stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ロジスティック写像
振る舞い、パラメータ a による変化 > a > 4 のとき

パラメータ a が 4 を超えると、ロジスティック写像のグラフの頂点 a/4 は 1 を超える。グラフが 1 を突き抜けている範囲から、軌道は [0, 1] を抜け出せるようになる。その結果、[0, 1] のほとんどの全ての点から出発する軌道はどこかの時点で [0, 1] を抜け出し、最終的にマイナス無限大へ発散してしまう。
この a = 4 で起こる分岐もクライシスの一種で、とくに境界クライシスと呼ばれる。この場合の境界クライシスでは、[0, 1] にあったアトラクタが不安定化・崩壊し、なおかつ外側にアトラクタも存在しないため、軌道が無限遠へと発散してしまう。
一方で、a > 4 の条件下でも [0, 1] の中に留まり続ける軌道がある。分かりやすい例は [0, 1] 内の不動点や周期点で、これらは [0, 1] の中に留まり続ける。しかし、[0, 1] の中に留まり続ける軌道には、不動点や周期点以外の軌道も存在している。
f (x) > 1 を満たす x の区間を A0 とする。上記の通り、変数 xn が A0 に一旦入ると、マイナス無限大へ発散する。写像を1回適用すると A0 へ写る x も [0, 1] の中に存在している。この x の区間は2つに分かれており、それらをまとめて A1 とする。同じように、写像を1回適用すると A1 へ写る区間も4つ存在し、それらを A2 とする。以下同じように、n 回反復で A0 にたどり着く区間 An が 2n 個存在する。 したがって、次のように [0, 1] から An を無限回取り除いた区間 Λ が、I の中に留まり続ける軌道の集まりである。
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[0, 1] から An を取り除いていく作業は上述のカントール集合の構成過程に似ており、実際に Λ はカントール集合（閉で完全不連結で[0, 1] の完全部分集合）の形で [0, 1] の中に存在している。そしてさらに、Λ 上でロジスティック写像 fa>4 はカオス的である。
振る舞い、パラメータ a による変化 > a < 0 のとき

ロジスティック写像は生態学上のモデルとして研究された経緯もあり、パラメータ a が負の場合について論じられることは少ない。a を 0 から減少させていくと、−1 < a < 0 では xf = 0 の安定不動点に漸近するが、a = −1 を超えたところから2周期点に分岐し、正のときと同じく周期倍化分岐を経てカオスへ至る。最終的には、a = −2 を下回るとプラス無限大へ発散するようになる。
振る舞い、パラメータ a による変化 > 特別な場合の厳密解

パラメータ a が特定のロジスティック写像については、時刻 n と初期値 x0 を陽に含む厳密解が以下のように得られている。
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以上3つの厳密解を考察すると、いずれの解も
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という形になっている。ここで、f は何かしらの適当な関数、f −1 はその逆関数を意味する。a = 4 では f (x) = cos x、a = 2 では f (x) = e x、a = −2 では f (x) = 2 cos (1/3(π − √3 x)) である。ただし、任意の a について一般的にロジスティック写像の厳密解を表すことができるような、数学的に標準的な関数の f は存在しない。
普遍性 > 同種の振る舞いを示す写像のクラス

ロジスティック写像で現れた上記の分岐のパターンは、ロジスティック写像に限定されない。ある条件を満たした写像で、この分岐パターンが共通して現れる。次の正弦関数を使った力学系はその一例である。
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ここで、定義域は 0 ≤ b ≤ 1 かつ 0 ≤ x ≤ 1 とする。この正弦写像 (4-1) は、ロジスティック写像 (1-2) と定性的に同一の振る舞いを起こす。つまり、この写像でも、ロジスティック写像と同じようにパラメータ b の増加にともなって周期倍化ルートを経てカオスになり、さらにはカオス領域には窓が同じように存在している。
ロジスティック写像も正弦写像も区間 [0, 1] を [0, 1] へ写す1次元写像で、単峰と呼ばれる次の性質を満たしている。
f (0) = f (1) = 0 を満たす。
写像は可微分で、[0, 1] 中に f ′(c) = 0 を満たす臨界点 c が唯一存在する。
一般的に、1パラメータ・1変数のある1次元写像が単峰で、頂点近辺を2次の多項式で近似できるような曲線であれば、具体的な写像の形に依存せずに、パラメータ範囲 3 ≤ a ≤ 3.56994… で見たような無限の周期倍化カスケードの分岐が起き、 さらに式 (3-13) で定義される比率 δ はファイゲンバウム定数 4.669… に一致する。
また、ロジスティック写像で現れた安定周期軌道の出現パターンにも普遍性がある。パラメータを c として、xn+1 = cf(xn) で表される単峰な写像では、2つの不動点が不安定であるようなあるパラメータ区間で様々な周期の安定周期軌道が出現し続け、その出現パターン（ある周期の安定周期軌道の出現回数と出現順序）は共通であることが知られている。つまり、この種の写像であれば、写像の具体的な形によらずに安定周期軌道の系列は同じとなる。ロジスティック写像の場合は 3 < a < 4 がそのパラメータ区間であったが、正弦写像 (4-1) では 0.71… < b < 1 が共通する安定周期軌道の系列が起きるパラメータ区間である。この普遍性のある安定周期軌道の系列はU系列と呼ばれる。
加えて、ロジスティック写像は区間 [0, 1] 上でシュワルツ微分が常に負であるという性質を持つ。ある （C 3 級の）写像 f のシュワルツ微分とは、
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で定義される関数である。実際にロジスティック写像のシュワルツ微分を計算すると
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となり、a および x の値に依らずにシュワルツ微分は負となる。[0, 1] を [0, 1] へ写す1次元写像が単峰で負のシュワルツ微分を持てば、存在する安定周期軌道は多くても1つであるといった性質が知られる。
普遍性 > 位相共役な写像

