점렬 콤팩트 공간
성질 > 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  | 콤팩트 공간 |  |  |  |  |  |  |
|  | ↗ |  | ↘ |  |  |  |  |  |
| 뇌터 공간 |  |  |  | 가산 콤팩트 공간 | → | 희박 콤팩트 공간 | → | 유사 콤팩트 공간 |
|  | ↘ |  | ↗ |  | ↘ |  |  |  |
|  |  | 점렬 콤팩트 공간 |  |  |  | 극한점 콤팩트 공간 |  |  |
콤팩트성과 점렬 콤팩트성 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다.
증명 (점렬 콤팩트 공간 ⇒ 가산 콤팩트 공간):
위상 공간  X가 가산 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 부분 덮개를 갖지 않는,  X의 가산 열린 덮개  \{U_{0},U_{1},\dots \}가 존재한다. 따라서, 임의의 자연수  n\in \mathbb {N} 에 대하여,
을 고를 수 있다. 임의의  x\in X에 대하여,  x\in U_{n}인 자연수  n\in \mathbb {N} 이 존재한다. 그런데, 임의의  i\geq n에 대하여  x_{i}\in U_{n}이다. 즉,  (x_{n})_{n=0}^{\infty }의 어떤 부분 점렬도  x로 수렴할 수 없다. 이는 임의의  x에 대한 것이므로,  (x_{n})_{n=0}^{\infty }의 수렴 부분 점렬은 존재하지 않는다. 즉,  X는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
제1 가산 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:125, 17G.3
점렬 콤팩트 공간이다.
가산 콤팩트 공간이다.
증명:
모든 제1 가산 가산 콤팩트 공간  X가 점렬 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 점렬  (x_{n})_{n=0}^{\infty }이 주어졌다고 하자. 만약  \{x_{0},x_{1},\dots \}이 유한 집합이라면,
인  x\in X 및  n_{0}<n_{1}<\cdots 이 존재하며, 이 경우 부분 점렬  (x_{n_{i}})_{i=0}^{\infty }은  x로 수렴한다. 만약  \{x_{0},x_{1},\dots \}이 무한 집합이라면,  \{x_{0},x_{1},\dots \}의  \aleph _{0}-집적점  x\in X가 존재한다.  x의 가산 국소 기저
를 잡자. 그렇다면, 임의의  i\in \mathbb {N} 에 대하여,  U_{i}\cap \{x_{0},x_{1},\dots \}은 무한 집합이다. 따라서,
인
이 존재한다. 이 경우,  (x_{n_{i}})_{i=0}^{\infty }는  (x_{n})_{n=0}^{\infty }의 부분 점렬이며,  x로 수렴한다. 즉,  X는 점렬 콤팩트 공간이다.
제2 가산 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.:125, 17G.4
콤팩트 공간이다.
점렬 콤팩트 공간이다.
가산 콤팩트 공간이다.
증명:
모든 제2 가산 공간은 제1 가산 공간이므로, 모든 제2 가산 가산 콤팩트 공간이 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음 두 사실로부터 바로 따라나온다.
모든 린델뢰프 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
모든 제2 가산 공간은 린델뢰프 공간이다.
직접적인 증명은 다음과 같다. 위상 공간  X의 기저  {\mathcal {B}}가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.
X는 콤팩트 공간이다.
{\mathcal {B}}의 임의의 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
마찬가지로, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.
X는 가산 콤팩트 공간이다.
{\mathcal {B}}의 임의의 가산 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
제2 가산 공간의 경우, 가산 기저  {\mathcal {B}}가 존재하므로, 위 두 쌍의 조건은 동치가 된다.
거리화 가능 공간에 대하여, 다음 조건들이 모두 서로 동치이다.:179–180, Theorem 28.2
콤팩트 공간이다.
점렬 콤팩트 공간이다.
가산 콤팩트 공간이다.
극한점 콤팩트 공간이다.
희박 콤팩트 공간이다.
유사 콤팩트 공간이다.
증명:
다음 사실들로부터 따라나온다.
