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古文
古文経学 > 古文経伝

古文学では六経の順序を『易』『書』『詩』『礼』『楽』『春秋』とする。漢代の古文経伝には次のようなものがある。
「古文易」 - 今文易と大差はないが、前漢末、劉向が今文三家易を宮中の古文易で校合したところ今文易経には「無咎悔亡」が脱去しており、民間の費直が伝えた「費氏易」だけが古文易と同じであったという。現行本『易経』のテキストは、費氏本をもとにした魏の王弼の『周易注』である。
「古文尚書」57篇 - 孔子旧宅の壁中から発見され孔安国が伝えたものなどをいう。「今文尚書」より16篇多い「逸書」が存在した。西晋末期の永嘉の乱で散佚。現行本『書経』のテキストは、東晋の梅賾（ばいさく）が献上した「偽古文尚書」である。
「毛詩」29巻 - 前漢の毛亨・毛萇が伝えた。現行本『詩経』のテキスト。
「周官」6篇 - 現行本『周礼』のテキスト。
「礼古経」56篇 - 『儀礼』の古文経。現行本『儀礼』のテキストは、鄭玄が今文の高堂本と礼古経を校合してできたものという。ただし、礼古経は56篇であり、高堂生が伝えた今文経17編より39篇多いが、この39篇は散佚し『逸礼』といわれる。
「春秋古経」12篇 - 単独では現在に伝えられておらず、『春秋左氏伝』に付随して伝えられている。「春秋古経」と「春秋左氏伝」を配合したのは西晋の杜預とされる。他の二伝が伝える『春秋』よりも2年分多い哀公十六年まで記載されている。
「春秋左氏伝」30巻 - 現行本『春秋左氏伝』のテキスト。
「古論」21篇 - 古文の『論語』。孔子旧宅の壁中から発見された。そしてこれは現存しない。現行本『論語』のテキストは、後漢の張禹が今文の「魯論」を中心に同じく今文の「斉論」と校合して作った「張侯論」をもとに、鄭玄が「古論」と校合して作ったという『論語注』である。
「古文孝経」1篇 - 孔子の旧宅壁中から古文尚書とともに発見され、孔安国が伝を作った。梁代に散佚。隋代に再発見されたものは偽書の疑いが高いという。これも中国では唐代に散佚した。日本に唐代に輸入されたものがあるが偽書とされる。
フレデリック・チャップマン・ロビンス

| Frederick Chapman Robbins フレデリック・チャップマン・ロビンス |
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 フレデリック・チャップマン・ロビンス(1954)
生誕:   (1916-08-25) 1916年8月25日  アメリカ合衆国 アラバマ州オーバーン
死没:  2003年8月4日(2003-08-04)（86歳没）  アメリカ合衆国 オハイオ州クリーブランド
国籍:   アメリカ合衆国
研究分野:  小児科学
出身校:  ミズーリ大学コロンビア校 ハーバード大学
主な受賞歴:  ノーベル生理学・医学賞(1954)
プロジェクト:人物伝
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フレデリック・チャップマン・ロビンス（Frederick Chapman Robbins、1916年8月25日 - 2003年8月4日）は、アメリカ合衆国の小児科医、ウイルス学者。
来歴

1952年、ケース・ウェスタン・リザーブ大学医学部の小児科学教授に就任。1954年、ジョン・フランクリン・エンダース、トーマス・ハックル・ウェーラーとともにノーベル生理学・医学賞を受賞。フレデリックはポリオウイルスの単離と培養を行い、ジョナス・ソーク、フローレンス・サビンらによるポリオワクチンの開発に貢献した。1999年、ベンジャミン・フランクリン・メダル受賞。
杣工

杣工（そまたくみ/そまく）とは、古代から中世にかけて杣（そま）において伐採や製材に従事した者。杣人（そまびと）・杣夫（そまふ）とも。近世から近代にかけては、林業従事者一般を指して単に「杣」と称するようになった。
概説

都の建設や寺院の造営が盛んになると、大量の木材を確保することを目的に畿内やその周辺の山林が官司や貴族、寺社によって杣に指定され、多くの杣工・杣人が杣司の指揮の下で杣取作業に従事していた。また、杣工には本工と新工の階層別の区別があった。杣工は作業中は施業主から食物を支給されたが、それ以外の時期における食物を確保するために杣の周辺において焼畑による粟などの栽培をはじめとする各種農業も行い、また柴や薪の販売、炭焼きや狩猟などを合わせて行うことで、そのまま定住生活を送る者もいた。それに着目した杣の所有者は杣工のための農地確保を理由として杣の周辺を寺領として編入して荘園としていった。東大寺の杣であった伊賀国板蠅杣が周辺の農地を編入して黒田荘に発展していったのはその典型であった。また、天皇に奉仕した八瀬童子も元は杣工として柴木や栗柿などの献上を行っていた人々であった。また、杣工は仲間内で「山口祭」などの独自の祭祀を行うなど、平地の人々から見れば特異な生活を行う「山人」であり、畏怖の対象ともなった。
近世に入り、社会が安定してくると木材の需要が増大し、伐採・製材が行われる地域も大幅に拡大、それまではほとんど立ち入られなかった中部山地のような山奥にまで林業従事者が進出していった。この頃から、杣工などを単に「杣」と称するようになり、それが林業従事者全体に広がっていった。それとともにかつての様に1人の杣工が伐採から製材、搬出までを手掛ける仕組みが困難となり、伐採・製材を行う杣と木材の山出しから筏送りまでの搬出を担当する日用（ひよ）/日傭（ひよう）が分化し、更に製材を専門に行う木挽（こびき）も発生するようになった（地域によっては分化の状況は異なり、未分化のままの地域もあった）。17世紀後半には分化した杣・日用によって「組」と呼ばれる労働組織が形成され、指導者（組頭・庄屋・杣頭）の下に十数名から二十名前後で伐採地近くの杣小屋で共同生活を送りながら作業に従事した。また、飛騨地方のように「杣株」制度を導入して仲間の生活圏を互いに守るように努めたり、山における共同祭祀をともに行ったりする場合もあった。伐採時期は地域によって異なるものの、初夏から初冬、お盆から2月のように、ほぼ半年に限定されていた。また、危険と隣り合わせの作業でもあったため、施業主からは作業期間中の食物は勿論のこと、留守宅にも現金・現米などの給与が送付され、その賃金は一般労働者の倍であったと言われている。また、作業の行われない残りの半年間も杣たちは何もしていなかった訳ではなく、上述のように地域による伐採地域のずれを利用して出稼ぎを行ったり、廃材処理や薪仕出し、炭焼きを行って町で販売したり、筏送りなど筏師の仕事に手を出したりする者もいた。
近代に入り、明治後期には森林法が導入され、杣の組織も次第に森林組合へと移行していった。現在ではかつての杣・杣工にあたる人々は森林組合の作業班に属する林業従事者として存在している場合が多い。
杣工を扱った作品

