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フレアーホモロジー

数学において、フレアーホモロジー(Floer homology)は、シンプレクティック幾何学や低次元トポロジーの研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元のモース理論の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。アンドレアス・フレアー(Andreas Floer)は、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学のアーノルド予想の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。
フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興味深い対象へ結び付けることにより定義される。例えば、シンプレクティック幾何学のバージョンでは、フレアーホモロジーは、シンプレクティック作用汎函数をシンプレクティック多様体の自由ループ空間へ結び付ける。3次元多様体の（インスタントン（英語版）(instanton)）バージョンでは、3次元多様体上のSU(2)-接続の空間へ結び付ける。おまかに言うと、フレアーホモロジーは、無限次元多様体の上の自然な函数から計算されるモースホモロジーである。この自然な函数は、シンプレクティックな場合は、シンプレクティック作用を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間であり、3次元多様体の場合は、チャーン-サイモンズ汎函数を持つ 3次元多様体上の SU(2)-接続の空間である。大まかには、フレアーホモロジーは、無限次元多様体上の函数のモースホモロジーである。フレアーチェーン複体は、函数の臨界点(critical point)（もしくは、臨界点のある集まりでもよい）で張られるアーベル群から構成される。チェーン複体の微分は、臨界点と臨界点と（従って、臨界点の集まり）を結ぶ函数の勾配の力線の数を数えることにより定義される。このベクトル空間の線型な自己準同型は、2つの臨界点を結ぶ函数の勾配の力線を数えることで定義される。フレアーホモロジーは、このチェーン複体のホモロジーである。
フレアーのアイデアをうまく適用できる状況では、勾配の力線の方程式が、幾何学的解析的に扱いやすい典型的な方程式である。シンプレクティックフレアーホモロジーに対し、ループ空間の中の経路の勾配の力線の方程式は、注目しているシンプレクティック多様体への円筒形(cylinder)（ループの経路の全空間）からの写像のコーシー・リーマンの方程式（の摂動バージョン）であり、解は擬正則曲線（英語版）(pseudoholomorphic curves)として知られている。従って、グロモフのコンパクト性定理（英語版）(Gromov compactness theorem)は、微分が well-defined で、二乗が 0 となるので、フレアーホモロジーを定義することができることを示した。インスタントンフレアーホモロジーに対し、勾配の力線の方程式はまさに、実直線と交差する 3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式である。
シンプレクティックフレアーホモロジー

シンプレクティックフレアーホモロジー (SFHと略記する) は、シンプレクティック多様体とその上の非退化なシンプレクティック写像と結びついたホモロジー論である。シンプレクティック写像がハミルトニアンであれば、ホモロジーはシンプレクティック多様体のループ空間（の普遍被覆）の上のシンプレクティック作用（英語版）の研究から出て来る。SFH はシンプレクティック写像のハミルトニアンイソトピー（英語版）では不変である。
ここで、非退化とは、どの固定点でもシンプレクティック写像の微分の固有値には1がないことを意味し、この条件は固定点が孤立していないことを意味する。SFH はそのようなシンプレクティック写像の固定点によって生成される鎖複体のホモロジーである。そこでは微分（写像）が、実直線とシンプレクティック写像のトーラス写像（英語版）(mapping torus)の直積の中のある擬正則曲線（英語版）を数え上げる。これ自体は元の多様体よりも2次元大きな次元のシンプレクティック多様体で、概複素構造を適当に選ぶと、その中の穴のあいた（有限エネルギーの）正則曲線は、シンプレクティック写像の固定点に対応する写像トーラスの中のループに漸近的に近づく円筒形の端点を持っている。相対インデックスは固定点のペア毎に定義され、微分（写像）は相対インデックス 1 を持つ正則シリンダーの数を数える。
コンパクト多様体のハミルトニアンシンプレクティック写像のシンプレクティック フレアーホモロジーは、基礎となっている多様体の特異ホモロジーと同型である。このようにして、その多様体のベッチ数の和が、非退化なシンプレクティック写像の固定点の数に対するアーノルド予想の一つのバージョンで予想される下界を意味する。ハミルトニアンシンプレクティック写像の SFH もまた、量子コホモロジーと同値な変形されたカップ積であるパンツペアの積を持っている。積のバージョンでは、完全でないハミルトニアンシンプレクティック写像に対しても存在する。
多様体 M の余接バンドルについて、フレアーホモロジーは非コンパクトであるために、ハミルトニアンの選択に依存している。無限遠点で二乗になっているハミルトニアンに対して、フレアーホモロジーは M の自由ループ空間の特異ホモロジーになっている(このステートメントに対しては、様々なバージョンの証明がある。Viterboによるもの、Salamon-Weberによるもの、Abbondandolo-Schwarzによるもの、Cohenによるもの)。基礎となる多様体のループ空間のホモロジー上の位相的弦理論に対応する余接バンドルのフレアーホモロジーの上の作用素は、さらに複雑になっている。
フレアーホモロジーのシンプレクティックバージョンは、ホモロジカルミラー対称性予想の定式化の中で決定的な方法となっている。
シンプレクティックフレアーホモロジー > PSS同型

1996年、S. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarzは、フレアーホモロジーと量子コホモロジー環との間の関係についての結果をまとめ、次のように定式化した。Piunikhin, Salamon & Schwarz (1996)
半正なシンプレクティック多様体 (M,ω) のループ空間のフレアーコホモロジー群は、M の通常のコホモロジーと自然に同型となる。ただし、被覆変換に関する適当なノビコフ環とのテンソル積を取るものとする。
この同型は、フレアーホモロジー上のパンツペアの積を持つ M のコホモロジーの量子カップ積構造と密接に関連する。
上記の半正という条件とシンプレクティック多様体 M がコンパクトであるという条件は、ノビコフ環と、フレアーホモロジーと量子コホモロジーの定義の双方を得るために必要となる。半正という条件は次の3点のことを言う。
すべてのπ2(M)に属する A と λ ≥ 0 に対して  \langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle  が成立する (M は単調という)。
すべてのπ2(M)に属する A に対し、 \langle c_{1},A\rangle =0 が成立する。
<c1,π2(M)>=NZにより定義される最小チャーン数 N ≥ 0 が n - 2 に等しいかまたは大きい.
シンプレクティック多様体 M の量子コホモロジー群は、通常のコホモロジーとノビコフ環 Λ のテンソル積、つまり、
と定義できる。このフレアーホモロジーの構成は、M 上の概複素構造の選択とは独立であることも説明するし、モース理論や擬正則曲線（英語版）の考え方から得られたフレアーホモロジーとの同型も説明できる。ここで、背景としてホモロジーとコホモロジーの間のポアンカレ双対があることに注意が必要である。
3次元多様体のフレアーホモロジー