정규 하우스도르프 공간에 대하여, 가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간·희박 콤팩트 공간·유사 콤팩트 공간의 개념은 서로 동치이다.
모든 콤팩트 공간 및 모든 점렬 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다.
제1 가산 가산 콤팩트 공간은 점렬 콤팩트 공간이다.
파라콤팩트 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
모든 거리화 가능 공간은 제1 가산 파라콤팩트 정규 하우스도르프 공간이다.
모든 점렬 콤팩트 거리 공간이 콤팩트 거리 공간임에 대한 한 가지 직접적인 증명은 다음과 같은 세 단계로 구성된다.
점렬 콤팩트 거리 공간 (X,d) 의 열린 덮개 {\mathcal {U}} 는 항상 르베그 수를 갖는다.
귀류법을 사용하여,  {\mathcal {U}}가 르베그 수를 갖지 않는다고 가정하자. 임의의  n\in \mathbb {Z} ^{+}에 대하여,  1/n이  {\mathcal {U}}의 르베그 수가 아니므로,  \operatorname {diam} Y_{n}<1/n이며  Y_{n}\not \subseteq U\forall U\in {\mathcal {U}}인  Y_{n}\subseteq X가 존재한다.  y_{n}\in Y_{n}을 고르자. 그렇다면,  (y_{n})_{n=0}^{\infty }의 어떤 부분 점렬  (y_{n_{i}})_{i=0}^{\infty }은 어떤 점  y\in X로 수렴한다.  B(y,\epsilon )\subseteq U\in {\mathcal {U}}라고 하자. 그렇다면, 충분히 큰  i\in \mathbb {N} 에 대하여,  1/n_{i}<\epsilon /2이며  d(y_{n_{i}},y)<\epsilon /2이다. 따라서  Y_{n_{i}}\subseteq U이며, 이는 모순이다.
점렬 콤팩트 거리 공간 (X,d) 은 완전 유계 공간이다.
(X,d)가 완전 유계 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 개의  \epsilon -열린 공들로 구성된 덮개가 존재하지 않게 되는 양의 실수  \epsilon >0이 존재한다. 그렇다면  x_{i}\in X\setminus (B(x_{0},\epsilon )\cup \cdots \cup B(x_{i-1},\epsilon ))인 점렬  (x_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq X을 재귀적으로 구성할 수 있다. 이 경우, 임의의  i\neq j에 대하여  d(x_{i},x_{j})\geq \epsilon 이므로,  (x_{i})_{i=0}^{\infty }는 수렴 부분 점렬을 갖지 않는다. 즉,  X는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
거리 공간 (X,d) 의 모든 열린 덮개가 르베그 수를 가지며, 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간이다.
임의의 열린 덮개  {\mathcal {U}}가 주어졌다고 하자. 가정에 따라  {\mathcal {U}}의 르베그 수  \delta >0이 존재한다. 완전 유계성에 따라,  X=B(x_{1},\delta )\cup \cdots \cup B(x_{n},\delta )인 유한 집합  \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subseteq X가 존재한다. 임의의  i\in \{1,\dots ,n\}에 대하여,  B(x_{i},\delta )\subseteq U_{i}인  U_{i}\in {\mathcal {U}}를 고르자. 그렇다면,  \{U_{1},\dots ,U_{n}\}은  {\mathcal {U}}의 유한 부분 덮개이다. 즉,  (X,d)는 콤팩트 공간이다.
특히, 노름 위상을 갖춘 바나흐 공간의 부분 집합에 대하여 위 동치가 성립한다. 약한 위상에서도 위 동치의 일부가 성립한다. 구체적으로, 에벌라인-시물리얀 정리에 따르면,  \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \} 및  \mathbb {K} -바나흐 공간  (V,\lVert \cdot \rVert ) 및 부분 집합  S\subseteq V에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.
약한 위상에 대하여 콤팩트 공간이다.
약한 위상에 대하여 점렬 콤팩트 공간이다.
약한 위상에 대하여 가산 콤팩트 공간이다.
약한 위상에 대하여 극한점 콤팩트 공간이다.