stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
시공간
특수 상대성이론에서의 시공간 > 동시성의 상대성

이 부분의 본문은 동시성의 상대성입니다.
모든 관찰자들은 어떤 주어진 사건에 대해서, 주어진 사건의 미래 광추내의 한 사건이 주어진 사건 후에 발생한다는 데 동의한다. 마찬가지로, 어떤 주어진 사건에 대해서, 주어진 사건의 과거 광추 내의 한 사건은 주어진 사건보다 전에 발생한다. 시간꼴-분리된 사건들에 대해 관찰된 전후 관계는 관찰자의 기준틀, 즉 관찰자가 어떻게 움직여도 상관없다. 공간꼴-분리된 사건의 경우는 상황이 상당히 다르다. 그림 2-4는 v = 0에서 움직이는 관찰자의 기준 프레임에서 그린 것이다. 이 기준 프레임로부터, 사건 C는 사건 O 후에 발생하는 것으로 관찰되고, 또한 사건 B는 사건 O 전에 발생하는 것으로 관찰된다. 다른 기준 프레임에서 이러한 비인과적인 사건들의 순서는 역전될 수 있다. 특히, 만일 한 특정 기준 프레임에서 두 개의 사건이 동시에 발생하는 경우 필연적으로 공간꼴 간격에 의하여 분리되므로 비인과적으로 관련된다는 점을 주목한다. 동시성이 절대적이지 않고, 관찰자의 기준 프레임에 의존한다는 관찰은 동시성의 상대성이라고 불린다.
그림 2-6은 동시성의 상대성 분석에서 시공간의 다이어그램을 사용하는 것을 보여준다. 시공간에서의 사건들은 불변하지만, 좌표계들은 그림 2-3에 대해 위에서 설명한 대로 변환한다. 세 가지 사건들 (A, B, C)는 v = 0으로 움직이는 관찰자의 기준 프레임에서 동시에 발생한다. v = 0.3c로 움직이는 관찰자의 기준계로부터 사건들은 C, B, A 순서로 발생하는 것으로 보인다. v = −0.5c로 움직이는 관찰자의 기준계로부터 사건들은 A, B, C의 순서로 발생하는 것으로 보인다. 흰색 선은 관찰자의 과거에서 현재 시점으로 이동하는 한 동시성의 평면을 나타낸다. 관찰자의 미래, 거기에 있는 사건을 강조 표시한다. 회색 영역은 관찰자의 광추이고, 이것은 불변함을 유지한다.
만일 측정되는 사건들이 관찰자에게 동시적에 발생했다면 한 공간꼴 시공간 간격은  한 관찰자가 측정하려는 것과 동일한 거리를 제공한다. 공간꼴 시공간 간격은 따라서
고유 거리, 즉 실제 거리 =  {\sqrt {-s^{2}}}의 측정값을 제공한다. 마찬가지로, 시간꼴 시공간 간격은 주어진 세계선을 따라 움직이는 한 시계의 누적 똑딱거림에 의해서 표시되는 것과 동일한 시간 측정값을 제공한다. 한 시간꼴 시공간 간격은 따라서 고유 시간 =  {\sqrt {s^{2}}}의 한 측정값을 제공한다.:220–221
특수 상대성이론에서의 시공간 > 불변 쌍곡선

유클리드 공간(공간 차원만 있음)에서 일부 점에서 등거리(유클리드 계량 사용)의 점 집합은 원(2차원) 또는 구(3차원)를 형성한다. (1+1)차원의 민코프스키 시공간(하나의 시간적 차원과 하나의 공간적 차원을 가짐)에서 원점에서 일정한 시공간 간격(민코프스키 계량 사용)에 있는 점은 두 방정식으로 주어진 곡선을 형성한다
이것은 어떤 양의 실수 상수  s^{2}와 함께 한다. 이 방정식들은x-ct 시공간 도표에서 쌍곡선들의 두 모임들을 설명하는데, 이것들은 불변 쌍곡선들이라 불린다.
그림 2-7a에서, 각 자홍색 쌍곡선들은 원점으로부터 일부의 고정된 공간꼴 분리가 있는 모든 사건들을 연결하고, 반면에 녹색 쌍곡선들은 동일한 시간꼴 분리의 사건들을 연결한다.
x축을 가로지르는 자홍색 쌍곡선은 시간꼴 곡선들이고, 이러한 쌍곡선들은 시공간의 (지속적으로 가속하는) 입자들이 통과할 수 있는 실제 경로들을 나타낸다: 하나의 쌍곡선에 있는 어떤 두 사건들 사이에는 인과관계가 가능한데, 이는 모든 할선들에 대한 기울기-필요한 속도를 나타내는-의 역수가 c보다 작기 때문이다. 반면에, ct축을 가로지르는 녹색 쌍곡선은 이 쌍곡선을 따라 있는 모든 간격이 공간꼴 간격이기 때문에 공간꼴 곡선이다: 이 쌍곡선들 중 하나에 있는 두 점들 사이에는 아무런 인과관계가 가능하지 않다, 왜냐하면 모든 할선들이 c보다 큰 속도들을 나타내기 때문이다.
그림 2-7b는 (1+2)차원적 민코프스키 시공간(1개의 시간적 차원과 2개의 공간적 차원)에서 해당 쌍곡면들의 상황을 반영한다. 원점으로부터 공간꼴 간격들에 의한 변위된 불변 쌍곡선들은 한 장의 쌍곡면을 생성하고, 반면에 원점으로부터 시간꼴 간격만큼 변위된 불변 쌍곡선들은 두 장의 쌍곡면을 생성한다.
원점에 대해 영의 시공간 간격을 형성하는 사건들에 의해 확립된 공간꼴 쌍곡면과 시간꼴 쌍곡면 사이의 (1+2)차원 경계는, 쌍곡면을 광추로 퇴화시켜 구성된다. (1+1)차원에서 쌍곡선들은 그림 2-7a에 표시된 두 개의 회색 45°선들로 퇴화된다.
특수 상대성이론에서의 시공간 > 시간 팽창과 길이 수축

