stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Rangkap tiga Pythagoras
Hubungan dengan bilangan bulat Gauss

Secara bergantian, rumus Euclid dapat dianalisis dan dibuktikan menggunakan bilangan bulat Gauss. Bilangan bulat Gauss merupakan bilangan kompleks dari bentuk  \alpha =u+vi, dimana  u dan  v adalah bilangan bulat biasa dan  i adalah akar kuadrat dari negatif satu. Satuan bilangan bulat Gauss adalah  \pm 1 dan  \pm i. Bilangan bulat biasa disebut bilangan bulat rasional dan dilambangkan sebagai  \mathbb {Z} . Bilangan bulat Gauss dilambangkan sebagai  \mathbb {Z} [i]. Ruas sebelah kanan dari teorema Pythagoras dapat difaktorkan dalam bilangan bulat Gauss:
Sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif adalah salah satu di mana  a dan  b adalah koprima, yaitu, mereka tidak membagi faktor bilangan prima dalam bilangan bulat. Untuk seperti sebuah rangkap tiga, baik  a maupun  b adalah genap, dan lainnya ganjil; dari ini, mengikuti bahwa  c juga ganjil.
Dua faktor  z:=a+bi dan  z^{\star }:=a-bi rangkap tiga Pythagoras setiap sama dengan kuadrat bilangan Gauss. Ini dapat dibuktikan menggunakan sifat bahwa setiap bilangan bulat Gauss dapat difaktorkan dengan unik menjadi bilangan prima Gauss sampai dengan satuan. (Faktorisasi tunggal ini diikuti dari dari fakta bahwa, bahasa kasarnya, sebuah versi dari algoritme Euclides dapat didefinisikan padanya.) Buktinya telah memiliki tiga langkah, Pertama, jika  a dan  b tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat, maka mereka juga tidak membagikan faktor prima dalam Gauss. (Asumsi  a=gu dan  b=gv dengan bilangan bulat Gauss  g,  u, dan  v dan  g bukanlah sebuah satuan. Maka  u dan  v terletka pada garis yang sama melalui asalnya. Semua bilangan bulat Gauss pada seperti sebuah garis adalah kelipatan bilangan bulat mengenai suatu bilangan bulat Gauss  h. Tapi kemudian bilangan bulat  gh\neq \pm 1 membagi keduanya  a dan  b.) Kedua, ini mengikuti bahwa  z dan  z^{\star } juga tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat Gauss. Untuk jika melakukannya, maka pembagi persekutuan  \delta  juga akan membagi  z+z^{\star }=2a dan  z-z^{\star }=2ib. Karena  a dan  b adalah koprima, yang menyiratkan bahwa  \delta  membagi  2=(1+i)(1-i)=i(1-i^{2}). Dari rumus  c^{2}=zz^{\star }, yang ternyata akan menyiratkan bahwa  c adalah genap. Ketiga, karena  c^{2} adalah sebuah bilangan kuadrat, setiap bilangan prima Gauss dalam faktorisasinya adalah berganda, yaitu, muncul sebuah genap perkalian. Karena  z dan  z^{\star } tidak membagikan faktor prima, pengandaan ini juga benar untuknya. Karena itu,  z dan  z^{\star } adalah bilangan kuadrat.
Demikian, faktor pertamanya dapat ditulis
Bagian real dan imajiner persamaan ini memberikan dua rumus:
Untuk suatu rangkap tiga Pythagoras primitif, pasti ada bilangan bulat  m dan  n sehingga kedua persamaannya memenuhi. Karena itu, setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dihasilkan untuk suatu pemilihan bilangan bulat ini.
Hubungan dengan bilangan bulat Gauss > Sebagai bilangan bulat Gauss kuadrat sempurna

