stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Determinan
Definisi > Rumus Leibniz

Artikel utama: Rumus Leibniz untuk determinan
Rumus Leibniz, yang dinamakan demikian untuk menghormati Gottfried Leibniz, menyatakan determinan dari matriks persegi  A sebagai permutasi dari elemen-elemen matriks. Secara lebih formal, definisi ini didasarkan dari fakta (lebih tepatnya teorema) hanya ada satu fungsi multilinear alternating  F(A) terhadap kolom-kolom matriks, yang memenuhi  F(I)=1 dengan  I adalah matriks identitas. Determinan selanjutnya dapat ditulis secara eksplisit sebagai \det(A)=F(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}{\text{sgn}}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn}}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)i}dengan  {\text{sgn}} adalah fungsi tanda (signum) dari permutasi dalam grup permutasi  S_{n}, yang menghasilkan nilai  +1 dan  -1 masing-masing untuk permutasi genap dan ganjil. Fungsi multilinear alternating dan sifat  F(I)=1 dipilih agar fungsi determinan memenuhi sifat-sifat yang diharapkan dari determinan (lihat pembahasan pada bagian § Matriks persegi dimensi 2).
Rumus Leibniz untuk determinan dari matriks  3\times 3 adalah {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.Dalam ekspresi tersebut, setiap suku memiliki satu faktor dari setiap baris dan kolom yang unik. Sebagai contoh,  bdi memiliki faktor  b dari elemen baris pertama kolom kedua,  d dari baris kedua kolom pertama, dan  i dari baris ketiga kolom ketiga. Tanda dari suku ditentukan dari banyaknya pertukaran faktor-faktor agar terurut menaik berdasarkan urutan kolomnya. Tanda positif untuk pertukaran berjumlah genap dan negatif untuk berjumlah genap. Sebagai contoh, suku  bdi memerlukan satu pertukaran agar menjadi  dbi, yang masing-masing faktornya sekarang terurut menaik: kolom pertama, kedua, dan ketiga. Karena pertukaran berjumlah ganjil, suku  bdi akan dikalikan  -1.
Aturan Sarrus dapat digunakan sebagai jembatan keledai untuk mengingat rumus eksplisit dari determinan ini: tulis salinan dari dua kolom pertama matriks di sisi kanan kolom ketiga. Determinan adalah jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-atas ke kanan-bawah, lalu dikurang dengan jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-bawah ke kanan-atas. Malangnya, aturan ini tidak dapat diterapkan untuk matriks dengan dimensi yang lebih besar.
Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan simbol Levi-Civita dengan penjumlahan Einstein. Simbol Levi-Civita  \varepsilon _{i_{1},\ldots ,i_{n}} terdefinisi pada rangkap- n dari bilangan bulat  \{1,\,\ldots ,\,n\}. Simbol akan bernilai  0 jika ada dua bilangan bulat yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah \det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1,i_{1}}\!\cdots a_{n,i_{n}}.
Definisi > Ekspansi Laplace

