パラコンパクト空間
パラコンパクトハウスドルフ空間 > 1の分割 > パラコンパクトハウスドルフ空間は 1 の分割を持つことの証明

ハウスドルフ空間 X がパラコンパクトであることとすべての開被覆が従属な 1 の分割を持つことは同値である。右から左の方向は直截である。今左から右を示すのは、いくつかの段階に分けて行う。
補題 1 ―  {\mathcal {O}}\, が局所有限開被覆であれば、各  U\in {\mathcal {O}}\, に対して開集合  W_{U}\, が存在して各  {\bar {W_{U}}}\subseteq U\, と  \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\, は局所有限細分である。
補題 2 ―  {\mathcal {O}}\, が局所有限開被覆であれば、連続関数  f_{U}:X\to [0,1]\, が存在して  \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\, および  f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\, は常に非零で有限な連続関数である。
定理 ― パラコンパクトハウスドルフ空間  X\, において、 {\mathcal {O}}\, が開被覆であれば、それに従属な 1 の分割が存在する。
補題 1 の証明 — 
 {\mathcal {V}} を  {\mathcal {O}} の有限個の集合としか交わらず閉包が  {\mathcal {O}} のある集合に含まれるような開集合の集まりとする。これが開細分を与えることを演習として確認できる、なぜならばパラコンパクトハウスドルフ空間は正則であり、 {\mathcal {O}}\, は局所有限であるからである。今  {\mathcal {V}}\, を局所有限開細分で置き換える。この細分における各集合はもとの被覆を特徴づけたのと同じ性質を持つことを容易に確認できる。
Now we define  W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,. We have that each  {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,; for otherwise: suppose there is  x\in {\bar {W_{U}}}\setminus U. We will show that there is closed set  C\supset W_{U} such that  x\notin C (this means simply  x\notin {\bar {W_{U}}} by definition of closure). Since we chose  {\mathcal {V}} to be locally finite there is neighbourhood  V[x] of  x such that only finitely many sets  U_{1},...,U_{n}\in \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\} have non-empty intersection with  V[x]. We take their closures  {\bar {U_{1}}},...,{\bar {U_{n}}} and then  V:=V[x]\setminus \cup {\bar {U_{i}}} is an open set (since sum is finite) such that  V\cap W_{U}=\varnothing . Moreover  x\in V, because  \forall i=\{1,...,n\} we have  {\bar {U_{i}}}\subseteq U and we know that  x\notin U. Then  C:=X\setminus V is closed set without  x which conatins  W_{U}. So  x\notin {\bar {W_{U}}} and we've reached contradiction. And it easy to see that  \{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\, is an open refinement of  {\mathcal {O}}\,.
最後に、この被覆が局所有限であることを確認するために、x ∈ X を固定し、N を x の近傍とする。各 U に対し  W_{U}\subseteq U であることを知っている。O は局所有限であるから、
there are only finitely many sets  U_{1},...,U_{k} having non-empty intersection with  N. Then only sets  W_{U_{1}},...,W_{U_{k}} have non-empty intersection with  N, because for every other  U' we have  N\cap W_{U'}\subseteq N\cap U'=\varnothing
補題 2 の証明 — 
補題 1 を適用して、 f_{U}:X\to [0,1]\, を連続写像で  f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\, かつ  \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\, とする（正規空間（パラコンパクトハウスドルフ空間は正規である）の互いに素な閉集合に対するウリゾーンの補題によって）。関数の台によってここでは 0 に写らない点を意味する（この集合の閉包ではない）ことを注意する。 f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\, が常に有限で非零であることを示すために、 x\in X\, をとり  N\, を  x\, の近傍で  {\mathcal {O}}\, の有限個の集合としか交わらないものとする； したがって  x\, は  {\mathcal {O}}\, の有限個の集合にしか属さない； ゆえに有限個を除くすべての  U\, に対して  f_{U}(x)=0\, である； さらにある  U\, に対して  x\in W_{U}\, であり、したがって  f_{U}(x)=1\,； なので  f(x)\, は有限であり  \geq 1\,。連続性を証明するために、 x,N\, を前のようにとり  S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\, とする。これは有限である。すると  f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\, であり、これは連続関数である； したがって  f(x)\, の近傍の  f\, のもとでの原像は  x\, の近傍になる。
定理の証明 — 
 {\mathcal {O}}*\, を細分被覆  \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\, の局所有限部分被覆とする。補題 2 を適用して連続写像  f_{W}:X\to [0,1]\, で  \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\, なるものを得る（従って普通の閉バージョンの台は各  W\in {\mathcal {O}}*\, に対してある  U\in {\mathcal {O}}\, に含まれる； これに対しそれらの和は常に有限で 0 でない連続関数を構成する（したがって  1/f\, は連続正有限値である）。なので各  f_{W}\, を  f_{W}/f\, で置き換えると、今 — すべてのものが同じままで — それらの和がいたるところ  1\, である。最後に  x\in X\, に対して  N\, を  x\, の近傍で  {\mathcal {O}}*\, の有限個の集合としか交わらないものとすると、有限個を除くすべての  W\in {\mathcal {O}}*\, に対して  f_{W}\upharpoonright N=0\, が成り立つ、なぜならば各  \operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,。したがってもとの開被覆に従属な 1 の分割がある。