Jika kita menganggap kuadratnya bilangan bulat Gauss, kita mendapatkan interpretasi langsung berikut mengenai rumus Euclid sebagai wakilan kuadrat sempurna bilangan Gauss.
Menggunakan fakta bahwa bilangan bulat Gauss adalah sebuah ranah Euclides dan bahwa untuk sebuah bilangan bulat Gauss  p,  \left|p\right|^{2} selalu sebuah bilangan kuadrat ini, ini mungkin untuk menunjukkan bahwa sebuah rangkap tiga Pythagoras berpadanan dengan kuadrat bilangan bulat Gauss prima jika hipotenusanya adalah prima.
Jika bilangan bulat Gausas bukanlah prima, maka darab dua bilangan bulat Gauss  p dan  q dengan bilangan bulat  \left|p\right|^{2} dan  \left|q\right|^{2}. Karena besarannya dikalikan dalam bilangan bulat Gauss, darabnya harus  \left|p\right|\left|q\right|, yang ketika dikuadratkan untuk mencari sebuah rangkap tiga Pythagoras harus komposit. Kontrapositifnya melengkapi pembuktiannya.
Relasi untuk elips dengan dimensi integral

Dengan acuan ke gambar dan definisi dari fokus elips,  F_{1} dan  F_{2}, untuk suatu titik  P pada elips,  F_{1}P+PF_{2} adalah tetapan.
Karena titik  A dan  B adalah keduanya elips,  F_{1}A+AF_{2}=F_{1}B+BF_{2}. Karena simetri,  F_{1}A+AF_{2}=F_{2}A'+AF_{2}=AA'=2AC, dan  F_{1}B+BF_{2}=2BF_{2}. Karena itu,  AC=BF_{2}.
Demikian, jika  BCF_{2} adalah sebuah segitiga sudut siku-siku dengan sisi integral, pemisahan dari fokus, eksentrisitas linear, sumbu pendek dan sumbu panjang juga bilangan bulat semua.
Sebaran rangkap tiga

Terdapat sejumlah hasil mengenai sebaran rangkap tiga Pythagoras. Dalam plot pencar, sebuah bilangan mengenai pola yang jelas sudah nyata. Setiap kali  (a,b) mengenai sebuah pola primitif muncul dalam plot, semua kelipatan bilangan bulat  (a,b) juga muncul dalam plot, dan sifat ini menghasilkan penampakan garis yang memancar dari asalnya di diagram.
Dalam pencarnya, ada himpunan-himpunan pola parabolik dengan sebuah kerapatan tinggi titik-titik dan semua fokus pada asalnya, membuka dalam semua empat arah. Parabola yang berbeda memotong pada sumbu dan muncul untuk mencerminkan sumbu dengan sebuah sudut insidens 45 derajat, dengan sebuah parabola ketiga memasuki dalam sebuah mode tegak lurus. Dalam kuadran ini, setiap busur terpusat pada asalnya menunjukkan bahwa bagian dari parabola yang terletak di antara ujungnya dalam perpotongannya dengan rektum semi-latusnya.
Pola-pola ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika  {\frac {a^{2}}{4n}} adalah sebuah bilangan bulat, maka  \left(a,\left|n-{\frac {a^{2}}{4n}}\right|,n+{\frac {a^{2}}{4n}}\right) adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. (Faktanya setiap rangkap tiga Pythagoras  (a,b,c) dapat ditulis dalam hal ini dengan bilangan bulat  n, kemungkinan setelah penukaran  a dan  b ditukar, dan kurva padanan dengan  a dan  b. Jika  a beragam untuk diberikan  n (yaitu, pada sebuah parabola yang diberikan), nilai bilangan bulat  b berlangsung relatif dengan sering jika  n adalah sebuah bilangan kuadrat atau semua kelipatan kecil dari sebuah bilangan kuadrat. Jika beberapa di antara nilai-nilainya terjadi terletak berdekatan, parabola padanan hampir berimpit, dan kelompok rangkap tiganya dalam sebuah pita parabolik sempit. Contohnya  38^{2}=1444,  2\times 27^{2}=1458,  3\times 22^{2}=1452,  5\times 17^{2}=1445 dan  10\times 12^{2}=1440, pita parabolik padanan sekitar  n\approx 1450 jelas terlihat dalam plot pencar.
Sifat-sifat sudut digambarkan di atas mengikuti dengan seketika dari bentuk fungsional dari parabola. Parabolanya dicerminkan pada sumbu- a pada  a=2n, dan turunan  b terhadap  a pada titik ini adalah  -1, karena itu sudut insidensnya adalah  45^{\circ }. Karena kelompok, seperti semua rangkap tiga, berulang pada kelipatan bilangan bulat, nilai  2n juga padanan dengan sebuah kelompok. Parabola padanan memotong sumbu- b pada sudut siku-siku di  b=2n, dan karena itu cerminannya setelah saling tukar mengenai  a dan  b memotong sumbu- a pada sudut siku-siku pada  a=2n, tepat ketika parabola untuk  n dicerminkan pada sumbu- a. (Yang sama tentu saja benar untuk  a dan  b saling tukar.)
Albert Fässler dan lainnya menyediakan wawasan ke dalam  arti penting mengenai parabola-parabola ini dalam konteks pemetaan konformal.
Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan > Barisan Platonik

