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アフィン接続
動機と歴史 > アプローチ

アフィン接続へのアプローチとその一般化は様々であり、複雑な歴史をもっている。
最も一般的なアプローチは、おそらく、共変微分による定義であろう。一方、ワイルの考え方は、ゲージ理論やゲージ共変微分（英語版）という形であり、物理学者により採用されている。他方、共変微分はジャン・ルイ・コシュル（英語版）(Jean-Louis Koszul)により抽象化され、彼はベクトル束上の（線型、あるいはKoszul）接続を定義した。この言葉を使うと、アフィン接続は単に接束上の共変微分、あるいは、（線型）接続である。
しかしながら、このアプローチは、背後にある幾何学や、その名前の由来を説明しない この用語は実際は、変換によりユークリッド空間での接空間の同一視に起源をもっている。この性質は、n-次元ユークリッド空間はアフィン空間でもあることに起源がある。（言い換えると、ユークリッド空間は、群の作用の下に主等質空間（英語版）である、あるいは、テンソルであると言える。）導入部でも述べたように、この詳細を記述するためのいくつかの方法がある。アフィン接続は、曲線に沿ったベクトル場の平行移動であるという事実を使う。このことは標構バンドル（英語版）の平行移動を定義する。標構バンドル上の無限小平行移動は、カルタン接続として、あるいは標構バンドルの主アフィン接続の GL(n) 接続として、アフィン群 Aff(n) の別な表現でもある。
微分作用素としての定義

「共変微分」および「接続 (主バンドル)」も参照
M を滑らかな多様体、C∞(M,TM) を M 上のベクトル場の空間、つまり、接バンドル TM の滑らかな切断の空間とすると、M 上のアフィン接続 (affine connection) は、すべての C∞(M,R) の滑らかな函数 f とすべての M 上のベクトル場 X, Y に対し次の 2項目が成り立つような双線型写像
である。
\nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y つまり、∇ は第一変数について C∞(M,R)-線型である。
\nabla _{X}(fY)=\mathrm {d} f(X)Y+f\nabla _{X}Y つまり、∇ は第二変数についてライプニッツ則を満たす。
微分作用素としての定義 > 基本的性質

上の性質 1 より、点 x ∈ M での ∇XY の値は、x での X の値にのみ依存し、M−{x} での X の値には依存しないことが従う。点 x ∈ M での ∇XY の値が x の近傍での Y の値のみに依存することは、上記の性質 1 に従う。
∇1, ∇2 がアフィン接続であれば、x での ∇1XY − ∇2XY の値は、Γx(Xx,Yx) と書くことができる。ここに
M が Rn の開集合であれば、M の接バンドルは自明バンドル M×Rn である。この状況の下で、M 上の標準的なアフィン接続 d が存在する。任意のベクトル場 Y は M から Rn への滑らかな写像 V により与えられる。すると、dXY は M から Rn への滑らかな函数 dV(X)=∂X に対応するベクトル場である。従って、M 上の他の任意のアフィン接続 ∇ は、∇ = d + Γ と書くことができる。ここに Γ は M の接続形式である。
さらに一般的に、接バンドルの局所自明化は、TM の M の開集合 U 上への制限と U × Rn との間のバンドル同型（英語版）である。アフィン接続 ∇ の U への制限は、Γ を U の上の接続形式としたとき、形式 d + Γ の形に書くことができる。
アフィン接続に関する平行移動

「平行移動 (リーマン幾何学)」も参照
多様体上の異なる点での接ベクトルの比較は、一般的には well-defined な過程を通すことは困難である。アフィン接続は平行移動の考えを使い、このことを修正するひとつの方法であり、実際、アフィン接続を定義することに使うことができる。
M をアフィン接続 ∇ を持つ多様体としたとき、すべてのベクトル場 Y に対して、∇YX = 0 となるという意味で ∇X = 0 であれば、ベクトル場は平行であると言う。直感的言うと、平行なベクトルはすべての微分が 0 に等しくなり、従って、ある意味では定数となる。2つの点 x と y での平行ベクトル場を解析することにより、2つの点での接ベクトルの間の同一視が得られる。そのような接ベクトルを互いに平行移動の関係と言う。
不幸にも、平行ベクトル場は一般には存在しない。方程式 ∇X = 0 は過剰決定系（英語版）である偏微分方程式で、この方程式の可積分条件は、（以下に見るように）曲率 ∇ が 0 となるときのみである。しかし、この方程式を x から y への曲線へ限定すると、方程式は常微分方程式となり、x での X の任意の初期値に対して一意な解が存在する。
さらに詳しくは、γ : I → M を区間 [a,b] でパラメトライズされた滑らかな曲線とし、x = γ(a) としたときに ξ ∈ TxM とする。さらに、次の 2つの条件を満たすとき、γ に沿ったベクトル場 X （と、特に、y = γ(b) でのこのベクトル場の値）を γ に沿った ξ の平行移動と呼ぶ。
すべての t ∈ [a,b] に対し、　 \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0
X_{\gamma (a)}=\xi
第一の条件は、X が引き戻しバンドル（英語版）(pullback bundle) γ*TM 上の引き戻し接続)（英語版）の観点から、平行であることを意味する。しかし、局所自明化で、第一条件は1階の線型常微分方程式となり、第二の条件であたえられた任意の初期条件に対し一意な解を持つ（たとえば、ピカール・リンデレフの定理（英語版）により）。
このように、平行移動は、直感的な意味で「同じ方向を向く」ことを保ったアフィン接続を使い、曲線に沿って動く接ベクトルの方法をもたらす。このことは曲線の 2つの端点での接空間の間の線型同型をもたらす。この方法で得られた同型は、一般には曲線の選択に依存するそうでなければ、M 上のすべての平行ベクトル場を定義することに使うことができて、∇ が 0 であるときのみこのことが起きる。
線型同値は、線型空間の基底、あるいは標構の上への作用により決定される。従って、平行移動は曲線に沿った（接）標構バンドル（英語版） GL(M) の移動された元の方法として特徴付けることもできる。言い換えると、アフィン接続は、M 内の任意の曲線 γ の GL(M) 内の曲線  {\tilde {\gamma }} への持ち上げ(lift)をもたらす。
標構バンドル上の定義

