フーリエ変換
主なフーリエ変換の一覧 > 自乗絶対可積分函数

以下の表におけるフーリエ変換は (Campbell & Foster 1948), (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。
|  | もとの函数 | ユニタリ・周波に関するフーリエ変換 | ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換 | 非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換 | 備考 |
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|  |  f(x) |  {\hat {f}}(\xi )=  \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx |  {\hat {f}}(\omega )=  {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx |  {\hat {f}}(\nu )=  \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx |  |
| 201 |  \operatorname {rect} (ax)\, |  {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right) |  {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right) |  {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right) | 矩形波と標準化されたsinc関数でsinc関数はsinc(x) = sin(πx)/(πx)で表される |
| 202 |  \operatorname {sinc} (ax)\, |  {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\, |  {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right) |  {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right) | 201の双対で矩形波は理想的なローパスフィルターである。sinc関数はそのようなフィルターの非因果波応答である。 |
| 203 |  \operatorname {sinc} ^{2}(ax) |  {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right) |  {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right) |  {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right) | tri(x)は三角形関数である。 |
| 204 |  \operatorname {tri} (ax) |  {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\, |  {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right) |  {\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\nu }{2\pi a}}\right) | 203の双対 |
| 205 |  e^{-ax}u(x)\, |  {\frac {1}{a+2\pi i\xi }} |  {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}} |  {\frac {1}{a+i\nu }} | u(x)はヘビサイドの単位ステップ関数であり、a>0 |
| 206 |  e^{-\alpha x^{2}}\, |  {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}} |  {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}} |  {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\nu ^{2}}{4\alpha }}} | これが示すものは、ガウス関数exp(−αx2)でαを選んだ場合はユニタリフーリエ変換である。 Re(α)>0で積分可能である |
| 207 |  \operatorname {e} ^{-a|x|}\, |  {\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}} |  {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}} |  {\frac {2a}{a^{2}+\nu ^{2}}} | a>0である |
| 208 |  {\frac {J_{n}(x)}{x}}\, |  {\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(2\pi \xi )\,     \cdot \ {\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}\operatorname {rect} (\pi \xi ) |  {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )\,     \cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right) |  {\frac {2i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\nu )\,     \cdot \ {\sqrt {1-\nu ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\nu }{2}}\right) | 関数Jn (x)は、n次の第1種ベッセル関数である。関数Un (x)は第2種チェビシェフ多項式である。下記315と316を参照 |
| 209 |  \operatorname {sech} (ax)\, |  {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right) |  {\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right) |  {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\nu \right) | 双曲線正割は自分自身をフーリエ変換したものである |