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양자 중력
후보 이론 > 루프 양자중력

이 부분의 본문은 루프 양자중력입니다.
루프 양자중력은 시공간이 한 동적 장이며 또한 따라서 한 양자 대상이라는 일반 상대성이론의 통찰을 진지하게 고려한다. 두 번째 아이디어는 다른 장론(예를들어, 전자기장의 광자들)의 입자 같은 거동을 결정하는 양자 불연속성이 공간의 구조에도 역시 영향을 미친다는 것이다.
루프 양자중력의 주요 결과는 플랑크 길이에서 공간의 한 알갱이 모양 구조를 도출하는 것이다. 이는 다음과 같은 고려 사항에서 파생된다: 전자기학의 경우에는, 장의 각 주파수의 에너지를 나타내는 양자 연산자(quantum operator)는 한 이산 스펙트럼을 갖는다. 따라서 각 주파수의 에너지는 양자화되고, 또한 양자들은 광자들이다. 중력의 경우에는, 각 표면 또는 공간 영역의 면적과 부피를 나타내는 연산자들 역시 마찬가지로 이산 스펙트럼들을 갖는다. 따라서 공간의 모든 부분의 면적과 부피도 양자화되며, 여기서 그 양자들은 공간의 기본 양자들이다. 따라서 시공간은 플랑크 규모에서 기본 양자 세분 구조를 가지며, 이는 양자장론의 초자외선 무한성을 차단한다.
시공간의 양자 상태는 스핀 네트워크라는 수학적 구조를 통해 이론에서 설명된다. 스핀 네트워크는 로저 펜로즈에 의해 처음으로 추상적인 형태로 소개되었으며, 이후 카를로 로벨리와 리 스몰린이 일반 상대성이론의 비섭동 양자화로부터 자연적으로 도출한 것으로 나타났다. 스핀 네트워크들은 시공간에서 장의 양자 상태를 나타내는 것이 아니다: 그것들은 시공간의 양자 상태들을 직접적으로 나타낸다.
그 이론은 전기장과 자기장의 수학적 유사체들을 사용하여 기하학적 중력을 나타내는 아쉬테카르 변수로 알려진 일반 상대성이론의 재공식화를 기반으로 한다. 양자 이론에서, 공간은 스핀 네트워크라는 한 네트워크 구조로 표현되며, 이것은 시간이 지나면서 이산적 단계들로 진화한다.
그 이론의 동역학은 오늘날 여러 버전들로 구성된다. 한 버전은 일반 상대성이론의 정규 양자화{canonical quantization}에서 시작된다. 슈뢰딩거 방정식의 유사체는 그 이론 내에서 정의할 수 있는 한 휠러-디윗 방정식이다. 그 이론의 공변량, 또는 스핀 거품 공식에서 양자 동역학은 한 스핀 거품이라고하는 시공간의 이산 버전들에 대한 한 합산을 통해 얻어진다. 이것들은 스핀 네트워크들의 역사들읗 나타낸다.
후보 이론 > 다른 이론들

양자 중력에 대한 다른 접근 방식들이 많이 있다. 그 이론들은 일반 상대성이론과 양자 이론의 어떤 특징을 그대로 받아들이고 또한 어떤 특징들이 수정되는지에 따라 다르다. 예들은 다음과 같다:
양자 중력에서의 점근적 안전성(asymptotic safety in quantum gravity)
유클리드 양자 중력{Euclidean quantum gravity}
가상 블랙홀 방법
인과 동적 삼각화(causal dynamical triangulation)
인과 페르미온 시스템(causal fermion systems)
인과 집합 이론
공변량 파인만 경로적분 접근법
딜라톤 양자 중력(Dilatonic quantum gravity)
이중 복사 이론(Double copy theory)
군 장론(group field theory)
휠러-디윗 방정식
기하동역학
호자바-리프시츠 중력(Hořava–Lifshitz gravity)
맥도웰-만수리 작용(MacDowell–Mansouri action)
비가환 기하학(Noncommutative geometry)
양자 우주론(quantum cosmology)의 경로 적분 기반 모형
레제 미적분(Regge calculus}
형상 역학(Shape Dynamics)
스트링넷(String-net)과 양자 그래피티(quantum graphity)
초중력
트위스터 이론
정규 양자 중력(canonical quantum gravity)
실험적 테스트

위에서 강조했듯이 양자 중력 효과는 매우 약하기 때문에 테스트하기가 어렵다. 이러한 이유로 1990년대 후반 이전에는 양자 중력을 실험적으로 테스트할 수 있는 가능성에 대해 큰 관심을 받지 못했다. 그러나 지난 10년 동안 물리학자들은 양자 중력 효과에 대한 증거가 이론의 발전을 이끌 수 있다는 사실을 깨달았다. 이론적 발전이 더디게 진행되면서 실험 가능성을 연구하는 현상학적 양자 중력 분야가 주목을 받게 되었다.
양자 중력 현상학에서 가장 널리 추구되는 가능성으로는 중력적으로 매개된 얽힘, 로렌츠 불변성의 위반들, 우주 마이크로파 배경에서 양자 중력 효과의 각인 (특히 그 편광) 및 시공간 거품(space-time foam)에서요동들에 의해 유도된 결어긋남이 있다. 후자의 시나리오는 감마선 폭발과 천체물리학적 및 대기적 둘 다의 중성미자들에서 나오는 빛에서 검색되었으며, 이것은 현상학적 양자 중력 매개변수들에 제한을 준다.
유럽 우주국의 INTEGRAL 위성은 다양한 파장들의 광자들의 편광을 측정하여 공간의 알갱이성을 플랑크 규모보다 13자릿수 낮은 10-48m 이하로 제한할 수 있었다.
BICEP2 실험은 초기 우주에서 중력파에 의한 원시 B-모드 편광으로 생각되던 것을 감지했다. 그 신호가 기원이 실제로 원시적이었다면, 그것은 양자 중력 효과의 징후일 수 있었겠지만, 그러나 그것이 곧 성간 먼지 간섭으로 인한 편광이라는 것이 밝혀졌다.
같이 보기

