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サウンズ・オブ・ブラックネス
来歴

1969年にラッセル・ナイトンによりミネソタ州セントポールのマカレスター大学にて結成。当初はマカレスター・カレッジ・ブラック・ヴォイセスと名乗っていた。1971年にディレクターのゲイリー・ハインズがアンサンブルの統制をとり「サウンズ・オブ・ブラックネス」と公式的に名を改めた。シンガーに加え、ギター、ベース、ドラム、パーカッション、2〜3名のキーボード、2〜3名のブラスセクションのフルバンドを含み、当初は40人を超す大所帯グループで、リード・ボーカルは長らくアン・ネズビーであった。人気を得るにつれ、いくつかのレーベルから契約の話が持ち上がったが、様々な理由により長らくレコード・デビューすることはなかった。「大所帯のグループであったり、ショウの形態や内容からレコード化が無理であったのだろう」と、後にデビューする際にハインズが語っている。 また、初期にはSounds Of Blackness という名称が幾つかのレコード会社から嫌われ、「Sounds Of Music」に改名しないかと提案されたことさえあったとも、ハインズはバイオグラフィーの中に記している。
ジャネット・ジャクソンなどを手がける大物プロデューサー・ユニットのジャム&ルイスと1980年代半ばに関わりを持った。彼等は1991年にA&Mの配給の元、パースペクティヴ・レコードを創設。このレーベルより結成から20年を経てようやくデビュー・アルバムThe Evolution of Gospelを発表することができた。同アルバムは、グラミー賞の「最優秀ゴスペルクワイアーアルバム部門」を受賞の快挙となる。
1992年、クインシー・ジョーンズが黒人のトップ・アーティストを集めて制作した一大アルバムプロジェクト、Handel's Messiah: A Soulful Celebration に参加。アルバム中の1曲は、制作のすべてがゲイリー・ハインズとサウンズ・オブ・ブラックネスに委ねられた。このアルバムものちにグラミー賞を受賞する、
この頃から、スティーヴィー・ワンダー（アルバム『カンバセーション・ピース』）、プリンス（アルバム『バットマン』）などトップ・アーティストの作品でもゴスペル・スタイルのバック・コーラスを務めてゆくことになる。
その後も順調にアルバムを発表していくが、リード・ボーカルのアンが1996年春にソロ・アルバム・デビューをし、同年の夏のツアー後にこのグループから抜けた。ミネソタから離れて住むことになったアンとは、その後も折に触れてフィーチャリング・ボーカリストとしての共演、という関係を続けている。
パートナーだったジャム&ルイスは、1999年にパースペクティヴをA&Mに売却し、レーベル閉鎖してしまう。彼等は新たにレーベルを立ち上げることとなる。
以後はマイナー・レーベルや自主レーベルよりアルバムを発表している。
2011年に発表したセルフタイトルのアルバム「The Sounds Of Blackness」で、アメリカ黒人音楽界の最高栄誉の一つ、NAACPイメージ・アワードのワールドミュージック部門を受賞。なお、様々な国からのアーティストをフィーチャーした同アルバムのレコーディングには、日本のグループ、Dreamers Union Choir が参加している。
2016年にドナルド・トランプが大統領選に当選した際には、ヒット曲「Optimistic（どんな時でも楽観的に行こう）」をテーマにした、Optimistic Callenge のキャンペーンを展開。多くのシンガーやダンサーが呼応して動画を投稿した。
2018年にはビルボードライブにて、7年ぶりの来日公演を行った。
ディスコグラフィ > スタジオ・アルバム

『エヴォリューション・オブ・ゴスペル』 - The Evolution of Gospel (1991年、Perspective)
『ナイト・ビフォア・クリスマス』 - The Night Before Christmas... A Musical Fantasy (1992年、Perspective)
『アフリカ・トゥ・アメリカ』 - Africa to America: The Journey of the Drum (1994年、Perspective)
『タイム・フォー・ヒーリング』 - Time For Healing (1997年、Perspective)
Reconciliation (1999年、Zinc)
Soul Symphony (2002年、Sounds Of Blackness)
The Night Before Christmas II (2004年、Atomic K)
Unity (2005年、SLR/Lightyear)
『キングス&クイーンズ』 - Kings & Queens - Message Music From The Movement (2007年、P-Vine)
The 3rd Gift - Story, Song & Spirit (2009年、CC Entertainment)
The Sounds of Blackness (2011年、Atomic K)
ディスコグラフィ > コンピレーション・アルバム

『リミックス・コレクション』 - Journey of the Drum Remix Collection (1995年、Perspective)
The Very Best of Sounds of Blackness (2001年、A&M)
『ザ・ベスト1200 サウンズ・オブ・ブラックネス』 - The Collection (2003年、Spectrum)
The Best of Sounds of Blackness – The Millennium Collection (20th Century Masters) (2007年、A&M)
カチナ

カチナ、またはカチーナとは、主にアメリカインディアンのホピ族が信仰する、超自然的な精霊のような存在。アリゾナ州フラッグスタッフ郊外のサンフランシスコピーク（英語版）近くの聖なる山に住んでいると言われている。ホピ族だけでなく文化的に近い関係にあるズニ族やラグナ族などにも同様の信仰が残っている。
ホピ族のカチナは総数400以上存在すると言われているが、正確な数は誰にも分からない。
属性

