Ruang (matematika)
Tata nama > Jenis-jenis ruang > Ruang linear dan ruang topologi

Dua ruang dasar adalah ruang linear (disebut juga ruang vektor) dan ruang topologi.
Ruang linear adalah memiliki sifat-sifat aljabar; terdapat ruang linear real (pada lapangan bilangan real), ruang linear kompleks (pada lapangan bilangan kompleks), dan lebih umumnya, ruang linear pada sembarang lapangan. Setiap ruang linear kompleks adalah juga ruang linear real (yang ditulis terakhir mendasari yang ditulis lebih awal), karena tiap-tiap bilangan real adalah juga bilangan kompleks. Operasi linear, yang diberikan dalam ruang linear berdasarkan definisi, mengarah kepada gagasan sebagai garis lurus (dan bidang, dan subruang-subruang linear lainnya); garis-garis sejajar; elips (dan elipsoida). Namun, garis-garis ortogonal (tegak lurus) tidak dapat didefinisikan, dan lingkaran tidak dapat dikhususkan di antara semua elips. Dimensi suatu ruang linear didefinisikan sebagai bilangan terbesar dari vektor-vektor yang bebas linear atau, secara ekivalen, sebagai bilangan terkecil dari vektor-vektor yang merentang ruang tersebut; bilangan yang dimaksud boleh saja berhingga, boleh juga tak-hingga. Dua ruang linear pada lapangan yang sama adalah isomorfik jika dan hanya jika mereka berdimensi sama.
Ruang topologi adalah memiliki sifat-sifat analitik. Ruang terbuka, diberikan dalam ruang topologi berdasarkan definisi, mengarah kepada gagasan sebagai fungsi kontinu, lintasan, peta; barisan konvergen, limit; interior, batas, eksterior. Namun, kontinuitas seragam, himpunan terbatas, barisan cauchy, fungsi terdiferensialkan (lintasan, peta) masih saja tak terdefinisi. Isomorfisma antara ruang-ruang topologi secara tradisional disebut homeomorfisma; kedua-duanya merupakan korespondensi satu-satu yang kontinu pada masing-masing arah. Interval terbuka  (0,1) adalah homeomorfik bagi keseluruhan garis real  (-\infty ,\infty ) tetapi tidak homeomorfik bagi interval tertutup  [0,1], tidak pula bagi lingkaran. Permukaan kubus adalah homeomorfik bagi bola (permukaan bola) tetapi tidak homeomorfik bagi torus. Dua ruang euklidean yang berbeda dimensi tidaklah saling homeomorfik, yang sepintas menjadi bukti, tetapi sebenarnya tidak mudah untuk membuktikan ini. Dimensi suatu ruang topologi adalah sukar dibuktikan; "dimensi induktif" dan "dimensi selimut Lebesgue" adalah digunakan. Setiap subhimpunan suatu ruang topologi adalah ruang topologi juga (sebaliknya, hanya subhimpunan linear dari suatu ruang linear adalah ruang-ruang linear). Sembarang ruang topologi, diselidiki oleh topologi umum (disebut pula sebagai topologi himpunan-titik) adalah terlalu beranekaragam untuk suatu klasifikasi lengkap (hingga homeomorfisma). Mereka tak-homogen (pada umumnya). Ruang topologi padat adalah sebuah kelas penting dari ruang topologi ("spesies" dari "jenis" ini). Setiap fungsi kontinu adalah terbatas pada ruang yang bersangkutan. Interval tertutup  [0,1] dan garis real yang diperpanjang  [-\infty ,\infty ] adalah padat; sedangkan interval terbuka  (0,1) dan garis  (-\infty ,\infty ) tidaklah padat. Topologi geometri menyelidiki lipatan ("spesies" lain dari "jenis" ini); yang ini adalah ruang topologi yang homeomorfik secara lokal terhadap ruang euklidean. Lipatan berdimensi-rendah adalah terklasifikasi sepenuhnya (hingga homeomorfisma).
Dua struktur yang dibahas di atas (linear dan topologi) mendasari struktur-struktur dari struktur "ruang topologi linear". Ia adalah sebuah ruang topologi linear, baik itu ruang linear (real atau kompleks) dan ruang topologi (homogen, faktanya demikian). Bagaimanapun, sebuah kombinasi sembarang dari kedua-dua struktur ini pada umumnya bukanlah ruang topologi linear; kedua-dua struktur tersebut haruslah sesuai, yakni, operasi linear yang terlibat haruslah kontinu.
Semua ruang linear (real ataupun kompleks) yang berdimensi-hingga adalah ruang topologi linear dalam artian bahwa ia hanya hanya memuat satu dan hanya satu topologi yang menjadikannya ruang topologi linear. Kedua-dua struktur itu, "ruang linear (real dan kompleks) yang berdimensi-hingga" dan "ruang topologi berdimensi-hingga", adalah dengan demikian ekivalen, yakni, saling mendasari. Kemudian dari fakta ini, diperoleh bahwa setiap transformasi linear yang memiliki invers/balikan dari suatu ruang topologi linear berdimensi-hingga adalah sebuah homeomorfisma. Meskipun demikian, dalam topologi-topologi berdimensi-hingga yang berbeda adalah konform/bersesuaian dengan struktur linear yang diberikan, dan transformasi-transformasi linear yang terinverskan pada umumnya bukanlah homeomorfisma.