양자 순간 이동
수학적 서술

순간 이동 프로토콜을 수학적으로 작성할 수 있는 다양한 방법이 있다. 일부는 아주 간결하지만 추상적이며 일부는 장황하지만 간단하고 구체적이다. 아래의 프레젠테이션은 후자의 형식이다: 장황하지만 각 양자 상태를 간단하고 직접적으로 보여주는 이점이 있다. 이후 절에서는 더 간결한 표기법을 검토한다.
순간 이동 프로토콜은 앨리스가 밥에게 전하고 싶은 양자 상태 또는 큐비트  |\psi \rangle 로 시작한다. 이 큐비트는 일반적으로 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
위의 아래 첨자 C는 이 상태를 아래의 A 및 B와 구별하기 위해서만 사용된다.
다음으로 프로토콜은 엘리스와 밥이 최대로 얽힌 상태를 공유하도록 요구한다. 이 상태는 엘리스와 밥 사이의 상호 합의에 의해 미리 고정되며 표시된 4개의 벨 상태 중 하나일 수 있다. 어느 쪽이든 상관 없다.
다음에서 엘리스와 밥이 상태  |\Phi ^{+}\rangle _{AB}를 공유한다고 가정한다. 엘리스는 쌍의 입자 중 하나를 얻고 다른 입자는 밥에게 전달된다. (이것은 입자를 함께 준비하고 공통 소스에서 엘리스와 밥에게 쏘는 방식으로 구현된다) 얽힌 상태의 첨자 A 와 B는 앨리스와 밥의 입자를 가리킨다.
이 시점에서 엘리스는 두 개의 입자(순간 이동하려는 입자 C 와 얽힌 쌍 중 하나인 A )를 가지고 있고 밥은 하나의 입자 B 를 가지고 있다. 전체 계에서 이 세 입자의 상태는 다음과 같다.
그런 다음 엘리스는 소유하고 있는 두 입자에 대해 벨 기준(예: 4개의 벨 상태)에서 국소적 측정을 수행한다. 그녀의 측정 결과를 명확하게 하기 위해 앨리스의 두 큐비트 상태를 벨 기저의 중첩으로 쓰는 것이 가장 좋다. 이는 쉽게 확인할 수 있는 다음의 일반적인 항등식을 사용하여 수행된다.
그리고
|



ψ

⟩

C


⊗
 

|


Φ

+



⟩

A
B








{\textstyle {\begin{aligned}|&\psi \rangle _{C}\otimes \ |\Phi ^{+}\rangle _{AB}\end{aligned}}}

