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リチャードソン
人物

イアン・リチャードソン（Ian William Richardson、1934年 - 2007年） イギリスの俳優。
エリオット・リチャードソン（Elliot Lee Richardson、1920年 - 1999年） アメリカの弁護士・政治家。厚生教育保健長官、国防長官、司法長官、商務長官を歴任した。
サー・オーエン・リチャードソン（Sir Owen Willans Richardson、1879年 - 1959年） イギリスの物理学者。熱電子現象の研究により、1928年のノーベル物理学賞を受賞。
キーラン・リチャードソン（Kieran Edward Richardson、1984年 - ） アストン・ヴィラFC所属のイングランド人サッカー選手。
キャメロン・リチャードソン (女優)（Cameron Richardson、1979年 - ） アメリカの女優。
クエンティン・リチャードソン（Quentin L. Richardson、1980年 - ） アメリカのバスケットボール選手。
ケビン・マイケル・リチャードソン（Kevin Michael Richardson、1964年 - ） アメリカの男性声優、俳優。
サミュエル・リチャードソン（Samuel Richardson、1689年 - 1761年） イギリスの小説家。著書に『パミラ』『クラリッサ』等がある。
ジェイ・リチャードソン（Jay Richardson、1984年 - ） アメリカのアメリカンフットボール選手。
ジェイソン・リチャードソン（Jason Anthoney Richardson、1981年 - ） アメリカのバスケットボール選手。
ジェームズ・リチャードソン（James Otto Richardson、1878年 - 1974年） アメリカ海軍の軍人。
シェルドン・リチャードソン（Sheldon Adam Richardson、1990年 - ） アメリカのアメリカンフットボール選手。
ジョエリー・リチャードソン（Joely Richardson、1965年 - ） イギリスの女優。トニー・リチャードソンの娘。ナターシャ・リチャードソンの妹。
ジョン・リチャードソン (特殊効果)（John Richardson、1946年 - ） イギリスのSFXスタッフ。
サー・ジョン・リチャードソン (博物学者)（Sir John Richardson、1787年 – 1865年） スコットランドの博物学者、海軍軍医、北極探検家。
ジョン・ピーター・リチャードソン (2世)（John Peter Richardson II、1801年 - 1864年） アメリカの政治家。第59代サウスカロライナ州知事。
ジョン・ピーター・リチャードソン (3世)（John Peter Richardson III、1831年 - 1899年） アメリカの政治家。第83代サウスカロライナ州知事。
チャールス・リチャードソン（Charles Lennox Richardson、1834年 - 1862年） イギリスの商人。
テリー・リチャードソン（Terrence "Terry" Richardson、1965年 - ） アメリカの写真家。
トニー・リチャードソン（Cecil Antonio "Tony" Richardson、1928年 - 1991年） アメリカの映画監督。『トム・ジョーンズの華麗な冒険』で1964年のアカデミー監督賞を受賞。
ドロシー・リチャードソン（Dorothy Miller Richardson、1873年 - 1957年） イングランドの女性小説家。
ナターシャ・リチャードソン（Natasha Jane Richardson、1963年 - 2009年） イギリスの女優。トニー・リチャードソンの娘。ジョエリー・リチャードソンの姉。
ビル・リチャードソン（William Blaine "Bill" Richardson III、1947年 - ） アメリカの政治家。第30代ニューメキシコ州知事。
ヘンリー・ホブソン・リチャードソン（Henry Hobson Richardson、1838年 - 1886年） アメリカの建築家。
ミランダ・リチャードソン（Miranda Jane Richardson、1958年 - ） イギリスの女優。
サー・ラルフ・リチャードソン（Sir Ralph David Richardson、1902年 - 1983年） イングランドの俳優。
ルイス・フライ・リチャードソン（Lewis Fry Richardson、1881年 - 1953年） イギリスの数学者・気象学者。微分方程式の離散化モデルによる天気予報を提案した。また、フラクタルの先駆となる調査を行った。
ロバート・リチャードソン (物理学者)（Robert Coleman Richardson、1937年 - 2013年） アメリカの物理学者。ヘリウム3の超流動現象の発見により、リーやオシェロフとともに1998年のノーベル物理学賞を受賞した。
ロバート・リチャードソン (撮影監督)（Robert Bridge Richardson、1955年 - ） アメリカの映画撮影監督。
その他

リチャードソン (テキサス州)（Richardson, Texas）アメリカ合衆国テキサス州中部の都市。
リチャードソンジリス（Richardson's ground squirrel） ジリスの一種。 サー・ジョン・リチャードソン (博物学者)によって発見されたことから名付けられた。
リチャードソン数（Richardson number）浮力と慣性力の比を表す無次元量。名はルイス・フライ・リチャードソンにちなむ。
ジョー・ハービー (野球)

| 基本情報 |
| --- | --- |
国籍:   アメリカ合衆国
出身地:  ペンシルベニア州モンゴメリー郡オーデュボン（英語版）
生年月日:   (1992-01-09) 1992年1月9日（32歳）
身長 体重:  6' 3" ＝約190.5 cm 236 lb ＝約107 kg
選手情報
投球・打席:  右投右打
ポジション:  投手
プロ入り:  2014年 MLBドラフト19巡目
初出場:  2019年4月10日
経歴（括弧内はプロチーム在籍年度）
  ラ・サール・カレッジ高等学校（英語版）  ピッツバーグ大学  ニューヨーク・ヤンキース (2019)  コロラド・ロッキーズ (2019 - 2020)
 この表について  この表はテンプレートを用いて表示しています。編集方法はTemplate:Infobox baseball playerを参照してください。 ■プロジェクト:野球選手  ■テンプレート  
ジョゼフ・ロバート・ハービー（Joseph Robert Harvey, 1992年1月9日 - ) は、アメリカ合衆国ペンシルベニア州モンゴメリー郡オーデュボン（英語版）出身のプロ野球選手（投手）。右投右打。
経歴 > プロ入りとヤンキース時代

