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U-23サッカー大韓民国代表
オリンピックの成績

→1992年大会以前については「サッカー大韓民国代表 § オリンピック」を参照
| オリンピックのサッカー競技> 開催年 | オリンピックのサッカー競技> ラウンド | オリンピックのサッカー競技> 試合数 | オリンピックのサッカー競技> 勝 | オリンピックのサッカー競技> 分 | オリンピックのサッカー競技> 負 | オリンピックのサッカー競技> 得 | オリンピックのサッカー競技> 失 | オリンピックのサッカー競技>  |
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|  1992 | グループリーグ敗退 | 3 | 0 | 3 | 0 | 2 | 2 |  |
|  1996 | グループリーグ敗退 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 |  |
|  2000 | グループリーグ敗退 | 3 | 2 | 0 | 1 | 2 | 3 |  |
|  2004 | ベスト8 | 4 | 1 | 2 | 1 | 8 | 8 |  |
|  2008 | グループリーグ敗退 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 4 |  |
|  2012 | 銅メダル | 6 | 2 | 3 | 1 | 5 | 5 |  |
|  2016 | ベスト8 | 4 | 2 | 1 | 1 | 12 | 4 |  |
|  2021 | ベスト8 | 4 | 2 | 0 | 2 | 13 | 7 |  |
|  2024 | 予選敗退 | 予選敗退 | 予選敗退 | 予選敗退 | 予選敗退 | 予選敗退 | 予選敗退 |  |
| 計 | 8/9 | 30 | 11 | 11 | 8 | 46 | 35 |  |
アジア競技大会の成績

→2002年大会以前については「サッカー大韓民国代表 § アジア競技大会」を参照
| アジア競技大会サッカー競技> 開催年 | アジア競技大会サッカー競技> ラウンド | アジア競技大会サッカー競技> 試合数 | アジア競技大会サッカー競技> 勝 | アジア競技大会サッカー競技> 分 | アジア競技大会サッカー競技> 負 | アジア競技大会サッカー競技> 得 | アジア競技大会サッカー競技> 失 | アジア競技大会サッカー競技>  |
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|  2002 | 3位 | 6 | 5 | 0 | 1 | 17 | 2 |  |
|  2006 | 4位 | 6 | 4 | 2 | 1 | 9 | 2 |  |
|  2010 | 3位 | 7 | 5 | 0 | 2 | 17 | 6 |  |
|  2014 | 優勝 | 7 | 7 | 0 | 0 | 13 | 0 |  |
|  2018 | 優勝 | 7 | 6 | 0 | 1 | 19 | 7 |  |
|  2022 | 優勝 | 7 | 7 | 0 | 0 | 27 | 3 |  |
| 計 | 5/5 | 33 | 27 | 2 | 5 | 102 | 20 |  |
AFC U23アジアカップの成績

| AFC U-23選手権> 開催年 | AFC U-23選手権> ラウンド | AFC U-23選手権> 試合数 | AFC U-23選手権> 勝 | AFC U-23選手権> 分 | AFC U-23選手権> 負 | AFC U-23選手権> 得 | AFC U-23選手権> 失 | AFC U-23選手権>  |
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|  2013 | 4位 | 6 | 3 | 2 | 1 | 8 | 3 |  |
|  2016 | 準優勝 | 6 | 4 | 1 | 1 | 14 | 6 |  |
|  2018 | 4位 | 6 | 3 | 1 | 2 | 8 | 9 |  |
|  2020 | 優勝 | 6 | 6 | 0 | 0 | 10 | 3 |  |
|  2022 | ベスト8 | 4 | 2 | 1 | 1 | 6 | 5 |  |
|  2024 | ベスト8 | 4 | 3 | 1 | 0 | 6 | 2 |  |
| 計 | 6/6 | 32 | 21 | 6 | 5 | 52 | 28 |  |
トマス・デ・トルケマダ

| トマス・デ・トルケマダ |
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生誕:  1420年 トルケマダまたはバリャドリッド
死没:  1498年9月16日 （77-78歳） アビラ
職業:  異端審問所長官
宗教:  Christian-Roman Catholic
親:  Don Pedro Ferdinando, lord of Torquemada（父）
親戚:  Juan de Torquemada (cardinal)（おじ）
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トマス・デ・トルケマダ（Tomás de Torquemada、[ˌtɔːrkəˈmɑːdə] スペイン語: [toɾkeˈmaða]; 1420年 - 1498年9月16日）は15世紀スペインのドミニコ会の修道士、初代異端審問所長官。15世紀後半の「スペイン異端審問」期に初代長官に就任、在職18年間に約8000人を焚刑に処したと伝えられる。
モリスコとマラーノの間に多くの表面的な改宗者が存在（いわゆる「隠れユダヤ人」）し、より社会的、政治的、経済的にカトリック教徒の中に広がっていた。フェルナンド2世はそれがスペインの宗教的、社会的な脅威として異端審問所の設置を決めた。これによって、自身がコンベルソの祖先を持つトルケマダは、1492年、4か月以内にキリスト教に改宗しない者の国外追放を定めたカトリック両王のアルハンブラの勅令の主な支援者として、ユダヤ人をスペインから追放するのに尽力した。
生涯 > 生い立ち

トマス・デ・トルケマダはカスティーリャ地方のバリャドリッドで生まれる。
生涯 > 死

トルケマダに対する広範囲の苦情が広まり、また彼が健康を損なっていたことも相まって、教皇アレクサンデル6世は1494年6月に4名の異端審問所副長官を任命、異端審問を抑制しようとした。トルケマダは異端審問所長官を15年に亘って務めたが、1498年にアビラの聖トマス・アクィナス修道院で死去、同所に埋葬された。彼の墓は1832年（異端審問所解散のわずか2年前）に荒らされた。伝えられるところによると、彼の遺骨は盗まれ、アウト・デ・フェの儀式のように焼却されたという。
フィクションにおけるトマス・デ・トルケマダ

