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火の鳥 (ストラヴィンスキー)
初演

1910年6月25日のパリ・オペラ座での初演時のスタッフと配役は以下のとおり。
振付：ミハイル・フォーキン
美術：アレクサンドル・ゴロヴィン
衣装：アレクサンドル・ゴロヴィン、レオン・バクスト
火の鳥：タマーラ・カルサヴィナ
イワン王子（ツァレヴィチ）：ミハイル・フォーキン
王女（ツァレヴナ）：ヴェーラ・フォーキナ
カスチェイ：アレクセイ・ブルガコフ
その他の著名な上演

バレエ・リュスの元ダンサーだったアドルフ・ボルム（英語版）の振付により、1945年にアメリカン・バレエ・シアターによる上演が行われた。音楽は1945年の組曲版による。このときの舞台装置はマルク・シャガールによる豪華なものであり、アリシア・マルコワが火の鳥を踊ったが、成功しなかった。ボルムはハリウッドに住むようになったストラヴィンスキーの友人であり、1940年にすでにハリウッド・ボウルで『火の鳥』（1919年の組曲版）をバレエとして上演するためにストラヴィンスキー本人に指揮を依頼している。
1949年、ニューヨーク・シティ・バレエ団はボルム版のためにシャガールが作った舞台装置を再利用し、ジョージ・バランシンとジェローム・ロビンズの振付によって『火の鳥』を上演した（やはり1945年の組曲版による）。マリア・トールチーフが火の鳥を踊り、大変な成功をおさめた。
編成

フルート4（ピッコロ持ち替え 2）、オーボエ3、イングリッシュ・ホルン1、クラリネット3、バス・クラリネット1、ファゴット3（コントラファゴット持ち替え 1）、コントラファゴット、ホルン4、トランペット3、トロンボーン3、チューバ1、ティンパニ、バスドラム、スネアドラム、シンバル、トライアングル、タンバリン、タムタム、グロッケンシュピール、シロフォン、チェレスタ、ピアノ、ハープ3、弦五部(16-16-14-8-6)
バンダ：トランペット3、テナー・ワーグナー・チューバ2、バス・ワーグナー・チューバ2、鐘
バンダのトランペットは夜明けとカスチェイの番兵の登場の箇所に、ワーグナー・チューバはカスチェイの登場時に使用されている。
演奏時間は約48分。『春の祭典』や『ペトルーシュカ』に比べると1.5倍近い長さである。公式の版権は1964年にGos. muzykal'noe izd-voが取得し、このリプリントをドーヴァー出版ほかが販売している。
構成

1 導入部
2 カスチェイの魔法の庭園
3 イワンに追われた火の鳥の出現
4 火の鳥の踊り
5 イワンに捕らえられた火の鳥
6 火の鳥の嘆願
7 魔法にかけられた13人の王女たちの出現
8 金のリンゴと戯れる王女たち
9 イワン王子の突然の出現
10 王女たちのロンド
11 夜明け
12 魔法のカリヨン、カスチェイの番兵の怪物たちの登場、イワンの捕獲
13 不死の魔王カスチェイの登場
14 カスチェイとイワンの対話
15 王女たちのとりなし
16 火の鳥の出現
17 火の鳥の魔法にかかったカスチェイの手下たちの踊り
18 カスチェイ一党の凶悪な踊り
19 火の鳥の子守歌
20 カスチェイの目覚め
21 カスチェイの死、深い闇
22 カスチェイの城と魔法の消滅、石にされていた騎士たちの復活、大団円
引用曲

この作品では民謡を2曲引用している。「王女たちのロンド」の旋律はウクライナの結婚の音楽「как по садику」（庭のまわりで）から取られている。この曲は師のリムスキー＝コルサコフが「ロシアの主題によるシンフォニエッタ」作品31の第2楽章の主題として使用している。終曲の旋律は「У ворот сосна раскачалася」（門の所で松の木が揺れる）から取られている。
組曲（1911年版）

最初の管弦楽組曲は1911年に作曲され、1912年にユルゲンソンから出版された。もとのバレエ曲との違いは少ない。この版は最も演奏の機会が少ない。他の組曲と異なり「カスチェイ一党の凶悪な踊り」で組曲が閉じられる（そのため、演奏者独自の判断により、他の版と合成して「子守歌」「終曲」を付け加えて演奏する指揮者もある。ストラヴィンスキー本人による1928年の録音でもこの両曲がつけ加えられている）。
編成は1910年版と基本的には同じだが、バンダが省かれている。かつてはユルゲンソンからのリプリントを無断で行うKalmus社が長年販売を行っていたが、Kalmusが解散しユルゲンソンが権利を手放してアメリカ合衆国でパブリックドメイン判定されたため、現在の出版社は不明。
組曲（1911年版） > 構成

数字は全曲版での該当部分を表す。
1〜4 導入部〜火の鳥の踊り
1 導入部
2 カスチェイの魔法の庭園
3 イワンに追われた火の鳥の出現
4 火の鳥の踊り
6 火の鳥の嘆願
8 金のリンゴと戯れる王女たち
10 王女たちのロンド
18 カスチェイ一党の凶悪な踊り
組曲（1919年版）

手ごろな管弦楽の編成と規模から、実演では最も演奏機会の多い版である。「魔王カスチェイの凶悪な踊り」での有名なトロンボーンのグリッサンドは、練習番号38では削除されて、練習番号39では導入されていることが特徴。比較的容易に入手できるのはチェスター社版だが、アメリカ合衆国でパブリックドメイン判定されたため他の出版社による版もある。
組曲（1919年版） > 編成

一般的な二管編成になり、打楽器が減らされている。チェレスタは必須ではなく、「子守歌」のピアノパートに「またはチェレスタ」の注釈が添えられている。ピッコロとイングリッシュ・ホルンは必須である。
フルート2（ピッコロ持ち替え1）、オーボエ2（イングリッシュ・ホルン持ち替え1）、クラリネット2、ファゴット2、ホルン4、トランペット2、トロンボーン3、チューバ1、ティンパニ、バスドラム、タンバリン、シンバル、トライアングル、シロフォン、ハープ、ピアノ、チェレスタ、弦五部
組曲（1919年版） > 構成

