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肉体と石
放送と反応

「肉体と石」は BBC One と BBC HD でのサイマル放送で2010年5月1日に初めて放送された。当夜の視聴者数は687万人で、うち653万人が BBC One、34万人が BBC HD での視聴者だった。これは前話「天使の時間」から僅かに数字を伸ばしたことになるが、それでもその夜の全番組の視聴者数では『ブリテンズ・ゴット・タレント』に次いで2番目であった。最終合計値は849万5000人で、801万9000人が BBC One、47万6000人が BBC HD での視聴者であった。その週では、それぞれのチャンネルではこの視聴者数は5位と1位であった。Appreciation Index は86を記録した。
日本では2015年6月18日の午後10時からAXNミステリーで字幕版が放送された。なお同日午後11時からは次話「ヴェネチアの吸血鬼」の字幕版が続けて放送された。
放送と反応 > 批評家の反応

「肉体と石」は主に肯定的にレビューされた。ダニエル・マーティンはガーディアン紙の guardian.co.uk で肯定的なレビューをしており、「『ドクター・フー』史上最も素晴らしいエピソードだと確信を持って主張できる」「馬鹿馬鹿しいくらいに良い。数秒おきに象徴的なシークエンスがあるので、瞬間を選ぶことに意味はない」とコメントした。特にオクタヴィアン神父の死のシーンを彼は称賛し、「神父を見殺しにしなくてはならないと気づいた時、マット・スミスの顔に絶望が忍び寄る。オクタヴィアンの最後のスピーチは名誉と優雅さでもらい泣きをする」と指摘した。IGNのマット・ウェールズは本作に10点満点で10点の評価を与え、「壮大で象徴的な瞬間が詰まっていた」「終わりには、答えよりも多くの疑問と、モファットの几帳面な計画の遥かに良いセンスが残された」と述べた
ギャヴィン・フラーはデイリー・テレグラフのWebサイトにて、本作について「スリルと取りこぼしのジェットコースター」と表現した。彼は森でのシーンを称賛し、エピソードが進むにつれてドクターたちの直面する脅威の状況と規模が遷移するため、全ての感情の範囲に対応していてエピソードのハイライトであると述べた。しかし彼はドクターを誘惑しようとするエイミーの態度には不信感を抱き、「シリーズの普段のトーンを保っていないようだ」「もし何人もの若い子どもたちが見れば、画面に最もふさわしいシーンではないかもしれない」と主張した。
ラジオ・タイムズのパトリック・マルケーンは本作を肯定的にレビューし、「天使の時間」と「肉体と石」を誰もが10点満点中10点と評価する『ドクター・フー』の2エピソード であると表現した。彼は天使の気味の悪さゆえに「天使の時間」の方がわずかに素晴らしいと評価した一方で、「肉体と石」についても「視聴者を緊張感と身震いで爆撃した」と考えた。また、彼は終盤のエイミーの色気のあるおどけた仕草に大層驚かされたとも主張した。
Slant Magazine のスティーヴン・クーパーは本作について「エキサイティングで、アクションの詰まったジェットコースターだ」と述べ、スミスやギランおよびキングストンの演技を称賛するだけでなく、監督アダム・スミスの技量を一級品であると評価した。彼はより明らかなモファットのストーリー・アークと新シリーズの他のストーリー・アークも違いを指摘し、番組にとってようやくの革新だと信じた。彼は視聴者の忘れていた要素を使って天使を倒すという最後の展開も称賛した。天使の動いている様を見られるのは「身の毛のよだつようで良く出来ていた」と感じたが、時間を埋め合わせるための全く重要でないシーンだったと考え、「遥かに独創性に富んだ興味深いものではなかった」と評価した。SFXのデイヴ・ゴールダーは当該シーンを「非常に怖ろしい」と評価して天使の動きは効果的だったとしたが、「かつての素晴らしいモンスターたちが少し弱弱しく馬鹿に思われる」と感じた。また、彼は本作が単調であり、開いた口が塞がらないような暴露もなかったとして、前話には及ばなかったとした。しかし全体的には彼は肯定の立場であり、「しっかりとした、エキサイティングで、手に汗握る45分だった」「緊張感があってアクションが豊富で、記憶に残る洒落や感動的なキャラクターの瞬間が詰まっている」と感じた。彼は特にエイミーのカウントダウン描写やオクタヴィアンの死を称賛し、星5つのうち4つ星の評価をした。
ホームメディア

「肉体と石」は前話「天使の時間」や次話「ヴェネチアの吸血鬼」と共にリージョン2のDVDおよびブルーレイディスクで2010年7月5日に発売された。同年11月8日には完全版第5シリーズDVDセットの一部として再発売された。
日本語版DVDは2014年10月3日に『ドクター・フー ニュー・ジェネレーション DVD-BOX 1』に同梱されて発売された。
ホームメディア > 書籍化

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著者: トレヴァー・バクセンデイル（英語版）
出版社: Pearson Education
出版日: 2011年5月
ISBN: 9781408274132
2011年5月には The Time of Angels というタイトルの下、「天使の時間」と「肉体と石」の小説版が学校リテラシープログラム用に Pearson Education から出版された。トレヴァー・ベクセンデイル（英語版）が執筆を担当した。
その後

2017年には、モファットはドクターとエイミーのキスシーンを改変できればよかったと発言した。TwitterのQ&Aで彼は「書くべき素晴らしいシーンがあったのに、私は完全に書くことを避けていた。私はキスを笑えるようにしたが、それはとても間違っていた」と述べた。
森でのシーンはディーンの森（英語版）のパズルウッド（英語版）で撮影された。
浪花町 (神戸市)

| 浪花町 |
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 町丁
 神戸朝日ビル
 浪花町浪花町の位置
 北緯34度41分20秒 東経135度11分33秒﻿ / ﻿北緯34.68889度 東経135.19250度﻿ / 34.68889; 135.19250
国:   日本
都道府県:   兵庫県
市町村:   神戸市
区:  中央区
人口（2021年（令和3年）12月31日現在）
 • 合計:  0人
等時帯:  UTC+9 (日本標準時)
郵便番号:  650-0035
市外局番:  078 (神戸MA)
ナンバープレート:  神戸
浪花町（なにわまち）は兵庫県神戸市中央区の町名。郵便番号650-0035。
地理

