stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
시공간
기본을 넘어서 > 신속도

이 부분의 본문은 신속도입니다.
그림 4-1a. 점에서 단위원  을 통과하는 광선 , 여기서 는 광선, 원 및  축 사이의 면적의 두 배이다.
그림 4-1b. 점에서 단위 쌍곡선  을 통과하는 광선 , 여기서 는 광선, 쌍곡선 및  축 사이 면적의 두 배이다.
로런츠 변환은 한 기준 프레임의 사건 좌표를 다른 프레임의 좌표와 연결한다. 속도의 상대론적 구성은 두 속도를 더하는 데 사용된다. 후자의 계산을 수행하는 공식은 비선형이므로 해당 갈릴레이 공식보다 더 복잡하다.
이 비선형성은 우리가 선택한 매개변수의 인공물이다.:47–59 우리는 이전에 x–ct 시공간 다이어그램에서, 원점에서 일정한 시공간 간격에 있는 점들이 불변 쌍곡선을 형성한는 것에 주목했다. 우리는 또한 표준 구성에서 두 시공간 기준 프레임들의 좌표계가 서로에 대해 쌍곡선으로 회전한다는 것도 주목했다.
이러한 관계를 표현하기 위한 자연 함수는 삼각함수의 쌍곡선 유사 함수(hyperbolic analogs)이다. 그림 4-1a는 sin(a) 및 cos(a)가 있는 단위원을 보여준다. 이 다이어그램과 기본 삼각법의 익숙한 단위 원 사이의 유일한 차이점은 다음과 같다. a는 광선과 x-axis 사이의 각도가 아니라 x-축. (숫자적으로, 단위 원에 대한 각도와 2 × 면적 측정은 동일하다.) 그림 4-1b는 sinh(a)  및 cosh(a)가 있는 단위 쌍곡선(unit hyperbola)을 보여준다. 여기서 a는 마찬가지로 두 배의 착색된 영역으로 해석된다. 그림 4-2는 sinh, cosh, tanh 함수의 플롯을 보여준다.
단위원의 경우, 광선의 기울기는 다음으로 주어진다
데카르트 평면에서, 점 (x, y)의 각도 θ만큼 회전은 점 (x′, y′)에서 다음으로 주어진다
시공간 다이어그램에서 속도 매개변수  \beta 는 기울기의 유사체이다. 신속도  φ는 다음으로 주어진다:96–99
여기서
위에서 정의한 신속도는 특수 상대성이론에서 많은 표현이 그 관점에서 표현될 때 상당히 더 단순한 형태를 취하기 때문에 매우 유용하다. 예를 들어, 신속도는 공선 속도-가산식에서 단순히 가산된다;:47–59
혹은 다르게 말하면,  \phi =\phi _{1}+\phi _{2}.
로런츠 변환은 신속도의 관점에서 표현될 때 한 간단한 형태를 취한다. γ 계수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
공간 좌표축의 회전 없이 균일한 속도로 상대 운동을 설명하는 변환을 부스트라고 불린다.
γ 및 γβ를 이전에 제시된 변환에 대입하고 행렬 형식으로 다시 작성하면 x 방향의 로런츠 부스트는 다음과 같이 쓸 수 있다
그리고 x방향의 역로렌츠 부스트는 다음과 같이 쓸 수 있다
즉, 로렌츠 부스트는 민코프스키 시공간에서 쌍곡선 회전(hyperbolic rotation)을 나타낸다.:96–99
쌍곡선 함수들을 사용하는 이점은 테일러Taylor와 휠러Wheeler의 고전적인 교과서들와 같은 일부 책들에서 매우 초기 단계에서 그것들의 사용을 소개한다는 것이다.
기본을 넘어서 > 4-벡터

이 부분의 본문은 사차원 벡터입니다.
사차원 벡터는 위에서 에너지-운동량 4-벡터의 맥락에서 언급되었지만, 크게 강조하지는 않았다. 사실, 특수 상대성이론의 기본 유도들의 어느 것도 그것들을 필요로 하지 않는다. 그러나 일단 이해되면, 4-벡터, 더 일반적으로 텐서는 특수 상대성이론에 대한 수학과 개념적 이해를 크게 단순화한다. 이러한 객체로 독점적으로 작업하면 명백하게 상대론적으로 불변인 공식들을 도출하며, 이는 자명하지 않지 문맥들에서는 상당한 이점이 된다. 예를 들어, 일반적인 형태의 맥스웰 방정식의 상대론적 불변성을 입증하는 것은 자명한 일은 아니고, 전자기장 텐서 공식을 사용한 일상적인 계산(실제로는 관찰에 불과함)일 뿐이다. 반면 일반 상대성이론은 처음부터 물리적으로 관련된 개체를 나타내는 4-벡터, 보다 일반적으로는 텐서에 크게 의존한다. 특정 좌표에 의존하지 않는 방정식을 통해 이들을 연관시키려면 특수 상대성이론에서와 같이 평평한 시공간이 아니라 휘어진 시공간 내에서도 이러한 4-벡터를 연결할 수 있는 텐서가 필요하다. 텐서에 대한 연구는 시공간에 대한 기본적 논의만 제공하는 이 글의 범위를 벗어난다.
기본을 넘어서 > 4-벡터 > 4-벡터들의 정의

구성 요소 "Ai"가 로런츠 변환에 따라 계 간에 변환되면 4-튜플  A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)은 "4-벡터"이다.
만일  (ct,x,y,z) 좌표를 사용하면서, 다음에 따라 x-방향으로 변환하면 A는 4–벡터이다
이는 로런츠 변환의 이전 설명에서 ct를 A0로, x를 A1로 단순히 대체한 결과이다.
평소와 같이, 우리가 x, t 등을 쓸 때는 일반적으로 Δx, Δt 등을 의미한다.
한 4–벡터의 마지막 세 구성요소는 3차원 공간에서 표준 벡터이여야 한다. 따라서, 한 4–벡터는 회전들뿐만 아니라 로런츠 변환들에서도  (c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)와 같이 변환되어야만 한다.:36–59
기본을 넘어서 > 4-벡터 > 4-벡터의 속성들

선형 결합에서 닫힘: A와 B가 4-벡터이면  C=aA+aB는 또한 4-벡터이다.
내적 불변: A와 B가 4-벡터이면 내적(스칼라 곱)은 불변이다. 즉, 내적은 계산되는 계과 무관하다. 내적 계산이 3-벡터의 내적 계산과 어떻게 다른지 확인하라. 다음에서  {\vec {A}} 및  {\vec {B}}는 3-벡터이다.
한 벡터 크기의 불변성: 한 벡터의 크기는 4-벡터와 그 자체의 내적이며, 또한 어떤 프레임-독립적 속성이다. 간격들과 마찬가지로, 크기는 양수, 음수 또는 영일 수 있으므로, 벡터는 시간꼴, 공간꼴 또는 널(빛꼴)이라고 참조된다. 널 벡터는 영 벡터와 동일하지 않다. 널 벡터는  A\cdot A=0인 반면 영 벡터는 구성 요소가 모두 영인 벡터이다. 노름의 불변성을 보여주는 특별한 경우들은 불변 간격  c^{2}t^{2}-x^{2}와 또한 상대론적 운동량 벡터  E^{2}-p^{2}c^{2}의 불변 길이를 포함한다.:178–181:36–59
기본을 넘어서 > 4-벡터 > 4-벡터의 예들