2014年のMLBドラフト19巡目（全体572位）でニューヨーク・ヤンキースから指名され、プロ入り。この年は主に傘下のA-級スタテンアイランド・ヤンキースでプレーした。
2015年は年間を通してA級チャールストン・リバードッグスでプレーし、15試合に登板して1勝1敗、防御率4.24、21奪三振を記録した。
2016年はマイナーリーグを行き来し、11試合に登板して0勝1敗、防御率0.84、19奪三振を記録した。
2017年は年間を通してA+級タンパ・ヤンキースでプレーし、18試合に登板して1勝0敗、防御率1.05、29奪三振を記録した。
2018年はAA級トレントン・サンダーとAAA級スクラントン・ウィルクスバリ・レイルライダースを行き来し、2球団合計で43試合に登板して3勝2敗、防御率1.67、68奪三振を記録した。また、この年のオフに40人枠入りを果たした。
2019年は開幕をAAA級スクラントン・ウィルクスバリで迎え、4月10日にはメジャー初昇格を果たした。また、その日のヒューストン・アストロズ戦で登板し、2イニングを無失点で抑えた。
経歴 > ロッキーズ時代

2019年7月31日にアルフレド・ガルシアとのトレードで、コロラド・ロッキーズへ移籍した。オフの12月9日にDFAとなり、16日にマイナー契約で傘下のAAA級アルバカーキ・アイソトープスへ配属された。
2020年8月2日にメジャー契約を結んでアクティブ・ロースター入りした。オフの10月29日にマイナー契約となった。その後、11月2日にFAとなったが、12月11日にマイナー契約を結んで再契約した。
2021年は5月のマイナーリーグ開幕からAAA級アルバカーキでプレーし、6月20日にメジャー契約を結んでアクティブ・ロースター入りした。だが、登板機会が無いまま6月22日にDFAとなり、25日にマイナー契約でAAA級アルバカーキへ配属された。
詳細情報 > 年度別投手成績

| 年  度 | 球団 | 登板 | 先発 | 完投 | 完封 | 無四球 | 勝利 | 敗戦 | セ丨ブ | ホ丨ルド | 勝率 | 打者 | 投球回 | 被安打 | 被本塁打 | 与四球 | 敬遠 | 与死球 | 奪三振 | 暴投 | ボ丨ク | 失点 | 自責点 | 防御率 | WHIP |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2019 | NYY | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1.000 | 48 | 10.0 | 11 | 1 | 7 | 0 | 1 | 11 | 0 | 0 | 6 | 5 | 4.50 | 1.80 |
| 2019 | COL | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ---- | 36 | 8.0 | 7 | 2 | 6 | 0 | 1 | 6 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5.63 | 1.63 |
| '19計 | COL | 18 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1.000 | 84 | 18.0 | 18 | 3 | 13 | 0 | 2 | 17 | 0 | 0 | 11 | 10 | 5.00 | 1.72 |
| 2020 | COL | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ---- | 14 | 3.1 | 3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.00 | 0.90 |
| MLB：2年 | MLB：2年 | 22 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1.000 | 98 | 21.1 | 21 | 3 | 13 | 0 | 3 | 19 | 0 | 0 | 11 | 10 | 4.22 | 1.59 |
2020年度シーズン終了時
詳細情報 > 背番号

74（2019年 - 同年途中）
30（2019年途中 - 2020年）
リチャードソン・ヴィアノ

| 個人情報 |
| --- | --- |
フルネーム: Richardson Viano
国籍:  ハイチ
生誕:  (2002-08-16) 2002年8月16日（22歳） タバー
 
スポーツ
競技: アルペンスキー
リチャードソン・ヴィアノ（Richardson Viano、2002年8月16日 - ）は、ハイチのアルペンスキー選手。タバー出身。
来歴

彼はハイチ生まれで、1年半を孤児院で過ごした後、3歳の時にフランスのブリアンソンに住むヴィアノ夫妻の養子となった。スキーインストラクターである父親のアンドレア・ヴィアノの下、スキーを始めた。しかし、2018年にはフランス代表となる夢は叶わないと感じ、スキーをやめることも考えていた。
ところが、翌2019年、16歳のヴィアノの元に、自身もアルペンスキー選手でありハイチ・スキー連盟の創設者で会長のジャン＝ピエール・ロイから、ハイチ生まれのアルペンスキー選手を探しているのでハイチ代表にならないかと打診の電話があった。ヴィアノはこのことについて、当初は友人のいたずらと思ったが、インターネットで検索してみたところハイチ・スキー連盟が実在することを知った、と語っている。
その後、ヴィアノは申し出を受け入れ、同年の夏にハイチのパスポートを取得。11月には国際スキー連盟からハイチ代表への移籍の承認を得た。
2021年アルペンスキー世界選手権にハイチ代表として出場し、男子回転では予選通過後の本戦で途中棄権となったものの、男子大回転では35位という結果となった。
2022年北京オリンピックでは、ヴィアノはハイチ史上初の冬季オリンピック選手として出場を果たした。開会式では旗手を務めた。
主な戦績

| 年 | 大会 | 開催地 | 種目 | 順位 | 記録 | 備考 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2021 | アルペンスキー世界選手権 |  コルティーナ・ダンペッツォ | 大回転 | 35位 | 3分00秒48 |  |
| 2021 | アルペンスキー世界選手権 |  コルティーナ・ダンペッツォ | 回転 | - | 途中棄権 |  |
| 2022 | オリンピック |  北京 | 大回転 | - | 途中棄権 |  |
| 2022 | オリンピック |  北京 | 回転 |  |  |  |
リチャードソンの補外

リチャードソンの補外（リチャードソンのほがい）とは、外挿法の一種である。パラメータ x > 0 を持つ量 f (x) について、x → 0 における f の極限値を近似的に求めるときに用いられる。
応用例として、台形公式を用いた数値積分にリチャードソンの補外を用いることで、ロンバーグ積分法を導くことができる。また、CAEで計算格子を限りなく小さくしていく極限での解を予想することにも使われる。
手法

