stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ravenna
Ravenna dalam sastra

Kota ini disebutkan dalam Canto V pada bagian Inferno dari Divina Commedia karya Dante Alighieri.
Juga pada abad ke-16, Nostradamus menyajikan empat ramalan:
"[Kanal] Magnavacca di Ravenna berada dalam kesulitan besar, dipimpin oleh lima belas yang diam di Fornase", mengacu pada lima belas penyabot dari Prancis.
Sebab ajang pertempuran meluas ke Perugia dan suatu pelarian suci setelahnya, menyisakan kuda-kuda lapuk untuk dimakan
Sehubungan dengan penangkapan seorang wanita "di dekat Ravenna" dan kemudian perebutan 70 jiwa [oleh] legatus Lisboa di laut
Ravenna merupakan salah satu dari tiga penentang bernama serupa atas kelahiran Antikristus yang ketiga dan terakhir yang memperbudak Slovenia (lih. Ravne na Koroškem)
Ravenna menjadi latar The Witch, suatu drama karya Thomas Middleton (1580–1627)
Lord Byron tinggal di Ravenna antara tahun 1819 dan 1821 didorong oleh rasa cintanya kepada Teresa Guiccioli, seorang wanita muda dari keluarga bangsawan setempat yang telah bersuami. Di sini Byron melanjutnya Don Juan karyanya dan menulis:
Buku Harian Ravenna, Kamusku, dan Kenangan-Kenangan.
Oscar Wilde (1854–1900) menulis puisi berjudul Ravenna pada tahun 1878.
Alexander Blok (1880–1921), seorang penyair liris dan simbolis, menulis puisi berjudul Ravenna (Mei–Juni 1909) karena terinspirasi oleh perjalanannya ke Italia pada musim semi tahun 1909.
Dalam perjalanan yang dilakukannya, filsuf dan penyair Jerman bernama Hermann Hesse (1877–1962) mengunjungi Ravenna dan terinspirasi untuk menulis dua puisi mengenai kota ini. Puisi-puisi itu diberi judul Ravenna (1) dan Ravenna (2).
Puisi "Lune de Miel" (ditulis dalam bahasa Prancis) karya T. S. Eliot (1888–1965) menceritakan pasangan dari Indiana yang sedang berbulan madu yang tidur tidak jauh dari situs kuno Basilika Sant'Apollinare in Classe (tidak jauh di luar Ravenna), terkenal akan kapital-kapital berukir dari kolom-kolomnya, yang menggambarkan daun-daun akantus diterpa angin, tidak seperti daun-daun yang tergambar dalam kolom (tiang atau pilar) serupa di tempat lain.
J.R.R. Tolkien (1892-1973) mungkin menggunakan Ravenna, setidaknya suatu bagian dari kota ini, sebagai inspirasi bagi kota Minas Tirith rekaannya.
Ravenna dalam film

Michelangelo Antonioni membuat film Red Desert (Deserto Rosso) karyanya pada tahun 1964 di daerah industri lembah Pialassa dalam batas-batas kota ini.
Transportasi

Ravenna memiliki suatu pelabuhan wisata dan komersial yang bermakna penting.
Stasiun kereta Ravenna memiliki layanan langsung kereta Trenitalia menuju Bologna, Ferrara, Lecce, Milan, Parma, Rimini, Venesia, dan Verona.
Bandar Udara Ravenna terletak di Ravenna. Bandara-bandara komersial terdekat yaitu Bandar Udara Forlì, Bandar Udara Rimini, dan Bandar Udara Bologna.
Jalan bebas hambatan yang melintasi Ravenna misalnya: A14-bis dari pusat Bologna; di poros utara-selatan rute Uni Eropa E45 (dari Roma) dan E55 (SS-309 "Romea" dari Venesia); dan di poros regional Ferrara-Rimini SS-16 (sebagian disebut "Adriatica").
Taman hiburan

Mirabilandia
Safari Ravenna
Kota kembar

Lihat pula: Daftar kota kembar di Italia
Ravenna menjalin persaudaraan dengan:
Chichester, Britania Raya
Dubrovnik, Kroasia, sejak 1969
Speyer, Jerman, sejak 1989
Chartres, Prancis, sejak 1957
Tønsberg, Norwegia
Szekszárd, Hungaria
Laguna, Brasil
Olahraga

