stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
달샤벳
음반 외 활동 목록 > 텔레비전

2011년 MBC 에브리원 《코리아나 존스》 (수빈)
2011년 온스타일 《가십 하우스》 (세리)
2011년 E채널 《포커페이스 시즌2》 (수빈)
2011년 JTBC 《닥터의 승부》 (지율)
2012년 MBC MUSIC 《뮤직 스토리지》 (수빈)
2013년 MBC MUSIC 《뮤직톡톡 마블링》 (수빈)
2013년 온게임넷 《레알 귀농스쿨》
2013년 올'리브 《마스터셰프 코리아 셀러브리티》 (지율)
2013년 tvN 《가짜를 찾아라! 눈썰미》 (수빈)
2014년 MBC Every 1 《나인 투 식스 2》 (수빈)
2014년 올'리브 《쉐어하우스》 (우희)
2014년 SBS FunE 《스타 뷰티쇼 SEASON4》 (세리, 아영, 지율, 가은)
2014년 온게임넷 《왓따! 풍선껌크게불기 챔피언쉽 시즌 3》 (수빈)
2014년 MBC 《야구 읽어주는 남자》 (수빈 - MC 합류(2014년 3월 31일~))
2014년 tvN 《곽승준의 쿨까당》(지율 - 94회, 100회)
2015년 MBC EVERY1 《신동엽의 총각파티》(세리, 수빈 - 9회차 방송)
2015년 Mnet 《야만TV》(달샤벳 전원 - 15회차 방송)
2015년 KBS2 《청춘 익스프레스》 (수빈)
음반 외 활동 목록 > 드라마/영화

2011년 KBS2 《드림하이》
2012년 영화 《원더풀 라디오》
2012년 영화 《파파》 (지율)
2012년 단편영화 《그녀의 이야기》 (지율)
2013년 tvN 《PLAY GUIDE》 (지율)
2013년 KBS2 《광고천재 이태백》 공선혜 역 (아영)
2013년 SBS 《장옥정, 사랑에 살다》 명안공주 역 (아영)
2013년 tvN 《환상거탑 - 컴퓨터 헤드》 (지율)
2013년 tvN 《롤러코스터3-나는 M이다》 (세리&우희&수빈)
2013년 영화 《노브레싱》 세미 역 (아영)
2013년 SNS 드라마 《낯선 하루》 이지은 역 (아영)
2013년 SNS 드라마 《무한동력》 한수자 역 (우희)
2013년 SBS 《별에서 온 그대》 (세리&수빈)
2013년 MBC 《미스코리아》 (아영)
2014년 JTBC 《12년만의 재회: 달래 된, 장국》 박무희 역 (아영)
2014년 MBC 《야경꾼 일지》 홍초희 역 (아영)
2014년 영화 《터널 3D》 혜영 역 (우희)
2014년 tvN 《아홉수 소년》 유혹녀 역 (수빈)
2014년 MBC every1 《사랑주파수 37.2》 (아영)
2015년 Mnet 《칠전팔기 구해라》 동기 역 (우희)
2015년 Mnet 《더러버》 강균성의 연인 역 (우희)
2015년 영화 《쓰리 썸머 나잇》 (지율)
음반 외 활동 목록 > 뮤직비디오

2008년 - 쥬얼리 - One More Time (비키)
2010년 - 태양 - I Need A Girl (수빈)
2010년 - 원투 - Very Good (비키 & 아영 & 지율 & 가은)
2011년 - 이정 - Let's Dance (우희)
2011년 - 포맨&미 - 그남자 그여자 (지율)
2013년 - 영준 - Driving Road (수빈)
2016년 - 전영도 - Say I Love U (아영)
음반 외 활동 목록 > 홍보대사

2011년 3월 - 전국초중고축구리그 홍보대사
2011년 4월 - 행복나눔 N캠페인 홍보대사
2011년 5월 - 금연 홍보대사
2011년 6월 - 서울국제만화애니메이션페스티벌 홍보대사
2012년 7월 - 계란소비촉진 홍보대사
2012년 8월 - 경기기능성게임페스티벌 홍보대사
2013년 5월 - 밀알복지재단 홍보대사
2013년 10월 - 육군3사관학교 홍보대사
2013년 11월 - 구세군 친선대사
2015년 4월 - 2015 담양세계대나무박람회 홍보대사
2016년 5월 - 나눔로또 복권홍보대사
수상 목록 > 시상식

2011년 12월 15일 제19회 《대한민국문화연예대상》 아이돌 뮤직 최우수상
2012년 1월 11일 제26회 《골든 디스크》 신인상
2012년 3월 2일 《보건복지 정책홍보 유공자 시상식》 보건복지부장관 표창
2013년 2월 4일 《올케이팝 어워즈》 라이징 스타상
신현초등학교 (경남)

| 신현초등학교 新縣初等學校 Sinhyeon Elementary School |
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개교: 1993년 3월 1일
설립형태: 공립
국가:  대한민국
위치: 경상남도 거제시 서문로1길 7
학생 수: 450명(2015년 4월 1일 기준)
교직원 수: 58명(2015년 4월 1일 기준)
관할관청: 거제교육지원청
웹사이트: www.sinhyeon.es.kr 
ko
신현초등학교(新縣初等學校)는 대한민국 경상남도 거제시에 있는 공립 초등학교이다.
학교 연혁

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1993년 3월 1일: 개교
학교 동문

분류:신현초등학교 동문  문서를 참고하십시오.
참고 자료

신현초등학교 - 한국교육학술정보원 학교알리미
알베르토 치리오

| 알베르토 치리오 Alberto Cirio |
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로마자 표기: Alberto Cirio
출생: 1972년 12월 6일
성별: 남성
국적: 이탈리아
직업: 정치인
소속: 포르차 이탈리아
2019년의 시리오
알베르토 치리오(이탈리아어: Alberto Cirio, 1972년 12월 6일 ~ )는 이탈리아의 정치인이다. 현재 포르차 이탈리아의 당원이다.
내력

2014년부터 2019년까지 유럽 의회 (MEP) 의원으로 활동했다.
2019년 5월 26일, 치리오는 포르차 이탈리아, 북부동맹, 이탈리아의 형제, 중도연합의 지원을 받아 피에몬테 주지사로 선출되었다.
2020년 3월 8일, 코로나바이러스감염증-19에 감염된 것으로 확인되었다.
팔달문 동종

