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ランダウの記号
概要

ランダウの記号
は 、x が充分大きいとき関数 f が関数 g に比例もしくはそれ以下におさえられることを示す。
たとえば二次関数 3x2 + 4x + 10 が x を限りなく大きくしたときどのように増大するかを考えると、変数 x が 2 より大きければ第一項 3x2 が他の項より大きく、さらに大きくなるほど支配的になることがわかる。漸近解析をする上では定数倍のような詳細は必要としないことが多く、O-記法を用いると、必要な情報を
と端的に表すことができる。
このように関数 g としては関数 f よりも単純なもの（上の例では x2）が通常用いられる。（#一般的なオーダー参照。）
一方、ランダウの記号
は関数 f がおおよそ関数 g 未満であることを示している。
たとえば x が十分大きいとき 3x2 + 4x + 10 は x3 と比べると小さくなり、o-記法を用いると、これを
と表すことができる。（ただし、o-記法よりも O-記法の方が多くの場合好ましいと考えられている。）
これまでは変数を限りなく大きくしたときを例に説明してきたが、他にも変数を限りなく小さくしたときや、定数に限りなく近づけたときの漸近挙動も同様にランダウ記法で表すことができる。どの意味で記号が用いられているのかを
のように明示する書き方もある。
f(x) = O(g(x)), f(x) = o(g(x)) (x → ∞) はそれぞれ
\lim _{x\to \infty }\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|　が存在する場合には、その値が有限（0 も含む）であること（一般の場合は後述）。極限が存在しない場合、即ち振動する場合でも該当することはあることには注意されたい。
\lim _{x\to \infty }\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|=0
を表す。（厳密にはε-δ論法で定義する。）特に f(x) = o(1) は lim f(x) = 0 と同値である。
ランダウ記法は様々な分野で有益であり、たとえば指数関数を3次までテイラー展開したものは
と書き表せる。
記号 O とo は通常、関数の収束や発散の漸近的な上界を記述する為に用いられる。同様に漸近的な下界を記述する為にΩ, ωという類似記法が用いられ、上下両方を記述する為にΘ という記法を用いる。
ただし、Ω、ω、Θは主に計算機科学で用いられる記法であり、数学では O と o をこれらの意味に流用する事が多い（どの意味で用いているのかは文脈から判断）。
厳密な定義

十分大きい全ての実数 x に対し定義されている実数値関数 f(x) と g(x) に対し、
を
と定義し、「f(x) が x → ∞ のとき オーダーO(g(x)) である」と呼ぶ。
また、a を実数とするとき、aの近傍で定義された実数値関数f(x) と g(x) に対し、
を
で定義し、「f(x) が x → a のとき オーダーO(g(x)) である」と呼ぶ。
なお、a の十分近くで　g(x) が 0 を値にとらない場合、 f(x)=O(g(x))は
が満たされることと同値である（a が∞の場合も同様）。特に f(x) = O(1) は、近傍において f(x) が有界であることと同値である。
記法の問題

上で定義された
という記法は広く用いられている確立した慣習ではあるが紛らわしい記法の濫用で、二つの関数が等しいという意味ではない。
この記法の濫用は、等号の両辺にO -記法が登場した際に問題となり、例えばx →∞のとき、
すなわち、両辺にO -記法が登場した場合には、直観的には十分大きなx で左辺/右辺が定数未満になる事を意味する。
こうした記法上の問題を回避する為に、
ないし、
と書く流儀もあるが、一般的ではない。前者の場合、「O(g)」 は g の定数倍によって押さえられる関数全体からなる集合であるとみなしていることになる。
より複雑な使い方としては、O( ) が等式の異なる場所に複数、もちろん両辺にわたって複数回現れるというものがある。例えば、以下は n → ∞ で正しい内容を記述している。
これらの式の意味は、次のように解釈する：
例えば三つの目の式は、
事を意味する。
二つの目の式のように左辺に複数のO()がある場合は、それらすべてに対して上述のルールを適用する。したがって二つの目の式は、
事を意味する。
性質

O-記法は次の性質を満たす。o-記法も同様の性質を満たす。
また p(n) と q(n) をゼロでない n の多項式とすると
が成り立つ。
多変数の場合

漸近記法は多変数になっても有効である。たとえば
という言及が示唆するのは、定数 C, N で
を満たすものの存在である。ここで g(n, m) は
で定められるものである。混乱を避けるためには、動かす変数は常に明示する必要がある。つまり
という言明は、次の
とは明確に異なる言明である。
その他の漸近記法

