실수의 완비성
성질 > 함의 관계

순서체 공리 아래, 다음 공리들이 서로 동치이다. (즉, 이들 가운데 어느 하나라도 순서체 공리에 추가하면 실수의 한 가지 공리적 정의가 된다.)
상한 공리
단조 수렴 정리
축소 구간 정리
하이네-보렐 정리
극한점 성질
볼차노-바이어슈트라스 정리
코시 성질 + 아르키메데스 성질
약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질
또한, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
상한 공리 ⇍ 코시 성질 ⇒ 약한 축소 구간 정리
즉, 코시 성질과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며, 아르키메데스 성질을 추가하면 나머지 공리들과 동치이다.
증명 (상한 공리 ⇒ 단조 수렴 정리):
상한 공리 가정 아래,  (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }이 단조 증가하며 상계를 갖는 수열이라고 하자. 그렇다면, 그 집합으로서의 상한  a가 존재한다. 즉,
이며, 임의의  \epsilon >0에 대하여,  a-\epsilon 은 상계가 아니다. 즉,
이게 되는  N\in \mathbb {N} 이 존재한다. 따라서,  (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }은  a로 수렴한다.
증명 (단조 수렴 정리 ⇒ 축소 구간 정리):
단조 수렴 정리 가정 아래, 구간의 열  (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }이 위 두 전제 조건을 만족한다고 하자. 그렇다면,  (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }과  (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }은
이므로 둘 다 단조 유계 수열이다. 따라서 각자 어떤  a,b\in \mathbb {R} 로 수렴한다. 또한, 극한의 순서 보존에 따라,
이며, 따라서  \textstyle [a,b]\subset \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}이다.
이제  c\in \mathbb {R} \setminus [a,b]라고 하자. 그러면  c<a라고 가정하여도 무방하다. 극한의 성질에 따라,  c<a_{n}이게 되는  n\in \mathbb {N} 이 존재하므로,  \textstyle c\notin \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}이다.
증명 (축소 구간 정리 ⇒ 아르키메데스 성질):
(아르키메데스 성질은 바로 아래 증명에서 사용된다.) 축소 구간 정리 가정 아래, 임의의  n\in \mathbb {N} 에 대하여  nx\leq y이게 되는  x,y>0이 존재한다고 하자. 그렇다면, 구간열
은 축소 구간 정리의 첫번째 전제를 만족한다. 따라서,
이게 되는  a,b\in \mathbb {R} 이 존재한다. 또한, 임의의  n\in \mathbb {N} 에 대하여  nx\leq a이다. 그러나,  a-x\notin [a,b]이므로,  a-x\notin [nx,2y-nx], 즉,  a-x<nx, 즉,  a<(n+1)x인  n\in \mathbb {N} 이 존재하며, 이는 모순이 된다.
증명 (축소 구간 정리 ⇒ 하이네-보렐 정리):
축소 구간 정리 가정 아래, 유계 닫힌구간  J_{0}=[a,b]의 어떤 열린 구간 덮개  \{C_{i}\}_{i\in I}가 유한 부분 덮개를 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 이를 등분하여 얻는 두 부분 구간  \textstyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]와  \textstyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right] 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간  J_{1}이 존재한다. 마찬가지로,  J_{1}을 등분하여 얻는 두 부분 구간 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간  J_{2}가 존재한다. 이를 반복하면, 닫힌구간의 열  (J_{n})_{n\in \mathbb {N} }을 얻으며, 아르키메데스 성질(축소 구간 정리로부터 함의된다)에 따라
이므로, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 또한, 그 속의 모든 구간은 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 따라서,
이게 되는  c\in \mathbb {R} 이 존재하며, 사실
이다. 따라서,  c\in C_{i}이게 되는  i\in I가 존재한다.
C_{i}가 열린 구간이므로,  c는 구간의 끝점이 아니다. 따라서  C_{i}의 양끝점과  c와의 거리는 모두 양수이다. 그 가운데 가장 작은 하나를  \epsilon 이라고 하자. 그렇다면,  |J_{n}|\to 0이므로,
이게 되는  n\in \mathbb {N} 이 존재한다. 이는  \{C_{i}\}가  J_{n}의 덮개라는 의미이며, 이는  J_{n}이 유한 부분 덮개를 갖지 않는다는 것과 모순이 된다.
