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フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
NBGの公理化 > クラスと集合

NBGにはクラスと集合という 2 種類の対象がある。直感的には、どの集合も同時にクラスである。これを公理化する方法は 2 通り存在する。ベルナイスは 2 ソートの多ソート論理を用いた。 ゲーデルはソートの代わりに原始述語を用いた：  {\mathfrak {Cls}}(A) を「  A はクラスである」ことを、  {\mathfrak {M}}(A) を「  A は集合である」ことを表す述語とする（ドイツ語では集合は Menge である)。ゲーデルは「すべての集合はクラスである」という公理と、「クラス  A がクラスの元であれば、  A は集合である」という公理を導入した。 述語はソートの回避のためによく使われる。 エリオット・メンデルソン (Elliott Mendelson) はゲーデルの考え方を元に、全てをクラスとした上で、  \exists C(A\in C) を表す述語  M(A) で集合を表すことで修正した。 この修正によって、ゲーデルのクラス述語と 2 つの公理は不要になる。
ベルナイスの 2 ソートのアプローチのほうが最初は自然に見えるかもしれないが、こちらは複雑な理論になる。 ベルナイスの理論では、どの集合も 2 種類の表現を持つ：一つは集合として、もう一つはクラスとしてである。同時に、2 つの 帰属関係がある：一つは "∈" で表される 2 つの集合間の関係、もう一つは "η" で表される集合とクラスの間の関係である。 異なるソートの変数は議論領域中で互いに素な部分領域の元となるため、この冗長性は多ソート論理に必要になる。
これらの 2 つのアプローチで証明できるものは変わらないが、証明の書かれ方は変わってくる。ゲーデルのアプローチでは、  A と  C がクラスであるとき  A\in C は有効な表現である。ベルナイスのアプローチではこの表現は意味をなさない。しかし、  A が集合であれば、等価な表現が存在する：  集合とクラスが同じ集合を元に持つならば、「集合  a はクラス  A を代表する」と定義する。—すなわち、  \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A)。集合  a がクラス  A を代表するという表現  a\;\eta \;C は、ゲーデルの  A\in C と等価である。
本記事ではゲーデルのアプローチのメンデルソンによる修正版を用いて説明する。これは、NBG は等式を含む一階述語論理における公理系であることを意味し、原始概念（英語版）はクラスと帰属関係のみであることを意味する。
NBGの公理化 > 外延性の公理と対の公理の定義

集合は、少なくとも 1 つのクラスに属するクラスである：  \exists C(A\in C) のとき、かつそのときに限り  A は集合である。
集合でないクラスは真のクラスと呼ぶ： \forall C(A\notin C) のとき、かつそのときに限り  A は真のクラスである。
したがって、どのクラスも集合または真のクラスであり、両方同時に当てはまることはない。
ゲーデルは大文字の変数をクラス上の変数、小文字の変数を集合上の変数とした。 また、ゲーデルは、すべての集合からなるクラス上に定義された関数や関係を含む特定のクラスは、大文字から始まる名前で表した。本記事ではゲーデルのこの表記法に従う。すると以下のように書ける：
\exists x\,\phi (x)、 \exists x{\bigl (}\exists C(x\in C)\land \phi (x){\bigr )}の代わりに。
\forall x\,\phi (x)、 \forall x{\bigl (}\exists C(x\in C)\implies \phi (x){\bigr )}の代わりに。
以下の公理と定義はクラス存在定理の証明に必要である。
外延性の公理.  2 つのクラスが同じ元を持っていれば、それらは等しい。
この公理はZFCの外延性の公理をクラスに一般化したものである。
対の公理.   x と  y が集合であれば、元が  x と  y のみである集合  p が存在する。
ZFCのように、外延性の公理は集合   p がただ一つであることを含意する。これによって  \{x,y\} という表記ができる。
順序対は以下のように定義される。
対は順序対を使って再帰的に定義される：
NBGの公理化 > クラス存在公理と正則性公理

