stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
2020年の世界ツーリングカーカップ
結果とランキング > ランキング > WTCRトロフィー

マニファクチャラーのサポートの無いドライバーが対象。
| 順位 | ドライバー | BEL  | BEL  | GER  | GER  | SVK  | SVK  | SVK  | HUN  | HUN  | HUN  | ESP  | ESP  | ESP  | ARA  | ARA  | ARA  | ポイント |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 |  ジャン＝カール・ベルネ | 5 | 7 | 9 | 6 | 3 | 14 | 4 | 91 | 3 | 5 | 1 | Ret | 6 | 81 | 2 | 3 | 121 |
| 2 |  ジル・マグナス | 101 | 4 | 7 | Ret | 7 | 2 | 3 | 15 | 10 | 14 | 31 | 8 | 5 | 3 | 4 | 9 | 101 |
| 3 |  ナタナエル・ベルトン | 9 | 14 | 12 | 12 | 11 | Ret | 2 | 12 | 11 | 11 | 12 | 4 | 4 | 4 | NC | 8 | 94 |
| 4 |  トム・コロネル | 4 | 6 | 51 | 8 | 6 | 1 | 6 | 11 | 17 | 13 | 19† | Ret | 8 | 12 | 15 | 15 | 80 |
| 5 |  ベンス・ボルティズ | 17 | 17 | 10 | 13 | 21† | 13 | NC | 16 | 6 | 17 | 9 | DNS | 15 | 17 | Ret | 16 | 28 |
| 6 |  オーレリアン・コンテ |  |  |  |  | 16 | 12 | 12 | 17 | 19† | 19 | Ret | NC | Ret | 14 | 12 | 17 | 13 |
| 7 |  Gabor Kismarty-Lechner | 19 | 18 | 11 | 14 | 20 | 17 | 16 | 19 | 16 | 21 | 18† | 17† | 13 | Ret | 14 | 19 | 8 |
| 8 |  ジャック・ヤング | 20† | 21† | Ret | DNS |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 0 |
| 順位 | ドライバー | BEL  | BEL  | GER  | GER  | SVK  | SVK  | SVK  | HUN  | HUN  | HUN  | ESP  | ESP  | ESP  | ARA  | ARA  | ARA  | ポイント |
注

↑  ベンス・ボルティズはチームズタイトルのポイント対象外であった。
山口県道267号中ノ川於福停車場線

| 一般県道 |
| --- | --- |
    
山口県道267号 中ノ川於福停車場線 一般県道 中ノ川於福停車場線
制定年: 1958年（昭和33年）
起点: 下関市豊田町大字殿敷【北緯34度9分59.9秒 東経131度6分15.5秒﻿ / ﻿北緯34.166639度 東経131.104306度﻿ / 34.166639; 131.104306﻿ (県道267号起点)】
終点: 美祢市於福町下【北緯34度14分10.5秒 東経131度12分27.2秒﻿ / ﻿北緯34.236250度 東経131.207556度﻿ / 34.236250; 131.207556﻿ (県道267号終点)】
接続する 主な道路 （記法）:     山口県道65号山陽豊田線 国道435号     山口県道38号美祢油谷線
■テンプレート（■ノート ■使い方） ■PJ道路
山口県道267号中ノ川於福停車場線（やまぐちけんどう267ごう なかのかわおふくていしゃじょうせん）は、山口県下関市から美祢市に至る一般県道である。
概要

下関市豊田町大字殿敷から美祢市於福町下のJR西日本美祢線 於福駅前に至る。
概要 > 路線データ

起点：下関市豊田町大字殿敷（山口県道65号山陽豊田線交点）
終点：美祢市於福町下（JR西日本美祢線 於福駅前）
歴史

1958年（昭和33年）10月1日 - 山口県告示第644号の2により認定される。
1972年（昭和47年） - 山口県の県道番号再編により現行の路線番号に変更される。
2005年（平成17年）2月13日 - 下関市と豊浦郡の全4町が対等合併して改めて下関市が設置されたことに伴い起点の地名表記が変更される（豊浦郡豊田町殿敷字中ノ川→下関市豊田町殿敷字中ノ川）。
路線状況 > 重複区間

山口県道38号美祢油谷線（美祢市於福町上）
山口県道341号大嶺於福線（美祢市於福町上）
地理 > 通過する自治体

山口県
下関市 - 美祢市
地理 > 交差する道路

| 交差する道路 | 市町村名 | 交差する場所 | 交差する場所 |
| --- | --- | --- | --- |
| 山口県道65号山陽豊田線 | 下関市 | 豊田町大字殿敷 | 起点 |
| 国道435号 | 美祢市 | 豊田前町麻生下 | 麻生交差点 |
| 山口県道38号美祢油谷線 重複区間起点 | 美祢市 | 於福町上 |  |
| 山口県道38号美祢油谷線 重複区間終点 | 美祢市 | 於福町上 |  |
| 山口県道341号大嶺於福線 重複区間起点 | 美祢市 | 於福町上 |  |
| 山口県道341号大嶺於福線 重複区間起点 | 美祢市 | 於福町上 |  |
地理 > 沿線

美祢市立豊田前小学校
レークスワンカントリー倶楽部美祢コース
中国自然歩道
美祢テクノパーク
美祢カントリークラブ
JR西日本美祢線 於福駅
道の駅おふく（終点付近）
W53CA