증명 (하이네-보렐 정리 ⇒ 극한점 성질):
하이네-보렐 정리 가정 아래, 어떤 유계 무한 집합  S\subset [a,b]이 극한점을 갖지 못한다고 하자. 즉, 임의의  x\in \mathbb {R} 에 대하여,
이게 되는
이 존재한다. 그렇다면,
는  [a,b]의 열린 구간 덮개이므로, 유한 부분 덮개
을 갖는다. 이에 따라,
이며, 이는  S가 무한 집합인 데 모순이다.
증명 (극한점 성질 ⇒ 볼차노-바이어슈트라스 정리):
첫번째 명제 아래,  (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }이 유계 수열이라고 하자.
만약  (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }에 서로 같은 무한 개의 항이 존재한다면, 당연히 그들은 수렴 부분 수열을 이룬다.
만약 서로 같은 무한 개의 항이 존재하지 않는다면,  (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }은 집합으로서 무한 집합이며, 따라서 극한점  x를 갖는다. 즉, 임의의  \epsilon 에 대하여,
은 무한 집합이다. 따라서,
로 정의된  (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }은  (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }의 수렴 부분 수열이다.
증명 (볼차노-바이어슈트라스 정리 ⇒ 코시 성질):
볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래,  (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }이 코시 수열이라고 하자. 그렇다면, 코시 수열의 성질에 따라, 이는 유계 수열이며, 수렴 부분 수열  a_{n_{k}}\to a를 갖는다. 따라서, 임의의  \epsilon >0에 대하여, 임의의  k>K에 대하여  \textstyle |a_{n_{k}}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}이게 되는  K\in \mathbb {N} 이 존재한다. 또한, 임의의  n,m>N에 대하여  \textstyle |a_{n}-a_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}이게 되는  N>K가 존재한다. 따라서, 임의의  n>N에 대하여,
이게 된다. 즉,  a_{n}\to a이다.
증명 (볼차노-바이어슈트라스 정리 ⇒ 아르키메데스 성질):
볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, 임의의  n\in \mathbb {N} 에 대하여  nx\leq y인  x,y>0이 존재한다고 하자. 그렇다면,  (nx)_{n\in \mathbb {N} }은 유계 수열이며, 따라서 수렴 부분 수열  n_{k}x\to y_{0}이 존재한다. 극한의 순서 보존에 따라, 임의의  k\in \mathbb {N} 에 대하여  n_{k}x\leq y_{0}이며, 따라서 임의의  n\in \mathbb {N} 에 대하여  nx\leq y_{0}이다. 그러나, 극한의 정의에 따라  y_{0}-x<n_{k}x, 즉,  y_{0}<(n_{k}+1)x인  k\in \mathbb {N} 이 존재하며, 이는 모순이다.
증명 (코시 성질 ⇒ 약한 축소 구간 정리):
코시 성질 가정 아래, 닫힌구간의 열  (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }이 축소 구간 정리의 전제를 만족한다고 하자. 그렇다면,
이다. 즉,  (a_{n})_{n\in \mathbb {N} },  (b_{n})_{n\in \mathbb {N} } 모두 코시 수열이며, 따라서 수렴 수열이다. 물론 두 수열의 극한은 같으며, 이를  c라고 하자. 그렇다면, 극한의 순서 보존에 따라
이며, 따라서  \textstyle c\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}이다.
이제  \textstyle c'\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}이라고 하자. 그렇다면, 임의의  \epsilon >0에 대하여,  |I_{n}|<\epsilon 이게 되는  n\in \mathbb {N} 이 존재하므로,
이다. 따라서,  c'=c이다.
증명 (약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질 ⇒ 상한 공리):
축소 구간 정리 및 아르키메데스 성질 가정 아래,  a_{0}\in S\subset \mathbb {R} 이 상계  b_{0}를 갖는다고 하자. 그렇다면, 닫힌구간의 열  (I_{n}=[a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }이
와 같이 정의되었을 때, 아르키메데스 성질에 따라, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 따라서,  \textstyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{c\}인  c\in \mathbb {R} 이 존재한다. 또한, 임의의  n\in \mathbb {N} 에 대하여,  a_{n}은  S의 원소,  b_{n}은  S의 상계이다.
임의의  s\in S 및  \epsilon >0에 대하여,
인  n\in \mathbb {N} 이 존재하며,
인  n\in \mathbb {N} 이 존재하므로,  c는  S의 상한이다.