그림 2-8은 5미터(약 1.67 × 10-8초)의 고유 시간에 원점으로부터 도달할 수 있는 모든 사건들에 대한 불변 쌍곡선을 도해한다. 다른 세계 선들은 다른 속도들로 움직이는 시계들을 나타낸다. 관찰자에 대해 정지해 있는 시계는 수직인 한 세계선을 가지며, 관찰자에 의해 측정된 경과 시간은 고유 시간과 동일하다. 0.3c로 이동하는 한 시계의 경우에는 관찰자에 의해 측정된 경과 시간은 5.24미터(1.75 × 10-8s)이고, 반면에 0.7c로 이동하는 시계의 경우 관찰자에 의해 측정된 경과 시간은 7.00미터(2.34 × 10-8초)이다. 이것은 시간 팽창으로 알려진 현상을 도해한다. 더 빨리 이동하는 시계들은 동일한 양의 고유 시간을 똑딱거리는 데 (그 관찰자 프레임에서) 더 오래 걸리며, 또한 시간 팽창이 없는 경우보다 그 고유 시간 내에서 x축을 따라 더 멀리 이동한다.:220–221 다른 관성 기준계에서 두 관찰자들이 시간 팽창을 측정하는 것은 상호적이다. 만일 관찰자 O가 자신의 프레임에서 관찰자 O'의 시계가 느리게 실행되는 것으로 측정하면, 관찰자 O'도 차례로 관찰자 O의 시계가 느리게 실행되는 것으로 측정할 것이다.
길이 수축(length contraction)은, 시간 팽창과 마찬가지로, 동시성의 상대성이론의 한 표명이다. 길이를 측정하려면 한 사람의 기준계에서 동시에 발생하는 두 사건들 사이의 시공간 간격을 측정해야 한다. 그러나 한 기준계에서 동시적인 사건들은, 일반적으로, 다른 기준계들에서는 동시적이지 않다.
그림 2-9는 x축을 따라 0.5c로 이동하는 1m 막대의 운동을 보여준다. 파란색 밴드의 가장자리는 막대의 두 끝점에 대한 세계선을 나타낸다. 불변 쌍곡선은 1m의 공간 간격으로 원점에서 분리된 사건을 나타다. t′ = 0 일 때 측정된 끝점 O와 B는 S′프레임에서 동시 사건이다. 그러나 S프레임의 관찰자에게 사건 O와 B는 동시적이지 않다. 길이를 측정하기 위해서, S프레임의 관찰자는 그 세계선들을 따라 x 축에 투영된 막대의 끝점을 측정한다. x축에 투영된 막대의 세계 쉬트의 투영은 단축된 길이 OC를 산출한다.:125
(도해되지 않은) A를 지나는 수직선을 그려서 x′축 과 교차하면, 관찰자 O의 관점에서 OB가 축소되더라도, 관찰자 O′의 관점에서 OA도 마찬가지로 축소됨을 알 수 있다. 각 관찰자가 상대방들의 시계들이 느리게 움직이는 것으로 측정하는 것과 같은 방식으로, 각 관찰자는 상대방 들의 눈금자들이 수축된 것으로 측정한다.
상호 길이 수축과 관련하여, 그림 2-9는 프라임된 그리고 비프라임된 프레임들은 한 쌍곡선 각도(hyperbolic angle)(유클리드 기하학의 일반 각도와 유사한)에 의해 상호 회전되는 것을 도해한다.  이 회전으로 인해, 비프라임된 x 축에의 한 프라임된 미터-막대의 투영은 축소되며, 반면에 프라임된 x′-축에의 한 비프라임된 미터-막대의 투영도 마찬가지로 축소된다.
특수 상대성이론에서의 시공간 > 상호 시간 팽창과 쌍둥이 역설

이 부분의 본문은 쌍둥이 역설입니다.
특수 상대성이론에서의 시공간 > 상호 시간 팽창과 쌍둥이 역설 > 상호 시간 팽창

상호 시간 팽창과 길이 수축은 초보자를 본질적으로 자기모순적인 개념들로 인식시키는 경향이 있다. 만일 프레임 S의 한 관찰자가 프레임 S'에서 정지한 시계를 자신의 것보다 느리게 가는 것으로 측정하는 반면에, S'가 S에서 속도 v로 움직이면, 상대성 원리는 프레임 S'에서 -v로 움직이는 프레임 S의 한 관찰자도 마찬가지로 프레임 S계의 시계가 그녀의 것보다 느리게 가는 것을 측정한다. 어떻게 두 시계들이 다른 시계보다 들 다 느리게 갈 수 있는지는 "특수 상대성이론을 이해하는 핵심으로 가는" 한 중요한 질문이다.:198
이 명백한 모순은 필요한 관련 측정들의 다른 설정들을 올바르게 고려하지 않은 데서 비롯된다. 이러한 설정들은 유일한 명백한 모순에 대한 한 일관된 설명을 허용한다. 그것은 두 개의 동일한 시계들의 추상적인 똑딱거림에 관한 것이 아니라, 한 움직이는 시계의 두 똑딱임의 시간적 거리를 한 프레임에서 측정하는 방법에 관한 것이다. 각각의 프레임에서 움직이는 시계의 똑딱거림 사이의 지속 시간을 상호 관찰함에 있어서, 다른 시계들의 세트들이 관련되어야만 한다. 프레임 S에서 움직이는 시계 W'(S'에서는 정지)의 똑딱거림 지속 시간을 측정하기 위해서는, 공간 거리 d를 가진 S의 두 개의 임의의 고정된 지점들에서 정지한 두 개의 추가 동기화된 시계 W1 및 W2를 사용한다.
반대로, 프레임 S'에서 어떤 움직이는 시계 W의 두 사건의 시간적 거리를 판단하려면(S에서는 정지된) S'에서 정지한 두 개의 시계들이 필요하다.
각각 S 또는 S'에 "움직이는 시계 한 개" 및 "정지한 시계 두 개"가 있는 두 가지 판단에 필요한 기록들은 각각 세 개의 시계들이 있는 두 개의 다른 세트들을 포함한다. 측정들과 관련된 다양한 시계 세트들이 있기 때문에, 만일 한 관찰자가 움직이는 시계를 느리게 측정하면, 다른 관찰자는 자신의 시계를 빠르게 측정하도록 하는 그 측정이 상호적으로 "일관성"이 있어야 할 내재적인 필요는 없다.:198-199
그림 2-10. 상호 시간 팽창
그림 2-10은 민코프스키 다이어그램듷과 함께하는 상호 시간 팽창에 대한 이전 논의를 도해한다. 위쪽 그림은 비프라임된 직사각형 축들과 함께 하는 프레임 S와 또한 "v > 0으로 움직이는" 프레임 S'가 오른쪽으로 기울어진 비스듬한 프라임된 축들로부터 보여진 측정값들을 반영한다; 아래쪽 그림은 프라임된 직교 좌표와 함께 하는 "정지 상태"인 프레임 S'와 또한 왼쪽으로 기울어진 비스듬한 비프라임된 축과 함께 하는 "-v < 0으로 움직이는" 프레임 S를 보여준다.
공간 축(x, x′)에 평행하게 그려진 각 선은 동시성의 선을 나타낸다. 이러한 라인의 모든 사건들은 동일한 시간 값(ct, ct′)을 갖는다. 마찬가지로, 시간축(ct, ct′)에 평행하게 그려진 각 선은 동일한 공간 좌표 값들(x, x′)의 선을 나타낸다.
바로 위 그림에서 상호 시간 팽창을 보여주기 위해 사건 D는 x′ = 0(S에서 시계 W의 위치)에서의 사건으로 구성될 수 있으며, 이는 S에서 C(OC는 OA 와 동일한 시공간 간격을 가진다)와 동시적이다. 이것은 시간 간격 OD가 OA보다 길다는 것을 보여주며, "움직이는" 시계가 느리게 간다는 것을 보여준다.:124
아래 그림에서 프레임 S는 정지된 프레임 S'에서 −v의 속도로 움직이고 있다. 시계 W의 세계선은 ct축(왼쪽으로 기울어진)이고, W'1의 세계선은 세로 ct′축이며, 또한 W'2는 ct′-좌표 D가 있는 사건 C를 통한 수직이다. 사건 C를 통한 불변 쌍곡선은 시간 간격 OC를 OD보다 짧은 OA로 조정한다; 또한 B는 (위 그림의 D와 유사하게) x = 0에서 S의 A와 동시에 구성된다. 결과 OB > OC는 다시 위와 부합한다.
"측정"이라는 단어가 중요하다. 고전 물리학에서 한 관찰자는 한 관찰된 대상에 영향을 줄 수 없지만, 그러나 그 대상의 운동 상태는 관찰자의 대상에 대한 관찰들에 영향을 줄 수 있다.
특수 상대성이론에서의 시공간 > 상호 시간 팽창과 쌍둥이 역설 > 쌍둥이 역설

