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カルタン幾何学
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 > 定義

まず簡約可能性を定義する：
定義 ― 
モデル幾何学 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )が簡約可能[訳語疑問点]（英: reductive）であるとは、作用 H{\overset {\mathrm {Ad} }{\curvearrowright }}{\mathfrak {g}}により不変な部分ベクトル空間 {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}が存在し、 {\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {b}}=\{0\}、 {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}を満たす事を言う。
なお、 {\mathfrak {b}}の取り方は一意とは限らないので注意されたい。
Gが2つのリー群の半直積 G=H\ltimes Bで書けている場合は、G、Hに対応するモデル幾何学 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )は、Bのリー代数を {\mathfrak {b}}として選ぶ事で簡約可能である。
よって特にユークリッド幾何学の等長変換群 \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})は直交群 O(m)と平行移動のなす群の半直積で書けるので対応するモデル幾何学は簡約可能である。アフィン幾何学も同様である。
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 > カルタン接続の分解

(\pi ,P,\omega )を ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学にする多様体M上のカルタン幾何学とする。モデル幾何学 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )が、 {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}と簡約可能なとき、 {\mathfrak {g}}の元は {\mathfrak {h}}の元と {\mathfrak {b}}の元の和で一意に表現できるので、カルタン接続 \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}も
のように「 {\mathfrak {h}}部分」と「 {\mathfrak {b}}部分」の和で書ける。この分解を用いると、カルタン接続と主接続の接続形式との関係性を以下のように記述できる：
定理 (簡約可能な場合のカルタン接続と接続形式の関係) ―  ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )を {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}と簡約可能なモデル幾何学とし、Mを多様体とし、 \pi ~:~P\to MをH-主バンドルとする。
このときP上のカルタン接続ωを \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}と分解すると、
 \omega _{\mathfrak {h}}はP上の主接続の接続形式の定義を満たす。
したがって、簡約可能なモデル幾何学の場合にはカルタン接続から主接続の接続形式 {\mathfrak {h}}が得られることになる。
一方、 \omega _{\mathfrak {b}}は
により {\mathfrak {b}}を {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}と同一視すると、 \omega _{\mathfrak {b}}は \rho \circ \omega と同一視でき、前述のように（カルタン幾何学が一階であれば） \rho \circ \omega は標準形式であるとみなせる。
したがって分解 \omega =\omega _{\mathrm {h} }+\omega _{\mathrm {b} }はカルタン接続 \omega を接続形式 {\mathfrak {h}}と標準形式 {\mathfrak {b}}に分解するものであるが、実は逆に接続形式と標準形式からカルタン接続を復元できる：
定理 (一階で簡約可能な場合における接続形式からカルタン接続の再現) ―  (G,H)を一階のクライン幾何学で対応するリー代数の組 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}と簡約可能なものとする。Mを多様体とし、 \pi ~:~P\to MをTMの主バンドルとし、PをH-フレームバンドルFと前述の方法で同一視する。
さらにγをP=F上の接続形式とし、θをFの標準形式とする。
このとき、
はP=F上のカルタン接続の公理を満たす。
前述した、カルタン接続から接続形式と標準形式とに分解する定理とは丁度「逆写像」の関係にあり、簡約可能で一階の場合はカルタン接続は接続形式と標準形式との組と1対1に対応する。
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 > Koszul接続

モデル幾何学が簡約可能である場合、上述したようにカルタン接続ωから定義される \omega _{\mathfrak {h}}はH-主バンドルPの接続形式になる。ベクトル空間V上のHの線形表現 \gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)があれば、ベクトルバンドルとしての接続（Koszul接続）の一般論から、接続形式 \omega _{\mathfrak {h}}はM上のベクトルバンドル E:=P\times _{H,\gamma }VにKoszul接続を定める。
よって特に、接バンドルは
と書けたので、 \omega _{\mathfrak {h}}はTM上のKoszul接続、すなわちアフィン接続∇を定める。
このことから分かるようにモデル幾何学がアフィン幾何学でなくても、簡約可能でありさえすればアフィン接続を誘導する。
しかし特にモデル幾何学がアフィン幾何学であれば、アフィン変換群Gの {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}上の随伴表現は {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}上のアフィン変換になる事を示す事ができ、この意味において TM\approx P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}はアフィン空間 {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}のバンドルとなる。後述するように、この事実が例えばモデルがユークリッド幾何学の場合には重要になる。
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 > Koszul接続 > 普遍共変微分との関係

\gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)をベクトル空間V上のHの線形表現とし、 \omega _{\mathfrak {h}}がM上のベクトルバンドル E:=P\times _{H,\gamma }Vに定めるKoszul接続を∇とする。
Eの切断sと p\in Pに対し、 s_{\pi (p)}=[p,f_{s}(p)]\in P\times _{H,\gamma }V=Eとなる f_{s}(p)が一意に存在し、fsはPからVへの関数 f_{s}~:~P\to Vとみなせる。
定理 ― M上の任意のベクトル場 XとEの任意の切断sに対し、以下が成立する：
ここで {\tilde {X}}は \pi _{*}({\tilde {X}})=XとなるPの接ベクトルである
。
上記のように D_{\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}f_{s}はKoszul接続 \nabla {}_{X}sと関係するが、それに対し D_{\omega _{\mathfrak {h}}({\tilde {X}})}f_{s}の方は自明なものになってしまう：
定理 ― M上の任意のベクトル場 XとEの任意の切断sに対し、以下が成立する：
ここでγ*はEを定義する線形表現 \gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)が誘導する写像 \gamma _{*}~:~{\mathfrak {h}}\to \{V上の線形写像 \}である。
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 > 曲率の分解

