stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
F-02G
概要

F-05Fの後継機種で、ARROWSシリーズでは初めてWQHD液晶が搭載されている。液晶は色や輝度の変化が少ない広視野角を誇る「IPS液晶」を採用。YouTubeのWQHD動画視聴や、WQHDサイズでの写真・動画撮影が可能な他、4K対応のビデオカメラで撮影し、SDカードに保存した4K動画の視聴に対応した。
3G/LTEとWi-Fiの同時通信「マルチコネクション」に対応しており、どちらかの電波が不安定な場合により電波の良い方につなぎ、安定した通信を行うことが可能となっている。またサーバーへ通信するリクエスト数を増やすことで、3G/LTEやWi-Fi単独の通信も高速で行うことができる。
インカメラは有効画素数が240万画素に向上したほか、レンズが広角になったことで複数人数でも綺麗に撮影できるようになった。また同梱の卓上ホルダにセットすると、シアターモードからインカメラをセルフタイマーモードで起動することができ、離れた場所に置いて撮影することが可能となっている。
端末のデザインは四隅をカットした八角形の「オクタゴンフォルム」とディスプレイの外周には強度に優れたアルミニウムを使用し、アンテナの役割も果たす「メタルエッジフレーム」を採用している。またBlackのみ、背面にサラサラとした素材を使用し、わずかな凹凸をつけ、手に心地よく吸い付くようなデザインとなっている。
静電容量を識別し、指でのタッチか手袋でのタッチかを自動的に判別するタッチパネルを搭載したことで、冬の寒い日など手袋をはめたままでもタッチ操作が可能となっている。また700MHzのLTE国際ローミングに対応している。
キャッチコピーは「世界最高峰の高精細ディスプレイと超高速通信を楽しめる3日持ちARROWS。」。
搭載アプリ

Chrome
Gmail
Google+
Google検索
Google設定
Playストア
Playブックス
Playミュージック
Playムービー
YouTube
ハングアウト
写真
マップ
ドライブ
音声検索
DiXiM Player
KINGSOFT Office for Android
KSfilemanager ※東京システムハウス提供
ULTIASオススメ機能設定
おサイフケータイ
カメラ
ギャラリー
スッキリ目覚まし
テレビ
ブラウザ
メール
メッセージ
健康生活日記
設定
電卓
@Fケータイ応援団（メーカーサイト）
取扱説明書
予定表
主な機能

| 主な対応サービス |
| --- | --- | --- | --- |
| タッチパネル/加速度センサー | Xi/FOMAハイスピード/VoLTE | Bluetooth | DCMX/おサイフケータイ/NFC/かざしてリンク/赤外線/トルカ |
| ワンセグ/フルセグ/モバキャス | メロディコール | テザリング | WiFi IEEE802.11a/b/g/n/ac |
| GPS | ドコモメール/電話帳バックアップ | デコメール/デコメ絵文字/デコメアニメ | iチャネル |
| エリアメール/ソフトウェアーアップデート自動更新 | デジタルオーディオプレーヤー(WMA・MP3他)/ハイレゾ音源 | GSM/3Gローミング(WORLD WING) | フルブラウザ/Flash Player |
| Google Play/dメニュー/dマーケット | Gmail/Google Talk/YouTube/Picasa | バーコードリーダ/名刺リーダ | ドコモ地図ナビ/ドコモ ドライブネット/Google Maps/ストリートビュー |
歴史

2014年9月30日 - NTTドコモより発表・事前予約開始。
2014年11月19日 - 発売開始。
アップデート・不具合など

プライバシーモードにおいてサイレント着信通知設定が有効とならない場合がある不具合を修正する。
ビルド番号がV16R36FからV17R37Aになる。
通話終了後に通話相手の不在着信が通知される場合がある不具合を修正する。
ビルド番号がV17R37AからV18R38Dになる｡
特定のアプリを起動した際に、まれに携帯電話（本体）が再起動する場合がある不具合を修正する。
特定の条件下において、ブラウザが強制終了する場合がある不具合を修正する。
ビルド番号がV18R38DからV19R39Aになる｡
特定のVPNに接続しようとした場合、正常に接続できない場合がある不具合を修正する。
ビルド番号がV16R36F、V17R37A、V18R38D、V19R39AからV20R40Aになる。
Android 5.0へのバージョンアップが配信された。
NX!ホームにて、ショートカット作成アプリで作成したショートカットが正しく動作しない場合がある不具合を修正する。
ビルド番号がV16R36F、V17R37A、V18R38D、V19R39A、V20R40AからV08R23Aになる。
まれに特定のエラーメッセージが表示され、正常に操作できない場合がある不具合を修正する。
特定の機器とまれにBluetooth接続できない場合がある不具合を修正する。
ビルド番号がV16R36F、V17R37A、V18R38D、V19R39A、V20R40A、V08R23AからV09R24Aになる。
Bluetooth機器とペアリングした際に、接続先機器からの操作が正常に行えない場合がある不具合を修正する。
ビルド番号がV08R23A、V09R24DからV10R27Aになる。
より快適にご利用いただけるよう品質を改善。
ビルド番号がV08R23A、V09R24D、V10R27AからV11R29Bになる。
塚田晃平

| 基本情報 |
| --- | --- |
国籍:   日本
出身地:  東京都目黒区
生年月日:   (1989-08-24) 1989年8月24日（35歳）
身長 体重:  190 cm 95 kg
選手情報
投球・打席:  右投右打
ポジション:  投手
プロ入り:  2011年 育成選手ドラフト3位
経歴（括弧内はプロチーム在籍年度）
 選手歴
  早稲田大学系属早稲田実業学校高等部  早稲田大学  広島東洋カープ (2012 - 2013)  スーシティ・エクスプローラーズ (2014)  新潟アルビレックスBC (2015)
 派遣歴
  高知ファイティングドッグス (2013)
 この表について  この表はテンプレートを用いて表示しています。編集方法はTemplate:Infobox baseball playerを参照してください。 ■プロジェクト:野球選手  ■テンプレート  
塚田 晃平（つかだ こうへい、1989年8月24日 - ）は、東京都目黒区出身の元プロ野球選手（投手）。右投右打。NPBでは育成選手であった。
経歴

