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漸化式

数学における漸化式（ぜんかしき、英: recurrence relation; 再帰関係式）は、各項がそれ以前の項の関数として定まるという意味で数列を再帰的に定める等式である。
ある種の漸化式はしばしば差分方程式 (difference equation) と呼ばれる。また、「差分方程式」という言葉を単に「漸化式」と同義なものとして扱うことも多い。
漸化式の例として、ロジスティック写像
が挙げられる。このような単純な形の漸化式が、しばしば非常に複雑な（カオス的な）挙動を示すことがあり、このような現象についての研究は非線型解析学などと呼ばれる分野を形成している。
漸化式を解くとは、 添字 n に関する非再帰的な函数として、一般項を表す閉じた形（英語版）の式を得ることをいう。
簡単な例

フィボナッチ数列は線型漸化式
に初期値、 F_{0}:=0,\ F_{1}:=1を与えて得られる。
この漸化式は、陽に書けば  F_{2}=F_{1}+F_{0},\ F_{3}=F_{2}+F_{1},\ F_{4}=F_{3}+F_{2},\dots  といった無限個の式と同じである。
こうして得られるフィボナッチ数列のはじめのほうを書けば
となる。後述するような方法で漸化式を解けば、特性多項式（固有多項式） t2 - t - 1 の二つの根を用いた閉じた式（英語版）が得られる。フィボナッチ数列の母関数は
という有理式である。
構造 > 定数係数斉次線型漸化式

定数係数の d-階斉次線型漸化式は、一般に
の形に表される式で、d 個の係数 ci はすべての i について定数となるものである。
一般にd-階斉次線型漸化式の解は、異なる公比をもつ d-個の幾何数列の和として表される。例外は、それらの幾何数列の公比を与える方程式の根が重根を持つ場合である。このように幾何数列の和として書かれた式をビネーの公式 (Binet's formula) という（ただし「ビネーの公式」という名称は、フィボナッチ数列の一般項を二つの冪数列の和として表す式の意味で用いられることのほうが多い）。
もう少し詳しく言えば、この線型漸化式は各 n (> d − 1) に対する無限本の線型方程式に関する連立方程式であり、この形の漸化式を満たす列は線型回帰数列 (linear recursive sequence) と呼ばれ、あるいは短く "LRS" とも呼ばれる。d-階の線型再帰列は初期値 a0, ..., ad−1 を任意に選ぶ分だけの自由度 d を持ち、それら初期値に対して一意に決定される。
この形の線型漸化式と同じ係数を持つ、漸化式の固有多項式または特性多項式 (characteristic polynomial) あるいは補助多項式 (auxiliary polynomial) と呼ばれる多項式
は、その d 個の根が漸化式を満たす数列を求め、理解するのにきわめて重要な役割を果たす。
構造 > 有理母関数

線型再帰列は、その母函数が有理函数となるような数列として特徴付けられる。母函数の分母は（適当な変換をうける違いを除いて）特性多項式であり、分子は初期値から決まる。
もっとも単純なものは、an = an−d なる周期数列 a0, a1, ..., ad−1, a0, a1, ... の場合であり、この列の母函数は幾何数列の和
として表される。もっと一般に、漸化式
と母函数
が与えられたとき、多項式
を使って、母函数級数の ad 以降の係数を消去することができる。つまり、母函数に先の多項式を掛け合わせれば
が xn の係数となり、これは特に n ≥ d のとき（漸化式によって）0 となる。したがって、
が成立し、両辺を割り算すれば
という母函数の有理式表示を得る。
分母 xdp(1/x) は特性多項式を変換したもの（あるいは同じことだが、係数の順番を逆順にしたもの）である。これに何かを掛けたものを使うこともできるが、特性多項式から簡単に求められて、b0 = a0 となるように正規化してある。
構造 > 狭義の差分方程式との関係

実数列 (an)n=1∞ が与えられたとき、この数列の第一階差 (first difference) Δ(an) は
で与えられ、第二階差 (second difference) Δ2(an) が
あるいは簡約化して
で与えられる。もっと一般に、数列 (an) の第 k-階差 (kth difference) Δk(an) が
で帰納的に定義される。狭い意味での差分方程式とは数列 (an) およびその各階の階差数列との間に成り立つ等式のことをいう。広い意味では「差分方程式」を「漸化式」と同義に用いる（たとえば有理差分方程式（英語版）および線型差分方程式を参照）。
線型漸化式は狭い意味での差分方程式であり、逆もいえる。それはこれらが単純かつ共通した形の再帰性をもつからであり、文献によっては両者を逆に呼んでいるものもある。たとえば差分方程式
は、漸化式
と同値である。よって、多くの漸化式は差分方程式として読み替えて解くことができるし、差分方程式ならば常微分方程式の解法と類似の手法で解くことができる。しかし、アッカーマン関数などは差分方程式に直すことが非常に困難であり、微分方程式の観点から得られるものは少ない。
このような微分方程式に対する微分方程式論の一意化については時間尺度微分積分学を参照せよ。
微分方程式に対をなすように積分方程式が考えられるのと同様、差分方程式の対となる和分方程式が考えられる。
構造 > 狭義の差分方程式との関係 > 格子点と多重数列

一変数（一元）漸化式は（一次元整格子点 (grid) の上で定義される函数としての）数列について記述するものである。多変数（n-元）漸化式は同様に n-次元整格子点 (n-grid) 上で定まる概念であると理解することができる。n-次元整格子点上で定義される函数（n-重数列）についても偏差分方程式 (partial difference equations) を考えることができる。
漸化式の解法 > 一般的な方法

