stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
삼차 방정식
성질 > 압축

체  K 계수 삼차 방정식
이 주어졌다고 하자. 만약  K의 표수  \operatorname {char} K가 3이 아니라면, 치른하우스 변형  x=y-b/3a를 통해 압축 삼차 방정식
으로 만들 수 있다. 압축 방정식의 계수는 다음과 같다.
만약  y^{3}+py+q=0의 근의 중복집합이  \{\alpha ',\beta ',\gamma '\}이라면,  ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0의 근들의 중복집합은  \alpha =\alpha '-b/3a,  \beta =\beta '-b/3a,  \gamma =\gamma '-b/3a로 이루어진다.
만약  \operatorname {char} K=3이라면,  K에서 1/3이 정의되지 않으므로, 치른하우스 변형을 사용할 수 없다. 그러나 만약 추가로
이라면, 치환  x=1/y+c/b를 가하면 압축 삼차 방정식
을 얻으며, 그 계수는 다음과 같다.
만약  y^{3}+py+q=0의 근의 중복집합이  \{\alpha ',\beta ',\gamma '\}이라면,  ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0의 근들의 중복집합은  \{1/\alpha '+c/b,1/\beta '+c/b,1/\gamma '+c/b\}이다. 만약  b=0이라면, 이미 압축 방정식의 꼴이다. 만약  b\neq 0이며  ac^{3}+2b^{2}c^{2}+b^{3}d=0이라면, 치환  x=t+c/b를 가하면 1차항 및 상수항이 0인 삼차 방정식  at^{3}+bt^{2}=0을 얻으며, 그 풀이는 자명하다.
따라서, 삼차 방정식의 풀이는 압축 삼차 방정식의 풀이로 귀결된다. 카르다노의 방법은 삼차 방정식의 풀이를 압축 삼차 방정식의 풀이로 귀결시킨다. 라그랑주 분해식을 통한 풀이에서 압축은 필수적이지 않으나, 계산을 더 단순하게 만든다. 표수 3에서 압축은 계산을 단순화하는 데 그리 도움이 되지 않는다.
성질 > 비에트 정리

체  K 계수의 3차 다항식
이 주어졌으며,  \{\alpha ,\beta ,\gamma \}가  f(x)=0의 근의 중복집합이라고 하자. 그렇다면,  f(x)는 세 근에 대응하는 세 1차 다항식들로 인수 분해되며, 이를 다시 전개하여 계수를 구하면 다음과 같다.
이를 원래 계수들과 비교하면 근과 계수 사이의 관계를 얻는다.
이는 삼차 방정식에 대한 비에트 정리이다. 좌변은 세 근에 대한 기본 대칭 다항식이다. 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들에 대한 다항식이므로, 세 근에 대한 임의의 대칭 다항식은  b/a,  c/a,  d/a에 대한 다항식으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 등식들은 삼차 방정식의 라그랑주 분해식을 통한 풀이에서 사용된다.
다음 등식들은 이차 분해식의 성질의 증명 및 3차 다항식의 갈루아 군의 묘사의 증명에서 사용된다.
압축 다항식
의 경우, 다음과 같다.
성질 > 판별식

체  K 계수의 3차 다항식
의 판별식은 다음과 같다.
만약
가 압축 3차 다항식인 경우, 판별식은 다음과 같이 단순해진다.
\{\alpha ,\beta ,\gamma \}가  f(x)의 근의 중복집합이라고 하자. 그렇다면, 판별식의 한 제곱근은 다음과 같다.
(즉, 제곱하면 판별식이 된다. 다만, 실수 계수 다항식의 경우, 이는 음이 아닌 제곱근이 아닐 수 있다.) 이는  K에 속할 수도, 속하지 않을 수도 있다.
특히, 만약  D(f)\neq 0이라면,  f(x)의 세 근은 서로 겹치지 않는다. 만약  D(f)=0이라면, 둘 또는 셋이 겹친다.
표수가 3이 아닌 체  K 계수의 3차 다항식
의 압축 형태
의 판별식은 다음과 같다.
즉, 최고차항의 계수의 배수의 차이를 무시하면, 압축 전후의 판별식은 같다. 이는 압축은 세 근을 같은 양만큼 평행 이동시키므로, 두 근의 차를 변화시키지 않기 때문이다. 또한,  K=\mathbb {R} 인 경우,  a^{4}는 양의 실수이므로, 두 판별식의 부호는 일치한다.
성질 > 실수 계수

K=\mathbb {R} 가 실수체인 경우, 실수 계수 3차 다항식
은 세 실근을 가지거나, 하나의 실근과 두 허근을 가진다. 실근은 서로 겹칠 수 있으며, 허근은 서로 겹칠 수 없다. (실근과 허근은 물론 겹칠 수 없다.) 이는 판별식  D(f)\in \mathbb {R} 의 부호에 따라 결정된다.:633
만약  D(f)>0이라면,  f(x)=0은 서로 다른 세 실근을 가진다.
만약 D(f)=0 이라면, f(x)=0 은 서로 같은 세 실근을 가지거나, 하나의 실근과 서로 같은 두 실근을 가진다.
만약  D(f)=0이며  9abc\neq 2b^{3}+27a^{2}d라면, 하나의 실근과 서로 같은 두 실근을 가진다.
만약  D(f)=0이며  9abc=2b^{3}+27a^{2}d라면, 서로 같은 세 실근을 가진다.
만약  D(f)<0이라면,  f(x)는 하나의 실근과 서로 다른 두 허근을 갖는다. 또한, 두 허근은 서로 복소켤레이다.
이는
이기 때문이다. 만약  \alpha ,  \beta ,  \gamma 가 실수라면,  {\sqrt {D(f)}}가 실수이므로  D(f)\geq 0은 음이 아닌 실수이다. 만약  \alpha 가 실수이며,  \beta 와  \gamma ={\bar {\beta }}가 서로 복소켤레인 허수라면,  {\sqrt {D(f)}}=a^{2}(\alpha ^{2}+(\beta +{\bar {\beta }})\alpha +\beta {\bar {\beta }})(\beta -{\bar {\beta }})는 순허수이므로,  D(f)<0이다.
3차 다항식을 미분하여 얻는 2차 다항식
을 통해서도 실근의 수와 중복 여부를 가릴 수 있다. 구체적으로,
가 이 2차 다항식의 판별식이라고 하였을 때,
D(f')>0 인 경우, f'(x)=0 의 두 서로 다른 실근을 \alpha ,\beta 라 하자.
f(\alpha )f(\beta )>0인 경우 하나의 실근과 서로 다른 두 허근이 존재한다.
f(\alpha )f(\beta )=0인 경우 하나의 실근과 서로 같은 두 실근이 존재한다.
f(\alpha )f(\beta )<0인 경우 서로 다른 세 실근이 존재한다.
D(f')=0 인 경우 f'(x)=0 의 이중 실근을 \alpha 라 하자.
f(\alpha )=0인 경우 서로 같은 세 실근이 존재한다.
f(\alpha )\neq 0인 경우 하나의 실근과 서로 다른 두 허근이 존재한다.
D(f')<0인 경우 하나의 실근과 서로 다른 두 허근이 존재한다.
성질 > 이차 분해식