目黒区立第二中学校時代は、目黒ピータースに所属。
早稲田実業高時代は、2年時春の第78回選抜高等学校野球大会と、夏の第88回全国高等学校野球選手権大会に1学年先輩の斎藤佑樹の控え投手として甲子園に出場。春は関西高戦の引き分け再試合で先発を任され2回を無安打無失点に抑えた。夏は初戦の鶴崎工業高戦で大量得点差のついた9回裏にリリーフ登板するも制球が定まらず2者連続で四球を与え降板した。
3年時の夏は、初登板となった西東京予選3回戦の堀越高戦で初回にライト場外への満塁本塁打を被弾し降板、チームも6-9で敗退した。
高校卒業後は、東京六大学野球連盟に加盟する早稲田大学に進学。3年間は、層の厚い投手陣の中で登板機会が無かった。4年時の春、開幕カードの東京大学戦で延長10回から5番手としてリーグ戦初登板を果たした。
2011年10月27日、プロ野球ドラフト会議で広島東洋カープから育成3位指名を受けた。
2013年は四国アイランドリーグplusの高知ファイティングドッグスに派遣されたが、2013年にリーグに所属していた全選手（途中退団を含む）の中でワースト2位となる防御率7.56を記録。チームも通年を通して最下位に沈むなど、不本意な成績でシーズンを終えた。10月1日には球団から戦力外通告を受けた。10月31日、自由契約公示された。
2014年は、アメリカ独立リーグ・アメリカン・アソシエーションのスーシティ・エクスプローラーズでプレー。
2015年には、2月14日にロッテ浦和球場でベースボール・チャレンジ・リーグの合同トライアウトを受験。同日のドラフト会議で新潟アルビレックス・ベースボール・クラブから1巡目で指名された。入団後は、リーグ戦21試合に登板。2勝3敗3セーブ、防御率4.70という成績を残した。なお、11月10日には、シートバッティング形式の12球団合同トライアウト（草薙球場）に参加。最初の打者・鵜久森淳志から2人続けて空振り三振を奪うなど、対戦した打者3人全員から奪三振を記録した。しかし、獲得に乗り出す球団はなかったことから、12月4日に現役を引退することが発表された。
引退後はトライアウトで声をかけられた元プロ野球選手の新里賢が勤務するソニー生命保険に入社した。
プレースタイル・人物

192cmの長身から放つ最速147km/hのストレートとフォークを武器とする。
憧れの選手は、津田恒実。プロ入り後は進撃の巨人と呼ばれている。
詳細情報 > 年度別投手成績

一軍公式戦出場なし
詳細情報 > 独立リーグでの投手成績

| 年度 | 球団 | 防御率 | 登板 | 勝利 | 敗戦 | セ丨ブ | 完投 | 完封 | 無四球 | 投球回 | 打者 | 被安打 | 被本塁打 | 奪三振 | 与四球 | 与死球 | 失点 | 自責点 | 暴投 | ボ丨ク |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2013 | 高知 | 7.56 | 18 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 25.0 | 124 | 36 | 1 | 14 | 17 | 3 | 23 | 21 | 2 | 0 |
| 2015 | 新潟 | 4.70 | 21 | 2 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 30.2 | 140 | 37 | 4 | 19 | 12 | 0 | 22 | 16 | 3 | 2 |
| IL：1年 | IL：1年 | 7.56 | 18 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 25.0 | 124 | 36 | 1 | 14 | 17 | 3 | 23 | 21 | 2 | 0 |
| BCL：1年 | BCL：1年 | 4.70 | 21 | 2 | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 30.2 | 140 | 37 | 4 | 19 | 12 | 0 | 22 | 16 | 3 | 2 |
詳細情報 > 背番号

129 （2012年 - 2013年）
11 （2013年） ※高知ファイティングドッグスでの背番号
66 （2015年）
宮寺勝利

| 基本情報 |
| --- | --- |
国籍:   日本
出身地:  東京都目黒区
生年月日:   (1940-11-04) 1940年11月4日（84歳）
身長 体重:  180 cm 76 kg
選手情報
投球・打席:  右投右打
ポジション:  捕手
プロ入り:  1963年
初出場:  1964年
最終出場:  1974年
経歴（括弧内はプロチーム在籍年度）
  荏原高等学校  東洋大学  読売ジャイアンツ (1963 - 1966)  西鉄ライオンズ太平洋クラブライオンズ (1967 - 1974)
 この表について  この表はテンプレートを用いて表示しています。編集方法はTemplate:Infobox baseball playerを参照してください。 ■プロジェクト:野球選手  ■テンプレート  
宮寺 勝利（みやでら かつとし、1940年11月4日 - ）は、東京都目黒区出身の元プロ野球選手（捕手）・解説者。
経歴

荏原高校では1958年に全国高等学校野球選手権東京大会で5回戦まで進出するが、明治高に敗退。高校卒業後は東洋大学に進学。東都大学リーグでは、高校同期の広沢忠雄（電電東京）とバッテリーを組み、1961年秋季二部リーグで優勝。入替戦で専大を降し、1962年春季リーグから一部リーグへの初昇格を果たす。同季は三沢今朝治（駒大）に次ぐ、リーグ2位の打率.409を記録し、ベストナイン（捕手）にも選出された。
大学卒業後の1963年に読売ジャイアンツへ入団するが、在籍中の公式戦出場は僅か32試合に留まった。
1967年、高倉照幸外野手との交換トレードで西鉄ライオンズへ移籍。それまで正捕手だった和田博実が高倉の後の左翼手に回ったため、レギュラーとして127試合にマスクを被る。同年にはオールスターゲームにも初出場。
1969年には故障もあり村上公康に定位置を譲るが、翌年には復活し、その後は村上や片岡新之介と激しいポジション争いが続いた。
1974年には楠城徹の入団もあって出場機会が減り、同年限りで引退。
2度目のオールスター戦出場を果たした1973年は、ライオンズとロッテオリオンズとの間に、ジム・ラフィーバーの獲得競争を巡る遺恨が尾を引いており、8月1日の試合で宮寺は、かつてのチームメイトであるオリオンズの金田正一監督に「バカ野郎!!」と罵声を浴びせられた。翌年4月27日のオリオンズ戦では、外野フライでタッチアップを試みた相手チームの三塁走者・弘田澄男を、片足を掛けるようにブロックした。この行為が原因で金田が宮寺に蹴りを入れ、三塁手のドン・ビュフォードが飛び掛かって金田を押し倒し、これが両チーム入り乱れての乱闘に発展した。
引退後は大宮ゴルフに入社し、サラリーマン生活と並行してテレビ西日本解説者を務めたが、稲尾和久から「運動具店を始めるので手伝わないか」と誘われ、「稲尾スポーツ」に転籍。
「稲尾スポーツ」では後に取締役営業部長も務め、稲尾と共に少年野球リーグと福岡中央リトルシニア発足にも尽力し、現在は全日本リトルシニア野球九州連盟常任理事と福岡中央リトルシニア会長兼総監督。
詳細情報 > 年度別打撃成績

