Grup siklik
Definisi dan notasi

Untuk setiap elemen  g  dalam grup  G , seseorang dapat membentuk subgrup dari semua pangkat bilangan bulat ⟨g⟩ =  {gk | k ∈ Z}, disebut  'subgrup siklik'  dari  g .  urutan dari  g  adalah jumlah elemen dalam ⟨g⟩; yaitu, urutan elemen sama dengan urutan subgrup sikliknya.
Grup siklik  adalah grup yang sama dengan salah satu subgrup sikliknya: G = ⟨g⟩ untuk beberapa elemen  g , disebut   generator .
Untuk grup siklik hingga  G  dengan urutan  n  kami memiliki  G  = {e, g, g2, ... , gn−1}, di mana  e  adalah elemen identitas dan gi = gj jika  i  ≡  j  ( mod  n ); khususnya gn = g0 = e, dan g−1 = gn−1. Grup abstrak yang ditentukan oleh perkalian ini sering dilambangkan dengan C  n ,  dan kami mengatakan bahwa  G  adalah  isomorfis ke grup siklik standar Cn. Grup seperti itu juga isomorfik Z/nZ, grup bilangan bulat modulo  n  dengan operasi penjumlahan, yang merupakan grup siklik standar dalam notasi aditif. Di bawah isomorfisme  χ  yang didefinisikan oleh χ(gi) = i elemen identitas  e  sesuai dengan 0, hasil kali sesuai dengan jumlah, dan pangkat sesuai dengan kelipatan.
Misalnya, himpunan kompleks ke-6  akar kesatuan
G=\left\{\pm 1,\pm {\left({\tfrac {1}{2}}{+}{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)},\pm {\left({\tfrac {1}{2}}{-}{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}\right\}
membentuk grup di bawah perkalian. Ini siklik, karena dihasilkan oleh 
akar primitif  z={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i=e^{2\pi i/6}: itu adalah, G = ⟨z⟩ = { 1, z, z2, z3, z4, z5 } dengan z6 = 1. Di bawah perubahan huruf, ini isomorfik ke (secara struktural sama dengan) kelompok siklik standar orde 6, didefinisikan sebagai C6 = ⟨g⟩ = { e, g, g2, g3, g4, g5 } dengan perkalian gj · gk = gj+k (mod 6), seperti g6 = g0 = e.  Grup pada isomorfik Z/6Z = {0,1,2,3,4,5} dengan operasi penambahan  modulo 6, dengan zk dan gk sesuai dengan  k . Sebagai contoh, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) sesuai dengan z1 · z2 = z3, dan 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) corresponds to z2 · z5 = z7 = z1, dan seterusnya. Setiap elemen menghasilkan subgrup sikliknya sendiri, seperti ⟨z2⟩ = { e, z2, z4 } dari urutan 3, isomorfik pada C3 dan Z/3Z; dan ⟨z5⟩ = { e, z5, z10 = z4, z15 = z3, z20 = z2, z25 = z } = G, sehingga  z  5  memiliki urutan 6 dan merupakan generator alternatif  G .
Alih-alih notasi  hasil bagi Z/nZ, Z/(n), atau Z/n, beberapa penulis menunjukkan grup siklik berhingga sebagai Zn, tetapi ini bertentangan dengan notasi teori bilangan, di mana Zp menunjukkan gelanggang bilangan  p -adic, atau  pelokalan pada prime ideal.
| p1, (*∞∞) | p11g, (22∞) |
| --- | --- |

 
Dua grup dekorasi bersifat isomorfik terhadap Z. Dengan satu generator, p1 memiliki terjemahan dan p11g memiliki pantulan luncuran.
On the other hand, in an infinite cyclic group G = ⟨g⟩, the powers gk give distinct elements for all integers k, so that G = { ... , g−2, g−1, e, g, g2, ... }, and G is isomorphic to the standard group C = C∞  and to Z, the additive group of the integers. An example is the first frieze group. Here there are no finite cycles, and the name "cyclic" may be misleading.
Untuk menghindari kebingungan ini,  Bourbaki memperkenalkan istilah grup monogen untuk grup dengan generator tunggal dan "grup siklik" yang dibatasi berarti grup monogen terbatas, menghindari istilah "grup siklik tak terbatas".