ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
ナビエ-ストークス方程式

→詳細は「ナビエ-ストークス方程式」を参照
数学では、ナビエ-ストークス方程式は、任意の大きさの抽象的なベクトル場の非線型偏微分方程式系である。物理学や工学では、連続体力学を使った非圧縮な気体、もしくは液体を主とした流体（つまり、粒子の平均自由行程が十分に短く、単なる粒子の集まりではない連続体として扱えるもの）の運動のモデル化した方程式の系である。[要説明] この方程式はニュートンの第二法則に対応し、力を粘性を持ったニュートン流体にかかる圧力、粘性応力および外力の寄与の和としてモデル化している。クレイ数学研究所によって提起されている問題の設定は、3次元の非圧縮で等質な流体に対してであり、以下のような条件についてのみ考えるものである。
\mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t) を流体の速度の 3次元のベクトル場とし、 p({\boldsymbol {x}},t) を流体の圧力の場とする。 ナビエ-ストークス方程式は、
である。ここに  \nu >0 は動粘性係数、 \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t) は外力項、 \nabla  は勾配(gradient)作用素であり、 \displaystyle \Delta  はラプラス作用素で  \nabla \cdot \nabla  とも書く。この方程式は3次元ベクトル方程式であるので、3つのスカラー方程式を連立したものとして表現される。速度と外力の各成分を書き下すと、
となるので、各々の  i=1,2,3 に対し、対応する成分のナビエ-ストークス方程式
が存在する。
速度  \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t) と圧力  p({\boldsymbol {x}},t) は未知数である。3次元では、3つの方程式と 4つの未知数（速度ベクトルの3つの成分と圧力）があるので、追加の方程式が必要である。この場合に加えるべき式は、流体の非圧縮性を記述する、次のような連続の方程式
である。この性質のおかげで、ナビエ-ストークス方程式の解は、発散のない（つまり、湧出点も排出点もない）関数の集合の中に探し求めることができる。この等質な媒体の流れについて、密度と粘性は一定である。
圧力  p({\boldsymbol {x}},t) は、勾配のみが方程式中に出現するため、式の両辺の回転  {\rm {curl}} を取ることによって消去することができる。この場合には、ナビエ-ストークス方程式は渦度輸送方程式（vorticity-transport equation）に簡約できる。

ナビエ-ストークス方程式は非線形であるため、単純な線形の関係を持っていない。つまり、この方程式は通常の線形方程式系におけるテクニックでは解くことができず、代わりにより高度な方法を用いなければならない。この非線形性こそが衝撃波の形成のような複雑な流れを含めた幅広い流体力学における現象の記述を可能としている。
ナビエ-ストークス方程式の非線形性について理解する方法の一つは、 (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}  という項について考察することである。この項は速度ベクトル  \mathbf {v}  と勾配作用素  \nabla  の積であり、流体の加速度について記述する。勾配作用素は線形作用素なので、項  (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}  は速度ベクトル  \mathbf {v}  についての非線形項となっている。このことは、流体の加速度が速度ベクトルの大きさと向き、そして流体内の速度の空間分布に依存することを示している。
他にも、ナビエ-ストークス方程式の非線形性は圧力項  -{\frac {1}{\rho }}\nabla p によっても齎される。流体の圧力は流体の密度と圧力勾配に依存して決定されるため、この項は圧力についての非線形性を持つ。
より明示的にこのことを示すには、密度  \rho  および流速  \mathbf {v_{0}}  の一様流れのなかに半径  R の円形の障害物を置いた場合について考えれば良い。 \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t) を位置  \mathbf {x}  および時間  t における流速とし、同様に  p(\mathbf {x} ,t) を位置  \mathbf {x}  および時間  t における圧力とする。
この場合のナビエ-ストークス方程式は次のようになる。
ここで  \nu  は流体の動粘性係数である。
この流れが定常状態（つまり、流速と圧力は時間変化しない）であると仮定すれば、時間微分項が消去できる。
いま、円形の障害物付近の流れについて考察する。この領域には障害物が存在するため、（流れが通ることのできる空間が狭まった結果として）周辺の流速は一様流れの流速  \mathbf {v_{0}}  よりも速くなる。このことにより、ナビエ-ストークス方程式には流速に比例するような非線形項  (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}  が齎される。
同時に、障害物の存在は障害物に近いほど高く、離れれば低くなるような圧力勾配を生み出す。このことは、あらゆる面を通過する流体の質量が流れ全体で一定であることを要求する連続の式について考えれば理解できる。障害物付近では流速が速まるため、単位時間に通過する質量は障害物の近くの点のほうが、障害物の遠くの点よりも多くなってしまう。しかし、障害物に近いほど高く、離れれば低くなるような圧力勾配があれば、単位時間に通過する流体の質量が流れ全体で一定となるように補正できる。
これらの非線形効果の結果として、このような場合におけるナビエ-ストークス方程式を解析的に解くことが困難となっており、近似解法や数値解法によらなければ流れ場の流速分布や圧力分布を得ることができない。流速場  \mathbf {v} (x,t) および圧力場  p(x,t) で表されるような矩形領域における2次元流れについて考察すると、有限要素法を用れば次のようなベクトル場のナビエ-ストークス方程式を解くことができる。
{\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)
解析するために、矩形領域をより小さな要素の系列に分割し、ベクトル場を次のように表現する。
u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)
ここで  N は要素数であり、  \phi _{i}(x,y) はそれぞれの要素に関連付けられた形状関数である。この表現をナビエ-ストークス方程式に置き換えて有限要素法を適用すれば、次のような常微分方程式系が得られる。
{\frac {dU_{i}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)_{j}\int _{\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{j}\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int _{\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega
ここで  \Omega  は領域を表しており、積分  \int _{\Omega } はこの領域全体に亘って積分することを意味する。この常微分方程式系は有限要素法やスペクトル法のようなテクニックを使えば解くことができる。
ここでは、有限要素法を使う。これを解くには、時間間隔  [t_{0},t_{f}] を小さな時間ステップに分割し、それぞれの時間ステップで有限差分法を用いて微分を近似する。
{\frac {U_{i+1}-U_{i}}{\Delta t}}\approx -{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)_{j}\int _{\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{j}\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int _{\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega
ここで  \Delta t=t_{i+1}-t_{i} は時間ステップの大きさであり、  U_{i} と  t_{i} は  U_{i} と  t の時間ステップ  i における値である。
この近似を使えば、全ての時間ステップに亘って反復的に計算し、各時間ステップにおける  U_{i} の値を求めることができる。例えば、時間ステップ  i から始めて上述の近似を用いれば、時間ステップ  i+1 における  U_{i} の値は以下の通り求まる。
U_{i+1}=U_{i}+\Delta t\cdot \left(-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)_{j}\int _{\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{j}\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int _{\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega \right)_{}
この過程は開始時刻  t_{0} から始めて、最終時刻  t_{f} に達するまで繰り返すことができる。
他にも常微分方程式を解く様々な手法が存在し、それぞれ利点と欠点がある。どの手法が最も有効かは、解きたい方程式と求める解の精度と計算効率によって異なる。