stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Severus Snape
Peran Snape Dalam Seri Harry Potter

Kebencian Snape pada Harry sudah tampak sejak pertama kali mereka bertemu di Hogwarts. Bahkan Harry mengira Snape yang hendak mencuri Batu Bertuah. Snape menyelamatkan Harry ketika Professor Quirell memantrai sapunya, tetapi Harry tetap membencinya. Begitu pun Snape, yang selalu mempersulit Harry dalam pelajaran, dan senantiasa mencari-cari kesempatan untuk mengeluarkan Harry dari Hogwarts.
Dalam Harry Potter and the Prisoner of Azkaban, Snape membuatkan ramuan untuk Lupin setiap bulan, untuk mengurangi rasa sakit akibat transformasi menjadi manusia serigala. Hal ini mungkin atas suruhan Dumbledore, karena Harry sering kali mendapati Snape "menatap jijik" pada Lupin. Terbukti pada akhir tahun ajaran, Snape secara "tidak sengaja" keceplosan bahwa Lupin adalah manusia serigala, karena kemarahan akibat lolosnya Sirius Black dari genggamannya.
Di akhir Harry Potter and the Goblet of Fire, ketika Dumbledore berusaha meyakinkan Fudge bahwa Voldemort telah kembali, Snape menunjukkan Tanda Kegelapan yang tampak jelas di lengannya, menandakan bahwa Voldemort benar-benar kembali. Tapi Fudge mengabaikannya. Kemudian Dumbledore segera mengutusnya untuk sebuah tugas rahasia, yang kemudian terungkap dalam Order of the Phoenix, yaitu memata-matai Voldemort dan menjadi agen ganda.
Dalam Harry Potter and the Order of The Phoenix, Snape atas suruhan Dumbledore memberi pelajaran Occlumency pada Harry. Snape dipilih karena dia adalah salah satu Occlumens yang hebat. Tapi pelajaran ini gagal total. Harry curiga Snape justru membuka pikirannya agar dapat dimasuki Voldemort, sementara Snape marah besar ketika Harry kepergok melihat kenangan terburuknya dalam Pensieve. Menjelang akhir cerita, menurut Dumbledore, Snape memastikan bahwa Sirius baik-baik saja ketika Harry mendapat penglihatan bahwa Sirius tertangkap oleh Voldemort. Snape pun mencari Harry ke Hutan Terlarang ketika ia dan Umbridge tidak juga kembali. Dan Snape segera mengontak anggota Orde Phoenix lain untuk segera membantu Harry di Kementerian. Disini terdapat indikasi bahwa Snape sebenarnya berpihak pada Orde, karena komunikasi Orde adalah dengan Patronus, yang hanya dapat dilakukan oleh penyihir putih. Ini disebabkan karena Mantra Patronus membutuhkan pikiran positif agar berfungsi sepenuhnya, sesuatu yang tidak dimiliki oleh para Pelahap Maut.
The Half-Blood Prince