本節ではモデル幾何学 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )が {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {b}}と簡約可能でしかも
となっている場合、すなわち {\mathfrak {b}}として {\mathfrak {g}}の部分リー代数になっているものを取れる場合に対し、曲率の「 {\mathfrak {h}}部分」と「 {\mathfrak {b}}部分」を具体的に書き表す。
先に進む前にこの条件を満たすモデル幾何学の具体例を述べる。例えば {\mathfrak {g}}に対応するリー群Gが2つのリー群の半直積 G=H\ltimes Bで書けている場合に、 {\mathfrak {b}}としてBのリー代数を取れば上述の条件を満たす。特に、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、アフィン変換群 \mathrm {Aff} _{m}は線形変換 \mathrm {GL} _{m}(\mathbb {R} )と平行移動のなす群 B=\mathbb {R} ^{m}の半直積で書け、しかも {\mathfrak {b}}をBのリー代数とすると、
というより強い条件が成立する。モデル幾何学がユークリッド幾何学の場合も同様である。
曲率Ωは {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {b}}に値を取るので、曲率を
と「 {\mathfrak {h}}部分」 \Omega _{\mathfrak {h}}と「 {\mathfrak {b}}部分」 \Omega _{\mathfrak {b}}に分解する。商写像 {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}{\overset {\rho }{\to }}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}が同型になることから、 {\mathfrak {b}}\approx {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}という同一視をすると、
と \Omega _{\mathfrak {b}}がカルタン幾何学の捩率 \tau =\rho (\Omega )に対応する事が分かる。
とくにアフィン幾何学をモデルとするカルタン幾何学の場合、 {\mathfrak {b}}はアフィン変換群 \mathrm {Aff} _{m}=\mathrm {GL} _{m}(\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{m}の並進部分である \mathbb {R} ^{m}に対応するリー代数であるので、アフィン幾何学をモデルとする場合、捩率とは並進に関する曲率であるとみなせる。
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 > 曲率の分解 > 構造方程式

曲率の定義から、
が成立するので、仮定 [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}を使うと以下が成立する事が分かる：
定理 (分解した場合の構造方程式) ―
\Omega _{\mathfrak {h}}=d\omega _{\mathfrak {h}}+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]
\tau \approx \Omega _{\mathfrak {b}}=d\omega _{\mathfrak {b}}+[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {b}},\omega _{\mathfrak {b}}]
\omega _{\mathfrak {h}}が接続形式に対応している事から、上記の定理の１つ目の式は、接続形式 \omega _{\mathfrak {h}}が定義する主接続に対する第二構造方程式である事がわかる。よって特に、 \Omega _{\mathfrak {h}}は主接続の曲率形式である事がわかる。したがって
一方2本目の式において \omega _{\mathfrak {b}}は TP{\overset {\omega }{\to }}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx {\mathfrak {b}}に一致し、標準形式θとして解釈できるので、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合のように [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}であれば、2本目の式は
となり、第一構造方程式に対応している事が分かる。よってこの場合の捩率は接続形式 \omega _{\mathfrak {h}}がTMによって定まる主接続の捩率テンソルに一致する。
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 > 曲率の分解 > ビアンキ恒等式

前述したカルタン接続のビアンキ恒等式
を「 {\mathfrak {h}}部分」と「 {\mathfrak {b}}部分」に分解することで以下の定理が結論づけられる：
定理 (分解した場合のビアンキ恒等式) ―
d\Omega _{\mathfrak {g}}=[\Omega _{\mathfrak {g}},\omega _{\mathfrak {g}}]
d\tau \approx d\Omega _{\mathfrak {b}}=[\tau ,\omega _{\mathfrak {h}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]
\omega _{\mathfrak {h}}が接続形式に対応している事から、上記の定理の1本目の式は接続形式 \omega _{\mathfrak {h}}が定義する主接続に関する第二ビアンキ恒等式である。
一方、2本目の式は、構造方程式の場合と同様、モデル幾何学がアフィン幾何学のように [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}を満たせば、
と第一ビアンキ恒等式に一致する。
曲線の発展

