stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ikan mas hias
Biologi > Ukuran

Per April 2008, ikan mas hias terbesar di dunia menurut BBC berukuran 19 inci (48 cm), dan dipelihara di Belanda. Pada suatu waktu ikan mas hias bernama "Goldie", dipelihara di sebuah akuarium di Folkestone, Inggris, berukuran panjang 15 inci (38 cm) dan berat lebih dari 2 pon (0,91 kg), adalah ikan mas hias terbesar kedua di dunia setelah ikan mas dari Belanda. Ketua federasi masyarakat pecinta satwa akuatik Inggris (the Federation of British Aquatic Societies/FBAS) menyatakan mengenai ukuran Goldie "Saya pikir mungkin ada beberapa ikan yang lebih besar yang tidak dianggap sebagai pemegang rekor, mungkin di danau atau kolam hias". Pada Juli 2010, seekor ikan mas berukuran 16 inci (41 cm) dan berat 5 pon (2,3 kg) ditangkap di sebuah kolam di Poole, Inggris, mungkin dibuang oleh pemiliknya karena telah tumbuh terlalu besar dari akuariumnya.
Biologi > Pakan

Lihat pula: Pakan ikan
Di alam liar, ikan mas memangsa krustasea, serangga, dan berbagai jenis tumbuhan air. Seperti kebanyakan ikan, mereka adalah pemangsa oportunistik yang terus-menerus makan. Mereka tidak dapat secara sadar sengaja berhenti makan. Memberi makan berlebihan dapat membahayakan kesehatan ikan ini, seperti menyumbat ususnya. Hal ini biasanya terjadi pada ikan mas hias hasil pembiakan yang memiliki saluran pencernaan yang berbelit-belit. Jika makanan tersedia melimpah ruah, mereka akan memakan semuanya dan menghasilkan kotoran yang cukup banyak. Hal ini umumnya karena ketidaksempurnaan ikan mas dalam mencerna protein. Pemberian makan berlebihan dapat didiagnosis melalui meneliti panjangnya kotoran yang keluar dari kloaka ikan.
Makanan khusus ikan mas mengandung lebih sedikit protein dan lebih banyak karbohidrat daripada pakan ikan umumnya. Jenis makanan ini dijual dalam bentuk kepingan yang mengambang, dan pelet yang tenggelam. Peminat ikan mas dapat menambahkan variasi makanan berupa kacang polong hijau yang sudah dikupas kulit arinya, sayuran yang disiram air panas, atau jentik nyamuk. Anakan ikan mas dapat diberi makanan udang kecil.
Biologi > Penglihatan

Daya penglihatan ikan mas adalah bidang yang paling banyak dipelajari dalam studi mengenai penglihatan ikan. Ikan mas bahkan memiliki kemampuan melihat warna lebih baik daripada manusia. Ikan mas memiliki empat macam sel kerucut penerima cahaya, yang masing-masing peka terhadap warna yang berbeda: merah, hijau, biru, dan ultraviolet. Kemampuan untuk membedakan empat warna primer menjadikan ikan mas sebagai hewan tetrakromatik.
Biologi > Perkembangbiakan

Ikan mas hanya dapat tumbuh demasa mencapai kematangan seksual dengan cukup air dan gizi yang tepat. Kebanyakan ikan mas hias berkembang biak dalam pemijahan budidaya ikan, khususnya dalam kolam pemijahan. Perkembangbiakan biasanya terjadi setelah perubahan suhu yang signifikan, khususnya di musim semi. Ikan mas pejantan akan mengejar betina yang tengah berahi dan mengandung banyak telur, dan mendesak betina agar mengeluarkan telurnya dengan cara menyerempet dan menabraknya. Ketika kawin mereka bersama-sama mengeluarkan telur dan sperma dengan berenang berdampingan bersama agar telur terbuahi.
Ikan mas hias, seperti kebanyakan kerabat siprinide, adalah petelur. Telurnya memiliki lapisan yang bersifat melekat, lengket pada tumbuhan air yang lebat, misalnya Cabomba atau Elodea atau semacam sapu, jerami atau ijuk sebagai tempat pemijahan. Telur akan menetus dalam 48 sampai 72 jam.
Dalam beberapa minggu, embrio mulai mencapai bentuk finalnya. Untuk mencapai tingkat pertumbuhan sempurna dewasa diperlukan waktu setahun. Saat menjadi anakan, anak ikan ini memiliki bentuk dan warna tubuh seperti leluhur liar mereka; berwarna metalik kecokelatan. Dalam beberapa minggu awal kehidupan anakan ikan ini tumbuh cepat besar — sebuah bentuk adaptasi timbul akibat risiko besar termakan oleh ikan mas dewasa (atau ikan lain dan serangga) dalam lingkungannya.
Beberapa jenis ikan mas hias biakan dengan tubuh ekstrem tidak dapat lagi berkembang biak secara alami akibat bentuk tubuhnya yang demikian berubah. Cara perkembangbiakan buatan disebut "pengeluaran dengan tangan" dapat membantu proses kawin, akan tetapi dapat menyakiti dan membahayakan induk ikan jika tidak dilakukan dengan benar. Di kolam pemijahan, ikan mas dewasa juga dapat memangsa anakan ikan yang mereka jumpai.
| --- | --- |
Telur ikan mas menunjukan pembelahan sel: Anakan ikan mas jenis Ryukin yang baru menetas
Pranala luar

