stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
部分リーマン多様体の接続と曲率
第三基本形式

これまで同様 {\bar {M}}をリーマン多様体、 M\subset {\bar {M}}をその部分多様体とし、PをMの点とし、X、YをTPMの元とし、ηを法ベクトル空間NPMの元とする。
定義 (第三基本形式) ―
を第三基本形式という。
ここでmはMの次元であり、 e_{1},\ldots ,e_{m}はTPMの正規直交基底である。
第三基本形式 \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)は二次形式
 \varphi _{X,Y}(Z,W)=g(\mathrm {I\!I} (X,Z),\mathrm {I\!I} (Y,W))のトレースであるので、 \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)は基底の取り方に依存せずwell-definedである。
第三基本形式は以下のようにも表現可能である：
定理 ― 
 {\bar {M}}の次元をnとし、 \eta _{1},\ldots ,\eta _{n-m}をMの法ベクトル空間NPMの基底とするとき、第三基本形式は以下を満たす：
{\bar {M}}が定曲率空間の場合、第三基本形式は以下を満たす：
定理 ― 
 {\bar {M}}が曲率cの定曲率空間であれば、以下が成立する：
ここで \mathrm {Ric} (X,Y)はMのリッチテンソルであり、HはMの平均曲率ベクトルである。
特にMの余次元が1であれば、前述したワインガルテン写像による第三基本形式の表記を適用することで、以下が成立する事がわかる：
定理 ― 
 {\bar {M}}が曲率cの定曲率空間で、 M\subset {\bar {M}}が余次元1であれば、以下が成立する。
ここで \mathrm {Ric} はリッチテンソル \mathrm {Ric} (X,Y)に対して \mathrm {Ric} (X,Y)=g(\mathrm {Ric} (X),Y)を満たす線形写像であり、ηはMの単位法ベクトルである。
主曲率、ガウス曲率、平均曲率

本節では、埋め込み M\subset {\bar {M}}が余次元1の場合、すなわち \mathrm {dim} {\bar {M}}-\mathrm {dim} M=1の場合、Mに対し主曲率、ガウス曲率、平均曲率という３つの曲率概念を定義する。
これらの概念を定義するためにまずその動機を述べる。今 M\subset {\bar {M}}は余次元1なので、長さ1の法ベクトルηを（±1倍を除いて）一つだけ選ぶ事ができる。
点Pにおける接ベクトルvに関し、曲線 P_{v}(s)をPを通りvに接する（弧長パラメータsでパラメトライズされた）Mの測地線とすると、
 P_{v}(s)がMの測地線であった事から、 {\tfrac {\bar {\nabla }}{ds}}{\tfrac {d}{ds}}P_{v}(s)は必ずMに直交するので、Mの余次元が1な事から、 {\tfrac {\bar {\nabla }}{ds}}{\tfrac {d}{ds}}P_{v}(s)はηと平行になる。
よって g({\tfrac {\bar {\nabla }}{ds}}{\tfrac {dP_{v}(t)}{ds}},\eta )は測地線の曲率の大きさに符号をつけたものである。
主曲率とは（符号付きの）測地線の曲率の大きさ g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP(t)}{ds}},\eta )の極値になっている値の事である。
主曲率は具体的には下記のように求める事ができる。 {\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {d}{ds}}P_{v}(s)=0なので、
曲線に沿ったガウスの公式と第二基本形式の定義より、
よって主曲率、すなわち g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP(t)}{ds}},\eta )の極値は二次形式 \mathrm {I\!I} _{\eta }を回転行列により対角化した際の対角成分 \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n}の事である。
ガウス曲率は主曲率 \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n}の積、平均曲率は主曲率 \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n}の平均値である。
厳密な定義は以下の通りである：
定義 (主曲率) ―  M\subset {\bar {M}}が余次元1で \eta \in N_{P}Mを点 P\in Mにおける（±1倍を除いて）唯一の長さ1の法ベクトルとし、対称二次形式
を回転行列で対角化した際の固有値を \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}とし、 e_{1},\ldots ,e_{m}を対応する長さ1の固有ベクトルとする。このとき、
各eiの事を点PにおけるMの主方向（英: principal direction）といい、 \kappa _{i}を主方向eiに関する主曲率（英: principal curvature）という。
定義 (ガウス曲率、平均曲率（英語版）) ― 
記号を上の定義と同様に取る。このとき、主曲率の第i基本対称式 \sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})を二項係数 \textstyle {\binom {n}{k}}で割った
を点Pにおける第i平均曲率（英: i-th mean curvature）という。特に、
を点PにおけるMのガウス曲率（英: Gausian curvature）もしくはガウス・クロネッカー曲率（英: Gauss Kronecker curvature）といい、
を点PにおけるMの平均曲率（英: mean curvature）という。
なお、ガウス曲率の事を全曲率（英: total curvature）という事もあるが、「全曲率」という言葉は測地線曲率の曲線全体に対する積分値を指す場合もあるので注意が必要である。
上記の定義についていくつか補足を述べる。第一に、単位法ベクトルηの向きを反転させると、主曲率の符号が反転してしまう。このためMや {\bar {M}}が向き付け可能なときは、TM×ηの向きが {\bar {M}}の向きと一致するという規約を授けてηの向きを固定する事が多い。
第二に、 \mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)|_{P}は対称二次形式であるので、次が成立する：
定理 ― 
（固有値 \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}が相異なれば）主方向 e_{1},\ldots ,e_{m}は互いに直交する。
第三にワインガルテンの公式から
であるので、明らかに次が成立する：
定理 ― 
主曲率および主方向はそれぞれワインガルテン写像の固有値・固有ベクトルに一致する。
よって固有多項式の一般論から、特に次が成立する：
定理 ― 以下の3つの値は等しい：
第i平均曲率は H_{i}
Sηの固有多項式
のm-i次の項を (-1)^{m-i}\textstyle {\binom {n}{k}}で割った値
{(-1)^{m-i} \over \textstyle {\binom {n}{k}}}\mathrm {tr} (\wedge ^{i}S_{\eta })
ここで \wedge ^{i}S_{\eta }は S_{\eta }~:~T_{P}M\to T_{P}Mが \wedge ^{i}T_{P}Mに誘導する写像を
 \wedge ^{i}S_{\eta }~:~\wedge ^{i}T_{P}M\to \wedge ^{i}T_{P}Mである。
第四に、平均曲率に関しては、 M\subset {\bar {M}}が余次元1でなくとも、 \mathrm {I\!I} (X,Y)|_{P}を法ベクトル空間 N_{P}Mに値を取る二次形式とみなしたときのトレース（の1/n）として定義できる：
定義 ―  {\bar {M}}をリーマン多様体とし、 M\subset {\bar {M}}を（余次元1とは限らない）部分リーマン多様体とし、PをMの点とする。このとき、
をPにおけるMの平均曲率ベクトル（英: mean curvature vector）といい、HPにより定まる法ベクトルバンドルの切断Hを平均曲率ベクトル場（英: mean curvature vector field）という。ここで e_{1},\ldots ,e_{m}は T_{P}Mの正規直交基底である。
平均曲率ベクトル場は極小曲面の特徴付けとして有用であり、閉多様体 M\subset {\bar {M}}が極小曲面になる必要十分条件はM上の平均曲率ベクトル場が恒等的に0である事である事が知られている。
ガウス写像

