stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
SPYDER 地対空ミサイルシステム
概要

SPYDER地対空ミサイルシステムは、イスラエルのラファエル・アドバンスド・ディフェンス・システムズ社およびイスラエル・エアロスペース・インダストリーズ社（IAI社）によって開発された、短距離および中距離の地対空ミサイルシステムである。SPYDERは、Surface-to-air PYthon and DERby の文字を繋げた語で、その名が示す様に、ラファエル社で開発された航空機搭載用の空対空ミサイルである、パイソン5（短距離用）およびダービー（中距離用）を、地上発射式の地対空ミサイルとして運用するという構想の兵器である。SPYDERの主開発企業はラファエル社で、IAI社がこれに協力した。SPYDERは2005年に行われたテストでテスト用の標的にミサイルを命中させる事に成功し、これ以降、世界各国の防衛・安全保障展示会（兵器見本市）に出展されている。
SPYDERは、低高度で侵攻してくる航空機、ヘリコプター、UAV、ミサイル、誘導爆弾などに対し即応して迎撃を行う防空兵器として開発されており、固定式あるいは自走式としての運用が可能である。自走式の場合、タトラ社製トラック、メルセデス・ベンツ・アクトロストラック、MAN社製TGSトラック、スカニア社製Pシリーズトラック、東風汽車公司製トラックなど、民生品の非装甲トラックを改造しての搭載・運用が可能となっている。また、SPYDERの発射機は、航空機搭載型のパイソン5、ダービー空対空ミサイルをそのまま使用可能である。
SPYDERには2種類のバージョンがあり、それぞれSPYDER-SR（short range、短距離型）、SPYDER-MR（medium range、中距離型）と呼称される。いずれのバージョンも即応可能、全天候対応、ネットワーク情報共有、4連装のランチャー装備、自走式、といった特徴は同じである。SPYDER地対空ミサイルシステムの標準的な構成としては、1台の指揮車両に対して6台のミサイルランチャー装備車両、および1台のミサイル弾頭運搬・再装填車両、といったものになる。
SPYDER-SRにはエルタ社製EL/M-2106 ATARレーダーが使用され、SPYDER-MRには同じエルタ社のEL/M-2084 MMR（英語版）レーダーが使用される。後者のレーダーは、イスラエル軍で運用されている"アイアンドーム"ミサイル防空システムと同じ物である。SPYDER-SRの対応高度は9km、有効射程は15kmであり、SPYDER-MRの対応高度は16km、有効射程は35kmである。
SPYDERはインド、シンガポールに導入されたほか、グルジア軍でも使用され、2008年の南オセチア紛争に投入された。開発国のイスラエルでは運用されていなかったが、2023年に始まったハマスおよびヒズボラとの紛争による緊急の運用ニーズにより、イスラエル航空宇宙軍の防空部隊に配備された。
参考記事

ラファエル社のプレスリリース記事、2004年
ラファエル社のプレスリリース記事、2005年
クロスファイト ビーダマン

| クロスファイト ビーダマン |
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ジャンル: バトル・ホビー
アニメ：クロスファイト ビーダマン（第1期） クロスファイト ビーダマンeS（第2期）
原作: タカラトミー、d-rights
監督: 小高義規
シリーズ構成: 猪爪慎一（第1期） → 川崎ヒロユキ（第2期）
キャラクターデザイン: 藤崎賢二
音楽: 多田彰文
アニメーション制作: SynergySP
製作: テレビ東京、d-rights
放送局: 放送局参照
放送期間: 第1期：2011年10月2日 - 2012年9月30日 第2期：2012年10月7日 - 2013年9月29日
話数: 全104話 （第1期：全52話、第2期：全52話）
漫画：クロスファイト ビーダマン
作者: 溝渕誠
出版社: 小学館
掲載誌: コロコロイチバン!
発表号: 2011年12月号 - 2013年11月号
発表期間: 2011年10月21日 - 2013年9月21日
巻数: 全3巻
話数: 全24話
テンプレート - ノート
プロジェクト: アニメ・漫画
ポータル: アニメ・漫画
『クロスファイト ビーダマン』は、2011年4月から展開されたタカラトミーの玩具「ビーダマン」のシリーズ、ならびに玩具とのメディアミックスとして2011年10月2日からテレビ東京系列6局で放送されたテレビアニメ。
続編であるアニメ『クロスファイト ビーダマンeS』（クロスファイト ビーダマンエス）についてもこの項で併せて述べる。
スーパーショット

B-アニマルを出現させ、「通常ではありえない力」を引き出せる、いわば必殺技のようなもの。
むしろ作中では単に「必殺技」と呼ばれることがほとんど。
グローブのゲージがたまる、もしくはエンブレムチャージを押すと発動し、それぞれのB-アニマルが出現する。
技の名称はコアによって異なり、コアを換装するとスーパーショットの名称も変わる。
スタッフ

原作 - タカラトミー、d-rights
監督 - 小高義規
シリーズ構成 - 猪爪慎一（第1期）、川崎ヒロユキ（第2期）
キャラクターデザイン・総作画監督 - 藤崎賢二
メカニックデザイン - いしはらいくろう
美術監督 - 皆谷透（第1期）、西村隆（第2期）
色彩設計 - 川上善美
撮影監督 - 坪内弘樹
CGモデリング - 加藤静雄
編集 - 小峰博美
音響監督 - 高寺たけし
音楽 - 多田彰文
音楽制作 - ランティス
プロデューサー - 紅谷佳和、笹木理加
アニメーション制作 - SynergySP
製作 - テレビ東京、d-rights
各話リスト

