stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
位相空間
収束 > 二重極限の定理

次に有向点族の二重極限に関する定理を紹介する。後述するように、この定理は有向点族の極限で位相を特徴づける際に役立つ。定理を記述するため、まず有向集合の直積に有向集合構造が入る事を見る：
命題・定義 (有向集合の直積) ― 
(Γλ)λ∈Γを有向集合の族とするとき、(Γλ)λ∈Γの集合としての直積
 {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }に
という順序を入れると、 {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }は有向集合になる。この順序をいれた {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }を
(Γλ)λ∈Γの有向集合としての直積という。
定理 (二重極限の定理（英: Theorem on Iterated limit）) ― 
Λを有向集合とし、各λ∈Λに対し、Γλを有向集合とし、 (X,{\mathcal {O}})を位相空間とする。
各λ∈Λに対し、有向集合Γλを添え字とするX上の有向点族 x_{\lambda }=(x_{\lambda ,\gamma })_{\gamma \in \Gamma _{\lambda }}が、yλに収束するとし、さらに有向点族 (y_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }がzに収束するものとする。
(Γλ)λ∈Λの直積を \Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }とし、有向点族 (w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }=(x_{\lambda ,\xi _{\lambda }})_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }を考える（ただし \xi =(\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\in \Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }と定める）。
このとき (w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }はzに収束する。
収束 > 極限による位相の特徴づけ

最後に有向点族による極限概念によって位相が特徴づけられる事を見る：
定理 (極限による位相の特徴づけ) ― 
Xを集合とし、 {\mathcal {C}}をX上の有向点族とXの点の組からなるクラスとする。
((x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda },y)\in {\mathcal {C}}であるとき (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }がyに {\mathcal {C}}-収束するという事にするとき、以下が成立するとする：
xλが恒等的にyに等しければ、 (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }はyに {\mathcal {C}}-収束する
(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }がyに {\mathcal {C}}-収束するとき、 (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }の任意の部分有向点族もyに {\mathcal {C}}-収束する
(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }がyに {\mathcal {C}}-収束しないとき、 (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }の部分有向点族 (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }で (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }のいかなる部分有向点族もyに {\mathcal {C}}-収束しないものが存在する。
二重極限の定理で「収束」を「 {\mathcal {C}}-収束」に置き換えたものを満たす。
このときX上の位相構造 {\mathcal {O}}で (X,{\mathcal {O}})における有向点族の収束が {\mathcal {C}}-収束に一致するものが唯一存在する。 {\mathcal {O}}における閉包作用素は具体的には以下のように書ける：
連続性と位相同型

本節では位相空間 (X,{\mathcal {O}}_{X})から別の位相空間 (Y,{\mathcal {O}}_{Y})に向かって定義された関数f: X → Yの連続性の概念を定義する。後述するように位相空間における連続性の概念は、距離空間における連続性の定義で「点列」を「有向点族」に置き換える事で定義可能であるが、近傍や開集合といった、位相空間の概念を使った別定義も可能であり、両者の定義は同値となる。
なお、紛れがなければ、fが2つの位相空間の間の写像である事を強調して、「f: X → Y」ではなく
という表記を用いる事もある。
連続性と位相同型 > 一点での連続性

位相空間X上で定義された関数fの点x∈Xにおける連続性を以下のように定義する。
定義・定理 (一点における連続性) ― 
 (X,{\mathcal {O}}_{X})、 (Y,{\mathcal {O}}_{Y})を位相空間とし、f: X → Yを写像とし、xをXの点とする。このとき以下の２条件は同値であり、この２条件の一方（したがって両方）を満たすとき、fはx∈Xで連続(英: continuous)であるという。以下で {\mathcal {N}}_{x}はxの(開とは限らない)近傍全体を表す：
xに収束する任意の有向点族 (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }に対し、 (f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }は f(x)に収束する。
f(x)の近傍のfによる逆像はxの近傍である。すなわち、
　　 \forall N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}~:~f^{-1}(N)\in {\mathcal {N}}_{x}
我々はXにハウスドルフ性を仮定していないので、以上の定理で有向点族の収束の一意性が保証されていない事に注意されたい。
(⇒)背理法で示す。 N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}で f^{-1}(N)\notin {\mathcal {N}}_{x}となるものがあったとすると、近傍の定義よりxを含む任意の開集合Uに対し、 U\setminus f^{-1}(N)の点xUが存在する。xの開近傍系を {\mathcal {V}}_{x}とすると、収束の定義より有向点族 (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}はxに収束する。よって仮定より (f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}はf(x)に収束する。
Nはf(x)の近傍であったので、あるf(x)の開近傍Vが存在し、V⊂Nである。 (f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}はf(x)に収束するので、xU⊂Vを満たすxUが存在する。
しかしxUの取り方より x_{U}\notin f^{-1}(N)であったので、 f(x_{U})\notin Nであり、よって特に f(x_{U})\notin Vであるのでこれは矛盾である。
( \Leftarrow )有向点族 (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }がxに収束するとする。
 N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}を任意に取ると、仮定よりf-1(N)はxの近傍であるので、有向点族 (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }がxに収束するから、あるλ0∈Λが存在し、 \lambda \geq \lambda _{0}を満たす任意のλ∈Λに対し、xλ∈f-1(N)であり、よってf(xλ)∈Nである。これは有向点族 (f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }がf(x)に収束する事を意味する。
連続性と位相同型 > 全点での連続性

