stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
グレゴリー (DD-82)

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艦歴
発注: 
起工: 1917年8月25日
進水: 1918年1月27日
就役: 1918年6月1日 1940年11月4日
退役: 1922年7月7日
除籍: 1942年10月2日
その後: 1942年9月5日に戦没
性能諸元
排水量: 1,191トン
全長: 314 ft 4 in (96 m)
全幅: 30 ft 11 in (9.4 m)
吃水: 9 ft 2 in (2.8 m)
機関: 2缶 蒸気タービン2基 2軸推進、13,500shp
最大速: 駆逐艦当時 35ノット(65 km/h)
乗員: 士官、兵員141名
兵装: 駆逐艦当時 4インチ砲4門、3インチ砲1門、21インチ魚雷発射管12門
グレゴリー (USS Gregory, DD-82/APD-3) は、アメリカ海軍の駆逐艦。ウィックス級駆逐艦の1隻。艦名は米英戦争と南北戦争で活躍したフランシス・グレゴリー（英語版）少将にちなむ。その名を持つ艦としては初代。
艦歴

グレゴリーはマサチューセッツ州クインシーのフォアリバー造船所で1917年8月25日に起工し、1918年1月27日にグレゴリー少将のひ孫娘ジョージ・S・トレヴァー夫人によって進水。艦長アーサー・P・フェアフィールド中佐の指揮下1918年6月1日に就役する。
艦歴 > 第一次世界大戦

グレゴリーは竣工後まもなく、ニューヨークからフランスのブレストに向かうイギリスとフランスの輸送船で構成された輸送船団に合流し、第一次世界大戦における最後の大西洋の戦いの夏を過ごした。大戦終結間近の1918年11月2日にはジブラルタルの哨戒隊に配備される。休戦成立後は大西洋と地中海での哨戒のほかに、オーストリア＝ハンガリー帝国の休戦の履行を支援するため、アドリア海を経由しての人員と物資の輸送にもあたった。半年後の1919年4月28日からは、西地中海地域における救援任務に従事し、戦艦アリゾナ (USS Arizona, BB-39) とともにイズミル、コンスタンティノープルおよびバトゥミに人員と物資を輸送。トビリシからはアメリカ総領事とロシア帝国およびイギリスの軍人を乗せてジブラルタルに向かった。一連の輸送任務を終えたあと、グレゴリーは1919年6月13日にニューヨークに帰投した。帰投後はスタテンアイランドのトンプキンズヴィル（英語版）、ブルックリン海軍工廠およびフィラデルフィア海軍造船所に係留され、1921年1月4日にサウスカロライナ州チャールストンに向けて航海を行った。南部諸港における地域訓練事業への従事が1922年4月12日に終わったあとはフィラデルフィア海軍造船所に回航され、1922年7月7日に退役して保管されることとなった。
艦歴 > 第二次世界大戦

ファラガット級駆逐艦の竣工以降、アメリカ海軍は大量に保有していたウィックス級をはじめとする従来型の駆逐艦を順次除籍したり、他の艦種に移すなどの作業を行った。グレゴリーはウィックス級のうち高速輸送艦に改装される6隻のうちの1隻となり、舟艇搭載用のスペースを確保するため従来の武装をすべて撤去し、また前部主缶を撤去して2本煙突となって速力が低下した。高速輸送艦に改装されたグレゴリーは1940年11月4日に APD-3 として再就役し、リトル (USS Little, APD-4) 、コルホーン (USS Colhoun, APD-2) およびマッキーン (USS Mckean, APD-5) とともに第12輸送群を編成した。この4隻はすべてソロモン諸島の戦いで失われ、1隻たりとも第二次世界大戦を生き残ることはできなかった。
改装後、グレゴリーは僚艦とともに東海岸で海兵隊とともに演習を重ねて上陸作戦の能力を高めていった。太平洋戦争開戦後の1942年1月27日、グレゴリーは真珠湾に向けてチャールストンを出港する。ハワイ水域での第12輸送群の諸艦は春の間、修理のためにサンディエゴに回航されたこと以外は演習に明け暮れていた。演習を終えた輸送群は6月7日、来るべきガダルカナル島の戦いに備えて真珠湾を出港して南太平洋に向かう。7月31日、フランク・J・フレッチャー中将の第62任務部隊の指揮下に入ったグレゴリーはヌメアを出撃し、ガダルカナル島に向かう。8月7日、グレゴリーと僚艦はガダルカナル島に海兵隊を上陸させ、以降も歴史上最も激しい戦闘が行われる地域に深く関わることとなる。輸送群は後世に「アイアンボトム・サウンド」と呼ばれるようになる海域の警戒のほか、後方基地エスピリトゥサント島からの人員と物資の輸送に奔走した。8月29日、グレゴリーとリトルにコルホーンおよび兵員輸送艦ウィリアム・ワード・バロウズ（英語版） (USS William Ward Burrows, AP-6) を交えた輸送船団はガダルカナル島沖に到着して揚陸作業を開始し、この様子を発見した在ガダルカナル島の日本軍部隊は日本海軍に通報し、第八艦隊は「東京急行」を行っていた駆逐艦に攻撃を指令したが、当の駆逐艦は目標を見過ごして戦闘は起こらなかった。
9月4日、グレゴリーはリトルとともにサボ島に海兵強襲部隊（英語版）を上陸させるためツラギ島を出撃する。「サボ島に日本軍がいる」という情報を聞いての小作戦であったが実際には誤報であり、2隻は強襲部隊を撤収させてガダルカナル島に送り届けた。任務を終えたあとはツラギ島に帰投する予定であったが暗夜のこともあり、このままガダルカナル島北岸部を哨戒することとなった。そのころ、第八艦隊は「東京急行」で第二師団の兵力を分散して輸送しようと計画し、同じく9月4日に駆逐艦6隻に兵員3000名を分乗させてショートランドを出撃させた。6隻の駆逐艦のうち、夕立と初雪、叢雲の3隻は夕立駆逐艦長吉川潔中佐に率いられて輸送任務を終え、ヘンダーソン飛行場への艦砲射撃を画策してルンガ岬に進んだ。22時58分、3隻の駆逐艦は左舷方向に目標を発見して砲撃を開始する。砲撃を受けたグレゴリーとリトルはレーダーを持っていたものの、探知した4つの目標を日本潜水艦であると判断しており、発砲の閃光もまた日本潜水艦からのものと判断していた。おりしもPBY カタリナが飛来して照明弾を投下したがその位置はグレゴリーとリトルの前方であり、味方を浮かび上がらせる形となって日本側に利益を与える格好となってしまった。
グレゴリーは3隻の日本駆逐艦から照射を受け、5度の砲撃により艦首から艦尾まで正確に撃たれ、全艦が火に包まれた。備砲で応戦したものの多勢に無勢で、砲撃により2つのボイラーも破裂して3分も経たないうちに艦は沈み始めた。艦長ハリー・F・バウアー（英語版）少佐も砲撃で負傷し、総員退艦を令してグレゴリーの乗組員は次々と海中へ飛び込んだ。バウアー少佐自身は助けを求める2人の乗組員を救うため行動したが、そのまま行方知れずとなった。バウアー少佐の勇敢な行為に対して没後シルバースターが追贈され、アレン・M・サムナー級駆逐艦から改装された敷設駆逐艦ハリー・F・バウアー（英語版） (USS Harry F. Bauer, DM-26) は、バウアー少佐を讃えて命名された。グレゴリーは9月5日1時23分に沈没し、脱出した乗組員は夜を徹してガダルカナル島目指して泳いだ。3隻の日本駆逐艦は乗組員に対して射撃を行ったが、やがて高速で去っていった。リトルもグレゴリーと相前後して沈んだ。太平洋艦隊司令長官チェスター・ニミッツ元帥は後年、「これら小さな兵力は圧倒的な敵に立ち向かって、可能な限り戦いを行った。2隻はキャンペーンの遂行に不可欠な任務を遂行した」とグレゴリーとリトルを讃えた。グレゴリーは1942年10月2日に除籍された。
グレゴリーは第二次世界大戦の功績で2個の従軍星章（英語版）を受章した。
硝酸グアニジン

