stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
모형 범주
정의

모형 범주  ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
{\mathcal {C}}는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
{\mathfrak {W}}는  {\mathcal {C}}의 사상들의 모임이다.  {\mathfrak {W}}의 원소를 약한 동치(영어: weak equivalence)라고 한다.
{\mathfrak {F}}는  {\mathcal {C}}의 사상들의 모임이다.  {\mathfrak {F}}의 원소를 올뭉치(영어: fibration)라고 하고,  {\mathfrak {F}}\cap {\mathfrak {W}}의 원소는 자명한 올뭉치(영어: trivial fibration)라고 한다.
{\mathfrak {C}}는  {\mathcal {C}}의 사상들의 모임이다.  {\mathfrak {C}}의 원소를 쌍대올뭉치(영어: cofibration)라고 하고,  {\mathfrak {C}}\cap {\mathfrak {W}}의 원소는 자명한 쌍대올뭉치(영어: trivial cofibration)라고 한다.
이들은 다음 두 공리들을 만족시켜야 한다.
3개 가운데 2개 조건(영어: two out of three): 임의의 사상  X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z에 대하여, 만약  f,  g,  g\circ f 가운데 적어도 두 개가 약한 동치라면, 나머지 하나도 약한 동치이다.
약분해계 : ({\mathfrak {C}}\cap {\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}}) 및 ({\mathfrak {C}},{\mathfrak {F}}\cap {\mathfrak {W}}) 는 각각 약분해계를 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
올림 조건(영어: lifting): 임의의 대상  A,  B,  X,  Y에 대하여, 만약  A{\xrightarrow {f}}X{\xrightarrow {p}}Y 및  A{\xrightarrow {i}}B{\xrightarrow {g}}Y가 주어졌고,  p\circ f=g\circ i이며,  p가 올뭉치이며,  i가 쌍대올뭉치이며,  p 또는  i 가운데 하나가 자명하다면,  h\circ i=f이며  p\circ h=g인 사상  h\colon B\to X가 존재한다. 즉, 다음과 같다.
 {\begin{matrix}A&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle i}\downarrow &\nearrow \scriptstyle h&\downarrow \scriptstyle p\\B&{\xrightarrow[{g}]{}}&Y\end{matrix}}
분해 조건 (영어: factorization ): {\begin{matrix}&&X&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&{\tilde {Y}}&{\stackrel {\simeq }{\twoheadrightarrow }}&Y\\&{\scriptstyle \operatorname {id} }\swarrow &&\searrow \scriptstyle f&&\swarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\X&{\underset {\simeq }{\hookrightarrow }}&{\tilde {X}}&{\underset {p}{\twoheadrightarrow }}&Y\end{matrix}}
{\mathcal {C}}의 임의의 사상  f는  f=p\circ {\tilde {\imath }}와 같이 쓸 수 있다. 여기서  p는 올뭉치이며,  {\tilde {\imath }}는 자명한 쌍대올뭉치이다.
{\mathcal {C}}의 임의의 사상  f는  f={\tilde {p}}\circ i와 같이 쓸 수 있다. 여기서  {\tilde {p}}는 자명한 올뭉치이며,  i는 쌍대올뭉치이다.
정의 > 쌍대올 생성 모형 범주

쌍대완비 범주  {\mathcal {C}}의 사상들의 모임  {\mathfrak {I}}에 대한 상대적 세포 복합체(영어: relative cell complex)  \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})는 다음 연산들에 대하여 닫힌 가장 작은 사상들의 모임이다.
{\mathfrak {I}}\subseteq \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})
(항등 사상에 대한 닫힘) 임의의 대상  X\in {\mathcal {C}}에 대하여,  \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})
(쌍대곱에 대한 닫힘) 임의의 대상들의 집합  \{X_{i}\}_{i\in I}의 쌍대곱  \iota _{i}\colon X_{i}\to \coprod _{i}X_{i}에 대하여,  \{\iota _{i}\}_{i\in I}\subseteq \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})
(밂에 대한 닫힘) 임의의  X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y에 대하여, 만약  f,g\in {\mathfrak {I}}라면, 밂
 {\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \iota _{X}\\Y&{\xrightarrow[{\iota _{Y}}]{}}&X\sqcup _{Z}Y\end{matrix}}
(초한 합성에 대한 닫힘) 임의의 순서수  \alpha  및 대상들의 초한열  (X_{i})_{0\leq i<\alpha } 및 사상  \{f_{i}\colon X_{i}\to X_{i+1}\}_{1\leq i+1<\alpha }에 대하여, 만약  \{f_{i}\}_{i}\subseteq {\mathfrak {I}}라면 쌍대극한  \bigcirc _{i}f_{i}\colon X_{0}\to \varinjlim X_{i} 역시  \bigcirc _{i}f_{i}\in \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})
\operatorname {Cof} ({\mathfrak {I}})는  \operatorname {Cell} ({\mathfrak {I}})의 원소들의 (화살표 범주  {\mathcal {C}}^{\to }에서의) 수축들의 모임이라고 하자.
모형 범주  ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {C}},{\mathfrak {F}})가 다음 조건을 만족시킨다면,  {\mathcal {C}}를 쌍대올 생성 모형 범주(영어: cofibrantly generated model category)라고 한다.
{\mathfrak {C}}=\operatorname {Cof} ({\mathfrak {I}})인 사상 모임  {\mathfrak {I}}가 존재한다.  {\mathfrak {I}}의 원소를 쌍대올뭉치 생성원(영어: generating cofibration)라고 한다.
{\mathfrak {C}}\cap {\mathfrak {W}}=\operatorname {Cof} ({\mathfrak {J}})인 사상 모임  {\mathfrak {J}}가 존재한다.  {\mathfrak {J}}의 원소를 자명 쌍대올뭉치 생성원(영어: generating trivial cofibration)라고 한다.
연산 > 반대 범주

