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アポロニウスの問題
解法 > 反転による解の対

アポロニウスの問題に対する解は一般には対で生じる、つまり各解円に対して共役な解円が存在する（図 6）。一方の解円は、他方の解円の内側に存在する与円に外接する。逆もまた同様である。例えば、図 6においては、一方の解円（左上のピンクの円）は2つの与円（黒い円）を内包しているが、3番目の円には外接する。これとは対照的に、共役解（右下のピンクの円）はこの3番目の与円を内包するが、他のふたつには外接する。このふたつの共役な解円は、次の議論において反転に関連している。
一般に、任意の3つの相異なる円は、その3つすべてに垂直に交わるただ1つの円（根円）を持ち、この円の中心を3つの円の根心と呼ぶ。具体例を挙げれば、図 6のオレンジの円が与円である黒い円に垂直に交わっている。この根円に関する反転は、与円を変化させることはないが、2つの共役な解円（ピンクの円）をお互いへと変換する。同じ反転の下では、対応するふたつの解円の接点もお互いへと変換される。具体例を言えば、図 6において、それぞれの緑の直線上の2つの青い点が、互いへと変換される。よって、これら共役接点を結ぶ直線は反転の下では不変である。よって、これら直線は反転の中心を通らねばならず、そしてこれは根心と呼ばれる（図6でいうと、オレンジの点に交わる緑の直線）。
解法 > 反転による解の対 > 円環への反転

もし3つの与円のうち2つが交わらないのであれば、2つの円が同心円となるように反転の中心を選ぶことができる。この反転の下では、解円は2つの同心円の間の円環内部に存在する。従って、このとき解円は2つの1パラメータ族(one-parameter families)に属する。ひとつめの族においては（図 7）、解円は内側の同心円を内包せず、むしろ円環内の玉軸受のようになる。
2つめの族(図 8)においては、解円は内側の同心円を内包する。一般的にそれぞれの族に対して4つの解が存在し、8つの可能な解を生み出すが、これは代数学的解法とも矛盾しない。
与円のうち2つが同心円であるとき、アポロニウスの問題はガウスの方法を使って簡単に解くことができる。3つの与円の半径の値は既知であるが、同心円の共通の中心から同心でない円までの距離 dnon も同様に既知の値である（図 7）。解円はその半径 rs、角度 θ、解円の中心から同心円の共通の中心までの距離 ds、解円の中心から同心でない円の中心までの距離 dT によって決定される。
解円の半径および距離 ds は既知の値である（図 7）。そして、距離 dT = rs ± rnon であり、これは解円が同心でない円に内接するか外接するかに依存する。従って、余弦定理から、
ここで、新たな定数 C は簡潔さのために定義されたものであり、下付きの記号は解円の内接・外接を示している。三角関数を用いて整理することで、4つの解を導きだすことができる。
この式は、θ の符号の2つの選択と C に対する2つの選択に対応して、4つの解を示している。残りの4つの解は、図 8で示された rs および ds の代入を用いて、上記と同じ方法で得ることができる。すなわち、一般のアポロニウスの問題に対する8つすべての解をこの方法で得ることができる。
初期の交わりを持たない任意の2つの与円は次のように同心円に変えることができる。まず、2つの与円の根軸を作図する。この根軸上の2つの任意の点 P および Q を選ぶことで、この根軸上に P および Q を中心とし、2つの与円に直交する2つの円を描くことができる。これら作図された円はお互いに2点で交わる。そのようなある反転点 F での反転は作図された円を点 F から放射する直線に、2つの与円を同心円に変え、3つめの与円は一般に別の円になる。これは、円の系がアポロニウスの円の集合に等価であることから従い、双極座標系を形成する。
解法 > 反転による解の対 > 大きさの変更と反転

反転という手法は、大きさの変更（Resizing）によってより便利になる。ビエトの作図でも述べられているように、この3つの与円と解円は、接点を保ったまま、その大きさの変更が可能である。よって、初期のアポロニウスの問題は、より解くのが簡単であろう別の問題へと変換される。例えば、これら4つの円は、このうち1つの円が点に縮まるまで大きさの変更をすることができる。あるいは、しばしば、このうち2つの与円が互いに接するように大きさを変更される。また、いずれかのオブジェクトに交わっている与円は、円環へと変換する手法を用いると、交わりを解消するように大きさの変更ができる。このようなケースにおいて、元々のアポロニウスの問題の解に関しては、大きさの変更や反転によって変換された問題の解を得て、この変換された問題を、元々の問題に戻すことによって、元々の問題の解が得られる。
解法 > 反転による解の対 > 大きさの変更と反転 > 一つの与円を点にまで縮める

最初のアプローチにおいては、ひとつの与円が点 P に縮められるまで、すべての与円を（接点を保ったまま）縮めたり膨らませたりする
。その場合は、アポロニウスの問題の極限の場合として「円円点」(CCP) の問題に「退化」することになり、点 P を通る（2つの）与円および点 P に接する解円を探す問題へと変換される。P を中心とする円に関する反転は、2つの与円を新たな円に変え、解円を直線へと変える。よって、変換された問題に対する解は、2つの（変換された）与円に接する直線である。そのような解となる直線は4つあり、これは2つの与円の外部および内部の相似の中心により作図されうるものである。P において再反転し、また大きさの変更を元に戻すことで、このような解となる直線を、元々のアポロニウスの問題への答えである解円へと変換することができる。すべての8つの一般解は、それぞれの解の内部・外部どちらの接点なのかの違いに従って円を縮めたり膨らませたりすることによって得られる。しかしながら、相異なる与円は点になるまで縮めることも可能であり、この場合は（円だけの場合とは）異なる解を得る。
解法 > 反転による解の対 > 大きさの変更と反転 > 二つの与円が接するまで大きさの変更をする

