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接続 (ファイバー束)
諸概念 > ホロノミー群 > 定義

x_{0}\in MをMの点とし、 c(t)\in Mをx0からx0自身への区分的になめらかな閉曲線とすると、接続が完備なのでx0のファイバー E_{x_{0}}の任意の元eに対し、eを c(t)\in Mに沿って一周平行移動してできた元を \varphi _{c}(e)\in E_{x_{0}}とする事で、 E_{x_{0}}上の可微分同相写像
を定義できる。
定理・定義 (ホロノミー群) ―
は閉曲線の連結に関して自然に群構造をなす。この群をEの {\mathcal {H}}に関するx0におけるホロノミー群（英: holonomy group）という。
さらに以下を定義する：
定理・定義 (制約ホロノミー群) ―
とすると、 \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}},x_{0})は \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})の部分群をなす。 \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}},x_{0})をPにおけるEの {\mathcal {H}}に関する制約ホロノミー群（英: restricted holonomy group）という。
Mが連結である事から（制約）ホロノミー群の群構造はx0によらないので、紛れがなければ \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})、 \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}},x_{0})を単に \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}})、 \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}})と書く。
諸概念 > ホロノミー群 > ホロノミーリー代数

u\in Mにおける接ベクトル v\in T_{u}Mに対し、 e\in E_{u}に vのeでの水平リフトを対応させる
をファイバー E_{u}上の切断とみなしたものを \mathrm {Lift} (v_{u})と書く。
2つのベクトル v_{u},w_{u}\in T_{u}Mに対し、 \mathrm {Lift} (v_{u})、 \mathrm {Lift} (w_{u})はいずれも E_{u}上のベクトル場なので、曲率形式Ωに対して、
を定義でき、これは E_{u}上のベクトル場とみなせる。さらに u_{0}\in Mをfixし、uから u_{0}までつなぐ曲線 c(t)に沿って \Omega (\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))を平行移動したものを \Omega _{c}(\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))と書く。
定理・定義 ―  E_{u_{0}}上のベクトル場全体の集合 {\mathfrak {X}}(E_{u_{0}})をリー括弧（英語版）に関する「無限次元リー代数」とみなしたとき、
を含む最小の（C∞-位相に関する）閉部分線形空間
を
と書くとき、 \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})は {\mathfrak {X}}(E_{x_{0}})の部分リー代数になっている。
\mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})をホロノミーリー代数（英: holonomy Lie algebra）という。
実は以下の定理が成立する。なお、以下の定理は主バンドルに対するAmbrose–Singerの定理を任意のファイバーバンドルに一般化したものである：
定理 (Ambrose-Singerの定理の一般化) ― ホロノミーリー代数 \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})が有限次元であれば、以下が成立する：
ホロノミー群 G:=\mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})は \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})をリー代数として持つリー群である。
あるG-主バンドル \pi '~:~P\to M、およびGのファイバー E_{x_{0}}への作用が一意に存在し、 \pi '~:~P\to Mと E_{x_{0}}へのG作用を使って作った E_{x_{0}}バンドルは \pi ~:~E\to Mと同型である。
主バンドル \pi '~:~P\to Mには主バンドルとしての接続（詳細次章）が一意に存在し、この接続が上述の E_{x_{0}}バンドルに誘導する接続は \pi ~:~E\to Mとの接続と同一である。
諸概念 > クリストッフェル形式

\pi ~:~E\to Mをファイバー空間Fを持つファイバーバンドル、 \{V_{e}\}_{e\in E}をその上の接続とし、Mの点x0とx0の近傍Vに対し、 \pi ^{-1}(V)の局所座標を
 \pi ^{-1}(V){\overset {\sim }{\to }}U\times Fとする。ここでUは \mathbb {R} ^{m}の開集合である。以下、紛れがなければ \pi ^{-1}(V)とその局所座標 U\times Fを同一視する。
定理・定義 ― 記号を上述のように取るとき、
 (x,a)\in U\times Fにおける接空間 T_{x,a}(U\times F)\approx T_{x}U\times T_{a}Fの元 (\xi _{x},\eta _{a})\in T_{x}U\times T_{a}Fに対し、
と書ける \Gamma _{a}(\xi _{x})\in T_{a}Fが存在する。
Fの点aに \Gamma _{a}(\xi _{x})\in T_{a}Fを対応させるF上のベクトル場を \Gamma (\xi _{x})と書く。
\Gamma はξxにF上のベクトル場の集合 {\mathfrak {X}}(F)の元を対応させる {\mathfrak {X}}(F)値1-形式とみなせるので、 \Gamma を接続 \{V_{e}\}_{e\in E}の座標近傍 U\times Fに関するクリストッフェル形式（英: Christoffel form）という。
クリストッフェル形式を使うと曲率が以下のように書ける：
定理 ― 上述の記号の元、曲率Ωは局所座標 \pi ^{-1}(V){\overset {\sim }{\to }}U\times Fにおいて以下を満たす：
ここで [\Gamma ,\Gamma ](\xi ,\zeta ):=[\Gamma (\xi ),\Gamma (\zeta )]であり、 [\cdot ,\cdot ]はリー括弧である。
上述の定理はあくまで局所座標で成立するものに過ぎないが、後述する主バンドルの接続の場合は局所座標ではなく手バンドル自身の上で同種の定理が成り立つことを後で示す。
諸概念 > 接続の引き戻し

