Teorema Cantor
Bukti > Kasus umum

Argumen Cantor terbilang elegan dan sangat sederhana. Bukti lengkapnya disajikan dibawah, beserta penjelasan rinci setelahnya.
Teorema Cantor — Jika  f adalah pemetaan dari himpunan  H ke himpunan kuasanya,  {\mathcal {P}}\!\left(H\right), maka  f tidak surjektif. Lebih lanjut, berlaku pertidaksamaan  \left|H\right|<\left|{\mathcal {P}}\!\left(H\right)\right| untuk sembarang himpunan  H.
Didefinisikan himpunan
 {\cancel {H}}=\left\{x\in H\mid x\not \in f\!\left(x\right)\right\}
Himpunan  {\cancel {H}} terjamin keujudannya melalui skema aksioma spesifikasi. Berdasarkan definisi, maka  {\cancel {H}}\in {\mathcal {P}}\!\left(H\right) sebab  {\cancel {H}}\subseteq H.

Akan dibuktikan bahwa  f tidak bersifat surjektif melalui kontradiksi. Diasumsikan  f bersifat surjektif.

Berdasarkan definisi fungsi surjektif, maka terdapat suatu elemen  c\in H sedemikian sehingga berlaku
 f\!\left(c\right)={\cancel {H}}
Oleh karena  c\in H, maka berdasarkan definisi dari himpunan  {\cancel {H}}, diperoleh
 c\in {\cancel {H}}\iff c\not \in f\!\left(c\right)
sehingga didapatkan
 c\in {\cancel {H}}\iff c\not \in {\cancel {H}}
yang tentunya mustahil terjadi. Akibatnya,  f tidak bersifat surjektif, via reductio ad absurdum.

