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関数 (数学)
概要 > 素朴な定式化

二つの変数 x と y があり、入力 x に対して、出力 y の値を決定する規則（x に特定の値を代入するごとに y の値が確定する）が与えられているとき、変数 y を「x を独立変数 (independent variable) とする関数」或いは簡単に「x の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列（特に何か理由がなければ、function の頭文字から f が選ばれることが多い）を使って y = f (x) と書いて、x = a を代入したときに決まる関数の値を f (a) と表す。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の y の値について対応する x の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない。この f (x) という表記法は18世紀の数学者レオンハルト・オイラーによるものである。オイラーは、変数や定数を組み合わせてできた数式のことを関数と定義していたが、コーシーは、上に述べたように y という変数を関数と定義した。
y が x の関数であることの別の表現として、変数 y は変数 x に従属するとも言い、y を従属変数 (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体（変域）を、この関数の定義域 (domain) といい、独立変数が定義域のあらゆる値をとるときに、従属変数がとりうる値（変域）を、この関数の値域 (range) という。
関数の終域は実数体  \mathbb {R}  や複素数体  \mathbb {C}  の部分集合であることが多い。終域が実数の集合となる関数を実数値関数 (real valued function) といい、終域が複素数の集合となる関数を複素数値関数 (complex valued function) という。それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが、定義域も終域も実数の集合であるような関数を実関数 (real function) といい、定義域も終域も複素数の集合であるような関数を複素関数 (complex function) という。
概要 > 現代的解釈

ディリクレは、x と f (x) の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要はないとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。
集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 f のことであると解釈する。それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、その意味で関数は写像の同義語である。より細かく、「数」の集合への写像に限る場合もある。写像に用いる言葉、例えば
合成（合成関数）
全射、単射（一対一ともいう）、全単射（双射、一対一対応ともいう）
逆（逆関数）
などはそのまま用いることができる。「数」に値を取る関数に特有の（つまり、一般の写像では成り立つとは限らない）性質もある。たとえば、像を用いて値毎の演算と呼ばれる函数同士の演算が定義できる： x を任意として、
(f+g)(x):=f(x)+g(x),
(f-g)(x):=f(x)-g(x),
(fg)(x):=f(x)g(x),
\left({\frac {f}{g}}\right)(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}　（ただし g(x)\neq 0）
と定義できる。あるいはまた、実函数（実一変数で実数値の函数） f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}  はグラフと呼ばれる平面上の図表（英語版）で特徴づけられる。
記法

函数を書き表すために標準的な方法がいくつかある。
一般的によく知られる記法は、函数名と引数を明示する式を用いて函数を定義する、いわゆる函数記法である。しかし函数記法には、「函数それ自身」と「函数の値」の区別ができないという問題点がある。
函数はイタリック体の文字一つで表すか（例えば f, g, h, ... ）、ローマン体の文字を複数用いて表す（例えば 三角関数: sin, 指数関数: exp, 対数: log, 対数積分: Li, li, 跡: tr, Sp など）。後者のローマン体は例えば函数名の省略形で函数を表記する際などに用いられる。
イタリック体でなくローマン体を函数に用いることで、通常イタリック体で表記される変数との混同を避けることができる。
記法 > 函数記法

函数記法で  y=f(x)（「f の x における値が y である」）と書けば、これは順序対 (x, y) が函数を定義する順序対の集合に属することを意味する（より具体的に函数 f の定義域を X とすれば、函数を定義する順序対の集合とは、集合の内包的記法（英語版）で  \{(x,f(x));\ x\in X\}と書ける）。
しばしば函数の定義は、函数 f が明示された引数 x に対して何をするのかという形で行われる。例えば f を任意の実数 x に対して成り立つ等式  f(x):=\sin(x^{2}+1) によって定義するものとすれば、これは x を自乗して 1 を加えその正弦をとるというより単純な複数の手続きの合成として考えることができる。
誤解のおそれのない場合、例えば複数文字の函数記号を用いる函数について、引数を明示する丸括弧は省略してよい。つまり  \sin(x) と書く代わりに  \sin x と書いてもよい。
函数記法を用いたのはレオンハルト・オイラーが最初（1734年）とされる。
記法 > 矢印記法

函数 f の定義域 X と終域 Y を明示する目的では、矢印記法  f\colon X\to Y や  X{\stackrel {f}{{}\to {}}}Y（「f は X から Y への函数」「f は X の元を Y の元に写す」）が用いられる。これに重ねて、元の間の関係を示すため「f が x を f (x) に写す」ことを意味する x ↦ f (x) をしばしば書き加える。
例えば、積の定義された集合 X 上で各元を平方する函数 sqr を紛れなく定義するには  {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon X&\to X\\x&\mapsto x\cdot x,\end{aligned}} のように書けばよい。元の対応は x ↦ x2 と書いても良い。
しばしば函数記号や定義域および終域については省略される。そのような記法は、函数の任意の引数における値だけが等式で与えられている状況がよくあるので、その際に特別な函数記号を用意しなくてよいため有用である。例えば、二変数の函数  f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t) が与えられていて、第二引数を値 t0 に固定して得られる偏函数（英語版）  X\to Y に言及したいとき、この函数に新たに名前を付けなくても、 x\mapsto f(x,t_{0}) という元の対応を表す矢印記法を用いれば扱うことができる。
記法 > 添字記法