체  K 계수 3차 다항식  f(x)\in K[x]의 근의 중복집합이  \{\alpha ,\beta ,\gamma \}라고 하자. 그렇다면,  f(x)의 이차 분해식  r(f)의 두 근은  \alpha ^{2}\beta +\beta ^{2}\gamma +\alpha \gamma ^{2}과  \alpha \beta ^{2}+\beta \gamma ^{2}+\alpha ^{2}\gamma 이다. 이는 두 근의 합과 곱이  r(f)에 대한 비에트 정리와 일치하기 때문이다.
이차 분해식의 판별식은 원래 3차 다항식의 판별식과 같다. 즉, 체  K 계수 3차 다항식  f\in K[x]에 대하여, 항상
이다.
성질 > 갈루아 군

체  K 및 3차 분해 가능 기약 다항식  f\in K[x]가 주어졌다고 하자. 여기서, 분해 가능성은  f(x)의 근  \alpha ,  \beta ,  \gamma 가 서로 다름을 뜻하며, 이는  D(f)\neq 0과 동치이다. 그렇다면,  f(x)의 분해체  K(\alpha ,\beta ,\gamma )의 갈루아 군
는 3차 대칭군  \operatorname {Sym} (3) 또는 3차 교대군  \operatorname {Alt} (3)과 동형이다. 이는 갈루아 군이 세 근의 집합  \{\alpha ,\beta ,\gamma \} 위에서 충실하게 또한 추이적으로 작용하기 때문이다. 둘 가운데 어떤 군인지는 이차 분해식  r(f)\in K[x]가  K[x]에서 완전히 인수 분해되는지 여부에 따라 결정된다.
만약  r(f)(\xi )=0인  \xi \in K가 존재하지 않는다면, 갈루아 군  \operatorname {Gal} (K(\alpha ,\beta ,\gamma )/K)는  \operatorname {Sym} (3)과 동형이다.
만약  r(f)(\xi )=0인  \xi \in K가 존재한다면, 갈루아 군  \operatorname {Gal} (K(\alpha ,\beta ,\gamma )/K)는  \operatorname {Alt} (3)과 동형이다.
만약  \operatorname {char} K\neq 2라면, 3차 분해 가능 기약 다항식  f\in K[x]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
r(f)(x)=0인  x\in K가 존재한다.
{\sqrt {D(f)}}\in K. 즉, 판별식은 어떤  K의 원소의 제곱이다.
따라서, 이 경우 갈루아 군은 판별식이 제곱인지 여부에 따라 결정된다.:493, Theorem 16.8.5
만약  {\sqrt {D(f)}}\not \in K라면,  \operatorname {Gal} (K(\alpha ,\beta ,\gamma )/K)\cong \operatorname {Sym} (3)
만약  {\sqrt {D(f)}}\in K라면,  \operatorname {Gal} (K(\alpha ,\beta ,\gamma )/K)\cong \operatorname {Alt} (3)
대수적 풀이 > 카르다노 공식

체  K의 표수  \operatorname {char} K가 2나 3이 아니라고 하자. 그렇다면, 임의의  K 계수 삼차 방정식
의 근은 다음과 같다. 이를 카르다노 공식이라고 한다.:632, (14.27)
여기서
p=(3ac-b^{2})/3a^{2}은 이 삼차 방정식에 대응하는 압축 삼차 방정식의 1차항 계수이다.
q=(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)/27a^{3}은 이 삼차 방정식에 대응하는 압축 삼차 방정식의 상수항이다.
\omega =(-1+{\sqrt {-3}})/2는 1의 원시 세제곱근이다.  \operatorname {char} K\nmid 3이므로, 1의 원시 세제곱근이 존재한다. 이는 서로 다른 둘이 있으며,  \omega 가 주어지면 나머지 하나는  \omega ^{2}이다. 만약  \omega  대신  \omega ^{2}을 사용하면,  \beta 와  \gamma 의 자리가 바뀐다. \operatorname {char} K\nmid 2이므로,  \omega =(-1+{\sqrt {-3}})/2,  \omega ^{2}=(-1-{\sqrt {-3}})/2로 잡을 수 있다. 만약  K가 복소수체  \mathbb {C} 의 부분체라면,  \omega =\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} /3},  \omega ^{2}=\mathrm {e} ^{4\pi \mathrm {i} /3}로 잡을 수 있다.
임의의  r\in K에 대하여,  {\sqrt {r}}는  r의 제곱근이다. 이는 둘이 있으며, 겹칠 수 있다. 하나  {\sqrt {r}}가 주어지면 나머지 하나는  -{\sqrt {r}}이다. 카르다노 공식에 등장하는 제곱근  {\sqrt {r}}를  -{\sqrt {r}}로 대체하면  \beta 와  \gamma 의 자리가 바뀐다.
임의의  r\in K에 대하여,  {\sqrt[{3}]{r}}는  r의 세제곱근이다. 이는 셋이 있으며, 겹칠 수 있다. 하나  {\sqrt[{3}]{r}}가 주어지면, 나머지 둘은  \omega {\sqrt[{3}]{r}}와  \omega ^{2}{\sqrt[{3}]{r}}이다. 카르다노 공식에 등장하는 두 세제곱근은 곱이  -p/3가 되도록 골라야 한다. 이 조건이 없으면 두 세제곱근을 고르는 방법은 아홉 가지이지만, 이 조건에 따라 하나를 고르면 나머지 하나가 결정되므로 세 가지 방법이 남는다.  u와  v가 한 방법이라고 하였을 때, 나머지 두 방법은  \omega ^{2}u와  \omega v,  \omega u와  \omega ^{2}v이다.  u와  v를  \omega ^{2}u와  \omega v로 대체하면  \alpha ,\beta ,\gamma 는  \beta ,\gamma ,\alpha 로 순열되며,  \omega u와  \omega ^{2}v로 대체하면  \gamma ,\alpha ,\beta 로 순열된다. 만약  K=\mathbb {R} 이며,  u^{3}와  v^{3}가 모두 실수라면,  u와  v는 실수로 고를 수 있다. 이는 곱  uv=-p/3이 실수이기 때문이다. 이 경우, 판별식은 음의 실수가 된다.
대수적 풀이 > 카르다노 공식의 유도 > 카르다노의 방법

