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統合任務部隊 (自衛隊)
編成事例 > 邦人等輸送統合任務部隊 > 在スーダン共和国邦人等輸送統合任務部隊

2023年4月19日、スーダン情勢の悪化を受けて林外務大臣の邦人等の輸送の実施に必要となる準備行為の要請を受け、浜田防衛大臣は同4月20日、邦人退避に備えC-130、C-2、KC-767複数をジブチ共和国まで移動させ、待機することを命じた。これを受け吉田圭秀統合幕僚長は、航空自衛隊と陸上自衛隊からなり森川龍介航空支援集団司令官を指揮官とする約370人の「在スーダン共和国邦人等輸送統合任務部隊」を編成し、同日中にも先遣隊として連絡調整要員5人がジブチに向けて出発すると発表した。また、ソマリア沖の海賊対策に当たっている部隊からも派遣海賊対処行動航空隊のP-3Cが20日～23日の間、派遣海賊対処行動水上部隊の護衛艦まきなみが23日～28日の間、輸送実施に備えそれぞれ待機した。
4月21日、浜田防衛相は午前の閣議後の記者会見で第一陣としてC-130一機を小牧基地から同日中にジブチに向かわせると発表、また、自衛隊部隊がスーダン内の空港などに在留邦人を車両で運ぶ「陸上輸送」について、「可能性も含め、幅をもって検討している」と述べた。同21日～22日未明には第二陣のKC-767と美保基地からのC-2一機ずつがそれぞれ国内より出発、三機は同4月23日未明にジブチに到着したと発表された。4月24日、装備品や人員の補充などのために別のC-2が出発した。この機は24日から28日にかけて車両などを輸送する任務にあたったという。最終的にはC-2とC-130輸送機各2機、KC-767空中給油輸送機1機の計5機や、陸自の中央即応連隊など計約180人をジブチに派遣、また陸上輸送用の高機動車4両も空輸された。もし自衛隊による陸上輸送が行われれば、2013年の自衛隊法改正で認められて以来初めての事例であった。。実際にはアラブ首長国連邦（UAE）や、UAEと行動していた韓国に協力を要請し、両国の車列に一部邦人を組み込んでもらい、自衛隊車両による陸上輸送は行われなかった。また、米国、ドイツ、英国、サウジアラビアなども邦人退避に協力したとして、林芳正外相が4月25日の記者会見で謝意を示した。
23日に浜田防衛相が行動命令を出し、4月24日、21日に美保を発ったC-2が警備の陸自部隊とともにスーダン北東部ポートスーダンに着陸した。空港では「誘導輸送隊」が活動し、邦人の安全な誘導や、セキュリティーチェックの支援などに当たった。C-2は到着していた邦人45人を回収、ジブチに帰投した。同じく向かっていたC-130は先着したC-2のみで輸送が可能だったことなどから引き返した。これにより、既にフランスや国際赤十字の協力を得てスーダンからジブチやエチオピアに退避した別の４人の邦人と併せ、滞在していた約60人の邦人のうち今回の退避で残された脱出希望者は数人となった。4月26日、政府はこれまでに日本人52人とその家族7人のあわせて59人が自衛隊の輸送機などで退避し、現時点でスーダンからの退避を希望する日本人はいなくなったとした。4月27日夜、新たに5人がカナダ軍の輸送機でジブチへ脱出した。4月28日、外務省はこれまでにスーダンから退避した邦人と家族は計65人、うちジブチに退避していた60人のうち希望者48人が帰国すると発表。48人は同日政府が手配したチャーター機でジブチを出発し、翌4月29日に帰国した。
4月28日、チャーター機出発を受けて政府は他の邦人も各国軍の協力などで脱出し、希望するすべての邦人の脱出を確認したとし、林外相は浜田防衛相に対し当該邦人等の輸送に係る措置の終結について依頼、これを受けて、浜田防衛相は当該邦人等の輸送の終結を命じた。この時点で自衛隊機3機がすでに帰国するかジブチを出発していた。5月8日、邦人輸送にあたったC-2が美保基地に帰還、5月10日にはC-130一機が小牧基地に帰還した。
編成事例 > 邦人等輸送統合任務部隊 > 在イスラエル国邦人等輸送統合任務部隊

2023年10月13日、ハマスとイスラエルの軍事衝突を受けた上川外務大臣の要請により、木原防衛相は邦人退避に備え自衛隊にジブチなどにC2輸送機二機とKC767空中給油・輸送機一機らを派遣する命令を出した。これを受け森田雄博航空支援集団司令官を指揮官とし、空自と陸自計約420人からなる「在イスラエル国邦人等輸送統合任務部隊」の編成が決定された。10月14日、小牧基地のKC-767空中給油・輸送機1機と、美保基地のC-2輸送機2機が出発、10月16日にC-2一機がジブチに、翌10月17日にKC-767とC-2一機ずつがヨルダンに到着した。またこれとは別に、空自機の受け入れ態勢や具体的な退避計画の調整のために防衛省の連絡調整要員22人が周辺国へと出発した。10月18日、上川外相からの依頼を受け、木原防衛相は自衛隊法84条の4の邦人輸送の規定に基づき、自衛隊部隊に輸送活動の実施を命令した(この命令は自衛隊の活動や邦人の安全確保への影響を考慮し10月20日の輸送の実行を待って公表された)。同日政府関係者が明らかにしたことによれば、18日現在輸送実施に向け出国希望調査を進めているが、韓国政府が自国民を輸送機で退避させる際に日本人とその家族計51人も搭乗させた対応を踏まえ、現地の韓国人も輸送対象とする方向で調整を始めた。関係者によると、邦人への調査の結果輸送人数に余裕が出れば、韓国側に搭乗希望の有無を問い合わせるほか、韓国人以外の外国人も対象とする可能性もあるとされた。なお邦人も含めて費用負担は求めない。この結果10月19日、政府関係者によれば韓国人を20人前後搭乗させる調整が開始された。座席は、現地在留邦人と韓国人を乗せても空きがある見通しで、韓国以外の外国人を搭乗させる可能性もある。予定では自衛隊機は現地時間19日（日本時間20日未明）にもテルアビブを出発し、複数の給油地を経て、21日日未明に羽田空港に到着する見通しであるとされた。10月20日、防衛省と外務省は、日本時間の20日未明KC-767がヨルダンからイスラエルへ移動、出国を希望した日本人60人と外国籍の家族4人のほか、韓国人18人と外国籍の家族1人の合わせて83人(松野官房長官は会見で「韓国のほか、米英仏やカナダ、豪州、フィリピン、台湾、タイに対しても搭乗希望者の有無をたずね、その結果、韓国からのみ要望があった」と明かした)を乗せて、イスラエルを出発し、経由地のヨルダンに到着したと発表した。KC-767は帰国第一陣としてヨルダンから日本に向け移動し、10月21日未明に羽田空港に到着した。外務省によると、イスラエルとパレスチナに滞在する邦人は20日現在、約800人となった。C-2二機はさらなる情勢悪化と邦人等の輸送に備え、引き続きヨルダン及びジブチにおいて待機したのち、ジブチの機も10月24日にヨルダンに移動、10月25日には帰国したKC-767が再びヨルダンに派遣された。また、イスラエルとレバノンの国境周辺でも戦闘が起きたことから防衛省は10月27日、レバノンに滞在している日本人およそ70人を自衛隊機で輸送する場合に備えて情報収集にあたる調査チームをレバノンに派遣した。
編成事例 > 災統合任務部隊