Snape memiliki peranan besar dalam Harry Potter and the Half-Blood Prince. Di awal cerita dikisahkan kakak-beradik Narcissa dan Bellatrix mendatangi Snape di rumahnya, Spinner's End (dan ternyata Wormtail juga ada di sana). Narcissa hendak meminta Snape untuk melindungi Draco, anaknya, yang mendapat tugas khusus dari Voldemort. Narcissa menduga tugas ini sebagai pelampiasan amarah Voldemort karena Lucius tidak berhasil mencuri ramalan di Departemen Misteri, bahkan tertangkap. Bellatrix yang tidak menyukai Snape berusaha menghalangi Narcissa dan sempat adu mulut dengan Snape. Namun akhirnya Snape bersedia melakukan Sumpah-Tak-Terlanggar, yaitu dia akan menyelesaikan tugas yang diemban Draco bila Draco terbunuh atau pun tidak sanggup melakukannya. Bila Snape tidak melakukan hal itu, maka nyawanya menjadi taruhannya.
Beralih ke Hogwarts, akhirnya Snape mendapatkan pekerjaan yang telah lama diidam-idamkannya, yakni sebagai guru Pertahanan Terhadap Ilmu Hitam. Harry tidak menduga bahwa akhirnya Dumbledore mempercayakan Snape untuk mengajar subjek yang disukainya itu. Harry yang semula gembira karena tidak akan bertemu Snape lagi, terpaksa menelan kekecewaannya. Semula Harry tidak akan meneruskan pelajaran Ramuannya, karena Snape tidak mengizinkan muridnya yang tidak mendapatkan nilai "O" (Outstanding- Luar Biasa) dalam Ujian OWL untuk mengambil kelas NEWT Ramuan. Namun Horace Slughorn, guru Ramuan yang baru, mengizinkan murid dengan nilai "E" (Exceed Expectations - Di Luar Dugaan) seperti Harry, mengambil kelas NEWT nya. Harry yang tidak membeli buku Ramuan, mendapat pinjaman buku sekolah, yang bertuliskan "Milik Half-Blood Prince". Buku ini berisi tips-tips membuat ramuan, yang kadang-kadang menyimpang dari instruksi sebenarnya, tetapi benar-benar memuaskan. Alhasil Harry menjadi murid kesayangan Slughorn. Hermione menyelidiki tentang Prince, dan yang dapat ditemukannya adalah Eileen Prince, kapten tim Gobstone Hogwarts, seorang siswi yang belajar di Hogwarts bertahun-tahun yang lalu. Harry membantah anggapan ini, karena yakin bahwa Prince adalah seorang laki-laki. Namun di akhir cerita terungkap bahwa pemilik buku itu adalah Snape, dan Snape pun mengetahui bahwa Harry yang membawa bukunya karena Harry menggunakan mantra Sectumsempra terhadap Malfoy. Snape-lah yang menciptakan mantera tersebut.
Harry diberitahu Trelawney bahwa Snape-lah yang mencuri dengar pembicaraan-nya dengan Dumbledore di Hog's Head ketika Trelawney hendak melamar jabatan sebagai guru Hogwarts. Harry menduga bahwa Snape juga bertanggung jawab atas kematian orangtuanya.
Di bagian akhir Snape membunuh Dumbledore dengan kutukan Avada Kedavra dan pergi meninggalkan Hogwarts. Saat membunuh Dumbledore, terlihat bahwa raut wajah Snape terlihat seperti marah,padahal ekspresi-nya tersebut bukanlah berarti dia benci pada Dumbledore, tetapi benci akan dirinya yang harus membunuh orang yang sangat dia hormati.
The Deathly Hallows

Snape menjadi kepala sekolah Hogwarts, setelah Kementerian Sihir diambil alih oleh Pelahap Maut. Snape juga ditugaskan untuk memberikan pedang Godric Gryffindor pada Harry tanpa diketahui identitasnya. Menjelang Pertempuran Hogwarts, ia melarikan diri setelah sempat berduel melawan Minerva McGonagall. Sampai akhirnya dia dibunuh oleh Voldemort, penyamarannya sebagai Pelahap Maut tidak terungkap, dan menjadi musuh Orde Phoenix dan Guru Hogwarts. Dalam keadaan sekarat, dia memberikan memorinya pada Harry, dan memohon Harry untuk melihatnya. Hal ini menunjukan kepada siapa sebenarnya kesetiaannya selama ini, kepada Orde Phoenix yang di bawah Dumbledore bukan kepada Pelahap Maut di bawah Voldemort, meskipun semata-mata karena kecintaan-nya pada Lily Evans. Hal ini terungkap di mana patronusnya adalah rusa betina yaitu patronus yang sama dengan Lily, yang ditunjukannya ke Dumbledore untuk membuktikan perasaannya selama ini kepada Lily. Memori itu juga memberikan informasi bahwa Harry adalah Horcrux terakhir, yang tanpa sengaja dibuat Voldemort pada hari kejatuhannya yang pertama (31 Oktober 1981), sehingga ia "harus mati" untuk memusnahkan bagian jiwa Voldemort di tubuhnya. Inilah faktor utama kemenangan Harry atas Voldemort di akhir cerita.
Menurut J.K Rowling, karena Snape melarikan diri dengan masih menjabat kepala sekolah Hogwarts, lukisannya tidak dipajang di kantor Kepala Sekolah di akhir cerita. Harry kemudian berjuang meyakinkan pihak Kementerian Sihir untuk memajang lukisan Snape, sekaligus menjelaskan kepada masyarakat sihir mengenai kesetiaan Snape yang sebenarnya, dan peranannya dalam memerangi Voldemort.
Perkalian

