stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
コンパクト空間
ハイネ・ボレル性によるコンパクト性の定義 > 利用例

ハイネ・ボレル性は定理の証明などでXの各点xの近傍 O_{x}上で局所的に示されている性質をX全体に広げる際に用いられる。この場合、ハイネ・ボレル性でいう開被覆 {\mathcal {S}}は典型的には各点の近傍の集合 {\mathcal {S}}=\{O_{x}\mid x\in X\}であり、ハイネ・ボレル性はこの無限個の開集合からなる開被覆から有限部分被覆 {\mathcal {T}}を抽出して、無限に伴う証明の困難さを回避する事を可能にする。
具体的には以下の定理の証明をもとに、ハイネ・ボレル性の使い方を説明する：
定理 (ハイネ・カントールの定理) ― 距離空間X、Yに対し、Xがコンパクトであれば、X上定義された任意の連続関数 f~:~X\to Yは一様連続である
この定理は、ハイネ・ボレル性を利用して以下のように証明する。まずfの連続性により、任意にε>0を固定するとき、Xの各点xの、あるδx-近傍が f(B_{\delta _{x}}(x))\subset B_{\varepsilon }(f(x))を満たす。ここで B_{\varepsilon }(y)は点yのε-近傍を表す。
この \delta _{x}はxに依存しているが、もしも正数 \varepsilon を与えたときに f(B_{\delta }(x))\subset B_{\varepsilon }(f(x))を満たす正数δが点xに依らずに選べるのであれば fの Xにおける一様連続性が言える。そのようなδを見つける単純な方法は
とする事だが、xの選択は無限にあるので、δは0になる可能性があるからうまくいかない。
そこでハイネ・ボレル性を使って開被覆 {\mathcal {S}}=\{B_{\delta _{x}/2}(x)|x\in X\}の有限部分被覆 {\mathcal {T}}=\{B_{\delta _{x_{i}}/2}(x_{i})|i=1,\ldots ,n\}を選び、
とすれば \delta _{x_{i}}の個数は有限個なのでδ>0であることが保証される。
しかも {\mathcal {T}}がXを被覆している事から、任意のx ∈ Xに対し、 x\in B_{\delta _{x_{i}}}(x_{i})となるxiが存在して、
となることから fの Xにおける一様連続性が言える。
それ以外の特徴づけ

コンパクト性は、有向点族と本質的に同値な概念であるフィルターの収束によっても特徴づけられる。また普遍有向点族やその対応概念である超フィルターを用いても特徴づける事ができる。これまでに述べて特徴づけも含め、こうしたコンパクト性の様々な特徴づけを列挙する
定理 (コンパクトの特徴づけ) ― 位相空間 (X,{\mathcal {O}})に対し、以下は全て同値である。
Xはハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義を満たす。
Xは 有限交差性によるコンパクトの定義を満たす。
Xはボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義を満たす
X上の任意のフィルターは収束する細分を持つ
X上の任意の有向点族は集積点を持つ
X上の任意のフィルターは集積点を持つ
X上の任意の普遍有向点族は収束する
X上の任意の超フィルターは収束する
性質 > 閉集合

コンパクトな位相空間の部分集合に関し、以下が言える：
コンパクト空間の部分集合が閉集合ならコンパクトである。
ハウスドルフの分離公理を満たす位相空間のコンパクト部分集合は閉集合である。
したがってコンパクトかつハウスドルフな位相空間（コンパクトハウスドルフ空間）では部分集合Aが閉集合である事とAがコンパクトである事は同値である。
性質 > コンパクト性の遺伝

コンパクト空間から位相空間への連続写像の像はコンパクト集合である。
（有限個または無限個の）コンパクト空間の直積はコンパクトである。（チコノフの定理。この定理はZF のもとで選択公理と同値である）
性質 > その他

コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全単射写像は同相写像である。
コンパクト空間から実数体への連続関数は一様連続である。（ここから連続関数がリーマン可積分であることが言える）
コンパクトハウスドルフなら正規
距離空間におけるコンパクトの特徴づけ

X が距離空間であれば、コンパクト性をまた別の方法で特徴づける事ができる。まずは結論となる定理を提示し、それから定理の記述に必要な概念を順に導入する。
定理 (距離空間におけるコンパクト性の特徴づけ) ― 
X を距離空間とするとき以下の3つは同値である。
X はコンパクトである。
X は全有界かつ完備である。
X は点列コンパクトである。
距離空間におけるコンパクトの特徴づけ > 定理の記述に必要な諸概念 > 全有界性

距離空間Xが全有界であるとは任意の ε > 0 に対し、X を半径 ε の有限個の開球で被覆する事ができる事を指す：
定義 (全有界性) ― 
距離空間Xが全有界（ぜんゆうかい、英: totally bounded）もしくはプレコンパクト（英: precompact）であるとは任意の ε > 0 に対し、Xの有限部分集合  F\subset X が存在し、
となる事を指す。（ここで B_{\varepsilon }(x)は点xのε-近傍 B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}を表す。）
全有界性は以下のようにも特徴づけられる事が知られている：
定理2 ― 距離空間Xが全有界である必要十分条件は以下を満たす事である：
X上の任意の点列に対しある部分列が存在し、その部分列はコーシー列である。
距離空間におけるコンパクトの特徴づけ > 定理の記述に必要な諸概念 > 完備性

定義 ― 
距離空間 X が完備であるとは X 上のコーシー列は必ず収束する事を指す。
詳細は完備距離空間の項目を参照されたい。
距離空間におけるコンパクトの特徴づけ > 定理の記述に必要な諸概念 > 点列コンパクト