| --- | --- |
 W53CA（フレアレッド）
 W53CA（フレアレッド）
キャリア: au
製造: カシオ計算機
発売日: 2007年8月2日
概要
OS: REX OS ＋ KCP
CPU: ARM9E
音声通信方式: CDMA 1X WIN （800MHz/2GHz/新800MHz）
形状: 2軸折りたたみ型
サイズ: 103 × 50 × 18.9 mm
質量: 121 g
連続通話時間: 270分
連続待受時間: 340時間 (移動と静止の組合せ)
充電時間: 140分
バッテリー: 880mAh
外部メモリ: microSD
日本語入力: ATOK for au＋APOT
FeliCa: あり Touch Message・ケータイクーポン対応
赤外線通信機能: IrSimple
Bluetooth: なし
放送受信機能: なし
備考: 2007年度グッドデザイン賞商品デザイン部門受賞
メインディスプレイ
方式: IPS液晶ディスプレイ
解像度: ワイドVGA （480×800ドット）
サイズ: 2.8インチ
表示色数: 65000色
サブディスプレイ
なし
メインカメラ
画素数・方式: 515万画素CMOS
機能: AF付き 手ブレ軽減機能付き
サブカメラ
なし
カラーバリエーション
: フレアレッド (Flare Red)
: アイリスホワイト (Iris White)
: ベールブラック (Veil Black)
■テンプレート / ■ノート ■ウィキプロジェクト
EXILIMケータイ W53CA（えくしりむけーたい だぶりゅーごーさんしーえー）は、カシオ計算機およびカシオ日立モバイルコミュニケーションズ（現・NECモバイルコミュニケーションズ）が日本国内向けに開発した、auブランドを展開するKDDIおよび沖縄セルラー電話の携帯電話である。
2011年9月30日に、外部からの強い力によりバッテリーパックより発煙や融解があるとして回収・交換を発表した。出荷台数の約80万台の内、現在稼働中の約26万台については新しいバッテリーパックが送付され、解約や機種変更時に回収ができていなかった対象者へは、案内文が送付された。
特徴

W31CAの実質的後継モデルで、カシオが発売しているコンパクト型デジタルカメラ「EXILIM」の名前を冠する携帯電話であり、発売当時としては日本製携帯電話のカメラ機能としては最高クラスの515万画素CMOSを搭載し、EXILIMエンジンfor Mobileの採用により高画質化を図っている。レンズは広角28ミリで、手振れ補正や9ポイントオートフォーカスなど多機能である。またカシオ製携帯電話では初めて2.8インチのWVGA・IPS液晶が採用された。厚さ18.9mmと回転2軸型としては薄型であるため、光学ズームは採用されていない。また、カメラ機能に特化した端末であり、ワンセグは非搭載である。
最近のカシオ計算機製の携帯電話と違い、microSDの挿入口が本体のサイドに付いており、外部接続端子とともに１つのカバーで覆われている。（後継機であるW63CAでは挿入口は同じ位置にあるが、バッテリーのカバーで覆われている。）
イヤホン端子のカバーはスライド式である。
デザイン面では、背面側に目立つ形でレンズやEXILIMのロゴが配置されているほか、W31CAと同様に回転2軸を用いてメインディスプレイを外側に配した形で折りたたむことが可能となっており、またカメラのシャッターなど、折りたたんだ状態でも使用可能なボタン類を側面に配置している。これらは誰が見てもデジタルカメラのように見えるというデザインが意図されており、実際にカメラのように構えて撮影することが可能となっている。
カメラ以外での機能ではVGA液晶を生かしたPCドキュメントビューアーがW41CA以来、5機種ぶりに搭載されている。
なお、EXILIMエンジンfor MobileはW53CAのカメラ機能のために新開発したものである。
外箱はオレンジ色の外箱ではなく、デジタルカメラEXILIMの外装箱と似通った独自仕様となっている。また、持ち帰り時の手提げ袋にも同配色のものが用意される。ただし、このように外箱や袋がauの標準デザインでない独自仕様となっているものは、「EXILIMケータイ」以外にも「AQUOSケータイ」「Woooケータイ」「サイバーショットケータイ」や「au design project」端末などが存在する。
カメラレンズの周囲のゴムリングが膨脹して浮き上がり、外れるというトラブルが発生することがあるが、購入1年以内であれば無償修理の対象となる。
沿革

2007年5月22日 KDDIより発表。
2007年8月2日 沖縄地区で発売開始。
2007年8月3日 北海道地区で発売開始。
2007年8月4日 北陸・中国・四国地区で発売開始。
2007年8月7日 関東・中部地区での発売日を8月9日から8月11日に延期すると発表。
2007年8月8日 東北・関西地区で発売開始。
2007年8月9日 九州地区で発売開始。
2007年8月11日 関東・中部地区で発売開始。
2011年9月30日 バッテリーパックのリコールを発表。
対応サービス

au Smart Sports（アプリのダウンロードが必要）
EZチャンネルプラス
EZニュースフラッシュ
デコレーションメール
PCドキュメントビューアー
PCサイトビューアー
au LISTEN MOBILE SERVICE(ビデオクリップ対応)
着うたフル
Hello Messenger
EZナビウォーク (声de入力)
EZ助手席ナビ
災害時ナビ
EZ FeliCa
赤外線通信(IrSimple)
SD-Audio (AAC)
SD-Video
au ケータイクーポン
デコレーションメール
絵しゃべりメール
緊急通報位置通知
ラッピングメール
Touch Message
オープンアプリプレイヤー
安心ナビ
モバイル辞典
仁科扶紀

仁科 扶紀（にしな ふき、1966年1月10日 - ）は、日本の女優である。本名同じ。京都府京都市出身。特技は乗馬、ベリーダンス、手話。趣味はランニング、アーティスティックスイミング、ポールダンス、フラダンス、カラオケ。旧芸名は仁科ふき、仁科抉記（子役時代）。川谷拓三（本名は仁科拓三）の長女。
東海大学卒業。1994年に結婚した。
出演 > 映画

戦後猟奇犯罪史（1976年）
ボクの女に手を出すな  （1986年）
はるか、ノスタルジィ  （1992年）
出演 > テレビドラマ

水戸黄門 第7部 第13話「泣くなわらしっこ -秋田-」（1976年、TBS / C.A.L） - 源兵衛の娘
恋はミステリー劇場「向田邦子新春スペシャル 夜中の薔薇」（1985年、TBS）
もめん家族（1986年、THK）
朝の連続テレビ小説 （NHK）
はね駒（1986年）
チョッちゃん（1987年）
明日（NTV）
月曜ドラマスペシャル （TBS）
「ジューンブライドは幸せになれる?」（1990年）
「湯けむり仲居純情日記5」（1995年、TBS）
土曜ワイド劇場 / 離婚カップル探偵する（1990年、ANB）
想い出にかわるまで（1990年、TBS）
クリスマス・イブ（1990年、TBS）
ふぞろいの林檎たちIII（1991年、TBS）
世にも奇妙な物語「離れません」（1991年、CX）
クリスマス・イヴからはじめよう（1991年、TBS）
火曜サスペンス劇場 （NTV）
「湖畔の館殺人事件」（1993年）
「鏡の微笑」（2000年）
セールスレディは何を見た （1993年、ANB） - 友子 役
妻たちの劇場 / パパと呼べないの!（1993年、CX）
花王 愛の劇場 / お見合いの達人（1994年、TBS） - 井上えりか 役
福井さんちの遺産相続（1994年、KTV）
カンパニー〜逆転のスワン〜（1996年、NHK）
毛利元就（1997年、NHK） - 美々 役
月曜ミステリー劇場「おばさん会長・紫の犯罪清掃日記 ゴミは殺しを知っている3」（TBS）
出演 > その他の番組

