연결합
예 > 2차원 다양체

2차원 콤팩트 연결 다양체의 경우, 모두 원환면  \mathbb {T} ^{2}과 사영 평면  \mathbb {P} ^{2}들의 연결합으로 나타낼 수 있다. (원환면은 가향 다양체이며, 방향을 뒤집는 자기 동형을 갖는다. 사영 평면은 비가향 다양체이다.) 2차원 콤팩트 연결 유향 또는 비가향 다양체들의 연결합 가환 모노이드는 다음과 같은 표시를 갖는다.
(비콤팩트 다양체의 분류는 더 복잡하다.)
증명 (다각형 표시를 통한 증명):
모든 2차원 콤팩트 연결 다양체는 다각형 표시를 갖는다. 이는 모든 2차원 콤팩트 연결 다양체가 삼각 분할될 수 있다는 사실로부터 유도할 수 있으며, 이 사실은 러도 티보르가 1925년에 증명하였다. 아래 증명에서는 임의로 취한 다각형 표시로부터 표준적인 다각형 표시를 유도한 뒤, 유향 다양체의 표준적인 다각형 표시에 대응하는 몫공간이 원환면들의 연결합  n\mathbb {T} ^{2}과 위상 동형이며, 비가향 다양체의 표준적인 다각형 표시에 대응하는 몫공간이 사영 평면들의 연결합  n'\mathbb {P} ^{2}과 위상 동형임을 보인다.
2차원 콤팩트 연결 다양체  X가 주어졌다고 하자.  X의 다각형 표시  \alpha \in \{a_{1},a_{1}^{-1},a_{2},a_{2}^{-1},\dots \}^{*}에 대하여,  l(\alpha )가  \alpha 의 변의 수라고 하고,  k(\alpha )가  \alpha 의 꼭짓점의 동치류의 수라고 하자. 다각형 표시의 붙여지는 두 변은 다각형의 경계에 방향을 부여했을 때 같은 방향의 두 변과 반대 방향의 두 변으로 나눌 수 있다. 다음 두 가지 방법을 통해  X의 다각형 표시로부터 새로운  X의 다각형 표시를 유도할 수 있다.
㈀ 만약  \alpha 가  X의 다각형 표시이며, 이웃하는 반대 방향의 두 변  a를 갖는다면, 이 두 변을 붙여 새로운  X의 다각형 표시  \alpha '을 얻을 수 있다. 이 경우 두 변은 사라지고 한 점 동치류를 이루던 두 변의 공통 꼭짓점은 다각형 내부의 점이 된다. 따라서
 l(\alpha ')=l(\alpha )-2
 k(\alpha ')=k(\alpha )-1
이다.
㈁ 만약  \alpha 가  X의 다각형 표시이며,  \alpha 의 두 변  a가 대각선  a'의 양쪽에 위치한다면,  \alpha 를  a'을 따라 절단하고  a를 따라 접착하여 얻는 표시  \alpha ' 역시  X의 다각형 표시이다. 원래의 두 변  a는 다각형의 대각선이 되며, 대각선  a'은 다각형의 두 변이 되며,
 l(\alpha ')=l(\alpha )
 k(\alpha ')=l(\alpha )
이다.
이제, 임의의  X의 다각형 표시  \alpha 를 취하자.  l(\alpha )>1이라고 가정하자. 임의의 꼭짓점 동치류  [P]를 취하자. 만약  [P]가 유일한 꼭짓점을 갖는다면, 이는 이웃하는 반대 방향의 두 변의 공통 꼭짓점이며, 방법 ㈀을 사용하여 두 변을 붙여  [P]를 없앨 수 있다. 만약  [P]가 둘 이상의 꼭짓점을 갖는다면, 그 원소가 아닌 점  Q\not \in [P]와 이웃하는 점  P\in [P]를 취할 수 있다. 변  PQ는  P를 지나는 다른 한 변  RP와 붙지 않는다. 이는 이 두 변이 붙는다고 가정하면  PQ와  RP의 방향이 달라  P가  [P]의 유일한 꼭짓점이 되기 때문이다. 따라서, 방법 ㈁을 사용하여  \alpha 를 대각선  RP을 따라 절단하고 변  RP와 이에 대응하는 변을 접착할 수 있다. 이렇게 하면 동치류  [P]의 꼭짓점 수는 정확히 하나 줄어든다. 위 두 과정을 적절하게 거듭하면  l(\alpha ')=1인  X의 다각형 표시  \alpha '를 얻을 수 있다.