クラス存在公理はクラス存在定理を証明するのに用いる：集合のみを量化する  n 個の集合の自由変数に関するすべての論理式について、その論理式を満たす  n-組のクラスが存在する。以下の例は、関数のクラスと合成関数を構築するクラスの 2 つのクラスから始める。この例はクラス存在定理を証明するのに必要な、クラス存在公理を導出する手法を説明する。
クラス存在公理は 2 つのグループに分かれる：述語に関する公理と、対に関する公理である。前者のグループには 4 つの公理が、後者のグループには 3 つの公理が含まれる。
述語に関する公理：
帰属.  1番めの要素が 2 番めの要素の元になるような順序対すべてを含むクラス  E が存在する。
共通部分（連言）.  任意の 2 つのクラス  A と  B に対して、  A と  B にそれぞれ属する集合のみからなるクラス  C が存在する。
補集合（否定）.  任意のクラス  A に対して、  A に属さない集合のみからなるクラス  B が存在する。
領域（存在量化子）.  任意のクラス  A に対して、  A の順序対の最初の要素からなるクラス  B が存在する。
外延性の公理より、共通部分公理におけるクラス  C と補集合公理および領域公理におけるクラス  B はそれぞれただ一つ定まる。これらはそれぞれ以下のように表現される： A\cap B,  \complement A, and  Dom(A). 一方、帰属公理はクラス  E 上の順序対の集合のみを規定するため、外延性の公理は帰属公理におけるクラス  E には適用できない。
最初 3 つの公理は空クラスおよびすべての集合のクラスの存在を含意する：帰属公理はクラス  E の存在を含意する。共通部分公理および補集合公理は、空クラスである  E\cap \complement E の存在を含意する。外延性の公理により、このクラスはただ一つ定まり、これを  \emptyset  で表す。  \emptyset  の補集合はすべての集合のクラス  V であり、これも外延性の公理からただ一つ定まる。すると、  \exists C(A\in C) を表す集合述語  M(A) は、クラスを量化することなく  A\in V と再定義される。
対に関する公理：
V の直積.  任意のクラス  A に対して、最初の要素が  A に属する順序対からなるクラス  B が存在する。
巡回置換.  任意のクラス  A に対して、 A の 3-組に巡回置換  (y,z,x)\mapsto (x,y,z) を適用して得られる 3-組からなるクラス  B が存在する。
転置.  任意のクラス  A に対して、  A の 3-組の後ろ 2 要素を入れ替えて得られる 3-組からなるクラス  B が存在する。
外延性から、  V の直積公理は  A\times V で表されるただ一つのクラスの存在を含意する。この公理はすべての  n-組に対してクラス  V^{n} を定義するのにも用いる：  V^{1}=V そして  V^{n+1}=V^{n}\times V。  A がクラスならば、外延性は  A\cap V^{n} が  A の  n-組からなるただ一つのクラスであることを含意する。たとえば、帰属公理から、クラス  E が順序対ではない元を含むが、共通部分  E\cap V^{2} は  E の順序対のみからなるようにクラス  E を構成できる。
巡回置換公理と転置公理はクラス  B の 3-組であることのみを規定するため、ただ一つのクラスの存在を含意しない。 3-組を規定することで、これらの公理は  n\geq 4 に対して  n-組についても規定する。なぜならば：  (x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).対に関する公理と領域公理は以下の補題を含意する。この補題はクラス存在定理の証明に用いる。
組の補題 ―
\forall A\,\exists B_{1}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(z,x,y)\in B_{1}\iff (x,y)\in A]
\forall A\,\exists B_{2}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,z,y)\in B_{2}\iff (x,y)\in A]
\forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff (x,y)\in A]
\forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x,y)\in A]
証明 —
クラス  B_{3}：  V の直積公理を  A に適用し、  B_{3} を得る。
クラス  B_{2}： 転置公理を  B_{3} に適用し、  B_{2} を得る。
クラス  B_{1}： 巡回置換公理を  B_{3} に適用し、  B_{1} を得る。
クラス  B_{4}： 巡回置換公理を  B_{2} に適用した上で領域公理を適用し、  B_{4} を得る。
クラス存在定理の証明にはもう一つの公理、正則性公理が必要である。空クラスの存在が証明されるため、この公理のふつうの言明を用いる。
正則性公理.  空でないどの集合も、共通部分の要素が空となる元を少なくとも 1 つ持つ。 \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].
この公理は集合が自分自身に属さないことを含意する：  x\in x と仮定して  a=\{x\} と置く。すると  x\in x\cap a であるので  x\cap a\neq \emptyset  である。これは   x が  a の唯一の元であることから、正則性公理と矛盾する。したがって、  x\notin x である。また、正則性公理は集合の無限降下関係列の存在を禁止する： \cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.ゲーデルは、自身の1940年のモノグラフで、集合ではなくクラスに関して正則性公理を述べた。これは1938年の講義に基づいたものである。 1939年、ゲーデルは集合の正則性公理がクラスの正則性公理を含意することを証明した。
NBGの公理化 > クラス存在定理の拡張

ゲーデルはクラス存在定理を、クラスの関係（例えば  Y_{1}\subseteq Y_{2} や単項関係  M(Y_{1})）、特別なクラス（例えば  Ord ）、演算（例えば  (x_{1},x_{2}) や  x_{1}\cap Y_{1}）を含む論理式  \phi  に拡張した。 クラス存在定理を拡張するには、関係、特別なクラス、演算を定義する論理式が集合上で量化されていなければならない。すると  \phi  はクラス存在定理の仮説を満たす等価な論理式に変換される。
以下の定義は論理式での関係、特別なクラス、演算の定義方法を特定する。
関係  R を以下のように定義する：  R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).
特別なクラス  C を以下のように定義する：  u\in C\iff \psi _{C}(u).
演算  P を以下のように定義する：  u\in P(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}).
項（en:Term (logic)）は以下のように定義される：
変数と特別なクラスは項である。
P が  k 変数の演算でかつ  \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k} が項であるならば、  P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})  は項である。
以下の変換規則は、関係、特別なクラス、演算を消去する。規則 2b, 3b, 4 をサブ論理式に適用する際は、  z_{i} が論理式中の他の変数と異なるように  i を選ぶ。規則はサブ論理式に適用できなくなるまで適用を繰り返す。 \,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,  \Delta  は項を表すものとする。
関係  R(Z_{1},\dots ,Z_{k}) を定義論理式  \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}) で置き換える。
\psi _{C}(u) を特別なクラス C の定義論理式とする。
\Delta \in C を  \psi _{C}(\Delta ) で置き換える。
C\in \Delta  を  \exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ] で置き換える
\psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}) を演算 P(Z_{1},\dots ,Z_{k}) の定義論理式とする。
\Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}) を  \psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}) で置き換える。
P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta  を  \exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ] で置き換える。
外延性の公理を用いて、  \Delta =\Gamma  を  \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ) に変換する。
定理 ―  \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}) を集合のみを量化する論理式とし、  x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m} 以外に自由変数を持たず、集合のみを量化する論理式によって定義された関係、特別なクラス、操作を含みうるものとする。すると、すべての  Y_{1},\dots ,Y_{m}, に対して以下を満たす  n-組のクラス  A がただ一つ存在する：  \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].
証明 — 
変換規則を  \phi  に適用し、関係、特別なクラス、演算を含まない等価な論理式に変換する。この論理式はクラス存在定理の仮説を満たす。したがって、すべての  Y_{1},\dots ,Y_{m}, に対して、以下を満たす n-組のクラスがただ一つ存在する：  \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].
NBGの公理化 > 集合公理

