stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
0.999…
해석적인 증명 > 무수한 자리에 대한 정의의 재고 > 구간 축소법과 상한

무한소수의 소수 부분을 급수로 직접 계산하는 방식의 도출에 대해서 이와는 별도로 또 하나의 방법은 무한소수가 취하지 않은 값의 범위를 배제하는 방법이다.
실수 x는 닫힌 구간 [0, 10](즉 0 이상 10 이하)에 속하며 이 구간 [0, 10]에서 한 자리마다 10개 구간 [0, 1], [1, 2], [2, 3], …, [9, 10]으로 분할(끝점에서만 겹침)한다. 실수 x는 적어도 1개에 속하며 그 구간의 하한, 예를 들어 x가 구간 [1, 2]에 속할 때에는 "1"을 기록한다. 다음에 속한 구간 [1, 2]를 소수 한 자리마다 [1, 1.1], [1.1, 1.2], …, [1.8, 1.9], [1.9, 2]로 분할하고 x가 속한 구간의 하한을 기록하는 조작을 반복하면 a0, a1, a2, a3, …에서 정해지는 구간의 감소 줄이 만들어진다. 이 수열은
라고 표현한다.
이러한 기록 방법에 따라 실수 1은 처음에 [0, 1]에 속하거나 아니면 [1, 2]에 속하는가에 따라 1 = 1.000...와 1 = 0.999…)의 2가지 표시를 얻을 수 있게 된다. 각각의 소수 기록 표시가 나타내는 실수가 동일한 것을 증명하려면 직접적으로는 극한을 사용하여 이루어지지만 순서의 논의를 계속 다른 구성 방법도 있다.
직접적인 방법으로는 구간 축소법이 꼽힌다. 이 원리에 따르면 닫힌 구간의 감소열이 주어지고 그 폭이 0으로 수렴할 때, 그러한 구간의 교집합은 단지 하나의 실수로 이루어진 1점 집합인 것이 실수의 완비성으로 증명된다. 따라서 x = a0.a1a2a3…는 [a0, a0 + 1], [a0.a1, a0.a1 + 0.1], …의 모두에 속하는 유일한 실수라고 정의한다. 따라서 0.999…는 [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1], …의 모든 것에 속하는 유일한 실수가 된다. 반면 실수 1은 이들 모든 구간에 속하기 때문에 0.999… = 1이 된다.
구간 축소법은 실수의 완비성 중에서 보다 직관적이라고 생각되는 상한의 존재에 근거하고 있다. 이 사실을 직접 사용하면 a0.a1a2a3…을 근사값의 집합 a0, a0.a1, a0.a1a2, …}의 상한으로서 정의할 수 있다. 증가열 상한의 존재 정리는 실수의 연속성으로서 구간 축소법과 같은 값임을 나타낼 수 있으므로 다시 0.999… = 1을 얻게 된다. 톰 어포스톨은 다음과 같은 결론을 내렸다.
실수가 다른 2개의 소수 표시를 가질 가능성이 있다는 사실은 단순히 실수로 이루어진 서로 다른 2개의 집합의 상한, 하한이 같아질 가능성이 있다는 사실의 반증에 불과하다.
실수의 구성

실수의 구성  문서를 참고하십시오.
공리적 집합론을 이용하여 실수의 집합을 유리수의 집합을 통해 조립된 어떠한 종류의 구조로서 명시적으로 정의하는 방법은 여러 가지가 존재한다. 먼저 자연수란 물건을 셀 때 사용하는 번호를 말하며 0부터 시작하여 0, 1, 2, …과 +1씩 더하면서 얻을 수 있다. 자연수를 확장해서 정수 전체를 얻으려면 각 자연수의 반수를 첨가하면 된다. 또한 그러한 몫을 첨가하면 유리수 전체를 얻을 수 있다. 이들 수 체계에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이라는 사칙연산과 관련되어 있으며 또한 임의의 2가지 수를 비교한 대소 관계(어느 쪽이 큰지, 작은지, 동일한지)라는 순서도 갖추고 있다.
유리수에서 실수로의 확장은(자연수에서 정수나 유리수로의 확장과 비교해서) 큰 비약이다. 이러한 확장 방법은 적어도 2가지 수법이 잘 알려져 있는데 둘 다 1872년에 발표된 유리수의 절단(데데킨트 절단)에 의한 것과 코시 열에 의한 것이다. 이러한 실수 구성법에 따라 0.999… = 1을 증명하고 있는 실제 해석 교과서는 볼 수 없다. 현대 수학에서는 해석학적으로 실수를 구성하고 그것이 수의 공리를 충족시키는 지에 주의를 기울인다. 공리에 의한 해석적 기법에 의해 0.999… = 1을 증명하게 되기 때문이다. 그러나 실수의 구성을 보다 적절하게 논리적으로 실시함으로써 0.999… = 1의 증명은 더 직접적으로 이루어진다(self-contained)라고 주장하는 사람도 있다.
실수의 구성 > 데데킨트 절단에 따른 구성

데데킨트 절단  문서를 참고하십시오.
데데킨트 절단의 접근 방법에서 임의의 실수 x는 "x보다 작은 유리수 전체로 이루어진 무한 집합"으로 정의한다. 이러한 사고 방식에서 실수 1은 "1보다 작은 모든 유리수의 집합"이 된다.
정수에서의 데데킨트 절단은 소수 전개를 통해 얻을 수 있다. 소수 표시를 적당한 자리까지 잘라서 얻을 수 있는 유리수를 사용하고 그보다 작은 유리수 전체의 합집합을 만들면 되는 것이다. 이러한 방법으로 실수 0.999…라는 것이 무엇일까를 생각한다면 r < 0, r < 0.9, r < 0.99, … (즉 어떤 자연수 n에 대하여 r < 1 - (1/10)n을 충족시키는 모든 유리수 r이 만드는 집합)로서 정의한다고 하는 것이 된다. 0.999…보다 작은 모든 유리수는 1보다 작기 때문에 이것은 실수 1의 바탕에 포함된다. 한편 실수 1의 바탕이 되는 임의의 유리수
(b ≥ 1)를 생각하면
이 되기 때문에, a/b는 0.999…의 바탕이 된다. 따라서 0.999…와 1은 모두 똑같은 유리수를 바탕으로 하기 때문에 이들은 집합으로서 같다. 즉 0.999… = 1이라는 등식이 성립하는 것이다.
데데킨트 절단에 따른 실수의 정의는 1872년에 리하르트 데데킨트가 처음 발표했다. 위에서 언급한 실수를 각각의 소수 전개로 귀착시키는 방법은 프레드 리치먼(Fred Richman)이 수학 잡지 《매서매틱스 매거진》(Mathematics Magazine)에 게재한 〈Is 0.999…= 1?〉이라는 해설 논문에 의한 설명이다. 이 논문은 해당 대학의 수학 교사와 학생들을 위해 집필했다. 리치먼은 임의적이고 조밀한 유리수의 부분 집합에서의 절단을 생각해도 같은 결과를 가져오는 것을 지적하고 있다. 리치먼은 그 중에서도 분모가 10의 거듭제곱인 분수 전체를 이루는 조밀한 부분 집합을 이용해서 0.999… = 1의 증명을 보다 직접적으로 전달했다. 또한 x < 1이 되는 x는 절단을 갖고 있으나 x ≤ 1이 되는 x는 절단을 갖지 않는 것도 지적하면서 "이는 0.999…와 1이 달라지는 것을 배제하는 것이다. 실수의 전통적인 정의 안에서 등식 0.999… = 1은 처음부터 포함되어 있다."는 결론을 내렸다. 리치먼은 이 절차를 수정함으로써 0.999… ≠ 1이라는 다른 구조를 이끌어냈다.
실수의 구성 > 코시 열에 따른 구성