夜も一生けんめい（NTV）
いつみても平平凡凡（NTV）
一枚の写真（CX）
著書

ネコと話ができる本（ロングセラーズ）
ジョン・ポター (アメリカンフットボール)

ジョン・ポター（John Potter、1990年1月24日- ）は、アメリカ合衆国ミシガン州カラマズー出身の元アメリカンフットボール選手。NFLのワシントン・レッドスキンズなどに所属していた。ポジションはプレースキッカー。
経歴

高校時代はアメリカンフットボールの他に陸上競技をしていた。西ミシガン大学では129回連続でPATを成功させた。
2012年のNFLドラフト7巡251位でバッファロー・ビルズから指名されて入団した。正キッカーのライアン・リンデルは2011年NFLベスト10に入るFGの精度を見せたが、キックオフの飛距離が32チーム中30位だったこともあり、ポターがキックオフのスペシャリストとして開幕ロースター53名に残った。第6週終了後の11月6日、解雇された。
2013年6月12日、ワシントン・レッドスキンズと契約を結んだ。8月26日に解雇されたが、カイ・フォーバスが故障したことから9月14日にレッドスキンズと契約を結んだ。
ハワード・テイラー・リケッツ

ハワード・テイラー・リケッツ
ハワード・テイラー・リケッツ（Howard Taylor Ricketts, 1871年2月9日 - 1910年5月3日）は、アメリカ合衆国の病理学者、微生物学者。
オハイオ州フィンドレー生まれ。1894年ノースウェスタン大学医学部卒業後、クック郡立病院の医師となり、1899年に皮膚病理学の講師として、ラッシュ医科大学（Rush Medical College）に移る。1902年シカゴ大学病理学部門講師となり、のちに助教授。1910年ペンシルベニア大学病理学教授。1906年からロッキー山紅斑熱の研究を開始し、1908年には、マダニから病原性の微生物を発見、同時に野性動物の血液中からもリケッチアと命名された微生物を発見した。また、メキシコへ発疹チフスの調査に出かけ、一度かかると免疫性を獲得することも発見するが、地方病性発疹熱を研究中に感染し、メキシコシティで39歳で死去した。
大森美紀子

大森 美紀子（おおもり みきこ、1961年4月29日 - ）は日本の舞台女優。東京都出身。
雙葉学園（幼稚園〜高校）、玉川大学卒業。大学在学中に早稲田大学の学生劇団「てあとろ50'」に入団。演劇集団 円養成所を経て、学生劇団の同期であった成井豊が代表を務める演劇集団キャラメルボックスに1985年に入団。所属事務所はナッポスユナイテッド。夫は同劇団の西川浩幸(2001年結婚)。円養成所では福澤朗と同期であった。
主な出演

→グループ活動は演劇集団キャラメルボックスの項目を参照
主な出演 > テレビドラマ

誰かが扉を叩いている
のだめカンタービレ
てるてるあした
雨と夢のあとに
愛と死をみつめて
生徒諸君!
主な出演 > ラジオドラマ

FMシアター（NHK-FM）
『2233歳』（2013年3月16日）
『坂多き 僕らの町に 照り降り雨』（2024年11月2日）
主な出演 > 舞台 > 演劇集団キャラメルボックス

太字は主演作品
『地図屋と銀ライオン(1986年、つなみ) - 旗揚げ公演。本来旗揚げメンバーの真柴あずきがする予定だったが、公演寸前で交代となった。
『百万年ピクニック』(1987年、まりな)
『グッドナイト将軍』(1988年、わたる)
『不思議なクリスマスのつくりかた』(1988年・1990年・1996年、チャーリー・ブラウン)
『銀河旋律』(1989年・1992年・1999年・2002年、はるか)
『スケッチブック・ボイジャー』(1988年・1989年・1995年・2005年、のはら)
『サンタクロースが歌ってくれた』(1989年・1992年、ゆきみ/1997年・2010年、奥様)
『広くてすてきな宇宙じゃないか』(1990年・1992年・1999年・2005年・2012年、おばあちゃん) - 2012年のみ石川寛美・坂口理恵とトリプルキャスト
『四月になれば彼女は』(1993年・2002年、麻子)
『ケンジ先生』(1996年・1998年・2013年、ママ) - 2013年はどんぐりキャスト
『ブラック・フラッグ・ブルーズ』(1997年、マリナ)
『ミスター・ムーンライト<月光旅人>』(2001年、取手部長)
『トリツカレ男』(2007年、オルガ)
『容疑者Xの献身』(2009年、米沢)
『エンジェル・イヤーズ・ストーリー』(2009年、三沢詠子)
『ヒア・カムズ・ザ・サン』(2011年、輝子)
『流星ワゴン』(2011年、永田梯子)
『無伴奏ソナタ』(2012年・2014年、カレン/デニス)
『キャロリング』(2012年、西山英代)
『雨と夢のあとに』(2013年、水村/波代)
『鍵泥棒のメソッド』(2014年・2017年、水嶋京子)
『カレッジ・オブ・ザ・ウィンド』(2015年、松倉)
『BREATH』(2015年、新居浜文子)
『彼は波の音がする』(2016年、白浜邦子/ベガ)
『彼女は雨の音がする』(2016年、白浜邦子)
『ティアーズライン』(2017年上演予定)
主な出演 > 舞台 > 客演

