超越数
超越数の例

最初に証明した人を括弧内に記述するが、特別な条件の場合に対しては、別の人物が既に証明している場合も多々ある。ただしそれらの詳細についてはここの一覧では触れない。詳細は、各記事ならびに参考文献などを参照のこと。
(1) 超越数となる定数の例
自然対数の底 e（エルミート）
円周率 π（リンデマン）
e^{\pi }\ (=(-1)^{-i}) 。これはゲルフォントの定数とよばれる。(オンライン整数列大辞典の数列 A039661) (ゲルフォント＝シュナイダーの定理)
π + eπ, πeπ（ネステレンコ (Yu. V. Nesterenko)）
正の整数を小さい順に並べた小数であるチャンパーノウン定数 0.123456789101112…（マーラー (K. Mahler)）
連分数展開が  \scriptstyle [0;\ a^{F_{0}},\ a^{F_{1}},\ a^{F_{2}},\ \cdots ] である無理数。ただし、a は 2 以上の整数であり、 \scriptstyle \{F_{n}\}_{n\geq 0} はフィボナッチ数列。（クヌース）
チャイティンの定数 Ω
超越数の正の整数乗
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
代数的数  \scriptstyle \alpha \neq 0 に対する、 e^{\alpha }。（リンデマン）
\scriptstyle i\alpha  が有理数ではない代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 e^{\alpha \pi }。（ゲルフォント (A. O. Gel'fond）、シュナイダー (Th. Schneider))
代数的数  \scriptstyle \alpha ,\ \beta \neq 0 に対する、 e^{\alpha \pi +\beta }。（ベイカー）
代数的数  \scriptstyle \alpha \neq 0 に対する、 \sin {\alpha },  \cos {\alpha },  \tan {\alpha }。（リンデマン、ワイエルシュトラス (K. Weierstrass)）
有理数ではない代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \sin {\alpha \pi },  \cos {\alpha \pi },  \tan {\alpha \pi }。（ゲルフォント、シュナイダー）
代数的数  \scriptstyle \alpha ,\ \beta \neq 0 に対する、 \sin {(\alpha \pi +\beta )},  \cos {(\alpha \pi +\beta )},  \tan {(\alpha \pi +\beta )}。（ベイカー）
代数的数  \scriptstyle \alpha \neq 0 に対する、 \sinh {\alpha },\ \cosh {\alpha },\ \tanh {\alpha }。（リンデマン、ワイエルシュトラス）
\scriptstyle i\alpha  が有理数ではない代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \sinh {\alpha \pi },  \cosh {\alpha \pi },  \tanh {\alpha \pi }。（ゲルフォント、シュナイダー）
代数的数  \scriptstyle \alpha ,\ \beta \neq 0 に対する、 \sinh {(\alpha \pi +\beta )},  \cosh {(\alpha \pi +\beta )},  \tanh {(\alpha \pi +\beta )}。（ベイカー）
\scriptstyle \alpha \neq 0,\ 1,\ \beta \notin \mathbb {Q}  を満たす代数的数  \scriptstyle \alpha ,\ \beta  に対する、 \alpha ^{\beta }。（ゲルフォント、シュナイダー）
代数的数  \scriptstyle \alpha \neq 0,\ 1 に対する、 \log {\alpha }。（リンデマン）
乗法的独立 である、0, 1 ではない代数的数  \scriptstyle \alpha ,\ \beta  に対する、 {\tfrac {\log {\alpha }}{\log {\beta }}}。（ゲルフォント、シュナイダー）
代数的数  \scriptstyle \alpha \neq 0 に対する、 \pi +\log {\alpha }。（ベイカー）
(3) 特殊関数の特殊値が超越数となる例
正整数 n に対する、ゼータ関数  \zeta (2n)。（リンデマン）
\scriptstyle \wp (z) を、不変量  \scriptstyle g_{2},\ g_{3} が代数的数であるワイエルシュトラスの  \scriptstyle \wp  関数としたとき、定義域内の任意の代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する  \scriptstyle \wp (\alpha )。（シュナイダー）
\scriptstyle j(\tau ) をクラインのモジュラ関数とし、 \alpha  を、上半平面内の3次以上の代数的数としたときの  \scriptstyle j(\alpha )。（シュナイダー）
\scriptstyle \alpha \neq 0 に対する、位数 0 の第1種ベッセル関数  J_{0}(\alpha )。（ジーゲル）