이 부분의 본문은 코시 열 및 완비 거리 공간입니다.
실수를 구성하는 또 다른 방법은 실수의 절단에 비하면 간접적으로나마 역시 유리수의 순서를 이용하는 것이다. 먼저, 2개의 유리수 x와 y에 대해, 거리 d(x, y)를 절댓값 |x - y|로 정의한다(z의 절댓값 |z|란 z와 -z의 작지 않은 편으로 정의하는데 음수가 아니다). 즉 실수 전체를 이러한 거리 d에 관한 유리수의 코시 열 전체를 다음과 같이 정의하는 동치류로 나눈 것으로서 정의하는 것이다(실수의 완비성도 참고할 것). 여기서 유리수열(즉 자연수에서 유리수로의 함수) xn}이 코시 열인 경우에는
가 성립되는(즉 번호가 충분히 앞이면 인접한 2항 간의 거리가 끝없이 작아진다) 것으로 정의된다.
2개의 코시 열 xn}과 yn}는 동치임을 정의하기 위하여 xn - yn을 0으로 수렴한다. 소수 a0.a1a2a3…에 대하여 각 자리 이후를 차례로 버림으로써 얻을 수 있는 수열은 유리수의 코시 열을 정하므로 바로 이 코시열이 이러한 소수의 전개가 나타내고 있는 실수의 참값으로 정해지게 된다.
이러한 성질보다 0.999… = 1을 증명하기 위해서 해야 할 것은 유리수의 코시 열인데
이 같은 값이 된다. 즉
가 0으로 수렴되는 것을 증명하는 것이다.
이 극한은 단순하고 수열의 극한에 대한 정의로 나타난다. 이는 0.999… = 1이라는 공식을 나타낸다.
코시 열에 의한 실수의 정의는 모두 1872년에 에두아르트 하이네와 게오르크 칸토어에 의해 최초로 독립적으로 발표되었다. 0.999 … =1의 증명을 포함한 소수 전개에 의한 접근 방식은 1970년에 그리피스(Griffiths)와 힐턴(Hilton)이 집필한 교과서 《고전 수학에 관한 종합 교과서: 현대적 해석》(A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation)을 따르고 있다. 이 교과서는 잘 알려진 개념에 대해 현대의 관점에서 재검토하는 것을 중점적으로 다루고 있다.
다른 수 체계에서의 행동

실수는 표준적인 수 체계이지만 사람들은 "0.999…"라는 무수 자리의 표기가 있는 실수를 나타낼 것이라고 자연스럽게 생각한다. 윌리엄 티머시 가워스는 자신의 저서인 《수학: 매우 짧은 소개》(Mathematics: A Very Short Introduction)에서 등식 0.999 … = 1을 결론 짓는 것 역시 "관습"이라고 설명하고 있다. 즉
"하지만 그것은 결코 자의적인 관습이 아니다. 왜냐하면 그것을 받아들이지 않으면 색다른 새로운 대상을 발견하거나 또는 산술이 잘 알려진 규칙 몇 가지를 포기하거나 둘 중 하나가 강제되기 때문이다.
표준적인 수 체계인 실수체에 대해 일반적인 경우와 다른 방법으로 수를 구성하고 0.999…라는 표기가 의미를 가지는, 실수와는 다른 수 체계를 정의할 수 있다. 본 항 첫머리 부근의 문단에서 언급한 증명 등을 그러한 체계에서의 기술로서 다시 해석해야 한다. 또한 그 체계에서의(위에서 언급한 증명이 올바르다고 하는 근거를 잃거나 잘못이라고 나타내거나 해서) 0.999…와 1이 동일한 대상을 나타내지 않을 가능성이 발견되기도 한다. 그럼에도 불구하고 많은 수 체계는 (실수의 체계를 대체하는 독립된 대상으로서가 아니라) 실수의 체계가 확장되는 것이며 고로 거기서는 0.999… = 1도 계속 성립한다.
그러나 그 체계에서조차 ("0.999…"라고 표시되는 수가 의미를 가지는 경우에는) 0.999…가 어떻게 행동하는가뿐만이 아니라 관련된 현상의 행동에 대해서 생각하기 위해 이를 대체하는 수 체계를 고찰하는 것은 의미 있다고 할 수 있다. 즉 어떤 현상이 실수 체계에서와는 다른 행동을 한다면 그 체계에 포함된 전제 조건은 실수 체계의 그것의 적어도 하나를 망가뜨린 것이 되어야 한다(다음과 같이 제시하는 체계가 실수에서의 어떠한 현상이나 조건을 부정하는가 하는 관점에 서서 설명할 수 있다).
다른 수 체계에서의 행동 > 무한소를 포함한 체계

무한소  문서를 참고하십시오.
0.999… = 1의 몇 가지 증명은 일반적인 실수가 아르키메데스 전순서군이라는 것, 즉 "0이 아닌 무한소는 존재하지 않는다."라는 전제에 의존하고 있다. 특히 차이가 1 - 0.999…는 임의의 바른 유리수보다도 작을 것이므로 그것은 (0이) 무한소여야 하지만 실수 체계에서는 0이 아닌 무한소는 없기 때문에 차이는 0, 즉 2개의 값은 동일한 것으로 결론이 난다. 그래도 실수의 비아르키메데스적인 대체가 될 수 있는 여러 가지 체계를 포함한 수학적으로 일관된 순서 대수계가 존재한다.
다른 수 체계에서의 행동 > 무한소를 포함한 체계 > 초실수

