stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
자동차 산업
국제동향

세계의 자동차공업은 1983년 이후 유가안정가 경기회복에 힘입어 제1·2차 에너지파동과 경기침체로 인한 불황을 벗어나 안정적인 생산·수요증가세를 보였으나 1980년대 말 경제성장세의 둔화에 따른 내구소비재 수요의 둔화와 그간의 판매호조로 선진국의 자동차 수요가 포화상태에 도달함에 따라 그 증가세가 둔화되고 있다.
세계의 자동차 생산은 1989년 4,955만대로 1985년 이후 연평균 2.6%의 신장세를 나타내 1980∼1985년 중의 연평균 생산증가율 3.1%에 비해서 다소 둔화되었다. 국가별로는 일본이 무역마찰회피를 위한 현지생산확대에도 불구하고 엔고(高)에 대응한 국내수요 확대정책에 힘입어 내수가 호조를 유지함에 따라 세계 최대생산국으로서의 지위를 점하고 있다. 미국은 국내 자동차 수요의 회복으로 생산이 1984∼1988년간은 증가세를 보였으나 1989년에는 경제성장의 둔화와 가동차 경기의 하강국면 진입으로 감소추세를 보인 가운데 빅3(포드·GM·크라이슬러)의 생산은 둔화된 반면에 일본 자동차 업계의 미국 현지공장에서의 생산은 증가세를 보였다. 서유럽국가들의 자동차 생산은 1983년 이후의 경기호조가 지속됨에 따라 증가세를 유지하고 있다. 국가별로는 중·대형차 등 고급차 부문에서 비교우위를 확보하고 있는 서독이 제1위의 위치를 고수하고 있는 가운데 부가가치세 인하와 실질경제성장율의 상승으로 구매력이 증대된 프랑스와 이탈리아의 생산증가률이 상대적으로 높고 에스파냐가 저임금을 활용하기 위한 외국기업들의 투자진출로 세계 제7위의 자동차 생산국으로 부상하였다. 1970년대 후반 이후 생산의 부진을 보이고 있던 영국도 일본업체의 현지생산확대에 힘입어 외형적으로는 증가세를 나타냈다. 세계의 자동차 수요는 1980년대 중반의 판매호조현상이 둔화되면서 1980년대 후반에는 연평균 2%의 완만한 증가세를 보였다. 국가별로는 미국시장이 1988년 이후 경제성장둔화에 따른 민간소비지출의 감퇴로 수요감소현상을 보인 반면에 일본은 경기호조에 따른 복수구입 수요의 증가에 힘입어 지속적인 성장세를 보이고 있으며, 유럽시장도 경기호조에 따른 실질소득의 증가와 세제개편 등의 소비확대 요인에 힘입어 1985년 이후 수요증가세가 지속되고 있다.
같이 보기

자동차 생산량에 따른 나라 목록
제프 디트리히

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 요제프 디트리히 Josef Dietrich

별명 : 제프 (Sepp)
출생일 : 1892년 5월 28일(1892-05-28)
출생지 : 독일 제국 바이에른 왕국 하방엔
사망일 : 1966년 4월 21일(1966-04-21)(73세)
사망지 : 서독 루트비히스부르크
복무 : 독일 제국  바이마르 공화국  나치 독일
복무기간 : 1911년 ~ 1945년
최종계급 :  SS최상급집단지도자(SS-Oberst-Gruppenführer)
지휘 : SS 기갑척탄병 사단 LSSAH  제1 SS 기갑 군단  제6 SS 기갑군
주요 참전 : 제1차 세계 대전 제2차 세계 대전
서훈 :            
요제프 "제프" 디트리히(독일어: Josef "Sepp" Dietrich, 1892년 5월 28일 ~ 1966년 4월 22일)는 제2차 세계 대전 당시 나치 독일에서 복무한 무장 친위대 장교이다. 히틀러의 최측근 중 하나로 무장 친위대에는 두 명밖에 존재하지 않는 SS상급대장을 역임한 인물이다. 또한 27명만이 수훈한 곡엽검금강석 기사십자 철십자장을 수훈한 인물이기도 하다.
젊은 시절의 행적과 경력

1892년 5월 바이에른주 멤밍엔(Memmingen) 근방의 하방엔(Hawangen)에서 태어났다. 본래는 가업을 이어 호텔 일을 했으며, 1911년 독일 제국군에 입대했다. 제1차 세계 대전 당시 경리 담당 부사관으로 복무하다가 최초로 창설된 독일 전차 부대에 들어갔다.
대전 후인 1919년 5월 바이에른 공산당에 반대하여 자유군단에 잠시 몸을 담았었다. 그 후 주경찰로 복무하다 1928년 나치당에 가입해 히틀러의 경호 대장이 되었다. 국내 순행 중인 히틀러를 수행했으며 그 때문에 히틀러가 "Chauffeureska"라는 별명을 붙여주었다.
1930년대 그리고 제2차 세계 대전

1930년에는 남부 바이에른 주의원으로 제국 의회에 선출되었으며, 1931년에는 SS중장이 되었다. 민족사회주의 독일 노동자당이 정권을 장악하면서 나치의 중심 인물로 급속히 부각했다. 1934년에는 창설된 라이프슈탄다르테 SS 아돌프 히틀러의 지휘관이 되었으며, 당시 프로이센 주의원까지 겸임했었다.
1934년 6월에 벌어진 "장검의 밤 사건" 당시에는 중요한 역할을 담당했다. 히틀러의 명령에 따라 부하들을 데리고 법무성으로 찾아가 SA 수뇌부를 제거했고, 얼마 후 그 공적으로 SS대장으로 승진했다.
제2차 세계 대전이 발발하자, 라이프슈탄다르테를 이끌고 파리와 됭케르크 공격에 참가했다. 그리스 및 유고슬라비아 침공 작전 동안은 여단으로 확장된 라이프슈탄다르테를, 바르바로사 작전에는 시간 부족으로 사단 편제를 완료하지 못한 강화된 여단급의 SS 차량화 보병 사단 라이프슈탄다르테 SS 아돌프 히틀러를 지휘했다.
노르망디 전투 당시 제1 SS 기갑 군단장으로서 연합군을 효과적으로 저지한 공적을 히틀러에게 인정받아 제6 기갑군 사령관으로 승진했다. 7월에 발생한 암살 미수 사건으로 인해 국방군 장교들을 신뢰하지 않게 된 히틀러는 디트리히를 더욱 신임하게 되었던 것이다. 벌지 전투 당시에는 제6 SS 기갑군을 지휘했다. 동년 12월 17일, 벨기에 말메디에서 제1 SS 기갑 사단 LSSAH 병사들이 미군 포로 82명을 학살했다. (현재까지도 진상은 명확히 밝혀지지 않았으며, 당시 6 기갑군 사령관이었던 디트리히와 LSSAH 사단장 빌헬름 몽케 그리고 파이퍼 전투단 지휘관 요아힘 파이퍼가 포로를 학살하라는 명령을 내렸다는 증거는 존재하지 않는다.)
1945년 4월 디트리히의 제6 SS 기갑군이 선봉이 된 플라텐지 공세가 실패하자 실망한 히틀러는 디트리히와 휘하 장병들에게 소매띠를 반납하라고 명령했고, 이에 분노한 디트리히는 항명했다. 1945년 5월 8일, 그는 조지 패튼이 이끄는 미군에게 항복했다.
전후