\pi ~:~E\to Mを接続 \{V_{e}\}_{e\in E}が定義されたファイバーバンドルとし、 f~:~N\to Mを多様体NからMへのなめらかな写像とすると、ファイバーバンドルの引き戻し
が定義できる。
定義 ― 
f*E上の点 e\in f^{*}Eに対し、垂直射影V'eを合成関数
により定義する事で引き戻し \pi '~:~f^{*}E\to Nに接続 \{V_{e}\}_{e\in f^{*}E}を定義できる。ここで {\mathcal {V}}_{{\tilde {f}}(e)}、 {\mathcal {V}}'_{e}はそれぞれ \pi '~:~f^{*}E\to N、 \pi ~:~E\to Mの垂直部分空間である。
接続 \{V_{e}\}_{e\in f^{*}E}を \pi ~:~E\to Mの接続 \{V_{e}\}_{e\in E}の引き戻し（英: pullback）という。
曲率は引き戻しに対して自然に振る舞う：
定理 ― 上述の記号の元、Ωを \pi ~:~E\to M上の接続 \{V_{e}\}_{e\in E}の曲率とし、Ω'を引き戻し \pi '~:~f^{*}E\to N上の引き戻された接続 \{V'_{e}\}_{e\in E}の曲率とする。このとき以下が成立する：
一方、接続に関する他の諸概念、例えば水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞うとは限らない。実際 f~:~N\to MがNを一点に潰す写像であれば、TNの像は全て0ベクトルであるので、 f_{*}で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてから {\tilde {f}}_{*}で写像したのでは結果が異なる。
水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞う条件は微分がfull rankになる事で、 f_{*}が点 x\in Nにおいてfull rankであれば、TxNの元を f_{*}で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてから {\tilde {f}}_{*}で写像したのは結果が等しくなる。
主バンドルの接続

本節では主バンドルの接続を定義する。
主バンドルの接続 > 定義

主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で群作用に対して不変になるものである：
定義 (主接続の定義) ― 
Gをリー群とし、 \pi ~:~P\to Mを構造群Gを持つ主バンドルとする。 \pi ~:~{\mathcal {P}}\to MのC∞級の（主バンドルとしての）接続(英: connection)あるいは主接続（英: principal connection） \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}とは、Pの各点pにおけるTpMの部分空間 {\mathcal {H}}_{p}の族でpに関してC∞級であり、任意の p\in Pに対し以下の性質を満たすものである：
T_{p}P={\mathcal {V}}_{p}\oplus {\mathcal {H}}_{p}
任意の g\in Gに対し、 (R_{g})_{*}({\mathcal {H}}_{p})={\mathcal {H}}_{pg}
ここで {\mathcal {V}}_{p}は垂直部分空間 {\mathcal {V}}_{p}:=\pi _{*}{}^{-1}(T_{\pi (p)}M)\subset T_{p}Pであり、 (R_{g})_{*}は g\in GのPへの右からの作用 R_{g}~:~p\in P\to pg\in PがTPに誘導する写像である。 {\mathcal {H}}_{p}をpにおける水平部分空間という。
一般のファイバーバンドルの接続の場合と同様、垂直射影 \{V_{p}\}_{p\in P}を用いて接続概念を定義することも可能で、
任意の p\in Pに対し、 V_{p}|_{{\mathcal {V}}_{p}}=\mathrm {id}
任意の p\in P、 g\in Gに対し、 (R_{g})_{*}\circ V_{p}=V_{pg}\circ (R_{g})_{*}
により接続概念を定義づけられる。
しかし次節に見るようにリー群・リー代数対応に着目する事で、リー代数の言葉を使った定式化も可能である。
主バンドルの接続 > リー代数を使った定式化

本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。
そのためにまず、定義のために必要な概念を導入する。
主バンドルの接続 > リー代数を使った定式化 > 基本ベクトル場

Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をそのリー代数とし、さらにNをGが右から作用する多様体（例えばG-主バンドル \pi ~:~P\to Mの全空間P）とする。
定義 (基本ベクトル場) ― 
リー代数の元 A\in {\mathfrak {g}}と点 p\in Nに対し、
により、N上のベクトル場 {\underline {A}}を定義する。 {\underline {A}}をAに対応するNの基本ベクトル場（英語版）（英: fundamental vector field on N associated to A）という。
なお、NがG-主バンドル \pi ~:~P\to Mの全空間Pの場合には {\underline {A}}_{p}は垂直部分空間 {\mathcal {V}}_{p}の元である事が容易に示せる。
主バンドルの接続 > リー代数を使った定式化 > 随伴表現

定義 (リー群の随伴表現) ― Gをリー群とし {\mathfrak {g}}をそのリー代数とする。このとき、Gの線形表現
を g\in Gに対し、
により定義し、AdをGの随伴表現（英: adjoint representation）という。
ここで \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})は {\mathfrak {g}}上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義は h(t)の取り方によらずwell-defninedである。
主バンドルの接続 > リー代数を使った定式化 > 定式化

基本ベクトル場の定義より明らかに各 p\in Pに対し、写像
は全単射であるので、ζpの写像の逆写像を垂直射影と合成する事で、
作る事ができる。この写像を {\mathfrak {g}}に値を取る1-形式とみなしたものを
とし、各点pにωpを対応させるP上の {\mathfrak {g}}値1-形式の場ωを接続形式（英: connection form）という。ここで {\mathcal {A}}_{p}^{1}(P;{\mathfrak {g}})はP上の {\mathfrak {g}}値1-形式全体の集合である。
以上の議論から明らかに垂直射影からωが定まり、逆にωから垂直射影が定まるのでωによって接続概念を定式化できる：
定義・定理 (接続形式) ― 
Mを多様体、Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をGのリー代数とし、さらに PをM上のG-主バンドルとする。 P上定義された {\mathfrak {g}}-値の1-形式のC∞級の場
で以下を満たすものを Pの接続形式という：
任意の A\in {\mathfrak {g}}、 p\in Pに対し、 \omega _{p}({\underline {A}}_{p})=A
任意の g\in G、 p\in Pに対し、 (R_{g})^{*}\omega _{p}=(\mathrm {Ad} g^{-1})\omega _{p}
主バンドルとしての接続から前述の方法でPの接続形式が定まり、逆に接続形式ωが0になる方向を水平方向とすることでPに主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。
主バンドルの接続 > 諸概念