本節では、向き付可能なリーマン多様体Mをユークリッド空間に余次元1で埋め込んでいる場合、すなわち M\subset \mathbb {R} ^{m+1}、dimM=mの場合に対し、「ガウス写像」を定義する事で、ワインガルテン写像やガウス曲率に幾何学的な意味付けを与える。
これまで同様ηをMの単位法ベクトル場とすると、各点P∈Mに対し、ベクトルηPは長さ1のベクトルなので、ηPを原点中心の単位球Smの元とみなす事ができる。このようにみなす事で定義できる写像
をガウス写像（英: Gauss map、英: Gauss spherical mapping）という。
MのPにおける接ベクトル空間の元TPMを M\subset \mathbb {R} ^{m}のPにおける接平面と自然に同一視すると、任意のv∈TPMに対し、
である事から、 \mathbb {R} ^{m}においてTPMはTG(P)Smと平行な超平面であるので、自然にTPMとTG(P)Smを同一視する。このとき次が成立する：
定理 ― 
 M\subset \mathbb {R} ^{m+1}を向き付け可能かつ余次元1のリーマン多様体とし、GをMが定めるガウス写像とする。
このとき、ガウス写像が接ベクトル空間に誘導する写像
は、
を満たす。ここで S_{\eta }(v)はワインガルテン写像である。
さらにガウス写像はガウス曲率と以下の関係を満たす：
定理 (ガウス写像によるガウス曲率の意味付け) ― 
記号を上述の定理と同様に取る。
さらにM、Smの体積要素をそれぞれ dV、 dV'とするとき、ガウス写像が誘導する写像
は、
を満たす。ここでKPは点PにおけるMのガウス曲率である。
Theorema Egregium

断面曲率と第二基本形式の関係と主曲率の定義から、特に以下の系が成立する：
系 (断面曲率と主曲率の関係) ― 　埋め込み M\subset {\bar {M}}が余次元1の埋め込みで、 e_{1},\ldots ,e_{m}が点 P\in Mにおける主方向で \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}を対応する主曲率とする。このときi≠jを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、以下が成立する：
ここで \mathrm {Sec} _{P}(\cdot ,\cdot )、 {\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(\cdot ,\cdot )はそれぞれM、Mの断面曲率である。
よってとくに {\bar {M}}が曲率cの定曲率空間（英語版）、すなわち {\bar {M}}_{c}上の任意の点Pにおける任意の方向の断面曲率がcである空間の場合には、
が成立する。
実は上式の右辺はMに内在的な量である：
定理 (Theorema Egregiumの一般化) ―  {\bar {M}}_{c}を曲率cの定曲率空間とし、 M\subset {\bar {M}}_{c}をその余次元1の部分多様体とし、さらにPをMの点とする。さらに線形写像 \rho ~:~\wedge ^{2}TM_{P}\to \wedge ^{2}TM_{P}を
により定義する。
このとき、ρの固有値の集合は
に一致する。ここでmはMの次元であり、 \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}は点Pにおける主曲率である。
また \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}に対応する主方向を e_{1},\ldots ,e_{m}とすると、 \kappa _{i}\kappa _{j}+cに対応する固有ベクトルは e_{i}\wedge e_{j}である。
e_{1},\ldots ,e_{m}をそれぞれ \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}に対応する主方向とすると、
は \wedge ^{2}T_{P}Mの基底である。
i>jを満たす任意のi,j=1,...,mおよびk>ℓを満たす任意のk,ℓ=1,...,mに対し、ガウスの方程式から、
ηをMの単位法線とすると、主方向の定義から、
であるので、Mの余次元が1な事から、
である。
定曲率空間の場合は以下が成立する事が知られている：
定理 (定曲率空間における曲率の形) ― 
 (M,g)をリーマン多様体とし、 c\in \mathbb {R} とする。このときMが曲率cの定曲率空間である必要十分条件は、Mの任意の点PとTPMの任意のベクトルX、Y、Z、Wに対し、
が成立する事である。
よってi>j、k>ℓを満たすi, j, k, ℓに対し、
が成立する。
以上から、i>j、k>ℓを満たすi, j, k, ℓに対し、
が成立する。
(e_{i}\wedge e_{j})_{i,j=1,\ldots ,m{\text{ s.t. }}i<j}が \wedge ^{2}T_{P}Mの基底であった事から、上記の事実は e_{i}\wedge e_{j}は c+\kappa _{i}\kappa _{j}を固有値とするρの固有ベクトルである事がわかる。
\mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})=c+\kappa _{i}\kappa _{j}であったので、上記の定理は、有名なTheorema Egregiumの一般化になっている：
定理 (Theorema Egregium) ―  \mathbb {R} ^{3}の二次元部分多様体 M\subset \mathbb {R} ^{3}に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する。
Theorema Egregiumの一般化から以下の系が従う：
系 (偶数次平均曲率の内在性、偶数次元のガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取るとき、 {\bar {M}}_{c}におけるMの第r平均曲率はrが偶数ならMに内在的な量である。
よってとくに {\bar {M}}_{c}におけるMのガウス曲率KはMの次元mが偶数ならMに内在的な量である。
一方、奇数次元のガウス曲率はMに内在的な量ではない。実際ガウス曲率の定義 K=\mathrm {det} \mathrm {I\!I} _{\eta }=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}はMの単位法線ηというMに外在的な量に依存しており、ηの向きを変えれば \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}の符号は全て反転してしまい、次元mが奇数である事から K=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}の符号も反転してしまう。
しかし次元mが奇数の場合であっても、符号を除いてガウス曲率は内在的な量となる事を前述のTheorema Egregiumの一般化から示すことができる：
系 (符号を除いたガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取る。Mの次元mが奇数であっても、 {\bar {M}}_{c}におけるMのガウス曲率Kは符号を除いて内在的な量である
以上の事から、mが偶数の場合には {\bar {M}}_{c}におけるMのガウス曲率をリーマン曲率で具体的に書きあらわす事ができる。次節では {\bar {M}}_{c}がユークリッド空間である場合に対し、この具体的な表記を求める。
オイラー形式