既知の2つのデータ f (x) と f (λ x), 0 < λ < 1から、x→0 の極限値 F の近似値  {\bar {f}}_{1}^{(1)} を求めるアルゴリズムは以下である。
ただし p1 は、f を x の多項式として漸近展開した以下の式に現れる指数である。
また、追加データとして  f(\lambda ^{2}x),\ldots ,f(\lambda ^{M}x) を求めることができたなら、
を順次求めていくことで、より精度の高い近似値  {\bar {f}}_{M}^{(M)} を求めていくことができる。
精度

{\bar {f}}_{1}^{(1)} は x p2 に比例する誤差を持つ近似値である。すなわち
同様に、 {\bar {f}}_{M}^{(M)}の誤差評価は次式となる。
ボーア半径

| ボーア半径 Bohr radius |
| --- | --- |
記号:  a0, aB
値:  5.29177210544(82)×10−11 m 
相対標準不確かさ:  1.6×10−10
語源:  ニールス・ボーア
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ボーア半径（ボーアはんけい、英: Bohr radius）は、ボーアの原子模型における、水素原子の第一軌道半径を表す物理定数である。原子、電子のようなミクロなスケールを扱う量子論、原子物理学、量子化学などの分野において用いられる原子単位系において、ボーア半径は一貫性のある長さの単位として用いられる。
名称はデンマークの原子物理学者ニールス・ボーアに由来する。記号は一般に a0 や aB で表される。
ボーア半径をSI単位のメートルで表した値は
a_{0}=5.291~772~105~44(82)\times 10^{-11}\ {\text{m}}
である（2022 CODATA推奨値）。ボーア半径は原子単位系における長さの単位であり、長さの原子単位で表した値は
a_{0}=1\ {\text{bohr}}=1\ {\text{a.u.}}
である。
ボーア半径は、ボーアの原子模型で記述される水素原子において、基底状態にある電子の軌道半径で定義され
a_{0}={\frac {4\pi }{Z_{0}c}}{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}
で表される。ここで、ħ はプランク定数（ディラック定数）、c は真空中の光速度、Z0 は真空における特性インピーダンス、e は電気素量、me は電子質量である。
国際量体系（ISQ）においては、電気定数 ε0 により Z0 = 1/ε0c で表されるので
a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}
となり、ガウス単位系は Z0 = 4π/c とする量体系に基づいているので
a_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}
となる。
ボーア半径は長さの次元を持つ物理定数である電子のコンプトン波長 λe、および古典電子半径 re とは
a_{0}=\alpha ^{-1}{\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}=\alpha ^{-2}r_{\text{e}}
で関係付けられる。ここで α は微細構造定数である。
また、リュードベリ定数 R∞ と微細構造定数 α により
a_{0}={\frac {\alpha }{4\pi R_{\infty }}}
で表される。リュードベリ定数と微細構造定数の値は精度よく測定されており、ボーア半径の値はこれら二つの定数の測定値から導かれる。
リトルフンボルト川

リトルフンボルト川（リトルフンボルトがわ、英: Little Humboldt River）は、アメリカ合衆国ネバダ州の北部を流れる河川である。フンボルト川の支流で全長は約97kmあり、グレートベイスンと呼ばれる盆地内のオウィヒー砂漠の端の荒野を途切れ途切れに流れる。
流路

ネバダ州北部で二つの流れから始まる。ノースフォークは、サンタロサ山脈北東端のフンボルト郡北東部に端を発し、オウィヒー砂漠の南東部に沿って東南東に流れている。サウスフォークは、ジェイククリーク山の北の、エルコ郡の西の端に端を発して、西北西に流れている。二つの流れは、ウィネマッカの北西113kmのフンボルト郡東部で合流する。そこから南西向きにサンタロサ山脈の東側に沿って流れ、ウィネマッカの北東およそ8kmの場所でフンボルト川の右岸に合流する。
| 典拠管理データベース  |
| --- | --- |
全般:  VIAF 
国立図書館:  イスラエル  アメリカ
田代富士男

田代 富士男（たしろ ふじお、1931年〈昭和6年〉2月22日 - ）は、日本の元政治家、元公明党参議院議員(4期)。
来歴

佐賀県出身。旧制三養基中卒。聖教新聞社、創価学会関西本部に勤務する。1965年の第7回参議院議員通常選挙で大阪府選挙区から公明党公認で立候補して初当選。以来連続4期当選する。参議院法務委員長、運輸委員長、党大阪府連本部長、参議院国会対策委員長などを歴任した。1988年に砂利船汚職事件で全国砂利石材店用組合連合会から現金を受け取った事が発覚。田代は離党して参議院議員を辞職した。その直後に受託収賄罪で起訴された。1992年に大阪地裁で懲役2年6ヶ月、執行猶予3年の判決を受けた。
現代ポートフォリオ理論

現代ポートフォリオ理論(げんだいポートフォリオりろん、英: Modern portfolio theory, MPT)とは、金融資産への投資比率(ポートフォリオ)を決定する理論。1952年にハリー・マーコウィッツによって発表された論文を端緒として研究が進められた。投資におけるポートフォリオの収益率の平均 (期待値) と分散のみをコントロールするという特徴がある。現代ポートフォリオ理論から発展した資産価格決定モデルとして資本資産価格モデル(英: capital asset pricing model, CAPM)がある。
リスク資産への投資

現代ポートフォリオ理論においては、投資家は合理的でリスク回避的であるということが仮定されている。つまり、同じ期待収益を上げられる資産ならばリスクの小さいものを好むということである。このリスクは収益率の標準偏差で測られる。このリスクを回避する程度がどの程度であるかは投資家によって異なるが、後の分離定理と呼ばれる定理により、全ての合理的投資家のポートフォリオ選択問題は所与の期待収益率を達成するもので最も分散が小さいものを選択するという問題に置き換えられる。
リスク資産への投資 > 平均分散分析

