Himpunan hingga
Definisi teoretis himpunan keterhinggaan

Dalam konteks dimana gagasan bilangan asli yang menduduki secara logis untuk setiap gagasan himpunan, salah satunya dapat mendefinisikan sebagai sebuah himpunan  S sebagai terhingga jika  S diterima sebuah bijeksi untuk suatu himpunan bilangan asli dari bentuk  \{x\mid x<n\}. Matematikawan lebih khusus memilih untuk gagasan dasar bilangan dalam teori himpunan, sebagai contoh mereka dapat memodelkan bilangan asli oleh tipe orde himpunan urutan rapi hingga. Pendekatan demikian membutuhkan sebuah definisi struktural keterhinggaan yang tidak bergantung pada bilangan asli.
Berbagai sifat-sifat yang memilih himpunan hingga di sekitar semua himpunan dalam teori ZFC mengeluarkan ketaksetaraan secara logis dalam sistem lemah seperti ZF atau teori-teori himpunan yang intuitionistik. Dua definisi yang menonjol dalam kepustakaan, salah satunya dikarenakan Richard Dedekind, lainnya Kazimierz Kuratowski. (Kuratowski merupakan definisi yang digunakan di atas.)
Sebuah himpunan  S disebut takhingga Dedekind jika terdapat sebuah fungsi injektif, taksurjektif  f:S\to S. Seperti sebuah fungsi menunjukkan sebuah bijeksi diantara  S, yaitu citra  f. Diberikan sebuah himpunan takhingga Dedekind  S, sebuah fungsi  f, dan sebuah unsur  x yang tidak ada di citra  f, kita dapat membentuk sebuah barisan takhingga dari unsur  S yang berbeda, yaitu  x,f(x),f(f(x)),\dots . Sebaliknya, diberikan sebuah barisan dalam  S yang terdiri dari unsur  x_{1},x_{2},x_{3},\dots  yang berbeda, kita dapat didefinisikan sebuah fungsi  f sehingga pada unsur dalam barisan  f(x_{1})=x_{i+1} dan  f berperilaku seperti fungsi identitas jika tidak. Dengan demikian himpunan takhingga Dedekind mengandung himpunan bagian yang padanan secara bijektif dengan bilangan asli. Tentu saja takhingga Dedekind berarti bahwa setiap injektif pemetaan diri sendiri juga surjektif.
Keterhinggaan Kuratowski didefinisikan sebagai berikut. Diberikan setiap himpunan  S, operasi biner memberikan himpunan kuasa  {\mathcal {P}}(S) dengan struktur semikekisi. Menulis  K(S) untuk semikekisi bagian dihasilkan oleh himpunan kosong dan himpunan satuannya, disebut himpunan  S takhingga Kuratowski jika  S sendiri menjadi milik  K(S). Secara intuitif,  K(S) terdiri dari himpunan bagian terhingga  S. Yang terpenting, salah satunya tidak membutuhkan induksi, rekuris atau sebuah definisi bilangan asli untuk mendefinisikan dihasilkan oleh karena salah satunya dapat memperoleh  K(S) menyederhanakan dengan mengambil irisan semua semikekisi bagian berisi himpunan kosing dan himpunan satuannya.
Para pembaca tidak mengenal dengan semikekisi dan gagasan lainnya mengenai aljabar abstrak dapat lebih memilih sebuah rumusan elementer secara keseluruhan. Terhingga Kuratowski berarti  S terletak di himpunan  K(S), dibangun sebagai berikut. Tulis  M untuk himpunan semua himpunan bagian  X dari  {\mathcal {P}}(S) sehingga:
X berisi himpunan kosong;
Untuk setiap himpunan  T dalam  {\mathcal {P}}(S), jika  X berisi  T maka  X juga berisi gabungan  T dengan setiap himpunan satuan.
Maka  K(S) dapat didefinisikan sebagai irisan  M.
Dalam Zermelo–Fraenkel, terhingga Kuratowski menyiratkan terhingga Dedekind, tetapi tidak sebaliknya. Dalam cara berbicara dari sebuah perumusan pedagogis yang populer, ketika aksioma pemilhan gagal dengan buruk, salah satunya dapat memiliki sebuah keluarga kaos kaki takhingga dengan tak ada cara untuk memilih satu kaos kaki lebih dari jelas banyak dari pasangan. Ini akan menjadi himpunan setiap kaos kaki terhingga Dedekind: itu dapat menjadi barisan tidak terhingganya kaos kaki, karena seperti sebuah barisan akan memungkinkan sebuah pemilihan dari satu kaos kaki untuk banyaknya pasangan dengan memiliki kaos kaki pertama dalam barisan. Namun, keterhingaan Kuratowski akan gagal untuk himpunan kaos kaki yang sama.