평탄 가군
정의 > 평탄 가군

(곱셈 항등원을 가진) 환  R 위의 임의의 왼쪽 가군  _{R}M에 대하여,  _{R}M과의  R-텐서곱으로 정의되는 가법 함자
는 일반적으로 오른쪽 완전 함자이지만, (양쪽) 완전 함자가 아닐 수 있다. (여기서  \operatorname {Mod} _{R}는  R-오른쪽 가군들의 범주이며,  \operatorname {Ab} 는 아벨 군들의 범주이다.)
(곱셈 항등원을 가진) 환  R 위의 왼쪽 가군  _{R}M에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 평탄 왼쪽 가군(영어: flat left module)이라고 한다.
_{R}M과의  R-텐서곱으로 정의되는 가법 함자  -\otimes _{R}M\colon \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Ab} 는 완전 함자이다.:122, Definition 4.0
임의의 두  R-오른쪽 가군  N_{R},  N'_{R} 및 임의의 단사 함수인  R-가군 준동형  f\colon N\to N'에 대하여,  f\otimes M\colon N\otimes _{R}M\to N'\otimes _{R}M은 단사 함수인 군 준동형이다.:122, Definition 4.0 (이는 완전 함자의 정의를 그대로 풀어 쓴 것에 불과하다.)
임의의  R-오른쪽 가군  N_{R}에 대하여,  \operatorname {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0이다. (여기서  \operatorname {Tor} 는 Tor 함자이다.)
임의의  R-유한 생성 오른쪽 아이디얼  {\mathfrak {A}}_{R}=Rr_{1}+\cdots +Rr_{k}에 대하여,  \operatorname {Tor} _{1}^{R}({\mathfrak {A}},M)=0이다.
임의의  R-오른쪽 아이디얼  _{R}{\mathfrak {A}}에 대하여, 자연스러운 포함 사상  {\mathfrak {A}}\otimes _{R}M\to {\mathfrak {A}}M은 아벨 군의 동형 사상이다.:125, Theorem 4.12
임의의 유한 생성  R-오른쪽 아이디얼  _{R}{\mathfrak {A}}=Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}에 대하여, 자연스러운 포함 사상  {\mathfrak {A}}\otimes _{R}M\to {\mathfrak {A}}M=Rr_{1}M+Rr_{2}M+\cdots +Rr_{k}M은 아벨 군의 동형 사상이다.:125, Theorem 4.12
R-오른쪽 가군  \hom _{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )이  R-단사 오른쪽 가군이다.:125, Theorem 4.9
꼬임 없는 왼쪽 가군이며, 임의의 오른쪽 아이디얼  {\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R에 대하여,  {\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M이다.:84, Proposition 2.8.5
꼬임 없는 왼쪽 가군이며, 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼  {\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R에 대하여,  {\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M이다.:84, Proposition 2.8.5
임의의 유한 표시 가군  _{R}N 및  R-가군 준동형  f\colon N\to M에 대하여,  f=h\circ g가 되는 유한 생성 자유 왼쪽 가군  _{R}R^{n}과  R-가군 준동형  g\colon N\to R^{n}과  R-가군 준동형  h\colon R^{n}\to M이 존재한다.:Theorem 4.32
(평탄성의 방정식적 조건 영어: equational criterion for flatness) 임의의 자연수  m,n\in \mathbb {N}  및  R-계수  m\times n-행렬  T\in \operatorname {Mat} (m,n;R) 및  M-계수  n-벡터  {\vec {u}}\in M^{n}에 대하여, 만약  T{\vec {u}}={\vec {0}}\in R^{m}이라면,  {\vec {u}}=U{\vec {u}}'이며  TU=0\in \operatorname {Mat} (m,n';R)이 되는 자연수  n'\in \mathbb {N}  및  M-계수  n'-벡터  {\vec {u}}'\in M^{n'} 및  n\times n'-행렬  U\in \operatorname {Mat} (n,n';R)가 존재한다.:130, Theorem 4.24(3)
(위 조건과 같지만, 항상  m=1인 경우):130, Theorem 4.24(2)
(라자르-고보로프 조건 영어: Lazard–Govorov criterion)  R-유한 생성 자유 왼쪽 가군들의 ( R-왼쪽 가군 범주 속에서의) 귀납적 극한이다.:134, Theorem 4.34
여기서
이며, 꼬임 없는 왼쪽 가군  _{R}M은 임의의  r\in R에 대하여  \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/rR,M)=0인 것이다.
마찬가지로 평탄 오른쪽 가군(영어: flat right module)의 개념을 정의할 수 있다. 그 정의는 평탄 왼쪽 가군의 정의에서  "오른쪽 완전 함자"를 제외한 나머지에서 왼쪽·오른쪽을 바뀌어 얻는다. (완전 함자에서 왼쪽·오른쪽은 짧은 완전열의 왼쪽·오른쪽에 대한 것이므로, 왼쪽 가군·오른쪽 가군의 관계와 무관하다.)
위의 서로 동치인 조건들 가운데, "아이디얼  {\mathfrak {a}}에 대하여  {\mathfrak {a}}\otimes _{R}M\cong {\mathfrak {a}}M"인 것은 (가환환의 경우) 다음과 같이 대수기하학적으로 해석할 수 있다.
가군  M은 아핀 스킴  X=\operatorname {Spec} R 위의 준연접층을 정의한다.
아이디얼  {\mathfrak {a}}는  X의 닫힌 부분 스킴  Z=\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {a}})\to \operatorname {Spec} R=X를 정의한다.
준연접층  M을 닫힌 부분 스킴  Z로 제한할 경우 얻는 준연접층은 몫가군  M\otimes _{R}(R/{\mathfrak {a}})=M/{\mathfrak {a}}M이다. (이는 임의의 가군에 대하여 성립한다.) 즉,  {\mathfrak {a}}M은  Z에서 0이 되는 가군의 단면들로 생각할 수 있다.
일반적으로,  {\mathfrak {a}}\otimes _{R}M\to {\mathfrak {a}}M은 전사 함수이지만 전단사 함수가 아니다. 즉,  M을  Z로 제한할 때,  Z에서 0이 되는 단면들은 단순히  {\mathfrak {a}}\otimes _{R}M이 아니라, 이들 사이에 추가 관계들이 발생한다.
즉,  M이 평탄 가군이라는 것은 임의의 아핀 닫힌 부분 스킴  Z에 대하여,  Z에서 0이 되는 단면들이 "자명한" 경우이다.
위의 서로 동치인 조건들 가운데, 평탄성의 방정식적 조건은 대략 다음과 같이 생각할 수 있다.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| “ |  말하자면, [평탄 가군의 방정식적 조건]은 가군 P에 존재하는 선형 관계가 항상 R에 존재하는 선형 관계로부터 유도됨을 뜻한다. In a manner of speaking, [the equational criteria for flatness] express the fact that linear relations in [the module] P are consequences of linear relations in [the ring] R. | ” |
|   | — :130, §4C |  |