절단점
성질

연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.:2799, Theorem 3.2
증명:
연결 공간  X의 절단점  x\in X가 주어졌다고 하자. 그렇다면  X\setminus \{x\}의 열린닫힌집합  \varnothing \subsetneq A\subsetneq X\setminus \{x\}가 존재하며, 이에 대하여
인  X의 열린집합  U 및 닫힌집합  F가 존재한다.  X가 연결 공간이므로  U\neq F일 수밖에 없다. 따라서  \{x\}=U\setminus F이거나  \{x\}=F\setminus U이다. 만약  \{x\}=U\setminus F가 참이라면  \{x\}는 열린집합이다. 만약  \{x\}=F\setminus U가 참이라면  \{x\}는 닫힌집합이다.
크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
무한 집합이다.:2800, Corollary 3.8 이는 아래 두 성질의 공통적인 특수한 경우이다.
무한한 수의 닫힌 점을 갖는다.:2800, Theorem 3.7
콤팩트 공간이 아니다.:2800, Corollary 3.10 보다 일반적으로, 크기 2 이상의 콤팩트 연결 공간은 적어도 두 개의 비절단점을 갖는다.:2800, Theorem 3.9
증명 (무한한 수의 닫힌 점의 존재):
크기 2 이상의 절단점 공간  X가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점  x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc \in X를 구성하면 족하다. 수학적 귀납법을 사용하여,  n-1개의 열린집합  U_{1},\dotsc ,U_{n-1}\subseteq X 및  n-1개의 열린집합  V_{1},\dotsc ,V_{n-1}\subseteq X 및 서로 다른  n-1개의 닫힌 점  x_{1},\dotsc ,x_{n-1}\in X가 주어졌으며, 또한
이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.
V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}은 연결 공간. 귀류법을 사용하여, 열린닫힌집합  \varnothing \subsetneq V\subsetneq V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}이 주어졌다고 하자. 편의상  x_{n-1}\not \in V라고 하자. (만약  x_{n-1}\in V라면  V를 그 여집합  (V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\})\setminus V로 대체한다.)  V가  V_{n-1}의 열린집합이며,  V_{n-1}는  X의 열린집합이므로,  V는  X의 열린집합이다. 마찬가지로,  V가  V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}의 닫힌집합이며,  V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}=X\setminus U_{n-1}가  X의 닫힌집합이므로,  V는  X의 닫힌집합이다. 이는  X의 연결성과 모순이다.
닫힌 점  x_{n}\in U_{n-1}이 존재. 귀류법을 사용하여,  U_{n-1} 속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의  x\in U_{n-1}에 대하여,  \{x\}가 닫힌집합이 아니며,  U_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}이 닫힌집합이며,  U_{n-1}은 고립점들로 이루어지므로,  x_{n-1}\in \operatorname {cl} \{x\}이다. 따라서  \{x,x_{n-1}\}은 연결 공간이다.  V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\} 역시 연결 공간이므로,  x'\in U_{n-1}에 대하여,
은 연결 공간이다. 즉,  x'은 절단점이 아니며, 이는 모순이다.
X\setminus \{x_{n}\}=U_{n}\cup V_{n}이며  U_{n}\cap V_{n}=\varnothing \neq U_{n},V_{n}이며  x_{n-1}\in V_{n}인  X의 열린집합  U_{n},V_{n}가 존재. 이는  x_{n}이 닫힌 절단점이며,  x_{n-1}\neq x_{n}이기 때문이다. 만약  x_{n-1}\in U_{n}이라면  U_{n}과  V_{n}을 교환한다.
U_{n}\subseteq U_{n-1}.  U_{n}\cup \{x_{n}\}이 연결 공간이며,  U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq X\setminus \{x_{n-1}\}이므로,  U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq U_{n-1}이거나  U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq V_{n-1}인데,  x_{n}\in U_{n-1}이다. 따라서  U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq U_{n-1}이다.
x_{n}\not \in \{x_{1},\dotsc ,x_{n-1}\}. 임의의  i\in \{1,\dotsc ,n-1\}에 대하여,  x_{i}\not \in U_{i}이므로  x_{i}\not \in U_{n-1}이며, 또한  x_{n}\in U_{n-1}이다. 따라서  x_{n}\neq x_{i}이다.
증명 (비콤팩트성):
1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 연결 공간  X가 콤팩트 공간이 아님을 보이면 족하다.  X의 절단점의 집합은  X 전체이거나, 어떤 한 비절단점의 여집합이므로, 연결 공간이다. 따라서, 닫힌 절단점  x_{0}\in X가 존재한다.  A,B\subseteq X가 열린집합이며, 또한  X\setminus \{x_{0}\}=U\cup V이며  U\cap V=\varnothing 이며  U,V\neq \varnothing 이라고 하자. 그렇다면,  U와  V 가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상  U의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제,
라고 하고,  {\mathcal {S}} 위에 다음 부분 순서를 주자.