クラス存在定理に必要だった対の公理と正則性公理は、上記の通り与えられている。NBG はほかに 4 つの集合公理を含む。このうち 3 つは集合に適用されるクラス演算として扱われる。
定義. 以下が成り立てば  F は関数である F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land \,(x,z)\in F\implies y=z].集合論において、関数を定義する際に始域と終域を特定する必要はない（関数（集合論）を参照）。NBG の関数の定義では、 ZFC の定義のうち、順序類の集合を順序対のクラスに一般化したものになる。
ZFC における像、和集合、冪集合といった集合演算の定義もクラス演算に一般化される。  F によるクラス  A の像は F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\} である。 この定義は  A\subseteq Dom(F) を必要としない。クラス  A の和は  \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\} となる。クラス  A の冪集合は  {\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\} となる。クラス存在定理の拡張版はこれらのクラスの存在を含意する。置換、和集合、冪集合の各公理は、これらの操作が集合に適用したときに集合となることを含意する。
置換公理.   F が関数で  a が集合であるならば、   F による  a の像  F[a] は集合である。
 \forall F\,\forall a\,[F{\text{ is a function}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].
F[A] の定義に必要条件  A\subseteq Dom(F) がなければ、以下の証明に用いる強い形の置換公理となる。
定理（NBGの 分出公理） ―  a が集合であり、  B が  a の部分クラスであるならば、  B は集合である。
証明 — 
クラス存在定理で、恒等関数を Bに制限する：  I{\upharpoonright _{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}。 I{\upharpoonright _{B}} による  a の像は  B であるので、置換公理から  B は集合であることが導かれる。 a\subseteq Dom(I{\upharpoonright _{B}}). ではなく  Dom(I{\upharpoonright _{B}})=B\subseteq a であるため、この証明は  a\subseteq Dom(F) を用いない像の定義に依存する。
和集合の公理.   a が集合であるならば、  \cup a を含む集合が存在する。 \forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\implies x\in b\,].
冪集合公理.   a が集合であるならば、  {\mathcal {P}}(a) を含む集合が存在する。
定理 ―  a が集合であるならば、  \cup a と  {\mathcal {P}}(a) は集合である。
証明 — 
和集合の公理は  \cup a が集合  b の部分クラスであることを主張するので、分出公理から  \cup a が集合であることが導かれる。同様に、冪集合の公理はは  {\mathcal {P}}(a) が集合  b の部分クラスであることを主張するので、分出公理から  {\mathcal {P}}(a) が集合であることが導かれる。
無限公理.   a のすべての元  x に対して、  x が  y の真部分集合である  a の元  y が存在するような、空でない集合  a が存在する。
無限公理と置換公理から空集合の存在が導かれる。クラス存在公理に関する議論において、空クラス  \emptyset  の存在は示されている。ここで  \emptyset  が集合であることを示そう。関数  F=\emptyset  と、無限公理で与えられる集合  a を仮定する。置換公理より、  F による  a の像は、  \emptyset  と等しい集合である。
NBG の無限公理は ZFC の無限公理から含意される：  \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)]。  x\subset x\cup \{x\} であるため、 ZFC 公理の論理積の第1項、つまり  \emptyset \in a が NBG 公理の論理積の第1項を含意する。ZFC 公理の論理積の第2項、すなわち  \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a) が NBG 公理の論理積の第2項を含意する。  NBG の無限公理から ZFC の無限公理を証明するには、ほかの NBG 公理が必要である（弱い選択公理を参照）。
NBGの公理化 > 大域選択公理

クラスの概念により、NBG では ZFC より強い選択公理が許容される。 選択関数は、空でない集合の集合  s 上の関数  f であり、  x\in s で  f(x)\in x を満たすものとして定義される。ZFC の選択公理は、すべての空でない集合の集合に対する選択関数が存在することを述べる。 大域選択関数はすべての空でない集合のクラス上で定義された関数  G であり、すべての空でない集合  x に対して  G(x)\in x を満たすものとして定義される。大域選択公理は大域選択関数が存在することを述べる。この公理は ZFC の選択公理を含意する。なぜならば空でない集合のすべての集合  s に対して、  G\vert _{s} （  G の  s への制限）は  s の選択関数となるからである。1964年、ウィリアム・B・イーストン (William B. Easton) は強制法を使い、選択公理と NBG の大域選択公理以外のすべての公理を満たすモデルを構築することによって、大域選択公理が選択公理よりも強いことを証明した。 ZFC の選択公理がどの集合も整列可能であることと等価であるのと同様に、大域選択公理はどのクラスも整列可能であることと等価である。
大域選択公理.  すべての空でない集合から 1 つずつ元を選択できる関数が存在する。
歴史 > フォン・ノイマンの1925年の公理系

