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素数

「prime」は素数。「composite」は合成数。合成数は長方形に並べることができるが、素数は長方形に並べられない。
素数（そすう、英: prime あるいは prime number）とは、2 以上の自然数で、正の約数が 1 とその数自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。例えば、5 は素数である。なぜなら、5 を自然数の積として書くには、「1×5」か「5×1」しかないからである。しかし、4 を自然数の積で表すと、「1×4」、「4×1」の他に「2×2」があり、両方の数が4より小さいので合成数である。よって素数ではない。
日本では、英: prime number の日本語への訳語は「素数」とすることが1881年（明治14年）に決まった。和算では素数のことを単数と呼んでいた。
一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環  \mathbb {Z}  での素数は有理素数（ゆうりそすう、英: rational prime）と呼ばれることもある。
最小の素数は 2 である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。
素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のエウクレイデス（以下ユークリッド）の著書『原論』で既に証明されていた。そこでの証明は、背理法により次のようになる：
自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。
分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。現在知られている最大の素数は、2024年10月12日に発見された、それまでに分かっている中で52番目のメルセンヌ素数 2136279841 − 1 であり、十進法で表記したときの桁数は4102万4320桁に及ぶ。
定義と例

| 100 以下の素数一覧 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 02 | 3 | 00 | 05 | 00 | 7 | 00 |  | 00 |
| 11 |  | 13 |  |  |  | 17 |  | 19 |  |
|  |  | 23 |  |  |  |  |  | 29 |  |
| 31 |  |  |  |  |  | 37 |  |  |  |
| 41 |  | 43 |  |  |  | 47 |  |  |  |
|  |  | 53 |  |  |  |  |  | 59 |  |
| 61 |  |  |  |  |  | 67 |  |  |  |
| 71 |  | 73 |  |  |  |  |  | 79 |  |
|  |  | 83 |  |  |  |  |  | 89 |  |
|  |  |  |  |  |  | 97 |  |  |  |
素数とは、自明な正の約数（1 と自分自身）以外に約数を持たない自然数であり、1 でない数のことである。つまり、正の約数の個数が 2 である自然数である。
例えば、2 は、正の約数が 1, 2 のみなので素数である。
素数でない 2 以上の自然数を合成数と呼ぶ。
合成数であることの判定法として、たとえば下記の4条件がある：
4以上の偶数。（2で割り切れる）
10以上で末尾が5か0の数。（5で割り切れる）
6以上で、数字根が3, 6, 9となる数（3で割り切れる）。（20以上では、21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69, 81, 87, 93, 99, …）
一の位から見て奇数番目の位の数の和と、偶数番目の位の数の和との差が11の倍数であれば、11の倍数である（11で割り切れる）。（100以上では、110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, …）
逆に、この4条件を、全て満たさない数でも素数とは限らない。例えば、91 は、正の約数が 1, 7, 13, 91 なので素数ではない。
また、2, 3 以外の素数は、最も近い6の倍数との差が 1 か −1 である。
2 でない素数は奇数であり、奇素数と呼ぶ。
100以下の素数は25個存在し、小さい順に次の通りである。
→詳細は「素数の一覧」を参照
素因数分解の可能性・一意性

→詳細は「算術の基本定理」を参照
「2 以上の自然数は、素因数（素数である約数）の積で表せる。その表し方は積の順序を除けば一意である」という、素因数分解の可能性・一意性が成立する（算術の基本定理）。素因数分解の可能性から、素数全体の成す集合は、2以上の自然数全体の成す集合とその乗法からなる半群の最小の生成系である。言い換えれば、これは「素数は自然数の構成要素である」などとなる。
素数の定義である「1 と自分自身でしか割り切れない」という条件（既約性）は、抽象代数学において、環の既約元の概念（一部の環では素元の概念と一致する）に抽象化され一般的に取り扱われる。一般の環で、任意の元は既約元の積に分解され、しかもその表示は一意であるという性質は稀有である。例えばネーター環では、任意の元は既約元分解が可能であるが、その表示が一意ではないネーター環の例はいくつも知られている。一意に既約元分解ができる環は一意分解環と呼ばれ、既約元分解は素元分解ともなる。
素因数分解の可能性・一意性 > 1 は素数か

現代の定義では 1 は素数ではない。歴史を通しても 1 を素数に含めない数学者が多数派であったが、20世紀初頭の環論の成熟まで定義は統一されていなかった。プラトンやアリストテレスを含むほとんどの古代ギリシアの哲学者は 1 を数とさえ見なさず、素数性の考察の対象としなかった。スペウシッポスは 1 を数と見なし素数としたが、当時としては異端であった。この時代には素数を奇数の一部分と考え、2 を素数に含めない数学者もいた（ただしユークリッドをはじめとする多数派は 2 を素数に含めている）。アラビアではおおむね古代ギリシアに倣って 1 は数でないとされた。中世からルネサンスにかけて、1 が数として扱われるようになり、1 を最初の素数とする数学者も現れた。18世紀半ば、ゴールドバッハはオイラーに宛てた書簡で 1 を素数に挙げている（ただしオイラー自身は 1 を素数とは考えていなかった）。19世紀にも少数派だが 1 を素数に含める数学者はかなりいた。ハーディの『A Course of Pure Mathematics』では、1933年に出版された第6版までは 1 を素数に含めているが、1938年の第7版から 2 を最小の素数とするよう改訂されている。レーマー（英語版）の 1 を含む素数表は1956年まで出版された。ルベーグは 1 を素数だと考えた最後の専門的な数学者だと言われている。
1 も素数と定義すると、素数に関する多くの定理で、もとの「素数」を「1 以外の素数」と呼び替える記述の修正が必要になる。例えば 6 の素因数分解は、（積の順序を除いても）
と無数に与えられることになり、自然数の素因数分解の一意性は「1 を素数に含めると」成り立たなくなる。エラトステネスの篩においては、1 も素数とすると、1 の倍数（すなわち他のすべての数）を消去し、残った唯一の数 1 を出力するので機能しない。さらに、1 以外の素数でのみ成り立ち、1 では成り立たない様々な性質がある（例えば、自然数とそれに対応するオイラーのφ関数や約数関数の値との関係など）。20世紀初頭までに 1 は素数ではなく「単数」という特別な分類に属するという見方が一般的になった。
歴史

