절단점
예 > 기약 절단점 공간

정수 집합  \mathbb {Z}  위에 다음과 같은 위상을 부여한 위상 공간을 칼림스키 직선(-直線, 영어: Khalimsky line)이라고 한다.
모든 홀수는 고립점이다.
모든 짝수  n은 최소 열린 근방  \{n-1,n,n+1\}을 갖는다.
즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 기저로 생성된다.
기약 절단점 공간(旣約切斷點空間, 영어: irreducible cut-point space)은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다.:2801, Theorem 4.5 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다.
증명 (칼림스키 직선은 기약 절단점 공간):
칼림스키 직선  \mathbb {Z} 는 연결 공간. 짝수  n\in \mathbb {Z} 에 대하여,  \{n-1,n,n+1\}은  n의 최소 근방이므로,  \{n-1,n\}과  \{n,n+1\}은 연결 공간이다. 수학적 귀납법에 따라,  1\leq n\in \mathbb {Z} 에 대하여,
은 연결 공간이며, 따라서 칼림스키 직선
은 연결 공간이다.
모든  n\in \mathbb {Z} 는 절단점. 이는  \{k\in \mathbb {Z} \colon k<n\}과  \{k\in \mathbb {Z} \colon k>n\}이 모두  \mathbb {Z} \setminus \{n\}의 열린집합이기 때문이다.
모든 진부분집합  A\subsetneq \mathbb {Z} 는 연결 공간이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선  \mathbb {Z} 의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 ( m,n\in \mathbb {Z} ).
\{k\in \mathbb {Z} \colon k\leq n\}
\{k\in \mathbb {Z} \colon k\geq n\}
\{k\in \mathbb {Z} \colon m\leq k\leq n\}
A가 연결 공간이라고 하자. 즉,  A는 어떤  m,n\in \mathbb {Z} 에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면,  A\setminus \{n\} 역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 연결 공간이다. 즉,  n은  A의 비절단점이다.
증명 (기약 절단점 공간은 칼림스키 직선):
기약 절단점 공간  X가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선  \mathbb {Z} 에서  X로 가는 매장  i\mapsto x_{i}를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점  x\in X의 절단점 차수는 2라고 단언한다.  \varnothing \subsetneq A\subsetneq X\setminus \{x\}가  X\setminus \{x\}의 열린닫힌집합이라고 하자.  A와  X\setminus A가 연결 공간임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. 귀류법을 사용하여,  A가 연결 공간이 아니라고 하자. 그렇다면,  x는  A\cup \{x\}의 절단점이다. 임의의  y\in A에 대하여,
는 연결 공간이 아니며,  x\in ((A\cup \{x\})\setminus \{y\})\cap ((X\setminus A)\cup \{x\})이므로,  (A\cup \{x\})\setminus \{y\}와  (X\setminus A)\cup \{x\} 가운데 하나 이상은 연결 공간이 아니다. 그런데  (X\setminus A)\cup \{x\}가 연결 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서  (A\cup \{x\})\setminus \{y\}는 연결 공간이 아니며,  y 역시  A\cup \{x\}의 절단점이다. 즉,  A\cup \{x\}는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다.
