stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
国家責任
国際請求 > 法益侵害の存在

国家責任の発生要件（#責任発生要件参照）について、かつて損害または実害の発生が要件のうちに含まれるかについて議論があった。しかし、例えば他国領空の無許可飛行などのように、国際違法行為のなかには実害の発生を必ずしも伴わないものもあるため、損害の発生は国家責任発生の要件とはいえない。一方で、国際違法行為により被害を被った国が加害国に対して国家責任追及を行うためには、損害が存在することが認められなければならない。つまり、損害の発生は国家責任発生要件そのものではないが、他国の国家責任追及のための条件といえる。
国際請求 > 外交的保護

詳細は「外交的保護権」を参照
外国の管轄下において自国民が損害を被った場合、その本国は相手国に対し自国民に救済を与えることを求めた国際請求を提起する権利を有する。この権利を外交的保護権という。ヴァイマル憲法のように外交的保護を受ける国民の権利が国内法上定められる場合もあるが、国際法上はこの権利は国家の権利であり外国管轄下で損害を受けた個人の権利ではない。そのため自国民が損害を主張し外交的保護権行使を求めたとしても、本国が相手国との外交関係の考慮などからあえて権利を行使しない場合もあるし、権利行使により本国が加害国から賠償を受けたとしても、その賠償を自国民救済のためにあてる義務が本国に課されるわけではない。
責任解除

国際違法行為により国家責任が発生した場合、加害国は責任を解除する義務を負い、被害国はその責任を追及する権利を有する。国家は違法行為を行った場合、その違法行為によって生じた損害を賠償しなければならない。以下に賠償方法を具体的に、原状回復、金銭賠償、満足にわけて述べる。
責任解除 > 原状回復

原状回復は、国際違法行為がなされていなければ存在していたであろう状態を回復させることである。国際違法行為による損害救済は基本的に原状回復によってなされる。例えば違法に収容された財産の返還、違法に占領された土地の返還、違法に逮捕・誘拐した外国人の釈放、条約に反する国内法の改廃、などが挙げられる。人命が失われるなどのように原状回復が不可能な場合、原状回復は可能であっても無意味な場合、または被害国が原状回復を望まない場合、以下に述べる原状回復以外の方法による賠償が行われることになる。
責任解除 > 金銭賠償

原状回復が国際法上求められていない場合や、事実上不可能な場合には、損害とつりあった規模の金銭賠償の義務が生じる。違法行為により物質的損害が発生した場合にはよく用いられる手段である。違法行為に重大な過失がともなっていたなど特別に考慮すべき事情がある場合に、英米法では原告が被った損害を超える賠償額支払いを被告に命じる懲罰的損害賠償の制度があるが、国際法においてはこのような賠償制度は採用されておらず、賠償は損失とつりあった規模でなされる。
責任解除 > 外形的行為

国際違法行為による損害が人命や財産といった有形的損害に限られない場合には、外形的行為による救済が行われる。これを満足（サティスファクション）という場合もある。たとえば陳謝、責任者の国内法上の処罰、再発防止の保証、相手国国旗への敬礼といった象徴的行為などがこれに含まれる。加害国が自らこの方式による賠償を行おうとしない場合には、国際裁判所による違法性の宣言判決や、国際機関による非難決議といった方法もとられる。
すずむし荘

| すずむし荘 |
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ホテル概要
正式名称:  天然ラドン馬羅尾天狗岩温泉すずむし荘
設計:  宮本忠長
運営:  Fun Space
階数:  1 - 2階
部屋数:  11室
スイート数:  1室
延床面積:  3,021 m²
駐車場:  普通車120台・大型バス5台
開業:  1992年
最寄駅:  北細野駅・信濃松川駅
最寄IC:  安曇野インターチェンジ
所在地:  〒399-8501 長野県北安曇郡松川村3363-1082
位置:  北緯36度24分41秒 東経137度50分43秒﻿ / ﻿北緯36.41139度 東経137.84528度﻿ / 36.41139; 137.84528座標: 北緯36度24分41秒 東経137度50分43秒﻿ / ﻿北緯36.41139度 東経137.84528度﻿ / 36.41139; 137.84528
公式サイト:  公式サイト
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|  天然ラドン 馬羅尾天狗岩温泉> 温泉情報 |
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泉質:  単純弱放射能温泉
泉温（摂氏）:  30.5
pH:  8.1
液性の分類:  弱アルカリ性
浸透圧の分類:  低張性
外部リンク:  公式サイト（温泉）
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すずむし荘（すずむしそう）は、長野県北安曇郡松川村にある温泉宿（日帰り入浴可）。
施設

当施設は松川村が「松川村温泉施設の設置及び管理に関する条例」に基づき、「地域住民の福祉と健康増進に寄与するとともに農林漁業体験を伴う都市交流等を通じて地域活性化を目指し，保健休養及び触れ合いの場として」（引用）設置する温泉施設である。1991年（平成3年）、温泉の掘削に成功。翌1992年（平成4年）にすずむし荘が開業した。現在の施設運営はFun Space株式会社が担当している。
建物の設計は建築家・宮本忠長による。鉄骨鉄筋コンクリート構造の地上2階建てで、延床面積は3,021平方メートル。館内各所にいわさきちひろや地元の芸術家らによる作品を展示。夏から秋までの期間は飼育しているスズムシの鳴き声をロビーに響かせている。
客室は11室で、収容人数は49人である。内訳は下記の通り。
和室（10畳）：5室
洋室（14畳、最大4人）：5室
特別室（和室8畳に加え洋間）：1室
館内に「レストラン Radice SUZUNE」があり、お昼のみの営業でパスタランチを用意している。宿泊客向けには創作料理で、メインに福味鶏が使用される「スタンダードコース」とアルプス牛が使用される「プレミアムコース」の2種類が用意される。宴会は4人から80人まで対応する。
各サービスごとの定休日は以下の通り。
宿泊：年中無休
日帰り入浴：第4木曜日（祝日であれば営業）
レストラン：木曜日
温泉

当施設の源泉「天然ラドン馬羅尾天狗岩温泉」は、馬羅尾山の地下1,800メートルにあり、そこから当施設まで約5キロメートル引湯している。男風呂・女風呂それぞれに大浴場と露天風呂を設置。宿泊客向けの「ふれあいの湯」もある。
泉質は下記の通り。効能は公式ウェブサイトから引用した。
泉質：単純弱放射能温泉（弱アルカリ性低拡張性泉）
pH：8.1
泉温：セ氏30.5度（常時加温、加水なし、一部掛け流し）
効能：神経痛・筋肉痛・関節痛・五十肩・運動麻痺・関節のこわばり・うちみ・くじき・慢性消化器病・痔疾・冷え性・病後回復期・疲労回復・健康増進・痛風・動脈硬化症・高血圧症・慢性胆嚢炎・胆石症・慢性皮膚病・慢性婦人病
交通アクセス