Kasus  n=1 dari konstruksi rangkap tiga Pythagoras yang lebih umum untuk waktu yang lama. Proclus, dalam komentarnya untuk Proposisi ke-47 dari buku pertama Euclid's Elements, digambarkan sebagai berikut:
Metode tertentu untuk penemuan segitiga mengenai jenis ini diturunlan, salah satunya yang mana mereka merujuk ke Plato, dan lainnya ke Pythagoras. (Yang terakhir) dimulai dari bilangan ganjil. Untuk membuatnya bilangan ganjil lebih kecil dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku, maka ini mengambil kuadratnya, mengurangi persatuan dan memuat setengah beda lebih besar dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; terakhir ini menambakan persatuan untuk ini dan demikian membentuk sisi-sisi yang tersisa.

...Untuk meotde Plato berdebat dari bilangan genap. Ini mengambil diberikan bilangan genap dan membuatnya salah satu dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; maka, membagi dua bilangan ini dan menguadratkan bentuk hipotenusa, dan mengurangi persatuannya dari bilangna kuadat untuk membentuk sisi lainnya mengenai sudut siku-siku. ...Demikian ini membentuk segitiga yang sama yang diperoleh oleh metode lainnya.
Dalam bentuk persamaan, ini menjadi:
Ini dapat ditunjukkan bahwa semua rangkap tiga Pythagoras dapat diperoleh, dengan skala ulang yang sesuai, dari barisan Platonic dasar  \left(a,{\frac {a^{2}-1}{2}}{\text{ dan }}{\frac {a^{2}+1}{2}}\right) dengan memungkinkan  a untuk mengambil nilai rasional bukan bilangan bulat. Jika  a digantikan dengan pecahan  {\frac {m}{n}} dalam barisan, hasilnya sama dengan pembangkit rangkap tiga 'standar'  \left(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}\right) setelah skala ulang. Ini mengikuti bahwa setiap rangkap tiga memiliki sebuah rasional padanan nilai  a yang dapat digunakan untuk menghasilkan sebuah segitiga sebangun (satu dengan tiga sudut yang sama dan dengan sisi-sisi dalam proposisi yang sama sebagai asalnya). Contohnya, setara Platonic  (56,33,65) dihasilkan oleh  a={\frac {m}{n}}={\frac {7}{4}} sebagai  \left(a,{\frac {a^{2}-1}{2}},{\frac {a^{2}+1}{2}}\right)=\left({\frac {56}{32}},{\frac {33}{32}}.{\frac {65}{32}}\right). Barisam Platonic sendiri dapat diturunkan[butuh klarifikasi] dengan mengikuti langkah-langkah untuk "memisahkan kuadrat' digambarkan dalam Diophantus II. VIII.
Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan > Persamaan Jacobi–Madden

Persamaan,
setara dengan rangkap tiga Pythagoras khusus
Ada sebuah jumlah penyelesaian yang takterhingga untuk persamaan ini karena meyelesaikan untuk peubahnya melibatkan sebuah kurva eliptik. Yang kecil adalah,
Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan > Jumlah sama dari dua jumlah bilangan kuadrat

Salah satu untuk menghasilkan penyelesaian untuk  a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2} adalah untuk mengukur  a,b,c,d dalam suku bilangan bulat  m,n,p,q sebagai berikut:
Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan > Jumlah sama dari dua bilangan pangkat empat