添字記法も函数記法と並んでよく用いられる記法で、函数記法の f (x) は添字記法では  fxのように書かれる。
定義域が自然数の場合（つまり、数列の場合）には添字記法を使うのが典型的で、各値 fn は数列の n 番目の項と呼ばれる。
複数の引数を持つ函数において、それら引数が「真の変数」と媒介変数（パラメータ）に分けられるとき、真の変数ではないことを区別するために助変数を添字にすることがしばしば行われる（実際にはパラメータというものは、一つの問題を考察している間は何らかの値に固定されているものと見なされるような変数を言うのである）。例えば、先の例でもみた二変数函数の偏函数 x ↦ f(x, t) を添字記法で  f_{t} と書けば、定義式  f_{t}(x):=f(x,t)\ (x,t\in X) によって一変数函数の族  \{f_{t}\colon X\to X;\ t\in X\}が定義される。
記法 > 点記法

矢印記法 x ↦ f(x) において、記号 x は特定の値を表さず、単なるプレースホルダとして、左辺の x を任意の値に置き換えた際に右辺の x も同じ値で置き換える必要があることを示すために、用いられている。したがって、x の代わりにどんな記号を使ってもよく、数式中の特定の値を表す文字との混同を避けるため、中黒 "⋅" がよく用いられる。中黒を使用することで、例えば函数自身 f (⋅) と任意の点 x における函数の値 f (x) とを区別することができる。
その他の例として、x ↦ ax2 を表すのに  a(\cdot )^{2} と書く場合や、上の限界が変数である定積分  x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du を  \int _{a}^{(\cdot )}f(u)\,du と書く場合などが挙げられる。
記法 > 特殊化された記法

数学の特定の分野では、その他の特別な記法が使われたりもする。例えば線型代数学や関数解析学では線型写像をベクトル[要曖昧さ回避]に作用させるときに、それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために内積の記法が用いられる（量子力学でも同様のブラ-ケット記法が用いられる）。数理論理学や計算理論ではラムダ計算の記法が、函数の抽象化や適用（英語版）などの基本概念を明示的に表すために用いられる。圏論やホモロジー代数学では、上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように、函数からなる図式およびそれらの合成が可換図式を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される。
関数を特定するには

函数 f が与えられたとき、定義により、f の定義域の各点 x に対して f の x における値 f(x) がただ一つ割り当てられる。x を f(x) に（陰に陽に）関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である。場合によっては、（函数が具体的にどのような姿かたちをしているかについては一切言及せずに）適当な性質を持つ函数の存在を定理や公理によって保証することもあるが、大抵は函数 f の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される。
関数を特定するには > 値を書き並べる

有限集合上で定義された函数の場合には、定義域の各点に割り当てられる終域の元を全て書き並べることで函数を定義することができる。例えば  A:=\{1,2,3\} のとき函数  f:A\to \mathbb {R}  を  f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4 として与えることができる。
関数を特定するには > 式を与える

算術やその他既知の函数を組み合わせた式（ただし手続き的な操作や無限個の組み合わせではない閉じた形の式（英語版））によって函数が与えられることも多い。そのような式からは、定義域の任意の元の値から函数の値を計算することができる。例えば、一つ前の例の f は 



f
(
n
)
:=
n
+
1
 
(
n
∈
{
1
,
2
,
3
}
)


{\textstyle f(n):=n+1\ (n\in \{1,2,3\})}

 とも定義できる。
この方法で函数を定義したとき、その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる。例えば定義式が割り算を含む場合には、分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない。同様に、実函数の定義に平方根が含まれる場合には、平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に定義域が収まるようにしなければならない。
| 関数> 初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.初等関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数 | 関数> 代数関数.代数関数.代数関数.代数関数.代数関数.代数関数.代数関数.代数関数.代数関数.初等超越関数.初等超越関数.初等超越関数.初等超越関数.初等超越関数.初等超越関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数.特殊関数 | 関数> .有理関数.有理関数.有理関数.有理関数.有理関数.有理関数.有理関数.無理関数..指数関数.対数関数.三角関数.逆三角関数.双曲線関数..ガンマ関数.ベータ関数.誤差関数.テータ関数.ゼータ関数.マチウ関数 | 関数> ..多項式関数.多項式関数.多項式関数.多項式関数.多項式関数.分数関数.無理関数..指数関数.対数関数.三角関数.逆三角関数.双曲線関数..ガンマ関数.ベータ関数.誤差関数.テータ関数.ゼータ関数.マチウ関数 | 関数> ...定数関数.一次関数.二次関数.三次関数.分数関数.無理関数..指数関数.対数関数.三角関数.逆三角関数.双曲線関数..ガンマ関数.ベータ関数.誤差関数.テータ関数.ゼータ関数.マチウ関数 | 形式> ...f(x) = a.f(x) = ax + b.ax2 + bx + c.ax3 + bx2 + cx + d.f(x) = a/x. {\sqrt {x}}..ax, ex, 2x.log(x), ln(x), loga(x).sin(x), cos(x), tan(x).sin−1(x), cos−1(x), tan−1(x).sinh(x), cosh(x), tanh(x)..Γ(x).Β(x, y).erf(x)..ζ(x). |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

* 代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる。全てのものを網羅しているわけではないことに注意されたい。→「関数一覧」も参照
式によって函数を定義する場合、それらの式が持つ性質・特性によって函数を分類することもしばしば行われる
二次関数は  f(x)=ax^{2}+bx+c の形（ただし a, b, c は 定数）と書ける函数を言う。
より一般に、多項式函数は加法・減法・乗法と非負整数冪乗のみを含む式で定義することができる函数である。例えば  f(x)=x^{3}-3x-1 や  f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1 など。
有理関数は多項式函数と同じ条件からさらに除法を許すようなものである。例えば 



f
(
x
)
=



x
−
1


x
+
1





{\textstyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}}}

 や 



f
(
x
)
=


1

x
+
1



+


3
x


−


2

x
−
1





{\textstyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}}

 など。
代数関数はさらに冪根や多項式の根をとる操作が許される。
上記をすべて含む初等関数には、さらに対数や指数関数などが含まれる。
関数を特定するには > 逆函数や陰伏函数として定める