一階の漸化式については特段の理論を要しない。漸化式
は明らかに初期値 a0 = 1 に対して an = rn を解にもち、一般に a0 = k とすれば一般解 an = krn が得られる。この漸化式の特性多項式を 0 に等しいとおいて得られる特性方程式（固有方程式）は、単に t − r = 0 で与えられることに注意。
高階の漸化式の解は、しばしば an = rn がちょうど t = r が特性多項式の根となるような漸化式の解となるという事実を用いて、機械的に求めることができる。方法としては直接、あるいは母函数（形式的冪級数）、行列などを用いる。
たとえば
という形の漸化式を考えよう。この漸化式が an = rn と同じ形の解の一般形をもつのはどのようなときだろうか。実際に代入してみれば
が任意の n (> 1) について成り立たなければならないことがわかる。両辺を rn−2 で割れば、意味はそのままに方程式 r2 − Ar − B = 0 に簡約することができる。これがこの漸化式の特性方程式である。これを r について解けば、二つの根 λ1, λ2 が得られる。これらの根は、特性方程式あるいは漸化式の特性根あるいは固有値として知られるものである。異なる解が得られるかは特性根の様子に依存するが、二つの特性根が相異なるならば、一般解
が得られる。一方、特性根が重根 (A2 + 4B = 0) のとき、
が一般解を与える。これらは今考えている漸化式の解を全て尽くしており、二つの定数 C, D は初期条件 a0, a1 の選び方に依存して一意に決まり、これにより解がひとつに特定される。
特性根が複素数となる場合は（もちろん一般解のパラメータ C, D も複素数値となるが）、三角函数を用いた形に書けば、複素数を使用しない形にすることができる。この場合は特性根を λk = α ± β（各 k = 1, 2 に ± の何れか一方をそれぞれ割り当てる）の形に書いてやれば、たとえば an = Cλ1n + Dλ2n の形の一般解が
の形に書きなおせることが示せる。ここで、各定数は
で与えられるものである。E, F（あるいは同じことだが G, δ）は初期条件から決まる実定数である。
注意すべきは、特性根が相異なる実根の場合も、実重根の場合も、互いに共軛な複素根の場合も、すべての場合で方程式が安定である（つまり、変数 a が特定の値（特に 0）に収束する）ための必要十分条件は二つの特性根の絶対値が「ともに」1 より小さいこと、となることである。今考えている二階漸化式の場合、特性根に関するこの条件は |A| < 1 − B < 2 に同値であることが示せる。
上記の例は定数項の無い斉次の場合であった。定数項 K を加えて、非斉次の場合の漸化式
を考えよう。これは次のようにして斉次の場合に帰着することができる。不動点 b∗ は bn = bn−1 = bn−2 = b* と置くことによって、
と求められる。これにより、先ほどの非斉次漸化式は
なる形の斉次漸化式に書き直すことができる（これは上述のように解くことができる）。
二階の場合に特性根の言葉で述べた安定性条件は、一般の n-階でもやはり有効であることに注意。つまり漸化式の解が安定であるための必要十分条件は、漸化式の特性多項式の全ての根が 1 より小さい絶対値を持つことである。
漸化式の解法 > 線型代数を用いた解法

線型漸化式 Tn = cd−1Tn−1 + cd−2Tn−2 + … + c0Tn−d が与えられたとき、その特性多項式の同伴行列の転置
を C とすると、明らかに
が成り立つ。固有値 λ1, ..., λd に対応する固有基底 v1, ..., vd を決めれば、線型再帰列の初期値を固有ベクトルの線型結合
として表せるので、結局
となることがわかる。行列を用いたこの記述は、本質的には既に述べた一般的方法となんらかわるものではないが、より簡潔である。また、行列を用いた記述は
のような連立漸化式に対してもなお有効である。
漸化式の解法 > Z変換による解法

ある種の差分方程式、とくに定数係数線型差分方程式は、Z変換を用いて解くことができる。z-変換は積分変換の一種で代数的操作がしやすく、解がより容易に求まる。解が直接には、まったくというわけではないが不可能な場合でも、積分変換をうまく選べば容易に解けることもある。
漸化式の解法 > 定理

階数 d の定数係数斉次線型漸化式が与えられたとき、p(t) をその特性多項式
とし、λ を重複度 r の特性根とする（つまり (t − λ)r が p(t) を割り切る）。このとき、
この定理の帰結として、定数係数斉次線型漸化式は次の手順に従って解くことができる。
漸化式の特性多項式 p(t) を求める。
p(t) の根とその重複度を求める。
an を未定係数 bi を持つ（上で述べたように重複度を考慮した）全ての根の冪の線型結合 {\begin{aligned}a_{n}=&(b_{1}\lambda _{1}^{n}+b_{2}n\lambda _{1}^{n}+\cdots +b_{r}n^{r-1}\lambda _{1}^{n})\\&\quad +\cdots +(b_{d-q+1}\lambda _{*}^{n}+b_{d-q+2}n\lambda _{*}^{n}+\cdots +b_{d}n^{q-1}\lambda _{*}^{n})\end{aligned}}として書く（q は λ* の重複度である）。これがもとの漸化式の一般解を与えるものとなる。
前段の一般解で n = 0, 1, ..., d として a0, a1, ..., ad をもとの漸化式における（初期値として与えられている）既知の a0, a1, ..., ad に一致させる。ただしここで、もとの漸化式の an の値として連続した番号のものでなくとも、どこでもいいから d 個わかってさえいればいいということには注意（つまり、考えている漸化式が三階であれば、たとえば a0, a1 と a4 を使うことができる）。これにより、d 個の未知数を含む d 本の連立一次方程式が得られる。これを一般解における未定係数 b1 , b2, ..., bd に対して解いて、一般解に代入してもとの漸化式の特殊解を得、それらがもとの漸化式の初期条件を満たす（したがって任意の a0, a1, a2, ... についてもとの漸化式からえられる値に一致する）ことを確かめる。
興味深いのは、この方法が線型微分方程式の解法とよく似ていることである。定数係数線型微分方程式で用いられる解法では、λ を複素数として eλ を解を求めたい方程式に代入し、方程式を満足する複素数 λ を決定する（して λieλ の線型結合を考える）。
これは偶然の一致ではない。線型微分方程式の解のテイラー級数
を考えれば、この級数の係数は f(x) の n-階導函数の x = a における値であることがわかる。与えられた微分方程式は、この級数の係数の間に成り立つ線型漸化式を導く。
この同値性は線型微分方程式の冪級数解の係数に対する漸化式を直ちに解くために利用できる。方程式は適当な多項式を掛けて点 0 における初項が 0 でないようにしておく。対応規則は
および一般に
で与えられる。
y = eax を解に持つ。この微分方程式をテイラー係数の満たす漸化式に書き換えれば
となる。eax の n-階導函数の点 x = 0 における値が an であることをみるのは易しい。
漸化式の解法 > 非斉次漸化式の解法

漸化式が非斉次の場合、特殊解は未定係数法で求めることができて、一般の解は対応する斉次漸化式の一般解と先ほど得た特殊解の和として得られる。非斉次漸化式のほかの解法としては、記号微分 (symbolic differentiation) の方法がある。たとえば、次のような漸化式
を考える。これは非斉次の漸化式である。n → n + 1 と置き換えれば、漸化式
を得る。もとの漸化式から辺々引いて整理すれば、
が得られる。これは斉次の漸化式であるから、既に述べた方法によって解くことができる。一般に、線型漸化式が
という形（λ0, λ1, ..., λk−1 は定数の係数で、p(n) が非斉次成分）で与えられて、P(n) が r-次の多項式ならば、記号微分の方法を r 回適用することにより、この非斉次漸化式を斉次漸化式に帰着することができる。
漸化式の解法 > 一般の斉次線型漸化式