「接続 (主バンドル)」も参照
アフィン接続は、多様体 M の標構バンドル（英語版） FM や GL(M) 上の主 GL(n) 接続 ω としても定義することができる。さらに詳しくは、ω は、次の 2つの条件を満たす、標構バンドルの接バンドル T(FM) から n×n 行列の空間への滑らかな写像である（それらは、可逆な n×n 行列であるリー群 GL(n) のリー代数 gl(n) である)。
ω は T(FM) や gl(n) 上の作用に関して、同変（英語版）である。
gl(n) の任意の ξ に対して ω(Xξ) = ξ である。ここに Xξ は ξ に対応する FM 上のベクトル場である。
そのような接続 ω は直ちに、接バンドル上のみならず随伴した（英語版）ベクトルバンドル上を、GL(n) の任意の群表現への共変微分の定義を拡張した。これはテンソルやテンソル密度（英語版）(tensor densities)のバンドルを意味している。逆に、接バンドル上のアフィン接続は、たとえば、曲線を平行移動により定義される標構バンドルへ持ち上げるため、ω が接ベクトル上で 0 となることを要求することにより、標構バンドル上のアフィン接続を決定する。
標構バンドルは、接合形式（英語版） θ : T(FM) → Rn も持っていて、ベクトル場 Xξ の点での値のように垂直ベクトル（英語版）が 0 となるという意味で水平である。実際、θ は最初に接ベクトルの M への（標構 f での FM への）射影により、従って、標構 f での M 上の接ベクトルの成分をとることにより、定義される。θ は GL(n)-同変である（ここに、GL(n) は Rn 上へ行列の積として作用する）。
ペア (θ,ω) は、自明バンドル FM × aff(n) を持つ T(FM) のバンドル同型（英語版）を定義する。ここに、aff(n) は Rn と gl(n) のデカルト積である（アフィン群のリー代数とみなし、半直積的に作用する、以下を参照）。
カルタン接続としてのアフィン接続

「カルタン接続」も参照
アフィン接続は、カルタンの一般的フレムワークの中のでも定義することができる。現代のアプローチでは、標構バンドル上のアフィン接続の定義に密接に関係している。実際、ある定式化では、カルタン接続は適切な性質を満たす主バンドルの絶対平行性（英語版）である。この観点では、（あるアフィン多様体の）標構バンドル上の aff(n)に値を持つ 1-形式 (θ,ω): T(FM) → aff(n) はカルタン接続である。しかし、カルタンの元々のアプローチは、いくつかの点でこれとは異なっていた。
標構バンドル、もしくは主バンドルの考え方が存在しなかった。
接続は、点の無限小近傍の間での平行移動の項とみなした。
この平行移動は、線型というよちもアフィンである。
変換される対象は、現代的な意味では接ベクトルでなくともよいが、マークのついたアフィン空間の元である必要がある。カルタン接続は接空間とほぼ同一視することができる。
カルタン接続としてのアフィン接続 > 説明と歴史的直感

逆に説明する最も易しい点は、曲面論によりの動機から始めることである。この状況下では、曲面の上を回転する平面がナイーブな意味での接平面であり、接空間の考えは、実際、無限小の概念であり、一方、平面は、R3 のアフィン部分空間(affine subspace)として、拡張は無限である。しかし、これらのアフィン平面は曲線の接触する点のマークがついていて、平面はこの点で曲面と接する。従って、混乱はマークされた点を持つアフィン空間と点での接空間とを同一視できるということにある。しかしながら、（接平面を）回転させることにより定義される平行移動は、この「原点」を固定するものではない。平行移動は線型というよりもアフィンな移動である。線型な平行移動は（アフィンな）移動に適用することにより再現することができる。
従って、この考え方を抽象化すると、アフィン多様体は n-次アフィン空間 Ax を持つ n-次元多様体 M であり、マークされた点 ax ∈ Ax が各々の x ∈ M に接していて、M の中の曲線 C も沿ったこれらのアフィン空間の移動する元を伴っている。この方法はいくつかの安定な性質をもつことを要求される。
C 上の任意の点 x, y に対し、平行移動は C 上の Ax から Ay へのアフィン移動である。
平行移動は、C 上の任意の点で微分可能であり、その点での C への接ベクトルへ依存しているという点から、無限小として定義される。
x での平行移動の微分は、TxM から  T_{a_{x}}A_{x} へ線型同型を決定する。
これたの最後の 2つの点は、詳しく説明することが極めて難しいので、アフィン接続は無限小としてより頻繁に定義される。このことを動機とすると、平行移動の観点からアフィン座標系がどのように無限小に移動するかを考えることに充分である。（これはカルタンの移動標構の方法（英語版）の原点である。）点でのアフィン標構は、一覧 (p, e1, ..., en) から構成される。ここに p ∈ Ax であり、ei は、Tp(Ax) の基底を形成する。よって、アフィン接続は、1-形式 (θj, ωij) の集まりにより定義される 1 階の微分方程式系としてシンボル的に与えられる。
幾何学的には、アフィン標構は、γ(t) から γ(t + δt) への曲線 C に沿って移動変化であり、次により（近似的、あるいは無限小として）与えられる。
さらに、γ に沿う ax の置き換えが、（x の無限小な置き換えである）x = γ(t) での γ への接ベクトル γ′(t) と（近似的、無限小的に）同一視することができるという意味で、アフィン空間 Ax は M と接していることが要求される。
理由は、
このように、接しているアフィン空間 Ax は、直感的に x の無限小アフィン近傍と直感的に同一視される。
現代的な観点は、主バンドルを使いこの直感をより正確にする（本質的な考え方は、標構や変数標構をこの空間の上の全標構と函数へと置き換えることにある）。この考え方は、フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムに動機を持って記述されてもいて、そこでは幾何学が、等質空間として定義される。アフィン空間はこの意味で幾何学であり、平坦なカルタン接続を持っている。このように、一般的なアフィン多様体は、アフィン空間の平坦モデルの幾何学の曲がった変形と見なされる。
カルタン接続としてのアフィン接続 > 説明と歴史的直感 > アフィン空間の定義

非公式には、アフィン空間は、原点を固定された選択を持たないベクトル空間である。アフィン空間は、空間の中の点とベクトルの幾何学である。原点を失った結果、ベクトルを加えるという平行移動を形成する原点の選択を要求すると、アフィン空間の中の点は互いにベクトルを加えることができない。しかし、ベクトル v は点 p でのベクトルの起点を置き換えること、従って、p を終点へ移動することにより点 p へ加えることができる。このようにして、p → p+v により記述される操作は、v に沿った p の移動である。テクニカルな用語では、アフィン n-次元空間は、ベクトル群 Rn の自由推移的作用を持つ集合 An である。この点の移動の操作を通して、An はベクトル群 Rn の主等質空間（英語版）となる。
一般線型群 GL(n) は Rn の変換群であり、T(av+bw) = aT(v) + bT(w) という意味で Rn の線型構造を保存する。これとよく似て、アフィン群 Aff(n) はアフィン構造を保存する An の変換群である。このように、φ ∈ Aff(n) は、
という意味で、保存変換でなければならない。ここに T は一般線型変換である。φ ∈ Aff(n) を T ∈ GL(n) へ写す写像は、群準同型である。核は、Rn の変換群である。A の任意の点 p の安定化因子はこのようにして、この射影を使い GL(n) と同一視できる。このことは、アフィン群を GL(n) と Rn の半直積 をして実現し、アフィン空間を等質空間 Aff(n)/GL(n) として実現する。
カルタン接続としてのアフィン接続 > 説明と歴史的直感 > アフィン標構と平坦アフィン接続

