stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
BOWWOW
ディスコグラフィ > VOW WOW > オリジナル・アルバム

| Vap | 発売日> Vap | タイトル> Vap | 形態> Vap | 規格品番> Vap |
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| 1st | 1984年6月21日 | BEAT OF METAL MOTION | LP | 30144-28 |
| 1st | 1986年6月3日 | BEAT OF METAL MOTION | CD | TOCT-8413 |
| 1st | 2006年9月6日 | BEAT OF METAL MOTION | CD | TOCT-11124 |
| 1st | 2011年4月20日 | BEAT OF METAL MOTION | Blu-spec CD | XQJX-1007 |
東芝EMI / EASTWORLD
| 2nd | 1985年7月20日 | CYCLONE | LP | WTP-90331 |
| 2nd | 1985年7月20日 | CYCLONE | CD | CA34-1131 |
| 2nd | 1994年7月20日 | CYCLONE | CD | TOCT-8414 |
| 2nd | 2006年9月6日 | CYCLONE | CD | TOCT-11125 |
| 2nd | 2011年4月20日 | CYCLONE | Blu-spec CD | XQJX-1008 |
| 3rd | 1986年1月22日 | III | LP | WTP-90381 |
| 3rd | 1986年1月22日 | III | CD | CA32-1211 |
| 3rd | 1994年7月20日 | III | CD | TOCT-8415 |
| 3rd | 2006年9月6日 | III | CD | TOCT-11126 |
| 3rd | 2011年4月20日 | III | Blu-spec CD | XQJX-1009 |
| 4th | 1987年9月5日 | V | LP | WTP-90491 |
| 4th | 1987年9月5日 | V | CD | CA32-1551 |
| 4th | 1994年7月20日 | V | CD | TOCT-8417 |
| 4th | 2006年9月6日 | V | CD | TOCT-11127 |
| 4th | 2011年5月25日 | V | Blu-spec CD | XQJX-1010 |
| 5th | 1988年11月6日 | VIBe | LP | RT28-5321 |
| 5th | 1988年11月6日 | VIBe | CD | CT32-5321 |
| 5th | 1994年7月20日 | VIBe | CD | TOCT-8419 |
| 5th | 2006年9月6日 | VIBe | CD | TOCT-11128 |
| 5th | 2011年5月25日 | VIBe | Blu-spec CD | XQJX-1011 |
| 6th | 1990年4月25日 | MOUNTAIN TOP | CD | TOCT-5656 |
| 6th | 1994年7月20日 | MOUNTAIN TOP | CD | TOCT-8420 |
| 6th | 2006年9月6日 | MOUNTAIN TOP | CD | TOCT-11129 |
| 6th | 2011年5月25日 | MOUNTAIN TOP | Blu-spec CD | XQJX-1012 |
ディスコグラフィ > VOW WOW > ライブ・アルバム

| 東芝EMI / EASTWORLD | 発売日> 東芝EMI / EASTWORLD | タイトル> 東芝EMI / EASTWORLD | 形態> 東芝EMI / EASTWORLD | 規格品番> 東芝EMI / EASTWORLD |
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| 1st | 1986年8月22日 | HARD ROCK NIGHT | CD | CA32-1274 |
| 1st | 1994年7月20日 | HARD ROCK NIGHT | CD | TOCT-8416 |
| 1st | 2006年9月6日 | HARD ROCK NIGHT | CD | TOCT-11181 |
ディスコグラフィ > VOW WOW > ベスト・アルバム

| 東芝EMI / EASTWORLD | 発売日> 東芝EMI / EASTWORLD | タイトル> 東芝EMI / EASTWORLD | 形態> 東芝EMI / EASTWORLD | 規格品番> 東芝EMI / EASTWORLD |
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| 1st | 1990年12月19日 | Legacy | CD | TOCT-5925/6 |
| 1st | 1994年7月20日 | Legacy | CD | TOCT-8421/2 |
| 2nd | 1996年4月10日 | TWIN BEST | CD | TOCT-9397/8 |
| 3rd | 2006年5月17日 | SUPER BEST 〜ROCK ME FOREVER〜 | CD | TOCT-26034 |
ディスコグラフィ > VOW WOW > CD-BOX

| EMIミュージック・ジャパン / EASTWORLD | 発売日> EMIミュージック・ジャパン / EASTWORLD | タイトル> EMIミュージック・ジャパン / EASTWORLD | 形態> EMIミュージック・ジャパン / EASTWORLD | 規格品番> EMIミュージック・ジャパン / EASTWORLD |
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| 1st | 2007年9月26日 | THE VOX | CD | TOCT-26333 |
ディスコグラフィ > VOW WOW > ビデオ

全て2006年6月14日にDVDで再発。
VISIONS（1985年）
LIVE（1986年）
LIVE IN THE U.K.（1989年）
JAPAN LIVE 1990 AT BUDOKAN（1990年）
ディスコグラフィ > VOW WOW > タイアップ曲

| 楽曲 | タイアップ | 収録作品 |
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| DON'T LEAVE ME NOW | BRIDGESTONE『POTENZA』CMソング | シングル『DON'T LEAVE ME NOW』 |
| TELL ME | 昭和シェル石油 CMソング | シングル『TELL ME』 |
| I'M GONNA SING THE BLUES | Victoria CMソング | シングル『TELL ME』 |
ディスコグラフィ > 新生BOWWOW > オリジナル・アルバム

| Oo RECORDS | 発売日> Oo RECORDS | タイトル> Oo RECORDS | 形態> Oo RECORDS | 規格品番> Oo RECORDS | Oo RECORDS |
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| 1st | 1995年8月21日 | ＃0 | CD | OOCO-3 |  |
| 2nd | 1995年10月21日 | ＃1 | CD | OOCO-5 |  |
| 3rd | 1996年7月21日 | ＃2 LED BY THE SUN | CD | OOCO-20 |  |
ディスコグラフィ > 再結成BOWWOW > シングル