『山に生きる人々』宮本常一（未來社、河出文庫） - 杣工を民俗学の切り口で解説
『脊梁山脈』乙川優三郎（新潮社） - 杣工や木地師が登場する小説
『火天の城』 - 山本兼一による小説とそれを原作とした映画
ワッフルメーカー

業務用の180°鋳鉄製ワッフルメーカー
ピーテル・ブリューゲルの『謝肉祭と四旬節の喧嘩』（1559年）で火の上で保持されているワッフルメーカー
ワッフルメーカー（英: waffle iron, waffle maker）は、蝶番で留められた二枚の金属板の間でワッフルを焼く調理器具である。二枚の鉄板には格子状の溝があり、挟まれた生地をワッフルの形にする。鉄板を熱してワッフルメーカーを閉じた状態でワッフルを焼く。ワッフルはホットケーキに似た軽くて甘い風味のデザートである。ワッフルメーカーなしでワッフルの形を作り上げるのは、ホットケーキの形を作り上げることと比べてはるかに難しい。同様の技術がウエハースやクエガピット（英語版）などのスナックを焼くために用いられる。クエガピットはインドネシアのワッフル型でカリカリしたスナックで、甘さと香ばしさを併せ持つ作り方ができる。
歴史

ワッフルメーカーはフランスにおいて12世紀か13世紀には一般的なものであり、14世紀からオランダその他のヨーロッパ諸国に広まった。世俗的なワッフルメーカーと並行して、類似した宗教的な用具であるホストプレスが発展した。ホストプレスは聖体を作るのに使われる。最初期のワッフルメーカーは無発酵のウエハースを焼くのに適した溝の浅いもので、ウエハースアイロンやウエハースプレスとも表現できるものである。レシピに膨張剤が採用されるようになるとワッフルメーカーの溝も深くなった。ヴァイキング時代のスウェーデンやノルウェーの女性の埋葬に初期のワッフルメーカーの形跡がある。
ワッフルメーカーはもともと蝶番で留められた二枚の鉄板に二本の長い木の取っ手を取り付けたものであった。その鉄板はしばしば紋章、ランドスケープあるいは宗教的シンボル（英語版）といった精巧な模様をワッフルに刻み込むように作られた。ワッフルを、炉床の火の上で焼くことができた。
1869年、アメリカのコーネリアス・スワートワウト（英語版）がコンロ用ワッフルメーカーの特許を取得した。ある種のワッフルメーカーは1400年代には存在したが、スワートワウトは鋳鉄製の輪の中で自在に回転するヒンジや取っ手を加えて、ワッフルメーカーが滑ったり燃えたりする危険なしにアイロンをひっくり返せるようにしてデザインを完成させることを意図した。1891年、ペンシルベニア州シャモキン在住のドイツの移民ジョン・クリムバッハはマンション・ハウス・ホテルのためにワッフルメーカーを成形した後ワッフルの巡回セールスマンになった。クリムバッハはワッフルを1個1ペニーや1ダース10セントで売った[自主公表]。これはシカゴ万国博覧会で人気であった。1911年、ゼネラル・エレクトリックは電気式ワッフルアイロンのプロトタイプを作成し、1918年頃に製造が始まった。その後ワッフルメーカーが普及するにつれて外観が改良された。
種類

伝統的なワッフルメーカーは木の取っ手のトングに取り付けられて直火の上で保持されたり、コンロの上に設置された。最近のワッフルメーカーのほとんどは内部のサーモスタットによって制御される電気式の発熱体を用いた自己完結型の卓上家電機器である。電気式ワッフルメーカーは鉄板が取り外せるものと取り外せないものがある。家庭用のワッフルメーカー、典型的なアルミニウム鋳物（英語版）製のものはしばしばテフロンコーティングされているのに対し、業務用のモデルは一般にコーティングされていない鋳鉄で作られている。多くのワッフルメーカーには設定された温度に達すると消灯するランプが付いている。
ワッフルメーカーには、非常に薄いワッフルを作ることができ、ワッフルコーンやピッツェル（英語版）を作るのに使えるものがある。ワッフルの形状や厚さに定められた基準はないものの、最も一般的な形状と厚さを作る型を「伝統的」や「古典的」、厚くてポケットが大きいワッフルを作る型を「ベルギー」と分類することが多い。アメリカ合衆国では、最も一般的な「ベルギーワッフル」の基準は厚さとポケットの大きさであるが、発酵した生地やパールシュガーを含むかという基準によっても区別される。
ストロープワッフルは二層の甘く焼かれた生地の間にキャラメルを満たして貼り付けた薄くて丸いワッフルクッキーである。ストロープワッフルはよく知られたオランダのお菓子で、オランダではかつてのオランダ海上帝国の時代から人気であり[要出典]、海外に輸出された。
ギャラリー

北アメリカのベルギー式ワッフルメーカー。
ナイメーヘンでストロープワッフルを焼くのに使われているワッフルメーカー。
Country Inns & Suitesのロゴが入っていて、焼いたワッフルで会社ロゴを宣伝するワッフルメーカー。
アメリカのホテルの朝食カウンターで一般に見られるタイプのワッフルメーカー。宿泊客が生地を注ぎ、ワッフルメーカーを閉じるとタイマーが始まる。ワッフルが焼き上がると音が止まる。
テキサス州のホテルで一般に見られる、州の形のワッフルメーカー。
スカンジナビアでは、ハート型のワッフルメーカーが一般的である。
特製のワッフルメーカーで焼かれた、ハーバード大学のエスカッシャンが入ったワッフル。
この初期のワッフルメーカーで焼かれたウーブリは現代のワッフルに比べて非常に薄くウエハースに似ている。
宗教的シンボルが刻まれた聖体を焼き上げるために使うホストプレス。このようなホストプレスは初期のワッフルメーカーと並行して発展した。
ジェフ・アボット

