함수의 극한
일변수 함수 > 성질

극한의 종류가 많으므로 가장 일반적인 경우만을 생각하자. (좌극한 · 우극한 · 범위 안 극한 · 무한대에서의 극한 · 무한대 극한의 성질도 이와 비슷하다.)
어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하다. 이는 함수의 극한에 표기  \lim 를 사용할 수 있는 이유이다.
열린구간  I\ni a 및 실수 함수  f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
(극한 존재)  \lim _{x\to a}f(x)=L
(좌극한과 우극한 존재 및 일치)  \lim _{x\to a+0}f(x)=\lim _{x\to a-0}f(x)=L
(상극한과 하극한 존재 및 일치)  \limsup _{x\to a}f(x)=\liminf _{x\to a}f(x)=L
('닿지 않는' 수열의 극한 보존) 모든  (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}에 대하여,  \lim _{n\to \infty }x_{n}=a라면,  \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L이다.
('닿지 않는' 수열의 극한 보존) 다음 두 조건을 만족시킨다.
모든  (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}에 대하여,  \lim _{n\to \infty }x_{n}=a라면,  \lim _{n\to \infty }f(x_{n})가 존재한다.
어떤  (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I\setminus \{a\}에 대하여,  \lim _{n\to \infty }x_{n}=a이며,  \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L이다.
증명:
간단하게 절댓값을 풀고 묶는 과정이다.
(충분조건) 모든 양의 실수  \epsilon 에 대해  0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\epsilon 을 만족하는 어떤 양의 실수  \delta 가 존재한다. 이 때  x>a,~x<a의 두가지 경우가 존재한다.
첫 번째 경우  0<x-a<\delta \Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\epsilon 이고 두 번째 경우  0<a-x<\delta \Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\epsilon 이다. 따라서 좌극한과 우극한의 정의에 의하여  \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L=\lim _{x\to a^{+}}f(x)이다.
그러므로  \lim _{x\to a}f(x)=L은  \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L=\lim _{x\to a^{+}}f(x)의 충분조건이다.
(필요조건) 모든 양의 실수  \epsilon 에 대해  0<x-a<\delta _{1}\Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\epsilon 와  0<a-x<\delta _{2}\Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\epsilon 를 만족하는 어떤 양의 실수  \delta _{1},\delta _{2}가 존재한다.
 \delta 를  \min(\delta _{1},\delta _{2})로 잡아주면,  0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2}이다. 이때  x>a라면  0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow 0<x-a<\delta \leq \delta _{1}\Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\epsilon 이다.
마찬가지로  x<a라면  0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow 0<a-x<\delta \leq \delta _{1}\Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\epsilon 이다. 따라서 극한의 정의에 의하여  \lim _{x\to a}f(x)=L이다.
그러므로  \lim _{x\to a}f(x)=L은  \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L=\lim _{x\to a^{+}}f(x)의 필요조건이다.
어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 함수는 그 점에서 국소 유계 함수이다. 즉, 열린구간  I\ni a 및  a에서 극한이 존재하는 함수  f\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} 에 대하여, 항상 다음을 만족시키는 빠진 근방  J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\} 및 양의 실수  M>0이 존재한다.
임의의  x\in J\setminus \{a\}에 대하여,  |f(x)|<M
함수의 극한은 순서를 보존한다. 즉, 열린구간  I\ni a 및  a에서 극한이 존재하는 함수  f,g\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} 에 대하여, 서로 대우인 다음 두 성질이 성립한다.
어떤 빠진 근방  J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}에서 항상  f(x)\leq g(x)라면,  \lim _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}g(x)이다.
\lim _{x\to a}f(x)<\lim _{x\to a}g(x)이라면, 어떤 빠진 근방  J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}에서 항상  f(x)<g(x)이다.