閉じた3次元多様体（英語版）についての複数のフレアーホモロジーの間には、同値関係があると予想されている。3つのタイプのホモロジー群が互いに同値であり、完全三角性を形成すると予想されている。3次元多様体の結び目は、それぞれの理論のチェイン複体のフィルトレーションを引き起こし、チェインのホモトピータイプが結び目不変量となる。（それらのホモロジーは、組み合わせ的に定義されたコバノフホモロジーと同じような公式の性質を満たす。）
これらのホモロジーは、4次元シンプレクティック多様体のタウベスによるグロモフ不変量と同じように、4次元多様体のドナルドソン不変量やサイバーグ不変量と密接に関連している。3次元ホモロジーをこれらの理論に対応させる微分（写像）は、3次元多様体の交叉 R 上の微分方程式であるヤン・ミルズ理論やサイバーグ・ウィッテン理論（英語版）やコーシー-リーマン方程式、をそれぞれの解を考えることであることが分かる。3次元多様体のフレアーホモロジーも境界を持つ 4次元多様体の相対的な不変量の対象となるべきで、3次元多様体を境界として張り合わせることで得られる閉 4次元多様体の不変量と、張り合わせる構成により関連付けられる。(これは位相的場の理論の概念と密接に関連する。) ヒーガードフレアーホモロジーに対し、3次元多様体のホモロジーが最初に定義され、後日、閉 4次元多様体の不変量がこの方法で定義された。
3次元多様体のホモロジーの境界を持った 3次元多様体への拡張も存在していて：縫い合わせフレアーホモロジー(Juhasz 2008) や境界を持つフレアーホモロジー(Lipshitz, Ozsvath & Thurston 2008)がある. これらは 2つの境界を持つ3次元多様体の境界に沿った併合として記述される 3次元多様体のフレアーホモロジーの張り合わせ公式により、閉3次元多様体の不変量に関連していると期待されている。
3次元多様体（英語版）がサイバーグ-ウィッテンの場合に、クロンハイマー(Kronheimer)とムロフカ(Mrowka)の始めた接触構造（英語版）を持っているとき、3次元多様体のフレアーホモロジーは別なホモロジーの要素を持つことになる。(一つの接触構造を選択すると、埋め込まれた接触ホモロジー(embedded contact homology)（ECHと省略する）が定義される。埋め込まれた接触ホモロジーは、Hutchings (2009)に解説されているので、参照）
これらの理論はすべて、もともと相対的次数を持っていることになり；これらは、SWFについては（2-平面の場のホモトピークラスを割り当てることで）絶対的次数へ持ち上げられ、また ECH については SWF-ECH の同型を使い持ち上げる。
3次元多様体のフレアーホモロジー > インスタントンフレアーホモロジー

インスタントンフレアーホモロジーは、フレアー自身により導入され、ドナルドソン理論と結ばれた 3次元多様体の不変量である。これは、3次元多様体のSU(2)-主バンドルの接続の空間上のチャーン・サイモンズ汎函数を使って得られる。チャーン-サイモンズ汎函数の臨界点では、接続が平坦接続となり、力線がインスタントン（英語版）(Instanton)、つまり実直線と 3次元多様体の交点の上の反自己双対接続となる。フレアーホモロジーのオイラー標数がキャッソン不変量に一致するので、インスタントンフレアーホモロジーはキャッソン不変量の一般化とも考えられる。
フレアーがフレアーホモロジーを導入すると、すぐにドナルドソンはコボルディズム(Cobordism)がこれらの写像を導くということを示した。これが位相的場の理論として知られるようになった構造の最初の例であった。
3次元多様体のフレアーホモロジー > サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジー

サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジー、あるいは、モノポールフレアーホモロジーは、spinc構造をもつ 3次元多様体のホモロジー論で、3次元多様体の U(1) 接続を持つサイバーグ-ウィッテン-ディラック方程式のモースホモロジー論とみなすことができる。付帯する勾配の力線の方程式は、実直線と交わる 2次元多様体上のサイバーグ・ウィッテン方程式に対応する。同じことであるが、鎖複体の生成子は、実直線と 3次元多様体の積上の（モノポールと呼ばれる）サイバーグ・ウィッテン方程式の変換不変な解であり、微分はこの 3次元多様体と実直線の積上のサイバーグ・ウィッテン方程式の解の数を数える（解は正と負の無限遠点で不変解へ漸近する）。
サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーのひとつのバージョンは、厳密にピーター・クロンハイマー（英語版）とトーマス・ムロフカ（英語版）の単行本 Monopoles and Three-manifolds により厳密に構成された。そこではモノポールフレアーホモロジーであることが分かる。クリフォード・タウベス（英語版）は、これが埋め込み接触ホモロジーと同型であることを示した。有理数係数ホモロジー 3-球面上のサイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーのもう一つの構成は、Manolescu (2003)とFroyshov (2010)により与えられた。サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーとモノポールフレアーホモロジーとは、一致すると予想されているが、証明されてはいない。
3次元多様体のフレアーホモロジー > ヒーガードフレアーホモロジー

ヒーガードフレアーホモロジー は、ピーター・オズバス（英語版）とゾルタン・ザボー(Zoltan_Szabo)によるspinc 構造を持つ閉3次元多様体の不変量です。ラグランジアンフレアーホモロジー（後出）と類似した構成を経て、多様体のヒーガード分解（英語版）と使って構成された。Kutluhan, Lee & Taubes (2010)では、ヒーガードフレアーホモロジーとサイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーが同型であるという証明がアナウンスされた。またColin, Ghiggini & Honda (2011) では、ヒーガードフレアーホモロジーに（逆の向きづけを）プラスしたバージョンと、埋め込まれた接触ホモロジーが同型であることを証明したことがアナウンスされた。
3次元多様体の中の結び目は、ヒーガードフレアーホモロジー群のフィルトレーションを導き、フィルトレーションされたホモとピータイプは強力な結び目不変量で、結び目フレアーホモロジーと呼ばれる。これはアレクサンダー多項式をカテゴリ化（英語版）(categorification)する。結び目フレアーホモロジーはOzsvath & Szabo (2003)で定義され、またこれとは独立にRasmussen (2003)によっても定義された. 結び目フレアーホモロジーは、結び目種数を識別することがしられている。Manolescu, Ozsvath & Sarkar (2009)は、ヒーガード分解のグリッド図式を用いて、結び目フレアーホモロジーを組み合わせ的に構成した。
結び目上で分岐するS^3の二重被覆のヒーガードフレアーホモロジーは、コバノフホモロジーのスペクトル系列によって、関連付けられる。(Ozsvath & Szabo 2005).
上に｢ハット｣のついたヒーガードフレアーホモロジーは、Sarkar & Wang (2010)で導入された. ｢プラス｣と｢マイナス｣のついたヒーガードフレアーホモロジーと関連するオズバス-ザボー(Ozsvath-Szabo)の4次元多様体不変量は、(Manolescu, Ozsvath & Thurston 2009)に示されているように、組み合わせ的に記述することができる.
3次元多様体のフレアーホモロジー > 埋め込まれた接触ホモロジー

