시공간
노트

↑  라틴어 루멘(lumen)로부터 luminiferous, 빛, + ferens, 나르는; 그리스어 αἰθήρ(aithēr)로부터 에테르, 순수한 공기, 맑은 하늘
↑  동시성은 관습의 문제라고 말함으로써, 푸앵카레는 시간에 대해 이야기하려면 동기화된 시계가 있어야 하고 시계의 동기화는 지정된 작동 절차(관례)에 의해 설정되어야 함을 의미했다. 이러한 입장은 당시의 부정확한 시계의 작동과 무관한 절대적이고 진정한 시간을 생각했던 뉴턴과의 근본적인 철학적 단절을 나타낸다. 이 입장은 또한 시간, 동시성 및 지속성이 직관적 이해의 문제라고 주장한 영향력 있는 철학자 앙리 베르그송에 대한 직접적인 공격을 나타낸다.
↑  “Einstein synchronisation” (영어). 2024년 1월 23일.
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실제로 아인슈타인 경력의 특징은 물리적 문제를 이해하기 위한 기본 도구로 시각화된 사고 실험(Gedanken-Experimente)을 사용한 것이다. 특수 상대성이론을 위해 그는 움직이는 기차와 번쩍이는 번개를 사용하여 가장 날카로운 통찰력을 얻었다. 곡선 시공간에 대해 그는 지붕에서 떨어지는 화가, 가속 엘리베이터, 곡선 표면을 기어 다니는 눈이 먼 딱정벌레 등을 고려했다. 실재의 본성에 관한 보어와의 위대한 보어-아인슈타인 논쟁(1927, 1930)에서 그는 하이젠베르크의 불확정성 원리를 회피할 수 있는 수단을 최소한 개념적으로 보여주기 위해 여러 가상 장치를 고안했다. 마지막으로, 양자 역학에 대한 문헌에 대한 지대한 공헌에서 아인슈타인은 양자 얽힘으로 알려진 현상을 예상하면서 두 입자가 잠시 상호 작용한 다음 떨어져서 상태가 상호 관련되도록 고려했다.
↑  이 강의의 원래 버전에서 민코프스키는 에테르와 같은 구식 용어를 계속 사용했지만 이 강의의 사후 간행물은 1915년 《Annals of Physics(Annalen der Physik)》에서 조머펠트에 의해 편집되어 이 용어를 제거했다. 조머펠트는 또한 아인슈타인에 대한 민코프스키의 판단을 상대성 원리의 단순한 설명자에서 주요 설명자로 수정하기 위해 이 강의의 출판된 형식을 편집했다.
↑  (다음에서 군 G∞는 갈릴레이 군이고 군 Gc는 로런츠 군이다.) "이와 관련하여 c = ∞ 에 대한 극한에서 군Gc, 즉 군 G∞가 정확히 뉴톤 역학에 속하는 전체 군이된다는 것은 명확하다. 이러한 상황에서 Gc가 G∞보다 수학적으로 더 이해하기 쉬우므로 수학자는 군 G∞가 아니라 군 Gc에 대해서 자유로운 상상을 통해 자연 현상이 실제로 불변성을 가지고 있다는 생각을 하게 될 수 있다. 여기서 c는 확실히 유한하며 일반 측정 단위를 사용하면 매우 크다."
↑  예를 들어, 로런츠 군은 4차원의 등각군(conformal group)의 부분군이다. 로런츠 군은 평면을 평면으로 변환하는 라구에레 군(Laguerre group)과 동형isomorphic이며,
그것은 평면의 뫼비우스 변환과 동형이며, 쌍곡선 모형(hyperboloid model)으로 종종 표현되는 쌍곡공간의 등형 군과 동형이다.
↑  “Hyperbolic manifold” (영어). 2023년 7월 5일.
↑  가속(감속)이 없더라도, 즉 일정한 고속 외부 여행을 위해 하나의 관성계 O를 사용하고 일정하고 고속 내부 여행을 위해 다른 관성계 I를 사용하더라도 이러한 계들(O 및 I)에서 경과 시간의 합은 다음과 같다. 정지 관성계 S의 경과 시간보다 짧다. 따라서 가감속은 외부 및 내부 여행 동안 경과 시간이 짧은 원인이 아니다. 대신 외부 및 내부 여행에 대해 두 개의 서로 다른 일정한 고속 관성계를 사용하는 것이 실제로 총 경과 시간이 더 짧은 원인이다. 물론, 같은 쌍둥이가 여정의 바깥쪽과 안쪽 다리를 여행하고 여행의 바깥쪽에서 안쪽 다리로 안전하게 전환해야 하는 경우 가속과 감속이 필요하다. 여행하는 쌍둥이가 고속 외부 관성계를 타고 즉시 고속 내부 관성계로 전환할 수 있다면 예제는 여전히 작동할 것이다. 요점은 그 진짜 이유를 분명히 밝혀야 한다는 것이다. 비대칭은 두 개의 다른 관성계(O 및 I)의 경과 시간 합을 단일 관성계 S의 경과 시간과 비교하기 때문이다.