前節では M\subset {\bar {M}}_{c}が偶数次元でしかも余次元が1のとき、ガウス曲率がMの内在的な量である事を示した。
本節の目的は {\bar {M}}_{c}=\mathbb {R} ^{m+1}の場合に、ガウス曲率をMに内在的な量で具体的に書きあらわす事にある。そのために導入するのがオイラー形式である。オイラー形式は偶数次元のリーマン多様体M上で曲率テンソルを用いて定義される。そしてMが余次元1で \mathbb {R} ^{m+1}に埋め込まれているときは、オイラー形式はガウス曲率の定数倍に一致する。
本節の内容は後でガウス・ボンネの定理を記述するときに重要となる。「オイラー形式」という名称も、ガウス・ボンネの定理からこの値がオイラー標数と関係づけられる事に由来する。
オイラー形式 > パッフィアン

オイラー形式を定義するため、「パッフィアン」を定義する。これは後述するように行列式の平方根に相当する。
定理・定義 (パッフィアン) ― 
mを正の偶数とし、Vをm次元の向きづけられた実ベクトル空間とし、 e_{1},\ldots ,e_{m}をVの正規直行基底でVの向きと同じ向きのものとし、歪対称二次形式
に対し、
となる実数 \mathrm {Pf} (\alpha )が一意に存在する。
しかも \mathrm {Pf} (\alpha )はVと同じ向きの正規直交基底 e_{1},\ldots ,e_{m}の取り方によらない。
\mathrm {Pf} (\alpha )をαのパッフィアン（英: Pfaffian）と呼ぶ。
上記の定理において、 \mathrm {Pf} (\alpha )の存在一意性は \bigwedge ^{n}Vが1次元ベクトル空間な事から明らかに従う。Vと同じ向きの正規直交基底の取り方によらないことも、 \mathrm {Pf} (\alpha )の定義がαの成分表示によらず、しかも e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{m}がそのような基底の取り方によらない事から明らかに従う。
歪対称行列 A=(a^{ij})_{ij}に対し、紛れがなければ \alpha =\sum _{i>j}a^{ij}e_{i}\wedge e_{j}のパッフィアン \mathrm {Pf} (\alpha )の事を \mathrm {Pf} (A)とも表記する。
定義から明らかに次が成立する。
定理 ― 
任意の正則行列Bに対し、
が成立する。よって特に任意の直交行列Bに対し、
が成立する。
パッフィアンは具体的には以下のように書ける。
定理 (パッフィアンの具体的表記) ― m=2k次の歪対称行列 A=(a^{ij})_{ij}に対し、以下が成立する：
ここで {\mathfrak {S}}_{m}は対称群であり、 \mathrm {sgn} (\sigma )は置換σの符号である。
パッフィアンは行列式の平方根である：
定理 ― m=2k次の歪対称行列 A=(a^{ij})_{ij}に対し、以下が成立する：
なお本節で我々は偶数次の歪対称行列に対して行列式の平方根がパッフィアンと一致する事を見たが、奇数次の歪対称行列の場合は行列式は常に0になる事が知られている。よって奇数次の場合には「行列式の平方根」も0になる。
オイラー形式 > パッフィアン > オイラー形式

次に我々はパッフィアンを使ってオイラー形式を定義する。
定義 (オイラー形式) ― 
m=2kを偶数とし、Mをm次元の向きづけられたリーマン多様体とし、 e_{1},\ldots ,e_{m}を開集合 U\subset MにおけるTMの正規直交基底でMと同じ向きを持つものとし、 \Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{ij}を e_{1},\ldots ,e_{m}に関するMの曲率形式とする。このとき、
をオイラー形式（英: Euler form）もしくはガウス・ボンネ被積分関数[訳語疑問点]（英: Gauss-Bonnet integrand）という。
上記の定義に関して３つ補足する。第一に、オイラー形式を定義する際、パッフィアンを (2\pi )^{k}で割るのは、このようにすると後述するガウス・ボンネの定理で不要な定数が消えて定理の記述が簡単になるからである。
第二に、「 \mathrm {Pf} (\Omega )」という記号の意味についてである。「 \mathrm {Pf} (\Omega )」はパッフィアンPf(A)の具体的表記において、行列AをΩに置き換え、さらに積をウェッジ積に置き換えることで定義される。すなわち、
なお、添字の上下がPf(A)の具体的表記とは異なっているが、正規直交基底を考えているのでこれは問題にならない。
第三に、Ωijは2-形式であるので、上述のウェッジ積はΩijの入れ替えに関して可換である。よって前節で通常の実数係数の行列に対して成立した定理の多くが \mathrm {Pf} (\Omega )に対しても成立する。
特に、 \mathrm {Pf} (\Omega )は正規直交基底の向きを保つ取り方に対して不変であり、したがってオイラー形式はMと同じ向きの正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。
したがって、オイラー形式はMの全域で定義可能である。
（正規直交とは限らない）基底 e_{1},\ldots ,e_{m}とその双対基底を e^{1},\ldots ,e^{m}を使って曲率テンソルを
と成分表示すると、オイラー形式を下記のように成分表示できる：
定理 (オイラー形式の成分表示) ― （正規直交とは限らない）基底 e_{1},\ldots ,e_{m}に対し、以下が成立する
ここでdVはMの体積要素であり、上式はアインシュタインの縮約記法を用いている。
なお、上式は i_{1},\ldots ,i_{k}および j_{1},\ldots ,j_{k}が 1,\ldots ,kの置換になっている項以外は0になる。
オイラー形式 > パッフィアン > オイラー形式とガウス曲率の関係