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 경기도의 유형문화재

종목: 유형문화재 (구)제69호  (1976년 7월 3일 지정)
수량: 1구
시대: 조선시대
위치
수원박물관
주소: 경기도 수원시 팔달구 팔달로2가 동
좌표: 북위 37° 17′ 52″ 동경 127° 2′ 4″﻿ / ﻿북위 37.29778°  동경 127.03444° ﻿ / 37.29778; 127.03444
정보: 국가유산청 국가유산포털 정보
팔달문 동종(八達門銅鐘)은 대한민국 경기도 수원시에 있는 화성 축성과 동시에 건조된 성의 사대문의 남문인 팔달문 2층 누상에 달려 있는 종이다. 1976년 7월 3일 경기도 유형문화재 제69호로 지정되었다.
종걸이는 음통이 없는 용두뿐이고 상대에는 내부에 글씨를 넣은 수십 개의 문양을 두 줄로 나란히 돌렸으며 종신에는 이 종을 주조한 장소와 연대 유래, 주조자들의 명문이 주자 혹은 각자되어 있다. 하대에는 보상당초화문을 양주하여 돌린 고려의 전형적인 양식을 계승한 조선종의 형식을 하고 있다.
개요

고려 1080년(문종 34) 2월, 개성에서 주조되어 수원 만의사에서 사용되다가 숙종 13년(1687) 3월, 만의사 주지승 도화가 다시 주조되었다. 정조 때 화성축성과 함께 파루용의 기능으로 전락하여 화성행궁 사거리(종로)에 종각 설치 후 이전되었으나 1911년 일제에 의해 정오 및 화재경보용으로 팔달문 누상으로 다시 이전·설치되어 팔달문동종으로 불리게 되었다. 1976년 7월 3일 경기도 유형문화재 제69호로 지정되었으며 현재는 영통구 창룡문길 443 수원박물관에서 전시되고 있다.
특징

경기도 화성문 만의사 종으로 주조되었으나 수원 화성 건설과 함께 종로의 종각으로 옮겨지면서 팔달문 동종이라 불렀다. 종신의 기록을 통해 1080년 처음 만들어졌고, 1687년 경기도 수원부 만의사 대종으로 새로이 주조했다는 사실을 알 수 있다. 종의 상대는 범자를 새겨 넣은 원형 문양을 2줄로 돌렸고, 그 아래에 4개의 유곽과 보살입상을 교대로 배치하였다. 유곽안의 유두가 보상화문으로 표현된 것이 독특하다. 문화재 보호를 위해 2008년 9월 수원박물관으로 이전하였다.
같이 보기

수원 화성
팔달문
지지대비

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 경기도의 유형문화재

종목: 유형문화재 (구)제24호  (1972년 7월 3일 지정)
수량: 1기
시대: 조선시대
위치
지지대비
주소: 경기도 수원시 장안구 파장동 산47-2번지
좌표: 북위 37° 19′ 41.26″ 동경 126° 59′ 4.87″﻿ / ﻿북위 37.3281278°  동경 126.9846861° ﻿ / 37.3281278; 126.9846861
정보: 국가유산청 국가유산포털 정보
지지대비(遲遲臺碑)는 대한민국 경기도 수원시 장안구에 있는, 조선 정조의 지극한 효성을 추모하기 위해 순조 7년(1807) 화성 어사 신현의 건의로 세워진 비이다. 1972년 7월 3일 경기도의 유형문화재 제24호로 지정되었다.
개요

지지대비는 조선 정조의 지극한 효성을 추모하기 위해 순조 7년(1807) 화성 어사 신현의 건의로 세워진 비이다.
조선 정조는 생부인 사도세자 능인 화성의 현륭원에 참배를 마치고 서울로 돌아가는 길에 이 고개만 넘어서면 멀리서나마 능을 볼 수 없게 되므로, 으레 이곳에서 행차를 멈추었다고 한다. 능을 뒤돌아보며 이곳을 떠나기를 아쉬워하였기 때문에 이곳에 이르면 왕의 행차가 느릿느릿하였다고 하여 한자의 느릴지(遲)자 두 자를 붙여 지지대라고 부르게 되었다고 전해지고 있다.
비의 비문은 홍문관제학 서영보가 짓고, 윤사국이 글씨를 썼으며, 화성유수 홍명호가 전액을 썼다. 비운의 생애를 마친 아버지에 대한 정조의 마음이 잘 나타나 있다.
같이 보기

현륭원
지지대 고개
참고 자료

지지대비 - 국가유산청 국가유산포털
마시모 달레마

| 마시모 달레마 Massimo D'Alema |
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로마자 표기: Massimo D'Alema
출생: 1949년 4월 20일
성별: 남성
국적: 이탈리아
경력: 좌파민주당 서기장, 총리, 부총리 겸 외무 장관
직업: 정치인, 언론인
소속: 좌파민주당 (PDS)
Massimo D'Alema
마시모 달레마(Massimo D'Alema, 1949년 4월 20일 ~)는 이탈리아의 정치인이다. 그는 또 언론인이자 좌파민주당 (PDS)의 옛 서기장이기도 하며, 1998년부터 2000년까지는 총리를, 그 뒤에는 2006년부터 2008년까지 부총리 겸 외무 장관을 지내기도 하였다. 이탈리아 공산당의 정치인으로 활약했던 주세페 달레마 (Giuseppe D'Alema)의 아들이다.
생애

1949년 4월 20일 로마에서 태어났다. 아버지 주세페 달레마는 이탈리아 공산당 소속 정치인으로, 그도 어려서부터 아버지를 따라 공산주의 이념을 체득했다.
청주 한씨 문익공파 묘역

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 경기도의 기념물

종목: 기념물 (구)제163호  (1997년 5월 16일 지정)
수량: 일원
시대: 조선시대
관리: 청주한씨 문익공파 중종
주소: 경기도 시흥시 거모동 산62번지
정보: 국가유산청 국가유산포털 정보
청주한씨 문익공파 묘역(淸州韓氏 文翼公派 墓域)은 대한민국 경기도 시흥시 거모동에 있는 조선시대의 묘역이다. 1997년 5월 16일 경기도의 기념물 제163호로 지정되었다.
개요

