stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
マンスフィールド山
気候

マンスフィールド山は、夏は温暖となる亜寒帯湿潤気候（Dfb）である。
| Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 1月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 2月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 3月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 4月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 5月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 6月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 7月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 8月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 9月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 10月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 11月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 12月 | Mount Mansfield, Vermont 1991-2020の気候> 年 |
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| 最高気温記録 °F （°C） | 53  (12) | 56  (13) | 65  (18) | 74  (23) | 85  (29) | 84  (29) | 84  (29) | 82  (28) | 79  (26) | 71  (22) | 63  (17) | 60  (16) | 85  (29) |
| 平均最高気温 °F （°C） | 21.1  (−6.1) | 22.7  (−5.2) | 30.2  (−1) | 42.6  (5.9) | 57.0  (13.9) | 65.3  (18.5) | 69.0  (20.6) | 67.6  (19.8) | 61.1  (16.2) | 47.7  (8.7) | 36.2  (2.3) | 26.6  (−3) | 45.59  (7.55) |
| 日平均気温 °F （°C） | 13.4  (−10.3) | 15.0  (−9.4) | 22.9  (−5.1) | 35.0  (1.7) | 48.9  (9.4) | 57.8  (14.3) | 62.2  (16.8) | 60.9  (16.1) | 54.2  (12.3) | 41.4  (5.2) | 29.8  (−1.2) | 19.8  (−6.8) | 38.44  (3.58) |
| 平均最低気温 °F （°C） | 5.7  (−14.6) | 7.3  (−13.7) | 15.6  (−9.1) | 27.5  (−2.5) | 40.8  (4.9) | 50.3  (10.2) | 55.4  (13) | 54.2  (12.3) | 47.3  (8.5) | 35.1  (1.7) | 23.4  (−4.8) | 12.9  (−10.6) | 31.29  (−0.39) |
| 最低気温記録 °F （°C） | −39  (−39) | −38  (−39) | −29  (−34) | −16  (−27) | 5  (−15) | 20  (−7) | 24  (−4) | 21  (−6) | 12  (−11) | −5  (−21) | −15  (−26) | −38  (−39) | −39  (−39) |
| 降水量 inch （mm） | 5.62  (142.7) | 5.26  (133.6) | 5.88  (149.4) | 6.31  (160.3) | 6.88  (174.8) | 7.86  (199.6) | 7.31  (185.7) | 6.89  (175) | 7.26  (184.4) | 7.63  (193.8) | 6.68  (169.7) | 7.51  (190.8) | 81.09  (2,059.8) |
| 降雪量 inch （cm） | 40.9  (103.9) | 44.6  (113.3) | 38.7  (98.3) | 21.4  (54.4) | 5.5  (14) | 0.0  (0) | 0.0  (0) | 0.0  (0) | 0.1  (0.3) | 10.1  (25.7) | 30.4  (77.2) | 43.2  (109.7) | 234.9  (596.8) |
| 平均降水日数 （≥0.01 in） | 20 | 16 | 16 | 15 | 15 | 16 | 15 | 16 | 15 | 15 | 18 | 21 | 198 |
出典：Weather Atlas
清江駅

| 清江駅 |
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 청강   チョンガン  Chonggang  
 ◄宣川 (10.1 km) (10.8 km) 東林►
 
所在地:  平安北道東林郡北緯39度50分5.5秒 東経124度49分14.1秒﻿ / ﻿北緯39.834861度 東経124.820583度﻿ / 39.834861; 124.820583座標: 北緯39度50分5.5秒 東経124度49分14.1秒﻿ / ﻿北緯39.834861度 東経124.820583度﻿ / 39.834861; 124.820583
所属事業者:  朝鮮民主主義人民共和国鉄道省
所属路線:  平義線
キロ程:  167.0 km（平壌起点）
駅構造:  地上駅
開業年月日:  1908年4月1日
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| 清江駅> 各種表記 |
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チョソングル：:  청강역
漢字：:  淸江驛
発音：:  チョンガンニョク
英語：:  Chonggang station
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清江駅（チョンガンえき）は朝鮮民主主義人民共和国平安北道東林郡にある、朝鮮民主主義人民共和国鉄道省平義線の駅である。1945年7月時点の駅名は東林駅（朝鮮語：동림역）であった。
マニー・モタ

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 2012年6月5日
基本情報
国籍:   ドミニカ共和国
出身地:  サントドミンゴ
生年月日:   (1938-02-18) 1938年2月18日（86歳）
身長 体重:  5' 11" ＝約180.3 cm 165 lb ＝約74.8 kg
選手情報
投球・打席:  右投右打
ポジション:  外野手
プロ入り:  1957年 ニューヨーク・ジャイアンツと契約
初出場:  1962年4月16日
最終出場:  1982年9月1日
経歴（括弧内はプロチーム在籍年度）
  選手歴 サンフランシスコ・ジャイアンツ (1962)  ピッツバーグ・パイレーツ (1963 - 1968)  モントリオール・エクスポズ (1969)  ロサンゼルス・ドジャース (1969 - 1980, 1982) コーチ歴 ロサンゼルス・ドジャース (1980 - 2013)
 この表について  この表はテンプレートを用いて表示しています。編集方法はTemplate:Infobox baseball playerを参照してください。 ■プロジェクト:野球選手  ■テンプレート  
マニュエル・ラファエル・モタ・ジェロニモ（Manuel Rafael Mota Geronimo, 1938年2月18日 - ）は、ドミニカ共和国・サントドミンゴ出身の元プロ野球選手（外野手）。右投右打。
息子のホセ・モタ（英語版）とアンディ・モタ（英語版）も元メジャーリーガーである。
経歴 > プロ入りからジャイアンツ時代