임의의 모형 범주  ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})에 대하여, 그 반대 범주  {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }에 모형 구조  ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} },{\mathfrak {W}},{\mathfrak {C}},{\mathfrak {F}})를 주면, 이 역시 모형 범주를 이룬다.
연산 > 조각 범주

임의의 모형 범주  ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}}) 및 대상  X\in {\mathcal {C}}이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주  {\mathcal {C}}/X 및 쌍대 조각 범주  X\backslash {\mathcal {C}}를 정의할 수 있으며, 망각 함자
가 존재한다.
이제,  {\mathcal {C}}/X 위에 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.
{\mathcal {C}}/X의 약한 동치는 (망각 함자 아래)  {\mathcal {C}}에서의 약한 동치이다.
{\mathcal {C}}/X의 올뭉치는 (망각 함자 아래)  {\mathcal {C}}에서의 올뭉치이다.
{\mathcal {C}}/X의 쌍대올뭉치는 (망각 함자 아래)  {\mathcal {C}}에서의 쌍대올뭉치이다.
그렇다면, 조각 범주  {\mathcal {C}}/X는 모형 범주를 이룬다. 마찬가지로, 쌍대 조각 범주  X\backslash {\mathcal {C}}=({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }/X)^{\operatorname {op} } 역시 모형 범주를 이룬다.
연산 > 호모토피 범주

이 부분의 본문은 호모토피입니다.
이 부분의 본문은 호모토피 범주입니다.
모형 범주  ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})에서, 모형 범주 구조를 사용하여 두 사상 사이의 왼쪽 호모토피(영어: left homotopy) 및 오른쪽 호모토피(영어: right homotopy)를 정의할 수 있다. 정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상일 경우 왼쪽 호모토픽 관계와 오른쪽 호모토픽 관계는 서로 일치하며, 동치 관계를 이루어 그 호모토피류를 정의할 수 있다.
모형 범주  ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})에 대응하는 호모토피 범주를 정의할 수 있다. 호모토피 범주의 대상은 올대상이자 쌍대올대상인 대상들이며, 사상은 원래 모형 범주의 호모토피류이며, 호모토피 범주에서 원래 모형 범주의 약한 동치는 실제 동형 사상이 된다.
성질 > 데이터의 중복

약분해계의 일반적인 이론에 따라서, 모형 범주의 구조의 데이터는 중복된다. 구체적으로, 모형 범주의 다음과 같은 데이터만으로 모형 범주 구조를 재구성할 수 있다.
약한 동치와 올뭉치:428:Proposition 3
약한 동치와 쌍대올뭉치:428:Proposition 3 (위 경우의 반대 경우)
올뭉치와 쌍대올뭉치:428:Proposition 3
쌍대올뭉치와 올대상:Proposition E.1.10:Corollary 3
올뭉치와 쌍대올대상 (위 경우의 반대 경우):Corollary 3
쌍대올대상과 자명한 올뭉치:Corollary 3
올대상과 자명한 쌍대올뭉치 (위 경우의 반대 경우):Corollary 3
올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 올뭉치:Corollary 4
올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 쌍대올뭉치:Corollary 4  (위 경우의 반대 경우)
올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 자명한 올뭉치:Corollary 4
올대상이자 쌍대올대상인 대상의 모임과 자명한 쌍대올뭉치:Corollary 4  (위 경우의 반대 경우)
구체적으로,  임의의 범주  {\mathcal {C}}의 사상 모임  M이 주어졌을 때,  M에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을  M^{\pitchfork }으로,  M에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을  {}^{\pitchfork }M으로 표기하자.
그렇다면, 모형 범주에서 약한 동치의 모임  {\mathfrak {W}} · 쌍대올뭉치의 모임  {\mathfrak {C}} · 올뭉치의 모임  {\mathfrak {F}} 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
따라서, 약한 동치 · 쌍대올뭉치 · 올뭉치 가운데 2개가 주어지면 나머지 하나를 재구성할 수 있다.
성질 > 수축에 대한 닫힘

