メルセンヌ素数と完全数の一覧

完全数としての6の視覚化
最大の素数の桁数の増加を年別で表したグラフ。そのほとんどがメルセンヌ素数である。
メルセンヌ素数と完全数は、数論において深い関係を持つ自然数である。
メルセンヌ素数はマラン・メルセンヌに由来し、2p − 1（pは素数）の形で表される。例えば、3はメルセンヌ素数である（3 = 22 − 1）。メルセンヌ素数を構成する指数pは素数でなければならないが、逆は成立しない（211 − 1 = 2047 = 23 × 89）。
完全数は自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しい自然数である。6の正の約数は1, 2, 3であり、1 + 2 + 3 = 6だから、6は完全数である。
ユークリッドは紀元前3世紀頃に「Mp = 2p − 1 が素数ならば、 Mp × (Mp+1)/2 = 2p − 1 × (2p − 1) は完全数」ということを証明した。例えば、メルセンヌ素数3（22 − 1 = 3）に対して、完全数は6である（22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6）。レオンハルト・オイラーがユークリッド・オイラーの定理を証明し、これらがただひとつの偶数の完全数であることを証明した（メルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一対応）。
メルセンヌ素数や完全数が無数にあるかどうかは未解決の問題である。メルセンヌ素数の個数はLenstra–Pomerance–Wagstaff予想の対象であり、与えられたxより小さいメルセンヌ素数の数は
(eγ / log 2) × log log x（eはオイラー数、γはオイラーの定数、logは自然対数）に近似されるとしている。さらに、奇数の完全数の存在は未解決の問題だが、存在するならば101500より大きい数でなければならないことが証明されている。
以下は、2025年1月現在で既知の52個のメルセンヌ素数と対応する完全数、および指数pの一覧である。そのうち最大のメルセンヌ素数18個がGIMPSにより発見された。発見者は「GIMPS / 参加者の名前」の形式で掲載されている。新たなメルセンヌ素数はリュカ–レーマー・テストにより発見されている。判定法の効率性ゆえに、既知の最大の素数の多くがメルセンヌ素数である。
2021年10月現在、48番目（p = 57,885,161）までのすべての可能性がある指数がGIMPSにより検証されている。49番目以降の順位は暫定であり、新たな素数の発見により変動する可能性がある。桁数が多い数は各数値の最初と最後の6桁のみを示している。
| 順位 | p | メルセンヌ素数> 数 | メルセンヌ素数> 桁数 | 完全数> 数 | 完全数> 桁数 | 発見> 日付 | 発見> 発見者 | 発見> 方法 | 出典 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 3 | 1 | 6 | 1 | 000000000100-01-01-0000Ancient times | Known to Ancient Greek mathematicians | Unrecorded |  |
| 2 | 3 | 7 | 1 | 28 | 2 | 000000000100-01-01-0000Ancient times | Known to Ancient Greek mathematicians | Unrecorded |  |
| 3 | 5 | 31 | 2 | 496 | 3 | 000000000100-01-01-0000Ancient times | Known to Ancient Greek mathematicians | Unrecorded |  |
| 4 | 7 | 127 | 3 | 8128 | 4 | 000000000100-01-01-0000Ancient times | Known to Ancient Greek mathematicians | Unrecorded |  |
| 5 | 13 | 8191 | 4 | 33550336 | 8 | 000000001456-01-01-0000 13th century or 1456 | Ibn Fallus or anonymous | Trial division |  |
| 6 | 17 | 131071 | 6 | 8589869056 | 10 | 000000001588-01-01-00001588年 | Pietro Cataldi | Trial division |  |
| 7 | 19 | 524287 | 6 | 137438691328 | 12 | 000000001588-01-01-00001588年 | Pietro Cataldi | Trial division |  |
| 8 | 31 | 2147483647 | 10 | 230584...952128 | 19 | 000000001772-01-01-00001772年 | Leonhard Euler | Trial division with modular restrictions |  |
| 9 | 61 | 230584...693951 | 19 | 265845...842176 | 37 | 000000001883-11-01-00001883年11月 | Ivan Pervushin | Lucas sequences |  |
| 10 | 89 | 618970...562111 | 27 | 191561...169216 | 54 | 000000001911-06-01-00001911年6月 | Ralph Ernest Powers | Lucas sequences |  |
| 11 | 107 | 162259...288127 | 33 | 131640...728128 | 65 | 000000001914-06-01-00001914年6月1日 | Ralph Ernest Powers | Lucas sequences |  |
| 12 | 127 | 170141...105727 | 39 | 144740...152128 | 77 | 000000001876-01-10-00001876年1月10日 | Édouard Lucas | Lucas sequences |  |
| 13 | 521 | 686479...057151 | 157 | 235627...646976 | 314 | 000000001952-01-30-00001952年1月30日 | Raphael M. Robinson | Lucas–Lehmer test (LLT) on SWAC |  |
| 14 | 607 | 531137...728127 | 183 | 141053...328128 | 366 | 000000001952-01-30-00001952年1月30日 | Raphael M. Robinson | Lucas–Lehmer test (LLT) on SWAC |  |
| 15 | 1,279 | 104079...729087 | 386 | 541625...291328 | 770 | 000000001952-06-25-00001952年6月25日 | Raphael M. Robinson | Lucas–Lehmer test (LLT) on SWAC |  |
| 16 | 2,203 | 147597...771007 | 664 | 108925...782528 | 1,327 | 000000001952-10-07-00001952年10月7日 | Raphael M. Robinson | Lucas–Lehmer test (LLT) on SWAC |  |