カチナにはその役割や形態によりカテゴリーに分けることができる。
チーフ（リーダー格、重要な役割を持つ） - Aholi, Eototo, Masaw, Ahola, Crow Mother, Chakwaina, Wupamo, Soyal, Grand Mother
警備（儀式を滞り無く行うための観客のコントロールや和を乱す者への罰を与える） - Hilili, Ewiro, Broad Face, Warrior Maiden, Owl, Ahote, Hoote, Whipper, Owango-zrozro
ダンサー（最も一般的なグループ） - ong Hair, Bean, Corn, Deer, Antelope, Humming Bird, Eagle
ランナー（4月の儀式にのみ登場しホピの男と競争する） - Rattle, Chili, Pot Carrier, Chipmunk, Kokopelli Mana, Red Kilt
道化（儀式を和ませる） - Hano Clown(Koshare), Mocking, Mud Head, Navajo Clown, Hoe
伝承

元々カチナは目に見えない存在だったが、大規模な旱魃により危機的な状況に追い込まれたホピの人々を救済するため人間的な形に姿を変え人々の前に姿を現した。カチナの助けのおかげでホピの人々の生活は劇的に良くなったが、やがてホピの生活に堕落が見えてくるとカチナ達はホピの村を立ち去ってしまう。立ち去る前にホピの人々に儀式の行い方等を教え、正しく儀式が行われた時のみカチナ達が現れると約束した。それから数百年の間ホピ族は毎年決まった時期に決められた儀式を行い、カチナの助けを借りながら生活している。
カチナドール

ホピ族の人々が儀式としてのカチナダンスの折、カチナから女の子に手渡されてきたが、現在はホピのみならず、世界中に広がっている。コットンウッドと呼ばれる木製のもので、通常ホピ族の社会に所属する精霊カチナ信仰の男性が色や形など決まりに沿って作製している。宗教的ソサエティに所属していない人々が形をまねて作るものはカチナ人形とは呼ばないが、近年お土産物やホピ以外の部族によるカチナ風人形やアーティストなどが独自で似せて作る人形をカチナ人形と表現することもあり、混乱を招いている。
元々は、儀式で精霊カチナとなる身近な男性から人形を手渡され、各家で子供たちはそれぞれのカチナの役割や格好を覚えてきた。その姿の愛らしさと神秘性から初めてホピ以外の人々の手の元に手渡ったのは、1870年代、アメリカの地理学者、ジョンウエスリー・パウエルという人物とされている。その後も民俗学者や世界中のアーティストを中心に愛好者が増え、現在ではホピ族の約2割の人々がカチナ人形制作に関わっている。カチナ人形はホピ族の現在の経済に大きくかかわっているといって過言ではない。
しかし、先に記したようにホピのソサエティに属さない（カチナ信仰の元暮らしていない人）人々が安易にカチナ人形を作製し、彼らの経済を脅かしているのも事実である。本物のカチナ人形にはそれぞれの精霊の名前が必ず表記されている。単に「カチナ」と表記されているものはカチナ人形ではなく、お土産用にホピ以外の人々が作ったものである可能性が高い。購入する際は販売店にそのカチナの具体的な意味と名前を必ず確かめた方が良い。
表記

日本語での表記は「カチナ」または「カチーナ」と記され、英語表記では「katsina」、「katcina」、「kachina」と記される。元来、ホピ語は文字表記から始まったものではなく、発音から後に文字に置き換えたものであるため、ホピの人々の間でも表記は様々だが、主に「katsina」「katcina」が使われている。ホピ語での発音は「カツィナ」、「カッツィーナ」となる。通常ホピ族が作るカチナ人形には、具体的な精霊の名前が記されているが、ナバホ族などが作るお土産用のカチナ風人形（カチナ信仰のない人が似せて作る人形）は具体的な精霊の名前は記されていない。しかしアメリカのお土産物店では「kachina」「katsina」、また日本のインディアン小物を扱うショップでは、「ホピ族の精霊人形カチナ」などと表記されていることがあるので注意が必要である。
神話本に描かれたカチナドール(1894年)
フェニックスの博物館にあるカチナドール
Our Secret Spot

『Our Secret Spot』（アワー シークレット スポット）は、2019年7月24日に発売されたthe HIATUSの6枚目のオリジナルアルバム。また同日にアルバム収録全曲のダウンロード&サブスクリプションサービスでの配信が各主要音楽配信サイトでスタートした。
概要

前作『Hands Of Gravity』から約3年ぶりとなるアルバム。アルバムタイトルの"Our Secret Spot"という言葉は、収録曲の「Chemicals」の歌詞にも使われている。全10曲を収録し、「Regrets」にはミュージック・ビデオが制作され、YouTubeで公開された。
本作は、「時代性や音楽を取り巻く環境の変化を反映させたロックバンドのサウンドデザインの更新」を目指して制作された。ストリーミングサービスを使って音楽を聴く人が増え、DAWなどの普及により誰でも色々な音を使えるようになった時代において、1990年代の保守的なロックサウンドがポピュラリティを得る日本で新たなカタルシスを生むトライはMONOEYESでもなされているが、本作で細美武士は「4枚目のアルバム（『Keeper Of The Flame』、2014年）辺りから目指していたサウンドデザインにようやくたどり着けた実感がある」「ロックバンドのサウンドデザインを更新したいと思い続けて、the HIATUSとして鳴らしたい音が一旦完成した」と語っている。具体的にはストリーミングサービスの中では音量を下げられてしまう中音域より上の歪んだ音は削り、より同時代的なサウンドを確立するためになるべく音数を減らす試みにより、新しいメロディや歌唱が引き出された。
楽曲制作については、それまではドラムの柏倉隆史とピアノの伊澤一葉が曲の"種"となるアイディアや材料を作り、細美がそれにメロディと歌詞を乗せるという工程だったが、今作では細美が先にメロディを作り、それを柏倉と伊澤がアレンジして、そこにベースのウエノコウジとギターのmasasucksが入って仕上げている曲の割合が多くなっている。
収録曲

