stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
패션플러스

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형태: 쇼핑몰
창립: 1999년
산업 분야: 쇼핑
본사 소재지: 대한민국 경기도 성남시 분당구 판교로 242
사업 지역: 대한민국
핵심 인물: 이동훈, 홍정우
제품: 패션
종업원 수: 140명(2022년 2월 기준)
웹사이트: http://www.fashionplus.co.kr/
패션플러스(FASHIONPLUS)는 600만 회원을 보유한 패션플랫폼이다.
여성, 남성, 엑티비티, 키즈, 명품, 라이프스타일, 백화점/아울렛/디자이너 브랜드 등 특정 카테고리에 국한되지 않은 9,000개의 입점 브랜드와 450만 여개의 다양한 제품을 선보이며 20대부터 50대까지 폭넓은 고객층을 보유하고 있다.
연혁

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1999년: 국내 최초 온라인 패션쇼핑몰 오픈
2005년: 대한민국 섬유 대상 유통부분 수상, 한국 패션 브랜드 대상 유통부분 수상
2010년: 세계 최대 B2B쇼핑몰 '알리바바(www.alibaba.com)'와 MOU 체결
2011년: 2010년 인터넷 쇼핑몰 의류 부문 소비자 만족도 1위 쇼핑몰 선정
2012년: 모다아울렛과 전략적 제휴관계 체결 및 투자유치
2015년: 백화점/아울렛 전문관 오픈
2016년: 경영진 변경 및 키즈전문몰 '패플키즈', 스포츠/아웃도어 전문몰 '액티비티' 런칭
2017년: 매장용 SCM 개발, 슈즈/잡화/뷰티/명품몰 '스타일샵' 신규 런칭
2018년: 모바일 리뉴얼 오픈, GMV 2,337억 달성
2019년: 모다아울렛몰 런칭, GMV 2,892억 달성
2020년: 코리아패션대상 장관표창 수상, SCM 리뉴얼 오픈, GMV 4,795억 달성
2021년: 스타일크루 런칭, 패션플러스 리뉴얼 오픈, GMV 5,300억 달성
2022년: TV CF 런칭 (메인모델: 권나라)
주요 브랜드

2022년 10월 기준 약 9,000여개의 브랜드가 입점해있다. 입점 브랜드 현황은 여기에서 확인 가능하다.
포톤 자동차

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포톤 자동차 본사
창립: 1996년 8월 28일(28년 전)(1996-08-28)
산업 분야: 자동차 제조업
본사 소재지:  중국 베이징시 창핑구
사업 지역: 전세계
제품: 버스, 자동차
매출액: 100,400,000,000 런민비 (2022) 
순이익: 5,900,000,000 런민비 (2022) 
주요 주주: 베이징 포톤 커민스 엔진 (50%) 베이징 포톤 다임러 오토모티브 (50%) 삼흥 조인트 벤쳐 컴퍼니
종업원 수: 22,767명
모기업: 베이징 자동차 그룹
웹사이트: https://www.foton-global.com/
Auman 트럭
포톤 자동차(영어: Foton Motor, 중국어 간체자: 北汽福田汽车股份有限公司, 정체자: 北汽福田汽車股份有限公司, 병음: Běiqì Fútián Qìchē Gǔfèn Yǒuxiàn Gōngsī)는 중국 베이징시 창핑구에 본사를 둔 베이징 자동차 그룹 계열의 상용차 생산 회사이다. 제작하고 있는 차량은 일반적으로 버스, 트럭 등을 위주로 만들고 있으며, 대한민국에서는 픽업트럭과 전기버스를 판매했다. 그리고 중국 글로벌 수출 1위 기업으로서 계속적으로 한국시장을 주요하게 생각하고 있다.
포톤자동차는 중국상용차업체 18년 연속1위, 2022년 기준 브랜드가치 290억 달러, 중국 상위500개 브랜드 34위
대한민국에는 그린타운400 전기 저상버스를 판매중에 있다.
포톤 차량과 관련해서는 국내 공식수입사는 재일홀딩스(주)이다.
연혁

1996년 8월 28일: 회사 설립
주요 생산 차종 > 버스

포톤 그린타운400 : 전장 8.5m급 전기 저상버스. 대한민국에서는 마을버스 노선용으로 공급중이며, 교통약자 이동 편의 증진을 위한 저상버스로 개발되어 한국의 대중교통 발전에 기여하고 있다.
주요 생산 차종 > 트럭

포톤 아우만
판매

포톤 자동차는 2011년에 총 640,400대의 차량을 판매하였다.
채정안

| 채정안  |
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본명: 장정안
출생: 1977년 10월 21일(1977-10-21)(47세) 대한민국 부산직할시 (현 부산광역시)
직업: 가수   배우
활동 기간: 1995년 ~ 현재
종교: 개신교
소속사: 키이스트
학력: 동국대학교 예술대학 연극영화학과
웹사이트: 키이스트 채정안 채정안 - 네이버 TV 채정안 - 유튜브 채정안 - 인스타그램
채정안(본명: 장정안, 1977년 10월 21일 (음력 9월 9일) ~ )은 대한민국의 가수이자 배우이다.
출연 작품 > 드라마

