대수기하학
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먼저  k가 체라 하자. 고전적 대수기하학에서는 언제나  k를 복소수체  \mathbb {C} 로 놓았으나, 실제로는  k가 대수적으로 닫혀있다는 가정만 하면 대부분의 결과가 동일하게 성립한다. 이때  \mathbb {A} ^{n}(k)를  k_{n}으로 정의하여  k상의  n차원 아핀 공간이라 하고,  k가 문맥에서 명확한 경우에는 단순히  \mathbb {A} ^{n}이라고 쓴다. 이는 쓸데없는 정의로 보일 수도 있지만,  k^{n}이 갖는 벡터 공간으로서의 구조를 '무시하기' 위한 것으로 볼 수 있다. 즉,  \mathbb {A} ^{n}을 단순한 점집합으로 보자는 것이다.
함수  f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{1}가 다항식으로 표현될 수 있을 경우, 이를 정칙 함수(regular function)라 한다. 구체적으로는,  k[x_{1},\cdots ,x_{n}]에 속하는 적당한 다항식  p가 있어서  \mathbb {A} ^{n}에 속하는 임의의 점  (t_{1},\cdots ,t_{n})에 대해  f(t_{1},\cdots ,t_{n})=p(t_{1},\cdots ,t_{n})이 성립하는 경우를 말한다.
따라서  n차원 아핀 공간 상의 정칙 함수는  k상의  n변수 다항식과 동일한 것이며, 이를  k[\mathbb {A} ^{n}]로 쓴다.
다항식의 값이 0이 되는 점을 그 다항식의 영점이라고 한다.  S가  k[\mathbb {A} ^{n}]의 부분집합일 때,  S에 속하는 모든 다항식들이 0이 되는 점을  V(S)로 쓰고, ' S의 영점'이라고 한다. 기호로 쓰면 다음과 같다:
\mathbb {A} ^{n}의 부분 집합이 적당한  S에 대해  V(S)와 일치할 경우, 이를 대수적 집합이라 한다. 여기에서  V는 아래에서 설명할 특수한 종류의 대수적 집합인 대수다양체(영어: variety)의 첫 글자를 딴 것이다.
역으로, 대수적 집합  U가 주어졌을 때 이로부터  V(S)=U가 되는 집합  S를 찾아내는 문제를 생각해 보자.  U가 임의의  \mathbb {A} ^{n}의 부분집합일 때,  I(U)를 영점이  U를 포함하는 다항식들의 집합으로 정의한다. 여기에서  I는 ideal(아이디얼)의 첫 글자이다. 다항식  f와  g가  U에서 0이 될 경우,  f+g도  U에서 0이 되며, 임의의 다항식  h에 대해  hf도  U에서 0이 되므로,  I(U)는 언제나  k[\mathbb {A} ^{n}]의 아이디얼이 되기 때문이다.
이제 다음과 같은 두 질문을 제기할 수 있다.
\mathbb {A} ^{n}의 부분집합  U에 대해, 어떤 경우에  U=V(I(U))가 성립할까?
다항식들의 집합  S에 대해, 어떤 경우에  S=I(V(S))가 성립할까?
첫 번째 질문에 대한 대답은 자리스키 위상을 도입함으로써 얻을 수 있다. 자리스키 위상은  \mathbb {A} ^{n} 상에 정의되는,  k[\mathbb {A} ^{n}]의 대수적 구조가 반영된 위상이다. 이때  U=V(I(U))가 성립할 필요충분조건은  U가 자리스키 위상에서 닫힌 집합이라는 것이다. 두 번째 질문에 대한 대답은 힐베르트 영점 정리이다. 이 정리의 한 형태에 따르면,  I(V(S))는  S에 의해 생성되는 소근기이다. 보다 추상적인 언어로 말하자면,  I와  V 사이에는 갈루아 대응(Galois connection)이 있으며, 둘을 합성하면 폐포 연산자가 된다는 것이다.