記号 ∘ で写像の合成を表すとする。一般的に、位相空間 X, Y について、2つの写像 f : X → X と g : Y → Y が同相写像 h : X → Y によって
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という関係を持つとき、f と g は位相共役であるという。位相共役という概念は、力学系の研究上で重要な役割を果たす。位相共役な f と g は本質的に同一な振る舞いを示し、f の振る舞いが周期的であれば g も周期的であり、f の振る舞いがカオス的であれば g もカオス的である。
特に同相写像 h が線形であれば、f と g は線形共役であるという。全ての2次関数は他の全ての2次関数と線形共役にある。したがって、
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などは、任意のパラメータ a のロジスティック写像と線形共役である。式 (4-6) や式 (4-7) の形のものもロジスティック写像と呼ばれたりもする。特に式 (4-7) の形だと計算量が減るため、長時間を要する数値計算に向いている。
また、a = 4 のロジスティック写像 fa=4 は、次のテント写像 T (x) やベルヌーイシフト写像 B (x) と位相共役な関係にある。
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ロジスティック写像 fa=4 が厳密にカオス的であることの証明や、fa=4 の厳密解 (3-19) の導出に、これらの位相共役の関係を利用できる。
あるいは、記号力学系の考え方を導入して、上記で導入したような 0 と 1 の列から成る記号列空間上に定義される次のようなシフト写像 σ を考えるとする。
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ここで、si は 0 または 1 である。式 (3-18) で導入した集合 Λ 上で、ロジスティック写像 fa>4 はシフト写像と位相共役であるので、これを利用して Λ 上の fa>4 がカオス的であることを導ける。
生物個体数モデルとしてのロジスティック写像 > 離散型個体群モデル

ロジスティック写像は、イギリスの数理生物学者ロバート・メイの研究を発端にして、生物の個体数の変化を考える式として世に広まった。このような生物個体数としてのロジスティック写像では変数 xn は、ある環境中に生息する生き物の個体数（より専門的には個体群サイズ）を意味する。さらに、個体がその環境から出たり、外部の個体が環境に入ってきたりしない場合（あるいは移出入があっても実質的な影響がない場合）を想定しており、このような状況での個体数の増減を考える数理モデルが数理生物学上のロジスティック写像である。
生物の個体数の増殖を考える数理モデルには、差分方程式を使った離散的な時間のモデルと微分方程式を使った連続的な時間のモデルの2種類がある。例えば、卵を産むとすぐに死ぬような種類の昆虫では、その昆虫の個体数は、1世代目の個体数、2世代目個体数…というように各世代ごとに数えられる。このような例は、前者の離散時間モデルに適合する。一方で、各世代が連続的に重なり合っているような場合は、連続時間モデルと親和性がある。ロジスティック写像は、このような離散型あるいは世代分離型の個体群モデルに相当する。
ある環境中の単一種の生物の個体数を N で表すとする。もっとも単純な個体数の増殖の仕方として、個体数に対して常に一定の割合で増え続けるモデルが考えられる。そのような個体数増加モデルはマルサスモデルと呼ばれ、次のような形で表される。
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ここで、Nn は n 世代目の個体数を意味しており、α は個体数の増殖率で正の定数である。しかし、モデル (5-1) では個体数が無尽蔵に増え続け、ほとんどの実現象に対して非現実的なモデルといえる。ある環境が養える個体数には限度があるので、個体数 Nn が増えていくと増殖率 α は低下していくのが自然に思われる。このように個体数密度の変化によって増殖率が変化することを密度効果と呼ぶ。密度効果をモデル (5-1) に反映した改良モデルとして、もっとも単純なものとして次のような差分方程式が考えられる。
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ここで、a はその環境中で可能な最大増殖率を意味し、b は密度効果の影響の強さを意味している。モデル (5-2) は、増殖率が個体数に単純に比例して下がっていくと想定している。式 (5-2) の Nn を
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と変数変換すると、以下のロジスティック写像が導出される。
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生物の個体数として式 (5-2) あるいは式 (5-4) を扱う際には、Nn あるいは xn が負になると個体数としての意味を為さなくなる。そうならないために、初期値 x0 に対して 0 ≤ x0 ≤ 1 という条件が、パラメータ a に対して 0 ≤ a ≤ 4 という条件が要求される。
他には、想定している環境が養える最大の個体数 K を仮定し、これを使って
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という形で密度効果を取り込んだ差分方程式を考え、xn = Nn/K と変数変換してロジスティック写像を導くこともある。この場合、変数 xn は、最大個体数 K に対する個体数 Nn の比率を意味している。
生物個体数モデルとしてのロジスティック写像 > ロジスティック方程式の離散化

ロジスティック写像は、連続時間型の個体群モデルのロジスティック方程式の離散化からも導出できる。ロジスティック写像の名も、ロバート・メイがロジスティック方程式の離散化からロジスティック写像を導入したことに由来する。ロジスティック方程式とは、次のような生物個体数の時間変化を表す常微分方程式である。
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ここで、N は生物個体数や個体数密度、t は連続的な時間、K と r がパラメータである。K は環境収容力、 r は内的自然増加率とも呼ばれ、通常は正の値を取る。この式の左辺 dN/dt は時刻 t における個体群サイズの変化速度を意味している。
ロジスティック方程式 (5-6) は、ロジスティック写像 (5-4) と一見似ているが、解の振る舞いはロジスティック写像とは大きく異なる。初期値 N0 が正である限り、ロジスティック方程式の個体数 N は常に単調に K に収束するのみである。
このロジスティック方程式に、1階常微分方程式の数値解法の一つであるオイラー法による差分化近似を施すことによって、ロジスティック写像が導出できる。オイラー法の差分化近似とは、適当な時間間隔（時間刻み幅）Δt を導入し、増殖率 dN/dt を以下のように近似することである。
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この近似の結果、次のロジスティック写像が導かれる。
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ただし、この式の xn と a は、元のパラメータ、変数、時間刻み幅と次のような関係を持つ。
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Δt が十分小さければ、式 (5-8) は元の式 (5-6) の有効な近似として働き、Δt → 0では元の式の解と一致する。一方で、Δt が大きいと、元の式の解から外れていく。また、式 (5-10) の関係から、Δt を大きくすることはパラメータ a を大きくすることに相当する。よって、Δt を大きくするほど、元の方程式との誤差を単に大きくするだけでなく解にカオス的振る舞いを生み出すことになる。
生物個体数モデルとしてのロジスティック写像 > 位置付け