A のアフィン標構(affine frame)は、点 p ∈ A とベクトル空間 TpA = Rn の基底 (e1,...,en) からなる。一般線型群 GL(n) は、p を固定し、通常に方法での基底 (e1,...,en) を変換することですべてのアフィン標構の上へ自由に作用し、π はアフィン標構 (p;e1,...,en) を点 p へ写す写像は、商写像である。このように FA は A 上の主 GL(n)-バンドルである。GL(n) の作用は、自然に FA 上のアフィン群 Aff(n) の自由な推移作用へ拡張されるので、FA は Aff(n)-主等質空間（英語版）であり、座標系は主バンドル Aff(n) → Aff(n)/GL(n) とである FA → A と選択される。
FA 上には
で定義される n+1 個の函数の集合が存在する。A の起点を選択した後、これらは Rn に値を持つ函数すべてであるので、Rn に値を持つ微分1形式を得る外微分を取ることが可能である。函数 εi は FA の各々の点で Rn の基底であるので、これらの 1-形式は、Aff(n) 上の実数値 1-形式の集合 (θi,ωjk) 1 ≤ i, j, k ≤ n が存在して、
の形の和として表すことができるはずである。この主バンドル FA → A 上の 1-形式の系は、A 上のアフィン接続を定義する。
外微分を二回とり、εi が線型独立であるということともに、d2 = 0 であるという事実を使うと、次の関係式が得られる。
これらはリー群 Aff(n) のモーレー・カルタン形式である（座標系の選択により FA と同一視される）。さらに、
パフィアン系 θj = 0 は (すべての j に対し) 、可積分であり、その積分多様体は主バンドル Aff(n) → A のファイバーである。
パフィアン系 ωij = 0 は（すべての i, j に対し) 可積分でもあり、その積分多様体は FA の平行移動を定義する。
従って、形式 (ωij) は FA → A 上の平坦接続を与える。
動機と厳密に比較すると、実際、A 上の主 Aff(n)-バンドルの平行移動を定義する。このことは、移動により定義される滑らかな写像 φ : Rn  × A → A によって引き戻す（英語版） FA で達成される。従って、合成 φ'*FA → FA → A は A 上の主 Aff(n)-バンドルであり、形式 (θi,ωjk) は、このバンドル上に平坦な主  Aff(n)-バンドルを与える引き戻し（英語版）となる。
カルタン接続としてのアフィン接続 > 一般アフィン幾何学：定義

本質的には滑らかなクライン幾何学として、アフィン空間は平坦なカルタン接続を持つ多様体である。さらに一般的なアフィン多様体、あるいはアフィン幾何学は、容易にモーレー・カルタン方程式により表現される平坦性条件へ落すことにより得られる。定義を得る方法としてはいくつかあるが、2つの定義を与えることにする。両方とも、アフィンリー群 Aff(n) のリー代数 aff(n) の中に値を持つ 1-形式と整合する、平坦モデルの 1-形式 (θi,ωjk) である。
これらの定義では、M は滑らかな n-次元多様体であり、A = Aff(n)/GL(n) は同じ次元のアフィン空間である。
カルタン接続としてのアフィン接続 > 一般アフィン幾何学：定義 > 絶対平行性を通した定義

M を多様体とし、'P を M 上の主 GL(n)-バンドルとすると、アフィン接続(affine connection)は、次の条件を満す aff(n) に値を持つ 1-形式である。
P 上の GL(n) と aff(n) の作用に関して、η は同変である。
すべての n×n 行列のリー代数 の中の ξ について、η(Xξ) = ξ である。
η は、aff(n) を持つ P の各々の接空間の線型同型である。
最後の条件は、η が P での絶対平行性（英語版）、すなわち、自明バンドル（この場合は、P × aff(n)）の構造を持つ P での接バンドルと同一視できることを意味する。ペア (P,η) は、M 上のアフィン幾何学構造を定義する。
アフィンリー代数 aff(n) は、Rn と gl(n) の半直積へ分解し、従って、η はペア (θ,ω) として書くことができる。ここに θ は Rn に値を持ち、ω は gl(n) に値を持つ。条件 (1) と (2) は ω が主 GL(n)-接続であり、θ が水平な同変 1-形式であることと同値であり、これが TM から随伴バンドル（英語版） P ×GL(n) Rn へのバンドル準同型（英語版）を引き起す。条件 (3) は、このバンドル準同型が同型であるということと同値である（しかし、この分解はアフィン群の特別な構造の結果である）。P は P ×GL(n) Rn の標構バンドル（英語版）であるので、θ が P と M の標構バンドル FM の同型を導き、これが FM 上の主 GL(n)-接続としてアフィン接続の定義を再現している。
平坦モデルからの 1-形式は、まさに、 θ と ω という成分である。
カルタン接続としてのアフィン接続 > 一般アフィン幾何学：定義 > 主アフィン接続としての定義

M 上のアフィン接続(affine connection)は、M 上の主 Aff(n)-バンドルであり、Q の主 GL(n)-部分バンドル P と主 Aff(n)-接続 α （aff(n) に値を持つ Q 上の 1-形式）を伴っていて、これらは次のカルタン条件を満す。α の P への引き戻しの Rn 成分は、水平な同変 1-形式であり、従って、TM から P ×GL(n) Rn へのバンドル準同型であり、この準同型が同型であることが要求される。
カルタン接続としてのアフィン接続 > 一般アフィン幾何学：定義 > 動機との関係

Aff(n) は A 上に作用するので、主バンドル Q に随伴するバンドル A = Q ×Aff(n) A が存在し、このバンドルは、M 上の x でのファイバーがアフィン空間 Ax であるような M 上のファイバーバンドルである。A の切断 a （各々の x ∈ M に対し Ax の中のマーク付の点 ax を定義している）は、Q の主 GL(n)-部分バンドル P を互いに決定する（これらのマーク付の点の安定子のバンドルとして）。主接続 α はこのバンドル上のエーレスマン接続、よって平行移動の概念を定義する。カルタンの条件は、問題にしている切断が常に平行移動の下で動くことを保証している。
性質 > 曲率と捩率

曲率と捩率は、アフィン接続の主な不変量である。アフィン接続の概念を定義には同値な方法が多くあるので、曲率と捩率の定義も多くの異なる方法がある。
カルタン接続の観点から、曲率はモーレー・カルタン方程式
を満たすアフィン接続 η の「失敗」の度合いを表す。ここに、左辺の第二項は aff(n) のリーブラケットを使うウェッジ積である．η をペア (θ,ω) に拡張し、リー代数 aff(n) の構造を使うと、左辺は次の 2つの式へ拡張できる。
ここに、ウェッジ積は行列の乗法を使うこととする。最初の式は、接続の捩率を定義し、第二の式は曲率を定義する。
これらの表現は標構バンドルの全空間の上での微分 2-形式である。これらは水平で同変であるので、テンソル的な対象を定義する。これらは直接 TM 上の共変微分 ∇ より次のようにして導くことができる。
捩率は、式
により与えられる。捩率が 0 であれば、接続は捩れのない、あるいは対称であると言う。
曲率は、
で与えられる。
曲率も捩率も 0 であれば、接続は接バンドル上の大域切断の空間の前リー代数（英語版）を定義する。
性質 > レヴィ・チヴィタ接続