紀元前1600年頃のエジプト第2中間期において、素数の初等的な性質が部分的に知られていたことが、リンド数学パピルスなどの資料によって示唆されている。例えば分数をエジプト式分数で表す場合、素数と合成数の場合で異なる計算をしなければならないからである。しかし、記録に残っている限りにおいて、明確に素数を研究対象としたのは古代ギリシアが最初である。紀元前300年頃に書かれたユークリッドの『原論』には、素数が無数に存在することや、その他の素数の性質が証明されている。また、彼はメルセンヌ素数から完全数を構成する方法を示している。ギリシアの数学者、エラトステネスに因んで名付けられたエラトステネスの篩は、素数を列挙するための計算方法である。
古代ギリシア時代の後、17世紀頃までの長い間、素数の研究にはあまり進展が見られなかった。1640年に、ピエール・ド・フェルマーは「フェルマーの小定理」を述べた（未証明）。この定理は後にライプニッツとオイラーによって証明された。
素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』の中で証明している。
歴史 > 他の証明

上記のユークリッドによる証明以外にも、素数が無数に存在することの証明方法が存在する。
素数の逆数の和が発散することを利用した証明（#素数の逆数和を参照）
2つの異なるフェルマー数が互いに素であることを利用した証明
整数の集合に、等差数列の族を開基とする位相を入れる証明
n ≥ 2 に対して、n(n + 1) は少なくとも相異なる2個の素因数を持つことを利用した証明（サイダックによる）
素数判定と素因数分解

→詳細は「素数判定」および「素因数分解」を参照
与えられた自然数 n が素数であるか合成数であるかを判定するためのアルゴリズムが多数考案されている。最も素朴な方法は、2 から √n 以下の素数まで順番に割っていく、試し割り法と呼ばれる方法である。n が √n 以下の全ての素数で割り切れなければ n は素数である。試し割り法は、n が大きくなるに従って、急速に速度が低下するため、実用的ではない。任意の数に適用できる試し割り法よりも高速なアルゴリズムが考案されている。また、特殊な形をした数に対してはより高速なアルゴリズムも存在する。素数判定は、与えられた数が素数であるか否かだけを判定するものであるが、素因数分解とはより強く、与えられた数の全ての素因数を列挙することであるとも言える。
上記の通り2を除く偶数、2桁以上で末尾が5の数、数字和が3の倍数となる数は合成数と分かるのでそれを省き、7以上の素数を順番に割る方法がある。
分布

ある自然数までにどのくらいの素数があるのかという問題は、基本的だが非常に難しい問題である。
これに関して、次の素数定理は有名である。この定理は1896年に、アダマールとド・ラ・ヴァレ・プサンによって独立に証明された。
x 以下の素数の個数を π(x)（素数計数関数）とすると、
が成り立つ。この定理は、1792年に15歳のカール・フリードリヒ・ガウスによって予想されていた（ガウスが最初に予想したのかどうかは不明）。この定理の証明は、ゼータ関数と複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年にアトル・セルバーグとポール・エルデシュは独立に初等的な証明を与えた。この評価式はリーマン予想を仮定すると大幅に精度をよくすることができる。
次のような定理もある。
この主張は「任意の素数 p の次の素数は 2p 未満」とも言い換えられる。したがって、2024年12月現在知られている最大の素数 2136279841 − 1 の次の素数は 2136279842 − 2 未満である。
一方で、例えば n2 と (n + 1)2 の間に素数が存在するかという問題は未解決である（ルジャンドル予想）。
素数が全く無い区間は、いくらでも長いものがあることが知られている。n ≥ 2 に対して、連続する n − 1 個の自然数 n! + 2, …, n! + n はそれぞれ、それらより小さい 2, …, n で割り切れるので、どれも素数でない。n は任意にとれるから、素数が全く無いいくらでも長い区間があると言える。これは一例にすぎず、実際にはもっと小さい所で、素数が全く無い長い区間が生じるようである。例えば、114 から 126 まで13個連続で合成数である。
分布 > 素数計数

2015年に、ゴールドバッハの予想検証プロジェクトは 4 × 1018 以下の全ての素数（9京5676兆2609億0388万7607個、約 1017個）を計算したと報告したが、結果は保存されていない。しかしながら、素数計数関数を計算するには、実際に素数を数えるより高速な公式が存在する。この公式を使って、1023 以下に 19垓2532京0391兆6068億0396万8923個（約 2×1021個）の素数があると計算された。
また、別の計算によると、リーマン予想が真であると仮定した場合、1024 以下に 184垓3559京9767兆3492億0086万7866個（約 2×1022個）の素数が存在する。
分布 > 分布の視覚化

エラトステネスの篩
ウラムの螺旋
プリヒタの素数円
素数に関連する主な性質 > 素数の逆数和

素数の逆数の和は（無限大に）発散する。この命題は『素数は無数に存在する』という命題を含んでいる（有限個ならば収束、すなわち発散しないはずである）が、それだけではなく素数の分布に関してより多くの情報を提供している。
この結果は最初にレオンハルト・オイラーによりゼータ関数を研究することでもたらされた。以下の証明はポール・エルデシュによる、より直接的で、また簡潔な証明である。素数が無数に存在することを証明に用いないため、その証明をも含んでいる。
素数の逆数和は収束すると仮定する。i 番目の素数を pi で表すと、
を満たす N が存在する。
n 以下の自然数のうち最大素因数が pN 以下のものからなる集合を An とする。任意の k ∈ An に対して、
と表示すると、v は高々 2N 通り、u2 ≤ k ≤ n より
Anc の元は、pN+1 以上の素因数を少なくとも1つ持つから、(1) より
#Anc = n − #An より
(2), (3) より n/2 < 2N √n, ∴ n < 22N+2。これは n の任意性に矛盾。（証明終）
双子素数に限ると、逆数和は B2 = 1.902… に収束することが証明されている（ブルン定数）。
素数に関連する主な性質 > その他の性質

(a, m) = 1 のとき、等差数列：a, a + m, a + 2m, … には素数の項が無数に含まれている。（ディリクレの算術級数定理）
素数 p に対して、(a, p) = 1 ⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p)（フェルマーの小定理）
p が素数 ⇔ (p − 1)! ≡ −1 (mod p)（ウィルソンの定理）
素数の2乗差は 5 の倍数, 3 の倍数, 8 の倍数のいずれかである。
約数の和が素数になる自然数は、2 と素数かその累乗数の平方数である。しかし、素数やその累乗数の自乗であっても約数の和が素数になるとは限らない。約数の和が素数になる数が無限にあるかどうかの証明はされていない（後述）。
七進表記において、5以上の素数の数字根は、必ず1か5となる。
素数生成式

→詳細は「en:Formula for primes」を参照
n番目の素数を求める素数生成式は存在しないと主張されることがあるが、これは誤りである（ウィルソンの定理やミルズの定数を用いたものが存在する）。しかしながら、そのような式で実効的に計算可能（英語版）なものは知られていない。
以下は1964年に Willans C.P. が報告したウィルソンの定理に基づく公式で、n番目の素数 pn を求めることができる：
素数生成式 > 1変数多項式

