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園芸農業

農作物の需要が高い香港市場へ向けた園芸農業の様子
園芸農業（えんげいのうぎょう）とは、需要の高い都市市場への出荷を目的とした農業。野菜（蔬菜）、観賞用の花、果物、庭木などを栽培し、新鮮なものを市場に提供することを目的として行われる。鮮度の高いものほど商品価値が高いので、輸送の制約が大きい。他にも促成栽培（冬の暖かい気候を利用し、夏野菜を冬や春に出荷すること）でのビニールハウスの利用のことを「施設園芸農業」という。
特徴

大量に資本を投下する、年間の労働日数、単位面積当たりの労働にかかる費用の点で集約的農業である。これは酪農にも共通した特徴であるが、園芸農業が最も集約的な農業であるといえる。
コメやムギなどの主食の栽培は含まれない。
分類

一般的に都市（大消費地）との距離によって分類する。
近郊農業（都市と近い）
輸送園芸（都市と遠い）
乾燥地帯の園芸農業

中央アジア、サハラ砂漠、南アメリカ大陸の乾燥パンパのような乾燥した地域でも、オアシスの周囲や灌漑が行われている場合は園芸農業が展開する。生産物はブドウなどの果樹やタバコ・綿花・亜麻などの工芸作物である。
ツノホコリ類

ツノホコリ類 (英: ceratiomyxids) はアメーボゾアに属する原生生物の1群であり、ツノホコリ属 (ツノホコリカビ属、Ceratiomyxa) を含む。ツノホコリ属は変形菌として扱われることが多かったが、原生粘菌との類似性も指摘され、これに含めることもあった。2020年現在では、ツノホコリ属は原生粘菌の一部 (Clastostelium, Protosporangium) に近縁であることが明らかとなっており、これらをまとめてツノホコリ綱 (学名: Ceratiomyxea、Ceratiomyxomycetes) に分類することが提唱されている。ツノホコリ綱は、おそらく変形菌綱の姉妹群である。
ツノホコリ属は腐朽木上などに肉眼視できる大きさのゼラチン質の子実体 (担子体) を形成し (右図)、その表面に1個ずつ胞子をつけた柄が多数生じる。ツノホコリ属の栄養体は、多核アメーバ体である大きな変形体である。Clastostelium や Protosporangium は単細胞性アメーバであり、柄の先端に数個の胞子をつけた微細な子実体を形成する。
特徴

ツノホコリ属 (Ceratiomyxa) の子実体は、円柱状、樹状、またはハチの巣状の半球形であり、ゼラチン質で柔らかい (上図、下図)。個々の子実体の大きさは基本的に数mm程度であるが、ふつう群生するため目立ち、塊状のものは幅 20 cm 以上に達することもある。色は白色のものが多いが、黄色のものや桃色、青色のものもいる (下図)。細胞外基質からなる子実体の表面に多数の柄 (長さ5–20 µm) が生じ、その先端に1個ずつ胞子がつく (下図1d, 2)。胞子は透明から白色、大きさは 6–10 x 7–15 µm、表面は平滑である。このように、ツノホコリ属は胞子を外生する点で典型的な変形菌とは大きく異なる (変形菌では胞子嚢 (子嚢) の中に多数の胞子を内生する)。そのためツノホコリ属の子実体は担子体 (sporophore) ともよばれる。
. ツノホコリ (エダナシツノホコリ) の子実体
. ツノホコリ (タマツノホコリ) の子実体
. ツノホコリ (キイロツノホコリ) の子実体
. ツノホコリの子実体拡大像 (表面に胞子が見える)
ツノホコリ属の胞子は形成過程では単核 (1個の核をもつ) であるが、後に連続した核分裂によって4核になる。この過程は減数分裂であると考えられている (下記参照)。胞子は早落性であり、風散布される。胞子から発芽した4核の細胞 (しばしば細長い糸状) は、1回の核分裂とそれに続く細胞質分裂を経て8細胞を形成する (図2d–h)。この細胞は鞭毛細胞であるが、鞭毛を失ってアメーバ細胞になることもある。鞭毛細胞はおそらく配偶子として機能し、融合して接合子となる。接合子は細胞質分裂を伴わない核分裂を繰り返して変形体に発達すると考えられているが、その過程は明らかではない。変形体は網状で薄く、透明または白色 (まれに黄色)、比較的大きい (〜1 m) (下図3b)。変形菌に典型的な、逆転する原形質流動は示さない。変形体は細菌などを捕食性て成長し、やがて子実体 (担子体) を形成する (下図3c, d)。
. ツノホコリの鞭毛/アメーバ細胞
. ツノホコリの変形体
. ツノホコリの変形体 (子実体形成中)
. ツノホコリの未熟子実体
Clastostelium や Protosporangium の子実体 (sporopcarp) は非常に微小であり、1個の柄と数個の胞子のみからなる。Clastostelium の柄は基部と上部の2部構造からなり、湾曲した上部が膨張、破裂することで胞子を射出する。胞子はふつう2個が並列、発芽して分裂し、それぞれ鞭毛細胞を2個形成する。細胞はすぐに鞭毛を失い、単核または複数の核をもつアメーバ細胞が栄養体になる。Protosporangium の子実体はときに関節をもち、胞子は非早落性、柄の先端に2–4個 (ときにそれ以上) の胞子がつく。胞子の発芽やアメーバ細胞は、Clastostelium に類似している。
ツノホコリ属と Protosporangium では胞子形成時にシナプトネマ複合体が観察されており、減数分裂を行っていると考えられている。ツノホコリ綱では、胞子は2または4個の核をもつことが多く、発芽後にすぐ分裂して複数の鞭毛細胞を形成する。鞭毛細胞は細胞頂端から生じる2本の不等鞭毛 (長い前鞭毛と短い後鞭毛) をもつ。鞭毛の基底小体は核に近接しており、鞭毛装置において、微小管性鞭毛根のR3は2本の微小管からなる。鞭毛細胞の細胞表面は、先端が分枝した繊維構造で覆われている。鞭毛細胞はその後分裂せず、アメーバ細胞になると考えられている。
生態

ツノホコリ属の子実体はふつう腐朽した倒木上、まれに生木や落葉上に生じる (右図)。とくにツノホコリ (Ceratiomyxa fruticulosa) は、日本を含む世界各地で最もふつうに見られる粘菌である。春から秋に見られるが、特に梅雨明けから夏に多い。ツノホコリ属の培養は難しく、成功していない (2017年現在)。
Protosporangium はふつう生木の樹皮上から報告されているが、倒木や枯れ葉から見つかることもある。Clastostelium はまれであり、植物体上の枯れ葉や落葉から報告されている。
系統と分類