「ダルブー導関数」も参照
曲線の発展 > P上の発展

(\pi ,P,\omega )を (G,H)をモデルとするM上のカルタン幾何学とし、 \varphi ~:~[a,b]\to Pを区間 [a,b]上定義されたP上の曲線とするtを[a,b]上の点とすると、 T_{\varphi (t)}Pにはカルタン接続ωにより {\mathfrak {g}}の元が対応している。次の事実が知られている：
定理・定義 ― 記号を上述のように取り、gをGの元とするとき、G上の曲線 {\tilde {\varphi }}~:~[a,b]\to Gで、任意の t\in [a,b]に対し、
が成立し、しかも {\tilde {\varphi }}(a)=gを満たすものがが一意に存在するが成立する。ここで \omega ^{G}はGのモーレー・カルタン形式である。
曲線 {\tilde {\varphi }}を曲線 \varphi のgからのωに関する発展(英: development)という。
モーレー・カルタン形式 \omega ^{G}は、G上の接ベクトルをGの作用により {\mathfrak {g}}=T_{e}Gに移す変換であったので、上記の定理は {\tfrac {d{\tilde {\varphi }}}{dt}}(t)がGの作用による移動を除いて \omega \left({\tfrac {d\varphi }{dt}}(t)\right)に一致する事を意味する。
上記の定理の直観的な意味を説明する。クライン幾何学 (G,H)においてGは等質空間 G/Hにおける同型写像のなす群であったので、そのリー代数 {\mathfrak {g}}の元は G/H上の「無限小同型変換」、すなわち同型写像の微分とみなせた。
カルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )の付与された多様体Mとは「一次近似」がクライン幾何学に見える空間であり、TpPの元vpはカルタン接続により {\mathfrak {g}}の元と対応しており、 \omega (v_{p})は \pi (u)における「無限小同型変換」を意味していた。
上記の定理は曲線 \varphi に沿って「無限小同型変換」である {\mathfrak {g}}の元 \omega \left({\tfrac {d\varphi }{dt}}(t)\right)を束ねていくとその「積分曲線」として同型変換であるGの元 {\tilde {\varphi }}(t)があらわれる事を意味している。
もしMが G/Hそのものであれば、この同型変換 {\tilde {\varphi }}(t)は実際にM上の同型変換になる事を後述する。
曲線の発展 > M上の発展

補題 ―  c~:~[a,b]\to MをM上の曲線とし、 \varphi ~:~[a,b]\to Pを h~:~[a,b]\to Hを曲線とする。このとき、 \varphi (t)の発展 {\tilde {\varphi }}(t)~:~[a,b]\to Pと \varphi (t)h(t)の発展 {\widetilde {\varphi (t)h(t)}}は以下を満たす：
q~:~G\to G/HをGから G/Hへの商写像とすると、上記の補題から次が成立する：
定理・定義 ―  c~:~[a,b]\to MをM上の曲線とし、xを G/Hの元とする。 \pi (\varphi (t))=c(t)を満たすP上の曲線と q(g)=xを満たす g\in Gを任意に選んで \varphi のgからの発展 {\tilde {\varphi }}~:~[a,b]\to Gを作り、 G/H上の曲線
を考えると、 {\tilde {c}}(t)は {\tilde {\varphi }}、gの取り方によらずwell-definedである。
曲線 {\tilde {c}}(t)を c(t)の G/Hにおけるxからのωに関する発展（英: development）という。
曲線の発展 > ホロノミー

「ダルブー導関数#モノドロミー」も参照
Mが連結であるとし、 u_{0}\in Mと \pi (p_{0})=u_{0}を満たす p_{0}\in Pをfixし、 c~:~[a,b]\to Mをu0を基点とするM上の閉曲線とする。 \pi (\varphi (t))=c(t)を満たすP上の閉曲線 \varphi ~:~[a,b]\to Pでp0を基点とするものとすると、前述した補題から、 \varphi の単位元 e\in Gからの発展 {\tilde {\varphi }}~:~I\to Gの終点 {\tilde {\varphi }}(b)は \varphi の取り方によらず等しい。そこで以下のような定義をする：
定理・定義 ― 記号を上のように取り、 \Omega (M,u_{0})をu0を基点とする閉曲線全体の空間（英語版）とする。このとき、
は閉曲線の結合に関して準同型であり、 \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))はGの部分群をなす。
\Phi ^{p_{0}}(c)を閉曲線cの基点u0のリフトp0に関するホロノミー（英: holonomy with respect to p0）といい、 \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))をp0に関するM上のカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )のホロノミー群（英: 
holonomy group of  (\pi ,P,\omega ) with respect to p0）という。
ホロノミー群は基点やそのリフトを取り替えても、共役を除いて一意に定義できる。実際、基点u0のリフトp0を別の点p0h, where  h\in Hに取り替えると、ホロノミーは \Phi ^{p_{0}h}(c)=h^{-1}\Phi ^{p_{0}}(c)hを満たす。また基点u0を別の基点u1に変えると、 \Phi ^{p_{1}}(\Omega (M,u_{1}))=g^{-1}\Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))gを満たす g\in Gが存在する。
\Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))の元のうち、0-ホモトープな閉曲線全体 \Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))は \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))の正規部分群になる。 \Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))を制限ホロノミー群（英: restricted holonomy group）という。
写像 \Omega (M,u_{0})\to \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))\to \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))/\Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))は基本群 \pi _{1}(M,u_{0})からの群準同型写像
をwell-definedに誘導する。上記の写像をカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )のモノドロミー表現（英: monodromy representation of  (\pi ,P,\omega )）という。
曲線の発展 > 一般化円と測地線