변위 4-벡터: 시공간 분리라고도 알려진 이것은 (Δt, Δx, Δy, Δz), 또는 무한소 분리들의 경우 (dt, dx, dy, dz).
속도 4-벡터: 변위 4-벡터를  d\tau 로 나눈 결과이다. 여기서  d\tau 는 dt, dx, dy 및 dz를 생성하는 두 사건들 사이의 고유 시간이다.
그림 4-3a. 정지된 계에서 관찰되는 가속 입자의 순간적으로 공변하는 기준계.
그림 4-3b. 가속하는 관찰자의 궤적을 따라 순간적으로 공변하는 기준계(중앙).
에너지-운동량 4-벡터:
가속 4-벡터:  \tau 에 대한 속도 4-벡터의 미분을 취한 결과이다.
힘 4-벡터:  \tau 에 대한 운동량 4-벡터의 미분이다.
기본을 넘어서 > 4-벡터 > 4-벡터와 물리 법칙

특수 상대성이론의 첫 번째 가정은 모든 관성 프레임의 등가성을 선언한다. 한 계에 있는 물리적 법칙은 모든 프레임에 적용되어야 한다. 그렇지 않으면 프레임을 구별할 수 있기 때문이다. 뉴턴 운동량은 로런츠 변환에서 제대로 작동하지 않으며 아인슈타인은 운동량 보존을 포기하기보다 운동량 정의를 4-벡터를 포함하는 것으로 변경하는 것을 선호했다.
물리적 법칙은 프레임에 독립적인 구성을 기반으로 해야 한다. 이것은 물리 법칙이 항상 프레임 독립적인 스칼라를 연결하는 방정식의 형태를 취할 수 있음을 의미한다. 그렇지만, 4-벡터와 관련된 방정식들은 적절한 차수를 가진 텐서들을 사용해야 하며, 그 자체는 4-벡터들로부터 구성되는 것으로 생각될 수 있다.:186
기본을 넘어서 > 가속

en: Acceleration (special relativity)  문서를 참고하십시오.
특수 상대성이론은 관성 프레임에만 적용 가능하고 가속하는 물체나 가속하는 기준 프레임을 다룰 수 없다는 것은 일반적인 오해이다. 실제로 가속하는 물체는 일반적으로 가속 프레임을 전혀 다룰 필요 없이 분석할 수 있다. 일반 상대성이론이 필요한 것은 중력이 중요한 경우에만 가능하다.
그러나 가속 프레임을 올바르게 처리하려면 약간의 주의가 필요하다. 특수 상대성이론과 일반 상대성이론의 차이점은 (1) 특수 상대성이론에서 모든 속도는 상대적이지만 가속도는 절대적이라는 것이다. (2) 일반 상대성이론에서 모든 운동은 관성, 가속 또는 회전 여부에 관계없이 상대적이다. 이 차이를 수용하기 위해 일반 상대성이론은 휘어진 시공간을 사용한다.
이 섹션에서는 가속 기준 프레임 관련된 여러 시나리오를 분석한다.
기본을 넘어서 > 가속 > 드완-베란-벨 우주선 역설

이 부분의 본문은 벨의 우주선 역설입니다.
드완-베란-벨 우주선 역설(벨의 우주선 역설)은 시공간적 접근의 기하학적 통찰력의 도움을 받지 않는 직관적 추론이 이슈화 될 수 있는 문제의 좋은 예이다.
그림 4-4에서 두 개의 동일한 우주선이 공간에 떠 있고 서로에 대해 정지해 있다. 그들은 끊어지기 전에 제한된 양의 스트레칭만 가능한 줄로 연결되어 있다. 우리의 프레임 즉 관찰자 프레임이 주어진 순간에 두 우주선은 동일한 일정한 고유 가속도를 갖는 선을 따라 같은 방향으로 가속한다. 그 줄은 끊어질 것인가?
역설이 새롭고 상대적으로 알려지지 않았을 때, 전문 물리학자들도 해법을 찾는 데 어려움을 겪었다. 두 노선의 추론은 반대 결론으로 이어진다. 아래에 나와 있는 주장 중 하나가 정답이지만 두 가지 모두 결함이 있다.:106,120–122
정지한 프레임의 관찰자에게 우주선은 L 거리에서 시작하여 가속 중에 같은 거리를 유지한다. 가속 중 L은 가속하는 우주선의 프레임에서 거리 L' = γL만큼 길이가 축소된 거리이다. 충분히 오랜 시간이 지나면 γ는 줄이 끊어져야 할 만큼 충분히 큰 인자로 증가한다.
A와 B를 앞뒤 우주선이라고 하자. 우주선의 계에서 각 우주선은 다른 우주선이 하고 있는 것과 동일한 작업을 수행하는 것을 본다. A는 B가 자신과 같은 가속도를 가지고 있다고 말하고, B는 A가 그녀의 모든 움직임과 일치한다고 본다. 따라서 우주선은 같은 거리를 유지하고 줄은 끊어지지 않는다.:106,120–122
첫 번째 주장의 문제는 "우주선의 프레임"이 없다는 것이다. 두 우주선이 둘 사이의 거리를 측정하기 때문에 있을 수 없다. 우주선의 공통 프레임이 없기 때문에 줄의 길이가 잘못 정의된다. 그럼에도 불구하고 결론은 옳고 그 주장은 대부분 옳다. 그러나 두 번째 주장은 동시성의 상대성을 완전히 무시한다.:106,120–122
시공간 도표(그림 4-5)는 이 역설에 대한 올바른 해결책을 거의 즉시 명백하게 보여준다. 민코프스키 시공간의 두 관찰자는 고유 시간  \sigma  동안 일정한 크기의  k 가속도로 가속한다(관성 관찰자가 아닌 관찰자가 직접 측정한 가속도 및 경과 시간). 그들은 이 단계 전후에 움직이고 관성적이다. 민코프스키 기하학에서 동시성 선을 따른 길이  A'B''는 동시성 선을 따른 길이  AB보다 크다.
길이 증가는 로런츠 변환의 도움으로 계산할 수 있다. 그림 4-5와 같이 가속이 완료되면 우주선은  S'계에서 일정한 오프셋을 유지한다.</math>  x_{A} 및  x_{B}=x_{A}+L는  S의 우주선 위치이고,  S'계의 위치는 다음과 같다.
말하자면 "역설"은 벨이 자신의 예를 구성한 방식에서 비롯된다. 로런츠 수축에 대한 일반적인 논의에서 정지한 길이는 고정되고 이동하는 길이는 프레임  S에서 측정한 대로 짧아진다. 그림 4-5에서 볼 수 있듯이 벨의 예는 프레임  S에서 측정된 이동하는 길이  AB와  A'B'는 고정되며 따라서 프레임  S'의 정지한 프레임 길이  A'B''를 강제로 증가시킨다고 주장한다.
기본을 넘어서 > 가속 > 지평선이 있는 가속된 관찰자