Klub historis sepak bola Italia di kota ini adalah Ravenna F.C. Klub itu sekarang bermain di Eccellenza Emilia-Romagna Girone B.
A.P.D. Ribelle 1927 merupakan sepak bola Italia dari frazione Castiglione di Ravenna, pecahan dari Ravenna F.C. yang dibentuk pada tahun 1927. Klub itu saat ini bermain di Serie D Italia setelah mendapat promosi dari Eccellenza Emilia-Romagna Girone B pada musim 2013-14.
Presiden klub tersebut adalah Marcello Missiroli dan manajernya Enrico Zaccaroni.
Stadion kandang mereka yaitu Stadio Massimo Sbrighi dengan kapasitas 1.000 tempat duduk. Warna timnya putih dan biru.
Pantai-pantai di Ravenna menjadi tuan rumah Piala Dunia Sepak Bola Pantai FIFA 2011, yang diselenggarakan pada bulan September 2011.
Daftar permaisuri Romawi Suci

Mahkota Permaisuri Kekaisaran Romawi Suci, Gonstanza dari Aragon
Santa Adelheid dari Italia, wanita pertama yang menyandang gelar Permaisuri Kekaisaran Romawi Suci
Permaisuri Kekaisaran Romawi Suci terakhir, Maria Theresia dari Napoli dan Sisilia
Permaisuri Kekaisaran Romawi Suci (bahasa Jerman: Kaiserin des Heiligen Römischen Reiches) merupakan gelar bagi istri ataupun janda Kaisar Romawi Suci. Kendati gelar kaisar terbatas bagi laki-laki, beberapa permaisuri, seperti Theophano dan Maria Theresia, pernah memimpin kekaisaran secara de facto.
Dinasti Ottonian

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Adelheid dari Italia | Rodolphe II dari Bourgogne (Guelf) | 931 | 951 | 951 | 2 Februari 962 (dinobatkan pada tanggal ini juga). Menjabat sebagai wali penguasa bagi cucunya Otto III hingga ia mencapai usia dewasa. | 7 Mei 973 | 16 Desember 999 | Otto I |
|  | Theophano dari Bizantium | Konstantinos Skleros | 960 | 14 April 972 | 14 April 972 | 14 April 972 suami memerintah sebagai Kaisar bersama ayahnya/ 7 Mei 973 suami memerintah sebagai Kaisar tunggal Dinobatkan pada 14 April 972 | 7 Desember 983 kematian suami | 15 Juni 991 | Otto II |
|  | Kunigunde dari Luksemburg | Siegfried dari Luksemburg | ca 975 | 999 | 17 Juni 1002 | 26 April 1014 | 13 Juli 1024 | 3 Maret 1033 | Heinrich II |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Dinasti Sali

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Gisela dari Schwaben | Hermann II, Adipati Schwaben (Konradin) | 11 November 995 | 1016 | 8 September 1024 | 26 Maret 1027 | 4 Juni 1039 kematian suami | 14 Februari 1043 | Konrad II |
|  | Agnes dari Poitou | Guillaume V, Adipati Aquitaine (Ramnulfid) | 1025 | 21 November 1043 | 21 November 1043 | 25 Desember 1046 | 5 Oktober 1056 | 14 Desember 1077 | Heinrich III |
|  | Bertha dari Savoia | Oddone, Conte Savoia (Savoia) | 21 September 1051 | 13 Juli 1066 | 13 Juli 1066 | 21 Maret 1084 | 27 Desember 1087 | 27 Desember 1087 | Heinrich IV |
|  | Eupraxia dari Kiev | Vsevolod I, Pangeran Agung Kiev (Rurik) | 1071 | 14 Agustus 1089 | 14 Agustus 1089 | 14 Agustus 1089 | 31 Desember 1105 suami digulingkan | 20 Juli 1109 | Heinrich IV |
|  | Matilda dari Inggris | Henry I dari Inggris (Normandia) | 7 Februari 1101 | 7 Januari 1114 | 7 Januari 1114 | 7 Januari 1114 | 23 Mei 1125 | 10 September 1167 | Heinrich V |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Supplinburg

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Richenza dari Northeim | Heinrich, Markgraf Frisia | ca 1087/89 | ca 1100 | 30 Agustus 1125 | 4 Juni 1133 | 4 Desember 1137 | 10 Juni 1141 | Lothar III |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Hohenstaufen