数字は全曲版での該当部分を表すが、曲の長さが違う部分もある。
1・2 序奏
3 火の鳥の踊り
4 火の鳥のヴァリアシオン
10 王女たちのロンド（ホロヴォード）
18 魔王カスチェイの凶悪な踊り
19 子守歌
22 終曲
「序奏」から「火の鳥のヴァリアシオン」までは切れ目なく演奏されるが、それ以降の曲もアタッカで演奏する指揮者が多い。「魔王カスチェイの凶悪な踊り」と「子守歌」の間は、切れ目なく演奏する方法と、「魔王カスチェイの凶悪な踊り」で一旦終止させる方法とがあり、どちらの方法もスコアに印刷されている。一般的には切れ目なく演奏する事例が多いが、有名な指揮者ではレナード・バーンスタイン指揮、イスラエル・フィルハーモニー管弦楽団の演奏（ドイツ・グラモフォン録音）が、一旦終止させる方法をとっている。「子守歌」と「終曲」の間は切れ目なく演奏される。
演奏時間は約20分。
組曲（1945年版）

指揮者によってはこの版を非常に好むが、全曲版や1919年版組曲に比べると、演奏機会が多いとは言えない。その原因の一つは、ストラヴィンスキーが後年大きく変えた作風が如実に反映されている版となっていることにある。顕著な特徴の一つが、「終曲の賛歌」の最後 Maestoso の部分に見られる。全管弦楽が終曲の主題を繰り返す箇所で、全曲版・1919年版組曲では4分音符の動きで朗々と旋律を奏でるが、この1945年版では「8分音符（または16分音符2つ）+8分休符」という、とぎれとぎれのドライな響きで旋律が奏でられる。組曲全体の後味を大きく変える相違点であり、この版の評価を分ける一つの要因になっていると思われる。1945年版を用いながらも、「終曲の賛歌」のみ1919年版の「終曲」に差し替えて演奏する指揮者もいる。現在の版権はショット社である。
組曲（1945年版） > 編成

現在出版されているスコアでは1919年版とほぼ同一である。相違点は、スネアドラムが追加されていることと、イングリッシュ・ホルンのソロをオーボエに置き換えていること、そしてピアノパートの一部の「またはチェレスタ」の注釈がない点だけである。ストラヴィンスキー自身が1959年にNHK交響楽団を指揮してこの版を演奏した際にはチェレスタを加えている。編成は1919年版とほぼ同一だが、オーケストレーションが異なる箇所が散見される。特に「凶悪な踊り」は、1919年版の「魔王カスチェイの凶悪な踊り」に比べると金管楽器や打楽器が分厚くなっている部分が多い。
組曲（1945年版） > 構成

数字は全曲版での該当部分を表すが、曲の長さが違う部分もある（特に「パントマイムI」「パントマイムII」は極端に短い）。「パ・ド・ドゥ」「スケルツォ」とパントマイム3曲以外は1919年版と同じ部分に該当するが、スコア上の各曲の題名は違っている。
1・2 序奏
3 火の鳥の前奏と踊り
4 ヴァリアシオン（火の鳥）
5 パントマイムI
6 パ・ド・ドゥ（火の鳥とイワン・ツァーレヴィチ）
7 パントマイムII
8 スケルツォ（王女の踊り）
9 パントマイムIII
10 ロンド（ホロヴォード）
18 凶悪な踊り
19 子守歌（火の鳥）
22 終曲の賛歌
「序奏」から「ヴァリアシオン」までは切れ目なく演奏される。「ヴァリアシオン」から「ロンド」までは、切れ目なく演奏する方法と、「パントマイムI」「パントマイムII」「パントマイムIII」を省略し「ヴァリアシオン」「パ・ド・ドゥ」「スケルツォ」「ロンド」と区切りながら演奏する方法とがある。どちらの方法もスコアに印刷されている。「凶悪な踊り」から「終曲の賛歌」までは、切れ目なく演奏する方法と、1曲ずつ区切って演奏する方法とがあり、どちらの方法もスコアに印刷されている。終曲の金管群の途切れ途切れの和音が印象的である。
演奏時間は約28分。
そのほかの人物による編曲

作曲者自身によるピアノ独奏版
冨田勲によるシンセサイザー版
ラリー・コリエルによるギター独奏版
山下和仁によるギター独奏版
G.M.デューカーによる吹奏楽版（全日本吹奏楽コンクールの自由曲として度々取り上げられ、全国大会では15回演奏されている〈2017年時点〉）
英国のプログレッシブ・ロックグループ、イエスのコンサートでは、開演時に「フィナーレ」の部分が流れ、それが終わるとそのまま1曲目の演奏に入る、という演出がなされていた。（ライブアルバム『イエスソングス』などで聞くことができる）
グイド・アゴスティ（英語版）によるピアノ独奏版（凶悪な踊り、子守歌、終曲）
トニー・レヴィン、パット・マステロット、マイケル・ベルニエの3人編成のロックバンド、スティック・メンによる演奏
パウル・レオナード・シェッフェルによる室内オーケストラ版 - 序奏の有名なヴァイオリンによる変則調弦グリッサンドが省略されている。
サルソウル・オーケストラ"Magic Bird of Fire" - ディスコアレンジ版の『火の鳥』。日本のテレビ番組『アメリカ横断ウルトラクイズ』のスタジオパートのルート紹介において、大幅に編集を加えたものがBGMとして使用された。
レオン・バクストによる主役 「火の鳥」 の衣装デザイン
General MIDI

