Ruang (matematika)
Sejarah > Zaman keemasan dan sesudahnya: perubahan dramatis

Menurut Nicolas Bourbaki, periode antara tahun 1795 ("Geometrie descriptive" karya Monge) sampai tahun 1872 ("program Erlangen" karya Klein) dapat disebut sebagai zaman keemasan geometri. Geometri analitik membuat kemajuan yang besar dan berjaya menggantikan teorema-teorema geometri klasik dengan komputasi melalui invarian grup-grup transformasi. Sejak periode itulah teorema-teorema baru geometri klasik berhasil menarik minat para amatir dibanding matematikawan profesional.
Tetapi, bukan berarti bahwa pusaka geometri klasik hilang begitu saja. Menurut Bourbaki, "berlalu di dalam perannya sebagai sebuah sains yang mandiri dan tetap hidup, geometri klasik dengan demikian ditransfigurasi (dialihgambarkan) menjadi bahasa universal dari matematika kontemporer".
Menurut kuliah perdana yang terkenal yang dibawakan oleh Bernhard Riemann pada tahun 1854, setiap objek matematika yang diparametrisasi oleh bilangan real  n dapat diperlakukan sebagai titik pada ruang berdimensi- n dari objek-objek itu. Kini para matematikawan mengikuti gagasan ini secara rutin dan menemukannya sangat sugestif untuk menggunakan terminologi geometri klasik hampir di semua tempat.
Untuk mengapresiasi keumuman pendekatan ini seseorang harus mengetahui bahwa matematika adalah "teori murni tentang bentuk, yang memiliki tujuan, bukan kombinasi kuantitas-kuantitas, atau gambar-gambar mereka, bilangan-bilangannya, melainkan objek-objek pemikiran" (Hermann Hankel, 1867).
Fungsi adalah objek matematika yang penting. Biasanya fungsi itu membentuk ruang berdimensi tak-hingga, seperti yang sudah dinyatakan oleh Riemann dan dielaborasi pada abad ke-20 oleh analisis fungsional.
Suatu objek yang diparametrisasi oleh  n bilangan kompleks dapat diperlakukan sebagai sebuah titik pada sebuah ruang kompleks berdimensi- n. Namun, objek yang sama adalah juga diparametrisasi oleh bilangan real  2n (bagian real dan bagian imajiner adalah unsur-unsur bilangan kompleks), dengan demikian, sebuah titik pada ruang real berdimensi- 2n. Dimensi kompleks berbeda dengan dimensi real. Ini hanyalah puncak gunung es. Konsep "aljabar" tentang dimensi yang berlaku pada ruang linear. Konsep "topologi" tentang dimensi berlaku pada ruang topologi. Juga terdapat dimensi Hausdorff untuk ruang metrik; yang ini dibolehkan untuk yang bukan bilangan bulat (khususnya untuk fraktal). Beberapa jenis ruang (misalnya, ruang ukuran) tidak menerima konsep dimensi sama sekali.
Ruang asli yang diselidiki oleh Euklides adalah kini dikenal sebagai "ruang euklides berdimensi-tiga". Aksiomatisasinya, dimulai oleh Euklides 23 abad lalu, dan dilengkapkan pada abad ke-20 oleh David Hilbert, Alfred Tarski, dan George Birkhoff. Pendekatan ini menjelaskan ruang melalui primitif-primitif yang tidak terdefinisi (seperti "titik", "antara", "kongruen") yang dibatasi oleh sejumlah aksioma. Definisi yang "berasal dari corat-coret" ini kini jarang digunakan, karena tidak menyibak hubungan ruang yang satu dengan ruang lainnya. Pendekatan modern mendefinisikan ruang euklidean berdimensi-tiga secara lebih aljabaris, melalui ruang linear dan bentuk kuadratik, yakni, sebagai ruang afin yang ruang selisihnya adalah ruang hasil kali dalam berdimensi-tiga.
Juga ruang projektif berdimensi-tiga adalah kini didefinisikan secara tak-klasik, sebagai ruang dari semua subruang berdimensi-satu (yaitu, garis-garis lurus yang melalui titik asal/titik nol) pada ruang linear berdimensi-empat.
Suatu ruang kini terdiri dari objek-objek matematika terpilih (misalnya, fungsi-fungsi pada ruang lainnya, atau subruang-subruang pada ruang lainnya, atau hanya unsur-unsur suatu himpunan) yang diperlakukan sebagai titik, dan hubungan terpilih antara titik-titik ini. Hal ini menunjukkan bahwa ruang hanyalah struktur matematika. Seseorang dapat mengharapkan bahwa struktur yang disebut "ruang" adalah lebih geometris daripada yang lainnya, tetapi tidak selalu demikian. Misalnya, lipatan terdiferensialkan (yang disebut lipatan halus/licin) adalah lebih geometris daripada ruang terukur, tetapi tidak seorangpun dapat menyebutnya sebagai "ruang terdiferensialkan" ("ruang halus/licin").