『Torquemada』 - 1966年のハワード・ファストの歴史小説。
『カラマーゾフの兄弟』 - ドストエフスキーの小説。「大審問官」で、キリストがスペイン異端審問の日にセビリアに戻って来て、異端審問所長官であるトルケマダと対面している。
『トルケマダ (戯曲)（英語版）』 - ヴィクトル・ユーゴーによる戯曲。
『闇は地をおおう』 - 1957年のイェジ・アンジェイェフスキの小説。トルケマダは主人公の1人である。（「審問官」と訳されている）
『サファイアの書 (フランス語: Le livre de saphir)』 - 1996年のジルベール・シヌエ（フランス語版）の小説。トルケマダは主要キャラクターの1人である。
『メル・ブルックス/珍説世界史PARTI』 - メル・ブルックス監督の1981年のコメディ映画。ミュージカル曲「"The Inquisition"」でトルケマダを描写した。
『トルケマダ (コミック)（英語版）』 - パット・ミルズのコミックシリーズ『Nemesis the Warlock（英語版）』における主な敵の名前である。これは後に、本物のトルケマダの化身であることが明らかにされている。ミルズはまたグラフィックノベルシリーズ『Requiem Chevalier Vampire（英語版）』でもトルケマダを描いている。
『ペンデュラム/悪魔のふりこ』 - 1991年のホラー映画。トルケマダが主人公でありランス・ヘンリクセンが演じた。
『コロンブス』 - 1992年の伝記映画。主人公のクリストバル・コロン（クリストファー・コロンブス）を異端として危険視する。
『エル・ミニステリオ・デル・ティエムポ』 - スペインの歴史フィクションドラマ。第4章にトルケマダが登場する。
『ダンス・マカブル〜西洋暗黒小史』 - 大西巷一による漫画作品。「スペイン異端審問 前後編」にてトルケマダが描かれる。
素朴集合論

素朴集合論（そぼくしゅうごうろん、英: Naive set theory）は、数学の基礎論で用いられる集合論の一つである。形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は非形式的に自然言語で定義される。離散数学で馴染み深い数学的集合の側面（たとえば、 ベン図やブール代数に関する記号の取り扱い）を説明するものであり、現代の数学における集合論の概念を日常的に扱うのに十分なものである。
集合は数学において非常に重要である。現代の形式的な扱いでは、ほとんどの数学的対象（数、関係、関数など）は集合の観点から定義される。素朴集合論は多くの目的に十分であると同時に、より形式的な取り扱いへの足がかりとしても有効である。
方法

「素朴集合論」という意味での素朴論は、形式化されていない理論、つまり、自然言語を使用して集合と集合の操作を述べる理論である。かつ (and)、または (or)、もし〜ならば (if ... then)、〜でない (not)、 ある〜に対して(for some)、すべての〜に対して (for every) は、通常の数学と同様に扱われる。便利であるため、素朴集合論とその形式主義は、集合論自体のより形式的な設定を含め、より高度な数学でも用いられている。
集合論の最初の発展は素朴集合論であった。19世紀の終わりに、無限集合の研究の一環としてゲオルク・カントールによって構築され、ゴットロープ・フレーゲが自身の著書 Grundgesetze der Arithmetik で発展させた。
素朴集合論は、大きく異なる概念を指し示すことがある。たとえば以下のものである。
公理的集合論の非形式的な表現。たとえば、ポール・ハルモスの Naive Set Theoryのようなもの。
カントールの理論およびその他の非形式的システムの初期・後期版。
ラッセルのパラドックスを生み出したフレーゲの理論や、ジュゼッペ・ペアノとリヒャルト・デーデキントの理論など、明らかに矛盾した理論（公理的かどうかにかかわらず）。
方法 > パラドックス

任意の性質を用いて、制限なしに集合を構築できるという仮定は、パラドックスにつながる。一般的な例に、ラッセルのパラドックスがある。「自分自身を含まないすべての集合」で構成される集合は存在しない。したがって、素朴集合論を無矛盾なシステムとするためには、集合を構成するために使う原理に対して制限をかける必要がある。
方法 > カントールの理論

ゲオルク・カントールの集合論は、実際には集合論のパラドックスと関係ないと考える者もいる（Frápolli1991を参照）。これを確実に判断するのが難しい理由の一つは、カントールがシステムの公理化を行わなかったためである。 1899年までに、カントールは自身の理論の無制限の内包によっていくつかのパラドックス、たとえばカントールのパラドックスやブラリ＝フォルティのパラドックスが生じることに気づいていたが、それらが自身の理論の評価を下げるとは思っていなかった。カントールのパラドックスは、実際には上記の（誤った）仮定（任意の性質 P(x) を用いて集合を構成できること）と P(x) =「x は基数」を用いて導出できる。フレーゲは、素朴集合論の形式化された版を解釈できる理論を明示的に公理化した。バートランド・ラッセルがパラドックスを提示したときに実際に取り上げたのはこの形式理論であり、必ずしも（前述の通りパラドックスに気づいていた）カントールの理論ではなかった。もっとも、おそらく念頭に置いていただろう。
方法 > 公理的理論

公理的集合論は、どの操作がいつ許可されるかを正確に定めることを目的として、集合を理解するこれらの初期の試みに応えて開発された。
方法 > 無矛盾性

素朴集合論は、考慮できる集合を正しく指定していれば、必ずしも矛盾を生じるわけではない。これは、暗黙の公理である定義によって行うことができる。ハルモスの Naive Set Theory の場合のように、すべての公理を明示的に述べることができるが、これは実際には通常の公理的ツェルメロ＝フレンケル集合論の非形式な表現となる。言語と表記法が通常の非形式的な数学のものであり、公理系の無矛盾性や完全性を扱っていないという点で、素朴集合論は「素朴」である。
同様に、公理的集合論は必ずしも無矛盾というわけではなく、必ずしもパラドックスがないわけではない。ゲーデルの不完全性定理から、十分に複雑な一階述語論理システム（最も一般的な公理的集合論を含む）は、実際には無矛盾だとしても、理論自体の中から無矛盾性を証明できない。ただし、一般的な公理系は一般的に無矛盾と考えられている。これらの公理によって、ラッセルのパラドックスのようないくつかのパラドックスは排除されるためである。ゲーデルの定理に基づくと、これらの理論や一階述語論理の集合論にパラドックスが一切なくても、無矛盾性はわかっていないどころか、わかるものでもない。
素朴集合論という用語は、現代の公理的集合論の非形式的版ではなく、フレーゲとカントールによって研究された集合論を指して、今日でも一部の文献[要出典]で用いられている。
方法 > 利用

