stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ナタリー・ドシー
4大大会シングルス成績

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  W  |  F  | SF | QF | #R | RR | Q# | LQ |  A  | Z# | PO |  G  |  S  |  B  | NMS |  P  | NH |
W=優勝, F=準優勝, SF=ベスト4, QF=ベスト8, #R=#回戦敗退, RR=ラウンドロビン敗退, Q#=予選#回戦敗退, LQ=予選敗退, A=大会不参加, Z#=デビスカップ/BJKカップ地域ゾーン, PO=デビスカップ/BJKカッププレーオフ, G=オリンピック金メダル, S=オリンピック銀メダル, B=オリンピック銅メダル, NMS=マスターズシリーズから降格, P=開催延期, NH=開催なし.
| 大会 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 通算成績 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 全豪オープン | A | LQ | 1R | 1R | 1R | 1R | 1R | 3R | 3R | 4R | SF | 1R | 1R | 1R | 2R | 13–13 |
| 全仏オープン | 1R | 2R | 1R | 3R | 3R | 1R | 3R | 3R | 3R | 1R | 3R | 3R | 2R | 2R | 1R | 17–15 |
| ウィンブルドン | A | 1R | 2R | 1R | 4R | 3R | 2R | 3R | 3R | 3R | 4R | 1R | 1R | 2R | 1R | 17–14 |
| 全米オープン | A | 2R | 2R | 4R | 1R | 2R | 2R | 3R | 2R | 3R | 4R | 1R | 1R | 1R | A | 15–11 |
※: 2003年全米2回戦と2004年全米3回戦の不戦敗は通算成績に含まない
2006年全豪オープンにて
パウル・オットー・ラドムスキー

ラドムスキー親衛隊少尉
パウル・オットー・ラドムスキー（Paul Otto Radomski, 1902年9月21日 - 1945年3月14日）は、ドイツの軍人。親衛隊(SS)の将校として強制収容所所長などを務めた。
初期の経歴

ラドムスキーは国家社会主義ドイツ労働者党(NSDAP)の「古参闘士」(de:Alter Kämpfer)と呼ばれる古参党員の1人で、ハンブルクの連隊ではラインハルト・ハイドリヒとも早くから仕事を共にした。NSDAPの党員番号は96,942、SSの隊員番号は2,235であった。当時の人事上の記録には、「古臭い脅迫者」(alten Schläger)との評価が残されている
ハイドリヒはしばしば「金髪の野獣」などの異名で恐れられていたが、SS隊員の中ではラドムスキーこそ最も残虐な男であろうと噂されていたという。ラドムスキー個人に関する記録によれば、親衛隊少佐となったラドムスキーはキエフ付近に設置されたザクセンハウゼン強制収容所の付属収容所ジレッツ強制収容所（英語版）に所長として赴任したが、軽微な規則違反であろうとも厳罰に処し、恐怖による支配を試みたという。多くの場合は独断で銃殺刑ないし鞭打ち刑を加え、この手法は次の任地であるハイダリ強制収容所（英語版）でも変わらなかった。1943年11月6日に赤軍がキエフが占領し、収容所が破られるまでラドムスキーは所長として勤務を続けた。
ハイダリ収容所所長

