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ミルク・アンド・ハニー
解説

1980年8月から10月にかけて行われた、レノンの遺作となった『ダブル・ファンタジー』のレコーデイング・セッションでは22曲が録音された。レノンはアルバムに収録されなかった8曲（レノン5曲、オノ3曲）を中心に新たなアルバムを制作するつもりでおり、翌年1月に再びスタジオ入りすることが決定していたが、12月8日、レノンが銃撃されて亡くなったことにより不可能となってしまった。
幼いショーンを抱えたオノは、自身のソロ・アルバム『シーズン・オブ・グラス』『イッツ・オールライト』の2枚をリリースしながら自らの心を癒すとともに、周囲が落ち着くのを待ってレノンの未発表曲を世に出すことにした。アルバムの構成は前作同様、レノンとオノの曲が交互に収録することした。
レノンの6曲のうち『ダブル・ファンタジー』セッションで録音された5曲は、いずれもオーバーダビングやミキシングが施されていなかったため、若干の編集やエフェクトが加えられた。また唯一自宅でカセットテープに録音されたデモ音源から選ばれた「グロウ・オールド・ウィズ・ミー」は音質の悪さを補うためにリバーブ等のエフェクトが加えられた。オノの6曲は『ダブル・ファンタジー』セッションで録音された「ユー・アー・ザ・ワン」「ドント・ビー・スケアード」に、ホーム・デモ音源から選ばれた「レット・ミー・カウント・ザ・ウェイズ」と新たに録音された3曲を加えたものである。
アルバム・タイトルは、旧約聖書『出エジプト記』3章8節にある、神がモーセに伝えた、イスラエルの民をエジプトから「豊かな土地(a land flowing with milk and honey)」へ救い出すことを約束する言葉に由来している。発案者はオノで、レノンが亡くなる前に決まっていたという。オノは、イギリス人のレノンと日本人のオノの「豊かな土地」であるアメリカを求めて旅をするという思いがこのタイトルに込められていると語っている。
ジャケットの写真は1980年9月にニューヨークのセントラル・パークで行われたフォト・セッションで日本人写真家の篠山紀信によって撮影されたものである。当初はレノンとオノ、2人の写真をハート型に切り抜いたものを200枚使うつもりだったが、このアイディアは上手くいかなかったので、『ダブル・ファンタジー』のアルバム・ジャケットに使用された写真とは別のカットを選ぶことで、前作の姉妹作であることを印象付けることを狙った。
| 専門評論家によるレビュー> レビュー・スコア.出典 | 専門評論家によるレビュー> レビュー・スコア.評価 |
| --- | --- |
AllMusic: 
Robert Christgau: A
Mojo: 
MusicHound: 2.5/5
Paste: 
Rolling Stone: 
The Rolling Stone Album Guide: 
Uncut: 
『シーズン・オブ・グラス』をリリースした後、『ダブル・ファンタジー』をリリースしていたゲフィン・レコードのデヴィッド・ゲフィンと不仲になったオノは、ポリドール・レコードと契約し、本作をリリースした。前作には及ばなかったものの高い評価を受け、イギリスで3位、アメリカで11位、日本でも3位を記録した。
2001年には3曲のボーナス・トラックとレノンの死の直前に録音された2人のインタビューを追加収録したデジタル・リマスター盤『ミルク・アンド・ハニー〜ニュー・センチュリー・エディション』が発売された。「グロウ・オールド・ウィズ・ミー」はオリジナル・デモ・テープからリマスターすることでエフェクトが施される前の状態に戻され、さらに終わり近くの音が欠けている部分が修正された。
収録曲 > オリジナル・アナログ・LP

| # | タイトル | 作詞・作曲 | リード・ボーカル | 時間 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | 「アイム・ステッピング・アウト」(I'm Stepping Out) | ジョン・レノン | ジョン・レノン | 4:06 |
| 2. | 「スリープレス・ナイト」(Sleepless Night) | オノ・ヨーコ | オノ・ヨーコ | 2:34 |
| 3. | 「アイ・ドント・ウォナ・フェイス・イット」(I Don't Wanna Face It) | ジョン・レノン | ジョン・レノン | 3:22 |
| 4. | 「ドント・ビー・スケアード」(Don't Be Scared) | オノ・ヨーコ | オノ・ヨーコ | 2:45 |
| 5. | 「ノーバディ・トールド・ミー」( Nobody Told Me) | ジョン・レノン | ジョン・レノン | 3:34 |
| 6. | 「オー・サニティ」(O' Sanity) | オノ・ヨーコ | オノ・ヨーコ | 1:05 |
| 合計時間: | 合計時間: | 合計時間: | 合計時間: | 17:26 |
| # | タイトル | 作詞・作曲 | リード・ボーカル | 時間 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | 「ボロウド・タイム」(Borrowed Time) | ジョン・レノン | ジョン・レノン | 4:29 |
| 2. | 「ユア・ハンズ」(Your Hands) | オノ・ヨーコ | オノ・ヨーコ | 3:04 |
| 3. | 「マイ・リトル・フラワー・プリンセス」((Forgive Me) My Little Flower Princess) | ジョン・レノン | ジョン・レノン | 2:28 |
| 4. | 「レット・ミー・カウント・ザ・ウェイズ」(Let Me Count the Ways) | オノ・ヨーコ | オノ・ヨーコ | 2:17 |
| 5. | 「グロー・オールド・ウィズ・ミー」(Grow Old with Me) | ジョン・レノン | ジョン・レノン | 3:07 |
| 6. | 「ユアー・ザ・ワン」(You're the One) | オノ・ヨーコ | オノ・ヨーコ | 3:56 |
| 合計時間: | 合計時間: | 合計時間: | 合計時間: | 19:21 |
収録曲 > 1986年再発盤