ツノホコリ属は古くから知られていた生物であり、大型の変形体をもち、そこから大型の子実体を形成するため、変形菌に分類されていた。しかし子実体がゼラチン質であり、胞子を外生する点で他の変形菌とは大きく異なる。そのため、外生胞子亜綱 (Exosporeae) やツノホコリ亜綱 (学名: Ceratiomyxomycetidae) として他の変形菌と分けられることが多かった。
また1960年代より、柄と1〜数個の胞子のみからなる微小な子実体を形成するアメーバ類である原生粘菌が認識されるようになった。ツノホコリ属の子実体 (担子体) 表面には1個の胞子をつけた柄が多数形成されるが、この構成要素は原生粘菌の子実体 (sporocarp) に類似しており、ツノホコリ属は特殊化した (巨大化した) 原生粘菌であるとも考えられるようになった。
しかし原生粘菌は、当初から変形菌やタマホコリカビ類の祖先的な生物群として考えられており、単系統群であると考えられていたわけではない (一部の原生粘菌は変形菌などにより近縁であると考えられていた)。アメーバ細胞の形態や微細構造学的特徴から、原生粘菌はいくつかの系統群に分けられると考えられていたが、そのうちツノホコリ属は、Protosporangium や Clastostelium とともに系統群を構成していると考えられ、この系統群は Group Va とよばれていた。形態形質からは、原生粘菌の中で Group Va が変形菌に最も近縁であることが示唆されていた。
その後、2010年以降の分子系統学的研究より、原生粘菌が複数の系統群からなることが確認され、そのうち Group Va (ツノホコリ属、Protosporangium、Clastostelium) が変形菌の姉妹群であることが示された。この系統群に対しては、プロトスポランギウム目 (学名: Protosporangiida) の名が与えられていたが、ツノホコリ属をあわせてツノホコリ綱 (学名: Ceratiomyxea、Ceratiomyxomycetes)、ツノホコリ目 (学名: Ceratiomyxida、Ceratiomyxales) に分類することが提唱されている。2017年現在、ツノホコリ綱には3属9種が知られる。
ギャラリー

ツノホコリの子実体
ツノホコリの未成熟子実体
ツノホコリ (タマツノホコリ) の子実体
ツノホコリ (キイロタマツノホコリ) の子実体
Ceratiomyxa sphaerosperma の子実体
Ceratiomyxa morchella の子実体
2. ツノホコリの子実体 (a)、柄を伴う胞子を示す表面拡大図 (b)、 胞子 (c) の発芽から8細胞期の過程 (d–h).
倒木上のツノホコリの子実体.
マーノ・ネーラ

ブラックハンド（Black Hand）、またはイタリア語でマーノネーラ（La Mano Nera）とは、単一の組織の名称では無く、複数のギャング組織が行っていた犯罪行為の総称である。主にイタリア系の犯罪組織、カモッラやマフィアによって行われ、その主な犯行手段は脅迫行為であり、相手に金銭を強請る際に黒い手形のマークが押印された脅迫状を送りつけていたことから「ブラックハンド」という名称で呼ばれた。日本の文献では「黒手組」と記載されている場合もある。
概要

ブラックハンドのルーツは、シチリア島に、そして1750年代のナポリ王国時代まで遡ることができる。しかし、通常この組織的犯罪は1890年から1900年にかけてイタリア南部からアメリカへ移住した66万人もの移民（そのうち3分の2が男性）たちの中から誕生した行為のことを指す。
移民たちは多くが貧しい小作農の出身であり、アメリカで金を稼いで故郷へ戻り土地を得ようと考えていたが、教育の程度も低く、金を稼げるような技術も持っておらず、加えて住環境もひどく劣悪であった。その中から手っ取り早く金を稼ぐためにいくつかの犯罪組織が作られ、そして彼らはお互いに共存しあっていた。
1900年までに、ブラックハンドの活動はニューヨーク、ニューオーリンズ、シカゴ、そしてサンフランシスコのイタリア系移民社会の中に広まっていった。彼らが脅迫する対象は主にアメリカで成功した同胞たちであった。多くの被害者はアメリカの法律を理解しておらず、また彼らを助けてくれるような後ろ盾も持ち合わせていなかったため、ブラックハンドに金を支払わざるを得なかった。おそらく当時のイタリア系移民のうち90％は彼らによって生活を脅かされていた。
ブラックハンドの典型的な犯行手口は、狙った相手に対し殺人、誘拐、放火または身体に傷害を加えることをほのめかす脅迫状を送りつけることであった。そこには指定された金額を指定された場所に届けるようにと書かれていた。また、手紙には脅迫状のシンボルマークとして、煙を出している銃あるいは縛り首に使われた縄の輪そして黒インクで手形のマークが押されていた。そのマークからアメリカの新聞社によって彼らマーノ・ネーラはブラックハンド・ソサエティと名付けられた。
ギャング達は、目をつけた相手が金の支払いに応じない場合は更なる脅しを行い、建物をダイナマイトで吹き飛ばすことすらあった。ブラックハンドの恐怖はアメリカ中のリトル・イタリーに広がり、多くの人々はマーノ・ネーラという言葉を口に出すことすら恐れた。
ニューヨーク・リトル・イタリーのシチリア人ギャング、サイエッタことイニャツィオ・ルポは、イースト・ハーレム近くにあった「殺人厩舎」と呼ばれていた場所で、要求に応じない人を絞め殺した上、遺体を焼いて処分していたことで悪名を馳せ、少なくとも60人以上を殺害したとされるが、実際には彼のほかにボスのジュゼッペ・モレロの他の部下たちもこれらの殺人を行ったとされる。
脅迫状を送りつけられた者の中に、当時、テノール歌手として人気を博していたエンリコ・カルーソーも含まれていた。ブラックハンドの手紙には件の黒い手形のマークと2000ドルを支払うことを要求する内容が書かれていた。カルーソーは要求に屈し、要求された金額を支払ったが、再び脅迫状が届き、それには15000ドル支払うようにと書かれていた。このままでは永遠に金を要求されることになると考えた彼は警察にこのことを通報し、そして、届けるように指定された場所へ金を置き、警官らと共に相手が来るのを待ち構えた。そして、現れた2人のイタリア系アメリカ人のビジネスマンは逮捕された。その後、オペラ公演の時にはニューヨーク市警のジョゼッペ・ペトロジーノ自ら護衛に当たったこともあったという。
また、ブラックハンド達はギャングにも同様の手口で脅迫状を送り、そのまま抗争になる場合もあった。また彼らは被害者が法律の執行により身を守ろうとする場合は、暗殺という従来のギャングとしてのやり方で答えた。ブラックハンドの犠牲者となった者の中にはニューオーリンズの警察署長だったデヴィッド・ヘネシーや上記のペトロジーノも含まれていた。また、彼らは法廷においてさえ、潜在的証人となり得る可能性のある者を脅迫していた。
1910年にルポは逮捕されて懲役30年の判決を受け、10年後に釈放されたものの、ニューヨークは既に群雄割拠の時代に突入しており、もはや裏社会の中心に戻ることはできなかった。その後1920年にはアメリカにおいて禁酒法が施行され、ギャング達が密造酒で莫大な富を得るようになった。それに伴い、犯罪行為としてのブラックハンドは姿を消し、彼らは地下へ潜って本格的なマフィアやギャングへと移行することとなる。
マーノ・ネーラの脅迫状。「これは二度目の警告だ。日曜日の午前10時に三番大路の二番通りの角に300ドル間違いなく置いておけ。さもなくばお前に火をつけるか爆弾で吹き飛ばす。よく考えろ。これが最後の警告だ。ブラックハンドのサインを記す。」と書いてある。
商業学校 (近代期)

明治40年代の甲府商業学校
商業学校 (近代期)（しょうぎょうがっこうきんだいき）、旧制商業学校とも呼ばれるは、戦前の日本に存在した商業学校を一覧する。
おもな学校 > 官立・公立商業学校の前身校

大蔵省銀行学局（1874年、のち1877年銀行学伝習所、1879年簿記学伝習所・簿記学講習所、1882年銀行局銀行事務講習所、1886年から文部省に移管され東京商業学校（のちの一橋大学）附属銀行専修科、同校附属主計専修科、1887年から1893年まで高等商業学校（のちの一橋大学）附属主計専修科、同校附属主計学校）
商法講習所小松塾（1875年、のちの一橋大学）
神戸商業講習所（1878年、のちの兵庫県立神戸商業高等学校）
大阪商業講習所(1880年、のちの大阪市立大学）
横浜商法学校（1882年、のちの横浜市立大学商学部）
おもな学校 > 私立商業学校（実業学校以外）

