Sistem peringkat Elo
Teori

Perbandingan perpasangan (pairwise comparisons) menjadi dasar metodologi pemeringkatan Elo. Lebih spesifik, besarnya performa disimpulkan dari banyaknya menang, kalah, dan seri, ketika melawan pemain-pemain lain. Peringkat seorang pemain bergantung pada peringkat dari lawan-lawan mereka dan skor yang dihasilkan dari melawan mereka. Perbedaan peringkat antar dua pemain menentukan perkiraan skor harapan (expected score) antara keduanya; hal ini akan dijelaskan lebih lanjut. Besarnya rerata dan jangkauan dari pemeringkatan dapat dipilih sembarang. USCF awalnya berniat agar pemain klub catur yang umum, akan memiliki peringkat 1500. Elo selanjutnya menyarankan penskalaan pada pemeringkatan, agar perbedaan peringkat catur sebesar 200 poin mengartikan pemain yang lebih kuat memiliki skor harapan (dengan kata lain skor rata-rata yang diharapkan) sekitar 0,75.
Skor harapan seorang pemain adalah peluang menang pemain tersebut ditambah setengah dari peluang ia menghasilkan seri. Akibatnya, skor harapan sebesar 0,75 mengartikan 75% peluang menang, 0% peluang seri, dan 25% peluang kalah. Di sisi ekstrem yang lain, skor ini juga dapat mengartikan 50% peluang menang, 50% peluang seri, dan 0% peluang kalah. Peluang hasil seri tidak didetailkan dalam sistem Elo: hasil seri dianggap setengah menang dan setengah kalah.
Secara praktik, karena kemampuan asli dari setiap pemain tidak dapat ditentukan, skor harapan diukur menggunakan skor pemain saat itu, sebagai berikut: jika pemain A memiliki peringkat  \,R_{\mathsf {A}}\, dan pemain B memiliki peringkat  \,R_{\mathsf {B}}\,, rumus (menggunakan kurva logistik dengan basis 10) skor harapan untuk pemain A adalah
Serupa dengan itu, skor harapan untuk pemain B adalah
Rumus tersebut dapat pula dituliskan sebagai
dan
dengan  \;Q_{\mathsf {A}}=10^{R_{\mathsf {A}}/400}\;, dan  \;Q_{\mathsf {B}}=10^{R_{\mathsf {B}}/400}~. Bentuk terakhir ini mengartikan bahwa  \;E_{\mathsf {A}}+E_{\mathsf {B}}=1~. Dengan mengamati pembilang, skor harapan untuk pemain A adalah \;Q_{\mathsf {A}}/Q_{\mathsf {B}}\; lebih besar dari skor harapan untuk pemain B. Dapat disimpulkan pula untuk setiap perbedaan 400 poin dibandingkan lawan, skor harapan pemain meningkat 10 kali lipat dibandingkan skor harapan lawan.
Ketika skor seorang pemain dalam suatu turnamen melebihi skor harapan, sistem Elo menyimpulkan peringkat pemain tersebut terlalu rendah dan perlu ditingkatkan. Sebaliknya, jika skor seorang pemain dalam turnamen lebih rendah dari skor harapan, peringkat pemain akan diturunkan. Usulan Elo yang asli, yang masih umum digunakan, adalah menyesuaikan skor secara linear dengan perbedaan performa yang terjadi di turnamen dari yang skor harapan. Penyesuaian maksimum untuk setiap permainan, yang disebut dengan faktor-K, ditetapkan sebesar \;K=16\;untuk master dan \;K=32\;untuk pemain yang lebih lemah.
Misalkan pemain A (yang memiliki peringkat  R_{\mathsf {A}}) diharapkan mendapatkan skor  \,E_{\mathsf {A}}\,poin namun pada kenyataannya mendapatkan \,S_{\mathsf {A}}\, poin. Rumus untuk memperbarui peringkat pemain tersebut adalah
Pembaruan ini dapat dilakukan pada akhir setiap permainan, akhir setiap turnamen, atau akhir suatu periode pemeringkatan yang sesuai.
Berikut adalah sebuah contoh untuk memperjelas:
Misalkan pemain A memiliki peringkat 1613 dan bermain dalam sebuah turnamen lima-ronde. Ia kalah pada pemain berperingkat 1609, seri melawan pemain berperingkat 1477, menang melawan pemain berperingkat 1388, menang melawan pemain berperingkat 1586, dan kalah melawan pemain dengan peringkat 1720. Skor asli dari pemain adalah  (0 + 0.5 + 1 + 1 + 0) = 2.5 . Sedangkan skor harapan yang dihitung dengan rumus diatas, adalah  (0.51 + 0.69 + 0.79 + 0.54 + 0.35) = 2.88.
Artinya, peringkat baru pemain adalah  [1613 + 32·(2.5 − 2.88)] = 1601 , mengasumsikan faktor-K sebesar 32 digunakan.
Walaupun dua menang, dua kalah, dan satu seri terlihat sebagai hasil yang imbang, keadaan ini lebih buruk dari skor harapan pemain A karena peringkat lawan-lawan mereka rata-rata lebih rendah. Akibatnya, peringkat player A sedikit turun. Andaikan pemain A mendapatkan dua menang, satu kalah, dan dua seri -- dengan total skor tiga poin --, ia bermain sedikit lebih baik dari harapan. Peringkat pemain A dalam kasus ini akan menjadi  [1613 + 32·(3 − 2.88)] = 1617 .
Prosedur pembaruan ini menjadi dasar pemeringkatan yang digunakan oleh FIDE, USCF, Yahoo! Games, Internet Chess Club (ICC) dan Free Internet Chess Server (FICS). Akan tetapi, setiap organisasi menggunakan cara yang berbeda untuk mengurus ketidakpastian terkait pemeringkatan; khususnya peringkat untuk setiap pemain baru, dan masalah inflasi/deflasi pada pemeringkatan. Para pemain baru mendapatkan peringkat sementara (provisional) yang diperbaiki lebih drastis ketimbang pemain dengan peringkat yang sudah pasti.
Prinsip-prinsip dalam sistem peringkat Elo dapat digunakan untuk pemeringkatan pada cabang kompetisi yang lain, seperti pertandingan sepak bola internasional. Sistem Elo juga telah diterapkan pada permainan tanpa kemungkinan hasil seri, dan pada permainan yang memiliki besar perbedaan hasil akhir (selain sekadar menang/kalah).