定義 ― なんらかの A\in {\mathfrak {g}}に対し、定数ベクトル場（定義は前述） \omega ^{-1}(A)の積分曲線を \pi ~:~P\to MでMに射影したものをM上の一般化円[訳語疑問点]（英: generarized circle）という。
また ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}と簡約可能なとき、なんらかの A\in {\mathfrak {b}}に対し、定数ベクトル場 \omega ^{-1}(A)の積分曲線を \pi ~:~P\to MでMに射影したものをM上の測地線（英: geodesic）という。
特にクライン幾何学 (G,H)に対し、 G/H上の一般化円は、 {\mathfrak {g}}の元の1-パラメーター変換群の軌跡の G/Hへの射影である。よって「一般化円」という名称であるが、ユークリッド幾何学での「一般化円」は螺旋になる事もあるので注意されたい
({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}と簡約可能なとき、 {\mathfrak {b}}に属する元のG上の1-パラメーター変換群の軌跡の G/Hへの射影を直線（英: straight line）という。
この事実を使うと、一般化円と測地線は以下のように言い換える事ができる：
定理 ― 
 (G,H)をモデルとするクライン幾何学の定義された多様体M上の曲線が一般化円になる必要十分条件は、その一般化円の発展が G/H上の一般化円になる事である。
同様に ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}と簡約可能なとき、 c(t)がM上の測地線（英: geodesic）となる必要十分条件は、 c(t)の発展 {\tilde {c}}(t)が G/H上の直線である事である。
前述したように、 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が簡約可能なときは、TM上にアフィン接続∇が定義できるので、 {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0となる曲線を測地線として定義する事もできる。この２つの測地線の定義は同値である。
定理 ― 
 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}と簡約可能であるとし、カルタン接続ωを \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}と分解したときPの主接続（の接続形式） \omega _{\mathfrak {h}}がTMに TM\approx F_{H}\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}に誘導するアフィン接続を∇とする。
このとき、M上の曲線 c(t)が上述したカルタン幾何学における測地線である必要十分条件は、以下が成立する事である：
証明に入る前にまず記号を整理し、簡単な考察をする。Hを構造群とする主バンドル Pを、TM上のH-フレームバンドル F_{H}と自然に同一視する。
各 e\in F_{H}(TM)\approx Pに対し、 \omega ~:~T_{p}F_{H}(TM)\to {\mathfrak {g}}が同型だったので、自然に TF_{H}\approx F_{H}\times {\mathfrak {g}}とみなせる。これを写像 \rho ~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx {\mathfrak {b}}とあわせると可換図式
が描け、 {\mathfrak {b}}にベクトル空間としての基底をfixして {\mathfrak {b}}の元を v=(v^{1},\ldots ,v^{m})と書くと、 e=(e_{1},\ldots ,e_{m})\in F_{H}とvの組 [e,v]\in F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}に対応するTMの元は \textstyle \sum _{i}v^{i}e_{i}である。
∇は \omega _{\mathfrak {h}}が誘導するアフィン接続であったので、以上のことからM上の曲線 c(t)上のFHの切断 e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))が \omega _{\mathfrak {h}}に関して平行である必要十分条件は、 e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))をTMの基底とみなしたとき、 e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))が∇に関して平行な基底である事である。
（ \Rightarrow ）M上の曲線 c(t)がカルタン幾何学における測地線の定義を満たせば、測地線 c(t)はなんらかの B\in {\mathfrak {b}}となんらかの e=(e_{1},\ldots ,e_{m})\in F_{H}(TM)を使って
と書けるので、前述の可換図式から
である。基底 e(t)は c(t)に沿って平行なので、 {\tfrac {dc}{dt}}も c(t)に沿って平行であり、これは {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0となる事を意味する。
（ \Leftarrow ）M上の曲線 c(t)が通常の意味での測地線、すなわち {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0であれば、 {\tfrac {dc}{dt}}は c(t)に沿って平行である。よって基底 e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))を c(t)に沿って平行なように選ぶと、
となる B\in {\mathfrak {b}}が存在する。したがって
と書ける。
クライン幾何学との関係

「ダルブー導関数#微分積分学の基本定理の章」も参照
カルタン幾何学はクライン幾何学をモデルとしており、しかも（局所）クライン幾何学はカルタン幾何学として平坦（英: flat）、すなわち曲率が恒等的に0である事を前述した。
本章はこの逆向きについて述べる。すなわち平坦なカルタン幾何学がいかなる条件を満たせば局所クライン幾何学と等しいかを特定するのが本章の目標である。
ダルブー導関数の一般論から、以下が従う：
定理 ―  (G,H)を対応するリー代数の組 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})が効果的なクライン幾何学とする。Mを多様体とし、 (\pi ,P,\omega )を (G,H)をモデルとするM上のカルタン幾何学とする。
このとき、Mの普遍被覆空間 q^{:}~{\tilde {M}}\to Mに主バンドル \pi ~:~P\to Mとカルタン接続ωを引き戻したものをそれぞれ {\tilde {\pi }}~:~{\tilde {P}}\to {\tilde {M}}、 {\tilde {\omega }}とする。
このとき ({\tilde {\pi }},{\tilde {P}},{\tilde {\omega }})は {\tilde {M}}上の (G,H)をモデルとするカルタン幾何学となり、局所幾何学的同型
が存在する。
よって特に、Mの点uの十分小さい開近傍 Uを取り、 U上に (\pi ,P,\omega )を制限した (\pi |_{U},P_{U},\omega _{U})は（Uの {\tilde {M}}へのリフトを考えることで）局所幾何学的同型 (U,P_{U})\to (G/H,G)を持つことが分かる。
このように被覆空間を考えたり、あるいは各点の開近傍に制限したりすれば、平坦なカルタン幾何学がクライン幾何学に局所幾何学的同型である事を示す事ができる。しかしこれだけではM自身が（局所）クライン幾何学と幾何学的同型になるか否かはわからない。
そこで本章ではまずM自身が局所クライン幾何学と幾何学的同型になる条件を定式化し、次にこれらの条件を満たす平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と幾何学同型になる事を見る。
クライン幾何学との関係 > 条件