タイトルコールの読み上げは龍ヶ崎タケル役の大原桃子（第1期）、御代カモン役の内匠靖明（第2期）がそれぞれ担当した。
放送局

| 放送地域 | 放送局 | 放送期間 | 放送日時 | 放送系列 | 備考 |
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| 関東広域圏 | テレビ東京 | 2011年10月2日 - 2012年12月23日 2013年1月13日 - 9月29日 | 日曜 8:45 - 9:00 日曜 8:30 - 8:44 | テレビ東京系列 | 製作局 |
| 北海道 | テレビ北海道 | 2011年10月2日 - 2012年12月23日 2013年1月13日 - 9月29日 | 日曜 8:45 - 9:00 日曜 8:30 - 8:44 | テレビ東京系列 | 同時ネット |
| 愛知県 | テレビ愛知 | 2011年10月2日 - 2012年12月23日 2013年1月13日 - 9月29日 | 日曜 8:45 - 9:00 日曜 8:30 - 8:44 | テレビ東京系列 | 同時ネット |
| 大阪府 | テレビ大阪 | 2011年10月2日 - 2012年12月23日 2013年1月13日 - 9月29日 | 日曜 8:45 - 9:00 日曜 8:30 - 8:44 | テレビ東京系列 | 同時ネット |
| 岡山県・香川県 | テレビせとうち | 2011年10月2日 - 2012年12月23日 2013年1月13日 - 9月29日 | 日曜 8:45 - 9:00 日曜 8:30 - 8:44 | テレビ東京系列 | 同時ネット |
| 福岡県 | TVQ九州放送 | 2011年10月2日 - 2012年12月23日 2013年1月13日 - 9月29日 | 日曜 8:45 - 9:00 日曜 8:30 - 8:44 | テレビ東京系列 | 同時ネット |
| 宮城県 | 東日本放送 | 2011年10月22日 - 2012年10月20日 2012年10月27日 - 2013年4月13日 | 土曜 5:35 - 5:50 | テレビ朝日系列 | 第2期・第26話をもって打ち切り |
| 日本全域 | AT-X | 2011年10月23日 - 2012年9月30日 2012年10月7日 - 2013年1月6日 2013年1月13日 2013年1月20日 - 10月6日 | 日曜 8:45 - 9:00 日曜 18:45 - 19:00 日曜 18:30 - 19:00 日曜 18:30 - 18:45 | CS放送 | リピート放送あり |
| 熊本県 | 熊本朝日放送 | 2011年10月29日 - 2012年11月10日 2012年11月17日 - 2013年12月1日 | 日曜 6:00 - 6:15 | テレビ朝日系列 |  |
| 岩手県 | 岩手朝日テレビ | 2011年11月5日 - 2012年11月17日 2012年11月24日 - 2013年5月11日 | 土曜 6:00 - 6:15 | テレビ朝日系列 | 第2期・第25話をもって打ち切り |
| 福島県 | 福島放送 | 2011年11月5日 - 2012年11月17日 2012年11月24日 - 2013年5月11日 | 土曜 6:15 - 6:30 | テレビ朝日系列 | 第2期・第25話をもって打ち切り |
| 鹿児島県 | 鹿児島放送 | 2011年11月12日 - 2012年11月24日 2012年12月1日 - 2013年5月18日 | 土曜 6:45 - 7:00 | テレビ朝日系列 | 第2期・第25話をもって打ち切り |
| 広島県 | 広島ホームテレビ | 2011年11月12日 - 2012年11月24日 2012年12月1日 - 不明 | 土曜 7:15 - 7:30 | テレビ朝日系列 |  |
| 静岡県 | テレビ静岡 | 2011年12月3日 - 2012年12月8日 2012年12月15日 - 2013年4月20日 | 土曜 5:30 - 6:00 | フジテレビ系列 | 第2期・第26話をもって打ち切り |
| 長野県 | 長野朝日放送 | 2011年12月4日 - 2012年12月9日 2012年12月16日 - 2013年4月14日 | 日曜 6:00 - 6:30 | テレビ朝日系列 | 第2期・第22話をもって打ち切り |
| 新潟県 | 新潟テレビ21 | 2012年2月11日 - 2013年2月16日 | 土曜 6:15 - 6:30 | テレビ朝日系列 | 第1期のみ放送 |
| 山形県 | 山形テレビ | 2012年3月17日 - 2013年3月30日 | 土曜 6:15 - 6:30 | テレビ朝日系列 | 第1期のみ放送 |
漫画

『コロコロイチバン!』2011年12月号から2013年11月号まで連載。著者、溝渕誠。単行本全3巻。
てれびくん2013年2月号に『「コロコロイチバン!」まんが劇場!!「クロスファイトビーダマン!」』が掲載され、単行本第3巻に特別編として収録された。
コラッツの問題