現代ポートフォリオ理論の仮定の一つとして、投資家は自身の投資の収益率の分布についてその平均と分散のみを考慮し、歪度や尖度といった他の分布の特徴には関心を持たないことがある。このように平均と分散のみに着目したポートフォリオ選択理論を平均分散分析(英: mean-variance analysis)と呼ぶ。このような投資家の選好は平均分散型効用関数や期待効用関数であれば、2次効用関数、あるいは収益率の分布が同時正規分布に従う場合に正当化される。
設定
金融市場には金融資産が  n 個存在すると仮定する。さらに任意の金融資産  i について、その収益率を  R_{i} とする。そして金融市場は完全市場であると仮定する。さらにすべての金融資産  i にはリスクが存在するものとする。つまり、全ての資産の収益率  R_{i} の分散は必ず0より厳密に大きいものとする。
投資家は自身の資金の  100w_{i} パーセントを金融資産  i に投資するものとする。この投資比率を表す  w_{i},i=1,\dots ,n をポートフォリオ と呼ぶことにする。比率なので  \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1 を満たす。ポートフォリオ  w_{i} による投資の収益率を  R_{p} と表すことにする。
\operatorname {E} ,\;\operatorname {Var} ,\;\operatorname {Cov} ,\;\operatorname {Corr}  をそれぞれ期待値、分散、共分散、相関係数のオペレーターとする。
ポートフォリオの期待収益率：
 \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad
ポートフォリオの収益率の分散：
 \sigma _{p}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (R_{i},R_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}
2つの資産からなるポートフォリオの場合：
ポートフォリオの期待収益率：
 \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})
ポートフォリオの収益率の分散：
 \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}
3つの資産からなるポートフォリオの収益率の分散：
 {\begin{aligned}\sigma _{p}^{2}&=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}+2w_{A}w_{C}\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}+2w_{B}w_{C}\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}\\&=\left({\begin{matrix}w_{A}&w_{B}&w_{C}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\sigma _{A}^{2}&\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}&\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}\\\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}&\sigma _{B}^{2}&\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}\\\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}&\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}&\sigma _{C}^{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}w_{A}\\w_{B}\\w_{C}\end{matrix}}\right)\end{aligned}}
金融資産の数  n が大きい時は行列による表現が用いられる。
投資家は所与の(目標)期待収益率  \mu _{p} を達成するポートフォリオの中で最も収益率の分散が小さくなるものを選択する。つまり、以下の最小化問題を解く。
この問題は2次計画問題になっている。一般の  n 個の金融資産が存在する場合の最小化問題の解析解はロバート・マートンによって与えられていて、リスク資産の収益率の分散共分散行列
の逆行列を
とすると、
となる。ただし
である。さらにこのポートフォリオに投資した時、期待収益率と収益率の分散について以下の関係が成立する。
リスク資産への投資 > リスク・リターン平面

縦軸(Y軸)に期待リターン、横軸(X軸)に収益率の標準偏差(リスク)を取った座標平面をリスク・リターン平面と呼ぶ。
リスク資産への投資 > 効率的フロンティア

方程式(1)をリスク・リターン平面上で図示したものを最小分散フロンティア(英: minimum variance frontier)と言う。全ての資産やその資産から組成されるポートフォリオはリスク・リターン平面において必ず最小分散フロンティアの右側に位置する。また最小分散フロンティア上のポートフォリオで最も標準偏差が小さくなるものを大域的最小分散ポートフォリオ(英: global minimum variance portfolio)と呼ぶ。さらに最小分散フロンティアにおいて大域的最小分散ポートフォリオより上側の部分の曲線を効率的フロンティア(英: efficient frontier)と呼ぶ。
最小分散フロンティア上のポートフォリオは所与の期待リターン(Y軸での値)を得られる分散(X軸での値)が最小のポートフォリオとなる。平均分散分析を行う投資家にとって最適なポートフォリオは必ず効率的フロンティア上にある。
効率的フロンティアがリスク・リターン平面上でコンベキシティ（凸性）を持つ理由は、方程式(1)を見ても分かる通り、効率的フロンティア上のポートフォリオの標準偏差が期待リターンの2次関数として表現されるからである。
無リスク資産

無リスク資産（英: risk-free asset）や安全資産やリスクなし資産やリスクフリー資産とは、リスクを負うことなく収益が得られる資産のことである。対義語はリスク資産（英: risky asset）や危険資産やリスクあり資産。無リスク資産の収益率は定数の安全利子率となるので、その分散は0であり、他の資産との相関係数も0である。原理的には完全にリスクが存在しない金融資産は存在しないが、デフォルトする可能性がほぼ無いと言える先進国の短期国債などが代理としてよく使用される。
無リスク資産 > 数学的表現