| 硝酸グアニジン |
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IUPAC名Guanidinium nitrate
識別情報
CAS登録番号: 506-93-4
PubChem: 10481
EC番号: 208-060-1
 SMILES C(=N)(N)N.[N+](=O)(O)[O-] 
特性
化学式: CH6N4O3
外観: 白色の結晶
密度: 1.436 g/cm3
融点:  213 °C, 486 K, 415 °F
水への溶解度: 可溶
危険性
安全データシート(外部リンク): MSDS
EU分類: 酸化剤(O)
NFPA 704:    1 2 4  
Rフレーズ: R20 R21 R22 R36 R38
特記なき場合、データは常温 (25 °C)・常圧 (100 kPa) におけるものである。
硝酸グアニジン（しょうさんグアニジン、Guanidine nitrate）は、ガスジェネレータや固体ロケットの燃料・推進剤に使用される高エネルギー燃料である。化学式はCH6N4O3、構造はH2N-(C=NH)-NH2・HNO3。グアニジンの硝酸塩であり、正名（IUPAC）は硝酸グアニジニウムである。
爆速は4495m/s(0.8)、トラウズル値は43。アルコールや水に可溶で、急激な加熱や衝撃により爆発する。消防法第2条第7項及び別表第一第5類10号、危険物の規制に関する政令第1条により危険物第5類(自己反応性物質)に指定されている。
用途

混合爆薬の成分,ニトログアニジンの原料、高級窒素肥料としても研究された事がある。自己燃焼による熱分解で窒素と二酸化炭素と水蒸気のガスを生成する特性を利用してイギリスで1948年に発売されたJETEXやそれの国産版のタイガーロケッティで推進剤として使用された。
製法

ジシアンジアミドと硝酸アンモニウムを混合融解させる
ポチョムキン (GUILTY GEAR)

ポチョムキン プロフィール
初出作品：GUILTY GEAR
出身地：浮遊大陸ツェップ
生年月日：10月18日
身長：245cm
体重：656kg
血液型：O型
嫌いなもの：4トン以上の筆圧に耐えられない鉛筆
大切なもの：竜が踏んでも壊れない筆箱
趣味：絵を描くこと
所属：軍事国家ツェップ
アイタイプ：白
関連キャラクター：スレイヤー
ポチョムキン (POTEMKIN) は、2D対戦格闘ゲーム「GUILTY GEARシリーズ」に登場する架空の人物。Ⅹ以降の担当声優は近藤隆。
概要

軍事国家「ツェップ」出身の兵士。虹彩、瞳孔が存在しない白目と一般的な成人男性の身長を一回り上回る筋肉質な体型の持ち主。威圧的な印象を受けるが、心は優しく義を重んじる武人であり、芸術を趣味にしている。
最初は奴隷兵士としての扱いを受けていたが、ガブリエルの命により国家に対してクーデターを決行。その後平和的自治を手に入れ、彼は自由の身となるが、自らの意思で国家の治安維持に貢献する。当初は威圧的で軍国主義の塊に見えたガブリエルを嫌悪していたが、全てはクーデターの為のガブリエルの演技であった事を知ると、彼の器量の大きさに感服し尊敬するようになる。『GGXrd』では特務外交官になっている。
首に付けているアーマーは、元は奴隷の逃走を阻止する爆殺首輪である。クーデター後は制御装置に改造されている。
必殺技の一部には元ネタが存在する。『キン肉マン』（キン肉バスター→ポチョムキンバスター、新キン肉バスター→ヘブンリーポチョムキンバスター）、『機動武闘伝Gガンダム』（（爆熱ゴッドフィンガー）ヒートエンド→ヒートエクステンド）、『勇者王ガオガイガー』（ヘルアンドヘヴン→ガイガンティックブリッド）、『BASTARD!! -暗黒の破壊神-』（マキシマム・ストラト＝ヴァリウス→マグナムオペラ）など。
クーデター後はガブリエルの弟子として訓練をしているが、ガブリエル自身が異常なほど強過ぎる為、師匠を超える日はまだまだ遠いと言われる。
ガブリエル大統領から過去のスレイヤーの強さを聞いており、実際に対戦するのを楽しみにしているが、当のスレイヤーからは「師匠を超えてからにしてもらおう」と相手にされていない。
『GGXrd』において、頭に鉄仮面を装着し、全身を緑色の士官服に包んでいる。なおファウストの覚醒必殺技および一撃必殺技を受けた際は、なぜか眼球が黒になる（虹彩、瞳孔は白）。
ゲーム中の性能

ゲーム中では「投げキャラ」に分類され、如何にして近付いてコマンド投げを決めるかが鍵を握る。
リーチ・判定に優れた牽制も強力であり、飛び道具を跳ね返す技に移動技も持っているなど意外に芸達者である。動きが遅く、ダッシュ（空中含む）が出来ない事が欠点だが、無敵時間の長いバックステップを持ち、攻防の基本値は他のキャラより高めに設定されている。
GOLDモードではステップ式のダッシュが追加されている。
担当声優

