ローレンツ群
リー代数

リー群の常として、ローレンツ群の多くの側面がそのリー代数により明らかにできる。ローレンツ群は R4 上の微分同相群の部分群であり、したがってそのリー代数は R4 上のベクトル場により明らかにされる。具体的には、空間に等長性を生成するベクトルはキリングベクトルであり、これがリー代数を計算する際に便利な左不変なベクトル場の代わりとなる。次の六つの生成子を書き下すことができる。
三つの回転 i J を生成する R4 上のベクトル場
三つのブースト i K を生成する R4 上のベクトル場
ここで、次のような一階線形偏微分作用素の形で書かれたベクトル場から1パラメータ群を得る方法について軽くおさらいしておこう。
対応する初期値問題は以下のようになる。
この解は次のように書ける。
または
ここで、z 軸まわりの回転 exp(i λ Jz) の1パラメータ行列群をすぐにみてとることができる。群パラメータ λ で微分し λ=0 を代入すれば、次の行列が得られる。
これが最初のベクトル場に対応する。このようにしてリー代数の要素の行列表現とベクトル場表現を対応づけることができる。
前節の手続を逆転させることにより、上の六つの生成子に対応するメビウス変換が次に示すパウリ行列にそれぞれ  β/2 （回転の場合）および  iθ/2 （ブーストの場合）をかけて指数関数をとったものになることがわかる。
ここでの目的のためには、別の生成子がより便利である。下表その六つの生成子の一覧を挙げる。表の見方は、
最初の行は（リーマン球面から立体射影した後の）ユークリッド平面上の実ベクトル場としてのメビウス群の作用の下のフローの生成子を示す。
二行目は対応するメビウス変換の1パラメータ部分群を示す。
三行目は対応する（上の1パラメータ部分群を準同型写像でうつした）ローレンツ変換の1パラメータ部分群を示す。
四行目は対応するミンコフスキー時空上の実ベクトル場としてのローレンツ群の作用の下のフローの生成子を示す。
これらの生成子は次からなることに注意されたい。
二つの放物型（ヌル回転）
一つの双曲型（∂z 方向のブースト）
三つの楕円型（x,y,z 軸まわりの回転）
| R2 上のベクトル場> 放物型 | SL(2, C) の部分群のメビウス変換表現> 放物型 | SO+(1, 3) の1パラメータ部分群のローレンツ変換表現> 放物型 | R4 上のベクトル場> 放物型 |
| --- | --- | --- | --- |
|  \partial _{u}\,\! |  \left[{\begin{matrix}1&\alpha \\0&1\end{matrix}}\right] |  \left[{\begin{matrix}1+\alpha ^{2}/2&\alpha &0&-\alpha ^{2}/2\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\\alpha ^{2}/2&\alpha &0&1-\alpha ^{2}/2\end{matrix}}\right] |  X_{1}=\,\!  x(\partial _{t}+\partial _{z})+(t-z)\partial _{x}\,\! |
|  \partial _{v}\,\! |  \left[{\begin{matrix}1&i\alpha \\0&1\end{matrix}}\right] |  \left[{\begin{matrix}1+\alpha ^{2}/2&0&\alpha &-\alpha ^{2}/2\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\\alpha ^{2}/2&0&\alpha &1-\alpha ^{2}/2\end{matrix}}\right] |  X_{2}=\,\!  y(\partial _{t}+\partial _{z})+(t-z)\partial _{y}\,\! |
双曲型
|  {\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right) |  \left[{\begin{matrix}\exp \left({\frac {\beta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\beta }{2}}\right)\end{matrix}}\right] |  \left[{\begin{matrix}\cosh(\beta )&0&0&\sinh(\beta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\beta )&0&0&\cosh(\beta )\end{matrix}}\right] |  X_{3}=\,\!  z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\! |
楕円型
|  {\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right) |  \left[{\begin{matrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right] |  \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right] |  X_{4}=\,\!  -y\partial _{x}+x\partial _{y}\,\! |
|  {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v} |  \left[{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right] |  \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{matrix}}\right] |  X_{5}=\,\!  -x\partial _{z}+z\partial _{x}\,\! |
|  uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v} |  \left[{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right] |  \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{matrix}}\right] |  X_{6}=\,\!  -z\partial _{y}+y\partial _{z}\,\! |
この表の一列を検証してみよう。始めに、
を指数関数に入れて次を得る。
この SL(2, C) の要素は（楕円型）メビウス変換の1パラメータ部分群の表現である。
さらに次を得る。
対応する C 上のベクトル場（立体射影の下の S2 の像と考えることができる）は
\xi =u+iv と書くことにすると、これは R2 上のベクトル場となる。
SL(2, C) の要素に戻り、作用  X\mapsto PXP^{*} を書き出して項を集めると、スピノル写像の像は次の SO+(1, 3) の要素であることがわかる。
θ で微分して θ=0 を代入すると、対応する R4 上のベクトル場が得られる。
これは明らかに y 軸まわりの反時計回り回転である。