모든 모형 범주  ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})에서,  {\mathfrak {W}} ·  {\mathfrak {F}} ·  {\mathfrak {C}}는 모두 수축에 대하여 닫혀 있다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
임의의 사상  f\colon A\to A',  g\colon B\to B'에 대하여, 만약 화살표 범주  {\mathcal {C}}^{\to }에서 분할 단사 사상  (i,j)\colon f\to g이 존재한다고 하자. 만약  {\mathcal {A}}가  {\mathfrak {W}},  {\mathfrak {F}}, 또는  {\mathfrak {C}} 가운데 하나라고 할 때, 만약  g\in {\mathcal {A}}라면  f\in {\mathcal {A}}이다. 화살표 범주에서의 분할 단사 사상은 구체적으로  j\circ f=g\circ i이며  s\circ g=f\circ r이며  r\circ i=\operatorname {id} _{A}이며  s\circ j=\operatorname {id} _{A'}인 사상  i,  j,  r,  s가 존재하는 것이다.
 ({\mathcal {C}}^{\to })\qquad {\begin{matrix}f&{\xrightarrow {(i,j)}}&g\\{\scriptstyle \operatorname {id} }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\f&{\xleftarrow[{(r,s)}]{}}&g\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}&&A\\&{\scriptstyle \operatorname {id} }\nearrow &&\searrow \scriptstyle \operatorname {id} \\A&{\xrightarrow {i}}&B&{\xrightarrow {r}}&A\\{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle g&&\downarrow \scriptstyle f\\A'&{\xrightarrow[{j}]{}}&B&{\xrightarrow[{s}]{}}&A'\\&{\scriptstyle \operatorname {id} }\searrow &&\nearrow \scriptstyle \operatorname {id} \\&&A'\end{matrix}}\qquad ({\mathcal {C}})
일부 문헌에서 이는 모형 범주의 정의의 일부로 등장하지만, 이는 사실 다른 공리들로부터 함의된다.:Proposition E.1.3
예 > 자명한 모형 구조

임의의 완비 쌍대 완비 범주  {\mathcal {C}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에 다음과 같은 자명한 세 가지의 모형 구조를 줄 수 있다.
| 약한 동치 | 올뭉치 | 쌍대올뭉치 | 올대상 | 쌍대올대상 | 호모토피 범주 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 동형 사상 | 모든 사상 | 모든 사상 | 모든 대상 | 모든 대상 | 원래 범주  {\mathcal {C}} |
| 모든 사상 | 동형 사상 | 모든 사상 | 끝 대상 | 모든 대상 |  {\mathcal {C}}로부터 생성되는 준군 |
| 모든 사상 | 모든 사상 | 동형 사상 | 모든 대상 | 시작 대상 |  {\mathcal {C}}로부터 생성되는 준군 |
보다 일반적으로,  {\mathcal {C}} 위에 약분해계  ({\mathfrak {E}},{\mathfrak {M}})이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 사상을 약한 동치로 삼고,  {\mathfrak {E}}의 원소를 올뭉치로,  {\mathfrak {M}}의 원소를 쌍대올뭉치로 삼으면 이는 모형 구조를 이룬다. 이 경우 역시 호모토피 범주는  {\mathcal {C}}로부터 생성되는 준군이다.
예 > 위상 공간의 범주

위상 공간과 연속 함수의 범주  \operatorname {Top}  위에는 다음과 같은 세 개의 모형 범주 구조가 흔히 쓰인다.:§17
| 모형 범주 구조 | 약한 동치 | 올뭉치 | 쌍대올뭉치 | 올대상 | 쌍대올대상 | 인용 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 퀼런(Quillen) | 약한 호모토피 동치 | 세르 올뭉치 | 상대적 세포 복합체의 수축(retract) | 모든 위상 공간 | 세포 복합체 |  |
| 후레비치(Hurewicz) 또는 스트룀(Strøm) | 호모토피 동치 | 후레비치 올뭉치 | 상이 닫힌집합인 후레비치 쌍대올뭉치 | 모든 위상 공간 | 모든 위상 공간 |  |
| 혼합(mixed) | 약한 호모토피 동치 | 후레비치 올뭉치 | 쌍대올이 상대적 세포 복합체와 호모토피 동치인 후레비치 쌍대올뭉치:Example 3.8 | 모든 위상 공간 | 세포 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 |  |
이들을 구별하기 위하여, 간혹 q-올대상(영어: q-fibrant object) · h-올대상 · m-올대상 따위의 용어를 사용하기도 한다. 여기서 q · h · m은 대응하는 모형 구조의 영어명의 머릿글자이다.
예 > 단체 집합

이 부분의 본문은 단체 집합입니다.
단체 집합의 범주  \operatorname {sSet} 에는 역시 표준적인 모형 구조가 존재한다. 또한, 이 모형 구조는 위상 공간의 범주의 퀼런 모형 구조와 퀼런 동치이며, 따라서 동치인 호모토피 범주를 갖는다. 단체 집합의 범주에서 모든 대상은 쌍대올대상이며, 올대상은 칸 복합체이다.
예 > 사슬 복합체의 범주

이 부분의 본문은 사슬 복합체입니다.
아벨 범주  {\mathcal {A}} 위에서, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체의 범주  \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}({\mathcal {A}})와 자연수 등급의 공사슬 복합체의 범주  \operatorname {Ch} ^{\bullet \geq 0}({\mathcal {A}})를 생각하자.
만약  {\mathcal {A}}가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 공사슬 복합체 범주  \operatorname {Ch} ^{\bullet \geq 0}({\mathcal {A}}) 위에는 약한 동치가 공사슬 복합체의 유사동형이며, 쌍대올뭉치가 양수 성분이 모두 단사 사상인 공사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 공사슬 복합체가 쌍대올대상이며, 올대상은 단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체이며, 올대상 분해는 공사슬 복합체의 단사 분해이다.
반대로, 만약  {\mathcal {A}}가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 사슬 복합체 범주  \operatorname {Ch} _{\bullet \geq 0}({\mathcal {A}}) 위에는 약한 동치가 사슬 복합체의 유사동형이며, 올뭉치가 양수 성분이 모두 전사 사상인 사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 사슬 복합체가 올대상이며, 쌍대올대상은 사영 대상으로 구성된 사슬 복합체이며, 쌍대올대상 분해는 사슬 복합체의 사영 분해이다.
예 > 집합의 범주