O-記法と関連がある、Ω-記法、ω-記法、Θ-記法を導入する。
Ω-記法とω-記法はそれぞれ、O-記法とo-記法の定義で大小を反転させる事により得られる。Θ-記法Θ(g)は O(g) と Ω(g) を両方満たすことを意味する。
ただし、Ω-記法に関しては、この記法を初めて導入したハーディーとリトルウッドは今日のそれとは若干異なった意味に用いていたので、あわせてそれも記す。(以下の表の「HLの定義」の部分)。
今日の定義との違いの要点をかいつまんでいえば、今日の定義ではΩ-記法は前述のようにO-記法の定義の大小反転だが、ハーディー達の定義ではΩ(g)はo(g)を満たさない事として定義していた。
両者の定義は性質のよい関数、例えば多項式に対しては同値だが、極限に近づく際に振動するような関数に関しては必ずしも同値ではない。
| 記法 | 意味 | インフォーマルな定義 | 形式的定義 |
| --- | --- | --- | --- |
|  f(n)\in O(g(n))  f(n)=O(g(n))  f(n)\preceq g(n)  f(n)\ll g(n) |  f は漸近的に（定数倍を除いて） g によって上からおさえられる | ある正数 k に対して、十分大きい n で  |f(n)|\leq k\cdot g(n) |  \exists k>0\;\exists n_{0}\;\forall n>n_{0}\;|f(n)|\leq k\cdot |g(n)|   or    \exists k>0\;\exists n_{0}\;\forall n>n_{0}\;f(n)\leq k\cdot g(n) |
|  f(n)\in \Omega (g(n))  f(n)=\Omega (g(n))  f(n)\succeq g(n)  f(n)\gg g(n) | 2つの定義： HLの定義：  f は漸近的に  g によって支配されない 今日の定義：  f は漸近的に  g によって下からおさえられる | HLの定義：  無限に多くの n の値とある正数 k に対して  |f(n)|\geq k\cdot g(n) 今日の定義： ある正数 k に対して、十分大きい n で  |f(n)|\geq k\cdot g(n) | HLの定義：   \exists k>0\;\forall n_{0}\;\exists n>n_{0}\;f(n)\geq k\cdot g(n) 今日の定義：  \exists k>0\;\exists n_{0}\;\forall n>n_{0}\;f(n)\geq k\cdot g(n) |
|  f(n)\in \Theta (g(n))  f(n)=\Theta (g(n))  f(n)\asymp g(n) |  f は漸近的に  g によって上と下両方からおさえられる | ある正数 k1, k2 に対して、十分大きい n で  k_{1}\cdot g(n)\leq |f(n)|\leq k_{2}\cdot g(n) |  \exists k_{1}>0\;\exists k_{2}>0\;\exists n_{0}\;\forall n>n_{0}  k_{1}\cdot g(n)\leq f(n)\leq k_{2}\cdot g(n) |
|  f(n)\in o(g(n))  f(n)=o(g(n))  f(n)\prec g(n) |  f は漸近的に  g によって支配される | 任意の正数  k を固定するごとに、十分大きい n を取ると  |f(n)|\leq k\cdot |g(n)| |  \forall k>0\;\exists n_{0}\;\forall n>n_{0}\;|f(n)|\leq k\cdot |g(n)| |
|  f(n)\in \omega (g(n))  f(n)=\omega (g(n))  f(n)\succ g(n) |  f は漸近的に  g を支配する | 任意の正数  k を固定するごとに、十分大きい n を取ると  |f(n)|\geq k\cdot |g(n)| |  \forall k>0\;\exists n_{0}\;\forall n>n_{0}\ |f(n)|\geq k\cdot |g(n)| |
|  f(n)\sim g(n)\! |  f は漸近的に  g に等しい |  f(n)/g(n)\to 1 |  \forall \varepsilon >0\;\exists n_{0}\;\forall n>n_{0}\;\left|{f(n) \over g(n)}-1\right|<\varepsilon  |
また、計算機科学では
を
の意味で用いる。対数因子を無視すればこれは本質的には O-記法である。この記法は "nit-picking" のクラスを記述するのにしばしば用いられる。これは logk(n) が任意の定数 k と正の定数 ε に対して常にo(nε) となるからである。
一般化と関連用法

関数のとりうる値は、絶対値をノルムに取り替えるだけでそのまま任意のノルム線型空間の元に一般化できる。f や g は同じ空間に値を取る必要はない。g のとる値は任意の位相群の元にすることも可能である。
「極限操作」"x → x0" は、勝手なフィルター基の導入によって f と g の有向点族として一般化される。
o-記法は微分の定義や、極めて一般の空間における微分可能性を定義するのに有効である。また、関数の漸近同値を
と定めることができる。これは同値関係であり、上述の f が Θ(g) 程度であるという関係よりもなお強い制限を表す記法になっている。f と g が正値実数値関数なら lim f/g = 1 なる関係式に簡略化できる。例えば、2x は Θ(x) のオーダーだが、 2x − x は o(x) のオーダーでない。
一般的なオーダー

計算機科学、特に計算量理論、アルゴリズム論、暗号理論では、アルゴリズムの計算時間を評価するのに O-記法を頻繁に用いる。
アルゴリズムの計算量の評価よく使われるO-記法関数の種類を示す。
これらの中でも特に重要なものには、個別の名称がついている(多項式時間など)。
以下、 nはアルゴリズムに入力されるデータのビット数を表す。
注意しなければならないのは、アルゴリズムに整数 N を入力するときである。N のビット数 n はおよそ log2 N なので、例えば「多項式時間」といったとき、これはN の多項式ではなく n の多項式を表す。
| 記法 | 名称 | アルゴリズムの例 |
| --- | --- | --- |
|  O\left(1\right) | 定数時間 (Constant time) | （整数の）偶奇判別 |
|  O\left(\log ^{*}n\right) | 反復対数 (iterated logarithmic) | Hopcroft, Ullmanによる素集合データ構造における探索アルゴリズム |
|  O\left(\log n\right) | 対数 (logarithmic) | ソート済み配列における二分探索  |
|  O\left({n^{c}}\right),0<\exists c<1 | 分数指数関数 (fractional power) | kd木上の探索 |
|  O\left(n\right) | 線形関数 (linear) | 非ソート配列上の探索、離散ウェーブレット変換 |
|  O\left(n\log n\right) | 準線形、線形対数 (linearithmic, loglinear, or quasilinear) | ヒープソート、高速フーリエ変換 |
|  O\left({n^{2}}\right) | 二乗時間 (quadratic) | 挿入ソート、離散フーリエ変換 |
|  O\left({n^{c}}\right),\exists c\geq 1 | 多項式時間 (polynomial) | ワーシャル-フロイド法 |
|  O{(2^{n})} | 指数時間 (exponential, geometricとも) | （現在最も速い）巡回セールスマン問題の（厳密解の）解法 |
|  O\left(n!\right) | 階乗関数 (factorial, combinatorialとも) | 2つの論理式の同型判定、巡回セールスマン問題の（可能）解の枚挙 |
|  O\left(2^{c^{n}}\right)\exists c>0 | 二重指数時間 | AC単一化子の完備集合の探索 |
一般的ではないが、更に発散速度の速い関数も存在する（アッカーマン関数 A(m, n) など）。逆に更に発散速度の遅い関数として、逆関数である逆アッカーマン関数 α(n) などもあり、実際にあるアルゴリズムの計算量の見積りとして出現する。この関数は上界こそないものの、非常に発散速度が遅いために実用的には定数と見なされる (α(3) = 1, α(7) = 2, α(61) = 3,  \alpha (2^{2^{2^{65536}}}-3)=4, ...)。
歴史