ミカエル・ハッチングスによれば、埋め込まれた接触ホモロジーは、(クリフォード・タウベス（英語版）の仕事である)サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーの中のとspinc構造の選択に対応する第二ホモロジークラスを持つ3次元多様体の不変量に同型である。また結果として(Kutluhan, Lee & Taubes 2010 と Colin, Ghiggini & Honda 2011) でアナウンスされているが)（向きを逆にした）ヒーガードフレアーホモロジーのプラスバージョンに同型である。タウベスのグロモフ不変量（英語版）の拡張としてみることが可能でもあるので、この不変量はサイバーグ・ウィッテン不変量と同値であることが知られている。このことは閉じた 4次元シンプレクティック多様体からある非コンパクトなシンプレクティック4次元多様体 (つまり、接触3次元多様体と R との積)へ拡張される. この構成はシンプレクティック場の理論の類似で、閉じたレーブ軌道（英語版）のある集合により生成され、この微分（写像）がレーブ軌道のある集まりに端点を持つ正則曲線の数を数える；SFT と異なるところは、生成するレーブ軌道の集まりについての技術的な条件と、端点でフレドホルム指数 1 を持つすべての正則曲線を数えないが、「ECH指数」により与えられる移動的な条件も満たすもののみ数える。このことは特に考えている曲線が埋め込まれていることを意味する。
3次元接触多様体は任意の接触形式に対して閉じたレーブ軌道を持つであろうというワインシュタイン予想（英語版）が、ECH が非自明な多様体で成立する。このことはタウベスにより、ECH 密接に関連するテクニックを使い証明された；この仕事を拡張すると、ECH と SWF の間の同型が得られる。ECH の（うまく定義できる）多くの構成は、この同型に依拠している。(Taubes 2007).
ECH の接触要素は、特に素晴らしい形をしていて：レーブ軌道の空集合に付随するサイクルである。
埋め込まれた接触ホモロジーは、（境界があってもよい）曲面のシンプレクティック写像のトーラス写像を定義するかもしれず、周期フレアーホモロジーとして知られている。ECH は、曲面のシンプレクティック写像のシンプレクティックフレアーホモロジーを一般化する。より一般的には、3次元多様体の安定ハミルトニアン構造（英語版）の観点から定義されるかもしれない。このことは、接触構造、安定ハミルトニアン構造がゼロにならないベクトル場（レーブベクトル場）を定義することと似ている。ハッチングスとタウベスは、これらに対するワインシュタイン予想の類似、つまりいつでもこれらが閉軌道を持っていることを証明した（ただし、2-トーラスの写像トーラスではない場合とする）。
ラグランジアン交叉フレアーホモロジー

シンプレクティック多様体の 2つの横断的に交差するラグラジェ部分多様体のラグラジアンフレアーホモロジーは、2つの部分多様体の交叉する点により生成される鎖複体のホモロジーで、その微分は擬正則的（英語版）なホイットニーディスク（英語版）の数を数える.
シンプレクティック多様体の3つのラグランジュ部分多様体 L0, L1, と L2 が与えられると、ラグラジアンフレアーホモロジー上の積構造があり：
これが正則三角形を数えることで定義される(すなわち、頂点と辺をもつ三角形の正則写像は、適当な交叉点とラグランジュ部分多様体へ写像される）。
この問題についての論文は、深谷, Oh, 小野, と太田によっていて；最近のラロンデとコルニートの｢クラスタホモロジー｣が別のアプローチを提供しています。ラグランジュ部分多様体のペアに対していつでもこの方法が適用でないが、ハミルトニアンイソトピーを使うと、この問題を解消することができる。
フレアーホモロジーのいくつかの種類は、ラグランジアンフレアーホモロジーの特別な場合である。Μ のシンプレクティック同相のシンプレクティックフレアーホモロジーは、ラグランジアンフレアーホモロジーの一種と考えることができる。そこでは、周囲の多様体が M であり M と交差し、ラグランジアン部分多様体はシンプレクティック同相の対角とグラフである。ヒーガードフレアーホモロジーは、3次元多様体のヒーガード分解を使い定義された総実部分多様体のラグランジアンフレアーホモロジーの変形を基礎としている。ザイデル・スミスとマノレスクは絡み目不変量をラグランジアンフレアーホモロジーとして構成し、コバノフホモロジーが組み合わせ的に定義された絡み目不変量に一致すると予想した。
ラグランジアン交叉フレアーホモロジー > アティヤ-フレアー予想

アティヤ-フレアー予想はインスタントンフレアーホモロジーとラグラジアン交叉フレアーホモロジーを結び付けます：曲面  \Sigma  に沿ってヒーガード分解（英語版）を持つ3次元多様体 Y を考えます。するとゲージ同値を法とした平坦接続の空間は、次元が6g − 6のシンプレクティック多様体である。ここの g は曲面  \Sigma の種数である. ヒーガード分解では、 \Sigma  は2つの異なる3次元多様体の共通の境界で；境界をもった3次元多様体の上のゲージ同値を法とした平坦接続の空間 (同じことだが、各々の3次元多様体へ拡張した  \Sigma  の上の接続の空間) が  \Sigma の上の接続の空間のラグランジュ部分多様体である。このようにして、これらのラグラジアンフレアーホモロジーができる。代わりに、3次元多様体 Y のインスタントンフレアーホモロジーを考えることもできる。アティヤ-フレアー予想とは、これら2つが同型であろうということを述べている。Salamon & Wehrheim (2008) はこの予想を証明するためのプログラムを提示している。
ラグランジアン交叉フレアーホモロジー > ミラー対称性との関係