| 연도* | 제목 | 역할 | 방송사 | 비고 |
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| 1996 | 남자셋 여자셋 | 채정안 | MBC | 525부작 |
| 1997 | 달팽이 | 미선 | SBS | 16부작 |
| 1997 | LA아리랑 |  | SBS |  |
| 1998 | 킬리만자로의 표범 | 마리 | KBS2 | 8부작 |
| 1998 | 짝사랑 | 지영 | KBS2 | 16부작 |
| 1998 | 종이학 | 여옥 | KBS2 | 54부작 |
| 2000 | 눈꽃 | 서지호 | KBS2 | 16부작 |
| 2001 | 미나 | 미나/수련 | KBS2 | 1인2역 |
| 2003 | 저 푸른 초원 위에 | 성순호 | KBS2 | 52부작 |
| 2003 | 나는 달린다 | 강희야 | MBC | 16부작 |
| 2004 | 곰스크로 가는 기차 | 여자 | MBC | MBC 베스트극장 |
| 2004 | 해신 | 설채령 | KBS2 | 51부작 |
| 2007 | 커피프린스 1호점 | 한유주 | MBC | 17부작 |
| 2009 | 카인과 아벨 | 김서연 | SBS | 20부작 |
| 2009 | 열혈 장사꾼 | 김재희 | KBS2 | 20부작 |
| 2010 | 역전의 여왕 | 백여진 | MBC | 31부작 |
| 2013 | 남자가 사랑할 때 | 백성주 | MBC | 20부작 |
| 2013 | 당신의 누아르 | 진이현 | KBS2 | KBS 드라마 스페셜 |
| 2013 | 총리와 나 | 서혜주 | KBS2 | 17부작 |
| 2014 | 개과천선 | 유정민 | MBC | 16부작 |
| 2015 | 구여친클럽 | 백송이 | tvN | 특별출연 |
| 2015 | 용팔이 | 이채영 | SBS | 18부작 |
| 2016 | 딴따라 | 여민주 | SBS | 18부작 |
| 2017 | 맨투맨 | 송미은 | JTBC | 16부작 |
| 2018 | 슈츠 | 홍다함 | KBS2 | 16부작 |
| 2019 | 리갈 하이 | 민주경 | JTBC | 16부작 |
| 2021 | 월간 집 | 여의주 | JTBC | 16부작 |
| 2022 | 돼지의 왕 | 강진아 | 티빙 | 12부작 |
| 2023 | 패밀리 | 오천련 / 윈드 | tvN | 12부작 |
*다년간 방송된 프로그램의 경우, 채정안이 출연한 연도 또는 출연하기 시작한 연도를 가리킨다.
출연 작품 > 영화

| 연도 | 제목 | 역할 | 비고 |
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| 1998 | 기막힌 사내들 | 전화하는 여인 | 특별출연 |
| 2003 | 런투유 | 경아 |  |
| 2005 | 엄마 | 은영 |  |
| 2008 | 순정만화 | 권하경 |  |
| 2014 | 아빠를 빌려드립니다 | 미연 |  |
| 2016 | 두 개의 연애 | 윤주 |  |
방송

《결정 인기가요 43》(1999년, KMTV) 게스트
《뮤직박스》 (2000년, iTV) MC
《가족오락관》 (2002년 1월 26일, KBS1)
《상상플러스》 (2005년,KBS2)
《투유 프로젝트 - 슈가맨을 찾아서》 (2015년, JTBC)
《썸남썸녀》 (2015, SBS)
《SNL 코리아 (시즌 6)》 (2015년 3월 21일, tvN)
《더 바디쇼 시즌 4》 (2016, 온 스타일)
《아는 형님》 (2017년 4월 22일, 2021년 6월12일, JTBC)
《한끼줍쇼》 (2017년 11월 29일, JTBC)
MBC 《손현주의 간이역》 (2021년)
《놀면 뭐하니?》 (2022년, MBC) WSG 워너비 오디션 참가자
ENA 《명동사랑방》 (2023년) -공동진행
tVN 《놀라운 토요일》 (2023년 4월 22일)
《빈집살래 3 - 수리수리 마을수리》 (2023년, MBC) -공동진행
《전지적 참견시점》 (2024년, MBC)
《현무카세》 (2024년, ENA)
《라디오스타》 (2024년, MBC)
음반

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 정규 음반 1999년 1집 《무정》: 무정  2000년 2집 《편지》: 편지, Tess  2001년 3집 《goddess... her fate》: Magic, 귀한 사랑:  디지털 싱글 2008년 〈TV러브〉
수상 및 후보

| 연도 | 시상식 | 부문 | 작품 | 결과 | 출처 |
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| 1995 | 존슨즈 깨끗한 얼굴 선발대회 | 대상 | 빈칸 | 수상 |  |
| 1999 | 제10회 서울가요대상 | 신인가수상 | "무정" | 수상 |  |
| 2007 | MBC 연기대상 | 여자 우수상 | 커피프린스 1호점 | 후보 |  |
| 2010 | MBC 연기대상 | 연기자 부문 PD상 | 역전의 여왕 | 수상 |  |
| 2015 | 제4회 에이판 스타 어워즈 | 여자 연기상 | 용팔이 | 수상 |  |
| 2016 | SBS 연기대상 | 로맨틱코미디부문 여자 우수연기상 | 딴따라 | 후보 |  |
| 2018 | 제11회 코리아 드라마 어워즈 | 여자 우수연기상 | 슈츠 | 수상 |  |
은닉 마르코프 모형

은닉 마르코프 모형(영어: hidden Markov model, HMM)은 통계적 마르코프 모형의 하나로, 시스템이 은닉된 상태와 관찰가능한 결과의 두 가지 요소로 이루어졌다고 보는 모델이다. 관찰 가능한 결과를 야기하는 직접적인 원인은 관측될 수 없는 은닉 상태들이고, 오직 그 상태들이 마르코프 과정을 통해 도출된 결과들만이 관찰될 수 있기 때문에 '은닉'이라는 단어가 붙게 되었다. 은닉 마르코프 모형은 동적 베이지안 네트워크로 간단히 나타낼 수 있으며, 은닉 마르코프 모형의 해를 찾기 위해 전향-후향 알고리즘을 제안한 스트라토노빅의 최적 비선형 필터링 문제와 밀접한 관련이 있다.
한편 은닉 마르코프 모형에 사용된 수학적 개념들은 바움(L. E. Baum)과 그의 동료들에 의해 정립되었다.
마르코프 연쇄와 같은 단순한 마르코프 모형에서는 상태를 관찰자가 직접적으로 볼 수 있으며, 그러므로 상태가 전이될 확률은 단순히 모수(parameter)들로 표현될 수 있다. 반면 은닉 마르코프 모형에서는 상태를 직접적으로 볼 수 없고 상태들로부터 야기된 결과들만을 관찰할 수 있다. 각각의 상태는 특정 확률 분포에 따라 여러 가지 결과를 도출해 낼 수 있으므로, 은닉 마르코프 모형로부터 생성된 결과들의 나열은 기저에 은닉된 상태들에 대한 정보들을 제공하고 있다고 생각할 수 있다. 여기서 단어 은닉(Hidden)이 모델의 모수를 가리키는 것이 아니라 모델이 거쳐가는 연속된 상태를 지칭하는 것에 주의해야한다. 은닉 마르코프 모형에서 모수들이 정확히 알려졌음에도 불구하고 여전히 ‘은닉’ 마르코프 모형로 불리는 이유는 결과를 야기하는 상태들이 근본적으로 은닉되어있어 관찰할 수 없기 때문이다.
은닉 마르코프 모형은 시간의 흐름에 따라 변화하는 시스템의 패턴을 인식하는 작업에 유용하다. 예를 들어 음성 인식, 필기 인식(en:Handwriting recognition), 동작 인식(en:Gesture Recognition), 품사 태깅(en:Part-of-speech tagging), 악보에서 연주되는 부분을 찾는 작업, 부분 방전(en:Partial discharge), 생물정보학 분야에서 이용된다.
은닉 마르코프 모형은 은닉 변수가 독립되지 않고 마르코프 과정을 통해 변화하면서, 각 과정에서 혼합 요소를 선택하는 혼합 모델의 일반화로 볼 수 있다. 최근 이러한 은닉 마르코프 모형은 더 복잡한 자료 구조들과 안정적이지 않은 데이터들을 모델링할 수 있도록 이중 마르코프 모형, 삼중 마르코프 모형 등으로 일반화되고 있다.
역사 > 마르코프 연쇄

