수슬린 수
성질

위상 공간  X이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
(ㄱ)  c(X)\leq d(X)\leq \pi (X)\leq w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq \min\{2^{|X|},2^{nw(X)}\}
(ㄴ)  \max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}
(ㄷ)  \max\{t(x,X),\pi \chi (x,X)\}\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)
(ㄹ)  \max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)\leq w(X)\leq |X|\chi (X)
(ㅁ)  \pi \chi (X)\leq \pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)
(ㅂ)  t(X)\leq |X|
(ㅅ)  \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \min\{\pi (X)^{c(X)},2^{d(X)}\}
증명 (ㄱ):
c(X)\leq d(X)의 증명.  {\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (X)가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자.  D\subseteq X가 조밀 집합이라고 하자.  |{\mathcal {U}}|\leq |D|임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의  U\in {\mathcal {U}}에 대하여
를 고를 수 있다.  {\mathcal {U}}가 서로소이므로,  U\mapsto x_{U}는  {\mathcal {U}}\to D 단사 함수이다. 따라서  |{\mathcal {U}}|\leq |D|이다.
d(X)\leq \pi (X)의 증명.  {\mathcal {B}}가  X의 π-기저라고 하자.  |D|\leq |{\mathcal {B}}|인 조밀 집합  D\subseteq X를 찾으면 족하다. 임의의  B\in {\mathcal {B}}에 대하여  x_{B}\in B를 고르자. 그렇다면,
는 조밀 집합이며,  |D|\leq |B|이다.
\pi (X)\leq w(X)의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.
w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|의 증명.  \operatorname {Open} (X)는  X의 기저를 이루므로 자명하다.
\left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|X|}의 증명.  \operatorname {Open} (X)\leq {\mathcal {P}}(X)이므로 자명하다.
\left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{nw(X)}의 증명.  {\mathcal {N}}이  X의 망이라고 하자.  \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|{\mathcal {N}}|}임을 보이면 족하다. 이는
가 전사 함수이므로 자명하다.
증명 (ㄴ):
\max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}
 d(X)\leq nw(X)의 증명.  {\mathcal {N}}이  X의 망이라고 하자.  |D|\leq |{\mathcal {N}}|인 조밀 집합  D\subseteq X를 찾으면 족하다. 임의의  N\in {\mathcal {N}}에 대하여  x_{N}\in {\mathcal {N}}을 고르자. 그렇다면,
는 조밀 집합이며,  |D|\leq |{\mathcal {N}}|이다.
L(X)\leq nw(X)의 증명.  {\mathcal {N}}이  X의 망이라고 하자.  {\mathcal {U}}가  X의 열린 덮개라고 하자.  |{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|인 부분 덮개  {\mathcal {V}}\subseteq {\mathcal {U}}를 찾으면 족하다.
라고 하자. 임의의  N\in {\mathcal {S}}에 대하여
인  U_{N}\in {\mathcal {U}}를 고르자. 그렇다면,
은  {\mathcal {U}}의 부분 덮개이며,  |{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|이다.
nw(X)\leq |X|의 증명.  \{\{x\}\colon x\in X\}가  X의 망이므로 자명하다.
nw(X)\leq w(X)의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.
증명 (ㄷ):
t(x,X)\leq \chi (x,X)의 증명.  {\mathcal {B}}가  x의 국소 기저라고 하자.  S\subseteq X이며  x\in \operatorname {cl} S라고 하자.
인  T\subseteq S를 찾으면 족하다. 임의의  B\in {\mathcal {B}}에 대하여,  x_{B}\in B\cap S를 고르자. 그렇다면,
는 위 조건들을 만족시킨다.
\pi \chi (x,X)\leq \chi (x,X)의 증명.  x의 임의의 국소 기저  {\mathcal {B}}에 대하여,
는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히  x의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
증명 (ㄹ):
\max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.
\chi (X)\leq w(X)의 증명.  X의 임의의 기저  {\mathcal {B}} 및 임의의  x\in X에 대하여,
는  x의 국소 기저이므로 자명하다.
w(X)\leq |X|\chi (X)의 증명. 모든  x\in X에 대하여 국소 기저  {\mathcal {B}}_{x}가 주어졌을 때,
는  X의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
증명 (ㅁ):
\pi \chi (X)\leq \pi (X)의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.
\pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)의 증명. 모든 점  x\in X에 대하여 국소 π-기저  {\mathcal {B}}_{x}가 주어졌고, 임의의 조밀 집합  D\subseteq X가 주어졌을 때,
는  X의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
증명 (ㅂ):
임의의  S\subseteq X에 대하여  |S|\leq |X|이므로 자명하다.
증명 (ㅅ):
\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \pi (X)^{c(X)}의 증명.  X의 임의의 π-기저  {\mathcal {B}}\subseteq X가 주어졌다고 하자.  {\mathcal {B}}의 크기  c(X) 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합  F\subseteq X에 대하여,
가  U\subseteq \operatorname {int} F인  {\mathcal {B}} 속의 서로소 열린집합  U\in {\mathcal {B}}들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수
를 생각하자. 자명하게  |{\mathcal {U}}_{F}|\leq c(X)이다. 만약  {\mathcal {U}}_{E}={\mathcal {U}}_{F}라면,
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.
\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq 2^{d(X)}의 증명. 임의의 조밀 집합  D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 함수
를 생각하자. 만약  E\cap D=F\cap D라면,
인 열린집합  U,V\subseteq X를 골랐을 때,
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.