1943年11月28日、ラドムスキーはギリシャ・アテネ近くのハイダリ強制収容所（英語版）に所長として赴任した。なお、前任者のルディ・トレプテ軍曹(Rudi Trepte)と2名のギリシャ語通訳はゲシュタポによって逮捕されているが、その理由は現在でも明らかになっていない。
ラドムスキー着任後、収容者は日曜日を除いて1日4時間2シフトの体制で労働を割り当てられた。収容者らは100人ごとのグループに分けられ、各グループの責任者は古いローマ軍の役職名から百人隊長と呼ばれた。収容者は日々、穴を掘っては埋めたり、壁を立てては破壊したりを繰り返すことを強いられていた。ラドムスキーは単に収容者の士気を破る為だけに、これらの生産的目的を一切廃した労働を課したのである。
12月7日、収容所における最初の処刑が実行された。レビという名のギリシャ系ユダヤ人が「逮捕時に逃亡を図った」として、ラドムスキーの独断で処刑されたのである。この処刑の目的は他の収容者に対する見せしめと警告の意味合いがあったとされている。戦後の心理学的研究によれば、この処刑が「収容者を絶え間ない恐怖に晒される生活環境に置いていた」という。ラドムスキー着任後の1年間でおよそ1,800名が処刑され、また300名がアテネのゲシュタポ支部によって拷問を受けて死亡した。これらの中には30名の女性、104名の病人、230名の学生が含まれる。
1944年2月、酒に酔って副官を射殺しかけた為に所長職を解任された。さらに親衛隊中尉への降格と6ヶ月の懲役も言い渡されている。正式な解任は1944年4月15日に行われたが、2月27日から後任者カール・フィッシャー（Karl Fischer）中尉が事実上の所長として勤務を始めている。
戦後の消息は長らく不明とされていたが、2005年にハンブルク検察(Staatsanwaltschaft Hamburg)が調査を行った結果、ラドムスキーが1945年3月14日にハンガリーのセーケシュフェヘールヴァール近くで殺害されていたことが判明した。
若年寄

若年寄（わかどしより）とは
江戸幕府の職名。老中に次ぐ重職。本項で詳述する。
幕府と同様に、一部の諸藩に置かれた役職名。本項では簡単に触れる。
若年寄の語感から、俗に「年齢の割に老けた外見の男性」あるいは「若いのに年寄りのような（と考えられている）趣味または考えを持つ者」の意味として使われることがある。
江戸幕府の若年寄

全国支配の担当である老中に対し、旗本や御家人の支配を軸とする将軍家の家政を担当した。
寛永10年（1633年）に3代将軍徳川家光が、松平信綱・堀田正盛・三浦正次・阿部忠秋・太田資宗・阿部重次の側衆6名を日常の雑務を扱う六人衆としたことを嚆矢とする。このうちの4名がその後老中に昇進したためこの制度は慶安2年（1649年）に廃止され、その職掌は老中に移管された。これが寛文2年（1662年）、次の4代将軍徳川家綱のときに若年寄として復活した。若年寄は通常4人を定員とし、小禄の譜代大名から選任された。老中格・老中・御側御用人などに出世するための経験を積むことができる役職として羨望された。
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川家光時代

松平信綱（1633年 - 1635年）
阿部忠秋（1633年 - 1635年）
堀田正盛（1633年 - 1635年）
阿部重次（1633年 - 1638年）
太田資宗（1633年 - 1638年）
三浦正次（1633年 - 1639年）
土井利隆（1635年 - 1638年）
酒井忠朝（1635年 - 1638年）
朽木稙綱（1635年 - 1649年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川家綱時代

久世広之（1662年 - 1663年）
土屋数直（1662年 - 1665年）
土井利房（1663年 - 1679年）
永井尚庸（1665年 - 1670年）
堀田正俊（1670年 - 1679年）
松平信興（1679年 - 1682年）
石川乗政（1679年 - 1682年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川綱吉時代

堀田正英（1681年 - 1685年）
稲葉正休（1682年 - 1684年）
秋元喬知（1682年 - 1699年）
内藤重頼（1684年 - 1685年）
松平忠周（1685年）
太田資直（1685年 -　1686年）
稲垣重定（1685年 -　1689年）
大久保忠増（1687年 - 1688年）
三浦明敬（1689年）
山内豊明（1689年）
松平信孝（1689年 - 1690年）
内藤政親（1690年 - 1694年）
加藤明英（1690年 - 1711年）
松平正久（1694年 - 1696年）
米倉昌尹（1696年 - 1699年）
本多正永（1696年 - 1704年）
井上正岑（1699年 - 1705年）
稲垣重富（1699年 - 1709年）
永井直敬（1704年 - 1711年）
久世重之（1705年 - 1713年）
大久保教寛（1706年 -　1723年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川家宣・家継時代