コラッツマップ下の軌道を有向グラフにしたもの。コラッツ予想は、すべてのパスが1に至るということと同値である。
コラッツの問題（コラッツのもんだい、Collatz problem）は、数論の未解決問題のひとつである。問題の結論の予想を指してコラッツ予想と言う。伝統的にローター・コラッツの名を冠されて呼ばれるが、固有名詞に依拠しない表現としては3n+1問題とも言われ、また初期にこの問題に取り組んだ研究者や場所の名を冠して、角谷の問題、米田の予想、ウラムの予想、シラキュース問題などとも呼ばれる。
数学者ポール・エルデシュは「数学はまだこの種の問題に対する用意ができていない」と述べた。また、ジェフリー・ラガリアスは2010年に、コラッツの予想は「非常に難しい問題であり、現代の数学では完全に手が届かない」と述べた。
2019年9月、テレンス・タオはコラッツの問題がほとんどすべての正の整数においてほとんど正しいとするプレプリントを発表し、論文は2022年5月に出版された。
概要

任意の正の整数 n に対して、以下で定められる操作について考える。
n が偶数の場合、n を 2 で割る
n が奇数の場合、n に 3 を掛けて 1 を足す
このとき、「どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず 1 に到達する（そして 1→4→2→1 というループに入る）」という主張が、コラッツの予想である。
モジュラ計算の表記を用いて、上記の操作を関数 f として定義する。
任意の正の整数 n に対して、この関数 f (コラッツ写像とも呼ばれる) を繰り返し適用することで整数の無限列 {ai}i ≧ 0を得る。数式としての定義は次のようになる。
このとき、コラッツ予想を形式的に書くと、以下のようになる。
すなわち、任意の正整数 n に対して f を繰り返し適用していると、f(f(…f(n)…)) = 1 がいつかは成り立つという主張がコラッツ予想である。1に到達して以降は、この数列は 1, 4, 2 を繰り返すのみとなるため、以降では最初に1に到達して以降の数は表記しないことにする。
コラッツ予想が誤りであるなら、1 を含まない数列を生成する初期値が存在するということになる。そのような数列は、1 を含まない繰り返し数列に突入するか、もしくは際限なく増大していくかのいずれかである。そのような数列はいまだ見つかっていない。
コンピュータを用いた計算により、268 までの初期値には反例がないことが確かめられている。
例

初期値を 6 にしたとき、6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 という1に到達する数列を得る。
初期値を 11 とすると、11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 となり、1 に到達するまでにより長くかかる。
初期値として 27 を選ぶと、以下のように数列の項数は112にまで及び、その値は最終的に 1 に到達する前に最大 9232 まで増大する。
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (オンライン整数列大辞典の数列 A008884)
各整数において1になるまでの回数はオンライン整数列大辞典の数列 A006577を，各整数に対する最大値はオンライン整数列大辞典の数列 A025586を参照。
「3を掛けて1を加えた後、奇数になるまで2で割る」という1回の作業で1となる数値は、1, 5, 21, 85, 341, ... と無限に存在する。
歴史

1930年代ごろ、学生であったコラッツは数論的関数を有向グラフとして表現して、そのグラフの性質が関数のふるまいとどのように関連付けられるかに興味を持った。この時の彼のノートには、現在知られるものとは異なる関数について調べられている。コラッツはこれらの関数についての問題を出版することはなかったが、1950年の国際数学者会議をきっかけに広くこの問題が知られるようになり、1963年に初めて (1930年代にコラッツが研究していた形のものが) 紙面に取りあげられた。その後、この問題に興味を持った数学者によって研究される間に、様々な別名を得ることとなった。「ハッセのアルゴリズム」はヘルムート・ハッセに、「シラキュース問題」はシラキュース大学に、「角谷の問題」は角谷静夫に、「ウラムの問題」はスタニスワフ・ウラムに由来する。
コラッツ予想の解決にはいくつかの懸賞金がかけられており、コクセターが50ドル、エルデシュが500ドル、ブライアン・スウェイツ (Bryan Thwaites) は1000ポンドを申し出ている。
2011年度大学入試センター試験数学IIB第6問に題材として取り上げられた。
2019年、テレンス・タオは「limN→∞ f(N) = +∞ を満たす任意の関数 f : ℕ+ → ℝ について、N から始まるコラッツ数列の最小値は (Logarithmic densityの意味で) ほとんど全ての自然数 N において f(N) より小さい」ことを証明し、コラッツ予想は「『ほとんど』全ての自然数で『ほとんど』正しい」ことが示された。帰結として例えば、N から始まるコラッツ数列の最小値はほとんど全ての自然数 N において log log log log N より小さくなることが従う。
2021年7月7日、株式会社音圧爆上げくんが、「コラッツ予想の真偽を明らかにした方に懸賞金1億2000万円を支払います」と発表した。
この予想を支持する論拠

コラッツの予想は未解決だが、この問題を研究した多くの数学者は正しいだろうと考えている。そう予想される理由を以下に挙げる。
この予想を支持する論拠 > 経験的証拠

この予想は、初期値が268 ≈ 2.95×1020までは成り立つことがコンピュータで確認されている。この数値は、コンピュータのスピードアップとテスト技術の向上に伴って更新され続けている。
しかしこういったコンピューターでの検証は、予想が真であるという証拠にはならない。ポリア予想、メルテンス予想（英語版）、スキューズ数の場合に示されているように、非常に大きな数において予想の反例が見つかることがある。
この予想を支持する論拠 > ヒューリスティクス