Clip
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すいせん (フェリー・2代)

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: この項目では、2012年就航の2代目について説明しています。1995年就航の初代については「すいせん (フェリー・初代)」をご覧ください。
| すいせん |
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 西方ヶ岳から望む敦賀湾を航行中のすいせん
基本情報
船種:  フェリー
船籍:   日本
所有者:  新日本海フェリー
運用者:  新日本海フェリー 東京九州フェリー
建造所:  三菱重工業長崎造船所
母港:  小樽港
姉妹船:  すずらん (2代)
信号符字:  7JKP
IMO番号:  9607057
MMSI番号:  431003671
経歴
発注:  2011年2月
起工:  2011年6月
進水:  2012年1月27日
竣工:  2012年6月14日
就航:  2012年6月20日
現況:  就航中
要目
総トン数:  17,382トン
全長:  224.5m
全幅:  26.0m
機関方式:  ディーゼル
推進器:  CRPポッド推進
最大速力:  30.12ノット
航海速力:  27.5ノット
旅客定員:  613名（竣工時） 590名（2023年）
車両搭載数:  トラック158台、乗用車58台
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すいせんは、新日本海フェリーおよび東京九州フェリーが運航しているフェリー。船名は福井県の県花であるスイセンに由来する。本項目では2012年就航の2代目を取り扱う。
概要

先代のすずらん・すいせんの代船として、僚船のすずらんと共に三菱重工業長崎造船所で建造された。香焼工場でフェリーが建造されるのは本船が初で、2隻同時建造、2隻同時の進水命名式実施も初であった。2012年6月14日に新日本海フェリーに引き渡され、6月20日、苫小牧東港発の南行便で敦賀～苫小牧東港航路に就航した。
2003年に建造されたはまなす・あかしあの準同型船で全長、全幅などは同一である。推進器は引き続きCRPポッド推進を採用しているが、航海距離と所要時間のバランスから航海速力は27.5ノットと抑えられている。環境性能が強化されており、先代のすずらん・すいせんと比較して二酸化炭素排出量を25パーセント、窒素酸化物排出量を40パーセント削減した。一方でトラック積載能力は30パーセント増加したほか、2等船室を全て寝台化、露天風呂を設置するなど旅客設備も強化されている。工期短縮のため船体ブロックを大型化しており、船体ブロック数は設計のベースとなったはまなす・あかしあの146ブロックから68ブロックへ半減した。
2022年5月11日から同年6月10日まで、東京九州フェリーのドック代船として新門司～横須賀航路に就航し、同年10月31日より2023年5月6日まで東京九州フェリーの「はまゆう」「それいゆ」と入れ替わり、姉妹船「すずらん」と共に新門司～横須賀航路にて運航している。
船体

「祭りやオープンカフェに居合わせたかのような心弾む船内」をインテリアコンセプトとしている。2020年のドック入り時にはSOxスクラバーを搭載しファンネルが大型のものに交換され、胴体の「Shin Nihonkai」のロゴが東京九州フェリーの船舶と同じ「Cruising Resort」に書き換えられた。
斜め前方から望む船体、敦賀港（敦賀新港のフェリーターミナル）に停泊中
横須賀新港に停泊中の「すいせん」。スクラバー搭載に伴いファンネルが交換されている。
船体 > 船室

2等船室の大部屋は右舷の一部を除き、階段付きの2段寝台を主としたものに変更された。その後2023年に29人定員の和室「ツーリストA・J」部分を用い、「ステートルーム・ウィズペット」3室に変更し全室寝台式としている。
| クラス | フロア | ベッド種別 | 部屋数 | 定員 | 設備 |
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| スイートルーム 「Avignone」 「Barcellona」 | 6F | ツイン | 2室 | 2名 | バス・シャワートイレ・洗面所・テレビ・ DVDデッキ・冷蔵庫・ロッカー・テラス |
| ジュニアスイート | 6F | ツイン | 2室 | 2名 | バス・シャワートイレ・洗面所・テレビ・ DVDデッキ・冷蔵庫・ロッカー・テラス |
| デラックスルームA | 6F | ツイン | 19室 | 2名 | バス・シャワートイレ・洗面所・テレビ・ 冷蔵庫・ロッカー・テラス |
| デラックスルームA | 6F | 和室 | 6室 | 3名 | バス・シャワートイレ・洗面所・テレビ・ 冷蔵庫・ロッカー・テラス |
| ステートルームA | 5F | ツイン | 36室 | 2名 | 洗面所・シャワートイレ・テレビ・ 冷蔵庫・ロッカー |
| ステートルームA | 5F | 和室 | 20室 | 3名 | 洗面所・シャワートイレ・テレビ・ 冷蔵庫・ロッカー |
| ステートルームA | 5F | 2段ベッド | 16室 | 4名 | 洗面所・シャワートイレ・テレビ・ 冷蔵庫・ロッカー |
| ステートルームA | 4F | ウィズペット | 3室 | 2名 | 洗面所・シャワートイレ・テレビ・ 冷蔵庫・ロッカー |
| ツーリストS | 4F | ベッド | 2室 | 12名 | 荷物棚・テレビ |
| ツーリストA | 4F | ベッド | 19室 | 10名×14室 26名×5室 | 荷物棚 |
| ドライバー室 | 4F | ベッド | 5室 | 8名 | サロン・荷物棚・テレビ |
| ステートH | 4F | ツイン | 1室 | 2名 | バリアフリー対応個室 |
| デラックスH | 4F | ツイン | 1室 | 2名 | バリアフリー対応個室 |
寝室
船体 > 船内設備

供食・物販設備
グリル「ダフネー」
レストラン「バッカス」
カフェ「アリアドネ」
売店
自動販売機
入浴設備
大浴場
露天風呂
サウナ
オープンスペース
エントランス
プロムナード
フォワードサロン「ポセイドン」
ドッグフィールド（冬季閉鎖）
娯楽設備
コンファレンスルーム
ゲームコーナー
スポーツルーム
アミューズボックス（カラオケ、DVD鑑賞）
事故・インシデント > 漁船との衝突