특수 상대성이론에 대한 많은 소개는 일련의 "역설"을 제시함으로써 갈릴레이 상대성이론과 특수 상대성이론의 차이점을 설명한다. 이러한 역설은 사실, 빛의 속도에 필적하는 속도에 익숙하지 않기 때문에 발생하는 잘못된 문제이다. 해결책은 특수 상대성이론의 많은 문제를 해결하고 소위 반직관적 예측에 익숙해지는 것이다. 시공간을 연구하는 기하학적 접근 방식은 현대적인 직관력을 개발하는 가장 좋은 방법 중 하나로 간주된다.
쌍둥이 역설은 일란성 쌍둥이가 고속 로켓을 타고 우주로 여행을 갔다가 집으로 돌아와 지구에 남아 있던 쌍둥이가 더 늙어가는 것을 발견하는 사고 실험이다. 이 결과는 각 쌍둥이가 다른 쌍둥이가 움직이는 것을 관찰하기 때문에 어리둥절해 보이고, 언뜻 보기에는 서로가 덜 늙었다고 생각해야 하는 것처럼 보일 것이다. 쌍둥이 역설은 세 번째 시계에 대한 요구 사항을 피함으로써 위에서 제시된 상호 시간 팽창의 정당성을 회피한다.:207  그럼에도 불구하고, 쌍둥이 역설은 특수 상대성이론의 맥락에서 쉽게 이해되기 때문에 진정한 역설이 아니다.
역설이 존재한다는 인상은 특수 상대성이론에 대한 오해에서 비롯된다. 특수 상대성이론은 모든 기준 프레임들이 동등하다고 선언하지 않고, 관성 프레임들만을 그렇다고 선언한다. 여행 중인 쌍둥이의 프레임은 가속하는 동안에는 관성적이 아니다. 게다가, 쌍둥이 사이의 차이는 관찰할 수 있다. 여행 중인 쌍둥이는 집으로 돌아가기 위해 로켓을 발사해야 하지만 집에 있는 쌍둥이는 그렇지 않다.
이러한 구별은 쌍둥이의 나이 차이가 발생해야 한다. 그림 2-11의 시공간 도표는 x축을 따라 직선으로 갔다가 즉시 되돌아오는 쌍둥이의 간단한 경우를 나타낸다. 재택 쌍둥이의 입장에서 볼 때 쌍둥이 역설은 전혀 당혹스러울 것이 없다. O에서 C까지 여행하는 쌍둥이의 세계선을 따라 측정한 고유 시간과 C에서 B까지 측정한 고유 시간은 O에서 A에서 B로 측정된 재택 쌍둥이의 고유 시간보다 짧다. 더 복잡한 궤적은 여행 중인 쌍둥이가 경험한 고유 시간의 총량을 계산하기 위해서는 곡선을 따라(즉, 선적분) 각 사건 사이의 고유 시간을 적분하여야 한다.
쌍둥이 역설을 여행하는 쌍둥이의 관점에서 분석하면 문제가 발생한다.
집에 있는 쌍둥이를 테렌스Terence로, 여행 중인 쌍둥이를 스텔라Stella로 지정하는 바이스Weiss의 명명법이 이후에 사용된다.
스텔라는 관성 프레임에 있지 않다. 이 사실을 감안할 때, 쌍둥이 역설의 완전한 해결은 일반 상대성이론을 필요로 한다고 잘못 언급되는 경우가 있다.
순수한 SR(특수 상대성) 분석은 다음과 같다. 스텔라의 정지 프레임에서 분석하면 그녀는 전체 여행 동안 움직이지 않는다. 그녀가 선회를 위해 로켓을 발사할 때, 그녀는 중력과 유사한 유사 힘을 경험한다. 그림 2-6 및 2-11은 동시성의 선(평면) 개념을 보여준다: 관찰자의 x-축(xy-평면)에 평행한 선은 관찰자 계에서 동시에 발생하는 일련의 사건 나타낸다. 그림 2-11에서 파란색 선은 스텔라의 관점에서 그녀의 세계선에서 사건과 동시에 발생하는 테렌스 세계선에서 사건을 연결한다. (테렌스는 동시에 일련의 수평선을 관찰할 것이다.) 스텔라의 여정의 출발 및 복귀 구간 모두에서 그녀는 테렌스의 시계가 자신보다 느리게 작동하는 것으로 측정한다. 그러나 방향 전환을 하는 동안(즉, 그림에서 굵은 파란색 선 사이), 스텔라가 동시성으로 간주하는 테렌스의 세계선에서 사건의 빠른 건너뛰기에 해당하는 동시성 선의 각도에서 이동이 발생한다.  따라서 여행이 끝나면 스텔라는 테렌스가 자신보다 더 늙었다는 것을 알게 된다.
쌍둥이 역설을 분석하는 데 일반 상대성이론이 필요하지는 않지만 일반 상대성이론의 등가 원리를 적용하면 주제에 대한 추가 통찰력을 얻을 수 있다. 스텔라는 관성 프레임에서 고정되어 있지 않다. 스텔라의 정지 프레임으로 분석하면 그녀는 전체 여행 동안에 움직이지 않는다. 그녀가 코스팅(coasting)할 때 그녀의 정지 프레임은 관성적이며 테렌스의 시계는 느리게 작동하는 것처럼 보인다. 그러나 그녀가 방향 전환을 위해 로켓을 시동할 때, 그녀의 정지 프레임은 한 가속된 프레임이고 또한 그녀는 마치 중력장에 있는 것처럼 그녀를 밀어내는 어떤 힘을 경험한다. 테렌스는 그 장에서 높은 위치에 있는 것처럼 보일 것이며 또한 중력 시간 팽창으로 인해, 그의 시계가 빠르게 작동하는 것처럼 보일 것이므로, 최종 결과는 그들이 다시 만났을 때 테렌스는 스텔라보다 더 나이들게 될 것이다. 중력 시간 팽창을 예측하는 이론적 주장들은 일반 상대성이론에만 국한되지 않는다. 만일, 뉴턴의 이론을 포함하여, 등가 원리를 존중한다면 모든 중력의 이론들은 중력 시간 팽창을 예측할 것이다.:16
특수 상대성이론에서의 시공간 > 중력

이 입문 섹션은 설명하기 가장 쉬운 특수 상대성이론의 시공간에 초점을 맞췄다. 민코프스키 시공간은 평평하고 중력을 고려하지 않고 전체적으로 균일하며 그 안에서 일어나는 사건에 대한 정적 배경에 불과하다. 중력의 존재는 시공간의 기술을 매우 복잡하게 만든다. 일반 상대성이론에서 시공간은 더 이상 정적인 배경이 아니라 그 안에 포함된 물리적 시스템과 능동적으로 상호 작용한다. 물질이 있는 상태에서 시공간 곡선은 파동을 전파하고 빛을 구부리며 기타 여러 현상을 나타낼 수 있다.:221  이러한 현상 중 몇 가지에 대해서는 이 문서의 나중 섹션들에서 설명한다.
시공간의 기초 수학