초실수  문서를 참고하십시오.
비표준 해석학에 의해 무한소(및 그 역수)의 완전한 계열을 포함한 수체계가 제공되는 A. H. 라이트스톤(A. H. Lightstone)은 구간 (0, 1)∗에 속하는 초실수(hyper­real number)에 대한 소수 전개를 생각했다. 라이트스톤은 확장 실수에 초자연수로 첨자된 숫자열
이 대응하는 것을 지적했다. 여기서 세미콜론의 왼쪽은 유한(표준) 자연수 자리를 나타내고 세미콜론의 오른쪽은 무한대(비표준) 자연수 자리를 나타낸다. 여기서 세미콜론 직전이나 직후 자리와 같은 것은 존재하지 않는다는 점에 주의해야 한다. 라이트스톤은 0.999…에 대해 직접 취급한 것이 아니라 이행 원리의 귀결로서 실수 1⁄3가 0.333…;…333…으로 나타난다는 점을 지적했다. 고로 0.999…;…999… = 1이다. 여기에서 말하는 의미에서의 소수 전개가 반드시 수를 나타낸다고는 할 수 없다는 것에 주의해야 한다. 특히 "0.333...; 000..."나 "0.999…; 000..."는 아무런 수와도 대응하지 않는다. 이 사실은 넘침 원리를 사용해 설명할 수 있다. 소수 전개의 각 자릿수는 맵핑  d\colon {}^{\ast }\mathbb {Z} _{+}\to \{0,1,\cdots ,9\}으로 간주한다. 유한한 자릿수가 모두 3이라고 가정한다. 즉
이다. 여기에 넘침 원리를 적용하면 어떠한 무한대 초자연수  n이 있고
이 성립된다. 즉  d는 "0.333…;…333000…"이나 "0.333…;…333001854…"처럼 어느 무한대 자릿수까지 3이 연속하는 초실수여야 한다. 이 사실은 다음과 같이 기술할 수도 있다. 초실수체는 순서체이기 때문에 순서위상을 생각할 수 있지만 (초)실수의 가산열  \{1-10^{-n}\}_{n\in \mathbb {N} }는 수렴하지 않기 때문에 표준 자리만 딱 9인 것과 같은 초실수는 그러한 유한 소수 표시의 위상적 극한이라고 간주한다고 해도 여전히 존재하지 않는다.
수 0.999…의 표준적인 정의는 0.9, 0.99, 0.999, …가 되는 수열의 극한이지만 그것과 다른 정의로서 테런스 타오가 초극한(ultralimit)이라고 명명한 수열 0.9, 0.99, 0.999, …의 초거듭제곱 구성에 관한 동치류 [(0.9, 0.99, 0.999, …)]는 1보다 무한소만 작다. 보다 일반적으로 층수 H의 무한대 초자연수의 위치에 마지막 9가 오는 초실수 uH = 0.999…;…999000…,는 보다 엄밀한 부등식 uH < 1을 만족한다. 이에 따라 "무한개의 9의 뒤에 0이 계속된다."는 것의 다른 해석을
라고 이해할 수 있다. 이렇게 해석한 "0.999…"는 1에 무한히 가깝다. 이언 스튜어트는 이 해석을 "0.999…는 1보다 "아주 조금 작다."라는 직관을 엄밀하게 정당화하는 "완전히 합리적인" 방법으로 특징지었다.R. Ely (2010) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFR._Ely2010 (help) 역시 학생들이 가진 0.999… < 1이라는 생각을 실수에 대한 잘못된 직관으로 보는 가정에 의문을 제기하며 오히려 그것을 '비표준적'인 직관으로 해석하는 편이 해석학의 습득에 있어서 가치가 있는 것이 아닐까하고 생각했다. 조제 베나데트(Jose Benardete)는 자신의 저서인 《무한대: 형이상학에서의 에세이》(Infinity : An essay in metaphysics)에서 지나치게 제한된 수 체계로 이야기를 한정하면 수학 이전의 자연적인 직관의 일부는 표현할 수 없다고 주장했다.
The intelligibility of the continuum has been found—many times over—to require that the domain of real numbers be enlarged to include infinitesimals. This enlarged domain may be styled the domain of continuum numbers. It will now be evident that .9999⋯ does not equal 1 but falls infinitesimally short of it. I think that .9999⋯ should indeed be admitted as a number ⋯ though not as a real number. (해석: 연속체의 명확한 이해를 위해서는 실수의 영역을 무한소를 포함하도록 확대하는 것이 필요하다는 의견을 "여러차례 반복하여" 찾아냈다. 이러한 확대된 영역은 연속체 수 영역의 형태를 취할 것이다. 이제 0.9999…가 1과 같지는 않고 그보다 무한소만 작음이 분명하다. 나는 0.9999…가 실제로 "실수"는 아니지만 하나의 "수"로서 허용되어야 한다고 생각한다.)
다른 수 체계에서의 행동 > 무한소를 포함한 체계 > 초현실수와 조합론적 게임 이론

초현실수 및 조합론적 게임 이론  문서를 참고하십시오.
전항과 특별히 관련하여 조합론적 게임 이론에서 같은 실수 대체 체계로서 "무한 2색 해큰부시 게임"(infinite Blue-Red Hackenbush)을 생각할 수 있다. 엘윈 벌캠프(Elwyn Berlekamp)는 1974년에 데이터 압축 아이디어에 자극을 받아서 해큰부시 문자열과 실수의 이진법 전개 관계에 대해 언급했다. 예를 들어 "해큰부시 문자열"(Hackenbush string) LRRLRL…의 값은 0.010101…2 = 1/3이 된다. 그러나 문자열 LRLLL… (0.111…에 대응한다)의 값은 1에 비해 극히 약간 작다. 이들의 2가지 수(LRLLL…과 1)의 차이는 초현실수 1/ω (ω는 최소 무한 순서수)이다. 이와 관련된 게임은 LRRRR... 즉 0.000…2이다.
다른 수 체계에서의 행동 > 뺄셈의 재고

다른 방법은 뺄셈은 아무 때나 할 수 있는 게 아니라 "1 - 0.999…는 존재하지 않는다."고 판단해서 버리는 것이다. 덧셈을 갖고 있지만 뺄셈이 갖고 있지 않은 수학적 구조에는 교환법칙 반군, 교환법칙 모노이드, 반환 등이 포함된다. 리치먼은 0.999… < 1이 되도록 디자인된 그러한 구조 두 가지를 생각해냈다.
먼저 리치먼은 음수가 아닌 "십진수"를 문자 그대로 소수 전개가 되도록 정의하는 한편 사전식 순서라는 덧셈을 정의했다. 여기서는 0.999… < 1임에 주의한다. 왜냐하면 단순히 한 자리에서 0 < 1이 되기 때문이다.그러나 어떤 "무한소수" x에 대해서도 0.999… + x = 1 + x이 된다. 이에 "십진수"에 대한 특징적인 사항으로 하나는 덧셈이 반드시 타결이 되지 않는다는 점이고 다른 하나는 1/3에 대응하는 "십진수"가 존재하지 않는다는 점이다. 곱셈을 정의하면 "십진수"는 올바른 값에 대한 모든 순서 교환 반환을 이룬다.
리치먼은 곱셈을 정의할 때에 "절단 D"(cut D)라고 부르는 다른 구조를 정의했는데 이는 소수의 절단 집합이다. 일반적인 이 정의는 실수를 이끌지만 리치먼은 d에 대하여 절단 (&-∞, d)과 "일반적인 절단" (&-∞, d] 양쪽을 허용했다. 그 결과 실수들은 소수와 불안정한 상태로 공존(living uneasily together with)하게 된다. 따라서 다시 0.999… < 1을 얻게 된다. "절단 D"에는 올바른 무한소는 존재하지 않으나 "일종의 음수 무한소" 0−가 존재한다. 0−에는 소수 전개가 존재하지 않는다. 리치먼은 0.999… = 1+0 -로 결론을 내렸으나 방정식 "0.999… + x = 1"에 대한 해를 결정하지 않았다.
다른 수 체계에서의 행동 > p진수