安部秀之（GG）
近藤隆（GGX～）
テーマミュージック

In Slave's Glory（GG）
Burly Heart（GGX～XXΛC）
Engage（GGXrd）
Armor-clad Faith (STRIVE)
ステージ

人型の機械が数体並んでいるステージ（GG）
ZEPP（GGX～）
Pirate Fort：宝船（ISUKAのみ）
Zepp Center Arsenal (Xrd)
12-Dimensional Flux Observatory (STRIVE)
その他

初期設定では斧術の名門であるロシアのハンセン家に生まれ、ドレッドノートという名の斧を使いこなす為ひたすら体を鍛えたがまともに戦える相手が身近にいなくなり、大会に出場することを決意するというものだった。
家庭用のSPカラーには必ずハルクのようなカラーが用意されている。
参考資料

「電撃プレイステーションF 創刊号」メディアワークス
「ギルティギアゼクス ドラフティングアートワークス」 エンターブレイン、2001年 ISBN 978-4757703018
池内町 (宮崎市)

| 池内町 |
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 町・丁
 池内町池内町の位置
 北緯31度58分26.8秒 東経131度24分44.5秒﻿ / ﻿北緯31.974111度 東経131.412361度﻿ / 31.974111; 131.412361
国:   日本
都道府県:   宮崎県
市町村:   宮崎市
地区:  大宮地域自治区
人口（2023年（令和5年）9月1日現在）
 • 合計:  1,447人
等時帯:  UTC+9 (日本標準時)
郵便番号:  880-0041 
市外局番:  0985
ナンバープレート:  宮崎
池内町（いけうちちょう）とは、宮崎県宮崎市内の地名。大宮地域自治区に属している。郵便番号は880-0041。
地理

宮崎市の中北部、大宮地域自治区の北側に位置する。大淀川左岸の低地帯に位置し、低地は主に住宅街・農地となっているが、多くは山林が占める。
北東方を大字広原、東方を新名爪・南方町・花ケ島町、南方を下北方町、南西方を平和が丘東町・平和が丘北町、西方を大字上北方、北西方を大字瓜生野と接する
地名の由来

宇佐宮領宮崎庄の一部が鎌倉時代に「北方・南方・池内方」の３方に分かれ、その後北方が「下北方・上北方」に分かれた、とされる。
歴史

1924年 - 宮崎市制により大字池内が成立。
1927年 - 大字池内より、池内町が成立。大字池内は消滅。
1970年 - 池内町より、平和が丘東町・平和が丘北町・平和が丘西町が成立。
世帯数と人口

2023年（令和5年）9月1日現在の世帯数と人口は以下の通りである。
| 町丁 | 世帯数 | 人口 |
| --- | --- | --- |
| 池内町 | 714世帯 | 1447人 |
小・中学校の学区

市立小・中学校に通う場合、学区は以下の通りとなる。
| 町名 | 小学校 | 中学校 |
| --- | --- | --- |
| 池内町 | 宮崎市立池内小学校 | 宮崎市立大宮中学校 |
交通 > バス

宮交グループの運営するバスが営業している。
交通 > 道路

宮崎県道9号宮崎西環状線 (宮崎外環状線)
宮崎県道44号宮崎高鍋線
施設

宮崎市立池内小学校
古賀総合病院
ジョージ・タルボット

ジョージ・タルボット(George Talbot)
ジョージ・タルボット (第4代シュルーズベリー伯爵)
ジョージ・タルボット (第6代シュルーズベリー伯爵)
ジョージ・タルボット (第9代シュルーズベリー伯爵)
ジョージ・タルボット (第14代シュルーズベリー伯爵)
2011年ブラジルグランプリ

| レース詳細 |
| --- | --- | --- | --- |
 
日程:  2011年シーズン第19戦
決勝開催日:  11月27日
開催地:  インテルラゴス・サーキット ブラジル サンパウロ
コース長:  4.309km
レース距離:  71周(305.909km)
決勝日天候:  晴れ(ドライ)
ポールポジション
| ドライバー |   セバスチャン・ベッテル |   |  |
タイム:  1'11.918
ファステストラップ
| ドライバー |   マーク・ウェバー |   |  |
タイム:  1'15.324(Lap 71)
決勝順位
| 優勝 |   マーク・ウェバー 1:32'17.464 |   |  |
| 2位 |   セバスチャン・ベッテル |   |  |
| 3位 |   ジェンソン・バトン |   |  |
2011年ブラジルグランプリは、2011年F1世界選手権第19戦として、2011年11月27日にインテルラゴス・サーキットで開催された。正式名称は2011 FORMULA 1 Grande Prêmio Petrobras do Brasil。
予選 > 結果

