stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Debora

Interpretasi Gustave Dore tentang nabiah Debora
Debora atau Dvora (bahasa Ibrani: דְּבוֹרָה, Modern Dəvora Tiberias Dəḇôrāh, artinya "lebah") adalah seorang nabiah dan hakim perempuan satu-satunya dari zaman pra-kerajaan Israel di dalam Perjanjian Lama dan Tanakh. Kisahnya diceritakan dalam dua pasal pada Kitab Hakim-hakim, yakni pasal 4 dan 5. Kisah pertama berbentuk prosa, yang menceritakan kemenangan pasukan Israel yang dipimpin oleh Jenderal Barak, yang dipanggil Debora namun ia bernubuat bahwa ia sendiri tidak akan menang melawan Jenderal Sisera, orang Kanaan. Kehormatan itu jatuh ke tangan Yael, istri Heber, seorang tukang tenda suku Keni. Yael membunuh Sisra dengan memakukan paku tenda di kepala Sisera ketika ia tidur.
Hakim-hakim 5 mengisahkan cerita yang sama dalam bentuk puisi. Bagian ini diduga disusun pada paruhan kedua dari abad ke-12 SM, tak lama setelah kejadian yang digambarkan tersebut. Bila demikian halnya, maka nas ini, yang sering disebut sebagai Nyanyian Debora, adalah bagian tertua di dalam Alkitab dan contoh yang paling awal yang masih tertinggal dari puisi Ibrani. Puisi ini juga penting karena ini adalah salah satu—kalau bukan malah satu-satunya—dari nas yang menggambarkan peranan perempuan bukan hanya sebagai korban atau sebagai penjahat. Puisi ini mungkin termasuk dalam Kitab Peperangan Tuhan yang disebutkan dalam Kitab Bilangan 21:14.
Tak banyak yang diketahui tentang kehidupan pribadi Debora. Ia tampaknya menikah dengan seorang lelaki yang bernama "Lapidot" (yang artinya "obor"), tetapi nama ini tidak ditemukan di luar Kitab Hakim-hakim, dan mungkin hanya menunjukkan bahwa Debora sendiri memiliki semangat yang "berapi-api". Debora adalah seorang penyair dan ia menyampaikan penghakimannya di bawah pohon kurma di Efraim. Sebagian orang menyebutnya sebagai ibu dari Israel. Setelah kemenangannya atas Sisera dan pasukan-pasukan Kanaan, seluruh negeri aman selama 40 tahun.
Peperangan Israel pada zaman Debora melawan Kanaan
Lihat pula

Barak
Hakim Israel kuno
Bagian Alkitab yang berkaitan: Hakim-hakim 4, Hakim-hakim 5
Pranala luar

Book of Judges article (Ensiklopedia Yahudi)
The King's Calendar: The Secret of Qumran Diarsipkan 2010-08-10 di Wayback Machine. (Kronologi untuk Masa Hakim-hakim Israel 1412 SM hingga 1039 SM)
Debbora - Artikel Ensiklopedia Katolik
| Debora |
| --- | --- | --- |
| Didahului oleh: Samgar | Hakim Israel kuno | Diteruskan oleh: Gideon |
Muara Tami, Jayapura

| Muara Tami |
| --- | --- |
Distrik
Negara:  Indonesia
Provinsi: Papua
Kota: Jayapura
Pemerintahan
 • Kepala distrik: -
Populasi
 • Total: - jiwa
Kode Kemendagri: 91.71.04 
Kode BPS: 9471010 
Luas: - km²
Kampung/kelurahan: 6 kampung 2 kelurahan
Muara Tami adalah sebuah distrik di Kota Jayapura, Papua, Indonesia.
Pranala luar

(Indonesia) Keputusan Menteri Dalam Negeri Nomor 050-145 Tahun 2022 tentang Pemberian dan Pemutakhiran Kode, Data Wilayah Administrasi Pemerintahan, dan Pulau tahun 2021
(Indonesia) Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 72 Tahun 2019 tentang Perubahan atas Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 137 Tahun 2017 tentang Kode dan Data Wilayah Administrasi Pemerintahan
(Indonesia) Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 137 Tahun 2017 tentang Kode dan Data Wilayah Administrasi Pemerintahan
| l b Distrik Muara Tami, Kota Jayapura, Papua |
| --- | --- |
Kelurahan:  Koya Barat  Koya Timur 
Kampung:  Holtekamp  Koya Tengah  Mosso  Skouw Mabo  Skouw Sae  Skouw Yambe 
| l b Kota Jayapura, Papua |
| --- | --- | --- |
 Wali Kota: Frans Pekey (Pj.)  Wakil Wali Kota: Tidak ada  Dewan Perwakilan Rakyat Daerah 
| Distrik |  Abepura  Heram  Jayapura Selatan  Jayapura Utara  Muara Tami  |  |
Lihat juga: Daftar distrik, kelurahan, dan kampung di Kota Jayapura
Daftar keuskupan di Kuwait

