베르 공간
정의 > 베르 공간과 쇼케 공간

위상 공간  X에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을  베르 공간이라고 한다.
㈀ 내부가 공집합인, 임의의 가산 개의 닫힌집합들의 합집합의 내부는 항상 공집합이다.
㈁ 임의의 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합은 조밀 집합이다.:41, Proposition 8.1(iii)
㈂ 제1 범주 열린집합은 공집합 밖에 없다.:41, Proposition 8.1(i)
㈃ 모든 제1 범주 집합의 여집합이 조밀 집합이다.:41, Proposition 8.1(ii)
㈄ 공집합이거나, 또는 쇼케 게임  \operatorname {Choq} (X)에서, 갑이 필승 전략을 갖지 않는다.:43, Theorem 8.11:41, Theorem 1
증명:
조건 ㈀ ⇒ 조건 ㈂:  X가 조건 ㈀을 만족시키며,  S\subseteq X가 제1 범주 열린집합이라고 하자.  \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }S_{i}이며,  S_{i}가 조밀한 곳이 없는 집합이라고 하자. 그렇다면  \textstyle \varnothing =\operatorname {int} \left(\bigcup _{i=0}^{\infty }\operatorname {cl} S_{i}\right)\supseteq \operatorname {int} S=S이다.
조건 ㈂ ⇒ 조건 ㈃:  X가 조건 ㈀을 만족시키며,  S\subseteq X가 제1 범주 집합이라고 하자. 그렇다면,  \operatorname {int} S는 제1 범주 열린집합이다. 따라서,  \varnothing =\operatorname {int} S=\operatorname {cl} X\setminus S이다. 따라서  X\setminus S는 조밀 집합이다.
조건 ㈃ ⇒ 조건 ㈁:  X가 조건 ㈃을 만족시키며,  (U_{i})_{i=0}^{\infty }가 조밀 열린집합들의 열이라고 하자. 그렇다면,  \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }X\setminus U_{i}는 제1 범주 집합이다. 따라서,  \textstyle X\setminus S=\bigcap _{i=0}^{\infty }U_{i}는 조밀 집합이다.
조건 ㈁ ⇒ 조건 ㈄: 쇼케 게임  \operatorname {Choq} (X)의 합법적인 수들로 구성된 나무를  T로 쓰자.  \operatorname {Choq} (X)에서 갑의 필승 전략  \sigma 가 주어졌다고 하자. 즉,  \sigma 는 함수이며, 다음 두 조건을 만족시킨다.
만약  (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1})\in T라면,  (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1},\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1}))\in T
만약  (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots )가  T의 극대 사슬이라면,  \sigma ()\cap U_{1}\cap \sigma (U_{1})\cap U_{3}\cap \sigma (U_{1},U_{3})\cap U_{5}\cap \dots =\varnothing
그렇다면,  \sigma ()에서 조건 ㈁이 거짓임을 보이면 족하다.
라고 쓰자. 초른 보조정리에 따라, 임의의  {\vec {U}}=(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T'에 대하여,  {\mathcal {U}}({\vec {U}})가 다음 두 조건을 만족시키는 극대 집합족이라고 하자.
임의의  U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})에 대하여,  (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})\in T'
\{\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})\colon U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})\}는 서로소 집합들의 집합이다.
그렇다면,  \textstyle \bigcup _{U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})은  \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})의 조밀 집합이다. (만약  V가  \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})의 공집합이 아닌 열린집합이며,  \textstyle \bigcup _{U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})와 서로소라면,  {\mathcal {U}}({\vec {U}})\cup \{V\}가 위 두 조건을 만족시키므로, 모순이다.) 이제,
라고 하자. 그렇다면, 각  W_{i}는  W_{i-1}의 조밀 집합이다. 따라서, 각  W_{i}는  W_{0}=\sigma ()의 조밀 열린집합이다. 따라서,  \textstyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}=\varnothing 을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여,  \textstyle x\in \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}라고 가정하자. 그렇다면, 나무  T''에서, 각  i\in \mathbb {N} 에 대하여  x\in \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})인 극대 사슬  (U_{1},U_{3},U_{5},\dots )을 취할 수 있다. 이 경우  x\in \sigma ()\cap \sigma (U_{1})\cap \sigma (U_{1},U_{3})\cap \cdots 이며, 이는  \sigma 가 갑의 필승 전략인 것과 모순이다.
조건 ㈄ ⇒ 조건 ㈀:  (F_{i})_{i=0}^{\infty }가 내부가 공집합인,  X의 닫힌집합들의 열이지만,  \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }F_{i}의 내부가 공집합이 아니라고 하자. 그렇다면, 쇼케 게임  \operatorname {Choq} (X)에서 갑의 필승 전략을 찾으면 족하다. 지금까지 둔 수가  (U_{0},U_{1},\dots ,U_{2i-1})일 때, 갑이  U_{2i}=(\operatorname {int} S\cap U_{0}\cap \cdots \cap U_{2i-1})\setminus F_{i}를 두는 갑의 전략을 생각하자. ( F_{i}의 내부가 공집합이므로, 반드시  U_{2i}\neq \varnothing 이다.) 그렇다면,  U_{2i-1}\subseteq \operatorname {int} S\setminus (F_{0}\cup F_{1}\cup \cdots \cup F_{i})이므로,  U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\varnothing 이다. 즉, 이는 갑의 필승 전략이다.
위상 공간  X가 공집합이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면,  X를 쇼케 공간(Choquet空間, 영어: Choquet space)이라고 한다.:Definition 8.12 위상 공간  X가 공집합이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면,  X를 강한 쇼케 공간(Choquet空間, 영어: strong Choquet space)이라고 한다. 따라서, 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 쇼케 게임의 성질 | 갑이 필승 전략을 가짐 | 갑·을 아무도 필승 전략을 갖지 못함 | 을이 필승 전략을 가짐 |
| 위상 공간의 성질 | 베르 공간이 아닌 공간 | 쇼케 공간이 아닌 베르 공간 | 쇼케 공간 |