詳細は「災統合任務部隊」を参照
編成事例 > 災統合任務部隊 > 平成25年台風第26号災害派遣（JTF-椿）

2013年10月11日に発生した平成25年台風第26号により被害を被った伊豆大島の復興及び後続の平成25年台風第27号による二次災害の防止を目的として防衛省は10月20日、「平成25年（2013年）台風第26号に対する災害派遣の実施に関する自衛隊行動命令（自行災命第15号（25.10.20 2149））を発令した。東部方面総監を長とする災統合任務部隊（「
伊豆大島災統合任務部隊」通称・JTF-椿（大島町の名産品であるツバキに由来））が編成され、同指揮下に海上自衛隊横須賀地方隊、航空自衛隊航空支援集団などが組み入れられ、救援活動を行った。2013年11月8日に発令された「平成25年（2013年）台風第26号に対する災害派遣の終結に関する自衛隊行動命令」により、編成解組した。
編成事例 > 災統合任務部隊 > 平成28年熊本地震災統合任務部隊（JTF-鎮西）

2016年4月14日21時26分頃に熊本地方で発生した震度7の地震を発端とする群発地震（平成28年熊本地震）の被害を受け、防衛省は陸上自衛隊西部方面総監を長とする災統合任務部隊（通称・JTF-鎮西、鎮西は九州の雅称）の編成命令を発令した。2016年4月17日までに2万5000人態勢に増員すると報じられ、西部方面隊を主力に海上自衛隊佐世保地方隊、航空自衛隊西部航空方面隊などが組み入れられ、即応予備自衛官に対しても招集命令が発令された（即応予備自衛官の実任務投入はJTF-THに次いで2例目）。2016年5月9日に災統合任務部隊の編成が解組された。
編成事例 > 災統合任務部隊 > 令和元年台風19号災統合任務部隊（笑顔と故郷を取り戻すために JTF）

2019年10月12日から13日にかけ、令和元年東日本台風（台風19号）の上陸により、東部方面区・東北方面区において大規模な広域水害が発生。13日16時、河野太郎防衛大臣より陸上総隊司令官（髙田克樹陸将）を指揮官とする統合任務部隊が編成された。陸上総隊発足後初の統合任務部隊である。通称号の設定はなく、「笑顔と故郷を取り戻すために JTF」をスローガンとし、またSNSでの広報におけるハッシュタグとして活用した。2019年11月8日に解組が命令され、活動を終了した。
編成事例 > 災統合任務部隊 > 令和6年能登半島地震災統合任務部隊

2024年（令和6年）1月2日、前日に発生した令和6年能登半島地震を受け、木原稔防衛大臣は陸上自衛隊中部方面総監（堀井泰蔵陸将）を長とする統合任務部隊の編成を発令した。同年2月2日に解組が命令された。陸上自衛隊中部方面隊を中心とする態勢に移行する。
編成事例 > 国際緊急援助活動統合任務部隊 > トンガ王国国際緊急援助活動統合任務部隊

2022年のフンガ・トンガ噴火を受けて、トンガ王国国際緊急援助活動統合任務部隊が編成され、輸送艦おおすみにより支援物資輸送が行われた。支援物資の引き渡しに伴い、2022年2月17日に活動を終結した。
AFC U-17選手権1988

| AFC U-17選手権1988> 大会概要 |
| --- | --- |
開催国:   タイ
日程:  1988年11月1日 - 11月14日
チーム数:  10 （1連盟）
大会結果
優勝:   サウジアラビア （2回目）
準優勝:   バーレーン
3位:   中華人民共和国
4位:   イラク
大会統計
試合数:  24試合
ゴール数:  67点 （1試合平均 2.79点）
  < 19861990 > 
AFC U-17選手権1988は、1988年11月1日から11月14日までタイで開催された、第3回目のAFC U-17選手権である。サウジアラビアが2大会ぶり2度目の優勝を果たした。
参加国

イラク
インドネシア
カタール
サウジアラビア
韓国
中国
朝鮮民主主義人民共和国
日本
バーレーン
タイ(開催国)
グループリーグ > グループA

| チーム | 試  | 勝  | 分  | 敗  | 得  | 失  | 差  | 点  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  サウジアラビア | 4 | 3 | 1 | 0 | 13 | 1 | +12 | 7 |
|  バーレーン | 4 | 1 | 3 | 0 | 3 | 2 | +1 | 5 |
|  韓国 | 4 | 2 | 0 | 2 | 10 | 9 | +1 | 4 |
|  タイ | 4 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | −2 | 3 |
|  インドネシア | 4 | 0 | 1 | 3 | 3 | 15 | −12 | 1 |
タイ  v  韓国
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| タイ  | 1 – 2 |  韓国 |

バーレーン  v  サウジアラビア
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| バーレーン  | 0 – 0 |  サウジアラビア |

インドネシア  v  タイ
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| インドネシア  | 0 – 2 |  タイ |

韓国  v  バーレーン
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 韓国  | 0 – 1 |  バーレーン |

サウジアラビア  v  インドネシア
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| サウジアラビア  | 4 – 0 |  インドネシア |

