stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ヘンゼルの補題
ヘンゼルの補題の主張 > 単根の持ち上げ

大切で特別な場合として
 f=X-r
であるときを考える。この場合、互いに素という仮定は
r は
 h{\bmod {\mathfrak {m}}}
の単根であるということを意味する。したがってこの場合にはヘンゼルの補題の主張は次のようになる（これもヘンゼルの補題と言われる）。
記号と仮定は今までと同じとし、r を
 h{\bmod {\mathfrak {m}}}
の単根とする。このとき、r は全ての正の整数 n に対して
 h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}
の単根に一意的に持ち上げることができる。つまり、任意の正の整数 n 対して
 h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}
の単根
 r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}
であって





r

n


≡
r


(
mod


m

)



{\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}}


を満たすものが一意的に存在する。
ヘンゼルの補題の主張 > 完備化への持ち上げ

全ての正の整数 n に対して
 R/{\mathfrak {m}}^{n}
に持ち上げることができるので、n
を限りなく大きくしていったときの"極限"を考えたくなる。これが p 進整数が考案された主な理由の1つである。
R を可換環、 {\mathfrak {m}}
を極大イデアルとすると、 {\mathfrak {m}}
のベキたちは
R の  {\mathfrak {m}} 進位相と呼ばれる位相についての基本近傍系になる。この位相による完備化は局所環
 R_{\mathfrak {m}}
の完備化と同一視でき、また射影極限
 \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}
とも同一視できる。この完備局所環は
 {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}
と一般的に書き表される。R が整数環で
 {\mathfrak {m}}=p\mathbb {Z} （p は素数）であるときには、この完備局所環は p 進整数環
 \mathbb {Z} _{p}
である。
完備化の射影極限を使った定義と上述のヘンゼルの補題の主張から、多項式
 h\in R[X]
の法
 {\mathfrak {m}}
での因数分解がどの2つの因子を取っても互いに素であるなら、それは
h
の
 {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X]
における像の因数分解に一意的に持ち上げられることが導かれる。同様に、h の法
 {\mathfrak {m}}
での任意の単根は
h の
 {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X]
における像の単根に持ち上げられる。
証明

ヘンゼルの補題は、 R/{\mathfrak {m}}^{n}
での因数分解を
 R/{\mathfrak {m}}^{n+1}
での因数分解に持ち上げる（#1次持ち上げ）ことを繰り返すか、または
 R/{\mathfrak {m}}^{2n}
での因数分解に持ち上げる（#2次持ち上げ）ことを繰り返すことにより証明されることが多い。
証明では、体を係数とする互いに素な多項式（英語版）に対してベズーの等式が成り立つということが重要な役割を果たす。ベズーの等式とは、体（ここで使うのは
 R/{\mathfrak {m}}
の場合）を係数とする互いに素な1変数多項式
f と g
があったとすると、ある多項式 a と b であって、 \deg a<\deg g
かつ
 \deg b<\deg f
かつ次の式
を満たすものが存在するということである。
ベズーの等式が成り立てば
 {\mathfrak {m}}
が極大イデアルではなくともヘンゼルの補題を証明することができる。
それゆえ、以下では
R を可換環、I をそのイデアル、 h\in R[X] を最高次係数が法 I
で可逆（ R/I における像が  R/I の可逆元ということ）な多項式、I もしくは I の冪乗を法とする
h の因数分解に現れる因子が法 I
でベズーの等式を満たす、という設定のもとで証明を行う。証明では、



A
≡
B


(
mod

I
)



{\textstyle A\equiv B{\pmod {I}}}

 という式で
 A-B\in IR[X]
であることを表すことにする。
証明 > 1次持ち上げ

R を可換環、I をそのイデアル、 h\in R[X]
を
R
係数の1変数多項式で最高次の係数
 \alpha 
が法 I で可逆（ \alpha の  R/I における像が  R/I の可逆元という意味）であるものとする。
そして何らかの正の整数 k に対して
と因数分解でき、f と
g
はモニック多項式で法
I
で互いに素だったとする。ここで、"互いに素"というのはある
 a,b\in R[X]
が存在して




a
f
+
b
g
≡
1


(
mod

I
)



{\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I}}}


という意味で使っている。このとき、多項式
 \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X]
であって
 \deg \delta _{f}<\deg f
かつ
 \deg \delta _{g}<\deg g
かつ次の式
が成り立つものが存在する。しかもこれらの条件が成り立つ
 \delta _{f}
と
 \delta _{g}
は法
 I^{k+1}R[X]
で一意的に定まる。
そして
 f+\delta _{f}
と
 g+\delta _{g}
は
f と g が満たすベズーの等式を同様に満たす。つまり
 a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I}}
が成り立つ。なぜ直前の主張からすぐにわかるこのことをあえて述べたかというと、k の値を１つ大きくして反復計算を進めるときに、これが次のステップでの前提条件が満たされていることを意味するからである。
次に示す証明は、 R/I
または
 I^{k}/I^{k+1}
を係数とする多項式だけを使って
 \delta _{f}
と
 \delta _{g}
を計算することによりなされている。 R=\mathbb {Z} 
で
 I=p\mathbb {Z} 
の場合には、これは法
p での剰余類だけを使って計算できることを意味する。
証明： 仮定から
 \alpha 
は法 I で可逆である。したがって、ある
 \beta \in R
と
 \gamma \in IR[X]
で
 \alpha \beta =1-\gamma 
を満たすものが存在する。
多項式
 \delta _{h}\in I^{k}R[X]
を、次数が
 \deg h
未満で
が成り立つものとする。 \delta _{h}=h-\alpha fg
と置いてもよいが、他のものを選んだ方が計算が簡単になることがある。例えば
 R=\mathbb {Z} 
で
 I=p\mathbb {Z} 
の場合には、係数が区間  [0,p-1]
に入る整数係数の多項式
 \delta '_{h}
を使って
 \delta _{h}=p^{k}\delta '_{h}
と表せるようなものを取ることができるので、こう取ったほうがよい。
g はモニックなので、多項式に対する除法の原理を
 a\delta _{h}
と
g に適用し、q と c で
 a\delta _{h}=qg+c
かつ
 \deg c<\deg g
となるものを見つけることができる。この
q と c は
 I^{k}R[X]
に入っている。同様に、 q',d\in I^{k}R[X] で
 b\delta _{h}=q'f+d
かつ
 \deg d<\deg f
となるものを取る。
このとき
 q+q'\in I^{k+1}R[X]
である。実際、まず
が成り立っている。 fg
はモニックなので、 fg(q+q')
の法
 I^{k+1}
での次数が
 \deg fg
の次数よりも小さくなるのは
 q+q'\in I^{k+1}R[X]
のときだけである。
こうして、
 I^{k+1}
を法とする合同を考えることにより次の式
が成り立つことがわかる。そして、
と置けば求めるものになっているので、存在が示せた。
証明 > 一意性