이제, 닫힌 점  x_{0}\in X을 취하자.  A_{0}와  B_{0}이  X\setminus \{x_{0}\}의 두 연결 성분이라고 하자. 수학적 귀납법을 사용하여,
가 주어졌으며, 또한 각  -n+1<i\leq n-1에 대하여,  \{x_{i-1},x_{i}\}가 연결 공간이라고 하자. 또한, 각  X\setminus \{x_{i}\}의 두 연결 성분이  A_{i}와  B_{i}라고 하고,  -n+1\leq i<0인 경우  x_{0}\in B_{i}이며,  0<i\leq n-1인 경우  x_{0}\in A_{i}라고 하자. 그렇다면,  \{x_{-n},x_{-n+1}\}과  \{x_{n-1},x_{n}\}이 연결 공간인  x_{-n}\in A_{-n+1} 및  x_{n}\in B_{n-1}이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다.  \{x_{n-1}\}의 극한점  x_{n}\in B_{n-1}을 찾으면 족하다. 만약  x_{n-1}이 닫힌 점이라면,  B_{n-1}이 연결 공간이며,  X가 기약 절단점 공간이므로,  B_{n-1}은 비절단점  x_{n}\in B_{n-1}을 갖는다. 즉,  B_{n-1}\setminus \{x_{n}\}은 연결 공간이다.  B_{n-1}은 열린집합이므로, 닫힌집합이 아니며,  B_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}은 닫힌집합이므로,  x_{n-1}은  B_{n-1}의 극한점이다. 하지만  X\setminus \{x_{n}\}=(B_{n-1}\setminus \{x_{n}\})\cup (A_{n-1}\cup \{x_{n-1}\})이 연결 공간이 아니므로,  x_{n-1}은  B_{n-1}\setminus \{x_{n}\}의 극한점일 수 없다. 따라서,  x_{n-1}은  \{x_{n}\}의 극한점이다. 만약  x_{n-1}이 고립점이라면,  B_{n-1}은 닫힌집합이므로, 열린집합이 아니며,  B_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}은 열린집합이므로,  x_{n}\in B_{n-1}\setminus \operatorname {int} B_{n-1}은  \{x_{n-1}\}의 극한점이다. 수학적 귀납법의 마지막으로,  A_{-n}과  B_{-n}이  X\setminus \{x_{-n}\}의 두 연결 성분이며,  A_{n}과  B_{n}이  X\setminus \{x_{n}\}의 두 연결 성분이며,  x_{0}\in B_{-n}이며  x_{0}\in A_{n}이라고 정의한다.
이제, 수학적 귀납법에 따라 구성된 부분집합
및 각  X\setminus \{x_{n}\}의 두 연결 성분  A_{n}과  B_{n}을 생각하자. 정의에 따라  n<0인 경우  x_{0}\in B_{n}이며,  n>0인 경우  x_{0}\in A_{n}이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.
x_{i}\in A_{n}\iff i<n,  x_{i}\in B_{n}\iff i>n. 편의상  n>0이라고 하자. 그렇다면,
은 둘 다 연결 공간이며,  x_{0}\in A_{n}이며  x_{n+1}\in B_{n}이므로,  \{x_{i}\colon i<n\}\subseteq A_{n}이며  \{x_{i}\colon i>n\}\subseteq B_{n}이다.
각  x_{n}은  n이 짝수인 경우 닫힌 점,  n이 홀수인 경우 고립점. 정의에 따라  x_{0}은 닫힌 점이다. 만약  \{x_{n}\}이 닫힌집합이라면,  \{x_{n-1},x_{n}\}와  \{x_{n},x_{n+1}\}이 연결 공간이므로,  \{x_{n-1}\}과  \{x_{n+1}\}은 닫힌집합이 아니며, 따라서 열린집합이다. 마찬가지로, 만약  \{x_{n}\}이 열린집합이라면,  \{x_{n-1}\}과  \{x_{n+1}\}은 닫힌집합이다.
부분집합  \{x_{i}\colon i\in \mathbb {Z} \}은 기저
를 가짐. 홀수  n에 대하여,  x_{n}이 고립점임은 이미 증명하였다. 짝수  n에 대하여,  x_{n}은  \{x_{n-1}\}과  \{x_{n+1}\}의 극한점임을 증명하였으므로,  x_{n}의 모든 열린 근방은  x_{n-1}과  x_{n+1}을 원소로 포함한다. 반대로,  A_{n}과  B_{n}이 열린집합이므로,
은 열린집합이다. 따라서,  \{x_{n-1},x_{n},x_{n+1}\}은  x_{n}의 최소 열린 근방이다.