조선 중기의 문신이며 인조의 장인인 한준겸(1557∼1627) 선생의 묘역을 중심으로 그의 아들 한회일과 손자 한이성, 증손자 한두상의 묘가 함께 있다.
한준겸은 선조 18년(1585) 과거에 급제한 후 관직생활을 시작했으며, 정여립 모반사건 때 정여립의 사위 이진길을 천거한 일로 한때 옥에 갇히기도 하였다.
이후 대사헌·병조참판 등 국가요직에서 관직생활을 하였고, 딸이 왕비(인열왕후)가 된 후 서평부원군에 봉해졌다.
인조 2년(1624) 이괄의 난이 일어나자 왕을 공주(公州)까지 모시고 갔으며, 정묘호란 때는 왕자를 진주까지 모셨다.
묘 앞에는 제물을 놓고 제사를 지내기 위한 상석(床石), 장명등(長明燈:무덤 앞에 있는 돌로 만든 등)이 있고, 좌우에는 문인석과 망주석(望柱石:멀리서도 무덤이 있음을 알 수 있게 해주는 돌기둥) 등이 갖추어져 있다.
묘역 아래에는 효종 3년(1652)에 세운 신도비(神道碑:왕이나 고관 등의 평생 업적을 기리기 위해 무덤가에 세우던 비)가 있는데, 비문은 이정구가 짓고 오준이 글씨를 쓴 것이다.
같이 보기

한준겸
참고 자료

청주한씨 문익공파 묘역 - 국가유산청 국가유산포털
대수적 K이론

수학에서 대수적 K이론(代數的K理論, 영어: algebraic K-theory)은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다. 대수적 K이론은 기하학, 위상 수학, 환론, 정수론과 연결된다. 기하, 대수 및 산술 대상에는  K군이라는 대상이 할당된다. 이들은 군이다. 여기에는 원래 대상에 대한 자세한 정보가 포함되어 있지만 계산하기가 아주 어렵다. 예를 들어, 정수의  K군을 계산하는 것은 중요한 미해결 문제이다.
K이론은 1950년대 후반 알렉산더 그로텐디크가 대수다양체에 대한 교차 이론을 연구하면서 발전시켰다. 현대 수학에서 그로텐디크는 0번째  K군인  K_{0}만 정의했지만 이 군 하나에도 그로텐디크-리만-로흐 정리와 같은 많은 응용이 있다. 교차 이론은 모티브 코호몰로지, 특히 저우 군과의 연결을 통해 (고차) 대수적  K이론의 발전에 여전히 동기를 부여하는 힘이다. 이 주제는 또한 이차 상호성과 실수체와 복소수체 사이에 수체를 삽입하는 것과 같은 고전적인 정수론 주제뿐만 아니라 고차 조절자의 구성 및 L 함수의 특수 값과 같은 보다 현대적인 문제를 포함한다.
다른 대수 구조의 관점에서 이러한 군에 대한 적절한 설명이 발견되었다는 의미에서 부분  K군이 먼저 발견되었다. 예를 들어,  F가 체인 경우  K_{0}(F)는 정수  \mathbb {Z} 와 동형이며 선형 공간 차원의 개념과 밀접하게 관련된다. 가환 환  R의 경우, 군  K_{0}(R)은  R의 피카드 군과 관련되며,  R이 슈체에서 정수환일 때 이는 유군의 고전적 구성을 일반화한다. 군  K_{1}(R)은 단원군  R^{\times }과 밀접하게 관련되어 있으며  R이 체인 경우 정확히 단원군이다. 수체  F의 경우 군  K_{2}(F)는 유체론, 힐베르트 기호 및 완비화에 대한 2차 방정식의 해결 가능성과 관련된다. 대조적으로, 고차  K군의 환에 대한 정확한 정의를 찾는 것은 대니얼 퀼런의 어려운 업적이었고, 대수적 다형체의 고차  K군에 대한 많은 기본적 사실은 로버트 토마슨의 연구 이전까지는 알려지지 않았다.
정의

대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군(영어: algebraic K-group)  \operatorname {K} _{\bullet }(-)이다. 이들은 주어진 환  R에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.
K군은 다양하게 정의할 수 있다.
퀼런 플러스 구성(영어: Quillen plus-construction)은 역사적으로 가장 최초의 정의이다. 이 정의는 주어진 환의 무한 일반선형군의 분류 공간에 그 기본군의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, 호모토피 군을 취하는 것으로 구성된다. 대니얼 퀼런이 도입하였다.
퀼런 Q-구성(영어: Quillen Q-construction) 역시 대니얼 퀼런이 도입하였다. 이 정의는 퀼런 완전 범주라는 특정한 가법 범주에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 단체 집합을 취하고, 그 호모토피 군을 취한다. Q-구성을 환  R 위의 유한 생성 사영 가군 범주  \operatorname {fgProjMod} _{R}에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다.
발트하우젠 S-구성(영어: Waldhausen S-construction)은 발트하우젠 범주(영어: Waldhausen category)라는 구조가 주어진 범주에 대하여 적용된다. 퀼런 완전 범주 위의 유계 사슬 복합체의 범주  \operatorname {bCh} ({\mathcal {E}})는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen)이 도입하였다.
정의 > 퀼런 플러스 구성

환  R가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (이산 공간으로 간주한) 그 일반선형군  \operatorname {GL} (n;R)들의 귀납적 극한
을 취하자. 이는 위상군을 이룬다. 이 위상군의 분류 공간  \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))을 취하자.
위상 공간  \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R)) 위에 플러스 구성  \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}을 가할 수 있다. 이 경우 그 호모토피 군들이 바뀌지만, 호몰로지 군은 바뀌지 않는다. 구체적으로,  \operatorname {GL} (\infty ;R)\cong \pi _{1}(\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R)))의 정규 부분군  E\triangleleft \operatorname {GL} (\infty ;R)은 하나의 성분을 제외하고 다른 모든 성분이 모두 무한 단위 행렬을 이루는 원소들로부터 생성된다. 그렇다면, 기본군의 정규 부분군  E를 죽이는 플러스 연산을 가하여 위상 공간  \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}을 얻는다. 그렇다면,  i>0에 대하여  i차 K군  \operatorname {K} _{i}(R)은  \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}의  i차 호모토피 군이다.
i=0일 경우 위 공식은 성립하지 않는다. ( \operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}는 항상 경로 연결 공간이다.) 환의 0차 K군  \operatorname {K} _{0}(R)는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우
로 정의할 수 있다. (여기서  \operatorname {K} _{0}(R)는 이산 위상을 준 위상군이다.)
정의 > 퀼런 Q-구성

