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接続 (微分幾何学)
ベクトルバンドルの接続 > ベクトルバンドルの接続の定義

詳細は「接続 (ベクトル束)」を参照
\pi ~:~E\to Mを可微分多様体M上のベクトルバンドルとし（E、Mのいずれにもリーマン計量が入っているとは限らない）、 \Gamma (E)をEの切断全体の集合とし、 {\mathcal {X}}(M):=\Gamma (TM)をM上のベクトル場全体の集合とする。
ベクトルバンドルの接続は前述したレヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの5つの性質のうち3つを使って定義される。
定義 (ベクトルバンドルの接続) ― 関数
で以下の性質を満たすものをE上のKoszul接続（英: Koszul connection）あるいは単に接続（英: connection）といい、 \nabla _{X}sを接続 \nabla が定めるsのX方向の共変微分という：
\nabla _{f_{1}X+f_{2}Y}s=f_{1}\nabla _{X}s+f_{2}\nabla _{Y}s (関数に関する左線形性)
\nabla _{X}(as_{1}+bs_{2})=a\nabla _{X}s_{1}+b\nabla _{X}s_{2}(実数に関する右線形性)
\nabla _{X}(fs)=X(f)s+f\nabla _{X}s　（ライプニッツ則）
Mの接ベクトルバンドルTMの接続の事を特にアフィン接続（英: affine connection）という。
ここでX、YはM上の任意のベクトル場であり、s、s1、s2はEの任意の切断であり、a、bは実数であり、f、f1、f2はM上定義された任意の実数値可微分関数であり、 fsは点uにおいて f(u)s_{u}となるEの切断であり、 X(f)はfのX方向微分である。
上述の定義から、一般のベクトルバンドルの接続もレヴィ-チヴィタ接続と同様、
という形で書ける。ここで (x^{1},\ldots ,x^{m})はMの局所座標であり、 (e_{1},\ldots ,e_{n})はEの局所的な基底である。ただしもちろんレヴィ-チヴィタ接続と違い \Gamma ^{i}{}_{jk}は計量で書けるとは限らない。
さらに以下の定義をする：
定義 ―
E上に計量gが定義されているとき、レヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの4番目の性質を満たす \nabla をgと両立する接続（英語版）という
E=TMである場合、すなわち \nabla がアフィン接続の場合、レヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの5番目の性質を満たす \nabla を捩れなしであるという。
リーマン幾何学の基本定理から、レヴィ-チヴィタ接続とは、唯一の計量と両立する捻れなしのアフィン接続として特徴づけられる。
ベクトルバンドルの接続 > ベクトルバンドルの接続の定義 > 曲線上の微分

Mの曲線 c(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))上に切断 s(t)が定義されているとき、接続の成分表示の X=X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}を形式的に {\tfrac {dc}{dt}}={\tfrac {dx^{i}}{dt}}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}に置き換えた
を、曲線 c(t)に沿った共変微分という。この定義は基底の取り方によらずwell-definedである。
平行移動

\pi ~:~E\to Mをベクトルバンドルとし、Mの曲線 c(t)上定義されたM上のベクトル場 v(t)が
を恒等的に満たすとき、 v(t)は c(t)上平行であるという。また、 c(t_{0})上の接ベクトル w_{0}\in T_{c(t_{0})}Mと c(t_{1})上の接ベクトル w_{1}\in T_{c(t_{1})}Mに対し、 v(t_{0})=w_{0}、 v(t_{1})=w_{1}を満たす c(t)上の平行なベクトル場 v(t)が存在するとき、 w_{1}は w_{0}を c(t)に沿って平行移動（英: parallel transportation  along  c(t)）した接ベクトルであるという。
ユークリッド空間の平行移動と異なる点として、どの経路 c(t)に沿って平行移動したかによって結果が異なる事があげられる。この現象をホロノミー（英語版）（英: holonomy）という。
右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。
c(t)に沿って w_{0}\in T_{c(0)}Mを c(t)まで平行移動したベクトルを \varphi _{c,t}(v)\in T_{c(t)}Mとすると \varphi _{c,t}~:~T_{c(0)}M\to T_{c(t)}Mは線形変換である。また共変微分は平行移動で特徴づけられる：
定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 多様体M上の曲線 c(t)とMのベクトルバンドルEの c(t)に沿った切断 s(t)\in E_{c(t)}を考えるとき、 c(t)に沿った平行移動を \varphi _{a,t}とすると、以下が成立する：
上述のように平行移動があれば共変微分が定義できるので、一般のファイバーバンドルではむしろ平行移動に基づいて接続概念を定義する。
E上に計量gが定義されていてしかも∇が計量と両立しているとすると、以下が成立する：
定理 ― 
平行移動は計量を保つ。すなわちM上の曲線 c(t)に沿った平行移動を \varphi _{c,t}とすると、任意の v,w\in E_{c(0)}に対し、以下が成立する：
接続形式

本章では接続∇の「接続形式」という概念を述べる。本章で述べるように、むしろ接続形式から接続を定義したほうが数学的な構造を探る上で有利な点があり、このアイデアに沿って接続を定式化したのが後の章で述べる主バンドルの接続概念である。
接続形式 > 定義

(e_{1},\ldots ,e_{m})を開集合 U\subset M上で定義されたEの局所的な基底とするとき、接続形式を以下のように定義する：
定義 (接続形式) ― 行列 \omega (X)を
により定義し、Xに \omega (X)を対応させる行列値の1-形式 \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}を局所的な基底 (e_{1},\ldots ,e_{m})に関する接続∇の接続形式（英: connection form）という
接続形式が与えられれば
により接続を再現できるので、この意味において接続形式は接続∇の情報をすべて含んでいる。
接続形式 > 性質

