stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
왕온서
생애 > 몰락

그로부터 일 년 남짓 지난 태초 원년(기원전 104년), 한나라는 대완을 정벌하려 하였다. 이때 군사를 일으키면서 조서를 내려 호방하고 힘 있는 관리를 징집하였는데, 왕온서는 부하 화성(華成)을 숨겨 주었다.
이윽고 어떤 사람이 왕온서가 기병으로부터 뇌물을 받았고, 또 간사하고 탐욕스러운 일을 하였다고 고발하였다. 그 죄는 멸족에 이르는 것이었기 때문에, 왕온서는 스스로 목숨을 끊었다. 왕온서의 두 아우와 그들의 두 사돈 집안도 다른 죄를 지어 멸족되었다. 이를 보고 광록훈 서자위는 이렇게 말하였다.
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| “ | 슬픈 일이다. 옛날에는 삼족을 멸하였는데, 지금 왕온서의 죄는 오족이 동시에 멸하기에 이르렀구나! | ” |
왕온서가 죽을 때, 집에 쌓아둔 재산이 천 금이나 되었다.
출전

사마천, 《사기》 권122 혹리열전
반고, 《한서》 권19하 백관공경표 下·권90 혹리전
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| 전임 패 | 전한의 중위 기원전 119년 ~ 기원전 114년 | 후임 윤제 |
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| 전임 패 | 전한의 정위 기원전 114년 ~ 기원전 113년 | 후임 조우 |
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| 전임 윤제 | 전한의 중위 기원전 113년 ~ 기원전 111년 | 후임 표 |
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| 전임 당 | 전한의 소부 기원전 109년 ~ 기원전 107년 | 후임 덕 |
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| 전임 이신성 | 전한의 우내사 기원전 107년 ~ 기원전 105년 | 후임 (경조윤) 무기 |
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| 전임 표 | 전한의 중위 (대행) 기원전 105년 ~ 기원전 104년 | 후임 (사실상) 두주 |
사의 찬미 (드라마)

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사의 찬미 
장르 : 시대극, 멜로
방송 국가 :  대한민국
방송 채널 : SBS
방송 기간 : 2018년 11월 27일 ~ 2018년 12월 4일
방송 시간 : 월, 화 밤 10:00 ~ 11:10
방송 횟수 : 6부작
제작사 : 더스토리웍스
제작 : 박형기
연출 : 박수진
각본 : 조수진
출연자 : 이종석, 신혜선 외
음성 : 2채널 돌비 디지털(디지털)
자막 : 청각 장애인을 위한 자막 방송
HD 방송 여부 : HD 제작 · 방송
외부 링크  : <사의 찬미> 홈페이지
《사의 찬미》는 2018년 11월 27일부터 2018년 12월 4일까지 SBS에서 방영된 SBS 특집드라마이다.
줄거리

조선 최초의 소프라노 윤심덕과 그의 애인이자 천재 극작가인 김우진의 비극적인 사랑과 함께 알려지지 않은 김우진의 작품세계를 재조명한 드라마.
등장 인물 > 주요 인물

이종석 : 김우진 역
신혜선 : 윤심덕 역
등장 인물 > 우진의 가족

김명수 : 김성규(59/64세) 역 - 우진의 아버지
박선임 : 정점효(22/27세) 역 - 우진의 아내
등장 인물 > 심덕의 가족

김원해 : 윤석호(52/57세) 역 - 심덕의 아버지
황영희 : 김씨 역 - 심덕의 어머니
고보결 : 윤성덕 역 - 심덕의 여동생
신재하 : 윤기성 역 - 심덕의 남동생
등장 인물 > 동우회 순회연극단 사람들

이지훈 : 홍난파(24세) 역
정문성 : 조명희(28/33세) 역
오의식 : 홍해성(29/34세) 역
이준이 : 토모다 쿄스케(友田恭助)(23/28세) 역 - 일본 신극 배우, 우진의 와세다대 동문
한은서 : 한기주(24세) 역 - 소프라노, 피아노 연주자
등장 인물 > 심덕 관련 인물

이상엽 : 김홍기(34세) 역 - 심덕의 약혼자
장현성 : 이용문(40대) 역 - 경성의 부호
이철민 : 학무국장 이진호 (50대) 역 - 조선총독부의 관리
김강현 : 이서구(28세) 역 - 닛토 레코드사 문예부장
장혁진 : 다우치(田內)(40대) 역 - 닛토 레코드사 사장
배해선 : 성악과 교수 역
등장 인물 > 그 외 인물

서동원
김인우
다케다
유상화
이휘종
장해송
장준현
최배영
김명진
송하림
김철윤
오상윤
박성택
홍진기
김도건
정영금
최대식
촬영지

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시청률

| 2018년> 회차.회차 | 2018년> 방송일.방송일 | 2018년> TNmS 시청률.대한민국(전국) | 2018년> TNmS 시청률.서울(수도권) | 2018년> AGB 시청률.대한민국(전국) | 2018년> AGB 시청률.서울(수도권) |
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| 제1회 | 11월 27일 | 5.9% | % | 7.4% | 8.3% |
| 제2회 | 11월 27일 | 6.5% | % | 7.8% | 8.9% |
| 제3회 | 12월 3일 | 4.2% | % | 4.7% | % |
| 제4회 | 12월 3일 | 5.1% | % | 5.6% | % |
| 제5회 | 12월 4일 | % | % | 4.7% | % |
| 제6회 | 12월 4일 | % | % | 6.2% | 7.0% |
동시간대 드라마

KBS 월화 미니시리즈
MBC 월화 미니시리즈
하이델베르크 RK

하이델베르거 루더크루프 1872(Heidelberger Ruderklub 1872 e.V.)은 1872년 창단한 독일 하이델베르크의 프로 럭비 유니온과 조정 팀이다. 현재 럭비-분데스리가에 참가하고 있다.
우승

| 전거 통제  |
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국제:  VIAF 
국가:  독일
한스 크리스티안 외르스테드

| 한스 크리스티안 외르스테드 Hans Christian Ørsted |
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출생: 1777년 8월 14일
사망: 1851년 3월 9일
성별: 남성
국적: 덴마크
직업: 물리학자, 화학자
는 여기로 연결됩니다. 다른 뜻에 대해서는 외르스테드 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
한스 크리스티안 외르스테드
한스 크리스티안 외르스테드(덴마크어: Hans Christian Ørsted: 1777년 8월 14일 ~ 1851년 3월 9일)는 덴마크의 물리학자이자 화학자이다. 그는 19세기 후반에 후기 칸트 철학을 완성하였고 과학에 있어서도 큰 발전을 이루었다. 외르스테드는 전자기학 부분에서 전기와 자기의 관계를 발견한 것으로 잘 알려져 있는데, 그뿐만 아니라 과학 실험을 명쾌하게 설명하고 이름 붙인 최초의 사람이기도 하다.
어린 시절 및 연구