| WILDLAND | 発売日> WILDLAND | タイトル> WILDLAND | c/w> WILDLAND | 形態> WILDLAND | 規格品番> WILDLAND |
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| 1st | 2003年8月25日 | ONE LAST TIME | SPINNING WHEEL | MAXI | MARS-S8893 |
| 2nd | 2014年1月30日 | KING OR QUEEN | SILVER TRAIN | MAXI | MARS-S8897 |
| 2nd | 2014年1月30日 | KING OR QUEEN | DRAGON'S HEAD | MAXI | MARS-S8897 |
ディスコグラフィ > 再結成BOWWOW > オリジナル・アルバム

| east west Japan | 発売日> east west Japan | タイトル> east west Japan | 形態> east west Japan | 規格品番> east west Japan |
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| 1st | 1998年5月25日 | BACK | CD | AMCY-2750 |
WILDLAND
| 2nd | 1999年7月18日 | ANCIENT DREAMS | CD | MARS-8888 |
| 3rd | 2000年12月20日 | Beyond | CD | MARS-8890 |
| 4th | 2001年7月7日 | ANOTHER PLACE | CD | MARS-8891 |
| 5th | 2002年2月15日 | WHAT'S GOING ON? | CD | MARS-8892 |
| 6th | 2005年11月11日 | ERA | CD | MARS-8895 |
ディスコグラフィ > 再結成BOWWOW > ライブ・アルバム

| WILDLAND | 発売日> WILDLAND | タイトル> WILDLAND | 形態> WILDLAND | 規格品番> WILDLAND |
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| 1st | 1999年12月20日 | LIVE EXPLOSION 1999 | CD | MARS-8889 |
| 2nd | 2005年10月12日 | SUPER LIVE 2004 | CD | MARS-8894 |
ディスコグラフィ > 再結成BOWWOW > ベスト・アルバム

| WILDLAND | 発売日> WILDLAND | タイトル> WILDLAND | 形態> WILDLAND | 規格品番> WILDLAND |
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| 1st | 2008年5月31日 | THE BOWWOW 2 DECENNIUM | CD | MARS-8896 |
ディスコグラフィ > 再結成BOWWOW > CD-BOX

| POLYSTAR SONGS | 発売日> POLYSTAR SONGS | タイトル> POLYSTAR SONGS | 形態> POLYSTAR SONGS | 規格品番> POLYSTAR SONGS |
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| 1st | 2011年9月28日 | XXXV | Blu-spec CD | XQJX-91043 |
西平直

西平 直（にしひら ただし、1957年2月10日 - ）は、日本の教育学者・哲学者。京都大学名誉教授。
略歴

山梨県生まれ。父は心理学者の西平直喜。信州大学人文学部卒業。卒業論文はマルティン・ハイデッガー。東京都立大学大学院にてハイデッガーを専攻修士課程修了、1991年東京大学大学院教育学研究科博士課程修了、「人間形成論への構図 -エリクソン研究序説」で教育学博士。博士論文の主査は堀尾輝久であった。フロイト、ユング、クライン、エリクソンらの精神分析学、シュタイナー、ウィルバーらの人間学を基礎に、アイデンティティ、ジェネラティヴィティ、スピリチュアリティなどの問題群を研究課題としている。また、京都に移ってからは、西田幾多郎を中心とした日本哲学研究にも力を注いている。専攻は教育人間学、宗教心理学、哲学。
1990年立教大学専任講師、助教授、97年東京大学教育学部助教授、2007年准教授、同年秋京都大学大学院教育学研究科（臨床教育学講座、臨床教育学専攻）。2022年上智大学グリーフケア研究所教授、京都大学名誉教授。
著書

『エリクソンの人間学』東京大学出版会 1993
『魂のライフサイクル ユング・ウィルバー･シュタイナー』東京大学出版会 1997
『魂のアイデンティティ―心をめぐるある遍歴』金子書房 1998（自己の探究）
『シュタイナー入門』講談社現代新書 1999
『教育人間学のために』東京大学出版会 2005
『世阿弥の稽古哲学』東京大学出版会 2009、増補版2020
『ケアと人間 心理・教育・宗教』ミネルヴァ書房 2013（講座ケア―新たな人間‐社会像に向けて）
『無心のダイナミズム 「しなやかさ」の系譜』岩波現代全書 2014
『誕生のインファンティア』みすず書房 2015
『稽古の思想』春秋社 2019
『修養の思想』春秋社 2020
『養生の思想』春秋社 2021
『井筒俊彦と二重の見 東洋哲学序説』未来哲学研究所 2021
『西田幾多郎と双面性 東洋哲学序説』未来哲学研究所 2021
『身体　日本の近代思想を読みなおす5』東京大学出版会 2025
共著・共編著

『子どものいのちを育む シュタイナー教育入門』子安美知子・上松佑二共著 学習研究社 2000
『生涯発達とライフサイクル』鈴木忠共著、東京大学出版会 2014
『無心の対話』松木邦裕共著、創元社 2017（精神分析フィロソフィア）
『宗教心理の探究』島薗進共編 東京大学出版会 2001
『死生学 3 ライフサイクルと死』武川正吾共編 東京大学出版会 2008
『ブータン・国民のしあわせを目指す王国』熊谷誠慈編著 創元社 2017
『ケアの根源を求めて』中川吉晴共編著 晃博書房 2017
『無心のケア』坂井祐円共編著、晃洋書房 2020
翻訳

E.H.エリクソン『青年ルター』全2巻、みすず書房 2002-2003
ローレンス・J.フリードマン『エリクソンの人生 アイデンティティの探求者』やまだようこ共監訳 鈴木眞理子、三宅真季子訳 新曜社 2003
エリク・H・エリクソン『アイデンティティとライフサイクル』中島由恵共訳 誠信書房 2011
参考

京都大学 教育研究活動データベース 西平直
| 典拠管理データベース  |
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全般:  ISNI  VIAF  WorldCat 
国立図書館:  アメリカ  日本  韓国
樋口英明