증명:
귀류법을 이용한다. 결론을 부정하여  L>M이라 가정하자. 극한의 5번째 성질에 의하여  \lim _{x\to a}\left\{g(x)-f(x)\right\}=M-L이다. 가정에 의하여  L-M>0이므로 극한의 정의에 의하여  0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|\left\{g(x)-f(x)\right\}-\left(M-L\right)\right|<L-M를 만족하는 어떤 양의 실수  \delta 가 존재한다. 어떤 수의 절댓값은 그 수보다 크거나 같으므로  \left\{g(x)-f(x)\right\}-\left(M-L\right)<L-M이다. 정리하면  f(x)>g(x)이므로 이는 전제에 대해 모순이다. 그러므로  L\leq M이다.
함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다. 즉, 열린구간  I\ni a 및  a에서 극한이 존재하는 함수  f,g\colon I\setminus \{a\}\to \mathbb {R} 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
\lim _{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)
\lim _{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)
\lim _{x\to a}f(x)g(x)=\lim _{x\to a}f(x)\lim _{x\to a}g(x)
만약 추가로 어떤 빠진 근방  J\setminus \{a\}\subseteq I\setminus \{a\}에서 항상  g(x)\neq 0이라면,
\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)}}
증명:
함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
\lim _{x\to a}\left\{f(x)+g(x)\right\}=\alpha +\beta 
삼각 부등식에 의하여
 |f(x)+g(x)-(\alpha +\beta )|=|(f(x)-\alpha )+(g(x)-\beta )|\leq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |
가 성립한다.
모든 양의 실수  \epsilon 에 대하여  {\frac {\epsilon }{2}}>0이므로
 |x-a|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-\alpha |<{\frac {\epsilon }{2}}
 |x-a|<\delta _{2}\Rightarrow |g(x)-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}인 양의 실수  \delta _{1}과  \delta _{2}가 존재한다.
 \delta 를  \min(\delta _{1},\delta _{2})로 잡아주면  0<\delta \leq \delta _{1}이며 동시에  0<\delta \leq \delta _{2}이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
 |\left\{f(x)+g(x)\right\}-(\alpha +\beta )|\leq |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon 
다시 말해 모든 양의 실수  \epsilon 에 대해 어떤 양의 실수  \delta 가 존재하여  0<|x-a|<\delta \Rightarrow |{f(x)+g(x)}-(\alpha +\beta )|<\epsilon 이다.
그러므로 극한에 정의에 의하여  \lim _{x\to a}\left\{f(x)+g(x)\right\}=\alpha +\beta 이다.
\lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta 
증명하고자 하는 명제의 결론은 다음과 같다. 모든 양의 실수  \epsilon 에 대하여 어떤 양의 실수  \delta 가 존재하여  0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|<\epsilon 이다.
여기서  \alpha g(x)를 더하고 빼주면  \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|=\left|f(x)g(x)-\alpha g(x)+\alpha g(x)-\alpha \beta \right|=\left|\left\{f(x)-\alpha \right\}g(x)+\alpha \left\{g(x)-\beta \right\}\right|이다.
삼각 부등식을 사용한다면  \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|\leq \left|\left\{f(x)-\alpha \right\}g(x)\right|+\left|\alpha \left\{g(x)-\beta \right\}\right|=\left|f(x)-\alpha \right|\left|g(x)\right|+\left|\alpha \right|\left|g(x)-\beta \right|이다.
모든 양의 실수  \epsilon 에 대하여  {\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}}>0,~1>0,~{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}>0이므로  0<\left|x-a\right|<\delta _{1}\Rightarrow \left|g(x)-\beta \right|<{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}},~0<\left|x-a\right|<\delta _{2}\Rightarrow \left|g(x)-\beta \right|<1, 0<\left|x-a\right|<\delta _{3}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}를 만족하는 양의 실수  \delta _{1},~\delta _{2},~\delta _{3}가 존재한다.
삼각 부등식에 의해  \left|g(x)\right|=\left|g(x)-\beta +\beta \right|\leq \left|g(x)-\beta \right|+\left|\beta \right|<1+\left|\beta \right|이다.
