stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
곡선좌표계
3차원에서의 직교하는 곡선 좌표계 > 좌표, 기저, 및 벡터

일단은 3차원 공간부터 고려해보자. 3차원 공간에서 한 점 P (또는 그것의 위치 벡터 r)은 데카르트 좌표들 (x, y, z) [또는 (x1, x2, x3)]를 사용하여, 아래와 같이, 정의될 수 있다.   \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}, 여기서 ex, ey, ez는 표준 기저 벡터들(standard basis vectors)이다.
그 점은 곡선 좌표들(q1, q2, q3)을 통해서도 정의될 수 있을 것이다(만일, 그러한 세개의 숫자들(q1, q2, q3)이 애매함이 없는 방식으로 그 점을 정의하기만 한다면). 좌표들 사이의 이러한 관계는 아래의 가역적 변환 함수들을 통해 표현될 수 있다.
q1 = constant, q2 = constant, q3 = constant 에 의해 주어지는 표면들은 좌표 표면들이라 불리고, 짝지워진 좌표 표면들의 교차에 의해  형성되는 공간에서의 곡선들은 좌표 곡선들이라 불린다. 좌표 축들은 세 곡면들의 교점에서, 좌표 곡선들에 대한 접선들에 의해 결정된다. 좌표 축들의 방향들은 간단한 데카르트 좌표계에서는 고정되지만, 일반적으로는, 고정되지 않다. 즉, 곡선 좌표들을 위한 자연스러운 전역적 기저는 일반적으로 없다.
데카르트 좌표계에서, 표준 기저 벡터들은 다음과 같이, 국소 좌표에 대한 점 P 의 위치의 미분들을 통해 얻어질 수 있다.
점 P에서 곡선 좌표계에 대해 동일한 미분을 적용하면, 다음과 같이, 자연 기저 벡터들(natural basis vectors)을 정의할 수 있다:
(벡터들의 크기와 방향이 공간 상의 점마다 달라지지는) 이러한 기저는 국소 기저라고 불린다. 곡선 좌표계들과 연관된 모든 기저들은 필연적으로, 국소적이다.  (모든 점들에서 동일한) 기저 벡터들은 전역 기저들이며, 단지 선형 또는 어핀 좌표계들(linear or affine coordinate systems)과 관련된다.
주의: 이 문서에서, e는 표준 기저(데카르트 좌표계)에 대해 사용되고, h 또는 b는 곡선 기저들에 대해 사용된다.
(미분을 통해 정의된) 이들 기저 벡터들은 단위 길이를 갖지 않을 수 있으며, 더 나아가 직교하지 않을 수도 있다.  이들 기저 벡터들이 (미분들이 잘 정의되는) 모든 점들에서 직교할 경우, 다음과 같이, (가브리엘 라미(Gabriel Lamé)의 이름을 딴) 라미 계수들을 정의할 수 있으며,
또한, 다음과 같이, 곡선 직교정규 기저 벡터들(curvilinear orthonormal basis vectors)을 정의할 수 있다:
이러한 기저 벡터들은 P 의 위치에 의존하며, 따라서, 이들이 (점이 아니라) 어떤 영역에서 상수인 것으로 가정되지는 않는다는 것을 유념해야 한다. (기술적으로 말해, 이들은 P에서   \mathbb {R} ^{3}의 탄젠트 번들을 위한 기저를 형성하며, 그래서 P에 대해 국소적이다)
일반적으로, 곡선 좌표계들은 자연 기저 벡터들 hi 이 상호 간에 서로 수직하지 않은 것도 허용하며, 그들이 단위 길이일 것을 요구하지도 않는다. 즉, 이들은 임의의 길이와 방향을 가질 수도 있다. 직교하는 기저가 사용될 경우, 비직교 기저가 사용되는 경우에 비해, 벡터들은 더 단순하게 다뤄질 수 있다. 하지만, 물리학 및 공학의 일부 분야들(특히, 유체 역학 및 연속체 역학)에서는, 변형 및 유체 이동을 기술하기 위해, 물리량들의 복잡한 방향 의존성들을 설명 설명하기 위해, 비직교 기저들이 요구되기도 한다.
벡터 계산(Vector calculus) > 미분 요소들(Differential elements)

직교하는 곡선 좌표계에서, r에 있어서의 전체 미분 변화는 아래와 같고,
여기서,  h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|는 스케일 인수들이다.
비직교 좌표계에서,  d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}의 길이는  d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j} (아인슈타인 표기법을 사용하여 단순화)의 양수 제곱근이다.  자연 기저 벡터들의 여섯개의 독립된 스칼라 곱들 gij=hi.hj은 직교 좌표계를 위해 위에서 정의된, 세개의 스케일 인수들(라미 계수들)을 일반화시킨다. 아홉개의 gij는 메트릭 텐서의 성분들이다. 직교 좌표계에서, 이러한 메트릭 텐서는 단지 세개의 영이 아닌 성분들(g11=h1h1, g22=h2h2, g33=h3h3)을 갖는다.
공변 및 반변 기저들

공간 그래디언트, 거리, 시간 미분, 및 스케일 인수들은 기저 벡터들의 두 그룹들에 의해, 하나의 좌표계 내에서 상호 연관된다:
연관된 좌표 경로 라인에 대해 국소적으로 접하는 기저 벡터들:

 \mathbf {b} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}

은 (아래 첨자들을 통해 표기되는) 공변 벡터들처럼 변환한다. 또는,
다른 좌표들에 의해 만들어진 등위면(isosurface)에 국소적으로 수직한 기저 벡터들:

 \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}

은 (위 첨자에 의해 표기되는) 반변 벡터처럼 변환한다. 여기서,  ∇는 델 연산자이다.
결과적으로, 일반적인 곡선 좌표계는, 모든 점들에 대해, 두 종류의 기저 벡터들의 세트들을 갖는다: {b1, b2, b3}는 공변 기저이고, {b1, b2, b3}는 반변(또는 레시프로칼) 기저이다. 직교하는 곡선 좌표계에서, 공변 및 반변 기저 벡터들은 동일한 방향을 갖지만, 일반적으로, 서로에 대해 역수의 단위들을  갖는다.
아래의 중요한 등식을 주목할 것.
여기서,  \delta _{j}^{i}은 일반화된 크로넥커 델타를 나타낸다.
벡터 v는 공변 및 반변 기저들 중의 어느 것을 통해서도 명기될 수 있다. 즉,
(아인슈타인 표기법이 사용하면) 기저 벡터들은 아래의 식들을 통해 그 성분들과 관련된다.(pp. 30–32)
그리고
여기서, g는 메트릭 텐서이다 (아래 참조).
벡터는 (아래 첨자, vk로 쓰여지는) 공변 좌표들을 사용하여 또는 (위 첨자, vk로 쓰여지는)  반변 좌표들을 사용하여 명기될 수 있다. 위 벡터 합들로부터, 반변 좌표들은 공변 기저 벡터들과 연관지어지고, 공변 좌표들은 반변 기저 벡터들과 연관지어지는 것을 알 수 있다.
공변하는 방식(또는 반변하는 방식)으로 변환하는 벡터 성분들은 반변하는 방식(또는 공변하는 방식)으로 변환하는 기저 벡터들과 쌍을 이루며, 이런 점에서, 인덱스된 성분들 및 기저 벡터들을 통한 벡터 및 텐서의 표현의 주요 특징은 불변성이다.
공변 기저 > 1차원에서 공변 기저 만들기

도 3에 도시된 1차원 곡선을 고려하자.  원점으로 선택된, 점 P 에서, x는 데카르트 좌표들 중의 하나이고, q1 은 곡선 좌표들 중의 하나이다.  (단위 크기를 갖지 않는) 국소 기저 벡터는 b1 (단위 벡터들에 대해서는 b가 사용된, 위 설명에서는 h1으로 표시되었음)이고, 이는 점 P에서 좌표 라인에 접하는 q1 축 상에 만들어진다. 이러한 q1 축과 벡터 b1은 데카르트 좌표계의 x 축 및 데카르트 기저 벡터 e1에 대해  \alpha 의 각도를 형성한다.
삼각형 PAB 로부터, 아래를 알 수 있다.
여기서, |e1|, |b1| 은 두 기저 벡터들의 크기들(즉,  변의 스칼라 길이들 PB 및 PA)이다.
PA는 또한 x 축에 대한  b1의 투영된 길이에 해당한다.
하지만, 방향 코사인을 사용하여 기저 벡터를 변환하는, 이 방법은 아래의 이유들 때문에, 곡선 좌표계들에는 적용될 수 없다:
P 로부터의 거리가 증가함에 따라, 곡선 q1 과 데카르트 축 x  사이의 각도와 앞서의 각도  \alpha  사이의 편차가 점차 증가한다.
거리 PB 에서, 실제 각도는 점 C에서의 접선이 x 축과 이루는 것으로, 이 각도는  \alpha 와는 명백히 다르다.
점 P로 다가갈수록, q1 라인 및 그 축이 x축과 이루는 각도들은 값에 있어서는 가까워지고, 특히, P에서는 정확하게 같아진다.
점 E 는, 거리 PE가 극한적으로 작아지도록(infinitesimally small), P에 아주 가깝게 위치한다고 하자. 그러면, q1 축 상에서 측정된 PE는 q1 라인 상에서 측정된 PE와 거의 일치한다. 동시에, 비율 PD/PE  (PD는 x축에 대한 PE 의 투영 길이)는  \cos \alpha 와 거의 같아진다.
이러한 극한적으로 작은 길이들 PD 및 PE를 각각 dx 및 dq1로 표기하기로 하자. 그러면,
따라서, 변환들에서, 방향 코사인은 극한적으로 작은 좌표 길이들 사이의 보다 정확한 비율들로 대체될 수 있다. 이에 따라, x 축에 대한 b1의 성분(즉, 투영 길이)는 아래와 같다:
만일, qi = qi(x1, x2, x3) 과 xi = xi(q1, q2, q3) 이 매끄러운(즉, 연속적으로 미분가능한) 함수들이라면, 변환 비율들은  {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}} 및  {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}로서 쓰여질 수 있다.  즉, 그러한 비율들은 다른 좌표계에 속한 좌표들에 대한, 한 좌표계에 속한 좌표들의 편미분들이다.
공변 기저 > 3차원에서 공변 기저 만들기

다른 2개의 차원들에서의 좌표들에 대해 같은 과정을 수행함으로써, b1 은 아래와 같이 표현될 수 있다:
유사한 식들이 b2 및 b3에 대해서도 얻어질 수 있다. 그래서, 표준 기저 {e1, e2, e3}는, 아래의 식들을 통해, 국소 (순서화된 그리고 정규화된) 기저 {b1, b2, b3}로 변환된다.
유사한 논거를 통해, 국소 기저로부터 표준 기저로의 역 변환도 얻을 수 있다:
공변 기저 > 변환의 야코비안

