三角形の中心
三線座標と重心座標

平面上の点を表す座標として三角形の各頂点に対して対称な座標を導入すると、心の位置を表すのに便利である。そのような座標として、三線座標と重心座標が使われる。
三線座標系は、点を三角形の各辺からの距離を用いて表現する座標である。点Pが辺BCから hA・辺CAから hB・辺ABから hC だけ離れているとき、Pの三線座標を (hA, hB, hC) で表す。実際にはこの値を単純な比に換算したものが用いられる。実際の距離で示したものを絶対三線座標という。辺に対し三角形と反対側にある場合には、この数字は負の値をとる。
例：内心の三線座標は (1, 1, 1) であり、絶対三線座標は (r, r, r) である。ここで r は内接円の半径である。
重心座標系（英語版）は、△PBCと△PCAと△PABの面積の比で表される。点Pの重心座標が (gA, gB, gC) のとき、
が成り立つ。重心座標によって指定される点は、三角形の頂点 A, B, C に (gA, gB, gC) の質量を置いた時のいわゆる「加重重心」に相当する。
三線座標と重心座標の間には、gA : gB : gC = a hA : b hB : c hC の関係が成り立つ。ここで、a, b, c は 3 辺の長さである。
3 点の三線座標からなる行列式の値が 0 の場合、その 3 点は同一直線上にある。重心座標でも同様である。
主な心を三線座標・重心座標と共に示すと以下のようになる:
| 記号 | 名称 | 三線座標または hA = h(a, b, c) | 重心座標または gA = g(a, b, c)  |
| --- | --- | --- | --- |
| X1, I | 内心 | (1, 1, 1) | (a, b, c) |
| X2, G | 重心 | (1/a, 1/b, 1/c) | (1, 1, 1) |
| X3, O | 外心 | (cos A, cos B, cos C) | (sin 2A, sin 2B, sin 2C) (a2(b2+c2-a2), b2(c2+a2-b2), c2(a2+b2-c2)) |
| X4, H | 垂心 | (1/cos A, 1/cos B, 1/cos C) | (tan A, tan B, tan C) (1/(b2+c2-a2), 1/(c2+a2-b2), 1/(a2+b2-c2)) |
| X5, N | 九点円の中心 | (cos(B - C), cos(C - A), cos(A - B)) | gA = a2(b2 + c2) - (b2 - c2)2 |
| X6, K | 類似重心 (ルモワーヌ点) | (a, b, c) | (a2, b2, c2) |
| X7, Ge | ジェルゴンヌ点 | (sec2(A/2), sec2(B/2), sec2(C/2)) | (tan(A/2), tan(B/2), tan(C/2)) (1/(b+c-a), 1/(c+a-b), 1/(a+b-c)) |
| X8, Na | ナーゲル点 | (csc2(A/2), csc2(B/2), csc2(C/2)) | (cot(A/2), cot(B/2), cot(C/2)) (b+c-a, c+a-b, a+b-c) |
| X9, M | ミッテンプンクト | (b+c-a,c+a-b,a+b-c) | (1+cos(A),1+cos(B),1+cos(C)) (a((b+c)2-a2), b((c+a)2-b2), c((a+b)2-c2)) |
| X10, Sp | シュピーカー点 | (bc(b+c), ca(a+b), ab(a+b)) | (b+c, c+a, a+b) |
| X11 | フォイエルバッハ点 | (1- cos(B - C), 1- cos(C - A), 1- cos(A - B)) | gA = (b +c-a)(b-c)2 |
| X12 | フォイエルバッハ点の{X1,X5}調和共役 | (1+ cos(B - C) ,1+ cos(C - A) ,1+ cos(A - B)) | gA =(b+c)2/(b +c-a) |
| X13 | 第1フェルマー点 | (csc(A + π/3), csc(B + π/3), csc(C + π/3)) | gA = a4 - 2(b2 - c2)2 + a2(b2 + c2 + 4√3×△ABC) |

| X14 | 第2フェルマー点 | (csc(A - π/3), csc(B - π/3), csc(C - π/3)) | gA = a4 - 2(b2 - c2)2 + a2(b2 + c2 - 4√3×△ABC) |
| X15 | 第1等力点 | (sin(A + π/3), sin(B + π/3), sin(C + π/3)) | gA=a2((a2-b2-c2)√3-△ABC ) |
| X16 | 第2等力点 | (sin(A - π/3), sin(B - π/3), sin(C - π/3)) | gA=a2((a2-b2-c2)√3+△ABC ) |
| X17, N | 第1ナポレオン点 | (sec(A - π/3), sec(B - π/3), sec(C - π/3)) | gA = (sin A) hA |
| X18, N' | 第2ナポレオン点 | (sec(A + π/3), sec(B + π/3), sec(C + π/3)) | gA = (sin A) hA |
| X19 | クローソン点 | (tan A, tan B,  tan C) | gA=a(b2+c2-a2) |
| X20, L | ド・ロンシャン点 | hA = cos A - cos B cos C | gA = tan B + tan C - tan A |