\scriptstyle \alpha \neq 0 に対する、合流型超幾何級数  F(1,1,c;\alpha )（ c は0以下の整数以外の有理数）。（シドロフスキー (A. B. Shidlovsky)）
ガンマ関数  \scriptstyle \Gamma ({\tfrac {1}{6}}),\ \Gamma ({\tfrac {1}{4}}),\ \Gamma ({\tfrac {1}{3}}),\ \Gamma ({\tfrac {1}{2}}),\ \Gamma ({\tfrac {2}{3}}),\ \Gamma ({\tfrac {3}{4}}),\ \Gamma ({\tfrac {5}{6}})。（チュドノフスキー (G. V. Chudnovsky)）
ベータ関数  \scriptstyle B({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{6}}),\ B({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}}),\ B({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}})。（ジーゲル、シュナイダー、チュドノフスキー）
ヤコビのテータ級数の値  \scriptstyle \vartheta _{1}(0,\alpha ),\ \vartheta _{2}(0,\alpha ),\ \vartheta _{3}(0,\alpha )。（ネステレンコ）
(4) ベキ級数で表される関数の特殊値が超越数となる例
リウヴィル級数： \scriptstyle 0<|\alpha |<1 である代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha ^{-k!}。（マーラー）
フレドホルム級数：2以上の整数  d と、 \scriptstyle 0<|\alpha |<1 である代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha ^{d^{k}}。（マーラー）
自然数列  \scriptstyle \{d_{k}\}_{k\geq 1}\ (d_{k}\geq 2) と、 \scriptstyle 0<|\alpha |<1 である代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha ^{d_{1}\cdots d_{k}}。（西岡）
\scriptstyle \omega >0、整数  \scriptstyle d\geq 2、 \scriptstyle 0<|\alpha |<1 である代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha ^{[\omega d^{k}]}。（田中）
ヘッケ＝マーラー級数：無理数  \scriptstyle \omega >0 と、 \scriptstyle 0<|\alpha |<1 である代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }[k\omega ]\alpha ^{k}。（マーラー）
整数  \scriptstyle d\geq 2、 \scriptstyle 0<|\alpha |<1 である代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \textstyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }(1-\alpha ^{d^{k}})。（マーラー）
\scriptstyle 0<|\alpha |<1 である代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \textstyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }(1-\alpha ^{k})。（ネステレンコ）
\sigma _{k}(n)\ (\scriptstyle k=1,\ 3,\ 5) を約数関数とする。 \scriptstyle 0<|\alpha |<1 である代数的数  \scriptstyle \alpha  に対する、 \textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\sigma _{k}(n)\alpha ^{n}。（ネステレンコ）
(5) 逆数和からなる級数が超越数となる例
\scriptstyle |a|\geq 2 を満たす整数  a に対する、 \textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{a^{2^{k}}+1}}。（ドゥヴェルネ (D. Duverney)）
以下において、 \scriptstyle \{F_{n}\}_{n\geq 0} はフィボナッチ数列とする。
\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!\,F_{2^{k}}}}。（ミニョット (M. Mignotte)、マーラー）
\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}+1}}}。（ベッカー (P. -G. Becker)、トッファー）
任意の正整数  m に対する、 \textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{F_{n}}^{2m}}},\ \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{F_{2n-1}}^{m}}}。（ドゥヴェルネ、西岡（啓）、西岡（久）、塩川）