스핀 표현
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실 표현에 대한 설명을 완료하려면 이러한 구조가 불변 쌍선형 형식과 어떻게 상호 작용하는지 설명해야 한다. n=p+q\equiv p-q\mod 2이므로 두 가지 경우가 있다. 차원과 부호수이 모두 짝수인 경우와 차원과 부호수가 모두 홀수인 경우이다.
홀수인 경우는 더 간단하다. 복소 스핀 표현  S가 하나만 있고, 에르미트 구조가 발생하지 않는다. 자명한 경우인  n=1을 제외하고  S는 항상 짝수 차원이다. 예를 들어  {\text{dim}}S=2N이다.  {\mathfrak {so}}(2N,\mathbb {C} )의 실수형은  K+L=2N인  {\mathfrak {so}}(K,L)이므로 ∗(N, H)인 반면  {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {C} )의 실수형은  {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {R} )및  {\mathfrak {so}}(K,L)  K+L=N  S에 대한  V의 클리포드 작용의 존재는  pq=0이 아닌 경우 두 경우 모두에서  K=L이 성립해야 한다. 이 경우  KL=0이며 간단히  {\mathfrak {so}}(2N) 또는  {\mathfrak {sp}}(N)로 표시된다. 따라서 홀수 스핀 표현은 다음 표와 같이 요약될 수 있다:
|  p-q\mod 8 |  n\mod 8>  |  1,7>  {\mathfrak {so}}(2N,\mathbb {C} ) |  3,5>  {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {C} ) |
| --- | --- | --- | --- |
|  1,7 |  \mathbb {R}  |  {\mathfrak {so}}(N,N) 또는  {\mathfrak {so}}(2N) |  {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {R} ) |
|  3,5 |  \mathbb {H}  |  {\mathfrak {so}}^{*}(N,\mathbb {H} ) |  {\mathfrak {sp}}(N/2,N/2)^{\dagger } 또는  {\mathfrak {sp}}(N) |
(†)  N은  n>3인 경우 짝수이고  n=3 n=3인 경우  {\mathfrak {sp}}(1)이다.
짝수 차원의 경우도 비슷하다.  n>2  n>2의 경우 복소수 반회전 표현은 짝수 차원이다. 우리는 추가로 에르미트 구조와  {\mathfrak {sl}}(2N,\mathbb {C} )의 실 형태를 다루어야 한다:  {\mathfrak {sl}}(2N,\mathbb {R} ),   K+L=2N일 때  {\mathfrak {su}}(K,L),  {\mathfrak {sl}}(N,\mathbb {H} ). 그 결과 짝수 스핀 표현은 다음 표와 같이 요약된다:
|  p-q\mod 8 |  n\mod 8>  |  0>  {\mathfrak {so}}(2N,\mathbb {C} )+{\mathfrak {so}}(2N,\mathbb {C} ) |  2,6>  {\mathfrak {sl}}(2N,\mathbb {C} ) |  4>  {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {C} )+{\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {C} ) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  0 |  \mathbb {R} +\mathbb {R}  |  {\mathfrak {so}}(N,N)+{\mathfrak {so}}(N,N)^{*} |  {\mathfrak {sl}}(2N,\mathbb {R} ) |  {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {R} )+{\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {R} ) |
|  2,6 |  \mathbb {C}  |  {\mathfrak {so}}(2N,\mathbb {C} ) |  {\mathfrak {su}}(N,N) |  {\mathfrak {sp}}(2N,\mathbb {C} ) |
|  4 |  \mathbb {H} +\mathbb {H}  |  {\mathfrak {so}}^{*}(N,\mathbb {H} )+{\mathfrak {so}}^{*}(N,\mathbb {H} ) |  {\mathfrak {sl}}(N,\mathbb {H} ) |  {\mathfrak {sp}}(N/2,N/2)+{\mathfrak {sp}}(N/2,N/2)^{\dagger } |
(*)  pq=0의 경우 대신에  {\mathfrak {so}}(2N)+{\mathfrak {so}}(2N) {\mathfrak {so}}(2N)+{\mathfrak {so}}(2N)
(†)  N 은  n>4 이고  pq=0 (  N=1 인  n=4 포함)인 경우 짝수이다. 대신  {\mathfrak {sp}}(N)+{\mathfrak {sp}}(N)
복소 경우의 저차원 동형 사상은 다음과 같은 실 형식을 갖는다.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 유클리드 부호수 | 민코프스키 부호수 | 기타 부호수 | 기타 부호수 |
|  {\mathfrak {so}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1) |  {\mathfrak {so}}(1,1)\cong \mathbb {R}  |  |  |
|  {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {sp}}(1) |  {\mathfrak {so}}(2,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ) |  |  |
|  {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {sp}}(1)\oplus {\mathfrak {sp}}(1) |  {\mathfrak {so}}(3,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ) |  {\mathfrak {so}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ) |  |
|  {\mathfrak {so}}(5)\cong {\mathfrak {sp}}(2) |  {\mathfrak {so}}(4,1)\cong {\mathfrak {sp}}(1,1) |  {\mathfrak {so}}(3,2)\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} ) |  |
|  {\mathfrak {so}}(6)\cong {\mathfrak {su}}(4) |  {\mathfrak {so}}(5,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {H} ) |  {\mathfrak {so}}(4,2)\cong {\mathfrak {su}}(2,2) |  {\mathfrak {so}}(3,3)\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} ) |
이 표에서 누락된 실 리 대수의 유일한 특수 동형 사상은 다음과 같다.  {\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)과  {\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).