本節では主バンドルの接続に関する諸概念を接続形式を使って表現する。
主バンドルの接続 > 諸概念 > 共変微分

接続が定義された主バンドル \pi ~:~P\to Mにおいて、切断sの共変微分は
により定義されていた。一方主接続の接続形式ωは垂直射影 V_{s(x)}を基本ベクトル場を考えてリー代数と対応付ける事で定義されていた。よって次が成立する：
定理 (共変微分の具体的表記) ―
ここで
である。
主バンドルの接続 > 諸概念 > 曲率

本節では、上記で定義したリー代数による接続の記述を使って曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。
そのために {\mathfrak {g}}-値1-形式α、βに対し、
と定義する。ここで [\cdot ,\cdot ]は {\mathfrak {g}}上のリー括弧である。さらに前節同様
を考える。紛れがなければ添字pを省略し単にζと書く。
定理 (主バンドルの接続の曲率) ― 
Mを多様体、Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をGのリー代数とし、さらに PをM上のG-主バンドルとし、ωをPの主バンドルとしての接続とする。このとき曲率形式Ωは以下を満たす：
（構造方程式） \zeta {}^{-1}(\Omega )=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]_{\mathfrak {g}}\in {\mathfrak {g}}
紛れがなければ \zeta {}^{-1}(\Omega )を単にΩと書き、接続形式ωの曲率形式という。
曲率形式は次を満たす：
定理 (曲率の性質) ― 次が成立する：
任意の p\in Pに対し、 \Omega _{p}=H_{p}{}^{*}(d\omega _{p})
任意の g\in G、 p\in Pに対し、 (R_{g})^{*}\Omega _{p}=\mathrm {Ad} (g^{-1})\Omega _{p}
（ (第二)ビアンキ恒等式）  d\Omega =[\Omega ,\omega ]
ここでHpは水平部分空間への射影である。
主バンドルの接続 > モーレー・カルタン形式

接続形式の意味を見るため、リー群のモーレー・カルタン形式を定義する。
定義 (モーレー・カルタン形式) ― 
Gをリー群とし、 {\mathfrak {g}}をそのリー代数とするとき、Gの各点gに対しG上の {\mathfrak {g}}値1-形式 \mu _{g}を
により定義し、μgをGのgにおけるモーレー・カルタン形式という。
ここで L_{g^{-1}}{}_{*}は群の左作用 L_{g^{-1}}~:~h\in G~~\mapsto g^{-1}hが誘導する写像である。
モーレー・カルタン形式は以下を満たす：
定理 ―
(R_{g})^{*}\mu =\mathrm {Ad} (g^{-1})\mu
d\mu +{1 \over 2}[\mu ,\mu ]_{\mathfrak {g}}=0
上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式（英: Maurer-Cartan equation）、もしくはリー群Gの構造方程式（英: structure equation）という。
一点集合 \{x_{0}\}を0次元多様体とみなし、Gを \{x_{0}\}上のG-主バンドル G\to \{x_{0}\}とみなすと、上記の定理から明らかにモーレー・カルタン形式はこのバンドル上の接続となる。
構造方程式から以下が明らかに従う：
定理 ― 
モーレー・カルタン形式をG-主バンドル G\to \{x_{0}\}の接続とみなしたとき、この接続の曲率は0である。
曲率が0である事は水平部分空間が可積分である事と同値であったので、水平部分空間が自明になる一点上のバンドルでは曲率が0になるのは自明である。
実は以下が成立する：
定理 ― 
モーレー・カルタン形式は一点集合上のG-主バンドル G\to \{x_{0}\}の唯一の接続である。
実際、底空間が一点である事から
 T_{g}Gと {\mathcal {V}}_{g}は同次元なので垂直射影は恒等写像しか存在せず、しかも基本ベクトル場の定義から g\in Gと A\in {\mathfrak {g}}に対し、
であるので、 G\to \{x_{0}\}上の接続は
のみになる。
以上のことから接続形式ωが定義されたG-主バンドル \pi ~:~P\to Mに対し、ωをM上の一点x0のファイバー P_{x_{0}}=\pi ^{-1}(x_{0})（すなわちこの接続の垂直方向）に制限したものは必ずモーレー・カルタン形式μに一致する。
実は次が成立する：
定理 ―  \pi ~:~P\to MをG-主バンドルとし、ωをP上定義された微分形式のなめらかな場とする。さらに各 x_{0}\in Mに対し、 \iota _{x_{0}}~:~G{\overset {\sim }{\to }}P_{x_{0}}を自然な同一視とする。
このとき、以下の2つは同値である：
ωは接続形式の定義の1つ目の条件をみたす。すなわち、任意の A\in {\mathfrak {g}}、 p\in Pに対し、 \omega _{p}({\underline {A}}_{p})=A
任意の x_{0}\in Mに対し、 \iota _{x_{0}}{}^{*}(\omega )=\mu
ここでμはモーレー・カルタン形式である。
以上のことから、接続形式とは、各ファイバー上ではモーレー・カルタン形式に一致し、しかもGの作用との両立性 (R_{g})^{*}\omega _{p}=(\mathrm {Ad} g^{-1})\omega _{p}をみたすものとして特徴づけられる。
主バンドルの接続 > 平行移動