| # | タイトル | 作詞・作曲 | 時間 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1. | 「アイム・ステッピング・アウト」(I'm Stepping Out) | ジョン・レノン | 4:06 |
| 2. | 「スリープレス・ナイト」(Sleepless Night) | オノ・ヨーコ | 2:34 |
| 3. | 「アイ・ドント・ウォナ・フェイス・イット」(I Don't Wanna Face It) | ジョン・レノン | 3:22 |
| 4. | 「ドント・ビー・スケアード」(Don't Be Scared) | オノ・ヨーコ | 2:45 |
| 5. | 「ノーバディ・トールド・ミー」(Nobody Told Me) | ジョン・レノン | 3:34 |
| 6. | 「オー・サニティ」(O' Sanity) | オノ・ヨーコ | 1:05 |
| 7. | 「ボロウド・タイム」(Borrowed Time) | ジョン・レノン | 4:29 |
| 8. | 「ユア・ハンズ」(Your Hands) | オノ・ヨーコ | 3:04 |
| 9. | 「マイ・リトル・フラワー・プリンセス」((Forgive Me) My Little Flower Princess) | ジョン・レノン | 2:28 |
| 10. | 「レット・ミー・カウント・ザ・ウェイズ」(Let Me Count the Ways) | オノ・ヨーコ | 2:17 |
| 11. | 「グロー・オールド・ウィズ・ミー」(Grow Old with Me) | ジョン・レノン | 3:07 |
| 12. | 「ユアー・ザ・ワン」(You're the One) | オノ・ヨーコ | 3:56 |
| 合計時間: | 合計時間: | 合計時間: | 36:47 |
収録曲 > 2001年デジタル・リマスター盤

| # | タイトル | 作詞・作曲 | 時間 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1. | 「アイム・ステッピング・アウト」(I'm Stepping Out) | ジョン・レノン | 4:06 |
| 2. | 「スリープレス・ナイト」(Sleepless Night) | オノ・ヨーコ | 2:34 |
| 3. | 「アイ・ドント・ウォナ・フェイス・イット」(I Don't Wanna Face It) | ジョン・レノン | 3:22 |
| 4. | 「ドント・ビー・スケアード」(Don't Be Scared) | オノ・ヨーコ | 2:45 |
| 5. | 「ノーバディ・トールド・ミー」(Nobody Told Me) | ジョン・レノン | 3:34 |
| 6. | 「オー・サニティ」(O' Sanity) | オノ・ヨーコ | 1:05 |
| 7. | 「ボロウド・タイム」(Borrowed Time) | ジョン・レノン | 4:29 |
| 8. | 「ユア・ハンズ」(Your Hands) | オノ・ヨーコ | 3:04 |
| 9. | 「マイ・リトル・フラワー・プリンセス」((Forgive Me) My Little Flower Princess) | ジョン・レノン | 2:28 |
| 10. | 「レット・ミー・カウント・ザ・ウェイズ」(Let Me Count the Ways) | オノ・ヨーコ | 2:17 |
| 11. | 「グロー・オールド・ウィズ・ミー」(Grow Old with Me) | ジョン・レノン | 3:07 |
| 12. | 「ユアー・ザ・ワン」(You're the One) | オノ・ヨーコ | 3:56 |
| 13. | 「エヴリ・マン・ハズ・ア・ウーマン・フー・ラヴズ・ヒム（男は誰もが）」(Every Man Has a Woman Who Loves Him) | オノ・ヨーコ | 3:19 |
| 14. | 「ステッピング・アウト（ホーム・ヴァージョン）」(I'm Stepping Out (home version)) | ジョン・レノン | 2:57 |
| 15. | 「アイム・ムーヴィング・オン（ホーム・デモ）」(I'm Moving On (home demo)) | オノ・ヨーコ | 1:20 |
| 16. | 「ジョン＆ヨーコ・インタヴュー (1980年12月8日)」(John and Yoko interview by Dave Sholin and Laurie Kaye, 8 December 1980) |   | 21:55 |
| 合計時間: | 合計時間: | 合計時間: | 66:18 |
参加ミュージシャン

※トラック・ナンバーは再発盤CDに準拠。
| --- | --- |
 ジョン・レノン - リード・ボーカル、リズムギター、アコースティック・ギター、 キーボード、ピアノ (#11)、ドラムマシン(#11)  オノ・ヨーコ - ボーカル、ピアノ(#10)  アール・スリック - リードギター (#1,3,4,5,7,9,12)  ヒュー・マクラッケン - リードギター (#1,3,4,5,7,9,12)  クリス・モーソン - リードギター (#2,6,8)  エリオット・ランドール - リードギター (#2,6,8)  スティーヴ・ラブ - リードギター (#2,6,8)  トニー・レヴィン - ベース (#1,3,4,5,7,9,12)  ニール・ジェイソン - ベース (#2,6,8)  ウェイン・ペジウィアトル - ベース (#2,6,8)  :  ジョージ・スモール - キーボード、ピアノ(#1,3,4,5,7,9,12)  ポール・グリフィン - ピアノ(#2,6,8)  エド・ウォルシュ - キーボード(#1,3,4,5,7,9,12)  ピーター・カンナロッチ。 - シンセサイザー (#2,6,8)  アーサー・ジェンキンス - パーカッション (#1,3,4,5,7,9,12)  ジミー・マーレン - パーカッション(#2,6,8)  アンディ・ニューマーク - ドラムス(#1,3,4,5,7,9,12)  アラン・シュワーツバーグ - ドラムス(#2,6,8)  ヨギ・ホートン - ドラムス(#2,6,8)  ハワード・ジョンソン - バリトン・サクソフォン (#1,3,4,5,7,9,12)  ゴードン・グロディ、ビリー・アレッシィ、ボビー・アレッシィ、ピーター・トム、カート・ヤージャン、カルロス・アロマー - バッキング・ボーカル (#2,6,8)
チャート > 週間チャート