1957年2月21日にニューヨーク・ジャイアンツ（現在のサンフランシスコ・ジャイアンツ）と契約してプロ入り。この年はD級ミッドウェストリーグのミシガンシティ・ホワイトキャップス（英語版）で126試合に出場し、打率.314を記録した。
1958年はB級カロライナリーグのダンビル・リーフス（英語版）に昇格し、103試合に出場し打率.301を記録した。
1959年は当初A級イースタンリーグのスプリングフィールド・ジャイアンツ（英語版）で出場していたが、途中からAAA級パシフィックコーストリーグのフェニックス・ジャイアンツ（英語版）に昇格した。通算86試合に出場し、打率.304を記録した。
1960年はAA級テキサスリーグのリオ・グランデ・バレー・ジャイアンツ（英語版）で141試合に出場し、打率.307を記録した。
1961年はAAA級パシフィックコーストリーグのタコマ・レイニアーズで142試合に出場し、打率.289を記録した。
1962年シーズン開始後はAA級テキサスリーグのエルパソ・ディアブロスで出場していたが、4月16日のロサンゼルス・ドジャース戦でメジャーに昇格し、初打席ではセンターフライに倒れた。4月21日のシンシナティ・レッズ戦でジム・ブロスナン（英語版）で初安打初打点を記録した。47試合に出場し、74打数で13安打で打率.176を残した。11月30日にジョーイ・アマルフィターノ（英語版）とのトレードでディック・ラメイ（英語版）と共にヒューストン・コルト45'sへ移籍した。
経歴 > コルト45's時代

コルト45'sの公式試合に出場する前の、1963年4月4日にハウイー・ゴス（英語版）と金銭とのトレードでピッツバーグ・パイレーツに移籍した。
経歴 > パイレーツ時代

パイレーツに移籍してからは、すぐに安打製造機として活躍を始める。右翼手のロベルト・クレメンテは不動のため、左翼手や中堅手での出場が多かった。6年間パイレーツに在籍したが、打率は.297を残した。
1964年5月26日のフィラデルフィア・フィリーズ戦ではクリス・ショート（英語版）からメジャー初本塁打を放った。
経歴 > エクスポズ時代

1968年オフにはエクスパンションドラフトでモントリオール・エクスポズ（現在のワシントン・ナショナルズ）から指名され、移籍。
1969年シーズンは31試合に出場し、打率.315を記録した。
経歴 > ドジャース時代

1969年6月11日にロン・フェアリー（英語版）、ポール・ポポビッチ（英語版）とのトレードで、モーリー・ウィルスと共にロサンゼルス・ドジャースへ移籍した。このシーズンから5シーズンにわたり、打率.300超えの最高の代打として頭角を現していく。
1970年5月16日にメジャーの歴史の中で初めて打球が原因で死亡する事故が起こるが、その打球を放ったのがモタだった。ドジャー・スタジアムで行われたジャイアンツ戦の3回裏に、ゲイロード・ペリーから一塁線を沿うファールを打った。その打球が14歳のアラン・フィッシュの左こめかみを直撃した。4日後、手術不可能な頭の怪我でこの世を去った。
1973年には当時リーグ最高の打率を記録していたためオールスターに選出された。守備面の不安から1974年以降は代打に専念したが、実働20年で史上3位の150本の代打安打を放っている。
1980年からはドジャースの打撃コーチとなったが、1980年には7試合、1982年には1試合にコーチ登録ながら公式戦に出場している。
経歴 > 引退後

1990年からは打撃の肩書はなくなったが、以後2013年までコーチを務めた。また、その間母国ドミニカン・ウィンターリーグでも指揮を執った。
2014年からはスポーツネットLA（英語版）でドジャース戦のスペイン語実況を担当する。
詳細情報 > 記録

MLBオールスターゲーム選出：1回（1973年）
詳細情報 > 背番号

38（1962年）
15（1963年 - 1969年途中）
11（1969年途中 - 2013年）
ピッツバーグ・パイレーツ時代
（1965年）
ミュージック・ライフ (曖昧さ回避)

ミュージック・ライフ（英: Music Life）
ミュージック・ライフ - シンコー・ミュージックが編集・発行していた日本の音楽雑誌。
ミュージックライフ・サタデー、ミュージックライフ・サンデー、ミュージックライフ・チューズデー - ラジオNIKKEI（日経ラジオ社）の番組。
MUSIC LIFE (GLAYのアルバム) - GLAYのアルバム。表題曲を収録。
MUSIC LIFE (イベント) - 日本の野外音楽フェスティバル。
Netrunner (カードゲーム)

Netrunner（ネットランナー）は、1996年にウィザーズ・オブ・ザ・コースト社が発表したトレーディングカードゲームである。同社の「マジック:ザ・ギャザリング」の生みの親であるリチャード・ガーフィールドがゲームデザインを担当した。当初発表された基本セット(v1.0)のほかに、拡張セットとして「Proteus」(v2.1)および「Classic」(v2.2)がある。
概要

