Produk Tensor
Motivasi intuitif dan hasil perkalian tensor beton

Motivasi intuitif untuk produk tensor bergantung pada konsep tensor secara lebih umum. Secara khusus, tensor adalah objek yang dapat dianggap sebagai tipe khusus peta multilinear, yang mengambil sejumlah vektor ( urutannya ) dan mengeluarkan skalar. Objek seperti itu berguna di sejumlah area aplikasi, seperti geometri Riemannian, terkenal karena penggunaannya dalam teori relativitas umum teori relativitas umum fisika modern metrik tensor oleh Albert Einstein adalah konsep fundamental. Secara khusus, tensor metrik mengambil dua vektor, yang dipahami secara kasar sebagai panah kecil yang berasal dari titik tertentu dalam ruang melengkung, atau manifold, dan mengembalikan  lokal  produk titik dari mereka relatif terhadap titik tertentu — operasi yang menyandikan beberapa informasi tentang vektor' panjang serta sudut di antara keduanya. Karena produk titik adalah skalar, tensor metrik dianggap layak untuk namanya. Ada satu tensor metrik di setiap titik manifold, dan variasi dalam tensor metrik tersebut mengkodekan bagaimana konsep jarak dan sudut, sehingga hukum geometri analitik, bervariasi di seluruh manifold.
Kita dapat membayangkan perkalian tensor dari dua ruang vektor,  V dan  W, mewakili himpunan semua tensor yang mengambil vektor dari  V dan vektor dari  W dan mengeluarkan skalar dalam bidang dasarnya yang sama (dan dengan demikian hanya dapat ditentukan jika mereka memiliki bidang dasar yang sama). Kedua ruang itu mungkin sama di atas, mereka adalah vektor di "ruang tangen" pada suatu titik: kira-kira ruang datar sepotong kecil manifold "terlihat seperti" di dekat titik tertentu, dan dengan demikian tensor metrik hidup dalam produk tensor ruang itu dengan sendirinya. Namun kedua ruang tersebut mungkin juga berbeda.
Jika kita memiliki basis untuk masing-masing ruang vektor, dan ruang vektor berdimensi-hingga, kita dapat merepresentasikan vektor dalam komponen di bawah vektor basis tersebut
di mana setiap vektor kolom mewakili komponen dalam basis tertentu, yaitu  \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n} (dan juga untuk  \mathbf {w} ).
Tensor kemudian menjadi peta  T(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ) yang berfungsi seperti di atas, mengembalikan skalar dan linier di kedua argumennya. Tensor seperti itu dapat direpresentasikan menggunakan perkalian matriks:
dimana superskripnya  {\mathsf {T}} menunjukkan transposisi matriks, yang mengirimkan vektor  \mathbf {v}  ke vektor ganda.
Diberikan dua vektor, kita dapat membentuk tensornya sendiri dari mereka secara alami menggunakan produk luar, yang dilambangkan  \mathbf {v} \otimes \mathbf {w}  dan sama  \mathbf {v} \mathbf {w} ^{\mathsf {T}}. Tensor ini keluar sebagai matriks
dan matriks ini sesuai dengan tensor dengan konstruksi sebelumnya, yang mengingatkan bagaimana ia sesuai dengan peta linier (dengan mengalikan hanya pada satu sisi). Tensor ini sendiri menghasilkan ruang vektor dengan menambahkannya bersama-sama dan mengalikannya dengan skalar seperti yang biasa kita lakukan untuk matriks dan fungsi, dan kumpulan dari semua tensor yang terbentuk adalah  produk tensor   V\otimes W dari dua ruang vektor itu sendiri. Faktanya, ruang ini setara dengan ruang peta yang diwakili oleh setiap matriks yang mungkin dari ukuran di atas, seperti yang dapat dilihat dengan mencatat bahwa produk tensor sederhana  \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j} (dimana  \mathbf {f} _{j} adalah dasar dari ruang vektor lainnya,  W) memiliki "1" di posisi ke- (i,j) dan "0" di tempat lain, yang memungkinkan mereka untuk dikalikan dengan angka apa pun dan kemudian ditambahkan untuk mendapatkan matriks dengan entri arbitrer.
Tujuan dari bagian-bagian selanjutnya adalah untuk menemukan definisi yang setara dengan ini dimana dapat diterapkan tetapi tidak memerlukan pilihan basis tertentu dan itu juga dapat lebih mudah diterapkan ke berdimensi tak hingga pengaturan di mana konsep dasar yang biasa (Hamel basis) mungkin berperilaku buruk. Tidak memerlukan basis khusus berguna dari sudut pandang teoretis karena setiap ruang vektor memiliki basis, tidak semua basis dapat dibangun, dan terlebih lagi hasil itu sendiri tergantung pada penerimaan aksioma pilihan, yang mungkin ditolak dalam beberapa sistem matematika. Juga, berguna untuk menemukan konstruksi abstrak untuk analisis dari sudut pandang teori kategori, teori "gambaran besar matematika" yang sangat diperbesar dan bagaimana semua objek matematika berhubungan satu sama lain dalam pengertian yang sangat umum. Penggunaan kehidupan nyata yang sangat penting untuk memiliki definisi seperti itu dapat ditemukan di mekanika kuantum: hasil kali tensor dalam bentuk ini memungkinkan kita untuk membicarakan fungsi gelombang dari sistem dua partikel sebagai abstrak ruang Hilbert vektor tanpa harus menentukan dasar tertentu dari yang dapat diamati.