선형 방정식들의 위 시스템은 아인슈타인 표기법을 사용하여, 다음과 같이 행렬 형태로 쓰여질 수 있다:
위 선형 시스템의 계수 행렬이 변환의 야코비안 행렬(및 그 역행렬)이다.  이들은 데카르트 기저를 곡선 기저로 변환하기 위해 또는 그 반대의 과정을 위해 사용되는 방정식들이다.
3차원에서, 이들 형렬들의 확장된 형태들은 다음과 같다.
역 변환(두번째 방정식 시스템)에서, 미지수들은 곡선 기저 벡터들이다. 특정한 위치에 대해서는, 단지 하나의 기저 벡터들의 세트 만이 존재할 수 있으며, 그렇지 않은 경우, 그 기저는 그 점에서 잘 정의된 것이 아니다.  이러한 조건은 상기 방정식 시스템이 단일 해를 갖는 경우 더 나아가 오직 그러한 경우에만, 충족된다. 선형 대수학에 따르면, 선형 방정식 시스템은 그 시스템의 행렬의 행렬식이 0이 아닐 경우에만, (무의미하지 않은; non-trivial) 단일 해를 갖는다:
위 식은 역-야코비안 행렬식과 관련된 위 요구 사항에 대한 근거를 보여준다.
n 차원으로의 일반화

위 정식화는 아래와 같이 임의의 유한 차원으로 확장될 수 있다.
벡터 공간인, 실수 유클리드 n차원 공간(즉, Rn = R × R × ... × R(n 번))를 고려하자. 여기서, R은 실수들의 집합이고, ×는 데카르트 곱(카르테시언 곱)(Cartesian product)을 나타낸다.
이 공간의 좌표들은 x = (x1, x2,...,xn)로 표기된다. 이것은 벡터(벡터 공간의 한 원소)이기 때문에, 다음과 같이 쓰여질 수 있다:
여기서, e1 = (1,0,0...,0), e2 = (0,1,0...,0), e3 = (0,0,1...,0),...,en = (0,0,0...,1)는 Rn 공간의 벡터들의 표준 기저 세트이고, i = 1, 2,...n는 인덱스-라벨링 성분들이다. 각 벡터는 각 차원(또는 "축")에서 정확하게 하나의 성분을 갖고, 이들은 서로 직교(수직)하며 정규화된다(즉, 단위 크기를 갖는다).
보다 일반적으로, 우리는, q = (q1, q2,...,qn)에 의존하는, 기저 벡터들 bi 을 정의할 수 있다.  즉, 이들은 점마다 달라진다: bi = bi(q). 이러한 대안적 기저를 통해 동일한 점 x를 정의하는 경우에, 이 기저에 대한 좌표들 vi 은 필연적으로 x 에도 의존한다: 즉, vi = vi(x). 그러면, 이러한 대안적 좌표들과 기저 벡터들에 대한, 이 공간에서의 벡터 v는 (각 기저 벡터 ei 와 숫자(스칼라 곱셈) vi를 곱함을 의미하는) 이러한 기저에서의 선형 조합으로서 확장될 수 있다:
새로운 기저에서 v를 기술하는 벡터 합은 비록, 그 합 자체는 동일하게 유지되더라도, 다른 벡터들로 구성된다.
좌표들의 변환

보다 일반적이면서 추상적인 관점에 따르면, 곡선 좌표계는, 미분가능한 다양체 En (n차원의 유클리드 공간) 상의 데카르트 좌표 조각(coordinate patch)에 대해 미분동형적인, 다양체 En 상의 한 좌표 조각일 뿐이다. 미분 다양체 상의 두 미분동형적 좌표 조각들은 미분가능하게 중첩될 필요는 없다.  하나의 곡선 좌표계에 대한 이러한 단순한 정의에도 불구하고, 아래의 모든 결과들은 단순히, 미분 위상 기하학에서의 표준적인 정리들의 응용들이다.
변환 함수들은 "오래된" 및 "새로운" 좌표계들에서의 점들 사이에 일대일 관계가 존재하도록 구성된다. 즉, 그러한 함수들은 전단사 함수들로서 그들의 정의역 내에서 아래의 요구 사항들을 충족시킨다.
이들은 매끄러운 함수들이다: qi = qi(x)
역 야코비안 행렬식은 영이 아니며,
 J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0
이는 그러한 변환이 가역적(xi(q))임을 의미한다.

역함수 정리에 따르면, 야코비안 행렬식이 0이 아니라는 조건은 다른 패밀리들로부터의 세 표면들이 하나 단지 하나의 점에서 교차하고, 따라서 이 점의 위치는 일의적인 방식으로 결정할 수 있음을 나타낸다.
곡선 좌표계에서의 벡터 및 텐서 대수

곡선 좌표계에서의 기초적인 벡터 및 텐서 대수는 역학 및 물리학의 오래된 과학 문헌들에서 사용되며, 1900년대 초반 및 중반부터의 작업(Green과 Zerna의 교과서)을 이해하는데 있어 필수적일 수 있다. 곡선 좌표계에서의 벡터들 및 2차 텐서들(second-order tensors)의 대수에 관한 몇몇 유용한 관계들이 이 절에서 논의된다.  표기법 및 내용은 주로 Ogden, Naghdi, Simmonds, Green and Zerna,  Basar 및 Weichert, 및 Ciarlet에 기초한다.
곡선 좌표계에서의 텐서

2차 텐서는 아래와 같이 표현될 수 있다:
여기서  \scriptstyle \otimes 는 텐서 곱을 나타낸다. 성분들 Sij 은 상기 2차 텐서의 반변 성분들이라 불리고, Si j 은 혼합된 우-공변 성분들이라 불리고, Si j 은 혼합된 좌-공변 성분들이라 불리고, Sij 은 공변 성분들이라 불린다. 2차 텐서의 성분들은 아래의 식에 의해 관련지어진다.
곡선 좌표계에서의 텐서 > 직교하는 곡선 좌표계에서 메트릭 텐서

각 점에서, 우리는 작은 선 요소 dx를 구성할 수 있다. 이러한 선 요소의 길이의 제곱은 아래의 스칼라 곱 dx • dx이며 그 공간의 메트릭으로 불린다.
아래에 주어진, 위 식의 부분
은 곡선 좌표계에서 유클리드 공간의 근본(또는 메트릭) 텐서로 불리는, 대칭 텐서이다.
인덱스들은 위 메트릭을 이용하여 올려지거나 내려질 수 있다.
곡선 좌표계에서의 텐서 > 직교하는 곡선 좌표계에서 메트릭 텐서 > 라미 계수들과의 관계

