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特性類
ベクトルバンドルの構造群の分類空間 > 普遍n-平面バンドル

分類定理で述べたように、GnK∞上の主GLn(K)-バンドルVnK∞に随伴するn次元ベクトルバンドルは、任意のCW複体X上のn次元ベクトルバンドルを分類する上で有益である。このためVnK∞に随伴するn次元ベクトルバンドルの事を普遍n-平面バンドル（英: universal n-plane bundle）と呼ぶ。
バンドルの一般論から、普遍n-平面バンドルは (V_{n}K^{\infty }\times K^{n})/GL_{n}(K)と表記できるが、より具体的に表記する事も可能である。
グラスマン多様体GnKmはKmのn次元部分ベクトル空間全体のなす多様体なので、グラスマン多様体の元V＝ベクトル空間上のファイバーとして、V自身を取ったベクトルバンドルを定義でき、これをグラスマン多様体のトートロジカル・バンドル（英語版）と呼ぶが、GnK∞のトートロジカル・バンドルが普遍n-平面バンドルになっている。
具体的には
とし、第一成分への射影 \pi _{n}^{m}~:~(V,v)\in E_{n}^{m}\mapsto V\in G_{n}K^{m}により E_{n}^{m}をGnKm上のベクトルバンドルとみなしたものがGnKmのトートロジカル・バンドルであり、m→∞に関する帰納的極限をとった
が普遍n-平面バンドルになっている。
複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類

本章では、複素ベクトルバンドルの特性類であるチャーン類について述べる。これまでの議論からわかるように、複素ベクトルバンドルの整数係数の特性類とは分類空間
のコホモロジー H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の元と1対1対応するので、 H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の具体的構成を調べる事で複素ベクトルバンドルの特性類を決定できる。チャーン類は、 H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の生成元である。
複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類 > H*(BU(n);ℤ)の具体的記述

チャーン類について記述するため、まず H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の具体的構成を調べる。 n=1に対しては以下が成立する：
補題 ― 
 H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )をカップ積に関して次数付き環とみなしたとき、ある \alpha \in H^{2}(BU(1);\mathbb {Z} )が存在し、
が成立する。ここで \mathbb {Z} [\alpha ]は変数 \alpha に関する \mathbb {Z} に関する多項式環である。
なお、上の補題において \alpha は偶数次のコホモロジーの元なので、 \mathbb {Z} [\alpha ]上カップ積は可換であるため、 \mathbb {Z} [\alpha ]が可換環であるという事実と矛盾しない。
一般のnに対して H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の具体的構造を求めるため、連続準同型写像
を考える。ここで A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}は A_{1},\ldots ,A_{n}をn×n行列の対角成分に配置した U(n)の元である。（なおリー群の観点からは、 U(n)の極大トーラス U(1)^{n}である）。このとき以下が成立する。
補題 (Splitting Principle) ― 
 \iota が誘導する写像
は単射環準同型である。ここでαiはi番目の H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )の生成元である。
なお、上式においてコホモロジー環における積はカップ積である。また上式の値域における同型は直積に対する分類空間の振る舞いとKünnethの公式（英語版）、および上記の補題から従う。
以上の事実から、後は H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の \iota ^{*}による像が \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]のどのような部分集合に落ちるかを決定すれば、 H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )を具体的に書きあらわす事ができる。
H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の像を決定するため、主バンドル一般に対して成立する以下の事実を利用する：
命題 ― 
任意の位相群G、および任意の g\in Gに対し、G上の内部自己同型 \varphi _{g}~:~h\mapsto ghg^{-1}がBGに誘導する写像
は恒等写像とホモトープである。
命題を示すため、まず任意のu ∈ Gに対し、バランス積 P\times _{\varphi _{u}}GはG-主バンドルとしてPと同型である事を示す。実際、 P\times _{\varphi _{u}}GはP × Gを同値関係 (a,h)\simeq (ag^{-1},\varphi _{u}(g)h)で割ったものとして定義されるので、写像 \mu ~:~P\to P\times _{\varphi _{u}}Gを a\mapsto [(au,1)]により定義すると、任意の [(a,h)]\in P\times _{\varphi _{u}}Gは (a,h)=(a,\varphi _{u}(\varphi _{u^{-1}}(h)))\simeq (a\varphi _{u^{-1}}(h),1)を満たすのでμは全射である。また明らかに \mu (a)=\mu (b)\iff [(a,1)]=[(b,1)]\iff a=bなので、μは単射でもある。μとμ-1の連続性の証明は省略する。
以上の事実を用いて命題を示す。定義より B\varphi _{g}~:~BG\to BGは主バンドル PB\times _{\varphi _{g}}G\to BGに対応する分類写像であり、上記の議論によりこの主バンドルは PG\to BG自身に等しいので、分類定理より B\varphi _{A}は恒等写像とホモトープである。
A\in U(n)に対し \varphi _{A}~:~B\mapsto ABA^{-1}を U(n)上の内部自己同型とすると、上述の命題より、 \varphi _{A}がコホモロジー群に誘導する写像
は恒等写像である。単射 \iota により U(1)^{n}を U(n)の部分群とみなし、 U(1)^{n}の正規化群
を U(1)^{n}の中心化群
で割った W=N/Zを考え、
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここで [A]\in W=N/Zは同値類を表す。
Zの元Aによる内部自己同型写像 \varphi _{A}は U(1)^{n}上の恒等写像なので条件式 \varphi _{A}{}^{*}(u)=uは [A]\in N/Zの代表元の取り方によらない。
また図式
が可換である事から、 \iota ^{*}の像は確かに
に落ちる事がわかる。
このとき次の事実が従う事が知られている：
定理 ― 写像
は環同型である。
一般に連結なコンパクトリー群Gに対し、Gの極大トーラスをTとするとき、Tの正規化群 N:=\{g\in G\mid \varphi _{g}(T)=T\}を中心化群 Z:=\{g\in G\mid \forall t\in T~:~\varphi _{g}(t)=t\}で割った群
の事をGのワイル群という。なお極大トーラスは共役を除いて一意に定まる事が知られているので、ワイル群は極大トーラスの取り方によらず同型になる。またTの極大性から中心化群Z(G)は実はT自身に等しい。
明らかに前述のWは U(n)のワイル群に相当する。後は U(n)のワイル群を決定しさえすれば、 H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\approx H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}の構造が決定できる。
複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類 > チャーン類