이 부분의 본문은 en: Event horizon § Apparent horizon of an accelerated particle 및 가속 좌표계입니다.
특정 특수 상대성이론 문제 설정은 사건 지평선과 같이 일반적으로 일반 상대성이론과 관련된 현상에 대한 통찰력으로 이어질 수 있다. 그림 2-7에 첨부된 텍스트에서 자홍색 쌍곡선은 시공간에 끊임없이 가속하는 여행자가 추적하는 실제 경로를 나타낸다. 양의 가속도 기간 동안 여행자의 속도는 단지 빛의 속도에 '접근'하는 반면, 우리 프레임에서 측정하면 여행자의 가속도는 지속적으로 감소한다.
그림 4-6은 여행자 동작의 다양한 기능을 보다 구체적으로 자세히 설명한다. 임의의 주어진 순간에 그녀의 공간 축은 쌍곡선 상의 원점과 그녀의 현재 위치를 지나는 선에 의해 형성되고, 그녀의 시간 축은 그녀의 위치에서 쌍곡선에 대한 접선이다. 속도 매개변수  \beta 는  ct가 증가함에 따라 1의 한계에 접근한다. 마찬가지로  \gamma 는 무한대에 접근한다.
불변 쌍곡선의 모양은 일정한 고유 가속도의 경로에 해당한다. 이것은 다음과 같이 증명할 수 있다:
우리는  \beta =ct/x를 기악한다.
c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2}이므로 우리는  \beta (ct)=ct/{\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}라고 결론짓는다.
\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}=  {\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}/s
상대론적 힘의 법칙으로부터,  F=dp/dt= dpc/d(ct)=d(\beta \gamma mc^{2})/d(ct).
단계 2로부터  \beta (ct)를 치환하면 단계 3으로부터  \gamma 의 표현은 상수 표현인  F=mc^{2}/s를 산출한다.:110–113
그림 4-6은 계산된 특정 시나리오를 보여준다. 테렌스(A)와 스텔라(B)는 처음에 원점에서 100광시간 떨어져 함께 서 있다. 스텔라는 시간 0에 이륙하고 우주선은 시간당 0.01c로 가속된다. 20시간마다 테렌스 라디오는 집의 상황에 대해 스텔라에게 업데이트한다(녹색 실선). 스텔라는 이러한 정기적인 전송을 수신하지만 거리가 증가하면(시간 팽창에 의해 부분적으로 상쇄됨) 그녀는 그녀의 시계로 측정한 대로 나중에 테렌스의 통신을 받게 되며 그의 시계(녹색 점선)로 100시간 후에는 테렌스로부터 어떠한 통신도 결코 받지 못한다.:110–113
테렌스의 시계로 100시간 후, 스텔라는 어두운 영역에 들어간다. 그녀는 테렌스의 시간꼴 미래의 밖에서 여행했다. 반면에 테렌스는 스텔라가 그에게 보내는 메시지를 계속해서 받기가 가능하다. 단지 그는 충분히 오래 기다려야만 한다. 시공간은 겉보기 사건의 지평선에 의해 분리된 별개의 영역으로 분할되었다. 스텔라가 가속을 계속하는 한 그녀는 이 지평선 뒤에서 무슨 일이 일어나는지 결코 알 수 없다.:110–113
휘어진 시공간으로 입문

이 부분의 본문은 일반상대론 개론 및 일반 상대성이론입니다.
휘어진 시공간으로 입문 > 기본 명제

뉴턴의 이론은 모든 공간과 시간에 걸쳐 확장되는 강성의 유클리드 기준 프레임을 배경으로 운동이 발생한다고 가정했다. 중력은 거리를 가로질러 순간적으로 작용하는 신비한 힘에 의해 매개되며, 그 작용은 중간 공간과 무관하다. 대조적으로, 아인슈타인은 공간 전체에 걸쳐 확장되는 배경 유클리드 기준 프레임이 있다는 것을 부인했다. 중력과 같은 것은 없으며 시공간 자체의 구조만 있을 뿐이다.:175–190
시공간 관점에서, 지구 궤도를 도는 위성의 경로는 지구, 달, 태양의 먼 영향에 의해 결정되지 않는다. 대신, 위성은 오직 지역 조건에 반응하여 우주를 이동한다. 시공간은 충분히 작은 규모로 볼 때 국소적으로 평평하기 때문에, 위성은 항상 국소 관성 프레임에서는 직선을 따른다. 우리는 위성이 항상 측지선의 경로를 따라간다고 말한다. 단일 입자의 운동을 따라가는 중력의 증거는 발견할 수 없다.:175–190
시공간에 대한 모든 분석에서, 중력의 증거는 두 물체 또는 두 개의 분리된 입자의 상대 가속도를 관찰할 것을 요구한다. 그림 5-1에서, 지구의 중력장에서 자유낙하하는 두 개의 분리된 입자는 중력장의 국소적 이질성으로 인해 조석 가속도를 나타내어 각 입자가 시공간의 다른 경로를 따르도록 한다. 이 입자들이 서로에 대해 나타내는 조석 가속도는 설명을 위해 힘을 필요로 하지 않는다. 오히려, 아인슈타인은 그것들을 시공간의 기하학, 즉 시공간의 곡률로 기술했다. 이러한 조석 가속들은 엄격하게 국소적이다. 지구로부터 먼 거리 영역에 작용하는 중력의 나타남을 결과하는 것은 곡률의 많은 국소적 표명들의 누적된 총 효과이다.:175–190
일반 상대성이론의 바탕에는 두 가지 중심 명제가 있다.
첫 번째 중요한 개념은 좌표 독립성이다. 물리 법칙은 사용하는 좌표계에 의존할 수 없다. 이것은 비가속(관성) 기준 프레임에서 움직이는 모든 관찰자에 대해 물리 법칙이 동일해야 한다는 특수 상대성 이론에서 사용된 버전의 상대성 원리의 주요 확장이다. 일반 상대성이론에서 아인슈타인 자신의 (번역된) 단어를 사용하려면 "물리 법칙은 어떤 종류의 운동에서도 기준 프레임에 적용할 수 있는 성질을 가져야 한다.":113  이것은 즉각적인 문제로 이어진다. 가속 프레임에서 우리는 절대적인 의미에서 가속 상태를 평가할 수 있게 해주는 것처럼 보이는 힘을 느낀다. 아인슈타인은 등가의 원리를 통해 이 문제를 해결했다.:137–149
등가원리는 공간의 충분히 작은 영역에서 중력의 영향은 가속도의 영향과 동일하다는 것이다.
위의 곡선 시공간에 대한 기초적 설명으로부터 중력에 대한 완전한 설명으로 가려면 텐서 미적분학 및 미분 기하학이 필요하며, 두 주제들 모두 상당한 연구를 필요로 한다. 이러한 수학적 도구들이 없으면 일반 상대성이론에 대해서 쓸 수는 있지만 자명하지 않은 유도들을 논증하는 것은 불가능하다.
일반상대론 개론 및 일반 상대성이론  문서를 참고하십시오.
휘어진 시공간으로 입문 > 시간의 곡률