このアプローチでは、与円のうち2つが互いに接するように、与円の半径は適宜Δrの大きさだけ変更される。これら2つの与円の接点は、接する円のそれぞれに2箇所で交わる円における反転の中心になるように選ばれる。反転することによって、互いに接している2つの円は2つの平行な直線となる。この2つの円の接点だけが反転することにより無限へと送られるため、これらの点が互いに交わったりすることはない。同様の反転は3つめの円を、別の異なる円へと変える。反転された問題の解は、(1)変換された3つめの円に接する、与えられた平行な2つの直線に平行する直線、あるいは、(2)定数の半径を持ち、与えられた2つの平行な直線と変換された3つめの与円に接する円、のどちらかでなくてはいけない。もういちど反転を行い、すべての円の半径をΔrずつ調整することで、元々の3つの与円に接する解円を得る。
解法 > ジェルゴンヌの解法

ジェルゴンヌ（Gergonne）の解法は解円を対として考えるものである。ここで、ひとつの解円の対を CA および CB とする(図6の2つのピンクの円)。そして、この解円の対と3つの与円との接点をそれぞれ A1、A2、A3、および B1、B2、B3とする。ジェルゴンヌの解法はこれら6個の点の位置を特定することを狙いとしており、これら6個の点の位置を求めることによって2つの解円を導きだすことができる。
ジェルゴンヌはもし A1 および B1 が必ずその線上に存在するような直線 L1 を引くことのできるならば、この2点は L1 と与円 C1 の交点となるはずだと考えた（図6）。残った4つの接点の位置は同様に求めることができる。すなわち、A2 および B2 がその線上に存在する直線 L2、さらに A3 および B3 がその線上に存在する直線 L3 を求めるのである。このような直線 L1 を作図するためには、その線上に2点が存在しなくてはいけないが、この2点は接点であってはいけない。ジェルゴンヌはこのような3つのそれぞれの直線の2点を特定することに成功した。ただし、この2点のうち1点はすでに特定されていた。根心 G は3つすべての直線上に存在するためである（図6）。
この求めるべき2点のうちの残りの1つ、L1、L2、L3 上の2つめの点の位置を求めるにあたって、ジェルゴンヌはこれら直線と解円 CA および CB の根軸 R との間の相反関係を指摘した。この相反性を理解するには、接点 A1 および B1 に引かれた C1 に対する2つの接線と解円を例に考えてみるとよい。これらの接線の交点は直線 L1 の C1 における極点である。極点から接点 A1 および B1 までの距離は等しいため、この極点は解円の根軸 R 上にあるはずだということができる（図9）。このような極点と極線の関係は相反である。つまり、もし C1 における L1 の極が R 上に存在するのであれば、逆にC1 における R の極も L1 上に存在する。よって、もし R を引くことができれば、C1 における極 P1 を求めることができ、これは L1 上の求めるべき2点のうちの残りの1つを与える（図10）。
ジェルゴンヌは未知の解円の根軸 R を次のように求めた。任意の円の対は2つの相似の中心を持つ。これら2点はこの2つの円に対する接線の2つの可能な交点である。よって、3つの与円は6つの相似の中心点を持つ。これら6つの点は4つの直線上に存在し、3つの点はそれぞれの直線上に存在する。さらに、それぞれの直線は潜在的な解円の対の根軸に対応している。これを示すために、ジェルゴンヌは3つの与円のうち2つの円上の接点に相当する点を通る直線を考えた。例えば、この直線は A1/A2 によって定義され、またこの直線は B1/B2 によって定義される。ここで、X3 を2円 C1 および C2 の相似の中点とする。すると、A1/A2 および B1/B2 は antihomologous（英語版） な点の対であり、そしてそれらの直線は X3 において交わる。これは距離の積が等しいことから従い、
この等式は X3 が2つの与円の根軸上に存在することを示唆している。同様の議論が他の対の円にも成り立ち、3つの与えられた円の3つの相似の中点がそれぞれの解円の対の根軸上に存在するということが言える。
要約すれば、求めるべき直線 L1 は2点から定義される。この2点とは、3つの与円の根心 G および相似中心を結ぶ4つの直線のうちの1つの C1 における極である。C2 および C3 における同様の極を求めることで、L2 および L3を得る。よって、すべての6つの点の位置を特定することができ、そしてそれら6つの点からはひとつの解円の対が求めることができる。残った3つの相似中心線に対して同様の方法を繰り返すことで、さらに6つの解を得ることができ、計8つの解を与える。しかしながら、もし直線 Lk が一部のkに関して円 Ck に交わらないなら、そのような相似中心線に解の対は存在しない。
特殊な場合 > 点、円、直線の10の組み合わせ

