자기회전비율
제이만 효과와의 관련성 > 정상 제이만 효과

파울리 방정식의 응용으로 약한 자기장 하에서의 단순 제이만 효과를 생각할 수 있다. 이 경우, 스핀-궤도 상호작용은 무시할 수 있다.
자기장이 균질하고 z 축 방향으로 크기  B 만큼 작용한다고 하자. 그럼 이 자기장 벡터가 갖는 벡터 퍼텐셜은
\mathbf {A} =\{-{\frac {1}{2}}By,{\frac {1}{2}}Bx,0\}
라고 쓸수 있다. 이는  \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}  라는 관계에서 얻어진다. 이제, 쿨롱 퍼텐셜을  \phi  라고 정의하자. 파울리 방정식을 기본 전하량을 가진 입자에 대해 풀어보면 해밀토니안은 다음과 같이 나온다.
{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {\hat {p}} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} )^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B}
자기장이 약하게 걸려있기 때문에 벡터 퍼텐셜의 제곱항 이하를 무시하고  \nabla \cdot A 이 0이라는 성질을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
({\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}-{\frac {e}{mc}}\mathbf {A} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\mathbf {B} \cdot {\hat {\sigma }})\psi =i\hbar {\partial  \over \partial t}\psi
여기서,  \mathbf {A} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}를 각 운동량을 이용해 새로이 적을 수 있다.
\mathbf {A} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}={\frac {B}{2}}(y{\hat {p}}_{x}-x{\hat {p}}_{y})=ih{\frac {B}{2}}(y{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial y}})={\frac {B}{2}}{\hat {L}}_{z}
{\hat {H}}_{0}={\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}+e\phi 를 이용해 함께 쓰면 다음과 같다.
i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}_{0}\psi -{\frac {eB}{2mc}}({\hat {L}}_{z}+\hbar {\hat {\sigma }}_{x})\psi
우리가 관심있는 것은 정적 상태에서의 에너지이다. 따라서 파동함수 프사이를 다음과 같이 쓰도록 하자.
\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\exp(-{\frac {Et}{h}})
따라서 방정식을 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.
i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}_{0}\psi -{\frac {eB}{2mc}}({\hat {L}}_{z}+\hbar {\hat {\sigma }}_{x})\psi =E\psi
여기서 라머 주파수  \omega _{L}={\frac {-eB}{2mc}}를 이용하고 스피너 표기법을 이용하면 다음과 같다.
{\hat {H}}_{0}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{smallmatrix}}{\bigr )}+\omega _{L}[{\hat {L}}_{z}+\hbar {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )}]{\binom {\psi _{1}}{\psi _{2}}}=E{\binom {\psi _{1}}{\psi _{2}}}
이 방정식의 해를 다음과 같이 쓸 수 있다.
\psi _{1}=\psi _{2}=\psi _{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )
이 파동함수는  {\hat {L}}_{z} 의 고유함수이므로
{\hat {L}}_{z}\psi _{nlm}=\hbar m\psi _{nlm}
으로 쓸 수 있다. 이 파동함수는 앞서 스피너 표기법을 통해 적은 방정식의 고유함수이기도 하다. 결국 이 파동함수는 해밀토니안 연산자의 고유값 방정식으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
{\hat {H}}_{0}\psi _{nlm}=E_{nl}^{0}\psi _{nlm}
이 방정식을 종합하면 아래와 같은 결과를 얻는다.
E'_{nlm}=E_{nl}^{0}+\omega _{L}\hbar (m+1)
E''_{nlm}=E_{nl}^{0}+\omega _{L}\hbar (m-1)
이는 각각  \psi ={\binom {\psi _{nlm}}{0}}과  \psi ={\binom {0}{\psi _{nlm}}}에 관하여 풀었을 때 얻는 식이다.
에너지는 자기모멘트의 방향과 자기장에 의해 결정된다. 에너지 준위는 자기장에 의해 축퇴된다. 오비탈 자기 모멘트가 없는 상태에서 두 가지 준위로 에너지 준위가 갈라지는 것은 스핀의 존재성을 증명한 것으로, 슈테른-겔를라흐 실험으로 알려져 있다.
2p 상태는 5가지 에너지 준위로 갈라진다. 스핀이 전이될 때 방출되는 빛과 일으키는 상호작용이 매우 작기 때문에, 스핀은 바뀌지 않는다. 따라서 오직 동일한 스핀 방향 간에만 전이가 일어난다.
우리는 다른 에너지를 갖고 전이시 일어나는 진동수를 계산할 수가 있다. 스핀의 방향이 바뀌지 않으므로 아래와 같이 쓸 수 있다.
