카라테오도리 확장 정리
증명

우선,  \mu ^{*}는 추상적 외측도라는 것을 증명하자. 우선 자명하게  \mu ^{*}(\varnothing )=0이며, 또한 만약  A\subseteq B\subseteq X라면  \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)이다. 따라서  \mu ^{*}가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합  A_{1},A_{2},\dots \subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수  \epsilon >0 및  i\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여,
이며  \textstyle A_{i}\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }A_{ij}인  A_{i1},A_{i2},\dots \in \Sigma _{0}이 존재한다. 그렇다면  \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{ij}이므로,
이다.
\mu ^{*}-카라테오도리 가측 집합의 집합  \Sigma 가  {\mathcal {P}}(X)의 부분 시그마 대수라는 사실과  \mu =\mu ^{*}|_{\Sigma }는 그 위의 완비 측도라는 사실은  \mu ^{*}가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선,  \Sigma 가  {\mathcal {P}}(X)의 부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게  \varnothing \in \Sigma 이며, 임의의  A\in \Sigma 에 대하여  X\setminus A\in \Sigma 이다. 따라서  \Sigma 가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의  A,B\in \Sigma  및  S\subseteq X에 대하여,
이므로,  A\cup B\in \Sigma 이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각  A,B\in \Sigma  때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는  \mu ^{*}의 가산 준가법성 때문이다.
이제,  \Sigma 가  {\mathcal {P}}(X)의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는  \Sigma 가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합  A_{1},A_{2},\dots ,\in \Sigma  및 임의의 부분 집합  S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의  n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여,
이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각  \textstyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i},A_{n}\in \Sigma  때문이며, 둘째 줄의 등호는  \mu ^{*}의 단조성 때문이다. 이에  n에 대한 극한을 취하면
를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은  \mu ^{*}의 가산 준가법성 때문이다.
이제,  \mu =\mu ^{*}|_{\Sigma }가  \Sigma  위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서  \textstyle S=\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}를 취하면
를 얻으며, 이에 따라  \mu 는  \Sigma  위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이  \mu ^{*}-카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제  A\subseteq X가  \mu ^{*}(A)=0을 만족시키며, 또한  B\subseteq A라고 하자. 그렇다면,
이다. 첫째 줄의 부등호는  \mu ^{*}의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는  S\cap B\subseteq A 및  \mu ^{*}의 단조성, 셋째 줄의 부등호는  S\setminus B\subseteq S 및  \mu ^{*}의 단조성 때문이다.
이제,  \Sigma _{0}\subseteq \Sigma 를 증명하자. 임의의  A\in \Sigma _{0} 및  S\subseteq X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수  \epsilon >0에 대하여,
이며  \textstyle S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}인  A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}이 존재한다. 각  i\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여,  \textstyle A_{i}\setminus A=\bigcup _{j=1}^{n_{i}}B_{ij}인 서로소 집합  B_{i1},\dots ,B_{in_{i}}\in \Sigma _{0}을 취하자. 그렇다면,
이므로,
이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는  \mu ^{*}의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도  \mu _{0}의 가산 가법성 때문이다.
이제,  \mu _{0}의 단조성을 증명하자.  A,B\in \Sigma _{0}이며  A\subseteq B라고 하자. 그렇다면  \textstyle B\setminus A=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}인 서로소 집합  C_{1},\dots ,C_{n}\in \Sigma _{0}을 고를 수 있다. 그렇다면
이다.
이제, 준측도  \mu _{0}의 가산 준가법성을 증명하자.  A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}이며  \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \Sigma _{0}이라고 하자. 그렇다면 각  i\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여,
인 서로소 집합  B_{i1},\dots ,B_{in_{i}}\in \Sigma _{0}을 고를 수 있다. 그렇다면 각  i\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여
이므로,
이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도   \mu _{0}의 가산 가법성 때문이다.
이제,  \mu |_{\Sigma _{0}}=\mu _{0}를 증명하자. 임의의  A\in \Sigma _{0}이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수  \epsilon >0에 대하여,
이며  \textstyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}인  A_{1},A_{2},\dots \in \Sigma _{0}이 존재한다. 그렇다면
이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는  \mu ^{*}의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도  \mu _{0}의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.
마지막으로, 확장된 측도의  \sigma (\Sigma _{0})에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도  \mu _{1},\mu _{2}\colon \Sigma \to [0,\infty ]에 대하여, 만약  \mu _{1}|_{\Sigma _{0}}=\mu _{2}|_{\Sigma _{0}}이며, 준측도  \mu _{1}|_{\Sigma _{0}}이 시그마 유한 준측도라면,  \mu _{1}|_{\sigma (\Sigma _{0})}=\mu _{2}|_{\sigma (\Sigma _{0})}임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는  \Sigma _{0}가 π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한  \Sigma _{0}에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.
라고 하자. 그렇다면,  {\mathcal {A}}는 λ계이며  \Sigma _{0}\subseteq {\mathcal {A}}이므로, π-λ 정리에 따라  \sigma (\Sigma _{0})\subseteq {\mathcal {A}}이다.  \textstyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}이며  \textstyle \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \mu _{1}(B_{i})<\infty 인  B_{1},B_{2},\dots \in \Sigma _{0}을 취하자. 그렇다면, 임의의  A\in \sigma (\Sigma _{0})에 대하여,
이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각  1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n에 대하여  B_{i_{1}}\cap \cdots \cap B_{i_{k}}\in \Sigma _{0}\setminus \mu _{1}^{-1}(\infty )이기 때문이다.