stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
로지스틱 사상
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 0 ≤ a < 1의 경우

먼저, 매개변수가 a = 0일 때는 초기 조건 x0이 어떤 값이든 x1 = 0으로 된다. 결국, a = 0의 로지스틱 사상의 궤도는 초기 조건 이후의 값이 전부 0으로 되는 궤도로, 이 경우 별로 조사할 내용은 없다.
다음으로, 매개변수가 0 < a < 1의 범위에 있을 때, 초기 조건 x0이 0부터 1까지의 어떤 수치여도, xn은 단조롭게 감소해간다. 결국, n → ∞의 극한으로 xn은 0으로 수렴한다. 이 수렴한 xn = 0이라는 점은 식 (2-3)으로 나타낸 고정점 xf 1이다. 이렇게 주변의 궤도가 수렴하는 타입의 고정점은 점근적 안정, 안정 혹은 흡인적이라고 불린다. 반대로 시간 n의 증가와 함께 xf의 부근의 궤도가 xf로부터 떨어져간다면, 그 고정점 xf는 불안정이나 반발적이라고 불린다.
고정점이 점근적 안정인지 아닌지를 알기 위해서는 사상 f의 미분을 구한다는 일반적으로 간단한 방법이 있다. f (x)의 미분 ⁠df (x)/dx⁠를 f ′(x)로 나타내는 것이다. 이 미분이 고정점 xf로
이라는 조건을 만족시키면, xf는 점근적 안정이다. 여기서 |〇|는 〇의 절댓값을 의미한다.
사상의 그래프에서 이러한 것을 보면, 그래프의 곡선 위의 점 xf의 접선의 기울기가 −1에서 1의 사이에 있으면 xf는 안정으로, 그 주위의 궤도는 xf로 끌어당겨진다는 것이다. 로지스틱 사상의 미분은
으로, x = 0 동시에 0 < a < 1에서는 0 < f ′(0) < 1이므로 고정점 xf 1 = 0은 식 (3-1)을 만족하고 있다.
단, 식 (3-1)에 의한 판별법은 xf에서 어느 정도의 범위에 있는 궤도가 xf로 끌어당겨지는가는 알 수 없다. 어디까지나 xf가 있는 근방 내의 x가 수렴하는 것을 보증하고 있을 뿐이다. 지금의 경우, 0으로 수렴하는 초기 조건의 구간은 닫힌구간 [0, 1] 전역이나, 이를 명확히 알기 위해서는 다른 고찰을 필요로 한다.
고정점이 불안정한지 아닌지의 판별 방법은 비슷하게 사상의 미분에서 알 수 있다. 어느 고정점 xf가
를 만족할 때, xf는 불안정하다. 매개변수가 0 < a < 1의 범위에 있을 때에는 또 하나의 고정점 xf 2 = 1 − ⁠1/a⁠는 음의 값이기에 닫힌구간 [0, 1]의 범위에서는 나타나지 않지만, 불안정한 고정점으로 존재하고 있다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 1 ≤ a ≤ 2의 경우

매개변수가 a = 1일 때, 로지스틱 사상의 궤도는 여태까지와 비슷하게 0으로 수렴한다. 단, 수렴하는 속도가 a = 1에서는 천천히 된다. a = 1의 고정점 0은 점근적 안정이기는 하나, 식 (3-1)을 만족하지 않는다. 실인즉, 식 (3-1)에 의한 판별 방법은 사상을 고정점 근방에서 1차 근사하는 것에 따라 성립한다. a = 1에서는 이 근사가 성립하지 않게 되고, 안정·불안정은 사상의 2차(제곱)의 항에 따라 결정되게 된다.
a = 1의 상태를 그래프로 보면 x = 0에서 그래프의 곡선이 45° 대각성에 접한 상태로 된다. 이때, 0 < a < 1의 범위에서는 음의 점위로 존재했던 고정점 xf 2 = 1 − ⁠1/a⁠의 값은 xf 2 = 0으로 된다. 결국, a가 증가함에 따라 xf 2의 값은 0에 가까워지고, a = 1에서 xf 2는 xf 1 = 0과 충돌한다. 이 충돌에 의해 넘김고비 갈림(혹은 제한이동 분기, 초월 임계 분기)(Transcritical bifurcation)라는 현상이 일어난다.
분기란 역학계의 움직임이 정성적으로 변하는 현상을 가리키는 용어로, 이 경우의 넘김고비 갈림에서는 고정점끼리 안정성의 교체가 일어난다. 결국, a가 1 미만에서는 xf 1은 안정, xf 2는 불안정에 해당했으나, a가 1을 넘으면 xf 1은 불안정, xf 2는 안정적으로 된다. 분기가 일어날 때의 매개변수의 값은 분기점이라고 불린다. 여기서는 a = 1이 분기점이다.
분기의 결과, 로지스틱 사상의 궤도는 xf 1 = 0이 아닌 xf 2 = 1 − ⁠1/a⁠로 수렴하게 된다. 상세하게 말하면, 매개변수가 1 < a ≤ 2라면 0과 1을 제외한 열린구간 (0, 1) 위의 값에서 출발하는 궤도는 단조 증가 혹은 단조 감소하면서 xf 2으로 수렴한다. 수렴의 방법의 차이는 초기 조건이 어느 범위에 있는가에 따른다. 0 < x0 < 1 − ⁠1/a⁠에서는 단조 증가로 수렴하고, 1 − ⁠1/a⁠ < x0 < ⁠1/a⁠에서는 단조 감소로 수렴하며, ⁠1/a⁠ < x0 < 1에서는 처음 한 단계를 제외하고 단조 증가로 수렴한다.
고정점  = 1 − 에서 단조 감소로 수렴하는 예시( = 1.2、 = 0.6)
고정점  = 1 − 에서 단조 증가로 수렴하는 예시( = 1.8、 = 0.2)
또, 분기에 따라 고정점 xf 1 = 0은 불안정화하지만, a > 1 이후도 고정점으로 계속 존재한다. 이 불안정 고정점 xf 1에 이르는 초기 조건이 xf 1 자신 이외에 존재하지 않는 것은 아니다. 그것이 x0 = 1로, a의 값에 관계 없이 로지스틱 사상은 f (1) = 0을 만족하므로 x0 = 1에서 사상을 1회 적용하면 xf 1 = 0으로 된다. 이 x = 1과 같이 유한 번의 사상의 반복으로 고정점에 직접 다다르는 점은 최종적 고정점 등으로 불린다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 2 < a < 3의 경우