接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式ωと強く関係しており、底空間Mの曲線 c(t)に沿って定義された局所的な基底 (e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))をtで微分したものが接続形式 \omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))に一致する。
よって特に（レヴィ・チヴィタ接続などの）∇がEの計量と両立する接続の場合、∇による平行移動は回転変換、すなわち SO(n)の元なので、その微分である接続形式ωは SO(n)のリー代数 {\mathfrak {so}}(n)の元、すなわち歪対称行列である：
定理 ― ∇がE上の計量と両立するとき、 (e_{1},\ldots ,e_{n})をEの局所的な正規直交基底とすると、 (e_{1},\ldots ,e_{n})に関する接続形式ωは {\mathfrak {so}}(n)の元である。すなわちωは歪対称行列である。
このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例では SO(n)）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。
上では回転群 \mathrm {SO} (n)の場合を説明したが、 \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )（を自然に \mathrm {GL} _{2n}(\mathbb {R} )の部分群とみなしたもの）や \mathrm {U} _{n}(\mathbb {C} )、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。
こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。後で説明する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。
そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。
そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化し、ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。
ファイバーバンドルの接続

詳細は「接続 (ファイバー束)」を参照
主バンドルの接続を定義する前準備として、一般のファイバーバンドルに対する接続を定義する。後述するように、主バンドルの接続はファイバーバンドルに対する接続で群作用に対して普遍になるものである。
すでに述べたように研究が進んでいるのばベクトルバンドルの接続なので、そのような目的のためにはこの一般の接続概念は必要ない。しかしファイバーバンドルの接続により、ベクトルバンドルの接続と次章に述べる主バンドルの接続とを統一的な視点から語る事ができるようになり、主バンドルの接続に基づいてベクトルバンドルの接続の性質をそれに対応する主バンドルの接続と対応付けて調べる事ができる。
ファイバーバンドルの接続 > 定義に至る背景

\pi ~:~E\to Mをベクトルバンドルとし、∇をこのバンドルのKoszul接続とする。M上の任意の曲線c(t)とc(t)上の任意の切断s(t)で平行なものに対し、s(t)をE上の曲線とみなしたときに {\tfrac {ds}{dt}}が入るTeEの部分空間を「水平部分空間」と呼ぶ。
以上のように接続∇から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。
このことからベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。
ファイバーバンドルの接続 > 定義

以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。 \pi ~:~E\to MをファイバーFを持つファイバーバンドルとし、e∈EをEの元とするとしπが誘導する写像を \pi _{*}~:~TE\to TMとするとき、
を、eにおけるTeEの垂直部分空間（英: vertical subspace）という。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する：
定義 (接続) ― 
ファイバーバンドル \pi ~:~E\to Mの（C∞級の）接続(英: connection) \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}とは、Eの各点eにおけるTeMの部分空間 {\mathcal {H}}_{e}の族でeに関してC∞級であり、以下の性質を満たすものである：
{\mathcal {H}}_{e}をeにおける水平部分空間（英: horizontal subspace）という。
ファイバーバンドルの接続 > 名称に関して

ファイバーバンドルの接続のことをエーレスマン接続（英: Ehresmann conection）と呼ぶ場合があるが、主バンドルに対する接続の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍もあるので注意が必要である。なお主バンドル上においても両者の概念は同値ではなく、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。
両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を一般の接続（英: general connection）、主バンドルの接続を主接続（英: principal connection）と呼ぶ場合がある。
またファイバーバンドルの接続のうち、完備なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた。
ファイバーバンドルの接続 > 平行移動、共変微分 > 平行移動

\pi ~:~E\to Mをファイバーバンドルとし、 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}をその接続とする。
定義 ― 
M上の曲線 c(t)上定義された切断 s(t)が平行であるとは、
が任意のtに対して成立する事をいう。
接続の定義から、
はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像
を考える事ができる。 \mathrm {Lift} _{e}(v)を v\in T_{\pi (e)}Mのeへの水平リフト（英: horizontal lift）という。水平リフトの定義から明らかなように、切断 s(t)が平行である必要十分条件は
を満たす事である。
ファイバーバンドルの接続 > 平行移動、共変微分 > 共変微分

定理 ― sをMの開集合上で定義された切断とし、XをMのベクトル場とするとき
をsのX方向の共変微分という。
同様にM上の曲線 c(t)に沿った切断 s(t)に対し、 s(t)の c(t)に沿った共変微分を
により定義する。この事からすなわち、共変微分 {\tfrac {\nabla }{dt}}s(t)とは、平行移動からのズレを表す量である事がわかる。
ファイバーバンドルの接続 > 一般の接続からベクトルバンドルの接続へ

ベクトルバンドルのKoszul接続から一般の接続概念が得られる事をすでに見たが、逆にベクトルバンドル上の（一般の）接続が定める共変微分がKoszul接続の公理を満たす条件は以下の通りである：
定理 (Koszul接続の条件) ―  \pi ~:~E\to Mをベクトルバンドルとし、 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}を \pi ~:~E\to Mのファイバーバンドルとしての接続する。さらに \phi ~:~{\mathcal {V}}_{e}{\tilde {\to }}E_{\pi (e)}を垂直部分空間 {\mathcal {V}}_{e}と E_{\pi (e)}の自然な同一視とする。
このとき以下の条件は同値である：
\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が定義する共変微分を∇とすると、 \phi \circ \nabla はKoszul接続の公理を満たす。
任意の \lambda \in \mathbb {R} 、 e\in Eに対し、 {\mathcal {H}}_{\lambda e}=(m_{\lambda })_{*}({\mathcal {H}}_{e})
ここでmλはベクトル e\in Eをλ倍した \lambda e\in Eに写す写像とする。
Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と（上記の定理の条件を満たす）一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する。
主バンドルの接続