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 全作詞: 細美武士、全作曲: the HIATUS。 | 全作詞: 細美武士、全作曲: the HIATUS。 | 全作詞: 細美武士、全作曲: the HIATUS。 |  |  |
| # | タイトル | 作詞 | 作曲・編曲 | 時間 |
| 1. | 「Hunger」 | 細美武士 | the HIATUS | 3:59 |
| 2. | 「Servant」 | 細美武士 | the HIATUS | 3:07 |
| 3. | 「Regrets」 | 細美武士 | the HIATUS | 3:57 |
| 4. | 「Time Is Running Out」 | 細美武士 | the HIATUS | 3:48 |
| 5. | 「Chemicals」 | 細美武士 | the HIATUS | 4:19 |
| 6. | 「Silence」 | 細美武士 | the HIATUS | 4:10 |
| 7. | 「Back On the Ground」 | 細美武士 | the HIATUS | 4:13 |
| 8. | 「Firefly/Life in Technicolor」 | 細美武士 | the HIATUS | 4:08 |
| 9. | 「Get Into Action」 | 細美武士 | the HIATUS | 3:46 |
| 10. | 「Moonlight」 | 細美武士 | the HIATUS | 3:48 |
演奏

細美武士：Vocals, Guitar, Programming
masasucks：Guitar
ウエノコウジ：Bass
柏倉隆史：Drums, Programming
伊澤一葉：Piano, Keyboards
アンチョダヤ急行

| アンチョダヤ急行 |
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 アンチョダヤ急行（2020年撮影）
国:   インド
運行者:  インド鉄道
使用車両:  客車 LHB客車
運行開始:  2017年
軌間:  1,676 mm
備考:  主要数値はに基づく。
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アンチョダヤ急行（英語: Antyodaya Express）は、インド鉄道が運営する列車種別の1つ。庶民向けに設定された全席自由席の長距離列車で、「アンチョダヤ」はサンスクリット語で「最底辺の人々への福祉」を意味する。
概要

2016年に発表された鉄道予算案（英語版）の中で導入が発表された列車種別の1つ。旅客需要が高い区間を走る庶民向け列車として構想されており、座席は全席自由席（General Unreserved）となっている。車内には座席としても使用可能なクッション付きの荷物ラックの他、荷物を吊り下げる事が出来るフック、充電用のソケット、消火器、監視カメラなどが設置されている。トイレは繊維強化プラスチックを用いたユニット式のバイオトイレである。また、専用塗装（ラッピング塗装）が施された客車（LHB客車）の車体は落書きなどの破損防止対策が施されている。
2017年2月から営業運転を開始したハウラー-エルナクラム・アンチョダヤ急行以降、2024年時点でアンチョダヤ急行は以下の列車が設定されている。これらの列車は停車駅を限定しており、平均速度の向上が図られている。また、一部列車は急行よりも高速運転を行う「高速急行（Superfast Express）」に位置づけられている。
ハウラー-エルナクラム・アンチョダヤ急行（英語版）（Howrah–Ernakulam Antyodaya Express）
バンドラ・ターミナス-ゴーラクプル・アンチョダヤ急行（英語版）（Bandra Terminus–Gorakhpur Antyodaya Express）
ジャイナガル-アッドナ・アンチョダヤ急行（英語版）（Jaynagar–Udhna Antyodaya Express）
ダルバンガー-ジャランダル・アンチョダヤ急行（英語版）（Darbhanga–Jalandhar City Antyodaya Express）
サントラガチー-タンバラム・アンチョダヤ急行（英語版）（Santragachi–Tambaram Antyodaya Express）
タンバラム-ナーガルコーイル・アンチョダヤ急行（英語版）（Tambaram–Nagercoil Antyodaya Express）
コチュヴェリ-マンガルール・ジャンクション・アンチョダヤ急行（英語版）（Kochuveli–Mangaluru Junction Antyodaya Express）
ダルバンガー-ヴァーラーナシー・アンチョダヤ急行（英語版）（Darbhanga–Varanasi City Antyodaya Express）
ジャイナガル-ロクマンニャ・ティラック・ターミナス・アンチョダヤ急行（英語版）（Jaynagar–Lokmanya Tilak Terminus Antyodaya Express）
ゴーラクプル-ムンバイ・アンチョダヤ急行（英語版）（Gorakhpur–Mumbai Antyodaya Express）
チャプラ-ロクマンニャ・ティラック・ターミナス・アンチョダヤ急行（英語版）（Chhapra–Lokmanya Tilak Terminus Antyodaya Express）
ラクサウル-ロクマンニャ・ティラック・ターミナス・アンチョダヤ急行（英語版）（Raxaul–Lokmanya Tilak Terminus Antyodaya Express）
ダルバンガー-アフマダーバード・アンチョダヤ急行（英語版）（Darbhanga–Ahmedabad Antyodaya Express）
サム・シンガー

| サム・シンガー Sam Singer |
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生誕:  1912年8月27日
死没:  2001年1月25日(89歳没)
テンプレートを表示
サム・シンガー （Sam Singer、1912年8月27日– 2001年1月25日） は、アメリカ合衆国のアニメプロデューサー。 彼は後に初期のエピソードの一部としても登場した漫画、彼は、 『パウワウ坊や』の制作総指揮を務めたことでも知られており、このアニメはのちに初期の『キャプテンカンガルー（英語版）』にて放送された。
また、彼は 『バッキーとペピート』や『The Adventures of Paddy the Pelican（英語版）』にて監督を務めた。
アニメーション歴史家のジェリー・ベック（Jerry Beck）は、シンガーが手掛けた作品群がいずれも低予算で評判が悪かったことに触れ、「アニメ界のエド・ウッド 」と呼んでいる。
フィルモグラフィ