매개변수가 2 < a < 3의 경우는 초기 조건 0과 1을 제외하고, 1 < a ≤ 2의 경우와 같이 고정점 xf 2 = 1 − ⁠1/a⁠로 수렴한다. 단, 이 경우는 단조로 수렴하는 것은 아니다. 변수가 xf 2으로 어느 정도 가까워지면 변수는 xf 2보다 커지고 작아지고를 반복하고, xf 2의 주변에서 진동하면서 수렴해가는 궤도를 보인다.
궤도의 고정점 주변에서의 진동은 다음과 같은 범위를 왔다갔다 한다. 이 매개변수 범위에서는 xf 2는 열린구간 (⁠1/2⁠, 1) 안에 존재한다. 사상을 한 번 적용하면 xf 2로 되는 값을 ~xf 2로 표기한다. 즉, f (~xf 2) = xf 2
라는 관계이다. 변수가 열린구간 (~xf 2, xf 2)에 들어갔을 때, 궤도의 고정점 주변에서의 진동이 일어난다. 열린구간 (~xf 2, xf 2)는 반열린구간 (xf 2, ⁠a/4⁠]로 되고, 반열린구간 (xf 2, ⁠a/4⁠]는 반열린구간 [⁠1/2⁠, xf 2)의 안으로 대응되고…라는 식으로 진동한다.
일반적으로 분기의 모습을 이해하기에는 분기 다이어그램이 도움이 된다. 이 그림은 고정점(또는 후술할 주기점(Periodic point)) x를 매개변수 a의 함수로 나타낸 그래프로, 가로축으로 a의 값을 취하고, 세로축으로 x의 값을 취해 나타낸다. 안정적인 고정점과 불안정한 고정점을 구별하기 위해 전자의 곡선은 실선으로 나타내고, 후자의 곡선은 점선으로 나타내거나 한다. 로지스틱 사상의 분기 다이어그램을 그리면 고정점 xf 1 = 0를 나타내는 직선과 고정점 xf 2 = 1 − ⁠1/a⁠를 나타내는 곡선이 a = 1과 접하면서 안정성이 교체되는 모습을 볼 수 있다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 3 ≤ a < 3.44949…의 경우

매개변수가 a = 3의 경우도 궤도는 고정점 xf 2 = 1 − ⁠1/a⁠로 수렴한다. 그러나, 2 < a < 3의 경우보다도 변수가 수렴하는 속도는 느리다. a = 3에서는 미분계수 f ′(xf 2)는 −1에 이르고, 식 (3-1)을 만족하지 않게 된다. a가 3을 넘으면 f ′(xf 2) < −1로 되고, xf 2는 불안정한 고정점으로 된다. 즉, a = 3으로 다시 분기가 일어난다.
a = 3에서는 주기배가 분기라고 불리는 종류의 분기가 일어난다. a > 3부터는 궤도는 한 점으로 수렴하지 않게 되고, 충분한 시간 n이 진행한 뒤에도 큰 값과 작은 값을 번갈아 계속 취하게 되는 움직임으로 변한다. 예를 들면 a = 3.3라면, 변수는 0.4794…과 0.8236…이라는 두 개의 값을 번갈아 계속해서 취한다.
= 3.3의 경우의 거미줄 그림과 시계열. 궤도는 안정적인 두 주기점으로 흡인된다.
이와 같이 같은 값을 주기적으로 계속 도는 궤도를 주기 궤도라고 부른다. 이 경우, n → ∞의 변수의 최종적인 움직임은 두 주기의 주기 궤도이다. 주기 궤도를 구성하는 하나하나의 값(점)을 주기점(Periodic point)이라고 부른다. a = 3.3의 예로 말하면 0.4794…와 0.8236…이 각각 주기점이다. 어느 x가 주기점이라고 하면, 두 주기점의 경우는 x에 사상을 2회 적용하면 본래로 돌아오므로
라는 관계가 성립한다. 이 식에 로지스틱 사상의 식 (1-4)을 적용하면
라는 4차 방정식을 얻을 수 있다. 이 방정식의 해가 주기점이다. 실은 고정점 xf 1 = 0과 고정점 xf 2 = 1 − ⁠1/a⁠ 또한 식 (3-4)를 만족한다. 따라서, 식 (3-5)의 해 중 두 개의 해는 xf 1과 xf 2에 상당하고, 남은 두 개의 해가 두 주기점이다. 두 주기점을 각각 x(2)f 1, x(2)f 2로 나타낸다고 한다. 식 (3-5)을 푸는 것으로 x(2)f 1, x(2)f 2를 다음과 같이 얻을 수 있다.
고정점의 안정성과 같은 것을 주기점에 대해서도 말할 수 있다. 즉, 주위의 궤도를 끌어당기는 주기점은 점근적 안정적인 주기점으로 불리고, 주위의 궤도가 멀어지는 주기점은 불안정한 주기점이라고 불린다. 주기점의 안정성 판별도 고정점과 같이 가능하다. 일반적인 경우를 상정해 사상을 k회 반복시킨 f k(x)에 대해 생각한다. 이 미분 ⁠df k(x)/dx⁠를 (f k)′(x)라고 나타낸다고 한다. 어느 k-주기점 x(k)f가
을 만족시키면 x(k)f는 점근적 안정이다. 불안정에 대해서도 고정점과 같이
을 만족시키면 x(k)f는 불안정하다.
이상의 주기점의 안정성의 논의도 고정점과 같이 그래프 묘사에 따라 이해하기 쉽게 된다. 이 그림에서는 가로축 xn에 대해 세로축을 xn+2로 하고, xn+2와 xn의 관계를 나타내는 곡선을 그린다. 이 곡선과 45° 직선의 교점은 식 (3-4)를 만족시키는 점이므로 교점은 고정점과 두 주기점을 나타내고 있다. 로지스틱 사상의 f 2(x)의 그래프를 그리면 고정점 xf 2에서의 접선의 기울기는 a = 3을 경계로 1을 넘어 불안정화하는 것이 관찰 가능하다. 동시에 새로운 두 개의 교점이 나타나고, 이들이 주기점 x(2)f 1과 x(2)f 2이다.
= 2.7의 경우의 와 의 관계. 주기배가 분기가 일어나기 전. 궤도는 고정점 로 수렴한다.
= 3의 경우의 와 의 관계. 고정점 에서의 접선의 기울기는 1로 되고, 주기배가 분기가 일어난다.
= 3.3의 경우의 와 의 관계. 는 불안정화하고, 궤도는 주기점  과 로 수렴한다.
두 주기점의 미분계수를 로지스틱 사상에 대해 실제로 계산하면
로 된다. 이를 식 (3-7)에 대입하면 매개변수 a가
을 만족했을 때에 두 주기점이 점근적 안정이라는 것을 알 수 있다. 이 범위는 3 < a < 1 + √6으로 되고, 즉 a가 1 + √6 = 3.44949…를 넘으면 두 주기점은 점근적 안정이 아니게 되며, 다시 움직임이 바뀐다.
닫힌구간 [0, 1] 안의 거의 전체의 초기 조건이 두 주기점에 끌어당겨지나, xf 1 = 0과 xf 2 = 1 − ⁠1/a⁠도 닫힌구간 [0, 1] 안으로 불안정한 고정점으로 계속 남아있는다. 이들 불안정 고정점은 이후 a를 계속 증가시켜도 닫힌구간 [0, 1] 안에 계속 남아있는다. 이로 인해 초기 조건이 xf 1 또는 xf 2일 때는, 궤도가 두 주기점으로는 끌어당겨지지 않는다. 더욱이 초기 조건이 xf 1에 대한 최종적 고정점인 경우와 xf 2에 대한 최종적 고정점일 경우도 궤도는 두 주기점으로는 끌어당겨지지 않는다. 이러한 최종적 고정점인 점은 닫힌구간 [0, 1]의 안에 무한히 존재한다. 그러나, 이러한 점의 수는 닫힌구간 [0, 1]이라는 실수의 집합과 비교하면 매우 작다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 3.44949… ≤ a ≤ 3.56994…의 경우