以上のように、生物の個体群動態論上では、ロジスティック写像は離散型増殖過程のモデルの一つである。ただし、生物の個体数のモデルとしてのロジスティック写像は、物理学の法則などとは異なり、直接的な実験結果や普遍的に成立する原理から導かれたものではない。導出過程の考え方にある程度の合理性はあるが、基本的には頭の中で考えられた「モデル」に留まる。ロジスティック写像を著名にしたメイも、論じているモデルが個体数の増減を正確に表現していると主張していたわけではない。生物個体群ダイナミクスの研究上も、歴史的に多用されてきたのは微分方程式による連続時間モデルであり、それら連続時間モデルの適用によって生物個体群ダイナミクスの理解を深めてきた。密度効果を考慮した離散時間個体群モデルとしても、個体数が負にならないリッカーモデルの方がより現実的と言える。
一般的に言えることとして、数理モデルは個体群ダイナミクスに関する重要な定性的情報を提供してくれることもあるが、実験的な裏付けがないのであれば、数理モデルから出てくる結果をあまり真剣に受け止めるべきではない。数理モデルの結論が生物学的研究結果から外れることがあっても、なおも数理モデルによる研究が有意義なのは、有用な対照となりうるからである。モデルの構成過程や設定、あるいはモデルが前提としていた生物学的な知見や仮説を見直すことにより、生物学的論点を提示できる可能性がある。生物個体数モデルとしてのロジスティック写像は単純過ぎて現実的ではないが、ロジスティック写像が示す結果は、環境からの不規則的な影響などに無関係に、個体群それ自体に内在するダイナミクスによって個体数の多様な変動が起こる可能性を示唆している。
応用 > 結合写像系

1変数のロジスティック写像は、系としての自由度あるいは次元は 1 である。一方で実際の自然界では、時間的に乱れるだけでなく、多数の空間自由度を持ち空間的にも乱れるような多自由度のカオスが多いと考えられる。あるいは、カオス的運動を行う振動子の同期現象も研究対象である。こういったものを調べるために、差分方程式（写像）を多数結合させる結合写像の手法がある。結合写像モデル研究の題材として、ロジスティック写像がしばしば採用される。その理由には、ロジスティック写像自体はすでにカオスの典型的モデルとしてよく調べられており、その蓄積があることが挙げられる。
結合写像モデルでの具体的な結合のさせ方には、様々な手法が存在する。全部で N 個の写像が結合し、i 番目の写像の時刻 n における状態が xn(i) で表されるとする。大域結合写像と呼ばれる手法では、xn+1(i) を次のように定式化する。
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結合振動子の研究の流れでは、次のように変数の差分で振動子2つ x と y を結合させた最も簡単な次のモデルなどが挙げられる。
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これらの式中の f (x) が、結合写像モデルに組み込む具体的な写像であり、ロジスティック写像が用いられる場合はここに適用される。
式 (6-1) および (6-2) 中の ε や D は結合係数などと呼ばれる、写像同士の結合の強さを意味するパラメータである。他方で、ロジスティック写像を結合写像モデルに組み込む場合、ロジスティック写像のパラメータ a はモデルの非線形性の強さを意味する。a の値と ε または D の値を変化させることで、ロジスティック写像の結合写像系では様々な現象が現れる。例えばモデル (6-2) では、D をある値 Dc  以上に大きくすると、x と y は同期しながらカオス振動を行う。Dc 未満でも常にバラバラのカオス振動が起こるだけでない。D がある範囲のときは、a = 4 であるにもかかわらず x と y は2周期振動を起こす。a = 3.8 では、同期状態と非同期状態が交互に起こり続けるような振る舞いも見られる。
大自由度の大域結合写像 (6-1) にロジスティック写像を適用した研究では、カオス的遍歴と呼ばれる現象も見つかっている。これはいくつかのクラスターでまとまって振動する秩序的な状態から乱れた状態になり、また別のクラスター状態になり、再度乱れた状態になり…、という振る舞いを繰り返す現象で、相空間上でアトラクタの残骸と言われるような領域を軌道が経巡ることで起こると考えられている。
応用 > 擬似乱数生成器

コンピューターシミュレーションや情報セキュリティ分野では、計算機で擬似乱数を作成することが重要な技術の一つで、擬似乱数を作る手法の一つとしてカオスの活用が考えられる。カオスからの擬似乱数生成器で十分な性能を持つものはまだ実現されていないが、これまでにいくつかの手法が提案されてきた。ロジスティック写像についても、これまでにカオスに基づく擬似乱数生成器の可能性が複数の研究者たちによって調べられてきている。
ロジスティック写像の擬似乱数生成には、パラメータ a = 4 がよく利用されている。歴史的にも、後述の通り、電子計算機の誕生から間もない1947年にスタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマンも a = 4 のロジスティック写像を使った擬似乱数生成器の可能性を指摘している。しかし、ロジスティック写像 fa=4 の点の分布は、式 (3-17) で示されるような分布になっており、出てくる数値が 0 と 1 の近くに偏る。そのため、偏りのない一様乱数を得るためには何らかの処理が必要となる。その方法としては、
得られた数値をテント写像 (4-8) との関係を用いて一様分布に変換する方法
得られた数値を上述のコイン投げの比喩のように閾値を使って 0 か 1 に変換し、これを繰り返して一様乱数のビット列を得る方法
などがある。また、ロジスティック写像で得られる数列の xn とxn+1 には強い相関があり、擬似乱数の数列としては問題となる。これを解消する方法の一つは、写像1回適用ごとの数列 x0, x1, x2, … を作るのではなく、適当な τ > 1 回反復ごとに数列 x0, xτ, x2τ, … を作る必要がある。例えば、1番の方法に対しては τ > 10 または τ > 13 で、2番の方法に対しては τ > 16 で良好な擬似乱数が得られるといわれる。
コンピュータを用いてデジタルにカオスを計算する一般的問題として、コンピュータでは有限計算精度で計算するため、カオス本来の真に非周期な数列を原理的に得ることができず代わりに有限の周期列が出力されるという問題点がある。原理的に非周期列が得られない場合であっても、擬似乱数生成のためにはできるだけ長い周期の数列が望ましい。しかし、単精度浮動小数点数計算でロジスティック写像 fa=4 が実際に出力する数列の周期性を調べた結果によると、割り当てられたビット数から可能な最大周期に比べて実際に出力される数列の周期はとても小さくなることが報告されており、この観点からメルセンヌ・ツイスタのような既存の擬似乱数生成器に比べてロジスティック写像による擬似乱数生成は劣ると指摘されている。また、ロジスティック写像 fa=4 では、計算途中で数値が不動点 0 に落ち入り、そのまま一定値になるおそれもある。一方で、ロジスティック写像では、開区間 (0, 1) の中で常に値を取るので、浮動小数点だけでなく固定小数点でも問題無く計算でき、固定小数点計算の利点を享受できる。固定小数点であれば、同じビット数で比較して浮動小数点よりも長い周期の数列になることや意図しない 0 への収束が無くせることが指摘されている。
応用 > 複素数への拡張

