Teorema Pythagoras
Bukti teorema lainnya > Bukti Euklid

Secara garis besar, berikut adalah bagaimana bukti dalam Elemen Euclid berasal. Persegi besar dibagi menjadi persegi panjang kiri dan kanan. Sebuah segitiga dibangun yang memiliki setengah luas persegi panjang kiri. Kemudian segitiga lain dibangun yang memiliki setengah luas persegi di sisi paling kiri. Dua segitiga ini terbukti kongruen, membuktikan bahwa persegi ini memiliki area yang sama dengan persegi panjang kiri. Argumen ini diikuti oleh versi yang sama untuk persegi panjang kanan dan persegi yang tersisa. Menempatkan dua persegi panjang bersama-sama untuk mereformasi alun-alun pada sisi miring, luasnya sama dengan jumlah luas dari dua kotak lainnya. Detailnya mengikuti.
Biarkan A, B, C menjadi simpul dari segitiga siku-siku, dengan sudut siku-siku pada A. Letakkan tegak lurus dari A ke sisi yang berlawanan dengan sisi miring dalam persegi pada sisi miring. Garis itu membagi persegi pada sisi miring menjadi dua persegi panjang, masing-masing memiliki luas yang sama dengan salah satu dari dua kotak pada kaki.
Untuk bukti formal, kami membutuhkan empat lemmata dasar:
Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, masing-masing untuk masing-masing, dan sudut yang dimasukkan oleh sisi yang sama, maka segitiga adalah kongruen (sisi-sudut-sisi).
Luas segitiga adalah setengah luas dari setiap jajar genjang pada alas yang sama dan memiliki ketinggian yang sama.
Luas persegi panjang sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan.
Luas kotak sama dengan produk dari dua sisinya (mengikuti dari 3).
Selanjutnya, setiap bujur sangkar terkait dengan kongruen segitiga dengan segitiga lain yang terkait pada gilirannya dengan salah satu dari dua persegi panjang yang membentuk kuadrat bawah.
Buktinya adalah sebagai berikut:
Biarkan ACB menjadi segitiga siku-siku dengan CAB sudut kanan.
Di setiap sisi BC, AB, dan CA, kotak digambar, CBDE, BAGF, dan ACIH, dalam urutan itu. Konstruksi persegi membutuhkan teorema yang mendahului Euclid, dan tergantung pada dalil paralel.
Dari A, gambar garis sejajar dengan BD dan CE. Ini akan memotong BC dan DE pada K dan L secara berurutan.
Gabungkan dengan DF dan AD, untuk membentuk segitiga BCF dan BDA
Sudut CAB dan BAG keduanya adalah sudut kanan; oleh karena itu C, A, dan G adalah kollinear. Demikian pula untuk B, A, dan H.
Sudut CBD dan FBA keduanya sudut kanan; Oleh karena itu sudut ABD sama dengan sudut FBC, karena keduanya adalah jumlah dari sudut kanan dan sudut ABC.
Karena AB sama dengan FB dan BD sama dengan BC, segitiga ABD harus kongruen dengan segitiga FBC.
Karena AKL adalah garis lurus, sejajar dengan BD, maka persegi panjang BDLK memiliki dua kali luas segitiga ABD karena mereka berbagi basis BD dan memiliki ketinggian BK yang sama, yaitu, garis normal ke basis umum mereka, menghubungkan garis paralel BD dan AL. (lemma 2)
Karena C adalah kollinear dengan A dan G, BAGF persegi harus dua kali luas untuk segitiga FBC.
Oleh karena itu, persegi panjang BDLK harus memiliki area yang sama dengan persegi BAGF = AB2.
Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa persegi panjang CKLE harus memiliki area yang sama dengan persegi ACIH = AC2.
Tambahkan dua hasil ini, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC
Sejak BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
Karena itu, AB2 + AC2 = BC2, sejak CBDE adalah persegi.
Bukti ini, yang muncul dalam Elemen Euclid seperti pada Proposisi 47 dalam Buku 1, menunjukkan bahwa luas kotak pada sisi miring adalah jumlah dari luas dua kotak lainnya. Ini sangat berbeda dari pembuktian dengan kemiripan segitiga, yang diduga sebagai bukti bahwa Pythagoras digunakan.