매개변수 a가 1 + √6 = 3.44949…를 넘으면 여태까지 안정적이었던 두 주기점이 불안정하게 되고, 안정적인 네 주기점이 새로 생겨나 궤도는 네 주기의 진동으로 끌어당겨지게 된다. 즉, a = 3.44949…에서 다시 주기배가 분기가 일어난다. 네 주기점의 x의 값도
을 만족하므로 이 식을 풀면 네 주기점의 x의 값을 구하는 것이 가능하다. 단, 식 (3-11)은 16차 방정식이고, 고정점과 두 주기점의 네 개의 해를 묶어낸다고 해도 12차 방정식이다. 이로 인해, 이를 풀고 두 주기점과 같이 네 주기점의 값을 나타내는 a의 양함수를 얻는 것은 불가능하다.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| k번째의 분기 | 주기 2k | 분기점 ak |
| 1 | 2 | 3.0000000 |
| 2 | 4 | 3.4494896 |
| 3 | 8 | 3.5440903 |
| 4 | 16 | 3.5644073 |
| 5 | 32 | 3.5687594 |
| 6 | 64 | 3.5696916 |
| 7 | 128 | 3.5698913 |
| 8 | 256 | 3.5699340 |
더욱이 a가 커지면 안정적인 네 주기점은 다시 주기배가 분기를 일으키고, 안정적인 여덟 주기점이 생긴다. 이후, a가 증가함에 따라 16주기, 32주기, 64주기…로 주기배가 분기가 무한하게 계속 일어나며, 최종적으로는 무한 주기 즉 영원히 전의 값으로 돌아갈 수 없는 궤도로 된다. 이 주기배가 분기의 무한의 계열은 캐스케이드(cascade)라고 불린다. 이 주기배가 분기는 무한하게 일어나지만 한편, 주기배가 분기가 발생하는 a의 간격은 등비수열적으로 감소한다. 이로 인해 매개변수 a가 어느 유한한 값에 이를 때까지 주기배가 분기의 무한 번의 발생이 일어난다. a = 3에서 일어난 1주기부터 2주기로의 분기를 첫 번째 주기배가 분기로 센다고 한다. 그러면 이 주기배가 분기의 캐스케이드 안에서는 k번째의 분기점에서 안정적인 2k주기점이 발생한다. k번째의 분기점 a를 ak로 나타낸다고 한다. 이때, k → ∞에서 ak는 다음과 같은 값으로 수렴하는 것으로 알려져 있다.
더욱이 ak의 감소의 비율의 극한은 다음 식에서 보이는 상수 값으로 되는 것이 알려져 있다.
이 δ의 값은 수리물리학자인 미첼 파이겐바움에 의해 발견된 것으로 파이겐바움 상수라고 불린다. a∞는 파이겐바움점이라고 불린다. 주기배가 캐스케이드의 과정에서는 f m과 f 2m은 적당한 크기 변환에 의해 국소적으로 완전히 일치하는 성질을 가진다. 이 자기유사성을 이용한 재규격화라고 불리는 수법에 의해 파이겐바움 상수는 구할 수 있다. 이상과 같은 로지스틱 사상이 주기배가 캐스케이드의 과정에서 보이는 성질은 후술과 같이 더욱 넓은 모임 (집합론)의 사상에서도 보편적으로 나타난다.
어느 매개변수에 대해 궤도가 안정되는 최종적인 움직임을 한눈에 보기 위해서는 근사적인 분기 다이어그램인 궤도 다이어그램이 유용하다. 이 다이어그램에서는 분기 다이어그램과 같이 가로축으로 매개변수 a를 취하고, 세로축으로 변수 x를 취한다. 컴퓨터 등을 사용하고, 매개변수를 정하며, 예를 들면 500회 반복 계산을 행한다. 그리고 계산 결과의 처음 100회를 무시하고 남은 400회의 결과만을 다이어그램에 표시한다. 이에 따라 초기의 과도한 움직임은 무시 가능하고, 궤도의 점근적인 거동이 남는다. 예를 들면 어느 a에 대해 한 점이 표시됐을 때 이는 고정점이고, 어느 a에 대해 m점이 표시됐을 때 이는 m주기 궤도에 상당한다. 로지스틱 사상에 대해 궤도 다이어그램을 그리면 안정적인 주기 궤도를 나타내는 가지가 분열해가는 모습을 볼 수 있고, 이것이 주기배가 분기의 캐스케이드를 나타낸다.
매개변수가 주기배가 캐스케이드의 집적점 a = a∞일 때, 변수 xn은 영원히 닫히지 않는 비주기 궤도로 끌어당겨진다. 바꿔 말하면 a∞에서는 무한 주기의 주기점이 존재한다. 이 비주기 궤도는 파이겐바움 끌개(Feigenbaum attractor)나 임계 2∞ 끌개(Critical 2∞ attractor)라고 불린다. 끌개란 주위의 궤도를 끌어당기는 성질을 가진 영역을 가리키는 용어로, 끌어들여져 최종적으로 계속되는 궤도를 말한다. 여태까지 서술해 온 흡인적인 고정점이나 주기점도 끌개와 비슷하다.
파이겐바움 끌개의 구조는 칸토어 집합이라는 프랙탈 도형과 같은 구조로 되어있다. 파이겐바움 끌개를 구성하는 점은 무한 개이며 게다가 그 농도는 실수와 동일하다. 한편, 구성하는 점의 어느 두 점을 골라도 그 사이에 불안정한 주기점이 반드시 존재하고, 점의 분포는 연속적이지는 않다. 또, 파이겐바움 끌개의 프랙탈 차원은 하우스도르프 차원 혹은 용량 차원으로 대강 0.54임이 알려져 있다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 3.56994… < a < 4의 경우 > 혼돈의 출현

= 3.82의 경우의 로지스틱 사상의 혼돈 궤도. 주황색 사각형이  = 0.1234에서 출발하는 궤도이고, 청록색 동그라미가  = 0.1234 + 10에서 출발하는 궤도이다.
= 0.1234에서 출발하는 궤도와  = 0.1234 + 10에서 출발하는 궤도의 차가 지수 함수적으로 성장하는 모양. 세로축은  =   으로 로그 눈금으로 표시하고 있다.
매개변수 a가 a∞ = 3.56994…를 넘으면 로지스틱 사상은 혼돈이라고 불리는 움직임을 보인다. 혼돈이란 대략적으로 말하면, 로지스틱 사상을 나타내는 차분 방정식처럼 확률적인 모호함이 없고 다음의 상태가 완전히 유일하게 결정됨에도 불구하고 발생하는 복잡하고 불규칙한 움직임을 말한다. 로지스틱 사상의 a > a∞의 범위는 혼돈 영역(Chaotic region)이라고 불린다.
혼돈이 가지는 본질의 한 가지가 나비 효과라는 말로 상징되는 예측 불가능성이다. 이는 혼돈에 의해 초기의 상태의 미세한 차이가 뒤의 상태에 거대한 차이를 가져오는 성질에 기인한다. 이산 역학계에서 말하면 2개의 초기 조건 x0과 ^x0이 아무리 가까운 값이라 해도 시간 n이 어느 정도 진행되면, 각각의 목적지 xn와 ^xn은 현저히 떨어져버린다. 예를 들면 a = 3.95를 사용하고, x0 = 0.1과 ^x0 = 0.1000000001이라는 극히 가까운 2개의 초기 조건으로 각각의 궤도를 계산하면, 그 차는 반복 29회를 넘었을 때부터 그림에서는 확실히 알 정도로 거시적인 차이로 성장한다.
이상과 같은 초기 조건의 민감성(initial condition sensitivity)라 불리는 혼돈의 성질은 랴푸노프 지수(Lyapunov exponent)에 의해 정량적으로 나타난다. 1차원 사상의 경우, 랴푸노프 지수 λ는 다음과 같이 계산 가능하다.
여기서 log는 자연로그를 의미한다. 이 λ는 2개의 궤도의 거리（xn과 ^xn의 거리)가 지수 함수적으로 어느 정도의 속도로 멀어지는가를 의미하는 지표로, λ의 값이 양수라면 초기 조건 민감성을 가진 계임을 의미하고, 0 또는 음수라면 초기 조건 민감성이 없는 것임을 의미한다. 실제로 로지스틱 사상의 λ를 수치적으로 계산하면 a < a∞의 범위에서는 λ는 0 또는 음의 범위로 머물며, a > a∞의 범위에서 λ가 양수를 취하게 되는 것을 확인할 수 있다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 3.56994… < a < 4의 경우 > 띠, 창의 끝