| 年  度 | 球団 | 試合 | 打席 | 打数 | 得点 | 安打 | 二塁打 | 三塁打 | 本塁打 | 塁打 | 打点 | 盗塁 | 盗塁死 | 犠打 | 犠飛 | 四球 | 敬遠 | 死球 | 三振 | 併殺打 | 打率 | 出塁率 | 長打率 | OPS |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1964 | 巨人 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1965 | 巨人 | 15 | 17 | 16 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | .125 | .125 | .125 | .250 |
| 1966 | 巨人 | 16 | 24 | 22 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 6 | 0 | .182 | .250 | .227 | .477 |
| 1967 | 西鉄太平洋 | 127 | 399 | 374 | 27 | 77 | 11 | 3 | 10 | 124 | 38 | 6 | 7 | 1 | 0 | 22 | 3 | 2 | 97 | 10 | .206 | .254 | .332 | .585 |
| 1968 | 西鉄太平洋 | 111 | 247 | 230 | 22 | 53 | 5 | 2 | 8 | 86 | 25 | 2 | 1 | 2 | 1 | 14 | 2 | 0 | 67 | 2 | .230 | .273 | .374 | .647 |
| 1969 | 西鉄太平洋 | 36 | 52 | 51 | 1 | 7 | 1 | 0 | 0 | 8 | 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 13 | 0 | .137 | .154 | .157 | .311 |
| 1970 | 西鉄太平洋 | 120 | 363 | 326 | 26 | 73 | 10 | 2 | 7 | 108 | 24 | 2 | 4 | 8 | 1 | 27 | 7 | 1 | 82 | 7 | .224 | .285 | .331 | .616 |
| 1971 | 西鉄太平洋 | 77 | 169 | 155 | 8 | 36 | 9 | 0 | 4 | 57 | 16 | 6 | 2 | 1 | 1 | 12 | 3 | 0 | 36 | 1 | .232 | .286 | .368 | .653 |
| 1972 | 西鉄太平洋 | 78 | 130 | 114 | 13 | 24 | 4 | 0 | 7 | 49 | 14 | 5 | 1 | 2 | 2 | 12 | 0 | 0 | 25 | 3 | .211 | .281 | .430 | .711 |
| 1973 | 西鉄太平洋 | 104 | 266 | 253 | 21 | 56 | 5 | 1 | 6 | 81 | 23 | 5 | 3 | 1 | 3 | 8 | 1 | 1 | 64 | 7 | .221 | .245 | .320 | .565 |
| 1974 | 西鉄太平洋 | 52 | 108 | 98 | 4 | 21 | 3 | 1 | 0 | 26 | 4 | 0 | 2 | 1 | 0 | 8 | 0 | 1 | 21 | 3 | .214 | .280 | .265 | .546 |
| 通算：11年 | 通算：11年 | 737 | 1775 | 1639 | 124 | 353 | 49 | 9 | 42 | 546 | 145 | 27 | 22 | 17 | 8 | 106 | 16 | 5 | 414 | 33 | .215 | .264 | .333 | .597 |
西鉄（西鉄ライオンズ）は、1973年に太平洋（太平洋クラブライオンズ）に球団名を変更
詳細情報 > 年度別守備成績

| 年度 | 試合 | 企図数 | 許盗塁 | 盗塁刺 | 阻止率 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1969 | 33 |  | 12 | 5 | .294 |
| 1970 | 119 |  | 177 | 62 | .259 |
| 1971 | 72 |  | 51 | 24 | .320 |
| 1972 | 72 |  | 38 | 4 | .197 |
| 1973 | 104 |  | 69 | 19 | .216 |
| 1974 | 43 |  | 41 | 20 | .328 |
| 通算 | 443 |  | 388 | 145 | .272 |
詳細情報 > 記録

オールスターゲーム出場：2回 （1967年、1973年）
詳細情報 > 背番号

13 （1963年）
10 （1964年）
40 （1965年 - 1966年）
28 （1967年 - 1974年）
9P

| --- | --- |
: この項目では、ネットワークプロトコルの9Pについて説明しています。9番目の周期彗星については「テンペル第1彗星」をご覧ください。
9P（または Plan 9 Filesystem Protocol または Styx）は、Plan 9 from Bell Labs (Plan 9) 分散オペレーティングシステムのために、Plan 9システムの構成要素を接続する手段として開発された、ネットワークプロトコルである。ファイルはPlan 9の重要なオブジェクトである。 ファイルはウィンドウ、ネットワークの接続、プロセスや、その他オペレーティングシステムで利用可能なほとんどのものを表現している。
9Pは、Plan 9の第4版のために、9P2000という名前で様々な改良を含む改訂をされた。この改良のうちいくつかは、ある程度のファイル名制限の除去、ディレクトリへの'最終変更者'メタデータフィールドの追加、ファイルの認証といったものである。Inferno operating systemの最新版も9P2000を使用している。Inferno file protocolは元々はStyxと呼ばれていたが、技術的には常に9Pの変種であった。
Unixのための9Pサーバ実装はu9fsと呼ばれており、Plan 9ディストリビューションに含まれている。9PのOS Xクライアントkernel extensionはMac9Pによって提供されている。いくつかの拡張を含む9Pを実装しているLinux用のカーネルクライアントドライバはv9fsプロジェクトの一部である。9Pとその派生物はStyx on a Brick projectのような組み込み環境のアプリケーションにも見られる。
サーバアプリケーション