函数  f\colon X\to Y が全単射とは、Y の各元 y に対し、X の元 x がちょうど一つ（少なくとも一つ、かつ、高々一つ）存在して y = f(x) と書けることであった。この場合、f の逆函数 




f

−
1


:
Y
→
X


{\textstyle f^{-1}\colon Y\to X}

 が、任意の y ∈ Y を y = f(x) を満たす x ∈ X に写す函数として定まる。例えば自然対数函数は正の実数全体の成す集合から実数全体の成す集合への全単射であるから、逆を持ち、それは指数函数と呼ばれる実数全体から正の実数全体への函数である。
函数  f\colon X\to Y が全単射でなくとも、適当な部分集合  E\subseteq X および  F\subseteq Y を選んで、f の E への制限が E から F への全単射となり、その意味での逆函数を持つということは起こり得る。逆三角関数はこのような仕方で定義される。
より一般に、ふたつの集合 X, Y の間の二項関係 R が与えられ、X の部分集合 E は各元 x ∈ E に対して適当な y ∈ Y が存在して x R y とできるものとする。どの x ∈ E に対してそのような y ∈ Y をひとつ選び出す判定法がわかっているものとすれば、函数  f\colon E\to Y を定義することができ、関係 R から陰伏的に定まるとの意味で陰関数と呼ぶ。
陰函数定理は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである。
関数を特定するには > 微積分学的な条件によって指定する

適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる。例えば自然対数函数は逆数函数 1/x の原始函数で x = 1 における値が 0 となるものとして定義される。誤差関数 erf もこのような方法で定義される函数の例である。
より一般に、ほとんどの特殊関数を含めた多くの函数は微分方程式の解として定義される。最も単純な例として、指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数の中で x = 0 における値が 1 となる唯一の函数として定義することができる。
冪級数はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる。例えば指数函数は  e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}} と定義できる。しかし、冪級数の係数列は極めて任意に決めることができるから、「収束冪級数の和として書ける函数」は大抵既にどこか別の場所で定義されていたり、係数列もその別な定義に基づく何らかの計算できまるなどしているものである。冪級数はそのような函数の定義域を拡大することに利用できる。典型的には、実変数の函数が適当な区間上でテイラー展開の和と等しいとき、その級数を用いて直ちに適当な複素領域（つまり、級数の収束円板）上の複素変数函数に定義域を拡大することができる。これはさらに解析接続を用いて複素平面上のさらに大きな領域へ拡大できる。この方法は、複素変数の指数函数・対数函数及び三角函数の定義に一般的に用いられる方法である。
関数を特定するには > 漸化式を与える

→詳細は「漸化式」を参照
定義域が非負整数であるような函数（つまり数列）はしばしば漸化式によって定義される。
基本的な例として、非負整数にその階乗を対応させる函数  n\mapsto n! は漸化式 



n
!
=
n
(
n
−
1
)
!

(
n
>
0
)


{\textstyle n!=n(n-1)!\quad (n>0)}

 と初期条件  0!=1 によって決まる。
表示法

グラフは函数の直観的描像を与えるために広く用いられる。グラフからは、例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて、函数の理解に役立つ。函数によっては、その表現に棒グラフなども利用できる。
表示法 > グラフ

→詳細は「函数のグラフ」を参照
与えられた函数  f\colon X\to Y のグラフとは、形式的な集合 



G
:=
{
(
x
,
f
(
x
)
)
:
x
∈
X
}


{\textstyle G:=\{(x,f(x)):x\in X\}}

 のことである。
よくある場合として X および Y が実数全体（あるいはその特定の部分集合、例えば区間など）の部分集合となっているとき、実数の組  (x,y)\in G を二次元の座標系（例えばデカルト平面（英語版）において座標 (x, y) を持つ点と同一視することができる。このような函数（の一部分）の表示法の一環として、プロット図を書くことができる（こういったプロット図もまた「函数のグラフ」として至る所で良く用いられる）。また違った座標系を使って函数の図示をすることもできる。例えば平方函数 x ↦ x2 のグラフは座標 (x, x2) (x ∈ ℝ) を持つ点の全体で、直交座標系に表せばよく知られたように放物線になる。これをもし極座標系を用いて、極座標 (r, θ) = (x. x2) を持つ点をプロットしたならば、この場合のグラフはフェルマー螺旋（英語版）になる。
表示法 > 値の表

→詳細は「数表」を参照
引数のとる値と函数のとる値を表の形に書きならべることに依って函数を表現することもできる。定義域が有限ならば、このやり方で函数を完全に特定することができる。例えば、掛け算をする函数  f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} ;\;f(x,y):=xy は馴染みの積表
| x＼y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
によって表すことができる。
しかし、定義域が連続的な場合には、定義域の特定の値に対する函数の値しか表には表示することができない。中間の値が必要となったときには、補間を使って函数の値を評価することは可能である。例えば正弦函数の小数第6位までで丸めた値を並べた数表の一部を以下のように与えることができる:
| x | sin x |
| --- | --- |
1.289: 0.960557
1.290: 0.960835
1.291: 0.961112
1.292: 0.961387
1.293: 0.961662
計算機や電卓の登場以前には、対数や三角函数などの函数に対するこのような数表がしばしば編纂され出版されていた。
表示法 > 棒グラフ