樋口 英明（ひぐち ひであき、1952年8月11日 - ）は、日本の裁判官である。福井地方裁判所部総括判事や、名古屋家庭裁判所部総括判事等を務めた。
人物・経歴

三重県出身。京都大学法学部卒業後、司法修習第35期修了。1983年4月12日、福岡地方裁判所判事補に任官。1985年4月より静岡・宮崎・和歌山・大阪・熊本・名古屋などの地方裁判所・家庭裁判所・簡易裁判所の判事補・判事を歴任。
2003年4月1日 - 2009年3月31日 大阪高等裁判所判事
2009年4月1日 - 2012年3月31日 名古屋地家裁半田支部長
2012年4月1日 - 2015年3月31日 福井地家裁判事部総括判事・福井簡裁判事
2015年4月1日 - 2017年8月10日 名古屋家裁部総括判事・名古屋簡裁判事
2017年8月11日 定年退官
裁判

2014年5月21日、関西電力大飯原発3・4号機の運転差し止めを命じる判決を下した。2015年4月14日、福井県と近畿地方の住民ら9人が関西電力高浜原発3・4号機の再稼働差し止めを求めた仮処分申請に対し、住民側の申し立てを認める決定を出した。尚、2015年4月に名古屋家裁に異動だったが、継続審理のために仮処分決定を出した。なお、この差し止めを命じる第一審判決は、控訴審において、2018年7月4日に名古屋高等裁判所金沢支部（内藤正之裁判長）により取り消された。
著書

『私が原発を止めた理由』（旬報社、2021年） ISBN 978-4845116805
『南海トラフ巨大地震でも原発は大丈夫と言う人々』（旬報社、2023年） ISBN 978-4845118304
『原発を止めた裁判官による 保守のための原発入門』（岩波書店、2024年） ISBN 978-4000616508
上牧町

上牧町（かんまきちょう）は、奈良県北葛城郡の町。奈良県の北西部に位置する。
地理

奈良盆地の西部、馬見丘陵のほぼ中心に位置する。奈良市へは北東約20km、大阪市へは約25kmの距離にある。
地理 > 町域・郵便番号

639-0201 片岡台 （かたおかだい） 1丁目～3丁目
639-0215 葛城台 （かつらぎだい） 1丁目～5丁目
639-0214 上牧 （かんまき）
639-0202 桜ケ丘 （さくらがおか） 1丁目～3丁目
639-0205 下牧 （しもまき）
639-0205 下牧 （しもまき） 1丁目～7丁目
639-0216 松里園 （しょうりえん） 1丁目～3丁目
639-0211 滝川台 （たきがわだい） 1丁目～2丁目
639-0203 友が丘 （ともがおか） 1丁目～2丁目
639-0217 中筋出作 （なかすじしゅつさく）
639-0212 服部台 （はっとりだい） 1丁目～5丁目
639-0204 緑ケ丘 （みどりがおか） 1丁目～2丁目
639-0213 米山台 （よねやまだい） 1丁目～6丁目
639-0206 ゆりが丘　(ゆりがおか) 1丁目
639-0218 ささゆり台　(ささゆりだい) 1丁目～3丁目
人口

奈良県統計
2007年10月1日現在 :　24,475人
人口増加率（2002年→2007年） : -1.0%
歴史

古代、大和国葛下郡の地。
「上牧」の名の由来は、当町が緩やかな丘陵地帯で放牧に適した土地であったことからその名がついたとされている。戦国期には下牧地区に片岡城が築かれた。
上牧村は元和5年から明治4年まで大和郡山藩領であり、享保9年の『郷鑑』によると、村高801石8斗6升3合、新村・五軒屋・三軒屋・「穢東山」の各枝郷を有している。1889年の市制町村制実施により、上牧村・下牧村・中筋出作方が合併し、上牧村が誕生すると、東山村は葛下郡上牧村大字上牧の一集落となる。同地には18世紀後半から農業以外に博労や大和川水運の積荷運送に携わる人々が増加しており、幕末には履物の生産が始まっていた。その人口増加率をみると、享保9年の人口は146名であったのが、約140年後の1867年には731名、1873年には146戸766名と、約5倍に増加した。
1960年代より西大和ニュータウンの開発が始まり、西名阪道路の開通も相まって、人口が急増。近年では友が丘・緑ケ丘・葛城台などの新しい住宅地も開発されているが、先述の西大和ニュータウン区域（特に開発が早かった片岡台周辺）では住民が高齢化しており、人口そのものはほぼ横ばい状態となっている。しかし、人口密度は依然高く、奈良県で大和高田市に次いで第二位である。
歴史 > 沿革

1869年（明治2年）6月 - 版籍奉還により、上牧村・下牧村の2村と中筋出作が、それまでの郡山藩に引き続き、郡山県の治下に入る。
1871年（明治4年）11月 - 廃藩置県により、奈良県が成立。上牧村・下牧村と中筋出作は奈良県葛下郡の下に置かれる。
1888年（明治21年）8月 - 県から町村合併案を示されるが、上牧村は片岡村（北は上牧村から南は良福寺村まで）となり、下牧村は王寺村となっていたことに両村が反対。上牧・下牧・中筋出作の合併案を上申した。
1889年（明治22年）4月1日 - 町村制施行により、前記上申通り、葛下郡上牧村・下牧村・中筋出作の区域をもって上牧村が発足。村役場として、それまでの戸長役場（大字上牧378番地）があてられる。
1897年（明治30年）4月1日 - 葛下郡上牧村の所属郡が北葛城郡に変更。
1919年（大正8年）9月 - 上牧村役場が大字上牧378番地（南上牧）から大字上牧1875番地（三軒屋）に移転する。
1953年（昭和28年）4月 - 村が財政再建団体に指定される。
1972年（昭和47年）12月1日 - 上牧村が町制施行して上牧町となる。
1975年（昭和50年）8月 - 町役場新庁舎が現在の場所に開庁する。
歴史 > 町域の変遷

| 明治22年 | 明治29年 | 昭和47年 | 現在 |
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奈良県
葛下郡: 北葛城郡
| 上牧村 | 上牧村 | 上牧町 | 上牧町 |
行政

町長：今中　富夫
町議会：12名（無所属7、公明党2、日本共産党2、自由民主党1）（2017年5月15日改選）
なお、衆議院議員選挙の選挙区は「奈良県第2区」、奈良県議会議員選挙の選挙区は「北葛城郡選挙区」（定数：3）となっている。
経済 > 産業