本節では、偶数次元リーマン多様体Mが余次元1でユークリッド空間に埋め込まれているときは、ガウス曲率とオイラー形式は定数倍を除いて一致する事を見る：
定理 (ガウス曲率のオイラー形式による表記) ― mを偶数とし、 M\subset \mathbb {R} ^{m+1}をm次元リーマン多様体Mの余次元1の埋め込みとする。このとき以下が成立する：
ここで \mathrm {eu} (\Omega )はMのオイラー形式であり、KはMのガウス曲率であり、 (2k-1)!!は二重階乗 (2k-1)!!=1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k-1)であり、
dVはMの体積要素である。
e_{1},\ldots ,e_{m}をそれぞれ主曲率κ1、...、κmに対応する主方向とし、 \theta ^{1},\ldots ,\theta ^{m}をその双対基底とすると、断面曲率と主曲率の関係から、
がi≠jを満たすi、jに対して成立する。よってk=m/2とすると、パッフィアンの具体的表記から、
となり定理が証明された。
なお、なぜパッフィアンという「行列式の平方根」がここで登場するか、という問いに対する答えるには、チャーン・ヴェイユ理論を必要とするため、本項では触れない。
ガウス・ボンネの定理

本節ではガウス・ボンネの定理を紹介する。この定理は、偶数次元のリーマン多様体において、オイラー標数をオイラー形式の全空間における積分で記述できるという趣旨の定理である。
元々はMが2次元の場合に対して示されたものであり、一般の偶数次元に対する定理は区別のためチャーン・ガウス・ボンネの定理とも呼ばれる。
定理 (ガウス・ボンネの定理) ― 
Mを偶数次元の向き付け可能かつ縁無しのコンパクトなリーマン多様体とする。このとき、
が成立する。ここで \mathrm {eu} (\Omega )はMのオイラー形式であり、 \chi (M)はMのオイラー標数である。
ガウス・ボンネの定理 > 証明のアイデア

M\subset \mathbb {R} ^{m+1}を余次元1で向き付け可能なリーマン多様体とする。すでに述べたように、M、Smの体積要素をそれぞれ dV、 dV'とすると、両者の間には
という関係がある。ここでKはMのガウス曲率である。
Mがコンパクトで縁がなければ、ド・ラームコホモロジーの一般論から、ガウス写像 G~:~M\to S^{m}の写像度 \mathrm {deg} (G)は
に等しい。ここで \mathrm {Vol} (S^{m})は球面Smのm次元体積である。
この事実を利用すると、偶数次元のMに対し以下の定理が結論付けられる：
定理 ―  M\subset \mathbb {R} ^{m+1}を \mathbb {R} ^{m+1}のコンパクトで縁がない向き付け可能なC∞級m次元部分リーマン多様体とする。このとき、mが偶数であれば、
が成立する。ここでKはガウス曲率であり、 \mathrm {deg} (G)はガウス写像 G~:~M\to S^{m}の写像度であり、 \mathrm {Vol} (S^{m})は単位球面Smのm次元体積であり、 \chi (M)はMのオイラー標数である。
{1 \over \mathrm {Vol} (S^{m})}\int _{M}KdV=\mathrm {deg} (G)はすでに示したので、 \mathrm {deg} (G)={\chi (M) \over 2}のみを示す。
Mが連結ではない場合は連結成分毎に定理を証明すれば良いので、一般性を失わずMは連結であると仮定する。このとき、m+1次元多様体 N\subset \mathbb {R} ^{m+1}で \partial N=Mとなるものが存在する事が下記の定理により保証される：
定理 (ジョルダン・ブラウワーの定理) ― 
 M\subset \mathbb {R} ^{m+1}を \mathbb {R} ^{m+1}の縁のないコンパクトで連結なC∞級のm次元部分多様体とする。このときコンパクトで連結なm+1次元多様体 N\subset \mathbb {R} ^{m+1}とコンパクトでない連結な領域 L\subset \mathbb {R} ^{m+1}が存在し、
が成立する。ここで \mathrm {Int} NはNの内部である。
そこでNに対してホップによる以下の定理を用いる：
定理 (ホップの指数定理(Hopf's Index Theorem)) ― 
 \mathbb {R} ^{m+1}のコンパクトなm+1次元部分多様体 N\subset \mathbb {R} ^{m+1}上のベクトル場Xで、非退化な孤立零点しか持たず、さらにXがNの境界∂N上Nの外側を向いているものとすると、Xの零点の指数の総和は∂Nのガウス写像の写像度に等しい。
x_{1},\ldots ,x_{n}\in NをXの零点とし、これらの零点のε-近傍を B_{1},\ldots ,B_{n}とし、さらに S_{i}:=\partial B_{i}（ i=1,\ldots ,n）とする。εを十分小さく取る事で、 B_{i}\cap B_{j}=\emptyset  for  i\neq jとしてよい。
{\hat {N}}:=N\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})とすると、Biの定義から {\hat {N}}上Xは0にならない。このため P\in {\hat {N}}に対し、
が定義できる。 \eta (P)は長さ1である事から単位球Smの元とみなす事ができるので、写像
が定義できる。明らかにηのMへの制限はMのガウス写像に一致する。
また零点の指数の定義から \eta _{S_{i}}の写像度は零点xiの指数に一致する
ホモロジー群 H_{m}(S_{i})、 H_{m}(M_{i})の基本類をそれぞれ [S_{i}]、 [M]とする。これらの基本類を包含写像
により H_{m}(N)に写すと、
が成立する。なお、ここで [S_{i}]の符号が負なのは、Biの向き付けを S_{i}=\partial B_{i}によりBiから入れているからである。
よって
がホモロジー群に誘導する写像を考えると、
が成立する。 \eta _{*}([M])は定義からMのガウス写像の写像度に等しく、写像度 \eta _{*}([S_{i}])は零点xiの指数に一致したので定理が証明された。
上述の定理の条件を満たすXを選ぶと、Xの零点の指数の総和はポアンカレ・ホップの定理よりNのオイラー標数に等しいので、以上の事実から
が成立する。
N'をNのコピーとし、NとN'をその縁である \partial N=\partial N'=Mで張り合わせてできる多様体を {\tilde {N}}とする（すなわち {\tilde {N}}はNのダブル（英語版））と、
が成立する。
Mが偶数次元だという仮定から、 {\tilde {N}}は奇数次元であり、縁のないコンパクト奇数次元多様体のオイラー標数はポアンカレの双対性定理から常に0なので、前述の式から
が言え、定理が証明される。
上記の定理にガウス曲率がオイラー形式で表記できたという事実を適用する事で、ホップは以下を示した：
定理 ( \mathbb {R} ^{m+1}内かつ余次元1の場合のガウス・ボンネの定理) ― 
記号を上述の定理と同様に取る。このとき、
が成立する。ここで \mathrm {eu} (\Omega )はMのオイラー形式である。
ここで我々はm=2kとすると、
である事を用いた（超球の体積の項目も参照）。
上記の定理は「Mが \mathbb {R} ^{m+1}に余次元1で埋め込まれている」という強い条件の元でのみ成立しているので、ガウス・ボンネの定理を示すにはこの条件を無くす必要がある。そのために使うのが下記の定理である：
定理 (ナッシュの埋め込み定理) ― 
Mをコンパクトなm次元リーマン多様体とする。このとき、あるn≧mとあるC∞級の埋め込み
が存在し、M上のリーマン計量gは \mathbb {R} ^{n}の引き戻しと一致する
よってMが \mathbb {R} ^{n}の部分多様体だと仮定しても一般性を失わない。しかしMは \mathbb {R} ^{n}において余次元1とは限らないので、このままでは前述のホップによる定理を適用できない。
そこでMの \mathbb {R} ^{n}をεだけ「太らせたもの」（すなわち管状近傍（英語版））をNとすると、εが小さければNはM×Dn-mと位相同型である。ここでmはMの次元である。よって
が成立する。
\chi (\partial N)は \mathbb {R} ^{n}で余次元1なので、前述のホップによる結果を適用でき、
が言える。ここで \Omega ^{\partial N}は∂Nの曲率形式である。
ヘルマン・ワイルは管状近傍の体積を具体的に（非常に複雑な計算で）求める事で、 \int _{\partial N}\mathrm {eu} (\Omega ^{\partial N})がε→0のとき \int _{M}\mathrm {eu} (\Omega )の2倍に収束する事を示した。以上の議論からガウス・ボンネの定理が証明された。
ガウス・ボンネの定理 > 擬リーマン多様体の場合