マキシム・コンツェビッチの提出したホモロジカルミラー対称性予想は、カラビ-ヤウ多様体  X のラグランジュ部分多様体のフレアーホモロジーと、ミラーとなっているカラビ-ヤウ多様体の上の連接層の Ext群との間の同値性を予想する。この状況下では、フレアーホモロジーではなく、フレアーチェーン群が焦点化される。同様にパンツペアの積へ、擬正則的なn-面体を使い多重な複体に構成することができる。これらの複体は  A_{\infty }-関係を満たし、シンプレクティック多様体の中のすべての（障害のない）ラグランジュ部分多様体のカテゴリから、 A_{\infty }-カテゴリへの写像がある。これは深谷圏（英語版）と呼ばれる。
さらに詳しくは、ラグラジアンというとき、次数付きであることとspin構造をデータとして加える必要がある。これらの構造を選んだラグラジアンは、元となっている物理へ敬意を表して、メンブレーン (M-理論)（英語版）と呼ばれる。ホモロジカルミラー対称性予想は、カラビ-ヤウ多様体  X の深谷圏と、ミラーペアの連接層の導来圏のDG-圏（英語版）の間に、互いに森田同値があることを言っている。
シンプレクティック場の理論 (SFT)

シンプレクティック場の理論（SFTと略す）は、接触多様体（英語版）とそれらの間のシンプレクティックコボルディズムで、元はヤコフ・エリアシュバーグ, アレクサンダー・ギベンタール（英語版）とヘルムート･ホーファー（英語版）によっている. このシンプレクティック場の理論は、部分複体、有理的シンプレクティック場の理論と接触ホモロジーからなり、微分代数のホモロジーとして定義され、選ばれた接触形式レーブベクトル場（英語版）の閉じたレーブ軌道により生成されます。微分（写像）は、接触多様体の上の円筒の中にあのある正則曲線の数を数える。そこでの自明な例は、閉じたレーブ軌道の上の（自明）な円筒の分岐被覆となっている。さらにこれは、円筒形、あるいは線型接触ホモロジーと呼ばれる線型ホモロジーを意味している(時々、記号の混乱ですが、単に接触ホモロジーとも言われる)。このチェーン群は閉じた軌道により生成されたベクトル空間で、微分（写像）は正則な円筒のみを数える。しかし、円筒形接触ホモロジーは、正則ディスクの存在のためにいつも定義されるとは限らない。円筒形接触ホモロジーが意味を持つような状況下では、ループをループ上のアルファ（交叉）を作る自由ループ空間の上の作用汎函数の（少し変形した）｢モースホモロジー」としてみなすことができるかもしれなし。レーブの軌道は、この汎函数の臨界点である。
SFT は、相対接触ホモロジー（英語版）として知られる接触多様体のルジャンドル部分多様体（英語版）の相対不変量も導く。SFT の生成子はレーブコードで、レーブコードとはラグランジアン上に始点と終点を持つレーブベクトル場の軌跡のことで、その微分は与えられたレーブコードに近似する終点を持つ接触多様体のシンプレクティック化（英語版）である正則な帯状領域の数を数える。
SFT では、接触多様体はシンプレクティック写像をもつシンプレクティック多様体の写像トーラス（英語版）に置き換えることができます。円筒形接触ホモロジーはうまく定義でき、シンプレクティック写像のべきのシンプレクティックフレアーホモロジーによって与えられるが、（有理）シンプレクティック場の理論と接触ホモロジーは、一般化されたシンプレクティックフレアーホモロジーと考えることができる。しかし、シンプレクティック写像が時間依存のハミルトニアンの時間が一定という重要な場合では、これらの高次の不変量はこれ以上の情報をもってはいないことが示されている。
フレアーホモトピー

いくつかの対象のフレアーホモロジーを構成する考えられる方法の一つは、通常のホモロジーが求めるフレアーホモロジーとなっている関連するホモトピー論のスペクトル（英語版）を構成することではないでしょうか。他のホモロジー論をそのようなスペクトルに適用することは、他の興味深い不変量へ結び付くかもしれない。この戦略は、ラルフ・コーヘン, ジョン・ジョーンズ, とグラミエ・セーガル（英語版）により提案され、Manolescu (2003) によりサイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーのある場合に実現され、コーヘンにより余接バンドルのフレアーホモロジーに対して実現された。
解析的基礎

これらのフレアーホモロジーの多くは完全で厳密に構成されているわけではなく、多くの同値関係が予想はされているものの、証明されてはいない。テクニカルな困難は、擬正則曲線のコンパクト化は、解析の中にある。ホーファーは、クリス・ウィスコスキ(Kris Wysocki) とエドゥアルド・ゼンダー(Eduard Zehnder)の協力を得て、「高次元多様体」の理論と「一般化されたフレドホルム理論」を経て、新しい解析的な基礎を開発している。高次元多様体のプロジェクトは未だに完全ではないが、横断性がより簡単な方法を使って示された重要なケースがある。
計算

フレアーホモロジーは、明確な計算をすることが一般には困難で、例えば、全つの曲面のシンプレクティック写像のシンプレクティックフレアーホモロジーが完成したのは、2007年であった。ヒーガードフレアーホモロジーには、この考え方から大きな成功への道がある；研究者たちは様々たクラスの3次元多様体のホモロジーを計算するために、代数的な構造を開拓しているし、実際に理論の多くの計算の組み合わせ的なアルゴリズムを見つけた。このことは既存の不変量や構造へ結び付けると同時に、3次元多様体のトポロジーへの多くの見方を生みだしてきた。
日本語化にあたっての脚注

