stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Eksponensiasi
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat > Eksponensial kompleks > Fungsi multinilai

Dalam beberapa konteks, terdapat masalah dengan diskontinuitas pada nilai-nilai utama  \log z dan  z^{w} pada nilai real negatif z. Dalam hal ini, akan berguna untuk mempertimbangkan fungsi-fungsi ini sebagai fungsi multinilai.
Jika  \log z menunjukkan salah satu nilai dari logaritma multinilai (biasanya nilai utamanya), nilai lainnya adalah  2ik\pi +\log z, dimana k adalah bilangan bulat. Demikian pula, jika  z^{w} adalah salah satu nilai eksponensial, maka nilai lainnya diberikan oleh
dimana k adalah bilangan bulat.
Nilai k berbeda memberikan nilai  z^{w} yang berbeda kecuali w adalah bilangan rasional, yaitu, apabila bilangan bulat d sehingga dw adalah bilangan bulat. Maka hasil dari periodisitas ini dari fungsi eksponensial, bahwa  e^{a}=e^{b} jika dan hanya jika  a-b adalah kelipatan bilangan bulat dari  2\pi .
Jika  w={\frac {m}{n}} adalah bilangan rasional dengan m dan n bilangan bulat koprima dengan  n>0, maka  z^{w} memiliki nilai persis n. Dalam kasus  m=1, nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam §akar ke-n bilangan kompleks. Jika w adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan § Eksponen bilangan bulat.
pangkat multinilai adalah holomorfik untuk  z\neq 0, dalam arti bahwa grafik-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasi z terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar 0, maka, setelah titik balik, nilai  z^{w} berubah dari lapisan.
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat > Eksponensial kompleks > Komputasi

Bentuk kanonik  x+iy dari  z^{w} dihitung dari bentuk kanonik z dan w. Meskipun ini dapat dijelaskan dengan satu rumus, lebih jelas untuk membagi perhitungan dalam beberapa langkah.
Bentuk polar dari z. Jika  z=a+ib adalah bentuk kanonik dari z (a dan b sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah  z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ), dimana  \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}} dan  \theta =\operatorname {atan2} (a,b) (lihat atan2 untuk definisi fungsi ini).
Logaritma dari z. Nilai utama dari logaritma ini adalah  \log z=\ln \rho +i\theta , dimana  \ln  menunjukkan logaritma alami. Nilai logaritma lainnya diperoleh dengan menambahkan  2ik\pi  untuk sembarang bilangan bulat k.
Bentuk kanonik dari  w\log z. Jika  w=c+di dengan real c dan d, nilai  w\log z adalah  w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ), nilai utama yang sesuai dengan  k=0.
Hasil akhir. Menggunakan identitas  e^{x+y}e^{x}=e^{y} dan  e^{y\ln x}=x^{y}, satu-satunya menggunakan  z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right), dengan  k=0 untuk nilai utama.
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat > Eksponensial kompleks > Komputasi > Contoh

i^{i} 
Bentuk polar i adalah  i=e^{i\pi /2}, dan dengan demikian nilai  \log i adalah  \log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right). Oleh karena itu  i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }. Jadi, semua nilai real  i^{i} utama adalah  e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.
(-2)^{3+4i}
Demikian pula, bentuk polar dari −2 adalah  -2=2e^{i\pi }. Jadi, metode yang dijelaskan di atas diberikan nilai  {\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}Dalam hal ini, semua nilai memiliki argumen  4\ln 2, yang sama dan nilai absolut yang berbeda.
Dalam kedua contoh, semua nilai  z^{w} memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika bagian real dari w adalah bilangan bulat.
Eksponen irasional

Artikel utama: Teorema Gelfond–Schneider
Jika b adalah real positif bilangan aljabar, dan x adalah bilangan rasional, telah ditunjukkan di atas bahwa bx adalah bilangan aljabar. Ini sisa hakiki bahkan apabila jika menerima bilangan aljabar untuk b, dengan satu-satunya perbedaan bahwa bx mengambil beberapa nilai (bilangan terbatas, lihat di bawah), yang merupakan aljabar. Teorema Gelfond–Schneider diberikan beberapa informasi tentang sifat bx ketika x adalah irasional (yaitu, bukan rasional). Maka, ini menyatakan:
Jika b adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan x adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai bx (banyaknya, tak hingga) adalah transendental (bukan aljabar).
Pangkat bilangan bulat dalam aljabar

