stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
デウィット郡 (イリノイ州)
人口動態

| 人口推移> 年 | 人口推移> 人口 | 人口推移>  | 人口推移> %± |
| --- | --- | --- | --- |
| 1900 | 18,972 |  | — |
| 1910 | 18,906 |  | −0.3% |
| 1920 | 19,252 |  | 1.8% |
| 1930 | 18,598 |  | −3.4% |
| 1940 | 18,244 |  | −1.9% |
| 1950 | 16,894 |  | −7.4% |
| 1960 | 17,253 |  | 2.1% |
| 1970 | 16,975 |  | −1.6% |
| 1980 | 18,108 |  | 6.7% |
| 1990 | 16,516 |  | −8.8% |
| 2000 | 16,798 |  | 1.7% |
| 2010 | 16,561 |  | −1.4% |
IL Counties 1900-1990 Census QuickFacts
以下は2000年の国勢調査による人口統計データである。
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 基礎データ 人口：16,798人  世帯数：6,770 世帯  家族数：4,684 家族  人口密度：16人/km2（42人/mi2）  住居数：7,282軒  住居密度：7軒/km2（18軒/mi2） 人種別人口構成 白人：97.81%  アフリカン・アメリカン：0.49%  ネイティブ・アメリカン：0.19%  アジア人：0.28%  太平洋諸島系：0.02%  その他の人種：0.50%  混血：0.71%  ヒスパニック・ラテン系：1.27% 先祖による構成 ドイツ系：24.2％  アメリカ人：18.8％  イギリス系：16.2％  アイルランド系：11.4％ 言語による構成 英語：98.4％  スペイン語：1.3％:  年齢別人口構成 18歳未満：24.6%  18-24歳：7.8%  25-44歳：28.3%  45-64歳：23.5%  65歳以上：15.9%  年齢の中央値：38歳  性比（女性100人あたり男性の人口） 総人口：95.6  18歳以上：93.5 世帯と家族（対世帯数） 18歳未満の子供がいる：30.9%  結婚・同居している夫婦：56.8%  未婚・離婚・死別女性が世帯主：8.5%  非家族世帯：30.8%  単身世帯：26.8%  65歳以上の老人1人暮らし：12.6%  平均構成人数 世帯：2.44人  家族：2.95人 収入 収入と家計 収入の中央値 世帯：41,256米ドル  家族：50,429米ドル  性別 男性：35,902米ドル  女性：23,998米ドル  人口1人あたり収入：20,488米ドル  貧困線以下 対人口：8.2%  対家族数：5.8%  18歳未満：11.9%  65歳以上：7.2%
郡区

デウィット郡は下記13の郡区に分割されている。
| 0 | 1 | 2 |
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|  バーネット  クリントニア  クリーク  デウィット  ハープ |  ニクソン  ラトリッジ  サンタアナ  テキサス  タンブリッジ |  ウォペラ  ウェインズビル  ウィルソン |
都市と町 > 都市

クリントン - 郡庁所在地
ファームシティ
都市と町 > 村

デウィット
ケニー
ウォペラ
ウェインズビル
ウェルドン
選挙区

アメリカ合衆国下院議員イリノイ州第15選挙区
イリノイ州下院議員第87選挙区
イリノイ州下院議員第110選挙区
イリノイ州上院議員第44選挙区
イリノイ州上院議員第55選挙区
人口ピラミッド
デウィット郡郡区図
チャールズ・スタークウェザー

| チャールズ・レイモンド・スタークウェザー Charles Raymond Starkweather> 個人情報 |
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生誕:   (1938-11-24) 1938年11月24日  アメリカ合衆国・ネブラスカ州リンカーン
死没:   (1959-06-25) 1959年6月25日（20歳没）  アメリカ合衆国・ネブラスカ州リンカーン / Nebraska State Penitentiary（英語版）
死因:  電気椅子による処刑
殺人
犯行期間:  1957年12月1日–1958年1月29日
国:  アメリカ合衆国
州:  ネブラスカ州、ワイオミング州
犯行現場:   リンカーン、ネブラスカ州ベネット（英語版）  ワイオミング州ダグラス（英語版） 
凶器:   ウィンチェスターモデル1906（英語版）  .410 Stevens Model 59A（英語版）  .38スペシャル弾リボルバー  ナイフ 
逮捕日:  1958年1月29日
司法上処分
刑罰:  死刑
有罪判決:  第一級殺人
収監場所:  Nebraska State Penitentiary（英語版）
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| 画像外部リンク |
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  1958年のスタークウェザーのマグショット
チャールズ・レイモンド・スタークウェザー（Charles Raymond Starkweather、1938年11月24日 – 1959年6月25日）は、当時19歳の1957年11月から1958年1月にかけて、ネブラスカ州とワイオミング州で11人を殺害したアメリカの連続殺人犯。1958年1月21日から逮捕日の1月29日の間に10名を殺害し、1958年の犯行においては14歳の恋仲であるキャリル・アン・フューゲート（英語版）が同伴していた。
スタークウェザーとフューゲートは両名とも殺人事件に関与した罪で有罪判決を受け、 前者は死刑を宣告され事件から17ヶ月後に刑が執行された。フューゲートは17年間服役し、1976年に釈放されている。1959年に執行されたスタークウェザーの電気椅子による処刑は、1994年にハロルド・ラモント・オテイ（英語版）が殺人罪で処刑されるまで、最後に執行されたネブラスカの死刑（英語版）であった。
スタークウェザー事件は、犯罪学者や心理学者によって、連続殺人犯の動機や誘発要因を解明するために分析された。また、リンドバーグ愛児誘拐事件のように、全国的に有名になった初期の犯罪の1つとして同事件は悪名高くなり、当時事件を報道したメディアは公然とスタークウェザーを非難した。
経歴

