stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ปรากฏการณ์เซมัน
ปรากฏการณ์เซมันแบบ Weak-field

ปรากฏการณ์ที่ส่งผลต่อเส้นสเปรกตัมของอะตอมในสนามแม่เหล็กโดยที่อันตรกิริยาของ spin-orbit มีอิทธิพลมากกว่าผลเนื่องจากสนามแม่เหล็กภายนอก โดยที่ผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมคือ  \scriptstyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}
ค่าเฉลี่ยของสปินเวกเตอร์คือ สปินเวกเตอร์ที่โพรเจกชั่นบนทิศทางของ  \scriptstyle {\vec {J}}
{\vec {S}}_{avg}={\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {J}})}{J^{2}}}{\vec {J}}
และค่าเฉลี่ยของโมเมนตัมเชิงมุมจะเป็น
{\vec {L}}_{avg}={\frac {({\vec {L}}\cdot {\vec {J}})}{J^{2}}}{\vec {J}}
ดังนั้น ถ้าให้ VM เป็นพลังงานศักย์เนื่องจากการรบกวนของสนามแม่เหล็กจะได้ว่า
\langle V_{M}\rangle ={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}{\vec {J}}\left(g_{L}{\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}}{J^{2}}}+g_{S}{\frac {{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}{J^{2}}}\right)\cdot {\vec {B}}
แทนค่า  \scriptstyle {\vec {L}}={\vec {J}}-{\vec {S}} แล้วยกกำลังสองทั้ง ข้างเราจะได้
{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}={\frac {1}{2}}(J^{2}+S^{2}-L^{2})={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)]
แทนค่า  \scriptstyle {\vec {S}}={\vec {J}}-{\vec {L}} แล้วยกกำลังสองทั้ง ข้างเราจะได้
{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}={\frac {1}{2}}(J^{2}-S^{2}+L^{2})={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)]
แทนค่า  \scriptstyle J_{z}=\hbar m_{j} ในสมการและให้  เพื่อหาค่าพลังงานศักย์ของอะตอมที่ถูกรบกวนโดยสนามแม่เหล็กภายนอก
{\begin{aligned}V_{M}&=\mu _{B}Bm_{j}\left[g_{L}{\frac {j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)}{2j(j+1)}}+g_{S}{\frac {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}}\right]\\&=\mu _{B}Bm_{j}\left[1+(g_{S}-1){\frac {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}}\right]\\&=\mu _{B}Bm_{j}g_{j}\end{aligned}}
เมื่อปริมาณในวงเล็บใหญ่คือ Landé g-factor gJ ของอะตอม  (gL= 1, gS = 2) และ คือ ผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมใน z-component สำหรับอิเล็กตรอนเดี่ยวบน filled shell และ จะทำให้ Landé g-factor สามารถอนุมานได้เป็น
g_{j}=1\pm {\frac {g_{S}-1}{2l+1}}
สามารถเขียน VM ในรูปของ ค่าแก้ไขของ Zeeman ได้เป็น
{\begin{aligned}E_{Z}^{(1)}=\langle nljm_{j}|H_{Z}^{'}|nljm_{j}\rangle =\langle V_{M}\rangle _{\Psi }=\mu _{B}g_{J}B_{ext}m_{j}\end{aligned}}
ปรากฏการณ์เซมันแบบสนามแม่เหล็กเข้ม (Strong field Zeeman Effect)