General MIDI（ジェネラル・ミディ）とは、基本的な音色マップとコントロールチェンジなどを規定したMIDIの統一規格である。略称はGM。
概要

GMが制定される前、MIDIの音色マップやコントロールチェンジはMIDI音源のメーカーや機種毎に違っており、他の製品とは基本的に互換性が無かった。例えば、PC（Program Change）の1番にはA社のMIDI音源ではピアノの音色が割り当ててあるが、B社の製品では弦楽器が割り当てられている、ということが多々あった。これにより、違うメーカーのMIDI音源で制作した曲データは、別のMIDI音源では作者の意図しない演奏をすることがあるという問題があった。こういった互換性の問題を解決するために、1991年に日本MIDI評議会（現在の音楽電子事業協会）とMIDI Manufacturers Association (MMA) が、既にローランド社が推進していたGSフォーマットから、他社と共有できる部分を選択的に取り出し、GMが制定された。したがってGSとGMに規格上の直接的な関係はないが、事実上GMはGSの下位規格であると解することができる。すなわちGM用に作成されたスコアはGSでも再生できる可能性が高いが、逆は難が生じる場合があることから、GMが制定された当時の、MIDI音源に対応するPCゲームには、GS音源を推奨するタイトルが多かった。
GMには、GMマップと呼ばれる音色マップ、コントロールチェンジ、RPNやGMシステムエクスクルーシブなどが決められており、同時発音数についても記述がある。
GSやGM以外の規格としては、ヤマハが推進しているXG、そしてXGフォーマットの簡易版 XGLite などがある。ほとんどの規格がGMを拡張した規格であるため、GMからみれば上位互換の規格である。
現在はGMの拡張規格であるGM2 (General MIDI 2) がある。しかし、演奏データのMIDIではなくMP3など「音」そのものの配信が手軽にできるようになったこと、MIDIからオーディオへの制作環境の変化、専用音源としてGM規格と互換性のないSoundFontやソフトウェア・シンセサイザーの普及、GM1におけるSC-55mkIIのような標準音源がないこと、GM2で規定されている項目が、GSやXGより少なく、GS/XGのほうが表現豊かな演奏データを作成できるという等の理由から、GM2はそれほど普及していない[要出典]。
必須最低要件

GM1互換機器は、以下の要件を満たさなければならない。
同時発音数24（メロディー16、パーカッション8を含む）
ベロシティー（音の強さ/音の速さ）の命令に対応。
16チャンネル使用可能（うち、チャンネル10番はパーカッション用に予約）
各チャンネルでの同時発音対応。
パラメータ

GM対応機器は、プログラムチェンジとコントロールチェンジ・イベントの為に、以下の規定にも従わなければならない。
パラメータ > Program Change events

この表は、楽器音とProgram Change番号の対応を示す。
パラメータ > Percussion notes

GMでは10チャンネルは、パーカッションのために予約されている。このチャンネルはプログラムが音色変更命令を送っても常にパーカションパートとなり、各ノートナンバーには異なる楽器が割り当てられている。この、ノートナンバーに対する打楽器割り当て表をドラムマップ(drum map)と呼ぶことがある。
| No>  | 16進数 | 英語 | 日本語 |
| --- | --- | --- | --- |
| 35 | 23 | Acoustic Bass Drum | アコースティック・バス・ドラム |
| 36 | 24 | Bass Drum 1 | バス・ドラム1 |
| 37 | 25 | Side Stick | サイド・スティック |
| 38 | 26 | Acoustic Snare | アコースティック・スネア1 |
| 39 | 27 | Hand Clap | ハンド・クラップ |
| 40 | 28 | Electric Snare | エレクトリック・スネア |
| 41 | 29 | Low Floor Tom | ロー・フロア・タム |
| 42 | 2A | Closed Hi-hat | クローズド・ハイハット |
| 43 | 2B | High Floor Tom | ハイ・フロア・タム |
| 44 | 2C | Pedal Hi-hat | ペダル・ハイハット |
| 45 | 2D | Low Tom | ロー・タム |
| 46 | 2E | Open Hi-hat | オープン・ハイハット |
| 47 | 2F | Low-Mid Tom | ロー・ミッド・タム |
| 48 | 30 | High Mid Tom | ハイ・ミッド・タム |
| 49 | 31 | Crash Cymbal 1 | クラッシュ・シンバル1 |
| 50 | 32 | High Tom | ハイ・タム |
| 51 | 33 | Ride Cymbal 1 | ライド・シンバル1 |
| 52 | 34 | Chinese Cymbal | チャイニーズ・シンバル |
| 53 | 35 | Ride Bell | ライド・ベル |
| 54 | 36 | Tambourine | タンバリン |
| 55 | 37 | Splash Cymbal | スプラッシュ・シンバル |
| 56 | 38 | Cowbell | カウベル |
| 57 | 39 | Crash Cymbal 2 | クラッシュ・シンバル2 |
| 58 | 3A | Vibra-slap | ビブラスラップ |
| 59 | 3B | Ride Cymbal 2 | ライド・シンバル2 |
| 60 | 3C | High Bongo | ハイ・ボンゴ |
| 61 | 3D | Low Bongo | ロー・ボンゴ |
| 62 | 3E | Mute High Conga | ミュート・ハイ・コンガ |
| 63 | 3F | Open High Conga | オープン・ハイ・コンガ |
| 64 | 40 | Low Conga | ロー・コンガ |
| 65 | 41 | High Timbale | ハイ・ティンバレス |
| 66 | 42 | Low Timbale | ロー・ティンバレス |
| 67 | 43 | High Agogo | ハイ・アゴゴ |
| 68 | 44 | Low Agogo | ロー・アゴゴ |
| 69 | 45 | Cabasa | カバサ |
| 70 | 46 | Maracas | マラカス |
| 71 | 47 | Short Whistle | ショート・ホイッスル |
| 72 | 48 | Long Whistle | ロング・ホイッスル |
| 73 | 49 | Short Guiro | ショート・ギロ |
| 74 | 4A | Long Guiro | ロング・ギロ |
| 75 | 4B | Claves | クラベス |
| 76 | 4C | High Wood Block | ハイ・ウッド・ブロック |
| 77 | 4D | Low Wood Block | ロー・ウッド・ブロック |
| 78 | 4E | Mute Cuica | ミュート・クイーカ |
| 79 | 4F | Open Cuica | オープン・クイーカ |
| 80 | 50 | Mute Triangle | ミュート・トライアングル |
| 81 | 51 | Open Triangle | オープン・トライアングル |
パラメータ > Controller events

GMでは再生時に受信すべきいくつかのコントローラを規定している。
| No>  | 機能 |
| --- | --- |
1: モジュレーション (Modulation)
6: データエントリ MSB (DataEntryMSB)
7: ボリューム (Part Level)
10: パンポット (Part Panpot)
11: エクスプレッション (Expression)
38: データ エントリ LSB (DataEntryLSB)
64: サステイン (Hold1)
100: RPN LSB
101: RPN MSB
120: 消音 (AllSoundOff)
121: リセット・オールコントロール (ResetAllControl)
パラメータ > RPN