이 부분의 본문은 일반상대론의 수학적 공식화 개론입니다.
시공간의 기초 수학 > 갈릴레이 변환

이 부분의 본문은 갈릴레이 군입니다.
한 기본 목표는 상대 운동에서 관찰자가 수행한 측정을 비교할 수 있도록 하는 것이다. 만일 프레임 S에 사건의 시간 및 공간 좌표를 측정한 관찰자 O가 있다면, 이 사건에 3개의 데카르트 좌표와 동기화된 시계 (x, y, z, t)의 격자에서 측정된 시간을 할당한다(그림 1-1 참조). 다른 프레임 S'의 두 번째 관찰자 O'는 좌표계와 동기화된 시계 격자 (x′, y′, z′, t′)에서 동일한 사건을 측정한다. 관성 프레임에서는 어느 관찰자도 가속되지 않으며 간단한 방정식 세트를 통해 좌표 (x, y, z, t)를 (x′, y′, z′, t′)에 연관시킬 수 있다. 평행한 (x, y, z) 좌표와 정렬되고 t′ = 0일 때 t = 0인 경우를 의미하는 두 좌표계가 표준 구성에 있으면, 좌표 변환은 다음과 같다.
그림 3-1은 뉴턴의 이론에서는, 시간은 보편적이지만, 빛의 속도는 그렇지 않다는 것을 보여준다.:36-37 다음과 같은 사고 실험을 고려하라: 빨간색 화살표는 플랫폼을 기준으로 0.4c로 이동하는 열차를 나타낸다. 열차 안에서 승객이 열차의 계 안에서 0.4c의 속도로 총알을 쏜다. 파란색 화살표는 기차 선로에 서 있는 사람이 0.8c로 이동하는 것으로 탄환을 측정한다는 것을 보여준다. 이것은 우리의 순진한 기대와 일치한다.
보다 일반적으로, 프레임 S'가 프레임 S에 대해 속도 v로 움직이고 있다고 가정하면, 프레임 S' 내에서 관찰자 O'는 속도 u′로 움직이는 물체를 측정한다. x = ut, x′ = x − vt, t = t′이므로 프레임 S에 대한 속도 u는 다음과 같이 쓸 수 있다. x′ = ut − vt = (u − v)t = (u − v)t′. 이것은 u′ = x′/t′로 이어지며 궁극적으로
이것은 상식적인 속도들의 덧셈에 대한 갈릴레이 법칙이다.
시공간의 기초 수학 > 속도들의 상대론적 구성

이 부분의 본문은 en: Velocity-addition formula입니다.
속도들의 구성은 상대론적 시공간에서 상당히 다르다. 방정식의 복잡성을 조금 줄이기 위해 빛에 대한 물체의 속도 비율에 대한 다음의 일반적 축약법을 도입하여,
그림 3-2a는 v/c = β = s/a로 주어진 어떤 속도로 전진하는 한 빨간색 기차를 보여준다. 기차의 프라임된 프레임에서 한 승객은 u′/c = β′ = n/m로 주어진 어떤 속도로 총알을 쏘는데. 여기서 그 거리는 검은색 x축에 평행하지 않고 빨간색 x′축에 평행한 한 선을 따라 측정된다. 파란색 화살표로 표시된 플랫폼에 대한 총알의 합성 속도 u는 얼마일까? 그림 3-2b 참조하면:
플랫폼으로부터, 총알의 합성 속도는 u = c(s + r)/(a + b)로 주어진다.
두 개의 노란색 삼각형들은 공통 각도 α를 공유하는 직삼각형이기 때문에 닮음 꼴이다. 그 비율 s/a = v/c = β이다.
두 개의 노란색 삼각형들의 대응하는 변의 비율은 일정하므로, r/a = b/s = n/m = β′. 따라서 b = u′s/c}} 그리고 r = u′a/c.
속도들 덧셈에 대한 아인슈타인의 공식을 산출하기 위해서 b 및 r에 대한 표현식을 1단계의 u에 대한 표현식에 대입하라.:42–48
위에 제시된 속도들의 덧셈을 위한 상대론적 공식은 몇 가지 중요한 특징들을 보여준다:
만일 u′ 및 v가 모두 빛의 속도에 비해 매우 작으면, 곱셈 vu′/c2는 사라지게 작아지고, 또한 전체 결과는 속도들의 덧셈에 대한 갈릴레이 공식(뉴턴 공식)과 구별할 수 없게 된다: u = u′ + v. 갈릴레이 공식은 낮은 속도들에 적용되는 상대론적 공식의 한 특수한 경우이다.
만일 u′가 c와 같게 설정되면, 수식은 v의 시작 값에 관계없이 u = c를 산출한다. 빛의 속도는 방출하는 소스에 대한 그들의 상대적인 움직임에 관계없이 모든 관찰자에게 동일하다.:49
시공간의 기초 수학 > 시간 팽창과 길이 수축 재검토

이 부분의 본문은 시간 팽창 및 en: Length contraction입니다.
시간 팽창과 길이 수축에 대한 정량적 표현을 얻는 것은 간단하다. 그림 3-3은 두개의 이전 애니메이션들에서 가져온 개별적 프레임들을 포함하는 한 합성 이미지이며, 이 섹션의 목적을 위해 단순화되고 레이블이 다시 지정되었다.
방정식들의 복잡성을 약간 줄이기 위해서, ct에 대한 다양한 축약 표기법이 있다.
그림 3-3a에서 선분들 'OA'와 'OK'는 동일한 시공간 간격들을 나타낸다. 시간 팽창은 OB/OK 비율로써 표시된다. 불변 쌍곡선의 방정식은 w = √x2 + k2를 가지며 여기서 k = OK 이고, 움직이는 입자의 세계선을 나타내는 빨간색 선은 방정식 w = x/β = xc/v를 가진다. 약간의 대수적 조작은 



O
B
=
O
K

/



1
−

v

2



/


c

2






{\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

을 산출한다.
제곱근 기호를 포함하는 표현은 상대성 이론에서 매우 자주 등장하며, 또한 그 표현 위에 하나를 로런츠 인자라고 불리며 그리스 문자 감마  \gamma 로 표시된다:
만일 v가 c보다 크거나 같으면,  \gamma 에 대한 표현은 물리적으로 의미가 없어졔서, c가 자연에서 가능한 최대 속도임을 의미한다. 영보다 큰 모든 v의 경우, 로런츠 인자는 1보다 크지만, 곡선의 모양은 저속에서는 로런츠 인자가 1에 극도로 가깝다.
그림 3-3b에서 선분 'OA'와 'OK'는 동일한 시공간을 나타낸다. 길이 수축은 OB/OK 비율로 표시된다. 불변 쌍곡선은 방정식 x = √w2 + k2를 갖으며, 여기서 k = OK, 그리고 움직이는 막대 끝점의 세계선을 나타내는 파란색 띠의 가장자리는 기울기 1/β = c/v를 갖는다. 사건 A는 좌표 (x, w) = (γk, γβk)를 갖즌다. A와 B를 지나는 접선은 방정식 w = (x − OB)/β를 가지므로, 우리는 γβk = (γk − OB)/β 및 다음을 갖는다.
시공간의 기초 수학 > 로런츠 변환들