ปรากฏการณ์ซีมานแบบสนามแม่เหล็กเข้ม เรียกอีกชื่อว่า ปรากฏการณ์ Paschen-Back เป็นการแยกระดับพลังงานอะตอมอยู่ในสนามแม่เหล็กที่มีความเข้มสูง เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อสนามแม่เหล็กภายนอกมีค่ามากพอที่จะรบกวนอันตรกิริยาระหว่างสปินกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนชั้นนอกสุด (The spin-orbit coupling) โดยปรากฏการณ์นี้ได้รับการตั้งชื่อจาก นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน Friedrich Paschen และ Ernst E. A Back
เมื่อการรบกวนของสนามแม่เหล็ก (the magnetic-field perturbation) มีค่ามากกว่าอันตรกิริยาของสปินกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนชั้นนอกสุด (the spin-orbit interaction) อย่างมาก อาจถือว่า  [H_{0},S]=0 ซึ่งจะช่วยให้คำนวณหาค่าคาดหวังของโมเมนตัมเชิงมุมออร์บิทัล ( L_{z}) และโมเมนตัมเชิงมุมของสปิน ( S_{z}) ได้ง่าย โดยพลังงานจะอยู่ในรูป
E_{z}=\left\langle \psi \left|H_{0}+{\frac {B_{z}\mu _{B}}{\hbar }}(L_{z}+g_{s}S_{z})\right|\psi \right\rangle =E_{0}+B_{z}\mu _{B}(m_{l}+g_{s}m_{s})
จากสมการข้างบน แสดงให้เห็นว่า อันตรกิริยาระหว่างสปินกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนชั้นนอกสุด (The spin-orbit coupling) ได้รับการกระทบจากสนามภายนอกอย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตามกฎการเลือก (The selection rules)  m_{l} และ  m_{s} ยังเป็นเลขควอนตัมที่ยังคงใช้ได้ นั่นคือ   \Delta s=0,\Delta m_{s}=0,\Delta l=\pm 1,\Delta m_{l}=0,\pm 1 เป็นผลให้มีเพียงเส้นสเปกตรัม 3 เส้นที่จะมองเห็นได้ ซึ่งสอดคล้องกับกฎการเลือก (The selection rule) ที่ว่า  \Delta m_{l}=0,\pm 1 โดยการแยกเส้นสเปกตรัม  \Delta E=B\mu _{B}\Delta m_{l} เป็นส่วนที่ไม่ขึ้นกับพลังงานที่ไม่ถูกรบกวนและโครงสร้างของระดับพลังงานของอะตอมของระดับที่พิจารณา โดยจะเห็นว่า องค์ประกอบทั้งสามในสมการนี้เป็นคำตอบของการเปลี่ยนสถานะหลาย ๆ สถานะ
ในกรณีทั่วไป (ถ้า  s\neq 0 ) จะต้องเพิ่มเทอมของอันตรกิริยาระหว่างสปินกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนชั้นนอกสุด (The spin-orbit coupling) และ Relativistic corrections หรือที่เรียกกันว่า “fine structure” ซึ่งเป็นการรบกวนต่อระดับที่ไม่ถูกรบกวน โดยค่าพลังงานของ fine-structure corrections สำหรับอะตอมไฮโดรเจนใน the Paschen–Back limit จากการใช้ทฤษฎี Perturbation อันดับที่ 1 เป็นไปตามสมการข้างล่าง
E_{z+fs}=E_{z}+{\frac {\alpha ^{2}}{2n^{3}}}\left\{{\frac {3}{4n}}-\left[{\frac {l(l+1)-m_{l}m_{s}}{l(l+1/2)(l+1)}}\right]\right\}
แอร์เอเชียแคมโบเดีย

แอร์เอเชียแคมโบเดีย (เขมร: អ៊ែរ អេស៊ា ខេមបូឌា) เป็นสายการบินราคาประหยัดสัญชาติกัมพูชา ที่มีฐานการบินที่ท่าอากาศยานนานาชาติพนมเปญ สายการบินก่อตั้งขึ้นผ่านการทำกิจการร่วมค้าระหว่างแอร์เอเชียและกลุ่มนักลงทุนศิวิไลซ์เอเชียในวันที่ 9 ธันวาคม ค.ศ. 2022 โดยได้เริ่มดำเนินงานในวันที่ 2 พฤษภาคม ค.ศ. 2024
ประวัติ

ในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 2017 แอร์เอเชียวางแผนที่จะเปิดสายการบินในเครือในประเทศกัมพูชาเพื่อรองรับนักท่องเที่ยวที่เพิ่มขึ้นจากมาเลเซียที่มาเยือนเมืองต่างๆ ของกัมพูชา ทั้งพนมเปญ เสียมราฐ และพระสีหนุ แผนการำจัดตั้งทั้งหมดหยุดชะงักจนแอร์เอเชียกลับมาดำเนินการต่อในเดือนพฤศจิกายน ค.ศ. 2019 ซึ่งจะได้รับการสนับสนุนจากสำนักงานเลขาธิการการบินพลเรือนแห่งรัฐในเดือนมกราคม ค.ศ. 2020
เมื่อวันที่ 9 ธันวาคม ค.ศ. 2022 แอร์เอเชียและศิวิไลซ์เอเชีย ลงนามในข้อตกลงร่วมทุนเพื่อก่อตั้งแอร์เอเชียแคมโบเดีย โดยกลุ่มแคปิตอล เอ เบอร์ฮาดจะถือหุ้นส่วน 51% ในขณะที่กลุ่มศิวิไลซ์เอเชียจะถือหุ้น 49% ที่เหลือ สายการบินคาการณ์ว่าจะได้รับการอนุมัติในวันที่ 18 มีนาคม ค.ศ. 2024 และคาดการณ์ว่าจะเริ่มดำเนินงานในวันที่ 2 พฤษภาคมของปีเดียวกัน
จุดหมายปลายทาง