| チャート (1984) | 最高位 |
| --- | --- |
オーストラリア (Kent Music Report): 4
オーストリア (Ö3 Austria): 12
カナダ (RPM): 15
オランダ (MegaCharts): 4
フィンランド (Suomen virallinen lista): 25
フランス (SNEP): 10
日本 (オリコン): 3
ニュージーランド (RMNZ): 34
ノルウェー (VG-lista): 7
スウェーデン (Sverigetopplistan): 3
スイス (Schweizer Hitparade): 15
UK アルバムズ (OCC): 3
US Billboard 200: 11
西ドイツ (Media Control Albums Chart): 20
チャート > 年間チャート

| チャート | 順位 |
| --- | --- |
オーストラリア (Kent Music Report): 67
カナダ (RPM): 82
日本 (オリコン): 83
認定と売上

| 国/地域 | 認定 | 認定/売上数 |
| --- | --- | --- |
| カナダ (Music Canada) | Gold | 50,000^ |
| 日本 (オリコン) |  | 106,000 |
| イギリス (BPI) | Gold | 100,000^ |
| アメリカ合衆国 (RIAA) | Gold | 500,000^ |
 ^ 認定のみに基づく出荷枚数
リー代数

数学において、リー代数 (リーだいすう、Lie algebra)、もしくはリー環（リーかん）は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換（英語版） (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。
リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆（英語版）による違いを除いて一意的に存在する（リーの第三定理（英語版））。このリー群とリー代数の間の対応（英語版）によってリー群をリー代数によって研究することができる。
定義

リー代数は、ある体  \,\mathbb {F}  上のベクトル空間  \,{\mathfrak {g}} であって、リーブラケット (Lie bracket)、あるいは括弧積と呼ばれる、次の公理を満たす二項演算  [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}} が与えられている場合を言う。
双線型性と交代性により、反交換関係、すなわち、 {\mathfrak {g}} の全ての元 x, y に対し、[x, y] = −[y, x] が成り立つ。逆に、反交換関係は、体の標数が 2 ではないとき、交代性があることを意味する。
{\mathfrak {g}} のように、普通、リー代数はフラクトゥールの小文字で表される。リー代数がリー群に付随していると、リー代数のスペルはリー群と同じにする（書体は異なる）。例えば、特殊ユニタリ群の SU(n) のリー代数は  {\mathfrak {su}}(n) と書かれる。
定義 > 生成子と次元

リー代数  {\mathfrak {g}} の元からなる集合が生成子であるとは、その集合を含む  {\mathfrak {g}} の最小のリー部分代数が全体  {\mathfrak {g}} と一致することである。リー代数の 次元は、 \,\mathbb {F}  上のベクトル空間としての次元で定める。リー代数の生成集合の最小個数は、常に次元以下である。
定義 > 準同型、部分代数、イデアル

必ずしも  [[x,y],z] と  [x,[y,z]] とが等しいとは限らないので、一般にはリーブラケットは結合法則を満たさない。しかし、結合的な環や結合多元環の理論での用語の多くは、リー代数でも共通して使われる。リーブラケットで閉じている部分空間  {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}} をリー部分代数 (Lie subalgebra) と呼ぶ。部分空間  I\subseteq {\mathfrak {g}} がより強い条件
を満たすとき、I をリー代数  {\mathfrak {g}} のイデアルと言う。（同じ係数体の上の）リー代数の間の準同型とは、 {\mathfrak {g}} の全ての元 x, y に対し、交換関係が
と整合している線型写像を言う。リー代数  {\mathfrak {g}} とイデアル I が与えられると、環の理論のように、イデアルはちょうど準同型の核であり、商代数 (factor algebra)  {\mathfrak {g}}/I を構成することができ、リー代数に対しても同型定理が成り立つ。
S を  {\mathfrak {g}} の部分集合とする。S の全ての元 s に対し  [x,s]=0 となるような元 x 全体の集合は、S の中心化部分代数（英語版） (centralizer) を構成する。 {\mathfrak {g}} 自身の中心化代数は、 {\mathfrak {g}} の中心と呼ばれる。中心化と同様に、S の全ての元 s に対し  [x,s] が S の元となるような x の集合は、S の部分代数を構成する。この部分代数は S の正規化部分代数 (normalizer of S) と呼ばれる。
定義 > 直和

2 つのリー代数  {\mathfrak {g}} と  {\mathfrak {g'}} が与えられると、それらの直和は、 x\in {\mathfrak {g}} と  x'\in {\mathfrak {g'}} の対  (x,x') からなるベクトル空間  {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}} であり、リーブラケットは
で定める。
性質 > 包絡代数を持つ

→「普遍包絡代数」も参照
乗法 * を持つ任意の結合代数 A に対し、リー代数 L(A) を構成できる。ベクトル空間としては、L(A) は A と同じである。L(A) の 2 つの元のリーブラケットは、A における交換子として定義される。すなわち
A の乗法 * の結合性は、L(A) の交換子のヤコビ恒等式を意味する。例えば、体 F 上の n × n 行列の結合代数から、一般線型リー代数（英語版）  {\mathfrak {gl}}_{n}(F) が生じる。結合代数 A をリー代数 L(A) の包絡代数 (enveloping algebra) と呼ぶ。全てのリー代数はこのようにして結合代数から作られたリー代数へ埋め込むことができる。普遍包絡代数を参照。
性質 > 表現

ベクトル空間 V が与えられたとして、 {\mathfrak {gl}}(V) で V の全ての線型自己準同型からなる結合代数から生じるリー代数を表すとする。リー代数  {\mathfrak {g}} の V 上の表現 (representation) とは、リー代数の準同型
である。
表現は、核が自明のときに、忠実 (faithful) であるという。全ての有限次元リー代数はある有限次元ベクトル空間上の忠実な表現を持っている（アドの定理（英語版））。
例えば、 \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y] により与えられる
は、随伴表現と呼ばれる、ベクトル空間  {\mathfrak {g}} 上の  {\mathfrak {g}} の表現である。リー代数  {\mathfrak {g}} （実は任意の非結合的代数でもよい）の上の微分（英語版）とは、ライプニッツ則、すなわち、 {\mathfrak {g}} のすべての元 x, y に対して
が成り立つような線型写像  \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}} のことである。ヤコビ恒等式より、任意の x に対し、 \operatorname {ad} (x) は微分である。従って、 \operatorname {ad}  の像は、 {\mathfrak {g}} 上の微分からなる  {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}) の部分代数  \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}}) に含まれる。 \operatorname {ad}  の像に属する微分は、内部微分 (inner derivation) と呼ばれる。 {\mathfrak {g}} が半単純であれば、 {\mathfrak {g}} 上の全て微分は内部微分である。
例 > ベクトル空間