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: この項目では、野球選手について説明しています。アメリカ合衆国の作家については「ジェフ・アボット (作家)」を、レーシングドライバーについては「en:Jeff Abbott (racing driver)」をご覧ください。
| 基本情報 |
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国籍:   アメリカ合衆国
出身地:  ジョージア州アトランタ
生年月日:   (1972-08-17) 1972年8月17日（52歳）
身長 体重:  6' 2" ＝約188 cm 190 lb ＝約86.2 kg
選手情報
投球・打席:  左投右打
ポジション:  外野手
プロ入り:  1994年 ドラフト4巡目
初出場:  1997年6月10日
最終出場:  2001年9月29日
経歴（括弧内はプロチーム在籍年度）
  ケンタッキー大学  シカゴ・ホワイトソックス (1997 - 2000)  フロリダ・マーリンズ (2001)
 この表について  この表はテンプレートを用いて表示しています。編集方法はTemplate:Infobox baseball playerを参照してください。 ■プロジェクト:野球選手  ■テンプレート  
ジェフ・アボット（Jeffrey William "Jeff"  Abbott, 1972年8月17日 - ）は、アメリカ合衆国ジョージア州アトランタ出身の元プロ野球選手（外野手）。左投左打。
経歴 > プロ入りからホワイトソックス時代

ケンタッキー大学出身。1993年のドラフトにおいてシカゴ・ホワイトソックスから32巡目で指名を受けたが、この時は契約しなかった。
翌1994年、今度はドラフト4巡目でホワイトソックスに指名され、指名から3日後の6月5日に契約に合意した。
入団後は1994年から1996年までの3年間で、マイナー通算打率.345を記録。また階級も昇格の一途を辿るなど、順調に成長を遂げた。
そしてプロ4年目の1997年6月10日、ニューヨーク・ヤンキース戦でメジャーデビューを果たした。この年は6月と9月にメジャーでプレイし、シーズンでは計19試合に出場した。
メジャー2年目の1998年には89試合に出場し、12本塁打、41打点を記録したのに加え、レフト、センター、ライトの3つのポジションをこなすなど控えの外野手として貴重な働きを見せた。
翌1999年はプロ入り以来初めて挫折の年となり、メジャーでは自己最低の17試合にしか出場出来なかった。また、2年振りにマイナーでプレイすることにもなってしまった（マイナーでは67試合で打率.318を記録）。
続く2000年は挽回して80試合に出場するも、マイナーで記録していたように高打率を記録することは出来ず、また1998年には12本を記録した本塁打が3本に減るなど長打力も鳴りをひそめ、シーズン終了後の12月にフロリダ・マーリンズへとトレードで移籍した。
経歴 > マーリンズ時代以後

こうして2001年のシーズンをマーリンズで迎えたアボットだったが、当時のマーリンズでは前年に打率.300を残したクリフ・フロイドや、後の打点王プレストン・ウィルソンらが外野の定位置を獲得していたこともあって、シーズンでは28試合の出場にとどまった。またマイナーの3チームでのプレイを余儀なくされるなど、新天地でも結果を残すことは出来なかった。
2001年のシーズン終了後にフリーエージェントとなったアボットは、翌2002年はボストン・レッドソックス傘下のポータケット・レッドソックスに所属し、100試合に出場。しかし打率.283に終わるなど、これまでの成績からすると不満の残る数字に終わってしまった。
更に2003年はシアトル・マリナーズ傘下のタコマ・レイニアーズへと移籍するもわずか4試合にしか出場出来ず、この年限りで現役を引退した。そのため、2001年9月29日のフィラデルフィア・フィリーズ戦が自身最後のメジャーでの試合出場ということになった。
選手としての特徴

ポジションは外野手であるという以上は決まっておらず、1999年はレフトしか守っていないものの、それ以外のメジャーでの4年間は毎年レフト、センター、ライトを最低1試合ずつは務めた。メジャー通算ではセンターを81試合、レフトを63試合、ライトを55試合守っている。
詳細情報 > 年度別打撃成績

| 年  度 | 球団 | 試合 | 打席 | 打数 | 得点 | 安打 | 二塁打 | 三塁打 | 本塁打 | 塁打 | 打点 | 盗塁 | 盗塁死 | 犠打 | 犠飛 | 四球 | 敬遠 | 死球 | 三振 | 併殺打 | 打率 | 出塁率 | 長打率 | OPS |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1997 | CHW | 19 | 38 | 38 | 8 | 10 | 1 | 0 | 1 | 14 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6 | 3 | .263 | .263 | .368 | .632 |
| 1998 | CHW | 89 | 261 | 244 | 33 | 68 | 14 | 1 | 12 | 120 | 41 | 3 | 3 | 2 | 5 | 9 | 1 | 0 | 28 | 2 | .279 | .298 | .492 | .790 |
| 1999 | CHW | 17 | 64 | 57 | 5 | 9 | 0 | 0 | 2 | 15 | 6 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 | 0 | 0 | 12 | 4 | .158 | .222 | .263 | .485 |
| 2000 | CHW | 80 | 242 | 215 | 31 | 59 | 15 | 1 | 3 | 85 | 29 | 2 | 1 | 2 | 1 | 21 | 1 | 2 | 38 | 2 | .274 | .343 | .395 | .738 |
| 2001 | FLA | 28 | 46 | 42 | 5 | 11 | 3 | 0 | 0 | 14 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | 7 | 1 | .262 | .326 | .333 | .659 |
| MLB：5年 | MLB：5年 | 233 | 651 | 596 | 82 | 157 | 33 | 2 | 18 | 248 | 83 | 6 | 5 | 5 | 7 | 38 | 2 | 3 | 91 | 12 | .263 | .307 | .416 | .724 |
詳細情報 > 年度別守備成績