RPNとは、Registered Parameter Numbers の略称で、主に音色自体の変更などに用いられる、コントロール チェンジ・イベントの一種である。
RPN パラメータの設定法（数字は十進数）。
CC:101 (RPN LSB) と CC:100 (RPN MSB) を送信し、変更するパラメータを指定する
CC:6 (DataEntryMSB) を送信し、パラメータに値を設定する
これだけではいつでも CC:6 を送信することで値を変更できるので、NULL 値を最後に送信することが慣例になっている。具体的には CC:101、CC:100 の両方に 127 を送信する。
以下のグローバルRPNは標準化されている。
| MSB | LSB | 設定パラメータ | 説明 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | Pitch Bend Sensitivity (ベンド幅） | CC:130 (Pitch Bend) の値が最大（最小）のとき、どれだけ音程が 変化するかを半音単位で設定する。(0 ～ 24) |
| 0 | 1 | Channel Fine Tuning | パートの音程を半音の 1 / 8192 単位で調整する。(-8192 ～ 8191) |
| 0 | 2 | Channel Coarse Tuning | パートの音程を半音単位で調整する。64を基点として増減させる。 (40 ～ 88) |
| 0 | 3 | Tuning Program Select | ほとんど使われない |
| 0 | 4 | Tuning Bank Select | ほとんど使われない |
| 0 | 5 | Modulation Depth Range | CC:1 (Modulation) の変化幅を設定する。GM2で採用された。 |
| 127 | 127 | RPN NULL | CC:6 (Data Entry MSB)、CC:38 (Data Entry LSB)を無効化する |
例：ピッチベンドレンジを 12 にしたい場合
CC:101[0]、CC:100[0]、CC:6[12]
パラメータ > システム エクスクルーシブ メッセージ

GM では以下のシステム エクスクルーシブメッセージを規定している。
General MIDIの問題点

前述のような理由で定められた統一規格ではあるが、問題点もある。
GM規格では音色の並び方やコントロールチェンジの種類が決められているが、音色そのものについてやコントロールチェンジによる変化量などについては、各 MIDI 音源メーカーの独自性が損なわれる可能性があるとされ、厳密には定められていない。そのため GM 規格に準拠したデータであっても、作者の意図したように再現されない可能性も少なからずある。
その他にも、最大同時発音数が後発の機器であるほど増やされていることや、エフェクトや音量の変化量などが各社で異なること、ユニバーサル・エクスクルーシブなどの拡張機能への対応の有無など問題は多く、十分とは言えないことも多い。
すなわち、同じ高さの鍵盤を弾いても実際に鳴る音のオクターブは選んでいる楽器の種類によって異なる場合があるので注意する。
GMドラムマップ
ハナズオウ

ハナズオウ（花蘇芳、学名: Cercis chinensis）は中国原産のマメ科ハナズオウ亜科ハナズオウ属の落葉小高木である。春に咲く花が美しいため、庭などによく植えられる。別名、ハナズホウ、スオウバナ（蘇芳花）とも呼ぶ。和名の由来は、花の色がマメ科の染料植物スオウで染めた蘇芳染（すおうぞめ）の汁の色に似ていることによる。中国名は紫荊。
特徴

日本には北海道、本州、四国、九州に分布する。
高さは2 - 3メートル (m) になる。樹皮は灰褐色で皮目は多いが、生長に関わらずほぼ滑らかである鈴木庸夫・高橋冬・安延尚文 2014, p. 197。若い枝は淡褐色で皮目が目立ち、ややジグザグ状になる。葉は5 - 10センチメートル (cm) のハート形でつやがあり、葉縁が裏側に向かって反り返る独特の形をしている。葉柄の両端は少し膨らむ。秋の紅葉は黄色系に染まり、黄色と褐色のモザイク模様なったり様々な変化を見せながら、葉が散るころには褐色になる。
早春に枝に花芽を多数つけ、4 - 5月ごろ葉に先立って開花する。花には花柄がなく、枝から直接に花がついている。花は紅色から赤紫色（白花品種もある）で長さ1 cmほどの蝶形花。開花後、長さ数 cmの豆果をつけ、秋から冬に赤紫色から褐色に熟す。
冬芽は鱗芽で、葉芽は卵形、花芽はブドウの房状に小さな蕾が多数集まる特徴的な形をしている。枝先につく仮頂芽は葉芽で、花芽はそれよりも下につく。側芽は枝に互生する。冬芽の芽鱗の数は、葉芽が5 - 6枚、花芽の蕾は2枚つく。葉痕は半円形で維管束痕が3個つく。
早春に咲く赤紫色の花とハート形の葉が好まれ、公園樹や庭木によく利用される。
ハナズオウの葉
花と若い果実（4月）
果実（9月）
ハナズオウ属

ハナズオウ属は北半球温帯に数種が分布する。地中海付近原産のセイヨウハナズオウ (C. siliquastrum) は落葉高木で高さ10mほどになり、イスカリオテのユダがこの木で首を吊ったという伝説からユダの木とも呼ばれる。このほかアメリカハナズオウ (C. canadensis) などが栽培される。
クリスチャン・ノーダル

| Christian Nodal |
| --- | --- |
 
基本情報
出生名:  Christian Jesús González Nodal
生誕:   (1999-01-11) 1999年1月11日（25歳）
出身地:   メキシコ・ソノラ州カボルカ
ジャンル:  Regional Mexican
職業:   Singer  songwriter 
担当楽器:   Vocals  guitar  piano 
活動期間:  2014–present
レーベル:   Universal Latin  Fonovisa 
公式サイト:  Official website
クリスチャン・ヘスス・ゴンサレス・ノダル（Christian Jesús González Nodal, 1999年1月11日 - ）は、メキシコのシンガーソングライター。ソノラ州カボルカ出身。
2016年にFonovisaレコードレーベルとしてリリースされた彼の最初のシングル「Adiósamor」は、YouTubeで、9億1千万回以上再生された。2019年に2枚目のアルバム「Now」をリリースした。 彼は、«テキーラ»でフアネスなどのコロンビアのアーティストと、彼のアルバムAhora（2019）に属する«Esta noche»の曲でセバスチャンヤトラと、アーバンが少し融合した«Pa 'forget me it it»でPiso 21などのコロンビアのアーティストと協力して何とか仕事をしました。 ランチェラとともに、彼女のアルバム「Ahora」「El dolor con el liquor」と「Juro por esta」に2曲を提供したJessi Uribeと、「Perdón」の曲とMalumaとともに。
ディスコグラフィー