→詳細は「棒グラフ」を参照
有限集合、あるいは自然数または整数全体で定義された函数を表示するのに、棒グラフもまたよく用いられる。この場合、各元 x は x-軸上の区間を表しており、函数の値は x の表す区間を底辺とする高さ f(x) の長方形として表現できる。
解析学

17世紀にはじまった函数の概念は、新しい無限小解析の基礎付けとなった（函数概念の歴史（英語版）を参照）。当時は、実変数の実数値関数しか考えられておらず、どの函数も滑らかな関数であることが仮定されていたが、直に多変数複素関数に定義が拡張されていった。19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され、任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた。
いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる。初歩の基礎解析学では単に「函数」といえば一変数の実数値函数の意味である。より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは実解析や複素解析においてであろう。
解析学 > 実函数

→「実解析」も参照
実函数とは「実変数」「実数値」の函数、つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な区間を含む部分集合を定義域とする函数を言う。以下本節では、そのような函数を単に函数と呼ぶことにする。
数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件（連続や微分可能関数あるいは解析関数など）が課せられる。このような正則性があることによって、函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる。以下、適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う。
函数は点ごとの演算が備わっている。つまり、函数 f, g に対して、それらの和・差・積を  {\begin{aligned}(f+g)(x)&:=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&:=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&:=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}} で定義すれば、f, g の定義域の交わりを定義域とする函数が得られる。同様にこれらの商を  {\frac {f}{g}}(x):={\frac {f(x)}{g(x)}} と定義することができるが、この場合定義域は f, g の定義域の交わりから g の関数の零点を除いたものになる。
多項式からは実数全体で定義された多項式函数が定まる。これには定数関数・一次函数・二次函数などが含まれる。ふたつの多項式函数の商である有理函数は（ゼロ除算が起きないように）補有限の実数を定義域とする。もっとも単純な有理函数 x ↦ 1/x のグラフは双曲線で 0 を除く実数直線全体を定義域に持つ。
実可微分函数の導函数もまた実函数である。実連続函数の原始函数はもとの函数が連続となる任意の開区間上で可微分な実函数を与える。例えば逆数函数 x ↦ 1/x は正の実数全体の成す集合上で連続（さらに微分可能）であるから、その原始函数で x = 1 において零となるもの（自然対数函数）は正の実数全体の成す集合上で微分可能である。
実函数 f がある区間上で単調写像となるのは、平均の変化率 






f
(
x
)
−
f
(
y
)


x
−
y





{\textstyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}

 の符号が、その区間内の点 x, y の選び方に依らず一定であるときである。その函数がその区間で微分可能ならば、その区間上で微分係数の符号が一定であるときに単調となる。実函数 f が区間 I において単調であるならば、f の逆函数が f(I) から I への函数として定まる。このような方法で、逆三角函数は三角函数が単調となる区間上で三角函数の逆函数として与えられる。あるいはまた、自然対数函数は正の実軸上で単調で値域は実数直線全体となるから、その逆函数である指数函数は実数全体から正の実数全体への全単射であることが分かる。
他にも多くの実函数が陰函数定理（逆函数は陰函数の特別の場合）から、あるいは微分方程式の解として、定義される。例えば正弦函数 sin や余弦函数 cos は線型微分方程式 




y
″

+
y
=
0


{\textstyle y''+y=0}

 の解として初期条件  \sin 0=0,\cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,{\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0 から定まる。
解析学 > ベクトル値函数

→詳細は「ベクトル値函数」および「ベクトル場」を参照
終域の元がベクトル[要曖昧さ回避]となっているような函数はベクトル値函数と呼ばれる。ベクトル値函数は、（例えば物理的性質をモデル化するような）応用において特に有用で、例えば流束の各点においてその点での速度ベクトルを割り当てる函数はベクトル値函数になる。
ℝn（あるいは多様体のように ℝn と似た幾何学的または位相的性質を持つ空間）上で定義されたベクトル値函数を考えることもできて、そのようなベクトル値函数はベクトル場と呼ばれる。
解析学 > 関数空間

→詳細は「関数空間」および「関数解析学」を参照
解析学あるいはより具体的に関数解析学において、特定の性質を共有するスカラー場またはベクトル値の函数からなり線型位相空間を成すような集合を関数空間と呼ぶ。例えば、関数の台付き（つまり、適当なコンパクト空間の外側では常に零となる）滑らかな実函数全体の成す集合は、シュワルツ超函数論の基盤となる函数空間を成す。
函数空間ではその代数的および位相的性質を利用して函数の性質を調べることができるようになるから、より進んだ解析学において函数空間は基本的な役割を果たすことになる。例えば、常微分方程式や偏微分方程式における解の存在や一意性を言うすべての定理は函数空間を調べることで得られた結果である。
多変数関数と多価関数