2015年11月15日、17時48分ごろ、苫小牧港へ向かっていた本船は、津軽海峡を航行中、恵山岬灯台の東南約2.2海里の地点で、漁船第三十八瀧丸と衝突した。本船の右舷船首部が第三十八瀧丸の左舷船首部に衝突、本船は右舷船首部に擦過傷を生じ、第三十八瀧丸は船首部に凹損などを生じた。本船は衝突を認識しておらず、海上保安庁からの照会および船体への塗料の付着で衝突が判明した。事故原因は、北東へ航行する本船が左転中、見張り不十分で第三十八瀧丸の船首方を横切ることができると考えて航行したこと、第三十八瀧丸は本船が船尾方を避航と考え、衝突回避の協力動作をとらなかったため、とされた。
稗貫種重

|  凡例稗貫種重 |
| --- | --- |
時代:  室町時代
生誕:  不明
死没:  不明
官位:  大和守
幕府:  室町幕府
氏族:  稗貫氏
父母:  稗貫為隆
子:  実子：なし 養子：晴家
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稗貫 種重（ひえぬき たねしげ）は、室町時代の武将、稗貫家当主。諱は稙重とも。
来歴

稗貫種重には子がなく、葛西宗清の子稗貫晴家を迎え入れた。種重の死後、晴家が稗貫家を継いだが、晴家にも子がなく、以降養子が相次いで稗貫家は衰退した。
さんどまき

| さんどまき |
| --- | --- |
 大字
 さんどまきさんどまきの位置 （座標は神戸まちづくりセンター）
 北緯35度11分18.82秒 東経138度42分45.09秒﻿ / ﻿北緯35.1885611度 東経138.7125250度﻿ / 35.1885611; 138.7125250
国:   日本
都道府県:   静岡県
市町村:   富士市
人口（2020年（令和2年）7月1日現在）
 • 合計:  774人
等時帯:  UTC+9 (日本標準時)
郵便番号:  417-0856
ナンバープレート:  富士山
さんどまきは、静岡県富士市の大字。丁番を持たない単独町名である。地名の元となった地域は、旧駿河国富士郡三ツ沢村字三度蒔、静岡県富士郡原田村大字三ツ沢字三度蒔、吉原市三ツ沢字三度蒔、富士市三ツ沢字三度蒔。郵便番号は417-0856。
2020年（令和2年）5月4日、神戸土地区画整理事業に伴い、三ツ沢、神戸、富士見台の一部から分離されて大字として成立した。北部ブロック・神戸地区に属する。
地理

市の中央部に位置する。全域が区画整理された住宅地となっている。「空かぐや通り」が町域の西側で南西から北東を縦貫し、「遊然の里通り」が北東から西へ伸び、空かぐや通りと交叉するところまで続く。町域からは外れるが、富士市立神戸小学校はすぐ北である。
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 三ツ沢字三度蒔 | 神戸字寺下 | 神戸 |  |
|  | 富士見台一丁目 |  | 三ツ沢 |  |
|  | 富士見台一丁目 |    さんどまき    | 三ツ沢 |  |
|  | 富士見台一丁目 |  | 三ツ沢 |  |
|  | 富士見台一丁目・三ツ沢字三度蒔 | 三ツ沢字治郎畑 | 三ツ沢字三度蒔 |  |
歴史 > 年表

1889年（明治22年）3月1日 - 町村制施行に伴い、三ツ沢村と原田村が合併し原田村が発足。
1955年（昭和30年）2月11日 - 新設合併により生れた新・吉原市の一部となる。
1966年（昭和41年）11月1日 - 新設合併により生れた富士市の一部となる。
2020年（令和2年）5月4日 - 神戸土地区画整理事業に伴い、三ツ沢、神戸、富士見台の各一部が分離されてさんどまきが成立する。
歴史 > 町名の由来

「三度蒔」という地名の由来は、1193年（建久4年）5月に源頼朝が富士の巻狩りを行った際、陣地に幕を三重に巻いたという伝承に由来し、いつの頃からか「巻」が「蒔」に変ったと言われている。長らく三ツ沢の小字の一つとして存在していた。
大正年間に編纂された『原田村誌』は次のように記している。
歴史 > 大字の誕生

2000年（平成12年）から開始された「神戸土地区画整理事業」に伴う新町名の設置に当り、富士市では新町名を、地区の住民の公募と富士市立神戸小学校3・4年生の案から選定することを決定。地区では応募のあった75案を、ワークショップで「若葉」「さんどまき」「草笛」の3案に絞り込んだ。
一方で神戸小の生徒も、地域の歴史や移り変わり、土地区画整理事業の仕組みなどを学習した後、投票により「遊然の里」「空かぐや」の2案を選出した。従来の「三度蒔」ではなく、平仮名の「さんどまき」を候補としたのは、「できるだけ書きやすいように」との理由による。
2018年（平成30年）11月、神戸地区文化祭で新地名総選挙が行われ、新町名「さんどまき」が決定した。平仮名のみの町名は県内で初めてとなる。また、小学生が考えた2案は、地区内に新たに開通した2本の市道の愛称として残されることとなった。
尚、旧来の三ツ沢字三度蒔は、同じく一部をさんどまきに吸収された三ツ沢字治郎畑、神戸字寺下と同じく、区画整理後も完全に消滅はせず残存している。
世帯数と人口

2020年（令和2年）7月現在の、世帯数と人口は以下の通りである。
| 町丁 | 世帯数 | 人口 |
| --- | --- | --- |
| さんどまき | 291世帯 | 774人 |
小・中学校の学区

市立小・中学校に通う場合、学区は以下の通りとなる。
| 町丁 | 町内会 | 小学校 | 中学校 |
| --- | --- | --- | --- |
| さんどまき | 神戸1 | 富士市立神戸小学校 | 富士市立吉原北中学校 |
|  |  | 富士市立神戸小学校 |  |
施設

ごうど公園
さんどまき公園
神戸まちづくりセンター
道路

空かぐや通り
遊然の里通り
楠味鋺

| 楠味鋺 |
| --- | --- |
 町丁
 楠味鋺楠味鋺の位置愛知県の地図を表示楠味鋺楠味鋺 (名古屋市)名古屋市の地図を表示
 北緯35度13分10.72秒 東経136度55分48.51秒﻿ / ﻿北緯35.2196444度 東経136.9301417度﻿ / 35.2196444; 136.9301417
国:   日本
都道府県:   愛知県
市町村:   名古屋市
区:  北区
支所:  楠支所
町名制定:  1990年（平成2年）10月15日
人口（2019年（平成31年）1月1日現在）
 • 合計:  5,714人
等時帯:  UTC+9 (日本標準時)
郵便番号:  462-0014
市外局番:  052 (名古屋MA)
ナンバープレート:  名古屋
 楠味鋺の位置
楠味鋺（くすのきあじま）は、愛知県名古屋市北区にある町名。現行行政地名は楠味鋺一丁目から楠味鋺五丁目。住居表示未実施。
地理