| 順位 | No | ドライバー | チーム | Q1 | Q2 | Q3 | Grid |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 |  セバスチャン・ベッテル | レッドブル・ルノー | 1:13.664 | 1:12.446 | 1:11.918 | 1 |
| 2 | 2 |  マーク・ウェバー | レッドブル・ルノー | 1:13.467 | 1:12.658 | 1:12.099 | 2 |
| 3 | 4 |  ジェンソン・バトン | マクラーレン・メルセデス | 1:13.281 | 1:12.820 | 1:12.283 | 3 |
| 4 | 3 |  ルイス・ハミルトン | マクラーレン・メルセデス | 1:13.361 | 1:12.811 | 1:12.480 | 4 |
| 5 | 5 |  フェルナンド・アロンソ | フェラーリ | 1:13.969 | 1:12.870 | 1:12.591 | 5 |
| 6 | 8 |  ニコ・ロズベルグ | メルセデス | 1:14.083 | 1:12.569 | 1:13.050 | 6 |
| 7 | 6 |  フェリペ・マッサ | フェラーリ | 1:14.269 | 1:13.291 | 1:13.068 | 7 |
| 8 | 14 |  エイドリアン・スーティル | フォースインディア・メルセデス | 1:13.480 | 1:13.261 | 1:13.298 | 8 |
| 9 | 9 |  ブルーノ・セナ | ルノー | 1:14.453 | 1:13.300 | 1:13.761 | 9 |
| 10 | 7 |  ミハエル・シューマッハ | メルセデス | 1:13.694 | 1:13.571 | no time | 10 |
| 11 | 15 |  ポール・ディ・レスタ | フォースインディア・メルセデス | 1:13.733 | 1:13.584 |  | 11 |
| 12 | 11 |  ルーベンス・バリチェロ | ウィリアムズ・コスワース | 1:14.117 | 1:13.801 |  | 12 |
| 13 | 19 |  ハイメ・アルグエルスアリ | トロ・ロッソ・フェラーリ | 1:14.225 | 1:13.804 |  | 13 |
| 14 | 18 |  セバスチャン・ブエミ | トロ・ロッソ・フェラーリ | 1:14.500 | 1:13.919 |  | 14 |
| 15 | 10 |  ビタリー・ペトロフ | ルノー | 1:13.859 | 1:14.053 |  | 15 |
| 16 | 16 |  小林可夢偉 | ザウバー・フェラーリ | 1:14.571 | 1:14.129 |  | 16 |
| 17 | 17 |  セルジオ・ペレス | ザウバー・フェラーリ | 1:14.430 | 1:14.182 |  | 17 |
| 18 | 12 |  パストール・マルドナード | ウィリアムズ・コスワース | 1:14.625 |  |  | 18 |
| 19 | 20 |  ヘイキ・コバライネン | ロータス・ルノー | 1:15.068 |  |  | 19 |
| 20 | 21 |  ヤルノ・トゥルーリ | ロータス・ルノー | 1:15.358 |  |  | 20 |
| 21 | 23 |  ビタントニオ・リウッツィ | HRT・コスワース | 1:16.631 |  |  | 21 |
| 22 | 22 |  ダニエル・リチャルド | HRT・コスワース | 1:16.890 |  |  | 22 |
| 23 | 25 |  ジェローム・ダンブロシオ | ヴァージン・コスワース | 1:17.019 |  |  | 23 |
| 24 | 24 |  ティモ・グロック | ヴァージン・コスワース | 1:17.060 |  |  | 24 |
107%タイム: 1:18.410
決勝 > 結果

| 順位 | No | ドライバー | チーム | 周回数 | タイム/リタイア | Grid | Pts>  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 |  マーク・ウェバー | レッドブル・ルノー | 71 | 1:32:17.464 | 2 | 25 |
| 2 | 1 |  セバスチャン・ベッテル | レッドブル・ルノー | 71 | +16.983 | 1 | 18 |
| 3 | 4 |  ジェンソン・バトン | マクラーレン・メルセデス | 71 | +27.638 | 3 | 15 |
| 4 | 5 |  フェルナンド・アロンソ | フェラーリ | 71 | +35.048 | 5 | 12 |
| 5 | 6 |  フェリペ・マッサ | フェラーリ | 71 | +1:06.733 | 7 | 10 |
| 6 | 14 |  エイドリアン・スーティル | フォースインディア・メルセデス | 70 | +1 Lap | 8 | 8 |
| 7 | 8 |  ニコ・ロズベルグ | メルセデス | 70 | +1 Lap | 6 | 6 |
| 8 | 15 |  ポール・ディ・レスタ | フォースインディア・メルセデス | 70 | +1 Lap | 11 | 4 |
| 9 | 16 |  小林可夢偉 | ザウバー・フェラーリ | 70 | +1 Lap | 16 | 2 |
| 10 | 10 |  ビタリー・ペトロフ | ルノー | 70 | +1 Lap | 15 | 1 |
| 11 | 19 |  ハイメ・アルグエルスアリ | トロ・ロッソ・フェラーリ | 70 | +1 Lap | 13 |  |
| 12 | 18 |  セバスチャン・ブエミ | トロ・ロッソ・フェラーリ | 70 | +1 Lap | 14 |  |
| 13 | 17 |  セルジオ・ペレス | ザウバー・フェラーリ | 70 | +1 Lap | 17 |  |
| 14 | 11 |  ルーベンス・バリチェロ | ウィリアムズ・コスワース | 70 | +1 Lap | 12 |  |
| 15 | 7 |  ミハエル・シューマッハ | メルセデス | 70 | +1 Lap | 10 |  |
| 16 | 20 |  ヘイキ・コバライネン | ロータス・ルノー | 69 | +2 Laps | 19 |  |
| 17 | 9 |  ブルーノ・セナ | ルノー | 69 | +2 Laps | 9 |  |
| 18 | 21 |  ヤルノ・トゥルーリ | ロータス・ルノー | 69 | +2 Laps | 20 |  |
| 19 | 25 |  ジェローム・ダンブロシオ | ヴァージン・コスワース | 68 | +3 Laps | 23 |  |
| 20 | 22 |  ダニエル・リチャルド | HRT・コスワース | 68 | +3 Laps | 22 |  |
| Ret | 23 |  ビタントニオ・リウッツィ | HRT・コスワース | 61 | オルタネーター | 21 |  |
| Ret | 3 |  ルイス・ハミルトン | マクラーレン・メルセデス | 46 | ギアボックス | 4 |  |
| Ret | 12 |  パストール・マルドナード | ウィリアムズ・コスワース | 26 | スピン | 18 |  |
| Ret | 24 |  ティモ・グロック | ヴァージン・コスワース | 21 | ホイール | 24 |  |
池田英輔

池田 英輔（いけだ えいすけ、1952年 - ）は、日本の実業家。旭化成ホームズ代表取締役社長や、同社取締役会長、プレハブ建築協会副会長を務めた。
人物・経歴

静岡県出身。1975年立命館大学産業社会学部卒業。1976年旭化成ホームズ入社。2003年執行役員。2007年取締役常務執行役員。2009年専務執行役員。2010年副社長執行役員。2014年から代表取締役社長を務め、2016年からは旭化成専務執行役員を兼務した。2017年旭化成ホームズ取締役会長に退いた。2018年旭化成ホームズ会長。プレハブ建築協会副会長も務めた。
湯布院インターチェンジ

| 湯布院インターチェンジ |
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 大分自動車道 湯布院インターチェンジ（大分県由布市）
所属路線:  E34 大分自動車道
IC番号:  9
料金所番号:  01-863
本線標識の表記:   湯布院 庄内 挟間
起点からの距離:  88.0 km（鳥栖JCT起点）
 ◄水分PA (8.2 km)  (9.0 km) 由布岳PA►
接続する一般道:   国道210号
供用開始日:  1989年（平成元年）7月20日
通行台数:  4,821台/日（2010年度）
所在地:  〒879-5114 大分県由布市湯布院町川北字大久保1563番地34北緯33度15分26秒 東経131度19分45秒﻿ / ﻿北緯33.257358度 東経131.329225度﻿ / 33.257358; 131.329225座標: 北緯33度15分26秒 東経131度19分45秒﻿ / ﻿北緯33.257358度 東経131.329225度﻿ / 33.257358; 131.329225
テンプレートを表示
安全通路設置前（2006年）
湯布院インターチェンジ（ゆふいんインターチェンジ）は、大分県由布市湯布院町川北にある大分自動車道のインターチェンジである。
バス停留所を併設しており、国道210号を挟んで道の駅ゆふいんがある。
歴史