→詳細は「連続写像」を参照
関数 f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})が定義域上の任意の点x∈Xで連続であるとき、fは定義域の全点で連続、あるいは単に連続であるという。fの連続性は以下のようにも特徴づける事ができる。
定理 (連続性の特徴づけ) ― 
 f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})を位相空間から位相空間への関数とするとき、以下は同値である。
fは連続である。
開集合の逆像は開集合である。すなわち \forall O\in {\mathcal {O}}_{Y}~:~f^{-1}(O)\in {\mathcal {O}}_{X}である。
閉集合の逆像は閉集合である。すなわち \forall F\in {\mathcal {F}}_{Y}~:~f^{-1}(F)\in {\mathcal {F}}_{X}である。
任意のA⊂Xに対し f({\bar {A}})\subset {\overline {f(A)}}。
連続性と位相同型 > 一様連続と一様収束

これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である。しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない。
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である。
連続性と位相同型 > 位相同型

→詳細は「同相」を参照
定義 (位相同型) ― 
 (X,{\mathcal {O}}_{X})、 (Y,{\mathcal {O}}_{Y})を位相空間とし、f : X → Y を写像とするとき、f が同相写像であるとは、f が全単射で、しかもf と f−1 が両方とも連続であることをいう。
また、X、Y 間に同相写像が存在するとき、 (X,{\mathcal {O}}_{X})、 (Y,{\mathcal {O}}_{Y})は位相同型もしくは同相であるという。
位相同型性は、位相空間のクラスにおける同値関係であることを簡単に確認できる。
位相空間論や、その応用分野である位相幾何学では、「位相同型で不変」(位相不変性)な性質(位相的性質)を探ったり、そうした性質により、空間を分類する。
連続性と位相同型 > 位相不変量

位相不変な性質の中には位相不変量と呼ばれる、位相空間の性質によって決まる「量」がある。
χが「位相不変量」であるとは、以下の性質を満たすことを言う
これの対偶をとると、
したがって位相不変量に着目することで、二つの空間を位相的に分類することができる。
簡単な位相不変量として、位相空間の「連結成分数」がある。本項では、連結成分数の厳密な定義は割愛するが、直観的にはその名の通り、「繋がっている部分の数」である。以下のX では連結成分数が1なのに対し、Y では連結成分数が2である。従ってX と Y は位相同型ではない。
位相不変量は、位相空間論の応用分野である位相幾何学で主要な役割を果たし、特にホモロジー群やホモトピー群のような代数的な不変量は代数的位相幾何学の研究対象である。
位相の比較、生成 > 位相同士の比較

定義 (位相の比較) ― 
集合X 上で定義された2つの位相空間 (X,{\mathcal {O}}_{1})、 (X,{\mathcal {O}}_{2})を考える。
が満たされるとき、 {\mathcal {O}}_{1}は {\mathcal {O}}_{2}よりも弱い（英: weak）といい、
 {\mathcal {O}}_{2}は {\mathcal {O}}_{1}より強い（英: strong）という。
これはすなわち、 (X,{\mathcal {O}}_{1})の開集合は必ず (X,{\mathcal {O}}_{2})の開集合である事を意味する。
弱い/強いのかわりに粗い/細かい(英: coarse/fine)、小さい/大きい(英: small/large)という言葉を使うこともある。
{\mathcal {O}}_{1}が {\mathcal {O}}_{2}よりも粗い必要十分条件は、恒等写像
が連続な事である。したがって {\mathcal {O}}_{1}で収束する有向点族は {\mathcal {O}}_{2}でも収束するが、逆は必ずしも成立しない。
位相の比較、生成 > 位相の生成

→「開基 (位相空間論)」も参照
本節ではXのべき集合 {\mathfrak {P}}(X)の任意の部分集合 {\mathcal {S}}から作る方法を述べる。
定義・定理 (位相の生成、準開基) ― 
Xを集合とし、 {\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)を任意の集合族とする。このとき、X上の位相 {\mathcal {O}}
を満たすものの中で最も弱いもの {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}が存在する。この {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}を、 {\mathcal {S}}を含む最弱の位相（英: weakest topology）といい、 {\mathcal {S}}は {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}を生成する（英: generate）という。
また位相空間 (X,{\mathcal {O}})において、 {\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)が {\mathcal {O}}を生成するとき、 {\mathcal {S}}を {\mathcal {O}}の準開基（じゅんかいき, 英: open subbase）という。
以上で我々は、準開基の抽象的な定義を与えたが、準開基の概念をより具体的な形で与えることもできる。そのための準備として、まず準開基の関連概念である開基について述べる。
定義 (開基) ― 
 (X,{\mathcal {O}})を位相空間とし、 {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {O}}とする。
以下が満たされるとき、 {\mathcal {B}}は {\mathcal {O}}の開基（かいき, 英: open base、open basis）であるという。
開基の概念を用いると準開基を具体的に書き表す事ができ、 {\mathcal {S}} が  (X,{\mathcal {O}})の準開基である必要十分条件は、 {\mathcal {S}} の元の有限個の共通部分の全体の集合
が、 {\mathcal {O}}の開基をなすことである。
 {\mathcal {O}}の開集合は開基の和集合で書き表せるので、以上の事から {\mathcal {O}}の開集合は準開基の有限積集合の（有限または無限）和集合として書き表せる。
開基の概念は、基本近傍系の概念と以下のような関係がある：
命題 (開基と基本近傍系の関係) ― 
位相空間 (X,{\mathcal {O}})の各点xに対し、開集合からなる基本近傍系 {\mathcal {N}}_{x}が定義されているとき、
は {\mathcal {O}}の開基である。また {\mathcal {B}}を {\mathcal {O}}の開基とすると、
はxの基本近傍系である。
Xが距離空間の場合はxのε-近傍 B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}がxの基本近傍系をなしていたので、 \{B_{\varepsilon }(x)\mid x\in X,\varepsilon >0\}は開基をなす。
最後に、開基の概念で位相空間を特徴づける方法を述べる：
定理 (開基による位相の特徴づけ) ― 
Xを集合とする。このとき、 {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)が何らかの位相の開集合系の開基である必要十分条件は、以下の条件を満たすことである：
位相の比較、生成 > 位相全体のなす順序