多くの斉次線型差分方程式は一般化超幾何級数（英語版）を使って解くことができる。その特殊な場合として、差分方程式から直交多項式系や特殊函数が解として現れてくる。たとえば、
の解はベッセル関数
によって与えられる。 一方、
は合流型超幾何級数（英語版）
によって解ける。
漸化式の解法 > 有理差分方程式の解法

→詳細は「」を参照
有理差分方程式は
というような形をしている。このような方程式は wt を、それ自身は線型に増加する別の変数 xt の非線型変換として書くことで解くことができる。したがって、xt に関する線型差分方程式を解くのに、標準的な方法が使える。
安定性 > 高階線型漸化式の安定性

階数 d の線型漸化式
は特性方程式
を持つ。この漸化式の再帰性が（反復適用によって一定の値に漸近的に収束するという意味で）安定であるための必要十分条件は、固有値（つまり特性方程式の根）の全てが（実数か複素数かに関わらず）1 よりも小さい絶対値を持つことである。
安定性 > 一階線型漸化式の安定性

→詳細は「線型差分方程式」を参照
状態ベクトル x, 遷移行列 A をもつ一階の行列係数差分方程式
で、x が定常状態ベクトル x∗ に漸近的に収斂するための必要十分条件は、遷移行列 A の全ての固有値が（それが実数か複素数かに関わらず）1 より小さい絶対値を持つことである。
安定性 > 一階非線型漸化式の安定性

非線型一階漸化式
を考える。この漸化式は（不動点 x∗ の十分近くにある点は不動点 x∗ に収斂するという意味で）局所安定であるための必要十分条件は、x∗ の近傍で f の傾きの絶対値が 1 よりも小さいこと、つまり
が成り立つことである。非線型漸化式は複数の不動点を持つことができ、ある不動点は局所安定だが別の不動点は局所安定でないということも起こりうることに注意。f が連続なら隣接するふたつの不動点がともに局所安定となることはできない。
非線型漸化式は k > 1 なる k を周期とするサイクルをもつこともありうる。そのようなサイクルが（測度正の初期条件集合を吸引するという意味で）安定となる十分条件は、f の k 回合成
が上記と同様の判定条件
に従って局所安定となることである。ここで x∗ はサイクルの任意の点。
カオス的漸化式においては、変数 x がある有界領域に留まるが不動点にも吸引的サイクルにも収束しない。そのような方程式において任意の不動点やサイクルは不安定である。 ロジスティック写像、二進変換（英語版）、テント写像なども参照。
微分方程式との関連性

常微分方程式を数値的に解く際には、典型的に漸化式が生じる。たとえば、初期値問題
をオイラー法で解くとき、刻み幅を h とすると
の値を漸化式
から計算する。一階線型方程式系は離散化の項に示されるような方法を用いて完全に解析的に離散化することができる。
他分野での応用 > 生物学

最もよく知られた差分方程式のいくつかは、集団動態モデルの研究に起源を持つ。たとえば、フィボナッチ数はうさぎの個体数の増加モデルとして使われたことがある。
ロジスティック写像は人口増加モデルに直接使われたり、より詳しいモデルの雛形として使われたりする。この文脈でいくつかの差分方程式はしばしば、二者あるいはもっと多くの人口の相互作用モデルとして用いられる。たとえば宿主・寄生生物相互作用に対するニコルソン-ベイリーモデルは
で与えられる。Nt は宿主、Pt は寄生生物のそれぞれ時刻 t における個体数を表す。
積分差分方程式は空間的な生態学の重要な漸化式を形成する。このような、あるいはもっと他の差分方程式は一化性動態のモデリンクに特に適している。
他分野での応用 > デジタル信号処理

デジタル信号処理では、漸化式はある時点の出力が新たな時点の入力となるシステムのフィードバックをモデル化することができる。したがって、無限インパルス応答 (IIR) ディジタルフィルタなどを考えることができる。たとえば、遅延時間 T の「フィードフォーワード」IIR 櫛型フィルタは
となる。ここで xt は時刻 t における入力で、yt は時刻 t における出力、α はどの程度の遅延信号を出力へフィードバックするかを制御するものである。ここからわかることとして
などが挙げられる。
他分野での応用 > 経済学

漸化式、とくに線型漸化式は、理論経済学と実証経済学の双方にわたって広く用いられている。特にマクロ経済学では、エージェントの活動が遅延変数に依存する経済のさまざまな幅広い分野（金融部門、商品部門、労働者市場など）のモデルが展開されている。したがって、このモデルは、外生変数や遅延外生変数を使って（金利や実質GDPなどの）鍵となる変数の現在値に関して解かれる必要がある。時系列分析も参照されたい。
セブンスター (スーパーマーケット)

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 東長戸店
種類:  株式会社
市場情報:  非上場
本社所在地:   日本 〒790-8516 愛媛県松山市東石井1丁目7番13号
設立:  1986年11月1日
業種:  小売業
法人番号:  4500001002395 
事業内容:  スーパーマーケット事業
代表者:  代表取締役社長 玉置泰
資本金:  7,000万円
売上高:  163億円（2012年3月実績）
純利益:  ▲1億1138万3000円（2018年04月30日時点）
総資産:  82億8125万4000円（2018年04月30日時点）
従業員数:  1,051名
外部リンク:  株式会社セブンスター
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株式会社セブンスター（SEVENSTAR CO.,LTD.）は、愛媛県松山市に本社を置くスーパーマーケットを展開する日本の企業である。一六本舗を中心としたITMグループの一社である。
概要

1976年に松山のタルトメーカーである一六（現：一六本舗）が多角化の一環で創業した。創業に当たっては、関西地方で食品スーパーを展開する関西スーパーマーケットから指導を受けるなど支援を受けている。1986年11月に「株式会社セブンスター」が設立され、分社化された。
現在は石井店を中心に、松山市周辺に10店舗を展開している。店名の「セブンスター」という名前は「一六」（1＋6=7）をもじって付けられた。オール日本スーパーマーケット協会の会員企業である。
沿革

1976年5月12日 - 一六の事業部として松山市石井に創業。
1986年11月1日 - 株式会社セブンスターとして独立、会社設立。
2015年5月1日 - 移動スーパー事業を開始。
2016年5月20日 - 東温市と見守りネットワークに関する協定を結ぶ。
2018年3月 - 愛媛FCレディースとスポンサー契約締結。
店舗

→現行店舗については、店舗情報を参照
店舗 > 過去に存在した店舗

和泉店 - 松山市土居田町17、1983年12月10日開店 - 2018年8月31日閉店、売場面積1318㎡。
今治店 - ワールドプラザに入居。2017年9月20日閉店。
関連会社