1989年（平成元年）7月20日 : 湯布院IC - 別府IC間開通にともない供用開始
1996年（平成8年）3月26日 : 玖珠IC - 湯布院IC間開通
接続する道路 > 直接接続

国道210号
接続する道路 > 間接接続

大分県道・熊本県道11号別府一の宮線（やまなみハイウェイ）
料金所

ブース数：5
料金所 > 入口

ブース数：2
ETC専用：1
ETC/一般：1
料金所 > 出口

ブース数：3
ETC専用：1
一般：2
料金所 > 冬用タイヤ規制・霧通行止め時の確認

大分自動車道での冬用タイヤ規制および霧通行止め時では入り口付近で「行き先確認」および「スタッドレスタイヤ装着確認」を行うことが多い。
また、なお、湯布院IC - 由布岳PA/SIC間は、ETC搭載車で長さ12 m以下の車両のみ、霧通行止め中でもETC車のみ走行することができる。[要出典]そのため、霧通行止め時に由布岳SICに向かう場合は係員に「由布岳スマートIC」に向かうことを伝え、ETCを搭載していることが確認できれば日出JCT方面への流入ランプに誘導される。
同様の確認は出口料金所前においても、下り線走行中の車両で由布岳SICに向かう場合の確認が実施される（そのため、車両は一度全車両流出を行う）。
湯布院バスストップ

湯布院バスストップ（ゆふいんバスストップ）は、湯布院インターチェンジに併設されたバス停留所である。バス事業者間では、湯布院インター（ゆふいんインター）という名称が使われており、一般的にはこの通称名で呼ばれている。国道210号に面した場所にあり、当停留所停車時はいったん料金所を出る。途中の経由地として由布院を経由する「サンライト号」のみがこの停留所に停車し、福岡と由布院駅を結ぶ「ゆふいん号」は湯布院インターには停車せず、隣接する道の駅ゆふいんに停車する。
湯布院バスストップ > 停車する系統および隣接停留所

| 路線愛称 | 運行会社 | 方面・経路 |
| --- | --- | --- |
| サンライト号 | 長崎県交通局 長崎自動車 大分交通 大分バス | 大分方面：別府（鉄輪・北浜） → 大分（トキハ前・大分新川） 長崎方面：高速甘木 → 大村IC → 諫早IC → 長崎（昭和町・長崎駅前） |
湯布院バスストップ > のりかえ

亀の井バス「道の駅ゆふいん」バス停（約100 m）
周辺

由布院温泉
湯平温泉
城島高原パーク
九州自然動物公園
由布岳
ポアンカレ・ベンディクソンの定理

ポアンカレ・ベンディクソンの定理によれば、平面上の極限集合は(1)平衡点、(2)周期軌道、(3)複数の平衡点とそれらを繋ぐ軌道のいずれかとなる
ポアンカレ・ベンディクソンの定理（ポアンカレ・ベンディクソンのていり、Poincaré–Bendixsonの定理）とは、平面上の連続力学系あるいは自励的常微分方程式系では、有界な軌道が時間経過後に最終的に落ち着く先は、平衡点を含まなければ周期軌道であることを述べる数学の定理である。19世紀末にアンリ・ポアンカレが発表し、後の20世紀初頭にイーヴァル・オット・ベンディクソン（英語版）がより厳密・一般化した形で証明して発表した。
与えられた系の周期軌道の存在を明確にすることは一般的に難しいが、ポアンカレ・ベンディクソンの定理はその手法を与える希少なものの一つである。また、定理の帰結として、このような平面の系で状態変数が収束する先は、本質的に平面上の1点（平衡点）または閉曲線（周期軌道）のいずれかに限られ、より複雑な振る舞いはないことを意味する。極限集合の概念を使うと、平面上の極限集合は(1)平衡点、(2)周期軌道、(3)複数の平衡点とそれらを繋ぐ軌道の3種に限られることが言える。ただし、定理が成立する根本的理由の一つが、平面上ではジョルダンの閉曲線定理が成立し、自己交差しない連続な閉曲線は平面を2つの領域に分けるという事実にあるので、トーラスや3次元の系で定理は成立しない。
前提とする主な定義

独立変数を t ∈ ℝ とし、従属変数を x = (x, y)T ∈ M ⊂ ℝ2 とする。未知関数 x(t) = (x(t), y(t))T に対して次のような一般的な自励的2元連立1階常微分方程式系を考える。
または
ここで、ℝ は実数を、上付き ˙ は微分 d/dt を、右肩 T は転置を表す。独立変数 t は時間とみなし、時間の経過に連れて x の値も変わるという風に微分方程式の意味をとらえる。従属変数の定義域 M は ℝ2 の部分開集合で、M を相空間ともいう（M = ℝ2 全体としても定理は成立する）。f = (f, g)T は C1 級関数 f: M → ℝ2 とする。f は M 上にベクトル場を定める。
t = t0 に対して与えられる x の値 (x(t0), y(t0))T = x0 を初期値という。以下、簡単のために t0 = 0 で固定する。初期値 x0 を満たし、時間 t のときの x の値を返す写像 ϕ(t, x0): ℝ × M → M を微分方程式の定める流れや連続力学系という。f が C1 級であることから、上記の微分方程式系は解の存在と一意性を満たし、流れ ϕ(t, x0) は
ϕ(0, x0) = x0
任意の t, s ∈ ℝについて ϕ(s, (ϕ(t, x0)) = ϕ(t+s, x0)
を満たす。
初期値 x0 を決めて、t を −∞ から ∞ まで動かしながら ϕ(t, x0) が返す値を相空間 M 上に描くと、それは M 上の一つの曲線となる。この曲線を x0 を通る軌道という。 x0 を通る軌道を O(x0) で表すとする。微分方程式の解の一意性により、ある x0 を通る O(x0) はただ一つだけに限られる。特に t が非負のときの軌道
を正の半軌道といい、O+ で表すとする。ϕ(t, x0) が C1 級であることから軌道は（以下の平衡点である場合を除いて）滑らかな曲線で、曲線上の各点の接ベクトルが微分方程式の f(x) に対応する。
初期値 x0 に対して f(x0) = 0 となる場合、微分方程式の解は定数となる。このときの軌道は O(x0) = {x0} となり、相空間上の1点である。このような f(x) = 0 を満たす x を平衡点という。
また、x0 に対して、ϕ(T, x0) = x0 かつ ϕ(t < T, x0) ≠ x0 を満たすような T > 0 が存在するとき、これを満たすときの x0 の軌道を周期軌道という。相空間上の周期軌道は、円のように自分自身と交わらない閉曲線となる。
時間が無限大に発散するときの軌道 O(x0) の漸近的な振る舞いを調べるために、x0 の極限集合が重要となる。ある点 x0 ∈ M に対して時刻 t の列 t1, t2, … → ∞ を一つ適当に選ぶと
となるとき、y を x0 のω極限点という。そして、x0 のω極限点全てから成る集合を x0 のω極限集合といい、ω(x0) で表すとする。時間を逆向き t1, t2, … → −∞ にした方はα極限集合といい、α(x0) で表すとする。ω極限集合またはα極限集合を総称して極限集合という。
O(x0) が平衡点または周期軌道ならば、ω(x0) と α(x0) はその O(x0) 自体と同じとなる。極限集合 ω(x0) または α(x0) が周期軌道で、それでいて x0 自体はそれら ω(x0) または α(x0) に含まれないとき、そのような極限集合をリミットサイクルという。リミットサイクルに対して、軌道は巻きつくようにして収束する。
定理の主張