本稿ではリーマン多様体に対するガウス・ボンネの定理を記述したが、擬リーマン多様体でも同様の定理が成立する：
定理 (擬リーマン多様体のガウス・ボンネの定理) ― 
Mを偶数次元の向き付け可能かつ縁無しのコンパクトな符号数 (p,m-p)の擬リーマン多様体とする。このとき、pが奇数であればχ(M)=0である。 \chi (M)はMのオイラー標数である。
一方pが偶数であれば、
が成立する。ここで \mathrm {eu} (\Omega )はMのオイラー形式である。
文献 > その他

野水克己『現代微分幾何入門』裳華房〈基礎数学選書〉、1981年。
茂木勇、伊藤光弘『微分幾何学とゲージ理論』共立出版、1986年。
リーマン、リッチ、レビ=チビタ、アインシュタイン、マイヤー 著、矢野健太郎 (数学者) 編『リーマン幾何とその応用』共立出版、1971年。
矢野健太郎『微分幾何学』朝倉書店、1949年。
佐武一郎『線型代数学』裳華房、1974年。
ホラーコア

| ホラーコア Horrorcore |
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様式的起源:  ヒップホップ、ギャングスタ・ラップ
文化的起源:  1980年代、アメリカ合衆国にて。
使用楽器:  ラップ、ドラムマシン、ターンテーブル、サンプラー、キーボード、シンセサイザー、ギター、ベース
関連項目
 ホラー・パンク
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ホラーコア (Horrorcore) とは、アメリカ合衆国発祥のラップのジャンルの一つである。通常はホラー映画の影響を受けた、殺人や恐怖といった、一般的なラップよりもダークなテーマを用いるアーティストに使われる言葉で、ホラーコアという言葉自体は、1990年代にフラットライナーズやグレイヴディガズ等によって広まった。
典型的なアーティストは、インセイン・クラウン・ポッシーや、Necro等。
バスケットボール南アフリカ共和国代表

| 　バスケットボール南アフリカ共和国代表 |
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国または地域:   南アフリカ共和国
協会:  バスケットボールサウスアフリカ
FIBAランキング:  124位（2021年3月2日版）
オリンピック
出場回数:  0回
ワールドカップ (男子) / (女子)
出場回数:  0回
アフリカ選手権
最高成績:  9位
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バスケットボール南アフリカ共和国代表（バスケットボールみなみアフリカきょうわこくだいひょう、South Africa men's national basketball team）は、バスケットボールサウスアフリカ（BSA）により国際大会に派遣されるバスケットボールのナショナルチームである。
歴史

