전자기학 활용 사례의 이론적 고찰
EMP & Shielding

EMP의 존재는 1958년 미국의 수소폭탄 개발과 1962년 미 해군의 태평양 상공에서 핵무기 실험에서 처음 알려졌다. 당시 폭발 장소로부터 1000km이상 떨어진 거리에서 전자장비의 치명적인 손상 및 오작동이 핵 폭탄의 폭발에서부터 나오는 강력한 전자기파에 의한 것임이 밝혀졌고 이를 EMP라고 한다. 오늘날 대부분의 군사시설과 통신망들은 EMP에 매우 치명적이므로 전쟁무기로써 EMP의 개발이 시작되었고 그 결과 핵 폭탄이 아닌 비핵무기에 의해 EMP를 방출시키는 무기로써 EMP탄이 개발되었다.
Figure 5는 비핵 EMP 탄의 원리를 나타내고 있다. 먼저, 전류 코일에 미리 전류가 흐르도록하여 강한 전자기파를 발생시킨다. 그리고 전류 코일과 폭약이 포함된 EMP 탄이 폭약에 의해서 터지게 되면 순간적으로 큰 전류가 흐르게 되면서 이것이 안테나를 통해 EMP로 방출된다. 방출된 EMP는 감마선 수준의 강한 에너지를 포함하여 넓은 영역에 거쳐서 방출된다. 방출된 전자기파는 콤프턴 효과에 의해서 전자들이 회로를 통해 빠르게 빠져나가게되고 전자 회로에 과전류가 흐르게 되어 전자기기가 제 기능을 상실한다.
오늘날 대부분의 시설이 전자기기로 이루어져있는 만큼, EMP탄은 현대 전쟁에서 굉장히 치명적인 무기로 작용할 수 있다. 이에 대비하기 위하여 EMP를 차단할 수 있는 방호시설에 관한 연구도 활발하게 진행되고 있다. EMP를 차폐시키기 위해서는 외부에서 전자기장이 존재하여도 내부의 전자기장이 0이 되어야한다. 전기장의 경우, 정전기적 평형 상태의 도체는 도체 내부에서 전기장이 0이므로 쉽게 차폐가 가능하지만, 자기장의 경우 차폐가 조금 복잡하다. 따라서 간단히 반지름이 안쪽 반지름이 a이고 바깥쪽 지름이 b인 구 껍질의 외부에 균일한 자기장,  B_{0}가 존재할 때, 내부의 자기장을 구할 것이다.
자유전류가 없어, 자기장의 회전,  \nabla \times {\vec {B}}이 0이 되므로, 전기장과 마찬가지로  B=-\bigtriangledown \Phi 인 자기 스칼라 전위,$\Phi$를 정의할 수 있다. 그리고 자기장의 발산, \bigtriangledown \cdot {\vec {B}}는 항상 0이므로, 자기 스칼라 전위는 라플라스 방정식,  \bigtriangledown ^{2}\Phi =0을 만족한다. 구 좌표계에 대한 라플라스 방정식의 일반해는 식(18)과 같다. 이때,  P_{l}(cos\theta )는 Legendre polynomials이다.
(18)\Phi =\sum _{l=0}^{\infty }(A_{l}r^{l}+{\frac {B_{l}}{r^{l+1}}})P_{l}(cos\theta )
따라서 세 구간, 0<r<a, a<r<b 그리고 b<r인 구간에서 자기 스칼라 전위를 각각  \Phi _{1},\Phi _{2},\Phi _{3}라 하자. 그러면 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(19)\Phi _{1}=\sum _{l=0}^{\infty }(A_{1l}r^{l}+{\frac {B_{1l}}{r^{l+1}}})P_{l}(cos\theta )
(20)\Phi _{2}=\sum _{l=0}^{\infty }(A_{2l}r^{l}+{\frac {B_{2l}}{r^{l+1}}})P_{l}(cos\theta )
(21)\Phi _{3}=\sum _{l=0}^{\infty }(A_{3l}r^{l}+{\frac {B_{3l}}{r^{l+1}}})P_{l}(cos\theta )
이때, r->0일 때  \Phi _{1}=0이고,  r->\infty 일 때  \Phi _{3}=0이다. 그리고  r->\infty 일 때, 구를 무시할 수 있으므로, 원래의 자기장인  B=B_{0}{\hat {z}}이다.  r->\infty 일 때,  \Phi _{3}=-{\frac {B_{0}rcos\theta }{\mu _{0}}}. 이를 정리하면 세 개의 자기 스칼라 전위를 다음과 같이 간단히 할 수 있다.
