stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
난징 지하철 10호선
같이 보기

난징 지하철
| v t e난징 지하철의 노선 |
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영업 중:  ● 1호선  ● 2호선  ● 3호선  ● 4호선  ● 5호선  ● 7호선  ● 10호선  ● S1호선  ● S3호선  ● S4호선  ● S6호선  ● S7호선  ● S8호선  ● S9호선 
공사 중:  ● 3호선  ● 4호선  ● 5호선  ● 6호선  ● 9호선  ● 11호선  ● S2호선  ● S4호선  ● S5호선 
계획 중:  ● 8호선  ● 12호선  ● 13호선  ● 14호선  ● 15호선  ● 16호선  ● 17호선  ● 18호선  ● 19호선  ● 20호선  ● S10호선 
| v t e난징 지하철 및 역 목록 |
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● 10호선:  안더먼  1   샤오항  중성  7   위안퉁 · 화샤은행  2   올림픽 스포츠 센터  멍더우 대가  그린 엑스포 공원  장신저우  린장 · 청소년 올림픽 스포츠 공원  푸커우 완후이청  난징 공업대학  룽화 로  원더 로  위산 로
마라 마리니

| 마라 머리니 Mara Marini |
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출생: 위니펙
성별: 여성
국적: 캐나다
직업: 배우
마라 머리니(Mara Marini, 영어 발음: /ˈmɑːrə məˈrini/)는 캐나다의 배우이다.
위니펙에서 태어났다.
출연 작품 > 영화

기동순찰대 (2017)
출연 작품 > 텔레비전

팍스 앤 레크리에이션 (2011-15)
심지유 (2016년)

| 심지유  |
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출생: 2016년 8월 5일(2016-08-05)(8세) 대한민국
직업: 배우
활동 기간: 2022년~
소속사: 무소속
웹사이트: 심지유 - 인스타그램
심지유(2016년 8월 5일~)는 대한민국의 아역배우이다.
출연 작품 > 드라마

2022년 SBS 《천원짜리 변호사》 - 이소미
2023년 KBS2 《두뇌공조》 - 한지율
2023년 TVN 《조선 정신과 의사 유세풍 2》 - 양순
2023년 넷플릭스  《정신병동에도 아침이 와요》 - 은우
2023년 ENA  《낮에 뜨는 달》 - 표예진 아역 (강영화 어린시절)
2023년 SBS 《7인의 탈출》 - 노한나 (고정출연)
2024년 SBS 《7인의 부활》 - 노한나 (고정출연)
2024년 JTBC 《놀아주는 여자》 - 정연이
2024년 KBS2 《완벽한 가족》 - 최예빈 아역 (이수연 어린시절)
2024년 tvN  《엄마친구아들》 - 강연두 (고정출연)
2024년 KBS1 《수지맞은 우리》 - 지유 (특별출연)
2025년 내년 상반기에 출연 예정.
평택여객

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창립: 2006년 12월 20일
산업 분야: 운수업
전신: 성호여객자동차공사(1949년~2006년) 시원교통(2006~2007년)
본사 소재지: 대한민국 경기도 평택시 안중읍 안현로서1길 39 (안중리 196-36)
사업 지역: 안중터미널 영업소 : 경기도 평택시 안중읍 안현로서9길 14-4 (현화리 838) 죽백동차고지:  경기도 평택시 이화로 160-15 (죽백동)
핵심 인물: 양욱모 (대표이사)
제품: 시내버스
주요 주주: 백성운수(주): 38.96% 양욱모: 35.04% 양재영: 7.73% 김석국: 7.73% 한은주: 5.80%
계열사: 백성운수
평택여객(平澤旅客)은 경기도 평택시의 시내버스 회사로, 안성시의 시내버스 회사인 백성운수의 계열사이다.
역사

본래 성호여객자동차공사라는 1949년 설립이 되었다.
본래 성호여객자동차공사라는 상호로 평택 ~ 안중 구간의 시내버스와 시외버스를 운행하여 왔으나, 2004년에 시외버스 사업을 서해고속여객으로 양도한 후 시내버스 사업에만 주력하다가 2005년 8월 24일에 최종 부도처리되었다.
이후 한동안 노사분규와 파행운행을 겪다가 2006년 12월 20일 용인시 마을버스 운수업자에게 인수되어 시원교통으로 재창립되었으며, 2007년 백성운수가 인수하여 평택여객으로 상호를 바꾸었다.
2016년 6월 1일 일반좌석버스를 폐지하였다.
현황

2021년 1월 기준이다.
| 운행업체 | 보유 노선수> 노선 합계 | 보유 노선수> 광역급행 | 보유 노선수> 직행좌석 | 보유 노선수> 일반좌석 | 보유 노선수> 시내일반 | 등록 대수> 대수 합계 | 등록 대수> 광역급행 | 등록 대수> 직행좌석 | 등록 대수> 일반좌석 | 등록 대수> 시내일반 |
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| 평택여객 | 54 | - | - | 1 | 53 | 88 | - | - | 5 | 83 |
버스 노선 > 도시형버스