無リスク資産を含む場合の期待収益率と収益率の標準偏差を数式で表すと以下のようになる。
自己の資金をリスク資産に  100w_{p} パーセント投資し、無リスク資産に  100w_{\mathrm {f} } パーセント投資するポートフォリオを考える。つまり、 w_{p}+w_{\mathrm {f} }=1 である。また無リスク資産の利子率を定数  r_{\mathrm {f} } とする。この時、期待収益率と収益率の標準偏差は以下のようになる。
期待収益率 =  w_{\mathrm {f} }r_{\mathrm {f} }+w_{p}\operatorname {E} (R_{p})\quad 
収益率の標準偏差 =  {\sqrt {w_{\mathrm {f} }^{2}\operatorname {Var} (r_{\mathrm {f} })+w_{p}^{2}\operatorname {Var} (R_{p})+2w_{\mathrm {f} }w_{p}\operatorname {Cov} (r_{\mathrm {f} },R_{p})}}
=  {\sqrt {w_{\mathrm {f} }^{2}\cdot 0+w_{p}^{2}\sigma _{p}^{2}+2w_{\mathrm {f} }w_{p}\cdot 0}}
=  w_{p}\sigma _{p}\quad
この関係をより一般化する。 w_{i},i=1,\dots ,n をリスク資産のみからなるポートフォリオとした時、自己の資金を無リスク資産に  100(1-\alpha ) パーセント投資し、リスク資産  i に対して  100\alpha w_{i} パーセント投資するポートフォリオを考えると、その期待収益率と収益率の標準偏差は以下のようになる。
期待収益率 =  (1-\alpha )r_{\mathrm {f} }+\alpha \operatorname {E} (R_{p})=(1-\alpha )r_{\mathrm {f} }+\alpha \sum _{i=1}^{n}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})
収益率の標準偏差 =  \alpha \sigma _{p}=\alpha {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (R_{i},R_{j})}}
上記の数学的な表現から無リスク資産が存在する場合の投資家のポートフォリオ選択問題は以下のようになる。ただし、リスク資産  i に対して自己の資金を  100w_{i} パーセント投資し、無リスク資産に対して自己の資金を  100\left(1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right) パーセント投資するものとする。
このポートフォリオ選択問題における解もまたマートンによって与えられていて、以下のようになる。
さらにこのポートフォリオに投資した時、期待収益率と収益率の分散について以下の関係が成立する。
無リスク資産 > 無リスク資産の効果

投資家は無リスク資産を借り入れること、つまり無リスク資産の空売りで、ポートフォリオにレバレッジをかけることが出来る。上記の数学的表現において  \alpha >1 となる時がポートフォリオにレバレッジがかかった状態となる。また無リスク資産の購入でリスク(標準偏差)を減らすこともできるようになる。 \alpha <1 となる時に無リスク資産が購入されている。
無リスク資産 > 資本分配線

リスク資産からなるポートフォリオの収益率を  R_{p} とし、自己の資金をリスク資産からなるポートフォリオへ  100\alpha  パーセント投資し、無リスク資産へ  100(1-\alpha ) パーセント投資するポートフォリオの収益率を  R_{c} とすれば、期待収益率と収益率の標準偏差について以下の関係が成立することは先ほど述べた。
この2式から  \alpha  を消去して変形すると次の式が得られる。
この式の右辺を  \sigma _{c} を引数とした関数と見なせば、この式はリスク・リターン平面上では直線となる。そこでこの式を資本分配線(英: capital allocation line)と呼ぶ。この式はリスク資産からなるポートフォリオをあらかじめ決めておいて、あるリスクの値  \sigma _{c} を取った時に、当初に決めたリスク資産からなるポートフォリオと無リスク資産への2つの資産への投資でどの程度の期待収益率  \operatorname {E} (R_{c}) が得られるかを表している。右辺における傾きの部分  {\frac {\operatorname {E} (R_{p})-r_{\mathrm {f} }}{\sigma _{p}}} が大きければ大きいほど少ないリスクで高い期待収益率を得ることが出来る。この傾きの値はリスク資産からなるポートフォリオをどのように組成するかで決まる。
無リスク資産 > 接点ポートフォリオ

資本分配線は傾き  {\frac {\operatorname {E} (R_{p})-r_{\mathrm {f} }}{\sigma _{p}}} が大きいほど効率が良くなることは先ほど述べた。よって最もこの傾きが大きいリスク資産からなるポートフォリオを選択すれば最も効率の良い投資が可能となる。リスク資産のみの場合の分析によれば、あらゆるリスク資産とそれらから組成されるポートフォリオはリスク・リターン平面上において最小分散フロンティア(効率的フロンティア)の右側に位置する。よって資本分配線の傾きが最大となるのは、切片を無リスク金利  r_{\mathrm {f} } とし、効率的フロンティアに接する接線となる。この接線と効率的フロンティアの交点における期待収益率と収益率の標準偏差を実現するリスク資産からなるポートフォリオを接点ポートフォリオ(英: tangency portfolio)と呼ぶ。接点ポートフォリオは次の分離定理において重要な役割を果たす。
無リスク資産 > 1-ファンド定理（トービンの分離定理）