2017：Me dejé llevar (夢中になりました)
2019：Ahora (今)
2020：AYAYAY
二項係数

二項係数の全体をパスカルの三角形の形に並べることができる。
4つの数から2つの数を選ぶ方法は  {\tbinom {4}{2}}=6 通りある。
四次までの二項展開の視覚的説明
数学における二項係数（にこうけいすう、英: binomial coefficients）は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は2つの非負整数で添字付けられ、添字 n, k を持つ二項係数はふつう (n
k) とか (n¦k) と書かれる（これは二項冪 (1 + x)n の展開における xk の項の係数である。適当な仮定の下で、この係数の値は  {\tfrac {n!}{k!\,(n-k)!}} で与えられる）。二項係数を、連続する整数 n に対する各行に k を 0 から n まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。
この整数族は代数学のみならず数学の他の多くの分野、特に組合せ論において現れる。n元-集合から k個の元を（その順番を無視して）選ぶ方法が (n
k) 通りである。二項係数の性質を用いて、記号 (n
k) の意味を、もともとの n および k が k ≤ n なる非負整数であった場合を超えて拡張することが可能で、そのような場合もやはり二項係数と称する。
歴史と記法

二項係数に関して詳しく知られた最も初期の議論は10世紀ごろハラユーダ（英語版）が古代サンスクリット語で書いた "Pingala's Chandaḥśāstra" である。1150年ごろには、インドの数学者バースカラ2世が著書 "Lilavati" で二項係数について詳しく述べている。
記号 (n
k) はアンドレアス・フォン・エッチンクハウゼン（英語版）が1826年に導入したものである。
そのほかの記法として C⁡(n, k), nCk, nCk, Ck
n, Cn
k, Cn,k, (n¦m) などがあり、何れも文字 C は組合せ (combination) や選択 (choice) を表している。
定義と解釈

自然数（0 も含める）n および k に対し、二項係数 (n
k) は二項冪 (1 + X)n の展開における Xk の項の係数として定義できる。同係数は（k ≤ nのとき）二項公式
()
に現れるため「二項係数」の名がある（この式自体は環の互いに可換な任意の元 x, y に対して成り立つ）。
組合せ論においてもまたこの数は、n 個の対象から k 個選ぶ選び方の総数、より形式的には n元-集合の k元-部分集合（k-項組合せ）の総数として現れる。この数が先に述べた係数と一致することは、後で述べるこの数の計算法の何れとも独立に示すことができる。実際、冪 (1 + X)n における n 個の因子の各々において、一時的に X に対し 1 ≤ i ≤ n なる添字 i をそれぞれ付けて区別しておくと、k 個の添字からなる部分集合をひとつ選ぶ毎に展開後の Xk への寄与が 1 だけあるから、この項の係数はそのような部分集合の選び方の数に一致する。このことは特に (n
k) が任意の自然数 n, k に対して自然数となることも示している。二項係数の組合せ論的解釈（二項係数展開が答えを与える数え上げ問題）は多く存在する。例えば、各位の和が k に一致する n桁のビット（つまり各位の数は 0 か 1）の語（文字列）の総数は (n
k) で与えられる。また、各 ai が非負整数であるものとして k = a1 + a2 + … + an と書く方法の総数は (n + k − 1
n − 1) 通りである。これら解釈のほとんどは、k-組合せを数えることに同値であることが容易に示される。
二項係数の値の計算

(n
k) の値を、実際に二項冪を展開したり k-組合せを数え上げたりせずに、計算する方法はいくつかある。
二項係数の値の計算 > 漸化式

一つは、n, k を 1 ≤ k ≤ n − 1 なる自然数として、純加法的な漸化式
を初期条件「任意の n ≥ 0 に対し (n
0) = (n
n) = 1」の下で用いることである。
この漸化式自体は、集合 {1, 2, 3, …, n} において以下のように場合を分けて k元-集合を数えることで得られる。特定の元に注目し、ここではそれを “i” とする。
(a) 特定の元 i を含む k 個の元を集める。この場合、各集まりは既に i があることは仮定しているから、残りの k − 1 個の元を i を除く n − 1 元の中から特定すればよい。
(b) 特定の元 i を全く含まない k 個の元を集める。この場合、i を除く n − 1 個の元から k 個を選ぶことに他ならない。
この二者で与えられた n 個の元から得られるすべての k-組合せが数え上げられているので所期の結果を得る。
あるいはまた、(1 + X)n = (1 + X)n−1(1 + X) の両辺における Xk への寄与を見ることでもこの漸化式は得られる。(1 + X)n において Xn+1 や X−1 の項は存在しない（あるいは係数が零である）から、二項係数の定義を上記の境界を越えて延長して、(n
k) = 0 (k > n ∨ k < 0) とすることもできる。
この漸化式はパスカルの三角形を描くのにも利用できる。
二項係数の値の計算 > 乗法表示

個々の二項係数をより効果的に計算するには
で与えられる式を用いる。一つ目の分数の分子に現れる nk は下降階乗冪である。この公式を理解するには二項係数の組合せ論的解釈に依るのが最も簡明である。分子は n 個の対象からなる集合から選ぶ順番を考慮して相異なる k 個の対象を取り出す方法の総数であり、分母は同じ k-組合せを与える相異なる並びの数を数えるものである。
二項係数の値の計算 > 階乗表示

最後に、計算論的には不利だが、短く書けるのでしばしば証明や導出に用いられるよく知られた階乗函数を用いた式は
で与えられる。ここに n! は n の階乗である。この式は上記の乗法表示式に、分子分母に対して (n − k)! を掛けることで得られる（その結果、この式において分母と分子は多くの共通因数を持つことになる）。（特に階乗は非常に速く増加するから）この式を（k が小さく n が大きい場合に）実際の数値計算に用いることは（先に共通因数を約分しない限り）実用的でない。この式は上記の乗法表示よりは二項係数が対称性
()
を持つことを見るのに適している（二項係数の定義から対称性をもつことは分かる）。この対称性を用いれば乗法的な計算をより効果的にすることもできる。下降階乗冪で書けば
と書ける。
二項係数の値の計算 > 一般化および二項級数