詳細は「接続 (ファイバー束)#主接続の節」を参照
主バンドルの接続 > 定義

主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で群作用に対して不変になるものである。すなわち、
定義 (主接続の定義) ― Gをリー群とし、 \pi ~:~P\to Mを構造群Gを持つ主バンドルとする。 \pi ~:~{\mathcal {P}}\to MのC∞級の（主バンドルとしての）接続(英: connection)あるいは主接続（英: principal connection） \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}とは、Pの各点pにおけるTpMの部分空間 {\mathcal {H}}_{p}の族でpに関してC∞級であり、任意の p\in Pに対し以下の性質を満たすものである：
T_{p}P={\mathcal {V}}_{p}\oplus {\mathcal {H}}_{p}
任意の g\in Gに対し、 (R_{g})_{*}({\mathcal {H}}_{p})={\mathcal {H}}_{pg}
ここで {\mathcal {V}}_{p}は垂直部分空間 {\mathcal {V}}_{e}:=\{\xi \in T_{e}P\mid \pi _{*}(\xi )=0\}=T_{e}(P_{\pi (e)})であり、 (R_{g})_{*}は g\in GのPへの右からの作用 R_{g}~:~p\in P\to pg\in PがTPに誘導する写像である。 {\mathcal {H}}_{p}をpにおける水平部分空間という。
主バンドルの接続 > リー代数を使った定式化

本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。後述するようにこちらの定義が自然にベクトルバンドルの接続と対応する。
そのために基本ベクトル場の概念を導入する。Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をそのリー代数とし、さらに \pi ~:~P\to MをG-主バンドルとするとき、リー代数の元 A\in {\mathfrak {g}}と点 p\in Pに対し、
により、P上のベクトル場 {\underline {A}}を定義する。 {\underline {A}}をAに対応するP上の基本ベクトル場（英語版）（英: fundamental vector field on P associated to A）という。
基本ベクトル場の定義より明らかに各 p\in Pに対し、写像
は全単射であるので、ζpの写像の逆写像を考えることができる。この逆写像を分解 T_{p}P={\mathcal {V}}_{p}\oplus {\mathcal {H}}_{p}の垂直部分空間への射影 V_{p}~:~T_{p}P\to {\mathcal {V}}_{p}と合成する事で、
を作る事ができる。この写像を {\mathfrak {g}}に値を取る1-形式とみなしたものを
とし、各点pにωpを対応させるP上の {\mathfrak {g}}値1-形式の場ωを接続形式（英: connection form）という。
以上の議論から明らかに垂直射影からωが定まり、逆にωから垂直射影が定まるのでωによって接続概念を定式化できる：
定義・定理 (接続形式) ― Mを多様体、Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をGのリー代数とし、さらに PをM上のG-主バンドルとする。 P上定義された {\mathfrak {g}}-値の1-形式のC∞級の場
で以下を満たすものを Pの接続形式という：
任意の A\in {\mathfrak {g}}、 p\in Pに対し、 \omega _{p}({\underline {A}}_{p})=A
任意の g\in G、 p\in Pに対し、 (R_{g})^{*}\omega _{p}=(\mathrm {Ad} g^{-1})\omega _{p}
ここで (R_{g})_{*}は g\in GのPへの右からの作用 R_{g}~:~p\in P\to pg\in PがTPに誘導する写像であり、Adは随伴表現（英: adjoint representation）
である。
主バンドルとしての接続から前述の方法でPの接続形式が定まり、逆に接続形式ωが0になる方向を水平方向とすることでPに主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。
ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の関係性

詳細は「接続 (ファイバー束)#Koszul接続」を参照
「接続 (ファイバー束)#同伴バンドルへの誘導の節」も参照
本節では接続形式の章で述べたアイデアに基づいて、ベクトルバンドルの接続（Koszul接続）と主バンドルの接続（主接続）の関係を述べる。
接続形式の章で見た \mathrm {SO} (n)のケースだけでなく \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )の部分リー群Gに対して両者の関係性を示すため、本章ではまず「G-フレーム」、および「G-フレームバンドル（英語版）」という概念を導入する。「G-フレーム」はGが \mathrm {SO} (n)の場合は正規直交基底に相当するものであり、G-フレームバンドルはG-フレームを束ねてできるバンドルであり、自然にG-主バンドルとみなせる。
次に本章ではEのフレームバンドル上の接続からEのKoszul接続が定まる事を見る。そして構造群Gを持つベクトルバンドルの接続がGと「両立する」事を定義し、最後にG-フレームバンドルの接続の接続形式とベクトルバンドルのGと両立する接続の接続形式が1対1の関係にある事を見る。
ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の関係性 > フレームバンドル > 定義

「G-フレーム」とは正規直交基底の概念を一般化したもので、Gが \mathrm {SO} (n)の場合、G-フレームが正規直交基底に相当する。
定義 ― Gを \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )の部分リー群とし、 \pi ~:~E\to Mを構造群Gを持つベクトルバンドルとし、uをMの点とし、 e_{1},\ldots ,e_{n}をEuの基底とする。 e_{1},\ldots ,e_{n}がEのuにおけるG-フレーム（英: G-flame）であるとは、Eのuにおけるバンドルチャート U\times \mathbb {R} ^{n}と g\in Gが存在し、このバンドルチャート上で
が成立する事を言う。
ここで e'_{1},\ldots ,e'_{n}は \mathbb {R} ^{n}の標準的な基底であり、 ge_{i}は線形変換 g\in G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )をeiに作用させたものである。
構造群Gを持つベクトルバンドルの定義から、G-フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。
F^{G}(E)_{u}を u\in M上のG-フレーム全体の集合とすると、
は自然にM上のG-主バンドルをなし、 F^{G}(E)を構造群Gに関するフレームバンドルという。
ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の関係性 > 主接続からKoszul接続の誘導