ITMグループ
一六本舗（製菓）
一六（レストラン）
ネッツトヨタ愛媛（カーディーラー）
かっぱえびせん

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販売会社:  カルビー
種類:  スナック菓子
販売開始年:  1964年
完成国:   日本
関係する人物:  松尾孝
外部リンク:  公式サイト
特記事項：  原材料名小麦粉、植物油、でん粉、えび、砂糖、食塩、えびパウダー、膨脹剤、調味料（アミノ酸等）、甘味料（甘草） アレルゲン小麦、えび
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かっぱえびせんは、カルビーが製造販売している小麦粉とエビを主原料とするスナック菓子である。漢字では「河童恵美仙」。同社の登録商標（ひらがな・漢字共に第3012206号、ほか）。キャッチフレーズは「やめられない、とまらない」。
1955年（昭和30年）、カルビーは小麦粉で作ったスナック菓子の“かっぱあられ”を発売、売れたためシリーズ化された。その名は清水崑『かっぱ天国』に由来し、そのシリーズには名前に“かっぱ”が入った。1964年（昭和39年）、シリーズ最後となった27番目の商品として「かっぱえびせん」が発売された。かっぱあられシリーズの海老煎餅でその名が付けられた。
日本を代表するお菓子のロングセラー。1975年（昭和50年）発売のカルビーポテトチップス・前身が1988年（昭和63年）発売のフルグラ・1995年（平成7年）発売のじゃがりこ・2006年（平成18年）発売のJagabeeとともにカルビーのメガヒット商品の一つ。
沿革 > かっぱシリーズ

| 名前 | 発売年 | 備考 |
| --- | --- | --- |
| かっぱあられ | 1955年  |  |
| かっぱあられ あまから焼き | [要説明] |  |
| かっぱあられ 鶏卵せんべい | [要説明] |  |
| いかあられ | [要説明] | イカ風味 |
| 横綱かっぱ | [要説明] | 蜜がけしたほの甘風味。瀬戸内海沿岸で広く流通する鯛あられと同じ味。 |
| 鯛の浜焼きあられ | [要説明] | 蜜がけしたほの甘風味。瀬戸内海沿岸で広く流通する鯛あられと同じ味。 |
| かっぱあられ 味王将 | 1963年 | 香ばし焼きしょうゆ味。初めてのエビ入り。 |
| かっぱの一番槍 | 1963年 | こんぶしお味。初めてのスティック形状。 |
| かっぱえびせん | 1964年 |  |
太平洋戦争後の食糧難の時代、松尾孝は「健康にいい、栄養のあるお菓子をつくる」をモットーに広島で製菓業を営んでいたが1953年倒産の危機が迫っていた。松尾孝は経営再建を目指していた中で、当時配給制で値段が高かった米に代わり、アメリカから大量に輸入されていた小麦に着目し、小麦粉を蒸しながら練って餅状としそれを炒ってあられを作る製法を確立した。これは日本で初めて小麦粉を使ったあられの量産化に成功したことになる。最初の小麦あられは水飴でコーティングし甘辛く仕上げた。また松尾は最初の小麦あられが子どもに親しんでもらえるよう当時人気漫画だった清水崑『かっぱ天国』に着目、清水に会うとお互い意気投合し、「かっぱ」のネーミング使用許可、パッケージに用いるかっぱイラストと「かっぱあられ」の文字を得た。
1955年会社はカルビー製菓として再スタートする。同年「かっぱあられ」発売、これが西日本で売れたためその後10年に渡りシリーズ化された。
ただかっぱあられシリーズは全国規模では思うように売れなかった。カルビー製菓は創業初期にはキャラメルやアメなど甘い菓子も作っており、かっぱの名が入った「かっぱあめ」「かっぱキャンディ」も売り出していたがあまり売れなかったという。その頃他社では、1960年カカオ豆の輸入自由化により1960年代前半はチョコレート菓子の発売が続いていた。
松尾孝は少年時代、生まれ故郷の広島市内の川で捕ったエビをかき揚げにしたものが大好物であった。松尾はかっぱあられシリーズを考えていく中で、瀬戸内海の海辺で小エビが干してあるのを見てそれを思い出し「鮮度の良い生エビを丸ごと使えば風味が良く健康にもいいはず」とひらめいて、生の小エビを殻ごとミンチ状にして小麦粉に混ぜる製法を確立した。開発初期は生臭かったり、殻ごと入れるため食感が固くなったりと、問題が続出したが試行錯誤の末に完成にこぎつけた。
1963年かっぱあられシリーズで初めてエビを入れた“かっぱあられ味王将”を発売した。また同1963年かっぱあられシリーズで初めてスティック形状にした“かっぱの一番槍”を発売した。そしてその翌年となる1964年“味大将”と“一番槍”の特徴を合わせた、かっぱあられシリーズ27番目の商品として「かっぱえびせん」が誕生した。
沿革 > 発売

1964年発売。当初のパッケージから現在のものと同様にエビのイラストが描かれ、初期のみイラストの上に“かっぱあられ”の文字が書かれていた。かっぱえびせんは全国的なヒット商品となった。同じ頃、日本の菓子市場ではチョコレート・ビスケット・キャンディなど甘い菓子が定番になっていた時期であり、エビ風味の塩味のかっぱえびせんは子どもにとって新鮮で、甘い菓子の苦手な大人にも受けたことで、ヒットに繋がった。ただ売れた時期については諸説ある。
1964年から売れ始め、1965年にはカルビー製品の中で売上げナンバー1に躍り出る。
松尾雅彦は「本格的に売れ始めたのは1966年頃」と証言している。
1969年（あるいは1968年）「やめられない、とまらない」のCMを流すまでは特に売れる商品ではなかった。
1964年量り売り用一斗缶入りで発売開始したものの、一斗缶入りでは湿気を吸いやすかったため売り上げは芳しくなかったが、湿気を防ぐため袋入りにしたところ人気商品となった。当時一般的に流通していた海老煎餅では乾燥させたエビの粉末が用いられていたが、松尾孝はかっぱえびせんでは風味から生エビを入れることにこだわった。当初製造工場は広島（旧宇品陸軍糧秣支廠）にしかなく原料エビは伊予灘・周防灘など瀬戸内近郊産のものに限っていたが、急速冷凍技術が未熟だった時期であり管理に苦労したエピソードが残る。その数年後には急速冷凍による管理体制が確立、品質が高まり一気に人気を広めた。
当時地方の中小企業にすぎなかったカルビー製菓にとって、販路拡大が問題となった。松尾孝はいつか東京市場を制覇したいと考えており、酔っ払うと「花のお江戸で猿芝居でも、ひとさし舞いたい」と口癖のように言っていたという。そこで「米国で評判になれば、お江戸もきっと振り向く」と1967年8月NYで開かれた国際菓子食品見本市“Fancy Food Show”にかっぱえびせんを出展する。そこで高い評価を得て、通信社の記事で日本にもその評判が届いた。また松尾孝はアメリカでもかっぱえびせんを売ろうと考えており、同1967年11月松尾孝は三男松尾雅彦にアメリカに視察に行かせている。
カルビー製菓はかっぱえびせんの販売拡大に伴い栃木県宇都宮市に工場を建てることを決める。その工場建設中にもかかわらずかっぱえびせんの生産ラインが先に組まれ、できた製品を何台ものトラックが奪い合うように搬送していったという。
1969年「やめられない、とまらない、カルビーのかっぱえびせん」のキャッチコピーを使ったCMを開始するとこのフレーズが全国に浸透し流行語となり、かっぱえびせんは日本の代表的スナック菓子ブランドとしての地位を確立した。発売年の1964年からこのCM登場の1969年までかっぱえびせんは毎年ほぼ倍増で売上を伸ばしていき、1970年には売上は100億円を超えた。地方の中小企業にすぎなかったカルビー製菓は、かっぱえびせんのメガヒットにより成長企業へと脱皮した。
1981年からパッケージのシンボルカラーに赤を採用する。1985年パッケージをアルミ密着フィルムに変更する。1986年、初めてフレーバーを導入し「かっぱえびせんフレンチサラダ」を発売、以降多くのフレーバーで発売されている。
沿革 > 海外展開と類似品 > 海外製と類似品