특수 상대성이론에 대한 논의에서 힘은 배경 역할에 불과했다. 특수 상대성이론은 모든 시공간을 채우는 관성 프레임을 정의할 수 있는 능력을 가정한다. 이게 정말 가능할까? 불균일한 중력장에서 실험에 따르면 답은 아니오이다. 중력장은 대역적global 관성 프레임을 구성하는 것을 불가능하게 만든다. 시공간의 충분히 작은 영역에서 국소적 관성 프레임은 여전히 가능하다. 일반 상대성이론은 이러한 국소 프레임을 체계적으로 연결하여 시공간의 보다 일반적인 그림으로 만드는 것을 포함한다.:118–126
1916년 일반 상대성이론이 발표되기 몇 년 전, 아인슈타인은 등가원리를 사용하여 다음 사고 실험에서 중력 적색편이의 존재를 예측했다: (i) 높이 h(그림 5-3)의 타워가 건설되었다고 가정한다. (ii) 탑 꼭대기에서 정지 질량 m의 입자를 떨어뜨린다. 가속도 g로 자유 낙하하며, v = (2gh)1/2 속도로 지면에 도달하므로 지상에서 관찰자가 측정한 총 에너지 E는  m+{\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{c^{2}}}=m+{\frac {mgh}{c^{2}}} (iii) 질량-에너지 변환기는 입자의 총 에너지를 위쪽으로 향하는 단일 고에너지 광자로 변환한다. (iv) 타워 꼭대기에서 에너지-질량 변환기는 광자 E'의 에너지를 다시 정지 질량 m'의 입자로 변환한다.:118–126
m = m'이어야 한다. 그렇지 않으면 영구 기관 장치를 구성할 수 있기 때문이다. 따라서 우리는 E' = m라고 예측하므로
지구의 중력장에서 상승하는 광자는 에너지를 잃고 적색편이된다. 천문학적 관찰을 통해 이 적색편이를 측정하려는 초기 시도는 다소 결정적이지 않았지만 파운드-레브카Pound-Rebka (1959)와 나중에 파운드-스나이더Pound-Snider (1964)에 의해 결정적인 실험실 관찰이 수행되었다.
빛에는 연관된 주파수가 있으며 이 주파수는 시계 작동을 구동하는 데 사용될 수 있다. 중력적 적색편이는 시간 자체에 대한 중요한 결론으로 이어진다. 중력은 시간을 느리게 만든다. 속도가 안정적인 원자 전이에 의해 제어되는 두 개의 동일한 시계를 구축한다고 가정한다. 하나의 시계는 타워 위에 놓고 다른 시계는 바닥에 둔다. 타워 꼭대기에 있는 실험자는 지상 시계의 신호가 타워에 있는 그녀 옆에 있는 시계의 신호보다 주파수가 더 낮은 것을 관찰했다. 탑을 올라가는 빛은 파동일 뿐이고, 올라가는 길에 파동의 마루가 사라지는 것은 불가능하다. 정확히 많은 빛의 진동이 바닥에서 방출된 만큼 타워의 꼭대기에 도달한다. 실험자는 지상 시계가 느리게 작동하고 있으며 지상 시계와 나란히 비교하기 위해 시계탑 시계를 내려서 이를 확인할 수 있다.:16–18 1km 타워의 경우 불일치는 현대식 기기로 쉽게 측정 가능한 약 하루 9.4나노초에 이른다.
중력장의 시계는 모두 같은 속도로 작동하지 않는다. 파운드-레브카실험과 같은 실험은 시공간의 시간 성분의 곡률을 확고히 확립했다. 파운드-레브카 실험은 시공간의 공간 구성요소의 곡률에 대해 아무 말도 하지 않는다. 그러나 중력 시간 팽창을 예측하는 이론적 주장은 일반 상대성이론의 세부 사항에 전혀 의존하지 않는다. 중력 이론은 등가의 원리를 존중한다면 중력 시간 팽창을 예측할 것이다.:16  여기에는 뉴턴 중력이 포함된다. 일반 상대성이론의 표준 시연은 "뉴턴 한계(Newtonian limit)"(즉, 입자는 천천히 움직이고 중력장은 약하고 장은 정적임)에서 시간의 곡률만으로도 뉴턴의 중력 법칙을 도출하기에 충분하다는 것을 보여주는 것이다.:101–106
뉴턴 중력은 곡선 시간 이론이다. 일반 상대성이론은 휘어진 시간과 휘어진 공간의 이론이다. G를 중력 상수로, M을 뉴턴적 별의 질량으로, 별에서 r 거리에 있는 미미한 질량의 궤도를 도는 천체가 주어지면 뉴턴 중력의 시공간 간격은 시간 계수만 가변적이다::229–232
휘어진 시공간으로 입문 > 공간의 곡률

(c\Delta t)^{2} 앞의  (1-2GM/(c^{2}r)) 계수는 뉴턴 중력의 시간축 곡률을 설명하며, 이 곡률은 모든 뉴턴 중력 효과를 완전히 설명한다. 예상대로 이 보정 계수는  G와  M에 정비례하며 분모의  r 때문에 보정 계수는 1만큼 증가한다. 중력에 접근한다는 것은 시간이 곡선이라는 뜻이다.
그러나 일반 상대성이론은 휘어진 공간 및 휘어진 시간에 대한 이론이므로 위에서 제시한 시공간의 공간적 성분을 수식하는 용어가 있다면, 말하자면, 공간적 항에 적용되는 곡률 보정 인자로 인해 행성 및 위성 궤도에 그 영향을 보아야 하지 않을까?
대답은 '있다'는 것이지만 효과는 미미하다. 그 이유는 행성의 속도는 빛의 속도에 비해 매우 작아서 태양계의 행성과 위성의 경우  (c\Delta t)^{2} 항이 공간적 항을 왜소하게 만들기 때문이다.:234–238
공간적 항의 미세함에도 불구하고 뉴턴 중력에 문제가 있다는 첫 번째 징후는 150여 년 전에 발견되었다. 1859년 위르뱅 르베리에는 1697년부터 1848년까지 태양 원반 위의 수성의 통과에 대한 이용 가능한 시간 제한 관측 분석에서 알려진 물리학으로는 행성의 궤도를 설명할 수 없다고 보고했다. 수성의 궤도 내에 행성이나 소행성대가 존재하지 않는 한 수성 궤도의 근일점은 다른 행성의 잡아당김으로 설명될 수 있는 것보다 과도한 세차 운동을 나타냈다. 이 변칙적인 세차 운동(태양세기당 단 43호초(arcsecond))의 미세한 값을 감지하고 정확하게 측정하는 능력은 19세기 위치천문학의 정교함을 보여준다.
천왕성 궤도의 흔들림을 분석하여 "펜 끝에서" 해왕성의 존재를 일찍 발견한 유명한 천문학자로서, 르베리에의 발표는 프로와 아마추어로서 20년에 걸친 "벌칸-매니아(Vulcan-mania)"의 시기를 촉발했다. 천문학자들은 모두 가상의 새로운 행성을 찾아 헤맸다. 이 검색에는 벌칸에 대한 여러 잘못된 목격이 포함되었다. 궁극적으로 그러한 행성이나 소행성대는 존재하지 않는다는 것이 확인되었다.
1916년에, 아인슈타인은 수성의 이 변칙적인 세차 운동이 시공간의 곡률에 따른 공간적 항으로 설명된다는 것을 보여주어야 했다. 단순히 뉴턴 중력의 표현인 시간적 용어의 곡률은 이 변칙적인 세차 운동을 설명하는 데 아무런 역할도 하지 않는다. 그의 계산의 성공은 아인슈타인의 동료들에게 일반 상대성이론이 옳을 수 있다는 강력한 표시였다.
아인슈타인의 예측 중 가장 놀라운 것은 시공간 간격의 공간적 구성요소에 있는 곡률 항이 거대한 물체 주위의 빛의 굽힘으로 측정될 수 있다는 그의 계산이었다. 시공간 도표에서 빛의 기울기는 ±1이다. 공간에서의 움직임은 시간에서의 움직임과 같다. 불변 간격의 약한 장 표현을 위해서, 아인슈타인은 공간적 성분들에서 정확히 같으나 반대 부호 곡률을 계산했다.:234–238
뉴턴의 중력에서,  (c\Delta t)^{2} 앞의  (1-2GM/(c^{2}r)) 계수는 별 주위의 빛의 휨을 예측한다. 일반 상대성이론에서  \left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right] 앞에 있는  (1+2GM/(c^{2}r)) 계수는 총 굽힘의 배가(doubling)를 예측한다.:234–238
1919년 에딩턴 일식 탐험과 아인슈타인의 명성 상승에 대한 이야기는 다른 곳에서 잘 알려져 있다.
휘어진 시공간으로 입문 > 시공간 곡률의 소스들