タイ  v  バーレーン
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| タイ  | 0 – 0 |  バーレーン |

韓国  v  サウジアラビア
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 韓国  | 1 – 6 |  サウジアラビア |

バーレーン  v  インドネシア
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| バーレーン  | 2 – 2 |  インドネシア |

サウジアラビア  v  タイ
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| サウジアラビア  | 3 – 0 |  タイ |

インドネシア  v  韓国
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| インドネシア  | 0 – 0 |  韓国 |
グループリーグ > グループB

| チーム | 試  | 勝  | 分  | 敗  | 得  | 失  | 差  | 点  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  中華人民共和国 | 4 | 2 | 2 | 0 | 6 | 3 | +3 | 6 |
|  イラク | 4 | 2 | 1 | 1 | 7 | 3 | +4 | 5 |
|  カタール | 4 | 2 | 1 | 1 | 6 | 3 | +3 | 5 |
|  日本 | 4 | 1 | 1 | 2 | 4 | 8 | −4 | 3 |
|  北朝鮮 | 4 | 1 | 0 | 3 | 4 | 10 | −6 | 2 |
カタール  v  北朝鮮
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| カタール  | 1 – 0 |  北朝鮮 |

中華人民共和国  v  日本
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 中華人民共和国  | 2 – 0 |  日本 |

イラク  v  カタール
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| イラク  | 2 – 1 |  カタール |

北朝鮮  v  中華人民共和国
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 北朝鮮  | 2 – 2 |  中華人民共和国 |

日本  v  イラク
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 日本  | 0 – 0 |  イラク |

カタール  v  中華人民共和国
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| カタール  | 0 – 0 |  中華人民共和国 |

北朝鮮  v  日本
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 北朝鮮  | 2 – 3 |  日本 |

中華人民共和国  v  イラク
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 中華人民共和国  | 2 – 1 |  イラク |

日本  v  カタール
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 日本  | 1 – 4 |  カタール |

イラク  v  北朝鮮
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| イラク  | 4 – 0 |  北朝鮮 |
決勝トーナメント > 準決勝

中華人民共和国  v  バーレーン
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 中華人民共和国  | 0 – 0 |  バーレーン |

|   | PK戦 |   |
|  | 3 – 5 |  |
サウジアラビア  v  イラク
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| サウジアラビア  | 2 – 1  (延長) |  イラク |
決勝トーナメント > 3位決定戦

中華人民共和国  v  イラク
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 中華人民共和国  | 1 – 1 |  イラク |

|   | PK戦 |   |
|  | 4 – 3 |  |
決勝トーナメント > 決勝

サウジアラビア  v  バーレーン
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| サウジアラビア  | 2 – 0 |  バーレーン |
1989 FIFA U-16世界選手権出場国

この大会の上位3カ国には翌年の1989 FIFA U-16世界選手権への出場権が与えられ、以下の国が出場権を獲得した。
サウジアラビア
バーレーン
中国
参考

rsssf.com （英語）
| 表 話  歴AFC U17アジアカップ |
| --- | --- |
 ※斜数字は開催予定の大会。
本大会:  1985  1986  1988  1990  1992  1994  1996  1998  2000  2002  2004  2006  2008  2010  2012  2014  2016  2018  2020  2023  2025 
予選:  1985  1986  1988  1990  1992  1994  1996  1998  2000  2002  2004  2006  2008  2010  2012  2014  2016  2018  2020  2023  2025 
 男子(アジアカップ, U23, U20, U17) - 女子(アジアカップ, U20, U17) - クラブ(CL, AFCカップ) FIFA - AFC - CAF - CONCACAF - CONMEBOL - OFC - UEFA
リバートン (ユタ州)

| リバートン |
| --- | --- |
 市
 Riverton
 市役所
 ソルトレイク郡内の位置
 座標：北緯40度31分14秒 西経111度57分19秒﻿ / ﻿北緯40.52056度 西経111.95528度﻿ / 40.52056; -111.95528
国:   アメリカ合衆国
州:  ユタ州
郡:  ソルトレイク郡
面積
 • 合計:  12.58 mi2 (32.59 km2)
人口（2020年）
 • 合計:  45,285人
ウェブサイト:  rivertonutah.gov
リバートン（Riverton）は、アメリカ合衆国ユタ州のソルトレイク郡にある都市。人口は4万5285人（2020年）。ソルトレイクシティの南30キロメートルに位置している。
歴史

1865年に設立された。地名は市の東部を流れる「ジョーダン川」から来ている。川の水は灌漑施設を通じて農地に供給され、多彩な農作物の栽培を可能にした。アルファルファ、小麦、トマト、テンサイなどを生産した。
第二次世界大戦後の1947年に地域は法人化し「リバートン市」が誕生した。1970年代以降、ソルトレイク都市圏の拡大に伴い住宅地の需要が高くなり、農地は急速に減少した。市内に鉄道駅がないため、通勤には自家用車や路線バスが使われる。
州道71号線
ジョーダン川
佐賀県立佐賀東高等学校

| 佐賀県立佐賀東高等学校 |
| --- | --- |
 
 ja北緯33度14分10.2秒 東経130度19分13.1秒﻿ / ﻿北緯33.236167度 東経130.320306度﻿ / 33.236167; 130.320306座標: 北緯33度14分10.2秒 東経130度19分13.1秒﻿ / ﻿北緯33.236167度 東経130.320306度﻿ / 33.236167; 130.320306
国公私立の別:  公立学校
設置者:   佐賀県
学区:  中部学区
校訓:  使命に生きる 自主自立を尊ぶ 明朗清新を喜ぶ
設立年月日:  1963年（昭和38年）4月1日
共学・別学:  男女共学
課程:  全日制課程
単位制・学年制:  学年制
設置学科:  普通科
学期:  3学期制
学校コード:  D141290000027 
高校コード:  41103F
所在地:  〒840-0016
 佐賀県佐賀市南佐賀三丁目11番15号
外部リンク:  公式サイト
 ウィキポータル 教育  ウィキプロジェクト 学校
テンプレートを表示
佐賀県立佐賀東高等学校（さがけんりつ さがひがしこうとうがっこう）は、佐賀県佐賀市南佐賀三丁目に所在する公立の高等学校である。佐賀市内の県立高校では、いち早く制服にブレザーを取り入れた。通称は「東高」（ひがしこう）。文部科学省の学力向上フロンティア・ハイスクールに指定されている。
佐賀県立佐賀西高等学校・佐賀県立佐賀北高等学校と源流を同じくしている。
設置学科