↑  コボルディズムのパンツ分解の積のことであり、位相的場の理論の公理的な取り扱いで重要な役割を果たします
↑  サイバーグ・ウィッテン・ゲージ理論（英語版）
↑  コーシー-リーマン方程式と擬正則曲線の定義式との関係は、古典的擬正則曲線のコーシー-リーマンの方程式との類似(Analogy with the classical Cauchy-Riemann equations)に、擬正則曲線（英語版）の記載がある。
↑  英語版では、"Floer Homology"にリンクが張られてるが記載がないので、記載のある文献を上げる。
↑  2次元平面上へ結び目を射影して、平面の上で格子を描き、格子との交点に符号を与えて、結び目不変量を求める組み合わせ的手法のこと
↑  クラスタホモロジーとは、ディスクが非局所的に余次元1でバブルになるので、代数的にモデリングすることが困難になる点を、モースフローを次のように拡張することで、克服する方法です。擬正則ディスクのモジュライ空間をラグランジュ部分多様体の上のモース函数を、負のグラジエントフローまで拡張すると、クラスタ化されたモジュライ空間ができます。これらをコンパクト化すると、次数付きの可換微分代数ができ、このホモロジーがクラスタホモロジーと呼ばれている。
↑  ゲージ理論。
↑  DG-圏は、Differentail Graded Categoryの訳語である。
↑  コンパクト化(compactification)の意味は、数学と物理（弦理論）では異なっている。ここでは、数学側の意味へリンクをはっている。物理側（特に弦理論）はコンパクト化 (物理学)である。
ブリスベン総郵便局

| General Post Office   Brisbane |
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 General Post Office, Brisbane, 2020
 
別名:  GPO
概要
用途:  Post Office
建築様式:  Neoclassical architecture
所在地:  Brisbane central business district
住所:  261 Queen Street, Brisbane
入居者:  Australia Post
着工:  1871
落成:  28 September 1872
所有者:  Australia Post
高さ:  50フィート (15 m)
技術的詳細
構造方式:  Brick and stone
階数:  2
設計・建設
建築家:  F. G. D. Stanley
主要建設者:  John Petrie
脚注
 General Post Office History
テンプレートを表示
ブリスベン総郵便局 (General Post Office, Brisbane 略称：GPO) はオーストラリア連邦ブリスベンのクイーンズストリート及びエリザベスストリートの間に位置する郵便局である。
GPOビルは1872年9月28日にオープンした。
GPO, Brisbaneのクイーンストリートを挟んだ向かいにある、Post Office Square ( 郵便局広場 ) は、1984年4月5日にオープンした。
Post Office Square ( 郵便局広場 )はピクニックにとても人気な公園となっている。
Ako (グラビアアイドル)

Ako（あこ、1992年6月10日 - ）は、日本の女性グラビアアイドル。埼玉県出身。
e-2dive entertainment、R・I・P所属を経て、現在はフリーランスで活動中。旧芸名は「来栖あこ」、「AKO」。
人物

2017年デビュー。
趣味はスポーツ観戦（プロ野球やラグビー）・野球（好きな球団は埼玉西武ライオンズ）・お笑い番組鑑賞・海外ドラマ鑑賞・映画鑑賞・漫画を読むこと。
特技はお菓子作り、裁縫、ボディーランゲージ。
2019年1月11日、自身のツイッターにて「来栖 あこ」（くるす あこ）から「AKO」（あこ）への改名とe-2dive entertainmentからR・I・P youthへの移籍を報告。
2021年4月12日、自身のツイッターにてR・I・Pを退所したこと、芸名を「AKO」から「Ako」に改名し、今後はフリーランスで活動することを報告した。
2022年、チーム「CCO1」のメンバーとなった。
2023年8月22日、「AkoPai」名義でInstagramを更新した。
作品 > 写真集

想像を超えるKカップ 来栖あこFirst写真集（2018年12月15日、游学社）
作品 > DVD

※◎=BD版あり
作品 > DVD > 来栖あこ名義

ミルキー・グラマー（2017年6月23日、竹書房）◎
Knock Out K Body（2017年9月22日、イーネットフロンティア）
mellow（2018年1月26日、スパイスビジュアル）
溢れる果肉（2018年4月27日、エスデジタル）
気まぐれあこニャン（2018年11月20日、ラインコミュニケーションズ）◎
作品 > DVD > AKO名義

あこパイLOVE（2019年5月23日、ギルド)
隣の巨乳お姉さんが暇すぎてボクを誘惑してくるからその熟れた女体と思う存分愛し合った夏の夕暮れ（2021年5月25日、エアーコントロール）
作品 > DVD > Ako名義

キミの笑顔が一番大好き（2022年1月20日、エアーコントロール）◎
作品 > 雑誌

キスカ 2017年7月号 表紙（竹書房）
FKバナト・ズレニャニン

フドバルスキ・クルブ・バナト・ズレニャニン（セルビア語: Фудбалски клуб Банат Зрењанин, セルビア・クロアチア語: Fudbalski klub Banat Zrenjanin）は、セルビアのヴォイヴォディナ・ズレニャニンをホームタウンとしていたサッカークラブである。
歴史

ズレニャニンのプロレテル（1947年創設）と、近郊の街バナツキ・ドヴォルのブドゥチノスト（1938年創設）の2クラブが合併して、2006年に誕生し2016年に解散した。前身のひとつのブドゥチノストは2003-04シーズンのセルビア・モンテネグロカップで準優勝、翌シーズンのUEFAカップ予選に出場した経験がある。
歴代監督

| 年 | 名前 |
| --- | --- |
2006-2007:  ニコラ・ラコイェヴィッチ
2007:  ペタル・クルチュビッチ
2007-2008:  ジャルコ・ソルド
2008:  リュビンコ・ドルロヴィッチ
2008:  ヴラディミル・ステヴィッチ
2008:  サシャ・ニコリッチ
2008-2009:  モムチロ・ライチェヴィッチ
2009:  ジャルコ・ソルド
2009-2010:  スラヴェンコ・クゼリェヴィッチ
2011:  ミラン・ブディサヴリェヴィッチ
2011:  ダニロ・ビエリツァ
2011:  ミラン・ブディサヴリェヴィッチ
2011-2012:  ラディヴォイェ・ドラシュコヴィッチ
2012:  ミオドラグ・ラダノヴィッチ
2012:  ゾラン・ヤンコヴィッチ
2013:  ドラガン・ラツマノヴィッチ
2014-2016:  マルコ・グテシャ
歴代所属選手

詳細は「Category:FKバナト・ズレニャニンの選手」を参照
ゾラン・トシッチ 2006-2007
スルジャン・バリャク 2006-2007
イゴル・マティッチ 2007-2008
ゾラン・ウルモヴ 2007-2010
アレクサンダル・チャヴリッチ 2011-2012
オグニェン・オジェゴヴィッチ 2012
フィリプ・ストイコヴィッチ 2012
ステファン・トリプコヴィッチ 2013
C24H48O2

化学式：C24H48O2（モル質量: 368.637 g/mol）は、
パルミチン酸エチルヘキシル（英語版）
リグノセリン酸
FORCE (音楽ユニット)