Ekspansi Laplace, rumus Laplace, atau ekspansi baris/kolom, mendefinisikan determinan dari matriks  A ukuran  n\times n secara rekursif sebagai penjumlahan determinan matriks-matriks yang lebih kecil, yang disebut minor. Minor  M_{i,j} didefinisikan sebagai determinan matriks berukuran  (n-1)\times (n-1) yang dihasilkan dari menghapus baris ke- i dan kolom ke- j matriks  A. Untuk sembarang  i, akan berlaku hubungan \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}
Ekspresi  (-1)^{i+j}M_{i,j} dikenal dengan sebutan kofaktor. Definisi determinan tersebut juga disebut sebagai "ekspansi Laplace baris ke- i". Sebagai contoh, ekspansi Laplace baris pertama ( i=1) dari matriks ukuran  3\times 3 menghasilkan rumus  {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}Ekspansi Laplace dapat digunakan secara iteratif untuk menghitung determinan, namun cara ini tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Walau demikian, ekspansi Laplace ini berguna untuk menghitung determinan dari matriks-matriks tertentu seperti matriks Vandermonde: {\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).Ekspansi Laplace juga dapat digunakan untuk membantu menemukan invers dari matriks. Matriks adjugat  \operatorname {adj} (A) didefinisikan sebagai transpos dari matriks-matriks kofaktor, secara matematis  (\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.Definisi ini memastikan perkalian matriks  A dengan adjugatnya akan menghasilkan menghasilkan matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya bernilai  \det(A). Hubungan ini ditulis secara matematis sebagai  A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=(\det A)I, dengan  I merupakan matriks identitas. Hubungan tersebut menunjukkan sifat penting dalam aljabar matriks, yakni  A memiliki invers jika dan hanya jika  \det(A) tidak bernilai  0. Ketika sifat ini berlaku, hubungan di atas dapat disusun (dengan mengalikan ruas tengah dan ruas kanan dengan  A^{-1} dari kanan) sehingga  {\begin{aligned}\operatorname {adj} (A)&=\det(A)A^{-1},\\A^{-1}&=\det(A)^{-1}\operatorname {adj} (A).\end{aligned}}
Sifat-sifat determinan

Fungsi determinan dapat dicirikan dari tiga sifat utama berikut. Untuk lebih mudah menyebutkannya, pandang matriks  A berukuran  n\times n sebagai rangkap- n dari vektor-vektor kolomnya; secara notasi,  A={\big (}\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}{\big )}, dengan  \mathbf {a} _{i} adalah vektor di kolom ke- i matriks.
\det \left(I\right)=1, dengan  I adalah matriks identitas.
Determinan merupakan pemetaan multilinear: jika kolom ke- j matriks  A dapat ditulis sebagai kombinasi linear  \mathbf {a} _{j}=r\cdot \mathbf {v} +\mathbf {w}  dari dua vektor kolom  \mathbf {v}  dan  \mathbf {w}  dan skalar  r, maka determinan dari  A dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear:  {\begin{aligned}|A|&={\big |}\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{j-1},r\cdot \mathbf {v} +\mathbf {w} ,\mathbf {a} _{j+1},\dots ,\mathbf {a} _{n}|\\&=r\cdot |\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {v} ,\dots \mathbf {a} _{n}|+|\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {w} ,\dots ,\mathbf {a} _{n}|\end{aligned}}
Determinan bersifat alternating: ketika ada dua kolom matriks yang identik, determinan matriks tersebut sama dengan  0; secara matematis  |\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {v} ,\dots ,\mathbf {v} ,\dots ,\mathbf {a} _{n}|=0.
Ketiga sifat tersebut mengakibatkan beberapa sifat turunan:
Determinan termasuk fungsi homogen, yakni,  \det(cA)=c^{n}\det(A)
Menukar dua kolom pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan  -1:  |\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{j},\dots \mathbf {a} _{i},\dots ,\mathbf {a} _{n}|=-|\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{i},\dots ,\mathbf {a} _{j},\dots ,\mathbf {a} _{n}|.Rumus di atas dapat diterapkan secara iteratif jika ada beberapa kolom yang ingin ditukar. Sebagai contoh  |\mathbf {a} _{3},\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{4}\dots ,\mathbf {a} _{n}|=-|\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{3},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{4},\dots ,\mathbf {a} _{n}|=|\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3},\mathbf {a} _{4},\dots ,\mathbf {a} _{n}|.Lebih umum lagi, sebarang permutasi kolom-kolom akan mengalikan determinan dengan tanda dari permutasi tersebut.
Jika ada kolom pada matriks yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom lainnya (dengan kata lain kolom-kolom matriks saling bergantung linear), determinan matriks tersebut sama dengan  0. Salah satu contoh kasus ini adalah ketika ada kolom yang semua elemennya bernilai  0.
Jika suatu kelipatan skalar suatu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, determinan dari matriks yang dihasilkan tidak berubah.
Jika  A adalah matriks segitiga, yakni yang semua elemen  a_{ij}=0 ketika  i>j (atau alternatif lain, ketika  i<j), maka determinannya sama dengan hasil perkalian dari elemen-elemen diagonal utamanya,  \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.
Sifat-sifat determinan > Contoh