中央区南部に位置する。旧居留地の中央部、東から5番目、西から3番目に位置する南北の道路沿い。
事務所ビルの建ち並ぶ商業地域。東は京町、南は海岸通、西は播磨町、北は三宮町一丁目に隣接。住居表示は未実施で居留地時代から続く旧居留地の他の町と共通の地番を用いる。
歴史

元は神戸外国人居留地内の東西5本南北8本あった道路のうち西から4番目の幅9m、長さ370.8mの道路に1872年（明治5年）付けられた名前。由来は「浪花」からで、他の道と同じく著名な地名から付けられた。
これが正式な町名となったのは1899年（明治32年）に居留地が返還された時である。
はじめ神戸市、1931年（昭和6年）より同市神戸区、1945年（昭和20年）より同市生田区、1980年（昭和55年）より同市中央区に所属。
歴史 > 沿革

1874年（明治7年） - 英国領事館が居留地9番館に移転。
1880年（明治13年）頃 - 旧居留地十五番館（後にノザワ本社社屋となる）建設される。
1881年（明治14年） - 米国領事館が加納町から移転。
1917年（大正6年） - 米国領事館が明石町へ移転。
1919年（大正8年） - オランダ領事館が京町から移転、後に播磨町へ移転。
1920年（大正9年） - ノルウェー領事館が前町から移転。ギリシャ領事館開設。
1928年（昭和3年） - ノルウェー領事館が仲町へ移転。
1933年（昭和8年） - 神戸証券取引所（後の神戸朝日ビル）完成。
1934年（昭和9年） - 前町・仲町・裏町の各一部を編入。
戦後オランダ総領事館、スイス領事館が開設されたがその後移転。
世帯数と人口

2021年（令和3年）12月31日現在の世帯数と人口は以下の通りである。
| 町丁 | 世帯数 | 人口 |
| --- | --- | --- |
| 浪花町 | 0世帯 | 0人 |
平成17年国勢調査（2005年10月1日現在）での定住者なし。
1988年（昭和63年）の世帯数・人口0。
1960年（昭和35年）の世帯数2・人口3。
1920年（大正9年）の世帯数20・人口63。
1901年（明治34年）の戸数14・人口24。
施設

神戸朝日ビル
兵庫県信用保証協会
西日本電信電話株式会社兵庫支店三宮別館
ホテルトラスティ神戸旧居留地
旧居留地十五番館
三井住友銀行神戸本部ビル（神戸銀行本店→太陽神戸銀行本店・神戸本部→さくら銀行関西本部）
ジェンダークィア

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: 性的少数者の総称のひとつである「クィア」とは異なります。
ジェンダークィアのプライド・フラッグ
ジェンダークィア（英: genderqueer）は、性別二元論に当てはまらない性同一性のことを指す。
概説

多くの人では出生時に割り当てられた性別と同じ性同一性を生涯を通して感じており、たいていは男性もしくは女性である。しかし、中にはそうでない人もおり、男女の性別二元論の規範から外れた性同一性を持つことがある。そうした人々は、ノンバイナリー、バイジェンダー、アジェンダー、ジェンダー・フルイドなど個別のラベルを用いることもある。すべてのジェンダークィアの人がトランスジェンダーであると認識するわけではない。
ジェンダークィアの人のジェンダー表現は人それぞれで異なり、服装がより男性的な人もいれば、より女性的な人もいて、中性的な外見を好むこともある。
ジェンダークィアという用語は1990年代に使われるようになった。
「性同一性」も参照
ジャック・ウォルトン

ジャック・ウォルトン（Jack Walton, 1998年4月23日 - ）は、イングランド・ベリー出身のサッカー選手。ダンディー・ユナイテッドFC所属。ポジションはゴールキーパー。
経歴

2015年8月、バーンズリーFCのトップチームと3年契約を交わした。
2016年1月25日、ステイリブリッジ・セルティックFCに28日間の期限付き移籍。2017年9月22日にも、同クラブへ1カ月間期限付き移籍し、その後も、2018年1月に再度期限付き移籍している。
2018年7月2日、バーンズリーとの契約を2年延長した。2020年8月13日には、さらに3年契約を延長した。
7-デオキシロガニン-7-ヒドロキシラーゼ

7-デオキシロガニン-7-ヒドロキシラーゼ（7-deoxyloganin 7-hydroxylase）は、モノテルペノイド生合成酵素の一つで、次の化学反応を触媒する酸化還元酵素である。
この酵素の基質は7-デオキシロガニン、NADPH、H+とO2で、生成物はロガニン、NADP+とH2Oである。
組織名は7-deoxyloganin,NADPH:oxygen oxidoreductase (7α-hydroxylating)である。
船方一

船方 一（ふなかた はじめ、1912年5月30日 - 1957年8月17日）は、日本の詩人。プロレタリア文学の立場から詩作をおこなった。
本名は足立芳一。横浜市に育つ。横浜港で働きながら、演劇、文学に関心をもつ。1932年3月、日本プロレタリア作家同盟神奈川支部の創設に参加し、小林多喜二の虐殺に際しての「同志小林多喜二に」など、支部の雑誌に詩を発表する。その後、治安維持法違反の容疑で検挙され、懲役2年・執行猶予4年の判決を受ける。
出獄後、1935年ころから『詩精神』誌にいくつかの詩を発表し、「ふるさとえの歌」（船方は助詞の「は」「へ」をしばしば「わ」「え」と書いている）「まだ見ぬ同志におくる歌」（今野大力に寄せた詩）などが知られている。
戦後は横浜市の職員になりながら文学運動に加わり、詩集『わが愛わたたかいの中から』を1949年に刊行する。その後、レッドパージで職を追われ、日雇いの仕事をしながら詩作をおこない、あわせて全日自労（日雇い労働者でつくる労働組合）の組合活動や日本共産党の活動にも加わった。1957年、組合の野球大会を企画する会議に出席した帰路で交通事故にあい、逝去した。なお、妻の義兄は国会議員をつとめた春日正一である。
没後、1958年、1979年、2020年と3度にわたり詩集が刊行されている。
津山郵便局 (岡山県)