● 80번: 죽백동 - 평택항 (2016년 6월 1일 노선 신설) (경기도 공공관리제 노선)
● 81-1번: 학현리 - 도곡리
● 82번: 안중리 - 권관리
● 83번: 학현리 - 원정리 (2015년 7월 20일 노선 신설)
● 84번: 안중리 - 신왕리
● 85번: 학현리 - 홍원리
● 86번: 학현리 - 신영리
● 91번: 죽백동 - 창내리
● 93번: 안중터미널 - 송화리
● 98번: 죽백동 - 평택항 (경기도 공공관리제 노선)
● 99번: 안중구터미널 - 기산리
● 300번: 숙성리 - 오성리
● 301-1번: 오성리 - 오성리
● 302번: 평택항 - 서정리역
● 310-1번: 안중터미널 - 죽백동
● 310-2번: 안중오거리 - 청북리
● 313번: 안중리 - 청북리
● 315번: 안중리 - 고잔리 (2018년 9월 3일 노선 신설)
● 320번: 안중터미널 - 죽백동 (2011년 10월 1일 노선 신설)
● 320-1번: 죽백동 - 양교리 (2011년 10월 1일 노선 신설)
● 810번: 죽백동 - 평택항
● 870번: 안중리 - 옥길리
● 1177번: 죽백동 - 평택지제역 (2018년 1윌 22일 노선 신설)
● 1199번: 죽백동 - 평택지제역 (2016년 7월 1일 노선 신설) (시내버스 공공관리제 대상 노선)
● 1451번: 평택시외버스터미널 - 서정리역 (2023년 7월 3일 노선 신설)
● 1731번: 죽백동 - 부영1차아파트 (2011년 10월 1일 노선 흡수 신설)
● 6396번: 안중터미널 - K55정문
● 6601번: 안중터미널 - 안중역 (2024년 11월 2일 노선 신설)
● 6881번: 안중역 - 평택항 (2024년 12월 20일 노선 신설)
버스 노선 > 일반좌석버스

● 8000번 안중터미널 ↔ 안중오거리 ↔ 고덕면태평아파트 ↔ 숙성리 ↔ 평택지제역 ↔ 평택역(AK프라자) (2019년 12월 23일 신설)
미운행 노선

● 55-1번: 안중 - 평택 - 공도 - 안성 (2012년 10월 폐지)
● 80-2번: 죽백동 - 송담지구 - 안중터미널
● 82-1번: 안중리 - 권관리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 82-2번: 안중리 - 권관리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 82-3번: 안중리 - 방축리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 83-2번: 학현리 - 원정리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 83-3번: 학현리 - 원정리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 84-1번: 안중리 - 신왕리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 84-2번: 안중리 - 신왕리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 84-3번: 안중리 - 신왕리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 84-4번: 안중리 - 신왕리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 84-5번: 안중리 - 신왕리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 85-1번: 학현리 - 홍원리 (2024년 12월 20일 폐지)
● 87번: 안중터미널 - 덕우리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 87-3번: 학현리 - 옥길리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 89번: 안중터미널 - 당거리 (2025년 2월 3일 폐지)
● 98번: 죽백동 - 평택항 (안중신터미널 경유)
● 90번~90-4번: 죽백동 - 양교, 토진, 백봉
● 92번: 안중터미널 - 평택항 (2016년 12월 1일 폐지)
● 92-1번: 학현리 - 평택항 (2024년 12월 20일 폐지)
● 920번, 920-1번: 안중 - 평택항 - 안중 - 청북 - 안중 (2015-06-22 ~ 2016-12-01)
● 94번: 죽백동 - 고덕동 (2023년 7월 9일 폐지)
● 94-1번: 죽백동 - 서정리역 (2023년 7월 9일 폐지)
● 95번: 용이동 - 평택호 (2010년경 백성운수에 양도)
● 310-3번: 안중신터미널 ~ 죽백동 (청북 경유, 2015년 7월 20일 ~ 2017년 12월 18일)
● 700번: 안성종합버스터미널 - 평택역 (2016년 4월 1일 백성운수에서 양도받은 노선)
● 800번: 안중신터미널 ~ 죽백동 (2012-04-01 ~ 2016-06-01)
보유 차량

전 차량이 하이거 버스와 현대자동차의 버스 차종으로 운행한다.
현대 뉴 카운티
현대 그린시티
현대 뉴 슈퍼 에어로시티
현대 저상 뉴 슈퍼 에어로시티
현대 일렉시티
현대 뉴 프리미엄 유니버스 엘레강스
하이거 하이퍼스
한국예술종합학교 발전기금

한국예술종합학교 발전기금은 사회일반의 이익에 공여하기 위하여 공익법인의 설립운영에 관한 법률에 따라 한국예술종합학교 발전에 기여할 목적으로 1992년 10월 19일 설립된 문화체육관광부 소관의 재단법인이다. 사무실은 서울특별시 성북구 석관동 산1-5 한국예술종합학교 내에 있다.
주요 사업

학생의 장학사업
교육 기자재 및 시설 확충
학생 및 교원의 예술 및 연구활동 사업
국내외 예술교류 및 회의 지원
학교 홍보 및 문화활동 지원 등
같이 보기