パウワウ坊や （1949）
The Adventures of Paddy the Pelican（英語版）（1950）
バッキーとペピート （1959）
カレイジャス・キャット （1960）
少年シンドバッド（1965）
クロード・パスカル (作曲家)

クロード・ルネ・ジョルジュ・パスカル (2002)
クロード・ルネ・ジョルジュ・パスカル（Claude René Georges Pascal, 1921年2月19日 - 2017年2月28日）は、フランスの作曲家。
略歴

パリに生まれ、10歳でパリ音楽院に入学。1945年に、合唱曲「密輸業者の冗談」（la farce de contrebandier）でローマ賞を受賞。その後1950年にパリ音楽院の教授に就任。また批評家としての活動も知られている。
音楽

パスカルは合唱曲や舞台音楽なども作曲しているが、最も良く知られているのは室内楽曲・協奏曲などの器楽曲である。
音楽 > 合唱曲

密輸業者の冗談 la farce de contrebandier （1945年）
音楽 > 協奏曲

ピアノ協奏曲 concerto pour piano et orchestre de chambre （1958年）
チェロ協奏曲 concerto pour violoncelle et orchestre （1959年）
ハープ協奏曲 concerto pour harpe et orchestre （1967年）
フルート協奏曲 concerto pour flûte et orchestre （1998年）
音楽 > 室内楽曲

弦楽四重奏曲 quatuor à cordes （1942年）
サクソフォーン四重奏曲 quatuor à saxophones （1961年）
音楽 > その他の器楽曲

ヴァイオリンソナタ第1番 sonate pour violon et piano Nr. 1 （1947年）
アルトサクソフォーンとピアノのためのソナチネ Sonatine: pour saxophone alto et piano （1948年）
ヴァイオリンソナタ第2番 sonate pour violon et piano Nr.2 （1963年）
3つの伝説 trois légendes （1964年）
2本のフルートのためのソナタ sonate pour deux flûtes （2003年）
ムーア・ペンローズ逆行列

イライアキム・ムーア（1862–1932）
ロジャー・ペンローズ（1931–）
数学、特に線形代数において、行列  A のムーア・ペンローズ逆行列（英: Moore–Penrose inverse）  A^{+} は、逆行列の最もよく知られている一般化である。 ムーア・ペンローズ形一般逆行列とも呼ばれる。1920年にE・H・ムーアに、1951年にArne Bjerhammar（英語版）に、1955年にロジャー・ペンローズによって独立して記述された。それ以前、 エリック・イヴァル・フレドホルムは、1903年に積分演算子の擬似逆行列の概念を導入していた。行列について述べる場合、特段の指定がない限り、擬似逆行列という用語はムーア・ペンローズ逆行列を指すことが多い。一般化逆行列という用語は、擬似逆行列の同義語として用られることがある。
擬似逆行列の一般的な使用法は、解がない線形連立方程式の「最適」（最小二乗（英語版））解を計算することである（以下の応用を参照）。ほかに、複数の解を持つ線形連立方程式の最小（ユークリッド）ノルム解を求めることにも用いられる。擬似逆行列によって、線形代数での結果の表現と証明が容易になる。
擬似逆行列は、成分が実数または複素数であるすべての行列に対して定義され、一意に定まる。特異値分解を用いて計算できる。
表記

以下の説明では、次の表記規約に従うものとする。
\mathbb {R}  と  \mathbb {C}  はそれぞれ実数体または複素数体を表し、  \mathbb {k}  はこれらのいずれかを表すものとする。  \mathbb {k}  上の  m\times n 行列のベクトル空間を  \mathbb {k} ^{m\times n} で表す。
A\in \mathbb {k} ^{m\times n} に対して、  A^{\intercal } と  A^{*} はそれぞれ、転置行列とエルミート転置行列（随伴行列とも呼ばれる）を表す。  \mathbb {k} =\mathbb {R}  のときは、 A^{*}=A^{\intercal } である。
A\in \mathbb {k} ^{m\times n} に対して、 \operatorname {ran} A （「値域(range)」の略）は、  A の列空間（像）（ A の列ベクトルが張る空間）を表し、 \ker A は  A の核（零空間）を表す。
最後に、任意の正の整数  n に対して  I_{n}\in \mathbb {k} ^{n\times n} は  n\times n 単位行列を表す。
定義

A\in \mathbb {k} ^{m\times n} に対して、 A の擬似逆行列は、ムーア・ペンローズ条件として知られる次の4つの条件をすべて満たす行列  A^{+}\in \mathbb {k} ^{n\times m} として定義される：
AA^{+}A=A
 AA^{+}は一般恒等行列である必要はないが、 A のどの列ベクトルも A 自身に写す。
A^{+}AA^{+}=A^{+}
 A^{+}は弱逆行列（英語版）のように振る舞う。
\left(AA^{+}\right)^{*}=AA^{+}
 AA^{+}はエルミート行列。
\left(A^{+}A\right)^{*}=A^{+}A
 A^{+}Aもエルミート行列。
A^{+} はすべての行列 A に対して存在するが、 A がフルランク（すなわち、 A のランクが  \min\{m,n\} である）であるならば、 A^{+} は単純な代数式として表される。
A の列ベクトルが線型独立である（したがって行列  A^{*}A は可逆である）ならば、 A^{+} は次のように計算できる。 A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}このような擬似逆行列は左逆行列となる。この場合、  A^{+}A=I_{n} となる。
A の行ベクトルが線型独立である（行列  AA^{*} が可逆である）ならば、 A^{+} は次のように計算できる。 A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}これは右逆行列となり、  AA^{+}=I_{m} となる。
特徴 > 存在と一意性