O-記法はドイツの数論家であるポール・バッハマンによって1894年に彼の著書『解析数論』(Analytische Zahlentheorie) の第二巻で初めて導入された（1892年に著された第一巻では用いられていない）。これに触発されてエドムント・ランダウが1909年にo-記法を発明した。
なお、ハーディとリトルウッドもランダウの記号 f=O(g)\,に相当するものを別の記号 f\preceq g\,で表現している。彼らはΩ-記法も現在と近い意味で用いており、今日の言葉でいえば、彼らのΩはo(g)でない事を表している。
またヴィノグラードフ（英語版）は  f=O(g) と  f\ll g を同じ意味で用いている。
ドナルド・クヌースは、計算機科学の世界にO-記法を導入し、Ω-記法やΘ-記法も再導入した。
具体例

関数 f(n) が他の関数の有限和で表せるとき(多項式であるとき)、その内最も発散速度の速い関数が f(n) のオーダーを決定づける。以下にその例を挙げる。
例での場合、係数を無視してnに関する項を見ると、log n、(log n)3、n2、n3の4つが存在し、このうちn3が最も発散が速い。そのため、他のnに関する項に関わらず、オーダーはO(n3)とする。
特に、関数が n の多項式でおさえられるならば、n が無限大に発散するに従ってより低いオーダーの項まで無視できるようになる。
O(nc) と O(cn) は全く異なる。前者の定数 cがどれほど大きかろうと、後者の方がずっとずっと速く発散する。どのような定数 c に対しても ncより速く発散する関数は超多項式 (superpolynomial) と呼ばれる。また、どのような定数 c に対しても cn よりも遅く発散する関数は準指数関数 (subexponential) と呼ばれる。アルゴリズムの計算量が超多項式かつ準指数関数であることもあり得る。例えば、現在知られている内で最も早い因数分解のアルゴリズムもこれに含まれる。
O(log n) と O(log(nc)) は全く等価である。なぜならば、log(nc) = c log n より2つの指数関数は定数係数のみが異なり、これは big O-記法では無視されるからである。同様に異なる底を持つ対数関数も等価であるが、一方、異なる底を持つ指数関数は等価ではない。これはよくある勘違いである。例えば、2n と 3n は同じオーダーではない。
入力サイズの単位の変更は、アルゴリズムの計算量を変えるかもしれないしそうでないかもしれない。単位を変更するということは、関数に現れる全ての n にある定数を掛けることと同じである。例えば、アルゴリズムが n2 のオーダーで動くとき、n を cn で置き換えれば計算量は c2n2 となり、big O-記法では c2 は無視されるので計算量は変化しない (c2n2 ∈ O(n2))。しかし例えば 2n のオーダーで動くアルゴリズムでは、n を cn で置き換えると計算量は 2cn = (2c)n となる。これは 2n とは等しくない（もちろん、c = 1 の場合を除く）。
具体例 > 例

次の多項式関数を考える
このとき、f(x) のオーダーは O(g(x)) または O(x4) である。実際、オーダーの定義からこれはある定数 Cと x0 が存在して、x0 < x なる任意の x に対し |f(x)| ≤ C |g(x)| が成り立つことを意味するが、x > 1 において
であるから、C = 13, x0 = 1 とおけばよい。
リーマン予想が正しければ、x 以下の素数の個数 π(x) は次のように \pi (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}+O({\sqrt {x}}\,\log x)と評価できる（素数定理も参照）。
バブルソートの時間的計算量を考えると、n 個の要素からなる列をソートするのに掛かる時間はO(n2) である。クイックソートを使えば、平均計算時間を O(n log n) に改善できる（但し最悪時にはO(n2)）。
n 次正方行列の固有値を求めるアルゴリズムは、少なくともその行列に含まれる n2 個の要素を読み取らなければならない。従って、固有値を求めるアルゴリズムの時間的計算量の下界は Ω(n2) である。
すなわち、一般的な行列に対してその固有値を計算するのに掛かる時間が n2 のオーダーを下回るアルゴリズムは存在しない。
具体例 > 無限大における漸近挙動と計算量の見積り

O-記法はアルゴリズムの効率を解析するのに有用である。たとえば、あるサイズ n の問題(例えば処理すべきデータが n 個あるなど)を解くのに掛かる時間あるいは手順数が T(n) = 4n2 − 2n + 2 である場合を考える。
このとき、n を次第に大きくしていくと、 T(n) に対して n2 の項の影響が支配的になり、他の項はほとんど無視できるようになる（たとえば n = 500 としてみると、4n2 の項は 2n の項の実に1000倍であり、後者を無視しても式に与える影響は、計算量を考える上でほとんど無視できる）。
さらに、n3 や 2n といった他のオーダーの式と比較する分には係数も無関係になる（たとえば T(n) = 1,000,000n2 のように係数が大きい関数と、それより指数が1大きい U(n) = n3 を比較する。仮に n = 1,000,000 としてみると T(1,000,000) = 1,000,000×1,000,0002 = 1,000,0003 = U(1,000,000) だから、n > 1,000,000 の場合は常に U(n) > T(n) である。）。
こうして残る影響をすくい上げて、O-記法では
と書いて、「n2 のオーダーである」と言い、これによってこのアルゴリズムの時間あるいは手順数T(n) の増加具合が n2 に支配されることを表現する。
ミンディ・スターリング

| ミンディ・スターリング Mindy Sterling |
| --- | --- |
 
生年月日:   (1953-07-11) 1953年7月11日（71歳）
出生地:   アメリカ合衆国
職業:  女優
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ミンディ・スターリング（Mindy Sterling、1953年7月11日 - ）は、アメリカ合衆国出身の女優である。
略歴