외르스테드는 덴마크의 랑엘란섬(Langeland)에서 약사의 아들로 태어났다. 외르스테드는 약사였던 아버지의 일을 도우면서 과학에 대해 관심 가졌다. 많은 자식들을 다 부양할 만한 경제적 능력이 없었으므로, 외르스테드와 동생 아네르스 사뇌 외르스테드(Anders Sandøe Ørsted)는 매우 어릴 적에 가족의 친구 집으로 보내졌는데 그 집의 부부는 아이들 교육에 관심을 기울였다. 성경으로 독일어를 가르쳤으며 약간의 라틴어와 수학도 공부시켰다. 외르스테드 형제는 정규학교에서 교육받은 것이 아닌데도 불구하고 어린 나이에 무엇이든 알고 싶어했다.
외르스테드와 그 동생은 1793년에 코펜하겐 대학교 입학시험을 치기 위해 코펜하겐으로 갔다. 외르스테드 형제는 시험을 매우 뛰어난 성적으로 통과하였고, 열심히 공부하였다. 그는 철학, 특히 임마누엘 칸트에 매우 흥미가 있었으나 천문학, 물리학, 수학, 그리고 화학을 공부했으며, 1796년에 물리학과 미학(美學) 부분에서 우등상을 받고 1797년 화학으로 학위를 받았다.
철학잡지의 편집일을 보다가 외르스테드는 과학에서 칸트의 철학이 차지하는 중요성을 검토하는 박사학위 논문을 준비하기 시작했다. 이후 1801년에 외르스테드는 3년간 유럽을 여행할 수 있는 장학금을 받았다. 그때 독일에서 외르스테드는 전기와 자기 사이에 연관성이 있다고 생각하는 물리학자 요한 빌헬름 리터(Johann Wilhelm Ritter)를 만났다. 이때 외르스테드는 자연에는 규칙이 있다고 믿었기 때문에 전기와 자기 사이에는 틀림없이 연관성이 있다고 믿었다. 그 후 독일의 여러곳을 자주 여행하면서 볼타전지를 발명하는 계기가 되었던 전기와 화학사이의 관계에 대해 이루어진 연구들을 공부했다.
요한 빌헬름 리터와의 대화는 외르스테드를 물리학에 전념하도록 만들었으나, 물리학 교수직을 얻는 것은 쉽지 않았다. 경제적으로 궁핍한 나머지 외르스테드는 과학과 철학에 대한 주제로 대중을 상대로 일련의 강좌를 맡기 시작했다. 그는 마침내 1806년 코펜하겐 대학교의 교수가 되어 전류 작용과 음향학에 대해 연구하게 되었다. 그의 지시 아래, 코펜하겐 대학은 물리학과 화학 프로그램을 수행하기 위한 새로운 실험실을 설립하기에 이르렀다.
전자기학

1820년 4월 21일에 저녁 실험 강의 도중 어떤 현상을 발견했는데, 그 강의에 참석했던 사람들의 말에 의하면, 외르스테드는 실험도중에 일어난 현상을 보고 전혀 예상하지 못했던 것처럼 당황했다고 한다. 그가 전류가 흐를 때, 전선의 주변에 있던 나침반 바늘이 북극을 가리키지 않는 것을 알아차렸다. 즉, 볼타전지의 양극과 음극 기둥 양 끝을 잇는 철사에 강한 전류를 흘려보낼 때, 북쪽에서 남쪽 방향을 향하는 철사 옆에 나란히 놓인 나침반의 바늘이 철사의 방향과 수직하게 동쪽에서 서쪽을 향하도록 90도 회전한 다음 계속 그 방향을 가리키는 것을 보고 놀랐다.
그가 철사에 흐르는 전류의 방향을 바꾸니, 나침반의 바늘은 즉시 180도 회전 하는 것이었고, 철사가 놓인 방향에 상관없이 바늘이 철사에 흐르는 전류의 방향에 따라서 철사의 한쪽 옆이나 다른 쪽 옆을 향하였다. 이것은 자침에 작용하는 힘의 행동 양상이 정전기력이나 만유인력과 달랐기 때문에 이 발견 자체는 과학연구에 즉각적인 반향을 일으켰다. 바늘이 회전하였다는 사실은 두 질량이나 두 전하 또는 두 자극 사이에 작용하는 것과 같이 단순한 인력이나 척력이 아니고 전류에서 발생한 돌림힘의 영향을 받는다는 것을 시사한다. 이 나침반 바늘의 회전은 자기장과 전류 사이에 어떤 관계가 있다는 것을 증명하는 것이었고, 그것은 바로 전기와 자기의 관계를 의미하는 것이었다. 나침반의 바늘이 전하에 의해 영향을 받지는 않는다는 사실로부터 이 회전은 자기적인 효과임이 명백했으며, 그래서 외르스테드는 전류가 자기를 발생시킨다는 올바른 결론을 내렸다.
외르스테드는 그 현상에 대해 어떠한 만족스러운 설명도 하지 않았고, 수학적 방식으로도 표현하려 하지 않았다. 그러나 3개월 후에 그 현상에 대해 집중하여 조사하였다. 그리고 그는 전선을 통해 흐르는 전류가 자기장을 만든다는 것을 증명하고 결과물을 출판하였다.
알루미늄

외르스테드는 알루미늄을 화학적으로 만드는 데 큰 기여를 하였다. 1825년 최초로 염화알루미늄 제조에 성공했는데 이 발견은 후에 F.뵐러에 의한 금속알루미늄 제조의 기초가 되었다.
시

외르스테드는 작가이자 시인이었다. 그는 동료 과학자이자 마술사인 에티엥 가스파르 로베르의 비행을 보던 중 영감을 얻어 시집 《비행선》을 썼다.
외르스테드는 문학에도 취미가 있어 시인 욀렌 슐레게르와 동화작가 한스 크리스티안 안데르센과도 친교가 있었다.
후대에 미친 영향