\pi ~:~E\to MをGを構造群を持つベクトルバンドルとし、 F_{G}(E)をそのフレームバンドルとする。さらにG-主バンドル F^{G}(E)に接続形式が \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}の接続が入っているとする。開集合 U\subset M上定義されたEの局所的な基底 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})に対し、
を、eをUからFG(E)への写像と見たときの接続形式ωのUへの引き戻しとし、 {\hat {\omega }}を {\hat {\omega }}=({\hat {\omega }}^{i}{}_{j})_{i,j}と成分表示する。
定理・定理 ― 
記号を上述のように取る。Eの切断sとM上のベクトル場Xに対し、
と微分演算子∇を定義すると、∇は局所的な基底 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})の取り方によらずwell-definedで、しかも∇はKoszul接続の公理を満たす。∇を \omega から誘導される接続という。
ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の関係性 > 構造群と接続の両立

Gを \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )の部分リー群とする。構造群Gを持つベクトルバンドルの接続（Koszul接続）がGと両立する事を以下のように定義する。直観的には平行移動がGの元で書ける事を意味する：
定義 (構造群と両立するKoszul接続) ― Mを連結な多様体とし、Gを \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} ^{n})の閉部分リー群とし、 \pi ~:~E\to Mを構造群Gを持つベクトルバンドルとし、∇を E\to MのKoszul接続とする。このとき、∇がGと両立する（英: G-compatible）とは、 \pi ~:~E\to Mの任意の局所自明化
に対し、U内の任意の曲線 u(t)に沿った平行移動 E_{u(0)}\to E_{u(1)}がGに属する線形変換である事を言う。
定義より明らかに以下が従う：
定義 ―  \pi ~:~E\to Mを構造群Gを持つベクトルバンドルとする。このとき、G-フレームバンドル F_{G}(E)上の接続形式から誘導されたEの接続はGと両立する。
接続がGと両立する事は、接続形式がGのリー代数に入っている事と同値である：
定義 (Gと両立するKoszul接続) ― ∇をE上定義されたKoszul接続とし、 \omega _{e}をその接続形式とする。∇がGと両立する必要十分条件は、任意の局所的な基底 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})に対し、
が成立する事を言う。
接続形式の章では平行移動が常に \mathrm {SO} (n)の元で表せるときに接続形式が \mathrm {SO} (n)のリー代数に入っている事を示したが、上記の定理はこの事実を \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )の任意の部分リー群に対して示したものである。
ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の関係性 > ベクトルバンドルの接続から主接続の接続へ

Gと両立する接続はフレームバンドルの接続に対応している：
定理 ― Gを構造群として持つベクトルバンドル E\to MのKoszul接続∇がGと両立するとき、フレームバンドルFG(E)のある接続形式ωが存在し、∇はωからEに誘導される接続と一致する。
本章の成果をまとめると、以下の結論が得られる：
定義 (主接続とKoszul接続の関係) ― E上のKoszul接続でGと両立するものは F_{G}(E)の主接続と1 : 1で対応する。
さらにGと両立するにKoszul接続∇に対応する主接続の接続形式をωとすると、任意の開集合 U\subset MとU上で定義された F_{G}(E)の任意の局所的な切断 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})に対し、
が成立する。ここで {\hat {\omega }}_{e}は e=(e_{1},\ldots ,e_{n})を局所的な基底とみなしたときのeに関する∇の接続形式であり、 e^{*}(\omega )はeをUからFG(E)への写像と見たときの接続形式ωのUへの引き戻しである。
ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の関係性 > 共変微分の対応関係

ベクトルバンドル E\to Mの切断sが与えられたとき、 F_{G}(M)上の関数
を定義できる。このとき次が成立する：
定理 ― M上の任意のベクトル場Xに対し、以下が成立する：
ここで \mathrm {Lift} (X)\psi _{s}は F_{G}(M)上のベクトル場 Y:=\mathrm {Lift} (X)により F_{G}(M)上の \mathbb {R} ^{n}値関数 \psi _{s}の各成分を微分した Y(\psi _{s})の事である。
曲率 > 一般のファイバーバンドルの曲率

詳細は「接続 (ファイバー束)#曲率の節」を参照
ファイバーバンドル \pi ~:~E\to Mの接続(英: connection) \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が与えられているとき、Eの接ベクトル空間は T_{e}E={\mathcal {V}}_{e}\oplus {\mathcal {H}}_{e}と分解できた。そこで
をそれぞれ垂直部分空間、水平部分空間への射影とする。曲率概念はこのVe、Heを使って定義する：
定義 (ファイバーバンドルの曲率形式) ― E上のベクトル場ξ、ηに対し、
をファイバーバンドルEの接続 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}に関する曲率形式という。
ここで [\cdot ,\cdot ]はリー括弧（英語版）である。Ωは C^{\infty }(E)-線形であり、よってΩは双線形写像
であるとみなせる。
フロベニウスの定理を用いると、曲率形式が恒等的に0である事は超平面の族 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が可積分である事と同値である事を示せる。したがって曲率形式は水平部分空間　 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が可積分ではない度合いを表す量である。
曲率 > 主接続の曲率