| X21 | シフラー点 | hA = (b+c-a)/(b+c) | gA = sin A /(cos B+cos C) |
| X22, Ex | エクセター点 | hA = a(b4+c4-a4) | gA = a hA |
| X30 | オイラー無限遠点 | hA = cos A - 2cos B cos C | gA = (sin A) hA |
| X39 | ブロカール中点 | (a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)) | (a2(b2+c2), b2(c2+a2), c2(a2+b2)) |
| X40 | ベバン点 | hA = cos B +cos C -cos A -1 | gA = (sin A) hA |
| X54 | コスニタ点 | (sec(B - C), sec(C - A), sec(A - B)) | (sin A sec(B - C), sin B sec(C - A), sin C sec(A - B)) |
| X68 | プラソロフ点 | hA = cos A sec 2A | gA = (b2 + c2 - a2)/(a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2) |
| X76 | 第3ブロカール点 | (1/a3,1/b3,1/c3) | (1/a2,1/b2,1/c2) |
| X98 | タリ―点 | hA = bc/(b4 + c4 - a2b2 - a2c2) | gA = 1/(b4 + c4 - a2b2 - a2c2) |
| X99 | シュタイナー点 | hA = bc/(b2 - c2) | gA = 1/(b2 - c2) |
| X110 | キーペルト放物線の焦点 | hA = a/(b2 - c2) | gA = sec(B - C)+ sec(C - A)sec(A - B) |
| X111 | パリー点 | hA = a/(2a2-b2 - c2) | gA = a hA |
| X115 | キーペルト双曲線の中心 | hA = bc(b2 - c2)2 | gA = (b2 - c2)2 |
| X125 | ジェラベク双曲線の中心 | hA = cos A sin2(B - C) | gA = a hA |
| X173 | 合同二等辺化線点 | hA =tan A/2 + sec A/2 | gA = (sin A) hA |
| X174 | イフ合同心 | (sec A/2 , sec B/2 , sec C/2) | (sin A/2 , sin B/2 , sin C/2) |
| X175 | 第1ソディ点（英語版） | hA = sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) - 1 | gA = (sin A) hA |
| X176 | 第2ソディ点（英語版） | hA = sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2) + 1 | gA = (sin A) hA |
| X179 | 第1安島-マルファッティ点 | (sec4(A/4), sec4(B/4), sec4(C/4)) | (sin A sec4(A/4), sin B sec4(B/4), sin C sec4(C/4)) |
| X180 | 第2安島-マルファッティ点 | hA = 1/t(B, C, A) + 1/t(C, B, A) - 1/t(A, B, C), 但し、t(A, B, C) = 1 + 2(sec(A/4) cos(B/4) cos(C/4))2 | gA = (sin A) hA |
| X181 | アポロニウス点 | hA = a(b+c)2/(b+c-a) | gA = a hA |
| X182 | ブロカール円の中心 | (cos(A- ω) , cos(B - ω) , cos(C -ω)) | gA = (sin A) hA |
| X192 | 合同辺平行線点 | bc(ca + ab - bc) , ca(ab + bc - ca) , ab(bc + ca - ab) | ca + ab - bc ,ab + bc - ca ,bc + ca - ab |
| X351 | パリー円の中心 | hA = a(b2 - c2)(b2 + c2 - 2a2) | gA = a hA |
| X354 | ヴァイル点 | hA = (b - c)2 - ab - ac | gA = a hA |
| X355 | フールマン円の中心 | hA =  a cos A - (b + c)cos(B - C) | gA = a hA |
| X356 | 第一モーリー三角形の中心 | hA = cos A/3 + 2 cos B/3 cos C/3 | gA = (sin A) hA |
| X357 | 第二モーリー中心 | sec A/3 , sec B/3 , sec C/3 | gA = (sin A) hA |
| X359 | ホフスタッター1点 | hA = a/A | gA = a hA |
| X360 | ホフスタッター0点 | hA = A/a | gA = a hA |
| X369 | 第1周長三等分点（英語版） | hA =bc(r - c + a)(r - a + b) ただしrは2t3 - 3(a + b + c)t2 + (a2 + b2 + c2 + 8bc + 8ca + 8ab)t - (cb2 + ac2 + ba2 + 5bc2 + 5ca2 + 5ab2 + 9abc)=0の実根 | gA = a hA |
