エジプト式分数
現代 > 数学パズル

単位分数展開は、しばしば数学パズルの題材にもなる。特に人気があるのは、1 の単位分数展開である。1 に対して強欲算法を用いると、有名な表示
を得る。
用いることができる単位分数に制限をかけると、より深みのある類似の問題が多く考えられる。例えば、分母を奇数に限ると、強欲算法によって 1 は13個の単位分数の和に表され、最後の項の分母は
となる。項数が最小なのは9項のものであり、そのようなものは全部で5通りあることが知られている。その中でも、最大分母が最小であるものは
である。項数を度外視した場合、最大分母が最小であるものは、11項の和
である。
| 分母の和 n | 分割数 p(n) | 1の分割 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 0 | ― |
| 1 | 0 | ― |
| 2 | 0 | ― |
| 3 | 1 | ― |
| 4 | 1 | ― |
| 5 | 2 | ― |
| 6 | 3 | ― |
| 7 | 4 | ― |
| 8 | 5 | ― |
| 9 | 7 | ― |
| 10 | 9 | ― |
| 11 | 11 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6. |
| 12 | 14 | ― |
| 13 | 17 | ― |
| 14 | 21 | ― |
| 15 | 26 | ― |
| 16 | 31 | ― |
| 17 | 37 | ― |
| 18 | 45 | ― |
| 19 | 53 | ― |
| 20 | 63 | ― |
| 21 | 75 | ― |
| 22 | 88 | ― |
| 23 | 103 | ― |
| 24 | 121 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12. |
| 25 | 141 | ― |
| 26 | 164 | ― |
| 27 | 191 | ― |
| 28 | 221 | ― |
| 29 | 255 | ― |
| 30 | 295 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15. |
| 31 | 339 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20. |
| 32 | 389 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18. |
| 33 | 447 | ― |
| 34 | 511 | ― |
| 35 | 584 | ― |
| 36 | 667 | ― |
| 37 | 759 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24. |
| 38 | 863 | 1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/20. |
| 39 | 981 | ― |
| 40 | 1112 | ― |
| 41 | 1259 | ― |
| 42 | 1425 | ― |
| 43 | 1609 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/12 + 1/15. |
| 44 | 1815 | ― |
| 45 | 2047 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/9 + 1/12 + 1/18,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/12 + 1/20. |
| 46 | 2303 | ― |
| 47 | 2589 | ― |
| 48 | 2909 | ― |
| 49 | 3263 | ― |
| 50 | 3657 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15. |
| 51 | 4096 | ― |
| 52 | 4581 | 1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/9 + 1/12 + 1/18. |
| 53 | 5119 | 1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/30. |
| 54 | 5717 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42. |
| 55 | 6377 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28. |
| 56 | 7107 | ― |
| 57 | 7916 | 1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/10 + 1/15 + 1/20,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/12 + 1/24. |
| 58 | 8807 | ― |
| 59 | 9791 | 1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/9 + 1/18 + 1/20. |
| 60 | 10879 | 1 = 1/2 + 1/6 + 1/9 + 1/10 + 1/15 + 1/18. |
| 61 | 12075 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/21 + 1/28. |
| 62 | 13393 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/20 + 1/30,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/7 + 1/14 + 1/28. |
| 63 | 14847 | ― |
| 64 | 16443 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/40,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/8 + 1/20 + 1/24,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/10 + 1/12 + 1/30. |
| 65 | 18199 | 1 = 1/2 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/15 + 1/24. |
| 66 | 20131 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/21 + 1/28,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/18 + 1/36,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/9 + 1/12 + 1/18 + 1/20. |
| 67 | 22249 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/20 + 1/30,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/12 + 1/42,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/9 + 1/45,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/18 + 1/24. |
| 68 | 24575 | ― |
| 69 | 27129 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/15 + 1/35,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/14 + 1/28. |
| 70 | 29926 | ― |
| 71 | 32991 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/22 + 1/33,  1 = 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/36,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/8 + 1/12 + 1/20 + 1/24,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/40,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20. |
| 72 | 36351 | ― |
| 73 | 40025 | 1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/9 + 1/12 + 1/18 + 1/20. |
| 74 | 44045 | 1 = 1/2 + 1/5 + 1/9 + 1/10 + 1/18 + 1/30,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/42. |
| 75 | 48445 | 1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/8 + 1/15 + 1/40. |
| 76 | 53249 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/16 + 1/48,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/7 + 1/14 + 1/20 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/24. |
| 77 | 58498 | ― |
| 78 | 64233 | 1 = 1/2 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/40,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/9 + 1/12 + 1/45,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/18 + 1/24,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/12 + 1/20 + 1/24. |
| 79 | 70487 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/24 + 1/40,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/8 + 1/10 + 1/24 + 1/30. |
| 80 | 77311 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28. |
| 81 | 84755 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/16 + 1/48,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/15 + 1/20 + 1/30,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/7 + 1/20 + 1/42,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/10 + 1/14 + 1/15 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/9 + 1/10 + 1/18 + 1/30. |
| 82 | 92863 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/9 + 1/18 + 1/21 + 1/28,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/12 + 1/14 + 1/15 + 1/35,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/20 + 1/21 + 1/28,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/8 + 1/12 + 1/15 + 1/40,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/7 + 1/10 + 1/15 + 1/42. |
| 83 | 101697 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/9 + 1/18 + 1/20 + 1/30,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/9 + 1/14 + 1/18 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/14 + 1/20 + 1/28. |
| 84 | 111321 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/11 + 1/12 + 1/22 + 1/33,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/7 + 1/9 + 1/18 + 1/42. |
