임펄스벡터
적용: 임펄스벡터를 이용한 입력성형기 설계 > ZVDn 성형기

임펄스벡터를 사용하면, 잘 알려진 기존의 ZV 성형기(zero vibration shaper), ZVD 성형기(zero vibration and derivative shaper), ZVDn 성형기 등을 쉽게 재설계할 수 있다.
ZV 성형기는 두개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 첫번째 임펄스벡터는 0°에, 두번째 임펄스벡터는, 합벡터  {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}={\mathbf {0}}이 되도록, 180°에 위치시킨다. 그러면 다음 식이 성립한다.
\qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d}
\qquad I_{1}=I_{2}=I
그리고  정규화조건  A_{1}+A_{2}=1이 만족되어야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
\qquad I_{1}+I_{2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}=I+I/K=1\qquad \therefore I={\frac {K}{K+1}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
따라서 ZV 성형기  A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})는 다음과 같이 주어진다.
\qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\pi /\omega _{d}\\K/(K+1)&1/(K+1)\end{bmatrix}}
ZVD 성형기는 세개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 벡터합이  {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}+{\mathbf {I}}_{3}={\mathbf {0}}이 되도록 첫번째 임펄스벡터는 0 rad에, 두번째 임펄스벡터는  \pi  rad에, 세번째 임펄스벡터는  2\pi  rad에 두되, 크기비를  I_{1}:I_{2}:I_{3}=1:2:1로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
\qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ \ t_{3}=2\pi /\omega _{d}
\qquad I_{1}=I_{3}=I,\ \ I_{2}=2I
그리고  A_{1}+A_{2}+A_{3}=1이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
\qquad I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}=I+{\frac {2I}{K}}+{\frac {I}{K^{2}}}=1\qquad \therefore I={\frac {K^{2}}{(K+1)^{2}}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
따라서 ZVD 성형기  A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})는 다음과 같이 주어진다.
\qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\K^{2}/(K+1)^{2},&2K/(K+1)^{2},&1/(K+1)^{2}\end{bmatrix}}
ZVD2 성형기는 4개의 임펄스벡터로 구성된다. 벡터합이  {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}+{\mathbf {I}}_{3}+{\mathbf {I}}_{4}={\mathbf {0}}이 되도록,  {\mathbf {I}}_{1}은 0 rad에,  {\mathbf {I}}_{2}는  \pi  rad에,  {\mathbf {I}}_{3}은  2\pi  rad에,  {\mathbf {I}}_{4}는  3\pi  rad에 두되, 크기비를  I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}=1:3:3:1로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
\qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi ,\ \ \theta _{4}=3\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ \ t_{3}=2\pi /\omega _{d},\ \ t_{4}=3\pi /\omega _{d}
\qquad I_{1}=I_{4}=I,\ \ I_{2}=I_{3}=3I
그리고  A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}=1이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
\qquad I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}+{\frac {I_{4}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{4}}}}=I+{\frac {3I}{K}}+{\frac {3I}{K^{2}}}+{\frac {I}{K^{3}}}=1\qquad \therefore I={\frac {K^{3}}{(K+1)^{3}}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
따라서 ZVD2 성형기  A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})+A_{4}\delta (t-t_{4})는 다음과 같이 주어진다.
\qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d},&3\pi /\omega _{d}\\K^{3}/(K+1)^{3},&3K^{2}/(K+1)^{3},&3K/(K+1)^{3},&1/(K+1)^{3}\end{bmatrix}}
같은 방법으로, ZVD3 성형기는 5개의 임펄스벡터로 구성되는데, 이 임펄스벡터를 0,  \pi ,  2\pi ,  3\pi ,  4\pi  rad에 배치하고, 크기비를  I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}:I_{5}=1:4:6:4:1로 둠으로써 구할 수 있다.
일반적으로, ZVDn 성형기는  (n+2)개의 임펄스벡터로 구성되는데,   i번째 임펄스벡터를  (i-1)\pi  rad에 배치하고, 크기비를  I_{1}:I_{2}:I_{3}:\cdots :I_{n+2}={}_{n+1}\!C_{0}:{}_{n+1}\!C_{1}:{}_{n+1}\!C_{2}:\cdots :{}_{n+1}\!C_{n+1}로 둠으로써 구할 수 있다. 여기서  {}_{m}\!C_{k}는 수학의 조합을 의미한다.