외르스테드가 발견한 것은 정말로 인류 역사 이래 과학분야에서 가장 위대한 발견 중의 하나인데, 이것이 우리 생활과 사회의 모든 측면을 변혁시킨 전자기의 광대한 과학적 그리고 기술적인 영역을 향한 문을 열어주었기 때문이다. 외르스테드의 위대한 발견 이후로 전류사이의 상호작용에 관한 연구는 자신의 이름이 전류의 단위로 채택된 앙드레마리 앙페르의 뛰어난 업적을 선두로 아라고, 패러데이, 베버 등이 전자기학 성립을 이루도록 왕성하게 진행되었다. 그리고 외르스테드의 발견은 에너지개념의 통일에 있어서 큰 역할을 했다．
외르스테드는 자연과학 진흥에 힘써 코펜하겐 공과대학을 설립하고, 과학 보급운동에 진력했다. 또한 지구자기관측소를 설립했고, 덴마크 왕립과학협회를 창설하여 회장이 되었다. 자기장의 세기의 단위인 에르스텟(Oe)은 그의 업적을 기리기 위해 이름을 딴 것이다.
같이 보기

맥스웰
코펜하겐에 있는 외르스테드의 동상
Hans Christian Ørsted, Der Geist in der Natur, 1854
뉴캐슬 팰컨스

뉴캐슬 팔콘스(영어: Newcastle Falcons)는 1877년에 창단된 잉글랜드 뉴캐슬 어폰 타인의 프로 럭비 유니온 팀이다. 잉글리시 프리미어십에 참가하고 있으며 홈구장은 킹스턴 파크이다.
| v t e잉글리시 프리미어십 |
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2011–12 시즌 팀:  바스  엑서터 치프스  글로스터  할리퀸  레스터 타이거스  런던 아이리시  런던 와스프스  뉴캐슬 팔콘스  노스햄프턴 세인츠  세일 샤크스  사라센스  워체스터 워리어스 
잉글리시 프리미어십 시즌:  1987–88  1988–89  1989–90  1990–91  1991–92  1992–93  1993–94  1994–95  1995–96  1996–97  1997–98  1998–99  1999–2000  2000–01  2001–02  2002–03  2003–04  2004–05  2005–06  2006–07  2007–08  2008–09  2009–10  2010–11  2011–12 
| 전거 통제  |
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국제:  VIAF 
국가:  미국
제10대 달라이 라마

| 취침갸초 ཚུལ་ཁྲིམ་རྒྱ་མཚོ་ |
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로마자 표기: Tsultrim Gyatso
출생: 1816년 티베트 동부
사망: 1837년
성별: 남성
국적: 티베트
학력: 드레풍 사원
경력: 제10대 달라이 라마
직업: 종교인
활동 기간: 1822년 ~ 1837년
소속: 겔룩파
종교: 불교
취침갸초(티베트어: ཚུལ་ཁྲིམ་རྒྱ་མཚོ་, 1816년 ~ 1837년)는 제10대 달라이 라마이다.
티베트 동부의 중산층 가정에서 태어났다. 1820년에 제9대 달라이 라마의 환생자로 인정받았고, 1822년 포탈라 궁에서 10대 달라이 라마로 즉위하였다. 취침갸초는 전대 달라이 라마가 서거하고 8년이나 지난 후에 새로운 달라이 라마로 즉위하였는데, 이는 당시 티베트를 둘러싼 복잡한 정치적 상황 때문이었다.
1822년, 그는 포탈라 궁에 있는 황금 옥좌에 올랐고, 판첸 라마에게 '취침갸초'라는 이름을 정식으로 받았다. 후에 판첸 라마는 취침갸초에게 겔룩파의 맹세를 시키기도 하였다. 1826년에 그는 드레풍 사원에 들어갔고, 티베트의 학문에 통달하였다. 그는 그의 일생동안 티베트 불교의 교리를 더욱 자세히 탐구하고자 노력하였다.
1831년, 취침갸초는 19살의 나이에 포탈라 궁의 재건을 명했고, 같은 해에 판첸 라마에 의해 겔룩파에 정식으로 입문하게 되었다. 그는 티베트의 경제 구조를 정비하려 하였으나, 불행히도 그의 계획이 실현되는 것을 지켜볼 만큼 오래 살지 못했다. 취침갸초는 생애 내내 건강이 안좋았으며, 1837년에 선종했다.
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| 전임 룽독갸초 | 제10대 달라이 라마 1822년 ~ 1837년 | 후임 케줍갸초 |
| v t e달라이 라마 |
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 게뒨줍빠 (추존)  게뒨갸초 (추존)  쇠남갸초  왼땐갸초  아왕로쌍갸초  창앙갸초  (예셰갸초 (참칭자))  게상갸초  참빼갸초  룽독갸초  취침갸초  케줍갸초  친레갸초  툽땐갸초  땐진갸초 
| 전거 통제  |
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국제:  ISNI  VIAF 2  월드캣 
국가:  독일  미국  네덜란드  폴란드
로니 케르

| 로니 케르 Ronnie Kerr |
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출생: 1974년 3월 30일 모리스군 (뉴저지주)
성별: 남성
국적: 미국
직업: 배우, 텔레비전 배우, 영화 프로듀서
로니 케르(Ronnie Kerr, 1974년 3월 30일 ~ )는 미국의 배우, 텔레비전 배우, 영화 프로듀서이다.
모리스군 (뉴저지주)에서 태어났다.
영화

소금물 (2012년) - 윌 바스튼 역
셧 업 앤 키스 미 (2010년) - 벤 역
신풀 (2006년) - 짐 역
남원읍성

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 대한민국의 사적

종목: 사적 (구)제298호  (1982년 11월 3일 지정)
면적: 7,521m2
시대: 조선시대
위치
남원읍성남원읍성(대한민국)
주소: 전북특별자치도 남원시 동충동 464-1번지
좌표: 북위 35° 24′ 46.6″ 동경 127° 23′ 4.2″﻿ / ﻿북위 35.412944°  동경 127.384500° ﻿ / 35.412944; 127.384500
정보: 국가유산청 국가유산포털 정보
남원읍성이 있었던 위치
남원읍성(南原邑城)은 대한민국 전북특별자치도 남원시 동충동에 있는 조선시대 읍성이다.
개요

