1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
Generalisasi

Hasil kali Cauchy rangkap tiga dari 1 − 1 + 1 − 1 + ... adalah 1 − 3 + 6 − 10 + dst. Hasil kali tersebut memiliki suku bilangan segitiga yang berselang-seling. Untuk nilainya, berjumlah ⅛ apabila dihitung menggunakan jumlah Abel atau Euler. Sementara itu, hasil kali Cauchy rangkap empat dari 1 − 1 + 1 − 1 + ... adalah 1 − 4 + 10 − 20 + dst. Hasil kali tersebut memiliki suku bilangan piramida yang berselang-seling. Untuk nilainya, berjumlah 1⁄16 apabila dihitung menggunakan jumlah Abel.
Generalisasi dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... secara umum adalah deret 1 − 2n + 3n − 4n + ... dengan nilai n bilangan bulat positif. Secara matematis, deret ini mempunyai jumlah Abel sebagai berikut:
 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}
Di sini, Bn adalah bilangan Bernoulli. Sementara itu, apabila hanya menggunakan n bilangan genap postitif, jumlah Abel menjadi
 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0,
yang dapat diartikan bahwa nilai genap negatif dari fungsi zeta Riemann adalah nol. Jumlah ini dijadikan bahan ejekan oleh Niels Henrik Abel pada tahun 1826:
Deret divergen sepenuhnya merupakan pekerjaan iblis. Seseorang akan tampak bodoh jika berani menemukan bukti apa pun mengenainya. Selain itu, hasil-hasil aneh akan muncul jika ia menggunakannya. Hal-hal tersebutlah yang telah menciptakan begitu banyak ketidakbahagiaan dan begitu banyak kejanggalan. Adakah yang bisa memikirkan hal yang lebih mengerikan daripada mengatakan hal janggal seperti ini
0 = 1 − 2 + 3 − 4 + dst.
dengan n adalah bilangan positif. Ini adalah sesuatu yang bisa dijadikan bahan lelucon, Teman-teman.
Guru Cesàro, Eugène Charles Catalan, juga meremehkan deret divergen. Oleh karena itu, di bawah pengaruh Catalan, Cesàro awalnya menyebut "rumus konvensional" untuk 1 − 2n + 3n − 4n + ... sebagai "persamaan yang tidak masuk akal". Hal tersebut tampak pada tahun 1883 ketika Cesàro mengungkapkan bahwa rumus tersebut secara matematis salah, tetapi memiliki beberapa manfaat. Pada akhirnya, dalam Sur la multiplication des séries tahun 1890, Cesàro mengubah pikirannya dan mengambil pendekatan yang lebih terbuka. Pendekatan ini ia mulai dengan pendefinisian ulang.
Deret umum tersebut juga dipelajari untuk nilai nonbilangan bulat n, pembentuk fungsi eta Dirichlet. Salah satu tujuan Euler mempelajari hal tersebut adalah karena hubungannya dengan persamaan fungsional fungsi eta. Euler sendiri telah menjadi terkenal karena menemukan nilai fungsi zeta pada bilangan bulat genap positif (termasuk masalah Basel). Selain itu, ia juga telah mencoba menemukan nilai fungsi zeta pada bilangan bulat ganjil positif (termasuk konstanta Apéry). Akan tetapi, tidak ada solusi yang tepat untuk masalah tersebut dan masih sulit dipahami hingga saat ini. Untuk melanjutkan, ketika hubungan tersebut ditemukan, hasil dari fungsi eta akan mengarah langsung pada persamaan fungsional fungsi zeta Riemann. Dalam menemukan hasil yang dimaksud, Euler menggunakan metodenya sendiri (metode Euler) karena nilai deret Dirichlet fungsi tersebut dapat ditentukan oleh jumlah Abel di titik mana pun. Sementara itu, apabila metodenya Euler diterapkan pada fungsi zeta, penentuan nilainya dengan penjumlahan Abel akan jauh lebih sulit jika dijumlahkan pada titik divergensi. Hal ini terjadi karena sebagian besar deret pembentuk fungsi zeta membutuhkan metode penjumlahan yang lebih baik. Salah satu contohnya adalah deret terkenal 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, pasangan 1 − 2 + 3 − 4 + .... Di luar matematika, deret tersebut memiliki penerapan yang luas pada ilmu fisika.