乗法表示を用いれば、n を任意の数 α（負の整数、実数、複素数、……）あるいは任意の整数が可逆となるような可換環の元に取り換えて、
により二項係数の定義を拡張することができる。この定義により、二項定理（の一方の変数を 1 としたもの）も一般化して
()
と書くことができる。故にこの場合も (α
k) を二項係数と呼ぶことは正当化される。この等式は任意の複素数 α と |X| < 1 なる X に対して有効である。これはまた X を不定元とする形式冪級数の等式としても解釈でき、それは実際に定数係数 1 を持つ級数の任意の冪の定義として機能する。この定義を用いるポイントは、冪乗として満足することが期待される全ての恒等式（指数法則）、特に
(1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta },
((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }
が満足されることである。α が非負整数 n のとき、k > n なる全ての項は零であり、上記の無限級数は有限和となり、したがってもともとの二項定理が再び得られる。しかし α がそれ以外の値ならば、負の整数や有理数の場合も含めて、上記の級数は実際に無限和になる。
パスカルの三角形

詳細は「パスカルの三角形」を参照
パスカルの法則（英語版）は重要な漸化式
()
で、これを用いて (n
k) が任意の自然数 n, k に対して自然数となること（別な言い方をすれば、連続する k-個の整数の積を k! が割り切ること）を帰納的に示すことができる。これは定義 (∗) や乗法表示からは直ちに明らかなことではない。
パスカルの法則からパスカルの三角形が生じる:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0: |  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 1: |  |  |  |  |  |  |  | 1 |  | 1 |  |  |  |  |  |  |  |
| 2: |  |  |  |  |  |  | 1 |  | 2 |  | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 3: |  |  |  |  |  | 1 |  | 3 |  | 3 |  | 1 |  |  |  |  |  |
| 4: |  |  |  |  | 1 |  | 4 |  | 6 |  | 4 |  | 1 |  |  |  |  |
| 5: |  |  |  | 1 |  | 5 |  | 10 |  | 10 |  | 5 |  | 1 |  |  |  |
| 6: |  |  | 1 |  | 6 |  | 15 |  | 20 |  | 15 |  | 6 |  | 1 |  |  |
| 7: |  | 1 |  | 7 |  | 21 |  | 35 |  | 35 |  | 21 |  | 7 |  | 1 |  |
| 8: | 1 |  | 8 |  | 28 |  | 56 |  | 70 |  | 56 |  | 28 |  | 8 |  | 1 |
番号 n の行には (n
k) の値が k = 0, …, n に対して並べられている。これを書くには、一番外側の 1 から始めて、常に隣り合う２項を加えた数をその真下に書いていけばよい。この方法によって、分数や乗算を使わずに二項係数を手早く計算することができる。
例えば三角形の5行目を見れば
が直ちに読み取れる。
他の対角線上の数との差は、上記漸化式 (3) の帰結として、一つ前の対角線上の数である。
解釈

二項係数はよくある数え上げ問題の簡明な公式を与えるという意味で組合せ論において重要である。
n-元集合から k-元を選ぶ方法の総数は (n
k) である（組合せを参照）。
n-元集合から重複を許して k元を選ぶ方法の総数は(n + k − 1
k) 通りある（多重集合を参照）。
k 個の 1 と n 個の 0 を含む文字列は (n + k
k) 種類存在する。
k 個の 1 と n 個の 0 を含み、かつどの2つの 1 も隣り合わない文字列の総数は (n + 1
k) である。
カタラン数：1/n + 1(2n
n).
二項分布：(n
k)pk(1 − p)n−k.
多項式としての性質

t を不定元として、任意の非負整数 k に対して式
は t に関する有理係数多項式である。この意味において、t には任意の実数あるいは複素数を代入することができ、それによって二項係数の定義を一般化するとき、そのような「一般化された二項係数」はニュートンの一般化二項定理に現れる。
各 k に対し、多項式 (t
k) は p⁡(0) = p⁡(1) = … = p⁡(k − 1) = 0 かつ p⁡(k) = 1 を満たす唯一の k次多項式 p(t) として特徴づけることができる。
この多項式の係数は第一種スターリング数を用いて
と表すことができる。この導函数は対数微分法により
と計算できる。
多項式としての性質 > 多項式の空間の基底

標数 0 の任意の体（すなわち、有理数体 Q を含む体）上で、次数が高々 d の任意の多項式 p⁡(t) は二項係数の線型結合
として一意に書ける。このときの係数 ak は数列 p⁡(0), p⁡(1), …, p⁡(k) の第 k-階差で与えられ、明示的に書けば
()
で決まる。
多項式としての性質 > 整数値多項式

詳細は「」を参照
各二項係数多項式 (t
k) は整数値（整数を代入したとき必ず整数を返す）である（これは例えばパスカルの等式（英語版）を用いて k に関する帰納法で示せる）。従って、二項係数多項式の任意の整係数線型結合もまた整数値多項式になる。逆に等式 (4) により任意の整数値多項式がこれら二項係数多項式の正係数線型結合となることが示せる。より一般に標数 0 の体の任意の部分環 R に対し、K[t] に属する多項式が任意の整数において R に値をとるための必要十分条件はそれが二項係数多項式の R-係数線型結合となっていることである。
二項係数に関する等式

階乗表示を用いれば近くにある二項係数の関係を容易に知ることができる。例えば k を正整数、n は任意として
()
が成り立ち、また少しの計算で
が得られる。さらに言えば以下の結果
は有用である。例えば定数 n に対して以下の漸化式
を得ることができる。
二項係数に関する等式 > 二項係数を含む級数