アポロニウスの問題とは3つの与えられた円、直線、点等のオブジェクトに接する1つ以上の円を平面上に描くものであった。これは10種類のアポロニウスの問題に分けることができる。それぞれ円、直線、点を組み合わせた問題であり、C, L, P のアルファベットでどのオブジェクトが与えられている問題なのかを表す。Cは与えられたオブジェクトが円（Circle）であることを示し、Lは与えられたオブジェクトが直線（Line）であることを示し、Pは与えられたオブジェクトが点（Point）であることを示す (表 1)。例えば、円、直線、点の3つのオブジェクトが与えられたアポロニウスの問題はCLPと表す。
特殊な場合のアポロニウスの問題では、3つの与えられた円に一般的な解を与えるよりも遥かに簡単に解くことができる場合がある。このような例としては、与えられた3つの点に対して接する円を書く場合（PPP）、また与えられた3つの直線に対して接する円を書く場合（LLL）が考えられ、これらの場合はユークリッドによって原論で初めて解が与えられた。例えば、PPPの問題は次のように解くことができる。この問題に対する解円は3つの与えられた点すべてから等しい距離の場所に中心を持つ。そのため、与えられた3点のうち任意の2点の垂直二等分線上に解円の中心が存在する。よって、与えられた3点のうち任意の2点の垂直二等分線が交わる点が解円の中心となる。同じように、LLLの問題を考える場合でも、与えられた3つの直線の交点の角を二等分する線が交わる点が中心となる。言い換えれば、そのような角の二等分線が2つ交わる点が解円の中心となる。そのような二等分線はそれぞれの与えられた直線の交点につき2つ考えられるので、一般的なLLLの問題に対して解は4通りある。
点と直線は円の特殊な場合と見なすことができる。点は無限に小さな半径を持つ円だと考えることが可能であるし、直線は、無限に大きく中心が無限遠点にある円だと考えることが可能である。この観点からすれば、一般的なアポロニウスの問題は与えられた3つの円に接する円を描く問題である。問題の前提に直線や点を含む他の9つの場合に関しては、この一般的なアポロニウスの問題の特殊な場合（ある種の極限（英語版））だと考えることが可能である。これらの特殊な場合は通常、一般的なアポロニウスの問題よりも少ない解を持つ。例えば「与えられた円」を「与えられた点」に取り替えると、点は円内部と円外部で同時に接する無限小の円だと解釈可能なため、解の数が半分に減る。
| インデックス | 問題の種類 | 与えられたオブジェクト（点・線・円） | 解の数 (一般的なもの) | 例 (解はピンク、与えられたオブジェクトは黒) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | PPP | 3つの点 | 1 |  |
| 2 | LPP | 1つの直線と2つの点 | 2 |  |
| 3 | LLP | 2つの直線と1つの点 | 2 |  |
| 4 | CPP | 1つの円と2つの点 | 2 |  |
| 5 | LLL | 3つの直線 | 4 |  |
| 6 | CLP | 1つの円、1つの直線、1つの点 | 4 |  |
| 7 | CCP | 2つの円と1つの点 | 4 |  |
| 8 | CLL | 1つの円と2つの直線 | 8 |  |
| 9 | CCL | 2つの円と1つの直線 | 8 |  |
| 10 | CCC | 3つの円（アポロニウスの問題の元々の形） | 8 |  |
特殊な場合 > 解の数

それぞれの種類のアポロニウスの問題に対する解の数を数える問題は数え上げ幾何学の領域に属するものである。10種類のアポロニウスの問題のそれぞれに対する解の一般的な数は上の表1に示されている通りである。しかしながら、与えられたオブジェクトの配置によっては解の数が変わってしまうことがある。例えば、図11のような配置だと、与えられた2つの円に接する円を描くと残りの1つの円（黒い点線の円）に交わってしまうため、解が存在しない。逆に、もし3つの与えられた円がすべて同じ点で接している場合、その点に接するすべての円が解となり、そのようなアポロニウスの問題は無限の解を持つ。もし、与えられた円のうちひとつでも重複する（他の円と全く同じ）円があれば、同じように無限の解が存在する。もし与えられた円のうち一つが他の円と全く同じ円であるなら、区別をつけることのできる与円は2つしか存在しない。解となる円の中心点は（アポロニウスの問題に対する解法のひとつで使用されたように）双曲線を形成する。
StollとStudyによるMuirheadに先んじた試みはあったものの、3つの与えられた円、点、直線のあらゆる構成に対して解の数を数え上げたのは1896年のMuirheadが初めてだとされる。しかしながら、Muirheadの研究は完全ではなく、1974年に拡張され、完全な数え上げ（33種類の解）は1983年に発表された。アポロニウスの問題に対する解は反転に関連して、通常、対になるが、解の数が奇数になることも一部の場合には起こりうる。例えばPPPの問題に対する解が1つであるという場合、もしくは、1つまたは3つすべての円が与円であると同時に解円である場合である（後者の例はこのセクションのデカルトの定理に関するものとして挙げられている。）。しかしながら、7つの解を持つアポロニウスの問題は存在しない。円と球の幾何学（リー球面幾何（英語版））を基にした別解が開発され、より高い次元の問題に使用されている。
特殊な場合 > 互いに接する与円：ソディの円とデカルトの定理

もし3つの与円が互いに接しているなら、アポロニウスの問題は5つの解を持つ。そのうち3つの解は、これらの円が自分自身および他2つの円に接しているため、与円そのものである。残りの2つの解は（図 12に赤で示されているように）内接している円（内接円）と外接している円（外接円）である。これらの円はソディの円と呼ばれている。このアポロニウスの問題の特殊な場合は「Four coin problem（直訳すると４つのコインの問題）」としても知られている。この種のアポロニウスの問題の3つの与円は2つのソディの円に接するシュタイナーの円鎖を形成する。
ソディの円は、3つの与円とともに考えると、6点で互いに接する4つの円の組となる。これら4つの円の半径はデカルトの定理として知られる等式で関連づけられている。1643年に、エリザベス・ステュアートに宛てた手紙にて、ルネ・デカルトは以下を示した。
ここで ks = 1/rs は解円の曲率、rs は解円の半径。同様に、3つの与円の曲率 k1, k2, k3 および半径 r1, r2, r3である。任意の４つの互いに接する円の組に対して、同じ6点で接する２つめの互いに接する4つの円の組が存在する。
デカルトの定理は1826年にヤコブ・シュタイナー、1842年にPhilip Beecroft、1936年にフレデリック・ソディによって独立に再発見された。ソディは彼の発見を科学ジャーナルのNatureにて「The Kiss Precise」という詩として発表した。最初の2節（スタンザ）は以下の通りである。最初の節はソディの円に関して語っており、2つめの節はデカルトの定理を与えている。ソディの詩では、2つの円が接するとき、「キスする」と表現されている。また、「bend（曲げる）」という語は円の曲率「k」に言及するものである。
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 For pairs of lips to kiss maybe Involves no trigonometry. 'Tis not so when four circles kiss Each one the other three. To bring this off the four must be As three in one or one in three. If one in three, beyond a doubt Each gets three kisses from without. If three in one, then is that one Thrice kissed internally.  :  Four circles to the kissing come. The smaller are the benter. The bend is just the inverse of The distance from the center. Though their intrigue left Euclid dumb There's now no need for rule of thumb. Since zero bend's a dead straight line And concave bends have minus sign, The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum.  
デカルトの定理に対していくつかの拡張がダニエル・ピドー（英語版）によって行われている。
一般化