Netrunnerの世界観は、R. Talsorian Games社が発行するテーブルトークRPG「サイバーパンク2.0.2.0.」をベースとしたサイバーパンクである。サイバースペースが全世界を覆いサイバネティクス技術が発達した近未来を舞台として、国家を凌駕する権力を持つに至ったグローバルな巨大企業体「Corp(コーポ)」と、Corpのネットワークへと侵入して企業機密を盗み出すデータ盗賊「Runner(ランナー)」の対決を描いている。
Netrunnerでは、二人のプレイヤーがそれぞれ「Corp」と「Runner」に分かれてプレイし、対戦相手よりも先に自分の役割に課せられた目標（勝利条件）を達成することを競う。
Corpの目標は、合法非合法問わず様々なAgenda（事業計画）を、時間とコストを投入して達成し利益を得ることである。また、達成前のAgendaが外部に漏洩してCorpの利益を損なうのを防ぐため、ICE（アイス）と呼ばれる保安プログラムを幾重にも張り巡らせ要塞化することで、自社のネットワークを侵入者から守っている。
Runnerの目標は、これに対して、Corpのネットワークへ侵入を仕掛け(Run)、サイバースペースデッキとICEbreaker（アイスブレーカー）を駆使して、データ要塞の最深部からAgendaを盗み出すことにある。もちろん、Corpのデータ要塞は一筋縄に攻略できるものではない。ストリートのコネを使って資金(Bit)を稼ぎ、侵入に用いる各種のハードウェアやプログラムを買い揃え、ネットを通じて他のRunnerたちの支援を受けることが欠かせない。
またCorpは、神出鬼没なRunnerの攻撃に対して電子的な防御を固めるだけでなく、より積極的にRunnerの排除や抹殺(Flatline)を試みることがある。ある時は、非合法のBlack ICE（ブラックアイス）を用いてネットワークに直結している侵入者の脳を焼き、あるいはRunnerの物理的な居所を突き止めて暗殺チームを送り込み、果ては標的の居住区画を市街ごと吹き飛ばすことさえ厭わない。すなわち、Corpの執拗な追跡と攻撃から身を守ることができなかったRunnerを待ち受けるのは、確実な死である。
特徴

Netrunnerは、既存のトレーディングカードゲームと比較して、以下の点で特徴的なゲームデザインがなされている。
特徴 > 非対称的なゲームデザイン

Netrunnerにおいて、プレイヤーはそれぞれCorpとRunnerという、二つの役割に分かれてゲームを行う。すなわち、どちらも「Bitを消費してAction単位で行動する」という点を除いて、適用されるルール・使用できるカードセット・勝利条件に至るまで、CorpとRunnerは全く異なる立場でゲームを進めていく。
ゲームにおいて中心的な役割を果たすのは、Corpが持つAgendaカードである。Corp側はAgendaを7点分獲得すること、Runner側はRunによってCorpから7点分のAgendaカードを奪い取ることが、このゲームの主要な目標となる。
基本的に、Runner側の場札は全て公開されるのに対し、Corp側は最初にカードを場に伏せたまま出し、必要に応じてコストを支払って起動(Rez)する。ゲームの鍵を握るAgendaの所在や、対戦相手に対して伏せられた攻撃・防御オプションの探り合いと駆け引きも、このゲームの重要な要素である。
特徴 > アクション制の採用

Netrunnerの最大の特徴は、ゲーム進行の単位として「アクション(Action)」を採用した点にある。各プレイヤーは1ターンごとに、Corpは3アクション（＋強制ドロー）、Runnerは4アクションが割り当てられる。各プレイヤーは、1アクションごとに「山札から一枚引く」「1Bitを獲得する」「カードを場に出す」「場に出したカードを使う」「Agendaを進める」「Runを行う」などの行動を任意に選択できる。
アクション制の採用により、Netrunnerは自由度の高いゲームプレイを可能としている。たとえば、多くのトレーディングカードゲームが採用する「ターンの最初に山札から一枚引いて手札にする」というルールは、とりわけRunner側において必須ではない。すなわち、1ターンのうちに4アクション全てを消費して4枚ドローすることを選べる一方、全てのアクションをBitの獲得に費やし、1枚も山札を引かないことも可能である。
また、アクション制の下では、各アクションから効率よくパフォーマンスを生み出すことを意識したゲームプレイが重要となる。これは、カード・コスト・各種行動といった相互に異なる要素を、「1アクション」という共通の単位の下で評価できるからである。このため、他の同種のゲームと比べて、各リソースの兌換性が特に前面に押し出されたゲームデザインとなっている。
特徴 > 手札・山札の重要性

Runnerは、Corpが場に出したカードだけでなく手札(HQ)や山札(R&D)、捨て札(Archive)に対しても、同様にRunによって攻撃を仕掛けることができる。これを放置すれば、場に出す前のAgendaを奪われたり、重要なカードを破棄される恐れがあるため、Corpは手札や山札に対してもICEを設置して防御を固める必要が出てくる。
一方で、Runnerの手札の枚数は、Runnerが選択できる行動の幅であると同時に、Runner自身の耐久値としても扱われる。すなわち、RunnerがCorpからの攻撃によってダメージを受けた場合、ダメージ点数分の枚数の手札を破棄しなければならない。また、手札の枚数以上のダメージを受けたRunnerは即座に敗北となる。
評価

発表当時の「InQuest」誌のレビューで6点満点を獲得した。しかし、商業的には失敗に終わったことから、Wizards社は「Classic」の発表後しばらく後にNetrunnerへのサポートを打ち切り、現在は絶版となっている。
サポートの打ち切りが発表された当時、Wizards社に対して関連する版権の第三者への譲渡や開放を求める動きがあったが、いずれも実現には至っていない。
2012年にen:Fantasy Flight Games社から同社のボードゲーム「Android」の世界をベースに、Living Card Gameの「en:Android: Netrunner」として発売された。
ミナルディ・PS04B