Halaman ini berisi artikel tentang operasi matematika. Untuk kegunaan lain, lihat Perkalian (disambiguasi).
Empat kantong dengan tiga kelereng per kantong menghasilkan dua belas kelereng (4 × 3 = 12).
Perkalian juga bisa sebagai penskalaan. Di sini kita melihat 2 dikalikan dengan 3 menggunakan penskalaan, menghasilkan 6 sebagai hasilnya.
Animasi untuk perkalian 2 × 3 = 6.
4 × 5 = 20. Persegi panjang besar terdiri dari 20 kotak, masing-masing memiliki dimensi 1 kali 1.
Luas sehelai kain 4,5m × 2,5m = 11,25m2; 4½ × 2½ = 11¼
Perkalian atau pendaraban (dilambangkan dengan simbol silang ×, oleh garis tengah operator titik ⋅, oleh penjajaran, atau, pada komputer, dengan asterisk *) adalah salah satu dari empat dasar operasi matematika dari aritmetika, dengan yang lainnya adalah penambahan, pengurangan dan pembagian. Hasil dari operasi perkalian disebut hasil kali, darab, atau kinali.
Perkalian bilangan bulat dapat dianggap sebagai penjumlahan berulang; yaitu, perkalian dua bilangan sama dengan menjumlahkan sebanyak mungkin salinan salah satunya, perkalian, sebagai kuantitas yang lain, "pengganda". Kedua angka tersebut dapat disebut sebagai faktor.
Misalnya, 4 dikalikan 3, ditulis sebagai  3\times 4 dan diucapkan sebagai "3 dikali 4", dapat dihitung dengan menambahkan 3 salinan dari 4 secara bersamaan:
Maka, 3 (pengganda) dan 4 (pengganda) adalah faktor, dan 12 adalah produk.
Salah satu sifat utama dari perkalian adalah sifat komutatif, yang menyatakan dalam hal ini bahwa menambahkan 3 salinan dari 4 memberikan hasil yang sama dengan menambahkan 4 salinan dari 3:
Dengan demikian penunjukan pengali dan pengali tidak mempengaruhi hasil perkalian.
Perkalian bilangan bulat (termasuk bilangan negatif), bilangan rasional (pecahan) dan bilangan riil didefinisikan oleh generalisasi sistematis dari definisi dasar ini.
Perkalian juga divisualisasikan sebagai menghitung objek yang disusun dalam persegi panjang (untuk bilangan bulat), atau mencari luas persegi panjang yang sisi-sisinya memiliki panjang tertentu. Luas persegi panjang tidak bergantung pada sisi mana yang diukur terlebih dahulu—konsekuensi dari sifat komutatif.
Produk dari dua pengukuran adalah jenis pengukuran baru. Misalnya, mengalikan panjang kedua sisi persegi panjang memberikan luasnya. Darab tersebut adalah subjek analisis dimensi.
Operasi invers dari perkalian adalah pembagian. Misalnya, karena 4 dikalikan 3 sama dengan 12, 12 dibagi 3 sama dengan 4. Memang, perkalian dengan 3, diikuti dengan pembagian 3, menghasilkan bilangan asli. Pembagian bilangan selain 0 dengan sendirinya sama dengan 1.
Perkalian juga didefinisikan untuk jenis bilangan lain, seperti bilangan kompleks, dan konstruksi yang abstrak seperti matriks. Untuk beberapa konstruksi yang abstrak ini, urutan operan dikalikan menjadi penting. Daftar berbagai jenis produk yang digunakan dalam matematika diberikan oleh Darab (matematika).
Notasi

Lihat pula: Pengganda (linguistik)
Dalam aritmetika, perkalian sering ditulis menggunakan tanda " \times " diantara suku-sukunya (yaitu, dalam notasi infiks). Misalnya,
Tanda kode dalam Unicode di U+00D7 × tanda perkalian (HTML: &#215; &times;).
Ada notasi matematika lain untuk perkalian:
Perkalian juga dilambangkan dengan tanda titik, biasanya titik posisi tengah (titik):
Dalam aljabar, perkalian yang melibatkan variabel ditulis sebagai penjajaran (misalnya, xy untuk x kali y atau 5x untuk lima kali x), juga disebut perkalian tersirat/implisit. Notasi juga dapat digunakan untuk besaran yang diapit tanda kurung (misalnya, 5(2) atau (5)(2) untuk lima kali dua). Penggunaan perkalian implisit ini disebabkan ambiguitas ketika variabel gabungan kebetulan cocok dengan nama variabel lain, ketika nama variabel di depan tanda kurung dapat dikacaukan dengan nama fungsi, atau dalam penentuan urutan operasi yang benar.
Dalam perkalian vektor, terdapat perbedaan antara simbol tanda silang dan titik. Simbol silang umumnya menunjukkan pengambilan perkalian silang dari dua vektor, menghasilkan vektor sebagai hasilnya, sedangkan titik menunjukkan pengambilan produk titik dari dua vektor, menghasilkan skalar.
Dalam pemrograman komputer, tanda bintang (seperti dalam 5*2) masih merupakan notasi yang paling umum. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa sebagian besar komputer secara historis terbatas pada himpunan karakter kecil (seperti ASCII dan EBCDIC) yang tidak memiliki tanda perkalian (seperti ⋅ atau ×), sementara tanda bintang muncul di setiap keyboard. Penggunaan ini berasal dari bahasa pemrograman FORTRAN.
Hasil perkalian disebut darab. Hasil kali bilangan bulat adalah kelipatan dari setiap faktor. Misalnya, 15 adalah hasil kali 3 dan 5, dan merupakan kelipatan 3 dan kelipatan 5.
Komputasi