チャールズ・スタークウェザーはネブラスカ州リンカーンで父ガイと母ヘレン・スタークウェザーの7人兄弟の四男として生を受けた。スタークウェザー家は労働者階級の一家で、父親のガイは大工だったが、両手の関節リウマチのために度々失業しており、母親のヘレンが家計を支えるべくウェイトレスとして働いていた。ガイ・スタークウェザーはチャールズの裁判で、息子を窓から突き落としたことを認めており、後にヘレンはガイの行為が極めて残虐であったことを理由に離婚している。
スタークウェザーはサラトガ小学校、アービング中学校、リンカーン高校（英語版）に在籍した。家庭での生活とは対照的に、暗い学校生活を送っていたと述懐している。スタークウェザーは軽度の先天異常である内反膝（英語版）を持って生まれ、言語障害をクラスメートに揶揄されたと主張している。一方で小学校の担任教師は、スタークウェザーがからかわれていた記憶はないと語っている。
成長して強くなるにつれて、スタークウェザーが唯一秀でた科目は体育であり、そこで自身が受けたいじめへの怒りのはけ口を見つけ、その後、かつて自分をいじめた者たちをいじめるようになった。やがて気に入らない人間に対して憤りを感じるようになり、作家のジンジャー・ストランド（英語版）は、獄中から送られてきたスタークウェザーの手紙からは階級への強い羨望と恨みが読み取れると語っている。高校時代の友人ボブ・フォン・ブッシュは後にこう回想している。
彼は多分、今まで会った中で最も親切な人だ。彼は気に入った人のためなら何でもするさ。一緒に過ごした時間はとても楽しかったよ。彼にとっては、すべてが単なるジョークに過ぎなかった。だけど、彼には別の一面もあった。とてつもなく意地悪で、残酷な一面がね。もしも街で自分より背が高くて、容姿が整っていて、お洒落な奴を見かけたら、そいつを自分と同じ身長まで縮めようとするだろうさ。
スタークウェザーが学校を中退するころには、彼の暴力的な傾向から家族から恐れられていたとされている。
キャリル・アン・フューゲートとの関係

詳細は「:en:Caril Ann Fugate」を参照
1956年、18歳の時、スタークウェザーは13歳のキャリル・アン・フューゲートに紹介された。スタークウェザーは4年目に高校を中退し、新聞倉庫で働き始めた。理由は勤務先がフューゲートの学校に近かったからであり、毎日放課後に彼女のもとを訪れるようになっていた。
スタークウェザーはフューゲートに運転を教えたが、ある日彼女がスタークウェザーの父親の車を大破させたため、チャールズは実家から追放された。倉庫の仕事を辞め、ごみ収集員に転職した。
スタークウェザーは虚無主義的な世界観を展開し始め、自身の現状が残りの人生をどう生きるかの最終的な決定要因であると考え、一方で生物学的な欲求を満たし、他者に対する権力を獲得することだけに邁進した。やがて銀行強盗を企てるようになり、"Dead people are all on the same level（死人はみんな同じレベルだ）"という独自の哲学に到達した。
最初の殺人

1957年11月30日深夜、スタークウェザーはリンカーンのガソリンスタンド従業員のロバート・コルバートに対し、クレジットカードで動物のぬいぐるみを買うことを拒まれたため憤慨した。夜中に幾度も戻ってきて小物を買い、最後にはショットガンを取り出してコルバートにレジの100ドルを渡すよう強要した。コルバートを人里離れた場所まで車で連れて行き、そこで銃を巡って争いになり、コルバートを負傷させた後、数発の銃弾を頭部に撃ち込み射殺した。
1958年の連続殺人事件

