シンプレクティック幾何学
アーノルド予想とフレアーホモロジー

(M,\omega ) をシンプレクティック多様体とする。 H 上の滑らかな関数の族  H=\{H_{t}\} で  H_{t+1}=H_{t} をとる。このとき、 H に随伴するハミルトン力学系
が考えられる。1960年代、アーノルドはこのハミルトン力学系の1周期解の個数評価に関して次の予想を提出した。
Conjecture (Arnold) : 次の不等式が成立する：
この予想はハミルトン系の周期解に関する予想であるが、シンプレクティック多様体上の不動点定理としても捉えることができる。すなわち、 \{\phi _{t}\}_{t\in \mathbb {R} }をハミルトンベクトル場  X_{H_{t}}のフローとし、 \gamma :\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to Mをハミルトン系の周期解としよう。簡単のため、 \gamma  の周期は1であるとする。すると、  \gamma (0)\in M は  \phi _{1}(\gamma (0))=\gamma (0) を満たす。つまり、  \gamma (0) はハミルトン微分同相写像の不動点である。この観点からみれば、アーノルド予想とは
Conjecture(Arnold)
また、ハミルトン微分同相写像の固定点の個数に関する、ベッチ数評価やcup length評価版もある。この予想が提出されて以降、いくつかの部分解が証明されたが、本質的に進展したのはフレアーによってである。フレアーは、シンプレクティック多様体が単調 (monotone) であるときにアーノルド予想を解決した。ここで、シンプレクティック多様体  (M,\omega ) が単調であるとは、正数  \tau >0 が存在して、 \,c_{1}(M)|_{\pi _{2}(M)}=\tau [\omega ]|_{\pi _{2}(M)}\,が成り立つことをいう。ここで、 \,c_{1}(M)\,は第一チャーン類、 [\omega ] はシンプレクティック形式が定める2次のコホモロジー類である。フレアーは現在フレアーホモロジーと呼ばれるホモロジーを構成した。その後、ホーファー-サラモンや小野により、シンプレクティック多様体が半正（弱単調ともいう）という条件下で、アーノルド予想のベッチ数評価版が証明された。さらに、Liu-Tian及び深谷・小野により、一般のコンパクトなシンプレクティック多様体において、アーノルド予想ベッチ数評価版が証明された。
さらには、フレアーホモロジーの概念はハミルトン系の周期解に対するものだけでなく、低次元多様体上のSU(2)ゲージ理論やシンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体の交叉理論にも応用される。しかし、これらに共通しているのは、無限次元多様体上でのモース理論の適用である。
以下、ハミルトン系の周期軌道に対するフレアー理論を解説する。シンプレクティック多様体  M の上の閉曲線全体  {\mathcal {L}}M を  M 上の自由ループ空間という。さらにその内で、1点に連続変形可能(可縮という)なものの全体を、 X={\mathcal {L}}_{0}Mと書くことにする。また、 S^{1}と書いたときは、 \mathbb {R} /\mathbb {Z} とパラメトライズされていると仮定する。このとき、時間に依存するハミルトン関数  H\in C^{\infty }(S^{1}\times M) に対して、 X 上の汎関数が次のように定まる：
ここで、 u:D^{2}\to M は2次元円盤  D^{2}から  M への写像で、 \gamma  を境界として持つものである。ただし、 u は唯1つには定まらず、 {\mathcal {A}}_{H} は   X 上の多価な汎関数となる。もし  \pi _{2}(M)=0 と仮定すると、汎関数の値は  u の取り方に依らず、 \gamma  のみに依存する。そこで、以下では \pi _{2}(M)=0であるとして議論を進める。
汎関数  {\mathcal {A}}_{H} に対する変分原理は、 \gamma \in X がハミルトン方程式の周期1の周期解であるのは、 \gamma  が汎関数  {\mathcal {A}} の臨界点であるときであり、かつそのときに限る、ことを主張する。この観察から、アーノルド予想は
と読みかえられる。この不等式は、有限次元多様体上のモースの不等式のアナロジーである： N を有限次元閉多様体とし、 f:N\to \mathbb {R} をその上のモース関数とすると、モースの不等式
が成り立つ。
不等式(*)を示すために、フレアーは次のような鎖複体を考えた；
鎖複体の次数付けはコンリー・ツェンダー指数 (Conley-Zehnder index)  \mu _{H}:\mathrm {Cr} ({\mathcal {A}}_{H})\to \mathbb {Z}  と呼ばれているもので与えられているとする。境界作用素は、
で定義される。ここで、 {\mathcal {M}}(x,y)は臨界点  x から  y へと向かう(負の)勾配曲線のモジュライ空間を表す。
このモジュライ空間についてもう少し詳しく述べよう。 M 上の概複素構造  J で、シンプレクティック形式  \omega  と両立するものが存在する。つまり、 (M,J,\omega ) は概ケーラー多様体となる。このとき、リーマン計量 g_{J}=\omega (\bullet ,J\bullet )から可縮なループからなる「多様体」 X 上の L^{2}-計量を定めることが出来るから、汎関数  {\mathcal {A}}_{H} の（形式的な）勾配ベクトル場が  X 上定義される。いま  X 上の曲線  u:\mathbb {R} \to X を考えると、それはシリンダー  \mathbb {R} \times S^{1} から  M への写像と同一視できる。この同一視を使って、 {\mathcal {A}}_{H} の勾配方程式を書き下すと、フレアー方程式（摂動されたコーシー・リーマン方程式ともいう）
となる。ここで、 s,t はそれぞれ  \mathbb {R} \times S^{1}の第一、第二成分の座標である。(**)の解  u で、 s\to -\infty の極限で u(s,\bullet ):S^{1}\to Mがハミルトン方程式の1周期解xに、 s\to \infty の極限で周期解  y に収束するもののモジュライ空間を {\mathcal {M}}(x,y)と書く。 \mu _{H}(x)-\mu _{H}(y)=1ならば、このモジュライ空間は有限集合であることが証明できる。したがって、上で定義した境界作用素  \delta  はwell-definedである。さらに次の定理が成立すれば、鎖複体 (CF_{\ast }(H),\delta )がようやく構成できたことになる(正確には、概複素構造  J にも依存した鎖複体を構成した）。
定理(フレアー)： (M,\omega ) が単調ならば、 \delta \circ \delta =0が成り立つ。
この定理の証明には上のモジュライ空間のコンパクト性が必要になるが、一般にはフレアー方程式の解の無限列の極限でバブルと呼ばれる現象が生じ、コンパクト性が成り立たない。ただしシンプレクティック多様体の単調性であるとバブルが起きないので、モジュライ空間はコンパクトであるといえる。（正確には上のモジュライ空間のうまいコンパクト化を取ることが出来る。）このとき、張り合わせなどの議論を経て、上の定理が成立する。Hofer-Salamon, 小野はさらに半正でもバブルが起きず、上の定理が成立することを示した。
定義： 鎖複体 (\mathrm {CF} _{\ast }(H,J),\delta )のホモロジーをハミルトン系の（可縮な）周期軌道に対するフレアーホモロジーと呼び、 \mathrm {HF} _{\ast }(H,J)と表す。
シンプレクティック多様体が単調である場合のアーノルド予想は、フレアーによる次の定理から直接従う。
定理(フレアー)：　フレアーホモロジー  \mathrm {HF} _{\ast }(H,J)はハミルトン関数  H 、及び、概複素構造  J に依らず、 M のホモロジーに同型である。