Grup titik dalam tiga dimensi
Tujuh deret tak hingga dari grup aksial

Deret tak hingga dari grup aksial atau prismatik memiliki indeks n, yang berupa bilangan bulat; setiap deret, grup simetri ke-n berisi lipatan-n simetri rotasi suatu sumbu, yaitu simetri terhadap rotasi dengan sudut 360°/n. n=1 mencakup kasus tidak ada simetri rotasi sama sekali. Ada empat deret tanpa sumbu simetri rotasi lainnya (lihat simetri siklik) dan tiga dengan sumbu tambahan simetri lipat 2 (lihat simetri dihedral). Apabila dipahami sebagai grup titik dalam dua dimensi diperpanjang dengan koordinat aksial dan refleksi di dalamnya. Terkait dengan grup dekorasi; yang ditafsirkan sebagai pola grup dekorasi yang berulang kali n di sekitar tabung.
Tabel berikut mencantumkan beberapa notasi untuk grup titik: notasi Hermann–Mauguin (digunakan dalam kristalografi), notasi Schönflies (digunakan untuk mendeskripsikan simetri molekuler), notasi orbifold, dan notasi Coxeter. Tiga yang terakhir tidak hanya terkait dengan sifatnya, tetapi juga dengan urutan grup. Notasi orbifold adalah notasi terpadu, juga berlaku untuk grup bingkai dan grup dekorasi. Grup kristalografi memiliki n hingga pada 1, 2, 3, 4, dan 6; menghapus pembatasan kristalografi memungkinkan setiap bilangan bulat positif.
Deret tersebut adalah:
| H–M> Ganda n | H–M> Ganjil n | Schön> .Schön. | Orb> .Orb. | Cox> .Cox. | Dekorasi> (tabung) | Struktur>  (Urutan).Struktur. (Urutan) | Contoh | Catatan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n | n | Cn | nn | [n]+  | p1 | Zn (n) |  | Lipatan simetri rotasi-n |
| 2n | n | S2n | n× | [2n+,2+]  | p11g | Z2n (2n) |  | Lipatan refleksi rotor simetri-n Jangan disamakan dengan abstrak grup simetris |
| n/m | 2n | Cnh | n* | [n+,2]  | p11m | Zn×Z2 (2n) |  |  |
| nmm | nm | Cnv | *nn | [n]  | p1m1 | Dihn (2n) |  | Piramida simetri; dalam biologi, simetri biradial |
| n22 | n2 | Dn | 22n | [n,2]+  | p211 | Dihn (2n) |  | Simetri dihedral |
| 2n2m | nm | Dnd | 2*n | [2n,2+]  | p2mg | Dih2n (4n) |  | Antiprismaatik simetri |
| n/mmm | 2n2m | Dnh | *22n | [n,2]  | p2mm | Dihn×Z2 (4n) |  | Prismatik simetri |
Untuk ganjil n memiliki Z2n = Zn × Z2 dan Dih< sub>2n = Dihn × Z2.
Grup Cn (termasuk trivial C1) dan Dn adalah kiral, yang lainnya kiral.
Istilah horizontal (h) dan vertikal (v), dan subskrip sesuai, mengacu pada bidang cermin tambahan, yang sejajar dengan sumbu rotasi (vertikal) atau tegak lurus terhadap sumbu rotasi (horizontal).
Grup aksial nontrivial paling sederhana setara dengan grup abstrak Z2:
Ci (dengan ekuivalen S2) – inversi simetri
C2 – lipatan-2 simetri rotasi
Cs (dengan ekuivalen C1h dan C1v) – simetri refleksi, atau disebut juga  simetri bilateral.
Yang kedua adalah pertama dari grup uniaksial (grup siklik) Cn urutan n (juga berlaku dalam 2D), yang dihasilkan oleh satu putaran sudut 360°/n. Selain itu, apabila menambahkan bidang cermin yang tegak lurus terhadap sumbu, memberikan grup Cnh orde 2n, atau satu himpunan bidang cermin n yang berisi sumbu, memberikan grup Cnv, juga dari urutan 2n. Yang terakhir adalah grup simetri untuk piramida bersisi n beraturan. Objek tipikal dengan grup simetri Cn atau Dn adalah kitiran.
Jika bidang refleksi horizontal dan vertikal ditambahkan, perpotongannya memberikan sumbu rotasi 'n' hingga 180°, sehingga grup bukan uniaksial. Grup baru dari urutan 4n ini disebut Dnh. Subgrup rotasinya adalah grup dihedral Dn urutan 2n, yang masih memiliki sumbu rotasi 2 kali lipat tegak lurus terhadap sumbu rotasi primer, tetapi bukan dari bidang cermin.
Catatan: dalam 2D, Dn menyertakan refleksi, yang juga dilihat sebagai inversi benda datar tanpa membedakan bagian depan dan belakang; namun dalam 3D, operasi tersebut dibedakan: Dn adalah "inversi", bukan refleksi.
