多変数の微分
微分に関するいくつかの公式 > 合成写像の微分

次に、合成写像の微分について説明する。 {\textbf {E}}を {\mathbb {R} ^{m}}の開集合とし、 {\textbf {E}}は、 {\textbf {f}}の値域を含む（つまり、 {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}、特に {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}とする）とする。多変数ベクトル値関数
 \mathbf {g} (\mathbf {y} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {y} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {y} )\\\end{matrix}}\right)　　　　(3-6)
は、 {\textbf {E}}で定義され、 {{\mathbb {R} }^{l}}に値をとるとする。このとき、 \mathbf {g} と {\textbf {f}}との合成写像 \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}は、 {\textbf {D}}で定義され、 {{\mathbb {R} }^{l}}に値をとる多変数ベクトル値関数である。
{\textbf {f}}が点 {\textbf {p}}で微分可能で、 \mathbf {g} が、点 \mathbf {f} (\mathbf {p} )で微分可能であるとき、 \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}も {\textbf {p}}で微分可能で、
{{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}= {{\left(J\mathbf {g} \right)}_{[{\textbf {f}}(\mathbf {p} )]}} \cdot {(J{\textbf {f}})}_{\textbf {p}}　　　　(3-7)
ここで“ \cdot ”とは、行列としての積である。
■証明

 {\textbf {f}}を点 {\textbf {p}}で一次展開し、
 {\textbf {g}}を点 \mathbf {f} (\mathbf {p} )で(2-16)同様に一次展開すると、
\mathbf {f} (\mathbf {x} ) ={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )　　　　(3-8)
\mathbf {g} (\mathbf {y} ) ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))　　　　(3-9)
となるので、
\mathbf {g} \circ {\textbf {f}}({\textbf {x}})
 =\mathbf {g} ({\textbf {f}}({\textbf {x}}))
 ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))
={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot ({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} ))
+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))
={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} ) +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))
={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))
 +{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )
　　　　(3-10)
である。従って
{\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\,=0　　　　(3-11)
を示すを示せば終証である。
以下(3-11)を示す。
{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}
 =\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\right)
 \,={\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,
　　　　(3-12)
より、
 {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}} \,={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,　　　　(3-13)
一方、
{\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}= {\underset {\mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}　　　　(3-14)
は、
{\underset {\mathbf {y} \to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}　　　　(3-15)
の特殊なケースに過ぎないので、
{\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}=0　　　　(3-16)
さらに、
{\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,　　　　(3-17)
は有限の値であることから、
{\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0　　　　(3-18)
また、
{\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0　　　(3-19)
は、
{\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}} ={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\left({\frac {{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,\right)
　　　　(3-20)
であることと、線形写像の連続性から明らかである。
■
(3-7)を行列として具体的に表記すると
{{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}= \left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\end{matrix}}\right)
 \left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\end{matrix}}\right)(3-21)
となる。これから、
{{\left.{\frac {\partial {{(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}={{\sum \limits _{k=1}^{m}{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right|}}_{[{\textbf {f}}({\textbf {p}})]}}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{k}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}(3-22)
が分かる。