로지스틱 사상
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 3.56994… < a < 4의 경우 > 창, 간헐성

매개변수가 a∞을 넘어서도 움직임의 매개변수 a 로의 의존의 방법은 단순하지 않다. a > a∞ 의 혼돈 영역에서는 많은 정교한 수학적 구조가 숨어 있다. 이 영역에서는 계속 혼돈이 이어지는 것은 아니고, 안정적인 주기 궤도도 다시 나타난다. a∞ < a ≤ 4에서의 움직임은 크게 나누면 이하의 두 종류로 나눠진다.
안정적인 주기점. 이 경우, 랴푸노프 지수는 음수를 보인다.
비주기적 궤도. 이 경우, 랴푸노프 지수는 정수를 보인다.
a∞ < a ≤ 4의 안에 존재하는 안정적인 주기점의 영역은 주기창(periodic window) 혹은 단순히 창(window)이라고 불린다. 혼돈 영역을 궤도 다이어그램으로 보면 비주기적 궤도의 영역은 무수히 많은 점으로 이루어져있고, 이에 둘러싸여 흩어져있는 공백 부분이 창이다.
각 창에서는 a∞ = 3.56994…보다 앞에서 일어난 주기배가 분기의 캐스케이드가 다시 일어난다. 단, 이들의 주기는 전과 같은 2k의 안정적인 주기 궤도가 아닌, 3×2k나 5×2k와 같은 새로운 안정적인 주기 궤도가 생성된다. 처음은 p주기에서 주기배가 캐스케이드가 일어나는 창은 주기 p의 창 등으로 불린다. 예를 들면 주기 3의 창은 3.8284 < a < 3.8415 부근의 영역에 존재하고 있고, 이 영역 안에서는 3, 6, 12, 24, …, 3×2k, …라는 식으로 주기가 배가해간다.
창의 영역에서는 혼돈은 사라져 존재하지 않고, 배후에 존재한다. 그러나 이 혼돈은 불안정하기에 안정적인 주기 궤도만이 관측된다. 창의 영역에서는 궤도가 초기 조건에서 안정적인 주기 궤도로 흡인되기까지 이 잠재적인 혼돈이 나타난다. 이와 같은 혼돈을 과도적 혼돈(Transient chaos)이라고 부른다. 이와 같이 혼돈이 잠재적으로 존재하고 있는 점에 있어서 창은 a∞보다 전에 나타난 주기 궤도와는 다르다.
창의 수는 a∞ < a < 4의 범위에 무한 개 있다. 각각의 창의 주기는 다양하고, 3 이상의 모든 자연수에 대응하는 주기의 창이 존재한다. 그러나 각 주기의 창이 각각 1회씩 발생하는 것은 아니다. p의 값이 클수록 그 주기의 창은 많이 반복해서 발생한다. 주기 3의 창은 1회분으로, 예를 들면 주기 13의 창은 315회 발생한다. 그 주기 3의 창에서 3주기 궤도가 생기면 샤르코우스키 순서가 완성되고, 모든 주기의 궤도가 출현한다.
p가 소수일 경우로 한정하면 주기 p의 창의 개수는
라는 식으로 계산할 수 있다. 이 식은 p를 소수로 한정해 도출되는 것이나, 실제로 소수가 아닌 p의 안정적인 p주기점의 수에 대해서도 좋은 정밀도로 계산할 수 있다.
창의 폭(창이 시작되는 a와 창이 끝나는 a의 차)는 주기 3의 창이 가장 넓고, 주기가 클수록 폭은 좁아진다. 예를 들면 주기 13의 창의 폭은 3.13 × 10−6 정도이다. 어림에 따르면 닫힌구간 [a∞, 4]의 안의 대강 10%가 창의 영역으로, 남은 것이 혼돈 궤도가 지배하는 영역으로 되어있다.
