Tindakan grup (matematika)
Tipe tindakan

Tindakan G pada X disebut:
Transitif jika X adalah himpunan kosong dan jika untuk setiap pasangan  x ,  y  pada  X  maka  g  pada  G  dirumuskan g⋅x = y. Misalnya, tindakan grup simetris  X  bersifat transitif, tindakan grup linear umum atau grup linear khusus ruang vektor  V  pada V∖{0} bersifat transitif, tetapi tindakan grup ortogonal dari ruang Euklides  E  tidak transitif pada E∖{0} (ini transitif pada unit bola dari  E , meskipun).
Tepat (atau efektif ) jika untuk setiap dua g yang berbeda, h pada G dengan x pada X sehingga g ⋅x ≠ h ⋅x ; atau setara, jika untuk g ≠ e pada G ada x di X seperti itu g ⋅x ≠ x . Dengan kata lain, dalam tindakan kelompok yang setia, elemen G yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari X . Dalam istilah aljabar, grup G bertindak tepat pada X jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, G → Sym(X ) , memiliki trivial kernel. Jadi, untuk tindakan yang setia, G embed ke grup permutasi pafa X ; khusus, G isomorfik untuk citra Sym(X ). Jika G tidak bertindakan tepat pada X , kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan tindakan yang tepat. Jika kita mendefinisikan N = {g pada G : g ⋅x = x untuk x in X } , maka N adalah subgrup normal dari G ; memang, itu adalah inti dari homomorfisme G → Sym(X ) . Grup faktor G /N bertindakan tepat pada X dengan menetapkan (gN )⋅x = g ⋅x . tindakan asli G pada X sesuai jika dan hanya jika N = {e } . Kumpulan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:
Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris S5, grup ikosahedral, dan grup siklik  \mathbb {Z} /120\mathbb {Z} .himpunan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.
Grup abelian ukuran 2 n  menyertakan grup siklik  \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}  serta  (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n} (produk langsung dari  n  salinan  \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ), tetapi yang terakhir bertindak dengan sesuai pada himpunan ukuran 2n , sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan sesuai pada himpunan yang lebih kecil dari dirinya sendiri.
Bebas (atau semiberaturan atau titik tetap bebas) jika, diberikan  g , h dengan G, adanya x di X  dengan g⋅x = h⋅x menyiratkan g = h. Setara: jika  g  adalah elemen grup dan terdapat  x  di  X  dengan g⋅x = x (yaitu, jika  g  memiliki setidaknya satu titik tetap), maka  g  adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada himpunan yang tidak kosong adalah tepat.
Biasa (atau hanya transitif atau  transitif tajam ) jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua  x ,  y  dalam  X  tepat ada satu  g  dalam  G  sehingga g⋅x = y.  Dalam hal ini,  X  disebut sebagai ruang homogen utama untuk G atau torsi G. tindakan grup G  pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian sesuai juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym( G ). Hasil ini dikenal sebagai Teorema Cayley.
n-transitif jika  X  memiliki setidaknya  n  elemen, dan untuk semua yang berbeda x1, ..., xn dan berbeda y1, ..., yn, jika  g  pada  G  dirumuskan g⋅xk = yk untuk 1 ≤ k ≤ n.  tindakan 2-transitif juga disebut transitif ganda, tindakan 3-transitif disebut juga  transitif tiga kali, dan seterusnya. tindakan tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: Grup 2-transitif dan lebih umum perkalian grup transitif. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen n  selalu n -transitif; tindakan dari grup selang-seling adalah (n - 2)-transitif.
Tajam n-transitif jika memang ada satu seperti  g .
Primitif jika transitif dan tidak mempertahankan partisi non-sepele dari  X . Lihat grup permutasi primitif untuk detailnya.
Bebas secara lokal  jika G adalah grup topologi, dan ada lingkungan U dari e dalam G sedemikian rupa sehingga pembatasan tindakan menjadi U bebas; yaitu jika  g⋅x = x untuk beberapa  x  dan beberapa  g  di  U  lalu g = e.
Selanjutnya, jika G bekerja pada ruang topologi  X , maka tindakannya adalah:
Pengembaraan jika setiap titik x pada X memiliki lingkungan U  sehingga  \{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \} is terhingga. Misalnya, tindakan  \mathbb {Z} ^{n} pada  \mathbb {R} ^{n} oleh translasi mengembara. tindakan grup pengembaraan pada setengah bidang Poincaré juga mengembara.
Jika  X  adalah ruang kompak lokal dan untuk setiap himpunan bagian kompak K ⊂ X thehimpunan  \{g\in G:gK\cap K\neq \emptyset \} terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, tindakan  \mathbb {Z}  pada  \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\} given by  n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y) wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.
Layak jika  G  adalah grup topologi dan peta dari  G\times X\rightarrow X\times X:(g,x)\mapsto (g\cdot x,x) adalah layak. Jika  G  adalah diskrit maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk tindakan  G .
Dikatakan memiliki  orbit diskrit  jika orbit setiap  x  dalam  X  di bawah tindakan  G  diskrit dalam  X .
tindakan ruang  jika setiap titik  x  di  X  memiliki lingkungan  U  sedemikian rupa sehingga  \{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}=\{e\}.
Jika X adalahbukan nol modul atas gelanggang R dan tindakan G adalahlinear-R maka dikatakan
Taktereduksikan jika tidak ada submodul invarian wajar taknol.