弱い/強いを位相の間の順序関係とみなすと、X上の位相の集合
は順序集合になる。
この順序集合は完備束であり、
である。最も弱い位相は密着位相、最も強い位相は離散位相である。
位相空間の導出

→詳細は「直和 (位相空間論)」、「直積空間」、「部分位相空間」、および「商位相空間」を参照
すでにある位相空間を加工して、別の位相空間を作る方法を述べる。
位相空間を加工する上で基本となるのは、「逆像位相」と「像位相」の概念、おそびそれらの拡張概念である「始位相」と「終位相」である。
逆像位相と像位相、始位相と終位相は互いに双対の関係にあり、写像の向きを逆にすることでもう片方の概念を定式化できる。なお始位相と終位相はそれぞれ圏論における始リフト（英語版）[訳語疑問点]、終リフト（英語版）[訳語疑問点]の例のになっている。
位相空間の導出 > 始位相、逆像位相、部分位相、直積位相

まず始位相の概念を以下のように定義する：
定義 (始位相) ― 
Xを集合とし、 \{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }を位相空間の族とし、写像
の族 (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }を考える。
このとき、全ての f_{\lambda }を連続にする最弱の位相をXの (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }始位相（英語版）という。
始位相の特殊な場合として、以下のものが重要である。以下でXは集合である。
| 名称 | 定義 |
| --- | --- |
逆像位相: 位相空間 (Y,{\mathcal {O}})と写像 f~:~X\to YがXに定める始位相の事
部分位相: 位相空間 (Y,{\mathcal {O}})の部分集合Xに対し、包含写像 \iota ~:~X\hookrightarrow Y,\ x\mapsto xによる逆像位相の事。X に部分位相を入れたものを (Y,{\mathcal {O}})の部分空間という。
直積位相（チコノフ位相とも）:  \{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }を位相空間の族とするとき、射影 \pi _{\lambda }~:~Y=\prod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }\to X_{\lambda }の族 \{\pi _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }によってYに定義される始位相の事。直積Yに直積位相を入れた位相空間を直積空間という。
これらはより具体的に書き表す事が可能である：
定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、
逆像位相の開集合系は f^{*}({\mathcal {O}}):=\{f^{-1}(O)\mid O\in {\mathcal {O}}\}に一致する。
部分位相の開集合系は、 \{O\cap X\mid O\in {\mathcal {O}}\}に一致する。
直積位相は {\Bigg \{}\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\ {\Bigg |}\ O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }, 有限個のλを除いて O_{\lambda }=X_{\lambda }{\Bigg \}}を開基とする。
上述の定理の直積位相の箇所に関して、Λが有限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件がいらなくなるので簡単であるが、Λが無限集合のときは注意が必要である。例えば \mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots を \mathbb {R} の(可算)無限個のコピーとし、 U_{1},U_{2},\ldots を U=(0,1)の無限個のコピーとするとき、直積
は直積位相に関して
の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。これに対し直積空間には \prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}をも開集合とする位相も定義可能である：
定義 ― 位相空間の族 (X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }に対し、
を開基とする \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }の位相を箱型積位相（英語版）という。
箱型積位相は直積位相より強い（弱くない）位相である。
位相空間の導出 > 終位相、像位相、商位相、直和位相

まず始位相と双対的に終位相を定義する：
定義 (終位相) ― 
Xを集合とし、 \{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }を位相空間の族とし、写像
の族 (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }を考える。
このとき、全ての (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }を連続にする最強の位相をXの (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }終位相（英語版）という。
終位相の特殊な場合として下記のものを定義できる。これらは逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に定義したものである。以下でXは集合である：
| 名称 | 定義 |
| --- | --- |
像位相: 位相空間 (Y,{\mathcal {O}})と写像 f~:~Y\to XがXに定める終位相の事。
商位相:  (Y,{\mathcal {O}}) を位相空間とし、「 \sim 」をY上の同値関係とし、[x]でこの同値関係におけるx ∈ Yの同値類を表すとき、商写像 \pi \colon Y\to Y/{\sim },\;x\mapsto [x]が商集合  X=Y/{\sim } に定義する像位相の事。
直和位相:  \{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda } を位相空間の族とするとき、 X_{\lambda } から集合族  \{X_{\tau }\}_{\tau \in \Lambda } の直和への包含写像 \iota _{\lambda }\colon X_{\lambda }\hookrightarrow \coprod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }の族  \{\iota _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda } によって直和  \coprod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda } に定義される終位相の事。
これらはより具体的に書き表す事が可能である：
定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、
像位相の開集合系は f_{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}に一致する。
商位相の開集合系は、 \pi _{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid \pi ^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}に一致する。
直和位相の開集合系は、 {\Bigg \{}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }{\Bigg |}\forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }{\Bigg \}}に一致する。
位相的性質

→詳細は「位相的性質」を参照
位相空間の定義それ自身は可能な限り一般的に定義されているため、個々の応用では位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものを考えることが多い。
本節では、そうしたプラスアルファの性質のうち代表的なものを紹介する。
位相的性質 > 分離公理