더시터르 상대론(De Sitter relativity)
딜라톤(늘입자)
이중 특수 상대성이론)Doubly special relativity
중력 결어긋남(Gravitational decoherence)
중력 자성
호킹 복사
양자 중력 연구자 목록(List of quantum gravity researchers)
크기 정도 (길이)
펜로즈 해석(Penrose interpretation)
플랑크 시대
플랑크 단위계
늪지대 (물리학)
가상 블랙홀
약한 중력 추측(Weak gravity conjecture)
노트

↑  예를 들어 초기 우주의 양자 효과는 현재 우주의 구조에 관측 가능한 영향을 미쳤을 수도 있고, 중력이 다른 힘의 통합에 역할을 했을 수도 있다. 위에 인용된 발트Wald의 글 참조.
↑  시공간 기하학의 양자화에 대해서는 플랑크 길이 문서의 예시에서 참조하라.
출처

Green, M.B.; Schwarz, J.H.; Witten, E. (1987). 《Superstring theory》 l. Cambridge University Press. ISBN 9781107029118.
Penrose, Roger (2004), 《The Road to Reality》, A. A. Knopf, ISBN 978-0-679-45443-4 ; 박병철 옮김 (2010) 《실체에 이르는 길》 승산.
물리학 이론들의 계층 구조에서 양자 중력의 위치를 보여주는 다이어그램
아원자 세계에서의 상호작용: 표준 모형에서 점과 같은 입자들의 세계선 또는 끈 이론에서 닫힌 끈들에 의해 휩쓸리는 세계면
칼라비-야우 다양체의 투영, 끈 이론에 의해 제기된 여분의 차원들을 축소화하는 방법 중 하나
루프 양자중력에 사용되는 유형의 간단한 스핀 네트워크
니즈니노브고로드

니즈니노브고로드(러시아어: Ни́жний Но́вгород, 문화어: 니쥬니 노브고로드)는 러시아의 북서부에 있는 니즈니노브고로드주의 주도이다. 니즈니노브고로드는 "저지대에 위치한 신도시"라는 뜻을 가지고 있다. 볼가강과 오카강이 합류하는 지점에 있는 러시아의 제5의 도시이자, 볼가 연방관구의 본부 소재지가 있다. 문호 막심 고리키의 탄생지로서, 옛날에는 고리키라고 불렸다.
역사

1221년 건설된 성채에서 유래되었고, 16세기에는 우랄, 페르시아와의 교역으로 크게 번영하였고, 그 후 이곳에서 열리는 "니제고로드 대박람회"는 유럽에서도 알려져 있었다. 원래 이름은 노브고로드였으나 벨리키노브고로드와 구별하기 위하여 '저지대에 위치한 노브고로드'라는 뜻을 가진 니즈니노브고로드로 바뀌었다. 이곳에서 태어난 막심 고리키를 기념하기 위해, 1932년 시의 이름을 고리키로 개칭하였다가 1990년 현재의 지명으로 다시 환원하였다.
산업

기계제조(자동차·선박·공작기·디젤기관·제분기), 제유, 석유화학, 식료품공업 등이 성하다.
인구

| 연도 | 인구 | ±% |
| --- | --- | --- |
| 1897  | 90,000 | —     |
| 1926  | 221,544 | +146.2% |
| 1939  | 643,689 | +190.5% |
| 1959  | 941,962 | +46.3% |
| 1970  | 1,170,133 | +24.2% |
| 1979  | 1,344,474 | +14.9% |
| 1989  | 1,438,133 | +7.0% |
| 2002  | 1,311,252 | −8.8% |
| 2010  | 1,250,619 | −4.6% |
| 2021  | 1,228,199 | −1.8% |
Source: Census data
기후

| Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 1월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 2월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 3월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 4월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 5월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 6월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 7월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 8월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 9월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 10월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 11월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 12월 | Nizhny Novgorod 1881-2010 extremes since 1835의 기후> 연간 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 역대 최고 기온 °C (°F) | 5.7 (42.3) | 7.0 (44.6) | 17.3 (63.1) | 26.3 (79.3) | 32.5 (90.5) | 36.3 (97.3) | 38.2 (100.8) | 38.0 (100.4) | 31.0 (87.8) | 24.2 (75.6) | 13.8 (56.8) | 8.5 (47.3) | 38.2 (100.8) |
| 일평균 최고 기온 °C (°F) | −5.9 (21.4) | −5.3 (22.5) | 1.1 (34.0) | 10.9 (51.6) | 18.7 (65.7) | 22.6 (72.7) | 24.7 (76.5) | 22.1 (71.8) | 15.6 (60.1) | 8.0 (46.4) | −0.5 (31.1) | −4.7 (23.5) | 8.9 (48.0) |
| 일일 평균 기온 °C (°F) | −8.9 (16.0) | −8.7 (16.3) | −2.6 (27.3) | 6.1 (43.0) | 12.9 (55.2) | 17.2 (63.0) | 19.4 (66.9) | 16.9 (62.4) | 11.1 (52.0) | 4.7 (40.5) | −2.8 (27.0) | −7.4 (18.7) | 4.8 (40.6) |
| 일평균 최저 기온 °C (°F) | −11.6 (11.1) | −11.7 (10.9) | −5.8 (21.6) | 2.1 (35.8) | 7.9 (46.2) | 12.6 (54.7) | 14.8 (58.6) | 12.6 (54.7) | 7.6 (45.7) | 2.1 (35.8) | −4.8 (23.4) | −9.9 (14.2) | 1.3 (34.3) |
| 역대 최저 기온 °C (°F) | −41.2 (−42.2) | −37.2 (−35.0) | −28.3 (−18.9) | −19.7 (−3.5) | −6.9 (19.6) | −1.8 (28.8) | 4.6 (40.3) | 0.9 (33.6) | −5.5 (22.1) | −16.0 (3.2) | −29.4 (−20.9) | −41.4 (−42.5) | −41.4 (−42.5) |
| 평균 강수량 mm (인치) | 47 (1.9) | 38 (1.5) | 37 (1.5) | 36 (1.4) | 46 (1.8) | 76 (3.0) | 73 (2.9) | 69 (2.7) | 61 (2.4) | 64 (2.5) | 55 (2.2) | 55 (2.2) | 657 (25.9) |
| 평균 강우일수 | 5 | 4 | 5 | 13 | 17 | 19 | 18 | 18 | 18 | 18 | 10 | 6 | 151 |
| 평균 강설일수 | 28 | 24 | 18 | 7 | 1 | 0.1 | 0 | 0 | 1 | 8 | 20 | 26 | 133 |
| 평균 상대 습도 (%) | 86 | 81 | 74 | 64 | 60 | 69 | 70 | 74 | 79 | 82 | 87 | 86 | 76 |
| 평균 월간 일조시간 | 43 | 79 | 145 | 196 | 275 | 287 | 280 | 238 | 152 | 81 | 38 | 25 | 1,839 |
출처 1: Pogoda.ru.net
출처 2: NOAA (sun 1961–1990)
니즈니노브고로드의 행정구역

압토자보츠키구
카나빈스키구
레닌스키구
모스콥스키구
니제고로츠키구
프리옥스키구
소베츠키구
소르몹스키구
자매 도시

독일 에센(1991년)
오스트리아 린츠(1993년)
중국 지난(1994년)
미국 필라델피아(1994년)
핀란드 탐페레(1995년)
우크라이나 하르키우(2001년)
쿠바 마탄사스(2004년)
한국 수원(2005년)
세르비아 노비사드(2006년)
스페인 Sant Boi de Llobregat(2008년)
스페인 바르셀로나(2009년)
오카강과 볼가강이 합류하는 지점. 성 알렉산드르 네프스키 대성당과 경기장
성 데메트리우스 탑과 시의회 건물
세게드

| 세게드 Szeged |
| --- | --- |
티서강과 세게드
세게드class=notpageimage| 북위 46° 15′ 18″ 동경 20° 08′ 42″﻿ / ﻿북위 46.255°  동경 20.145° ﻿ / 46.255; 20.145
행정
국가:  헝가리
행정 구역: 촌그라드처나드주
지리
면적: 280.84 km2
시간대: UTC+1 (CET),	UTC+2 (CEST)
인문
인구: 163,763명(2017년)
인구 밀도: 612.28명/km2
지역 부호
우편번호: 6700 to 6729, 6753, 6757, 6771, 6791
지역번호: (+36) 62
웹사이트: https://www.szegedvaros.hu/
세게드(헝가리어: Szeged)는 헝가리 동남부에 있는 도시로 촌그라드처나드주의 주도이다. 인구 167,039(2008). 도나우강의 지류인 티서강 연안, 루마니아와 세르비아 국경지대에 위치한다.
고대 시대때부터 사람이 살던 곳이며, 마자르인의 땅이었으나, 한때 몽골 제국과 오스만 제국의 영향을 받은 적도 있다. 티서강 연안의 중요한 교통로에 위치하여 예로부터 교역이 성한 곳이었다. 1879년 티서강이 범람하여 시가지가 파괴된 후 새롭게 건설되었다.
헝가리 남부의 중심지이며, 헝가리에서 네 번째로 큰 도시이다. 내륙국인 헝가리에서 중요한 항구 도시이기도 하다. 15세기 고딕 건축 양식의 성당이 남아 있으며, 대성당은 20세기에 새로 건설되었다.
인구

| 연도 | 인구 | ±% |
| --- | --- | --- |
| 1870  | 56,901 | —     |
| 1880  | 59,143 | +3.9% |
| 1890  | 68,924 | +16.5% |
| 1900  | 82,803 | +20.1% |
| 1910  | 96,063 | +16.0% |
| 1920  | 100,175 | +4.3% |
| 1930  | 108,448 | +8.3% |
| 1941  | 110,740 | +2.1% |
| 1949  | 104,867 | −5.3% |
| 1960  | 117,515 | +12.1% |
| 1970  | 145,312 | +23.7% |
| 1980  | 164,437 | +13.2% |
| 1990  | 169,930 | +3.3% |
| 2001  | 168,273 | −1.0% |
| 2011  | 168,048 | −0.1% |
| 2020  | 160,258 | −4.6% |
기후