厳密な議論ではないヒューリスティクスであるが、ステップを経るごとに数の大きさがどのようになるかを考察する。今、n が偶数ならば、次のステップで大きさは半分になる。また、n が奇数ならば、次のステップで 3n + 1 になるが、これは必ず偶数であるから、その次に (3n + 1)/2 になることまでは確定している。ここまでを一つのステップと解釈すれば、このステップで大きさは約 3/2 倍になる。1回のステップを経た後に偶数になるか、奇数になるかが半々であると考えると、1/2 の確率で数の大きさは 1/2 倍になり、残る 1/2 の確率で数の大きさは 3/2 倍になる。よって、1回のステップで、数の大きさは (1/2)1/2 × (3/2)1/2 倍になると期待される。これは 1 より小さな値であるから、ステップを経るごとに「確率的に」小さくなると考えられる。この意味で、いつかは 1 に到達するとの予想は確からしい。
確率論の言葉を用いるとこれは無限のステップ数を取る極限で1に平均収束するということであり、厳密には予想の確からしさとは無関係である。ストレンマイヤーは1957年にマルティンゲールの理論を用いて上記の議論を精密化し、任意のコロモゴルフ測度の下で有限ステップ内に数の大きさが1に概収束（確率1で収束）することを証明した。[要出典]
コラッツの数列を計算するプログラミング例

以下は擬似コードによるプログラミング例である。与えられた初期値に対するコラッツ数列を計算できる。
def collatz(n)
  show n
  if n.odd? and n > 1
    collatz(3n + 1)
  else if n.even?
    collatz(n / 2)
このプログラムは 1, 4, 2, 1 の無限サイクルを省くために 1 に到達すると停止するようになっている。もしコラッツ予想が正しければ、いかなる正の整数の初期値を与えても停止する。
この問題を、初期のコンピュータで計算することで研究したのがスタニスワフ・ウラムであった。
サイクル

n が奇数であるときに 3n + 1 は必ず偶数になることから、コラッツ写像の「ショートカット」形式が次の定義で与えられる：
コラッツ数列のサイクルとは相異なる正整数からなる数列  (a_{0},a_{1},\ldots ,a_{q}) であって、 T(a_{0})=a_{1},  T(a_{1})=a_{2}, ...,  T(a_{q})=a_{0} を満たすものである。唯一知られているサイクルは長さ2の  (1,2) で、これは自明なサイクルと呼ばれる。
サイクル > サイクルの長さ

自明ではないサイクルの長さは少なくとも 17,087,915 である。Eliahouは1993年の論文で、サイクルの最小値が 240 を超えるならば、周期の長さ p が
となることを示した。ここで a,b,cは非負整数で、 b\geq 1 かつ  ac=0である。この結果は、 \log 3/\log 2の 連分数展開と関連している。最新の検証では、268までコラッツ予想が正しいと判明しているので、同様の論法によりサイクルの長さの下限は114208327604 (「ショートカット」無しなら 186265759595) であると言える。
サイクル > k-サイクル

k-サイクルとは、奇数が連続する増加列 k 個と偶数が連続する減少列 k 個の 2k 個の部分で全体が構成されたサイクルである。例えばサイクルが、奇数による増加列1個と、偶数による減少列1個で構成されたなら、1-サイクルと呼ぶ。Steiner (1977)は、1-サイクルが、自明なサイクル(1;2)のみであることを証明した。ジョン・サイモンズ (John L. Simons) は、Steinerの方法を使って、2-サイクルが存在しないことを証明した。サイモンズとde Wegerはこの証明を拡張して、k = 68 までの場合において、非自明なk-サイクルが存在しないことを示した。また、k が69以上の場合においては、存在した場合のサイクルの最小値の範囲を与えた。例えば k = 69 の場合は、サイクルの最小値は 3.3389×1017より大きく 6.4877×1017より小さいことが示されている。
コラッツ予想の他の形式 > ボトムアップ方式

別のアプローチをとってみる：ボトムアップ方式でいわゆるコラッツグラフを作成してみる。
コラッツグラフは、以下のように操作を逆にして定義する。
したがって、すべての正の整数が最終的に1になることを証明する代わりに、1がすべての正の整数に逆方向につながることを証明すればよい。
任意の整数n, n ≡ 1 (mod 2) ⇔ 3n + 1 ≡ 4 (mod 6) である。ゆえに、
n − 1/3 ≡ 1 (mod 2) ⇔ n ≡ 4 (mod 6)である。
推測的に、この逆関係は、1–2–4ループ（この記事の問題の説明のセクションで定義されている変更されていない関数fの4–2–1ループの逆）を除いてツリーを形成する。
操作3n + 1を、ショートカット操作3n + 1/2に置き換えた場合は、
コラッツグラフの定義は以下のようになる。
任意の整数n, n ≡ 1 (mod 2) ⇔ 3n + 1/2 ≡ 2 (mod 3)。ゆえに、
2n − 1/3 ≡ 1 (mod 2) ⇔ n ≡ 2 (mod 3)である 。推測的に、この逆関係は、1–2ループ（上記のように修正された関数f（n）の1–2ループの逆）を除いてツリーを形成する。
コラッツ予想の他の形式 > 剰余列