혼돈 영역의 전체로 눈을 옮기면, 혼돈이어도 창이어도 궤도 다이어그램의 세로축의 최댓값과 최솟값(끌개의 상한치와 하한치)은 어느 범위 내로 한정돼있다. 식 (2-1)이 보이듯 로지스틱 사상의 최댓값은 a/4로 주어지고, 이것이 끌개의 상한치로 된다. 끌개의 하한치는 a/4의 점 f (a/4)로 주어진다. 결국, 궤도 다이어그램에서 xn가 움직이는 최댓값과 최솟값은 매개변수 a에 의존해
으로 주어진다. 최종적으로는 a = 4로 궤도는 닫힌구간 [0, 1] 전체에 미친다.
궤도 다이어그램을 관찰하면 점의 분포에 특징적인 밀도가 보인다. 점이 짙은 부분은 변수가 그 주변의 값을 취하는 빈도가 크다는 것을 의미하고, 점이 옅은 부분은 변수가 그 주변의 값을 취하는 빈도가 작다는 것을 의미한다. 이러한 점의 빈도의 차이는 로지스틱 사상의 그래프의 형태에 기인해 생겨난다. 그래프의 맨 꼭대기 a/4 부근이 높은 빈도로 궤도를 끌어들이고, 그곳에서 대응된 곳인 f (a/4) 부근도 높은 빈도로 되며, 그곳에서 대응된 곳인 f 2(a/4) 부근도 높은 빈도로 되고… 라는 식으로 빈도의 분포가 생겨난다. 사상에 의해 생겨난 점의 밀도 분포는 불변 측도(invariant measure)나 분포 함수라고 불리는 양으로 특징지어지며, 끌개의 불변 측도는 초기 조건에 관계 없이 재현성이 있다.
궤도 다이어그램 혼돈 영역의 초기 부근, a가 처음 2주기배가 캐스케이드의 집적점 a∞ = 3.56994…를 조금 넘은 부근을 보면 궤도가 몇 개의 구간으로 나뉘어져 있는 것이 관찰된다. 이와 같이 나뉘어진 작은 영역은 띠(band)라고 불린다. 띠가 복수인 경우, 궤도는 규칙적으로 순번으로 각 띠를 돌며, 게다가 각 띠 내에서 취하는 값은 불규칙적으로 되는 움직임을 보인다. 이러한 혼돈 궤도는 띠 혼돈(band chaos)나 주기적 혼돈(periodic chaos)라고 불리며, k개의 띠에서 생기는 혼돈은 k띠 혼돈 등으로 불린다. 2띠 혼돈이면, 대강 3.590 < a < 3.675의 범위 내에 존재하고 있다.
2띠 혼돈의 좌단 a = 3.590에서 더욱이 값을 작게 하면, 주기배가 분기의 경우와 같이 띠의 수가 2배씩 증가한다. p−1띠 혼돈이 분열해 p띠 혼돈으로 되는 분기점 혹은 p띠 혼돈이 융합해 p−1띠 혼돈으로 되는 분기점을 ep(단 p = 1, 2, 4, …, 2k, …)로 나타낸다고 한다. 그러면 주기배가 분기와 같이 p → ∞에서 ep는 어느 값에 집적한다. 이 집적점 e∞에서 띠의 수는 무한으로 되고, e∞의 값은 a∞의 값과 일치한다.
a∞보다 전에 나타난 주기배가 캐스케이드의 분기점에 대해서도 비슷하게 p안정 주기 궤도가 분기해 p+1안정 주기 궤도로 되는 분기점을 ap(단 p = 1, 2, 4, …, 2k, …)로 나타낸다고 한다. 이때, a2부터 e2까지의 궤도 다이어그램에 주목하면 a1부터 e1까지의 전체 궤도 다이어그램의 축소판이 a2부터 e2까지의 궤도 다이어그램의 안에 두 개 존재한다. 비슷하게 a4부터 e4까지의 궤도 ㅏ이어그램에 주목하면 a1부터 e1까지의 전체 궤도 다이어그램의 축소판이 a4부터 e4까지의 궤도 다이어그램의 안에 네 개 존재한다. 이하도 같게 ap부터 ep까지의 궤도 다이어그램에는 전체 궤도 다이어그램의 축소판이 p개 존재하며, 로지스틱 사상의 분기 구조는 무한한 자기유사 층계를 갖추고 있다.
분기 구조의 자기유사 층계는 창의 안에서도 존재한다. 창의 안의 주기배가 캐스케이드는 2k주기 분기의 캐스케이드와 같은 루트를 탄다. 결국, 창의 안에서 무한 번의 주기배가 분기가 일어나고, 이를 통과하면 움직임은 다시 혼돈으로 된다. 예를 들면 주기 3의 창에서는 a3∞ ≈ 3.8495에서 안정적인 주기 궤도의 캐스케이드가 끝난다. a3∞ ≈ 3.8495를 통과하면 움직임은 3의 배수의 띠 혼돈으로 된다. a가 a3∞에서 증가함에 따라 이 띠 혼돈도 2개씩 융합하고, 창이 끝나는 마지막에는 띠의 수는 세 개로 된다. 이러한 창의 안에 있는 띠의 안에서도 무수히 많은 창이 또 더욱이 존재한다. 결국, 창의 안에서는  1 ≤ a ≤ 4의 궤도 다이어그램 전체의 축소판이 포함돼있는 형태로 되고, 창의 안에서도 분기의 자기유사 층계 구조가 존재한다.
창이 끝나면 광범위의 혼돈으로 돌아온다. 주기 3의 창이면 a ≈ 3.857에서 마지막 3띠 혼돈이 큰 범위의 1띠 혼돈으로 변해 창이 끝난다. 그러나 이 변화는 비연속적으로, 3띠의 혼돈 끌개는 돌연 크기를 변화시키고, 1띠로 변한다. 이와 같이 끌개의 크기가 비연속적으로 변하는 현상은 고비현상(crisis)라고 불린다. 창이 끝나 일어나는 종류의 고비현상은 특히 내부고비현상(interior crisis)라고도 불린다. 창이 끝나 고비현상이 일어날 때, 안정적인 주기 궤도가 궤도 다이어그램에서는 보이지 않는 불안정 주기점과 접촉한다. 이에 따라 주기 궤도가 빠져나올 수 있는 출구가 생기고, 내부고비현상이 발생한다. 내부고비현상 직후에는 어느 시간대에서는 광역 혼돈으로 움직이나, 또 어느 시간대에서는 본래의 띠 혼돈적 움직임도 일으키고, 창의 시작과 같은 일종의 간헐성이 나타난다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > a = 4의 경우