名古屋市北区の北西部に位置し、北は楠・春日井市中新町、東は東味鋺、西は中味鋺に接する。また、楠町大字味鋺を挟んで南北に分かれている。
歴史 > 町名の由来

かつての楠町大字味鋺の中心地であることによる。
歴史 > 沿革

1990年（平成2年）10月15日 - 北区楠町大字味鋺の一部より、同区楠味鋺一～五丁目が成立。
世帯数と人口

2019年（平成31年）1月1日現在の世帯数と人口は以下の通りである。
| 丁目 | 世帯数 | 人口 |
| --- | --- | --- |
| 楠味鋺一丁目 | 451世帯 | 1,095人 |
| 楠味鋺二丁目 | 284世帯 | 762人 |
| 楠味鋺三丁目 | 561世帯 | 1,422人 |
| 楠味鋺四丁目 | 450世帯 | 989人 |
| 楠味鋺五丁目 | 637世帯 | 1,446人 |
| 計 | 2,383世帯 | 5,714人 |
世帯数と人口 > 人口の変遷

国勢調査による人口の推移
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1995年（平成7年） | 5,335人 |  |  |
| 2000年（平成12年） | 5,526人 |  |  |
| 2005年（平成17年） | 5,580人 |  |  |
| 2010年（平成22年） | 5,680人 |  |  |
| 2015年（平成27年） | 5,697人 |  |  |
| 2020年（令和2年） | 5,603人 |  |  |
学区

市立小・中学校に通う場合、学校等は以下の通りとなる。また、公立高等学校に通う場合の学区は以下の通りとなる。
| 丁目 | 番・番地等 | 小学校 | 中学校 | 高等学校 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 楠味鋺一丁目 | 全域 | 名古屋市立味鋺小学校 | 名古屋市立北中学校 | 尾張学区 |
| 楠味鋺二丁目 | 全域 | 名古屋市立味鋺小学校 | 名古屋市立北中学校 | 尾張学区 |
| 楠味鋺三丁目 | 全域 | 名古屋市立味鋺小学校 | 名古屋市立北中学校 | 尾張学区 |
| 楠味鋺四丁目 | 全域 | 名古屋市立味鋺小学校 | 名古屋市立北中学校 | 尾張学区 |
| 楠味鋺五丁目 | 全域 | 名古屋市立味鋺小学校 | 名古屋市立北中学校 | 尾張学区 |
交通

愛知県道161号名古屋豊山稲沢線
施設

略地図
 名古屋市立味鋺小学校
 名古屋楠郵便局
 味鋺神社
 護国院
 首切り地蔵
 あじま診療所
 JAなごや味鋺支店
 楠地区会館
 味鋺コミュニティセンター
 東八龍社
 オアシスあじま保育園
 楠味鋺公園
 味鋺公園
施設 > 楠味鋺二丁目

味鋺神社
護国院
味鋺神社
護国院
施設 > 楠味鋺三丁目

名古屋市立味鋺小学校
首切り地蔵
あじま診療所
JAなごや味鋺支店
楠地区会館
味鋺コミュニティセンター
名古屋市立味鋺小学校
首切り地蔵（2013年9月）
あじま診療所（2013年6月）
JAなごや味鋺支店（2013年9月）
楠地区会館（2018年9月）
施設 > 楠味鋺五丁目

名古屋銀行味鋺支店
名古屋楠郵便局
名古屋市味鋺保育園
名古屋銀行味鋺支店（2018年11月）
名古屋市味鋺保育園（2013年12月）
その他 > 日本郵便

郵便番号 : 462-0014（集配局：名古屋北郵便局）。
牟田太陽

| 牟田 太陽 |
| --- | --- |
 JMCAホールにて（2023年）
生誕:   (1972-11-18) 1972年11月18日（51歳） 川崎市麻生区
国籍:   日本
職業:  日本経営合理化協会理事長
代表作:  「後継者」という生き方 幾代もの繁栄を築く 後継社長の実務と戦略
公式サイト:  日本経営合理化協会 牟田太陽公式サイト 日本経営合理化協会
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牟田 太陽（むた たいよう、1972年〈昭和47年〉11月18日 - ）は、日本の実業家、経営者。日本経営合理化協会理事長。
略歴

神奈川県川崎市出身。大学卒業と同時に、単独、日本人が一人もいないアイルランドの村に飛び込み、和食レストランを立ち上げ、大成功を収めた。帰国後、日本経営合理化協会に入協。以来、経営ノウハウ、思想哲学を伝える社長実務セミナー「実学の門」、少人数の私塾「無門塾」「地球の会」、後継者育成の「後継社長塾」など、数多くの勉強会を企画・運営する。
20歳代から触れ合うほとんどの人物が経営者や一流コンサルタント、著名人という環境の中で、経営の手腕を磨き、企画部長、専務理事を経て、2017年7月より現職。オーナー企業の経営者、後継者との交流が非常に広く、事業継承特有の問題に関しても、多岐に亘る経験を持つ。
現在、牟田學の「実学の門」「無門塾」を引継ぎ、現在、講師を務める。2019年12月より静岡県立大学、2021年6月より明治大学にてゲスト講師を務める。。
著書に『幾代もの繁栄を築く 後継社長の実務と戦略』（PHP研究所）、『「後継者」という生き方』（プレジデント社）。ポッドキャスト「牟田太陽の社長業ネクスト」配信中。
著書

『幾代もの繁栄を築く 後継社長の実務と戦略』（PHP研究所）
『「後継者」という生き方』（プレジデント社）
因子 (代数幾何学)

因子（いんし; divisor）とは、代数幾何学や複素幾何学において、代数多様体（または複素解析空間）の余次元1の部分多様体の形式的有限和のことをいう。因子は、代数多様体や解析空間上の有理関数あるいは有理型関数の極や零点の分布を表すために用いられる（概説参照）。線形同値な因子の空間である線形系を考えることは、射影空間への有理写像を考えることと1対1に対応しているので、代数多様体（または複素解析空間）の代数幾何的な性質・情報を取り出すときに欠かせない概念である。
概説

