุต (Input) ที่คอมพิวเตอรืได้รับ โปรแกรมที่มีการเขียนอัลกอริทึมประสิทธิภาพสูง อาจรันในฮาร์ดแวร์รุ่นเก่าแล้วได้ผลลัพธ์ที่เร็วกว่าอัลกอริทึมที่ประสิทธิภาพต่ำว่า แต่รันบนฮาร์ดแวร์รุ่นใหม่ จากปัจจัยที่กล่าวมา อัลกอริทึมจึงถูกนับเป็นเทคโนโลยีรูปแบบหนึ่ง ไม่ยิ่งหย่อนไปกว่าฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์
ดูเพิ่ม

วิทยาการคอมพิวเตอร์
การคำนวณ
ผังงาน (Flow Chart)
รายชื่อขั้นตอนวิธี (List of algorithms)
en:Bulletproof algorithms
ขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ
ขั้นตอนวิธีการค้นหา
ขั้นตอนวิธีการประสาน (en:Merge algorithms)
ขั้นตอนวิธีสายอักขระ (en:String algorithms)
ขั้นตอนวิธีเชิงพันธุกรรม (Genetic Algorithms)
ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม
ขั้นตอนวิธีการประมาณ
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด (en:Pollard's rho algorithm)
ขั้นตอนวิธีการค้นหาคำแบบซี (Z-Algorithm)
เส้นเวลาของขั้นตอนวิธี en:Timeline of algorithms
ตรรกะสำหรับคอมพิวเตอร์ en:Computability logic
โครงสร้างข้อมูล (Data structure)
ความน่าสนใจ เก็บถาวร 2019-08-20 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
อัลคอวาริซมีย์
อัลกอริทึมชื่อว่า Logical NAND ใช้ในการทำงานของชิป 7400
ออราเคิลคอร์ปอเรชัน

| --- | --- |

ประเภท: มหาชน
การซื้อขาย: เอ็นวายเอสอี: ORCL องค์ประกอบของ S&P 100 องค์ประกอบของ S&P 500
ISIN: US68389X1054 
อุตสาหกรรม: ซอฟต์แวร์องค์กร ซอฟต์แวร์ธุรกิจ บริการประมวลผลแบบคลาวด์ ฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ ให้คำปรึกษา
ก่อตั้ง: 16 มิถุนายน 1977; 47 ปีก่อน (1977-06-16) แซนตาแคลรา, สหรัฐ
ผู้ก่อตั้ง: ลาร์รีย์ เอลลิสัน บ็อบ ไมเนอร์ เอ็ด โอตส์
สำนักงานใหญ่: ออสติน รัฐเท็กซัส, สหรัฐ
พื้นที่ให้บริการ: ทั่วโลก
บุคลากรหลัก: ลาร์รีย์ เอลลิสัน (ประธานกรรมการบริหาร & CTO) เจฟฟ์ เฮนเลย์ (รองประธาน) ซาฟรา แคตซ์ (CEO)
ผลิตภัณฑ์: แอปพลิเคชันของออราเคิล ฐานข้อมูลออราเคิล ออราเคิล ERP ออราเคิลคลาวด์ Enterprise Manager Fusion Middleware เซิร์ฟเวอร์ เวิร์กสเตชัน จัดเก็บข้อมูล
บริการ: แอปพลิเคชัน คลาวด์
รายได้:  US$42.44 พันล้าน (2022)
รายได้จากการดำเนินงาน:  US$10.93 พันล้าน (2022)
รายได้สุทธิ:  US$6.72 พันล้าน (2022)
สินทรัพย์:  US$109.3 พันล้าน (2022)
ส่วนของผู้ถือหุ้น:  US$−6.22 พันล้าน (2022)
เจ้าของ: ลาร์รีย์ เอลลิสัน (42.4%)
พนักงาน: 143,000 (พฤษภาคม 2022)
บริษัทในเครือ: รายชื่อบริษัทในเครือออราเคิล
เว็บไซต์: oracle.com
เชิงอรรถ / อ้างอิง 
ลาร์รีย์ เอลลิสัน ประธานกรรมการบริหารของออราเคิล
ออราเคิล คอร์ปอเรชั่น (อังกฤษ: Oracle Corporation) เป็นบริษัทเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ข้ามชาติสัญชาติอเมริกัน ที่มีสำนักงานใหญ่อยู่ที่เมืองออสติน รัฐเทกซัส ในปี พ.ศ. 2563 ออราเคิลเป็นบริษัทซอฟต์แวร์ที่ใหญ่เป็นอันดับสามของโลกในด้านรายได้และมูลค่าหลักทรัพย์ตามราคาตลาด บริษัทพัฒนาและจำหน่ายผลิตภัณฑ์ โปรแกรมฐานข้อมูล, เครื่องมือสำหรับพัฒนาฐานข้อมูล, ระบบวางแผนทรัพยากรองค์กร, ระบบลูกค้าสัมพันธ์, ระบบบริหารห่วงโซ่อุปทาน ออราเคิลก่อตั้งขึ้นในปี พ.ศ. 2520 และมีสำนักงานอยู่ในมากกว่า 145 ประเทศ ในปี พ.ศ. 2565 บริษัทมีพนักงานมากกว่า 143,000 คนทั่วโลก
คู่แข่ง