アポロニウスの問題は3つの与えられた円にθの角度で交わるすべての円を描く問題、または3つの与えられた円に3つの指定された角度θ1, θ2, θ3で交わるすべての円を描く問題に拡張することができる。このとき、通常のアポロニウスの問題はすべての与えられた円に対する交わりの角度がθの特殊な場合となる。別のアポロニウスの問題の一般化はこの拡張の双対であり、すなわち、3つの与えられた円から3つの指定された接線距離の円を描くものである。
アポロニウスの問題は平面上から球面、またはその他の二次曲面に拡張することができる。球面に関しては、アポロニウスの問題は球面上に与えられた3つの円（球冠の境界線）に接する円をすべて描く問題となる。この球面上の問題はステレオ投影を用いることで対応する平面上の問題に置き換えることができる。平面上の問題に解を描くことができれば、それに対応する球面上の問題もステレオ投影を反転することで解を得ることができる。より一般的には、任意の二次曲面と4つの平面の交わりによる4つの正接曲線の問題だと考えることができる。これはシャルル・デュパン（英語版）によって初めて検討された。
アポロニウスの問題を繰り返し解き内接円を求め続けることによって、互いに接する円の隙間を任意の粒度で埋めることができ、アポロニウスのギャスケット、ライプニッツパッキング、またはアポロニウスパッキングと呼ばれるものを形成する。このギャスケットはフラクタルであり、自己相似で、正確な値はわかっていないが、およそ1.3である次元 d を持つ。正則曲線もしくは有限長の曲線(d = 1)よりも高く、平面(d = 2)よりは低い。アポロニウスのギャスケットはゴットフリート・ライプニッツによって初めて17世紀に詳述され、これはシェルピンスキーのギャスケットの先駆となるものであった。アポロニウスのギャスケットは数学の他領域と深いつながりを持っており、例えば、アポロニウスのギャスケットはクライン群（英語版）の極限集合である。
平面上の4つの円に接する1つの円を描く問題は特殊な性質を持っている。これはLarmor (1891)とLachlan (1893)によって解明された。このような問題設定は、プトレマイオスの定理の一般化された形であるケーシーの定理の基礎となるものである。
アポロニウスの問題の3次元への拡張、つまり4つの与えられた球に接する5つめの球を求める問題は類似の手法で解くことができる。例えば、与えられた球と解となる球は大きさの変更（リサイズ）が可能であり、それによって与えられた球のうち1つは接点を保ったまま点にまで縮めることができる。この点において反転することでアポロニウスの問題を3つの与えられた球に接する平面を求める問題にすることが可能である。そのような平面は通常8通りあり、これは反転を戻し、大きさをもとに戻すことで元々の問題の解となる。この問題はピエール・ド・フェルマーによって最初に検討された。さらに、その後の数世紀に渡る発展で多くの異なる手法が開発されている。
さらにアポロニウスの問題は d 次元に拡張することが可能であり、このとき与えられた d + 1 超球面に接する超球面を描く問題となる
。1936年のフレデリック・ソディのデカルトの定理の（再）導出に従えば、数人がそれぞれ独立に d 次元のソディの円に対応する互いに接する場合に解を与えている。
応用

アポロニウスの問題を応用した主なものとしては、アイザック・ニュートンによるもので、3点以上の点の距離の「差」から位置を特定する双曲線測位（英語版）がある。例えば、3つの同期された送信機から送られた信号の受信時間の差から、ある船の自身の位置を特定することができる。アポロニウスの問題の解法は第二次世界大戦で、3点の異なる場所での銃声の到達時間の差から、銃声を発した大砲の位置を特定するのに使用された。また、双曲線測位はデッカ航法とLORANの技術に採用されている。同様に、飛行機に搭載されているトランスポンダーが発する信号を4つの受信ステーションが受取ることで、その到達時間の差から飛行機の位置を特定することができる。このようなマルチラテレーション（英語版）の問題はアポロニウスの問題の3次元への一般化に等しく、グローバル・ポジショニング・システム（GPS）にも応用されている（英語版のGPS#幾何学的解釈も参照）。また、これは鳥やクジラ等の鳴き声を発する動物の位置を特定するのにも使用されている。ただし、音の速さ（音速）が方向によって異なる場合にアポロニウスの問題を応用するのは適切ではない（例えば伝送媒体が等方性媒質でない場合）。
アポロニウスの問題は他にも応用がある。ニュートンのプリンキピアの1巻、命題21にて、彼のアポロニウスの問題の解法を天体力学における引力の中心からの軌道を描くために、また、その軌道の（瞬間速度に対応する）接線の考察に使用した。3つの円が互いに接しているというアポロニウスの問題の特殊な場合は解析数論のハーディ・リトルウッドの円分法（英語版）で使用されており、複素解析に関するハンス・ラーデマッヘルの積分路を描くのに使用された。これはフォードの円の無限集合の境界線によって与えられるものである。また、アポロニウスの問題は全くの異分野の一部のタイプのパッキング問題に応用されており、例えばDVD上に使用されている誤り訂正符号（英語版）や、病原性の細菌のある種の酵素に関連する医薬品のデザインに応用されている。
発展資料

