Aljabar elementer
Sistem Persamaan > Faktorisasi > Faktorisasi Persamaan Kuadrat

Persamaan-persamaan kuadrat memiliki bentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c sebagai konstanta bilangan dan tidak sama dengan 0 (perhatikan bahwa a dapat sama dengan 1 atau -1). Jika persamaan yang memiliki satu variabel (x) yang memiliki satu suku x pangkat dua atau lebih, biasanya memindahkan suku-suku ini dalam persamaan menggunakan operasi aljabar sederhana untuk mendapatkan 0 di salah satu sisi tanda sama dengan dan ax2, dst. di sisi yang lain. Misalnya,  persamaan aljabar. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 dapat disederhanakan menjadi x2 + 6x + 9 = 0, yang merupakan bentuk kuadrat. Persamaan-persamaan dengan pangkat x yang lebih besar, seperti x3, x4, dst. bukanlah persamaan-persamaan kuadrat. Persamaan-persamaan ini adalah persamaan kubik, pangkat empat, dan seterusnya, kecuali persamaannya dapat disederhanakan untuk menghilangkan suku-suku x dengan pangkat lebih besar dari 2 ini.
Jika persamaan kuadrat dalam bentuk x2 + bx + c = 0 (dengan kata lain, jika koefisien dari suku x2 = 1), mungkin (tetapi tidak menjamin) bahwa cara singkat yang cukup mudah dapat digunakan untuk memfaktorkan persamaan. Carilah dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan c dan dijumlahkan menghasilkan b. Setelah mencari kedua bilangan d dan e ini, letakkan keduanya dalam ekspresi berikut: (x+d)(x+e). Kedua suku ini, jika dikalikan, menghasilkan persamaan kuadrat – dengan kata lain, kedua suku ini adalah faktor-faktor persamaan kuadrat .
Misalnya, persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0. 3 dan 2 dikalikan menghasilkan 6 dan juga dijumlahkan menghasikan 5, sehingga kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi (x + 3)(x + 2). Sedikit perbedaan dalam cara singkat dasar ini terdapat pada perbedaan persamaannya sendiri:
Jika persamaan kuadrat dalam bentuk x2-bx+c, jawaban dalam bentuk ini: (x - _)(x - _).
Jika persamaan dalam bentuk x2+bx+c, jawaban tampak seperti ini: (x + _)(x + _).
Jika persamaan dalam bentuk x2-bx-c, jawaban dalam bentuk (x + _)(x - _).Catatan: bilangan-bilangan dalam tempat kosong dapat berupa pecahan atau desimal. Misalnya, persamaan x2 + (21/2)x + 5 = 0 difaktorkan menjadi (x + 10)(x + 1/2).
Persamaan kuadrat yang tidak rumit, salah satu cara memfaktorkan yang diperbolehkan adalah dengan memeriksa soal, kemudian mempertimbangkan jawaban-jawaban yang mungkin hingga menemukan jawaban yang benar. Cara ini juga disebut dengan pemfaktoran melalui pemeriksaan. Jika persamaan dalam bentuk ax2+bx+c dan a>1, jawaban faktor dalam bentuk (dx +/- _)(ex +/- _), dengan d dan e adalah konstanta bilangan bukan nol yang jika dikalikan menghasilkan a. Baik d maupun e (atau keduanya) dapat berupa bilangan 1, meskipun tidak harus. Jika keduanya adalah 1, pada dasarnya menggunakan cara singkat yang dideskripsikan di atas.
Contoh soal. 3x2 - 8x + 4 awalnya terlihat sulit. Akan tetapi, setelah kita menyadari bahwa 3 hanya memiliki dua faktor (3 dan 1), persamaan ini menjadi lebih mudah karena kita tahu bahwa jawaban kita pasti dalam bentuk (3x +/- _)(x +/- _). Dalam hal ini, menambahkan -2 ke kedua tempat kosong memberikan jawaban yang benar. -2 × 3x = -6x dan -2 × x = -2x. -6x dan -2x dijumlahkan menjadi -8x. -2 × -2 = 4, sehingga kita bisa melihat bahwa suku-suku yang difaktorkan dalam tanda kurung jika dikalikan akan menghasilkan persamaan awal.
Dalam beberapa kasus, persamaan kuadrat dapat dengan cepat dan mudah difaktorkan menggunakan identitas aljabar khusus. Persamaan kuadrat apa pun dalam bentuk x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Jadi, jika dalam persamaan, nilai b dua kali akar kuadrat dari nilai c , persamaan dapat difaktorkan menjadi (x + (akar (c)))2.
Misalnya, persamaan x2 + 6x + 9 memiliki bentuk ini. 32 adalah 9 dan 3 × 2 adalah 6. Jadi, kita tahu bahwa bentuk faktor persamaan ini adalah (x + 3)(x + 3), atau (x + 3)2.
Tanpa memperhatikan cara memfaktorkan persamaan kuadrat, setelah persamaannya difaktorkan, dapat mencari jawaban-jawaban yang mungkin untuk nilai x dengan membuat setiap faktor sama dengan nol dan menyelesaikannya. Karena mencari nilai x yang menyebabkan persamaan sama dengan nol, nilai x yang membuat faktor manapun sama dengan nol, adalah jawaban yang mungkin untuk persamaan kuadrat.
Kembali ke persamaan x2 + 5x + 6 = 0. Persamaan ini difaktorkan menjadi (x + 3)(x + 2) = 0. Jika salah satu faktor sama dengan 0, semua persamaan sama dengan 0, sehingga jawaban-jawaban kita yang mungkin untuk x adalah bilangan-bilangan yang membuat (x + 3) dan (x + 2) sama dengan 0. Bilangan-bilangan ini masing-masing adalah -3 dan -2.
Saat menemukan jawaban-jawaban yang mungkin untuk x, masukkan kembali ke dalam persamaan awal untuk melihat jika jawabannya benar. Terkadang, jawaban  tidak membuat persamaan awalnya sama dengan nol ketika dimasukkan kembali. Kita menyebut jawaban ini menyimpang dan mengabaikannya.
Ayo masukkan -2 dan -3 ke dalam x2 + 5x + 6 = 0. Pertama, -2:
(-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
4 + -10 + 6 = 0
0 = 0. Jawaban ini benar, sehingga -2 adalah jawaban yang benar.
Sekarang, coba -3:
(-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
9 + -15 + 6 = 0
0 = 0. Jawaban ini juga benar, sehingga -3 adalah jawaban yang benar.