複素解析関数で定義された力学系も興味を持たれる対象である。その例が、次の2次関数で定義される力学系である。
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ただし、ここでのパラメータ c と変数 z は複素数である。この写像は、ロジスティック写像 (1-2) と基本的には同じものと言える。上記でも述べたとおり、写像 (6-3) は、線形関数によってロジスティック写像 (1-2) と位相共役な関係にある。
パラメータ c を固定し、初期値 z0 を変えながら写像 (6-3) の反復の行く末を計算したとき、n → ∞ でも zn が無限大へ発散しないような z0 の集まりを充填ジュリア集合という。さらに、充填ジュリア集合の境界をジュリア集合という。また、初期値を z0 = 0 に固定し、パラメータ c を変えながら写像 (6-3) の反復を計算したとき、 z が無限大へ発散しないような c の集まりをマンデルブロー集合という。写像 (6-3) のジュリア集合やマンデルブロー集合から、「神秘的に見える」「怪奇を極めている」などと形容されるフラクタル図形が生成される。
特にマンデルブロー集合では、図形の各円板はある周期の漸近安定な周期軌道の領域に相当する。ロジスティック写像の軌道図とマンデルブロー集合の図形を並べると、ロジスティック写像軌道図の漸近安定な不動点、周期倍化分岐、周期3の窓などがマンデルブロー集合図形と実軸上で対応していることが分かる。
応用 > 時間遅れを持つ場合

ロジスティック写像を生物の各世代の個体数を表すモデルと解釈すると、次の世代の個体数が現在の世代の個体数だけでなく、その1つ前の世代の個体数も現在の世代に影響する場合も考えられる。そのような例が
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という差分方程式で、1つ前の世代の個体数 xn−1 がマイナスの密度効果として式に取り込まれている。xn+1 = yn とおけば、式 (6-4) は次のような2変数差分方程式に置き換えられる。
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この力学系は準周期アトラクタの分岐の研究などに用いられ、遅延ロジスティック写像やディレイドロジスティックマップ（英語: delayed logistic map）と呼ばれる。遅延ロジスティック写像では a = 2 でネイマルク・サッカー分岐が起き、漸近安定な不動点が不安定になり、その不安定な不動点の周りに漸近安定な不変曲線ができる。
研究史 > カオス命名以前

写像の反復が力学系と関連する意味を持つ以前の時代、数学者のガストン・ジュリアとピエール・ファトゥが複素関数の反復について研究していた。ジュリアとファトゥの研究は解析関数を中心とした広範なものだったが、とくに式 (6-3) でも示した以下の複素2次関数の振る舞いが1920年代に彼らによって研究された。
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ジュリアとファトゥもジュリア集合の中にカオス的振る舞いを理解していたが、当時はコンピュータ・グラフィックスなども無かったこともあって、彼らに続く人物が現れず研究は止まってしまった。その後1970年代後半まで複素力学系の研究は下火が続き、複素平面上の写像が示す豊かな力学系的振る舞いが着目されるのはベノワ・マンデルブロなどの登場を待つことになる。
1947年、数学者のスタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマンは “On combination of stochastic and deterministic processes”（参考訳：確率論的過程と決定論的過程の結合に関して）と題した短いレポートで、
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という2次関数の反復合成によって疑似乱数を生成できることを指摘している。この式は、現在的な視点では a = 4 のロジスティック写像に相当する。この当時、「カオス」という言葉もまだ使われていないが、ウラムとフォン・ノイマンは非線形関数による複雑な数列の生成にすでに注目していたといえる。また、ウラムとフォン・ノイマンのレポートでは、写像 (7-2) とテント写像が位相共役の関係にあることや、この写像の数列の不変測度が式 (3-17)  で与えられることも明らかにした。
その後、任意のパラメータ a を備えた形式の2次写像についても、詳細な調査がいくつかあった。1958年から1963年にかけて、フィンランドの数学者ペッカ・ミュルバーク（フィンランド語版） は、λ をパラメータとする
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という形式の2次写像の分岐現象を調べた。この一連の研究は力学系として本質的なもので、ミュルバークは、この写像の周期倍加分岐カスケードを調査して集積点 λ = 1.401155189… の存在も示している。他には、1964年のソビエトのオレクサンドル・シャルコフスキー（ウクライナ語版）、1969年のフランスのイーゴリ・グモウスキーとクリスチャン・ミラ 、1973年のニコラス・メトロポリス（英語版）らの仕事などが、ロジスティック写像のような単純な1変数差分方程式の異常な振る舞いを明らかにしている。
研究史 > ロバート・メイの研究

その後1970年初頭に、数理生物学者のロバート・メイが、生態学の問題に取り組む過程で式 (1-2) のモデルに出会う。メイはロジスティック方程式の離散時間化から式 (1-2) すなわちロジスティック写像を導入した。ロジスティック写像の振る舞いを数理的に解析し、メイは1973年や1974年にその成果を発表した。ロジスティック写像の数値実験が行われ、パラメータ a による振る舞いの変化が調べられた。1976年には、”Simple mathematical models with very complicated dynamics”（参考訳：極めて複雑な振る舞いを有する単純な数理モデル）と題した論文を Nature から発表した。
1976年の論文はレビュー論文で、ロジスティック写像を題材にしながら、単純な非線形関数でも周期倍化分岐カスケードやカオスのような非常に複雑な振る舞いが起こることについて強調し、注意を促す内容であった。特にこの論文は、メイの数理生物学者としての地位、研究結果の明快さ、そして何よりも単純な放物線の式が驚くべき複雑な振る舞いを生み出すという衝撃的な内容によって、大きな反響を巻き起こして科学界へと受け入れられた。このようなメイの研究を経て、ロジスティック写像は多くの研究者をカオス研究へ惹きつけ、カオス研究の流れを改めて再スタートさせたと評されるほど著名な数理モデルとなった。
研究史 > メイの研究以後