普通科
スポーツ科
クラス・コース

普通クラス
グレードクラス
体育コース
概要

1963年（昭和38年）4月1日に佐賀県立佐賀高等学校がマンモス化したため、その対策として佐高分離と称して3つに分離した学校の一つ（他の2つは佐賀西高・佐賀北高）である。
2024年度よりスポーツ科が新設された。
沿革

※源流である佐賀県立佐賀高等学校の沿革については、本校と源流を同じくする佐賀県立佐賀西高等学校・佐賀県立佐賀北高等学校の項目を参照されたい。
1963年（昭和38年）4月1日 - 佐賀県立佐賀東高等学校として設立
1965年（昭和40年） - 開校記念日・校歌制定
1992年（平成4年） - 創立30周年記念式典を挙行。第74回全国高等学校野球選手権大会に初出場。
1999年（平成11年） - 第81回全国高等学校野球選手権大会出場（7年ぶり2度目）
2002年（平成14年） - 創立40周年記念式典を挙行
2009年（平成21年） - 第89回天皇杯全日本サッカー選手権大会出場（初出場）
2013年（平成25年） -『錆びた真実と、邂逅に抱かれて』で第7回春季全国高等学校演劇研究大会フェスティバル2013出場（初出場・いわき芸術文化交流館アリオス開催）
2015年（平成27年） -『ママ』で第61回全国高等学校演劇大会出場（初出場・ひこね市文化プラザ開催）
2016年（平成28年） -『ボクの宿題』で第62回全国高等学校演劇大会出場（2年連続2回目・アステールプラザ開催）
キャッチフレーズ

みなぎる若さ　あふれる活気　花いっぱい　さわやか東
部活動

サッカー部は県内屈指の強豪校としても知られる。
部活動 > 運動部

バスケットボール部
ハンドボール部
テニス部
野球部
1992年夏（第74回）
一回戦 佐賀東3-4能代（秋田）
1999年夏（第81回）
一回戦 佐賀東0-14仙台育英（宮城）
陸上部
なぎなた部
ソフトボール部
バレーボール部
サッカー部
第89回天皇杯全日本サッカー選手権大会
一回戦 佐賀東3-2アルテリーヴォ和歌山（和歌山）
二回戦 佐賀東0-5サガン鳥栖（佐賀）
柔道部
剣道部
水球部
バドミントン部
空手部
登山部
ラグビー部（廃部）
部活動 > 文化部

吹奏楽部
演劇部
グラフィックアート部
茶華道部
書道部
著名な出身者 > サッカー

中原秀人（プロサッカー選手、鹿児島ユナイテッドFC）
赤﨑秀平（元プロサッカー選手)
中野嘉大（プロサッカー選手、横浜FC）
平秀斗（元プロサッカー選手）
平河悠（プロサッカー選手、ブリストル・シティFC）
吉田陣平（プロサッカー選手、カマタマーレ讃岐）
宝納拓斗（プロサッカー選手、福島ユナイテッドFC）
井川幸広（サッカーサガン鳥栖運営会社「サガンドリームス」会長、株式会社クリーク･アンド･リバー社社長）
著名な出身者 > 野球

辻発彦（元プロ野球選手。西武ライオンズ→ヤクルトスワローズ、埼玉西武ライオンズ監督、WBC日本代表守備走塁コーチ）
末永真史（元プロ野球選手。広島東洋カープ）
著名な出身者 > 芸能

西村麻聡（ロックバンド：FENCE OF DEFENSE）（中退）
ヒーマン（佐賀在住のタレント、佐賀、福岡でラジオパーソナリティーなどで活躍）
はなわ（お笑い芸人、ミュージシャン）
松尾れい子（女優）
著名な出身者 > その他

古賀龍二（ラグビートップリーグ：福岡サニックスブルース主将、7人制日本代表）
野﨑零也（バスケットボール選手：ファイティングイーグルス名古屋）
326（イラストレーター）
北山大詩

| 北山 大詩 |
| --- | --- |
誕生:   日本 福井県
職業:  小説家
国籍:   日本
活動期間:  2002年 -
主な受賞歴:  第5回富士見ヤングミステリー大賞奨励賞
デビュー作:  『エクスプローラー』
 ウィキポータル 文学
テンプレートを表示
北山 大詩（きたやま だいし、5月4日 - ）は日本の小説家。福井県出身。AB型。
年間二百冊ペースという読書好きが高じ、小説を書いたのがきっかけで第5回富士見ヤングミステリー大賞に応募し、奨励賞を受賞。『エクスプローラー』でデビュー。秋葉原をこよなく愛し、PC自作マニアでもある。最近は、料理に凝っている。
「Solatorobo（ソラトロボ）」の小説を雑誌連載していた。ノベライズを手掛けるのは「Solatorobo」が初ではなく、以前に和田篤志（わだ あつし）のペンネームで「異世界の聖機師物語」を刊行している。
受賞歴

2005年、第5回富士見ヤングミステリー大賞　奨励賞 『エクスプローラー 覚醒少年』
小説作品

オリジナル作品
エクスプローラー (富士見ミステリー文庫 )
神聖のレジスタ(富士見ファンタジア文庫)
神聖のレジスタ2 魂のオーバーロード (富士見ファンタジア文庫 / ISBN 4-8291-3345-7)
神聖のレジスタ3 不屈のエクソダス (富士見ファンタジア文庫 / ISBN 4-8291-3377-5)
神聖のレジスタ4 神々の黄昏 (富士見ファンタジア文庫 / ISBN 4-8291-3411-9)
ノベライズ作品
異世界の聖機師物語 (富士見ファンタジア文庫 / ISBN 4-8291-3428-3) 和田篤志名義
オリジナル作品
犯罪共鳴 壊兎 タナトス症候群(シンドローム) （富士見L文庫 / ISBN 4-04-070304-9）
犯罪共鳴 壊兎2 兎の信奉者（フォロワーズ）（富士見L文庫 / ISBN 4-04-070530-0）
佐賀利英

| 佐賀 利英 |
| --- | --- |
生誕:  1957年（66 - 67歳）  宮城県
居住:   日本
研究機関:  いわき明星大学
出身校:  東北大学大学院薬学研究科博士課程修了 徳島文理大学薬学部卒業
プロジェクト:人物伝
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佐賀 利英（さが としひで、1957年（昭和32年） - ）は、日本の薬学者。元いわき明星大学薬学部准教授。
東北大学大学院薬学研究科博士課程修了。徳島文理大学薬学部卒業。宮城県出身。
経歴