位相空間が点列コンパクトとは、一般の有向集合ではなく点列に対してのみボルツァーノ・ワイエルシュトラス性が保証される事を意味する：
定義 ― 
位相空間 X が点列コンパクトであるとは、X 上の任意の点列は収束部分列を持つ事を指す。すなわち X 上の任意の点列  \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} } に対し適当な部分列  \{x_{n_{i}}\}_{i\in \mathbb {N} } を取れば  \{x_{n_{i}}\}_{i\in \mathbb {N} } は X 上のいずれかの点に収束する事を指す。
点列コンパクト性の事を点列に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性とも言う。
コンパクトと点列コンパクトの同値性は擬距離空間でも成立するが、無条件には成立しない。点列コンパクト性に関する詳細は後述する。
距離空間におけるコンパクトの特徴づけ > 有限次元ベクトル空間におけるコンパクト性

距離空間においてはコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事をユークリッド空間に適用すると、以下の系が従う：
系 ― 有限次元のユークリッド空間（あるいはより一般に完備リーマン多様体）の部分集合 A がコンパクトである必要十分条件は A が有界閉集合である事である。
より正確に言うと有限次元のユークリッド空間や完備リーマン多様体の部分集合に対しては、有界性と全有界性が同値であり、完備性と閉集合である事が同値である。これらの事実は簡単に証明できる。
距離空間におけるコンパクトの特徴づけ > 一様空間への一般化

コンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事は距離空間よりも一般的な一様空間でも成立する：
定理 (一様空間におけるコンパクト性の特徴づけ) ― 
X を一様空間とするとき以下の3つは同値である。
X はコンパクトである。
X は全有界かつ完備である。
一様空間の定義は当該項目を参照されたい。一様空間における全有界性と完備性は以下のように定義される：
定義・定理 (一様空間における全有界性) ―  (X,{\mathcal {U}})を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が {\mathcal {U}}と一致するものとする。
このとき以下の条件は全て同値である。これらの条件の少なくとも１つ（したがって全て）を満たすとき、 (X,{\mathcal {U}})は全有界(英: totally bounded)もしくはプレコンパクト(英: precompact)であるという。
任意の近縁 U\in {\mathcal {U}}に対し、ある有限集合F∈Xが存在し、 \cup _{x\in F}U[x]=Xである。
任意の擬距離d∈Dと任意の実数ε>0に対し、Xの有限部分集合Fが存在し、 \cup _{x\in F}\{y\mid d(x,y)<\varepsilon \}=Xが成立する。
X上の任意の有向点族は部分有向点族でコーシーなものを持つ。
定義 (一様空間の完備性) ― 
距離空間 X が完備であるとは X 上の任意のコーシー有向点族が少なくとも１つ極限を持つ事をいう。
上で「少なくとも１つ極限を持つ」という言い方をしているのは、 {\mathcal {U}}が定める位相構造がハウスドルフでない限り、有向点族の収束の一意性は保証されないからである。
距離空間におけるコンパクトの特徴づけ > Niemytzki-Tychonovの定理

擬距離化可能空間においてコンパクト性は以下のようにも特徴づける事ができる：
定理 (Niemytzki-Tychonovの定理) ― Xを擬距離化可能な位相空間とするこのときXがコンパクトである必要十分条件は、X上の任意の擬距離d（でその擬距離の定める位相がXの位相と一致するもの）に対し、擬距離空間 (X,d)が完備である事である。
無限次元空間におけるコンパクト性

すでに述べたように、有限次元ベクトル空間やより一般に有限次元の完備リーマン多様体の部分集合に対してはコンパクト性は有界閉集合と等しい。一方無限次元の空間の場合は、どのような空間にどのような位相を入れるかにより結論が異なる。
無限次元空間におけるコンパクト性 > 無限次元ベクトル空間 > ノルムから位相を入れた場合

ノルムから位相を入れたベクトル空間（ノルム空間）に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う：
命題 ―  \mathbb {R} もしくは \mathbb {C} 上のノルム空間Vの閉単位球がコンパクトである必要十分条件はVが有限次元である事である。
この定理を具体例を通して説明すると、例えばℓ2空間
にℓ2ノルム
から定まる距離を入れた空間の閉単位球
はコンパクトではない。
実際、
とすると（ここでδn,kはクロネッカーのデルタ）、
であるので、 (\mathbb {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset Bのいかなる部分列 (\mathbb {e} _{n_{i}})_{i\in \mathbb {N} }もコーシー列の条件
を満たしえず、したがって (\mathbb {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset Bは収束部分列を持たない為点列コンパクトではなく、よってコンパクトでもない。
ℓ2空間の閉単位球Bがコンパクトにならない原因は、Bは有界であっても全有界ではないからである。実際、 \|\mathbb {e} _{n}-\mathbb {e} _{m}\|={\sqrt {2}} for n≠mであるので、 \varepsilon <{\sqrt {2}}/2を満たす正数εに対しては、各 \mathbb {e} _{1},\mathbb {e} _{2},\ldots を覆うために一つずつε-球を用いる必要があるので、可算無限個のε-球が必要となり、全有界ではない。
無限次元空間におけるコンパクト性 > 無限次元ベクトル空間 > ＊弱位相の場合

一方、無限次元空間であってもノルムから定まる位相以外の位相に関しては閉単位球がコンパクトになる事もある：
定理 (バナッハ・アラオグルの定理) ― Kを \mathbb {R} もしくは \mathbb {C} とする。このときK上のノルム空間Vの双対空間V*に＊弱位相を入れると、(Vが無限次元であっても)V*の閉単位球はコンパクトである。
ここでノルム空間Vの双対空間V*はV上のK値連続線形写像全体を関数としての和と定数倍によりベクトル空間とみなしたものであり、＊弱位相とはx ∈ Vに対し、
とするとき、μxが全て連続になるV*上の最弱の位相の事である。なおV*は作用素ノルムによりノルム空間とみなせ、上記の定理で言う「閉単位球」はこのノルムに関する閉単位球の事である。
＊弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する：
系 ― V*に＊弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
なお、Vが再帰的であればV上の弱位相に関しても同様な事が成立する事が知られているが、再帰的でない場合には反例がある事が知られている。
注意しなければならないのは、＊弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても＊弱位相をいれたV*が後述する局所コンパクトにはなっていない事を意味する。
無限次元空間におけるコンパクト性 > コンパクト空間の直積