Daftar keuskupan di Kuwait adalah sebuah daftar yang memuat dan menjabarkan pembagian terhadap wilayah administratif Gereja Katolik Roma yang dipimpin oleh seorang uskup ataupun ordinaris di Kuwait.
Saat ini terdapat 3 buah yurisdiksi, terdiri atas 2 keuskupan agung metropolit, 2 keuskupan agung, dan 2 keuskupan suffragan.
Daftar yurisdiksi > Ritus Latin

Vikariat Apostolik Arab Utara, termasuk juga di wilayah Arab Saudi, Bahrain, dan Qatar: Mgr. Camillo Ballin, M.C.C.J.
Daftar yurisdiksi > Ritus lainnya

Eksarkat Patriarkat Kuwait: Archimandrite Boutros Gharib
Eksarkat Patriarkat Basra dan Teluk, juga meliputi wilayah Irak: Mgr. Emad Ekleemes
Pranala luar

Entri di Catholic-Hierarchy
Entri di GCatholic.org
| l b Keuskupan Gereja Katolik di Kuwait |
| --- | --- | --- |
| Ritus Latin |  Vikariat Apostolik Arab Utara  |  |
| Gereja Katolik Yunani Melkit |  Eksarkat Patriarkat Kuwait  |  |
| Gereja Katolik Siria |  Eksarkat Patriarkat Basra dan Teluk  |  |
| l b Keuskupan di Asia |
| --- | --- | --- |
Konferensi Internasional: Federasi Konferensi Waligereja Asia (Federation of Asian Bishops' Conferences; F.A.B.C.) dan   Konferensi Waligereja Kawasan Arab (Conférence des Evêques Latins dans les Régions Arabes; C.E.L.R.A.)
| Asia Tengah |  Kazakhstan3  Kirgizstan  Tajikistan  Turkmenistan  Uzbekistan  |  |
| Asia Timur |  Republik Rakyat Tiongkok Hong Kong  Makau  Republik Tiongkok (Taiwan)  Jepang  Mongolia  Korea Selatan dan Korea Utara  |  |
| Asia Tenggara |  Brunei  Filipina  Indonesia  Kamboja  Laos  Malaysia  Myanmar  Singapura  Thailand  Timor Leste2  Vietnam  |  |
| Asia Selatan |  Afganistan  Bangladesh  India dan Bhutan  Nepal  Pakistan  Sri Lanka dan Maladewa  |  |
| Asia Barat |  Arab Saudi, Bahrain, Kuwait, dan Qatar  Oman, Uni Emirat Arab, dan Yaman  Armenia, Azerbaijan, dan Georgia1  Irak  Iran  Israel, Negara Palestina, Siprus, dan Yordania  Kuwait  Lebanon  Suriah  Turki3  |  |
1 Terkadang dimasukkan ke Eropa, tergantung definisi perbatasan. 2 Terkadang dimasukkan ke Oseania. 3 Negara lintas benua.  Para uskup di RRT, Afganistan, dan Iran tidak bergabung dalam salah satu konferensi internasional Ritus Latin.   CELRA juga meliputi beberapa negara di Afrika.   Turki bergabung dalam Konferensi Internasional di Eropa.
Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

Sebuah segitiga berwarna   dengan lingkaran dalam  , pusat lingkaran dalam ( I), lingkaran singgung luar  , pusat lingkaran singgung luar ( J_{A},  J_{B}, dan  J_{C}), garis pembagi sudut dalam berwarna   dan garis pembagi sudut berwarna  . Segitiga berwarna hijau   merupakan segitiga pusat singgung luar.
Dalam geometri, lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran terbesar yang terisi di dalam segitiga; ini bersinggung (merupakan garis singgung dengan) tiga sisi. Pusat dari lingkaran adalah pusat segitiga disebut pusat lingkaran dalam segitiga.
Sebuah pusat lingkaran singgung luar dari segitiga merupakan sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, singgung dengan satu sisinya singgung dengan perluasan dari dua lainnya. Setiap segitiga memiliki tiga pusat lingkaran singgung luar yang berbeda, setiap garis singgung dengan salah satu dari sisi-sisi segitiga.
Pusat dari lingkaran dalam, disebut pusat lingkaran dalam, dapat ditemukan sebagai perpotongan dari tiga garis bagi dalam. Pusat lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam dari satu sudut (di verteks  A, sebagai contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat dari lingkaran singgung luar ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks  A, atau pusat lingkaran singgung luar  A. Karena garis bagi dalam dari sebuah sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama-sama dengan tiga pusat lingkaran singgung luarnya membentuk sebuah sistem ortosentrik.:p. 182
Semua poligon beraturan memiliki garis singgung lingkaran dalam untuk semua sisi, tetapi tidak semua poligon; yang ada poligon singgung.
Lihat pula: Garis singgung dengan lingkaran
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam

Andaikan  \triangle ABC memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari  r dan pusat  I. Misalkan  a menjadi panjangnya  BC,  b adalah panjang  AC, dan  c panjangnya  AB. Juga misalkan  T_{A},  T_{B}, dan  T_{C} menjadi titik singgung dimana lingkaran dalam menyinggung  BC,  AC, dan  AB.
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Pusat lingkaran dalam

Lihat pula: Pusat lingkaran dalam
Pusat lingkaran dalam merupakan titik dimana garis bagi dalam  \angle ABC,\angle BCA,{\text{ dan }}\angle BAC bertemu.
Jarak dari verteks  A ke pusat lingkaran dalam  I adalah[butuh rujukan]
d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Pusat lingkaran dalam > Koordinat trilinear

Korodinat trilinear untuk sebuah titik dalam segitiga merupakan nisbah dari semua jarak ke sisi-sisi segitiga. Karena pusat lingkaran dalam adalah jarak yang sama dari semua sisi-sisi dari segitiga, koordinat trilinear untuk pusat lingkaran dalam adalah
1:1:1
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Pusat lingkaran dalam > Koordinat barisentrik

Koordinat barisentrik untuk sebuah titik dalam sebuah segitiga memberikan bobot sehingga titiknya adalah rerata berbobot dari posisi verteks segitiga. Koordinat barisentrik untuk pusat lingkaran dalam diberikan oleh[butuh rujukan]
a:b:c
dimana  a,  b, dan  c adalah panjang sisi-sisi dari segitiga, atau dengan setara (menggunakan hukum sinus) oleh
\sin(A):\sin(B):\sin(C)
dimana  A,  B, dan  C adalah sudut-sudut pada tiga verteksnya.
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Pusat lingkaran dalam > Koordinat Cartesius

Koordinat Cartesius dari pusat lingkaran dalam adalah sebuah rerata berbobot dari koordinat dari tiga verteks menggunakan panjang sisi dari segitiga relatif terhadap keliling (yaitu, menggunakan koordinat barisentrik yang diberikan di atas, ternormalkan untuk menjumlahkan kesatuannya) sebagai bobot. Bobotnya positif sehingga pusat lingkaran dalam terletak di dalam segitiga ketika dinyatakan di atas. Jika ketiga verteksnya terletak di  (x_{a},y_{a}),  (x_{b},y_{b}), dan  (x_{c},y_{c}), dan sisi-sisinya berlawanan dengan verteks-verteks ini memiliki padanan panjang  a,  b, dan  c, maka pusat lingkaran dalamnya di[butuh rujukan]
\left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Pusat lingkaran dalam > Jari-jari

Jari-jari lingkaran dalam  r dalam sebuah segitiga dengan sisi-sisi panjang  a,  b,  c diberikan oleh
r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}
..., dimana  s={\frac {a+b+c}{2}}Lihat rumus Heron
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Pusat lingkaran dalam > Jarak ke verteks

Melambangkan pusat lingkaran dalam  \triangle ABC sebagai  I, jarak dari pusat lingkaran dalam ke verteks digabungkan dengan panjang dari sisi-sisi segitiga mematuhi persamaannya
{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1
Sebagai tambahan,
IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}
dimana  R dan  r masing-masing adalah radius lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam segitiga.
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Pusat lingkaran dalam > Sifat-sifat lainnya

Kumpulan pusat-pusat segitiga dapat diberikan struktur grup di bawah perkalian secara koordinat mengenai koordinat trilinear, dalam grup ini, pusat lingkaran dalam membentuk elemen identitas.
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya > Jarak antara verteks dan titik singgung paling terdekat

Jarak dari sebuah verteks ke dua titik singgung paling terdekat adalah sama; misalnya:
d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a)
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya > Sifat-sifat lainnya