詳細は「接続 (ファイバー束)#主接続の曲率の節」を参照
本節では、主接続の場合に対し、上記で定義した曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をGのリー代数とし、さらに \pi ~:~P\to MをG-主バンドルとし、ωをPの主接続とする。リー代数 {\mathfrak {g}}におけるリー括弧を使って
と定義し、さらに前の章と同様、リー代数の元に基本ベクトル場を対応させる写像
を考える。紛れがなければ添字pを省略し単にζと書く。
定理 (主バンドルの接続の曲率) ― 曲率形式Ωは以下を満たす：
（構造方程式） \zeta {}^{-1}(\Omega )=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]_{\mathfrak {g}}\in {\mathfrak {g}}
紛れがなければ \zeta {}^{-1}(\Omega )を単にΩと書き、接続形式ωの曲率形式という。
曲率 > ベクトルバンドルの接続の曲率

詳細は「接続 (ファイバー束)#Koszul接続の曲率の節」および「接続 (ベクトル束)#曲率」を参照
曲率 > ベクトルバンドルの接続の曲率 > 定義

Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する：
定義・定理 (曲率) ― 
ベクトルバンドル \pi ~:~E\to Mの接続 \nabla に対し、
を \nabla に関する曲率（英: curvature）もしくは曲率テンソル（英: curvature tensor）という。
RはX、Y、sに関して C^{\infty }(M)-線形であり、よってRは各点 P\in Mに対し、
を対応させるテンソル場とみなせる。
さらにKoszul接続の曲率形式を以下のように定義する：
定義 ― UをMの開集合とし、 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})をUにおけるフレームバンドル F_{G}(M)の切断とする。このとき、曲率テンソルを
と成分表示し、 {\hat {\Omega }}_{e}:=({\hat {\Omega }}^{i}{}_{j})とすると、Ωeは一般線形群のリー代数
 {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )に値を取る2-形式とみなせる。
 {\hat {\Omega }}_{e}をeに関するKoszul接続∇の曲率形式（英: curvature form）という。
曲率 > ベクトルバンドルの接続の曲率 > 一般の接続の曲率形式との関係

すでに述べたようにベクトルバンドル \pi ~:~E\to M上のKoszul接続∇には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続 \{V_{e}\}_{e\in E}が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は前述した一般のファイバーバンドルの曲率形式 \Omega (\xi ,\eta )=-V([H(\xi ),H(\eta )])と以下の関係を満たす。ここでHは水平部分空間への射影である。
定理 ― 記号を上述のように取る。このとき、M上の点u、ベクトル X,Y\in T_{u}M、 s\in E_{u}に対し、以下が成立する：
よって特にKoszul接続の曲率形式 {\hat {\Omega }}_{e}とは以下の関係を満たす：
ここで e=(e_{1},\ldots ,e_{n})であり、 (e^{1},\ldots ,e^{n})はその双対基底である。
曲率 > ベクトルバンドルの接続の曲率 > 主接続の曲率との関係

E\to Mのフレームバンドル F_{G}(M)の曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす：
定理 ― ベクトルバンドル E\to Mのフレームバンドル F_{G}(M)に接続形式がωの接続が定義されているとし、この接続の曲率形式をΩとする。
さらにこの接続がEに誘導する接続が定義するKoszul接続を∇とし、 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})をMの開集合U上定義された F_{G}(M)の切断とし、 {\hat {\Omega }}_{e}を∇のeに関する曲率形式とする。このとき、以下が成立する：
ホロノミー群

本節では特に断りのない限り、 \pi ~:~E\to Mを完備な接続 {\mathcal {H}}=\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルでMが連結なものとする。ここで接続が完備であるとは、M上の任意の曲線 c(t)上に c(0)から c(1)までの平行移動を常に定義可能な事を指す。
ホロノミー群 > 定義

x_{0}\in MをMの点とし、 c(t)\in Mをx0からx0自身への区分的になめらかな閉曲線とすると、接続が完備なのでx0のファイバー E_{x_{0}}の任意の元eに対し、eを c(t)\in Mに沿って一周平行移動してできた元を \varphi _{c}(e)\in E_{x_{0}}とする事で、 E_{x_{0}}上の可微分同相写像
を定義できる。
定理・定義 (ホロノミー群) ―
は閉曲線の連結に関して自然に群構造をなす。この群をEの {\mathcal {H}}に関するx0におけるホロノミー群（英: holonomy group）という。
ホロノミー群 > ホロノミーリー代数

u\in Mにおける接ベクトル v\in T_{u}Mに対し、 e\in E_{u}に vのeでの水平リフトを対応させる
をファイバー E_{u}上の切断とみなしたものを \mathrm {Lift} (v_{u})と書く。
2つのベクトル v_{u},w_{u}\in T_{u}Mに対し、 \mathrm {Lift} (v_{u})、 \mathrm {Lift} (w_{u})はいずれも E_{u}上のベクトル場なので、曲率形式Ωに対して、
を定義でき、これは E_{u}上のベクトル場とみなせる。さらに u_{0}\in Mをfixし、uから u_{0}までつなぐ曲線 c(t)に沿って \Omega (\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))を平行移動したものを \Omega _{c}(\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))と書く。
定理・定義 ― 
 E_{u_{0}}上のベクトル場全体の集合 {\mathfrak {X}}(E_{u_{0}})をリー括弧（英語版）に関する「無限次元リー代数」とみなしたとき、
を含む最小の（C∞-位相に関する）閉部分線形空間
を
と書くとき、 \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})は {\mathfrak {X}}(E_{x_{0}})の部分リー代数になっている。
\mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})をホロノミーリー代数（英: holonomy Lie algebra）という。
実は以下の定理が成立する。なお、以下の定理は主バンドルに対するAmbrose–Singerの定理を任意のファイバーバンドルに一般化したものである：
定理 (Ambrose-Singerの定理の一般化) ― ホロノミーリー代数 \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})が有限次元であれば、以下が成立する：
ホロノミー群 G:=\mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})は \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})をリー代数として持つリー群である。
あるG-主バンドル \pi '~:~P\to M、およびGのファイバー E_{x_{0}}への作用が一意に存在し、 \pi '~:~P\to Mと E_{x_{0}}へのG作用を使って作った E_{x_{0}}バンドルは \pi ~:~E\to Mと同型である。
主バンドル \pi '~:~P\to Mには主バンドルとしての接続（詳細次章）が一意に存在し、この接続が上述の E_{x_{0}}バンドルに誘導する接続は \pi ~:~E\to Mとの接続と同一である。
接続の歴史