| 年 度 | 球 団 | 中堅（CF）> 試  合 | 中堅（CF）> 刺殺 | 中堅（CF）> 補殺 | 中堅（CF）> 失策 | 中堅（CF）> 併殺 | 中堅（CF）> 守備率 | 左翼（LF）> 試  合 | 左翼（LF）> 刺  殺 | 左翼（LF）> 補  殺 | 左翼（LF）> 失  策 | 左翼（LF）> 併  殺 | 左翼（LF）> 守 備 率 | 右翼（RF）> 試  合 | 右翼（RF）> 刺  殺 | 右翼（RF）> 補  殺 | 右翼（RF）> 失  策 | 右翼（RF）> 併  殺 | 右翼（RF）> 守 備 率 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1997 | CWS | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1.000 | 5 | 7 | 0 | 0 | 0 | 1.000 | 4 | 7 | 0 | 0 | 0 | 1.000 |
| 1998 | CWS | 38 | 72 | 0 | 3 | 0 | .960 | 20 | 10 | 0 | 0 | 0 | 1.000 | 27 | 50 | 0 | 1 | 0 | .980 |
| 1999 | CWS | - | - | - | - | - | - | 17 | 25 | 0 | 1 | 0 | .962 | - | - | - | - | - | - |
| 2000 | CWS | 33 | 52 | 1 | 1 | 0 | .981 | 20 | 23 | 0 | 0 | 0 | 1.000 | 16 | 27 | 1 | 1 | 0 | .966 |
| 2001 | FLA | 9 | 22 | 0 | 1 | 0 | .957 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ---- | 8 | 4 | 0 | 0 | 0 | 1.000 |
| MLB | MLB | 81 | 147 | 1 | 5 | 0 | .967 | 63 | 65 | 0 | 1 | 0 | .985 | 55 | 88 | 1 | 2 | 0 | .978 |
大国寺 (飛騨市)

| 大国寺 |
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所在地:  岐阜県飛騨市神岡町西94
位置:  北緯36度18分2.7秒 東経137度14分55.9秒﻿ / ﻿北緯36.300750度 東経137.248861度﻿ / 36.300750; 137.248861座標: 北緯36度18分2.7秒 東経137度14分55.9秒﻿ / ﻿北緯36.300750度 東経137.248861度﻿ / 36.300750; 137.248861
山号:  宝野山
宗派:  浄土真宗本願寺派
本尊:  阿弥陀如来
創建年:  元亨3年(1323年)
開山:  明智房明通
中興年:  寛保2年(1742年)
中興:  明秀
文化財:  県指定:久隅守景画農耕図屏風、大国寺のコウヤマキ 市指定:伝青蓮院殿筆百人一首帳、証如上人真跡御文章、実如上人真跡御文章、方便法身御影並びに覚如上人裏書、蓮如上人真影並びに准如上人裏書
法人番号:  1200005010469 
 ja
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大国寺(たいこくじ)は岐阜県飛騨市神岡町西にある阿弥陀如来を本尊とする浄土真宗本願寺派の寺院で、山号は宝野山。常蓮寺と共に飛騨国最古の浄土真宗寺院である。
大国寺の前身は天山を開山とする宝林山円通寺と呼ばれる天台宗の寺院で、5世住持の寛山の代に兵火により堂宇を失った。寛山は京の比叡山に上り経典を管理する蔵主となったが、覚如上人に帰依して明通を名乗った。正和元年（1312年）に明通和尚は飛騨国教化の任を与えられ、円通寺跡に草庵を結んだ。嘉暦元年（1326年）に教化の功績が認められて覚如上人より方便法身尊像と明智房の号を授けられている。江戸時代に入り、慶長18年（1613年）に本山から本尊と大国寺の寺号を付与された。さらに、元禄7年に現在地へ寺基を移している。享保19年（1734年）に11世明甫が示寂して一時無住となり荒廃するが、寛保2年（1742年）に12世明秀が本堂を再建して中興開祖と崇敬された。安政5年（1858年）、16世住持大慶の許に二条家から奇姫が輿入れし、その際に久隅守景の農耕図屏風がもたらされた。これは江戸時代前期の優品で、岐阜県の文化財に指定されている。
成軌

成 軌（せい き、? - 528年）は、北魏の宦官。字は洪義。本貫は上谷郡居庸県。
経歴

若くして宮刑を受け、宮中に入って謹直に仕え、中謁者僕射に任じられた。孝文帝の顔色をうかがって、折々にその欲しいと思うものを差し出したため、帝に気に入られた。孝文帝の南征に従って、帝に食事を出す係をつとめた。孝文帝が病床に伏せると、成軌は帝のそばに詰めて、昼も夜も休むことがなかった。孝文帝が洛陽に帰ると、帛100匹を賜った。
景明年間、僕射のまま嘗食典御丞をつとめた。中給事中・歩兵校尉に転じ、皇太子元詡に仕えるよう命じられた。515年（延昌4年）、中常侍・中嘗食典御・光禄大夫に転じ、始平伯の爵位を受けた。統京染都将となり、崇訓太僕少卿に転じた。母が死去すると、成軌は辞職して喪に服し、朝廷から主書の常献景が弔慰の使者として派遣された。成軌は再びもとの官で再起用され、安東将軍・崇訓衛尉卿に進んだ。長らくを経て、典御・崇訓のまま中侍中・撫軍将軍となった。まもなく中軍将軍・燕州大中正となった。526年（孝昌2年）、始平県開国伯に封じられた。孝明帝が潘嬪を寵愛するようになると、成軌は潘嬪の仮の父となり、このため宮中の宦官のあいだで畏敬されるようになった。
528年（建義元年）、孝荘帝を河陰に迎え、爵位を侯に進め、衛将軍の号を受けた。この年の8月に死去した。車騎大将軍・雍州刺史の位を追贈された。諡は孝恵といった。
弟の子にあたる成仲慶が後を嗣ぎ、鎮軍将軍・光禄大夫となった。
伝記資料

『魏書』巻94 列伝第82
『北史』巻92 列伝第80
宮野下

宮野下（みやのした、みやのしも）
新潟県五泉市宮野下
新潟県南魚沼市宮野下
山口県山口市宮野下
愛媛県宇和島市三間町宮野下
宮野下駅 - 伊予宮野下駅の旧称
台6線