1 - 0.999…는 무엇이 될 것인가를 물으면 종종 "0.000...1"을 떠올리게 되는 경우가 있다. 여기에 의미를 가질 수 있는지 없는지를 떠나 0.999…의 "마지막 9"에 1을 더함으로써 차례대로 올라가고 모든 9가 0으로 바뀌어서 1번째로 1이 남겠다는 의도는 직관적으로는 명백하다. 이 생각은 (다른 이유가 있지만) 0.999…에는 "최후의 9"가 없기 때문에 부당하지만 "최후의 9"를 갖는 무한 문자열을 가지는 체계라고 하는 것은 존재한다.
p진수는 정수론이 연구 대상으로 하는 수체계이다. 실수와 똑같이 p진수는 코시 열을 경유해서 유리수의 완비화로 만들 수 있다. 단 이 구성에는 0은 1보다도 p에 가깝고 pn에는 더욱 가깝다는(실수 구성 때와는) 다른 거리를 이용한다. p진수는 p가 소수일 때 체를 이루어 p가 소수가 아닐 때(10은 이런 경우이다)에도 환을 이룬다. 따라서 p진수에 덧셈이나 곱셈과 같은 계산을 실행할 수 있으며 무한소는 존재하지 않는다.
p진수에는 소수 전개와 비슷함을 생각할 수 있는데 자리가 왼쪽으로 갈 수록 실수의 소수 전개와는 반대로 오른쪽으로는 유한한 자리만 진행한다. 10진 전개의 경우에는 …999를 생각한다. 한 자리에 1을 더할 수 있는데 0만 남겨두고 반올림이 계속된다. 그 결과 1 + … 999 = … 000 = 0 등식이 성립되고 …999 = -1이 된다. 또 하나의 도출 방법은 등비급수를 이용한다. "…999"의 의미를 가진 등비급수는 실수에서는 수렴하지 않으나 10진수로는 수렴하여 잘 알려진 공식을 다시 사용할 수 있고
이라는 등식이 성립된다(앞의 등비급수와 비교하라). 3번째 도출 방법은 중학교 1학년생에 의해 고안되었다. 이 학생은 교사가 0.999… =1을 극한으로 정의한 논의에 의문을 가졌으나, 위에서 언급한 10을 곱하는 증명을 반대 방향으로 이용해 보려고 했다. 따라서 x= …99은 10  x  = … 990이므로 10x = x - 9이 되고 다시 x = -1이 된다.
다른 수 체계에서의 행동 > 실수의 '이중십진' 표기

실수의 '이중십진' 표기에서는 소수점의 양쪽 모두에서 무한한 숫자열을 허용한다. (단 왼쪽의 숫자열은 결국 순환해야 한다.) p진수에서 참이지만 실수의 십진법 표기에서 참이 아닌 등식 …999 = -1와 p진수에서 거짓이지만 실수의 십진법 표기에서 참인 등식 0.999… = 1은 이중십진 표기에서는 모두 참이다. 2개의 등식 양쪽을 더해서 …999.999… = 0을 얻을 수 있다.
일반화

등식 0.999… = 1의 증명은 즉시 두 가지 방법으로 일반화된다. 첫째로, 바로 이 특별한 경우에서와 마찬가지로 0이 아닌 모든 유한소수(즉 뒤에 0이 끝없이 반복된다)는 9가 뒤에서 계속 이어지는 다른 표현을 갖고 있다. 예를 들어 0.24999…는 0.25와 같다.
둘째로, 0.999… = 1에 상당하는 결과를 다른 기수에도 적용할 수 있다. 예를 들어 이진법에서는 0.111… = 1이며 삼진법에서는 0.222… = 1이다. 일반적으로 기수를 b로 할 때 소수점 이하는 b - 1이 반복되어 늘어선다. 실해석학 교과서에서는 0.999… = 1의 예를 건너뛰고 이러한 일반화 가운데 한 쪽 또는 양 쪽을 처음부터 소개하는 경향이 있다.
1의 다른 표현은 비정수를 기수로 하는 경우에도 나타난다. 예를 들어 황금비를 기수라고 한다면 2개의 표준적 표시는 1.000…과 0.101010…이지만 그 밖에도 0.11, 0.1011, 0.101011과 같이 인접한 "1"을 포함한 무수한 표현이 있다. 일반적으로 1과 2 사이에 있는 거의 모든 q에 대해 "비가산 무한"인 "1의 q진 표현"이 존재한다. 한편 (1보다 큰 자연수를 포함한) 또 다른 "비가산 무한"인 q가 1의 q진 표현(자명한 1.000…을 제외함)은 단 하나 밖에 없다. 이 결과는 1990년경에 에르되시 팔(Erdős Pál), 호르바트 미클로시(Horváth Miklos), 요 이슈트반(Joó István)이 최초로 언급했다. 1998년에는 코모르니크 빌모시(Komornik Vilmos)와 파올라 로레티(Paola Loreti)가 이러한 최소 기수로 q = 1.787231650…를 결정했다. 이 기수에서는 1 = 0.11010011001011010010110011010011…인데 이 수는 순환이 되지 않는 투에-모스 수열을 부여한다.
더욱이 변칙적인 규칙에 근거한 기수법(the most general positional numeral systems)에서도 0.999 = 1에 상당하는 결과를 얻을 수 있다. 이들 또한 다양한 표현을 갖고 있기 때문에 어떤 의미에서는 다루기가 더욱 어렵다. 예를 들어
평형삼진법(balanced ternary system)에서는 1/2 = 0.111… = 1.111…라고 표현된다.
계승진법(factoradic system)에서는 1 = 1.000… = 0.1234…라고 표현된다.
마르코 페트코브셰크(Marko Petkovšek)는 이와 같은 하나의 수를 복수의 방법으로 나타낼 수 있다고 하는 것은 위치 기수법을 이용하는 것의 필연적인 결과라고 말하면서 모든 실수를 취급하는 임의의 위치 기수법에서 복수의 표현을 갖는 실수의 집합이 항상 조밀함을 증명했다. 그는 이러한 증명을 "일반 위상 공간에 관한 교육적인 초급 연습 문제"라고 불렀다. 이는 위치 기수법에 따른 값의 집합을 스톤 공간으로 판단하고 이러한 실수 표현이 연속 함수에 의해 주어진다는 것을 증명하고 있기 때문이다.
응용 사례