複数の変数によって値が決定される関数を多変数関数という。これは複数の数の集合たちの直積集合から数の集合への写像であると解釈される。ベクトル[要曖昧さ回避]の集合を定義域とする独立変数をもつ関数と解釈することもある。n 個の変数で決まる関数であれば、n 変数関数とも呼ばれ
のように書かれる。例えば
は二変数関数である。
一つの入力に複数の出力を返すような対応規則を関数の仲間として捉えるとき多価関数 (multi-valued function) という。常に n 個の出力を得る関数は n 価であるといい、その n を多価関数の価数と呼ぶ。例えば正の実数にその平方根を与える操作は正と負の二つ値を持つので、二価関数である。多価関数に対し、普通の一つの値しか返さない関数は一価関数といわれる。
多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが、逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ、それをベクトル値関数という。ベクトル値関数が与えられたとき、像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成することにより、通常の一価関数が複数得られる。つまり、定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる。
一つの例として、実数体  \mathbb {R}  で定義された二価の関数
はベクトル値関数
として扱うことができる。また、定義域の "コピー" を作って定義域を広げてやることで、その拡張された定義域上の一価の関数
と見なすこともある。複素変数の対数関数 log は素朴には無限多価関数であるが、これを log のリーマン面上の一価関数と見なすなど、定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる。
陽表式と陰伏式

多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある。例えば
のような式が与えられているとき、x と y は独立に別々の値をとることはできない。x に勝手な値を与えるならば、y は x の値によってとりうる値の制約を受けるからである。このことを以って、独立変数 x と従属変数 y が対応付けられると考えるとき、方程式 F (x, y) = 0 は x の関数 y を陰 (implicit) に定めるといい、y を x の陰伏関数または陰関数 (implicit function) という。これに対して、y = f(x) と表されるような関数関係を、y は x の陽関数 (explicit function) である、あるいは y は x で陽 (explicit) に表されているなどと言い表す。
陰伏的な関数関係が F (x, y) = 0 によって与えられていて、陽な関数関係 y = f(x) が適当な集合 D を定義域として F (x, f(x)) = 0 を満たすなら、この陽関数 y = f(x) は D 上で関係式 F (x, y) = 0 から陰伏的に得られるという。関数の概念を広くとらず、一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが、そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず、一般に一つの陰関数は（定義域や値域でより分けることにより）複数の陽関数に分解される。このとき、陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の枝という。また、陰関数の複数の枝を総じて扱うならば、陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる。例えば、方程式
が定める陰関数 y は全域で 2 つの一価連続な枝
をもつ二価関数である。
また、媒介変数を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。例えば、方程式 2x − 3y = 0 は、媒介変数 t を導入して
と表すことができるが、これによって y と x の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。
特殊化と一般化 > 数列

有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは数列と呼ばれるものになる（適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる）。それはつまり、集合の各元に序列を与えて {1, 2, ..., n} と並べるとき、k = 1, 2, ..., n に対して xk = x(k) を対応付ける関数 x を
のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列
を考えれば、それは各自然数 n に対して、数 sn を対応させる
という関数を考えていることに他ならない。もっと一般に数の族を考慮に入れれば、通常の実関数 f = f(x) を x を添字に持つ実数の族
と読みかえることができる。
特殊化と一般化 > 汎関数

→詳細は「汎函数」を参照
関数を変数に取る関数はとくに汎関数 (functional) と呼ばれる。特にある集合上の関数の作るベクトル空間から係数体への線型写像を線型汎函数 (linear functional) という。文脈によっては単に汎関数といえば線型汎関数を指すこともある。たとえば積分
は可積分関数 f を変数と見なして様々に取り替えることによって汎関数 F を与える。積分は線型性を持つから、F は線型汎関数である。
有限個の変数の組を考えることも関数の一種であったから、汎関数
はひとつまたは複数のパラメータで添字付けられる一般には無限個の変数をもつ関数の一種
と見なすことができる。また、有限次元ベクトル空間は基底を固定することにより、その座標で表される係数体の加群の直和と同型写像であるから、そこからの汎関数は多変数関数
と同一視できる。
関数に対して数を対応付けるという汎関数の概念は、さらに関数に関数を対応付ける作用素の概念に一般化される。
特殊化と一般化 > 超関数

→詳細は「超関数」を参照
シュワルツの超関数（分布、英: distribution）の理論は、汎関数の一種（コンパクトな台を持つ無限階微分可能関数の作る空間上の連続線型汎関数）として超関数を定義する。通常の局所可積分関数に測度を掛けて積分作用素として見ると、この意味で超関数と見なされる。
この様な連続線型汎関数を用いた定式化の方向で distribution よりも大きいクラスとしては、超分布 (ultradistribution) が知られている。
一方、佐藤超関数（英: hyperfunction）は層係数コホモロジー等の代数的手法を用いて定義される。この代数的手法の解析学への導入により、線型微分方程式系の代数化である D 加群の理論等、代数解析学と呼ばれる分野が開かれた。以上の超関数のクラスは局所化可能、言い換えれば層を成すという事が重要である。
「関数」と「函数」の違いについて

「函」が漢字制限による当用漢字に含まれなかったことから、1950年代以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた。この他、「干数」案もあった。学習指導要領に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている。「関数」表記は 1985 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した。
入力 x に対して、「ブラックボックス f」が f (x) を出力する
各年のアメリカにおける交通事故死者数を折れ線グラフで示した函数
同上（棒グラフ版）
一次函数のグラフ
多項式函数（ここでは二次函数）のグラフ
二つの三角函数（正弦と余弦）のグラフ
キラメキ☆MMMBOP

「キラメキ☆MMMBOP」（キラメキンー・バップ、原題：MMMBop）は、アメリカ合衆国のポップ・ロック・バンドハンソンが1997年に発表した楽曲である。1998年2月に行われた第40回グラミー賞で2部門にノミネートされ、バンドにとって最も成功した曲となった。
概要