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk operasi asosiatif apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian. Definisi  x^{0} memerlukan keberadaan identitas perkalian lebih lanjut.
Sebuah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah monoid. Dalam monoid, eksponensial elemen x didefinisikan secara induktif oleh
x^{0}=1,
x^{n+1}=xx^{n} untuk setiap bilangan bulat nonnegatif n.
Jika n adalah bilangan bulat negatif,  x^{n} didefinisikan hanya jika x memiliki invers perkalian. Dalam hal ini, invers dari x dinotasikan  x^{-1}, dan  x^{n} didefinisikan sebagai  \left(x^{-1}\right)^{-n}.
Eksponen dengan eksponen bilangan bulat mematuhi hukum berikut, untuk x dan y dalam struktur aljabar, dan m dan n bilangan bulat:
Definisi ini banyak digunakan di banyak bidang matematika, terutama untuk geup, gelanggang, medan, matriks persegi (yang membentuk gelanggang). Mereka berlaku juga untuk fungsi dari himpunan ke diri-sendiri, yang membentuk monoid bawah komposisi fungsi. Ini termasuk, sebagai contoh spesifik, transformasi geometris, dan endomorfisme dari struktur matematika.
Ketika ada beberapa operasi ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi berulang/ulangan dengan menempatkan simbolnya di superskrip, sebelum eksponen. Misalnya, jika f adalah fungsi real yang nilainya dapat dikalikan,  f^{n} menunjukkan eksponensial terhadap perkalian, dan  f^{\circ n} ditunjukkan eksponensial sehubungan dengan komposisi fungsi. Yaitu,
dan
Biasanya,  (f^{n})(x) dinotasikan  f(x)^{n}, sedangkan  (f^{\circ n})(x) dilambangkan  f^{n}(x).
Pangkat bilangan bulat dalam aljabar > Dalam sebuah grup

Sebuah grup perkalian adalah himpunan dengan operasi asosiatif dilambangkan sebagai perkalian, yang memiliki elemen identitas, dan setiap elemen memiliki invers.
Jadi, jika G adalah grup,  x^{n} didefinisikan untuk setiap  x\in G dan setiap bilangan bulat n.
Himpunan dari semua pangkat suatu elemen dari grup membentuk subgrup. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua pangkat dari elemen tertentu x adalah grup siklik yang dihasilkan oleh x. Jika semua pangkat x berbeda, grupnya adalah isomorfik pada grup aditif  \mathbb {Z}  dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalah hingga (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalah urutan dari x. Jika urutan x adalah n, maka  x^{n}=x^{0}=1, dan grup siklik yang dihasilkan oleh x terdiri dari n pangkat pertama x (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen 0 atau 1).
Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam teori grup. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat teorema Sylow), dan dalam klasifikasi grup sederhana hingga.
Notasi superskrip juga digunakan untuk konjugasi; yaitu, gh = h−1gh, dimana g dan h adalah elemen dari grup. Notasi ini tidak diubah dengan eksponensial, karena superskrip bukan bilangan bulat. Motivasi dari notasi ini adalah bahwa konjugasi memenuhi beberapa hukum eksponensial, yaitu  (g^{h})^{k}=g^{hk} dan  (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.
Pangkat bilangan bulat dalam aljabar > Dalam sebuah gelanggang

Dalam sebuah gelanggang, bahwa beberapa elemen bukan nol memenuhi  x^{n}=0 untuk beberapa bilangan bulat n. Unsur tersebut disebut juga nilpoten. Dalam gelanggang komutatif, unsur-unsur nilpoten membentuk ideal, disebut juga nilradikal dari gelanggang.
Jika nilradikal direduksi menjadi ideal nol (yaitu, jika  x\neq 0 menyatakan  x^{n}\neq 0 untuk setiap bilangan bulat positif n), ring komutatif dikatakan tereduksi. Gelanggang tereduksi penting dalam geometri aljabar, karena gelanggang koordinat dari himpunan aljabar Affin merupakan gelanggang tereduksi.
Lebih umum, diberikan ideal I dalam gelanggang komutatif R, himpunan elemen R yang memiliki pangkat I adalah ideal, yang disebut radikal dari I. Nilradikal adalah radikal dari zero ideal. Sebuah ideal radikal adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalam gelanggang polinomial  k[x_{1},\ldots ,x_{n}] atas medan k, sebuah ideal adalah radikal jika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dari Hilbertscher Nullstellensatz).
Pangkat bilangan bulat dalam aljabar > Matriks dan operator linear

Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali A dengan n itu sendiri disebut pangkat matriks. Juga  A^{0} didefinisikan sebagai matriks identitas, dan jika A adalah invers, maka  A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}.
pangkat matriks sering muncul dalam konteks sistem dinamik diskret, dimana matriks A menyatakan transisi dari vektor keadaan x dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya Ax dari sistem. Ini adalah interpretasi standar dari rantai Markov, misalnya, apabila  A^{2}x adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka,  A^{n}x adalah status sistem setelah langkah kali n.  Matriks pangkat  A^{n} adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali n ke depan. Jadi menghitung pangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, pangkat matriks dihitung dengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen.
Selain matriks, operator linear yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah turunan operator kalkulus,  d/dx salah satu operator linear yang melakukan fungsi  f(x) untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu  (d/dx)f(x)=f'(x). pangkat ke-n dari operator diferensiasi adalah turunan ke-n:
Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan pangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika semigrup.  Sama seperti pangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula pangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan persamaan panas, persamaan Schrödinger, persamaan gelombang, dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke pangkat non-bilangan bulat disebut turunan pecahan, yang bersama dengan integral pecahan, merupakan operasi dasar dari kalkulus pecahan.
Pangkat bilangan bulat dalam aljabar > Medan hingga

Artikel utama: Medan hingga
Sebuah medan adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah asosiatif, dan setiap elemen bukan nol memiliki perkalian invers. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk pangkat nonpositif 0. Contoh umum adalah bilangan kompleks dan submedan, bilangan rasional dan bilangan real yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semua tak hingga.
Sebuah medan hingga adalah medan dengan elemen bilangan hingga. Jumlah elemen ini adalah bilangan prima atau pangkat prima; yaitu, memiliki bentuk  q=p^{k}, dimana p adalah bilangan prima, dan k adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap q tersebut, ada medan dengan elemen q. Medan dengan elemen q semuanya adalah isomorfik, yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen q, dilambangkan  \mathbb {F} _{q}.
Satu-satunya adalah
untuk setiap  x\in \mathbb {F} _{q}.
Sebuah elemen primitif di  \mathbb {F} _{q} adalah elemen g seperti pada himpunan q − 1 pangkat pertama g (yaitu,  \{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}) sama dengan himpunan elemen bukan nol dari  \mathbb {F} _{q}. Ada  \varphi (p-1) elemen primitif dalam  \mathbb {F} _{q}, dimana  \varphi  adalah fungsi totient Euler.
Dalam  \mathbb {F} _{q}, identitas impian Fresman
adalah hakiki untuk eksponen p. Seperti  x^{p}=x di peta  \mathbb {F} _{q}, maka
adalah linear atas  \mathbb {F} _{q}, dan merupakan automorfisme medan, disebut automorfisme Frobenius. Jika  q=p^{k}, medan  \mathbb {F} _{q} memiliki k automorfisme, yang merupakan pangkat pertama k (antara komposisi) dari F. Dengan kata lain, grup Galois dari  \mathbb {F} _{q} adalah siklik urutan k, yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.
Pertukaran kunci Diffie–Hellman adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk komunikasi aman. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, logaritma diskret, secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika g adalah elemen primitif dalam  \mathbb {F} _{q}, maka  g^{e} dihitung secara efisien dengan eksponensial dari kuadrat untuk e, bahkan jika q besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan e dari  g^{e} jika nilai q adalah besar.
Pangkat bilangan bulat dalam aljabar > Atas himpunan