メイは、ティェンイェン・リー（英語版）とジェームズ・ヨーク（英語版）が論文 ”Period three implies chaos”（参考訳：3周期はカオスを意味する）で使った「カオス」という表現を積極的に用い、この論文にも注目を集めた。異論もあるが、このリーとヨークの論文は「カオス」という語を数学用語として最初に使ったと考えられており、同論文によって決定論的な無秩序的振る舞いを指す用語「カオス」が生まれたとされる。リーとヨークは、1973年に同論文を一旦完成させたが、The American Mathematical Monthly（英語版） に投稿したところ研究色が強過ぎるので分かりやすく大幅に書き直すように告げられ、掲載を却下された。その後、論文は書き直されることなく放っておかれていた。しかし、翌1974年にリーとヨークが居たメリーランド大学にメイが特別招待講義にやってきて、ロジスティック写像の話をした。当時、メイは、ロジスティック写像のカオス領域で何が起きているのかまだ理解できていなかったが、リーとヨークもまた、ロジスティック写像の周期倍化カスケードについて知らなかった。メイの話に興奮したリーとヨークは、講義後にメイを捕まえて2人が得た結果の話をし、メイもその結果に驚いた。すぐにリーとヨークは却下された論文を書き直して、再提出された論文は1975年に出版された。
また1975年頃、数理物理学者のミッチェル・ファイゲンバウムは、ロジスティック写像の周期倍化カスケードに注目すると、分岐値が等比級数的に収束するスケーリングの法則に気づき、今ではファイゲンバウム定数と呼ばれる定数の存在を数値実験から発見した。メイもジョージ・オスター（英語版）とともにそのスケーリング則に気づいていたが、深く追うことまではできなかった。ファイゲンバウムは、式 (4-1) で示した正弦写像でも同じ定数が現れることを発見し、このスケーリング則にはロジスティック写像だけに留まらない普遍性があることを知った。1980年には、この結果に対する厳密な証明がピエール・コレ（英語版）、ジャン＝ピエール・エックマン（英語版）、オスカー・ランフォード（英語版）らによって与えられた。ファイゲンバウムとほぼ同時期あるいはその後、物理学者たちによって実現象に同じ周期倍化カスケードとファイゲンバウム定数が発見され、あくまでも数学的現象と見られていたカオスは物理学方面にも大きな衝撃を与えることとなる。
ただし、カオス流行以前の研究成果が軽視され、それらの研究成果の多くまでもがロジスティック写像などを用いた再発見者の功績扱いされる風潮への批判もある。メイ自身も先行研究があったことを尊重した上で、自身の功績は「2次写像の奇怪な数学的挙動を独立に最初に発見」したのではなく、自分は「科学におけるその広範な意味づけを最後に強調した研究者たち」の一人であると位置付けている。数学者のロバート・デバニー（英語版）は、自著でロジスティック写像の解説に入る前に次のように語っている。
これにより、単に2次関数 fλ(x) = λx(1 − x)（これもまたロジスティック写像と呼ばれる）を反復すれば、最初の個体数 x0 の運命が予測できるようになるというわけだ。簡単な話のように聞こえるだろうが、あえて言い添えておくならば、この単純な2次関数の反復が完全に理解できるようになったのは、何百人もの数学者の努力の末、やっと1990年代の終わり頃になってからのことなのである。
ONE OK ROCK

| ONE OK ROCK |
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 ブダペスト公演にて（2019年5月19日）
基本情報
出身地:   日本 東京都
ジャンル:  オルタナティヴ・ロック エモ ポップ・パンク ポスト・ハードコア パワー・ポップ
活動期間:  2005年 -
レーベル:    A-Sketch WMJ   ワーナー・ブラザース フュエルド・バイ・ラーメン 
事務所:   アミューズ（2005年 - 2021年3月31日）  株式会社10969（2021年4月1日 - ） 
公式サイト:  ONE OK ROCK official website

メンバー:   Taka（ボーカル）  Toru（ギター）  Ryota（ベース）  Tomoya（ドラムス） 

旧メンバー:   You（ドラムス）  Alex（ギター） 
 YouTube
チャンネル:   ONE OK ROCK 
活動期間:  2011年 -
ジャンル:  音楽
登録者数:  480万人
総再生回数:  18億4345万6685回
チャンネル登録者数・総再生回数は 000000002023-09-17-00002023年9月17日時点。
ONE OK ROCK（ワンオクロック）は、日本のロックバンド。所属事務所は株式会社10969（2021年4月1日にアミューズから独立）。レーベルは日本国内ではワーナーミュージック・ジャパン、海外ではフュエルド・バイ・ラーメン。略称は「ワンオク」。
バンド名「ONE OK ROCK」

「ワン オク ロック」と読むが、英語インタビューされた場合は「ワン・オウケイ・ラック」と言っている。
料金安価な深夜パックの毎週末・午前1時（one o'clock）に練習スタジオ入りしている結成当時に、o'clock部分をOKとROCKに置き換え「ひとつの良いロック」にかけて「ONE OK ROCK」と命名。
メンバー > Taka

→詳細は「Taka (ONE OK ROCKのメンバー)」を参照
Taka（タカ、本名：森内貴寛（もりうち たかひろ）、1988年4月17日 - ）。東京都出身。ボーカル担当。
メンバー > Toru