한국예술종합학교
앤 새비지

| 앤 새비지 Ann Savage |
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출생: 1921년 2월 19일 컬럼비아
사망: 2008년 12월 25일 할리우드
성별: 여성
국적: 미국
직업: 배우, 영화배우, 텔레비전 배우
앤 새비지(Ann Savage, 1921년 2월 19일 ~ 2008년 12월 25일)는 미국의 배우, 영화배우, 텔레비전 배우이다.
컬럼비아에서 태어났으며 할리우드에서 사망하였다. 사인은 뇌졸중이다.  할리우드 포에버 공동묘지에 매장되었다.
영화

마이 위니펙 (2007년)
불같은 열정 (1986년)
애니 넘버 캔 플레이 (1949년)
우회 (1945년) - 베라 역
정말 멋진 여자야! (1943년)
담합 (용어)

담합 또는 공모는 다른 사람의 법적 권리를 속이거나, 오도하거나, 사취함으로써 공개 경쟁을 제한하기 위해 둘 이상의 당사자 간의 기만적인 합의 또는 비밀 협력이다. 담합이 항상 불법으로 간주되는 것은 아니다. 법으로 금지된 목적을 달성하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 사기를 치거나 불공정한 시장 이익을 얻는 경우이다. 시장을 분할하고, 가격을 정하고, 생산을 제한하거나 기회를 제한하는 것은 기업이나 개인 간의 합의이다. 여기에는 "노조, 임금 담합, 리베이트 또는 담합 당사자 간 관계의 독립성을 허위로 표현하는 것"이 포함될 수 있다. 법적인 측면에서 담합으로 인해 발생한 모든 행위는 무효로 간주된다.
같이 보기

가격지도제
회사범죄
경쟁법
출처

Vives, X. (1999) Oligopoly pricing, MIT Press, Cambridge MA (readable; suitable for advanced undergraduates.)
Tirole, J. (1988) The Theory of Industrial Organization, MIT Press, Cambridge MA  (An organized introduction to industrial organization)
Tirole, J. (1986), "Hierarchies and Bureaucracies", Journal of Law Economics and Organization, vol. 2, pp. 181–214.
Tirole, J. (1992), "Collusion and the Theory of Organizations", Advances in Economic Theory: Proceedings of the Sixth World Congress of the Econometric Society, ed by J.-J. Laffont. Cambridge: Cambridge University Press, vol.2:151-206.
며느리의 비밀

| 며느리의 비밀 며느리의 비밀 |
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감독: 백호빈
각본: 최성보
제작: 신상옥
출연: 최지희, 남궁원, 김승호
촬영: 배성학
편집: 양성란
음악: 정윤주
개봉일: 1963년
국가: 한국
며느리의 비밀(며느리의 비밀)은 한국에서 제작된 백호빈 감독의 1963년 영화이다. 최지희 등이 주연으로 출연하였고 신상옥 등이 제작에 참여하였다.
출연 > 주연

최지희
남궁원
김승호
제작진

조명: 정경희
미술: 송백규
잭 카펜터

| 잭 카펜터 Jack Carpenter |
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출생: 1984년 9월 18일 미국
성별: 남성
국적: 미국
직업: 배우
잭 카펜터(Jack Carpenter, 1984년 9월 18일 ~ )는 미국의 배우이다.
미국에서 태어났다.
출연 작품 > 영화

시드니 화이트 (2007) - 레니 역
아이 러브 유, 베스 쿠퍼 (2009)
Putzel (2012)
7월 혁명

은 여기로 연결됩니다. 콩고 인민공화국의 국가에 대해서는 영광의 3일 (콩고 인민공화국) 문서를 참고하십시오.
외젠 들라크루아의 〈민중을 이끄는 자유의 여신〉
7월 혁명(프랑스어: Révolution de Juillet 레볼뤼시옹 드 주이에[*], 영어: July Revolution, French Revolution of 1830, Second French Revolution)은 1830년 7월 프랑스에서 일어난 혁명이다. 혁명의 결과로 루이 필리프가 프랑스의 왕위에 올랐다. 영광의 3일(프랑스어: Trois Glorieuses 트루아 글로리외즈[*])이라고도 부른다.
개요

1830년 샤를 10세는 해외 원정을 단행하여 군사력을 과시하는 한편 왕권을 강화하려는 목적으로 알제리로 출병했다. 이는 국회의원 선거를 노린 시위이기도 했으나, 그럼에도 새로 선출된 의원은 반대파가 압도적이었다. 이에 그는 아직 소집되지 않은 의회를 해산시키고 투표권 대상자를 더욱 제한하는 새 선거법을 도입해 재선거를 치르려 했다.
이에 국민들이 맹렬히 항의하며 7월 28일 파리 시내 도처에 바리케이드가 설치되었고 라파예트가 이끄는 공화당원들의 무력 봉기가 일어나 국왕군과 격돌했다. 온건한 자유주의자는 1789년이 재현될까 봐 두려워서 임시정부를 조직하여 샤를의 먼 친척이자 대혁명 때 혁명파로서 활약한 오를레앙공의 아들 루이 필리프를 국왕 대행으로 임명하여 위기를 모면하려 했다. 샤를은 국왕군이 점차 혁명군 쪽으로 전향하는 추이를 보고 사태의 중대성을 파악하여 칙령을 취소하고 대신을 파면하는 한편 손자에게 양위를 선언하면서 퇴위했다. 혁명 세력은 샤를의 퇴위만을 승인하고 루이 필리프를 왕으로 정식 인정했다. 그는 국민 선거에 의거해 선출되었다는 명목으로 ‘국민의 왕’이나 혁명의 초연속에서 왕이 되었으므로 ‘바리케이드의 왕’으로 불렸지만 혁명의 원동력이 되었으면서도 정치상 성과를 빼앗긴 공화주의자들에게는 불만스러운 왕이었다. 그가 수행한 일은 입법부에 법률안을 제출할 권리를 인정하고 선거 제한을 완화시킨 정도에 그쳤다.
영향