鳥居忠英（1711年 - 1716年）
水野忠之（1711年 - 1714年）
大久保常春（1713年 - 1728年）
森川俊胤（1714年 - 1717年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川吉宗時代

石川総茂（1717年 - 1725年）
松平乗賢（1723年 - 1735年）
水野忠定（1723年 - 1748年）
本多忠統（1725年 - 1750年）
太田資晴（1728年 - 1734年）
小出英貞（1732年 - 1744年）
西尾忠尚（1734年 - 1745年）
板倉勝清（1735年 - 1760年）
戸田氏房（1744年 - 1758年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川家重時代

加納久通（1745年 - 1748年）
堀直旧（1745年 - 1748年）
三浦義理（1745年 -　1749年）
堀田正陳（1745年 - 1751年）
秋元凉朝（1747年）
小堀政峯（1748年 - 1751年、1756年 - 1760年）
小出英持（1748年 - 1767年）
松平忠恒（1748年 - 1768年）
酒井忠休（1749年 - 1761年、1761年 - 1787年）
大岡忠光（1754年 - 1756年）
本多忠央（1758年）
水野忠見（1758年 - 1775年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川家治時代

鳥居忠意（1760年 - 1761年、1762年 - 1781年）
酒井忠香（1765年 - 1788年）
加納久堅（1767年 - 1786年）
水野忠友（1768年 - 1777年）
松平忠順（1775年 - 1783年）
米倉昌晴（1777年 - 1785年）
太田資愛（1781年 - 1789年）
井伊直朗（1781年 - 1812年）
田沼意知（1783年 - 1784年）
安藤信成（1784年 - 1793年）
松平忠福（1785年 - 1788年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川家斉時代

本多忠籌（1787年 - 1788年）
青山幸完（1788年 - 1791年）
京極高久（1788年 - 1808年）
堀田正敦（1790年 - 1832年）
立花種周（1793年 - 1805年）
加納久周（1793年 - 1797年）
青山忠裕（1796年 - 1800年）
松平乗保（1798年 - 1806年）
植村家長（1800年 - 1825年）
小笠原貞温（1805年 - 1822年）
水野忠成（1806年 - 1812年）
水野忠韶（1808年 - 1828年）
有馬誉純（1812年 - 1819年）
京極高備（1812年 - 1828年）
内藤信敦（1817年 - 1822年）
田沼意正（1819年 - 1825年）
森川俊知（1822年 - 1838年）
増山正寧（1822年 - 1842年）
林忠英（1825年 - 1841年）
永井尚佐（1827年 - 1839年）
堀親寚（1828年 - 1841年）
小笠原長貴（1829年 - 1840年）
本多助賢（1832年 - 1841年）
堀田正衡（1836年 - 1843年）
大岡忠固（1836年 - 1852年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川家慶時代

松平忠恵（1838年 - 1854年）
水野忠実（1839年 - 1841年）
内藤頼寧（1840年 - 1841年）
遠藤胤統（1841年 - 1851年）
本庄道貫（1841年 - 1858年）
本多忠徳（1841年 - 1860年）
酒井忠毗（1843年 - 1862年、1863年、1864年 - 1865年）
鳥居忠挙（1851年 - 1857年）
森川俊民（1852年 - 1855年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川家定・家茂時代