任意のベクトル空間 V にリーブラケットを恒等的に 0 として定めたものはリー代数となる。そのようなリー代数は可換と呼ばれる（以下を参照）。体上の任意の 1 次元リー代数は、リーブラケットの反対称性により、可換である。
全ての n × n 歪エルミート行列からなる実ベクトル空間は、交換子の下に閉じているので、実リー代数をなし、 {\mathfrak {u}}(n) で表される。これはユニタリ群 U(n) のリー代数である。
例 > 部分空間

一般線型リー代数  {\mathfrak {gl}}_{n}(F) のトレース 0 の行列全体からなる部分空間は部分リー代数であり、特殊線型リー代数（英語版）と呼ばれ、 {\mathfrak {sl}}_{n}(F) と記す。
例 > 実行列群

任意のリー群 G から、付随する実リー代数  {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G) が定義される。一般の定義はいくらか技術的であるが、実行列群の場合には、指数写像、すなわち行列の指数関数を通じて構成することができる。リー代数  {\mathfrak {g}} は、全ての実数 t に対して exp(tX) ∈ G となるような行列 X 全体からなる。
例 > 3次元

ベクトルのクロス積により与えられるリーブラケットを持つ 3次元ユークリッド空間 R3 は、3次元リー代数である。
ハイゼンベルク代数（英語版） H3(R) は、次の関係式を満たすリーブラケットを持つ要素 x, y, z によって生成される3次元リー代数である：
量子力学における角運動量演算子の x, y, z 成分の間の交換関係は、 {\mathfrak {su}}(2) と  {\mathfrak {so}}(3) のそれと同じである：
但し、物理学の慣例により、リー代数の元に因子 i=√-1 を乗じた関係式を用いている。角運動量演算子の問題は、このリー代数の全ての有限次元表現を求めることに帰着する。
例 > 無限次元

無限次元実リー代数の重要なクラスは、微分トポロジーで生じる。可微分多様体 M 上の滑らかなベクトル場の空間はリー代数をなす。ここでリーブラケットはベクトル場の交換子として定義される。リーブラケットを表現する1つの方法は、リー微分の形式化によるものである。ベクトル場 X を滑らかな関数上に作用する一階の偏微分作用素 LX と次のようにして同一視する、すなわち LX(f) を関数 f の X の方向の方向微分とする。2つのベクトル場のリーブラケット [X, Y] は次の式による関数へのその作用を通じて定義されるベクトル場である：
カッツ・ムーディ代数は無限次元リー代数の例である。
モーヤル代数（英語版）は、すべての古典型リー代数（英語版）を部分代数として含む無限次元リー代数である。
構造論と分類

リー代数は、ある程度、分類することが可能である。特に、このことはリー群の分類に応用される。
構造論と分類 > 可換性、冪零性、可解性

導来部分群のことばで定義される、可換群、冪零群、可解群と同様に、可換、冪零、可解リー代数を定義することができる。
リー代数  {\mathfrak {g}} が可換 (abelian) であるとは、リーブラケットが消えていること、すなわち、 {\mathfrak {g}} の全ての元 x と y' に対して [x, y] = 0 となることをいう。可換リー代数は、ベクトル空間  K^{n} やトーラス  T^{n} のような、可換連結リー群に対応していて、すべて  {\mathfrak {k}}^{n} の形である、つまり自明なリーブラケットをもつ n 次元ベクトル空間である。
リー代数のより一般的なクラスは、与えられた長さのすべての交換子が消えることによって定義される。リー代数  {\mathfrak {g}} が、冪零 (nilpotent) とは、降中心列（英語版）
が有限回でゼロに達することを言う。エンゲルの定理により、リー代数が冪零であることと、 {\mathfrak {g}} の全ての元 u に対し、随伴自己準同型
が冪零であることは同値である。
さらにより一般的なものとして、リー代数  {\mathfrak {g}} が可解 (solvable) であるとは、導来列
が有限回でゼロに達することを言う。
全ての有限次元リー代数は、根基（英語版） (radical) と呼ばれる一意的な極大可解イデアルを持つ。リー対応の下、連結なべき零リー群、連結な可解リー群はそれぞれ、べき零、可解リー代数に対応する。
構造論と分類 > 単純性と半単純性

→詳細は「半単純リー代数」を参照
リー代数が単純 (simple) とは、非自明なイデアルを持たず、可換でないときを言う。リー代数  {\mathfrak {g}} が半単純とは、根基がゼロであるときを言う。同じことであるが、 {\mathfrak {g}} が半単純とは、ゼロでない可換イデアルを持たないときを言う。特に、単純リー代数は半単純である。逆に、任意の半単純リー代数は、その極小イデアルの直和であることが証明できる。この極小イデアルは、自然に決定される単純リー代数である。
リー代数の半単純性の概念は、リー代数の表現の完全可約性（半単純性）と密接に関連している。基礎体 F の標数が 0 のとき、半単純リー代数の任意の有限次元表現は半単純（つまり、既約表現の直和）である。一般に、リー代数が簡約（英語版）(reductive)とは、随伴表現が半単純であるときを言う。したがって、半単純リー代数は簡約である。
構造論と分類 > カルタンの判定条件