Plan 9アプリケーションの多くが9Pファイルサーバの形になっている。例には以下のものがある。
Acme: プログラマのためのユーザインターフェース
rio（英語版）: Plan 9のウィンドウマネージャ
plumber（英語版）: プロセス間通信
ftpfs: リモートのFTPサーバ上のファイルとディレクトリをローカル名前空間に表示するFTPクライアント
wikifs: リモートのwikiをファイルとしてローカル名前空間に表示するwiki編集ツール
webfs: URLからデータを取り出して、その内容とレスポンスの詳細をファイルとしてローカル名前空間に表示するファイルサーバ
Plan 9以外では、9Pプロトコルは軽量なリモートファイルシステムが要求されるときに、まだ使われている。
NixOS: 純粋関数的で宣言的なLinuxディストリビューションはバーチャルマシンの中で自分自身をリビルドできる。クライアントはホストのパッケージストアディレクトリをマウントするために9Pを使う。
Windows Subsystem for Linux: Windows 10 version 1903以降、サブシステムは9Pをサーバとして実装して、ホストのWindowsオペレーティングシステムはクライアントとしてふるまう。
Crostini: カスタム9PサーバはLinux VMの外側のファイルへのアクセスを提供するために使われる。
QEMU: VirtFSデバイスは9Pを通じてファイルシステムの共有をすることができる。これはカーネルドライバと共有メモリによって高速化される。
DIOD: 分散I/Oデーモン - 9Pファイルサーバ
実装

9Pはクライアントとサーバの間で以下のメッセージを送る。これらのメッセージは、いかなる9Pサーバも実装しなければならないPlan 9 vfsレイヤのエントリーポイントに対応している。
ルイス・サリヴァン

| --- | --- |
: この項目では、建築家について説明しています。保健福祉長官については「ルイス・ウェイド・サリヴァン」をご覧ください。
| ルイス・サリヴァン |
| --- | --- |
 
生誕:  ルイス・ヘンリー・サリヴァン 1856年9月3日 マサチューセッツ州ボストン
死没:   (1924-04-14) 1924年4月14日（67歳没） イリノイ州シカゴ
国籍:   アメリカ合衆国
職業:  建築家
受賞:  AIAゴールドメダル（1944年）

所属:  アドラー=サリヴァン建築事務所
建築物:  オーディトリアム・ビル ギャランティ・ビル カーソン・ピリー・スコット・ストア
オーディトリアム・ビル
ルイス・ヘンリー・サリヴァン（Louis Henry (Henri) Sullivan, 1856年9月3日 - 1924年4月14日）はアメリカの建築家。シカゴ派の代表的な建築家の一人でその理論的・文化的支柱であった。フランク・ロイド・ライト、ヘンリー・ホブソン・リチャードソンともにアメリカ建築の三大巨匠とされる。1944年にAIAメダル獲得。
生涯

マサチューセッツ州ボストンで、アイルランド生まれのパトリック・サリヴァンを父とし、スイス生まれのネ・アンドリエンヌ・リストを母として生まれた。両親はともに1840年代に合衆国に移民している。幼少期はマサチューセッツ州南リーディング(現・ウェークフィールド)で祖母のアナ・マテアス・リストと暮らし、祖父母の農場で多くを過ごしながら自然について学んだという。自伝によれば、少年時代にある男が馬車に乗り込むところに魅せられ、その男が建築家だったことから建築家を志したという。高校に入学してそこで教えていたモーゼス・ウルソンに会い、その教授法は終生印象に残ったという。16歳でマサチューセッツ工科大学に入学したが、1年後にはフィラデルフィアに移り、建築家フランク・ファーネスの事務所に入る。不景気の影響でファーネスの事務所を退所し、1873年に　イリノイ州シカゴに移る。鋼製ラーメン構造を採用したことで著名な、ウィリアム・ル・バロン・ジェニー（William Le Baron Jenney）の事務所に入る。当時のシカゴは、1871年のシカゴ大火からの復興のさなかであり、空前の建設ブームの中にあった。ジェニーの事務所を退所後、念願のパリのエコール・デ・ボザールで1年間学ぶ。この時期に、ルネッサンス特にミケランジェロらの影響を受けた。再びシカゴに戻ってきたとき、まだ18歳であった。
ジョセフ・S・ジョンストン&ジョン・エデルマン事務所で製図係として働いた後、1879年ダンクマール・アドラーに雇われ、1年後には事務所の共同経営者となり、1889年には代表作のひとつでもあるオーディトリアム・ビルの最上階に事務所を構える。二人の事務所は大成功を収め、14年間で100棟以上ものビルを設計した。またこの事務所にいた若いフランク・ロイド・ライトに大きな影響を与えた。
アドラーとサリヴァンの事務所はまず劇場建築の設計で名声を得た。設計した劇場のほとんどはシカゴのものだったが、コロラド州プエブロやワシントン州シアトルからも依頼が舞い込んだ。この時期の代表作はオーディトリアム・ビル(1889)で、これは4200席の劇場だけでなくホテルやオフィス（17階建の塔を含む）、それに商業施設からなる大規模複合建築だった。オーディトリアム・ビルはシカゴをして文化的な都市とし、1893年の世界コロンビア博への道を開くものでもあった。
1889年以降はオフィスビルの設計者としての地歩を固めていく。セントルイスのウェインライトビル(1891)、シカゴのシラー・ビル(1890)、シカゴ株式取引所(1894)、バッファローのギャランティー・ビル(1895-96)である。サリヴァン単独によるカーソン・ピリー・スコット百貨店（シカゴ）は1899-1904年である。
1893年のシカゴ万博では、主要会場であったホワイト・シティ（White City）の設計団の書記を務め、また実際に交通館設計もした。だがサリヴァン自身はこの博覧会の建築に批判的であった。翌年にはフランスの装飾美術協会（the Union Centrale des Arts Decoratifs）から3つのメダルを授与されている。
サリヴァンは1924年、シカゴにあるホテルの一室で息を引き取る。フランク・ロイド・ライトの資金援助によって葬式が出され、シカゴ、アップタウン近郊の墓地、グレース・セメタリーに葬られている。
サリヴァンと高層鉄骨建築