| 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 1월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 2월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 3월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 4월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 5월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 6월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 7월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 8월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 9월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 10월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 11월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 12월 | 세게드 (1991년~2020년)의 기후> 연간 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 역대 최고 기온 °C (°F) | 17.5 (63.5) | 20.5 (68.9) | 24.9 (76.8) | 31.6 (88.9) | 34.0 (93.2) | 38.0 (100.4) | 39.6 (103.3) | 39.4 (102.9) | 37.6 (99.7) | 29.1 (84.4) | 23.5 (74.3) | 16.5 (61.7) | 39.6 (103.3) |
| 일평균 최고 기온 °C (°F) | 3.4 (38.1) | 6.3 (43.3) | 12.1 (53.8) | 18.5 (65.3) | 23.2 (73.8) | 26.9 (80.4) | 28.9 (84.0) | 29.4 (84.9) | 23.8 (74.8) | 17.7 (63.9) | 10.6 (51.1) | 4.1 (39.4) | 17.1 (62.8) |
| 일일 평균 기온 °C (°F) | −0.1 (31.8) | 1.6 (34.9) | 6.4 (43.5) | 12.0 (53.6) | 16.9 (62.4) | 20.6 (69.1) | 22.3 (72.1) | 22.4 (72.3) | 17.2 (63.0) | 11.7 (53.1) | 6.1 (43.0) | 1.0 (33.8) | 11.5 (52.7) |
| 일평균 최저 기온 °C (°F) | −3.0 (26.6) | −2.3 (27.9) | 1.3 (34.3) | 6.1 (43.0) | 10.9 (51.6) | 14.3 (57.7) | 15.7 (60.3) | 15.8 (60.4) | 11.4 (52.5) | 6.7 (44.1) | 2.5 (36.5) | −1.7 (28.9) | 6.5 (43.7) |
| 역대 최저 기온 °C (°F) | −25.1 (−13.2) | −23.1 (−9.6) | −19.6 (−3.3) | −6.8 (19.8) | 0.9 (33.6) | 3.9 (39.0) | 6.2 (43.2) | 7.5 (45.5) | 1.0 (33.8) | −7.9 (17.8) | −11.9 (10.6) | −25.0 (−13.0) | −25.1 (−13.2) |
| 평균 강수량 mm (인치) | 27.3 (1.07) | 30.1 (1.19) | 29.7 (1.17) | 36.6 (1.44) | 60.8 (2.39) | 75.3 (2.96) | 61.6 (2.43) | 43.5 (1.71) | 49.1 (1.93) | 44.6 (1.76) | 37.0 (1.46) | 39.3 (1.55) | 534.9 (21.06) |
| 평균 강수일수 (≥ 1.0 mm) | 6.0 | 5.8 | 5.7 | 5.8 | 7.8 | 8.1 | 6.6 | 5.5 | 6.8 | 6.1 | 6.3 | 7.0 | 77.5 |
| 평균 상대 습도 (%) | 86.9 | 80.2 | 69.9 | 64.9 | 67.0 | 68.4 | 65.9 | 64.6 | 70.0 | 76.5 | 83.3 | 87.9 | 73.8 |
| 평균 월간 일조시간 | 59 | 94 | 143 | 173 | 234 | 252 | 278 | 263 | 199 | 153 | 77 | 53 | 1,978 |
출처 1: 미국 해양대기청
출처 2: 세계기상기구 (일조시간: 1981년~2010년)
위상 공간 (수학)

일반위상수학에서 위상 공간(位相空間, 영어: topological space)은 어떤 점의 "근처"가 무엇인지에 대한 정보를 담고 있지만, 점 사이의 거리나 넓이·부피 따위의 정보를 포함하지 않는 공간이다. 이를 사용하여, 함수의 연속성이나 수열의 극한, 집합의 연결성 등을 정의할 수 있다.
위상 공간의 개념은 위상수학 및 이를 기초로 하는 기하학 · 해석학에서 핵심적으로 사용된다. 위상 공간의 일반적인 성질을 연구하는 분야를 일반위상수학이라고 한다.
정의

집합  X 위의 위상(位相, 영어: topology)은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다.
(열린집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임 {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X) . 이 경우, {\mathcal {T}} 의 원소들을 열린집합 이라고 한다.
\varnothing ,X\in {\mathcal {T}}
만약  {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {T}}라면,  \bigcup {\mathcal {S}}\in {\mathcal {T}}
만약  U,V\in {\mathcal {T}}라면,  U\cap V\in {\mathcal {T}}
(닫힌집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임 {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(X) . 이 경우, {\mathcal {C}} 의 원소들을 닫힌집합 이라고 한다.
\varnothing ,X\in {\mathcal {C}}
만약  {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}라면,  \bigcap {\mathcal {S}}\in {\mathcal {C}}
만약  C,D\in {\mathcal {C}}라면,  C\cup D\in {\mathcal {C}}
(근방을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 {\mathcal {N}}\colon X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X)) . 이 경우 {\mathcal {N}}\colon x\mapsto {\mathcal {N}}_{x} 로 쓰고, {\mathcal {N}}_{x} 의 원소를 x 의 근방 이라고 한다.
모든  x\in X에 대하여,  X\in {\mathcal {N}}_{x}
모든  x\in X에 대하여, 만약  N\in {\mathcal {N}}_{x}라면  x\in N
만약  N\in {\mathcal {N}}_{x}이며  N\subseteq S\subseteq X라면,  S\in {\mathcal {N}}_{x}
만약  M,N\in {\mathcal {N}}_{x}라면  M\cap N\in {\mathcal {N}}_{x}
만약  N\in {\mathcal {N}}_{x}라면,  N\in {\mathcal {N}}_{y}\qquad \forall y\in M인  M\in {\mathcal {N}}_{x}가 존재한다.
(폐포를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 \operatorname {cl} \colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X) . 이 경우, \operatorname {cl} S 를 S 의 폐포 라고 한다.
\operatorname {cl} \varnothing =\varnothing
모든  A\subseteq X에 대하여,  A\subseteq \operatorname {cl} A
모든  A,B\subseteq X에 대하여,  \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)
모든  A\subseteq X에 대하여,  \operatorname {cl} (\operatorname {cl} A)=\operatorname {cl} A
(내부를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 \operatorname {int} \colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X) . 이 경우, \operatorname {int} S 를 S 의 내부 라고 한다.
\operatorname {int} X=X
모든  A\subseteq X에 대하여,  A\supseteq \operatorname {int} A
모든  A,B\subseteq X에 대하여,  \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)
모든  A\subseteq X에 대하여,  \operatorname {int} (\operatorname {int} A)=\operatorname {int} A
이 정의들은 서로 동치이다.
열린집합을 사용한 정의에서,
닫힌집합은 열린집합의 여집합이다.
x의 근방의 모임은  {\mathcal {N}}_{x}=\{S\subset X\colon \exists U\in {\mathcal {T}}\colon x\in U\subseteq S\}이다.
집합  S의 폐포는  \operatorname {cl} S=\bigcap \{X\setminus U\colon U\in {\mathcal {T}},\;U\cap S=\varnothing \}이다.
집합  S의 내부는  \operatorname {int} S=\bigcup \{U\in {\mathcal {T}}\colon U\subseteq S\}이다.
닫힌집합을 사용한 정의에서, 열린집합은 닫힌집합의 여집합이다.
근방을 사용한 정의에서, 열린집합은  \forall x\in U\colon U\in {\mathcal {N}}_{x} 인 집합  U이다.
폐포를 사용한 정의에서, 열린집합은  \operatorname {cl} (X\setminus U)=X\setminus U인 집합  U이다.
내부를 사용한 정의에서, 열린집합은  \operatorname {int} (U)=U인 집합  U이다.
즉, 근방 · 열린집합 · 닫힌집합 · 폐포 · 내부 가운데 하나를 기본 무정의 개념으로 삼고, 이로부터 나머지 개념들을 정의할 수 있다.
위상 공간  (X,{\mathcal {T}})은 위상을 갖춘 집합이다.
정의 > 위상의 비교