|  津山郵便局 |
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基本情報
正式名称:  津山郵便局
前身:  津山郵便取扱所
局番号:  54003
設置者:  日本郵便株式会社
所在地:  〒708-8799 岡山県津山市元魚町18
位置:  北緯35度03分36.4秒 東経134度00分03.4秒﻿ / ﻿北緯35.060111度 東経134.000944度﻿ / 35.060111; 134.000944﻿ (津山郵便局 （岡山県）)座標: 北緯35度03分36.4秒 東経134度00分03.4秒﻿ / ﻿北緯35.060111度 東経134.000944度﻿ / 35.060111; 134.000944﻿ (津山郵便局 （岡山県）) ja

貯金
店名:  ゆうちょ銀行 代理店

保険
店名:  かんぽ生命保険 代理店

特記事項
 ATMホリデーサービス実施
テンプレートを表示
津山郵便局（つやまゆうびんきょく）は、岡山県津山市にある郵便局。民営化前の分類では集配普通郵便局であった。
概要

住所：〒708-8799 岡山県津山市元魚町18
概要 > 出張所（局外ATM）

民営化前は以下の場所に出張所としてATMを設置していた。現在も同じ場所にATMがあるが、管理はゆうちょ銀行広島支店となっている。
イオン津山内出張所
津山市役所内出張所
沿革

1872年（明治5年）旧1月 - 津山郵便取扱所として開設。
1873年（明治6年）4月 - 津山郵便役所となる。
1875年（明治8年）1月1日 - 津山郵便局（二等）となる。翌日より為替取扱を開始。
1878年（明治11年）4月 - 貯金取扱を開始。
1889年（明治22年）9月1日 - 津山郵便電信局となる。
1903年（明治36年）4月1日 - 通信官署官制の施行に伴い津山郵便局となる。
1953年（昭和28年）10月 - 局舎新築落成。
1956年（昭和31年）10月1日 - 電話通話および和文電報受付事務の取扱を開始。
1973年（昭和48年）11月 - 局舎新築落成。
1984年（昭和59年）10月1日 - 美作一宮郵便局から集配業務を移管。
1985年（昭和60年）10月28日 - 大崎郵便局から集配業務の一部を移管。
1992年（平成4年）8月3日 - 外国通貨の両替および旅行小切手の売買に関する業務取扱を開始。
2007年（平成19年）10月1日 - 民営化に伴い、併設された郵便事業津山支店に一部業務を移管。
2012年（平成24年）10月1日 - 日本郵便株式会社発足に伴い、郵便事業津山支店を津山郵便局に統合。
2015年（平成27年）3月2日 - 久米郵便局から「709-46xx」区域の集配業務を移管。
取扱内容

郵便、印紙、ゆうパック、内容証明
貯金、為替、振替、振込、国際送金、外貨両替・トラベラーズチェック、国債、投資信託
生命保険、バイク自賠責保険、自動車保険、変額年金保険
ゆうちょ銀行ATM
津山市内の一部地域（〒708-00xx、708-08xx、708-85xx、708-86xx、708-87xx、709-46xx）の集配業務
ゆうゆう窓口
周辺

アルネ津山（天満屋津山店・音楽文化ホールベルフォーレ津山など）
津山中央記念病院
鶴山公園（津山城跡）
国道53号
アクセス

JR姫新線・津山線 津山駅から徒歩約12分
中鉄バス、中鉄美作バス、おおぞらバス、あさひチェリーバス、柵原星のふる里バス 大手町停留所下車
中国自動車道 津山ICから西へ、もしくは院庄ICから東へそれぞれ約5km
駐車場あり：14台
ジャーゴン
jargon

ジャーゴン（又はジャルゴン）（英: jargon）とは本来、「わけのわからない言葉」「意味不明な言葉」を意味する言葉であり、ヨーロッパ諸言語では日常語である。日本語としては以下のような意味合いで用いられる。
部外者には理解できない専門用語や業界用語。
隠語・俗語。
失語症者に見られる症状。支離滅裂で、意味不明な発音。
喃語期以後の子どもが発する意味不明の言葉。
上記から派生したインターネットスラングの別称。ジャーゴンファイルも参照。[要出典]
jargoon, jargon

ジャーゴン (宝石)（英語版） - 無色か薄黄色のジルコンの一種。
ノア管区

ノア管区（ノアかんく　英：Nore Command）とは、イギリス海軍が1961年まで数百年に渡って設置していた主要管区の一つ（訳注:管区は担当地域の防衛と、艦隊の支援に当たる組織。日本海軍の鎮守府に相当する）。その最盛期には、司令長官に大将が補職され、イギリスの防衛にもっとも重要な管区の一つとされていた。
ノアとは、テムズ川河口域にあるメドウェー川河口に位置する泊地で、英蘭戦争以降、海軍の艦隊集結地として重視されるようになっていた。ノアに管区が設立されたのは、メドウェー川流域と、造船所のあるシアネスとチャタムを警備するためであり、そしてその長い歴史の大部分においては北海全域をもその担当区域としていた。ナポレオン戦争中、ヤーマス、ラムズゲート（北海管区の別名で知られる）、リース（エディンバラ郊外の港）に、ノア管区隷下の小規模な管区が設置され、これらはやがて独立した管区となったが、後には再びノア管区の隷下に戻った。
第二次世界大戦中、ノア管区はテムズ川河口に位置していることから、その防衛のため重要性を増すとともに、イングランドの北東部沿岸を航行する船舶の保護の任にも当たった。1944年6月のノルマンディー上陸作戦以降は、西部戦線への補給基地として、さらに重要性を増した。
冷戦期に入り、イギリス海軍が徐々にその規模を縮小させていくに連れ、ノア管区の必要性も薄れていった。その結果、1961年3月31日、ノア管区は廃止されその歴史を閉じた。
湖南市立三雲東小学校