主バンドルの接続の場合、平行移動は以下を満たす：
定理 ― 主バンドルの接続は常に完備である。
すなわち、主バンドル \pi ~:~P\to Mの底空間M上の任意の曲線 x(t)と x(t)の始点 x(0)のファイバー P_{x(0)}の元pに対し、pの x(t)に沿った平行移動が常に定義可能である。
定理 ― 平行移動はGの作用と可換である。
すなわち、 \pi ~:~P\to Mを接続が定義されたG-主バンドルとし、 x(t)を底空間M上の曲線とし、 x(t)の一点 x(0)のファイバーの元 p\in P_{x(0)}に x(t)に沿って平行移動した結果 p'\in P_{x(1)}を対応させる写像を
とすると、
が任意の p\in P_{x(0)}、 g\in Gに対して成立する。
よって特に以下が成立する：
系 ― 
記号を上述の定理のように取る。x(0)、x(1)の周りに局所座標を取り、局所座標で P_{x(0)}\approx G、 P_{x(1)}\approx Gと表す事で \varphi をG上の自己同型とみなすと、
と書ける h_{\varphi }\in Gが存在する。
実際、 h_{\varphi }=\varphi (e)とすれば上の系が成立する。ここでeはGの単位元である。
主バンドルの接続 > ベクトル値を取る微分形式

本節では主バンドルPの微分形式のうち性質の良いものがPに対応するベクトルバンドルの微分形式と1対1に対応する事を見る。次節でこの同型を曲率形式がリー代数のバンドルの元とみなせる事を示すのに利用し、更に後の章でベクトルバンドルの共変外微分を定義するのに利用する。
Vをベクトル空間とし、
をリー群GからV上の一般線形群 \mathrm {GL} (V)へのなめらかな準同型（すなわちなめらかな線形表現）とし、 P\to Mを接続形式ωが定義されたG-主バンドルとする。
定義 (テンソル形式) ― 
kを非負整数とし、P上のk次のV値微分形式ηで
(R_{g})^{*}(\eta )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\rho (g^{-1})\eta _{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})
（水平性）あるviが垂直であれば、 \eta _{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=0
を任意の p\in Pと任意の v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{p}Pに対して満たすものをタイプρのテンソル形式[訳語疑問点]（英: tensorial form of type ρ）であるといい、P上のk次のV値微分形式でタイプρのテンソル形式であるもの全体を
と書く。
ベクトルバンドル E=P\times _{\rho }V\to Mを考え、 p\in Pに対し、
を商写像とすると、 {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P,V)の元は \varphi _{p}により {\mathcal {A}}^{k}(M;E)の元と自然に対応する。ここで {\mathcal {A}}^{k}(M;E)はEに値を取るk次微分形式全体の集合である：
定理 (テンソル形式と底空間上の切断の関係) ― 
 \eta \in {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)、 u\in Mと X_{1},\ldots ,X_{k}\in T_{u}Mに対し、 \pi (p)=xを満たす p\in Pを選んで
とすると、 \varphi ^{\flat }{}_{x}はpの取り方によらずwell-definedであり、
は全単射である。
上記の写像の逆写像は以下のように書ける：
定理 ― 
 \xi \in {\mathcal {A}}^{k}(M;E)、 p\in P、 Y_{1},\ldots ,Y_{k}\in T_{p}Pに対し、
とすると、
は:  \eta \mapsto \eta ^{\flat }の逆写像である。
主バンドルの接続 > 随伴バンドル

本節ではリー群の随伴バンドルを定義し、曲率形式は随伴バンドル上の微分形式とみなせる事を見る。まず随伴バンドルを定義する：
定義 (随伴バンドル) ― Gをリー群とし {\mathfrak {g}}をそのリー代数とし、さらに P\to MをG-主バンドルとし、 G{\overset {\mathrm {Ad} }{\curvearrowright }}{\mathfrak {g}}を随伴表現とする。このとき、
を P\to Mの随伴バンドル（英: adjoint bundle）という。
前述した主接続の曲率の性質から、Pに接続形式ωが定義されているとき、
が成立する。すなわち曲率形式は随伴バンドルの元と見なすことができる。
一方、接続形式は（恒等的に0でない限り）テンソル形式の定義における水平性を満たさないので、 \omega \notin {\mathcal {A}}_{\mathrm {Ad} }^{1}(P;{\mathfrak {g}})である。
主バンドルの接続 > 共変外微分 > 主バンドル上の共変外微分

\pi ~:~P\to Mを接続形式ωが定義されたG-主バンドルとし、
を接続ωに関するPの点pにおける水平射影とし、さらにVをベクトル空間とする。 {\mathcal {A}}^{k}(P;V)を V値k-形式全体の集合とすると、 \eta \in {\mathcal {A}}^{k+1}(P;V)に対し、
を定義できる。
定義 (主バンドルの共変外微分) ― 
外微分 d~:~{\mathcal {A}}^{k}(P;V)\to {\mathcal {A}}^{k+1}(P;V)とH*との合成
を接続ωに関する次数kの共変外微分（英: covariant exterior derivative）という。
共変外微分は通常の外微分と違い、 d_{\omega }d_{\omega }は0になるとはかぎらないが、 Vが構造群Gのリー代数 {\mathfrak {g}}である場合には、以下の関係式を示すことができる。以下でΩは接続形式ωに関する曲率である：
定理 ―  \omega \in {\mathcal {A}}^{1}(P;{\mathfrak {g}})、 \Omega \in {\mathcal {A}}^{2}(P;{\mathfrak {g}})であり、以下が成立する：
d_{\omega }\omega =\Omega
（(第二)ビアンキ恒等式） d_{\omega }\Omega =0
同伴バンドルへの接続の誘導

本節では主バンドルの接続からそれに同伴するバンドルに接続を誘導する方法を述べる。
同伴バンドルへの接続の誘導 > 準備：同伴バンドル

まず同伴バンドルの定義を復習する。 \pi ~:~P\to MをG-主バンドルとし、Fを左からのGの作用 G{\overset {\curvearrowright }{}}Fを持つ多様体とするとき、P×Fを
という同値関係で割った空間を P\times _{G}Fとすると、
は構造群Gを持つファイバーFのファイバーバンドルになる。 P\times _{G}FをPの G{\overset {\curvearrowright }{}}Fに関する同伴バンドル（英語版）という。
同伴バンドルへの接続の誘導 > 接続の誘導 > 定義