퀼런 완전 범주  {\mathcal {E}}가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주  \operatorname {Q} ({\mathcal {E}})는 다음과 같은 범주이다.
\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})의 대상은  {\mathcal {E}}의 대상과 같다.
\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})에서  X,Y\in {\mathcal {E}} 사이의 사상은  {\mathcal {E}}에서의 그림  X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y의 동치류이다. 여기서, 두 그림  X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y,  X\twoheadleftarrow A'\hookrightarrow Y 사이에 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 동형 사상  A\to A'이 존재한다면 두 그림을 서로 동치로 간주한다.
 {\begin{matrix}X&\twoheadleftarrow &A&\hookrightarrow &Y\\\|&&\downarrow &&\|\\X&\twoheadleftarrow &A'&\hookrightarrow &Y\end{matrix}}
\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})에서 항등 사상은  X{\overset {\operatorname {id} }{\twoheadleftarrow }}X{\overset {\operatorname {id} }{\hookrightarrow }}X이다.
\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})에서 사상의 합성은 당김을 통해 정의된다. 즉, 그림  X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y와  Y\twoheadleftarrow B\hookrightarrow Z의 합성은 다음과 같은 당김  A\times _{Y}B로서 정의된다.
 {\begin{matrix}&&A&\twoheadleftarrow &A\times _{Y}B&\hookrightarrow &B\\&&\|&&&&\|\\X&\twoheadleftarrow &A&\hookrightarrow &Y&\twoheadleftarrow &B&\hookrightarrow &Z\end{matrix}}
이제,  \operatorname {Q} ({\mathcal {E}})의 신경  \operatorname {nerve} (\operatorname {Q} ({\mathcal {E}}))을 취하자. 이는 단체 집합이다.  {\mathcal {E}}의  i차 K군(영어: K-group)은  \operatorname {nerve} (\operatorname {Q} ({\mathcal {E}}))의 (기하학적 실현의)  i+1차 호모토피 군이다.
정의 > 발트하우젠 S-구성

발트하우젠 범주(Waldhausen範疇, 영어: Waldhausen category)  ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {C}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
{\mathcal {C}}는 영 대상을 갖는 범주이다.
{\mathfrak {W}}는  {\mathcal {C}}의 사상들의 모임이다. 그 원소를 약한 동치(영어: weak equivalence)라고 한다. 이를  {\xrightarrow {\sim }}로 나타내자.
{\mathfrak {C}}는  {\mathcal {C}}의 사상들의 모임이다. 그 원소를 쌍대올뭉치(영어: cofibration)라고 한다. 이를  \hookrightarrow 로 나타내자.
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
모든 동형 사상은 약한 동치이자 쌍대올뭉치이다.
영 대상으로부터의 사상  0\to X는 쌍대올뭉치이다.
쌍대올뭉치는 합성에 대하여 닫혀 있다.
임의의  X\hookleftarrow Z\to Y에 대하여, 밂  X\cup _{Z}Y으로 가는 표준적 사상  Y\to X\cup _{Z}Y는 쌍대올뭉치이다.
다음 가환 그림이 주어졌을 때, 유도 사상  X\cup _{Z}Y\to {\tilde {X}}\cup _{\tilde {Z}}{\tilde {Y}}는 약한 동치이다.
 {\begin{matrix}X&\hookleftarrow &Z&\to &Y\\{\scriptstyle \wr }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \wr &&\downarrow \scriptstyle \wr \\{\tilde {X}}&\hookleftarrow &{\tilde {Z}}&\to &{\tilde {Y}}\end{matrix}}
발트하우젠 범주  {\mathcal {C}} 및 자연수  n\in \mathbb {N} 이 주어졌을 때, 다음과 같은 범주  {\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})을 생각하자.
{\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}}) 의 대상은 다음 조건을 만족시키는 대상 X_{i,j} ( i\leq j ) 및 이들 사이의 적절한 사상으로 구성된다.
X_{ii}=0
쌍대올뭉치의 열  0=X_{0,0}\hookrightarrow X_{0,1}\hookrightarrow X_{0,2}\hookrightarrow \cdots \hookrightarrow X_{0,n}이 존재한다.
i\leq j\leq k에 대하여,  X_{jk}는  0\leftarrow X_{i,j}\hookrightarrow X_{i,k}의 밂이다.
{\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})의 사상은 적절한 그림들을 가환 그림으로 만드는  {\mathcal {C}}-사상들의 열  f_{i,j}\colon X_{i,j}\to Y_{i,j}로 구성된다.
그렇다면, 각  {\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}}) 역시 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이룬다. 또한, 이들을 모두 모은  {\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}})는 자연스럽게 단체 범주(영어: simplicial category, (작은) 범주의 범주에서의 단체 대상)를 이룬다.
이 연산  {\mathcal {S}}_{\bullet }(-)을 거듭해서 가하자. 그렇다면, 일련의 단체 범주  {\mathcal {C}},{\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}}),{\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}})),\dots 들을 얻는다. 이들은 자연스럽게 스펙트럼  {\mathcal {S}}({\mathcal {C}})을 이룬다.
{\mathcal {C}}의 K군들은 스펙트럼  {\mathcal {S}}({\mathcal {C}})의 안정 호모토피 군들이다.
낮은 차수의 K군 > K0

이 부분의 본문은 그로텐디크 군입니다.
R가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 0차 K군  \operatorname {K} _{0}(R)는  R의 유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.
유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자  \operatorname {Ring} \hookrightarrow \operatorname {Rng} 의 수반 함자를 사용해, 유사환  S에 단위원을 추가해 환  R\cong S\oplus \mathbb {Z} 으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열
이 존재한다. 그렇다면  S의 K군  K_{0}(S)는 이에 의하여 유도되는 군 준동형
의 핵이다.
보다 일반적으로, 퀼런 완전 범주  {\mathcal {E}}의 0차 K군  \operatorname {K} _{0}({\mathcal {E}})는  {\mathcal {E}}의 대상의 동형류들로 생성되는 자유 아벨 군으로부터, 모든 허용 확대  X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z에 대하여  [X]-[Y]+[Z]로 생성되는 부분군에 대한 몫군을 취한 것이다.
낮은 차수의 K군 > K0 > 상대적 K 0