집합과 함수의 범주  \operatorname {Set}  위에는 정확히 9개의 모형 범주 구조가 존재한다.
| 쌍대올뭉치 | 올뭉치 | 약한 동치 | 쌍대올대상 | 올대상 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 전단사 함수 | 함수 | 함수 | 공집합 | 집합 |
| 전사 함수 | 단사 함수 | 함수 | 공집합 | 공집합 또는 한원소 집합 |
| 정의역이 공집합이 아닌 단사 함수 또는 공집합 위의 항등 함수 | 전사 함수 또는 정의역이 공집합인 함수 | 함수 | 공집합 | 집합 |
| 정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수 | 전단사 함수 또는 정의역이 공집합인 함수 | 함수 | 공집합 | 공집합 또는 한원소 집합 |
| 단사 함수 | 전사 함수 | 함수 | 집합 | 공집합이 아닌 집합 |
| 함수 | 전단사 함수 | 함수 | 집합 | 한원소 집합 |
| 단사 함수 | 전사 함수 또는 정의역이 공집합인 함수 | 정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수 | 집합 | 집합 |
| 함수 | 전단사 함수 또는 정의역이 공집합인 함수 | 정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수 | 집합 | 공집합 또는 한원소 집합 |
| 함수 | 함수 | 전단사 함수 | 집합 | 집합 |
이에 따른 호모토피 범주는 다음과 같다.
만약 약한 동치가 임의의 함수라면, 호모토피 범주는 하나의 대상 및 하나의 사상만을 갖는 범주와 동치이다.
만약 약한 동치가  정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수라면, 호모토피 범주는 두 개의 대상 (공집합 · 공집합이 아닌 집합) 및 이들의 항등 사상만을 갖는 범주와 동치이다.
만약 약한 동치가 전단사 함수라면, 호모토피 범주는 집합과 함수의 범주와 동치이다.
예 > 미분 등급 대수

이 부분의 본문은 미분 등급 대수입니다.
표수 0인 체  K 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.
자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주  \operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}
자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주  \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}
정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주  \operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }
정수 등급의 미분 등급 대수의 범주  \operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }
이 네 범주 위에는 각각 자연스러운 모형 범주 구조를 줄 수 있으며, 모든 경우 약한 동치는 유사동형(코호몰로지의 동형)이다.
예 > 작은 범주의 범주

작은 범주와 함자의 범주  \operatorname {Cat}  위에서, 호모토피 동치가 범주의 동치가 되는 모형 범주 구조는 유일하다. 이 모형 범주 구조는 다음과 같다.
약한 동치인 함자는 범주의 동치이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함자 F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}} 이다.
충실충만한 함자이다.
임의의  D\in {\mathcal {D}}에 대하여,  i\colon F(C)\to D인 대상  C\in {\mathcal {C}} 및 동형 사상  i가 존재한다.
쌍대올뭉치인 함자  F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}는 대상에 대하여 단사 함수인 함자이다. 즉, 임의의  C,C'\in {\mathcal {C}}에 대하여  C\neq C'라면  F(C)\neq F(C')이다.
올뭉치인 함자 F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}} 는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
임의의  C\in {\mathcal {C}},  D\in {\mathcal {D}} 및  {\mathcal {D}}-동형 사상  i\colon F(C)\to D에 대하여,  F(C')=D이자  F(j)=i가 되는  {\mathcal {C}}-동형 사상  j\colon C\to C'가 존재한다.
예 > 동치 관계

