대수적으로 닫힌 체
정의

체  K에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다.
다항식환  K[t]의 임의의 원소  p(t)\in K[t]에 대하여,  p(t_{0})=0인  t_{0}\in K가 항상 적어도 하나가 존재한다.
K[x]의 기약 다항식이 모두 일차식이다.
K의 대수적 확대가  K 자신밖에 존재하지 않는다.
임의의  K^{n}에 대해,  K^{n}\to K^{n}인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성 다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)
체  K의 대수적 폐포(代數的閉包, 영어: algebraic closure)  {\bar {K}}는  K를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대  {\bar {K}}/K이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체  K의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적(영어: canonical)이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다.
증명 (존재, 초른 보조정리를 통한 증명):
대수적 폐포의 존재는 초른 보조정리를 사용하여 보일 수 있다. 임의의 체  K가 주어졌다고 하자. 집합론적 문제를 피하기 위해,
인 집합  X를 잡고,  \operatorname {AlgExt} (X;K)가 다음 조건들을 만족시키는 대수적 확대  L/K들의 집합이라고 하자.
K\subseteq L\subseteq X
체의 매장  K\hookrightarrow L은 포함 함수로 주어진다.
이제,  L/K,L'/K\in \operatorname {AlgExt} (X;K)에 대하여, 만약 포함 함수  L\to L'이 체의 매장이라면,  L\leq L'이라고 정의하자. 그렇다면  \operatorname {AlgExt} (X;K)는 이 이항 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬  (L_{i})_{i\in I}에 대하여,
는 체를 이루며,  K의 대수적 확대이며, 사슬  (L_{i})_{i\in I}의 상계를 이룬다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소  {\bar {K}}/K가 존재한다.  {\bar {K}}는 그 정의에 따라  K의 대수적 확대를 이룬다.  L/{\bar {K}}가 대수적 확대이며, 편의상 체의 매장  {\bar {K}}\hookrightarrow L이 포함 함수로 주어진다고 가정하자. 그렇다면,
이다. (왜냐하면, 임의의 대수적 원소에 최소 다항식을 대응시킬 수 있고, 같은 다항식에 대응하는 원소의 수는 다항식의 차수를 넘지 않기 때문이다.) 따라서,
이다. (마지막 등식은  |{\bar {K}}|<|X|=\max\{|X\setminus {\bar {K}}|,|{\bar {K}}|\} 때문이다.) 이에 따라, 체의 확대의 동형
이 존재하는  {\tilde {L}}/K\in \operatorname {AlgExt} (X;K)가 존재한다. 그렇다면,  {\tilde {L}}/{\bar {K}}는 대수적 확대이며, 체의 매장  {\bar {K}}\hookrightarrow L은 (포함 함수  {\bar {K}}\hookrightarrow L과  {\bar {K}}의 확대의 동형  L/{\bar {K}}\xrightarrow {\cong } {\tilde {L}}/{\bar {K}}의 합성이므로) 포함 함수이다. 즉,  {\bar {K}}\leq {\tilde {L}}이다.  {\bar {K}}는 극대 원소이므로,  {\tilde {L}}={\bar {K}}이며, 따라서  L={\bar {K}}이다. 즉,  {\bar {K}}는 대수적으로 닫힌 체이며,  K의 대수적 폐포를 이룬다.
증명 (존재, 환론적 증명):
만약  L/K가 대수적 확대이며,  K[x] 속 모든 다항식이  L 속에서 근을 갖는다면,  L은  K의 대수적 폐포이다. 실제로, 만약  M/L이 대수적 확대라면,  M/K 역시 대수적 확대이다. 따라서,  M의 임의의 원소는  K[x] 속 어떤 다항식의 근이며, 가정에 따라  L에 속한다.
대수적 폐포는 다항식의 근을 주어진 체에 거듭 추가하여 구성할 수 있다. 임의의 체  K 및 기약 다항식  p\in K[x]에 대하여, 몫환
는 체이며, 환 준동형
은 체의 확대를 이룬다. 또한,  x\in K[x]의 상은  p의 상의 근이며, 체를 생성한다.
이제, 무한 개의  K-대수의 텐서곱
을 생각하자. 이는 유한 개의  K-대수의 텐서곱들의 귀납적 극한으로 주어지며, 여기에 사용된  K-대수 준동형들은 다음과 같다.
