Teori permainan
Penerapan teori permainan dalam pemodelan ekonomi > Model kuantitas Cournot

Pada 1838, matematikawan dan ekonom prancis yang bernama Antoine Augustin Cournot, menerbitkan sebuah publikasi dengan judul Recherches sur les principes mathématiques de la Théorie des richesses. Publikasinya menjelaskan bahwa terdapat persaingan antar perusahaan dalam hal kuantitas produksi sebuah barang. Keputusan antar perusahaan sifatnya independen namun rasional. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan Cournot:
Terdapat lebih dari satu perusahaan yang berkompetisi secara simultan dengan produk barang yang homogen (tidak berbeda).
Perusahaan-perusahaan yang terlibat berkompetisi dalam bentuk pola informasi yang sempurna dan lengkap (perfect and complete information).
Semua perusahaan yang berkompetisi tidak ada indikasi untuk bekerja sama dan berbagi informasi (Information sharing).
Perusahaan-perusahaan yang berkompetisi memiliki kekuatan pasar yang seimbang, sehingga mereka menetapkan keputusannnya secara simultan (Simultaneous).
Semua perusahaan berkompetisi untuk menghasilkan kuantitas produk yang cukup dan jumlah kuantitas produk mempengaruhi harga.
Perusahaan yang berkompetisi bertindak rasional dan strategis untuk memaksimalkan pendapatan, keuntungan, atau payoff mereka.
Berdasar pada hubungan penawaran dan permintaan (supply and demand), model Cournot fokus pada fungsi permintaan dimana kenaikan jumlah kuantitas yang diproduksi akan menurunkan harga dari produk itu. Sebagai contoh jika perusahaan  A berkompetisi kuantitas dengan perusahaan  B. Perusahaan  A menghasilkan produk sebesar  q_{A} unit dan perusahaan  B menghasilkan produk sebesar  q_{B} unit. Jumlah kuantitas produk digambarkan pada fungsi  Q=q_{A}+q_{B}. Karena harga dipengaruhi oleh kuantitas produk pada model ini, maka fungsi harga digambarkan pada persamaan berikut:
{\begin{aligned}p(Q)&=a-b\times Q\\p(q_{A},q_{B})&=a-b\times (q_{A}+q_{B})\end{aligned}}
Model penetapan harga diatas menjelaskan bahwa setiap harga  p(Q) atau  p(q_{A},q_{B}) sangat bergantung terhadap jumlah kuantitas  Q unit dari  q_{A} dan  q_{B}. Parameter  a adalah nilai intercept dari sebuah model ekonometrika yang menjelaskan kesediaan pasar untuk membayar jika produk sama sekali tidak tersedia. Parameter  b adalah nilai slope yang menunjukan besar pengaruh kuantitas terhadap perubahan harga. Parameter ini juga dapat dikatakan sebagai elastisitas harga dengan satuan 





harga
unit




{\textstyle {\frac {\text{harga}}{\text{unit}}}}

. Model harga ini juga terkenal dengan sebutan fungsi permintaan terbalik (inverse demand function). Fungsi ini dipakai kembali pada penetapan model pendapatan (revenue) untuk perusahaan  A dan  B.
{\begin{aligned}\pi _{A}(q_{A},q_{B})&=p(q_{A},q_{B})\times q_{A}\\&=[a-b\times (q_{A}+q_{B})]\times q_{A}\\\pi _{B}(q_{B},q_{A})&=p(q_{A},q_{B})\times q_{B}\\&=[a-b\times (q_{A}+q_{B})]\times q_{B}\end{aligned}}
Perusahaan  A dan  B akan menerima pendapatan sebesar  \pi _{A} dan  \pi _{B}. Pendapatannya berupa jumlah harga yang ditetapkan ( p(q_{A},q_{B})) dikalikan dengan kuantitas produksi dari masing masing perusahaan ( q_{A} dan  q_{B}). Karena fungsi pendapatan dari perusahaan  A dan  B berbentuk model ordo kedua (second-order), maka kedua model diasumsikan memiliki bentuk concave. Untuk menemukan titik optimum global, kedua fungsi pendapatan diturunkan. Kondisi ordo pertama dari model pendapatan adalah:
{\begin{aligned}{d\pi _{A}(q_{A},q_{B}) \over dq_{A}}&=a-b(2q_{A}+q_{b})=0\\{d\pi _{B}(q_{B},q_{A}) \over dq_{B}}&=a-b(q_{A}+2q_{b})=0\\\end{aligned}}
Dari turunan model pendapatan perusahaan  A dan  B, respon terbaik (best response function) dari setiap perusahaan untuk menghasilkan kuantitas produk dapat diperoleh. Dalam teori permainan, respon terbaik adalah strategi terbaik yang ditentukan oleh agen itu sendiri yang tergantung pada strategi dari kompetitor. Fungsi dari respon terbaik setiap perusahaan merupakan modifikasi dari turunan model pendapatan. Fungsi perusahaan  A dan  B adalah sebagai berikut:
{\begin{aligned}a-b(2q_{A}+q_{b})&=0\\q_{A}&={\frac {a-b\times q_{B}}{2b}}\\a-b(q_{A}+2q_{B})&=0\\q_{B}&={\frac {a-b\times q_{A}}{2b}}\end{aligned}}
Setelah menemukan respon terbaik dari setiap perusahaan untuk memaksimalkan pendapatannya, hasil keseimbangan Nash pada model Cournot dapat ditemukan melalui persamaan respon terbaik dari  q_{A} dan  q_{B} atau dari 






d

π

A


(

q

A


,

q

B


)


d

q

A





=



d

π

B


(

q

B


,

q

A


)


d

q

B





=
0


{\textstyle {\frac {d\pi _{A}(q_{A},q_{B})}{dq_{A}}}={\frac {d\pi _{B}(q_{B},q_{A})}{dq_{B}}}=0}

. Dengan mensubsitusi fungsi  q_{A} pada fungsi  q_{B}, keseimbangan Cournot Nash ditemukan pada:
{\begin{aligned}q_{B}&={\frac {a-b\times q_{A}}{2b}}\\&={\frac {a-b\times ({\frac {a-b\times q_{B}}{2b}})}{2b}}\\&={\frac {a}{3b}}\\q_{A}&={\frac {a-b\times q_{B}}{2b}}\\&={\frac {a-b\times ({\frac {a}{3b}})}{2b}}\\&={\frac {a}{3b}}\end{aligned}}
Jadi perusahaan  A dan  B akan mencoba untuk memproduksi  q_{A} dan  q_{B} produk sebesar 





a

3
b





{\textstyle {\frac {a}{3b}}}

 unit. Berdasar keputusan yang sudah seimbang, keluarannya adalah sebagai berikut:
{\begin{aligned}Q&=q_{A}+q_{B}&\\&={\frac {a}{3b}}+{\frac {a}{3b}}\\&={\frac {2a}{3b}}\\p(q_{A},q_{B})&=a-b\times (q_{A}+q_{B})\\&=a-b({\frac {2a}{3b}})\\&={\frac {a}{3}}\\\pi _{A}&=\pi _{B}\\p(q_{A},q_{B})\times q_{A}&=p(q_{A},q_{B})\times q_{B}\\&={\frac {a}{3}}\times {\frac {a}{3b}}\\&={\frac {a^{2}}{9b}}\end{aligned}}
Permodelan Cournot yang dilakukan tentunya cukup terbatas. Apabila diterapkan model keuntungan (profit) dengan nilai biaya (cost) yang berbeda akan menghasilkan perspektif keseimbangan yang berbeda juga.