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Carassius auratus.
"Carassius auratus". Integrated Taxonomic Information System. Diakses tanggal 5 October 2004.
Templat:FishBase species alt
Bristol Aquarists' Society: Goldfish — Foto dan deskripsi dari berbagai varietas ikan mas.
| --- | --- |
Pengidentifikasi takson:  Wikidata: Q123141  Wikispecies: Carassius auratus  ADW: Carassius_auratus  AFD: Carassius_auratus  BioLib: 15555  BOLD: 10846  EoL: 214363  EPPO: CRSSAU  Fauna Europaea: 304427  Fauna Europaea (new): 3aaac6bc-e220-4264-81bc-a9416f42c9a7  FishBase: 271  GBIF: 4286942  GISD: 368  iNaturalist: 58612  IRMNG: 10153222  ITIS: 163350  IUCN: 166083  NAS: 508  NBN: NHMSYS0000544632  NCBI: 7957  NZOR: a1b4e438-3cd2-4f7a-ba28-6c7a9a18c3d3  ODNR: goldfish  Plazi: 7B90BD6C-8901-8CC3-B8AA-CAD34B8F98F1  WoRMS: 154298 
Detail lukisan gulung Kin Yu atau ikan mas, Tiongkok, tahun 1772
Akuarium di Eropa pada tahun 1850-an yang menampung ikan mas di antara ikan-ikan air dingin lain.
Ikan karper prusia (Carassius auratus gibelio) liar
Ikan karper krusia (Carassius carassius) liar
Aneka jenis pakan ikan
Daftar kunjungan pastoral Paus Paulus VI

Patung peringatan pertemuan antara Paulus VI dan Patriark Athenagoras I di Yerusalem
Daftar kunjungan pastoral Paus Paulus VI merinci perjalanan Paus pertama yang meninggalkan Italia sejak 1809, yang merupakan ziarah kepausan pertama ke Tanah Suci dan kunjungan kepausan pertama ke Amerika, Afrika, Oseania, dan Asia. Paus Paulus VI mengunjungi enam benua, dan merupakan paus yang paling sering bepergian dalam sejarah hingga saat itu, mendapat julukan "Paus Peziarah". Dengan perjalanannya, ia membuka jalan baru bagi kepausan, yang dilanjutkan oleh para penggantinya, yaitu Paus Yohanes Paulus II, Paus Benediktus XVI, dan Paus Fransiskus. Ia melakukan perjalanan ke Tanah Suci pada tahun 1964, tempat ia bertemu dengan Patriark Ekumenis Athenagoras I di Yerusalem yang berujung pada pencabutan ekskomunikasi dari Perpecahan Besar, yang terjadi pada tahun 1054. Paus juga melakukan perjalanan ke Kongres Ekaristi di Bombay, India dan Bogotá, Kolombia. Kunjungan pertama Paus ke Amerika Serikat terjadi pada tanggal 4 Oktober 1965, ketika Paulus VI mengunjungi Kota New York untuk menyampaikan pidato di Perserikatan Bangsa-Bangsa atas undangan Sekretaris Jenderal U Thant. Selama kunjungan itu, Paus pertama-tama singgah di Katedral Santo Patrick di mana sekitar 55.000 orang berbaris di jalan untuk menyambutnya, bertemu dengan Presiden Lyndon B. Johnson di Waldorf Astoria, berpidato di Majelis Umum Perserikatan Bangsa-Bangsa, merayakan Misa di Stadion Yankee, dan melihat Pieta karya Michelangelo di Pameran Dunia New York di Ratu. Lima puluh tahun setelah penampakan pertama Bunda dari Fátima, ia mengunjungi tempat suci tersebut di Fátima, Portugal pada tahun 1967. Ia melakukan kunjungan pastoral ke Afrika pada tahun 1969. Setelah perjalanan ke beberapa negara Asia dan Pasifik pada tahun 1970, ia tidak melakukan perjalanan internasional tambahan. Ia meninggal pada tanggal 6 Agustus 1978.
Di dalam Italia > Di Italia