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Béatrice dari Bourgogne | Renaud III, Comte Bourgogne | 1143 | 9 Juni 1156 | 9 Juni 1156 | 9 Juni 1156 | 15 November 1184 | 15 November 1184 | Friedrich I |
|  | Custanza dari Sisilia | Ruggeru II, Raja Sisilia (Hauteville)  | 1154 | 27 Januari 1186 | 27 Januari 1186 | 14 April 1191 | 28 September 1197 | 27 November 1198 | Heinrich VI |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Guelf

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Beatrix dari Schwaben | Philipp, Raja Jerman (Hohenstaufen) | 1198 | 1209 atau 1212 | 1209 atau 1212 | 1209 atau 1212 | 1212 | 1212 | Otto IV |
|  | Maria dari Brabant | Hendrik I, Adipati Brabant (Reginar) | ca 1190 | setelah 19 Mei 1214 | setelah 19 Mei 1214 | setelah 19 Mei 1214 | 5 Juli 1215 suami digulingkan | Mei 1260 | Otto IV |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Hohenstaufen

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Gonstanza dari Aragon | Alfonso II, Raja Aragon (Barcelona) | 1179 | 5 Agustus 1209 | 1211-1212 suaminya menjadi raja, namun ditentang/ 5 Juli 1215 suaminya resmi menjadi raja | 22 November 1220 | 23 April 1220 Berhenti menjadi  Permaisuri:   putra terpilih menjadi Raja | 23 Juni 1222 Berhenti menjadi  Permaisuri Kaisar karena meninggal dunia | Friedrich II |
|  | Yolande dari Brienne | Jean dari Brienne, Raja Yerusalem | 1212 | 9 November 1225 | 9 November 1225 | 9 November 1225 | 25 April 1228 | 25 April 1228 | Friedrich II |
|  | Isabella dari Inggris | John, Raja Inggris (Plantagenet) | 1214 | 15/20 Juli 1235 | 15/20 Juli 1235 | 15/20 Juli 1235 | 1 Desember 1241 | 1 Desember 1241 | Friedrich II |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Wittelsbach

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Marguerite II, Comtesse Hainaut | Guillaume dari Avesnes, Comte Hainaut | 1311 | 26 Februari 1324 | 26 Februari 1324 | Januari 1328 | 11 Oktober 1347 | 23 Juni 1356 | Ludwig IV |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Luksemburg

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Anna dari Świdnica | Henryk II, Adipati Świdnica (Piast) | ca 1339 | 27 Mei 1353 | 27 Mei 1353 | 5 April 1355 dinobatkan bersama suami | 11 Juli 1362 | 11 Juli 1362 | Karl IV |
|  | Elżbieta dari Pomerania | Bogusław V, Adipati Pomerania (Griffin) | 1347 | 21 Mei 1363 | 21 Mei 1363 | 1 November 1368 penobatan | 29 November 1378   kematian suami | 14 Februari 1393 | Karl IV |
|  | Barbara dari Cilli | Herman II, Count Celje | ca 1390–1395 | 1408 | 21 Juli 1411 suami terpilih sebagai raja' | 31 May 1433 penobatan suami | 9 Desember 1437 kematian suami | 11 Juli 1451 | Sigismund |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Wittelsbach

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Maria Amalia dari Austria | Kaisar Joseph I (Habsburg) | 22 Oktober 1701 | 5 Oktober 1722 | 24 Januari 1742 suami terpilih sebagai kaisar dan raja | 24 Januari 1742 suami terpilih sebagai kaisar dan raja | 20 Januari 1745 kematian suami | 11 Desember 1756 | Karl VII |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Lorraine

