stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
アルダブラゾウガメ属
ルーツ

アメリカ科学振興協会の科学雑誌『サイエンス・アドバンス（Science Advances）』によれば、アフリカ大陸に祖先を持つマダガスカル島におけるリクガメ科の多様化は2782万年前（漸新世中期）に起こった二つの系統（アルダブラゾウガメ属とマダガスカルリクガメ属（英語版））に分かれたことから始まり、2512万年前にはマダガスカルリクガメ属の系統はクモノスガメ属（英語版）の系統に分かれたという。ここで本誌が示すのは、アルダブラゾウガメ属がマダガスカルリクガメ属やクモノスガメ属と近縁であり、同じ祖先を持つ可能性が高いということである。
そして元々マダガスカル島にいたアルダブラゾウガメ属は、鮮新世にイル・アンテリュール（英語版）とアルダブラ環礁へ分散したというが、ヨーロッパ人がセーシェル諸島を見つけた17世紀以降、イル・アンテリュールにいたアルダブラゾウガメ属は一度人間によって根絶されたという。よってイル・アンテリュールにいる現存のアルダブラゾウガメ属は19世紀にアルダブラ環礁から再び流れ着いて定着したものと考えられている。
アルダブラゾウガメ属を編成する種

アルダブラゾウガメ属
和名：マダガスカルセマルゾウガメ
学名：アルダブラケリス・アブルプタ0/0†Aldabrachelys abrupta (Grandidier, 1868)
和名：アルダブラゾウガメ
学名：アルダブラケリス・ギガンテア0/0Aldabrachelys gigantea (Schweigger, 1812)
亜種
学名：アルダブラケリス・ギガンテア・アルノルディ0/0Aldabrachelys gigantea arnoldi (Bour, 1982)
学名：アルダブラケリス・ギガンテア・ダウディニー0/0†Aldabrachelys gigantea daudinii (Duméril & Bibron, 1835)
学名：アルダブラケリス・ギガンテア・ギガンテア0/0Aldabrachelys gigantea gigantea (Schweigger, 1812)
学名：アルダブラケリス・ギガンテア・ホロリッサ0/0Aldabrachelys gigantea hololissa (Günther, 1877)
和名：マダガスカルヒラセゾウガメ
学名：アルダブラケリス・グランディディエリ0/0†Aldabrachelys grandidieri (Vaillant, 1885)
TAXMEN

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: ビートルズの楽曲については「タックスマン」をご覧ください。
| TAXMEN |
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ジャンル:  テレビドラマ
企画:  アットムービー
脚本:  ますもとたくや･加藤公平
監督:  三木康一郎･多胡由章･武居正能
出演者:  井上正大 安田顕
エンディング:  『Fly away』（Rake）
製作
プロデューサー:  森谷雄 今泉潤
制作:  Sony Music

放送
音声形式: ステレオ
放送国・地域:  日本
放送期間: 2010年1月11日-2010年3月29日
放送時間: 毎週月曜23:00-23:30
放送分: 30分
回数: 12
 公式サイト
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『TAXMEN』（タックスメン）は、2010年1月11日から毎週月曜23:00～23:30に東京メトロポリタンテレビで放送されたテレビドラマのタイトルである。全12話。井上正大と安田顕のW主演。
ソニー・ミュージックエンタテインメントが、2009年4月より東京メトロポリタンテレビ及びテレビ神奈川でスタートさせたプロジェクト「E!TV」のうちの一番組である。
冒頭のナレーションは平田広明が担当。
あらすじ

2025年の日本国、財政難に陥った政府は財源確保として『特殊税法』を導入。世の中のあらゆるものに税金をかけた。
特殊税法第8条「特殊税優先の原則に基づき、特殊税は納税者の総財産についてすべての公課・その他の債権に先だって徴収する」に基づき、悪質な特殊税滞納者から税金を取り立てるべく財務省国税庁から派遣される捜査官、通称TAXMENの一員であるニコとロクの物語。
ターゲットは指令書に書かれており、指令書は2人の行きつけのレストラン「M'S GRILL」のメニュー（ステーキの熱々の鉄板の下など）に隠されている。
各話タイトル・徴収対象者

| 各話 | タイトル | 徴収対象者 | 職業 |
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| CASE-01 | スピリチュアル税 | 神野一声（甲本雅裕） | スピリチュアルアドバイザー |
| CASE-02 | 浮気税 | 不知火貞行（堀部圭亮） | サラリーマン |
| CASE-03 | ラーメン税（前篇・後篇） | 鳴門次郎（嶋田久作） | 「天下一巡ラーメン」社長 |
| CASE-04 | ペット税（前篇・後篇） | 間宮アキ（中村ゆり） | 「CLUB ZOO」キャバクラ嬢 |
| CASE-05 | コピー&ペースト税（前篇・後篇） | 松戸博士（飯田基祐） | 東都大学医学部教授 |
| CASE-06 | 童貞税（前篇・後篇） | 京極屋菊之助（川岡大次郎） | 歌舞伎役者 |
| CASE-07 | ナンバーワン税（前篇・後篇） | 矢野的矢（加藤慶祐） | プロダーツ選手 |
| CASE-07 | ナンバーワン税（前篇・後篇） | TAX No.006 ロク（安田顕） | 財務省国税庁査察部捜査官 |
スタッフ

企画・監修：アットムービー
監督：三木康一郎・多胡由章・武居正能
プロデュース：森谷雄・今泉潤
脚本：ますもとたくや・加藤公平
音楽：横山克
ナレーション：平田広明
制作プロダクション：アットムービー・クリエイティヴ
製作：ソニー・ミュージックエンタテインメント
主題歌：「Fly away」Rake（アリオラジャパン）
ネット局

| 放送対象地域 | 放送局 | 放送期間 | 放送時間 | 放送系列 | 備考 |
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| 東京都 | TOKYO MX | 2010年1月11日 - 2010年3月29日 | 月曜 23時00分 - 23時30分 | 独立UHF局 |  |
| 神奈川県 | tvk | 2010年1月13日 - 2010年3月31日 | 水曜 23時30分 - 24時00分 | 独立UHF局 |  |
| 北海道 | 北海道テレビ | 2010年4月2日 - 2010年6月18日 | 金曜 24時15分 - 24時45分 | テレビ朝日系列 |  |
| 近畿広域圏 | 毎日放送 | 2010年4月8日 - 2010年6月24日 | 木曜 26時20分 - 26時50分 | TBS系列 |  |
| 日本全域 | フジテレビTWO | 2010年5月6日 - 2010年6月10日 | 木曜 22時00分 - 23時00分 | CS放送 | 2話放送 リピート放送あり |
| 長野県 | 長野朝日放送 | 2012年4月14日 - 2012年6月30日 | 土曜 25時30分 - 26時00分 | テレビ朝日系列 |  |
三本木村