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Callandreau, Édouard (1949) (フランス語). Célèbres problèmes mathématiques. Paris: Albin Michel. pp. 219–226. OCLC 61042170
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Gisch D, Ribando JM (2004). “Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections”. American Journal of Undergraduate Research 3:  15–25. http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf.
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Simon M (1906) (ドイツ語). Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert. Berlin: Teubner. pp. 97–105
Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 3–5. ISBN 0-14-011813-6
図3： 2つの与円（黒）とその双方に接する円（ピンク）。これら円の中心間の距離 d1 と d2 は r1 + rs と r2 + rs にそれぞれ等しい。よって、これらの差は rs とは独立に決まる。
2つの固定された点に対して、距離の比 d1/d2 が一定になるような点の集合は円となる。
図4: 円の半径が等量で変化した場合、円同士の接点は維持される。ピンクの解円は内接する円（右側の黒い円）とともに縮むか、あるいは膨らむ。これに対して、外接する円（左側の黒い円）はこれらの円とは逆に膨らんだり、縮んだりする。
図 5: 円に関する反転。点P'はこの円に関する点Pの反転。
図 6 アポロニウスの問題に対する共役な解の対（ピンクの円）。与円は黒。
図 7: 同心の与円（黒）の間に位置するひとつめの族の解円(ピンク)。解円の半径 rs の2倍は、内側と外側の円の半径の差 router − rinner に等しく、中心までの距離 ds の2倍は和 router + rinner に等しい。
図 8: 2つめの族の解円 （ピンク）は内側の与円（黒）を内包する。解円の半径 rs の2倍は内側と外側の円の半径の和 router + rinner に等しく、中心までの距離 ds の2倍は差 router - rinner に等しい。
図9: 与円の2つの接点の2つの接線は2つの与円（ピンク）の根軸 R 上で交わる。この R 上の3つの交点はそれぞれの黒の与円におけるそれぞれの青い接点と交わる線の極点である。
図10: 3つの与円（黒）における根軸 R の「極」の点（赤）。これらの極点は接点をつなぐ緑の直線上に存在する。これらの直線はこれらの極および根心（オレンジ）から求めることができる。
図 11: 解のないアポロニウスの問題の例。解円（ピンク）は2つの与えられた円（黒）と接するためには点線の円（黒）と交わらなくてはいけない。
図 12: 互いに接するアポロニウスの問題（黒い円）に対する2つの解（赤い円）。付記されている数字は曲率。
図13 左右対称のアポロニウスのギャスケット。ゴットフリート・ライプニッツにちなんで、ライプニッツパッキングとも呼ばれる。
横断山脈

| 横断山脈 |
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 梅里雪山
チベット語名
チベット文字::  འཕྲེད་བཅད་རི་རྒྱུད
ワイリー方式::  'phred-bcad ri-rgyud
中国語名
繁体字::  橫斷山脈 
簡体字::  横断山脉 
拼音::  héngduàn shānmài
横断山脈付近の衛星写真
横断山脈（おうだんさんみゃく）は中華人民共和国南西部の山脈。チベット高原（青蔵高原）の南東に位置し、四川省西部、雲南省西部、チベット自治区東部の交わるあたりを南北方向に走っている山脈の総称である。
東には邛崍（キョウライ）山脈が、西には伯舒拉嶺（ボシュラ山脈）が走り、北はチャムド（昌都）・カンゼ（甘孜）・バルカム（馬爾康）を結ぶ線に達し、南は中国とミャンマーの国境地帯にあたる。面積は60万平方キロメートル以上。中国にある南北方向の山脈のうち、最も長く、最も幅広い山脈である。
名称

この地域は南北方向に延びる褶曲山脈や峡谷が多数縦断して並行しており、その山は高く谷は深い。漢族の住む中原や華南、四川盆地からの東西の交通を阻むように「横断」して立ちはだかるように見えることから「横断山脈」と名づけられた。
構成

横断山脈は複数の山脈で構成され、その間に多数の大河が流れる。東から西の順に、邛崍山脈、大渡河、大雪山脈、雅礱江、沙魯里山脈、金沙江（長江）、芒康山脈（寧静山脈）・雲嶺、瀾滄江（メコン川）、怒山、怒江（サルウィン川）、高黎貢山脈・伯舒拉山脈が並行している。ここからチベットのカム地方を「四水六崗」（チュシ・ガンドゥク、「四つの川と六つの山」）とも称する。
地質・地貌

横断山脈はヒマラヤ造山運動の時期にユーラシアプレートとインドプレートが衝突して形成された褶曲山脈である。大雪山脈の主峰・ミニヤコンカ（貢嘎山）は海抜7,556メートルに達し、横断山脈でも最高峰になっている。怒山山脈の梅里雪山も名高い。金沙江（長江源流）・瀾滄江（メコン川源流）・怒江（サルウィン川源流）の両岸は険しく切り立ち、典型的なV字谷をなしている。この三つの大河が並行する地域は三江併流と呼ばれ世界遺産にもなっている。
しかしこの地域は土石流・地すべり・がけ崩れなどの土砂災害が多いほか地震も頻繁に起こる。中国でも主要な地震帯でもある。
資源概況