フォン・ノイマンは自身の公理系に関する入門的な論文を1925年に発行した。1928年、彼は公理系の詳細な説明を与えた。 フォン・ノイマンの公理系は、関数と引数という原始概念（英語版）の 2 領域に基づく。これらの領域は重複する—両方の領域に属するものは引数関数と呼ばれる。関数が NBG におけるクラスに対応し、引数関数が集合に対応する。フォン・ノイマンの原始的演算は、a(x) ではなく [a, x] で表される関数適用である。ここで a は関数、 x は引数を表す。この演算から引数が生成される。フォン・ノイマンはクラスと集合を、A と B の2値の引数関数を使って定義した。また、 [a, x] ≠ A ならば x ∈ a であると定義した。
集合論におけるフォン・ノイマンの仕事はゲオルグ・カントールの論文やエルンスト・ツェルメロの1908年の集合論公理、アドルフ・フレンケルとトアルフ・スコーレムによって独立に発表された1922年のツェルメロ集合論への批評によって広められた。 フレンケルとスコーレムはいずれも、ツェルメロの公理は集合 {Z0, Z1, Z2, ...} の存在を証明できないと指摘していた。ここで、 Z0 は自然数の集合であり、 Zn+1 は Zn の冪集合である。そして彼らはそのような集合の存在を保証する置換公理を導入した。 しかし、彼らはこの公理を適用しようとは思わなかった：フレンケルは「置換公理は『一般集合論』には強すぎる」とする一方、「スコーレムだけは置換公理を『導入できうる』と書いていた」と述べている。
フォン・ノイマンはツェルメロ集合論の問題点に対処し、解決策を与えた：
順序数の理論
問題点：ツェルメロ集合論に置換公理が不足しているため、カントールの順序数の理論をツェルメロ集合論内で展開できない。
解決策： フォン・ノイマンは ∈-で整列可能な集合を用いて順序数を定義することで、カントールの理論を復活させ、 そしてキーとなる定理、すなわちすべての順序付け可能な集合が順序数について順序同型（英語版）であるような順序数に関する定理を、置換公理を用いて証明した。 フレンケルとスコーレムとは対照的に、フォン・ノイマンは集合論における置換公理の重要性を強調していた：「実際、この公理なしに順序数の理論は不可能だと思う」
集合としては大きすぎるクラスを特定する基準
問題点：ツェルメロはそのような基準を示していなかった。ツェルメロ集合論では、パラドックスを引き起こす大きなクラスが排除されていたが、フレンケルとスコーレムが指摘したような、多くの集合が除外されていた。
解決策：フォン・ノイマンは基準を導入した：クラスが集合として大きすぎるのは、クラスからすべての集合のクラス V への全射が存在するときで、かつそのときに限る。フォン・ノイマンはこのような大きなクラスを元に持つ任意のクラスを許可しないことで、集合論的パラドックスを回避できることを知っていた。この制限と彼の基準を組み合わせることで、サイズ制限公理を得た： クラス C はどのクラスの元でもないのは、 C から V への全射が存在するとき、またそのときに限る。
有限公理化
問題点：ツェルメロは彼の分出公理において、「定値命題関数」の不正確な概念を用いていた。
解決策：スコーレムはのちに ZFC で用いられる分出公理図式を導入し、フレンケルは等価な解決策を用いた。 しかし、ツェルメロは「彼自身の観点では、集合論の土台となる自然数の概念をも暗に巻き込む部分があるため」いずれの方法も拒否した。 フォン・ノイマンは「定値命題関数」の概念を有限個の公理から構築できる関数で定式化することにより、公理図式を除外した。これによって、フォン・ノイマンの理論は有限公理化できるようになった。 1961年、リチャード・モンタギューは ZFC が有限公理化できないことを証明した。
正則性公理
問題点：ツェルメロ集合論は空集合と無限集合から議論を始め、対の公理の反復、和集合、冪集合、分出公理、選択公理によって新たな集合を得る。しかし、この集合論では集合をこれらの形に制限していない。例えば、集合 x が x ∈ x を満たすような、整礎でない集合の存在が許容される。
解決策：フレンケルはこうした集合を除外するために公理を導入した。フォン・ノイマンはフレンケルの公理を分析し、「厳密な定式化」がなされていないと大雑把に指摘した：「集合に加えて ... その存在は公理に対して絶対必要になる、これ以上に集合はなく。」 フォン・ノイマンは正則性公理を整楚でない集合を除外する方法として提案したが、ツェルメロ公理系には取り入れられなかった。1930年になって初めて、ツェルメロは正則性公理を取り入れた公理系を発表した。
歴史 > フォン・ノイマンの1929年の公理系

1929年、フォン・ノイマンは NBG につながる公理を含む論文を発表した。この論文はサイズ制限公理の無矛盾性に対する懸念がきっかけだった。この公理をフォン・ノイマンは「たくさん、実際には多すぎる」と述べている。また、分出公理と置換公理は整列可能定理を含意するほか、濃度が V より小さいどのクラスも集合であることをも含意する。フォン・ノイマンは後者について、カントール集合論を越えたと考え、以下のように結論づけた：「ゆえに（公理の）無矛盾性は、それが問題にならないかだけではなく、必須となるカントールのフレームワークを越えない集合論の公理化となるかを議論しなければならない。」
フォン・ノイマンは無矛盾性の調査を1929年の公理系を導入することで始めた。この公理系はサイズ制限公理以外は1925年の公理系すべてを含む。彼は、サイズ制限公理は、そこから得られる 2 つの結果である、置換公理と選択公理に置き換えた。フォン・ノイマンの選択公理は以下の通り：「どの関係 R も、 R と同じ定義域の写像を部分クラスとしてもつ。」
S をフォン・ノイマンの1929年の公理系とする。フォン・ノイマンは公理系 S + Regularity （S と正則性公理からなる）を導入し、自身の1925年の公理系が S と相対的に無矛盾であることを示した。また、以下を証明した：
S が無矛盾であれば、 S + Regularity は無矛盾である。
S + Regularity はサイズ制限公理を含意する。Since これは1925年の公理系のうち S + Regularity にない唯一のものであるため、 S + Regularity は自身の1925年の公理系の公理すべてを含意する。
これらの結果は以下の内容を含意する： S が無矛盾であれば、フォン・ノイマンの1925年の公理系は無矛盾である。証明： S が無矛盾であれば、 S + Regularity は無矛盾である（結果 1）。背理法を用いて、1925年の公理系が矛盾である、つまり1925年の公理系が矛盾を含意すると仮定する。 S + Regularity は1925年の公理系を含意する（結果 2）ので、 S + Regularity も矛盾を含意する。しかし、これは S + Regularity の無矛盾性に反する。したがって、 S が無矛盾であれば、フォン・ノイマンの1925年の公理系も無矛盾である。
S は彼の1929年の公理系であるので、フォン・ノイマンの1925年の公理系は（カントール集合論に近い）1929年のものと相対的に無矛盾である。カントール集合論と1929年の公理系の大きな違いは、クラスとフォン・ノイマンの選択公理である。公理系 S + Regularity はベルナイスとゲーデルによって修正され、NBG と等価な公理系となっていった。
歴史 > ベルナイスの公理系