三本木村（さんぼんぎむら）
三本木村 (青森県) - 青森県上北郡に所在。現・十和田市。 → 三本木町 (青森県)
三本木村 (宮城県) - 宮城県志田郡に所在。現・大崎市。 → 三本木町 (宮城県)
ワールドゲームズ1989

ワールドゲームズ1989は、西ドイツのカールスルーエで1989年7月20日から7月30日まで開催された第3回ワールドゲームズである。この大会からトップアスリートが競う公式競技や公開競技のほかに市民参加スポーツプログラムが、総合文化交流プログラムの一環として、エキジビション競技とともに実施されるようになった。また、この大会から開会式に国際オリンピック委員会 (IOC) 会長が出席するようになり、IOCから補助金が出されるようになった。
実施競技 > 正式競技

ボディービルディング
ボウリング
フィールドアーチェリー
フィンスイミング
ファウストボール
空手道
コーフボール
ライフセービング
ネットボール
パワーリフティング
ローラースポーツ
アーティスティック
ローラーホッケー
スピード（クワッドスケート）
ブールスポーツ
ペタンク
テコンドー
体操
トランポリン
タンブリング
綱引き
男子
水上スキー
実施競技 > 公開競技

合気道
バーンゴルフ
ヴォイジャー (イギリスのバンド)

| ヴォイジャー Voyager |
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出身地:   イングランド バークシャー州ニューベリー
ジャンル:  プログレッシブ・ロック ポップ・ロック ソフト・ロック

旧メンバー:  ポール・フレンチ ポール・ハーシュ クリス・フック ジョン・マーター ドミニク・テルファー
ヴォイジャー（Voyager）は、イングランドのポップ・ロック・バンドで、当初はバークシャー州ニューベリーにて、ポール・フレンチ（ボーカル、キーボード）、ポール・ハーシュ（キーボード、ギター）、クリス・フック（ベース）、元ミスター・ビッグのメンバー、ジョン・マーター（ドラム）により、元々は「ポール・フレンチ・コネクション」として結成された。彼らは当初、自分たちをプログレッシブ・ロック・グループと見なしていたが、デビュー・シングル「ハーフウェイ・ホテル」が示すように、より商業的なムードに合わせてスタイルを調整する必要があった。それは彼らの唯一のヒット・シングルで、1979年の全英シングルチャートで33位、オーストラリアにおけるケント・ミュージック・レポートのシングル・チャートで15位に達し、正式にファースト・アルバム『ハーフウェイ・ホテル』のタイトルトラックとなった。
セカンド・アルバム『アクト・オブ・ラヴ』（1980年）は、ターンテーブルヒット（チャートに登場することなく音楽ラジオで頻繁に流された）の「Sing Out (Love Is Easy)」を生み出した。シングルのインストゥルメンタル・セクションの一部は、チャートのBGMとして毎週しばらく使用され、BBCラジオ1で毎週流れた。
サード・アルバム『サード』は、1981年に続き、クリス・フックと代わってベースのドミニク・テルファーをフィーチャーした。このアルバムからのシングル「Rosie」は、ラジオでのプレイをいくらか達成したが、チャートでの成功はなかった。
1981年、彼らは2度にわたる重要なツアーを実施し、サード・アルバムのプロモーションを行った。最初のツアーではグレッグ・レイク・バンド（元エマーソン・レイク・アンド・パーマー）をサポート。1981年12月には、アルバム『タイム』に伴うワールド・ツアーのイングランド公演でエレクトリック・ライト・オーケストラをサポートした。彼らはウェンブリー・アリーナやバーミンガムNECで演奏している。
チャートでの結果が奮わなかったため、その後は解散となった。2004年にCDでコンピレーション・アルバム『Travels in Time - The Best of the Early Years』が発表され、最初の2枚のアルバムから13曲のデジタルリマスター版と、未発表のトラック「Time On Our Side」が収録された。LPレコードからマスタリングされた最初の3枚のアルバムはすべて、日本のレコードレーベル「Air Mail Recordings」によってCDでリリースされた。
マーターは、後にマリリオン、続いてAlaskaに加入し、1994年からは、クイーンのステージにおけるキーボード奏者を務めたことのあるスパイク・エドニーが率いる、ミュージシャンと歌手による緩やかな集合体のSAS Bandで演奏した。彼とフックは、ディープ・パープルのトリビュート・バンドである「The Purple Project」や、イエスのトリビュート・アクトである「Fragile」とも協力しており、フックはセミプロ団体の「Bluefish」とも共演している。ハーシュは、2000年にステイタス・クォーにライブのため一時参加したが、これはレギュラー・メンバーであるキーボード奏者でベーシストのアンディ・ボウンが個人的な理由で休んだためであった。フレンチは、アンサンブル・エンディミオンによってウィグモア・ホールで初演されたクラシック曲を作曲し、チャペル・ミュージック・ライブラリーのためにさまざまなスタイルのプロダクション・ミュージックを作曲した。テルファーに何が起こったのかは不明である。
2006年、ヴォイジャーは更なるアルバム『Eyecontact』を録音するために再結成した。ただし、チャートではやはり成功せず、一発屋のレッテルが貼られている。
ディスコグラフィ > アルバム