이 증명은 스키피오네 델페로와 니콜로 폰타나 타르탈리아의 아이디어이며, 지롤라모 카르다노가 1945년 저서 《위대한 예술》(라틴어: Ars Magna 아르스 마그나[*])에 처음 출판하였다.  \operatorname {char} K\neq 3이므로, 압축 삼차 방정식
을 풀면 충분하다 (#압축 참고). 항등식
을 생각하자. 이 항등식에 따라, 만약  u와  v가 두 등식
를 만족한다면,  u+v는 삼차 방정식  y^{3}+py+q=0의 근이다. 첫째 등식을 만족하려면
이어야 한다. 둘째 등식과 이 등식에 따라,  u^{3}와  v^{3}는 이차 방정식
의 두 근이다.  \operatorname {char} K\neq 2이므로, 두 근은 이차 방정식의 통상적인 근의 공식을 사용하여 나타낼 수 있다.
이제,  u와  v는  u^{3}와  v^{3}의 세제곱근이다. 그런데 모든 세제곱근이 등식  p=-3uv를 만족하는 것은 아니다. 세제곱근
을  u와  v의 곱이  -p/3이 되도록 고르자. 이는 항상 가능하다.  -p^{3}/27=u^{3}v^{3}이므로,  uv는  -p^{3}/27의 세제곱근이며, 이는  -p/3,  -\omega p/3,  -\omega ^{2}p/3의 셋이 있다. 만약  uv\neq -p/3이라면,  u나  v에  \omega ^{2} 또는  \omega 을 곱하여 곱이  -p/3이 되도록 만들 수 있으며, 이 경우 새로운  u 또는  v는 여전히 세제곱근이다. 이제,
은 삼차 방정식  y^{3}+py+q=0의 근이다.
하나의 근을 구하면 나머지 근들은 이차 방정식  (y^{3}+py+q)/(y-(u+v))=0을 풀어 얻을 수 있다. 나머지 근들을 명시적으로 나타내려면 다음과 같이 계속한다. 어떤  u와  v의 선택에 대하여,  \omega u와  \omega ^{2}v는  u^{3}와  v^{3}의 세제곱근이며, 곱은  -p/3이다. 마찬가지로,  \omega ^{2}u와  \omega v 역시  u^{3}와  v^{3}의 세제곱근이며, 곱은  -p/3이다. 따라서, 나머지 두 근은 다음과 같다.
대수적 풀이 > 카르다노 공식의 유도 > 라그랑주 분해식을 통한 방법

이 증명은 조제프루이 라그랑주가 1771년 논문 《방정식의 대수적 풀이에 대한 고찰》(프랑스어: Réflexions sur la résolution algébrique des équations)에서 도입한 방법을 사용한다. 이 방법은 사차 방정식에 대해서도 유효하다. 표수가 3이 아니므로, 압축 삼차 방정식
을 생각하면 충분하다 (#압축 참고). (다만, 라그랑주의 방법은 비압축 형태에 대해서도 유효하다.)  \{\alpha ,\beta ,\gamma \}가  y^{3}+py+q=0의 근의 중복집합이라고 하자. 이제, 라그랑주 분해식
들을 생각하자. 기약 다항식의 경우, 쿠머 이론에 따라 분해체  K(\alpha ,\beta ,\gamma )는  K({\sqrt {D}})의 3차 거듭제곱근 확대이며, 어떤 라그랑주 분해식을 세제곱근 생성원으로 한다. 따라서,  \theta _{1}^{3}와  \theta _{2}^{3}은 방정식의 계수를 통해 나타낼 수 있을 것이라고 예상할 수 있다. 이 증명은 이를 구체적인 계산을 통해 보이므로, 쿠머 이론을 사용하지는 않는다. #비에트 정리에 따라,
이다. 또한,
는 #판별식의 한 제곱근이다. 1의 원시 세제곱근  \omega 에 대하여,  \omega +\omega ^{2}=-1,  \omega -\omega ^{2}={\sqrt {-3}}이 성립한다. 이를 사용하여,  \theta _{1}^{3}를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
마찬가지로,
이다. 세제곱근
를 고르자. 이는 곱에 대한 제약 조건
을 만족시켜야 한다.
이제,  1+\omega +\omega ^{2}=0이므로,
이다. 여기에  \theta _{1} 및  \theta _{2}와 판별식  D=-4p^{3}-27q^{2}을 대입하면 원하는 공식을 얻는다. 일반적인 삼차 방정식의 경우, 치른하우스 변형을 되돌려 각 근에  -b/3a를 더한다.
대수적 풀이 > 표수 2

