Produk Tensor
Menggunakan ruang vektor gratis untuk "melupakan" tentang basis

Definisi di atas akan bekerja untuk setiap ruang vektor di mana kita  dapat  menentukan dasarnya, karena kita bisa membangunnya kembali sebagai ruang vektor gratis atas dasar itu: konstruksi di atas persis mencerminkan bagaimana Anda merepresentasikan vektor melalui konstruksi dasar Hamel menurut desain. Akibatnya, kami belum mendapatkan apa-apa... sampai kami melakukan ini.
Sekarang, kita tidak mengasumsikan akses ke basis untuk ruang vektor  V dan  W yang ingin kita bentuk produk tensor  V\otimes W. Sebagai gantinya, kita akan mengambil  semua  dari  V dan  WITH sebagai "dasar" untuk membangun tensor. Ini adalah hal terbaik berikutnya dan satu hal yang  dijamin  dapat kami lakukan, terlepas dari kekhawatiran apa pun dalam menemukan dasar tertentu; ini sesuai dengan menambahkan bersama-sama produk luar yang sewenang-wenang  \mathbf {v} \otimes \mathbf {w}  vektor sewenang-wenang di bagian terakhir dari bagian "Motivasi intuitif". Satu-satunya perbedaan di sini adalah jika kita menggunakan konstruksi ruang vektor bebas dan membentuk yang sudah jelas  F(V)\otimes F(W)=F(V\times W), ia akan memiliki banyak versi redundan dari apa yang seharusnya merupakan tensor yang sama; kembali ke kasus dasar kita jika kita mempertimbangkan contoh di mana  V=W=\mathbb {R} ^{2} dalam basis standar, kita dapat menganggap bahwa tensor yang dibentuk oleh vektor  \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0&3\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}} and  \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}5&-3\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}, yaitu
bisa  juga  diwakili oleh penjumlahan lain, seperti penjumlahan menggunakan tensor dasar individu  \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}, misalnya
Ini, meskipun ekspresi yang sama dalam kasus konkret, akan sesuai dengan elemen berbeda dari ruang vektor bebas  F(V\times W), namely
dalam kasus pertama dan
dalam kasus kedua. Jadi kita harus memadatkannya — di sinilah hubungan kesetaraan berperan. Trik untuk membangunnya adalah dengan memperhatikan vektor yang diberikan  \mathbf {x}  dalam ruang vektor, itu selalu memungkinkan untuk merepresentasikannya sebagai jumlah dari dua vektor lainnya  \mathbf {a}  dan  \mathbf {b}  tidak sama dengan aslinya. Jika tidak ada yang lain, karena  \mathbf {a}  menjadi vektor apapun dan kemudian mengambil  \mathbf {b} :=\mathbf {x} -\mathbf {a}  yang juga menunjukkan bahwa jika kita diberikan satu vektor dan kemudian vektor kedua, kita dapat menulis vektor pertama dalam suku yang kedua bersama dengan vektor ketiga yang sesuai (memang dalam banyak hal, anggap saja kelipatan skalar dari vektor kedua dalam pengurangan yang sama).
Ini berguna bagi kami karena hasil kali luar memenuhi properti linearitas berikut, yang dapat dibuktikan dengan aljabar sederhana pada ekspresi matriks terkait:
Jika kita ingin menghubungkan produk luarnya  \mathbf {v} \otimes \mathbf {w}  untuk  \mathbf {e_{1}} \otimes \mathbf {w} , kita bisa menggunakan relasi pertama di atas bersama dengan ekspresi yang sesuai  \mathbf {v}  sebagai penjumlahan dari beberapa vektor dan beberapa kelipatan skalar  \mathbf {e_{1}} .
Persamaan antara dua tensor beton kemudian diperoleh jika menggunakan aturan di atas akan memungkinkan kita untuk mengatur ulang satu penjumlahan dari hasil kali luar ke yang lain dengan menguraikan vektor yang sesuai — terlepas dari apakah kita memiliki himpunan vektor basis aktual. Menerapkannya pada contoh kita di atas, kita melihat bahwa tentu saja kita punya
untuk substitusi mana
memberi kami
dan penggunaan yang bijaksana dari properti distributivitas memungkinkan kami mengatur ulang ke bentuk yang diinginkan. Demikian juga, ada manipulasi "cermin" yang sesuai dalam kaitannya dengan elemen ruang vektor bebas  (x,y) dan  (e_{1},e_{1}),  (e_{1},e_{2}), dll. Dan ini akhirnya membawa kita ke definisi formal dari produk tensor.