에 대한 표현을 확장한 후, 하나는 A 및 C 첨자를 사용하여 큐비트에 이러한 항등식을 적용한다. 특히, \alpha {\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle _{C}\otimes |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}=\alpha {\frac {1}{2}}(|\Phi ^{+}\rangle _{CA}+|\Phi ^{-}\rangle _{CA})\otimes |0\rangle _{B},다른 항도 비슷하게 따른다. 유사한 항들을 결합하면 A, B 및 C 의 총 3개 입자 상태가 함께 다음 4항 중첩이 된다.
작업이 수행되지 않았기 때문에 세 입자 모두 여전히 동일한 총 상태에 있다. 오히려 위의 내용은 계의 엘리스 부분에 대한 기반 변경일 뿐이다. 실제 순간 이동은 앨리스가 벨 기준으로 두 큐비트 A, C를 측정할 때 발생한다.
동등하게, 측정은 각 벨 상태를 오른쪽 그림의 양자 회로처럼 \{|0\rangle \otimes |0\rangle ,|0\rangle \otimes |1\rangle ,|1\rangle \otimes |0\rangle ,|1\rangle \otimes |1\rangle \} 중 하나에 유일하게 사상하여 계산을 위한 기저  \{|0\rangle ,|1\rangle \}으로 수행될 수 있다.
위의 표현이 주어졌을 때 앨리스의 (국소적) 측정 결과는 분명히 세 입자 상태가 다음 네 가지 상태 중 하나로 붕괴 될 것이라는 것이다(각각을 얻을 확률이 동일함).
|\Phi ^{+}\rangle _{CA}\otimes (\alpha |0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{B})
|\Phi ^{-}\rangle _{CA}\otimes (\alpha |0\rangle _{B}-\beta |1\rangle _{B})
|\Psi ^{+}\rangle _{CA}\otimes (\alpha |1\rangle _{B}+\beta |0\rangle _{B})
|\Psi ^{-}\rangle _{CA}\otimes (\alpha |1\rangle _{B}-\beta |0\rangle _{B})
엘리스의 두 입자는 이제 4개의 벨 상태 중 하나에서 서로 얽혀있으며 원래 엘리스와 밥의 입자 간에 공유되었던 얽힘이 이제 끊어졌다. 밥의 입자는 위에 표시된 네 가지 중첩 상태 중 하나를 취한다. 이제 밥의 큐비트가 순간 이동할 상태와 유사한 상태에 있다는 점에 유의해야 한다. 밥의 큐비트에 대해 가능한 네 가지 상태는 순간 이동할 상태의 단일 이미지이다.
엘리스의 벨 측정 결과는 계가 위의 네 가지 상태 중 어느 상태에 있는지 알려준다. 그녀는 이제 고전 채널을 통해 결과를 밥에게 보낼 수 있다. 두 개의 고전적 비트는 그녀가 얻은 네 가지 결과 중 어떤 것을 전달할 수 있다.
밥은 엘리스로부터 메시지를 받은 후 자신의 입자가 4가지 상태 중 어느 상태에 있는지 알게 된다. 이 정보를 사용하여 입자에 단일 작업을 수행하여 입자를 원하는 상태  \alpha |0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{B}로 변환한다:
엘리스가 그녀의 결과를 나타내면  |\Phi ^{+}\rangle _{CA}, 밥은 자신의 큐비트가 이미 원하는 상태에 있음을 알고 아무것도 하지 않는다. 이것은 항등 연산자인 사소한 단일 연산에 해당한다.
메시지가  |\Phi ^{-}\rangle _{CA}로 나타내는 경우, 밥은 상태를 복구하기 위해 파울리 행렬에 의해 주어진 단일 양자 게이트를 통해 자신의 큐비트를 보낼 것이다.
엘리스의 메시지가 다음에 해당하는 경우  |\Psi ^{+}\rangle _{CA}, 밥은 그의 큐비트에
게이트를 적용한다.
마지막으로, 나머지 경우에 대해 적절한 게이트는 다음과 같이 지정된다.
따라서 순간 이동이 달성된다. 위에서 언급한 세 개의 게이트는 큐비트의 블로흐 구 그림에서 적절한 축(X, Y 및 Z)에 대한 π 라디안(180°)의 회전에 해당한다.
몇 가지 설명:
이 작업 후 밥의 큐비트는  |\psi \rangle _{B}=\alpha |0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{B} 상태를 취한다.  엘리스의 큐비트는 얽힌 상태의 (정의되지 않은) 부분이 된다. 순간 이동은 큐비트를 복사하지 않으므로 복제 불가능성 정리와 일치한다.
관련된 물질이나 에너지의 이동은 없다. 엘리스의 입자는 밥에게 물리적으로 이동되지 않았다. 해당 상태만 전송되었다. Bennett, Brassard, Crépeau, Jozsa, Peres 및 Wootters가 만든 "순간 이동"이라는 용어는 양자역학적 입자의 구별 불가능성을 반영한다.
순간 이동된 모든 큐비트에 대해 엘리스는 밥에게 두 가지 기본 정보를 보내야 한다. 이 두 가지 기존 비트는 순간 이동되는 큐비트에 대한 완전한 정보를 전달하지 않는다. 도청자가 두 비트를 가로채면 밥이 원하는 상태를 복구하기 위해 무엇을 해야 하는지 정확히 알 수 있다. 그러나 그녀가 밥이 소유한 얽힌 입자와 상호작용할 수 없다면 이 정보는 쓸모가 없다.