11 Agustus 1964: Orvieto
24 Oktober 1964: Montecassino
10 Juni 1965: Pisa
1 September 1966: Alatri, Fumone, Ferentino dan Anagni
11 September 1966: Carpineto Romano dan Colleferro
24 Desember 1966: Florence
24 April 1970: Cagliari
3 September 1971: Albano
8 September 1971: Subiaco
16 September 1972: Udine, Venesia, dan Aquileia
14 September 1974: Aquino
8 Agustus 1976: Bolsena
17 September 1977: Pescara
Lihat pula

Daftar kunjungan pastoral oleh Paus Yohanes Paulus II di luar Italia
Daftar kunjungan pastoral Paus Benediktus XVI
Daftar kunjungan pastoral Paus Fransiskus
Daftar pertemuan antara Paus dan Presiden Amerika Serikat
Kunjungan kenegaraan
Pranala luar

"1965 Year in Review Pope Paul VI Visits U.S." United Press International. 1965. Diarsipkan dari versi asli tanggal May 11, 2015. United Press International story about the Pope's 1965 visit to New York City.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
"Flashback: 1964 papal visit". BBC News. March 21, 2000. Diarsipkan dari versi asli tanggal September 8, 2015. BBC News story about the Pope's 1964 visit to Israel.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
"World's Fair Photos" Pope Paul VI visits the World's Fair - audio of the NBC television feed.
"Pope Paul VI talks at the United Nations, and sees the 'Pieta'" YouTube video of the Pope's visit to the United Nations.
Negara-negara yang dikunjungi oleh Paus Paulus VI
Bahasa Tetun

Bahasa Tetun adalah bahasa Austronesia yang utamanya dituturkan di wilayah selatan Timor Leste, serta diketahui berawal dari Belu, khususnya di Kerajaan Fialaran, Manuaman Lakaan, dan Atambua di Timor Barat. Oleh sebab itu, orang Tetun di Indonesia juga dikenal sebagai orang Belu. Hal ini tentu berkaitan dengan tempat tinggal mereka di lereng-lereng datar, baik di pedalaman, kaki gunung maupun di pantai, yang disebut fehan atau rai ktetuk.
Di Timor Barat, penutur bahasa Tetun berjumlah sekitar 500.000 orang. Mereka terutama mendiami Kabupaten Belu, Kabupaten Malaka, dan sebagian Kabupaten Timor Tengah Utara. Di Timor Leste, penuturnya terutama mendiami sebagian Covalima, Bobonaro, Manufahi, Soibada, dan Viqueque. Bahasa Tetun di Atambua (Belu) hanya berkedudukan sebagai bahasa daerah. Sedangkan di Timor Leste, bahasa Tetun menjadi juga lingua franca bagi kelompok etnis lain di Timor Leste yang berbeda bahasa. Bahasa ini memiliki status sebagai bahasa resmi, selain bahasa Portugis di Timor Leste. Di bawah konstitusi negara, bahasa Indonesia dan Inggris merupakan bahasa-bahasa kerja. Bagi mereka, bahasa Tetun berfungsi sebagai bahasa pergaulan atau lingua franca.
Bahasa Tetun yang berkembang di Timor Leste mengalami proses percampuran dan akultrasi dengan bahasa Portugis, sehingga banyak sekali ditemukan kata pinjaman dalam bahasa tersebut. Kata kerja orang ketiga bahasa Portugis sering diadopsi ke dalam bahasa Tetun dan bahasa ini kerap disebut "Tetun Dili" karena bermula dari sekitar wilayah Dili. Sedangkan dialek lainnya di selatan Timor disebut sebagai "Tetun Terik" yang merupakan bentuk orisinil dari bahasa Tetun.
Alfabet dan fonologi