台6線（たいろくせん）は、苗栗県後龍鎮から同県大湖郷に至る台湾省道であり、「旧後ブン公路（くとりゅうぶんこうろ）」または「龍ブン公路（りゅうぶんこうろ）」と称される。
概要

全長：31.388Km
起点：苗栗県後龍鎮（台61線及び県道119線の交差地点）
終点：苗栗県大湖郷（台3線の交差地点）
経由地：
歴史

| 年 | 月日 | 事跡 |
| --- | --- | --- |
通過する自治体

苗栗県
後龍鎮 - 苗栗市 - 公館郷 - 獅潭郷 - 大湖郷
接続する道路

高速道路
後龍IC
苗栗IC
快速公路
公館IC
後龍IC
獅潭IC
スピン角運動量

スピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、英: spin angular momentum）は、電子をはじめとする量子力学上の素粒子や複合粒子の固有の「角運動量」とされる波動特性である。単にスピンとも呼ばれる。
スピンという呼称こそは古典的な物体のスピンすなわち自転に由来する。量子力学上のスピンには何かが回転しているといった意味は無いが、物体の回転と関わりがあることは否定されていない。単位は古典的スピンと同じ[N m s]や[J s]であり、多くの場合、換算プランク定数  \hbar  との比である量子数で表す。
なお、粒子の回転運動に由来する角運動量は軌道角運動量と呼ばれる。スピン角運動量と軌道角運動量の和を全角運動量と呼ぶ。
概要

「スピン」という名称は、この概念が広まりはじめた当時、粒子の「自転」のようなものと説明されたという歴史的理由による。このように回転するという解釈は現在は支持されていない。現在の標準模型においては電子はじめとする粒子の質量「点状」とされているため、仮に回転していたとしても物体の回転と比較できるものではないし、古典的な解釈を付け加える必要はなく無意味である。ただし、磁気回転効果により、電子のスピンと物体の回転運動とが関連付けられることは肯定されている。
非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外のオブザーバブルとは振る舞いを異にする為にスピン角運動量を記述するためだけの理論の修正を迫られる。それに対し相対論的量子力学では、例えばディラック方程式の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。
スピン量子数

粒子の運ぶスピン角運動量の大きさをスピン量子数という。
素粒子のスピン量子数は一定であり方向のみ変化する。
荷電粒子のスピン量子数は磁気双極子モーメントに関連付けられる。
スピン量子数 > スピン量子数による粒子分類

スピン量子数 s は 1/2を単位として扱われることが常であり、半整数 1/2, 3/2, … になる粒子はフェルミ粒子（フェルミオン）、整数 0, 1, 2, … になる粒子はボース粒子（ボゾン）と区別され、両者の物理的性質は著しく異なる(詳細はそれぞれの項目を参照)。
2016年現在知られている範囲において、
素粒子についてはフェルミオンのスピン量子数は全て 1/2 である。
同じくボゾンはヒッグス粒子のみスピン量子数が 0 であり、それ以外は 1 である。
複合粒子のスピン量子数はそれ以外の値も取りうるが、単純に複合粒子を構成する素粒子のスピン量子数の合計値になるわけではない。例えばヘリウム原子を構成する素粒子である電子やクォークはいずれもフェルミオンであり、したがってそのスピン量子数は半整数であるが、ヘリウム原子のスピン量子数は 0 である。
s の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。
歴史

ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され（ゼーマン効果）、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックとゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた。この仮定では、その自転の角運動量の大きさが \hbar /2であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が2つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。
ただし、実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転していなければならないことになり、これは特殊相対論と矛盾してしまう。そのため、1925年にラルフ・クローニッヒによって提案されたものの、パウリによって否定されていた。パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量  \hbar {\hat {\mathbf {J} }} の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした。
その後発展した標準模型においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか（スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか）はわかっていない。
数学的導出の方法

本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。
数学的導出の方法 > 準備

本節ではまず回転群とユニタリ群について紹介し、次にこれらの概念を使って軌道角運動量の概念を回転対称性の観点から定式化する。本節で軌道角運動量の概念を復習するのは、次節以降、軌道角運動量の定義を参考にしながらスピン角運動量の概念を定式化する為である。
数学的導出の方法 > 準備 > 数学の準備

スピン角運動量演算子の定義に必要な数学的知識を簡単に述べる。Rを実数全体の集合、Cを複素数全体の集合とする。3次元空間R3における回転行列全体の集合を
と表記する。ここで  M_{n,n}(\mathbf {R} ) は n 行 n 列の実行列全体の集合であり、I は単位行列であり、tR は R の転置行列である。SO(3) は行列の積に関して群をなすので、SO(3) を3次元回転群という。
SO(3) のように、「滑らかな」構造を持った群をリー群という（厳密な定義はリー群の項目を参照）。特にSO(3) のように行列からなるリー群を行列リー群あるいは単に行列群という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。 以下でVは複素計量ベクトル空間であり、Iは単位行列であり、A*はAのエルミート共役である：
ベクトル空間VがCnである場合は、U(V)、SU(V)の事をそれぞれU(n)、SU(n)と表記する。
GをSO(3)、U(V)、SU(V)のいずれかとするとき、集合
をGのリー環と呼び、 {\mathsf {g}}の元をG上の無限小変換と呼ぶ。リー「環」という名称なのは、 {\mathsf {g}}が行列の交換子積
に関して環をなすからである。SO(3)、U(V)、SU(V)のリー環はそれぞれ、
である。so(3)が上述した形になるのは以下の理由による。R(t)をSO(3) 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となるものとすると、SO(3) の定義より、
なので、その t = 0 での微分は
を満たす為である。u(V)、su(V)が上述の形になる事も同様の方法で証明できる。なお、ここではVが有限次元の場合を想定したが、無限次元のヒルベルト空間の場合も同様の事が成立する。
{\mathsf {g}}をso(3)、u(V)、su(V)のいずれかとし、行列 A\in {\mathsf {g}}に対しexp(A) を
と定義すると次が成立する：
SO(3) に関しては上述の性質を更に具体的に書き表す事ができる。3次元ベクトル x = (x, y, z) ∈ R3に対し、so(3)に属する行列Fxを
と定義すると次が成立する：
ここで「×」はクロス積である。G、HをSO(3)、U(V)、SU(V)のいずれかとし、 {\mathsf {g}}、 {\mathsf {h}}をG、Hのリー環とする。（すなわち {\mathsf {g}}、 {\mathsf {h}}はso(3)、u(V)、su(V)のいずれかである）。
をGからHへの可微分な準同型写像とする。このときπが誘導する写像π*を
により定義すると、この写像はwell-definedになる。しかもこの写像はリー環としての準同型写像になることが知られている。すなわち
である。
πが誘導する写像π*と行列の指数関数expは以下の関係を満たす：
数学的導出の方法 > 準備 > 空間の回転対称性からみた軌道角運動量演算子