매개변수가 a = 4에 이르면 움직임은 닫힌구간 [0, 1] 전역을 돌아다니는 혼돈으로 된다. 이때, 랴푸노프 지수 λ는 최대로 되고, 가장 혼돈이 강한 상태라고 할 수 있다. a = 4의 로지스틱 사상의 λ는 정확한 값을 구할 수 있고, 그 값은 λ = log 2다. 혼돈의 엄밀한 수학적 정의는 아직 통일돼있지 않으나, 잘 알려져 있는 혼돈의 정의의 하나에 대해 a = 4의 로지스틱 사상은 닫힌구간 [0, 1] 위에서 혼돈적임이 증명 가능하다.
점의 밀도는 불변 측도 ρ (x)도 a = 4의 경우는 다음과 같은 정확한 함수로 얻을 수 있다.
여기서 ρ (x)는 사상을 반복했을 때의 점 xn의 모든 점 수에 대해 점 xn이 미소 구간 [x, x+dx]에 들어가는 점의 수의 비율이 ρ (x)dx로 주어진다는 의미를 가진다. a = 4의 로지스틱 사상의 빈도 분포는 닫힌구간 [0, 1]의 양쪽 사이드 부근에서 밀도가 높고, x = 0.5에서 가장 밀도가 낮은 형태를 하고 있다.
a = 4의 경우, 혼돈 궤도와는 달리 모든 주기의 주기 궤도도 존재한다. 자연수 n에 대해 fa=4n(x)의 그래프는 2n−1개의 극대와 2n−1 − 1개의 극소가 존재하는 곡선으로 되고, 게다가 이 모든 극대와 극소는 0과 1에 접하는 상태로 된다. 따라서 대각선과 그래프의 교점의 수는 2n개 있고, f n(x)의 고정점은 2n개 존재한다. 이 2n개의 고정점에는 n주기점도 반드시 포함되므로 fa=4 n(x)에서는 임의의 n주기 궤도가 존재한다. 이와 같이 a = 4의 경우 닫힌구간 [0, 1] 위에서는 주기점이 무한히 존재하나, 이들 주기점은 모두 불안정하다. 또, 닫힌구간 [0, 1]이라는 비가산 무한의 집합에 대해 이들 주기점의 수는 가산 무한이고, 거의 모든 초기 조건에서 시작되는 궤도는 주기 궤도로는 되지 않고 비주기 궤도로 된다.
혼돈의 중요성의 하나로 결정론적 성질과 확률론적 성질의 이중성이 있다. 역학계는 결정론적인 과정이지만, 변수가 취하는 범위를 적당히 조망화(coarse graining)하면 확률적인 과정과 구별이 가능하게 된다. a = 4의 로지스틱 사상의 경우면 모든 동전 던지기의 결과를 로지스틱 사상의 궤도로 기술 가능하다. 이를 상술하면 다음과 같다.
⁠1/2⁠의 확률로 앞뒤가 나오는 동전 던지기를 가정하고, 몇 번이고 동전 던지기를 계속한다. 앞면이 나올 때를 0, 뒷면이 나올 때를 1이라 하면 앞, 뒤, 앞, 앞, 뒤hellip;라는 결과는 01001…과 같이 기호열로 된다. 한편, 로지스틱 사상의 궤도 x0, x1, x2,…에 대해서 x = 0.5 이하의 것은 0으로, x = 0.5을 넘는 것은 1로 변환해 궤도를 0과 1에서 생기는 기호열로 치환한다. 예를 들어 초기 조건 x0 = 0.2으로 하면 x1 = 0.64, x2 = 0.9216, x3 = 0.28901, …로 되므로 궤도는 0110…이라는 기호열로 된다. 전자의 동전 던지기에 의한 기호열을 SC라 하고, 후자의 로지스틱 사상에 의한 기호열을 SL로 한다. 기호열 SC에서는 랜덤한 동전 던지기에서 기호를 정한 것으로 모든 패턴의 수열이 생겨날 수 있다. 따라서 로지스틱 사상에 의한 기호열 SL이 어떤 것이라 해도 SC의 안에 동일한 것이 존재한다. 그리고 이 역이 성립한다. 즉, 어떠한 SC의 기호열이어도, 초기 조건을 적절히 고르기만 하면 로지스틱 사상의 궤도 SL에 의해 실현 가능하다. 즉, 임의의 SC에 대해 SC = SL로 되는 x0이 닫힌구간 [0, 1] 안에 그저 한 점 존재한다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > a > 4의 경우

매개변수 a가 4를 넘으면 로지스틱 사상의 그래프의 꼭짓점 a/4는 1을 넘는다. 그래프가 1을 돌파한 범위에서 궤도는 닫힌구간 [0, 1]을 바져나오게 된다. 그 결과, 닫힌구간 [0, 1]의 거의 모든 점에서 출발하는 궤도는 어느 시점에서 닫힌구간 [0, 1]을 빠져나오고, 최종적으로 마이너스 무한대로 발산한다.
이 a = 4에서 일어나는 분기도 고비현상의 일종으로, 특히 경계 고비현상 혹은 경계 분기점(boundary crisis)이라고 불린다. 이 경우의 경계 고비현상에서는 닫힌구간 [0, 1]에 있던 끌개가 불안정화·붕괴하고, 게다가 바깥쪽에 끌개도 존재하지 않기에 궤도가 무한히 멀리 발산한다.
한편, a > 4의 조건 하에서도 닫힌구간 [0, 1]의 안에 계속 머무르는 궤도가 있다. 알기 쉬운 예시는 닫힌구간 [0, 1] 안의 고정점이나 주기점으로, 이들은 닫힌구간 [0, 1]의 안에서 계속 머무른다. 그러나 닫힌구간 [0, 1]의 안에서 계속 머무르는 궤도에는 고정점이나 주기점 이외의 궤도도 존재한다.
f (x) > 1을 만족하는 x의 구간을 A0으로 한다. 위와 같이 변수 xn이 A0으로 일단 들어가면 마이너스 무한대로 발산한다. 사상을 1회 적용하면 A0으로 대응하는 x도 닫힌구간 [0, 1]의 안에 존재한다. 이 x의 구간은 두 개로 나뉘고 이들을 묶어서 A1로 한다. 비슷하게 사상을 1회 적용하면 A1으로 대응하는 구간도 네 개 존재하고, 이들을 A2로 한다. 이하도 같게 n회 반복으로 A0에 이르는 구간 An이 2n개 존재한다. 따라서 다음과 같이 닫힌구간 [0, 1]에서 An을 무한 번 제거한 구간 Λ가 I의 안에 계속 머무르는 궤도의 모임이다.
닫힌구간 [0, 1]에서 An을 제거하는 작업은 상술한 칸토어 집합의 구성 과정과 비슷하고, 실제로 Λ는 칸토어 집합(닫힌 완전 분리로 닫힌구간 [0, 1]의 완전 부분집합)의 형태로 닫힌구간 [0, 1]의 안에 존재한다. 그리고 더욱이 Λ 위에 로지스틱 사상 fa>4는 혼돈적이다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > a < 0의 경우