この曲はハンソンにとってデビューシングルであるにもかかわらず、アメリカのみならずイギリス、ドイツ、オーストラリア、メキシコなど27か国のヒットチャートで1位を記録する大ヒットとなった。イギリスでは71万枚を売り上げ、ナンバー1に3週間とどまった。『ローリング・ストーン』や『スピン』などの雑誌、ケーブルテレビチャンネルVH1で読者投票のトップに立ったほかに、『ヴィレッジ・ヴォイス』誌による評論ではその年のベスト・シングルに選ばれた。VH1が発表した「90年代のグレイテスト・ソング100」で20位となり、同じくVH1が発表した「過去25年間のグレイテスト・ソング100」では98位を記録している。
この曲はもともと1996年に発表されたインディーズ・アルバムに収録されていたバラードだったが、プロデューサーのダスト・ブラザーズの手によってアップビートなトラックに書き換えられた。
日本では1997年夏頃、フジテレビで深夜に放送されていた音楽番組『BEAT UK』でUKシングルチャートトップ20でNo.1を獲得した。
2023年にはイギリスのポップ・パンク・バンドであるバステッドとコラボレーションの上、MMMBop 2.0と題された本曲の新バージョンが公開され、全英シングルチャートでは10位にランクインした。
チャート・ポジション

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| 先代 ノトーリアス・B.I.G.「ヒプノタイズ」  | ビルボード・ホット100 1位獲得作品 1997年5月24日 - 1997年6月7日（3週間） | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 エターナル featuring ビービー・ワイナンス「アイ・ワナ・ビー・ジ・オンリー・ワン」  | 全英シングルチャート 1位獲得作品 1997年6月1日 - 1997年6月14日 | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 サヴェージ・ガーデン「トゥルーリー・マッドリー・ディープリー」  | ARIAシングルチャート 1位獲得作品 1997年6月1日 - 1997年7月27日（9週間） | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 サヴェージ・ガーデン「アイ・ウォント・ユー」 | ビルボード・トップ40メインストリーム 1位獲得作品 1997年5月24日 - 1997年7月12日 | 次代 メレディス・ブルックス「ビッチ」 |
| 先代 サラ・ブライトマン & アンドレア・ボチェッリ「タイム・トゥ・セイ・グッバイ」  | アイルランド・シングルチャート 1位獲得作品 1997年6月14日（3週間） | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 SWV「キャン・ウィー」  | ニュージーランド・シングルチャート 1位獲得作品 1997年6月22日（2週間） | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 アンドレア・ボチェッリ & ジュディ・ヴァイス「Vivo per lei- Ich lebe für Sie」  | スイス・シングルチャート 1位獲得作品 1997年6月22日（4週間） | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 Members of Mayday「Sonic Empir」  | ドイツ・シングルチャート 1位獲得作品 1997年6月20日 (1週間) | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 アワ・レディ・ピース「クラムシー」 | カナダ・シングルチャート 1位獲得作品年月 1997年7月14日（3週間） | 次代 サラ・マクラクラン「ビルディング・ア・ミステリー」 |
| 先代 Sash! featuring Rodriquez「Ecuador」  | ベルギー（フランドル） シングルチャート 1位獲得作品 1997年7月12日（4週間） | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 ラインハルト・フェントリッヒ「Blond」  | オーストリア・シングルチャート 1位獲得作品 1997年6月29日（3週間） | 次代 パフ・ダディ featuring フェイス・エヴァンス & 112「アイル・ビー・ミッシング・ユー〜見つめていたい」 |
| 先代 パラディシオ「Bailando」 | スウェーデン・シングルチャート 1位獲得作品 1997年6月6日（1週間） | 次代 パラディシオ「Bailando」 |
二村忠臣

二村 忠臣（ふたむら ただおみ、1898年 - 1966年）は、日本の陸上競技（投擲）選手。専門は投擲競技。
経歴

大分県出身。
1919年（大正8年）の日本陸上競技選手権大会において、円盤投で27m76の記録で優勝。
1920年（大正9年）11月の日本陸上競技選手権大会においては、男子やり投で48m45、砲丸投で11m21の日本記録を出して優勝、また円盤投で29m84の記録を出して2連覇を遂げた。
1921年（大正10年）の第5回極東選手権競技大会（上海）、1923年（大正12年）の第6回極東選手権競技大会（大阪）に、投擲競技の日本代表選手として出場した。第5回大会では五種競技の代表にも選ばれており、2位入賞を果たした。第6回大会では砲丸投に45フィートの記録で優勝した。
1923年（大正12年）に、東京高等師範学校（東京高師）体育科を卒業した。
1924年（大正13年）のパリオリンピックには、日本代表団に見学員として同行（所属は東京高師）。
1925年（大正14年）、大日本体育協会（体協）が組織改革を行い、野口源三郎らが主事を更迭された際、これに代わって薬師寺尊正（YMCA）とともに主事に就任した。
1933年（昭和8年）時点では、「国民健康保持増進」を目的とする財団法人「奨健会」に所属し、「一般国民の合理的身体鍛錬の普及」に努める。
主な著書

『スローイング』目黒書店（日本体育叢書 第4篇）、1922年
『名選手之面影』一成社、1925年
『オリンピツク陸上競技投擲技の研究』更新出版社、1925年
『歩行と体育 : 健康増進競歩研究』更新出版社、1925年
『アルス運動叢書 第5 投擲』アルス、1928年
民主党 (タイ)

| 民主党 พรรคประชาธิปัตย์ |
| --- | --- |
党首:  チャルムチャイ・スリーオン
成立年月日:  1946年4月6日
人民代表院議席数:  25 / 500   (5%)（2023年5月14日）
政治的思想・立場:  中道 - 中道右派 古典的自由主義 保守自由主義
シンボル:  青
国際組織:  アジア・リベラル民主評議会 自由主義インターナショナル
公式サイト:  www.democrat.or.th
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民主党（みんしゅとう、Democrat Party、พรรคประชาธิปัตย์）は、タイ王国の政党。タクシン元首相派のタイ貢献党に対し、反タクシン派の立場を取る政党である。
概要