『ハーフウェイ・ホテル』 - Halfway Hotel (1979年、Mountain UK, Elektra US)
『アクト・オブ・ラヴ』 - Act of Love (1980年、Mountain UK, RCA US)
『サード』 - Voyager (1981年、RCA)
Travels in Time - The Best of the Early Years (2004年) ※コンピレーション
Eyecontact (2006年、Leadhead Records)
ヴャトカ川

| ヴャトカ川 |
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水系:  ヴォルガ川
延長:  1,314 km
平均流量:  -- m3/s
流域面積:  129,000 km2
水源の標高:  -- m
河口・合流先:  カマ川
流域:   ロシア
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シベリア鉄道の鉄橋から見たヴャトカ川
ヴャトカ川（ヴャトカがわ、ビャトカ川、Vyatka、ロシア語: река́ Вя́тка、ウドムルト語: Ватка́、タタール語: Нократ、マリ語: Виче）は、ロシア・ウドムルト共和国、キーロフ州およびタタールスタン共和国を流れる川である。カマ川の右支流で、ウドムルト共和国北部に発する。ヴォルガ川を通してカスピ海へと注ぐ。長さは1,314km、流域面積は12万9,000km2。
11月初旬に凍り、4月半ばまでは凍結したままとなる。主な支流は、コブラ川（ロシア語版）（Kobra）、レトカ川（Letka）、ヴェリカヤ川（Velikaya）、モロマ川（Moloma）、ピズマ川（Pizhma）、チェプチャ川（Cheptsa）、ビストリチャ川（Bystritsa）、ヴォヤ川（Voya）、キルメズ川（Kilmez）などがある。
魚類が豊富で漁業も盛んでありブリーム、ローチ、テンチ、ナマズ、ノーザンパイク、ヨーロピアンパーチ、パイクパーチ、カマス、鯉、カワスズキなどが釣れる。川はカマ川の合流点から沿岸の主要都市キーロフまでの700kmは航行可能。河港は、キーロフのほかにはコテリニチ、ソヴェツク、ヴャツキエ・ポリャニーなどがある。
ヴャトカ川流域
| 典拠管理データベース  |
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全般:  VIAF 
国立図書館:  ドイツ  イスラエル  アメリカ
ヴィッラミローリオ

| ヴィッラミローリオ Villamiroglio> 行政 |
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国:   イタリア
州:   ピエモンテ
県／大都市:   アレッサンドリア
CAP（郵便番号）:  15020
市外局番:  0142
ISTATコード:  006184
識別コード:  L970
分離集落:  
隣接コムーネ:  #隣接コムーネ参照
気候分類:  zona E, 2758 GG
公式サイト:  リンク
人口
人口:  297  人 (2020-01-01)
人口密度:  30.7 人/km2
文化
住民の呼称:  villamirogliesi
守護聖人:  SS. Michele e Filippo
祝祭日:  9月29日
地理
座標:  北緯45度08分08秒 東経08度10分20秒﻿ / ﻿北緯45.13556度 東経8.17222度﻿ / 45.13556; 8.17222座標: 北緯45度08分08秒 東経08度10分20秒﻿ / ﻿北緯45.13556度 東経8.17222度﻿ / 45.13556; 8.17222
標高:  329 (154 - 443)  m
面積:  9.67  km2
  ヴィッラミローリオの位置
  アレッサンドリア県におけるコムーネの領域 
 ポータル イタリア
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ヴィッラミローリオ（伊: Villamiroglio）は、イタリア共和国ピエモンテ州アレッサンドリア県にある、人口約300人の基礎自治体（コムーネ）。
地理

ピエモンテ州における位置
地理 > 地震分類

イタリアの地震リスク階級 (it) では、4 に分類される
。
接続 (ベクトル束)

数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > 接続 > 接続 (ベクトル束)
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: この項目では、ベクトルバンドルの接続概念について説明しています。微分幾何学における接続全般に関する説明については「接続 (微分幾何学)」を、カルタン接続については「カルタン幾何学」を、その他の用法については「接続」をご覧ください。
ベクトルバンドルの接続（せつぞく、英: connection）とは、微分幾何学の概念で、接ベクトルバンドルやより一般のベクトルバンドルに微分概念を定義する演算子である。接続に定義される微分概念を共変微分という。
接続および共変微分の概念は元々リーマン多様体上のベクトル場の微分を定義するために導入されたもので、この接続をレヴィ-チヴィタ接続という。一般の接続概念はレヴィ-チヴィタ接続の満たす性質を自然に一般のベクトルバンドル拡張する事で得られる。
接続によって定まる重要な概念の一つとして平行がある。これは与えられたベクトル場の与えられた曲線に沿った共変微分が0になる、という趣旨の概念で、曲線に沿って平行なベクトル場X（あるいはより一般にベクトルバンドルの切断）により、曲線の起点PにおけるベクトルXPが曲線の終点曲線の起点QにおけるベクトルXQに平行移動されたとみなす。
これにより、（何ら構造が定義されていない）多様体では無関係なはずの点PにおけるベクトルXPと点QにおけるベクトルXQにおけるベクトルを「接続」して関係づけて考える事ができる。
接続によって定まるもう一つの重要概念として曲率があり、これはベクトルバンドルの「曲がり具合」を表している。特に接ベクトルバンドルの曲率は多様体それ自身の「曲がり具合」とみなせる。曲率概念は歴史的には3次元ユークリッド空間 \mathbb {R} ^{3}内の曲面に対して定義されたものだが、実は「外の空間」である \mathbb {R} ^{3}がなくても定義できる曲面に内在的な量である事が示されたので、これを一般のリーマン多様体（の接ベクトルバンドル）、さらには一般のベクトルバンドルに対して拡張したものである。多様体に内在的な量としてみなしたとき、曲率の幾何学的意味は、閉曲線に沿ってベクトルを一周平行移動したとき、もとのベクトルとどの程度ずれるかを測った量であるとみなせる。
接続概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で用いられる。特にチャーン・ヴェイユ理論の特殊ケースとして、曲面に関する古典的なガウス・ボンネの定理を一般の偶数次元多様体に拡張するのに役立つ。
準備 > 切断とその性質