海外のカルビーグループ会社では以下の名で発売している。
→世界のカルビー商品 - （2020年時点）カルビー公式参照
「Shrimp Chips」 -  アメリカ合衆国カルビーノースアメリカ
「เอบิเซน」 -  タイカルビータナワット
「蝦條」 -  香港カルビー四洲有限公司
「河童虾条」 -  中国カルビー（杭州）食品有限公司
「Prawn Cracker」 -  シンガポールカルビーモウセン
海外のコピー商品としては、タイfriendship「ハナミ（ฮานามิ）」、1971年発売韓国農心「セウカン（새우깡）」、1974年発売フィリピンリウェイウェイ「Oishi」が存在する。中華圏では「中: 蝦條／簡: 虾条」の名で一般名詞化しており、同じ名のコピー商品が数多く出回っている。
日本国内において、2016年時点ではかっぱえびせんの類似品はほとんどないとされる。その理由をカルビーは「工程に3日間という手間ヒマが掛かることが、製造メーカーが少ない理由」と答えている。
沿革 > 海外展開と類似品 > 海外展開

かっぱえびせん国内発売から2年後になる1966年、東南アジア・ハワイへ日本製の完成品の輸出を開始している。
1967年国際菓子食品見本市へ出展しアメリカ市場への輸出を模索するも、当初は日本製の完成品を輸出しようとして現地の卸から一度拒否されている。同1967年アメリカへの輸出を開始した。1970年ロサンゼルスにカルビー初の海外拠点となるカルビーアメリカを設立した。ただ当時アメリカではエビの風味が好まれず、西海岸の一部でのみ販売された。同じ1970年代に欧州市場への参入も計画されていた。
1973年変動相場制に移行し円高進行したためアジア市場では日本からの完成品輸出では体制維持できなくなったことから、新たに原料を広島工場で作って輸出し仕上げ加工をバンコクで行ってタイ・香港・シンガポールなどに送る体制も取られた。そこから1980年タイにアジア市場初の拠点カルビータナワットを設立する。一方でこの時期日本国内の小売業者は円高を背景に海外からの商品調達を活発化しており、当時広島市のスーパーで韓国のセウカンが大々的にプロモーションされる事態が起こっている。
1984年中国が改革開放を決定、同じ頃香港返還も決定し、中国市場への進出がブームとなった1990年代にカルビーは青島・香港に工場を建設、中国・香港・台湾へはそこを拠点に送られる体制が始まった。1994年香港四洲集団との合弁会社カルビー四洲を設立する。
2011年東証一部上場以降、カルビーでは海外事業の拡大を経営戦略の柱としている。そこから中国やシンガポールでグループ会社を設立し、そこで販売されるようになった。
以下、主な各国での市場状況を列挙する。
香港では2012年資料によると全蝦條の62.2%がカルビーかっぱえびせん。（2位がシェア13%）。
タイでは早くから進出したもののハナミのほうが市場制圧していた。1997年カルビータナワットでは本社に報告せずタイ人向けの味を独自に開発して発売すると、急速に売上が伸びハナミを追従するようになる。事後報告となったことで本社で一時問題となり旧来の味と並行して売り出す形となったが、新味のほうが売れたため旧来のものが生産中止になり新味で一本化することになった。
沿革 > 国内以降

かっぱえびせんは、1965年からカルビー製品内の売上トップが続いた。1972年（仮面ライダースナック）と1974年（サッポロポテトバーベQ味）は売上2位となったが、1965年から1971年、1973年、1975年から1976年は売り上げトップであった。カルビーポテトチップスうすしお味が大ブレイクした後1977年からかっぱえびせんは売上2位となり、のちにポテトチップスコンソメパンチやじゃがりこにも押され順位はさがっている。
1996年から4年間、「えびせんりゅう」という川柳がパッケージに記載されていた。1997年からパッケージにその川柳に合わせたエビの隠れキャラも登場し、話題を集めた。
2004年から、1～2才の小さな子供にも安心して食べさせられるお菓子をつくってほしいという要望に応え、また少子化時代に購買層を広げるため、幼児向けに油を使用せずエビの含有割合を増やし塩分を半分に減らした「1才からのかっぱえびせん」を発売している。
2012年、かっぱえびせん発売年と同じ年が舞台となった『ALWAYS 三丁目の夕日'64』にパートナー協賛・タイアップ広告を展開している。
2014年、発売開始50周年を迎えた。同年6月、かっぱえびせんの原点となる「かっぱあられ」シリーズの内、「味王将」と「かっぱの一番槍」の2商品が期間限定で復刻販売された。
2016年1月から、受験シーズンに合わせる形で「勝っぱえびせん」のパッケージで限定販売された。咲っポロポテト、さやご縁どう、と共に受験生応援企画キャンペーン展開の一角を担った。
2024年、60周年の還暦を迎え、1月8日には廿日市市の広島工場にて、同い年である1964年生まれのファンを招き、かっぱえびせん同窓会が開かれた。
製品 > 形状・製法

