Kalkulus
Prinsip dasar > Integral > Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi  f bervariabel real  x dan interval antara  [a,b] pada garis real, integral tertentu:
secara informal didefinisikan sebagai luas daerah pada bidang- xy yang dibatasi oleh kurva grafik  f, sumbu- x, dan garis vertikal  x=a dan  x=b.
Pada notasi integral di atas:  a adalah batas bawah dan  b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan,  f adalah integran yang akan dievaluasi terhadap  x pada interval  [a,b], dan  dx adalah variabel pengintegralan.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Riemann didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkan ingin mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi  f pada interval tertutup  [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval  [a,b] dapat dibagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan memilih sejumlah  n-1 titik  \{x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n-1}\} antara  a dengan  b sehingga memenuhi hubungan:
Himpunan  P=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}\}\, tersebut dapat dikatakan sebagai partisi  [a,b], yang membagi  [a,b] menjadi sejumlah  n subinterval  [x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\ldots ,[x_{n-1},x_{n}]. Lebar subinterval pertama  [x_{0},x_{1}] dinyatakan sebagai  \Delta x_{1}, demikian pula lebar subinterval ke-i dinyatakan sebagai  \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah dipilih suatu titik sembarang, dan pada subinterval ke- i tersebut dipilih titik sembarang  t_{i}. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar  \Delta x dan tingginya berawal dari sumbu  x sampai menyentuh titik  (t_{i},f(t_{i})) pada kurva. Jika luas tiap-tiap batangan tersebut dihitung dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, maka akan didapatkan:
Penjumlahan  S_{p} disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk  f pada interval  [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang diambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang diinginkan. Jika limit dari norma partisi  \lVert P\rVert  mendekati nol, maka didapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan  f(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup  [a,b]. Bilangan  I dikatakan sebagai integral tertentu  f di sepanjang  [a,b] dan bahwa  I adalah limit dari penjumlahan Riemann  \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i} jikamemenuhi syarat berikut: Untuk setiap bilangan  \varepsilon >0, terdapat sebuah bilangan  \delta >0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupa untuk setiap partisi  P=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\} di sepanjang  [a,b] dengan  \lVert P\rVert <\delta  dan pilihan  t_{i} apapun pada  [x_{k-1},t_{i}], maka didapatkan
Secara matematis dapat ditulis:
Jika masing-masing partisi mempunyai sejumlah  n subinterval yang sama, maka lebar  \Delta x={\tfrac {b-a}{n}}, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Sebagai contoh, jika integral tertentu  \int _{0}^{b}x\,dx dihitung untuk mencari luas daerah  A di bawah kurva  y=x pada interval  [0,b],  b>0, maka perhitungan integral tertentu  \int _{0}^{b}x\,dx sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah
 \lim _{\lVert P\rVert \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}
Pemilihan partisi ataupun titik  t_{i} secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Jika partisi  P yang dipilih membagi-bagi interval  [0,b] menjadi  n subinterval yang berlebar sama  \Delta x={\tfrac {b-0}{n}}={\tfrac {b}{n}} dan titik  t_{i} yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang didapatkan adalah  P=\{0,{\tfrac {b}{n}},{\tfrac {2b}{n}},{\tfrac {3b}{n}},\ldots ,{\tfrac {nb}{n}}\} dan  t_{i}={\tfrac {ib}{n}}, sehingga:
Seiring dengan  n mendekati tak terhingga dan norma partisi  \lVert P\rVert  mendekati 0, maka didapatkan:
Dalam praktiknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.