| 湖南市立三雲東小学校 |
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 ja北緯34度58分32.6秒 東経136度6分28.8秒﻿ / ﻿北緯34.975722度 東経136.108000度﻿ / 34.975722; 136.108000座標: 北緯34度58分32.6秒 東経136度6分28.8秒﻿ / ﻿北緯34.975722度 東経136.108000度﻿ / 34.975722; 136.108000
過去の名称:  甲西町立三雲東小学校
国公私立の別:  公立学校
設置者:  湖南市
校訓:  いのちかがやく東っ子
設立年月日:  1984年4月5日
共学・別学:  男女共学
学期:  3学期制
学校コード:  B125221100089 
所在地:  〒520-3221
 滋賀県湖南市三雲3100
外部リンク:  公式サイト
 ウィキポータル 教育  ウィキプロジェクト 学校
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湖南市立三雲東小学校（こなんしりつ みくもひがししょうがっこう）は、滋賀県湖南市にある市立の小学校。
概要

三雲山の麓に位置し、1984年（昭和59年）に甲西町立三雲小学校（当時）から分離した小学校である。
沿革

1982年（昭和57年）
5月10日：三雲小学校から分離し、甲西町（当時）で6番目の小学校を建設することが決定する。
12月21日：建設用地の取得が決定する。
1983年（昭和58年）
3月22日：造成工事を開始。
12月5日：校歌・校章を制定。
1984年（昭和59年）
4月5日：開校式を行う。
7月5日：プールが完成する。
7月16日：竣工式が開催される。
1991年（平成3年）文部省から「同和教育推進地域事業」の指定を受ける（※翌年まで継続）。
1993年（平成5年）6月20日：「健やか」像の除幕式が行われる。
1994年（平成6年）10月25日：滋賀県よい歯の学校 小学校 大規模校の部で準優良校を受賞。
1995年（平成7年）10月24日：滋賀県よい歯の学校 小学校 大規模校の部で奨励校を受賞。
1998年（平成8年）10月22日：日本赤十字社より、日本赤十字社銀色有功章を受賞する。
2001年（平成13年）5月22日：地域の方の協力により、「ふれあい農園活動」を開始する。
2002年（平成14年）5月22日：地域の方の協力による「ふれあい農園活動」を本格実施に移行する。
2004年（平成16年）10月1日：甲賀郡甲西町と石部町が合併して湖南市が発足。湖南市立三雲東小学校に改称。
2006年（平成18年）
4月29日：学校案内塔が完成する。
10月17日：県青少年赤十字研究推進委嘱校として研究発表大会を開催。
2008年（平成20年）
10月23日：滋賀県学校歯科保健優良（努力）校を受賞。
11月5日：滋賀県教育の日・優れた教育実践等に対する顕彰および受賞。
2009年（平成21年）1月23日：第39回お話を絵にするコンクールで学校賞を受賞。
（出典：）
校区

三雲、吉永の一部
進学先中学校

原則として湖南市立甲西中学校に進学する。
カルタン幾何学

カルタン幾何学（かるたんきかがく）（英: Cartan geometry）とは、微分幾何学における概念で、多様体の各点における「一次近似」がクラインの幾何学とみなせるものの事である。カルタンの幾何学はクラインの幾何学とリーマン幾何学を包括する幾何学概念として提案された。
以下、本項では特に断りがない限り、単に多様体、関数、バンドル等といった場合はC∞級のものを考える。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考える。
概要

「エルランゲン・プログラム」も参照
カルタン幾何学の背景にあるのはクラインのエルランゲン・プログラムである。エルランゲン・プログラムは、当時「幾何学」、例えばユークリッド幾何学、双曲幾何学、球面幾何学、射影幾何学等が乱立していた状況に対し、それらを統一する手法を提案したものであり、今日の言葉で言えば、これらはいずれも等質空間の概念を使う事で統一的に記述できる事を示した。
すなわちクラインの意味での幾何学（以下単にクライン幾何学と呼ぶ）とは、リー群Gとその閉部分リー群Hの組 (G,H)を等質空間 M=G/H上に「幾何学を保つ」変換群Gが作用しており、X上の一点の等方部分群がHであるとみなしたものである。
しかしエルランゲン・プログラムには、当時すでに知られていたリーマン幾何学が記述できない、という限界があった。実際リーマン多様体は等質空間にはなっていないので、エルランゲン・プログラムでは記述できない。
カルタンの意味での幾何学（以下単にカルタン幾何学と呼ぶ）は上記の事情を背景に、クラインの幾何学とリーマン幾何学を包含する形で定義された幾何学概念である：
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| ユークリッド幾何学 | 一般化　 | クラインの幾何学 |
| ユークリッド幾何学 | 　→　 | クラインの幾何学 |
| ユークリッド幾何学 | 　 | クラインの幾何学 |
| 　　　↓一般化 |  | 　　　↓一般化 |
| リーマン幾何学 | 一般化 | カルタン幾何学 |
| リーマン幾何学 | 　→　 | カルタン幾何学 |
| リーマン幾何学 | 　 | カルタン幾何学 |
多様体自身にクライン幾何学の構造が入れば、すなわち M=G/Hであれば、Mの各点の接ベクトル空間は自然に {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}と同型になる。ここで {\mathfrak {g}}、 {\mathfrak {h}}はそれぞれG、Hのリー代数である。
そこでちょうどリーマン幾何学の「一次近似」である接ベクトル空間がユークリッド幾何学になっているように、カルタン幾何学では、多様体Mの「一次近似」である接ベクトル空間に、クライン幾何学 G/Hの「一次近似」である {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}を対応させる。このとき、多様体Mには等質空間 G/Hをモデル空間とするカルタンの幾何学の構造が入っている、という。
しかしあくまで「一次近似」がクラインの幾何学と等しいだけなので、実際にはカルタン幾何学はクライン幾何学とはズレる。このズレを図るのがの曲率である。
カルタン幾何学を導入するもう一つの動機が滑りとねじれのない転がしである。これはm次元のリーマン多様体をm次元平面上「滑ったり」、「捻れたり」する事なく「転がした」ときにできる軌跡に関する研究である。
この軌跡はユークリッド幾何学をモデルにするカルタン幾何学を使うことで定式化が可能であり、曲線の発展という。ユークリッド幾何学はm次元平面上の幾何学であるので、m次元平面上の軌跡になるが、一般のクライン幾何学 (G,H)をモデルとするカルタン幾何学の発展は、 M=G/H上の軌跡となる。
定義の背後にある直観