로지스틱 사상은 생태학 상의 모델로 연구된 경위도 있고, 매개변수 a가 음수일 경우에 대해 논의된 수는 적다. a를 0부터 감소시키면 −1 < a < 0에서는 xf = 0의 안정적인 고정점에 점근하지만, a = −1을 넘은 때부터 2주기점으로 분기하고, 양수일 때와 같이 주기배가 분기를 거쳐 혼돈에 이른다. 최종적으로는 a = −2를 밑돌고 플러스 무한대로 발산하게 된다.
움직임, 매개변수 a에 의한 변화 > 특별한 경우의 엄밀해

매개변수 a가 특정 로지스틱 사상에 대해서는 시각 n과 초기 조건 x0을 양으로 포함하는 엄밀해가 이하와 같이 얻을 수 있다.
이상 세 개의 엄밀해를 고찰하면 어느 해도
라는 형태로 된다. 여기서 f는 어떤 적절한 함수, f −1은 그 역함수를 의미한다. a = 4에서는 f (x) = cos x, a = 2에서는 f (x) = e x, a = −2에서는 f (x) = 2 cos (⁠1/3⁠(π − √3 x))이다. 단, 임의의 a에 대해서 일반적으로 로지스틱 사상의 엄밀해를 나타내는 것이 가능한 수학적으로 표준적인 함수의 f는 존재하지 않는다.
보편성 > 같은 종류의 움직임을 보이는 사상의 모임

로지스틱 사상에서 나타난 위와 같은 분기의 패턴은 로지스틱 사상에 한정되지 않는다. 어느 조건을 만족한 사상에서 이 분기 패턴이 공통해서 나타난다. 다음의 사인 함수를 사용한 역학계는 그 일례이다.
여기서 정의역은 0 ≤ b ≤ 1 동시에 0 ≤ x ≤ 1으로 한다. 이 사인 함수 (4-1)은 로지스틱 사상 (1-2)와 정성적으로 동일한 움직임을 일으킨다. 즉, 이 사상에서도 로지스틱 사상과 같이 매개변수 b의 증가와 함께 주기배가 루트를 거쳐 혼돈으로 되고, 더욱이 혼돈 영역에서는 창이 비슷하게 존재한다.
로지스틱 사상도 사인 함수도 닫힌구간 [0, 1]을 닫힌구간 [0, 1]에 대응하는 1차원 사상으로, 단봉(unimodal)이라고 불리는 다음의 성질을 만족한다.
f (0) = f (1) = 0을 만족한다.
사상은 미분가능하고, 닫힌구간 [0, 1] 안에 f ′(c) = 0을 만족하는 임계점 c가 하나 존재한다.
일반적으로 한 매개변수·한 변수가 있는 1차원 사상이 단봉으로 꼭짓점 부근을 2차의 다항식으로 근사한 곡선이면, 구체적인 사상의 형태에 의존하지 않고, 매개변수 범위 3 ≤ a ≤ 3.56994…에서 본 무한의 주기배가 캐스케이드의 분기가 일어나고, 더욱이 식 (3-13)에서 정의된 비율 δ는 파이겐바움 상수 4.669…에 일치한다.
또, 로지스틱 사상에서 나타난 안정 주기 궤도의 출현 패턴에도 보편성이 있다. 매개변수를 c로 하고, xn+1 = cf(xn)에서 나타나는 단봉형 사상에서는 2개의 고정점과 불안정한 어느 매개변수 구간에서 다양한 주기의 안정 주기 궤도가 계속 출현하고, 그 출현 패턴(어느 주기의 안정 주기 궤도의 출현 횟수와 출현 순서)는 공통임이 알려져 있다. 즉, 이 종류의 사상이면 사상의 구체적인 형태에 따르지 않고 안정 주기 궤도의 계열은 같게 된다. 로지스틱 사상의 경우는 3 < a < 4가 그 매개변수 구간이었으나, 사인 함수 (4-1)에서는 0.71… < b < 1이 공통하는 안정 주기 궤도의 계열이 일어나는 매개수 구간이다. 이 보편성이 있는 안정 주기 궤도의 계열은 U계열(U sequence)이라고 불린다.
게다가 로지스틱 사상은 닫힌구간 [0, 1] 위에서 슈바르치안이 항상 음수라는 성질을 가진다. 어느 （C 3급의） 사상 f의 슈바르치안은
로 정의되는 함수이다. 실제로 로지스틱 사상의 슈바르치안을 계산하면
으로 되고, a 및 x의 값에 따르지 않고 슈바르치안은 음수로 된다. 닫힌구간 [0, 1]을 닫힌구간 [0, 1]로 대응하는 1차원 사상이 단봉으로 음의 슈바르치안을 가지면 존재하는 안정 주기 궤도는 많아도 1개라는 성질이 알려져 있다.
보편성 > 위상 공액인 사상

기호 ∘으로 사상의 합성을 나타낸다고 한다. 일반적으로 위상 공간 X, Y에 대해 두 개의 사상 f : X → X와 g : Y → Y가 위상동형사상 h : X → Y에 의해
라는 관계를 가질 때, f와 g는 위상 공액(phase conjugation)라고 한다. 위상 공액인 f와 g는 본질적으로 동일한 움직임을 보이고, f의 움직임이 주기적이면 g도 주기적이며, f의 움직임이 혼돈적이면 g도 혼돈적이다.
특히 위상동형사상 h가 선형이면 f와 g는 선형 공액(linearly conjugation)이라고 한다. 모든 이차 함수는 다른 모든 이차 함수와 선형 공액이다. 따라서
등은 임의의 매개변수 a의 로지스틱 사상과 선형 공액이다. 식 (4-6)이나 식 (4-7)의 형태도 로지스틱 사상이라고 불리기도 한다. 특히 식 (4-7)의 형태라면 계산량이 줄기에 장시간을 필요로 하는 수치 계산에 편리하다.
또 a = 4의 로지스틱 사상 fa=4는 다음의 텐트 사상(tent map) T (x)나 베르누이 시프트 사상(Bernoulli shift map) B (x)과 위상 공액인 관계이다.
로지스틱 사상 fa=4가 엄밀히 혼돈적임의 증명이나, fa=4의 엄밀해 (3-19)의 도출에 이들의 위상 공액의 관계를 이용할 수 있다.
혹은 기호역학계(symbolic dynamical systems)의 사고방식을 도입해 위에서 도입했듯 0과 1의 열에서 생기는 기호열 공간 상에서 정의되는 다음과 같은 시프트 사상 σ를 생각한다고 한다.
여기서 si는 0 또는 1이다. 식 (3-18)에서 도입한 집합 Λ 위에서 로지스틱 사상 fa>4는 시프트 사상과 위상 공액이므로 이를 이용해 Λ 위의 fa>4가 혼돈적임을 이끌어낼 수 있다.
생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상 > 이산형 개체군 모델