Selain penting dari aspek teoritis, ketiga sifat utama dan sifat-sifat turunan dari matriks dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan nilai determinan. Sebagai contoh, metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk mengubah matriks ke bentuk matriks segitiga atas, dalam langkah-langkah yang teratur. Contoh berikut mengilustrasikan cara menghitung determinan matriks  A dengan metode tersebut: A={\begin{bmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{bmatrix}}.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Matriks |  B={\begin{bmatrix}-3&-1&2\\3&1&4\\0&3&-1\end{bmatrix}} |  C={\begin{bmatrix}-3&5&2\\3&13&4\\0&0&-1\end{bmatrix}} |  D={\begin{bmatrix}5&-3&2\\13&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}} |  E={\begin{bmatrix}18&-3&2\\0&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}} |
| Dihasilkan dari | menambahkan kolom kedua ke yang pertama | menambahkan 3 kali kolom ketiga ke yang kedua | menukar dua kolom pertama | menambahkan  -{\tfrac {13}{3}} kali kolom kedua ke yang pertama |
| Determinan |  |A|=|B| |  |B|=|C| |  |D|=-|C| |  |E|=|D| |
Menggabungkan semua persamaan ini menghasilkan  |A|=-|E|=-(18\cdot 3\cdot (-1))=54.
Sifat-sifat determinan > Transpos

Determinan dari transpos matriks  A sama dengan determinan dari  A:  \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A).Hubungan ini dapat ditunjukan dengan menginspeksi rumus Leibniz. Hal ini mengakibatkan semua penggunaan kata "kolom" pada semua sifat-sifat sebelumnya, dapat digantikan dengan kata "baris". Sebagai contoh, menukar dua baris pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan  -1.
Sifat-sifat determinan > Multiplikativitas dan grup matriks

Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi  A dan  B yang berukuran sama, determinan dari perkalian matriks sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks,  \det(AB)=\det(A)\det(B) Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks  B yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan alternating terhadap kolom-kolom  A. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai  \det B ketika  A berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut. Rumus Cauchy–Binet adalah perumuman rumus determinan untuk perkalian matriks-matriks umum (tidak harus persegi).
Matriks  A dengan elemen-elemen berasal dari sebuah lapangan, dapat dibalikkan (invertibel, memiliki invers) jika dan hanya jika determinan matriks tersebut tidak nol. Hal ini berasal dari sifat multiplikatif determinan, juga dari rumus yang melibatkan matriks adjugat dari ekspansi Laplace. Ketika determinan bernilai tak-nol, determinan dari matriks inversnya adalah  \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}.Secara khusus, hasil perkalian maupun invers dari matriks-matriks dengan determinan tak-nol, masih memiliki sifat tersebut. Akibatnya, himpunan matriks-matriks tersebut (yang berukuran  n atas suatu lapangan  K) membentuk sebuah grup linear umum  \operatorname {GL} _{n}(K); dan ketika semua matriks memiliki determinan bernilai  1, membentuk sebuah subgrup bernama grup linear khusus  \operatorname {SL} _{n}(K)\subset \operatorname {GL} _{n}(K). Umumnya, kata "khusus" ("special") digunakan untuk menandakan subgrup dari grup matriks dengan determinan bernilai  1. Contoh lainnya adalah grup ortogonal khusus (yang berisi semua matriks rotasi ketika  n=2 dan  n=3), dan grup uniter khusus.
Sifat-sifat determinan > Matriks blok