1929年、パウル・ベルナイスはフォン・ノイマンの新しい公理系を、クラスと集合を原始概念とすることで修正し始めた。ベルナイスは自身の仕事を 1937年から1954年にかけて、一連の論文として発表した。 ベルナイスは以下のように述べている：
フォン・ノイマンの公理系を修正する目的は、元のツェルメロ公理系の構造に近いまま維持するほか、論理学者に馴染みのあるとの集合論的概念を同時に活用するためである。見ての通り、この仕事によって、注目すべき簡略化ができた。
ベルナイスは集合とクラスを2-ソート論理で扱い、2 つの原始的帰属概念を導入した：一つは集合の関係で、もう一つはクラスの関係である。これらの原始概念によって、ベルナイスはフォン・ノイマンの1929年の公理系を簡略化した。ベルナイスはまた、その公理系に正則性公理を導入した。
歴史 > ゲーデルの公理系 (NBG)

1931年、ベルナイスは自身の集合論に関してクルト・ゲーデルに手紙を送った。ゲーデルはベルナイスの理論を、集合をすべてクラスで置き換え、1ソートで1つの原始概念（帰属関係）からなる理論に簡略化した。ゲーデルはまた、ベルナイスの公理のいくつかを弱め、フォン・ノイマンの選択公理を大域選択公理と等価なものに置き換えた。 ゲーデルは、1940年の大域選択と一般連続体仮説の相対的無矛盾性に関するモノグラフの中で、自身の公理系を使った。
ゲーデルが自身のモノグラフの中で NBG を用いた理由はいくつか考えられる：
ゲーデルは数学的理由を与えた—NBGの大域選択公理から、より強い無矛盾な定理が導かれる：「この強い形式の（選択）公理は、他の公理に対して無矛盾であれば、当然弱い形式についての無矛盾性を含意する。」
ロバート・ソロヴェイ（英語版）は以下のように予想した：「私が思うに、彼（ゲーデル）は公理的集合論内でモデル理論の基本を発展させることに関連する、細部の議論を避けたかった。」
ケネス・キューネンはゲーデルが議論を避けた理由を以下のように考えている：「L （構成可能集合）に関する組み合わせ論的アプローチもたくさんある、例えば ... （1940年のモノローグの中でゲーデルは）論理学者以外に説明することを試みていた。 ... このアプローチは L を扱う際に、論理の痕跡を残さないというメリットがある。」
チャールズ・パーソンズ (Charles Prsons) はゲーデルの選択に哲学的理由を考えた：「この（「集合の特徴」が集合論の原始概念であるという）見方は、ゲーデルの（モノグラフのように）クラス変数をフレームワークとする理論の選択に反映されているかもしれない。」
ゲーデルの成果と詳細な説明により、その後20年間にわたって NBG が発展した。 1963年、ゲーデルの作り上げたNBGの無矛盾性証明を援用して、ポール・コーエンはZFの独立性を証明した。 その後、 ZFC が NBG よりも一般的になった。これにはいくつかの要因があり、その一つは NBG において強制法を扱うには追加の仕事が必要だったためである。 これに関するコーエンの1966年の強制法の発表では、ZFが用いられた。 他の要因としては、NBG が ZFC の保存拡大であることが証明されたからである。
NBG, ZFC, MK

NBG は論理的に ZFC と等価ではない。なぜなら、NBG の言葉は表現的であるからである。NBG ではクラスに関して表現できる一方、ZFC ではできない。しかし集合に関しては、 NBG も ZFC で同じ内容の表現を含意する。したがって、NBG は ZFC の保存拡大である。 NBG は ZFC が含意しない定理を含意するが、 NBG は保存拡大であるため、これらの定理は真のクラスに関するものでなければならない。例えば、大域選択公理は 真のクラス V は整列可能であり、どの真のクラスも V と一対一対応することを含意するが、これは NBG の定理である。
保存拡大の帰結の一つは、 ZFC と NBG が無矛盾性同値であることである。 この証明には爆発原理（矛盾からは、何でも証明可能である）を用いる。 ZFC か NBG のいずれかが無矛盾でないと仮定する。すると無矛盾でない理論は集合に関する、矛盾 する表現 ∅ = ∅ かつ ∅ ≠ ∅ を含意する。保存拡大の特性から、もう一方の理論もこれらの表現を含意する。したがって、こちらも無矛盾ではない。ゆえに、 NBG はより表現的であるものの、 ZFC と無矛盾性同値なのである。この結果とフォン・ノイマンの1929年の相対的無矛盾性の証明を合わせると、彼の1925年の公理系にサイズ制限公理を加えたものが ZFC と無矛盾性同値であることが含意される。ZFCはカントール集合論のフレームワークに含まれるため、この事実は完全にこの強力な公理の相対的無矛盾性に関するフォン・ノイマンの懸念を払拭するものである。
NBG は ZFC の保存拡大であるものの、定理は NBG のほうが ZFC より短くエレガントに証明可能である（逆もしかり）。この側面について知られている結果の調査結果は Pudlák 1998 を参照。
モース＝ケリー集合論は、量化子の範囲がクラスである論理式を含むクラス内包公理図式を有する。MK は NBG の無矛盾性を証明できるため、 NBG より強力な理論である一方、ゲーデルの第二不完全定理から NBG は NBG自身の無矛盾性を証明できない。
NBG に関する存在論的な議論や哲学的な問題、特に ZFC と MK との比較については、Potter 2004の Appendix C を参照。
NBG, ZFC, MK > モデル