스케일 인수들 hi 을 아래와 같이 정의하면,
메트릭 텐서와 라미 계수들 사이의 관계를 얻을 수 있다. 또한,
여기서, hij는 라미 계수들이다. 이에 더하여, 직교 기저의 경우, 아래의 식을 얻을 수 있다.
곡선 좌표계에서의 텐서 > 직교하는 곡선 좌표계에서 메트릭 텐서 > 예: 극 좌표계

만일 R2에서 극 좌표들이 고려된다면, 다음과 같다.
여기서, (r, θ)는 곡선 좌표들이고, 변환 (r,θ) → (r cos θ, r sin θ)의 야코비안 행렬식은 r이다.
직교하는 기저 벡터들은 br = (cos θ, sin θ), bθ = (−sin θ, cos θ)이다.  스케일 인수들은 hr = 1 및 hθ= r이다. 메트릭 텐서는 g11 =1, g22 =r2, g12 = g21 =0이다.
곡선 좌표계에서의 텐서 > 얼터네이팅 텐서(alternating tensor)

직교정규 오른손잡이 기저에서, 3차 얼터네이팅 텐서는 다음과 같이 정의된다:
일반적인 곡선 기저에서, 동일한 텐서는 다음과 같이 표현된다:
이에 더하여, 아래의 관계가 보여질 수 있다.
곡선 좌표계에서의 텐서 > 크리스토펠 기호

여기서, 콤마는 편미분을 나타낸다(리찌 계산(Ricci calculus) 참조). gij를 통해 Γijk를 표현하기 위해, 다음을 주목하자.
여기서,
이기 때문에, 이를 사용하여 위에서의 관계들을 재배열하면, 아래의 식을 얻을 수 있다.
이는 다음을 함축한다.
이어지는, 다른 관계들로는 아래의 것들이 있다.
곡선 좌표계에서의 텐서 > 벡터 계산

내적:
곡선 좌표계에서 두 벡터들의 내적은(p. 32)
 \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}
외적:
두 벡터의 외적은 다음과 같이 주어진다:(pp. 32–34)
 \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}
여기서 \epsilon _{ijk} 은 퍼뮤테이션 기호이고,  \mathbf {e} _{i}은 테카르트 기저 벡터이다. 곡선 좌표계에서, 동등한 표현은 아래와 같다:
 \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}
여기서  {\mathcal {E}}_{ijk} 은 3차 얼터네이팅 텐서이다.
3차원 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산

선, 면, 및 부피 적분을 계산에 있어서, 약간의 수정이 가해질 필요가 있다. 단순함을 위해, 아래의 논의는 3차원 및 직교하는 곡선 좌표계들로 제한한다. 하지만, 동일한 논거는 n차원의 공간들에 대해서도 적용될 수 있다.  좌표계가 직교하지 않을 경우, 표현들에는 몇몇 부가적인 항들이 나타난다.
Simmonds은 그의 책 "tensor analysis"에서, 다음과 같은 아인슈타인의 말을 인용하였다.
"이 이론의 마법은 이 이론을 진정으로 이해하고 있는 사람은 그 누구라도, 이 이론에 강요될 수 밖에 없다는 점에 있다. 그것은 가우스, 리만, 리찌, 및 레비치비타에 의해 발견된, 철저한 미분 기하학의 방법이 일궈낸 진정한 승리를 나타낸다."
일반적인 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산은 일반 상대론에서의 4차원 곡면 다양체 상의 텐서 해석에, 휘어진 껍질들에서의 역학에, 메타물질에 대한 관심에서 맥스웰 방정식들의 불변성을 조사하는데에, 그리고 많은 다른 분야들에서 사용된다.
곡선 좌표계에서의 벡터들 및 2차 텐서들을 계산함에 있어서, 몇몇 유용한 관계들이 이 절에서 제시된다. 표기법 및 내용들은 주로 Ogden, Simmonds, Green 및 Zerna,  Basar 및 Weichert, 및 Ciarlet에 기초한다.
φ = φ(x)는 잘-정의된 스칼라 장이고, v = v(x)는 잘-정의된 벡터 장이고, λ1, λ2...는 좌표들의 파라미터들이라고 하자.
3차원 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산 > 기하학적 요소들

탄젠트 벡터: x(λ)가 데카르트 좌표계에서 곡선 C를 매개변수로서 표현하는 것이라면,

 {\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x}  \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}
은 (체인 룰을 사용하면) 곡선 좌표계에서 C에 대한 접선 벡터이다.  라미 계수에 대한 정의 및  i ≠ j일 때의 메트릭 gij = 0를 사용하면, 그 크기는 아래와 같다:
 \left|{\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}
탄젠트 평면 요소: x(λ1, λ2)가 데카르트 좌표계에서 표면 S를 매개변수로서 표현하는 것이라면, 탄젠트 벡터들에 대한 아래의 외적은 곡선 좌표계에서, 극미의 평면 요소의 크기를 갖는, S에 대한 법선 벡터이다. 위 결과를 사용하면,

 {\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x}  \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x}  \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}
여기서,  {\mathcal {E}}는 퍼뮤테이션 기호이다. 행렬식의 형태로 쓰면,
 {\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}
3차원 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산 > 적분

| Operator | Scalar field | Vector field |
| --- | --- | --- |
| Line integral |  \int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left|{\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda }\right|d\lambda  |  \int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda }\right)d\lambda  |
| Surface integral |  \int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left|{\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda _{2}}\right|d\lambda _{1}d\lambda _{2} |  \int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2} |
| Volume integral |  \iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3} |  \iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3} |
3차원 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산 > 미분