1958年1月21日、スタークウェザーはフューゲートの家を訪問した。フューゲートの母親ヴェルダと継父マリオン・バートレットは、彼に近づくなと警告するも、スタークウェザーは2人を射殺した。さらに2歳の娘ベティ・ジーンを撲殺し、全員の遺体を家の裏の小屋と鶏小屋に隠した。
後にスタークウェザーは、フューゲートはずっと現場にいたと主張しているが、フューゲートは帰宅すると、スタークウェザーが銃を持っており、家族が人質に取られていたと主張している。フューゲートはスタークウェザーに自身に協力すれば家族に手出しはしないという旨の発言を受けたと語った。1月27日、2人はフューゲイトの祖母から通報を受けた警察が到着する直前まで家にいた。警察が押し入ったところ、中には誰もおらず、荒らされた形跡は無かった。数日後、チャールズの弟ロドニーと友人のボブ・フォン・ブッシュが家と敷地内を捜索し、隠されていた死体を発見。警察はスタークウェザーとフューゲイトの逮捕に乗り出した。
スタークウェザーとフューゲートは、家族の友人であるネブラスカ州ベネット（英語版）在住のオーガスト・メイヤーの農家へと車を走らせた。スタークウェザーは散弾銃で頭部を撃ち、メイヤーは即死し、飼い犬も殺害した。
その地域から逃走した2人は、車で泥の中に突っ込んで乗り捨てた。地元のティーンエイジャーであるロバート・ジェンセンとキャロル・キングが彼らを乗せようと立ち寄ると、スタークウェザーはベネットの廃墟となったストームセラー（英語版）まで運転するよう強要した。スタークウェザーはジェンセンの後頭部を銃撃した後、キングをレイプしようと試みたが、未遂に終わっている。スタークウェザーはキングに激怒し、射殺した。後にスタークウェザーはジェンセンを撃ったことを認めたが、フューゲートがキングを撃ったと主張した。フューゲートはその時車から一歩も出ていないと主張している。2人はジェンセンの車でベネットから逃走した。
リンカーンの富裕層の地区に車を走らせ、実業家チェスター・ラウアー・ウォードとその妻クララの家に侵入。スタークウェザーはメイドのリュドミーラ・"リリヤン"・フェンクルを刺殺し、ラウアーとクララの帰宅を待った。ウォード夫妻の警戒を避けるべく、ペットの犬の首を折って殺害し、先に帰宅したクララは刺殺された。スタークウェザーは後にクララにナイフを投げつけたことを認めたが、フューゲートが何度も刺して殺害したと主張している。その夜、ラウアー・ウォードが帰宅するとスタークウェザーに射殺された。ウォードの家に新聞が届き、自分たちとフューゲートの殺害された家族の一面の写真を切り抜いた。後にこれらの写真は発見され、家族の死を認知していなかったというフューゲートの主張に疑問が投げかけられた。スタークウェザーとフューゲートは、ウォードの所有する黒の1956年式パッカードに邸内から盗んだ宝石を詰め込み、ネブラスカから逃亡した。
ウォード夫妻とフェンクルが殺害された事件は、ネブラスカ州ランカスター郡内を騒然とさせた。世間の恐怖は、当時の「青少年非行に対するパニック」によって煽られた。この地域の法執行機関は警官を派遣して一軒一軒調査し犯人を捜索した。ネブラスカ州知事のビクター・エマニュエル・アンダーソン（英語版）はNebraska National Guard（英語版）に連絡し、リンカーン警察署長は同市のブロックごとの捜索を要請した。何件ものスタークウェザーとフューゲートの目撃情報が寄せられた後、リンカーン警察は2人を捕らえられなかった無能であると非難を浴びた。自警団が結成され、地元の保安官マール・カーノップは、バーで見つけた男たちを武装させて民兵隊を結成し始めた。
ウォードのパッカードが特定されたために新しい車を求めていた2人はワイオミング州ダグラス（英語版）の郊外の幹線道路沿いで、ビュイックの車内で睡眠を取っていた巡回セールスマンのマール・コリソンを発見する。目を覚ましたコリソンは銃撃を受け、致命傷を負った。。
コリソンの車にはパーキングブレーキが付いており、スタークウェザーにとっては目新しいものだった。スタークウェザーが車を出そうとした折、ブレーキが解除されていなかったために車がエンストし、エンジンを再始動させようとしたところ、通りかかった地質学者のジョー・スプリンクルに助けられた。スタークウェザーはライフルでスプリンクルを脅迫し、口論に発展する。この時、ナトロナ郡のウィリアム・ローマー保安官代理が現場に到着した。フューゲートはローマーに駆け寄り、"It's Starkweather! He's going to kill me!（こいつがスタークウェザーよ！私を殺すつもりだわ！）"という旨の発言をした。
スタークウェザーは車で走り去り、ローマー、ダグラス警察署長のロバート・エインズリー、コンバース郡保安官のアール・ヘフリンの3人の警察官と100mph（160km）を超える速度でカーチェイスを繰り広げた。ヘフリンが発砲した弾丸はフロントガラスを粉砕し、スタークウェザーは飛散したガラス片に深く切りつけられ出血した。停車後に降伏し、1958年1月29日にダグラス近郊で逮捕された。ヘフリンは、"He thought he was bleeding to death. That's why he stopped. That's the kind of yellow son of a bitch he is.（奴は失血死すると思ったから停車したのだろう。奴は臆病者のクソ野郎だ）"と語っている。
裁判と処刑

スタークウェザーはワイオミング州からネブラスカ州への引き渡しを選択し、フューゲートとともに1958年1月下旬にネブラスカ州に到着した。当時ワイオミング州知事を務めていたミルワード・シンプソン（英語版）が死刑制度に反対していたことをスタークウェザーは認知していなかったため、いずれかの州で死刑が執行されるだろうと信じていた。スタークウェザーは最初に、自身がフューゲートを誘拐し、彼女は殺人に一切関与していないと語った。しかし、スタークウェザーは幾度か主張を覆している。裁判でフューゲートが不利になる証言をし、彼女は積極的に犯行を手伝ったと述べた。
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  ネブラスカ州リンカーンに向かうキャリル・フューゲート（1958年2月3日撮影）。
フューゲートは、スタークウェザーが家族を殺すと脅迫して自身を人質にしたと主張し続けてきたが、彼女は家族がすでに死んでいるとは知らなかったと主張した。ハリー・A・スペンサー判事は、フューゲートがスタークウェザーに人質にされたとは考えず、彼女には何度も逃げる機会があったと判断した。スタークウェザーが裁判の後、ネブラスカ刑務所に最初に連行されたとき、自分が死ぬことになるだろうと信じていたと言った。自分が処刑されるなら、フューゲートも処刑されるべきだとも発言している。
スタークウェザーは、陪審員のわずか22時間の評議の後、彼が裁判にかけられた唯一の殺人であるジェンセン殺害の罪で有罪判決を受けた。1958年5月23日、死刑を宣告され、1959年6月25日午前12時4分、ネブラスカ州リンカーンのNebraska State Penitentiary（英語版）で電気椅子で処刑された。処刑の30分前、スタークウェザーの死亡を宣告する予定だった医師、B.A.フィンケルが致命的な心臓発作に見舞われた。 スタークウェザーは辞世の句を残さなかったが、刑務所から両親に宛てた手紙に"but dad I'm not real sorry for what I did cause for the first time me and Caril have (〔ママ〕) more fun.（俺とキャリルは今まで一番楽しい時間を過ごせたんだから、本当に後悔してるわけじゃないよ）"と述べた。伝えられるところによれば、スタークウェザーは差し迫った死について無関心であったという。
処刑後、スタークウェザーはウォード夫妻を含む犠牲者5人と同様、リンカーンのウィウカ墓地（英語版）に埋葬された。
フューゲートは共犯として有罪判決を受け、1958年11月21日に終身刑の判決を受けた。彼女は、ネブラスカ州ヨーク（英語版）のNebraska Correctional Center for Women（英語版）で17年半服役した後、1976年6月に仮釈放された。後にミシガン州に定住した。
犠牲者

