휘어진 시공간에서 맥스웰 방정식
전자기장

전자기장은 차수 2의 공변 반대칭 텐서이며, 다음과 같이 전위로 정의할 수 있다: F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.이 방정식이 불변임을 확인하기 위해 텐서의 고전적 처리에 설명된 대로 좌표를 변환한다. {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }.\end{aligned}}이 정의는 전자기장이 다음을 만족한다는 것을 의미한다. \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0,이 방정식은 패러데이 전자기 유도 법칙과 자기에 대한 가우스 법칙을 통합한다. 이것은  \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0.에서 보여진다. 패러데이-가우스에는 64개의 방정식이 있는 것처럼 보이지만 실제로는 4개의 독립 방정식으로 축소된다. 전자기장의 반대칭성을 사용하여 항등식(0 = 0)으로 축소하거나  (\lambda ,\mu ,\nu )가  (1,2,3),(2,3,0),(3,0,1),(0,1,2)인 방정식들만 제외하고 불필요한 방정식들을 정리한다.
패러데이-가우스 방정식은 때때로 다음과 같이 쓰여진다. F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda })={\frac {1}{3}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu })=0,여기서 세미콜론은 공변 도함수를 나타내고 쉼표는 편미분을 나타내며 대괄호는 반대칭화를 나타낸다(표기법은 리치 미적분학 참조). 전자기장의 공변 도함수는 다음과 같다. F_{\alpha \beta ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },여기서  \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }는 아랫쪽 인덱스에서 대칭인 크리스토펠 기호이다.