『天国から北へ3キロ』(加藤昌史プロデュース)
『ザ・中学教師』(プラチナペーパーズ)
『ファンレターズ』(じんのひろあきプロデュース)
『お願い』(ラックシステム)
『空の音~2006~』(Skyfish)
『なんせんす』(あんぽんたん組合)
『ワンダーガーデン』(玉造小劇店)
『虚言の城の王子』(空想組曲)
『ハックルベリーにさよならを』(2013年、短い演劇推薦委員会)
『ヒア・カムズ・ザ・サン』(2014年、スカイロケット)
『みえない雲』(2014年、MINAMOZA)
『ナミヤ雑貨店の奇蹟』(2016年) - 皆月良子/川辺ミドリ役
『ぐりっぐるっぐらっ』(2017年、BOOWHOWOOL)
『みーちゃんの復活』（2024年、渡辺源四郎商店）
主な出演 > CM

救心製薬 - 西川浩幸と夫婦共演
みき丸

1988年に創刊した劇団の会報誌「ハテナ気象台」にて、チケット代が安くて予算が無い為に、当時制作チーフだった大森美紀子が自らブタのイラストを描いた事で誕生した劇団のマスコット。
現在では毎公演ごとに公演内容に沿った服装を来たみき丸が飾られ、Tシャツ・絵本・ピンバッジ・ストラップなどグッズも定期的に増えている。また、近年は劇場近くの飲食店と提携して「みき丸パン」も数量限定で作られている。
2013年で「ハテナ気象台」が100号を迎えた事を記念にぶたアート展が開催され、Facebookに制作されたページに100号で乗せられた劇団員のぶたアートや投稿されたぶたアートを公開している。
参考

↑  “白河桃子『同級生は劇団キャラメルボックスの創設メンバーです！』”. 白河桃子オフィシャルブログPowered by Ameba. 2022年5月11日閲覧。
↑  “FMシアター 2013年 放送済みの作品”. NHK. NHKオーディオドラマ.   日本放送協会. 2024年11月3日閲覧。
↑  “『坂多き 僕らの町に 照り降り雨』”. NHK. FMシアター.   日本放送協会. 2024年11月3日閲覧。
↑  加藤昌史『拍手と言う花束のために』ロゼッタストーン、2005年初版、24頁より引用
↑  “キャラメルボックス・サポーターズ・クラブ 結成20周年記念公演 『広くてすてきな宇宙じゃないか』公式サイト”.  演劇集団キャラメルボックス. 2012年9月19日閲覧。
↑  “劇場で演じるオーディオドラマ、うさぎ庵「みーちゃんの復活」”. ステージナタリー.   ナターシャ (2024年3月13日). 2024年3月13日閲覧。
↑  加藤昌史『拍手と言う花束のために』ロゼッタストーン、2005年初版、35頁より引用
↑  “劇団総指揮加藤昌史ブログ『神戸限定!!みき丸パン』2007年11月18日”.  加藤昌史. 2012年9月20日閲覧。
↑  “ぶたアート募集!!”.  演劇集団キャラメルボックス. 2013年7月18日閲覧。
集合の代数学

集合の代数学（しゅうごうのだいすうがく、英: algebra of sets）は、集合の集まりを結び・交わり・補演算といった集合演算、集合の相等関係・包含関係のような二項関係などを持つ体系として捉えたものである。集合の代数学を考えることで、集合に関する基本的な性質・法則を明らかにし、これらの演算や関係に伴って必要となる式の評価や計算の実行に関して系統的な扱いができるようになる。
はじめに

集合の代数学は、集合操作と集合関係の基本的性質を扱う。これらの性質は集合の根本的性質への洞察を提供するとともに、実用的な側面も持っている。
通常の算術における式やその計算とまったく同様に、集合に関する式や計算も複雑になりうるから、そのような式の評価や効率的な計算を自在に行うために、体系的な取り扱い方を有しているということは有効である。
算術について、演算と関係の基本性質を扱うのは初等代数学である。
例えば、加法と乗法は、結合法則、交換法則、分配法則といったよく知られた法則に従う。また、「—以下」といった関係は反射律、反対称律、推移律といった法則に従う。これらの規則は数や数の操作や関係の基本的性質を表しているだけでなく、計算を容易にするツールとしても働く。
集合の代数学は、そのような初等代数学を集合論に適用するものである。和集合、共通部分、差集合といった集合論的操作や等価性や部分性の関係に関する代数学である。集合そのものについては集合の項目や素朴集合論の項目を参照。また、集合の厳密な公理的扱いについては公理的集合論を参照。
集合の代数学の基本法則

和集合と共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式を満足する。その一部には法則としての名称がある。以下で命題として証明なしで3つの規則を示す。
命題 1: 任意の集合 A、B、C について、以下が成り立つ。
A\cup B=B\cup A
A\cap B=B\cap A
(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)
(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)
A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)
A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)
和集合と共通部分が数の加法と乗法に性質が非常によく似ている点に注意が必要である。加法や乗法と同じく、和集合や共通部分の操作は可換で結合的であり、共通部分は和集合に対して分配的である。しかし、加法や乗法と異なる点として、和集合も共通部分に対して分配的である。
次の命題では3つの特殊な集合に関する2組の規則を示している。3つの特殊な集合とは、空集合、普遍集合（universal set）、補集合である。
命題 2: 普遍集合 U の任意の部分集合 A について、以下が成り立つ。
A\cup \varnothing =A
A\cap U=A
A\cup A^{\mathrm {C} }=U
A\cap A^{\mathrm {C} }=\varnothing
同一性の規則（と相補性の規則）は、加法や乗法で 0 と 1 がそうであるように、∅ と U が和集合や共通部分の単位元であることを示している。
加法や乗法とは異なり、和集合や共通部分は逆元を持たない。しかし、相補性の規則は一種の逆元的な集合の相補性の単項演算の基本的性質を示している。
以上の5組の規則（交換、結合、分配、同一性、相補性）が集合の代数学の基本であり、これらから全ての集合の代数学の定理が生まれる。
双対原理