記号 R、I、h、 \alpha 
は前節と同じとする。h が
と、 \deg f_{0}+\deg g_{0}=\deg h
となる互いに素な多項式（前述の意味で）に因数分解できたとする。1次持ち上げを
 k=1,2,\ldots ,n-1\ldots 
に適用して、多項式
 \delta _{f}
と
 \delta _{g}
であって
 \deg \delta _{f}<\deg f
かつ
 \deg \delta _{g}<\deg g
かつ次の式
を満たすものの存在がわかる。この多項式
 \delta _{f}
と
 \delta _{g}
は法
 I^{n}
で一意に定まる。つまり、同じ条件を満たす組
 (\delta '_{f},\delta '_{g})
が他にあったとすると、
が成り立つ。
証明:  I^{n}
を法とする合同は
 I^{n-1}
を法とする合同を意味するので、
数学的帰納法を使って証明する。
n = 0 の場合は明らかである。
n − 1 の場合の一意性は証明されているものと仮定する。つまり、
と仮定する。仮定により
が成り立ち、これから
が成り立つ。帰納法の仮定から右辺の2番目の項は
 I^{n}
に含まれ、（左辺もそうなので）同じことが初項についても成り立つ。 \alpha 
は法 I で可逆なので、ある
 \beta \in R
と
 \gamma \in I
が存在して
 \alpha \beta =1+\gamma 
が成り立つ。これと帰納法の仮定から
が成り立つ。
法 I で互いに素という仮定から、ある
 a,b\in R[X]
が存在して




1
≡
a
f
+
b
g


(
mod

I
)



{\textstyle 1\equiv af+bg{\pmod {I}}}


が成り立つ。帰納法の仮定をもう一度使うと
となる。したがって、次数が
 \deg g
未満の多項式が法
 I^{n}
でモニック多項式 g ともう1つの多項式 w の積と合同になったことになる。これが起こり得るのは
 w\in I^{n}R[X]
の場合だけなので、これから
 \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n}R[X]
が得られる。同様に
 \delta _{f}-\delta '_{f}
も
 I^{n}R[X]
に含まれることが示せるので、これで一意性が証明できた。
証明 > 2次持ち上げ

1次持ち上げは法
 I^{n}
での因数分解を法
 I^{n+1}
での因数分解に持ち上げるものであった。2次持ち上げでは法
 I^{2n}
での因数分解に一気に持ち上げる。しかし、ベズーの等式の持ち上げも必要になり、（上述の1次持ち上げでは）法
I での計算だけで済んだが法
 I^{n}
での計算が必要になるため、追加の計算コストがかかる。
どちらの方法でも大きな
N に対して法
 I^{N}
まで持ち上げることができる。例えば
 N=2^{k}
の場合に法
 I^{N}
まで因数分解を持ち上げるためには、1次持ち上げを使うと
N − 1 回の反復計算が必要になるが、
2次持ち上げを使えば
k − 1 回の反復計算で済む。しかし、2次持ち上げを使う方法では扱わなければならない係数のサイズが計算中に増大していく。これは、一番いい持ち上げの方法は、N の値や
R の性質、
使用する乗算アルゴリズム、
ハードウェアの特性などの状況に依存することを意味する[要出典]。
2次持ち上げは次の性質を利用する。
ある正の整数 k に対して因数分解
があったとし、f と g はモニック多項式で、ある
 a,b\in R[X]
が存在し




a
f
+
b
g
≡
1


(
mod


I

k


)



{\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I^{k}}}}


が成り立つという意味で法
Ik
で互いに素だったとする。このとき、ある多項式
 \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X]
が存在し、 \deg \delta _{f}<\deg f
かつ
 \deg \delta _{g}<\deg g
かつ
が成り立つ。さらに
 f+\delta _{f}
と
 g+\delta _{g}
は次の形のベズーの等式
を満たす（つまり2次持ち上げの反復計算を行うための前提が満たされる）。
証明: 最初の主張は1次持ち上げを
k = 1 で
I の代わりにイデアル  I^{k} に対して適用することでわかる。
\alpha =af+bg-1\in I^{k}R[X]
と置く。次の式
が、
と置くことで成り立つ。2つの多項式を
 \delta _{a}=-a\Delta 
と
 \delta _{b}=-b\Delta 
で定めると
が成り立つ。これで2番目の主張も証明できた。
具体例