2004年アメリカGPでインディアナポリスを走行するPS04B（ドライバーはゾルト・バウムガルトナー）
ミナルディ・PS04B（Minardi PS04B）は、ミナルディが2004年のF1世界選手権参戦用に開発したフォーミュラカーで、ガブルエル・トレドッツィが設計した。2004年の開幕戦から、2005年第3戦まで実戦投入された。
PS04B

エンジンカバー、フロントウイング翼端板、リヤウイング、インダクションポッドがPS03から変更されている。マシン名から見るとPS04（アロウズ・A23）からの改良型のようだが、実質的にPS03を2004年レギュレーションにあわせたものである。
搭載されるエンジン、CR-3Lは2003年に使用されたCR-3を1レース1エンジンに対応させた耐久力を持たせたエンジン（Long lifeのL）である。ただし、ベースとなっているCR-3は2001年にデビューのため、実質3年落ちのエンジンだった。
2004年シーズン

PS03に多少の改良を加えたようなマシンではポイント獲得はとても難しいことだった。しかし、大混戦となった第9戦アメリカGPでミナルディにとって2002年オーストラリアGP以来約2年ぶりのポイントを獲得した。しかし、それ以外のレースではほとんどテールエンド争いに終始し、アメリカGPでの1ポイントの獲得にとどまった。
2005年シーズン

開幕戦で、2004年レギュレーションに対応したマシンの状態で出走しようとしたが、最終的に2005年版に改修されて開幕戦を迎えた。エンジン名がCR-3LからCK2004に変わったが2レース1エンジンに対応した以外は基本的に同じエンジンである。PS05が完成するまでのつなぎとして第3戦まで使用された。
スペック > シャーシ

シャーシ名 PS04B
クラッチ AP
ブレーキキャリパー ブレンボ
ブレーキディスク・パッド ブレンボ・ヒトコ
ホイール O・Z
タイヤ ブリヂストン
ギヤボックス 6速セミオートマチック
スペック > エンジン

エンジン名 コスワースCR-3L（コスワースCK2004）
気筒数・角度 V型10気筒・72度
スパークプラグ チャンピオン
燃料・潤滑油 エルフ
イグニッション コスワース
F1における全成績

(key) （太字はポールポジション）
| 年 | チーム | エンジン | タイヤ | ドライバー | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | ポイント | 順位 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2004年 | ミナルディ コスワース | コスワース V10 | B  |  | AUS  | MAL  | BHR  | SMR  | ESP  | MON  | EUR  | CAN  | USA  | FRA  | GBR  | GER  | HUN  | BEL  | ITA  | CHN  | JPN  | BRA  |  | 1 | 10位 |
| 2004年 | ミナルディ コスワース | コスワース V10 | B  | ジャンマリア・ブルーニ | Ret | 14 | 17 | Ret | Ret | Ret | 14 | Ret | Ret | 18 | 16 | 17 | 14 | Ret | Ret | Ret | 16 | 17 |  | 1 | 10位 |
| 2004年 | ミナルディ コスワース | コスワース V10 | B  | ゾルト・バウムガルトナー | Ret | 16 | Ret | 15 | Ret | 9 | 15 | 10 | 8 | Ret | Ret | 16 | 15 | Ret | 15 | 16 | Ret | 16 |  | 1 | 10位 |
| 2005年 | ミナルディF1チーム | コスワース V10 | B  |  | AUS  | MAL  | BHR  | SMR  | ESP  | MON  | EUR  | CAN  | USA  | FRA  | GBR  | GER  | HUN  | TUR  | ITA  | BEL  | BRA  | JPN  | CHN  | 7* | 10位 |
| 2005年 | ミナルディF1チーム | コスワース V10 | B  | パトリック・フリーザッハー | 17 | Ret | 12 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 7* | 10位 |
| 2005年 | ミナルディF1チーム | コスワース V10 | B  | クリスチャン・アルバース | Ret | 13 | 13 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 7* | 10位 |
*すべてのポイントがPS05による。
コンストラクターズランキング10位
ドライバーズランキング20位（ゾルト・バウムガルトナー）予選最高位17位 決勝最高位8位
ドライバーズランキング-位（ジャンマリア・ブルーニ）予選最高位16位 決勝最高位14位
開幕3戦のみPS04Bを使用し、0ポイント。
パトリック・フリーザッハー 予選最高位16位 決勝最高位12位
クリスチャン・アルバース 予選最高位17位 決勝最高位13位
ラプラシアン行列

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: この項目では、グラフ理論で用いる行列について説明しています。微分作用素のラプラシアンについては「ラプラス作用素」をご覧ください。
グラフ理論の数学的分野において、ラプラシアン行列（ラプラシアンぎょうれつ、英: Laplacian matrix）は、グラフの行列表示（行列表現）である。アドミタンス行列 (admittance matrix)、キルヒホッフ行列 (Kirchhoff matrix)、離散ラプラシアン (discrete Laplacian)、またはラプラス行列と呼ばれることもある。ラプラシアン行列はグラフの多くの有用な性質を探るために使うことができる。キルヒホッフの定理（英語版）と一緒に、任意のグラフについての全域木の数を計算するために使うことができる。グラフの最疎カットはチーガーの不等式（英語版）によってそのラプラシアンの2番目に小さい固有値を使って近似することができる 。また、低次元埋め込み（英語版）を構築するためにも使うことができる。これは、様々な機械学習応用のために有用かもしれない。
定義 > 単純グラフのラプラシアン行列