→「」も参照
上述の命題から次のような興味深いパターンが表れる。すなわち、全ての規則は組になっていて、∪ と ∩、∅ と U を入れ替えることで相互に変換が可能である（束に関する双対性）。
これは集合の代数学の重要かつ強力な性質の例であり、集合の双対原理（principle of duality）と呼ばれ、集合に関する任意の正しい式について、その中の和集合演算と共通部分演算を入れ替え、U と ∅ を入れ替えた式もやはり正しいことを示している。入れ替えた後の式が入れ替え前の式と同じである場合、これらを自己双対（self-dual）であるという。
和集合と共通部分の追加規則

次の命題は、和集合と共通部分に関する6つの重要な法則を示している。
命題 3: 普遍集合 U の任意の部分集合 A と B について、以下が成り立つ。
A\cup A=A
A\cap A=A
A\cup U=U
A\cap \varnothing =\varnothing
A\cup (A\cap B)=A
A\cap (A\cup B)=A
前述の通り、命題3の各法則は命題1および命題2の基本法則から導出できる。例として、以下に和集合の等冪法則の証明を示す。
証明:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  A\cup A |  =(A\cup A)\cap U | 共通部分の同一性の規則による |
|  |  =(A\cup A)\cap (A\cup A^{\mathrm {C} }) | 和集合の相補性の規則による |
|  |  =A\cup (A\cap A^{\mathrm {C} }) | 共通部分に対する和集合の分配法則による |
|  |  =A\cup \varnothing  | 共通部分の相補性の規則による |
|  |  =A | 和集合の同一性の規則による |
次の証明は、上記の和集合の等冪法則の証明と双対関係にあり、共通部分の等冪法則の証明となっている。
証明:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  A\cap A |  =(A\cap A)\cup \varnothing  | 和集合の同一性の規則による |
|  |  =(A\cap A)\cup (A\cap A^{\mathrm {C} }) | 共通部分の相補性の規則による |
|  |  =A\cap (A\cup A^{\mathrm {C} }) | 和集合に対する共通部分の分配法則による |
|  |  =A\cap U | 和集合の相補性の規則による |
|  |  =A | 共通部分の同一性の規則による |
補集合の追加規則

次の命題は補集合に関する集合の代数学の5つの規則を示している。
命題 4: A と B が普遍集合 U の部分集合であるとき、以下が成り立つ。
(A\cup B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cap B^{\mathrm {C} }
(A\cap B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cup B^{\mathrm {C} }
A^{\mathrm {CC} }=A
\varnothing ^{\mathrm {C} }=U
U^{\mathrm {C} }=\varnothing
二重補集合の規則は自己双対であることに注意。
次の命題も自己双対であり、補集合の規則を満たす集合は補集合しかないことを示している。換言すれば相補性は補集合の規則で特徴付けられる。
命題 5: A と B が普遍集合 U の部分集合であるとき、以下が成り立つ。
A\cup B=U で、かつ  A\cap B=\varnothing  なら、 B=A^{\mathrm {C} } が成り立つ。
包含の代数学

次の命題は、部分集合に半順序が成り立つことを示している。
命題 6: 集合 A、B、C について次が成り立つ。
A\subseteq A
A\subseteq B かつ  B\subseteq A であることと  A=B は等価
A\subseteq B で、かつ  B\subseteq C であるなら、 A\subseteq C が成り立つ。
次の命題は、任意の集合 S とその冪集合に包含関係の順序性、上限と下限があり、分配法則と相補性の規則からブール代数が導かれることを示している。
命題 7: 集合 A、B、C が集合 S の部分集合であるとき、以下が成り立つ。
\varnothing \subseteq A\subseteq S
A\subseteq A\cup B
A\subseteq C で、かつ  B\subseteq C なら、 A\cup B\subseteq C が成り立つ。
A\cap B\subseteq A
C\subseteq A で、かつ  C\subseteq B なら、 C\subseteq A\cap B が成り立つ。
次の命題は  A\subseteq B という式を和集合や積集合や補集合を使って表現できることを示している。
命題 8: 任意の2つの集合 A と B について、以下の式は等価である。
A\subseteq B
A\cap B=A
A\cup B=B
A-B=\varnothing
B^{\mathrm {C} }\subseteq A^{\mathrm {C} }
この命題は集合の包含関係を和集合や共通部分で表せることを示しており、換言すれば包含関係の記述は公理的に冗長である。
差集合の代数学

以下の命題は差集合に関するいくつかの恒等式が並べてある。− は差集合を求める演算を表し、 \bullet ^{\mathrm {C} } は　 \bullet  の補集合を表す。
命題 9: 任意の普遍集合 U とその部分集合 A、B、C について、以下が成り立つ。
C-(A\cap B)=(C-A)\cup (C-B)
C-(A\cup B)=(C-A)\cap (C-B)
C-(B-A)=(A\cap C)\cup (C-B)
(B-A)\cap C=(B\cap C)-A=B\cap (C-A)
(B-A)\cup C=(B\cup C)-(A-C)
A-A=\varnothing
\varnothing -A=\varnothing
A-\varnothing =A
B-A=A^{\mathrm {C} }\cap B
(B-A)^{\mathrm {C} }=A\cup B^{\mathrm {C} }
U-A=A^{\mathrm {C} }
A-U=\varnothing
数学史

ヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラ。最古の数学文書の一つとして知られる。
数学史（すうがくし、英語：history of mathematics）とは、数学の歴史のことである。第一には、数学上の発見の起源についての研究であり、副次的な興味として、過去の数学においてどのような手法が一般的であったかや、どのような記号が使われたかなども調べられている。
概要

数学史は、文明が起こる以前に遡って説明することができる。そこには、狩猟や採集、また生活を維持するために必要だった計数の概念などが含まれる。また、文明成立後は各地で様々な水準の数学の発展が興るが、やがて文明の交流によって現代の数学に繋がっていく。
原始時代から古代の数学的概念 > 数の概念、計数

有史より遥か古い時代の線画にも、数学の知識や、天体観測に基づいた測時法があったことを示すものがある。古生物学者による例では、南アフリカの砂岩洞窟の中に、幾何学的模様で彩られた線刻画が発見され、紀元前7万年頃のものと推定されている。他にも、アフリカやフランスで発見されている紀元前3万5千～2万年頃の先史時代遺物の中に、時間を表現しようとした形跡がある。
古代、記数法は、女性が生理の日を記録するために必要とされたという証拠がある。また、28～30のキズがついた石や骨が、複数見つかるという事例がある。さらに、ハンターたちは獣の群について考慮する際には、「1」「2」「多数」、さらに「無」や「零（れい、ゼロ）」の概念を使っていたということも分かっている。整数や実数といった数の集合の要素の一つとして零を見出したとは言えないものの、零の概念はこの時期からすでにあったということもできる。
原始時代から古代の数学的概念 > 算術、幾何学の始まり