동치 관계의 범주에 흥미로운 모형 범주 구조를 부여할 수 있다.
역사

대니얼 퀼런이 1967년에 도입하였다.
테헬네 폴레

이 문서는 2019년 재건축된 테헬네 폴레에 관한 것입니다. 1939년부터 2009년까지 존재했던 테헬네 폴레에 대해서는 테헬네 폴레 (1939년) 문서를 참고하십시오.
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원어 명칭: Tehelné pole
위치:  슬로바키아 브라티슬라바
좌표: 북위 48° 9′ 48.81″ 동경 17° 8′ 12.68″﻿ / ﻿북위 48.1635583°  동경 17.1368556° ﻿ / 48.1635583; 17.1368556
기공: 2013년
개장: 2019년
설계: 카롤 칼라이 (Karol Kállay) 스트라바크 (Strabag)
건설 비용: 7,500만 유로
표면: 천연잔디
규모: 105 × 68 m
수용 인원: 22,500
사용처: ŠK 슬로반 브라티슬라바 (2019년 ~ 현재) 슬로바키아 축구 국가대표팀 (2019년 ~ 현재)
ko
테헬네 폴레(슬로바키아어: Tehelné pole) 또는 나로드니 푸트발로비 슈타디온(슬로바키아어: Národný futbalový štadión→국립 축구 경기장)은 슬로바키아 브라티슬라바에 위치한 축구 경기장이다. ŠK 슬로반 브라티슬라바와 슬로바키아 축구 국가대표팀의 홈 구장으로 사용되고 있으며 수용 인원은 22,500명이다.
2013년에 철거된 경기장인 테헬네 폴레가 있던 자리에 새로 건립되었으며 7,500만 유로가 건설 비용으로 투입되었다. 특히 ŠK 슬로반 브라티슬라바의 구단주를 역임했던 슬로바키아의 기업인인 이반 크모트리크(Ivan Kmotrík)가 건설 비용을 기부하기도 했다. 경기장 건립에 따른 보상 문제로 인해 한동안 공사가 연기되었다가 2014년 12월 8일에 공사를 시작했고 2019년에 정식 개장했다.
ŠK 슬로반 브라티슬라바는 2019년 1월 16일에 체코의 축구 클럽인 SK 시그마 올로모우츠와의 시범 경기를 이 곳에서 처음 개최했는데 슬로반 브라티슬라바는 해당 경기에서 2-3 패배를 기록했다. 슬로반 브라티슬라바는 2019년 3월 3일에 이 곳에서 열린 FC 스파르타크 트르나바와의 라이벌 홈 경기에서 2-0 승리를 기록했다.
경기장 인근을 오가는 트램, 트롤리버스, 버스 노선을 통해 접근할 수 있고 경기장 안에는 자동차 994대를 수용할 수 있는 지하 주차장이 마련되어 있다. 또한 경기장 인근에는 호텔, 아파트, 사무실, 쇼핑 센터가 입주하고 있다.
KBS 제3라디오 뉴스

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방송 시간 : 평일 낮 12시, 오후 2시
방송 분량 : 5분
방송 기간 : 2000년 1월 1일 ~ 현재
방송 국가 :  대한민국
방송 채널 : KBS 제3라디오
KBS 제3라디오 뉴스는 KBS 제3라디오에서 방송되는 라디오 뉴스 프로그램이다.
개요

2000년 1월 1일부터 평일에만 방송을 하고, 평일인 오전 6시, 오전 7시, 오전 8시, 오전 9시, 오전 10시, 오전 11시, 오후 1시, 오후 3시, 오후 4시, 오후 5시, 오후 6시, 오후 7시, 오후 8시, 오후 10시, 오후 11시, 밤 12시 등과 주말에는 방송을 하지 않는다. 2020년 5월 25일부터 평일 낮 12시, 오후 2시만 방송된다.
역대 방송시간

2000년 1월 1일 ~ 일자 미상 : 평일 오전 6시 ~ 6시 5분, 오전 7시 ~ 7시 5분, 오전 8시 ~ 8시 5분, 오전 9시 ~ 9시 5분, 오전 11시 ~ 11시 5분, 오후 1시 ~ 1시 5분, 오후 3시 ~ 3시 5분, 오후 4시 ~ 4시 5분, 오후 5시 ~ 5시 5분, 오후 6시 ~ 6시 5분, 오후 7시 ~ 7시 5분, 오후 8시 ~ 8시 5분, 오후 10시 ~ 10시 5분, 오후 11시 ~ 11시 5분, 밤 12시 ~ 12시 5분
2020년 5월 25일 : 평일 낮 12시, 오후 2시
| v t eKBS 라디오 |
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관동 (식물)

|  관동 |
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 관동
생물 분류ℹ️
계:: 식물계
(미분류):: 속씨식물군
(미분류):: 진정쌍떡잎식물군
(미분류):: 국화군
목:: 국화목
과:: 국화과
아과:: 국화아과
족:: 금방망이족
아족:: 관동아족
속:: 관동속(Tussilago) L.
종:: 관동
학명
Tussilago farfara
L.
학명이명
  이명 목록 Cineraria farfara Bernh. Farfara radiata Gilib. Tussilago alpestris Hegetschw. Tussilago umbertina Borbás 
관동(款冬, 학명: Tussilago farfara 투실라고 파르파라[*])은 국화과 관동속(款冬屬, 학명: Tussilago 투실라고[*])에 속하는 유일한 식물이다.
분포

아시아, 유럽, 아프리카, 오세아니아 및 북아메리카에 분포한다. 동아시아(중국), 중앙아시아(우즈베키스탄, 카자흐스탄, 키르기스스탄, 타지키스탄, 투르크메니스탄), 남아시아(아프가니스탄, 인도), 서남아시아(레바논, 시리아, 이란, 터키), 캅카스(아르메니아, 아제르바이잔, 조지아), 동남유럽(그리스, 루마니아, 마케도니아 공화국, 몬테네그로, 보스니아 헤르체고비나, 불가리아, 세르비아, 슬로베니아, 알바니아, 크로아티아, 키프로스), 동유럽(라트비아, 러시아, 리투아니아, 몰도바, 벨라루스, 에스토니아, 우크라이나), 북유럽(노르웨이, 덴마크, 스웨덴, 페로 제도, 핀란드), 서유럽(네덜란드, 벨기에, 영국), 중앙유럽(독일, 스위스, 슬로바키아, 오스트리아, 체코, 폴란드, 헝가리), 남유럽(스페인, 이탈리아, 프랑스), 북아프리카(모로코, 알제리)가 원산지이다.
사진 갤러리

