特性類
ポントリャーギン類とオイラー類 > 性質

前述の定理が成り立つ理由の説明は後回しにし、本節ではポントリャーギン類とオイラー類の性質を述べる。
ポントリャーギン類はチャーン類との間に以下の関係を満たす：
定理 (チャーン類との関係) ― 
実ベクトルバンドル \xi =(\pi ,E,X)に対し、ξの複素化を \xi _{\mathbb {C} }
とすると、任意の非負整数 jに対し、以下が成立する：
定理を示すには、包含写像
が誘導する写像
によって
となる事を任意の非負整数kに対して示せば良い。
これまで同様
を考え、可換図式
を考える。ここで \rho は
であり、 \varphi _{\hat {U}}は回転行列を
と対角化する行列
を並べてできる行列
による内部自己同型
であり、 \nu は対角線への埋め込み
である。
n=2mの場合に元の動きを図示すると、以下の通りである：
よって非負整数kに対し、
が成立する。ここで \alpha _{s}、 \gamma _{t}はそれぞれ H^{*}(U(1)^{m};\mathbb {Z} )\approx \otimes _{u}H^{*}(U(1);\mathbb {Z} )、 H^{*}(O(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \otimes _{v}H^{*}(O(2);\mathbb {Z} )のs番目、j番目の H^{*}(U(1);\mathbb {Z} )、 H^{*}(O(2);\mathbb {Z} )の生成元を表し、(1)は内部自己同型は分類空間に恒等写像を誘導する事から従い、(2)はチャーン類の定義から従い、(3)はρの定義から従い、それ以外の等号は可換図式を追う事で従う。
\sigma _{k}(\gamma _{1},-\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m},-\gamma _{m},0)=\sigma _{k}(\gamma _{1},-\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m},-\gamma _{m})である事が対象多項式の定義から容易に従うので結局nによらず
が成立する。
任意の不定元au、bv、Xに対し、
なので、
が成立する。両辺の次数を比較する事により、
である。以上の議論とポントリャーギン類の定義
から定理が従う。
上の定理がΛ係数のコホモロジーに関するものである事に注意されたい。チャーン類は整数係数のコホモロジーに属するが、整数係数の場合は c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0が成立するとは限らない。しかし 2c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0である事は言える。実際、一般に複素ベクトルバンドル \eta の複素共役バンドル {\bar {\eta }}とすると、 c_{k}({\bar {\eta }})=(-1)^{k}c_{k}(\eta )が成立し、しかも実ベクトルバンドルの複素化 \xi _{\mathbb {C} }はその複素共役バンドル {\bar {\xi }}_{\mathbb {C} }と同型なので、
が成立する。
またチャーン類は整数係数のコホモロジーに属している事から、以下の系も従う：
系 ― 
ポントリャーギン類は整数係数コホモロジーに属する。すなわち任意のiに対し、
の像に p_{i}は属している。
H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} )\hookrightarrow H^{*}(BO(n);\Lambda )は単射ではない（位数2の元が0に移る為）が、この写像による p_{i}の逆像として (-1)^{j}c_{2j}(E_{\mathbb {C} })を選べば、 c_{2j}(E_{\mathbb {C} })が整数係数のコホモロジーに属するというのが上記の定理の意味である。以下、整数係数のコホモロジーにおけるポントリャーギン類を p_{i}:=(-1)^{j}c_{2j}(E_{\mathbb {C} })によって定義する。
チャーン類の場合と同様以下の定義をする：
定理 ― n次元実ベクトルバンドルξに対し、ξのポントリャーギン多項式を
により定義し、全ポントリャーギン類を
により定義する。
チャーン類に対するホイットニー和の公式からポントリャーギン類のホイットニー和の公式が従う：
定理 (ホイットニー和の公式) ― X上の実ベクトルバンドル \xi 、 \eta に対し、整数係数のコホモロジーにおけるポントリャーギン類は
を満たす。
上の定理では整数係数のコホモロジーを考えているので、両辺についている「2」を消すことはできない。 2^{-1}\in \Lambda を満たす可換環Λを係数とするコホモロジーにおいては両辺に2の逆元をかける事で、
が成立する事がわかる。
また複素ベクトルバンドル \omega から複素構造を忘れて（英語版）実ベクトルバンドルとみなしたものを \xi の脱複素化（英: decomplexification、英: realification）と呼び、 \omega _{\mathbb {R} }と書く。 \omega _{\mathbb {R} }を再び複素化したベクトルバンドル (\omega _{\mathbb {R} })_{\mathbb {C} }は \omega \oplus {\bar {\omega }}と同型になる事が知られている。ここで {\bar {\omega }}はωの共役バンドルである。
よって、チャーン類のホイットニー和の公式からチャーン多項式が c((\omega _{\mathbb {R} })_{\mathbb {C} },1) =c(\omega ,1)c({\bar {\omega }},1) =c(\omega ,1)c(\omega ,-1)を満たす事がわかる。成分で書くと、
である。ここでnはωのファイバーの次元である。
右辺の形から、右辺の（4の倍数+2）次のコホモロジーは0になるので、左辺も（4の倍数+2）のコホモロジーは0で4の倍数次のみ生き残る。よって整数係数のポントリャーギン類の定義から以下が結論付けられる：
定理 ― 
ωを複素ベクトルバンドルとし、nをそのファイバーの次元とすると、以下が成立する：
前節で述べたようにオイラー類は \mu ~:~SO(2)^{m}\to SO(n)により誘導される写像を使って \chi =B\mu ^{*}(\gamma _{1}\cdots \gamma _{m})と定義されていた。よって明らかに以下が成立する：
定理 ― 同じ底空間Xを持つX上の実ベクトルバンドル \xi 、 \eta に対し、以下が成立する：
すでに述べたように、実ベクトルバンドル \xi =(\pi ,X,E)に対し、 H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})において c_{i}(\xi _{\mathbb {C} })=w_{i}(\xi )^{2}が成立する。よってポントリャーギン類の定義より以下が成立する。
定理 ―  \xi =(\pi ,X,E)を実ベクトルバンドルとするとき、任意の非負整数iに対し、以下が成立する：
オイラー類の満たす式「 p_{i}(\xi )=e(\xi )^{2} in  H^{*}(X;\Lambda )」と上記の「 p_{i}(\xi )=w_{2i}(\xi )^{2} in  H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})」から、整数係数コホモロジー H^{*}(X;\mathbb {Z} )の元 {\bar {e}}(\xi )で、
を満たす元が一意に存在する。ここでnは \xi のファイバーの次元である。このような {\bar {e}}(\xi )を整数係数コホモロジーにおけるオイラー類と呼ぶ。以下、紛れがなければ {\bar {e}}(\xi )の事を単に e(\xi )と書く。
本項では、Λ係数のコホモロジーからスタートしてオイラー類を定義したため、整数係数コホモロジーにおけるオイラー類は上記のように人工的なもののになったが、トムの同型定理（英語版）を使って整数係数コホモロジーにおけるオイラー類を直接的に定義する事もできる。詳細はオイラー類の項目を参照。
X上の実ベクトルバンドル \xi 、 \eta に対し、それぞれのファイバーの次元をn、mとすると、ホイットニー和の公式から w_{n+m}(\xi \oplus \eta )=w_{n}(\xi )\oplus w_{m}(\eta ) in  H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})なので、前述したΛ係数のオイラー類の直和に対する振る舞いと合わせて、整数係数コホモロジーにおけるオイラー類に対しても下記の定理が成り立つことが分かる：
定理 ― 同じ底空間Xを持つ実ベクトルバンドル \xi 、 \eta に対し、以下が成立する：