1의 다른 표현으로서의 0.999…에 대한 하나의 응용을 초등 정수론에서 볼 수 있다. H. 굿윈(H. Goodwin)은 1802년에 어떤 종류의 소수를 분모로 하는 분수에서는 순환 소수로 표시했을 때 9가 나타남을 발표했다. 예를 들면
1/7 = 0.142857142857…, 142 + 857 = 999
1/73 = 0.0136986301369863…, 0136 + 9863 = 9999
라고 적혀 있다.
E. 미디(E. Midy)는 1836년에 이러한 분수에 관한 일반적인 결과를 증명했는데 현재는 미디의 정리라고 부르고 있다. 이 논문은 모호한 편이고 그의 증명이 직접 0.999…를 포함하는 지의 여부는 알 수 없다. 그러나 W. G. 리빗(W. G. Leavitt)이 제시한 적어도 하나 정도의 현대적인 증명에서는 포함되고 있다. 만약 0.b1b2b3… 형식의 소수가 양의 정수임을 증명하면 그것은 0.999…나 다름이 없는데 이는 이 정리에서 9들이 출현하는 원인이 된다. 이러한 방향에 대한 연구는 최대공약수, 모듈러 산술, 페르마 소수, 군의 원래 위수, 이차 상호 법칙 등의 개념에 동기를 부여하고 있다.
순환수  문서를 참고하십시오.
실해석학에서는 삼진법에서 유사한 표현인 0.222… = 1은 가장 단순한 프랙탈 가운데 하나인 칸토어 삼진 집합(the middle-thirds Cantor set)의 특징을 부여하는 데에 중요한 역할을 하고 있다.
단위 구간 [0, 1]의 점은 삼진법으로 0과 2만으로 표현하는 경우에 한하여 칸토어 집합에 속한다고 한다.
소수점 이하의 n번째 자릿수는 이러한 구성에서의 n단계의 점 위치에 반영한다. 예를 들어 점 2/3는 일반적인 0.2 또는 0.2000…으로 표현한다. 왜냐하면 그것은 1번째 결손 부분의 오른쪽에 위치하고 그 이후의 모든 결손 부분의 왼쪽에 위치하기 때문이다. 또한 점 1/3는 0.1 또는 0.0222…로 표현한다. 왜냐하면 그것은 1번째 결손 부분의 왼쪽에 위치하고 그 이후의 모든 결속 부분의 오른쪽에 위치하기 때문이다.
9의 반복은 칸토어의 또 다른 일에서도 나타난다. 특히 칸토어가 1891년에 대각선 논법을 적용한 단위 구간 [0, 1]의 비가산성에 대한 적절한 증명을 부여한 것을 고려해야 한다. 이 증명에서는 특정한 두 실수가 소수 표현에서 다르다는 점을 언급할 필요가 있다. 따라서 0.2와 0.1999…와 같은 조합은 피해야 한다. 간단한 방법은 모든 수를 무한소수로 나타내지만 이에 대한 방법은 9가 마지막에 연속되는 것을 배제한다. 칸토어의 독자적인 논의에 가깝다고 할 수 있는 증명의 변형에서는 실제로 2진 표현을 사용하고 있으며 3진 표현을 2진 표현으로 바꿈으로서 칸토어 집합의 가산성을 동일하게 증명할 수 있다.
전형적인 오해와 그 원인

수학을 처음 배우는 사람은 종종 0.999…와 1이 같음을 이해하지 못한다. 극한의 개념이나 무한소의 성질이 직관과 크게 다른 것이 그 이유로 여겨진다. 공통 요인에는 다음과 같은 것이 있다.
학생은 "십진수로는 어느 한 수는 단지 한 소수로만 나타낼 수 있을 것이다."라고 믿는 경우가 많다. 표시가 다른 두 소수가 동일함을 알 수 있으면 그것이 역설인 것처럼 보인다. 외관상 잘 알려진 수 1의 등장으로 그 느낌이 더욱 강해진다.
"0.999…" 또는 이와 같은 표현은 많지만 유한 개수의 "9" 수열(아마도 가변이며 특정할 수 없는 길이)로 해석하는 학생도 있다. 비록 학생이 "9"의 무한개의 수열인 것을 받아들였다고 해도 아직 마지막 "9"가 '무한한 저쪽'에 있다고 기대하고 있을 지도 모른다.
직관이나 애매한 가르침으로 인해 학생들은 수열의 극한을 하나의 정해진 값이 아닌 모종의 무한한 조작으로 생각하게 된다. 그것은 수열의 각 항이 그 극한에 이를 필요는 없기 때문이다. 학생이 수열과 그 극한의 차이를 받아들이더라도 그들은 "0.999…"를 극한이 아닌 수열을 의미하는 것으로 읽을 가능성이 있다.
이러한 생각은 일반적인 실수를 취급하는 문맥에서는 틀린 것이다. 그러나 일반적인 경우와 다른 장면에서 적용하기 위해 발견되었거나 0.999…를 이해하는데 유익한 반례로서의 보다 정교한 수의 체계 구조에서는 이러한 생각들의 대부분이 부분적으로 옳다고 나타난다.
이들 요인 가운데 상당수는 데이비드 톨(David Tall) 교수가 발견했다. 그는 자신이 맞닥뜨린 대학생들에 대한 오해 몇 가지를 학생들에게 심어주는 원인이 된 지도법과 인식의 특징을 연구했다. 수많은 학생들이 왜 처음에는 이 등식을 받아들이지 않는지 알아보기 위해 학생들을 면접하다가 다음과 같은 사실을 발견했다.
학생은 0.999…를 정해진 값이 아닌 1에 한없이 가까워지는 수열로 이해합니다. 그 원인은 "선생님은 소수점 이하의 자릿수가 몇 개인지 분명히 가르쳐 주지 않았다."는 지도법의 결함 또는 "0.999…는 1보다 작은 수 중에서 존재할 수 있는 1에 가장 가까운 소수이다."라는 인식입니다.
초등적 증명 중에서 0.333… = 1/3의 양변을 3배로 늘리는 방법은 0.999… = 1인 것을 용인할 수 없는 학생에게 받아들이도록 만들기 위한 가장 유효한 수단인 것처럼 보인다. 그러나 제1등식을 믿는 것과 제2등식을 믿지 않는 것의 모순에 직면하면 이번에는 제1등식을 의심하기도 한다. 이보다 간결하고 효과적인 설명 방법도 좀처럼 없다. 엄밀한 정의를 충분히 적용할 능력이 있는 학생이 0.999…를 포함해 더 나아간 수학의 결과에 놀라더라도 더 직관적인 상상에 의존할 수 있다. 예를 들어서 어떤 해석학을 배우는 학생은 0.333... = 1/3임을 상한한 부분 순서 집합 정의를 통해 증명할 수 있으나 그 후에도 옛 필산의 이해를 바탕으로 0.999… < 1이라고 주장했다. 또 다른 학생은 1/3 = 0.333…인 것을 증명할 수는 있지만 분수를 통한 증명에 직면해서 '논리'가 수학 계산을 정복하고 있다고 주장한다.
조지프 메이저(Joseph Mazur)는 재능이 풍부한 또 다른 미적분학 학생을 소개한다. 그 학생은 "제가 수업에서 말한 것에는 거의 모두 이의를 제기하지만 제가 사용하고 있는 계산기에는 결코 이의를 제기하지 않습니다. 게다가 23개의 제곱근을 계산하는 것도 포함해서 수학을 하는 데에 필요한 것은 9자리(정도)로 믿게 되었습니다. 그 학생은 9.999… = 10이라는 극한의 논의에 여전히 불쾌한 느낌이었지만 그것은 "무한 추측을 하는 무한 개념의 성장 과정"(wildly imagined infinite growing process)이다."라고 불린다.
에드 듀빈스키(Ed Dubinsky)에 의한 수학 학습 이론(APOS theory)의 한 부분으로서 듀빈스키와 공동 연구자(2005년)는 0.999…를 "1에서 무한히 작은 거리만 떨어져 있는 수를 나타내는 유한하고 불확정한 문자열"이라고 생각하는 학생은 "무한소수 구성 과정의 완전한 개념이 아직 형성되지 않았다."고 말했다. 예를 들어 0.999…의 구성 과정의 완전한 개념을 습득한 학생이라도 아직 그 과정을 (이미 가지고 있는 "1"의 개념과 같은) 하나의 '대상'으로서 다시 파악하지 못하고 0.999…라는 하나의 과정과 1이라는 수의 존재를 모순되는 것으로 볼 지도 모른다. 또한 듀빈스키는 "하나의 대상으로 간주한다."는 이러한 정신적 능력이 1/3 자체를 수로 간주하거나 자연수 집합 그 자체를 하나의 대상으로 취급한다는 점과 관련되어 있다고 본다.
미디어에서의 논의