로지스틱 사상은 영국의 수리생물학자 로버트 메이(Robert McCredie May)의 연구를 발단으로 생물의 개체수의 변화를 생각하는 식으로 세상에 널리 알려졌다. 이러한 생물 개체수로의 로지스틱 사상에서는 변수 xn은 어느 환경 안에서 서식하는 생물의 개체수(보다 전문적으로는 개체군 사이즈)를 의미한다. 더욱이 개체가 그 환경에서 나오거나 외부의 개체가 환경으로 들어오거나 하지 않는 경우(혹은 이출입이 있어도 실질적인 영향이 없는 경우)를 가정하고, 이러한 상황에서의 개체수의 증감을 생각하는 수리 모델이 수리생물학 상의 로지스티컬 사상이다.
생물의 개체수의 증식을 생각하는 수리 모델에는 차분 방정식을 사용한 이산적인 시간의 모델과 미분방정식을 사용한 연속적인 시간의 모델의 두 종류가 있다. 예를 들면 알을 낳으면 바로 죽는 종류의 곤충으로는 그 곤충의 개체수는 1세대째의 개체수, 2세대째의 개체수…라는 식으로 각 세대마다로 셀 수 있다. 이와 같은 예시는 전자의 이산 시간 모델로 적합하다. 한편, 각 세대가 연속적으로 서로 겹치는 경우는 연속 시간 모델과 친화성이 있다. 로지스틱 사상은 이러한 이산형 혹은 세대 분산형의 개체군 모델에 상당한다.
어느 환경 안의 단일종 생물의 개체수를 N으로 나타낸다고 한다. 가장 단순한 개체수의 증식의 방법으로 개체수에 대해 항상 일정한 비율로 계속 증가하는 모델을 생각할 수 있다. 그러한 개체수 증가 모델은 맬서스 성장 모델이라고 불리며, 다음과 같은 형태로 나타난다.
여기서 Nn은 n세대째의 개체수를 의미하고, α는 개체수의 증식률로 양의 정수이다. 그러나 모델 (5-1)에서는 개체수가 무진장으로 계속 늘어나며 대부분의 실현상에 대해 비현실적인 모델이라 할 수 있다. 어느 환경이 길러낼 수 있는 개체수에는 한도가 있으므로 개체수 Nn이 증가하면 증식률 α는 저하하는 것이 자연스럽다고 여겨진다. 이와 같이 개체수 밀도의 변화에 따라 증식률이 변화하는 것을 밀도의존성이라고 부른다. 밀도의존성을 모델 (5-1)에 반영한 개량 모델로 가장 단순한 것으로 해 다음과 같은 차분 방정식이 생각된다.
여기서 a는 그 환경 안에서 가능한 최대증식률을 의미하고, b는 밀도의존성의 영향의 강도를 의미한다. 모델 (5-2)는 증식률이 개체수에 단순히 비례해 낮아지는 것으로 가정한다. 식 (5-2)의 Nn을
으로 변수 변환하면 이하의 로지스틱 사상이 도출된다.
생물의 개체수로 식 (5-2) 혹은 식 (5-4)를 다룰 때에는 Nn 혹은 xn이 음수로 되면 개체수로의 의미를 하지 않게 된다. 그렇게 되지 않기 위해 초기 조건 x0에 대해 0 ≤ x0 ≤ 1이라는 조건이 매개변수 a에 대해 0 ≤ a ≤ 4라는 조건이 요구된다.
외에는 가정하고 있는 환경이 길러낼 수 있는 최대 개체수 K를 가정하고, 이를 사용해
라는 형태로 밀도의존성을 이용한 차분 방정식을 생각하고, xn = Nn/K로 변수 변환해 로지스틱 사상을 이끌어내는 것도 있다. 이 경우, 변수 xn은 최대 개체수 K에 대한 개체수 Nn의 비율을 의미한다.
생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상 > 로지스틱 방정식의 이산화

로지스틱 사상은 연속 시간형의 개체군 모델인 로지스틱 방정식의 이산화로부터도 도출 가능하다. 로지스틱 사상의 이름도 로버트 메이가 로지스틱 방정식의 이산화에서 로지스틱 사상을 도입한 것에서 유래한다. 로지스틱 방정식이란 다음과 같은 생물 개체수의 시간 변화를 나타내는 상미분 방정식이다.
여기서 N은 생물 개체수나 개체수 밀도, t는 연속적인 시간, K와 r가 매개변수이다. K는 환경용량, r는 생물 번식 능력이라고도 불리고, 보통은 양수를 취한다. 이 식의 좌변 ⁠dN/dt⁠은 시각 t의 개체군 사이즈의 변화 속도를 의미한다.
로지스틱 방정식 (5-6)은 로지스틱 사상 (5-4)와 비슷해보이나, 해의 움직임은 로지스틱 사상과는 크게 다르다. 초기 조건 N0이 양수인 한, 로지스틱 방정식의 개체수 N은 항상 단조롭게 K로 수렴할 뿐이다.
이 로지스틱 방정식에 1계 상미분 방정식의 수치 해석적 방법의 하나인 오일러 방법에 의한 차분화 근사를 실행하는 것에 따라 로지스틱 사상을 도출 가능하다. 오일러 방법의 차분화 근사란 적당한 시간 간격 Δt를 도입하고, 증식률 ⁠dN/dt⁠을 이하와 같이 근사하는 것이다.
이 근사의 결과, 다음의 로지스틱 사상을 이끌어낼 수 있다.
단, 이 식의 xn과 a는 전의 매개변수, 변수, 시간 간격으로 다음과 같은 관계를 가진다.
Δt가 충분히 작다면 식 (5-8)은 전의 식 (5-6)의 유효한 근사로 작동하고, Δt → 0에서는 전의 식의 해와 일치한다. 한편, Δt가 크면 전의 식의 해에서 벗어난다. 또, 식 (5-10)의 관계에서 Δt를 크게 하는 것은 매개변수 a를 크게 하는 것에 상당한다. 따라서, Δt를 크게 할 수록, 전의 방정식과의 오차를 단순히 크게하는 것 뿐만 아니라 해에 혼돈적 움직임을 만들어내는 것으로 된다.
생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상 > 자리매김

위와 같이, 생물의 개체군 동태론 상에서는 로지스틱 사상은 이산형 증식 과정의 모델의 하나이다. 단, 생물의 개체수의 모델로의 로지스틱 사상은 물리학의 법칙 등과는 달리, 직접적인 실험 결과나 보편적으로 성립하는 원리에서 이끌어내진 것은 아니다. 도출 과정의 사고방식에 어느 정도의 합리성은 있으나, 기본적으로는 머릿속에서 생각된 '모델'에 그친다. 로지스틱 사상을 저명하게 한 메이 또한, 논하고 있는 모델이 개체수의 증감을 정확히 표현하고 있다고 주장하고 있는 것은 아니다. 생물 개체군 역학계의 연구 상에서도 역사적으로 다용돼온 것은 미분 방정식에 의한 연속 시간 모델이고, 이들 연속 시간 모델의 적용에 따라 생물 개체군 역학계의 이해를 깊이 해왔다. 밀도의존성을 고려한 이산 시간 개체군 모델로도 개체수가 음수로 되지 않는 리커 모델(Ricker model) 쪽이 더욱 현실적이라 할 수 있다.
일반적으로 말할 수 있는 것으로, 수리 모델은 개체군 역학계에 관한 중요한 정성적 정보를 제공해주는 것도 있지만, 실험적인 뒷받침이 없다면 수리 모델에서 나오는 결과를 너무 진지하게 받아들이면 안 된다. 수리 모델의 결론이 생물학적 연구 결과로부터 벗어나는 경우가 있어도, 더욱이 수리 모델에 의한 연구가 의미가 있는 것은 유용한 대조로 될 수 있기 때문이다. 모델의 구성 과정이나 설정 혹은 모델이 전제로 한 생물학적 식견이나 가설을 재점검하는 것에 따라 생물학적 논점을 제시할 수 있는 가능성이 있다. 생물 개체수 모델로의 로지스틱 사상은 너무 단순해 현실적이지는 않으나, 로지스틱 사상이 보이는 결과는 환경으로부터의 불규칙적인 영향 등에 무관계하게 개체군 그 자체에 내재하는 역학계에 의해 개체수의 다양한 변동이 일어날 수 있는 가능성을 암시한다.
응용 > 결합 사상계