ニュージャージー州パターソン出身。
主な出演作品 > 映画

| 公開年 | 邦題 原題 | 役名 | 備考 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1990 | ワーキング・ガーイ Working Tra$h | メアリー | テレビ映画 |
| 1997 | オースティン・パワーズ Austin Powers: International Man of Mystery | フラウ・ファルビッシナ |  |
| 1999 | オースティン・パワーズ:デラックス Austin Powers: The Spy Who Shagged Me | フラウ・ファルビッシナ |  |
| 1999 | わたしが美しくなった100の秘密 Drop Dead Gorgeous | アイリス・クラーク |  |
| 2000 | グリンチ How the Grinch Stole Christmas | クラネラ |  |
| 2001 | ハッピー・ブロンド Totally Blonde | ラモナ |  |
| 2002 | オースティン・パワーズ ゴールドメンバー Austin Powers in Goldmember | フラウ・ファルビッシナ |  |
| 2006 | アイス・エイジ2 Ice Age: The Meltdown | 牝牛 | アニメ、声の出演 |
| 2007 | ポリス・バカデミー/マイアミ危機連発! Reno 911!: Miami | スポダーの母親 |  |
| 2009 | ゼウス クリスマスを守った犬 The 12 Dogs of Christmas | バニスター | テレビ映画 |
| 2009 | スプリング・ブレイクダウン Spring Breakdown | ラヴォンヌ |  |
| 2010 | アルファ・アンド・オメガ Alpha and Omega | デビー |  |
| 2011 | 少年マイロの火星冒険記3D Mars Needs Moms | 総統 | アニメ、声の出演、モーションキャプチャ |
| 2016 | グッド・ネイバー The Good Neighbor | メイ |  |
| 2018 | ニーナのすべて All About Nina | エイミー |  |
主な出演作品 > テレビシリーズ

| 公開年 | 邦題 原題 | 役名 | 備考 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1996 | フレンズ Friends | ウェディング・プランナー | 1エピソード |
| 2000 | Manhattan, AZ | ロナ | 8エピソード |
| 2007-2012 | iCarly iCarly | フランシーン・ブリッグス | 11エピソード |
| 2008 | scrubs〜恋のお騒がせ病棟 Scrubs | クーパー夫人 | 1エピソード |
| 2008 | マイネーム・イズ・アール My Name Is Earl | ザックス夫人 | 1エピソード |
| 2008 | My Own Worst Enemy | アーリーン・スコット | 5エピソード |
| 2010 | 恋のからさわぎ 10 Things I Hate About You | Cosmetics Shopper | 1エピソード |
| 2010-2011 | デスパレートな妻たち Desperate Housewives | ミッツィー・キンスキー | 6エピソード |
| 2010-2012 | Kick Buttowski: Suburban Daredevil | Ms. Chicarelli | 8エピソード |
| 2011-2013 | 天才学級アント・ファーム A.N.T. Farm | スーザン・スキッドモア | 21エピソード |
| 2013-2014 | Legit | ジャニス | 12エピソード |
シスコ技術者認定

| シスコ技術者認定 |
| --- | --- |
英名:   Cisco Career Certification 
実施国:   世界
資格種類:  民間資格
分野:  コンピュータ・情報処理
試験形式:  CBT
認定団体:  シスコシステムズ
認定開始年月日:  1993年（平成5年）
等級・称号:  #現在の資格認定を参照
公式サイト:  シスコシステムズ
特記事項:  実施はピアソンVUEが担当
 ウィキプロジェクト 資格  ウィキポータル 資格
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シスコ技術者認定（Cisco Career Certifications）はシスコシステムズ製品に関するIT分野の技術者認定（ベンダー資格）である。テストの実施および認定等はピアソンVUEが実施している。
認定にはエントリー、アソシエイト、プロフェッショナル、エキスパート、アーキテクト、およびサイバーセキュリティスペシャリストプログラムプロフェッショナルという全10種類で5つの段階レベルがあり、※各範囲において5段階で構成されている訳ではない（次項を参照）。
現在の資格認定

エキスパート
プロフェッショナル
アソシエイト
エントリー
過去の資格認定

CCA（Cisco Certified Architect、シスコ認定アーキテクト）
CCDA（Cisco Certified Design Associate、シスコ認定デザインアソシエイト）
CCDP（Cisco Certified Design Professional、シスコ認定デザインプロフェッショナル）
CCIP（Cisco Certified Internetwork Professional）
CCSP（Cisco Certified Security Professional）
CCVP（Cisco Certified Voice Professional）
CCENT（Cisco Certified Entry Networking Technician、シスコ認定エントリネットワーキングテクニシャン）
CCNA SECURITY（Implementing Cisco IOS Network Security）
2002年の大分トリニータ