本節では位相空間の（有限個または無限個の）直積には２種類の位相が入り、コンパクト空間の無限個の直積に前者の位相を入れた場合はコンパクトになるが、後者の位相を入れた場合はそうなるとは限らない事を見る。
無限次元空間におけるコンパクト性 > コンパクト空間の直積 > 直積位相と箱型積位相

(X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }を位相空間の族するとき、 \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }には以下の２種類の位相が入る。
定義 (直積位相、箱型積位相) ―  (X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }を位相空間の族とする。このとき、
全ての射影 p_{\lambda }\colon \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\to X_{\lambda }を連続にする最弱の位相を直積位相もしくはチコノフ位相という。
\{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\}を開基とする位相を箱型積位相（英語版）という。
これら２つの位相は有限個の直積 X_{1}\times \cdots \times X_{n}を考えている場合は同一であるが、無限積を考えた場合には箱型積位相のほうが直積位相よりも強い（弱くない）位相になる。これを見るために直積位相を具体的に書き表すと、以下のようになる事が知られている：
定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、
直積位相は
を開基とする。
Λが無限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件が原因で、箱型積位相と差が生じる。例えば \mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots を \mathbb {R} の(可算)無限個のコピーとし、 U_{1},U_{2},\ldots を U=(0,1)の無限個のコピーとするとき、直積
は直積位相に関して
の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。
無限次元空間におけるコンパクト性 > コンパクト空間の直積 > チコノフの定理

コンパクト空間の（有限個または無限個の）直積に直積位相位相を入れたものはコンパクトである：
定理 (チコノフの定理) ―  (X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }をコンパクトな位相空間の族とする。このとき直積 \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }に直積位相を入れたものはコンパクトである。
なおチコノフの定理は(ZF公理系を仮定した上で)選択公理と同値である事が知られている。
チコノフの定理より例えば \mathbb {R} 上の単位区間 I=[0,1]の無限個のコピー I_{1},I_{2},\ldots の直積 \prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}に直積位相を入れたものはコンパクトである。
一方 \prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}に箱型積位相を入れたものはコンパクトではない。実際、 x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}に対し、ノルムを
と定義すると、箱型積位相はこのノルムから定まる位相と一致する事を簡単に確かめる事ができる。そこで \mathbb {e} _{n}=(\delta _{n,k})_{k\in \mathbb {N} }として無限次元ノルム空間の場合と同様の議論でコンパクトでない事を示せる。
コンパクト化

位相空間X のコンパクト化とは X をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。コンパクトな空間は数学的に取り扱いやすい為、X をそのような空間に埋め込む事で X の性質を調べやすくする事ができる。コンパクトでない位相空間に一点付け加えるだけでコンパクト化する方法が必ず存在する(アレクサンドロフの一点コンパクト化)他、いくつかのコンパクト化の方法が知られている。実用上は X の構造を保つなど、X の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある（例えば X が多様体であるときにコンパクト化 K として多様体になるものを選ぶ等）。
「コンパクト化」も参照
関連概念とその関係性

コンパクト性は位相空間論における重要概念の一つなので、コンパクト性の定義を拡張したり修正したりした概念が複数存在する。本節ではこうした概念を紹介し、それらの関係性を述べる。
関連概念とその関係性 > 可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクト

これらの概念は以下のように定義される。点列コンパクトの定義は前の章ですでに述べたがが再掲している：
| 名称 | 名称（英語） | 定義 |
| --- | --- | --- |
| 可算コンパクト | countably compact space | Xの任意の可算開被覆 {\mathcal {S}}は有限部分開被覆 {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {S}}を持つ。ここでXの可算開被覆 {\mathcal {S}}とは開被覆で可算集合であるものをいう。 |
| 点列コンパクト | sequentially compact space | X 上の任意の点列は収束部分列を持つ事を指す。すなわち X 上の任意の点列  \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} } に対し適当な部分列  \{x_{n_{i}}\}_{i\in \mathbb {N} } を取れば  \{x_{n_{i}}\}_{i\in \mathbb {N} } は X 上のいずれかの点に収束する事を指す。点列コンパクト性の事を点列に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性とも言う。 |
| 擬コンパクト | pseudocompact | Xから実数体への連続関数 f が必ず有界となる |
これらの概念は以下の関係性を満たす：
定理 ― コンパクト⇒点列コンパクト⇒可算コンパクト⇒擬コンパクト。
擬距離化可能な空間ではこれら４つの概念は同値である：
定理 (擬距離化可能空間における同値性) ―  (X,{\mathcal {O}})を位相空間とする。
Xが擬距離化可能空間であれば、コンパクト、可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクトは同値。
Xが擬距離化可能とは限らない場合はこれらは同値とは限らないが、以下のような関係を満たす：
定理 ―  (X,{\mathcal {O}})を位相空間とする。
Xが第一可算公理を満せば、Xの点列コンパクト性と可算コンパクト性は同値。
Xがパラコンパクト（後述）で擬コンパクトならコンパクト。
関連概念とその関係性 > 局所コンパクト、σ-コンパクト、リンデレーフ、パラコンパクト、メタコンパクト