ロバート・コルバート（Robert Colvert, 21歳） - ガソリンスタンド店員
マリオン・バートレット（Marion Bartlett, 58歳）- フューゲートの継父
ヴェルダ・バートレット（Velda Bartlett, 36歳）- フューゲートの母
ベティ・ジーン・バートレット（Betty Jean Bartlett, 2歳） - フューゲートの妹
オーガスト・マイヤー（August Meyer, 70歳）- スタークウェザーの家族の友人
ロバート・ジェンセン（Robert Jensen, 17歳）- キャロル・キングの恋仲
キャロル・キング（Carol King, 16歳）- ロバート・ジェンセンの恋仲
リリアン・フェンクル（Lillian Fencl, 51歳）- ウォード家のメイド
クララ・ウォード（Clara Ward, 50歳) - チェスター・ラウアー・ウォードの妻
チェスター・ラウアー・ウォード（Chester Lauer Ward , 47歳）- 実業家
マール・コリソン（Merle Collison, 34歳）- 巡回セールスマン
スタークウェザーによって2匹の犬も犠牲となった。
文化的影響 > 映画とテレビにおいて

映画The Sadist（英語版）（1963）、地獄の逃避行（1973）、Guncrazy（英語版）（1992年）、カリフォルニア（1993年）、ナチュラル・ボーン・キラーズ（1994年）、Starkweather（英語版）（2004年）はスタークウェザーとフューゲートの事件からインスピレーションを得ている。
TVシリーズ「Naked City（英語版）」 - 1962年のエピソード「A Case Study of Two Savages」はスタークウェザー殺人事件にインスパイアされている（カップルを演じたのはリップ・トーンとチューズデイ・ウェルド）。
ネーム・オブ・ザ・ゲーム - 第1シーズンのロバート・スタックのエピソード「The Bobby Currier Story」は同事件をベースにしている。
マーダー - スタークウェザーの伝記を描いており、ティム・ロスが主演を務める。
さまよう魂たち - スタークウェザーのインスピレーションを受けて連続殺人を繰り返す殺人者が登場し、共犯者は女性である。
Deadly Women（英語版） - シーズン4の第4話「Dangerous Liaisons」（2010年9月2日放送）で事件が取り上げられている。
A Crime to Remember（英語版） - シーズン4のプレミアエピソード (2016年12月6日放送) である「Teenage Wasteland」で、スタークウェザーとフューゲートによる事件が取り上げられている。
Breakout Kings（英語版） - シーズン1第7話「Fun with Chemistry」でスタークウェザーとフューゲートが連続殺人犯として言及されている。
The 12th Victim（2023） - 同作では事件におけるフューゲートの役割に焦点を当てている。
文化的影響 > 文学

Ceremony at Lone Tree - ライト・モリス（英語版）が手掛けた1960年の小説。スタークウェザーの殺人事件に部分的に基づいている。
Caril - ニネット・ビーバーが手掛けた非公認のキャリル・アン・フゲートの伝記。
Outside Valentine（英語版） - 被害者のチェスター・ラウアー・ウォードとクララ・ウォードの孫娘であるリザ・ウォードが手掛けた小説。スタークウェザーとフューゲートの事件を題材にしている。
Not Comin' Home to You - ローレンス・ブロックの小説。スタークウェザーとフューゲートの事件に似た描写が存在する。
ホラー作家のスティーヴン・キングは、若い頃にスタークウェザーの殺人事件について読んで強い影響を受け、事件に関する記事をスクラップブックに保管していたと述べた。 スタークウェザーはキングの小説「ザ・スタンド」で、同作の主要な敵であるRandall Flagg（英語版）の知人として言及されている。
文化的影響 > 視覚芸術

2011年、アート写真家クリスチャン・パターソン（英語版）が2005年から2010年まで毎年1月にスタークウェザーとフューゲートが横断した500マイルのルートに沿って撮影した写真集「Redheaded Peckerwood」をリリースした。同写真集には、スタークウェザー、フューゲート、およびその犠牲者が所有していた物品の資料と写真の複製が含まれており、パターソンは写真撮影中にこれらの物品のいくつかを発見した。
コミックブックシリーズ「Northlanders（英語版）」の2010年のストーリー・アーク「Metal」では、スタークウェザーの殺人事件をモチーフにしている。
文化的影響 > 音楽

ブルース・スプリングスティーンの1982年の曲Nebraska（英語版）はスタークウェザーの殺人事件をベースにした一人称の物語である。
J Church（英語版）の1993年の曲「Hate So Real」、スタークウェザーの殺人事件の内容が歌詞となっている。
ビリー・ジョエルの1989年のシングル「ハートにファイア」の曲「We Didn't Start the Fire」の歌詞で事件が言及されている。
チャーチ・オブ・ミザリーの2009年の曲「Badlands (Charles Starkweather & Caril Fugate)」はスタークウェザー殺人事件について歌っている。
モリッシーの2019年のライブツアーの曲「Jack The Ripper」の背景としてスタークウェザー逮捕の写真が使用された。
Nicole Dollanganger（英語版）の2012年の曲「Nebraska」では、スタークウェザー殺人事件の出来事が詳細に説明されている。
バンド「Blood for Blood（英語版）」の1997年の7インチ「Enemy」（英語版）のジャケットにチャールズ・スタークウェザーの写真を使用している。
フィラデルフィアのメタルコアバンド「Starkweather（英語版）」はチャールズ・スタークウェザーが名前の由来となっている。
文化的影響 > ビデオゲーム

ライオネル・スタークウェザー - ジェフリー・ライオネル・ダーマーとチャールズ・スタークウェザーを名前の由来とするスナッフ映画監督で、ステルスホラーゲーム「マンハント」の主要な敵である。
トラウンシュタイン郡

| トラウンシュタイン郡Landkreis Traunstein> 紋章 |
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ドイツでの位置
 
