Eksponensiasi
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat > Eksponensial kompleks > Kegagalan pangkat dan identitas logaritma

Beberapa identitas untuk pangkat dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa pangkat kompleks dan logaritma kompleks didefinisikan sebagai fungsi bernilai tunggal. Misalnya:
Identitas log(bx) = x ⋅ log b berlaku setiap b adalah bilangan real positif dan x adalah bilangan real. Tetapi untuk cabang utama dari logaritma kompleks yang dimiliki
 i\pi =\log(-1)=\log \left[(-i)^{2}\right]\neq 2\log(-i)=2\left(-{\frac {i\pi }{2}}\right)=-i\pi 
Terlepas dari cabang logaritma mana yang digunakan, kegagalan identitas yang serupa akan tetap ada. Yang terbaik yang bisa dikatakan (jika hanya menggunakan hasil ini) adalah bahwa:
 \log(w^{z})\equiv z\cdot \log(w){\pmod {2\pi i}}
Identitas ini tidak berlaku bahkan ketika mempertimbangkan log sebagai fungsi multinilai. Nilai yang mungkin menggunakan log(wz) berisi z log w sebagai himpunan bagian. Menggunakan Log(w) untuk nilai utama log(w) dan m, n sebagai bilangan bulat, nilai yang berasal dari kedua sisi adalah:
 {\begin{aligned}\left\{\log(w^{z})\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in+2\pi im\right\}\\\left\{z\cdot \log(w)\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in\right\}\end{aligned}}
Identitas (bc)x = bxcx dan (b/c)x = bx/cx adalah absah jika b dan c adalah bilangan real positif dan x adalah bilangan real. Tetapi perhitungan menggunakan cabang utama menunjukkan bahwa
 1=(-1\cdot -1)^{\frac {1}{2}}\not =(-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1
dan
 i=(-1)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}\not ={\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i
Di sisi lain, ketika x adalah bilangan bulat, identitas absah-nya untuk semua bilangan kompleks bukan nol.

Jika eksponensial dianggap sebagai fungsi multinilai maka nilai yang mungkin dari (−1 ⋅ 1)1/2 adalah {1, −1}. Identitasnya berlaku, tetapi mengatakan {1} = {(−1 ⋅ 1)1/2} adalah salah.
Identitas (e x )y = e xy berlaku untuk bilangan real x dan y , tetapi dengan asumsi kebenarannya untuk bilangan kompleks mengarah ke paradoks berikut, ditemukan pada tahun 1827 oleh Clausen:Untuk sembarang bilangan bulat n , memiliki: tetapi ini salah jika bilangan bulat n adalah bukan nol. Kesalahannya adalah sebagai berikut: menurut definisi, e^{y} adalah notasi untuk \exp(y), fungsi yang sebenarnya, dan x^{y} adalah notasi untuk \exp(y\log x), yang merupakan fungsi multinilai. Jadi notasi ambigunya ketika x = e . Maka, sebelum memperluas eksponen, baris kedua seharusnya \exp \left((1+2\pi in)\log \exp(1+2\pi in)\right)=\exp(1+2\pi in). Oleh karena itu, ketika memperluas eksponen, apabila implisit menduga bahwa \log \exp z=z untuk nilai kompleks z adalah nilai salah, karena logaritma kompleksnya adalah multinilai. Dengan kata lain, identitas salah (e x )y = e xy harus diganti dengan identitas \left(e^{x}\right)^{y}=e^{y\log e^{x}}, yang merupakan identitas hakiki antara fungsi multinilai.
e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e
\left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\qquad  (mengambil ke- (1+2\pi in) pangkat kedua sisi)
e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad  (menggunakan  \left(e^{x}\right)^{y}=e^{xy} dan memperluas eksponen)
e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad  (menggunakan  e^{x+y}=e^{x}e^{y})
e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\qquad  (membagi dengan e)
tetapi ini salah jika bilangan bulat n adalah bukan nol.
Kesalahannya adalah sebagai berikut: menurut definisi,  e^{y} adalah notasi untuk  \exp(y), fungsi yang sebenarnya, dan  x^{y} adalah notasi untuk  \exp(y\log x), yang merupakan fungsi multinilai. Jadi notasi ambigunya ketika x = e. Maka, sebelum memperluas eksponen, baris kedua seharusnya
Oleh karena itu, ketika memperluas eksponen, apabila implisit menduga bahwa  \log \exp z=z untuk nilai kompleks z adalah nilai salah, karena logaritma kompleksnya adalah multinilai. Dengan kata lain, identitas salah (ex)y = exy harus diganti dengan identitas