ในตลาดฐานข้อมูลออราเคิลมีคู่แข่งหลักคือ IBM DB2 และ ไมโครซอฟท์ ซีควลเซิร์ฟเวอร์ คู่แข่งที่รองลงมาเช่น Sybase, Teradata, Informix และ มายเอสคิวเอล ภายในตลาดโปรแกรมระบบมีคู่แข่งที่สำคัญคือ SAP
แหล่งข้อมูลอื่น

"เว็บไซต์ทางการ".
วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับ ออราเคิลคอร์ปอเรชัน
"Oracle Corporation companies"., รวมรวมโดย OpenCorporates
"Oracle user group in Thailand". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 15 มกราคม 2018.
"Oracle Learning Forum". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 23 กุมภาพันธ์ 2012. (ในภาษาไทย)
| ด ค กบริษัททางด้านเทคโนโลยีสารสนเทศขนาดใหญ่ |
| --- | --- |
อินเทอร์เน็ต:  กูเกิล  เฟซบุ๊ก  เทนเซ็นต์  ทวิตเตอร์  ยาฮู  ไป่ตู้  ยานเดกซ์  แอมะซอน.คอม  อีเบย์  IAC  NHN  NetEase  Rakuten 
ประมวลภาพดิจิทัล:  แคนนอน  นิคอน  โกดัก  เอปสัน  โคนิกา มินอลตา  เคียวเซร่า  เล็กซ์มาร์ก  ริโก  ชาร์ป คอร์ปอเรชั่น  แทมรอน  ซิกมา คอร์ปอเรชัน 
อุปกรณ์มือถือ:  แอปเปิล  ซัมซุง  ไมโครซอฟท์ โมบาย  โนเกีย  เอชทีซี  โซนี่  กูเกิล  หัวเว่ย  แบล็กเบอรี  แอลจี อีเลคทรอนิคส์  เอเซอร์  เลอโนโว (โมโตโรลาโมบิลิตี)  แอมะซอน.คอม  เอซุส  พานาโซนิค  ทรู  แซดทีอี  เหม่ยซู  เสียวหมี่  ไฮเซนส์  ทีซีแอลคอร์ปอเรชัน  ลาวา  ออปโป้  เรียลมี  อินฟินิกซ์  เทคโน  นอตติง  ไอเทล 
OEMs:  ฟ็อกซ์คอนน์  Celestica  Compal Electronics  เฟลกซ์  Jabil  Quanta  Sanmina-SCI  TPV Technology  Wistron 
เซมิคอนดักเตอร์:  อินวิเดีย  พานาโซนิค  Advanced Micro Devices  Broadcom  เอ็นเอ็กซ์พีเซมิคอนดักเตอร์  ฟูจิตสึ  แอลจี อีเลคทรอนิคส์  อินฟิเนียนเทคโนโลยีส์  Marvell Technology Group  มีเดียเทค  Micron Technology  เอ็นเอ็กซ์พี เซมิคอนดักเตอร์  ควอลคอมม์  เรเนซาส อิเล็คทรอนิคส์  ซัมซุง  เอสเค ไฮนิกซ์  โซนี่  STMicroelectronics  Texas Instruments  โตชิบา  ซิงหัวยูนิกรุ๊ป (ยูนิซอค)  VIA Technologies 
