Luas permukaan
Definisi

Selagi luas dari banyak permukaan sederhana sudah diketahui sejak zaman dahulu, definisi yang akurat dari luas membutuhkan banyak perhatian. Ini seharusnya menyediakan suatu fungsi  S\mapsto A(S)yang memberikan suatu bilangan real positif ke suatu kelas permukaan tertentu yang memenuhi beberapa syarat. Sifat yang paling fundamental dari luas permukaan adalah keaditifan (additivity), yang berbunyi bahwa luas keseluruhannya adalah penjumlahan dari luas bagian-bagian. Dalam penjelasan yang lebih tepatnya, jika suatu permukaan  S adalah gabungan dari banyak bagian-bagian mulus  S_{1},\dots ,S_{r} yang tak bertumpang tindih, kecuali di batas bagian-bagian tersebut, maka  A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).
Luas permukaan dari bangun yang berbentuk poligon datar harus sesuai dengan luas yang didefinisikan secara geometris. Oleh karena luas permukaan adalah gagasan geometris, luas dari permukaan yang kongruen harus sama dan luasnya harus bergantung hanya pada bangun permukaannya, tetapi tidak pada posisinya dan orientasi di dalam ruang. Hal Ini mengartikan bahwa luas permukaan invarian di bawah grup gerakan Euklides. Sifat-sifat ini mencirikan luas permukaan sebagai suatu kelas permukaan geometris yang sangat besar, yang dikenal dengan sebutan piecewise smooth. Permukaan tersebut tersusun atas banyak potongan yang dapat dinyatakan dengan bentuk parametrik S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in Ddengan fungsi kontinu terdiferensialkan  {\vec {r}}. Luas dari suatu potongan individual didefinisikan dengan rumus A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.
Dengan demikian, luas dari  S_{D} diperoleh dengan mengintegrasikan panjang dari vektor normal  {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v} ke permukaan di atas daerah  D yang sesuai di bidang  uv parametrik. Luas dari suatu permukaan diperoleh dengan menjumlahkan luas dari bagian-bagiannya dengan menggunakan keaditifan dari luas permukaan. Rumus utamanya dapat ditentukan untuk kelas permukaan yang berbeda, yang dinyatakan secara khusus untuk rumus luas grafik  z=f(x,y) dan permukaan benda putar.
Salah satu kehalusan luas permukaan, jika dibandingkan dengan panjang busur kurva, adalah luas permukaan itu tidak bisa didefinisikan secara sederhana sebagai limit dari luas bentuk-bentuk polihedral mendekati sebuah diberikan permukaan mulus. Itu didemonstrasikan oleh Hermann Schwarz yang sudah untuk tabung, pilihan yang berbeda untuk mendekati permukaan datar dapat meyebabkan nilai pembatas yang berbeda, contoh ini dikenal sebagai lentera Schwarz.
Berbagai pendekatan untuk sebuah definisi umum luas permukaan dikembangkan di akhir abad kesembilanbelas dan awal abad keduapuluh oleh Henri Lebesgue dan Hermann Minkowski. Sedangkan untuk permukaan mulus sedikit demi sedikit, terdapat sebuah gagasan alami yang unik dari luas permukaan, jika sebuah permukaan sangat tidak teratur, atau kasar, maka itu mungkin tidak memungkinkan untuk menetapkan sebuah luas sama sekali. Sebuah contoh khas diberikan oleh sebuah permukaan dengan paku yang tersebar dengan cara yang padat. Banyak permukaan dari jenis ini terjadi dalam studi tentang fraktal. Perpanjangan dari gagasan luas yang sebagian memenuhi fungsinya dan dapat didefinisikan bahkan untuk permukaan tidak teratur yang sangat buruk dipelajari dalam teori pengukur geometris.