擬似逆行列は存在し、一意に定まる：任意の行列 A に対して、定義の4つの条件を満たす行列  A^{+} が唯一つ存在する。
定義の最初の条件 AA−A = A を満たす行列 A− は、 行列 A の一般逆行列（generalized inverse）として知られている。定義の二条件 AA×A = A と A×AA× = A× を満たす行列 A× は、行列 A の反射形一般逆行列（reflexive generalized inverse）と呼ばれる。一般逆行列は常に存在するが、一般に一意に定まらない。一意性は、最後の2つの条件から導かれる。
特徴 > 基本的な特徴

以下の特徴の証明は、証明サブページに記した。
A が実行列であれば、  A^{+} も実行列である。
A が可逆ならば、A の擬似逆行列は A の逆行列である。 A^{+}=A^{-1} 。
零行列の擬似逆行列は零行列の転置となる。
擬似逆行列の擬似逆行列は、元の行列になる。  \left(A^{+}\right)^{+}=A 。
擬似逆行列の操作は、転置、複素共役、および共役転置の各操作と交換できる。
 {\begin{aligned}\left(A^{\intercal }\right)^{+}&=\left(A^{+}\right)^{\intercal }\\\left({\overline {A}}\right)^{+}&={\overline {A^{+}}}\\\left(A^{*}\right)^{+}&=\left(A^{+}\right)^{*}\end{aligned}}
A の定数倍行列の擬似逆行列は、定数の逆数をかけたものになる：
 \left(\alpha A\right)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+} ただし  \alpha \neq 0。
特徴 > 基本的な特徴 > 恒等関係

次の恒等式を用いて、擬似逆行列を含む式の一部を簡略化したり展開できる。 A=AA^{*}A^{+*}=A^{+*}A^{*}A同じことであるが、 A を  A^{+} で置き換えると以下の式が得られる。 A^{+}=A^{+}A^{+*}A^{*}=A^{*}A^{+*}A^{+} A を  A^{*} で置き換えると以下の式になる。 A^{*}=A^{*}AA^{+}=A^{+}AA^{*}
特徴 > エルミートの場合への還元

擬似逆行列の計算は、エルミートの場合の構成法に還元できる。これは、以下の等価性によるものである。 A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{+}A^{*}ここで、 A^{*}A と  AA^{*} はエルミートである。
特徴 > 積

A\in \mathbb {k} ^{m\times n},B\in \mathbb {k} ^{n\times p} とする。すると、以下は同値になる。
(AB)^{+}=B^{+}A^{+}
A

+


A
B

B

∗



A

∗





=
B

B

∗



A

∗


,




B

B

+



A

∗


A
B



=

A

∗


A
B
.






{\textstyle {\begin{aligned}A^{+}ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{+}A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}}
{\begin{aligned}\left(A^{+}ABB^{*}\right)^{*}&=A^{+}ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{+}\right)^{*}&=A^{*}ABB^{+}.\end{aligned}}
A^{+}ABB^{*}A^{*}ABB^{+}=BB^{*}A^{*}A
{\begin{aligned}A^{+}AB&=B(AB)^{+}AB,\\BB^{+}A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{+}.\end{aligned}}
以下は  (AB)^{+}=B^{+}A^{+} の十分条件である（このうちのいずれか一つを満たせば十分である）：
A が正規直交列を持つ（このとき A^{*}A=A^{+}A=I_{n} ）
B が正規直交行を持つ（このとき BB^{*}=BB^{+}=I_{n} ）
A の列が線型独立であり（  A^{+}A=I_{n} ）、かつ B の行が線型独立である（  BB^{+}=I_{n} ）
B=A^{*}
B=A^{+}
以下は  (AB)^{+}=B^{+}A^{+} の必要条件である：
(A^{+}A)(BB^{+})=(BB^{+})(A^{+}A)
最後の十分条件から以下の式が導かれる。 {\begin{aligned}\left(AA^{*}\right)^{+}&=A^{+*}A^{+},\\\left(A^{*}A\right)^{+}&=A^{+}A^{+*}.\end{aligned}}注意：等式  (AB)^{+}=B^{+}A^{+} は一般には成り立たない。反例は以下の通り： {\Biggl (}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}{\Biggr )}^{+}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}\quad \neq \quad {\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{4}}&0\\{\tfrac {1}{4}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{2}}\\0&{\tfrac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}^{+}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}
特徴 > 射影