표수 2에서, 카르다노 공식은 더 이상 유효하지 않다. 예를 들어, 카르다노 공식에는 1/2이 등장하는데, 표수 2에서는  2=0이므로 1/2이 정의되지 않는다. 체  K가 주어졌으며,  \operatorname {char} K=2라고 하자. 임의의  K 계수 삼차 방정식
의 근의 중복집합  \{\alpha ,\beta ,\gamma \}는 다음과 같다.
만약  bc+ad\neq 0이라면,
 \alpha =b/a+{\sqrt[{3}]{q\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})}}+{\sqrt[{3}]{q\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})+q}}
 \beta =b/a+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{q\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})}}+\omega {\sqrt[{3}]{q\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})+q}}
 \gamma =b/a+\omega {\sqrt[{3}]{q\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{q\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})+q}}
만약  bc+ad=0이라면,
 \alpha =b/a
 \beta =\gamma =b/a+{\sqrt {p}}
여기서
p=(b^{2}+ac)/a^{2}
q=(bc+ad)/a^{2}
\omega =\wp _{2}^{-1}(1)은 1의 원시 세제곱근이다. 이는 두 개가 존재하며, 하나  \wp _{2}^{-1}(1)이 주어지면 나머지 하나는  \wp _{2}^{-1}(1)+1이다. 고르는 방법을 바꾸면  \beta 와  \gamma 를 순열하게 된다.
\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})는 2차 다항식  x^{2}+x+p^{3}/q^{2}\in K[x]의 근이다. 이는 두 개가 존재하며, 하나  \wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})가 주어지면 나머지 하나는  \wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})+1이다. 고르는 방법을 바꾸면  \beta 와  \gamma 를 순열하게 된다.
세제곱근  {\sqrt[{3}]{q\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})}}과  {\sqrt[{3}]{q\wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})+q}}는 곱이  p가 되도록 고른다. 세 가지 방법이 있으며, 한 방법  u와  v가 주어지면 나머지 두 방법은  \omega ^{2}u와  \omega v,  \omega u와  \omega ^{2}v이다. 고르는 방법을 바꾸면 세 근을 순열하게 된다.
{\sqrt {p}}는 완전 비분해 다항식  x^{2}+p\in K[x]의 근이다. 이는 유일하며, 중복도 2를 갖는다.
이는 다음과 같이 보일 수 있다. 표수가 3이 아니므로, 압축 삼차 방정식
을 풀면 충분하다 (#압축 참고). 다만, 치른하우스 변형은  x=y+b/a가 되며, 압축 삼차 방정식의 계수는
이다. 만약  q=0이라면, 방정식은  y^{3}+py=0이 된다. 표수가 2이므로, 이는
와 같이 인수 분해된다. 즉, 이 방정식의 근은 하나의 0과 두  {\sqrt {p}}로 이루어진다. 일반적인 삼차 방정식의 근은 여기에  b/a를 더하여 얻는다. 즉, 하나의  b/a와 두  b/a+{\sqrt {p}}이다.
이제,  q\neq 0이라고 하자.  \{\alpha ,\beta ,\gamma \}가  y^{3}+py+q=0의 근의 중복집합이라고 하자. 라그랑주 분해식
를 정의하자. 그렇다면, 카르다노 공식의 증명에서와 마찬가지로,
이다. 따라서,
이다. 즉,  \theta _{1}^{3}과  \theta _{2}^{3}은 이차 방정식
의 두 근이다.  q\neq 0이므로,  \theta _{1}^{3}/q와  \theta _{2}^{3}/q는 이차 방정식  w^{2}+w+p^{3}/q^{2}=0의 두 근이다. 한 근을  \wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})로 적으면, 나머지 한 근은  \wp _{2}^{-1}(p^{3}/q^{2})+1이다. 편의상
이라고 하자. 이제, 세제곱근
을 곱이  \theta _{1}\theta _{2}=p가 되도록 고르자. 그렇다면,  1+\omega +\omega ^{2}=0이며,  \alpha +\beta +\gamma =0이므로,
이다. 일반적인 삼차 방정식의 근은 여기에  b/a을 더한다.
대수적 풀이 > 표수 3

카르다노 공식은 표수 3에서도 참이 아니다. 예를 들어, 카르다노 공식에는 1/27이 등장하는데, 표수 3에서는  27=0이므로 이는 정의되지 않는다. 또한, 표수 3에서는 1의 원시 세제곱근이 존재하지 않는다. 사실, 표수 3에서는  x^{3}-1=(x-1)^{3}이므로, 1의 세제곱근은 1뿐이며, 그 중복도는 3이다. 특히, 1의 원시 세제곱근에 대한 라그랑주 분해식을 정의할 수 없다. 또한,  3=0이므로, 삼차 방정식에 대하여 치른하우스 변형을 사용할 수 없다.
체  K가 주어졌으며,  \operatorname {char} K=3이라고 하자. 그렇다면, 임의의 삼차 방정식
의 근은 다음과 같다.
만약  b\neq 0이라면,
 \alpha ={\frac {b}{a}}\left(\wp _{3}^{-1}\left({\frac {a}{b^{3}}}{\sqrt {b^{2}c^{2}-b^{3}d-ac^{3}}}\right)\right)^{2}+{\frac {ac-b^{2}}{ab}}
 \beta ={\frac {b}{a}}\left(\wp _{3}^{-1}\left({\frac {a}{b^{3}}}{\sqrt {b^{2}c^{2}-b^{3}d-ac^{3}}}\right)+1\right)^{2}+{\frac {ac-b^{2}}{ab}}
 \gamma ={\frac {b}{a}}\left(\wp _{3}^{-1}\left({\frac {a}{b^{3}}}{\sqrt {b^{2}c^{2}-b^{3}d-ac^{3}}}\right)+2\right)^{2}+{\frac {ac-b^{2}}{ab}}
만약  b=0,  c\neq 0이라면,
 \alpha ={\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}\wp _{3}^{-1}\left({\frac {d}{c}}{\sqrt {-{\frac {a}{c}}}}\right)
 \beta ={\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}\wp _{3}^{-1}\left({\frac {d}{c}}{\sqrt {-{\frac {a}{c}}}}\right)+{\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}
 \gamma ={\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}\wp _{3}^{-1}\left({\frac {d}{c}}{\sqrt {-{\frac {a}{c}}}}\right)+2{\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}
만약  b=c=0이라면,
 \alpha =\beta =\gamma =-{\sqrt[{3}]{\frac {d}{a}}}
여기서
임의의  r\in K에 대하여,  {\sqrt {r}}은  r의 제곱근이다. 이는 둘이 있으며, 하나  {\sqrt {r}}가 주어지면 나머지 하나는  -{\sqrt {r}}이다. 첫 번째 경우에서는 고르는 방법을 바꿔도 근이 순열되지 않는다. 두 번째 경우에서 고르는 방법을 바꾸면  \beta 와  \gamma 를 순열하게 된다.
임의의  r\in K에 대하여,  \wp _{3}^{-1}(r)은 3차 다항식  x^{3}-x-r=0의 근이다. 이는 셋이 있으며, 하나  \wp _{3}^{-1}(r)가 주어지면 나머지 둘은  \wp _{3}^{-1}(r)+1과  \wp _{3}^{-1}(r)+2이다. 고르는 방법을 바꾸면 세 근을 순열하게 된다.
-{\sqrt[{3}]{d/a}}는 완전 비분해 다항식  x^{3}+d/a=0의 근이다. 이는 유일하며, 중복도 3을 갖는다.
증명은 다음과 같다.  \{\alpha ,\beta ,\gamma \}가  ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0의 근의 중복집합이라고 하자. 만약  b=c=0이라면, 방정식은  x^{3}+d/a=0이 되며, 표수가 3이므로 이는  \left(x+{\sqrt[{3}]{d/a}}\right)^{3}=0으로 인수 분해된다. 따라서,  \alpha =\beta =\gamma =-{\sqrt[{3}]{d/a}}이다. 만약  b=0이며  c\neq 0이라면,  \alpha /{\sqrt {-c/a}},  \beta /{\sqrt {-c/a}},  \gamma /{\sqrt {-c/a}}는
의 세 근이며, 이는
로 이루어진다.
이제,  b\neq 0이라고 하자. 또한
라고 하자. 그렇다면,
이다. 또한, 다음이 성립한다.
마찬가지로,
이다. 이제,  r가
의 근임을 보이면 충분하다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.
여기서  D는 삼차 방정식  ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0의 판별식이다.
환원 불능의 경우

