Dimensi Hausdorff
Intuisi

Konsep intuitif dalam dimensi objek geometris X adalah jumlah parameter independen yang diperlukan untuk memilih titik unik di dalamnya. Akan tetapi, setiap titik yang ditentukan oleh dua parameter dapat ditentukan oleh satu parameter, karena kardinalitas bidang nyata sama dengan kardinalitas garis nyata (hal ini dapat dilihat dari argumen yang melibatkan penjalinan digit dari dua bilangan untuk menghasilkan satu nomor yang mengkodekan informasi yang sama). Contoh kurva pengisian ruang menunjukkan bahwa seseorang bahkan dapat memetakan garis nyata ke bidang nyata secara surjektif (mengambil satu bilangan real ke dalam pasangan bilangan real sedemikian rupa sehingga semua pasangan bilangan tertutup) dan terus menerus, sehingga benda satu dimensi memenuhi seluruh benda berdimensi lebih tinggi.
Setiap kurva pengisian ruang mengenai beberapa titik berkali-kali dan tidak mempunyai invers kontinu. Tidak mungkin memetakan dua dimensi menjadi satu dengan cara yang kontinu dan dapat dibalik. Dimensi topologi, juga disebut dimensi penutup Lebesgue, menjelaskan alasannya. Dimensi ini adalah bilangan bulat terbesar n sedemikian rupa sehingga dalam setiap penutupan X oleh bola terbuka kecil terdapat paling sedikit satu titik di mana n + 1 bola tumpang tindih. Misalnya, ketika seseorang menutupi suatu garis dengan interval terbuka pendek, beberapa titik harus ditutupi dua kali, sehingga memberikan dimensi n = 1.
Namun dimensi topologi adalah suatu ukuran yang sangat kasar dari ukuran lokal suatu ruang (ukuran di dekat suatu titik). Sebuah kurva yang hampir memenuhi ruang tetap dapat mempunyai dimensi topologi satu, meskipun kurva tersebut memenuhi sebagian besar wilayah suatu wilayah. Fraktal memiliki dimensi topologi bilangan bulat, namun dalam hal jumlah ruang yang ditempatinya, fraktal berperilaku seperti ruang berdimensi lebih tinggi.
Dimensi Hausdorff mengukur ukuran lokal suatu ruang dengan mempertimbangkan jarak antar titik, metrik. Misalkan jumlah N (r) bola berjari-jari paling banyak r yang diperlukan untuk menutupi X seluruhnya. Ketika r sangat kecil, N(r) tumbuh secara polinomial dengan 1/r. Untuk X yang berkelakuan cukup baik, dimensi Hausdorff adalah bilangan unik d sehingga N(r) bertambah ketika 1/rd ketika r mendekati nol. Lebih tepatnya, ini mendefinisikan dimensi penghitungan kotak, yang sama dengan dimensi Hausdorff ketika nilai d adalah batas kritis antara tingkat pertumbuhan yang tidak cukup untuk menutupi ruang, dan tingkat pertumbuhan yang berlebihan.
Untuk bentuk yang halus, atau bentuk dengan jumlah sudut yang condong sedikit, merupakan bentuk geometri dan sains tradisional, dimensi Hausdorff adalah bilangan bulat yang sesuai dengan dimensi topologi. Namun Benoit Mandelbrot mengamati bahwa fraktal, himpunan dengan dimensi Hausdorff noninteger, ditemukan di mana pun di alam. Dia mengamati bahwa idealisasi yang tepat dari sebagian besar bentuk kasar yang Anda lihat di sekitar Anda bukanlah dalam bentuk ideal yang halus, tetapi dalam bentuk ideal fraktal:
Awan tidak berbentuk bola, gunung tidak berbentuk kerucut, garis pantai tidak berbentuk lingkaran, kulit tidak mulus, dan kilat tidak merambat lurus.
Untuk fraktal yang terdapat di alam, dimensi Hausdorff dan penghitungan kotak bertepatan. Dimensi pengepakan adalah gagasan serupa lainnya yang memberikan nilai yang sama untuk banyak bentuk, namun ada pengecualian yang terdokumentasi dengan baik di mana semua dimensi ini berbeda.[apa contohnya?][ contoh diperlukan]