인터넷의 등장에 따라 0.999… = 1에 관한 논쟁은 교육 현장 뿐만 아니라 뉴스그룹이나 전자 게시판 등 평소에는 수학과 관련이 없던 공간에서도 화제가 되기도 한다. 뉴스그룹 sci.math에서 0.999…에 관한 논의는 '유행 스포츠'이며 FAQ에서 응답된 문제 가운데 하나이기도 하다. 해당 FAQ는 1/3를 이용하는 방법, 10배로 높이는 방법, 극한을 이용하는 방법을 간결하게 취급하고 있고 이와 마찬가지로 코시 열도 언급하고 있다.
미국의 신문 《시카고 리더》(Chicago Reader)의 칼럼 코너인 〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope) 2003년판에서는 잘못된 개념을 언급하면서 1/3이나 극한을 통한 0.999…에 대해 다음과 같이 논의하고 있다.
우리 안에 있는 유인원적인 요소가 "0.999…는 실제로 '수'를 나타내는 것이 아니라 '과정'을 나타내고 있습니다. 하나의 수를 찾기 위해 우리는 그러한 과정을 중간에서 끊어야 합니다. 그 시점에 있어서 0.999…=1이라는 개념은 붕괴됩니다."라고 말하면서 여전히 저항하고 있습니다. 이것은 넌센스입니다!
〈더 스트레이트 도프〉(The Straight Dope)는 "다른 게시판... 대부분 비디오 게임"에서 독립된 전용 게시판들을 통해 논쟁을 일으켰다. 이와 마찬가지로 0.999… 문제는 미국의 비디오 게임 개발사인 블리자드 엔터테인먼트의 배틀넷(Battle.net) 포럼에서 초반 7년 동안에 걸쳐 매우 일반적인 화제가 되기도 했다. 마이크 모하임(Mike Morhaime) 블리자드 엔터테인먼트 사장은 2004년 4월 1일에 만우절을 맞아 열린 기자 회견 도중에 0.999… = 1이라고 발표했다. 블리자드 엔터테인먼트는 나중에 공개된 보도자료에서 극한에 기반한 것과 10을 곱한 것 2가지 증명을 제공했다.
우리는 이 문제에 대한 명확한 결론을 내린 것에 매우 흥분하고 있습니다. 우리는 0.999…가 1과 같은 것인지 같지 않은 것인지에 대한 가슴앓이와 걱정거리를 지켜보고 왔습니다. 여기에 다음 증명(극한에 기반한 것과 10을 곱한 것)을 제시하여 우리 고객들에 대해 최종적으로 단호하게 이 문제에 대처하게 된 것을 기쁘게 생각합니다.
관련된 문제

제논의 역설, 특히 아킬레우스와 거북이의 역설은 외관상 역설 0.999 = 1을 연상시킨다. 아킬레우스의 역설은 수학적으로 모델화되어 0.999와 같이 등비수열을 사용하면서 해결한다. 그렇지만 이러한 수학적인 취급이 엘레아의 제논이 탐구하고 있던 잠재적인 형이상의 문제에 대처하고 있는가의 여부에 대해서는 분명하지 않다. 다만 무한합의 값(여기에서는 유한소수의 무한합으로서의 무한소수)은 부분합의 극한(변수가 일정한 법칙에 따라 정해진 값에 한없이 가까워질 때의 값)에 의해서 정의되고 있으므로 이러한 방법에서는 역설을 해결했다고 보기는 어렵다는 논의가 있다(유한합, 순환소수, 순환논법을 참조). 이러한 사실에 유의하면 0.999… = 1이라는 귀결은 극한에 의해서 무한소수의 값을 정의한 결과이며 반드시 자명한 것은 아니다(그러한 의미에서는 앞에서 언급한 "제1등식을 믿는 것과 제2등식을 믿지 않는 모순에 직면하자 제1등식을 의심하기 시작했다."라는 태도가 어느 정도 수학적이고 감각적인 자세라고 볼 수도 있다). 원래 무한히 존재하는 값을 모두 더할 수 있는가라는 질문은 아직까지도 해결되지 않았으며(현대 수학에서는 정의로 처리하고 있다. 공리적 집합론 참조) 0.999… = 1이나 제논의 역설이라는 화제가 그것을 상기시켜 주는 모습의 소재임은 확실할 것이다.
0으로 나누기는 0.999…에 대한 일반적인 몇 가지 논의에서 볼 수 있지만 그것 또한 논쟁의 대상이 되기도 한다. 많은 저자들이 0.999…를 정의하는 것을 선택하는 한편 실수의 현대적 취급에서는 0에 의한 나눗셈은 정의되지 않는다라고 언급하는 것은 그것이 일반적인 실수의 범위에서는 의미를 부여할 수 없기 때문이다. 그렇지만 0에 의한 나눗셈은 복소해석학을 비롯한 다른 체계에서는 정의되어 있다. 복소해석학에서는 확장된 복소평면(리만 구)은 무한원점을 갖는다. 1/0을 무한대로 정의했다는 사실은 의미가 있다. 또한 실제로 그 결과는 심오한 편인데 공학이나 물리학에도 응용할 수 있다. 유명한 몇몇 수학자들은 수 체계가 훨씬 발달하기 이전부터 그러한 정의를 논의했다.
장황한 수 표기와 비슷한 사례로서 −0을 들 수 있다. 실수 등의 수 체계에서 "0"은 덧셈에 관한 항등원을 의미하며 양수도 음수도 아니다. 일반적으로 "-0"은 덧셈에 관한 0의 역원을 나타낸다고 해석되므로 −0 = 0이어야 한다. 이는 몇몇 컴퓨터의 수체계(예를 들면 부호화된 숫자 표현, 1의 보수 표현, IEEE 754에서의 정의와 같은 부동소수점 표시)에서도 그러하다. IEEE(전기 전자 기술자 협회) 부동소수점의 경우 -0은 주어진 정확한 수치를 나타내기에는 (절댓값이) 너무 작지만 그래도 여전히 음수인 값을 나타낸다. 따라서 IEEE 부동소수점 표시에서 "-0"은 원래 의미에서 "-0"이 아니다.
같이 보기