本節では平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と同型であるための条件である「幾何学的向き付け可能性」と「完備性」を定義する。
クライン幾何学との関係 > 条件 > 幾何学的向き

幾何学的向きを定義するため、まず記号を導入する。Mを多様体とし、 (\pi ,P,\omega )を ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学とし、Gを {\mathfrak {g}}に対応するリー群の一つとすると、その随伴表現 \mathrm {Ad} ~:G~\to \mathrm {GL} _{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})はリー群間の写像なので、対応するリー代数間の写像
を誘導する。adはリー代数 {\mathfrak {g}}に対応するリー群Gの取り方によらずwell-definedであり、
が成立する。adとカルタン接続の合成
を考え、以下の定義をする：
定義 ― 記号を上と同様に取り、 p\in Pを取る。クライン幾何学 (\pi ,P,\omega )に対し、 h\in Hが基点 p\in Pに関して幾何学的な向きを保つ（英: geometrically orientation preserving with respect to the base point p）とは、pとphを結ぶP上の曲線 \varphi (t)で以下の条件を満たすものが存在する事を言う：
定理・定義 ― Pが連結であれば幾何学的向き付けの定義はpに依存しない。Pが連結なとき、幾何学的向き付け可能なHの元全体の集合を H_{\mathrm {or} }と書く。
adの定義より、曲線 \varphi (t)がPのファイバー P_{\pi (p)}内にあれば、その発展 {\tilde {\varphi }}(t)の終点は必ず \mathrm {Ad} (h)になる。よって H_{e}を単位元eを含むHの連結成分とすると
が成立する。
しかし上記の定義は曲線 \varphi (t)がファイバー P_{\pi (p)}内に収まる事は仮定しておらず、よって一般にはHorの方がHeより大きいこともある。なお、Pが連結であれば、HorはHの正規部分群になる事が知られている。
定義 ― Mを多様体とし、 (\pi ,P,\omega )を ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学でPが連結であるものする。
H-バンドルPがHor-部分主バンドルを持つとき、 (\pi ,P,\omega )は幾何学的に向き付け可能（英: geometrically orientable）であるという
PのHor-部分主バンドル（もしあれば）をPの幾何学的向き（英: geometrically orientation）という。
M_{\mathrm {or} }:=P/H_{\mathrm {or} }をMの幾何学的向き付け被覆（英: geometrically orientation cover）という。
H=H_{\mathrm {or} }のとき、カルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )は幾何学的に向き付けられている（英: geometrically oriented）という。
次が成立する：
定義 ― 局所クライン幾何学 (G,H,\Gamma )（に定まるクライン幾何学）は、Gが連結なら幾何学的向き付け可能である。
クライン幾何学との関係 > 条件 > 完備性

Mを多様体とし、 (\pi ,P,\omega )を ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学とする。
定義 ―  (\pi ,P,\omega )が以下を満たすとき、 (\pi ,P,\omega )は完備（英: complete）であるという
定理 ― 局所クライン幾何学 (G,H,\Gamma )（に対応するカルタン幾何学）は完備である。
局所クライン幾何学におけるカルタン接続ωの定義より、 \omega _{p}{}^{-1}(A)を P=\Gamma \backslash Gの被覆空間であるGに引き戻したもを {\underline {A}}とすると、 {\underline {A}}は A\in {\mathfrak {g}}=T_{e}Gを通る左不変ベクトル場であるので、 \exp(t\omega _{g}{}^{-1}(A))は任意の任意の g\in Gおよび任意の t\in \mathbb {R} に対し定義可能であり、任意の p\in Pおよび任意の t\in \mathbb {R} に対し、 \exp(t\omega _{p}{}^{-1}(A))は \exp(t\omega _{g}{}^{-1}(A))を P=\Gamma \backslash Gに射影したものであるので、定理が成立する。ここでpはgの商写像による像である。
クライン幾何学との関係 > 定式化

完備かつ平坦で幾何学的に向き付可能なカルタン幾何学は局所クライン幾何学と幾何学的同型になる：
定義 ― Mを連結な多様体とし、 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデル幾何学とし、 (\pi ,P,\omega )をM上の ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )をモデルとする平坦かつ完備で幾何学的に向き付けられたカルタン幾何学とする。
このとき、 {\mathfrak {g}}をリー代数とする連結なリー群GでHを閉部分群として含むものと、Gの部分群Γで局所クライン幾何学 \Gamma \backslash G/Hとその上のカルタン幾何学構造 (\Gamma \backslash G,\omega ^{\Gamma \backslash G})がMとその上のカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )と幾何学的同型になる。
なお、すでに見たように局所クライン幾何学は平坦かつ完備であり、しかもGが連結であれば局所クライン幾何学はカルタン幾何学として向き付け可能であるので、連結なGを考える場合は、これ以上条件を減らす事はできない。