行政
国:   ドイツ
州:   バイエルン州
行政管区:  オーバーバイエルン行政管区
郡長:  ジークフリート・ヴァルフ (Siegfried Walch)（CSU)
地理
面積:  1,533.7 km² (2020-01-01現在) 
人口
人口:  181,763 人 (2023年12月31日現在)
人口密度:  118.5 人/km²
郡庁
所在地:  トラウンシュタイン
住所:  Papst-Benedikt-XVI.-Platz 83278 Traunstein
その他
構成自治体:  35市町村
ナンバープレート:  TS, LF
自治体コード:  09 1 89
公式ウェブサイト:  www.traunstein.com
州内での位置
 
トラウンシュタイン郡 (ドイツ語: Landkreis Traunstein)は、バイエルン州オーバーバイエルン行政管区の南東部に位置する郡。南部と北東部はオーストリア国境、西部はキーム湖に面する。
隣接する郡は、アルトエッティング郡、ベルヒテスガーデナー・ラント郡、ローゼンハイム郡、ミュールドルフ・アム・イン郡。
市町村

| 市 | 町村 |
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 ティットモニング（ドイツ語版）  トラウンロイト（ドイツ語版）  トラウンシュタイン  トロストベルク（ドイツ語版）   市場町 グラッサウ（ドイツ語版）  ヴァーギング・アム・ゼー（ドイツ語版）:  Altenmarkt an der Alz  Bergen  Chieming  Engelsberg  Fridolfing  Grabenstätt  Inzell  Kienberg  Kirchanschöring  Marquartstein  Nußdorf  Obing  Palling  Petting  Pittenhart  Reit im Winkl  Ruhpolding  Schleching  Schnaitsee  Seeon-Seebruck  Siegsdorf  Staudach-Egerndach  Surberg  Tacherting  Taching am See  Übersee  Unterwössen  Vachendorf  Wonneberg
出身人物

アンドレアス・ウェリンガー - スキージャンプ選手 (ルーポルティング)
トーマス・クラウザー - スキージャンプ選手 (ライト・イム・ヴィンクル)
フランツ・シェーンフーバー - 政治家 (ロストベルク)
ロジー・ミッターマイヤー - アルペンスキー選手 (ライト・イム・ヴィンクル)
接続 (ファイバー束)

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: この項目では、ファイバーバンドルの接続概念について説明しています。微分幾何学における接続全般に関する説明については「接続 (微分幾何学)」を、カルタン接続については「カルタン幾何学」を、その他の用法については「接続」をご覧ください。
ファイバーバンドルの接続（せつぞく、英: connection）とは、ベクトルバンドルの接続概念（Koszul接続）を任意のファイバーバンドルに拡張したものである。
これにより、原理的には任意のファイバーバンドル上で接続の概念を考えられるようになるが、実際に研究が進んでいるのはベクトルバンドルの場合とそれに対応する主バンドルの場合、具体的に \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )、 \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )、回転群 SO(n)、ユニタリ群 U(n)、シンプレクティック群 \mathrm {Sp} (n)、スピン群 \mathrm {Spin} (n)等、一般線形群やその閉部分リー群に対する主バンドルの場合である。
なお、これらはそれぞれ実ベクトルバンドル、実計量ベクトルバンドル、複素ベクトルバンドル、複素計量ベクトルバンドル、シンプレクティックバンドル、クリフォードバンドル（英語版）に対応する。
こうした群の場合、主バンドルの接続からベクトルバンドルの接続が定義でき、逆にベクトルバンドルの接続から主バンドルの接続が定義できる事を本章で見る。ファイバーバンドルの接続、特に主バンドルの接続を考える主目的はベクトルバンドルの接続を別の角度から捉え直す事にある。
チャーン・ヴェイユ理論では、特性類という主バンドルを使って特徴づけられる概念を用いるので、上記のように主バンドルに対して接続を定義することで、理論の記述が可能になる。
以下、本項では特に断りがない限り、多様体、関数、バンドル等は全てC∞級の場合を考える。よって紛れがなければ「C∞級」を省略して単に多様体、関数、バンドル等という。
名称に関して

ファイバーバンドルの接続のことをエーレスマン接続（英: Ehresmann conection）と呼ぶ場合があるが、主バンドルに対する接続の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍もあるので注意が必要である。なお主バンドル上においても両者の概念は同値ではなく、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。
両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を一般の接続（英: general connection）、主バンドルの接続を主接続（英: principal connection）と呼ぶ場合がある。
またファイバーバンドルの接続のうち、完備なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた。
動機

「接続 (ベクトル束)」および「レヴィ・チヴィタ接続」も参照
本節では、ファイバーバンドルの接続、中でも特に主バンドルの接続を定義する動機を説明する。
リーマン多様体の接バンドル上のレヴィ・チヴィタ接続、あるいはより一般に任意の多様体のベクトルバンドルの接続はベクトルバンドル E\to M上の微分演算子∇によって定義されている。
M上のベクトル場Xに対し行列 \omega (X)を
により定義し、Xに \omega (X)を対応させる行列値の1-形式 \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}を局所的な基底 (e_{1},\ldots ,e_{m})に関する接続∇の接続形式（英: connection form）という。
∇が定義する共変微分はライプニッツ則により、
とかけるので、接続形式ωが分かれば接続∇が再現でき、ωと∇は1対1対応する。ここで s=s^{j}e_{j}はEの切断である。
実はむしろωから接続概念を定義したほうが、数学的に有利である事が示唆され、このアイデアを結実したのが主バンドルの接続概念である。
接続形式ωから接続概念を定義したほうが有利な理由は２つある。第一に、リーマン多様体であれば∇から定義される曲率テンソルを使って記述できた恒等式、例えば（第二）構造方程式や（第二）ビアンキ恒等式は、一般のベクトルバンドルではωを使わないと記述できない（接続 (ベクトル束)#曲率を参照）。
第二に、接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式ωと強く関係しており、底空間Mの曲線 c(t)に沿って定義された局所的な基底 (e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))をtで微分したものが接続形式 \omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))に一致する。
よって特に（レヴィ・チヴィタ接続などの）∇がEの計量と両立する接続の場合、∇による平行移動は回転変換、すなわち SO(n)の元なので、その微分である接続形式ωは SO(n)のリー代数 {\mathfrak {so}}(n)の元、すなわち歪対称行列である。
このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例では SO(n)）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。
上では回転群 \mathrm {SO} (m)の場合を説明したが、 \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )（を自然に \mathrm {GL} _{2n}(\mathbb {R} )の部分群とみなしたもの）や \mathrm {U} _{n}(\mathbb {C} )、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。
こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。後で説明する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。
そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。
そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化する。そして構造群を持つファイバーバンドルにその主バンドルから接続を誘導する方法を説明する。そして最後にベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。
ファイバーバンドルの接続の定義