자연스러운  K-대수 준동형
들이 존재하며, 그 상들은 무한 텐서곱을 생성한다.  B_{p}=\{1,\alpha _{p},\dots ,\alpha _{p}^{\deg p-1}\}가  K-대수  K[x]/(p(x))의 기저라고 하자. 그렇다면, 무한 텐서곱은 다음과 같은 기저를 갖는다.
특히,  K[x]/(p(x))\neq 0이므로, 무한 텐서곱은 0이 아니다. 선택 공리에 따라, 무한 텐서곱의 극대 아이디얼  {\mathfrak {m}}이 존재한다. 이 경우,
는 체를 이루며, 자연스러운 체의 확대  K[x]/(p(x))\hookrightarrow {\bar {K}}들이 존재하며, 그 상들은 체  {\bar {K}}를 생성한다. 두 체의 확대의 합성
로 주어지는 체의 확대는  p의 선택과 무관하게 같다. 두 체의 확대가 대수적 확대이므로,  {\bar {K}}/K도 대수적 확대이다. 임의의 기약 다항식  p\in K[x]는  K[x]/(p(x))에서 근을 가지므로,  {\bar {K}}에서 근을 갖는다. 즉,  {\bar {K}}는 대수적으로 닫힌 체이며,  K의 대수적 폐포이다.
증명 (유일성):
같은 체의 두 대수적 폐포
가 주어졌다고 하자.  \operatorname {PartIsom} ({\bar {K}}/K,{\bar {K}}'/K)가 다음과 같은 데이터로 이루어진 순서쌍  (L,\iota )들의 집합이라고 하자.
L/K는  {\bar {K}}/K의 부분 확대이다.
\iota \colon L/K\to {\bar {K}}'/K는 체의 확대의 매장(즉,  K-대수 준동형)이다.
이제,  (L,\iota ),(L',\iota ')\in \operatorname {PartIsom} ({\bar {K}}/K,{\bar {K}}'/K)에 대하여, 만약
인 체의 확대의 매장  \iota _{LL'}\colon L/K\hookrightarrow L'/K가 존재한다면,  (L,\iota )\leq (L',\iota ')이라고 정의하자. 그렇다면,  \operatorname {PartIsom} ({\bar {K}}/K,{\bar {K}}'/K)는 부분 순서 집합을 이룬다. 임의의 사슬  ((L_{i},\iota _{i}))_{i\in I}에 대하여, 이러한 체의 확대의 매장
들을 고르면, 귀납적 극한
을 정의할 수 있다. (체의 확대의 매장을 포함 함수로 여기는 경우, 이는 단순히 사슬에 속하는 체들의 합집합이다.) 체의 확대의 매장  \iota _{i}\colon L_{i}/K\hookrightarrow {\bar {K}}'/K들은  \iota \circ \phi _{i}=\iota _{i}인  L의 매장  \iota \colon L/K\to {\bar {K}}'/K을 유도한다.  \leq 의 정의에 따라  (L_{i},\iota _{i})\leq (L,\iota )이다. 즉,  (L,\iota )는 사슬의 상계이다. 초른 보조정리에 따라, 극대 원소  (L,\iota )가 존재한다. 이제, 다음 두 가지를 보이면 충분하다.
L={\bar {K}}
만약  \alpha \in {\bar {K}}\setminus L이라면,  \alpha 의 최소 다항식  p_{a}\in K[x]는  {\bar {K}}'에서도 근  \alpha '\in {\bar {K}}'을 갖는다. 따라서,  \iota \colon L/K\hookrightarrow {\bar {K}}'/K를 확장하는,  \alpha \mapsto \alpha '인 유일한 매장  L(\alpha )/K\hookrightarrow {\bar {K}}'/K가 존재한다. 그런데  (L,\iota )가 극대 원소이므로, 이는 불가능하다.
\iota ({\bar {K}})={\bar {K}}'
{\bar {K}}가 대수적으로 닫힌 체이므로,  \iota ({\bar {K}})도 대수적으로 닫힌 체이다.  {\bar {K}}'/K가 대수적 확대이므로,  {\bar {K}}'/\iota ({\bar {K}})도 대수적 확대이다. 따라서,  \iota ({\bar {K}})={\bar {K}}'이다.