接続の概念を定義するため、ベクトルバンドル関連の概念をいくつか定義する。
定義 (接続) ―  \pi ~:~E\to Mを可微分多様体M上の可微分なベクトルバンドルとする。可微分な写像 s~:~M\to Eで
を満たすものをEの切断（英: section）という。Eの切断全体の集合を \Gamma (M,E)あるいは単に \Gamma (E)と表記する。
定義から分かるように、接バンドルTMの切断の概念は、Mのベクトル場の概念に一致する。よってM上のベクトル場全体の集合 {\mathfrak {X}}(M)は \Gamma (TM)に一致する。
可微分多様体M上の可微分な2つのベクトルバンドル \pi _{1}~:~E_{1}\to M、 \pi _{2}~:~E_{2}\to Mに対し、写像
を考える。
定義 ―
を満たすとき、αは \mathbb {R} -線形であるという。また
を満たすとき、αは C^{\infty }(M)-線形であるという。
定義 ― 任意の開集合 U\subset Mおよび任意の s\in \Gamma (E_{1})に対し、
が成立するとき、αは局所演算子（英: local operator）であるという。
また任意の P\in Mおよび任意の s\in \Gamma (E_{1})に対し、
となるとき、αは点演算子（英: point operator）であるという。
実は次が成立する：
定理 ― 以下の4つは同値である。：
αは C^{\infty }(M)-線形である
αは点演算子である
あるバンドル写像 \varphi ~:~E_{1}\to E_{2}が存在し、任意の P\in Mに対し、 \alpha (s)|_{P}=\varphi _{P}(s)
Mの各点Pに E_{1}{}^{*}\otimes E_{2}の元を対応させるテンソル場ηが存在し、 \alpha (s)|_{P}=\eta _{P}(s)
また次が成立する：
定義・定理 ― αが局所演算子であるとする。このときMの任意の開集合Uに対し、 \alpha ^{U}~:~\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E)で
を満たすものが一意に存在する。 \alpha ^{U}と書き、αのUへの制限(英: restriction)という。
準備 > レヴィ-チヴィタ接続

詳細は「レヴィ・チヴィタ接続」を参照
一般のベクトルバンドルに対する接続を定義するため、レヴィ-チヴィタ接続について簡単に振り返る。
Mを \mathbb {R} ^{n}の部分多様体とし、X、YをM上のベクトル場とするとき、
により定義する。ここで \exp(tX)(u)は時刻0に点 u\in Mを通るXの積分曲線である。実はこれらの量はMの内在的な量である事、すなわち \mathbb {R} ^{n}からMに誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから計算できる事が知られている。
そこで \nabla _{X}Yをリーマン多様体 (M,g)に内在的な値とみなしたものを考える事ができる。この \nabla _{X}Yは以下の公理で特徴づけられる事が知られている：
定理 (リーマン幾何学の基本定理) ― M上のベクトル場の組にM上のベクトル場を対応させる汎関数∇で以下の5つの性質をすべて満たすものが唯一存在する。このを (M,g)のレヴィ-チヴィタ接続といい、 \nabla _{X}Yをレヴィ-チヴィタ接続から定まるYのXによる共変微分という：
\nabla _{X}sはXに関して C^{\infty }(M)-線形
\nabla _{X}sはsに関して \mathbb {R} -線形
\nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y
\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]
Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)
ここでX、Y、ZはM上の任意の可微分なベクトル場であり、f、gはM上定義された任意の実数値C∞級関数であり、a、bは任意の実数であり、 fYは点 u\in Mにおいて f(u)Y_{u}となるベクトル場であり、 X(f)はfのX方向微分であり、 [X,Y]はリー括弧（英語版）である。
具体的には局所座標 (x^{1},\ldots ,x^{m})を使って、 X=X^{j}{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}、
と書ける。 \Gamma ^{i}{}_{jk}を局所座標 (x^{1},\ldots ,x^{m})に関するクリストッフェル記号という。
ベクトルバンドルの接続

レヴィ-チヴィタ接続の概念を一般化したものとして、ベクトルバンドルに対する接続の概念がある。接続の概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で重要な役割を果たす。本項では、議論の一般性を確保するために接続の概念を導入するが、あくまでレヴィ-チヴィタ接続やそこから誘導される接続を主軸として話を進める。
ベクトルバンドルの接続 > 定義

\pi ~:~E\to Mを可微分多様体M上の可微分な実ベクトルバンドルとし（E、Mのいずれにもリーマン計量が入っているとは限らない）、 \Gamma (E)をEの切断全体の集合とし、 {\mathcal {X}}(M):=\Gamma (TM)をM上のベクトル場全体の集合とする。
接続は前述したレヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの5つの性質のうち3つを使って定義される：
定義 (接続) ― 汎関数
で以下の性質を満たすものをE上のKoszul接続（英: Koszul connection）あるいは単に接続（英: connection）といい、 \nabla _{X}sを接続 \nabla が定めるsのX方向の共変微分という：
\nabla _{X}sはXに関して C^{\infty }(M)-線形
\nabla _{X}sはsに関して \mathbb {R} -線形
\nabla _{X}(fs)=X(f)s+f\nabla _{X}s　（ライプニッツ則）
Mの接ベクトルバンドルTMの接続の事を特にアフィン接続（英: affine connection）という。
ここでXはM上の任意のベクトル場であり、sはEの任意の切断であり、fはM上定義された任意の実数値可微分関数であり、 fXは点Pにおいて f(P)X_{P}となるベクトル場であり、 X(f)はfのX方向微分である。明らかにレヴィ-チヴィタ接続はアフィン接続である
なお、Koszul接続の事を線形接続（英: linear connection）と呼ぶ文献もあるが、この言葉をアフィン接続の意味で用いている文献や、接バンドルのフレームバンドル（英語版）上の接続の意味で用いている文献もあるので注意が必要である。
またアフィン接続という名称ではあるが、この接続に関する事項、例えば平行移動は線形変換になり、（線形変換以外の）アフィン変換にはならない。この名称は、この接続をカルタン接続とみなしたときにアフィン空間をモデルとするカルタンの幾何学とみなせる事による。詳細はカルタンの幾何学の項目を参照されたい。
Eに計量gが定義されているときには、以下の概念を定義できる：
定義 (リーマン計量と両立する接続) ― Eの任意の切断s1]、s2]に対し
が成立する場合、 \nabla はリーマン計量gと両立する（英: compatible with g）といい、 \nabla は計量接続（英語版）（英: metric connection）であるという。
また、 E=TMの場合、すなわち∇が多様体M上のアフィン接続である場合は以下のテンソルを定義できる：
定義 (捩率テンソル) ―
を捩率テンソルという。
捩率テンソルの詳細は後の節で述べる。
リーマン幾何学の基本定理から、レヴィ-チヴィタ接続とは、（唯一の）捩れなしの計量アフィン接続として特徴づけられる。
ライプニッツ則を用いると、以下を示す事ができる：
定理 ― 接続 \nabla _{X}sはsに関して局所演算子である。
sがMの開集合U上で0であるとする。任意に P\in Uをfixし、Pの近傍 V_{P}\subset Uと C^{\infty }級関数 \varphi で、
となるものを選ぶ。（このような関数の存在性に関しては隆起関数の項目を参照）。
すると \varphi の定義から、 s_{Q}=\varphi (Q)s_{Q} for  \forall Q\in Mであるので、
である。 \varphi の定義より、 X\varphi |_{P}=\varphi (P)\nabla _{X}s|P=0なので、 \nabla _{X}s|_{P}=0が任意の P\in Uに対して成立し、これは \nabla _{X}sがsに関して局所演算子である事を意味する。
ベクトルバンドルの接続 > 定義 > 別定義