แอร์เอเชียแคมโบเดียจะให้บริการเที่ยวบินไปยังจุดหมายปลายทางในระยะสี่ชั่วโมงจากฐานการบิน โดยจะให้บริการสู่จุดหมายปลายทางในอาเซียนเป็นหลัก และมีการคาดการณ์ว่าจะทำการบินในเส้นทางสู่อินเดีย จีน และประเทศในเอเชียเหนือ
| ประเทศ | เมือง | ท่าอากาศยาน | หมายเหตุ | อ้างอิง |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  กัมพูชา | พนมเปญ | ท่าอากาศยานนานาชาติพนมเปญ | ฐานการบิน |  |
|  กัมพูชา | เสียมราฐ | ท่าอากาศยานนานาชาติเสียมราฐ–อังกอร์ |  |  |
|  กัมพูชา | พระสีหนุ | ท่าอากาศยานนานาชาติจังหวัดพระสีหนุ |  |  |
|  มาเลเซีย | กัวลาลัมเปอร์ | ท่าอากาศยานนานาชาติกัวลาลัมเปอร์ |  |  |
|  สิงคโปร์ | สิงคโปร์ | ท่าอากาศยานชางงีสิงคโปร์ |  |  |
| เวียดนาม | ฮานอย | ท่าอากาศยานนานาชาติโหน่ยบ่าย | เริ่มต้น 25 มกราคม ค.ศ. 2025 |  |
| เวียดนาม | นครโฮจิมินห์ | ท่าอากาศยานนานาชาติเตินเซินเญิ้ต |  |  |
ฝูงบิน

ณ เดือนมกราคม ค.ศ. 2025 แอร์เอเชียแคมโบเดียมีเครื่องบินประจำการในฝูงบินดังนี้:
| เครื่องบิน | ประจำการ | คำสั่งซื้อ | ผู้โดยสาร | หมายเหตุ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| แอร์บัส เอ320-200 | 2 | 3 | 180 |  |
| รวม | 2 | 3 |  |  |
แอร์เอเชียแคมโบเดียมีอายุฝูงบินเฉลี่ย 13.1 ปี
ยึดด่วน วันสิ้นโลก

| ยึดด่วน วันสิ้นโลก |
| --- | --- |
Theatrical release poster
กำกับ: Bong Joon-ho
บทภาพยนตร์:   Bong Joon-ho  Kelly Masterson 
เนื้อเรื่อง: Bong Joon-ho
สร้างจาก: Le Transperceneige โดย Jacques Lob Benjamin Legrand Jean-Marc Rochette
อำนวยการสร้าง:   Park Chan-wook  Lee Tae-hun  Jeong Tae-sung  Steven Nam 
นักแสดงนำ:   Chris Evans  Song Kang-ho  Tilda Swinton  Jamie Bell  ออคตาเวีย สเปนเซอร์  Ewen Bremner  Ko Asung  John Hurt  Ed Harris 
กำกับภาพ: Hong Kyung-pyo
ตัดต่อ:   Steve M. Choe  Changju Kim 
ดนตรีประกอบ: Marco Beltrami
บริษัทผู้สร้าง:   Moho Film  Opus Pictures  Stillking Films 
ผู้จัดจำหน่าย:   ซีเจ อีแอนด์เอ็ม (เกาหลีใต้) 
วันฉาย:   29 กรกฎาคม ค.ศ. 2013 (2013-07-29) (Times Square premiere)  1 สิงหาคม ค.ศ. 2013 (2013-08-01) (เกาหลีใต้) 
ความยาว: 126 นาที
ประเทศ:   เกาหลีใต้  เช็กเกีย 
ภาษา:   อังกฤษ  เกาหลี 
ทุนสร้าง: $40 ล้าน
ทำเงิน: $86.8 ล้าน
ยึดด่วน วันสิ้นโลก (อังกฤษ: Snowpiercer) เป็นภาพยนตร์พูดภาษาอังกฤษที่เป็นการร่วมทุนระหว่างเกาหลีใต้กับเช็ค แนวแอคชันดราม่าวิทยาศาสตร์ ดัดแปลงจากนิยายภาพภาษาอังกฤษเรื่อง Le Transperceneige เขียนโดย Jacques Lob, Benjamin Legrand, และ Jean-Marc Rochette กำกับโดย Bong Joon-ho เขียนบทโดย Bong และ Kelly Masterson
ภาพยนตร์เรื่องนี้มีฉากเป็นขบวนรถไฟ Snowpiercer ที่เดินทางไปรอบโลก บนรถไฟมีมนุษย์ที่เหลือรอดจากภัยพิบัติที่เป็นผลจากความพยายามควบคุมสภาพอากาศโดยมนุษย์เพื่อหยุดยั้งภาวะโลกร้อน จนเกิดเป็นยุคน้ำแข็งใหม่
ไคเซอร์