중국의 성곽에 영향을 받은 네모 반듯하게 축조한 평지 읍성이다. 판상할석(板狀割石)을 사용한 협축법으로 축조되었으며, 규모는 둘레 2.5 km 정도, 높이는 4m정도이다.
옹성(甕城)이 16곳, 여장(女墻)이 1,016개에 달한 성곽이었으며, 성벽 바깥으로 깊은 도랑[溝]을 두른 큰 성이었다. 4방으로 성문이 있었는데, 그 가운데 남문이 가장 장대하여 홍예문 위에 누각을 올려 완월루(翫月樓)라 하였다.
돌축대의 길이는 2.4km가 넘고, 높이 약 4m에 이르며 성 안에는 70여 개의 우물이 있었다. 성 내에는 남북과 동서로 직선대로가 교차하고, 그 사이에도 너비가 좁은 직선도로가 교차하여 바둑판 모양의 도로구성을 볼 수 있다. 근대에 들어와 도시가 들어서며 성곽은 대부분 헐려나갔으나, 시내 중심부의 도로는 지금도 바둑판 모양으로 되어 있어, 과거 성내의 가로 구성의 흔적을 보이고 있다.
조선시대 읍성의 가장 전형적인 구조를 하고 있으며, 규모가 크고 우리나라 성곽에서는 거의 보이지 않는 네모 반듯한 구성과 성내의 가로가 직선으로 구성된 점이 흥미롭다.
성곽 > 완월루(翫月樓)

남원읍성에 남문이다.
성곽 > 공신루(拱宸樓)

남원읍성에 북문이다. 현재 복원 중이다.
성곽 > 망미루(望美樓)

남원읍성에 서문이다.
성곽 > 향일루(向日樓)

남원읍성에 동문이다.
역사

685년(신라 신문왕 5년) 때 지방 행정구역 개편에 따라 남원소경을 설치하였고, 691년에 네모난 형태의 평지 읍성을 쌓았다. 조선 전기에 편찬된 《신증동국여지승람》 고적조에 따르면 이 때에도 이미 남원에 ‘격자 모양의 유기’(井田遺基)가 있다고 기록하고 있으니 옛부터 바둑판 모양으로 구획을 지었던 것으로 보인다.
정유재란을 앞둔 1597년 외침에 대비해 성을 크게 다시 쌓고 수리하여 담을 높였다.
역사 > 남원성 전투

이 부분의 본문은 남원 전투입니다.
정유재란이 발발한 1597년(선조 30년) 8월 일본군이 남원읍성을 공격했다. 조명 연합군은 각지의 의병장들과 군민들까지 합세해 일본군을 상대로 전투를 치렀으나 결국 남원읍성이 함락된 후 모두 살해당했고, 지휘관 이복남은 자살했다. 남원읍성이 일본군에 점령당하자 이복남, 임현, 정기원, 신호 등은 성문으로 잠입하여 성을 점령한 5만 8천명의 일본군과 교전하였으나, 중과부적으로 패하고 전사하였다. 이 때 명나라의 부총병 양원 등은 성을 탈출했다. 남원읍성이 함락될 당시 만복사도 일본군의 방화로 소실되었고, 종전 후에도 만복사는 중건되지 못한 채 현재도 절터로만 남아 있다.
이 때 생긴 조선의 1만 명이 넘는 전사자를 북문 바깥에 합장한 곳이 만인의총이다.
임진왜란 당시 남원성 침공 작전도
1872년 지방지도 중 남원부지도에서 남원읍성
역사 > 정유재란 이후

《용성지》에 따르면 성의 네 개 문루는 숙종 18년(1692년)에 중건했다. 지금 남아있는 성벽은 조선시대 철종 18년(1862년) 개축한 것이다.[출처 필요]
1894년 동학 농민 운동 때 동문·남문을 포함한 일부 성벽이 허물어졌다. 이후 1930년대에 조선총독부가 전라선 남원역을 세우면서 북문·서문을 포함한 성벽을 철거했다.
1982년 11월 3일 남원성이란 이름으로 대한민국 사적 제298호로 지정되었으나, 2011년 7월 28일 남원읍성으로 문화재 명칭이 변경되었다.
복원

유네스코의 권고로 문화재 보호를 위해 경주 시내의 철도 구간을 이설하여 경주역으로 통합한 것과 비슷한 맥락으로, 전라선의 복선 전철화와 함께 옛 남원읍성 복원을 위하여 전라선 선로를 이설함과 동시에 남원역을 동충동 역사 서쪽의 신정동으로 이전했다.
쓰이지 않게 된 구 남원역사 자리에 북문 및 북 성벽을 복원 중이다.
참고자료

남원읍성 - 국가유산청 국가유산포털
| v t e전북특별자치도의 성(城) |
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공원 | 교통 | 도로 | 도서관 | 동굴 | 박물관 | 산 | 서원 | 섬 | 성 | 온천 | 저수지 | 종합병원 | 축제 | 하천 | 해수욕장
고창군:  고산성  고창읍성  무장읍성  서산산성  서산성  예지리산성  왕촌리산성  장사성 
군산시:  어래산성 
김제시:  금구산성  금구토성  명금산성  성산산성 
남원시:  가산리산성  교룡산성  남원읍성  비홍산성  성리산성  신기리산성  아막성  장교리산성  척문리산성  청계리산성  태평리산성 
무주군:  적상산성 
부안군:  구지리성  반곡리산성  백산성  사산리산성  상소산성  소산리산성  수문산성  염창산성  용정리성  용화성  우금산성  장동리성 
순창군:  대모산성  창오교리산성  합미성  홀어머니산성 
완주군:  고당리산성  고성산성  관동리산성  구억리산성  대치산성  백도리산성  백현리성  봉실산성  삼례토성  상삼리산성  소향리산성  야산산성  용계산성  위봉산성  이전리산성  제내리산성  종리산성  화심리산성 
익산시:  금마도토성  낭산산성  당치산성  모질메산성  미륵산성  성인봉산성  어래산성  용화산성  익산토성  저토성  천호산성  학현산성 
임실군:  구고리성  대리산성  성미산성 
장수군:  거령성  거녕산성  대곡리산성  대성리산성  명덕리산성  사계리산성  사현산성  삼봉리산성  용계리산성  이산산성  침령산성  합미성 
전주시:  남고산성  동고산성  서고산성  원당리산성 
정읍시:  고사부리성  금사동토성  두승산성  무성리산성  백산리산성  산성리산성  상두산성  오성리산성  용호리산성  우덕리산성  은선리토성  죽지리산성  초산성  평사리산성  행단산성 
진안군:  가막리산성  강정리산성  군하리성  성뫼산성  와정유적  합미산성  환미산성 
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사영 다형체

