ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
ワイルズの証明の概要

ワイルズは半安定楕円曲線に関してモジュラリティ定理を証明し、そこからフェルマーの最終定理が背理法で導かれることを明らかにした。
証明は大きく2つの部分に分かれる。まずワイルズは「保型性持ち上げ定理（英: modularity lifting theorem）」 として知られるリフト（英語版）に関する一般的な結果を証明する。これにより、楕円曲線に関する問題を、それらのガロア表現に関する問題に変換して証明することができる。後半では、全ての半安定曲線がモジュラーであることの証明を、それらのガロア表現がモジュラーであることを証明する形で行う。
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|   | 証明の概要 | コメント |
第1部：証明の準備
| 1 | フェルマーの最終定理が偽である、すなわちan + bn = cn を満たす自然数解 a, b, c, n （ただし n > 2 かつ n は素数） が存在すると仮定する。 | 合成数は素数の積で表すことができるので、n が素数の場合のみ考えればよい。 |
| 2 | a, b, c, n に対応するフライ曲線 E を考える。 リベットの定理によると、半安定楕円曲線 E はモジュラーとはならない。 | 半安定楕円曲線が全てモジュラーになること（谷山-志村予想）が証明できれば、矛盾が生じ背理法により当初の仮定（a, b, c, n が存在する）が誤っていること、つまりフェルマーの最終定理が真であることが証明される。 |
第2部：保型性持ち上げ定理
| 3 | 任意の素数 p > 3 に対する楕円曲線のガロア表現 ρ ( E, p ) は、多くの数学者によって研究されている。  ワイルズはまず、これらの表現について「半安定楕円曲線 E がモジュラーなガロア表現 ρ ( E, p ) を持つならば、E 自体もモジュラーである」という定理の証明を目指す。 この定理には二つの利点がある。まず、数え方やマッチングが簡単になる点。そして、この素数 p は自由に選んでよいという点である。 この証明はこの問題の最も難しい部分で、より厳密には「ガロア表現 ρ ( E, p ) がモジュラー形式であれば、他の全ての関連するガロア表現 ρ ( E, p∞ )（ p の全ての冪）もモジュラー形式である」という証明をすることになる。これはいわゆる「保型性持ち上げ（英語版）問題」であり、ワイルズは変形（英語版）を使ってこれに取り組んだ。 楕円曲線（または楕円曲線の表現）は、可約または既約のいずれかに分類できる。楕円曲線の表現が可約かどうかで、証明の仕方が少し違ってくる。 | 楕円曲線とモジュラー形式を直接比較することは難しく、過去に楕円曲線とモジュラー形式を数え上げ、マッチングさせる試みはすべて失敗している。しかし、楕円曲線はガロア理論における表現が可能である。ワイルズは、楕円曲線そのものではなく、それら表現を使って作業すれば、楕円曲線の数え上げとモジュラー形式とのマッチングがはるかに容易になることに気づいた。これ以降、証明は主に以下のことを目指す。  半安定楕円曲線の幾何学的ガロア表現がモジュラー形式ならば、曲線自体もモジュラー形式である。  全ての半安定楕円曲線の幾何学的ガロア表現はモジュラーである。 これらの証明により（楕円曲線そのものを直接扱う代わりにそれらの表現を扱えるようになるので）目指す目標は、半安定楕円曲線の幾何学的ガロア表現のモジュラリティを証明することへと変わる。ワイルズはこの実現を "key breakthrough" と表現している。 楕円曲線のガロア表現は G → GL(Zp) である。楕円曲線の幾何学的ガロア表現がモジュラー形式であることを示すには、正規化固有形式（英語版）であってその固有値（そのフーリエ級数の係数でもある）が有限個の素数を除くすべての素数に対して合同関係を満たすものを見つける必要がある。 |
| 4 | ワイルズの最初の戦略は、帰納法と類数公式を用いた数え上げとマッチングである。 | ワイルズはこの分野で、最初は horizontal Iwasawa theory で、後にはコリヴァギン・フラッハ法の拡張で困難に直面することになった。ワイルズのコリヴァギン・フラッハ法の拡張は、主に、彼が使う完全な類数公式を証明するためにコリヴァギン・フラッハ法を十分に強くすることに関連していた。その後、どちらのアプローチも単独では半安定楕円曲線の全種類をカバーできる類数公式を生成できないことが判明し、1995 年の彼の証明の最後のピースは、コリヴァギン・フラッハ法の技術で岩澤理論を強化すれば成功することを理解したことだった。 |