\hbar \omega =E_{n'l'm'}-E_{n''l''m''}=E_{n'l'}^{0}-E_{n''l''}^{0}+\omega _{L}\hbar (m'-m'')=\omega _{0}+\omega _{L}(m'-m'')
여기서  \omega _{0}는 자기장이 사라질 때 일어나는 전이 진동수이다. 선택 규칙에 따라 가능한  (m'-m'') 값은 1, 0, -1 이므로 우리는 자기장이 있을 때 기존의 진동수에서  \pm \omega _{L} 만큼 추가로 갈라진 두 스펙트럼 선을 관찰할 수 있다.
이는 고전적으로 해석한 제이만 효과와 우연히도 일치한다. 고전적인 해석은 자기장 하에서 전자가 원운동을 하는 것이다. 여기서 구심력과 로렌츠 힘의 관계를 이용하면 다음과 같은 방정식을 쓸 수 있다.
mr\omega ^{2}\pm er\omega B/c=mr(\omega \pm \Delta \omega )^{2}
여기서 델타 오메가 제곱 항을 무시한다면 다음과 같은 결론을 쓸 수 있다.
\Delta \omega ={\frac {eB}{2mc}}=\omega _{L}
이 운동은 자기장에 수직한 방향으로 각운동량 방향이 바뀌는 쪽으로 일어난다.  \Delta \omega  가 0이란 의미는 운동이 외부 자기장에 평행하게 일어난다는 것이다. 즉, 각운동량 방향이 자기장에 수직하다.
우리는 앞서 고전적인 전하를 띈 물체의 각운동량을 이용해 라머 주파수를 정의했다. 이는 양자역학적으로 제이만 효과를 해석하는 데도 이용할 수 있다.
앞서 사용한 해밀토니안은 다음과 같이 새롭게 쓸 수 있다.
{\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\omega _{L}{\hat {L}}_{z}+2\omega _{L}{\hat {S}}_{z}
각운동량의 시간당 변화율은 아래의 관계로 해석할 수 있다.
{\frac {d{\hat {L}}_{x}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},L_{x}]
이를 이용해 다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.
{\frac {d{\hat {L}}_{x}}{dt}}=-\omega _{L}{\hat {L}}_{y},  {\frac {d{\hat {L}}_{y}}{dt}}=+\omega _{L}{\hat {L}}_{x},  {\frac {d{\hat {L}}_{z}}{dt}}=0
각 항에 대한 이계도함수 역시 구할 수 있으며, 이는 다음과 같다.
{\frac {d^{2}{\hat {L}}_{x}}{dt^{2}}}=-\omega _{L}^{2}{\hat {L}}_{x},  {\frac {d^{2}{\hat {L}}_{y}}{dt^{2}}}=-\omega _{L}^{2}{\hat {L}}_{y}
우리는 이 관계를 통해 기댓값을 예상할 수가 있고, 실제로 기댓값을 구할 수가 있다. 각운동량의 기댓값은 다음과 같다.
<L_{x}>=A\sin(\omega _{L}t+\phi )
<L_{y}>=-A\cos(\omega _{L}t+\phi )
<L_{z}>=const
같은  {\hat {H}}_{0}와  {\hat {L}}_{z}를 이용한 같은 교환 관계가 스핀에도 성립해야 한다.  {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\omega _{L}{\hat {L}}_{z}+2\omega _{L}{\hat {S}}_{z} 관계에 의해 스핀의 기댓값은 각운동량의 기댓값에서  \omega _{L}을  2\omega _{L}로 바꿔주면 된다.
<S_{x}>=A\sin(2\omega _{L}t+\phi )
<S_{y}>=-A\cos(2\omega _{L}t+\phi )
<S_{z}>=const
이 결과는 오비탈과 스핀 각운동량의 z축 성분이 자기장에 평행함을 보여준다. 달리말해, 각운동량과 스핀 자체가 자기장에 수직함을 알 수 있고, 이들의 회전은 라머 진동수  \omega _{L}과  2\omega _{L}에 의해 결정된다.
우리가 스핀과 오비탈 각운동량의 결합을 무시했기 때문에, 두 벡터는 독립적으로 자기장에게 영향을 받는다. 오비탈 각운동량의 z축 성분과 스핀 성분은 상수 값으로 유지된다. 우리는 스핀이 오비탈 각운동량 보다 두 배 빨리 돈다는 것을 알 수 있다. 여기서 자기회전비율을 도입하고, 자기 모멘트를  {\hat {\mathbf {M} }} 이라고 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있다.
{\hat {\mathbf {M} }}={\hat {\mathbf {M} }}_{L}+{\hat {\mathbf {M} }}_{S}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}({\hat {\mathbf {L} }}+2{\hat {\mathbf {S} }})
LS 결합을 무시하면, z축에 관한 값을 바로 얻을 수 있다.
M_{z}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}(L_{z}+2S_{z})