(22)\Phi _{1}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {B_{1l}}{r^{l+1}}}P_{l}(cos\theta )
(23)\Phi _{2}=\sum _{l=0}^{\infty }(A_{2l}r^{l}+{\frac {B_{2l}}{r^{l+1}}})P_{l}(cos\theta )
(24)\Phi _{3}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {B_{3l}}{r^{l+1}}}P_{l}(cos\theta )-{\frac {B_{0}rcos\theta }{\mu _{0}}}
자기 스칼라 전위가 연속이라는 조건,  \Phi _{1}(a)=\Phi _{2}(a),\Phi _{2}(b)=\Phi _{3}(b)과  r=a,r=b인 각 경계에서 식(12)-(13)의 경계조건을 만족해야한다는 조건을 사용한다. 그리고 이를 정리하여 구 내부에서 자기장을 구하면 식(25)와 같다.
(25){\vec {B_{in}}}={\frac {9\mu _{1}\mu _{0}}{(2\mu _{1}+\mu _{0})(\mu _{1}+\mu _{0})-2(a/b)^{3}(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}}B_{0}{\hat {z}}
식 (25)에서 눈여겨 볼 수 있는 것은  \mu _{1}이 0이 되거나, 매우 커지면 ( \mu _{1}->\infty ) 내부 자기장이 0이 된다. 즉, 외부 자기장에 대하여 차폐를 할 때, 투자율이 큰 물질을 이용하여 방호시설을 구축하면 EMP에 의한 피해를 감소시킬 수 있다. 그러나, 이 경우는 사람이 대피해야할 장소인 0<r<a인 곳의 투자율을 바꾸어야하므로 적절하지 못한 모형이다. 따라서 figure 7과 같이 0<r<a, a<r<b 그리고 b<r 인 부분의 투자율을 각각  \mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}라 모형을 바꾸어놓고 외부 자기장을  H_{0}로 바꾸어 놓으면 0<r<a인 범위에서의 자기 스칼라함수는 다음과 같이 주어진다.
(26)\Phi _{1}=-(H_{0}+H_{1}+H_{2})rcos\theta
(27)H_{1}=3H_{0}(b/a)^{3}{\frac {\mu _{3}(\mu _{2}-\mu _{1})}{D}}
(28)H_{2}=-H_{0}{\frac {(\mu _{2}-\mu _{3})[(b/a)^{3}(\mu _{1}+2\mu _{2})-2(\mu _{2}+\mu _{1})]}{D}}
이때,  \mu _{2}->\infty ,\mu _{2}->0이면  \Phi _{1}=0이 되어, 0<r<a인 범위에서의 자기장이 0이 된다. 즉, 사람이 직접 머물러야하는 안쪽 공간과 바깥쪽 공간 사이를 이루는 공간 (a<r<b)의 투자율이 매우 크거나 0이 되면 자기장이 차폐되는 것을 확인할 수 있다. 하지만, 실제 EMP 차폐 방호시설의 경우에는 사람이 사용하는 전력 시설의 전력을 공급해줄 선이나, 물자를 나를 수 있는 공간, 출입문 등이 구성되어야하기 때문에 실제로 위의 모형과 같이 아주 완벽하게 닫혀있는 모델로 생각할 수 없다. EMP가 어느 시기에 터질 것인지 장담할 수 없으므로, 출입문이 닫혀있든 열려있든 차폐는 지속되어야한다. 따라서 이를 해결하기 위해서 차폐실의 출입문은 WBC(Waveguide-Below-Cutoff) 원리를 따라 제작한다.
Figure 8은 도파관을 이용한 차폐실의 출입문을 나타내고 있다. 차폐실의 출입문 앞쪽에 figure 8과 같이 완전 도체로 이루어진 도파관을 설치하면 입사하는 전자기파의 진폭이 감소하여 EMP가 방호공간 내로 쉽게 들어올 수 없다. 이 모든 과정은 식(1)-(4)의 맥스웰 방정식과 식(10)-(13)의 경계조건으로 보일 수 있다. 먼저, 자유전하와 자유 전류가 없는 맥스웰 방정식은 식(29)-(32)으로 고쳐쓸 수 있다.