\nabla _{X}sはXに関して C^{\infty }(M)-線形であり、したがって点Pにおける値 \nabla _{X}s|_{P}がXのPにおける値XPのみから決まる。この事に着目すると、接続を若干違った角度から定式化できる。これを見るため、Eに値を取る線形写像 \nabla s|_{P}を
と定義すると、余接ベクトル空間T*Mの定義から、
とみなせる。そこでMの各点Pに \nabla s|_{P}\in (T^{*}M\otimes E)_{P}を対応させる切断
を考える事ができる。よって接続 \nabla は、Eの切断sに T^{*}M\otimes Eの切断を対応させる写像
とみなせる。この事実を用いると、接続 \nabla を以下のようにも定義できる：
定義 (接続の別定義) ―  \mathbb {R} -線形写像
で以下の性質を満たすものをE上の接続（英: connection）という：
\nabla fs=df\otimes s+f\nabla s
上記の２つの定義は同値であるが、後者はXを明示しない分数学的取り扱いが若干楽になる場合が多い。
ベクトルバンドルの接続 > 接続形式

(e_{1},\ldots ,e_{m})を開集合 U\subset M上で定義されたEの局所的な基底とする。接続 \nabla _{X}sはsに関して局所演算子であったので、 \nabla のUへの制限 \nabla ^{U}を考える事ができる。以下、紛れがなければ \nabla ^{U}の事を単に \nabla と書く。
XをM上のベクトル場とし、 s=s^{j}e_{j}をEの切断とすると、接続の定義から
である。この式は、共変微分 \nabla _{X}s=\nabla _{X}(s^{j}e_{j})にライプニッツ則を適用して係数部分の微分 X(s^{j})e_{j}と基底部分の微分 s^{j}\nabla _{X}e_{j}の和として表現したものと解釈できる。
そこで以下のような定義をする：
定義 (接続形式) ― 行列 \omega (X)を
により定義し、Xに \omega (X)を対応させる行列値の1-形式 \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}を局所的な基底 (e_{1},\ldots ,e_{m})に関する接続∇の接続形式（英: connection form）という
定義から明らかに、
である。
さらに \omega ^{i}{}_{j}を成分で、
と表記すると、
とレヴィ-チヴィタ接続のときと同様の成分表示が得られる。 \Gamma _{kj}^{i}を（局所座標 x=(x^{1},\ldots ,x^{m})と局所的な基底 e_{1},\ldots ,e_{n}に関する）接続係数（英: connection coefficient）、あるいはレヴィ-チヴィタ接続の場合の名前を流用し、クリストッフェル記号という。
ベクトルバンドルの接続 > 捩率テンソル

詳細は「捩率テンソル」を参照
本節ではアフィン接続
に対し、先に定義した捩率テンソル
の性質を述べる。
ベクトルバンドルの接続 > 捩率テンソル > 意味づけ

「捩率」という名称に関してはLoring W. Tuによれば「 T_{\nabla }(X,Y)を「捩率」と呼ぶうまい理由は無いように見える」が、このテンソルには以下のような意味付けが可能である。
なめらかな任意の写像 \alpha ~:~U\subset \mathbb {R} ^{2}\to Mに対し、リー括弧の性質より [{\tfrac {\partial }{\partial x}}\alpha ,{\tfrac {\partial }{\partial y}}\alpha ]=0であることから、 {\tfrac {\nabla }{\partial x}}:=\nabla _{\tfrac {\partial }{\partial x}}とすると、
が成立する事を示せる。すなわち捩率テンソルは2つの微分の非可換度合いを表す量である。
また（アフィン空間をモデルとする）カルタン幾何学においては上記のものとは異なった意味付けが可能で、（カルタン幾何学の意味での）曲率の「並進部分」が捩率に対応している。詳細はカルタン幾何学#曲率の分解の節および捩率テンソル#カルタン幾何学の章を参照されたい。
ベクトルバンドルの接続 > 捩率テンソル > 性質