接続は、歴史的にはまずリーマン幾何学において見出された。接続の概念のはじまりをどこに置くかについては諸説あるが、クリストッフェルの研究をその淵源とする見方がある。クリストッフェルは1869年の論文で、座標変換の導関数が満たす関係式の研究を通じ、現在クリストッフェル記号とよばれる量を発見した。これを用いて、リッチはその学生であるレヴィ＝チヴィタとともに、彼らが絶対微分学（英語版）とよんだ、共変微分を用いる今でいうテンソル解析の計算の手法をつくりあげた。
レヴィ＝チヴィタはまた、1916年に、リーマン幾何学における接ベクトルの平行移動の概念を発見し、これが共変微分によって記述されることをみつけた（レヴィ-チヴィタ接続の名前はこのことによる）。1918年にワイルはそれを一般化して、アフィン接続の概念に到達した。ここで「接続」にあたる語（独: Zusammenhang）がはじめて使用された[要出典]。
それからすぐに、エリ・カルタンによって、さらなる一般化が行われた。カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在カルタン接続と呼ばれるものを発見していった。カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、共形幾何学（英語版）、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。
しかしカルタンの記述は、微分幾何学の他の基本的概念の整備が進んでいない当時、理解されづらいものだった。その仕事をよりわかりやすいものにして発展させるために、カルタンの学生にあたるCharles Ehresmannは、1940年代から主バンドルやファイバーバンドルを研究した。1951年の論文でEhresmannは、主バンドルの接続を、接分布（英語版）を用いる方法と微分形式による方法の両方で定義した（ファイバーバンドルの接続）。
その一方で、1950年にJean-Louis Koszulは、ベクトル束の接続の代数的定式化を与えた（ベクトルバンドルの接続）。Koszulの定式化によると、クリストッフェル記号を明示的に用いる必要は必ずしもなくなり、接続の取り扱いは容易になった[要出典]。
文献 > 歴史的な文献

Cartan, Élie (1926), “Les groupes d'holonomie des espaces généralisés”, Acta Math. 48:  1–42, doi:10.1007/BF02629755
Christoffel, Elwin B. (1869), “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 70:  46–70
Ehresmann, Charles (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, pp. 29–55
Koszul, Jean-Louis (1950), “Homologie et cohomologie des algebres de Lie”, Bulletin de la Société Mathématique 78:  65–127
Levi-Civita, Tulio; Ricci, M. M. G. (1900), “Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications”, Math. Ann. B 54:  125–201, doi:10.1007/BF01454201
Levi-Civita, Tulio (1916), “Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura riemanniana”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 42:  173–204, doi:10.1007/BF03014898
Weyl, Hermann (1918), “Reine Infinitesimalgeometrie”, Mathematische Zeitschrift 2:  384–411, doi:10.1007/bf01199420
Cartan, Élie (1924), “Sur les varietes a connexion projective”, Bulletin de la Société Mathématique 52:  205–241
Cartan, Élie (1983), Geometry of Riemannian spaces, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7, https://books.google.co.jp/books?id=-YvvVfQ7xz4C&printsec=frontcover&redir_esc=y&hl=ja
球面上の平行移動。大円で囲まれた三角形上でベクトルを一周平行移動すると、もとに戻ってきたときに元のベクトルには戻らない。
山手橋 (広島市)

| 山手橋 |
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 下流より
基本情報
所在地:  広島県広島市西区 左岸:中広町2丁目 - 右岸:山手町
交差物件:  太田川水系太田川（太田川放水路）
座標:  北緯34度24分21.3秒 東経132度26分22.2秒﻿ / ﻿北緯34.405917度 東経132.439500度﻿ / 34.405917; 132.439500
関連項目
 橋の一覧 - 各国の橋 - 橋の形式
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橋上を西詰より
山手橋（やまてばし）は、広島県広島市の太田川（太田川放水路）にかかる道路橋。
概要

市道西1区265号線に架かる橋。上流側に山陽新幹線および山陽本線が通るJR鉄道橋、下流側に広島高速4号線（市道広島西風新都線）が通る広島西大橋がある。
車道専用橋であり、下流側に幅員2.0mの人道橋（歩道橋）を併設している。
元々この地にあった橋が、太田川放水路改修工事に伴い1963年に架けなおされた。その後歩道橋を併設し、幅員を4.0mから5.5mに拡幅工事を行っている。
諸元

路線名：広島市道西1区265号線
橋長：276m
支間長 : 43.5m + 3@63.0m + 43.5m
幅員：5.5m（7.6m)
橋梁形式：5径間連続有ヒンジPCラーメン箱桁橋（ディビダーク工法）
拡幅にあたり、PC外ケーブル＋炭素繊維シートによる補強
竣工年 : 1963年（昭和38年）12月、2004年（平成16年）拡幅
施工 : 住友建設（現三井住友建設）
備考 : 建設は建設省（現国土交通省）、維持管理は広島市。竣工時の幅員は4.0m。
歴史

