ランキン・ユゴニオの式
導出 > 磁場ありのランキン・ユゴニオの関係

磁場があるときの運動量保存則は次のようにかける：
{\begin{aligned}\rho {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=-\underbrace {\nabla \left(p+{\frac {1}{8\pi }}B^{2}\right)} _{\text{pressure}}+\underbrace {{\frac {1}{4\pi }}({\boldsymbol {B}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {B}}} _{\text{EM}}-\underbrace {\rho \nabla \Phi _{\mathrm {grav} }} _{\text{gravitation}}+\underbrace {{\hat {x}}_{i}\partial _{j}\sigma _{ij}} _{viscosity}.\end{aligned}}
これを x方向について書き下し、 \rho v_{x}=constを用いると
{\begin{aligned}&\rho v_{x}\partial _{x}v_{x}=-\left(p+{\frac {1}{8\pi }}B^{2}\right)+{\frac {B_{x}}{4\pi }}\partial _{x}B_{x}-\rho \partial _{x}\Phi _{\mathrm {grav} }+\partial _{x}\sigma _{xx}\\\Rightarrow &\partial _{x}\left(\rho v_{x}^{2}+p+{\frac {B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}{8\pi }}-\sigma _{xx}\right)=-\rho \partial _{x}\Phi _{\mathrm {grav} }\\\Rightarrow &\rho _{1}v_{1}^{2}+p_{1}+{\frac {B_{1y}^{2}+B_{1z}^{2}}{8\pi }}=\rho _{2}v_{2}^{2}+p_{2}+{\frac {B_{2y}^{2}+B_{2z}^{2}}{8\pi }}.\end{aligned}}
ここで粘性ストレステンソル \sigma _{xx}が衝撃波上流と下流で、波面に非常に近い領域でない限り、０に限りなく近いことを利用して項を落としている。また、重力項も無視している。
一方、磁場があるときのエネルギー保存則は
{\begin{aligned}{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\varepsilon +{\frac {B^{2}}{8\pi }}\right)=-\left(p+{\frac {B^{2}}{8\pi }}\right)(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})&+{\frac {(\nabla \cdot {\boldsymbol {B}})({\boldsymbol {v}}\cdot ){\boldsymbol {B}}}{4\pi }}+\nabla \cdot ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\sigma }})\\&-\rho {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \Phi _{\mathrm {grav} }+\Gamma -\Lambda -\nabla \cdot (-\kappa \nabla T).\end{aligned}}
同様に x方向について書き下し、
{\begin{aligned}\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\rho v_{x}v^{2}+\varepsilon v_{x}+pv_{x}+{\frac {B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}{4\pi }}v_{x}-{\frac {B_{x}B_{y}v_{y}}{4\pi }}-{\frac {B_{x}B_{z}v_{z}}{4\pi }}-v_{j}\sigma _{jx}-\kappa {\frac {dT}{dx}}+\rho v_{x}\Phi _{\mathrm {grav} }\right)=\Gamma -\Lambda .\end{aligned}}
\int (\Gamma -A)dx\approx 0、重力項を無視して
{\begin{aligned}\left({\frac {1}{2}}\rho _{1x}v_{1}^{2}+\varepsilon _{1}\right.&\left.+p_{1}+{\frac {B_{1y}^{2}+B_{1z}^{2}}{4\pi }}\right)v_{1x}-{\frac {B_{1x}B_{1y}v_{1y}-B_{1x}B_{1z}v_{1z}}{4\pi }}-\kappa _{1}{\frac {dT_{1}}{dx}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\rho _{2x}v_{2}^{2}+\varepsilon _{2}+p_{2}+{\frac {B_{2y}^{2}+B_{2z}^{2}}{4\pi }}\right)v_{2x}-{\frac {B_{2x}B_{2y}v_{2y}-B_{2x}B_{2z}v_{2z}}{4\pi }}-\kappa _{2}{\frac {dT_{2}}{dx}}\end{aligned}}
を得る。加えて、磁束保存
{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {B}}=\nabla \times ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\end{aligned}}
について、 \partial _{t}\partial _{y}=\partial _{z}=0より y,z成分について
{\begin{aligned}0&=-\partial _{x}(v_{x}B_{y}-v_{y}B_{z})\\0&=-\partial _{x}(v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}).\end{aligned}}
さて、前節と同様の状況を考える。 v_{1x}=v_{1},v_{2x}=v_{2}、それ以外の速度は0とする。質量、運動量、エネルギー、磁束の保存を書き下せば
{\begin{aligned}\rho _{1}v_{1}&=\rho _{2}v_{2}\\\rho _{1}v_{1}^{2}+p_{1}+{\frac {B_{1}^{2}}{8\pi }}&=\rho _{2}v_{2}^{2}+p_{2}+{\frac {B_{2}^{2}}{8\pi }}\\\left({\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\varepsilon _{1}+p_{1}+{\frac {B_{1}^{2}}{4\pi }}\right)v_{1}&=\left({\frac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\varepsilon _{2}+p_{2}+{\frac {B_{2}^{2}}{4\pi }}\right)v_{2}\\v_{1}B_{1}&=v_{2}B_{2}.\end{aligned}}
理想気体の状態方程式 p=(\gamma -1)\varepsilon を同様に仮定する。同様に計算を頑張ると
{\begin{aligned}{\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {2(\gamma +1)}{D+{\sqrt {D^{2}+4(\gamma +1)(2-\gamma )M_{A}^{-2}}}}},\quad \mathrm {where} \quad D\equiv \gamma -1+2M^{-2}+\gamma M_{A}^{-2},\quad M\equiv {\frac {v_{1}}{\sqrt {\gamma p_{1}V_{1}}}},\quad M_{A}\equiv {\frac {v_{1}}{B_{1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{V_{1}}}}.\end{aligned}}
これをランキン・ユゴニオ関係(Rankin-Hugoniot relation)と呼ぶ。
 v_{1}の速度が磁気音速(magnetrosonic speed) V_{\mathrm {ms} }に比べ十分大きいとき( v_{1}\gg V_{\mathrm {ms} }:強衝撃波極限)、
{\begin{aligned}{\frac {v_{1}}{v_{2}}}&\rightarrow {\frac {V_{1}}{V_{2}}}\rightarrow {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}\\v_{2}&\rightarrow {\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}v_{1}\\T_{2}&={\frac {p_{2}}{\rho _{2}k_{B}}}\rightarrow {\frac {2(\gamma -1)}{(\gamma +1)^{2}}}{\frac {\mu v_{s}^{2}}{k_{B}}}.\end{aligned}}