捩率テンソルの性質を見る。
定理 ― 捩率テンソルは以下を満たす：
T_{\nabla }(X,Y)=-T_{\nabla }(Y,X)
T_{\nabla }(X,Y)はX、Y双方に関して C^{\infty }(M)-線形である。
ここでX、YはM上の任意の可微分なベクトル場である。
上述の定理と前に述べた定理から、以下の系が従う：
系 ― 捩率テンソルはバンドル写像 TM\times TM\to TMであるとみなせる。
接続 \nabla と捩率テンソルも局所座標で
と書くとき、次が成立する：
定理 ― 任意のi、j、kに対し、
よって捩率テンソルが恒等的に0になる接続、すなわち捩れなし（英: torsion-free）の場合、Γi
jkはj、kに対して対象なテンソルになる。このため捩れなしの接続の事を対称（英: symmetric）な接続ともいう。
外微分dに対し、次が成立する：
定理 ―  \nabla を多様体Mの接バンドルTM上の接続とするとき、
であることから従う。
すなわち \nabla が捩れなしである事は、 \nabla が外微分と「両立」する事と同値である。
接続の誘導

本節では、あるベクトルバンドル上定義された接続から別のベクトルバンドル上の接続を定義する方法を述べる。その過程でレヴィ-チヴィタ接続のときにも議論した曲線 P(t)に沿った共変微分に関しても述べる。
接続の誘導 > 引き戻し

これまで同様 \nabla をM上の可微分なベクトルバンドル \pi ~:~E\to Mの接続とし、さらに f~:N\to Mを可微分多様体NからMへの可微分な写像とすると、fによるEの引き戻し（pullback bundle）
を考える事ができる。
N、Mの局所座標 y~:~V\subset N\to \mathbb {R} ^{u}、 x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}で、 V\subset f^{-1}(U)となるものを選び、さらにU上のEの基底 e_{1},\ldots ,e_{n}を選んで接続 \nabla を接続形式を使って
と成分表示する。
定義 ―  f^{*}(E)の接続 f^{*}(\nabla )をそのVへの制限 f^{*}(\nabla )^{V}が
となるように定義し、 \nabla のfによる引き戻し（英: pull back）、fによって f^{*}(E)に誘導された接続（英: induced connection）という。
f^{*}(\nabla )がwell-definedな事の証明は省略する。接続係数を使えば、
である。
引き戻しの特殊な場合として、Nが線分の場合がある。この場合写像 P~:~(0,1)\to MはM上の曲線とみなせる。曲線 P(t)に沿った切断sに対し、
を考える事ができる。 {\tfrac {\nabla }{dt}}sを接続 \nabla によって定まる曲線 P(t)に沿った切断sの共変微分という。成分で書けば
となるので、レヴィ-チヴィタ接続の場合の曲線 P(t)に沿った切断sの共変微分の概念の一般化になっている事がわかる。
接続の誘導 > 直和・テンソル積への誘導

多様体M上の２つのベクトルバンドルE1、E2があり、E1、E2にはそれぞれ接続 \nabla ^{1}、 \nabla ^{2}が定義されているとする。このとき、 E_{1}\oplus E_{2}上に
により、接続が定義できる。また E_{1}\otimes E_{2}上に
により、接続が定義できる。
接続の誘導 > 双対バンドルの接続とリーマン計量

MのベクトルバンドルEに接続 \nabla が定義されているとき、Eの双対バンドルE*に以下の性質を満たす接続 \nabla ^{*}を定義できる：
ここでXはM上の任意のベクトル場であり、sはEの任意の切断であり、ωはE*の任意の切断であり、 \langle \cdot ,\cdot \rangle はEの双対ベクトル空間E*の元とEの元との内積である。紛れがなければ∇*を単に∇と書く事も多い。
Eにリーマン計量がg定義されている場合、EとE*は自然に同一視でき、
が成立する事になるが、一般には \nabla ^{*}と \nabla は異なる。情報幾何学の分野では \nabla ^{*}の事を \nabla の双対接続（英: dual connection）という。
次が成立する：
定理 ― 以下の3つは同値である：
gは \nabla と両立する。
E*をgによりEと自然に同一視する事で∇*をEの接続と見なすと、 \nabla ^{*}=\nabla が成立する。
\nabla ^{*}g=0
ここで \nabla ^{*}g=0は E\times E上の双線形写像gを自然に (E\otimes E)^{*}の元とみなしたときの共変微分である。
また簡単な計算から以下が従う：
定理 ― 
 U\subset M上のEの局所的な基底 e_{1},\ldots ,e_{n}で正規直交なものを取るとき、gが \nabla と両立する必要十分条件は、 \nabla の接続形式ωが以下を満たす事である：
ここで「 {}^{t}\omega 」はωの転置行列である。
接続の誘導 > 双対バンドルの接続とリーマン計量 > 複数の接続の関係

接続の定義から明らかに以下の性質を示すことができる：
定理 ―  \nabla ^{1},\ldots ,\nabla ^{u}を多様体M上ののベクトルバンドルEの接続とする。このとき、
もEの接続である。
また、2つの接続
に対し、
とすると、 A(X,s)がX、s双方に関して C^{\infty }(M)-線形である事が示せ、したがって前に述べた定理から Aは TM\oplus E\to Eというバンドル写像だとみなせる。逆に接続 \nabla ~:~{\mathfrak {X}}\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)とバンドル写像 A~:~TM\oplus E\to Eが与えられると、
もE上の接続である事を確かめられる。まとめると、以下の定理が成り立つ：
定理 ―  \nabla ,\nabla 'を多様体M上のベクトルバンドルEの2つ接続とする。このとき、
はバンドル写像 TM\otimes E\to Eとみなせる。逆にバンドル写像 A~:~TM\otimes E\to EとE上の任意の接続 \nabla に対し、
もE上の接続である。
U\in Mを取り、EのU上の局所的な基底 e_{1},\ldots ,e_{n}を固定し、切断sを s=s^{k}e_{k}と成分表示すると、
により局所的に接続を定義できるが、
の成分表示は
とクリストッフェル記号を用いて書ける。
この事からクリストッフェル記号は \nabla '_{X}s:=(Xs^{j})e_{j}とのズレを表す量であると解釈できる。
平行移動とホロノミー群 > 平行移動