은닉 마르코프 모형의 창시자는 러시아의 수학자 안드레이 마르코프(Andrey Andreyevich Markov; 1856-1922)다. 마르코프는 1906년 마르코프 '연쇄'라는 단어를 처음 언급한 이론을 발표.
하였으며, 1913년에는 이를 이용하여 러시아 문자들의 순서에 대한 연구를 진행하였다.
1931년에 이르러 러시아 수학자 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)가 마르코프 연쇄의 상태 공간을 가산 무한 집합으로 확장시켜 이 이론을 일반화하였다. 마르코프 연쇄는 20세기 초반 물리학계의 중요한 연구 주제였던 브라운 운동과 에르고딕 가설과 연관성이 있는 것으로 밝혀져 많은 관심을 받았으나, 정작 마르코프 자신은 해당 마르코프 연쇄를 큰 수의 법칙을 서로 의존적인 사건들로 확장시키는 수학적 일반화의 관점을 선호하였다. 확률 및 통계학에서 마르코프 연쇄는 주로 이산 상태 공간을 가지며 마르코프 특성을 따르는 확률 과정을 의미한다.
역사 > 은닉 마르코프 모형으로의 발전

1940년대 계산 과학의 급격한 발전과 더불어 비선형적이고 확률적인 시스템들의 해를 찾기 위한 알고리즘을 개발하기 위해 많은 과학자들이 이 분야에 뛰어들었다. 전향-후향 재귀법(forward-backward recursion)과 주변 다듬질 확률(marginal smoothing probability)등에 대한 이론이 스트라토노빅(Ruslan L. Stratonovich)에 의해 1950년대 후반 최초로 논의되었고, 1960년대 후반 바움(Leonard E. Baum)에 의해 은닉 마르코프 모형의 모수들을 찾아내는 바움-웰치 알고리즘이 발표되면서 은닉 마르코프 모형에 대한 연구가 활발히 진행되기 시작하였다. 1967년 앤드루 비터비(Andrew Viterbi)는 동적 프로그래밍을 이용하여 관찰된 사건들이 도출될 확률이 가장 높은 은닉 상태들의 순서를 찾아내는 비터비 알고리즘을 발표하였다.
역사 > 은닉 마르코프 모형의 응용

은닉 마르코프 모형은 1970년대 음성 인식 분야에서 응용되기 시작하였으며, 1980년대 후반에는 DNA의 서열을 분석하는 데 사용되기 시작하였다. 현대에는 음성 인식, 계산언어학, 생물정보학등에 사용되고 있다.
항아리를 이용한 설명

은닉 마르코프 모형의 이산적인(Discrete) 관점에서 은닉 마르코프 모형은 복원 추출을 하는 항아리 문제를 일반화 시킨 것이라고 볼 수 있다. 다음과 같은 예제를 생각해 보자. 관측자에게 보이지 않는 방이 있고, 그 안에 요정이 있다. 방에는 항아리  X_{1},X_{2},X_{3},...가 존재한다. 각각의 항아리에는  y_{1},y_{2},y_{3},...으로 이름이 붙은 공들이 섞여서 들어가 있고, 항아리의 공들이 섞인 상태는 알려져있다. 요정은 방 안의 항아리를 하나 고르고, 항아리 안에서 무작위로 공을 하나 꺼내어 컨베이어 벨트에 올려둔다. 관측자는 컨베이어 벨트 위의 공의 순서를 관측할 수는 있지만, 해당 공들이 뽑혔던 항아리의 순서는 알 수 없다. 요정이 공을 뽑을 항아리를 고를 때는 다음과 같은 특별한 규칙을 따른다 :  n번째 공을 뽑기 위한 항아리는 무작위 숫자와  (n-1)번째 공을 뽑기 위해 선택한 항아리에만 영향을 받는다. 현재 항아리로부터 하나보다 더 전에 선택된 항아리는 현재 항아리의 선택에 직접적으로 영향을 주지 않는다. 이러한 규칙은 주로 마르코프 특성 (Markov Property)이라 불리며, 따라서 이것은 마르코프 과정 (Markov Process) 이라고 불린다. 이에 대한 설명은 그림 1의 위쪽에 잘 나타나있다.
마르코프 과정 자체는 관측될 수 없고 오직 컨베이어 벨트 위의 공의 나열만 관측이 가능하기 때문에 "은닉 마르코프 과정"이라고 불린다. 이는 그림 1의 아래 부분에 잘 나타나있다. 그림에서 묘사된 바와 같이, 관찰자는 각 상태에서 뽑혀 나온  y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}만을 관측할 수 있다. 심지어 관찰자가 항아리들의 내부의 공들의 비율을 알고 있고  y_{1},y_{2},y_{3}의 세 공들을 관측했더라도 관측자는 여전히 요정이 세 번째 공을 뽑은 항아리(= 상태)를 알 수는 없다. 다만 관측자는 세 번째 공( y_{3})이 각 항아리에서 뽑혔을 가능도(likelihood)와 같은 정보들에 대해서는 계산을 할 수 있을 뿐이다.
은닉 마르코프 모형의 구조

위의 다이어그램은 은닉 마르코프 모형의 일반적인 구조를 보여주고 있다. 각 원은 확률변수를 나타낸다. 확률변수  x(t)는 시간  t에서의 은닉 상태(hidden state)이다. 확률변수  y(t)는 시간  t에서의 관측값(observation)이다. 각 상태를 연결하는 화살표는 조건부 의존성(conditional dependency)을 나타낸다.
은닉 마르코프 모형의 구조 > 은닉 변수