これらは以下のように定義される：
| 名称 | 名称（英語） | 定義 |
| --- | --- | --- |
| 局所コンパクト | locally compact | Xの任意の点がコンパクトな近傍を持つ事。 |
| σ-コンパクト(しぐま-) | σ-compact space | Xは可算個のコンパクト集合の和集合として書ける |
| リンデレーフ | Lindelöf space | X の任意の開被覆は可算部分被覆を持つ |
| パラコンパクト | paracompact | Xはハウスドルフであり、Xの任意の開被覆は局所有限な細分を持つ。ここで X の被覆 {\mathcal {T}}が被覆 {\mathcal {S}}の細分(英: refinement)であるとは、 {\mathcal {T}}の任意の元Tに対して {\mathcal {S}}の元Sが存在してT⊂Sを満たす事を言う。またX の被覆 {\mathcal {T}}が局所有限(英: locally finite)であるとは、任意のx ∈ Xに対し、xの近傍Nが存在し、 N\cap T\neq \emptyset となる T\in {\mathcal {T}}が有限個しかない事を指す。 |
| メタコンパクト | metacompact | X の任意の開被覆はpoint finiteな細分を持つ。ここで被覆 {\mathcal {T}}がpoint finiteであるとは任意のx ∈ Xに対し、x ∈ Tとなる T\in {\mathcal {T}}が有限個である事を言う。 |
σ-コンパクトの定義に関して留意点を述べる。σ-コンパクトは局所コンパクトと違い、コンパクトな近傍（すなわち内点を持つ集合）である事を要求されていない。これが原因でσ-コンパクトであっても局所コンパクトではない事があり得る。例えば有理数の集合 \mathbb {Q} は一点集合（これはコンパクトである）の可算和で書けるのでσ-コンパクトだが、 \mathbb {Q} の各点のいかなる近傍も距離空間として完備でないのでコンパクトではなく、よって \mathbb {Q} は局所コンパクトではない。
関連概念とその関係性 > 局所コンパクト、σ-コンパクト、リンデレーフ、パラコンパクト、メタコンパクト > 関係性

以上の概念は以下の関係性を満たす：
定理 (各種概念の関係性) ―  (X,{\mathcal {O}})を位相空間とする。
Xが第二可算公理を満たせばリンデレーフ
Xが距離化可能空間であれば、リンデレーフ性と第二可算公理と可分性は同値
Xがσコンパクトかつ局所コンパクトならパラコンパクトである。
Xがσ-コンパクトならリンデレーフ空間
Xが正則リンデレーフ空間であればパラコンパクト
Xが擬距離化可能ならパラコンパクト
XがメタコンパクトなT1空間であれば、可算コンパクト性とコンパクト性は同値。
関連概念とその関係性 > 局所コンパクト、σ-コンパクト、リンデレーフ、パラコンパクト、メタコンパクト > パラコンパクト

以上で述べた概念の中で重要なものの一つにパラコンパクトがある。本節ではパラコンパクトの性質について述べる。なおパラコンパクトの定義において我々は文献Kellyに従い、ハウスドルフ性を条件として課したが、書籍によってはハウスドルフ性を仮定していないので、注意が必要である。
パラコンパクトに関しては以下のようにも特徴づけられる。なお（ハウスドルフ性を満たす）パラコンパクトな空間は必ず正規空間になる事が知られている。
定理 (パラコンパクトの特徴づけ) ―  (X,{\mathcal {O}})を正則な位相空間とするとき、下記の条件は全て同値である：
Xはパラコンパクト
Xの任意の開被覆は局所有限で開な細分を持つ
Xの任意の開被覆は局所有限で閉な細分を持つ
ここで細分が開であるとは細分が開被覆になっている事を意味する。同様に細分が閉であるとは細分が被覆になっている事を意味する。上記の定理はパラコンパクトな空間において開被覆が単に局所有限な細分を持つだけでなく、局所有限でしかも開な細分や閉な細分を持つ事を保証している。
コンパクト性は開被覆が、（開な）部分被覆を持つ事を保証しているので、パラコンパクトな空間において開で局所有限な細分が保証される事は、コンパクト性において成り立っている議論をパラコンパクト性に拡張する際に有益である。
パラコンパクトな空間の重要な性質の一つとして、開被覆に従属する１の分割の存在が保証されるというものがある。この事実を述べるためにまず１の分割の定義、およびそれが開被覆と両立する事の定義を述べる：
定義 (1の分割) ―  (X,{\mathcal {O}})を位相空間とする。X上の1の分割(英: partition of unity)とは(fα)α∈AをXから[0,1]区間への連続関数
で、以下の2性質を満たすものを言う。
集合族 \{x\in X\mid f_{\alpha }(x)\neq 0\}_{\alpha \in A}は局所有限
任意のx∈Xに対し、 \sum _{\alpha }f_{\alpha }(x)=1
なお上述の条件1に対する関連概念として関数の台(英: support)
が存在するが、1の分割の定義では関数の台と違い閉包を取っていない事に注意されたい。また条件2において和を取っているが、この和は条件1より各x∈Xに対して有限和である事が保証されているので、族(fα)α∈Aが仮に非可算無限個の元を持っていても和は意味を持つ。
定義 (開被覆に従属する1の分割) ―  (X,{\mathcal {O}})を位相空間とし、 (O_{\tau })_{\tau \in T}をXの開被覆とし、(fα)α∈AをXの1の分割とする。
任意のα∈Aに対し、あるτ∈Bが存在し、 \{x\in X\mid f_{\alpha }(x)\neq 0\}\subset O_{\tau }が成立するとき、(fα)α∈Aは (O_{\tau })_{\tau \in T}に従属する(英: subordinate)という。
A=Bであり、任意のα∈A=Bに対し、 \{x\in X\mid f_{\alpha }(x)\neq 0\}\subset O_{\alpha }が成立するとき、(fα)α∈Aは (O_{\tau })_{\tau \in T}に正確に従属する(英: precisely subordinate)という。
パラコンパクトな空間は開被覆に従属する1の分割で特徴づけられる：
定理 (1の分割によるパラコンパクトの特徴づけ) ―  (X,{\mathcal {O}})がハウスドルフ空間であるとき、下記の条件は全て同値である：
Xはパラコンパクト
Xの任意の開被覆 {\mathcal {S}}に対し、 {\mathcal {S}}に従属する1の分割が存在する。
Xの任意の開被覆 {\mathcal {S}}に対し、 {\mathcal {S}}に正確に従属する1の分割が存在する。
ジョージ・バビット

| ジョージ・T・バビット Jr>  George T. Babbitt, Jr. |
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生誕:   (1942-06-22) 1942年6月22日（82歳）  アメリカ合衆国 ワシントン州ブレマートン
所属組織:  アメリカ空軍
軍歴:  1965年 - 2000年
最終階級:  大将(General)
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ジョージ・T・バビット（George T. Babbitt, 1942年6月22日 - ）は、アメリカの軍人。アメリカ空軍に所属し、米空軍資材コマンド司令官（1997年 - 2000年）などを務めた。最終階級は大将。
経歴