本節ではを参考に、2次元ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学を直観的に説明する。 \mathbb {E} ^{2}を2次元ユークリッド空間とし、 \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})を \mathbb {E} ^{2}の合同変換群とする。すなわち \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})は A\in O(2)と b\in \mathbb {R} ^{2}を使って x\mapsto Ax+bと書ける変換全体の集合である。 \mathbb {E} ^{2}は \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})/O(2)と同一視できる。
Mを2次元多様体とし、M上に人が一人立っているとする。人が立っている場所を u\in Mとし、人の前方向をx軸、左方向をy軸とすると、接ベクトル空間の基底 e_{x},e_{y}\in T_{u}Mが定義できる。Mはユークリッド空間をモデルにしているので、その人は自分の近傍をユークリッド空間だと思っている。
T_{u}Mの正規直交基底全体の集合を F_{u}(M)とし、 F(M)=\cup _{u\in M}F_{u}(M)とすると、 F(M)は自然にM上の O(2)-主バンドルとみなせる。以上の議論から、 F(M)の元は、M上にいる人（とその向き）であるとみなせる。
M上にいる人を (e_{x},e_{y})\in F_{u}(M)と表すとき、その人がM上の位置（＝u）を変えずに向きだけを「無限小だけ」変えた場合、その向きの変化を表す速度ベクトルは TF_{u}(M)の元とみなせるが、これは人の向きを変えた回転変換の微分なので、回転変換群 O(2)の無限小変換群（＝ O(2)に対応するリー代数）である {\mathfrak {o}}(2)の元であるともみなせる。
すなわち、 TF_{u}(M)の元を {\mathfrak {o}}(2)の元と対応させる事ができる：
また人がM上の位置uから無限小だけ歩いた場合は、歩いたことによる (e_{x},e_{y})\in F_{u}(M)の変化の速度ベクトルは T_{u}F(M)の元とみなせるが、その人は自分がユークリッド空間を歩いているのだと理解しているので、速度ベクトルを \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})の無限小変換群（＝ \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{2})のリー代数）である {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})の元であるとみなす。すなわち T_{u}F(M)の元を {\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})と対応付けて考える。
結局、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学とは、M上の O(2)-主バンドル F(M)で、ファイバーごとの線形写像
を持ち、各 u\in Mに対し、uのファイバー F_{u}(M)の接バンドル TF_{u}(M)へのωの制限が
を満たすもので「性質の良いもの」（後述）である。
準備

本節ではカルタン幾何学の定式化に必要となる用語を定義する。
準備 > 基本ベクトル場

Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をそのリー代数とし、さらにNをGが右から作用する多様体（例えばG-主バンドル \pi ~:~P\to Mの全空間P）とする。
定義 (基本ベクトル場) ― リー代数の元 A\in {\mathfrak {g}}と点 p\in Nに対し、
により、N上のベクトル場 {\underline {A}}を定義する。 {\underline {A}}をAに対応するNの基本ベクトル場（英語版）（英: fundamental vector field on N associated to A）という。
なお、NがG-主バンドル \pi ~:~P\to Mの全空間Pの場合には {\underline {A}}_{p}は垂直部分空間 {\mathcal {V}}_{p}の元である事が容易に示せる。
準備 > 随伴表現

定義 (リー群の随伴表現) ― Gをリー群とし {\mathfrak {g}}をそのリー代数とする。このとき、Gの線形表現
を g\in Gに対し、
により定義し、AdをGの随伴表現（英: adjoint representation）という。
ここで \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})は {\mathfrak {g}}上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義は h(t)の取り方によらずwell-defninedである。
準備 > モーレー・カルタン形式

クライン幾何学の構造を調べる準備としてモーレー・カルタン形式を導入する。
定義 (モーレー・カルタン形式) ― Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をそのリー代数とするとき、Gの各点gに対しG上の {\mathfrak {g}}値1-形式 \omega ^{G}{}_{g}を
により定義し、ωGgをGのgにおけるモーレー・カルタン形式という。
ここで L_{g^{-1}}{}_{*}は群の左作用 L_{g^{-1}}~:~h\in G~~\mapsto g^{-1}hが誘導する写像である。
モーレー・カルタン形式は以下を満たす：
定理 ―
(R_{g})^{*}\omega ^{G}=\mathrm {Ad} (g^{-1})\omega ^{G}
d\omega ^{G}+{1 \over 2}[\omega ^{G},\omega ^{G}]=0
ここで [\cdot ,\cdot ]は {\mathfrak {g}}上のリー括弧であり、 {\mathfrak {g}}-値1-形式α、βに対し、 [\alpha ,\beta ](X,Y):=[\alpha (X),\beta (Y)]-[\alpha (Y),\beta (X)]である。
上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式（英: Maurer-Cartan equation）、もしくはリー群Gの構造方程式（英: structure equation）という。
定義と基本概念 > 定義