| 17 | 2,281 | 446087...836351 | 687 | 994970...915776 | 1,373 | 000000001952-10-09-00001952年10月9日 | Raphael M. Robinson | Lucas–Lehmer test (LLT) on SWAC |  |
| 18 | 3,217 | 259117...315071 | 969 | 335708...525056 | 1,937 | 000000001957-09-08-00001957年9月8日 | Hans Riesel | LLT on BESK |  |
| 19 | 4,253 | 190797...484991 | 1,281 | 182017...377536 | 2,561 | 000000001961-11-03-00001961年11月3日 | Alexander Hurwitz | LLT on IBM 7090 |  |
| 20 | 4,423 | 285542...580607 | 1,332 | 407672...534528 | 2,663 | 000000001961-11-03-00001961年11月3日 | Alexander Hurwitz | LLT on IBM 7090 |  |
| 21 | 9,689 | 478220...754111 | 2,917 | 114347...577216 | 5,834 | 000000001963-05-11-00001963年5月11日 | Donald B. Gillies | LLT on ILLIAC II |  |
| 22 | 9,941 | 346088...463551 | 2,993 | 598885...496576 | 5,985 | 000000001963-05-16-00001963年5月16日 | Donald B. Gillies | LLT on ILLIAC II |  |
| 23 | 11,213 | 281411...392191 | 3,376 | 395961...086336 | 6,751 | 000000001963-06-02-00001963年6月2日 | Donald B. Gillies | LLT on ILLIAC II |  |
| 24 | 19,937 | 431542...041471 | 6,002 | 931144...942656 | 12,003 | 000000001971-03-04-00001971年3月4日 | Bryant Tuckerman | LLT on IBM 360/91 |  |
| 25 | 21,701 | 448679...882751 | 6,533 | 100656...605376 | 13,066 | 000000001978-10-30-00001978年10月30日 | Landon Curt Noll & Laura Nickel | LLT on CDC Cyber 174 |  |
| 26 | 23,209 | 402874...264511 | 6,987 | 811537...666816 | 13,973 | 000000001979-02-09-00001979年2月9日 | Landon Curt Noll | LLT on CDC Cyber 174 |  |
| 27 | 44,497 | 854509...228671 | 13,395 | 365093...827456 | 26,790 | 000000001979-04-08-00001979年4月8日 | Harry L. Nelson & David Slowinski | LLT on Cray-1 |  |
| 28 | 86,243 | 536927...438207 | 25,962 | 144145...406528 | 51,924 | 000000001982-09-25-00001982年9月25日 | David Slowinski | LLT on Cray-1 |  |
| 29 | 110,503 | 521928...515007 | 33,265 | 136204...862528 | 66,530 | 000000001988-01-29-00001988年1月29日 | Walter Colquitt & Luke Welsh | LLT on NEC SX-2 |  |
| 30 | 132,049 | 512740...061311 | 39,751 | 131451...550016 | 79,502 | 000000001983-09-19-00001983年9月19日 | David Slowinski et al. (Cray) | LLT on Cray X-MP |  |
| 31 | 216,091 | 746093...528447 | 65,050 | 278327...880128 | 130,100 | 000000001985-09-01-00001985年9月1日 | David Slowinski et al. (Cray) | LLT on Cray X-MP/24 |  |
| 32 | 756,839 | 174135...677887 | 227,832 | 151616...731328 | 455,663 | 000000001992-02-17-00001992年2月17日 | David Slowinski et al. (Cray) | LLT on Harwell Lab's Cray-2 |  |
| 33 | 859,433 | 129498...142591 | 258,716 | 838488...167936 | 517,430 | 000000001994-01-04-00001994年1月4日 | David Slowinski et al. (Cray) | LLT on Cray C90 |  |
| 34 | 1,257,787 | 412245...366527 | 378,632 | 849732...704128 | 757,263 | 000000001996-09-03-00001996年9月3日 | David Slowinski et al. (Cray) | LLT on Cray T94 |  |
| 35 | 1,398,269 | 814717...315711 | 420,921 | 331882...375616 | 841,842 | 000000001996-11-13-00001996年11月13日 | GIMPS / Joel Armengaud | LLT / Prime95 on 90 MHz Pentium PC |  |
| 36 | 2,976,221 | 623340...201151 | 895,932 | 194276...462976 | 1,791,864 | 000000001997-08-24-00001997年8月24日 | GIMPS / Gordon Spence | LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium PC |  |
| 37 | 3,021,377 | 127411...694271 | 909,526 | 811686...457856 | 1,819,050 | 000000001998-01-27-00001998年1月27日 | GIMPS / Roland Clarkson | LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium PC |  |
| 38 | 6,972,593 | 437075...193791 | 2,098,960 | 955176...572736 | 4,197,919 | 000000001999-06-01-00001999年6月1日 | GIMPS / Nayan Hajratwala | LLT / Prime95 on IBM Aptiva with 350 MHz [[Pentium II processor |  |