宮城県出身。1980年（昭和55年）に徳島文理大学薬学部薬学科を卒業。
大学を卒業後は薬剤師として仙台徳洲会病院に勤務し、同会全国薬剤部長代表や宮城県病院薬剤師会の副会長などを歴任。
2006年（平成18年）に東北大学大学院薬学研究科博士課程を修了し、2007年（平成19年）にいわき明星大学薬学部で准教授に就任。その後、石巻赤十字病院で研究員となる。
所属学会

日本医療薬学会
日本臨床薬理学会
日本薬学会
日本TDM学会
東北緩和医療研究会
著書

『薬効別 服薬指導マニュアル 第2版、第3版、第4版、 改訂版』（1993年、1996年、2000年、2005年、じほう）
『商品別 薬剤情報提供マニュアル』（1998年、じほう）
冪乗

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: 「冪」はこの項目へ転送されています。この漢字の意味については「wikt:冪」をご覧ください。
数学における冪乗（べきじょう、べき乗、英: 仏: 独: exponentiation）または冪演算（べきえんざん）は、底 (てい、英: base) および冪指数 (べきしすう、英: exponent) と呼ばれる二つの数に対して定まる数学的算法である。その結果は冪 (べき、英: power) と呼ばれる。表現の揺れにより同じ概念は日本語で「累乗」とも表現されており、初等教育ではこちらの表現のほうが多くなっている（本文参照）。
概要

底（英語版） b および冪指数 e をもつ冪は、底の右肩に冪指数を乗せて be のように書かれる。
であり、bn は b の n-乗や、n-次の b-冪などと呼ばれる。
特定の冪指数に対して、固有の名前が付けられている。例えば、冪指数が 2 である冪（2 乗） b2 は「b の平方 (square of b)」または「b-自乗 (b-squared)」と呼ばれ、冪指数が 3 である冪（3 乗） b3 は「b の立方 (cube of b, b-cubed)」と呼ばれる。それ以降は 4 乗、5 乗、… というように「n 乗」という言い方が一般的である。
冪指数が −1 である冪 b−1 は 1/b であり、「b の逆数」（または乗法逆元）と呼ばれる。一般に冪指数が負の整数 n である冪 bn は、bn × bm = bn + m という性質を保つように、底 b が 0 でないとき bn := 1/b−n と定義される。
冪乗は、任意の実数または複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数である冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば指数函数であり、冪指数を固定して底を変数と見なせば冪函数である。整数乗の冪に限れば、行列などを含めた多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができる。冪指数まで同種の対象に拡張すると、その上で定義された自然指数函数と自然対数函数をもつ完備ノルム環（例えば実数全体 R や複素数全体 C など）を想定するのが自然である。
歴史

歴史上に冪が現れたのは非常に古く、B.C.16世紀ごろに作成された粘土板には平方数表、平方根表、立方根表や三平方の定理について書かれており、エジプト、インド、ギリシアなどでも冪の概念は明示されている。一方で、指数法則に言明する文献は見当たらず「指数概念」には未だ到達していないと考えるべきであるが、冪を意味する英単語 "power" はギリシアの数学者エウクレイデス（ユークリッド）が直線の平方を表すのに用いた語に起源がある。また、「原論」において指数法則 am × an = am+n に相当する命題に言及しているが、この時代には算式は発明されておらず、すべて言葉で表現していた。
歴史 > 記法

アルキメデスは 10 の冪を扱うために必要となる指数法則 10a • 10b = 10a + b を発見し、証明した（『砂粒を数えるもの』を参照）。9世紀に、ペルシアの数学者アル゠フワーリズミは平方を mal, 立方を kab で表した。これを後に中世イスラムの数学者がそれぞれ m, k で表す記法として用いていることが、15世紀ごろのアル゠カラサディ（英語版）の仕事に見ることができる。
16世紀後半、ヨスト・ビュルギは冪指数をローマ数字を用いて表した。
17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形は、ルネ・デカルトが著書 La Géométrie の一巻において導入した。
アイザック・ニュートンなど一部の数学者は冪指数は 2 乗よりも大きな冪に対してだけ用い、平方は反復積として書き表した。例えば、多項式を ax + bxx + cx3 + d のように書いた。
歴史 > 用語

15世紀にニコラ・ショケ（英語版）は冪記法の一種を用い、それは後の16世紀にハインリヒ・シュライベル（英語版）およびミハエル・スティーフェル（英語版）が用いている。
16世紀にロバート・レコードは、square（二次）, cube（三次）, zenzizenzic（四次）, sursolid（五次）, zenzicube（六次）, second sursolid（七次）, zenzizenzizenzic（八次（英語版））の語を用いた。4 乗については biquadrate（複二次）の語も用いられた。
歴史的には "involution" が冪の同義語として用いられていたが現在では稀であり、別の意味（対合）で用いられているので混同すべきではない。
歴史 > 用語 > 冪指数

冪の肩に書かれる数のことを冪指数と呼ぶが、冪指数を意味する用語として、英語ではしばしば exponent と index が同義語として用いられる。この用語選定は18世紀、19世紀を通じて極めて曖昧で個人の嗜好に委ねられていた。しかし、ガウスは、その著書 Disquisitiones Arithmeticae において通常の冪指数と数論的な指数を峻別する必要性から exponens は通常の冪指数、index は数論的な指数を表すものとして明確に区別し使い分けて解説に使用しており、この使い分けはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通じて数論の世界での標準となった。
もとをたどれば、1544年にミハエル・スティーフェルがラテン語: "exponens" を造語し、対して1586年にラザルス・シェーナーが数学者ペトルス・ラムスの書籍への補注としてラテン語: "index" を（スティーフェルが exponens と呼んだものと同じものを指す意味で）用いたのがそれぞれの語源と考えられる。exponent と index はこれらの英語翻訳であり、例えば index はサミュエル・ジーク（英語版）が1696年に導入した。
exponent と index の微妙な使い分けと併用の時代はここから始まり、その併用のされ方は国と時代だけでなく個人によっても異なった。イギリスは当初 index が優勢であり、これは聖バーソロミューの大虐殺で殉死したラムスの著作がプロテスタント諸国で非常に人気を集めたからだとの指摘がある。
歴史 > 日本語「冪」

