단조 정규 공간
성질 > 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 거리화 가능 공간 | → | 단조 정규 하우스도르프 공간 | → | 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 | → | 집합족적 정규 하우스도르프 공간 |
|  | ↘ |  |  | ↓ |  | ↓ |
|  |  | 완전 정규 하우스도르프 공간 (T6) | → | 완비 정규 하우스도르프 공간 (T5) | → | 정규 하우스도르프 공간 (T4) |
증명 (거리화 가능 공간 → 단조 정규 하우스도르프 공간):
모든 거리 공간  (X,d)가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.
그렇다면,
가 연속 함수  X\to [0,1]이므로,  G(E,F)\subseteq X는 열린집합이다. 만약
라면,
이므로,
이다. 또한,
이다. 즉,  G\colon {\mathcal {D}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}는 단조 정규성 연산자이다.
증명 (단조 정규 하우스도르프 공간 → 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간):
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간  X 및 자기 서로소 단조 정규성 연산자
및 닫힌집합들의 이산 집합족
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족
을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의  F\in {\mathcal {F}}에 대하여,
라고 하자.  G의 정의에 따라,  U(F)는 열린집합이며,  F\subseteq U(F)이다. 만약  E,F\in {\mathcal {F}}이며  E\neq F라면,
이다. 즉,  \{U(F)\}_{F\in {\mathcal {F}}}는 서로소 집합족이다.
순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.:Theorem 5.3
증명:
임의의 전순서 집합  (X,\leq ) 위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.
(T1) 모든 한원소 집합은 닫힌집합이다.
(단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자  G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}가 존재한다.
T1. 임의의  x\in X에 대하여,
이므로 한원소 집합  \{x\}는 닫힌집합이다.
단조 정규성. 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라,  X 위에 임의의 정렬 전순서  W를 주자. 임의의 닫힌집합  F\subseteq X 및 점  x\in X\setminus F에 대하여, 다음과 같이 정의하자.
C(x,F)는  x를 포함하는  X\setminus F의 순서 볼록 성분이다.
만약  C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing 이라면,  a(x,F)=\min \nolimits _{(X,W)}(C(x,F)\cap (-\infty ,x))
만약  C(x,F)\cap (x,\infty )\neq \varnothing 이라면,  b(x,F)=\min \nolimits _{(X,W)}(C(x,F)\cap (x,\infty ))
이제,
라고 하자.  G\colon {\mathcal {N}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{X}가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.
G(x,F) 는 열린집합이다.
C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.)  x\in X\setminus F이며  X\setminus F가 열린집합이므로,  x\in (a,b)\subseteq X\setminus F인  a,b\in X가 존재한다.  (a,b)는  x를 포함하는 순서 볼록 집합이므로,  (a,b)\subseteq C(x,F)이다.  C(x,F)\cap (x,\infty )=\varnothing 이므로,  (x,b)=\varnothing 이다. 따라서,  (a(x,F),b)=(a(x,F),x]=G(x,F)이다.
x\in G(x,F)
이는 자명하다.
\operatorname {cl} G(x,F)\subseteq X\setminus F
C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )인 경우를 생각하자. 이 경우,  \operatorname {cl} G(x,F)=\operatorname {cl} (a(x,F),x]\subseteq [a(x,F),x]\subseteq C(x,F)\subseteq X\setminus F이다.
만약 E,F\subseteq X 가 닫힌집합이며, x\in X\setminus F\subseteq X\setminus E 라면, G(x,E)\subseteq G(x,F)
C(x,E)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,E)\cap (x,\infty )이며  C(x,F)\cap (-\infty ,x)\neq \varnothing =C(x,F)\cap (x,\infty )인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우,  G(x,E)=(a(x,E),x],  G(x,F)=(a(x,F),x]이다. 만약  a(x,E)=a(x,F)라면,  G(x,E)=G(x,F)이며, 특히  G(x,E)\subseteq G(x,F)이다. 이제,  a(x,E)\neq a(x,F)라고 가정하자.  X\setminus F\subseteq X\setminus E이므로,  C(x,F)\subseteq C(x,E)이다. 따라서,  a(x,E)\leq _{W}a(x,F)이며,  a(x,E)\neq a(x,F)이므로  a(x,E)<_{W}a(x,F)이다.  a(x,F)의 정의에 따라,  a(x,E)는  C(x,F)의 원소일 수 없다. 따라서,  a(x,E)<a(x,F)이며,  G(x,E)\subseteq G(x,F)이다.
임의의 서로 다른 x,y\in X 에 대하여, G(x,y)\cap G(y,x)=\varnothing
C(x,y)\cap (-\infty ,x)=\varnothing \neq C(x,y)\cap (x,\infty )이며  C(y,x)\cap (-\infty ,y)\neq \varnothing =C(y,x)\cap (y,\infty )인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우,  G(x,y)=[x,b(x,y)),  G(y,x)=(a(y,x),y]이다. 귀류법을 사용하여,  G(x,y)\cap G(y,x)\neq \varnothing 이라고 가정하자.  [x,b(x,y)]\subseteq C(x,y)\subseteq X\setminus \{y\},  [a(y,x),y]\subseteq C(y,x)\subseteq X\setminus \{x\}이므로,  x<a(y,x)<b(x,y)<y일 수밖에 없다. 따라서  a(y,x)=\min \nolimits _{(X,W)}(x,y)=b(x,y)이며, 이는 모순이다.