그래디언트, 발산, 및 라플라시안에 대한 표현들은 n차원으로 곧장 확장될 수 있지만, 회전에 대한 표현은 단지 3차원에서만 정의된다.
벡터 필드 bi는 qi 좌표 곡선에 대한 탄젠트로서 그 곡선 상의 각 점에서의 자연 기저를 형성한다.  이 문서의 시작에서 논의된 것처럼, 이러한 기저는 공변 곡선 기저로도 불린다.  우리는 또한 레시프로칼 기저 또는 반변 곡선 기저 bi를 정의할 수 있다.  텐서 대수에 대한 절에서 논의한 것처럼, 기저 벡터들 사이의 모든 대수적 관계들은 각 점 x에서의 자연 기저와 그것의 레시프로칼 기저에 대해서도 적용될 수 있다.
| Operator | Scalar field | Vector field | 2nd order tensor field |
| --- | --- | --- | --- |
| Gradient |  \nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi  \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i} |  \nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v}  \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i} |  {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i} |
| Divergence | N/A |  \nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j}) |  ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )where a is an arbitrary constant vector. In curvilinear coordinates,   {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j} |
| Laplacian |  \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right) |  |  |
| Curl | N/A | For vector fields in 3d only,  \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}} where  \epsilon _{ijk} is the Levi-Civita symbol. | See Curl of a tensor field |
일반적인 곡선 좌표계에서 겉보기 힘들

[그것에 작용하는 힘이 없는] 입자가 관성 좌표계(x1, x2, x3, t)에서 표현된 위치를 갖는다면, 정의에 의해, 거기에서, 그 입자는 가속도를 갖지 않을 것이다(d2xj/dt2 = 0). 이런 맥락에서, 좌표계는, 비-직선적 시간축 또는 비-직선적 공간 축 (또는 둘 모두)에 의해서는, "관성적"일 수 없다. 다시 말해, 좌표들의 기저 벡터들은 고정된 위치들에서 시간에 따라 변하거나, 고정된 시간들에서 위치에 따라 변하거나, 또는 둘 모두에 있어서, 변할 수 있다. 운동 방정식들이 어떤 비관성 좌표계에서 표현될 때에는, 크리스토펠 기호로 불리는, 여분의 항들이 나타난다. 엄밀히 말해, 이러한 항들은 (고전 역학에서) 절대 가속의 성분들을 나타내지만, 우리는 (마치 좌표들이 관성적인 것처럼) d2xj/dt2를 가속도로서 계속 간주하고, 여분의 항들을 (마치 그들이 힘들인 것처럼)(이러한 경우에, 이들은 겉보기 힘으로 불린다) 계속 취급할 수도 있다. (입자의 경로에 수직하면서 경로의 곡률의 평면 내에 있는) 그러한 겉보기 힘의 성분들은 원심력이라 불린다.
보다 일반적인 이러한 상황은 (회전하는 좌표계에서의 그리고 정지한 곡선 좌표계에서의) 원심력에 대한 개념들 사이의 대응 관계를 명확하게 만들어 준다. (이들 개념들 모두 문헌들에 종종 나타난다.) 단순한 예로, 각속력 W로 회전하는 극 좌표계에 대해, 반경 r의 원 상에서 각속력 w로 움직이는 질량 m인 물체를 고려해보자. 반경 방향에서의 운동 방정식은 mr” = Fr + mr(w + W)2이다.  따라서, 원심력은 mr 과 입자의 절대 회전 속력(A = w + W )의 제곱의 곱이다.  만일, 입자의 속력으로 회전하는 좌표계를 선택한다면,  W = A 이고 w = 0으로, 이 경우, 원심력은 mrA2이다. 반면, 정지한 좌표계를 선택한다면, W = 0 이고 w = A으로, 이 경우, 원심력은 다시 mrA2이다.  결과 값들에서의 이러한 동일성의 이유는, 두 경우 모두에서, 입자의 위치에서의 기저 벡터들이 정확하게 동일한 방식으로 시간에 따라 변하기 때문이다. 따라서, 이들은 실제로는, 정확하게 동일한 것을 기술하는 두 다른 방법들일 뿐이다. 하나는 회전하는 좌표계를 통한 기술이고, 다른 하나는 정지한 곡선 좌표계를 통한 기술로서, 이 둘 모두는 그 항의 보다 추상적인 의미에 따라 비관성적이다.
일반적인 운동을 기술할 때, 입자에 작용하는 실제 힘들은 종종 운동 경로에 접하는 순간적인 접촉 원을 참조하게 되며, 통상적인 경우에서 이러한 원은 고정된 위치에 중심을 갖지 않으며, 따라서, 원심 및 코리올리 성분들로의 분해는 계속해서 변하게 된다. 이는 그러한 운동이 정지 또는 회전 좌표계를 통해 기술되는가에 상관없이 항상 유효하다.
같이 보기

벡터의 공변성 및 반변성
일반상대론의 수학적 공식화 개론
직교좌표계
프레네-세레 공식
공변 미분
텐서 미분 (연속체 역학)
곡선형 원근법
원통형 및 구형 좌표의 Del
추가 문헌

Spiegel, M. R. (1959). 《Vector Analysis》. New York: Schaum's Outline Series. ISBN 0-07-084378-3.
Arfken, George (1995). 《Mathematical Methods for Physicists》. Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.
도 1 - 일반적인 곡선 좌표계에서의 좌표 표면들, 좌표 라인들, 및 좌표 축들.
도 2 - 구 좌표계에서의 좌표 표면들, 좌표 라인들,및 좌표 축들. 표면들: r - 구(spheres), θ - 원뿔(cones), φ - 반 평면(half-planes); 라인들: r - 직선 빔, θ - 수직한 반원, φ - 수평한 원; 축들: r - 직선 빔, θ - 수직 반원의 접선, φ - 수평 원의 접선
일반적으로는 (직교할 필요는 없는) 곡선 좌표들 (q1, q2, q3)에서, 벡터 v(붉은 색)는 [1] 벡터 기저(노란 색, 왼쪽: e1, e2, e3), 좌표 곡선들 (검정 색)에 대한 접선 벡터들에 의해 표현되고, 그리고

[2] 코벡터 기저 또는 코-기저(cobasis) (파란 색, 오른쪽: e1, e2, e3), 좌표 곡면들 (회색)에 대한 법선 벡터들에 의해 표현된다.

