Teorema Cantor
Bukti > Kasus khusus

Bagian ini akan menggunakan kasus spesifik ketika  H merupakan himpunan terhitung tak terhingga. Tanpa mengurangi keumuman, akan digunakan himpunan  H=\mathbb {N} =\left\{1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots \right\}, yaitu himpunan semua bilangan asli.
Misalkan himpunan  \mathbb {N}  sama banyaknya dengan himpunan kuasanya,  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right). Himpunan  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right) memuat tak terhingga banyaknya himpunan bagian dari  \mathbb {N} , seperti himpunan bilangan genap positif  \left\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \right\}=\left\{2n\mid n\in \mathbb {N} \right\} dan himpunan kosong  \varnothing . Beberapa himpunan yang termuat pada  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right) antara lain:
 {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)=\left\{\varnothing ,\,\left\{1,\,2\right\},\,\left\{1,\,2,\,3\right\},\,\left\{4\right\},\,\left\{1,\,5\right\},\,\left\{3,\,4,\,6\right\},\,\left\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots \right\},\,\ldots \right\}
Oleh karena  \mathbb {N}  diasumsikan sama banyaknya dengan  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right), maka setiap elemen dari  \mathbb {N}  dapat melabeli setiap elemen dari  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right), dengan syarat tidak ada elemen dari kedua himpunan yang tidak terlabeli. Salah satu cara pelabelannya adalah sebagai berikut:
 \mathbb {N} \,{\begin{Bmatrix}1&\longleftrightarrow &\left\{4,\,5\right\}\\2&\longleftrightarrow &\left\{1,\,2,\,3\right\}\\3&\longleftrightarrow &\left\{4,\,5,\,6\right\}\\4&\longleftrightarrow &\left\{1,\,3,\,5\right\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}\,{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)
Diberikan suatu proses pelabelan, beberapa bilangan asli melabelkan himpunan bagian yang memuat dirinya sendiri. Misalnya, pada contoh di atas, bilangan  2 melabelkan himpunan  \left\{1,\,2,\,3\right\}, yang memuat  2 sebagai anggotanya. Misalkan bilangan-bilangan tersebut disebut egois. Beberapa bilangan asli lainnya melabelkan himpunan bagian yang tidak memuat dirinya sendiri. Misalnya, pada contoh di atas, bilangan  1 melabelkan himpunan  \left\{4,\,5\right\}, yang tidak memuat  1 sebagai anggotanya.
Dengan menggunakan ide ini, maka dapat dikonstruksikan suatu himpunan bilangan asli yang istimewa. Himpunan ini akan memberikan kontradiksi yang sedang diincar. Misalkan  {\cancel {E}} adalah himpunan semua bilangan yang tidak egois. Berdasarkan definisi, himpunan kuasa  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right) memuat semua himpunan bilangan asli, yang mengakibatkan  {\cancel {E}}\in {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right). Jika pemetaannya bersifat bijektif, maka  {\cancel {E}} harus dilabelkan dengan suatu bilangan asli, misalnya  e. Akan tetapi, hal ini menimbulkan masalah.
Jika  e\in {\cancel {E}}, maka  e merupakan bilangan egois, dan hal ini bertentangan dengan definisi dari  {\cancel {E}}.
Jika  e\not \in {\cancel {E}}, maka  e adalah bilangan yang tidak egois, sehingga  e seharusnya menjadi anggota dari  {\cancel {E}}.
Akibatnya, tidak mungkin ada elemen  e yang dipetakan ke  {\cancel {E}}.
Oleh karena tidak ada bilangan asli yang melabelkan himpunan  {\cancel {E}}, maka pengandaian di awal bernilai salah, yaitu terdapat bijeksi antara  \mathbb {N}  dan  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right).
Perhatikan bahwa himpunan  {\cancel {E}} mungkin saja kosong. Hal ini mengakibatkan setiap bilangan asli  n dipetakan ke himpunan bagian yang memuat  n. Dengan kata lain, setiap bilangan asli melabelkan suatu himpunan tak kosong dan tidak ada bilangan yang melabelkan himpunan kosong. Akan tetapi,  \varnothing \in {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right), sehingga pemetaannya tetap tidak meliput  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right).
Berdasarkan pembuktian melalui kontradiksi ini, terbukti bahwa  \left|\mathbb {N} \right|\neq \left|{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)\right|. Selain itu,  \left|\mathbb {N} \right|>\left|{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)\right| juga tidaklah mungkin, sebab berdasarkan definisi,  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right) memuat semua singleton, dan singleton-singleton ini membentuk "salinan" dari  \mathbb {N}  di dalam  {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right). Akibatnya, hanya tersisa satu kemungkinan, yaitu
 \left|\mathbb {N} \right|<\left|{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)\right|