I를  A의 이데알로 정의하고 데카르트 곱  A\times A의 부분 환으로 "더블"을 정의한다.
상대적  K군은 "double"
여기서 사상은 첫 번째 인자에 따른 사영에 의해 유도된다.
상대적  K_{0}(A,I)는  K_{0}(I)와 동형이며  I를 항등원이 없는 환으로 간주한다.  A로부터의 독립성은 호몰로지에서 절제 정리와 비슷하다.
낮은 차수의 K군 > K0 > 환으로서 K0

A가 가환 환이라면, 사영 가군의 텐서 곱은 다시 사영이므로 텐서 곱은  K_{0}을 항등식으로 동치류  [A]를 갖는 가환 환으로 바꾸는 곱셈을 유도한다. 외적은 비슷하게 λ-환 구조를 유도한다. 피카르 군은 단위  K_{0}(A)^{*}군의 부분 군으로 포함된다.
낮은 차수의 K군 > K1

R가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.
그렇다면, 1차 K군  \operatorname {K} _{1}(R)는 무한 일반선형군의 아벨화이다.
하이먼 배스는 환의 단원 군을 일반화하는 다음 정의를 제공했다:  K_{1}(A)는 무한 일반 선형 군의 아벨화이다.
여기서
는  \operatorname {GL} (n+1) \operatorname {GL} (n+1)에 좌상단 블록 행렬로서 포함되는  \operatorname {GL} (n)의 직접 극한이다.  [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]는 그것의 교환자 부분 군이다. 기본 행렬을 항등 행렬과 단일 비대각 원소의 합으로 정의한다(이는 선형 대수학에서 사용되는 기본 행렬의 부분 집합이다). 그런 다음 화이트헤드의 보조 정리는 기본 행렬에 의해 생성된 군  E(A)가 교환자 부분 군  [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]와 같다고 말한다. 실제로 군  \operatorname {GL} (A)/E(A)는 화이트헤드에 의해 처음 정의되고 연구되었으며 환  A의 화이트헤드 군이라고 한다.
낮은 차수의 K군 > K1 > 상대적 K 1

상대적 K-군은 "double"
자연스러운 완전열이 있다
낮은 차수의 K군 > K1 > 가환 환 및 체

A 가환 환에 대해 행렬식 det를 정의할 수 있다:  \operatorname {GL} (A)\rightarrow A^{*}에서  A 단원 군으로  E(A)에서 사라지고 따라서 사상 det로 내려간다. :  K_{1}(A)\rightarrow A^{*}.  E(A)\vartriangleleft {\text{SL}}(A)로 특수 화이트헤드 군  {\text{S}}K_{1}(A):={\text{SL}}(A)/E(A)를 정의할 수도 있다. 이 사상은 사상  A^{*}\rightarrow \operatorname {GL} (1,A)\rightarrow K_{1}(A) (왼쪽 위 모서리에 있는 단위)를 통해 분할되고 따라서 특정 화이트헤드 군을 핵로 가지며 분할 짧은 완전열을 생성한다. :
이는 특수 선형 군을 정의하는 일반적인 분할 짧은 완전열의 몫이다.
행렬식은 단원군  A^{*}=\operatorname {GL} _{1}(A)를 일반 선형 군  \operatorname {GL} (A)에 포함하여 분할하므로  K_{1}(A)는 단원군과 특수 화이트헤드 군의 직합  K_{1}(A)\cong A^{*}\oplus {\text{S}}K_{1}(A)으로 분할된다.
A가 유클리드 정역(예: 체 또는 정수)인 경우  {\text{S}}K_{1}(A)는 사라지고 행렬식 사상은  K_{1}(A)에서  A^{*} 로 가는 동형사상이다. 이것은 일반적으로 PID에 대해 거짓이므로 모든 PID에 일반화되지 않는 유클리드 정역의 드문 수학적 특징 중 하나를 제공한다. {\text{S}}K_{1}(A)이 0이 아닌 명시적 PID는 1980년 Ischebeck과 1981년 그레이슨이 제공했다  A가 그의 몫 체가 대수적 수체 (유리수의 유한 확장)인 데데킨트 정역이면 Milnor (1971) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFMilnor1971 (help)는  {\text{S}}K_{1}(A)가 사라진다는 것을 보여준다.
{\text{S}}K_{1}의 소멸은  \operatorname {GL} 에서  \operatorname {GL} _{1}의 상에 의해  K_{1}가 생성된다는 의미로 해석될 수 있다. 이것이 실패하면  K_{1}가  \operatorname {GL} _{2}의 상에 의해 생성되는지 여부를 물을 수 있다. 데데킨드 정역이 이에 해당한다. 실제로  K_{1}은  \operatorname {GL} 의  \operatorname {GL} _{1}과  \operatorname {SL} _{2}의 상에 의해 생성된다.  \operatorname {SL} _{2}에 의해 생성된  {\text{S}}K_{1}의 부분 군은 메니케 기호로 연구할 수 있다. 극대 이데알 유한에 의한 모든 몫을 갖는 데데킨트 정역의 경우  {\text{S}}K_{1}은 비틀림 군이다.
비가환 환의 경우 행렬식를 일반적으로 정의할 수 없지만 사상  \operatorname {GL} (A)\rightarrow K_{1}(A)는 행렬식의 일반화이다 .
낮은 차수의 K군 > K1 > 중심 단순 대수

체 F 에 대한 중심 단순 대수  A의 경우, 축소된 노름은 사상  K_{1}(A)\rightarrow F^{*}및  {\text{S}}K_{1}(A) 핵로 정의될 수 있는 행렬식의 일반화를 제공한다. 왕의 정리는  A가 소수 차수이면  {\text{S}}K_{1}(A)는 사소하고 이것은 제곱 없는 차수로 확장될 수 있다고 말한다. 왕은 또한  {\text{S}}K_{1}(A)가 수체에 대한 모든 중앙 단순 대수에 대해 사소한 것임을 보여주었지만 Platonov는  {\text{S}}K_{1}(A)가 중요하지 않은 소수 제곱 정도의 대수에 대한 예를 제공했다.
낮은 차수의 K군 > K2