순환소수
십진법
비표준 해석학
실수
실수의 완비성
코시 열
데데킨트 절단
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …: 0.999…와 마찬가지로 1와 같은 수식.
극한: 1에 따른 사진법 표시의 수열 0.3, 0.33, 0.333, …}을 포함한 단위 구간
구간 축소법: 1 = 1.000… = 0.222…(3)
4진 정수(검은색 점)은 -1에 수렴하는 수열 3, 33, 333, …}을 포함한다. 이러한 십진 대응물이 …999 = -1이다.
칸토어 집합에서 표시된 1/4, 2/3, 1의 위치
캐머런 벤더

| 캐머런 벤더 Cameron Bender |
| --- | --- |
출생: 1974년 11월 20일
성별: 남성
국적: 미국
직업: 배우
캐머런 벤더(Cameron Bender, 1974년 11월 20일 ~ )는 미국의 배우이다.
출연 작품

파인드 미 (2014년)
리딩 맨 (2013년)
Commander and Chief (2012)
팜므파탈: 헌티드 (2011년)
이글스 인 더 치킨 쿠프 (2010년) - 토드 역
미스터 새드맨 (2009년)
어덜트 필름: 어 할리우드 테일 (2009년)
지구가 멈추는 날 2012 (2008) - 샘 역
출연 작품 > 텔레비전

미스트리스 (2013)
프리드리히 드 라 모테 푸케

| 프리드리히 드 라 모테 푸케 Friedrich de la Motte Fouqué |
| --- | --- |
본명: 프리드리히 하인리히 카를 드 라 모테
로마자 표기: Friedrich Heinrich Karl de la Motte, Baron Fouqué
출생: 1777년 2월 12일
사망: 1843년 1월 23일
성별: 남성
국적: 독일
직업: 작가
프리드리히 드 라 모테 푸케(Friedrich de la Motte Fouqué, 본명: Friedrich Heinrich Karl de la Motte, Baron Fouqué, 1777년 2월 12일 ~ 1843년 1월 23일)는 독일의 로맨틱 스타일 작가이다.
생애

푸케는 1777년 하벨 강가의 브란덴부르크에서 태어나 1843년 베를린에서 사망했다. 프리드리히 하인리히 칼 드 라 모테 푸케 남작(Friedrich Heinrich Karl Baron de la Motte Fouqué)이라는 독일 세례명과 드 생 쉬렝 남작, 드 라 그레브 영주(Baron de Saint-Surin, Seigneur de la Greve)라는 프랑스 세례명을 가진 그는 프로이센 국민이었으나 조상은 프랑스 귀족이었다.
그의 이름 프리드리히는 대부였던 프로이센의 프리드리히 대왕에게서 따온 것이다. 프리드리히 대왕이 그의 대부가 된 것은 조부의 덕분이라고 할 수 있다. 푸케의 조부 하인리히 아우구스트 드 라 모테 푸케(1698~1774)는 프로이센의 프리드리히 대왕으로부터 육군 중장에 임명되고 검은 독수리 훈장을 받았다. 이러한 조부의 영향으로 아주 어린 시절 군에 입대한 푸케는 이미 1794년, 17세에 최연소 사관후보생으로서 라인 전쟁에 참가했고, 이후 아셔레벤에서 바이마르 대공의 장교를 지냈다.
1798년에 마리아네 폰 슈배르트와 결혼했으나 1802년 이혼, 1803년 세 자녀를 둔 미망인 카롤리네 필리피네 폰 로호(결혼 전 성은 폰 브리스트, 1773~1831)와 재혼했다. 그녀는 영지를 소유한 폰 브리스트 가문의 상속녀였다. 전 남편인 폰 로호는 그녀와 이혼 수속 중 노름 빚 때문에 자살했다. 카롤리네와 결혼 후 푸케는 베를린과 아내의 영지인 넨하우젠에 거주했다. 1803년에는 두 사람 사이에서 딸 마리 루이제 카롤리네 드 라 모테 푸케(1803~1864)가 태어났다. 푸케의 결혼 생활은 평탄했고, 넨하우젠 성은 낭만주의 작가들의 중심지가 되었다. 아내 카롤리네 역시 낭만주의 독일 여성 작가 중의 한 명으로 남편과 함께 문학적 명성을 누렸다.
푸케는 처음에는 펠레그린(Pellegrin)이라는 필명으로 작품을 발표했다. 북유럽의 전설, 중세 프랑스의 기사 이야기를 중심으로 환상적인 세계를 그려 낸 그의 초기 작품들은 소재와 서술 기법에서 이미 훗날 그의 작품을 결정하는 모든 요소를 담고 있었다. 1808년부터 1820년까지 약 10여 년 동안 푸케는 삶에서 또 작가로서 최고의 전성기를 누렸다. 특히 1811년 발표된 ≪운디네≫는 환상적 요소와 동화적 색채를 띤 소설로서 독일 내에서뿐만 아니라 외국에서까지 푸케의 이름을 알리게 했다. 하이네는 푸케가 낭만주의 서사 작가들 중 유일하게 모든 대중을 감동시킨 작품을 썼다고 평했고, 아이헨도르프는 푸케가 대중에게는 낭만주의의 중심인물로 인식된다고 언급했다. 낭만주의 작가인 슐레겔 형제, 장 파울, 에른스트 호프만 역시 그를 칭찬했다. 그러나 푸케의 인기는 그리 길지 않았다.
≪운디네≫로 커다란 성공을 거두었지만 이후 반복되는 기사 이야기에 독자들은 진저리를 냈다. 1818년 뇌졸중으로 쓰러진 이후에도 유사한 소재의 글을 계속 발표했다. 그는 대중의 취향에 부합하는 보잘것없는 글을 쓰는 작가로 치부되었고, 통속소설 작가의 전형으로 평가되었다. 한때 그를 칭찬했던 프리드리히 슐레겔은 그와 거리를 두었고, 아이헨도르프는 푸케를 “낭만주의의 돈키호테”라고 비꼬았다. ≪운디네≫에 대해서 대단한 찬사를 퍼부었던 하이네도 푸케의 후기 작품에 대해 “짜증스럽다”고 표현했다.
1831년 두 번째 아내 카롤리네가 사망한 뒤, 55세의 푸케는 딸 마리를 돌보던 알베르티네 토데와 결혼했다. 여전히 넨하우젠 성에 거주하던 그는 카롤리네가 첫 번째 결혼해 나은 아들 테오도르에 의해 넨하우젠에서 추방당한 뒤, 할레로 이주해 9년간 그곳에 머물렀다. 푸케의 젊은 날의 친구이자 훗날 프로이센의 왕이 된 프리드리히 빌헬름 4세는 1841년 푸케를 베를린으로 불러들이고 연금을 올려 주었다. 이후 오늘날에는 라인하르트슈트라세가 된 칼슈트라세에서 그는 세 번째 아내인 알베르티네, 아들 칼 프리드리히 빌헬름 그리고 장모와 함께 살았다.
1843년 푸케는 베를린 자택의 계단에서 심장마비로 쓰러졌다. 사람들이 그를 침대에 눕혔으나 그는 더 이상 말을 하지 못했다. 마치 죽음을 미리 예견이나 한 듯, 1월 21일 아침 푸케는 일기에 이렇게 적었다. “만세, 주님이 내 곁에 계신 것만 같다. 그러나 죽음 또한 가까이 있는 것 같다. 하지만 주님이 훨씬 더 가까이 계신다.”
그렇게 1843년 1월 23일 낭만주의 작가 푸케는 사망했다. 1월 26일 그는 베를린의 무덤에 안장되었다. 오늘날 푸케는 독자의 기억 속에서 사라졌고, ≪운디네≫를 제외한 거의 모든 작품이 잊혀졌지만, 푸케는 많은 작가와 음악가들에게 영감을 주었다. 그의 시들은 85명의 작곡가들에 의해 140곡의 노래로 남겨졌다. 가곡의 왕이라 불리는 슈베르트도 푸케의 시 중 6편에 곡을 붙였다.
푸케는 세 번 결혼해서 세 자녀를 얻었다. 딸은 태어난 지 얼마 되지 않아 사망했다. 아버지의 이름을 그대로 물려받은 첫째 아들 프리드리히는 처음에는 군인이 되었다가, 나중에는 작곡가가 되어 몇몇 작품을 남기고 1874년 후손 없이 사망했다. 푸케가 사망하고 6일이 지난 뒤에 태어난 둘째 아들 발데마르는 5명의 아이를 얻었고, 이 자녀들의 후손 중 한 명이 현재 함부르크에 살고 있다.
이갑성 (1958년)