ファイバーバンドルの接続概念は、ベクトルバンドルの接続における平行概念を自然に拡張する事で定義する。
ファイバーバンドルの接続の定義 > 定義の背後にある直観

\pi ~:~E\to Mをベクトルバンドルとし、∇をこのバンドルのKoszul接続とする。M上の任意の曲線c(t)とc(t)上の任意の切断s(t)で平行なものに対し、s(t)をE上の曲線とみなしたときに {\tfrac {ds}{dt}}が入るTeEの部分空間を「水平部分空間」と呼ぶ。
以上のように接続∇から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。実際、 {\tfrac {ds}{dt}}が常に水平部分空間に入るような切断s(t)を平行な切断とみなす事で水平部分空間から平行が再現でき、平行概念から接続概念を再現できる事も知られている。
よってベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。
ファイバーバンドルの接続の定義 > 定義

以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。 \pi ~:~E\to MをファイバーFを持つファイバーバンドルとし、e∈EをEの元とするとしπが誘導する写像を \pi _{*}~:~TE\to TMとするとき、
を、eにおけるTeEの垂直部分空間（英: vertical subspace）という。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する：
定義 (接続) ― 
ファイバーバンドル \pi ~:~E\to Mの（C∞級の）接続(英: connection) \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}とは、Eの各点eにおけるTeMの部分空間 {\mathcal {H}}_{e}の族でeに関してC∞級であり、以下の性質を満たすものである：
{\mathcal {H}}_{e}をeにおける水平部分空間（英: horizontal subspace）という。
分解
があれば、TeEの元の {\mathcal {V}}_{e}への射影
すなわち \mathrm {Ker} V_{e}={\mathcal {H}}_{e}、 V_{e}|_{{\mathcal {V}}_{e}}=\mathrm {id} となる線形変換を定義できる。このVeを垂直射影（英: vertical projection）もしくは接続写像（英: connection map）といい、接続写像によって接続概念を定式化することも可能である：
定義 ― 
ファイバーバンドル \pi ~:~E\to Mの（C∞級の）接続(英: connection)とは、eに関してC∞級な写像
の族 \{V_{e}\}_{e\in E}で以下の性質を満たすものである：
V_{e}|_{{\mathcal {V}}_{e}}=\mathrm {id}
後で述べるように、この垂直射影Veが主バンドルの接続の場合は接続形式に対応している。
ファイバーバンドルの接続の定義 > ジェットバンドルによる特徴づけ

本節ではジェットバンドル（英語版）の概念を用いる事でファイバーバンドルの接続を特徴づける。
ファイバーバンドルの接続の定義 > ジェットバンドルによる特徴づけ > ジェットバンドルの定義

\pi ~:~E\to Mをファイバーバンドルとし、uをMの点とする。uの近傍で定義されたEの２つの切断s、s'に対し、
という同値関係を定義し、その同値類を j_{u}^{1}sと書き、sの1次のジェット（英: jet）という。さらに同値類全体を J_{u}^{1}Eと書き、 J^{1}E=\bigcup _{u\in M}J_{u}^{1}Eとすると、
によりJ1EはM上のバンドルとみなせる。このバンドルをファイバーバンドル \pi ~:~E\to Mに関する1次のジェットバンドルという。なお、
によりJ1EをE上のバンドルとみなすこともできる。
ファイバーバンドルの接続の定義 > ジェットバンドルによる特徴づけ > ジェットバンドルを使った接続の特徴づけ

ジェット j_{u}^{1}sを一つ指定すると、点 s_{u}\in Eにおける平面 {\mathcal {H}}_{s_{u}}:=s_{*}(T_{u}M)で垂直部分空間と {\mathcal {V}}_{s_{u}}\cap {\mathcal {H}}_{s_{u}}=\{0\}を満たすものが定義できる。逆に {\mathcal {V}}_{s_{u}}\cap {\mathcal {H}}_{s_{u}}=\{0\}を満たす平面 {\mathcal {H}}_{s_{u}}\subset T_{s_{u}}Eからジェット j_{u}^{1}sが1つ定まる事も容易に示せる。
ファイバーバンドル \pi ~:~E\to Mの接続とはEの各点eに {\mathcal {V}}_{e}\cap {\mathcal {H}}_{e}=\{0\}を満たす {\mathcal {H}}_{e}\subset T_{e}Eを定めるものであったので、上述の議論から、これはEの各点eに s_{\pi (e)}=eを満たすジェット j_{u}^{1}sを定める事に等しく、Eの各点にそのようなジェットを定める行為は
の切断を定める行為に等しい。よって \pi ~:~E\to Mの接続概念を以下のように定式化できる：
定理 (ジェットバンドルを使った接続概念の定式化) ―  \pi ~:~E\to Mをファイバーバンドルとし、J1Eを \pi ~:~E\to Mの1次のジェットバンドルとする。このとき、
の切断を \pi ~:~E\to Mの接続という。
「切断」という「水平部分空間」よりも数学的に扱いやすい対象によって接続を定義できる点でこの定義は有益である。
諸概念

