대수적 K이론
역사 > 고차 K군

1960년대 말과 1970년대 초에 고차  K이론에 대한 몇 가지 정의가 제안되었다. 스완과 게르스텐은 모두 모든  n에 대한  K_{n}의 정의를 만들었고 게르스텐은 그의 이론과 스완의 이론이 동등하다는 것을 증명했지만 두 이론이 모든 예상 성질 을 만족시키는 것으로 알려지지 않았다. Nobile과 빌라메이어는 또한 고차  K군의 정의를 제안했다. 카루비와 빌라메이어는 모든  n에 대해 얌전한  K군을 정의했지만  K_{1}에 해당하는 군은 때때로 배스-섀뉴얼  K_{1}의 적절한 몫이었다. 그들의  K군은 이제  KV_{n}이라 불리며  K이론의 호모토피 불변 수정과 관련이 있다.
부분적으로 마츠모토의 정리에서 영감을 받아 밀너는 체의 상위  K군에 대한 정의를 만들었다. 그는 자신의 정의를 "순전히 임시방편 "으로 언급했으며 모든 환에 일반화되는 것처럼 보이지 않았고 고차  K체 이론의 올바른 정의인 것처럼 보이지도 않았다. 훨씬 후에 네스터렌코와 수슬린 그리고 토타로에 의해 밀너  K이론이 실제로 체의 진정한  K이론의 직접 요약이라는 것을 발견했다. 구체적으로,  K군은 가중치 여과라는 여과를 가지며, 체의 밀너  K이론은  K이론 중 가장 높은 가중치 등급 조각이다. 또한 토마슨은 일반적인 다형체에 대한 밀너  K이론의 유사성이 없다는 것을 발견했다.
널리 받아들여지는 고차  K이론의 첫 번째 정의는 대니얼 퀼런의 정의였다. 위상 수학의 아담스 추측에 대한 퀼런의 작업의 일부로, 그는 분류 공간  B\operatorname {GL} (\mathbb {F} _{q})에서 ψq − 1의 호모토피 올로 사상을 구성했다. 여기서 ψ q 는 분류 공간 BU에 작용하는 q 번째 아담스 연산이다. 이 사상은 비순환적이며  B\operatorname {GL} (\mathbb {F} _{q})을 약간 수정하여 새로운 공간  B\operatorname {GL} (\mathbb {F} _{q})^{+}를 생성한 후 사상은 호모토피 동치가 되었다. 이 수정을 플러스 구성이라고 한다. 아담스 연산은 그로텐디크의 작업 이후 천 특성류 및  K이론과 관련이 있는 것으로 알려졌으므로 퀼런은 R 의  K이론을  B\operatorname {GL} (R)^{+}의 호모토피 군으로 정의하게 되었다. 이것은  K_{1}과  K_{2}를 복구했을 뿐만 아니라,  K이론과 아담스 연산의 관계로 인해 퀼런은 유한 체의  K군을 계산할 수 있었다.
분류 공간  B\operatorname {GL} 이 연결되어 있으므로 퀼런의 정의는  K_{0}에 대한 올바른 값을 제공하지 못했다. 또한 음수  K군도 제공하지 않았다.  K_{0}이 알려지고 수용된 정의를 가지고 있기 때문에 이 어려움을 피할 수 있었지만 여전히 기술적으로 어색했다. 개념적으로 문제는 정의가 전통적으로  K_{1}의 소스인  \operatorname {GL} 에서 파생되었다는 것이다.  \operatorname {GL} 은 선형 다발 자체가 아니라 접착 선형 다발에 대해서만 알고 있기 때문에  K_{0}을 설명하는 것이 불가능했다.