1946년 말메디에서 미군 포로를 학살하라는 명령을 내렸다는 죄목으로 기소된 말메디 학살 관련 재판에서 종신형을 선고받았다. 다른 독일 장교들의 변호 덕분에 25년형으로 감형되었다. 1956년 10년을 복역하고 석방되었지만 얼마 후 긴 칼의 밤 사건으로 다시 체포되었다. 1957년 5월 14일 관련 죄목으로 19개월 형을 선고받았고, 1959년 2월 건강 악화로 석방되었다.
1966년 심장마비로 루트빅스부르크(Ludwigsburg)에서 향년 74세로 사망했다. 전쟁 당시 전우들뿐만 아니라 과거 적이었던 사람들까지 포함해 6천명이 넘는 사람이 그의 장례식에 참석했다.
같이 보기

제1SS기갑사단 경호친위대 아돌프 히틀러
부산진성

부산진성 서문 금루관
부산진성(釜山鎭城)은 부산광역시 동구 범일동에 있는 조선시대의 성이다. 넓이는 24,198m2이고, 1972년 6월 26일 부산광역시 기념물 제7호로 지정되었다.
유래

자성대 이름은 부산진성의 역사를 잘못 이해하여 붙여진 이름이다. 임진왜란 당시 만들어진 일본성 증산왜성을 본성 또는 모성(母城)으로 삼고 자성대왜성을 지성 또는 자성(子城)으로 삼으면서 만들어진 이름이다.
1407년 태종 7년 조선은 부산포(釜山浦)를 개항하면서 왜인(倭人)을 감시하기 위해 부산진(釜山鎭)에 군사를 주둔했다. 1490년 성종 21년 부산진을 보호하기 위해 지금의 증산공원 아래에 성을 쌓았다. 이 성을 '전기 부산진성'이라 부른다.
1592년 임진왜란 당시 부산진첨사 정발 장군은 부산진성을 지키다 순국하고 1593년 왜군은 부산진성을 허물고 증산 정상부에 증산왜성을 쌓고 해안가에 자성대 왜성(倭城)을 쌓았다.
임진왜란 이후 1607년 조선 수군은 자성대 왜성을 수리하여 '후기 부산진성'으로 삼았다. 부산광역시 기념물로 등록된 '부산진성'은 '후기 부산진성'을 말한다.
현지 안내문

부산진(釜山鎭)은 조선 태종 7년(1407) 낙동강의 동쪽지역인 경상좌도(慶尙左道) 수군의 사령부로서 휘하 11개의 수군진성과 함께 동남해안의 방어임무를 맡기도 하였다.  당시 수군은 배를 타고 바다에서 근무하는 것이 원칙이었다. 그러나 성종 21년(1490) 병선의 정박처로서 수군과 물자를 보호하기 위하여 둘레 2,026척(약 950m)의 부산진성(구 자성대왜성)을 증산(甑山) 아래에 쌓게 되었다.
선조 25년(1592)의 임진왜란(壬辰倭亂) 첫 전투 때 부산진의 지휘관인 첨사(僉使) 정발(鄭撥)을 비롯한 군사와 백성들이 끝까지 싸웠으나 마침내 부산진성이 함락되었다. 일본군 장수 모리 테루모토(毛利輝元)가 부산진성을 허물고 증산 정상에 본성(本城)인 증산왜성(倭城)을 쌓았다. 또한 동남쪽 해안가에는 본성을 방어하기 위하여 지성支城: 원래의 성 밖에 보조로 쌓은 성, 자성대왜성(子城臺倭城))을 쌓았다.
임진왜란이 끝난 뒤 선조 40년(1607) 조선 수군은 자성대왜성으로  진영(鎭營)을 옮겨 부산진첨사영(釜山鎭僉使營)으로 사용하였다.
당시 부산진성의 규모는 둘레 1,791보 4척(약 2.4㎞)로 여첩 (女堞, 성벽 위 담장시설) 483타(垜)가 있었고, 동서남북에는 문루(門樓): 성문 위에 세운 높은 집 또는 다락를 두었는데 각각 진동문(鎭東門), 금루관(金壘關), 진남문(鎭南門), 구장루(龜藏樓)라 불렀다. 그리고 성내 정상에는 임진왜란 때 참전한 명나라 장수 만세덕(萬世德)을 추모하는 만공단(萬公壇)이 조성되었고, 서북쪽 외성(外城) 공간에는 객사인 공진관(拱辰館)과 부속건물, 동남쪽 내성(內城) 공간에는 관아(官衙)를 비롯한 부속건물이 있었다.
일제강점기 시가지 정비 계획에 따라 성을 철거하면서 옛 모습이 거의 사라졌는데, 1974년 부산진성 정화 공사로 동문인 건춘문(建春文,구 진동문), 서문인 금루관, 장대(將臺)인 진남대(鎭南臺)가 복원되었다.   현재는 자성대공원 내 당시 자성대(子城臺)라고 부르던 일본식 성벽과 장대(將臺)인 진남대(鎭南臺), 그리고 임진왜란 때 참전한 명나라의 장군 천만리(千萬里)의 후손이 세운‘천만리영양천공비(千萬里潁陽千公碑)’가 남아있다. 동문 서쪽에는 고려 말 왜구의 토벌에 공을 세운 최영 장군을 기리는 비각(碑閣): 비를 세우고 그 위를 덮어 지은 집이 보존되어 있다.
부산진성은 조선수군의 5백년 역사를 간직한 곳으로 임진왜란 때 쌓은 왜성과 이후 왜성을 이용한 조선 후기 수군진성에 대한 연구 자료로서도 그 가치가 크다.
현지 안내문 > 한국문물연구원 해설

부산 자성대 역사관 건립부지에 대한 구제발굴 결과 왜성이 2차례에 걸쳐 축조된 것이 확인되었고 입회조사에서 부산진성의 체성으로 추정된 석축과 토축은 왜성인 것으로 확인되었다.
1차왜성은 1953년에 축조된 것으로 보이는데 등성시설과 같은 왜성시설물이 확인되어 한일성곽연구에 좋은 자료를 제공할 것으로 사료된다.
2차 왜성은 자성대왜성의 외곽을 둘러싼 삼지환의 체성으로 확인되었다.
현지 안내문 > 부산진성 이름찾기 100인 릴레이