| 이갑성 |
| --- | --- |
출생: 1958년 1월 6일
국적: 대한민국
직업: 배우, 영화제작자
이갑성(1958년 1월 6일~)은 대한민국의 배우 겸 영화제작자이다.
학력

서울 명지 전문대 부동산 경영학과 졸업
서울 건국대학교 부동산 과정 수료
서울 한양대학교 경영자과정 수료
경력

한국영화배우협회 8대 이사장(2023.12.29~2026.12.29)
한국영화배우협회 2018년 ~ 2020년 부이사장(김국현 이사장)
한국영화배우협회 2015년 ~ 2017년 운영이사(거 룡 이사장)
한국영화배우협회 2012년 ~ 2014년 운영이사(거 룡 이사장)
한국영화배우협회 2009년 ~ 2011년 운영이사(이덕화 이사장)
한국영화배우협회 1994년 ~ 1996년 복지이사(남궁원 회장)
2009년 영화 "아부지" 제작
1998년 영화 "마지막 시도" 제작
1996년 영화 "하얀노을" 주연 재현역
1995년 영화 "해병묵시록" 조연 특공대원역
상기 대표작 외 다수작품 제작 등 출연
현 레인보우디엔씨(주) 대표이사
현 지에스 디벨로퍼 대표이사
현 케이에스 컨설팅 대표이사
영화(대표작)

| 연도 | 제목 | 역할 | 비고 |
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| 2009 | 아부지 | 제작 | - |
| 1998 | 마지막 시도 | 제작 | - |
| 1996 | 하얀노을 | 재현 역 | 주연 |
| 1995 | 해병묵시록 | 특공대원 역 | 조연 |
시리아의 에프렘

| 시리아의 에프렘 ܡܪܝ ܐܦܪܝܡ ܣܘܪܝܝܐ |
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로마자 표기: Mar Aphrem Suryaya
출생: 306년경
사망: 373년 6월 9일
성별: 남성
국적: 시리아
직업: 은수자, 부제, 신학자, 기독교 시인, 성가 작가
종교: 기독교
상훈: 교회 박사 (1920년 로마 카톨릭 교회)
성 에프렘
시리아의 에프렘(Ephrem, 아람어: ܡܪܝ ܐܦܪܝܡ ܣܘܪܝܝܐ/Mâr Aphrêm Sûryâyâ, 306년경 - 373년 6월 9일)은 시리아에서 활동한 초기 기독교의 은수자, 부제, 신학자, 기독교 시인, 성가 작가이다.
에프렘은 모든 전통 교회에서 성인으로 존경받는다. 그는 특히 시리아 기독교, 즉 동 시리아 전통과 서 시리아 전통 모두에서 존경받고 있으며, 동방 정교회, 특히 슬로바키아 전통에서는 거룩하고 존경할 만한 아버지(즉, 성자 수도사)로 간주된다. 그는 1920년에 로마 카톨릭 교회에서 교회 박사로 선포되었다. 에프렘은 또한 후세기에 동방 교회 학문의 중심지였던 니시비스 학파의 창시자로도 알려져 있다.
에프렘은 산문 주석뿐만 아니라 다양한 찬송가, 시, 운문 설교를 썼다. 이 책들은 어려운 시대에 교회를 세우는 실천신학의 저작물이었다. 이러한 작품 중 일부는 그의 텍스트에 여성 이미지가 포함된 것을 분석한 페미니스트 학자들에 의해 조사되었다. 또한 여성 합창단이 그의 마드라세(madrāšê)나 가르치는 찬송가를 부르는 공연 관행도 조사한다. 에프렘의 작품은 매우 인기가 있어서 그가 죽은 후 수세기 동안 기독교 작가들은 그의 이름으로 수백 권의 위경 작품을 썼다. 그는 시리아어를 사용하는 교회 전통의 모든 아버지들 가운데 가장 중요한 사람으로 불려왔다. 시리아 기독교 전통에서 그는 시리아 사람들의 후원자로 간주된다.
같이 보기

시리아어
시리아 (지역)
| 전거 통제  |
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국제:  FAST  ISNI  VIAF 2  3  4  5  6  7  월드캣 
국가:  노르웨이  칠레  스페인  프랑스  BnF 데이터  카탈루냐  독일  이탈리아  이스라엘  벨기에  미국  스웨덴  라트비아  일본  체코  오스트레일리아  그리스  네덜란드  폴란드  포르투갈  바티칸 
학술:  CiNii 
아티스트:  뮤직브레인즈 
인물:  Deutsche Biographie  Trove 
기타:    SNAC  IdRef