(M,g) をリーマン多様体 とすると、一意に M 上のアフィン接続 ∇ が存在し、次の性質を持つ。
接続は捩れがない、つまり、T∇ が 0 である。
平行移動が等長である、つまり、接ベクトル間の内積 (g を使い) は保存される。
この接続をレヴィ・チヴィタ接続と呼ぶ。
第二の条件は、リーマン計量 g が平行 ∇g = 0 であるという意味で、接続が計量接続（英語版）である。局所座標系では、接続形式の成分をクリストッフェル記号と呼ぶ。レヴィ・チヴィタ接続の一意性により、g の項としてこれらの成分を表す式が存在する。
性質 > 測地線

直線はアフィン幾何学の概念であるので、アフィン接続はアフィン測地線と呼ばれる任意のアフィン多様体上の（パラメータ化された）直線の一般的な概念を定義する。抽象的に言うと、パラメータ化された曲線 γ : I → M は、接ベクトルが曲線 γ に沿って移動するときに自分自身と平行で向いている方向を等しくするときに直線である。この直線という観点より、アフィン接続 M は、次の方法でのアフィン測地線を識別する。滑らかな曲線 γ : I → M がアフィン測地線(affine geodesic)であるとは、 {\dot {\gamma }} が γ に沿って平行移動する、つまり、
であるときを言う。ここに τts : TγsM → TγtM は、接続を定義する平行移動写像である。
無限小接続 ∇ のことばでは、この方程式の微分の意味は、すべての t ∈ I に対し、
という意味である。逆に、この微分方程式の任意の解は、曲線に沿って曲線の接ベクトルが平行移動していることを意味する。すべての x ∈ M とすべての X ∈ TxM に対し、一意的に γ(0) = x であるアフィン測地線 γ : I → M が存在し、 {\dot {\gamma }}(0)=X である。ここに I は R の最大開区間であり、0 をその定義された測地線上に持っている。このことは、ピカール・リンデレフの定理（英語版）に従い、アフィン接続に付随する指数写像（英語版）の定義を可能とする。
特に、M が（擬-）リーマン多様体であり、∇ がレヴィ・チヴィタ接続であれば、アフィン測地線はリーマン幾何学の通常の測地線であり、局所的に距離を極小化する。
ここで定義する測地線は、M の中の与えられた直線が a と b を定数としたときのアフィン再パラメータ化 γ(t) → γ(at+b), の選び方に依存しない直線を囎唹して、パラメータ化された曲線 γ を決定するので、アフィン的にパラメータ化されているという。アフィン測地線の接ベクトルは、それ自身に平行で向いている方向が同じである。パラメータ化されていない測地線、あるいは、単に自分自身に平行で向きが同じではない接ベクトルは、ある γ にそって定義されたある函数 k に対し、単に
となるのみである。パラメータ化されていない測地線は、射影接続（英語版）の観点から、研究されていることもある。
性質 > 発展

アフィン接続は曲線の発展（英語版）(development)の考え方を定義する。直感的には発展は、M の中の xt をとると、x0 でのアフィン接空間は曲線に沿って「回る」という考え方である。そのようにすると、接空間と多様体の間のマークされた接触点は、このアフィン空間の中の曲線 Ct の軌跡、 xt の発展を描く。
定式化すると、τt0 : TxtM → Tx0M をアフィン接続に伴った線型平行移動写像とすると、発展 Ct は Tx0M の中の 0 を起点とし、xt の接線に平行で、すべての時間 t に対し
となる。
特に、xt が測地線であることと、その発展が Tx0M の中のアフィン的にパラメトライズされた直線であることとは同値である
曲面論再論

M を R3 の中の曲面とすると、M は自然なアフィン接続を持っていることは容易に分かる。線型接続の観点より、ベクトル場の共変微分はベクトル場の微分により定義され、M から R3 への写像と見なされ、よって背後の M の接空間の上の直交する射影を結果する。このアフィン接続が捩率を持たないことは容易に分かる。さらに、R3 上の内積により引き起こされた M 上のリーマン接続の観点からは、この接続が計量接続であることも容易に分かる。従って、この計量のレヴィ・チヴィタ接続であることも分かる。
曲面論再論 > 例：ユークリッド空間の中の単位球面

\langle ,\rangle  を R3 上の通常のスカラー積とし、S2 を単位球面とする。x での S2 への接空間は、自然に x で直交するベクトルすべてからなる R3 の部分ベクトル空間と同一視される。このことから、S2 上のベクトル場 Y は写像 Y : S2 → R3 と見なすことができ、この写像は、
を満たす。dY によりそのような写像の微分を表すと、
補題：
は捩率が 0 である S2 上のアフィン接続を定義する。
証明： ∇ がライプニッツの恒等式を満たし、第一の変数について C∞(S2) 線型であることを証明するは容易である。従って、ここで証明すべきことのすべては、この写像が実際に接ベクトル場を定義することである。すなわち、S2 の中の x に対して、
が成り立つことを証明する。
写像
を考える。
写像 f は定数であるので、その微分は 0 である。特に
である。
上の式 (1) が従う。 \Box
歴史的には、共変微分（もしくは、計量によるレヴィ・チヴィタ接続）を使い、他のベクトルの方向に沿ったベクトルの変化率を記述した。ここで、2次元のユークリッド空間上では、青のベクトル場 X はどこでも 1-形式(1-form) dr を 1 へ写す。赤のベクトル場 Y は 1-形式 dθ をどこでも r へ写す。計量 ds2 = dr2 + dθ2 により保証され、レヴィ・チヴィタ接続 ∇YX はどこでも 0 となり、X ｊは Y に沿っては変化しないことを意味する。言い換えると、X は各々の同心円にそって平行移動する。 ∇XY はどこでも dθ を 1 へ写し、これは Y は放射方向の変化率は「定数」である。
球面の中の曲線にそった接ベクトルの平行移動
琴香

| Kotoka> プロフィール |
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リングネーム:  Kotoka "ミスター・ハイテンション"琴香 CIBA 琴香 椎葉 琴香
本名:  椎葉 琴香
身長:  164cm
体重:  66kg
誕生日:   (1990-01-08) 1990年1月8日（34歳）
出身地:  熊本県阿蘇郡南小国町
スポーツ歴:  キックボクシング 野球
トレーナー:  CIMA 横須賀享
デビュー:  2009年4月6日
引退:  2018年3月6日
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Kotoka（コトカ、1990年1月8日 - ）は、日本の元プロレスラー、ジムトレーナー。
経歴