奈良県でも有数の部落である上牧北方の主な産業は、草履や鼻緒の製造だった。また農業もあったが、おおかたは小さい小作農民で、その耕作地の8割ほどは隣村上中の大地主・黒松家の小作地だった。
経済 > 商業施設

ラスパ西大和店（上牧）
※2019年11月26日ラスパ西大和に改称
ニトリアピタ西大和店（上牧／アピタ西大和店内） - ユーホーム西大和店撤退後の跡地に2016年9月開店
ケーズデンキ西大和店（上牧／アピタ西大和店内）
Joshin 上牧店（上牧）
コメリ ハード＆グリーン上牧店（上牧）
レインボープラザ西大和（服部台）
サンディ奈良上牧店（片岡台／セントラルヒルズ西大和）
経済 > 金融機関

南都銀行　上牧支店（上牧）
りそな銀行　西やまと支店（片岡台）
経済 > 日本郵政グループ

（※2014年6月現在）
日本郵便株式会社
西大和片岡台郵便局（片岡台） - ゆうちょ銀行ATMのホリデーサービス実施局。
西大和まきのは郵便局（下牧） - ゆうちょ銀行ATMのホリデーサービス実施局。
上牧簡易郵便局（上牧）
上牧西簡易郵便局（中筋出作）
上牧町内全域の集配業務は香芝郵便局（香芝市下田西）が担当している。
地域 > 教育 > 高等学校

2005年3月、奈良県立上牧高等学校が同信貴ケ丘高等学校と合併し、西和清陵高校となる。西和清陵高校の校舎は旧信貴ケ丘高校の物を使用するため、上牧町からは高校は無くなった。
校舎は県立西和養護学校として使用されている。
地域 > 教育 > 中学校

上牧町立上牧中学校
上牧町立上牧第二中学校
地域 > 教育 > 小学校

上牧町立上牧小学校
上牧町立上牧第二小学校
上牧町立上牧第三小学校
地域 > 教育 > 特別支援学校

奈良県立西和養護学校
地域 > かつて存在した団体

上牧水平社 - 1922年、西念寺を会場に創立大会が開かれる。当時の中心的な同志は森岡定太郎、服部明治、森下清一、此原清八、藤本勝三郎、水原謙三郎、杉浦由松などであった。
隣接する自治体

香芝市
北葛城郡
王寺町
河合町
広陵町
交通 > 鉄道

町内に鉄道路線および駅はない。最寄り駅は、JR西日本和歌山線志都美駅。
交通 > バス

奈良交通 王寺駅・五位堂駅と町内各地を結ぶ路線が運行されている。また、片岡台地区から大輪田駅へ向かうバスが平日に一日1本だけ運行されている。なお、当町から近い駅として畠田駅・志都美駅が挙げられるが、向かうバス路線は存在せず、アクセスするための道路も狭隘であるため、前述の駅よりも利用者は少ない。 上牧町 役場前・片岡台三丁目⇔本厚木駅・横浜駅・京成上野駅・東京ディズニーリゾート・西船橋駅・津田沼駅
路線バス
夜行高速バスやまと号（京成バスと共同運行）
交通 > 道路

2017年3月31日時点で町内にガソリンスタンドは存在せず 、給油の際は近隣市町に行く必要がある。
交通 > 道路 > 有料道路

西名阪自動車道（町内にインターチェンジはない）
交通 > 道路 > 県道

主要地方道
奈良県道14号桜井田原本王寺線
一般県道
奈良県道203号上中下田線
奈良県道253号中筋出作川合線
著名な出身者 > 政治・経済

服部三男雄（弁護士、検事、参議院議員）
服部憲春（上牧村村長） - 部落解放同盟上牧支部長で、上牧町議会副議長・服部公英の祖父。
服部安司（衆議院議員、参議院議員、郵政大臣）
牧浦小重郎（奈良県会議員、上牧村村長、篤農家）
著名な出身者 > 芸能

浪江有里（いもうと）
ライセンス (お笑いコンビ)（上牧高校）
山口理恵（元声優・JTBエンタテインメント→81プロデュース所属）（上牧第二中学校）
渡辺美優紀（元NMB48）
著名な出身者 > スポーツ

松代直樹　ガンバ大阪（上牧高校）
阿部浩之（ガンバ大阪→川崎フロンターレ→名古屋グランパス）元日本代表
湯川純平（ラグビー選手）(ジャパンラグビーリーグワンリコーブラックラムズ東京所属)（河合第二中学校)
守屋都弥（サッカー選手) (INAC神戸レオネッサ所属)（上牧中学校)
名所・旧跡・観光スポット・祭事・催事 > 主な宗教施設 > 神社

智照神社
貴船神社
春日神社
稲荷神社
二郡大神
穴大神
伊邪那岐神社
名所・旧跡・観光スポット・祭事・催事 > 主な宗教施設 > 寺院

光専寺
浄安寺
明善寺
教証寺
念願寺
光隆寺
西念寺
即得寺
教円寺
宗念寺
名所・旧跡・観光スポット・祭事・催事 > 城跡

片岡城跡
名所・旧跡・観光スポット・祭事・催事 > その他観光スポット

大和神の牧温泉 虹の湯
量子力学の数学的定式化

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: この項目では、量子力学の数学的に厳密な定式化について説明しています。ジョン・フォン・ノイマンの書籍については「量子力学の数学的基礎」をご覧ください。
本項では相対論的効果を考えない量子力学の数学的定式化（りょうしりきがくのすうがくてきていしきか）を厳密に述べる。本項では量子力学に対する最低限の知識を仮定する。
状態空間のヒルベルト空間による定式化

量子力学において系 の（純粋）量子状態は、状態ベクトルと呼ばれる単位ベクトルによって表現され、状態ベクトルとその定数倍のなすベクトル空間を状態空間という。状態空間はヒルベルト空間という数学的概念によって定式化される。そこで本節ではヒルベルト空間の定義を述べる。
状態空間のヒルベルト空間による定式化 > ヒルベルト空間 > 定義