그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다.
{\mathcal {S}}는 극대 사슬  {\mathcal {C}}\neq \varnothing 를 가짐.  X가 연결 공간이므로  V는 닫힌집합이 아니며,  U가 열린집합이므로  V\cup \{x_{0}\}은 닫힌집합이다. 따라서  \operatorname {cl} V=V\cup \{x_{0}\}이며,  V\in {\mathcal {S}}이다. 하우스도르프 극대 원리에 따라 극대 사슬  \varnothing \neq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {S}}가 존재한다.
{\mathcal {S}}는 극대 원소를 갖지 않음. 임의의  W\in {\mathcal {S}}가 주어졌다고 하고,  \operatorname {cl} W\setminus W=\{y_{W}\}라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점  z_{W}\in X\setminus \operatorname {cl} W가 존재한다고 단언한다.  X\setminus \operatorname {cl} W의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의  y\in X\setminus \operatorname {cl} W에 대하여,  \{y\}은 닫힌집합이 아니며  (X\setminus \operatorname {cl} W)\cup \{y_{W}\}=X\setminus W는 닫힌집합이며  X\setminus \operatorname {cl} W의 모든 점은 고립점이므로,  \operatorname {cl} \{y_{W}\}=\{y_{W},y\}이며, 따라서  \{y_{W},y\}는 연결 공간이다. 임의의  \varnothing \subsetneq A\subsetneq \operatorname {cl} W에 대하여,  A는  X의 열린닫힌집합이 아니며,  W와  \operatorname {cl} W는 각각  X의 열린집합과 닫힌집합이므로,  A와  X\setminus A 가운데  W에 속하는 한 집합은  \operatorname {cl} W의 열린닫힌집합이 아니다. 즉,  \operatorname {cl} W는 연결 공간이다. 따라서, 임의의  y'\in X\setminus \operatorname {cl} W를 취했을 때,
는 연결 공간이다. 즉,  y'은 절단점이다. 이는  y'\in U인 것과 모순이다. 이제,  z_{W}가 닫힌 절단점이므로,  W',W''이  X의 열린집합이며,  X\setminus \{z_{W}\}=W'\cup W''이며  W'\cap W''=\varnothing \neq W',W''이라고 하자.  \operatorname {cl} W\subseteq X\setminus \{z_{W}\}가 연결 공간이므로,  \operatorname {cl} W\subseteq W'이거나  \operatorname {cl} W\subseteq W''이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면,  V\subseteq W'이며  \operatorname {cl} W'=W'\cup \{z_{W}\}이므로,  W'\in {\mathcal {S}}이다. 즉,  W<W'이며,  W는 극대 원소가 아니다.
\bigcup {\mathcal {C}}는 콤팩트 공간이 아님. 열린 덮개  {\mathcal {C}}가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다.  {\mathcal {C}}가 극대 원소를 갖지 않음을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여,  W\in {\mathcal {C}}가  {\mathcal {C}}의 극대 원소라고 하자. 그렇다면,  W<W'인  W'\in {\mathcal {S}}가 존재한다. 그렇다면  {\mathcal {C}}\cup \{W'\}은 새로운 사슬이며,  {\mathcal {C}}는 그 진부분집합이다. 이는  {\mathcal {C}}의 극대성과 모순이다.
\bigcup {\mathcal {C}}=X. 귀류법을 사용하여,  X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}가 공집합이 아니라고 하자.  X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}\subseteq U이므로,  X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}의 모든 점은 절단점이며, 따라서 고립점이거나 닫힌 점이다.  X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}는 닫힌집합이므로, 열린집합일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점  x_{1}\in X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}가 존재한다.  G,H가  X의 열린집합이며,  X\setminus \{x_{1}\}=G\cup H이며,  G\cap H=\varnothing \neq G,H라고 하자. 임의의  W\in {\mathcal {C}}는  {\mathcal {C}}의 극대 원소가 아니므로,  \operatorname {cl} W\subseteq W'인  W'\in {\mathcal {C}}가 존재한다. 따라서,
이다. 각  \operatorname {cl} W는 연결 공간이며,  V\subseteq \operatorname {cl} W이므로,  \bigcup {\mathcal {C}}는 연결 공간이다. 따라서,  \bigcup {\mathcal {C}}\subseteq G이거나  \bigcup {\mathcal {C}}\subseteq H이다. 편의상 전자가 참이라고 하면,  V\subseteq G이며  \operatorname {cl} G=G\cup \{x_{1}\}이므로,  G\in {\mathcal {S}}이다.  {\mathcal {C}}가 극대 원소를 갖지 않으므로,  G\not \in {\mathcal {C}}이다. 이는  {\mathcal {C}}의 극대성과 모순이다.