ジョージ・バビットの名は1950年代後半に結成されたインストゥルメンタル・バンド、ザ・ベンチャーズの初代ドラマーとしても知られている。ザ・ベンチャーズは1960年の『急がば廻れ』でヒットを飛ばしメジャーデビューを果たしたが、その前後よりナイトクラブなどでの演奏を行うようになった為、未成年だったバビットは脱退を余儀なくされた。
1965年、ワシントン大学の予備役将校訓練課程に参加して空軍の軍人となる。彼は航空整備士官としての訓練を受け、アメリカ・太平洋・ヨーロッパに展開する戦闘機の整備を担当した。2度航空整備中隊の指揮官を務め、ヨーロッパにおけるF15戦闘機飛行隊付き整備隊の副司令なども務めた。その後、国防兵站局長、空軍司令部付兵站幕僚副長、航空訓練コマンド・欧州米空軍司令部付兵站局長なども務めている。2000年、米空軍資材コマンド司令官の職を最後に退役した。
1998年3月1日には、現役の大将としてアメリカ空軍音楽隊（英語版）と共にザ・ベンチャーズと共演しており、その際には彼自身も再びドラムを演奏した。
ジャスティン・デントモン

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 BCジャルギリスでのデントモン  (2014年)
フリーエージェント
ポジション:  PG
基本情報
国籍:   アメリカ合衆国
生年月日:   (1985-09-05) 1985年9月5日（39歳）
出身地:  イリノイ州カーボンデール
身長:  183cm (6 ft 0 in)
体重:  84kg (185 lb)
キャリア情報
出身:  ワシントン大学
ドラフト:  2010年　指名なし
選手経歴
2009-2010 2010-2011 2011 2011-2012 2012 2012 2012 2012-2013 2013 2013 2013 2013 2013-2014 2014-2015 2015 2015-2016 2016:   ハポエル・アフラBC テキサス・レジェンズ（Dリーグ）  トロス・デ・アラグア オースティン・トロス（Dリーグ） サンアントニオ・スパーズ トロント・ラプターズ  オリンピア・ミラノ  オースティン・トロス（Dリーグ） テキサス・レジェンズ（Dリーグ） ダラス・マーベリックス テキサス・レジェンズ（Dリーグ） プエルトリコリーグ  BCジャルギリス  青島イーグルス テキサス・レジェンズ（Dリーグ）  四川ブルーホエールズ  ガラタサライSK
受賞歴
 CBAチャンピオン (2016)  LKLチャンピオン (2014  LKLオールスターゲーム出場 (2014)  LKLオールスターゲームMVP (2014)
 Stats  Basketball-Reference.com
 Stats  NBA.com 選手情報 NBA.Rakuten
ジャスティン・デントモン（Justin Lorenzo Dentmon, 1985年9月5日 - ）は、アメリカ合衆国イリノイ州カーボンデール出身のバスケットボール選手。NBA、Dリーグを中心にプレーした後、海外リーグでプレーしている。ポジションはポイントガード。身長180cm、体重84kg。
経歴

ワシントン大学卒業後、2010年NBAドラフトでは指名されなかったが、Dリーグテキサス・レジェンズ、オースティン・トロスで、好成績を残し、2012年3月、サンアントニオ・スパーズと10日間契約でNBAのプレーヤーとなり、ニューオリンズ・ホーネッツ戦に途中出場し、NBA初得点を記録したが、契約の継続には至らず、再びDリーグに活動の場所を移した。2011-2012年シーズンはオースティン・トロス優勝に貢献し、MVPを獲得した。
プレースタイル

攻撃型ポイントガードで、3ポイントシュートも得意としている。
内外ビルディング

| 内外ビルディング |
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 関東大震災により崩壊した内外ビルディング
情報
用途:  事務所
設計者:  中栄橘建築事務所
施工:  日本土木
建築主:  内外ビルヂング
構造形式:  鉄筋コンクリート構造
建築面積:  2,040 m² (617坪)
階数:  地下1階、地上8階
高さ:  約31メートル（100尺）
着工:  1921年（大正10年）1月
竣工:  未完（関東大震災で倒壊）
所在地:  東京府東京市麹町区八重洲町一丁目1番地
テンプレートを表示
| 内外ビルディング |
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情報
旧名称:  昭和ビルディング
用途:  事務所
設計者:  大倉土木
構造設計者:  阿部美樹志
施工:  大倉土木
建築主:  内外ビルヂング
事業主体:  内外不動産
構造形式:  鉄筋コンクリート構造
敷地面積:  2,314 m² (700.0坪)
建築面積:  1,819 m² (550.100坪)
延床面積:  11,659.2 m² (3,526.920坪)
階数:  地下1階、地上6階、塔屋付
高さ:  地盤面上パラペット上端まで72尺5寸 (22.5 m)、屋上階最高部まで80尺 (24.8 m)
着工:  1926年（大正15年）2月21日
竣工:  1927年（昭和2年）7月31日
改築:  1979年（昭和54年）1月解体
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内外ビルディング（ないがいビルディング）は、かつて日本の東京都千代田区丸の内にあった建築物である。
沿革