多項式
 f(X)=X^{6}-2\in \mathbb {Q} [X]
を考えよう。
この多項式に対して法2でのヘンゼルの補題を適用することはできない。なぜなら
 f(X)
を法 2 で還元すると単に
pg 15-16
となり、この6つの因子
 X
はどの2つを取っても互いに素ではないからだ。しかし、アイゼンシュタインの既約判定法を使って多項式
 f(X)
が
 \mathbb {Q} _{2}[X]
で既約であることは示せる。
一方、 k=\mathbb {F} _{7} では
となる。 4
は
 \mathbb {F} _{7}
における2の平方根である。4は
 \mathbb {F} _{7}
における立方数ではないので、この2つの因子は
 \mathbb {F} _{7}
上既約である。したがって
 X^{6}-2
の
 \mathbb {Z} _{7}[X]（または \mathbb {Q} _{7}[X]）における既約多項式への因数分解は
となる。ここで
 \alpha =\ldots 450\,454_{7}
は
 \mathbb {Z} _{7}
における2の平方根で、先ほどの因数分解を持ち上げることで得られる。
最後に、この多項式は
 \mathbb {F} _{727}[X]
においては
と分解する。これらの因子はどの2つを取っても互いに素なので、 \mathbb {Z} _{727}[X]（または \mathbb {Q} _{727}[X]）において6つの多項式
 X-\beta 
の積に分解する。 \beta 
は（有理数ではない）727進数
である。
微分を用いた根の持ち上げ

f(x)
を整数（または p 進整数）を係数とする多項式とし、m と k を
m ≤ k
を満たす正の整数とする。整数 r に対して
が成り立ったとする。このとき、任意の
 m>0
に対してある整数 s が存在して
が成り立つ。この s は法
pk+m
で一意であり、次の式
で具体的に計算できる整数である。ここで
 a
は次の式
を満たす整数である。先程の式で s を定めれば、 f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}
なので条件
 s\equiv r{\bmod {p}}^{k}
は満たされている。なお、 f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}
であるときは、持ち上げ s は存在しないかもしれないし複数存在するかもしれない（あとで「#ヘンゼル持ち上げ」で例示する）。
微分を用いた根の持ち上げ > 証明

f の r まわりでのテイラー展開
を使う。 r\equiv s{\bmod {p}}^{k}
なのである整数 t が存在して
s − r = tpk
とかける。これを使うと
と計算できる。 m\leqslant k としていたので、
である。 f'(r) は
p で割り切れないという仮定から、 f'(r)
は法
 p^{m}
で逆元を持ち、しかもそれは一意でなければならない。したがって、最後の式の
t
についての解は法
 p^{m}
で一意に存在し、s は法
 p^{k+m}
で一意に存在する。
関連する諸結果 > 多項式の既約性判定

仮定は今までと同じとし、既約多項式
が
 a_{0},a_{n}\neq 0
だったとすると、
である。 f(X)=X^{6}+10X-1
の場合だと、 \mathbb {Q} _{2}[X] で
であるが、 \max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}=0 なので、この多項式は既約ではありえない。一方
 \mathbb {Q} _{7}[X]
では両方の値が等しいので既約である可能性がある。
既約であるかどうか決定するためにはニュートンの多角形を使う必要があるpg 144。
関連する諸結果 > フロベニウス

a\in \mathbb {F} _{p}
に対してフロベニウス自己準同型
 (-)\mapsto (-)^{p}
による多項式
 x^{p}-a
を考える。この微分は
となり常にゼロである。したがって
 a
の
p
乗根は
 \mathbb {Z} _{p}
に存在しない。 a=1
の場合、これは
 \mathbb {Z} _{p}
には1の冪根
 \mu _{p}
が含まれないことを意味する。[要検証]
関連する諸結果 > 1の冪根

1の
 p
乗根は
 \mathbb {F} _{p}
に存在しないが、方程式
 x^{p}-x=x(x^{p-1}-1)
の解は存在する。次の式
は決してゼロにならないので、解が存在すればそれは
 \mathbb {Z} _{p}
に持ち上げることができる。フロベニウスにより
 a^{p}=a
なので、ゼロではない元全体
 \mathbb {F} _{p}^{\times }
が解全体である。実は、 \mathbb {Q} _{p}
に含まれる1の冪根はこれらだけである。
ヘンゼル持ち上げ

補題を使って、多項式 f の法
pk
での根 r を
法
pk+1
での新しい根 s に
r ≡ s mod pk
となるように持ち上げることができる。
（m=1 と取る。数学的帰納法により大きい m はしたがう）。
また、法
pk+1
での根は法
pk
での根でもあるので、法
pk+1
での根はすべて法
pk
での根の持ち上げである。
持ち上げた根 s は法 p
で
r
と合同なので、
新しい根も
 f'(s)\equiv f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}
を満たす。
したがって、
最初の根
rk
が
 f'(r_{k})\not \equiv 0{\bmod {p}}
を満たせば持ち上げの操作は繰り返すことができ、 f(x)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}
の解
rk
からはじめて、p の高次冪に対して同じ合同式を満たす解の数列
rk+1, rk+2, ...
を作れる。
このことはまた、
f の法
pk
での根が全て単根であれば、
f
の法
pk
での根の数は法
pk+1, pk+2, ...
での根の数と同じであることを示している。
r が法
p
で単根になっていないとき、このプロセスでは何が起きているのであろうか? これを見るために、次の状況
を考えよう。このとき、 s\equiv r{\bmod {p}}^{k}
は
 f(s)\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}
を意味する。つまり任意の整数 t に対して
 f(r+tp^{k})\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}
が成り立つ。それゆえ次の2つの場合がある。
f(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}^{k+1} なら r の法 pk+1 への f(x) の根の持ち上げは存在しない。
f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+1} なら r の任意の法 pk+1 への持ち上げは f(x) の法 pk+1 での根である。
例:
p = 2 として両方のケースを見てみよう。
f(x)=x^{2}+1 とし、r = 1 とする。このとき、 f(1)\equiv 0{\bmod {2}} で
 f'(1)\equiv 0{\bmod {2}}
である。 f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}
なので、1の法4への持ち上げで
f(x) の法4での根になるものは存在しない。
g(x)=x^{2}-17、r = 1 とする。すると
 g(1)\equiv 0{\bmod {2}}
かつ
 g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}
である。また、 g(1)\equiv 0{\bmod {4}}
であるので、この解を法4へ持ち上げることができ、2つの持ち上げ（1と3）はともに解である。これらの解に対しても微分は法2でやはり0であるので、アプリオリにはこれらを法8に持ち上げられるかどうかは分からない。しかし実際には
g(1) も g(3) も法8で0と合同であるので持ち上げることができる。法8では1, 3, 5, 7が解である。これらの中で
g(1) と g(7) だけが法16で0なので、1と7だけが法16に持ち上げることができ、それらは1, 7, 9, 15である。これらの中では7と9だけが
g(x) = 0 mod 32
なので、同様に法32での解7, 9, 23, 25が得られる。任意の整数 k ≥ 3 に対して法2での
g(x)
の根1の法
2k
の根への持ち上げは4つ存在することがわかる。
p 進数の場合のヘンゼルの補題