P_{ij}~:~\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}を第i成分と第j成分を入れ替える行列とすると、明らかに [P_{ij}]\in Wである。この事実を利用すると、以下の事実が示せる：
定理 ―  U(n)のワイル群 W=W(U(n))は置換群と群同型であり、Wは U(1)^{n}の成分の入れ替えとして U(1)^{n}に作用する。
定理を示すために U(1)^{n}の U(n)における正規化群Nから A\in Nを任意に選び、Aの形を決定する。
そのために u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} を |u_{i}|=1を満たす相異なる複素数とし、 U=u_{1}\oplus \cdots \oplus u_{n}\in U(n)を u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} を対角成分に置いた行列とする。e1、...、enを \mathbb {C} の標準的な基底とし、eiが張る複素1次元部分空間をEiとすると、Uが対角行列である事から、EiはUの固有値uiに関する固有空間である。
Aが正規化群Nの元である事から、 AUA^{-1}\in U(1)^{n}である。すなわち |c_{i}|=1を満たす c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {C} が存在し、 C=c_{1}\oplus \cdots \oplus c_{n}とすると、 AUA^{-1}=Cが成立する。Cも対角行列である事から、 v_{i}=e_{i}Aとしてviが張る複素1次元部分空間をViとすると、ViはCの固有値viに関する固有空間である。
固有値分解の一意性より、ある置換 \sigma ~:~\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}が存在し、 v_{i}=u_{\sigma (i)}かつ V_{i}=E_{\sigma (i)}が成立する。Vi、Eσ(i)はそれぞれvi、eσ(i)が張る複素1次元部分空間なので、ある a_{i}\in \mathbb {C} が存在し、 v_{i}=a_{i}e_{\sigma (i)}が成立する。
よって P_{\sigma }を置換行列 P_{\sigma }=(\delta _{i,\sigma (j)})_{i,j}とする（ \delta _{i,j}はクロネッカーのデルタ）とき、viの定義より
が成立する。
A\in N\subset U(n)はユニタリ行列なので、 |a_{i}|=1,~~i=1,\ldots ,nが成立する。すなわち (a_{1}\oplus \cdots \oplus a_{n})\in U(1)^{n}である。よってワイル群 W=N/U(1)^{n}においては、
が成立する。
AはNの任意の元だったので、Σnをn次の置換群とするとき、以上の議論から
は全射である。
またこの写像は単射でもある。実際 Iをn次の単位行列とする時、 [P_{\sigma }]=[I]であれば、 P_{\sigma }\in U(1)^{n}が成立する必要がある。しかし U(1)^{n}の元は各eiを定数倍する行列なので、そのような形の P_{\sigma }は明らかに \sigma =\mathrm {id} のケースに限る。
以上のことからワイル群Wが置換群に群同型な事が示せた。定理の後半も以上の議論から明らかに従う。
位相群に分類空間を対応させる関手Bと位相空間にコホモロジー環を対応させる関手H*が直積を保つので、上述の定理からWは H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]の \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}を入れ替える形で H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )に作用する。よって
は対称多項式全体の集合に一致する。よく知られているように、任意の対称多項式は基本対称式の多項式として書けるので、以上の事実からチャーン類を以下のように定義する：
定義 (チャーン類) ― 
 H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]上の第i基本多項式
の
による逆像
を第iチャーン類（英: i-th Chern class）と呼ぶ。
紛れがなければ添字を省略し、 c_{i}^{(n)}を単に c_{i}と書く。
分類空間 H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の元と特性類は1対1でするので、第iチャーン類 c_{i}に対応する特性類
をベクトルバンドルξの第iチャーン類という。分類空間の元 c_{i}を c_{i}(\xi )と区別したいときは、 c_{i}を第i普遍チャーン類（英: i-th universal Chern class）という。
なお、 1\in H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )を「0次の基本対象式」とみなし、 c_{0}^{(n)}:=(\iota ^{*})^{-1}(1)=1を第0チャーン類と呼ぶ。また n+1次以上の基本対称式は存在しないので、 m>nに対しては、第mチャーン類を c_{m}^{(n)}:=0と定義する。
またチャーン類は埋め込み \iota ~:~U(1)^{n}\to U(n)を使って定義されており、この埋め込みは \mathbb {C} ^{n}の正規直交基底の取り方に依存している。しかし正規直交基底の取り替えにより、 \iota は U(n)の内部自己同型 \varphi _{A}との合成 \iota \circ \varphi _{A}に置き換わるだけなので、前述した命題から、チャーン類は正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。
以上で見たように各α1,...,αnは対称多項式の根に相当するものなので、α1,...,αnの事をチャーン根[訳語疑問点]（Chern root）という。
これまでの議論とチャーン類の定義から明らかに以下の事実が従う：
定理 ― : H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1}^{(n)},\ldots ,c_{n}^{(n)}]
複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類 > チャーン類 > 規約

