フーリエ変換
導入

→「フーリエ級数」も参照
この節の記載は、フーリエ変換の「動機」についてのものであるが、フーリエ変換の理解に必須のものではなく、むしろ理解を妨げる要因（数学的に不正確な内容を含む）もあるため、注意が必要である。フーリエ変換についてのイメージを掴むには有用であるが、この節の理解に拘泥するとむしろ本質的な理解が阻害されることになる。すなわち、以下の段落では [−T/2, T/2]でのフーリエ級数展開を考察し、T → ∞として、(−∞, ∞)でのフーリエ変換を考えようとするものであるが、[−T/2, T/2]と(−∞, ∞)では全く様相が異なり、[−T/2, T/2]ではどのような連続関数もフーリエ級数展開可能であるが、(−∞, ∞)では拡張されたフーリエ級数展開（フーリエ変換）ができない連続関数が多数存在し、ｎ次関数、三角関数、指数関数、対数関数はどれもフーリエ変換ができない。任意のTについて、[−T/2, T/2]である命題が言えたとしても、(−∞, ∞)ではその命題が成り立たない典型例となっており、単純にT → ∞として、(−∞, ∞)での結論を導き出すことはできない。
ただし、ルベーグの優収束定理により、ある関数 \varphi (x)が存在し、(−∞, ∞)で絶対可積分 \int _{-\infty }^{\infty }|\varphi (x)|dx<\infty で、 |e^{-2\pi inx/T}f(x)|=|f(x)|\leq |\varphi (x)|が言える場合は、

 f_{N}(x)を、 f_{N}(x)=f(x)(-N\leq x\leq N)、 f_{N}(x)=0(N<|x|)と置けば、 |f_{N}(x)|\leq |\varphi (x)|であり、

 \lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi inx/T}f(x)dx=\lim _{N\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi inx/T}f_{N}(x)dx =\int _{-\infty }^{\infty }\lim _{N\to \infty }e^{-2\pi inx/T}f_{N}(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi inx/T}f(x)dx
となり、有限区間での議論を(−∞, ∞)に拡張可能である。なお、この節の以下の段落では、リーマン和の極限であるリーマン積分でフーリエ変換を定義しているが、リーマン積分ではルベーグの優収束定理は成立せず、従ってフーリエ変換の性質のうち優収束定理に依存するものは成立しない。通常、フーリエ変換は、ルベーグの優収束定理が成立するルベーグ積分で定義され、それにより種々の性質が言えるものであり、この点でもこの節の記載は数学的に厳密ではない。
フーリエ変換を考える動機はフーリエ級数の研究に始まる。フーリエ級数の研究において、複雑な周期関数は単純な波動の数学的な表現である正弦関数や余弦関数の和として表される。正弦や余弦の性質のおかげで、この和に現れる各波の量、フーリエ係数を積分によって計算することができる。
多くの場合に、




e

2
π
i
θ


=
cos
⁡

2
π
θ

+
i
sin
⁡

2
π
θ



{\textstyle e^{2\pi i\theta }=\cos {2\pi \theta }+i\sin {2\pi \theta }}

（オイラーの公式）を用いて、正弦関数および余弦関数の代りに基本波動 




e

2
π
i
θ




{\textstyle e^{2\pi i\theta }}

 を用いた方が便利である。この場合には多くの公式が簡単化され、本項で後述するフーリエ変換のほかの類似の定式化をあたえるという点に優位性がある。この正弦・余弦から複素指数関数への移行にはフーリエ係数が複素数値であることを要する。この複素数は、関数に含まれる波動の振幅（あるいは大きさ）と、位相（あるいは初期角）の両方を与えているものと通常は解釈される。また、この移行に際して「負の周波数」も導入される。例えば、波動 