三菱商業学校(1878年、のちに明治義塾と改名、慶應義塾大学の旧分校）
岡山商法講習所（1880年）
共立統計学校(1883年)
明治学舎（1872年）
協栄学舎（1872年）
丸善帳合稽古所（1873年）
簿記夜学校（1878年）
商法簿記夜学校
簿記夜学舎
商法夜学校
米商会所付属学校
簿記学舎
遊海学校
青藍館
有則学舎
勧高書院
記簿法学舎
鳩功学社
進善舎
潔進社
英学所
高陽学舎
開広舎
塵劫記舎
開雲舎
精栄館
精々学舎
おもな学校 > 実業学校等 > 北海道地方

北海道庁立小樽商業学校、北海道立小樽商業学校、北海道立小樽商業高等学校、北海道小樽緑陵高等学校を経て、現・北海道小樽商業高等学校
函館商業学校、北海道函館商業高等学校
札幌市立商業学校、札幌市立商業高等学校、札幌創成商業高等学校、北海道札幌創成商業高等学校を経て、北海道札幌啓北商業高等学校
北海道旭川区旭川商業高等学校、北海道旭川商業学校、北海道庁立旭川商業高等学校、北海道庁立旭川第二工業学校を経て、北海道旭川商業高等学校
北海道庁立根室商業学校、北海道根室高等学校
札幌光星商業学校、札幌光星工業学校を経て、札幌光星高等学校
札幌商業学校、札幌豊陵工業学校、札幌商業高等学校・札幌豊陵工業高等学校・併置中学校、札幌商業高等学校を経て、北海学園札幌高等学校
私立小樽商業学校、私立北海商業学校、北海商業学校、北海工業学校、北海商業学校を経て、北照高等学校
おもな学校 > 実業学校等 > 東北地方

青森市立商業学校、青森県立青森商業学校、青森県立青森商業高等学校
八戸市立商業学校、青森県立八戸商業高等学校
盛岡学舎
盛岡市立商業学校、岩手県立盛岡商業学校、岩手県立盛岡商業高等学校
水沢町立商業学校、岩手県立水沢商業学校、岩手県立水沢商業高等学校
秋田市商業学校、秋田市立秋田商業高等学校
石巻町立商業補習学校、石巻町立石巻商業学校、石巻商業学校、石巻工業学校、石巻商業学校を経て、宮城県石巻商業高等学校
古川商業専修学校、私立青年学校古川商業専修学校、公立青年学校宮城県志田郡古川町商業専修学校、宮城県古川商業学校、宮城県古川工業学校を経て、宮城県古川工業高等学校
仙台女子商業学校、仙台女子商業高等学校を経て、仙台市立仙台商業高等学校(仙台商業高等学校と統合)
仙台市商業学校、市立仙台商業学校、仙台商業学校、仙台商業高等学校を経て、仙台市立仙台商業高等学校
山形市立商業学校、山形市立工業学校を経て、山形市立商業高等学校
酒田町立甲種商業学校、山形県立酒田商業学校、山形県立酒田商業高等学校を経て、山形県立酒田光陵高等学校
福島町立福島商業補習学校、福島市立商業学校、福島県立福島商業学校、福島県立福島商工高等学校、(福島市立福島女子商業高等学校と統合を経て、福島県立福島商業高等学校
須賀川町立商業補習学校、福島県須賀川町立商業学校、福島県須賀川商業学校、（須賀川高等女学校　と統合）、福島県立須賀川高等学校、（普通科女子を福島県立須賀川女子高等学校として分離、福島県立須賀川桐陽高等学校を経て、福島県立須賀川高等学校
郡山実業補習学校、福島県郡山商工学校、福島県郡山商業学校、福島県郡山工業学校、福島県郡山商工学校、（工業科を福島県郡山工業学校として分離を経て、福島県立郡山商業学、福島県立郡山商業高等学校
喜多方町立喜多方商業補習学校、喜多方町立喜多方商業学校、福島県喜多方工業学校、福島県立喜多方商工学校を経て、福島県立喜多方商工高等学校、工業科を福島県立喜多方工業高等学校　として分離、福島県立喜多方商業高等学校
大沼実業補習学校、大沼農業補習学校、大沼実業公民学校、福島県大沼郡高田町大沼実業学校、福島県立大沼農学校を経て、福島県立大沼高等学校
平商業補習学校、福島県平商業学校、福島県立平商業学校を経て、福島県立平商業高等学校
福島県相馬商業学校、福島県相馬工業学校、福島県立相馬商業学校、原町高等女学校　と統合を経て、福島県立原町高等学校
おもな学校 > 実業学校等 > 関東地方

茨城県立商業学校、茨城県立水戸商業学校を経て、茨城県立水戸商業高等学校
茨城県立下館商業学校、茨城県立下館工業学校、茨城県立下館中学校、茨城県立下館高等学校を経て、茨城県立下館第一高等学校
茨城県古河商業学校、茨城県立古河商業学校、茨城県立古河高等学校を経て、茨城県立古河第一高等学校
湊町立湊商業学校、茨城県湊商業学校、茨城県立湊水産商業学校、茨城県立湊商業学校、茨城県立湊工業学校、茨城県立湊商業学校、茨城県立那珂湊高等学校を経て、茨城県立那珂湊第一高等学校
栃木県立商業学校、栃木県立宇都宮商業学校、栃木県立宇都宮商業高等学校
宇都宮市立商業学校、宇都宮市立宇都宮商業学校（栃木県立宇都宮商業高校に併合）
栃木町立商業学校、栃木県立栃木商業高等学校
前橋市立商業学校、群馬県立前橋商業学校、（前橋第二工業学校、県立前橋商に併設）、前橋第二工業学校（県立前橋商のみ廃止）、前橋商工学校を経て、群馬県立前橋商業高等学校
高崎市立商業補習学校 、群馬県立高崎商業高等学校
伊勢崎町立商工補習学校、伊勢崎町立商業学校、群馬県立伊勢崎商を経て、群馬県立伊勢崎高等学校および群馬県立伊勢崎商業高等学校
埼玉県川越商業学校、埼玉県川越商業高等学校を経て、川越市立川越高等学校
埼玉県浦和商業学校、埼玉県立浦和商業高等学校
千葉市立千葉商業補習学校、千葉県千葉商業学校、千葉県立千葉商業高等学校
千葉県立銚子商業学校、千葉県立銚子商業高等学校
東京市立商業補習夜学校（1906年）、1911年に移転し東京市立商業学校と改称
東京府立商業学校(1918年）、東京都立一商業学校、東京都立第一商業新制高等学校を経て、東京都立第一商業高等学校
東京府立第二商業学校(1920年）、東京都立二商業学校、東京都立第二商業新制高等学校を経て、東京都立第二商業高等学校、(廃校)
東京府立第三商業学校(1928年）、東京都立三商業学校、東京都立第三商業新制高等学校を経て、東京都立第三商業高等学校
東京府立第四商業学校(1940年）、東京都立四商業学校、東京都立第四商業新制高等学校を経て、東京都立第四商業高等学校
東京府立第五商業学校(1941年）、東京都立五商業学校、東京都立第五商業新制高等学校を経て、東京都立第五商業高等学校
東京市立第一商業補習学校(1918年）、東京都立荒川商業高等学校
東京市立四谷商業実務学校(1924年）、東京都立四谷商業高等学校
東京市立京橋商業学校(1924年）、東京都立芝商業高等学校
東京市赤坂商業学校(1933年）、東京都立赤坂高等学校
東京植民貿易語学校(1916年)および東京保善商業学校(夜学)(1923年)、東京保善高等学校を経て、保善高等学校
東京保善商業学校(昼間)(1923年)、安田商業学校、安田商業高等学校を経て、安田学園高等学校
東京育英商業学校
大倉商業学校
帝国商業学校
豊島商業学校
錦城商業学校
法政大学商業学校
東京商業学校
攻玉社第一商業学校
昭和第一商業学校
京華商業学校
中央商業学校
慶應義塾商工学校
国士舘商業学校
足立商業学校
京王商業学校
順天商業学校
カ行商業学校
豊南商業学校
実践商業学校
正則商業学校
大蔵商業学校
明治大学商業学校
日本大学第一商業学校
日本大学第二商業学校
日本大学第三商業学校
立正商業学校
成立商業学校
関東商業学校
高輪商業学校
郁文館商業学校
早稲田実業学校
東京主計商業学校
中央大学商業学校
帝京商業学校
東洋商業学校
京北実業学校
町田報徳商業学校
横浜商法学校（1882年）、横浜商業学校、横浜市立商業学校を経て、横浜市立横浜商業高等学校
私立小田原商業学校、小田原市立商業学校、神奈川県立小田原総合ビジネス高等学校を経て、神奈川県立小田原東高等学校総合ビジネス科
おもな学校 > 実業学校等 > 中部・北陸地方