모든 시간에 대하여 은닉 변수(hidden variable)  x(t)의 값이 주어질 때, 특정 시간  t에서의 은닉 변수  x(t)의 조건부 확률 분포는 오직 은닉 변수  x(t-1)에만 의존하는 것을 관찰할 수 있다. 그 이전의 시간들 ( <t-1)은  x(t)에 영향을 주지 않는데, 이를 마르코프 특성이라 한다. 이와 비슷하게 시간  t에서 관측된 변수  y(t)의 값은 오직 은닉 변수  x(t)에만 영향을 받는다.
은닉 마르코프 모형의 구조 > 은닉 변수의 상태 공간

은닉 마르코프 모형의 표준적인 형태에서 은닉 변수의 상태 공간(state space)은 이산적이다. 반면 관측값들은 이산적일 수도 있고, 연속적 일 수도 있다. 이산적인 경우는 주로 범주 분포를 따르고, 연속적인 경우는 주로 정규 분포를 따른다. 은닉 마르코프 모형의 모수(parameter)로는 전이 확률(transition probability)과 출력 확률(emission probability)의 두 종류가 있다. 전이 확률은 시간  t-1에서의 은닉 상태가 주어졌을 때 시간  t에서의 은닉 상태가 선택되는데 영향을 주며, 출력 확률은 주어진 상태  x(t)에서 특정한 결과값  y(t) 이 관측될 확률 분포를 나타낸다.
은닉 마르코프 모형의 구조 > 전이 확률

은닉 상태 공간은 범주 분포로 모델링 될 수 있는  N개의 가능한 상태들 중 하나로 구성되어 있다고 가정된다. 각각의 시간  t에서 은닉 변수는 총 N개의 가능한 상태들을 가질 수 있고, 시간  t+1에는 은닉 변수가  N개의 가능한 상태로 전이할 확률이 존재한다. 따라서 이러한 확률은  N^{2}개의 전이 확률로써 표현될 수 있다. 이 때 한 상태의 전이 확률의 합은 항상 1이 되어야 한다. 따라서  N\times N 전이 확률 행렬은 마르코프 행렬이다. 다른 전이 확률들을 모두 알고 있을 때 마지막 전이 확률은 당연하게 도출될 수 있기 때문에 전체 전이 모수(transition parameter)의 수는  N(N-1)이다.
은닉 마르코프 모형의 구조 > 출력 확률

각  N개의 가능한 상태들에 대하여 특정 시간에서의 은닉 변수들이 주어졌을 때 관측 변수들의 분포를 제어하는 출력 확률들의 집합이 존재한다. 이 집합의 크기는 관측 변수들의 특성에 의해 결정된다. 예를 들어, 만약 관측 변수가 범주 분포의 영향을 받고  M개의 가능한 값을 가질 경우  M-1개의 독립된 모수들이 존재함을 알 수 있다. 따라서 모든 은닉 상태들에 대해 전체 출력 모수들의 개수는  N(M-1)개가 된다. 반면에 만약 관측 변수가 임의의 다변량 정규분포를 따르는  M차원 벡터일 경우 평균에 영향을 주는  M개의 모수와 공분산 행렬에 영향을 주는  {\frac {M(M+1)}{2}}개의 모수가 존재하므로 전체  N\left(M+{\frac {M(M+1)}{2}}\right)={\frac {NM(M+3)}{2}}=O(NM^{2})개의 출력 모수가 존재하게 된다. 이런 경우에는  M 값이 작지 않다면 관측 벡터의 각 원소들을 서로 독립으로 가정하거나, 서로 독립이면서 고정된 수의 인접 원소들을 가진다는 가정 등을 통해 공분산의 특징을 제한하는 것이 훨씬 실용적이다.
은닉 마르코프 모형의 구조 > 출력 확률의 확률 분포

은닉 마르코프 모형은 마르코프 과정에 기반하여 상태들이 특정한 확률 분포에 따라 결과들을 출력하는 모델을 만들 수 있다. 이러한 확률 분포의 예시 중 하나로 정규 분포가 있으며, 이 경우 출력 확률이 정규 분포를 따른다고 이야기 할 수 있다. 출력된 결과값이 둘 이상의 혼합 정규 분포에 의해 표현된다면 훨씬 더 복잡한 시스템을 표현할 수도 있다. 이 경우 특정 결과가 관찰될 확률은 정규 분포들 중에서 하나를 선택할 확률과 그 정규 분포에서 해당 관측 값을 출력할 확률의 곱이 된다.
추론 문제에의 응용

은닉 마르코프 모형은 다양한 추론 문제들과 깊은 관련을 가지고 있다. 그러한 추론 문제들에 대한 예시들은 아래와 같다.
추론 문제에의 응용 > 일련의 사건들이 관찰될 확률에 대한 추론

이 추론의 목표는 어떠한 일련의 사건들이 순서대로 관찰되었을 때, 우리가 가지고 있는 확률 모델에 기반하여 해당 사건들이 관측될 확률을 계산하는 것이다.
즉,
와 같은 순서로 총 L개의 사건들(Y)이 관측되었다고 가정해보자. 그러한 사건이 일어날 확률은
와 같이 각 사건  y(n) 이 일어날 수 있는 확률들의 합이다.
여기서 각각의 관측되는 사건은 은닉 변수(Hidden state)에서 도출될 수 있는 모든 경우의 수를 고려해야 하므로,
아래와 같은 관계가 성립한다.
이러한 문제는 동적 계획법에 기반한 전향 알고리즘을 이용하여 효율적으로 계산될 수 있다.
추론 문제에의 응용 > 일련의 사건들이 관찰될 확률에 대한 추론 > 전향 알고리즘 (Forward algorithm)