チャーン類の定義において、α1,...,αnの代わりに単元 u\in \mathbb {C} ,{\text{ s.t. }}|u|=1をこれらに掛けた \beta _{1}:=u\alpha _{1},\ldots ,\beta _{n}:=u\alpha _{n}をチャーン根とするようにチャーン類を定義する事もできるため、チャーン類の定義には単元uの選び方だけ自由度がある事になる。
そこで何らかの規約を置くことでこの自由度を消す必要があるが、どのような規約を置くかは分野による。代数的位相幾何学では普遍1-平面バンドル \xi _{U}=(EU(1),BU(1),\pi )に対し、 c_{1}^{(1)}(\xi _{U})が H^{2}(BU(1),\mathbb {Z} )のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多いが、代数幾何学では \xi _{U}の双対ベクトルバンドル \xi _{U}^{*}に対して c_{1}^{(1)}(\xi _{U}^{*})が H^{2}(BU(1),\mathbb {Z} )のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多い。
区別のため代数幾何学の方のチャーン類を c'{}_{k}^{(n)}と書くことにすると、代数的位相幾何学のチャーン類とは
という関係を満たす。本稿では以下、特に断りがない限り、代数的位相幾何学の規約を採用するものとする。
複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類 > チャーン類の公理的特徴づけ

定理・定義 (チャーン類の公理的特徴づけ) ― 特性類の組 (c_{i}^{(n)})_{i,n}でn次元複素ベクトルバンドル \xi =(\pi ,E,B)に H^{2i}(B,\mathbb {Z} )の元を対応させるもの
で以下の性質を満たすものが一意に存在する。 c_{i}^{(n)}をn次元ベクトルバンドルの第iチャーン類と呼ぶ。
以下でXは任意のCW複体、ξ、ηはX上の任意の複素ベクトルバンドル、n、mはそれぞれξ、ηのファイバー（であるベクトル空間）の次元であり、「 \oplus 」はベクトルバンドルのホイットニー和である：
次元公理[訳語疑問点]（英: dimension axiom）： c_{0}^{(n)}(\xi )=1、 c_{i}^{(n)}(\xi )=0~~{\text{ for }}i>n。
ホイットニー和の公式(英: Whitney sum formula)：  c_{k}^{(n+m)}(\xi \oplus \eta )=\sum _{i=0}^{k}c_{i}^{(n)}(\xi )\smile c_{k-i}^{(m)}(\eta )
正規化公理[訳語疑問点]（英: normalization axiom）：普遍1-平面バンドル \xi _{U}=(EU(1),BU(1),\pi )に対し、 c_{1}^{(1)}(\xi _{U})は H^{2}(BU(1),\mathbb {Z} )のcanonicalな生成元である。
前節で定義したチャーン類が次元公理と正規化公理を満たすのは明らかである。ホイットニー和の公式の証明は下記のとおりである。
写像 U(n)\times U(m)\to U(n+m)、 (A,B)\mapsto A\oplus Bが分類空間に誘導する写像 BU(n)\times BU(m)\to BU(n+m)を考えると、 H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )の構造とKünnethの公式（英語版）から
が成立する。よって \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n+m}をチャーン根とすると、
が成立する。なお上式の２つ目の等号は、対称多項式に関する簡単な計算により従う。
ホイットニー和の公式は上式を \xi \oplus \eta 、ξ、ηに関する分類写像で引き戻す事で従う。
一方、上記の公理を満たす特性類の一意性は数学的帰納法により容易に示せる。
複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類 > チャーン多項式

チャーン類を取り扱う上で、下記のチャーン多項式を考えると便利である：
定義 (チャーン多項式、全チャーン類) ― 上と同様に記号を定義するとき、変数tに対し、
をξのチャーン多項式（英: Chern polynomial）といい、特に
を全チャーン類（英: total Chern class）という。
なお、チャーン類の定義より、チャーン多項式はチャーン根を使って形式的に
と因数分解できる。
チャーン多項式を用いると、ホイットニー和の公式は以下のように言い換えられる：
定義 ― 上と同様に記号を定義するとき、以下が成立する：
c(\xi \oplus \eta ,t)=c(\xi ,t)\smile c(\eta ,t)
複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類 > チャーン多項式 > チャーン多項式の性質

チャーン多項式は以下の性質を満たす。なお文献によっては以下の性質をチャーン類の公理として入れているものもあるが、実は他の公理から従うので、公理に入れる必要はない。
命題 ― CW複体X上の自明な直線バンドルεと任意のベクトルバンドルηに対して以下が成立する：
c(\epsilon ,t)=1
安定性（英: stability）： c(\eta \oplus \epsilon ,t)=c(\eta ,t)
後者の性質は前者の性質とホイットニー和の公式から従う。また前者に関しては次元公理から c(\epsilon ,t)=1+c_{1}(\epsilon )tとかけるので、 c_{1}(\epsilon )=0のみ示せば良い。
\{x\}を任意の一点集合とし、 p~:~X\to \{x\}を \{x\}への唯一の写像とし、εxを \{x\}上の自明な直線バンドルとし、さらに f_{x}~:~\{x\}\to BU(1)を \{x\}の分類写像とする。明らかに \varepsilon =p^{*}(\varepsilon _{x})なので、分類定理より、εの分類写像は f_{x}\circ pとホモトープである。 H^{2}(\{x\};\mathbb {Z} )=0なので、 c_{1}\in H^{2}(BU(1);\mathbb {Z} )の引き戻し c_{1}(\varepsilon )=(f_{x}\circ p)^{*}(c_{1})=0である。
実ベクトルバンドルの特性類