Andaikan titik-titik singgung dari lingkaran dalam membagi sisi-sisi menjadi panjang  x dan  y,  y dan  z, serta  z dan  x. Maka lingkaran dalam memiliki jari-jari
r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}
dan luas dari segitiganya adalah
\Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}
Jika tingginya dari sisi-sisi panjang  a,  b, dan  c adalah  h_{a},  h_{b}, dan  h_{c}, maka jari-jari lingkaran dalam  r adalah sepertiga dari purata harmonik tinggi ini; yaitu,
r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}
Darab dari jari-jari lingkaran dalam  r dan jari-jari lingkaran luar  R dari sebuah segitiga dengan sisi-sisi  a,  b, dan  c adalah:189,#298(d)
rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}
Beberapa hubungan di sekitar sisi-sisi, jari-jari lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran luar adalah:
{\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r\end{aligned}}
Setiap garis melalui sebuah segitiga yang kedua luas segitiga dan kelilingnya terbelah dua menuju ke pusat lingkaran segitiga (pusat lingkaran dalamnya). Terdapat baik satu, dua, atau tiga ini untuk suatu segitiga yang diberikan.
Melambangkan pusat dari lingkaran dalam  \triangle ABC sebagai  I, kita mempunyai
{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1
dan:121,#84
IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}
Jari-jari lingkaran dalam tidak lebih besar daripada sepersembilan jumlah dari tinggi.:289
Jarak kuadrat dari pusat  I ke pusat lingkaran luar  O diberikan oleh:232
OI^{2}=R(R-2r)
dan jarak dari pusat lingkaran dalam dengan pusat  N dari lingkaran sembilan adalah:232
IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R
Pusat lingkaran dalam terletak di segitiga tengah (yang verteks-verteksnya merupakan titik tengah dari sisinya).:233, Lemma 1
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya > Hubungan dengan luas dari segitiga

Jari-jari dari lingkaran dalam berkaitan dengan luas dari segitiga. Nisbah dari luas lingkaran dalam dengan luas segitiga lebih kecil atau sama dengan  {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}, dengan persamaannya berlaku hanya untuk segitiga sama sisi.
Andaikan  \triangle ABC memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari  r dan pusat  I. Misalkan  a menjadi panjang  BC,  b menjadi panjang  AC, dan  c menjadi panjang  AB. Sekarang, lingkaran dalam singgung dengan  AB pada suatu titik  T_{C}, dan demikian  \angle AT_{C}I adalah siku-siku. Demikian,  \triangle IAB memiliki alas dengan panjang  c dan tinggi  r, dan jadi memiliki luas  {\frac {1}{2}}cr. Dengan cara yang serupa,  \triangle IAC memiliki luas  {\frac {1}{2}}br dan  \triangle IBC memiliki luas  {\frac {1}{2}}ar. Karena ketiga segitiga ini memisahkan  \triangle ABC, kita lihat bahwa luas  \Delta  dari  \triangle ABC adalah:[butuh rujukan]
\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=srdan
r={\frac {\Delta }{s}}
dimana  \Delta  adalah luas dari  \triangle ABC dan  s={\frac {1}{2}}(a+b+c) adalah semiperimeternya.
Untuk sebuah rumus yang alternatif, anggap  \triangle IT_{C}A. Ini adalah segitiga siku-siku dengan satu sisinya sama dengan  r dan sisi lainnya sama dengan  r\cot \left({\frac {A}{2}}\right). Kesamaannya benar untuk  \triangle IB'A. Segitiga yang besar dikomposisi enam segitiga dan luas totalnya adalah:[butuh rujukan]
\Delta =r^{2}\left(\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right)
Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam > Segitiga dan titik Gergonne

Segitiga Gergonne (dari  \triangle ABC) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan  A dilambangkan  T_{A}, dll.
Segitiga Gergonne,  \triangle T_{A}T_{B}T_{C}, juga dikenal sebagai segitiga kontak atau segitiga singgung dalam dari  \triangle ABC. Luasnya adalah
K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}
dimana  K,  r, dan  s adalah luasnya, jari-jari dari lingkaran dalam dari segitiga asalnya, dan  a,  b, serta  c adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari segitiga singgung luar.
Tiga garis  AT_{A},  BT_{B}, dan  CT_{C} memotong dalam sebuah titik tunggal disebut titik Gergonne, dilambangkan sebagai  G_{e} (pusat segitiga  X_{7}). Titik Gergonne terletak di cakram ortosentroidal terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.
Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah titik simedian dari segitiga Gergonne.
Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh[butuh rujukan]
{\begin{aligned}{\text{verteks }}T_{A}&=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{B}&=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{C}&=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0\end{aligned}}
Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh[butuh rujukan]
atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus
{\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}
Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar

Sebuah lingkaran singgung luar dari segitiga adalah sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan dari keduanya. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.
Pusat sebuah lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks  A, contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat lingkaran singgung ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks dari  A, atau pusat lingkaran singgung luar dari  A. Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran singgung luar membentuk sebuah sistem ortosentrik.:182
Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar > Koordinat trilinear pusat lingkaran singgung luar

Saat pusat lingkaran dalam  \triangle ABC memiliki koordinat trilinear  1:1:1, pusat lingkaran singgung luar memiliki trilinear  -1:1:1,  1:-1:1, dan  1:1:-1.[butuh rujukan]
Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar > Jari-jari pusat lingkaran singgung luar

Jari-jari dari lingkaran singgung luar disebut jari-jari lingkaran singgung luar.
Jari-jari lingkaran singgung luar dari lingkaran singgung luar berlawanan  A (jadi menyentuh  BC, berpusat di  J_{A}) adalah
r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}..., dimana  s={\frac {1}{2}}(a+b+c).
Lihat rumus Heron
Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar > Jari-jari pusat lingkaran singgung luar > Penurunan rumus pusat lingkaran singgung luar

Klik  untuk melihat bagian konten 
ini
Misalkan lingkaran singgung di sisi  AB bersinggung di sisi  AC diperpanjang di  G, dan misalkan jari-jari lingkaran singgung luar menjadi  r_{c} dan pusatnya mnejadi  J_{c}. Maka  J_{c}G merupakan sebuah tinggi dari  \triangle ACJ_{c}, jadi  \triangle ACJ_{c} memiliki luas  {\tfrac {1}{2}}br_{c}. Dengan menggunakan argumen yang serupa,  \triangle BCJ_{c} memiliki luas  {\tfrac {1}{2}}ar_{c} dan  \triangle ABJ_{c} memiliki luas  {\tfrac {1}{2}}cr_{c}. Demikian luasnya  \Delta  dari  \triangle ABC adalah
Jadi, oleh simetri, melambangkan  r sebagai jari-jari lingkaran dalam,
Oleh Hukum Kosinus, kita memiliki
Menggabungkan ini dengan identitas  \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1, kita memiliki
Tetapi  \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin(A), dan demikian
yang merupakan rumus Heron.
Menggabungkan ini dengan  sr=\Delta , kita memiliki
Dengan cara yang serupa,  (s-a)r_{a}=\Delta  memberikan
dan
Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar > Jari-jari pusat lingkaran singgung luar > Sifat-sifat lainnya

Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran dalam dan bahwa lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:
\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}
Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar > Sifat-sifat lingkaran singgung luar lainnya

Lambung lingkar dari lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah lingkaran Apollonius. Jari-jari lingkaran Apollonius ini adalah  {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}} dimana  r adalah jari-jari lingkaran dalam dan  s adalah semiperimeter dari segitiga.
Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran dalam  r, jari-jari lingkaran luar  R, semiperimeter  s, dan jari-jari lingkaran singgung luar  r_{a},  r_{b},  r_{c}:
{\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2}\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}\end{aligned}}
Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran singgung luar memiliki jari-jari  2R.
Jika  H adalah titik tinggi dari  \triangle ABC, maka
{\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&=AH+BH+CH+2R\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}\end{aligned}}
Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar > Segitiga Nagel dan titik Nagel

Segitiga Nagel atau segitiga singgung luar  \triangle ABC dilambangkan oleh verteks-verteks  T_{A},  T_{B}, dan  T_{C} yang terdapat tiga titik dimana lingakran singgung luar menyinggung rujukan  \triangle ABC dan dimana  T_{A} adalah lawannya dari  A, dst.  \triangle T_{A}T_{B}T_{C} ini juga dikenal sebagai segitiga singgung luar  \triangle ABC. Lingkaran luar dari singgung luar  \triangle T_{A}T_{B}T_{C} disebut lingkaran Mandart.[butuh rujukan]
Tiga garis  AT_{A},  BT_{B}, dan  CT_{C} disebut pembagi dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,[butuh rujukan]
AB+BT_{A}=AC+CT_{A}={\frac {1}{2}}\left(AB+BC+AC\right)
Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga  N_{a} (atau pusat segitiga  X_{8}).
Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh[butuh rujukan]
{\begin{aligned}{\text{verteks }}T_{A}&=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{B}&=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)\\{\text{verteks }}T_{C}&=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0\end{aligned}}
Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh[butuh rujukan]
\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)
atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus,
{\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}
Titik Nagel merupakan sekawan isotomik dari titik Gergonne.[butuh rujukan]