직교 좌표계가 아니라면, 기저 및 코-기저가 일치하지 않는다는 것을 주목할 것.
도 3 – 일반적인 곡선 좌표의 경우에서, 국소 공변 기저의 변환
띠행렬

띠행렬
행렬론에서 띠행렬(-行列, 영어: band matrix)은 모든 0이 아닌 성분이 주대각선 주변에 집중된 희소 행렬이다.
정의

환  R의 원소를 성분으로 하는  m\times n 행렬  M의 하대역폭(下帶域幅, 영어: lower bandwidth)은 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수  p이다.:15, §1.2.1
만약  i>j+p라면,  M_{ij}=0이다.
환  R의 원소를 성분으로 하는  m\times n 행렬  M의 상대역폭(上帶域幅, 영어: upper bandwidth)은 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수  p이다.:15, §1.2.1
만약  j>i+p라면,  M_{ij}=0이다.
환  R의 원소를 성분으로 하는  m\times n 행렬  M의 대역폭(帶域幅, 영어: bandwidth)은  M의 하대역폭이자 상대역폭인 가장 큰 음이 아닌 정수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 가장 큰 음이 아닌 정수  k이다.
만약  |i-j|>k라면,  M_{ij}=0이다.
예를 들어, 하대역폭 2 및 상대역폭 1를 갖는 9×4 띠행렬은 다음과 같은 꼴이다 ( M_{ij}\in R).
예

특수한 하대역폭·상대역폭을 갖는 띠행렬에는 다음과 같은 이름이 붙는다.:15, §1.2.1, Table 1.2.1
| 하대역폭 | 상대역폭 | 이름 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 대각 행렬 |
| 0 | 1 | 상쌍대각 행렬(영어: upper bidiagonal matrix) |
| 1 | 0 | 하쌍대각 행렬(영어: lower bidiagonal matrix) |
| 1 | 1 | 3중 대각 행렬(영어: tridiagonal matrix) |
| 2 | 2 | 5중 대각 행렬(영어: pentadiagonal matrix) |
| 3 | 3 | 7중 대각 행렬(영어: heptadiagonal matrix) |
| 0 |  n-1 | 상삼각 행렬 |
|  m-1 | 0 | 하삼각 행렬 |
| 1 |  n-1 | 상헤센베르크 행렬 |
|  m-1 | 1 | 하헤센베르크 행렬 |
응용 > 띠저장

컴퓨팅에서, 좁은 대역폭의 띠행렬을 더 작은 크기의 행렬로서 저장하여 행렬 알고리즘의 저장 효율을 높일 수 있다. 이를 띠저장(-貯藏, 영어: band storage)이라고 한다.
구체적으로, 하대역폭  p 및 상대역폭  q를 갖는  n\times n 띠행렬  M은 다음과 같은  (p+q+1)\times n 행렬  \operatorname {band} (M)에 대응하며, 만약  p,q\ll n일 경우 이는 원래의 행렬보다 훨씬 작다.:17, §1.2.5, (1.2.1)
예를 들어, 하대역폭 1 및 상대역폭 1를 갖는 6×6 띠행렬
은 다음과 같은 3×6행렬로 저장할 수 있다.
같이 보기

대각 행렬
토리노 변경

토리노 변경(이탈리아어: marca di Torino 마르카 디 토리노[*])은 10세기 중반에 설치된 중세 이탈리아의 봉읍이다. 처음 분봉되었을 때는 아르두이노 변경(라틴어: marca Arduinica 마르카 아르두이니카[*])이라고 했다. 피에몬테 지역의 토리노, 아우리아테, 알벤가 등 여러 백국들을 하위 봉신국으로 거느렸다. 변경의 강역은 서알프스산맥과 리구리아 해안 사이의 포 계곡 일대였다. 후반기에 작위가 사보이아가에 넘어갔고, 사보이아가가 스스로 "수사 변경백"을 칭했기에 토리노 변경을 "수사 변경"이라고 부르는 경우가 있다. 하지만 수사시와 수사계곡은 11세기 초까지만 해도 토리노 변경에서 별 볼 일 없던 동네였다.
역사