イシャンゴの骨といわれる遺物が、ナイル川源流地域（コンゴ民主共和国北東部）で発見されており、紀元前2万年頃のものと推測されている。この骨が表現している内容は、最初期の素数列や、古代エジプトのかけ算であると考えられている。また、紀元前5000年代のエジプト先王朝時代のエジプト人は幾何学的・空間的デザインの絵画表現を残している。紀元前3000年代以降のイングランドやスコットランドにおける巨石記念物には、円、楕円、ピタゴラス数、などの数学的概念が織り込まれているとの指摘がある。
古代インド数学で知られている最古の史料は、紀元前3000～2600年頃の、北インドおよびパキスタンに位置したインダス文明（ハラッパー文化）にある。　ハラッパー文化は十進法を使った重量・距離の計量法を発達させ、驚くほど精密で数学的な比率の寸法をもったレンガを作っていた。また、道は完全な直角をなして敷設されている。彼らが用いたデザインには立方体・樽型・円錐・円柱などを含む幾何学的形態や、同心あるいは交錯する円や三角形などの意匠がある。発見された数学用具には、十進目盛が刻まれ、細かく精細な目盛りの付いた正確な定規や、地平座標における角度を40度あるいは360度法で測るために用いられた貝のコンパス、天球を8ないし12分して計測するための貝製の計測器、航法のために星の位置を計測する計測器などがある。インダス文字はまだ解読されていないため、ハラッパーの文字による数学についてはほとんどわかっていない。考古学的な証拠によれば、この文明は、8を基数とする記数法を使っており、円周率πの値を知っていたとの説がある。中国の殷王朝時代（紀元前1600年頃～1046年）には、現在も使われる漢数字の初期のものが、亀甲に彫られている。周王朝の時代にすでに用いられていた算籌（さんちゅう）記法は竹の棒を並べて数を表した方法を字写したものだが、これは位取り記数法の歴史上最も古い現れだと見なすことができる。例えば「123」を（縦書きで）表す場合は以下のようにする。まず「1」を表す数字を書く。次に「100」を表す数字を書く。次に「2」を表す数字を書く。次に「10」を表す数字を書く。そして「3」を表す数字を書く（要するに「一百二十三」と書く）。これは、算盤での計算を可能にした。算盤が発明された時期は不明だが、西暦190年頃に劉徽により書かれた『九章算術』の注釈の中に記述が存在する。
原始時代から古代の数学的概念 > 法則性の発見

近代においては知識が全世界に拡散したが、それ以前の時代では、数学上の発見についての記録があるのは限られた地域のみである。発見されている古い数学文書として、
プリンプトン322 - バビロニア数学、紀元前1900年頃
モスクワ数学パピルス - エジプト数学、紀元前1850年頃
リンド・パピルス - エジプト数学、紀元前1650年頃
シュルバ・スートラ - インドの数学、紀元前800年頃
などがある。これらの文書はすべてピタゴラス数について述べており、ピタゴラスの定理の内容は最も早く最も広まった数学の法則の一つであると見なせる。これらの例は、ピタゴラス数のうちのいくつかの振る舞いを調べたり、その法則性に注目しているに過ぎない。普遍性を仮定する定理（証明された真なる命題）という概念は、ギリシア文明以降で見られるようになる。
古代から中世における数学の発展 > 概要

エジプトおよびバビロニア数学は、古代ギリシアにおいてさらに発展した。古代ギリシアの数学は、手法と内容の両方を革新したという点で、非常に重要であると考えられている。これら古代文明で発展した数学は、イスラム数学でさらに大きく発展した。多くのギリシア語とアラビア語の数学の文献が中世のヨーロッパでラテン語に翻訳され、さらに発展した。
紀元前にも数学や文化の地域間の相互作用の証拠はいくつも見られるが、古代・中世の数学史の特徴は、大発展の後しばしば何世紀もの停滞が起きたり、地域ごとに特色を持って発展していることである。文化の交流が蓄積し、14世紀にイタリアでのルネサンスやヨーロッパの大航海時代が始まると、数学上の新発見が他の科学上の発見と顕著に相互作用を持ちながら進歩し続けるようになった。この傾向は現代まで続いている。本節では、地域ごとに特色を持って発展した初期の数学の発展について述べる。
古代から中世における数学の発展 > 中東での数学の発展 > メソポタミア

→詳細は「バビロニア数学」を参照
バビロニア数学は、初期シュメール人からヘレニズム期初期のメソポタミア（現代のイラク）の人々の数学を示す。バビロンが研究場所の中心的役割を果たし、ヘレニズム時代に終えたことからバビロニア数学と呼ばれた。この時点から、バビロニア数学はギリシアおよびエジプト数学と融合し、ヘレニズム数学をもたらした。その後イスラム帝国のもと、イラク／メソポタミア、特にバグダードは再度イスラム数学の研究の重要な中心となった。
散在した文献しか残されていないエジプト数学と対照的に、バビロニア数学は1850年以降掘り出された400以上の粘土板で知ることができる。粘土板は湿っている間に楔形文字で書かれ、釜で焼くか日光で熱して硬くする。これらの幾つかは、宿題を採点したものと思われる。
数学が記述された最も古い証拠は、メソポタミア最古の文明を興した古代シュメール人までさかのぼる。シュメール人は、紀元前3000年から複合的な測定システムを開発した。紀元前2500年頃以降、シュメール人は粘土板に乗算表を書き、幾何学の学習と除算問題に利用した。バビロニア文字の最古の形跡もまた、この時代にさかのぼる。
復元された粘土板の大部分は紀元前1800〜1600年の時代であり、分数、代数、二次および三次方程式、およびピタゴラス数の概念が扱われている（プリンプトン322参照）。粘土板にはまた、乗算表、三角法表および一次と二次方程式の解法が含まれている。バビロニアの粘土板YBC 7289は、2の平方根の小数点第5位まで正確な近似値を出している。円周率の値として、実際的な計算のためにはしばしば 3 が用いられていたが、22/7 などのより精確な近似値も知られていた。（円周率の歴史も参照のこと）
バビロニア数学は、六十進法（60を底とする）の位取り記数法を記述していた。ここから、現在1分が60秒、1時間が60分、および円が360度 (60 × 6) の用法が由来している。60には多くの約数があるという事実により、バビロニア数学の進歩が促進された。また、エジプト、ギリシア、ローマ数学と異なり、バビロニア数学は正しい位取り記数法を持ち、左の列に書かれる数字が、十進法より大きな値を示す、しかしながら、小数点に相当するものが欠けているため、数字によって実際に表されている数値はしばしば文脈から推論しなければならなかった。
古代から中世における数学の発展 > 中東での数学の発展 > エジプト

