ディンキン図形
階数 2 のディンキン図形

ディンキン図形は一般カルタン行列と同値である。階数 2 のディンキン図形を対応する 2 × 2 カルタン行列とともに書いたこの表に示されているように。
階数 2 のときは、カルタン行列の形は
である。多重辺図形はカルタン行列の非対角成分 −a21, −a12 に対応し、描かれる辺の個数は max(−a21, −a12) に等しく、矢印は −1 でない元を指している。
一般カルタン行列は正方行列 A = (aij) であって以下を満たすものである：
対角成分に対して、aii = 2.
非対角成分に対して、aij ≤ 0.
aij = 0 ⇔ aji = 0.
一般カルタン行列は群が有限型であるか（それが正定値行列のとき、すなわちすべての固有値が正のとき）、アファイン型であるか（それが正定値ではないが、半正定値であるとき、すなわちすべての固有値が非負のとき）、不定値型であるかを決定する。不定値型はしばしばさらに細分化され、例えばコクセター群がローレンツ型であるとは、それが1つの負の固有値を持ち全ての他の固有値は正であることをいう。さらに、複数の文献が双曲型コクセター群に言及しているが、この用語にはいくつかの同値でない定義がある。以下の議論では、双曲型コクセター群はローレンツ型の特別な場合で、ある追加の条件を満たすものである。階数 2 に対しては、行列式が負のすべてのカルタン行列は双曲型コクセター群に対応することに注意。しかし一般には、行列式が負のほとんどの行列は双曲型でもローレンツでもない。
（連結）有限型は (−a21, −a12) = (1, 1), (2, 1), (3, 1) で、アファイン型（行列式 0）は (−a21, −a12) = (2, 2), (4, 1) である。
| グループ の名前> グループ の名前.有限 (行列式 > 0) | ディンキン図形> （標準） 多重辺 グラフ .有限 (行列式 > 0) | ディンキン図形> 値付き グラフ1.有限 (行列式 > 0) | ディンキン図形> コクセター グラフ2.有限 (行列式 > 0) | カルタン行列>  {\begin{bmatrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{bmatrix}}.有限 (行列式 > 0) | カルタン行列> 行列式 (4 − a21a12).有限 (行列式 > 0) | 対称性 の位数> 対称性 の位数.有限 (行列式 > 0) | 関連する simply-laced 群3> 関連する simply-laced 群3. |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A1 × A1 |   |   |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right] | 4 | 2 |   |
| A2 （無向） |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right] | 3 | 3 |   |
| B2 |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-1&2\end{smallmatrix}}\right] | 2 | 4 | A3  |
| C2 |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-2&2\end{smallmatrix}}\right] | 2 | 4 | A3  |
| BC2 （無向） |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right] | 2 | 4 |  |
| G2 |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-3&2\end{smallmatrix}}\right] | 1 | 6 | D4  |
| G2 （無向） |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right] | 1 | 6 |  |
| アファイン (行列式 = 0) | アファイン (行列式 = 0) | アファイン (行列式 = 0) | アファイン (行列式 = 0) | アファイン (行列式 = 0) | アファイン (行列式 = 0) | アファイン (行列式 = 0) |  |
| A(1) 1  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right] | 0 | ∞ |  {\tilde {A}}_{3}  |
| A(2) 2  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-4&2\end{smallmatrix}}\right] | 0 | ∞ |  {\tilde {D}}_{4}  |
| 双曲 (行列式 < 0) | 双曲 (行列式 < 0) | 双曲 (行列式 < 0) | 双曲 (行列式 < 0) | 双曲 (行列式 < 0) | 双曲 (行列式 < 0) | 双曲 (行列式 < 0) |  |
|  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-5&2\end{smallmatrix}}\right] | −1 | - |  |
|  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-3&2\end{smallmatrix}}\right] | −2 | - |  |
|  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-6&2\end{smallmatrix}}\right] | −2 | - |  |
|  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-7&2\end{smallmatrix}}\right] | −3 | - |  |
|  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-4&2\end{smallmatrix}}\right] | −4 | - |  |
|  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-8&2\end{smallmatrix}}\right] | −4 | - |  |
|  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-3\\-3&2\end{smallmatrix}}\right] | −5 | - |  |
|  |  |  |  |  \left[{\begin{smallmatrix}2&-b\\-a&2\end{smallmatrix}}\right] | 4 − ab < 0 | - |  |
 注1: 双曲群 (a12a21>4) に対して、多重辺スタイルは捨てて、辺上の明示的なラベル付け (a21, a12) を選んだ。これらは通常有限およびアファイングラフには適用されない。 注2: 無向群に対して、コクセター図形（英語版）は交換可能である。それらは通常、対称性の位数によってラベル付けされ、位数 3 はラベルを付けない。 注3: 多くの多重辺群は適切な folding operation を施すことによって階数の高い simply-laced 群から得られる。