球面座標系
ベクトル解析

球面座標 (r,θ,φ) での位置ベクトル x の偏微分により
{\boldsymbol {e}}_{r}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial r}},~{\boldsymbol {e}}_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial \theta }},~{\boldsymbol {e}}_{\phi }={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial \phi }}
を定義する。
標準基底 ex , ey , ez を用いれば、位置ベクトルの微分は
{\begin{aligned}d{\boldsymbol {x}}&={\boldsymbol {e}}_{x}\,dx+{\boldsymbol {e}}_{y}\,dy+{\boldsymbol {e}}_{z}\,dz\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{x}&{\boldsymbol {e}}_{y}&{\boldsymbol {e}}_{z}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{x}&{\boldsymbol {e}}_{y}&{\boldsymbol {e}}_{z}\\\end{pmatrix}}{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}{\begin{pmatrix}dr\\d\theta \\d\phi \\\end{pmatrix}}\end{aligned}}
となるので、具体的に
{\begin{cases}{\boldsymbol {e}}_{r}={\boldsymbol {e}}_{x}\sin \theta \,\cos \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\sin \theta \,\sin \phi +{\boldsymbol {e}}_{z}\cos \theta \\{\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{x}\cos \theta \,\cos \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\cos \theta \,\sin \phi -{\boldsymbol {e}}_{z}\sin \theta \\{\boldsymbol {e}}_{\phi }=-{\boldsymbol {e}}_{x}\sin \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\cos \phi \\\end{cases}}
で表される。
標準内積を考えれば
|{\boldsymbol {e}}_{r}|^{2}=|{\boldsymbol {e}}_{\theta }|^{2}=|{\boldsymbol {e}}_{\phi }|^{2}=1
{\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{\theta }\cdot {\boldsymbol {e}}_{\phi }=0
となり、これらは正規直交基底である。
また3次元空間においてはベクトル積を考えることができて、球面座標の単位ベクトル間のベクトル積は
{\boldsymbol {e}}_{r}\times {\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{\phi },~{\boldsymbol {e}}_{\phi }\times {\boldsymbol {e}}_{r}={\boldsymbol {e}}_{\theta },~{\boldsymbol {e}}_{\theta }\times {\boldsymbol {e}}_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{r}
となる。したがって、球面座標は r,θ,φ の順番で向き付けられた座標である。
曲面上の点が u, v でパラメータ付けされるとき、面積素ベクトルは
{\begin{aligned}d{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial u}}\times {\frac {\boldsymbol {x}}{\partial v}}\,du\wedge dv\\&={\boldsymbol {e}}_{r}\,r^{2}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +{\boldsymbol {e}}_{\theta }\,r\sin \theta \,d\phi \wedge dr+{\boldsymbol {e}}_{\phi }\,r\,dr\wedge d\theta \\\end{aligned}}
で与えられる。
任意のベクトル場 A は
A_{r}={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {A}},~A_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{\theta }\cdot {\boldsymbol {A}},~A_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{\phi }\cdot {\boldsymbol {A}}
{\boldsymbol {A}}=A_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+A_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }+A_{\phi }{\boldsymbol {e}}_{\phi }
によって成分表示される。
ベクトル場の球面座標による微分は
{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}={\frac {\partial A_{r}}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{r}+{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{\phi }
{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}-A_{\theta }\right){\boldsymbol {e}}_{r}+\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+A_{r}\right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \theta }}{\boldsymbol {e}}_{\phi }
{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \phi }}=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-A_{\phi }\sin \theta \right){\boldsymbol {e}}_{r}+\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}-A_{\phi }\cos \theta \right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+\left({\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}+A_{r}\sin \theta +A_{\theta }\cos \theta \right){\boldsymbol {e}}_{\phi }
で与えられる。