→詳細は「エジプト数学」を参照
エジプト数学は、エジプト語で書かれた数学を示す。ヘレニズム時代から、エジプト人学者の記述言語としてギリシア語はエジプト語に代わり、この時点からエジプト数学はギリシアおよびバビロニア数学と融合しヘレニズム数学となった。 エジプトでの数学研究は後に、イスラム帝国のもとイスラム数学の一部として続き、アラビア語がエジプト人学者の記述言語となった。
今まで発見された最古の数学の文書は、エジプト中王国の紀元前2000〜1800年のパピルスである、モスクワ数学パピルスである。他の古代数学文書と同様に、今日でいう「単語問題」または「文章問題」からなり、明らかに娯楽を目的としたものであった。注目するべきものには、切頭体の体積を求めるための方法を表している以下のようなものがある：「ピラミッドを切断し、高さ6、底辺4、上辺2である。4を二乗すると16。4を倍にすると8。2を二乗すると4。16と8、および4を加えると28。6の3分の1を得るので2回。28を2回取るので56。結果は56。正しい結果である。
リンド・パピルス（紀元前1650年頃）は、もう一つの主要なエジプト数学のテキストであり、整数論と幾何学のマニュアルになっている。また、乗算、除算、および単位分数の公式の解法や、合成数と素数、整数論、幾何学、と調和平均、エラトステネスの篩と完全数（とくに、6に関する記述）について一定の数学的知識が得られていたことの証拠もえられている。また、簡単な一次方程式の解法が示されており、等差数列と幾何級数も扱っている。
また、リンド・パピルスでは、1パーセント未満の誤差で円周率の近似値を得る方法や 、円積問題への過去の取り組みが述べられ、さらに余接関数の一種について、知られているかぎり最古の使用例を見いだすことができる。これらの知見は解析幾何学に関わる基礎的な体系がこの時代に確立されていたことを示している。
さらに、ペルリン・パピルス（紀元前1300年頃）は、古代エジプト人が簡単な二次の連立方程式の解法を知っていたことを示している。
古代から中世における数学の発展 > 中東での数学の発展 > イスラム数学（西暦800〜1500年頃）

→詳細は「アラビア数学」を参照
イスラム帝国は、中東、中央アジア、北アフリカ、イベリア半島、および8世紀のインドの一部にわたって成立し、数学に重要な貢献を果たした。ほとんどのイスラムの数学書はアラビア語で書かれたが、すべてをアラブ人が書いたのではない。ヘレニズムにおけるギリシア語と同様に、アラビア語は当時のイスラム世界中のアラブ人以外の学者はアラビア語を使用した。重要なイスラム数学者にはペルシア人もいる。
フワーリズミーは、9世紀バグダードのペルシア人数学者で天文学者であり、インド・アラビア数字および方程式の解法に関する重要な本を著した。彼の著作で西暦825年頃に書かれた『インドの数の計算法』は、アラブ人数学者アル＝キンディーと共に作成され、インド数学とインド・アラビア数字を西洋に広める助けとなった。「アルゴリズム」の語は、彼の名のラテン語化、「Algoritmi」に由来し、「代数学 (algebra) は彼の著作の名称『ヒサーブ・アル＝ジャブル・ワル＝ムカーバラ』（約分と消約の計算の書）に由来する。フワーリズミーは、古代の代数的手法の保存とこの分野への独自の貢献より、「代数の父」と呼ばれている。代数学の更なる発展は、アル＝カラジ (Al-Karaji) （西暦953〜1029年）の論文『アル・ファフリー』で、未知数の整数冪乗と整数根を包含する方法論を拡張した。10世紀に、アブル・ウワファはディオファントスの著作をアラビア語に翻訳し、正接関数を進展させた。
数学的帰納法を用いている最初の数学的証明は、西暦1000年頃のアル＝カラジの著作に現れ、二項定理、パスカルの三角形、積分立方数合計の証明に使われた。 数学歴史家のF. Woepckeは、アル＝カラジを「最初に代数的な微分積分学の理論を導入した者」として賞賛した。イブン・アル＝ハイサムは、二重平方数の和の公式を推論した最初の数学者であり、帰納法を使用して、任意の整数の冪乗の和に対する一般公式を決定する方法を開発し、それが積分法の発展の基礎となった。
ウマル・ハイヤームは12世紀の詩人、数学者で、『ユークリッドにおける困難に関する議論』でユークリッド原論の不備、特に平行線公理について述べ、その結果、解析幾何学および非ユークリッド幾何学の基礎を築いた。また、三次関数の一般的な幾何学的な解法を考案した。彼はまた、暦法の改正に非常に大きな影響を与えた。13世紀のペルシア人数学者、ナスィールッディーン・トゥースィーは、球面三角法を進展させた。彼はまた、エウクレイデスの平行線公理に関する有力な書を著した。15世紀にアル＝カーシーは、円周率を小数点16桁まで計算した。カーシーはまた、n乗根を計算するアルゴリズムを持ち、それは数世紀後のパオロ・ルフィニおよびホーナーによる手法の特殊な例であった。他の特筆すべきイスラム数学者には、イブン・ヤフヤ・アル＝マグリービー・アル＝サマウアル (Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al) 、サービト・イブン＝クッラ、アブ・カミル (Abū Kāmil Shujā ibn Aslam) 、アブー・サフル・アル＝クーヒーがいる。
この時代のイスラム数学者の成果には、代数学とアルゴリズムの発展（フワーリズミー参照）、球面三角法の発展、アラビア数字への小数点の追加、正弦を除く現在の三角関数のすべての発見、キンディーによる暗号解読と頻度分析の導入、アル＝カラジによる微分積分学の導入と数学的帰納法による証明、イブン・アル＝ハイサムによる解析幾何学と初期の無限小一般公式と積分法の発展、ウマル・ハイヤームによる代数幾何学の開始、ナスィールッディーン・トゥースィーによるユークリッド幾何学の平行線公理への最初の反証、非ユークリッド幾何学の最初の試み、その他代数学、算術、微分積分学、暗号理論、幾何学、数論、および三角法における多大な進歩があった。
オスマン帝国（15世紀〜）の時代に、イスラム数学は停滞した。これは、ローマ人がヘレニズムを征服したときの数学の停滞と類似している。
ジョン・J・オコナーとエドモンド・F・ロバートソンは『マックチューター数学史アーカイブ』で述べた：
古代から中世における数学の発展 > インドでの数学の発展