이 부분의 본문은 로런츠 변환 및 로런츠 군입니다.
갈릴레이 변환들과 그에 따른 속도들의 덧셈의 상식적인 법칙은 비행기, 자동차 및 공으로 구성된 일반적인 저속 세계에서 잘 작동한다. 그러나 1800년대 중반부터, 민감한 과학 기기가 일반적인 속도 법칙과 맞지 않는 이상 현상들을 발견하기 시작했다.
로런츠 변환들은 특수 상대성이론에서 사건의 좌표를 한 계에서 다른 계으로 변환하는 데 사용된다.
로런츠 인자는 로런츠 변환에 나타난다.
역 로런츠 변환은:
v ≪ c이고 그리고 x가 충분히 작을 때, v2/c2와 vx/c2 항이 영에  접근하고, 그러면 로런츠 변환들은 갈릴레이 변환들에 근사치이다.
t'=\gamma (t-vx/c^{2}),  x'=\gamma (x-vt) 등은 대부분 종종 실제로는  \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),  \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t) 등을 의미한다. 로런츠 변환은 간결함을 위해 델타들 없이 작성되지만, x는 Δx 등을 의미한다. 우리는, 일반적으로, 항상 사건 간의 공간과 시간 '차이'에 관심을 갖는다.
한 집합의 변환들을 일반 로런츠 변환들이라고 부르고 다른 하나는 역변환들이라고 부르는 것은 프레임들 간에 본질적인 차이가 없기 때문에 오해의 소지가 있다. 다른 저자들은 하나 또는 다른 변환들의 세트를 "역" 집합라고 부른다. S 프레임은 S'에 대해서만 앞으로 또는 뒤로 이동할 수 있기 때문에 순방향 및 역변환은 서로 자명한 관련이 있다. 따라서 방정식들을 뒤집는 것은 단순히 프라임된 변수들과 비프라임돤 변수들을 전환하고 v를 -v로 바꾸는 것을 수반한다.:71–79.
예: 테렌스와 스텔라는 한 지구에서-화성까지 우주 경주를 하고 있다. 테렌스는 그 출발선에 있는 한 심판원이고 스텔라는 한 참가자이다. t = t′ = 0 시간에 스텔라의 우주선은 순간적으로 0.5 c의 속도로 가속된다. 지구에서 화성까지의 거리는 300광초(약 90.0×106 km)이다. 테렌스는 t = 600.00 s에 결승선 시계를 통과하는 스텔라를 관찰한다. 그러나 스텔라는 우주선 크로노미터(정밀 시계)의 시간이  t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}임을 관찰한다. 그녀가 결승선을 통과할 때 출발선과 결승선 사이의 거리를, 자신의 프레임에서 측정했을 때, 259.81광초(약 77.9×106 km)로 계산한다.
시공간의 기초 수학 > 로런츠 변환들 > 로런츠 변환들을 유도하기

이 부분의 본문은 en: Derivations of the Lorentz transformations입니다.
1905년 아인슈타인의 독창적인 작업 이후로 수십 가지의 로런츠 변환의 유도(derivations of the Lorentz transformations)들이 있었으며, 각각은 특정한 초점을 가지고 있다. 아인슈타인의 유도는 빛의 속도의 불변성을 기반으로 했지만, 출발점으로 작용할 수 있는 다른 물리적 원리들이 있다. 궁극적으로, 이러한 대안적 출발점들은 밑에 있는 국소성의 원리의 다른 표현으로 간주될 수 있으며, 이것은 하나의 입자가 다른 입자에 미치는 영향이 순간적으로 전달될 수 없다는 것을 진술한다.
여기에 제공되고 또한 그림 3-5에 설명된 유도는 바이스Bais가 제시한 것을 기반으로 하며:64–66 또한 속도들의 상대론적 구성, 시간 팽창 및 길이 수축 섹션들로부터의 이전 결과들을 사용한다. 사건 P는 검은색 "정지 시스템"의 좌표 (w, x)와 속도 매개변수 β = v/c로 움직이는 빨간색 프레임의 좌표 (w′, x′)를 가진디. w′ 및 x′를 w 및 x(또는 그 반대로)로 결정하려면 먼저 '역' 로런츠 변환을 유도한는 것ㄹ이 더 쉽다..
가로 방향으로는 길이 확장/수축이 있을 수 없으며, y′는 y와 같아야 하고 또한 z′는 z와 같아야 한다. 그렇지 않으면 빠르게 움직이는 1m 공이 1m 원형 구멍을 통과할 수 있는지는 관찰자에 따라 다르다. 상대성 이론의 첫 번째 가정은 모든 관성 프레임들은 동일하며 가로 확장/수축은 이 법칙을 위반한다는 것이다.:27–28
그림에서, w = a + b 또한 x = r + s
닮은꼴 삼각형들을 사용한 이전 결과에서 s/a = b/r = v /c = β.
시간 팽창 때문에, a = γw′
방정식 (4)를 s/a = β 에 대입하면 s = γw′β를 산출한다.
길이 수축 및 닮은꼴 삼각형들은 r = γx′ 및 b = βr = βγx′를 제공한다.
s, a, r 및 b 에 대한 표현식을 2단계의 방정식에 대입하면 즉시 다음이 산출된다
 w=\gamma w'+\beta \gamma x'
 x=\gamma x'+\beta \gamma w'
위의 방정식은 역 로런츠 변환의 t와 x 방정식들에 대한 대안적 표현들이며, w를 ct, w′를 ct′, β를 v/c로 대입함으로써 알 수 있다. 역 변환으로부터, t′와 x′에 대해 풀면 순방향 변환 방정식들이 유도될 수 있다.
시공간의 기초 수학 > 로런츠 변환들 > 로런츠 변환들의 선형성

로런츠 변환에는 선형성이라는 수학적 속성이 있는데, 이는 x′와 t′는 x와 t의 선형 결합으로 얻어지며, 더 높은 거듭제곱이 포함되지 않기 때문이다. 변환의 선형성은 유도에서 암묵적으로 가정된 시공간의 기본 속성, 즉 관성 기준 프레임의 속성이 위치 및 시간에 독립적이라는 것을 반영한다. 중력이 없으면, 시공간은 어디에서나 동일하게 보인다.:67 모든 관성 관찰자는 가속 운동과 비가속 운동을 구성하는 것에 동의할 것이다.:72–73 한 관찰자는 자신의 공간 및 공간 측정을 사용할 수 있지만, 그러나 절대적인 것은 아무것도 없다. 다른 관찰자의 규약도 마찬가지이다.:190
선형성의 결과는 만일 두 개의 로런츠 변환이 순차적으로 적용되면, 그 결과도 한 로런츠 변환이 된다는 것이다.
예: 테렌스는 0.500c에서 스텔라가 자신에게서 멀어지는 것을 관찰하고, 또한 β = 0.500인 로런츠 변환을 사용하여 스텔라의 측정을 자신의 측정과 관련시킬 수 있다. 그녀의 프레임에서, 스텔라는 0.250c에서 그녀에게서 멀어지는 우르슬라를 관찰하고 β = 0.250인 로런츠 변환을 사용하여 우르술라의 측정값을 자신의 측정값과 연결할 수 있다. 변환들의 선형성과 속도들의 상대론적 구성 때문에 테렌스는 β = 0.666인 로런츠 변환을 사용하여 우르술라의 측정값을 자신의 측정값과 연결할 수 있다.
시공간의 기초 수학 > 도플러 효과