『冪』の字義は「覆う、覆うもの」であって、『冖』と同音同義である。江戸時代の和算家は「冪」の略字として「巾」を用いていた。
第二次世界大戦後の漢字制限政策のもと、これらの字は常用漢字・当用漢字に含まれず、1950年代以降の学習参考書などの出版物では仮名書きで「べき乗」または「累乗」への書き換えが進められ、結果として初等数学の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられた。
「冪集合」、「冪級数」などの高等学校以下で扱われない多くの概念に対しては、「冪」の部分が置き換えられることはなく、例えば「べき乗集合」や「累乗集合」などといった表現はあまり生じていない。
定義 > 自然数乗冪

実数（または積  \times  の定義された群、より一般には半群）において、元 x と自然数 n に対して
xn を
で定義する（厳密には再帰的に定義する）。
上付きの n が書けない場合には、 x^n という表記を用いることが多い。
この操作を「x の n 乗を取る」などといい、特に n を固定して x を入力とする関数（特に実数 x の函数）と見るときは、冪関数という。
x の 2乗、3乗は特に、それぞれ x の平方 (へいほう、 英: square)、立方 (りっぽう、 英: cube) と呼ばれ、2乗を特に自乗という場合もある。
冪 xn において、x を底（てい、英: base、 基数）と呼び、n を冪数、冪指数または単に指数（しすう、 英: exponent) と呼ぶ。必ずしも冪指数とは限らない添字 n をその基準となる文字 x の右肩に乗せる添字記法を指数表記・冪記法などとよぶ場合もある。
厳密には、x の n 乗冪は
x1 = x,
xn+1 = xn × x   (n ≥ 1)
によって再帰的に定義される。
定義 > 負の整数乗冪

帰納的定義を見れば下のように拡張するのが自然である。
有理数の範囲で2の冪を例に取ると：
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
2−1 = 1/2
2−2 = 1/4
2−3 = 1/8
2−4 = 1/16
ただし、底が 0 の場合は「0 で割れない」などの理由から定義しないか、または 00 については 1 と定義するのが一般的である。
→詳細は「0の0乗」を参照
定義 > 有理数乗冪

→詳細は「冪根」を参照
自然数 m に対し、x の m 乗根すなわち m 乗して x になるような数 y がただ一つあるならば、その y を x1/m とし、自然数または整数 n に対し
と定めることによって、x を底とする冪乗の指数を有理数の範囲まで拡張することができる。
このとき、指数法則と呼ばれる下の関係式が成り立つ。
xr+s = xr × xs
xr×s = (xr)s
ここで、r と s は、冪が定義できる範囲の有理数である。つまり、x が逆元をもたないなら自然数、逆元はもつが冪根をもたないなら整数、m 乗根をもつが逆元をもたないならば m を分母とする正の有理数、逆元も m 乗根ももつならば m を分母とする有理数である。
定義 > 実数乗冪

→詳細は「指数関数」を参照
x が正の実数ならば、上で制限されていた指数への条件は外れる。
正数ならば任意の自然数 m に対する正の m 乗根  {\sqrt[{m}]{x}} がただ一つ存在するので、正の有理数  {\frac {n}{m}} に対し
と定めることができる。さらに、x が 0 でなければ逆元が存在するので、指数は有理数全体まで拡張される。
x (>0) の冪は、その指数に関して極限を取ることによって実数上の関数に拡張され、連続関数になる。連続な拡張は一意であり、これを x を底とする指数関数と呼ぶ。
定義 > 複素数乗冪

→詳細は「複素指数函数」および「複素対数函数」を参照
複素数 z に対して、函数 exp を級数
で定義する。この級数は任意の複素数 z に対して収束する。特に exp(1) ≕ e は自然対数の底に等しく、任意の実数 x に対して exp(x) = ex（右辺は実数 e の実数 x 乗の意）である（したがって任意の複素数に対して ez ≔ exp(z) とも書かれる）。z ≔ x + iy （x, y は実数）と表すと、
が成り立つ（cis は純虚指数函数）。特に eiy = cos(y) + i⋅sin(y) はオイラーの公式と呼ばれる関係式である。
さらに、この関数の「逆関数」を log と書けば、一般の複素数 w ≠ 0 に対して
と定義される。log が多価関数なので、一般には値が 1 つには定まらない。ただし、w = e の場合には、上の冪級数で定義したほうの意味で用いるのが普通である。
性質

冪演算は可換でない（たとえば 23 = 8 , 32 = 9 ,  8≠9.）。また結合的でない（たとえば (23)2 = 64 , 512 = 2(32) , 64≠512.）。
括弧を用いずに abc と書いたときには、これはふつう a(bc) を意味する。すなわち冪演算は右結合的である（これは優先順位（precedence, 演算子の優先順位）ではなく、演算子の結合性（associativity, en:Operator associativity）のことである）。
性質 > 指数法則