이 혁명의 결과 성립된 왕정을 7월 왕정이라 부른다. 7월 왕정은 보수적이고 억압적인 경향을 띄었으며 이는 결국 18년 뒤의 2월 혁명의 기폭제가 된다.
영향 > 벨기에 독립 혁명

프랑스 7월 혁명 소식은 유럽 각국에 전파되어 혁명 운동에 영향을 주었다. 빈 회의의 결과 네덜란드에 병합되었던 벨기에는 네덜란드의 지배에 저항하였고 브뤼셀에서 폭동이 발생했다. 영국을 비롯한 열강 국가는 벨기에의 독립을 인정했고 다음 해 1831년 독일의 소영방 군주의 일족인 작센코부르크고타 왕가 출신으로 영국 왕실과 러시아와도 연관 있는 레오폴드 1세 국왕을 맞아 벨기에가 독립을 했다. 결국 네덜란드도 독립을 승인했고 영토 문제는 1839년에 해결되었다.
영향 > 11월 봉기

이 부분의 본문은 11월 봉기입니다.
폴란드는 당시 표면적으로 폴란드 입헌 왕국이라는 입헌군주국의 형태였지만, 실제로는 러시아의 꼭두각시이자 속국이었다. 7월 혁명에 영향을 받아 러시아 제국의 지배에 대한 불만이 커지면서 민족주의자와 자유주의자가 바르샤바 혁명을 일으켰다. 그러나 이것이 러시아 군대에게 진압된 후 폴란드의 민족 운동은 위축되었다.
영향 > 이탈리아 통일

이탈리아에서는 카르보나리가 나폴리 피에몬테에서 혁명 이후 부활을 완수했으나 이 카르보나리 봉기는 오스트리아 군에게 즉시 진압되었다. 하지만 카루보나리의 이념은 자유주의자로 즉위했던 사르데냐 왕 카를로 알베르토에게 이어져 이후 이탈리아의 통일을 달성한다.
빈 체제는 전면적인 붕괴는 면했지만 부분적으로 크게 흔들렸으며, 이후 1848년 혁명을 통해 대대적으로 붕괴되었다.
같이 보기

7월 왕정
6월 봉기 (1832년)
2월 혁명
사손분

사손 분(士孫奮, ? ~ ?)은 후한 중기의 관료로, 자는 경경(景卿)이며, 부풍군 평릉현(平陵縣) 사람이다.
행적

젊어서 군의 오관연(五官掾)을 지냈다. 집안을 일으키고 돈을 벌어들여 자산이 1억 7천만 전이나 되었고, 서울에서 부자로 명성이 자자하였으나 구두쇠였다. 객사(客舍)에 대단히 적은 돈을 쓰니, 대접받은 빈객은 이렇게 한탄하였다.
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| “ | 사대부가 돈을 어찌나 아끼는지, 손경경(孫景卿)을 따라하려는가 보군! | ” |
그 빈객은 주인이 정말로 사손분인지는 몰랐다.
조카 사손서가 양기의 속관이 되었는데, 사손분은 양기에게 줄 선물이랍시고 사손서에게 비단 다섯 필과 말린 생선을 들려 보냈다. 선물을 받은 양기는 사손분이 부자이지만 구두쇠라는 사실을 예전부터 알고 있었기 때문에, 화려한 안장을 선물로 보내고는 5천만 전을 빌려달라고 하였다.
사손분은 양기가 탐욕스러운 자라는 사실을 알고 있었기 때문에 3천만 전만 빌려주었다. 양기는 크게 노하여 사손분의 어미가 군의 창고에서 일하면서 구슬 수십 곡(斛)과 자금(紫金) 천만 근을 훔쳤다고 무고하였고, 결국 사손분은 형제와 함께 옥사하고 재산을 모두 빼앗겼다.
출전

조기, 《삼보결록》[이방, 《태평어람》 권358·431·472·817에서 인용]
조쉬 콘브러스

| 조쉬 콘브러스 Josh Kornbluth |
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출생: 1959년 5월 21일
성별: 남성
국적: 미국
직업: 배우, 텔레비전 배우
조쉬 콘브러스(Josh Kornbluth, 1959년 5월 21일 ~ )는 미국의 배우, 텔레비전 배우이다.
영화

러브 앤 택스 (2015년)
페이스 (2008년)
스트레인지 컬처 (2007년) - 본인 역
다윈어워드 (2006년)
하이쿠 터널 (2001년)
바틀바이 (2001년)
바이 바이 아메리카 (1994년)
맥시밀리언 시안드리