カルタンの判定条件（英語版）は、リー代数がべき零、可解、あるいは半単純であるための判定条件を与える。この判定条件は、キリング形式の考え方を基礎としている。キリング形式とは、
で定義された、 {\mathfrak {g}} 上の対称双線型形式である。ここで tr は線型写像のトレースを表す。リー代数  {\mathfrak {g}} が半単純であることと、キリング形式が非退化であることは同値である。リー代数  {\mathfrak {g}} が可解であることと、 K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0 であることとは同値である。
構造論と分類 > 分類

レヴィ分解（英語版）は、任意のリー代数を、可解な根基と半単純リー代数の半直和として、ほぼ標準的に表す。さらに、代数的閉体上の半単純リー代数は、ルート系を通して完全に分類されている。しかし、可解リー代数の分類は「手に負えない」問題であり、一般には完成できない[要説明]。
リー群との関係

リー代数は多くの場合それ自体で研究されているが、歴史的にはリー群の研究のための方法として生まれた。
リーの基本定理は、リー群とリー代数の関係を記述している。特に、任意のリー群はリー代数を標準的に決定し（具体的には、単位元における接空間）、逆に任意のリー代数に対し、対応する連結リー群が存在する（リーの第三定理（英語版）。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式（英語版）を参照）。このリー群は一意には決まらないが、同じリー代数をもつ任意の2つの連結リー群は局所同型であり、特に同じ普遍被覆を持つ。例えば、特殊直交群 SO(3)（英語版） と特殊ユニタリ群 SU(2)（英語版） からは、同じリー代数が生じる。これはクロス積をもつ R3 に同型である。一方、SU(2) は SO(3) の単連結な二重被覆である。
リー群が与えられると、リー代数を次のいずれかの方法によって結びつけることができる。単位元における接空間に随伴写像の微分を与えるか、あるいは、例の中で述べたように、左不変ベクトル場を考える。実行列群の場合、リー代数  {\mathfrak {g}} は、全ての実数 t に対し exp(tX) ∈ G となるような行列 X 全体から構成される。ここに exp は行列の指数関数である。
リー群に付随するリー代数の例を挙げる。
群  {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {C} ) のリー代数  {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} ) は、複素 n×n 行列全体からなる代数である。
群  {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} ) のリー代数  {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} ) は、トレースが 0 である複素　n×n 行列の代数である。
群  \operatorname {O} (n) のリー代数  {\mathfrak {o}}(n) と、群  \operatorname {SO} (n) のリー代数  {\mathfrak {so}}(n) は、いずれも実反対称 n×n 行列の代数である。（議論は交代行列#無限小回転を参照。）
群  \operatorname {U} (n) のリー代数  {\mathfrak {u}}(n) は、歪エルミート複素 n×n 行列の代数であり、他方、 \operatorname {SU} (n) のリー代数  {\mathfrak {su}}(n) は、トレースが 0 の歪エルミート複素 n×n 行列の代数である。
上記の例では、（リー代数の行列 X と Y に対する）リーブラケット  [X,Y] は  [X,Y]=XY-YX として定義する。
生成子 Ta の集合が与えられると、構造定数 f abc は、生成子の対のリーブラケットを生成子の線型結合として表す、すなわち [Ta, Tb] = f abc Tc．構造定数はリー代数の元のリーブラケットを決定し、したがってリー群の群構造をほぼ完全に決定する。単位元の近くのリー群の構造は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式（英語版）により明示的に表される。この公式は、リー代数の元 X, Y とその（入れ子になった）リーブラケットによる展開によって単一の冪で表す： exp(tX) exp(tY) = exp(tX+tY+½ t2[X,Y]  + O(t3) ).
リー群からリー代数への写像は関手的である。これはリー群の準同型がリー代数の準同型に持ち上がることを意味し、様々な性質がこの持ち上げによって満たされる。合成と可換であり、リー群の部分リー群、核、商、余核をそれぞれリー代数の部分代数、核、商、余核に写す。
各リー群をそのリー代数に写し、各準同型をその微分へ写す関手 L は、忠実かつ完全である。しかしながら、圏同値ではない。異なるリー群が同型なリー代数を持つかもしれず（例えば SO(3) と SU(2)）、また、いかなるリー群にも伴わない（無限次元の）リー代数が存在するからである。
しかしながら、リー代数  {\mathfrak {g}} が有限次元のときは、 {\mathfrak {g}} をリー代数としてもつ単連結リー群が存在する。より正確には、リー代数の関手 L は、有限次元（実）リー代数からリー群への左随伴関手 Γ を持っていて、単連結リー群の充満部分圏を通して分解する。言い換えると、双関手の自然同型
が存在する。随伴  {\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {L} (\Gamma ({\mathfrak {g}}))（ \Gamma ({\mathfrak {g}}) 上の単位元に対応させる）は同型射であり、他の随伴  \Gamma (\mathrm {L} (H))\rightarrow H は、H の単位元成分の普遍被覆群から H への射影準同型である。このことから直ちに次のことが従う。G が単連結であれば、リー代数関手は、リー群の準同型 G → H たちとリー代数の準同型 L(G) → L(H) たちの間の全単射を確立する。
上記の普遍被覆群は指数写像によるリー代数の像として構成することができる。より一般的に、リー代数は単位元の近傍に同相である。しかし大域的には、リー群がコンパクトであれば指数写像は単射ではなく、リー群が連結、単連結、あるいはコンパクトでなければ、指数写像は全射とは限らない。
リー代数が無限次元であれば、問題はより微妙なものとなる。多くの例では、指数写像は局所的にさえ同相写像でない（例えば、Diff(S1) において、exp の像に入らないような単位元にいくらでも近い微分同相写像を見つけることができる）。さらに、無限次元リー代数には、どんな群のリー代数でもないようなものがある。
リー代数とリー群の間の対応はいろいろなことに使われる。例えば、リー群の分類（英語版）や、それに関連してリー群の表現論の問題。リー代数の全ての表現は、対応する連結で単連結なリー群の表現に一意的に持ち上がり、逆に、任意のリー群のすべての表現は、そのリー群のリー代数の表現を誘導する。表現は 1 対 1 に対応する。従って、リー代数の表現を知ることで、群の表現の問題が解決される。
分類に関しては、与えられたリー代数をもつ任意の連結リー群は普遍被覆をある離散的な中心的部分群で割ったものに同型であることを示すことができる。従って、リー群の分類は、リー代数の分類が分かってしまえば（半単純な場合は、カルタンらにより解かれた）、単純に中心の離散部分群を数えあげる問題となる。
圏論的な定義