→詳細は「en:Toru Yamashita」を参照
| Toru |
| --- | --- |
 2019年撮影
基本情報
出生名:  山下亨
生誕:   (1988-12-07) 1988年12月7日（36歳）
出身地:   日本 大阪府
学歴:  堀越高等学校卒業
ジャンル:  ロック
職業:  ギタリスト
担当楽器:  ボーカル ギター
活動期間:  2005年 - 現在
レーベル:    A-Sketch（2007年4月25日 - 現在）   ワーナー・ブラザース・レコード（2015年9月25日 - 現在） 
事務所:   アミューズ（2005年 - 2021年3月31日）  株式会社10969（2021年4月1日 - ） 
共同作業者:  ONE OK ROCK
公式サイト:  ONE OK ROCK オフィシャルウェブサイト
Toru（トオル、本名：山下亨（やました とおる）、1988年12月7日 - ）。大阪府出身。ギターを担当。
バンドのリーダー。5人編成時代はサイドギター&ヴォーカルだったが、Alex脱退後に4人編成となったのを機にリードギターとなる。初期はラップも担当していた。作曲のほか、「努努-ゆめゆめ-」などでは作詞も行っている。
両親と6歳年上の兄との4人家族。
2021年12月28日、女優の大政絢と結婚したことを自身のインスタグラムで発表した。交際発覚は2021年1月1日。
2025年1月9日、女優で妻の大政絢が自身のインスタグラムを通じて、夫婦間で第一子を授かったことを発表した。
メンバー > Toru > 経歴 > 幼少期

小学校3年生の時に習い始めたダンス教室（Caless Vocal & Dance School）で1学年下のRyotaと出会う。2年後、ToruとRyotaを含む男子4人が選抜され、HEADSというキッズストリートダンスチームが作られ、週末ごとに新幹線で上京し、歩行者天国などでパフォーマンスを行うようになる。
小学生のときにDragon Ashのライブを見る機会があり、Kjに「俺も大人になったらバンドやる」と話している。後年、ONE OK ROCKのToruとして再会し、その時の小学生だと知ったKjを驚かせた。
メンバー > Toru > 経歴 > バンド時代

所属事務所はアミューズで、小6の夏にはCDデビューも果たし、メディアにも登場していたが、事務所の勧めで中3で上京してまもなく、レコード会社に契約を打ち切られてしまう。
そんな時にマネージャーからロックを聴かされ、RIZEのライブなどに頻繁に出向くようになり、2005年（高2）の4月、Ryotaをベースに、同級生のYouをドラムに、上級生のAlexをリードギターに、自らはサイドギターとヴォーカルを担当しバンドを結成。同時期、友人を介してTakaのライブを見に行き、その声と歌唱力に圧倒されその場でメインヴォーカルに勧誘。強引に了解を取り付け、5人編成となって本格的にバンド活動を開始する。
バンド結成当時は、Takaとともにライブハウスに売り込みに行っても以前の経歴による偏見などから断られることも多かったが、バンドを急成長させるためできる限りライブの予定を入れ（結成から1年半の間に40本弱）、前日にはメンバー一人一人に長文の熱いメールを送っていた。
メンバー > Toru > 人物

アヴリル・ラヴィーンの大ファンで、アヴリル来日時にバンドでの対談が実現した。
公式サイトでダイアリーが連載されていた当時、Tomoyaに「兄さん」と書かれたことがあり、以降ファンの間での通称のひとつとなった。またTakaからは「Toruさん」と、さん付けで呼ばれることが多い。
メンバー4人中、唯一タトゥーを入れていない。
連続テレビドラマ『Sh15uya』（2005年1月 - 3月、テレビ朝日） - リュウゴ 役
『仮面ライダー響鬼』（2005年1月 - 2006年1月、テレビ朝日） - 京介の前の学校の知り合いA 役
メンバー > Toru > 使用ギター

PRS Custom24 10top
PRS Custom22 20th anniversary
PRS McCarty
PRS McCarty Artist package
PRS McCarty Singlecut 594 Private Stock
PRS McCarty Limited Edition
PRS SCJ Thinline McCarty
PRS Original TTR
PRS Silver Sky
PRS S2 Custom24 Egypitan Gold
Gibson Les Paul
Gibson Les Paul Custom
Fender Stratocaster
Fender Jazzmaster
メンバー > Ryota

→詳細は「en:Ryota Kohama」を参照
| Ryota |
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 2019年撮影
基本情報
出生名:  小浜良太
生誕:   (1989-09-04) 1989年9月4日（35歳）
出身地:   日本 大阪府
学歴:  堀越高等学校卒業
ジャンル:  ロック
職業:  ベーシスト
担当楽器:  ベース
活動期間:  2005年 - 現在
レーベル:    A-Sketch（2007年4月25日 - 現在）   ワーナー・ブラザース・レコード（2015年9月25日 - 現在） 
事務所:   アミューズ（2005年 - 2021年3月31日）  株式会社10969（2021年4月1日 - ） 
共同作業者:  ONE OK ROCK
公式サイト:  ONE OK ROCK オフィシャルウェブサイト
Ryota（リョウタ、本名：小浜良太（こはま りょうた）、1989年9月4日 - ）。大阪府出身。ベースを担当。
両親と3歳年上の姉の4人家族。
メンバー > Ryota > 経歴 > 幼少期

姉が通っていたCaless Vocal & Dance Schoolに、幼稚園年長から参加。
小学2年の時に、一学年上のToruが同ダンススクールに入ってきて、その後ともに四人組ダンス＆ラップユニットHEADSのメンバーに選抜される。
中学生まではダンス漬けの毎日で、毎週末、大阪から新幹線で上京して表参道などでHEADSとしてパフォーマンスしていた。
Ryota個人としては1996年 全日本ストリートダンスコンテスト西日本地区大会3位、大阪マリンフェスティバルダンスコンテスト優勝、1997年 ヤマハティーンズフェスティバル特別賞・パフォーマンス賞 を受賞。
HEADSとしても1999年 にATCオズダンスコンテストで優勝した。
メンバー > Ryota > 経歴 > バンド時代

小6でCDデビューし、中2の時メンバー全員で上京しアミューズの寮に入るが、まもなくHEADSは活動休止に入り、その後解散。一年後、新たに6人のダンスチームに再編成されて、RyotaもToruもそこに組み込まれてしまう。しかしすでにバンドに気持ちが移っていたToruから、グッド・シャーロットやバステッドなどを勧められ、バンドに誘われ、ベースを渡される。
バンドには全く関心がなかったが、ここまでずっと一緒にやってきたToruが言うならやってみようと、Toruと一緒にいたい一心から一大決心。Toruと費用を出し合い録音機材を購入し、木村和夫に師事しベースの練習をはじめた。
バンド結成当初はメンバー中最年少だったために自分の気持ちを抑え込みがちで、ベースを続ける意味もわからなくなり行き詰まったが、Toruにレッド・ホット・チリ・ペッパーズを教えられ、フリーのベーススタイルに開眼して、ベースが好きになった。またTakaはじめメンバーに励まされ、Tomoyaの加入でバンドにも馴染んで、バンドのムードメーカー的存在に。
メンバー > Ryota > 人物