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Maria Theresia dari Austria | Kaisar Karl VI (Habsburg) | 13 Mei 1717 | 12 Februari 1736 | 13 September 1745 suami terpilih sebagai raja dan kaisar | 13 September 1745 suami terpilih sebagai raja dan kaisar | 18 Agustus 1765 kematian suami | 29 November 1780 | Franz I |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Wangsa Habsburg-Lorraine

| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Maria Josepha dari Bayern | Kaisar Karl VII (Wittelsbach) | 30 Maret 1739 | 23 Januari 1765 | 23 Januari 1765 | 18 Agustus 1765 suami naik takhta | 28 Mei 1767 | 28 Mei 1767 | Joseph II |
|  | Maria Luisa dari Spanyol | Carlos III dari Spanyol (Bourbon) | 24 November 1745 | 5 Agustus 1765 | 30 September 1790 suami terpilih sebagai raja dan kaisar | 30 September 1790 suami terpilih sebagai raja dan kaisar | 1 Maret 1792 kematian suami | 15 Mei 1792 | Leopold II |
|  | Maria Theresia dari Napoli dan Sisilia | Ferdinando I dari Dua Sisilia (Bourbon) | 6 Juni 1772 | 15 Agustus 1790 | 5 Juli 1792 suami terpilih sebagai raja dan kaisar | 5 Juli 1792 suami terpilih sebagai raja dan kaisar | 6 Agustus 1806 suami turun takhta | 13 April 1807 | Franz II |
| Gambar | Nama | Ayah (Wangsa) | Lahir | Menikah | Menjadi Permaisuri | Menjadi Permaisuri Kaisar | Berhenti menjadi permaisuri | Meninggal | Pasangan |
Kaidah pangkat

Dalam kalkulus, kaidah pangkat (atau aturan pangkat) digunakan untuk mencari turunan fungsi  f(x)=x^{k}, dengan  k adalah suatu bilangan riil. Oleh karena turunan adalah operasi yang bersifat linear pada ruang fungsi terdiferensialkan, polinomial juga dapat diturunkan menggunakan kaidah ini. Kaidah pangkat adalah kaidah yang mendasari deret Taylor, sebab kaidah ini menghubungkan deret pangkat dengan turunan suatu fungsi.
Isi pernyataan

Misalkan  f adalah sebuah fungsi dengan bentuk umum  f(x)=x^{k} untuk setiap  x, dengan  k\in \mathbb {R} . Maka,
 f'(x)=kx^{k-1}
Kaidah pangkat untuk integrasi menyatakan bahwa
 \int \!x^{k}\,dx={\dfrac {x^{k+1}}{k+1}}+C
untuk sembarang bilangan riil  k\neq -1, dan  C adalah konstanta sembarang. Pernyataan kaidah pangkat untuk integrasi di atas dapat diperoleh dengan membalik kaidah pangkat untuk turunan.
Bukti > Bukti untuk pangkat bilangan riil

Sebelum memulai pembuktian, terlebih dahulu dipilih definisi dari nilai  f(x)=x^{k}, dengan  k adalah bilangan riil. Meskipun bisa saja untuk mendefinisikan perpangkatan bilangan irasional sebagai limit barisan dari perpangkatan bilangan rasional, atau sebagai batas atas terkecil dari himpunan perpangkatan bilangan rasional kurang dari pangkat yang diberikan, definisi ini tidak dapat diterapkan pada turunan. Oleh karena itu, akan digunakan definisi fungsional, yaitu dengan menulis ulang fungsi  x^{k} sebagai fungsi eksponensial alami
 x^{k}=e^{\ln \left(x^{k}\right)}=e^{k\,\cdot \,\ln(x)}
untuk setiap nilai  x>0, dengan  e adalah bilangan Euler.
Pertama, akan ditunjukkan bahwa turunan dari fungsi  e^{x} adalah  e^{x}. Misalkan  f(x)=e^{x}, maka  \ln(f(x))=x, dengan  \ln(x) adalah fungsi logaritma alami, fungsi invers dari fungsi eksponensial. Oleh karena kedua fungsi di atas bernilai sama untuk setiap  x>0, maka turunannya juga bernilai sama, jika salah satu turunannya ada. Dengan menurunkan kedua ruas menggunakan kaidah rantai, diperoleh
 {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1
yang menunjukkan bahwa  f'(x)=f(x)=e^{x}. Dengan menerapkan kaidah rantai ke fungsi  f(x)=e^{k\,\cdot \,\ln(x)}, maka
 {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {k}{x}}\cdot e^{k\,\cdot \,\ln(x)}\\&={\frac {k}{x}}\cdot x^{k}\\&=kx^{k-1}\end{aligned}}
Saat  x<0, maka  -x>0. Akibatnya,
 {\begin{aligned}x^{k}&=\left((-1)(-x)\right)^{k}\\&=(-1)^{k}\cdot \underbrace {\left(-x\right)^{k}} _{>\,0}\end{aligned}}
yang akan mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan bahwa faktor  (-1)^{k} di atas tidak memiliki definisi konvensional saat  k\not \in \mathbb {Q} , sebab fungsi perpangkatan bilangan irasional tidak memiliki nilai yang tunggal untuk basis negatif. Selain itu, dikarenakan perpangkatan  -1 dengan bilangan rasional berpenyebut genap (dalam bentuk paling sederhana) tidak bernilai riil, maka ekspresi ini hanya bernilai riil untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam bentuk paling sederhana).
Terakhir, untuk setiap fungsi yang memiliki turunan di  x=0, maka menurut definisi turunan dengan menggunakan limit, nilainya adalah
 \lim _{h\,\to \,0}{\dfrac {(0+h)^{k}-0^{k}}{h}}
Perhatikan bahwa ekspresi di atas akan bernilai 0 hanya jika  k>1 dan  k adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah), dan bernilai 1 saat  k=1. Untuk semua nilai  k yang lain, ekspresi  h^{k} tidak memiliki nilai yang tunggal untuk  h<0 (seperti yang dibahas di atas), atau nilainya bukan bilangan riil, sehingga nilai limitnya tidak ada (sebagai turunan bernilai riil). Untuk dua kasus yang nilai turunannya ada, nilainya sesuai dengan nilai kaidah pangkat yang diterapkan pada titik  x=0, sehingga tidak perlu dibuat pengecualian.
kasus saat  x=0 (yaitu ekspresi  0^{0}) biasa diabaikan, lantaran fungsi  f(x,\,y)=x^{y} tidak memiliki limit pada  (0,\,0), sebab
\lim _{x\,\to \,0}x^{0}=1, sedangkan
\lim _{y\,\to \,0}0^{y}=0
Oleh karena nilai limitnya berbeda, maka seringkali ekspresi  0^{0} nilainya tidak ada.
Bukti > Bukti untuk pangkat bilangan bulat tak nol > Pembuktian melalui induksi (bilangan asli)