1-ファンド定理やトービンの分離定理とは以下の定理。
任意の効率的ポートフォリオは、リスク資産によって構成される1つのファンドと無リスク資産を組み合わせることによって生成される。
平均分散分析と整合的な期待効用最大化問題を考えると、リスク・リターン平面上における無差別曲線は右上がりの凸状の曲線となる。リスク・リターン平面においてある点Aより右下にある点では期待収益率は点Aより低く、リスク(収益率の標準偏差)は点Aより大きくなるため、平均分散分析を行う経済主体にとっては点Aより効率が悪い投資となる。リスク・リターン平面においてある点Aより左上にある点も同様の議論を用いれば点Aより効率の良い投資となることが分かる。よってリスク・リターン平面上の無差別曲線は右上がりとなる。凸性についてはリスク回避的であることから生じている。
よって平均分散分析を行う経済主体はリスク・リターン平面上でより左上の方にある点を実現するポートフォリオを好むようになる。そう考えると、接点ポートフォリオを通る資本分配線上の点を実現するポートフォリオを必ず選択するようになる。なぜならば、リスク・リターン平面において接点ポートフォリオを通る資本分配線より左上の領域にある点を実現するポートフォリオは存在しないからである。このことは平均分散分析を行う投資家のポートフォリオの違いは接点ポートフォリオと無リスク資産への投資比率だけとなることを意味している。つまりリスク資産のみの投資比率は全ての平均分散分析を行う投資家間で同一で接点ポートフォリオとなる。よって平均分散分析を行う投資家のポートフォリオ選択問題は、(1)接点ポートフォリオを特定する事と(2)自分のリスク態度にあった比率で接点ポートフォリオと無リスク資産への投資比率を決定する事、の二つに分離される。このように投資家のポートフォリオ選択問題が二つの問題に分離されることを分離定理(英: separation theorem)、もしくは投資信託定理(英: mutual fund theorem)と呼ぶ。この分離定理は1958年に発表されたジェームズ・トービンの研究が端緒となっている。
実際、リスク資産への総投資比率は
\sum _{i=1}^{n}w_{i}={\frac {\mu _{p}-r_{\mathrm {f} }}{Cr_{\mathrm {f} }^{2}-2Ar_{\mathrm {f} }+B}}\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}v_{ij}(\operatorname {E} (R_{j})-r_{\mathrm {f} })\right)={\frac {\mu _{p}-r_{\mathrm {f} }}{Cr_{\mathrm {f} }^{2}-2Ar_{\mathrm {f} }+B}}{\Big (}A-Cr_{\mathrm {f} }{\Big )}
で表されるので、リスク資産内での投資比率は
{\frac {w_{i}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}={\frac {1}{A-Cr_{\mathrm {f} }}}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{ij}(\operatorname {E} (R_{j})-r_{\mathrm {f} })\right),\quad i=1,\dots ,n
となり、要求リターン  \mu _{p} には依存しなくなる。このリスク資産内での投資比率が接点ポートフォリオと一致する。ただし、 A-Cr_{\mathrm {f} }\neq 0 を仮定している。
リスク・リターン平面において接点ポートフォリオを通る資本分配線の事をまた効率的フロンティア(英: efficient frontier)と呼ぶ。リスク資産のみへの投資の時の効率的フロンティアは凸状の曲線であったのに対し、無リスク資産への投資を含む場合の効率的フロンティアは直線となる。無リスク資産への投資を含む場合の効率的フロンティアはリスク・リターン平面において接点ポートフォリオと無リスク資産の位置する点を特定できれば、その2点を通る直線となるので特定可能である。この事をもって分離定理と呼ぶこともある。リスク・リターン平面においてある投資家の無差別曲線が接点ポートフォリオより左側の位置で効率的フロンティアと接するならばその接点がその投資家の最適なポートフォリオとなり、その投資家は無リスク資産と接点ポートフォリオを共に正の割合で保有する。接点ポートフォリオより右側の位置で接するならば、その投資家は無リスク資産を空売りし、その分、より接点ポートフォリオに投資するようにレバレッジを効かせた投資を行う。
資産の価格付け

詳細は「資本資産価格モデル」を参照
合理的な投資家は現有のポートフォリオのリスクと収益の特性を改善できると分かって初めて、投資を見直す。MPTは資産の価格付けという文脈において、正しく価格付けされた資産への要求される収益を導出する。
資産の価格付け > CAPM

資産の収益は今日保有する資産の量に依存する。資産が市場ポートフォリオに加えられる時に支払われるべき価格は市場ポートフォリオのリスク-収益の特性が改善することを保証せねばならない。もし投資家が活用できる無リスクレートと全体として市場のリスクがあるならば、CAPMは市場において、ある資産に対して理論的に要求された収益を導き出すモデルである。
資産の価格付け > 市場ポートフォリオと資本市場線

CAPMが成立しているならば、接点ポートフォリオと全てのリスク資産からなる時価総額加重平均ポートフォリオは一致する。よってCAPMが成立している下での接点ポートフォリオ(全てのリスク資産からなる時価総額加重平均ポートフォリオ)のことを市場ポートフォリオ（market portfolio）と呼ぶ。またリスク・リターン平面上において切片が無リスクレートであり、市場ポートフォリオを通る直線を資本市場線（Capital market line, CML）と呼ぶ。リスク・リターン平面上において資本市場線はリスク資産のみからなる効率的フロンティアの接線となっている。
CMLを数式で表現すると以下の通りになる。
\mathrm {CML} :E(r_{C})=r_{F}+{\frac {E(r_{M})-r_{F}}{\sigma _{M}}}\sigma _{C}.
ここで、 r_{M} は市場ポートフォリオの収益率、 r_{F} は無リスクレートであり、 \sigma _{M} は市場ポートフォリオの収益率の標準偏差となる。CMLは任意の平均分散的に効率的なポートフォリオ  C の期待収益率  E[r_{C}] がポートフォリオ  C の収益率の標準偏差  \sigma _{C} の線形関数となっていることを述べている。
資産の価格付け > 証券市場線

証券市場線（Security market line, SML）のグラフは縦軸に期待収益率を、横軸にベータ
を採る。ベータと期待収益率の関係式は以下の通りである。
\mathrm {SML} :E(r_{i})-r_{f}=(E(r_{M})-r_{f})\beta _{i}.~
SMLはベータ・リターン平面上において、任意の個別資産の期待収益率  E[r_{i}] がそのベータ  \beta _{i} の線形関数になっていることを述べている。ある資産が、リスクに対して妥当な期待収益を得られるかどうかを確認するには、SMLは有効な道具である。個々の証券はSMLのグラフ上にプロットされる。SMLよりも上の領域にある資産のリスクと収益がプロットされれば割安であり、下の領域ならばその逆である。なぜならば、同じベータでSMLよりも高い収益が出ているならばリスクに見合った以上の収益を得ていることであり、低い収益が出ているならばリスクに見合った収益を得ていないからである。
証券市場線を用いて、市場ポートフォリオと比べて、ある資産が割高か割安の指標を用いることが出来る。
資産の価格付け > 証券特性線

証券特性線（security characteristic line, SCL）は市場リターンrM と個別証券i の収益率ri との間の関係で表現でき、一般的に以下の数式で表される。
\mathrm {SCL} :r_{i,t}=\alpha _{i}+\beta \,r_{M,t}+\epsilon _{i,t}
資産の価格付け > リスクの分解