FORCE（フォース）は、ギタリスト高橋圭一とキーボーディスト関誠一郎の2人組の期間限定音楽ユニットである。
概要

1993年にシングル「ユノディエール」でデビュー、楽曲プロデュースは当時TRFやジュリアナブームで音楽業界に新風を巻き込んだavexが全面バックアップした。楽曲を作曲・編曲を手掛けたのはエイベックスのエンジニアである星野靖彦であった。
1993年に発売されたシングル「ユノディエール」は、日本伝統の雅楽とディスコミュージックの融合をテーマに作られている。
C/Wの「ユノディエール(STARGAIZER MIX)」は星野のプロジェクトユニットであるSTARGAIZERによる同曲のテクノチューンのリミックス。もう一曲のC/W「Over night」は関のソプラノサックスをフィーチャーし、同曲をしっとりとしたバラードにリアレンジしたものである。
1994年レーベルをavextraxからcutting edgeに移し、ル・マンテーマ曲第2弾として発売された「ディスタントビュー」は前作「ユノディエール」から一転しフュージョン色の強いナンバーになった。この曲も星野靖彦が手掛けている。
FORCEはこのシングルをリリース後活動を休止し、高橋はギタリスト、コンポーザー、アレンジャー、プロデューサーとして精力的に活動し、現在はEXILEのレコーディングやツアーにギタリストとして参加。Leadや柴田淳のプロデュースも手掛けている。
関は久宝留理子の大ヒットナンバーである「早くしてよ」をSORCEという名義で楽曲提供している。
ジャスティン・クロフォード

ジャスティン・クロフォード（Justin Crawford）
ジャスティン・クロフォード (野球) - アメリカ合衆国のプロ野球選手
ジャスティン・クロフォード (アメリカンフットボール)（英語版） - アメリカ合衆国のプロアメリカンフットボール選手
ジャスティン・クロフォード (オーストラリアンフットボール)（英語版） - オーストラリアンフットボール選手
アリー・ムハンマド・ヴァルカー

アリー・ムハンマド・ヴァルカー （1911年 - 2007年9月22日、アラビア語: دكتور علي محمد ورقا‎）は、バハイ信教の重要人物の一人である。彼はバハイ信教を国際規模で広め、守護していくために任命された「神の大業の翼成者」のメンバーの中でもっとも長生きした人物である。
ヴァルカーは1911年にイランのテヘランで有名なバハイの家庭に生まれた。彼がその名を受け継いだ祖父は、バハイ信教の創始者バハオラの使徒の一人であり、彼の父であるヴァリーユッラーフ・ヴァルカーは「神の大業の翼成者 」のメンバーであった。
ヴァルカーはパリに移住し、ソルボンヌ大学で学んだ。1950年に博士号を取得すると、彼はイランに戻りテヘラン大学とタブリーズ大学で教鞭をとった。 この間、彼はイランのバハイ共同体における様々な実務機関で活動を行った。
彼の父親の死後、1955年の11月15日にヴァルカーはバハイ信教の守護者であるショーギ・エフェンディにより「神の大業の翼成者 」に任命された。 彼はこの役職を2007年に死ぬまでの52年間務め、そして同じ役職にあったものの中では最後まで生き残った。彼は自分に与えられた職務の一環として多くの国をめぐり、ベルギーや中央アフリカ共和国を含めた多くの国で最初のバハイ信教の国家協定を結んだ。彼はまた、1955年から父親がかつてそうであったのと同様、ホゴゴラの受託者を勤めた。
1979年に彼はカナダに移住し、後にバハイ信教の本部があるイスラエルのハイファに移った。彼は2007年の9月22日にハイファで没し、遺体はその地のバハイの墓地に葬られた。
注記

1 2 3 4  “Baha'i world loses most distinguished member” (2007年9月24日). 2007年9月24日閲覧。
↑  Effendi, Shoghi (1971). Messages to the Baha'i World: 1950-1957. Wilmette: Bahá'í Publishing Trust. ISBN 0877430365
鳥海小学校

鳥海小学校（ちょうかいしょうがっこう）は、日本の公立小学校。
一戸町立鳥海小学校 - 岩手県二戸郡一戸町
由利本荘市立鳥海小学校 - 秋田県由利本荘市
山辺町立鳥海小学校 - 山形県東村山郡山辺町、2012年閉校
酒田市立鳥海小学校 - 山形県酒田市
CLAZZIQUAI PROJECT

| CLAZZIQUAI PROJECT |
| --- | --- |
 
基本情報
出身地:   韓国
ジャンル:  エレクトロニカ、ハウス、 ジャズ、グルーヴ
活動期間:  2001年 - 現在
レーベル:  ユニバーサルJ（日本） Fluxus music（韓国）
公式サイト:  日本公式サイト

メンバー:  DJクラジクワイ アレックス クリスティーナ ホラン
| クラジクワイ・プロジェクト> 各種表記 |
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ハングル：:  클래지콰이 프로젝트
漢字：:  酷懶之味
発音：:  クルレジコァイ　プロジェクトゥ
RR式：:  Keulraejikwai Peurojekteu
MR式：:  Kŭlraejik'wai Pŭrojektŭ
英語表記：:  CLAZZIQUAI PROJECT
テンプレートを表示
クラジクワイ・プロジェクト（CLAZZIQUAI PROJECT、클래지콰이 프로젝트）は、韓国のクラブ系アーティスト。韓国のレーベルFLUXUSに所属。日本では2005年にAvexからCDデビューしたが、2009年にUNIVERSAL MUSIC JAPANに移籍。
概要・メンバー

DJ Clazziquai（キム・ソンフン、Kim, Sung Hoon、김성훈 ）
在カナダ韓国人で、カナダの大学で音楽理論を学ぶ。プロデュースからジャケット・ウェブデザインまで1人でこなすクリエイター。
アレックス（Alex）
ボーカル。
クリスティーナ（Christina）
ボーカル。
アレックスとクリスティーナは姉弟で、ともにカナダ在住。
ホラン（Horan）
ボーカル。
韓国在住。
Clazziquaiとは、Classic+Jazz+Grooveをかけあわせた造語であり、さらにJamiroquaiへのリスペクトも兼ねた意味となっている。さらに、韓国語読みすると「クレジカイ」と似た発音になり、「Crazy Guy」とも掛けている。
最近は、日本の音楽ユニット、capsuleと比較され、音楽メディアや、一部ファンの間から「韓国のcapsule」と呼ばれている。
略歴