本節では、コラッツ関数を少し変形したものを考える：
nが奇数の場合には3n + 1が必ず偶数になるので上記のようにできる。
P(x)をxの2で割った余りとする。P(2n) = 0 で、P(2n + 1) = 1 である。整数nの剰余列を、pi = P(ai), ただしa0 = n, and ai+1 = f(ai)
と定義する。
(3n + 1)/2 または n/2、どちらの操作が適用されるかは、剰余に依存する。剰余列はfによる操作の場合分けに等しい。
f(n)に対してこの形式を適用すると、２つの整数m とnの剰余列は、m とnが2kを法として合同の場合のみ、最初のk項で一致するこが示される。これは、すべての整数が剰余列により一意に識別されること意味し、さらに複数のコラッツ数列がある場合、対応する剰余列が異なる必要があることを意味する。
n=a·2k + b に関数 f を k 回適用すると、a·3c + dとなる。ここでdはbに関数fをk回適用した結果で、cはその過程で3倍の演算を行った（増加した）回数である。（例えば、a·25 + 1 では、1が2,1,2,1と変化し最後に2になるので、3回の増加がある。よって結果はa·33+2 である。a·22 + 1 では、1が2に増加しその後1になるので、結果は3a + 1 となる。） bが2k - 1の場合には、 k回の増加があり、結果は2a·3k - 1となる。aに掛かる係数は、aには無関係で、bにのみ依存する。これにより、特定の形式の数値が特定の反復回数の後、常により小さい数値になることを予測できます。例えば、4a + 1 は、2回のf操作により3a + 1となり、16a + 3は4回のf操作により9a + 2となる。これらの小さくなった数が1へとつながるかどうかは、 aの値に依存する。
コラッツ予想の他の形式 > 法の一般化

本節ではショートカット版を、たんにコラッツ写像と称する。
αを2以上の整数として
という、各整数にαを法とした非負の最小の余りを返す関数を導入すると、コラッツ写像は ((ρ2 (x) + ρ2 (−x) + 1)x + ρ2 (−x))/2 と書ける。このことから、
と定めると、法αについて一般化されたコラッツ写像Tαが得られる。
この写像は以下の特徴を持つ。
x∈(−α,0]∩Z ⇔ Tα (x) = x.
x∈(0,α)∩Z ⇔ Tα (x) = x + 1.
0 < x ⇔ 0 < Tα (x).
したがって、とくに1の周期軌道と、整数上の不動点の分布が、どのαに於いてもオリジナルのコラッツ写像と酷似する。これらの周期軌道を自明な軌道と呼ぶことにすると、既に10未満のαに於いては、α=3,4,6,9に於いて、正の範囲に非自明な周期軌道が確認されている。このことから次の命題が興味の対象となる。
において、正の整数上に非自明な周期軌道が存在せず、かつ、任意の正の整数が前周期的となるような法はどのような整数か？
"そのような法すべて"からなる集合に2が含まれるか?
がオリジナルのコラッツの問題に相当する。
定義域の拡張 > 整数全体への拡張

正整数だけではなく、負数も含む任意の整数から開始するコラッツ数列について考えることができる。このとき、自明なサイクル0→0を除いて、合計4つの既知のサイクルがあり、知られている限りでは任意の0でない整数は以下に示された4つのサイクルのいずれかに到達する。
以下の表において、奇数の値は太字で示されている。また各サイクルは、最小絶対値の要素を先頭にしている。
| サイクル | 奇数値のサイクル長 | 全サイクル長 |
| --- | --- | --- |
| 1, 4, 2, 1 ... | 1 | 3 |
| −1, −2, −1 ... | 1 | 2 |
| −5, −14, −7, −20, −10, −5 ... | 2 | 5 |
| −17, −50, −25, −74, −37, −110, −55, −164, −82, −41, −122, −61, −182, −91, −272, −136, −68, −34, −17 ... | 7 | 18 |
一般化されたコラッツの予想は、f による反復の下で、すべての整数が最終的に上記の4つのサイクルの1つ (または0→0の自明なサイクル) に入るという主張である。
定義域の拡張 > 分母が奇数である有理数への拡張

コラッツ写像は、分母が奇数である既約分数に拡張できる。ここで偶奇性の判定は分子の偶奇性によって判定し、それ以外は定義域が整数の場合と同様に行う。すなわち、分子が偶数であれば2で割り、奇数であればその有理数に3を掛けて1を足すこととする。「ショートカット」した定義を使用する場合、任意の周期的かつ既約なパリティ列は一意な有理数によって生成されることが知られている。逆に、分母が奇数であるすべての有理数は、周期的なパリティ列を持っていると予想されている (周期性予想、periodicity conjecture)。
長さ n のパリティ列が奇数を正確に m 個含むとして、そのインデックスを k0 < … < km−1 で表すとすると、パリティサイクルを生成する有理数が次のように決定される：
()
例えば、長さ7のパリティサイクル (1 0 1 1 0 0 1) は、0, 2, 3, 6 の位置にパリティ1 (すなわち奇数) が存在している。従って m = 4, ki = 0, 2, 3, 6 (for 0 ≦ i ≦ 3) と置くと、周期列を生成する有理数が次のように求まる。
これは、下記の有理数のサイクルとなり、パリティは確かに (1 0 1 1 0 0 1) の周期となっていることがわかる。
(1 0 1 1 0 0 1) の巡回置換は、上記の分数の1つに関連付けられる。例えば、サイクル (0 1 1 0 0 1 1) から同様の手順で有理数を得ると
となり、先の例で得たサイクルの2番目に対応している。
コラッツ予想が正しいことを仮定すると、(1 0) と (0 1) が正の整数（それぞれ1と2）によって生成される唯一のパリティサイクルであることが示される。
有理数の分母が3の倍数でない場合、この拡張されたコラッツ数列はすべて同じ分母を持ち、このとき分子の列はコラッツ関数の「3n + d」への一般化を適用することによって得ることができる。
定義域の拡張 > 2-進整数環への拡張