（非相対論的な）量子力学において、波動関数全体の集合はヒルベルト空間  {\mathcal {H}}として記述可能であり、（スピンを考慮しない）一粒子からなる系の場合、 {\mathcal {H}} は3次元ユークリッド空間 R3 上のL2 空間と等しい、すなわち
である。
軌道角運動量演算子は、空間の回転に対する対称性として導出される。 そこで軌道角運動量演算子を導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。3次元の回転行列全体のなすリー群を SO(3) と書くとき、回転行列 R ∈ SO(3) により座標系を回転したとき、波動関数 ϕ(x) は ϕ(R−1x) に移動する。すなわち、各回転行列 R ∈ SO(3) に対し、波動関数の空間  L^{2}(\mathbf {R} ^{3}) 上にユニタリ演算子
が定義される。
複素計量ベクトル空間V上のユニタリ演算子全体のなす群をU(V)とするとき、回転行列 R に対し複素ベ クトル空間 L^{2}(\mathbf {R} ^{3}) 上のユニタリ演算子 λR を対応させる（連続準同型）写像
を SO(3) の L^{2}(\mathbf {R} ^{3})上のユニタリ表現という。
一方、SO(3) に対応する「無限小変換」全体の集合 so(3) を(G1)のように定義し、(G14)に従ってλが誘導する写像λ*を
そこで単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R3に対し、Fnを(G11)のように定義し、虚数単位 i と換算プランク定数ħを用いて、
と定義すると、 {\hat {L}}_{\mathbf {n} }はL2(R3)上のエルミート演算子になる。この演算子は「無限小回転Fnに対応する演算子」であり、この演算子を軸 n = (x, y, z) ∈ R3の周りの軌道角運動量演算子と呼ぶ。
例えば z 軸の周りの軌道角運動量 {\hat {L}}_{z} が球面座標系 (r, θ, φ) を用いて
と表記できる事を以下のように確認できる。ψを任意の波動関数とすると、(G10)、(G12)より
さらに x 軸、y 軸の周りの軌道角運動量をそれぞれ {\hat {L}}_{x}、 {\hat {L}}_{y}とし、Fx=F(1,0,0)、Fy=F(0,1,0)、Fz=F(0,0,1)とすると、(G15)、(G13)より交換関係
が従う。
2つの軸に関する軌道角運動量演算子は、SO(3) のユニタリ表現 λ によって結ばれる。すなわち、R を回転行列で z 軸を w 軸に移すものとすると、w 軸の周りの軌道角運動量 {\hat {L}}_{w} は合成写像
である。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化

前節まで述べたように、軌道角運動量演算子は粒子の位置を表す(x,y,z)による3次元空間上の回転対称性として定義できる。それに対しスピンはそのような定式化ができない。様々な物理実験から、スピンは(x,y,z)とは独立な粒子の第四の内部自由度である事が知られているからである。これが原因で、スピンを考慮した場合、波動関数全体のなすヒルベルト空間  {\mathcal {H}} は一粒子系であっても   {\mathcal {H}}はL2(R3) とは等しくならない。
したがってスピンを記述するには、スピンの状態ベクトルの空間Vs をL2(R3)とは別個に用意し、
を考える必要がある。ここで添字s ≥ 0は整数もしくは半整数であり、Vsは2s+1 次元の複素計量ベクトル空間である。
一粒子系の波動関数の空間   {\mathcal {H}}が上述のように表記できるとき、s をその粒子のスピン量子数という。Vs をスピノール空間、Vs の元をスピノールという。s が整数ではない半整数になるときその粒子をフェルミオンといい、s が整数になるときその粒子をボゾンという。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化 > スピンを考慮した波動関数の記述方法

スピンを考慮した波動関数  \psi \in {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s} の表記には次の2通りが多用される。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化 > スピンを考慮した波動関数の記述方法 > 成分表示

テンソル積の定義より、波動関数 \psi \in {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}は
という形に成分表示できる。ここで \phi _{j}(x,y,z)はL2(R3)の元であり、σj は Vs の元すなわちスピノールである。そこで、
と定義すれば、
である。この形はスピン（を表すスピノール σj ） が (x,y,z) とは独立である事がわかりやすい。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化 > スピンを考慮した波動関数の記述方法 > スピノール表示

スピンを考慮した波動関数 ψ (B1) に対し、ψ'(x,y,z) を
と定義する。なお上式の「・」はベクトル σj の各成分にスカラー  \phi _{j}を乗じるいわゆる内積。スピンなし波動関数が1次元複素計量ベクトル空間 C に値を取るのに対し、ψ'(x,y,z) は 2s+1 次元複素計量ベクトル空間 Vs に値を取る。このように Vs に値を取る波動関数とみなす記述はスピノール表示と呼ばれる。
スピノールを成分表示することがある。e−s, e−(s − 1), …, es − 1, es をVsの基底とするとき、ψ'(x,y,z)は必ず
の形で表記できるので、ψ'(x,y,z)はベクトル
と成分表示できる。
なお基底 e−s, e−(s − 1), …, es − 1, es は通常、（何らかの軸に関する）スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化 > スピンを考慮した波動関数の記述方法 > スピンを考慮した場合のオブザーバブル