K=\mathbb {Q} 가 유리수체라고 하자. 그 표수는 0이므로, 카르다노 공식이 성립한다. 임의의 유리수 계수 3차 다항식
의 근  \alpha _{0},  \alpha _{1},  \alpha _{2}에 대한 카르다노 공식을 판별식
을 사용하여 적으면 다음과 같다 ( i=0,1,2).
이제,  D(f)>0이라고 가정하자. 그렇다면,  f는 서로 다른 세 실근을 갖지만, 카르다노 공식은 이를 허수의 세제곱근을 사용하여 나타낸다. ( -3D(f)<0이므로,  \textstyle {\sqrt {-3D(f)}}는 순허수이다.) 만약  f가  \mathbb {Q} [x]의 기약 다항식이 아니라면,  f는 하나 이상의 유리근을 가지며, 모든 근은 실수의 제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다. 예를 들어,
는 4를 근으로 하지만, 그 카르다노 공식
은 이를 두 허수  2\pm 11{\sqrt {-1}}의 세제곱근의 합으로 나타낸다. 사실
이므로, 두 세제곱근의 합은 4가 맞다. 만약  f가  \mathbb {Q} [x]의 기약 다항식이라면, 허수의 거듭제곱근은 불가피하다. 즉,  f의 근들은 실수이지만, 실수의 거듭제곱근만을 사용하여 나타낼 수 없다.:633 이를 환원 불능의 경우(라틴어: casus irreducibilis 카수스 이레두키빌리스[*])라고 한다. 예를 들어,
의 근은
이다. 여기서
는 1의 9차 원시 거듭제곱근이다. 세 근은 모두 실수지만, 거듭제곱근을 실수에만 씌워서는 나타낼 수 없다.
환원 불능의 경우는 갈루아 이론을 사용하여 다음과 같이 보일 수 있다. 귀류법을 사용하여, 다항식  f\in \mathbb {Q} [x]가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
\deg f=3
기약 다항식이다. 즉, 유리근을 갖지 않는다.
D(f)>0. 즉, 서로 다른 세 실근을 갖는다.
어떤 근을 실수의 거듭제곱근만으로 나타낼 수 있다.
그렇다면,  \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D(f)}})/\mathbb {Q} 는 1차 또는 2차 확대이므로,  f는  \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D(f)}})[x]에서도 기약 다항식이다. 또한,  f의  \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D(f)}})에 대한 분해체의 갈루아 군은 3차 순환군이다 (#갈루아 군 참고). 따라서, 다음 조건들을 만족시키는 체의 확대의 열
이 존재한다.
K_{n}\subseteq \mathbb {R}
모든  i=1,\dots ,n에 대하여,  K_{i}=K_{i-1}({\sqrt[{p_{i}}]{a_{i}}})인  a_{i}\in K_{i-1} 및 소수  p_{i}가 존재한다.
K_{n-1}은  f의 근을 포함하지 않는다.
K_{n}은  f의 모든 근을 포함한다.
이제,  [K_{i}:K_{i-1}]=d_{i}라고 하자. 그렇다면,  K_{i-1}\subseteq \mathbb {R} 이므로,  {\sqrt[{p_{i}}]{a_{i}}}의  K_{i-1}에 대한 최소 다항식의 상수항은  \pm ({\sqrt[{p_{i}}]{a_{i}}})^{d_{i}}이다. 따라서  ({\sqrt[{p_{i}}]{a_{i}}})^{d_{i}}\in K_{i-1}이다. 그런데  ({\sqrt[{p_{i}}]{a_{i}}})^{p_{i}}=a_{i}\in K_{i-1}이므로,  d_{i}=p_{i}이거나 아니면  d_{i}=1이다.  f의 근이  K_{n}\setminus K_{n-1}에 속하므로,  3\mid d_{n}이다.  d_{n}은 1이거나 소수이므로,  d_{n}=3이다. 즉,  K_{n}은  f의  K_{n-1}에 대한 분해체이며, 따라서  K_{n}/K_{n-1}은 갈루아 확대이다.  {\sqrt[{3}]{a_{n}}}\in K_{n}이므로,  K_{n}은  a_{n}의 다른 세제곱근들도 포함해야 한다. 이는  \omega {\sqrt[{3}]{a_{n}}}과  \omega ^{2}{\sqrt[{3}]{a_{n}}}이므로,  K_{n}은 1의 원시 세제곱근  \omega 를 포함한다. 이는  K_{n}\subseteq \mathbb {R} 과 모순이다.
역사