\nabla をM上の可微分なベクトルバンドル \pi ~:~E\to Mの接続とし、 P(t)をM上の区分的に滑らかな曲線とし、sを P(t)上のEの切断とする。すなわち各 P(t)に対し、 s_{P(t)}\in Eが定義でき、 t\mapsto s_{P(t)}が可微分であり、しかも \pi (s_{P(t)})=P(t)が任意のtに耐いて成立するものとする。
定義 ―
が恒等的に成立するとき、切断sは P(t)に沿って平行（英: parallel along  P(t)）であるという。
Mがユークリッド空間でEがその接バンドルである場合、 {\nabla s \over dt}={ds \over dt}=0であれば、ベクトル s_{P(t)}は s_{P(t)}の基点がtによって動くだけでその大きさも向きも一定である。すなわち P(t)に沿って s_{P(0)}を「平行移動」して動かしている事になるので、一般のベクトルバンドルの場合にも {\nabla s \over dt}=0である事を平行と呼ぶのである。
P(t)に沿った切断 s、 s'がいずれも P(t)に沿って平行であり、しかも時刻 t=aのとき s_{P(a)}=s'_{P(a)}であれば、別の時刻 t=bでも s_{P(b)}=s'_{P(b)}である事を容易に示すことができる。よって写像
は切断 sの取り方によらずwell-definedである。
定義 ― 　
 \varphi _{a,b}(v)\in E_{P(b)}を v\in E_{P(a)}の曲線 P(t)に沿った平行移動（英: parallel transportation  along  P(t)）という。
ユークリッド空間の場合と違い、どの曲線に沿って平行移動したかによって平行移動の結果が異なる事に注意されたい。すなわち曲線 P(t)に沿った平行移動を \varphi _{a,b}(v)、曲線 Q(t)に沿った平行移動を \psi _{a',b'}(v)とするとき、たとえ P(a)=Q(a')、 P(b)=Q(b')であっても \varphi _{a,b}(v)=\psi _{a',b'}(v)であるとは限らない。この現象をホロノミー（英語版）（英: holonomy）という。
\varphi _{a,b}の定義より、 \varphi _{a,b}は E_{P(a)}から E_{P(b)}への写像であるとみなせるが、この写像は以下を満たす：
定理 ― 　
 \varphi _{a,b}~:~E_{P(a)}\to E_{P(b)}は線形同型である。
よって平行移動により、（接続や計量が定義されていない）多様体Mでは本来無関係のはずの E_{P(a)}と E_{P(b)}がつながって（connect）、 E_{P(a)}の元と E_{P(b)}の元を比較する事ができるようになる。接続（connection）という名称は、ここから来ている。
Eにリーマン計量gが定義されているときは以下が成立する事を容易に示せる：
定理 (平行移動による計量の保存) ―  \nabla がEのリーマン計量gと両立するとき、任意の v,v'\in E_{P(a)}に対し、以下が成立する：
曲線 P(t)上定義されたEの切断 e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)で、各時刻tに対して e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)がEPの基底の基底になっており、しかも e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)が P(t)に沿って平行なものを P(t)に沿った水平フレーム[訳語疑問点]（英: horizontal frame）という。
平行移動とホロノミー群 > 共変微分の特徴づけ

これまで共変微分の概念を用いる事で平行移動の概念を定義してきたが、逆に平行移動の概念を用いて共変微分を特徴づけることができる：
定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 
多様体M上の曲線 P(t)とMのベクトルバンドルEの P(t)に沿った切断 s(t)\in E_{P(t)}を考えるとき、 P(t)に沿った平行移動を \varphi _{a,t}とすると、以下が成立する：
ここで {d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))はベクトル空間 E_{P(a)}における微分 {d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))=\lim _{t\to a}{\tfrac {\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))-s(a)}{t}}である。なお、 \varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))はtによらず E_{P(a)}に属するので、 E_{P(a)}上の差や極限を考えることができる。
e_{1},\ldots ,e_{n}を E_{P(a)}の基底とし、 e_{i}(t):=\varphi _{a,t}(e_{i})（for  i=1,\ldots ,n）とし、
 s(t)=s^{i}(t)e_{i}(t)と成分表示すると、
が成立する。 e_{i}(t)の定義から e_{i}(t)は P(t)に沿って平行なので、上式右辺第二項は0である。よって、
となり定理が証明された。
上記の定理を用いると、共変微分の成分表示に意味を持たせる事ができる。これをみるため x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}をMを局所座標とし、xを成分で x=(x^{1},\ldots ,x^{m})とあらわし、さらに e_{1},\ldots ,e_{n}をU上定義されたEの局所的な基底とすると、
であるので、これを共変微分の成分表示
と比較する事で、以下が結論付けられる：
定理 (接続形式の平行移動による特徴づけ) ― 曲線 x(t)上の平行移動を \varphi _{a,t}とし、曲線状定義されたEの基底を e_{1},\ldots ,e_{n}とするとき、 \left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}の行列表示は接続形式を使って \omega \left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)と書ける。
すなわち
の第一項、第二項はそれぞれ、 s=s^{i}e_{i}をライプニッツ則に従って微分したときのsiの方の微分、eiの方の微分に対応していると解釈できる。
平行移動とホロノミー群 > ホロノミー群

点P∈Mを固定するとき、Pから出てP自身へと戻る各閉曲線Cに沿った平行移動はEPからEP自身への線形同型写像 \varphi _{C}~:~E_{P}\to E_{P}を定めると、曲線の連結CC'に対し \varphi _{CC'}=\varphi _{C'}\circ \varphi _{C}となるし、Cの逆向きの曲線を {\bar {C}}とすると、 \varphi _{\bar {C}}=\varphi _{C}{}^{-1}となる事が容易に示せる。
よって
とすると、 \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)はEPの自己線形同型のなす群の部分群をなす。 \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)をPにおけるEの \nabla に関するホロノミー群（英: holonomy group）という。なお、Mが弧状連結であればPによらず \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)が同型である事を容易に示せるので、Pを略して単に \mathrm {Hol} (E,\nabla )とも書く。
また、
とすると、 \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)は \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)の部分群をなす。 \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)をPにおけるEの \nabla に関する制約ホロノミー群（英: restricted holonomy group）という。Mが弧状連結であればPによらず \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)が同型である事も同様に示せるので、Pを略して単に \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla )とも書く。
定義から明らかなように、 \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)、 \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)はEP上の線形同型全体のなすリー群 \mathrm {GL} (E_{P})の部分群である。実は次が成立する事が知られている：
定理 ―  \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)は \mathrm {GL} (E_{P})の（閉とは限らない）部分リー群である。
また \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)は \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)の（閉とは限らない）弧状連結なリー部分群である。
測地線 > 定義と性質