ヒルベルト空間の概念を定義するため、まずは複素計量ベクトル空間を定義する：
定義 (複素計量ベクトル空間) ― 
 {\mathcal {H}}を複素ベクトル空間とする。任意の \varphi ,\psi ,\chi \in {\mathcal {H}}に対して以下の性質を満たす二項演算子 \langle \cdot ,\cdot \rangle ~:~{\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}\to \mathbf {C} を {\mathcal {H}}上の内積もしくは計量という：
(共役対称性)  \langle \varphi ,\psi \rangle ={\overline {\langle \psi ,\varphi \rangle }}.
(線形性) \forall a,b\in \mathbf {C} に対し、  \langle \chi ,a\psi +b\varphi \rangle =a\langle \chi ,\psi \rangle +b\langle \chi ,\varphi \rangle
(正定値性)  \langle \psi ,\psi \rangle \geq 0であり、しかも \quad \langle \psi ,\psi \rangle =0\implies \psi =0である。
複素ベクトル空間上に内積を一つ指定してできる組 ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )を複素計量ベクトル空間という。
複素計量ベクトルの元 \psi \in {\mathcal {H}}に対し、内積 \langle \cdot ,\cdot \rangle に対応する \psi のノルム \|\psi \|を
により定義し、 \psi ,\chi \in {\mathcal {H}}の間の距離を
により定義すると {\mathcal {H}}はこの距離に関して距離空間の公理を満たす。
定義 (ヒルベルト空間) ― 
複素計量ベクトル空間 ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )がノルム \|\psi \|={\sqrt {\langle \psi ,\psi \rangle }}から定まる距離 d(\psi ,\chi )=\|\psi -\chi \|に関して完備であるとき、複素計量ベクトル空間 ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )を複素ヒルベルト空間、あるいは単にヒルベルト空間という。
紛れがなければ以下内積 \langle \cdot ,\cdot \rangle を省略し、記号 {\mathcal {H}}だけでヒルベルト空間を表すものとする。特に断りがない限り、本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを考える。
上述の定義より、内積 \langle \cdot ,\cdot \rangle は、第二成分に関しては線形であるが、第一成分に対しては反線形性
\forall a,b\in \mathbf {C} に対し、  \langle a\psi +b\varphi ,\chi \rangle ={\bar {a}}\langle \psi ,\chi \rangle +{\bar {b}}\langle \varphi ,\chi \rangle
が成立する。なお、ここで提示した内積の定義は量子力学では一般的なものだが、数学の文献では、ここに載せたのとは逆に、第一成分に対して線形、第二成分に対して反線形であるものを用いる事が多い。
状態空間のヒルベルト空間による定式化 > ヒルベルト空間 > ヒルベルト空間の一意性

ヒルベルト空間 {\mathcal {H}}_{1}、 {\mathcal {H}}_{2}に対し、全単射線形写像 \Phi ~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}で
が全ての \psi ,\chi \in {\mathcal {H}}_{1}に対して成立するものが存在するとき、 {\mathcal {H}}_{1}と {\mathcal {H}}_{2}は同型であるという。
可分な無限次元ヒルベルト空間は同型を除いて１つしか存在しない。すなわち以下が成立する：
定理 (可分なヒルベルト空間の一意性) ― 
 {\mathcal {H}}_{1}、 {\mathcal {H}}_{2}を任意の可分な無限次元ヒルベルト空間とするとき、 {\mathcal {H}}_{1}と {\mathcal {H}}_{2}は同型である。
前述のように本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを取り扱う。よって本項で登場するヒルベルト空間で次元が無限のものは全て同型である。
状態空間のヒルベルト空間による定式化 > ヒルベルト空間 > 状態空間

量子力学では以下の仮定を課す：
仮定 (状態空間に関する仮定) ― 
量子力学において状態空間は複素ヒルベルト空間である新井。状態空間の単位ベクトルを状態ベクトルと呼び、各状態ベクトルは何らかの量子状態に対応している。また２つの状態ベクトルψ、φが |a|=1を満たす何らかの複素数aでφ=aψという関係を満たすとき、ψとφは同一の量子状態を表す新井。
本節では以降、こうした量子力学の仮定を幾つか述べるが、新井の本やHallの本など多くの本ではこうした仮定の事を公理(axiom)と呼んでいる。しかしこうした仮定は数学的な意味での公理ではないH13ので、本項ではその事を明確化するため、F15に従い、「公理」と呼ばず「仮定 (postulate)」と呼ぶものとする。
状態空間のヒルベルト空間による定式化 > L2空間

すでに述べたように(可分な)無限次元ヒルベルト空間は全て同型なので、任意に一つ無限次元ヒルベルト空間を持って来れば、原理的にはそのヒルベルト空間を状態空間とみなした量子力学を定式化できる。しかし通常の量子力学では、物理的な解釈をわかりやすくするため、L2空間というヒルベルト空間を用いて量子力学を展開する事が多い。そこで本節ではL2空間の定義を述べる。
状態空間のヒルベルト空間による定式化 > L2空間 > 準備

L2空間を定義するには、測度論の概念を必要とする。そこでまず測度論を直観的説明する。厳密な説明は当該項目を参照されたい。
測度空間Xとは、Xの部分集合の「大きさ」の概念が定義された空間で、「大きさ」の具体例としては元の個数、面積、体積などがある。測度空間上定義された「大きさ」のことを測度という。Xの全ての部分集合に測度が定義されている必要はなく、測度が定義可能な部分集合を可測な部分集合という。
測度空間上では積分を定義可能な事が知られている。ただし測度の場合と同様、全ての関数に対してその積分が定義できるわけではない。積分概念を定義可能な関数の事を可測関数という。
測度空間X上の２つの可測関数ψ、φが
を満たすとき、ψとφはほとんど至るところ等しいといい、
と表記する（「a.e.」は「almost everywhere」の略）。
状態空間のヒルベルト空間による定式化 > L2空間 > 定義

Xを測度空間とする。量子力学の文脈ではXは \mathbf {R} ^{d}の可測部分集合である事が多い。X上の可測関数ψで
となるものを考え、こうした関数全体の集合に
という同値類を定義する。
定義 (L2関数、L2空間) ― 記号を上述のように定義し、
と定義する。 L^{2}(X)の元をX上のL2関数という。
さらにL2(X)上の内積を
により定義すると、組 (L^{2}(X),\langle \cdot ,\cdot \rangle )はヒルベルト空間をなすことが知られている。このヒルベルト空間をX上のL2空間という。
粒子がk個からなる系の場合、各粒子が3次元分の自由度を持つので、L2(R3k)空間を利用すれば量子力学を自然に展開できる。また例えば（ポテンシャルの壁に遮られるなどして）粒子が有限の区間Iの内部しか動けないようなケースに対しても、X=Iの場合のL2空間L2(I)を利用できる。
状態空間のヒルベルト空間による定式化 > L2空間 > 注意