맥시밀리언 뱁티스트 "맥스" 시안드리(영어: Maximillian Baptist "Max" Sciandri, 1967년 2월 15일 ~ )는 영국의 자전거 경기 선수이다. 미국 애틀랜타에서 열린 1996년 하계 올림픽 개인도로 종목에서 동메달을 획득했다.
로이드 휴즈

| 로이드 휴즈 Lloyd Hughes |
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출생: 1897년 10월 21일 비즈비
사망: 1958년 6월 6일 샌게이브리얼
성별: 남성
국적: 미국
직업: 배우
로이드 휴즈(Lloyd Hughes, 1897년 10월 21일 ~ 1958년 6월 6일)는 미국의 배우이다.
비즈비에서 태어났으며 샌게이브리얼에서 사망하였다. 포리스트 론 메모리얼 파크에 매장되었다.
영화

빅 보이 (1930년)
미스티어리어스 아일랜드 (1929년)
노 플레이스 투 고 (1927년)
잃어버린 세계 (1925년) - 에드워드 E. 말론 역
씨 호크 (1924년)
가미야마촌 (가가와현)

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한자 표기: 神山村
가나 표기: かみやまむら
폐지일: 1954년 10월 1일
이후 자치체: 미키정
폐지 당시의 정보
나라:  일본
지방: 시코쿠 지방
도도부현: 가가와현
군: 기타군
가미야마촌(일본어: 神山村)은 일본 가가와현 기타군 (가가와현)에 설치된 촌이다.
쑤저우 궤도교통 8호선

| 쑤저우 궤도교통 8호선 |
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기본 정보
운행 국가:  중국
소재지: 쑤저우시
종류: 도시철도
체계: 쑤저우 궤도교통
상태: 운행 중
기점: 시진차오
종점: 처팡
역 수: 29
개통일: 2024년 9월 10일
노선 제원
영업 거리: 36.8 km
궤간: 1,435 mm (4 ft 8 1⁄2 in)
선로 수: 2
설계 최고 속도: 80km/h
쑤저우 궤도교통 8호선 (중국어 간체자: 苏州轨道交通8号线)은 2024년 9월 10일에 개통된 쑤저우 궤도교통의 첫 번째 운영 지하철 노선이다.
개통 연혁

2024년 9월 10일 - 시진차오 역 ~ 처팡 역 구간 개통
역 목록

| 역명 | 중국어 | 영어 | 환승역 | 역간 거리 km | 누적 거리 km | 소재지 |  |  |
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| 시진차오 | 西津桥 | Xijinqiao | ■ 3호선 |  |  | 후추구 |  |  |
| 신위안 | 新元 | Xinyuan |  |  |  | 후추구 |  |  |
| 스자차오 | 时家桥 | Shijiaqiao |  |  |  | 구쑤구 |  |  |
| 바이양완 공원 | 白洋湾公园 | Baiyangwangongyuan | ■ 6호선 |  |  | 구쑤구 |  |  |
| 후베이 로 | 虎北路 | Hubeilu |  |  |  | 구쑤구 |  |  |
| 후추 습지공원 | 虎丘湿地公园 | Huqiushidigongyuan |  |  |  | 샹청구 |  |  |
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같이 보기

쑤저우 궤도교통
| v t e쑤저우 궤도교통의 노선 |
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영업 중:  ● 1호선  ● 2호선  ● 3호선  ● 4호선  ● 5호선  ● 6호선  ● 7호선  ● 8호선  ● 11호선 
공사 중:  ● 2호선  ● 4호선  ● 6호선  ● 7호선  ● 8호선  ● 10호선 
계획 중:  ● 9호선  ● 10호선  ● 14호선 
| v t e쑤저우 궤도교통 및 역 목록 |
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음성 언어

음성 언어(音聲言語, 영어: spoken language)는 명확한 말소리인 음성을 통해 나타낸 언어를 말한다. 인간의 의사소통 방식의 한 기초를 이루며, 쓰기를 통해 나타낸 문자 언어, 손짓을 통해 나타낸 수화와 함께 언어의 대표적인 3가지 양상 중 하나이다. 구두 언어 등으로도 일컫는다.
같이 보기

구어
음성학
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전거 통제: 국가 :  독일  체코
체르멜로-프렝켈 집합론

수학에서, 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(選擇公理를追加한Zermelo-Fraenkel集合論, 영어: Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, 약자 ZFC)은 공리적 집합론의 하나이다. 현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 사용된다.
정의

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론은 1차 논리를 기반으로 하는 1차 집합론이며, 등호 밖에 하나의 이항 관계  \in 만을 가진다. 논의 영역은 집합들이다 (집합은 공리를 통해 묘사되기만 할 뿐 직접적으로 정의되지는 않는다). 이항 관계  a\in b는 " a가  b의 원소"라고 읽는다.
는 각각
를 줄여 쓴 것이다.
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리계는 다음과 같은 공리 7개 및 공리꼴 2개로 정의된다. 이들은 통상적인 1차 술어 논리 공리들에 추가로 가정한 것이다.
체르멜로-프렝켈 공리계(ZF)는 ZFC에서 선택 공리를 제외한 것이며, 체르멜로 공리계(Z)는 ZFC에서 선택 · 정칙성 · 치환 공리(꼴)를 제외한 것이다.
정의 > 집합의 기본 성질