1 변수의 로지스틱 사상은 계로의 자유도 혹은 차원은 1이다. 한편 실제 자연계에서는 시간적으로 흐트러질 뿐만 아니라 다수의 공간 자유도를 가지고 공간적으로도 흐트러지는 다자유도의 혼돈이 많다고 추정된다. 혹은 혼돈적 운동을 행하는 진동자의 동기화 현상도 연구 대상이다. 이러한 것을 조사하기 위해 차분 방정식(사상)을 여러 번 결합시킨 결합 사상(coupled map)의 수법이 있다. 결합 사상 모델 연구의 제재로 로지스틱 사상이 종종 채용된다. 그 이유로는 로지스틱 사상 자체는 이미 혼돈의 전형적 모델로 잘 알려져 있고, 그 조사의 축적이 있음을 들 수 있다.
결함 사상 모델에서의 구체적인 결합의 방법으로는 다양한 수법이 존재한다. 전부 N개의 사상이 결합하고, 틀:수학 사상번째의 사상의 시각 n의 상태가 xn(i)로 나타낸다고 한다. 대국적 결합 사상(globally coupled map)이라고 불리는 수법에서는 xn+1(i)를 다음과 같이 정식화한다.
결합 진동자의 연구의 흐름에서는 다음과 같이 변수의 차분에서 진동자 두 개 x와 y를 결합시킨 가장 간단한 다음의 모델 등을 들 수 있다.
이들의 식 안의 f (x)가 결합 사상 모델에 집어넣는 구체적인 사상이고, 로지스틱 사상이 사용되는 경우는 여기에서 적용된다.
식 (6-1) 및 (6-2) 안의 ε이나 D는 결합 계수(coupling coefficient) 등으로 불리는 사상끼리의 결합의 세기를 의미하는 매개변수이다. 한편, 로지스틱 사상을 결합 사상 모델에 집어넣는 경우, 로지스틱 사상의 매개변수 a는 모델의 비선형성의 세기를 의미한다. a의 값과 ε 또는 D의 값을 변화시키는 것으로 로지스틱 사상의 결합 사상계에서는 다양한 현상이 나타난다. 예를 들면 모델 (6-2)에서는 D를 어떤 값 Dc 이상으로 크게 하면 x와 y는 동기화하면서 혼돈 진동을 일으킨다. Dc 미만에서도 항상 제각기 다른 혼돈 진동이 일어날 뿐만이 아니다. D가 있는 범위일 때는 a = 4임에도 불구하고 x와 y는 2주기 진동을 일으킨다. a = 3.8에서는 동기화 상태와 비동기화 상태가 교대로 계속 일어나는 움직임도 보인다.
대자유도의 대국적 결합 사상 (6-1)에 로지스틱 사상을 적용한 연구에서는 혼돈적 순회 혹은 혼돈적 편력(chaotic itinerancy)이라고 불리는 현상도 발견됐다. 이는 몇 개의 군집(cluster)으로 모여 진동하는 질서적인 상태에서 흐트러진 상태로 되고, 다시 다른 군집 상태로 되고, 또다시 흐트러진 상태로 되고…라는 움직임을 반복하는 현상으로, 위상 공간 상에서 끌개의 잔해(the remains of an attractor)라고 불리는 영역을 궤도가 돌아다니는 것에서 일어난다고 추정된다.
응용 > 유사난수 생성기

컴퓨터 시뮬레이션이나 정보 보안 분야에서는 계산기로 유사난수를 작성하는 것이 중요한 기술의 하나로, 유사난수를 만드는 수법의 하나로 혼돈의 활용이 생각된다. 혼돈으로부터의 유사난수 생성기로 충분한 성질을 가진 것은 아직 실현되지 않았으나, 여태 몇 가지의 수법이 제안돼왔다. 로지스틱 사상에 대해서도 여태 혼돈에 기반한 유사난수 생성기의 가능성이 여러 연구자들에 의해 연구돼왔다.
로지스틱 사상의 유사난수 생성에는 매개변수 a = 4가 잘 이용되고 있다. 역사적으로도 후술과 같이 전자 계산기의 탄생으로부터 곧 1947년에 스타니스와프 울람과 존 폰 노이만도 a = 4의 로지스틱 사상을 사용한 유사난수 생성기의 가능성을 지적했다. 그러나 로지스틱 사상 fa=4의 점의 분포는 식 (3-17)에서 나타나는 분포로 돼있고, 나오는 수치가 0과 1 가까이로 치우친다. 이로 인해 치우치지 않는 균일난수를 얻기 위해서는 어떠한 처리를 필요로 한다. 그 방법으로는
얻은 수치를 텐트 사상 (4-8)과의 관계를 이용해 균일분포로 변환하는 방법
얻은 수치를 상술한 동전 던지기의 비유와 같이 역치(threshold)를 사용해 0이나 1로 변환하고, 이를 반복해서 균일난수의 비트열을 얻는 방법
등이 있다. 또, 로지스틱 사상에서 얻은 수열의 xn과 xn+1은 강한 상관 관계를 지니고 있고, 유사난수의 수열로는 문제가 있다. 이를 해소하는 방법 중 하나는 사상 1회 적용마다의 수열 x0, x1, x2, …를 만드는 것이 아닌 적당한 τ > 1회 반복마다 수열 x0, xτ, x2τ, …를 만들 필요가 있다. 예를 들면 가장 좋은 방법에 대해서는 τ > 10 또는 τ > 13이고, 두 번째로 좋은 방법은 τ > 16으로 양호한 유사난수를 얻을 수 있다고 여겨진다.
컴퓨터를 사용해 디지털로 혼돈을 계산하는 일반적 문제로 컴퓨터에서는 유한 계산 정밀도로 계산하기 때문에 혼돈 본래의 진정으로 비주기적인 수열을 원리적으로 얻을 수 없고, 대신 유한 주기열이 출력된다는 문제점이 있다. 원리적으로 비주기열을 얻을 수 없는 경우여도 유사난수 생성을 위해서는 가능한 한 긴 주기의 수열이 바람직하다. 그러나 단정밀도 부동소수점 수(single-precision floating-point) 계산에서 로지스틱 사상 fa=4가 실제로 출력하는 수열의 주기성을 조사한 결과에 따르면 할당된 비트수에서 가능한 최대 주기에 비해 실제로 출력되는 수열의 주기는 매우 작게 되는 것이 보고됐고, 이 관점에서 메르센 트위스터와 같은 기존의 유사난수 생성기에 비해 로지스틱 사상에 의한 유사난수 생성은 뒤떨어진다고 지적됐다. 또, 로지스틱 사상 fa=4에서는 계산 도중에 수치가 고정점 0으로 떨어지고, 그대로 일정하게 유지될 위험도 있다. 한편, 로지스틱 사상에서는 열린구간 (0, 1)의 안에서 항상 값을 취하므로 부동소수점 뿐만 아니라 고정소수점에서도 문제 없이 계산 가능하고, 고정소수점 계산의 이점을 누릴 수 있다. 고정소수점이면 같은 비트수로 비교해 부동소수점보다 긴 주기의 수열로 되는 것이나 의도하지 않은 0으로의 수렴이 없어진다는 것이 지적되고 있다.