本節以降、実ベクトルバンドルの特性類を記述していくが、その記述は複素ベクトルバンドルのそれと比べかなり複雑であるので、詳細は次節以降に譲り、本節では実ベクトルバンドルの特性類の概要を述べる。
実ベクトルバンドルの特性類が複雑になる理由は２つある：
実ベクトルバンドルの主バンドルの分類空間 H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )は複素ベクトルバンドルの主バンドルの H^{*}(BU(n),\mathbb {Z} )と違い、 \mathbb {Z} _{2}-捩れ部分群を持つ。この捩れ部分群が「悪さ」をするため、 H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )を簡単に記述する事ができない。
実ベクトルバンドルの場合は複素ベクトルバンドルと違い、向き付けの概念がある。このため向き付けのない場合の分類空間 H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )と向き付けのある場合の分類空間 H^{*}(BSO(n),\mathbb {Z} )の両方を考察しなければならない。
1つ目の問題を回避するために、以下では H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )を直接考察するのを諦め、 H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})と H^{*}(BO(n),\Lambda )の２つを別々に考察することにする。ここでΛは2の逆元を持つ任意の可換環である。ボックシュタインスペクトル系列（英語版）を使う事で H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})と H^{*}(BO(n),\Lambda )から H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )を計算できるので、実用上はこの２つに対する特性類が把握できていれば十分である。
2つ目の問題に関しては、 H^{*}(BO(n))と H^{*}(BSO(n))とは環構造が異なるので、この２つを両方とも考察する必要がある。
実ベクトルバンドルの特性類 > 係数環がℤ2の場合

係数環が \mathbb {Z} _{2}の場合の特性類の記述は比較的簡単であり、 H^{*}(BO(n))と H^{*}(BSO(n))の差はさほど大きくなく、
という形で両者を記述できる。ここで w_{1},\ldots ,w_{n}はスティーフェル・ホイットニー類と呼ばれる特性類で、このような w_{1},\ldots ,w_{n}の存在はチャーン類の場合と類似した方法で証明できる。ただし第iチャーン類が2i次のコホモロジー群に属するのに対し、第iスティーフェル・ホイットニー類はi次のコホモロジー群に属するので注意が必要である。
実ベクトルバンドルの特性類 > 係数環が2-1∈Λを満たすΛの場合

それに対し係数環が 2^{-1}\in \Lambda を満たすΛの場合はより複雑である。 H^{*}(BO(n),\Lambda )に関しては、
の形で記述でき、 p_{1},\ldots ,p_{n}をポントリャーギン類という。（ p_{i}は4i次のコホモロジー群に属する）。ここで \lfloor \cdot \rfloor は床関数である。
具体的にはポントリャーギン類は実ベクトルバンドルを複素化する事で得られる複素ベクトルバンドルのチャーン類を使って
と書ける。（なお、実ベクトルバンドルの複素化の場合、奇数次のチャーン類 c_{2i+1}は 2c_{2i+1}=0を満たし、よって係数環がΛの場合は必ず c_{2i+1}=0になる）。
一方、 H^{*}(BSO(n),\Lambda )はnが偶数か奇数で形が異なり、
と書ける。ここで p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }は前述のポントリャーギン類であり、χはオイラー類と呼ばれる特性類である。また \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]/(\chi ^{2}=p_{\lfloor n/2\rfloor })は多項式環 \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]においてχ2をpnと同一視して得られる環を表す。すなわち \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{n},\chi ]を単項イデアル (\chi ^{2}-p_{\lfloor n/2\rfloor })で割った環である。
以上をまとめると、実ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジーは以下のように記述できる：
| 係数環 | 分類空間 | コホモロジー |
| --- | --- | --- |
|  \mathbb {Z} _{2} |  BO(n) |  \mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}] |
|  \mathbb {Z} _{2} |  BSO(n) |  \mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}]、 w_{1}=0 |
|  2^{-1}\in \Lambda を満たすΛ |  BO(n) |  \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }] |
|  2^{-1}\in \Lambda を満たすΛ |  BSO(n)s.t. nは奇数 |  \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }] |
|  2^{-1}\in \Lambda を満たすΛ |  BSO(n)s.t. nは偶数 |  \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]/(\chi ^{2}=p_{\lfloor n/2\rfloor }) |
スティーフェル・ホイットニー類

本節では H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} )の構造を具体的に決定し、それをもとにスティーフェル・ホイットニー類を定義する。
H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} )の構造の決定方法やスティーフェル・ホイットニー類の定義は、基本的には H^{2}(BU(n);\mathbb {Z} )の構造の決定方法やチャーン類の定義と同様である。一点大きく違うのは、チャーン類の場合は H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]を満たす \alpha が2次のコホモロジー群 H^{2}(BU(1);\mathbb {Z} )に属していたのに対し、スティーフェル・ホイットニー類の場合はそのような元が1次のコホモロジー群に属する事である：
補題 ― 
ある \beta \in H^{1}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})が存在し、以下が成立する：
この違いが原因でチャーン類は偶数次のコホモロジー群にしか登場しなかったが、スティーフェル・ホイットニー類は奇数次のコホモロジーにも登場する。
なお、コホモロジーの係数が \mathbb {Z} _{2}なので、カップ積は奇数次のコホモロジーにおいても可換である。
スティーフェル・ホイットニー類 > H*(BO(n);ℤ2)の具体的記述