以上で述べたように、量子力学の数学的定式化にはヒルベルト空間、特にL2空間の概念が有効である。ただし、物理学者が量子力学で用いている議論の全てをヒルベルト空間上で数学的に正当化できる事を意味しているわけではない。
例えば物理学者が量子力学の記述に通常用いるデルタ関数は、そもそも通常の意味での関数ではないので、L2空間には属さない。後の章でL2空間にさらに元を添加する事でデルタ関数をも取り扱う数学的手法についても述べるが、この手法は万能ではなく、例えばデルタ関数同士の積が定義できないという欠点を抱える。よって特にデルタ関数同士の内積を定義できず、デルタ関数を添加した空間はヒルベルト空間にはならない。
こうした数学的な困難を避けるため、以降の議論は、基本的にデルタ関数のような「関数もどき」は慎重に排除した上で展開するものとする。
有界作用素

ヒルベルト空間上で定義可能な関数のクラスとして最も自然なものの一つに有界作用素があり、量子力学における主要概念の一つであるユニタリ作用素は有界作用素の一つである。そこで本節では有界作用素の概念とユニタリ作用素の概念を定式化する。
定義 (有界作用素) ―  {\mathcal {H}}_{1}、 {\mathcal {H}}_{2}をヒルベルト空間とする。線形作用素 T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}が有界線形作用素、もしくは単に有界作用素であるとは、実定数C≧0が存在し、任意の \psi \in {\mathcal {H}}_{1}に対し、
が成立する事を言う。ここで \|\cdot \|_{{\mathcal {H}}_{k}}は {\mathcal {H}}_{k}の内積に対応するノルムである。Tが有界とは限らないとき、Tを非有界作用素というH13。
次の事実が知られている：
定理 ― 線形作用素Tが有界である必要十分条件は、Tが連続であることである新井
したがって有界線形作用素とは、連続線形作用素と言い換えても良い。
有界線形作用素の例としてユニタリ作用素がある。後述するように量子力学ではユニタリ作用素は時間発展を記述するのに用いられる。
定義 (ユニタリ作用素) ― 
 {\mathcal {H}}をヒルベルト空間とする。全射線形作用素 U~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}が任意の \varphi ,\psi \in {\mathcal {H}}に対し、
を満たすとき、Uをユニタリ作用素という。
上記の条件をみたすときは、明らかにUは単射なので、Uは全単射である事になる。したがってユニタリ作用素とは {\mathcal {H}}から自分自身への同型写像（自己同型写像）である。
なお、 {\mathcal {H}}が有限次元の場合には、単射性から全射性が従うため、ユニタリ作用素の定義において全射という条件は必要ない。しかし {\mathcal {H}}が無限次元の場合には、全射ではない単射線形作用素も存在するため、全射の条件は必須となる。
定義から明らかに次が成立する：
定理 ― ユニタリ作用素は有界作用素である
ブラベクトルとケットベクトル

本節では共役ベクトル空間の概念を定義することでディラックのブラベクトル、ケットベクトルの概念を数学的に定式化し、さらにリースの表現定理を導入することで、ブラベクトルの概念を別の角度から再定式化する。
ブラベクトルとケットベクトル > 共役ベクトル空間

ヒルベルト空間 {\mathcal {H}}で使われている足し算「＋」、（スカラーとの）掛け算「・」、および内積 \langle \cdot ,\cdot \rangle を明示して、 {\mathcal {H}}を ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )と書くことにする。
定義 (共役ベクトル空間) ― 
ヒルベルト空間 ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )の元 \psi \in {\mathcal {H}}と定数
a∈C、に対し、
と定義すると、 ({\mathcal {H}},+,\times ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )もヒルベルト空間になる。ここで {\bar {a}}はaの複素共役である。 ({\mathcal {H}},+,\times ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )を ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )の共役ベクトル空間（英語版）という。
定義より、共役ベクトル空間は掛け算以外は元の空間と同一である。以下、掛け算を明示しなくても共役ベクトル空間を区別できるようにするため、 {\mathcal {H}}の共役ベクトル空間を {\mathcal {H}}^{*}と表記する。また \psi が {\mathcal {H}}^{*}の元である事が文脈から明らかな場合は、 a\times \psi を略記して単に a\psi と表記する。
ブラベクトルとケットベクトル > ブラベクトルとケットベクトル

ヒルベルト空間 {\mathcal {H}}上の内積 \langle \cdot ,\cdot \rangle は、第一成分に対して反線形、第二成分に対して線形であった。しかし内積の第一成分を共役ベクトル空間を {\mathcal {H}}^{*}とみなして
だとすれば、内積 \langle \cdot ,\cdot \rangle は、第一成分、第二成分双方に関して線形である事になるので便利である。そこで量子力学では {\mathcal {H}}の元と {\mathcal {H}}^{*}の元とを区別して考え、以下のように呼ぶ：
定義 (ブラベクトルとケットベクトル) ― 
 {\mathcal {H}}^{*}の元をブラベクトル、 {\mathcal {H}}の元をケットベクトルと呼ぶF15。
ブラベクトルとケットベクトル > リースの表現定理

ブラベクトル \psi \in {\mathcal {H}}^{*}に対し、線形作用素
を考えると、コーシー＝シュワルツの不等式
より、この作用素は有界作用素である。実は複素数値の有界線形作用素はこの形のものに限られる事が知られている：
定理 (リースの表現定理) ― 
 \alpha ~:~{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} を有界線形作用素とすると、以下の性質を満たす \psi \in {\mathcal {H}}^{*}が一意に存在する
なお {\mathcal {H}}が有限次元であれば上に述べた事実は自明であるが、無限次元であってもこの事実が成り立つ所にこの定理の主眼がある。以上の事実から、ブラベクトルを以下のように特徴づけられる事がわかる：
系 ― 
ブラベクトルと複素数値の有界線形作用素は１対１に対応する。
オブザーバブル