横断山脈は中国でも重要な非鉄金属の産地である。金沙江・瀾滄江・怒江沿岸には100種類以上の金属が埋蔵されている。また攀枝花市一帯は中国で最も鉄鉱石の埋蔵量が多い地域である。
横断山脈は水資源の面でも中国にとって重要である。金沙江は、渇水時の計算では本流の落差が3,000メートルにも達する。巨大な水量と落差から、ダムによる水の貯蔵や水力発電なども行われている。
山脈は亜高山帯針葉樹林の深い森に覆われ、独特の豊かな生態系をなしている。
吉良知夏

吉良 知夏（きら ちなつ、1991年7月5日 - ）は、大分県臼杵市出身の女子サッカー選手。エールディビジ(オランダ1部)・SCテルスターVVNH（英語版）所属。ポジションはフォワード、ミッドフィールダー。
来歴 > ユース

神村学園高等部時代、U-17日本女子代表としてアジア予選を勝ち抜きFIFA U-17女子ワールドカップに出場。グループリーグのフランス戦ではハットトリックを決め、決勝トーナメント1回戦のイングランド戦でも先制点を挙げた。また、同年にはU-19日本女子代表にも飛び級で選出され、AFC U-19女子選手権では4試合で1得点を挙げた。
来歴 > シニア

高校卒業後はなでしこリーグの浦和レッドダイヤモンズ・レディースに入団した。1年目は怪我で出場機会がなかったが、2年目にレギュラーの座を掴むとエースとして活躍。得点ランキング3位タイの9得点を挙げて、リーグの新人賞を受賞した。シーズン後には、なでしこチャレンジ（日本女子代表候補）のメンバーにも選出された。
2020年12月21日、オーストラリア・Wリーグのメルボルン･シティFC（英語版）に移籍することが発表された。
2021年6月16日、オルカ鴨川FCへシーズン途中の加入が発表された。
2023年2月9日、海外移籍のためオルカ鴨川FCを退団。2月11日にスペイン2部のSE AEM（英語版）に加入したことが発表された。
同年8月、エールディビジ（オランダ1部リーグ）のSCテルスターVVNH（英語版）への加入が発表された。
個人成績 > クラブ

| 国内大会個人成績> 年度.年度.日本   | 国内大会個人成績> クラブ.クラブ.日本   | 国内大会個人成績> 背番号.背番号.日本   | 国内大会個人成績> リーグ.リーグ.日本   | 国内大会個人成績> リーグ戦.出場.リーグ戦 | 国内大会個人成績> リーグ戦.得点.リーグ戦 | 国内大会個人成績> リーグ杯.出場.リーグ杯  | 国内大会個人成績> リーグ杯.得点.リーグ杯  | 国内大会個人成績> オープン杯.出場.皇后杯 | 国内大会個人成績> オープン杯.得点.皇后杯 | 国内大会個人成績> 期間通算.出場.期間通算 | 国内大会個人成績> 期間通算.得点.期間通算 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2010 | 浦和レッズレディース | 14 | なでしこ | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 1 | 3 | 1 |
| 2011 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ | 16 | 9 | - | - | 2 | 0 | 18 | 9 |
| 2012 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ | 18 | 10 | 4 | 0 | 1 | 0 | 23 | 10 |
| 2013 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ | 16 | 5 | 6 | 1 | 1 | 1 | 23 | 7 |
| 2014 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ | 26 | 9 | - | - | 4 | 2 | 30 | 11 |
| 2015 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ1部 | 21 | 7 | - | - | 3 | 1 | 24 | 8 |
| 2016 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ1部 | 11 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 11 | 1 |
| 2017 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ1部 | 18 | 7 | 9 | 0 | 4 | 1 | 31 | 8 |
| 2018 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ1部 | 14 | 3 | 7 | 2 | 4 | 1 | 25 | 6 |
| 2019 | 浦和レッズレディース | 10 | なでしこ1部 | 17 | 1 | 9 | 1 | 3 | 1 | 29 | 3 |
| オーストラリア   | オーストラリア   | オーストラリア   | オーストラリア   | リーグ戦 | リーグ戦 | リーグ杯  | リーグ杯  | オープン杯 | オープン杯 | 期間通算 | 期間通算 |
| 2020-21 | メルボルン･シティFC（英語版） | 10 | Wリーグ | 11 | 1 | - | - | - | - | 11 | 1 |
| 日本   | 日本   | 日本   | 日本   | リーグ戦 | リーグ戦 | リーグ杯  | リーグ杯  | 皇后杯 | 皇后杯 | 期間通算 | 期間通算 |
| 2021 | オルカ鴨川FC | 10 | なでしこ1部 | 8 | 2 | - | - | 4 | 2 | 12 | 4 |
| 2022 | オルカ鴨川FC | 10 | なでしこ1部 | 21 | 4 | - | - | 3 | 1 | 24 | 5 |
| スペイン   | スペイン   | スペイン   | スペイン   | リーグ戦 | リーグ戦 | リーグ杯  | リーグ杯  | オープン杯 | オープン杯 | 期間通算 | 期間通算 |
| 2022-23 | SE AEM（英語版） | 6 | スペイン2部 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| オランダ   | オランダ   | オランダ   | オランダ   | リーグ戦 | リーグ戦 | リーグ杯  | リーグ杯  | オープン杯 | オープン杯 | 期間通算 | 期間通算 |
| 2023-24 | テルスター（英語版） | 10 | エールディビジ | 22 | 2 | - | - | 1 | 0 | 23 | 2 |
| 通算 | 日本 | 日本 | 1部 | 157 | 52 | 35 | 4 | 25 | 8 | 217 | 64 |
| 通算 | 日本 | 日本 | 2部 | 29 | 6 | - | - | 7 | 3 | 36 | 9 |
| 通算 | オーストラリア | オーストラリア | 1部 | 11 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 11 | 1 |
| 通算 | スペイン | スペイン | 2部 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 通算 | オランダ | オランダ | 1部 | 22 | 2 | - | - | 1 | 0 | 23 | 2 |
| 総通算 | 総通算 | 総通算 | 総通算 | 219 | 61 | 35 | 4 | 33 | 11 | 287 | 76 |
日本女子サッカーリーグ
初出場 - 2011年4月29日 なでしこリーグ 第5節 岡山湯郷Belle戦 (埼玉スタジアム2002)
初得点 - 2011年5月29日 なでしこリーグ 第8節 伊賀フットボールクラブくノ一戦 (上野運動公園競技場)
通算150試合出場 - 2019年8月31日 なでしこリーグ1部 第10節 日体大FIELDS横浜戦 (浦和駒場スタジアム)
個人成績 > 代表

