Topologi
Motivasi

Wawasan yang memotivasi di balik topologi adalah bahwa beberapa masalah geometris tidak bergantung pada bentuk pasti dari objek yang terlibat, melainkan pada cara mereka disatukan. Contohnya, persegi dan lingkaran memiliki banyak sifat yang sama: keduanya adalah objek satu dimensi (dari sudut pandang topologi) dan keduanya memisahkan bidang menjadi dua bagian, bagian di dalam dan bagian luar.
Dalam salah satu makalah pertama di topologi, Leonhard Euler menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rute melalui kota Königsberg (sekarang Kaliningrad) yang akan melintasi ketujuh jembatannya tepat satu kali. Hasil ini tidak bergantung pada panjang jembatan atau jarak satu sama lain, tetapi hanya pada properti konektivitas: jembatan mana yang menghubungkan ke pulau atau tepi sungai mana. Masalah Tujuh Jembatan Königsberg ini menyebabkan cabang matematika yang dikenal sebagai teori graf.
Deformasi kontinu (sejenis homeomorfisme) cangkir menjadi donat (torus) dan sapi menjadi bola
Serupa dengan itu, teorema bola berbulu dari topologi aljabar mengatakan bahwa "seseorang tidak dapat menyisir rambut hingga rata pada bola berbulu tanpa membuat jilatan rambut." Fakta ini langsung meyakinkan bagi kebanyakan orang, meskipun mereka mungkin tidak mengenali pernyataan teorema yang lebih formal, bahwa tidak ada  medan vektor singgung kontinu tak menghilang pada bola. Seperti dengan  Jembatan Königsberg , hasilnya tidak bergantung pada bentuk bola; ini berlaku untuk semua jenis gumpalan halus, selama tidak ada lubang.
Untuk menangani masalah ini yang tidak bergantung pada bentuk objek yang tepat, kita harus jelas tentang properti apa yang diandalkan oleh masalah ini do. Dari kebutuhan ini muncullah pengertian homeosfier. Ketidakmungkinan menyeberangi setiap jembatan hanya sekali berlaku untuk setiap susunan jembatan yang bersifat homeomorfik dengan yang ada di Königsberg, dan teorema bola berbulu berlaku untuk setiap ruang yang homeomorfik untuk sebuah bola.
Secara intuitif, dua ruang bersifat homeomorfik jika yang satu dapat berubah bentuk menjadi yang lain tanpa memotong atau merekatkan. Lelucon tradisional adalah bahwa ahli topologi tidak dapat membedakan cangkir kopi dari donat, karena donat yang cukup lentur dapat dibentuk kembali menjadi cangkir kopi dengan membuat lesung pipit dan secara bertahap memperbesarnya, sambil mengecilkan lubang menjadi pegangan.
Homeomorfisme dapat dianggap sebagai kesetaraan topologis yang paling dasar. Lainnya adalah kesetaraan homotopi. Ini lebih sulit untuk dijelaskan tanpa teknis, tetapi gagasan dasarnya adalah bahwa dua benda adalah setara homotopi jika keduanya dihasilkan dari "meremas" benda yang lebih besar.
| Homeomorfisme | Kesetaraan homotopi |
| --- | --- |

Pengantar latihan adalah untuk mengklasifikasikan huruf besar dari alfabet bahasa Indonesia menurut persamaan homeomorfisme dan homotopi. Hasilnya tergantung pada font yang digunakan, dan apakah goresan yang membentuk huruf memiliki ketebalan atau kurva ideal tanpa ketebalan.  Gambar di sini menggunakan font sans-serif Myriad dan diasumsikan terdiri dari kurva ideal tanpa ketebalan. Kesetaraan homotopi adalah hubungan yang lebih kasar daripada homeomorfisme; kelas kesetaraan homotopy dapat berisi beberapa kelas homeomorfisme. Kasus sederhana persamaan homotopi yang dijelaskan di atas dapat digunakan di sini untuk menunjukkan dua huruf yang setara homotopi. Misalnya, OF pas di dalam P dan ekor P bisa dijepit ke bagian "lubang".
Kelas homeomorfisme adalah:
tidak ada lubang yang sesuai dengan C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, dan Z;
tidak ada lubang dan tiga ekor yang sesuai dengan E, F, T, dan Y;
tidak ada lubang dan empat ekor sesuai dengan X;
satu lubang dan tidak ada ekor yang sesuai dengan D dan O;
satu lubang dan satu ekor sesuai dengan P dan Q.;
satu lubang dan dua ekor sesuai dengan A dan R;
dua lubang dan tidak ada ekor yang sesuai dengan B; dan
batang dengan empat ekor sesuai dengan H dan K; "bar" pada  K  hampir terlalu pendek untuk dilihat.
Kelas homotopi lebih besar, karena ekornya dapat terjepit ke bawah sampai suatu titik. Mereka:
satu lubang,
dua lubang, dan
tidak ada lubang.
Untuk mengklasifikasikan huruf dengan benar, kita harus menunjukkan bahwa dua huruf di kelas yang sama adalah setara dan dua huruf di kelas yang berbeda tidak setara. Dalam kasus homeomorfisme, ini dapat dilakukan dengan memilih titik dan menunjukkan penghapusannya memutus huruf secara berbeda. Misalnya, X dan Y tidak homeomorfik karena menghilangkan titik tengah X menyisakan empat buah; titik apa pun di Y yang sesuai dengan titik ini, penghapusannya dapat menyisakan paling banyak tiga bagian. Kasus kesetaraan homotopi lebih sulit dan membutuhkan argumen yang lebih rumit yang menunjukkan invari aljabar, seperti grup fundamental, berbeda pada kelas yang seharusnya berbeda.
Topologi huruf memiliki relevansi praktis dalam stensil tipografi. Contohnya, Braggadocio stensil font dibuat dari satu bahan yang terhubung.