オイラーの発見した式：
f(n) = n2 − n + 41
は、自然数 n が n < 41 で全て素数となる。これは、虚二次体  \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}}) の類数が 1 であることと関係している。一般に、0 ≤ n < p で多項式 f(n) = n2 − n + p が素数の値を取るとき、素数 p の値を「オイラーの幸運数」という。オイラーの幸運数は p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 の6つのみであり、これらはすべてヘーグナー数と対応する。
ルビーの多項式：
f(n) = 36n2 − 810n + 2753
は n = 0, …, 44 で全て素数となる。
同様に
103n2 − 3945n + 34891 (Ruby)
47n2 − 1701n + 10181 (Fung)
は n = 0, …, 42 で全て素数となる。
36n2 − 2358n + 36809 (Willium)
は n = 0, …, 44 で絶対値は全て素数となる。
高い次数での多項式はあまり知られていないが
n3 − 34n2 + 381n − 1511 (Goetgheluck)
2n3 − 45n2 + 331n − 3191 (Goetgheluck)
は n = 0, …, 25 で絶対値は全て素数となる。
ただし n3 − 34n2 + 381n − 1511 の n = 9, 12, 13 で −107 を取るなど、同じ素数が何度も出現する場合がある。
素数生成式 > 多変数多項式

多変数の多項式では、全ての素数を生成することができる式がいくつか知られている。例えば、k + 2 が素数となる必要十分条件は、次の14連立のディオファントス方程式が自然数解を持つことである：
特殊な形をした素数

メルセンヌ素数：2n − 1（n は素数、n = 2, 3, 5, 7, 13, …）
フェルマー素数：22n + 1
オイラー素数：n2 + n + 41
階乗素数
n! + 1型 (n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, …)
n! − 1型 (n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, …)
素数階乗素数：p# ± 1（p は素数、p# は p の素数階乗）
レピュニット R2, R19, R23, …（Rn は 1 が n個続く数、通常は基数を 10 にとる）
双子素数（差が 2 である2つの素数）
いとこ素数（差が 4 である2つの素数）
セクシー素数（差が 6 である2つの素数）
三つ子素数（3つの素数の組 (p, p + 2, p + 6) または (p, p + 4, p + 6)（(p, p + 2, p + 4)型は (3, 5, 7) のみ。）
四つ子素数（p, p + 2, p + 6, p + 8 が全て素数）
ソフィー・ジェルマン素数（p と 2p + 1 がともに素数である時の p のこと)
安全素数（p と 2p + 1 がともに素数であるときの 2p + 1 のこと)
スーパー素数（素数列における素数番目の素数）
切り捨て可能素数（「素な素数」。与えられた基数において 0 を含まず、左右一方の端から順に数を取り除いた数がすべて素数となる素数）
陳素数（p + 2 が半素数またはともに素数）
正則素数（円の p 分体の類数を割り切らない奇素数）
非正則素数（円の p 分体の類数を割り切る奇素数）
フィボナッチ素数（フィボナッチ数の数列に含まれる素数）
ヴィーヘリッヒ素数 (2p−1 ≡ 1 (mod p2) を満たす素数 p)
グロタンディーク素数（57のことでグロタンディークが演説している際に " 分かりやすい例を上げてほしい " と言われて合成数である " 57 " を挙げてしまった）
その他の素数
n2 + 1 の形で表せる素数：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, …
n4 + 1 の形で表せる素数：2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, …
n4 + (n + 1)4 の形で表せる素数：17, 97, 337, 881, 3697, …
ある数の約数の和になる素数：3, 7, 13, 31, 127, 307, 1093, …
未解決問題

双子素数の予想：双子素数は無数に存在する、という予想。
ゴールドバッハの予想：6 以上の全ての偶数は 2 つの奇素数の和で表すことができる、という予想。
弱いゴールドバッハ予想：7 以上の全ての奇数は 3 つの素数の和で表すことができる、という予想。ただしハラルド・ヘルフゴットによる証明が2013年に発表されている。
ルジャンドル予想：全ての n に対し、n2 と (n + 1)2 の間に素数が存在するかという予想。
既知のフェルマー素数 (3, 5, 17, 257, 65537) 以外に、フェルマー数にフェルマー素数は存在するか？
メルセンヌ素数は無数に存在するか？
ソフィー・ジェルマン素数、安全素数は無数に存在するか？
フィボナッチ数列には、素数である項が無数に現れるか？（フィボナッチ素数）
幸運数でも素数でもあるような数は無数に存在するか？
ハッピー素数は無数に存在するか？
n2 + 1 の形の素数は無数に存在するか？（ブニャコフスキー予想）
約数の和の列になる素数は無数に存在するか？
応用

長い間、数論、その中でもとりわけ素数に関する研究は、その分野以外での応用の全くない純粋数学の見本と見なされていた。特に、イギリスの数論研究者であるハーディは、自身の研究が軍事的に何の重要性も持たないことを誇っていた。しかし、この見方は1970年代には覆されてしまった。素数が公開鍵暗号のアルゴリズムに使用できると広く知られるようになったためである。現在では素数はハッシュテーブルや擬似乱数生成にも用いられ、工学的応用上重要度の高いものとなっている。
応用 > 公開鍵暗号

→詳細は「公開鍵暗号」を参照
公開鍵暗号のアルゴリズムとして、RSA暗号やディフィー・ヘルマン鍵共有といった、大きな数の素因数分解は困難であるという性質に基礎を置くものがある。RSA暗号は、2つの（大きな）素数の掛け算は比較的簡単に（効率的に）行えるが、その積を素因数分解して元の2つの素数を求めることは難しいという事実に基づいている。
応用 > 固定ギア自転車のタイヤの寿命対策

固定ギア自転車のスプロケットやチェーンリングの歯数を素数にすることでスキッドポイントと呼ばれる摩耗点を分散化させてタイヤの寿命を向上させることができる。また、自転車や内燃機関など入力に脈動がある動力の歯車を素数にすると摩耗点が分散され歯車の寿命が向上する。
応用 > 自然界の素数

自然界に現れる素数の一例として、素数ゼミと呼ばれるセミの一種がいる。アメリカ合衆国に分布するこのセミの成虫は、ある周期ごとに、13年ないしは17年間の周期で大量発生する。成虫になった後は、数週間だけを地上で成虫として過ごし交配と産卵を行う。このセミが素数周期で発生する理由として、寄生虫や捕食者に対抗するための進化であるという説や近縁種との交雑を避けるためであるという説がある。つまり、もしこのセミが12年の発生周期を持っていた場合、12の約数である2, 3, 4, 6年の寿命を持つ捕食者と同時に発生してしまうことになり、捕食対象にされやすくなる。また、地理的に近い場所で12年周期と15年周期のセミが存在した場合、60年ごとに2種は同時に発生し、交雑してしまう可能性がある。すると、雑種は発生周期がずれてしまい、同種のセミとの交尾の機会が失われる。素数の周期を持つものは交雑が起こりにくく、淘汰されにくいと考えられる。
また、ゼータ関数上の零点の分布の数式が、原子核のエネルギー間隔を表す式と一致することを示し、素数と核物理現象との関連性が示唆されている。
→詳細は「リーマン予想」を参照
応用 > コンピュータゲーム

