行列の平方根
計算法 > 明示公式

2 × 2 行列の場合は、すべての成分を明示的に計算することによって平方根を求めることはそう難しくない。固有値が退化していない場合の平方根は明示公式（英語版）として記述できる。
すなわち、



A
=


[



a


b




c


d



]




{\textstyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}

とし、その行列式を



Δ
=
a
d
−
b
c


{\textstyle \Delta =ad-bc}

、

特性方程式



(
x
−
a
)
(
x
−
d
)
−
b
c
=

x

2


−
(
a
+
d
)
x
+
a
d
−
b
c
=
0


{\textstyle (x-a)(x-d)-bc=x^{2}-(a+d)x+ad-bc=0}

の判別式を





δ
=
(
a
+
d

)

2


−
4
(
a
d
−
b
c
)
=
(
a
+
d
+
2


Δ


)
(
a
+
d
−
2


Δ


)


{\textstyle \delta =(a+d)^{2}-4(ad-bc)=(a+d+2{\sqrt {\Delta }})(a+d-2{\sqrt {\Delta }})}

としたとき、
δ
≠
0


{\textstyle \delta \neq 0}

ならば、




A


{\textstyle A}

の平方根は、
1

a
+
d
+
2


Δ





(
A
+


Δ


I
)


{\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {\Delta }}}}}(A+{\sqrt {\Delta }}I)}

、






−
1


a
+
d
+
2


Δ





(
A
+


Δ


I
)


{\textstyle {\frac {-1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {\Delta }}}}}(A+{\sqrt {\Delta }}I)}

、





1

a
+
d
−
2


Δ





(
A
−


Δ


I
)


{\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {\Delta }}}}}(A-{\sqrt {\Delta }}I)}

、






−
1


a
+
d
−
2


Δ





(
A
−


Δ


I
)


{\textstyle {\frac {-1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {\Delta }}}}}(A-{\sqrt {\Delta }}I)}

と明示的に表記できる。
平方根となることは、実際に2乗を計算すれば



(
A
+


Δ


I

)

2


=

A

2


+
Δ
I
+
2


Δ


A
=
(
a
+
d
+
2


Δ


)
A


{\textstyle (A+{\sqrt {\Delta }}I)^{2}=A^{2}+\Delta I+2{\sqrt {\Delta }}A=(a+d+2{\sqrt {\Delta }})A}

から容易にわかる。
あるいは、2次のケイリー・ハミルトンの定理




A

2


−
(
a
+
d
)
A
+
Δ
I
=
0


{\textstyle A^{2}-(a+d)A+\Delta I=0}

から



(
a
+
d
)
A
=

A

2


+
Δ
I


{\textstyle (a+d)A=A^{2}+\Delta I}

、



(
a
+
d
+
2


Δ


)
A
=

A

2


+
2


Δ


A
+
Δ
I
=
(
A
+


Δ


I

)

2




{\textstyle (a+d+2{\sqrt {\Delta }})A=A^{2}+2{\sqrt {\Delta }}A+\Delta I=(A+{\sqrt {\Delta }}I)^{2}}

としても良い。
これら以外に平方根が存在しないことについては、




B

2


=
A


{\textstyle B^{2}=A}

とした場合、



δ
≠
0


{\textstyle \delta \neq 0}

より



A


{\textstyle A}

は2つの相異なる固有値




λ

1




{\textstyle \lambda _{1}}

、




λ

2




{\textstyle \lambda _{2}}

と、独立な固有ベクトル



A

v

1


=

λ

1



v

1




{\textstyle Av_{1}=\lambda _{1}v_{1}}

、



A

v

2


=

λ

2



v

2




{\textstyle Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}}

を持つが、任意の2次列ベクトルは、




v

1




{\textstyle v_{1}}

、




v

2




{\textstyle v_{2}}

の1次結合で表せるので、



B

v

1


=

α

11



v

1


+

α

12



v

2




{\textstyle Bv_{1}=\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2}}

、



B

v

2


=

α

21



v

1


+

α

22



v

2




{\textstyle Bv_{2}=\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2}}

とすると、





λ

1



v

1


=
A

v

1


=
B
B

v

1


=
B
(

α

11



v

1


+

α

12



v

2


)
=
(

α

11


2


+

α

12



α

21


)

v

1


+
(

α

11



α

12


+

α

12



α

22


)

v

2




{\textstyle \lambda _{1}v_{1}=Av_{1}=BBv_{1}=B(\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2})=(\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{11}\alpha _{12}+\alpha _{12}\alpha _{22})v_{2}}

、





λ

2



v

2


=
A

v

2


=
B
B

v

2


=
B
(

α

21



v

1


+

α

22



v

2


)
=
(

α

21



α

11


+

α

22



α

21


)

v

1


+
(

α

21



α

12


+

α

22


2


)

v

2




{\textstyle \lambda _{2}v_{2}=Av_{2}=BBv_{2}=B(\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2})=(\alpha _{21}\alpha _{11}+\alpha _{22}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{21}\alpha _{12}+\alpha _{22}^{2})v_{2}}

すなわち、






[




λ

1




0




0



λ

2





]


=


[




α

11





α

12







α

21





α

22





]




[




α

11





α

12







α

21





α

22





]


=


[




α

11


2


+

α

12



α

21





α

12


(

α

11


+

α

22


)





α

21


(

α

11


+

α

22


)



α

22


2


+

α

12



α

21





]




{\textstyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}&\alpha _{12}(\alpha _{11}+\alpha _{22})\\\alpha _{21}(\alpha _{11}+\alpha _{22})&\alpha _{22}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}\end{bmatrix}}}

であるが、





λ

1


≠

λ

2




{\textstyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}

のため、解は




α

11


=
±



λ

1






{\textstyle \alpha _{11}=\pm {\sqrt {\lambda _{1}}}}

、




α

12


=

α

21


=
0


{\textstyle \alpha _{12}=\alpha _{21}=0}

、




α

22


=
±



λ

2






{\textstyle \alpha _{22}=\pm {\sqrt {\lambda _{2}}}}

に定まる。これにより任意の2次列ベクトル



x

v

1


+
y

v

2




{\textstyle xv_{1}+yv_{2}}

が



B


{\textstyle B}

によりどう変換されるかが定まるが、これは



B


{\textstyle B}

が定まることを意味する。



A


{\textstyle A}

が固有値ゼロを持たない場合は解が4組、固有値ゼロを持つ場合（



Δ
=
0


{\textstyle \Delta =0}

の場合）は解が2組であるが、これは上記の明示公式で尽くされているので、これら以外には、平方根は存在しない。
δ
=
0


{\textstyle \delta =0}

の場合は、複雑になる。





δ
=
0


{\textstyle \delta =0}

かつ



A


{\textstyle A}

の最小多項式が1次の場合
δ
=
0


{\textstyle \delta =0}

かつ



A


{\textstyle A}

の最小多項式が2次で



Δ
≠
0


{\textstyle \Delta \neq 0}

の場合
δ
=
0


{\textstyle \delta =0}

かつ



A


{\textstyle A}

の最小多項式が2次で



Δ
=
0


{\textstyle \Delta =0}

の場合
D が n × n 対角行列ならば、D の対角成分の任意の平方根を対応する位置の対角成分に持つ対角行列 R を作れば平方根が得られる。D の対角成分が非負の実数ならば、先の対角行列 R で各成分の符号を全て正としたものは D の主平方根である。
冪等行列の平方根は、自身を平方根に持つ。