고대 바빌로니아에서는, 수표를 이용하여 삼차 방정식의 근을 어느 정도의 근사치로서 구할 수 있었다.
또한 고대 그리스에서는 키오스의 히포크라테스에 의해서   p,  q 로부터
되는 수 x, y 을 요구한다고 하는 비의 문제인 입방 배적 문제로 알려져 있다. 입방 배적 문제는 3대 작도 문제중 1개이다.
메나이크모스는 히포크라테스의 아이디어로부터 원추 곡선을 생각해 내어 입방 배적 문제를 원추곡선에 의한 작도에 의해서 풀어내었다. 메나이크모스는 이 업적으로 인하여 원추 곡선의 발견자라고 알려져 있다. 입방 배적 문제는
x3 = 2 p3 (p > 0)
의 형태의 삼차 방정식을 푸는 것과 같고 메나이크모스에 의한 방법은, 삼차 방정식의 기하학적 해법 중 1개로 생각 할 수 있어서 원추 곡선의 표를 계산해 두면 삼차 방정식의 근의 근사치도 알 수 있게 된다. 그러나 일반적으로 원추 곡선은 플라톤의 작도 아래에서도 작도할 수 있다. 곡선은 아니기 때문에 원추 곡선에 의한 기하학적 해법은 입방 배적 문제의 해법으로 보이지는 않는다.
이러한 원추 곡선의 연구는 아르키메데스나 이븐 알 하이탐 등을 거쳐, 셀주크 제국 시대 페르시아의 오마르 하이얌에 의해 확장되어 여러 가지 형태를 취한 3차방정식의 근이 원추 곡선끼리의 교점으로서
삼차 방정식의 대수적 해법은 16세기 무렵에 볼로냐 대학의 시피오 델페로가 발견한 것으로 여겨지고 있다.[출처 필요]
이런 형태의 공식이다. 당시에는 음수는 인정되지 않았기 때문에 계수는 아주 한정되어 있었다.
이 방정식 자체는 특수한 형태이지만, 일반적인 삼차 방정식은 이 형태로 변형할 수 있기 때문에, 본질적으로는 삼차 방정식은 델페로가 풀었다고 해도 과언은 아니다. 또한 이 방정식의 경우는 계수의 부호의 제약으로부터 환원 불능이 되지 않는다.
델페로는 이 해법을 공개하지 않고, 제자 몇 명에게만 알려준 뒤 1526년에 죽었다. 그리고 그 제자 중의 한 명인 안토니아 마리아 피올(Antonio Maria Fior)은 이 방법을 이용하여 당시에 성행했던 금전을 건 계산 승부에서 계속 이겼다.
삼차 방정식의 해답이 있다고 하는 소문을 바탕으로 타르탈리아(Tartaglia)는 독자적인 힘인지는 몰라도
의 형태의 삼차 방정식을 푸는 것에 성공한 뒤 델·페로의 삼차 방정식의 해법도 알아냈다. 타르탈리아가 삼차 방정식을 풀었다는 소문을 들은 피올은 소문을 믿지 않고 타르탈리아에게 계산 승부에서 패배시켜 자신의 명성을 올리려고 하였지만, 델·페로의 삼차 방정식의 해법 밖에 몰랐기 때문에 피올은 타르탈리아와의 승부에서 지게 된다.
타르탈리아가 삼차 방정식의 대수적 해법을 알고 있다고 듣게 된 카르다노는 타르탈리아에게 간절히 부탁을 하여 삼차 방정식의 해법을 알아냈다. 카르다노는 제자인 로도비코 페라리와 얻은, 일반적인 사차 방정식의 대수적 해법과 아울러, 삼차 방정식의 대수적 해법을 출판하고 싶다고 생각했지만, 타르탈리아에게 해법을 비밀에 붙인다고 맹세했기 때문에 출판할 수는 없었다.
거기서, 일찍이 델페로가 3차방정식의 대수적 해법을 얻었다고 하는 소문을 믿고 페라리와 볼로냐에 가서, 델페로의 양자인 안니바레 델라 나베를 만나 델페로의 유고를 보고 그것을 읽은 카르다노는 타르탈리아가 3차방정식을 푼 최초의 사람이 아닌 것을 알았으므로, 타르탈리아와의 약속을 무효화 시켜 1545년에 수학,철학,의학의 내용을 담는 《아르스 마그나》(Ars Magna)를 출판해,책의 제4부에서 여러 가지 형태의 삼차 방정식의 해법을 공표했다.
이에, 삼차 방정식의 해법은 “카르다노의 방법”으로도 불리게 되었다. 이 일은 타르탈리아를 격노시켜 논쟁으로 발전했지만, 카르다노는 《아르스 마그나》에서 델페로와 타르탈리아의 공적에 대해 칭찬하고 있어, 삼차 방정식의 해법이 카르다노 자신의 독자적인 방법이라고 속인 것은 아니다. 또한 타르탈리아로부터 해의 도출 방법까지는 묻지 않고 다양한 형태의 삼차 방정식에 대한 해를 나타낸 일은 카르다노 자신의 업적이다.
카르다노의 공식에서
이런 최고차항이 사라진 삼차 방정식은
이 때의 음수의 제곱근이 나타난다. 이것은 이 방정식의 판별식
과 같은 조건이다.
즉  D<0 일 때, 3개가 다른 실근을 가지게 되는 조건이다. 실근 밖에 없는 데도 여기에 관련 되지 않고서는 카르다노의 공식에서는 음수의 제곱근을 경유할 필요가 있었다. 카르다노는 음수의 제곱근을 계산에 이용하는 것은 있었지만 그러한 경우는 불가능하고 도움이 되지 않는 것이라고 생각하고 있었다
라파엘 봄벨리(Rafael Bombelli)는 이 경우를 자세하게 연구해 1572년에 출판한 「대수학」(Algebra)에 적었다. 형식적인 계산이긴 하지만 당시에는 아직 알려지지 않았다 이 계산은 허수의 계산과 같았다. 본베리는
이런 공식에 x = 4를 해로 가지는 방정식에 예를 주었다 이 방정식을 카르다노의 공식에서 계산해 보면
이 되지만 본베리는 이 우변은 오늘날의 공역의 복소수화 라고 생각해 음수의 제곱근 연산 규칙을 준 다음
로부터 b = 1 을 요구하여 원 방정식이 x = 4를 해로 가지는 것을 설명했다.
일반적으로는
로부터 a, b 의 두개의 값을 요구하지 않으면 안되지만 이것을 요구하기 위해서는 다른 3차방정식이 나타나기 때문에 카르다노는 이 경우를 환원 불능의 경우라고 불렀다. 이 환원 불능의 경우를 회피하기 위해서 여러 가지 노력이 이루어졌지만 실은 허수를 피해서 실수의 거듭제곱근과 사칙연산을 유한하게 사용하는 것으로는 해를 찾아내는 것은 불가능 하기 때문에 모두 헛수고로 끝났다.
같이 보기

일차 방정식
이차 방정식
사차 방정식
오차 방정식
육차 방정식
칠차 방정식
황금비
노 웨이 백 (1995년 영화)

| 노 웨이 백 No Way Back |
| --- | --- |
감독: 프랭크 A. 커펠로
각본: 프랭크 A. 커펠로
제작: 아키 코미네 조엘 스와손
출연:  러셀 크로  헬렌 슬레이터  도요카와 에츠시 
촬영: 리처드 클레이바
편집: 소니 배스킨
음악: 데이비드 C. 윌리엄스
시간: 91분
국가:  미국
《노 웨이 백》(영어: No Way Back)은 미국에서 제작된 프랭크 A. 커펠로 감독의 1995년 액션 스릴러 영화이다. 러셀 크로 등이 출연하였고, 아키 코미네 등이 제작에 참여하였다.
출연

러셀 크로
헬렌 슬레이터
도요카와 에츠시
마이클 러너
시마다 규사쿠
아이언 지어링
프랜스와 차우
켈리 후
앤드루 J. 퍼츨런드
기타 제작진

공동 제작: 마이클 레이히
라인 제작: 토머스 캘러브리즈
협력 제작: 돈 필립스
미술: 클라크 헌터
의상: 캐스린 와그너
1993년 잠비아 축구 국가대표팀 항공기 참사