パナソニック株式会社が2011年にリリースしたiPad用アプリケーション「Panasonic Prime Smash!」は空中に打ち上げられたボールに書かれた数字が素数であればタップして得点、合成数であればスワイプすることで割り算し、素数になったらタップして得点にするゲームである。第15回文化庁メディア芸術祭エンターテインメント部門の審査委員会推薦作品に選ばれ、第6回企業ウェブグランプリ スチューデント部門特別賞を受賞した。
2016年にイギリスの数学者クリスチャン・ローソン=パーフェクトが公開した「これは素数ですか？ (Is this prime?)」は、画面に表示される数字を素数と合成数に仕分けるゲームで、2021年7月にプレイ回数が300万回を突破した。このゲームのプログラムにはミラー–ラビン素数判定法が組み込まれている。
連続素数 > 連続素数和

| 連続数 | 数 | 参照 | 含まれる素数列 |
| --- | --- | --- | --- |
| 2 | 5, 8, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 52, 60, 68, 78, 84, … | A001043 |  |
| 3 | 10, 15, 23, 31, 41, 49, 59, 71, 83, 97, 109, … | A034961 | A034962 |
| 4 | 17, 26, 36, 48, 60, 72, 88, 102, 120, 138, 152, … | A034963 |  |
| 5 | 28, 39, 53, 67, 83, 101, 119, 139, 161, 181, … | A034964 | A034965 |
| 6 | 41, 56, 72, 90, 112, 132, 156, 180, 204, 228, … | A127333 |  |
| 7 | 58, 75, 95, 119, 143, 169, 197, 223, 251, 281, … | A127334 | A082246 |
| 8 | 77, 98, 124, 150, 180, 210, 240, 270, 304, … | A127335 |  |
| 9 | 100, 127, 155, 187, 221, 253, 287, 323, 363, … | A127336 | A082251 |
| 10 | 129, 158, 192, 228, 264, 300, 340, 382, 424, … | A127337 |  |
| 11 | 160, 195, 233, 271, 311, 353, 399, 443, 491, … | A127338 | A127340 |
| 12 | 197, 236, 276, 318, 364, 412, 460, 510, 562, … | A127339 |  |
| 13 | 238, 279, 323, 371, 423, 473, 527, … |  | A127341 |
→各連続素数和の最初の数については「オンライン整数列大辞典の数列 A007504」を、この数が素数になる数については「オンライン整数列大辞典の数列 A013918」を参照
連続素数 > 連続素数積

| 連続数 | 数 | 参照 |
| --- | --- | --- |
| 2 | 6, 15, 35, 77, 143, 221, 323, 437, 667, 899, 1147, 1517, 1763, … | A006094 |
| 3 | 30, 105, 385, 1001, 2431, 4199, 7429, 12673, 20677, 33263, 47027, … | A046301 |
| 4 | 210, 1155, 5005, 17017, 46189, 96577, 215441, 392863, 765049, … | A046302 |
| 5 | 2310, 15015, 85085, 323323, 1062347, 2800733, … | A046303 |
| 6 | 30030, 255255, 1616615, 7436429, 30808063, 86822723, … | A046324 |
| 7 | 510510, 4849845, … | A046325 |
| 8 | 9699690, 111546435, … | A046326 |
| 9 | 223092870, 3234846615, … | A046327 |
| 10 | 6469693230, 100280245065, … | A127342 |
| 11 | 200560490130, 3710369067405, … | A127343 |
| 12 | 7420738134810, 152125131763605, … | A127344 |
→各連続素数積の最初の数については「素数階乗」を参照
素数砂漠

自然数で素数でないものが連続している区間を「素数砂漠」という。例えば{24, 25, 26, 27, 28} は「長さ 5 の素数砂漠」である。素数砂漠を挟む2個の素数は 3 以上であるため、共に奇数である。このことから、素数砂漠の長さは必ず奇数である。いくらでも長い素数砂漠が構成できる（#分布を参照）。
初めから60個の素数の間隔は
→詳細は「素数の間隔」を参照
キュイズネール棒（英語版）を用いて7が素数であることを実証した。
リンド数学パピルス
エラトステネスの篩を行っている様子
自然数を渦巻状に並べていき、素数だけを黒く塗ったもの（ウラムの螺旋）。
素数が高密度に集まった対角線、水平線、垂線が見て取れる。素数の分布が極めて難解であるために、この素数のパターンが示す事実については未だに明らかにされていない。
右下の歯車には13の歯があり、左の歯車には21の歯があり、どちらの歯車も素数である。
どすこい!!太郎

| みんなのうた どすこい!!太郎 |
| --- | --- |
歌手:  水前寺清子
作詞者:  麻倉弥生
作曲者:  山崎一稔
編曲者:  山崎一稔
映像:  アニメーション
映像制作者:  倉橋達治
初放送月:  1993年6月 - 7月
再放送月:  2007年6月 - 7月 2014年6月 - 7月 2018年6月8日・7月6日（リクエスト） 2024年4月 - 5月
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「どすこい!!太郎」（どすこい たろう）は、NHKの「みんなのうた」で、水前寺清子が歌った曲。作詞：麻倉弥生、作編曲：山崎一稔。または、1993年7月5日に発売された同楽曲を収録したシングル。
概要

「みんなのうた」では、1993年6月・7月に放送。「相撲」をテーマとし、「金太郎」を先祖に持つ少年・太郎が相撲界に入り、厳しい稽古などを経て、相撲界のヒーローになるまでを歌った楽曲。相撲をテーマにしながらも、珍しいジャズ仕立てになっている。歌った水前寺は、1971年12月 - 1972年1月放送の「おどんが国は」以来21年半ぶりの「みんなのうた」出演。放送では2番が省略された。
映像はアニメで、この時期常連の倉橋達治が担当。「勝ち越しを賭けた勝負」の場面では、当時「大関」だった小錦（現：KONISHIKI）を思わせる様な、ハワイアン力士が太郎の相手役で登場する。
2009年に伊勢神宮で開催された「第6回全国鎮守の森こども相撲大会」のテーマ曲に起用された。
「みんなのうた」では、14年後の2007年6月・7月に初めて再放送、さらに7年後の2014年6月・7月にも再放送された。（NHKテキスト「みんなのうた」2014年6・7月号 3頁 NHK出版）
シングル収録曲