ここでは2002年における大分トリニータの試合結果などについて記載する。
選手

注：選手の国籍表記はFIFAの定めた代表資格ルールに基づく。
試合結果 > J2リーグ

| 節 | 試合日 | 時刻 | ホーム | スコア | アウェイ | スタジアム | 入場者数 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 01 | 03/03(日) | 15:36 | アビスパ福岡 | 1-2 | 大分トリニータ | 博多球 | 10,583 |
| 02 | 03/09(土) | 14:04 | 大分トリニータ | 2-0 | モンテディオ山形 | 大分ス | 8,511 |
| 03 | 03/17(日) | 13:35 | アルビレックス新潟 | 0-1 | 大分トリニータ | 新潟ス | 35,245 |
| 04 | 03/21(木) | 14:03 | 大分トリニータ | 2-0 | サガン鳥栖 | 大分ス | 7,943 |
| 05 | 03/24(日) | 13:00 | 横浜FC | 1-2 | 大分トリニータ | 夢の島 | 2,395 |
| 06 | 03/30(土) | 14:04 | セレッソ大阪 | 0-3 | 大分トリニータ | 長居2 | 5,910 |
| 07 | 04/06(土) | 14:00 | 大分トリニータ | 2-3 | 大宮アルディージャ | 大分ス | 11,043 |
| 08 | 04/10(水) | 19:00 | 川崎フロンターレ | 1-1 | 大分トリニータ | 等々力 | 3,081 |
| 09 | 04/13(土) | 14:01 | 大分トリニータ | 1-0 | ヴァンフォーレ甲府 | 大分陸 | 5,211 |
| 10 | 04/20(土) | 19:00 | 湘南ベルマーレ | 0-1 | 大分トリニータ | 平塚 | 4,891 |
| 11 | 04/24(水) | 19:00 | 大分トリニータ | 1-0 | 水戸ホーリーホック | 大分陸 | 4,211 |
| 12 | 04/27(土) | 14:03 | モンテディオ山形 | 0-1 | 大分トリニータ | 山形県 | 3,540 |
| 13 | 05/03(金) | 13:04 | サガン鳥栖 | 0-1 | 大分トリニータ | 鳥栖 | 5,032 |
| 14 | 05/06(月) | 14:01 | 大分トリニータ | 2-0 | 横浜FC | 大分陸 | 8,344 |
| 15 | 05/12(日) | 14:00 | 大分トリニータ | 1-1 | セレッソ大阪 | 長崎 | 5,741 |
| 16 | 07/06(土) | 18:31 | 大宮アルディージャ | 0-1 | 大分トリニータ | 大宮 | 5,369 |
| 17 | 07/10(水) | 19:04 | 大分トリニータ | 5-0 | 川崎フロンターレ | 熊本 | 3,094 |
| 18 | 07/13(土) | 18:01 | 水戸ホーリーホック | 2-2 | 大分トリニータ | ひたちな | 1,756 |
| 19 | 07/20(土) | 19:04 | 大分トリニータ | 0-0 | アビスパ福岡 | 大分ス | 22,314 |
| 20 | 07/24(水) | 19:04 | ヴァンフォーレ甲府 | 1-2 | 大分トリニータ | 小瀬 | 3,294 |
| 21 | 07/27(土) | 19:04 | 大分トリニータ | 0-0 | 湘南ベルマーレ | 大分ス | 13,391 |
| 22 | 08/03(土) | 19:00 | 大分トリニータ | 1-1 | アルビレックス新潟 | 大分ス | 18,743 |
| 23 | 08/07(水) | 19:00 | セレッソ大阪 | 3-0 | 大分トリニータ | 鈴鹿 | 8,051 |
| 24 | 08/10(土) | 19:02 | 大分トリニータ | 3-2 | 水戸ホーリーホック | 大分陸 | 5,428 |
| 25 | 08/17(土) | 18:04 | 川崎フロンターレ | 1-1 | 大分トリニータ | 等々力 | 3,703 |
| 26 | 08/21(水) | 19:04 | 大分トリニータ | 0-1 | ヴァンフォーレ甲府 | 大分陸 | 6,327 |
| 27 | 08/25(日) | 19:04 | 大分トリニータ | 0-1 | モンテディオ山形 | 大分ス | 14,278 |
| 28 | 09/03(火) | 19:00 | アビスパ福岡 | 1-2 | 大分トリニータ | 博多球 | 5,716 |
| 29 | 09/07(土) | 19:04 | 大分トリニータ | 0-0 | 大宮アルディージャ | 大分ス | 13,871 |
| 30 | 09/11(水) | 19:04 | 湘南ベルマーレ | 1-0 | 大分トリニータ | 平塚 | 3,086 |
| 31 | 09/15(日) | 19:04 | 大分トリニータ | 2-0 | サガン鳥栖 | 大分ス | 15,873 |
| 32 | 09/21(土) | 14:04 | 横浜FC | 3-4 | 大分トリニータ | 江戸川 | 2,119 |
| 33 | 09/25(水) | 19:04 | アルビレックス新潟 | 1-1 | 大分トリニータ | 新潟ス | 39,068 |
| 34 | 09/28(土) | 19:05 | 大分トリニータ | 1-1 | セレッソ大阪 | 大分ス | 27,431 |
| 35 | 10/05(土) | 14:04 | ヴァンフォーレ甲府 | 1-2 | 大分トリニータ | 小瀬 | 3,540 |
| 36 | 10/09(水) | 19:04 | 大分トリニータ | 2-0 | 湘南ベルマーレ | 大分陸 | 6,741 |
| 37 | 10/13(日) | 13:04 | サガン鳥栖 | 2-3 | 大分トリニータ | 鳥栖 | 6,353 |
| 38 | 10/19(土) | 14:04 | モンテディオ山形 | 1-4 | 大分トリニータ | 山形県 | 3,818 |
| 39 | 10/23(水) | 19:04 | 大分トリニータ | 2-1 | アルビレックス新潟 | 大分陸 | 13,217 |
| 40 | 10/26(土) | 14:04 | 大分トリニータ | 1-0 | 横浜FC | 大分陸 | 10,095 |
| 41 | 11/02(土) | 14:04 | 大宮アルディージャ | 0-1 | 大分トリニータ | 大宮 | 5,315 |
| 42 | 11/09(土) | 14:07 | 大分トリニータ | 2-1 | 川崎フロンターレ | 大分ス | 24,131 |
| 43 | 11/16(土) | 14:04 | 水戸ホーリーホック | 1-0 | 大分トリニータ | 笠松 | 3,135 |
| 44 | 11/24(日) | 13:05 | 大分トリニータ | 2-1 | アビスパ福岡 | 大分ス | 25,731 |
ガウス和

数学におけるガウス和（ガウスわ、英: Gauss sum）あるいはガウスの和とは、ある特別な1の冪根の有限和である。典型的に
で与えられる。ここで和はある有限可換環 R の元 r について取られ、ψ(r) は加法群 R+ から（複素平面の）単位円への群準同型で、χ(r) は単数群 R× から単位円への群準同型である。単元でない r については χ(r) = 0 と拡張する。ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。
このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して L(s, χ) と L(1 − s, χ) を関連付ける方程式が
を含むような、ディリクレのL関数の関数等式に現れる。ただし χ は χ の複素共役である。
歴史

カール・フリードリヒ・ガウスによって元々考えられていたケースは、R が奇素数 p を法とする剰余体 Z/pZ で χ がルジャンドル記号である二次ガウス和（英語版）であった。ガウスは、いわゆるガウス和の符号を決定し
を証明した。
このガウス和の別の表現は、次のようなものである：
二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。
ガウス和の一般論は、19世紀の初頭に、ヤコビ和とそれらの円分体内での素元分解を利用することによって構築された。N を法とする整数の剰余環上のガウス和は、ガウス周期（英語版）と呼ばれる密接に関連する和の線形結合である。
ガウス和の絶対値は、有限群上のプランシュレルの定理の応用の場面で通常現れる。R が p 個の元からなる体で、χ が非自明であれば、その絶対値は p1/2 となる。二次の場合のガウスの結果に続いて、一般のガウス和の厳密な値を決定することは、長く残されている問題となっている。いくつかの特別な場合については、クンマー和（英語版）を参照されたい。
ディリクレ指標のガウス和の性質