現存するタイ最古の政党で、1946年（タイ仏暦2483年）設立。新聞サヤーム・ラット紙の創設者であり、小説家、芸能人でもあるククリット・プラーモートや戦後に二度首相を務めたクワン・アパイウォンが中心となって設立された。傾向としては立憲君主制、文民政治、中道リベラルなど穏健派の色彩が強かった。アジア地域のリベラル政党からなるアジア・リベラル民主評議会に参加している。
与党・野党を繰り返し、1992年～1995年、1997年～2001年にチュワン・リークパイが2度首相になるなど、数多くの首相を輩出した。厚い支持基盤を特権階級や軍部、バンコクの中産階級に持つ。タクシン政権下では野党だったが、軍事クーデター後は、党勢の回復が伝えられている。しかし、総選挙では一度もタクシン元首相派に勝利したことがない。
タクシン政権の与党タイ愛国党と共に、総選挙時の不正により解散命令を出される可能性があったが、憲法裁判所は2007年5月30日、証拠不十分で無罪であるとの判決を下した（愛国党には解散命令が出されている）。しかし、同年12月の下院総選挙では、愛国党を事実上引き継いだ国民の力党に及ばず、野党となった。
2008年12月15日、反タクシン派による社会危機に乗じて発生した司法クーデターでタクシン元首相派のソムチャーイ・ウォンサワット内閣が崩壊すると、軍部と特権階級に支援された民主党が政権を掌握し、政権崩壊に伴う下院臨時議会においてアピシット・ウェーチャチーワが新首相に指名されアピシット内閣を組織し、2001年以来の政権復帰を果たした。
アピシット内閣は、特権階級だけでなく、中産階級の支持を広げる政策を標榜する一方で、混乱による国民の不満を外にそらすため、強烈な国粋主義・民族主義にもとづく露骨な強硬外交を掲げ、2011年に領土問題を抱えるカンボジアの攻撃を強行し、住民を巻き込んだ武力紛争を引き起こした。この紛争により、双方の兵士や住民ら30人近くが死亡し、100人以上が負傷した。また、政権への批判は国王への反逆とみなし、国家警察や国軍などを動員して厳重な統制を行い、タクシン元首相派の多くの市民を虐殺した（2010年タイ反政府デモ#暗黒の土曜日）。
この間も混乱はすすみ、市民の心は民主党から離れていき、タクシン元首相派のタイ貢献党が勢力を伸ばしていった。2011年7月3日に行われた下院総選挙（500議席）では、タクシン元首相派政党のタイ貢献党が単独過半数を制し、民主党は解散前の議席を下回る159議席に留まった。この結果、アピシットは党首を引責辞任したが、その後行われた党大会で再任された。
2013年から元副首相のステープ・トゥアクスパンが事実上の指導者となり、民主主義・議会主義を否定し、民主党の一党独裁による「人民評議会」や、利益団体の代表による「人民議会」の設置を主張するデモを展開するようになる（後述）。
党首のアピシットもデモを全面的に支持し、民主党所属153人の全下院議員が議員辞職することを表明した。また、連敗中の総選挙を避けつつ、タクシン元首相派のインラック政権打倒を果たしたいとして、民主主義・議会主義を放棄し、2014年2月に予定される総選挙をボイコットすることを正式に決定した。その後、タイは軍による政変を経て2019年3月24日に民政復帰となる総選挙を迎えたが、民主党は2011年総選挙の159議席・第2党から今回は54議席・第4党にとどまる見通しとなり、アピシットは同日中に党代表の辞任を表明した（5月8日に最終確定した獲得議席数は52議席）。
反タクシン派の立場ではあるが、タクシンの次女であるペートンターン・シナワットを首班とする内閣が2024年9月に発足した際には、民主党も連立政権に加わった。
人民民主改革委員会

人民民主改革委員会（略称PDRC）は、2013年に元副首相のステープが創設した民主党の直接行動隊。タクシン元首相派政権を暴力で打倒することが主な任務で、隊員は武器を持ち、タクシン元首相派の集会への襲撃等を行い、民主党の街頭での実力行使を受け持っている。委員長であるステープの指導下に民主党の精鋭を集め、党の警察機関として発展させた。武装部隊として2013年タイ反政府デモを主導しており、暴力的活動を活発に行っている政党の名を借りた犯罪組織である。
デモ活動

→詳細は「2013年タイ反政府デモ」を参照
2013年11月、タクシン元首相派のインラック政権の打倒を求め、ステープは民主党の直接行動隊として人民民主改革委員会の武装デモ隊を結成し、非合法な街頭闘争を展開した。テロ組織として武装デモ隊はステープにより「市民によるクーデターの担い手」とされ、インラック政権を暴力で打倒することが主な任務で、隊員は武器を持ち、民主党の集会の防衛、タクシン元首相派の集会への襲撃等を行っている。
脚註

