직선
공간 직선 > 두 직선의 위치 관계

3차원 공간 위의 두 직선의 위치 관계는 다음과 같이 네 경우로 나뉜다.
일치: 두 직선이 포함하는 점이 완전히 같다.
평행: 두 직선이 같은 평면 위에 놓이지만 교점이 없다.
교차: 두 직선이 단 하나의 교점을 갖는다.
수직: 두 직선이 교차하며, 직각을 이룬다.
꼬인 위치: 두 직선이 같은 평면 위에 놓이지 않는다.
고차원의 경우 역시 성립하지만 꼬인 위치가 더 다양한 경우를 포함하게 된다. 3차원 공간 위의 두 직선의 위치 관계의 필요충분조건을 방정식을 통해 나타내면 다음과 같다.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 직선의 방정식 |  {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u}  |  (x-x_{1})/a=(y-y_{1})/b=(z-z_{1})/c |  A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0  A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 |  A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0  A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 |
| 직선의 방정식 |  {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP'}}+t\mathbf {u} ' |  (x-x_{1}')/a'=(y-y_{1}')/b'=(z-z_{1}')/c' |  A_{1}'x+B_{1}'y+C_{1}'z+D_{1}'=0  A_{2}'x+B_{2}'y+C_{2}'z+D_{2}'=0 |  A_{1}'x+B_{1}'y+C_{1}'z+D_{1}'=0  A_{2}'x+B_{2}'y+C_{2}'z+D_{2}'=0 |
| 일치 |  \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\parallel {\overrightarrow {PP'}} |  {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\y_{1}'-y_{1}&z_{1}'-z_{1}\end{vmatrix}}=0 |  {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0 |  {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}=0 |
| 평행 |  \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\nparallel {\overrightarrow {PP'}} |  {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}=0,  \lnot {\begin{vmatrix}a&b\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\y_{1}'-y_{1}&z_{1}'-z_{1}\end{vmatrix}}=0 |  {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0 |  {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}=0 |
| 교차 |  \mathbf {u} \nparallel \mathbf {u} ',  {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')=0 |  \lnot {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}=0,  {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}=0 |  \lnot {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0 |  {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}=0 |
| 수직 |  \mathbf {u} \perp \mathbf {u} ,  {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')=0 |  aa'+bb'+cc'=0,  {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}=0 |  \lnot {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0 |  {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}=0 |
| 꼬인 위치 |  \mathbf {u} \nparallel \mathbf {u} ',  {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\neq 0 |  {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}\neq 0 |  \lnot {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0 |  {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}\neq 0 |