公理的アプローチと他のアプローチのどちらを選ぶかは、主に利便性の問題である。日常の数学では、公理的集合論を非形式的に使うが最善の選択かもしれない。特定の公理への言及は、通常、慣例的に必要になったときにのみ生じる。たとえば、選択公理は、使用時に言及されることがよくある。同様に、形式的な証明は、例外的な状況によって保証された場合にのみ生じる。このような非形式的な公理的集合論の扱いは、以下に概説するように、（表記法によっては）素朴集合論の見た目そのものとなる。非形式的なものでは（ほとんどの主張、証明、および議論の定式化において）読み書きがかなり簡単になり、厳密に形式的なアプローチよりも誤りが起こりにくい。
集合、帰属関係、同一性

素朴集合論では、集合は明確に定義された対象の集まりとして記述される。これらの対象は、集合の要素または元と呼ばれる。対象は、数字、人、その他の集合など、何でもかまわない。たとえば、4はすべての偶数の整数の集合の元である。明らかに、偶数の集合は無限に大きいが、集合が有限である必要はない。
集合の定義はカントールに戻る。彼は1915年の記事Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre に次のように述べている。
“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor
「集合とは、集合の要素と呼ばれる、我々の知覚または思考の明確で明確な対象の全体に集まったものである。」 – ゲオルク・カントール
集合、帰属関係、同一性 > 無矛盾性に関する注意

この定義から、集合がどのように形成されるか、および集合に対するどの操作が再び集合を生成するかはわからない。 「明確に定義された対象の集まり」の「明確に定義された」という用語は、それ自体では、集合を構成するものと構成しないものの無矛盾性と明確性を保証することはできない。これを達成しようとすると、公理的集合論または公理的クラス論の領域になる。
この文脈では、特定の公理的理論から導き出されていない（そして暗示されていない）、非公式に定式化された集合論での問題は、大きく異なる形式化がなされた版がありうるということである。これらは集合も新しい集合がどのように構成されうるかを定めるルールについても異なるが、すべてもとの非形式的な定義に準拠している。たとえば、カントールの逐語的な定義は、集合を構成するものをかなり自由に定義できる。一方、カントールが猫や犬を含む集合に特に関心を持っていた可能性は低く、純粋に数学的な対象を含む集合にのみ関心があった。このような集合のクラスの例は、フォン・ノイマン宇宙である。しかし、考えている集合のクラスを修正する場合でも、パラドックスを巻き込むことなく集合を構成するために、どのルールが許可されるかは必ずしも明確ではない。
以下の説明を修正する目的で、「明確に定義された(well-defined)」という用語は、むしろ、矛盾を除くための暗黙的または明示的なルール（公理または定義）を用いる意図として解釈されるべきである。この目的は、多くの場合深く困難な無矛盾性の問題を、普通はより単純なコンテキストから切り離すことにある。ゲーデルの第二不完全性定理のため、考えられるすべての矛盾（パラドックス）の明示的な除外は、とにかく公理的集合論では達成できない。したがってこれは、以下で検討するコンテキストにおいて、単純な公理的集合論と比べたときに素朴集合論の有用性を阻害するものではなく、単に議論を単純化するだけである。これ以降、特別な言及がない限り、無矛盾性は保証されるとみなす。
集合、帰属関係、同一性 > 帰属関係

x が集合 A の要素である場合、 x は A に属している、または x は A に含まれると表現する。これは x ∈ A で表される。記号 ∈ は、1889年にジュゼッペ・ペアノによって導入された、ギリシャ文字の小文字のイプシロン「ε」から派生したもので、 ἐστί （「is」の意味）という単語の最初の文字である。記号 ∉ は、x ∉ A という表記でよく用いられ「x は A に含まれない」という意味になる。
集合、帰属関係、同一性 > 同一性

2つの集合 A と B は、まったく同じ要素を持っている場合、つまり、A のすべての要素が B の要素であり、B のすべての要素が A の要素である場合に等しいと定義される（外延性の公理を参照）。したがって、集合はその要素によって完全に定まる。たとえば、要素 2, 3, 5 の集合は、6未満のすべての素数の集合と同じである。集合 A と B が等しい場合、これは記号としては普通と同じく A = B と表される。
集合、帰属関係、同一性 > 空集合

空集合は多くの場合 Ø で示され、場合によっては  \{\} で表されるが、これは要素がまったくない集合である。集合はその要素によって完全に定まるため、空集合は1種類だけである（空集合の公理を参照）。空集合には要素がないが、他の集合の要素である可能性はある。したがって、前者には要素がなく、後者には1つの要素があるため、 Ø ≠ {Ø} である。数学においては、検討すべき唯一の集合を、空集合だけから構築することができる。
集合の特定

集合を表す最も簡単な方法は、その要素を列挙する方法である（集合の外延的な定義として知られる）。したがって {1, 2} は要素が 1 と 2だけである集合を表す（対の公理を参照）。以下の点に注意せよ（これらは、前節での同一性の定義の結果である）。
要素の順序は区別しない。たとえば、{1, 2} = {2, 1} 。
要素の繰り返し（多重度）は区別しない。たとえば、 {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}。
{ dogs } という表記ですべての犬の集合を示すように、表記が非形式的に濫用される可能性があるが、この場合はふつう、数学者は「単一の要素 "dogs" を含む集合」と解釈する。
この表記の極端な（しかし正しい）例は  \{\} で、これは空集合を表す。
表記 {x : P(x)} や {x | P(x)} は、条件 P を満たす対象すべてを含む集合を示すのに用いられる（集合の内延的な定義として知られる）。たとえば、 {x : x ∈ R}は実数の集合を、{x : x は金髪である} は金髪であるすべてのものの集合を表す。
この表記法は、集合の内包的表記法（英語版）（または、特に関数型プログラミングの文脈では「集合の内包」）と呼ばれる。集合の内包的記法のいくつかの変形は次のとおり。
{x ∈ A : P(x)} はすべての x がすでに A の要素であり、かつ x が条件 P を満たす集合を表す。たとえば、Z を整数の集合とすると、{x ∈ Z : x は偶数} はすべての偶数の整数の集合となる（分出公理を参照）。
{F(x) : x ∈ A} は集合 A の元を式 F に与えて得られる、すべての対象からなる集合を表す。例えば、 {2x : x ∈ Z} は上と同様に偶数の集合を表す（置換公理を参照）。
{F(x) : P(x)} は集合の内包的表記法として最も一般的な形式である。例えば、{ x の飼い主 : x は犬 } はすべての犬の飼い主の集合となる。
部分集合