Ada satu grup lagi dalam keluarga ini, yang disebut Dnd (atau Dnv), yang memiliki bidang cermin vertikal sebagai sumbu rotasi utama, namun alih-alih memiliki bidang cermin horizontal, ia memiliki isometri yang menggabungkan refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 180°/n. Dnh adalah grup simetri untuk "gonal-n "biasa" prisma dan juga untuk "gonal-n "biasa" bipiramid. Dnd adalah grup simetri untuk "gonal-n "biasa" antiprisma, dan juga untuk "gonal-n "biasa" trapezohedron. Dn adalah grup simetri dari prisma yang diputar sebagian ("memutar").
Grup D2 dan D2h diperhatikan karena tidak ada sumbu rotasi khusus. Sebaliknya, ada tiga sumbu tegak lurus lipatan-2. D2 adalah subgrup dari semua simetri polihedral (lihat di bawah), dan D2h adalah subgrup dari grup polihedral Th dan O h. D2 pada homotetramer seperti Concanavalin A, dalam senyawa koordinasi tetrahedral dengan empat ligan kiral identik, atau dalam molekul seperti tetrakis(klorofluorometil)metana jika semua gugus klorofluorometil memiliki kiralitas yang sama. Unsur D2 berada dalam korespondensi 1-ke-2 dengan rotasi yang diberikan oleh satuan kuaternion Lipschitz.
Grup Sn dihasilkan oleh kombinasi refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 360°/n. Untuk n ganjil ini sama dengan grup yang dihasilkan oleh keduanya secara terpisah, Cnh urutan 2n, dan oleh karena itu notasi Sn tidak diperlukan; namun, untuk n berbeda dari ganjil, dan urutan n. Seperti Dnd adalah sejumlah rotasi takwajar tanpa memuat rotasi yang sesuai.
Semua grup simetri dalam 7 deret tak hingga berbeda, kecuali untuk empat pasang yang sama besar berikut:
C1h dan C1v: grup urutan 2 dengan refleksi tunggal (Cs )
D1 dan C2: grup urutan 2 dengan satu putaran 180°
D1h dan C2v: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis pada bidang tersebut
D1d dan C2h: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis yang tegak lurus bidang tersebut.
S2 adalah grup urutan 2 dengan satu inversi (Ci ).
"Sama dengan" dimaksudkan sebagai sama hingga konjugasi dalam ruang. Ini lebih kuat dari "isomorfisme aljabar hingga". Misalnya, tiga grup berbeda dari urutan dua dalam pengertian pertama, tetapi hanya ada satu dalam pengertian kedua. Demikian pula, misalnya S2n isomorfik secara aljabar dengan Z2n.
Grup apabila dibangun sebagai berikut:
Cn. Dihasilkan oleh elemen juga disebut Cn, sesuai dengan rotasi dengan sudut 2π/n di sekitar sumbu. Unsur-unsurnya adalah E (identitas), Cn, Cn2, ..., C nn−1, sesuai dengan sudut rotasi 0, 2π/n, 4π/n, ..., 2(n − 1)π/n.
S2n. Dihasilkan oleh elemen C2nσh, dimana σh adalah refleksi dalam arah sumbu. Elemennya adalah elemen Cn dengan C2nσh, C2n3σh, ..., C2n2n−1σh.
Cnh. Generated by element Cn and reflection σh. Its elements are the elements of group Cn, with elements σh, Cnσh, Cn2σh, ..., Cnn−1σh added.
Cnv. Dihasilkan oleh elemen Cn dan refleksi v dalam arah pada bidang tegak lurus terhadap sumbu. Elemennya adalah elemen grup Cn, dengan elemen σv, Cnσv, Cn2σv, ..., Cnn−1σv.
Dn. Dihasilkan oleh elemen Cn dan rotasi 180° U = σhσv di sekitar arah pada bidang tegak lurus sumbu. Elemennya adalah elemen grup Cn, dengan elemen U, CnU, Cn2U, ..., Cnn − 1U.
Dnd. Dihasilkan oleh elemen C2nσh dan σv. Elemennya adalah elemen grup Cn dan elemen tambahan S2n dan Cnv , dengan elemen C2nσhσv, C2n3σhσv, ..., C2n2n − 1σhσv.
Dnh. Dihasilkan oleh elemen Cn, σh, and σv. Elemennya adalah elemen grup Cn dan elemen tambahan dari C elementsnh, Cnv, dan Dn.
Mengambil n ke ∞ menghasilkan grup dengan rotasi aksial kontinu:
| H–M | Schönflies | Orbifold | Coxeter | Coxeter | Batas | Grup abstrak | Grup abstrak |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ∞ | C∞ | ∞∞ | [∞]+ |  | Cn | Z∞ | SO(2) |
| ∞, ∞/m | C∞h | ∞* | [2,∞+] |  | Cnh, S2n | Z2×Z∞ | Z2×SO(2) |
| ∞m | C∞v | *∞∞ | [∞] |  | Cnv | Dih∞ | O(2) |
| ∞2 | D∞ | 22∞ | [2,∞]+ |  | Dn | Dih∞ | O(2) |
| ∞m, ∞/mm | D∞h | *22∞ | [2,∞] |  | Dnh, Dnd | Z2×Z∞ | Z2×O(2) |