뉴턴의 중력이론에서 질량은 중력의 유일한 근원이다.
대조적으로, 일반 상대성이론은 질량 외에 시공간 곡률의 여러 원인을 식별한다. 아인슈타인 장 방정식( R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu })
에서, 중력의 근원은 오른쪽에 표시되는  T_{\mu \nu }, 에너지-운동량 텐서이다.
그림 5-5는 에너지-운동량 텐서 성분들에서 중력의 다양한 근원을 분류한다.
T^{00}(빨간색): 입자 사이의 힘으로 인한 위치 에너지 및 임의의 열 운동으로 인한 운동 에너지에 대한 기여를 포함하는 총 질량-에너지 밀도.
T^{0i} 및  T^{i0}(주황색): 운동량 밀도 항이다. 부피 유동(bulk movement)이 없더라도 열전도에 의해 에너지가 전달될 수 있으며 전도된 에너지는 운동량을 전달할 것이다.
T^{ij}는 j-방향으로의 단위 면적당 운동량의 i-성분의 흐름 속도이다. 부피 유동이 없더라도 입자의 무작위 열 운동은 운동량 흐름을 발생시키므로 i = j 항(녹색)은 등방성 압력을 나타내며, i ≠ j 항(파란색)은 전단 응력을 나타낸다.
방정식에서 파생되어야 하는 한 가지 중요한 결론은 구어체로 말하면 중력 자체가 중력을 생성한다라는 것이다.:112–113 에너지는 질량을 갖는다. 뉴턴 중력에서도 중력장은 중력 위치 에너지라고 하는 에너지  E=mgh와 관련이 있다. 일반 상대성이론에서 중력장의 에너지는 중력장의 생성으로 피드백된다. 이것은 방정식을 비선형으로 만들고 약한 장의 경우가 아닌 다른 모든 경우를 풀기 어렵게 만든다. 수치 상대성이론은 문제를 해결하고 분석하기 위해 일반상대성 이론의 한 분야로, 종종 슈퍼컴퓨터를 사용하여 블랙홀, 중력파, 중성자별 및 강한 장 체제(strong field regime)의 기타 현상을 연구한다.
휘어진 시공간으로 입문 > 시공간 곡률의 소스들 > 에너지-운동량

그림 5-6. (왼쪽) 질량-에너지가 시공간을 왜곡한다. (오른쪽) 각운동량 가 있는 회전하는 질량-에너지 분포는 중력자기장 를 생성한다.
특수 상대성이론에서 질량 에너지는 운동량과 밀접하게 연결되어 있다. 공간과 시간이 시공이라는 보다 포괄적인 실체의 다른 측면인 것처럼 질량-에너지와 운동량은 4-운동량이라고 하는 통일된 4차원 양의 다른 측면일 뿐이다. 결과적으로 질량-에너지가 중력의 근원이라면 운동량도 근원이 되어야 한다. 중력의 원천으로 운동량을 포함하면 이동하거나 회전하는 질량이 중력 자성으로 알려진 현상인 이동하는 전하에 의해 생성되는 자기장과 유사한 필드를 생성할 수 있다는 예측으로 이어진다.
자기력은 움직이는 전하에 특수 상대성이론을 적용하여 추론할 수 있다는 것은 잘 알려져 있다. (이에 대한 설득력 있는 설명은 온라인에서 볼 수 있는 그의 물리학 강의 2권 chapter 13–6에서 파인만이 제시했다.) 유사한 논리를 사용하여 중력자의 기원을 설명할 수 있다. 그림 5-7a에서 두 개의 평행하고 무한히 긴 거대한 입자의 흐름은 정지 상태에 있고 둘 사이의 중심에 있는 테스트 입자에 대해 동일하고 반대되는 속도 -v 및 +v를 갖는다. 설정의 대칭으로 인해, 중심 입자는 0이다. 속도가 단순히 덧셈이 되도록  v\ll c를 가정한다. 그림 5-7b는 정확히 동일한 설정을 보여주지만 상위 흐름의 프레임에 있다. 테스트 입자의 속도는 +v이고 하단 흐름의 속도는 +2v이다. 물리적 상황은 바뀌지 않고 사물이 관찰되는 프레임뿐이므로 테스트 입자는 어느 쪽 흐름에도 끌리지 않아야 한다. 그러나 테스트 입자에 가해진 힘이 동일하다는 것은 전혀 분명하지 않다. (1) 바닥 흐름이 위쪽보다 빠르게 움직이기 때문에 아래쪽 흐름에 있는 각 입자는 위쪽에 있는 입자보다 더 큰 질량 에너지를 갖는다. (2) 로런츠 수축으로 인해 단위 길이당 입자가 위쪽 흐름보다 아래쪽 흐름에 더 많다. (3) 바닥 흐름의 활성 중력 질량에 대한 또 다른 기여는 이 시점에서 논의할 충분한 배경이 없는 추가 압력 항에서 비롯된다. 이러한 모든 효과는 함께 테스트 입자가 바닥 흐름을 향해 끌어당겨야 하는 것처럼 보인다.
테스트 입자는 바닥 흐름과 같은 방향으로 움직이는 입자를 밀어내는 역할을 하는 속도-의존성 힘 때문에 바닥 흐름으로 끌어당기지 않는다. 이 속도-의존성 중력 효과가 중력 자성이다.:245–253
따라서 중력 자기장을 통해 움직이는 물질은 전자기 유도와 유사한 소위 틀 끌림(frame-dragging) 효과를 받는다. 이러한 중력자기력은 회전하는 초대질량 블랙홀에 의해 분출되는 상대론적 제트(그림 5-8) 생성의 기초가 된다고 제안되었다.
휘어진 시공간으로 입문 > 시공간 곡률의 소스들 > 압력과 응력