リスクは、市場関連リスクであるシステマティックリスク（systematic risk）と証券固有のリスクであるノンシステマティックリスク（nonsystematic risk, 固有リスク（idiosyncratic risk）とも、個別リスク（specific risk）とも呼ばれる）に分解される。
リスクを分解して数式化すると以下の通りになる。
\sigma _{i}^{2}=\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}+var(\epsilon _{i})
第2項 var(\epsilon _{i})である個別リスクは個々の資産に関連したリスクであり、市場とは無関係である為、分散投資で個別リスクを軽減することは可能である。
一方、第1項 \beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}であるシステマティックリスクは、すべての証券に共通のものである為、キャンセルアウトは出来ない。マーケットニュートラル戦略を採用して、ベータを減らすことでリスクを減らすことが出来る。
資産の価格付け > プロジェクトポートフォリオと他の"非金融"資産への応用

専門家のいくらかは、MPTをプロジェクトや他の資産へ適用している。金融ポートフォリオの範囲を越えてMPTを適用するときは、ポートフォリオの違いによって考慮しなければならないところがある。
金融ポートフォリオは絶えず可分（divisible）であるが、一方、新しいソフトウェアの開発といったプロジェクトのポートフォリオでは不可分（lumpy）である。例えば、3種類の株式をそれぞれ44％、35%、21%からなるポートフォリオを計算することは出来る一方、あるITポートフォリオへの最適ポジションは単純に計算できないかもしれない。ITプロジェクトは少なくとも全か無か（all or nothing）である為、分割不可能である。ポートフォリオの最適化の方法は、ITといった分割不可能なプロジェクトを考慮に入れなければならない。
金融ポートフォリオの資産は流動的であるため価格付けは可能であるが、新しいプロジェクトへの投資機会は制限されており、また、サンクコスト（sank cost、埋没費用）を失うことなしに既に着手したプロジェクトを放棄することは出来ない。
MPTや上述のポートフォリオを使う可能性を否定する必要性はない。通常には金融ポートフォリオに適用できない数学的に表現された制約で以ってMPTは最適化を行うことができる。
その上、MPTの最も単純な要素のいくつかは、いかなる種類のポートフォリオに事実上当てはめることが出来る。投資家のリスク許容度を理解するという概念は、様々な種類の分析問題に当てはめることが出来る。しかしながら、MPTはリスクの尺度として、歴史上に発生した分散（historical variance）を利用しているのでITのように歴史がないものには適用できない。このような場合、MPT投資との境界として、「資本を失うよりもROIの機会が少ない」とか、「投資の半分以上の資金を失う」とかを一般的な観点から用いる。不確実性の観点から予測される損失についてリスクを設定する時、投資家のリスク許容度を理解するという概念は他のいかなる投資のタイプと完全に置換されうる。
裁定価格理論との比較

詳細は「裁定価格理論」を参照
証券市場線及びCAPMは裁定価格理論（英: Arbitrage Pricing Theory, APT）とよく比較される。裁定価格理論は1976年にステファン・ロス（英語版）によって考案された。期待収益率をマクロ経済学に関係する様々な要因を説明変数とした線形代数の形でモデリングしている。説明変数としてはGDP、物価上昇率、為替レート、失業率などが挙げられる。APTはCAPMと比べて仮定の制限が少ない。
現代ポートフォリオ理論における最小分散フロンティアと効率的フロンティア
現代ポートフォリオ理論における資本分配線
現代ポートフォリオ理論における分離定理
ジョージ・マディソン

| ジョージ・マディソンGeorge Madison |
| --- | --- |
 
生年月日:  1763年6月
出生地:  バージニア植民地オーガスタ郡
没年月日:  1816年10月14日(1816-10-14)（53歳没）
死没地:  ケンタッキー州パリス
現職:  軍人
所属政党:  民主共和党
配偶者:  ジェイン・スミス
親族:  ジェームズ・マディソン司祭とトマス・マディソンの兄弟、ジェームズ・マディソン大統領の従兄弟
宗教:  長老派教会
サイン:  
 第6代ケンタッキー州知事
在任期間:  1816年8月5日 - 10月14日
副知事:  ガブリエル・スローター
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ジョージ・マディソン（英語: George Madison、1763年6月 - 1816年10月14日）は、アメリカ合衆国の軍人、政治家であり、第6代ケンタッキー州知事を務めた。1816年に数週間知事を務めただけで、就任中に死亡した初のケンタッキー州知事になった。その前半生についてはあまり知られていない[誰によって?]。バージニア州の影響力あるマディソン家の一員であり、第4代アメリカ合衆国大統領ジェームズ・マディソンの又従兄弟だった。アメリカ独立戦争、北西インディアン戦争、米英戦争という3つの戦争で功績を挙げた。北西インディアン戦争では2度負傷し、米英戦争のフレンチタウンの戦い後には捕虜になった。
マディソンが州知事になる以前は、州監査官として20年間務めたという政歴があるだけだった。その軍歴によってケンタッキー州では人気が非常に高かったが、1816年に州知事選出馬を勧められるまで高位の職を求めてはいなかった。知事選では唯一の対抗馬ジェームズ・ジョンソンがマディソンの人気の高さを見て早期に撤退し、無投票で選ばれることになった。知事に就任してから9週間後、任期中に死亡した初のケンタッキー州知事になった。副知事のガブリエル・スローターが知事を継承したが、これについては異議を申し立てた者もいた。
生い立ちと初期の経歴

ジョージ・マディソンは1763年6月にバージニア植民地オーガスタ郡で生まれた。そこは後にロッキンガム郡となった。父はジョン・マディソン、母はアガサ（旧姓ストローサー）だった。兄のジェームズ・マディソンはバージニアの聖公会司祭となり、またウィリアム・アンド・メアリー大学学長を務めた。別の兄にトマス・マディソン大尉がいた。また第4代アメリカ合衆国大統領ジェームズ・マディソンの又従兄弟だった。
地元の学校で教育を受け、また家庭内でも指導を受けた。兵役に就ける年齢に達すると、アメリカ独立戦争では兵卒として大陸軍に従軍した。
マディソンがいつケンタッキー州に移転したかは分かっていないが、リンカーン郡の土地の記録によれば、マディソンと兄弟のガブリエルが、遅くとも1784年にそこに移っていたことを示している。ジェイン・スミスと結婚し、アガサ、ウィリアム、マイラ、ジョージの4人の子をもうけた。妻のジェインは1811年に死んだ。
北西インディアン戦争での従軍