p 進数では、p の冪乗を法とする有理数の合同類というものを、分母が
p
の倍数でなければ考えることができる。このことを使うと、
法 pk での根
rk
から法 pk+1 での根
rk+1
を求める反復計算をずっと直感的に行うことができる。次の合同式
を解いて整数
t
を見つける代わりに、有理数
t
を次の式
で定める。分母に pk が出てくるように見えるが、
f(rk) が
pk
で割れるため実際には出てこない。そして
と置く。これは整数にはならないかもしれないが、p
進整数にはなっている。数列
rk
はある
p 進整数
に収束し、極限は
f(x) = 0
の解になっている。そして、rk
から
rk+1
を計算する漸化式をよく見てみると、実数の場合における求根アルゴリズムであるニュートン法の漸化式とまったく同じになっている。
p 進数の中で計算を行い
p 進絶対値を使うことで
 f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}
となってしまう
f(a) ≡ 0 mod p
の解についても使えるようにしたヘンゼル補題がある。 f'(a)
が0になってしまわないことは必要である。この一般化されたヘンゼルの補題は次のようになる。整数 a で
を満たすものがあったとすると、p 進整数 b で
f(b) = 0 かつ
 |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}
となるものが一意的に存在する。この
b を作るにはニュートン法の漸化式が初期値
a
で
p 進数に収束することを示しその極限を
b
と置けばよい。条件
 |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p} を満たす根として
b が一意であることを示すには追加の議論がいる。
先ほどのヘンゼルの補題の  m=1 の場合はこの一般化された補題の特殊な場合になっている。条件
f(a) ≡ 0 mod p
と
 f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}
は
 |f(a)|_{p}<1
と
 |f'(a)|_{p}=1
を意味するからである。
例

p を奇素数、a を0ではない
p を法とする平方剰余とする。このとき、p 進整数環  \mathbb {Z} _{p} の中に
a の平方根が存在することをヘンゼルの補題を使って示すことができる。これを見るために
 f(x)=x^{2}-a
と置く。r を法 p での
a の平方根とすると
が成り立つ。2番目の式は
p が奇数であることによる。基本形のヘンゼルの補題を使って、r1 = r
から出発して反復計算を行うことにより整数の列  \{r_{k}\} を
が成り立つように作ることができる。この列はある
p 進整数 b に収束し
b2 = a
を満たす。
この b は、法 p で r1 と合同になる
 \mathbb {Z} _{p}
における
a
の唯一の平方根である。逆に、a を
 \mathbb {Z} _{p} の平方数で
p で割り切れないものとすると、
これは0ではない法 p での平方剰余である。a
が法 p でゼロではない平方剰余かどうかは平方剰余の相互法則で簡単に判定できるので、これで（奇素数 p に対する）p 進数が p 進平方根を持つかどうかを決定する実用的な方法が得られたことになる。p = 2
の場合にも、一般化されたヘンゼルの補題を用いることでこの方法を拡張することができる（17の2進平方根の例を後で見る）。
以上の議論をもっと具体的に理解するために、7進整数環の中で"2の平方根"、つまり方程式
 x^{2}-2=0
の解を見つけてみよう。この方程式の法7での解の1つは3（もう1つの解は4）なので、 r_{1}=3
としよう。ヘンゼルの補題における
 r_{2}
の計算式に現れる各種の数値は
となる。これらの式から、次の式
は
となり、これは
 t=1
を意味する。したがって、
と計算できた。簡単に確かめられるように、 10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}
が成り立っている（ニュートン法の反復を直接7進数で使うと、 r_{2}=r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})=3-7/6=11/6
となる。 11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2} なので整合している）。
次の反復計算を行うと
 r_{3}=108=3+7+2\cdot 7^{2}=213_{7}
となる。この計算を1回繰り返すごとに（つまり k の値が1つ増えていく度に）次の7の冪乗の項が追加され7進数での桁が1つが増えていく。7進整数環の中でこの数列は収束し、その極限は
 \mathbb {Z} _{7}
での2の平方根となる。その7進展開の初めの方は
となる。
最初に
 r_{1}=4
を選んだ場合でも
 \mathbb {Z} _{7}
における2の平方根が得られる。
これは法7で3ではなく4に合同になるもので、実は最初に得られた平方根を-1倍したものになっている（これは
4 = −3 mod 7
であることと辻褄があっている）。
元々のヘンゼルの補題は適用できないが一般化されたものなら適用できる例として
 f(x)=x^{2}-17
を考える。 a=1
とすると
 f(a)=-16
であり、また
 f'(a)=2
であるので、
が成り立つ。これから、ある2進整数 b で
を満たすものが一意に存在する。二番目の式は
b ≡ 1 mod 4
を意味する。2進整数の中には17の平方根が2つ存在し、それらは符号が異なり、法2では合同であるが法4では合同ではない。これは、一般化された形のヘンゼルの補題から得られるのが法2ではなく法4で1と合同な17の2進平方根で、法4で一意であることと整合的である。最初の近似根として
a = 3
を取った場合でも一般化されたヘンゼルの補題を適用することができ、法4で3と合同になる唯一の17の2進平方根をやはり見つけることができる。これがもう1つの17の2進平方根である。
x^{2}-17
の根を法
2k
から法
2k+1
へ持ち上げるやり方の場合、法2での根1からの持ち上げの過程は次のようになる。
k が3以上であれば
x2 − 17 mod 2k
には4つの根がある。しかし2進極限は2つしかない。持ち上げられた根と極限の2進展開を比べてみよう。例えば、法32での4つの根を法16で等しくなるものを組にして書くと次のようになる。
一方、17の2進平方根の展開は
となっている。
基本形は使えないが一般化された形のヘンゼルの補題なら使えるもう１つの例として、c ≡ 1 mod 9
である任意の3進整数は
 \mathbb {Z} _{3}
で立方数になることの証明を見よう。 f(x)=x^{3}-c
と置き、最初の近似根として
a = 1
を取る。任意の r に対して
 f'(r)\equiv 0{\bmod {3}}
となってしまうので、基本形のヘンゼルの補題を使って
f(x)
の根を見つけることはできない。
一般形のヘンゼルの補題を適用するためには
 |f(1)|_{3}<|f'(1)|_{3}^{2}
である必要がある。これは
 c\equiv 1{\bmod {2}}7
ということである。つまり、
c ≡ 1 mod 27
であれば一般形のヘンゼルの補題から
f(x)
が3進根を持つことがわかり、c
が3進立方数であることがわかる。しかし、
c ≡ 1 mod 9
というより弱い条件のもとでこの結果が欲しい。c ≡ 1 mod 9
であれば、c ≡ 1, 10, or 19 mod 27
である。この3つの
c mod 27
の値に応じて初期値を使い分けて一般形のヘンゼルの補題を適用する。c ≡ 1 mod 27
なら、a = 1 を使う。c ≡ 10 mod 27
なら、a = 4 を使う（4は法27での f(x) の根）。c ≡ 19 mod 27
なら、a = 7 を使う。なお、任意の
c ≡ 1 mod 3
は3進立方数になる、という主張は正しくない。例えば、4は法9で立方数にならないので3進立方数ではない。
同様にして、少し準備が必要だが、ヘンゼルの補題を使って任意の奇素数 p に対して法
p2
で1と合同な全ての
p 進整数 c
は
 \mathbb {Z} _{p}
の
p 冪乗数であることを示すことができる（p = 2 の場合はこれは成り立たない）。
多変数への一般化 > 1つの多項式