2つの集合 A と B が与えられたとき、A のすべての要素が B の要素でもある場合、A は B の部分集合である。特に、各集合 B はそれ自体の部分集合である。B と等しくない B の部分集合は、真部分集合と呼ぶ。
A が B の部分集合である場合、B は A の上位集合（スーパーセット）である、A は B に含まれる、または B には A が含まれるとも言える。記号上は、 A ⊆ B が A が B の部分集合であることを意味し、B ⊇ A は B が A の上位集合であることを意味する。部分集合に記号 ⊂ と ⊃ を用いる著者もいれば、これらの記号を真部分集合にのみ用いる著者もいる。わかりやすくするために、記号 ⊊ と ⊋ を明示的に用いて、等しくないことを示すことができる。
例として、R を実数の集合、 Z を整数の集合、O を奇数の整数の集合、 P を現在または過去の米国大統領の集合とする。その場合、O は Z の部分集合であり、Z は R の部分集合であり、（したがって）O は R の部分集合であり、これらはいずれの場合も部分集合が真部分集合として解釈されうる。ただし、すべての集合がこのように比較できるわけではなく、例えば、 R が P の部分集合であったり、P が R の部分集合であったりするわけではない。
2つの集合 A と B が与えられたときに「A = B ならば、そしてその場合に限り A ⊆ BとB ⊆ A である」ということは、前述の集合の同一性の定義からすぐにわかる。実際、これがしばしば同一性の定義として与えられる。また、2つの集合が等しいことを証明するとすれば、普通は上記の2つの包含関係を示すことを目的としている。空集合はすべての集合の部分集合である（空集合のすべての要素が任意の集合 A の要素でもあるという命題は空虚な真である）。
特定の集合 A のすべての部分集合の集合は、 A のべき集合と呼ばれ、  2^{A} 、 P(A) 、あるいはスクリプトフォントを用いて  {\mathcal {P}}(A) のように表される。集合 A に n 個の要素がある場合、 P(A) は  2^{n} 個の要素を持つ。
普遍集合と絶対補集合

特定の状況では、考えているすべての集合を、特定の普遍集合の部分集合と見なすことができる。たとえば、実数 R （および R の部分集合）の性質を調べる場合、 R は普遍集合と見なせる。真の普遍集合は標準集合論には含まれていないが（以下のパラドックスを参照）、一部の非標準集合論には含まれている。
普遍集合 U と U の部分集合 A が与えられると、A の補集合（U の部分集合）は次のように定義される。
言い換えると、 AC （ "A-complement"。場合によっては単にA' （"A-prime"））は、 A の要素ではない U のすべての要素の集合である。したがって、前節で定義されているように R, Z, O を用いると、 Z が普遍集合である場合、OC は偶数の整数の集合であり、 R が普遍集合である場合、OC は偶数の整数であるか整数ではないすべての実数の集合となる。
和集合、交差、および相対補集合

2つの集合 A と B が与えられたとき、それらの和集合は、A または B 、あるいはその両方の要素であるすべての対象で構成される集合であり（和集合の公理を参照）、A ∪ B で表される。
A と B の共通部分は、 A と B の両方にあるすべての対象の集合であり、A ∩ B で表される。
最後に、 A に対する B の相対補集合（A と B の差集合とも呼ばれる）は、 A に属するが B には属さないすべての対象の集合であり、 A \ B や A − B で表される。
記号的には、これらはそれぞれ以下のように表される
A \ B が意味あるものとするために、集合 B が A の部分集合である必要はない。これは、相対補集合と前節における絶対補集合（ AC = U \ A ）の違いである。
これらの概念を説明するために、A を左利きの人の集合とし、B を金髪の人の集合とする。すると A ∩ B はすべての左利きの金髪の人の集合であり、Aは ∪ Bは、左利きまたは金髪、あるいはその両方のすべての人の集合である。一方、A \ B は左利きであるが金髪ではないすべての人の集合であり、 B \ A は、金髪だが左利きではないすべての人の集合となる。
ここで、E をすべての人の集合とし、F を1000年以上生きているすべての生物の集合とする。この場合 E ∩ F はどうなるだろうか？ 1000歳以上の生きている人間はいないので、 E ∩ F は空集合{}でなければならない。
任意の集合 A について、べき集合  P(A) は、和集合と共通部分の演算の下でブール代数をなす。
順序対とデカルト積

直感的には、順序対は、1つが最初の要素として、もう1つが2番目の要素として区別できるような2つの対象の集まりである。2つの順序対について、最初の要素が等しくかつ2番目の要素が等しいとき、またそのときに限って2つの順序対は等しい。
形式的には、通常は (a, b) で表される第1座標 a と第2座標 b の順序対は、集合 {{a}, {a, b}} で表される。
したがって、2つの順序対 (a, b) と (c, d) は、a = c かつ b = d のとき、またそのときに限って等しい。
あるいは、順序対は形式的に全順序を持つ集合 {a, b} と考えることができる。
（表記 (a, b) は、実数直線上の開区間を表すのにも用いられるが、文脈上どの意味が意図されているかを明らかにする必要がある。表記 ]a, b[ で開区間を、(a, b) で順序対を表すように区別することもある）。
A と B を集合とすると、デカルト積（または単に積）は次のように定義される。
つまり、 A × Bは、最初の座標が A の要素であり、2番目の座標が B の要素であるすべての順序対の集合である。
この定義は順序付けられた3つ組の集合 A × B × C に拡張でき、より一般に任意の正の整数 n の順序付けられた n-タプルの集合にも拡張できる。無限デカルト積を定義することも可能だが、これには積のより厳密な定義が必要である。
デカルト積は、解析幾何学の文脈でルネ・デカルトによって最初に導入された。 R がすべての実数の集合を表すとすると、 R2 := R × R はユークリッド平面を表し、 R3 := R × R × R は3次元ユークリッド空間を表す。
初期の集合論におけるパラドックス