マディソンは北西インディアン戦争のときにケンタッキー州民兵隊に加入した。1791年11月4日に起きたウォバシュの戦いでアメリカ軍が敗北したときは、セントクレア軍の准大尉だった。戦闘後に撤退しているとき、ウィリアム・ケナンという兵士が、丸太の上に座っているマディソンを見つけた。ケナンはインディアンに追われており、マディソンにも走るよう促したが、マディソンは既に危ない状況にあることを認識しており、立ち上がって重傷を負い多量に血を流していることを示した。ケナンはそれ以前に見ていた乗り手のいない馬を探してきて、マディソンを馬に乗せ、二人で脱出した。
この戦争の後半、マディソンはジョン・アデア少佐（後のケンタッキー州知事）の下に仕えた。1792年11月5日、アデアの部隊がセントクレア砦の近くで宿営しているときに、リトル・タートル酋長が指揮するインディアン部隊に襲撃された。アデアは撤退を命じ、兵士を集めて3つの集団に分けた。マディソンが指揮した集団には敵の側面に向かうよう命じたが、これがうまくいかず、マディソンは再度負傷した。その後アデアはセントクレア砦に撤退した。アデアがジェイムズ・ウィルキンソン准将に提出した報告書では、「マディソンの勇敢さと行動にはコメントのしようがない。それは良く知られている」と記していた。
政歴

1796年3月7日、ケンタッキー州知事アイザック・シェルビーが、マディソンを公会計監査官に指名した。マディソンはこの職を20年間務めており、一度もそれ以上高い役職を求めることはなかったが、歴史家のルイス・コリンズは「人々が与えるものの中で、少しの懇願も無ければ彼が容易に得られるような役職は無かった」と述べている。1800年、フランクリン郡のケンタッキー神学校理事になった。1806年12月5日、大陪審を務め、アーロン・バーを反逆罪で告発することを拒否した。この年後半で、ケンタッキー銀行の取締役に指名された。
米英戦争のとき、シェルビー知事が北西方面軍に従軍する志願兵を招集した。ジョン・アレンが連隊を立ち上げ、マディソンはその副指揮官となった。この連隊はケンタッキー州志願兵第1ライフル銃連隊と呼ばれ、フレンチタウンの戦いではジェイムズ・ウィンチェスターの下で戦った。ウィンチェスターがイギリス軍ヘンリー・プロクター将軍に捕まえられたが、マディソンが指揮した約400名の部隊が、イギリス軍の数度にわたる攻撃を跳ね返した。マディソン隊の兵士は、イギリス軍の中で白旗が振られたときに自軍が勝ったと思ったが、実際にはイギリス軍に捕まったウィンチェスターがマディソン隊に降伏するよう命令するつもりで振られたものだった。マディソンは、旗を振っているのがウィンチェスターだと分かると、捕虜となったウィンチェスターにはその命令を発する権限がないと判断して、降伏を拒んだ。プロクターはマディソンに無条件降伏を要求したが、マディソンはその条件として、プロクター配下のインディアンからアメリカ兵捕虜を保護することを含めるよう主張した。プロクターは当初無条件降伏以外の全てを拒んでいたが、マディソンがアメリカ兵は「出来る限り勇敢に抵抗するつもりだ」と公言したあとは、プロクターの方が折れた。
プロクターは兵士の数と同じくらいの捕虜が居たので、合意した条件を強制できる立場になかった。下士官は釈放され、故郷に帰ることを認められた。マディソンとその他の士官はマルデン砦に連れて行かれ、その後ケベック市の刑務所に移動した。負傷したアメリカ兵はアメリカ人の医者に治療された。この戦闘から間もなく、インディアンがアメリカ軍の物資を略奪し、その中には大量のウィスキーが含まれていた。酔っぱらい暴力的になったインディアンは負傷したアメリカ兵の多くを虐殺した。これはレーズン川の虐殺と呼ばれることになった。
マディソンは捕虜になった1年後に、捕虜交換の一部として刑務所から釈放された。ケンタッキー州に戻ると、1814年9月6日の公的ディナーの席で、その労を労われた。1816年に健康が悪化したために公会計監査官を辞任したが、大衆の要求に屈して、その年後半に州知事選挙の候補者になった。もう一人の候補者ジェイムズ・ジョンソンはマディソンの人気の高さを見て選挙戦から撤退し、マディソンは無投票で知事に選出された。
死とその後

マディソンは当選後に療養のためにブルーリックス・スプリングスに旅行したが、体力が弱ったために、就任のときにフランクフォートまで戻って来られなかった。バーボン郡治安判事が1816年9月5日に、ブルーリックス・スプリングスで就任式を取り仕切った。知事として唯一の公式な行動は、チャールズ・S・トッド大佐を州務長官に指名したことだった。任期開始の8月5日から2か月強が経った1816年10月14日、マディソンは死んだ。フランクフォート墓地に埋葬されている。
マディソンは任期中に死亡したことでは初のケンタッキー州知事だった。副知事のガブリエル・スローターに対抗する者達は、即座にスローターが知事に昇格することに異議を申し立てた。彼等は州民の投票で選出されていない者は知事になるべきでないと主張した。ケンタッキー州議会下院では特別知事選挙を行う案が直ぐに成立したが、上院では18票対14票で否決された。スローターは知事の権限を行使することを認められたが、多くの政府関係者や市民は知事とは呼ばずに「知事代行」あるいは「副知事」と呼び続けた。
原註

^[a]Powell, Encyclopedia of Kentucky, and NGA give Madison's birthplace as Augusta County. Harrison and Hopkins both give Rockingham County.

^[b]Encyclopedia of Kentucky names these four children. Powell names only two: George and Myra. Hopkins references five children, but does not name them.