잠비아 축구 국가대표팀 항공기 참사는 1993년 4월 27일 잠비아 축구 국가대표팀이 세네갈 축구 국가대표팀과의 1994년 FIFA 월드컵 아프리카 지역 최종 예선을 치르기 위해 탑승한 항공기가 추락한 사고로 당시 잠비아 국가대표팀은 세네갈 국가대표팀과의 B조 2차전 원정 경기를 치르기 위해 결전지인 세네갈의 수도 다카르로 가던 도중 가봉의 수도 리브르빌에서 항공기 추락 사고가 발생하면서 탑승객 30명 전원(승무원 5명, 승객 25명)이 사망했으며 기내 화재를 진압하려다 엔진을 잘못 끈 게 화근이 되었다.
사망자 명단 > 선수

| 선수 | 나이 | 포지션 |
| --- | --- | --- |
| 데이비드 차발라 | 33 | GK |
| 존 소코 | 24 | DF |
| 화이트선 창웨 | 28 | DF |
| 로버트 와티야케니 | ? | DF |
| 에스턴 물렝가 | 25 | MF |
| 더비 마킹카 | 27 | MF |
| 모지스 치크왈라크왈라 | 23 | MF |
| 위즈덤 뭄바 찬사 | 29 | MF |
| 켈빈 무탈레 | 23 | FW |
| 티머시 음위트와 | 24 | FW |
| 눔바 음윌라 | 30 | MF |
| 리처드 음완자 | 33 | GK |
| 새뮤얼 촘바 | 29 | DF |
| 모지스 마수와 | 32 | FW |
| 케넌 시맘베 | ? | DF |
| 고드프리 캉와 | ? | MF |
| 윈터 뭄바 | ? | DF |
| 패트릭 반다 | 19 | FW |
사망자 명단 > 코칭 스태프

| 이름 | 나이 | 직책 | 국적 |
| --- | --- | --- | --- |
| 고드프리 치탈루 | 45 | 감독 |  잠비아 |
| 앨릭스 촐라 | 36 | 코치 |  콩고 민주 공화국 |
| 윌슨 음통가 |  | 팀 닥터 |  |
윌슨 사카라:
사망자 명단 > 승무원

잠비아 축구 국가대표팀 선수들이 군 수송기를 이용해서 이동한 관계로 해당 항공기의 승무원의 신분은 전원 군인이었다.
| 이름 | 나이 | 직책 | 계급 |
| --- | --- | --- | --- |
| 펜튼 모네 |  | 기장 | 대령 |
| 빅터 무함바 |  | 조종사 | 중령 |
| 제임스 사치카 |  | 조종사 | 중령 |
| 에드워드 남보트 |  | 정비공 | 준위 |
| 톰슨 사카라 |  | 스튜어드 | 상병 |
사망자 명단 > 기타

| 이름 | 나이 | 신분 | 비고 |
| --- | --- | --- | --- |
| 마이클 음와페 |  | 저널리스트, 기자 | F.A.Z지 사장 |
| 넬슨 심바 |  | 공무원 | 잠비아 축구협회 소속 |
| 조지프 브왈라 셀림 |  | 저널리스트 |  |
사고의 여파

이 사고의 여파로 원래 예정되었던 잠비아와 세네갈의 1994년 FIFA 월드컵 아프리카 지역 최종 예선 B조 2차전 경기는 1993년 8월 7일 코트디부아르의 최대 도시 아비장에서 중립 경기로 치러지게 되었고 결국 이 사고의 여파로 인해 잠비아는 세네갈과의 중립 원정 경기에서 비기는 바람에 모로코에게 승점에서 밀려 본선 진출 실패의 고배를 마셨다.
사진

비행 경로
같이 보기

수페르가의 비극
뮌헨 비행기 참사
조반니 파올로 파니니

|  조반니 파올로 파니니 Giovanni Paolo Panini |
| --- | --- |
 루이 가브리엘 블랑쉐가 그린 파니니의 초상화
 신상정보
출생 : 1691년 6월 17일(1691-06-17) 신성 로마 제국 파르마 공국 피아첸차
사망 : 1765년 10월 21일(1765-10-21)(74세) 교황령(현재의 이탈리아) 로마
직업 : 화가
국적 : 이탈리아
성별 : 남성
사조 : 바로크
 주요 작품
 영향
묘소 :  
조반니 파올로 파니니(이탈리아어: Giovanni Paolo Panini, 1691년 6월 17일~1765년 10월 21일) 또는 잔 파올로 파니니(이탈리아어: Gian Paolo Panini)는 로마에서 활동한 이탈리아 바로크 화가이자 건축가로, 주로 베두티스티(vedutisti, 풍경 화가) 중 한 명으로 알려져 있다. 파니니는 로마의 풍경을 그린 것으로 가장 잘 알려져 있으며, 또한 그는 로마의 고대 유물에 특별한 관심을 가졌다. 그의 가장 유명한 작품으로는 프란체스코 알가로티의 의뢰로 판테온의 내부를 그린 그림과 로마 풍경이 담긴 화랑을 그린 그림인 베두타가 있다. 그의 대부분의 작품, 특히 폐허를 소재로 한 작품들은 카프리치오 풍의 화려하고 비현실적인 장식을 특징으로 한다. 이 점에서 그의 작품들은 마르코 리치의 카프리치와 유사하다. 파니니는 또한 교황 베네딕토 14세 등 여러 초상화도 그렸다.
생애

젊은 시절, 파니니는 고향인 피아첸차에서 주세페 나탈리(Giuseppe Natali)와 안드레아 갈루치(Andrea Galluzzi) 그리고 무대 디자이너 프란체스코 갈리 비비에나(Francesco Galli Bibiena) 밑에서 훈련을 받았다. 1711년에 그는 로마로 이사하여 베네데토 루티에게서 그림을 공부했다.
1724년 그는 로마 아카데미 드 프랑스의 이사인 니콜라 블뢰겔의 처제 고서트(Gossert) 양과 결혼하여 두 아들을 두었다. 두 아들 모두 아버지를 따라 예술 쪽으로 활동했는데, 첫째 주세페 파니니(로마, 1720년~1812년)는 건축가가 되었으며  둘째 프란체스코 파니니(로마, 1745년~1812년) 역시 건축가와 화가로 활동했다.
로마에서 파니니는 궁전 장식가로 명성을 얻었다. 대표 작품으로는 Villa Patrizi(1719~1725), Palazzo de Carolis(1720), Seminario Romano (1721~1722) 등이 있다. 1719년에 파니니는 Congregazione dei Virtuosi al Pantheon에 들어갔다. 그는 로마의 산 루카 아카데미와 로마 아카데미 드 프랑스에서 학생들을 가르쳤으며, 그곳에서 장오노레 프라고나르에게 영향을 미쳤다고 전해진다. 1754년에는 산 루카 아카데미의 총장(관장)으로 임명되었다.
스페인 군주들은 필리포 유바라의 의뢰를 받아 라 그랑하 데 산 일데폰소 왕궁의 래커 룸(Lacquer Room) 장식에 그림을 보낼 정도로 그의 작품을 높이 평가했다. 또한 카를로스 4세 국왕은 왕자 시절에 그의 작품 중 여러 점을 구입했는데, 현재 프라도 미술관과 왕궁에 보관되어 있다.
파니니는 1765년 10월 21일 로마에서 사망했다.
유산