Artikel utama: Algoritma perkalian
Metode umum untuk mengalikan angka menggunakan pensil dan kertas memerlukan tabel perkalian hasil perkalian bilangan kecil yang dihafal atau dikonsultasikan (biasanya dua angka dari 0 hingga 9), namun satu metode adalah algoritma perkalian petani.
Mengalikan angka ke lebih dari beberapa tempat desimal dengan tangan membosankan dan rawan kesalahan. Logaritma umum diciptakan untuk menyederhanakan perhitungan tersebut, karena menambahkan logaritma setara dengan mengalikan. Mistar geser memungkinkan angka dikalikan dengan cepat hingga sekitar tiga tempat akurasi. Dimulai pada awal abad ke-20, kalkulator mekanis, seperti Marchant, penggandaan otomatis hingga 10 angka. Komputer elektronik modern dan kalkulator telah sangat mengurangi kebutuhan akan perkalian dengan tangan.
Komputasi > Algoritma historis

Metode perkalian didokumentasikan dalam tulisan Mesir Kuno, Yunani, India dan China.
Tulang Ishango, berasal dari sekitar 18.000 hingga 20.000 SM, mungkin mengisyaratkan pengetahuan tentang perkalian di era Paleolitik Akhir di Afrika Tengah, namun ini spekulatif.
Komputasi > Algoritma historis > Mesir

Artikel utama: Perkalian Mesir Kuno
Metode perkalian bilangan bulat dan pecahan Mesir, yang didokumentasikan dalam Ahmes Papyrus, adalah dengan penjumlahan dan penggandaan yang berurutan. Misalnya, untuk menemukan produk dari 13 dan 21, seseorang harus menggandakan 21 tiga kali, memperoleh 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 =  2 × 84 = 168. Darab lengkap kemudian dapat ditemukan dengan menambahkan istilah yang sesuai yang ditemukan dalam urutan penggandaan:
Komputasi > Algoritma historis > Babilonia

Orang Babilonia menggunakan seksagesimal sistem bilangan posisional, analog dengan sistem desimal modern. Jadi, perkalian Babilonia sangat mirip dengan perkalian desimal modern. Karena relatif sulitnya mengingat 60 × 60 darao yang berbeda, matematikawan Babilonia menggunakan tabel perkalian. Tabel ini terdiri dari daftar dua puluh kelipatan pertama dari bilangan pokok n tertentu: n, 2n, ..., 20n; diikuti dengan kelipatan 10n: 30n 40n, dan 50n. Kemudian untuk menghitung darab seksagesimal, maka 53n, hanya perlu menambahkan 50n dan 3n yang dihitung dari tabel.
Komputasi > Algoritma historis > Tiongkok

Lihat pula: Tabel perkalian Tiongkok
Dalam teks matematika Zhoubi Suanjing, pada tahun sebelum 300 SM, dan Sembilan Bab tentang Seni Matematika, perhitungan perkalian ditulis dengan kata-kata, meskipun matematikawan Tiongkok awal menggunakan kalkulus batang yang melibatkan penambahan nilai tempat, pengurangan, perkalian dan pembagian. Orang Tiongkok sudah menggunakan tabel perkalian desimal pada akhir periode negara-negara Berperang.
Komputasi > Metode modern