北越興商会付属新潟商業学校、新潟区立商業学校、新潟市立商業学校、新潟県立商業学校、新潟県立新潟商業学校、新潟県立新潟商業商船学校、新潟県立新潟商業学校、新潟県立新潟第二工業学校、新潟県立新潟商業学校を経て、新潟県立新潟商業高等学校
長岡市立商業学校、新潟県立商業学校、新潟県立長岡商業高等学校
長野市立長野商業学校、長野県長野商業学校、長野県長野商業高等学校
長野県諏訪商業学校・長野県諏訪女子商業学校、長野県諏訪実業高等学校
飯田市立飯田商業学校、長野県飯田商業学校、長野県飯田長姫高等学校、長野県飯田OIDE長姫高等学校
松本戊戌商業学校、松商学園高等学校
富山市立富山商業学校、富山県立富山商業学校、富山県立富山商業高等学校
高岡市立高岡商業学校、富山県立高岡商業学校、富山県立高岡商業高等学校
金沢市立金沢商業学校、石川県立金沢商業学校、石川県立金沢商業高等学校
小松町立小松商業学校、石川県立小松商業学校、石川県立小松商業高等学校
福井市立福井商業学校、福井市立福井高等学校を経て、福井県立福井商業高等学校
市立甲府商業学校、甲府市立甲府商業高等学校
静岡市立静岡商業学校、静岡県立静岡商業学校、（静岡市立駿府商業学校、静岡県立静岡第二商業学校 と統合）を経て、静岡県立静岡商業高等学校
静岡県清見潟商業学校、静岡県清水商業学校、清水市立商業高等学校、静岡市立清水商業高等学校（静岡県立庵原高等学校と統合）を経て、静岡市立清水桜が丘高等学校
沼津町立沼津商業学校、静岡県立沼津商業学校、静岡県立沼津商業高等学校
静岡県袋井商業学校、静岡県立袋井商業学校、静岡県立袋井実業高等学校、静岡県立袋井商業高等学校
浜松市立商業学校、静岡県立浜松商業学校、静岡県立浜松商業高等学校
岐阜市立岐阜商業学校（岐阜市立女子商業学校と統合を経て、長良高等学校、岐阜高等学校、加納高等学校商業課程に県移管分割配置編入）現在は岐阜県立岐阜商業高等学校
大垣市立商業学校、岐阜県大垣商業学校、岐阜県立大垣商業高等学校
岐阜県中津商業学校、岐阜県立中津高等学校商業科を経て、岐阜県立中津商業高等学校
愛知県商業學校、愛知県立愛知商業高等学校、愛知県立熱田高等学校、愛知県立名南高等学校、愛知県立貿易商業高等学校 と統合、愛知県立瑞陵高等学校を経て、愛知県立愛知商業高等学校 と 愛知県立瑞陵高等学校 に分割
愛知県貿易商業學校、愛知県立貿易商業高等学校、 愛知県立熱田高等学校、愛知県立愛知商業高等学校、愛知県立名南高等学校 と統合、愛知県立瑞陵高等学校を経て、愛知県立愛知商業高等学校 と 愛知県立瑞陵高等学校 に分割
愛知学舎
愛知県名古屋商業學校、名古屋市立名古屋商業学校、名古屋市立名古屋商業高等学校、名古屋市立第二高等学校 と統合、名古屋市立向陽高等学校、名古屋市立商業高等学校 と 名古屋市立向陽高等学校 に分割、前者が名古屋市立名古屋商業高等学校に改称
名古屋市立第二商業學校、名古屋市立第二商業高等学校、名古屋市立第一高等学校 と統合、名古屋市立菊里高等学校
名古屋市立第三商業學校、名古屋市立南商業高等学校、名古屋市立春日野高等学校 と統合　、名古屋市立桜台高等学校
愛知県実務女學校、愛知県女子商工學校、愛知県立名南高等学校、愛知県立熱田高等学校、愛知県立愛知商業高等学校、愛知県立貿易商業高等学校 と統合、愛知県立瑞陵高等学校を経て、愛知県立愛知商業高等学校 愛知県立瑞陵高等学校 と に分割
愛知県立一宮商業学校、愛知県立一宮商業高等学校
愛知県半田商業専修学校、愛知県半田商業学校、愛知県立半田商業高等学校
岡崎市立商業学校、岡崎市立高等学校商業科、愛知県立岡崎商業高等学校
私立豊橋商業学校、豊橋市立商業学校、愛知県立豊橋商業高等学校
中京商業学校、中京大学附属中京高等学校
東邦商業学校、東邦高等学校
享栄商業学校、享栄高等学校
名古屋女子商業学校、名古屋経済大学市邨高等学校（商業科は2004年閉科）
名古屋第二女子商業学校、名古屋経済大学高蔵高等学校
おもな学校 > 実業学校等 > 近畿地方

