算術幾何平均
証明

複素数  a,\ b の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。
a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_{n}+b_{n})(a_{n}-b_{n})

 a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}=\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)^{2}-a_{n}b_{n}={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{4}}
\left|a_{n}-b_{n}\right|<\left|a_{n}+b_{n}\right|となるように  b_{n} の根号の符号を決めると約束したので、
{\frac {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}{\left|a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}\right|}}={\frac {\left|a_{n}-b_{n}\right|}{4\left|a_{n}+b_{n}\right|}}<{\frac {1}{4}}
である。 d_{n} を  a_{n} の階差とすれば
d_{n}=a_{n+1}-a_{n}=-{\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}

 {\frac {\left|d_{n+1}\right|}{\left|d_{n}\right|}}={\frac {\sqrt {\left|a_{n+2}^{\;2}-b_{n+2}^{\;2}\right|}}{\sqrt {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}}<{\frac {1}{2}}
である。したがって、級数  \sum {d_{n}} は絶対収束する。すなわち、数列  \{a_{n}\} は収束し、数列  \{b_{n}=2a_{n+1}-a_{n}\} は  \{a_{n}\} と同じ値に収束する。
算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、 a,\ b は正の実数とする。
{\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {(a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta )(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{{\cos ^{2}\theta }{\sqrt {(a^{2}+b^{2}\tan ^{2}\theta )(1+\tan ^{2}\theta )}}}}\\\end{aligned}}
x=\tan \theta  と置換すると、
{\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}x^{2})(1+x^{2})}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}x^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}x^{4}+a^{2}}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {(a+b)^{2}x^{2}+(bx^{2}-a)^{2}}}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x{\sqrt {\left(\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+\left(\displaystyle {\frac {bx^{2}-a}{2x}}\right)^{2}}}}}\\\end{aligned}}
t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}} と置換することによって、
x={\sqrt {ab}}\;t+{\sqrt {ab+abt^{2}}},\quad dx=\left({\sqrt {ab}}+{\frac {\sqrt {ab}}{\sqrt {ab+abt^{2}}}}\right)dt={\frac {x}{\sqrt {1+t^{2}}}}dt

 {\begin{aligned}I(a,b)&={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=I\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)\end{aligned}}
となる。したがって、
{\begin{aligned}I(a,b)&=I(a_{1},b_{1})=\lim _{n\to \infty }I(a_{n},b_{n})=\lim _{n\to \infty }I\left(M(a,b),M(a,b)\right)\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {M(a,b)^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}={\frac {\pi }{2M(a,b)}}\\\end{aligned}}
a,\ b が複素数である場合は、積分路  t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}} と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。
 u=\Re \left(b/a\right),  v=\Im \left(b/a\right) とすれば、
{\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {(b/a)x^{2}-1}{(1+b/a)x}}={\frac {(u+iv)x^{2}-1}{(1+u+iv)x}}\\&={\frac {(ux^{2}-1+ivx^{2})(1+u-iv)}{\left((1+u)^{2}+v^{2}\right)x}}\\&={\frac {(u+u^{2}+v^{2})x^{2}-(1+u)+ivx^{2}+iv}{(1+2u+u^{2}+v^{2})x}}\\\end{aligned}}
これに  x^{2}={\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}} を代入すると
{\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {iv{\frac {1+2u+^{2}+v^{2}}{u^{2}+v^{2}+u}}}{(1+2u+u^{2}+v^{2}){\sqrt {\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}}}}\\&={\frac {iv}{\sqrt {(1+u)(u+u^{2}+v^{2})}}}\\\end{aligned}}
であり、 u>0 となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極  \pm i\,{\frac {a+b}{2}} の間（原点に近いところ）を通る。また、 u'=\Re \left({\sqrt {b/a}}\right),  v'=\Im \left({\sqrt {b/a}}\right) とすると、
{\begin{aligned}t&={\frac {{\sqrt {b/a}}\;x^{2}-{\sqrt {a/b}}}{2x}}={\frac {(u'+iv')^{2}x^{2}-1}{(u'+iv')x}}\\&={\frac {(u'^{2}+v'^{2})(u'+iv')x^{2}-(u'-iv')}{2(u'^{2}+v'^{2})x}}\\\end{aligned}}
これに  x^{2}={\frac {1}{u'^{2}+v'^{2}}} を代入すれば
{\begin{aligned}t&={\frac {iv'}{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}\\\end{aligned}}
であるから、積分路は極  \pm {i} の間を通る。