圏論のことばを使うと、リー代数は、Veck の射 [., .]: A ⊗ A → A を伴った対象 A として定義できる。ここで Veck は標数が 2 ではない体 k 上のベクトル空間の圏であり、⊗ は Veck の次のようなモノイド積を表す。
[\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau _{A,A})=0
[\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0
ここに、τ (a ⊗ b) :=  b ⊗ a であり、σ は (id ⊗ τA,A) ° (τA,A ⊗ id) を組み上げる巡回置換である。図式（英語版）にすると以下のようになる。
リー環 (Lie ring)

数学における（狭義の）リー環（リーかん、英: Lie ring）はリー代数とよく似た構造で、リー代数を一般化した代数的構造と見ることもできるが、群の降中心列（英語版）の研究においても自然に生じてくる。
リー環と関連する概念としてリー群やリー代数があるが、（環が加法に関して群になるのとは異なり）リー環は加法に関して必ずしもリー群を成さず、他方で任意のリー代数はリー環の例である。任意の結合環は交換子括弧積  [x,y]=xy-yx を考えればリー環になる。逆に、任意のリー環には普遍包絡環（普遍展開環）と呼ばれる結合環を対応させることができる。
リー環は、ラザール対応（英語版）を通じてp-群の研究に用いられる。p-群の降中心因子は有限アーベル p-群だから、これを Z/pZ 上の加群と見ることができる。降中心因子すべての（加群としての）直和には、2つの剰余類の括弧積を代表元の交換子積を代表元とする剰余類を割り当てるものと定義して、リー環の構造を入れることができる。このリー環は、もう1つ p-乗冪写像と呼ばれる加群の準同型によって豊饒化することができ、そうして得られたリー環がいわゆる制限リー環である。
リー環をリー代数の類似と見る立場からは、p-進整数環のような整数環上のリー代数の研究などを通じて、p-進解析的な位相群やその自己準同型を定義するのにもリー環は有用である。シュヴァレーによるリー型の有限群の定義は、複素数体上のリー代数を有理整数環上に係数制限し、さらに法 p で割って考えることにより有限体上のリー代数を得るものである。
リー環 (Lie ring) > 厳密な定義

リー環はヤコビ恒等式を満足する交代的な乗法を持つ非結合環として定義される。より具体的に述べれば、リー環 L = (L, +, [·,·]) はアーベル群 (L, +, 0) の構造を持ち、以下の性質：
双加法性:  [x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]\qquad (\forall x,y,z\in L)
ヤコビ恒等式:  [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\qquad (\forall x,y,z\in L)
複零性:  [x,x]=0\quad (\forall x\in L)
を満たす二項演算  [\cdot ,\cdot ] を備えるものを言う
2つのリー環 L1, L2 の間の写像 f: L1 → L2 がリー環準同型であるとは、それがリー環の2つの演算を保つときにいう。即ちリー環準同型 f は
を満たす（演算の下付き添字はそれぞれの空間における演算であることを示す）。
リー環 (Lie ring) > 例

体の代わりに一般の可換環上で考えた任意のリー代数はリー環の例である。リー環とは言うものの、リー環は加法に関してリー群になるというわけではない。
任意の結合環は（加法はそのままで積を）括弧積と呼ばれる演算  [x,y]=xy-yx に取り換えることによりリー環になる。
群論から生じるリー環の例を挙げよう。群 G とその上に交換子積  (x,y)=x^{-1}y^{-1}xy を考え、 G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots  を G の中心列とする（このとき、各 i, j について交換子部分群  (G_{i},G_{j}) は  G_{i+j} に含まれる）。ここで  L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1} と置けば、L の直和成分ごとの群演算（各直和因子はそれぞれアーベル群であることに注意）を加法とし、括弧積を  [xG_{i},yG_{j}]=(x,y)G_{i+j}\  を線型に拡張したもので定めて L はリー環になる。ここで、交換子の定める括弧積が、リー環で言うところの括弧積の性質を持つことに、列の中心性が効いてくることに注意。
渡辺覚造

|  日本の政治家渡辺覚造わたなべ かくぞう |
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生年月日:  1891年6月30日
出生地:   日本 茨城県久慈郡世矢村 （現・茨城県常陸太田市）
没年月日:   (1972-03-01) 1972年3月1日（80歳没）
出身校:  旧制愛知医科大学 （現・名古屋大学医学部）
前職:  医師
現職:  茨城県商工経済会会長 日本医療団顧問 茨城県医師会会長 日本原子力産業協会相談役
所属政党:  同成会
 貴族院議員
在任期間:  1942年1月23日 - 1947年5月2日
  水戸市長
在任期間:  1942年10月14日 - 1946年4月23日
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渡辺 覚造（わたなべ かくぞう、1891年（明治24年）6月30日 - 1972年（昭和47年）3月1日）は、日本の医師、政治家。貴族院議員多額納税者、水戸市長、医学博士。
経歴