→詳細は「分離公理」を参照
分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。
代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理であり、前述のようにこれは有向点族の収束の一意性と同値である。
ハウスドルフの分離公理は、直観的には点 x と y が開近傍という位相的な性質を利用して「区別」(separate) できる事を意味している。すなわちX の位相は点の区別が可能なほど細かい事をこの公理は要請している。
他にも下記のような分離公理がある：
| 位相空間 | 名前 |
| --- | --- |
T0: コルモゴロフ空間
T1: フレシェ空間（到達可能空間）
T2: ハウスドルフ空間
 T_{2{\frac {1}{2}}}: 完備ハウスドルフ空間、ウリゾーン空間
T3: 正則空間、正則ハウスドルフ空間
 T_{3{\frac {1}{2}}}: チコノフ空間、完全正則空間
T4: 正規ハウスドルフ空間
T5: 全部分正規ハウスドルフ空間
T6: 完全正規ハウスドルフ空間
位相的性質 > 連結性

→詳細は「連結空間」を参照
連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」
という性質である。閉区間 [0,1] は連結性をもつ（連結である）が、二つの交わらない閉区間を合併した  [0,1]\cup [2,3] という位相空間は連結ではない。
位相的性質 > コンパクト性

→詳細は「コンパクト空間」を参照
\mathbb {R} ^{n}の有界閉集合は位相空間論的に「性質の良い」空間でXを \mathbb {R} ^{n}の有界閉集合とすると、例えば以下が成立する事が知られている：
Xから \mathbb {R} への連続写像は必ず最大値・最小値を持つ
Xから \mathbb {R} への連続写像は必ず一様連続である
Xから \mathbb {R} ^{n}への単射fが連続なら、逆写像 f^{-1}~:~f(X)\to Xも連続である。
このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。
ただし、「 \mathbb {R} ^{n}の有界閉集合」という概念自身は、「有界」という距離に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。
そのために用いるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理である。これらの定理はいずれも「 \mathbb {R} ^{n}の有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており、 \mathbb {R} ^{n}においては
有界閉集合である事
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分
ハイネ・ボレルの定理の結論部分
の３つは同値となる。しかも上記の２，３はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。
したがって２もしくは３の一方を満たす（同値なので実は２，３の両方を満たす）事をもってコンパクト性を定義する。ただしテクニカルな理由により、上記の２に関しては若干の補正が必要になり、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分における「点列」を「有向点族」に置き換える必要がある。詳細はコンパクト空間を参照。
位相的性質 > 可算公理と可分

位相空間X において可算公理は、X の位相的な対象(近傍系、開集合)が可算なものから生成されることを意味し、可算公理が成立する空間では、非可算特有の難しさを回避できる場合がある。
可分もこれと類似したモチベーションのもと定義される。
厳密な定義は以下の通りである
| --- | --- |
第一可算公理: X の任意の点 x に対し、x の近傍系は可算な基本近傍系を持つ
第二可算公理: X の開集合系は可算な開基を持つ
可分: X は稠密な可算部分集合を持つ
位相的性質 > 可算公理と可分 > 性質と例

以下が成立する：
第二可算公理を満たす⇒ 第一可算公理を満たし、かつ可分
距離空間⇒ 第一可算公理を満たす
しかし距離空間は第二可算公理を満たすとは限らない。
距離空間においては第二可算公理を満たす事と可分な事は同値である。
有限次元のユークリッド空間(あるいはより一般に多様体)は第二可算公理を満たす。(距離化可能なので可分でもある)。
一方、ユークリッド空間の「無限次元版」であるヒルベルト空間は距離空間であるが第二可算公理を満たすとは限らない。
しかし通常は第二可算公理を満たすヒルベルト空間のみを考えることが多く、そのようなヒルベルト空間は全て同型で、しかもそのようなヒルベルト空間にはベクトル空間としての可算基底が存在する事が知られている。
位相的性質 > 距離化可能性

距離空間は自然に位相空間になるが、では逆に位相空間がどのような条件を満たせば距離空間になるであろうか。
すなわち、位相空間  (X,{\mathcal {O}})が距離化可能であるとは、X 上の距離 d が(少なくとも一つ)存在し、d がX 上に定める位相が {\mathcal {O}}と一致する事を言う。
学部レベルの教科書には距離化可能性の十分条件であるウリゾーンの距離化可能定理が載っていることが多いが、現在は距離化可能性の必要十分条件である長田＝スミルノフの距離化定理やビングの距離化定理が知られている。
発展的なトピック > コンパクト開位相

→詳細は「コンパクト開位相」を参照
(X,{\mathcal {O}}_{X})、 (Y,{\mathcal {O}}_{Y}) を位相空間、  C(X,Y) を  (X,{\mathcal {O}}_{X}) から  (Y,{\mathcal {O}}_{Y}) への連続写像全体とする。このとき  K\subset X,O\subset Yに対し、 W(K,O) を
とより定義する。
このとき {W(K, O) : K は X のコンパクト部分集合、 O\in {\mathcal {O}}_{Y}} を準開基とする位相を  C(X,Y) のコンパクト開位相（英: compact-open topology）という。
発展的なトピック > 連続体論

連続体（れんぞくたい、英: continuum）とは、空でないコンパクト連結距離空間、あるいはより一般にコンパクト連結ハウスドルフ空間のことを言う。
ユークリッド空間上の閉曲面は連続体となるが、連続体論ではこのような「常識的な」空間に留まらず幅広く連続体一般を研究する。
具体的にはヒルベルト空間の無限次元部分集合であるにもかかわらずコンパクトな ヒルベルト立方体
フラクタル図形のシェルピンスキーのカーペット、ホモトピー群は自明となるが可縮空間ではないワルシャワの円などが研究対象となる。
発展的なトピック > 完全不連結性とカントール空間