ヘンゼルの補題は多変数の多項式への一般化もある。f (X1, X2, ..., Xn)
を整数係数の多項式とし、ディオファントス方程式
を考える。これがある素数 p に対して mod p2m + 1 （m は非負整数）で解
a = (a1, a2, ..., an) ∈ Zn
を持ったとする。つまり
f (a1, a2, ..., an) ≡ 0 mod p2m + 1
が成り立ったとする。さらに、少なくとも1つの変数について f の偏微分の a における値が mod pm + 1 でゼロではなかったとする。このとき、a は mod pm + 1 で a と等しい
mod p2m + 2
での解に持ち上がる。同様に Z n
p  の解に持ち上げることもできるので、このディオファントス方程式は p 進整数環 Zp で解を持つ。
多変数への一般化 > 複数の多項式

A をイデアル
 {\mathfrak {m}}
について完備な可換環とし、 f(x)\in A[x] とする。次の式
を満たす a ∈ A のことを f の近似根と呼ぶ。f が近似根を持つなら、a に"近い"本当の根 b ∈ A も持つ。つまり、次の式
を満たす b が存在する。さらに、 f'(a) が零因子でないならば、b は一意的である。
このことは多変数の場合に次のように一般化できる。
この定理の特別な場合として、 f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {\mathfrak {m}}}
がすべての i に対して成り立ち、しかも
 \det J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )
が
A
の単数なら、解
f(b) = 0
ですべての i に対して
 b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\mathfrak {m}}}
が成り立つものが存在することがわかる。
n = 1 の場合、
a = a
は
A の元で
 J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )=J_{f}(a)=f'(a)
である。したがって、この多変数のヘンゼルの補題の仮定は1変数の場合には通常のヘンゼルの補題の仮定と同じになっている。
関連概念

環が完備であることはヘンゼルの補題が成り立つための必要条件ではない。1950年に、東屋五郎は可換な局所環であって極大イデアル
m
についてヘンゼルの補題が成り立つものをヘンゼル環と名付けた。
1950年代に永田雅宜は、任意の可換な局所環
A とその極大イデアル m に対して
A を含む環 Ah
であって
mAh
についてヘンゼルの補題が成り立つような最小の環
Ah
が常に存在することを証明した。この
Ah
のことを
A
のヘンゼル化と呼ぶ。A
がネーターなら
Ah
もネーターである。また、Ah
はエタール近傍系（英語版）の極限として構成されるので代数的である。したがって、Ah
はヘンゼルの補題が成り立つにも関わらず、通常は完備化
Â
よりもずっと小さく、同じ圏に属している[要説明]。
還元と持ち上げを図で表したもの。還元は何の困難もなく行えるが、持ち上げは可能ではないこともある。また、可能であっても一意でないこともある。
アトウッド数

アトウッド数 (英: Atwood number, A)とは、流体力学における無次元量の一つで、密度成層流中の流体力学的不安定性（英語版）に関する研究に用いられる。
定義

アトウッド数は無次元の密度の比で以下の式で定義される:
ここで
適用

アトウッド数はレイリー・テイラー不安定性およびリヒトマイヤー・メシュコフ不安定性の研究において重要なパラメータである。レイリー・テイラー不安定性において、重い流体の泡の軽い流体への浸透距離は加速時間の尺度の関数、 \mathrm {A} gt^{2}（g は重力加速度、t は時間）で表される。
わが恋せし乙女

| わが恋せし乙女 |
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監督:  木下惠介
脚本:  木下惠介
出演者:  原保美 井川邦子 東山千栄子
音楽:  木下忠司
撮影:  楠田浩之
製作会社:  松竹
公開:   1946年10月29日
製作国:   日本
言語:  日本語
テンプレートを表示
『わが恋せし乙女』（わがこいせしおとめ）は、1946年10月29日に日本で公開された映画。製作は松竹。1924年のアメリカ映画『我が恋せし乙女』の翻案。北軽井沢の農場を舞台に、実の兄妹でないと知った兄と妹のロマンス。メルヘンチックでヨーロッパ調の演出が行われている。
白黒、スタンダード・サイズ。
ストーリー