n個の頂点を持つ単純グラフ（ループや多重辺を持たない無向グラフ）を考えると、そのラプラシアン行列




L

n
×
n




{\textstyle L_{n\times n}}

は以下の式で定義される。
上式において、Dはグラフの次数行列、Aは隣接行列である。



G


{\textstyle G}

は単純グラフであるから、



A


{\textstyle A}

の成分は1または0のみであり、その対角要素は全て0である。
有向グラフの場合は、入次数または出次数のいずれかが、用途に応じて用いられるであろう。
L


{\textstyle L}

の要素は式
により与えられる。上式において、 \operatorname {deg} (v_{i})は頂点 iの次数である。
定義 > 単純グラフのラプラシアン行列 > 対称正規化ラプラシアン

対称正規化ラプラシアン行列は
として定義される。
L

sym




{\textstyle L^{\text{sym}}}

の要素は
によって与えられる。
定義 > 単純グラフのラプラシアン行列 > 酔歩正規化ラプラシアン

酔歩正規化ラプラシアン行列は
として定義される。
L

rw




{\textstyle L^{\text{rw}}}

の要素は
によって与えられる。
定義 > 単純グラフのラプラシアン行列 > 一般化ラプラシアン

一般化ラプラシアンQは
として定義される。
普通のラプラシアンは一般化ラプラシアンであることが分かる。
例

以下はラベル付けされた無向グラフとそのラプラシアン行列の単純な例である。
| ラベル付けされたグラフ（英語版） | 次数行列 | 隣接行列 | ラプラシアン行列 |
| --- | --- | --- | --- |
|  |      (     2   0   0   0   0   0     0   3   0   0   0   0     0   0   2   0   0   0     0   0   0   3   0   0     0   0   0   0   3   0     0   0   0   0   0   1     )    {\textstyle \left({\begin{array}{rrrrrr}2&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{array}}\right)}   |      (     0   1   0   0   1   0     1   0   1   0   1   0     0   1   0   1   0   0     0   0   1   0   1   1     1   1   0   1   0   0     0   0   0   1   0   0     )    {\textstyle \left({\begin{array}{rrrrrr}0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\\end{array}}\right)}   |      (     2   − 1   0   0   − 1   0     − 1   3   − 1   0   − 1   0     0   − 1   2   − 1   0   0     0   0   − 1   3   − 1   − 1     − 1   − 1   0   − 1   3   0     0   0   0   − 1   0   1     )    {\textstyle \left({\begin{array}{rrrrrr}2&-1&0&0&-1&0\\-1&3&-1&0&-1&0\\0&-1&2&-1&0&0\\0&0&-1&3&-1&-1\\-1&-1&0&-1&3&0\\0&0&0&-1&0&1\\\end{array}}\right)}   |
性質

（無向）グラフGと固有値




λ

0


≤

λ

1


≤
⋯
≤

λ

n
−
1




{\textstyle \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \leq \lambda _{n-1}}

を持つそのラプラシアン行列Lについて:
Lは対称である。
Lは半正定値である（すなわち全ての



i


{\textstyle i}

について




λ

i


≥
0


{\textstyle \lambda _{i}\geq 0}

）。これは接続行列の節で検証される。これは、ラプラシアンが対称であり、優対角（英語版）であるという事実からも見ることができる。
LはM-行列である（その非対角成分は非正であり、そのうえその固有値の実部は非負である）。
Lの全ての行の和と列の和はゼロである。実際、和の計算において、頂点の次数には隣接する頂点ごとに「−1」が足される。
その結果、




λ

0


=
0


{\textstyle \lambda _{0}=0}

となる。これは、ベクトル





v


0


=
(
1
,
1
,
…
,
1
)


{\textstyle \mathbf {v} _{0}=(1,1,\dots ,1)}

が



L


v


0


=

0



{\textstyle L\mathbf {v} _{0}=\mathbf {0} }

を満たすためである。これは、ラプラシアン行列が特異行列であることも暗示する。
グラフ中の連結成分（英語版）の数はラプラシアンの零空間の次元であり、0固有値の代数的多重度である。
Lの最小の非ゼロ固有値はスペクトルギャップ（英語版）と呼ばれる。
Lの2番目に小さな固有値（ゼロかもしれない）はGの代数的連結度（英語版）（Fiedler値）であり、グラフの最疎カットを近似する。
ラプラシアンは、関数



f
:
V
→

R



{\textstyle f:V\to \mathbb {R} }

（



V


{\textstyle V}

はGの頂点セット、



n
=

|

V

|



{\textstyle n=|V|}

）のn次元ベクトル空間上の作用素である。
Gがk正則である時、正規化ラプラシアンは





L


=



1
k



L
=
I
−



1
k



A


{\textstyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{k}}L=I-{\tfrac {1}{k}}A}

である（Aは隣接行列、Iは単位行列）。
複数の連結成分を持つグラフについて、Lは区分対角行列であり、それぞれの区分はそれぞれの成分についての（場合によると頂点を順序付けし直した後の）各ラプラシアン行列である（すなわちLは区分対角行列と置換相似である）。
ラプラシアン行列Lの跡（トレース）は