学部レベルの位相空間論で登場する概念の多くは、曲面のような「常識的な」空間における性質を抽象したものである。
しかし完全不連結性はこうした範疇から外れた性質で、位相空間 X 上の連結部分集合は空集合、全体集合、および一点集合に限られる事を意味する。
完全不連結な空間の例としては有理数の集合 \mathbb {Q} がある。
しかし完全不連結な空間は \mathbb {Q} のように距離空間として完備ではないものに限らない。
カントール集合(に実数体から誘導される距離をいれたもの)は、完備距離空間でありながら完全不連結な空間の例となっている。
実はカントール集合はこのような空間の典型例の一つであり、以下の性質を満たす空間(カントール空間)は必ずカントール集合と位相同型になることが知られている(ブラウワーの定理)：
発展的なトピック > ベール空間

位相空間X がベール空間であるとは、X 上の稠密開集合の可算個の共通部分が必ず稠密になることを言う。
完備疑距離空間の開集合はベール空間になる(ベールの第一範疇定理)。
また局所コンパクトハウスドルフ空間もベール空間になる(ベールの第二範疇定理)。
ベールの範疇定理は関数解析学において、開写像定理や閉グラフ定理を証明するのに用いられる。
発展的なトピック > ヴィートリス位相

(X,{\mathcal {O}}) を位相空間とする。このとき有限個の開集合  U_{1}\cdots U_{n} に対し、集合族  \langle U_{1}\cdots U_{n}\rangle  を
と定義する（ただし  {\mathfrak {F}} は  X の閉集合全体）。このとき  \{\langle U_{1}\cdots U_{n}\rangle \ :U_{i}\in {\mathcal {O}}(i=0\cdots n)\} を開基とする  {\mathfrak {F}} 上の位相をヴィートリス位相（英: Vietoris topology）と呼び、ヴィートリス位相の入った  {\mathfrak {F}} 及びその部分空間を冪空間（英: powerspace）または超空間（英: hyperspace）という。
発展的なトピック > 集合論的位相空間論

集合論的位相空間論（英語版）とは、位相空間上の性質がZFCと独立かどうかを主題する分野である。
発展的なトピック > 位相ゲーム

位相ゲーム（英語版）とは、2人のプレイヤーにより位相空間上で行われるゲームで、プレイヤー達が自分の手番のとき、何らかの位相的な対象(開集合や閉集合など)を指定する事でゲームが進んでいく。
位相空間上の様々な性質、例えばベールの性質が位相ゲームのゲーム理論的な性質と関連する(バナッハ・マズール・ゲーム)。他にも完備性、収束性、分離公理といったものもゲーム理論的な性質と関連する。
発展的なトピック > 位相代数的構造

代数的な演算が定義された位相空間X は、その演算の作用がX 上連続になるとき、演算と位相は両立するという。
そのような例として代表的なものには位相群、位相環および位相体、位相線型空間などがある。
発展的なトピック > 位相順序構造

スペクトル空間: 位相空間がスペクトル的となるための必要十分条件は、それが何らかの環の素スペクトルとなっていることである。
標準順序: 位相空間の特殊化前順序または標準前順序は、 x\leq y\Leftrightarrow \operatorname {Cl} (\{x\})\subseteq \operatorname {Cl} (\{y\}) で定義される。
歴史

集合論の創始者ゲオルク・カントールはユークリッド空間の開集合や閉集合などについても研究したが、これが位相空間の研究のはじまりである。カントールの行ったような位相空間の古典的な研究は、点集合論と呼ばれる。その後、モーリス・フレシェはユークリッド空間から離れて距離空間において極限の概念を考察し、さらにその後フェーリクス・ハウスドルフ、カジミェシュ・クラトフスキらによって、次第に現代のような一般の位相空間の形に整えられていった。
さらなる学習のために

Armstrong, M. A.; Basic Topology, Springer; 1st edition (May 1, 1997). ISBN 0-387-90839-0.
Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).OCLC 221789308
Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969). OCLC 10256
Fulton, William（英語版）, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
Munkres, James（英語版）; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
Steen, Lynn A.（英語版） and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6
松坂, 和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 4-00-005424-4。
距離空間 (\mathbb {R} ^{2},d_{p})の原点の1-近傍をp=2（上の図）、p=1（中央の図）、p=∞（下の図）に対して図示したもの。これらはそれぞれユークリッド距離、マンハッタン距離、チェビシェフ距離と呼ばれる。
コーヒーカップからドーナツ（トーラス）への連続変形（同相写像の一種）とその逆
集合{1,2,3}における、開集合の公理を満たす部分集合の族や満たさない族の例。上二段の例はそれぞれ開集合の公理を満たしているが、最下段の例は、左側は{2}と{3}の和集合である{2,3}が入っていないため、右側は{1,2}と{2,3}の共通部分である{2}が入っていないため、どちらも開集合の公理を満たしていない。
x は、それを含むある開集合もまた S に含まれるためS の内点である。一方y は S の境界上にある。
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍
ワルシャワの円
木村美月 (1994年生の女優)

| きむら みつき 木村 美月 |
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本名:  木村 美月
生年月日:   (1994-03-15) 1994年3月15日（30歳）
出生地:   日本 東京都練馬区
職業:  舞台女優・劇作家
ジャンル:  舞台
活動期間:  2014年 -
所属劇団:  阿佐ヶ谷スパイダース
公式サイト:  公式Twitter
 
