알레의 역설
문제의 기술

알레의 역설은 참가자들이 두 개의 서로 다른 실험에서 내린 선택을 비교할 때 발생하는데, 각 실험은 도박 A와 B 중 하나를 선택하는 것으로 구성된다. 각 실험의 각 도박에 대한 보상은 다음과 같다.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 실험 1 | 실험 1 | 실험 1 | 실험 1 | 실험 2 | 실험 2 | 실험 2 | 실험 2 |
| 도박 1A | 도박 1A | 도박 1B | 도박 1B | 도박 2A | 도박 2A | 도박 2B | 도박 2B |
| 상금 | 확률 | 상금 | 확률 | 상금 | 확률 | 상금 | 확률 |
| 100만 달러 | 100% | 100만 달러 | 89% | 없음 | 89% | 없음 | 90% |
| 100만 달러 | 100% | 없음 | 1% | 100만 달러 | 11% | 없음 | 90% |
| 100만 달러 | 100% | 500만 달러 | 10% | 100만 달러 | 11% | 500만 달러 | 10% |
가상의 상금과 소액의 금전적 보상을 다룬 여러 연구들, 그리고 최근에는 건강상의 결과를 다룬 연구들은 1A와 1B 중에서 선택할 때 대부분의 사람들이 1A를 선택할 것이라는 주장을 뒷받침했다. 마찬가지로 2A와 2B 중에서 선택할 때는 대부분의 사람들이 2B를 선택할 것이라고 한다. 알레는 더 나아가 1A만을 선택하거나 2B만을 선택하는 것이 합리적이라고 주장했다.
그러나 동일한 사람이 (1A만을 혹은 2B만을 선택한 사람이) 1A와 2B를 함께 선택하는 것은 기대효용가설과 일치하지 않는다. 기대효용가설에 따르면, 그 사람은 1A와 2A를 선택하거나 1B와 2B를 선택해야 한다.
이러한 불일치는 기대효용가설에서 동일한 결과(예: 모든 도박에서 100만 달러)를 두 선택에 각각 더했을 때 한 도박이 다른 도박보다 더 바람직하다는 상대적 선호도에 영향을 미치지 않아야 한다는 사실에서 비롯된다. 동일한 결과는 "상쇄"되어야 한다. 각 실험에서 두 도박은 89%의 확률로 동일한 결과를 제공한다(위에서부터 아래로 내려가면서, 1A와 1B는 89%의 확률로 100만 달러의 결과를 제공하고, 2A와 2B는 89%의 확률로 아무것도 얻지 못하는 결과를 제공한다). 만약 이 89%의 '공통 결과'를 무시한다면, 각 실험에서 도박들 간의 선택은 동일할 것이다 - 100만 달러를 얻을 11%의 확률 대 500만 달러를 얻을 10%의 확률.
보상을 다시 작성하고 89%의 당첨 확률을 무시하면 - 결과를 동일하게 만들면 - 1B는 아무것도 얻지 못할 1%의 확률과 500만 달러를 얻을 10%의 확률을 제공하는 것으로 남게 되고, 2B 또한 아무것도 얻지 못할 1%의 확률과 500만 달러를 얻을 10%의 확률을 제공하는 것으로 남게 된다. 따라서 선택 1B와 2B는 동일한 선택으로 볼 수 있다. 같은 방식으로 1A와 2A도 동일한 선택으로 볼 수 있다. 즉,
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 실험 1 | 실험 1 | 실험 1 | 실험 1 | 실험 2 | 실험 2 | 실험 2 | 실험 2 |
| 도박 1A | 도박 1A | 도박 1B | 도박 1B | 도박 2A | 도박 2A | 도박 2B | 도박 2B |
| 상금 | 확률 | 상금 | 확률 | 상금 | 확률 | 상금 | 확률 |
| 100만 달러 | 89% | 100만 달러 | 89% | 없음 | 89% | 없음 | 89% |
| 100만 달러 | 11% | 없음 | 1% | 100만 달러 | 11% | 없음 | 1% |
| 100만 달러 | 11% | 500만 달러 | 10% | 100만 달러 | 11% | 500만 달러 | 10% |
알레는 자신의 역설을 독립성 공리에 대한 반례로 제시했다.
독립성은 행위자가 단순 복권  L_{1}과  L_{2} 사이에서 무차별하다면, 그 행위자는  L_{1}을 임의의 단순 복권  L_{3}와 확률  p로 혼합한 것과  L_{2}를  L_{3}와 동일한 확률  p로 혼합한 것 사이에서도 무차별하다는 것을 의미한다. 이 원칙을 위반하는 것을 "공통 결과" 문제(또는 "공통 결과" 효과)라고 한다. 공통 결과 문제의 개념은  L_{3}가 제공하는 상금이 증가함에 따라  L_{1}과  L_{2}가 위로상금이 되고, 행위자는  L_{3}가 제공하는 더 높은 상금을 얻지 못할 경우의 위험과 실망을 최소화하기 위해 두 복권 사이의 선호도를 수정한다는 것이다.
이러한 어려움으로 인해 기대효용가설의 여러 대안과 일반화가 등장했는데, 특히 대니얼 카너먼과 아모스 트버스키가 개발한 전망 이론, 츄의 가중 효용, 존 퀴긴의 순위 의존적 기대효용, 후회 이론이 주목할 만하다. 이러한 모형들의 목적은 기대효용가설과 일치하는 것보다 더 넓은 범위의 행동을 설명하는 것이었다. 마이클 번바움은 이 역설에 대한 실험적 분석을 수행했고, 그 결과가 퀴긴, 카너먼, 트버스키 등의 이론을 위반하지만 통합의 특성을 위반하는 그의 형상 가중치 이론으로 설명될 수 있음을 보여주었다.
알레가 주장하고자 했던 주요 요점은 기대효용가설의 독립성 공리가 타당한 공리가 아닐 수 있다는 것이다. 독립성 공리는 도박 내의 두 가지 동일한 결과를 도박 전체의 분석과 무관한 것으로 취급해야 한다고 명시한다. 그러나 이는 보완성의 개념, 즉 도박의 한 부분에서의 선택이 도박의 다른 부분에서 가능한 결과에 의존할 수 있다는 사실을 간과한다. 위의 선택에서 1B는 아무것도 얻지 못할 1%의 확률이 있다. 그러나 이 1%의 확률은 만약 그 도박을 선택하고 패배했을 때, 1A를 선택했다면 100%의 확실성으로 이길 수 있었다는 것을 알게 되면서 큰 실망감을 수반한다. 하지만 이러한 실망감은 도박의 다른 부분에서의 결과(즉, 확실성의 감정)에 따라 달라진다. 따라서 알레는 독립성 공리가 요구하는 대로 도박이나 선택의 일부를 다른 제시된 선택들과 독립적으로 평가하는 것은 불가능하며, 따라서 우리의 합리적 행동을 판단하는 데 있어 부적절하다고 주장한다(독립성 또는 확실성 원칙이 우리에게 요구하는 대로 1B를 1A와 독립적으로 평가할 수 없다). 우리가 1A와 2B를 선택할 때 비합리적으로 행동하는 것이 아니라, 오히려 기대효용가설이 이 경우 보완성으로 인해 발생하는 그러한 "제한된 합리성" 선택을 포착하기에 충분히 강건하지 않은 것이다.