Diberikan dua himpunan rangkap tiga Pythagoras,
masalah mencari hasilkali yang sama mengenai sebuah sisi takhipotenusa dan hipotenusanya,
dengan mudah dilihat menjadi setara dengan persamaannya,
dan pertama kali dipecahkan oleh Euler sebagai  a,b,c,d=133,59,158,134. Karena beliau menunjukkan  ini adalah sebuah titik rasional dalam sebuah kurva eliptik, maka ada sebuah jumlah penyelesaian yang takhingga. Faktanya, dia juga menemukan sebuah parameterisasi polinomial derajat 7.
Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan > Teorema Lingkaran Descartes

Untuk kasus teorema lingkaran Descartes dimana semua peubah adalah bilangan kuadrat,
Euler menunjukkan ini adalah setara dengan tiga rangkap tiga Pythagoras simultan,
Terdapat juga jumlah penyelesaian yang takterhingga, dan untuk kasus khusus dimana  a+b=c, maka persamaannya menyederhanakan ke,
dengan penyelesaian yang kecil sebagai  a,b,c,d=3,5,8,14 dan dapat dipecahkan sebagai bentuk kuadratik biner.
Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan > Rangkap tiga Pythagoras hampir sama kaki

Tidak ada rangkap tiga Pythagoras adalah sama kaki, karena rasio dari hipotenusa untuk salah satu sisi lainnya adalah √2, tapi √2 tidak dapat diungkapkan sebagia rasio 2 bilangan bulat.
Itu adalah, nbnamun, segitiga bersudut siku-siku dengan sisi integral untuk yang panjangnya dari sisi takhipotenusa berbeda dengan satunya, seperti,
dan jumlah lainnya takterhingga. Mereka dapat diukur lengkap sebagai,
dimana  \{x,y\} adalah penyelesaian untuk persamaan Pell  x^{2}-2y^{2}=-1
Jika  a,  b,  c adalah sisi-sisi tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif, maka penyelesaian untuk persamaan Pell diberikan oleh rumus rekursif
Barisan ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif membentuk batang pusat dari pohon terner berakar mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif.
Ketika ini sisi takhipotenusa yang panjang dan hipotenusa yang berbeda dengan satunya, seperti di
maka penyelesaian lengkap untuk rangkap tiga Pythagoras primitif  a,  b,  c adalah
dan
dimana bilangan bulat  m>0 adalah parameter pembangkit.
Ini menunjukkan bahwa semua bilangan ganjil (lebih dari 1) muncul dalam tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif hampir sama kaki. Barisan rangkap tiga Pythagoras ini membentuk batang luar sisi sebelah kanan dari pohon terner berakar mengenai rangkap tiga Pythgoras primitif.
Sifat tipe ini lainnya mengenai rangkap tiga Pythagoras primtiif hampir sama kaki adalah bahwa sisi-sisinya berkaitan sehingga
untuk suatu bilangan bulat  K. Atau dengan kata lain  a^{b}+b^{a} habis dibagi oleh  c seperti di
Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan > Bilangan Fibonacci dalam rangkap tiga Pythagoras

Dimulai dengan 5, setiap bilangan Fibonacci adalah panjang dari hipotenus segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat, atau dengan kata lain, bilangan terbesar dalam sebuah rangkap tiga Pythagoras, diperoleh dari rumus
Barisan segitiga Pythagiras diperoleh dari rumus ini memiliki sisi panjang
Sisi tengah mengenai setiap segitiga ini adalah jumlah dari tiga sisi dari segitiga sebelumnya.
Perampatan

Terdapat beberapa cara untuk merampat konsep rangkap tiga Pythagoras.
Perampatan > Rangkap-n Pythagoras