Artikel utama: Darab Kartesius
Jika n adalah bilangan asli, dan A adalah himpunan sembarang, maka ekspresi An sering digunakan untuk menyatakan himpunan dari rangkap-n elemen A. Apabila ditulis An menyatakan himpunan fungsi dari himpunan {0, 1, 2, ..., n − 1} ke himpunan A; rangkap-n (a0, a1, a2 , ..., an−1) mewakili fungsi i ke ai.
Untuk bilangan kardinal tak hingga dan himpunan A, notasi Aκ juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga A. Ini terkadang ditulis κA untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.
Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan struktur tambahan. Misalnya, dalam aljabar linear, untuk indeks jumlah langsung dari ruang vektor melalui himpunan indeks sembarang. Artinya, apabila berbicara tentang
dimana setiap Vi adalah ruang vektor.
Kemudian jika Vi = V untuk setiap i, jumlah langsung yang dihasilkan ditulis dalam notasi eksponensial sebagai V⊕N, atau cukup VN dengan pengertian bahwa jumlah langsung adalah bawaan. Maka, ini bisa diganti kembali himpunan N dengan bilangan kardinal n untuk mendapatkan Vn, meskipun tanpa memilih himpunan standar tertentu dengan kardinalitas n, yang didefinisikan isomorfisme hingga saja. Diberikan V sebagai medan-R dari bilangan real (yang sebagai ruang vektor atas) dan n menjadi beberapa bilangan asli, maka, ini mendapatkan ruang vektor umum yang dipelajari dalam aljabar linear, dan ruang vektor real-Rn.
Jika basis operasi eksponensial adalah himpunan, operasi eksponensial adalah darab Kartesius kecuali dinyatakan yang lain. Karena beberapa darab Cartesian menghasilkan rangkap-n, yang diwakili oleh suatu fungsi pada himpunan kardinalitas yang sesuai, SN sebagai himpunan semua fungsi dari N hingga S dalam kasus ini:
Ini cocok dengan eksponen bilangan kardinal, dalam arti bahwa |SN| = |S||N|, dimana |X| adalah kardinalitas X. Ketika "2" didefinisikan sebagai {0, 1}, maka memiliki |2X| = 2|X|, dimana 2X, biasanya dilambangkan dengan P(X), adalah himpunan pangkat dari X; masing-masing himpunan bagian Y dari X berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada X yang mengambil nilai 1 untuk x ∈ Y dan 0 untuk x ∉ Y.
Pangkat bilangan bulat dalam aljabar > Dalam teori kategori

Artikel utama: Kategori tertutup Kartesius
Dalam kategori tertutup Kartesius, operasi eksponensial digunakan untuk kenaikkan objek sembarang ke pangkat objek lain. Ini menggeneralisasi darab Kartesius dalam kategori himpunan. Jika 0 adalah objek awal dalam kategori tertutup Kartesius, maka objek eksponensial 00 adalah isomorfik ke objek terminal 1.
Pangkat bilangan bulat dalam aljabar > Dari bilangan kardinal dan ordinal

Artikel utama: Aritmetika kardinal dan Aritmatika ordinal
Dalam teori himpunan, ada operasi eksponensial untuk kardinal dan bilangan ordinal.
Jika κ dan λ adalah bilangan kardinal, ekspresi κλ mewakili kardinalitas himpunan fungsi dari sembarang himpunan kardinalitas λ ke himpunan kardinalitas κ. Jika κ dan λ adalah hingga, maka ini sesuai dengan operasi eksponensial aritmetika biasa. Misalnya, himpunan rangkap-3 elemen dari himpunan elemen-2 memiliki kardinalitas 8 = 23. Dalam aritmetika kardinal, κ0 adalah 1 (bahkan jika κ adalah kardinal tak hingga atau nol).
Eksponen bilangan kardinal berbeda dari eksponensial bilangan kardinal, yang didefinisikan oleh proses batas yang melibatkan induksi transfinit.
Eksponensial berulang

Artikel utama: Tetrasi dan Hiperoperasi
Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut hiper-4 atau tetrasi. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama hiperoperasi. Urutan operasi ini dinyatakan oleh fungsi Ackermann dan notasi panah atas Knuth. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada (3, 3), fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan 7.625.597.484.987 masing-masing pada (= 327 = 333 = 33).
Limit pangkat

