Grup Lie
Konsep dasar > Peta eksponensial

Artikel utama: Peta eksponensial (teori Lie)
Lihat pula: Turunan dari peta eksponensial dan koordinat normal
Peta eksponensial untuk aljabar Lie  M(n;\mathbb {C} ) dari grup linear umum  GL(n;\mathbb {C} ) ke  GL(n;\mathbb {C} ) ditentukan dengan matriks eksponensial yang diberikan oleh deret pangkat biasa untuk matriks  X:
Jika  G adalah subgrup tertutup dari  GL(n;\mathbb {C} ), maka peta eksponensial mengambil aljabar Lie dari  G menjadi  G; dengan demikian, memiliki peta eksponensial untuk semua grup matriks. Setiap elemen  G yang hampir dekat dengan identitas adalah eksponensial matriks dalam aljabar Lie.
Definisi di atas mudah digunakan, tetapi tidak ditentukan untuk grup Lie yang bukan grup matriks, dan tidak jelas bahwa peta eksponensial grup Lie tidak bergantung pada wakilannya. Kita dapat menyelesaikan kedua masalah tersebut menggunakan definisi yang abstrak dari peta eksponensial yang berfungsi untuk semua grup Lie, sebagai berikut.
Untuk setiap vektor  X dalam aljabar Lie  {\mathfrak {g}} dari  G yaitu ruang bersinggungan  G pada identitas, yang membuktikan bahwa  subgrup satu parameter unik  c:\mathbb {R} \rightarrow G dirumuskan  c'(0)=X. Bahwa  c adalah subgrup satu parameter berarti   c adalah peta mulus  G dan untuk semua  s dan  t:
Operasi di sisi kanan adalah perkalian grup dalam  G. Kesamaan formal rumus ini dengan yang valid untuk fungsi eksponensial membenarkan definisi tersebut
Ini disebut peta eksponensial, dan memetakan aljabar Lie  {\mathfrak {g}} dalam grup Lie  G. Ini memberikan diffeomorfisme antara lingkungan dari 0  {\mathfrak {g}} dan lingkungan  e dalam  G. Peta eksponensial ini merupakan generalisasi dari fungsi eksponensial untuk bilangan riil, maka  \mathbb {R}  adalah aljabar Lie dari kelompok Lie bilangan riil positif dengan perkalian, untuk bilangan kompleks, maka  \mathbb {C}  adalah aljabar Lie dari grup Lie dari bilangan kompleks bukan nol dengan perkalian) dan untuk matriks (karena  M(n,\mathbb {R} ) dengan komutator biasa adalah aljabar Lie dari grup Lie  GL(n,\mathbb {R} ) dari semua matriks invers).
Karena peta eksponensial bersifat konjektur di beberapa lingkungan  N dari  e adalah hal umum untuk elemen aljabar Lie infinitesimal generator dari grup  G. Subgrup  G sebagai  N adalah komponen identitas  G.
Peta eksponensial dan aljabar Lie menentukan struktur grup lokal dari setiap grup Lie yang terhubung, karena rumus Baker–Campbell–Hausdorff: lingkungan  U dari elemen nol  {\mathfrak {g}} yang dirumuskan  X,Y\in U, maka
dimana istilah yang dihilangkan diketahui dan melibatkan kurung Lie dari empat elemen atau lebih. Jika  X dan  Y komutator, rumus tersebut direduksi menjadi hukum eksponensial yang dikenal sebagai  \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)
Peta eksponensial menghubungkan homomorfisme grup Lie. Artinya, jika  \phi :G\to H adalah homomorfisme grup Lie dan  \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}} peta induksi aljabar Lie yang tepat, maka untuk semua  x\in {\mathfrak {g}} yaitu
Dengan kata lain, diagram berikut komutatif,
Singkatnya, exp adalah transformasi alami dari functor Lie ke identitas funktor pada kategori grup Lie.
Peta eksponensial dari aljabar Lie ke grup Lie tidak selalu ekspresif, bahkan jika grup tersebut terhubung yang memetakan ke grup Lie untuk grup terhubung yang kompak atau nilpoten.