Metode modern perkalian berdasarkan sistem angka Hindu-Arab pertama kali dijelaskan oleh Brahmagupta. Brahmagupta memberikan aturan untuk penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Henry Burchard Fine, saat itu profesor Matematika di Universitas Princeton, menulis sebagai berikut:
Algoritma aritmetika desimal nilai tempat ini diperkenalkan ke negara-negara Arab oleh Al Khawarizmi pada awal abad ke-9, dan dipopulerkan di dunia Barat oleh Fibonacci pada abad ke-13.
Komputasi > Metode modern > Metode kisi

Perkalian metode Grid atau metode kotak, digunakan di sekolah dasar di Inggris dan Wales dan di beberapa daerah di Amerika Serikat untuk membantu mengajarkan pemahaman tentang cara kerja perkalian beberapa digit. Contoh mengalikan 34 dengan 13 adalah dengan meletakkan angka-angka dalam kisi seperti:
|   | 30 | 4 |
| --- | --- | --- |
| 10 | 300 | 40 |
| 3 | 90 | 12 |
dan kemudian tambahkan entri.
Komputasi > Algoritma komputer

Artikel utama: Algoritma perkalian § Algoritma perkalian cepat untuk input besar
Metode klasik untuk mengalikan dua bilangan n memerlukan digit perkalian n2. Algoritma perkalian telah dirancang untuk mengurangi waktu komputasi secara signifikan saat mengalikan bilangan besar. Metode berdasarkan transformasi Fourier diskret mengurangi kompleksitas komputasi menjadi O(n log n log log n). Baru-baru ini, faktor log log n telah digantikan oleh fungsi yang meningkat jauh lebih lambat meskipun masih tidak konstan (seperti yang diharapkan).
Pada bulan Maret 2019, David Harvey dan Joris van der Hoeven mengirimkan artikel yang menyajikan algoritma perkalian bilangan bulat dengan kompleksitas diklaim oleh  O(n\log n). Algoritma juga berdasarkan transformasi Fourier cepat, diperkirakan optimal asimtotik. Algoritma ini tidak dianggap berguna secara praktis, karena keuntungannya hanya muncul ketika mengalikan bilangan besar (memiliki lebih dari 2172912 bits).
Ukuran perkalian

Artikel utama: Analisis dimensi
Apabila makna penambahan atau mengurangi jumlah dari jenis yang sama, tetapi jumlah dari jenis yang berbeda dapat dikalikan atau dibagi tanpa masalah. Misalnya, empat kantong dengan tiga kelereng masing-masing dapat dianggap sebagai:
Ketika dua pengukuran dikalikan bersama-sama, produk adalah jenis yang tergantung pada jenis pengukuran. Teori umum diberikan oleh analisis dimensi. Analisis ini secara rutin diterapkan dalam fisika, tetapi juga memiliki aplikasi yang ditemukan di bidang keuangan dan bidang terapan lainnya.
Contoh umum dalam fisika adalah fakta bahwa mengalikan kecepatan dengan waktu menghasilkan jarak. Sebagai contoh:
Dalam hal ini, unit jam menghasilkan darab dengan hanya unit kilometer.
Contoh lain dari perkalian yang melibatkan unit meliputi:
Perkalian barisan > Notasi kapital Pi

Perkalian dari barisan faktor dapat ditulis dengan simbol produk, yang berasal dari huruf kapital  \textstyle \prod  (pi) dalam abjad Yunani (sama seperti huruf kapital  \textstyle \sum  (sigma) digunakan dalam konteks penjumlahan). Posisi Unicode U+220F (∏) berisi glyph untuk menunjukkan produk semacam itu, berbeda dari U+03A0 (Π), huruf tersebut. Arti dari notasi ini diberikan oleh:
adalah
Subskrip memberikan simbol untuk variabel terikat ( i dalam kasus ini), yang disebut "indeks perkalian", bersama dengan batas bawahnya (1), sedangkan superskrip (4) memberikan batas atasnya. Batas bawah dan atas adalah ekspresi yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor-faktor produk diperoleh dengan mengambil ekspresi berikut operator produk, dengan nilai bilangan bulat berturut-turut menggantikan indeks perkalian, mulai dari batas bawah dan bertambah 1 sampai (dan termasuk) batas atas. Misalnya:
Secara lebih umum, notasi didefinisikan sebagai
dimana  m dan  n adalah bilangan bulat atau ekspresi yang mengevaluasi bilangan bulat. Jika  m=n, nilai hasil kali sama dengan faktor tunggal  x_{m}; jika  m>n, perkalian adalah perkalian kosong yang nilainya  1—terlepas dari ekspresi faktornya.
Perkalian barisan > Notasi kapital Pi > Sifat