R가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 일반선형군  \operatorname {GL} (\infty ;R)의 교환자 부분군  [\operatorname {GL} (\infty ;R),\operatorname {GL} (\infty ;R)]을 생각하자. 이는 완전군이며, 따라서 보편 중심 확대를 갖는다. 이 보편 중심 확대를  R의 스테인베르그 군(Steinberg群, 영어: Steinberg group)  \operatorname {St} R라고 한다. 이는 로베르트 스테인베르그가 도입하였다.
2차 K군  \operatorname {K} _{2}(R)는  R의 스테인베르그 군  \operatorname {St} R의 중심이다.
존 밀너는  K_{2}의 올바른 정의를 찾았다. 이것은  A의 스타인버그 군  {\text{St}}(A)의  중심이다.
이는 사상
의 핵으로 정의할 수도 있다. 또는 기본 행렬 군의 슈어 승수로 정의할 수도 있다.
체의 경우  K_{2}는 스타인버그 기호에 의해 결정된다. 이것은 마츠모토의 정리로 이어진다.
유한 체에 대해  K_{2}가 0임을 계산할 수 있다.  K_{2}(\mathbb {Q} )의 계산은 복잡하다: 테이트가 증명했다
그리고 그 증명은 이차 상호 법칙에 대한 가우스의 첫 번째 증명을 따랐다고 말했다.
아르키메데스 국소 체가 아닌 경우, 군  K_{2}(F)는 예를 들어 차수가  m인 유한 순환 군과 나눗셈 군  K_{2}(F)^{m}의 직합이다.
K_{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2이며 일반적으로  K_{2}는 수체의 정수환에 대해 유한하다.
또한  n이 4로 나누어지면  K_{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2이고 그렇지 않으면 0이다.
마츠모토 정리에 따르면 체  k에 대해 두 번째  K군은
마츠모토의 원래 정리는 훨씬 더 일반적이다. 모든 근계에 대해 불안정한  K이론에 대한 표현을 제공한다. 이 표현은 사교 근계에 대해서만 여기에 제공된 것과 다르다. 비사교 근계의 경우 근계에 대해 불안정한 두 번째  K군은 정확히  \operatorname {GL} (A)에 대한 안정적인  K군이다. 불안정한 두 번째  K군(이 문맥에서)은 주어진 근계에 대한 보편 유형의 셰발리 군의 보편 중심 확대의 핵을 취함으로써 정의된다. 이 구조는 근계  A_{n}\;\forall n>1에 대한 스타인버그 확장의 핵을, 그리고 극한에서 안정적인 두 번째  K군을 생성한다.
낮은 차수의 K군 > K2 > 긴 완전열

A가 분수  F의 체를 갖는 데데킨트 정역이면 긴 완전열이 있다.
여기서  {\mathbf {p} }는  A의 모든 주 이데알에 걸쳐 있다.
상대적  K_{1}와  K_{0}에 대한 완전열의 확장도 있다.
K_{1}에는  K_{2}의 값과 짝환이 있다.  A에 대한 통근 행렬  X,Y가 주어지면  X,Y를 상로 사용하여 스타인버그 군의 원소  x,y를 가져온다. 교환자  xyx^{-1}y^{-1}는  K_{2}의 원소이다. 사상이 항상 전사적인 것은 아니다.
밀너 K 이론

체  k의  K_{2}에 대한 위의 표현은 밀너를 다음과 같은 "고차"  K군의 정의로 이끌었다.
따라서 곱셈군  k^{\times } 양쪽 이데알의 텐서 대수 몫의 등급이 매겨진 부분으로서
n=0,1,2의 경우 이들은 아래의 것과 일치하지만 n ≥ 3의 경우 일반적으로 다르다.  예를 들어  K_{n}있다.  K_{n}^{M}(\mathbb {F} _{q})=0\;\forall n\geq 2 이지만, 홀수 n 인 경우  K_{n}\mathbb {F} _{q}는 0이 아니다(아래 참조).
텐서 대수의 텐서 곱은 곱  K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}을 유도하고 등급 가환 등급 환  K_{*}^{M}(F)을 만든다.
a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\in K_{n}^{M}(k)의 상을 기호  \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}라고 한다.  k에서 가역적인 정수  m에 대해 다음 사상이 있다.
여기서  \mu _{m}는  k의 일부 분리 가능한 확장에서  m 번째 단위 근의 군을 나타낸다. 이것은 다음으로 확장된다.
밀너  K군의 정의 관계를 만족한다. 따라서  \partial ^{n}는  K_{n}^{M}(k)에 대한 사상으로 볼 수 있다. 이를 갈루아 기호 사상이라고 한다.
블라디미르 보예보츠키에 의해 입증된 밀너 추측은 체의 에탈(또는 갈루아) 코호몰로지와 2를 법으로 하는 밀너 K-이론 사이의 관계이다. 홀수 소수에 대한 비슷한 진술은 보예보츠키, 로스트 등에 의해 증명된 블로흐-가토 추측이다.
고차 K 이론

고차  K군의 허용된 정의는 Quillen (1973) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFQuillen1973 (help)에 의해 제공되었으며, 몇 년 동안 양립할 수 없는 몇 가지 정의가 제안되었다. 프로그램의 목적은  R\Rightarrow \mathbf {K} (R) 및  (R,I)\Rightarrow \mathbf {K} (R,I)가 함수가 되도록 공간을 분류하는 관점에서  \mathbf {K} (R) 및  \mathbf {K} (R,I)의 정의를 찾는 것이다. 공간의 호모토피 범주와 상대적인 K-군에 대한 긴 완전열은 올화  \mathbf {K} (R,I)의 긴 호모토피 완전열 \mathbf {K} (R,I)\rightarrow \mathbf {K} (R)\rightarrow \mathbf {K} (R/I)로 발생한다.
퀼런은 "+-구성"과 " Q -구성"의 두 가지 구성을 제공했으며 후자는 이후 다른 방식으로 수정되었다. 두 구성은 동일한  K군을 생성한다.
고차 K 이론 > +-구조