本節では主バンドル \pi ~:~P\to M上定義された接続 \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}を用いて同伴バンドル P\times _{G}F\to Mに接続を定義する方法を説明する。
a\in Fに対し、写像
を考える。
定義 (接続の誘導) ― 
 P\times _{G}Fの [(p,a)]における水平部分空間 {\mathcal {H}}'_{[(p,a)]}を
により定義し、 \{{\mathcal {H}}'_{[(p,a)]}\}_{[(p,a)]\in P\times _{G}F}を \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}により P\times _{G}F\to Mに誘導された接続（英: induced connection）、もしくは同伴接続（英: accociated connection）という。
上記の定義において {\mathcal {H}}'_{[(p,a)]}は代表元 (p,a)の取り方によらずwell-definedである。
同伴バンドルへの接続の誘導 > 接続の誘導 > 別の定式化

本節では、前節で定義した同伴バンドルに誘導された接続を別の方法で特徴づける。
そのためにG上の積を取る写像と逆元を取る写像
を考え、これらが接バンドルTGに誘導する写像
をそれぞれTG上で積を取る演算、逆元を取る演算とみなすと、TGがこの積に対して群になる事を示す事ができる。この群をリー群Gの接群[訳語疑問点]（英: tangent group）という。
TGを上記の方法で群とみなすと、G-主バンドル \pi ~:~P\to Mが誘導する \pi _{*}~:~TP\to TMはTG主バンドルとみなせ、 G{\overset {\curvearrowright }{}}Fが誘導する TG{\overset {\curvearrowright }{}}TFは群TGのTFへの群作用とみなせる。
このため同伴バンドル
を考える事ができる。しかも
が同型
を誘導することも示す事ができる。
定義 (誘導された接続の別定義) ― 
G-主バンドル \pi ~:~P\to Mの接続 \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}の垂直射影Vpを使って
が可換図式になるように垂直射影 V'_{(p,a)}を定義することで T(P\times _{G}F)\approx TP\times _{TG}TFに接続を定義できる。
この接続を \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}により P\times _{G}F\to Mに誘導された接続という。
本節で定義された「誘導された接続」が前節で定義されたものと同一であることを用意に示す事ができる。
同伴バンドルへの接続の誘導 > 誘導された接続の性質 > 共変微分

本節では同伴接続の共変微分が主接続の接続形式を用いて表現できる事を見る。まず記号を定義する。
\pi ~:~P\times _{G}F\to Mを主バンドル P\to Mと作用 G{\overset {\curvearrowright }{}}Fから定義されたFバンドルとする。
さらに P\to Mに接続形式がωの接続形式が定義されているとし、この接続が \pi ~:~P\times _{G}F\to Mに誘導する接続の共変微分を∇とする。
そして p\in Pに対し、
とする。
定理 (誘導された接続の共変微分と接続形式の関係) ― 
pを P\to Mの切断とし、 a~:~M\to Fをなめらかな写像とし、sを u\in Mに同値類 [(p_{u},a_{u})]\in P\times _{G}Fを対応させる切断とする。ここで a_{u}:=a(u)である。
このとき、XをM上のベクトル場とすると、
が成立する。
ここで {\overline {\omega _{p_{u}}(X_{u})}}はリー代数の元 \omega _{p_{u}}(X_{u})の基本ベクトル場である。
同伴バンドルへの接続の誘導 > 誘導された接続の性質 > 曲率

主接続の曲率とそこから誘導された接続の曲率は以下の関係を満たす。
定理 (誘導された接続の曲率) ― 
 P\to Mを接続の定義された主バンドルとし、Ωをその接続とする。さらに P\to Mの同伴バンドル E:=P\times _{G}F\to Mに P\to Mから誘導された接続を入れ、その接続をΩ'とする。そして q~:~P\to Eを商写像とする。このとき以下の図式は可換である：
ここで {\mathcal {V}}P、 {\mathcal {V}}EはそれぞれP、Eの垂直部分空間である。
同伴バンドルへの接続の誘導 > 誘導された接続の特徴づけ

本節ではファイバーバンドル上の（一般の）接続が主バンドルの接続から誘導された接続である条件をクリストッフェル形式を用いて記述する。
定理 ― 
 \pi _{P}~:~P\to MをG-主バンドルとし、FをGが左から作用する多様体とし、 \pi _{E}~:~E\to Mを \pi _{P}~:~P\to Mに同伴するF-バンドルとする。さらに \{V_{p}\}_{p\in E}を \pi _{E}~:~E\to Mの（一般の）接続とする。Gのリー代数 A\in {\mathfrak {g}}に（Gの左からの作用により）AがFに定義する基本ベクトル場 {\overline {A}}\in {\mathfrak {X}}(F)を対応させる写像 A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\overline {A}}\in {\mathfrak {X}}(F)が単射であるとする。ここで {\mathfrak {X}}(F)はF上のベクトル場の集合である。
このとき、 \{V_{p}\}_{p\in E}が \pi _{P}~:~P\to M上の何らかの主バンドルとしての接続から誘導されている必要十分条件は以下が成立することである：
\pi _{E}~:~E\to Mのバンドルアトラス (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })_{\alpha }が存在し、任意のαに対し、 U_{\alpha }に関するクリストッフェル形式 \Gamma ^{\alpha }が {\mathfrak {X}}_{\mathrm {fund} }(F)に値を取る。
ここで {\mathfrak {X}}_{\mathrm {fund} }(F)はGの作用がFに定義する基本ベクトル場全体の集合である。
なお上では「あるバンドルアトラスが存在して」としたがあるバンドルアトラスに対して上記の性質が成立すれば任意のバンドルアトラスに対して上記の性質が成立する事が知られている。
ベクトルバンドルの接続