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A | Á | E | É | I | Í | O | Ó | U | Ú |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| B | D | F | G | H | J | K | L | M | N | Ñ | P | R | S | T | V | X | Z |
Galeri

Bahasa di Pulau Timor
Bahasa di Timor Leste
Tetun, Mambai dan Portugis
Tetun dan Portugis
Portugis dan Tetun
Tetun dan Portugis
Gereja Maria Ratu Rosario, Neustift im Mühlkreis

| Gereja Maria Ratu Rosario |
| --- | --- |
Gereja Katolik Paroki Maria Ratu Rosario, Neustift im Mühlkreis
bahasa Jerman: Pfarrkirche Maria Rosenkranzkönigin
Gereja Maria Ratu Rosario, Neustift im Mühlkreis
Wikipedia | Kode sumber | Tata penggunaan Koordinat: 48°31′44.123″N 13°45′24.149″E﻿ / ﻿48.52892306°N 13.75670806°E﻿ / 48.52892306; 13.75670806
Lokasi: Neustift im Mühlkreis
Negara: Austria
Denominasi: Gereja Katolik Roma
Arsitektur
Status: Gereja paroki
Status fungsional: Aktif
Administrasi
Paroki: Neustift im Mühlkreis
Dekenat: Sarleinsbach
Keuskupan: Linz
 
Gereja Maria Ratu Rosario (bahasa Jerman: Pfarrkirche Maria Rosenkranzkönigin) adalah sebuah gereja paroki Katolik yang terletak di Neustift im Mühlkreis, Austria. Gereja ini termasuk ke dalam wilayah dekanat Sarleinsbach, Keuskupan Linz dan didedikasikan kepada Maria Ratu Rosario.
Nilai dan vektor eigen

Matriks  A menyebabkan vektor  \mathbf {x}  memanjang tanpa mengubah arah vektor, maka  \mathbf {x}  merupakan vektor eigen dari  A.
Dalam aljabar linear, vektor eigen (eigenvector) atau vektor karakteristik dari suatu matriks berukuran  n\times n adalah vektor tak nol yang hanya mengalami perubahan panjang ketika dikali dengan matriks tersebut. Nilai eigen (eigenvalue) yang berasosiasi dengan vektor tersebut, umumnya dilambangkan dengan  \lambda , menyatakan besar perubahan panjang vektor yang terjadi. Secara umum dalam ruang vektor multidimensi, vektor eigen tidak mengalami rotasi ketika ditransformasikan oleh matriks. Hal ini berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real, dan akan mengalami rotasi ketika elemen berupa bilangan kompleks. Nilai eigen dan vektor eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, yang keduanya diterapkan dalam bidang matematika murni dan matematika terapan, contohnya pada transformasi linear. Ruang eigen dari  \lambda  merupakan ruang vektor yang dibentuk dari gabungan vektor nol dan kumpulan vektor eigen yang berasosiasi dengan  \lambda .
Istilah eigen sering kali dipadankan dengan istilah karakteristik, karena kata "eigen" yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti "asli", dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.
Definisi formal

Jika  T adalah suatu pemetaan linear dari suatu ruang vektor  V atas lapangan  F ke dirinya sendiri, dan  \mathbf {v}  adalah vektor tak nol di  V, maka  \mathbf {v}  adalah vektor eigen dari  T jika  T(\mathbf {v} ) adalah suatu kelipatan skalar dari  \mathbf {v} . Hal ini dapat ditulis sebagai
dengan  \lambda  adalah suatu skalar di  F, yang disebut dengan nilai eigen (eigenvalue), nilai karakteristik, atau akar karakteristik, yang berasosiasi dengan  \mathbf {v} .
Ada hubungan erat antara matriks persegi berukuran  n\times n dengan pemetaan linear dari ruang vektor berdimensi  n ke dirinya sendiri. Hal ini menyebabkan, dalam suatu ruang vektor berdimensi hingga, nilai eigen dan vektor eigen dapat didefinisikan menggunakan bahasa matriks, maupun menggunakan bahasa pemetaan linear. Jika  V berdimensi hingga, persamaan di atas setara dengan
dengan  A adalah representasi matriks dari  T dan  \mathbf {x}  adalah vektor koordinat dari  \mathbf {v} .
Nilai dan vektor eigen dari matriks