에너지 및 운동량과 직접적으로 관련된 양들은 중력의 소스들이어야 한다. 즉, 내부 압력 및 응력이다. 종합하면 질량-에너지, 운동량, 압력 및 응력은 모두 중력의 소스들로 작용한다. 집합적으로, 그것들은 시공간에 곡선을 그리는 방법을 알려주는 것이다.
일반 상대성이론은 압력이 질량-에너지 밀도와 정확히 동일한 강도를 갖는 중력 소스로 작용한다고 예측한다. 중력의 원천으로 압력을 포함시키면 일반 상대성이론과 뉴턴 중력의 예측 사이에 극적인 차이가 발생한다. 예를 들어, 압력 항은 중성자 별의 질량에 대한 최대 한계를 설정한다. 중성자별이 무거울수록 중력에 대항하여 무게를 지탱하기 위해 더 많은 압력이 필요하다. 그러나 증가된 압력은 별의 질량에 작용하는 중력을 증가시킨다. 톨만-오펜하이머-볼코프 한계에 의해 결정된 특정 질량 이상에서, 과정은 폭주하고 중성자별은 블랙홀로 붕괴된다.:243,280
응력 항은 핵붕괴 초신성의 유체역학 시뮬레이션과 같은 계산을 수행할 때 매우 중요하다.
시공간 곡률의 원인으로서 압력, 운동량 및 응력의 역할에 대한 이러한 예측은 우아하고 이론에서 중요한 역할을 한다. 압력과 관련하여 초기 우주는 복사가 지배적이었다. 압력이 중력에 기여하지 않거나 질량-에너지만큼 중력의 근원과 같은 강도를 갖지 않는 경우 우주론적 데이터(예: 핵합성 존재비 등)를 재현할 수 있는 가능성은 매우 낮다. 마찬가지로, 응력 항이 중력의 원인으로 기여하지 않으면 아인슈타인 장 방정식의 수학적 일관성이 깨진다.
휘어진 시공간으로 입문 > 시공간 곡률의 소스들에 대한 실험적 테스트 > 정의들: 능동적, 수동적 및 관성 질량

본디Bondi는 질량의 가능한 다양한 유형들을 구별한다. (1) 능동적 질량( m_{a})은 중력장의 소스로 작용하는 질량이다; (2) 수동적 질량( m_{p})은 중력장에 반응하는 질량이다; (3) 관성 질량( m_{i})은 가속도에 반응하는 질량이다.
m_{p}는 등가원리에 대한 토론의 중력 질량( m_{g})과 동일하다.
뉴턴 이론에서는,
작용과 반작용의 제3법칙은  m_{a}와  m_{p}가 같아야한다는 것이다.
한편,  m_{p}와  m_{i}가 같은 것은 실험적 결과이다.
일반 상대성이론에서는,
m_{p}와  m_{i}의 등가성은 등가 원리에 의해 결정된다.
m_{a}와  m_{p} 사이에 필요한 관계를 지시하는 "작용과 반작용" 원리는 없다.
휘어진 시공간으로 입문 > 시공간 곡률의 소스들에 대한 실험적 테스트 > 중력의 소스로서의 압력

중력의 소스(즉, 능동적 질량)의 강도를 측정하는 고전적인 실험은 1797년 헨리 캐번디시Henry Cavendish에 의해 처음 수행되었다(그림 5-9a). 작지만 조밀한 두 개의 공이 가는 철사에 매달려 비틀림 균형(Torsion balance)을 이룬다. 두 개의 큰 테스트 질량을 볼에 가깝게 가져오면 감지 가능한 토크가 발생한다. 장치의 치수와 비틀림 와이어의 측정 가능한 스프링 상수가 주어지면 중력 상수 G가 결정될 수 있다.
테스트 질량을 압축하여 압력 효과를 연구하는 것은 가망이 없다. 도달할 수 있는 실험실 압력이 금속 공의 질량-에너지에 비해 미미하기 때문이다.
그러나 원자핵 내부에서 양성자가 단단히 압착되어 생기는 반발 전자기 압력은 일반적으로 1028 atm ≈ 1033 Pa ≈ 1033 kg·s−2m−1. 이것은 약 1018kg/m3의 핵 질량 밀도의 약 1%에 해당한다(c2 ≈ 9×10 16m2s−2에서 인수분해한 후).
그림 5-10. 달 레이저 거리 측정 실험. (왼쪽) 이 역반사체(retroreflector)는 아폴로 11호 임무에서 우주비행사들이 달에 남겨둔 것이다. (오른쪽) 전 세계의 천문학자들은 지구-달 거리를 정확하게 측정하기 위해 아폴로 우주비행사와 러시아 달 탐사선이 남긴 역반사체에서 레이저 빛을 반사했다.
만일 압력이 중력 소스로 작용하지 않는다면,  m_{a}/m_{p} 비율은 정전기 압력이 더 높은 원자 번호 Z가 더 높은 핵에서 더 낮아야 한다. L. B. 크로이저Kreuzer(1968)는 테플론과 동일한 부력 밀도를 갖는 액체 트리클로로에틸렌과 디브로모에탄dibromoethane의 혼합물에 매달린 테플론 질량을 사용하여 캐번디시 실험을 수행했다(그림 5-9b). 불소의 원자 번호는 Z = 9이고 브롬의 원자 번호는 Z = 35이다. 크로이저는 테플론 질량의 위치를 변경해도 토션 바의 차등 변형이 발생하지 않아 능동적 질량과 수동적 질량이 5×10−5의 정밀도로 동등하다는 것을 발견했다.
크로이저는 원래 이 실험을 단순히 능동적 질량 대 수동적 질량의 비율 테스트로 간주했지만, 클리포드 윌Clifford Will(1976)은 이 실험을 중력장에 대한 소스의 결합의  기본 테스트로 재해석했다.
1986년에, 바틀렛Bartlett와 반 뷰런Van Buren은 달 레이저 거리 측정실험이 달의 모양 중심과 질량 중심 사이의 2km 오프셋이 있음을 주목했다. 이것은 철(달의 핵에 풍부)과 알루미늄(지각과 맨틀에 풍부)의 분포가 비대칭임을 나타낸다. 압력이 질량-에너지만큼 시공간 곡률에 동등하게 기여하지 않는다면, 달은 고전 역학에서 예측한 궤도에 있지 않을 것이다. 그들은 능동적 질량과 수동적 질량 사이의 불일치에 대한 한계를 약 10-12까지 강화하기 위해 그들의 측정값을 사용했다.
휘어진 시공간으로 입문 > 시공간 곡률의 소스들에 대한 실험적 테스트 > 중력 자성

중력 자성의 존재는 2004년 4월 20일에 발사된 위성 기반 임무인 중력탐사기 B(Gravity Probe B)(GP-B)에 의해 입증되었다. 우주 비행 단계는 2005년까지 지속되었다. 임무 목표는 중력 자성에 특히 중점을 두고 지구 근처의 시공간 곡률을 측정하는 것이었다.
초기 결과는 약 1%의 정확도로 상대적으로 큰 측지 효과(geodetic effect)(단순한 시공간 곡률로 인한 것이며 더시터르 세차 운동이라고도 함)를 확인했다. 훨씬 작은 틀 끌림 효과(중력 자기로 인한 것으로 렌세-티링 세차 운동(Lense–Thirring precession)이라고도 함)는 자이로스코프에서 가변 드리프트를 유발하는 예기치 않은 전하 효과로 인해 측정하기 어려웠다. 그럼에도 불구하고 2008년 8월까지 틀 끌림 효과는 예상 결과의 15% 이내로 확인되었으며 측지 효과는 0.5% 이상으로 확인되었다.
레이저 상대성 위성(LARES), 레이저 지구역학 위성(LAGEOS)-1 및 LAGEOS-2 위성의 레이저 거리 관측에 의한 틀 끌림의 후속 측정은 GP-B 측정에서 개선되었으며 결과(2016년 기준)는 이 결과의 정확성에 대해 약간의 불일치가 있었지만, 이론값의 5% 이내로 효과를 입증했다.
또 다른 노력인 일반 상대성이론의 자이로스코프(GINGER) 실험은 이 효과를 측정하기 위해 지표면 아래 1400m 아래에서 서로 직각으로 장착된 3개의 6m 링 레이저(ling laser)를 사용하려고 한다.
기술적 주제 > 시공간은 실제로 휘었는가?