ポアンカレ・ベンディクソンの定理とは、次のような主張である。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 ― 平面 ℝ2 上の  C1 級流れ ϕ(t, x) について、ある点 x ∈ ℝ2 の正の半軌道 O+(x) が有界のとき、x のω極限集合 ω(x) が平衡点を含まなければ、ω(x) は周期軌道である。
定理では O+(x) ではなく、ω(x) がコンパクトと仮定してもよい。また、ℝ2 ではなく、球面 𝕊2 や円筒 𝕊1 × ℝ1 上の流れと仮定してもよい。定理は x のα極限集合についても同様に成り立つ。すなわち、ω(x) または α(x) がコンパクトで平衡点を含まなければ、ω(x) または α(x) は周期軌道である。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、相空間が平面、球面、円筒である流れ（ベクトル場）では成立するが、同じ2次元多様体でも トーラス 𝕋2 のような種数が正の曲面では成立しない。また、相空間が3次元以上でも成立しない。2次元ベクトル場が非自励系で与えられるときにも、実質的に相空間は3次元なので成立しない。定理が成立する根本的な理由は、ジョルダンの閉曲線定理として知られる、自己交差しない連続な閉曲線は平面を2つの領域に分けるという事実にあり、トーラスや3次元の相空間ではこれが成立しないため、ポアンカレ・ベンディクソンの定理もまた成立しない。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の主張を直感的に言い換えると、次のようにも説明できる。平面上の限られた領域内に軌道があって、軌道はそこから出て行かないとする。もし軌道が1点（平衡点）に落ち着かないとすると、軌道はその領域内を永久に動き続けなければならない。軌道の曲線が自己交差をせず、なおかつ滑らかであるような条件下において、平面上でそのようなことが可能なのは軌道が閉曲線（周期軌道）に落ち着く場合だけというのがポアンカレ・ベンディクソンの定理である。
もう一つポアンカレ・ベンディクソンの定理と呼ばれる別の形として、あるいは上の定理から導くことができる別の定理として、次の主張がある。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理（別形） ― 有限個の平衡点しか持たない（平衡点が孤立している）平面 ℝ2 上の  C1 級ベクトル場 f について、ある点 x ∈ ℝ2 の正の半軌道 O+(x) が有界のとき、x のω極限集合 ω(x) は以下のいずれかである。
ω(x) は単一の平衡点
ω(x) は周期軌道
ω(x) は有限個の平衡点 p とそれらを繋ぐ軌道 γ から成る閉曲線で、軌道上の点 u ∈ γ は ω(u) = p および α(u) = p を満たす。
平衡点が有限個しか存在しないという仮定は平面上の理論を構成する上で必ずしも必要ではないが、議論を簡単にするために導入される。例えば ·x = 0, ·y = −y という系は、平衡点が y = 0 の直線上の全ての点として存在する。しかし、大抵の場合で扱われる微分方程式は平衡点が有限という条件を満たす。
定理の3番目の極限集合には、ヘテロクリニック軌道やホモクリニック軌道が相当する。大雑把に言うと、ヘテロクリニック軌道とはある2つの平衡点 a, b を繋ぐ曲線で、その上の点は t → ∞ で a に収束し、t → −∞ で b に収束する性質を持つ。ホモクリニック軌道とは1つの平衡点 a から出て a に戻る曲線で、その上の点は t → ∞ で a に収束し、t → −∞ でも a に収束する性質を持つ。
ω極限集合が単一の平衡点の場合
ω極限集合が周期軌道の場合
ω極限集合がヘテロクリニック軌道の場合
ω極限集合がホモクリニック軌道の場合
証明の概略

ポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明は、平面の特性を活かして幾何学的なアプローチでなされる。以下では、主に (坂井 2015) に沿いながらおおまかな証明の概略を記す。
まず、平面に限らない ℝn 上の自励系ベクトル場で一般的に成り立つ極限集合の性質として以下のものがあり、これらはポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明にも使われる：
ω(x) は不変集合
ω(x) は閉集合
O+(x) が有界ならば ω(x) は空集合ではない
O+(x) が有界ならば ω(x) は連結集合
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明上の道具として、ポアンカレ写像の考え方が役立つ。定理の仮定のもとで、平面上の非平衡点 η ∈ ℝ2 に対して、η を通る直線 l を平面上に引く。η の近傍 U を取って、l との共通部分 U ∩ l でできる線分を Σ とする。このとき、Σ 上の任意の点も非平衡点であるようにでき、さらに、Σ を通る任意の軌道は Σ に接することなく Σ を通り過ぎるようにできる。このような Σ は横断線や切断線と呼ばれる（Σ は弧でもよく、その場合は横断弧などと呼ばれる）。また、U に含まれる η の近傍 V ⊂ U を十分小さくとれば、V 上の任意の点から出発する軌道はある有限時間後に Σ を通過するようにできる。
次に、ある点 x の極限集合 ω(x) を考える。ω(x) は定理の仮定のように平衡点を含まないとし、その上のある非平衡点 η ∈ ω(x) について上のような横断線 Σ を引く。また、x から出発する軌道 O+(x) がもし周期軌道ならば、O+(x) = ω(x) となり、明らかに定理が成り立つ。よって以下では O+(x) は周期軌道ではないとする。
この η は極限点なので、その定義より η に収束する無限点列が選び出せる。よって、O+(x) は U を無限回通過し、Σ を通過した後には再び U に戻って来て Σ を通過しなければならない。O+(x) が Σ を通過するときの1つの交点を  ζ1 とし、次に Σ を通過する交点を ζ2 とする。このとき、平面上には線分 ζ1ζ2 と O+(x) に沿って ζ1 から ζ2 まで引かれる弧 γ で構成される閉曲線ができる。この閉曲線を Γ とする。ジョルダンの閉曲線定理からℝ2 は Γ の内側の領域 Gi と Γ の外側の領域 Go に分けられる。上述のように、この定理が平面では成立するという点が、ポアンカレ・ベンディクソンの定理の成立の本質的理由といえる。
Σ の性質より、線分 ζ1ζ2 を通過する軌道は全て Gi から Go へ向かうか、全て Go から Gi へ向かうかのどちらかとなる。また、微分方程式の解の一意性から γ を横切る軌道は存在しない。どちらの場合でも同じように議論できるが、以下では線分 ζ1ζ2 を通過する軌道は Go から Gi へ向かうとする。すると、全ての t > 0 について ϕ(t, ζ2) ∈ Gi である。よって、ζ2 の次に O+(x) が Σ に交わる交点を ζ3 とすれば、ζ3 は ζ2 を境にしてζ1 の反対側に存在する。一般化すると、これは tn−1 < tn < tn+1 であれば、Σ 上で ϕ(tn, x) は常に ϕ(tn−1, x) と ϕ(tn+1, x) の間にあることを意味し、このことを点列が Σ に沿って単調と言ったり、単調点列で Σ に交わると言ったりする。この単調点列の結論として、一般的に ω(x) と Σ との交点は η ∈ ω(x) のみであることが補題として証明される。主張の逆を取って η1 ≠ η2 かつ η1, η2 ∈ ω(x) という2点の存在を仮定すると、単調点列との矛盾が導かれ、背理法により主張が正しいことが確かめられる。
次に、ω(x) 上の任意の点 η の極限集合 ω(η) が ω(x)と一致することを証明する。これも背理法で考える。主張の逆が成立すると、差集合 ω(x) ∖ ω(η) が存在することになる。この前提と、極限集合は閉で有界な軌道の極限集合は連結である性質を利用して議論すると、ω(x) 上のある点で横断線と複数交わるという、上記の補題と矛盾した結論が得られる。
最後に、η から出発する軌道 O+(η) が周期軌道であることを証明する。η ∈ ω(x) = ω(η) であるので、O+(η) はある無限点列  で η 自身に収束する。η の近傍 V に含まれる点列上の1点 ϕ(tk, η) をとると、ある時間 τk 経過後に Σ を通過する。よって、ϕ(tk + τk, η) が Σ と交わるわけだが、極限集合は不変であるという性質から ϕ(tk + τk, η) は O+(η) 上の点であると同時に ω(x) の上の点でもある。上記の補題より Σ 上でω(x) と交わるのは1点でなければならないので、ϕ(tk + τk, η) = η が満たされるので、O(η) は tk + τk を周期とする周期軌道である。よって O(η) = ω(η) = ω(x) は周期軌道である。（証明終わり）
適用

平面上の自励系常微分方程式系ないし連続力学系を解析するための強力な道具となるのが、ポアンカレ・ベンディクソンの定理である。定理は、相空間が平面の場合に解ないし軌道が極限的に落ち着く先は、本質的に平衡点か周期軌道に限定されることを意味する。しかし一般的に、平衡点を見つけることに比べ、周期軌道を見つけることは難しい。ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、与えられた系に周期軌道の存在することを示すことができる数少ない手法の一つである。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理を使いやすく言い換えると、有界閉な領域 K 内に任意の軌道 O+(x), x ∈ K が閉じ込められる（領域が正不変である）とき、K 内に平衡点が存在しなければ、K 内には周期軌道が存在する、という系が成り立つ。さらに言うと、このような K 内の軌道は、それ自体が周期軌道であるか、リミットサイクルに収束する軌道であるか、どちらかになる。また、もう一つの重要な系は、ある周期軌道で囲まれた領域の内部には平衡点が少なくとも1つ含まれることである。
具体的な系にポアンカレ・ベンディクソンの定理を適用するには、境界上のどの点でもベクトルが内側向きとなっている領域を平面上でうまく構成（特定）する必要がある。領域に内部にある平衡点も領域から適当にくりぬく必要がある。(千葉 2021) による適用の具体例として以下のような微分方程式系がある。
計算より、この系の平衡点は xy-平面上に (x, y) = (2, 5) に唯一存在し、かつ渦状点である。この平衡点を覆うよう十分小さな円 D1 を考えれば、その円の境界の任意の点は外向きのベクトルを持つ。また考察により、 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 101 という範囲の四角形 D2 の境界は、内向きまた境界に接するベクトルを持っていることがわかる。よって、四角形から小さな円を切り抜いた領域 D = D2 ∖ D1 にはポアンカレ・ベンディクソンの定理より周期軌道が存在することが言える。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理のもう一つの帰結は、平面では平衡点または周期軌道に収束する振る舞いに限定され、それら以上に複雑な振る舞いは起こらないという点である。よって、平面上の連続力学系ではストレンジアトラクター（カオス）と呼ばれる非周期的な運動の極限集合は存在しえない。連続力学系では、カオスは3次元以上の相空間を持つ系で起こる。また、相空間がトーラス 𝕋2 のときも、トーラス全体を軌道が稠密に覆う新しい種類の極限集合が存在する。
一般化・拡張