| 6 | この時点で、ガロア表現に関する重要なポイントが証明されたことになる。 半安定楕円曲線 E の幾何学的ガロア表現 ρ(E, p) が既約かつモジュラーとなる素数 p > 2 が存在するならば（厳密には他にも条件がある）、E はモジュラーである。 これがワイルズの保型性持ち上げ定理であり、当時としては画期的な大成果であった。 | これの嬉しい所は、自由に素数 p > 2 を選んで証明すれば全ての素数 > 2 について言えたことになる所である。  これにより一つの素数 p を用いて全ての楕円曲線がモジュラーであることを証明できる可能性が出てきた。もし仮に一つで上手く行かなかったとしても、その時々に応じて p を変えてやれば上手くいく可能性が残されている。 証明は全ての半安定楕円曲線 E のガロア表現を対象としなければならないが、個々の曲線については、一つの素数 p を用いてモジュラーであることを証明すればよい。 |
第3部：全ての半安定楕円曲線がモジュラーであることの証明
| 7 | 保型性持ち上げ定理が証明されたので、元の問題に戻ろう。半安定楕円曲線をガロア表現の可約性に基づいて分類し、その結果に保型性持ち上げ定理を適用する。  既に述べたように、表現にはどの素数を用いてもよいので、今回は最も簡単になる素数を選ぶことにする。3 は（2 より大きい）最小の素数であり、ρ(E, 3) を使った楕円曲線の表現については既に研究が存在するので、素数として 3 を選ぶことは出発点として有用であろう。 ワイルズは、表現 ρ(E, 3) が既約である場合は素数 p = 3 を選び、ρ(E, 3) が可約である場合は p = 5 を選ぶ方が（それがモジュラーであることの）証明が簡単になることを発見した。つまり、この時点で証明は二つに分かれる。 | この証明のように p = 3 と p = 5 の二つを用いる手法は "3/5 switch" と呼ばれるもので、1993 年に Mazur の論文でワイルズが注目した手法だが、それ自体は 19 世紀までさかのぼることができる。  p = 3 と p = 5 の切り替えは、その後それ自体で重要な研究領域を開いた（セールの保型性予想（英語版）を参照）。 |
| 8 | まず ρ(E, 3) が既約な場合を考える。  この場合 ρ(E, 3) が常にモジュラーとなることは 1980 年頃から知られていた。そのため保型性持ち上げ定理から E がモジュラーとなることが直ちに従う。 | 1980 年代初頭にラングランズとタネルが 2 つの論文で証明している。この証明は ρ(E, 3) が 1 変数の一般的な4次方程式と同じ対称群を持っていることに基づいており、当時モジュラーであることが知られていた数少ない一般クラスのディオファントス方程式の一つであった。  この p = 3 の既存の結果はワイルズのアプローチにとって重要であり、最初に p = 3 を用いた理由の1つである。 |
| 9 | 次に ρ(E, 3) が可約な場合を考える。  ワイルズは ρ(E, 3) が可約な場合、代わりに ρ(E, 5) に保型性持ち上げ定理を適用する方が（常にモジュラーであることの）証明が簡単になることを発見した。 | 既約でないので保型性持ち上げ定理は適用できない。そこで今度は一つ大きい素数 p = 5 を用いて攻めてみることにする。しかし ρ(E, 5) が常にモジュラーであることを証明するのは、そのままでは絶望的に見える。これは一般的な五次方程式が冪根によって解けないのと同じ理由である。そこでワイルズは上手い方法を見つける必要があった。 |
| 9.1 | ρ(E, 3) と ρ(E, 5) がともに可約ならば、ρ(E, 5) は常にモジュラーとなることをワイルズは直接証明した。 |   |
| 9.2 | 最後のケースは ρ(E,  3) が可約かつ ρ(E, 5) が既約な場合である。  この場合、ρ(F, 3) が既約で、かつ ρ(E, 5) と ρ(F, 5) が同型表現である別の半可換楕円曲線 F が常に見つけられることがワイルズによって示されている。 ρ(F, 3) が既約なので F はモジュラーである。  F がモジュラーならば、ρ(F, 5) もモジュラーである。  すると、p = 5 を持つ E と F の表現は全く同じ構造であるから、ρ(E, 5) もモジュラーでなければならない。 |   |
| 9.3 | 従って、ρ(E, 3) が可約であれば、ρ(E, 5) は常にモジュラーであることが証明された。 | このステップでは、保型性持ち上げ定理の真価が発揮される。 |
結論
| 10 | これで ρ(E, 3) が既約であろうとなかろうと、E（半安定楕円曲線であれば何でもよい）は常にモジュラーであることが証明された。このことは、全ての半安定楕円曲線はモジュラーであることを意味する。  これは次のことを証明している。 半安定楕円曲線に対する谷山-志村予想。  背理法よりフライ曲線は存在せず、フェルマーの最終定理は真である。 | もしフェルマーの最終定理が偽ならば、モジュラーであり（ワイルズによる結果）かつモジュラーでない（リベットの定理）半安定楕円曲線を作れることを証明したので、背理法により真であることが証明された。両方にはなりえないので、そのような曲線は存在しないというのが唯一の答えである。 |