2014年5月8日 - 日本女子代表初出場 -  ニュージーランド戦 (国際親善試合)
2014年5月18日 - 日本女子代表初得点 -  ヨルダン戦 (2014 AFC女子アジアカップ)
個人成績 > 代表 > 主な選出歴

U-17日本女子代表
2007年 - AFC U-16女子選手権 準優勝
2008年 - FIFA U-17女子ワールドカップ ベスト8 (3試合4得点)
U-19日本女子代表
2007年 - AFC U-19女子選手権 準優勝 (4試合1得点)
日本女子代表 (なでしこジャパン)
2014年 - AFC女子アジアカップ 優勝 (4試合2得点)
2014年 - 第17回アジア競技大会 準優勝 (6試合3得点)
個人成績 > 代表 > 試合数

| 日本代表> 年 | 国際Aマッチ> 出場 | 国際Aマッチ> 得点 |
| --- | --- | --- |
| 2014 | 12 | 5 |
| 通算 | 12 | 5 |
個人成績 > 代表 > 出場試合

| # | 開催日 | 開催都市 | スタジアム | 対戦国 | 結果 | 監督 | 大会 | 出典 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | 2014年5月8日 |  大阪 | キンチョウスタジアム |  ニュージーランド | ○ 2-1 | 佐々木則夫 | なでしこジャパンWORLD MATCH |  |
| 2. | 2014年5月14日 |  ホーチミン | トンニャット・スタジアム |  オーストラリア | △ 2-2 | 佐々木則夫 | 2014 AFC女子アジアカップ |  |
| 3. | 2014年5月18日 |  トゥーザウモット | ビンズオン・スタジアム |  ヨルダン | ○ 7-0 | 佐々木則夫 | 2014 AFC女子アジアカップ |  |
| 4. | 2014年5月22日 |  ホーチミン | トンニャット・スタジアム |  中華人民共和国 | ○ 2-1 | 佐々木則夫 | 2014 AFC女子アジアカップ |  |
| 5. | 2014年5月25日 |  ホーチミン | トンニャット・スタジアム |  オーストラリア | ○ 1-0 | 佐々木則夫 | 2014 AFC女子アジアカップ |  |
| 6. | 2014年9月13日 |  天童 | NDソフトスタジアム山形 |  ガーナ | ○ 5-0 | 佐々木則夫 | なでしこジャパンWORLD MATCH |  |
| 7. | 2014年9月15日 |  仁川 | 仁川南洞アジアードラグビー競技場 |  中華人民共和国 | △ 0-0 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
| 8. | 2014年9月18日 |  仁川 | 仁川南洞アジアードラグビー競技場 |  ヨルダン | ○ 12-0 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
| 9. | 2014年9月22日 |  仁川 | 仁川文鶴競技場 |  チャイニーズタイペイ | ○ 3-0 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
| 10. | 2014年9月26日 |  華城 | 華城スタジアム |  香港 | ○ 9-0 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
| 11. | 2014年9月29日 |  仁川 | 仁川サッカー競技場 |  ベトナム | ○ 3-0 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
| 12. | 2014年10月1日 |  仁川 | 仁川文鶴競技場 |  北朝鮮 | ● 1-3 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
個人成績 > 代表 > ゴール

| # | 開催日 | 開催都市 | スタジアム | 対戦国 | 結果 | 監督 | 大会 | 出典 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | 2014年5月18日 |  トゥーザウモット | ビンズオン・スタジアム |  ヨルダン | ○ 7-0 | 佐々木則夫 | 2014 AFC女子アジアカップ |  |
| 2. | 2014年5月18日 |  トゥーザウモット | ビンズオン・スタジアム |  ヨルダン | ○ 7-0 | 佐々木則夫 | 2014 AFC女子アジアカップ |  |
| 3. | 2014年9月18日 |  仁川 | 仁川南洞アジアードラグビー競技場 |  ヨルダン | ○ 12-0 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
| 4. | 2014年9月18日 |  仁川 | 仁川南洞アジアードラグビー競技場 |  ヨルダン | ○ 12-0 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
| 5. | 2014年9月22日 |  仁川 | 仁川文鶴競技場 |  チャイニーズタイペイ | ○ 3-0 | 佐々木則夫 | 第17回アジア競技大会 |  |
タイトル > クラブ

