バナッハ＝アラオグルの定理
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これに対し、V*の閉単位球は＊弱位相に関してはコンパクトになるというのがバナッハ・アラオグルの定理の主張である：
定理 (バナッハ＝アラオグルの定理) ― Kを \mathbb {R} もしくは \mathbb {C} とする。このときK上のノルム空間 (V,\|\cdot \|_{V})の共役空間 (V^{*},\|\cdot \|_{V^{*}})に＊弱位相を入れると、V*の閉単位球は
はコンパクトである。
この定理はチコノフの定理に基づいて非構成的に示せる。なおノルム空間Vが（ノルム位相に関して）可分な場合には、可分なノルム空間の共役空間の閉単位球が＊弱位相に関して距離化可能である事を利用してより直接的にに証明可能である。
各x ∈ Vに対しKxをKのコピーとするとき、V*上の＊弱位相は
を全て連続になるV*上の最弱の位相であるので、
と定義すると、直積位相の定義より、＊弱位相は写像
を連続にする最弱の位相と一致する。すなわちμは中への同相写像である。したがってV*の閉単位球B*のコンパクト性を示すには、μ(B*)のコンパクト性を示せば良い。
これを示すため、 K^{V}はVからKへの（線形とは限らない）写像全体の集合F(V, K)と自然に同一視できるという事実を使う：
両者が同一視できるのは以下の理由による。 K^{V}の任意の元 \nu =(\nu _{x})_{x\in V}から（線形とは限らない）写像 x\in V\mapsto \nu _{x}\in Kを定める事ができ、逆にVからKへの(線形とは限らない)に \zeta ~:~V\to K対して (\zeta (x))_{x\in V}\in K^{V}が対応する。
上記の同一視を行った場合、 K^{V}の位相（直積位相）はF(V, K)の各点収束位相と一致する。
μ(B*)のコンパクト性を示す為、 D_{x}\subset K_{x}を
により定義し、
すると、定義より
である。DxはKx= \mathbb {R}  or  \mathbb {C} の閉単位球なのでコンパクトである。よってチコノフの定理より、 D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}は F(V,K)のコンパクト部分集合である。 F(V,K)は明らかにハウスドルフなので、コンパクトな集合 D^{V}の部分集合μ(B*)がコンパクトである必要十分条件はμ(B*)が閉集合な事である。
以上の事からB*のコンパクト性を示すには、μ(B*)が D^{V}\subset F(V,K)で閉集合な事を示せば良い。これを示すためにμ(B*)と D^{V}の関係を調べる。 D^{V}を（線形とは限らない）写像の集合 F(V,K)の部分集合とみなしたとき、
なので、作用素ノルム \|\cdot \|_{V^{*}}の定義より、
が従う。よってμ(B*)が閉集合である事を示すには収束する任意の有向点族 (\alpha _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset B^{*}に対し、その極限α∞がα∞ ∈ B*を満たす事を示せばよい。そこでx, y ∈ V、a, b ∈ Kを任意に取ると、
が成立する。ここで
(1)は \mu _{x}の定義から従う。
(2)は＊弱位相が (\mu _{x})_{x\in V}を全て連続にする最弱の位相である事から従う。
(3)は \mu _{x}の定義、およびKにおける和や定数倍の連続性から従う。
よってα∞ ∈ B*が示され、定理が証明された。
可分なノルム空間Vの共役空間V*の閉単位球B*は＊弱位相に関して距離化可能な事が知られており、距離化可能空間ではB*のコンパクト性は点列コンパクト性と同値であるので、任意に点列 (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B^{*}を選んで固定し、 (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }がB*内に収束する部分列を持つ事を示せば良い。
Vは可分なので、Vの稠密部分集合 (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset Vが存在する。今、
が成立するので、各iに対し、数列 (\alpha _{n}(x_{i}))_{n\in \mathbb {N} }\subset KはK上有界であり、したがって収束部分列を持つ。
よって各iに対して順に (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }の部分列を取っていくことで任意のiに対して (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }がm→∞に関して収束するような (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }を選ぶ事ができる。
次に我々は、 (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset VがVで稠密な事を利用して、任意のx ∈ Vに対し (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }がコーシー列である事を示す。V*は（Vが完備であるかどうかによらず）必ず完備なので、これにより (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }の収束性が従う。
そこでε>0とx ∈ Vを任意に固定すると、 (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }はVの稠密性より、
を満たすxiが存在する。よって任意のm、 \ell \in \mathbb {N} に対し、
が成立する。最後の不等式は \alpha _{n_{m}},\alpha _{n_{\ell }}\in B^{*}と \|x-x_{i}\|_{V}\leq \varepsilon を用いた。
各固定されたiに対し (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }は収束列であり、したがってコーシー列であるので、上記の事から、
が成立する。よってε>0の任意性より、
が任意のx ∈ Vに対して成立する。よって任意のx ∈ Vに対し (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }はコーシー列であり、したがってV*の完備性より収束列である。
最後に、
を、x ∈ Vに (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }の収束先を対応させる写像とする。この写像αがV*の元であり、しかも (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }の収束先である事を示せば、定理が証明される。
αがV*の元である事を示すため、V*の条件を順に示す。まず \alpha _{n_{m}}の線形性より \alpha の線形性が従う。しかも任意のε>0と任意のx ∈ Vに対し、ある m_{0}\in \mathbb {N} 以上のmに対して
が \alpha _{n_{m}}\in B^{*}から従うので、ε>0の任意性から  |\alpha (x)|\leq |x|、すなわち \alpha \in B^{*}\subset V^{*}が従う。
αの定義より、 \lim _{m\to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha (x)|=0が任意のx ∈ Vに対して従い、これは (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }がαに＊弱収束する事を意味する。
バナッハ＝アラオグルの定理は半径1の閉球に対するものだが、任意の半径の閉球もコンパクトになる事が容易に示せる。また＊弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する：
系 ― V*に＊弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
なお、Vが回帰的（すなわちV**=Vが成立する空間）であればV上の＊弱位相と弱位相は同一になるので、下記の系が従う：
系 ― Vが回帰的なノルム空間であれば、Vに弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
1 < p < ∞に対しLp空間やℓp空間は回帰的なので、上記の定理が適用できる。しかし回帰的でない場合には上述の定理に反例があり、例えば0に収束する複素数列全体にℓ∞ノルムを入れた空間c0の閉単位球は弱位相に関してコンパクトではない。
注意しなければならないのは、＊弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても＊弱位相をいれたV*が局所コンパクトにはなっていない事を意味する。
なお、X∗ が実数直線上の有限ラドン測度の空間（したがってリースの表現定理より、 X=C_{0}({\mathbb {R} }) は無限大で消失する連続函数の空間となる）の場合、可分なノルム空間に対するバナッハ＝アラオグルの定理はヘリーの選択定理と同値となる[要出典]。