フーリエ変換
主なフーリエ変換の一覧 > 超函数

以下の表におけるフーリエ変換は (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。
|  | もとの函数 | ユニタリ・周波に関するフーリエ変換 | ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換 | 非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換 | 備考 |
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|  |  f(x)\, |  {\hat {f}}(\xi )=  \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx |  {\hat {f}}(\omega )=  {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx |  {\hat {f}}(\nu )=  \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx |  |
| 301 |  1 |  \delta (\xi )\, |  {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega ) |  2\pi \delta (\nu )\, | δ(ξ) はディラックのデルタ関数 |
| 302 |  \delta (x)\, |  1 |  {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\, |  1 | 301の双対 |
| 303 |  e^{iax}\, |  \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right) |  {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a) |  2\pi \delta (\nu -a)\, | 103と301より導かれる。 |
| 304 |  \cos(ax)\, |  {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}} |  {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\, |  \pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right) | 101、303とオイラーの公式： \displaystyle \cos(ax)=(e^{iax}+e^{-iax})/2.より導かれる。 |
| 305 |  \sin(ax)\, |  i\cdot {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}} |  i{\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)}{2}} |  i\pi \left(\delta (\nu +a)-\delta (\nu -a)\right) | 101、303と  \displaystyle \sin(ax)=(e^{iax}-e^{-iax})/(2i). より導かれる。 |
| 306 |  \cos(ax^{2})\, |  {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  |
| 307 |  \sin(ax^{2})\, |  -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right) |  |
| 308 |  x^{n}\, |  \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )\, |  i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\, |  2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )\, | n は自然数、 δ(n )(ξ) はディラックのデルタ関数のn 階微分。107と301より導かれる。さらに101と組み合わせることで、任意の多項式を変換できる。 |
| 309 |  {\frac {1}{x}}\, |  -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )\, |  -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega ) |  -i\pi \operatorname {sgn}(\nu )\, | sgn(ξ) は符号関数。1/x は超関数ではないことに注意。シュワルツ関数に対してテストするときにコーシーの主値を使用する必要がある。この規則はヒルベルト変換を研究するとき有用である。 |
| 310 |  {\frac {1}{x^{n}}} |  -i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi ) |  -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega ) |  -i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu ) | 309の一般化 |
| 311 |  {\frac {1}{\sqrt {|x|}}}\, |  {\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}} |  {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}} |  {\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\nu |}}} |  |
| 312 |  \operatorname {sgn}(x)\, |  {\frac {1}{i\pi \xi }} |  {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\omega }}\, |  {\frac {2}{i\nu }} | 309の双対。積分はコーシーの主値を考える。 |
| 313 |  u(x)\, |  {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right) |  {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right) |  \pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right) | u (x ) はヘヴィサイドの階段関数。101、301および312より導かれる。 |
| 314 |  \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT) |  {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right) |  {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right) |  {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right) | この関数はくし型関数といわれる。302、102および、超関数として  \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k) であることから導かれる。 |
| 315 |  J_{0}(x)\, |  {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}} |  {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}} |  {\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}} | J0 (x ) は0次の第1種ベッセル関数 |
| 316 |  J_{n}(x)\, |  {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}} |  {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}} |  {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}} | 315の一般化。Jn (x ) はn 次の第1種ベッセル関数、Tn (x ) は第1種チェビシェフ多項式。 |