กฎของโลปีตาล
บทพิสูจน์กฎโลปีตาล > บทพิสูจน์ทั่วไป

บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นของเทย์เลอร์ (1952) harvtxt error: no target: CITEREFเทย์เลอร์1952 (help) ซึ่งพิสูจน์รูปแบบยังไม่กำหนดทั้ง 





0
0




{\textstyle {\frac {0}{0}}}

 และ 






±
∞


±
∞





{\textstyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}

 เทย์เลอร์ยังทราบว่ามีบทพิสูจน์อื่นอยู่ในเลตเทินมาเยอร์ (1936) harvtxt error: no target: CITEREFเลตเทินมาเยอร์1936 (help) และวาเซวสกี (1949) harvtxt error: no target: CITEREFวาเซวสกี1949 (help)
ให้  f และ  g เป็นฟังชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่ตั้งไว้ในหัวข้อรูปทั่วไป ให้  {\mathcal {I}} เป็นช่วงเปิดในสมมติฐานที่มีจุดปลาย  c พิจรณาให้  g'(x)\neq 0 บนช่วงนี้ และ  g ต่อเนื่อง สามารถเลือก  {\mathcal {I}} ที่เล็กกว่าที่ทำให้  g ไม่เป็นศูนย์บน  {\mathcal {I}} ได้
สำหรับทุก  x ในช่วง นิยามให้  m(x)=\inf {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}และ  M(x)=\sup {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}} โดยที่  \xi  มีค่าอยู่ระหว่าง  x และ  c (ฟังก์ขัน 



inf


{\textstyle \inf }

 กับ 



sup


{\textstyle \sup }

 คืออินฟิมัมกับซูพรีมัมตามลำดับ)
จากการหาอนุพันธ์ได้ของ  f และ  g บน  {\mathcal {I}} ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชียืนยันได้ว่าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ  x และ  y ใน  {\mathcal {I}} จะมี  \xi  ระหว่างค่า  x และ  y ที่ทำให้  {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}  ส่งผลให้  m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x) สำหรับทุกตัวเลือกค่า  x และ  y ที่แตกต่างในช่วง
ค่า  g(x)-g(y) ไม่เป็นศูนย์เมื่อ  x และ  y แตกต่างกันในช่วง เพราะถ้ามีค่าเป็นศูนย์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะนิรนัยได้ว่ามี  p ที่อยู่ระหว่าง  x และ  y ที่ทำให้  g'(p)=0
จากนิยามของ  m(x) และ  M(x) ทำให้ค่าเป็นจำนวนจริงขยาย และอาจสามารถมีค่าเป็น 



±
∞


{\textstyle \pm \infty }

 ได้  ในกรณีต่อไปนี้  m(x) และ  M(x) จะเป็นขอบเขตของอัตราส่วน 





f
g




{\textstyle {\frac {f}{g}}}
กรณีที่ 1  \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0
สำหรับทุก  x ในช่วง  {\mathcal {I}} และจุด  y ระหว่าง  x และ  c
m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)
และเมื่อ  y มีค่าเข้าใกล้  c  ทั้ง  {\frac {f(y)}{g(x)}} และ  {\frac {g(y)}{g(x)}} จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ทำให้
m
(
x
)
≤



f
(
x
)


g
(
x
)



≤
M
(
x
)


{\textstyle m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x)}
กรณีที่ 2  \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty
สำหรับทุก  x บนช่วง  {\mathcal {I}} นิยาม  S_{x}=\{y\mid y อยู่ระหว่าง  x และ  c\}  สำหรับทุกจุด  y ระหว่าง  x และ  c
m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x)
โดยที่เมือ  y มีค่าเข้าใกล้  c ทั้ง  {\frac {f(x)}{g(y)}} และ  {\frac {g(x)}{g(y)}} จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น
m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).
ลิมิตอินฟิเรียร์ และลิมิตซูพีเรียร์นั้นจำเป็นเนื่องจากการมีอยู่ของลิมิต 





f
g




{\textstyle {\frac {f}{g}}}

 ยังไม่ได้รับการยืนยัน
แบ่งได้เป็นสองกรณีได้แก่
\lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L
และ
\lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}} และ \lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}
ในกรณีแรก ทฤษฎีบทการบีบบอกได้ว่า  \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}} หาค่าได้และเท่ากับ  L  ในกรณีที่สอง ทฤษฎีบทการบีบยังบอกได้ว่า  \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L ดังนั้น  \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}} หาค่าได้และเท่ากับ  L นี่เป็นผลลัพท์ที่ต้องพิสูจน์
ในกรณีที่สอง สมมติฐานที่ว่า  f(x) ลู่ออกไปหาอนันต์ไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ หมายความว่าถ้า  |g(x)| ลู่ออกหาอนันต์เมื่อ  x เข้าใกล้  c และทั้ง f และ  g สอดคล้องกับสมมติฐานของกฎของโลปีตาล แล้ว  f(x) ไม่จำเป็นที่ต้องมีสมมติฐานเพิ่ม ลิมิตของ  f(x) อาจไม่มีก็ได้ ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโลปีตาลเป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทสโตลซ์-เชซาโร