以下の一覧表において多重定義の虞を除くため、底は非零実数であるような冪のみを考える。ただし、正の冪のみを考えるならば、底が 0 でも各法則は成り立つ。また以下の一覧において、有理数について分母が奇数あるいは偶数であるというときは、常にその有理数の既約分数表示における分母のことを言っているものとする。
| 規則 | 条件 |
| --- | --- |
 a^{0}=1: a ≠ 0 は任意
 a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}:  a > 0 ならば r は任意の実数  a < 0 ならば r は分母が奇数の任意の有理数
 a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}:  a > 0 ならば n は任意の自然数で m は任意の整数  a < 0 ならば n は任意の奇数で m は任意の整数
 a^{r+s}=a^{r}\cdot a^{s}:  a > 0 ならば r, s は任意の実数  a < 0 ならば r, s は分母が奇数の任意の有理数
 a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}:  a > 0 ならば r, s は任意の実数  a < 0 ならば r, s は分母が奇数の任意の有理数
 (a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}:  a  •  b ≠ 0 ならば r は任意の自然数、あるいは任意の整数  a > 0, b > 0 ならば r は任意の実数  a, b の少なくとも一方が負ならば r は分母が奇数の任意の有理数
 \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}:  整数 r に対して、[r ≥ 0 かつ b ≠ 0] または [r ≤ 0 かつ a ≠ 0] のとき  a > 0, b > 0 ならば r は任意の実数  a, b の少なくとも一方が負ならば r は分母が奇数の任意の有理数
 (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}:  a ≠ 0 ならば r, s は任意の整数  a > 0 ならば r, s は任意の実数  a < 0 ならば r, s は分母が奇数の任意の有理数
 (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}: a < 0 かつ有理数 r, s に対して、r および r  •  s は分母が奇数、かつ r  •  s の分子が奇数のとき
冪指数 r, s の少なくとも一方が無理数であるとき、あるいはこれらの双方が有理数だが r または r  •  s の少なくとも一方の分母が偶数となるときには、a < 0 に対する (ar)s または ar • s は定義されない。それ以外のとき、この両者は定義されて符号の違いを除いて一致する。特に両者は a > 0 ならば任意の実数 r, s に対して一致し、また a ≠ 0 ならば任意の整数 r, s に対して一致する。
a < 0 かつ r, s が整数でない有理数であるときには可能性は二通り考えられ、どちらになるかは r の分子と s の分母の素因数分解が関係する。式 (ar)s = ±ar • s の右辺の符号は何れが正しいのかを知るには a = −1 のときを見れば十分である（与えられた r, s に対して a = −1 のとき正しくなる方の符号をとれば、任意の a < 0 についても成り立つ）。
a < 0 に対して (ar)s = −ar • s が適用されるならば、a ≠ 0 に対して (ar)s = |a|r • s が成り立つ（冪指数が正ならば a = 0 のときも成り立つ）。
例えば、((−1)2)1⁄2 = 1 および (−1)2 • 1⁄2 = −1 であるから、a < 0 に対して √a2 = (a2)1⁄2 = −a2 • 1⁄2 = −a, したがって任意の実数 a に対して √a2 = |a| が成り立つ。
性質 > 指数・対数法則の不成立

正の実数に対する冪および対数に関する等式のいくつかは、複素数冪や複素対数がどのように一価函数として定義されようとも、複素数に対しては成り立たないことが起こる。
等式 log(bx) = x⋅log(b) は b が正の実数で x が実数のときにはいつでも成り立つ。しかし、複素対数の主枝（英語版）に対して
 i\pi =\log(-1)=\log \left[(-i)^{2}\right]\neq 2\log(-i)=2\left(-{\frac {i\pi }{2}}\right)=-i\pi 
は反例になる。複素対数のどの枝を用いたかに関わらず、この等式には同様の反例が存在する。（この結果のみを使うものとすれば）
 \log(w^{z})\equiv z\cdot \log(w){\pmod {2\pi i}}
であるとまでしか言えない。
この等式は log を多価函数と考えるときでさえ成り立たない。log(wz) の取り得る値は z⋅log(w) の取り得る値を部分集合として含む。log(w) の主値を Log(w) とし、m, n を任意の整数とすると、両辺の取り得る値は
 \{\log(w^{z})\}=\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in+2\pi im\}
 \{z\cdot \log w\}=\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in\}
である。
等式 (bc)x = bx⋅cx および (b/c)x = bx/cx は x が実数でさらに b と c が正の実数ならば成り立つ。しかし主枝を用いた計算で
 1=((-1)(-1))^{\frac {1}{2}}\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1
および
 i=(-1)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i
が反例として示される。
他方、x が整数のときには任意の非零複素数に対して成り立つ。

複素数冪を多価函数として考えれば、((−1)(−1))1/2 の取り得る値は {1, −1} で、等式は成り立つが {1} = {((−1)(−1))1/2} と言うことは間違っている。
等式 (ex )y = exy は x と y が実数であるときには成り立つが、任意の複素数に対して正しいと仮定すると、Clausen et al. (1827)の発見した任意の整数 n に対して、 を得るが、これは n が 0 でないとき誤りである。 という不合理が生じる。この推論にはいくつも問題がある:
任意の整数
に対して、
e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e
(e^{1+2\pi in})^{1+2\pi in}=e
e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e
e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e
e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1
を得るが、これは  が  でないとき誤りである。
という不合理が生じる。この推論にはいくつも問題がある:
主な誤りは、二行目から三行目に行くときに冪の順番を変えることで選ばれる主値が変わることである。
多価函数の視点から見ると、最初の誤りは更に早く起きている。一行目で暗に e は実数としているにも拘らず、e1+2πin の結果は複素数であり、e + 0i と書いたほうがよい。二行目を実数ではなくこの複素数で置き換えることで、そこでの冪が取れる値を複数持つようになる。二行目から三行目で指数の順番を変えたことも、取りうる値の数に影響を及ぼす。(ez)w ≠ ezw だが、整数 n にわたって多価な意味で (ez)w = e(z+2πin)w としたほうがよい。
一般化 > モノイドにおける冪

冪演算は任意のモノイドにおいて定義できる。モノイドは単位元を持つ半群、すなわち適当な集合 X を台として合成あるいは乗法と呼ばれる二項演算が定義される代数系であって、その乗法が結合法則を満足し、かつ乗法単位元 1X を持つものを言う。モノイドにおける自然数冪は
x^{0}:=1_{X}\quad (\forall x\in X),
x^{n+1}:=x^{n}\times x\quad (x\in X,\,n\in \mathbb {Z} _{\geq 0})
として帰納的に定義することができる（先の式の右辺（の 1）は X の単位元、後の式の左辺の 1 は自然数の 1 で、当然だがこれらは互いに別のものである）。特に先の式（零乗すること）は「単位元を持つ」ことによって初めて意味を成す規約であることに注意すべきである（空積も参照のこと）。
モノイドの例には群や環（の乗法モノイド）のような数学的に重要な多くの構造が含まれ、またより特定の例として行列環や体の場合について後述する。
一般化 > 行列および線型作用素の冪