量子力学においてスピンを考慮しない場合のオブザーバブル {\hat {A}}は、L2(R3) 上のエルミート演算子として定式化されている。スピンを考慮した場合、この演算子 {\hat {A}}を
と同一視する事で、スピンを考慮した波動関数の空間 {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}上のオブザーバブルとみなす。(ここでidは恒等写像である)。
後述するように、スピン角運動量演算子は、Vs上のエルミート演算子として定式化できるが、これも同種の同一視により、 {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}上のオブザーバブルとみなす。すなわち {\hat {S}}を（何らかの軸に関する）スピン角運動量とするとき、 {\hat {S}}は
と同一視する。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化 > Vs 上のユニタリ表現に関する問題

軌道角運動量演算子が L^{2}(\mathbf {R} ^{3})上の「無限小回転に対する演算子」として定義可能であったのと同様、スピン角運動量演算子は Vs に対する無限小回転に対する演算子として定義する事ができる。しかしながら、軌道角運動量演算子の定義における L^{2}(\mathbf {R} ^{3})を単純に Vs に置き換えただけではスピン角運動量演算子は定義できない。これは次の理由による。
軌道角運動量演算子の場合、3次元回転行列群 SO(3) の L^{2}(\mathbf {R} ^{3})上のユニタリ表現
を t に関して微分する事で軌道角運動量演算子を定義していた。
したがって軌道角運動量演算子の定義において単純に L^{2}(\mathbf {R} ^{3})を Vs に置き換えてスピン角運動量演算子を定義しようとすると、SO(3) の Vs 上のユニタリ表現が必要となる。しかしながら、そのような表現は常に存在するわけではないことが知られている：
定理1 ― 次が成立する：
sが整数の場合、SO(3) の Vs 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
s が整数でない半整数の場合、SO(3) のVs 上の既約なユニタリ表現は存在しない。
すなわち上述した方法論では、s が半整数の場合に対してスピン角運動量演算子を定義する事ができない。この問題の解決方法は2つあり、後述するように2つは本質的に同値である。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化 > Vs 上のユニタリ表現に関する問題 > 射影ユニタリ表現を用いた解決

一つ目の解決方法は Vs を直接考えるのではなく、Vs の元を位相の相違を無視する同値関係
で割った空間
を考え、同様にユニタリ演算子に対しても同様の同値関係
により同一視した同値類 [U] を考えるというものである。このユニタリ演算子の同値類全体の集合を
と表記する。PU(Vs) を Vs 上の射影ユニタリ群、PU(Vs) に属する同値類を Vs 上の射影ユニタリ演算子と呼ぶ。
射影ユニタリ演算子 [U] は Vs / ∼ 上の写像となる事が知られている：
そこでスピン演算子の振る舞いを記述するため、SO(3) のユニタリ表現の代わりに SO(3) の射影ユニタリ表現
を用いる。
通常のユニタリ表現と違い、射影ユニタリ表現は次を満たす事が知られている
定理2 ― s が整数であっても半整数であっても、SO(3) の Vs 上の既約な射影ユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
よってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。
本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。しかしすでに述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。
射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化 > Vs 上のユニタリ表現に関する問題 > スピン群を用いた解決方法

今一つの解決は、SO(3) の代わりに3次元スピン群 Spin(3) を用いるというものである。そこでまず、スピン群の定義と性質を紹介する。n 次元スピン群とは以下の性質を満たす連結な行列群の事である。（このような性質を満たす連結行列群は同型を除いて1つしか存在しない事が知られている）：
ここでSO(n)はn次元回転行列のなす群である。スピン角運動量の定義に必要なのは、次元が3の場合のスピン群Spin(3)であり、Spin(3)は2次元特殊ユニタリ変換群 SU(2) と同型なことが知られている：
したがって以下、特に断りがない限り Spin(3) と SU(2) を同一視する。
スピン群の定義より、回転行列 R は何らかのスピン群の元 U を用いて
と書くことができる。これはすなわち、回転行列 R を直接扱う代わりに、スピン群の元 U により回転が記述可能な事を意味する。そこで SO(3) のユニタリ表現の代わりに Spin(3) のユニタリ表現を考える。SO(3) のユニタリ表現と違い、Spin(3) のユニタリ表現は以下を満たす:
定理3 ― sが整数であっても半整数であっても、Spin(3) の Vs 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
よって SO(3) のユニタリ表現の代わりに Spin(3) のユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。詳細は後述する。
数学的導出の方法 > スピンを考慮した場合の波動関数空間ℋの数学的定式化 > Vs 上のユニタリ表現に関する問題 > 2つの解決方法の同値性

上述した2つの解決方法は、本質的に同値である。これは Spin(3) のユニタリ表現と SO(3) の射影ユニタリ表現が自然に1対1対応する為である。具体的には、πs(S) をスピン群の元 S の Vs 上のユニタリ表現とし、γ(R) を回転行列 R の Vs 上の射影ユニタリ表現とすると、（適切に同型なものと置き換えれば）以下の図式が可換になる。ここで proj は同値類を取る写像。
数学的導出の方法 > スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記

以上の議論により、Spin(3)=SU(2)を用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。そこで本節では、スピン角運動量の定義に必要となる
スピノール空間Vs
定理3で述べたSpin(3)=SU(2)の既約ユニタリ表現 \pi _{s}~~:~~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (2)
Spin(3)=SU(2)からSO(3)への写像 \Phi _{3}~~:~~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {SO} (3)
などを具体的に書き表す。ただし本節ではVsとπsに関しては最も重要なs=1/2の場合を述べるに留める。それ以外のsに関しては後の章を参照されたい。
数学的導出の方法 > スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記 > スピン1/2の場合のVsとπsの具体的表記

M2, 2(C) を複素二次正方行列全体の集合とし、I を単位行列とするとき、Spin(3) = SU(2)は2次元ユニタリ変換全体の集合
の部分集合である。したがって
と定義すると、包含写像
は Spin(3) = SU(2) の元の V1/2 上のユニタリ表現になっている。このユニタリ表現が、定理3で述べた既約ユニタリ表現の s=1/2 の場合に相当している。すなわち、
数学的導出の方法 > スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記 > 無限小変換の集合spin(3)=su(2)の具体的表記