콜모고로프 공간  X에서, 다음이 성립한다.
(ㄱ)  |X|\leq 2^{w(X)}
증명 (ㄱ):
X의 임의의 기저  {\mathcal {B}}가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수
는 단사 함수이다.
T1 공간  X에서, 다음이 성립한다.
(ㄱ)  \psi w(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}\leq |X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|
(ㄴ)  \psi (x,X)\leq \chi (x,X)\qquad (x\in X)
(ㄷ)  \psi (X)\leq \min\{\chi (X),\psi w(X)\}
(ㄹ)  |X|\leq \min\{2^{\psi w(X)},nw(X)^{\psi (X)}\}
(ㅁ)  nw(X)\leq \psi w(X)^{L(X)}
증명 (ㄱ):
\psi w(X)\leq |X|의 증명. T1 조건에 따라  \{X\setminus \{x\}\colon x\in X\}가  X의 유사 기저이므로 자명하다.
\psi w(X)\leq w(X)의 증명. T1 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.
|X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|의 증명. T1 조건에 따라 모든  X\setminus \{x\}은  X의 열린집합이므로 자명하다.
증명 (ㄴ):
T1 조건에 따라  x의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다.
증명 (ㄷ):
\psi (X)\leq \chi (X)의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.
\psi (X)\leq \psi w(X)의 증명.  X의 임의의 유사 기저  {\mathcal {B}} 및 임의의  x\in X에 대하여,
는  x의 국소 유사 기저이므로 자명하다.
증명 (ㄹ):
|X|\leq 2^{\psi w(X)}의 증명.  X의 임의의 유사 기저  {\mathcal {B}}가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 함수
를 생각하자. 만약  \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon y\in B\}라면,
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.
|X|\leq nw(X)^{\psi (X)}의 증명.  X의 임의의 망  {\mathcal {N}}이 주어졌다고 하자.  {\mathcal {N}}의 크기  \psi (X) 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
를 찾으면 족하다. 임의의  x\in X에 대하여,  |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)인  x의 국소 유사 기저  {\mathcal {B}}_{x}를 고르자. 임의의  x\in X 및  B\in {\mathcal {B}}_{p}에 대하여,  x\in N_{x,B}\subseteq B인  N_{x,B}\in {\mathcal {N}}을 고르자. 이제, 함수
생각하자. ( |{\mathcal {S}}_{x}|\leq |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)이므로  {\mathcal {S}}_{x}\in {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})이다.) 만약  {\mathcal {S}}_{x}={\mathcal {S}}_{y}라면,
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.
증명 (ㅁ):
X의 임의의 유사 기저  {\mathcal {B}}에 대하여,
는  X의 망을 이루며,
이다.
하우스도르프 공간  X에서, 다음이 성립한다.
(ㄱ)  |X|\leq \min\{2^{2^{d(X)}},d(X)^{\chi (X)}\}
(ㄴ)  \psi w(X)\leq \min\{\left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|,nw(X)\}
증명 (ㄱ):
|X|\leq 2^{2^{d(X)}}의 증명. 임의의 조밀 집합  D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 함수
를 생각하자. 만약
라면, 하우스도르프 조건에 따라
이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라  \operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (U\cap D)이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.
|X|\leq d(X)^{\chi (X)}의 증명. 만약  \chi (X)<\aleph _{0}이라면,  X는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제,  \chi (X)\geq \aleph _{0}이라고 하자. 임의의 조밀 집합  D\subseteq X가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 임의의  x\in X에 대하여,  |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \chi (X)인 국소 기저  {\mathcal {B}}_{x}를 고르자. 임의의  B\in {\mathcal {B}}_{x}에 대하여
를 고르고,
라고 하자. 이제, 함수
를 생각하자. 자명하게
이다. 하우스도르프 조건에 따라
이다. 따라서, 만약
라면,
이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다.
증명 (ㄴ):
\psi w(X)\leq \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
\psi w(X)\leq nw(X)의 증명. 만약  nw(X)<\aleph _{0}라면,  X는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제,  nw(X)\geq \aleph _{0}이라고 하자.  X의 임의의 망  {\mathcal {N}}이 주어졌다고 하자.  |{\mathcal {B}}|\leq |{\mathcal {N}}|인 유사 기저  {\mathcal {B}}를 찾으면 족하다.
라고 하자. 임의의  (M,N)\in {\mathcal {S}}에 대하여,
인 열린집합  U_{(M,N)},V_{(M,N)}\subseteq X를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,
는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게
이다.
정칙 하우스도르프 공간  X에서, 다음이 성립한다.
w(X)\leq \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|
증명 (ㄱ):
정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
콤팩트 T1 공간  X에서, 다음이 성립한다.
(ㄱ)  nw(X)\leq \psi w(X)
증명 (ㄱ):
T1 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.
콤팩트 하우스도르프 공간  X에서, 다음이 성립한다.
\psi (X)=\chi (X)
위상 공간  X 및 부분 집합  Y\subseteq X가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
w(Y)\leq w(X)
nw(Y)\leq nw(X)
X가 T1 공간일 때,  \psi w(Y)\leq \psi w(X)
\chi (Y)\leq \chi (X)
X가 T1 공간일 때,  \psi (Y)\leq \psi (X)
t(Y)\leq t(X)
만약  f\colon X\to Y가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다.
t(Y)\leq t(X)