有限変形理論
有限ひずみテンソルの物理的解釈

ラグランジュの有限ひずみテンソルの対角成分 E_{KL}は、法線ひずみと関連しており、例えば以下のようになる：
E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}
ここで、 e_{(\mathbf {I} _{1})}は方向 \mathbf {I} _{1},!における法線ひずみまたは工学的ひずみである。
ラグランジュの有限ひずみテンソルの非対角成分 E_{KL}は剪断ひずみと関連しており、例えば以下のようになる：
E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}
ここで、 \phi _{12}はもともと直交していた二つの線要素の間の角度の変化であり、それぞれ方向が \mathbf {I} _{1}および \mathbf {I} _{2},!であった。
特定の状況下では、つまり小さな変位と小さな変位速度では、ラグランジュの有限ひずみテンソルの成分は微小ひずみテンソルの成分に近似される場合がある。
■ ラグランジュとオイラーの有限ひずみテンソルの物理的解釈の導出

物質点 P,!における単位ベクトル \mathbf {N} の方向にある微小要素 d\mathbf {X} =dX\mathbf {N} （図）のためのストレッチ比は、未変形の構成で定義される：
\Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}
ここで、 dxは微小要素 d\mathbf {X} ,!の変形後の大きさである。
同様に、変形構成で、物質点 p,!における単位ベクトル \mathbf {n} の方向の微小要素 d\mathbf {x} =dx\mathbf {n} （図）のためのストレッチ比は次のように定義される：
{\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}
ストレッチ比の二乗は次のように定義される：
\Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=\left({\frac {dx}{dX}}\right)^{2}
(dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}となることを知っているので、以下が成り立ち：
\Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}
ここで、 N_{K}と N_{L}は単位ベクトルである。
任意の方向 \mathbf {N} における法線ひずみまたは工学ひずみ e_{\mathbf {N} }は、ストレッチ比の関数として表すことができる。
e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1
したがって、物質点 Pにおける方向 \mathbf {I} _{1}の法線ひずみは、ストレッチ比の関数として以下のように表すことができる。
{\begin{aligned}e_{(\mathbf {I} _{1})}={\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=\Lambda _{(\mathbf {I} _{1})}-1\\&={\sqrt {C_{11}}}-1={\sqrt {\delta _{11}+2E_{11}}}-1\\&={\sqrt {1+2E_{11}}}-1\end{aligned}}
E_{11}について解くと、我々は以下を得る。
 {\begin{aligned}2E_{11}&={\frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\\E_{11}&=\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)^{2}\\&=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}\end{aligned}}
二つの直交している主方向 \mathbf {I} _{1}および \mathbf {I} _{2}に最初に配置された二つの線要素 d\mathbf {X} _{1}と d\mathbf {X} _{2}の間の角度の変化、または せん断ひずみ もストレッチ比の関数として表現できます。変形した線要素 d\mathbf {x} _{1}と d\mathbf {x} _{2}の内積から、以下を得る。
{\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}
ここで、 \theta _{12}は変形した線要素 d\mathbf {x} _{1}と d\mathbf {x} _{2}の間の角度を表す。二つの最初に直交していた線要素間の角度の変化、またはせん断ひずみを \phi _{12}と定義すると、次の関係が成り立つ。
\phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}
thus,
 \cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}
then
 \mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}
or
{\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}