Misalkan  n adalah suatu bilangan asli. Akan dibuktikan bahwa  {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,x^{n}=nx^{n-1} dengan menggunakan induksi.
Saat  n=1, maka
 {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,f(x)&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,x^{1}&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {(x+h)-x}{h}}\\&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {h}{h}}\\&=1\\&=1x^{1-1}\end{aligned}}
sehingga kasus dasar telah terbukti.
Misalkan persamaan  {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,x^{n}=nx^{n-1} berlaku untuk suatu bilangan asli  n=k. Dengan kata lain, berlaku
 {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,x^{k}=kx^{k-1}
Saat  n=k+1, maka dengan menggunakan kaidah darab, diperoleh
 {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,x^{k+1}&={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(x^{k}\cdot x\right)\\&=x^{k}\cdot {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(x\right)+{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left(x^{k}\right)\cdot x\\&=x^{k}+kx^{k-1}\cdot x\\&=\left(k+1\right)x^{k}\\&=\left(k+1\right)x^{(k+1)-1}\end{aligned}}
Dengan prinsip induksi matematika, maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli  n.
Bukti > Bukti untuk pangkat bilangan bulat tak nol > Pembuktian menggunakan teorema binomial (bilangan asli)

Misalkan  y=x^{n}, dengan  n\in \mathbb {N} . Menurut teorema binomial,
 \left(a+b\right)^{n}={n \choose 0}a^{n}\,b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}\,b^{1}+{n \choose 2}a^{n-2}\,b^{2}+\ldots +{n \choose n-1}a^{1}\,b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}\,b^{n}
dengan  {n \choose k} adalah bilangan asli yang disebut sebagai koefisien binomial, dengan definisi
 {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\ldots \left(n-k+1\right)}{k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\ldots (3)(2)(1)}}
Dengan menggunakan informasi di atas, diperoleh
 {\begin{aligned}y'&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {1}{h}}\left(\left(x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}\,h+{n \choose k}x^{n-2}\,h^{2}+\ldots +{n \choose n}h^{n}\right)-x^{n}\right)\\&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {1}{h}}\left({n \choose 1}x^{n-1}\,h+{n \choose k}x^{n-2}\,h^{2}+\ldots +{n \choose n}h^{n}\right)\\&=\lim _{h\,\to \,0}\left({n \choose 1}x^{n-1}+{n \choose k}x^{n-2}\,h+\ldots +{n \choose n}h^{n-1}\right)\\&={n \choose 1}x^{n-1}\\&=nx^{n-1}\end{aligned}}
Bukti > Bukti untuk pangkat bilangan bulat tak nol > Perumuman untuk pangkat bilangan bulat negatif