1992年にBSAが国際バスケットボール連盟（FIBA）に加盟し、1993年から2011年までアフリカ選手権出場を続けた。
主な国際大会成績

オリンピック
出場なし
ワールドカップの成績
出場なし
アフリカ選手権の成績
1997年 ― 9位
1999年 ― 12位
2001年 ― 12位
2003年 ― 9位
2005年 ― 12位
2007年 ― 15位
2009年 ― 13位
2011年 ― 14位
2017年 ― 15位
風の痛み

| 風の痛み |
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 Brucio nel vento
監督:  シルヴィオ・ソルディーニ
脚本:  シルヴィオ・ソルディーニ ドリアナ・レオンデフ
原作:  アゴタ・クリストフ 『昨日』（早川書房刊）
製作:  リオネッロ・チェッリ ルイージ・ムジーニ
出演者:  イヴァン・フラネク バルバラ・ルクソヴァ カロリーヌ・バエル シトラド・ゲーツ イッカ・イェコヴァ ヤロミール・ドゥラヴァ
音楽:  ジョヴァンニ・ヴェノスタ
撮影:  ルカ・ビガッツィ
編集:  カルロッタ・クリスティアーニ
配給:   樂舎
公開:   2002年1月18日  2004年6月19日
上映時間:  118分
製作国:   イタリア
言語:  チェコ語 フランス語
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『風の痛み』（かぜのいたみ、原題：Brucio nel vento）は、2002年1月18日にイタリアより公開された悲恋映画。スイスの作家アゴタ・クリストフの原作小説『昨日』（Hier）を映画化した悲痛な愛を描く物語。シルヴィオ・ソルディーニが監督・脚本を担当とし、第52回ベルリン国際映画祭を受賞した。主演はイヴァン・フラネクとバルバラ・ルクソヴァを担当する。イタリア映画祭傑作選DVD-BOXのひとつでもある。
日本では2004年6月19日より「チャオ! チネマ・イタリアーノ - イタリア映画傑作選」、ユーロスペースにて連続劇場公開。また、2005年4月6日にポニーキャニオンより日本語字幕付きDVD（PCBE-51399）が発売されている。
キャスト

| 役名 | 俳優 |
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トビアシュ: イヴァン・フラネク
リヌ: バルバラ・ルクソヴァ
ヨランデ: カロリーヌ・バエル
ヤネク: シトラド・ゲーツ
母: イッカ・イェコヴァ
父: ヤロミール・ドゥラヴァ
スタッフ

監督：シルヴィオ・ソルディーニ
脚本：シルヴィオ・ソルディーニ、ドリアナ・レオンデフ
原作：アゴタ・クリストフ - 『昨日』（早川書房刊）
製作：リオネッロ・チェッリ、ルイージ・ムジーニ
撮影：ルカ・ビガッツィ
美術：パオラ・ビッザッリ
音楽：ジョヴァンニ・ヴェノスタ
編集：カルロッタ・クリスティアーニ
衣裳デザイン：シルヴィア・ネビオロ
バスケットボール中央アフリカ代表

| 　バスケットボール中央アフリカ代表 |
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国または地域:   中央アフリカ
協会:  中央アフリカバスケットボール連盟
FIBAランキング:  49位（2006年12月23日版）
オリンピック
出場回数:  1回
初出場:  1988 ソウル
最高成績:  10位（1988）
ワールドカップ (男子) / (女子)
出場回数:  1回
初出場:  1974 世界選手権
最高成績:  14位（1974）
アフリカ選手権
最高成績:  優勝
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バスケットボール中央アフリカ代表（Central Africa national basketball team）は、中央アフリカバスケットボール連盟により国際大会に派遣されるバスケットボールのナショナルチームである。
アフリカ選手権で2度の優勝を誇り、五輪・世界選手権にも出場している。
主な国際大会成績

オリンピック
1988年：10位
W杯の成績
1974年：14位
アフリカ選手権の成績
優勝：2回（1974,1987）
| 表 話  歴国際バスケットボール |
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 FIBA  オリンピック  W杯（男子  ·  女子  ·  3x3）  ユニバーシアード  U-21世界選手権  U-19W杯  U-17W杯  世界ランキング
| アジア |  FIBAアジア – FIBAアジアカップ（男子  ·  女子  ·  3x3）  ·  U-18 ·  U-16 ·  アジア競技大会 ·  FIBAアジアチャレンジ  |  |
| アフリカ |  FIBAアフリカ – アフロバスケット ·  U-18 ·  U-16 ·  アフリカ競技大会  |  |
| アメリカ大陸 |  FIBAアメリカ – FIBAアメリカップ ·  U-18 ·  U-16 ·  パンアメリカン競技大会 ·  CBC選手権 ·  セントロバスケット ·  COCABA選手権  |  |
| オセアニア |  FIBAオセアニア – FIBAオセアニア選手権 ·  U-18 ·  U-16 ·  パシフィックゲームズ  |  |
| ヨーロッパ |  FIBAヨーロッパ – ユーロバスケット ·  U-20 ·  U-18 ·  U-16  |  |
| 表 話  歴アフリカ（FIBAアフリカ）のバスケットボールナショナルチーム |
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 アルジェリア  アンゴラ  ウガンダ  エジプト  エスワティニ  エチオピア  エリトリア  ガーナ  カーボベルデ  ガボン  カメルーン  ガンビア  ギニア  ギニアビサウ  ケニア  コートジボワール  コモロ  コンゴ共和国  DRコンゴ  ザンビア  サントメ・プリンシペ  シエラレオネ  ジブチ  ジンバブエ  スーダン  セーシェル  赤道ギニア  セネガル  ソマリア  タンザニア  チャド  中央アフリカ  チュニジア  トーゴ  ナイジェリア  ナミビア  ニジェール  ブルキナファソ  ブルンジ  ベナン  ボツワナ  マダガスカル  マラウイ  マリ  南アフリカ  南スーダン  モーリシャス  モーリタニア  モザンビーク  モロッコ  リビア  リベリア  ルワンダ  レソト 
 五十音順。
ガルビアーテ

| ガルビアーテ Galbiate |
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 Villa Bertarelli の庭園
行政
国:   イタリア
州:   ロンバルディア
県／大都市:   レッコ
CAP（郵便番号）:  23851
市外局番:  0341
ISTATコード:  097036
識別コード:  D865
分離集落:  #分離集落参照
隣接コムーネ:  #隣接コムーネ参照
公式サイト:  リンク
人口
人口:  8,454  人 (2021-01-01)
人口密度:  523.8 人/km2
文化
住民の呼称:  galbiatesi
守護聖人:  福音記者聖ジョヴァンニ (San Giovanni Evangelista)
祝祭日:  12月27日
地理
座標:  北緯45度48分 東経09度23分﻿ / ﻿北緯45.800度 東経9.383度﻿ / 45.800; 9.383座標: 北緯45度48分 東経09度23分﻿ / ﻿北緯45.800度 東経9.383度﻿ / 45.800; 9.383
標高:  371 (199 - 922)  m
面積:  16.14  km2
  ガルビアーテの位置
  レッコ県におけるコムーネの領域 
 ポータル イタリア
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ガルビアーテ（イタリア語: Galbiate）は、イタリア共和国ロンバルディア州レッコ県にある、人口約8,500人の基礎自治体（コムーネ）。
地理 > 位置・広がり