(29)\bigtriangledown \cdot {\vec {E}}=0
(30)\bigtriangledown \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}
(31)\bigtriangledown \cdot {\vec {B}}=0
(32)\bigtriangledown \times {\vec {B}}=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}
이때, 전자기파는 식(33)-(34)처럼 z축 방향으로 진행하는 간단한 형태의 복소함수로 나타낼 수 있고, 이때, 전기장과 자기장의 크기에 대한 벡터를 각각 식(36)-(37)처럼 각 성분별로 나눌 수 있다. 이때, 각 성분들은 상수가 아닌 x,y,z에 대한 스칼라 함수이다.
(33){\widetilde {E(x,y,z,t)}}={\vec {E_{0}(x,y)}}e^{i(kz-wt)}
(34){\widetilde {B(x,y,z,t)}}={\vec {B_{0}(x,y)}}e^{i(kz-wt)}
(35){\vec {E_{0}}}=E_{x}{\hat {x}}+E_{y}{\hat {y}}+E_{z}{\hat {z}}
(36){\vec {B_{0}}}=B_{x}{\hat {x}}+B_{y}{\hat {y}}+B_{z}{\hat {z}}
그리고 이를 맥스웰 방정식에 대입하여 각 성분별로 정리하면 아래의 6개의 식을 얻을 수 있다.
(37)E_{x}={\frac {i}{(w/c)^{2}-k^{2}}}(k{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}+w{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}})
(38)E_{y}={\frac {i}{(w/c)^{2}-k^{2}}}(k{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-w{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}})
(39)B_{x}={\frac {i}{(w/c)^{2}-k^{2}}}(k{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}-(w/c^{2}){\frac {\partial E_{z}}{\partial y}})
(40)E_{x}={\frac {i}{(w/c)^{2}-k^{2}}}(k{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}+(w/c^{2}){\frac {\partial E_{z}}{\partial x}})
(41)[{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+(w/c)^{2}-k^{2}]E_{z}=0
(42)[{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+(w/c)^{2}-k^{2}]B_{z}=0
식(41)-(42)의 두 개의 식을 이용하여 해를 구하면 나머지 4개의 해들은 자연스럽게 얻을 수 있으므로, 두 개의 해를 구하는 것이 중요하다. 이때,  E_{z}=0인 TE mode의 전자기파에 대한 사각형 도파관의 해를 구해보자.
B_{z}=X(x)Y(y)의 변수 분리법과 경계조건을 사용하여 해를 구하면 식(43)와 같으며 그에 대한 파상수 k는 식(44)와 같다. 이때, mn은 0을 포함한 양의 정수이다.
(43)B_{z}=B_{0}cos(m\pi x/a)cos(n\pi y/b)
(44)k={\sqrt {(w/c)^{2}-\pi ^{2}[(m/a)^{2}+(n/a)^{2}]}}={\sqrt {(w/c)^{2}-w_{mn}^{2}}}
파상수 k가 0보다 커야 진행한다는 의미이므로, a > b라면 전자기파가 진행할 수 없을 조건(차단 주파수)은 아래와 같다.
(45)w<w_{10}=c\pi /a=w_{c}=2\pi f_{c}
그리고 최저 차단 주파수보다 낮은 진동수 f를 가진 전자기파에 대한 감쇠량은 아래와 같다.
(46)A=27.3{\frac {L}{a}}{\sqrt {1-({\frac {f}{f_{c}}})}}dB
따라서, 차폐문에 도파관을 적절히 사용하면 사람이 다닐 수 있는 문을 방호시설에 만들어도 EMP를 막아낼 수 있다. 실제로 사람이 다닐 수 있을만한 크기의 문을 제작하여 80 dB 정도의 감쇠효과를 내려면 EMP의 주파수가 49.8 MHz 이하일 때만 가능한데, 이 이상의 주파수에서는 figure 10과 같이 차폐문 두 개를 수직으로 만드는 구조를 선택하여 EMP가 방호시설 내부까지 들어오는 것을 최대한 막기도 한다.