等式
()
は等式 (∗) において x = 1 かつ y = 1 とすれば得られる。これはパスカルの三角形の各行において現れる全ての数を足し合わせれば 2 の整数冪になると言っても同じである。この事実の組合せ論的解釈は二通りに数える論法（英語版） (double counting) で n元-集合 S の位数 i (i = 1, 2, …, n) の部分集合を数えることである。任意の位数 i に対する部分集合を数えているのだから、その和は S の部分集合の総数に等しく、それが 2n であることはよく知られている。すなわち、等式 (∗∗) は n元-集合の冪集合の位数が 2n であることを述べるものである。より明確に、n-桁のビット列を考えれば、このビット列は 2n 個の数を表すことに利用できる。その中で一つも 1 を含まないビット列を考えれば、これは (n
0) = 1 通りである。ちょうど一つ 1 を含むビット列は (n
1) = n 通りである。このように数えて行けば上記の式を得る。
等式
()
および
は等式 (2) を x に関して（後者は2回）微分して x = 1 と置けば得られる。
朱ファンデルモンドの等式（英語版）
()
は任意の複素数 m, n と任意の非負整数 k に対して成立する。これは (1 + x)m (1 + x)n−m = (1 + x)n の展開における xk の係数として、等式 (2) を用いて求めることができる。m = 1 のとき等式 (7) は等式 (3) に簡約される。
任意の整数 j, k, n (0 ≤ j ≤ k ≤ n) に対して適用できる同様の等式
()
は、 {\frac {x^{l}}{(1-x)^{l+1}}}=\textstyle \sum \limits _{p=0}^{\infty }{\dbinom {p}{l}}x^{p} を用いれば
の展開における xn+1 の係数として求められる。j = k のとき等式 (8) は
となる。展開 (7) を n = 2m, k = m に対して用い、(1) を使えば
()
を得る。
F⁡(n) で n 番目のフィボナッチ数を表せば、パスカルの三角形の対角和に関する等式
()
を得る。これは等式 (3) を用いた帰納法、あるいはゼッケンドルフの表現によって示すことができる（左辺は {F⁡(2), …, F⁡(n)} の連続した元を含まない部分集合の総数を与えるものであり、そのようなものはまた F⁡(n + 1) 以下の数の全体を成すということに他ならないことに注意）。組合せ論的証明は後述。
等式 (8) から従う別の等式として、j = k − 1 とおいて ∑
n (n + 1 − j)(j − 1
k − 1) = (n + 1
k + 1) を得る。
∑k
j=0 (n
j) に対する閉じた式は（超幾何函数を用いなければ）ないが、再び等式 (3) および帰納法により k = 0, …, n − 1 に対して ∑
k (−1) j (n
j) = (−1)k (n − 1
k) を得る。同様に ∑
n (−1) j (n
j) = 0 を得る（n = 0 の自明な場合は除く。このときは 1 になる）。これ自身は次数高々 n の任意の多項式 P⁡(x) に対する和分差分学における結果∑
n (−1) j (n
j) P(j) = 0 の特別の場合である。P⁡(x) = x(x − 1)…(x − k + 1) (0 ≤ k < n) に対しては等式 (2) を k 回微分して x = −1 と置けば得られる。一般の場合はこれらの線型結合を作ればよい。
n次以下の多項式 P(x) に対して
()
が成り立つ。ここで an は P(x) の n次係数である。等式 (11) はより一般に、複素数 m, d に対して
とできる。これは P⁡(x) の代わりに多項式 Q⁡(x) := P⁡(m + d⋅x) とするとき、Q⁡(x) がやはり n次以下の多項式であることと n次係数が dn⋅an であることに注意すれば、等式 (11) を適用して直ちに得られる。
級数
は k ≥ 2 に対して収束する。この等式はドイツの戦車問題（英語版）を調べるのに利用できる。これを見るには
が成り立つことを M に関する帰納法で示せばよい。
等式 (9) から ∑
n i (n
i)2 = n/2 (2n
n) および ∑
n i2 (n
i)2 = n2 (2n − 2
n − 1) が得られる。
Series multisection（英語版）により、0 ≤ t < s として t を境に s 刻みに取った二項係数の総和と s 項の閉じた形の式の和との間の等式
が示せる。
二項係数に関する等式 > 組合せ論的に証明できる等式

二項係数を含む多くの等式が組合せ論的に（英語版）証明することができる。例えば n ≥ q なる非負整数に対して
（q = 1 のとき (6) に簡約される）は、以下のように二通りの仕方で数えて証明（英語版）できる。左辺は集合 [n] = {1, 2, …, n} の少なくとも q 個の元を含む部分集合を選び、選ばれた元のうち q 個に印をつける方法を数えている。右辺も同じものを数えるのだけれども、n 個の元のうち q 個に印をつける方法が (n
q) 通りあり、その各々について印をつけた q 個を含む部分集合を得るには印の付いた q 個に残りの n − q 個の元から任意に追加すればよいから、そのような仕方は 2n−q 通りである。
パスカルの法則
の両辺は集合 [n] の k元-部分集合を数えているのだけれども、右辺は特定の元（例えば n）を含むように選ぶ場合と含まないように選ぶ場合に分けて数えている。
等式 (9), 再掲すると
も組合せ論的に証明できる。2n 個の□を一列に並べ、それらのうちの n 個を選んで印を付けることを考える。そのような方法は (2n
n) 通りである（右辺）。他方、そのような n 個の□を選ぶときに、k 個は前半の n 個から、残り n − k 個は後半の n 個から選ぶとして 1 ≤ k ≤ n に亙って考える。これにより ∑
n (n
k)(n
n − k) = (2n
n) が得られるから、等式 (1) を適用して所期の結果を得る。
等式 (10) も組合せ論的に証明できる。(n − k
k) は、2次元格子上で (0, 0) から (k, n − k) まで、(0, 1) または (1, 1) 刻みで移動して辿った経路の総数を表す。そのことは全部で n − k 個の点を亙るために必ずちょうど k 回だけ (1, 1) 刻みの移動をしなければならないのだから明らかである。さてここでちょうど k 個ある (1, 1) 刻みを (0, 2) 刻みで置き換えると、(0, 1) 刻みと (0, 2) 刻みを合わせて (0, n) へ到達することになる。これを 0 ≤ k ≤ ⌊n / 2⌋ なる各 k に亙って考えれば、(0, 0) から (0, 1) 刻みと (0, 2) 刻みを合わせて (0, n) へ到達する方法の総数が数え上げられる。そのような方法の総数が F(n + 1) 通りあることは明らかである。
二項係数に関する等式 > ディクソンの等式