잎
고체물리학

| 고체물리학 |
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학문명: 고체물리학
학문 분야: 물리학
고체물리학(固體物理學, Solid-state physics)은 고체의 성질에 대한 연구를 하는 물리학의 한 분과이다. 보다 큰 개념인 응집물질 물리학과 비슷한 개념으로 일컫는다. 고체물리학은 작은 미시 규모의 특성으로부터 어떻게 거시 규모의 고체물질의 특성이 나타나는지 연구하는 학문이다. 따라서 고체물리학은 신소재과학의 이론적인 토대 중 하나를 마련한다. 고체물리는 트랜지스터나 반도체 기술 분야에 직접적으로 응용되는 학문이다.
배경

고체재료들은 밀집된 공간에 격렬하게 상호작용하는 원자들로 이루어져 있다. 이러한 원자들 간의 상호작용으로 인해, 고체가 열, 전자기적, 광학적 특성을 가진다. 이러한 특성은 포함된 물질의 종류, 혹은 물질이 기하학적 규칙적인 패턴이나 불규칙적인 패턴을 가지는 조건에 따라 결정된다.
고체물리학에서의 벌크이론 및 연구는 결정 구조에 초점을 둔다. 결정 구조의 주기성을 띄는 원자들은 수학적인 모델을 가능하게 한다. 이처럼 결정 물질들은 공학적인 목적으로 활용될 수 있는 전기적, 자기적, 광학적, 역학적인 특성을 가진다.
고체 결정 내 원자들 간의 인력은 매우 다양한 형태를 가진다. 그 한가지 예로, 흔히 소금이라고 불리는 염화나트륨이 있다. 이 결정은 염소 이온과 나트륨 이온의 이온결합으로 이루어져 있다. 원자들은 또한 서로간에 전자를 공유하여 공유결합을 이루기도 한다. 금속에서는 금속 결합이 이루어지는데, 이는 전자들이 결정 구조 내에서 공유되는 것을 말한다. 마지막으로 비활성 기체는 어떠한 종류의 결합도 가지지 않는다. 고체 형태 내에서, 비활성 기체는 오로지 2개 분자의 전기적 쌍극자-쌍극자 상호작용에 의해 생기는 반 데르 발스 힘에 의해서만 발생한다. 고체의 특성의 차이는 바로 이러한 원자들간의 결합 방식에 따라 결정된다.
결정 구조와 특성

많은 물질의 특성은 결정 구조에 의해 결정된다. 이러한 물질의 구조는 엑스선결정학, [./Https://en.m.wikipedia.org/wiki/Neutron_diffraction 중성자회절], 전자회절과 같은 결정학기술을 이용하여 연구된다. 실제 결정은 이상적인 구조로부터 결정의 결점이나 불규칙성으로 특징지어진다. 이러한 결정구조의 불규칙성은 실제 물질의 전기적, 기계적 특성이 달라지는 원인이 된다.
고체 내 결정 격자는 진동을 하는데, 이러한 진동은 마치 빛처럼 양자화되어 있다고 기술할 수 있다. 이런 양자화된 진동모드는 포논으로 알려져 있다. 포논은 실제로 존재하는 건 아니지만 고체 특성을 기술 하는데 있어 중요한 개념이다. 한 예로, 포논을 통하여 부도체의 열전도를 이해할 수 있다. 또한 포논은 아인슈타인 모델과 후기 드바이 모델을 통해 고체의 열용량을 이해하는 데 있어 필수적인 개념이기도 하다.
결정 고체 물질 내 개별 결정의 크기는 포함된 물질의 종류나, 결정이 형성된 시점에 따라 매우 다양하다. 우리 생활에서 늘 접하는 결정은 다결정이다. 다결정은 미시 규모에서 보면 개별 결정으로 보이나, 거시 규모에서는 자연적으로(예: 다이아몬드) 또는 인공적으로 형성될 수 있다.
실제 결정은 이상적 배열에서 결함이나 불규칙성을 보인다. 결함은 실제 물질에서 여러 전자기적 특성을 결정하는 데 있어 중요 요인이다.
전기적 특성

전기적 특성과 열용량과 같은 물질의 특성은 고체물리학을 연구하는 데 있어 중요한 분야이다. 전기적 특성을 조사하는 초기의 방법으로는 고체 내 전자에 운동에너지를 적용하여 푸는 드루드모델이 있다. 물질이 움직이지 않는 양이온과 상호작용하지 않는 '전자구름'으로 존재한다고 고전적으로 가정하는 드루드모델은 전기적 특성, 열용량, 홀 효과까지 설명할 수 있다. 하지만 드루드 모델은 전기적 열용량을 과도하게 추정하는 단점이 있다.
아르놀트 조머펠트는 자유 전자 모델 고전적인 드루드모델에 양자역학을 결부시켰다.(드루드-조머펠트 모델) 여기서 전자는 페르미 기체라고 가정하여 입자들이 양자역학의 페르미-디랙 통계를 만족하도록 기술하였다. 이러한 자유 전자 모델은 물질의 열용량에 대한 보다 진보된 결과를 도출해 냈다. 하지막 이 모델로는 부도체를 설명하기에는 역부족이었다.
근사 자유 전자 모델은 이러한 자유 전자 모델의 문제점을 보안하였다. 여기에는 섭동이론을 이용하여 고체 격자의 전도전자와 이온간 상호작용을 고려하였다. 이와 함께 띠구조론이 도입됨에 따라, 이 이론은 도체와 반도체 그리고 부도체의 존재까지 설명할 수 있었다.
근사 자유 전자 모델은 슈뢰딩거 방정식을 주기포텐셜에 대해서 재기술하게 했다. 블로호 파는 이러한 경우의 적절한 슈뢰딩거 방정식의 해가 된다. 블로호의 이론은 오직 주기포텐셜에 사용되기에 이 이론은 근사적인 경우에만 사용된다. 하지만 블로호의 이론은 아주 유용한 것으로 판명되었다.
연구 분야