本節では、上記の接続の概念に基づいて、一般のファイバーバンドルに対して平行移動、共変微分、および曲率形式の概念を定義していく。
ベクトルバンドルの場合にこれらの概念がこれまで議論してきた平行移動、共変微分、および曲率形式の概念に一致する事は後述する。
諸概念 > 平行移動

平行移動の概念を以下のように定義する：
定義 (平行移動) ― M上の曲線 c(t)上定義された切断 s(t)が平行であるとは、
が任意のtに対して成立する事をいう。さらにt0、t1を2つの時刻とするとき、 s(t_{1})は s(t_{0})を c(t)に沿って平行移動した元であるという
接続の定義から、
はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像
を考える事ができる。 \mathrm {Lift} _{e}(v)を v\in T_{\pi (e)}Mのeへの水平リフト（英: horizontal lift）といい、vに水平リフトを対応させる写像
 \mathrm {Lift} _{e}~:~T_{\pi (e)}M\to {\mathcal {H}}_{e}をクリストッフェル写像（英: Christoffel map）という事もある。この写像とクリストッフェル記号の関係は後述する。
水平リフトの定義から明らかなように、切断 s(t)が平行である必要十分条件は
を満たす事である。
常微分方程式 {\tfrac {d}{dt}}s(t)=\mathrm {Lift} _{s(t)}\left({\tfrac {d}{dt}}c(t)\right)の解の局所的な存在一意性から、平行移動は局所的に存在し、かつ一意である。
すなわちsを曲線 c(t)の時刻t0のファイバー E_{c(t_{0})}の元とするとき、（t0とsに依存した）t0の近傍 (-\varepsilon ,\varepsilon )が存在し、 (-\varepsilon ,\varepsilon )上ではsの平行移動が一意に存在する。
諸概念 > 完備性 > 定義

前節で平行移動が局所的には必ず存在する事を見たが、平行移動の大域的な存在性は必ずしも保証されない。平行移動が大域的に存在するときに接続は完備であるという：
定義 (完備性) ― 
任意の e\in Eおよび \pi (e)\in Mを通る任意の曲線 c(t)\in Mに対し、 c(t)に沿ったeの平行移動が定義できるとき、接続 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}は完備（英: complete）であるという。
任意のファイバーバンドルに完備な接続が少なくとも1つ入る事が知られている。
なお、接バンドルにおいては「完備」という言葉は
アフィン接続の測地線完備性
リーマン計量が入っている場合の距離空間としての完備性
にも使われるが、上述した接続の完備性はこれらの完備性概念とは別概念である。実際、（アフィン接続に限らず）Koszul接続の場合には、平行移動は常に定義可能であるので、Koszul接続は上述の意味で常に完備である。
ファイバーがコンパクトの場合も完備性が成り立つ：
定理 ― 
 \pi ~:~E\to Mをファイバー空間Fを持つファイバーバンドルとし、 {\mathcal {H}}=\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}をこのバンドルの接続とする。
このとき、Fがコンパクトであれば {\mathcal {H}}は完備である。
諸概念 > 完備性 > 反例

本節では完備ではない接続の例をあげる。 M=\mathbb {R} とし、M上のファイバーバンドル
を考え、このファイバーバンドル上に下記のような接続を考える：
ここで直線の「傾き」は T_{(x,y)}(M\times \mathbb {R} )を自然に M\times \mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} と同一視したときの傾きである。
このようにすると、 M=\mathbb {R} 上の直線 c(t)=tに沿って点 0\in M=\mathbb {R} のファイバー上の点 (0,y_{0})\in M\times \mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} を平行移動した結果できる曲線は
である事を容易に示す事ができる。この平行移動は
の範囲でしか延長できず、完備でない事が言えた。
上記の例でも分かるように、水平移動の局所的存在性において、水平移動が存在する範囲 (-\varepsilon ,\varepsilon )がファイバーの元（上記の例ではy0）に依存しており、上記の例であれば \varepsilon <{\tfrac {1}{y_{0}}}でなくてはならない。この事が水平移動の大域的存在性を保証できない原因となっている。
諸概念 > 共変微分

本節ではまず共変微分を天下り的に定義し、次に平行移動の概念を用いて共変微分の概念の意味付けを行う。
諸概念 > 共変微分 > 定義

定義 (共変微分) ― 
 \pi ~:~E\to Mを接続 \{V_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルとし、sをMの開集合U上で定義されたEの切断とし、XをUの点 x\in UにおけるMの接ベクトルとする。sを多様体Uから多様体Eへの写像とみなしたときにsが接ベクトル空間に誘導する写像を
とする。このとき、 u\in Mに対し、
を点uにおけるsのX方向の共変微分という。
定義 (曲線に沿った共変微分) ― 
 \pi ~:~E\to Mを接続 \{V_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルとし、 c(t)をM上の曲線とし、 s(t)を c(t)に沿ったEの切断とする。このとき、
を c(t)に沿った s(t)の共変微分という。
諸概念 > 共変微分 > リフトとの関係

M上のベクトル場Xに対し、Eの各点eに \mathrm {Lift} _{e}(X_{e})を対応させるベクトル場を
と書くことにすると、以下が成立する事が知られている：
定理 (共変微分とリフトの関係) ― sをMの開集合上で定義された切断とするとき、
よって特に次が成立する：
定理 ―  s(t)を曲線 c(t)上の切断とするとき、
が成立する。
平行移動の定義より、 s(t)が平行であれば、
であった。この事からすなわち、共変微分 {\tfrac {\nabla }{dt}}s(t)とは、平行移動からのズレを表す量である事がわかる。
諸概念 > 共変微分 > 成分表示とクリストッフェル写像