本節ではベクトルバンドルとしての接続（すなわちKoszul接続）と、一般の接続概念や主接続の概念との関係をみる。
ベクトルバンドルの接続 > Koszul接続の定義

まずKoszul接続の定義を復習する：
定義 (Koszul接続) ― 　
 \pi ~:~E\to Mを実ベクトルバンドルとし、 {\mathfrak {X}}(M)をM上のベクトル場全体の集合とし、 \Gamma (E)をEの切断の集合とする。
関数
で以下の性質を満たすものをE上のKoszul接続（英: Koszul connection）あるいは単に接続（英: connection）といい、 \nabla _{X}sを接続 \nabla が定めるsのX方向の共変微分という：
\nabla _{fX+gY}s=f\nabla _{X}s+g\nabla _{Y}s
\nabla _{X}(as+bs')=a\nabla _{X}s+b\nabla _{X}s'
\nabla _{X}(fs)=X(f)s+f\nabla _{X}s
ここでX、YはM上の任意のベクトル場であり、s、s'はEの任意の接続とし、f、gはM上定義された任意の実数値可微分関数であり、a、bは任意の実数であり、 fYは点Pにおいて f(P)Y_{P}となるベクトル場であり、 X(f)はfのX方向微分であり、 [X,Y]はリー括弧（英語版）である。
ベクトルバンドルの接続 > ファイバーバンドルの接続との関係

ベクトルバンドル \pi ~:~E\to Mにおいては垂直部分空間と接空間が自然に同一視できるので、その同一視の写像を
と書く。
本節では一般の接続概念から定義される共変微分を∇とするとき、 \phi \circ \nabla がKoszul接続になる条件を述べる。なお、逆にKoszul接続から一般の接続概念を誘導する方法はすでに述べた。
定理 (Koszul接続の条件) ―  \pi ~:~E\to Mをベクトルバンドルとし、 \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}を \pi ~:~E\to Mのファイバーバンドルとしての接続する。さらに \phi ~:~{\mathcal {V}}_{e}{\tilde {\to }}E_{\pi (e)}を垂直部分空間 {\mathcal {V}}_{e}と E_{\pi (e)}の自然な同一視とする。
このとき以下の条件は同値である：
\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}が定義する共変微分を∇とすると、 \phi \circ \nabla はKoszul接続の公理を満たす。
任意の \lambda \in \mathbb {R} 、 e\in Eに対し、 {\mathcal {H}}_{\lambda e}=(m_{\lambda })_{*}({\mathcal {H}}_{e})
ここでmλはベクトル e\in Eをλ倍した \lambda e\in Eに写す写像とする。
Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と（上記の定理の条件を満たす）一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する。
ベクトルバンドルの接続 > ファイバーバンドルの接続との関係 > クリストッフェル記号

\pi ~:~E\to Mをベクトルバンドルとし、 (x^{1},\ldots ,x^{m})をMの局所座標とし、 e_{1},\ldots ,e_{n}をEの局所的な基底とし、Eの元vを v=v^{j}e_{j}と表すと、クリストッフェル写像の節で述べたように、 e\in Eにおける水平リフトを
と書ける。一方、Koszul接続のクリストッフェル記号を
と定義すると、上述の定理から以下が従う：
定理 ― 以下が成立する：
ベクトルバンドルの接続 > フレームバンドル

次に我々は主バンドルの接続とベクトルバンドルの接続の関係を見る。そのための準備として本節では「G-フレーム」、および「G-フレームバンドル（英語版）」の概念を導入する。
ベクトルバンドルの接続 > フレームバンドル > 定義

「G-フレーム」とは正規直交基底の概念を一般化したもので、Gが \mathrm {SO} (n)の場合、G-フレームが正規直交基底に相当する。
定義 ― Gを \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )の部分リー群とし、 \pi ~:~E\to Mを構造群Gを持つベクトルバンドルとし、uをMの点とし、 e_{1},\ldots ,e_{n}をEuの基底とする。 e_{1},\ldots ,e_{n}がEのuにおけるG-フレーム（英: G-flame）であるとは、Eのuにおけるバンドルチャート U\times \mathbb {R} ^{n}と g\in Gが存在し、このバンドルチャート上で
が成立する事を言う。
ここで e'_{1},\ldots ,e'_{n}は \mathbb {R} ^{n}の標準的な基底であり、 ge_{i}は線形変換 g\in G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )をeiに作用させたものである。
構造群Gを持つベクトルバンドルの定義から、G-フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。
F^{G}(E)_{u}を u\in M上のG-フレーム全体の集合とすると、
は自然にM上のG-主バンドルをなし、 F^{G}(E)を構造群Gに関するフレームバンドルという。
ベクトルバンドルの接続 > フレームバンドル > E → Mに対応する主バンドルとの関係

P\to Mを \pi ~:~E\to Mに対応するG-主バンドルとすると、PはG-フレームバンドルと自然に同一視できる：
定理 ― 記号を上述のように取り、 U_{\alpha }\subset M、 \psi _{\alpha }~:~\pi ^{-1}(U_{\alpha }){\overset {\sim }{\to }}U_{\alpha }\times GをPのバンドルチャートとする。このときP（のバンドルチャート）から F^{G}(E)への写像
はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedで、しかも主バンドルとしての同型写像になる。
よって以後、 \pi ~:~E\to Mに対応するG-主バンドルと F^{G}(E)を自然に同一視する。
ベクトルバンドルの接続 > フレームバンドル > 商写像との関係

フレームバンドルの利点は、主バンドルからベクトルバンドルへの商写像に直観的な意味を与えられることにある。以下で P\to Mは前節同様 \pi ~:~E\to Mに対応するG-主バンドルである。
定理 (フレームバンドルによる成分表示) ― 写像の合成
による (e,a)\in F_{G}(E)\times \mathbb {R} ^{n}の像は
に一致する（アインシュタインの縮約で記載）。
ここでqは商写像であり、 a=(a^{1},\ldots ,a^{n})であり、 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})である。
ベクトルバンドルの接続 > 主接続によるKoszul接続の誘導 > 接続の対応関係

