허용 관계
예 > 격자

격자  L 위에 허용 관계  \sim 이 주어졌을 때,  L/{\sim }의 모든 원소는  L의 볼록 부분 격자를 이룬다. 따라서, 임의의  A\in L/{\sim }에 대하여,
이다. 특히,
a\sim b일 필요충분조건은  a\vee b\sim a\wedge b이다.
만약  a\sim b이며,  a\leq c,d\leq b라면,  c\sim d이다.
증명:
만약  a\sim b라면,
이다. 반대로, 만약   a\vee b\sim a\wedge b라면,
이며, 마찬가지로
이다. 따라서,
이다.
만약  a\sim b이며,  a\leq c,d\leq b라면,
이며, 마찬가지로
이다. 따라서,
이다.
모든 격자는 멱등 대수 구조이므로, 임의의  A\in L/{\sim }은  L의 부분 격자이다. 이제,  a,b\in A,  c\in L이며,  a\leq c\leq b라고 하자.  A의 극대성에 따라,  c\in A를 보이려면, 임의의  d\in A에 대하여  c\sim d임을 보이는 것으로 족하다.
이므로,
를 보이면 족하다.  A가 부분 격자이므로,  a\wedge d,b\vee d\in A이며, 따라서  a\wedge d\sim b\vee d이다.
격자의 다양체는 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다. 즉, 격자  (L,\vee _{L},\wedge _{L}) 위에 허용 관계  \sim 이 주어졌을 때, 임의의  A,B\in L/{\sim }에 대하여,
인 유일한  A\vee _{L/{\sim }}B,A\wedge _{L/{\sim }}B\in L/{\sim }이 존재하며, 또한 몫 대수
는 다시 격자를 이룬다.:44, Theorem 22
증명 ( L/{\sim }은 대수):
임의의  A,B,C\in L/{\sim }에 대하여 다음 네 명제를 보이는 것으로 족하다. (첫 번째와 두 번째, 세 번째와 네 번째 명제는 서로 쌍대이므로, 첫 번째와 세 번째만을 증명한다.)
만약  \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B라면,  A=B이다.
만약  \mathop {\downarrow } A=\mathop {\downarrow } B라면,  A=B이다.
만약  \{a\vee b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq C라면,  \mathop {\uparrow } C=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B이다.
만약  \{a\wedge b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq C라면,  \mathop {\downarrow } C=\mathop {\downarrow } A\cap \mathop {\downarrow } B이다.
첫 번째 명제의 증명.  U=(\mathop {\downarrow } A\vee _{\operatorname {Ideal} (L)}\mathop {\downarrow } B)\cap \mathop {\uparrow } A=(\mathop {\downarrow } A\vee _{\operatorname {Ideal} (L)}\mathop {\downarrow } B)\cap \mathop {\uparrow } B라고 하자 ( \vee _{\operatorname {Ideal} (L)}는 순서 아이디얼 격자에서의 상한).  A=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\downarrow } A,  B=\mathop {\uparrow } B\cap \mathop {\downarrow } B이므로,  A\subseteq U,  B\subseteq U이다.  A와  B의 극대성에 따라, 임의의  u,u'\in U에 대하여  u\sim u'임을 보이면 족하다.  u\leq a\vee b,  u'\leq a'\vee b',  a,a'\in A,  b,b'\in B이며,  x=u\wedge u'\wedge a\wedge a'\wedge b\wedge b'라고 하자.  x\leq u,u'\leq a\vee a'\vee b\vee b'이므로,  x\sim a\vee a'\vee b\vee b'를 보이면 족하다.  x\leq a,b이므로  x\in \mathop {\downarrow } A\cap \mathop {\downarrow } B이다. 또한,  u,u',a,a'\in \mathop {\uparrow } A,  u,u',b,b'\in \mathop {\uparrow } B,  \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B이므로  x\in \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B이다. 따라서,  x\in A\cap B이다.  a\vee a'\in A,  b\vee b'\in B이므로  x\sim a\vee a',  x\sim b\vee b'이며, 따라서  x\sim a\vee a'\vee b\vee b'이다.
세 번째 명제의 증명. 우선,  \mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B=\mathop {\uparrow } \{a\vee b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq \mathop {\uparrow } C이다. 이제, 임의의  c\in C에 대하여  c\in \mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B임을 보이면 족하다.  c\not \in \mathop {\uparrow } A라고 가정하자. 임의의  a\in A와  b\in B를 취하자. 임의의  x\in A에 대하여,  x\vee a\vee b,c\in C이므로  x\vee a\vee b\sim c이며,  x,a\in A이므로  x\vee a\sim x\wedge a이다. 따라서,  x\vee a\sim x\wedge a\wedge c이다.  x\vee a\geq x,a\wedge c\geq x\wedge a\wedge c이므로,  x\sim a\wedge c이다.  A의 극대성에 따라,  a\wedge c\in A이며, 따라서  c\in \mathop {\uparrow } (a\wedge c)\subseteq \mathop {\uparrow } A이다. 이는 모순이다.
증명 ( L/{\sim }은 격자):
위 증명에 따라, 필터 격자와 순서 아이디얼 격자로 가는 자연스러운 단사 함수
가 존재하며, 항상
가 성립한다. 따라서,  (L/{\sim },\vee _{L/{\sim }})과  (L/{\sim },\wedge _{L/{\sim }})은 각각 가환 반군  (\operatorname {Filter} (L),\wedge _{\operatorname {Filter} (L)}) 및  (\operatorname {Ideal} (L),\wedge _{\operatorname {Ideal} (L)})의 부분 반군과 동형이다 (격자로서의 동형일 필요는 없다). 이제, 흡수 법칙을 보이는 일만 남았다. 쌍대성에 따라 두 흡수 법칙 가운데 하나
만을 보여도 좋다.  \wedge _{L/{\sim }}의 정의에 따라
이므로,
이다. 따라서 위 흡수 법칙은 참이다.
특히, 분배 격자와 모듈러 격자는 임의의 허용 관계에 대하여 몫 격자를 취할 수 있다. 그러나, 이러한 몫 격자가 다시 분배 격자나 모듈러 격자가 될 필요는 없다. 즉, 분배 격자의 다양체와 모듈러 격자의 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 강하게 허용 몫 가능 다양체가 아니다.:40 사실, 격자 다양체의 모든 부분 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 격자 다양체의 강하게 허용 몫 가능 부분 다양체는 격자 다양체 전체와 자명한 (한 원소 격자로 구성된) 부분 다양체밖에 없다. 이는 모든 격자는 두 원소 격자들의 직접곱의 부분 격자의 허용 관계에 대한 몫 격자의 부분 격자와 동형이기 때문이다.:40, Theorem 3
상대 여원 격자 위의 모든 허용 관계는 합동 관계이다.:308, Theorem 5 반대로, 모든 허용 관계가 합동 관계인 분배 격자는 상대 여원 격자이다.:310, Corollary 2
모든 크기 3 이상의 격자는, 합동 관계가 아닌 허용 관계가 존재하는 부분 격자를 갖는다.:308, Corollary 1