↑  Hicken, Allen; Martinez Kuhonta, Erik, eds (2015). Party System Institutionalization in Asia: Democracies, Autocracies, and the Shadows of the Past. Cambridge University Press. p. 287. ISBN 9781107041578. https://books.google.com/books?id=GZmiBQAAQBAJ&q=democrat+party+thailand+%22centrist%22&pg=PA287 10 February 2020閲覧。
↑  “Reforming the Democrat Party”. Bangkok Post (18 April 2014). 10 February 2020閲覧。
↑  “Postprotest Pathways in Thailand: Between the Street and the Ballots”. Carnegie Europe.   Carnegie Endowment for International Peace (24 October 2019). 10 February 2020閲覧。
↑  Leifer, Michael (13 May 2013). Dictionary of the Modern Politics of Southeast Asia. ISBN 9781135129453. https://books.google.com/books?id=7UCl7VE4VMIC&q=democrat+party+thai+right+wing&pg=PA225
↑  “Can Thailand rely on the Democrat Party for democracy?”. The Nation (9 January 2018). 2019年2月5日閲覧。
↑  “What's next for the Democrat Party?”. Bangkok Post (17 November 2018). 2019年2月5日閲覧。
↑  Grossman, Nicholas (2009). Chronicle of Thailand: Headline News Since 1946. ISBN 9789814217125. https://books.google.com/books?id=O0R3uO1d9u4C&q=Democrat+Party+central+right+thai&pg=PA209
↑  “民主党議員等7人のタイ人が違法越境でカンボジアに身柄を拘束、4日以降に保釈を申請”. タイランド通信. (2011年1月2日). http://thai.news-agency.jp/gnud/article/9986
↑  “タイ・カンボジアの国境紛争、国際司法裁が１１月１１日に判決”. newsclip. (2013年10月27日). http://www.newsclip.be/article/2013/10/27/19535.html
↑  “バンコク:反タクシンのデモ　暫定政府設置など要求過激化”. 毎日新聞. (2013年11月28日). https://web.archive.org/web/20131203024813/http://mainichi.jp/select/news/20131128k0000m030088000c.html
↑  “タイ首相、「人民評議会」への権力移譲を拒否 反政府デモが要求”. フランス通信社. (2013年12月3日). https://www.afpbb.com/articles/-/3004337
↑  タイ:反タクシン元首相派「最終決戦」デモ開始 毎日新聞 2013年12月9日
↑  タイ解散・総選挙、首相表明 民主党下院全議員が辞職、デモ合流 Sankei Biz 2013年12月10日
↑  “タイ:最大野党・民主党が総選挙ボイコットへ”. 毎日新聞. (2013年12月21日). https://web.archive.org/web/20131224113119/http://mainichi.jp/select/news/20131222k0000m030049000c.html
↑  “タイ下院選　民主党が壊滅的大敗、アピシット党首辞任”. newsclip.be. (2019年3月25日). http://www.newsclip.be/article/2019/03/25/39257.html 2019年3月26日閲覧。
↑  “No clear winner in Thai election as main parties jostle for support”. Nikkei Asian Review. (2019年5月8日). https://asia.nikkei.com/Politics/Thai-election/No-clear-winner-in-Thai-election-as-main-parties-jostle-for-support 2019年5月9日閲覧。
↑  “タイの新政権、大連立維持　「反タクシン派」も合流　国王が閣僚名簿を承認”. 産経新聞. (2024年9月4日). https://www.sankei.com/article/20240904-XRDDRNG3IFIVTKBZYTTPWBDPBA/ 2024年9月4日閲覧。
↑  “タイの元副首相、デモ隊率いて政府機関占拠”. ウォール・ストリート・ジャーナル. (2013年11月27日). http://jp.wsj.com/article/SB10001424052702303735804579223050968222162.html
↑  “タイ:タクシン元首相巡り対立激化　銃撃などで３人死亡”. 毎日新聞. (2013年12月1日). https://web.archive.org/web/20131203021005/http://mainichi.jp/select/news/20131202k0000m030063000c.html
↑  “タイでデモ激化、首相に退陣要求＝首都で反タクシン派－情勢緊迫、衝突で３人死亡”. 時事通信. (2013年12月2日). http://www.jiji.com/jc/zc?k=201312/2013120200006&g=int
踊る大捜査線 N.E.W.

| 踊る大捜査線 N> E.W. |
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出演者:  織田裕二 柳葉敏郎
配給:   東宝
公開:   2026年（予定）
言語:  日本語
前作:  踊る大捜査線 THE FINAL 新たなる希望
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『踊る大捜査線 N.E.W.』（おどるだいそうさせん エヌ.イー.ダブリュー.）は、2026年に公開予定の日本映画。
概要

1997年から2012年、そして2024年に制作されていたフジテレビ系列のドラマ及び劇場映画作品である踊る大捜査線シリーズの劇場版第5作。
副題の "N.E.W." は "NEXT EVOLUTION WORLD" という文を "NEW（新しい）" にかけて略したもの。また、その名を冠した公式ロゴには、柳葉敏郎演じる室井慎次が主役であるスピンオフ映画『室井慎次 敗れざる者 / 生き続ける者』の公式ロゴでも用いられた "MUROISM（ムロイズム）" マークが取り入れられている。
前作『踊る大捜査線 THE FINAL 新たなる希望』から14年ぶり、「踊るプロジェクト」の『室井慎次 敗れざる者 / 生き続ける者』から2年ぶりの作品である。
キャスト

→詳細は「踊る大捜査線シリーズの登場人物一覧」を参照
青島俊作（警視庁捜査支援分析センター・警部補）： 織田裕二
室井慎次（元警察庁長官官房審議官交通局担当）：柳葉敏郎