래추고도시재생주민협의체는 자성탐사대라는 주민모임을 만들어 부산진성의 역사를 탐구하는 중 자성대가 잘못된 이름임을 알고 모임명을 부산진성탐사대로 바꾸고 부산진성 이름찾기 100인 릴레이를 시작했다.
2021년 1월 29일부터 7월 6일까지 진행된 릴레이의 첫번째 주자는 주민협의체 박승지 회장이 맡았고, 2회차는 래추고마을관리사회적협동조합 정순태 이사장이 맡았다. 동구청장, 동구의회 의장, 부산시교육감, 서구동구 국회의원, 전 국회의장과 지역주민이 릴레이에 참여했다.
2021년 7월 6일 박형준 부산시장이 100번째 릴레이의 주자로 참여했다.
2021년 7월 7일 부산시는 자성대 공원 명칭변경을 추진한다는 보도자료를 배부했고 2023년 1월 4일 국가지명위원회는 '자성대공원'을 폐지하고 '부산진성공원'을 공식명칭으로 고시했다.
역사

임진왜란 때 부산진성의 전투 장면을 자세하게 그려 놓은 「부산진성 순절도」에 보면 임진왜란이 일어나기 전에 부산포(釜山浦)에는 내성(內城)과 외성(外城)이 있었다. 내성은 오늘날 동구 좌천동에 있는, 현재 정공단이 있는 일대를 중심으로 뒷산에 해당하는 증산(甑山)을 둘러싼 본성이고, 자성대는 그 외성(外城)으로 쌓은 것인데, 외성은 현재 자성대라고 부르는 곳이다. 임진왜란 때 일본군이 부산에 주둔하면서 선조 26년에 왜장 모리(毛利輝元) 부자가 부산성을 헐고 왜성(倭城)으로 다시 쌓았다. 소서성·환산성이라고도 불리었으며, 일본에서는 당시 부산진성이 부산왜성 이였을 당시 마루야마 성(丸山城), 고니시성(少西城)이라고 불렀다. 현재 부산진성은 일본명의 '마루야마 성'으로 알려져 있다. 일본군의 지휘소로 이용되었다. 일본군을 몰아낸 뒤에는 임진왜란 때 지원군으로 온 명나라 장수 만세덕(萬世德) 군대가 머물러 주둔한 적이 있었기 때문에 만공대(萬公臺)라고도 한다. 임진왜란이 끝난 후에는 성과 사대문을 쌓고 관아를 고쳐 부산진첨사영(釜山鎭僉使營)으로, 좌도수군첨절제사의 숙소로 쓰였다.
이 성은 오늘날의 증산에 있었던 부산진성의 내성인 본성과 함께 1593년(선조 26) 경상도 군정의 책임자였던 모리 히데모토(毛利輝元) 부자(父子)도 쌓은 것으로 알려져 있다. 한편 왜장 아사노 나가요시(淺野長慶)가 정유재란 때인 1598년(선조 31)에 수축 또는 증축한 것으로 보기도 한다.
임진왜란 때 증산에 있었던 본래의 부산진성이 일본군에 의해 허물어져 사용하기 어려웠기 때문에 조선 수군은 1607년(선조 40)부터 부산왜성의 지성인 자성대왜성을 부산진성으로 사용하면서 새롭게 수축하였다. 『충렬사지(忠烈祠志)』에 의하면 임진왜란 때 일본군이 부산 첨사진으로 사용하던 성 안의 우뚝 솟은 산 정상에 다시 자성을 쌓고 장대로 삼았다고 한다. 그러므로 조선 후기에 부산진성을 수축할 때 부산진성의 장대로 사용하였다고 보인다. 또 본성인 부산일본성(부산왜성)을 모성으로 보면, 지성으로서 모성에 대한 자성을 지칭하는 것으로도 볼 수 있다. 한편 『영남진지(嶺南鎭誌)』에는 임인년에 자성 위에 육우정(六友亭)을 세우고, 승가(勝嘉)라는 이름을 내렸다고 한다. 이에 자성은 한 진(鎭)의 장대가 되고, 승가정은 자성의 장대가 되었다고 기록하였다.
동서의 산을 따라 성벽으로 성곽을 두르고 바닷물을 끌여들여 참호를 20m 너비로 만들어 배가 바로 성벽에 닿도록 되어 있었다고 하는데, 일제강점기에 시가지 정비라는 명목으로 성을 철거하고 자성대 일대 해면은 매축되어 옛모습이 없어졌다. 현재 남아있는 성지(城址)는 2단이며, 성벽의 높이는 최고 10 미터에 최저 1.5 미터이다.
복원

1974년 7월 8일부터 1975년 2월 25일까지 부산시에서 정화 복원공사를 하여 동문, 서문, 장대를 신축하여 동문을 건춘문(建春門), 원래는 진동문(進東門), 서문을 금루관(金壘關), 자성대 정상부에 장대는 진남대(鎭南臺)라고 각각 이름 붙이고 편액을 달았다. 1975년 9월 동문 주변 성곽을 신축하였으며, 서문의 금루관은 높은 다락으로 좌우에는 남요인후, 서문쇄약이라 새긴 돌기둥(우주석)이 각각 서있다.
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| “ | 이곳은 남쪽 변방에 목구멍 같은 경계이며, 서문은 나라의 자물쇠와 같이 중요한 곳이다. | ” |
|   | — 남요인후(南徼咽喉), 서문쇄약(西門鎖鑰) |  |
역사왜곡

2023년 부산시는 부산진성의 고도제한을 완화하면서 부산진성을 구릉성으로 평가했다. 구릉성에 해당되는 것은 임진왜란 당시 왜군이 축성한 왜성의 일부 구조물에 대해서만 유효하다. 임진왜란 당시 이미 구릉에 쌓은 성과 더불어 해안가 주변으로 평지 성을 축성했으며 임진왜란 이후 조선 수군통제영이 부산진성에 주둔했다.
조선후기 부산진성 관아는 자성대라고 불리는 구릉성이 아니라 평지에 있었으며 관아는 현 부산진성 금루관 앞에 있었으며, 일본과 외교관계를 담당했던 부산객사는 현 부산진시장 주변에 있었다.
조선후기 부산진성은 평지성이었으며 왜성의 일부를 근거로 구릉성으로 평가한 것은 역사를 왜곡한 것이다.
영가대

이 부분의 본문은 영가대입니다.
1614년 광해군 때 경상도 순찰사 권반이 부산진성 근처 해안가에 선착장을 만들고 그 위에 나무를 심고 정자를 만들었다. 1617년 회답겸쇄환사(回答兼刷還使)였던 오윤겸(吳允謙)이 이 정자에서 일본으로 출발한 다음부터 통신사행은 이곳에서 해신제를 올리고 일본으로 갔다. 1624년(인조 2) 선위사 이민구(李敏求)가 일본 사절을 접대하기 위해 부산에 파견되었다가 이 정자를 보고 권반의 고향 안동의 옛 이름인 영가(永嘉)를 따서‘영가대’(永嘉臺)라고 이름지었다.
원래 동구 범일동 성남초등학교 서쪽 경부선 철로변에 있었던 영가대는 1905년 경부선의 개통으로 철거되어 일제강점기 때 일본상인 오이카와(及川民次郞)의 별장인 능풍장으로 옮겨졌다가 사라졌는데, 2000년 부산광역시의 역사유적지 표석 설치계획에 따라 동구 좌천동 지하철역 부근의 도로공원에 “부산포왜관·영가대터” 표석을 세웠고, 2003년 9월 25일 동구청에서 자성대에 복원했다.
기타