N を法とするディリクレ指標 χ のガウス和は、
となる。さらに χ が原始的 (primitive) であるなら、
となり、特にこの値は非ゼロである。より一般に N0 が χ の導手 (conductor) であり、χ0 が χ を誘導するような N0 を法とする原始的ディリクレ指標であるなら、χ のガウス和は χ0 のガウス和と次の式によって関係付けられる。
ここで μ はメビウス関数である。結果として、N/N0 が平方因子を持たず N0 と互いに素であるときにちょうど G(χ) は非ゼロとなることが分かる。G(χ) と他の指標のガウス和との関係には、次のものもある。
ここで χ は複素共役ディリクレ指標である。また χ′ を N と互いに素な N′ を法とするディリクレ指標とすると、次が成り立つ。
χ と χ′ が同じ法の指標で、χχ′ が原始的であるときの G(χχ′)、G(χ) および G(χ′) の間の関係は、ヤコビ和 J(χ, χ′) によって調べられる。具体的には、次が成り立つ：
朝吹まり

| あさぶき まり朝吹 まり |
| --- | --- |
生誕:   (1985-04-26) 1985年4月26日（39歳） 日本・東京都東久留米市
職業:  漫画家
活動期間:  2003年 -
ジャンル:  少女漫画
受賞:  りぼん漫画スクール準りぼん賞（「リアルステップ」）
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朝吹 まり（あさぶき まり、1985年4月26日 - ）は、日本の漫画家。東京都東久留米市出身。
略歴

2003年のりぼん漫画スクール2月号で「リアルステップ」が準りぼん賞を受賞。同作品によってデビュー（『りぼんオリジナル』（集英社）同年2月号に掲載）。
五反田ふせちゃんずとして、槙ようこのアシスタントも務めている。
2012年5月7日のtwitterと自身のブログにおいて、結婚したことを報告した。その後、2014年6月24日に娘を出産し、育児に専念するため当分は漫画の仕事を中止する旨を語った。
2015年よりフリーランスに転向。同年12月17日発売の『冬の大増刊号りぼんスペシャル』より、漫画家としての活動を再開した。
2018年2月期Sho-Comiまんがアカデミアにおいて「森猫まりり」名義で初投稿作である『きみの隣、私にください。』でデビュー賞を受賞。この作品が『"イイコ"の私と、"ホンネ"の君と。』にタイトルを変更しデビュー作として、『Sho-Comi』増刊号に掲載された。作者本人は、「今後イラストや児童書、「朝吹まり」名義としてご縁がある仕事は『朝吹まり』名義で。少女漫画作品は『森猫まりり』名義で執筆していく。」と述べている。
作品リスト > 連載

キミとここから!（2007年『りぼん』1月号 - 3月号） - 連載デビュー作
バドガール（2008年『りぼん』6月号 - 11月号）
めざせ大和撫子！ミシェルのにっぽん留学日記（壱ポイント -ichi point-、2015年 - ）
プリティーリズム（2010年『りぼん』8月号 - 2012年6月号）
源氏物語〜愛と罪と〜（『Sho-Comi』2019年1号、3・4合併号 - 6号、12号 - 15号、19号 - 21号）
花の散るらん-吉原遊郭恋がたり-（『Sho-ComiX』2020年2月14日号 - 2022年12月15日号）
三つ星彼氏のフルコース（『Sho-ComiX』2023年6月15日号 - ）
作品リスト > 読み切り

リアルステップ（2003年『りぼんオリジナル』2月号） - デビュー作
ラブ×ライブ（2003年『りぼんオリジナル』8月号）
ガールズ･リミット（2003年『りぼん』秋のびっくり大増刊号）
カレシの条件。（2004年『りぼんオリジナル』2月号）
無敵☆女子高生（2004年『りぼん』春のびっくり大増刊号）
無敵☆女子高生〜アヤカ×ケンジ〜（2004年『りぼん』9月号）
とろけるピュア（2004年『りぼんオリジナル』12月号）
舞い降りる華（2005年『りぼん』5月号別冊ふろく）
Wピース!（2005年『りぼん』夏休みびっくり大増刊号）
ホワイトキャロル（2005年『りぼん』12月号）
ラブvs（2006年『りぼん』冬休みチャレンジ!大増刊号）
スターズ☆（2006年『りぼん』春のチャレンジ!大増刊号）
百年人形（2007年『りぼん』春の超びっくり大増刊号）
ラブログ!（2007年『りぼん』9月号）
ボクの君へ（2007年秋の大増刊号『りぼんスペシャル』）
ハイスクールミュージカル（原作：ディズニー、2009年『りぼん』3月号）
GAL（ギャル）ティーンズ（2010年冬の大増刊号『りぼんスペシャル』、2010年春の大増刊号『りぼんスペシャル』）
めちゃカワ!（2012年『りぼん』12月号別冊ふろく）
はに☆ばに（2013年春の大増刊号『りぼんスペシャル』）
放課後のヒミツ（2013年『りぼん』8月号）
君の帰る場所（2013年夏の大増刊号『りぼんスペシャル』）
純情♥メイク（2014年冬の大増刊号『りぼんスペシャル』）
好きだけじゃダメなんですか?（2014年虹いろ大増刊号『りぼんスペシャル』）
初めてですが何か?（2016年冬の大増刊号『りぼんスペシャル』）
制服で一晩中。（原作：榊あおい、2017年冬の大増刊号『りぼんスペシャル』）
"イイコ"の私と、"ホンネ"の君と。（『Sho-Comi』2018年6月15日増刊号）
きみとふたり、アクアリウムで。（『Sho-Comi』2018年8月15日増刊号）
恋の始まりは、海の底から。（『Sho-Comi』2018年16号）
完璧彼氏に溺愛されてます（『Sho-Comi』2018年10月15日増刊号）
覇王様の異世界花嫁（原作：柚原テイル、『Sho-Comi』2025年3・4合併号）
作品リスト > その他