สำหรับความหมายอื่น ดูที่ ไคเซอร์ (แก้ความกำกวม)
(ซ้าย)​ วิลเฮ็ล์มที่ 2 ไคเซอร์แห่งจักรวรรดิเยอรมัน ระหว่างปี 1888 ถึง 1918;
(ขวา)​ ฟรันทซ์ โยเซ็ฟที่ 1 ไคเซอร์แห่งจักรวรรดิออสเตรีย ระหว่างปี 1848 ถึง 1916
ไคเซอร์ (เยอรมัน: Kaiser) คือพระบรมราชอิสริยยศเยอรมันซึ่งเทียบได้กับจักรพรรดิ มีรากศัพท์มาจากคำว่า "ไกซาร์" (Caesar) ของสาธารณรัฐโรมัน เช่นเดียวกับคำว่า "ซาร์" (Tsar) ในภาษารัสเซีย
จักรพรรดิโรมันอันศักดิ์สิทธิ์เรียกตนเองว่า ไคเซอร์ เนื่องจากมองว่าอาณาจักรของตนนั้นสืบทอดมาจากจักรวรรดิโรมัน จึงได้ใช้ชื่อนี้เพื่อแสดงถึงต้นกำเนิดเก่าก่อน นอกจากนี้ พระเจ้าแผ่นดินแห่งจักรวรรดิออสเตรีย-ฮังการีที่มาจากราชวงศ์ฮาพส์บวร์คก็ใช้พระอิสริยยศว่าไคเซอร์เช่นกัน
ไคเซอร์แห่งจักรวรรดิออสเตรีย (ค.ศ. 1804–1918) ได้แก่:
ฟรันทซ์ที่ 1 แห่งออสเตรีย
แฟร์ดีนันท์ที่ 1 แห่งออสเตรีย
ฟรันทซ์ โยเซ็ฟที่ 1 แห่งออสเตรีย
คาร์ลที่ 1 แห่งออสเตรีย
ไคเซอร์แห่งจักรวรรดิเยอรมัน (ค.ศ. 1871–1918) ได้แก่:
วิลเฮ็ล์มที่ 1 แห่งเยอรมนี
ฟรีดริชที่ 3 แห่งเยอรมนี
วิลเฮ็ล์มที่ 2 แห่งเยอรมนี
ดูเพิ่ม

จักรพรรดิเยอรมัน
จักรพรรดิออสเตรีย
| ด ค กจักรพรรดิเยอรมัน |
| --- | --- | --- |
| ไคเซอร์ |   วิลเฮ็ล์มที่ 1 (1871–1888) · ฟรีดริชที่ 3 (1888) · วิลเฮ็ล์มที่ 2 (1888–1918)  |  |
| อ้างสิทธิ |   วิลเฮ็ล์มที่ 2 (1918–1941) · วิลเฮ็ล์มที่ 3 (1941–1951) · ลุยส์ แฟร์ดีนันด์ (1951–1994) · เกออร์ค ฟรีดริช (ตั้งแต่ 1994)  |  |
| ด ค กจักรพรรดิแห่งออสเตรีย |
| --- | --- | --- |
| ไคเซอร์ |   ฟรันทซ์ที่ 1 (1804–1835) · แฟร์ดีนันท์ที่ 1 (1835–1848) · ฟรันทซ์ โยเซ็ฟที่ 1 (1848–1916) · คาร์ลที่ 1 (1916–1918)  |  |
| อ้างสิทธิ |   คาร์ลที่ 1 (1918–1922) · อ็อทโทที่ 1 (1922–2011) · คาร์ลที่ 2 (2011–ปัจจุบัน) · ทายาท: แฟร์ดีนันด์ ซโวนีมีร์  |  |
รายชื่อผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานคร

บนซ้าย: ชำนาญ ยุวบูรณ์ ผู้ว่าราชการกรุงเทพฯ คนแรก (แต่งตั้ง)
บนขวา: ธรรมนูญ เทียนเงิน ผู้ว่าราชการกรุงเทพฯ คนแรกที่มาจากการเลือกตั้ง
ล่างซ้าย: หม่อมราชวงศ์สุขุมพันธุ์ บริพัตร ผู้ว่าราชการกรุงเทพฯ ที่ดำรงตำแหน่งนานที่สุด
ล่างขวา: ชัชชาติ สิทธิพันธุ์ ผู้ว่าราชการกรุงเทพฯ คนปัจจุบัน
ผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานครเป็นตำแหน่งหัวหน้าฝ่ายบริหารของกรุงเทพมหานคร มีผู้ดำรงตำแหน่งผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานครไปแล้วทั้งสิ้น 17 คน 20 วาระ จำแนกเป็นผู้ว่าราชการที่มาจากการเลือกตั้ง 8 คน มาจากการแต่งตั้ง 9 คน
ผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานครคนแรก คือ ชำนาญ ยุวบูรณ์ ผู้ดำรงตำแหน่งคนแรกที่มาจากการเลือกตั้ง คือ ธรรมนูญ เทียนเงิน ผู้ดำรงตำแหน่งเป็นระยะเวลานานที่สุด คือ หม่อมราชวงศ์สุขุมพันธุ์ บริพัตร ผู้ดำรงตำแหน่งคนปัจจุบัน คือ ชัชชาติ สิทธิพันธุ์ อดีตผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานครที่ยังมีชีวิตอยู่มีจำนวน 6 คน ได้แก่ อาษา เมฆสวรรค์, จำลอง ศรีเมือง, พิจิตต รัตตกุล, อภิรักษ์ โกษะโยธิน, หม่อมราชวงศ์สุขุมพันธุ์ บริพัตร และอัศวิน ขวัญเมือง
รายชื่อผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานคร

| ลำดับ | รูป | ชื่อ | ที่มา | วาระดำรงตำแหน่ง> เริ่มวาระ | วาระดำรงตำแหน่ง> สิ้นสุดวาระ (สิ้นสุดโดย) | วาระดำรงตำแหน่ง> ระยะเวลา | พรรค | พรรค |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 |  | ชำนาญ ยุวบูรณ์ | แต่งตั้งโดยคณะรัฐมนตรี | 1 มกราคม พ.ศ. 2516 | 22 ตุลาคม พ.ศ. 2516 | 0 ปี 294 วัน |  | - |
| 2 |  | อรรถ วิสูตรโยธาภิบาล | แต่งตั้งโดยคณะรัฐมนตรี | 1 พฤศจิกายน พ.ศ. 2516 | 4 มิถุนายน พ.ศ. 2517 | 0 ปี 215 วัน |  | - |
| 3 |  | ศิริ สันติบุตร | แต่งตั้งโดยคณะรัฐมนตรี | 5 มิถุนายน พ.ศ. 2517 | 13 มีนาคม พ.ศ. 2518 | 0 ปี 281 วัน |  | - |
| 4 |  | สาย หุตะเจริญ | แต่งตั้งโดยคณะรัฐมนตรี | 29 พฤษภาคม พ.ศ. 2518 | 9 สิงหาคม พ.ศ. 2518 | 0 ปี 72 วัน |  | - |
| 5 |  | ธรรมนูญ เทียนเงิน | เลือกตั้ง พ.ศ. 2518 | 10 สิงหาคม พ.ศ. 2518 | 29 เมษายน พ.ศ. 2520 | 1 ปี 262 วัน |  | ประชาธิปัตย์ |
| 6 |  | ชลอ ธรรมศิริ | แต่งตั้งโดยกระทรวงมหาดไทย | 29 เมษายน พ.ศ. 2520 | 14 พฤษภาคม พ.ศ. 2522 | 2 ปี 15 วัน |  | - |
| 7 |  | เชาวน์วัศ สุดลาภา | แต่งตั้งโดยกระทรวงมหาดไทย | 4 กรกฎาคม พ.ศ. 2522 | 16 เมษายน พ.ศ. 2524 | 1 ปี 286 วัน |  | - |
| 8 |  | เทียม มกรานนท์ | แต่งตั้งโดยกระทรวงมหาดไทย | 28 เมษายน พ.ศ. 2524 | 1 พฤศจิกายน พ.ศ. 2527 | 3 ปี 187 วัน |  | - |
| 9 |  | อาษา เมฆสวรรค์ | แต่งตั้งโดยกระทรวงมหาดไทย | 6 พฤศจิกายน พ.ศ. 2527 | 13 พฤศจิกายน พ.ศ. 2528 | 1 ปี 7 วัน |  | - |
| 10 |  | พลตรี จำลอง ศรีเมือง | เลือกตั้ง พ.ศ. 2528 | 14 พฤศจิกายน พ.ศ. 2528 | 14 พฤศจิกายน พ.ศ. 2532 | 6 ปี 15 วัน |  | กลุ่มรวมพลัง |
| 10 |  | พลตรี จำลอง ศรีเมือง | เลือกตั้ง พ.ศ. 2533 | 7 มกราคม พ.ศ. 2533 | 22 มกราคม พ.ศ. 2535 | 6 ปี 15 วัน |  | พลังธรรม |
| 11 |  | ร้อยเอก กฤษฎา อรุณวงษ์ ณ อยุธยา | เลือกตั้ง พ.ศ. 2535 | 19 เมษายน พ.ศ. 2535 | 18 เมษายน พ.ศ. 2539 | 4 ปี 0 วัน |  | พลังธรรม |
| 12 |  | พิจิตต รัตตกุล | เลือกตั้ง พ.ศ. 2539 | 3 มิถุนายน พ.ศ. 2539 | 22 กรกฎาคม พ.ศ. 2543 | 4 ปี 49 วัน |  | กลุ่มมดงาน |
| 13 |  | สมัคร สุนทรเวช | เลือกตั้ง พ.ศ. 2543 | 23 กรกฎาคม พ.ศ. 2543 | 28 สิงหาคม พ.ศ. 2547 | 4 ปี 36 วัน |  | ประชากรไทย |
| 14 |  | อภิรักษ์ โกษะโยธิน​ | เลือกตั้ง พ.ศ. 2547 | 29 สิงหาคม พ.ศ. 2547 | 5 ตุลาคม พ.ศ. 2551 | 4 ปี 82 วัน |  | ประชาธิปัตย์ |
| 14 |  | อภิรักษ์ โกษะโยธิน​ | เลือกตั้ง พ.ศ. 2551 | 5 ตุลาคม พ.ศ. 2551 | 19 พฤศจิกายน พ.ศ. 2551 (ลาออก) | 4 ปี 82 วัน |  | ประชาธิปัตย์ |
| 15 |  | หม่อมราชวงศ์สุขุมพันธุ์ บริพัตร | เลือกตั้ง พ.ศ. 2552 | 11 มกราคม พ.ศ. 2552 | 9 มกราคม พ.ศ. 2556 (ลาออก) | 6 ปี 202 วัน |  | ประชาธิปัตย์ |
| 15 |  | หม่อมราชวงศ์สุขุมพันธุ์ บริพัตร | เลือกตั้ง พ.ศ. 2556 | 3 มีนาคม พ.ศ. 2556 | 18 ตุลาคม พ.ศ. 2559 | 6 ปี 202 วัน |  | ประชาธิปัตย์ |
| 16 |  | พลตำรวจเอก อัศวิน ขวัญเมือง | แต่งตั้งโดยคณะรักษาความสงบแห่งชาติ | 18 ตุลาคม พ.ศ. 2559 | 24 มีนาคม พ.ศ. 2565  (ลาออก) | 5 ปี 157 วัน |  | - |
| 17 |  | ชัชชาติ สิทธิพันธุ์ | เลือกตั้ง พ.ศ. 2565 | 22 พฤษภาคม พ.ศ. 2565 | ปัจจุบัน | 2 ปี 231 วัน |  | อิสระ |
ดูเพิ่ม

ผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานคร
การเลือกตั้งผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานคร
สภากรุงเทพมหานคร
แหล่งข้อมูลอื่น