Rumus determinan untuk matriks ukuran  2\times 2 masih berlaku untuk matriks blok, dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks  A,B,C,D, masing masing berdimensi  m\times m,  m\times n,  n\times m dan  n\times n. Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat faktorisasi dengan komplemen Schur, adalah  \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}. Jika matriks  A terbalikkan, dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan  {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\CA^{-1}&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}\\&=\det(A)\det(D-CA^{-1}B),\end{aligned}} yang dapat disederhanakan menjadi  \det(A)(D-CA^{-1}B) ketika  D merupakan matriks ukuran  1\times 1. Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan teorema determinan Sylvester, yang menyatakan untuk matriks  A berukuran  m\times n dan matriks  B berukuran  n\times m, berlaku hubungan  \det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right),dengan  I_{m} dan  I_{n} masing-masing adalah matriks identitas dimensi  m dan  n.
Ketika semua submatriks merupakan matriks persegi yang berukuran sama, beberapa rumus lain juga berlaku. Sebagai contoh, ketika  C dan  D komutatif (artinya  CD=DC), maka  \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).Rumus ini dapat diperumum ke matriks blok dengan lebih dari  2\times 2 submatriks, dengan beberapa syarat tambahan terkait kekomutatifan antar submatriks.
Sifat-sifat terkait notasi matriks lainnya > Nilai eigen dan polinomial karakteristik

Determinan berkaitan erat dengan dua konsep lain di aljabar linear, yakni nilai eigen dan polinomial karakteristik dari matriks. Misalkan  A adalah matriks ukuran  n\times n dengan elemen berupa bilangan kompleks. Dengan menggunakan teorema dasar aljabar, disimpulkan  A pasti memiliki tepat  n nilai eigen  \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} (dalam konteks ini, nilai eigen dengan kegandaan aljabar  \mu  muncul  \mu  kali di daftar tersebut). Selanjutnya, determinan dari  A ternyata bernilai sama dengan hasil perkalian nilai-nilai eigen ini, \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.Dari hubungan ini, terlihat bahwa matriks  A memiliki invers (determinannya tak-nol) jika dan hanya jika  0 bukan nilai eigen dari  A. Di sisi lain, polinomial karakteristik didefinisikan sebagai \chi _{A}(t)=\det(t\cdot I-A),dengan  t merupakan variabel (lebih tepatnya indeterminate) dari polinomial, dan  I adalah matriks identitas berukuran sama dengan  A. Polinomial ini selanjut memiliki akar berupa nilai-nilai eigen dari  A; yakni bilangan-bilangan kompleks  \lambda  yang memenuhi  \chi _{A}(\lambda )=0.
Sifat-sifat terkait notasi matriks lainnya > Teras

Teras (trace) dari matriks  A, dinotasikan dengan  \operatorname {tr} (A), didefinisikan sebagai hasil penjumlahan elemen-elemen diagonal  A, dan nilainya juga sama dengan hasil penjumlahan dari nilai-nilai eigen. Akibatnya, untuk sebarang matriks kompleks  A, berlaku  \det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))atau ekuivalen untuk matriks riil  A, berlaku hubungan  \operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))). Disini, notasi  \operatorname {exp} (A) menyatakan perpangkatan matriks  A, mengingat setiap nilai eigen  \lambda  dari  A berkorespodensi dengan nilai eigen  \operatorname {exp} (\lambda ) dari  \operatorname {exp} (A). Secara khusus, untuk sebarang logaritma dari  A, dengan kata lain sebarang matriks  L yang memenuhi  \exp(L)=A, determinan dari  A memiliki hubungan
Sebagai contoh, untuk n = 2, n = 3, dan n = 4, secara berurutan akan berlaku,
Sifat-sifat terkait notasi matriks lainnya > Batas atas dan batas bawah

