Aljabar
Sejarah

Awal mula aljabar berasal dari konsepnya yang bertujuan memecahkan permasalahan matematika yang melibatkan perhitungan aritmetika dan kuantitas yang tidak diketahui. Pengembangan tersebut terjadi di Babilonia, Mesir, Yunani, Tiongkok, dan India. Salah satu catatan tertua mengenai permasalahan aljabar dapat ditemukan dari Mesir Kuno, Papirus Matematika Rhind, yang ditulis sekitar 1650 SM. Papirus ini mendiskusikan solusi persamaan linear, yang diekspresikan ke dalam bentuk permasalahan seperti "Sebuah kuantitas; kuantitas keempatnya ditambahkn ke dia. Hasilnya lima belas. Apa itu kuantitas?" Lauh tanah liat orang Babilonia yang berasal dari waktu yang sama menjelaskan metode menyelesaikan persamaan linear dan persamaan polinomial kuadratik, seperti metode menyelesaikan bentuk kuadrat.
Banyak wawasan tersebut dapat ditemukan dari Yunani Kuno. Dimulai pada abad ke-6 SM, ketertarikan mereka adalah geometri ketimbang aljabar, tetapi mereka menggunakan metode aljabar untuk memecahkan permasalahan geometri. Sebagai contoh, mereka mempelajari bangunan geometri selagi menganggap panjang dan luas bangunan tersebut sebagai kuantitas tidak diketahui yang akan dinyatakan kemudian, seperto yang disederhanakan dalam perumusan Pythagoras mengenai metode selisih dua bilangan kuadrat dan kemudian di dalam Elemen Euklides. Pada abad ke-3 SM, Diophantus menyediakan cara yang lebih detail mengenai menyelesaikan solusi persamaan aljabar dalam kumpulan bukunya yang berjudul Arithmetica. Diophantus adalah orang pertama yang bereksperimen dengan notasi simbol untuk mengekpresikan polinomial. Karya Diophantus berdampak pada pengembahgan aljabar di Arab, dengan banyak metode Diophantus mencerminkan konsep dan teknik yang digunakan dalamm aljabar Arab pada abad pertengahan. Di Tiongkok Kuno, Jiuzhang Suanshu, sebuah buku yang disusun di anatara abad ke-10 SM hingga abad ke-2 M, membahas berbagai teknik untuk memecahkan persamaan alajbar, di antaranya kegunaan konstruksi berupa matriks.
Tidak ada persetujuan mengenai apakah pengembangan-pengembangan tersebut merupakan bagian aljabar atau hanya pendahulu sebelum awal mulanya konsep aljabar. Pengembangan tersebut menawarkan solusi permasalahan aljabar, tetapi tidak menggambarkannya dalam bentuk pemahaman umum dan abstrak; alih-alih hanya bertujuan pada kasus-kasus spesifik serta penerapan. Hal tersebut berubah ketika matematikawan Persia al-Khwarizmi menerbitkan karyanya Al-jabr pada 825 SM, yang pertama kali menyajikan perlakuan detail mengenai metode umum yang dapat memanipulasi persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan "mengurangi" dan "menyeimbangkan" kedua ruas persamaan. Beberapa kontribusi yang berdampak pada aljabar berasal dari matematikawan Arab Thābit ibn Qurra pada abad ke-9 dan matematikawan Persia Omar Khayyam pada abad ke-11 dan ke-12.
Di India, Brahmagupta mempelajari bagaimana cara memecahkan persamaan kuadrat beserta persamasan dengan beberap variabel pada abad ke-7 SM. Di antara penemuannya Brahmagupta adalah orang yang menggunakan angka nol dan bilangan negatif di dalam persamaan aljabar. Matematikawan India Mahāvīra pada abad ke-9 dan Bhāskara II pada abad ke-12 kemudian memperbaiki metode dan konsep Brahmagupta. Pada tahun 1247, the matematikawan Tiongkok Qin Jiushao menulis Shushu Jiuzhang, yang menyertakan sebuah algoritma untuk evaluasi polinomial secara numerik, di antaranya polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.
François Viète (kiri) dan René Descartes (kanan) adalah penemu notasi simbol matematika untuk mengekpresikan persamaan secara abstrak dan singkat.