이 부분의 본문은 도플러 효과 및 en: Relativistic Doppler effect입니다.
도플러 효과는 상대적 운동에서 수신기와 소스에 대한 파동의 주파수 또는 파장 변화이다. 간단히는, 여기에서 두 가지 기본 시나리오를 고려한다: (1) 소스 및 수신기의 동작이 이들을 연결하는 선을 정확히 따르고(종방향 도플러 효과), 또한 (2) 동작이 해당 선에 직각이다(횡방향 도플러 효과(transverse Doppler effect)). 우리는 그들이 중간 각도를 따라 움직이는 시나리오는 무시한다.
시공간의 기초 수학 > 도플러 효과 > 종방향 도플러 효과

고전적인 도플러 분석은 음파 또는 물결과 같은 한 매질에서 전파되고 서로를 향해 또는 멀어지는 소스와 수신기 사이에서 전송되는 파동을 다루며, 또한. 이러한 파동의 분석은 소스, 수신기 또는 둘 모두가 매질에 대해 상대적으로 움직이는지 여부에 따라 달라진다. 수신기가 매질에 대해 정지하고 소스가 βs의 속도 매개변수로서 vs의 속도로 수신기에서 직접 멀어지는 시나리오가 주어지면 파장이 증가하고 관찰된 주파수 f는 다음에 의해 주어진다.
반면에, 소스가 고정되어 있고 수신기가 속도 매개변수 βr에 대해 vr의 속도로 소스에서 직접 멀어지는 시나리오가 주어지면 파장은 변경되지 않지만 에 대한 상대적인 파동의 전송 속도는 수신기가 감소하고 관찰된 주파수 f는 다음에 의해 주어진다.
빛은 소리나 물의 잔물결과 달리 매질을 통해 전파되지 않으며, 수신기에서 멀어지는 소스와 소스에서 멀어지는 수신기의 구분이 없다. 그림 3-6은 속도 매개변수 β를 사용하여 수신기에서 소스를 분리하는 상대론적 시공간 다이어그램을 보여준다. 따라서 시간 w에서 소스와 수신기 사이의 간격은 βw이다. 시간 팽창 때문에  W=YW^{\prime }. 녹색 광선의 기울기는 -1이므로  {T}=W+\beta w=\gamma w^{\prime }(1+\beta ). 따라서 상대론적 도플러 효과(relativistic Doppler effect)는:58–59
시공간의 기초 수학 > 도플러 효과 > 횡방향 도플러 효과

교차하지 않는 선을 따라 균일한 관성 운동으로 서로 접근하는 소스와 수신기가 서로 가장 가깝게 접근하고 있다고 가정한다. 고전적 분석은 수신기가 도플러 이동을 감지하지 못하는 것으로 예측된다. 분석의 미묘함 때문에 그 기대가 반드시 사실은 아니다. 그럼에도 불구하고, 적절하게 정의되면 횡방향 도플러 이동은 고전적 유사성이 없는 상대론적 효과이다. 미묘함은 다음과 같다.:541–543
그림 3-7a. 수신기가 소스에 기하학적으로 가장 가까운 위치에 있을 때 주파수 측정값은 무엇인가? 이 시나리오는 소스의 프레임 S'에서 가장 쉽게 분석된다.
그림 3-7b. 수신기가 소스에 가장 가까운 것으로 보는 주파수 측정값은 무엇인가? 이 시나리오는 수신기의 프레임 S에서 가장 쉽게 분석된다.
횡방향 도플러 이동에 대한 논의에는 일반적으로 두 가지 다른 시나리오들이 검토된다:
그림 3-7c. 만일 수신기가 소스를 중심으로 원을 그리며 움직인다면, 수신기가 측정하는 주파수는 무엇인가?
그림 3-7d. 만일 소스가 수신기를 중심으로 원을 그리며 움직인다면, 수신기가 측정하는 주파수는 무엇인가?
시나리오 (a)에서 가장 가까운 접근 지점은 프레임에 독립적이며 시간에 대한 거리의 변화가 없는 순간을 나타내고(즉, dr/dt = 0 여기서 r은 수신기와 소스 사이의 거리) 따라서 종방향 도플러 효과는 없다. 소스는 수신기가 주파수 f′의 빛에 의해 조명되는 것으로 관찰하지만 수신기는 시간-팽창된 시계를 갖는 것으로 관찰한다. 따라서 프레임 S에서, 수신기는 주파수의 청색편이 광에 의해서 조명된다.
시나리오 (b)에서 그림은 광원이 이동했음에도 불구하고 광원이 수신기에 가장 가까웠을 때의 빛에 의해 수신기가 조명되는 것을 보여준다. 소스의 시계는 프레임 S에서 측정된 시간 확장되고 이 지점에서 dr/dt가 0과 같기 때문에 가장 가까운 지점에서 방출되는 소스의 빛은 주파수에 따라 적색편이된다.
시나리오 (c)와 (d)는 간단한 시간 팽창 논의들에 의해서 분석할 수 있다. (c)에서는, 수신기는 광원의 빛이 한 γ의 계수로 청색편이되고, 또한 (d)에서, 그 빛은 적색편이된다. 유일한 겉으로의 복잡성은 궤도를 도는 물체가 가속 운동을 한다는 것이다. 그렇지만, 만일 관성 관찰자가 가속하는 시계를 본다면, 시간 팽창을 계산할 때는 시계의 순간 속도만 중요하다. (그러나 그 반대는 사실이 아니다.):541–543  횡방향 도플러 이동에 대한 대부분의 보고서들은 그 효과를 한 적색편이로 언급하고 또한 시나리오 (b) 또는 (d)의 관점에서 그 효과를 분석한다.
시공간의 기초 수학 > 에너지와 운동량

이 부분의 본문은 사차원 운동량, 운동량 및 질량-에너지 등가입니다.
시공간의 기초 수학 > 에너지와 운동량 > 운동량을 사차원으로 확장하기

고전 역학에서 입자의 운동 상태는 질량과 속도에 의해 특징지어진다. 입자의 질량과 속도의 곱인 선형 운동량은 속도와 같은 방향을 갖는 벡터 양이다: p  = mv. 이는 '보존된' 양으로, 닫힌계는 외부 힘의 영향을 받지 않으면 전체 선형 운동량이 변경될 수 없음을 의미한다.
상대론적 역학에서는, 운동량 벡터는 4차원으로 확장된다. 운동량 벡터에 추가된 시간 구성요소는 시공간 운동량 벡터가 시공간 위치 벡터  (x,t)처럼 변환되도록 한다. 시공간 운동량의 속성을 탐구할 때 우리는 그림 3-8a에서 입자가 정지 상태에서 어떻게 보이는지 조사하는 것으로 시작한다. 정지 프레임에서 운동량의 공간적 성분은 영, 즉 p = 0 이지만 시간 성분은 mc와 같다.
우리는 로런츠 변환을 사용함으로써 이동하는 프레임에서 이 벡터의 변환된 구성 요소를 얻거나 또는 우리가  (mc)^{\prime }=\gamma mc 및  p^{\prime }=-\beta \gamma mc임을 알기 때문에 그림에서 직접 읽을 수 있으니, 이는 빨간색 축들이 감마에 의해 재조정되기 때문이다. 그림 3-8b는 이동하는 프레임에 나타나는 상황을 보여준다. 이동하는 프레임의 속도가 c 에 가까워짐에 따라 4-운동량의 공간 및 시간 구성 요소가 무한대로 이동하는 것이 명백하다.:84–87
우리는 사차원 운동량에 대한 표현을 얻기 위해 이 정보를 곧 사용할 것이다.
시공간의 기초 수학 > 에너지와 운동량 > 빛의 운동량