レッコ県中部のコムーネ。県都レッコから南南西へ4km、ミラノから北北東へ42kmの距離にある。ガルラーテ湖（イタリア語版）とアンノーネ湖（イタリア語版）に挟まれたコムーネである。
地理 > 位置・広がり > 隣接コムーネ

隣接するコムーネは以下の通り。
アンノーネ・ディ・ブリアンツァ
チヴァーテ
コッレ・ブリアンツァ
エッロ
ガルラーテ
レッコ
マルグラーテ
オッジョーノ
オルジナーテ
ペスカーテ
ヴァルグレゲンティーノ
ヴァルマドレーラ
地理 > 気候分類・地震分類

気候分類では、zona E, 2596 GGに分類される。
また、イタリアの地震リスク階級 (it) では、zona 3 (sismicità bassa) に分類される。
行政 > 分離集落

ガルビアーテには、以下の分離集落（フラツィオーネ）がある。
Bartesate, Ponte Azzone Visconti, Sala al Barro, Villa Vergano
行政 > 山岳部共同体

レッコ県とベルガモ県にまたがる広域自治体「ラーリオ・オリエターレ＝ヴァッレ・サン・マルティノ山岳部共同体」  (it:Comunità montana Lario Orientale - Valle San Martino)  （事務所所在地: レッコ県ガルビアーテ）の事務所所在地である。
姉妹都市

La Londe-les-Maures、フランス
日産プリンス静岡販売

| --- | --- |
 
種類:  株式会社
市場情報:  非上場
略称:  日産プリンス静岡
本社所在地:   日本 〒422-8001 静岡県静岡市駿河区中吉田14-29
設立:  2006年（平成18年）4月3日
業種:  小売業
法人番号:  3080001010302 
事業内容:  新車・中古車販売、自動車整備、損害保険・携帯電話販売代理業
代表者:  馬場　勝也
資本金:  9,000万円
純利益:  3億8,000万円 （2024年3月期）
総資産:  70億7,600万円 （2024年3月期）
従業員数:  595名（2021年4月1日現在）
主要株主:  日産ネットワークホールディングス株式会社
外部リンク:  https://np-shizuoka.nissan-dealer.jp/top.html
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日産プリンス静岡販売株式会社（にっさんプリンスしずおかはんばい）は、静岡県静岡市に本社を置く、日産自動車のレッドステージ店である。
沿革

2006年4月3日-日産プリンス静岡販売株式会社設立
静岡県内の他日産車販売店

浜松日産自動車
静岡日産自動車
陸海空 最前線

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ジャンル:  シューティングゲーム
対応機種:  アーケード[AC] PlayStation 2[PS2]
開発元:  タイトー
発売元:  タイトー
音楽:  小倉久佳
人数:  1 - 2人交互プレイ
発売日:  [AC]1986年 [PS2]2007年3月29日
その他:  PS2版は『タイトーメモリーズII 下巻』に収録
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『陸海空 -最前線-』（りくかいくう さいぜんせん）は、タイトーから1986年にリリースされたアーケードゲーム。ジャンルはトップビュータイプのシューティングゲーム。北米版のタイトルは『Land Sea Air Squad』。
ゲームのルール

8方向レバー、2ボタンで主人公のサージ軍曹やスーパーメカを操作しながら敵を倒していく。左側のボタンが機関銃発射、およびスーパーメカの武器の発射。右側のボタンが手榴弾発射またはスーパーメカの昇降。要塞を守る40mmキャノン砲を破壊するとステージクリア。全8ステージ構成で、8面をクリアするとまた1面に戻る。
スーパーメカ

スーパーメカに乗っているときは、弾が当たってもスーパーメカが爆発するだけで、ミスにはならない。ただし、スーパーメカを次のステージに持ち越すことは出来ない（メカに乗った状態でキャノン砲を破壊すると自動的に降りてしまうため）。
ジェットヘリ（JH-80）
戦車（マークII）
駆逐艦（フリー13）
ミスの条件

敵の攻撃や乗り物の攻撃に当たる
敵が持っている手榴弾に巻き込まれる
6面で登場する列車が爆破される
敵の船や敵戦車と列車にひかれる
列車に乗っている途中にトンネルにはさまれた
なお、キャノン砲を破壊したと同時にプレイヤーが敵の攻撃を受けてもミスにはならず（爆発音が鳴ったりBGMが一瞬途切れるが）、そのまま次のステージへ進める。
アイテム

ファイア・ショット（P）
スペシャルボーナス（B）
スーパー・ボンバー（S）
隠しボーナス

HIT率が100％の状態でステージをクリアする。
余談

ロケテスト段階では各キャラクターはコミカルなイメージだったが、正式発表では全面的にシリアス風に描きかえられ、ゲーム全体のイメージも変わることになった。
スタッフロールは存在しないが、ハイスコアの初期設定ネームに「M.T.J」の名があり、三辻富貴朗が関与していることが窺える。また、サウンドは小倉久佳が担当。
本作の基板はROM交換により、同年発売の『大怪獣の逆襲』（タイトー/テクノスジャパン）へと変更できた。
かに座55番星