既に述べたように作用素が有界である事はその作用素が連続である事を意味している為、有界性はヒルベルト空間上の作用素の最も自然な概念の一つである。しかし量子力学で用いられる作用素の多くは有界ではないし、しかも {\mathcal {H}}の部分領域でしか定義できない。この原因は、量子力学で用いられる作用素の多くが微分を用いて定義されており、微分作用素が有界でもなければ {\mathcal {H}}全域で定義できるわけでもない事にある。
幸運な事に、これら量子力学で用いる作用素は「稠密に定義された可閉作用素」という、比較的扱いやすいクラスに属している事が知られている。そこで本節では、まず「稠密に定義された」という概念と「可閉」という概念を定式化する。
次に本節では、この「稠密に定義された可閉作用素」の概念をベースとして、量子力学におけるオブザーバブルの概念を定式化する。すなわち、稠密に定義された可閉作用素の共役作用素の概念を定式化し、共役作用素の概念を用いて自己共役作用素の概念を定式化し、最後に量子力学におけるオブザーバブルの概念を自己共役作用素により定式化する。
オブザーバブル > 稠密に定義された作用素

オブザーバブルは状態空間の全域で定義されているとは限らないが、状態空間の稠密部分集合上では定義が可能である。そこでまず、稠密に定義された作用素の概念を導入する。
定義 (稠密に定義された作用素) ― 
 {\mathcal {H}}_{1}、 {\mathcal {H}}_{2}をヒルベルト空間とする。 {\mathcal {H}}_{1}の部分集合Dom(T)で定義された線形作用素 T~:~\mathrm {Dom} (T)\to {\mathcal {H}}_{2}が {\mathcal {H}}_{1}で稠密に定義されているとは、Dom(T)が {\mathcal {H}}_{1}の稠密部分集合である事をいい新井、以下のように書き表す。
紛れがなければ {\mathcal {H}}_{1}上稠密に定義された作用素を単に
と書く
特に \mathrm {Dom} (T)={\mathcal {H}}_{1}が成立しているとき、Tは {\mathcal {H}}_{1}の全域で定義されているという。
稠密に定義された作用素に対し以下の拡大の概念を定義できる：
定義 (稠密に定義された線形作用素の拡大) ― 
稠密に定義された２つの線形作用素 S,T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}が、　Dom(S)  ⊂ Dom(T) かつT|Dom(S) = Sを満たすとき、TはSの拡大であるといい、以下のように書き表す：
有界作用素に関しては、次の重用な性質が知られている：
定理 (BLT定理) ― 
稠密に定義された作用素 Tがその定義域において有界な線形作用素であれば、Tを全域に一意に拡張可能である。すなわち、全域で定義された {\bar {T}}~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}が一意に存在し、 {\bar {T}}|_{\mathrm {Dom} (T)}=Tである新井
したがって有界作用素に限定すれば、稠密に定義されている事は全域で定義されている事と実質的な差がない。しかし量子力学で用いる作用その多くは有界ではないので、この定理を用いる事ができない。
オブザーバブル > 可閉作用素

定義 (閉作用素、可閉作用素、閉包作用素) ― 
稠密に定義された線形作用素 T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}が以下を満たすとき、Tは閉作用素であるという：
また稠密に定義された線形作用素 T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}が、拡大 S\supset TでSが閉作用素であるものを持つとき、Tは可閉作用素であるという新井。
Tが可閉作用素であるとき、Tの拡大線形作用素 S\supset Tで上記の性質を満たす（包含関係に関する）最小のもの {\bar {T}}が必ず存在することが知られており、 {\bar {T}}をTの閉包作用素という新井。
Tが可閉作用素である必要十分条件は、任意の点列ψn∈Dom(T)に対し、n→∞のときψn→0かつT(ψn)→χであればχ=0が成立する事である新井。
オブザーバブル > 共役作用素

T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}を稠密に定義された線形作用素とする。ベクトル \psi \in {\mathcal {H}}_{2}に対し、以下の性質を満たす \psi '\in {\mathcal {H}}_{1}を考える：
このような \psi 'は常に存在するとは限らないが、存在すれば一意である事を示せる新井。そこで共役作用素を以下のように定義する：
定義 (共役作用素) ―
とし、線形写像T*を
により定義し、T*をTの共役作用素という新井。
定義より明らかに
であるが、Tが有界とは限らない時、Tが稠密に定義されていたとしてもT*が稠密に定義されることもT**とTの定義域が一致する事も無条件には保証されない新井が、Tが可閉であればこれらは保証される：
定理 ― 
Tが可閉であれば以下が成立する：
T*が稠密に定義される⇔Tが可閉作用素新井
\mathrm {Dom} ({\overline {T^{**}}})=\mathrm {Dom} ({\bar {T}})
オブザーバブル > 自己共役作用素とオブザーバブル

定義 (自己共役作用素とその関連概念) ― 
 {\mathcal {H}}をヒルベルト空間とし、 T~:~\mathrm {Dom} (T)\subset {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}を稠密に定義されているとは限らない線形作用素とする。
任意のφ, ψ∈Dom(T)に対し、 \langle \varphi ,T(\psi )\rangle =\langle T(\varphi ),\psi \rangle が成立するとき、Tをエルミート作用素という新井。
Tが稠密に定義されたエルミート作用素であるとき、Tを対称作用素であるというH13
Dom(T) = Dom(T*)を満たす対称作用素Tを自己共役作用素という新井。
Tが可閉作用素で、その閉包が自己共役であるとき、Tは本質的に自己共役であるという新井。
量子力学では以下の仮定を課す：
仮定 (オブザーバブルに関する仮定) ― 
量子力学におけるオブザーバブルは自己共役作用素として表現される。
オブザーバブル > 自己共役作用素とその関連概念の性質