自然数 n\geq 1に対し H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} _{2})の具体的形を調べるため、チャーン類のときと同様、連続準同型写像
により O(1)^{n}を O(n)の部分群とみなす。ここで「 \oplus 」は対角線上に行列を並べる演算である。
\varphi _{A}~:~B\mapsto ABA^{-1}を内部自己同型とする。チャーン類の時と同様、 O(1)^{n}の正規化群
を O(1)^{n}の中心化群
で割った \Sigma =N/Zを考え、
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここで [A]\in \Sigma =N/Zは同値類を表す。このとき次の事実が従う：
定理 ― 写像
は全単射である。
ここでβiは H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})\approx H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})\otimes \cdots \otimes H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})のi番目の H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})の生成元である。
定理 ― Σは置換群と群同型であり、Σは O(1)^{n}の成分の入れ替えとして O(1)^{n}に作用する。
スティーフェル・ホイットニー類 > スティーフェル・ホイットニー類の定義

スティーフェル・ホイットニー類を以下のように定義する：
定義 (スティーフェル・ホイットニー類) ― 
 H^{*}(BD;\mathbb {Z} _{2})\approx \mathbb {Z} [\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}]上の第i基本多項式
の
による逆像
を第iスティーフェル・ホイットニー類（英: i-th Stiefel–Whitney class class）と呼ぶ。
紛れがなければ添字を省略し、 w_{i}^{(n)}を単に w_{i}と書く。
分類空間 H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} _{2})の元と特性類は1対1でするので、第iスティーフェル・ホイットニー類 w_{i}に対応する特性類
をベクトルバンドルξの第iスティーフェル・ホイットニー類という。分類空間の元 w_{i}を w_{i}(\xi )と区別したいときは、 w_{i}を第i普遍スティーフェル・ホイットニー類（英: i-th universal Stiefel–Whitney class class）という。
チャーン類のときと同様、 w_{0}^{(n)}:=(\iota ^{*})^{-1}(1)=1、 w_{m}^{(n)}:=0 for  m>nと定義する。
明らかに以下の事実が従う：
定理 ― : H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [w_{1}^{(n)},\ldots ,w_{n}^{(n)}]
スティーフェル・ホイットニー類 > 公理的特徴づけ

チャーン類と同様スティーフェル・ホイットニー類も公理的に特徴づける事ができる：
定理・定義 (スティーフェル・ホイットニー類の公理的特徴づけ) ― 特性類の組 (w_{i}^{(n)})_{i,n}でn次元実ベクトルバンドル \xi =(\pi ,E,B)に H^{i}(B,\mathbb {Z} _{2})の元を対応させるもの
で以下の性質を満たすものが一意に存在する。 w_{i}^{(n)}をn次元ベクトルバンドルの第iスティーフェル・ホイットニー類と呼ぶ。
以下でXは任意のCW複体、ξ、ηはX上の任意の実ベクトルバンドル、n、mはそれぞれξ、ηのファイバー（であるベクトル空間）の次元であり、「 \oplus 」はベクトルバンドルのホイットニー和である：
次元公理[訳語疑問点]： w_{0}^{(n)}(\xi )=1
ホイットニー和の公式：  w_{k}^{(n+m)}(\xi \oplus \eta )=\sum _{i=0}^{k}w_{i}^{(n)}(\xi )\smile w_{k-i}^{(m)}(\eta )
正規化公理[訳語疑問点]：1次元実射影空間 \mathbb {R} P^{1}\approx S^{1}上の普遍1-平面バンドル \xi _{U}に対し、 w_{1}^{(1)}(\xi _{U})\neq 0。
スティーフェル・ホイットニー類 > 性質

全チャーン類と同様、全スティーフェル・ホイットニー類を定義でき、全チャーン類と同様の性質を示す事ができる：
定義・定理 (全スティーフェル・ホイットニー類) ― :  w(\xi )=w_{0}(\xi )+w_{1}(\xi )+\cdots +w_{n}(\xi )
をξの全スティーフェル・ホイットニー類（英: total Stiefel Whitney polynomial）といい、以下が成立する：
w(\xi \oplus \eta )=w(\xi )\smile w(\eta )
（安定性、英: stability） w(\eta \oplus \epsilon )=w(\eta )
自然な写像 \nu ~:~SO(1)\to U(1)が誘導する写像 H^{*}(U(1);\mathbb {Z} _{2})\to H^{*}(SO(1);\mathbb {Z} _{2})は単射であり、 H^{*}(U(1);\mathbb {Z} _{2})の生成元αの自乗α2がβに移る事が知られている。したがって
 \sigma _{i}(\alpha _{1}{}^{2},\ldots ,\alpha _{n}{}^{2})\in H^{*}(U(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})は w_{i}\in \sigma _{i}(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})\in H^{*}(U(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})に移るが、 \mathbb {Z} _{2}上では \sigma _{i}(\alpha _{1}{}^{2},\ldots ,\alpha _{n}{}^{2})=\sigma _{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})^{2}=c_{i}になので、以下が成立する：
定理 ― 
実ベクトルバンドル \xi =(\pi ,X,E)に対しその複素化を \xi _{\mathbb {C} }とすると、任意の非負整数iに対して以下が成立する：
逆に複素ベクトルバンドル \omega から複素構造を忘れて（英語版）実ベクトルバンドルとみなしたものを \xi の脱複素化（英: decomplexification、英: realification）と呼び、 \omega _{\mathbb {R} }と書くと任意の非負整数iに対して以下が成立する事が知られている：
定理 ― 
複素ベクトルバンドル \xi =(\pi ,X,E)に対し、以下が成立する：
ポントリャーギン類とオイラー類

