Matriks (matematika)
Transformasi linear

Artikel utama: Transformasi linear dan Matriks transformasi
Matriks dan operasi perkaliannya memiliki sifat penting dalam transformasi linear, yang juga dikenal sebagai peta linear. Matriks (real)  \mathbf {A}  berukuran  m\times n dapat dianggap sebagai suatu transformasi linear dari ruang dimensi-n ke ruang dimensi-m, dengan bahasa lain,  \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}. Transformasi ini memetakan setiap vektor  {\textbf {x}} dalam  \mathbb {R} ^{n} ke sebuah vektor  {\textbf {Ax}} yang terletak dalam  \mathbb {R} ^{m}. Sebaliknya setiap transformasi linear  f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}dapat dianggap sebagai efek perkalian dengan suatu matriks  \mathbf {A}  berukuran m×n. Secara eksplisit, entri ke- (i,\,j) dari matriks  \mathbf {A}  adalah koordinat ke-i dari hasil pemetaan  f({\textbf {e}}_{j}); vektor  {\textbf {e}}_{j}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0) adalah vektor satuan dengan nilai 1 pada koordinat ke-j dan bernilai 0 di koordinat-koordinat yang lain. Dari hubungan ini, matriks  \mathbf {A}  adalah representasi (wakil) dari transformasi linear  f, dan disebut sebagai matriks transformasi dari  f.
Sebagai contoh, matriks persegi berukuran 2×2 \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}dapat dilihat sebagai fungsi yang mengubah persegi satuan menjadi suatu jajaran genjang dengan titik-titik sudut terletak di  (0,\,0),  (a,\,b),  (a+c,\,b+d), dan  (c,\,d). Jajar genjang yang digambarkan di sebelah kanan diperoleh masing-masing dari mengalikan  \mathbf {A}  dengan vektor kolom  {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}, dan  {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}, secara berurutan. Vektor-vektor ini adalah lokasi titik-titik sudut dari persegi satuan.
Tabel berikut menunjukkan beberapa jenis transformasi linear di  \mathbb {R} ^{2} dan matriks 2×2 dan mewakilinya . Setiap transformasi memetakan daerah asli yang berwarna biru menjadi daerah berwarna hijau. Titik asal  (0,\,0) ditandai dengan titik berwarna hitam.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Penggeseran horizontal dengan m = 1,25 | Refleksi terhadap sumbu vertikal | Pemerasan (squeezing) dengan r = 3/2 | Penskalaan dengan faktor 3/2 | Rotasi sebesar π/6 = 30° |
|  {\begin{bmatrix}1&1,25\\0&1\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}} |  {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)&-\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\end{bmatrix}} |

Karena korespodensi satu-satu antara matriks dan transformasi linear, operasi perkalian matriks berhubungan dengan operasi komposisi fungsi: jika suatu matriks  \mathbf {B}  berukuran k×m mewakili suatu transformasi linear  g:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}, maka komposisi fungsi  g\circ f dapat diwakili oleh perkalian matriks  \mathbf {BA}  karena  (g\circ f)(\mathbf {x} )=g(f(\mathbf {x} ))=g(\mathbf {Ax} )=\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=(\mathbf {BA} )x.Persamaan yang terakhir adalah hasil dari sifat asosiatif perkalian matriks.
Rank dari matriks  \mathbf {A}  adalah banyak maksimum dari vektor-vektor baris matriks yang saling bebas linear, dan nilainya sama dengan banyak maksimum vektor-vektor kolom yang saling bebas linear. Nilai peringkat ini adalah dimensi dari citra transformasi linear yang diwakili oleh  \mathbf {A} . Teorema rank–nolitas menyatakan bahwa dimensi kernel dari sebuah matriks jika ditambah dengan rank dari matriks tersebut, akan sama dengan banyak kolom dari matriks tersebut.