因子が代数幾何（あるいは複素幾何）で演じる役割については、代数曲線（あるいは、コンパクトなリーマン面）の場合を見ればおおよそ理解する事が出来る。C を代数関数 f(z1 , z2) = 0 から定まるコンパクトリーマン面（あるいは、f(z1 , z2) = 0 で定まる平面曲線の特異点解消）とするとき、C 上の有理型関数全体（あるいは、代数関数全体）M(C) は、1変数有理関数体 K = C(z1) の f による拡大 K[z2] / (f) と同型である事がわかる。特に、C 上の有理型関数全体 M(C) は C 上のベクトル空間として無限次元である。M(C) は体論的に明確な形で既述される体であるとはいえ、コンパクトリーマン面の幾何的な性質を調べるには不十分である。
例えば、ひとつの重要な問題としては、任意にコンパクトリーマン面 C を与えたときに、M(C) に複素定数でない元が含まれるか、すなわち C 上に自明でない有理型関数が存在するか、という問題がある（コンパクトリーマン面の代数性、GAGA参照）。この問題は、より強く、C 上のある 1点 P に極を許し、その他の点では正則な有理型関数が存在できるか、という問題と同値である。C 上 P のみに極を持つ有理型関数の全体を R(P) とすると、これは M(C) の部分環になるが、結論から言うとこれも C 上有限次元にはならない。ところが、Pに高々 n 位の極をもち、他の点では正則な有理型関数全体を L(nP) で表すと  R(P)=\bigcup _{n=0}^{\infty }L(nP) であるが、L(nP) は C 上有限次元のベクトル空間になる。0 でない有理型関数 f に対して、点 P での位数 vP(f) を、f が点 P で n 位の零点を持つとき n 、n 位の極を持つとき -n  と定める（ f = 0 の時は、全ての P に対して vP(f) = +∞ と約束する）。D をC 上の有限個の点の整数係数の型式和 n1P1 + ... + nmPm に対しても、同語反復的に vP(D) を P = Pi のとき ni 、P がどの Pi とも一致しないときは 0 と定める。そして、
とおくと、これは L(nP) の一般化になっており、このベクトル空間はいつでも C 上有限次元になる。ここに現れた D が C 上の因子である。
リーマン・ロッホの定理によれば、ある種の場合 L(D) の次元は明示的に計算可能である。C の種数 が 0 の時には、空間 L(nP) の次元は n が非負のとき n + 1 次元になる事が分かり、特に n =1 のときを見ると C には1位の極をひとつだけもった有理型関数（すなわちリーマン球面  \mathbb {P} _{\mathbf {C} }^{1} への正則写像）が存在する事になるので、C は常に  \mathbb {P} _{\mathbf {C} }^{1} と同型になる事がわかる。種数が 1 の時には、 L(nP) の次元が n が正の時 n になることがわかる。従って、種数が 1 のコンパクトリーマン面上にはある 1 点に極を持つ定数でない有理型関数はその極の位数が 2 の時に初めて現れる（これを f とおく）ことがわかり、これとは1次独立なもの g が位数が 3 の時にもひとつ存在することもわかる。すなわち、L(3P) は 1 , f , g の 3つで C 上張られるベクトル空間である。対応
は正則写像 C →  \mathbb {P} _{\mathbf {C} }^{2} を定める。さらに、L(6P) をみれば 、これら2つの有理型関数はある2変数の3次式 F(z1 , z2) に対して F(f , g)=0 となる、つまり、上記正則写像の像が3次曲線 F = 0 に含まれている事もわかる。このようにして、種数 1 のコンパクトリーマン面は、平面上の3次曲線に対応していることがわかり、ここで現れた位数が 2 の極を持つ有理型関数 f はワイエルシュトラスのペー関数に他ならない。
このように、与えられた多様体に対して、その上の因子 D と、それから定まる有理型関数の空間 L(D) （特にその次元）は多くの幾何学的情報を含んでいるのであり、特に、射影多様体の射影空間への正則写像（一般には有理写像）を考える事と L(D) を考える事は同値である。コンパクトな（固有な）代数多様体上では空間 L(D) が有限次元のベクトル空間になる事から、正則写像を調べる問題を有限次元のベクトル空間のマニピュレーションに帰着できるのである。
ヴェイユ因子

X を既約かつ被約で分離的な正規ネータースキームとする（分離的な代数多様体は既約かつ被約なネーター的スキームであるから、正規で分離的代数多様体を考えていると思って差し支えない）。Z を dim Z = dim X - 1 、つまり余次元が 1 の既約で被約な閉部分スキーム（既約な閉部分代数多様体）とする。このような閉部分スキームを素因子 (prime divisor)  とよぶ。X 上のヴェイユ因子 (Weil divisor) とは、 有限個の素因子 Zi の有限型式和
の事を言う。単にヴェイユ因子といった場合は通常、係数 ai は整数である。このとき D の次数 (degree) を \deg(D)=\sum _{i}a_{i} により定める。係数 ai が有理数のときは、Q-ヴェイユ因子、 実数の時には R-ヴェイユ因子と呼ぶ。ヴェイユ因子、Q-ヴェイユ因子、R-ヴェイユ因子を単に因子、Q-因子、R-因子と呼ぶ事も多い。ヴェイユ因子、Q-ヴェイユ因子、あるいはR-ヴェイユ因子 D のすべての係数 ai が非負のとき、D は有効 (effective) であるといい、D ≥ 0 と書く。ヴェイユ因子（または、Q-ヴェイユ因子、R-ヴェイユ因子）の全体は 自由Z-加群（Q-ベクトル空間、R-ベクトル空間）の構造を持つ。これを Div (X)（または DivQ (X) , DivR (X) ）で表す。また次数0のヴェイユ因子全体はこの群の部分群をなす。これを Div0 (X) で表す。
X 上の素因子 Z をひとつ取ったとき、Z と交わりが空でないアフィン開部分スキーム U = Spec (A) を取ると、Z は環 A の高さが1の素イデアル P に対応する （つまり、Z の高さ 1 の生成点 P をとり、U = Spec (A) として P を含むアフィン開部分スキームを取った）。この素イデアル P での A の局所化 AP は1次元正規ネーター局所環であるので、関数体 k(X) の離散付値環になる。対応する離散付値を vZ で表す。AP の極大イデアルも P で表すとき、有理関数 f に対して vZ(f) は、f ∈ Pd であるが f ∉ Pd+1 となる d に等しい。すなわち、f が Z に沿ってどのぐらいの重複度を持っているか（正の時には零、負の時には極）、もっと砕けた言い方をすれば「f が P で何回割り切れるか」に対応する値である。f を A の元 g , h を用いて f = g / h と表したとき、vZ(f) > 0 ならば g ∈ P でなくてはならないし、vZ(f) > 0 ならば h ∈ P でなくてはならない。A の元 g に対して g ∈ P となる P は有限である（付随素因子の有限性、準素分解参照）。同様に h ∈ P となるPも有限。したがって、f に対して vZ(f)　≠ 0 となる Z で Z ∩ U ≠ ∅ となるものは有限である。X はネーター的と仮定したから、X は有限個のアフィンスキームで覆われるので、結局 vZ(f) ≠ 0 となる素因子 Z は有限である。そこで、f に対して
は有限和になるので因子になる。これを f で定まる主因子 (principal divisor) と呼ぶ。主因子は常に次数0をもつ。(fg)=(f)+(g), -(f)=(1/f) より主因子の全体は群（特に Div0 (X) の部分群）をなす。2つの因子 D , E が線形同値 (linearly equivalent) であるとは、D - E が主因子となることと定義し、D 〜 E で表す。因子 D 自身の係数がすべて非負でなくても、D がある有効因子と線形同値になるとき、簡単のため言葉の濫用によって「D は有効である」と言うことがある（下記#線形型と有理写像参照）。
ヴェイユ因子の線形同値類からなる群をピカール群 Pic (X) という。主因子の全体は Div0 (X) の部分群であるから、Div0 (X) の線形同値類からなる群も定義され、この群を Pic0 (X) であらわす。Pic0 (X) をピカール群という場合もある。
カルティエ因子