타원 곡선은 종수 1인 매끄러운 사영 곡선이다.
대수 기하학에서 대수적으로 닫힌 체  k 위의 대한 사영 다형체(영어: Projective variety)는  k 위의  n차원 사영 공간  \mathbb {P} ^{n}의 부분 집합으로, 다형체의 이데알을 정의하는 소 이데알을 생성하는  k에서 계수를 가지는  n+1 변수 동차다항식들의 유한 족의 영점 집합이다. 동등하게, 대수적 다형체는  \mathbb {P} ^{n}의 자리스키 닫힌 부분 다형체로 포함될 수 있는 경우 사영 다형체이다.
사영 다형체는 차원이 1이면 사영 곡선이다. 차원이 2이면 사영 곡면이다. 그 차원이 포함하는 사영 공간의 차원보다 하나 작으면 사영 초곡면이다. 이 경우 동차다항식 하나의 영점 집합이다.
X가 동차 소 이데알  I에 의해 정의된 사영 다형체인 경우 몫환
은  X의 동차 좌표 환라고 한다. 차수와 차원 같은  X의 기본 불변량은 이 등급환의 힐베르트 다항식에서 읽을 수 있다.
사영적 다형체는 여러 가지 방식으로 만들어 진다. 사영 다형체는 완비인데, 여기서 완비란 "누락된" 점이 없음을 의미한다고 대략적으로 설명할 수 있다. 그 반대는 일반적으로 사실이 아니지만 저우 보조 정리는 이 두 개념의 밀접한 관계를 설명한다. 다형체가 사영임을 보여주는 것은  X에서 선다발 또는 약수를 연구하여 수행된다.
사영 다형체의 두드러진 특징은 층 코호몰로지에 대한 유한성 제약이다. 매끄러운 사영 다형체의 경우 세르 쌍대성은 푸앵카레 쌍대성과 비슷하다고 볼 수 있다. 또한 사영 곡선, 즉 1차원 사영 다형체에 대한 리만-로흐 정리로 이어진다. 사영 곡선 이론은 특히 풍부하며 곡선의 산술 종수에 따른 분류를 포함한다. 더 높은 차원을 가진 사영 다형체에 대한 분류는 자연스럽게 사영 다형체의 모듈라이 공간으로 이어진다. 힐베르트 스킴은 정해진 힐베르트 다항식으로  \mathbb {P} ^{n}의 닫힌 부분 스킴를 매개변수화한다. 힐베르트 스킴은 그라스마니안을 특수한 경우로 포함하며, 힐베르트 스킴도 그 자체로 사영 스킴이다. 기하 불변 이론은 또 다른 접근법을 제공한다. 고전적인 접근 방식에는 타이히뮐러 공간과 저우 다형체가 포함된다.
고전 수학으로 거슬러 올라가는 특히 풍부한 이론은 복소 사영 다형체, 즉  X를 정의하는 다항식이 복소 계수를 가질 때 사용할 수 있다. 대체로 GAGA 정리는 사영 복소 해석 공간(또는 다양체)의 기하학이 사영 복소 다형체의 기하학과 동일하다고 말한다. 예를 들어,  X에 대한 정칙 선형 다발(보다 일반적으로 해석적 연접층)이론은 대수 선형 다발 이론과 일치한다. 저우 정리는 사영 공간의 부분 집합이 동차 다항식의 영점 집합임과 정칙 함수 족의 영점 집합임이 동치라고 말한다. 복소 사영 다형체에 대한 해석적 및 대수적 방법의 조합은 호지 이론과 같은 영역으로 이어진다.
다형체와 스킴 구조 > 다형체 구조

k를 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 사영 다형체를 정의할 때 기본은 사영 공간  \mathbb {P} ^{n}이다. 다음과 같은 동치인 방식들로 정의할 수 있다:
k^{n+1} 안에서 원점을 통과하는 모든 직선들의 집합(즉,  k^{n+1}의 모든 1차원 벡터 부분공간)
x_{0},\dots ,x_{n} 모두 0이 아닌 순서쌍  (x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}들의 집합에, 동치 관계 (x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})\;\forall \lambda \in k\setminus \{0\}로 분할한 집합. 여기서 순서쌍들의 동치류는 [
[x_{0}:\dots :x_{n}]로 나타낸다. 이 동치류가 사영 공간의 일반적인 점이다. 그 점의 




x

0


,

x

1


,
…
,

x

n




{\textstyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}}

들은 동차 좌표라고 부른다.
사영 다형체는 정의 상  \mathbb {P} ^{n}의 닫힌 부분 다형체이다.  여기서 "닫힌"은 자리스키 위상에서 닫힘을 나타낸다. 일반적으로 자리스키 위상의 닫힌 부분 집합은 동차 다항식 함수들의 유한 족의 공통 영점 집합으로 정의된다. 주어진 다항식  f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]에 대해, 조건
는 임의의 다항식에 대해서는 의미가 없고  f가 동차인 경우에만, 즉,   f의 모든 단항식들의 차수가 동일한 경우에만 가능하다. 이 경우
의 소멸은  \lambda \neq 0의 선택과 무관하다.
그러므로 사영 다형체는  k[x_{0},\dots ,x_{n}]의 동차 소 이데알  I에서 발생한다.
더욱이, 사영 다형체  X는 대수 다형체이며, 이는 열린 아핀 부분다형체들에 의해 덮이고 분리 공리를 만족한다는 것을 의미한다. 따라서  X의 국소적 연구(예: 특이점)는 아핀 다형체의 연구로 귀결된다. 이에 대한 명시적 구조는 다음과 같다. 사영 공간  \mathbb {P} ^{n}는 표준 열린 아핀 좌표 조각들
로 덮인다. 이 좌표 조각들 자체는 각각 좌표 환이
인  n 차원 아핀 공간이다. 표기의 단순성을 위해  i=0이라하고 위 첨자(0)를 삭제한다. 그러면  X\cap U_{0}는  I의 모든  f에 대해  f(1,y_{1},\dots ,y_{n})들로 생성된  k[y_{1},\dots ,y_{n}]의 이데알로 정의되는  U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}의 닫힌 부분 다형체이다.
따라서  X는  n+1 차원 열린 아핀 좌표 조각  X\cap U_{i}들에 덮이는 대수적 다형체이다.
X는  \mathbb {P} ^{n} 안의 아핀 다형체  X\cap U_{0}의 폐포임을 주의하라. 반대로, 어떤 닫힌(아핀) 다형체  V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}에서 시작하여,  \mathbb {P} ^{n} 안에서  V의 폐포는  V의 사영 완비화라고 불리는 사영 다형체이다. 만약에  I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]가  V를 정의하면 이 폐포를 정의하는 이데알은  I의 모든  f 에 대해  x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})들로 생성된  k[x_{0},\dots ,x_{n}]의 동차 이데알이다.
예를 들어,  V가  y^{2}=x^{3}+ax+b과 같이 주어진 아핀 곡선이라면, 아핀 평면에서, 사영 평면에서의 사영 완비화는  y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}과 같이 주어진다.
다형체와 스킴 구조 > 사영 스킴

