음함수 정리
증명 > 수학적 귀납법을 통한 증명 > m=1

먼저  m=1일 경우를 증명하자. 편의상  (\partial f/\partial y)(a,b)>0라고 가정하자. 그러면  \partial f/\partial y에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는  \delta _{1}>0가 존재한다.
\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U
\operatorname {B} (b,\delta _{1})\subseteq V
임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1}) 및  y\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})에 대하여,  (\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ,y)>0
이에 따라  f(\mathbf {a} ,y)가  \operatorname {B} (b,\delta _{1})에서 순증가 함수이며, 또한  f(\mathbf {a} ,b)=0이므로,  f(\mathbf {a} ,b-\delta _{1})<0<f(\mathbf {a} ,b+\delta _{1})이다. 따라서 다음을 만족시키는  0<\delta _{2}<\delta _{1}가 존재한다.
임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})에 대하여,  f(\mathbf {x} ,b-\delta _{1})<0<f(\mathbf {x} ,b+\delta _{1})
따라서, 임의의  \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})에 대하여,  f(\mathbf {x} ',y)는  \operatorname {B} (b,\delta _{1})에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라  f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))=0인 유일한  g(\mathbf {x} ')\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})가 존재한다. 이렇게 정의한 함수  g\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} 는 임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})에 대하여  f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=0를 만족시키며, 특히  b=g(\mathbf {a} )이다. 이제  g의 연속성을 증명하자. 임의의  \mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}) 및 충분히 작은  \epsilon >0에 대하여,  f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')+\epsilon )이므로, 다음을 만족시키는  \delta _{3}>0가 존재한다.
\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{3})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})
임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{3})에 대하여,  f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')+\epsilon )
따라서, 임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )에 대하여,  g(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (g(\mathbf {x} '),\epsilon )이다. 이제  g의 유일성을 증명하자. 연속 함수  h\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} 가 다음을 만족시킨다고 가정하자.
h(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq V
b=h(\mathbf {a} )
임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})에 대하여,  f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=0
그렇다면, 다음과 같은 집합이  \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.
우선 임의의  \mathbf {x} '\in A에 대하여, 다음을 만족시키는  \delta _{4}>0가 존재한다.
\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})
임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})에 대하여,  h(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})
따라서, 임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})에 대하여,  h(\mathbf {x} )=g(\mathbf {x} )이다. 즉,  A는  \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})의 열린집합이다. 또한 임의의  \mathbf {x} '\in A'\cap \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})에 대하여,  g,h의 연속성에 의하여  \mathbf {x} '\in A이다. 즉,  A는  \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})의 닫힌집합이다.  \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})는 연결 집합이며, 또한  A\neq \varnothing 이므로,  A=\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})이다. 즉, 임의의  \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})에 대하여,  g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )이다. 이제  f가  {\mathcal {C}}^{k} 함수일 때  g의  {\mathcal {C}}^{k}성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의  j\in \{1,\dots ,n\} 및  \mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j}\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})에 대하여, 다음과 같이 표기하자.
그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는  0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})<1가 존재한다.
따라서, 다음이 성립한다.
또한  (\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))와  (\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))가 연속 함수이므로,  g는 연속 미분 가능 함수이다.