조선시대에는 성 안에 객사, 동헌 등 많은 관공서와 창고 건물이 있었던 것으로 보인다. 현재는 임진왜란에 참전했다가 귀화한 명나라 장군 천만리(千萬里)의 후손이 세운 천장군기념비와 동쪽 산 중턱에는 남해안 일대를 노략질한 왜구를 소탕한 최영장군 비각이 보존되어 있다.
명칭 변경

당초 문화재 지정명칭은 부산진지성(釜山鎭支城)이었으나, 2020년 1월 15일 부산진성(釜山鎭城)으로 변경되었다.
명칭 변경 > 부산진성 이름 찾기 100인 릴레이

2021년 1월 29일 ~ 7월 6일 래추고 현장지원센터(주민협의체)는 부산진성 이름바꾸기 100회차 릴레이 캠페인을 진행했다. (1회차 래추고 도시재생뉴딜사업 박승지 회장, 2회차 래추고 마을관리 사회적협동조합 정순태 이사장, 100회차 박형준 부산시장 참여)
2021년 7월 7일 부산시는 "부산진성 이름찾기 100일 릴레이"에 호응하여 자성대공원 명칭변경을 추진한다고 보도자료를 배부했다.
2022년 동문 현판은 진동문으로, 진남대 현판은 승가정으로 변경됐다.
2023년 1월 4일 국가지명위원회는 자성대에서 유래된 자성대공원을 부산진성공원으로 개정 고시했다.
같이 보기

부산진성 서문 성곽우주석 - 부산광역시 기념물 제19호
부산진 전투
1748년경 이성린 작품 사로승구도, 앞쪽 바위 위에 영가대와 그 뒤로 부산진성 서문이 보인다.
실해석학

수학에서 실해석학(實解析學, 영어: real analysis) 또는 실변수함수론(實變數函數論, 영어: theory of functions of a real variable)은 실수와 수열, 실수의 급수, 실함수 등을 다루는 해석학의 한 분야이다. 특히 실함수 및 실수열의 수렴, 극한, 연속성, 매끈함, 미분 가능성, 적분 가능성 등을 다룬다.
방형파에 대한 푸리에 급수의 첫 네 부분합. 푸리에 급수는 실해석학에서 중요하게 사용되는 도구이다.
실해석학은 복소수와 복소함수 등을 다루는 복소해석학과는 구별된다.
범위 > 실수의 구성

이 부분의 본문은 실수의 구성입니다.
실해석학의 정리들은 실수 체계의 성질을 기반으로 하기 때문에, 실수를 어떻게 구성할 것인가는 중요한 문제이다. 실수 체계는 비가산 집합( \mathbb {R} )과 함께 이항 연산인 더하기(+)와 곱하기(•), 그리고 순서 관계인 ≤로 구성된다. 따라서 이항 연산이 있는 실수 체계는 체이며, 또한 순서가 부여된 순서체이다. 실수는 완비 순서체이며, 임의의 완비 순서체는 실수 체계와 동형이라는 점에서 실수 체계는 유일한 완비 순서체이다. 실수는 완비성, 즉 메꿔질 구멍이 없다는 성질을 가지는데, 이러한 실수의 완비성은 다른 순서체(유리수체  \mathbb {Q}  등)와 구별되는 실수의 고유한 성질로서 실함수의 성질 등을 증명하는 데에 핵심적인 역할을 한다. 실수의 완비성은 주로 상한 공리를 이용하여 나타낸다.
범위 > 실수의 순서 성질

실수는 복소수와는 달리 격자의 성질을 가지며, 또 양수들의 합이나 곱이 양수가 되는 순서체를 이룬다. 실수는 전순서 집합으로, 다음의 최소 상계 성질을 가진다.
상계를 가지는 임의의 공집합이 아닌  \mathbb {R} 의 부분집합은 실수를 상한으로 가진다.
이러한 실수의 성질은 단조 수렴 정리와 중간값 정리, 평균값 정리 같은 실해석학의 기본 정리들의 증명에 근간이 된다.
범위 > 실수의 위상적 성질

실해석학의 많은 정리들은 실직선의 위상적 성질로부터 기인한다. 위의 실수의 순서 성질 또한 위상적 성질과 밀접하게 연결되어 있다. 위상 공간으로서 실수는, 순서  <으로 유도되는 순서 위상인 표준 위상을 가진다. 한편 계량 또는 거리 함수  d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}를 절댓값 함수  d(x,y)=|x-y|를 이용하여 정의하면, 실수는 전형적인 거리 공간이 된다. 계량  d에 의해 유도된 위상은  <에 의해 유도된 표준 위상과 동일하다. 따라서 중간값 정리와 같은 정리들은  \mathbb {R} 뿐만 아니라 다른 일반적인 위상 공간에 대해서도 증명할 수 있다.
범위 > 수열

이 부분의 본문은 수열입니다.
수열이란 가산인 전순서 집합을 정의역으로 가지는 함수이다. 정의역은 보통 자연수로 주어지지만, 음수를 포함하는 정수를 정의역으로 가지는 양방향 수열을 사용하는 경우도 있다.
실해석학에서 다루는 개념인 실수열(영어: real-valued sequence)은 자연수를 정의역으로 가지는 사상  a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}이다. 각  a(n)=a_{n}은 수열의 항(또는 원소)이라 한다. 수열은 보통 함수의 꼴로 나타내기보다는 정렬된 ∞-튜플인 것처럼 표현하는데, 아래처럼 각 항이나 일반항을 괄호로 감싼 형태로 표기한다. (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )수열이 극한값에 점점 가까워지는 경우(즉, 




lim

n
→
∞



a

n




{\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}

이 존재하는 경우) 수열이 수렴한다고 하고, 그렇지 않은 경우 발산한다고 한다. 수열  (a_{n})에 대해, 모든  n\in \mathbb {N} 에 대해  |a_{n}|<M인  M\in \mathbb {R} 이 존재하는 경우  (a_{n})은 유계라 한다. 또한  (a_{n})이 a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots 또는 a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots 인 경우 각각 단조 증가 또는 단조 감소한다고 하며, 두 가지 중 하나를 만족하는 경우 수열이 단조라 한다. 수열이 위의 식의  \leq 나  \geq 을 <나 >으로 바꾼 경우에도 성립할 때 각각 강한 단조 증가 또는 강한 단조 감소라 한다.
수열  (a_{n})이 주어졌을 때, 모든 자연수  k에 대해  b_{k}=a_{n_{k}}를 만족하고  (n_{k})가 증가하는 자연수 수열인 경우  (b_{k})는  (a_{n})의 부분수열이라 한다.
범위 > 극한과 수렴