소자 물리
반도체  물리
표면 물리
같이 보기

응집물질물리학
결정학
참고

Kittel, Thermal physics (ISSP).
Kittel, Introduction to Solid State Physics (ISSP). 학부 수준의 물리학 전공자들을 위한 입문서
| 전거 통제  |
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국제:  FAST 
국가:  스페인  프랑스  BnF 데이터  독일  이스라엘  미국  체코 
고체 격자구조의 예
문맥 자유 언어

문맥 자유 언어(文脈自由言語, Context-free language, CFL)는 문맥 자유 문법이 생성하는 형식 언어이다. 문맥 자유 언어는 프로그래밍 언어의 연구에서 중요한 역할을 한다.
배경 > 문맥 자유 문법

서로 다른 문맥 자유 문법이 똑같은 문맥 자유 언어를 생성할 수도 있다. 언어를 생성하는 여러 문법을 비교함으로써 언어 고유의 성질을 특정 문법의 성질과 구분할 수 있다.
배경 > 오토마타

어떤 언어가 문맥 자유 언어라는 것은 어떤 내리누름 오토마타가 그 언어를 받아들인다는 것과 동치이다. 따라서 문맥 자유 언어는 구문 분석이 용이하다. 또한 문맥 자유 문법이 주어지면 그 문법에 대응하는 내리누름 오토마타를 쉽게 구성할 수 있다. 한편 주어진 내리누름 오토마타에 대응하는 문맥 자유 문법을 구성하는 것은 조금 더 복잡하다.
예시

문맥 자유 언어의 전형적인 예로  L=\{a^{n}b^{n}:n\geq 1\}를 들 수 있다. 이 언어는 앞쪽 절반이  a로만 되어 있고 뒤쪽 절반이  b로만 되어 있는 모든 문자열의 집합이다.  L을 생성하는 문맥 자유 문법으로  S\to aSb~|~ab를 들 수 있다. 이 언어는 정규 언어가 아니다.  L을 받아들이는 내리누름 오토마타는 다음과 같이 정의할 수 있다.
단,  \delta 는 다음과 같다.
본질적으로 중의적인(inherently ambiguous) CFL이 존재하기 때문에, 비중의적 CFL의 집합은 CFL의 집합의 진부분집합이다. 본질적으로 중의적인 CFL의 예로는  \{a^{n}b^{m}c^{m}d^{n}|n,m>0\}와  \{a^{n}b^{n}c^{m}d^{m}|n,m>0\}의 합집합을 들 수 있다. 문맥 자유 언어들의 합집합은 문맥 자유 언어이기 때문에, 이 언어도 문맥 자유 언어이다. 그러나 두 부분의 교집합인  \{a^{n}b^{n}c^{n}d^{n}|n>0\}에 속한 문자열을 비중의적으로 구문 분석할 방법은 없다. (또한 이 교집합은 문맥 자유 언어가 아니다.)
균형 잡힌 괄호 표현의 언어인 뒤크 언어는  S\to SS~|~(S)~|~\varepsilon 로 생성되는 문맥 자유 언어이다.
예시 > 문맥 자유 언어가 아닌 언어의 예

집합  \{a^{n}b^{n}c^{n}d^{n}|n>0\}은 문맥 의존 언어이지만 문맥 자유 문법으로 생성할 수 없다. 따라서 문맥 자유 언어가 아닌 문맥 의존 언어가 존재함을 알 수 있다. 어떤 언어가 문맥 자유 언어가 아님을 보이려면 문맥 자유 언어에 대한 펌핑 보조정리를 쓰거나 오그덴의 보조정리나 파리크의 정리 따위를 사용할 수 있다.
성질 > 문맥 자유 구문 분석