ฮาร์ดแวร์:  อินเทล  เอเอ็มดี  กิกะไบต์เทคโนโลยี  เอซุส  ASRock Inc.  Biostar 
ซอฟต์แวร์:  อะโดบีซิสเต็มส์  แมคโอเอส  ไมโครซอฟท์  กูเกิล  แอนดรอยด์  เอชพี  ไอบีเอ็ม  ออราเคิล  เอสเอพี เอจี  CA  Symantec  วีเอ็มแวร์ 
แอนตี้ไวรัส:  Symantec  แคสเปอร์สกี 
พีซี และเซิร์ฟเวอร์:  เอเซอร์  เอซุส  เอชพี  เดลล์  เลอโนโว  ฟูจิตสึ  ซัมซุง  แอลจี อีเลคทรอนิคส์  ไดนาบุ๊ก  หัวเว่ย  เสียวหมี่  ไมโครสตาร์ อินเตอร์เนชั่นแนล เฉพาะเซิร์ฟเวอร์ ไอบีเอ็ม  ออราเคิล 
เมนเฟรม:  ฟูจิตสึ  ไอบีเอ็ม 
ดาต้าสโตเรจ:  อีเอ็มซี  ซีเกต  เวสเทิร์น ดิจิตอล  ฮิตาชิ  เอชพี  ซัมซุง  เดลล์  ออราเคิล  เมลโค่  NetApp 
อุปกรณ์เน็ตเวิร์ก:  ซิสโก้  อวาย่า  ฟอร์ติเน็ต  จูนิเปอร์  หัวเว่ย  ต้าถัง เทเลคอม  ฟูจิตสึ  เอชพี  Alcatel-Lucent  อิริคสัน  มิตซูบิชิ อีเล็คทริค  Motorola Solutions  เอ็นอีซี  Nokia Solutions and Networks  ซัมซุง  แซดทีอี 
โทรคมนาคม  และผู้ให้บริการอินเทอร์เน็ต:  América Móvil  เอทีแอนด์ที  เบลล์แคนาดา  บีทีกรุ๊ป  Bharti Airtel  CenturyLink  ไชน่า โมบายล์  ไชน่า เทเลคอม  ไชน่า ยูนิคอม  Comcast  Deutsche Telekom  Hutchison  เคดีดีไอ  เคพีเอ็น  เคที คอร์ปอเรชั่น  MTS  เอ็นทีที  เอ็นทีที โดโคโม  ออเรนจ์  Rogers  สิงเทล  เอสเค เทเลคอม  ซอฟต์แบงก์  สวิสคอม  เทเลนอร์  ทรู  เทเลคอม อิตาเลีย  Telefónica  TeliaSonera  เวอไรซอนไวร์เลสส์  VimpelCom  Vivendi  โวดาโฟน 
รายชื่อบริษัทขนาดใหญ่ที่เกี่ยวข้องทางด้านเทคโนโลยีสารสนเทศ
| ฐานข้อมูลการควบคุมรายการหลักฐาน  |
| --- | --- |
นานาชาติ:  ISNI  VIAF 
ประจำชาติ:  นอร์เวย์  เยอรมนี  อิสราเอล  สหรัฐ  ญี่ปุ่น  เช็กเกีย  ออสเตรเลีย  โปแลนด์ 
ประชาชน:  Trove 
อื่น ๆ:  IdRef
กฎลูกโซ่

ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ (อังกฤษ: Chain rule) คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต
เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x
สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่
ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้  f\circ g=f(g(x)) ดังนั้น
นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:
เมื่อ  {\frac {df}{dg}} ระบุว่า f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง
ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
กฎเลขยกกำลังทั่วไป

กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้
กฎเลขยกกำลังทั่วไป > ตัวอย่างข้อที่ 1

พิจารณา  f(x)=(x^{2}+1)^{3}.  f(x) เทียบได้กับ  h(g(x)) โดยที่  g(x)=x^{2}+1 และ  h(x)=x^{3} ดังนั้น
{\frac {d}{d}}{\frac {x}{y}} =f'(x).g'(x)
| --- | --- |

 f'(x) :  =3(x^{2}+1)^{2}(2x) 
 :  =6x(x^{2}+1)^{2}
กฎเลขยกกำลังทั่วไป > ตัวอย่างข้อที่ 2

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เราสามารถเขียน  f(x)=h(g(x)) ด้วย  h(x)=\sin x และ  g(x)=x^{2} จากกฎลูกโซ่ จะได้
เนื่องจาก  h'(g(x))=\cos(x^{2}) และ  g'(x)=2x
กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร

กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน  f(u(x,y),v(x,y)) โดยที่
ดังนั้น
บทพิสูจน์กฎลูกโซ่

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้
ในทำนองเดียวกัน
จะได้
| --- | --- |
 f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,:  =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta ))-f(g(x))\,
:  =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\,
ซึ่ง  \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,
จะเห็นว่าขณะที่  \delta \to 0 นั้น  {\frac {\alpha _{\delta }}{\delta }}\to g'(x) และ  {\frac {\eta (\alpha _{\delta })}{\delta }}\to 0 ดังนั้น
กฎลูกโซ่พื้นฐาน

กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ f : E → F และ g : F → G เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้
สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์
การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ Ck (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้
เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย
ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ C∞ โดยมีการแปลง C∞ เป็นสัณฐาน
บันจาร์มาซิน

| บันจาร์มารซิน |
| --- | --- |
นคร
Kota Banjarmasin
การถอดเสียงอื่น ๆ
 • ยาวี: بنجر ماسين
 • จีน: 马辰/馬辰 Mǎ chén (พินอิน)
ตามเข็มจากบน:  ทิวนคร, วัดจีนซูตจีนูรานี, หอคอยบันจาร์มาซิน, ตลาดน้ำบันจาร์มาซิน
   ธง ตราอาร์ม
สมญา: Kota Seribu Sungai "นครพันแม่น้ำ"
คำขวัญ: Kayuh Baimbai (บันจาร์) "Rowing Together"
ที่ตั้งในกาลีมันตันใต้
บันจาร์มารซินที่ตั้งในกาลีมันตันใต้
พิกัด: 03°19′12″S 114°35′33″E﻿ / ﻿3.32000°S 114.59250°E﻿ / -3.32000; 114.59250
ประเทศ:  อินโดนีเซีย
ภาค: กาลีมันตัน
จังหวัด:  จังหวัดกาลีมันตันใต้
สถาปนา: 24 กันยายน ค.ศ. 1526
การปกครอง
 • นายกเทศมนตรี: อิบนู ซีนา
พื้นที่
 • นคร: 98.46 ตร.กม. (38.02 ตร.ไมล์)
 • รวมปริมณฑล: 6,945.67 ตร.กม. (2,681.74 ตร.ไมล์)
ความสูง: 1 เมตร (3 ฟุต)
ประชากร (ค่าประมาณกลางปี 2023)
 • นคร: 675,915 คน
 • ความหนาแน่น: 6,900 คน/ตร.กม. (18,000 คน/ตร.ไมล์)
 • รวมปริมณฑล: 2,041,014 คน
 • ความหนาแน่นรวมปริมณฑล: 290 คน/ตร.กม. (760 คน/ตร.ไมล์)
 : 
เขตเวลา: UTC+8 (WITA)
รหัสพื้นที่: +62 511
HDI (2023):  0.799 (High)
เว็บไซต์: www.banjarmasinkota.go.id
บันจาร์มาซิน (อินโดนีเซีย: Banjarmasin) เป็นนครในกาลีมันตันใต้ ประเทศอินโดนีเซีย โดยเป็นนครใหญ่สุดของจังหวัดกาลีมันตันใต้ และเป็นศูนย์กลางการปกครองเดิมของจังหวัดจนถึงวันที่ 15 กุมภาพันธ์ 2022 นครตั้งอยู่บนเกาะปากแม่น้ำใกล้กับจุดตัดของแม่น้ำบารีโต และ มาร์ตาปูรา ในอดีต เมืองนี้เป็นศูนย์กลางของวัฒนธรรมบันจาร์ และเคยเป็นราชธานีของรัฐสุลต่านบันจาร์ นครมีพื้นที่ขนาด 98.46 km2 (38.02 sq mi) และประชากร 625,481 คน ตามสำมะโนปี 2010 ซึ่งเพิ่มขึ้นเป็น 657,663 คน ตามสำมะโนปี 2020 และค่าคาดการณ์กลางปี 2023 อยู่ที่ 675,915 คน ทำให้ยังเป็นนครที่มีประชากรมากที่สุดเป็นอันดับสามของเกาะบอร์เนียว
ศูนย์กลางการปกครองของกาลีมันตันใต้ทั้งผู้ว่าการจังหวัดและสภาจังหวัดจะย้ายไปจากบันจาร์มาซินไปเป็นบันจาร์บารู ตั้งแต่วันที่ 15 กุมภาพันธ์ 2022
บู่ย เตี๊ยน สุง (นักฟุตบอลเกิด พ.ศ. 2538)