田舎の家で女の赤ん坊が拾われた。年上の男の子とともに実の兄妹のように育てられ、娘は美しく育った。戦争から帰って来た兄・甚吾は、妹として遇してきた娘に恋をし、結婚したいと思うようになった。母にもその話をすると賛成してくれたので、妹には、ちょっと話があるから祭りの日に話すと言った。だが祭りの日、甚吾は妹が恋人らしい男と語らっているのを発見してしまう。果たして妹は、結婚したい男があると打ち明けるのだった。甚吾は苦悩のうちに諦めるが、話を聞いた母は泣き崩れる。兄さんの話はなあに、と訊かれた甚吾は、自分と同じ隊にいた男が、お前の写真を見て気に入ったから結婚させようと思っていた、と話す。井川邦子が主題歌を劇中でも歌っている。
スタッフ

監督：木下惠介
企画：細谷辰雄
脚本：木下惠介
撮影：楠田浩之
音楽：木下忠司
キャスト

兄・甚吾：原保美（少年時代：大塚正義）
妹・美子：井川邦子（少女時代：河野正昭）
母・おきん：東山千栄子
父・草二郎：勝見庸太郎
野田：増田順二
喜造：山路義人
次郎：大塚紀男
アセンブリ (プログラミング)

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: 「アセンブリ言語」とは異なります。
アセンブリとは、型（データ型）と他のリソース（資源）から構成されるランタイムユニット（実行単位）である。アセンブリ内にある全ての型は同じバージョン番号を持つ。
しばしば、1つのアセンブリは1つだけの名前空間を持ち、1つのプログラムで使用される。しかし、1つのアセンブリがいくつかの名前空間に及ぶこともある。また、1つの名前空間がいくつかのアセンブリに及ぶこともある。巨大な設計において、アセンブリは「マニフェスト」（内容を記した一覧表）によってまとめられた複数のファイルから構成されていてもよい。
C#やVB.NETなどの.NET言語において、アセンブリは使用される最小の配置単位であり、.NETにおけるコンポーネントである。たとえばMicrosoft Windows環境の場合、具体的にはDLLやEXEとなる。転じて、.NETコンポーネントではないネイティブのDLL/EXEも、「アセンブリ」と呼ばれることがある。Javaにおいて、アセンブリはJARファイルである。
アセンブリの作成

C#においては、コンパイルごとに、「アセンブリ」か「モジュール」のいずれかが作成される。「アセンブリ リンカー」 (al) を用いて他のモジュールを加えることができる。
Javaの特徴は、各クラスごとに*.classファイルを作成することであり、この点でC#とは異なる。対象となるアセンブリに追加されるYを伴う新規のA.exeを作成するcsc /addmodule:Y.netmodule A.csのように、作成はコンパイラのスイッチで活性化させることが可能である。
アウトバーン 11

| アウトバーン |
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Bundesautobahn 11
地図

路線延長: 110 km
起点: ナドレンゼー
終点: ベルリン
■テンプレート（■ノート ■使い方） ■PJ道路
アウトバーン 11（ドイツ語: Bundesautobahn 11, BAB 11 または A 11）はドイツの高速道路、アウトバーンの一路線である。
概要

北東のポーランド国境、ナドレンゼー付近から南西のベルリン付近まで110 kmの路線を持つ地方道路である。ベルリンとシュチェチンを結ぶ国際道路のドイツ側区間である。
もともとベルリンとかつてドイツ領であったシュチェチンを結ぶ幹線道路としてナチス時代に建設された。第二次世界大戦後からポーランドと東ドイツの新たに設定された国境で分断されるようになった。ドイツに残った区間はメクレンブルク＝フォアポンメルン州の最南東の地を経て、ブランデンブルク州のウカーマルク地方を縦断して、ベルリン付近のバルニムJCTでA10（ベルリン環状道路）と合流する。
バルニムJCT付近
フィノーフルトIC付近
ウカーマルクJCT付近
2000年代の改修工事前の区間
行程

計画段階の新規インターチェンジおよびジャンクション、またはかつて存在していたが、2018年現在閉鎖されているインターチェンジは含まれていない。
接続路線名の特記がないものは州道または郡道。
|  アウトバーン 11の行程一覧表> IC 番号 |  アウトバーン 11の行程一覧表> 施設名 |  アウトバーン 11の行程一覧表> 施設名 |  アウトバーン 11の行程一覧表> 接続路線名 |  アウトバーン 11の行程一覧表> 州 |
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| 1 |  | ポメレン/コウバスコヴォ国境通過点 Grenzübergang Pomellen/Kołbaskowo |   シュチェチン方面 | メクレンブルク＝フォアポンメルン州 |
| 3 |  | ペンクン Penkun |  連邦道路113号線 | メクレンブルク＝フォアポンメルン州 |
| 4 |  | シュメルン Schmölln | -- | ブランデンブルク州 |
| 5 |  | ウカーマルク交差点 Kreuz Uckermark |  アウトバーン 20  連邦道路166号線 | ブランデンブルク州 |
| 6 |  | グラムゾー Gramzow |  連邦道路198号線 | ブランデンブルク州 |
| 7 |  | ヴァルニッツ Warnitz | -- | ブランデンブルク州 |
| 8 |  | ブフィンクストベルク Pfingstberg | -- | ブランデンブルク州 |
| 9 |  | ヨアヒムスタール Joachimsthal |  連邦道路198号線 | ブランデンブルク州 |
| 10 |  | コリーン Chorin | -- | ブランデンブルク州 |
| 11 |  | ヴェルベリーン Werbellin | -- | ブランデンブルク州 |
| 12 |  | フィノーフルト Finowfurt |  連邦道路167号線 | ブランデンブルク州 |
| 13 |  | ランケ Lanke | -- | ブランデンブルク州 |
| 14 |  | ヴァントリッツ Wandlitz |  連邦道路273号線 | ブランデンブルク州 |
| 15 |  | ベルナウ＝北 Bernau-Nord | -- | ブランデンブルク州 |
| 16 |  | ベルナウ＝南 Bernau-Süd | -- | ブランデンブルク州 |
| 17 |  | バルニム交差点 Kreuz Barnim |  アウトバーン 10  連邦道路2号線 | ブランデンブルク州 |
アトリエ