→かっぱえびせんができるまで - カルビー公式参照
1本の長さ5cm。1本では物足りず、2本3本と「やめられない止まらない」が続くギリギリの長さであるという。味が絡みやすく独特の食感になるよう、1本のかっぱえびせんあたり10本前後の筋が斜めに入る。
天然エビの頭から尾まで殻ごと入れてミンチ状にし練り込む製法は、発売当初から現在でも変わらず続いている。原料エビの産地・種類は複数あり、原産地は日本の瀬戸内海と中国・アメリカ・カナダ、種類はアカエビ・サルエビ・キシエビ・ホッコクアカエビ。エビが一番美味しくなる産卵期に漁獲し急速冷凍、それを年間通じて使っている。4種類のエビを用いながら原材料名に「えび」としか書かない理由は、時期によって漁獲量が変わることから製品内で配分が変わるため。1980年代の資料によると、カルビーでは原料のエビを調達するため瀬戸内海のエビ漁師と契約しており、かつてのパンフレットには複数の契約漁師からなる「カルビー船団」の出漁風景の写真が記載されていた。
ノンフライ製法であり、炒ってから油を吹き付ける製法を採用している。炒ることでサクサクの食感になり、そのままでは味や舌触り、のどごしに滑らかさが出ないため油を吹き付けている。
製品 > できたて

カルビーは2018年時点で国内に13ヶ所工場がある。うち工場見学を行っているのが3ヶ所で、かっぱえびせん製造の見学ができるのが宇都宮清原工場と広島西工場になる。事前申し込みが必要。所要時間は約1時間程度でガイド付きであり、製造工程を窓から覗いて見る形になる。できたてを試食でき、お土産に数種類もらえる。
→工場見学 - カルビー公式参照
またカルビーでは「カルビープラス」というアンテナショップを展開しているものの、できたてのかっぱえびせんは販売していない。かつて広島工場近くにあるゆめタウン廿日市内にかっぱえびせん専門店「スナックキッチン My Calbee」がありできたてのかっぱえびせんを販売していたが、現在は閉店している。
製品 > キャラクター

パッケージに描かれているエビは一般的なエビのイメージを元にデザインされたもので、特に種の特定はされず、愛称も付けられていない。
また2012年から「かっぱパパ」「かっぱえびくん」「かっぱエビーちゃん」「えびママ」からなる「かっぱえび家」というゆるキャラが登場している。先に小さい4連かっぱえびせんのパッケージの方で描かれるようになり、2020年から本製品で採用された。
→かっぱえび家をご紹介！ - カルビー公式参照
製品 > リニューアル

パッケージリニューアルは数度に渡り行われている
1964年 : 発売。当初からエビのイラスト入りで色は白基調に透明なパッケージ。当時は“かっぱあられ”の文字を表記していた。
1981年 : 現在のシンボルカラーである赤を採用。
1985年 : 味を美味しく保つため、アルミ蒸着フィルムに。
1990年 : 海をイメージしたデザインに。
1999年 : 「やめられない、とまらない」のキャッチフレーズを初めて掲載。
2002年 : リアル感のあったエビのイラストをデフォルメ化し、中央に。
2004年 : ノンフライをアピール。
2006年 : カルシウム入りをアピール。
2007年 : 初代と同じく白基調に。
2012年 : 中央のエビのイラストが際立つように白い帯があしらわれ、赤パッケージ復活。
2020年 : かっぱえび家を全面に。
2023年 : サクサク感UPをアピール。
商品一覧 > 現行

2020年公式サイトに記載されている商品を列挙する。
かっぱえびせん
1歳からのかっぱえびせん
かっぱえびせん塩分35%カット
甘えび
ごま油香るのり塩味
山わさび味 - 北海道限定
にんにく醤油 - 東北関東甲信越限定
関西だししょうゆ - 近畿限定
瀬戸内レモン味 - 中四国限定
九州しょうゆ - 中四国九州沖縄限定
たこ焼き味 - 関西限定
明太子味 - 九州限定
みっちゃんお好み焼味 - 中四国限定
匠海 海人の藻塩味
匠海 海人の藻塩味 広島県限定デザイン - 広島県限定
匠海 瀬戸内レモン味 - 広島県限定
匠海 藻塩とかどやごま油仕立て
その他、店舗限定商品も存在する。
えび対カニ味 - ツルハドラッグ限定（2024年）。
新幹線懐かしの食堂車ビーフカレー味 - 東京駅〜新大阪駅のKiosk、その他限定（2024年）。
商品一覧 > 過去

1986年からシリーズ展開を開始し、通常の塩味以外にもフレンチサラダ味、ごま油風味、えびちりソース味、さくさくチーズ味、おつまみ海老、ピリピリマヨネーズ味、ローストガーリック味、辛一味醤油味、松茸風味、韓国のり味、香港バーベキュー味、タイスパイシーヤンミー味、タイトムヤム味、紀州の梅 焼きのり風味、本わさび味、辛口たまりしょうゆ味、荒挽きえびせん、柚子こしょう味、お茶づけ海苔味（永谷園との共同開発）、都こんぶ味（中野物産の都こんぶとのコラボ）、ごはんですよ味（桃屋海苔佃煮とのコラボ）、どろソース味（オリバーソースとのコラボ）など数多くのフレーバーが発売された。
2007年の9月下旬からは、ネット投票で再発売の要望が多かった2種類、「青じそ風味」「じんわり唐辛子」について期間・数量限定で再発売する。
この他、発売地域に合わせた地域限定品のかっぱえびせん（例：関西どろソース味、九州甘口しょうゆ味）も存在する。
CM > キャッチコピー

→「やめられない、とまらない」を参照
またカルビーでは「や(8)められない、と(10)まらない」から8月10日をかっぱえびせんの日としている。
CM > CM出演

王貞治
清水由貴子
クロード・チアリ
小林綾子
明石家さんま
ジミー大西
吹石一恵
竹野内豊
矢沢永吉
手越祐也
谷花音
CHEMISTRY
吉川晃司
高田秋
柏木由紀
など
CM > CMソング

→「やめられない、とまらない § CMソング」を参照
参考資料

松尾雅彦「スナックフーズビジネスにおける国際性 (グローバリゼーション) と地域性」『フードシステム研究』第10巻第2号、日本フードシステム学会、2003年、24-39頁、doi:10.5874/jfsr.10.2_24、2020年12月9日閲覧。
内丸 (八戸市)

| 内丸 |
| --- | --- |
 町名
 八戸市庁 （2024年9月13日）
 北緯40度30分50秒 東経141度29分17秒﻿ / ﻿北緯40.513935度 東経141.488174度﻿ / 40.513935; 141.488174座標: 北緯40度30分50秒 東経141度29分17秒﻿ / ﻿北緯40.513935度 東経141.488174度﻿ / 40.513935; 141.488174
国:   日本
都道府県:   青森県
市町村:   八戸市