軌道角運動量を定義する際SO(3)の無限小変換の集合so(3)が必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義にはSpin(3) = SU(2) の「無限小変換」全体の集合spin(3)=su(2)を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。(G4)、(G7)より、
である。su(2) 上に内積
を定義すると、su(2) は実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。
次にsu(2) の基底について述べる。パウリ行列 σ1, σ2, σ3 を
により定義し、su(2)の元X1、X2、X3を
により定義すると、(L1)、(L2)より次が成立することがわかる。
X1、X2、X3はspin(3) = su(2) 上の正規直交基底である。　　　　...(L5)
そこで3次元ベクトルx=(x, y, z)∈R3に対し、
と定義すると、写像
により \mathbf {R} ^{3}  と spin(3) = su(2) を計量ベクトル空間として同一視できる。しかもこの同一視において、以下が成立する：
ここで「×」はクロス積であり、[A,B] = AB-BAは交換子積である。
数学的導出の方法 > スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記 > Spin(3)の元の具体的表記

Spin(3) = SU(2) は、α, β の実数を用いて
と書き表すことができる事が簡単な計算から従う。
一方、n=(x, y, z)∈R3を単位ベクトルとし、パウリ行列を使って
と定義すると簡単な計算により、
がわかる。よって行列Aに対する指数関数exp(A)を(A3)式のように定義すると、τ ∈ [0,2π]に対し、
が従う。
とすると、(L4)で述べたspin(3)=su(2)の基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、(X1)、(X2)、(X3)からわかる：
数学的導出の方法 > スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記 > Spin(3) から SO(3) への準同型写像 Φ3

前の節で述べたように、su(2) は3次元の計量ベクトル空間なので、R3と同一視できる。U ∈ Spin(3) = SU(2)と Y\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}に対し、UYU−1も {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}の元である事が簡単な計算からわかる。しかも線形写像Φ3(U)を
と定義するとΦ3(U)が(L2)で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわちΦ3(U)は回転変換であるので、Φ3(U)∈SO(3)である。
以上により、Spin(3) から SO(3) への準同型写像
が定義できた。この Φ3の具体的表記は後の節で述べる。
数学的導出の方法 > スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記 > Φ3が誘導する写像(Φ3)*の定義とその具体的表記

(G14)に従い、Φ3が誘導する写像(Φ3)* を、
により定義する。このとき(Φ3)* は
を満たす。成分で書けば
である。特に
は同型写像である。
(X4)より、Spin(3)上の曲線U(t)は3次元空間曲線x(t)∈R3を用いて
という形で表記できる。x=(x1,x2,x3)=x(0)とすると、任意のY=v1X1+v2X2+v3X3∈spin(3)=su(2)に対し、
である。ここで[A,B]=AB-BAは交換子積である。
よってYの任意性と(G11)から以下の結論が得られる：
数学的導出の方法 > スピンの定義に用いる空間と関数の具体的表記 > Φ3の具体的表記

(G16)、(D2)より、
である。(X4)より、Spin(3)の元は何らかのθ∈[0,4π]を用いて、exp(θXx)の形に書けるので、上式によりΦ3の振る舞いを完全に記述可能である。
しかも
であるので、スピン群の定義(C1)で述べた、Φ3が2:1の写像であるという事実が確認できる。
Spin(3)=SU(2)の元の成分表示(X1)を用いると、Φ3は下記のように表示できることも知られている：
数学的導出の方法 > スピン角運動量演算子の定義と性質 > スピン角運動量演算子の定義

以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。
を Spin(3)=SU(2) の Vs上の既約ユニタリ表現とする（そのようなユニタリ表現の存在性と（同型を除いた）一意性は定理3で保証される）。なお s=1/2 に対するVs、πs は(H1)、(H2)にすでに記載した。それ以外のsに対するVs、πs は次節以降に後述する。
さらに
を(C1)式で述べた、Spin(3) から SO(3)への 2:1 写像とする（この写像の具体的な形は(E1)式を参照）。これらの写像を図にすると以下のとおりである。ここで記号「 G{}^{\curvearrowright }V」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する（すなわちGはVに作用する）。
{\begin{array}{rl}\mathrm {Spin} (3)&{\xrightarrow {~~~~~\pi ~~~~~}}{}\mathrm {U} (V_{s}){}^{\curvearrowright }V_{s}\\\Phi _{3}\downarrow &\\SO(3)&{}^{\curvearrowright }\mathbf {R} ^{3}\end{array}}
πs が誘導する写像 (πs)*を以下のように定義する：
同様に Φ3 が誘導する(Φ3)* を(D1)式のように定義すると、(Φ3)* は(D2)式のように書け、(D3)より
である。
単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R3に対し無限小回転 Xn ∈ su(2) を(L6)式のように定義し、合成写像
によって定まるエルミート演算子
を考えると、(D2)より、
と書けるので、 {\hat {S}}_{\mathbf {n} }は3次元空間上の無限小回転Fnに対応する演算子とみなせる。
この {\hat {S}}_{\mathbf {n} }を、nを回転軸にもつスピン角運動量演算子と呼ぶ。
数学的導出の方法 > スピン角運動量演算子の定義と性質 > スピン角運動量演算子の性質 > 交換関係

x軸(1,0,0)、y軸(0,1,0)、z軸(0,0,1)∈ \mathbf {R} ^{3}を回転軸に持つスピン角運動量演算子を {\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}とすると、
となる。よって(G15)より、軌道角運動量と同様、以下の交換関係が成り立つ：
数学的導出の方法 > スピン角運動量演算子の定義と性質 > スピン角運動量演算子の性質 > 回転軸の変更

次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。n、m∈R3を2つの単位ベクトルとし、nとmが回転行列Rにより、
で移り合っていたとする。写像Φ3  :  Spin(3)=SU(2) → SO(3)は２：１の全射であるので、
を満たすUが存在する。
スピン角運動量演算子 {\hat {S}}_{\mathbf {n} }、 {\hat {S}}_{\mathbf {l} }はその定義より、Vs上のユニタリ演算子であり、両者は
という関係で結ばれる。ここで右辺は {\hat {S}}_{\mathbf {l} }とπs(U)の行列としての積である。
なので、(Φ3)*が同型写像である事から、
よって任意のt∈Rに対し、
したがって