無制限の内包公理と呼ばれる集合の無制限の構成原理がある。
これは、初期に現れるパラドックスの原因になっていた。
Y = {x : x は順序数} から1897年にブラリ＝フォルティのパラドックスが導出された。二律背反の最初の例である。
Y = {x : x は濃度} から1897年にカントールのパラドックスが導出された。
Y = {x : {} = {}} から1899年にカントールの第二の二律背反(Cantor's second antinomy) が導出された。ここで性質 P はどんな x であってもすべての x に対して真であり、それ故に Y はすべてを含む普遍集合となる。
Y = {x : x ∉ x} つまり自身を要素に含まないすべての集合の集合から、1902年にラッセルのパラドックスが導出された。
無制限の内包公理が分出公理または分離公理に弱められた場合、上記のパラドックスはすべて解消する。
この命題には系が存在する。理論の公理として分離公理を用いると、理論の定理は次のようになる。
または、もっと壮観に（ハルモスのことばで言えば ）宇宙は存在しない。証明：宇宙が存在すると仮定し、それを U とする。ここで、 X = U で分離公理を適用し、 P(x) に x ∉ x を用いる。これはラッセルのパラドックスに再びつながる。したがって、 U はこの理論に存在することはできない。（証明終）
上記の構造に関連するのは、集合の構成である。
Y = {x : (x ∈ x) → {} ≠ {}}
ここで、含意に続く言明は確かに偽である。Y の定義から、通常の推論規則（および以下のリンクされた記事の証明を読むときの補足）を用いて、Y ∈ Y → {} ≠ {} と Y ∈ Y の両方が成り立つため、ゆえに {} ≠ {} が成り立つ。これはカリーのパラドックスである。
問題となるのは（おそらく驚くべきことに） x ∈ x の如何ではない。これもまた、 P(x) を (x ∈ x) → {} ≠ {} と置くことを認める無制限の内包公理である。無制限の内包公理の代わりに分出公理を用いると、結論 Y ∈ Y が成り立たず、したがって {} ≠ {} は論理的帰結ではなくなる。
それにもかかわらず、正則性公理の成立を要求することによって、x ∈ x の可能性は明示的に除去されるか、またはたとえばZFCでは暗黙的に除去されることがよくある。その結果の1つは以下の命題である。
つまり、集合はそれ自体の要素ではない。
上記の通常の操作と構造で集合論を展開するには、分離公理は単純に弱すぎる（一方、無制限の内包は非常に強力な公理であり、集合論には強すぎる）。正則性公理も制限的な性質のものである。したがって、集合論を構成するのに十分な集合の存在を保証するために、他の公理を定式化することになる。これらのいくつかは上記で非形式的に説明されており、他の多くも可能である。ただし、考えられるすべての公理を自由に組み合わせて無矛盾な理論にできるわけではない。たとえばZFCの選択公理は、「実数のすべての集合はルベーグ可測である」という命題とは相反する。選択公理はこの命題が偽であることを含意する。
ゲオルク・カントールのもとの集合定義
ジュゼッペ・ペアノの著書Arithmetices principia nova methodo expositaでの記号ϵの最初の使用法。
石田寿老

石田 寿老（いしだ じゅろう、1908年（明治41年）2月 - 1994年（平成6年）7月22日）は、日本の生物学者。
島根県出身。1932年東京帝国大学理学部動物学科卒、1945年「淡水魚(メダカ)の孵化酵素に関する研究」で理学博士。三井海洋生物学研究所、東京帝国大学理学部動物学科助教授、名古屋帝国大学理学部助教授、東京大学教養学部・理学部生物学教授。1969年定年退官、名誉教授、埼玉大学教授、1972年東邦大学教授。1994年7月22日、多臓器不全のため死去。
弟子に毛利秀雄（東大名誉教授）がいる。
著書

『動物の孵化』河出書房 生物学集書、1948
『孵化酵素』北隆館 日本生物学業績、1948
『生物学実験法講座 第11巻 A 発生の生理化学実験法』中山書店、1954
『わかる動物かいぼうの実験』岩崎書店 中学生の生物実験教室、1960
『わかる昆虫の実験』編 岩崎書店、1962
著書 > 共編著

『理科基礎講座 第7巻 (生物学 第1)』大川真澄共著 岩崎書店、1956
『生物の実験法』佐藤重平共編 裳華房、1958
『発生生化学』編 裳華房、1968
『現代動物学』八杉龍一、菅原浩、大滝哲也共著 裳華房、1972
著書 > 翻訳

Abraham White 等『生化学原理』共訳 岩崎書店、1962
参考

『発生生化学』編者紹介
| 典拠管理データベース  |
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国立図書館:  アメリカ  日本
米国慣用単位

米国慣用単位（べいこくかんようたんい、英語: United States customary units、USCS: United States customary system）は、アメリカ合衆国で一般的に使用されている計量単位である。日本においてヤード・ポンド法と呼ばれているものの一つである。
米国慣用単位は、アメリカ合衆国が独立する以前のイギリス帝国で使用されていたイギリス単位から発展したものである。1824年にイギリス単位はいくつかの単位の定義を変更して帝国単位(imperial system)に改められたが、18世紀に既に独立していたアメリカ合衆国には適用されなかった。そのため、米国慣用単位と帝国単位では、対応する単位で若干の違い（英語版）がある。
ほとんどの慣用単位は、メートルやキログラムに基づいて再定義されている。これは、1893年のメンデンホール指令によるものであり、実際にはそれ以前から進められていた。これらの定義は、1959年の国際ヤード・ポンドの合意によって精緻化された。
アメリカ人は、商業活動や個人および社会的な使用のために主に慣用単位を使用する。科学、医療、工業の多くの分野と政府の一部において、メートル法が使用される。アメリカ国立標準技術研究所(NIST)では、ほとんどの用途でメートル法の最新の形である国際単位系(SI)を使用している。
歴史