A\in \mathbb {k} ^{m\times n} とする。 P=AA^{+} と  Q=A^{+}A は直交射影演算子である。つまり、これらはエルミート（  P=P^{*} 、  Q=Q^{*} ）およびべき等（  P^{2}=P と  Q^{2}=Q ）であり、以下の事柄が成り立つ：
PA=AQ=A かつ  A^{+}P=QA^{+}=A^{+}
P が A の値域への直交射影作用素である（これは、  A^{*} の核の直交補空間に等しい）。
Q が  A^{*} の値域への直交射影作用素である（これは、 A の核の直交補空間に等しい）。
I_{n}-Q=I_{n}-A^{+}A は A の核への直交射影作用素である。
I_{m}-P=I_{m}-AA^{+} は  A^{*} の核の直交射影作用素である。
最後の2つの特徴は、以下の等式を意味する。
A\,\ \left(I_{n}-A^{+}A\right)=\left(I_{m}-AA^{+}\right)A\ \ =0
A^{*}\left(I_{m}-AA^{+}\right)=\left(I_{n}-A^{+}A\right)A^{*}=0
他の特徴は以下の通り。 A\in \mathbb {k} ^{n\times n} はエルミートかつべき等であり（正射影を表す場合かつその場合に限って真）、任意の行列  B\in \mathbb {k} ^{m\times n} に対して以下の等式が成り立つ。 A(BA)^{+}=(BA)^{+}これは、行列  C=BA 、  D=A(BA)^{+} を定義することで証明できる。 A がエルミートでべき等であるという、擬似逆行列の特徴を満たすことを確認することにより、 D が実際に C の擬似逆行列になっていることを確認すればよい。
最後の特徴から、  A\in \mathbb {k} ^{n\times n} がエルミートかつべき等であるならば、任意の行列  A\in \mathbb {k} ^{n\times m} に対して以下の式が成り立つ。 (AB)^{+}A=(AB)^{+}最後に、 A は直交射影行列であるならば、その擬似逆行列は元の行列と自明に一致する。つまり、  A^{+}=A 。
特徴 > 幾何学的構成

行列  A\colon \mathbb {k} ^{n}\to \mathbb {k} ^{m} を体  \mathbb {k}  上の線型写像として見ると、  A^{+}\colon \mathbb {k} ^{m}\to \mathbb {k} ^{n} は次のように分解できる。ここで、  \oplus  を直和、 \perp  を直交補空間、  \operatorname {ker}  を写像の核、そして  \operatorname {ran}  を写像の像とする。 \mathbb {k} ^{n}=\left(\ker A\right)^{\perp }\oplus \ker A となり  \mathbb {k} ^{m}=\operatorname {ran} A\oplus \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp } となることに注意せよ。 A\colon \left(\ker A\right)^{\perp }\to \operatorname {ran} A と制限すると、同型写像となる。これは、  \operatorname {ran} A 上で  A^{+} がこの同型写像の逆写像となり、  \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp } 上で核が逆写像となることを含意する。
言い換えれば：  \mathbb {k} ^{m} の元  b が与えられたとき、 A^{+}b を探すために、まず  A の値域に直交するように  b を射影し、値域内の点  p(b) を探す。次に  A^{-1}(\{p(b)\}) を作る。すなわち、  \mathbb {k} ^{n} に属し、  A を  p(b) に写すベクトルを探す。これは  A の核に平行する  \mathbb {k} ^{n} のアフィン部分空間になる 。長さが最小の（つまり、原点に最も近い）を持つこの部分空間の元が、求めたい答え  A^{+}b になる。  A^{-1}(\{p(b)\}) の任意の元を選び、それを  A の核の直交補空間に直交して投影することで求まる。
この説明は、線型連立方程式の最小ノルム解と密接に関連する。
特徴 > 部分空間

{\begin{aligned}\ker A^{+}&=\ker A^{*}\\\operatorname {ran} A^{+}&=\operatorname {ran} A^{*}\end{aligned}}
特徴 > 極限関係

擬似逆行列は以下の極限を持つ。 A^{+}=\lim _{\delta \searrow 0}\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*}=\lim _{\delta \searrow 0}A^{*}\left(AA^{*}+\delta I\right)^{-1}（チコノフ正則化を参照）。  (AA^{*})^{-1} や  (A^{*}A)^{-1} が存在しない場合にも、これらの極限は存在する。
特徴 > 連続性

通常の逆行列とは対照的に、擬似逆行列を求める操作は連続的ではない。行列の列  (A_{n}) が行列  A に収束する（たとえば、最大ノルムまたはフロベニウスノルムの意味で）ならば、 (A_{n})^{+} が  A^{+} に収束する必要はない。ただし、すべての行列  A_{n} が  A と同じランクであれば、 (A_{n})^{+} は  A^{+} に収束する。
特徴 > 導関数

ある点  x で定数のランクを持つ実数値の擬似逆行列の導関数は、元の行列の導関数で計算できる：
 {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{+}(x)=-A^{+}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A\right)A^{+}~+~A^{+}A^{+\intercal }\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{\intercal }\right)\left(I-AA^{+}\right)~+~\left(I-A^{+}A\right)\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}A^{\intercal }\right)A^{+\intercal }A^{+}
例

可逆行列の場合、擬似逆行列は通常の逆行列に等しいため、以下では非可逆行列の例のみを扱う。
A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}} について、疑似逆行列は  A^{+}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}} である（一般に、零行列の疑似逆行列は元の行列の転置となる）。この疑似逆行列の一意性は、零行列の積は常に零行列であるため、条件  A^{+}=A^{+}AA^{+} からわかる。
A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}} について、疑似逆行列は  A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}} である。

実際、  A\,A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}} であり、したがって  A\,A^{+}A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A である。

同様に、  A^{+}A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}, であり、したがって  A^{+}A\,A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{+} である。
A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}} について、  A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}。
A={\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}} について、  A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\\0&0\end{pmatrix}}。 (分母は  5=1^{2}+2^{2}。)
A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}} について、  A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}。
A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}} について、疑似逆行列は  A^{+}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}} である。

この行列について、左逆行列が存在し、ゆえに  A^{+} と一致する。実際、  A^{+}A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}} である。
特殊なケース > スカラー