有理数と類似の拡張として、コラッツ写像の2-進整数環  \mathbb {Z} _{2} への拡張が挙げられる。この環は部分環として奇数分母の有理数全体からなる環を含んでいる。このとき写像は
T(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}&{\textrm {if}}\ x\equiv 0\mod 2\\{\frac {3x+1}{2}}&{\textrm {if}}\ x\equiv 1\mod 2\end{cases}}で与えられ、これは  \mathbb {Z} _{2} 上でwell-definedな連続写像であり、かつハール測度を保存する。加えて、その力学系はエルゴードであることが知られている。
定義域の拡張 > 実数・複素数への拡張

コラッツ写像は、整数時に元々の定義と一致するように実数に拡張することができる。
これは補間関数と呼ばれる。
これを行うには、下記を満たす２つの関数を適当に決めればよい。
そしてこれらを使って下記のようにコラッツ写像を定義できる：
g_{1} と  g_{2} の選択肢として、例えば、
 g_{1}(x)\triangleq \cos ^{2}\left({\tfrac {\pi }{2}}x\right) と  g_{2}(x)\triangleq \sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{2}}x\right) を選ぶことができる。
実直線上でのこの写像の反復については、マーク・チェンバーランド (Marc Chamberland) の研究によると、この関数は実直線上に無限に多くの不動点を持ち、また反復合成について単調に無限大に発散する軌道も持つ。
f(x) の正の不動点を小さい方から 0 < μ1 < μ2 < μ3 < … とおく。このとき、[μ1, μ3] の範囲には周期アトラクターがちょうど2つ存在して、1つは {1, 2}、もう1つは {1.192531907..., 2.138656335...} である。
Letherman, Schleicher および Wood はこの関数の研究を複素平面へと拡張した。ほとんどの複素平面上の点は無限遠へと発散するが、境界となるジュリア集合はフラクタル図形を描く。
複素関数で定義する方法は他にもたくさんある。たとえば、正弦関数と余弦関数の代わりに 複素指数関数を使用する方法がある：
f(z)\triangleq {\frac {z}{2}}+{\frac {1}{4}}(2z+1)\left(1-e^{i\pi z}\right)
この場合異なるダイナミクスを示す。例えば
 \operatorname {Im} (z)\gg 1では、 f(z)\approx z+{\tfrac {1}{4}}となり発散する。
この定義に対応するジュリア集合は、右図のようになる。"haris"や"rays"と呼ばれる無数の構造がある。
検証計算の最適化 > 時間と空間のトレードオフ

上記の パリティシーケンス により、コラッツ数列の計算の高速化が可能である。
（パリティシーケンス節の f 関数を使ったとして）k ステップ先にジャンプするために、まず現在の数値を2つに分割する： b（2進数表記で下位 k ビット）と、a（残りの上位ビット）。k ステップをジャンプした結果は以下になる：
c (もしくは 3c)と d 配列は、k ビットの数すべてについて事前計算しておく。d(b) は b に f 関数を k 回行った数で、c(b) はその間に登場した奇数の数である。例えば k = 5 なら5ステップのジャンプが可能で、そのために下位5ビットを分割して、下記配列を使う：
これは、2k 個の事前計算とストレージが要求される。これにより計算速度が k 倍高速化出来るが、時間と空間のトレードオフである。
検証計算の最適化 > 剰余類による制限

コラッツ予想の反例を探すにあたって、上記の事前計算を使うと加速させることができる。もし、与えられた b と k で、不等式
が成り立ったとすると、すべての a についても成立する。そうすると、最初の反例（存在するとして）は、 2k を法として b と合同ではないと言える。
例えば、最初の反例は必ず奇数である。なぜならば f (2n) = n で、2n よりも小さいからである。同様に、最初の反例は mod 4 で3と合同である。なぜならば、f 2(4n + 1) = 3n + 1 で、4n + 1 より小さいからである。コラッツ予想の反例でないすべての a には、上記不等式が成立する k が存在する。なので、ある数のコラッツ予想の検証するとき、合同なクラスを検証するとよい。k  が増加したときの検証は、より小さい k で除外されなかった b についてのみ検証すればよい。指数関数的に小さい割合だけが残ることになる。例えば mod 32 では、b = 7, 15, 27, 31 だけが残る。
類似の問題