힐베르트 기저 정리(Hilbert's basis theorem)에 따르면  k[\mathbb {A} ^{n}]의 모든 아이디얼은 유한 생성된다. 따라서 아이디얼 전체가 아닌 유한개의 다항식만을 대상으로 논리를 전개해서 정리를 증명할 수도 있으며, 이는 기초적인 대수기하학에서 중요한 도구가 된다.
그보다 작은 두 대수 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 대수 집합을 기약 대수 집합(irreducible algebraic set)이라 하며, 이를 또한 대수다양체라고도 부른다. 대수 집합이 대수다양체가 될 필요충분조건은 그 집합을 정의하는 다항식들의 집합이 다항식환 내에서 소 아이디얼을 생성한다는 것이다.
즉, 대수적으로 닫힌 체 k의 경우, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.
| 다항식환  k[\mathbb {A} ^{n}]의 대수적 성질 | 아핀 공간  \mathbb {A} ^{n}(k)의 기하학적 대상 |
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아이디얼  {\mathfrak {a}}: 아핀 대수 집합  V({\mathfrak {a}})=\bigcap _{a\in {\mathfrak {a}}}a^{-1}(0)\subset \mathbb {A} ^{n} (자리스키 위상에서 닫힌 부분 집합)
환의 원소  f\in k[\mathbb {A} ^{n}]: 아핀 공간 위의 정칙함수  f\colon \mathbb {A} ^{n}\to k
극대 아이디얼  (x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots ,x_{n}-a_{n}): 아핀 공간의 점  (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in \mathbb {A} ^{n} (스킴에서의 닫힌 점)
소 아이디얼  {\mathfrak {p}}: (기약) 아핀 대수다양체  V({\mathfrak {p}})=\bigcap _{p\in {\mathfrak {p}}}p^{-1}(0)\subset \mathbb {A} ^{n} (스킴에서의 닫히지 않은 점)
(유한 개의) 아이디얼의 곱  {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}: 대수 집합의 합집합  V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})
(임의의 개수의) 아이디얼의 합  \sum _{\alpha \in I}{\mathfrak {a}}_{\alpha }: 대수 집합의 교집합  \bigcap _{\alpha \in I}V({\mathfrak {a}}_{\alpha })
소근기  {\sqrt {\mathfrak {a}}}: 자리스키 위상에서의 폐포  \operatorname {cl} (V({\mathfrak {a}}))
영 아이디얼  \{0\}\subset k[\mathbb {A} ^{n}]: 아핀 공간 전체  \mathbb {A} ^{n}
단위 아이디얼  k[\mathbb {A} ^{n}]: 공집합  \varnothing \subset \mathbb {A} ^{n}
아이디얼에  대한 몫환  k[\mathbb {A} ^{n}]/{\mathfrak {a}}: 대수 집합 위 정칙함수(regular function)  V({\mathfrak {a}})\to k들의 환  I(V({\mathfrak {a}}))
몫환에서의 동치류  f+{\mathfrak {a}}\in k[\mathbb {A} ^{n}]/{\mathfrak {a}}: 정칙함수의  V({\mathfrak {a}})에 대한 제한
소 아이디얼에 대한 몫환의 분수체  \operatorname {Frac} (k[\mathbb {A} ^{n}]/{\mathfrak {p}}): 대수다양체  V({\mathfrak {p}}) 위 유리 함수체
소 아이디얼에 대한 몫환의 크룰 차원 (=몫환의 분수체의 초월 차수(transcendence degree)): 대수다양체의 차원
즉, 아이디얼들의 곱과 합은 위상 공간에서 닫힌 집합들의 공리(유한개의 닫힌 집합의 합집합 또는 임의의 개수의 닫힌 집합의 교집합 역시 닫힌 집합)를 만족한다. 따라서, 아이디얼들을 어떤 위상의 닫힌 집합으로 볼 수 있다. 이를 자리스키 위상이라고 한다.