빛 입자 또는 광자는 일반적으로 광속으로 알려진 상수인 c의 속도로 이동한다. 이 진술은 헌 동어반복이 아니다. 왜냐하면 많은 현대의 상대성 이론 공식은 일정한 광속을 가정으로 시작하지 않기 때문이다. 광자는 따라서  빛꼴 세계선을 따라 전파되며, 또한 적절한 단위들로, 모든 관찰자에게 동일한 공간 및 시간 구성 요소를 갖는다.
전자기학의 맥스웰 방정식의 결과는 빛이 에너지와 운동량을 전달하며, 또한 그 비율은 한 상수라는 것이다:  E/p=c.  E/c=p를 재배열하면, 광자의 경우, 공간 및 시간 성분들이 동일하므로, E/c는 따라서 시공간 운동량 벡터의 시간 성분과 동일해야 한다.
광자는 빛의 속도로 이동하지만 유한한 운동량과 에너지를 가지고 있다. 그러기 위해서는, γmc의 질량 항은 영이어야 하며, 이는 광자들이 무질량 입자(massless particle)들임을 의미한다. 무한대 곱하기 영은 잘 정의되지 않은 양이지만, 그러나 E/c는 잘 정의되어 있다.
이 분석에 따르면, 만일 정지 프레임에서 광자의 에너지가 E와 같으면, 그것은 한 이동하는 프레임에서  E^{\prime }=(1-\beta )\gamma E와 같다. 이 결과는 그림 3-9를 확인하거나 로런츠 변환을 적용하여 도출할 수 있으며, 이전에 제공된 도플러 효과 분석과 일치한다.:88
시공간의 기초 수학 > 에너지와 운동량 > 질량-에너지 관계

상대론적 운동량 벡터의 다양한 구성 요소들 간의 상호 관계들의 고려는 아인슈타인이 몇 가지 유명한 결론들을 내리도록 이끌었다.
저속 제한에서 β = v/c가 영에 접근하면, γ가 1에 접근하므로, 상대론적 운동량의 공간적 성분  \beta \gamma mc=\gamma mv는 운동량에 대한 고전적인 용어인 mv에 접근한다. 이러한 관점에서 볼 때 γm은 m의 상대주의적 일반화로 해석될 수 있다. 아인슈타인은 공식  m_{rel}=\gamma m에 따라 물체의 상대론적 질량(relativistic mass)이 속도에 따라 증가한다고 제안했다.
마찬가지로 상대론적 운동량의 시간 성분과 광자의 시간 성분을 비교하면,  \gamma mc=m_{rel}c=E/c, 그래서 아인슈타인은  E=m_{rel}c^{2}. 속도가 영인 경우로 단순화하면, 이것은 에너지와 질량에 관한 아인슈타인의 유명한 방정식이다.
질량과 에너지 사이의 관계를 보는 또 다른 방법은 저속에서 γmc2 의 급수 전개를 고려하는 것이다:
두 번째 항은 입자의 운동 에너지에 대한 표현일 뿐이다. 질량은 실제로 에너지의 또 다른 형태인 것으로 보인다.:90–92:129–130,180
아인슈타인이 1905년에 도입한 상대론적 질량의 개념인 mrel은 전 세계의 입자 가속기에서(또는 실제로 고속 입자에 의존하는 모든 기기에서 충분히 검증되었지만, 전자현미경, 구식 컬러 텔레비전 세트 등), 그럼에도 불구하고 다른 이론적 발전을 위한 기초 역할을 한 개념이 아니라는 점에서 물리학에서 유익한 개념으로 입증되지 않았다. 예를 들어, 상대론적 질량은 일반 상대성이론에서 아무런 역할도 하지 않는다.
이러한 이유로 대부분의 물리학자들은 교육학적 문제와 마찬가지로 현재 질량과 에너지의 관계를 언급할 때 다른 용어를 선호한다. "상대론적 질량"은 더 이상 사용되지 않는 용어이다. "질량"이라는 용어는 그 자체로 정지 질량 또는 불변 질량을 나타내며, 또한 상대론적 운동량 벡터의 불변 길이와 같다. 공식으로 표현하면,
이 공식은 질량이 없는 입자와 질량이 있는 모든 입자에 적용된다. mrest가 영인 광자의 경우에는,  E=\pm pc를 산출한다.:90–92
시공간의 기초 수학 > 에너지와 운동량 > 사-운동량

질량과 에너지 사이의 밀접한 관계 때문에 사-운동량(4-운동량이라고도 불림)은 에너지-운동량 4-벡터라고도 블린다. 4-운동량을 나타내기 위해 대문자 P를 사용하고 공간 운동량을 나타내기 위해 소문자 p를 사용하여 사-운동량은 다음과 같이 쓸 수 있다.
시공간의 기초 수학 > 보존 법칙들

이 부분의 본문은 보존 법칙입니다.
물리학에서, 보존 법칙들은 격리된 물리적 시스템의 어떤 특정한 측정 가능한 속성은 시스템이 시간이 지남에 따라 진화해도 변하지 않는다는 것을 진술한다. 1915년에,  에미 뇌터는 각 보존 법칙의 기초가 되는 자연의 한 근본적인 대칭성을 발견했다. 물리적 과정이 공간 내의 어디서 발생하는지 상관하지 않는다는 사실(공간 평행이동 대칭(space translation symmetry))은 운동량 보존을 산출하고, 그러한 과정이 언제 발생하는지 상관하지 않는다는 사실(시간 평행이동 대칭(time translation symmetry))은 에너지의 보존을 산출한다 등. 이 섹션에서는, 우리는 상대론적 관점에서 질량, 운동량 및 에너지의 보존에 대한 뉴턴의 관점을 검토한다.
시공간의 기초 수학 > 보존 법칙들 > 총 운동량

