집합족적 정규 공간
정의

위상 공간  X의 부분 집합들의 집합족  \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 이산 집합족(영어: discrete family)이라고 한다.
임의의  x\in X에 대하여,  \{i\in I\colon N\cap S_{i}\neq \varnothing \}이 공집합이거나 한원소 집합인 근방  N\ni x이 존재한다.
\{\operatorname {cl} S_{i}\}_{i\in I}는 서로소 집합족이며, 임의의  J\subseteq I에 대하여  \textstyle \bigcup _{j\in J}\operatorname {cl} S_{j}는 닫힌집합이다.
위상 공간  X의 부분 집합들의 집합족  \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 분리 집합족(영어: separated family) 또는 거의 이산 집합족(영어: almost discrete family)이라고 한다.
임의의  i\in I에 대하여,  \textstyle S_{i}\cap \operatorname {cl} \bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}S_{j}=\varnothing 이다.
\{S_{i}\}_{i\in I}는  \textstyle \bigcup _{i\in I}S_{i}의 이산 집합족이다.
모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.
위상 공간  X에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  X를 집합족적 정규 공간이라고 한다.
임의의 닫힌집합들의 이산 집합족  \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)에 대하여,  \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}인 열린집합들의 서로소 집합족  \{U_{i}\}_{i\in I}이 존재한다.
임의의 닫힌집합들의 이산 집합족  \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)에 대하여,  \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}인 열린집합들의 이산 집합족  \{U_{i}\}_{i\in I}이 존재한다.
임의의 이산 집합족  \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)에 대하여,  \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}인 열린집합들의 서로소 집합족  \{U_{i}\}_{i\in I}이 존재한다.
임의의 이산 집합족  \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)에 대하여,  \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}인 열린집합들의 이산 집합족  \{U_{i}\}_{i\in I}이 존재한다.
증명:
만약  \{A_{i}\}_{i\in I}가 이산 집합족이라면,  \{\operatorname {cl} A_{i}\}_{i\in I} 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족  \{F_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)에 대하여,  \forall i\in I\colon F_{i}\subseteq U_{i}인 열린집합들의 서로소 집합족  \{U_{i}\}_{i\in I}이 존재한다고 가정하자. 그렇다면,  X는 자명하게 정규 공간이다. 또한,  \{F_{i}\}_{i\in I}는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서,
인 열린집합  V\subseteq X가 존재한다. 그렇다면 임의의  i\in I에 대하여,  U_{i}\cap V는 열린집합이며,  F_{i}\subseteq U_{i}\cap V이다. 이제,  \{U_{i}\cap V\}_{i\in I}가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의  x\in X에 대하여,  N\cap U_{i}\cap V\neq \varnothing 인  i\in I가 하나 이하인 근방  N\ni x를 찾아야 한다. 만약  x\not \in \operatorname {cl} V라면,
를 고른다. 만약  x\in \operatorname {cl} V라면,  N을
인 유일한  U_{i}로 잡을 수 있다.
위상 공간  X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  X를 완비 집합족적 정규 공간(영어: completely collectionwise normal space) 또는 유전 집합족적 정규 공간(영어: hereditarily collectionwise normal space)이라고 한다.
X의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
X의 모든 열린집합은 집합족적 정규 공간이다.
임의의 분리 집합족  \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)에 대하여,  \forall i\in I\colon S_{i}\subseteq U_{i}인 열린집합들의 서로소 집합족  \{U_{i}\}_{i\in I}이 존재한다.
증명:
첫 번째 조건은 자명하게 두 번째 조건을 함의한다. 임의의  X의 임의의 부분 집합  Y\subseteq X의 이산 집합족은  X의 분리 집합족이므로, 세 번째 조건은 첫 번째 조건을 함의한다. 따라서, 두 번째 조건이 세 번째 조건을 함의함을 보이면 충분하다. 임의의 분리 집합족  \{S_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
는 열린집합이며,  S_{i}\subseteq V_{i}이다. 따라서,
는 열린집합이며, 모든  S_{i}를 포함한다. 가정에 따라,  V는 집합족적 정규 공간이다. 또한,  V의 임의의 원소는 어떤  V_{i}를 열린 근방으로 하며,  V_{i}와 만나는  S_{j}는  j=i뿐이다. 따라서,  \{S_{i}\}_{i\in I}는  V의 이산 집합족이며,  \forall i\in I\colon S_{i}\subseteq U_{i}인  V의 열린집합들의 서로소 집합족  \{U_{i}\}_{i\in I}가 존재한다.  V는 열린집합이므로,  U_{i}는  X의 열린집합이다.