どすこい!!太郎
作詞：麻倉弥生／作曲・編曲：山崎一稔
涙には3つの理由がある
作詞：荒木とよひさ／作曲：三木たかし／編曲：佐孝康夫
どすこい!!太郎（カラオケ）
涙には3つの理由がある（カラオケ）
カバー

遠藤優子（日本コロムビア版カバー音源。2007年6月20日発売の『CDツイン NHKみんなのうた 〜ベスト40〜』などに収録）
鈴木洋子（アポロン版カバー音源。1993年11月5日発売の『NHK「みんなのうた」〜どすこい!!太郎』などに収録）
結納

結納（ゆいのう）は日本の婚約の儀式。
概要

家同士で行う婚約の儀式であり、新郎新婦の他に両親ら親族が参加して行う。新郎とその親族が新婦側に所定の贈答品（結納品）や金銭（結納金）を贈ることが儀式の中心である。その他、新婦側からの返礼や饗応を行う。
結婚式等と異なり公の場でなされることはなく両家の間の私的な儀式として行われる。しかし、結納により正式な婚約を交わしたものとされる。
結納の形式は小笠原流、伊勢流などの礼法によって体系化されているが、他の儀礼と同様、地域の風習や個人の考えや事情により様々である。新郎・新婦の親族以外に、仲人が参加するのが本来の形式であるが、現在では仲人を立てないことが多い。また、近年では入手困難な本来の贈答品を金銭で代用することがある。
概要 > 結納の起源

仁徳天皇の皇太子（のちの履中天皇）が黒媛を妃に迎えるときに贈り物（納采）を贈ったことが最初とされる。宮中儀礼の「納采の儀」として受け継がれている。皇室以外で結納が行われるようになったのは後年であり、室町時代に公家や武家に広まり小笠原流や伊勢流などに体系化されていった。庶民に広まったのは江戸時代末期から明治初期だとされる。
「結納」の語源は「結いもの」や「云納（いい入れ）」という婚姻を申し込む言葉が転じたものとも言われている。
概要 > 結納の手順

皇室の納采の儀が最も正式な形であるとされる。
民間における結納は小笠原流、伊勢流などの礼法によって体系化されているが、地域・宗教・家系などにより多様である。日程は吉日（大安・友引・先勝）を選び、人間の体調が整う時間である11時頃に執り行うのが最善とされる。新郎とその両親、新婦とその両親が参加するが、兄弟や祖父母などの親族が参加することもある。席順は西日本では「父親、母親、本人」、東日本では「父親、本人、母親」とする。仲人を立てるのが本来の形式であるが、近年は仲人を立てず両家同士が直接やり取りすることが多い。また、結納品の取り交わしは新婦側自宅に訪問して行っていたが、ホテルや料亭で行いそのまま祝宴を行う場合もある。
以下は手順の例。婚約する男性側の家を「新郎家」、婚約する女性側の家を「新婦家」と表記する。
新郎家からの結納納め
仲人が新郎家へ赴き、結納品を預かる。
仲人が結納品を新婦家へ持参し手渡す。
新婦家で仲人をもてなす。
新婦家が仲人へ結納品の受書を預ける。
仲人が受書を新郎家へ持参し手渡す。
新郎家で仲人をもてなす。
新婦家からの結納返し
仲人が新婦家へ赴き、結納品を預かる。
仲人が結納品を新郎家へ持参し手渡す。
新郎家で仲人をもてなす。
新郎家が仲人へ結納品の受書を預ける。
仲人が受書を新婦家へ持参し手渡す。
新婦家で仲人をもてなす。
新郎家が結納品を持参の上、新婦家自宅へ訪問する。
新婦家は自宅玄関先で出迎える。
新郎家は到着後、玄関先では正式な挨拶は控える。招かれた座敷（床の間）に結納品を整える。
新婦家は座敷で結納品が整うまで待機する。
新郎家は結納品を整えた後、結納目録を新婦家代表（親又は本人）へ挨拶し手渡す。
新婦家は結納目録を挨拶し受け取り、目録等を改める。
新婦家は目録を別室に預かる。
お茶（関西では昆布茶、関東では桜湯）・お菓子（紅白饅頭など生菓子）を持て成し、会食をする。
受書を新郎家へ手渡す。
新郎家は受書を受け取りお開きとする。
いずれの場合も、男性が女性の家に婿に入る婿取り婚の場合は新郎家、新婦家の対応が逆となる。
結納返しは結納納めとは別日に改めて行うのが本来の形式であるが、最近では同日に行うことが多い。同日に行う場合、新婦側の受書と結納返しを一緒に受け渡す。結納納めと結納返しを同日に行うことを「つき返し」と呼び、誤った方法とする説もある。
結納・結納返しののちに花嫁道具を納める荷納め(荷物納め)が行われるが、最近では省略されたり、結納返しと同日に行われることも多い。
より略式には、仲人と新郎家がそろって新婦家を訪問して結納品の授受を行ったあと新婦家が饗応したり、新郎家・新婦家・仲人が料亭やホテルなどに一堂に会し、結納品と会食をする方法等がある。
西日本では結納目録や受書の授受に広蓋・富久紗を使用する。
概要 > 結納品

結納の品は現物式と、金封式の２つの形式がある。現物式は酒、肴、昆布、友白髪などの結納品を実際に贈る、本来の形式である。金封式は金銭で代用する方法である。金封式では「酒料」「肴料」「酒肴料」などの名目で贈る。
結納品の内容はおおまかに関東と関西でその内容が異なり、地域によって様々である。結納品にはそれぞれめでたい意味づけがなされる。結納品は水引で豪華に飾られ、一式で数万円から数十万円がかけられる。結納品の数は5品・7品・9品など奇数である。陰陽五行説(陰陽道)により奇数を陽数とよび縁起の良い数、とされたことによる。
結納品目名の文字には、寿留女、子生婦などのように縁起を担いだ当て字を用いる。末広は寿恵広、寿栄広など、有志良賀は友白髪、友白賀、共志良賀など、鰹節は松魚(節)、勝(男)武士など、家内喜多留は柳樽、柳多留などの書き方がある。また指輪や時計のような伝統的ではない品物でも「結美和」「登慶恵」といった当て字を使う場合がある。
また、結納の品は全て白木の献上台に乗せる。白木には汚れのない新品であること・一度きりしか使わないことを象徴しているとされる。
概要 > 結納品 > 関東