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木村 美月（きむら みつき、1994年3月15日 - ）は、東京都練馬区出身の舞台女優。劇作家。阿佐ヶ谷スパイダース所属。三月倶楽部主宰。
来歴

9歳時に初舞台を踏む。
2012年、東京都立晴海総合高等学校卒業、立教大学文芸思想専修中退。
2014年虚構の劇団に加入した。
2017年9月7日、虚構の劇団を退団することが発表された。
2018年2月1日、阿佐ヶ谷スパイダースに加入した。
2019年7月に「木村美月の企画」を立ち上げ演劇を上演した。
2024年11月、出演した『蠱毒』が第16回日本映像グランプリ2024転正猟奇賞、第3回日本ホラー映画大賞選考委員特別賞を受賞した。
2025年3月、演劇を上演する自身のユニット「木村美月の企画」を、演劇以外の活動も視野に入れ「三月倶楽部」に改名し、同名の同人誌を発行することを発表した。
出演 > 舞台

劇団水中ランナー「追想と積木」（2015年12月9日 - 13日、高田馬場ラピネスト）
ぽこぽこクラブ「世界と戦う準備はできてるか？」（2015年3月25日 - 29日、阿佐ヶ谷アルシェ）
sleepwalk「ラズベリー」（2016年11月8日 - 14日、APOCシアター）
野生児童「純惑ノ詩―じゅんわくのうた―」（2017年8月23日 - 27日、小劇場B1）
ヒノカサの虜「白檻に触れて、」（2017年12月7日 - 10日、スタジオ空洞）
オザワミツグ演劇「人を殺して生きている」（2018年6月27日 - 7月3日、花まる学習会王子小劇場）
オフィス上の空「みどり色の水泡にキス」（2018年10月17日 - 24日、あうるすぽっと）
ひとりぼっちのみんな「キャンプ荼毘」（2018年11月21日 - 12月2日、STスポット）
gekidanU「金星」（2019年4月20日 - 29日、アトリエ5-25-6）
Moratorium Pants「プラヌラ」（2019年6月9日、ひたちなか市文化会館小ホール・14日 - 15日、座・高円寺2）
はねるみつき「町じゅうのゴミ捨て場にパンダ」（2019年11月16日 - 18日、王子小劇場・27日 - 12月1日、G/Pit）
日本劇作家協会「リーディングフェスタ2019 戯曲に乾杯」（2019年12月15日、座・高円寺2）
少女東京奇襲「グレイト・ホリデイ」（2019年11月19日 - 22日、シアター711）
オザワミツグ演劇「貧しく困ってる人よりも優先だ、ゆけーストレス怪獣!（2020年3月4日 - 9日、Geki地下Liberty）
gekidanU「With Home」『転がって若草』脚本『cooking for』映像出演（2020年12月4日 - 13日、アトリエ5-25-6）
TOKYOハンバーグ「最後に歩く道。」（2020年12月9日 - 15日、座・高円寺1）
ゆうめい「娘」（2021年12月22日 - 29日、下北沢ザ・スズナリ）
gekidanU「にづくり」『カレーライスの幼なじみ』脚本（2022年1月29日 - 30日、アトリエ5-25-6）
ロチュス「成人（仮）」映画『〇月〇日』（2024年2月22日 - 3月4日、新宿 at THEATRE）
老若男女未来学園 第3回本公演（エクストリームポジティブ）『アワ・マクベス』（2024年10月3日 - 6日、神奈川県立青少年センター スタジオHIKARI）
出演 > 舞台 > 虚構の劇団（サードステージ）

第10回公演「グローブ・ジャングル」再演（2014年4月4日 - 13日、座・高円寺1・17日 - 20日、一心寺シアター倶楽）
「ビー・ヒア・ナウ」作・鴻上尚史、演出 深作健太（2014年7月10日 - 21日、シアターグリーン　BIG TREE THEATER）
一人芝居＆自主企画発表会2014（2014年10月18日 - 19日、シアター・ミラクル）
第11回公演「ホーボーズ・ソング HOBO’S SONG〜スナフキンの手紙Neo〜」（2015年8月25日 - 9月6日、東京芸術劇場シアターウエスト・11日 - 13日、近鉄アート館・17日 - 19日、四国学院大学ノトススタジオ・22日 - 23日、あかがねミュージアム多目的ホール・26日 - 27日、内子座）
一人芝居発表会2016（2016年2月27日 - 28日、シアター・ミラクル）
番外公演・虚構の旅団 vol.3「青春の門～放浪篇～」原作・五木寛之、脚本・鐘下辰男、演出・千葉哲也（2016年2月3日～17日、SPACE 雑遊）
第12回公演「天使は瞳を閉じて」再演（2016年8月5日 - 14日、座・高円寺1・20日 - 21日、あかがねミュージアム多目的ホール・26日 - 28日、AI・HALL・31日 - 9月4日、あうるすぽっと）チハル 役
舞台版「ドラえもん「のび太とアニマル惑星」」再演（2017年3月26日 - 4月2日、サンシャイン劇場・7日 - 9日、キャナルシティ劇場・14日 - 16日、刈谷市総合文化センター 大ホール・21日 - 23日、多賀城市民会館・29日 - 30日、森ノ宮ピロティホール）鳥 役
出演 > 舞台 > 阿佐ヶ谷スパイダース