19世紀以前では建物の荷重は主に壁で支えるのが普通だった。建物が高くなるほど下にかかる力も大きくなり、それゆえ下階の壁厚も厚くなり、結局高さには制限が出てくる。
19世紀後半における安価で多目的使用に耐える鉄の登場は、このあり方を変えた。アメリカは経済成長の真っただ中にあり、より大きな建物の建設が求められていたこともあった。1880年代半ばの鉄の大量生産は高層建築を可能とした大きな動因であった。この時代を通して、鉄の価格はみるみる安くなっていく。
1867年- $166; 1870年 $107; 1875年 $69; 1880年 $68; 1885年 $29; 1890年 $32; 1895年 $32
中西部の人たちは過去の建築様式にそれほど捉われなかった。鉄の大梁のフレームワークを組み合わせることで、建築家たちはすぐさま高くほっそりしたそしていささか微妙な鉄による骨格を造りだしたのだった。それ以外の要素、壁、床、天井、建具は、荷重を支えている鉄骨に吊られる。いわゆる「柱・フレーム」構法と呼ばれるこの新しい建設方法は、しかしそれ以上のことをなした。この構法は単に建物を高くすることを可能としただけでなく、より多くの開口を可能として室内を明るくし、さらに間仕切壁を薄くして床面積を増やしたからである。
ルイス・サリヴァンが1896年に発表した高層オフィスビルの論文の中で用いた言葉、「形式は常に機能に従う。（form ever follows function. ）」は、通常「形式は機能に従う。（または「形は機能に従う）（form follows function. ）」に短縮されて用いられる。ルイス・サリヴァンは、この言葉を用いたことから、機能主義の先駆者とされてきた。（ドイツ生まれの建築家、ブレイク、Peter Blakeの本『形態は失敗に従う(forms follows fiasco)』（1977年）は、サリヴァンのこの言葉をもじったもの。）
近代以前の建築は、形態を作る時に様式を根拠にしていた。当時の自動車が馬車を模倣したように「歴史」に従っていた。サリヴァンは方程式を解いていくと、結果的に美しいものができると説いた。この言葉はバウハウスなどモダニストの合言葉にもなった。フーコー・ヘーリング（Hugo Häring）のガルガウ農場牛舎（Gut Garkau farm）もサリヴァンの思想を体現しているといわれる。
代表作

ウィキメディア・コモンズには、に関連するカテゴリがあります。
ダンクマール・アドラーとの共作
オーディトリアム・ビル Auditorium Building（イリノイ州シカゴ　1889年）
ウェインライト・ビル Wainwright Building（ミズーリ州セントルイス　1890年)
ギャランティ・ビル（元プルーデンシャル・ビル） Prudential (Guaranty) Building（ニューヨーク州バッファロー　1894年）
ベイヤード・ビル（現ベイヤード・コンディクト・ビル Bayard–Condict Building）（ニューヨーク・シティ　1898年）
カーソン・ピリー・スコット百貨店 Carson, Pirie, Scott and Company Building（イリノイ州シカゴ　1889年）
ウェインライト・ビル（1890年）
ギャランティ・ビル（1894年）
ベイヤード・ビル（1898年）
カーソン・ピリー・スコット百貨店
ゲーデルの不完全性定理

ゲーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、英: Gödel's incompleteness theorems、独: Gödelscher Unvollständigkeitssatz）または不完全性定理とは、数学基礎論とコンピュータ科学（計算機科学）の重要な基本定理。（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、コンピュータ科学と密接に関連している。）　不完全性定理は厳密には「数学」そのものについての定理ではなく、「形式化された数学」についての定理である。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり、有限の立場（英語版）（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す。なお、少し拡張された有限の立場では、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（ゲンツェンの無矛盾性証明（英語版））。
数学基礎論研究者の菊池誠によると不完全性定理は、20世紀初め以降に哲学から決別した数学基礎論の中で現れた。コンピュータ科学者・数理論理学者のトルケル・フランセーンおよび数学者・数理論理学者の田中一之によると、不完全性定理が示した不完全性とは、数学用語の意味での「特定の形式体系Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」とは無関係である。不完全性定理を踏まえても、数学の形式体系の公理は真であり無矛盾であるし、数学の完全性も成立し続けている。しかし“不完全性定理は数学や理論の「不完全性」を証明した”といった誤解や、“数学には「不完全」な部分があると証明済みであり、数学以外の分野に「不完全」な部分があってもおかしくない”といった誤解が一般社会・哲学・宗教・神学等によって広まり、誤用されている。
→「不完全性定理が適用されない体系」および「ゲーデルの完全性定理」も参照
数学の「無矛盾性」を証明することを目指したヒルベルト・プログラムに関して「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の哲学的発言はよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる、とフランセーン達は解説している。正確には、ゲーデルはヒルベルトと同様の見解を持っており、彼が不完全性定理を証明して示したのは、ヒルベルトの目的（「無矛盾性証明」）を実現するためには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということだった。これについて日本数学会編集の『岩波数学辞典』では「彼〔ゲーデル〕の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく，実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている」と記されている。
→「」および「不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展」も参照
概要

ゲーデルの不完全性定理は、ゲーデルが1931年の論文で証明した次の内容である。
『数学原理（プリンキピア・マセマティカ）』の体系や公理的集合論の中には、「証明も反証もできない「自然数論の命題」」が存在する。
また、これらの体系に公理を追加しても公理が有限個であれば、前述の命題の存在を解消できない。
より正確には、不完全性定理とは次の2つの定理（それぞれ第一/第二不完全性定理と呼ばれる）の総称である。
第一不完全性定理 ― "初等的な自然数論"を含むω無矛盾な公理的理論 Tは不完全である。つまり T内で証明も反証もされない命題（決定不能命題(undecidable proposition)、あるいは独立命題）が存在する。
第二不完全性定理 ― "初等的な自然数論"を含む理論 Tが無矛盾ならば， Tの無矛盾性を表す命題 Con( T) がその体系で証明できない。
なお「有限の立場」とは、数学の形式主義における「記号の有限的な操作のみから構成される」立場を指す。
注意
形式的体系 S と S' に対して（言語を適当に拡張した）S' が S を含むとは、S の論理式全体の集合Fml(S)から S' の論理式全体の集合Fml(S')への次のような写像T:Fml(S)→Fml(S')が存在するときを言う：φ∈Fml(S)がS で証明できるときT(φ)は S' で証明できる。このTはしばしば「翻訳」と呼ばれる。この意味でペアノ算術PAはツェルメロ＝フレンケル集合論ZFCに含まれる。
「初等的な自然数論」について、ゲーデル自身はペアノの公理と原始帰納法による関数の定義を前提に自然数論の体系を構築した (Gödel 1931)。この体系は、加法・乗法・べき乗・階乗・順序関係などを帰納的に定義する十分な表現力を持っている。それぞれの定理の前提条件は、ロビンソン算術を含む半決定可能な理論（第一）、