2
m


{\textstyle 2m}

（



m


{\textstyle m}

は考慮されているグラフの辺の数）と等しい。
接続行列

によって与えられる辺e（頂点iとjを連結している; i > j）と頂点vについて要素Mevを持つ




|

e

|

×

|

v

|



{\textstyle |e|\times |v|}

有向接続行列Mを定義する。
次に、ラプラシアン行列Lは
を満たす（




M


T





{\textstyle M^{\textsf {T}}}

はMの転置行列）。
ここで、単位ノルム固有値ベクトル





v


i




{\textstyle \mathbf {v} _{i}}

および対応する固有値




λ

i




{\textstyle \lambda _{i}}

を使った



L


{\textstyle L}

の固有値分解を考える。
λ

i




{\textstyle \lambda _{i}}

はベクトル



M


v


i




{\textstyle M\mathbf {v} _{i}}

とそれ自身の内積として書くことができるため、これは




λ

i


≥
0


{\textstyle \lambda _{i}\geq 0}

であり、したがって



L


{\textstyle L}

の固有値は全て非負であることを示す。
変形ラプラシアン

変形ラプラシアン（deformed laplacian）は通常以下のように定義される。
上式において、Iは単位行列、Aは隣接行列、Dは次数行列、sは（複素）数である。ここで留意すべきは、標準的なラプラシアンは単に



Δ
(
1
)


{\textstyle \Delta (1)}

となることである。
対称正規化ラプラシアン

（対称）正規化ラプラシアンは以下のように定義される。
上式において、Lは（非正規化）ラプラシアン、Aは隣接行列、Dは次数行列である。次数行列Dは対角行列で正であるため、その逆数平方根




D

−


1
2






{\textstyle D^{-{\frac {1}{2}}}}

は単にその対角成分がDの対角成分の正の平方根の逆数である対角行列となる。対称正規化ラプラシアンは対称行列である。
L

sym


=
S

S

∗




{\textstyle L^{\text{sym}}=SS^{*}}

が存在する。Sは、列が頂点によって添え字を付けられ、行がGの辺によって添え字が付けられた行列である。これらは、辺e = {u, v} に対応するそれぞれの行がuに対応する列において成分





1


d

u







{\textstyle {\frac {1}{\sqrt {d_{u}}}}}

を、vに対応する列において成分



−


1


d

v







{\textstyle -{\frac {1}{\sqrt {d_{v}}}}}

を、それ以外では0成分を持つことになるように索引付けされる（注: 




S

∗




{\textstyle S^{*}}

はSの転置行列を示す）。
正規化ラプラシアンの全ての固有値は実数かつ非負である。これは以下のように見ることができる。




L

sym




{\textstyle L^{\text{sym}}}

は対称であるため、その固有値は実数である。これらの固有値は全て非負である。固有値λを持つ




L

sym




{\textstyle L^{\text{sym}}}

の固有ベクトル 



g


{\textstyle g}

を考え、



g
=

D


1
2



f


{\textstyle g=D^{\frac {1}{2}}f}

を仮定する（gおよびfを頂点v上の実関数と見なすことができる）。すると、
となる。ここでは内積



⟨
f
,
g
⟩
=

∑

v


f
(
v
)
g
(
v
)


{\textstyle \langle f,g\rangle =\sum _{v}f(v)g(v)}

（全ての頂点vにわたる和）を用い、




∑

u
∼
v




{\textstyle \sum _{u\sim v}}

は隣接頂点 {u,v} の全ての非順序対（英語版）にわたる和を示す。量




∑

u
,
v


(
f
(
u
)
−
f
(
v
)

)

2




{\textstyle \sum _{u,v}(f(u)-f(v))^{2}}

はfの「ディリクレ和」と呼ばれるが、式






⟨

g
,

L

sym


g

⟩


⟨
g
,
g
⟩





{\textstyle {\frac {\left\langle g,L^{\text{sym}}g\right\rangle }{\langle g,g\rangle }}}

はgのレイリー商と呼ばれる。
1をそれぞれの頂点上に値1を想定する関数とする。すると、




D


1
2



1


{\textstyle D^{\frac {1}{2}}1}

は固有値0を持つ




L

sym




{\textstyle L^{\text{sym}}}

の固有関数である。
実際、正規化対称ラプラシアンの固有値は0 = μ0 ≤ … ≤ μn−1 ≤ 2を満たす。これらの固有値（正規化ラプラシアンのスペクトルと呼ばれる）は、一般グラフに対するその他のグラフ不変量とよく関連する。
酔歩正規化ラプラシアン

酔歩 (random walk) 正規化ラプラシアンは
として定義される。Dは次数行列である。次数行列D対角行列であるため、その逆行列




D

−
1




{\textstyle D^{-1}}

は単純に対角行列として定義され、これはDの対応する正の対角成分の逆数である対角成分を持つ。
孤立した頂点（次数が0）について、一般的な選択は対応する要素




L

i
,
i


rw




{\textstyle L_{i,i}^{\text{rw}}}

を0にすることでる。
この慣習によって、固有値0の多重度がグラフの連結した構成要素の数と等しくなるという良い性質がもたらされる。
L

rw




{\textstyle L^{\text{rw}}}

の行列要素は以下の式で与えられる。
酔歩正規化ラプラシアンの名称は、この行列が




L

rw


=
I
−
P


{\textstyle L^{\text{rw}}=I-P}

（



P
=

D

−
1


A


{\textstyle P=D^{-1}A}

は単純にグラフ上の酔歩者〈ランダムウォーカー〉の遷移行列）という事実から来ている。例えば、




e

i




{\textstyle e_{i}}

がi番目の標準基底ベクトルを示すものとする。すると、



x
=

e

i


P


{\textstyle x=e_{i}P}

は頂点



i


{\textstyle i}

から一歩進んだ後の酔歩者の位置の分布を示す確率ベクトル（英語版）である; すなわち、 




x

j


=

P


(


v

i


→

v

j



)



