정규 공간
정의

위상 공간  X에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 정규 공간이라고 한다.
임의의 두 서로소 닫힌집합  E,F\subseteq X에 대하여,  E\subset U,  F\subset V인 서로소 열린집합  U,V\subset X가 존재한다.
(우리손 보조정리, Урысон補助定理, 영어: Urysohn lemma) 임의의 두 서로소 닫힌집합  E,F\subseteq X에 대하여,  f|_{E}=0이자  f|_{F}=1인 연속 함수  f\colon X\to [0,1]가 존재한다.:207
(실수 티체 확장 정리) 임의의 닫힌집합  E\subseteq X 및 연속 함수  f\colon E\to \mathbb {R} 에 대하여,  {\tilde {f}}|_{E}=f가 되는 연속 함수  {\tilde {f}}\colon X\to \mathbb {R} 가 존재한다.:219
(폐구간 티체 확장 정리) 임의의 닫힌집합  E\subseteq X 및 폐구간  [a,b]\subseteq \mathbb {R}  및 연속 함수  f\colon E\to [a,b]에 대하여,  {\tilde {f}}|_{E}=f가 되는 연속 함수  {\tilde {f}}\colon X\to [a,b]가 존재한다.:219
즉, 두 닫힌집합을 근방으로 분리하는 것은 실함수로서 분리하는 것과 동치이다.
우리손 보조정리의 증명:
위상 공간  X의 임의의 두 서로소 닫힌집합이 서로소 근방으로 분리되며,  E,F\subseteq X가 서로소 닫힌집합이라고 가정하자. 우선, 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합  \{U_{r}\}_{r\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }를 구성하자.
이를 위해,  [0,1] 속의 유리수 전체의 열
을 잡자. 수학적 귀납법을 사용하여,  n개의 열린집합  \{U_{r(0)},U_{r(1)},\dotsc ,U_{r(n-1)}\}이 위 두 조건을 만족시킨다고 하자.  r(p)<r(n)<r(q)인,  r(n)과 가장 가까운  r(p),r(q)\in \{r(0),r(1),\dotsc ,r(n-1)\}을 고르자.  \operatorname {cl} U_{r(p)}\subseteq U_{r(q)}이므로,  \operatorname {cl} U_{r(p)}와  X\setminus U_{r(q)}는 서로소 닫힌집합이며, 따라서 서로소 열린 근방으로 분리된다. 즉,
인 열린집합  U_{r(n)}\subseteq X가 존재한다. 따라서,  n+1개의 열린집합  \{U_{r(0)},U_{r(1)},\dotsc ,U_{r(n)}\}은 위 두 조건을 만족시킨다.
이제, 다음 함수를 생각하자.
이 함수가  f|_{E}=0,  f|_{F}=1을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서  f가 연속 함수임을 증명하는 일만 남았다. 임의의  y\in (0,1)에 대하여,  f^{-1}([0,y)) 및  f^{-1}((y,1])가 열린집합임을 증명하는 것으로 충분하다.  f(x)<y라고 하자.  f(x)<r<y인 유리수  r를 고르자. 그렇다면  U_{r}는  x의 열린 근방이며,
이다. 즉,  f^{-1}([0,y))는 열린집합이다. 이제  f(x)>y라고 하자. 유리수  f(x)>r>s>y를 고르자. 그렇다면  x\not \in U_{r}이며,  \operatorname {cl} U_{s}\subseteq U_{r}이므로  x\not \in \operatorname {cl} U_{s}이다. 따라서,  X\setminus \operatorname {cl} U_{s}는  x의 열린 근방이며,
이다. 즉,  f^{-1}((y,1])은 열린집합이다.
반대로, 임의의 서로소 닫힌집합  E,F\subseteq X에 대하여,  f|_{E}=0,  f|_{F}=1인 연속 함수  f\colon X\to [0,1]가 존재한다고 가정하자. 그렇다면
는 서로소 열린집합이며,  E\subseteq U,  F\subseteq V이다.
티체 확장 정리의 증명:
위상 공간  X의 임의의 서로소 닫힌집합이 서로소 근방을 통해 분리되며, 임의의 닫힌집합  E\subseteq X 및 연속 함수  f\colon E\to [-1,1]가 주어졌다고 가정하자. 그렇다면,
은  E의 닫힌집합이므로,  X의 서로소 닫힌집합이다. 우리손 보조정리에 따라,  f_{0}|_{A_{0}}=-1/3,  f_{0}|_{B_{0}}=1/3인 연속 함수  f_{0}\colon X\to [-1/3,1/3]가 존재한다. 이 경우
이다. 마찬가지로, 연속 함수  f-f_{0}|_{E}\colon E\to [-2/3,2/3] 및
에 대하여,  f_{1}|_{A_{1}}=-2/9,  f_{1}|_{B_{1}}=2/9인 연속 함수  f_{1}\colon X\to [-2/9,2/9]가 존재하며, 이는
를 만족시킨다. 위 과정을 반복하면 다음 조건을 만족시키는 연속 함수의 열  (f_{i}\colon X\to [-(1/3)(2/3)^{i},(1/3)(2/3)^{i}])_{i=0}^{\infty }을 얻는다.
이제,
라고 하자. 그렇다면,  {\tilde {f}}는 균등 수렴하므로 연속 함수이며,  {\tilde {f}}|_{E}=f이다.
이제, 위상 공간  X의 임의의 서로소 닫힌집합이 서로소 근방을 통해 분리되며, 임의의 닫힌집합  E\subseteq X 및 (유계 함수일 필요가 없는) 연속 함수  f\colon E\to \mathbb {R} 가 주어졌다고 가정하자. 위상동형사상  g\colon \mathbb {R} \to (-1,1)을 고르자. 그렇다면,  g\circ f\colon E\to (-1,1)은 연속 함수이므로,  h|_{E}=g\circ f인 연속 함수  h\colon X\to [-1,1]이 존재한다.
이라고 하자. 그렇다면,  F는 닫힌집합이며,  E\cap F=\varnothing 이므로,  k|_{E}=1,  k|_{F}=0인 연속 함수  k\colon X\to [-1,1]이 존재한다. 이 경우  h\cdot k\colon X\to (-1,1)은 연속 함수이며,  (h\cdot k)|_{E}=g\circ f이다. 따라서,
는  f의 연속 확장이다.
반대로, 임의의 닫힌집합  E\subseteq X 위의 연속 함수  E\to [a,b](또는  E\to \mathbb {R} )가 연속 확장  X\to [a,b](또는  X\to \mathbb {R} )를 가지며,  E,F\subseteq X가 서로소 닫힌집합이라고 가정하자. 그렇다면,  E\cup F는 닫힌집합이며,
는 연속 함수이다. 따라서, 이는 연속 확장  f\colon X\to \mathbb {R} 를 갖는다. 이 경우,
는  E와  F의 서로소 열린 근방이다.
T4 공간(T4空間, 영어: T4 space)은 정규 하우스도르프 공간이다.
정규 공간의 (첫째) 정의는 점을 언급하지 않고 열린집합 및 닫힌집합 만으로 정의되므로, 장소에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 즉, 장소  (L,\land ,\lor ,\top ,\bot )가 다음 조건을 만족시킨다면, 정규 장소(正規場所, 영어: normal locale)라고 한다.
임의의 두 열린집합  A,B\in L에 대하여, 만약  A\lor B=\top 라면,  A\lor V=B\lor U=\top 이며  U\land V=\bot 인 열린집합  U,V\in L이 존재한다.
(이는 정규 공간의 정의와 비교했을 때  E와  F를 각각 그 여집합  A,  B로 대체한 것이다.)