2009年4月6日にDRAGON GATE NEXのドラゴンゲートアリーナ大会にてスペル・シーサー戦でデビュー。同年は近野剣心・RYOMAが先行してデビューしており、3人目のデビューとなった（現在は2人とも退団している）。
デビュー後暫くは本名で活動していたが、10月13日のWORLD-1の自主興行「THE WORLD IS ONE」にて谷嵜なおきに敗戦後にWORLD-1入りを直訴して土井成樹とB×Bハルクに認められ加入。同時に、苗字の椎葉がCIMAとややこしくなると言う事でリングネームを琴香に変更。その後、一度は地元の熊本大会にて「CIBA」としてCIMAのコスチュームを着てCIMAとタッグを組んだ。
2010年6月10日にB×Bハルク、YAMATOと共にホリプロとマネージメント契約を結ぶ。
2010年8月29日の博多スターレーンで念願の初勝利を収めるが、12月5日の札幌テイセンホールで行われたカベジェラ・コントラ・カベジェラキャプテンフォールタッグマッチ（この時のキャプテンはKzyと琴香）で敗れ、丸坊主になる。
2011年4月14日の後楽園ホールで行われたオープン・ザ・トライアングルゲート選手権試合～トライアングルゲート・コントラ・解散でWORLD-1が敗れ無所属になる。その後しばらく無所属で第1試合などを担当。1度は吉野正人にワールドワンインターナショナルに勧誘されるも拒否し、新井健一郎のいるウィンドウズMGに加入。
2013年5月、CIMAに認められロシア遠征を経験する。7月22日ウィンドウズがベテラン軍と合体し、琴香は「卒業」。8月23日後楽園ホール大会より、CIMAのコスチュームを着用して「CIBA」のリングネームで登場。ただし、このリングネームは2013年限りとCIMAから発表された。ミレニアルズ、問題龍との抗争を経て、12月22日には堀口元気H.A.Gee.Mee!!が保持するオープン・ザ・ブレイブゲート王座に挑戦。初のシングルタイトルを狙ったが敗戦。CIBAとしてのラストマッチはCIMAとのシングルマッチであった。
2014年初めはリョーツ清水と共にユニット入りを模索。MAD BLANKEY、MONSTER EXPRESS、さらに斎藤"ジミー"了の欠場を狙い、リングネームをジミー琴香にするとまで訴えてジミーズ入りを懇願したがススムに断られた。
その後、CIMAとタッグを組み、4月8日後楽園ホール大会にてリョーツ&Gamma組と対戦したが、亀有公園前固めで敗れた。この後、CIMAが再び「琴香を預かる」と宣言。
リングネームを"ミスター・ハイテンション"琴香と改めたが、試練として「パンチパーマ・コントラ・パンチパーマ～敗者パンチパーマ・マッチ～」と銘打たれた富永千浩とのシングルマッチが決定した。試合は琴香が富永を丸め込んで勝利したが、富永が「パンチ富永」となりヒールターン、敗者のはずの富永が却って注目を浴びる結果になった。
2015年1月16日の後楽園ホール大会、ミレニアルズ VS MAD BLANKEY 4vs5 全面対抗戦の試合後にMAD BLANKEYに暴行されているミレニアルズを林とともに救出。この後琴香、林、Dr.マッスルを含めた6vs6のタッグマッチを行いCIMAから横入り式エビ固めで丸め込み勝利（直前にDr.マッスルに扮したKzyの裏切りがあった）。試合後には長らく敵対していたミレニアルズに加入し、リングネームをKotokaに改める。
しかし、8月6日の解散マッチでミレニアルズが解散。解散後はEitaと結託してT-Hawkを敵視、他選手との試合でも急所攻撃などラフファイトを繰り出すようになる。そして8月16日に解散したMAD BLANKEY勢、さらにMONSTER EXPRESSを脱退した鷹木信悟とも結託した。
9月23日、正式に「VerserK」がユニットとして発足したと同時に、結託していたEitaを追放。自身初のヒールターンであり、目の周囲に黒いメイクを施し、両手を顔の前に掲げて「ヴェーー‼︎」と謎の奇声をあげ、不快さを振り撒くようになった。
11月1日、戸澤陽、谷嵜なおきとの3WAYマッチ（実質は戸澤vs谷嵜・Kotokaのハンディキャップマッチ）を反則技を多用して制し、自身初のタイトルとなるオープン・ザ・ブレイブゲート王座を戴冠した。12月にEitaの挑戦を退けたが、2016年3月にヨースケ♡サンタマリアに敗れて王座を失った。
2016年3月21日、谷嵜なおきがブレイブゲートに挑戦。しかしKotokaが放ったボックス攻撃が谷嵜に誤爆し、谷嵜がマリアに敗北。そして同じ日、ツインゲートを失った土井とYAMATOとトライアングルゲートに挑戦。しかし戸澤の高速ジャーマン・スープレックス・ホールドであっさり自分が敗北。土井とYAMATOはそれに怒りKotokaの髪を切り退場。土井・YAMATO・谷嵜とKotoka・鷹木の間に亀裂が走る（その後、サイバーも鷹木とKotokaの仲間になる）。
5月5日、愛知県体育館にて行われた問題龍を除くVerserK同門対決DEAD or ALIVE2016「マスカラ・コントラ・カベジェラ〜金網サバイバルダブルリスク6WAYマッチ」で、指定選手だった戸澤陽のリスクは解除したものの、金網に最後まで負け残り、自慢のレッドヘアーを刈り取られ丸坊主となる（なお、今回坊主となった選手は1年間丸坊主を維持しなければならないというルール）。そしてデビュー８年にして早くも２度目の丸坊主となった。
7月より長期欠場となっていたが、10月12日の後楽園ホール大会にDr.マッスルとして登場。第4試合のブレイブゲート選手権試合の最終盤に乱入し、エル・リンダマンにボックス攻撃を行い、リング下で奇妙なアクションを見せた後に逃走。さらにはメインイベントのVerserkとMonster Expressとの解散マッチの際にも乱入し、T-Hawkにカルデラを決め、正体をバラしたあげくに逃走した。10月23日のKBSホール大会にて、自分はVerserkであることをアピールするもT-Hawkらから追放される。追放後は無所属で活動。
2017年8月6日の大阪府立体育会館第2競技場大会では8人タッグマッチ～5ユニットサバイバルレース対象試合を行い、土井成樹、吉野正人、Ben-Kとの4人タッグで、堀口元気H.A.Gee.Mee!!、ジミー・ススム、斉藤"ジミー"了、ジミー・クネスJ.K.Sの4人タッグと対決。結果は17分55秒モモ☆ラッチでKotokaが堀口をフォールして勝利。
2018年1月28日、3月6日の後楽園ホール大会にて引退することを発表。
2018年3月6日後楽園ホール大会にて引退。4月には自身のYouTubeチャンネルを開設した。
2019年8月24日、大阪にてトレーニングジム「TRAINING GYM KICKY」をオープンした。同年10月14日、このジムは関西テレビ「よーいドン」のとなりの人間国宝さんのコーナーに登場し、人間国宝さん認定を受けた。
エピソード