푸앵카레의 규약주의자 관점들에서는, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학을 선택해야 하는 필수 기준은 경제성과 단순성이다. 실재론자들은 아인슈타인이 시공간이 비유클리드적이라는 것을 발견했다고 말할 것이다. 규약주의자는 아인슈타인이 비유클리드 기하학을 사용하는 것이 더 편리하다는 것을 알았다고 말할 것이다. 규약주의자는 아인슈타인의 분석이 시공간의 기하학이 실제로 무엇인가에 대해 아무 말도 하지 않았다고 주장할 것이다.
그런 말을 하면,
첫 번째 질문에 대한 응답으로  데저Deser, 그리슈크Grishchuk, 로젠Rosen, 와인버그 등을 포함한 많은 저자들은 평평한 다양체의 장으로 중력의 다양한 공식들을 제공했다. 이러한 이론은 "바이메트릭 중력(bimetric gravity)", "일반 상대성이론에 대한 장 이론적 접근" 등으로 다양하게 불린다. 킵 손은 이러한 이론에 대한 한 대중적 리뷰를 제공했다.:397–403
평평한 시공간 패러다임은 물질이 중력장을 생성하여 자를 원주 방향에서 방사형으로 돌릴 때 자를 수축시키고 시계의 똑딱거리는 속도를 팽창시킨다고 가정한다. 평평한 시공간 패러다임은 둘 다 동일한 물리적 현상을 나타낸다는 점에서 휘어진 시공간 패러다임과 완전히 동일하다. 그러나 그들의 수학적 공식은 완전히 다르다. 연구하는 물리학자들은 문제의 요구 사항에 따라 휘어진 및 평평한 시공간 기술 사용하기를 일상적으로 전환한다. 평평한 시공간 패러다임은 약한 장에서 근사 계산을 수행할 때 특히 편리한 것으로 판명되었다. 따라서 중력파 문제를 풀 때는 평평한 시공간 기술이 사용되는 반면에, 블랙홀 분석에는 휘어진 시공간 기술이 사용되는 경향이 있다.:397–403
기술적 주제 > 점근적 대칭들

이 부분의 본문은 en: Bondi–Metzner–Sachs group입니다.
특수 상대성이론의 시공간 대칭 군은 3개의 로런츠 부스트, 3개의 회전 및 4개의 시공간 병진으로 구성된 10차원 군인 푸앵카레 군이다. 일반 상대성이론에 어떤 대칭이 적용될 수 있는지 묻는 것이 논리적이다. 다루기 쉬운 경우는 중력장의 모든 근원에서 멀리 떨어진 관찰자에게 보이는 시공간의 대칭을 고려하는 것일 수 있다. 점근적으로 평평한 시공간 대칭에 대한 순진한 기대는 단순히 특수 상대성이론, 즉 푸앵카레 군의 평평한 시공간 대칭을 확장하고 재생산하는 것일 수 있다.
1962년 헤르만 본디Hermann Bondi, M. G.  반 데르 부르그van der Burg, A. W. 메츠너Metzner 및 레이너 K. 삭스Rainer K. Sachs는 전파되는 중력파로 인한 무한대의 에너지 흐름을 조사하기 위해 이 점근 대칭 문제를 다루었다. 그들의 첫 번째 단계는 중력장에 빛과 같은 무한대를 배치할 물리적으로 합리적인 경계 조건을 결정하여 점근 대칭군의 본성에 대한 선험적 가정을 하지 않고-그러한 군이 존재한다는 가정조차 하지 않고, 계량이 점근적으로 평평하다고 말하는 것이 무엇을 의미하는지 특성화하는 것이다. 그런 다음 가장 합리적인 경계 조건으로 간주되는 것을 설계한 후, 점근적으로 평평한 중력장에 적합한 경계 조건의 형태를 불변으로 남겨두는 점근 대칭 변환 결과의 특성을 조사했다. 그들이 발견한 것은 점근 대칭 변환이 실제로 한 군을 형성하며, 이 군의 구조가 여태까지 존재하는 특정 중력장에 의존하지 않는다는 것이다. 이것은 예상대로 적어도 공간적 무한대에서 중력장의 역학에서 시공간의 운동학을 분리할 수 있음을 의미한다. 1962년에 수수께끼처럼 놀랍게도 BMS 군의 하위 군인 유한 차원 푸앵카레 군 대신 점근 대칭 군으로 풍부한 무한 차원 군(소위 BMS 군)을 발견했다. 로런츠 변환은 점근 대칭 변환일 뿐만 아니라, 로런츠 변환은 아니자만 점근 대칭 변환인 추가 변환도 있다. 사실, 그들은 초병진(supertranslation)들로 알려진 무한대 변환 생성기를 추가로 발견했다. 이것은 일반 상대성이론(GR)이 장거리에서 약한 장의 경우에는 특수 상대성이론으로 축소되지 않는다는 결론을 의미한다.:35
리만 기하학

리만 기하학은 리만 다양체를 연구하는 미분 기하학의 한 분야로, 리만 계량 (점에서 점으로 매끄럽게 변하는 접공간에서의 한 내적)을 가진 한 매끄러운 다양체들로 정의된다. 특히 각도, 곡선의 길이(length of curves), 표면적 및 부피에 대한 국소적인 개념을 제공함다. 그것들로부터, 국소 기여도들를 적분하여 일부 다른 대역 량들을 도출될 수 있다.
리만 기하학은 베른하르트 리만의 취임 강연 "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ("기하학의 기초가 되는 가설에 대하여")에서 표현된 비전에서 시작되었다. 이는 R3에서 표면의 미분 기하학(differential geometry of surfaces)을 매우 광범위하고 추상적으로 일반화 한 것입니다. 리만 기하학의 발전은 고차원의 미분가능 다양체(differentiable manifold) 연구에 적용할 수 있는 기법과 함께 표면의 기하학 및 거기에서의 측지선의 거동에 관한 다양한 결과들을 통합하는 결과를 가져왔다. 아인슈타인의 일반 상대성이론의 공식화를 가능하게 했고, 해석학뿐만 아니라 군론과 표현론에 지대한 영향을 미쳤고, 대수 및 미분 위상수학의 발전에 박차를 가했다.
리만 기하학 > 휘어진 다양체들