関数 f の定義を少し変えることにより、コラッツの問題の類似を考えることができる。
類似の問題 > 変数nが奇数の時の乗数の奇数一般への拡張による類似問題

例えば「任意の正の整数 n に対して
n が偶数の場合、n を 2 で割る
n が奇数の場合、n に 2m – 1 (m ≥ 1)をかけて 1 を足す
という操作を繰り返すと、有限回で 1 に到達する」という命題を考える。m = 1 のとき（nが奇数なら単に1を足す）は、この命題が正しいことを簡単に証明できる。m = 2 の場合が上述のコラッツの問題である。m ≥ 3 の場合は、mの値とnの初期値によっては、1を含まない繰り返し数列、もしくは際限なく増大していく数列が得られるため、この命題は一般に成り立たない。たとえば m = 3 の場合、nの初期値を13に設定すると、13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13 という1を含まない数列のサイクルが得られる。これは上記のヒューリスティクスの観点からして、mが大きくなるほど1に到達する可能性は低くなると予想されることとも符合する。
類似の問題 > 変数nが奇数の時の加算数の奇数一般への拡張による類似問題

また、もう一つの類似として、「任意の正の整数 n に対して
n が偶数の場合、n を 2 で割る
n が奇数の場合、n に 3をかけて 2l - 1 (l ≥ 1) を足す
という操作を繰り返すと、有限回で 1 に到達する」という命題を考える。
ここで、l = 1 のときが上述のコラッツの問題である。しかし、l ≥ 2の場合、1を含まない繰り返し数列が得られる場合があるので、この命題は一般に成り立たない。
たとえば、l = 2として、初期値n = 43を与えた場合、43, 132, 66, 33, 102, 51, 156, 78, 39, 120, 60, 30, 15, 48, 24, 12, 6, 3, 12, 6, 3という数列が得られ、この命題は成り立たない。初期値nが1, 2などなら有限回で1に到達するが、他の初期値に対しては3, 12, 6, 3と、3を繰り返すサイクルになると思われる。そこでl = 2に対してコラッツの予想を応用し、「任意の正の整数 n に対して、上記の操作を行えば、有限回で1または3に到達する」という命題を代わりに立てれば、これが成り立つと予想される。
この二つの予想を一般化して、「任意の正の整数 n に対して
n が偶数の場合、n を 2 で割る
n が奇数の場合、n に 3をかけて 2l – 1 (l ≥ 1) を足す
という操作を繰り返すと、有限回で1または2l – 1 (l ≥ 1) に到達する」という命題を立てたとしても、l ≥ 3以上の場合には、この命題は一般に成り立たない。たとえばl = 3の場合、任意の自然数nが1または5に到達するという命題になるが、n＝13の時、13, 44, 22, 11, 38, 19, 62, 31, 98, 49, 152, 76, 38, 19と、19を繰り返す無限ループになり、1にも5にも到達しない。
ただし、上の、2l – 1 (l ≥ 1) が、0以上の整数aを用いて3a–1 (a ≥ 1) で表されるときには、上記のプロセスを繰り返せば、有限回数で1または3a–1 (a ≥ 1) に到達することは予想される。a = 1の場合がコラッツの問題である。a = 2の場合は、上記でl = 2のケースである。
類似の問題 > 変数nが奇数の時の乗数と加算数双方の、奇数一般への拡張による類似問題

以上のことから、一般化は困難ではあるが、個別に考えるなら、さらに進んで、「任意の正の整数 n に対して
n が偶数の場合、n を 2 で割る
n が奇数の場合、n に 2m – 1 (m ≥ 1) をかけて、2l – 1 (l ≥ 1) を足す
という操作を繰り返すとき、n、m、lの値に応じてどのような数列が展開されるか」
という問題にも拡張できるなど、コラッツの問題の類似問題の幅は広い。
ギャラリー

最初の1000個の数字の数列を示す有向グラフ。
x軸は初期値を表し、y軸は、1に至るまでの間での最大値を示す。このプロットでは、y軸の範囲を制限している：いくつかのxでは、途中の最大値が2.7×107にもなる。(x = 9663の場合)
20ステップ未満のすべてのツリー。
関連文献

『数学100の問題』 日本評論社 ISBN 978-4535606142 　「角谷の問題」として取り上げられている。
『数学の魔法の宝箱』 イアン・スチュアート (数学者) ソフトバンク クリエイティブ ISBN 978-4-7973-5982-4：「コラッツ＝シラキュース＝ウラム問題」として紹介されている。
1から9999までの数に対して、1にいたるまでのステップ数をグラフにしたもの。
1から108までの、1に至るまでのステップ数のヒストグラム。x軸がステップ数で、頻度がy軸である。
2から107までの、1にいたるまでのステップ数をグラフにしたもの。
ステップ数: 250, 1000, 4000, 20000, 100000, 500000までをそれぞれグラフ化したもの。
初期値27のときの ai の値のグラフ
ボトムアップ方式で作成した21ステップまでのコラッツグラフ 。グラフには、軌道長が21以下のすべての数値が含まれている。
実関数として拡張したコラッツ写像上で、コラッツ数列 10 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1 → ... をクモの巣図法で表示したもの。
複素コラッツ写像のジュリア集合。色がついている点はすべて無限遠へ発散する。
複素指数関数による定義でのジュリア集合。
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ドラゴンクエストXの登場キャラクター（ドラゴンクエストテンのとうじょうキャラクター）では、スクウェア・エニックスのオンラインゲーム『ドラゴンクエストX』に登場する架空のキャラクターについて解説する。
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マイユ、ラグアス、ダストン、ヒューザ、フウラはオフライン版ではパーティーメンバーとして、主人公と行動を共にする。オフライン版の大型DLC（Ver.2）ではアンルシアもパーティーメンバーに加わる。
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太古の昔、海洋都市リンジャハルが存在していた地。塔の名は、かつてそこに住んでいた召還士の名を冠したものである。魔人によって壊滅するまでは、エテーネ王国からの要人の来訪も少なくなく、浅からぬ関わりがあったようだ。
叡智の冠