明らかに次が成立する：
命題 ―
しかし逆向きは一般には成り立たない。与えられた作用素が自己共役かどうかを決定する問題を自己共役性の問題といい、それだけで一冊の本が書けるほど難しい問題である新井。
自己共役作用素とその関連概念に対し以下が知られている：
定理 ―
Tは本質的に自己共役作用素なら、Tの閉包 {\bar {T}}は自己共役であり、しかもTの拡大で自己共役なものは {\bar {T}}に限るH13
Tがエルミート作用素なら、共役作用素T*をDom(T)上で定義でき、しかもをDom(T)上でT*=Tである。　　　　　　…(B1)
Tが対称作用素⇒Tは可閉作用素　　　　　　…(B2)
Tが自己共役作用素⇒Tは閉作用素
Tが対称作用素⇒ {\bar {T}}=T^{**}かつ {\bar {T}}^{*}={\overline {T^{*}}}新井
上記定理の性質3はTが可閉作用素である必要十分条件はT*が稠密に定義されることと性質2から従う新井。
性質1より、以下本項ではTが本質的に自己共役な場合には、紛れがなければTと {\bar {T}}を混用する。
自己共役作用素は必ず掛け算作用素として表現できる事が知られている：
定理 (掛け算作用素によるスペクトル定理H13) ― 
 T~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}を自己共役作用素とする。このときσ-有限（英語版）な可測空間(X,μ)とユニタリ作用素 U~:~{\mathcal {H}}{\tilde {\to }}L^{2}(X,\mu )と可測な実数値関数 h~:~L^{2}(X,\mu )\to \mathbf {R} が存在し、TU:=UTU-1とすると以下が成立する：
オブザーバブルの具体例

本節では
の場合に対して、オブザーバブルの具体例を述べる。
オブザーバブルの具体例 > 微分作用素

量子力学で登場する代表的なオブザーバブルは、いずれも偏微分を用いて表現できるので、まず本節では微分作用素の定義と性質を述べる。
定義 (微分作用素) ― 
非負整数α1、…、αd≧0からなるベクトル(α1、…、αd)に対し、
とする（この記法を多重指数表記という）。
の形で書ける作用素をm次の微分作用素という。ここで添え字αは非負整数の組で、和は有限和であり、ψα(x)はRd上の複素数値の局所自乗可積分な関数である。なおDの定義において、α1=…=αd=0の項 \psi _{0}(x)\partial ^{0}はψ0(x)倍する演算子とみなす。
本節の目標は、微分作用素Dのうち性質の良いものを {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})上定義されたオブザーバブルとみなす事である。しかしそもそも偏微分 {\partial  \over \partial x_{j}}\psi (x)は \psi (x)\in L^{2}(\mathbf {R} ^{d})が可微分でなければそもそも定義できないので、単純にDを {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})の元に作用させることはできない。そこで以下の事実を用いる：
定義・定理 (C∞
0(Rd)の L^{2}(\mathbf {R} ^{d})における稠密性) ― 
 {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})の部分集合C∞
0(Rd)を
と定義すると次が成立する：
微分作用素DはC∞
0(Rd)上で明らかに定義可能であり、しかもC∞
0(Rd)の元をL2(Rd)に写すので、以下の系が従う：
系 ― 
微分作用素Dを {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})上稠密に定義された線形作用素とみなす事ができる。
オブザーバブルの具体例 > 位置作用素

定義 (掛け算作用素・位置作用素) ― 
実数値可測関数
に対して線形作用素Mfを
と定義し、Mfの閉包を掛け算作用素という。ここで
である。
特にj = 1,...,dでf(x)=xjという形の掛け算作用素を第j位置作用素という。
定理 ― 
掛け算作用素は自己共役作用素である。
上記の定理は以下のように証明できる。可測性から
なのでMfは稠密に定義された作用素であり、しかも明らかにMfは対称作用素である。さらに \phi \in \mathrm {Dom} (M_{f}{}^{*})とすれば、任意の \psi \in \mathrm {Dom} (M_{f})に対し、 \langle \chi ,\psi \rangle =\langle \phi ,M_{f}(\psi )\rangle をみたすので、
である。 \psi \in \mathrm {Dom} (M_{f})の任意性より、これは \chi (x)=f(x)\phi (x) a.eを意味する。χの自乗可積分性とDom(Mf)の定義より、 \phi \in \mathrm {Dom} (M_{f})である。よってDom(Mf*)=Dom(Mf)であり、掛け算作用素Mjは自己共役作用素である。
オブザーバブルの具体例 > 運動量作用素、軌道角運動量作用素

定義 (運動量作用素) ― 
線形作用素
の閉包を第j運動量作用素という。
定理・定義 ― 
各jに対し第j運動量作用素Pjは本質的に自己共役である。より一般に
という形で書ける微分作用素は本質的に自己共役である新井。特に
の閉包として書ける軌道角運動量作用素も自己共役である。
(A1)の形の微分作用素Dが自己共役である事の証明は本項の範囲を超えるため省略するが、Dが対称作用素である事は以下のように示すことができる。φ, ψ ∈C∞
0(Rd)に対し、部分積分の公式から
である。(A1)の形の微分作用素は -i\partial _{j}の実数係数多項式であるので、
が成立する。Dの定義域C∞
0(Rd)は {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})で稠密だったので、これはDが対称作用素である事を意味する。
オブザーバブルの具体例 > シュレディンガー作用素

量子力学では時刻tに依存するかもしれないポテンシャルと呼ばれる実数値局所可積分関数V(x,t)を固定し、シュレディンガー作用素と呼ばれる作用素
を考える。ここでmjは何らかの定数で、物理的にはj番目の粒子の質量を表す。またlは次元であり、物理学的なセッティングでは3である。各時刻tに対しシュレディンガー作用素は常に対称作用素であるが新井、本質的に自己共役であるか否かはポテンシャルによる。
定理 (時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素の自己共役性) ― 
時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素
に関しては、以下の条件をみたすときには本質的に自己共役であるP01：
また時間非依存かつ一粒子のハミルトニアンが以下の条件を場合もハミルトニアンは本質的に自己共役であるP01H13：
ここで L^{p}(\mathbb {R} ^{\ell })+L^{\infty }(\mathbb {R} ^{\ell })は L^{p}(\mathbb {R} ^{\ell })の元と L^{\infty }(\mathbb {R} ^{\ell })の元の和で書ける関数の集合である。