本節では 2^{-1}\in \Lambda を満たす可換環Λに対し、 H^{*}(BSO(n),\Lambda )、 H^{*}(BO(n),\Lambda )の構造を決定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。
ポントリャーギン類とオイラー類 > 定義

本節ではコホモロジー環 H^{*}(BSO(n),\Lambda )、 H^{*}(BO(n),\Lambda )の構造し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。そのために利用するのは、チャーン類のときと同様、ワイル群に関する議論である。そこでSO(n)の極大トーラスを記述するため、nが偶数であるか奇数であるかに応じてn=2m、n=2m+1として \mu ~:~SO(2)^{m}\hookrightarrow SO(n)を
により定義する。ここで「 \oplus 」は対角線上に行列を並べる演算であり、R(θ)は2次元の回転行列
である。 \mu によるSO(2)mの像はSO(n)の極大トーラスである事が知られている。さらに自然な埋め込み \iota ~:~SO(n)\hookrightarrow O(n)を考える。
そしてこれら２つの写像が分類空間のコホモロジーに誘導する写像を考える：
上式の最後の同型「 \approx 」は、リー群として SO(2)\approx U(1)である事からチャーン類のときの議論により従う。ここで「 \approx 」は環としての同型であり、 H^{*}(BSO(2)^{m},\Lambda )の積はカップ積である。
またγjは H^{*}(BSO(2)^{m};\Lambda )\approx \otimes _{j}H^{*}(BSO(2);\Lambda )のj番目の H^{*}(BSO(2);\Lambda )の生成元であり、γjは次数2のコホモロジー \gamma _{j}\in H^{2}(BSO(2);\Lambda )に属している。（これらもチャーン類のときの議論により従う）。
なお、 H^{*}(BSO(2);\Lambda )\approx \Lambda [\gamma ]の生成元γの選び方は、Λの単元倍の自由度があるので、この自由度をなくす為、以下の規約を置く：
規約 ― 
 H^{*}(BSO(2);\Lambda )=H^{*}(BU(1);\Lambda )の生成元γとして、第一チャーン類 c_{1}を選ぶ。
上で自然な同型 SO(2)\approx U(1)を用いた。このように規約を決めると、チャーン類の定義から \gamma =c_{1}は整数係数のコホモロジー H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )=H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )に属する事になるのが利点である。
本項の目標は、 H^{*}(BSO(2)^{m},\Lambda )\approx \Lambda [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]を用いる事で H^{*}(BSO(n),\Lambda )と H^{*}(BO(n),\Lambda )の構造を特定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する事である。
詳細は後回しにし、先に結論を述べる。
定理 ( H^{*}(BSO(n);\Lambda )、 H^{*}(BO(n);\Lambda )の構造) ― 
 B\iota ^{*}、 B\mu ^{*}は単射であり、 \gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2}の基本対称式を
とし、
とするとき、以下が成立する：
ポントリャーギン類とオイラー類を以下のように定義する：
定義 (ポントリャーギン類、オイラー類) ― 
上の定理と同様に記号を定めるとき、
を第iポントリャーギン類（英: i-th Pontryagin class）といい、 n=2mのとき、
をオイラー類（英: Euler class）という。
紛れがなければ、 p_{i}^{(n)}、 e^{(n)}を単に p_{i}、 eと書く。
分類空間 H^{*}(BO(n);\Lambda )や H^{*}(O(n);\Lambda )の元と特性類は1対1でするので、第iポントリャーギン類 p_{i}やオイラー類eに対応する特性類
をそれぞれベクトルバンドルξの第iポントリャーギン類、オイラー類という。分類空間の元 p_{i}、eを p_{i}(\xi )、 e(\xi )と区別したいときは、 p_{i}、eをそれぞれ第i普遍ポントリャーギン類（英: i-th universal Pontryagin class）、普遍オイラー類（英: universal Euler class）という。
なぜ上述の定理が成立するのかについては後述する。
ポントリャーギン類とオイラー類 > 定理の証明のアイデア

本節では、前述したH*(BSO(n);Λ)とH*(BO(n);Λ)の構造を記述した定理がなぜ成立するかを次の３つの場合に分けて説明する：
nが偶数の場合のH*(BSO(n);Λ)の構造
nが奇数の場合のH*(BSO(n);Λ)の構造
H*(BO(n);Λ)の構造
ポントリャーギン類とオイラー類 > 定理の証明のアイデア > 準備