本郷泰固（1857年 - 1858年）
牧野康哉（1858年 - 1860年）
稲垣太篤（1858年 - 1860年）
安藤信睦（1858年 - 1860年）
諏訪忠誠（1860年 - 1861年、1862年 - 1864年）
堀之敏（1860年 - 1862年）
水野忠精（1860年 - 1862年）
遠山友詳（1861年 - 1862年、1864年 - 1867年）
加納久徴（1861年 - 1862年）
田沼意尊（1861年 - 1866年）
小笠原長行（1862年）
稲葉正巳（1862年 - 1864年、1865年 - 1866年）
平岡道弘（1862年 - 1867年）
有馬道純（1863年）
松平乗謨（1863年 - 1864年、1864年、1865年 - 1866年）
秋月種樹（1863年 - 1864年、1867年）
立花種恭（1863年 - 1868年）
本多忠紀（1864年、1866年 - 1867年）
土岐頼之（1864年 - 1865年）
増山正修（1865年 - 1866年）
江戸幕府の若年寄就任者 > 徳川慶喜時代

保科正益（1866年 - 1867年）
松平正質（1866年 - 1867年）
京極高富（1866年 - 1868年）
大関増裕（1866年 - 1868年）
浅野氏祐（1867年）
戸田忠至（1867年）
川勝広運（1867年 - 1868年）
石川総管（1867年 - 1868年）
永井尚志（1867年 - 1868年）
平山敬忠（1867年 - 1868年）
永井尚服（1867年 - 1868年）
松平近説（1867年 - 1868年）
竹中重固（1867年 - 1868年）
堀直虎（1867年 -　1868年）
塚原昌義（1867年 -　1868年）
大久保忠寛（1868年）
服部常純（1868年）
今川範叙（1868年）
跡部良弼（1868年）
河津祐邦（1868年）
向山一履（1868年）
諸藩の若年寄

幕府と同様、会津藩や仙台藩などの諸藩でも若年寄職を設置していたところがあった。設置されている場合は家老に次ぐ役職であることが多い。会津藩の場合は3名置かれ、御用所の密事頭取などを統括した。仙台藩の若年寄については仙台藩の役職を参照されたい。
バンジュール国際空港

バンジュール国際空港（バンジュールこくさいくうこう、英: Banjul International Airport）は、ガンビア共和国の首都、バンジュールから約24km離れたユンドゥムにある国際空港である。
就航航空会社と就航都市

2023年11月3日現在
| 航空会社 | 就航地 |
| --- | --- |
  エア・セネガル :  ブレーズ・ジャーニュ国際空港（ダカール）、ルンギ国際空港（フリータウン） 
  ASKY航空 :  ルンギ国際空港（フリータウン） 、コトカ国際空港（アクラ）、ロメ空港（ロメ） 
  エアピース :  ブレーズ・ジャーニュ国際空港（ダカール）、ムルタラ・モハンマド国際空港（ラゴス） 
  ロイヤル・エア・モロッコ :  ムハンマド5世国際空港（カサブランカ） 
  ブリュッセル航空 :  ブリュッセル空港（ブリュッセル）  
  TAPポルトガル航空 : ウンベルト・デルガード空港（リスボン） 
  TUIフライ・ネーデルラント :  スキポール空港（アムステルダム） 
  ターキッシュ エアラインズ :  イスタンブール空港（イスタンブール） 
  ブエリング航空 :  バルセロナ・エル・プラット国際空港（バルセロナ） 
  コレンドン航空ヨーロッパ :  [チャーター便]デュッセルドルフ国際空港（デュッセルドルフ）、フランクフルト空港（フランクフルト）、ミュンヘン空港（ミュンヘン）、ライプツィヒ・ハレ空港（ライプツィヒ) 
  コレンドンダッチ航空 :  [チャーター便]アムステルダム・スキポール空港（アムステルダム）
有限変形理論

連続体力学において、有限変形理論（ゆうげんへんけいりろん、finite strain theory）は、物体（連続体）のひずみや回転が無限小ひずみ理論における前提では通用しないような deformationsである場合を扱う。本理論の対象となるような状態においては、連続体の状態は、変形の前後で大きく異なるので、変形前後を明確に区別する必要がある。対象としては、エラストマー、塑性変形材料などの流体、生物学で見られるような軟組織ケースである。有限変形理論は、物体の変形の理論の一つで、微小変形理論と並立する。微小変形理論と比較して、現実の現象をより忠実に再現しようとする理論である。この理論を用いて行われるモデル化が大変形解析であり、地盤沈下の解析にこの理論を用いる場合、沈下量が大きくなるほど微小変形理論を用いた場合との差異が大きくなる。
変形 (Displacement)