{\textstyle x_{j}=\mathbb {P} \left(v_{i}\to v_{j}\right)}

。より一般的には、もしベクトル



x


{\textstyle x}

がグラフの頂点上の酔歩者の位置の確率分布であるとすれば、




x
′

=
x

P

t




{\textstyle x'=xP^{t}}

は



t


{\textstyle t}

歩後の酔歩者の確率分布である。
となることを確認することができる。
すなわち、




L

rw




{\textstyle L^{\text{rw}}}

は正規化ラプラシアン




L

sym




{\textstyle L^{\text{sym}}}

と類似している。この理由のため、




L

rw




{\textstyle L^{\text{rw}}}

がたとえ一般にエルミート行列でないとしても、実固有値を持つ。実際、その固有値は（エルミート行列である）




L

sym




{\textstyle L^{\text{sym}}}

のものと一致する。
酔歩正規化ラプラシアン > グラフ

グラフ上の酔歩に関する余談として、単純無向グラフを考える。酔歩者が時間tに頂点iにいる確率を考え、酔歩者が時間t-1に頂点jにいた確率分布を仮定する（任意の頂点に結合したいかなる辺に沿った一歩について一様の見込みを仮定する）:
または行列-ベクトル記法で:
（



t
→
∞


{\textstyle t\rightarrow \infty }

として設定される平衡は



p
=
A

D

−
1


p


{\textstyle p=AD^{-1}p}

として定義される。）
この関係は
と書き直すことができる。
A

reduced


≡

D

−


1
2




A

D

−


1
2






{\textstyle A_{\text{reduced}}\equiv D^{-{\frac {1}{2}}}AD^{-{\frac {1}{2}}}}

は簡約隣接行列と呼ばれる対称行列である。したがって、この酔歩者の一歩は




A

reduced




{\textstyle A_{\text{reduced}}}

の累乗を必要とする。




A

reduced




{\textstyle A_{\text{reduced}}}

は対称行列であるため、これは単純な操作である。
離散ラプラス演算子としての解釈

ラプラシアン行列は、離散ラプラス演算子（英語版）の特定の事例の行列表現として解釈することができる。このような解釈によって、例えば、ラプラシアン行列を無限の数の頂点と辺を持つグラフ（無限サイズのラプラシアン行列となる）の場合に一般化することが可能となる。
ϕ


{\textstyle \phi }

がグラフにわたる熱分布を記述すると想定する（




ϕ

i




{\textstyle \phi _{i}}

は頂点



i


{\textstyle i}

における熱である）。ニュートンの冷却の法則に従えば、節



i


{\textstyle i}

と節



j


{\textstyle j}

の間を移る熱は、もし節



i


{\textstyle i}

と節



j


{\textstyle j}

が連結されているならば、




ϕ

i


−

ϕ

j




{\textstyle \phi _{i}-\phi _{j}}

に比例する（節が連結されていないならば、熱は移らない）。
すると、熱用量



k


{\textstyle k}

について、
行列-ベクトル記法では、
これから、
が得られる。
この方程式が、行列 −Lがラプラス演算子




∇

2




{\textstyle \nabla ^{2}}

を置き換えている熱方程式（英語版）と同じ形式であることに気付く。ゆえに、Lは「グラフラプラシアン」と呼ばれる。
この微分方程式の解を探すため、1階の行列微分方程式（英語版）を解くための標準的な技法を適用する。すなわち、Lの固有ベクトル





v


i




{\textstyle \mathbf {v} _{i}}

（



L


v


i


=

λ

i




v


i




{\textstyle L\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}

）の線形結合として



ϕ


{\textstyle \phi }

を書く。時間に依存する



ϕ
=

∑

i



c

i




v


i




{\textstyle \phi =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}}

。
元の式に代入する（ここで留意すべきは、Lが対称行列であるためにその単位ノルム固有ベクトル





v


i




{\textstyle \mathbf {v} _{i}}

は直交であるという事実を用いる点である）:
この解
である。
前掲のように、Lの固有値




λ

i




{\textstyle \lambda _{i}}

は非負であり、これは微分方程式の解が（指数関数的に減衰するか一定に留まるかのいずれかのみであるため）平衡に近づくことを示している。これは、




λ

i




{\textstyle \lambda _{i}}

と初期条件




c

i


(
0
)


{\textstyle c_{i}(0)}

が与えられれば、いかなる時点における解も見つけることができることも示している。全体の初期条件



ϕ
(
0
)


{\textstyle \phi (0)}

の観点からそれぞれの



i


{\textstyle i}

に対する




c

i


(
0
)


{\textstyle c_{i}(0)}

を探すためには、単純に



ϕ
(
0
)


{\textstyle \phi (0)}

を単位ノルム固有ベクトル





v


i




{\textstyle \mathbf {v} _{i}}

へと射影する。
無向グラフの場合は、



L


{\textstyle L}

が対称行列であるためこれはうまくいき、スペクトル定理によって、その固有ベクトルは全て直交する。そのため、



L


{\textstyle L}

の固有ベクトルに対する射影は単純に、指数関数的に減衰し、互いに独立な一連の座標への初期条件の直交座標変換である。
離散ラプラス演算子としての解釈 > 平衡挙動

lim

t
→
∞


ϕ
(
t
)


