Integral Riemann
Contoh

Misalkan  f:[0,1]\to \mathbb {R}  sebagai fungsi yang mengambil nilai 1 setiap titik. Setiap jumlah Riemann dari  f pada  [0,1] akan memiliki nilai 1, oleh karena itu integral Riemann dari  f pada [0, 1] adalah 1.
Misalkan  I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R}  sebagai fungsi indikator dari bilangan rasional di  [0,1]; yaitu,  I_{\mathbb {Q} } mengambil nilai 1 pada bilangan rasional dan 0 pada bilangan irasional. Fungsi ini tidak memiliki integral Riemann. Untuk membuktikan ini, kita akan menunjukkan bagaimana membangun partisi bertanda yang jumlah Riemannnya mendekati nol dan satu secara berurutan.
Untuk memulai, maka  x_{0},\dots ,x_{n} dan  t_{0},\dots ,t_{n-1} menjadi partisi bertanda (setiap  t_{i} diantara  x_{i} dan  x_{i+1}). Pilihlah  \varepsilon >0.  t_{i} telah dipilih, dan nilai  f tidak dapat diubah pada titik tersebut. Tetapi jika kita memotong partisi menjadi potongan-potongan kecil disekitar  t_{i}, kita dapat meminimalkan efek  t_{i}. Kemudian, dengan memilih tanda baru secara hati-hati, kita dapat membuat nilai penjumlahan Riemann berada dalam  \varepsilon  dari nol atau satu.
Langkah pertama kita adalah memotong partisi. Ada  n dari  t_{i}, dan ingin efek totalnya kurang dari  \varepsilon . Jika membatasi masing-masing dari mereka ke selang yang panjangnya kurang dari  \varepsilon /n, maka kontribusi dari setiap  t_{i} pada jumlah Riemann paling sedikit  0\cdot \varepsilon /n dan paling banyak  1\cdot \varepsilon /n. Ini setidaknya membuat jumlah total nol dan paling banyak dari  \varepsilon . Jadi δ menjadi bilangan positif yang kurang dari  \varepsilon /n. Jika kebetulan dua dari  t_{i} berada dalam δ satu sama lain, pilihlah  \delta  lebih kecil. Jika terjadi bahwa beberapa  t_{i} berada dalam δ dari beberapa xj, dan ti tidak sama dengan  x_{j}, pilihlah δ lebih kecil. Karena hanya ada  t_{i} dan  x_{j}, kita selalu dapat memilih  \delta  secukupnya kecil.
Sekarang kita tambahkan dua potongan ke partisi untuk setiap  t_{i}. Salah satu potongan berada di  t_{i}-\delta /2, dan yang lainnya akan berada di  t_{i}+\delta /2. Jika salah satu dari ini meninggalkan selang  [0,1] maka kita tinggalkan.  t_{i} akan menjadi tanda yang sesuai dengan sub-selang
Jika  t_{i} berada tepat diatas salah satunya  x_{j}, maka kita misalkan  t_{i} sebagai tanda untuk kedua selang:
Kita harus memilih tanda untuk sub-selang lainnya. Apabila memilih mereka dalam dua cara yang berbeda. Cara pertama adalah selalu memilih tititk rasional, sehingga jumlah Riemann sebesar mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann setidaknya  1-\varepsilon . Cara kedua adalah selalu memilih titik irasional, sehingga jumlah Riemann sekecil mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann banyak  \varepsilon .
Karena baru memulai dari partisi sembarang dan berakhir sedekat yang diinginkan dengan nol atau satu, salah satunya salah untuk mengatakan bahwa akhirnya terjebak dekat suatu bilangan  s, maka fungsi ini tidak diintegrasikan Riemann. Namun, ini adalah integral Lebesgue. Dalam pengertian Lebesgue integralnya adalah nol, karena fungsinya adalah nol hampir di mana-mana. Tapi ini adalah fakta yang berada di luar jangkauan integral Riemann.
Ada contoh yang buruk lagi.  I_{\mathbb {Q} } setara (yaitu, hampir sama di semua tempat) dengan fungsi integral Riemann, tetapi ada fungsi-fungsi hingga tak-terintegrasi Riemann yang tak-ekuivalen dengan fungsi-fungsi tak-terintegrasi Riemann mana pun. Misalnya,  C menjadi himpunan Smith–Volterra–Cantor, dan  I_{C} menjadi fungsi indikatornya. Karena  C tak-terukur Jordan, maka  I_{C} tidak dapat diintegrasikan Riemann. Selain itu, tidak ada fungsi  g yang setara dengan  I_{C} yang dapat diintegrasikan Riemann:  g, seperti  I_{C} yang harus nol pada himpunan rapat, jadi seperti pada contoh sebelumnya, setiap jumlah Riemann dari  g memiliki penghalusan yang berada dalam  \varepsilon  dari 0 untuk bilangan positif suatu  \varepsilon . Tetapi jika integral Riemann dari  g memang ada, maka ia harus sama dengan integral Lebesgue dari  I_{C}, yaitu  1/2. Oleh karena itu,  g tidak dapat diintegrasikan Riemann.