| 39 | 13,466,917 | 924947...259071 | 4,053,946 | 427764...021056 | 8,107,892 | 000000002001-11-14-00002001年11月14日 | GIMPS / Michael Cameron | LLT / Prime95 on PC with 800 MHz Athlon T-Bird processor |  |
| 40 | 20,996,011 | 125976...682047 | 6,320,430 | 793508...896128 | 12,640,858 | 000000002003-11-17-00002003年11月17日 | GIMPS / Michael Shafer | LLT / Prime95 on Dell Dimension PC with 2 GHz Pentium 4 processor |  |
| 41 | 24,036,583 | 299410...969407 | 7,235,733 | 448233...950528 | 14,471,465 | 000000002004-05-15-00002004年5月15日 | GIMPS / Josh Findley | LLT / Prime95 on PC with 2.4 GHz Pentium 4 processor |  |
| 42 | 25,964,951 | 122164...077247 | 7,816,230 | 746209...088128 | 15,632,458 | 000000002005-02-18-00002005年2月18日 | GIMPS / Martin Nowak | LLT / Prime95 on PC with 2.4 GHz Pentium 4 processor |  |
| 43 | 30,402,457 | 315416...943871 | 9,152,052 | 497437...704256 | 18,304,103 | 000000002005-12-15-00002005年12月15日 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone | LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri |  |
| 44 | 32,582,657 | 124575...967871 | 9,808,358 | 775946...120256 | 19,616,714 | 000000002006-09-04-00002006年9月4日 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone | LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri |  |
| 45 | 37,156,667 | 202254...220927 | 11,185,272 | 204534...480128 | 22,370,543 | 000000002008-09-06-00002008年9月6日 | GIMPS / Hans-Michael Elvenich | LLT / Prime95 on PC |  |
| 46 | 42,643,801 | 169873...314751 | 12,837,064 | 144285...253376 | 25,674,127 | 000000002009-06-04-00002009年6月4日 | GIMPS / Odd Magnar Strindmo | LLT / Prime95 on PC with 3 GHz Intel Core 2 processor |  |
| 47 | 43,112,609 | 316470...152511 | 12,978,189 | 500767...378816 | 25,956,377 | 000000002008-08-23-00002008年8月23日 | GIMPS / Edson Smith | LLT / Prime95 on Dell OptiPlex PC with Intel Core 2 Duo E6600 processor |  |
| 48 | 57,885,161 | 581887...285951 | 17,425,170 | 169296...130176 | 34,850,340 | 000000002013-01-25-00002013年1月25日 | GIMPS / Curtis Cooper | LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri |  |
| * | 72,072,997 | Lowest unverified milestone | Lowest unverified milestone | Lowest unverified milestone | Lowest unverified milestone | Lowest unverified milestone | Lowest unverified milestone | Lowest unverified milestone | Lowest unverified milestone |
| 49 | 74,207,281 | 300376...436351 | 22,338,618 | 451129...315776 | 44,677,235 | 000000002016-01-07-00002016年1月7日 | GIMPS / Curtis Cooper | LLT / Prime95 on PC with Intel Core i7-4790 processor |  |
| 50 | 77,232,917 | 467333...179071 | 23,249,425 | 109200...301056 | 46,498,850 | 000000002017-12-26-00002017年12月26日 | GIMPS / Jonathan Pace | LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-6600 processor |  |
| 51 | 82,589,933 | 148894...902591 | 24,862,048 | 110847...207936 | 49,724,095 | 000000002018-12-07-00002018年12月7日 | GIMPS / Patrick Laroche | LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-4590T processor |  |
| * | 130,439,863 | Lowest untested milestone | Lowest untested milestone | Lowest untested milestone | Lowest untested milestone | Lowest untested milestone | Lowest untested milestone | Lowest untested milestone | Lowest untested milestone |
| 52 | 136,279,841 | 881694...871551 | 41,024,320 | 388692...008576 | 82,048,640 | 000000002024-10-12-00002024年10月12日 | GIMPS / Luke Durant | LLT / PRPLL on Nvidia H100 GPU |  |