이차 상호 법칙
예

두 홀수 소수들 사이의 제곱 잉여 여부를 표로 나타내면 다음과 같다. 이차 상호 법칙에 따라, 표가 대각선을 중심으로 대칭이거나 반대칭임을 알 수 있다.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| R | q는 제곱잉여 (mod p) |    q ≡ 1 (mod 4) 또는 p ≡ 1 (mod 4)   |
| N | q는 제곱잉여가 아님 (mod p)   |    q ≡ 1 (mod 4) 또는 p ≡ 1 (mod 4)   |
| R | q는 제곱잉여 (mod p) | q ≡ p ≡ 3 (mod 4) |
| N | q는 제곱잉여가 아님 (mod p)   | q ≡ p ≡ 3 (mod 4) |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q | q |
|  |  | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 |
| p | 3 |   | N | R | N | R | N | R | N | N | R | R | N | R | N | N | N | R | R | N | R | R | N | N | R |
| p | 5 | N |   | N | R | N | N | R | N | R | R | N | R | N | N | N | R | R | N | R | N | R | N | R | N |
| p | 7 | N | N |   | R | N | N | N | R | R | N | R | N | R | N | R | N | N | R | R | N | R | N | N | N |
| p | 11 | R | R | N |   | N | N | N | R | N | R | R | N | N | R | R | R | N | R | R | N | N | N | R | R |
| p | 13 | R | N | N | N |   | R | N | R | R | N | N | N | R | N | R | N | R | N | N | N | R | N | N | N |
| p | 17 | N | N | N | N | R |   | R | N | N | N | N | N | R | R | R | R | N | R | N | N | N | R | R | N |
| p | 19 | N | R | R | R | N | R |   | R | N | N | N | N | R | R | N | N | R | N | N | R | N | R | N | N |
| p | 23 | R | N | N | N | R | N | N |   | R | R | N | R | N | R | N | R | N | N | R | R | N | N | N | N |
| p | 29 | N | R | R | N | R | N | N | R |   | N | N | N | N | N | R | R | N | R | R | N | N | R | N | N |
| p | 31 | N | R | R | N | N | N | R | N | N |   | N | R | N | R | N | R | N | R | R | N | N | N | N | R |
| p | 37 | R | N | R | R | N | N | N | N | N | N |   | R | N | R | R | N | N | R | R | R | N | R | N | N |
| p | 41 | N | R | N | N | N | N | N | R | N | R | R |   | R | N | N | R | R | N | N | R | N | R | N | N |
| p | 43 | N | N | N | R | R | R | N | R | N | R | N | R |   | R | R | R | N | R | N | N | R | R | N | R |
| p | 47 | R | N | R | N | N | R | N | N | N | N | R | N | N |   | R | R | R | N | R | N | R | R | R | R |
| p | 53 | N | N | R | R | R | R | N | N | R | N | R | N | R | R |   | R | N | N | N | N | N | N | R | R |
| p | 59 | R | R | R | N | N | R | R | N | R | N | N | R | N | N | R |   | N | N | R | N | R | N | N | N |
| p | 61 | R | R | N | N | R | N | R | N | N | N | N | R | N | R | N | N |   | N | N | R | N | R | N | R |
| p | 67 | N | N | N | N | N | R | R | R | R | N | R | N | N | R | N | R | N |   | R | R | N | R | R | N |
| p | 71 | R | R | N | N | N | N | R | N | R | N | R | N | R | N | N | N | N | N |   | R | R | R | R | N |
| p | 73 | R | N | N | N | N | N | R | R | N | N | R | R | N | N | N | N | R | R | R |   | R | N | R | R |
| p | 79 | N | R | N | R | R | N | R | R | N | R | N | N | N | N | N | N | N | R | N | R |   | R | R | R |
| p | 83 | R | N | R | R | N | R | N | R | R | R | R | R | N | N | N | R | R | N | N | N | N |   | N | N |
| p | 89 | N | R | N | R | N | R | N | N | N | N | N | N | N | R | R | N | N | R | R | R | R | N |   | R |
| p | 97 | R | N | N | R | N | N | N | N | N | R | N | N | R | R | R | N | R | N | N | R | R | N | R |   |
제곱 잉여 문제의 일부 예는 다음과 같다.
| (p, q) |  p{\stackrel {?}{\equiv }}3{\stackrel {?}{\equiv }}q{\pmod {4}} |  x^{2}\equiv p{\pmod {q}} |  x^{2}\equiv q{\pmod {p}} |
| --- | --- | --- | --- |
| (3,7) |  p\equiv 3\equiv q{\pmod {4}} | 해 없음 |  y\equiv \pm 1{\pmod {3}} |
| (3,5) |  p\equiv 3\not \equiv q{\pmod {4}} | 해 없음 | 해 없음 |
| (5,11) |  p\not \equiv 3\equiv q{\pmod {4}} |  x\equiv \pm 4{\pmod {11}} |  y\equiv \pm 1{\pmod {5}} |
| (5, 13) |  p\not \equiv 3\not \equiv q{\pmod {4}} | 해 없음 | 해 없음 |
| (13, 17) |  p\not \equiv 3\not \equiv q{\pmod {4}} |  x\equiv \pm 8{\pmod {17}} |  y\equiv \pm 2{\pmod {13}} |