 人口情報（2024年4月30日現在）
 人口:  836 人
 世帯数:  523 世帯
設置日:  1982年（昭和57年） 2月1日
郵便番号:  031-0075
市外局番:  0178
ナンバープレート:  八戸
町字ID:  0005001（一丁目） 0005002（二丁目） 0005003（三丁目）
運輸局住所コード:  02502-0684
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本八戸駅
八戸城址
内丸（うちまる）は、青森県八戸市の町名。郵便番号は031-0075。人口は836人、世帯数は523世帯（2024年4月30日現在）。現行行政地名は内丸一丁目から内丸三丁目。全域で住居表示が実施されている。旧八戸町大字八幡町、八戸市大字八幡町。
地理

八戸市の中央部に位置し、八戸市庁や八戸市公会堂、三八城公園が立地、龗神社が鎮座している八戸市中心市街地。北に城下、南に馬場町、番町、堀端町、常海町、西に売市、東に柏崎に面している。JR八戸線本八戸駅が最寄駅である。
世帯数と人口

2024年（令和6年）4月30日現在の世帯数と人口は以下の通りである。
| 丁目 | 世帯数 | 人口 |
| --- | --- | --- |
| 内丸一丁目 | 166世帯 | 265人 |
| 内丸二丁目 | 118世帯 | 192人 |
| 内丸三丁目 | 239世帯 | 379人 |
| 計 | 523世帯 | 836人 |
沿革

→八戸城の歴史については「八戸城」を、三八城公園の歴史については「三八城公園」を、三八城神社の歴史については「三八城神社」を参照
1958年（昭和33年）1月1日 - 「八戸市大字八幡町」から改称され「八戸市内丸」と称される。
1958年（昭和33年） - 八戸市公民館が開館。
1971年（昭和46年) 2月1日 - 国鉄八戸駅が本八戸駅に改称。
1977年（昭和52年）7月 - 国鉄八戸線の路線が高架化する。
1978年（昭和53年）2月1日 - 柏崎・小中野地区の住居表示が実施され、内丸の一部が柏崎一丁目に変更される。
1982年（昭和57年）2月1日 - 内丸地区の住居表示が実施され、内丸一丁目から三丁目に区画される。
沿革 > 町名の変遷

| 実施後 | 実施年月日 | 実施前（特記無き場合は各字名の一部） |
| --- | --- | --- |
| 内丸一丁目 | 1982年2月1日 | 内丸、城下一丁目、大字堀端町、大字馬場町、大字売市字右水門下、同字上織笠、大字柏崎字宇和田の全部、同字二間橋沖の全部、大字沼館字上沼田の全部 |
| 内丸二丁目 | 1982年2月1日 | 内丸 |
| 内丸三丁目 | 1982年2月1日 | 内丸、大字常海町、大字柏崎字常海下の全部 |
由来

江戸時代に八戸城が置かれていたことに由来する。
交通 > 鉄道

JR東日本八戸線 - 本八戸駅
交通 > 道路

青森県道23号本八戸停車場線
八戸市内丸地区での住居表示における新旧対照図。
入野中山台

| 入野中山台 |
| --- | --- |
 町丁
 東広島市立入野小学校
 ja北緯34度27分14秒 東経132度51分37秒﻿ / ﻿北緯34.45389度 東経132.86028度﻿ / 34.45389; 132.86028座標: 北緯34度27分14秒 東経132度51分37秒﻿ / ﻿北緯34.45389度 東経132.86028度﻿ / 34.45389; 132.86028
国:   日本
都道府県:   広島県
市町村:   東広島市

 人口情報（2024）
 人口:  1,232 人
設置日:  2010年12月6日
郵便番号:  739-2209
市外局番:  082
ナンバープレート:  広島
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入野中山台（にゅうのなかやまだい）とは、広島県東広島市の町丁。一丁目から五丁目まで設定されており、全域で住居表示実施済である。
概要

2010年12月6日に、河内町入野の一部が分離されて設置された。南でわずかに河内臨空団地に接しているものの、ほぼ河内町入野によって囲まれているような形になっている。
町域はグリューネン入野と呼ばれるニュータウンになっており、1991年から整備が開始されている。
交通 > 鉄道

町内に鉄道路線は通っていない。最寄り駅はJR山陽本線の入野駅（河内町入野）。
交通 > バス

町内にバス路線は通っていない。河内町入野にある「臨空団地入口」バス停が最寄りである。
施設

サールナート幼稚園
東広島市立入野小学校
グリューネン入野販売センター
学区

公立小学校に通学する場合、入野小学校ならびに河内中学校に通学することになる。
世帯数・人口

2024年9月末での世帯数・人口は以下の通りである。
入野中山台一丁目：25世帯、62人
入野中山台二丁目：150世帯、367人
入野中山台三丁目：91世帯、288人
入野中山台四丁目：107世帯、328人
入野中山台五丁目：59世帯、187人
ファンシー・ゲーム

『ファンシー・ゲーム』は宝塚歌劇団の舞台作品。宝塚以外の公演では『ニュー・ファンシー・ゲーム』に改題している。
星組公演。
宝塚公演の併演作品は『響け!わが歌』、その他・公演は『美しき忍びの季節』。
解説

※『宝塚歌劇100年史（舞台編）』の宝塚大劇場公演のページを参照
ヒロイン（演：東千晃）をひたすら愛し、危険から彼女を守ろうとするヒーロー（演：瀬戸内美八）。そこに誘惑者であるライバル（演：峰さを理）が加わり、この三人が追いつ追われつ不思議な世界を駆け抜けていく、三人の男女の愛の葛藤をテーマにしたショー作品。
三木章雄は宝塚大劇場での演出家デビュー作品となった。
公演期間と公演場所

1980年8月14日 - 9月30日　宝塚大劇場
1980年12月4日 - 12月27日　東京宝塚劇場
1981年5月1日 - 5月5日　福岡市民会館
1981年5月7日 - 5月22日　中津川、奈良、福山、備前、広島、柏、浜松、豊橋、多治見、青森、三沢、八戸、盛岡
1981年6月6日 - 6月28日　一宮、小牧、横浜、西尾、諫早、菊池、大川、唐津、熊本、呉、岡山、北九州八幡、北九州小倉、飯塚、那覇、沖縄
宝塚大劇場公演のデータ

形式名は「スーパー・ファンタジー」。16景。
宝塚大劇場公演のデータ > スタッフ（宝塚大劇場）

作・演出：三木章雄
音楽：寺田瀧雄、高橋城、筒井広志
音楽指揮：橋本和明
振付：朱里みさを、県洋二、羽山紀代美、謝珠栄
装置：大橋泰弘
衣装：任田幾英
照明：今井直次
音響：松永浩志
小道具：万波一重
効果：川ノ上智洋
演出補：村上信夫
演出助手：中村暁、石田昌也
制作：久国高
ヘア・デザイン：和田好弘
ニース杯

