ワグスタッフ素数
一般化

より一般的な次の形の数を考えることが自然である
ただし底は  b\geq 2 である。 n が奇数のときには
であるので、これらの一般化されたワグスタッフ数は、負の底  -b をもったレピュニット数のケースと考えられることがある。
いくつかの特定の  b の値について、（非常に小さい  n に対して例外があるかもしれないがそれを除いて）すべての  Q(b,n) は、「代数的な」分解のために合成数である。具体的には、 b が奇数の指数をもった完全冪の形（例えば 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, etc. オンライン整数列大辞典の数列 A070265）であれば、 m が奇数のとき  x^{m}+1 が  x+1 で割り切れるという事実によって、これらの特殊な場合には  Q(a^{m},n) は  a^{n}+1 で割り切れる。別のケースは k を正の整数として  b=4k^{4} のときである（例えば 4, 64, 324, 1024, 2500, 5184, etc. オンライン整数列大辞典の数列 A141046）。このとき aurifeuillean factorization（英語版） がある。
しかしながら、 b が代数的な分解をもたないときは、 Q(b,n) が素数になる  n が無数に存在するという予想を立てることができる。（ b ≤ 300 に対しては、素数や PRP が知られていない 9 つの底 97, 103, 113, 175, 186, 187, 188, 220, and 284 が存在し、PRP は知られているが素数であることが証明されていないような 7 つの底 53, 124, 150, 182, 205, 222, and 296 が存在する。リストを見よ。すべての n が奇素数であることに注意せよ。）
オンライン整数列大辞典の数列 A084742
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Base | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 | +10 | +11 | +12 | +13 | +14 | +15 | +16 | +17 | +18 | +19 | +20 |
| 0+ | None | 3 | 3 | 3 | 5 | 3 | 3 | None | 3 | 5 | 5 | 5 | 3 | 7 | 3 | 3 | 7 | 3 | 17 | 5 |
| 20+ | 3 | 3 | 11 | 7 | 3 | 11 | None | 3 | 7 | 139 | 109 | None | 5 | 3 | 11 | 31 | 5 | 5 | 3 | 53 |
| 40+ | 17 | 3 | 5 | 7 | 103 | 7 | 5 | 5 | 7 | 1153 | 3 | 7 | 21943 | 7 | 3 | 37 | 53 | 3 | 17 | 3 |
| 60+ | 7 | 11 | 3 | None | 19 | 7 | 3 | 757 | 11 | 3 | 5 | 3 | 7 | 13 | 5 | 3 | 37 | 3 | 3 | 5 |
| 80+ | 3 | 293 | 19 | 7 | 167 | 7 | 7 | 709 | 13 | 3 | 3 | 37 | 89 | 71 | 43 | 37 | >10000 | 19 | 7 | 3 |
| 100+ | 7 | 3 | >10000 | 673 | 11 | 3 | 103 | 13 | 59 | 23 | 3 | 3 | >10000 | 7 | 7 | 113 | 271 | 3 | 29 | 3 |
| 120+ | 5 | 293 | 29 | 16427 | None | 5 | 317 | 7 | 17 | 467 | 5 | 3 | 5 | 13 | 5 | 5 | 101 | 103 | 3 | 59 |
| 140+ | 5 | 3 | 7 | 3 | 7 | 17 | 11 | 3 | 17 | 6883 | 3 | 13 | 13 | 3 | 5 | 3 | 5 | 5 | 283 | 11 |
| 160+ | 31 | 3 | 3 | 7 | 3 | 17 | 17 | 3 | 3 | 7 | 13 | 37 | 7 | 3 | >10000 | 5 | 3 | 61 | 827 | 5 |
| 180+ | 449 | 1487 | 11 | 19 | 11 | >10000 | >10000 | >10000 | 3 | 3 | 479 | 109 | 3 | 19 | 3 | 43 | 31 | 37 | 313 | 7 |
| 200+ | 43 | 229 | 5 | 3 | 5449 | 101 | 3 | 61 | 311 | 3 | 79 | 101 | 59 | 73 | 277 | 3 | 499 | 241 | 3 | >10000 |
| 220+ | 149 | 1657 | 5 | 7 | 383 | 7 | 89 | 7 | 11 | 13 | 7 | 3 | 11 | 7 | 223 | 11 | 3 | 23 | 59 | 7 |
| 240+ | 19 | 5 | None | 71 | 5 | 3 | 3 | 7 | 19 | 857 | 5 | 43 | 5 | 569 | 7 | 5 | 5 | 5 | 19 | 397 |
| 260+ | 109 | 7 | 13 | 19 | 5 | 31 | 3 | 5 | 11 | 17 | 401 | 103 | 3 | 61 | 7 | 5 | 59 | 167 | 3 | 3 |
| 280+ | 7 | 7 | 37 | >10000 | 29 | 5 | 137 | 3 | 3 | 5 | 3 | 19 | 47 | 3 | 29 | 1303 | 5 | 7 | 17 | 97 |
b = 53, 124, 150, 182, 205, 222, 296 に対しては確率的素数しか存在ない。
b = 97, 103, 113, 175, 186, 187, 188, 220, 284 に対しては素数も PRP も知られていない。
代数的な分解のために、b = 8, 27, 32, 64, 125, 243 に対しては素数が存在しない。（b = 1 の場合はすべて 1 だが 1 は素数でない）
すべての奇素数がリストにあることが期待される。
b=10 に対して、素数は次のように現れる。9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091, … オンライン整数列大辞典の数列 A097209。また、これらの n は次のようになる。5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... オンライン整数列大辞典の数列 A001562。
Q(b,prime(n)) が素数になるような最小の底 b は