Aljabar
Aljabar linear

Artikel utama: Aljabar linear
Aljabar linear mempelajari kajian sistem persamaan linear. Suatu persamaan adalah linear jika persamaan itu dapat dituliskan sebagai  a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b, dengan  a_{1},  a_{2}, ...,  a_{n} adalah  b adalah konstanta. Contohnya seperti  x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0 dan 





1
4


x
−
y
=
4


{\textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4}

. Suatu sistem persamaan linear berarti kumpulan persamaan linear yang memiliki solusi yang sama.
Matriks adalah susunan nilai dalam bentuk persegi panjang. Matriks pada awalnya diperkenalkan dengan tujuan sebagai notasi yang kompak dan sintetik untuk sistem persamaan linear. Sebagai contoh, sistem persamaan {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}dapat ditulis sebagai AX=B,dengan  A,X dan  B adalah matriks yang dinyatakan sebagai A={\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.Matriks dapat ditambahkan, dikalikan, dan terkadang diinvers di bawah kondisi jumlah baris dan kolom. Semua metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dapat dinyatakan sebagai manipulasi matriks melalui operasi-operasi tersebut. Sebagai contoh, ketika menghitung matriks invers  A^{-1}, maka terdapat sifat bahwa  A^{-1}A=I, disini  I adalah matriks identitas. Ketika mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas di sebelah kiri anggota oleh  A^{-1}, maka sifat invers itu berlaku dan sistem persamaan linear menjadi X=A^{-1}B.
Metode menyelesaikan sistem persamaan linear yang berkisar dari teknik pengenalan seperti substitusi dan eliminasi, hingga teknik yang lebih sulit menggunakan matriks seperti aturan Cramer, eliminasi Gauss, dekomposisi LU. Suatu sistem persamaan adalah inkonsisten, yang berarti tidak adalah solusi karena persamaan saling kontradiksi dengan yang lain. Sistem persamaan linear adalah konsisten jika mereka memiliki satu solusi tunggal atau tak berhingga banyaknya solusi.
Kajian ruang vektor dan pemetaan linear merupakan konsep bagian aljabar linear yang penting. Ruang vektor adalah struktur aljabar yang dibentuk oleh himpunan dengan operasi penambahan yang membentuk grup abelian dan perkalian skalar yang kompatibel dengan operasi penambahan. Pemetaan linear adalah suatu fungsi di antara ruang vektor yang kompatibel dengan operasi penambahan dan perkalian skalar. Pada kasus ruang vektor berdimensi hingga, vektor-vektor dan pemetaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Dengan demikian, teori-teori mengenai matriks dan ruang vektor berdimensi hingga pada awalnya sama. Penjelasan spesifiknya, ruang vektor menyediakan cara ketiga untuk mengekpresikan serta memanipulasi sistem persamaan linear. Dari sudut pandang tersebut, matriks dapat diartikan sebagai representasi pemetaan linear. Artinya, jika seseorang memilih suatu basis tertentu untuk menjelaskan vektor-vektor yang sedang ditransformasikan, maka entri-entri di dalam matriks memberikan hasil menerapkan pemetaan linear ke vektor basis.
Sistem persamaan linear dapat digambarkan secara geometris. Untuk sistem persamaan dengan dua variabel, tiap-toap persamaan mewakili suatu garis di dalam ruang berdimensi dua. Titik yang merupakan perpotongan dua garis adalah solusi dari seluruh sistem persamaan, sebab titik tersebut adalah satu-satunya solusi untuk baik persamaan pertama maupun persamaan kedua. Akan tetapi untuk sistem persamaan yang tak konsisten, dua garis malah saling sejajar, yang artinya tidak ada solusi sama sekali karena kedua garis itu tidak pernah berpotongan. Andaikata kedua persamaan itu tidak independen maka mereka menggambarkan garis yang sama, yang artinya setiap solusi dari satu persamaan juga merupakan solusi dari persamaan yang lain. Kaitan tersebut memberikan kemungkinan mencari solusi secara grafis dengan menggambarkan persamaan-persamaan dan menentukan titik mana yang mereka saling berpotongan. Prinsip yang sama juga berlaku untuk sistem persamaan yang terdiri dari banyak variabel, tetapi yang membedakannya mereka tidak menggambarkan garis, melainkan bangunan yang berdimensi lebih tinggi. Sebagai contoh, sistem persamaan yang memiliki tiga variabel digambarkan sebagai bidang di dalam ruang berdimensi tiga, dan titik yang merupakan perpotongan dari semua bidang merupakan solusi dari sistem persamaan tersebut.