物体の変位は、剛体変位と変形の2つの要素から構成される。
剛体変位は、形状や大きさを変えずに、並進（物理）や回転を組み合わせた変位である。
変形は、初期状態（変形していない状態; \kappa _{0}({\mathcal {B}}))から現在の状態（変形した状態;  \kappa _{t}({\mathcal {B}})）へ形状や大きさが変化することを意味する（Figure 1）。
連続体の配置の変化は  変位場 によって記述することができる。変位場とは、物体中のすべての粒子の変位ベクトルを集めたベクトル場であり、変形後の配置と変形前の配置を関連づける。任意の2つの粒子間の距離は、変形が起こった場合にのみ変化する。変形を伴わない変位は剛体変位と呼ばれる。
変形 (Displacement) > 物質座標（ラグランジュ表記）

変数jでラベルされた粒子の変位は次のように表すことができる；
変形前の配置 P_{j}と変形後の配置 p_{j}における粒子の位置を結ぶベクトルをdisplacement vectorと呼ぶことにする。
P_{j}の代わりに \mathbf {X} を、 p_{j}の代わりに \mathbf {x} を、いずれも座標系の原点から各点までのベクトルとして用いると、変位ベクトルのラグランジュ記述となる。即ち、
\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}
ここで、 \mathbf {e} _{i}は、空間座標系(lab-frame)をなす正規直交基底である。
物質座標で表すと（ \mathbf {u}  を、 \mathbf {X} の関数として表すと）、変位場は次のようになる；
\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}
ここで、 \mathbf {b} (t)は剛体の並進を表す変位ベクトルである。
変位ベクトルの物質座標に対する偏微分から物質変形勾配テンソル（material displacement gradient tensor） \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!、以下のように求まる;
 \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}
ここで Fは変形勾配テンソル（deformation gradient tensor）である。
変形 (Displacement) > 空間座標（オイラー表記）

オイラー表記の連続体力学において、変形前の配置にある粒子 Pから変形後の配置の位置まで伸びるベクトルを変位ベクトル（displacement vector)と呼ぶ;
\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}
ここで、 <\mathbf {E} _{i}>は物質座標系（ボディフレーム）の基底を定める単位ベクトルの組である。
空間座標で表現すると（つまり、 \mathbf {U}  を  \mathbf {x} の関数として）変位場は次のようになる;
\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}
変位ベクトルを空間座標に関して偏微分すると、空間変位勾配テンソル \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!が得られる。
このようにして我々は、以下を得る。
 \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,.
変形 (Displacement) > 物質座標系と空間座標系の関係

\alpha _{Ji} は物質座標系の単位ベクトル \mathbf {E} _{J}と
空間座標系の単位ベクトル \mathbf {e} _{i}\,\!の間の方向余弦である。即ち、
\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}
u_{i} と  U_{J} の関係は以下で与えられる。
u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}
以下を踏まえると、
 \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}
以下を得る。
 \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)
変形 (Displacement) > 変形した座標系と未変形の座標系を組み合わせる

変形と未変形の座標系を重ね合わせるのが一般的で、その結果 \mathbf {b} =0\,\! となり、方向余弦はクロネッカーのデルタとなる、すなわち、
 \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}
したがって、物質座標（変形していない）では、変位は次のように表すことができる：
 \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}
また、空間座標（変形している）では、変位は次のように表すことができる：
 \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}
変形勾配テンソル (Deformation gradient tensor)