I


Σ

1




{\textstyle \mathbf {I} \Sigma _{1}}

を含む半決定可能な理論（第二）に置き換えても証明することができる。
概要 > 証明の概要 > 準備

帰納的公理化可能な理論が自然数論を含むならば、当該理論における証明可能性が原始帰納的述語として表現できる。この証明可能性述語を用いて、「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G（ゲーデル文）が構成できる。ゲーデル文を構成するためには自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数および自己言及で用いられる対角化の技法（を形式化したもの）が必要である。後者は対角化補題と呼ばれる。
自然数を変数とする述語「xは…である」の対角化は、上記の述語のxに「xは…である」自身のゲーデル数を代入した命題である。その意味は
となる。ゲーデル文Gは
と表される。「xで表される述語の対角化は証明できない」の対角化は、G自身と同値になる。
概要 > 証明の概要 > 第一不完全性定理の証明の概要

さて、ゲーデル文Gが証明可能であれば、Σ1完全性により命題「Gは証明できる」もまた証明可能である。一方Gは命題「Gは証明できない」と同値であることが証明可能であるので、両者から矛盾が導かれる。つまり
したがって、対偶を取れば
となる。
また、￢Gが証明可能であれば、Gの性質から命題「Gは証明できる」も証明可能である。この際、もしGそのものが証明不能だとすると、ω矛盾ということになる。ω無矛盾であればGも証明可能である。しかしGが証明可能であれば「Gは証明できない」も証明可能であるので、やはり両者から矛盾が導かれる。したがってω無矛盾であれば￢Gも証明できないのである。よってω無矛盾であれば、Gも￢Gも証明できない（第一不完全性定理）。
なお、証明可能性の代わりに真理性を用いれば、パラドックスが導かれることから、帰納的公理化された自然数論（以下、自然数論）における真理性は自然数論の中では算術的述語として表現できない、と示される（タルスキの定理）。
概要 > 証明の概要 > 第二不完全性定理の証明の概要

自然数論の無矛盾性を
と表す。このとき、自然数論による自然数論の無矛盾性証明とは、(C)が自然数論で証明できるということである。
(C)が自然数論で証明できれば、第一不完全定理での議論中の(B)より
と証明できる。しかし、
とはGと同値であるから、Gも証明されることとなり、そこから第一不完全性定理での議論中の(A)により、矛盾が証明される。
したがって自然数論が無矛盾、すなわち自然数論で矛盾が証明されないならば、そのこと自体も自然数論では証明できない（第二不完全性定理）。
詳細

ゲーデルの定理は「帰納的公理化可能な自然数論を含む無矛盾理論」に対して示されているが、ここでは簡単の為、帰納的公理化可能な自然数論のみを扱う。一般の場合も同様。
詳細 > ゲーデル文の構成

概要でも説明したように、ゲーデル数というテクニックを使って間接的に自己言及を可能とし、ゲーデル文を構成する。コンピュータでは全てのデータを一意な数値で表しており、特に文字列や論理式そして論理式の列も数値で表す。このように、論理式を数値で表す行為を論理式のゲーデル数化といい、命題 Pに対応する数値を Pのゲーデル数という。
ゲーデル数化により、論理式に関する様々な性質を論理式として表すことができる。たとえば、
Axiom(x)：  xは公理のゲーデル数である。
MP(x,y,z)：  xをゲーデル数に持つ論理式と yをゲーデル数に持つ論理式からモーダスポネンスにより zをゲーデル数に持つ論理式が導ける。
といった論理式を作ることができる。ここで、 Axiomや MPの引数が論理式自身ではなく自然数であることが重要である。前述のように自然数論は「命題に言及する命題」を取り扱うことはできないが、「命題のゲーデル数に言及する命題」なら取り扱うことができる。
Axiom(x)や MP(x,y,z)などを組み合わせれば、
Proof(y,z) :  zをゲーデル数に持つ論理式を Pとするとき、 yをゲーデル数に持つ論理式の列が論理式 Pの証明になっている。
という論理式も作ることができる。
さらに Proofを「 \exists 」と組み合わせることで、
Provable(z) : 「 \exists y:Proof(y,z)」である。すなわち、 zをゲーデル数に持つ論理式を Pとするとき論理式Pは証明可能である。
ProvableARG(z,x) : 「 \exists y:Proof(y,z,x)」である。すなわち、 zをゲーデル数に持つ論理式を Qとするとき、 Q中の変数に自然数 xを代入した論理式 Q(x)は証明可能である。
という論理式も作ることができる（上では Pは引数を持たず、 Qの引数は1つである）。
論理式 \lnot ProvableARG(x,x)のゲーデル数を mとすると、 xに mを代入した論理式 \lnot ProvableARG(m,m)がゲーデル文となる（対角化）。
詳細 > 第一不完全性定理の証明

ゲーデル文 \lnot ProvableARG(m,m)のゲーデル数を npmmとする。
詳細 > 第一不完全性定理の証明 > 否定命題の証明不能性

否定命題 \lnot ProvableARG(m,m)が証明可能とすると、 Provable(npmm)は真である。このとき \Sigma _{1}完全性より Provable(npmm)は証明可能である。
一方 \lnot ProvableARG(m,m)は
という意味である。
mをゲーデル数に持つ論理式に mを代入したものは npmmであるから
が証明可能である。したがって、
は証明可能である。
したがって Provable(npmm)および \lnot Provable(npmm)が証明され、これは矛盾であるが、これは自然数論が無矛盾であるという仮定に反する。
詳細 > 第一不完全性定理の証明 > 肯定命題の証明不能性

肯定命題 ProvableARG(m,m)が証明可能だとすると、
により
が証明可能である。
このときω無矛盾性を前提すると、 npmmをゲーデル数とする論理式 \lnot ProvableARG(m,m)が証明可能である。
それ故、矛盾が証明されるが、これは自然数論が無矛盾であるという仮定に反する。
詳細 > 第二不完全性定理の証明