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: コーエーテクモゲームスによるゲームシリーズについては「アトリエシリーズ」を、山崎まさよしのアルバムおよび楽曲については「アトリエ (アルバム)」をご覧ください。
アトリエで制作中のアドリアーン・ファン・オスターデの自画像、1663年。
洋画家小磯良平アトリエ（1949年築）
日本画家木島桜谷アトリエ（櫻谷文庫画室、1913年築）
アトリエ（仏：atelier）、工房（こうぼう） とは、画家・美術家・工芸家・建築家などのアーティスト(Artiste=美術家)芸術家が仕事を行うための専用の作業場のこと。また、その工房を拠点とする芸術家集団をさしてアトリエと呼ぶこともある。フランス語のatelierは「木片の堆積」を意味することから転じて「大工・木工の仕事場」をさすようになったともいわれる。 英語ではスタジオ（studio）と呼ばれる。
概要

15世紀以降、多数の注文を受けて社会的に成功した画家や彫刻家は、弟子たちとともに作業をする大きな工房を構えた。大人数が大きな作品の制作のために働くには、作業スペース、材料・道具置場、制作中や制作後の作品置場などが必要であり、作品をよく見て作るために光のさしこむ大きな窓も必要であった。
今日でも美術家のアトリエは、必要な機材や材料を置くため、また大きな作品を制作するために、広くて天井の大きな明るい空間であることが重要である。もっとも資金力のない若い画家などは大都市の中心で大きな部屋は借りられないため、廃工場や廃倉庫のロフトを格安で手に入れ再利用したり、農村部の納屋などを使うこともある。都市郊外の家賃が安い地区や、都心に近いが衰退した地区など、アトリエの手に入れやすい地区は歴史的に美術家街となりやすい（例：19世紀から20世紀初頭のパリのモンマルトルやモンパルナス、第二次大戦後のニューヨークのソーホーやチェルシー、近年の旧東ベルリンのミッテ区、北京郊外の大山子地区など）。
アトリエ事務所

建築分野では建築設計事務所を、ゼネコン設計部（公共建築の設計は出来ない）、ハウスメーカー、組織系建築設計事務所（例、日建設計）、アトリエ系建築設計事務所（建築家個人の事務所）と分類することがある。このうちアトリエ系建築設計事務所とは、ひとりの建築家を中心とした建築設計事務所を指し、組織系建築設計事務所と比較して述べられ、建築家の個性と理念を強く反映した設計が行われる。
通常、アトリエ事務所の主宰（と組織事務所の設計チーフ）が建築家と呼ばれ、建築家はもちろん、スタッフも建築設計関連の資格は保有していることが一般的である。アトリエ事務所は作家性、作品件を追求し、妥協なくより良い作品を創るのが一般的な方針で、意匠設計能力が重視される。
このほかデザイン分野の小規模な事業者、事務所で、創作活動の場、という意味で「アトリエ」という名称を使用している場合もある。また造園やランドスケープデザイン分野やアーバンデザイン業務を中心とした都市計画コンサルタントで小規模な場合も、アトリエ事務所を指すことがある。
アガサ・クリスティーのフレンチ・ミステリー

| アガサ・クリスティーのフレンチ・ミステリー |
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ジャンル:  crime comedy film 
公式サイト:  http://www.france2.fr/emissions/les-petits-meurtres-d-agatha-christie 

『アガサ・クリスティーのフレンチ・ミステリー』（原題: Les Petits Meurtres d'Agatha Christie）は、アガサ・クリスティの小説をベースにしたフランスのコメディドラマシリーズのシリーズ1であり、2009年1月9日からフランス2で放送された。
解説

1930年代が舞台で、ベテラン警視ラロジエール（アントワーヌ・デュレリー）と若手刑事ランピオン（マリウス・コルッチ）が登場する。
日本ではAXNミステリーで2016年9月から放送された。
シリーズ2は日本では『アガサ・クリスティーの謎解きゲーム』という番組名で放送されている。
シリーズ3は、新キャストで1970年代のフランスを舞台にして制作されることが2019年に発表された。クリスティの名前を冠したタイトルは残るが、予定されているエピソードのほとんどは「クリスティの作品の精神を受け継いだ」オリジナル・ストーリーとなる予定である。
登場人物

ジャン・ラロジエール: アントワーヌ・デュレリー - 警視
エミール・ランピオン: マリウス・コルッチ - 刑事
メナール: セルジュ・デュボワ - 巡査
ヴェルデュール: オリヴィエ・カレ - 医師
エピソード

ABC殺人事件
無実はさいなむ
動く指
エンドハウスの怪事件
鳩の中の猫
杉の柩
五匹の子豚
満潮に乗って
書斎の死体
スリーピング・マーダー
エッジウェア卿の死
アシュトン・ゲート・スタジアム

| アシュトン・ゲート・スタジアム Ashton Gate Stadium The Gate |
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施設情報
所在地:   イングランド ブリストル
位置:  北緯51度26分24.54秒 西経2度37分13.09秒﻿ / ﻿北緯51.4401500度 西経2.6203028度﻿ / 51.4401500; -2.6203028座標: 北緯51度26分24.54秒 西経2度37分13.09秒﻿ / ﻿北緯51.4401500度 西経2.6203028度﻿ / 51.4401500; -2.6203028
開場:  1887年
所有者:  ブリストル・シティFC
グラウンド:  グラスマスター
ピッチサイズ:  105m × 69m
使用チーム、大会
 ブリストル・シティFC （1904年-現在） ブリストル・ベアーズ（2014年-現在）
収容人員
 27,000人
アシュトン・ゲート・スタジアム (Ashton Gate Stadium) は、イングランド、ブリストル、アシュトン・ゲート（英語版）にあるスタジアム。ブリストル・シティFCとブリストル・ベアーズのホームスタジアムとなっている。場所は、市内から南西に行った所で近くにはエイヴォン川（英語版）が流れている。収容人数は全面座席の27,000人。
概要