なお、Gを固定すると、上述の定理が存在を保証するΓは共役を除いて一意に定まる：
定義 ―  M_{1}=\Gamma _{1}\backslash G/H、 M_{2}=\Gamma _{2}\backslash G/Hを (G,H)をモデルに持つ２つの局所クライン幾何学とする。
このとき、M1とM2がクライン幾何学として幾何学的同型であれば、ある g\in Gが存在し、 \Gamma _{2}=g\Gamma _{1}g^{-1}であり、しかもM1とM2はgの左からの作用 L_{g}~:~G\to Gから誘導される。
ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学

本章ではモデル幾何学がユークリッド幾何学の場合を考える。すなわち、モデルとするクライン幾何学がユークリッド空間 \mathbb {E} ^{m}上の等長変換群 \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})と直交群 O(m)の組 (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m))である場合の、多様体M上のカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )を考える。
ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学 > 標準的な計量

本節では以下の定理を示す：
定理 ― ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学には、Mに標準的なリーマン計量が定数倍を除いて一意に定まる。
これを示すため、 {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}の性質を調べる。 \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})は随伴表現Adにより {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}に作用するが、 \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})=O(m)\ltimes \mathbb {R} ^{m}における O(m)は原点を中心とする回転として、 \mathbb {R} ^{m}は平行移動として {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}に作用する事を簡単な計算により確かめられる。
よって {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}上には O(m)により不変な内積 q~:~{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to \mathbb {R} が定数倍を除いて一意に定まる。前述したように TM\approx TP\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}であるので、 p\in Pに対し、写像
が定義できる。
そこで u\in Mに対しTuMの計量を p\in P_{u}を任意に選んで
により定義すると g_{u}(v,w)が p\in P_{u}によらずwell-definedされる事が知られており、M上にリーマン計量gが定まる。
ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学 > アフィン接続

\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})=O(m)\ltimes \mathbb {R} ^{m}と半直積で書けるので、リー代数の組 ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})=({\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{m}),{\mathfrak {o}}(m))は {\mathfrak {b}}=\mathbb {R} ^{m}を使って簡約可能であり、しかも (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m))は一階である。
よって前述のようにカルタン接続ωを「 {\mathfrak {h}}部分」と「 {\mathfrak {b}}部分」に分けて \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}と書くことができ、 \omega _{\mathfrak {h}}は主バンドルP上の接続形式になり、 \omega _{\mathfrak {b}}が標準形式となる。逆に \omega _{\mathfrak {h}}と \omega _{\mathfrak {b}}からωが復元できる事もすでに示した。
接続形式 \omega _{\mathfrak {h}}がTMに誘導するアフィン接続 \nabla を定義する事ができ、 \nabla は以下を満たす：
定理 ―  \nabla は標準的な計量と両立する。すなわち前節で定義した標準的なリーマン計量gに対し、
がM上の任意のベクトル場X、Y、Zに対して成立する。
すでに述べたようにTMは O(m)-主バンドルPを使って
と書け、しかもPは O(m)-フレームバンドルとして解釈できたので、以下PをフレームバンドルとみなしたものをFと書く。前述した計量の作り方から計量gはFの元を正規直交基底にする。
一方 \omega _{\mathfrak {h}}は
に値を取るので、（Fに属する）正規直交基底において接続形式 \omega _{\mathfrak {h}}を \omega _{\mathfrak {h}}=(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}と成分表示すると、 \omega ^{i}{}_{j}=-\omega ^{j}{}_{i}が成立する。よってTMの局所的な正規直交基底 e_{1},\ldots ,e_{m}を取ると、
が成立する（最後の等式は i=kのときのみ g(e_{i},e_{k})=1な事を使った）。よって
が成立するので、 Y=e_{j}、 Z=e_{k}の場合に定理が示された。一般の場合は、上式から簡単な計算により従う。
しかし \nabla の捩率は0とは限らない。もし \nabla の捩率が0であればリーマン幾何学の基本定理より、 \nabla はレヴィ・チヴィタ接続に一致する。
以上の考察から、カルタン幾何学の立場から見るとリーマン幾何学とは、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学で捩率が0のものとして（計量の定数倍を除き）特徴づけられる幾何学である。
ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学 > リーマン多様体の発展

上述のようにリーマン多様体にはユークリッド幾何学 (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m))をモデルとする捩れのないカルタン幾何学 (\pi ,P,\omega )の構造が入る。
m次元リーマン多様体M上に曲線 c(t)を取り（図の青の線）、 c(t)に沿ってMをm次元平面 \mathbb {R} ^{m}上を「滑ったり」「ねじれたり」することなく転がしたときにできる曲線の軌跡を {\tilde {c}}(t)とする（図の紫の線）。
このとき、次が成立することが知られている：
定理 ― 
記号を上述のように取る。このとき、 {\tilde {c}}(t)は等質空間 G/H=\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})/O(m)\approx \mathbb {R} ^{m}への発展に一致する。
また、Mをm次元平面 \mathbb {R} ^{m}上滑りもねじれもなく転がすと、時刻tに c(t)が \mathbb {R} ^{m}に接した瞬間に T_{c(t)}Mが \mathbb {R} ^{m}に重なるので、自然に写像
が定義できる。この写像を使うと、Mのレヴィ・チヴィタ接続∇の幾何学的意味を述べることができる：
定理 ― 
 v(t)\in T_{c(t)}Mを c(t)に沿ったM上のベクトル場とすると、以下が成立する：
すなわち、曲線に沿った v(t)の共変微分を \mathbb {R} ^{m}に移したものは、 v(t)を移したものを通常の意味で微分したものに一致する。
よって特に以下が成立する：
系 ― 
 c(a)における接ベクトル vをM上曲線 c(t)に沿って（レヴィ・チヴィタ接続の意味で）平行移動したものを v'とするとき、 {\tilde {c}}(a)におけるベクトル \varphi _{a}(v)を \mathbb {R} ^{m}上 {\tilde {c}}(b)まで通常の意味で平行移動したものは \varphi _{b}(v')に等しい。
滑りとねじれのない転がし
滑りとねじれのない転がし（再掲）
渋川動物公園

