Turunan
Turunan untuk fungsi multivariabel > Keterdiferensialan dan matriks Jacobi > Diferensial total dan matriks Jacobi

Artikel utama: Turunan total
Jika  f merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari  \mathbb {R} ^{n} ke  \mathbb {R} ^{m}, maka turunan berarah  f dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke  f di titik dan arah tersebut. Tetapi jika  n>1, maka tidak ada turunan berarah tunggal yang dapat memberikan gambaran lengkap mengenai perilaku fungsi  f. Turunan total memberikan gambaran lengkap dengan meninjau semua arah sekaligus. Dalam artian, untuk suatu vektor  \mathbf {v}  yang dimulai dari  \mathbf {a} , terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:
Sama seperti turunan satu variabel,  f'(\mathbf {a} ) dipilih sehingga galat hampiran tersebut dapat dibuat sekecil mungkin.
Jika  n dan  m bernilai 1, maka turunan  f'(\mathbf {a} ) merupakan sebuah nilai dan bentuk  f'(\mathbf {a} )\mathbf {v}  merupakan hasil kali dari dua bilangan. Tetapi dalam dimensi yang lebih tinggi,  f'(\mathbf {a} ) tidak dapat berupa sebuah bilangan. Jika  f'(\mathbf {a} ) adalah sebuah bilangan, maka  f'(\mathbf {a} )\mathbf {v}  akan berupa vektor di  \mathbb {R} ^{n}. Sedangkan bentuk-bentuk lainnya berupa vektor di  \mathbb {R} ^{m} sehingga rumus hampiran linear menjadi tidak masuk akal. Agar rumus hampiran linear menjadi masuk akal,  f'(\mathbf {a} ) harus sebuah fungsi yang memetakan vektor di  \mathbb {R} ^{n} ke vektor di  \mathbb {R} ^{m}, dan  f'(\mathbf {a} )\mathbf {v}  harus menyatakan fungsinya dapat dihitung di  \mathbf {v} .
Untuk menentukan jenis fungsi apakah tersebut, perhatikan bahwa rumus hampiran linear dapat ditulis ulang sebagai
Perhatikan bahwa jika vektor lain dipilih, katakanlah  \mathbf {w} , maka persamaan hampiran tersebut menentukan persamaan hampiran lain dengan memasukkan  \mathbf {w}  ke  \mathbf {v} . Ini menentukan persamaan aproksimasi ketiga dengan memasukan nilai  \mathbf {w}  ke  \mathbf {v}  dan  \mathbf {a} +\mathbf {v}  ke  \mathbf {a} . Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut akan mendapatkan persamaan berikut.
Jika diasumsikan bahwa  \mathbf {v}  bernilai kecil dan bahwa perubahan turunan kontinu di  \mathbf {a} , maka  f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} ) kira-kira sama dengan  f'(\mathbf {a} ). Karena itu, ruas kanan pada persamaan tersebut kira-kira sama dengan nol. Ruas kiri pada persamaan dapat ditulis ulang dalam cara yang berbeda dengan menggunakan rumus hampiran linear, dengan  \mathbf {v} +\mathbf {w}  dimasukkan  \mathbf {v} . Rumus hampiran linear menyiratkan:
Rumus tersebut menyarankan bahwa  f'(\mathbf {a} ) merupakan transformasi linear dari ruang vektor  \mathbb {R} ^{n} ke ruang vektor  \mathbb {R} ^{m}. Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan  \left\|\mathbf {v} \right\|, dengan konstantanya bebas dari  \mathbf {v}  namun kontinu bergantung pada  \mathbf {a} . Setelah menambahkan sebuah bentuk galat yang sesuai, maka semua persamaan hampiran di atas dapat ditulis ulang sebagai pertidaksamaan. Khususnya,  f'(\mathbf {a} ) merupakan sebuah transformasi linear hingga bentuk galat kecil. Dalam limit, ketika  \mathbf {v}  dan  \mathbf {w}  menuju ke nol,  f'(\mathbf {a} ) harus berupa transformasi linear. Karena turunan total didefinisikan dengan mengambil limit ketika  \mathbf {v}  menuju ke nol,  f'(\mathbf {a} ) harus berupa transformasi linear.