ヴェイユ因子は、代数多様体の付値論的な観点から見て自然な因子の取り扱いであり、その直感的な意味もとらえやすいが、正規スキームの上でしか上手く働かないこと、また、スキーム（代数多様体）の射に関する引き戻しが一般に定義できないなど不満足な点もある。これら欠点を補うのがカルティエ因子の概念である。
X を既約で被約な分離的スキームとする。X が既約かつ被約であることによりその関数体 k(X) が定義される。X のアフィン有限開被覆 X = ∪ Ui および 関数体の元 gi が与えられたとき、組  {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\}_{i} がカルティエ因子 (Cartier divisor) であるとは gi / gj が Ui ∩ Uj 上零点も極も持たない、すなわち、Ui ∩ Uj = Spec Aij と書いたとき、gi / gj が Aij の可逆元になることである。2つのカルティエ因子 {(Ui , gi)} , {(Vi , hi)} は Ui ∩ Vj 上 gi / hj が極も零点も持たないとき、これを同一視する。カルティエ因子  {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\}_{i} において、gi が正則であるとき、すなわち、gi ∈ Ai （ただし、Ui = Spec Ai）となるとき、有効 (effective) であるという。ある有理関数 g に対して {(Ui , g)} で定まるカルティエ因子を主因子 (principal divisor) といい、(g) で表す。カルティエ因子  {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\},\;{\mathcal {E}}=\{(V_{j},h_{j})\} に対してその和や差  {\mathcal {D}}\pm {\mathcal {E}} を  \{(U_{i}\cap V_{j},g_{i}\cdot h_{j}^{\pm 1})\} で定義すれば、X 上のカルティエ因子全体 CDiv (X) は主因子 (1) を零元とするアーベル群になる。 2つのカルティエ因子  {\mathcal {D}},\;{\mathcal {E}} はその差  {\mathcal {D}}-{\mathcal {E}} が主因子になるとき線形同値 (linearly equivalent) であるといい、 {\mathcal {D}}\sim {\mathcal {E}} で表す。有効なカルティエ因子  {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\}_{i} に対して、 V\cap U_{i}=V(g_{i})（giを含む素イデアル全体のなす閉集合）で定まる X の閉部分集合 V を  {\mathcal {D}} の台 (support) といい、 {\mbox{supp }}{\mathcal {D}} で表す。任意のカルティエ因子  {\mathcal {D}} は2つの有効なカルティエ因子  {\mathcal {D}}_{1},{\mathcal {D}}_{2} の差  {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{1}-{\mathcal {D}}_{2}として一通りにかけるので、その台を  {\mbox{supp }}{\mathcal {D}}={\mbox{supp }}{\mathcal {D}}_{1}\cup {\mbox{supp }}{\mathcal {D}}_{2} で定める。
f : Y → X をスキームの射とし、 {\mathcal {D}} を X 上のカルティエ因子で、その台が f の像の閉包に含まれないものとするとき、Y 上の開被覆 {f -1(Ui)} の細分になるアフィン有限被覆 {Vj } を取るとき、Vj ⊂ f-1(Ui) なら  h_{j}=f^{*}(g_{i})_{|V_{j}} と置けば、 f^{*}{\mathcal {D}}=\{(V_{j},h_{j})\} で f による  {\mathcal {D}} の引き戻し (pull-back) が定義される。
さらに、X が既約で被約な正規分離的ネータースキームであるとする。X 上のカルティエ因子  {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\}_{i} に対して主因子 (gi) を考えると、カルティエ因子の定義から、Ui ∩ Uj 上で (gi) = (gj) が成り立つ。素因子 Z に対して Z ∩ Ui ≠ ∅ となる i を選んで  v_{Z}({\mathcal {D}})=v_{Z}(g_{i}) と定めるとこれは i の選び方によらないので、 {\mathcal {D}} に対応するヴェイユ因子
が矛盾無く定義される。従って、既約かつ被約な分離的正規ネータースキーム上では、カルティエ因子は、ヴェイユ因子であって、任意の点の近傍で (有理関数) = 0 の形の単項な局所方程式を持つようなものと言い換えることができる。この対応で、カルティエ因子の和・差は対応するヴェイユ因子の和・差に対応する。
さらに、Xが局所分解的 (locally factorial)、すなわち、各点での局所環（座標環の任意の点に対応する素イデアルでの局所化）が素元分解整域になるようなスキームであるとする。素元分解整域上、高さが 1 の素イデアルは単項イデアルであるので、任意の素因子 Zi は各点の周りで、既約元 pi を使って (pi) の形に表される。従って、一般のヴェイユ因子 D = ∑ ai . Zi に対しては、アフィン開集合 U 上
と定めれば U 上で D = (gU) となる。よって、X が局所分解的な場合はヴェイユ因子はカルティエ因子になる、すなわち、ヴェイユ因子とカルティエ因子の概念は同じものである。たとえば、X　が非特異であるとき、定義により、各点の局所環は正則局所環であるが、正則局所環は素元分解整域であるから、非特異な被約で既約な分離的ネータースキーム上ではヴェイユ因子とカルティエ因子は等価である。
しかし、一般にはヴェイユ因子はカルティエ因子になるとは限らない。ヴェイユ因子（または Q-ヴェイユ因子） D に対して、十分大きな自然数 n を取ると nD がカルティエ因子になるとき、D は Q-カルティエ因子 (Q-Cartier divisor) であるという。任意のヴェイユ因子が Q-カルティエ因子になる代数多様体 X は Q-分解的 (Q-factorial) と呼ばれる。
直線束と因子