神に愛された天才音楽家（2016年7月5日発売『学習まんが 世界の伝記NEXT モーツァルト』、監修・久保田慶一、シナリオ・和田奈津子）
ただ一途に（2017年6月20日発売『まんが NHKアスリートの魂 試練を乗りこえて』、協力・NHK「アスリートの魂」番組スタッフ、スポーツ監修・山田幸雄）
書籍 > コミックス

無敵☆女子高生
ホワイトキャロル
キミとここから!
バドガール（全2巻）
ハイスクールミュージカル
プリティーリズム（全5巻）
学習まんが 世界の伝記NEXT モーツァルト 神に愛された天才音楽家
まんが NHKアスリートの魂 サッカー香川真司 フィギュアスケート宮原知子 柔道野村忠宏 試練を乗りこえて（共著。宮原知子の漫画を担当）
源氏物語〜愛と罪と〜（全3巻）
花の散るらん-吉原遊郭恋がたり-（全6巻）
三つ星彼氏のフルコース（既刊2巻）
書籍 > アンソロジー

東日本大震災チャリティー漫画本 PARTY! HANA（2011年8月5日発売、メディアパル、ISBN 978-4-89610-201-7）
バドガール〜あぶない占い師編〜
書籍 > イラスト

いいかげん俺を好きになれよ（2016年8月1日発売、著:青山そらら、ケータイ小説文庫、ISBN 978-4-8137-0137-8）
深夜0時、キミと待ち合わせ。（2016年11月1日発売、著:榊あおい、ケータイ小説文庫、ISBN 978-4-8137-0173-6）
通学電車シリーズ
〜君と僕の部屋〜みらい文庫版（2017年4月28日発売、著者:みゆ、集英社みらい文庫、ISBN 978-4-08-321370-0）
〜何度でも君を好きになる〜みらい文庫版（2017年8月18日発売、著者:みゆ、集英社みらい文庫、ISBN 978-4-08-321391-5）
〜ずっとずっと君を好き〜みらい文庫版（2017年12月22日発売、著者:みゆ、集英社みらい文庫、ISBN 978-4-08-321414-1）
無糖バニラ〜苦くて甘い幼なじみ〜（2017年9月25日発売、著:榊あおい、ケータイ小説文庫、ISBN 978-4-8137-0321-1）
手をつないで帰ろうよ。（2017年11月25日発売、著:嶺央、ケータイ小説文庫、ISBN 978-4-8137-0353-2）
5分でときめき!超胸キュンな話（2017年12月22日発売、著者:宮下恵茉・みゆ・みずのまい・夜野せせり・針とら、絵:染川ゆかり・朝吹まり・U35・森乃なっぱ・みもり、集英社みらい文庫、ISBN 978-4-08-321412-7）
俺が絶対、好きって言わせてみせるから。（2018年1月25日発売、著:青山そらら、ケータイ小説文庫、ISBN 978-4-8137-0387-7）
俺の愛も絆も、全部お前にくれてやる。（2018年10月25日発売、著：晴虹、ケータイ小説文庫、ISBN 978-4-8137-0551-2）
ふたりは幼なじみ。〜クールな執事の甘い溺愛〜（2019年2月25日発売、著：青山そらら、ケータイ小説文庫、ISBN 978-4-8137-0629-8）
関連人物

槙ようこ - アシスタント経験先。
梅澤麻里奈 - 「森猫まりり」名義デビュー時の審査員。
アメリカ学業的十種競技

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略称:  USAD
設立:  1981年
設立者:  Robert Peterson（ロバート・ピーターソン）
種類:  学業的競技
本部:   アメリカ合衆国ミネソタ州マンカット
公用語:  英語
会長:  David Mikkalson（デビッド・マイコソン）
ウェブサイト:  http://www.usad.org
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アメリカ学業的十種競技（アメリカがくぎょうてきじゅうしゅきょうぎ、英語：United States Academic Decathlon、略称：USAD）は、アメリカ合衆国で1982年に創立された学業的十種競技である。4つの国（アメリカ、イギリス、カナダ、中国）からの学生は、芸術、経済学、随筆、インタビュー、語学と文学、数学、音楽、科学、社会科学、スピーチの十種項目に競技し、最高の10,000の点数を取るとメダルとカップを獲得する。
概要 > 基本

学校で学生のGPAによって、栄誉組（Honor）（3.750-4.00GPA）、学者組（Scholastic）（3.00-3.749GPA）、代表組（Varsity）（0.00-2.999GPA）という三つのグループ（各3人）に選出した九つの学生は、代表隊に担当して、他の同じ部門の学校と勝負する。部門を分かる方法は学校の学生人数によって、大きい学校・中型の学校・小さい学校と決める。
勝負の方法は十種の競技に得る点数の比較：一人で、その十の項目に各1,000点、最後に全部10,000点を取れる。そして、各グループで一番高い二つ点数を加えて、最後に最高60,000点の学校総合成績を出る。その成績の全国ランキングの前四つの学校は栄誉の旗をもらえる。
また、個人で競技を参加することもできる。参加した人は、他の個人選手と10,000点内の比較をして、勝負して、個人的専門賞をもらう。
さらに、十種競技で毎種のそれぞれのランキングもある。成績によって、学生は金メダル・銀メダル・銅メダルをもらえる。
概要 > 特別

毎年に特別コンテストの超級クイズ（Super Quiz）も行う。当年の芸術、経済学、語学と文学、数学、音楽、科学、社会科学からの問題がある。3つのラウンドで、栄誉組・学者組・代表組からの学生が答える。最後に点数の一番高い学校が特別賞をもらえる。2012年以前、超級クイズは正式の競技の一部、しかし、その後、この項目は特別コンテストになった。
他の特別賞は：Jerry Helgeson記念賞、各校代表隊のMVP賞、各校代表隊の最高成績学生賞、年度ルーキーチーム（Rookie Team）賞、一番大きい進歩を取った代表組学生賞、ピーターソン博士全国チャンピオン賞など。
特に、経済学・社会科学の専科に対する記念賞もある。それは、USADの歴史で有名な人物を記念して、単独の科目で優秀な学生に与える賞である。
歴史

