Peta linear
Contoh

Contoh prototipikal yang melahirkan nama peta linear adalah fungsi f : R → R : x ↦ cx, di mana grafiknya berbentuk garis yang melalui titik nol.
Secara umum, semua homotetik yang berpusat di titik nol ruang vektor, 




v

↦
c

v



{\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }

 dengan c melambangkan skalar, merupakan sebuah operator linear. Ini tidak berlaku untuk modul secara umum, karena petanya mungkin hanya semilinear.
Peta nol x ↦ 0 di antara dua modul kiri (atau dua modul kanan) atas gelanggang yang sama selalu linear.
Peta identitas dari modul manapun merupakan sebuah operator linear.
Untuk bilangan real, peta x ↦ x2 tidak linear.
Untuk bilangan real, peta x ↦ x + 1 tidak linear (tapi merupakan transformasi afin; y = x + 1 adalah persamaan linear, menurut istilah yang digunakan geometri analisis.)
Jika A merupakan m × n matriks real, maka A mendefinisikan sebuah peta linear dari Rn ke Rm dengan cara mengirim vektor kolom x ∈ Rn ke vektor kolom Ax ∈ Rm. Sebaliknya pula, peta linear antara ruang vektor berdimensi hingga manapun bisa direpresentasikan dengan cara ini; lihat bagian berikutnya.
Diferensiasi mendefinisikan sebuah peta linear dari ruang semua fungsi yang dapat diturunkan ke ruang semua fungsi. Diferensiasi juga mendefinisikan sebuah operator linear di ruang semua fungsi mulus (sebuah operator linear merupakan sebuah endomorfisme linear, artinya peta linear yang domain dan kodomainnya sama). Contohnya  {\frac {d}{dx}}\left({{c}_{1}}{{f}_{1}}\left(x\right)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}\left(x\right)+\cdots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}\left(x\right)\right)={{c}_{1}}{\frac {d{{f}_{1}}\left(x\right)}{dx}}+{{c}_{2}}{\frac {d{{f}_{2}}\left(x\right)}{dx}}+\cdots +{{c}_{n}}{\frac {d{{f}_{n}}\left(x\right)}{dx}}.
Integral tertentu di suatu interval I merupakan peta linear dari ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat dintegralkan di I ke R. Contohnya, \int _{a}^{b}{[{{c}_{1}}{{f}_{1}}(x)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}(x)+\ldots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}(x)]dx}={{c}_{1}}\int _{a}^{b}{{{f}_{1}}(x)dx}+{{c}_{2}}\int _{a}^{b}{{{f}_{2}}(x)dx}+\ldots +{{c}_{n}}\int _{a}^{b}{{{f}_{n}}(x)dx}.
Integral tak tentu (atau antiturunan) dengan titik awal integrasi yang tetap mendefinisikan sebuah peta linear dari ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat diintegralkan di R ke ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat diturunkan di R. Tanpa titik awal yang ditetapkan, teori grup akan menunjukkan bahwa antiturunan tersebut akan memetakan ke ruang kuosien fungsi yang dapat diturunkan dengan relasi ekuivalensi "berselisih sebuah konstanta", yang menghasilkan sebuah kelas identitas berisi fungsi yang bernlai konstan 




(


∫

:
 
I
(
ℜ
)
 
→
 
D
(
ℜ
)

/

ℜ


)



{\textstyle \left(\,\int \!:\ I(\Re )\ \to \ D(\Re )/\Re \,\right)}

.
Jika V dan W merupakan ruang vektor berdimensi hingga pada medan F, maka fungsi yang mengirim peta linear f : V → W ke matriks dimF(W) × dimF(V) dengan cara yang digambarkan berikutnya juga merupakan peta linear.
Nilai harapan dari sebuah peubah acak (yang sebenarnya merupakan sebuah fungsi, dan anggota sebuah ruang vektor) bersifat linear, karena untuk variabel acak X dan Y kita punya E[X + Y] = E[X] + E[Y] dan E[aX] = aE[X], tapi varians dari sebuah variabel acak tidaklah linear.
Fungsi 



f
:


R


2


→


R


2




{\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}

 dengan 



f
(
x
,
y
)
=
(
2
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)=(2x,y)}

 merupakan sebuah peta linear. Fungsi ini mengkalikan komponen 



x


{\textstyle x}

 dari vektor dengan faktor 



2


{\textstyle 2}

.
Fungsi 



f
(
x
,
y
)
=
(
2
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)=(2x,y)}

 bersifat aditif: Tidak penting apakah vektornya dijumlahkan dulu lalu dipetakan atau dipetakan dulu lalu dijumlahkan: 



f
(
a
+
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)


{\textstyle f(a+b)=f(a)+f(b)}
Fungsi 



f
(
x
,
y
)
=
(
2
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)=(2x,y)}

 bersifat homogen: Tidak penting apakah vektornya dikalikan dulu lalu dipetakan atau dipetakan dulu lalu dikalikan: 



f
(
λ
a
)
=
λ
f
(
a
)


{\textstyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}