Produk setengah langsung
Hasilkali setengah langsung dalam dan luar

Pertama-tama mari kita pertimbangkan produk semidirect bagian dalam. Dalam kasus ini, untuk grup  G, pertimbangkan subgrup normalnya   N  dan subgrup   H  (belum tentu normal). Asumsikan bahwa
kondisi pada daftar di atas tahan. Karena Aut(N) menunjukkan grup dari semua automorfisme dari   N , yang merupakan grup dalam komposisi. Bangun homomorfisme grup φ: H → Aut(N) didefinisikan dengan konjugasi φ(h)(n) = hnh−1 untuk semua   h  di   H  dan   n  pada   N . Ekspresi φ(h) sering ditulis sebagai φh untuk singkatnya. Dengan cara ini kita dapat membuat grup  G'=(N,H) dengan operasi grup didefinisikan sebagai  (n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi (h_{1})(n_{2}),\,h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2}) dari n1, n2 pada N dan h1, h2 in H. Subkelompok   N  dan   H  menentukan isomorfisme   G  hingga, seperti yang akan kita tunjukkan nanti. Dengan cara ini, kita bisa membuat grup   G  dari subgrupnya. Konstruksi semacam ini disebut produk setengah langsung bagian dalam'.
Sekarang mari kita pertimbangkan hasil kali setengah langsung luar. Diberikan dua grup apa saja   N  dan   H  dan satu kelompok homomorfisme φ: H → Aut(N), kita bisa membuat grup N ⋊φ H, disebut produk setengah langsung luar dari   N  dan   H  sehubungan dengan φ, defined as follows:
Set yang mendasarinya adalah Produk Kartesius N × H.
Operasi grup  \bullet  ditentukan oleh homomorfisme φ:
 {\begin{aligned}\bullet :(N\rtimes _{\varphi }H)\times (N\rtimes _{\varphi }H)&\to N\rtimes _{\varphi }H\\(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}\varphi (h_{1})(n_{2}),\,h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})\end{aligned}}
dari n1, n2 pada N dan h1, h2 pada H.
Mendefinisikan grup di mana elemen identitasnya adalah (eN, eH) dan kebalikan dari elemen (n, h) adalah (φh−1(n−1), h−1). (n, eH) membentuk subkelompok normal isomorfik menjadi   N , sementara (eN, h) membentuk subkelompok isomorfik ke   H . Grup lengkap adalah produk setengah-langsung dari dua subgrup tersebut dalam pengertian yang diberikan sebelumnya.
Sebaliknya, misalkan kita diberi grup   G  dengan subgrup normal   N  dan subgrup   H , sedemikian rupa sehingga setiap elemen   g  dari   G  dapat ditulis secara unik dalam bentuk g = nh di mana   n  terletak di   N  dan   h  ada di   H . Maka φ: H → Aut(N) jadilah homomorfisme (tertulis φ(h) = φh) given by
untuk n ∈ N, h ∈ H.
Maka   G  isomorfik pangkat semidirect N ⋊φ H. Isomorfisme λ: G → N ⋊φ H didefinisikan dengan baik
oleh λ(a) = λ(nh) = (n, h) karena keunikan dekomposisi a = nh.
Di   G , kami punya
Jadi, untuk a = n1h1 dan b = n2h2 maka
yang membuktikan bahwa   λ  adalah homomorfisme. Karena   λ  jelas merupakan epimorfisme dan monomorfisme, maka itu memang merupakan isomorfisme. Ini juga menjelaskan definisi aturan perkalian di N ⋊φ H.
Produk langsung adalah kasus khusus dari produk semidirect. Untuk melihat ini, maka   φ  menjadi homomorfisme yang sepele (yaitu, mengirim setiap elemen   H  ke automorfisme identitas   N ) lalu N ⋊φ H adalah produk langsung N × H.
Versi lemma pemisah untuk grup menyatakan bahwa grup   G  isomorfik untuk produk semidirect dari dua grup   N  dan   H  jika dan hanya jika terdapat  urutan tepat pendek
dan homomorfisme grup γ: H → G seperti yang α ∘ γ = idH,  peta identitas di   H . Pada kasus ini, φ: H → Aut(N) diberikan oleh φ(h) = φh, dimana