전향 알고리즘은 은닉 마르코프 모형이  N개의 상태를 가질 때, 시간  t에서 각 상태들의 확률 분포를 구하는 방법이다.
은닉 마르코프 모형을 상태와 시간으로 나열하면 이들은 격자 모양을 가지게 되는데,
전향 알고리즘은 시간  t와 상태  i에 도달할 때까지 모든 경로의 확률의 합을 계속해서 보관하며 다음 시간  t+1을 구할 때 이 정보를 이용한다.
특정 시간  t에서 특정 사건  j가 관찰될 확률은 시간  t-1까지의 각 상태에 있을 확률들을 알면
시간  t-1의 각 상태들로부터 시간  t로의 전이 확률의 합과 시간  t의 상태에서 사건  j를 관찰할 확률의 곱으로 표현이 가능하다.
전체 상태가  N개라고 할 때 특정 시간  t에서 특정 상태  j에 있을 확률을 수식으로 나타내면 다음과 같다.
이때  a_{ij}는  i 상태에서  j 상태로의 전이 확률을 나타내며,  b_{j}(o_{t})는 j 상태에서 관측값  o_{t}을 얻을 확률이다.
예시로 주어진 은닉 마르코프 모형에서 시간 t = 4일 때 상태 3에서 관측값 4를 얻을 확률은 위 수식을 통해 다음과 같이 표현 가능하다.
이를 계산하기 위한  \alpha _{3}(i)는  \alpha _{2}(i)들로부터 구할 수 있고  \alpha _{2}(i)는  \alpha _{1}(i)들로부터 구할 수 있다.
추론 문제에의 응용 > 특정 은닉 변수에 대한 확률 추론

y(1),\dots ,y(t) 와 같이 일련의 결과들이 관측되었을 때 주어진 모델에 대한 가정하에 특정한 은닉 변수들에 대한 확률을 계산하는 문제들이다.
추론 문제에의 응용 > 특정 은닉 변수에 대한 확률 추론 > 필터링 ( Filtering )

필터링 문제는 관찰된 결과들과 이에 대한 확률 모델의 변수들이 주어졌을 때 가장 마지막 은닉 변수의 확률 분포를 묻는다. 좀 더 자연스럽게 설명하자면, 은닉 마르코프 모형의 관점에 의하여 관찰된 사건  y(1),\dots ,y(t) 들이 특정 확률 과정에 의해 일련의 순서로 은닉 변수  x(n)를 거쳐가면서 도출되었다고 가정했을 때 가장 마지막에 도달한 은닉 변수에 대해 기술하는 것으로 여겨질 수 있다.
수식으로는
 P(x(t)\ |\ y(1),\dots ,y(t))
의 값을 구하는 것으로 표현될 수 있다.
해당 문제는 전향 알고리즘을 이용하여 효율적으로 풀 수 있다.
추론 문제에의 응용 > 특정 은닉 변수에 대한 확률 추론 > 다듬질 ( Smoothing )

다듬질은 필터링과 유사한 개념이나, 가장 마지막 은닉 변수가 아니라 확률 과정 중간의 은닉 변수에 대해 묻는다는 점에서 차이가 있다. 즉, 다듬질은  k<t 인  k에 대하여  P(x(k)\ |\ y(1),\dots ,y(t))를 구하는 과정이라고 할 수 있다.
필터링과 마찬가지로 관찰된 사건들이 특정 확률 과정에 의해 은닉 변수를 거쳐가며 도출된다는 관점에서, 특정 시간  t에서  k만큼 상태에서의 확률 분포를 묻는 것으로 이해할 수 있다.
해당 문제는 전향-후향 알고리즘으로 은닉 변수의 다듬질된 값을 구해낼 수 있다.
추론 문제에의 응용 > 특정 은닉 변수에 대한 확률 추론 > 가장 가능성이 높은 설명에 대한 추론

이 문제는 필터링이나 다듬질과는 달리, 특정한 관찰 결과들의 나열이 주어졌을 때 고려할 수 있는 전체 은닉 변수들에 대한 결합 확률들의 분포를 묻는다. 보통 이러한 유형의 문제는 필터링이나 다듬질이 적용되기 힘든 다른 종류의 문제들을 은닉 마르코프 모형을 이용하여 풀 때 적용가능하다. 가장 대표적인 예로는 품사 추론이 있다. 품사 추론이란 특정한 단어들의 나열이 주어졌을 때, 해당 단어들의 품사들을 추론하는 문제이다. 이 문제에 은닉 마르코프 모형을 적용한다면 관찰된 결과는 주어진 단어들의 나열에 해당하고, 은닉 변수들은 단어들의 품사로서 생각될 수 있다. 만약 이 문제에 필터링이나 다듬질 기법을 적용한다면 오직 한 단어의 품사만을 고려하게 되지만, 앞서 언급한 방법론은 각각의 품사들을 전체적인 문맥을 고려하여 추론하게 된다.
해당 방법론은 가능한 모든 은닉 변수들의 나열중 가장 확률이 높은 것을 찾는 문제로 귀결되는데, 이는 비터비 알고리즘으로 해결될 수 있다.
추론 문제에의 응용 > 통계적 유의성

통계적 유의성은 은닉 마르코프 모형에서 특정한 결과들의 나열이 관찰되었을 때, 해당 결과가 어떠한 상태 은닉 변수들의 조합으로부터 비롯되었을 확률이 어느 정도인지를 나타내는 지표가 된다. 전향 알고리즘의 경우 이는 어떠한 귀무 분포에 대한 은닉 마르코프 모형의 확률을 구하는 문제로서 표현될 것이고, 비터비 알고리즘을 사용한 경우에는 가장 높은 확률을 갖는 은닉 변수 순서를 구하는 문제로 표현될 것이다. 이러한 맥락에서 통계적 유의성은 은닉 마르코프 모형이 가설과 특정 결과값에 대한 연관성을 평가하는데 사용된 경우 거짓 양성률을 나타내는 것으로 생각될 수 있다.
구체적인 예제