「MAKOTO」（2018年8月9日 - 20日、吉祥寺シアター・25日 - 26日、近鉄アート館・9月1日、新潟市民芸術文化会館・7日 - 9日、KAAT神奈川芸術劇場・29日 - 30日、まつもと市民芸術館）明楽 役
「桜姫〜燃焦旋律隊殺於焼跡」(2019年9月10日 - 28日、吉祥寺シアター) 楽隊の若い女・白菊 役
「老いと建築」（2021年11月7日 - 15日、吉祥寺シアター・12月4日 - 5日、まつもと市民芸術館）
「愛の向田邦子劇場」（2022年11月18日 - 23日、ジンギスカンＧakuya）
「ペックとスルメの秘密基地」（2022年11月12日 - 22日、本多スタジオ・2023年2月8日、「劇」小劇場）
出演 > 舞台 > 木村美月の企画

「まざまざと夢」（2019年7月19日 - 21日、ギャラリーがらん西荻）作・演出・出演
「幽霊塔と私と乱歩の話」（2023年3月1日 - 5日、小劇場 楽園）作・出演
「汎愛奇譚集」（2024年3月1日 - 17日、下北沢 スターダスト）『ある不器用な家族の冒険』作『午後の死』作・演出『東京猫』作・出演
出演 > 舞台 > トークライブ

『劇的忘年団2016!』～演劇人大集合!年忘れトークライブ＋α!～（2016年12月28日、しもきた空間リバティ）
出演 > ネット配信

山河図『蠱毒』（2024年7月13日 - ）
スタッフ

リーディングドラマ「ロミオとジュリエット」（2023年8月10日 - 13日、あうるすぽっと）構成
タクフェス第11弾「晩餐」（2023年10月7日 - 12月17日、サンシャイン劇場他）パンフレット執筆
阿佐ヶ谷スパイダース「ジャイアンツ」（2023年11月16日 - 30日、新宿シアタートップス）演出助手
共感革命: 社交する人類の進化と未来（2023年10月24日発売、著・山極壽一）編集協力
連載

舞台女優・木村美月「ガラスの積読」
岩美町立岩美中学校

| 岩美町立岩美中学校 |
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 北緯35度34分29秒 東経134度19分49秒﻿ / ﻿北緯35.574833度 東経134.330167度﻿ / 35.574833; 134.330167座標: 北緯35度34分29秒 東経134度19分49秒﻿ / ﻿北緯35.574833度 東経134.330167度﻿ / 35.574833; 134.330167
国公私立の別:  公立学校
設置者:  岩美町
併合学校:  岩美町立岩美中学校（旧） 岩美町立東因中学校 岩美町立岩井中学校 岩美町立蒲生中学校 岩美町立二上中学校
設立年月日:  1958年4月
共学・別学:  男女共学
学校コード:  C131210000270 
中学校コード:  310027
所在地:  〒681-0003
 鳥取県岩美郡岩美町浦富707番地
外部リンク:  公式サイト
 ウィキポータル 教育  ウィキプロジェクト 学校
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岩美町立岩美中学校（いわみちょうりつ いわみちゅうがっこう）は、鳥取県岩美郡岩美町浦富にある公立中学校。
沿革

出典：
1947年（昭和22年） - 浦富・本庄・東・田後4ヶ村組合立浦富中学校、大岩・網代村組合立東因中学校、岩井町立岩井中学校、小田村立二上中学校、蒲生村立蒲生中学校が開校。
1954年（昭和29年）7月1日 - 町村合併により岩美町が発足、浦富中を岩美中と改称、その他の中学校はそれぞれ岩美町立となる。
1958年（昭和33年）4月 - 岩美（旧）・東因・岩井の3中学校を統合し、新しい岩美中学校を設置する。
1979年（昭和54年）4月 - 蒲生・二上の2中学校を統合。
2009年（平成21年）8月 - 新校舎が完成し移転。
部活動 > 運動部

陸上競技部
駅伝部（夏、秋のみ）
柔道部（現在廃部中）
剣道部（現在廃部中）
軟式野球部
弓道部
ソフトテニス部
卓球部
羽球部（女子のみ）
バレーボール部
バスケットボール部
部活動 > 文化部

吹奏楽部
美術部
華道部
茶道部
校区

岩美町立岩美西小学校、岩美町立岩美北小学校、岩美町立岩美南小学校
交通

西日本旅客鉄道（JR西日本）山陰本線岩美駅より約500m
日本交通岩美岩井線、岩美町営バス田後・陸上線、小田線：「岩美町役場」より約400m
あさみほとり

| あさみ ほとり> プロフィール |
| --- | --- |
性別:  女性
出身地:   日本・富山県
誕生日:  10月22日
血液型:  O型
身長:  153 cm
職業:  声優
事務所:  ダーナ・ワークス
声優：テンプレート | プロジェクト | カテゴリ
| YouTube |
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チャンネル:   ほとりさん【ほとり・3・ちゃんねる】 
活動期間:  2019年 -
ジャンル:  エンターテイメント
登録者数:  1310人
総再生回数:  3.40万回
チャンネル登録者数・総再生回数は 000000002020-08-21-00002020年8月21日時点。
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あさみ ほとり（10月22日 - ）は、日本の女性声優。富山県出身。合同会社ダーナ・ワークス所属。
経歴・人物

以前はイエローテイルに所属後、2017年5月1日よりネヴァーランド・アーツに所属していた。
特技はプラモデル、ゲーム、ものづくり。ワンダーフェスティバル、全日本模型ホビーショーなどで作品展示される。2015年7月8日放送のテレビ番組『トコトン掘り下げ隊!生き物にサンキュー!!』（TBS系列）に出演し、番組内企画「身近な食べ物で骨格標本づくり」に挑戦した。スマホアプリ・ガンダムファンクラブ内サービスの『ドキドキ☆ガンプラネット』にて定期WEB連載。
出演