津市立励精商業学校、三重県津実業高等学校を経て、三重県立津商業高等学校
市立四日市商業学校、三重県立四日市商業学校、三重県立四日市商業高等学校
三重県立松阪商業学校、三重県立松阪北高等学校を経て、三重県立松阪商業高等学校
三重県宇治山田商業学校、三重県立宇治山田商業高等学校
和歌山市立和歌山商業学校（初代）、和歌山県立和歌山商業学校、和歌山県立和歌山商業高等学校
和歌山市立和歌山商業学校（2代）、和歌山市立和歌山商業高等学校を経て、和歌山市立和歌山高等学校
串本町立串本商業学校、和歌山県立串本商業学校、和歌山県立串本高等学校を経て、和歌山県立串本古座高等学校
奈良県立奈良商業学校、奈良県立奈良商業高等学校を経て、奈良県立奈良朱雀高等学校
滋賀県商業学校（1886年）、大津市から八幡町に移転し、のち滋賀県立商業学校、滋賀県立八幡商業学校、滋賀県立八幡高等学校（滋賀県立八幡高等女学校と合併し、のち滋賀県立中央高等学校、滋賀県立八幡高等学校を経て、滋賀県立八幡商業高等学校
大津市立大津実業補習学校（1905年）、のち大津市立大津商業学校、滋賀県立大津商業学校、滋賀県立志賀高等学校（滋賀県立膳所中学校・滋賀県立大津高等女学校・滋賀県大津市高等女学校・大津市立大津市女子商業学校（1927年創立）と合併し、滋賀県立膳所高等学校・滋賀県立大津高等学校とともに開校）、滋賀県立大津高等学校、滋賀県立大津西高等学校、滋賀県立大津高等学校を経て、滋賀県立大津商業高等学校
滋賀県立彦根商業学校（1911年）、1944年廃校
長浜町立長浜商業学校（1924年）、滋賀県立長浜商業学校、滋賀県立長浜南高等学校、滋賀県立長浜高等学校、滋賀県立長浜中高等学校、滋賀県立長浜西高等学校、滋賀県立長浜商工高等学校を経て、現・滋賀県立長浜北星高等学校
滋賀県立彦根女子商業学校（1944年）、滋賀県立彦根高等学校
京都府商業学校（1886年）、京都市立第一商業学校、京都市立西京商業高等学校、京都市立西京高等学校、京都市立西京商業高等学校を経て京都市立西京高等学校・附属中学校
京都市立第二商業学校（1910年）、京都市立西陣商業高等学校（1948年廃校）
大阪市立市岡商業学校、大阪市立市岡商業高等学校
大阪市立扇町商業学校、大阪市立扇町商業高等学校を経て、大阪市立扇町総合高等学校
大阪市立実践商業学校、大阪市立天王寺第二商業高等学校（廃校）
大阪市立住吉商業学校、大阪市立住吉商業高等学校（大阪府への移管で大阪府立住吉商業高等学校）
大阪市立天王寺商業学校、大阪市立天王寺商業高等学校
大阪市立東商業学校、大阪市立東商業高等学校
大阪市立西商業学校、 大阪市立西商業高等学校を経て、大阪市立西高等学校
大阪市立芦池女子商業学校、大阪市立芦池商業高等学校を経て、大阪市立住吉商業高等学校に合併し廃校
大阪市立中之島女子商業学校、大阪市立中之島商業高等学校を経て、大阪市立扇町商業高等学校に合併し廃校
大阪市立浪華女子商業学校、大阪市立浪華商業高等学校を経て、大阪市立東商業高等学校に合併し廃校
大阪市立御津女子商業学校、大阪市立御津商業高等学校を経て、大阪市立天王寺商業高等学校に合併し廃校
堺市立堺商業学校、堺市立商業高等学校を経て、堺市立堺高等学校へ統合
岸和田市商業学校、岸和田市立産業高等学校
川口商業学校（私立）　1907年　川口基督教会によって設立された　1933年7月　閉校
京阪商業学校（私立）守口市立京阪高等学校、大阪府立守口高等学校を経て、現・大阪府立芦間高等学校へ統合
日新商業学校（私立）、布施市立日新高等学校を経て、東大阪市立日新高等学校
大阪市立大阪実業学校、大阪市立第七商業学校・大阪市立酉島工業学校の2校に分離
大阪市立第七商業学校、大阪市立第七商業高等学校、大阪市立淀高等学校を経て、大阪市立淀商業高等学校（大阪府への移管で大阪府立淀商業高等学校）
堺市立堺女子手芸学校、堺市立堺高等学校を経て、大阪府立堺西高等学校
泉南郡貝塚実業学校、貝塚市立高等学校を経て、大阪府立貝塚高等学校
大阪貿易語学校、大阪貿易学院高等学校を経て、開明高等学校
大阪商業学校、大阪商業高等学校を経て、大商学園高等学校
大阪大倉商業学校、関西大倉高等学校
大阪城東商業学校、大阪城東大学附属高等学校、大阪商業大学附属高等学校を経て、大阪商業大学高等学校
大阪初芝商業学校、初芝商業高等学校を経て、初芝立命館高等学校
大阪福島商業学校、履正社高等学校、摂津高等学校、大阪福島商業高等学校を経て、履正社高等学校
関西甲種商業学校、関西大学付属第一高等学校を経て、関西大学第一高等学校
興國商業学校、興國商業高等学校を経て、興國高等学校
此花商業学校、此花商業高等学校、此花学院高等学校を経て、大阪偕星学園高等学校
城北商業学校、大阪天満高等学校、太成高等学校を経て、太成学院大学高等学校
成器商業学校、成器商業高等学校、成器高等学校を経て、大阪学芸高等学校
浪華商業学校、浪華商業高等学校、浪商高等学校を経て、大阪体育大学浪商高等学校、大阪青凌高等学校
北陽商業学校、北陽商業高等学校、北陽高等学校を経て、関西大学北陽高等学校
明星商業学校、明星商業高等学校を経て、明星高等学校
大阪女子商業学校、朝陽高等学校、大阪女子商業高等学校、大阪女子高等学校を経て、あべの翔学高等学校
淀川女子商業学校、淀川高等学校、淀川女子高等学校を経て、英真学園高等学校
城南女子商業専修学校、城南学園高等学校
神戸商業講習所、兵庫県立神戸商業学校（1878年）、兵庫県立第一神戸商業学校、兵庫県立第一神戸商業高等学校から兵庫県立星陵高等学校に一時合併した後、兵庫県立神戸商業高等学校に分離
兵庫県立神戸商業学校兵庫分校
姫路市立姫路商業学校（乙種）、姫路市立姫路商業学校（甲種）、兵庫県立姫路商業学校、兵庫県立姫路商業高等学校、兵庫県立姫路東高等学校に統合の後、兵庫県立姫路商業高等学校に分離
豊岡町立豊岡商業補習学校、兵庫県立豊岡工業学校・兵庫県立豊岡女子商業学校、兵庫県立豊岡実業高等学校を経て、現・兵庫県立豊岡総合高等学校
北神商業学校、北神工業学校、北神商業学校、神戸市立第一北神商業学校、神戸市立北神高等学校、神戸市立鈴蘭台高等学校を経て、神戸市立兵庫商業高等学校
揖保郡龍野町立商業補習学校、兵庫県立龍野商業学校、兵庫県立龍野工業学校、兵庫県立龍野工業高等学校を経て、兵庫県立龍野実業高等学校
洲本町立商業学校、洲本市立商業学校、兵庫県立洲本商業学校、兵庫県立洲本商業高等学校を経て、兵庫県立洲本実業高等学校
飾磨町立兵庫県飾磨商業実務学校、兵庫県飾磨商業学校、兵庫県立飾磨商業学校を経て、兵庫県立飾磨工業高等学校
兵庫県武庫郡町立西宮商業補習学校、西宮市立商業実習学校、西宮市立西宮商業実修学校、西宮市立商業学校（乙種）、西宮市立商業学校（甲種）→ 西宮市立商業学校・西宮市立工業学校、西宮市立商業学校、西宮市立商業高等学校、西宮市山手高等学校を経て、兵庫県立西宮高等学校
育英商業学校、育英高等学校
報徳実業学校、報徳商業学校、報徳中学校、報徳学園高等学校
おもな学校 > 実業学校等 > 中国地方