ディクソンの等式（英語版）は
あるいはより一般に
で与えられる。ここに a, b, c は非負整数である。
二項係数に関する等式 > 連続等式

ある種の三角積分は二項係数で表される値を持つ。m, n を非負整数として:
\int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}x\ dx={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}
\int _{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}x\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+{\frac {n+1}{2}}}{\dfrac {\pi }{2^{n-1}}}{\dbinom {n}{m}}&(n{\text{: odd}})\\0&({\text{otherwise}})\end{cases}}
\int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\sin ^{n}x\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+{\frac {n+1}{2}}}{\dfrac {\pi }{2^{n-1}}}{\dbinom {n}{m}}&(n{\text{: even}})\\0&({\text{otherwise}})\end{cases}}
これらはオイラーの公式で三角函数を複素指数函数に変換して、二項定理で展開して項別積分すれば示せる。
母函数 > 通常母函数

固定した n に対して作られる数列 (n
0), (n
1), (n
2), … の通常母函数は
で与えられる。固定した k に対して作られる数列 (0
k), (1
k), (2
k), … の通常母函数は
である。一般の非負整数 n, k に対する二項係数の二変数母函数（英語版） は
を満たす。二項係数に対する別の形の二変数母函数は、対称函数として
で与えられる。
母函数 > 指数型母函数

二項係数に関する指数型二変数母函数（英語版）は
となる。
可除性

詳細は「」および「」を参照
1852年、クンマーは非負整数 m, n および素数 p に対し、(m + n
m) を整除する最大の p-冪が pc であるとき、c は m と n を加えるときに生じる p-進表示における繰り上がりの数に等しいことを示した。同じことだが、(n
k) における素因子 p の冪指数は k⁄p j の小数部 が n⁄p j の小数部よりも大きくなるような非負整数 j の総数に等しい。これにより、(n
k) が n⁄gcd(n,k) で割り切れることが導かれる。したがって特に、任意の正整数 r および s < pr なる正整数 s に対して p は (pr
s) を割り切る。しかしより高次の p-冪に対してこれは正しくない（例えば 9 は (9
6) を割り切らない）。
Singmaster (1974) は「任意の整数がほとんど全ての二項係数を整除する」という幾分驚くべき結果を与えた。より精確に言えば、整数 d を固定して、f⁡(N) は n < N なる二項係数 (n
k) のうち d で割り切れるものの総数を表すものとすると、
が成り立つというものである。n < N なる二項係数 (n
k) の総数は 1/2N(N + 1) であるから、これは d で整除可能なものの占める密度が 1 に収束することを意味する。
別の事実として、整数 n ≥ 2 が素数となる必要十分条件は、中間二項係数
の全てが n で整除可能なことである。実際、p が素数ならば、0 < k < p なる任意の k に対して p は
を割り切る。これは分子は素因数 p を含むが分母は p を素因数に持たないことによる。n が合成数のとき、p を n を割り切る最小の素因数とし、k = n/p と置けば、0 < p < n かつ
は n で割り切れない。仮に割り切れるとすると分子 k(n − 1)(n − 2) × … × (n − p + 1) が n = k × p で割り切れることになり、それは (n − 1)(n − 2) × … × (n − p + 1) が p で割り切れる場合しかありえないが、n は p で割り切れるのだから、p は n − 1, n − 2, …, n − p + 1 を割り切らず、p は素数だから従って (n − 1)(n − 2) × … × (n − p + 1) も割り切らず、それゆえ分子が n で割り切られることもない。
上界・下界と漸近公式

(n
k) に関して以下の評価
が 1 ≤ k ≤ n に対して成立する。スターリングの近似からは √n (2n
n) ≥ 22n−1, 一般に
が m ≥ 2 かつ n ≥ 1 に対して成立する。また n → ∞ のとき近似
が成り立つ。n, k がともに 1 より十分大きければスターリング近似からは以下の漸近近似
も従う。ここに H⁡(ε) = −εlog2⁡(ε) − (1 − ε)log2⁡(1 − ε) は ε の二値エントロピー関数である。より精確に、任意の整数 n ≥ k ≥ 1 と ε ≐ k/n ≤ 1/2 に対して、最初の k + 1 個の二項係数の和を
と評価することができる。
n が大きく、k が n に対して十分小さいとき  \textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}\approx {\frac {(n-k/2)^{k}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}}}={\frac {(n/k-0.5)^{k}e^{k}}{\sqrt {2\pi k}}} と書くことができるので、
を得る。より精度を望むならば、ln⁡(n(n − 1)…(n − k + 1)) を積分で近似して
となる。n = 20 かつ k = 10 に対して log⁡(n
k) ≈ 12.127 およびこれら近似式からそれぞれ近似値 12.312 および 12.133 を得る。
ガンマ函数の無限積表示に基づく無限積
から漸近公式
が k → ∞ で成り立つ。この漸近挙動は近似
にも表れている。ここに、Hk は k番目の調和数で、γ はオイラー–マスケローニ定数である。さらに、k → ∞ かつ適当な複素数 x に対して j/k → x なるとき、漸近公式
が成り立つ。
二項係数の和について、二項定理を用いると
という単純で粗い上界が得られる。
近似

n が十分大きいとき、
は二項係数と正規分布との関係に基づく近似を与える。これは、二項分布と等しい期待値と分散 (np, np(1-p)) を持つ正規分布をとり、p = 1 − p = 1/2 として、2n を掛ければ、中心極限定理に対する評価から従う。
一般化 > 多項への一般化

詳細は「多項係数」を参照
二項係数を一般化するものとして
で定義される数を多項係数と呼ぶ。二項係数が (x + y)n の係数であったのに対し、多項係数は (x1 + x2 + … + xr)n の多項式展開の係数であり、r = 2 のとき二項係数を与える:
多項係数は、区別可能な n 個の元を r 個の箱に分けて入れるとき、箱の番号 i (1 ≤ i ≤ r) に対して各箱がちょうど ki 個の元を含むような分け方の総数として組合せ論的に解釈できる。
多項係数は二項係数の性質とよく似たたくさんの性質を満たす。例えば漸化式
および任意の置換 σ に関する対称性
が挙げられる。ただし、(σi) は (1,2, …,r) を並べ替えたものである。
一般化 > テイラー級数

第一種スターリング数を用いれば、二項係数の任意に選んだ点 z0 の周りでのテイラー展開は
と与えられる。
一般化 > 半整数に対する二項係数

二項係数の定義（積による表示）は n が実数、k が整数の場合にも意味を持つ。特に n = 1/2 のとき任意の非負整数 k に対して
が成り立つ。これは二項級数展開 √1 + x = ∑
k≥0 (1/2
k)xk に現れる。