| かに座55番星A 55 Cancri A | かに座55番星A 55 Cancri A |  |
| --- | --- | --- |

| 太陽系とかに座55番星系の比較。 | 太陽系とかに座55番星系の比較。 |  |
| 仮符号・別名 | 55 Cnc A |  |
| 星座 | かに座 |  |
| 見かけの等級 (mv) | 5.95 ± 0.05 |  |
| 分類 | G型主系列星 |  |
| 位置 元期:J2000.0 | 位置 元期:J2000.0 |  |
| 赤経 (RA, α) |  08h 52m 35.81093s |  |
| 赤緯 (Dec, δ) |  +28h 19m 50.9511s |  |
| 赤方偏移 | 0.000092 |  |
| 視線速度 (Rv) | 27.58 ± 0.07 ミリ秒/年 |  |
| 固有運動 (μ) | 赤経:-485.80 ± 0.97 ミリ秒/年 赤緯:-234.05 ± 0.68 ミリ秒/年 |  |
| 年周視差 (π) | 81.03 ± 0.75ミリ秒  （誤差0.9%） |  |
| 距離 | 40.3 ± 0.4 光年  （12.3 ± 0.1 パーセク） |  |
| 絶対等級 (MV) | 5.49 ± 0.12 |  |
| 物理的性質 | 物理的性質 |  |
| 半径 | 0.943 ± 0.01 R☉ |  |
| 質量 | 0.905 ± 0.015 M☉ |  |
| 自転周期 | 42.2 日 |  |
| スペクトル分類 | G8V |  |
| 光度 | 0.653 L☉ |  |
| 表面温度 | 5,196 ± 24 K |  |
| 色指数 (B-V) | 0.87 ± 0.05 |  |
| 色指数 (R-I) | 0.4 |  |
| 金属量[Fe/H] | 0.31 ± 0.04 |  |
| 年齢 | 102 ± 25 億年 |  |
| 他のカタログでの名称 | 他のカタログでの名称 |  |
| Copernicus かに座ρ（ロー）1星 55 Cnc A BD+28°1660A グリーゼ324A HD 75732 A HIP 43587 HR 3522 TYC 1949-2012-1 | Copernicus かに座ρ（ロー）1星 55 Cnc A BD+28°1660A グリーゼ324A HD 75732 A HIP 43587 HR 3522 TYC 1949-2012-1 |   |
| ■Template （■ノート ■解説） ■Project  | ■Template （■ノート ■解説） ■Project  |  |
| かに座55番星B 55 Cancri B | かに座55番星B 55 Cancri B |  |
| --- | --- | --- |
| 仮符号・別名 | 55 Cnc B |  |
| 星座 | かに座 |  |
| 見かけの等級 (mv) | 13.15 |  |
| 分類 | M型赤色矮星 |  |
| 位置 元期:J2000.0 | 位置 元期:J2000.0 |  |
| 赤経 (RA, α) |  08h 52m 40.847s |  |
| 赤緯 (Dec, δ) |  +28h 19m 58.92s |  |
| 固有運動 (μ) | 赤経:-467 ミリ秒/年 赤緯:-238 ミリ秒/年 |  |
| 年周視差 (π) | 76.8 ± 2.4 ミリ秒/年 |  |

| 距離 | 40.25 ± 1.3 光年 (12.34 ± 0.4 pc) |  |
| 絶対等級 (MV) | 12.69 ± 0.07 |  |
| 物理的性質 | 物理的性質 |  |
| 半径 | 0.13 R☉ |  |
| 質量 | 0.30  M☉ |  |
| スペクトル分類 | M4 |  |
| 光度 | 0.0076 L☉ |  |
| 色指数 (B-V) | 1.65 |  |
| 色指数 (R-I) | 1.6 |  |
| 他のカタログでの名称 | 他のカタログでの名称 |  |
| 55 Cnc B BD+28°1660B グリーゼ324B HD 75732 B | 55 Cnc B BD+28°1660B グリーゼ324B HD 75732 B |   |
| ■Template （■ノート ■解説） ■Project  | ■Template （■ノート ■解説） ■Project  |  |
かに座55番星（55 Cancri、55 Cnc、かに座ρ（ロー）1星とも）とは、太陽系から41光年の距離にあるかに座の連星系である。太陽に似たG型主系列星（かに座55番星A）と赤色矮星（かに座55番星B）から構成され、2つの天体は1000天文単位以上離れている。
2008年までに、かに座55番星Aの周りには5つの太陽系外惑星が発見されている。最も内側の惑星は海王星に近い質量を持つ岩石惑星かガス惑星、外側の4つの惑星は木星のようなガス惑星と考えられている。
かに座55番星はNASAのTerrestrial Planet Finderの100の優先観測目標のうち63番目に選ばれていたが、この計画は中止された。
距離と明るさ

かに座55番星は太陽系近傍の恒星の1つである。ヒッパルコス衛星の観測によればかに座55番星Aの年周視差は79.80ミリ秒で、恒星までの距離は12.5パーセク（41光年）と計算されている。主星の視等級は5.95で、条件が整わないと肉眼での観測は難しいものの双眼鏡を用いれば容易に目視できる。伴星は13等級と暗いため観察には望遠鏡が必要である。
恒星

かに座55番星Aは黄色の主系列星に分類されている。半径・質量・表面温度はいずれも太陽よりやや小さく、光度は6-7割である。変光は全く無いか、あってもごく小さいと考えられ、彩層の活動も落ち着いている。
かに座55番星Aには太陽より多くの重元素（ヘリウムより原子番号の大きい元素）が含まれており、例えば鉄の比率は太陽の1.86倍に達している。そのため、SMR (Super Metal Rich) という金属元素の豊富な恒星に分類されている。金属量が多い星の進化には不確かな部分が多く、質量や年齢の推定は難しいが、彩層の活動に着目した研究ではかに座55番星の年齢を55億歳と見積もっている。
SMRの金属量を説明する仮説として原始惑星系円盤から重元素が恒星の大気に降り積もったというものがある。このメカニズムが働くと恒星表面が重元素で汚染され、「見かけ上は」多くの重元素を含む星になる。恒星表面の対流層が深部にまで及んでいなければ、表面の金属量のみが高いまま維持される可能性がある。
サブミリ波による観測では、かに座55番星Aの周りにダスト円盤は見つかっていない。100天文単位以内の領域からの放射は、波長850μmで850mJy未満と測定されており、恒星の周りに存在するダストの総量は地球質量の1万分の1以下と考えられている。ただし、小惑星帯やエッジワース・カイパー・ベルトのような小天体群が存在する可能性は皆無ではない。
かに座55番星Bは太陽より小さく暗い赤色矮星で、かに座55番星Aから1065天文単位離れた場所にある。主星からの距離は大きいが、固有運動を共有しているため、重力によって束縛された伴星と推測されている。かに座55番星B自体が2つの星から構成される連星系であることも示唆されているが、確実なことは分かっていない。