สำนักงานปกครองท้องถิ่นกรุงเทพมหานคร
ผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานครในอดีต
| ด ค กผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานคร |
| --- | --- | --- |
|  ชำนาญ ยุวบูรณ์  อรรถ วิสูตรโยธาภิบาล  สิริ สันตะบุตร  สาย หุตะเจริญ  ธรรมนูญ เทียนเงิน  ชลอ ธรรมศิริ  เชาวน์วัศ สุดลาภา  เทียม มกรานนท์  อาษา เมฆสวรรค์  จำลอง ศรีเมือง  กฤษฎา อรุณวงษ์ ณ อยุธยา  พิจิตต รัตตกุล  สมัคร สุนทรเวช  อภิรักษ์ โกษะโยธิน  ม.ร.ว.สุขุมพันธุ์ บริพัตร  อัศวิน ขวัญเมือง  ชัชชาติ สิทธิพันธุ์  |  ชำนาญ ยุวบูรณ์  อรรถ วิสูตรโยธาภิบาล  สิริ สันตะบุตร  สาย หุตะเจริญ  ธรรมนูญ เทียนเงิน  ชลอ ธรรมศิริ  เชาวน์วัศ สุดลาภา  เทียม มกรานนท์  อาษา เมฆสวรรค์  จำลอง ศรีเมือง  กฤษฎา อรุณวงษ์ ณ อยุธยา  พิจิตต รัตตกุล  สมัคร สุนทรเวช  อภิรักษ์ โกษะโยธิน  ม.ร.ว.สุขุมพันธุ์ บริพัตร  อัศวิน ขวัญเมือง  ชัชชาติ สิทธิพันธุ์  |  |
 รายชื่อ  หมวดหมู่  เกี่ยวกับ 
| ด ค กการเลือกตั้งผู้ว่าราชการกรุงเทพมหานคร |
| --- | --- |
 2518  2528  2533  2535  2539  2543  2547  2551  2552  2556  2565  ครั้งถัดไป
กฎของโลปีตาล

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ของกฎของโลปีตาล เมื่อ  {\color {orange}f(x)}=\color {orange}\sin(x) และ  {\color {red}g(x)}=\color {red}-0.5x ของฟังก์ชัน  {\color {brown}h(x)}={\color {orange}f(x)}/{\color {red}g(x)} จะไม่นิยาม ณ ตำแหน่ง x = 0 แต่สามารถทำให้ฟังก์ชันนั้นต่อเนี่องใน  \mathbb {R}  โดยนิยามให้  {\color {brown}h(0)}={\color {teal}f'(0)}/{\color {blue}g'(0)}=-2
ในแคลคูลัส กฎของโลปีตาล (อังกฤษ: L'Hôpital's rule) หรือ กฎของแบร์นูลลี (อังกฤษ: Bernoulli's rule) เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด (อังกฤษ: indeterminate forms) ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา
กฏของโลปีตาล — ฟังก์ชัน  f และ  g ที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด  I ยกเว้นเมื่อที่จุด  c อยู่ใน  I
ถ้า  \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0 หรือ  \pm \infty  และ  g'(x)\neq 0
สำหรับทุก  x ใน  I ที่  x\neq c และ  \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}} หาค่าได้
แล้ว  \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}
ประวัติ

กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปี พ.ศ. 2239 (ค.ศ. 1696) ในหนังสือชื่อ Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อโยฮันน์ แบร์นูลลี
รูปทั่วไป

รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้  c และ  L เป็นจำนวนจริงส่วนขยาย (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้  I เป็นช่วงเปิดที่มี  c อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี  c เป็นจุดปลาย (สำหรับลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตที่อนันต์ ถ้า  c เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง  f และ  g หาอนุพันธ์ได้บน  I อาจยกเว้นที่  c และ  g'(x)\neq 0 บน  I อาจยกเว้นที่  c ด้วย ยังสมมติให้ 




lim

x
→
c






f
′

(
x
)



g
′

(
x
)



=
L


{\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}

 ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่  x มีค่าเข้าไกล้  c
ถ้า
หรือ
อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว
ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป  x\to c ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว ( x\to c^{+} หรือ  x\to c^{-}) เมื่อ  c เป็นจุดปลายจำกัดของ  I
ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้  f ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่องบทพิสูจน์) ดังนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า 




lim

x
→
c



|

g
(
x
)

|

=
∞


{\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }
สมมุติฐานที่ว่า  g'(x)\neq 0 จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่ง คือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง  I อาจยกเว้นที่  c อีกวิธี คือให้ทั้ง  f และ  g จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี  c อยู่
ตัวอย่าง

ตัวอย่างพื้นฐานที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในรูปแบบยังไม่กำหนด  {\frac {0}{0}} ที่  x=0 {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\[4pt]&=1\end{aligned}}
ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นที่เป็น 