GLAYのJIROに憧れていて、立っているだけでカッコいい、存在感のあるベーシストを目指している。
Takaのことは苗字からとって「森ちゃん」と、Tomoyaのことは「ともくん」と呼んでいる。
メンバーの中で一番運動神経が良く、バック転やバック宙、リフティング、アクロバットができる。
ライブでは頻繁に上半身裸になっている。
Taka曰く、「超ピュアで人として何の汚れもない。尊敬できるところがたくさんある。彼を見てると、辛い事や嫌な事が軽くなる。僕にとって空気清浄機のような存在」。
2017年2月19日、「ONE OK ROCK 2017 "Ambitions" JAPAN TOUR」の初日公演で、アヴリル・ラヴィーンの実妹であるミシェルと結婚した事を発表。
2017年10月22日、第1子女児の誕生を報告。
メンバー > Tomoya

→詳細は「en:Tomoya Kanki」を参照
| Tomoya |
| --- | --- |
 2019年撮影
基本情報
出生名:  神吉智也
生誕:   (1987-06-27) 1987年6月27日（37歳）
出身地:   日本 兵庫県高砂市
学歴:  専門学校ESPミュージカルアカデミー卒業
ジャンル:  ロック
職業:  ドラマー
担当楽器:  ドラムス
活動期間:  2007年 - 現在
レーベル:    A-Sketch（2007年4月25日 - 現在）   ワーナー・ブラザース・レコード（2015年9月25日 - 現在） 
事務所:   アミューズ（2005年 - 2021年3月31日）  株式会社10969（2021年4月1日 - ） 
共同作業者:  ONE OK ROCK
公式サイト:  ONE OK ROCK オフィシャルウェブサイト
Tomoya（トモヤ、本名：神吉智也（かんき ともや）、1987年6月27日 - ）。兵庫県高砂市荒井町出身。ドラムスを担当。
両親と、3歳上の兄と3歳下の妹がいる。
メンバー > Tomoya > 経歴 > 幼少期

中学で吹奏楽部に入り、打楽器全般をマスター。メトロノームにはまり、朝練で机にゴムパッドを敷いてメトロノームを前にひたすら叩き、昼休みにまた叩く、といった修行のような基礎練習を自らに課し、日々励んでいた。
メンバー > Tomoya > 経歴 > バンド時代

高砂市立荒井中学校時代は成績が良く、生徒会で書記もしていた。進学校の兵庫県立加古川西高等学校に進むが、中学時代の友人に誘われ、バンド「マリオネットキング」に加入、卒業後は上京して音楽の専門学校に行くと決め、そこからは全く勉強をしなくなった。
入学した音楽の専門学校ESPミュージカルアカデミーで、バンドマンでもあった講師から「先日対バンしたバンドがドラマーを捜している。今凄く頑張ってるやつらだから一度会ってみてはどうか」と勧められ、サポート期間を経てメジャーデビューの1ヶ月前に正式に加入。
メンバー > Tomoya > 人物

緻密さと同時にダイナミックなグルーブ感も持ち合わせ、感情的で地音の大きなドラミングは評価が高い。Taka曰く「うちのドラマーは天才」。
日本で一番好きなドラマーはPay money To my PainのZAX。一打に命を賭け、魂を削って叩いている感じに感動した。
UNISON SQUARE GARDENの鈴木貴雄や凛として時雨のピエール中野、RADWIMPSの山口智史など、様々なバンドのドラマーと仲が良い。
自他ともに認めるドMで、ドキュメンタリー映画『FOOL COOL ROCK! ONE OK ROCK DOCUMENTARY FILM』では自らイジられに行ってる場面も。本人は「最年長だからイジられてあげてるだけ」と言っているが、実は空気を緩和する役割を買って出ている節もあることを、同映画の監督である中野裕之が証言している。
卓球、野球、テニスなど球技全般が得意。また、2013年には42.195kmのフルマラソンを4時間半で完走した。
2021年3月26日、第3子誕生を自身のInstagramで報告。
同年12月22日、自身のYouTubeチャンネル「TOMOYA STUDIO」を開設。セルフカバー動画と、その解説の動画を投稿している。
メンバー > 旧メンバー

You（ユウ）（2006年7月1日脱退） - Drums。現在は本名の小柳友名義で俳優として活動。著名な家族 としてBro.TOM（ブラザー・トム）（父）、小柳心（兄）がいる。バンド名の名付け親である。
Alex（アレク）（2009年5月13日脱退） - Guitar。ファッションモデルとしても活動していた。主にリードギターを担当。現在はカメラマン。赤のGibson sgを使っていた。
ディスコグラフィ

| リリースリスト |
| --- | --- | --- |
| ↙スタジオ・アルバム | 10 |  |
| ↙EP | 2 |  |
| ↙シングル | 10 |  |
| ↙映像作品 | 15 |  |
| ↙ミュージック・ビデオ | 28 |  |
| ↙配信限定シングル | 14 |  |
| ↙参加作品 | 5 |  |
| ↙北米盤・アルバム | 4 |  |
「最高位」は、オリコンの各規格の週間ランキングに基づく。映像作品は総合ランキングとする。配信曲はiTunesの週間ランキングとする。海外盤はUSビルボードTOP200に基づく。
ディスコグラフィ > シングル > CDシングル