鳥取県立鳥取商業学校、鳥取県立鳥取商業高等学校
島根県商業学校、島根県立松江商業学校、島根県立松江商業高等学校
岡山県商業学校（1880年）、岡山県立商業学校、岡山県商業学校、岡山県岡山商業等学校、岡山県岡山第一商業学校・岡山県岡山第二商業学校、岡山県立岡山商業高等学校・岡山県立岡山産業高等学校から岡山県立岡山東高等学校を経て、岡山県立岡山東商業高等学校
岡山県岡山第二商業学校（岡山県岡山商業等学校より分離）、岡山県立岡山産業高等学校を経て、岡山東高に統合
岡山市立商業学校、岡山県立岡山南高等学校
岡山県高梁女子商業学校（高梁実高等学校に統合）
岡山県生石女子商業学校（生石高等学校に統合）
私立倉敷商業補習学校、倉敷町立倉敷商業学校、岡山県倉敷商業学校、岡山県立倉敷商業高等学校、岡山県立至誠高等学校、岡山県立倉敷商業高等学校
玉島町立玉島商業学校、岡山県玉島商業学校、岡山県立玉島高等学校、岡山県立玉島高等学校、岡山県立玉島商業高等学校
笠岡町立商業学校、岡山県笠岡商業学校（一時岡山県笠岡工業学校）、岡山県立笠岡第一高等学校、のち笠岡第二高等学校と統合し岡山県立笠岡高等学校、その後岡山県立笠岡商工高等学校を経て　岡山県立笠岡商業高等学校
津山町立津山商業学校、岡山県津山商業学校、岡山県津山拓殖学校、岡山県津山商業学校、岡山県立津山商業高等学校
吉備商業学校、吉備高等学校、岡山商科大学附属高等学校
広島商学校、広島県広島商学校・広島県立広島商学校、広島県広島商業高等学校を経て、広島県広島観音高等学校および広島県広島基町高等学校商業科に収容され、広島県広島商業高等学校を経て、広島県立広島商業高等学校）
広島市立商学校、広島市造船工学校、広島県広島観音高および広島県広島基町高の商業科に収容され、その後広島県広島市商業高、広島市立広島商業高等学校
広島市商業専修学校、もと広島市商業補習学校、のち広島市立商業専修青年学校、広島市第二商学校、広島市立二商学校を経て、広島市商業高等学校に統合し定時制となる。その後広島県広島基町高定時制を経て広島県広島市商業高から広島県広島大手町商業高、広島市立大手町商業高等学校
私立尾道商法講習所、広島県商業学校、広島県立尾道商業学校、広島県尾道商業高等学校、広島県立尾道商業高等学校
赤間関商業講習所（山口、1884年）、下関商業学校、下関商業高等学校
財団法人山口商業学校、山口県立山口商業学校、山口県立山口高等学校商業科を経て、山口県立西京高等学校総合ビジネス科
おもな学校 > 実業学校等 > 四国地方

徳島県立商業学校、徳島県立徳島商業高等学校
香川県立商業学校、香川県立高松商業学校、香川県立高松商業高等学校
綾歌郡立綾歌商業学校、香川県立坂出商業学校、香川県立坂出商業高等学校
愛媛県立商業学校、愛媛県立松山商業学校、愛媛県立松山商業高等学校
新居浜市立女子商業学校、愛媛県立新居浜商業学校、愛媛県立新居浜東高等学校（1962年商業科閉科）
高知商業学校、高知市立高知商業高等学校
おもな学校 > 実業学校等 > 九州地方

福岡市商業学校、福岡市立福岡商業高等学校を経て、福岡市立福翔高等学校（2000年に総合学科に改編）
小倉市立小倉商業学校、福岡県立小倉商業高等学校
佐賀市立佐賀商業学校、佐賀県立佐賀商業学校、佐賀県立佐賀商業高等学校
唐津町立商業学校、佐賀県立唐津商業学校、佐賀県立唐津商業高等学校
長崎区立長崎商業学校（1885年）- 県立長崎商業学校（1886年）- 市立長崎商業学校（1901年）- 長崎市立商業学校（1925年）- 長崎市立長崎商業高等学校（1948年）
長崎県立佐世保商業学校（1923年）- 長崎県立佐世保工業学校（1944年転換）- 長崎県立佐世保商業学校（1946年、再）- 長崎県立佐世保商業高等学校（1948年）- 長崎県立佐世保商工業高等学校（1949年）- 長崎県立佐世保商業高等学校（1951年、再）
長崎県立諫早商業学校（1941年）- 長崎県立諫早工業高等学校（1944年転換）- 長崎県立諫早航空工業学校（1945年転換）- 長崎県立諫早商業学校（1946年、再）- 長崎県立諫早商業高等学校（1948年） - 長崎県立諫早高等学校商業科（1948年）- 長崎県立諫早商業高等学校（1956年、再）
長崎県立島原商業学校（1941年）- 長崎県立島原工業高等学校（1944年転換）- 長崎県立島原商業学校（1946年、再）- 長崎県立島原商業高等学校（1948年）- 長崎県立島原高等学校商業科（1948年）- 長崎県立島原商業高等学校（1956年、再）
熊本簡易商業学校（のち熊本商業学校、熊本市立商業学校、熊本県立商業学校を経て県立第二商業学校と合併。熊本県立工商学校、熊本県立商業学校、熊本県立商業高等学校、現・熊本県立熊本商業高等学校）
大分市立大分商業学校、大分県立大分商業学校、大分県立大分商業高等学校
中津町立商業学校、大分県立中津商業高等学校を経て、大分県立中津東高等学校
宮崎市立宮崎商業学校、宮崎県立宮崎商業学校、宮崎県立宮崎大宮高等学校商業科を経て、宮崎県立宮崎商業高等学校
東臼杵郡立延岡商業学校、宮崎県立延岡商業学校、宮崎県立延岡商業高等学校
精華商業学校（もと私立精華学校、のち国分商業学校・国分農業学校から、国分実業高等学校を経て、国分市立国分中央高等学校、現・霧島市立国分中央高等学校）
鹿児島簡易商業学校（のち鹿児島市立商業学校、鹿児島商業学校・鹿児島市立工業学校・鹿児島商業学校、鹿児島市高等学校第三部を経て、現・鹿児島市立鹿児島商業高等学校）
那覇市立那覇商業学校、那覇市立那覇商工学校、沖縄県立那覇商業高等学校
双対グラフ