a를 늘려갈 때에 일어나는 혼돈에서 창으로의 변화는 접선의 분기라고 불리는 분기에 의해 일어난다. 이는 사상의 곡선이 y = x의 대각선에 분기의 순간에 접하고, 더욱이 매개변수를 변화시키면 곡선과 직선이 접해 두 개의 고정점을 가지게 되는 분기이다. 주기 p의 창이면 반복 사상 f p(x)가 접선의 분기를 일으키는 것에 의해 안정적인 p주기 궤도가 생겨난다. 주기 3의 창의 접선의 분기에 대해서는 정확한 분기점의 값이 알려져 있고, 이 분기점 a의 값을 a3으로 하면 a3 = 1 + √8 = 3.828427…이다. 이 분기의 개요는 f 3(x)의 그래프(세로축 xn+3·가로축 xn의 그래프)를 고찰하는 것으로 이해할 수 있다.
보다 아주 살짝 작은 경우의 ()의 그래프. 그래프는 고정점 이외에서는 접하고 있지 않고, 세 주기점이 존재하지 않는다.
일 경우. 그래프는 세 점에서 대각선에 접하고, 세 주기점이 생긴다.
보다 아주 살짝 큰 경우. 그래프는 대각선을 통과했고, 안정적인 세 주기점과 불안정한 세 주기점으로 나뉜다.
이 분기점 a3보다 아주 살짝 작은 a = 3.8282일 경우의 xn의 움직임을 보면 불규칙 변화에 더해 거의 세 주기로 주기적 변화하는 움직임도 존재하며, 이들이 교대로 발생하는 모양이 확인된다. 이러한 주기적 움직임 부분은 층류(Laminar)라고 불리며, 불규칙적 움직임 부분은 파열(Burst)라고 불린다. 파열과 층류의 시간대의 길이에 규칙성은 없고, 불규칙하게 변화한다. 그러나, 이보다도 a3에 가까운 a = 3.828327이라는 값에서 움직임을 관찰하면 a = 3.8282의 경우보다 층류의 평균적인 시간 길이가 길게 되고, 파열의 평균적인 시간 길이가 짧게 된다. 더욱이 a를 크게 하면 층류의 길이가 점점 커지고, a3에 이르렀을 때에 완전한 3주기로 바뀐다.
= 3.8282의 경우의 시계열
= 3.828327의 경우의 시계열
= 3.828427 직전에 일어나는 간헐성의 모양. 주기적으로 거의 같은 세 개의 값이 계속되는 부분이 층류, 혼돈적인 불규칙 변화를 일으키고 있는 부분이 파열.
이와 같이 층류라는 질서적인 운동과 파열이라는 혼란스러운 운동이 간헐적으로 반복해 일어나는 현상은 간헐성(intermittency)이나 간헐적 혼돈(intermittent chaos)이라고 불린다. 매개변수 a를 반대로 a3에서 작게 하는 방향으로 생각해보면, 이는 혼돈의 발생의 일종으로 된다. 매개변수가 창에서 멀어지는 방향으로 움직일 수록 파열이 지배적으로 되고, 최종적으로는 완전한 혼돈 상태로 된다. 이도 전술한 주기배가 분기와 같이 혼돈에 이르는 일반적인 루트의 하나로, 이러한 접선의 분기에 의한 간헐적 혼돈의 발생을 특징으로 한 루트는 간헐적 루트(intermittency route)라고 불린다.
간헐성의 발생 매커니즘 또한 사상의 그래프에서 이해할 수 있다. a가 a3보다 매우 살짝 작은 경우, f 3(x)의 그래프와 대각선의 사이에서는 매우 작은 간격이 존재한다. 이 간격은 채널 혹은 통로(channel)라고 불리며, 좁은 채널을 궤도가 통과하기 위해 많은 사상의 반복이 일어난다. 이 채널을 통과하는 과정에서는 xn과 xn+3은 매우 가까운 값으로 되고, 실질적으로 거의 3주기 궤도와 같이 변수가 변화한다. 이것이 층계에 상당한다. 궤도는 이윽고 이 좁은 채널을 빠져나오지만, 사상의 광역적인 구조의 결과, 다시 채널로 돌아온다. 채널과 멀어지는 사이는 혼돈적인 흐트러진 움직임을 한다. 이것이 파열에 상당한다.