既約で被約な分離的スキーム X 上のカルティエ因子  D=\{(U_{i},g_{i})\}_{i} に対して、層  {\mathcal {O}}_{X}(D) を
で定まる定数層 k(X) の部分層とすると、hij = gj / gi は零も極も持たないので、 {\mathcal {O}}_{X}(D) は {hij}  を変換関数とする可逆層（invertible sheaf; あるいは、スキーム X が体上定義されているときは直線束 (line bundle) と言っても同じ）になる。線形同値なカルティエ因子が定める変換関数は同じものになるから、線形同値なカルティエ因子は同型な可逆層を定める。
逆に、可逆層  {\mathcal {L}} が与えられたとき、層  {\mathcal {L}}\otimes k(X) の切断 s を  {\mathcal {L}} の有理切断 (rational section) という（スキーム X が体上定義されているときは、有理切断は {\mathcal {L}} に対応する直線束 π : L → X に対して、有理写像 s : X → L で π ◦ s = idX をみたすものにほかならない）。 {\mathcal {L}} の自明化  {\mathcal {L}}_{|U_{i}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{i}} で 0 でない有理切断 s が Ui 上に定める有理関数を si とすると、組 {(Ui , si)} はカルティエ因子を定める。この因子を (s) と書くことにする。別の 0 でない有理切断 t が与えられれば、有理関数 g が存在して t = g.s と書けるので (t) = (s) + (g)、つまり、(t) と (s) は線形同値なカルティエ因子である。
カルティエ因子  D=\{(U_{i},g_{i})\}_{i} から定まる可逆層  {\mathcal {O}}_{X}(D) に対しては自明化は
で定まっているので、埋め込み  {\mathcal {O}}_{X}(D)\subset k(X) によって k(X) の単位元 1 から定まる有理切断 s に付随する因子 (s) はもとのカルティエ因子 D と一致する。従って 2つのカルティエ因子 D, E に対して、対応する可逆層  {\mathcal {O}}_{X}(D),\;{\mathcal {O}}_{X}(E) が同型であれば、D と E は線形同値である。
X の可逆層（あるいは、直線束）の全体 Pic (X) はテンソル積を加法、 {\mathcal {O}}_{X}を単位元、双対を逆元とする演算によってアーベル群になる。これを X のピカール群 (Picard group) と呼ぶ。カルティエ因子 D, E に対して {\mathcal {O}}_{X}(D+E)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(E)、 {\mathcal {O}}_{X}(-D)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)^{\vee }が成り立つので、アーベル群の同型
がある。
さらに X が正規かつネーター的と仮定すると、カルティエ因子（に対応するヴェイユ因子）D に対して、それから定まる可逆層  {\mathcal {O}}_{X}(D) の定義は
と書き換えられる。したがって、カルティエとは限らないヴェイユ因子 D に対してもこの定義式によって層  {\mathcal {O}}_{X}(D) が定義される。D がカルティエでないときは、この  {\mathcal {O}}_{X}(D) は可逆層にならないが、X の滑らかな点全体のなす開集合 U = X に制限すると可逆層になる。X が正規であるので、X \ U の X での余次元は 2 以上であることから、 {\mathcal {O}}_{X}(D) は階数が 1 の反射的層 (reflexive sheaf) である。このことから、k(X) の階数1の反射的部分層を与えることとヴェイユ因子を与えることは同値であり、階数1の反射的部分層の同型類はヴェイユ因子の線形同値類と1対1に対応していることがわかる。
線形系と有理写像

X を体 k 上定義された正規代数多様体とし、D をその上のヴェイユ因子とする。D に付随する完備線形系 (complete linear system) | D | とは D と線形同値な有効因子全体のなす空間のことである。L(D) を層  {\mathcal {O}}_{X}(D) の大域切断のなす k-ベクトル空間  \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)) とすると、
であるから、E ∈ | D | は L(D) に属する有理関数 f を用いて
と書ける。主因子 (f) は f の定数倍の差に拠らないから、| D | は L(D) に付随する射影空間  \mathbb {P} L(D) と同一視される。L(D) の部分線形空間 V をとると、それに対応して部分射影空間 Λ ⊂ | D | が定まる。このようにして定まる Λ を線形系 (linear system) という。
いま、線形系 Λ に属する因子 D に対して  L(D)=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)) が有限次元であると仮定する。たとえば、この仮定は X が体 k 上固有 (proper) であればつねに満足される。このとき、Λ ⊂ | D | はともに有限次元の射影空間となる。X の点 p に対して、 \Lambda _{p}=\{E\in \Lambda \mid p\in E\} を対応させる対応を考えると、一般の位置にある p に対しては Λp は Λ の超平面になるので、有理写像
が定まる。
X の点 p が有理写像  \varphi _{\Lambda } の不確定点（写像が定義できない点）であることは、Λ に属する任意の有効因子が点 p を通ることと同値である。そこで、Λ の基点（base point、 あるいは固定点; fixed point ともいう）のなす部分集合 Bs Λ を
で定めると、これは X の閉集合になる。Bs Λ は余次元1の既約成分（素因子）を含んでいるかもしれない。線形系 Λ に対してその固定部分 (fixed part) F を、任意の E ∈ Λ に対して E - F が有効因子になるような F のうち（各素因子の係数が）最大のものとする。このとき、線形系 M = Λ - F = { E - F | E ∈ Λ } の基点の集合は素因子を含まない。この M を線形系 Λ の可動部分 (movable part, mobile part) とよぶ。固定部分を持たない線形系を可動な線形系と呼ぶ。
正規代数多様体 X から射影空間への有理写像  F:X-\to \mathbb {P} _{k}^{n} を取ると、 \mathbb {P} _{k}^{n} の超平面 H はカルティエ因子であり、引き戻し  F^{*}H が F の定義域 U ⊂ X 上で定義される。X が正規である事から X \ U の余次元は2以上であるので、これは X 上のヴェイユ因子を定める。超平面が双対射影空間  H\in \mathbb {(} \mathbb {P} _{k}^{n})^{\vee }をわたるときの  \Lambda =\{F^{*}H\mid H\in \mathbb {(} \mathbb {P} _{k}^{n})^{\vee }\} は線形系をなす。F の像が  \mathbb {P} _{k}^{n} の部分射影空間に含まれないとすると、dim Λ = n となり、Λ は固定部分を持たない、すなわち、可動な線形系であり、 \varphi _{\Lambda }=F となる。このようにして、可動な線形系は、射影空間への有理写像であって、像が非退化（どんな超平面にも含まれない）なものと1対1に対応している。線形系 Λ の基点集合 Bs Λ が空集合であるとき、自由（free あるいは、基点をもたない base point free）であるという。自由な線形系は、射影空間への非退化な像を持つ射と1対1に対応する。自由な線形系に属する因子は、射影空間の超平面因子の引き戻しで書けるので、カルティエ因子である。
部分空間 V ⊂ L(D) に対応する線形系 Λ が自由である事は、自然な層の準同型
が全射になることと言い換えられる。これを  {\mathcal {O}}_{X}(D) は V で生成される (generated by V) と言う。
より一般に、スキーム S 上有限型な被約で既約なスキーム  f:X\to S 上のカルティエ因子 D に対して  f_{*}{\mathcal {O}}_{X}(D) が連接層になると仮定する。たとえば、f が固有射のときはいつでもこの仮定は成り立つ。いま、部分連接層  {\mathcal {V}}\subset f_{*}{\mathcal {O}}_{X}(D) に対して自然な準同型
が全射になるとき、 {\mathcal {O}}_{X}(D) は S 上  {\mathcal {V}} で生成されるという。このときも、体 k 上で考えていた場合と同じく、S スキームの射
であって、 {\mathcal {O}}_{X}(D)=\varphi _{\mathcal {V}}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {V}})}(1)となるものが定まる。
代数曲線の因子