→2016-2017年シーズンについては2016年ニース杯を参照
ニース杯（フランス語: Coupe de Nice クープ・ド・ニース, 英語: Cup of Nice）は、フランスのニースで開かれるフィギュアスケートの国際大会。フランス氷上競技連盟またはニースフィギュアスケートクラブの主催、もしくは共催により、国際スケート連盟規定に基づき開催される。
概要

1995年に始まった大会で例年10月または11月にシニア、ジュニア、ノービスクラスで競技が行われる。1995-2017年は毎年開催、2018-2020年は開催せず、2021年は開催された。
当初はクラブ対抗戦として開催されていたが、2006年から国際スケート連盟のシーズンカレンダーに掲載される国際大会として催されている。
2009年には初めてアイスダンス競技が行われた一方で、各クラスのノービスクラス、ペアのジュニアクラスの競技は行われなかった。
2021年から名称がトロフィー・メトロポール・ニース・コート・ダジュール（フランス語: Trophée Métropole Nice Côte d'Azur）に変更となった。
歴代メダリスト > シニアクラス > 男子シングル

| 年 | 金 | 銀 | 銅 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1995 |  Terence Besnier |  |  |
| 1996 |  Terence Besnier |  |  |
| 1997 |  オレグ・タタウロフ |  |  |
| 1998 |  Terence Besnier |  |  |
| 1999 |  Anton Smirnov |  |  |
| 2000 |  David Jaschke |  Gregory Reverdiau |  アンドレイ・グリアゼフ |
| 2001 |  サムエル・コンテスティ |  |  |
| 2002 |  Kostia MENSHOV |  |  |
| 2003 |  ダミアン・ジョルジヴィッチ |  Baptiste Porquet |  サムエル・コンテスティ |
| 2004 |  アンドレイ・グリアゼフ |  サムエル・コンテスティ |  スタニック・ジャネット |
2005: 中止
| 2006 |  アンドレイ・ルータイ |  プシェミスワフ・ドマンスキー |  アドリアン・シュルタイス |
| 2007 |  ヤニック・ポンセロ |  コンスタンチン・メンショフ |  ジェレミー・コロ |
| 2008 |  ヤニック・ポンセロ |  アルバン・プレオベール |  イゴール・マチプラ |
| 2009 |  アルトゥール・ガチンスキー |  アルバン・プレオベール |  ハビエル・フェルナンデス |
| 2010 |  アルトゥール・ガチンスキー |  コンスタンチン・メンショフ |  アルバン・プレオベール |
| 2011 |  キーガン・メッシング |  シャフィク・ベセギエ |  コンスタンチン・メンショフ |
| 2012 |  キーガン・メッシング |  マックス・アーロン |  ペーター・リーベルス |
| 2013 |  トマシュ・ベルネル |  コンスタンチン・メンショフ |  ジャン・ブシュ |
| 2014 |  アレクサンドル・ペトロフ |  アルトゥール・ドミトリエフ |  田中刑事 |
| 2015 |  シャフィク・ベセギエ |  アレクサンデル・マヨロフ |  ドミトリー・アリエフ |
| 2016 |  シャフィク・ベセギエ |  アントン・シュレポフ |  マカール・イグナトフ |
| 2017 |  閻涵 |  ヨリック・ヘンドリックス |  ペーター・リーベルス |
| 2021 |  リュック・エコノミド |  ロマン・ポンサール |  Davide Lewton Brain |
| 2022 |  アダム・シャオ・イム・ファ |  リュック・エコノミド |  Davide Lewton Brain |
| 2023 |  アダム・シャオ・イム・ファ |  François Pitot |  Corentin Spinar |
| 2024 CS |  アダム・シャオ・イム・ファ |  ルーカス・ブリッチギー |  ミハイル・セレフコ |
歴代メダリスト > シニアクラス > 女子シングル

| 年 | 金 | 銀 | 銅 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1995 |  Magda Gorska |  |  |
| 1996 |  Vania Spechia |  |  |
| 1997 |  Ekatarina Siniapkina |  |  |
| 1998 |  Rita Chabinska |  |  |
| 1999 |  ゾヤ・ドゥーシン |  |  |
| 2000 |  Veronika Diewald |  タチアナ・バソワ |  アンドレア・ディーヴァルト |
| 2001 |  サビーナ・ヴォイタラ |  |  |
| 2002 |  タチアナ・バソワ |  アンナ・ユルキェビッチ |  Veronika Diewald |
| 2003 |  アンゲリーナ・トゥレンコ |  ヴァネッサ・グスメロリ |  マルティーナ・ササネッリ |
| 2004 |  アン＝ソフィー・カルヴェズ |  フルール・マクスウェル |  アリマ・ゲルシュコヴィチ |
2005: 中止
| 2006 |  パヴク・ヴィクトーリア |  ヘンリーッカ・ヒエタニエミ |  ヴィクトリア・ヘルゲソン |
| 2007 |  パヴク・ヴィクトーリア |  アンナ・ユルキェビッチ |  ヴァネッサ・ジェームス |
| 2008 |  コンスタンツェ・パウリヌス |  アリョーナ・レオノワ |  ステファニア・ベルトン |
| 2009 |  クセニヤ・マカロワ |  ヴァレンティーナ・マルケイ |  今井遥 |
| 2010 |  アリョーナ・レオノワ |  ヴァレンティーナ・マルケイ |  マエ＝ベレニス・メイテ |
| 2011 |  ポリーナ・アガフォノワ |  ナタリヤ・ポポワ |  アンナ・オフチャロワ |
| 2012 |  ポリーナ・コロベイニコワ |  イザベル・オルソン |  クリスティーナ・ザシーワ |
| 2013 |  マリア・アルテミエワ |  キリ・バガ |  ナタリー・ヴァインツィアール |
| 2014 |  エリザベータ・トゥクタミシェワ |  大庭雅 |  イザベル・オルソン |
| 2015 |  エリザベータ・トゥクタミシェワ |  アリョーナ・レオノワ |  ロリーヌ・ルカヴァリエ |
| 2016 |  マエ＝ベレニス・メイテ |  ルナ・ヘンドリックス |  ロリーヌ・ルカヴァリエ |
| 2017 |  アリサ・フェディチキナ |  李香凝 |  アンナ・フニチェンコワ |
| 2021 |  リー・セルナ |  エリスカ・ブレジノワ |  ユリア・ザウター |
| 2022 |  リー・セルナ |  Jade Hovine |  Maïa Mazzara |
| 2023 |  Emmi Peltonen |  Mariia Seniuk |  Alexandra Feigin |
| 2024 CS |  キム・チェヨン |  ニーナ・ペトロキナ |  Fee Ann Landry |