결정 집합
역사 > 실수 정의 가능 결정 공리의 허용

L(\mathbb {R} )에 제한한 결정 공리의 각종 흥미로운 성질들 및 큰 기수와의 관계가 밝혀지면서, 이후 일부 수학자들은
 L(\mathbb {R} )에 제한한 결정 공리를 자유로이 가정하거나, 심지어 집합론의 공리로 제시하기도 하였다. 예를 들어, 이 내용을 다루는 집합론 교재들은 실수 정의 가능 결정 공리에 대하여 다음과 같이 적는다.
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| “ | 지난 25년 동안 이루어진 집합론의 기초론에 대한 철저한 연구로 인하여, 오늘날에는 ‘정의 가능 결정성 원리’에 대한 압도적인 양의 증거가 존재한다 […]. 이 증거는 한편으로는 이 원리에 기초한 폴란드 공간의 ‘정의 가능’ 집합 이론의 구조적 일관성에서 유래하며, 다른 한편으로는 이 이론과 ‘큰 기수’ 이론 사이의 깊은 관계로부터 유래한다 […]. 앞으로 우리는 ‘정의 가능 결정성 원리’를 필요한 대로 자유로이 사용할 것이다. Following extensive studies in the foundations of set theory in the last 25 years, there is now overwhelming evidence of the validity of the "Principle of Definable Determinacy" […]. This evidence comes on the one hand from the structural coherence of the theory of “definable” sets in Polish spaces developed on the basis of this principle and on the other hand on the deep connections of this theory with that of the so-called “large cardinals” in set theory […]. We will be freely using various instances of “Definable Determinacy” as needed in the sequel. | ” |
|   | — :205–206, §26.B |  |
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| “ | 결정성 가설에 대한 직접적 직관을 갖는다고는 아무도 주장하지 않는다—이러한 가설들을 그럴듯하다고 선호하는 이들은 이 가설이 함의하는 결과들로부터 이 가설을 옹호한다. […] 이러한 결과들의 풍요로움과 내부 조화 말고도, 이론의 두 측면을 특히 언급할 수 있다. 첫째, 결정성을 사용하는 증명들은 자연스럽다 […]. [결정성을 사용하여 얻는] 새 결과들은 이미 알려진 명제들의 자연스러운 일반화이며, 그 증명들은 고전적 묘사 집합론을 새롭게 이해할 수 있게 한다. (반면, 구성 가능성 공리를 가정한 증명들의 경우는 그렇지 않다 […]). 둘째, 결정성과 큰 기수 가설들 사이에는 놀라운 관계들이 존재하며, 이는 결정성과 큰 기수 둘 다에 신빙성을 부여한다. […] 오늘날에는 오직 몇몇 집합론자들만이  \operatorname {Det} (L(\mathbb {R} ))를 매우 신빙성이 있다고 여기며, 아직 아무도 이를 확실히 믿을 수 있다고 여기지 않는다 […].  No one claims direct intuitions of this type either for or against determinacy hypothesis—those who have come to favor these hypotheses as plausible, argue from their consequences […]. In addition to the richness and internal harmony of these consequences, two aspects of the theory [..] deserve explicit mention. One is the naturalness of the proofs from determinacy […]. [T]he new results appear to be natural generalizations of known results and their proofs shed new light on classical descriptive set theory. (This is not the case with the proofs from  V=L […]). The second point is the surprising connection between determinacy and large cardinal hypotheses […] which lends credence to both. […] At the present state of knowledge only few set theorists accept  \operatorname {Det} (L(\mathbb {R} )) as highly plausible and no one is quite ready to believe it beyond a reasonable doubt […] | ” |
|   | — :472, §8I |  |
L(\mathbb {R} )에 제한한 결정 공리에 대하여, 결정 공리를 고안한 얀 미치엘스키는 훗날 다음과 같이 적었다.
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| “ |  선택 공리를 사용하여, 결정 공리가 거짓임을 쉽게 증명할 수 있다. 그러나 공리  \operatorname {AD} ^{L(\mathbb {R} )}는 […] 여러 흥미로운 결과들을 함의한다.  \operatorname {AD} ^{L(\mathbb {R} )}를 가정할 경우, 모임  L(\mathbb {R} )는 폴란드 공간 위에서의 해석학의 자연스러운 무대가 된다. […] 또한, 사영 집합의 이론은 매우 정칙적인 형태를 취하게 된다. […]. 따라서 공리  \operatorname {AD} ^{L(\mathbb {R} )}를 수용하는 것이 합리적이다.  It is easy to prove using the Axiom of Choice that  \operatorname {AD}  is false. But the Axiom  \operatorname {AD} ^{L(\mathbb {R} )} […] has many interesting consequences. Assuming  \operatorname {AD} ^{L(\mathbb {R} )} the class  L(\mathbb {R} ) becomes the natural universe of sets for mathematical analysis in Polish spaces. […] Also the theory of projective sets gets a very regular form […]. Therefore it is rational to accept the axiom  \operatorname {AD} ^{L(\mathbb {R} )}. | ” |
|   | — :210 |  |
결정 공리와 선택 공리 사이의 모순에 대하여 대니얼 몰딘(영어: R. Daniel Mauldin)은 다음과 같이 적었다.
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| “ |  왜 선택 공리를 버리고 대신 결정 공리를 사용하지 않는가 — 이 경우 구의 역설적 분해와 같은 인위적인 현상이 사라지고, 여러 ‘긍정적’ 결과를 얻을 수 있는데도 말인가? 그 이유는 이러한 결과들(과 [결정] 공리)를 적절한 모임[…](예를 들어, 사영 집합들의 모임)에 제한하는 것이 더 자연스럽다고 느껴지기 때문이다. 이 경우, (선택 공리를 비롯한) 모든 집합들의 모임에 대한 기초적 직관을 위배하지 않고, 기본적 이론의 유일성을 위배하지 않아도 된다. Why don’t we abandon the axiom of choice and accept in its place the axiom of determinacy, in spite of the fact that this removes such artificial phenomena as paradoxical decompositions of the sphere and yields so many “positive” consequences? The answer is that it seems more natural to restrict those consequences (and the axiom) to a suitable class […], e.g., the class of projective sets, without violating our basic intuitions about the class of all sets (of which the axiom of choice is a part) and without wrecking the unicity of our fundamental theory. | ” |
|   | — :118, Problem 43 |  |
슈코츠카 책의 현존하는 한 쪽