다양한 응용을 위해 사영적 다형체, 즉 사영 스킴보다 더 일반적인 대수기하학적 객체를 고려할 필요가 있다. 사영 스킴을 향한 첫 번째 단계는 대수 다형체로서의 사영 공간에 대한 위의 설명을 정제하는 방식으로 사영 공간에 스킴 구조를 부여하는 것이다.  \mathbb {P} ^{n}(k)는  n+1개의 아핀 n 차원 공간  k^{n}들를 합집합 한 스킴이다. 보다 일반적으로, 환  A 위의 사영 공간은 아핀 스킴
들의 합집합이다. 이러한 방식으로 변수가 예상대로 일치한다. 대수적으로 닫힌 체  k의 경우,  \mathbb {P} _{k}^{n}의 닫힌 점들의 집합은 일반적인 의미에서 사영 공간  \mathbb {P} ^{n}(k)이다.
동일하지만 효율적인 구성은 Proj 구성에 의해 제공되며, 이는 아핀 스킴을 정의하는 "Spec"으로 표시되는 환 스펙트럼과 비슷하다. 예를 들어  A가 환이라면
R이  k[x_{0},\ldots ,x_{n}]의 몫환인 경우 동차 이데알  I에 의해 표준 전사는 닫힌 몰입
을 유도한다. 사영 다형체에 비해 이데알  I가 소 이데알이라는 조건이 없어졌다. 이는 훨씬 더 유연한 개념으로 이어진다. 한편으로는 위상 공간  X=\operatorname {Proj} R에 여러 개의 기약 성분이 있을 수 있다. 더욱이  X에는 멱영원 함수가 있을 수 있다.
\mathbb {P} _{k}^{n}의 닫힌 부분 스킴은  k[x_{0},\ldots ,x_{n}]의 포화된 동차 이데알  I에 1대1 대응한다; 즉,  I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I. 이 사실은 사영 영점 정리의 세련된 버전으로 간주될 수 있다.
위의 개념에 대해 좌표 없는 아날로그를 제공할 수 있다. 즉, 유한차원 벡터 공간 V over k 가 주어지면
여기서  k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})는  V^{*}의 대칭 대수이다. 그것은  V의 사영이다. 즉,  V의 직선들을 매개변수화한다. 위에서 설명한 좌표 조각을 사용하여 정의되는 정규 전사 사상  \pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)이 있다. 구성의 한 가지 중요한 용도는 다음과 같다(§ Duality and linear system 참조). 사영 다형체  X의 약수  D는 선다발  L에 해당한다. 그러면
와 같이 설정한다. 이를  D의 완비 선형계라고 한다.
임의의 스킴  S에 대한 사영 공간은 스킴의 올곱
으로 정의할 수 있다. 만약에  {\mathcal {O}}(1)가  \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n} 세르의 비틀린 층이면,  {\mathcal {O}}(1)를  \mathbb {P} _{S}^{n}로 당긴 것을  {\mathcal {O}}(1)로 나타낸다.; 즉, 표준 사상  g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}에 대해  {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1)).
스킴  X\rightarrow S가   S로의 사영이 따르는 닫힌 몰입
으로서 분해되면  S 위에서 사영적이라고 한다.
S-스킴  X 위의 선다발(또는 가역 다발)  {\mathcal {L}}은 어떤 n 에 대해  {\mathcal {O}}(1)이  {\mathcal {L}}로 당겨지도록 하는 몰입(즉, 닫힌 몰입이 따라오는 열린 몰입)
이 있는 경우,  S에 아주 풍부하다고 한다. 그러면  S-스킴  X는 그것이 적절하고  S에 비해  X에 아주 풍부한 다발이 존재하는 경우에, 그리고 그때에만 사영적이다. 실제로  X가 적절하면 아주 풍부한 선다발에 해당하는 몰입이 필연적으로 닫힌다. 반대로,  X가 사영이면,  X의 닫힌 몰입 아래에서  {\mathcal {O}}(1)의 사영 공간으로의 당김은 아주 풍부하다. "사영"이 "적절한"을 의미한다는 것은 더 깊은 의미를 지닌다: 소거론의 주요 정리.
완비 다형체와의 관계

정의에 따르면 다형체는  k에 대해 적절할 경우 완비다. 적합성의 판별 기준은 적절한 다형체에 "누락된" 점이 없다는 직관을 표현한다.
완비 다형체와 사영 다형체 사이에는 밀접한 관계가 있다. 한편으로는, 사영적 공간, 따라서 모든 사영 다형체가 완비이다. 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다. 하지만:
매끄러운 곡선  C는 완비인 경우에만 사영적이다. 이는  k에 대한 함수체  k(C)의 이산 값매김 환 집합으로  C를 식별함으로써 증명된다. 이 집합에는 자리스키-리만 공간이라고 하는 자연스러운 자리스키 위상이 있다.
저우 보조 정리는 모든 완비 다형체  X에 대해 사영 다형체  Z와 쌍유리 사상  Z\rightarrow X가 있음을 나타낸다. (또한 정규화를 통해 이 사영 다형체가 정규라고 가정할 수 있다.)
사영 다형체의 일부 성질은 완비성에서 비롯된다. 예를 들어, 모든 사영 다형체 X over k 에 대해,
이 사실은 리우빌 정리(콤팩트 연결 복소 다양체의 모든 정칙 함수는 상수함수)의 대수학적 유사체이다. 사실, 복소 사영 다형체에 대한 복소 해석적 기하학과 대수 기하학 사이의 유사성은 아래에서 설명하는 것처럼 이보다 훨씬 더 나아간다.
준 사영 다형체는, 정의 상, 사영 다형체의 열린 부분 다형체이다. 이 종류의 다형체에는 아핀 다형체가 포함된다. 거의 모든 아핀 다형체는 완비(또는 사영)가 아니다. 사실, 아핀 다형체의 사영 부분 다형체는 0차원 이여야 한다. 이는 상수함수만이 사영 다형체에 대한 대역적 정규 함수이기 때문이다.
예제 및 기본 불변량