Ide dan teknik al-Kwarizmi dibawa oleh matematikawan Italia Fibonacci ke Eropa dalam buku-bukunya, terutama Liber Abaci. Pada tahun 1545, polimatik Italia Gerolamo Cardano menerbitkan bukunya berjudul Ars Magna, yang meliputi banyak topik dalam aljabar, membahas bilangan imajiner dan juga yang pertama kali menyajikan metode umum untuk memecahkan persamaan kubik dan persamaan kuartik. Pada abad ke-16 dan ke-17, matematikawan Prancis François Viète dan René Descartes memperkenalkan huruf dan simbol untuk melambangkan variabel dan operasi, yang memungkinkan untuk mengekpresikan persamaan secara abstrak dan singkat. Matematikawan pendahulu masih mengandalkan penjelasan secara verbal untuk permasalahan dan solusi. Beberapa sejarawan mengamati pengembangan ini sebagai kunci utama dalam sejarah aljabar, sekaligus menganggap sebelum adanya ide huruf dan simbol tersebut sebagai prasejarah aljabar karena kurangnya kealamian abstrak yang berdasarkan manipulasi simbolik.
Pada abad ke-17 dan ke-18, banyak matematikawan mencoba mencari penyelesaian umum untuk polinomial dengan derajat lima dan yang lebih tinggi, tetapi semuanya gagal. Pada akhir abad ke-18, matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema dasar aljabar, yang menjelaskan keberadaan akar polinomial dengan sebarang derajat tanpa menyediakan solusi umum. Pada awal abad ke-19, matematikawan Italia Paolo Ruffini dan matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel dapat menunjukkan bahwa tidak ada solusi umum untuk polinomial dengan derajat lima atau yang lebih tinggi. Sebagai balasan sekaligus setelah penemuan dari kedua matematikawan itu, matematikawan Prancis Évariste Galois mengembangkan teori yang dikenal sebagai teori Galois, yang menawarkan analisis yang lebih dalam mengenai solusi polinomial selagi juga menyertakan dasar-dasar teori grup. Matematikawan kemudian menyadari keterkaitan teori grup dengan cabang lain dan menerapkannya ke dalam kedisiplinan cabang matematika seperti geometri dan teori bilangan.
Dimulai pada pertengahan abad ke-19, ketertarikan dalam aljabar berubah dari kajian polinomial yang dikaitkan dengan aljabar elementer yang mengacu pada pertanyaan lebhi umum menjadi struktur aljabar. Hal ini menandakan kehadiran aljabar abstrak. Pendekatan ini mengkaji basis aksiomatik mengenai operasi aljabar sebarang. Penemuan sistem aljabar baru berdasarkan operasi yang berbeda dan anggota menyertai pengembangan tersebut, seperti aljabar Boole, aljabar vektor, dan aljabar matriks. Pengembangan awal yang berdampak dalam aljabar abstrak dibuat oleh matematikawan Jerman David Hilbert, Ernst Steinitz, dan Emmy Noether serta juga matematikawan Austria Emil Artin. Mereka meneliti bentuk struktur aljabar yang berbeda dan mengaktegorikannya berdasarkan struktur aljabar di bawah aksioma menjadi grup, gelanggang, dan lapangan.
Gagasan pendekatan yang lebih umum, yang dikaitkan dengan aljabar universal dirancang oleh matematikawan Inggris Alfred North Whitehead dalam bukunya A Treatise on Universal Algebra pada tahun 1898. Dimulai pada tahun 1930-an, matematikawan Amerika Serikat Garrett Birkhoff memperluas gagasan tersebut dan mengembangkan banyak konsep dasar bidang tersebut. Penemuan aljabar universal mengarah pada kehadiran berbagai cabang baru yang berfokus pada aljabarisasi matematika—maksudnya penerapan metode aljabar ke cabang matematika lain. Aljabar topologis muncul pada awal abad ke-20 yang mempelajari struktur aljabar seperti grup topologis dan grup Lie. Pada tahun 1940-an dan 1950-an, aljabar homologi muncul, yang menggunakan teknik aljabar untuk mempelajari homologi. Di waktu yang sama, teori kategori dikembangkan dan memainkan peran penting dalam fondasi matematika. Beberapa pengembangannya adalah formulasi teori model dan kajian aljabar bebas.