이 부분의 본문은 위상의 비교입니다.
같은 집합  X 위의 두 위상  {\mathcal {T}}_{1},  {\mathcal {T}}_{2}에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면  {\mathcal {T}}_{1}이  {\mathcal {T}}_{2}보다 더 섬세하다(-纖細-, 영어: finer)고 하며, 반대로  {\mathcal {T}}_{2}가  {\mathcal {T}}_{1}보다 더 거칠다(영어: coarser)고 한다.
{\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}. 즉, 모든  {\mathcal {T}}_{2}-열린 집합은  {\mathcal {T}}_{1}-열린 집합이다.
모든  {\mathcal {T}}_{2}-닫힌집합은  {\mathcal {T}}_{1}-닫힌집합이다.
{\mathcal {T}}_{1}의 기저  {\mathcal {B}}_{1} 및  {\mathcal {T}}_{2}의 기저  {\mathcal {B}}_{2}가 주어졌을 때, 모든  x\in X 및  x\in B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2}에 대하여,  x\in B_{1}\subseteq B_{2}인  B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1}이 존재한다.
성질 > 격자론적 성질

주어진 위상 공간  (X,{\mathcal {T}})의 열린집합들은 완비 헤이팅 대수를 이룬다. 즉, 위상 공간은 직관 논리의 모형으로 여길 수 있다. 또한, 위상 공간은 양상 논리 S4의 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 양상 기호  \Box (필연 기호)는 집합의 내부에, 양상 기호  \Diamond (개연 기호)는 집합의 폐포에 대응한다.
주어진 집합  X 위의 위상들은 섬세성 관계에 따라서 완비 유계 격자를 이룬다. 이 격자의 최대 원소(즉, 가장 섬세한 위상)는 이산 위상이며, 최소 원소(즉, 가장 거친 위상)는 비이산 위상이다.
주어진 집합  X 위의 위상들의 족  \{{\mathcal {T}}_{i}\}_{i\in I}의 하한(만남)은
이다. 주어진 집합  X 위의 위상들의 족  \{{\mathcal {T}}_{i}\}_{i\in I}의 상한(이음)은  \bigcup _{i\in I}{\mathcal {T}}_{i}를 기저로 하는 위상이다.
성질 > 범주론적 성질

위상 공간과 연속 함수들은 범주를 이루며, 이 범주를  \operatorname {Top} 이라고 한다. 이 경우, 망각 함자
를 통해,  \operatorname {Top} 은 구체적 범주를 이룬다. 이 망각 함자는 좌 · 우 수반 함자를 갖는다.
여기서
은 집합을 이산 공간으로 대응시키고,
는 집합을 비이산 공간으로 대응시킨다.
\operatorname {Top} 은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 (= 고유 모임 크기가 아닌) 극한과 쌍대극한이 존재한다. 시작 대상은 (유일한 위상을 갖춘) 공집합  (\varnothing ,\{\varnothing \})이며, 끝 대상은 한원소 공간  (\{\bullet \},\{\varnothing ,\{\bullet \}\})이다.
예