変形勾配テンソルは以下の式で表される。
 \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K} 
これは、基準の配置(configuration)と現在の配置の両方の単位ベクトル
（ \mathbf {e} _{j}、 \mathbf {I} _{K}\,\!）を含むことからもわかるように、この両方に関連している。
従って、two-point tensorである。
\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!に対する連続性の仮定により、 \mathbf {F} は、逆関数、即ち \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!を持つ。この \mathbf {H} は  空間変形勾配テンソル(spatial deformation gradient tensor) である。ここで、陰関数定理
よれば、ヤコビアン（即ち、
 |J(\mathbf {X} ,t)|） は非退化(即ち、 |J(\mathbf {X} ,t)|=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0）とならねばならない。
物質変形勾配テンソル(Material deformation gradient tensor)  \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}は、２階テンソルであり、マッピング関数(mapping function) 
 \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!の勾配を表す。これは、連続体の運動を記述するものである。
物質変形勾配テンソルは、ある位置ベクトル \mathbf {X} \,\!で指示された物質上の点の近傍の局所的な変形を特徴付ける。
即ち、マッピング関数 \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!に連続性を仮定して、その点から発せられる物質線要素を基準配置から現在の配置または変形後の配置に変換（線形変換）することによって、隣接する点での変形を行う。 \mathbf {X}  and time  t\,\!と時間 t\,\!について微分可能性を仮定するが、これは、変形中に亀裂や空隙が開閉しないことを意味する。
このようにして、我々は以下を得る。
 {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}
変形勾配テンソル (Deformation gradient tensor) > 相対変位ベクトル

変形していない構成（図2）において、位置ベクトル \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}を持つ粒子または物質点 Pを考える。本体の変位後、新しい構成における pで示される粒子の新しい位置は、位置ベクトル \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!で与えられる。このように、変形していない構成と変形した構成の座標系は、便宜上重ね合わせることができる。
ここで、 P\,\!に隣接する Qという物質点を考える。Qのいちベクトルは、以下の通り。
 \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!.
変形された構成では、この粒子は、位置ベクトル
 \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!
によって与えられる新しい位置 qを持つ。変形していない状態でも変形した状態でも、粒子 Pと Qを結ぶ線分 \Delta Xと \Delta \mathbf {x} はそれぞれ非常に小さいと仮定すると、 d\mathbf {X} と d\mathbf {x} \,\!と表すことができる。したがって、図2から、以下を得る。
 {\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}
ここで、 \mathbf {du} は相対変位ベクトルであり、変形された構成における Pに対する Qの相対変位を表す。
変形勾配テンソル (Deformation gradient tensor) > 相対変位ベクトル > テイラー近似

無限小要素 d\mathbf {X} \,\!に対して、変位場に連続性を仮定すると、高次の項を無視して点 P\,\!の周りのテイラー展開を用いて、隣接粒子 Qの相対変位ベクトルの成分を次のように近似することができる。
{\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}
従って、前述の方程式 d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} は次のように書ける。
 {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}
変形勾配テンソル (Deformation gradient tensor) > 変形勾配の時間微分 (Time-derivative of the deformation gradient)

物体の時間依存変形を含む計算では，変形勾配の時間微分を計算する必要がある場合が多い． このような微分を幾何学的に矛盾なく定義するには微分幾何学に踏み込む必要があるが，この記事ではそのような問題を避ける．
\mathbf {F} の時間微分は次のようになる。
 {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]
ここで、 mathbf{V}は（物質）速度である。 右辺の導関数は物質速度勾配を表している。微分の連鎖律を適用して空間勾配に変換するのが一般的である、即ち、
 {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F}
ここで、  {\boldsymbol {l}}は'空間速度勾配('spatial velocity gradient) であり、 \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t) は、 \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)における空間（オイラー）速度である。
空間的な速度勾配が時間的に一定であれば、上式を正確に解くと次のようになる;
 \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}
assuming  \mathbf {F} =\mathbf {1}  at  t=0.  
上記の行列の指数を計算する方法はいくつかある。
連続体力学でよく使われる関連量として、変形率テンソルとスピンテンソルがあり、それぞれ次のように定義される：
 {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.
変形率テンソルは線要素の伸び率を与え、スピンテンソルは運動の回転率または渦度を示す。
有限ひずみを含む解析では、変形勾配の逆数の材料時間微分（基準形状を固定したまま）が必要になることがよくある。 この微分は {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.
\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X}  and noting that  {\dot {\mathbf {X} }}=0
の物質的時間微分を取ることによって、上記の関係を検証することができる。
面要素と体積要素の変形