| 渋川動物公園 Shibukawa Zoo> 施設情報 |
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専門分野:  総合
所有者:  （有）ナチュレ・ファーム瀬戸内　
開園:  1989年3月29日
所在地:  〒706-0028 岡山県玉野市渋川三丁目1077番地1　
位置:  北緯34度28分12.49秒 東経133度53分37.27秒﻿ / ﻿北緯34.4701361度 東経133.8936861度﻿ / 34.4701361; 133.8936861座標: 北緯34度28分12.49秒 東経133度53分37.27秒﻿ / ﻿北緯34.4701361度 東経133.8936861度﻿ / 34.4701361; 133.8936861
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渋川動物公園（しぶかわどうぶつこうえん、Shibukawa Zoo）は、岡山県玉野市渋川にある個人経営の動物園。
概要

「動物のありのままの姿に出会える」をコンセプトに、有限会社ナチュレ・ファーム瀬戸内によって経営されている動物園。およそ3万坪の広大な園内は来園者用の通路を舗装せず土道のままにするなど、開発を最小限にとどめ自然の野山の姿を残しており、来園者が動物にふれあいながら季節感を堪能することができる場を提供している。また、乗馬体験や犬の散歩体験などが実施されている。さらに園内では動物だけでなく、さくらんぼや梅、フェイジョア、柿など有機無農薬の果樹を栽培しており、来園者に販売されるときもある。
概要 > 歴史

1968年 - 岡山県倉敷市児島のよしおか屋屋上で動物園を開始
1972年 - 玉野市の天満屋（現ハピータウン玉野店、現TSUTAYA玉野店）の屋上で動物園を開始
1975年 - 天満屋（現ハピータウン玉野店）が現TSUTAYA玉野店より現在地に移転
1980年 - 岡山市の天満屋ハピータウン岡南店に出展
1988年 - 現在の地に移転
1989年3月29日 - 渋川動物公園オープン
概要 > 敷地

約10ha（30,000坪）
海抜150m
遊歩道の全長距離　約4km
飼育動物

約80種600頭羽
野生動物約18種の野鳥が園内で繁殖し110種の野鳥を確認
利用案内

以下の情報は2019年11月現在のものである。利用時には公式ホームページを参照されたい。
年中無休
9:00～17:00（入園は16:30まで）
無料駐車場：大型バス15台、普通車100台収容可能
大人：1,100円
中人（小中学生）：800円
小人（2歳以上）：600円
年間フリーパス
大人：5,000円
中人（小中学生）：3,500円
小人（2歳以上）：3,000円
要相談で移動動物園も開催。プランは20万円から。
その他

植栽果樹　約21種2,000本
自生植物 山ツツジ（コバノミツバツツジ）一万株
3月上旬から　ワラビの群生の中でのワラビ狩りが人気
園内で自然に育った昆虫の採集が無料で行える
交通アクセス

JR本四備讃線（瀬戸大橋線）児島駅からタクシーで約25分
JR岡山駅東口から両備バス渋川行きで約50分、「渋川」バス停下車、タクシーで約5分
瀬戸中央自動車道児島ICから国道430号経由で約8km（おもちゃ王国向かい）
ジフェニドール

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IUPAC命名法による物質名
  IUPAC名 1,1-di(phenyl)-4-piperidin-1-ylbutan-1-ol 
臨床データ
投与経路:  経口
薬物動態データ
半減期: 4時間
識別
CAS番号 :  972-02-1
PubChem:  CID: 9175
DrugBank:  APRD00929
KEGG:  D03858 
化学的データ
化学式: C21H27NO
分子量: 309.44518 g/mol
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ジフェニドール（英語: Diphenidol）は、ベンジル位に水酸基を持った、第3級アルコールに分類される有機化合物の1種である。医薬品として用いられ、鎮暈薬として内耳障害によるめまいの治療に用いられる。また乗り物酔いの予防にも応用される。先発薬の商品名はセファドール（日本新薬）。
効能

椎骨脳底動脈の循環を改善し、椎骨動脈の血流障害を起こした部位の緊張を緩解し、血流量を増加させるとともに、内耳神経のひとつである前庭神経路の調整作用を有する。
塩酸塩（塩酸ジフェニドール）の形で製品化されており、処方箋医薬品としては、内耳障害によるめまいや嘔吐の抑制、および外傷性頭位眩暈症患者の眼球振盪抑制を効能として承認されている。
一般用医薬品としては、乗り物酔い防止薬として配合されている。ジフェニドール塩酸塩の1日最大量は医療用150mg、一般用75mgである。めまいの改善効果は、末梢性めまいで58.3%、中枢性めまいでは60%である。
副作用