Menggunakan identitas aljabar sederhana,
untuk sebarang  x_{0},  x_{1}, ini mudah untuk membuktikan bahwa bilangan kuadrat dari jumlah kuadrat  n adalah jumlah kuadrat  n  itu sendiri dengan memisalkan  x_{0}=x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n}^{2} dan kemudian mendistribusikan suku-suku. Salah satunya dapat lihat bagaimana rangkap tiga dan rangkap empat Pythagoras hanyalah kasus khusus  x_{0}=x_{2}^{2} dan  x_{0}=x_{2}^{2}+x_{3}^{2}, masing-masing, dan seterusnya untuk  n lain, dengan rangkap lima diberikan oleh
Karena jumlah  F(k,m) mengenai bilangan kuadrat berturutan  k diawali dengan  m^{2} diberikan oleh rumus,
salah satunya dapat mencari nilai  (k,m) sehingga  F(k,m) adalah sebuah bilangan kuadrat, seperti saklah satunya oleh Hirschhorn dimana jumlah suku-suku adalah sebuah bilangan kuadrat itu sendiri,
dan  v\geq 5 adalah suatu bilangan bulat tidak habs dibagi oleh 2 atau 3. Untuk kasus terkecil  v=5, karena  k=25, ini menghasilkan masalah pengepakan peluru meriam terkenal dari Lucas.
sebuah fakta yang terhubung dengan kekisi Leech.
Sebagai tambahan, jka dalam sebuah rangkap- n Pythagoras ( n\geq 4), semua penambahan adalah berturutan kecuali satu, satunya dapat menggunakan persamaannya,
Karena pangkat dua  p membatalkan, ini hanya linear dan dengan mudah dipecahkan sebab ketika  p={\frac {F(k,m)-1}{2}} meskipun  k,  m seharusnya dipilih sehingga  p adalah sebuah bilangan bulat, dengan sebuah contoh kecil menjadi  k=5,  m=1 menghasilkan,
Demikian, salah satu cara untuk menghasilkan rangkap- n Pythagoras adalah dengan menggunakan, untuk berbagai  x,
dimana  q=n-2 dan dimana
Perampatan > Rangkap-n Pythagoras > Rangkap empat Pythgoras

Sebuah himpunan empat bilangan bulat positif  a,  b,  c, dan  d sehingga  a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2} disebut rangkap empat Pythagoras. Contoh paling sederhananya adalah  (1,2,2,3), karena  1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}. Contoh (primitif) paling sederhana berikutnya adalah  (2,3,6,7) karena  2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}.
Semua rangkap empat diberikan oleh rumus
Perampatan > Teorema Terakhir Fermat

Sebuah perampatan dari konsep rangkap tiga Pythagoras adalah penelusuran untuk rangkap tiga bilangan bulat positif   a,  b, dan  c , sehingga  a^{n}+b^{n}=c^{n}, untuk suatu  n sempurna lebih besar dari 2. Pierre de Fermat pada tahun 1637 mengklaim bahwa seperti rangkap tiga itu tidak ada, sebuah klaim yang datang diketahui sebagai Teorema Terakhir Fermat karena ini mengambil lebih lama dari suatu konjektur lainnya oleh Fermat untuk dibuktikan atau dibantah. Bukti pertama diberikan oleh Andrew Wiles pada tahun 1994.
Perampatan > Menjumlahkan bilangan pangkat ke- n-1 atau  n untuk sebuah bilangan pangkat  n

Perampatan lainnya adalah penelusuran untuk barisan bilangan bulat positif  n+1 untuk yang bilangan pangkat ke- n terakhirnya adalah jumlah pangkat ke- n  dari suku sebelumnya. Barisan terkecil untuk nilai  n yang dikenal adalah:
n=3\colon \{3,4,5;6\}
n=4\colon \{30,120,272,315;353\}
n=5\colon \{19,43,46,47,67;72\}
n=7\colon \{127,258,266,413,430,439,525;568\}
n=8\colon \{90,223,478,524,748,1088,1190,1324;1409\}
Untuk kasus  n=3, di mana  x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}, disebut kubik Fermat, sebuah rumus umum ada memberikan semua penyelesaian.
Sebuah sedikit perampatan yang berbeda memungkinkan jumlah pangkat ke- (k+1) menyamakan jumlah pangkat ke- (n-k). Contohnya:
(n=3)\colon 1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}, dibuat terkenal oleh ingatan Hardy mengenai sebuah percakapan dengan Ramanujan tentang bilangan 1729 menjadi bilangan terkecil yang dapat diungkapkan sebagai sebuah jumlah dua kubik dalam dua cara yang berbeda.
Ini juga ada bilangan bulat positif  n-1 yang jumlah pangkat ke- n (meskipun, oleh teorema terakhir Fermat, bukan untuk  n=3); ini adalah contoh berlawanan dengan jumlah Euler mengenai konjektur pangkat. Contoh berlawanan terkecil yang dikenal adalah
n=4\colon (95800,217519,414560;422481)
n=5\colon (27,84,110,133;144)
Perampatan > Rangkap tiga segitiga Heron