浦和レッドダイヤモンズ・レディース
日本女子サッカーリーグ：1回 (2014年)
タイトル > 代表

日本女子代表（なでしこジャパン）
AFC女子アジアカップ：1回 (2014年)
タイトル > 個人

日本女子サッカーリーグ 新人賞： (2011年)
サマセット公

| サマセット公爵（第4期） Duke of Somerset |
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 紋章記述  Arms:Quarterly:  1st and 4th, Or on a Pile Gules between six Fleurs-de-lis Azure three Lions of England (being the Coat of Augmentation granted by King Henry VIII on his marriage with Lady Jane Seymour);  2nd and 3rd, Gules two Wings joined in lure the tips downwards Or (Seymour) Crest:Out of a Ducal Coronet Or a Phoenix of the last issuing from flames proper Supporters:Dexter:  an Unicorn Argent armed maned and tufted Or gorged with a Ducal Coronet per pale Azure and Gold to which is affixed a Chain of the last;  Sinister: a Bull Azure ducally gorged chained hoofed and armed Or 
創設時期: 1547年2月15日
創設者: エドワード6世 チャールズ2世(1660年再授与)
貴族: イングランド貴族
初代: 初代公エドワード・シーモア
現所有者: 19代公ジョン・シーモア（英語版）
相続人: シーモア男爵セバスチャン・シーモア
付随称号: シーモア男爵 (ベリー・ポメロイの)準男爵
現況: 存続
邸宅: ブラッドレー・ハウス（英語版） ベリー・ポメロイ城（英語版）
旧邸宅: バルストロード・パーク（英語版）
モットー: 義務による信頼 (Foy Pour Devoir)
サマセット公（英: Duke of Somerset）は、イングランド貴族の公爵位。爵位名はサマセットに由来する。
過去に四回創設されており、現存する第4期のサマセット公爵位は1547年にエドワード・シーモアが叙位されたことに始まる。彼は大逆罪で処刑されたため、1世紀以上にわたって爵位が失われたが、曽孫ウィリアム・シーモアの代の1660年に爵位が復活し、以降2016年現在まで続いている。
サマセット公の歴史 > 皇后マティルダによる創設

ウィリアム・ドゥ・モーン・オブ・ダンスターは、神聖ローマ皇后マティルダ（ヘンリー1世の娘）のお気に入りで、彼女が国王スティーヴンと王位を争った時にもウィリアムはマティルダを支援していた。彼はその功績によって1141年にサマセット伯に叙せられた。もっともこの称号は、スティーヴンにもヘンリー2世（マティルダの息子）にも承認されなかったため、ウィリアムの子孫はこの称号を使わなかった。
サマセット公の歴史 > ボーフォート家

ジョン・ボーフォート（1371年ごろ - 1410年）は、ジョン・オブ・ゴーントとキャサリン・スウィンフォードの息子である。彼は1397年2月10日にサマセット伯爵及びサマセット侯爵に叙せられた。死後、爵位は長男ヘンリー（1401年 - 1418年）が継承するが夭折してしまったため、次男ジョン（1404年 - 1444年）が継承する。1443年8月28日にジョンはサマセット公爵及びケンダル伯爵に叙せられる。しかし翌1444年に急死（自殺説もあり）、公位もケンダル伯位も消滅してしまう。
サマセット伯爵位は急死したジョンの弟エドムンド（1406年 - 1455年）が継承した。エドムンドは既に1442年にはドーセット伯爵に、1443年にはドーセット侯爵に叙せられていたが、新たにサマセットの所領も継承し、1448年3月31日にサマセット公爵に叙せられている。エドムンドがサマセット公の時にヨーク公リチャードがランカスター朝の国王ヘンリー6世に反旗を翻し、国内を二分する薔薇戦争が勃発する。エドムンドはヘンリー6世の側近かつヨーク公の政敵であることから当然ランカスター派に与したが、1455年の第一次セント・オールバンズの戦いで戦死した。
爵位は息子ヘンリー（1436年 - 1464年）が継承する。ヘンリーは1461年3月のタウトンの戦いの敗戦でスコットランドに逃走し、1461年11月4日にヨーク朝のエドワード4世から反逆罪を理由に私権剥奪され、爵位も所領も没収される。1463年3月にスコットランドから戻ったヘンリーは、エドワード4世と和解して爵位・所領共に返還されているが、間もなく再びランカスター派に復帰し、1464年5月のヘクサムの戦いで捕らえられ、処刑された。ヘンリーにはチャールズ・サマセットという子供がいたが、ヘンリー自身未婚だったため嫡子として認められず、サマセット伯を継がせることはできなかった。
議会はヨーク朝に反逆したサマセット公の爵位消滅を議会法によって宣言したが、ランカスター派ではヘンリーの弟エドムンド（1439年ごろ - 1471年）を第4代サマセット公とした。彼は1471年のテュークスベリーの戦いで敗退し、そこで処刑された。彼の死によってボーフォート家の家系は途絶えてしまった。
サマセット公の歴史 > ボーフォート家以降

1499年にヘンリー7世は彼の息子エドムンドがまだ幼い洗礼の際に、サマセット公に指名した。だが彼はわずか1歳で亡くなってしまったため、恐らくは公式に叙せられたわけではない。
ヘンリー8世の私生児ヘンリー・フィッツロイ（1519年 - 1536年）は1525年6月18日にリッチモンド公爵、サマセット公爵及びノッティンガム伯爵に叙せられた。彼が1536年7月22日に亡くなった時に跡継ぎがいなかったため、爵位は消滅した。
ロバート・カーはジェームズ1世の寵臣であり、1611年3月25日にロチェスター子爵に叙せられたほか、枢密院議員に任ぜられた。1612年にソールズベリー伯ロバート・セシルが亡くなると国王の秘書役を務め始め、1613年11月3日にサマセット伯爵に叙せられた。1645年に妻フランセスとの間にできた一人娘を残して亡くなると、爵位は廃絶した。