1904年、Bedminster F.C.とBristol South Endが合併して出来たブリストル・シティFCのホームスタジアムとなる。
スタジアムから市内を通り北に行くと地元ライバルであるブリストル・ローヴァーズFCのメモリアル・スタジアムへ行ける。
アグロスティクティス

ウィキメディア・コモンズには、に関連するおよびがあります。
ウィキスピーシーズにに関する情報があります。
アグロスティクティス（学名：Agrostichthys parkeri）は、アカマンボウ目リュウグウノツカイ科に属する魚類の一種。Agrostichthys 属は単型。
今までに確認された標本は7体だけであり、無傷であるものはない。主に南極海で発見されている。この種は最大3mまで成長すると考えられている。体は細長くリボン状で、眼は大きく、口は伸び、背鰭の条は非常に長い。標本の少なさから、分布と形態しか分かっていない。
学名

種小名は同科魚類であるリュウグウノツカイの研究を行ったニュージーランドのオタゴ大学の生物学者であるThomas Jeffery Parker(1850-1897)に由来する。
形態

強く側扁したリボン状の細長い体で、尾部は先細りである。体に鱗は無く、多数の突起が縦列する。頭部は細く小型で、体と太さは変わらない。口は上顎が突出し、管状になっている。眼は大きく円形で、虹彩は黒く、瞳孔は透明である。背鰭は眼の後方から始まり、前方にある三角形の部分と、400本以上の短い条から成る尾部まで続く部分に分かれる。背鰭前部にある最大7本の独立した棘条のうち1本が、非常に長い。8-11軟条から成る胸鰭は小さく、鰓のすぐ後方にある。臀鰭は存在しない。尾鰭は2本の条から成るが、多くの標本では失われている。鰓耙は6-9本で、椎骨は175-180本である。椎骨は体の後方につれて小さくなる。体色は明るい青みがかった銀色で、背中と腹には暗い帯がある。頭部は薄く赤みを帯びる。ニュージーランドのネーピアから得られた標本より、卵は淡い琥珀色で、直径4mmであると分かった。
分布・生態

大西洋南東部、ニュージーランド、タスマニア島北部沖から発見されている。ニュージーランド近海のトロール漁で、水深12-108mから漁獲されたが、水深500-1500mの深海からも記録されている。アルゼンチンのチュブ州の海岸でも漂着個体が発見された。すべての標本は単独で発見された。
アジア競技大会セーリング競技

アジア競技大会におけるセーリング競技（アジアきょうぎたいかいにおけるセーリングきょうぎ）は、1970年大会より行われている。ただし、1974年大会は実施されなかった。
種目

| 種目 | 70 | 78 | 82 | 86 | 90 | 94 | 98 | 02 | 06 | 10 | 14 | 18 | 22 | 回数 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 470級 |  |  | • | • | • | • | • | • | • | • | • | • | • | 11 |
| 420級 |  |  |  |  |  |  | • | • | • | • | • |  |  | 5 |
| レーザー級 |  |  | • | • | • | • | • | • | • | • | • | • | • | 11 |
| レーザーラジアル級 |  |  |  |  |  |  |  | • | • |  |  | • | • | 4 |
| レーザー4.7級 |  |  |  |  |  |  |  |  | • |  |  | • | • | 3 |
| OP級 |  |  | • | • | • | • | • | • | • | • | • |  |  | 9 |
| 29er級 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | • |  |  | 1 |
| 49er級 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | • | • | 2 |
| 49erFX級 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | • | • | 2 |
| ナクラ17級 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | • | 1 |
| iQフォイル級 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | • | 1 |
| RS:X級 |  |  |  |  |  |  |  |  |  | • | • | • | • | 4 |
| ミストラル級 |  |  |  |  | • | • | • | • | • | • | • |  |  | 7 |
| フォーミュラーカイト級 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | • | 1 |
| ホビー16級 |  |  |  |  |  |  |  |  | • | • | • |  |  | 3 |
| J/80級 |  |  |  |  |  |  |  |  |  | • | • |  |  | 2 |
| ベネトウファースト7.5級 |  |  |  |  |  |  |  |  | • |  |  |  |  | 1 |
| エンタープライズ級 | • | • | • | • | • | • | • | • |  |  |  |  |  | 8 |
| OKディンギー級 | • | • | • |  |  |  | • | • |  |  |  |  |  | 5 |
| レースボード級 |  |  |  |  |  |  | • | • |  |  |  |  |  | 2 |
| ヨーロッパ級 |  |  |  |  |  |  | • | • |  |  |  |  |  | 2 |
| スーパーモス級 |  |  |  |  |  |  | • |  |  |  |  |  |  | 1 |
| レヒナーA390級 |  |  |  | • | • |  |  |  |  |  |  |  |  | 2 |
| ファイアボール級 | • | • | • |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 3 |
| ボード級 |  |  | • |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |
| モス級 | • | • |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 2 |
| フライングダッチマン級 | • |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |
アシポヴィーチ

オシポヴィチ（またはアシポヴィーチ、ベラルーシ語: Асiповiчы、ロシア語: Осиповичи）は、ベラルーシのマヒリョウ州に属する人口35,400人の市。州都モギリョフから南に136km、ミンスク-ホメリ間の高速道路から北に3kmの位置にある。
シヴィスワチ川の水力発電所がある。
町から約21キロ離れた場所に、使われなくなった軍事基地があった。2023年6月、隣国ロシアで発生したワグネルの反乱を経て、民間軍事会社ワグネル・グループの元基地を拠点とする動きが見られた。