| 85 | 121791 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/14 + 1/20 + 1/35,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/15 + 1/18 + 1/36,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/8 + 1/10 + 1/20 + 1/40. |
| 86 | 133183 | 1 = 1/2 + 1/5 + 1/9 + 1/10 + 1/15 + 1/45,  1 = 1/2 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/15 + 1/18 + 1/24,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/24 + 1/30. |
| 87 | 145577 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/15 + 1/60,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/21 + 1/24 + 1/28,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/18 + 1/20 + 1/36,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28,  1 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/9 + 1/10 + 1/15 + 1/18 + 1/20. |
| 88 | 159045 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/20 + 1/24 + 1/30,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/7 + 1/12 + 1/20 + 1/42,  1 = 1/2 + 1/7 + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/15 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/20 + 1/30,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/8 + 1/14 + 1/24 + 1/28. |
| 89 | 173681 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/30 + 1/45,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/24 + 1/42,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/9 + 1/18 + 1/21 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/12 + 1/14 + 1/15 + 1/35,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/12 + 1/15 + 1/40. |
| 90 | 189585 | 1 = 1/2 + 1/7 + 1/9 + 1/12 + 1/14 + 1/18 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/9 + 1/18 + 1/20 + 1/30. |
| 91 | 206847 | 1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/11 + 1/12 + 1/22 + 1/33. |
| 92 | 225584 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/15 + 1/60,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/36 + 1/45,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/18 + 1/24 + 1/36,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/12 + 1/24 + 1/40,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/14 + 1/30 + 1/35,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/15 + 1/24 + 1/40,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/14 + 1/20 + 1/35,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/18 + 1/36,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/18 + 1/40,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/20 + 1/40,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 + 1/20,  1 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/15 + 1/20 + 1/24. |
| 93 | 245919 | 1 = 1/2 + 1/5 + 1/8 + 1/9 + 1/24 + 1/45,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/12 + 1/20 + 1/21 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/42,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/9 + 1/10 + 1/15 + 1/45,  1 = 1/3 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/15 + 1/18 + 1/24. |
| 94 | 267967 | 1 = 1/2 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/21 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/21 + 1/24 + 1/28,  1 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/18 + 1/20 + 1/24,  1 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/18 + 1/30. |
| 95 | 291873 | 1 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/54,  1 = 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/20 + 1/60,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/9 + 1/72,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/9 + 1/15 + 1/20 + 1/45,  1 = 1/2 + 1/4 + 1/10 + 1/15 + 1/16 + 1/48,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20 + 1/30,  1 = 1/2 + 1/7 + 1/8 + 1/12 + 1/14 + 1/24 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/20 + 1/24 + 1/30,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/9 + 1/12 + 1/18 + 1/42,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/20 + 1/42,  1 = 1/3 + 1/6 + 1/7 + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/15 + 1/28. |
| 96 | 317787 | 1 = 1/2 + 1/5 + 1/7 + 1/10 + 1/30 + 1/42,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/9 + 1/12 + 1/18 + 1/21 + 1/28,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/14 + 1/15 + 1/20 + 1/35,  1 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/12 + 1/14 + 1/20 + 1/28. |
| 97 | 345855 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/18 + 1/48,  1 = 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/16 + 1/20 + 1/48,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/9 + 1/12 + 1/18 + 1/20 + 1/30,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/20 + 1/24,  1 = 1/3 + 1/6 + 1/7 + 1/9 + 1/12 + 1/14 + 1/18 + 1/28. |
| 98 | 376255 | 1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/11 + 1/20 + 1/22 + 1/33,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/12 + 1/18 + 1/20 + 1/36. |
| 99 | 409173 | 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/15 + 1/30 + 1/40,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/9 + 1/14 + 1/15 + 1/18 + 1/35,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/10 + 1/11 + 1/15 + 1/22 + 1/33,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/20 + 1/35,  1 = 1/2 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/15 + 1/18 + 1/36,  1 = 1/2 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/12 + 1/18 + 1/40,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/36 + 1/45,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/18 + 1/24 + 1/36,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + 1/24 + 1/40,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/18 + 1/20 + 1/24,  1 = 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/24 + 1/30. |
| 100 | 444792 | 1 = 1/2 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/21 + 1/56,  1 = 1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/8 + 1/12 + 1/24 + 1/42,  1 = 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/24 + 1/45. |
1 の単位分数展開で分母の和が 50 および 100 となるものは、それぞれ
および
である。
なお、正整数の逆数の和である調和級数は無限大に発散するから、（真分数に限らず）任意の正の有理数は単位分数の和で表すことができる。ただし、調和級数の発散は非常にゆっくりであるため、比較的小さな有理数であっても多くの単位分数が必要になる。例えば 10 を単位分数の和で表すには、2万個を超える項が必要である。