矛盾を「 \bot 」で表し、「 \bot 」のゲーデル数を bとする。すると、「自然数論の体系内で自然数論の無矛盾性を証明できる」という言説を
の意味に解することができる。
まず
が自然数論の体系内で証明可能であると仮定する。
第一不完全性定理のところで示したように、 \lnot ProvableARG(m,m)が証明できれば矛盾が証明できる。この議論を自然数論の体系内で行うことで、
が自然数論の体系内で証明可能なことがわかる。故に対偶を取ることで
が自然数論の体系内で証明可能なことがわかる。したがって、仮定および \lnot ProvableARG(m,m)\Leftrightarrow \lnot Provable(npmm)から
が自然数論の体系内で証明可能なことがわかる。第一不完全性定理の所で示したように、 \lnot ProvableARG(m,m)が証明可能だと、矛盾が証明される。したがって矛盾が証明されないならば、 \lnot Provable(b)は証明されない。
決定不能命題の例

数学と計算機科学（コンピュータ科学）において、「決定不能」という言葉には二つの異なった意味がある。一つ目は証明論の文脈でゲーデルの定理に関連して使われる意味であり、特定の形式的体系の下で或る命題を証明も反証もできないことを言う。二つ目は計算可能性理論に関連した用法であり、命題ではなく決定問題に適用される。決定問題とは入力に対して答が真か偽のいずれかになるような問題である。ある問題を全ての入力に対して正しく解答するようなアルゴリズムが存在しないとき（すなわち特性関数が計算可能関数でないとき）、そうした問題は決定不能であると言う。
不完全性定理は、自然数論が一つ目の意味で決定不能であることを主張している。一方、述語論理の論理式が充足可能か否かを判定する充足可能性問題は決定問題にあたるが、不完全性定理によって、二番目の意味で決定不能である。つまり、述語論理の論理式が充足不能であれば、その論理式から矛盾を導く証明を見つけることができるが、充足可能であるときにその旨、回答を返すアルゴリズムは存在し得ない。
ゲーデルとポール・コーエンの仕事を合わせて、決定不能命題の確かな実例が得られた。連続体仮説はZFC（集合論における標準的な公理系）の下では証明も否定の証明もできない。また、選択公理もZF（ZFCに含まれる公理から選択公理を除いたもの）では証明も否定の証明もできない。これらの結果は不完全性定理を必要としない。1940年、ゲーデルはこれらの命題が何れも ZF または ZFC 集合論では否定を証明できないことを証明した。1960年代、コーエンはこれらがいずれも ZF から証明できず、また連続体仮説が ZFC から証明できないことを証明した。
マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題の解決により、決定不能な命題の例が得られる。そのような例はディオファントス方程式の外側に存在量化子を幾つか並べた形として得られる。すなわち不完全性定理の前提条件を満たす形式的体系において、解の存在が証明も反証もできないようなディオファントス方程式が存在する。
1973年、群論におけるホワイトヘッドの問題（英語版）が標準的な集合論では決定不能であることが示された。
1977年、パリスとハーリントンは、ラムゼーの定理の一種であるパリス＝ハーリントンの定理が、一階算術の公理体系であるペアノ算術の下では決定不能だが、より大きな二階算術の体系では証明できることを証明した。カービーとパリスは後にグッドスタインの定理（自然数の数列に関する命題であり、パリス・ハーリントンの原理よりもいくらか易しい）がペアノ算術では決定不能であることを示した。
計算機科学で応用される Kruskal の木定理（英語版）はペアノ算術では決定不能だが集合論では証明できる。実際、Kruskalの木定理（またはその有限版）は、可述主義（英語版）と呼ばれる数学的哲学に基づいて構築されたもっと強い体系の下でも決定不能である。これに関連し、更に一般的な graph minors 定理（英語版）（2003年）は計算複雑性理論に影響する。
グレゴリー・チャイティンはアルゴリズム情報理論における決定不能命題を発見し、その状況下で新たな不完全性定理を得た。チャイティンの定理によると、十分な算術を表現可能ないかなる理論においても、どのような数であっても  c よりも大きなコルモゴロフ複雑性を有することがその理論上では証明できないような、上限  c が存在する。ゲーデルの定理が嘘つきのパラドックスと関係しているのに対し、チャイティンの結果はベリーのパラドックスに関係している。
ゲーデルの定理に関する制限

第1不完全性定理はロビンソン算術を含んでいれば十分である。またω無矛盾性の仮定は単なる無矛盾性の仮定に弱められる（後述）。第2不完全性定理はロビンソン算術にΣ1論理式に対する数学的帰納法の公理図式を追加した体系（ I\Sigma _{1}）を含んでいれば十分である。ペアノ算術はこれを含むから、ペアノ算術を含む理論は第2不完全性定理の適用範囲である。
ゲーデルの定理は無矛盾な理論についてのみ適用できる。一階論理では、ex falso quodlibet (en) により、矛盾した理論  T はその言語上の如何なる式であれ証明できてしまい、その中には「 T は無矛盾である」と主張する式も含まれる。
ゲーデルの定理が成り立つのは、あくまで定理が必要としている仮定を満足するような形式的体系に限られる。全ての公理系がこれらの仮定を満たす訳ではなく、中には自然数論の標準モデルを部分構造として持つようなモデルを持っていてもなお仮定を満たさないような公理系もある。例えば、ユークリッド幾何学の一階公理化理論、実閉体の理論、乗算が全域で可能なことを証明できないような算術理論、これらは何れもゲーデルの定理に必要な仮定を満たさない。要点は、これらの公理系では自然数の集合を定義することや自然数の基本的な性質を証明することができないことにある。三つ目の例に関して Dan E. Willard は第二不完全性定理に必要な仮定を満たさないような様々な弱い算術理論を調べた（例えば Willard 2001）。
ゲーデルの定理は実効的に生成された（即ち帰納的可算な）理論についてのみ適用できる。自然数に関する真である文を全て公理とするような理論を考えれば、この理論は無矛盾かつ完全であり、かつペアノ算術を含んでいる。これはゲーデルの定理と矛盾しない。何故ならこの理論は帰納的可算ではないからである。
第二不完全性定理が示すのは、ある公理系の無矛盾性はその公理系自身では証明できないということであって、他の無矛盾な公理系からも証明できないとは言っていない。例えば、ペアノ算術の無矛盾性はZFCから証明できるし、算術の理論にε0までの超限帰納法を加えて得られたゲンツェンによる無矛盾性の証明（英語版）もある。
不完全性定理が適用されない体系