定理を示すにはチャーン類の場合と同様、ワイル群を用いる事でH*(BSO(n);Λ)の構造を決定する。そのためにBorelによる以下の一般的な定義を用いる：
定理 (Borelの定理) ― 
pを素数とし、Gを連結なコンパクトリー群で整数係数コホモロジー H^{*}(G,\mathbb {Z} )がp-捻れ部分群を持たないものとする。
さらにTをGの極大トーラスとし、WをGのワイル群とし、 H^{*}(BT,\mathbb {Z} )^{W}を H^{*}(BT,\mathbb {Z} )の元でWに関して不変なもの全体の集合とする。 H^{*}(BT,\mathbb {Z} )^{W}\otimes \mathbb {Z} _{p}\subset H^{*}(BT,\mathbb {Z} _{p})とみなすと、包含写像 \iota ~:~T\hookrightarrow Gがコホモロジーに誘導する写像
は環同型である。
H^{*}(SO(n);\Lambda )が p\neq 2のねじれ元を持たない事を利用して、以下の命題を示せる：
命題 (H*(BSO(n),Λ)のワイル群による表現) ― 写像
は環同型である。
上述の命題ではBorelの定理で「 \mathbb {Z} _{p}」であったところが「Λ」に代わっているが、普遍係数定理を用いる事で「Λ」に代えてよい事が容易に示せる。
命題の証明には普遍係数定理を使うので、まずこの定理を復習する：
定理 (普遍係数定理) ― 
Xを位相空間とし、Mを \mathbb {Z} -加群とする。全てのkに対して H_{k}(X;\mathbb {Z} )が \mathbb {Z} 上有限生成であれば、任意のkに対して以下が成立する:
すでに述べたようにBSO(n)やBSO(2)はグラスマン多様体として表す事ができる。そしてグラスマン多様体をCW複体であって各kに対してk包体が有限個のもので表せる事が知られている。よって H_{k}(BSO(n);\mathbb {Z} )、 H^{k}(BSO(n);\mathbb {Z} )、 H_{k}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )、 H^{k}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )は全て有限生成であり、上述の普遍係数定理の前提条件が満たされる。
以下、 \Lambda =\mathbb {Z} [1/2]=\{a/2^{n}\mid a\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}の場合に対してのみ定理を証明する。それ以外の場合に関しては普遍係数定理から従う。なお \Lambda =\mathbb {Z} [1/2]は単項イデアル整域であり、 \Lambda 上のイデアルは素数 p\neq 2により生成される単項イデアルのみである事を容易に示せる。
\mu ~:~SO(2)^{m}\to SO(n)が誘導する写像
を考えるとき、まず(1)式の右辺について、
となる非負整数rkが存在する事が言える。
実際、 SO(2)\approx U(1)であるので、チャーン類のところで述べた議論から、 H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]であり、よって特に各kに対し、 H^{k}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )は自由アーベル群であり、したがってその部分群である H^{k}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}も自由アーベル群であるので(2)がしたがう。
\Lambda =\mathbb {Z} [1/2]は単項イデアル整域なので、有限生成加群の基本定理を使って H^{k}(BSO(n);\mathbb {Z} )\approx \Lambda ^{t_{k}}\oplus S^{(k)}と自由Λ-加群部分 \Lambda ^{t_{k}}と捩れ部分群部分 S^{(k)}の直和として表すと、(2)式より(1)式は
と書ける。
H^{*}(SO(n);\mathbb {Z} )は素数 p\neq 2に対し、p-捩れ部分群を持たないので、 G=SO(n)、 T=SO(2)^{m}に対してBorelの定理を使う事ができ、
である。上式と(3)式と普遍係数定理を使って書き換える事で、
が言える。
有限生成加群の基本定理から S^{(k)}、 S^{(k+1)}は有限集合なので、 S^{(k)}、 S^{(k+1)}には位数qの元が存在しない素数 q\neq 2を取る事ができる。(4)式で p=qとすると、qの取り方から S^{(k)}\otimes \mathbb {Z} _{q}=S^{(k+1)}\otimes \mathbb {Z} _{q}=0が成立する。よって(4)式から
が成立する。すなわち H^{k}(BSO(n);\Lambda )の自由アーベル群部分のランクは H^{k}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\oplus \Lambda のランクに等しい。
また任意の p\neq 2に対し(4)式の両辺で \mathbb {Z} _{p}上の次元が同じでなければならないので、(5)式から S^{(k)}\otimes \mathbb {Z} _{p}=S^{(k+1)}\otimes \mathbb {Z} _{p}=0である。よって S^{(k)}も S^{(k+1)}も p\neq 2に対しp-捩れ元を持たない。Λの定義から2-捩れ元はそもそも存在しないので、結局(4)式は同ランクの自由加群の間の写像
として書ける。
B\mu {}_{\Lambda }^{*}を行列として表してその行列式
 |B\mu {}_{\Lambda }^{*}|\in \Lambda を考えると、(5)式が同型である事から p\neq 2に対し |B\mu {}_{\Lambda }^{*}|{\bmod {p}}\neq 0であり、したがって |B\mu {}_{\Lambda }^{*}|\in \Lambda は p\neq 2を約数に持たない。Λの定義からこれは |B\mu {}_{\Lambda }^{*}|がΛ内で逆数を持つことを意味しており、よって B\mu {}_{\Lambda }^{*}は逆行列を持つ。したがって(6)は同型写像である。
以上の事からSO(n)のワイル群W=W(SO(n))の具体的な形と
の具体的な形を決定すれば H^{*}(BSO(n),\Lambda )の具体的な形が決定できる事になる。
ポントリャーギン類とオイラー類 > 定理の証明のアイデア > nが奇数の場合のH*(BSO(n),Λ)の構造