ポアンカレ・ベンディクソンの定理の一般化・拡張と見なせるような結果は多い。以下は主に (Ciesielski 2012) に基づく。
相空間 M が平面や球面以外のケースでは次のような結果がある。空ではない閉不変集合 S に含まれる部分集合で、閉不変集合の性質を持つのが空集合と S 自身のみであるとき、S を極小集合という。トーラス 𝕋2 上の C2 級自励系微分方程式が定める流れについて、この流れの極小集合は平衡点、周期軌道、𝕋2 全体のいずれかであることが知られている。さらに M を C2 級コンパクト連結2次元多様体と仮定すると、流れの極小集合は、M ≠ 𝕋2 のときは平衡点または周期軌道、M = 𝕋2 のときは平衡点、周期軌道、𝕋2 全体のいずれか、と一般化できる。
M がクラインの壺 𝕂 の場合は次のような結果が知られている。非平衡点 x について ϕ(T, x) = x を満たす T > 0 が存在するとき x  を周期点という。𝕂 上の流れでは、ある点 x がそれ自身の極限集合に属するとき（すなわち x ∈ ω(x) または x ∈ α(x)）、x は平衡点または周期点である。
M が高次元の場合への拡張もいくつか調べられている。しかし、ℝ3 の境界上の全てのベクトルが内側を向いているような有界領域に平衡点または周期軌道のいずれかが必ず存在するか、といったような疑問は未決である。
一般化の方向性として、ポアンカレ・ベンディクソンの定理を時間 T が正の向きのみに限られるような力学系、すなわち T = ℝ+ = [0, ∞) で定義される流れ ϕ(t, x0): ℝ+ × M → M で考えることもある。このような ϕ は半流や半力学系と呼ばれ、過去の方向に解けない非可逆過程を記述する非線形偏微分方程式で重要となる。ポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明過程では T = ℝ = (−∞, ∞) で解が一意に存在することが前提としており、半流の場合への拡張は単純にはいかない。横断線（横断弧）の半流用の拡張や、ℝ2 または 𝕊2 上の半流について x ∈ ω(x) ならば x は平衡点または周期点であることの証明などが得られている。
ポアンカレとベンディクソンの議論では極限集合が平衡点を無限に含む場合を想定していなかったが、平衡点を無限に含む極限集合についてポアンカレ・ベンディクソンの定理を一般化することも調べられている。平衡点が ω(x) の連結成分として含まれる場合、ω(x) に含まれる平衡点ではない軌道の数は高々可算無限個で、なおかつ任意の非平衡点 η ∈ ω(x) に対して ω(η) と α(η) は ω(x) 上の平衡点の連結成分のどれかに含まれることなどが分かっている。
最後に、ポアンカレ・ベンディクソンの定理の（古典的な）証明では微分方程式で定まる流れ ϕ を前提としていたが、オトマル・ハイエク（英語版） (Otomar Hájek) がこの定理の成立に微分可能性の仮定が不要であることを示している。定理の証明で重要な役目を担った横断線（横断弧）については、まずハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) とミハイル・ベブートフ (Mikhail Valer'evich Bebutov) が微分可能性不要で距離空間上の任意の非平衡点で局所横断面が構成できること（ホイットニー・ベブートフの定理）を示した。そしてハイエクが2次元多様体上の局所横断面はジョルダン弧または単純閉曲線のいずれかであることが示し、微分可能性を仮定しない流れにもとづくポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明を与えた。
歴史

ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、フランスの数学者アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) とスウェーデンの数学者イーヴァル・オット・ベンディクソン（英語版） (Ivar Otto Bendixson) によって定式化・証明された。1881年から1886年にかけて、ポアンカレは次のような四つの論文を発表した。
"Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (1ère partie)" Journal de mathématiques pures et appliquées (1881)
"Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (2nde partie)" Journal de mathématiques pures et appliquées (1882)
"Sur les courbes définies par les équations différentielles (3ème partie)" Journal de mathématiques pures et appliquées (1885)
"Sur les courbes définies par les équations différentielles" Journal de mathématiques pures et appliquées (1886)
題名はいずれも「微分方程式によって定義される曲線について」の意で、これらの論文の中でポアンカレは求積法で解けないような常微分方程式系に対してどのように取り組むべきかについて、常微分方程式の定性的理論という新しい研究方法を導入した。ポアンカレは微分方程式の軌道を調べるために位相的な手法・考察を用いてみせ、ポアンカレ・ベンディクソンの定理の最初の形もこれら論文の中で発表された。この論文は力学系理論の出発点としてしばしば引用される。定理に関連するところでは横断弧、ポアンカレ写像、リミットサイクルといった概念もこの論文で導入されている。
その後1901年にベンディクソンは、 ポアンカレ・ベンディクソンの定理も含む平面上の微分方程式系に関する論文
"Sur les courbes définies par des équations différentielles" Acta Math (1901)
を発表した。論文の題名は冠詞が異なるだけでポアンカレの論文とほぼ同名であり、論文の最初にベンディクソンはこの研究はポアンカレの仕事の続きだと位置づけている。
ポアンカレの論文ではベクトル場を与える f(x) を多項式に限定して理論を展開していたが、ベンディクソンの論文はより一般的な平面上の自励的微分方程式系について調べている。ポアンカレ・ベンディクソンの定理の最初の証明を与えたのはポアンカレであったが、より弱い仮定の元でより厳密な証明を与えたのはベンディクソンであった。また、ポアンカレの論文ではまだ解析的手法の色合いが比較的強く残っていたが、ベンディクソンの論文では位相的・幾何学的側面がより一層強調されている。
ベンディクソンの論文は特にポアンカレ・ベンディクソンの定理によって広く知られているが、他にも平面上の微分方程式系に関するより高度な内容も含んでいる。平面上の力学系の研究は、ポアンカレとベンディクソンの二人によっておおかた完成されたともいわれる。2元連立1階自励系常微分方程式で定義された平面上の力学系の漸近的挙動を考察する理論を指して、今ではポアンカレ・ベンディクソンの理論とも呼ぶこともある。
ポアンカレの死後に彼の定性的理論を発展させたのが米国の数学者ジョージ・バーコフ (George Birkhoff) で、バーコフは自身の研究をまとめた "Dynamical Systems"（力学系）という題のモノグラフを1927年に刊行した。ポアンカレ・ベンディクソンの定理でも用いられている極限集合も、この著書の中で記された。ポアンカレとベンディクソンの論文でも極限集合のような概念は現れていたが、明確な定義を与えて力学系理論に導入したのはバーコフであった。
バーコフ以降、現在に至るまでに、定理に関係する結果は多数に上る。研究の方向性は、解の振る舞いをより正確に記述したり、新しい現象を捉えたり、より広いクラスへ一般化したりと、多岐にわたる。定理の証明も、様々なアプローチのものが報告されている。ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、現在的な数学にも未だ影響を与えている存在だといえる。