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 1930年ごろの広島市地図
  file:Hiroshima map circa 1930.PNG - 新光社『日本地理風俗大系 第10巻』。これには書かれていない。
元々この場所には「山手川」が存在した。太田川が形成した広島三角州内の西端に位置した川で、現在の放水路よりかなり狭い川であった。広島は広島城開城以降に開発されていったものの、江戸時代は防犯のため城下に架橋規制が引かれていたことから、山手川には西国街道筋の己斐橋のみ架かっていた状況であった。
戦前の山手橋は、現在とは違う位置に架橋されていた。戦前にこの位置付近にあったのは「金鋳橋（あるいは南三篠橋）」であり、山手橋は山手川と福島川の中間合流で南北方向にかかる橋（右地図参照）、つまり現在の中広大橋付近に存在した。1925年（大正14年）6月製版の地図には書かれておらず、誠文堂新光社『日本地理風俗大系 第10巻』にある1930年ごろの地図にも書かれておらず、1936年（昭和16年）『広島都市計画緑地配置図』には書かれている。つまり、山手橋は1930年代前半に架橋されている。当時の橋梁形式は不明。
1945年（昭和20年）8月6日に広島市への原子爆弾投下により被爆。爆心地から1,980mに位置した 。その当時、山手橋は落橋していたのか幅2間（約3.6m）ほどの仮板橋が架けられていたため爆風で吹っ飛んだ。
戦後、山手川と福島川の間にあった中州を浚渫し河川幅を拡幅する「太田川放水路改修工事」が行われ、戦前の山手橋付近は埋め立てられ、新しく建設省により現橋のものに架けなおされた。1963年（昭和38年）12月竣工。橋種はプレストレスト・コンクリート橋を採用、当時では国内での施工実績の少なかったディビダーク工法（橋脚からヤジロベエのように張り出しながら打設していく工法）が採用された。現在は市に移管している。
なお当時は橋上に待避所が2箇所あったのみで、1977年（昭和52年）下流側に歩道橋を併設し車道専用橋としたものの、交通量増大に伴い幅員4mの狭さが問題となった。交通渋滞解消のため、当時は朝の7時から9時の間は旧市内方向のみの一方通行と規制されていた。架替を含めた協議の結果、現橋幅員を5.5mに拡幅することが決定し、2002年（平成14年）12月から工事を開始、2004年（平成16年）に再開通した。総工費約5億5千万円。
ギャラリー

1974年。歩道橋併設前、現橋拡幅前。
1981年。歩道橋併設後、現橋拡幅前。
参考資料

平成15年度全建賞 (2003年). “山手橋拡張工事” (PDF).   全日本建設技術協会. 2013年12月21日閲覧。
広島市『広島原爆戦災誌』（PDF）（改良版）、2005年（原著1971年）。オリジナルの2013年12月3日時点におけるアーカイブ。https://web.archive.org/web/20131203005503/http://a-bombdb.pcf.city.hiroshima.jp/pdbj/bookdownload/sensai0.pdf。2013年12月21日閲覧。
1945年米軍作成の広島市地図。地図左上に"YAMATECHŌ"（山手町）があり、そこから左斜め下にある橋が金鋳橋、そこから真下にある南北方向にかかる橋が当時の山手橋。
ターボ・フォーク

ターボ・フォーク（セルビア・クロアチア語:Турбо-фолк、ラテン文字表記Turbo-folk）はバルカン半島発祥の流行音楽のジャンル。20世紀末の旧ユーゴスラヴィア諸国で興り、セルビア、ボスニア・ヘルツェゴビナ、モンテネグロがその主な中心であるが、クロアチア、マケドニア共和国、スロベニアといったほかの旧ユーゴスラヴィア諸国でも盛んである。
概要・特徴

ターボ・フォークは、セルビアの伝統音楽やギリシャの音楽、ロマ音楽、トルコ音楽などの要素をポップ・ミュージックに取り入れ、ダンス・ミュージックなどの現代の流行音楽の要素を織り交ぜたものである。なお、ターボ・フォークに関する記事が掲載されているネット・サイトは、last.FMなど限られたサイトだけである。
同様のものはバルカン半島各国に見られ、ブルガリア、ルーマニア、ギリシャ、トルコでもよく聴かれている。これらの国々には、それぞれ類似の音楽ジャンルであるチャルガ、マネーレ、ライカ、アラベスク・ポップ音楽が存在する。音楽性は、レディ・ガガやデュア・リパ、カーディのように派手な外見で、ドラム・マシーン、シーケンサーなどを使用する女性歌手が多いため、フォークやワールド・ミュージックの文脈で語られることは少ない。
詳細