บู่ย เตี๊ยน สุง (เวียดนาม: Bùi Tiến Dũng; เกิดเมื่อวันที่ 2 ตุลาคม พ.ศ. 2538) เป็น นักฟุตบอล อาชีพชาวเวียดนามที่เล่นในตำแหน่ง เซ็นเตอร์แบ็ก ให้กับสโมสร สโมสรฟุตบอลวิเอตเตล ในวี.ลีก ดิวิชัน 1 และ ทีมชาติเวียดนาม
อาชีพระดับนานาชาติ

เตี๊ยน สุง ลงเล่นให้กับทีมชาติเป็นครั้งแรกในเกมพบกับกัมพูชา เมื่อวันที่ 27 พฤศจิกายน 2559 ลงมาเป็นตัวสำรองในเกมที่ชนะ 2–1
สุง เล่นให้กับเวียดนามในการ ฟุตบอลเอเชียเยาวชนอายุไม่เกิน 23 ปี 2018 ในรอบก่อนรองชนะเลิศที่พบกับอิรัก ซึ่งจบลงด้วยผลเสมอ 3–3 หลังจาก 120 นาที สุง ยิงจุดโทษสำเร็จ ทำให้เวียดนามเข้าสู่รอบรองชนะเลิศ ต่อมาเวียดนามได้ผ่านเข้าสู่รอบชิงชนะเลิศ แต่พ่ายแพ้ต่อ อุซเบกิสถาน 1–2.
บู่ย เตี๊ยน สุง ยังอยู่ในทีม ชาติเวียดนาม ในการแข่งขัน ฟุตบอลชิงแชมป์แห่งชาติอาเซียน 2018 ซึ่งท้ายที่สุดพวกเขาสามารถคว้าถ้วยรางวัลได้สำเร็จหลังจากเอาชนะ มาเลเซีย ด้วยสกอร์รวม 3–2
เกียรติยศ