Pertama, akan dibuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk  k=0. Perhatikan bahwa
 {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,f(x)&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,x^{0}&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {(x+h)^{0}-x^{0}}{h}}\\&=\lim _{h\,\to \,0}{\frac {1-1}{h}}\\&=\lim _{h\,\to \,0}0\\&=0\\&=0x^{0-1}\end{aligned}}
sehingga terbukti bahwa kaidah pangkat berlaku saat nilai  k=0.
Diambil sembarang bilangan bulat negatif  k. Jika didefinisikan  n=-k, maka  n adalah bilangan asli. Dengan Menggunakan aturan timbal-balik, diperoleh
 {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,x^{k}&={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,x^{-n}\\&={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\,{\dfrac {1}{x^{n}}}\\&=-{\dfrac {nx^{n-1}}{\left(x^{n}\right)^{2}}}\\&=-{\dfrac {nx^{n-1}}{x^{2n}}}\\&=-nx^{n-1-2n}\\&=-nx^{-n-1}\\&=kx^{k-1}\end{aligned}}
sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk setiap  n\in \mathbb {Z} , maka berlaku  {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}x^{n}=nx^{n-1}
Bukti > Perumuman untuk pangkat bilangan rasional

Setelah membuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk pangkat bilangan bulat, aturan tersebut dapat diperumum untuk pangkat bilangan rasional.
Bukti > Pembuktian melalui kaidah rantai

Pembuktian ini terdiri dari dua tahapan yang melibatkan kaidah rantai
Diambil sembarang  n\in \mathbb {N} , serta didefinisikan  k={\dfrac {1}{n}} dan misalkan  y=x^{k}. Dari sini, diperoleh  {\begin{aligned}y&=x^{k}\\y&=x^{\tfrac {1}{n}}&&k={\dfrac {1}{n}}\\y^{n}&=x\\ny^{n-1}\cdot {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}&=1&&{\text{Kaidah rantai}}\\{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}&={\dfrac {1}{ny^{n-1}}}\\&={\dfrac {1}{n}}\cdot {\dfrac {1}{\left(x^{\tfrac {1}{n}}\right)^{n-1}}}&&{\text{Lihat kembali baris 2}}\\&={\dfrac {1}{n}}\cdot {\dfrac {1}{x^{1-{\tfrac {1}{n}}}}}\\&={\dfrac {1}{n}}\cdot x^{{\tfrac {1}{n}}-1}\\&=kx^{k-1}&&k={\dfrac {1}{n}}\end{aligned}} sehingga, aturan rantai dapat diterapkan pada perpangkatan dengan bentuk umum  {\dfrac {1}{n}}, dengan  n\in \mathbb {N} . Hal ini dapat diperumum untuk perpangkatan rasional dalam bentuk  {\dfrac {p}{q}} dengan cara yang kurang lebih serupa, seperti pada langkah selanjutnya.
Diambil sembarang  p\in \mathbb {Z}  dan  q\in \mathbb {N} , serta didefinisikan  k={\dfrac {p}{q}} (yang mengakibatkan  k\in \mathbb {Q} ) dan misalkan  y=x^{k}. Dari sini, diperoleh  {\begin{aligned}y&=x^{k}\\y&=x^{\tfrac {p}{q}}&&k={\dfrac {p}{q}}\\&=\left(x^{\tfrac {1}{q}}\right)^{p}\\{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}&=p\left(x^{\tfrac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\dfrac {1}{q}}x^{{\tfrac {1}{q}}-1}&&{\text{Kaidah rantai}}\\&={\dfrac {p}{q}}\cdot x^{{\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {1}{q}}+{\tfrac {1}{q}}-1}\\&={\dfrac {p}{q}}\cdot x^{{\tfrac {p}{q}}-1}\\&=kx^{k-1}&&k={\dfrac {p}{q}}\end{aligned}} Akibatnya, jika  k adalah suatu bilangan rasional, maka berlaku  {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}x^{k}=kx^{k-1}