Lihat pula: Vektor Euklides dan Matriks (matematika)
Nilai eigen dan vektor eigen sering diperkenalkan ke murid dalam konteks kelas aljabar linear yang berfokus pada matriks. Lebih lanjut, pemetaan linear atas ruang vektor hingga dapat dinyatakan menggunakan matriks, yang umum digunakan secara numerik maupun komputasi. Misalkan vektor berdimensi  n yang dibentuk sebagai barisan  n buah skalar; contohnya vektor berdimensi 3 \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{dan}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.Kedua vektor ini dikatakan saling berkelipatan skalar, atau paralel atau kolinear, jika terdapat skalar  \lambda  sehingga  \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} . Dalam kasus ini  \lambda =-{\tfrac {1}{20}}. Sekarang misalkan pemetaan linear dari vektor dimensi  n yang didefinisikan oleh sebuah matriks  A berukuran  n\times n, A\mathbf {v} =\mathbf {w} .Jika  \mathbf {v}  dan  \mathbf {w}  saling berkelipatan skalar, yakni jika terdapat  \lambda  sehingga
maka  \mathbf {v}  adalah vektor eigen dari pemetaan linear  A dan skalar  \lambda  adalah nilai eigen yang berasosiasi dengan vektor eigen tersebut. Persamaan (1) adalah persamaan nilai eigen untuk matriks  A. Persamaan (1) juga dapat dinyatakan sebagai
dengan  I adalah matriks identitas dan  \mathbf {0}  adalah vektor nol.
Nilai dan vektor eigen dari matriks > Kegandaan aljabar

Misalkan  \lambda _{i} adalah nilai eigen dari suatu matriks  A berukuran  n\times n. Kegandaan aljabar (algebraic multiplicity)  \mu _{A}(\lambda _{i}) menyatakan bilangan  k terbesar yang membuat  (\lambda -\lambda _{i})^{k} dapat membagi habis polinomial karakteristik dari  A.
Jika  A berdimensi  n dan memiliki  d\leq n nilai eigen yang berbeda, Persamaan (4) dapat dinyatakan secara lebih ringkas sebagai  |A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.Dalam kasus  d=n, ruas kanan persamaan tersebut akan identik dengan Persamaan (4). Nilai setiap kegandaan aljabar dari nilai-nilai eigen berhubungan dengan dimensi  n dari matriks lewat persamaan
{\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}Jika  \mu _{A}(\lambda _{i})=1, maka  \lambda _{i} dikatakan sebagai nilai eigen sederhana (simple eigenvalue). Jika  \mu _{A}(\lambda _{i}) sama dengan kegandaan geometrik dari  \lambda _{i}, yang dijelaskan pada bagian selanjutnya, maka  \lambda _{i} dikatakan sebagai nilai eigen semi-sederhana (semisimple eigenvalue).
Nilai dan vektor eigen dari matriks > Sifat-sifat lain dari nilai eigen

Misalkan  A adalah sembarang matriks berukuran  n\times n dengan entri berupa bilangan kompleks, dan memiliki nilai-nilai eigen  \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}. Setiap nilai eigen muncul sebanyak  \mu _{A}(\lambda _{i}) kali di polinomial karakteristik matriks  A, dengan  \mu _{A}(\lambda _{i}) menyatakan kegandaan numerik dari nilai eigen. Berikut beberapa hubungan yang dimiliki matriks dengan nilai-nilai eigennya:
Trace dari  A, yang didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen diagonal utama pada matriks, bernilai sama dengan jumlah semua nilai eigen matriks tersebut, \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.
Determinan dari  A adalah hasil perkalian semua nilai eigen matriks tersebut, \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.
Nilai-nilai eigen dari matriks  A^{k}, untuk sembarang bilangan bulat positif  k, adalah  \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}.
Matriks  A dapat dibalik (memiliki invers) jika dan hanya jika tidak ada nilai eigennya yang bernilai nol.
Jika  A terbalikkan, maka nilai-nilai eigen dari  A^{-1} adalah 