リー群Gとその閉部分リー群の組 (G,H)で G/Hが連結になるものをクライン幾何学、もしくは（カルタン幾何学のモデルになるので）モデル幾何学（英: model geometry）という。
(G,H)をモデル幾何学とし、 {\mathfrak {g}}、 {\mathfrak {h}}をそれぞれG、Hのリー代数とする。
定義 (クライン幾何学によるカルタン幾何学の定義) ― 
多様体M上のタイプ (G,H)のカルタン幾何学（英: Cartan geomerty of type  (G,H) over M）とは、M上のH-主バンドル \pi ~:~P\to MとP上の {\mathfrak {g}}-値1-形式
の組 (\pi ,P,\omega )で以下の性質を満たすものの事である：
任意の p\in Pに対し、 \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}は同型写像である。
任意の A\in {\mathfrak {h}}に対し、 \omega ({\underline {A}})=A
任意の h\in Hに対し、 R_{h}{}^{*}\omega =\mathrm {Ad} (h^{-1})\omega
ωをH-主バンドル \pi ~:~P\to Mのカルタン接続（英: Cartan connection）という。また紛れがなければMの事をカルタン幾何学という。
3つの条件の直観的な意味を説明する。
1つ目の条件は、 T_{p}Pと {\mathfrak {g}}が同一視できる事を意味しており、前述した直観的説明のように、モデルがユークリッド幾何学であれば、Mにいる人は、自分の近傍がユークリッド空間であるとみなしているので、人の動きの速度ベクトルの集合 T_{p}Pが、無限小変換全体 {\mathfrak {g}}={\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})で記述可能である事を要請するのは自然である。
２つ目の条件は、各 u\in Mに対し、ωが同型写像 A\in {\mathfrak {h}}\mapsto {\underline {A}}\in T_{p}P_{p}の逆写像である事を要請している。 {\underline {A}}は A\in {\mathfrak {h}}が P_{p}に定める無限小変換なので、前述した直観的説明からこれは自然な要請である。なお、この２つ目の条件から特に直観的説明のところで登場した以下の要件が従う：
 \omega (TP_{u})\in {\mathfrak {h}}
３つ目の条件は、前述した直観的説明から u\in Mにいる人は自分の近傍がモデル幾何学 (G,H)に似ているとみなしているので、 h\in Hを右から乗じれば、 {\mathfrak {g}}=T_{e}Gの元は T_{h}Gに移動してしまうので、左からも h^{-1}を乗じて {\mathfrak {g}}=T_{e}Gに戻す随伴表現 \mathrm {Ad} (h^{-1})を作用させたものと等しくなる事を要請する。
なお、 \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}は同型なので、M上定義できるカルタン幾何学には
という制約が課せられる事になる。
定義と基本概念 > 主接続との関係

「接続 (微分幾何学)#主接続の節」および「接続 (ファイバー束)#主接続の節」も参照
カルタン接続の定義は主バンドルの接続（主接続）の接続形式の定義とよく似ているが、両者は似て非なる概念であり、H-主バンドルの主接続の接続形式はHのリー代数 {\mathfrak {h}}に値を取るが、カルタン接続はGのリー代数 {\mathfrak {g}}に値を取っている。しかし、 (\pi ,P,\omega )を (G,H)をモデル幾何学とする多様体M上のカルタン幾何学とするとき、H-主バンドル \pi ~:~P\to M上定義されたカルタン接続 \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}は、自然に
というG-主バンドル上の {\mathfrak {g}}-値1-形式
に拡張する事ができ、 {\bar {\omega }}はG-主バンドル Q\to Mの接続形式である。逆に Q\to Mを任意のG-主バンドルとし、 {\bar {\omega }}をQ上定義された接続形式とするとき、 Q\to MのH-部分バンドル \varphi ~:~P\to Qで \varphi _{*}(TP)\cap \ker \omega =\{0\}であり、しかも \dim G=\dim PであればωのTPへの制限はP上のカルタン接続になる。
なお、モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、上記のものとは別の形の関係性をカルタン接続と主接続は満たす。詳細は後述する。
定義と基本概念 > 無限小クライン幾何学による定式化

定義から分かるように、カルタン幾何学の定義は {\mathfrak {g}}、 {\mathfrak {h}}、およびHには依存しているが、Gには直接依存していない。これは {\mathfrak {g}}、 {\mathfrak {h}}、およびHはM上のカルタン幾何学の局所的な構造を定めるのに対し、Gはクライン幾何学 (G,H)の大域的な構造を定めるものであるため、Gが不要である事による。
リー代数 {\mathfrak {g}}に対応するリー群Gは一意ではなく、これが原因で大域的な構造を定めるGはカルタン幾何学の定義に必須でないばかりか、一部の定理ではGを（ {\mathfrak {g}}に対応する）別のリー群に取り替える必要が生じてしまう。
そこでGに直接言及せず、 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})を使ったカルタン幾何学の定式化も導入する。そのために以下の定義をする：
定義 ― リー代数 {\mathfrak {g}}とその部分リー代数 {\mathfrak {h}}の組 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})を無限小クライン幾何学[訳語疑問点]（英: infinitesimal Klein geometry）もしくはクライン対[訳語疑問点]（英: Klein pair）という。
Hを {\mathfrak {h}}をリー代数
とするリー群とし、さらに
をHの線形表現で、任意の h\in Hに対し、 \mathrm {Ad} (h)の {\mathfrak {h}}への制限 \mathrm {Ad} (h)|_{\mathfrak {h}}がHの {\mathfrak {h}}への随伴表現 \mathrm {Ad} _{\mathfrak {h}}と等しいものとする。ここで \mathrm {GL} _{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})は {\mathfrak {g}}上のリー代数としての自己同型全体の集合である。
このとき、組 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学という。
以下、特に断りがなければ、 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が効果的である事を仮定する。ここで ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が効果的であるとは、 {\mathfrak {h}}に含まれる {\mathfrak {g}}のイデアルが \{0\}のみである事を意味する。G、Hを {\mathfrak {g}}、 {\mathfrak {h}}に対応するリー群とすると、 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が効果的である事は、 X=G/H、 K:=\{g\in G\mid \forall x\in X~:~gx=x\}とするとき、Kが離散群になる事と同値である。
定義 (無限小クライン幾何学によるカルタン幾何学の定義) ― 
Mを多様体とし、 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学とし、
\pi ~:~P\to MをH-主バンドルとし、
ωをクライン幾何学によるカルタン幾何学の定義の条件を満たすP上の {\mathfrak {g}}-値1-形式とする。
このとき、組 (\pi ,P,\omega )をHを伴う ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})をモデルとするM上のカルタン幾何学（英: Cartan geometry on M modeled on  ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}) with H）という。
定義と基本概念 > カルタン幾何学としてのクライン幾何学