퀼런과의 대화에서 영감을 얻은 세갈은 곧  \Gamma -대상이라는 이름으로 대수  K이론을 구성하는 또 다른 접근 방식을 도입했다. 세갈의 접근 방식은 그로텐디크의  K_{0} 구성의 호모토피 버전이다. 그로텐디크가 다발의 동치류로 작업한 것을 세갈은 다발 자체로 작업하고 다발의 동형을 데이터의 일부로 사용했다. 그 결과 호모토피 군이 고차  K군( K_{0} 포함)인 스펙트럼이 생성된다. 그러나 세갈의 접근 방식은 일반적인 완전열이 아니라 분할된 완전열에 대한 관계만 부과할 수 있었다. 환 위의 사영 가군 범주에서 모든 짧은 완전열이 분할되므로  \Gamma 대상를 사용하여 환의  K이론을 정의할 수 있다. 그러나 다양한 선형 다발 범주와 환 위의 모든 가군 범주에는 분할되지 않은 짧은 완전열가 있으므로 세갈의 접근 방식은 모든 관심 사례에 적용되지 않았다.
1972년 봄, 퀼런은 엄청난 성공을 거둔 고차  K이론의 구성에 대한 또 다른 접근법을 발견했다. 이 새로운 정의는 가군 또는 선형 다발의 범주에 의해 충족되는 성질과 비슷하지만 약간 약한 특정 형식 성질을 충족하는 범주인 완전 범주로 시작되었다. 이것으로부터 그는 " Q-구성"이라는 새로운 장치를 사용하여 보조 범주를 구성했다. 세갈의  \Gamma  대상과 마찬가지로  Q-구성은 그로텐디크의  K_{0}의 정의에 뿌리를 두고 있다. 그러나 그로텐디크의 정의와 달리 Q -구조는 아벨 군이 아닌 범주를 만들고 세갈의  \Gamma -대상과 달리  Q -구조는 짧은 완전열로 직접 작동한다. C가 아벨 범주인 경우 QC는 C 와 동일한 대상이 있지만 사상이 C의 짧은 완전열로 정의되는 범주이다. 완전 범주의  K군은 기하학적 실현의 루프 공간인  \Omega BQC의 호모토피 군이다(루프 공간을 취하면 첨자가 수정됨). 퀼런은  K이론에 대한 그의 두 가지 정의가 서로 일치한다는 그의 "+ = Q 정리"를 추가로 증명했다. 이것은 올바른  K_{0}를 산출하고 더 간단한 증명으로 이어졌지만 여전히 음의  K군을 산출하지 못했다.
모든 아벨 범주는 완전 범주이지만 모든 완전 범주가 아벨 범주는 아니다. 퀼런은 이 보다 일반적인 상황에서 작업할 수 있었기 때문에 완전 범주를 증명 도구로 사용할 수 있었다. 이 기술을 통해 그는 대수적  K 이론의 많은 기본 정리를 증명할 수 있었다. 또한 스완과 게르스텐의 이전 정의가 특정 조건에서 퀼런의 정의와 동일함을 증명하는 것이 가능했다.
K이론은 이제 환에 대한 호몰로지 이론과 다형체에 대한 코호몰로지 이론으로 나타났다. 그러나 많은 기본 정리는 문제의 환 또는 다형체가 규칙적이라는 가설을 가지고 있다. 기본적으로 예상되는 관계 중 하나는 다양한  X 및 열린 부분 집합  U의  K이론과 관련된 긴 완전열("국소화 열"라고 함)였다. 퀼런은 완전히 일반적으로 국소화 열의 존재를 증명할 수 없었다. 그러나 그는  G이론(또는 때때로  K이론)이라는 관련 이론에 대한 존재를 증명할 수 있었다.  G이론은 그로텐디크에 의해 주제 발전 초기에 정의되었다. 그로텐디크는 다양한  X에 대해  X에 대한 연접층의 동치류에 대한 자유 아벨 군, 연접층의 완전열에서 오는 가군으로 관계에 대해  G_{0}(X)를 정의했다. 후기 수학자들에 의해 채택된 범주론적 틀에서 다형체의  K이론은 선형 다발 범주의  K이론인 반면,  G 이론은 연접층 범주의  K이론이다. 퀼런은  G 이론에 대한 국소화 완전열의 존재를 증명할 수 있었을 뿐만 아니라 일반 환 또는 다형체의 경우  K이론이  G 이론과 동일하므로 일반 다형체의  K이론이 국소화 완전열를 가짐을 증명할 수 있었다. 이 순서는 주제의 많은 사실에 기본이 되었기 때문에 규칙성 가설은 고차  K이론에 대한 초기 작업에 널리 퍼졌다.