赤グラフと青グラフは互いに双対の関係にある。
グラフ理論において平面グラフGの双対グラフ（そうついグラフ、英: Dual graph）とはすべての頂点がGの各面に対応するグラフである。Gの双対はGの面どうしをつなぐ辺があるとき、それに対応する辺を持ち、辺の両側が同一面である場合、自己ループ（英語版）する。Gの各辺eは対応する双対辺をもち、この辺はGの面に対応する双対頂点どうしをつなぐ。双対は平面グラフ（すでに平面への埋めこまれているグラフ）についての性質である。平面的グラフ（平面へ埋め込みが可能だが定まっていないグラフ）については、グラフGの埋め込みの選択により、異なる双対グラフになりえる。
歴史的に、双対グラフの概念は正多面体を双対多面体の組とみなすことができるという発見から始まった。グラフの双対性は、双対多面体を位相幾何学的な視点から一般化したものである。またこれは双対マトロイド（英語版）の概念によって代数的に一般化される。双対グラフは有向グラフや平面以外の二次元曲面についても一般化できる。
「双対」という語のとおり、GがHの双対であるとき、HもGの双対となる。面と頂点という対応だけでなく、グラフに関する他の多くの特性および構造は、双対グラフについてその対応物をもつ。例えばサイクルはカットの双対であり、全域木は全域木の補集合の双対である。単純グラフ（平行エッジ（英語版）または自己ループなし ）の双対は3辺連結グラフである。
グラフの双対性は、迷路や排水盆地の構造を説明するのに便利である。双対グラフは、コンピュータビジョン、計算幾何学、メッシュ生成、および集積回路の設計にも適用されてきた。
A dipole graph
A cycle graph
サイクルの平面埋め込みは、ジョルダン曲線の定理により、平面をサイクルの内側と外側の2つの面のみに分割する。しかしながら、これら2つの領域は、複数の異なる辺によって分離されているため、閉路グラフの双対は、2つの頂点（2つの面に対応する）が、複数のエッジに接続されたマルチグラフとなる。このようなグラフはダイポールグラフ（英語版）と呼ばれる。
立方体と正八面体は双対の関係にある
シュタイニッツの定理（英語版）によると、すべての多面体グラフ（3次元凸ポリトープの頂点と辺によって形成されるグラフ）は平面で3頂点接続である必要があり、3頂点接続の平面グラフはすべて凸多面体に対応させることができる。すべての3次元凸多面体には双対多面体をもつ。双対多面体は、元の多面体のすべての面に頂点を持ち、2つの面が辺に共有されるとき、対応する2つの頂点の間に辺をもつ。2つの多面体が双対であるときはそのグラフもまた双対となる。たとえば、正多面体において、立方体と正八面体、正二十面体と正十二面体、正四面体とそれ自身は、互いに双対の関係にある。多面体の双対性は、より高次元のポリトープの双対性に拡張することもできるが、三次元の場合とは異なり、グラフ理論的な双対性との明確な関連性を持っていない。
自己双対グラフ
平面グラフの双対グラフがそれ自身と同型のとき、このグラフ自己双対と呼ばれる。車輪グラフは、自己双対多面体（角錐）に対応する自己双対グラフである。また、対応する多面体が存在しないような自己双対グラフも存在する。Servatius & Christopher (1992)は、「接着」と「爆発」と2つの操作を使うことで与えられた平面グラフを含む自己双対グラフを構築することが可能であることを述べている。例えば、図の自己双対グラフは四面体とその双対との接着として構成することができる。
オイラーの公式から、n個の頂点を持つすべての自己双対グラフは、厳密に2n − 2個の辺を持つ。すべての単純自己双対平面グラフは、次数3の頂点を少なくとも4つ含み、すべての自己双対グラフの埋め込みは少なくとも4つの三角形面を持つ。
性質

グラフ理論における多くの自然で重要な概念は、双対グラフにおける他の同様に自然だが異なる概念に対応する。グラフの双対の双対は主グラフと同型であるため、これらの対応は互いに双方向である。平面グラフの概念Xがその双対の概念Yに対応する場合、平面グラフの概念Yはその双対の概念Xに対応する。
性質 > 単純グラフとマルチグラフ

閉路グラフの双対の例から明らかなように、単純グラフの双対は単純であるとは限らず、自己ループ（両方の端点が同じ頂点にある辺）や同じ2つの頂点を結ぶ複数の辺がある場合がる。カット-サイクルの双対性の特別な場合として、平面グラフの橋はその双対グラフの自己ループと一対一に対応している。同じ理由で、双対多重グラフ内の一対の平行な辺（つまり、長さ2のサイクル）は、主グラフ内の2辺のカットセット（削除されるとグラフが切断される一対の辺）に対応する。したがって、平面グラフが単純である条件はその双対が1辺または2辺のカットセットを持たない場合に限る。つまり、3辺接続となる。単純平面グラフの双対が単純な場合、これは3辺連結単純グラフとなる。このクラスのグラフは、3頂点結合単純平面グラフを含むが、必ずしもそうではなく、たとえば、自己双対グラフを示す図は3辺接続だが（したがって、その双対は単純である）が、3頂点接続ではない。
性質 > 一意性

双対グラフは特定の埋め込みに依存するので、平面グラフの双対グラフは、同じ平面グラフが同型でない異なる双対グラフを持つことができるという意味で一意ではない。図では、青いグラフは同型だが、その双対の赤いグラフはそうではない。下の赤いグラフはすべての次数が6未満であるのに対し、上のグラフは次数6の頂点を持つ。（青いグラフの外側の面に対応する）。
Hassler Whitneyは、グラフが3頂点連結の場合、埋め込み、つまり双対グラフは一意であることを示した。Steinitzの定理により、これらのグラフはまさに多面体グラフ、すなわち凸多面体のグラフとなる。平面グラフは、その双対グラフが3頂点接続の場合に限り、3頂点接続になる。より一般的には、平面グラフは、それが3頂点接続平面グラフの細分である場合に限り、固有の埋め込み、したがって固有の双対を有する。完全2部グラフK2,4ように、3頂点接続されていない平面グラフの場合、埋め込みは一意ではないが、埋め込みはすべて同形となる。この場合、すべての双対グラフは同形になる。
異なる埋め込みは異なる双対グラフをもたらす可能性があるため、あるグラフが他のグラフの双対であるかどうかをテストする問題は自明でないアルゴリズム上の問題となる。2重連結グラフについてはSPQRツリーを用いることで、双対どうしの同値関係の正規の形式を構成することができる。しかし、2重連結ではない平面グラフの場合、そのような同値関係は求まらず、相互双対性をテストする問題はNP完全となる。
性質 > カットとサイクル

任意の連結グラフのカットセットは、グラフの頂点を2つのサブセットに分けたとき、この2つのサブセットどうしをつなぐ辺の集合である。グラフからカットセットを取り除くと、必然的にグラフは少なくとも2つの連結成分に分割される。最小カットセット（ボンドとも呼ばれる）は、カットセットのすべてのサブセットがそれ自体カットではないという特性を持つカットセットである。連結グラフの最小カットセットは、必然的にそのグラフを2つのグラフに分割する。単純なサイクルは、連結サブグラフのうち、サイクルの各頂点が2つの辺を持つようなものである。
接続平面グラフGはGのすべての単純サイクルは、Gの双対の最小カットセットとみなすことができ、またその逆も成り立つ。これは、ジョルダン曲線定理の一種として見ることができる。単純な各サイクルは、Gの面をサイクルの内側の面とサイクルの外側の面に分離し、サイクル辺の双対は内部から外部へと交差する辺となる。任意の平面グラフの内周（グラフがもつ最小サイズのサイクル）はその双対グラフの辺連結度（グラフがもつ最小サイズのカットセット）に等しい。
この二重性は個々のカットセットとサイクルから定義されたベクトル空間まで及ぶ。グラフのサイクル空間（英語版）とは の集合であるすべての頂点が偶数の次数を持っているようなサブグラフ（オイラーグラフ）の集合である。サイクル空間は2要素有限体上のベクトル空間と見なすことができ、2組の辺の対称差はベクトル空間でのベクトル加算演算として機能する。同様の加算により、グラフのカット空間はすべてのカットセットのファミリーとして定義される。その場合、任意の平面グラフのサイクル空間とその双対グラフのカット空間は同型なベクトル空間となる したがって、平面グラフのランク（カットスペースの次元）は、その双対のサイクルランク（サイクル空間の次元）に等しく、その逆も成り立つ。グラフのサイクル基底はグラフに含まれる単純サイクルのうち、サイクル空間の基底を構成するようなものの集合である（全ての偶数次数の部分グラフがそれらのサイクルの対称差として一意に定まる）辺重み付き平面グラフ（2つのサイクルが同じ重みを持たないような十分に一般的な重みを持つ）の場合、グラフの最小重みサイクル基底は双対グラフのゴモリ・フー木と双対になる。最小重みサイクル基底の各サイクルには、ゴモリ・フー木のいずれかのカットの辺と双対となる辺の集合をもつ。もしサイクルどうしの重みが等しくなる場合、最小重みサイクルの基底は一意でなくなる可能性があるが、双対グラフのゴモリ・フー木が最小重みサイクルの基底に対応することに変わりはない。
有向平面グラフでは、単純な有向サイクルは有向カット（頂点を2つの部分集合に分割し、すべてのエッジが一方の部分集合から他方の部分集合に向かう）に対して双対となる。強く方向付けられた平面グラフ（含まれる無向グラフの全ての辺が1つのサイクルに属しているグラフ）は、辺が1つのサイクルに属していない有向非巡回グラフに対して双対となる。別の言い方をすると、連結平面グラフの強い向き（強い連結グラフとなるグラフのエッジへの方向の割り当て）は、非巡回方向（有向非巡回グラフを生成する方向の割り当て）に対して双対となる。
性質 > 全域木