이 부분의 본문은 다양체, 로런츠 다양체 및 en: Differentiable manifold입니다.
물리적인 이유로, 시공간 연속체는 수학적으로 한 4차원의, 매끄럽고, 연결된 로런츠 다양체  (M,g)로 정의된다. 이것은 매끄러운 로런츠 계량  g는  (3,1)의 계량 부호수를 가진다. 이 계량은 입자 및 광선의 측지선을 결정할 뿐만 아니라 시공간의 기하학을 결정한다. 이 다양체의 각 점(사건)에 대해 좌표 차트(coordinate chart)는 기준 프레임에서 관찰자를 나타내는 데 사용된다. 일반적으로 데카르트 좌표  (x,y,z,t)가 사용된다. 또한, 단순성을 위해 측정 단위는 일반적으로 광속  c가 1이 되도록 선택된다.
기준 프레임(관찰자)는 이러한 좌표 차트 중 하나로 식별할 수 있다. 그러한 관찰자는 모든 사건  p를 설명할 수 있다. 다른 기준 프레임은  p에 대한 두 번째 좌표 차트로 식별할 수 있다. 두 명의 관찰자(각 기준 프레임에 하나씩)가 동일한 사건  p를 설명하지만 다른 설명을 얻을 수 있다.
일반적으로, 한 다양체를 커버하려면 겹치는 좌표 차트들이 많이 필요하다. 두 개의 좌표 차트들이 주어지면 하나는 다음을 포함한다:  p(한 관찰자를 나타냄) 및 다음을 포함하는 다른 것  q(다른 관찰자를 나타냄), 차트들의 교집합은 두 관찰자가 물리량을 측정하여 결과를 비교할 수 있는 시공간의 영역을 나타낸다. 두 측정 세트 간의 관계는 이 교집합에 대한 정칙(non-singular) 좌표 변환에 의해 제공된다. 주변에서 측정을 수행할 수 있는 국소 관찰자로서의 좌표 차트의 아이디어는 실제로 물리적 데이터를 국소적으로 수집하는 방법으로 볼 수 있기 때문에 물리적으로 타당하다.
예를 들어, 한 명은 지구에 있고 다른 한 명은 목성으로 가는 고속 로켓을 타고 있는 두 명의 관찰자들은 목성에 충돌하는 혜성을 관찰할 수 있다(이것은 사건  p이다) 일반적으로, 그들은 이 충돌의 정확한 위치와 시기에 대해 동의하지 않을 것이니, 즉, (다른 좌표계를 사용하기 때문에) 서로 다른 4-튜플  (x,y,z,t)를 가질 것이다. 운동학적 설명들은 다르지만 운동량 보존 및 열역학 제1법칙과 같은 동적(물리적) 법칙은 여전히 유효하다. 사실, 상대성이론은 이러한(그리고 모든 다른 물리적) 법칙이 모든 좌표계에서 동일한 형태를 취해야 한다고 규정한다는 점에서 이보다 더 많은 것을 요구한다. 이것은 상대성이론에 모든 물리적 량들이 표현되는 텐서들을 도입한다.
만일 그 측지선의 한 점에 대한 접선 벡터가 이 성질을 갖는 경우, 측지선은 시간꼴, 널 또는 공간꼴이라고 말한다. 시공간에서의 입자들과 광선들의 경로들은 각각 시간꼴 측지선과 널(빛꼴) 측지선들로써 표시된다.
3+1 시공간의 특권적 특성

시공간의 차원에는 두 종류의 차원이 있다: 공간적(양방향) 그리고 시간적(일방향)의 두 가지 종류가 있다. 장소를 나타내는 차원의 수를 N으로 하고 또한 시간을 나타내는 차원의 수는 T로 하자. N = 3 및 T = 1이라는 것은, 끈 이론에 의해 호출되고 또한 현재까지 감지 할 수 없는 축소화된 차원들을 제쳐두고,  N이 3과 다르고 T가 1과 다를 때의 물리적 결과에 호소함으로써 설명될 수 있다. 이 주장은 종종 인류적인 성격이며 또한 완전한 개념이 유행하기 전이지만 아마도 최초의 종류 일 수 있다.
우주의 차원이 특별하다는 암묵적인 개념은 먼저 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 형이상학 서설에서 세계가 "가설에서 가장 단순하고 현상에서 가장 풍부한 것"이라고 제안한 것에 기인한다. 이마누엘 칸트는 3차원 공간이 만유인력의 법칙의 역제곱의 결과라고 주장했다. 칸트의 주장은 역사적으로 중요하지만, 존 D. 바로우John D. Barrow는 "펀치 라인을 다시 전면으로 가져온다: 우리가 자연에서 역제곱 법칙을 보는 이유를 설명하는 것은 공간의 3차원성이며, 그 반대의 경우는 아니다."라고 말했다. (Barrow 2002: 204).
1920년에, 파울 에렌페스트는 만일 시간 차원이 단 하나이고 공간 차원이 3차원보다 크면, 태양 주위의 행성의 궤도가 안정적으로 유지될 수 없음을 보여주었다. 은하의 중심을 도는 별의 궤도도 마찬가지다. 에렌페스트는 또한 만일 공간 차원들이 어떤 짝수이면, 파동 충격량의 다른 부분들이 다른 속도로 이동할 것임을 보여주었다. 만일 k가 양의 정수인  5+2k 공간 차원이 있다면, 파동 충격량이 왜곡된다. 1922년 헤르만 바일은 전자기학의 맥스웰의 이론이 한 사차원 다양체에 대해서만 작용으로 표현할 수 있다고 주장했다.. 마지막으로 탕헤리니Tangherlini는 1963년에 공간 차원이 3차원 이상일 때, 핵 주위의 전자 궤도들이 안정적일 수 없어서; 전자들이 핵속으로 떨어지거나 또는 흩어질 것을 보여주었다.
막스 테그마크Max Tegmark는 다음과 같은 인류적인 방식으로 앞의 주장을 확장한다. 만일 T가 1과 다르면, 물리적 시스템의 거동이 관련 편미분 방정식의 지식으로부터 안정적으로 예측될 수 없다. 그러한 한 우주에서는, 기술을 조작할 수 있는 지적 생명체가 출현할 수 없다. 또한 만일 T > 1이면, 테그마크는 양성자들과 전자들이 불안정하여 자신보다 더 큰 질량을 갖는 입자들로 붕괴될 수 있다고 주장한다. (만일 입자의 온도가 충분히 낮으면 이것은 어떤 문제는 아니다.) 마지막으로, 만일 N < 3이면, 모든 종류의 중력은 문제가 되고, 또한 그 우주는 관찰자들을 포함하기에는 너무 단순할 것다. 예를 들어, N < 3일 때는, 신경들이 교차하지 않고는 지나갈 수 없다. 따라서 인류적 및 다른 주장들은 우리 주변의 세계를 기술하는 N = 3 및 T = 1을 제외한 모든 경우들을 배제한다.
반면에, 이상적인 단원자 기체가 자체 중력 하에서 블랙홀을 생성한다는 점에서 웨이샹펑Wei-Xiang Feng은 (3+1) 차원의 시공간이 중요하지 않은 차원성임을 보여주었다. 게다가, 그것은 한 "양의" 우주 상수를 가진 어떤 "안정된" 가스권을 감당할 수 있는 것은 독특한 차원성이다. 그러나 자기-중력 기체는 관찰된 우주 상수의 작은 양성으로 인해 질량 구체가 ~1021 태양 질량보다 크면 안정적으로 결합할 수 없다.
2019년 제임스 스카길James Scargill은 복잡한 생명체가 두 개의 공간적 차원과 함께 할 수도 있다고 주장했다. 스카길에 따르면, 중력에 대한 한 순수한 스칼라 이론은 어떤 국소적인 중력적 힘을 가능하게 할 수 있으며, 또한 2D 네트워크들은 복잡한 신경 네트워크들을 위해서 충분할 수 있다.
같이 보기

일반상대론의 수학적 공식화 개론
복소 시공간
아인슈타인의 사고 실험(Einstein's thought experiments)
사차원주의
지리학
대역적 시공간 구조(Global spacetime structure)
시공간의 목록(List of spacetimes)
거리 공간
시간과 공간의 철학
현재
시간 지리학(Time geography)