Di sisi lain,  f dimungkinkan bersifat injektif, salah satunya ialah
 f\!\left(x\right)=\left\{x\right\}
yang mengakibatkan  \left|H\right|<\left|{\mathcal {P}}\!\left(H\right)\right|.
Misalkan  X dan  Y adalah sembarang himpunan. Berdasarkan definisi dari kardinalitas, maka  \left|X\right|<\left|Y\right| jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi injektif namun tidak bijektif dari  X ke  Y. Hal ini dapat diraih dengan menunjukkan bahwa tidak ada pemetaan surjektif dari  X ke  Y. Inilah inti dari teorema Cantor: tidak ada fungsi surjektif dari sembarang himpunan  H ke himpunan kuasanya. Untuk membuktikan ini, maka cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada fungsi  f (yang memetakan elemen pada  H ke himpunan bagian dari  H) yang dapat meraih setiap himpunan bagian yang ada. Dengan kata lain, maka cukup ditunjukkan bahwa terdapat suatu himpunan bagian dari  H yang tidak sama dengan  f\!\left(x\right), untuk setiap  x\in H. Ingat kembali bahwa setiap  f\!\left(x\right) merupakan himpunan bagian dari  H. Himpunan bagian dengan sifat tersebut diberikan melalui konstruksi berikut:
 {\cancel {H}}=\left\{x\in H\mid x\not \in f\!\left(x\right)\right\}
Himpunan  {\cancel {H}} terkadang dikenal sebagai himpunan diagonal Cantor dari  f. Berdasarkan definisi dari himpunan  {\cancel {H}}, maka untuk setiap  x\in H,  x\in {\cancel {H}} jika dan hanya jika  x\not \in f\!\left(x\right). Akan dikaji dua kasus berikut:
Jika  x\in f\!\left(x\right), maka  x\not \in {\cancel {H}}, sehingga  f\!\left(x\right)\neq {\cancel {H}}.
Jika  x\not \in f\!\left(x\right), maka  x\in {\cancel {H}}, sehingga  f\!\left(x\right)\neq {\cancel {H}}.
Berdasarkan kedua kasus di atas, himpunan  f\!\left(x\right)\neq {\cancel {H}} untuk setiap  x\in H sebab himpunan  {\cancel {H}} dikonstruksikan dari elemen pada  H yang bayangan oleh fungsi  f tidak memuat dirinya sendiri. Dengan kata lain, terbukti bahwa terdapat suatu elemen  c\in H sedemikian sehingga persyaratan  f\!\left(c\right)=B mengakibatkan kontradiksi berikut:
 {\begin{aligned}c\in {\cancel {H}}&\iff c\not \in f\!\left(c\right)&&{\text{(berdasarkan definisi dari }}{\cancel {H}}{\text{)}}\\c\in {\cancel {H}}&\iff c\in f\!\left(c\right)&&{\text{(berdasarkan asumsi bahwa }}f\!\left(x\right)={\cancel {H}}{\text{)}}\\\end{aligned}}
sehingga berdasarkan reductio ad absurdum, asumsi di awal bernilai salah. Akibatnya, tidak ada  c\in H yang memenuhi  f\!\left(c\right)={\cancel {H}}. Dengan kata lain, himpunan  {\cancel {H}} bukanlah bayangan dari  f dan fungsi  f tidak memetakan setiap elemen ke himpunan kuasa dari  H, yang berarti,  f tidak bersifat surjektif.
Terakhir, untuk melengkapi pembuktiannya, perlu ditunjukkan bahwa terdapat suatu fungsi injektif dari  H ke himpunan kuasanya. Proses mencari fungsi tersebut tidaklah sulit: petakan elemen  x ke himpunan singleton  \left\{x\right\}. Sekarang pembuktiannya sudah lengkap, dan berlaku ketaksamaan tegas  \left|H\right|<\left|{\mathcal {P}}\!\left(H\right)\right| untuk setiap himpunan  H.
Oleh karena elemen  x muncul dua kali pada ekspresi " x\in f\!\left(x\right)", maka argumen ini disebut sebagai argument diagonal. Untuk himpunan terhitung (atau berhingga), argumentasi dari pembuktian di atas dapat diilustrasikan dengan membuat tabel yang
setiap barisnya dilabeli oleh suatu elemen  x dari himpunan  H=\left\{x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\ldots \right\} secara berurutan. Himpunan  H diasumsikan terurut linear sehingga tabelnya dapat dikonstruksikan.
setiap kolomnya dilabelkan oleh suatu elemen  y dari himpunan  {\mathcal {P}}\!\left(H\right). Kolomnya diurutkan berdasarkan argumen dari  f. Dengan kata lain, kolomnya dilabeli sebagai  f\!\left(x_{1}\right)\!,\,f\!\left(x_{2}\right)\!,\,f\!\left(x_{3}\right)\!,\,\ldots  dengan urutan ini.
perpotongan dari setiap baris  x dan kolom  y berisi nilai benar/salah dari pernyataan  x\in y. Dengan kata lain, setiap baris berisi nilai fungsi indikator dari himpunan pada masing-masing kolom.
Diberikan suatu urutan yang dipilih untuk label baris dan kolom, diagonal utama  D dari tabel ini berisi nilai kebenaran dari pernyataan  x\in f\!\left(x\right) untuk setiap  x\in H. Salah satu tabelnya dapat dilihat sebagai berikut:
 {\begin{array}{c|ccccc}&f(x_{1})&f(x_{2})&f(x_{3})&f(x_{4})&\cdots \\\hline x_{1}&{\color {red}B}&B&S&B&\cdots \\x_{2}&B&{\color {red}S}&S&S&\cdots \\x_{3}&S&S&{\color {red}B}&B&\cdots \\x_{4}&S&B&B&{\color {red}B}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}
Himpunan  {\cancel {H}} pada paragraf sebelumnya dikonstruksikan berdasarkan negasi dari nilai kebenaran pada diagonal utama  D (yang pada contoh di atas, diwarnai dengan merah), yaitu menukar "benar" dan "salah". Akibatnya, fungsi indikator dari himpunan  {\cancel {H}} akan berbeda dengan setiap kolom pada setidaknya satu entri, sehingga tidak ada kolom yang mewakili  {\cancel {H}}.