接バンドルTMにアフィン接続 \nabla が定義されているとき、測地線の概念を以下のように定義する：
定義 (測地線) ― Mを多様体とし、 \nabla ~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)をアフィン接続とする。このときM上の曲線 P(t)が
が恒等的に成立する、という微分方程式を (M,\nabla )上における測地線方程式といい、測地線方程式を満たす曲線 P(t)を (M,\nabla )上の測地線（英: geodesic）という。
すなわち「二階微分」が常に0になる曲線を測地線と呼ぶのである。平行移動の定義から、測地線とは {\tfrac {d}{dt}}P(t)が P(t)に沿って平行であると言い換える事もできる。
恒等的に同じ点を取る「曲線」は自明に測地線方程式を満たすが、これは通常の意味での曲線ではないので、以下このような「曲線」を測地線とは呼ばない事にする。
測地線の定義は曲線 P(t)のパラメーターtに依存して定義されている事に注意されたい。 P(t)が測地線であっても、パラメーターを別の変数uに変数変換して得られる P(u)は測地線になるとは限らない。実際、 P(t)が測地線となるパラメーターは線形変換を除いて一意である：
定理 ― 曲線 P(t)が測地線で、 P(t)を（ {\tfrac {du}{dt}}が決して0にならないような）変数変換を行って得られる P(u)も測地線である時、ある定数 a,b\in \mathbb {R} が存在し、
が成立する。
測地線とは {\tfrac {d}{dt}}P(t)が P(t)に沿って平行である曲線なので、 {\tfrac {d}{dt}}P(0)が0でなければ任意のtに対して {\tfrac {d}{dt}}P(t)は0でない。恒等的に同じ点を取る「曲線」は測地線とはみなさなかった事から、測地線は任意の時刻に対して {\tfrac {d}{dt}}P(t)\neq 0である。
P(t)が測地線で P(t)を変数変換した P(u)も測地線であるとすると、
前述の議論から {dP \over du}は決して0にならず、仮定から {du \over dt}も決して0にならないので、上式から、
これは u=at+bとなるa、bが存在することを意味する。
P(t)が測地線となるパラメーターtをアフィン・パラメーターという。上記の定理はアフィン・パラメーターがアフィン変換を除いて一意な事を意味する。
測地線 > 測地線の局所的な存在性と一意性

測地線方程式を成分で書くと、 P(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))として
となる。ここで \Gamma _{jk}^{i}は接続係数である。この式は常微分方程式であり、常微分方程式は局所的な解の存在一意性が言えるので、次が成立する事になる：
定理 (測地線の局所的な存在一意性) ― 任意の P\in Mと任意の v\in TM_{P}に対し、ある \varepsilon >0が存在し、測地線
で
となるものが存在する。しかも P_{v}~:~(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M、 P'_{v}~:~(-\varepsilon ',\varepsilon ')\to Mがいずれも上記の条件を満たす測地線であれば、 (-\varepsilon ,\varepsilon )\cap (-\varepsilon ',\varepsilon ')上でPvとP'vは一致する。
曲線は大域的に存在するとは限らない。 たとえば \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}（に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間）において、曲線 c(t)=(1-t,0)は t<1までしか延長できない。
測地線の局所的な存在一意性が示されたので、以下の定義をする：
定義 (指数写像) ― 上記の定理で局所的な存在一意性が保証された測地線 P_{v}(t)を
と書く。 \exp _{P}を (M,\nabla )上の指数写像（英: exponential map）という。
P_{v}(kt)=P_{kv}(t)である事を容易に確かめられるので、指数写像はwell-definedである。
測地線 > Hopf-Rinowの定理

上の定理で測地線の定義域 (-\varepsilon ,\varepsilon )を \mathbb {R} 全域に拡張できるとは限らない。M上の \nabla に関する任意の測地線の定義域が \mathbb {R} 全域に拡張できるとき、 (M,\nabla )は測地線完備（英: geodesically complete）、あるいは単に完備（英: complete）であるという。
\nabla がリーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続の場合は、測地線が \mathbb {R} 全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。
定理 (Hopf-Rinowの定理（英語版）) ― 
 (M,g)を連結なリーマン多様体とし、 \nabla をM上のレヴィ-チヴィタ接続とする。このとき、以下の条件は互いに同値である：
(M,g)はgが定める距離に関し、距離空間として完備である。
(M,\nabla )は測地線完備である。
全ての点 P\in Mに対し、TPMの全ての元vに対し \mathrm {exp} _{P}(v)を定義できる。
ある点 P\in Mに対し、TPMの全ての元vに対し \mathrm {exp} _{P}(v)を定義できる。
M上の任意の2点P、Qに対し、PとQの両方を通る（ \nabla に関する）測地線が存在する。
gが定める距離に関し、Mの有界閉集合はコンパクトである。
Mがコンパクトであれば、M上の任意のリーマン計量gは必ず完備な距離を定めるので、Hopf-Rinowの定理からgが定めるレヴィ-チビタ接続 \nabla に関してMが測地線完備な事が従う。
しかし一般の接続 \nabla に対してはこのような事は成立するとは限らない。実際Mがコンパクトであっても、M上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず、反例としてクリフトン-ポールトーラス[訳語疑問点]が知られている。
測地線 > 正規座標

実は次の事実が知られている：
定理 ―  \nabla を可微分多様体M上のアフィン接続とし、PをMの点とする。このとき、TPMにおけるOの近傍Uが存在し、Uを多様体としてみたとき、 \nabla が定める指数写像
は中への微分位相同型である。
よって V:=\exp(U)とすると、VはPの近傍で、
はPの周りの座標近傍とみなせる。この座標近傍をPの周りの正規座標（英語版）（英: normal coordinate）という。