Untuk matriks definit positif  A, operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk logaritma dari determinan: \operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I),dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika  A=I. Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus divergensi Kullback-Leibler antara dua distribusi normal multivariat. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan  {\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}.Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa rerata harmonik lebih kecil daripada rerata geometrik, yang selanjutnya lebih kecil daripada rerata aritmetika, yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada rerata kuadrat.
Sifat-sifat terkait notasi matriks lainnya > Turunan

Rumus Leibniz menunjukkan bahwa determinan dari matriks persegi dengan elemen bilangan riil (atau analog dengan itu, bilangan kompleks) merupakan sebuah fungsi polinomial dari  \mathbb {R} ^{n\times n} ke  \mathbb {R} . Secara khusus, fungsi tersebut terdiferensial (dapat diturunkan) dimanapun. Turunan dari determinan selanjutnya dapat dinyatakan menggunakan rumus Jacobi: {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right).dengan  \operatorname {adj} (A) menyatakan adjugat dari  A. Khususnya ketika  A memiliki invers, terdapat hubungan {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right).
Penerapan > Aturan Cramer

Determinants dapat digunakan untuk menentukan solusi-solusi dari sistem persamaan linear, yang dinyatakan sebagai  A\mathbf {x} =\mathbf {b}  dalam bentuk matriks. Persamaan ini memiliki solusi unik  \mathbf {x}  jika dan hanya jika  \det(A) tak-nol. Ketika syarat tersebut dipenuhi, solusi dari sistem dapat ditentukan dengan aturan Cramer: x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\ldots ,ndengan  A_{i} adalah matriks yang dibentuk dengan menukar kolom ke- i matriks  A dengan vektor  \mathbf {b} . Rumus ini didapatkan dari ekspansi kolom dari determinan; secara matematis:
dengan  \mathbf {a} _{j} adalah vektor kolom ke- j dari  A. Aturan ini juga dapat dihasilkan dari identitas  A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.
Aturan Cramer dapat diimplementasikan dengan kompleksitas waktu  \operatorname {O} (n^{3}), yang sebanding dengan metode-metode lainnya terkait penyelesaian sistem persamaan linear, seperti penguraian (dekomposisi) LU, QR, maupun SVD.
Penerapan > Kebebasan linear

Lihat pula: Determinan Wronski
Determinan dapat digunakan untuk mencirikan vektor-vektor yang bergantung linear, dengan menggunakan fakta  \det A bernilai  0 jika dan hanya jika vektor-vektor kolom (atau ekuivalen dengan itu, vektor-vektor baris) di  A saling bergantung linear. Sebagai contoh, untuk sebarang  \mathbf {v} _{1},\,\mathbf {v} _{2}\in \mathbb {R} ^{3}, vektor  \mathbf {v} _{3} akan berada di bidang yang direntang (spanned) oleh kedua vektor sebelumnya, jika matriks yang dibentuk dari ketiga vektor tersebut memiliki determinan bernilai  0. Ide yang sama juga digunakan dalam teori persamaan diferensial: determinan Wronski (Wronskian) dari fungsi  f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x) (yang dianggap terdiferensialkan  n-1 kali) didefinisikan sebagai W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}.Fungsi ini bernilai tak-nol (untuk nilai  x tertentu) di suatu selang yang ditetapkan, jika dan hanya jika fungsi-fungsi tersebut berserta semua turunan sampai orde ke- (n-1) saling bebas linear. Ketika Wronskian bernilai nol dimanapun pada suatu selang, maka pada kasus fungsi analitik, hal ini mengartikan fungsi tersebut bergantung linear. Selain Wronskian, penerapan lain determinan dalam hal kebebasan linear adalah resultan, yang memberikan kriteria untuk dua polinomial memiliki [beberapa] akar solusi yang sama.
Penerapan > Volume dan determinan Jacobi