이 부분의 본문은 함수의 극한 및 수열의 극한입니다.
간단하게 말하면, 변수나 지표가 특정 값에 다가갈 때(함수나 수열이 한도 없이 증가 또는 감소할 때는  \pm \infty 에 다가간다고 할 수도 있다.) 함수 또는 수열이 점점 "가까워지는" 값을 극한이라고 한다. 극한은 미적분학(넓게는 해석학)에서 중요한 개념이며 연속, 미분, 적분과 같은 개념들을 정의하기 위해서 극한의 엄밀한 정의가 사용된다.(사실, 극한의 성질은 미적분학과 해석학을 수학의 다른 분야들과 구별하는 특징이 된다.)
함수에서 극한이라는 개념은 17세기 말 뉴턴과 라이프니츠가 무한소 미적분학을 정립하면서 도입하였다. 수열의 극한 개념은 라이프니츠가 도입하였으며, 이후 19세기 말 볼차노와 바이어슈트라스가 다음의 엡실론-델타 논법을 이용하여 보다 엄밀하게 정의하였다.
정의.  f가  E\subset \mathbb {R} 에서 정의된 실함수라 하자. 임의의  \varepsilon >0에 대해, 모든  x\in E에 대하여  0<|x-x_{0}|<\delta 이면  |f(x)-L|<\varepsilon 를 만족하도록 하는  \delta >0가 항상 존재하면,  x가  x_{0}로 갈 때  f(x)가  L로 수렴한다 또는  x가  x_{0}로 갈 때  f(x)의 극한은  L이다라 하고 x\to x_{0}{\text{일 때}}f(x)\to L또는 \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L이라 쓴다.
위의 정의는 다음과 같이 이해할 수 있다. 



x
→

x

0




{\textstyle x\to x_{0}}

일 때 



f
(
x
)
→
L


{\textstyle f(x)\to L}

라는 것은 아무리 작은  \varepsilon >0가 주어지더라도,  x_{0}와의 차이가  \delta 보다 작은 모든  x_{0}가 아닌 실수  x에 대하여  f(x)와  L의 차이가  \varepsilon >0보다 작도록 하는  \delta >0를 항상 찾을 수 있다는 것이다. 정의의 조건에서  0<|x-x_{0}|<\delta 이기 때문에 




lim

x
→

x

0




f
(
x
)
=
L


{\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}

은  f(x_{0})의 값 자체에 대해서는 아무것도 알려주지 못한다. 사실  x_{0}가  f의 정의역에 있지 않더라도 




lim

x
→

x

0




f
(
x
)
=
L


{\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}

가 존재할 수 있다.
함수의 극한처럼,  n이 커질 때 수열  (a_{n})에 대해서도 극한 개념을 적용할 수 있다.
정의.  (a_{n})이 실수열이라 하자. 임의의  \varepsilon >0에 대해, 모든  n\geq N에 대하여  0<|a-a_{n}|<\delta 를 만족하도록 하는  N이 항상 존재하면,  (a_{n})이  a로 수렴한다고 하고 n\to \infty {\text{일 때}}a_{n}\to a또는 \lim _{n\to \infty }a_{n}=a라 쓴다.  (a_{n})이 수렴하지 않는다면  (a_{n})이 발산한다고 한다.
수열에서의 극한의 정의를 약간 변형하여 실함수에 대해서 일반화하면(수열  (a_{n})과 항  a_{n}을 각각 함수  f와 함숫값  f(x)로, 자연수 N과  n을 각각 실수  M과  x로 바꾸면 된다.)




lim

x
→
∞


f
(
x
)


{\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}

, 즉  x가 한도 없이 증가할 때  f(x)의 극한을 정의할 수 있다.  x\geq M 대신  x\leq M으로 바꾸면  x가 한도 없이 감소할 때  f(x)의 극한 




lim

x
→
−
∞


f
(
x
)


{\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}

을 정의할 수 있다.
때로는 수열의 수렴값은 모르더라도 수열이 수렴한다는 사실 자체가 유용할 때가 있는데, 이 경우 코시 수열이 유용하게 쓸 수 있는 개념이다.
정의.  (a_{n})이 실수열이라 하자. 임의의   \varepsilon >0에 대해,  m,n\geq N이면  |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon 을 만족하도록 하는 자연수 N이 항상 존재하면  (a_{n})을 코시 수열이라 한다.
실수열이 수렴하는 것과 코시 수열인 것은 서로 필요충분조건이다. 이 성질은 실수에 표준 거리가 부여된  (\mathbb {R} ,|\cdot |)가 완비 거리 공간이라는 것으로 나타난다. 그러나 일반적인 거리 공간에서 코시 수열이 수렴할 필요는 없다.
한편 실수열이 단조라면, 실수열이 유계인 것과 수렴하는 것은 서로 필요충분조건이다.
범위 > 함수열의 균등 수렴과 점별 수렴

이 부분의 본문은 균등 수렴 및 점별 수렴입니다.
실수의 수열처럼  E\subset \mathbb {R} 을 정의역으로 갖는 함수  f_{n}:E\to \mathbb {R} 들의 수열과 이 수열의 수렴성에 대해 생각할 수 있는데, 이 함수열을  (f_{n})_{n=1}^{\infty }와 같이 표기한다.  실수열과 달리 함수열의 경우 두 종류의 수렴이 존재하는데, 바로 균등 수렴과 점별 수렴이다.
간단히 말하면  f_{n}의  f:E\to \mathbb {R} 로의 점별 수렴이란 임의의  x\in E에 대해  n\to \infty 일 때  f_{n}(x)\to f(x)라는 것이고,  f_{n}\rightarrow f라 쓴다. 반면 균등 수렴은 점별 수렴보다 강한 개념으로, 균등 수렴이면 점별 수렴이지만 그 역은 성립하지 않는다. 균등 수렴이란 임의의  \varepsilon >0에 대해,  n\geq N일 때 모든  x\in E에 대하여  |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon 을 만족하도록 하는  N이 항상 존재한다는 것이고,  f_{n}\rightrightarrows f라 쓴다. 균등 수렴을 직관적으로 시각화하자면, 충분히 큰  N에 대하여 함수  f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots 가 모두 정의역  E에서  f를 기준으로  2\varepsilon 만큼의 간격을 가진 띠(즉,  f-\varepsilon 와  f+\varepsilon  사이) 내에 존재한다고 생각하면 된다.
두 극한의 연산(극한을 취하거나, 미분 또는 적분을 하는 등) 순서가 서로 바뀔 때, 점별 수렴인지 균등 수렴인지 구별하는 것이 중요할 때가 있다. 보통 실해석학의 많은 정리들에서는 연산 순서가 바뀌어도 성립하기 위해 균등 수렴이 조건으로 붙는 경우가 많다. 예를 들어 연속 함수들로 이루어진 수열이 균등 수렴이라면 수렴 함수가 연속이지만, 점별 수렴인 경우 연속이 아닐 수 있다.
범위 > 콤팩트성