東京市麹町区八重洲町一丁目1番に土地を保有していた大日本製糖が、自社の社屋に加え商業ビルの経営を企図して1922年（大正11年）に内外ビルヂング会社を設立。直ぐ様建設に着手したものの、完成が目前に迫った1923年（大正12年）9月1日に関東大震災が発生し建築中の建物は全壊、多数の作業員が犠牲となった。
震災での崩壊を受けて設計をやり直し、1925年（大正14年）11月24日に地鎮祭を挙行し1926年（大正15年）2月21日から再度工事を着工。1927年（昭和2年）7月31日に竣工し、同年8月に大日本精糖が本社機能をここに移した。なお竣工当初、ビル名を昭和ビルディングとしたものの、後に内外ビルディングに名称を戻している。
終戦直後の1946年（昭和21年）3月に内外ビルディングは連合国軍最高司令官総司令部 (GHQ) に接収され、1952年（昭和27年）12月の接収解除まで将校宿舎「エンパイヤーハウス」として使用された。接収解除直前の1952年10月に内外ビルヂングは三井不動産会社傘下となったため、解除後は三井不動産によってオフィスビルとなった。1954年（昭和29年）から1966年（昭和41年）までは富士重工業 (現: SUBARU) の本社も所在していた。1956年（昭和31年）12月には増築に着手し1958年（昭和33年）1月14日に完成、1962年（昭和37年）4月に再増築を行った。だが度重なる増築にもかかわらず建物自体の陳腐化・老朽化は避けられず、1979年（昭和54年）1月に解体。現在跡地には丸の内三井ビルが建っている。また三井不動産傘下となった内外ビルヂングは1969年（昭和44年）3月27日に第一産業会社と合併して、商号を内外不動産と改め現在に至る。
三島宗麻呂

三島 宗麻呂（みしま の むねまろ、生没年不詳）は、奈良時代の人物。名は崇麻呂とも記される。姓は県主のち宿禰。官位は淡路守・外従五位下。
出自

三島県主（宿禰）氏は安閑元年閏12月条に登場する三島県主飯粒の末裔で、『新撰姓氏録』「右京神別」に、「神魂命十六世孫建日穂命之後也」」とある。神護景雲3年（769年）2月には三島県主広調（ひろつき）らが宿禰姓を賜与されている。
経歴

聖武朝の天平7年（735年）9月、経師として布施の絁、布を充てられているのが史料における初出。同10年（738年）2月、写経に従い、写経司より布を充てられている。3月にも写経に従い、11月に写経司の経師と記されている。
同11年（739年）正月、写経司の上日（出仕日）があり、得考、舎人と見え、4月、写経司の経師として布施銭を充てられ、5月、上日があり、得考と見え、6月、手実（個人が実情を申告した文書）があり、7月、写経に従い、8月、その上日が見え、8月、その上日が見え、その手実があり、9月、布施銭を充てられ、その上日が見え、10月、その上日が2回見え、11月、写経に従い、12月、上日が見え、この年の上日が見え、得考とあり、写経に従っている。
同13年（741年）5月、手実があり、写経生歴名に見える、同15年（743年）9月、題師と見える。
同18年（746年）4月、写経司の経師として布施銭を充てられ、紙を充てられ、6月、手実があり、7月、筆を充てられ、9月、写経に従い、10月、写金字経所で国分最勝王経の題師として布施銭を与えられ、11月筆を充てられ、12月、その手実がある。
同19年（747年）正月、市原官経を写し、布施銭を充てられ、7月、8月、千手経紙を充てられ、9月、紙を受け、12月、手実があり、東大寺写経所の経師として布施布を充てられている。
同20年（748年）2月、3月、いずれも写経に従い、4月、写経後所で写経に従い、同所で布施布を充てられ、6月にも同上所より題師として布施布を充てられている、犬甘命婦宣の陀羅尼経を写し、7月、千部法花経紙墨充帳に名前が見え、経師校生注文に堂番と見える。この月より翌年6月までの上日が見える。そのうち、8、9月は不仕、散位・従八位上、写紙350張、題経3,759巻、伴奉礼仏2度と見える。10月、写経所の題師として布施布を充てられ、12月、題師と見える。
同21年（749年）3月、東大寺写一切経所、写書所の題師として布施布を充てられ、また題師と見え、改元した天平感宝4月写疏所の題師として布施銭を与えられ、写経に従っている・
孝謙朝となり、改元した天平勝宝元年7月、紙を充てられ、これを請け、8月、写書所の題師として布施布を充てられ、この月より翌年7月までの上日が見え、散位・正八位上と見える。9月、一切経の検納にあたり、この月、東大寺写一切経所の題師と見え、12月、写書所の題師として布施布を充てられている。
同2年（750年）正月、造東寺司返送文に「知」と見え、3月、題師として布施布を充てられ、御願八十花厳経を写し、散位・従七位上とある。4月、経紙の検定にあたり、打界帳に「知」と見え写書所の題師として布施布を充てられている、5月、写書所食口帳に署し、6月「知」と見え、写書所の題師として布施布を充てられ、7月、筆墨を請い、経の出納にあたり、写書所解に署し、題師として布施布を充てられ、筆墨を請い、経の出納にあたり、この月より翌年7月のまでの上日が見え、正月より竪子所へ出仕し、散位・従七位上と見える。9月、経紙の検定にあたり、10月、紙の出納にあたり。写書所解に署し、題師として布施布を充てられ、造東大寺司の題師として布施布を充てられ、題師と見えるが、抹消されている。この年、考紙幷銭を進上し、校生の下にその名が現れている。
同3年（751年）2月、造東寺司解に署し、また題師として布施布を充てられ、散位と見える。6月、写書所告朔解に署し、散位を見える、8月、写書所解に署し、また題師と見え、10月、写書所解に署し、12月も同様に記されている。このほか、経紙の出納にあたったものとして、
正月。2月。3月。4月。5月。6月、7月。8月。9月。10月。11月。12月。
があげられる。
同4年（752年）閏3月、東大寺写経所返疏文に署し、散位・従七位上と見える。5月、六十花厳経を写し、大倭国大目と見え、8月、上日帳に6月の上日が抹消してある。このほか、経紙の出納にあたったものとして、
正月より3月。閏3月。4月。5月。8月。
があげられる。
同5年（753年）6月、巻鈔紙を充てられ、12月写書所の経師として布施布を充てられている。
同6年（754年）5月、楞伽経（りょうがきょう）を写し、7月、六十花厳経を写し、8月、写経所の経師として布施布を充てられている。
その後、しばらく記録が途絶えるが、淳仁朝の天平宝字2年（758年）9月、造東大寺司の題師として布施布を充てられ、東寺写経所の題師として布施布を充てられ、内記・正六位下と見える。11月、越中掾・正六位下と見える。同3年（759年）11月、越中国砺波郡伊加流伎野、石粟村、同射水郡須加野、鳴戸野など、同新川郡大藪野、丈部野の各東大寺田図の奥書に、「正六位下行掾」として越中国掾として国判を加えているのも同じ人物であるとされている。
称徳朝の天平神護3年（767年）3月、奉写御執経所別当・図書大亮・六位上とあり、4月には同上所移に署し、図書大亮・正六位上とある。5月、7月も同じように記されている。神護景雲2年（768年）2月、同3年（769年）3月、奉写一切経所の別当、図書大亮、正六位上と見える。12月に正六位上から外従五位下に昇叙する。同4年（770年）7月に宿禰を賜姓される。
光仁朝の宝亀5年（774年）外従五位下・図書大亮と見え、7年（776年）3月には淡路守になっている。以後の記録は存在していない。
官歴