「ヤード・ポンド法」および「en:Comparison of the imperial and US customary measurement systems」も参照
米国慣用単位は、イギリスの帝国単位と類似している。これはどちらも、アメリカ独立以前に使用されていたイギリス単位に由来するためであり、さらにそれは、古代ローマやアングロ＝サクソンの単位に起源を持つ。
米国慣用単位は、19世紀後半に、アメリカに拠点を置くInternational Institute for Preserving and Perfecting Weights and Measuresによって擁護された。慣用単位の主唱者は、フランス革命的なシステム（メートル法）を無神論的であるとみなした。オハイオの研究所の補助者は、「あらゆる『メートル法』のたくらみを打ち負かせ("down with every 'metric' scheme")」「完全なインチ、完全なパイント("A perfect inch, a perfect pint")」のような言い回しの詩を発表した。
ある慣用単位の支持者は、慣用単位を「神が唯一認める、正当な度量衡("a just weight and a just measure, which alone are acceptable to the Lord.")」と呼んだ。
1988年、アメリカ政府は包括通商・競争力法（英語版）を可決した。その法律では、メートル法を「アメリカの取引・通商のための好ましい度量衡のシステム」としている。工業が「自発的に」メートル法に転換する（メートル法化する）のを助ける義務が連邦政府にはあると、法律には書かれている。CIAのザ・ワールド・ファクトブックによれば、アメリカ合衆国はメートル法を主たる度量衡として採用していない3つの国のうちの一つである（他はリベリアとミャンマー）。
慣用単位は、アメリカ合衆国の消費者製品や工業生産において広く使われている。メートル法は、科学・医療・工業と軍隊を含む政府の多くの部門における標準である。
大工や建設業界では、メートル法の使用に対する裏付けに乏しい反対論がある。それは、インチなら整数値と分数の和でミリメートルよりも覚えやすいとか、フィートとインチによる計測は、長さを2分の1、3分の1、4分の1に分割するのに便利であるとか言うものである。
他のヨーロッパの国でも、米国慣用単位と似た名前を持ち、米国慣用単位と同様にゲルマン民族や古代ローマに起源を持つ慣用単位を、公式または非公式に持っている。しかし、これらの単位は、それが表す大きさが異なっていることがある。例えば、マイルはアメリカのマイルに対して半分から5倍までの開きがある。フィートやポンドでも同様である。本項では、アメリカで広く使用されているか、公式に定義されている単位のみを扱う。
単位 > 長さ

| 単位 | 定義 | SI換算 |
| --- | --- | --- |
太字は正確な値であることを示す
国際
| ポイント (p) point |  | 352.777778 µm |
| パイカ (P̸) pica | 12 p | 4.233333 mm |
| インチ (in) inch | 6 P̸ | 25.4 mm |
| フィート (ft) foot | 12 in | 0.3048 m |
| ヤード (yd) yard | 3 ft | 0.9144 m |
| マイル (mi) mile | 5280 ft , 1760 yd | 1.609344 km |
測量
| リンク（英語版） (li) link | 33⁄50 ft , 7.92 in | 0.2012 m |
| 測量フィート (ft) (survey) foot | 1200⁄3937 m | 0.30480061 m |
| ロッド (rd) rod | 25 li , 16.5 ft | 5.02921 m |
| チェーン (ch) chain | 4 rd , 66 ft | 20.11684 m |
| ハロン (fur) furlong | 10 ch | 201.1684 m |
| 測量マイル (mi) survey (or statute) mile | 8 fur | 1.609347218694 km |
| リーグ (lea) league | 3 mi | 4.828042 km |
国際海事
| ファゾム (ftm) fathom | 2 yd | 1.8288 m |
| ケーブル (cb) cable | 120 ftm , 1.091 fur | 219.456 m |
| 海里 (NM, nmi) nautical mile | 8.439 cb , 1.151 mi | 1.852 km |
慣用単位の長さの単位で日常的によく使われるのは、インチ・フィート・ヤード・マイルの4つである。1959年7月1日、測量の用途を除いて1ヤードは正確に0.9144メートルと定められた。アメリカ、イギリスと他のイギリス連邦諸国はこの定義（国際ヤード）に同意した。
単位 > 長さ > 測量フィート・測量マイル

国際ヤードが英語圏で導入されたとき、北アメリカの基本的な測地系は1927年の北米測地系(NAD27)だった。これは、1893年のメンデンホール指令で定義されたフィート（1フィート=1200⁄3937メートル）に基づく三角測量によって構築された。このフィートの定義はNAD27に由来するデータのために保持され、国際ヤードに基づく国際フィートとの区別のために「米国測量フィート」(US survey foot)と改称された。国際フィートと測量フィートの差はほんのわずかで、ほとんどの目的において無視できる。1 国際フィートは正確に0.999 998 測量フィートであり、1マイルにつき約3.219ミリメートルの差しか生じない。しかし、数百マイルをカバーすることもある国家平面座標系（英語版）(SPCS)には影響を及ぼす。
NAD27は1980年代に1983年の北米測地系(NAD83)によって置き換えられた。NAD83はメートルに基づいている。SPCSも更新されたが、国立測量局は、（測量にフィートを使用する場合）どのフィートの定義を使うかの決定は各州に委ねた。結果、全ての州でメートルによるSPCSを採用したものの、7つの州は測量フィート、8つの州は国際フィートによるSPCSもあわせて採用した。他の42の州はメートルによるSPCSのみを使用する。
測量フィート・測量マイルは2022年12月31日をもって廃止され、国際フィート・国際マイルに全面移行された。
単位 > 面積