グランゼドーラを拠点とし、アストルティアの平和を守るために各地で活動している賢者達。
ナドラガンド

奈落の門の向こう側にある、アストルティアとは異なる世界で竜族たちが暮らしている。
ナドラガンド > 炎の領界 > ナドラガ教団

ナドラガンド（炎の領界）にある聖都エジャルナを拠点としている。ナドラガンドの各領界を繋げ、封印されたナドラガ神を復活させてナドラガンドに救いをもたらすことを目的としている。しかし、他ならぬナドラガ神の正体を知らなかったことが、アストルティアを巻き込んだ大波乱に繋がることとなった。ナドラガが倒された後は、「ナドラガンド協団」に改名する。
敵 > 魔族

Ver.5以降に登場する魔族については#魔界を参照。
敵 > 大いなる闇の根源 > 七柱の邪神

戦禍、怨嗟、喝欲の邪神の名は書籍「アストルティア秘聞録」で判明した。
敵 > 不死の魔王と魔軍十二将

大魔王マデサゴーラが台頭する1000年前、レンダーシア大陸で暗躍していた不死身の魔族勢力。
敵 > 「邪悪なる意志」とその一派

Ver.3以降、魔族に代わり暗躍する敵対勢力。その正体はナドラガ教団内の急進派であり、ナドラガ神復活のため「神の器」の奪取と領界の解放を画策し、魔物を操って、各領界の民の拠り所となる聖鳥を邪悪化し恵みの木を凍らせるなどのテロ活動を行っている。ナドラガ神の真相を隠蔽し、教団全体を自分たちの目的のために操っているという見方もある。構成員は数えるほどしかいないようで、活動の際には魔物を封じた呪符だけでなく、洗脳した現地の魔物を動員していることも少なくない。
敵 > ジア・クト念晶体

かつてルティアナの故郷である、「とこしえのゆりかご」こと「果ての大地ゼニアス」を滅ぼした存在。特定の人物ではなく、鉱物に関わる能力を持った集団を指す。人間や魔族を上回る科学力と能力を持つ高次元生命体。アストルティアの人々からは「異界滅神の一族」と呼ばれている。天使たちの仇敵であり、ジア・クトの名は呪われた名として、その存在は審判の天使未満の天使には伏せられている。神代の遺構の赤い毒の霧はジア・クトが生み出したとされている。生粋のジア・クト念晶体と後天的なジア・クト念晶体の二種類が存在し、生粋のジア・クトは「偉大なる原石」と呼ばれている。その侵略理由は「かつては創生のチカラを生産する手段を持っていたものの、とこしえのゆりかご襲撃時にグランゼニスから創失の呪いを受けチカラを生産する手段を失った結果、他の世界からチカラを収奪しなければ肉体が消滅する体質になってしまったため」とされる。
敵 > 執行者

創失を行使することができる、謎の集団。グランゼニス復活の阻止や、魔族のアストルティア侵攻のために暗躍し、最終的にアストルティアを滅亡させようと企んでいる。体のどこかに特徴的な紋章がある。執行者は「執行獣」という異形の姿に変身することが可能。
六聖陣

古来よりルティアナに仕え、大いなる闇の根源との戦いを続けている使徒たち。
天星郷フォーリオン > 英雄

次期アストルティアの神々の候補とされ、天使によって魂から復元された存在。試練を乗り越え、神化の儀を行うことで神に一歩近づけるとされているが、レオーネの裏工作により儀式は失敗し悪神（あくじん）に変貌。過去の悔恨に駆られ、今の世界を滅ぼして作り直すために、各地へと飛び立った。
主人公の活躍で呪炎から解放された後、ジア・クトの本隊が侵攻してきた時に復帰する。最終的には主人公とフォステイル以外はジア・クトとの戦いで戦死した。
→「§ フォステイル」を参照
天星郷フォーリオン > 英雄 > 大地の三闘士

4000年前に山神イプチャルの加護を受けた、三人の義兄弟。当時、過酷な環境だったドワチャッカ大陸において魔物達と戦いつつ、土地を開拓・踏破し、ドワーフの英雄と讃えられた。大陸踏破後は3つの大集落を作り、それぞれの長となるも、再会が難しくなったという。死後はカルサドラ火山に像が建てられており、三闘士のオノなどが現代に残されている。Ver.6.4において、主人公とも義兄弟の契りを交わし、「大地の四闘士」となった。
夢現篇のキャラクター

本編には直接関係しないが、主人公が生き返しを受けた人物と関係のある人物が何人か登場する。
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