藤波辰爾を尊敬しており、子供のころはプロレスのゲームで藤波を使用していた。
幼さの残る容姿のために、新井健一郎等からは「どう見ても女の子」と揶揄された。
WORLD-1内で特にB×Bハルクに気に入られており、入場時には一緒にダンスを披露していた。
2013年12月のブレイブゲート王座初挑戦が決まった際には、感極まって涙してしまい、王者の堀口に「泣くのはベルトを獲ってからにしろ」と注意された。
武勇伝にて佐藤光留と対戦時、佐藤のメイド服に対抗した衣装を着用し、佐藤に気に入られる。その後も武勇伝以外でも何度かメイド服姿で登場している。
kzyにタレント扱いされることを極端に嫌っている。
金網マッチでレッドヘアーを失ってからは入場時に赤いカツラを着用しており、試合中も外さない。しかし、得意の「ヴェーー！」のポーズをやってる隙に背後から対戦相手に取られる。また、そのカツラは意外と外れにくい。
2017年に実の弟である椎葉おうじが同じドラゴンゲートからデビューした。
タイトル歴

第28代オープン・ザ・ブレイブゲート王座
テレビ出演

おはよう朝日です（朝日放送、2010年4月5日 - ） - リポーター
ススメ

「ススメ」は、嘉門タツオ（発表当時名義・嘉門達夫）のシングル。1994年11月23日にビクターエンタテインメントから発売された。
概要

1994年に実施された月刊CD発売企画「MONTHLY TATSUO KAMON」（マンスリー タツオ カモン）のリリース計画第11弾として発表されたシングル曲である。大正製薬の「大正漢方胃腸薬」CMイメージソングであり、CMで使用されたものとは歌詞が大幅に改変されている。
収録曲

ススメ
大名行列
ススメ（オリジナル・カラオケ）
予告篇 chapter10
| 表 話  歴嘉門タツオ（笑福亭笑光・嘉門達夫） |
| --- | --- |
シングル:  1980年代： 寿限無No.1! - ヤンキーの兄ちゃんのうた - ゆけ!ゆけ!川口浩!! - アホが見るブタのケツ - 哀愁の黒乳首 - ユカイなモッコリ - タンバでルンバ - 小市民シリーズ - 結婚しようよ -彼女はもうすぐ26- 1990年代： タリラリラーン ロックンロール - FUTAMATA（女性編）〜アッシー君とツクシンボ〜 - 勝手にシンドバッド - やってミソ! - カラオケNo.1 - 替え唄メドレーシリーズ - 鼻から牛乳シリーズ - GO!GO!スクールメイツ - NIPPONのサザエさん - スモーキン・ブギ レディース - マーフィーの法則シリーズ - 君がいた季節 - WE ARE ROCKMAN - あわんあわん音頭 - アイしてりんこスキりんこ - サザン替え唄大メドレー - ネコニャンニャンニャン[達夫&伸郎バージョン] - ススメ - 怒りのグルーヴ 〜震災篇〜 - 激突!ハンバーガーショップ - ソリャニャーゼ セニョリータ - ワールドカップだぜぃ! - 男に逃げられた - 誰がそこまでガンバレ!言うた - ええ奴やんか 2000年代： それはまるで - ミレニアムの法則 - これは何かの陰謀だスペシャル - CHAU!CHAU!CHAU! - ガッツ石松伝説 - 夢・ドリーム - ひとりぼっちのクリスマス - 少年はいつの日もバカ! - ワリカンがイヤだって言ってるんじゃないのよ! - 働くオジサン宣言〜関白宣言〜 - 恋のチャルメラ ププッピ ドゥー! - あったらコワイセレナーデ〜ベスト・オブ・エロコワ〜/〜ベスト・オブ・最近〜 2010年代： さくら咲く - 風が吹いてる〜炭坑があった町〜 - 希望のマーチ - うな太郎の大冒険 - アホが見るブタのケツ〜ベスト〜 - アホが見るブタのケツ・2 - 笑う門には福来る - レッツゴー!ミナミ!/道頓堀へいらっしゃい!音頭 - だるまのオッサンの歌〜ソースの二度漬けは禁止やで〜 - マッシュルーム ラブ - 炎の麻婆豆腐 
アルバム:  1980年代： お調子者で行こう - 日常 〜COM'ON! 超B級娯楽音楽〜 - 小市民宣言 - 小市民大全集 - バルセロナ 1990年代： リゾート計画 - 宴 - 天賦の才能 - 怒濤の達人 - NIPPONの楽しみ - 娯楽の殿堂 - 伝家の宝刀 - Oh!My God - 壺 - 笑う女 - ジャングル ウッキー!! - お前はまちがっとる! 2000年代： かもたつ - 図星でしょ☆ - 劇的な日常 - 絶対キレイになってやる! - 症候群 - 達人伝説〜20周年記念アルバム〜 - 人類はいつの日もバカ! - 残念なお知らせ 〜世の独身女性に捧ぐ〜 - 元気が出るCD!! - 笑撃王 - アホダラ王国物語 - 言葉のチカラ! - 「これさえあればゴハン何杯でも食べられる」と言って2杯で限界になっているアナタへ - 帰ってイモ食うて屁こいて寝よ! 2010年代： GO!GO!COME ON!! - 食のワンダーランド〜食べることは生きること〜其の壱 - HEY!浄土〜生きてるうちが花なんだぜ〜 
ベストアルバム:  1980年代： エエトコドリ! - 嘉門達夫全曲集 1990年代： 嘉門達夫金色大全集 - THE BEST OF KAMON TATSUO - THE BEST OF KAMON TATSUO II - The Very Best Of KAEUTA MEDLEY 2000年代： 嘉門達夫シングルベストコレクション+1 1997-2001 - 嘉門達夫シングルベストコレクション+3 2002〜2004 - 嘉門達夫ゴールデン☆ベスト -オールシングルス&爆笑セレクション1983〜1989- - TATSUO KAMON 25th anniversary SELF COVER BEST! - 嘉門達夫豪華盤〜Columbia years〜 - 嘉門達夫ゴールデン☆ベスト〜BEST OF 替え唄&ヒットソングス1989-1996〜 2010年代： "笑い"のさくら咲く 〜ギャグセレクション〜 - "恋"のさくら咲く 〜恋愛セレクション〜 - "青春"のさくら咲く〜スクールセレクション〜 - ゴールデン☆ベスト〜怒濤のビクター編1989-1996〜 - 嘉門達夫BOX 怒濤のビクター・シングルス 
出演テレビ番組:  ぼくらは怪しいサラリーマン - 森田一義アワー 笑っていいとも! - 探偵!ナイトスクープ - SUPER WEEKEND LIVE 土曜深夜族 - ラジオDEごめん - 噂の!東京マガジン - 燃えてトライアル - ラジごめII金曜日の王様 - 嘉門達夫のお達者ワンダーランド - 第43回NHK紅白歌合戦 - 嘉門達夫のナリキン投稿天国 - 嘉門達夫の万能塾〜裏ナリ天〜/嘉門達夫・ファミリーギャングの裏ナリ天! - 嘉門達夫の生ネタ道場 - 関西魂 - ピラメキーノ/ピラメキーノ640 - ピカルの定理 - 朝生ワイド す・またん! 
出演ラジオ番組:  MBSヤングタウン - 鳥飼達夫と桂雀々のザ・フレッシュ - 嘉門達夫のMay I Help You? - 嘉門達夫のカラードレコード - カモン・コンピュート - カモンレッツゴー - ロッテヤンスタNo1 - カモン・ザ・ナイト 大江戸アドヴェンチャー - カモンアイドル - カモン・BaBeのハロームービー夢工場 - ウィークエンドパーティー - 嘉門達夫のオトコの目 - カモン!タツオ・ワールド・エンターテインメントショー - 爆裂スーパーファンタジー - 嘉門達夫のネットでごめん! - 嘉門達夫の万能塾 - カモン!EXPO大作戦!! - 嘉門達夫と上ちゃんのどんなんやねん!/嘉門達夫のどんなんやねん! - 上泉雄一のええなぁ! - 嘉門達夫のナゴヤ DE ゴメン! - Come On! カモン! カモン! 
レーベル:  日本コロムビア - ビクター音楽産業 - DAIPRO-X - クラッチ. 
所属事務所:  松竹芸能 - アミューズ - 代官山プロダクション - さくら咲く/クラッチ.（業務提携） 
共同作業者:  新田一郎 - 中町俊自 - 水戸華之介 - 工藤隆 
関連人物:  笑福亭鶴光 - 笑福亭學光 
関連項目:  Category:嘉門タツオの楽曲 - Category:嘉門タツオのアルバム - お笑い第二世代 - 松鶴一門 - コミックソング - 替え歌 - アンサーソング - CR嘉門達夫のたのしい昔話 - みんなの祭り 無礼講
河村又介