スカラーとベクトルの擬似逆行列を定義することもできる。この場合、これらを行列として扱うことになる。スカラー  x の擬似逆行列は、  x がゼロの場合はゼロになり、それ以外の場合は  x の逆数となる： x^{+}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0;\\x^{-1},&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}
特殊なケース > ベクトル

零（すべてゼロ）ベクトルの擬似逆行列は、転置された零ベクトルである。非零ベクトルの擬似逆行列は、共役転置ベクトルをその2乗の大きさで割ったものになる。 {\vec {x}}^{+}={\begin{cases}{\vec {0}}^{\intercal },&{\mbox{if }}{\vec {x}}={\vec {0}};\\{\dfrac {{\vec {x}}^{*}}{{\vec {x}}^{*}{\vec {x}}}},&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}
特殊なケース > 線型独立な列ベクトル

A\in \mathbb {k} ^{m\times n} の列が線型独立の場合（ m\geq n）、 A^{*}Aは可逆である。この場合の明示的な式は以下の通り。 A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}つまり、  A^{+} は  Aの左逆行列となる： A^{+}A=I_{n}
つまり、  A^{+} は  Aの右逆行列となる： AA^{+}=I_{m}
特殊なケース > 線型独立な行ベクトル

A\in \mathbb {k} ^{m\times n} の行が線型独立の場合（ m\leq n）、 AA^{*}は可逆である。この場合の明示的な式は以下の通り。 A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}これは、列フルランクまたは行フルランクの特殊なケースである（上記で扱った）。  A が正規直交列（  A^{*}A=I_{n} ）または正規直交行（  AA^{*}=I_{m} ）を持つならば、以下の式が成り立つ：
つまり、  A^{+} は  Aの右逆行列となる： AA^{+}=I_{m}
特殊なケース > 正規直交列ベクトルまたは行ベクトル

これは、列フルランクまたは行フルランクの特殊なケースである（上記で扱った）。  A\in \mathbb {k} ^{m\times n} が正規直交列（  A^{*}A=I_{n} ）または正規直交行（  AA^{*}=I_{m} ）を持つならば、以下の式が成り立つ： A^{+}=A^{*}
特殊なケース > 2次正方行列

2次正方行列
の擬似逆行列は  ad-bc\neq 0 のとき、
である。  ad-bc=0 のとき、  A\neq O のときは
となる。  A=O のときは
である。
特殊なケース > 正規行列

A が 正規行列、つまり、共役転置が可換であれば、その擬似逆行列は、それを対角化し、すべての非ゼロ固有値をそれらの逆数に、ゼロ固有値をゼロに写すことで計算できる。当然、  A が転置について可換であるとは、それがその擬似逆行列で可換であることを意味します。
特殊なケース > 直交射影行列

これは、固有値が0と1の正規行列の特殊なケースである。 A が直交射影行列、つまり、  A=A^{*} かつ  A^{2}=A であれば、擬似逆行列は行列自体と自明に一致する： A^{+}=A
特殊なケース > 巡回行列

C が巡回行列の場合、フーリエ変換で特異値分解ができる。つまり、特異値はフーリエ係数となる。 {\mathcal {F}} を離散フーリエ変換（DFT）行列とすると、
 {\begin{aligned}C&={\mathcal {F}}\cdot \Sigma \cdot {\mathcal {F}}^{*}\\C^{+}&={\mathcal {F}}\cdot \Sigma ^{+}\cdot {\mathcal {F}}^{*}\end{aligned}}
構造 > ランク分解

r\leq \min(m,n) で  A\in \mathbb {k} ^{m\times n} の ランクを表すとする。すると  A は  A=BC として（ランク）分解することができる。ここで、  B\in \mathbb {k} ^{m\times r},C\in \mathbb {k} ^{r\times n} のランクは  r である。このとき
となる。
構造 > QR分解

\mathbb {k} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \} で積  AA^{*},A^{*}A やそれらの逆行列を直接計算すると、実際には数値の丸め誤差や計算コストがたびたび生じる。逆行列の計算には、上記の代わりに  A のQR分解を用いる方法がある。
A が列フルランクの場合を考える。このとき  A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*} である。すると、コレスキー分解 A^{*}A=R^{*}R （ R は上三角行列）を用いることができる。逆行列の乗算は、複数右辺ベクトルを持つ連立方程式を解くことで簡単に行える。 A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}\quad \Leftrightarrow \quad \left(A^{*}A\right)A^{+}=A^{*}\quad \Leftrightarrow \quad R^{*}RA^{+}=A^{*}これは、前進代入と後退代入で解くことができる。
コレスキー分解の代わりに  QR分解  A=QR を用いることで、 A^{*}A を明示的に構築せずに計算できる。ここで、  Q は正規直交列を持ち、  Q^{*}Q=I 、そして  R 上三角行列である。このとき A^{*}A\,=\,(QR)^{*}(QR)\,=\,R^{*}Q^{*}QR\,=\,R^{*}Rそれでのコレスキー因子である 。
行フルランクの場合は、式  A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1} を用い、 A と  A^{*} を入れ替えた同様の議論で対処可能である。
構造 > 特異値分解（SVD）