茨城県久慈郡世矢村（現・常陸太田市）出身。茨城県立太田中学校卒、1919年（大正8年）旧制愛知医科大学（現・名古屋大学医学部）卒。同大学付属病院に勤務。1929年（昭和4年）に水戸市で病院を開業する。1936年（昭和11年）大洗海岸に結核患者のサナトリウム大貫海岸病院を開設した。
1942年（昭和17年）1月、茨城県多額納税者として補欠選挙で貴族院多額納税議員に互選され、同月23日に就任し同成会に所属。同年10月、水戸市会の推薦により水戸市長に就任した。市長在任中には市内の小学校の給食を開始や市立図書館の開館があり、1945年（昭和20年）8月2日には水戸空襲が起きた。同月、終戦を迎え、翌9月に米軍が水戸に進駐、水戸市の戦災復興に乗り出した。復興の際に長屋町(水戸駅駅南)の市街地化を提案するが米軍に予算面で止められた。
1946年（昭和21年）4月に市長を退任。1947年（昭和22年）5月2日の貴族院廃止まで同議員を務めた。
その後は日本原子力産業会議の相談役に就任。この他茨城県医師会会長、日本医療団顧問、茨城県商工経済会会長などを歴任した。1972年死去。
スリーチムニーズファーム

スリーチムニーズファーム（Three Chimneys Farm）は、アメリカ合衆国ケンタッキー州にある種牡馬の繋養を行う牧場である。1972年にクレイ夫妻によって設立された。
主な繋養馬 > 種牡馬

Sky Mesa （2004年 - ）
Fantastic
Gun Runner
Sharp Azteca
Volatile
過去の繋養馬

Fast Anna
Albert the Great（2002年 - 2007年、移動）
Capote （1988年 - 2003年引退、2007年死亡）
Dynaformer / （1990年 - 2012年引退）
Good Reward（2007年 - 2011年）
Fly So Free（1994年 - 2003年、死亡）
Joyeux Danseur（1999年 - 2003年、移動）
Medallist（2006年 - 2007年、移動）
Miesque's Son（1997年 - 2002年、移動）
Rahy（1990年 - 2009年引退、2011年死亡）
Seattle Slew （1986年 - 2002年、死亡）
Silver Charm （2000年 - 2004年、輸出）
Slew o'Gold （1985年 - 2002年引退、2007年死亡）
Smarty Jones / （2005年 - 2010年、移動）
Wild Again / （1986年 - 2004年引退、2008年死亡）
Point Given / （2002年 - 2012年、移動）
Lewis Michael（2009年 - ）
Big Brown （2009年 - ）
Flower Alley（2007年 - 2015年、移動）
Red Giant（2009年 - ）
War Chant（2001年 - ）
Ice Box（2013年 - ）
Yes It's True（2001年 - 2015年死亡）
Exchange Rate（2008年 - ）
Dust and Diamonds（2013年 - 2016年、移動）
Brilliant Speed（2013年 - ）
Caleb's Posse（2013年 - ）
Strong Mandate
Will Take Charge
Palace Malice
Does It Escape Again

| Does It Escape Again ダズ・イット・エスケープ・アゲイン |
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出身地:   日本 大阪
ジャンル:  メタルコア ポスト・ハードコア
活動期間:  2012年 -
レーベル:  Maxtreme Records
公式サイト:  Does It Escape Again OFFICIAL HP

メンバー:  TAKU - ボーカル YUTA - ギター SHUNYA - ベース DAISUKEドラム
ダズ・イット・エスケープ・アゲイン(Does It Escape Again)は、大阪を拠点に活動しているメタルコアバンドである。
メンバー

TAKU - Vocal ボーカル
YUTA - ギター
SHUNYA - ベース
DAISUKE - ドラム
メンバー > 元メンバー

NOB - ギターボーカル
歴史

2012年
4月 Does It Escape Again結成。
8月 1st DEMO"Burst into the silence unless this voice"を500枚限定無料配布開始。一ヶ月後に配布を終了。
12月 1st Single"[EYE]DENTITY"をリリース。同月13日にリリースイベント「[EYE]DENTITY」開催。
2013年
4月 "[EYE]DENTITY"リリースツアーファイナル"THE START OF DIPLOSOMIA"を開催。
6月  ギターボーカルのNOBが脱退。
8月 ”礎6th ANNIVERSARY special KNOW REASON WHY…vol.20”に出演。2nd DEMO"AMBITION NEVER DIES EP"を500枚限定)配布開始。約一ヶ月で配布を終了。
10月 TRIPLE VISION entertainment が企画/制作するコンピレーションCD「BRAT PACK 2013」に参加。
2014年
4月 初全国流通EP"CDDA"のリリースを発表。同時に先行リリースパーティーを行う事を発表。
6月 Does It Escape Again presents Debut EP lead release party -CODA- 開催。チケットはSOLD OUT。
10月 "MAXTREME RECORDS"と契約。Carousel Kings(US)Japan Tour Tokyoに出演決定。Crystal Lake’Cubes Tour 2014’Supported by Ollie 大阪公演にて"THE MEANINGLESS ART EP"を500枚会場限定でリリース発表。
11月 EXPIRE(USA)Japan Tour 2014 大阪公演に出演。
12月 Reality Grey(Italy)Japan Tour 2014 名古屋公演に出演。
2015年
1月 The Great Divide(France) Japan Tour 2015の大阪公演に出演。
2月 BLOODAXE TOUR "HARM’S WAY(USA/Deathwish Inc.)" JAPAN TOUR 2015 大阪公演に出演決定。
3月 主催イベントDoes It Escape Again Presents."白の晩餐"#1を開催。チケットはSOLDOUT。
5月 Divine Society(大阪)とのツーマンショー"room208"を開催。チケットはSOLDOUT。
ディスコグラフィ > CD