本節では共変微分を成分表示で表し、これにより水平リフトがなぜクリストッフェル写像と呼ばれるのかを見る。このためにファイバーバンドル \pi ~:~E\to Mの点 e_{0}\in Eに対し、 \pi (e_{0})\in Mの近傍Uにおける局所座標 (x^{1},\ldots ,x^{m})を選び、さらに e_{0}\in Eの局所座標
として、局所座標が ((x^{1},\ldots ,x^{m}),(y^{1},\ldots ,y^{n}))の元を \pi ~:~E\to Mで写像するしたものの局所座標が (x^{1},\ldots ,x^{m})となるものを取る。
水平リフトは \pi ~:~E\to Mの右逆写像であった事から、 X=X^{k}{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}をU上のベクトル場とすると、 e\in Eにおける水平リフトは何らかの実数の組 (\Gamma ^{i}{}_{k}(e))_{i,k}を用いて
という形に成分表示できる。共変微分とリフトの関係性から、簡単な計算により、以下の定理を示すことができる：
定理 (共変微分の成分表示) ― 記号を上述のように取り、さらにsをU上定義されたEの切断とし、sを成分表示で
と書く、このとき以下が成立する：
上記の定理をKoszul接続に関する共変微分の成分表示と比較する事で、 \Gamma _{k}{}^{i}(s(x))がクリストッフェル記号に対応している事が分かる。事実Koszul接続では \Gamma _{k}{}^{i}(s(x))がsに関して線形であり、成分表示がクリストッフェル記号と一致する（後述）。
水平リフトの事をクリストッフェル写像と呼んだのは以上の理由による。
諸概念 > 曲率 > 定義

接続概念の定義において垂直方向への射影
を導入したが、同様にして水平方向への射影
も定義できる。
曲率概念はこのVe、Heを使って定義できる：
定理・定義 (ファイバーバンドルの曲率形式) ― 
 \pi ~:~E\to Mを接続 \{V_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルとし、 {\mathcal {H}}_{e}:=\mathrm {Ker} V_{e}への射影を H_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {H}}_{e}とする。
E上のベクトル場ξ、ηに対し、
と定義すると、Ωは C^{\infty }(E)-線形である。ここで [\cdot ,\cdot ]はリー括弧（英語版）である。
よってΩは双線形写像
であるとみなせる。
ΩをファイバーバンドルEの接続 \{V_{e}\}_{e\in E}に関する曲率形式という。
なお、Frölicher–Nijenhuis bracket [\cdot ,\cdot ]_{FN}を用いると、曲率形式は
とも書き表せる。
さらに曲率形式に対する下記の（第二）ビアンキ恒等式が成立する事も示せる
諸概念 > 曲率 > 曲率概念の可積分性による意味付け

曲率概念の意味付けをみるため、いくつかの概念を定義する。
 \pi ~:~E\to Mを接続 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルとし、∇をこの接続が定める共変微分とする。
sをMの開集合U上で定義されたEの切断がUの任意の点uとuにおけるUの任意の接ベクトルvに対し、
を満たすとき、sは平坦(英: flat)であるという。
定義から明らかなようにsが平坦であるとは、sをUからEへの写像とみなしたとき、sが誘導する写像 s_{*}~:~TU\to TEによるTUの像が常に水平部分空間に属する事と同値である。
Eの任意の点eに対し、eを通るEの平坦な切断が存在するとき、接続 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}は平坦であるという。
定義から明らかなように、接続 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が平坦であるという事は、超平面の族 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が可積分である事と同値である。
フロベニウスの定理を用いると、次が成立する事を証明できる：
定理 (曲率と可積分性の関係) ― 
 \pi ~:~E\to Mを接続 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルとするとき、以下の3つは同値である：
\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}は平坦な接続である
超平面の族 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}は可積分である
\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}の曲率形式Ωは恒等的に0に等しい。
したがって曲率形式は水平部分空間　 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が可積分ではない度合いを表す量である。
諸概念 > 曲率 > 曲率概念のホロノミーによる意味づけ

これまで通り \pi ~:~E\to Mを接続 \{V_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルとする。さらに U\in \mathbb {R} ^{2}を \mathbb {R} ^{2}の原点Oの開近傍とし、Uの元を成分で (x^{1},x^{2})と表し、 \varphi ~:~U\to Mを埋め込みとし、 i=1,2に対し、
とする。 c(t)を \mathbb {R} ^{2}上の以下のような閉曲線とする： O\in \mathbb {R} ^{2}から tだけ右に動き、 tだけ上に動き、 tだけ左に動き、 tだけ下に動く。
このとき \varphi \circ c(t)に沿って、 \varphi (O)のファイバー E_{\varphi (O)}の点eを平行移動したものは、
に等しい。この e_{t}を使って曲率形式を特徴づける事ができる：
定理 ― 記号を上のように取る。このとき、 E_{\varphi (O)}を局所座標で表すと、その局所座標で定義される足し算に関して、
が成立する。
一般に、多様体N上の2つのベクトル場X1、X2とN上の関数fに対し、 \Psi _{i}^{t}:=\exp(tX_{i})とすると、点 a\in Nの局所座標 (y^{1},\ldots ,y^{n})で
が成立する事が知られている。上記の定理をNがP、aがe、Xiが \partial _{i}^{*}、fが点yにその第i座標yiを対応させる関数である場合に適用する事で、
が成立する。一般にM上のベクトル場X、Yに対し、
である事が知られているので、
であり、したがって、
であるので定理が証明された。
諸概念 > 曲率 > 成分表示

クリストッフェル写像の節と同様に、Eの元がMの局所座標 (x^{1},\ldots ,x^{m})およびEの垂直方向の局所座標 (y^{1},\ldots ,y^{n})の組 ((x^{1},\ldots ,x^{m}),(y^{1},\ldots ,y^{n}))で書き表されているとし、 e\in Eに対し、
曲率を
と成分表示する。さらにクリストッフェル写像の節と同様、 e\in Eにおける水平リフトを
と書く。
定理 ― 記号を上述のように取る。このとき曲率は
と成分表示できる。
諸概念 > ホロノミー群

本節では特に断りのない限り、 \pi ~:~E\to Mを完備な接続 {\mathcal {H}}=\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルでMが連結なものとする。