n=2m+1とし、ワイル群 W=W(SO(n))を具体的に求めるため、実ベクトル空間として \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}\times \mathbb {R} という同一視をし、Pσ、Ciをnが偶数の場合と同様に取る。さらに以下の行列を考える：
M： ((x_{i},y_{i})_{i},z)\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}\times \mathbb {R} に ((x_{i},y_{i})_{i},-z)を対応させる写像。
Mは明らかに位数2の元であり、しかもCiと可換である。そして埋め込み \mu ~:~SO(2)^{m}\hookrightarrow SO(n)の定義からMによる共役は SO(2)^{m}上恒等写像になる。
nが偶数の場合と同様の議論により、ワイル群の任意の元は C_{1},\ldots ,C_{m},Mの偶数個の積とPσとの積により書ける事がわかるが、Mに着目するとさらに簡単な表現も得られる。
実際、Mによる共役は SO(2)^{m}上恒等写像なので、変換に影響するのはM以外の C_{1},\ldots ,C_{m}（とPσ）のみである。そしてこれらの積 C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}が偶数個の積であっても奇数個の積であっても、
とすると、 {\bar {C}}_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots {\bar {C}}_{m}{}^{\varepsilon _{m}}=C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}M^{\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}}は必ず偶数個の元 C_{1},\ldots ,C_{m},Mの積である。よって以下が成立する：
命題 ― 
ワイル群の元は {\bar {C}}_{1},\ldots ,{\bar {C}}_{m}を偶数個または奇数個かけ合わせたものとPσを使って書ける。
まず示すべき命題を厳密に記述する：
命題 ― 
n=2m+1のときW=W(SO(n))の任意の元は、
という（偶数個または奇数個の）積の形で書ける。
ここで [\cdot ]は（ワイル群は正規化群を中心化群で割ったものであったので）中心化群による同値類を表し、σは置換である。
nが偶数の場合と同様の議論により、
ワイル群の任意の元が
という形で書ける事を示せる。
よって、
が成立する。ここで
(1)は \varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}+\delta =0{\bmod {2}}とMの位数が2な事から従う。
(2)はMがCiと可換な事から従う。
(3)は {\bar {C}}_{i}の定義から従う。
nが偶数の場合と同様、 P_{\sigma }、 C_{i}が H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]上に誘導する写像は、それぞれ \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}を \gamma _{\sigma (1)},\ldots ,\gamma _{\sigma (m)}に写す写像、 \gamma _{i}を -\gamma _{i}に代える写像である。またMによる共役は恒等写像なので、 {\bar {C}}_{i}=C_{i}Mが H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]上に誘導する写像も \gamma _{i}を -\gamma _{i}に代える写像である。よって以下が成立する。
命題 ― 
nが奇数のとき、 H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]上のワイル群の作用は、 \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}を置換する写像と、任意個の \gamma _{i}を符号反転する写像で生成される。
これらの写像で不変な元は \gamma _{i}{}^{2}の対称式なので、基本対称式 p_{i}=\sigma _{i}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})を用いて、
と書ける事がわかる。
ポントリャーギン類とオイラー類 > 定理の証明のアイデア > H*(BO(n),Λ)の構造

O(n)/SO(n)=\mathbb {Z} _{2}である事から、部分群の分類空間に関する定理より、包含写像 \iota ~:~SO(n)\subset O(n)が誘導する写像
は \mathbb {Z} _{2}-主バンドルである。
\mathbb {Z} _{2}のBSO(n)への作用は、 \mathbb {Z} _{2}の H^{*}(BSO(n);\Lambda )への作用を誘導する。 \mathbb {Z} _{2}の作用により不変な H^{*}(BSO(n);\Lambda )の元の集合を H^{*}(BSO(n);\Lambda )^{\mathbb {Z} _{2}}とすると以下が成立する事が知られている：
定理 ―
は環同型である。
部分群の分類空間に関する定理の証明からもわかるように、 B\iota ~:~BSO(n)\to BO(n)はBO(n)の二重被覆で、 \mathbb {Z} _{2}はそのデッキ変換としてBSO(n)に作用する。
C_{*}(BO(n);\Lambda )を特異ホモロジーのΛ-係数チェイン複体とするとき、 \sum _{i}a_{i}s_{i}\in C_{*}(BO(n);\Lambda )の各チェイン単体siは二重被覆BSO(n)に２つのリフト s'_{i}、 s''_{i}を持ち、この２つのリフトはデッキ変換で移り合う。そこで写像p!を
により定義し、 g~:~BSO(n)\to BSO(n)を（唯一の）非自明なデッキ変換とすると、
が成立する。よってこれらがコホモロジーに誘導する写像は、
を満たす。
2-1∈Λであった事から p_{!}{}^{*}\circ B\iota {}^{*}(v)=2vは逆写像を持つので、 B\iota {}^{*}は単射である。
また u\in H^{*}(BSO(n);\Lambda )^{\mathbb {Z} _{2}}であれば、 g^{*}(u)=uであるので、 u=2^{-1}u+g^{*}(2^{-1}u)=B\iota {}^{*}(p_{!}{}^{*}(u))となり、uは B\iota {}^{*}に関する逆像 p_{!}{}^{*}(u)を持つ。
以上から B\iota ^{*}~:~H^{*}(BO(n);\Lambda )\to H^{*}(BSO(n);\Lambda )^{\mathbb {Z} _{2}}が環同型な事が証明された。
上述の定理から特に、
は単射である事が従う。この単射における H^{*}(BO(n);\Lambda )の像は、前述のCiの（偶数個または奇数個の）積が作用が誘導する写像、Pσが誘導する写像で不変でなければならないので、H*(BSO(n),Λ)のときと同様の議論により、
が従う。