확장공리와 정칙성 공리는 ZFC에서 쓰이는, 집합의 기본적인 성질들을 나타낸다. 즉, 집합은 순서 및 다른 추가 성질을 갖지 않는 구조이며 (확장성), 스스로를 포함하거나 기타 재귀적인 포함 관계를 가지지 못한다 (정칙성).
확장 공리(영어: axiom of extensionality) 혹은 외연 공리: 포함하는 원소가 전부 같은 두 집합은 서로 동일하다. 즉, 이는 사실상 집합의 동일함이 무엇인지를 정의한다. 확장 공리의 역은 서로 같은 집합이 포함하는 원소가 같다는 명제이며, 이는 이미 1차 논리의 공리이다.
 \forall x\forall y\colon (\forall z\colon z\in x\iff z\in y)\implies x=y
정칙성 공리(영어: axiom of regularity) 혹은 기초 공리(영어: axiom of foundation): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다. 이에 따라, 스스로를 원소로 포함하는 집합이나, 스스로를 원소의 원소로 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다. 사실, 정칙성 공리를 가정하면 이는 모든 모임 위에서도 성립하게 된다 (정초 관계#정초 모임 참고).
 \forall x\colon (\exists y\colon y\in x)\implies (\exists y\in x\lnot \exists z\colon z\in x\land z\in y)
정의 > 집합의 구성

분류·치환 공리꼴과 짝·합집합·멱집합 공리들은 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법들을 정의한다. 즉, 이미 구성된 집합들로부터, 이들의 순서쌍·합집합·멱집합을 정의할 수 있으며, 또한 이미 구성된 집합에 주어진 성질을 만족시키는 부분집합을 취하거나 (분류 공리꼴), 함수에 대한 상을 취할 수 있다 (치환 공리꼴).
분류 공리꼴(영어: axiom schema of specification):  z가 집합이고  \phi 가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때, 이를 만족하는 것들로 이루어진  z의 부분 집합이 존재한다. 여기에서 원소의 범위를 집합  z로 제한하는 것은 러셀의 역설 등 역설을 피하기 위함이다. 1차 논리에서는 성질에 한정 기호를 가할 수 없으므로, 이는 낱개의 공리로 나타낼 수 없으며, 각 성질들에 대응하는 "무한 개"의 공리들로 구성된다.  x,w_{1},\ldots ,w_{n} 또는  x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}을 자유 변수로 가지는 (특히  y를 자유 변수로 갖지 않는) 논리식  \phi 에 대하여,
 \forall z\forall w_{1}\cdots \forall w_{n}\exists y\forall x\colon x\in y\iff x\in z\land \phi
치환 공리꼴(영어: axiom schema of replacement): 집합을 정의역으로 갖는, 형식적으로 정의된 함수가 있을 때, 그 치역을 포함하는 집합이 존재한다. 보다 엄밀하게 서술하면,  x,y,w_{1},\ldots ,w_{n} 또는  x,y,A,w_{1},\ldots ,w_{n}을 자유변수로 가지는 (특히  B를 자유 변수로 갖지 않는) 논리식  \phi 에 대하여,
 \forall A\forall w_{1}\cdots \forall w_{n}\colon (\forall x\in A\exists !y\colon \phi )\implies (\exists B\forall x\in A\exists y\in B\colon \phi )
여기에서 한정 기호  \exists !y\colon \psi 는  \exists y\colon \psi \land (\forall y'\colon \psi [y'/y]\implies y=y')을 줄여 쓴 것이다. 즉, 성질  \psi 를 만족하는  y가 유일하게 존재함을 말한다.
짝 공리(영어: axiom of pairing): 임의의 두 집합에 대해, 둘 모두를 원소로서 포함하는 집합이 존재한다.
 \forall x\forall y\exists z\colon x\in z\land y\in z
합집합 공리(영어: axiom of union): 임의의 집합에 대해, 거기에 포함되는 원소들에 포함되는 원소들을 전부 포함하는 집합이 존재한다.
 \forall {\mathcal {F}}\exists A\forall Y\forall x\colon x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}}\implies x\in A
멱집합 공리: 임의의 집합 x에 대해, x의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 y가 존재한다.
 \forall x\exists y\forall z\colon z\subseteq x\implies z\in y
여기에서  z\subseteq x는  \forall q\in z\colon q\in x를 줄여 쓴 것이다.
정의 > 무한 공리와 선택 공리