정의에 따르면, 다항식 환의 모든 동차 이데알은 사영 스킴을 생성한다(다형체를 제공하려면 소 이데알이어야 함). 이런 의미에서 사영적 다형체의 예는 많다. 다음 목록은 특히 집중적으로 연구되었기 때문에 주목할 만한 다양한 종류의 사영 다형체를 언급한다. 복소 사영 다형체의 중요한 부류, 즉,  k=\mathbb {C} 인 경우, 아래에서 더 자세히 설명한다.
두 사영 공간의 곱은 사영적이다. 사실 명시적 몰입( 세그레 매장이라고 함)이 있다.
결과적으로,  k에 대한 사영 다형체의 곱은 다시 사영이다. 플뤼커 매장은 그라스마니안을 사영 다형체로 나타낸다. 일반 선형 군  \mathrm {GL} _{n}(k)의 상 삼각 행렬의 부분 군을 법으로 한 몫군과 같은 깃 다형체들은 사영적이며, 이는 대수군 이론에서 중요한 사실이다.
예제 및 기본 불변량 > 동차 좌표환과 힐베르트 다항식

사영 다형체  X를 정의하는 소 아이디얼  {\mathfrak {p}}가 동차이므로 동차 좌표 환
는 등급환이다. 즉, 등급이 매겨진 성분들의 직합으로 표현할 수 있다.
모든 충분히 큰  n에 대해,  \dim R_{n}=P(n)과 같은 다항식  P가 존재한다. 이 다항식을  X의 힐베르트 다항식이라고 한다. 이는  X의 외적 기하학을 인코딩하는 불변량이다.  P의 차수는  X의 차원  r이고,  P의 선행 계수에  r!을 곱하면 다형체  X의 차수가 된다.  X가 매끄러울 때  X의 산술 종수는  (-1)^{r}(P(0)-1)이다.
예를 들어,  \mathbb {P} ^{n}의 동차 좌표 환은  k[x_{0},\ldots ,x_{n}]이고 힐베르트 다항식은  P(z)={\binom {z+n}{n}};  산술 종수는 0이다.
동차 좌표 환  R은 정수적으로 닫힌 정역이다. 그래서 사영 다형체  X는 사영적으로 정규라고 한다. 스킴의 정규성과는 달리, 사영적 정규성은  R에 따라 다르다.  X의 사영 공간으로의 매장. 사영 다형체의 정규화는 사영적이다; 사실, 그것은  X의 동차 좌표 환의 정수적 폐포의  Proj이다.
예제 및 기본 불변량 > 차수

X\subset \mathbb {P} ^{N}를 사영 다형체라 하자. 매장을 기준으로  X의 차수를 정의하는 방법에는 적어도 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 유한 집합의 기수로 정의하는 것이다.
여기서  d는  X의 차원이고  H_{i}는 "일반 위치"에 있는 초평면이다. 이 정의는 차수에 대한 직관에 해당한다. 실제로  X가 초곡면이면  X의 차수는  X를 정의하는 동차 다항식의 차수이다. "일반 위치"는 예를 들어 교차 이론에 의해 정확해질 수 있다. 교집합이 적절하고 기약 성분의 중복도가 모두 1이라는 것을 요구한다.
이전 적에서 언급한 다른 정의는  X의 차수가  X의 힐베르트 다항식의 선행 계수와  (\dim X)!의 곱이라는 것이다. 기하학적으로 이 정의는  X의 차수가  X에 대한 아핀 원뿔의 꼭지점의 중복도임을 의미한다.
V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}가 적절히 교차하는 순수 차원의 닫힌 부분 스킴이라 하자(일반적인 위치에 있음).  m_{i}가 교차에서 기약 성분  Z_{i}의 중복도를 나타내는 경우(즉, 교차 중복도), 베주 정리의 일반화는 다음과 같이 말한다.
교차 중복도  m_{i}는  \mathbb {P} ^{N}의 저우 환에서 교차 곱  V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}에서  Z_{i}의 계수로 정의될 수 있다.
특히, 만약  H\subset \mathbb {P} ^{N}가  X를 포함하지 않는 초곡면인 경우
여기서  Z_{i}는 중복도(국소적 환의 길이)  m_{i}를 갖는  H 와  X의 스킴 이론적 교점의 기약 성분이다.
복소 사영 다형체는 콤팩트 복소 다양체로 볼 수 있다. 다형체의 차수(매장에 상대적인)는 주변 복소 사영 공간에서 물려받은 계량과 관련하여 다양체로서의 다형체의 부피이다. 복소 사영 다형체는 (어떤 의미에서) 부피의 극소화로 특징지어질 수 있다.
예제 및 기본 불변량 > 단면의 환

X를 사영 다형체이라고 하고  L을 선 다발이라고 하자. 그러면 등급환
를  L의 단면의 환이라고 한다.  L이 풍부한 경우 이 환의 Proj는  X이다. 게다가  X가 정규이고  L이 아주 풍부하다면  R(X,L)은  L에 의해 결정된  X의 동차 좌표 환의 정수적 폐포이다. 즉,  X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}라서  {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)를  L로 당기도록.
응용에서, 약수(또는  \mathbb {Q}  -약수)는 단지 선다발이 아니다.  X가 정규라고 가정하면 결과 환을 일반화된 단면 환이라고 한다. 만약에  K_{X}가  X의 표준 약수이면 단면
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mrow displaystyle="true" scriptlevel="0" class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true">
<mi>X</mi>
</mstyle>
</mrow>
{\displaystyle X}
</math>의 일반화된 환을  X의 표준 환라고 한다. 표준 환이 유한생성되면 환의  {\text{Proj}}를  X의 표준 모형이라고 한다. 표준 환 또는 표준 모형을 사용하여  X의 고다이라 차원을 정의할 수 있다.
예제 및 기본 불변량 > 사영 곡선