영희와 철수는 멀리 떨어져서 살고 있기 때문에 안부를 전화로 물을 수 밖에 없다. 철수의 일과는 크게 '걷거나', '쇼핑을 하거나', '집안을 청소'하는 세가지로 있는데, 무엇을 할지는 그 날의 날씨에 따라 결정된다. 영희는 철수가 살고 있는 지역의 날씨에 관해서 정확히는 모르고 대략적인 경향성만을 알고 있을 뿐이다. 영희는 철수와의 통화내용에 기반하여 그 지역의 날씨를 예측해보려고 한다.
영희는 날씨가 이산 마르코프 연쇄로 동작한다고 믿는다. "비"가 오거나(Rainy) "맑음(Sunny)"이라는 두 가지 상태가 있다는 것을 알지만 직접 관찰할 수 없기 때문에 정확히 알 수는 없다. 즉, 날씨는 영희에게 은닉 상태이다. 철수는 그 날의 날씨에 따라서 걷거나, 쇼핑을 하거나, 청소를 하고 영희는 전화 통화를 통해 그것들을 관찰(observations)한다. 이는 은닉 마르코프 모형의 좋은 비유가 될 수 있다.
영희는 그 지역의 일반적인 날씨의 경향성과 철수가 특정한 날씨에 주로 어떤 행동을 하는지에 대해 알고 있다. 즉, 영희의 은닉 마르코프 모형의 모수는 모두 알려져있다는 것이다. 이 파이썬 프로그래밍 언어로 다음과 같이 나타내 질 수 있다:
states = ('Rainy', 'Sunny')

observations = ('walk', 'shop', 'clean')

start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}

transition_probability = {
   'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
   'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
   }

emission_probability = {
   'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
   'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
   }
이 코드에서, start_probability는 초기 확률 분포로서 철수가 영희에게 첫 번째 전화를 했을 때 은닉 마르코프 모형이 어떤 상태에 있을 것이라는 그녀의 믿음을 의미한다. (그녀는 철수가 사는 지역이 주로 비가 온다는 사실을 알고 있다) {'Rainy': 0.57, 'Sunny': 0.43}이다. transition_probability는 마르코프 연쇄에서 행해지는 날씨의 변화를 나타낸다. 위의 예시에서 오늘 비가 오면 내일 맑을 확률은 30%이다. emission_probability는 매일 철수가 어떤 행동을 할지를 나타낸다. 만약 비가 온다면, 철수는 50%의 확률로 집을 청소할 것이고, 그렇지 않고 날씨가 맑다면 60%의 확률로 산책을 나갈 것이다.
유사한 예시는 비터비 알고리즘 페이지에서 더 자세히 확인할 수 있다.
은닉 마르코프 모형의 학습

관찰 결과의 나열이 주어졌을 때 은닉 마르코프 모형의 모수를 학습하는 과정은 해당 결과가 나올 확률을 극대화 시키는 전이 확률과 출력 확률을 구하는 것이다. 이 과정은 대체로 주어진 관찰 결과에 기반하여 최대 가능도 방법으로 유도한다. 이러한 문제를 정확히 풀 수 있는 쉬운 알고리즘은 알려지지 않았지만, 국지적 극댓값들은 바움-웰치 알고리즘이나 Baldi-Chauvin 알고리즘 등을 통해 효율적으로 계산될 수 있다. 바움-웰치 알고리즘은 기대값 최대화 알고리즘의 특별한 경우이다.
X_{t} 가 시간  t에서 가능한 값들이  N 개 존재한다고 하자.  P(X_{t}|X_{t-1}) 가 시간  t에 대해 독립적이라고 가정한다면 전이 확률은 시간독립적 전이 확률 행렬  A로 표현될 수 있다.
초기 분포( t=1)와 관찰된 결과는 각각  \pi _{i}=P(X_{1}=i)과  Y=(Y_{1}=y_{1},Y_{2}=y_{2},...,Y_{t}=y_{t})의 형태로서 주어진다.
관측된 결과변수  Y_{t}는 가능한  K 개의 값들 중 하나를 취한다. 따라서 특정한 시간  t의 상태  j에서 어떠한 결과가 관측될 확률은 아래와 같이 기술될 수 있다.
또한 가능한 모든 상태  X_{t} 와 결과 값  Y_{t}의 조합은  K x  N 크기의 행렬  B=\{b_{j}(y_{i})\} 로 기술된다.
따라서 은닉 마르코프 모형은  \theta =(A,B,\pi ) 와 같이 기술된다. 바움-웰치 알고리즘은  \theta ^{*}=\max _{\theta }P(Y|\theta )의 국지적 극댓값을 찾는데, 이는 곧 주어진 관찰 결과가 도출될 확률을 극대화하는 은닉 마르코프 모형의 모수  \theta 를 찾는 과정이라 할 수 있다.
확장 > 연속적 상태 공간으로의 확장

위에서 고려된 은닉 마르코프 모형에서는 은닉 변수의 상태공간은 이산이다. 반면에 관찰된 결과값은 이산적일 수도 있고 연속적일 수도 있다. 은닉 마르코프 모형은 연속적인 상태 공간들을 허용하는 것으로 확장될 수 있다. 모든 변수들이 선형적이고 가우시안 분포를 따르는 마르코프 프로세스가 선형 동적 시스템(en:Linear dynamical system)이 되는 것이 그러한 확장의 예시이다. 이와 같은 선형 동적 시스템은 간단하기 때문에 칼만 필터를 이용하여 정확한 추론이 가능한 편이다. 그러나 일반적으로 연속 은닉 변수에 대한 은닉 마르코프 모형에서의 정확한 추론은 불가능하며, 확장된 칼만 필터(en:Extended Kalman filter)나 입자 필터와 같은 근사 방법이 사용되어야 한다.
확장 > 다양한 사전 분포로의 확장