고등 대수  K환 이론의 가능한 정의 중 하나는 퀼런에 의해 제공되었다.
여기서  \pi _{n}은 호모토피 군이고,  \operatorname {GL} (R)은 무한대로 가는 행렬의 크기에 대한  R에 대한 일반선형군의 직접 극한이고,  B는 호모토피 이론의 분류 공간 구성이며, +는 퀼런의 플러스 구성이다. 그는 원래  {\text{GL}}_{n}(\mathbb {F} _{q})의 군 코호몰로지를 연구하면서 이 아이디어를 발견했고, 그의 계산 중 일부는  K_{1}(\mathbb {F} _{q})와 관련되어 있다는 것을 알았다.
이 정의는  n>0에만 적용된다. 그래서 우리는 종종 고차 대수적  K이론을 다음을 통해 정의한다.
B\operatorname {GL} (R)^{+}는 경로 연결이고  K_{0}(R)는 이산적이므로 이 정의는 고차에서도 다르지 않으며  n=0에도 적용된다.
고차 K 이론 > Q 구조

Q 구조는 +구조와 동일한 결과를 제공하지만 보다 일반적인 상황에 적용된다. 더욱이, 정의는 Q 구성을 통해 정의된  K군이 정의에 의해 기능적이라는 점에서 보다 직접적이다. 이 사실은 플러스 구조에서 자동적이지 않다.
P가 완전 범주라고 가정하자.  P에 연관된 새로운 범주  QP가 정의되며, 그 대상은  P의 대상이다.  M'에서  M''로 가는 사상은 다이어그램
의 동형사상 동치류이다. 여기서 첫 번째 화살표는 허용 가능한 전사 사상이고 두 번째 화살표는 허용 가능한 단사 사상이다.  QP의 사상들은 사상이
X\leftarrow Z\rightarrow Y
인 대응  Z\subset X\times Y으로 주어지는 모티브 범주의 사상 정의와 비슷함에 유의하라. 왼쪽의 화살표가 덮개 사상(따라서 전사)이고 오른쪽의 화살표가 단사인 도형이다. 그런 다음 이 범주는 분류 공간 구성  BQP을 사용하여 위상 공간으로 전환될 수 있다. 이는  QP의 신경의 기하학적 실현으로 정의된다.  그런 다음, 완전 범주  P의 i 번째  K군은 고정된 영 대상  0과 함께 다음과 같이 정의된다.
준군  B{\mathcal {G}}의 공간 분류는 호모토피 군을 1차 위로 옮기므로 에 유의하라. 즉,  K_{i}의 차수 이동이 공간의  \pi _{i+1}가 된다.
이 정의는 위의  K_{0}(P)의 정의와 일치한다.  P가 유한 생성 사영 R 가군의 범주인 경우 이 정의는 위의  B\operatorname {GL} ^{+} 모든 n 에 대한  K_{n}(R)의 정의와 일치한다. 보다 일반적으로, 스킴  X에 대해,  X의 고차  K군은  X의 국소적으로 자유 연접층 (의 완전 범주)의  K군으로 정의된다.
이에 대한 다음 변형도 사용된다. 유한 생성 사영(=국소 자유) 가군은 유한 생성 가군을 사용한다. 결과  K군은 일반적으로  G_{n}(R)로 작성된다.  R이 뇌터 정칙 환일 때  G 이론과  K이론이 일치한다. 실제로, 일반 환의 대역 차원은 유한하다. 즉, 유한 생성 모든 가군은 유한한 사영 해결 P * → M 을 가지며 간단한 인수는 [ M ] = Σ ± [ P n ]와 함께 표준 사상  K_{0}(R)\rightarrow G_{0}(R)이 동형임을 보여준다. 이 동형은 고차  K군에도 확장된다.
고차 K 이론 > S-구성

K이론 군의 세 번째 구성은 발트하우젠 S 구성이다. 이는 여올화가 있는 범주(발트하우젠 범주라고도 함)에 적용된다. 이것은 완전 범주보다 더 일반적인 개념이다.
예 > 유한체

유한체  \mathbb {F} _{q}의 K군은 다음과 같다.
예 > 정수환

정수환  \mathbb {Z} 의 K군의 계산은 매우 어려운 문제이다.
이나 일반적인 경우에 대해서는 추측만 있다.
퀼런 대수  K이론이 대수 기하학 및 위상 수학의 다양한 측면에 대한 깊은 통찰을 제공하는 동안  K군은 고립되어 있지만 흥미로운 몇 가지 경우를 제외하고는 특히 계산하기 어려운 것으로 입증되었다. (참조: 체의 K-군)
예 > 대수적 K -유한 체 군

환의 고차 대수적  K군의 첫 번째이자 가장 중요한 계산 중 하나는 유한 체의 경우에 대해 퀼런 자신이 수행했다.
\mathbb {F} _{q}가 q 원소가 있는 유한 체일 때:
K_{0}(\mathbb {F} _{q})=\mathbb {Z} .
K_{2i}(\mathbb {F} _{q})=0\;\forall i\geq 1.
K_{2i-1}(\mathbb {F} _{q})=\mathbb {Z} /(q'-1)\mathbb {Z} \;\forall i\geq 1.
퀼런은  A가 대수적 수체  F(유리수의 유한 확장)에서  대수적 정수환인 경우  A의 대수적  K군이 유한하게 생성됨을 증명했다. 아르망 보렐은 이를 사용하여 꼬임을 법으로  K_{i}(A),K_{i}(F)를 계산했다. 예를 들어, 정수  \mathbb {Z} 에 대해 보렐은 (꼬임을 법으로)
양수 k에 대해 i=4k+1이 아닌 양수 i에 대해  K_{i}(\mathbb {Z} )/{\text{tors.}}=0
K_{4k+1}(\mathbb {Z} )/{\text{tors.}}=\mathbb {Z} \;\forall k>0.
K_{2i+1}(\mathbb {Z} )의 꼬임 부분 군과 유한 군  K_{4k+2}(\mathbb {Z} )의 차수는 최근에 결정되었지만 후자의 군이 주기적인지 여부와 군  K_{4k}(\mathbb {Z} ) 소멸은 원분 정수의 유군에 대한 Vandiver의 추측에 따라 달라진다. 자세한 내용은 퀼런-리히텐바움 추측을 참조.
응용과 미해결 문제