全域木は、グラフのすべての頂点を含む、連結された非巡回サブグラフとして定義できる。ここで、平面グラフGとその双対G*を考える。Gの全域木Sに対し、GのうちS に含まれないグラフを~Sとする。また、G*のうち~Sに対応するグラフを~S*とする。このとき~S*はG*の全域木となる。これは次のようにして分かる。Sはサイクルを持たないため、Gの各々の面を囲む辺のうち、少なくとも1つは~Sに含まれる。このことを双対の世界で言い直すと、G*の各頂点は必ず~S*がもつ辺により連結されるということになる。ここでもし~S*がサイクルを持つとすると、同様の議論によって、Gの頂点のうち少なくとも1つがSにより連結されないことになる。しかし、これはSが全域木であることと相容れないため、~S*はサイクルを持たない。よって、~S*はG*の全ての頂点を連結し、サイクルを持たない。すなわち~S*はG*の全域木である。
このことから、平面グラフの全ての辺は全域木と、グラフの双対の全域木に対応する辺に分解することができる。
このタイプの分解の例は、単純な格子の辺の一部を壁としたようなタイプの迷路で見ることが出きる。このような迷路では壁とその間の空間は互いに入れ子になった木構造を形成する。この木構造は元の格子が形成するグラフの全域木とみなせる。このとき空間が構成する木構造は、元のグラフの双対の全域木となる。
このような2つの木構造への分解は、オイラーの公式の単純な証明を与える。木構造において、頂点の数Vと辺の数Eは、E = (V − 1) という関係をもつ。このことは次のようにして分かる。木構造は一つの頂点から初めて、新しい頂点と辺を加えていくことで作ることができる。この操作のはじめはE  = 0,V =  1であり、その後E,Vが同数ずつ増えていく。このことから上式が成り立つことがわかる。
いま、グラフGについてその全域木Sが与えられたとする。Sの辺の数をESとすると、ES = (V − 1) が成り立つ。また~S*の辺の数をE~S*とすると、~S*はG* の全域木であるため、G*の頂点の数、すなわちGの面の数Fについて同様な関係 E~S* = (F − 1)が成り立つ。Sの辺の数と~Sの辺の数を足すとGの辺の数に等しく、また~Sの各辺は~S*の各辺に一対一に対応するため、
が成り立つ。これはオイラーの公式に他ならない。Duncan Sommervilleによると、オイラーの公式のこの証明はK. G. C. Von Staudtの Geometrie der Lage（Nürnberg, 1847）による。
非平面表面埋め込みでは、全域木と相補的な双対辺は元のグラフの全域木とはならない。そのかわり、これらは元のグラフの双対の全域木と少数の余分な辺を合わせた集合となる。このとき、余分な辺の数は、グラフが埋め込まれている曲面の種数によって決まる。この余分な辺は全域木に含まれる経路と合わせて用いることで、曲面の基本群を生成できる。
性質 > 他の性質

すべての平面グラフに有効な頂点や面の数え上げ公式は、双対性によって、頂点と面の役割が入れ替わった同等の式に変換することができる。自己双対的であるオイラーの公式はその一例である。また別の例ではHararyによるハンドシェイク補題がある。これによると、平面グラフの各頂点の次数の合計は、グラフの辺の数の2倍に等しい。この補題の双対形式は、平面グラフの各面を囲む辺の数を全ての面について合計した数は、グラフの辺の数の2倍に等しいことを示す。
平面グラフの中間グラフは元のグラフの双対の中間グラフと同型となる。また、2つの平面グラフは、それらが互いに双対である場合にのみ同形の中間グラフを持つことができる。
4つ以上の頂点を持つ平面グラフは、その双対グラフが3頂点接続と3正規の両方である場合に限り、最大（平面性を保ちながらそれ以上の辺を追加することができない）となる。
連結平面グラフは、その双対グラフが2部グラフである場合に限り、オイラー路（すべての頂点の次数が偶数）となる。平面グラフGにおけるハミルトン路は、双対グラフの頂点を2つの部分集合（サイクルの内側と外側）に分割することに対応し、その誘導部分グラフは両方とも木となる。特に、3次2部多面体グラフのハミルトン性に関するBarnette予想は、すべてのオイラー路最大平面グラフを2つの誘導木に分割できるという推測と同等である。
平面グラフGがTutte多項式TG(x,y)を持つ場合、その双対グラフのTutte多項式はxとy交換することによって得られる。このため、Tutte多項式がGの特定の構造に関する情報を持つ場合、Tutte多項式の引数を交換すると、Gの双対についてそれに対応する情報が得られる。例えば、Gの強い配向の数はTG(0,2)あり、非閉路配向の数はTG(2,0) である。ブリッジレス平面グラフの場合、k色のグラフの色付けは剰余kのゼロフローに対応する。4色定理は、すべてのブリッジレス平面グラフの双対は全て剰余4のゼロフローがあることと同等である。k色付けの数はTutte多項式の値TG(1 − k,0)によって数えられ、その双対である剰余kのゼロフローの数はTG(0,1 − k)によって数えられる。
st-平面グラフとは双極配向をもつグラフである。双極配向とは、一対のソースとシンクによる、循環なしの方向付けで、ソースとシンクが同一の面に属しているようなものである。このようなグラフは、ソースとシンクを結ぶもう一つの辺を加えることで強い結合をもつグラフにすることができる。この補完されたグラフの双対はそれ自身、別のst-平面グラフの補完となる。
派生概念 > 有向グラフ

有向平面グラフの双対グラフは、各双対辺を対応する主辺から時計回りに90°回転させることによって、同様に指向させることができる。ただしこれは厳密に言えば双対ではない。なぜならば、グラフGから出発し、双対を二回とったとき、G自体に戻らず、Gの転置グラフ（Gの全てのエッジを反転させたグラフ）と同型なグラフになるからである。この定義の双対では、双対を4回取ると元のグラフに戻る。
派生概念 > 弱い双対

平面グラフの弱い双対は、双対グラフのサブグラフで、その頂点は主グラフの面に対応する。平面グラフは、その弱い双対が森である場合に限り、外平面グラフになる。任意の平面グラフGについて、Gの外面に一つの新しい頂点vを追加し、vとGの外面に属する全ての点を辺で結んだグラフをG+とするとき、GはG+ の双対の弱い双対である。