유한 집합 위의 위상의 경우, 열린집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예들 들어, 집합 X = {1,2,3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다.
\{\varnothing ,\{1,2,3\}\} (비이산 위상)
\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1\}\}
\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{1\},\{2\}\}
\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\},\{2\}\}
그러나 다음은 위상을 이루지 않는다.
\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{2\},\{3\}\}은 {2}와 {3}의 합집합인 {2,3}이 없으므로 위상이 아니다.
\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\}\}은 {1, 2}와 {2, 3}의 교집합인 {2}가 없으므로 위상이 아니다.
좀 더 복잡한 위상 공간의 경우, 다양한 구조로서 위상들을 정의할 수 있다.
전순서가 주어졌을 때, 이를 사용하여 순서 위상을 정의할 수 있다. 실수의 집합의 표준적인 위상은 그 표준적 전순서에 대한 순서 위상이다.
거리 함수가 주어졌을 때, 이를 사용하여 거리 위상을 정의할 수 있다. 실수의 집합이나 복소수의 집합 위에, 두 수의 차의 절댓값은 거리 함수이며, 이에 대한 거리 위상은 실수 · 복소수 집합의 표준 위상이다.
어떤 집합을 곱집합  \textstyle \prod _{i}S_{i}로 나타내었을 때, 각  S_{i}에 위상을 정의하면 곱집합 전체에 곱위상이라는 위상을 줄 수 있다.
동치관계가 주어져있을 때, 이에 대한 몫집합에 몫위상을 정의할 수 있다. 이는 기하적으로 서로 다른 점을 같게하여 붙인다라는 개념을 줄 수 있다.
어떤 집합 위에, 열린집합으로 삼고 싶은 집합족  {\mathcal {S}}가 존재한다면, 이들을 포함하는 가장 거친 위상을 줄 수 있다. 이러한 집합족을 부분 기저라고 한다.
어떤 집합  S를 다른 집합의 부분 집합  \iota \colon S\hookrightarrow T으로 나타내었을 때,  T에 위상이 존재한다면 이로부터  S 위에 부분공간 위상을 정의할 수 있다.
아무런 구조 없는 집합 S 위에도 여러 위상을 줄 수 있다.
모든 집합을 열린집합으로 하는 이산 위상
공집합과 집합 전체 밖에 열린집합이 없는 비이산 위상
쌍대 유한 집합 및 공집합이 열린집합인 쌍대 유한 위상(영어: cofinite topology)
보다 일반적으로, 임의의 무한 기수  \kappa 에 대하여,  |S\setminus U|<\kappa 인 집합  U 및 공집합이 열린집합인 위상
관련 개념 > 특별한 위상 공간

위상 공간의 개념은 매우 일반적이며, 대부분의 경우 특정한 성질을 만족시키는 위상 공간들을 고려한다. 대표적인 것들은 다음과 같다.
| 분리성 | 가산성 | 연결성 | 콤팩트성 | 기타 성질 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  콜모고로프 공간  T1 공간  하우스도르프 공간  정칙 공간  티호노프 공간  정규 공간 |  제1 가산 공간  제2 가산 공간  분해 가능 공간 |  연결 공간  국소 연결 공간  단일 연결 공간  축약 가능 공간 |  콤팩트 공간  국소 콤팩트 공간  파라콤팩트 공간  점렬 콤팩트 공간  메조콤팩트 공간  메타콤팩트 공간  린델뢰프 공간 |  거리화 가능 공간  다양체  폴란드 공간  CW 복합체 |
관련 개념 > 추가 구조

위상 공간은 근방의 개념 밖에는 다른 정보를 추가적으로 담고 있지 않다. 이에 대하여 여러 다른 정보를 추가하여, 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다.
두 점 사이의 거리의 개념을 추가하면, 거리 공간을 얻는다.
집합의 넓이 · 부피의 개념을 추가하면, 보렐 측도 공간 또는 라돈 측도 공간을 얻는다.
매끄러운 함수의 개념을 추가하면, 매끄러운 다양체를 얻는다.
군의 구조를 추가하면, 위상군을 얻는다. 더하여서 매끄러움 구조를 추가하면 리 군이 된다.
환의 구조를 추가하면, 위상환을 얻는다.
벡터 공간의 구조를 추가하면, 위상 벡터 공간을 얻는다.
관련 개념 > 일반화

위상 공간의 개념은 매우 일반적인 개념이지만, 대수기하학에서는 이보다 더 일반적인 개념을 필요로 할 때가 있다. 이 경우, 열린집합들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합을 범주로 추상화하여, 덮개의 개념을 공리화할 수 있는데, 이렇게 하면 범주 위의 그로텐디크 위상의 개념을 얻는다. 또한, 이를 한 단계 더 추상화하여, 공간의 열린집합들 대신 공간 위의 모든 층들의 범주의 성질을 공리화하면 토포스의 개념을 얻는다.
범주론 대신, 위상 공간의 열린집합들의 격자론적 성질(완비 헤이팅 대수)을 공리화하면 장소(영어: locale)라는 개념을 얻는다.
역사

1910년대 이전까지는 위상 공간의 개념이 따로 존재하지 않았고, 열린집합은 거리 공간에 대해서만 정의되었다. 1908년에 리스 프리제시는 거리 함수를 사용하지 않고, 수열의 극한을 사용하여 위상 공간의 개념을 공리화하였고, 1914년에 펠릭스 하우스도르프는 근방의 개념을 사용하여 이를 재정의하였다. 하우스도르프의 정의에는 오늘날 하우스도르프 공간의 정의에 들어가는 조건이 추가되었는데, 이는 이후 정의에서 제거되었다.
같이 보기

열린집합
닫힌집합
내부 (위상수학)
폐포 (위상수학)
기저 (위상수학)
근방
집합 {1,2,3} 위의 집합족들 가운데, 처음 네 개는 위상이지만, 붉은색 가위표가 그려진 마지막 두 개는 위상이 아니다.
쳉스토호바

쳉스토호바(폴란드어: Częstochowa)는 폴란드 남부의 바르타강 유역에 있는 도시로 248,894명이 주민이 거주하고 있다(2004년 기준). 쳉스토호바는 1999년부터 실롱스크주(행정 구역)에 있으며, 1975년부터 1998년까지는 쳉스토호바주의 주도였던 곳이다. 그렇지만, 쳉스토호바는 역사적으로 실롱스크가 아닌 마워폴스카의 일부이며, 1795년 이전에는(폴란드의 행정 구역 참조) 크라쿠프주에 속해 있었다.
쳉스토호바는 검은 성모 성화를 보관한 야스나고라의 바오로회 수도원이 자리 잡은 성모 순례지로서 유명하다. 매년 세계 각지에서 수백만 명의 순례자가 검은 성모 그림을 보려고 이곳 쳉스토호바를 방문하고 있다. 이 도시에는 또한 루사티아 문명 발굴지와 박물관이 있으며, 도시 중심부에서 약 15킬로미터 떨어진 올슈틴에는 중세 시대 성채의 옛 터가 있다.
인구