대수  K군은 L-함수의 특수 값에 대한 추측과 이와사와 이론의 비가환적 주요 추측 공식화 및 고차 조절자 구성에 사용된다.
파신의 추측은 유한 체에 대한 매끄러운 다형체에 대한 고차 대수적  K군에 관한 것이며, 이 경우 군이 꼬임까지 사라진다고 말한다.
하이먼 배스의 또 다른 근본적인 추측( 배스' 추측 )은  A가 유한 생성  \mathbb {Z}  대수일 때 모든 군 ) G_{n}(A)가 유한 생성다고 말한다. (군  G_{n}(A)는 유한 생성  A-가군 범주의  K군이다.)
역사

K이론의 역사는 바이벨이 자세히 설명했다.
K이론의 시초는 알렉산더 그로텐디크에 의한 그로텐디크-리만-로흐 정리의 증명으로 여겨진다 (1956년). 곧 1950년대 말에 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.
세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 유한 생성 사영 가군이다. 이를 사용하여, 1962년에 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼이 환의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다. 2차 K군의 정의는 존 밀너가 1970년에 발견하였다. 밀너는 이 구성을 고차  n에 대하여 일반화하였는데, 이를 밀너 K군이라고 한다. 그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.
고차 K군의 올바른 정의는 대니얼 퀼런이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성과 Q-구성을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.
이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.
역사 > 그로텐디크 군 K 0

19세기에 베른하르트 리만과 그의 학생 구스타프 로흐는 현재 리만-로흐 정리로 알려진 것을 증명했다.  X가 리만 곡면이면  X의 사상 함수와 사상 미분 형식의 집합은 선형 공간을 형성한다.  X의 선 다발은 이러한 선형 공간의 부분 공간을 결정하며,  X가 사영인 경우 이러한 부분 공간은 유한 차원이다. 리만-로흐 정리에 따르면 이러한 부분 공간 간의 차원 차이는 선 다발의 차수(꼬인 정도 측정)에 1에서  X의 속을 뺀 값과 같다. 20세기 중반에, 리만-로흐 정리는 프리드리히 히르제브루흐에 의해 모든 대수적 다형체로 일반화되었다. 히르체부르흐의 공식화인 히르체부르흐–리만-로흐 정리에서 정리는 오일러 특성에 대한 진술이 되었다. 선형 다발의 특성류에서 오는 보정 계수를 더한 자명한 다발의 이는 사영 리만 곡면에서 선 다발의 오일러 특성이 앞에서 언급한 차원의 차이와 같고, 자명한 다발의 오일러 특성은 1에서 종수를 뺀 값이고, 유일한 중요하지 않은 특성류는 차수이기 때문에 일반화이다.
K이론의 주제는 히르제브루흐 정리의 일반화인 그로텐디크-리만-로흐 정리에 등장한 알렉산더 그로텐디크의 1957년 구성에서 이름을 따왔다.  X를 매끄러운 대수적 다형체라고 하자.  X의 각 선형 다발에 대해 그로텐디크는 불변량인 클래스를 연결한다.  X의 모든 클래스 집합은 독일어 Klasse에서 따와  K(X)라고 불렀다. 정의에 따르면,  K(X)는  X에 대한 선형 다발의 동치류에 대한 자유 아벨 군의 몫이므로 아벨 군이다. 선형 다발  V에 해당하는 기저 원소가  [V]로 표시된 경우 선형 다발의 각각의 짧은 완전열에 대해:
그로텐디크는  [V]=[V']+[V''] 관계를 부과했다. 이러한 생성원과의 관계는  K(X)를 정의하며 완전열와 호환되는 방식으로 선형 다발에 불변량을 할당하는 보편적인 방법임을 암시한다.
그로텐디크는 리만-로흐 정리가 다형체 자체가 아니라 다형체의 사상에 대한 진술이라는 관점을 취했다. 그는 천 특성류와  X의 토드 특성류에서 오는  X의 저우 군에 대한  K(X)의 동형이 있음을 증명했다. 또한, 그는 적절한 사상  f:X\rightarrow Y 에서 매끄러운 다형체  Y로 동형   f^{*}:K(X)\rightarrow K(Y)를 결정한다. 이는 앞으로 밂이라고 한다. 이는  X의 선형 다발에서  Y의 저우 군에 있는 원소를 결정하는 두 가지 방법을 제공한다.  X에서 시작하여 먼저  K이론에서 앞으로 밂을 계산한 다음 천 특성와  Y의 토드 특성류를 적용하거나 먼저 천 특성와  X의 토드 특성류를 적용한 다음 저우 군에 대한 앞으로 밂을 계산한다. 그로텐디크-리만-로흐 정리는 이들이 같다고 말한다.  Y가 점이면 선형 다발은 선형 공간이고 선형 공간의 클래스는 선형 공간의 차원이며 그로텐디크-리만-로흐 정리는 히르체부르흐 정리에 특화되어 있다.
군  K(X)는 이제  K_{0}(X)로 알려져 있다. 사영 가군로 선형 다발을 대체할 때  K_{0}은 또한 비유환 환에 대해 정의되었으며, 여기에서 군 표현에 적용할 수 있다. 아티야와 히르체부르흐는 그로텐디크의 구성을 위상으로 신속하게 전송하고 위상 K-이론을 정의하는 데 사용했다. 위상  K이론은 놀라운 코호몰로지 이론의 첫 번째 예 중 하나이다. 정규화 공리를 제외한 모든 에일렌베르크-스틴로드 공리를 만족하는 군  K_{n}(X)의 열을 각 위상 공간  X (약간의 기술적 제약을 충족)에 연결한다. 그러나 대수적 다형체의 설정은 훨씬 더 엄격하며 위상 수학에서 사용되는 유연한 구조는 사용할 수 없다. 군  K_{0}은 대수적 다형체과 비가환 환의 코호몰로지 이론의 시작이 되기 위해 필요한 성질을 만족하는 것처럼 보였지만, 고차  K_{n}(X)에 대한 명확한 정의는 없었다. 그러한 정의가 개발되더라도 제한 및 접착을 둘러싼 기술적 문제로 인해 일반적으로  K_{n} 다형체이 아닌 환에 대해서만 정의되었다.