ZFC、NBG、MKは累積的階層 Vα および 構成可能階層 Lα の言葉で表現可能なモデルを持つ。 V は到達不能基数 κ を含み、 X が X ⊆ Vκ であると仮定して、 Def(X) は X のパラメータによる1次の定義可能部分集合のクラスを表すとする。記号として " (X,\in )" は領域  X と関係  \in  のモデルを表し、 " \models " は充足関係（en:Structure_(mathematical_logic)#Satisfaction_relation）を表すものとする： \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{x\mid x\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\}:\phi {\text{ is a first-order formula and }}y_{1},\ldots ,y_{n}\in X{\Bigr \}}.このとき：
(Vκ, ∈) と (Lκ, ∈) は ZFC のモデルである。
(Vκ, Vκ+1, ∈) は MK のモデルであり、ここで Vκ はモデルの集合からなり、 Vκ+1 はモデルのクラスからなる。 MK のモデルは NBG のモデルであるため、このモデルも NBG のモデルである。
(Vκ, Def(Vκ), ∈) は、NBG の大域選択公理を ZFC の選択公理に置き換えた、メンデルソン版の NBG のモデルである。 (Vκ, ∈) は ZFC のモデルであるため、ZFC 公理はこのモデル内で真である。特に、ZFC の選択公理が成り立つが、 NBG の大域選択公理は成り立たないかもしれない。 存在を主張するクラスは1次の定義で定義できることから、NBG のクラス存在公理はこのモデル内で真である。例えば、  E が以下のように定義されるため、帰属公理が成り立つ：  E=\{x\in V_{\kappa }:(V_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.
(Lκ, Lκ+, ∈) （κ+ は κ の後続基数）は NBG のモデルである。 NBG のクラス存在公理は (Lκ, Lκ+, ∈) の中で真である。例えば、  E が以下のように定義されるため、帰属公理が成り立つ：  E=\{x\in L_{\kappa }:(L_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.ゆえに、 E ∈ 𝒫(Lκ) である。一般連続体仮説が L の中で真というゲーデルの証明において、ゲーデルは 𝒫(Lκ) ⊆ Lκ+ であることを証明した。 したがって、 E ∈ Lκ+ であり、ゆえに (Lκ, Lκ+, ∈) の中で帰属公理は真である。同様に、ほかのクラス存在公理も真である。（順序数のクラスを構成可能集合に移す）ゲーデルの関数を κ 未満の順序数に制限することによって Lκ が整列可能であるため、大域選択公理は真である。したがって、 (Lκ, Lκ+, ∈) は NBG のモデルである。
圏論

NBG の基本概念体系は「大きい対象」をパラドックスのおそれなしに議論する足場を提供する。例えば、圏論の進展において、「大きい圏」は対象と射が真のクラスをなす圏として定義される。一方、「小さい圏」は対象と射が集合の要素になる圏である。このように、NBG で大きな圏を扱えるため、「すべての集合の圏」や「すべての小さい圏の圏」をパラドックスのおそれなしに議論できる。
しかし、NBG は「すべての圏の圏」を扱えない。大きな圏は「すべての圏の圏」の要素となりえて、かつ NBG は真のクラスが何かの要素になることを許容していないためである。このような「圏」を形式的に議論するための基本概念体系の一つの拡張がクラスの集まりとしての複合体(conglomerate)である。このとき「すべての圏の圏」は、すべての圏からなる複合体を対象全体とし、A と B が対象全体を動くときに A から B へのすべての射からなる複合体を射の全体として定義される。 圏論のためにクラスを集合と同様の基本概念体系に含めるのが妥当であるのかどうかについては、 Muller 2001 を参照せよ。
NBG 集合論を導いた手法の変遷
ジョン・フォン・ノイマン
パウル・ベルナイス
クルト・ゲーデル、1926年頃
ヘドロ!!

『ヘドロ!!』は、恐悪狂人団の1stアルバム。LPが限定1枚、同内容のカセットも極少数生産だった為、幻の作品となっている。
解説

1983年に限定1枚でLP 、限定30本でカセットが発売され、翌1984年に新装ジャケットにて限定30本でカセットが再発された。
限定1枚のLPは、三軒茶屋のFUJIYAMA店内に長年展示されていたが、2008年に殺害塩化ビニール公式サイトにてオークションにかけられ、44万円にて落札された。
LPが限定1枚だった理由は当時中学生だった為、資金不足で1枚しか制作できなかったらしい。
クレイジーはボーカルではなくベースを担当しており、ボーカルの成人は猛毒でドラム担当のチャクラ。このメンバーが後に猛毒となる。
収録曲

絶望
ギターソロ
チンピラ・ペテン師
アレルギー
ゲロハゲ・マネー
奴らはボンバー
笑点
笑点のテーマのカバー。
Mr.プロ野球つぎはぎ君
第2試合、ヨットマンvs.ナイトウ君
笹川会長の讃歌
日本船舶振興会・財団法人日本防火協会の当時会長だった、笹川良一が出演していたCMが元ネタ。
笹川会長讃歌
Daican大爆発!!
参加ミュージシャン

Sakaba - ベース
Jex - ドラムス
クズ - ギター
成人 - ボーカル
中村良平

中村 良平（なかむら りょうへい、1953年 - ）は、都市経済、地域経済を専門とする日本の経済学者、岡山大学社会文化科学研究科教授。
経歴

香川県高松市に生まれ、幼い時期は岡山市、新居浜市、丸亀市などに住んだ。香川県立高松高等学校を卒業し、補習科を経て京都大学に進んだ。
1977年に京都大学工学部衛生工学科を卒業し、筑波大学大学院社会工学研究科に進んで都市・地域計画学を専攻し、1984年に「Econometric analysis of urban agglomeration economies and amenity values（都市における集積の経済とアメニティ価値に関する計量経済分析）」により筑波大学から学術博士を授与された。これは、社会工学研究科として最初の博士号であった。
1984年、近畿大学商経学部専任講師となり、1987年に助教授に昇任した後、1988年に岡山大学助教授に転じた。1992年から1993年にかけてカリフォルニア大学バークレー校客員研究員となった後、1994年に教授に昇任した。その後は、組織再編にともない、文化科学研究科所属を経て、2004年に社会文化科学研究科所属となった。また、2006年には、グラスゴー大学客員研究員となっている。
この間、2001年に日本不動産学会論文賞を受賞し、2013年から2015年にかけて応用地域学会会長を務めた。
おもな著書 > 単著

いま都市が選ばれる：競争と連携の時代へ、山陽新聞社、1995年
まちづくり構造改革：地域経済構造をデザインする、日本加除出版、2014年
おもな著書 > 共著

（田淵隆俊との共著）都市と地域の経済学、有斐閣、1996年
2008年の新版では、黒田達朗が共著者に加わっている。
（江島由裕との共著）地域産業創生と創造的中小企業、大学教育出版、2004年
（大西隆、小田切徳美、安島博幸、藤山浩との共著）集落再生：「限界集落」のゆくえ：これで納得!、ぎょうせい、2011年
おもな著書 > 共訳