関東では、新郎・新婦とも同格程度の結納品を用意し、互いに「取り交わす」ものとされる。
結納品自体は関西よりもシンプルな物である。結納品を一式ずつ一つの片木台（白木の台）に乗せる。家族書・親族書などが付されることもある。また、長熨斗と目録は贈り物の個数に含めない。
新婦側が新郎側に贈る結納金は新郎側から受け取った結納金の半額とする、半返しという習慣がある。
下記は結納品の一例。
長熨斗（ながのし）：のしアワビ。長寿を表す。
金包包（きんぽうづつみ）：結納金を包む。新郎側の結納金は「御帯料」（おんおびりょう）、新婦側からの結納金は「御袴料」（おんはかまりょう）とも。
勝男節（武士）（かつおぶし）：鰹節。男性の力強さを表す
寿留女（するめ）：スルメ。末永い幸せを表す
子生婦（こんぶ）：昆布。子孫繁栄を表す
友白髪（ともしらが）：白い麻繊維。夫婦関係が白髪になるまで続くことを表す
末広（すえひろ）：男持ちの白扇と女持ちの金銀扇子の一対。省略されて白い扇子一本の場合もある。末広がりの繁栄を表す
家内喜多留（やなぎだる）：酒樽。家庭円満を表す
目録（もくろく）：結納品の品名と数量を記載する。
概要 > 結納品 > 関西

関西では、結納品は新郎側から新婦側へ「納める」ものとされる。
1熨斗（のし）、2末広（すえひろ）、3帯地料（おびじりょう）又は婚約記念品、4柳樽(料)（やなぎだるりょう）、5松魚(料)（まつうおりょう）の5点が基本的な結納品である。5点に加えて、着物や宝飾品などを添える。結納品の個数は奇数とする。結納品は概ね関東よりも豪華である。
新婦側は結納を受け取った証しに受書を渡す。また、受書に加えて、結納品より小さい結納返し品と結納金の1割の額の袴地料を贈る。家族書・親族書などが付されることもある。下記は結納品の一例。
熨斗（のし）：鮑を畳表で伸ばした（のした）もの。長寿を願う。「鶴の水引飾り」と熨斗押えの「打ち出の小槌」を添える。
末広（すえひろ）： 「寿恵廣」と表記する。婚礼用の儀式扇子。「亀の水引飾り｣を添える。お目出度い事が末広がりに広がることを意味する。
帯地料（おびじりょう）：「帯地料」と表記することが多いが、大阪などは「小袖料」、神戸では「宝金」と表記する。本来は帯や着物を贈っていたが大正時代頃から金銭を贈ることが多くなった。着物においては帯が最も高価で格が高いため「帯地料」と表記するようになったとされる。松の水引飾りを添える。
結美和（ゆびわ）：婚約指輪。
高砂（たかさご）：尉（老翁）と姥（老婆）の人形。尉姥人形（じょうとんばにんぎょう）とも。夫婦関係が老翁・老婆になるまで続くことを表す。
寿留女（するめ）：関東と同じ意味。
子生婦（こんぶ）：関東と同じ意味。
柳樽(料)（やなぎだるりょう）：酒料。本来は柳で作った樽に詰めた酒を一対（2本）用意し、夫婦一対で酒を酌み交わしたが、現在は金銭で代用することが多い。竹の水引飾りを添える。
松魚(料)（まつうおりょう）：「肴料」とも表記する。本来は雄と雌の真鯛を用意したが、現在は金銭で代用することが多い。一般的に梅の水引飾りを添える。
松魚料と柳樽料の合計金額としては結納金の1割までを包む。また、近年では結納を受ける側で祝宴を用意する事が多く、祝宴の食事代金程度を包むケースが多い。
概要 > 結納品の水引折型

結納の品は和紙で包み水引で結ぶ。現在では豪華で立体的な包装や造形的な水引結び（水引細工）を用いるが、これは大正時代初期に石川県金沢市の津田左右吉（つだそうきち）が考案したとされる。津田左右吉が考案した包装は加賀水引として金沢の伝統工芸として定着となり、津田水引折型（石川県金沢市）が現在も継承している。
概要 > 結納金

上述のように、結納の際には実物の品物を贈るのが本来の形式であるが、品物の代わりに金銭を贈る場合もある。
新郎側が新婦側に贈る結納金は「御帯料」「小袖料」「帯地料」、新婦側から新郎側に贈る結納金は「御袴料」（おんはかまりょう）、「袴地料」などの名目で贈る。
100万円、70万円、50万円、30万円等、先頭の数字が奇数になる金額が良いとされる。「9」は奇数だが「苦」に通じるため使わない。また、女性が嫁入りする際に男性側が贈る結納金に比べ、男性が婿入りする際に女性側が贈る結納金は、倍の金額を贈るとされる。
結納金を直接渡すのは失礼であるとされ、台に置き、熨斗や末広を添えたりして渡す。西日本では、結納品を飾った状態で、結納金と目録だけを広蓋盆や白木台などの献上台に載せて新婦側父親に手渡しをする。中部地方・関東地方では、手渡しを行わず、結納金・目録は他の結納品と一緒に飾ったままで、口頭で挨拶を述べる形式が主流である。
結納金は実際には結婚の準備資金として使われることもあるが、結納金を「支度金」などと表現することは失礼とされる。支度金は通常、目下の者に与える金銭だからである。
結納と法律

判例では、結納とは「他日婚姻ノ成立スヘキコトヲ予想シ授受スル一種ノ贈与」（大判大6・2・28民録23輯292頁）、「婚姻の成立を確証し、あわせて、婚姻が成立した場合に当事者ないし当事者両家間の情誼を厚くする目的で授受される一種の贈与」（最判昭39・9・4民集18巻7号1394頁）とされる。
結納の法的性質については、一種の証約手付であるとする手付説、婚姻成立を目的とする一種の贈与であるとする贈与説、婚姻成立を解除条件とする付贈与であるとする解除条件付贈与説、折衷説がある。上記の判例は贈与説をとる。
結納はその目的たる婚姻が成立すれば返還は問題とはならない。婚姻は届出のある場合に限らず、事実上の婚姻関係（内縁を含む）の成立で足りる（通説・判例。判例として大判昭3・11・24新聞2938号9頁、最判昭39・9・4民集18巻7号1394頁）。
一方、結納など婚姻の成立を最終目的として授受された金品は、その婚姻が不成立となれば不当利得となり返還義務を生じる。事実上の夫婦関係の成立が認められない場合は返還義務を生じる（大判昭10・10・15新聞3904号16頁）。双方の合意解消の場合、各当事者は返還義務を負うことになる（大判大6・2・28民録23輯292頁）。一方的な解消の場合には、解消について責めを帰すべき者（有責者）は返還義務を免れず、また、相手方に対する返還請求についても否定される。
金沢老舗記念館内の津田水引による結納品
宗教2世