Nol pangkat nol memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk bentuk tak tentu 00. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel xy tidak memiliki limit pada titik (0, 0). Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.
Lebih tepatnya, perhatikan fungsi f(x, y) = xy didefinisikan pada D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}. Kemudian D dilihat sebagai himpunan bagian dari R2 (yaitu, himpunan semua pasangan (x, y) dengan x, y memiliki garis bilangan real diperluas R = [−∞, +∞], dengan darab topologi), yang berisi titik-titik dimana fungsi f memiliki limit.
Faktanya, f memiliki limit di semua titik akumulasi dari D, kecuali (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) dan (1, −∞). Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan pangkat xy dengan kontinuitas 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, kecuali untuk 00, (+∞)0, 1+∞ dan 1−∞, yang tetap bentuk tak tentu.
Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:
x+∞ = +∞ dan x−∞ = 0, bila 1 < x ≤ +∞.
x+∞ = 0 dan x−∞ = +∞, bila 0 ≤ x < 1.
0y = 0 dan (+∞)y = +∞, bila 0 < y ≤ +∞.
0y = +∞ dan (+∞)y = 0, bila −∞ ≤ y < 0.
pangkat ini diperoleh dengan mengambil limit xy untuk nilai positif dari x. Metode ini tidak mengizinkan definisi xy ketika x < 0, karena pasangan (x, y) dengan x < 0 bukan merupakan titik akumulasi dari D.
Disisi lain, ketika n adalah bilangan bulat, maka pangkat xn bermakna untuk semua nilai x, termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi 0n = +∞ yang diperoleh diatas untuk n negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalah n, karena dalam kasus ini xn → +∞ karena x cenderung 0 melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.
Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat

Komputasi bn menggunakan perkalian berulang membutuhkan n − 1 operasi perkalian, tetapi itu dapat dihitung lebih efisien dari itu, seperti yang diilustrasikan oleh contoh berikut. Untuk menghitung 2100, terapkan kaidah Horner ke eksponen 100 yang ditulis dalam biner:
Kemudian hitung suku-suku berikut secara berurutan, baca kaidah Horner dari kanan ke kiri.
Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.
Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung bn dikurangi menjadi  \sharp n+\lfloor ^{2}\!\log n\rfloor -1, dengan menggunakan pangkat dengan kuadrat, dengan  \sharp n menunjukkan jumlah 1 dalam wakilan biner dari n. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan pangkat kaidah-tambahan minimal. Menemukan barisan perkalian minimal (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk bn adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat Masalah jumlah himpunan bagian), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia. Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.
Fungsi teriterasi

Komposisi fungsi adalah operasi biner yang didefinisikan pada fungsi sehingga kodomain dari fungsi yang ditulis sebelah kanan termasuk dalam domain dari fungsi yang ditulis sebelah kiri. Ini dilambangkan  g\circ f, dan didefinisikan sebagai
untuk setiap x dalam domain f.
Jika domain suatu fungsi f sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan pangkat ke-n dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebut iterasi ke-n dari fungsi tersebut. Jadi  f^{n} secara umum menunjukkan iterasi ke-n dari f; misalnya,  f^{3}(x) berarti  f(f(f(x))).
Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, perkalian sesetitik, yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan notasi fungsional, dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional sebelum tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik setelah tanda kurung. Jadi  f^{2}(x)=f(f(x)), dan  f(x)^{2}=f(x)\cdot f(x). Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya  f^{\circ 3}=f\circ f\circ f, dan  f^{3}=f\cdot f\cdot f. Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya fungsi trigonometri. Jadi,  \sin ^{2}x dan  \sin ^{2}(x) berarti keduanya  \sin(x)\cdot \sin(x) dan bukan  \sin(\sin(x)), yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.
Dalam konteks ini, eksponen  -1 selalu menunjukkan fungsi invers, jika ada. Jadi  \sin ^{-1}x=\sin ^{-1}(x)=\arcsin x. Untuk pecahan perkalian invers umumnya digunakan seperti pada  1/\sin(x)={\frac {1}{\sin x}}.