DJ Clazziquaiが自身のWebサイトに「Sweety」のMP3ファイルをアップロードしたのがきっかけで、いままでにない作風の音楽として韓国で話題になった。
2002年、ユ・ヒヨルがプロデュースした韓国のクラブ系音楽を世界に紹介するという趣旨のコンセプト・アルバム『A WALK AROUND THE CORNER』に 「Coming at me to disco」で参加した。
韓国のHip Hopユニット、エピック・ハイのアルバム2、3集にフィーチャリングで参加する。
2004年5月にアルバム『instant pig』（1集）を韓国FLUXUS MUSICよりリリース。R&B/Hip Hop全盛の韓国で、アシッドジャズやラウンジ系のアルバムは売れないとの見方も多かったものの、予想以上の成功を収める。その後、韓国でリミックスアルバム『ZBAM』も発売された。
2005年10月には、アルバム2集『COLOR YOUR SOUL』を発売。韓国盤の初回特典はフォトブック。同じ頃、日本でも1集『instant pig』がAvexより発売される。さらに、m-flo loves Soweluの「So Exclusive」のリミックスを手掛けた。12月にはエピック・ハイの3集『Swan Songs』に一部参加した。
2006年2月、2集『COLOR YOUR SOUL』日本発売。日本盤初回特典として、HMVではm-floの☆Taku Takahashi、タワーレコードではStudio ApartmentによるMixCDが付属した。
3月には2集のリミックスアルバム『PINCH YOUR SOUL』を発売。新曲としてエピック・ハイのMCであるタブロと競演した「Love Mode」、「Chi Chi」、韓国伝統音楽祭参加記念の「Bye」が収録された。
8月にミニアルバム 『Love Mode』を日本で発売。タイトルトラックである「Love Mode」でVERBAL（m-flo）およびPE'Zと共演。
2007年6月、3集『LOVE CHILD of the CENTURY』発売。
12月には同アルバムのリミックスアルバム「Robotica」を韓国で発売。大沢伸一による「Prayers」のリミックスが収録されているほか、韓国では未発表であった「Love Mode」の Pzq mode・Hwa Remix の両方が収録される。
2008年9月、韓国の音楽ゲーム「DJMAX」シリーズの最新作にメインアーティストとして参加する事が発表される。過去にリリースされた作品、および完全新曲が収録されてDJMAX Portable：CLAZZIQUAI Editionとして同年10月24日に韓国で発売された。また同年に韓国で稼動が開始された（日本でも2010年12月から稼動開始している）DJMAX TECHNIKAにも楽曲が収録されている。
m-floとの関わり

前述したように、Clazziquaiの日本デビューに関してはm-floとの関わりが見逃せない。
2004年にm-floが韓国公演を行った際に、☆TAKUが偶然FMラジオで聞いた「You Never Know」を気に入り、CDを買って日本に持ち帰ってきた。これを直後に "Global Astro Radio" で放送し、紹介した。
☆TakuはAvexに働きかけ、Clazziquaiを日本デビューさせた。さらに、自身のリミックスを発注するなど、強い関わりを持っている。
2007年3月発売のm-flo 5th アルバム『COSMICOLOR』に m-flo loves ALEX (CLAZZIQUAI PROJECT) の「Love Me After 12AM」が収録。
ディスコグラフィ > オリジナルアルバム

instant pig（1集、2004年韓国、台湾、2005年日本）
COLOR YOUR SOUL（2集、2005年韓国、2006年台湾、日本）
LOVE CHILD of the CENTURY（3集、2007年韓国、日本、台湾）
Mucho Punk（4集、2009年韓国）　Mucho MUSICA（4集、2009年日本、台湾）
Blessed（5集、2013年韓国）
Blink（6集、2014年韓国）
Travellers（7集、2016年韓国）
ディスコグラフィ > ミニアルバム

Love Mode（2006年日本、台湾）
Beat in Love（2008年日本）
Metrotronics（2008年韓国）
ディスコグラフィ > リミックス・アルバム

ZBAM（1.5集2004年韓国、2005年台湾）
PINCH YOUR SOUL（2.5集2006年韓国、台湾）
Robotica（3.5集2007年韓国、2008年台湾）
Mucho Mix（2009年日本）※　日本盤なので4.5とカウントしない
MUCHO BEAT（4.5集2009年韓国）
ディスコグラフィ > その他の関連作品・フィーチャリング、リミックス

Epik High - 혼자라도 feat. Clazziquai（2集『High Society』収録）
Epik High - 이별, 만남... 그 중점에서 feat. Clazziquai（3集『Swan Songs』収録）
Where The Story Ends(W) 2集の一部
コンセプト・アルバム『 The Walk Around The Coaner』に「Coming at me to disco」で参加
m-flo loves Sowelu - So Exclusive (Clazziquai Remix)（リミックスアルバム『DOPE SPACE NINE』収録）
鈴木亜美 - Sweet Voice "CLAZZIQUAI PROJECT RMX"（リミックスアルバム『AMIx WORLD』収録）
Fantastic Plastic Machine - don't you know? feat. CLAZZIQUAI PROJECT（『imaginations』『FPMB -Fantastic Plastic Machine Best-』収録）
FreeTEMPO - HARMONY feat. Alex (CLAZZIQUAI PROJECT)（ミニアルバム『HARMONY』収録）
m-flo loves ALEX (CLAZZIQUAI PROJECT) - Love Me After 12AM（5thアルバム『COSMICOLOR』収録）
Ryohei - Calling You feat.CLAZZIQUAI PROJECT（アルバム『Cavaca 〜Catch the Various Catchy〜』収録）
ほか
バプタノドン

バプタノドン（学名:Baptanodon）は、約1億6000万年前の中生代ジュラ紀後期に生息していた魚竜である。全長は6メートルに達し、姿はイルカに類似していた。顎には歯がほぼ存在せず、イカの捕食に適していた。化石は主に北アメリカから産出している。
発見と種

MaischとMatzkeが執筆した2000年の論文では、バプタノドンはオフタルモサウルスのジュニアシノニムと考えられており、オフタルモサウルス・ナタンスという学名を与えられていた。しかし、2010年代に発表された分岐学解析ではオフタルモサウルスの模式種 Ophthalmosaurus icenicus よりも他のオフタルモサウルス亜科に近縁であることが判明している。
バプタノドンの化石はジュラ紀後期オックスフォーディアン期のアメリカ合衆国ワイオミング州サンダンス層で発見されており、この層からはクリプトクリドゥス科の首長竜タンテネクテスやパントサウルス、およびプリオサウルス科のメガルネウサウルスの化石が産出している。
分類

