有限単純群の分類
有限単純群の一覧

以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。
| クラス | 表記 | 位数 | 例外 | 重複 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 素数位数の巡回群 | Cp, Zp | p | なし | なし |
| 交代群 | An (n > 4) |  {\frac {n!}{2}} | なし | A5 ≃ A1(4) ≃ A1(5) A6 ≃ A1(9) A8 ≃ A3(2) |
リー型の群
| クラス | 表記 | 位数 | 例外 | 重複 |
| 古典的シュヴァレー群 | An(q) |  {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right) | A1(2), A1(3) | A1(4) ≃ A1(5) ≃ A5 A1(7) ≃ A2(2) A1(9) ≃ A6 A3(2) ≃ A8 |
| 古典的シュヴァレー群 | Bn(q) (n > 1) |  {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right) | B2(2) | Bn(2m) ≃ Cn(2m) B2(3) ≃ 2A3(22) |
| 古典的シュヴァレー群 | Cn(q) (n > 2) |  {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right) | なし | Cn(2m) ≃ Bn(2m) |
| 古典的シュヴァレー群 | Dn(q) (n > 3) |  {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right) | なし | なし |
| 例外的シュヴァレー群 | E6(q) |  {\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right) | なし | なし |
| 例外的シュヴァレー群 | E7(q) |  {\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right) | なし | なし |
| 例外的シュヴァレー群 | E8(q) |  q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right) | なし | なし |
| 例外的シュヴァレー群 | F4(q) |  q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right) | なし | なし |
| 例外的シュヴァレー群 | G2(q) |  q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right) | G2(2) | なし |
| 古典的スタインバーグ群 | 2An(q2) (n > 1) |  {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right) | 2A2(22) | 2A3(22) ≃ B2(3) |
| 古典的スタインバーグ群 | 2Dn(q2) (n > 3) |  {\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right) | なし | なし |
| 例外的スタインバーグ群 | 2E6(q2) |  {\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right) | なし | なし |
| 例外的スタインバーグ群 | 3D4(q3) |  q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right) | なし | なし |
| 鈴木群 | 2B2(q) q = 22n + 1 n≥ 1 |  q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right) | なし | なし |
| リー群 | 2F4(q) q = 22n + 1 n≥ 1 |  q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right) | 2F4(2) | なし |
| リー群 | 2G2(q) q = 32n + 1 n≥ 1 |  q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right) | なし | なし |

| ティッツ群 | 2F4(2)' | 212(26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = 17971200 | 212(26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = 17971200 | 212(26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = 17971200 |
散在型の群
| クラス | 表記 | 位数 | 位数 | 位数 |
| マシュー群 | M11 | 7920 | 7920 | 7920 |
| マシュー群 | M12 | 95040 | 95040 | 95040 |
| マシュー群 | M22 | 443520 | 443520 | 443520 |
| マシュー群 | M23 | 10200960 | 10200960 | 10200960 |
| マシュー群 | M24 | 244823040 | 244823040 | 244823040 |
| ヤンコ群 | J1 | 175560 | 175560 | 175560 |
| ヤンコ群 | J2 | 604800 | 604800 | 604800 |
| ヤンコ群 | J3 | 50232960 | 50232960 | 50232960 |
| ヤンコ群 | J4 | 86775571046077562880 | 86775571046077562880 | 86775571046077562880 |
| コンウェイ群 | Co3 | 495766656000 | 495766656000 | 495766656000 |
| コンウェイ群 | Co2 | 42305421312000 | 42305421312000 | 42305421312000 |
| コンウェイ群 | Co1 | 4157776806543360000 | 4157776806543360000 | 4157776806543360000 |
| フィッシャー群 | Fi22 | 64561751654400 | 64561751654400 | 64561751654400 |
| フィッシャー群 | Fi23 | 4089470473293004800 | 4089470473293004800 | 4089470473293004800 |
| フィッシャー群 | Fi24' | 1255205709190661721292800 | 1255205709190661721292800 | 1255205709190661721292800 |
| ヒグマン＝シムズ群 | HS | 44352000 | 44352000 | 44352000 |
| マクラハラン群 | McL | 898128000 | 898128000 | 898128000 |
| ヘルド群 | He | 4030387200 | 4030387200 | 4030387200 |
| ルドヴァリス群 | Ru | 145926144000 | 145926144000 | 145926144000 |
| 散在型鈴木群 | Suz | 448345497600 | 448345497600 | 448345497600 |
| オナン群 | O'N | 460815505920 | 460815505920 | 460815505920 |
| 原田＝ノートン群 | HN | 273030912000000 | 273030912000000 | 273030912000000 |
| ライオンズ群 | Ly | 51765179004000000 | 51765179004000000 | 51765179004000000 |
| トンプソン群 | Th | 90745943887872000 | 90745943887872000 | 90745943887872000 |
| ベビーモンスター群 | B | 4154781481226426191177580544000000 | 4154781481226426191177580544000000 | 4154781481226426191177580544000000 |
| モンスター群 （フィッシャー＝グリース・モンスター群） | M | 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 | 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 | 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 |