 \delta 를  \min(\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3})로 잡아주면,  0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2},~0<\delta \leq \delta _{3}이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
 {\begin{array}{rcl}\left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|&\leq &\left|f(x)-\alpha \right|\left|g(x)\right|+\left|\alpha \right|\left|g(x)-\beta \right|\\&<&{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\beta \right|\right)}}\left(1+\left|\beta \right|\right)+\left|\alpha \right|{\frac {\epsilon }{2\left(1+\left|\alpha \right|\right)}}\\&<&{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=&\epsilon \end{array}}
다시 말해 모든 양의 실수  \epsilon 에 대해 어떤 양의 실수  \delta 가 존재하여  0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left|f(x)g(x)-\alpha \beta \right|<\epsilon 이다.
그러므로 극한에 정의에 의하여  \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta 이다.
\lim _{x\to a}k=k (단,  k는 상수)
모든 양의 실수  \epsilon 에 대해 어떤 양의 실수  \delta 가(아무 양의 실수는 상관이 없다. 여기서는 1로 한다.) 존재하여  \left|x-a\right|<1\Rightarrow \left|k-k\right|=0<\epsilon 이다.
그러므로 극한에 정의에 의하여  \lim _{x\to a}k=k이다.
\lim _{x\to a}kf(x)=k\alpha  (단,  k는 상수)
 g(x)=k로 정의하고 2번과 3번 성질을 적용시키자.
 \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}k=k
 \lim _{x\to a}kf(x)=\lim _{x\to a}g(x)f(x)=k\alpha 
이다.
\lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\alpha -\beta 
 c=-1로 잡고 1번과 4번 성질을 적용시키자.
 \lim _{x\to a}(-1)g(x)=(-1)\cdot \beta =-\beta 
 \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\lim _{x\to a}\left\{f(x)+(-1)g(x)\right\}=\alpha +(-\beta )=\alpha -\beta 
그러므로  \lim _{x\to a}\left\{f(x)-g(x)\right\}=\alpha -\beta 이다.
\lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {\beta }{\alpha }} (단,  f(x)\neq 0,\alpha \neq 0)
증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 증명하자.  \lim _{x\to a}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{\alpha }}
모든 양의 실수  \epsilon 에 대하여 {\frac {\left|\alpha \right|}{2}}>0,~{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon >0이므로  \left|x-a\right|<\delta _{1}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}},~\left|x-a\right|<\delta _{2}\Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon 을 만족하는 양의 실수  \delta _{1},\delta _{2}가 존재한다.
 \left|f(x)-\alpha \right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}이라면 삼각 부등식에 의하여  \left|\alpha \right|=\left|\alpha -f(x)+f(x)\right|\leq \left|\alpha -f(x)\right|+\left|f(x)\right|=\left|f(x)-\alpha \right|+\left|f(x)\right|<{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}+\left|f(x)\right|이므로  \left|f(x)\right|>{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}이다.
따라서  {\frac {1}{\left|\alpha f(x)\right|}}={\frac {1}{\left|\alpha \right|\left|f(x)\right|}}<{\frac {1}{\left|\alpha \right|}}\cdot {\frac {2}{\left|\alpha \right|}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}이다.
 \delta 를  \min(\delta _{1},\delta _{2})로 잡아주면,  0<\delta \leq \delta _{1},~0<\delta \leq \delta _{2}이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
 \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|={\frac {\left|\alpha -f(x)\right|}{\left|\alpha f(x)\right|}}<{\frac {2}{\alpha ^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{2}}{2}}\epsilon =\epsilon 
다시 말해 모든 양의 실수  \epsilon 에 대하여 어떤 양의 실수  \delta 가 존재하여  0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{\alpha }}\right|<\epsilon 이다.
그러므로 극한의 정의에 의하여  \lim _{x\to a}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{\alpha }}이다.
위에서 증명한 보조정리와 4번 성질을 적용시키자.
 \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}=\lim _{x\to a}g(x)\left({\frac {1}{f(x)}}\right)=\beta \cdot {\frac {1}{\alpha }}={\frac {\beta }{\alpha }}
그러므로  \lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {\beta }{\alpha }}이다.
그 밖에, 함수의 극한에 대하여 로피탈의 정리가 성립한다.