特性類
ポントリャーギン類とオイラー類 > 定理の証明のアイデア > nが偶数の場合のH*(BSO(n),Λ)の構造

n=2mとし、ワイル群 W=W(SO(n))の具体的な形を決定するため、実ベクトル空間として \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}という同一視をし、以下の２種類の行列を考える：
Pσ： (\mathbb {R} ^{2})^{m}の成分を置換 \sigma に従って入れ替える置換行列。すなわち (x_{j},y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}を (x_{\sigma (i)},y_{\sigma (i)})_{i=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}に写す行列。
Ci：yiの符号を反転する写像。すなわち (x_{j},y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}を (x_{j},(-1)^{\delta _{i,j}}y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}に写す行列。ここでδi,jはクロネッカーのデルタである。
Pσの方はxiとyiがセットになって置換されるので \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}上の空間の向きを保ち、SO(n)に属するが、Ciの方は空間の向きを反転するのでO(n)には属するもののSO(n)には属さない。しかしCiを偶数個かけ合わせたものはSO(n)に属する。
命題 ― 
ワイル群の任意の元はCiを偶数個かけ合わせたものとPσを使って書ける。
まず示すべき命題を厳密に記述する：
命題 ― 
n=2mのとき、W=W(SO(n))の任意の元は、
という形で書ける。ここで [\cdot ]は（ワイル群は正規化群を中心化群で割ったものであったので）中心化群による同値類を表し、σは置換である。
ワイル群の元 [A]\in Wの具体的な形が定理に書かれた形である事を示す。
そのために相異なる値 \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}\in [0,2\pi )を選び、 K:=R(\kappa _{1})\oplus \cdots \oplus R(\kappa _{m})とする。
さらに e_{1},f_{1},e_{2},f_{2},\ldots ,e_{m},f_{m}を \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}の基底とし、 E_{i}をei、fiが張る (\mathbb {R} ^{2})^{m}の部分ベクトル空間とする。
ワイル群の定義から、 [A]\in Wと上記のGに対し、 \varphi _{A}(G)\in SO(2)^{m}なので、ある \kappa '_{1},\ldots ,\kappa '_{m}\in [0,2\pi )が存在し、
が成立する。
e'_{i}:=e_{i}A、 f'_{i}:=f_{i}Aとし、e'i、f'iが張る \mathbb {R} ^{2m}の部分ベクトル空間をE'iとすると、直交行列Kの標準形の一意性より、ある置換 \sigma ~:~\{1,\ldots ,m\}\to \{1,\ldots ,m\}が存在し、
が成立する。これは E'_{i}=E_{\sigma (i)}の二組の基底 (e_{i},f_{i})、 (e'_{i},f'_{i})が2次元の可逆行列で移り合う事を意味する。
よってある2次元の可逆行列 A_{1},\ldots ,A_{m}が存在し、
が成立する。Aが向きを保つ直交行列であり、 \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}上の置換行列 P_{\sigma }も向きを保つ直交行列なので、 A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{m}も向きを保つ直交行列でなければならない。したがって A_{1},\ldots ,A_{m}はすべて直交行列であり、しかも |A_{1}|\cdot \cdots \cdot |A_{m}|=1が成立する。ここで |\cdot |は行列式である。
Aiは直交行列なので、
となる \theta _{i}\in [0,2\pi )、 \varepsilon _{i}\in \{0,1\}が存在する。ここで C~:~\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}は (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}を (x,-y)\in \mathbb {R} ^{2}に写す写像であり、 \varepsilon _{i}はAiが向きを保つときは0、そうでないときは1である。
よって
であり、 R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m})\in SO(2)^{m}であるので、
が成立する。また |A_{1}|\cdot \cdots \cdot |A_{m}|=1であった事から |C{}^{\varepsilon _{1}}|\cdots |C{}^{\varepsilon _{m}}|=1が成立し、したがって
も成立する。
よって P_{\sigma }、 C_{i}が H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]上に誘導する写像を特定すれば、 H^{*}(BSO(n);\Lambda )の構造が決定できるが、これらの写像は以下の通りである：
補題 ― 
 P_{\sigma }、 C_{i}が H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]上に誘導する写像は、それぞれ \gamma _{i}を \gamma _{\sigma (i)}に写す写像、 \gamma _{i}を -\gamma _{i}に代える写像である。