正方行列 A に対して A 自身の n 個の積を行列の冪と呼ぶ。また A0 は単位行列に等しいものと定義され、さらに A が可逆ならば A−n ≔ (A−1)n と定義する。
行列の冪は離散力学系（英語版）の文脈でしばしば現れる。そこでは行列 A は適当な系の状態ベクトル x を次の状態 Ax へ遷移させることを表す。これは例えばマルコフ連鎖の標準的な解釈である。これにより、A2x は二段階後の系の状態であり、以下同様に Anx は n 段階後の系の状態と理解される。つまり行列の冪 An は現在と n 段階後の状態の間の遷移行列であって、行列の冪を計算することはこの力学系の発展を解くことに等しい。便宜上、多くの場合において行列の冪は固有値と固有ベクトルを用いて計算することができる。
行列を離れてより一般の線型作用素にも冪演算は定められる。例えば微分積分学における微分演算 d / dx は函数 f に作用して別の函数 df / dx = f' を与える線型作用素であり、この作用素の n-乗は n-階微分
である。これは線型作用素の離散的な冪の例であるが、作用素の連続的な冪が定義できたほうがよい場面が多く存在する。C0-半群の数学的理論はこのような事情を出発点としている。離散冪指数に対する行列の冪の計算が離散力学系を解くことであったのと同様に、連続冪指数に対する作用素の冪の計算は連続力学系を解くことに等しい。そういった例として熱方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式あるいはもっとほかの時間発展を含む偏微分方程式を挙げることができる。このような冪演算の特別の場合として、微分演算の非整数乗は分数階微分と呼ばれ、分数階積分とともに、分数階微分積分学の基本演算の一つとなっている。
一般化 > 有限体における冪

→「冪剰余」も参照
体は、四則演算が矛盾なく定義されそれらの馴染み深い性質が満足されるような代数的構造である。例えば実数全体は体を成す。複素数の全体、有理数の全体などもそうである。これら馴染み深い例が全て無限集合であるのと異なり、有限個の元しか持たない体も存在する。そのもっとも簡単な例が二元体 F2 = {0,1} で、加法は  0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 および乗法は 0  •  0 = 1  •  0 = 0  •  1 = 0, 1  •  1 = 1 で与えられる。
有限体における冪演算は公開鍵暗号に応用を持つ。例えばディフィー・ヘルマン鍵交換は、有限体における冪は計算量的にコストが掛からないのに対し、冪の逆である離散対数は計算量的にコストが掛かるという事実を用いている。
任意の有限体 F は、素数 p がただ一つ存在して、任意の x ∈ F に対して px = 0 が成り立つ（x を p 個加えれば零になる）という性質を持つ。例えば二元体 F2 では p = 2 である。この素数 p はその体の標数と呼ばれる。F を標数 p の体として F の各元を p-乗する写像 f(x) = xp を考える。これは F のフロベニュース自己準同型と呼ばれる。新入生の夢（英語版）（幼稚な二項定理）とも呼ばれる等式 (x + y)p = xp + yp がこの体においては成り立つため、フロベニュース自己準同型が実際に体の自己準同型を与えるものであることが確認できる。フロベニュース自己準同型は F の素体上のガロワ群の生成元であるため数論において重要である。
一般化 > 抽象代数学における冪

冪指数が整数であるような冪演算は抽象代数学における極めて一般の構造に対して定義することができる。
集合 X は乗法的に書かれた冪結合的（英語版）二項演算を持つもの:
とするとき、任意の x ∈ X と任意の自然数 n に対して冪 xn は、x の n 個のコピーの積を表すものとして
のように帰納的に定義される。これは以下のような性質
を満足する。さらに、考えている演算が両側単位元 1 を持つ:
ならば x0 は任意の x に対して 1 に等しいものと定義する。[要出典]
さらにまた演算が両側逆元を持ち、なおかつ結合的
ならばマグマ X は群を成す。このとき x の逆元を x−1 と書けば、冪演算に関する通常の規則
はすべて満足される。また（例えばアーベル群のように）乗法演算が可換ならば
も満足される。（アーベル群が通常そうであるように）二項演算を加法的に書くならば、「冪演算は累乗（反復乗法）である」という主張は「乗法は累加（反復加法）である」という主張に引き写され、各指数法則は対応する乗法法則に引き写される。
一つの集合上に複数の冪結合的に項演算が定義されるときには、各演算に関して反復による冪演算を考えることができるから、どれに関する冪かを明示するために上付き添字に反復したい演算を表す記号を併置する方法がよく用いられる。つまり演算 ∗ および # が定義されるとき、x∗n と書けば x ∗ ⋯ ∗ x を意味し、x#n と書けば x # ⋯ # x を意味するという具合である。
上付き添字記法は、特に群論において、共軛変換を表すのにも用いられる（即ち、g, h を適当な群の元として gh = h−1gh）。この共軛変換は指数法則と同様の性質を一部満足するけれども、これはいかなる意味においても反復乗法としての冪演算の例ではない。カンドルはこれら共軛変換の性質が中心的な役割を果たす代数的構造である。
一般化 > 集合の冪 > デカルト冪

→詳細は「デカルト積」を参照
自然数 n と任意の集合 A に対して、式 An はしばしば A の元からなる順序 n-組全体の成す集合を表すのに用いられる。これは An は集合 {0, 1, 2, …, n−1} から集合 A への写像全体の成す集合であると言っても同じことである（n-組 (a0, a1, a2, …, an−1) は i を ai へ送る写像を表す）。
無限基数 κ と集合 A に対しても、記号 Aκ は濃度 κ の集合から A への写像全体の成す集合を表すのに用いられる。基数の冪との区別のために κA と書くこともある。
一般化 > 集合の冪 > 反復直和

→詳細は「直和」を参照
一般化された冪は、複数の集合上で定義される演算や追加の構造を持つ集合に対しても定義することができる。例えば、線型代数学において勝手な添字集合上でのベクトル空間の直和を考えることができる。つまり Vi をベクトル空間として
を考えるとき、任意の i について Vi = V とすれば得られる直和を冪記法を用いて V⊕N あるいは直和の意味であることが明らかならば単に VN のように書くことができる。ここで再び集合 N を基数 n で取り替えれば Vn を得る（濃度 n を持つ特定の標準的な集合を選ぶことなしに、これは同型を除いてのみ定義される）。V として実数体 R を（それ自身の上のベクトル空間と見て）とれば、n を適当な自然数として線型代数学でもっともよく調べられる実ベクトル空間 Rn を得る。