| X389 | 六点円の中心 | hA = cos A - cos 2A cos(B - C) | gA = (sin A) hA |
| X399 | パリー鏡映点 | hA = 5 cos A - 4 cos B cos C - 8 sin B sin C cos2A | gA = (sin A) hA |
| X402 | ゴッサード配景中心 | hA =(2a4 - a2b2 - b4 - a2c2 + 2b2c2 - c4)(a8 - a6b2 - 2a4b4 + 3a2b6 - b8 - a6c2 + 5a4b2c2 - 3a2b4c2 - b6c2 - 2a4c4 - 3a2b2c4 + 4b4c4 + 3a2c6 - b2c6 - c8) | gA = a hA |
| X481 | 第一エプシュタイン点 | hA = 2sec(A/2)cos(B/2)cos(C/2)-1 | gA = (sin A) hA |
| X482 | 第二エプシュタイン点 | hA = 2sec(A/2)cos(B/2)cos(C/2)+1 | gA = (sin A) hA |
| X485 | 外ベクタン点 | sec(A - π/4) , sec(B - π/4) , sec(C -π/4) | gA = (sin A) hA |
| X486 | 内ベクタン点 | sec(A + π/4) , sec(B + π/4) , sec(C + π/4) | gA = (sin A) hA |
| X999 | 混線内接円の根心 | hA =1/(a(a2+ 4bc- b2- c2)) | gA = a hA |
| X1115 | シュタイナーの曲率重心 | (bc(π - A), ca(π - B), ab(π - C)) | ((π - A), (π - B), (π - C)) |
| X1116 | レスター円の中心 | hA = bc(b2-c2)(2(a2-b2)(c2-a2) + 3R2(2a2-b2-c2) - a2(a2+b2+c2) + a4+b4+c4) | gA = a hA |
| X1153 | ヴァン・ラモン円の中心 | hA = bc(13a2(b2 + c2) + 10b2c2 - 10a4 - 4b4 - 4c4) | gA = a hA |
| X1323 | フレッチャー点 | hA = (sec2A/2)(2 cos2A/2 - cos2B/2 - cos2C/2) | gA = (sin A) hA |
| X1337 | 第一ヴェルナウ点 | hA = a(-2*(-a2+b2+c2)△ABC+√3*(a2-c2+b2)*(a2-b2+c2))*(√3*b2+2△ABC)*(√3*c2+2△ABC) | gA = a hA |
| X1338 | 第ニヴェルナウ点 | hA = a(-2*(-a2+b2+c2)△ABC+√3*(a2-c2+b2)*(a2-b2+c2))*(√3*b2-2△ABC)*(√3*c2-2△ABC) | gA = a hA |
| X1371 | 第一リグビー点 | hA = 1 + 8(△ABC)/(3a(b + c - a)) | gA = a hA |
| X1372 | 第二リグビー点 | hA = 1 - 8(△ABC)/(3a(b + c - a)) | gA = a hA |
| X1373 | 第一グリフィス点 | hA = 1 + 8(△ABC)/(a(b + c - a)) | gA = a hA |
| X1374 | 第二グリフィス点 | hA = 1 - 8(△ABC)/(a(b + c - a)) | gA = a hA |
| X8142 | GEOS円の中心 | hA = a2cot A/(2△ABC)+cot Bcot C -a(b+c-a)/(2(a-b)(a-c)) | gA = (sin A) hA |
また、（厳密な意味で）三角形の心ではないが重要な点の座標を以下に挙げる:
| 記号 | 名称 | 三線座標 | 重心座標 |
| --- | --- | --- | --- |
| A B C | 頂点 | (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) | (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) |
| IA IB IC | 傍心 | (-1, 1, 1) (1, -1, 1) (1, 1, -1) | (-a, b, c) (a, -b, c) (a, b, -c) |
| P1 U1 | 第1ブロカール点 第2ブロカール点 | (c/b, a/c, b/a) (b/c, c/a, a/b) | (ac/b, ba/c, cb/a) (ab/c, bc/a, ca/b) |
↑  各座標は、比が意味を持つ事、および、角A, B, Cと辺の長さa, b, cは互換であることから、表示は一意的でない。表中の座標の表記は一例である。
1 2  記号は主に Encyclopedia of Triangle Centers に従う。
1 2  心の三線座標・重心座標は、その対称性から triangle center function h(a, b, c) = (1/a) g(a, b, c) が存在して、三線座標 (h(a, b, c), h(b, c, a), h(c, a, b)), 重心座標 (g(a, b, c), g(b, c, a), g(c, a, b)) と書ける。
1 2 3 4  △ABC は三角形の面積であり、△ABC = (1/4)√[(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)]
↑  ωはブロカール角である。
↑  Rは外接円の半径である。