운동량 보존에 대한 뉴턴의 관점이 상대론적 맥락에서 어떻게 수정되어야 하는지 이해하기 위해 우리는 한 단일 차원으로 제한된 두 개의 충돌하는 물체들의 문제를 검토한다.
뉴턴 역학에서는, 최소 복잡성의 수학을 산출하는 이 문제의 두 가지 극단적인 경우들이 구별될 수 있다:
(1)과 (2)의 경우 모두 운동량, 질량 및 총 에너지가 보존된다. 그렇지만, 비탄성 충돌의 경우 운동 에너지는 보존되지 않는다. 초기 운동 에너지의 어떤 부분은 열로 변환된다.
(2)의 경우, 운동량이  {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{1}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}
및  {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{2}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}인 두 질량들이 충돌하여 보존된 질량  m=m_{1}+m_{2}이 원래 시스템의 질량 중심의 속도 {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)로 이동하는 한 단일 입자를 형성한다. 총 운동량  {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}는 보존된다.
그림 3-10은 상대론적 관점에서 두 입자의 비탄성 충돌을 도해한다. 시간 성분들  E_{1}/c 및  E_{2}/c는 결과 벡터의 총 E/c에 합산되며, 이는 에너지가 보존됨을 의미한다. 마찬가지로, 공간 구성요소  {\boldsymbol {p_{1}}} 및  {\boldsymbol {p_{2}}}는 합산하여 결과의 벡터 p를 형성한다. 4-운동량은, 예상대로, 한 보존된 양이다. 그렇지만, 총 운동량의 불변 쌍곡선이 에너지 축과 교차하는 점에 의해 주어진 융합 입자의 불변 질량은 충돌한 개별 입자의 불변 질량의 합과 같지 않다. 과연, 그것은 개별 질량의 합보다 크다:  m>m_{1}+m_{2}.:94–97
이 시나리오의 사건을 역순으로 살펴보면, 우리는 질량의 비-보존이 일반적으로 발생한다는 것을 알 수 있다: 불안정한 기본 입자가 자발적으로 두 개의 더 가벼운 입자로 붕괴할 때, 총 에너지는 보존되지만, 그러나 질량은 보존되지 않는다. 질량의 일부는 운동 에너지로 변환된다.:134–138
시공간의 기초 수학 > 보존 법칙들 > 기준  프레임들의 선택

그림 3-11. 
(위) .
(오른쪽) .
분석을 수행할 프레임을 자유롭게 선택할 수 있으므로 특히 편리한 프레임을 선택할 수 있다. 운동량 및 에너지 문제를 분석할 때 가장 편리한 프레임은 일반적으로 "운동량 중심 프레임(center-of-momentum frame)"(영 운동량프레임 또는 COM(center of momentum) 프레임라고도 함)이다. 이것은 시스템의 전체 운동량의 공간 성분이 영인 프레임이다. 그림 3-11은 고속 입자가 두 개의 딸 입자들로 분해되는 것을 도해한다. 실험실 프레임에서 딸 입자들은 원래 입자의 궤적을 따라 지향된 방향으로 우선적으로 방출된다. 그렇지만, COM 프레임에서는, 질량들과 속도들의 크기가 일반적으로 동일하지 않지만, 두 개의 딸 입자들은 반대 방향으로 방출된다.
시공간의 기초 수학 > 보존 법칙들 > 에너지 및 운동량 보존

상호 작용하는 입자들에 대한 뉴턴식 분석에서는, 프레임들 간의 변환은 모든 속도들에 갈릴레이 변환을 적용하기만 하면 되므로 간단하다.  v'=v-u이므로, 운동량  p'=p-mu. 만일 상호 작용하는 입자들 시스템의 총 운동량이 한 프레임에서 보존되는 것으로 관찰되면, 다른 프레임에서도 마찬가지로 보존되는 것으로 관찰된다.:241–245
COM 프레임에서 운동량의 보존은 충돌 전후 둘 다 p = 0이라는 요건에 해당한다. 뉴턴 분석에서는, 질량 보존은  m=m_{1}+m_{2}를 지시한다. 우리가 고려하고 있는 단순화된 일차원 시나리오에서는, 입자의 나가는 운동량들을 결정하기 전에 하나의 추가 제약 조건-한 에너지 조건만 필요하다. 운동 에너지의 손실이 없는 완전 탄성 충돌의 일차원 경우에는, COM계에서 반발 입자의 나가는 속도들은 들어오는 속도들과 정확히 동일하고 반대이다. 운동 에너지가 완전히 손실된 완전 비탄성 충돌의 경우에는, 반동 입자들의 나가는 속도는 영이 된다.:241–245
p=mv로 계산되는 뉴턴 운동량은 로런츠 변환에서 제대로 작동하지 않는다. 속도들의 선형 변환  v'=v-u는 고도의 비선형
 v^{\prime }=(v-u){\Big /}\left(1-{\frac {vu}{c^{2}}}\right)으로 대체되고  그래서 한 프레임에서 운동량 보존을 증명하는 어떤 계산은 다른 프레임들에서는 유효하지 않다. 아인슈타인은 운동량 보존을 포기하거나 또는 운동량의 정의를 변경해야 하는 상황에 직면했다. 이 두 번째 옵션이 그가 선택한 것이다.:104
그림 3-12a. 한 하전 파이온의 붕괴에 대한 에너지-운동량 도표.
그림 3-12b. 하전 파이온 붕괴의 그래프 계산기 분석.
에너지 및 운동량에 대한 상대론적 보존 법칙은 에너지, 운동량 및 질량에 대한 세 가지 고전적인 보존 법칙을 대체한다. 질량은 전체 상대론적 에너지에 포함되었기 때문에 더 이상 독립적으로 보존되지 않는다. 이것은 에너지의 상대론적 보존을 비상대론적 역학보다 더 간단한 개념으로 만드는데, 왜냐하면 총 에너지는 아무런 조건들 없이 보존되기 때문이다. 열 또는 내부 위치 에너지로 변환된 운동 에너지는 질량 증가로 나타난다.:127
예: 질량과 에너지의 동등성 때문에 기본 입자 질량은 일반적으로 에너지 단위로 표시되며, 여기서 1 MeV = 106 전자 볼트이다. 한 하전 파이온은 질량이 139.57MeV(전자 질량의 약 273배)인 입자이다. 그것은 불안정하고, 또한 질량이 105.66MeV(전자 질량의 약 207배)인 뮤온과 거의 무시할 수 있는 질량을 갖는 한 반중성미자로 붕괴한다. 파이온 질량과 뮤온 질량의 차이는 33.91MeV이다.
그림 3-12a는 파이온의 정지 프레임에서 이러한 붕괴 반응에 대한 에너지-운동량 도표를 보여준다. 무시할 수 있는 질량 때문에 중성미자는 빛의 속도에 매우 가깝게 이동한다. 광자의 에너지와 같은 에너지에 대한 상대론적 표현은   E_{v}=pc,이고, 이것은 또한 운동량의 공간 성분 값이기도 하다. 운동량을 보존하기 위해서, 뮤온은 중성미자 운동량의 공간 성분과 같은 값을 갖지만, 반대 방향으로이다.
이 붕괴 반응의 에너지에 대한 대수적 분석들은 온라인에서 볼 수 있고, 그래서 그림 3-12b은 대신 그래프 계산기 해를 제공한다. 중성미자의 에너지는 29.79 MeV이고, 또한 뮤온의 에너지는 33.91 MeV − 29.79 MeV = 4.12 MeV이다. 대부분의 에너지는 영-근사-질량인 중성미자에 의해서 운반된다.
기본을 넘어서

이 섹션의 주제들은 이전 섹션의 주제들보다 기술적 난이도가 훨씬 높으며 휘어진 시공간의 입문의 이해에 필수적이지는 않다.