Burst into the silence unless this voice EP - 1st DEMO(500枚限定無料配布 - 2012年(廃盤)
[EYE]DENTITY - 1st EP - 2012年(廃盤)
AMBITION NEVER DIES EP - 2nd DEMO - 2013年
BRAT PACK 2013 - コンピレーションCD - 2013年
CODA - 全国流通1st EP - 2014年
THE MEANINGLESS ART' - 500枚会場限定EP - 2014年
アンダース・フリーデン

| アンダース・フリーデン Anders Fridén |
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 2011年
基本情報
出生名:  パール・アンデシュ・フリデーン (Pär Anders Fridén)
生誕:   (1973-03-25) 1973年3月25日（51歳）
出身地:   スウェーデン イェーテボリ・ブーヒュース県 イェーテボリ
ジャンル:  メロディックデスメタル オルタナティヴ・メタル ニュー・メタル
職業:  ボーカリスト 作詞家 作曲家 音楽プロデューサー レコーディング・エンジニア
担当楽器:  歌
活動期間:  1989年 -
共同作業者:  イン・フレイムス パッセンジャー ダーク・トランキュリティセプティック・ブロイラー セレモニアル・オース ニュークリア・ブラスト・オールスターズ
アンダース・フリーデン (Anders Fridén、1973年3月25日 - )は、スウェーデンのヘヴィメタルミュージシャン (ボーカリスト)。イン・フレイムスのボーカリストとして著名。また、同バンドでは、作詞、作曲も行っている。この他に、音楽プロデューサー、レコーディング・エンジニアとしても活動している。また、ラッツィア・レコードのA&Rとしても活動している。
スウェーデン語に近い発音では、フルネームでパール・アンデシュ・フリデーン（Pär Anders Fridén）となる。またイン・フレイムスの2ndアルバム『The Jester Race』の日本盤においては、アンデッシュ・フリーデンと記載されていたが、3rdアルバム『Whoracle』以降は英語読みのアンダース・フリーデンへと表記が統一された。
略歴

1989年にデスメタルバンド、セプティック・ブロイラー (Septic Broiler)を結成し、活動を始める。セプティック・ブロイラーは、翌1990年にダーク・トランキュリティ (Dark Tranquillity)にバンド名を変更している。ダーク・トランキュリティは、1992年にスパインファーム・レコードと契約し、1993年に1stアルバム『Skydancer』でデビューしている。その後、アンダースは音楽的意見の相違を理由にダーク・トランキュリティを脱退している。ダーク・トランキュリティ脱退後、セレモニアル・オース (Ceremonial Oath)に加入。セレモニアル・オースでは、2ndアルバム『Carpet』に参加。その後、セレモニアル・オースは解散している。
セレモニアル・オース解散前後の1995年に、イン・フレイムス (In Flames)に加入。1996年リリースの2ndアルバム『The Jester Race』から参加するようになる。以後、イン・フレイムスのフロントマンとして活動していくこととなる。また、『The Jester Race』では、ダーク・トランキュリティのニクラス・スンディンと共作で、作詞を手掛けるようになった。4thアルバム『Colony』からは、アンダース一人で作詞を行うようになる。ただし、ニクラスは作詞はしないものの、スウェーデン語から英語への翻訳を手助けを続けていた。
またサイドプロジェクトとして、ニューメタルバンド、パッセンジャー (Passenger)を結成し、2003年には1stアルバム『Passenger』をリリースしている。パッセンジャーには、イン・フレイムスのニクラス・エンゲリン (G)、元ガーデニアンのホーカン・スコガー (B)、ドリーム・イーヴルのパット・パワー (Patrik J. Sten) (Ds)が参加していた。現在、パッセンジャーの活動は停止している。
2002年の『Reroute To Remain』でイン・フレイムスの音楽性が大きく変わったのと同時期に髭を伸ばすようになり、髪型がドレッドロックスになった。また同アルバムからボーカルスタイルも大きく変わった。低トーン、ハッシュボーカルは、ハイピッチのスクリームへと変化した。また、クリーンボーカルも使用するようになった。更に、同アルバムからは作曲にも携わるようになった。
また、1997年頃からレコーディング・エンジニア、音楽プロデューサーとしても活動している。イン・フレイムスでは、2002年の『Reroute To Remain』からミキシングに参加するようになった。
2007年には、ニュークリア・ブラスト設立20周年を記念して結成されたプロジェクトニュークリア・ブラスト・オールスターズに参加した。
2010年に、2002年頃から続けていたドレッドロックスを切り、外見が大きく変わった。
人物 > 家族

妻と息子1人、娘1人がいる。また、弟がいる。
人物 > 趣味

DVD鑑賞を趣味としている。アンダースは、"The one with the most DVDs when you die, wins."が好きな言葉であると述べている。
また、ウイスキーの熱心なコレクターとしても知られている。
地元イェーテボリのサッカークラブ、IFKイェーテボリのサポーターでもある。
イン・フレイムスのライヴで度々来日しているが、日本では寿司と日本の酒が好物であると述べている。
ディスコグラフィー > イン・フレイムス

1995年　The Jester Race
1997年　Whoracle
1999年　Colony
2000年　Clayman
2002年　Reroute To Remain
2004年　Soundtrack To Your Escape
2006年　Come Clarity
2008年　A Sense Of Purpose
2011年　Sounds of a Playground Fading
2014年　Siren Charms
2016年　Battles
2019年　I, the Mask
1997年　Black-Ash Inheritance
2002年　Cloud Connected
2003年　Trigger
2004年　The Quiet Place
2006年　Take This Life / Leeches
2006年　Come Clarity
2008年　Alias
2008年　The Mirror's Truth
2009年　Delight and Angers
2011年　Ropes
2011年　Deliver Us
2011年　Where the Dead Ships Dwell
2014年　Through Oblivion
2014年　Rusted Nail
2014年　Everything's Gone
2015年　Paralyzed
2016年　The End
2016年　The Truth
2016年　The End / The Truth
2017年　Down, Wicked & No Good
2018年　(This Is Our) House
2018年　I Am Above
2020年　Clayman (Re-Recorded)
2020年　Clayman 2020 (Re-Recorded)
2001年　The Tokyo Showdown （日本でのライブ）
1997年　Live & Plugged（ダークシード、エヴァーイヴとのスプリットビデオ）
2005年　Used & Abused - In Live We Trust
2016年　Sounds from the Heart of Gothenburg