（フィリップ・マッカン著、黒田達朗、徳永澄憲との共訳）都市・地域の経済学、日本評論社、2008年
富岡次郎

富岡 次郎（とみおか じろう、1927年（昭和2年）4月1日 - ）は、日本の歴史学者、京都大学名誉教授。西洋史、特に中世英国史が専門だが、日本近代労働史にも関心がある。
来歴

兵庫県生まれ。1952年京都大学西洋史学科卒、同大学院、1966年「イギリス農民一揆の研究」で、京都大学より文学博士の学位を取得。京都大学人文科学研究所助手、京都大学教養部講師、助教授、教授、1992年定年退官、名誉教授、京都学園大学教授。
妻・富岡和子は、農学博士、奈良教育大学教授。長男・富岡淳は、工学博士・早稲田大学理工学部教授。
著書

『イギリス農民一揆の研究』創文社 1965
『看護婦現代史」医学書院 看護教養新書 1966
『日本医療労働運動史』勁草書房 1972
『ゼネストの研究』三一書房 1978
『イギリス社会主義運動と知識人』三一書房 1980
『現代イギリスの移民労働者 イギリス資本主義と人種差別』明石書店 世界差別問題叢書 1988
『イギリスにおける移民労働者の住宅問題』明石書店 世界人権問題叢書 1992
『イギリスにおける人種と教育』明石書店 世界人権問題叢書 1998
著書 > 共著

『資本主義成立の研究』飯沼二郎共著 未来社 1960
『看護婦』片岡曻、園部逸夫共著 三一新書 1961
参考

『人事興信録』1995
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全般:  VIAF 
国立図書館:  日本
レバンテUD

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: 女子サッカーチームについては「レバンテUD (女子)」をご覧ください。
レバンテ・ウニオン・デポルティーバ, S.A.D.（Levante Unión Deportiva, S.A.D. (スペイン語: [leˈβantewˈnjon depoɾˈtiβa], [ʎeˈvant uˈnjo espoɾˈtiva])）は、スペイン・バレンシア州バレンシアに本拠地を置くサッカークラブ。
1909年9月9日に設立され、現在はセグンダ・ディビシオンに所属している。ホームスタジアムはエスタディオ・シウダ・デ・バレンシア。
歴史 > 初期 (1909-1935)

1909年、ラ・マルバリョーサのレバンテ海岸から名を取り、レバンテFC（英語版）として設立された (2009年9月9日に創立100周年記念)。レバンテFCはバレンシアのサッカークラブの草分け的存在のひとつである。現在のローカルライバルであるバレンシアCFはまだ誕生していなかったが、バレンシアではカバニャルFCが1903年から活動していた。グラウンド所有者である香水業者の計画で、造船所近くのラ・プァトゥヘタでカバニャルFCとの初試合が行われた。次に使われたグラウンドも湾岸区域で、クラブは徐々に労働者階級と結びつけられて考えられるようになっていった。1919年には同年に設立されたバレンシアCFと初対戦し、0-1で敗れた。この試合はアルヒロス地区に完成した新しいグラウンドのお披露目試合であった。1928年にはバレンシア州選手権で初優勝し、クラブ初のタイトルを獲得した。
歴史 > ヒムナスティコFC

パトロナート・デ・ラ・フベントゥ・オブレラ、ウニベルシタリオFCとしてプレーしていたクラブが改名し、1909年にはヒムナスティコFCが誕生した。スペイン国王のアルフォンソ13世の庇護を受け、1920年までにレアル・ヒムナスティコCFと改名した。ヒムナスティコは1920年にバレンシア州選手権で決勝に進出したが、決勝は試合そのものが行われなかった。1931年にはスペイン第二共和政が成立し、クラブ名称からレアルの単語が抜け落ちた。1934-35シーズンのセグンダ・ディビシオン（2部）は10チームから24チームに拡大され、レバンテFCとヒムナスティコは揃ってデビューした。1935年、レバンテFCはバレンシア州、ムルシア州、アンダルシア州のチームが集って行われたレバンテ海岸選手権で優勝した。さらにコパ・デル・レイではバレンシアCFとFCバルセロナを相次いで破って準決勝に進出したが、準優勝したCEサバデルに敗れた。
歴史 > コパ・デ・ラ・エスパーニャ・リブレ

スペイン内戦中、レバンテFCとヒムナスティコはメディテラニアン・リーグ（地中海リーグ）に参加し、それぞれ5位と6位であった。このリーグに参加したチームはコパ・デ・ラ・エスパーニャ・リブレ（フリー・スペイン・カップ）にも参戦した。この大会はリーグの上位4クラブが参加するように意図されたものであったが、FCバルセロナがメキシコとアメリカ遠征に出発したため、結果としてレバンテFCが代わりに出場することになった。準決勝はレバンテFCとバレンシアCFとで行われ、1937年7月18日にモンジュイックで行われたバレンシア・ダービーはバレンシアCFの勝利に終わった。
歴史 > 2つのクラブの合併

スペイン内戦中にレバンテFCのグラウンドが破壊されたが、選手たちは無傷で残った。それと対照的に、ヒムナスティコはグラウンドは無事であったが選手の多くを失った。この結果、レバンテFCとヒムナスティコの2クラブは1939年に合併し、UDレバンテ＝ヒムナスティコとして再出発を切った。合併の2年後にはヒムナスティコの名を外してレバンテUDと名を変え、ホームのユニフォームカラーにはアスルグラーナ（青とえんじ）と呼ばれるヒムナスティコのカラーが使用された。この名称とユニフォームカラーは現在も変わらず残っており、アウェーのユニフォームカラ―にはレバンテFCが当初使用していた白と黒が使われている。
歴史 > 初のプリメーラ参戦