ターボ・フォークの語は、ランボ・アマデウスによって、1980年代に冗談めかして語られたのが始まりである。アマデウスは、多くの音楽のスタイルを混合してそれらの要素を併せ持った、自身の音楽のスタイルについて語る中で出てきた言葉であり、進歩した現代的なイメージの「ターボ」と、伝統や保守を想起させる「フォーク」を結びつけたものである。
1991年、ベオグラード北部のノヴィ・ベオグラード地区には違法ラジオ局がいくつかあった。その中のひとつは DJ W-ICE なる人物によって運営され、そこでは民俗音楽とダンス・ミュージックをミックスして放送していた。W-ICE は後に、ゾリツァ・ブルンツリク（英語版）はじめ、民俗音楽のビデオ・クリップに登場するようになった。
実際には、ターボ・フォークという語が登場してから、それが真剣に取り扱われるようになるまでには数年の年月がかかった。1993年、ユーゴスラヴィアは瓦解し紛争が始まり、旧ユーゴスラヴィア各国の経済状態は悪化した。国際的な経済制裁を受けたセルビアなどでは極度のインフレーションを経験した（ユーゴスラビア・ディナールも参照）。この時、多くの人々が商業的民俗音楽に癒しを求めていた。
このような商業的民俗音楽は低俗であると見なされつつも、その需要は伸び、セルビアなどの地域の音楽シーンのトップに躍進した。その中心となったのは享楽的で挑発的な有り様のものであった。
ミタル・ミリッチ（英語版）の「Ne Može Nam Niko Ništa」は、男女の愛があらゆる困難に打ち勝つ内容を歌ったものであり、暗にセルビアの国際的孤立の哀感を表したものである。
1994年にイヴァン・ガヴリロヴィッチ（セルビア語版）の曲「200 na sat」（毎時200回）は疾走するスポーツ・カーを歌った内容であり、ターボ・フォークの方向性を確立する内容となった。この曲はクロアチアのロック・バンド、Vatrogasci（英語版） によって「Nema Ograničenja」のタイトルでカヴァーされ、そのコーラス・ラインの中では「ターボ・フォーク」の語が登場する。
やがて、ターボ・フォークはひとつの確立した音楽としてその名前で知られるようになり、ツェツァやミラ・シュコリッチ（セルビア語版）、ドラガナ・ミルコヴィッチらは脚線美を強調したパフォーマンスや禁忌を破る内容でこのジャンルに入り込み、大スターへと成長していった。露出度の高い女性たちによる扇情的な舞台パフォーマンスと歌詞は、セルビアにおいてパフォーマンスとテレビ放送の回数を押し上げる確実な方法であった。
ターボ・フォークは、ユーゴスラヴィアの商業的民俗音楽を強く受け継いでおり、その商業的民俗音楽そのものは、ユーゴスラヴィアでは1970年代から既に大変に人気のある音楽であった。そのため、いつの時代までが商業的民俗音楽で、いつの時代からがターボ・フォークと呼ぶべきものなのかははっきり区分けすることは難しい。
音楽的には、ターボ・フォークと商業的民俗音楽は大変に似通っている。それらは共にロマ音楽や中近東の音楽、トルコの流行音楽、ギリシャの流行音楽、セルビアのブラス・バンドなどの混合であり、ロックや現代の電子音楽などの要素を併せ持っている。
ターボ・フォークと商業的民俗音楽の主な違いは、その視覚面と歌詞の内容の違いである。ターボ・フォークではより外見的な性的魅力を誇示し、露出度の高い服を着て、愛の歌やみだらな内容を暗喩する歌詞が多く登場する傾向にある。
そのため、ターボ・フォークは根本的に商業的民俗音楽と同一のものであり、その違いはパフォーマーの年代の違いでしかないとする見方もある。このような立場からの見解はおおよそ次のようなものである。
レパ・ルキッチ（英語版）やシルヴァナ・アルメヌリッチ（英語版）らによって支えられた1970年代の商業的民俗音楽は、とてもポップで親しみやすく一般受けするものであると自認する。
1980年代にはシーンの頂点はレパ・ブレナやヴェスナ・ズミヤナツ（英語版）らに取って代わられた。彼女らはより高い歌唱力に加え魅力的な外見を持ち、私生活など音楽以外の面でも注目されるようになった。
1990年代から2000年代にかけて、ツェツァやイェレナ・カルレウシャらがその頂点に立ったことは、1980年代までの商業的民俗音楽の流れから言えば自然なことであり、より外見的なものを重視すると言う次の段階に移ったに過ぎない。
前史の歌手 > 1950年代

1954年…シルヴァナ・アルメヌリッチ（英語版）
前史の歌手 > 1960年代

1964年…レパ・ルキッチ（英語版）
1968年…ケマル・マロヴチッチ（英語版）
1969年…シャバン・シャウリッチ（英語版）
前史の歌手 > 1970年代

1972年…ロドリュブ・ロキ・ヴロヴィッチ
1974年…ゾリツァ・ブルンツリク（英語版）
1975年…ミレ・キティッチ（英語版）、ミタル・ミリッチ（英語版）、ナダ・トプチャギッチ（英語版）
1976年…ドラガン・コイッチ・ケバ（英語版）
1978年…シナン・サキッチ（英語版）
1979年…ヴェスナ・ズミヤナツ（英語版）
前史の歌手 > 1980年代

1981年…マリンコ・ロクヴィッチ（英語版）
1982年…レパ・ブレナ
1983年…ズラタ・ペトロヴィッチ（英語版）
1984年…ドラガナ・ミルコヴィッチ、ミロシュ・ボヤニッチ（英語版）
1985年…アナ・ベクタ（英語版）
1987年…サニャ・ジョルジェヴィッチ（英語版）
主な歌手 > 1980年代

1988年…ツェツァ、マルタ・サヴィッチ（英語版）、ミラ・シュコリッチ（セルビア語版）
1989年…バヤ・マリ・クニンジャ、オスマン・ハジッチ（英語版）
主な歌手 > 1990年代

1990年…ナタシャ・ジョルジェヴィッチ（英語版）
1992年…インディラ・ラディッチ、ネデリコ・バイッチ・バヤ（英語版）
1993年…ダーラ・ブバマラ、シャコ・ポルメンタ（英語版）、シニシャ・ヴツォ（英語版）、スザナ・ヨヴァノヴィッチ（英語版）、ヴィキ・ミリコヴィッチ（英語版）
1994年…エルマ・シナノヴィッチ（英語版）、イヴァン・ガヴリロヴィッチ（セルビア語版）、ジェリコ・シャシッチ（英語版）
1995年…イェレナ・カルレウシャ、アツァ・ルカス（英語版）
1997年…ジェリコ・ヨクシモヴィッチ
1998年…ストヤ、サニャ・マレティッチ（英語版）、ティナ・イヴァノヴィッチ（英語版）