太字はメインキャラクター。
出演 > テレビアニメ

ハミダシクリエイティブ（2024年、常磐華乃）
グリザイア:ファントムトリガー（2025年、ジャヤ、メリッサ）
出演 > ゲーム

戦極姫2・炎〜百華、戦乱辰風の如く〜 / 嵐〜百華、戦乱辰風の如く〜（筒井順慶）
萌え萌え大戦争☆げんだいばーん / +（ぷらす） / 3D / ++（ぷらすぷらす）（2011年 - 2012年、リンディ）
出撃!! 乙女たちの戦場2〜天翔ける衝撃の絆〜 / 〜憂国を翔ける皇女のツバサ〜（2011年 - 2012年、ツバサ）
戦極姫3〜天下を切り裂く光と影〜（馬場信春、朝倉義景、筒井順慶） - PSP・PS3・PS Vita
1/2 summer+（クロハ）
古色迷宮輪舞曲 〜La Roue de fortune〜（桐原一葉）
サウザンドメモリーズ（オルガ、イリーナ、フェイラン）
戦極姫-華- 〜真録・天下を切り裂く光と影〜（馬場信春、朝倉義景、筒井順慶）
限界凸記 モエロクロニクル / モエロクリスタル（2014年 - 2015年、カマイタチ、小豆洗い）
ChuSingura46+1 -忠臣蔵46+1- V（矢頭小夜）
ウチの姫さまがいちばんカワイイ（虎頭巾姫 リリ・ティーケリー）
なないろリンカネーション（滝川琴莉）
BAD APPLE WARS
ビーナスイレブンびびっど！（木芽まほろ、花道おうか、伊集院レイラ）
トリックスター〜召喚士になりたい〜（ウィーナ、ブルー・イミル）
悠久のティアブレイド -Lost Chronicle-（クイーン、他）
PriministAr -プライミニスター-（安芸かのこ）
刺青の国（渋谷区、北区、墨田区、豊島区）
果つることなき未来ヨリ（リース）
萌え萌え2次大戦（略）3（コンゴウ、マウス、エスト） - PC・PS Vita・PS4
8BIT MUSIC POWER FINAL（収録曲「KS2?VirtualStage1」に声で参加）
ポルト・ミラージュ（アンネッタ、カルミア、キャシー）
ハミダシクリエイティブ（常磐華乃）
ユグドラ・レゾナンス（ラウラ）
女神楽園 ガーデス・パラダイス（金角）
出演 > 同人ゲーム

プトリカ 1st.cut:The Reason She Must Perish（アンシュ）
出演 > ドラマCD

PriministAr -プライミニスター- ドラマCD『Winter MinistAr』（2016年、安芸かのこ）
出演 > 吹き替え

オオカミ男（高校生カップル）
出演 > ナレーション

東葛映画祭オープニングナレーション
出演 > 舞台

GAIA_crew「空の彼方の、ちいさなヒカリ」（2017年、富山敬子）
出演 > その他コンテンツ

スマートフォンアプリ「ガンダムファンクラブ」企画連載「ドキドキ☆ガンプラネット」（2017年、サンライズ）
蛟龍丸

| 蛟龍丸> 基本情報 |
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船種:  貨客船
船籍:   大日本帝国
所有者:  藤野四郎兵衛 木田長右衛門 成田金太郎
運用者:   藤野四郎兵衛   大日本帝国海軍  木田長右衛門 成田金太郎
建造所:  大阪鉄工所
母港:  函館港/北海道
信号符字:  JRDW
IMO番号:  8718（※船舶番号）
経歴
進水:  1903年9月19日
竣工:  1903年11月
最後:  1941年6月 座礁放棄
要目
総トン数:  745トン（1904年） 726トン（1938年）
純トン数:  462トン（1904年） 505トン（1938年）
載貨重量:  672トン（1904年） 650トン（1938年）
登録長:  57.06m（1904年） 54.86m（1938年）
型幅:  7.92m（1904年） 8.23m（1938年）
登録深さ:  5.52m（1904年） 5.79m（1938年）
主機関:  三連成レシプロ機関 1基
推進器:  1軸
出力:  67NHP（1904年） 525IHP（1904年）
最大速力:  11ノット（1904年） 10.4ノット（1938年）
航海速力:  10ノット（1904年） 9ノット（1938年）
旅客定員:  一等:4名 二等:8名 三等:286名前（1904年） 一等:4名 二等:8名（1938年）
乗組員:  31名（1904年） 24名（1938年）
武装（仮装砲艦時の装備） 保式57mm速射砲1門 保式47mm速射砲2門 流し式機械水雷落下装置12基および機雷40個（敷設作戦時） 海防水雷落射機2基（1905年3月追加）
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蛟龍丸（こうりゅうまる）は、1903年に進水した日本の貨客船である。日露戦争中に日本海軍により旅順口攻撃のため機雷敷設艦として使用され、戦艦「ペトロパヴロフスク」の撃沈に関与した。日露戦争後は各種商船として35年以上使用された。
建造

本船は、造船奨励法の適用を受け、範多龍太郎を長とする大阪鉄工所で建造された。船体の材質は鋼である。推進設備としては、レシプロ式の蒸気機関により回転するスクリューのほか、2本マストにスクーナー式の帆装を有した。建造当初の種別は貨客船で、旅客定員298人である。1903年9月に進水、同年中に竣工した。
当初の船主は藤野四郎兵衛で、金刀比羅宮への参拝客を運ぶ瀬戸内海定期航路へ就航した。