0
0




{\textstyle {\frac {0}{0}}}

 การใช้กฎของโลปีตาลเพียงครั้งเดียวผลลัพท์ยังคงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดอยู่ ในที่นี้ ลิมิตอาจหาค่าได้โดยการใชกฎของโลปีตาลสามครั้ง
{\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\[4pt]&={\frac {-2+8}{1}}\\[4pt]&=6\end{aligned}}
ตัวอย่างที่เป็น 





∞
∞




{\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}}

 \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า  n เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า  n เป็นเศษส่วน) ถีงจะสรุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์
ตัวอย่างที่เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด  0\cdot \infty  (ดูข้างล่าง) ซึ่งเขียนใหม่ได้ในรูป  {\frac {\infty }{\infty }} \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.
สามารถใช้กฎของโลปีตาลในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า  f หาอนุพันธ์ได้สองครั้งในบริเวณใกล้เคียงกับ  x และอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงนี้ แล้ว {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x)\end{aligned}}
บางครั้งมีวิธีพลิกแพลงที่ใช้กฎของโลปีตาล เช่นสมมติให้  f(x)+f'(x) ลู่เข้าเมื่อ  x\to \infty  และ  e^{x}\cdot f(x) ลู่เข้าหาอนันต์บวกหรืออนันต์ลบ แล้ว \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}ดังนั้นถ้า 




lim

x
→
∞


f
(
x
)


{\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}

 หาค่าได้ แล้ว 




lim

x
→
∞



f
′

(
x
)
=
0


{\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0}
รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น  1^{\infty }  0^{0}  \infty ^{0}  0\cdot \infty  และ  \infty -\infty  สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี  \infty -\infty  โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร
{\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}
กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4)
กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มีเลขยกกำลังโดยใช้ลอการิทึมช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น
\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\cdot \ln x}=e^{\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}
ย้ายลิมิตเข้าไปในฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง  x "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต  \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด  0\cdot \infty  แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า
\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0  ดังนั้น  \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1
ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล
| รูปแบบยังไม่กำหนด | เงื่อนไข | การแปลงเป็น  0/0 |
| --- | --- | --- |
|  {\frac {0}{0}} |  \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\! | — |
|  {\frac {\infty }{\infty }} |  \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \! |  \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\! |
|  0\cdot \infty  |  \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \! |  \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\! |
|  \infty -\infty  |  \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \! |  \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\! |
|  0^{0} |  \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\! |  \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\! |
|  1^{\infty } |  \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \! |  \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\! |
|  \infty ^{0} |  \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\! |  \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\! |
บทพิสูจน์กฎโลปีตาล > กรณีพิเศษ

การพิสูจน์กฎโลปีตาลนั้นง่ายในกรณีที่  f และ  g ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด  c และหลังหาอนุพันธ์ครั้งแรกจะเจอลิมิตจำกัด จึงไม่ใช่การพิสูจน์กฎโลปีตาลทั่วไปเพราะมีความจำกัดกว่านิยาม ฟังก์ชันทั้งสองต้องต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ และ  c เป็นจำนวนจริง เนื่องจากฟังก์ชันทั่วไปต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ (ต.ย. พหุนาม ไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) จึงเป็นกรณีที่สมควรแก่การสนใจ
ให้  f และ  g ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จำนวนจริง  c โดย  f(c)=g(c)=0 และ  g'(c)\neq 0 แล้ว  {\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\end{aligned}}มาจากนิยามอัตราส่วนเชิงผลต่างของอนุพันธ์ การเท่ากันครั้งสุดท้ายเกิดจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่  c ลิมิตทีสรุปมาได้เป็นรูปแบบกำหนดเพราะ  g'(c)\neq 0
บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎโลปีตาลได้รับการอธีบายไว้ข้างล่างนี้
สมการเชิงเส้น

ตัวอย่างกราฟของสมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร x และ y คือ
โดยที่ m คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ b แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน y สำหรับสมการที่มีพจน์ x2, y1/3, xy ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น
ตัวอย่าง

สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น
รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น
ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ x และ y คือตัวแปร
รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ > รูปแบบทั่วไป

เมื่อ A กับ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุก ๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ A ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน x จะอยู่ที่ระยะ −C/A และเมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน y จะอยู่ที่ระยะ −C/B ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −A/B