e

2
π
i
θ




{\textstyle e^{2\pi i\theta }}

 および 




e

−
2
π
i
θ




{\textstyle e^{-2\pi i\theta }}

 はともに周期1を持つが、複素フーリエ級数においては別々の成分として取り扱われる。したがって、周波数を単純に周期の逆数と考えることはできなくなる。
フーリエ級数を以下のようにしてフーリエ変換の動機付けに用いることができる。関数 ƒ をある区間 [−L/2, L/2] の外側で 0 となるようなものとすると、任意の T ≥ L に対して ƒ を区間 [−T /2, T /2] 上のフーリエ級数に拡張できる。ここで f のフーリエ級数に現れる波動 




e

2
π
i
n
x

/

T




{\textstyle e^{2\pi inx/T}}

 の係数となる 




c

n




{\textstyle c_{n}}

 で表される「量」は
{\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}=c_{n}:=\int _{-T/2}^{T/2}e^{-2\pi inx/T}f(x)\,dx
で与えられ、ƒ は公式
f(x)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}e^{2\pi inx/T}
で与えられなければならない。ξn = n/T とおき、Δξ = (n + 1)/T − n/T = 1/T とおくと、最後の和をリーマン和
f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}e^{2\pi ix\xi _{n}}\Delta \xi
として考えることができる。T → ∞ とすることにより、このリーマン和は定義節で与えられるフーリエ逆変換に収束する。適当な条件の下では、この議論をもっと明確化することができる。したがって、この場合はフーリエ級数だが、フーリエ変換は関数に含まれる個々の特定の周波数がどの程度あるかを測るものと考えることができ、それらの波動を積分（あるいは「連続和」）によって再結合して元の関数を復元することができる。
以下の画像はフーリエ変換が特定の関数に含まれる周波数を測る方法を視覚的に現したものである。関数として、（t が秒で測られる場合には）3 ヘルツで振動し、急速に 0 になる
f(t):=\cos(6\pi t)e^{-\pi t^{2}}
を描く。この関数は特に描画しやすい実フーリエ変換をもつものとして選ばれたものであり、最初の画像はそのグラフである。ˆf(3) を計算するために、e−2πi(3t)ƒ(t) を積分する。二枚目の画像はこの被積分関数の実部および虚部である。被積分関数の実部は殆ど常に正となる。これは ƒ(t) が負であるときには e−2πi(3t) の実部が同様に負となることによる。それらは同じ比率で振動するから、ƒ(t) が正であるときも同様に e−2πi(3t) の実部も正になる。
この結果、被積分関数の実部のを積分すれば、比較的大きな数値（ここでの場合 0.5）を得ることになる。
一方、（ˆf(5) を見る場合のように）含まれない周波数を測れば、被積分関数は十分に振動し、それゆえにその積分はとても小さい値となる。一般の設定ではこれよりは少し複雑になるが、それでもフーリエ変換は関数 ƒ(t) に含まれる個々の周波数がどれくらいあるかを測るものという考え方に変わりはない。
この例では、 \cos(6\pi t)ではなく、 \cos(6\pi t)e^{-\pi t^{2}}と、不自然な e^{-\pi t^{2}}がかかっているが、 \cos(6\pi t)は、(−∞, ∞)で絶対可積分ではなくフーリエ変換は不可能であり、 e^{-\pi t^{2}}は、 \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi t^{2}}dt=1のため(−∞, ∞)で絶対可積分であり、 \cos(6\pi t)e^{-\pi t^{2}}は、 |\cos(6\pi t)e^{-\pi t^{2}}|\leq e^{-\pi t^{2}}と絶対値が絶対可積分関数より小さくなるため、それ自身絶対可積分関数となり、フーリエ変換が可能となっているものである。
3ヘルツの振動を示すもとの関数
3ヘルツにおけるフーリエ変換の被積分関数の実部および虚部
5ヘルツにおけるフーリエ変換の被積分関数の実部および虚部
3ヘルツおよび5ヘルツでラベル付けされたフーリエ変換