은닉 마르코프 모형은 생성 모델이다. 말하자면 관찰 값과 은닉 상태 사이의 결합 분포이며, 혹은 동등하게 은닉상태(전이 확률)의 사전 분포와 관찰 값의 모델이 된 주어진 상태(결과 확률)의 조건 분포이다. 위의 알고리즘은 암묵적으로 전이 확률의 균등 사전 분포를 가정한다. 그러나 다른 종류의 사전 분포로 은닉 마르코프 모형을 생성하는 것도 가능하다. 전이 확률로서 범주 분포가 주어졌다면 범주 분포의 사전 분포인 디리클레 분포를 좋은 후보로 고려할 수 있다. 전형적으로, 어떤 상태가 다른 상태보다 본질적으로 가능성이 높은지에 대한 무시를 반영하는 대칭적인 디리클레 분포가 선택된다. 이 분포의 단일 모수(집중 모수라 불리는)는 결과 전이 행렬의 관계적인 밀도(density)나 희소성(sparseness)을 조절한다. 1의 선택은 균등 분포를 산출한다. 1보다 큰 값은 상태 쌍 사이의 전이 확률이 거의 같은 밀도 행렬을 만든다. 1보다 작은 값은 각각의 원점 상태가 주어졌을 때 작은 수의 목적 상태만이 무시할 수 없는 전이 확률을 가지고 있는 희소 행렬을 야기한다. 2단계의 사전 디리클레 분포를 사용하는 것도 가능하다. 그 분포는 하나의 디리클레 분포(상위 분포)가 다른 디리클레 분포(하위 분포)의 매개변수를 통제한다. 즉, 차례대로 전이 확률 들을 통제한다. 상위 분포는 상태들의 전체적인 분포를 각각의 상태들의 발생 가능성을 결정하는 방식으로 통제한다. 그것의 집중 모수는 상태의 밀도 혹은 희소성을 결정한다. 그러한 2단계 사전 분포는 두 집중 모수가 희소 분포를 생성하기 위해 설정된다. 그 분포는 어떤 품사가 다른 것보다 더 많이 발생하는 비지도 품사 추론의 예제를 위해 사용될 수 있다. 균등 사전 분포를 가정하는 학습 알고리즘은 일반적으로 이 작업에서는 제대로 기능하지 못한다. 비균등 사전 분포 등 과 같은 이러한 종류의 모델들의 모수들은 깁스 샘플링이나 기댓값 최대화 알고리즘의 확장 버전 등을 이용하여 학습된다.
앞서 설명했던 디리클레 사전 분포를 이용한 은닉 마르코프 모형의 확장은 디리클레 분포 대신에 디리클레 과정을 사용한다. 이러한 종류의 모델은 알려지지 않고 잠재적으로 무한한 수의 상태를 감안한다. 앞서 설명한 2단계의 디리클레 분포와 비슷하게, 2단계 디리클레 과정은 자주 사용된다. 이러한 모델은 계층적인 디리클레 과정 은닉 마르코프 모형 혹은 HDP-HMM으로 줄여서 지칭된다. 이 모델은 원래 무한 은닉 마르코프 모형(Infinite Hidden Markov Model)이라는 이름으로 서술되었으나,에서 보다 형식화가 이루어졌다.
확장 > 판별 모델을 이용한 확장

다른 종류의 확장은 표준 은닉 마르코프 모형의 생성 모델 대신에 판별 모델을 사용한다. 이 종류의 모델은 결합 분포를 모델링하기 보다는, 주어진 관찰 값으로부터 은닉 상태들의 조건 분포들을 모델링한다. 이 모델의 예는 소위 최대 엔트로피 마르코프 모형(Maximum-entropy Markov model)이라고 불린다. 이 모델은 로지스틱 회귀를 사용하는 상태들의 조건 분포를 모델링한다. 이 종류 모델의 장점은 관찰 값들의 임의의 특징(예를 들면, 함수)들이 모델링 될 수 있다는 것인데, 문제의 영역 특정 지식을 모델에 즉시 주입되도록 할 수 있다는 것이다. 이 종류의 모델들은 은닉 상태와 그와 관계된 관찰 값 사이의 직접적인 의존관계를 모델링 하는 데에 있어서 제한을 받지 않는다. 오히려 연관된 관찰 값과 근처의 관찰 값의 조합이나 주어진 은닉 상태로부터의 어떤 거리의 임의의 관찰 값의 실제에서의 근처 관찰 값의 특징은 은닉 상태의 값을 결정하는데 사용하기 위해 과정에 포함될 수 있다. 게다가, 이러한 특징에 대해 각각 서로에 대해 통계적으로 독립일 필요가 없다. 그러한 특징이 생성 모델에서 사용되었다면 그 경우가 될 것이기 때문이다. 마지막으로, 인접한 은닉 상태 쌍에 대한 임의의 특징은 간단한 전이 확률들 대신에 사용될 수 있다. 이러한 모델의 단점은 다음과 같다: (1) 은닉 상태들에 놓일 수 있는 사전 분포들의 종류는 엄격하게 제한되어있다; (2) 임의의 관찰 값을 보는 것의 확률을 예측하는 것은 불가능하다. 많은 보통의 은닉 마르코프 모형의 사용이 그러한 예측 확률을 필요로 하지 않기 때문에 두 번째 제한은 실제에서 자주 일어나지 않는다.
앞서 설명한 판별 모델의 변종은 선형-연쇄 조건부 무작위장이다. 이것은 최대 엔트로피 마르코프 모형의 방향 그래프 모델과 비슷한 모델들 보다는 비방향 그래프 모델(마르코프 임의 필드로 알려진)을 사용한다. 이 종류 모델의 장점은 소위 최대 엔트로피 마르코프 모형의 레이블 편향 문제로 고통받지 않아도 된다는 것이며, 따라서 더 정확한 예측을 할 수 있다는 것이다. 단점은 훈련이 최대 엔트로피 마르코프 모형의 것보다 느릴 수 있다는 것이다.
확장 > 차례곱 은닉 마르코프 모형

또 다른 변형 형태는 차례곱 은닉 마르코프 모형(factorial hidden Markov model)로, 여기에서는 하나의 관측값이 하나가 아니라  K개의 독립적인 마르코프 연쇄와 관련되는 것을 허용한다. 이것은 (각 연쇄가  N개의 상태를 가진다고 가정할 때)  N^{k}개의 상태를 가진 하나의 은닉 마르코프 모형과 동등하다. 길이  T인 상태열에 대한 전방 비터비 알고리즘은  O(N^{2k}T)의 복잡도를 가지며, 따라서 이런 모델을 학습하는 것은 무척 어렵다. 정확한 해를 찾기 위하여 접합 트리 알고리즘이 사용될 수 있으나 이는  O(N^{K+1}KT)의 복잡도를 가진다. 현실적인 사용을 위해서는 변분법을 이용한 접근과 같은 근사화 방법이 사용될 수 있다.
위에서 언급된 모델들은 전부 은닉 상태들의 의존성의 거리를 늘리는 것으로 확장을 할 수 있다. 확장 방법은 주어진 상태가 있을 때 이 상태가 바로 앞의 상태 뿐 아니라 둘이나 셋 이전의 상태들의 영향을 받는 것을 허용하는 것이다. 이 경우 전이 확률은 인접한 세 상태를 포함하도록 확장된다. 이를 일반화하면  K개의 인접 상태를 포함하도록 확장할 수 있다. 이 모델의 문제점은 인접 상태들이  K개 있고, 전체 관측값이  T개 있을 때(길이  T인 마르코프 연쇄), 학습을 위한 동적 프로그래밍 알고리즘이  O(N^{K}T)의 실행 시간을 가진다는 것이다.
확장 > 삼중 마르코프 모형