宗教2世（しゅうきょうにせい）とは、家族（両親など）が宗教を信仰している家庭で生まれ育ち、家族（両親など）の意思で幼い頃から宗教に入信させられている人達のことを指す。「2世信者」とも呼ばれる。
宗教2世を巡っては様々な問題が表面化しており、それらは「宗教2世問題」と呼ばれる。こうした問題はカルトに限らない。
概要

宗教学者の塚田穂高は、日本の総人口は約1億2千万人であり、そのうち宗教に対して自覚的な信仰を持つ人は1割から3割といわれることから、日本国内で「宗教2世」は少なくとも数百万人は存在すると推測している。
宗教2世の人の中には、親の信仰心による多額の献金などにより、家庭が経済的に困窮したり、親が宗教活動にのめり込んで数か月姿を消したことによるネグレクト（育児放棄）を受けて苦しんでいる人がいることが当事者などによる証言で明らかになっている。また、親により意思表示ができない幼い子供（赤ちゃん）の頃から特定の宗教に入信させられるなど、親から特定の宗教の非常識な教義を押し付けられて苦しんでいる。その実例としては、「テレビの視聴を禁止する」、「漫画を読むことを禁止する」、「友人の誕生日会への参加を禁止する」、「異性との自由な恋愛を禁止する」、「他宗教の寺院や神社などに参拝することを禁止する」、「クリスマスなどの他宗教の行事に参加することを禁止する」などの「親が子供の日常生活を極端に制限する」などの事例が挙げられる。
宗教2世の中には、布教活動などにより、大学への進学や会社への就職などを妨げられたケースや、教祖が命名した珍しい名前を一生背負っているケース、教祖の血が入っているとされているワインを無理矢理飲まされたケース、手術時における輸血の受け入れを拒否したケースなどもある。
また、その宗教団体から脱会できたとしても、親と縁を切ることになるため、保証人などが求められる就職や住まいの転居などの面で支障が出ることも多いことから、やむを得ず、表面上だけ信仰を続けている2世信者もいる。
2024年（令和6年）4月にこども家庭庁が児童相談所や教育機関などを対象として実施した実態調査では児童相談所への宗教虐待に関する相談は2022年（令和4年）4月からの1年半で47件、救命救急センターでの宗教的理由による輸血拒否は2023年（令和5年）9月までの3年間で20件、それぞれあったことが報告された。
日本国憲法「信教の自由」の弊害

海外では既に1990年代から問題視されており、宗教2世に対する研究や対応も行われている。しかし、日本では　日本国憲法第20条（信教の自由）を根拠に、「国家や大学など公的機関は信仰の領域に踏み込んではならない」こととされてきた。そして、クリスチャン新聞によると日本において、「信教の自由」とは子どもの信教の自由というよりも、親の宗教教育の自由のようになっていたため、法律や行政が「子どもへの信仰継承を規制しようとすること」は、「信教の自由の侵害」という憲法違反（違憲）であるとされてきた。
行政機関である地方自治体の窓口やホットラインに児童虐待や生活支援を相談しても、宗教2世問題は憲法で規定された信教の自由が絡んでくることもあり、基本的に介入されてこなかった。宗教2世問題は、生活保護やドメスティックバイオレンス（DV）などとは異なる対応をされるケースが多く、「行政は宗教問題には介入できない」「家族のことはまず家族で話し合って」などと言われて門前払いとなったり、親から逃れる目的で転居先の住民票閲覧に制限を掛けるよう申請しても、「それは親子の問題だ」として拒否された事例もある。
そして、霊感商法関連の問題が話題の中心となった際にも、憲法で国家に義務付けられた信教の自由だけでなく、被害者の個人情報保護の問題もあった。そのため、以前から児童相談所において、宗教2世などに対する宗教虐待関連の通報や相談が相次ぎ、問題視されていたにもかかわらず、それらを防止する議論さえも後述の元内閣総理大臣の安倍晋三への銃撃事件が発生するまで、対応が一切されてこなかった。
2022年（令和4年）7月の「安倍晋三銃撃事件」後も大学のサークル活動などがカルト宗教の絶好の勧誘の場となっている。大学のカルト宗教の規制が進まない背景には、カルト宗教の勧誘を行う学生が2世信者だった場合に、信教の自由を侵害（人権侵害）していると大学に対して民事訴訟を起こされる危険性の存在がある。各大学への調査によると憲法第20条「信教の自由」を背景に、「注意喚起は行っているが、具体的な団体名を出したり、宗教を否定したりするような表現はとれないため、学生に伝わりにくくなってしまう」「チラシのような証拠がなく、カルト宗教かどうか特定できない」「憲法で認められている信教の自由に反する行為とみなされる可能性もあり、慎重な対応が必要」など課題もあり、対応は後手に回りがちなままである。
以上のように憲法解釈の点から、行政や公的機関の不介入などに発展し、どうにもならない劣悪な状況に宗教2世を追い込んでいた。つまり宗教2世問題は、単に宗教側だけの原因による問題ではなく、憲法の信教の自由を背景とした行政や企業、大学などそれを取り巻く社会一般の対応をも含んでいる。
主な事例 > 旧オウム真理教

→詳細は「オウム真理教事件」を参照
1995年（平成7年）にオウム真理教が起こした地下鉄サリン事件（オウム真理教事件）に伴い、1995年に警察が行った強制捜査により、日本各地の児童相談所で一時保護されたオウム真理教の信者の子供に対して健康診断を行った結果、オウム真理教の信者の子供の多くが劣悪な環境下に置かれていたこともあり、貧血や栄養不良などの子供が相次いだほか、身長も同年代の平均値を下回る子供が多かったことが、2023年に毎日新聞が山梨県に対して行った情報公開請求で明らかとなった。
主な事例 > 世界平和統一家庭連合（旧統一教会） > 安倍晋三銃撃事件の実行犯