不完全性定理が適用されない例としてはユークリッド幾何学、プレスバーガー算術、実閉体と代数的閉体の理論におけるタルスキの定理などがある。
不完全性定理は「『帰納的公理化可能な自然数論を含む理論が、無矛盾（ω無矛盾）であれば』～」という形の定理である。したがって、帰納的公理化可能であっても自然数論を含まない公理系や、帰納的公理化可能でない理論が完全であっても、不完全性定理とは矛盾しない。
真の算術やペアノ算術の無矛盾完全拡大などは無矛盾かつ完全であるが、帰納的公理化可能でない。とくに真の算術は算術的に定義不能である。この結果はタルスキの真理定義不可能性として知られる。
プレスバーガー算術は帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全である。プレスバーガー算術は加法しか含まない公理系であり、ゲーデル数によるコード化のテクニックを扱えない。そのため、不完全性定理は適用できない。また、実閉体の理論やユークリッド幾何学も帰納的公理化可能、無矛盾かつ完全であり、（直観に反して）算術を含まないため、不完全性定理は適用できない。したがって実閉体の理論は（計算可能性の意味で）決定可能である。もっと精密にいうと実閉体の理論では量化記号消去が可能である。この事実は数式処理系の実装などに応用されている。
なお、群や環の公理などは、「帰納的公理化可能だが自然数論を含まない無矛盾な公理系」であり、不完全性定理は適用できないが、不完全である。例えば、可換群と非可換群がともに存在することから、健全性定理より、群の公理からは積の可換性は証明も反証もできない。
不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展

→「無矛盾性」、「ヒルベルト・プログラム」、および「数学基礎論」も参照
フランセーンによれば、数学者ダヴィット・ヒルベルトは「数学に“イグノラビムス（ignorabimus, 永遠に知られないこと）”はない」と述べた。数学上に不可知は無く、全ての問題は最終的に解決されるというヒルベルトのこの見方は、「ノン・イグノラビムス」として知られている。ゲーデルの不完全性定理は、「決してこのヒルベルトの楽天的な見方を否定するものではない」とされている。何故なら、不完全性定理によって否定されたものとは単に、「ノン・イグノラビムス」へ到達する手段の一つとしてヒルベルトが提案したもの ―― すなわち、「すべての数学の問題が解けるような単一の形式体系」 ―― であり、「ノン・イグノラビムス」自体は否定されていないからである。
実際ゲーデル自身は以下のような、「ノン・イグノラビムス」的なヒルベルト流の見解を持っていた。
「あらゆる算術の問題をその中で解決する単一の形式体系を定めることは不可能であっても、

新しい公理や推論規則による数学の拡張が限りなく続いていくなかで、どんな算術の問題もいずれどこかで決定されるという可能性は排除されていない。」
こうした見解に基づき、ゲーデルは現代数学を拡張する手段として「巨大基数公理」を提案した。哲学等において「不完全性定理がヒルベルトのプログラムを破壊した」という類の発言がよくあるが、これは実際の不完全性定理やゲーデルの見解とは異なる。正確に言えば、ヒルベルトの目的（数学の「無矛盾性証明」）を実現するには手段（ヒルベルト・プログラム）を拡張する必要がある、ということをゲーデルが不完全性定理を通して示したのだった。
菊池誠の『不完全性定理』によるとヒルベルトは、「ゲーデルの結果により証明論が実行不可能となったという見解は間違いであり，それは有限の立場の拡張が必要であることが判明しただけだ」と述べている。ゲーデルも不完全性定理の論文の中で、この定理とヒルベルト・プログラムとの関係を取り上げて、不完全性定理は「Hilbert〔ヒルベルト〕の形式主義的な視点とまったく矛盾しない」、と注意を書いている。
日本数学会が編集した『岩波　数学辞典』第4版では、不完全性定理について次の通り記述されている。
「ゲーデルも書いているように，有限の立場は特定の演繹体系として規定されるものではないから，彼の結果はヒルベルトの企図を直接否定するものではなく，実際この定理の発見後に無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている．」
→「ゲンツェンの無矛盾性証明」も参照
述語論理式を自然数論の体系内に構成し、証明を形式的に進めるために、ゲーデルはゲーデル数化という操作を導入した。自由変数、論理式、証明図などを自然数でコード化し証明可能、反証可能などの概念を数論的関数として表現する。このように、論理式や証明を数学的に表現して数学内に埋め込む上記の手法は、数学そのものを分析する「超数学（メタ数学）」を、分析すべき数学の中に写像する技法の先駆けであり、その後数学基礎論や理論計算機科学でよく用いられるようになる。
ゲーデル以後の展開

第一不完全性定理の拡張として、証明の定義に、命題の証明より小さな、否定命題の証明が存在しないという性質を追加した上で、前提のω無矛盾性を無矛盾性に弱めた定理がジョン・バークリー・ロッサー (1936年) によって示された。この事実はω矛盾した算術理論を考える場合などにおいて重要となる。なお算術を内包する真である体系（自然数の標準モデルで真である公理に基づく体系）はω無矛盾なので、第1不完全性定理は原型のままでも適用できる。今日ではこちらの無矛盾性のみを仮定する強い定理もゲーデルの不完全性定理と呼ばれるが、単にロッサーの定理、ゲーデル・ロッサーの定理などと呼ばれることもある。
第二不完全性定理に関しては、ゲーデルによる証明の定義に代えて、ロッサーによる上記の証明の定義を用いれば、体系自身の無矛盾性が証明できることが、クライゼル (1960) によって指摘されている。2つの証明の定義の同値性は体系内では証明できないため、第2不完全性定理とは矛盾しない。
レオン・ヘンキンは、対角化により「Hは証明できる」と同値となる命題H（ヘンキン文）を構成し、その証明可能性に関する問題を1952年に提起した。この問題は3年後の1955年に、マーティン・レープによって解かれた。彼は、「Hの証明が存在すればHである」が証明可能であれば、Hもまた証明可能であることを示した（レープの定理）。Hに矛盾を代入すれば、レープの定理から第二不完全性定理が示せる。