計算上単純で正確な擬似逆行列を計算する方法は、特異値分解である。 A=U\Sigma V^{*}を  A の特異値分解とすると、  A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*} となる。 \Sigma  のような長方対角行列の場合、対角成分の各非ゼロ要素は逆数を取り、ゼロをそのままにして、行列を転置することにより、擬似逆行列が得られる。数値計算では、許容誤差よりも大きい要素のみが非ゼロと見なされ、他の要素はゼロに置き換えられる。たとえば、 MATLABやGNUOctaveのpinv関数の場合、許容誤差は t = ε⋅max(m, n)⋅max(Σ) で与えられる。ここで、εは計算機イプシロンである。
この方法の計算コストは、SVDの計算コストが支配的である。これは、最先端の実装（LAPACKなど）が使用されている場合でも、行列同士の乗算よりも数倍重い。
上記の手順は、擬似逆行列の計算が連続演算ではない理由を示している。元の行列  A が特異値0（上記行列  \Sigma  の対角成分）を持つ場合、 A のわずかな変更によってこのゼロが小さな正の数に変わる可能性があり、それによって、小さな数の逆数を求める必要が生じ、擬似逆行列に大きな影響を与えうる。
構造 > ブロック行列

ブロック構造化された行列の擬似逆行列を計算するための最適化されたアプローチ（英語版）が存在する。
構造 > ベン・イスラエル(Ben-Israel)とコーエン(Cohen)の反復法

他に、再帰を用いて擬似逆行列を計算する方法（ドラジン逆行列（英語版）を参照）がある。 A_{i+1}=2A_{i}-A_{i}AA_{i}これは、超べき列(hyper-power sequence)と呼ばれることもある。この再帰は、適切な  A_{0} から始まり、  A_{0}A=\left(A_{0}A\right)^{*} を満足する場合、 A の擬似逆行列に2次的に収束する列を生成する。 A_{0}=\alpha A^{*} という選び方（ここで 0<\alpha <2/\sigma _{1}^{2}(A) であり、  \sigma _{1}(A)は  A の最大の特異値を示す）は、上記のSVDを使用する方法と競合しないと主張されている。これは、適度に悪条件の行列であっても、 A_{i} が二次収束の領域に入る前に長い時間がかかるためである。ただし、 A_{0} がすでにムーア・ペンローズ逆行列に近く、  A_{0}A=\left(A_{0}A\right)^{*} ならば、 例えば A_{0}:=\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*} ならば、収束は高速である（二次）。
構造 > 擬似逆行列の更新

A が行または列フルランクで、かつ相関行列の逆行列（ A が行フルランクの場合は  AA^{*}、列フルランクの場合は A^{*}A）がすでに既知であるならば、 A に関連する行列の擬似逆行列は、シャーマン・モリソン・ウッドベリーの式（英語版）を適用して相関行列の逆行列を更新することで計算できる。これにより、必要な作業が少なて済む可能性がある。特に関連する行列について、変更、追加、または削除された行・列のみが元の行列と異なる場合、その関係を利用する増分アルゴリズムが存在する 。
同様に、行または列が追加されたときに、相関行列の逆行列を明示的に作成せずに、コレスキー係数を更新することができる。ただし、一般のランク不足の場合、擬似逆行列の更新は非常に複雑である 。
構造 > ソフトウェアライブラリ

SVD、QR、および後方代入の高品質な実装は、 LAPACKなどの標準ライブラリで利用できる。 SVDの独自実装の作成には、高度な数値計算の専門知識を必要とする。ただし、並列コンピューティングや組み込みコンピューティングなどの特殊な状況では、QRによる代替実装、または明示的な逆行列の使用が望ましい場合があり、独自実装は避けられない場合がある。
PythonパッケージNumPyでは、関数matrix.Iとlinalg.pinvを利用できる。pinvはSVDベースのアルゴリズムを使用する。 SciPyでは、最小二乗ソルバーを使用する関数scipy.linalg.pinvを利用できる。
RのMASSパッケージでは、 ginv関数でムーア・ペンローズ逆行列の計算が行える。 ginv関数は、ベースRパッケージのsvd関数による特異値分解を使用して擬似逆行列を計算する。他に、pracmaパッケージで利用可能なpinv関数を使用する方法もある。
Octaveプログラミング言語は、標準パッケージ関数pinvおよびpseudo_inverse()メソッドを介して擬似逆行列を計算できる。
Julia（プログラミング言語）では、標準ライブラリのLinearAlgebraパッケージが、特異値分解を介して実装されたムーア・ペンローズ逆行列の実装 pinv() を提供する。
応用 > 線型最小二乗法

擬似逆行列によって、連立一次方程式の最小二乗解が求まる。  A\in \mathbb {k} ^{m\times n} を係数行列とする以下の連立一次方程式が与えられた場合を考える。 Ax=b一般的に、連立方程式を解くベクトル  x が存在しないか、存在する場合は一意ではない可能性がある。擬似逆行列は、「最小二乗」問題を次のように解く。
任意の  x\in \mathbb {k} ^{n} について、  \left\|Ax-b\right\|_{2}\geq \left\|Az-b\right\|_{2} となる。ここで、  z=A^{+}b であり、  \|\cdot \|_{2} はユークリッドノルムを表す。等号は、任意のベクトル  w\in \mathbb {k} ^{n} が  x=A^{+}b+\left(I_{n}-A^{+}A\right)w を満たすとき、またそのときに限って成り立つ。  A が列フルランク（ (I_{n}-A^{+}A) が零行列）でない限り、これは無数の最小解を与える。 最小ユークリッドノルムの解は  z である。
ユークリッドノルムをフロベニウスノルムに置き換えると、複数右辺ベクトルを持つ連立方程式に簡単に拡張できる。 B\in \mathbb {k} ^{m\times p} とすると、次のようになる。
任意の  X\in \mathbb {k} ^{n\times p} について、 \|AX-B\|_{\mathrm {F} }\geq \|AZ-B\|_{\mathrm {F} } となる。ここで  Z=A^{+}B であり、 \|\cdot \|_{\mathrm {F} } はフロベニウスノルムを表す。