→詳細は「インドの数学」を参照
古代から中世における数学の発展 > インドでの数学の発展 > 初期のインド数学

ヴェーダ数学は器時代の初期に始まり、『シャタパタ・ブラーフマナ』（紀元前9世紀頃）で円周率を小数点第2位まで概算していた。『シュルバ・スートラ』（紀元前800〜500年頃）は幾何学テキストであり、無理数、素数、帰一算、立方根を使用し、2の平方根を小数点第5位まで計算し、円積問題の方法論を与え、線型方程式と二次方程式を解き、ピタゴラス数の理論の代数的な展開と、ピタゴラスの定理の記述および数値的な証明が与えられている。
パーニニ（紀元前5世紀頃）はサンスクリットの文法規則を定式化した。パーニニの記法は、現在の数学的表記と同様であり、メタ規則、変換および再帰は洗練され、その文法規則はチューリングマシンと同等の計算能力を持っていた。ピンガラ (Pingala) （およそ紀元前3〜1年）は、韻律の論文で二進法に類似する仕組みを使用した。彼の拍子組合わせ論は、二項定理に類似する。ピンガラの作品はまた、フィボナッチ数の基本的概念（mātrāmeru と呼ばれた）を含む。ブラーフミー文字は、少なくとも紀元前4世紀のマウリヤ朝以降に発達し、最近の考古学の証拠で紀元前600年に時代が戻された。ブラーフミー数字は紀元前3世紀である。
紀元前400年から西暦200年の間、ジャイナ教の数学者は数学の唯一の目的のために研究を始めた。彼らは最初に超越数、集合論、対数、および添字、三次方程式、四次方程式、列と数列、順列と組合わせ、二乗と平方根導出、有限および無限冪乗について、基本法則を発展させた。紀元前200年から西暦200年の間に書かれたバクシャーリー写本には、最大5つの未知数を含む線型方程式の解、二次方程式の解、算術数列および幾何数列、複数の数列、二次不定方程式、連立方程式、および0と負の数が記述された。無理数の正確な計算が発見でき、100万から少なくとも小数点11位の平方根の計算が含まれている。
古代から中世における数学の発展 > インドでの数学の発展 > 中世インド数学（西暦400〜1600年頃）

『スーリヤ・シッダーンタ』 (Surya Siddhanta) （西暦400年頃）は三角関数、正弦、余弦、逆正弦関数を導入し、天体の実際の動き、空の中での実際の位置を決定する法則の基礎を築いた。この文書では、より古くの文書の写しで、天体時間の周期が述べられ、365.2563627日間の恒星年に対応し、現在の公称値である365.25636305日間より1.4秒長いだけである。この文書は、中世にアラビア語とラテン語に翻訳された。
アリヤバータは、西暦499年に正矢関数 (en:Versine, 1 - cos θ) を導入し、正弦の最初の三角法表を作成し、代数学、無限小、微分方程式の解法とアルゴリズムを開発し、現代と同等な手法により線型方程式の解を求め、また万有引力の地動説に基づく正確な天文学の計算を行った。彼の著作『アーリヤバティーヤ』 (Aryabhatiya) は、アラビア語翻訳が8世紀に、ラテン語の翻訳が13世紀に行われた。彼はまた、円周率の値を小数点以下第4位の3.1416まで計算した。後の14世紀に、サンガマグラーマのマーダヴァは、円周率を小数点以下第11位まで計算した。
7世紀に、ブラーマグプタはブラーマグプタの定理、ブラーマグプタの二平方恒等式、ブラーマグプタの公式を定め、『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』で初めて、明快に0を空位および数字の両方として使用し、インド・アラビア数字を説明した。このインド数学書（西暦770年頃）の翻訳から、イスラム数学者は数字体系を導入し、アラビア数字に採用した。イスラム学者はこの数字体系の知識を12世紀までにヨーロッパに伝え、世界中で旧数字体系を置き換えている。10世紀に、ピンガラの著書についてのハラユーダ (Halayudha) の論評には、フィボナッチ数、パスカルの三角形の研究が含まれ、行列の計算が記述された。
12世紀に、バースカラ2世は、導関数、微分係数、微分法の概念と共に、微分学を考えだした。彼はまた、ロルの定理（平均値の定理の特殊な場合）を述べ、ペル方程式を研究し、正弦関数の導関数を調査した。14世紀から、マーダヴァと他のケーララ学派の数学者は、この概念を発展させた。彼らは、解析学と浮動小数点数、微分積分学の基礎から総合的な開発を行った。これには、平均値の定理、限界点の積分、曲線の下の領域とその不定積分または積分、収束判定、非線型方程式を解くための反復法、および無限級数、冪級数、テイラー級数、三角級数が含まれる。16世紀に、ジャヤスタデーヴァ (Jyeṣṭhadeva) がケーララ学派による発展と定理の多くを『ユクティバーサ』 (Yuktibhasa) に統合した。これは、世界初の微分学の教科書であり、積分法の概念もまた導入した。インドでの数学の進歩は、16世紀後半の政治的混乱のため停滞した。