Aljabar
Aljabar abstrak > Teori interrelasi di antara struktur-struktur

Selain grup, gelanggang, dan lapangan, terdapat banyak struktur aljabar lainnya yang dikaji dalam aljabar. Struktur aljabar tersebut meliputi magma, semigrup, monoid, grup abelian, gelanggang komutatif, modul, lattice, ruang vektor, aljabar atas lapangan, serta aljabar asosiatif dan non-asosiatif. Struktur aljabar tersebut berbeda satu sama lain dalam hal jenis objek yang dijelaskan dan syarat-syarat yang harus dipenuhi operasinya. Banyak struktur yang berkaitan dengan satu sama lain dalam hal tersebut dengan menambahkan beberapa syarat, sebuah struktur dasar yang dapat diubah menjadi struktur lebih lanjut. Sebagai contoh, suatu magma menjadi suatu semigrup jika operasinya bersifat asosiatif.
Homomorfisma adalah alat menguji tampilan struktur dengan membandingkan dua struktur aljabar. Suatu homomorfisma adalah suatu fungsi yang dipetakan dari himpunan pendasar suatu struktur aljabar ke himpunan pendasar suatu struktur aljabar lainnya sehingga mempertahankan karakteristik struktural tertentu. Secara formal, jika dua buah struktur aljabar menggunakan operasi biner, yang ditulis dalam bentuk  \langle A,\circ \rangle  dan  \langle B,\star \rangle , maka fungsi  h:A\to B adalah homomorfisma apabila memenuhi syarat bahwa  h(x\circ y)=h(x)\star h(y). Keberadaan homomorfisma memperlihatkan bahwa operasi  \star  pada struktur aljabar yang kedua memainkan peran yang sama seperti operasi  \circ  pada struktur aljabar yang pertama. Isomorfisma adalah jenis homomorfisma khusus yang mengindikasikan tingkat kesamaan yang lebih tinggi di antara dua struktur aljabar. Suatu isomorfisma adalah homomorfisma bijektif, yang berarti homomorfisma yang membangun kaitan korespondensi satu-satu di antara anggota dari dua buah struktur aljabar. Hal ini menyiratkan bahwa setiap anggota dari struktur aljabar pertama dipetakan ke anggota tunggal di dalam struktru aljabar kedua tanpa adanya sebarang anggota yang tidak dipetakan di dalam struktur aljabar kedua.
Alat perbandingan lainnya adalah kaitan antara struktur aljabar dan subaljabarnya. Struktur aljabar dan subaljabarnya menggunakan operasi yang sama, yang mengikuti aksioma yang sama. Perbedaannya adalah himpunan pendasar subaljabar adalah subhimpunan dari struktur aljabar. Semua operasi di dalam subaljabar memiliki syarat bahwa mereka bersifat tertutup di dalam himpunan pendasarnya, yang berarti mereka hanya menghasilkan anggota yang juga merupakan himpunan pendasar itu. Sebagai contoh, himpunan dari bilangan bulat genap bersama dengan operasi penambahan merupakan subaljabar dari himpunan bilangan bulat yang penuh bersama dengan operasi penambahan. Ini dikarenakan penjumlahan dari dua bilangan genap hasilnya tetap bilangan genap. Beda halnya dengan himpunan bilangan bulat ganjil bersama dengan operasi penambahan, yang bukan merupakan subaljabar, karena tidak ada sifat ketertutupan. Artinya, dua bilangan ganjil yang dijumlahkan menghasilkan bilangan genap, tetapi bilangan itu tidak ada pada subhimpunan tersebut.
Aljabar universal mengkaji struktur aljabar yang umum, dalam artian tidak melibatkan anggota spesifik yang membangun himpunan pendasar dan meganggap operasi dengan lebih dari dua input, seperti operasi ternary. Aljabar universal menyediakan suatu kerangka supaya mempelajari struktur apakah yang menampilkan kesamaan struktur aljabar yang berbeda. Salah satu tampilan struktur-struktur trsebut tersebut melibatkan identitas the identitas yang benar di dalam struktur aljabar yang berbeda. Identitas yang dimaksud disini adalah persamaan universal equation atau persamaan yang benar untuk semua anggota dari himpunan pendasar. Sebagai contoh, komutativitas merupakan persamaan universal yang menyatakan bahwa  a\circ b identik dengan  b\circ a untuk semua anggota. Varietas adalah kelas dari semua struktur aljabar yang memenuhi identitas-identitas tertentu. Sebagai contoh, jika dua struktur aljabar memenuhi sifat komutativitas, maka mereka bagian dari varietas yang sama.
Teori kategori menguji cara objek matematika berkaitan satu dengan yang lain menggunakan konsep kategori. Kategori disini berarti suatu koleksi objek bersamaan dengan koleksi morfisma atau "panah" di antara objek-objek tersebut. Kedua koleksi tersebut harus memenuhi syarat-syarat tertentu. Sebagai contoh, morfisma dapat digabung, atau dikomposisi. Maksudnya adalah jika terdapat suatu morfisma dari objek  a ke objek  b, dan terdapat suatu morfisma yang lain dari objek  b ke objek  c, maka pastinya ada satu morfisma juga dari objek  a ke objek  c. Komposisi dari morfisma tersebut dharus asosiatif, dan pasti ada "mordisma identitas" untuk tiap objek. Kategori sering kali digunakan dalam matematika kontemporer karena menyediakan suatu kerangka satuan yang dapat menjelaskan dan menganalisis banyak konsep matematika dasar. Sebagai contoh, himpunan dapat dijelaskan dengan kategori himpunan, dan sebarang grup dapat dipandang sebagai morfisma dari suatu kategori yang hanya satu objek.