| 연도 | 인구 | ±% |
| --- | --- | --- |
| 1950 | 112,198 | —     |
| 1960 | 164,906 | +47.0% |
| 1970 | 188,189 | +14.1% |
| 1980 | 234,681 | +24.7% |
| 1990 | 257,957 | +9.9% |
| 2000 | 253,133 | −1.9% |
| 2010 | 238,042 | −6.0% |
| 2020 | 217,530 | −8.6% |
source
기후

| 쳉스토호바의 기후> 월 | 쳉스토호바의 기후> 1월 | 쳉스토호바의 기후> 2월 | 쳉스토호바의 기후> 3월 | 쳉스토호바의 기후> 4월 | 쳉스토호바의 기후> 5월 | 쳉스토호바의 기후> 6월 | 쳉스토호바의 기후> 7월 | 쳉스토호바의 기후> 8월 | 쳉스토호바의 기후> 9월 | 쳉스토호바의 기후> 10월 | 쳉스토호바의 기후> 11월 | 쳉스토호바의 기후> 12월 | 쳉스토호바의 기후> 연간 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 역대 최고 기온 °C (°F) | 13.4 (56.1) | 18.4 (65.1) | 23.1 (73.6) | 29.5 (85.1) | 34.1 (93.4) | 35.6 (96.1) | 36.0 (96.8) | 36.9 (98.4) | 33.7 (92.7) | 27.0 (80.6) | 20.1 (68.2) | 16.6 (61.9) | 36.9 (98.4) |
| 일평균 최고 기온 °C (°F) | 1.3 (34.3) | 3.1 (37.6) | 7.7 (45.9) | 14.5 (58.1) | 19.4 (66.9) | 22.6 (72.7) | 24.7 (76.5) | 24.5 (76.1) | 19.0 (66.2) | 13.2 (55.8) | 7.2 (45.0) | 2.3 (36.1) | 13.3 (55.9) |
| 일일 평균 기온 °C (°F) | −1.4 (29.5) | −0.4 (31.3) | 3.4 (38.1) | 9.4 (48.9) | 13.8 (56.8) | 17.5 (63.5) | 19.3 (66.7) | 18.9 (66.0) | 14.0 (57.2) | 8.9 (48.0) | 4.2 (39.6) | 0.1 (32.2) | 9.0 (48.2) |
| 일평균 최저 기온 °C (°F) | −3.9 (25.0) | −3.1 (26.4) | −0.4 (31.3) | 4.3 (39.7) | 8.8 (47.8) | 12.4 (54.3) | 14.3 (57.7) | 14.0 (57.2) | 9.7 (49.5) | 5.5 (41.9) | 1.6 (34.9) | −2.4 (27.7) | 5.1 (41.2) |
| 역대 최저 기온 °C (°F) | −26.6 (−15.9) | −29.9 (−21.8) | −20.9 (−5.6) | −6.2 (20.8) | −2.9 (26.8) | 0.8 (33.4) | 4.6 (40.3) | 5.2 (41.4) | −0.9 (30.4) | −6.5 (20.3) | −15.4 (4.3) | −23.2 (−9.8) | −29.9 (−21.8) |
| 평균 강수량 mm (인치) | 35.7 (1.41) | 33.1 (1.30) | 40.3 (1.59) | 43.2 (1.70) | 74.9 (2.95) | 79.2 (3.12) | 93.7 (3.69) | 62.1 (2.44) | 60.8 (2.39) | 48.3 (1.90) | 41.8 (1.65) | 34.9 (1.37) | 647.9 (25.51) |
| 평균 강수일수 (≥ 0.1 mm) | 17.73 | 15.73 | 15.69 | 12.57 | 14.52 | 14.23 | 15.17 | 12.33 | 12.20 | 14.37 | 15.17 | 17.27 | 176.97 |
| 평균 강설일수 (≥ 0 cm) | 17.8 | 16.0 | 8.0 | 1.3 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.4 | 4.7 | 14.1 | 62.3 |
| 평균 상대 습도 (%) | 86.2 | 82.2 | 75.9 | 67.2 | 69.7 | 69.9 | 70.3 | 71.5 | 77.8 | 82.6 | 86.7 | 87.4 | 77.3 |
| 평균 월간 일조시간 | 50.8 | 66.0 | 121.7 | 185.8 | 231.4 | 233.9 | 245.4 | 237.8 | 166.8 | 111.2 | 54.5 | 40.4 | 1,745.8 |
출처 1: 폴란드 기상수자원관리연구소 (평년값: 1991년~2020년, 극값: 1951년~현재)
출처 2: Meteomodel.pl (극값 일부, 상대습도)
오마로사 매니골트

| 오마로사 매니골트 Omarosa Manigault |
| --- | --- |

출생: 1974년 2월 15일(1974-02-15)(50세) 오하이오주, 영스타운
국적:  미국
직업: 방송인
활동 기간: 2004년 - 현재
오마로사 매니골트(Omarosa Manigault, 1974년 2월 15일 ~ )는 미국의 방송인이다.
한국기독교교회협의회