Sebuah segitiga Heron biasanya didefinisikan sebagai salah satunya dengan sisi bilangan bulat yang luasnya juga sebuah bilangan bulat, dan kita harus menganggap segitiga Heron dengan sisi bilangan bulat yang berbeda. Panjang dari sisi seperti sebuah segitiga membentuk sebuah rangkap tiga Heron  (a,b,c) disediakan  a<b<c. Setiap rangkap tiga Pythagoras adalah sebuah rangkap tiga Heron, karena setidaknya salah satu dari kaki  a,  b harus menjadi genap dalam sebuah rangkap tiga Pythagoras, jadi luasnya  {\frac {ab}{2}} adalah sebuah bilangan bulat. Tidak setiap rangkap tiga Heorn adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, namun, sebagai contoh  (4,13,15) dengan luas 24 yang ditunjukkan.
Jika  (a,b,c) adalah sebuah rangkap tiga Heron, begitu juga  (ma,mb,mc) dimana  m adalah suatu bilangan bulat positif; luasnya akan menjadi bilangan bulat yaitu  m^{2} dikali luas bilangan bulat dari segitiga  (a,b,c). Rangkap tiga Heron  (a,b,c) adalah primitif disediakan  a,  b,  c adalah koprima sehimpunan. (Dengan rangkap tiga Pythagoras primitif, pernyataan yang lebih kuat yang mereka adalah koprima sepasangan juga menerapkan, tapi dengan segitiga Heron primitif, pernyataan yang lebih kuat tidak selalu berlaku benar, seperti dengan  (7,15,20).) Disini ada beberapa rangkap tiga Heron primitif paling sederhana yang bukan rangkap tiga Pythagoras:
Oleh rumus Heron, syarat tambahan untuk sebuah rangkap tiga bilangan bulat  (a,b,c) dengan  a<b<c menjadi Heron adalah
atau dengan setara
menjadi bilangan kuadrat sempurna taknol habis dibagi 16.
Perampatan > Penerapan untuk kriptografi

Rangkap tiga Pythagoras primitif telah digunakan dalam kriptografi sebagai barisan acak dan untuk generasi kunci.
Lihat pula

Aritmetika modular
Batu bata Euler
Bilangan prima Pythagoras
Bilangan takhipotenusa
Diophantus II. VIII
Identitas trigonometrik
Kongruum
Masalah rangkap tiga Pythagoras Boole
Plimpton 322
Rangkap tiga Eisenstein
Rangkap empat Pythagoras
Rumus setengah sudut tangen
Segitiga bilangan bulat
Segitiga Heron
Teorema 90 Hilbert
Pranala luar

Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Pythagorean numbers", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Interactive Calculator for Pythagorean Triples
The negative Pell equation and Pythagorean triples
Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
Price, H. Lee (2008). "The Pythagorean Tree: A New Species".  arΧiv:0809.4324 [math.HO].
Pythagorean Triples and the Unit Circle, bab 2–3, di "A Friendly Introduction to Number Theory" oleh Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
Pythagorean Triples di cut-the-knot Interactive Applet menunjukkan hubungan lingkaran satuan dengan Rangkap Tiga Pythagoras
Pythagorean Triplets
The Remarkable Incircle of a Triangle
Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples di cut-the-knot
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Pythagorean Triple". MathWorld.
Plot pencar kaki  (a,b) dari rangkap tiga Pythagoras pertama dengan  a dan  b lebih kecil dari 6000. Nilai negatif tercakup untuk mengilustrasikan pola parabolik. "Sinar"nya merupakan sebuah hasil dari fakta bahwa jika  (a,b,c) adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan  (2a,2b,2c),  (3a,3b,3c) dan, lebih umumnya,  (ka,kb,kc) untuk suatu bilangan bulat positif  k.
Rangkap tiga Pythagoras primitif. Kaki ganjil  a diplot pada sumbu horizontal, kaki genap  b pada vertikal. Kisi kurvilinear dikomposisi oleh kurva mengenai tetapan  m-n dan tetapan  m+n dalam rumus Euclid.
Sebuah plot mengenai rangkap tiga dihasilkan oleh rumus Euclid menyusun bagian dari kerucut  z^{2}=x^{2}+y^{2}. Sebuah tetapan  m dan  n melacak bagian parabola mengenai kerucut.
3,4,5, memetakan ke x,y, titik  \left({\frac {4}{5}},{\frac {3}{5}}\right) pada lingkaran satuan.
Titik rasional pada sebuah lingkaran berpadanan, terhadap projeksi stereografik, dengan titik rasional dari garis.
Projeksi stereografik dari lingkaran satuan ke dalam sumbu- x. Diberikan sebuah titik  P pada lingkaran satuan, gambar sebuah garis dari  P ke titik  N=(0,1) (kutub utara). Titik  P' dimana garis memotong sumbu- x adalah projeksi stereografik dari  P. Kebalikannya, memulai dengan menggambar sebuah garis dari  P' ke  N, projeksi stereografik inversnya adalah titik  P dimana garis memotong lingkaran satuan.
Hubungan antara rangkap tiga Pythagoras dan elips dengan eksentrisitas linear integral, dan sumbu panjang dan sumbu pendek
Sebuah plot pencar dari kaki  (a,b) mengenai rangkap tiga Pythagoras pertama dengan  a dan  b lebih kecil dari  4500.
Balika Vadhu 2

| Balika Vadhu 2 |
| --- | --- |

Nama alternatif: Balika Vadhu - Kachchee Umar ke Pakke Rishte Balika Vadhu - Anandi ka Naya Saphar
Genre: Drama
Pemeran: Shivangi Joshi Samridh Bawa Randeep Rai
Negara asal: India
Bahasa asli: Hindi
Jmlh. musim: 2
Jmlh. episode: 167
Produksi
Produser: Sunjoy Waddhwa Comall Sunjoy W.
Lokasi produksi: Rajasthan Gujarat Mumbai
Pengaturan kamera: Multi-camera
Durasi: 20-22 menit
Rumah produksi: Sphere Origins
Rilis asli
Jaringan: Colors TV (2021–2022) Voot Select (2022)
Format gambar: 576i 1080i (HDTV)
Rilis: 9 Agustus 2021 (2021-08-09) – 29 Maret 2022
Acara terkait
Balika Vadhu Chhoti Anandi
Balika Vadhu 2 (Bahasa Indonesia: Pengantin anak 2) adalah Serial televisi drama India yang ditayangkan di Colors TV pada 9 Agustus 2021. Ini adalah reboot dari seri 2008, Balika Vadhu. Serial ini dibintangi oleh Shivangi Joshi, Samridh Bawa dan Randeep Rai masing-masing sebagai pemeran utama Anandi, Jigar dan Anand.
Serial ini berlokasi di Gujarat dan berkisah tentang kehidupan seorang pengantin anak.
Pertunjukan Balika Vadhu 2 dibagi menjadi 2 bagian. Bagian pertama berjudul Balika Vadhu - Kachchee Umar ke Pakke Rishte (Terjemahan: Pengantin Anak - Hubungan Kuat di Usia Belia). Bagian kedua berjudul Balika Vadhu - Anandi ka Naya Saphar (Terjemahan: Pengantin Anak - Perjalanan Baru Anandi).
Musim

| Musim | Musim | Jumlah episode | Awalnya disiarkan (India)> Pertama Ditayangkan | Awalnya disiarkan (India)> Terakhir Ditayangkan |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 1 | 2,248 | 21 Juli 2008 (2008-07-21) | 31 Juli 2016 (2016-7-31) |
|  | 2 | 167 | 9 Agustus 2021 (2021-08-09) | 29 Maret 2022 (2022-3-29) |