|   | 発売日 | タイトル | 最高位 | 収録アルバム |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 自主製作 | 2005年12月21日 | Do you know a Christmas? もしも太陽がなくなったとしたら・・・  Do you know a Christmas? |  | ONE OK ROCK |
| 1st | 2007年4月25日 | 内秘心書 | 48 | ゼイタクビョウ |
| 2nd | 2007年7月25日 | 努努-ゆめゆめ- | 43 | ゼイタクビョウ |
| 3rd | 2007年10月24日 | エトセトラ | 29 | ゼイタクビョウ |
| 4th | 2010年2月3日 | 完全感覚Dreamer | 9 | Nicheシンドローム |
| 5th | 2011年2月16日 | アンサイズニア | 6 | 残響リファレンス |
| 6th | 2011年7月20日 | Re:make/NO SCARED | 6 | 残響リファレンス |
| 7th | 2012年8月22日 | The Beginning | 5 | 人生×僕= |
| 8th | 2013年1月9日 | Deeper Deeper/Nothing Helps | 2 | 人生×僕= |
| 9th | 2014年7月30日 | Mighty Long Fall/Decision | 2 | 35xxxv |
ディスコグラフィ > シングル > 配信限定シングル

|   | 配信日 | タイトル | 備考 | 規格 | 最高位 | 収録アルバム |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1st | 2012年12月15日 | the same as... | ショウゲート配給映画「グッモーエビアン!」主題歌 映画公開日の2012年12月15日にiTunes Storeにて一日限定配信 | デジタル・ダウンロード | 0 | 人生×僕= |
| 2nd | 2015年10月2日 | The Way Back –Japanese Ver.- | アルバム「35xxxv Deluxe Edition」収録曲の日本語バージョン | デジタル・ダウンロード | 01 |  |
| 3rd | 2016年3月11日 | Always coming back | docomoCMタイアップ曲。 | デジタル・ダウンロード | 01 | Ambitions(日本版) |
| 4th | 2016年9月16日 | Taking Off | ワーナー・ブラザーズ配給映画「ミュージアム」主題歌  | デジタル・ダウンロード | 01 | Ambitions |
| 5th | 2018年2月16日 | Change | Honda企業広告「Go, Vantage Point.」第2弾CM「HondaJet」タイアップ曲  | デジタル・ダウンロード | 01 | Eye of the Storm |
| 6th | 2021年4月16日 | Renegades | 『るろうに剣心 最終章 The Final』主題歌 | デジタル・ダウンロード | 01 | Luxury Disease |
| 7th | 2021年5月28日 | Broken Heart of Gold | 『るろうに剣心 最終章 The Beginning』主題歌 | デジタル・ダウンロード | 05 | Luxury Disease |
| 8th | 2021年10月22日 | Wonder | 2020年開催「ONE OK ROCK2020“Field of Wonder”at Stadium Live Streaming」にて初披露 | デジタル・ダウンロード | 0 | Luxury Disease |
| 9th | 2022年6月24日 | Save Yourself | セイコー・プロスペックスのCMタイアップ曲。 | デジタル・ダウンロード | 0 3 | Luxury Disease |
| 10th | 2022年9月5日 | Vandalize (Sonic Frontiers) | ソニックフロンティアのエンディングテーマソングに起用。アルバム収録版と歌詞が一部変更されている。 | デジタル・ダウンロード | 0 |  |
| 11th | 2023年8月25日 | Make It Out Alive | Monster Hunter Nowのタイアップ曲。  | デジタル・ダウンロード | 0 |  |
| 12th | 2024年7月12日 | Delusion:All | 『キングダム 大将軍の帰還』主題歌 | デジタル・ダウンロード | 0 | DETOX |
| 13th | 2024年10月25日 | Dystopia | 日テレ「news zero」EDテーマ | デジタル・ダウンロード |  | DETOX |
| 14th | 2024年12月6日 | ＋Matter | PREMONITION WORLD TOUR 2024にて新曲として披露された。 | デジタル・ダウンロード |  | DETOX |
| 15th | 2025年1月19日 | Puppets Can’t Control You | TBSテレビ系日曜劇場「御上先生」主題歌 | デジタル・ダウンロード |  | DETOX |
ディスコグラフィ > シングル > 会場限定販売シングル

| 発売日 | タイトル | 備考 |
| --- | --- | --- |
| 2017年2月9日 | Skyfall | 「ONE OK ROCK 2017 “Ambitions” JAPAN TOUR」での会場限定販売  全3曲  Skyfall  Right by your side  Manhattan Beach |
ディスコグラフィ > アルバム > オリジナル・アルバム

|   | 発売日 | タイトル | 最高位 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1st | 2007年11月21日 | ゼイタクビョウ | 15 |
| 2nd | 2008年5月28日 | BEAM OF LIGHT | 17 |
| 3rd | 2008年11月12日 | 感情エフェクト | 13 |
| 4th | 2010年6月9日 | Nicheシンドローム | 4 |
| 5th | 2011年10月5日 | 残響リファレンス | 2 |
| 6th | 2013年3月6日 | 人生×僕= | 2 |
| 7th | 2015年2月11日 | 35xxxv | 1 |
| 8th | 2017年1月11日 | Ambitions | 1 |
| 9th | 2019年2月13日 | Eye of the Storm | 1 |
| 10th | 2022年9月9日 | Luxury Disease | 1 |
| 11th | 2025年2月21日 | DETOX | 1 |
ディスコグラフィ > アルバム > ミニ・アルバム

発売当時所属のレーベルは「zumania」
現在は廃盤。
|   | 発売日 | タイトル | 規格品番 | 収録曲 | 備考 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1st | 2006年7月26日 | ONE OK ROCK | AZCL-10003 |  もしも太陽がなくなったとしたら  日常エボリューション  You've Broken My Heart  ROSE BLOOD |  |
| 2nd | 2006年12月16日 | Keep it real | AZCL-10006 |  Keep it real  辛い+一＝幸せ  P.P.S.H.  And I Know | 最高102位（オリコン・シングル扱い） 登場回数10回（オリコン） |
ディスコグラフィ > アルバム > 北米盤・アルバム

レーベルはワーナー・ブラザース・レコード。2枚目からフュエルド・バイ・ラーメン
|   | 発売日 | タイトル | 最高位 日本 | 最高位 北米 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1st | 2015年9月25日 | 35xxxv (Deluxe Edition) | 3 |  |
| 2nd | 2017年1月13日 | Ambitions (International Version) | 3 | 106 |
| 3rd | 2019年2月15日 | Eye of the Storm (International Version) | 3 |  |
| 4th | 2022年9月9日 | Luxury Disease (International Version) | 7 |  |
| 5th | 2025年2月21日 | DETOX (International Version) |  |  |