Hukum gerak Euler
Penjelasan dan turunan

Distribusi gaya internal dalam benda yang dapat berubah bentuk tidak selalu sama di seluruh bagian, yaitu tekanan bervariasi dari satu titik ke titik berikutnya. Variasi gaya internal di seluruh benda ini diatur oleh hukum gerak kedua Newton tentang kekekalan momentum linier dan momentum sudut, dimana penggunaan yang paling sederhana diterapkan pada partikel bermassa, tetapi diperluas dalam mekanika kontinum menjadi benda bermassa yang terdistribusi secara kontinu. Untuk benda kontinu, hukum-hukum ini disebut hukum gerak Euler.
Gaya total benda yang diterapkan pada benda kontinu dengan massa m, massa jenis ρ, dan volume V, adalah integral volume yang diintegrasikan pada volume benda:
\mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV
dimana b adalah gaya yang bekerja pada benda per satuan massa (dimensi percepatan, yang secara keliru disebut "gaya benda"), dan dm = ρ dV adalah elemen massa benda yang sangat kecil.
Gaya benda dan gaya kontak yang bekerja pada benda menyebabkan momen (torsi) yang sesuai dari gaya-gaya tersebut relatif terhadap titik tertentu. Dengan demikian, torsi total yang diterapkan M tentang titik asal berasal dari:
\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}
dimana MB dan MC masing-masing menunjukkan momen yang disebabkan oleh benda dan gaya kontak.
Dengan demikian, jumlah semua gaya dan torsi yang diterapkan (sehubungan dengan asal sistem koordinat) yang bekerja pada benda dapat diberikan sebagai jumlah volume dan integral permukaan:
\mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV
\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV
dimana t = t(n) disebut traksi permukaan, diintegrasikan di atas permukaan benda, dimana n menunjukkan vektor satuan normal dan diarahkan ke luar permukaan S.
Misalkan sistem koordinat  (x_{1},x_{2},x_{3}) adalah kerangka acuan inersia, r adalah vektor posisi partikel titik dalam benda kontinu sehubungan dengan asal sistem koordinat, dan v =  {dr \over dx} adalah vektor kecepatan dari titik tersebut.
Aksioma atau hukum pertama Euler (hukum keseimbangan momentum linier atau keseimbangan gaya) menyatakan bahwa dalam kerangka inersia, laju waktu perubahan momentum linier p dari bagian sembarang benda kontinu sama dengan total gaya yang diterapkan F yang bekerja pada bagian itu, dan dinyatakan sebagai berikut.
{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV\end{aligned}}
Aksioma atau hukum kedua Euler (hukum keseimbangan momentum sudut atau keseimbangan torsi) menyatakan bahwa dalam kerangka inersia, laju waktu perubahan momentum sudut L dari bagian sembarang benda kontinu sama dengan torsi total yang diterapkan M yang bekerja pada bagian itu, dan dinyatakan sebagai berikut.
{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV\end{aligned}}
dimana v adalah kecepatan, V adalah volume, dan turunan dari p dan L adalah turunan material.