↑  상대론적 시나리오 분석의 용이성은 종종 분석을 수행하기로 선택한 프레임에 따라 다르다. 이 링크된 이미지에서 소스와 수신기가 서로 가장 가깝게 접근하는 가로 도플러 이동 시나리오의 대안 보기를 제시한다. (a) 수신기의 계에서 시나리오를 분석하면 분석이 예상보다 더 복잡하다는 것을 알 수 있다. 천체의 겉보기 위치는 빛이 관찰자에게 도달하는 동안 물체의 움직임으로 인해 실제 위치(또는 기하학적 위치)에서 옮겨진다. 소스는 수신기에 대해 상대적으로 시간 팽장되지만 이 시간 팽장에 의해 암시된 적색 편이는 수신기와 소스의 겉보기 위치 사이의 상대 운동의 세로 구성 요소로 인해 파란색 편이에 의해 상쇄된다. (b) 대신 소스 계에서 시나리오를 분석하면 훨씬 쉽다. 소스에 위치한 관찰자는 문제 설명을 통해 수신기가 자신과 가장 가까운 지점에 있다는 것을 알고 있다. 이는 수신기에 분석을 복잡하게 만드는 종방향 모션 요소가 없음을 의미한다. 수신기의 시계는 소스에 비해 시간 팽창하기 때문에 수신기가 받는 빛은 따라서 감마 계수만큼 파란색으로 이동한다.
↑  모든 실험이 적색편이 측면에서 효과를 특징짓는 것은 아니다. 예를 들어, 쿤디그 실험(Kündig experiment)은 원심분리기 로터의 중심에 설치된 뫼스바우어Mössbauer 소스 설정과 림에 있는 흡수기를 사용하여 횡방향 청색편이를 측정하기 위해 설정되었다.
↑  신속도는 자연스럽게 로런츠 그룹의 리 대수 내에서 순수 부스트 생성기의 좌표로 발생한다. 마찬가지로, 회전 각도는 리 대수에서 순수 회전 생성기의 좌표(모듈로 2π)로 자연스럽게 발생한다. (그들은 함께 전체 리 대수학을 좌표화한다.) 주목할 만한 차이점은 회전 각도에서 회전은 주기적인 반면, 가속도는 주기적인 것이 아니라 일대일이라는 것이다. 부스트와 회전의 유사성은 형식적인 유사성이다.
↑  상대성 이론에서 적절한 가속도는 물리적 가속도(즉, 물체가 경험하는 가속도계와 같은 측정 가능한 가속도)이다. 따라서 자유 낙하에 대한 가속도 또는 측정 대상에 대해 잠시 정지한 관성 관찰자이다.
↑  뉴턴 자신도 이러한 가정에 내재된 어려움을 날카롭게 인식하고 있었지만, 실제적인 문제로서 이러한 가정을 하는 것만이 그가 진보할 수 있는 유일한 방법이었다. 1692년, 그는 그의 친구 리처드 벤틀리에게 다음과 같이 썼다: "중력은 물질에 선천적이고 내재적이며 필수적이어야 한다. 그래서 한 물체가 진공의 매개 없이 다른 물체를 통해 다른 물체에게 행동할 수 있고, 그들의 행동과 힘이 다른 물체에게 전달될 수 있다.철학적 문제에 있어서 유능한 사고력을 가진 사람은 결코 그것에 빠질 수 없다.
↑  더 정확하게 말하면 중력장은 자체적으로 결합된다. 뉴턴 중력에서 두 점 질량으로 인한 포텐셜은 단순히 두 질량의 포텐셜의 합이지만 일반 상대성에는 적용되지 않는다. 이것은 등가 원리의 결과로 생각할 수 있다. 중력이 자체적으로 결합하지 않으면 상호 중력 인력에 의해 결합된 두 입자는 중력 질량과 동일한 관성 질량(음의 결합 에너지로 인해)을 갖지 않을 것이다.
↑  이것은 중력의 법칙(또는 다른 역제곱 법칙)이 플럭스의 개념과 플럭스 밀도와 필드 강도의 비례 관계에서 따르기 때문이다. N = 3이면 3차원 입체 물체는 선택한 공간 차원에서 크기의 제곱에 비례하는 표면적을 갖는다. 특히, 반지름 r인 구의 면적은 4πr2이다. 보다 일반적으로 N 차원의 공간에서 r의 거리만큼 떨어진 두 물체 사이의 중력의 세기는 rN−1에 반비례한다.