구문 분석이 주변 “문맥”과 무관하다는 특성 때문에, 문맥 자유 언어는 내리누름 오토마타로 쉽게 구문 분석이 가능하다.
주어진 문자열  w와 문법  G가 생성하는 언어  L(G)에 대해,  w\in L(G)인지 결정하는 문제를 소속(membership) 문제 또는 인식(recognition) 문제라고 한다. 촘스키 표준형으로 나타낸 문맥 자유 문법에 대한 인식 문제는 불 대수에서의 행렬 곱셈으로 바꿀 수 있다는 사실이 밝혀졌고, 따라서 복잡도는 최대 O(n2.3728639)이다.
반대로, O(n3−ε) 복잡도의 불 행렬 곱셈을 O(n3−3ε) 복잡도의 CFG 구문 분석으로 바꿀 수 있다는 사실이 알려져 있고, 이는 CFG 구문 분석의 복잡도에 대한 일종의 하계가 된다.
문맥 자유 언어의 실제 쓰임에서는 인식 문제뿐만 아니라 문법 규칙을 사용해 주어진 문자열을 도출하는 트리를 생성하는 것도 중요하다. 이 트리를 만드는 과정을 구문 분석(파싱)이라 한다. 지금까지 알려진 CFG 구문 분석 알고리즘은 길이 n인 문자열을 분석하는 데 O(n3)만큼의 시간이 걸린다. 그러한 알고리즘의 예로 CYK 알고리즘과 얼리 파서 따위가 있다.
문맥 자유 언어 가운데 결정적 내리누름 오토마타가 받아들이는 언어들을 결정적 문맥 자유 언어라 한다. 이들은 LR 파서로 구문 분석할 수 있다.
성질 > 닫힘 성질

문맥 자유 언어의 집합은 여러 연산에 대해 닫혀 있다. L과 P가 문맥 자유 언어이면, 다음 언어도 문맥 자유 언어이다.
합집합  L\cup P
거울상 LR
문자열 연결  L\cdot P
클레이니 스타  L^{*}
문자열 준동형사상  \varphi 에 대한 상  \varphi (L)
문자열 준동형사상  \varphi 에 대한 역상  \varphi ^{-1}(L)
순환 자리 이동  \{vu:uv\in L\}
접두사 닫힘 (L의 모든 문자열의 접두사들의 집합)
정규 언어 R에 대한 몫 L/R
성질 > 닫힘 성질 > 교집합, 여집합, 차집합

문맥 자유 언어의 집합은 교집합 연산에 대해 닫혀 있지 않다. 예컨대  A=\{a^{n}b^{n}c^{m}\mid m,n\geq 0\}와  B=\{a^{m}b^{n}c^{n}\mid m,n\geq 0\}는 둘 다 문맥 자유 언어이다. 두 언어의 교집합은  A\cap B=\{a^{n}b^{n}c^{n}\mid n\geq 0\}인데, 펌핑 보조정리를 사용해 이 언어가 문맥 자유 언어가 아님을 보일 수 있다. 따라서 문맥 자유 언어의 집합은 여집합 연산에 대해서도 닫혀 있지 않은데, 두 언어 A와 B의 교집합은 합집합과 여집합 연산을 사용해  A\cap B={\overline {{\overline {A}}\cup {\overline {B}}}}처럼 나타낼 수 있기 때문이다. 그러므로 문맥 자유 언어의 집합은 차집합 연산에 대해서도 닫혀 있지 않다.  {\overline {L}}=\Sigma ^{*}\setminus L이기 때문이다.
그러나 L이 문맥 자유 언어이고 D가 정규 언어이면, 교집합  L\cap D와 차집합  L\setminus D도 문맥 자유 언어이다.
성질 > 결정 가능성

정규 언어에 관한 문제는 대체로 결정 가능하지만, 문맥 자유 언어에 관한 문제는 그렇지 않은 경우가 많다. 문맥 자유 언어가 유한한지는 결정 가능하지만, 문맥 자유 언어가 모든 문자열을 포함하는지, 정규 언어인지, 비중의적인지, 다른 문법으로 생성된 언어와 같은지는 결정 불가능하다.
일반적인 문맥 자유 문법 A와 B에 대해 다음 문제는 결정 불가능하다.
동치:  L(A)=L(B)인가?
서로소:  L(A)\cap L(B)=\emptyset 인가? 그러나 문맥 자유 언어와 정규 언어의 교집합은 문맥 자유 언어이므로 B가 정규 언어라는 조건이 있으면 결정 가능하다. (아래 “공집합” 부분 참조)
포함:  L(A)\subseteq L(B)인가? 이 문제도 B가 정규 언어라는 조건이 있으면 결정 가능하지만[출처 필요], A만 정규 언어라는 조건이 있으면 결정 불가능하다.
전체집합:  L(A)=\Sigma ^{*}인가?
문맥 자유 문법 A에 대해 다음 문제는 결정 가능하다.
공집합:  L(A)=\emptyset 인가?
유한성:  L(A)는 유한집합인가?
소속: 주어진 문자열  w에 대해,  w\in L(A)인가? 소속 문제를 효율적으로 푸는 알고리즘으로 CYK 알고리즘과 얼리 파서 등이 있다.
Hopcroft, Motwani, Ullman (2003)에 따르면 문맥 자유 언어에 관한 여러 기본적인 닫힘 성질과 결정 가능성은 Bar-Hillel, Perles, Shamir의 1961년 논문에서 처음 증명되었다.
내용주

↑  논문이 발표될 당시에 행렬 곱셈 알고리즘의 복잡도는 최대 O(n2.81)라고 알려져 있었다. 이후 코퍼스미스-위노그라드 알고리즘 등이 발견되면서 상계가 더 낮아졌다.
↑  A는 다음 문맥 자유 문법으로 생성된다. S → Sc | aTb | ε; T → aTb | ε. B의 경우도 비슷하다.