P_{\sigma }が誘導する写像が \gamma _{i}を \gamma _{\sigma (i)}に写す写像な事はチャーン類のときの議論と場合と同様、分類空間は直積に対して自然に振る舞う事から従うので、補題の後半のみを示す。
証明はm=1の場合のみ示せば良い。実際、m=1の場合に C_{1}が誘導する写像が \gamma _{i}を -\gamma _{i}に代える写像であれば、 H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} ) \approx \otimes _{i=1,\ldots ,m}H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} ) \approx \otimes _{i=1,\ldots ,m}\Lambda [\gamma _{i}]である事から一般の場合が従う。
すでに述べたように \pi ~:~PSO(2)\to BSO(2)（のモデルの一つ）は、無限次元の正規直交スティーフェル多様体 V_{2}^{O}\mathbb {R} ^{\infty }と向きづけられた無限次元グラスマン多様体 {\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }により、
と表現できた。ここで [e_{1},e_{2}]は (e_{1},e_{2})が張る向きづけられた平面である。
分類空間への誘導写像の定義より、 B\varphi _{C_{1}}~:~BSO(2)\to BSO(2)は、 PSO(2)\times _{\varphi _{C_{1}}}SO(2) =V_{2}^{O}\mathbb {R} ^{\infty }\times _{\varphi _{C_{1}}}SO(2) \to BSO(2) ={\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }の分類写像であった。 C_{1}による共役 \varphi _{C_{1}}~:~SO(2)\to SO(2)は R(\theta )を R(-\theta )に写す写像なので、バランス積 PSO(2)\times _{\varphi _{C_{1}}}SO(2)は
という同値関係で PSO(2)\times SO(2)を割る事により定義される。ここで R(-\theta )(e_{1},e_{2})は (e_{1},e_{2})を含む平面上で (e_{1},e_{2})を -\theta だけ回転させたものである。この同値類による同値関係を以下 [\cdot ]_{\varphi _{C_{1}}}と表す。
写像 \xi を
により定義すると、下記の図式が可換になる：
よって、 B\varphi _{C_{1}}の定義より、 B\varphi _{C_{1}}はξと一致し、ξの定義から B\varphi _{C_{1}}=\xi が H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )上に誘導する写像は、生成元 \gamma _{1}を -\gamma _{1}に写す。
よって、以下が成立する：
命題 ― 
nが偶数のとき、 H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]上のワイル群の作用は、 \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}を置換する写像と、偶数個の \gamma _{i}を符号反転する写像で生成される。
これらの事実を用いると、基本対称式 p_{i}=\sigma _{i}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})と e=\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}を用いて、
と書ける事がわかる。
nが奇数の場合は上述の命題から自明に定理が従うので、nが偶数の場合のみ定理を示す。 n=2mとする。
m=1の場合は、変数γiが1つしかないため「λiの偶数回の符号反転」は恒等写像のみであるので、定理は自明に従う。
m≧2に対し、任意の f(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m})\in \Lambda [\gamma _{1},\gamma _{2}]^{W}は
という形で書きあらわせる。ここで f_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})\gamma _{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots \gamma _{m}{}^{\varepsilon _{m}}は各i=1,2に対し、λiの次数を {\bmod {2}}したものが \varepsilon _{i}になる項の和である。
k,\ell \in \{1,\ldots ,m\}に対し \gamma _{k},\gamma _{\ell }の符号を反転すると、
となる。fは偶数回の符号反転に関して不変でなければならない事から、 f(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m})=f(\gamma _{1},\ldots ,-\gamma _{k}\ldots ,-\gamma _{\ell },\ldots ,\gamma _{m})なので、
 \varepsilon _{k}=\varepsilon _{\ell }となる項以外は0でなければならない。
 k,\ell の任意性から \varepsilon _{1}=\cdots =\varepsilon _{m}となる項のみが生き残る事になるので、fは
であり、fが \gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2},\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}の多項式で書ける事がわかる。
fは変数の入れ替えに対しても不変でなければならないので、以上の議論からfは \gamma _{1}{}^{2},\cdots ,\gamma _{m}{}^{2}の基本対象式と \tau =\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}の多項式として書く事ができ、定理が示された。