注記のないものは『続日本紀』による
天平7年（735年）9月：見経師。11月：見写経司経師（『大日本古文書』による）
天平11年（739年）正月：見写経司舎人。4月：見写経司の経師（『大日本古文書』による）
天平13年（741年）9月：見題師（『大日本古文書』による）
天平19年（747年）12月：見東大寺写経所経師（『大日本古文書』による）
天平20年（748年）7月：見散位・従八位上・8月：不仕。9月：不仕。12月：見題師（『大日本古文書』による）
天平21年（749年）3月：見東大寺写一切経所・写書所題師（『大日本古文書』による）
天平感宝元年（749年）4月：見写疏所題師（『大日本古文書』による）
天平勝宝元年（749年）8月：見写書所題師・散位・正八位上。9月：東大寺写一切経所題師。12月：見写書所題師（『大日本古文書』による）
天平勝宝2年（750年）3月：見散位・従七位上。4月：見写書所題師。6月：見写書所題師。7月：見写書所題師。10月：見写書所題師・造東大寺司題師（『大日本古文書』による）
天平勝宝3年（751年）正月：見竪子所出仕・散位・従七位上。2月：見造東寺司題師・散位。6月：見散位。8月：見写書所題師（『大日本古文書』による）
天平勝宝4年（752年）閏3月、見散位・従七位上。5月：見大倭国大目（『大日本古文書』による）
天平勝宝5年（753年）12月：見写書所経師（『大日本古文書』による）
天平勝宝6年（754年）8月：見写経所経師（『大日本古文書』による）
天平宝字2年（758年）9月：見造東大寺司題師・東寺写経所題師・内記・正六位下。11月：見越中掾・正六位下（『大日本古文書』による）
天平神護3年（767年）3月、見奉写御執経所別当・図書大亮・六位上。4月：見図書大亮・正六位上（『大日本古文書』による）
神護景雲2年（768年）2月：見奉写一切経所別当、図書大亮、正六位上（『大日本古文書』による）
神護景雲3年（769年）3月：同上（『大日本古文書』による）。12月11日：外従五位下
神護景雲4年（770年）7月25日：宿禰賜姓
宝亀5年（774年）見外従五位下・図書大亮（『大日本古文書』による）
宝亀7年（776年）3月3日：淡路守
ジェイコブ・ワイデマン

ジェイコブ・ワイデマン（1829年 - 1893年）は、スイス出身のランドスケープデザイナー。19世紀にアメリカなどで活躍し、墓地設計で分野への最も顕著な貢献をする。
末娘マルグリットによって1935年からハーバード大学デザイン大学院にワイデマン賞が設けられている。
経歴