C が非特異な代数曲線の場合、因子は
の形の形式的和である。ただし n P は有限個の点 P を除いて0であるとする。
L(D) の次元を l(D) とかく。D ≤ E ならば L(D) は L(E) の部分空間で、
が成り立つ。また D と E が線型同値ならば l(D) = l(E) が成り立つ。
deg(D)<0 ならば L(D) に属する有理関数は 0 しかない。また L(0) は定数関数全体と一致する。
deg(D) ≥ 0 ならば
が成り立つ。また、 D によらない整数 g が存在し、つねに
が成り立つ。このような性質を満たす最小の整数 g は C の種数と一致する。
局所助変数（英語版） t に対し、有理型1形式 ω = f dt ≠ 0 の因子 (ω) を (ω) = (f) で定義する。この因子は局所助変数の取り方によらずに定まる。大域的な有理型1形式の因子を標準因子 (canonical divisor) と呼ぶ。任意の有理型1形式の因子は線型同値なので、標準因子は線型同値を除いて一意に定まる（よって、標準因子と呼ぶ）。
標準因子 K をとると、任意の因子 D に対し
が成り立つ（代数曲線に対するリーマン–ロッホの定理）。
豊富な因子

詳細は「豊富なラインバンドル」を参照
X を体 k 上固有な代数多様体とする。X 上の（カルティエ）因子 D は、射影空間への埋め込み  F:X\to \mathbb {P} _{k}^{N} および射影空間の超平面 H を使って  D=F^{*}H と書かれるとき、非常に豊富 (very ample) であるという。
カルティエ因子 D は
X の任意の2点 p , q に対して、E ∈ | D | であって、p ∈ E かつ q ∉ E となるものが存在する (点の分離)
X の任意の点 p およびその点での 0 でない接ベクトル v（ザリスキ接空間の元）に対して、E ∈ | D | であって p ∈ E であるが E は v と接しない（E のザリスキ接空間が v を含まない）ものが存在する (接ベクトルの分離)
の2条件を満たすとき、非常に豊富である。
ヴェイユ因子（あるいは、Q-ヴェイユ因子）D はその正整数倍 nD が非常に豊富になるとき、豊富 (ample) であるという。非常に豊富なカルティエ因子は、多様体 X の射影空間への埋め込みを考えることと同値で、非常に幾何学的な概念であり、ある因子が非常に豊富であるかどうかを判定する事は一般には難しい。しかし、豊富性はコホモロジー的あるいは、数値的な特徴づけを持つためより扱いやすく、本質的な概念である。例えば、
更に、クライマンの数値的豊富性判定は豊富性の問題を因子と曲線（の極限でかける実数係数有効1サイクル）の交点数が正である事として特徴づける。このような数値的な特徴づけは、上記の非常に豊富な因子の特徴づけ （
点の分離と接ベクトルの分離）に比べて扱いやすい。また、コンパクトケーラー多様体の上の直線束に対しては、その上にいたるところ正な曲率を持つエルミート計量が入るならば、この直線束は豊富である（小平埋め込み定理）。因子の豊富性はこのように、因子の何らかの 正値性（positivity）と関連付けてとらえる事が出来る（詳細は直線束の数値的性質などを参照）。
因子が非常に豊富である、あるいは豊富であるという概念は、任意のスキーム S 上固有なスキーム X 上の可逆層  {\mathcal {L}}に対して定義できる。すなわち、S 上の射影空間束への埋め込み  F:X\to \mathbb {P} ({\mathcal {V}}) によって  {\mathcal {L}}=F^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {V}})}(1) と書かれるとき、 {\mathcal {L}} は S 上非常に豊富であるといい、可逆層の正整数の自己テンソル積  {\mathcal {L}}^{\otimes n} が S 上非常に豊富になるとき、 {\mathcal {L}} は S 上豊富であるという。セールのコホモロジー的豊富性判定は、コホモロジー群を構造射 f : X → S による高次順像  R^{i}f_{*}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n})=0 で置き換えればそのまま成り立つ。
複素解析空間上の因子

正規な複素解析空間 X においても、その素因子 Z および素因子に沿った有理型関数の位数 vZ( - ) が定まり、ヴェイユ因子の概念が定義できる。また、カルティエ因子も有理関数を有理型関数に置き換える事によって定義できる。しかし、#直線束と因子で述べた、直線束とカルティエ因子の線形同値類の1対1の対応は一般にはなく、単射準同型
があるのみである。
例えば、X を非常に一般の複素トーラスとする。このとき、複素トーラスの周期の理論により、X 上には因子が全く存在しない。しかし、数値的に自明な X の上の直線束全体は X の双対トーラスと同一視できる。つまり、X にはたくさん直線束があるが、それに対応する因子は全く存在しない事になる。これは、非常に一般の複素トーラスの代数次元 (algebraic dimension) が 0 である事を意味する