다른 최근의 확장 형태는 삼중 마르코프 모형(triplet Markov model)이다. 이 모델에서는 몇몇 특수 데이터들을 모델링하기 위한 보조적인 과정(process)을 추가한다. 이 모델의 많은 변형 형태들이 제안되었다.
수학적 서술 > 보편적 서술

기본적인 비 베이지안 은닉 마르코프 모형은 다음과 같이 서술 될 수 있다:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|   |   | N |   | = |   | 상태의 수 |
|   |   | T |   | = |   | 관찰의 수 |
|   |   |  \theta _{i=1\dots N} |   | = |   | 상태와 관련 된 관찰을 위한 결과 모수i |
|   |   |  \phi _{i=1\dots N,j=1\dots N} |   | = |   | 상태 i에서 상태j로 가는 확률 |
|   |   |  {\boldsymbol {\phi }}_{i=1\dots N} |   | = |   |  -\phi _{i,1\dots N}로 구성 된 N차원 벡터; 합이 1이 되어야 한다. |
|   |   |  x_{t=1\dots T} |   | = |   | 시간 t에서 관찰의 상태 |
|   |   |  y_{t=1\dots T} |   | = |   | 시간 t에서의 관찰 |
|   |   |  F(y|\theta ) |   | = |   |  θ에 대해 모수화 된 관찰의 확률 분포 |
|   |   |  x_{t=2\dots T} |   | ~ |   |  \operatorname {Categorical} ({\boldsymbol {\phi }}_{x_{t-1}}) |
|   |   |  y_{t=1\dots T} |   | ~ |   |  F(\theta _{x_{t}}) |
위의 모델에서 초기 상태  x_{1}의 사전 분포가 정해지지 않았음을 상기해야 한다. 전형적인 학습 모델들은 모든 가능한 상태에 대해 이산적인 연속균등분포를 따른다고 가정한다 (특정한 사전 조건이 주어지지 않는다).
베이지안 설정에서, 모든 모수들은 다음과 같이 확률 변수와 관련되어있다:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|   |   | N,T |   | = |   | 위와 같음 |
|   |   |  \theta _{i=1\dots N},\phi _{i=1\dots N,j=1\dots N},{\boldsymbol {\phi }}_{i=1\dots N} |   | = |   | 위와 같음 |
|   |   |  x_{t=1\dots T},y_{t=1\dots T},F(y|\theta ) |   | = |   | 위와 같음 |
|   |   | α |   | = |   | 결과 모수들을 위한 공유 초 모수(hyper-parameter) |
|   |   | β |   | = |   | 전이 모수들을 위한 공유 초 모수 |
|   |   |  H(\theta |\alpha ) |   | = |   | α로 모수화 된 결과 모수들의 사전 확률 분포 |
|   |   |  \theta _{i=1\dots N} |   | ~ |   |  H(\alpha ) |
|   |   |  {\boldsymbol {\phi }}_{i=1\dots N} |   | ~ |   |  \operatorname {Symmetric-Dirichlet} _{N}(\beta ) |
|   |   |  x_{t=2\dots T} |   | ~ |   |  \operatorname {Categorical} ({\boldsymbol {\phi }}_{x_{t-1}}) |
|   |   |  y_{t=1\dots T} |   | ~ |   |  F(\theta _{x_{t}}) |
이 특징들은F와 H를 관찰들과 모수들의 임의 분포 각각을 표현하기 위해 사용한다. 일반적으로 H는 F의 켤레 사전 분포(conjugate prior)가 될 것이다. 가장 일반적인 F는 정규 분포과 범주 분포이다. 아래를 보라.
수학적 서술 > 단순 혼합 모델과의 비교

위에서 언급한 것처럼 은닉 마르코프 모형에서의 각각의 관찰의 분포는 해당하는 상태에서 혼합 컴포넌트로의 상태를 가지고 있는 혼합 밀도이다. 은닉 마르코프 모형을 위한 위의 특징들을 해당 혼합 모델의 특징들과 같은 수식을 써서 비교하는 것은 유용하다.
비 베이지안 혼합 모델:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|   |   | N |   | = |   | 혼합 컴포넌트의 수 |
|   |   | T |   | = |   | 관찰의 수 |
|   |   |  \theta _{i=1\dots N} |   | = |   | i와 관련된 관찰 분포의 매개변수 |
|   |   |  \phi _{i=1\dots N} |   | = |   | 혼합 편중, 예를 들어 컴포넌트 i의 사전 확률 |
|   |   |  {\boldsymbol {\phi }} |   | = |   |  \phi _{1\dots N}로 구성 된 N-차원 벡터; 합은  1이 되어야 한다. |
|   |   |  x_{t=1\dots T} |   | = |   | 관찰 t 컴포넌트 |
|   |   |  y_{t=1\dots T} |   | = |   | 관찰 t |
|   |   |  F(y|\theta ) |   | = |   | θ로 매개화된 관찰의 확률 분포 |
|   |   |  x_{t=1\dots T} |   | ~ |   |  \operatorname {Categorical} ({\boldsymbol {\phi }}) |
|   |   |  y_{t=1\dots T} |   | ~ |   |  F(\theta _{x_{t}}) |
베이지안 혼합 모델:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|   |   | N,T |   | = |   | 위와 같음 |
|   |   |  \theta _{i=1\dots N},\phi _{i=1\dots N},{\boldsymbol {\phi }} |   | = |   | 위와 같음 |
|   |   |  x_{t=1\dots T},y_{t=1\dots T},F(y|\theta ) |   | = |   | 위와 같음 |
|   |   | α |   | = |   | 컴포넌트 모수들을 위한 공유 초 모수 |
|   |   | β |   | = |   | 혼합 편중들을 위한 공유 초 모수 |
|   |   |  H(\theta |\alpha ) |   | = |   | α로 매개화 된 컴포넌트 모수의사전 확률 분포 |
|   |   |  \theta _{i=1\dots N} |   | ~ |   |  H(\alpha ) |
|   |   |  {\boldsymbol {\phi }} |   | ~ |   |  \operatorname {Symmetric-Dirichlet} _{N}(\beta ) |
|   |   |  x_{t=1\dots T} |   | ~ |   |  \operatorname {Categorical} ({\boldsymbol {\phi }}) |
|   |   |  y_{t=1\dots T} |   | ~ |   |  F(\theta _{x_{t}}) |