다각형 표시가 붙여지는 같은 방향의 두 변을 갖는지 여부는 방법 ㈀와 방법 ㈁을 통한 변환에 대하여 불변이다. 방법 ㈀의 경우 변들의 방향이 바뀌지 않으므로 같은 방향의 두 변의 유무가 변하지 않는다. 방법 ㈁에서  a가 반대 방향인 경우, 평행 이동만이 필요하므로 역시 변들의 방향이 바뀌지 않는다. 방법 ㈁에서  a가 같은 방향인 경우, 다각형을 절단한 두 부분 가운데 하나를 뒤집어야 하므로 대각선  a'은 반대 방향의 두 변이 된다.
꼭짓점의 동치류가 하나뿐인 다각형 표시에서, 반대 방향의 두 변은 서로 이웃하지 않으며, 또한 적어도 한 쌍의 두 변이 이들과 번갈아가며 나타난다. 만약 번갈아가며 나타나는 다른 한 쌍의 변이 존재하지 않는다면, 반대 방향의 두 변을 제외하고 남은 두 꺾은선의 꼭짓점들이 서로 동치일 수 없으며, 이는 모순이다.
위에서 얻은  l(\alpha ')=1인  X의 다각형 표시  \alpha '를 생각하자. 우선  \alpha '의 모든 붙여지는 두 변이 반대 방향이라고 가정하자. 반대 방향의 두 변  a를 취하자. 이와 번갈아가며 나타나는 두 변  b를 취하자. 그렇다면  b 역시 반대 방향이다. 방법 ㈁을 통한 적절한 변환을 몇 차례 가하여 두 쌍의 변  a와  b를 번갈아가며 나타나는 연이은 두 쌍의 변  a'와  b'으로 대체할 수 있다. 원래 번갈아가며 나타나던 연이은 두 쌍의 변은 변환 후에도 번갈아가며 나타나며 이어져 있다. 따라서 위 과정을 반복하면 결국 다음과 같은 꼴의 표준적인 다각형 표시를 얻는다.
이제  \alpha '이 같은 방향의 두 변을 갖는다고 가정하자. 그렇다면 같은 방향의 두 변  a는 적절한 변환 ㈁을 가하여 이웃하는 같은 방향의 두 변  a'으로 대체할 수 있다. 원래 이웃하던 같은 방향의 두 변은 변환 후에도 유지된다. 이와 같은 과정을 반복하면 모든 같은 방향의 두 변이 이웃하는 다각형 표시를 얻는다. 이 표시가 반대 방향의 두 변  a를 갖는다고 가정하자.  a와 번갈아가며 나타나는 두 변  b를 취하자. 그렇다면  b는 이웃하지 않으므로 반대 방향의 두 변이다. 같은 방향의 두 변  c를 취하자. 그렇다면, 몇 차례 변환 ㈁을 통해  a,  b,  c를 세 그룹의 이웃하는 같은 방향의 두 변  a',  b',  c'으로 대체할 수 있으며, 원래 이웃하던 같은 방향의 두 변은 유지된다. 이를 반복하여 반대 방향의 두 변들을 모두 없애면, 이웃하는 같은 방향의 두 변들로 구성된  X의 표준적인 다각형 표시
를 얻는다.
위 유도 과정에서, 다각형의 변의 수는 꼭짓점 동치류의 수를 줄일 때마다 둘씩 줄어든다. 따라서 마지막 다각형 표시의 변의 수  4n 또는  2n'은
이다.
다각형 표시
에서, 각  a_{i}b_{i}a_{i}^{-1}b_{i}^{-1}에 대응하는 오각형을 붙여 만든 공간은 열린 공을 도려낸 원환면이며, 남은  n각형을 붙여 만든 공간은  n개의 열린 공을 도려낸 구이다. 따라서 이 표시에 대응하는 몫공간은  n개의 원환면의 연결합  n\mathbb {T} ^{2}이며, 이는 가향 다양체이다.
다각형 표시
에서, 각  a_{i}a_{i}에 대응하는 삼각형을 붙여 만든 공간은 뫼비우스의 띠이며, 남은  n'각형은  n'개의 열린 공을 도려낸 구이다. 따라서 이 표시에 대응하는 몫공간은  n'개의 사영 평면의 연결합  n'\mathbb {P} ^{2}이며, 이는 비가향 다양체이다.