파니니의 스튜디오에는 위베르 로베르와 파니니의 아들 프란체스코 파니니가 있었다. 그의 스타일은 그의 제자 안토니오 졸리, 샤를루이 클레리소 뿐만 아니라 카날레토와 베르나르도 벨로토와 같은 다른 베두티스티들에게 영향을 미쳤다. Marlow, Skelton, Derby의 Wright와 같은 일부 영국 풍경화가도 그의 카프리치 양식을 모방했다.
파니니는 화가 또는 건축가였을 뿐만 아니라, 로마 프랑스 아카데미에서 원근법과 광학을 가르치는 교수이기도 했다. 원근법을 능숙하게 사용했던 파니니는 후에 파노라마 뷰를 렌더링하는 데 도움이 되는 "파니니 프로젝션"을 만드는 데 영감을 주었다.
파니니의 작품은 프라도 미술관, 루브르 박물관, 카포디몬테 미술관, 티센보르네미사 미술관, 에르미타시 박물관, 푸시킨 미술관, 슈투트가르트 미술관, 베를린 국립박물관, 퀴리날레 궁전, 톨레도 미술관, 미시간 대학교 미술관, 브루클린 미술관, 세인트루이스 미술관, 디트로이트 미술관, 보스턴 미술관, 게티 센터, 메트로폴리탄 미술관, 넬슨-앳킨스 미술관, 버지니아 미술관, 월터스 미술관, 하버드 미술관, 필라델피아 미술관, 및 인디애나폴리스 미술관 등 전 세계 많은 박물관의 상설 컬렉션에 소장되어 있다.
작품 > 역사화

《예수의 성전 정화》, 1724년경, 티센보르네미사 미술관
《가나의 혼인잔치》, 1725년경, 스피드 미술관
《깊은 구렁으로 뛰어드는 마르쿠스 쿠르티우스》, 피츠윌리엄 박물관
《아폴론과 마르스》
작품 > 카프리치

《고전 유적의 카프리치오》, 1725년에서 1730년 사이
《티투스 개선문이 있는 풍경》, 바르샤바 국립미술관
《로마의 카프리치오: 콜로세움 및 기타 기념물》, 1735년, 인디애나폴리스 미술관
《로마 유적의 카프리치오》, 1737년, 피츠윌리엄 박물관
《고대 로마의 판테온 및 기타 기념물이 있는 환상적인 풍경》, 1737년, 휴스턴 미술관
《아폴로 동상이 있는 로마 유적지에서의 성 시빌의 설교》, 1740년대, 에르미타시 박물관
《로마 포럼의 카프리치오》, 1741년, 예일 대학교 미술관
《철학자와 군인이 있는 로마 포럼의 건축 카프리치오》, 1745년~1750년경, 국립서양미술관
작품 > 베두타(현대 로마)

《로마 나보나 광장》, 1729년, 루브르 박물관
《바티칸 성 베드로 대성전의 신도석》, 1735년, 노턴 사이먼 박물관
《산 조반니 인 라테라노 성당의 내부》, 푸시킨 미술관
《몬테치토리오 광장에서 열린 복권 추첨》, 1743년, 내셔널 갤러리
《1737년 9월 15일, 생 루이 드 프랑세 교회에서 바이니 왕자에게 성령 훈장을 전달하는 생테냥 공작》, 1745년경
《1747년 로마의 티에트로 아르젠티나에서 루이 15세의 아들 도팽의 결혼식을 맞아 라 로슈푸코 추기경이 개최한 음악 연회》, 1747년, 루브르 박물관
《남동쪽 마리오 산에서 바라본 로마의 풍경》, 1749년, 베를린 국립회화관
《로마 나보나 광장》, 1756년, 하노버 주립박물관
《현대 로마의 풍경이 있는 그림 갤러리》, 1757년, 보스턴 미술관
《고대 로마 그림 갤러리》, 1758년, 루브르 박물관
작품 > 소묘

《트리코르느로 얼굴을 가린 남자》, 메트로폴리탄 미술관
《아테네에서 설교하는 성 바울》, 1734년, 내셔널 갤러리 오브 아트
《몬테치토리오 광장에서 열린 복권 추첨》, 1743년~1744년, 메트로폴리탄 미술관
《트리니타 데이 몬티 계단》, 1756년~1758년경, 메트로폴리탄 미술관
《티투스 개선문》, 내셔널 갤러리 오브 아트
《바실리카 또는 영묘의 유적》, 메트로폴리탄 미술관
1944년 파니니의 그림(King Charles III Visiting Pope Benedict XIV at the Coffee House of the Palazzo del Quirinale, 당시 나폴리 박물관에서 약탈된 그림)과 함께 포즈를 취하는 독일군
제6회 전국동시지방선거 산청군의회

다음은 제6회 전국동시지방선거의 산청군의회의원 선거결과를 정리한 문서이다. 해당 선거에서 산청군의회는 지역구의원 9명과 비례대표의원 1명을 선출했다.
지역구 선거구

| 선거구명 | 관할 지역 | 선출 의원 수 |
| --- | --- | --- |
| 산청군 가선거구 | 산청읍, 차황면 | 2 |
| 산청군 나선거구 | 오부면, 생초면, 금서면 | 2 |
| 산청군 다선거구 | 삼장면, 시천면, 단성면 | 3 |
| 산청군 라선거구 | 신안면, 생비량면, 신등면 | 2 |
지역구 선거 결과

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
제6회 전국동시지방선거산청군 나선거구

| 후보 | 후보 | 정당 | 득표 | 득표율 | 당락 | 비고 |  |
|  | 민영현 | 새누리당 | 무투표 | 무투표 | 당선 |  |  |
|  | 신동복 | 새누리당 | 무투표 | 무투표 | 당선 |  |  |
| 합계 | 합계 | 합계 | 0표 |  |  |  |  |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
제6회 전국동시지방선거산청군 다선거구

| 후보 | 후보 | 정당 | 득표 | 득표율 | 당락 | 비고 |  |
|  | 김명석 | 새누리당 | 무투표 | 무투표 | 당선 |  |  |
|  | 심재화 | 새누리당 | 무투표 | 무투표 | 당선 |  |  |
|  | 조성환 | 새누리당 | 무투표 | 무투표 | 당선 |  |  |
| 합계 | 합계 | 합계 | 0표 |  |  |  |  |
비례대표 선거 결과 > 정당 투표 결과

산청군의회 비례대표 선거는 무투표 당선이 결정되었다.
비례대표 선거 결과 > 비례대표 당락

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

새누리당

| 순번 | 후보 | 당락 | 비고 |  |  |  |  |
| 1 | 왕선희 | 당선  |  |  |  |  |  |
| 2 | 권은희 | 낙선  |  |  |  |  |  |