河村 又介（かわむら またすけ、1894年1月1日 ‐ 1979年1月4日）は、日本の法学者。東北帝国大学教授・九州帝国大学教授・最高裁判所裁判官を歴任。
人物

山口県出身。旧制第七高等学校造士館を経て、1919年、東京帝国大学法学部卒業（政治学科首席）。吉野作造の初代助手となる。在学中は新人会に属した。メンガーの「新国家論」を翻訳、出版した。1922年5月から1924年12月までイギリス、ドイツ、フランスの各国に留学。帰国後は東北帝国大学教授(法文学部)を経て1932年から九州帝国大学教授(法文学部)として、憲法講座を担当した。戦後の憲法改正作業のための松本委員会のメンバーとなる。
裁判官任命諮問委員会による諮問の結果、1947年8月に新憲法下の初代最高裁判所判事に就任。憲法については、「内容がよければいいではないか、というのは専制時代の善政主義に通じる功利主義ではないかと思う」と話す。
在任中は砂川事件、尊属傷害致死事件、八海事件、チャタレー事件、東大ポポロ事件、三鷹事件、東京都公安条例事件などにかかわった。
1949年1月23日の最高裁判所裁判官国民審査（初めて実施された最高裁裁判官国民審査）において、罷免を可とする票1,239,270票、罷免を可とする率4.10%で信任。1960年11月20日の最高裁判所裁判官国民審査において、罷免を可とする票3,210,672票、罷免を可とする率9.01%で信任。一人で2度国民審査を受けた最高裁判事は1960年の国民審査における河村を含む5名が初の事例である。
1963年12月31日に定年退官した。後に、毎日辞表を懐にしていつ辞めようかと思いながら務めていたと述懐していた。
憲法普及会編『新憲法抄』といった新憲法の解説書も書いた。
主な著作

『直接民主政治』（日本評論社、1934年）
『選挙法』（日本評論社、1937年）
『憲法改正の諸問題』（惇信堂、1946年）
『新憲法抄』（憲法普及会編、岡山県東京事務所、1947年）
『国民投票と国民審査』（時事通信社販売部、1948年）
『新憲法と民主主義』（国立書院、1948年）
『国民主権』（河出書房、1955年）
ジョージアの国名

ジョージアの国名（ジョージアのこくめい）では、南コーカサスにあり日本語でジョージア（英: Georgia [ˈdʒɔːrdʒə] ( 音声ファイル)）、またはグルジア（露: Грузия [ˈɡruzʲɪjə] ファイル:Ru-Грузия.ogg）と呼ばれている国家の名称について解説する。
英語圏で使われている同国の外名（エクソニム）である"Georgia"の語源は明らかではないが、ギリシア語起源説、キリスト教の聖人説、ペルシア語起源説などがあり、これらのいくつかが合わさった説もある。ジョージア国政府はラテン文字表記の"Georgia"を基準的な外名と定義しており、ロシア語由来（異説あり）とされる外名"Gruziya"（Грузия, グルジア）[疑問点]の使用を積極的に排除しようとしている。
内名

ジョージア国内で自国を指す内名（エンドニム）は、憲法第2条1項に定められたサカルトヴェロ（საქართველო  Sakartvelo [sakʰartʰvɛlɔ] ファイル:Sakartvelo.ogg）である。同国の多数民族を指す「カルトヴェリ」（kartvel-i）という語は元々グルジアの東部にあたる地域を統治したイベリア王国（コーカサス・イベリア）の中心であるカルトリ（英語版）地域に住む人を指すが、9世紀までに「カルトリ」という語は中世グルジアの全地域に住む人を指すようになった。また接周辞のsa- -oは「〜が住む場所」の意味であり、〜には民族名が入る。国名がカルトリに由来する原因としては、その時期にグルジアの政治実体と文化が芽生えはじめたことが考えられる。
サカルトヴェロという名前が初めて歴史書に現れるのは800年ごろジュアンシャル・ジュアンシェリアニ（英語版）が書いた『グルジア年代記（英語版）』である。その後200年間、サカルトヴェロの意味は徐々に変わり、1008年にバグラト3世（英語版）がアブハジア王国（英語版）とタオ＝クラルジェティ（英語版）を統一してグルジア王国を成立させると、サカルトヴェロは全グルジアを指すようになった。しかし、それが公的に使われるには13世紀までかかっている。
15世紀にグルジア王国が崩壊してイメレティ王国（英語版）、カヘティ王国（英語版）、カルトリ王国など3つの王国と5つの公国が成立しても、統一したグルジア国の記憶は人々の心に残った。そのため、この時期の王たちはグルジア王の称号を決して捨てなかった。18世紀の王族ヴァフシティ王子が書いた『グルジア王国の記述（英語版）』も統一グルジアを堅持した。彼の生きていた時代、グルジアは現実にはいくつかの王国と公国に分裂していたが、彼はそれらを1つの国として扱い歴史書に表現した。