変形された構成における面積に対して定義される量を、基準構成における面積に対する量に変換するため、あるいはその逆の変換も同様に行うため、
 da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N}  
として表されるNansonの関係を使用する。ここで、 daは変形配置における領域の面積であり、 dAは参照配置における同じ領域の面積である。 \mathbf {n} は現構成における領域要素の外向き法線であり、 \mathbf {N} は参照構成における外向き法線、 \mathbf {F} は変形勾配であり、また J=\det \mathbf {F} \,\!である。
体積要素の変換に対応する式は次の通りである。
 dv=J~dV
面要素と体積要素の変形 > Nanson's relationの関係式の証明

see also
この式がどのように導き出されるかを見るために、まず、基準コンフィギュレーションと現在のコンフィギュレーションにおける向き付けられた面積要素から始める：
 d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n} 
要素の基準体積と現在の体積は次のとおりである。
 dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} 
ここで、 d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!.
従って、
 d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} 
or,
 d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} 
従って,
 d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}
以上より、以下を得る
 d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A} 
or,
 da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N}
変形勾配テンソルの極分解

変形勾配テンソルの極分解（Polar decomposition of the deformation gradient tensor)に付いて説明する。
変形勾配  \mathbf {F} \,\!は、他の可逆2次テンソルと同様に、極性分解定理(polar decomposition theorem)を用いて2つの2次テンソルの積に分解できる (Truesdell and Noll, 1965): 即ち、 \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} 
となる。ここで、  \mathbf {R}  は proper orthogonal tensorである。
即ち
 \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T} 及び  \det \mathbf {R} =+1\,\!, を満たし、回転を表す;
テンソル  \mathbf {U}  は right stretch tensorである;
そして、テンソル  \mathbf {V}  は left stretch tensorである。ここで、右と左という用語は、それぞれ、回転テンソル \mathbf {R} \,\!の右と左にあるという意味である。
\mathbf {U}  と  \mathbf {V}  は、ともに positive definiteである。 即ち、
\mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0,
\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0 (for all non-zero  \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}) , で
symmetric tensors, 即ち  \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T} and  \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!, が二次である。
この分解は、未変形の配置における線要素 d\mathbf {X} の変形が、変形された配置における d\mathbf {x} に写像されることを意味する。即ち.  d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!という結果は、
要素を、なんらかの  \mathbf {U} \,\!でUによって、まず伸ばすという方法で得られ得る、つまり
まず、 d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!という変換を行い、
次に、回転 \mathbf {R} \,\!、即ち  d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!を行う; 
等価な方法として、まず剛体回転  \mathbf {R} 、つまり  d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!を行い、次に、 \mathbf {V} \,\!による伸長、つまり  d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x}  を行う方法もある（図3を参照）.
\mathbf {R} の直交性のため、 \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}となる。
その結果、 \mathbf {U} と \mathbf {V} は同じ「固有値」、「principal directions（主方向）」を持つが、「固有ベクトル」（主方向）は、それぞれ
 \mathbf {N} _{i}および \mathbf {n} _{i}\,\!
となり、異なる。主方向は以下のように関連している： \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.
この極分解は、 \mathbf {F} が逆行列を持ち、かつ正の行列式を持つため、一意的である。また、この極分解は特異値分解の帰結である。
変形テンソル (Deformation tensors)