→詳細は「安倍晋三銃撃事件 § 実行犯」を参照
2022年（令和4年）7月8日に安倍晋三銃撃事件が発生すると、その実行犯の男（1980年（昭和55年）生まれ）の家庭環境が注目された。
男の母親は夫（男の父親）の死や息子（男の兄）の病気を契機として、1991年（平成3年）頃に世界平和統一家庭連合（当時は世界基督教統一神霊協会、旧統一教会）に入信し、多額の献金を行っていた。男の母親による献金額は1億円を超えるともいわれ、それゆえ家庭が経済的に崩壊した。男は進学校の公立高校に通っていたが、家庭の経済的な困窮により、大学進学を断念せざるを得ず、2002年（平成14年）に海上自衛隊に入隊する。
男の父親は、過労とアルコール依存症によるうつ状態の末に、男が4歳だった1984年（昭和59年）に自殺していた。また、男には兄と妹がいたが、兄も癌（がん）で闘病の末、2015年（平成27年）に自殺した。さらに、男自身も海上自衛隊に勤務していた時代の2005年（平成17年）に、兄妹の経済的な困窮を伝え聞き、「兄と妹に自分の生命保険金を渡そうと思った」との理由から自殺未遂を起こしている。このとき、男の母親は旧統一教会の行事のために訪韓中で、男の伯父から息子の自殺未遂の連絡を受けても、日本には帰国しなかった。
男は犯行について、旧統一教会への「積年の恨み」によるもので、教団と深い繋がりのある安倍晋三元首相を狙ったと供述をした。また、男は自身の過去について、「私と統一教会の因縁は約30年前にさかのぼります。母の入信から億を超える金銭の浪費、家庭崩壊、破産…この経過と共に私の10代は過ぎ去りました」「その間の経験は私の一生をゆがませ続けたと言って過言ではありません」と語っている。
男の母親は事件後も旧統一教会を脱会せず、依然として信仰し続けている。
主な事例 > 世界平和統一家庭連合（旧統一教会） > 旧統一教会問題

→詳細は「旧統一教会問題」を参照
主な事例 > エホバの証人

エホバの証人では脱会者が出ると、その家族に対し、脱会者との連絡を禁じる指導をおこなっているとされ、家族関係の断絶を恐れて脱会出来ない事例が多い。
主な事例 > エホバの証人 > 信者による輸血拒否問題

→詳細は「エホバの証人 § 輸血拒否にかかる事案」、および「輸血拒否」を参照
エホバの証人の場合は、「輸血の禁止」の宗教の「教義」がある。「血を食べてはならない」などの聖書の言葉に従い、医療行為の場面で輸血の受け入れを拒否しているとしており、実際に1985年に神奈川県川崎市で発生した交通事故では、ダンプカーにはねられて重傷を負った男児が病院に搬送されたが、親がエホバの証人の信仰を理由に輸血を拒否したため、大怪我をした男児が死亡した事例がある。
2023年に毎日新聞が日本小児科学会の中核病院小児科として登録されている119病院を対象にアンケートを行ったところ、55病院から返答があり、2013年からの10年間で宗教を理由とする子供への医療拒否があったと答えた病院が18病院（計48件）あり、その内の13件が輸血を理由とした治療拒否だったとしている。
最高裁判所はエホバの証人輸血拒否事件を巡る裁判で、宗教上の信念に基づいて輸血を拒否することを患者の権利と認める判断を、2000年に出している。一方で日本輸血・細胞治療学会や日本赤十字社系列の病院などは宗教上の教義などを理由に患者本人やその親などが輸血を拒否しても生命の危険があり、輸血以外で救命する手段が無い場合は輸血行為を実施するとの指針を公表している。前述の毎日新聞のアンケートにおいても、31の病院が宗教などを理由として親の同意が得られない場合でも生命の危険がある場合は輸血や治療を行うことを明らかにしており、50の病院で独自の指針があると回答している。
厚生労働省は2022年12月に自治体向けの新指針を策定し、信者の親を持つ「宗教2世」への児童虐待（医療ネグレクト）防止のために、輸血を含めた「必要な医療を受けさせないこと」も虐待に当たると明記した。
なお、エホバの証人の日本支部は「（本団体の）特定の人が、輸血を拒否するよう、誰かに強制することはありません」とのコメントを出している。
主な事例 > エホバの証人 > 鞭打ち体罰問題

2021年9月にエホバの証人の元2世信者有志が行ったインターネットアンケートで信者に対し、宗教の理由によるしつけの一環で「鞭打ち」と称した体罰に遭ったかどうか調査したところ、回答者の225人中、217人が「鞭打ちの体罰」を受け、その内の75%が未就学児の頃から被害に遭い、「中学生までたたかれた」とする10代からの回答もあった。大半が母親から「鞭打ち」の体罰を受け、中には大人になった後に自身の子供に対して、鞭でたたいたと回答した者も8人いた。
なお、1990年代以降にエホバの証人の2世信者で「鞭打ち」をした後に抱きしめられたという回答も47件あったが、アンケートを行った主催者は「愛しているからムチ打ちをするんだというDVなどと同じ『心のコントロール』（心の支配）だ」として、この行為を批判している。
この問題に対して、エホバの証人の日本支部は「（本団体は）児童虐待を容認していない」とのコメントを出している。
主な事例 > エホバの証人 > 性的虐待

2023年11月、エホバの証人の元2世信者などで構成している「JW児童虐待被害アーカイブ」は信者や「長老」と呼ばれている地域責任者などから性的被害を受けたとする訴えが複数申告されており、中には未成年時に性的被害を受けたとする訴えもあったことを明らかにした。
エホバの証人は「信憑性が不確かな情報についてコメントできない」としながらも「長老たちは児童虐待に関する訴えや報告を聞いた場合、当局に通報するよう求める法律に従う。特に児童に対する性的虐待は極めて邪悪な行為であり、そうした行為を憎悪している」とのコメントを出している。
主な事例 > 創価学会 > 福岡5歳児餓死事件

→詳細は「篠栗男児餓死事件」を参照
2021年3月に福岡県篠栗町で5歳の男児が十分な食事を与えられず、2020年4月に栄養失調で餓死していたことが判明したとして、5歳の男児の母親Bと母親の知人Aを保護責任者遺棄致死の容疑で逮捕した。
その後、2021年3月に発行された週刊誌『週刊新潮』によると、ママ友Aと死亡した5歳の男児の母親Bは当時、共に創価学会員であり、ママ友Aは男児の母親Bをマインドコントロールや洗脳し、母子の生活費や食費を全て管理し、精神面でも完全に支配下に置いていた。ママ友Aが男児の母親Bの夫の浮気話を捏造し、男児の母親Bは離婚にまで至ったという。ママ友Aは男児の母親Bの離婚後に男児の母親Bが受給し始めた生活保護費も搾取し、計1200万円も搾取したという。ママ友Aの搾取のせいで、男児の母親Bは子ども達の給食費が支払えなかったという。2020年4月に5歳の男児は十分な食事を与えられずに栄養失調で餓死した。ママ友Aの知人によれば、5歳の男児の葬儀代は創価学会が支払った代わりに、香典は創価学会に渡したとママ友Aは話しているという。これに対し、地元の古参の創価学会員はママ友Aはたしかに創価学会員であるが、香典を創価学会に渡したのは嘘であると話しているという。男児の母親Bの代理人の弁護士によれば、男児の母親Bはママ友Aに勧誘されて創価学会に入会したが、男児の母親Bは現在は創価学会を退会した。
2022年10月に福岡高等裁判所で男児の母親Bの懲役5年判決が確定した。2023年3月に福岡高等裁判所で主犯のママ友Aの懲役15年判決が確定した。