Produk Tensor
Sifat > Sifat universal

Dalam konteks ruang vektor, hasil kali tensor  V\otimes W dan peta bilinear terkait  \varphi :V\times W\to V\otimes W dicirikan hingga isomorfisme oleh properti universal terkait peta bilinear. (Ingatlah bahwa peta bilinear adalah fungsi yang  terpisah  linier di setiap argumennya.) Secara informal,  \varphi  adalah peta bilinear yang paling umum  V\times W.
Ruang vektor  V\otimes W dan peta bilinear terkait  \varphi :V\times W\to V\otimes W memiliki properti yang peta bilinear apapun  h:V\times W\to Z dari  V\times W ke ruang vektor mana pun yang dimasukkan faktor  Z  \varphi  secara unik. Dengan mengucapkan " h faktor melalui  \varphi  secara unik ", maksud kami ada peta linier unik  {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z seperti  h={\tilde {h}}\circ \varphi .
Karakterisasi ini dapat menyederhanakan pembuktian tentang produk tensor. Misalnya, hasil kali tensor simetris, artinya terdapat isomorfisma kanonik:
Untuk membuat, katakanlah, peta dari  V\otimes W ke  W\otimes V, itu sudah cukup untuk memberikan peta bilinear  h:V\times W\to W\otimes V peta itu  (v,w) ke  w\otimes v. Kemudian properti universal  V\otimes W berarti faktor  h ke dalam peta  {\tilde {h}}:V\otimes W\to W\otimes V.
A map  {\tilde {g}}:W\otimes V\to V\otimes W dalam arah yang berlawanan didefinisikan dengan cara yang sama, dan seseorang memeriksa bahwa dua peta linier  {\tilde {h}} dan  {\tilde {g}} adalah invers satu sama lain dengan kembali menggunakan properti universal mereka.
Properti universal sangat berguna dalam menunjukkan bahwa peta ke produk tensor bersifat injektif. Misalnya, kita ingin menunjukkan  \mathbb {R} \otimes \mathbb {R}  is isomorphic to  \mathbb {R} . Karena semua tensor sederhana berbentuk  a\otimes b=(ab)\otimes 1, dan karenanya semua elemen produk tensor adalah bentuk  x\otimes 1 dengan aditifitas pada koordinat pertama, kita memiliki kandidat alami untuk isomorfisme  \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \otimes \mathbb {R}  diberikan oleh pemetaan  x ke  x\otimes 1, dan peta ini sangat meyakinkan.
Menunjukkan suntikan secara langsung akan melibatkan entah bagaimana menunjukkan bahwa tidak ada hubungan non-sepele di antara keduanya  x\otimes 1 dan  y\otimes 1 ke  x\neq y, yang tampaknya menakutkan. Namun, kita tahu bahwa ada peta bilinear  \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}  diberikan dengan mengalikan koordinat, dan properti universal produk tensor kemudian melengkapi peta ruang vektor  \mathbb {R} \otimes \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}  peta  x\otimes 1 ke  x, dan karenanya merupakan kebalikan dari homomorfisme yang dikonstruksi sebelumnya, segera menyiratkan hasil yang diinginkan. Perhatikan bahwa, apriori, bahkan tidak jelas bahwa peta terbalik ini terdefinisi dengan baik, tetapi properti universal dan peta bilinear yang terkait bersama-sama menyiratkan bahwa memang demikian.
Penalaran serupa dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa produk tensor bersifat asosiatif, yaitu terdapat isomorfisme alami
Oleh karena itu, biasanya tanda kurung dihilangkan dan ditulis  V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}.
Kategori ruang vektor dengan hasil kali tensor adalah contoh dari sebuah kategori monoidal simetris.
Definisi properti universal dari produk tensor valid di lebih banyak kategori daripada hanya kategori ruang vektor. Alih-alih menggunakan peta multilinear (bilinear), definisi produk tensor umum menggunakan multimorfisme.