プリメーラ・ディビシオン（1部）への昇格は1960年代まで待たねばならなかった。1962-63シーズンはセグンダ・ディビシオンのグループ2を2位で終え、昇格プレーオフではデポルティーボ・ラ・コルーニャを2試合合計4-2で破って初のプリメーラ・ディビシオン昇格を決めた。1963-64シーズンはライバルのバレンシアCFに2試合とも勝利し、10位で初のシーズンを終えた。1964-65シーズンはFCバルセロナにホームで5-1と大勝したが、リーグ戦14位となり、昇降格プレーオフでCDマラガに敗れてセグンダ・ディビシオン降格となった。1965-66シーズンから約40年間はセグンダ・ディビシオンかテルセーラ・ディビシオン（1976-77シーズン以前は3部、1977-78シーズン以降は4部）またはセグンダ・ディビシオンB（3部、1977年に新設）で過ごし、この間にセグンダ・ディビシオンBで3回、テルセーラ・ディビシオンで1回優勝した。
歴史 > 2度目のプリメーラ参戦以降

2003-04シーズンにはセグンダ・ディビシオンで優勝し、49年ぶりのプリメーラ・ディビシオン昇格を果たしたが、1シーズンでセグンダ・ディビシオン降格となった。2005-06シーズンは3位となり、プリメーラ・ディビシオンに再昇格した。2006-07シーズンのホームでのバレンシア・ダービーは、リガ・ムスタファの2得点やサルバ・バジェスタとローラン・クルトワの得点で4-2と快勝した。2007-08シーズンは開幕から低迷し、7節終了後にアベル・レシーノ監督を解任したが、開幕10戦で1分9敗（3得点23失点）という有様であった。2008年1月には経営難による給料未払いが発覚し、同月の移籍期間にはサヴィオ、クリスティアン・リガノ、マルコ・ストラーリなど主力5選手が放出された。選手たちは給料未払いの一点について抗議し、デポルティーボ・ラ・コルーニャ戦の試合開始直後には（抗議の意味合いから）何秒間か動くことを拒否した。レアル・マドリード戦後にもストライキの可能性を示唆したが、結局ストライキは行われず、さらなる下部リーグへの降格処分も免れた。2節から最下位を動かず、4試合を残してセグンダ降格が決まった。
2008-09シーズンはセグンダでも最低クラスの年間予算700万ユーロであったが、2008年夏に就任したルイス・ガルシア・プラサ監督は及第点の8位に導いた。2009年春には会社倒産法を適用して経営再建に踏み出し、クラブ創設100周年の2009-10シーズンには、2010年6月13日のCDカステリョン戦(3-1)に勝利してプリメーラ・ディビシオン昇格を決めた。最終節はレアル・ベティスに0-4で大敗したが、ベティスはレバンテUDと同勝ち点の4位に終わっている。2010-11シーズン中には8戦連続無敗というプリメーラでのクラブ記録を打ち立て、エースのフェリペ・カイセドの活躍などもあって14位で残留を果たした。21節から32節までの12試合は8勝3分1敗で勝ち点27を稼ぎ、この期間に限ればFCバルセロナに次ぐ成績を残している。
2011-12シーズンはクラブの総予算がプリメーラ最少の2100万ユーロであり、選手年俸の総額が約800万ユーロ（約8億4000万円）という低額であった。フアン・イグナシオ・マルティネス監督は、キーパーのグスタボ・ムヌア、ディフェンスのハビ・ベンタやセルヒオ・バジェステロス、アタッカーのフアンルなど、30代のベテラン選手をチームの中心に据え、前任のルイス・ガルシア監督が目指した堅守速攻のスタイルを完成させた。2011年9月19日、ホームのシウタット・デ・バレンシアでレアル・マドリードから勝利を挙げると、10月2日にはレアル・ベティスに勝利してクラブ史上初となる首位（タイ）に浮上し、10月23日にはビジャレアルCFを3-0で勝利して単独首位に立った。また、8節のマラガCF戦では先発11人中9人が30代であり、平均年齢31.45歳はリーガ・エスパニョーラの先発メンバーにおける最高齢記録を更新した。その後、9試合未勝利という期間もあったが、最終的には6位でリーグ戦を終え、クラブ史上初めてUEFAヨーロッパリーグ出場権を獲得した。
2012-13シーズンは、初参戦したUEFAヨーロッパリーグでベスト16に進むなどの結果を残したが、リーグ戦では11位に終わり二年連続のUEFAヨーロッパリーグ出場は逃したものの残留となった。2013-14シーズンは正GKであったムヌアが移籍しながらも、後釜のケイロル・ナバスがリーグ最多セーブを記録して、そのシーズンのスペインプロリーグ機構のリーグ最優秀GKに選出される活躍を見せ、近年[いつから?]で最小の失点43という成績により10位で終えた。しかし2014-2015シーズンは監督であったホアキン・カパロスの退任に加え、前年の立役者であったナバスも移籍したため、序盤は降格圏に沈むなど低迷するも、2014年10月に招聘された元グラナダCF監督のルーカス・アルカラスがチームを立て直し最終的に14位で残留を果たした。そして2015-2016シーズンは序盤から下位に沈み、2015年10月に前年の残留の立役者であったアルカラス監督を解任して、ルビ新監督に立て直しを託したものの一度も降格圏から抜け出せず、2016年5月2日の第36節の対マラガCF戦に敗れると降格圏である18位以下でシーズンを終えることが確定し、2009-2010シーズン以来、7シーズンぶりのセグンダ降格が決定した。
2015-16シーズン、リーグ最終節マラガ戦に敗れ、リーグ最下位とセグンダ・ディビシオン降格が決まった。しかし、降格した2016-17シーズンにセグンダ優勝を果たし、1年でプリメーラ復帰が確定した。2017-18シーズンはシーズン早々にプリメーラ残留を決め、5月13日のFCバルセロナ戦ではエマニュエル・ボアテングのキャリア初ハットトリックなどによって5-4で大金星を挙げた。これにより、バルセロナはリーグ無敗記録が途絶え、無敗優勝は叶わなかった。