第二次世界大戦時 創始者ロバート・ピーターソン博士は、ナチス・ドイツに拘禁中に、「学生向けのデカトロン式学習」を構想。
1968年 ピーターソン博士と招致された他の人がいっしょに第一回カリフォルニア州内学業的十種競技を行う。
1982年 第一回アメリカ全国学業的十種競技が開催。18つの州が参加。
1983年 世界的発展を目指し、カナダ、韓国、メキシコの学生も競技に参加。
1984年 カナダ、メキシコ、韓国、ニュージーランドの学生が参加。当年、最初のUSAD学習ガイド（Study Guide）が発表。
1989年 初めてカリフォルニア州以外の州で競技を行う。
1991年 初めてスピーチショーケースが行う。
1992年 アメリカの大統領ブッシュは、9つの地方・全国チャンピオンをローズガーデン（Rose Garden）に招待する。
1995年 シカゴのSteinmetz高校は競技の中でカンニングする。その事件は競技に悪い影響を与える。2000年、アメリカでその事件に関する映画「Cheaters」（カンニング者）が上映。
1996年−2003年 競技委員会内人員が調整。資産のリストラもある。
2006年 小さな学校に適用して、特別のヴァーチャルコンテストが行う。
2015年2月 初めてUSADの中国コンテストが行うわれる。それから、中国も競技の参加国の一つ。
学習ガイド

1984年から学習ガイド（後で資料ガイド、Resource Guideと称す）は、学生に競技を準備するために、USAD委員会の公式補充教材。学校は教材の料金を支払完了後、ガイドがUSAD本部から発送する。ガイドは芸術、経済学、語学と文学、数学、音楽、科学、社会科学の科目を含む。特に1994年以降、USAD毎年の主題があるとき、ガイドは全てあの主題をめぐる。当年度の競技を行う前の一年の春に公式ガイドが発表。例えば、2017−2018のUSAD学習ガイドは2017年5月15日から販売開始。
競技の級別

アメリカの各州内タウン級競技（Local）− ラウンド1の問題を採用。
アメリカの各州内地方級競技（Regional）− ラウンド2の問題を採用。成績が一番高い学校のみは次の級別を進入可能。
アメリカの各州級競技（State）− ラウンド3の問題を採用。成績が一番高い学校のみは次の級別を進入可能。（外国の参加学校はその級別で全国競技。「一番高い学校のみ」の制限はなし）
アメリカの全国競技（National）− ラウンド4の問題を採用。外国の学校もアメリカの学校と一緒に競技をする。
競技過程

芸術、経済学、語学と文学、数学、音楽、科学、社会科学の6つ科目の筆記試験。各科の完成時間は30分、問題は50つ。
インタビューとスピーチ。前者は5分の時間内、試験官のいろんな問題（当年度の競技科目相関、競技の準備、個人の生活経歴）を答える。後者は準備したスピーチ（Prepared Speech）と即興スピーチ（Impromptu Speech）の分別がある。準備したスピーチは、３.5−4分の時間内、自分で選択と準備した主題を巡って、演説する。即興スピーチは、試験現場に試験官が提供された3つの主題の中の1つを選択し、その主題を巡って、１.5−2分の時間内演説する。
超級クイズ。これは十種競技の中で唯一のリレー項目である。栄誉組・学者組・代表組からの学生がステージで3つのラウンドの問題を答えるとき、学生の親と他の客がステージの下で観覧する。
中国だけにある特別項目：評価センター（Assessment Center）。学生は、提供された道具と器材を利用し、要求の機械や装置を作る。
＊以上の競技項目の順は変化することがある。
毎年の競技種類・主題

毎年の競技種類の中、随筆とインタビューとスピーチがある。
毎年の競技種類・主題 > 1982−1994

競技種類は経済、芸術、語学と文学、数学、科学、社会科学と超級クイズ。特別な主題はなし。
毎年の競技種類・主題 > 1994−1997

競技種類は1982−1994と同じ。
1994−1995：健康と生物技術
1995−1996：競技と合作
1996−1997：連絡と文化
毎年の競技種類・主題 > 1997以降

1997−1998：芸術、語学と文学、数学、音楽、科学、社会科学と超級クイズ。主題は「外を見よう：社会を変える力」。
1998−1999：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、社会科学と超級クイズ。主題は「奥を見よう：意識のセンスを発展」。
1999−2000：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、社会科学と超級クイズ。主題は「前を見よう：未来を作る」。
2000−2001：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と超級クイズ。主題は「自分を了解」。
2001−2002：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と超級クイズ。主題は「他人を了解」。
2002−2003：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、社会科学と超級クイズ。主題は「自然を了解」。
2003−2004：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と超級クイズ。主題は「アメリカ：国の成長」。
2004−2005：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、社会科学と超級クイズ。主題は「古い世界を探す」。
2005−2006：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と超級クイズ。主題は「欧州の文芸復興：更新と改革」。
2006−2007：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、社会科学と超級クイズ。主題は「中国とその世界に与える影響」。
2007−2008：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と超級クイズ。主題は「内戦の歴史」。
2008−2009：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、社会科学と超級クイズ。主題は「ラテンアメリカと重点のメキシコ」。
2009−2010：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と超級クイズ。主題は「フランス大革命」。
2010−2011：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、社会科学と超級クイズ。主題は「世界恐慌（1929年）」。
2011−2012：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と超級クイズ。主題は「帝国の時代」。
2012−2013：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と社会科学。主題は「ロシア」。
2013−2014：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と社会科学。主題は「第一次世界大戦」。
2014−2015：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と社会科学。主題は「新しいエネルギー：機敏と創新」。
2015−2016：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と社会科学。主題は「インド」。
2016−2017：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と社会科学。主題は「第二次世界大戦」。
2017−2018：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と社会科学。主題は「アフリカ」。
2018−2019：経済、芸術、語学と文学、数学、音楽、科学と社会科学。主題は「1960年代：変革の十年」。