1차원 사영 스킴을 사영 곡선이라고 한다. 사영 곡선 이론의 대부분은 매끄러운 사영 곡선에 관한 것이다. 곡선의 특이점은 정규 함수 환의 정수적 폐포를 국소적으로 취하는 정규화로 해결할 수 있기 때문이다. 매끄러운 사영 곡선은 함수체가 동형인 경우에만 동형이다.
의 유한 확장에 대한 연구 또는 동등하게  \mathbb {F} _{p} 위의 매끄러운 사영 곡선은 대수적 수론에서 중요한 주제이다.
종수 1인 매끄러운 사영 곡선을 타원 곡선이라고 한다. 리만-로흐 정리의 결과로 이러한 곡선은  \mathbb {P} ^{2}의 닫힌 부분 다형체로 매장될 수 있다. 일반적으로 모든 (매끄러운) 사영 곡선은  \mathbb {P} ^{3}에 매장 될 수 있다. (증명은 Secant 다형체#Examples 참조). 반대로,  \mathbb {P} ^{2} 안의 매끄러운 닫힌 3차 곡선은 종수- 차원 공식에 의해 종수 1을 가지므로 타원 곡선이다.
2보다 크거나 같은 종수의 매끄러운 완비 곡선은 유한 사상  C\to \mathbb {P} ^{1}이 있는 경우 2차 초타원 곡선이라고 한다.
예제 및 기본 불변량 > 사영 초곡면

\mathbb {P} ^{n}의 여차원 1인 모든 기약 닫힌 부분 집합은 초곡면이다. 즉, 어떤 동차 기약 다항식의 영점 집합이다.
예제 및 기본 불변량 > 아벨 다형체

사영 다형체  X의 또 다른 중요한 불변량은  X의 피카르 군  \operatorname {Pic} (X)이다.  \operatorname {Pic} (X)는  X에 있는 선다발들의 동치류 집합이며,  H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})와 동형이다. 따라서 내재적 성질(매장과 무관)이다. 예를 들어  \mathbb {P} ^{n}의 피카르 군은 차수 사상를 통해  \mathbb {Z} 와 동형이다  \deg :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z} 의 핵은 아벨 군일 뿐만 아니라,  X의 아코비 다형체  {\text{Jac}}(X)라는 다형체가 있으며, 그의 점은 이 군과 같다. (매끄러운) 곡선의 야코비 다형체는 곡선 연구에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 타원 곡선  E의 야코비 다형체는  E 자체이다. 종수  g인 곡선  X의 경우  {\text{Jac}}(X)의 차원은  g이다.
아코비안 다형체처럼 완비이고 군 구조를 갖는 다형체는 닐스 헨리크 아벨을 기리기 위해 아벨 다형체로 알려져 있다. 이는  GL_{n}(k)과 같은 아핀 대수 군과 뚜렷한 대조를 이룬다. 아벨 다형체의 군은 그 이름처럼 항상 가환이다. 더욱이 그들은 풍부한 선다발을 허용하므로 사영적이다. 반면에, 아벨 스킴은 사영적이지 않을 수 있다. 아벨 다형체의 예로는 타원 곡선, 야코비 다형체 및 K3 곡면이 있다.
사영

E\subset \mathbb {P} ^{n}를 선형 부분 공간이라 하자. 즉, 어떤 선형 독립 선형 함수  s_{i}들에 대해  E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}. 그러면  E로부터의 사영은 (잘 정의된) 사상
이다. 이 사상의 기하학적 설명은 다음과 같다.
E와 분리되도록  \mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}로 본다. 그러면,   \forall x\in \mathbb {P} ^{n}\setminus E,\;\phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r}.여기서  W_{x}는  E와  x롤 포함하는 가장 작은 선형 공간이다.
\phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\}. 여기서  y_{i}들은  \mathbb {P} ^{r}에서 동차 좌표.
E에서 분리된 임의의 닫힌 부분 스킴  Z\subset \mathbb {P} ^{n}의 경우, 제한 사상  \phi :Z\to \mathbb {P} ^{r}은 유한 사상이다.
사영을 사용하여, 유한 사상을 기준으로,사영 다형체가 매장된 차원으로 낮출 수 있다. 사영 다형체  X\subset \mathbb {P} ^{n}으로 시작하자. 만약에  n>\dim X이면,  X에 없는 점으로부터의 사영은  \phi :X\to \mathbb {P} ^{n-1}을 제공한다. 게다가,  \phi 는  {\text{Im}}\phi 으로 가는 유한 사상이다. 따라서, 이 절차를 반복하면 유한 사상
이 있음을 알 수 있다. 이 결과는 뇌터의 정규화 보조정리의 사영 아날로그이다. (실제로 정규화 보조정리의 기하학적 증명을 제공한다.)
동일한 절차를 사용하여 다음과 같은 약간 더 정확한 결과를 표시할 수 있다. 완전체에 대한 사영 다형체  X가 주어지면  X에서 초곡면  H\subset \mathbb {P} ^{d+1}로 가는 유한한 쌍유리 사상이 있다. 특히  X가 정규이면 H의 정규화이다.
쌍대성 및 선형계

n차원 사영 공간  \mathbb {P} ^{n} 다음과 같이 아핀 n 공간의 직선을 매개변수화하고 쌍대는 사영 공간의 초평면을 매개변수화한다. 체 k를 고정한다. 에 의해  {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}, 우리는 사영 n 공간을 의미한다
다음과 같은 구조를 갖추고 있다.
여기서  f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}는 k의 체 확대 L에 대한  {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}의 L 점이고  \alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.
각 L에 대해 구성은  {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}의 L 점들의 집합과  \mathbb {P} _{L}^{n} 위의 초평면 집합 사이의 1대1 대응이다. 이 때문에 쌍대 사영 공간  {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}는  \mathbb {P} _{k}^{n}의 초평면의 모듈라이 공간이라고 한다.  .
{\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}의 직선은 연필이라고 불린다. 이는  \mathbb {P} _{k}^{1}에 의해 매개변수화되는  \mathbb {P} _{k}^{n} 위의 초평면 족이다.
V가 유한차원 k-벡터 공간이면 위와 같은 이유로  \mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))는  \mathbb {P} (V)의 초평면들의 공간이다. V가 선다발의 단면으로 구성되는 경우는 중요한 경우이다. 즉,  X를 대수적 다형체, L을  X의 선다발,  V\subset \Gamma (X,L)를 유한 차원 부분 벡터 공간이라 하자. 그러면 선형계 V에 의해 결정되는 다음 사상이 있다:
여기서 기저 궤적이라고 하는 B는 V 에서 0이 아닌 단면의 약수들의 교집합이다( 제수의 선형 시스템#A 사상 구성을 위한 선형 시스템에 의해 결정됨 참조).