이 부분의 본문은 콤팩트 공간입니다.
콤팩트성은 실해석학의 많은 정리들에서 중요한 역할을 하는 일반위상수학의 개념이다. 콤팩트성의 성질은 닫힌 유계 집합의 개념을 일반화한 것으로, 특히 실해석학에서 유클리드 공간에서는 집합이 콤팩트인 것과 닫힌 유계인 것이 동치이다. 여기서 닫힌 집합은 모든 경계점들을 포함하는 집합이고, 유계 집합은 임의의 두 점 사이의 거리가  M보다 작은 실수 M이 존재하는 집합이다.  \mathbb {R} 에서 닫힌 유계, 즉 콤팩트인 집합으로는 공집합, 유한한 점으로 구성된 집합, 닫힌 구간, 그리고 유한 개의 닫힌 구간들의 합집합 등이 있다. 이 외에  \{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\이나 칸토어 집합  {\mathcal {C}}\subset [0,1]도 콤팩트 집합의 예시이다. 반면  \{1/n:n\in \mathbb {N} \}와 같은 집합은 유계이기는 하나 경계점인 0을 포함하지 않기 때문에 콤팩트가 아니다.
실수의 부분집합에 대해서는, 콤팩트와 동치인 몇 가지 정의가 있다.
정의. 집합  E\subset \mathbb {R} 가 닫힌 유계라면, 콤팩트이다.
이 정의는 모든 차원의 유클리드 공간  \mathbb {R} ^{n}에 대해서 성립하지만 일반적인 거리 공간에 대해서는 만족하지 않는다. 하이네-보렐 정리에 의하면 닫힌 유계를 이용한 정의는 후술할 부분덮개를 이용한 정의와 동치이다.
모든 거리 공간에 대한 보다 일반적인 콤팩트의 정의는 부분수열 개념을 사용한다.
정의. 거리 공간에서의 집합  E의 임의의 수열이 수렴하는 부분수열을 가지면  E는 콤팩트이다.
위와 같은 성질을 점렬 콤팩트성이라고 한다.  \mathbb {R} 에서는 집합이 점렬 콤팩트인 것과 닫힌 유계인 것이 동치이다. 점렬 콤팩트성을 이용한 정의는 거리 공간에서는 부분덮개를 이용한 정의와 동치이나, 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다.
위상 공간(따라서 거리 공간과  \mathbb {R} 을 포함한다.)에서도 적용되는 일반적인 콤팩트의 정의는 열린 덮개 또는 부분 덮개 개념을 이용한다. 간단하게 설명하면, 열린 집합들로 이루어진 집합족  U_{\alpha }의 합집합이  X을 부분집합으로 가질 때,  U_{\alpha }를  X의 열린 덮개 또는 부분 덮개라 한다. 이 열린 덮개가  U_{\alpha }의 유한 개의 집합으로 이루어진 집합족을  X의 열린 덮개로 가지는 것이 가능할 때, 유한 부분덮개를 가진다고 한다.
정의. 위상 공간에서의 집합  X의 임의의 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가지면  X는 콤팩트이다.
콤팩트 집합은 수렴이나 연속같은 성질에서 조화를 이룬다. 예를 들어 임의의 코시 수열은 콤팩트 거리 공간에서 수렴한다. 또 연속 사상에서 콤팩트 거리 공간의 상 또한 콤팩트이다.
범위 > 연속

이 부분의 본문은 연속 함수입니다.
실수 집합에서 실수 집합으로 사상하는 함수는 데카르트 좌표계에서 그래프로 나타낼 수 있다. 함수가 연속이라는 것은, 간단하게 말해서 함수의 그래프가 '구멍'이나 '도약' 없이 하나로 이어진 곡선이라는 것이다.
연속을 수학적으로 엄밀하게 정의하는 방법에는 여러 가지가 있다. 각 정의마다 일반적으로 정의 가능한 대상이 달라질 수 있는데, 두 가지 이상의 정의가 적용 가능한 경우 보통 두 정의가 서로 동치임을 보일 수 있다.
아래의 정의에서  f:I\to \mathbb {R} 는 실수로 구성된 집합인 비퇴화(non-degenerate) 구간  I를 정의역으로 가지는 함수이다. 여기서  I는 실수 전체의 집합  \mathbb {R} 이나 열린 구간 (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}, 또는 닫힌 구간  I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}이 될 수 있다. 참고로  a와  b는 서로 다른 실수로,  I가 공집합이나 원소를 한 개만 갖는 집합이 되는 경우를 제외한다.
정의. 비퇴화 구간  I\subset \mathbb {R} 에 대하여 함수  f:I\to \mathbb {R} 가  p\in I에 대해 




lim

x
→
p


f
(
x
)
=
f
(
p
)


{\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}

를 만족하면  f는  p에서 연속이라고 한다. 구간 내의 모든  p\in I에서  f가 연속일 때  f를 연속 함수라고 한다.
f가  p에서 연속이려면,  p 자체에서  f의 값과는 상관없었던 극한과 달리 




lim

x
→
p


f
(
x
)


{\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}

이 존재와 함께 다음의 두 조건 또한 만족해야 한다. (i)  f가  p에서 정의되어 있어야 하고, (ii)  x\to p일 때  f(x)\to f(p)여야 한다. 위의 정의는 고립점(isolated point)을 포함하지 않는 집합인 정의역  E, 즉 모든  p\in E가 극한점(limit point)인 정의역  E에 대해 적용 가능하다. 더 일반적인 집합  X\subset \mathbb {R} 를 정의역으로 가지는 함수  f:X\to \mathbb {R} 에 대한 정의는 아래와 같다.
정의.  X가  \mathbb {R} 의 부분집합이라 하자. 임의의 실수  \varepsilon >0에 대해, 모든  x\in X에 대하여  |x-p|<\delta 이면  |f(x)-f(p)|<\varepsilon 을 만족하도록 하는 실수   \delta >0가 항상 존재하면  f:X\to \mathbb {R} 는  p\in X에서 연속이라고 한다. 모든  p\in X에 대해  f가 연속일 때  f를 연속 함수라고 한다.
위 정의를 따르면  f는 모든 고립점  p\in X에서 자명하게 연속이다. 이러한 다소 비직관적인 결론은 더 일반적인 위상 공간 위에서의 사상의 연속의 정의와 일맥상통하기 위해 필수적이다. 아래는 위상 공간에서의 연속의 정의로, 실해석학의 범위를 다소 벗어난다.
정의.  X와  Y를 위상 공간이라 하자. 임의의  Y의 원소  f(p)의 근방  V에 대해  f^{-1}(V)가  p\in X의 근방이면  f:X\to Y는  p에서 연속이라고 한다. 모든  Y의 열린 집합  U에 대해  f^{-1}(U)가  X에서 열려 있으면  f를 연속 함수라고 한다.
(여기서  f^{-1}(S)는  f에 대한  S\subset Y의 역상이다.)
범위 > 연속 > 균등 연속