ジフェニドールには、抗コリン作用があり、眼内圧上昇を起こすため、緑内障患者は服用前に医師へ相談することが望ましい。同じく抗コリン作用によって、排尿困難を引き起こす可能性があるため、前立腺肥大に伴う排尿障害を抱えている患者も、服用前に医師へ相談することが望ましい。
他に口の渇き、食欲不振、胸やけなどの消化器症状の他、浮動感、顔面の火照り、動悸などの副作用が見られる。ラットに投与した場合の半数致死量（LD50）は、経口投与で515mg/kg、皮下注射で670mg/kg、腹腔内注射で82mg/kg、静脈注射で29mg/kgである。
また、ジフェニドールは血液脳関門を通過し、眠気を催すため、自動車や機械の運転は注意が必要である。さらに、高度の腎機能障害があると、ジフェニドールの排泄が滞り、副作用発現の可能性が上がるため、重篤な腎障害のある者への投与は、禁忌である。
ジウマール・シウバ・サントス

ジウマール・シウバ・サントス（Gilmar Silva Santos、1984年3月9日 - ）は、ブラジル・バイーア州出身の元プロサッカー選手。現役時代のポジションはフォワード。東京ヴェルディ1969所属時の登録名はシウバ（Silva）。横浜FC所属時の登録名はジウマール・シウバ（Gilmar Silva）。
経歴

2006年シーズン途中に東京ヴェルディへ移籍加入。FWとしてプレーし、18試合9得点と一定の成績は残したが、フッキにはじき出される形で退団。2007年は横浜FCへ移籍したが思うような結果は残せず、さらに怪我の治療でブラジルへ帰国中に交通事故を起こして、ベンチ入りさえできない日々が続いた。その後、2007年8月31日付けでチームを退団し、9月7日に東京ヴェルディへ復帰。主にサイドハーフとして活躍したが、2008年1月をもって契約満了による退団が決定した。
所属クラブ

2000年 - 2005年 ECヴィトーリア
2006年  サントスFC (期限付き移籍)
2006年8月 - 2007年1月  東京ヴェルディ1969 (期限付き移籍)
2007年1月 - 2007年8月  横浜FC (期限付き移籍)
2007年9月 - 2008年1月  東京ヴェルディ1969 (期限付き移籍)
2008年 - 2009年  クルーベ・ナウチコ・カピバリベ
2009年 - 2011年 EAギャンガン
2010年  グレミオ・プルデンテ・フチボウ (期限付き移籍)
2012年  アヴァイFC
2012年  クリシューマEC
2013年  オエステFC
2013年 - 2015年  ABC FC
2015年  アメリカFC (リオグランデ・ド・ノルテ州)
2016年  ECサント・アンドレ
2017年  イツンビアラEC
2017年 - 2018年  クルーベ・ナウチコ・カピバリベ
2019年  AADヴィトーリア・ダス・タボカス
個人成績

| 国内大会個人成績> 年度.年度.ブラジル | 国内大会個人成績> クラブ.クラブ.ブラジル | 国内大会個人成績> 背番号.背番号.ブラジル | 国内大会個人成績> リーグ.リーグ.ブラジル | 国内大会個人成績> リーグ戦.出場.リーグ戦 | 国内大会個人成績> リーグ戦.得点.リーグ戦 | 国内大会個人成績> リーグ杯.出場.ブラジル杯 | 国内大会個人成績> リーグ杯.得点.ブラジル杯 | 国内大会個人成績> オープン杯.出場.オープン杯 | 国内大会個人成績> オープン杯.得点.オープン杯 | 国内大会個人成績> 期間通算.出場.期間通算 | 国内大会個人成績> 期間通算.得点.期間通算 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2000 | ヴィトーリア |  | セリエA |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 2001 | ヴィトーリア |  | セリエA |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 2002 | ヴィトーリア |  | セリエA |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 2003 | ヴィトーリア |  | セリエA | 19 | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 2004 | ヴィトーリア |  | セリエA | 18 | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 2005 | ヴィトーリア |  | セリエB |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 2006 | サントス |  | セリエA | 1 | 0 |  |  |  |  |  |  |
| 日本 | 日本 | 日本 | 日本 | リーグ戦 | リーグ戦 | リーグ杯 | リーグ杯 | 天皇杯 | 天皇杯 | 期間通算 | 期間通算 |
| 2006 | 東京V | 17 | J2 | 18 | 9 | - | - | 1 | 0 | 19 | 9 |
| 2007 | 横浜FC | 17 | J1 | 5 | 0 | 3 | 1 | - | - | 8 | 1 |
| 2007 | 東京V | 31 | J2 | 12 | 1 | - | - | 0 | 0 | 12 | 1 |
| 通算 | ブラジル | ブラジル | セリエA |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 通算 | ブラジル | ブラジル | セリエB |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 通算 | 日本 | 日本 | J1 | 5 | 0 | 3 | 1 | - | - | 8 | 1 |
| 通算 | 日本 | 日本 | J2 | 30 | 10 | - | - | 1 | 0 | 31 | 10 |
| 総通算 | 総通算 | 総通算 | 総通算 |  |  |  |  |  |  |  |  |
Jリーグ初出場 - 2006年8月12日 J2第33節 対湘南ベルマーレ
Jリーグ初得点 - 2006年8月22日 J2第35節 対柏レイソル
J1リーグ初出場 - 2007年3月3日 J1第1節 対浦和レッズ