本節ではカルタン幾何学の最も簡単な例として、クライン幾何学のカルタン幾何学としての構造を調べる。 (G,H)をクライン幾何学とし、 M=G/Hとし、 u_{0}=[e]とする。ここで [e]はGの単位元eの同値類である。このとき
は自然にH-主バンドルとみなせる。G上のモーレー・カルタン形式 \omega ^{G}がカルタン接続の定義を満たす事を示せるので、 (\pi ,G,\mu )は (G,H)をモデルとするカルタン幾何学になる。
定義と基本概念 > カルタン幾何学としてのクライン幾何学 > 局所クライン幾何学とその上のカルタン幾何学

リー群Gとその閉部分リー群の組 (G,H)を考える。Gの離散部分群 \Gamma で、 G/HへのGからの作用 G\curvearrowright G/Hの \Gamma への制限 \Gamma \curvearrowright G/Hが効果的なものを考える（ \Gamma \curvearrowright G/Hが効果的な事は \Gamma \cap H=\{e\}である事と同値である）。このとき、 \Gamma \curvearrowright G/Hによる商集合 M=\Gamma \backslash G/Hを考える。Mが連結なとき、 (G,H,\Gamma )を局所クライン幾何学（英: locally Klein geometry）という。
局所クライン幾何学M上に以下のようにカルタン幾何学を定義できる。まず \Gamma \curvearrowright G/Hが効果的なので P=\Gamma \backslash Gとすると、商写像
には自然にH-主バンドルの構造が入る。またG上のモーレー・カルタン形式 \omega ^{G}はその定義より左不変なので、商写像 q~:~G\to \Gamma \backslash Gに対し
を満たす一意な {\mathfrak {g}}-値1-形式を \omega ^{\Gamma \backslash G}とする事で、 P=\Gamma \backslash Gにカルタン接続 \omega ^{\Gamma \backslash G}がwell-definedされ、 M=\Gamma \backslash G/H上に (G,H)をモデルとするカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega ^{\Gamma \backslash G})が定義できる。
定義と基本概念 > カルタン幾何学の（局所）幾何学的同型

２つのカルタン幾何学の間の（局所的および大域的な）同型概念を以下のように定義する：
定義 ―  ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学とし、M1、M2を多様体とし、 (\pi _{1},P_{1},\omega _{1})、 (\pi _{2},P_{2},\omega _{2})をそれぞれ ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学とするM1、M2上のカルタン幾何学とする。
バンドル写像
で f~:~M_{1}\to M_{2}がはめ込みであり、 {\tilde {f}}~:~{\tilde {M}}_{1}\to {\tilde {M}}_{2}による \omega _{2}の引き戻しが
となるものをカルタン幾何学間の局所幾何学的同型（英: local geometric isomorphism）という。とくにfが（可微分）同相写像であれば、 (f,{\tilde {f}})を幾何学的同型（英: geometric isomorphism）という。
定義と基本概念 > 定数ベクトル場と普遍共変微分

任意の p\in Pに対して \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}は同型写像であるので、TPはωにより
という同一視ができ、TPはベクトルバンドルとして自明である。
よって特に A\in {\mathfrak {g}}を各 p\in Pに対してωの逆写像でTpPに移すことで、TP上のベクトル場を作る事ができる。
定義 (定数ベクトル場) ―  A\in {\mathfrak {g}}に対し、 \omega ^{-1}(A)を各点 p\in Pに \omega ^{-1}{}_{p}(A)\in T_{p}Pを対応させるベクトル場とする。
このベクトル場を定数ベクトル場[訳語疑問点]（英: constant vector field）という。
定数ベクトル場を用いると、以下の「普遍共変微分」を定義できる：
定義 (普遍共変微分) ― 
Vをベクトル空間とし、 f~:~P\to Vを（滑らかな）写像とする。このとき、fにベクトル場 \omega ^{-1}(A)（は接ベクトル空間の元なので自然に微分作用素とみなしたもの）を作用させた
をfのAによる普遍共変微分[訳語疑問点]（英: universal covariant derivative）という。
モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、普遍共変微分は通常の共変微分を導く。これについては後述。
定義と基本概念 > 接バンドル

本節ではカルタン幾何学が定義された多様体の接バンドルの構造を調べる。そのために以下の定義をする。
(\pi ,P,\omega )を ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学とする。 \mathrm {Ad} はHの {\mathfrak {g}}への作用を定義するが、 \mathrm {Ad} の {\mathfrak {h}}への制限は {\mathfrak {h}}上の随伴表現である（ので \mathrm {Ad} は {\mathfrak {h}}を保つ）ことから、 \mathrm {Ad} はHの {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}への作用を誘導する。またHはH-主バンドルPに作用していたので、これの作用により、ベクトルバンドル
を定義できる。実はこのベクトルバンドルは接バンドルと同型である：
定理 (接バンドルと無限小クライン幾何学の関係) ― ベクトルバンドルとしての同型
が成立する。
具体的には写像
はwell-definedであり、ベクトルバンドルとしての同型写像である。ここで \omega _{p}{}^{-1}(A)は同型写像 \omega _{p}~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}の逆写像 \omega _{p}{}^{-1}で A\in {\mathfrak {g}}を T_{p}Pに移したものである。
定義と基本概念 > 曲率 > 定義