| 単位 | 定義 | SI換算 |
| --- | --- | --- |
太字は正確な値であることを示す
| 平方測量フィート (sq ft , ft2) square survey foot | 144 平方インチ | 0.09290341 m2 |
| 平方チェーン (sq ch , ch2) square chain | 4356 sq ft (survey) , 16 sq rods | 404.6873 m2 |
| エーカー acre | 43560 sq ft (survey) , 10 sq ch | 4046.873 m2 |
| セクション section | 640 acres , 1 sq mile (survey) | 2.589998 km2 |
| サーベイ・タウンシップ（英語版） (twp) survey township | 36 sections , 4 sq leagues | 93.23993 km2 |
最も広く使用されている面積の単位はエーカーであり、この単位は長さの単位とは無関係な単位名称になっている。アメリカ国立標準技術研究所は、面積の慣用単位は国際フィートではなく測量フィートに基づいて定義されていると注意している。右表の換算率は、アスティン（1968年7月27日）と国立標準技術研究所（2008年）に基づく。
単位 > 体積

| 体積（一般）> 単位 | 体積（一般）> 定義 | 体積（一般）> SI換算 |
| --- | --- | --- |
| 立方インチ (cu in) , (in3) cubic inch |  | 16.387064 mL |
| 立方フィート (cu ft) , (ft3) cubic foot | 1728 cu in | 28.31685 L |
| 立方ヤード (cu yd) , (yd3) cubic yard | 27 cu ft | 764.554857984 L 0.764554857984 m3 |
| エーカー・フィート (acre ft) acre-foot | 43560 cu ft 1613.333 cu yd | 1.233482 ML 1233.482 m3 |
体積の単位では、立方インチ・立方フィート・立方ヤードがよく用いられる。これらとは別に、液量と乾量のための単位が存在する。
立方インチ・立方フィート・立方ヤード以外の体積の単位は、帝国単位と同じ名前でも大きさが異なっている。また、慣用単位では液量と乾量とで同じ名前でも大きさが異なっているが、帝国単位では1種類のみである。
単位 > 体積 > 液量

| 液量 |
| --- | --- | --- |
斜体は、よく使われる単位であることを示す。 太字は正確な値であることを示す。
| 単位 | 定義 | SI換算 |
| ミニム（英語版） (min) minim | およそ1ドロップ（英語版） 0.95グレーンの水の体積 | 61.611519921875 μL |
| 米液量ドラム (fl dr) US fluid dram | 60 min | 3.6966911953125 mL |
| ティースプーン (tsp) teaspoon | 80 min | 4.92892159375 mL |
| テーブルスプーン (Tbsp) tablespoon | 3 tsp , 4 fl dr | 14.78676478125 mL |
| 米液量オンス (fl oz) US fluid ounce | 2 Tbsp  1.0408オンスの水の体積 | 29.5735295625 mL |
| 米ショット（英語版） (jig) US shot | 3 Tbsp | 44.36029434375 mL |
| 米ジル (gi) US gill | 4 fl oz | 118.29411825 mL |
| カップ（英語版） (cp) US cup | 2 gi , 8 fl oz | 236.5882365 mL |
| 米液量パイント (pt) US liquid pint | 2 cp 16.65オンスの水の体積 | 473.176473 mL |
| 米液量クォート (qt) US liquid quart | 2 pt | 0.946352946 L |
| 米液量ガロン (gal) US liquid gallon | 4 qt , 231 cu in | 3.785411784 L |
| 液量バレル (bbl) liquid barrel | 31.5 gal , 1⁄2 hogshead | 119.240471196 L |
| 石油バレル (bbl) oil barrel | 42 gal , 2⁄3 hogshead | 158.987294928 L |
| ホッグスヘッド（英語版） hogshead | 63 gal , 8.421875 cu ft 524.7ポンドの水の体積 | 238.480942392 L |
1米液量オンスは1⁄16米パイント、1⁄32米クォート、1⁄128米ガロンに等しい。ティースプーン、テーブルスプーン、カップは、それぞれ1液量オンスの1⁄6、1⁄2、および8倍として定義されている。液量オンスは元々質量1オンス（常衡）の水の体積として定義されたために「オンス」という名前になっているが、慣用単位では1⁄128米ガロンとして定義された。そのため、1液量オンスの水の質量は約1.041オンスになっている。
「世界中で1パイントは1ポンド("a pint's a pound the world around")」という言い回しは、1米パイント（16米液量オンス）の水の重さが約1ポンド（実際には4%ほど多い）であるという意味である。1英パイントの水は20オンス（1ポンドと1クォーター）である。
バレルは、量る物によってその値が異なる。ビールの場合は31ガロン、ウィスキや灯油の場合は40ガロン、石油の場合は42ガロンなどである。液量のための一般的なバレルの基準は、31.5ガロンまたは0.5ホッグスヘッドである。基準でないが、様々な製品や廃棄物を保存して輸送するための一般的な55ガロン入りのドラム缶の容積は1バレルと時々混同される。
アメリカでは、飲料は通常液量オンス単位で測られる。牛乳は、通常半パイント（8液量オンス）、パイント、クォート、半ガロン、ガロンの単位で販売される。シンク、浴槽、池、プールなどの水量は、通常ガロンや立方フィートで測られる。気体の量は、通常立方フィート（1気圧下において）で与えられる。ミニム、ドラム、ジルは、現在はめったに使われない。ジルは、「ハーフカップ」としばしば呼ばれる。
単位 > 体積 > 乾量

| 乾量> 単位 | 乾量> 定義 | 乾量> SI換算 |
| --- | --- | --- |
| 乾量パイント (pt) dry pint | 33.60 cu in | 0.5506105 L |
| 乾量クォート (qt) dry quart | 2 pt | 1.101221 L |
| 乾量ガロン (gal) dry gallon | 4 qt , 268.8025 cu in | 4.404884 L |
| ペック (pk) peck | 2 gal | 8.809768 L |
| ブッシェル (bu) bushel | 4 pk , 1.244 cu ft | 35.23907 L |
| 乾量バレル (bbl) dry barrel | 7056 cu in , 3.281 bu | 115.6271 L |
小さな果物や野菜は、しばしば乾量パイントや乾量クォートの単位で販売される。米乾量ガロンはあまり用いられておらず、多くの州で測定法の典拠と認めるハンドブックに含まれていない。ペックやブッシェルは、特に農業地域のブドウ、リンゴなどの果物の計量に時々用いられる。
単位 > 質量