他のカルトヴェリ語族の言語でも似たような表現が使われている。メグレル語ではსაქორთუო sakortuo、ラズ語ではოქორთურა okortura、スヴァン語ではსაქართველო sakartvelo、アブハズ語ではҚырҭтәыла Kyrţtwylaである。非カルトヴェリ語族の言語では、リトアニア語で2018年から従来の「グルジア」にあたる呼称の使用を取りやめて「サカルトヴェロ」に対応する呼称へ外名を変更することが発表されているが、それぞれ Gruzija（グルジヤ）、Sakartvelas（サカルトヴェラス）という呼称である。
諸言語の外名

カルトヴェリ語族以外の言語で外名として「#サカルトヴェロ」に由来する呼称を使用するのはエスペラントの"Kartvelio カルトヴェリーオ"などごく少数であり、他の言語では以下に挙げるような別系統の呼称が大部分を占めている。
国連公用6言語における外名は次の通りである。
| 言語名 | 表記（ローマ字転写） | 表記（ローマ字転写） | 国際発音記号 | （カナ転写） |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 英語 | Georgia | Georgia | [ʤɔːʤə] | （ジョージャ） |
| フランス語 | Géorgie | Géorgie | [ʒeɔʁʒi] | （ジェオルジ） |
| スペイン語 | Georgia | Georgia | [xeˈoɾxja] | （ヘオルヒア） |
| ロシア語 | Грузия | Gruziya | [ɡrˈuzʲɪjə] | （グルージヤ） |
| 中国語（簡体字） | 格鲁吉亚 | Gelujiya | [gélǔjíyà] | （クールーチーヤー） |
| アラビア語 | جورجيا | Jurjia | [dʒawrdʒaː] | （ジュルジア） |
諸言語の外名 > ジョージア（ゲオルギア）

ジョージア憲法の公式英語訳では、第1条3項の国名を定めた部分にსაქართველოをラテン文字表記で音韻転写した"Sakartvelo"ではなく英語圏で使用される外名の"Georgia"が当てられており、パスポートの表紙にも"Georgia"と大書されるなど事実上これが政府によって「基準的な外名」と定義されている。同じ"Georgia"の綴りでも、言語別の発音はラテン語で「ゲオルギア」、英語で「ジョージア」、スペイン語で「ヘオルヒア」、イタリア語で「ジョルジャ」、ルーマニア語で「ジョルジア」と異なる。この他、ラテン語の「ゲオルギア」と同系統とされるものには北ゲルマン語群の諸語で"Georgien"と表記する「ゲオルギエン」（ドイツ語やスウェーデン語など）、フランス語表記の"Géorgie"（「ジェオルジ」）、ポルトガル語表記の"Geórgia"（「ジオルジア」）などがある。これら西欧から北欧にわたる呼称の由来とされる「ゲオルギア」の語源は確実には定義されていないが、いくつかの説がある。
ジャック・ド・ヴィトリー（英語版）とフランツ・フェルディナント・フォン・トロイロハの説では、グルジアでテトリ・ギオルギ（英語版）（聖人）がよく知られていることから、これを語源としている。
ジャン・シャルダンなどが支持した説では「ゲオルギア」の語源をギリシア語のγεωργία （耕作）とγεωργία （農業）としている。この説を支持する証拠として、小プリニウスとポンポーニウス・メラ（英語版）の著作には「ゲオルギ」という農耕民族が登場する。この名付けの理由は、パンティカパエウム川の対岸にいる放牧民族との区別である。
「ゲオルギア」という語は11世紀または12世紀にペルシア語のgurğとgurğānに由来するという説もある。この2語は古代ペルシア語とパフラヴィー語のvrkānとwaručānからきている。その語源は不明だが、パフラヴィー語にはvarkâna（オオカミの地）という語があり、古アルメニア語のVirk（Վիրք）に連なる可能性もある。
Elguja Khintibidze などは#ギリシア語説とペルシア語説を相容れない2説とせずに「ゲオルギア」という名前はギリシア語とペルシア語の両方の影響が合わさったとしている。
英語圏では単に"Georgia"と呼称した場合、呼称の由来のみならず地理的・歴史的にも何ら関係のないアメリカ合衆国のジョージア州と混同されるおそれがあるため、特に国家の方をジョージア国（"Country of Georgia"）、アメリカの州をジョージア州（"State of Georgia"）と呼び分ける場合がある。
グルジア語（カルトリ語）におけるアメリカの州の呼称はჯორჯია Jorjiaである。1996年、ジョージア国首都のトビリシと姉妹都市関係にあるアトランタ（ジョージア州都）でオリンピック開会式が執り行われると、入場行進においてジョージア選手団が特に大きな歓声で迎えられたエピソードは広く知られている。
日本で英語名の"Japan"をカナ転写した「ジャパン」が頻繁に使用されるのと同様に、「ジョルジア」（ჯორჯია）は「英語風の自国の呼称」として意図的に使用される場合があり、たとえば航空会社のジョージアン・エアウェイズは英語名の音韻"Georgian Airways"を自国語に転写したブランド名ჯორჯიან ეარვეისი （ジョルジアン・エアルヴェイシ）を使用している。英語名の"Georgia"はロシア語への音韻転写も行われており、キリル文字ではДжорджия Dzhordzhiyaロシア語発音: [dʐˈordʐᵻjə]と表記される。例えばニュースサイトのシヴィル・ジョルジア（სივილ  ჯორჯია）はロシア語名を≪Сивил Грузия≫ではなく≪Сивил Джорджия≫としている。漢字文化圏では、台湾（中華民国）が英語名の"Georgia"を音訳し「喬治亞」と表記する。
諸言語の外名 > イベリア

「イベリア王国」を参照
イベリアの語源は、ギオルギ・メリキシヴィリ（英語版）の主張によるとアルメニア語のՎիրք（Virkʿ）、Իվիրք（Ivirkʿ）とԻվերք（Iverkʿ）にあり、これらは全てカルトヴェリ語族のSver（「グルジア人」）に連らなるものである。なお、Sver の頭文字S は接頭辞である。さらに、イヴァネ・ジャヴァヒシヴィリの主張によると、民族を指すSverの語源はHver（イベリア）と、アルメニア語でやはり「民族」を意味するVeriaおよびViriaにある。
ジョージア国のアルメニア語名はՎրաստան（Vrastan）およびՎիրք（Virkʿ、「イベリア」の意味）である。民族としてのグルジア人はアルメニア語ではՎրացիներ（Vratsʿiner）であり、これはそのまま「イベリア人」を意味する。