무한 공리와 선택 공리는 ZFC 공리계에서 비교적 더 논란이 되는 공리들이다. 무한 공리는 가산 무한 집합의 존재를 가정하며, 여기에 멱집합을 취하여 더 큰 무한 기수와 순서수들을 정의할 수 있다. 선택 공리에 따르면, 무한한 수의 집합들에서 각각 하나의 원소를 무작위로 고를 수 있는데, 이 때 고르는 방법은 명시되지 않으며, 일부 경우 명시할 수 없음을 보일 수 있다.
무한 공리: 공집합을 원소로 가지며, 만약  y를 원소로 가진다면 언제나  S(y)도 원소로 가지는 집합  X가 존재한다.
 \exists X\colon \varnothing \in X\land (\forall y\in X\colon S(y)\in X)
여기서  S(x)=x\cup \{x\}이며, 공리 1부터 6까지를 이용해 임의의 집합  x에 대해  S(x)가 유일하게 존재함을 증명할 수 있다.  \varnothing 은 공집합으로, 위의 공리들을 이용해 만약 집합이 하나라도 존재한다면 공집합이 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 정칙성 공리에 따라 항상  S(x)\neq x이므로, 이는
 X\supseteq \left\{\varnothing ,S(\varnothing ),S(S(\varnothing ),\dots \right\}
를 의미한다. 이들은 각각 자연수로 정의할 수 있다.
 \varnothing =0
 S(x)=x+1
그렇다면, 이 공리는 자연수의 집합  \mathbb {N} 의 존재를 의미한다. (만약 자연수를 다른 방법으로 정의하고 싶으면, 치환 공리꼴을 사용하여 이를 다른 정의로 번역할 수 있다.)
선택 공리: 공집합이 아닌 집합들의 집합  X가 주어졌을 때,  X의 각 원소로부터 하나씩의 원소를 고르는 함수  f가 존재한다. 즉, 모든  A\in X에 대하여,  f는  A의 원소  f(A)\in A를 골라낸다.
 \forall X\colon \varnothing \not \in X\implies \left(\exists f\colon X\to \bigcup X\forall A\in X\colon f(A)\in A\right)
여기서  \bigcup X=\bigcup _{A\in X}A는  X의 모든 원소들의 합집합이며, 합집합 공리에 따라 존재한다.
성질

ZFC의 논의 영역은 집합만을 포함하며, 고유 모임을 포함하지 않는다. 모임을 직접적으로 다루려면 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 집합론을 사용하여야 한다.
ZFC의 모든 집합은 집합으로 구성되어 있으며, 원자(영어: atom, urelement)를 갖지 않는다. 또한, ZFC의 집합은 정칙적이다. 즉, 정칙성 공리에 의하여
또는
와 같은, 무한히 재귀적인 집합이 존재할 수 없다.
체르멜로-프렝켈 집합론의 일부 공리들은 서로 독립적이지 않다. 예를 들어, 나머지 공리들로부터 짝 공리를 유도할 수 있다.
증명:
멱집합 공리에 따라, 집합  {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,{\mathcal {P}}(\varnothing )\}이 존재한다. 임의의 집합  a,b가 주어졌을 때, 다음과 같은 논리식  \phi 를 생각하자.
(이는 집합론의 언어 이외의 기호를 사용하지만, 집합론의 언어의 기호만을 사용하도록 번역할 수 있다.)  \phi 는  x,y를 자유 변수로 가지며,  {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))의 원소에 대하여 유일한 집합을 대응시킨다. 치환 공리꼴에 따라,  \varnothing 와  {\mathcal {P}}(\varnothing )의 상을 원소로 포함하는 집합이 존재한다.  \varnothing 의 상은  a이며,  {\mathcal {P}}(\varnothing )의 상은  b이다.
성질 > 상대적 무모순성 > ZF(C)와 같은 무모순성을 갖는 이론

다음 이론들은 서로 등무모순적이다.
{\mathsf {ZF}}^{-}. 이는  {\mathsf {ZF}}에서 정칙성 공리를 생략한 공리계이다.:Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14
{\mathsf {ZF}}:Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14
{\mathsf {ZFC}}
{\mathsf {ZFC}} + 도달 불가능한 기수가 존재하지 않는다.:148, Exercise IV.19
{\mathsf {ZFC}} + 일반화 연속체 가설:175, Corollary VI.4.9
{\mathsf {ZFC}} + 일반화 연속체 가설 + 도달 불가능한 기수가 존재하지 않는다.:177, Corollary VI.4.13
{\mathsf {ZFC}}+V=L:170, Corollary VI.3.4
{\mathsf {ZFC}}+V=\operatorname {HOD} :172, Corollary VI.3.11
{\mathsf {ZFC}}+V\neq L+{\mathsf {GCH}}:211, VII.5.17
{\mathsf {ZFC}}+2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}:209, Corollary VII.5.15
{\mathsf {ZF}}+\lnot {\mathsf {AC}}:245, Exercise VII.E4
{\mathsf {ZFC}}^{-}+\exists x\colon x=\{x\}:148, Exercise IV.19
{\mathsf {NBG}} (폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론). 이는  {\mathsf {ZFC}}의 보존적 확장이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다.
성질 > 상대적 무모순성 > ZF(C)보다 약한 이론

다음과 같은 이론들은  {\mathsf {ZF(C)}}에 대하여 상대적으로 무모순적이지만 그 역은 성립하지 않는다.
이며,
이다.:149, IV.30 여기서  {\mathsf {PA}}는 페아노 공리계이며,  {\mathsf {ZF-I}}는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 무한 공리를 생략한 것이다. 따라서, (만약  {\mathsf {ZF(C)}}가 무모순적이라면)  {\mathsf {ZF(C)}}는  {\mathsf {ZF-I}}보다 무모순성에 따르면 더 강력하다. 물론,  \mathbb {N} \models {\mathsf {PA}}이다.
마찬가지로, 다음이 성립한다.:132, Theorem IV.6.5
여기서  {\mathsf {ZFC-P}}는  {\mathsf {ZFC}}에서 멱집합 공리를 제거하고, 대신 "모든 집합이 가산 집합이다"를 추가한 것이다. 사실,  H_{\aleph _{1}}\models {\mathsf {ZFC-P}}이다. 여기서  H_{\aleph _{1}}은 유전적 가산 집합들의 집합이다.
마찬가지로, 다음이 성립한다.:123, Theorem IV.3.13
여기서  {\mathsf {ZFC-I}}+\lnot {\mathsf {I}}는  {\mathsf {ZFC}}에서 무한 공리를 제거하고, 대신 그 부정을 추가한 것이다. 사실,  V_{\omega }\models {\mathsf {ZFC-I}}+\lnot {\mathsf {I}}이다.:136:54 여기서  V_{\omega }는 유전적 유한 집합들의 집합(즉, 폰 노이만 전체의  \omega 번째 단계)이다.
마찬가지로, 다음이 성립한다.:110, Theorem II.2.2
여기서  {\mathsf {ZFC}}-{\mathsf {R}}+\lnot {\mathsf {R}}는  {\mathsf {ZFC}}에서 치환 공리꼴을 그 부정으로 대체한 것이다. 사실,  V_{\omega +\omega }\models {\mathsf {ZFC}}-{\mathsf {R}}+\lnot {\mathsf {R}}이다.
성질 > 상대적 무모순성 > ZFC보다 강한 이론