詳細は「ポンド (質量)」および「重量ポンド」を参照
| 種類 | 単位 | 定義 | SI換算 |
| --- | --- | --- | --- |
| 常衡 | グレーン (gr) grain | 1⁄7000 lb | 64.79891 mg |
| 常衡 | ドラム (dr) dram | 27+11⁄32 gr or 8.859 carats | 1.7718451953125 g |
| 常衡 | オンス (oz) ounce | 16 dr | 28.349523125 g |
| 常衡 | ポンド (lb) pound | 16 oz | 453.59237 g |
| 常衡 | ハンドレッドウェイト (cwt) US hundredweight | 100 lb | 45.359237 kg |
| 常衡 | ロングハンドレッドウェイト long hundredweight | 112 lb | 50.80234544 kg |
| 常衡 | トン（ショートトン） short ton | 20 US cwt , 2000 lb | 907.18474 kg |
| 常衡 | ロングトン long ton | 20 long cwt , 2240 lb | 1016.0469088 kg |
| 金衡 | グレーン (gr) grain | 1⁄7000 lb av , 1⁄5760 lb t | 64.79891 mg |
| 金衡 | ペニーウェイト（英語版） (dwt) pennyweight | 24 gr , 7.776 carats | 1.55517384 g |
| 金衡 | トロイオンス (oz t) troy ounce | 20 dwt | 31.1034768 g |
| 金衡 | トロイポンド (lb t) troy pound | 12 oz t , 13.17 oz av | 373.2417216 g |
斜体は、よく使われる単位であることを示す。 太字は正確な値であることを示す。
歴史的に、イギリス単位には以下の5種類の質量の単位の系列がある。
タワー衡 (tower system)
薬衡 (apothecaries' system)
トロイ衡（金衡） (troy system)
常衡 (avoirdupois system)
メートル法化 (metric system)
これらのうち、アメリカで最も一般に使われるのは常衡である。他に、貴金属の計量には金衡（トロイ衡）が用いられる。かつて薬剤師は薬衡を使用していたが、これはメートル法に置き換えられた。タワー衡はイギリスで1527年に禁止令が出されて使用されなくなっていたため、アメリカでは使用されたことがない。
慣用単位の質量の基準である常用ポンド（常衡のポンド）は、正確に453.59237 グラムと定義されている。これは、1959年のアメリカ・イギリスおよび英語圏諸国の間で結ばれた協定による。他の質量の単位は、これを基準に定義されている。
常用ポンドは法的には質量の単位である。しかし、実際には力の単位としても用いられている。ほとんどの場合、「ポンド」は質量の単位として用いられているが、文脈によっては重量ポンドの意味で「ポンド」という言葉が使用される。スラグ(slug)は、重量ポンドから定義された質量の単位である。
金衡・薬衡・常衡は同じ単位、グレーンから組み立てられており、どの系でもグレーンの大きさは同じである。しかし、それぞれの系で同じ名前の単位があっても（オンスとポンドは全ての系にある）、グレーンとの比率は系により異なる。例えば、薬衡と金衡の間で、ポンドとオンスは同じ大きさであるが、常衡のポンド・オンスとは異なる。
グレーンとオンスの間で、それぞれの系により異なる単位を持つ（薬衡はスクラプル(scruple)とドラム(dram)、トロイ衡はペニーウェイト(pennyweight)、常衡はドラム(dram, drachm)）。常衡のドラムは、薬衡のドラムの半分以下である。体積の単位の液量ドラムは、薬衡の1ドラムの水の重さに基づく。
混乱を軽減するために、常衡以外の単位を使用するときは系を明示するのが一般的である。例えば、貴金属は金衡で計量されるが、単に「オンス」と書くと常衡の意味に取られてしまうので、明示的に「トロイオンス」と表示する。
ポンドとそれ以下の単位では、米国慣用単位とイギリスの帝国単位は同じである。しかし、ポンドより大きな単位では、同じ名前の単位でも値が異なる。
アメリカでは、オンス・ポンド・トン（ショートトン）が広く用いられる。ハンドレッドウェイトは農業や貿易で用いられる。グレーンは、小銃の弾薬の推進体と発射体の質量を記述するのに用いられる。また、薬品や他の非常に少ない質量を計るのにも用いられる。
単位 > 質量 > 穀物

農業分野において、ブッシェルは、体積1ブッシェル分の質量の単位として用いられる。よって、穀物の密度によって1ブッシェルの質量は異なることになる。
トウモロコシ : 56 lb ≈ 25.4012 kg
小麦 : 60 lb ≈ 27.2155 kg
大麦 : 48 lb ≈ 21.7724 kg
取引においては、1ブッシェルはこれらの名目の重さを指すのに用いられる語であるが、これさえ異なる。オート麦について、カナダは34ポンドのブッシェルを使い、アメリカでは32ポンドのブッシェルを使う。
単位 > 調理用

詳細は「調理用計量器」および「en:Cooking weights and measures」を参照
| 計量器 | オーストラリア | カナダ | イギリス | アメリカ | アメリカFDA |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ティースプーン Teaspoon | 5 mL | 5 mL | 4.74 mL | 4.93 mL | 5 mL |
| デザートスプーン Dessertspoon | 10 mL | — | 9.47 mL | — | — |
| テーブルスプーン Tablespoon | 20 mL | 15 mL | 14.21 mL | 14.79 mL | 15 mL |
| 液量オンス Fluid ounce | — | — | 28.41 mL | 29.57 mL | 30 mL |
| カップ（英語版） Cup | 250 mL | 250 mL | 284.13 mL | 236.59 mL | 240 mL |
| パイント Pint | — | — | 568.26 mL | 473.18 mL | — |
| クォート Quart | — | — | 1136.52 mL | 946.35 mL | — |
| ガロン Gallon | — | — | 4546.09 mL | 3785.41 mL | — |
アメリカやその他の国で調理用の計量に用いられるのはティースプーン、テーブルスプーン、カップであり、その半分、3分の1、4分の1、8分の1として量が指定されることもある。ポンド、オンス、液量オンスのような単位や、1缶（量は製品により異なる）、1瓶、1かけ（チョコレートなら約1常用オンス）、1本（バターなら約4常用オンス）のような単位、また野菜や果物については半分や1個といった単位も使用される。