クライン幾何学をカルタン幾何学とみなした場合、カルタン接続はモーレー・カルタン形式ωGと等しいので、カルタン接続は構造方程式
を満たすが、一般のカルタン幾何学は構造方程式を満たすとは限らない。そこで以下の量を考える：
定義 (曲率) ― 
カルタン接続ωを持つ多様体M上のカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )に対し、P上の {\mathfrak {g}}-値2-形式
をカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )の曲率（英: curvature）という。
Ωは（局所）クライン幾何学からのズレを表す量であると解釈でき、明らかにクライン幾何学や局所クライン幾何学の曲率は恒等的に0である。
曲率は以下を満たす：
定理 (カルタン接続のビアンキ恒等式) ― カルタン接続ωとその曲率Ωは下記の恒等式（ビアンキ恒等式、英: Bianchi identity）を満たす：
点 u\in MのファイバーPuにはHが単純推移的に作用するので、 p\in P_{u}をfixして、 h\in H\mapsto ph\in P_{u}によりHとPuを同一視すると、TPu上にモーレー・カルタン形式ωHが定義できる。しかもωHは p\in P_{u}の取り方に依存しないことも容易に証明できる。実は曲率のPuへの制限はωHに一致する。
定理 ― 任意の u\in Mに対し、曲率ΩのTPuへの制限はTPu上のωHに一致する。よって特に、任意の v,w\in T_{p}P_{u}に対し、 \Omega _{p}(v,w)=0である。
なお、実はv、wの少なくとも一方がTpPuに属していれば、 \Omega _{p}(v,w)=0である事が知られている。よって特に次が成立する：
定理 ― M上の {\mathfrak {g}}-値2-形式Ω'が存在し、任意の p\in Pと任意の v,w\in T_{p}P_{u}に対し、以下が成立する：
このΩ'は次節で導入する曲率関数を用いる事で具体的に記述できる。
定義と基本概念 > 曲率 > 曲率関数

\omega _{p}T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}が同型写像であったことから、写像の合成
を定義できる。またすでに述べたようにv、wの少なくとも一方がTpPuに属していれば、 \Omega _{p}(v,w)=0である事が知られている事から、この写像は \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}上の写像をwell-definedに誘導する。
定義 ― 
 \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\wedge ^{2}T_{p}P{\overset {\Omega }{\to }}{\mathfrak {g}}が \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}上に誘導する写像
をカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )の曲率関数（英: curvature function）という。
曲率 \Omega ~:~\wedge ^{2}T_{p}P\approx \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}がM上の {\mathfrak {g}}-値2-形式Ω'を誘導する事を前に見た。このΩ'は曲率関数を使って以下のように書き表す事ができる。
定義と基本概念 > 曲率 > 捩率

さらに以下の定義をする：
定義 (捩率) ― 
曲率Ωを商写像
と合成した \rho (\Omega )はP上の {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}-値2-形式となる。 \tau :=\rho (\Omega )をカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )の捩率（英: torsion）といい、 \tau がP上恒等的に0になるカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )を捩れなし（英: torsion free）であるという。
モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、この捩率はアフィン接続の捩率テンソルに一致する。詳細は後述。
定義と基本概念 > 標準形式

本節の目標は、商写像
とカルタン接続の合成 \rho \circ \omega の幾何学的意味を説明する事である。
まず、 \rho \circ \omega は以下のように特徴づける事ができる：
定理 ( \rho \circ \omega の特徴づけ) ―  \rho \circ \omega は下記を可換にする唯一の写像である：
ここで \varphi _{p}は [A]\in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}に [(p,[A])]\in P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx T_{\pi (p)}Mを対応させる写像である。
上記の特徴付けから、 \rho \circ \omega の幾何学的意味は同型 P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TMに関係しているので、この同型の幾何学的意味を見る。 {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}にベクトル空間としての基底 e_{1},\ldots ,e_{m}をfixし、同型
による [p,e_{i}]の像を e_{i}^{p}とすると、 e^{p}:=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})は T_{\pi (p)}Mの基底をなす。
よって特に、 F:=\{e^{p}\mid p\in P\}とすると、FはM上のフレームバンドル（英語版）（＝各点のファイバーがTMの基底からなるバンドル）になる。
一般には対応
は全単射ではないが、 P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}の定義から、カルタン幾何学が下記の意味で「一階」であれば、この写像は全単射になる：
定義 ― 
随伴表現
が忠実なとき、クライン幾何学 (G,H)（および (G,H)をモデルに持つカルタン幾何学）は一階[訳語疑問点]（英: first order）であるといい、そうでないとき高階[訳語疑問点]（英: higher order）であるという。
以上の準備のもと、 \rho \circ \omega を幾何学的に意味付ける：
定理 ( \rho \circ \omega の解釈) ― 記号を上と同様に取り、カルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )が一階であるとする。このとき、 {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}の基底 e_{1},\ldots ,e_{m}で {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}という同一視を行うと、 v\in T_{p}P\approx T_{e^{p}}Fに対し、
は基底 e^{p}=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})で \pi (v)を成分表示したときの係数 {}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})\in \mathbb {R} ^{m}を対応させる \mathbb {R} ^{m}値1-形式であるとみなせる。
上述の定理より写像
は \rho \circ \omega に等しいので、 v\in T_{p}Pに対し、 \pi _{*}(v)を
と成分表示すると、
が成立する。よって基底 e_{1},\ldots ,e_{m}\in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}により {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}という同一視を行うと、
が成立する。
上記のような、 v\in T_{e}Fに \pi _{*}(v)=v^{i}e_{i}となる {}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})を対応させる \mathbb {R} ^{m}-値1-形式をフレームバンドル上の標準形式（英: canonical form）という。上述の定理はカルタン幾何学が一階であれば \rho \circ \omega は標準形式として意味づけられる事を保証する。
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学

「接続 (微分幾何学)#主接続の節」および「接続 (ファイバー束)#主接続の節」も参照
本節ではモデル幾何学 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )が「簡約可能」という性質を満たす場合にが対するカルタン幾何学の性質を見る。具体的にはモデル幾何学がユークリッド幾何学やアフィン幾何学の場合には簡約可能になる。