리 군
리 군과 리 대수

모든 리 군에 기본 선형 공간이 항등원에서 리 군의 접공간이고 리 군의 국소 구조를 완전히 포착하는 리 대수를 연관시킬 수 있다. 대략적으로 리 대수의 원소를 항등원에 "무한히 가까운" 군의 원소로 생각할 수 있으며, 리 대수의 리 괄호는 그러한 두 무한소 원소들의 교환자와 관련된다. 추상적 정의를 제시하기 전에 몇 가지 예를 제시한다.
선형 공간  \mathbb {R} ^{n}의 리 대수는 다음과 같이 주어진 리 괄호  [u,v]:=0가 주어진  \mathbb {R} ^{n}이다  (일반적으로 연결 리 군의 리 괄호가 0임과 리 군이 아벨군임이 동치이다.)
복소 가역 행렬들이 이루는 일반 선형 군
\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )의 리 대수는 리 괄호가 다음과 같이 주어진 정사각 행렬의 벡터 공간  {\text{M}}(n,\mathbb {C} )이다. [A,B]:=AB-BA
G가 



GL
⁡
(
n
,

C

)


{\textstyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}

의 닫힌 부분 군인 경우  G의 리 대수는 대략적으로  1+\varepsilon m\in G인 




M

(
n
,

C

)


{\textstyle {\text{M}}(n,\mathbb {C} )}

의 행렬  m으로 볼 수 있다. 여기서  \varepsilon 은 




ε

2


=
0


{\textstyle \varepsilon ^{2}=0}

인 무한소 양수이다.(물론 그러한 실수  \varepsilon 은 존재하지 않는다). 예를 들어, 직교 군 



O
⁡
(
n
,

C

)


{\textstyle \operatorname {O} (n,\mathbb {C} )}

은 



A

A

T


=
1


{\textstyle AA^{T}=1}

인 행렬들로 구성되므로 리 대수는 



(
1
+
ε
m
)
(
1
+
ε
m

)

T


=
1


{\textstyle (1+\varepsilon m)(1+\varepsilon m)^{T}=1}

인 행렬  m으로 구성된다. 




ε

2


=
0


{\textstyle \varepsilon ^{2}=0}

이므로, 이는 



m
+

m

T


=
0


{\textstyle m+m^{T}=0}

과 동일하다.
앞의 설명은 다음과 같이 더욱 엄밀해질 수 있다.  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )의 닫힌 부분군  G의 리 대수는 다음과 같이 계산될 수 있다. \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \} 여기서 exp(tX)는 행렬 지수 함수를 사용하여 정의된다. 그러면  G의 리 대수는 대괄호 연산 



[
X
,
Y
]
=
X
Y
−
Y
X


{\textstyle [X,Y]=XY-YX}

하에서 닫혀 있는 실수 선형 공간이라는 것을 알 수 있다.
행렬 군에 대해 위에 제공된 구체적인 정의는 다루기 쉬우나 몇 가지 사소한 문제가 있다. 이를 사용하려면 먼저 리 군을 행렬 군으로 표현해야 하지만 모든 리 군이 이런 방식으로 표현될 수는 없다. 더욱이 리 대수는 표현에 독립적인지 조차 분명하지 않다. 이러한 문제를 해결하기 위해 리 군의 리 대수에 대한 일반적인 정의를 제공한다.
임의의 매끄러운 다양체  M의 벡터장은 다양체의 매끄러운 함수 환의 미분  X로 볼 수 있으므로, 리 괄호 



[
X
,
Y
]
:=
X
Y
−
Y
X


{\textstyle [X,Y]:=XY-YX}

에 대해 리 대수이다. 왜냐하면 두 미분의 리 괄호도 미분이기 때문이다.
G가 다양체  M에서 매끄럽게 작용하는 군인 경우 이는 벡터장에 작용하고 군에 의해 고정된 벡터장들의 선형 공간은 리 괄호 연산에 대해 닫혀 있으므로 리 대수를 형성한다.
다양체  M이 리 군  G의 기본 공간인 경우에, 왼쪽 곱 




L

g


(
h
)
=
g
h


{\textstyle L_{g}(h)=gh}

으로  G가 



G
=
M


{\textstyle G=M}

에 작용하는 구성을 한다. 이때 왼쪽 곱은 매끄러운 사상이다. 이는 왼쪽 불변 벡터장(



(

L

g



)

∗


(

X

h


)
=

X

g
h



∀
h
∈
G


{\textstyle (L_{g})_{*}(X_{h})=X_{gh}\quad \forall h\in G}

를 만족하는 벡터장. 여기서 Lg*는 Lg에서 정의된 밂을 나타냄)의 공간은 리 군에서 벡터장의 리 괄호가 주어진 리 대수임을 보여준다.
리 군의 항등원에 접한 임의의 접벡터는 접벡터를 다양체의 다른 점으로 왼쪽으로 변환함으로써 왼쪽 불변 벡터장으로 확장될 수 있다. 구체적으로, 항등식에서 접공간의 원소 v의 왼쪽 불변 확장은 v^g = Lg*v 로 정의되는 벡터장이다. 이는 항등원의 접공간 TeG를 왼쪽 불변 벡터 체의 공간으로 식별하고 따라서 항등식의 접공간을 일반적으로 Fraktur로 표시되는  G의 리 대수라고 불리는 리 대수  {\mathfrak {g}}로 만든다. 리 괄호는 [v , w] = [v^, w^]e.
이 리 대수  {\mathfrak {g}}는 유한 차원이며 다양체  G와 동일한 차원을 갖는다.  G의 리 대수는  G를 "국소 동형"을 기준으로 결정한다. 여기서 두 리 군은 항등원 근처에서 동일하게 보이는 경우 국소적 동형이라고 한다. 리 군에 대한 문제는 먼저 리 대수에 대한 해당 문제를 해결함으로써 해결되는 경우가 많으며, 군에 대한 결과는 일반적으로 쉽게 유도된다. 예를 들어 단순 리 군은 일반적으로 해당 리 대수를 먼저 분류하여 분류된다.
왼쪽 불변 벡터장 대신 오른쪽 불변 벡터장을 사용하여 Te 에 대한 리 대수 구조를 정의할 수도 있다. 이것은 동일한 리 대수로 이어진다. 왜냐하면 G  역 사상은 오른쪽 불변 벡터장과 왼쪽 불변 벡터장 동일시 하는 데 사용될 수 있고 접공간 Te 에서 −1에 해당하기 때문이다.
Te의 리 대수 구조는 다음과 같이 설명 될 수 있다. G × G에서 교환자 연산 (x, y) → xyx − 1 y − 1
은 (e , e)를 e로 보낸다. 그래서 미분은 TeG 위에서 쌍선형 연산을 생성한다. 이 쌍선형 연산은 실제로 영 사상이지만 접공간의 적절한 식별 하에서 2차 도함수는 리 괄호의 공리를 충족하는 연산을 생성하며 이는 왼쪽 불변 벡터장을 통해 정의된 것의 두 배와 같다.