スイス・ヴィンタートゥールで裕福な両親の元に生まれる。ジュネーヴにあった親の友人で建築家のオフィス、フォルテAMで設計修習。主宰者のフォルテからさらにトレーニングを勧められ、1847年、ミュンヘンの造形芸術大学アカデミーの一般プログラムに登録。修了後はランドスケープデザインの道に進むことを決め、アカデミーでは美術や建築を専門に工学、園芸、植物学まで研磨する。工学の修了証書を受け取った後、チューリッヒの植物園で修行し、いくつかの著名な芸術家のアトリエでも絵画を習った。
1850年代後期に家族で植物園や風景散策をするためヨーロッパ全土に渡る大規模なグランドツアーを実施し、彼は東海岸から西海岸までから、その後パナマ、ペルーに、北米・アメリカ大陸へ初旅行をした。その間技師として活動し、自身最初のコミッションとなるリマにある現在のペルーの農業大学であるハシ・ラ・モリナのための設計を依頼される。完了後一家は帰国するが、彼はアメリカに新天地を求め、ニューヨークに定住しようとする。ワイデマンはドイツからの移民ユージン・バウマンや別の庭師らと一緒に、ニュージャージー州ウェストオレンジやその後ルウェリンパークといった各地で、いくつか庭造りプロジェクトを実行。ヒルパーク、スタテン島では大規模な住宅公園が建設予定で、そのうちの一つに自身のコミッションのいくつかを持つことになった。
1860年代初期には、コネチカット州ハートフォードにブッシュネル公園という、国内初の公的資金を受けた市営の公園を設計建設するためにハートフォードの公園局長を委嘱される。計画予定地には排水の難問に直面しており、対処するためワイデマンのエンジニアリングスキルを必要としていた。彼の計画案は新規に結成された公園理事会によって承認される。1864年には、シーダーヒル墓地をワイデマンに設計と施工監督を委嘱。今日までシーダーヒル墓地は広大な墓地のためワイデマンのオープンな芝生計画に忠実である。公園運動の最前線に立っていた彼らが農村墓地のあり方の重要性に気づいて、農村墓地の確立に向けて役立たせた。
オープンな芝生という設計コンセプトは、設計分野だけでなく教育の上でも、全国の学生のために確立され、一貫したカリキュラムの確立の基礎と、ランドスケープアーキテクト認定のための永続的な提示となる。
1870年、田舎の家を美化した彼の最初の著書が出版される。
その後スイスに帰国し長期滞在した後ハートフォードに戻ったが、すぐに自身の設計事務所を開設し、ニューヨーク市に移転。 彼はフレデリック・ロー・オルムステッドと協働し、事務所支部をマサチューセッツ州ブルックラインにも設置し9年間にわたり広範囲に協力した。
1874年にはニューヨークのグラマシー公園を噴水付きのもとに改造している。
1876年、フィラデルフィアのセンテニアル展で、ワイデマンはベイショアの "Masquetux"、ヘンリー・B・ハイドのエステート開発、ロングアイランド、ニューヨークのための計画 "メダルとディプロマ"を受賞。その後もロングアイランドとニューヨークの他の場所で多くの団地や公園、ニューイングランドとニュージャージー州にはキャンパスの計画を手がけた。
1870年代後半には業務は国家的な広がりを得ていた。1878年に、彼はアーカンソー州のホットスプリングスで景観を改訂する計画を策定し、1885年までに彼はアイオワ州デスモインスの議会議事堂の敷地設計者に選出される。この間、グラウステートフェア用とポーク・アンド・ハベル住宅公園の計画も依頼されている。現在みられるアットザキャピトル階段プラザは彼のデザインで生み出されたものである。
アイオワ州での経験を得たワイデマンはすぐにベンチャー業でシカゴに移動するがこれは日の目をみず、1889年にニューヨークに戻る。結局ニューヨーク在住はわずか4年で、1893年に死を迎える。この時にはコネチカット州ハートフォードのポープ公園の計画に携わり、オルムステッド事務所が彼の死後に計画に取り組み完成させた。
ワイデマンはまた、2つの重要な著書作品を残している。 一つはスタイルの問題で雑誌連載されることになり、後に『アメリカのガーデンアーキテクチュア 』（1877年） と題し出版された。彼はこのシリーズのために全ての図版を用意し、当時唯一、分野最初のジャーナル書として出版される。 また彼はシカゴにいた間にプロトタイプとして考案していたシーダーヒル・プランを利用して、オープン芝生のコンセプトを特色とした墓地設計のためのガイドを書き、これを『現代の墓地』（1888年）として刊行した。
函普

函普（かんぷ）は、女真完顔部の先祖。金の始祖。懿憲景元皇帝。
出自論争

『金史』巻1世紀には以下の記述がある。
「金の始祖函普は高麗からやって来て、年は既に60余歳であった」とあり、高麗から来たと記されている。これを根拠にして、韓国や北朝鮮では「金は朝鮮民族起源国家」「金は朝鮮民族の建てた国家」「女真の起源は高麗人だから女真が建国した金と清は朝鮮の歴史」などと主張している人物が多数いる。ただし、韓国の主流歴史学界と教科書ではこのような主張をしない。該当人物が高麗出身であることは概ね認めている。
函普の出自に関する考証 > 概要

元朝の官修『金史』は、「金人本出靺鞨之附于高麗者」と記録されており、金人の祖先は高麗王朝に居住していた靺鞨と記している。
函普の本姓は何かという疑問があるが、中国学者は、函普が完顔部に来る以前からの本姓が「完顔」であることは間違いないと結論づけている。史料には函普の本姓が「完顔」であることは記録されていないが、函普の兄の阿古乃と函普の弟の保活里の子孫はいずれも「完顔」姓であるためである。函普の本姓を「完顔」とする理由は、熟女真（中国語版）の曷蘇館（中国語版）女真出身である石土門と弟の完顔忠は、函普の弟の保活里の子孫であり、『金史』は、石土門を「耶懶路完顔部人」と明示し、完顔忠は「本名迪古乃，字阿思魁，石土門之弟。」と明示している。「完顔」姓である完顔忠および「完顔」姓である完顔忠の兄が石土門であることがわかり、両人が「完顔」姓であることがわかる。そして、新羅や高麗国には「完顔」姓は存在せず、女真にのみ存在する。
史料によると、金の始祖である函普以降、六世の孫である烏骨廼（中国語版）の誕生までの正確な時間の記録はない。金の建国前の最初の明確な時間記録は、烏骨廼に関する記録である。『金史』には、烏骨廼が遼聖宗の太平元年（1021年）に生まれたと記録されている。具体的な史料などがない場合の歴史的な時間を推測する方法として、歴史学者たちは世代数と各世代間のおおよその時間で歴史的な時間を推計しており、1021年を基準にして、函普の完顔部への渡来時期を算出している。張博泉は、「烏骨廼は、遼聖宗の太平元年（1021年）に生まれ、重熙七年（1038年）に完顔部の酋長になった。函普から烏骨廼までは五世だったが、一世代を25年とすれば計125年であり、烏骨廼が重熙七年（1038年）に完顔部の酋長になったとすれば、その125年前は919年になる」として、919年頃に函普は牡丹江一帯に住む完顔部に渡来したと主張している。孟広耀は、「烏骨廼は、遼聖宗の太平元年（1021年）に生まれた。函普から烏骨廼に至るまで、函普、烏魯（中国語版）、跋海（中国語版）、綏可（中国語版）、石魯（中国語版）の五代である。当時の結婚年齢は早く、通常であれば各世代に20年ずつなので、ちょうど100年ということになる。1021年から100年遡る921年頃が、函普が兄弟と別れて、牡丹江一帯に住む完顔部に至った時期になる」と述べている。孫進己は、「金の先祖の系譜によると、第六代烏骨廼は1021年に生まれ、第七代劾里鉢は1040年に生まれ、第八代烏雅束は1061年に生まれており、各世代で約20年の差がある。そうすると、第二代烏魯は、1021年より80年前の940年代に生まれた。したがって、函普は930年代に高麗から完顔部に来たと推測できる」と述べている。