{\textstyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)}

を理解するためには、残る項




c

i


(
t
)
=

c

i


(
0
)

e

−
k

λ

i


t




{\textstyle c_{i}(t)=c_{i}(0)e^{-k\lambda _{i}t}}

は




λ

i


=
0


{\textstyle \lambda _{i}=0}

のもののみであることに留意すべきである。これは
となるためである。
言い換えると、系の平衡状態は



L


{\textstyle L}

の核によって完全に決定される。
なぜなら定義




∑

j



L

i
j


=
0


{\textstyle \sum _{j}L_{ij}=0}

によれば、全てが1のベクトル





v


1




{\textstyle \mathbf {v} ^{1}}

は核内にある。また、グラフ中に



k


{\textstyle k}

個の互いに素な連結成分が存在するならば、この全てが1のベクトルは1と0からなる



k


{\textstyle k}

個の独立な



λ
=
0


{\textstyle \lambda =0}

固有ベクトルの和へと分割できる。それぞれの連結成分は連結成分中の要素では1を持つ固有ベクトルと、その他の場所では0を持つ固有ベクトルと対応している。
この結果は、



N


{\textstyle N}

個の頂点を持つグラフについて任意の初期条件



c
(
0
)


{\textstyle c(0)}

では、
となる。上式において、
である。
ϕ


{\textstyle \phi }

の個々の要素




ϕ

j




{\textstyle \phi _{j}}

、すなわちグラフ中の個々の頂点



j


{\textstyle j}

について、これを
と書き直すことができる。
言い換えると、定常状態では、



ϕ


{\textstyle \phi }

の値はグラフの個々の頂点において同じ値に収束する。この値は全ての頂点の初期値の平均である。これは熱拡散方程式の解であるため、直感的に完全に筋が通っている。グラフ中で隣接する要素は、エネルギーが互いに連結した全ての要素にわたって均等に広がるまでエネルギーを交換することが予測される。
離散ラプラス演算子としての解釈 > グリッド上の作用素の例

本節では、グラフにわたって経時的に拡散する関数



ϕ


{\textstyle \phi }

の例を示す。この例中のグラフは2次元離散グリッド上に構築され、グリッド上の点は8個の隣接点と連結している。3つの初期点は正の値を持つと指定されているのに対し、グリッド中の残りの値は0である。経時的に、指数関数的減衰によってグリッド全体へとこれらの点上の値が均等に分布する。
このアニメーションを生成するために使われた完全なMATLABのソースコードを以下に示す。ソースコードは、初期条件の指定、これらの初期条件のラプラシアン行列の固有値への射影、これらの射影された初期条件の指数関数的減衰のシミュレーションの過程を示す。
N = 20;%The number of pixels along a dimension of the image
A = zeros(N, N);%The image
Adj = zeros(N*N, N*N);%The adjacency matrix

%Use 8 neighbors, and fill in the adjacency matrix
dx = [-1, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 1];
dy = [-1, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 1];
for x = 1:N
   for y = 1:N
       index = (x-1)*N + y;
       for ne = 1:length(dx)
           newx = x + dx(ne);
           newy = y + dy(ne);
           if newx > 0 && newx <= N && newy > 0 && newy <= N
               index2 = (newx-1)*N + newy;
               Adj(index, index2) = 1;
           end
       end
   end
end

%%%BELOW IS THE KEY CODE THAT COMPUTES THE SOLUTION TO THE DIFFERENTIAL
%%%EQUATION
Deg = diag(sum(Adj, 2));%Compute the degree matrix
L = Deg - Adj;%Compute the laplacian matrix in terms of the degree and adjacency matrices
[V, D] = eig(L);%Compute the eigenvalues/vectors of the laplacian matrix
D = diag(D);

%Initial condition (place a few large positive values around and
%make everything else zero)
C0 = zeros(N, N);
C0(2:5, 2:5) = 5;
C0(10:15, 10:15) = 10;
C0(2:5, 8:13) = 7;
C0 = C0(:);

C0V = V'*C0;%Transform the initial condition into the coordinate system
%of the eigenvectors
for t = 0:0.05:5
   %Loop through times and decay each initial component
   Phi = C0V.*exp(-D*t);%Exponential decay for each component
   Phi = V*Phi;%Transform from eigenvector coordinate system to original coordinate system
   Phi = reshape(Phi, N, N);
   %Display the results and write to GIF file
   imagesc(Phi);
   caxis([0, 10]);
   title(sprintf('Diffusion t = %3f', t));
   frame = getframe(1);
   im = frame2im(frame);
   [imind, cm] = rgb2ind(im, 256);
   if t == 0
      imwrite(imind, cm, 'out.gif', 'gif', 'Loopcount', inf, 'DelayTime', 0.1);
   else
      imwrite(imind, cm, 'out.gif', 'gif', 'WriteMode', 'append', 'DelayTime', 0.1);
   end
end
負の連続的ラプラシアンに対する近似

グラフラプラシアン行列は、有限差分法によって得られた（半正定値）ラプラシアン作用素に対する近似の行列形式としてさらに見ることができる。この解釈では、グラフの全ての頂点はグリッド点として扱われる; 頂点の局所連結性はグリッド点における有限差分近似ステンシル（英語版）を決定し、グリッドのサイズは常に全ての辺について1であり、いかなるグリッド点上にも制約はない。これは斉次なノイマン境界条件、すなわち自由境界の場合に相当する。