Kurva bidang kubik

Sebuah seleksi kurva kubik. Lihat gambarnya untuk melihat halaman informasi untuk detail.
Dalam matematika, sebuah kubik bidang kurva merupakan sebuah kurva aljabar bidang  C didefinisikan oleh sebuah persamaan kubik
F(x,y,z)=0
berlaku untuk koordinat homogen  x:y:z untuk bidang proyektif, atau versi inhomogen untuk ruang afin ditentukan dengan menetapkan  z=1 seperti di sebuah persamaan. Disini  F merupakan kombinasi linear taknol dari monomial tiga derajat.
x^{3},y^{3}
Ini ada sepuluh dalam bilangan; oleh karena itu kurva kubik membentuk sebuah ruang proyektif dimensi 9, pada setiap diberikan medan  K. Setiap titik  P memaksa sebuah syarat linear tunggal pada  F, jika kita menanyakan bahwa  C melalui  P. Oleh karena itu, kita dapat menemukan suatu kurav kubik memlalui setiap sembilan titik yang diberikan, yang dapat merosot, dan tidak dapat menjadi tunggal, tetapi akan menjadi tunggal dan takmerosot jika titiknya ada dalam posisi umum; bandingkan dua titik menentukan sebuah garis dan bagaimana lima titik menentukan sebuah runjung. Jika dua kubik melalui sebuah himpunan sembilan titik yang diberikan, maka faktanya sebuah pensil kubik tentu saja, dan titik-titiknya memenuhi sifat-sifat tambahan; lihat teorema Cayley–Bacharach.
Kubik singular  y^{2}=x^{2}(x+1). Sebuah parametrisasi diberikan oleh  t\mapsto (t^{2}-1,t(t^{2}-1)).
Sebuah kurva kubik dapat memiliki sebuah titik singular, yang mana kasusnya memiliki sebuah parametrisasi dalam istilah garis proyektif. Jika tidak sebuah kurva kubik taksingular dikenal memiliki sembilan titik belok, pada sebuah medan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks. Ini dapat ditunjukkan dengan mengambil versi homogen dari matriks Hesse, yang mendefinisikan sebuah kubik lagi, dan memotongnya dengan  C, perpotongannya kemudain dicacahkan oleh teorema Bézout. Namun, hanya tiga dari titik-titik ini dapat menjadi real, jadi abhwa yang lain tidak dapat dilihat dalam bidang proyektif real dengan menggambar kurva. Kesembilan titik belok dari sebuah kubik taksingular memilki sifat yang setiap garis lewat melalui dua dari mereka berisi tepatnya tiga titik belok.
Titik-titik real kurva kubik dipelajari oleh Isaac Newton. Titik-titik real sebuah kubik proyektif taksingular jatuh ke satu atau dua 'oval'. Salah satu dari oval-oval ini melintasi setiap garis proyektif real, dan dengan demikian tidak pernah dibatasi ketika kubik digambar dalam bidang Euklides; ini muncul sebagai satu atau tiga cabang-cabang yang takhingga, berisi tiga titik belok real. Oval lainnya, jik ada, tidak berisi setiap titik belok dan muncul juga sebagai sebuah oval atau sebagai dua cabang-cabang yang takhingga. Seperti untuk irisan kerucut. sebuah garis memotong oval ini, paling banyak, dua titik.
Sebuah kubik bidang taksingular mendefiniskan sebuah kurva eliptik, pada setiap medan  K untuk yang memiliki sebuah titik yang didefinisikan. Kurva eliptik sekarang biasanay dipelajari dalam beberapa ragam fungsi eliptik Weierstrass, mendefinisikan sebuah ekstensi kuadratik dari medan fungsi rasional dibuat dengan mengekstrak akar kuadrat sebuah kubik. Ini dilakukan bergantung pada yang memiliki sebuah titik rasional  K, yang menyediakan sebagai titik di takhingga dalam bentuk Weierstrass. Terdapat banyak kurva kubik yang tidak memiliki titik tersebut, sebagai contoh ketika  K merupakan medan bilangan rasional.
Titik-titik singular sebuah kurva kubik bidang takreduksi cukup terbatas: satu titik ganda, atau sebuah taring. Sebuah kurva kubik bidang reduksi merupakan baik sebuah kerucut dan sebuah garis atau tiga garis, dan oleh sebab itu memiliki dua titik ganda atau sebuah taknode (jika sebuah kerucut dan sebuah garis), atau samapi tiga titik ganda atau sebuah titik rangkap tiga tunggal (garis setumpu) jika tiga garis.