เวียดเทล
วี.ลีก ดิวิชัน 1: 2020
วี.ลีก ดิวิชัน 2: 2018
เวียดนาม อายุไม่เกิน 23 ปี/โอลิมปิก
เอเชียนคัพ รุ่นอายุไม่เกิน 23 ปี รองชนะเลิศ: 2018
วีเอฟเอฟ คัพ: 2018
เวียดนาม
เอเอฟเอฟ แชมเปี้ยนชิพ: 2018, 2024
วีเอฟเอฟ คัพ: 2022
โด๋ ซวี หมั่ญ

โด๋ ซวี หมั่ญ (เวียดนาม: Đỗ Duy Mạnh, เกิด 29 กันยายน 2539) นักฟุตบอลอาชีพชาวเวียดนาม ปัจจุบันเล่นในตำแหน่งกองหลังให้กับสโมสรฟุตบอลฮานอยและฟุตบอลทีมชาติเวียดนาม
ซวี หมั่ญเลื่อนขึ้นสู่ทีมชุดใหญ่ของสโมสรฮานอยในฤดูกาล 2558 และกลายเป็นส่วนสำคัญของทีมเขาคว้ารางวัลผู้เล่นดาวรุ่งยอดเยี่ยมของวีลีก เมื่อจบฤดูกาล 2558 ซวี หมั่ญถูกเรียกตัวติดทีมชาติระดับเยาวชน และถูกเรียกตัวติดทีมชาติชุดใหญ่ใน พ.ศ. 2558 ซวี หมั่ญเป็นหนึ่งในผู้เล่นที่มีอนาคตไกลมากที่สุดของเวียดนาม
เกียรติประวัติ > สโมสร

ฮานอย
วี.ลีก ดิวิชัน 1: 2016, 2018, 2019, 2022
เวียดนามคัพ: 2019, 2020, 2022
เวียดนาม ซูเปอร์คัพ: 2019, 2020, 2021
เกียรติประวัติ > ทีมชาติ > เวียดนาม อายุไม่เกิน 23 ปี

เอเชียนคัพ รุ่นอายุไม่เกิน 23 ปี รองชนะเลิศ: 2018
เกียรติประวัติ > ทีมชาติ > เวียดนาม

ฟุตบอลชิงแชมป์แห่งชาติอาเซียน: 2018, 2024
คลาร์ก เกรกก์

| คลาร์ก เกรกก์ |
| --- | --- |
คลาร์กเกรกก์ที่งาน Wondercon ปี 2019
เกิด:  (1962-04-02) 2 เมษายน ค.ศ. 1962 (62 ปี) บอสตัน, รัฐแมสซาชูเซตส์, สหรัฐอเมริกา
ศิษย์เก่า: มหาวิทยาลัยนิวยอร์ก
อาชีพ:  นักแสดง  ผู้อำนวยการ  นักเขียนบท 
ปีปฏิบัติงาน: ค.ศ. 1988–ปัจจุบัน
คู่สมรส: Jennifer Grey (สมรส 2001; หย่า 2020)
บุตร: 1 คน
โรเบิร์ต คลาร์ก เกรกก์ (อังกฤษ: Robert Clark Gregg; (เกิด 2 เมษายน พ.ศ. 2505) เป็นนักแสดง, ผู้กำกับ และผู้เขียนบทภาพยนตร์ชาวอเมริกัน เขาเป็นที่รู้จักกันเป็นอย่างดีจากการรับบท ฟิล โคลสัน ในภาพยนตร์ ของจักรวาลภาพยนตร์มาร์เวล เรื่อง Iron Man (2008), Iron Man 2 (2010), Thor (2011), The Avengers (2012), Captain Marvel (2019) และละครชุดทางโทรทัศน์ภาคแยกเรื่อง Agents of S.H.I.E.L.D. (พ.ศ. 2556–2563) Gregg ยังพากย์เสียง Phil Coulson ในซีรีส์แอนิเมชั่น Ultimate Spider-Man (2555–2560) และในวิดีโอเกม Lego Marvel Super Heroes (2013), Marvel Heroes (2013) และ Lego Marvel's Avengers (2016)
กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์

ภาพแสดงกฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์ที่มีวงโคจรดาวเคราะห์ 2 วง (1) วงโคจรเป็นวงรีด้วยจุดโฟกัส f1 และ f2 สำหรับดาวเคราะห์ดวงแรกและ f1 และ f3 สำหรับดาวเคราะห์ดวงที่ 2 ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุด f1 (2) ส่วนแรเงา 2 ส่วน A1 และ A2 มีผิวพื้นเท่ากันและเวลาที่ดาวเคราะห์ 1 ทับพื้นที่ A1 เท่ากับเวลาที่ทับพื้นที่ A2 (3) เวลารวมของวงโคจรสำหรับดาวเคราะห์ 1 และดาวเคราะห์ 2 มีสัดส่วนเท่ากับ  a1^{3/2}:a2^{3/2}
กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ (อังกฤษ: Kepler's laws of planetary motion) คือ กฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ (พ.ศ. 2114–2173) เป็นผู้ค้นพบ
เค็พเพลอร์ ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์ก ชื่อทือโก ปราเออ โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เค็พเพลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่าย ๆ ทางคณิตศาสตร์
กฎของเค็พเพลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เค็พเพลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเค็พเพลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด
กฎ 3 ข้อของเค็พเพลอร์

วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลางจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเค็พเพลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสที่ว่าวงโคจรเป็นวงกลม
ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เค็พเพลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วย
กฎของเค็พเพลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วศูนย์สุริยะ  \ (r,\theta ) อย่างไรก็ตาม กฎของเค็พเพลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน
รายละเอียดทางคณิตศาสตร์ > กฎข้อที่ 1

กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง“
คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้
สมการคือ
โดยที่ p คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง
เมื่อ θ=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
เมื่อ θ=90°: r=p และเมื่อ θ=180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:
กึ่งแกนเอกของวงรี a คือ มัชฌิมเลขคณิตของ rmin และ rmax:
กึ่งแกนโทของวงรี b คือ มัชฌิมเรขาคณิตของ rmin และ rmax:
นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม
รายละเอียดทางคณิตศาสตร์ > กฎข้อที่ 2

กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน”
กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ
การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้
รายละเอียดทางคณิตศาสตร์ > กฎข้อที่ 3

กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน
ดังนั้น P2a–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น P ที่วัดเป็นปีดาราคติ และ a ในหน่วยดาราศาสตร์ P2a–3 มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ
ในหน่วยเอสไอ:  {\frac {P^{2}}{a^{3}}}=3.00\times 10^{-19}{\frac {s^{2}}{m^{3}}}\pm \ 0.7\%\,
รายละเอียดทางคณิตศาสตร์ > ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา

ปัญหาเค็พเพลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:
s ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
z จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
c ศูนย์กลางของวงรี
p ดาวเคราะห์
และ
ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (r,ν) ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, t
|zsx|={\frac {a}{b}}\cdot |zsp|
 \ |zcy|=|zsx|
และ
\ |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}: |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}}
โดย T คือคาบการโคจร
Division by a²/2 gives Kepler's equation
to get
จะได้
คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์
ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร
ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเค็พเพลอร์:
การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน > การอนุพัทธ์ของกฎเค็พเพลอร์ข้อที่ 2

where  {\hat {\boldsymbol {\theta }}} is the tangential unit vector, and
So the position vector
is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector
Note that for constant distance,  \ r, the planet is subject to the centripetal acceleration,  r{\dot {\theta }}^{2}, and for constant angular speed,  {\dot {\theta }}, the planet is subject to the coriolis acceleration,  2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.
Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by m, gives the vector equation of motion
Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:
\ r{\dot {\theta }}:
and integrate:
where  \log \ell  is a constant of integration, and exponentiate:
This says that the specific angular momentum  r^{2}{\dot {\theta }} is a constant of motion, even if both the distance  \ r and the angular speed  {\dot {\theta }} vary.
The area swept out from time t1 to time t2,
depends only on the duration t2−t1. This is Kepler's second law.