Seperti yang ditunjukkan pada beberapa bagian sebelumnya, nilai mutlak dari determinan vektor-vektor riil sama dengan volume balok jajar genjang yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Sebagai konsekuensinya, jika  f:\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}\to \mathbf {\mathbb {R} } ^{n} adalah peta linear yang diberikan oleh perkalian dengan sebuah matriks  A, dan  S\subset \mathbf {\mathbb {R} } ^{n} adalah sebarang subset yang terukur, maka volume  f(S) dapat dihitung lewat mengalikan  |\det(A)| dengan volume  S. Secara lebih umum, jika peta linear  f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m} direpresentasikan oleh matriks  A berukuran  m\times n, maka volume dimensi- n dari  f(S) diberikan lewat hubungan: \operatorname {volume} (f(S))={\sqrt {\det \left(A^{\textsf {T}}A\right)}}\operatorname {volume} (S).
Sifat di atas juga berlaku untuk fungsi terdiferensial  f, dengan memperhatikan matriks Jacobi dari fungsi tersebut. Untuk  f:\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}\rightarrow \mathbf {\mathbb {R} } ^{n}, matriks Jacobi adalah matriks berukuran  n\times n yang elemen-elemennya adalah turunan parsial dari  f, yang secara matematis ditulis
Determinan matriks tersebut (juga disebut dengan Jacobian) muncul dalam integrasi dengan substitusi: untuk fungsi multivariabel  f yang sesuai dan himpunan terbuka  U\in \mathbb {R} ^{n} (domain dari  f), integral atas  f(U) dari suatu fungsi  \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m} adalah \int _{f(U)}\phi (\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}\phi (f(\mathbf {u} ))\left|\det(\operatorname {D} f)(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .Jacobian juga muncul dalam teorema fungsi invers.
Dalam penerapannya di bidang kartografi, determinan Jacobi dapat digunakan untuk mengukur laju perluasan (rate of expansion) dari peta di sekitar kutub.
Perhitungan

Determinan umumnya digunakan sebagai alat teoritis. Determinan jarang dihitung secara eksplisit dalam aljabar linear numerik, karena penerapannya untuk mengecek keterbalikan dan mencari nilai-nilai eigen dapat digantikan oleh teknik-teknik lain. Tapi di sisi lain, geometri komputasi sering melakukan perhitungan yang terkait dengan determinan.
Walau nilai determinan dapat dihitung secara langsung menggunakan rumus Leibniz, metode ini sangat tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Hal ini disebabkan dari formulasi yang memerlukan perhitungan  n! ( n faktorial) perkalian untuk matriks  n\times n; menyebabkannya memiliki kompleksitas  \operatorname {O} (n!). Serupa dengan itu, ekspansi Laplace juga tidak efisien. Akibatnya, beberapa teknik yang lebih lanjut dikembangkan untuk menghitung determinan.
Perhitungan > Metode penguraian

Beberapa teknik menghitung  \det(A) dilakukan dengan menulis matriks sebagai perkalian beberapa matriks yang determinannya lebih mudah dihitung. Teknik-teknik tersebut dirujuk sebagai teknik penguraian. Contoh teknik ini adalah penguraian LU, penguraian QR, dan penguraian Cholesky (untuk matriks definit positif). Teknik-teknik ini memiliki kompleksitas  \operatorname {O} (n^{3}), yang jauh lebih baik dibandingkan dengan  \operatorname {O} (n!).
Sebagai contoh, penguraian LU menyatakan  A sebagai perkalian
dengan  P adalah matriks permutasi (matriks yang setiap kolomnya hanya mengandung satu nilai  1, dan sisanya bernilai  0), matriks segitiga bawah  L, dan matriks segitiga atas  U. Determinan dari matriks segitiga  L dan  U dapat dengan mudah dihitung, karena nilainya sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama. Sedangkan determinan dari  P hanya nilai tanda  \varepsilon  dari permutasi kolom-kolom  P (yang bernilai  +1 untuk permutasi genap dan  -1 untuk permutasi ganjil). Ketika penguraian LU dihasilkan untuk  A, nilai determinannya dapat dihitung sebagai