本節ではG-主バンドルの接続形式の関係とこの接続がベクトルバンドルEに誘導する接続の関係を述べる。これまで同様Gを \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )の閉部分リー群とする。また前節で主バンドルがフレームバンドルと自然に同一視できる事を見たので、以下主バンドルとフレームバンドルを区別せずに用いる。
本節では以下特に断りがない限り、Gを \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )の部分リー群とし、 {\mathfrak {g}}をGのリー代数とし、 \pi ~:~E\to MをGを構造群を持つベクトルバンドルとし、 F_{G}(E)をそのフレームバンドルとする。
主接続とKoszul接続の関係を見るための準備として、以下の概念を導入する：
定義 (接続形式) ― ∇をEのKoszul接続とする。さらに e=(e_{1},\ldots ,e_{n})をEの局所的な基底とする。
このときM上のベクトル場
Xに行列 {\hat {\omega }}_{e}(X)を対応させる行列値の1-形式 {\hat {\omega }}_{e}=({\hat {\omega }}^{i}{}_{j})_{ij}を
により定義する。 {\hat {\omega }}_{e}を局所的な基底 e=(e_{1},\ldots ,e_{m})に関するレヴィ-チヴィタ接続の接続形式（英: connection form）という。
上で定義したKoszul接続の接続形式 {\hat {\omega }}_{e}を使って F_{G}(E)の接続形式ωを定義するのだが、 {\hat {\omega }}_{e}は一般には行列値の1-形式、すなわち

 {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )に値を取る1-形式であるが、 F_{G}(E)の接続形式は必ずGのリー代数 {\mathfrak {g}}に値を取る必要がある。そこで {\hat {\omega }}_{e}が {\mathfrak {g}}に値を取る場合に話を限定する。
定義 (Gと両立するKoszul接続) ― ∇をE上定義されたKoszul接続とし、 {\hat {\omega }}_{e}をその接続形式とする。∇がGと両立するとは、任意の局所的な基底 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})に対し、
が成立する事を言う。
このとき、以下が従う：
定義 (主接続とKoszul接続の関係) ― E上のKoszul接続でGと両立するものは F_{G}(E)の主接続と1 : 1で対応する。
さらにGと両立するにKoszul接続∇に対応する主接続の接続形式をωとすると、任意の開集合 U\subset MとU上で定義された F_{G}(E)の任意の局所的な切断 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})に対し、
が成立する。ここで {\hat {\omega }}_{e}は e=(e_{1},\ldots ,e_{n})を局所的な基底とみなしたときのeに関する∇の接続形式であり、 e^{*}(\omega )はeをUからFG(E)への写像と見たときの接続形式ωのUへの引き戻しである。
上の定理で、 F_{G}(M)上の主接続に対応するのは、この接続がEに誘導するが定義する共変微分∇である。接続の誘導の定義から共変微分がKoszul接続に一致する条件を満たすのを容易に確認できる。
逆にGと両立する接続が与えられたとき、 e\in F_{G}(E)に対し、
を水平部分空間とする F_{G}(E)の主接続が与えられる。なお、この主接続の接続形式ωは F_{G}(E)の局所自明化 \pi ^{-1}(U)\approx U\times G、∇の接続形式 {\hat {\omega }}_{e}、Gのモーレー・カルタン形式μを用いて
と書ける。ここでidはGの単位元である。
ベクトルバンドルの接続 > 主接続によるKoszul接続の誘導 > 共変微分の対応関係

ベクトルバンドル E\to Mの切断sが与えられたとき、 F_{G}(M)上の関数
を定義できる。このとき次が成立する：
定理 ― M上の任意のベクトル場Xに対し、以下が成立する：
ここで \mathrm {Lift} (X)\psi _{s}は F_{G}(M)上のベクトル場 Y:=\mathrm {Lift} (X)により F_{G}(M)上の \mathbb {R} ^{n}値関数 \psi _{s}の各成分を微分した Y(\psi _{s})の事である。
ベクトルバンドルの接続 > 主接続によるKoszul接続の誘導 > ホロノミーによるKoszul接続が導出される条件

前節ではフレームバンドルFG(E)に接続が定義されている状況下でその接続がEに誘導するKoszul接続を考察してきたが、本節ではこの逆、すなわちEのKoszul接続∇がどのような条件を満たせば∇がフレームバンドルFG(E)に接続から誘導されたものと一致するかを調べる。このために以下の定義をする：
定義 (構造群と両立するKoszul接続) ― Mを連結な多様体とし、Gを \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} ^{n})の閉部分リー群とし、 \pi ~:~E\to Mを構造群Gを持つベクトルバンドルとし、∇を E\to MのKoszul接続とする。このとき、∇がGと両立する（英: G-compatible）とは、 \pi ~:~E\to Mの任意の局所自明化
に対し、U内の任意の曲線 u(t)に沿った平行移動 E_{u(0)}\to E_{u(1)}がGに属する線形変換である事を言う。
前述のAmbrose-Singerの定理の一般化から以下の定理が従う：
定理 ― 記号を上の定義と同様に取る。
Gを構造群として持つベクトルバンドル E\to MのKoszul接続∇がGと両立するとき、フレームバンドルFG(E)のある接続形式ωが存在し、∇はωからEに誘導される接続の共変微分と一致する。
Koszul接続∇が「Gと両立する」事の定義は上で挙げたものの他に前の節で挙げたものがあるが、この２つは同値である。実際、これら２つのいずれか言えれば∇は主接続から誘導される事を前節の定理と上記の定理から言え、主接続から誘導される接続はこれら２つの「Gと両立する」事の定義を両方満たすので、この２つは同値である。
ベクトルバンドルの接続 > 曲率 > 定義

Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する：
定義・定理 (曲率テンソル) ― ベクトルバンドル \pi ~:~E\to Mの接続 \nabla に対し、
とすると、RはX、Y、sに関して C^{\infty }(M)-線形である。よってRは各点 u\in Mに対し、
を対応させるテンソル場とみなせる。
Rを \nabla に関するEの曲率テンソル（英: curvature tensor）という。
Koszul接続の曲率形式を以下のように定義する：
定義 ― 記号を上の定義と同様に取る。さらにUをMの開集合とし、 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})をUにおけるフレームバンドル F_{G}(M)の切断とする。このとき、曲率テンソルを
と成分表示し、 {\hat {\Omega }}_{e}:=({\hat {\Omega }}^{i}{}_{j})とすると、Ωeは一般線形群のリー代数
 {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )に値を取る2-形式とみなせる。
 {\hat {\Omega }}_{e}をeに関するKoszul接続∇の曲率形式（英: curvature form）という。
ベクトルバンドルの接続 > 曲率 > 一般の接続の曲率形式との関係

すでに述べたようにベクトルバンドル \pi ~:~E\to M上のKoszul接続∇には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続 \{V_{e}\}_{e\in E}が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は前述した一般のファイバーバンドルの曲率形式 \Omega (\xi ,\eta )=-V([H(\xi ),H(\eta )])と以下の関係を満たす。ここでHは水平部分空間への射影である。
定理 ― 記号を上述のように取る。このとき、M上の点u、ベクトル X,Y\in T_{u}M、 s\in E_{u}に対し、以下が成立する：
よって特にKoszul接続の曲率形式 {\hat {\Omega }}_{e}とは以下の関係を満たす：
ここで e=(e_{1},\ldots ,e_{n})であり、 (e^{1},\ldots ,e^{n})はその双対基底である。
ベクトルバンドルの接続 > 曲率 > 主接続の曲率との関係

E\to Mのフレームバンドル F_{G}(M)の曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす：
定理 ― 
ベクトルバンドル E\to Mのフレームバンドル F_{G}(M)に接続形式がωの接続が定義されているとし、この接続の曲率形式をΩとする。
さらにこの接続がEに誘導する接続が定義するKoszul接続を∇とし、 e=(e_{1},\ldots ,e_{n})をMの開集合U上定義された F_{G}(M)の切断とし、 {\hat {\Omega }}_{e}を∇のeに関する曲率形式とする。このとき、以下が成立する：
ベクトルバンドルの接続 > 共変外微分 > 定義

本節ではベクトルバンドルの共変外微分を定義する。
そのために主バンドル上の共変外微分がタイプρのテンソル形式をタイプρのテンソル形式に写す事を見る：
定理 ― 
Vをベクトル空間とし、 \rho ~:~G\to \mathrm {GL} (V)を構造群Gの（なめらかな）線形表現とする。このとき任意のkに対し以下が成立する：
E:=P\times _{\rho }Vとすると前に述べたように
が成立するので、上記の定理から、主バンドルの共変外微分dωを使ってベクトルバンドルの共変外微分を以下のように定義できる：
定理 (ベクトルバンドルの共変外微分) ― 
合成関数
をベクトルバンドル {\mathcal {A}}^{k}(M;E)の共変外微分（英語版）という。
ベクトルバンドルの接続 > 共変外微分 > 具体的表記

本節ではベクトルバンドルの共変外微分を具体的に表記する。Vをベクトル空間とし、 \rho ~:~G\to \mathrm {GL} (V)を構造群Gの（なめらかな）線形表現とするとき、ρはGのリー代数 {\mathfrak {g}}から \mathrm {GL} (V)のリー代数 {\mathfrak {gl}}(V)への写像
を誘導する。 {\mathfrak {gl}}(V)はV上の線形写像全体と自然に同一視できるので、 u\in {\mathfrak {g}}と v\in Vに対し、 \rho _{*}(u)をvに作用させた
を定義できる。
定義 ―  \tau \in {\mathcal {A}}^{k}(P;{\mathfrak {g}})、 \eta \in {\mathcal {A}}^{\ell }(P;V)に対し、τとηの積 \tau \cdot \eta \in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(P;V)を以下のように定義する：
ここで p\in P、 X_{1},\ldots ,X_{k+\ell }\in T_{p}Pであり、 {\mathfrak {S}}_{k+\ell }は k+\ell 次の対称群である。
特に V={\mathfrak {g}}である場合は、 u,v\in {\mathfrak {g}}に対し、
と {\mathfrak {g}}上のリー括弧 [\cdot ,\cdot ]_{\mathfrak {g}}で書けるので、上記の定義の \rho _{*}(\tau (\cdots ))\eta (\cdots )の部分を [\tau (\cdots ),\eta (\cdots )]_{\mathfrak {g}}に置き換えられる。
上記の定義を使うと共変外微分を以下のように具体的に表記できる：
定理 ―  \eta \in {\mathcal {A}}_{\rho }^{\ell }(P;V)であれば、以下が成立する：
ベクトルバンドルの接続 > 共変外微分 > 主バンドルの共変外微分との関係

E:=P\times _{\rho }Vとすると前述の同型
を使って上記の定理を {\mathcal {A}}^{k}(M;E)上の定理に書き換える事ができる：
定理 ―  \xi \in {\mathcal {A}}^{\ell }(M;V)は以下を満たす：
ここで「 \sharp 」はテンソル形式と底空間上の切断の同型写像である。
ドミティウス・ウルピアーヌス

グナエウス・ドミティウス・ウルピアヌス（ラテン語: Gnaeus Domitius Ulpianus、170年頃? - 228年）は、ローマ帝国の法学者・政治家。