이 부분의 본문은 균등 연속 함수입니다.
정의.  X가 실수로 구성된 집합이라 하자. 임의의 실수  \varepsilon >0에 대해, 모든  x,y\in X에 대하여  |x-y|<\delta 이면  |f(x)-f(y)|<\varepsilon 를 만족하도록 하는  \delta >0가 항상 존재하면  f:X\to \mathbb {R} 는  X에서 균등 연속이라고 한다.
X가 균등 연속이라는 것은,  \varepsilon 이 주어졌을 때 모든  X의 원소에 대하여 주어진 조건을 만족하도록 하는  \delta 를 선택할 수 있다는 것이다. 반면 함수가 모든 점  p\in X에서 일반적인 연속일 때는  \varepsilon 와  p 값에 따라  \delta 가 달라진다. 또 일반적인 연속과는 달리 함수가 균등 연속이라는 것은 특정 정의역이 주어졌을 때만 성립하는 개념으로, 어떤 점  p에서의 균등 연속과 같은 것은 없다.
콤팩트 집합을 정의역으로 갖는 연속 함수는 균등 연속임을 보일 수 있다. 반면  E가 유계이고 콤팩트가 아닌  \mathbb {R} 의 부분집합일 때 연속이지만 균등 연속은 아닌 함수  f:E\to \mathbb {R} 가 존재할 수 있다. 예를 들어 함수  f:(0,1)\to \mathbb {R} 가  f(x)=1/x로 주어졌을 때, 주어진  \varepsilon >0에 대하여 어떤  \delta >0를 선택하든지 상관없이 0과 충분히 가까울 때  |f(x)-f(y)|>\varepsilon 가 되도록 할 수 있으므로 이 함수는 연속이지만 균등 연속이 아니다.
범위 > 연속 > 절대 연속

이 부분의 본문은 절대 연속 측도입니다.
정의.  I\subset \mathbb {R} 가 실직선 위의 구간이라 하자. 임의의  \varepsilon 에 대해, 각자 서로소인  I의 소구간(sub-interval)들로 이루어진 유한 수열  (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})이  \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta 이면  \sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .을 만족하도록 하는  \delta 가 항상 존재하면  f:I\to \mathbb {R} 는  I에서 절대 연속이라고 한다.
위에서 n=1이면 연속의 정의에 해당하므로 절대 연속인 함수는 연속이다. I에서 절대 연속인 모든 함수들의 집합은 AC(I)로 표기한다. 절대 연속은 르베그 적분에서 중요하게 쓰이는 개념으로, 일반화된 미적분학의 기본정리를 르베그 적분에 대해 적용할 수 있도록 해준다.
범위 > 미분

이 부분의 본문은 미분입니다.
함수의 미분 또는 미분 가능성이라는 개념은 '가장 최선의' 선형 근사를 이용해 함수를 근사한다는 개념에서 비롯되었다. 이러한 선형 근사는, 만약 존재한다면, 주어진 점  a에서 접하고 경사가  a에서의 미분계수인 직선으로 유일하게 주어진다.
함수  f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} 에 대해 다음의 극한
이 존재할 때  f는  a에서 미분 가능하다고 한다. 이때의 극한값은  a에서  f의 미분 계수라 하며 함수  f'은  f의 미분(또는 도함수)라고 한다. 모든 점에서 도함수가 존재할 때 함수를 미분 가능하다고 한다.
f가  a에서 미분 가능하다면 또한  a에서 연속이다. 따라서 미분 가능성은 연속보다 강한 조건이며(미분은 함수의 '매끄러움'을 나타내는 조건이라고 볼 수 있다.), 모든 점에서 연속이면서 모든 점에서 미분 불가능한 함수가 존재할 수도 있다.(바이어슈트라스 함수 참고) 도함수의 도함수를 계속해서 구하는 식으로 고계 도함수를 정의하는 것도 가능하다.
각 함수는 미분 가능성에 따라 클래스를 분류할 수 있다. 클래스  C^{0}는(구간에 대해 적용하여  C^{0}([a,b])라 표기하기도 한다.) 모든 연속 함수들의 집합이다. 클래스  C^{1}는 모든 연속 미분가능 함수, 즉 도함수가 연속 함수인 미분 가능 함수들의 집합이다. 따라서  C^{1}에 속하는 함수는 도함수가  C^{0}에 속하는 함수이다. 일반적으로,  C^{k}는  C^{0}를 모든 연속 함수들의 집합으로 정의한 뒤 임의의 자연수  k에 대해  C^{k}를 도함수가  C^{(}k-1)에 속하는 함수들의 집합으로 정의하는 재귀적인 방법으로 정의할 수 있다. 특히 모든  k에 대해  C^{k}는  C^{(}k-1)에 포함되는 집합이다. 클래스  C^{\infty }는 모든 음이 아닌 정수  k에 대하여  C^{k} 클래스들의 교집합으로 정의하며,  C^{\infty }의 원소를 매끄러운 함수라 부른다. 매끄러운 함수는 무한 번 미분 가능하다. 클래스  C^{\omega }는 모든 해석 함수들의 집합으로,  C^{\infty }의 진부분집합이다(매끄럽지만 비해석적인 함수의 예로는 범프 함수가 있다.).
범위 > 급수

이 부분의 본문은 급수 (수학)입니다.
급수란 무한히 나열된 수들의 합을 구한다는 개념을 엄밀하게 정의한 것이다. 무한히 많은 수들을 더한 값이 유한한 값이 될 수 있다는 사실은 고대 그리스인들에게 비직관적으로 보였고, 제논과 같은 철학자들은 이와 관련해 많은 역설들을 남겼다. 현대에 이르러서는 무한히 많은 수들을 더한다는 다소 모호한 개념 대신 급수에 값들을 부여한다는 개념을 사용한다. 구체적으로는 첫  n개 항의 합으로 정의되는 부분합을 고려하는데,  n이 무한히 커질 때 이 부분합들로 이루어진 수열이 수렴한다면 이 수렴하는 값을 급수로 정의한다.
(무한) 수열  (a_{n})이 주어졌을 때 급수를 




a

1


+

a

2


+

a

3


+
⋯
=

∑

n
=
1


∞



a

n




{\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

로 정의하며, 간단히 



∑

a

n




{\textstyle \sum a_{n}}

로 쓰기도 한다. 급수의 부분합 



∑

a

n




{\textstyle \sum a_{n}}

은 




s

n


=

∑

j
=
1


n



a

j




{\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}

로 정의한다. 급수 



∑

a

n




{\textstyle \sum a_{n}}

은 부분합들로 이루어진 수열  (s_{n})이 수렴할 때 수렴한다고 하고, 그렇지 않을 때 발산한다고 한다. 급수의 합은 



s
=

lim

n
→
∞



s

n




{\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}

으로 정의한다.
여기서 '합'이란 부분합들로 이루어진 수열의 극한을 의미하는 비유적인 개념으로 이해해야 하며, 단순히 무한히 많은 수들을 '더하는' 개념으로 오해해서는 안 된다. 일례로 유한 수열의 합과는 달리 무한 급수는 각 항들의 더하는 순서를 바꾸면 수렴값이 달라질 수 있다(리만 재배열 정리 참고).
다음의 기하급수는 수렴하는 급수의 예시이며, 제논의 역설 등이 이 원리를 이용하였다.
반면 다음의 조화급수는 중세 시대 때부터 발산한다는 사실이 알려져 있었다.
(위에서 ' =\infty '은 급수의 부분합이 무한히 커진다는 것을 의미한다.)
급수 



