정규 확대
정의

체  K의 대수적 확대  L/K에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.
K[x]의 기약 다항식  p(x)가  L에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면,  p(x)는  L[x]에서 완전히 인수분해된다. 즉,  p(x)=a\prod _{i=1}^{n}(x-b_{i}) ( a,b_{i}\in L)의 꼴로 나타낼 수 있다.
L/K는 일련의 다항식들의 집합  P\subset K[x]의 분해체와 ( K의 확대로서) 동형이다.
모든 매장  L\to {\bar {K}}는  L의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을  \iota _{KL}\colon K\hookrightarrow L로 쓰자. 또한,  L은 대수적 확대이므로,  K의 대수적 폐포  \iota _{K{\bar {K}}}\colon K\hookrightarrow {\bar {K}}로 가는 매장  \iota _{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}이 존재하며, 또한  \iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}에 대하여,  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}라면  \iota _{L{\bar {K}}}(L)={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)\subset {\bar {K}}이다.
증명:
첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의  a\in L에 대하여,  p_{a}\in K[x]가  a의  K에 대한 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라  L은 모든  p_{a}의 모든 근을 포함한다. 즉,  L은  \{p_{a}\colon a\in L\}의  K에 대한 어떤 분해체를 포함한다. 임의의  a\in L은  p_{a}의 근이므로 이 분해체에 속한다. 즉,  L은  \{p_{a}\colon a\in L\}의 분해체를 이룬다.
둘째 조건 ⇒ 셋째 조건.
가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상  K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}이며  \iota _{KL},  \iota _{K{\bar {K}}},  \iota _{L{\bar {K}}}가 이에 대응하는 포함 함수들이라고 하자. 이 경우 조건  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}는  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}|_{K}=\operatorname {id} _{K}가 된다.  S\subseteq L이  P 속 다항식들의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 가정한 둘째 조건에 따라
이다. 따라서,  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=L임을 보이려면  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)=S임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식
가 주어졌다고 하자. 그  L[x]에서의 인수 분해가
이라고 하자. 이는 기본 대칭 다항식들이 등장하는 일련의 등식
과 동치이다. 여기에 매장  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}를 가하면  b_{i}가  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{i})로 대체된 등식들을 얻는다.
a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}은  K의 원소들이므로 변하지 않는다. 즉,  p(x)의  {\bar {K}}에서의 인수 분해는
이다.  {\bar {K}}[x]는 유일 인수 분해 정역이므로,  p(x)의 두 인수 분해는 일치한다. 즉,  \{b_{1},\dots ,b_{n}\}과  \{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}은 중복집합으로서 같고, 특히 집합으로서 같다.
그런데  S는 모든  p들에 대한  \{b_{1},\dots ,b_{n}\}들의 합집합이며,  {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)는 모든  p들에 대한  \{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}들의 합집합이다. 따라서,  S={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)이다.
셋째 조건 ⇒ 첫째 조건.  K를 부분체로 포함하는  L을 부분체로 포함하는  K의 대수적 폐포  K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}를 잡자. 기약 다항식  p\in K[x] 및  p의 근  a\in L 및  p의 근  b\in {\bar {K}}가 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 함수를 생각하자.
만약  f(a)=g(a)라면,  (f-g)(a)=0이므로  p(x)\mid f(x)-g(x)이며, 따라서  f(b)=g(b)이다. 즉, 이 함수는 잘 정의된다. 마찬가지로, 만약  f(b)=g(b)라면  f(a)=g(a)이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 이 함수는 자명하게 환 준동형이다. 또한, 이는 자명하게 전사 함수이며,  K의 원소를 움직이지 않으므로, 체의 확대  K(a)/K와  K(b)/K 사이의 동형 사상을 이룬다.  L/K(a)는 대수적 확대이며,  {\bar {K}}는  K(b)의 대수적 폐포를 이루므로, 이 동형 사상을 확장하는 체의 매장
가 존재한다. 이는 초른 보조정리을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라,  \iota (L)=L이며, 특히  b=\iota (a)\in \iota (L)=L이다. 이에 따라,  L은  p의 모든 근을 포함하며,  p는  L에서 1차 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다.
대수적 확대  L/K의 정규 폐포(正規閉包, 영어: normal closure)는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대  N/L이다.
N/K는 정규 확대이다.
임의의 중간체  L\subseteq M\subseteq N에 대하여, 만약  M/K가 정규 확대라면,  M=N이다.
임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의  a\in L에 대하여  p_{a}가  a의  L/K에서의 최소 다항식이라고 하였을 때,  \{p_{a}\colon a\in L\}\subseteq K[x]의 분해체는  L/K의 정규 폐포를 이룬다. 또한, 대수적 폐포  {\bar {K}}/L/K가 주어졌을 때,  {\bar {K}} 속  L/K의 정규 폐포는 다음과 같다.
여기서
는 주어진 체  L/K_{i}/K들을 포함하는 최소의 체이다.