토리노 변경의 전신인 아르두이노 변경 변경은 이탈리아 왕국을 세 개의 변경으로 나눌 때 생긴 것으로, 각 변경들은 분봉된 가문의 이름이 붙었고 다음과 같다.
아르두이노 변경(marca Arduinica) - 964년 아르두이노가를 분봉
알레라모 변경(marca Aleramica) - 967년 알레라모가를 분봉
오베르트 변경(marca Obertenga) - 961년 오베르트가를 분봉
941년, 이탈리아왕 우고가 아르두이노 글라브리오를 토리노 변경백으로 임명했다. 아르두이노는 토리노와 수사 계곡을 사라센인들로부터 탈환했고, 그의 변경백 작위는 964년 황제 오토 1세의 승인을 받았다. 그 뒤 토리노 변경은 아르두이노의 후손들인 아르두이노가(아르두이니치) 사람들에게 상속되었다. 아르두이노의 아들 만프레디 1세가 상속받았고, 또 그 아들 만프레디 2세가 상속받았다. 만프레디 2세에게는 아들이 없었기에 딸 아델라이데에게 봉읍이 상속되었다. 그러나 실권은 아델라이데의 남편인 아오스타 백작 오도네에게 있었다. 이후 오도네가 형으로부터 사보이아 백국까지 상속받으면서 아델라이데와 오도네의 자손들이 사보이아가를 이루어 번청한다.
1901년 아델라이데가 죽자 토리노 변경은 붕해된다. 수도격인 토리노시는 토리노 주교의 봉읍이 되는 한편 내부적으로는 자치도시가 되었다(1091년). 1092년 신성로마황제 하인리히 4세가 아들 콘라트 2세를 토리노 변경백으로 임명한다. 콘라트의 어머니는 베르타 디 사보이아로, 즉 콘라트는 아델라이데의 외손자였다. 콘라트는 변경백 노릇을 하기 위해 노력했지만 결과는 신통치 않았고 허울뿐인 신세였다. 그 동안 콘라트의 외사촌 움베르토 2세 디 사보이아 백작이 토리노 변경의 북부를 잠식해갔고, 남쪽에서는 아델라이데의 조카 보니파치오 델 바스토가 토리노 변경의 남부를 합병해오면서 토리노 변경은 역사 속으로 사라졌다.
역대 변경백

아르두이노가
아르두이노 글라브리오 (962년–977년)
올데리코 만프레디 1세 (977년–1000년)
올데리코 만프레디 2세 (1000년–1034년)
아델라이데 (1034년–1091년) & 남편들:
헤르만 4세 폰 슈바벤 공작 (바벤베르크가, 1037년–1038년)
엔리코 델 몬페라토 변경백 (알레라모가, 1041년–1045년)
오도네 1세 디 사보이아 백작 (사보이아가, 1041년–1045년)
사보이아가(어머니 아델라이데와 공동재위)
피에트로 1세 (1060–1078)
아마데오 2세 (1078–1080)
몽벨리아르가 (처외조모 아델라이데와 공동재위)
프리드리히 폰 묌펠가르트 백작 (1080년–1091년)
브라이언 뱅크스

| 브라이언 키스 뱅크스 Brian Keith Banks |
| --- | --- |
출생: 1985년 7월 23일
성별: 남성
국적: 미국
직업: 미식축구 선수
브라이언 뱅크스
브라이언 키스 뱅크스(Brian Keith Banks, 1985년 7월 23일 ~ )는 미국의 미식축구 선수로, 포지션은 라인배커이다.
내력

1985년 7월 24일 캘리포니아주 롱비치에서 태어났다. 아버지는 그가 어린 시절 체포되어 감옥에 갔고 그는 어머니와 자신의 남동생, 형과 자랐다. 초등학생 때부터 미식축구를 시작하여 2000년부터 전미에서 미식축구 명문 고등학교로 뽑히는 롱비치 폴리테닉 고등학교에서 미식축구 선수로 활약하며 전성기를 누렸다.캘리포니아주 롱비치의 고등학교 미식축구 스타였던 그는 USC, 오하이오 주립 대학교, 미시간 대학교, 미시간 주립 대학교, 캔자스 대학교 등에서 오퍼를 받아 2003년에는 USC 진학이 예정되어 있었다. 2002년 6월 기준으로 그는 캘리포니아 주에서 고교 풋볼 선수로 스텟 1위, 주 전역에서는 13위를 기록하는 최고의 선수였다.
2002년 7월 8일, 뱅크스는 1학년 아래의 급우 와네타 깁슨에게 강간 및 납치로 고발이 되었다. 뱅크스는 당일 자택에서 체포되어 이틀 후 캘리포니아주 다우니에 위치한 로스 판드리노스 소년원에 수감되었다. 롱비치 카운티 경찰은 뱅크스에게 100만 달러의 보석을 걸었다. 보석을 감당할 돈이 없었던 뱅크스는 재판 때까지 1년을 소년원에 수감되어 구속 상태에 놓였다.
2002년 8월 2일, 롱비치 카운티 교육청은 뱅크스를 폴리 고등학교에서 퇴학시키고, 영구 재입학 불가 판정을 내렸다. 당시 폴리 고등학교의 교장이었던 Shawn Ashley는 "뱅크스가 받을 재판 결과와 상관 없이 그는 폴리 고교로 다시 돌아올 수 없다" 라며 입장을 밝혔다. 뱅크스는 무죄 판결을 받은 이후에도 폴리 고교는 뱅크스에 대한 언급을 일체 하지 않고 있으며, 폴리 고등학교 캠퍼스 내부에 있는 풋볼 명예의 전당에도 뱅크스의 유니폼과 활동 사진은 빠져있다.
2003년 7월, 뱅크스는 무죄 주장 대신 양형거래를 받아들인다. 뱅크스의 변호사는 뱅크스의 신체적 특징 및 운동선수라는 특이점 때문에 무혐의 판결은 불가능할 것이라 예상했고 이에 뱅크스에게 양형거래를 종용, 18개월간의 집행유예 판결을 받은 후 석방될 수 있을 것이라 말하며 받아들이길 촉구한다. 당시 뱅크스가 사법거래를 받아들이지 않을 경우 최대 41년형을 선고받을 수 있는 상황이었다. 당시 롱비치 법원의 배심원단은 80% 이상이 백인, 20%가 아시아인이었다. 뱅크스는 사법거래를 받아들였으나, 판사는 사법거래를 무시하고 징역 6년, 집행유예 5년, 신상정보 종신공개로 판결을 내린다. 당시 판사는 한인 판사였으며, LA 폭동을 경험한 세대였다. 뱅크스는 이후 2003년 8월부터 2007년 8월 28일까지 캘리포니아 주립 교도소에서 수감생활을 하였다.
2007년 8월 29일 출소한 후 뱅크스는 2007년 10월부터 롱비치 시티 대학교(Long beach city college)에 입학해 대학 생활을 시작했으며 대학 풋볼팀에서 활동하며 재기를 노린다. 그러나 1학기가 끝나기도 전인 2008년 봄 캘리포니아 의회에서 신상정보가 등록된 성범죄 전과자를 대상으로 전자발찌 착용을 의무화하면서 뱅크스는 학교를 그만둘 수 밖에 없었다. 전자발찌를 차고는 학교 및 어린이 보호시설 근처를 방문할 수 없었기 때문이다.
2011년 2월 28일, 동급생이 페이스북에서 뱅크스에게 연락하여 강간에 대하여 허위 사실을 만들었다고 인정했다. 고등학교의 캠퍼스가 안전한 환경이 아니었다는 이유로 150만 달러를 손해 배상으로 받고 있던 그녀는 검찰에 그 사실을 전하지 않았지만 뱅크스는 그녀와의 대화를 녹음하고 법원에 제출하여, 2012년 5월 23일의 공청회에서 자신의 범죄 기록은 취소되었다.
그는 NFL 진출을 목표로 캔자스시티 치프스, 샌디에이고 차저스, 샌프란시스코 포티나이너스에서 적성 검사를 받았다. 또한 2002년에 뱅크스에게 장학금을 제안했던 USC의 코치 피트 캐럴이 속해있던 시애틀 시호크스의 미니 캠프에도 참가했지만 계약에는 이르지 못했다. 같은 해 9월 20일 UFL의 라스베가스 로코모티브스와 계약을 맺는다. 2013년 4월 3일, 애틀랜타 팰컨스와 계약을 맺었으나, 8월 30일 최종 로스터 컷을 통과하지 못했다.
데일 헤이든