下のクラドグラムは Fischer らの2013年の論文に基づく。
ジャスティン・ガストン

| ジャスティン・ガストン  Justin Gaston |
| --- | --- |
 2010年
生誕:   (1988-08-12) 1988年8月12日（36歳） ルイジアナ州
国籍:   アメリカ合衆国
職業:  俳優・モデル・歌手
配偶者:  メリッサ・オードウェイ
子供:  2人
 モデル情報
身長: 6 ft 1 in (1.83 m)
髪の色: ブラウン
眼の色: ブラウン
ジャスティン・ガストン（Justin Michael Gaston、1988年8月12日 – ）は、アメリカ合衆国の俳優、モデル、歌手。
経歴

2006年、地元のルイジアナ州を離れ俳優業を目指す。当初はモデルとしてキャリアを積みクリスチャン・オードジェー、アディダス、インターナショナル・ジョック、ヒューゴ・ボスのモデルとして働いた。
しょこたん☆べすと--(°∀°)

『しょこたん☆べすと--(°∀°)--!!』は、中川翔子のデビュー10周年記念盤となる1枚目のベストアルバム。2012年5月2日にSony Recordsから発売された。
概要

シングル15枚、カバーアルバム5枚、アルバム3枚（3CD盤のみ）から構成されている。
豪華盤（2CD+DVD+フォトアルバム）、DVD付限定盤（2CD+DVD）、3CD盤（2CD+特典CD）、通常盤（2CD）の四形態で発売された。DVDには2011年12月に中野サンプラザで開催された初の凱旋ライブ「Shoko☆Cover Fes．2011 in NAKAGAWA BROADWAY」のダイジェスト映像が収録されている。
特典CDには「DJ和」によるノンストップMIXが収録されている。
5月11日、しょこたん☆べすと――（°∀°）――!!リリース記念スペシャル@AmebaStudioが放送された。
概要 > CDタイプ

全てディスクジャケットは異なる。
豪華盤（完全生産限定盤） ･･･7000円（SRCL-7973〜75）
CD2枚組 + 特典DVD + フォトアルバム仕様
通常盤 ･･･6000円（SRCL-7976〜78）
CD2枚組 + 特典DVD
通常盤 ･･･5000円（SRCL-7979〜81）
CD2枚組 + 特典CD
通常盤 ･･･4000円（SRCL-7982〜83）
CD2枚組
収録曲 > ディスク1

中川のシングル曲で構成される。
空色デイズ [4:10]作詞：meg rock、作曲・編曲：齋藤真也
アニメ『天元突破グレンラガン』オープニングテーマ
午前六時 [4:14]作詞・作曲・編曲：ryo
『パフォー!』エンディングテーマ
『飛び出せ!科学くん』エンディングテーマ
フライングヒューマノイド [4:53]作詞・作曲・編曲：松隈ケンタ
アニメ『世紀末オカルト学院』オープニングテーマ
桜色 [4:52]作詞：meg rock、作曲：磯崎健史、編曲：川口圭太
ネスカフェ・エクセラCMソング
ホロスコープ [5:37]作詞：meg rock・山本陽介、作曲・編曲：山本陽介
『ウチくる!?』エンディングテーマ
Brilliant Dream [4:43]作詞・作曲：sabohani、編曲：磯崎健史
『吉宗』オープニングテーマソング
Shiny GATE [5:01]作詞：Shihomi・渡辺和紀、作曲：渡辺和紀、編曲：nishi-ken
『東京オンリーピック』テーマソング
『スポーツうるぐす』テーマソング
つよがり [4:06]作詞・作曲：しほり、編曲：太田雅友
アニメ『べるぜバブ』エンディングテーマ
ストロベリmelody [5:16]作詞：渡邊亜希子・中川翔子、作曲・編曲：Shinnosuke (SOUL'd OUT)
『ワナゴナ』エンディングテーマ
『超V.I.P.』エンディングテーマ
心のアンテナ [4:50]作詞：松本隆、作曲：細野晴臣、編曲：島田昌典
映画『劇場版ポケットモンスター ダイヤモンド&パール アルセウス 超克の時空へ』主題歌
綺麗ア・ラ・モード [4:47]作詞：松本隆、作曲：筒美京平、編曲：本間昭光
『不二家LOOK ロイヤルモード』CMソング
snow tears [4:51]作詞：中川翔子・1pack market、作曲：鈴木大輔、編曲：nishi-ken
アニメ『墓場鬼太郎』エンディングテーマ
「ありがとうの笑顔」 [4:51]作詞：中川翔子・青山紳一郎、作曲・編曲：多東康孝
『飛び出せ!科学くん』エンディングテーマ
涙の種、笑顔の花 [4:44]作詞：meg rock、作曲：黒須克彦、編曲：nishi-ken
映画『劇場版 天元突破グレンラガン 螺巌篇』主題歌
続く世界 [4:49]作詞：meg rock、作曲：藤末樹、編曲：nishi-ken
映画『劇場版 天元突破グレンラガン 紅蓮篇』主題歌
RAY OF LIGHT [4:25]作詞：中川翔子、作曲：鈴木健太朗・木村篤史、編曲：島田昌典
アニメ『鋼の錬金術師 FULLMETAL ALCHEMIST』エンディングテーマ
収録曲 > ディスク2

カバー曲14曲および新曲3曲を収録。
はんぶん不思議 [3:50]
1/2 [4:56]
God knows... [4:51]
恋心 [4:09]
残酷な天使のテーゼ [4:00]
魂のルフラン [5:11]
ETERNAL WIND〜ほほえみは光る風の中〜 [5:04]
ゆずれない願い [3:50]
輪舞-revolution [4:31]
星間飛行 [3:53]
Diamonds [5:01]
蒼いフォトグラフ [3:53]
ロマンティックあげるよ [3:48]
空色デイズ -北京語ver.- [4:10]
北京語訳詞：卓伸頴
ホリゾント [3:48]
作詞：岩里祐穂／作曲：fireworks[要曖昧さ回避]／編曲：川口圭太
apple universe [4:41]
作詞：meg rock／作曲・編曲：神前暁
soufflé secret [4:33]
作詞：meg rock／作曲：YOFFY／編曲：大石憲一郎