1

λ

1




,
…
,


1

λ

n






{\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}

. Lebih lanjut, nilai eigen  \lambda _{i} dari  A dan nilai eigen  {\tfrac {1}{\lambda _{i}}} dari  A^{-1} akan memiliki nilai kegandaan geometrik dan kegandaan aljabar yang sama.
Jika  A sama dengan transpos konjugat dirinya,  A^{*}, dengan kata lain  A merupakan matriks Hermite, maka semua nilai eigennya bernilai real. Hal yang sama berlaku untuk sembarang matriks simetrik real.
Jika  A merupakan matriks Hermite sekaligus bersifat definit positif, semidefinit positif, definit negatif, atau semidefinit negatif; maka berturut-turut, setiap nilai eigennya akan berupa bilangan positif, tak negatif, negatif, atau tak positif.
Jika  A uniter, setiap nilei eigennya memiliki nilai mutlak  |\lambda _{i}|=1.
Nilai-nilai eigen dari matriks  I+A (dengan  I adalah matriks identitas) adalah  \{\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{k}+1\}. Lebih lanjut, jika  \alpha \in \mathbb {C} , nilai-nilai eigen dari  \alpha I+A adalah  \{\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}. Secara umum untuk sembarang polinomial  P, nilai-nilai eigen dari matriks  P(A) adalah  \{P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{k})\}.
Nilai dan vektor eigen dari matriks > Identitas nilai dan vektor eigen

Untuk sembarang matriks Hermite, kuadrat norma dari komponen ke- j dari vektor eigen yang ternormalisasi dapat ditentukan hanya dengan menggunakan nilai-nilai eigen dari matriks dan nilai-nilai matriks minor yang bersesuaian, |v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},
dengan 




M

j




{\textstyle M_{j}}

 adalah submatriks yang dibentuk dengan menghilangkan baris dan kolom ke- j dari matriks awalnya.
Contoh perhitungan nilai eigen dan vektor eigen > Contoh matriks dimensi dua

Misalkan sebuah matriks
A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.
Gambar berikut menunjukkan efek dari transformasi oleh matriks pada titik-titik koordinat yang terletak pada bidang. Vektor-vektor eigen  \mathbf {v}  dari transformasi ini memenuhi Persamaan (1), dan nilai-nilai eigennya adalah nilai-nilai  \lambda  yang menyebabkan determinan matriks  (A-\lambda I) sama dengan nol. Dengan menghitung determinan, kita mendapatkan polinomial karakteristik dari  A,
{\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}
Polinom karakteristik ini memiliki akar  \lambda =1 dan  \lambda =3, yang selanjutnya adalah dua nilai eigen dari  A. Mensubtitusi  \lambda =1 ke dalam Persamaan (2), didapatkan
Sembarang vektor tak nol dengan  v_{1}=-v_{2} akan memenuhi persamaan ini. Dengan demikian, dapat dipilih satu vektor,
\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}
sebagai vektor eigen dari  A yang berasosiasi dengan  \lambda =1; setiap kelipatan dari vektor ini juga merupakan vektor eigen. Sedangkan untuk  \lambda =3, Persamaan (2) dapat ditulis menjadi
{\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}
Sembarang vektor tak nol dengan  v_{1}=v_{2} akan memenuhi persamaan ini. Dengan cara yang sama seperti di atas, \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}
adalah vektor eigen dari  A yang berasosiasi dengan  \lambda =3. Alhasil, vektor  \mathbf {v} _{\lambda =1} dan  \mathbf {v} _{\lambda =3} adalah vektor eigen dari  A, yang masing-masing berasosiasi dengan  \lambda =1 dan  \lambda =3.
Contoh perhitungan nilai eigen dan vektor eigen > Rumus umum untuk nilai-nilai eigen dari matriks dimensi dua

Nilai-nilai eigen dari matriks real  A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}} adalah
\lambda ={\frac {1}{2}}(a+d)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}(a-d)\right)^{2}+bc}}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\left(\operatorname {tr} (A)^{2}\right)-4\det(A)}}\right).
Dengan  \operatorname {tr} (\dots ) adalah operator trace. Nilai-nilai eigen akan selalu berupa bilangan real ketika  b dan  c memiliki tanda yang sama, karena nilai di dalam akar tidak akan bernilai negatif