∑

a

n




{\textstyle \sum a_{n}}

은 



∑

|


a

n



|



{\textstyle \sum |a_{n}|}

이 수렴할 때 절대 수렴한다고 한다. 절대 수렴하는 급수가 수렴함은 쉽게 보일 수 있다. 반면 다음과 같은 급수는 수렴하지만 절대 수렴하지는 않는다.
범위 > 급수 > 테일러 급수

이 부분의 본문은 테일러 급수입니다.
실함수 또는 복소함수 ƒ(x)가 a에서 매끄러울 때 a에서 f(x)의 테일러 급수는 다음의 멱급수
이다. 이는 또한 시그마 기호를 사용해
\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}
로 나타낼 수도 있다. 여기서 n!은 n의 팩토리얼이고 ƒ (n)(a)은 a에서 f의 n계 도함수 값이다. n = 0일 때 ƒ (n)(a)은 f 자신을 의미하고 (x − a)0과 0!은 1로 정의된다. a = 0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라 부른다.
a에서 f의 테일러 급수는 발산할 수도, a에서만 수렴할 수도,  |x-a|<R인 모든 x에 대해 수렴할 수도(이러한 조건을 만족하는 가장 큰 R을 수렴반지름이라 한다.), 실직선 전체에서 수렴할 수도 있다. 수렴하는 테일러 급수가 그 점에서의 함숫값과 다른 값으로 수렴할 수도 있다. 정의역 내의 모든 x0에 대해 x0의 테일러 급수가 그 근방에서 함수로 수렴하면 함수가 해석적이라 한다. 해석 함수는 많은 중요한 성질을 갖고 있는데, 특히 해석적인 실함수는 복소함수로 자연스럽게 확장할 수 있다. 지수 함수와 로그 함수, 삼각함수 및 그 역함수들은 모두 이러한 방법을 통해 복소수로 확장할 수 있다.
범위 > 급수 > 푸리에 급수

이 부분의 본문은 푸리에 급수입니다.
푸리에 급수는 주기함수나 주기적인 신호를 사인함수나 코사인함수(또는 복소지수)와 같은 단순 진동함수들로 분해하는 데에 사용한다. 푸리에 급수는 해석학의 하위 분야인 푸리에 해석에서 핵심적으로 다루는 개념이다.
범위 > 적분

이 부분의 본문은 적분입니다.
적분이란 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이나 곡선의 길이, 표면으로 둘러싸인 공간의 부피 등을 구하는 데에 쓰이는 개념이다. 고대 그리스와 중국에서는 이런 값들을 구하기 위해 실진법(영어: method of exhaustion)을 이용하였다. 이 방법은 주어진 영역에 내접하는 다각형과 외접하는 다각형의 넓이를 계산하여 구하고자 하는 넓이를 근사하는 것으로, 점점 더 작은 조각들을 영역 내부와 외부에 계속해서 덧붙여 나가면 두 값이 주어진 영역의 넓이로 수렴하는 원리에 기초한다.
리만 적분을 정의할 때도 실진법의 원리를 이용하는데, 점점 더 작은 직사각형 조각(이를 '세분'이라 한다.)으로 영역을 쪼갤 수록 리만(또는 다르부) 상합과 하합이 동시에 특정 값으로 수렴할 때 적분이 존재한다고 한다. 리만 적분보다 좀 더 복잡하기는 하지만 르베그 적분도 비슷한 개념을 사용하여 적분을 정의한다. 리만 적분과 달리 더 정교한 르베그 적분을 이용하면, 넓이를 정의할 수 있는 가측 집합이 아닌 경우를 제외하면 복잡하고 비정규적인 유클리드 공간 집합의 넓이(또는 길이, 부피 등. 이를 '측도'라는 개념으로 일반화한다.)도 계산할 수 있다.
범위 > 적분 > 리만 적분

이 부분의 본문은 리만 적분입니다.
리만 적분은 어떤 구간의 분할이 주어졌을 때 함수의 리만 합을 이용하여 정의할 수 있다.  [a,b]가 실직선 위의 닫힌 구간이라 하자. 이때  [a,b]의 분할  {\cal {P}}는 아래의 유한 수열
이다.  {\cal {P}}는  i=1,\ldots ,n인  i에 대해 n개의 닫힌 구간  t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]로  [a,b]를 분할한다. 이제  [a,b]에서 정의된 함수  f에 대해 각  n개의 구간에서 임의의 실수  t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]를 선택하면,  f의 리만합을
으로 정의한다. 여기서  \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}는  i번째 닫힌 구간의 길이이다. 따라서 위에서 더해지는 각 항은, 너비가 닫힌 구간의 길이이고 높이가 그 구간에서 임의로 선택했던 점에서의 함숫값인 직사각형의 넓이를 의미한다. 주어진 분할에서 가장 넓은 구간의 길이 



‖

Δ

i


‖
=

max

i
=
1
,
…
,
n



Δ

i




{\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}

를 분할의 노름(영어: norm) 또는 메시(영어: mesh)라 한다. 임의의  \varepsilon >0에 대해, 노름이  \|\Delta _{i}\|<\delta 인 모든 분할  {\cal {P}}에 대하여 아래 식을 만족하는  \delta >0가 존재하면  S를  [a,b]에서  f의 리만 적분이라 한다.
리만 적분은 





R



∫

a


b


f
=
S


{\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}

로 표기하기도 한다. 각 구간에서 함숫값이 최대(또는 최소)가 되는 점을 선택했을 때의 리만 합을 다르부 상합(또는 다르부 하합)이라 한다. 충분히 작은 노름에 대해 다르부 상합과 하합의 차가 임의의 값보다 작아질 수 있으면 함수를 다르부 적분가능하다고 한다. 다르부 적분가능은 리만 적분가능과 동치로, 함수의 다르부 적분과 리만 적분 값은 같다. 미적분학 및 해석학 교재에서는 다르부 적분과 리만 적분의 정의를 혼용해서 사용하는 경우가 많다.
미적분학의 기본정리에 의하여, 특정 조건 하에서 미분과 적분은 서로 역연산 관계에 있다.
범위 > 적분 > 르베그 적분과 측도

이 부분의 본문은 르베그 적분입니다.
르베그 적분은 더 많은 종류의 함수 및 더 다양한 종류의 정의역에 대해 적분을 정의할 수 있게 해 준다. 또 길이와 넓이, 부피 등을 일반화한 개념인 측도를 사용한다.