詳細は「Deformation tensor」を参照
機械工学ではいくつかの回転非依存の変形テンソルが使用されている。その中でも固体力学では、
最も一般的なものは右Cauchy-Green変形テンソルと左Cauchy-Green変形テンソルである。
純粋な回転は可変体にひずみを誘起すべきではないため、連続体力学においては、回転非依存の変形の尺度を使うことがしばしば便利である。回転に続いて逆回転を行うと変化がないため（ \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!）、変形勾配テンソル \mathbf {F} に対してその転置を掛けることで回転を除外することができる。
変形テンソル (Deformation tensors) > 右コーシー・グリーン変形テンソル

右コーシー・グリーン変形テンソル（The right Cauchy–Green deformation tensor）について説明する。1839年、ジョージ・グリーンは、「右Cauchy–Green変形テンソル」または「グリーンの変形テンソル」として知られる変形テンソルを導入した。これは以下のように定義される：
\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.
物理的には、Cauchy–Greenテンソルは変形による距離の局所的な変化の2乗を表す。つまり、以下のように表される。
d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X}
\mathbf {C} の不変量は、しばしばひずみエネルギー密度関数の式に使用される。最も一般的に使用される不変量は、以下の通りである。 {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}
ここで、 J:=\det \mathbf {F} は変形勾配 \mathbf {F} の行列式（determinant）であり、 \lambda _{i}は単位繊維（unit fibers）の伸び率を示す。これらの繊維は、右（参照）伸びテンソル（right stretch tensor）の固有ベクトル方向に初めは沿って配置されている（一般的にこれらの方向は座標系の三つの軸とは一致しない）。
変形テンソル (Deformation tensors) > フィンガー変形テンソルという用語について

IUPAC（国際純正・応用化学連合）は、右Cauchy–Green変形テンソルの逆行列（この文書ではCauchyテンソルと呼ばれる）である \mathbf {C} ^{-1}を「フィンガー変形テンソル」と呼ぶことを推奨している。ただし、この用語は応用力学全般で普遍的に受け入れられているわけでない。
\mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}
変形テンソル (Deformation tensors) > 左コーシー・グリーンテンソル（フィンガー変形テンソル）

左コーシー・グリーンテンソル（フィンガー変形テンソル：The left Cauchy–Green or Finger deformation tensor）について説明する。右のグリーン・コーシー変形テンソルの式の乗算の順序を逆にすると、左のコーシー・グリーン変形テンソルとなり、次のように定義される： \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}
左Cauchy-Green変形テンソルはしばしばFinger deformation tensorと呼ばれ、Josef Finger (1894)にちなんで命名された。
また、 \mathbf {B} の不変量はひずみエネルギー密度関数の式でも使われる。 従来の不変量は次のように定義される {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}
ここで、  J:=\det \mathbf {F} は変形勾配の行列式である。
圧縮可能な材料については、少し異なる不変量のセットが使用される： ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.
変形テンソル (Deformation tensors) > コーシの変形テンソル

コーシの変形テンソル(The Cauchy deformation tensor)について述べる。
1828年の早期には、 オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、左Cauchy–Green変形テンソルの逆行列 \mathbf {B} ^{-1}\,\!として定義される変形テンソルを導入した。
このテンソルは、流体力学や流体力学の文献では、ピオラテンソルやフィンガーテンソル  といわれている。
\mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}
変形テンソル (Deformation tensors) > スペクトル表現(Spectral representation)

もし3つの異なる主伸び率(principal stretches)  \lambda _{i}\,\!がある場合、 \mathbf {C} および \mathbf {B} の固有分解（スペクトル分解）は以下のように表される。
 \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}
さらに、
\mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}
 \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}
以下のことに注意するべきである。
 \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})
したがって、スペクトル分解の一意性からも \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!が導かれる。左伸長( \mathbf {V} \,\!)は、「空間伸長テンソル」と呼ばれ、右伸長( \mathbf {U} \,\!)は「物質伸長テンソル」とも呼ばれている。
変形勾配テンソル \mathbf {F} が \mathbf {N} _{i}に作用する効果は、ベクトルを \lambda _{i}倍に伸ばし、新しい方向に回転させることである。
 \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}
同様に、
 \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.