平面三項環
射影平面との関係

「de:Klassifikation projektiver Ebenen#Ternärverknüpfung und Geradendarstellung」も参照
平面三項環 (R, T) が与えられたとき、点集合 P と直線集合 L を以下のように与えて射影平面を構成することができる: （∞ は R に属さない余分の記号であることに注意）
P=\{(a,b)\mid a,b\in R\}\cup \{(a)\mid a\in R\}\cup \{(\infty )\},
L=\{[a,b]\mid a,b\in R\}\cup \{[a]\mid a\in R\}\cup \{[\infty ]\}.
直観的には、(a, b) は座標 a, b を持つ点、(a) は傾き a の原点 (0, 0) を出る直線（軸）上の無限遠直線上にある端点、(∞) は無限遠直線上の端点の一方（もう一方は (0)）であり、また [a, b] は (a) と (0, b) を結ぶ直線、[a] は傾き a の軸、[∞] は無限遠直線である。
射影平面の接続関係 I は以下のように与えられる:
任意の射影平面は適当な平面三項環からこの方法で構成することができる。ただし二つの同型でない平面三項環から同型な射影平面が導かれることもある。
逆に任意の射影平面 π から、どの三点も同一直線上にない四点 O, E, U, V を選び出して、 O = (0, 0), E = (1, 1), V = (∞), V = (0) となるような座標を導入することができて、このとき三項演算は（∞ 以外の）座標の関係式として y = T(x, a, b) となるための必要十分条件を、点 (x,y) が無限遠点 (a) から (0, b) へ結んだ直線上にあることと定めることで得られる。射影平面を定義する公理系はこれが平面三項環を与えることを示すのに用いられる。
平面三項系が線型であることは、この付随する射影平面が特定の幾何学的条件を満足することに同値である。また、
| 名称 | 座標環 | 幾何学的特徴付け | アフィン版 |
| --- | --- | --- | --- |
| 射影平面 | (K, T) は平面三項環 | (射影平面の公理系) | アフィン平面 |
| ムーファング平面（ドイツ語版） | (K, ⊕, ⊗) が準体 | デザルグの小定理 | 平行移動平面 |
| デザルグ平面 | (K, ⊕, ⊗) が斜体 | デザルグの大定理 | (アフィン)デザルグ平面 |
| パップス平面 | (K, ⊕, ⊗) が体 | パップスの大定理 | (アフィン)パップス平面 |
より一般に、任意の射影平面 P は以下の何れかのレンツ図形をちょうど一つ持つ:
| 型 | レンツ図形 | 座標環 |
| --- | --- | --- |
| I |  \operatorname {L} (P)=\emptyset  | 三項環 |
| II | 直線 a ∈ L とその上の点 Z ∈ a が存在して  \operatorname {L} (P)=\lbrace (a,Z)\rbrace  | デカルト群 |
| III | 直線 g ∈ L と点 U ∈ P ∖ g が存在して  \operatorname {L} (P)=\lbrace (UZ,Z):Z\in g\rbrace  | 特殊デカルト群（常に無限群） |
| IVa | 軸 a ∈ L が存在して  \operatorname {L} (P)=\lbrace a\rbrace \times a | 左準体 |
| IVb | 中心 Z ∈ P が存在して  \operatorname {L} (P)=\lbrace g\in L:Z\in g\rbrace \times \lbrace Z\rbrace  | 右準体 |
| V | 軸 a ∈ L と中心 Z ∈ P が存在して  \operatorname {L} (P)=(\lbrace a\rbrace \times a)\cup (\lbrace g\in L:Z\in g\rbrace \times \lbrace Z\rbrace ). | 半体 |
| VII |  \operatorname {L} (P)=\lbrace (a,Z)\in L\times P:Z\in a\rbrace  | 交代体 |
レンツ分類の細分化としてレンツ-バルロッティ分類が知られている。各射影平面 P は以下の分類のどれかちょうど一つに当てはまる:
| 型 | レンツ-バルロッティ図形 | O, U, V, E に対応する三項環 |
| --- | --- | --- |
| I.1 |  \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\emptyset  | 三項環 |
| I.2 |  \operatorname {B} (P)=\{(U,OV)\} | 線型三項環、乗法が結合的 |
| I.3 |  \operatorname {B} (P)=\{(U,OV),(V,OU)\} | 線型三項環、乗法が結合的 かつ左分配則を満たす |
| I.4 |  \operatorname {B} (P)=\{(U,OV),(V,OU),(O,UV)\} | 線型三項環、乗法が結合的 かつ両側分配則を満たす |
| I.6 |  \operatorname {B} (P)=\{(X,\theta (X)):X\in UV,X\neq V\} ここで、θ は V を除く直線 UV 上の点集合 UV ∖ {V} から 直線 UV を除く V を通る直線集合への全単射である。 座標で書けば例えば θ((a)) ≔ [a]. | 線型三項環、乗法が結合的 かつ両側分配則を満たし、 さらに特別な性質を持つ |
| II.1 |  \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\{(V,UV)\} | デカルト群 |
| II.2 |  \operatorname {B} (P)=\{(V,UV),(U,OV)\} | 乗法が結合的なデカルト群 |
| III.1 |  \operatorname {B} (P)=\{(X,XU):X\in OV\} | 特別な性質を持つデカルト群 |
| III.2 |  \operatorname {B} (P)=\{(X,XU):X\in OV\}\cup \{(U,OV\} | 特別な性質を持つ、 乗法が結合的なデカルト群 |
| IVa.1 |  \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\{(X,UV):X\in UV\}, 平行移動平面 | 左準体 |
| IVa.2 |  \operatorname {B} (P)=\{(U,g):g\ni V\}\cup \{(V,h):h\ni U\}\{(X,UV):X\in UV\} | 左概体 |
| IVa.3 |  \operatorname {B} (P)=\{(X,x):X\in UV,\theta (X)\in x\}  ただし θ は、直線 UV からそれ自身への 不動点を持たない対合的全単射である。 | 明示的に定義された九元左概体 |
| IVb.1 | IVa.1. のレンツ-バルロッティ図形の双対 | IVa.1. の双対 |
| IVb.2 | IVa.2. のレンツ-バルロッティ図形の双対 | IVa.2. の双対 |
| IVb.3 | IVa.3. のレンツ-バルロッティ図形の双対 | IVa.3. の双対 |
| V |  \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\{(X,UV):X\in UV\}\cup \{(V,x):x\ni V\} | 半体 |
| VII.1 |  \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\lbrace (a,Z)\in L\times P:Z\in a\rbrace  | 交代体 |
| VII.2 |  \operatorname {B} (P)=L\times P | 斜体 |