모스-켈리 집합론(영어: Morse–Kelley set theory) MK는 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있어 ZFC보다 더 강한 이론이다.:152, Exercise II.10.2 사실, MK의 유한한 수의 정리들을 공리들로 하는 이론  T\subset {\mathsf {MK}}에 대하여,
이며, 특히  T={\mathsf {NBG}}인 경우
이다.
만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC는 도달 불가능한 기수(및 기타 큰 기수)의 존재를 증명할 수 없다. 이는 ZFC+도달 불가능한 기수의 존재로부터 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있기 때문이다. 사실,
인데, 이는 도달 불가능한 기수  \kappa 에 대하여  V_{\kappa +1}\models {\mathsf {MK}}이기 때문이다.
마찬가지로, ZF+약하게 도달 불가능한 기수의 존재는 ZFC의 무모순성을 보일 수 있다.
성질 > 유한 공리화의 불가능성

ZFC는 공리꼴(영어: axiom schema)을 포함하고 있으므로, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규는 1961년에 ZFC도 ZF도 (만약 무모순적이라면) 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 사실, ZFC의 유한 부분 이론  T\subset \operatorname {Th} ({\mathsf {ZFC}})에 대하여, 항상
이다.:131, Corollary II.5.4 반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 유한 개의 공리로 공리화할 수 있다.
역사

1890년대의 칸토어 역설의 발견과 1901년의 러셀의 역설의 발견으로, 엄밀한 수학기초론의 필요성이 대두되었다.
1904년에 에른스트 체르멜로는 정렬 정리를 증명하기 위하여 선택 공리를 도입하였다. 1908년, 에른스트 체르멜로는 최초의 공리적 집합론인 체르멜로 집합론을 발표했다. 그러나 체르멜로 집합론은 순서수를 구성하기에 부족하였다. 구체적으로, 체르멜로 집합론에서는 알레프 수  \aleph _{\omega }를 정의할 수 없다. 또한, 체르멜로의 분류 공리꼴(독일어: Axiom der Aussonderung)에는 "명확한"(독일어: definit) 성질이라는 표현이 포함되어 있었는데, 이 개념은 엄밀하게 정의되지 않았다.
1907년에 러시아의 수학자 드미트리 미리마노프(러시아어: Дми́трий Семёнович Мирима́нов)는 집합의 정칙성의 개념을 정의하였고, 이 성질이 체르멜로의 공리계로부터 유도되지 않는다는 사실을 지적하였다.
1910년에 헤르만 바일은 "명확한" 성질을 1차 논리로 정의할 수 있는 성질로 정의하였다. 1922년에 토랄프 스콜렘 또한 같은 제안을 하였다.
또한, 1922년에 아브라함 프렝켈과 스콜렘 은 체르멜로의 공리계에 치환 공리꼴(독일어: Ersetzungsaxiom)을 추가하였다. 존 폰 노이만은 여기에 집합의 정칙성을 표현하는 정칙적 공리를 추가하여 ZFC를 완성하였다.
같이 보기

수학기초론
폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론
토드 하버콘

| 토드 하버콘 Todd Haberkorn |
| --- | --- |
출생: 1982년 8월 16일 알링턴
성별: 남성
국적: 미국
직업: 성우, 텔레비전 배우
토드 하버콘(Todd Haberkorn, 1982년 8월 16일 ~ )은 미국의 성우, 텔레비전 배우이다.
알링턴에서 태어났다.
영화

몬스터 하이: 헌티드 (2015년)
스크림 오브 더 밴쉬 (2011년) - 오토 역
콜렉터 (2009년) - 폴리스 오피서 역
원피스 극장판 8기 - 사막의 공주와 해적들 (2007년)
XXX홀릭 (2006년)
XXX 홀릭 극장판 : 한 여름 밤의 꿈 (2005년)
스쿨 럼블 (2004년)
걸 헬 1999 (1999년)
Jane Doe

| Jane Doe> 다카하시 미나미의 노래 |
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발매일: 2013년 4월 3일
장르: J-pop
레이블: 유니버설 뮤직 그룹
《Jane Doe》는 2013년 4월 3일에 발매된 다카하시 미나미의 노래이다. 유니버설 뮤직 그룹에 의해 발매되었다.