한국기독교교회협의회(韓國基督敎敎會協議會, National Council of Churches in Korea, 약칭: NCCK)는 한국 기독교계의 일치 정신을 구현하고 에큐메니컬 운동을 위하여 창설된 범기독교 협의체를 말한다. 1924년 9월 24일 당시 장로교와 감리교의 선교 연합 구축을 위하여 결성된 조선예수교연합공의회에서 시작되었으며 일제의 간섭으로 활동하지 못하였다가 1946년 재발족하였다. 현재 8개의 한국 개신교 교단과 한국 정교회 등 총 9개 교단이 가입해 있다. 제주 4.3항쟁 70주년을 맞이한 2018년 4월 한국기독교교회협의회 정의평화위원회와 인권센터가 서울 광화문광장에서 ‘제주 4·3 역사 정의와 화해를 위한 기도회’를 열고 제주 4.3 유족들과 국민에게 기독교인이 학살에 동참했던 과거를 사죄했다. 에큐메니컬 운동을 위해 창설된 협의체기 때문에 WCC(세계교회협의회)와도 상당히 긴밀한 관계를 맺고 있다.
역사 > 설립

1905년 장로교 4개 선교부, 감리교 2개 선교부가 협의체를 형성하면서 <한국복음주의선교회연합공의회>(The General Council of Protestant Evangelical Missions in Korea)를 결성하였다. 이 공의회의 목적은 선교 사업에 있어 협력을 기하는 것이며, 결과적으로 “한국에서 유일한 하나의 복음주의 개신교를 조직”하는 것이었다. 한국에서 교파를 초월한 하나의 교회를 설립하려는 의도여서 선교사들도 호응을 하였으나 정치적인 이해관계로 인해 성사되지는 못했다.
그러다가 1924년 9월 24일 새문안교회에서 <조선예수교연합공의회>(Korea National Christian Council, KNCC)가 창설되었다. 선교사 중심의 <재한개신교선교부연합공의회>와 한국교회 주체의 <조선예수교장감연합협의회>가 통합하여 창설된 한국 기독교의 대표적인 연합기관이었다. 초대회장에 차재명 목사가 당선되었다. 창립 총회에서 채택된 규칙에서 밝힌 목적은 '협동하야 복음을 선전함, 협동하야 사회도덕의 향상을 도모함 그리고 협동하야 기독교 문화를 보급케 함'이었다.
창립 당시 단체에 참여했던 한국교회는 조선예수교장로회, 조선미감리회, 조선남감리회였고, 외국선교부는 미국 북장로회, 미국 남장로회, 오스트레일리아 장로회, 캐나다 연합 장로회, 미국 북감리회, 미국 남감리회였고, 기독교기관으로는 대영성서공회와, 조선기독교청년회(YMCA)였다. 실질적으로 오늘날의 <한국기독교교회협의회>(NCCK)의 모체라 할 수 있는 이 <조선예수교연합공의회>(KNCC)는 처음에는 11개 단체 대표들로 조직되었다. 이후 1931년 <조선기독교연합공의회>로 이름을 바꾸었고 이후 1937년 해산될 당시에는 11개 회원 단체 외에도 <조선여자기독교청년회>(YWCA), <조선예수교서회>, <조선주일학교연합회>, <재일본 캐나다장로회선교회>, <조선기독교여자절제회> 등도 회원으로 가입하고 있었다.
한편, 한국 개신교계는 20세기 초부터 다양한 세계 에큐메니컬 대회에 참여하고 있었다. 특히 현대 선교운동과 교회일치운동의 전환점이 되는 에든버러 세계선교대회에 윤치호가 비공식 자격으로 참여하기도 하였다. 이 대회는 계속위원회를 구성하였고, 후에 국제선교협의회로 발전하였다. 이러한 세계 선교의 상황 속에서 조선예수교연합공의회는 국제선교협의회의 산하 기구인 국가단위의 교회일치운동 조직이 되었다.
<조선예수교연합공의회>의 회원대표 규정에 따라 한국 개신교의 대표가 선교사의 수를 넘어서게 되었다. 따라서 한국 개신교인들이 공의회에서 주도권을 행사할 가능성이 커졌다. 이러한 상황이 되자 선교사들은 폐지하기로 했던 <재한개신교선교부연합공의회>를 존속시키면서 <조선예수교연합공의회>와는 별도의 협의체를 계속 유지해 나갔다. 이제 한국인 주도의 <조선예수교연합공의회>는 제한적이었지만, 이전에 외국인 선교사들이 주도하던 각종 사업에 참여하면서 외국인 선교사 의존의 시대를 벗어나 한국인 주체의 한국 개신교 형성에 크게 이바지 하였다. 그러나 일제 말, <조선예수교연합공의회>는 폐쇄되어 <조선기독교연합공의회>라는 친일단체로 변모하였고, 한국 개신교계는 1945년 7월 <일본기독교조선교단>으로 통합되었다.
역사 > 해방과 분단

해방과 더불어 국가와 종교의 재건이 이루어졌다. 일제 말 통폐합되었던 <일본기독교조선교단>이 해체되었고, 1946년 가을 교파연합운동 기구로 <조선기독교연합회>가 조직되었다. <조선기독교연합회>는 1948년 대한민국 정부가 수립되자, <한국기독교연합회>로 명칭을 바꾸었다. <한국기독교연합회>는 1948년 8월 암스테르담에서 개최된 <세계교회협의회>(WCC) 창립총회에 대표를 파견함으로써, 세계 개신교 교파들의 초교파운동에 참여하였다. 또한 해방 이후 한국이 직면한 전쟁과 분단 등 연속적인 국가적 혼란을 속에서 <한국기독교연합회>는 이와 관련된 문제를 해결하기 위해 국내는 물론 국제적인 노력을 아끼지 않았다.
1961년 국제선교협의회는 세계교회협의회와 병합하여 세계교회협의회의 산하기구인 세계선교와 전도 위원회가 되었는데, 이러한 병합에는 선교와 교회는 분리될 수 없다는 것과 교회가 광의의 선교의 주체가 되어야 한다는 두 가지 기조가 놓여 있었다. 이런 변화에 따라 한국에서도 한국기독교연합회가 한국기독교교회협의회로 명칭을 변경하였다.