| 데일 헤이든 Dayle Haddon |
| --- | --- |
데일 헤이든 (2008년)
출생: 1948년 5월 26일(1948-05-26) 몬트리올
사망: 2024년 12월 27일(2024-12-27)(76세) 
국적: 캐나다
직업: 배우, 모델, 영화배우
서명: 
데일 헤이든(Dayle Haddon, 1948년 5월 26일 ~ 2024년 12월 27일)은 캐나다의 배우, 모델, 영화배우이다.
영화

발레리나의 꿈 (1989년)
사이보그 (1989년) - 펄 역
사랑할 때와 이별할 때 (1984년)
베드룸 아이스 (1984년)
달라스의 투혼 (1979년) - 샤롯 콜더 역
10일간의 외출 (1978년)
끌로드 부인 (1977년)
섹스 위드 어 스마일 (1976년) - 마리나 역
하키 영웅 (1974년)
에두아르 프리슈

| 에두아르 프리슈 Édouard Fritch |
| --- | --- |
출생: 1952년 1월 4일 프랑스령 폴리네시아
성별: 남성
국적: 프랑스령 폴리네시아
직업: 정치인
에두아르 프리슈(2017년)
에두아르 프리슈(프랑스어: Édouard Fritch, 1952년 1월 4일~ )는 프랑스령 폴리네시아의 정치인이다.
이력

1986년 프랑스령 폴리네시아 의회의 의원으로 당선되었으며, 1991년, 1996년, 2001년, 2004년, 2008년, 2013년에 재선에 성공하였다. 또한 2007년부터 2009년까지 프랑스령 폴리네시아 의회의 대변인으로 활동했으며, 프랑스령 폴리네시아 의회의 정당인 타호에라 후이라티라의 공동 대표를 맡고 있다.
그리고 1995년부터 2005년까지 프랑스령 폴리네시아 정부의 부통령을 지냈으며, 이후 2009년부터 2011년까지 다시 부통령에 올랐다. 2014년 프랑스령 폴리네시아의 대통령에 취임하였다.
같이 보기

프랑스령 폴리네시아의 대통령
패트릭 순시옹

| 패트릭 순시옹 黃馨祥 |
| --- | --- |
본명: 황신샹
로마자 표기: Patrick Soon-Shiong
출생: 1952년 7월 29일 남아프리카
성별: 남성
국적: 미국
경력: 외과 의사
직업: 외과 의사
패트릭 순시옹(黃馨祥, 1952년 7월 29일~)은 남아프리카 태생의 중국계 미국인 외과 의사이다.
생애

순시옹의 아버지는 2차대전 당시 일본의 침략을 피해 중국에서 남아프리카 공화국으로 이민을 갔고 남아프리카 공화국에서 순시옹을 낳았다. 그는 16세에 고등학교 과정을 마칠 정도로 총명했던 그는 아버지의 영향을 받았는지 비츠대학을 23세에 졸업해 요하네스버그 병원에서 인턴을 마쳤다. 캐나다 브리티시 콜럼비아 대학에서 석사학위를 취득한 순시옹은 미국으로 건너가 UCLA에서 외과의사로 재직하며 당시로는 최초로 췌장이식수술에 성공해 이름을 날렸는데 의사로서의 명성뿐만 아니라 1991년엔 당뇨병 연구소인 ‘VivoRX’를 차려 120개가 넘는 의료 관련 특허를 획득했으며 이후 ‘아브락시스 바이오사이언스’ 연구소를 차려 유방암 치료제인 아브락산을 개발하기도 했다. 이 두 회사를 기반으로 1997년에 APP 제약 (APP Pharmaceuticals) 회사를 설립했는데 이후 2008년에 46억불에 매각했으며 2010년에는 아브락시스 바이오사이언스도 30억불에 매각해 사업가로서의 역량을 발휘하기도 했다.패트릭 순시옹은 2018년 6월에 미국의 6대 일간지이자 로스앤젤레스 최대의 신문인 로스앤젤레스타임스의 주인이 되었다.