Jika semua suku identik, barisan darab setara dengan eksponensial.
Perkalian barisan > Perkalian takhingga

Artikel utama: Perkalian tak hingga
Untuk mempertimbangkan perkalian dari banyak istilah yang tak hingga; ini disebut perkalian takhingga. Secara notasi, ini terdiri dari penggantian n atas dengan simbol takhingga ∞. Hasil kali barisan tak hingga tersebut didefinisikan sebagai batas dari hasil kali suku  n pertama, karena  n tumbuh tanpa batas. Maka, itu adalah,
Untuk mengganti m dengan tak hingga negatif, dan mendefinisikan:
asalkan kedua batas itu ada.
Sifat

Untuk bilangan real dan kompleks, yang mencakup misalnya bilangan asli, bilangan bulat, dan pecahan, perkalian memiliki sifat-sifat tertentu:
Sistem matematika lain yang menyertakan operasi perkalian mungkin tidak memiliki semua sifat ini. Misalnya, perkalian pada umumnya tidak bersifat komutatif untuk matriks dan kuaternion.
Aksioma

Artikel utama: Aksioma Peano
Dalam buku Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano mengusulkan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksiomanya untuk bilangan asli. Aritmetika Peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:
Di sisi lain, S(y) mewakili penerus dari y, atau bilangan asli yang mengikuti y. Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmetika Peano lainnya termasuk induksi. Misalnya S(0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena
Aksioma untuk bilangan bulat biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekuivalen dari pasangan terurut dari bilangan asli. Model ini didasarkan pada memperlakukan (x,y) setara dengan x − y ketika x dan y sebagai bilangan bulat. Jadi (0,1) dan (1,2) ekuivalen dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat yang didefinisikan dengan cara ini adalah
Aturan bahwa −1 × −1 = 1 kemudian dapat disimpulkan dari
Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan bilangan rasional dan kemudian ke bilangan real.
Perkalian dengan teori himpunan

Produk bilangan bulat non-negatif dapat didefinisikan dengan teori himpunan menggunakan bilangan kardinal atau aksioma Peano. Lihat di bawah cara memperluasnya ke perkalian bilangan bulat arbitrer, dan kemudian bilangan rasional arbitrer. Produk bilangan real didefinisikan dalam hal produk bilangan rasional, lihat konstruksi bilangan real.
Perkalian dalam teori grup

Terdapat berbagai himpunan, dibawah operasi perkalian, memenuhi aksioma yang mendefinisikan struktur grup. Aksioma tersebut adalah penutupan, asosiatif, dan penyertaan elemen identitas dan invers.
Contoh sederhana adalah himpunan bukan nol bilangan rasional. Apabila memiliki identitas 1, sebagai lawan dari grup dibawah penambahan dimana identitas biasanya 0. Perhatikan bahwa dengan rasional, mengecualikan nol karena dibawah perkalian, tidak memiliki invers: tidak ada bilangan rasional yang dikalikan dengan nol untuk menghasilkan 1. Dalam contoh ini kita memiliki grup abelian, tetapi tidak selalu demikian.
Untuk melihat ini, pertimbangkan himpunan matriks persegi inversi dari dimensi tertentu atas medan yang diberikan. Di sini, sangat mudah untuk memverifikasi penutupan, asosiasi, dan penyertaan identitas (matriks identitas) dan invers. Namun, perkalian matriks tidak komutatif, yang menunjukkan bahwa grup ini non-abelian.
Fakta lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa bilangan bulat di bawah perkalian bukanlah grup—bahkan apabila jika mengecualikan nol. Hal ini mudah terlihat dengan tidak adanya invers untuk semua elemen selain 1 dan −1.
Perkalian dalam teori grup biasanya dinotasikan dengan titik, atau dengan penjajaran (penghilangan simbol operasi antar elemen). Jadi perkalian elemen a dengan elemen b dinotasikan sebagai a  \cdot  b atau  ab. Saat merujuk ke grup melalui indikasi set dan operasi, titik digunakan. Misalnya, contoh pertama kami dapat ditunjukkan oleh  \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right).
Perkalian berbagai jenis bilangan

Bilangan dapat menghitung (3 apel), mengurutkan (apel ke-3), atau mengukur (tinggi 3,5 kaki); karena sejarah matematika telah berkembang dari menghitung dengan jari menjadi pemodelan mekanika kuantum, perkalian telah digeneralisasi ke jenis bilangan yang lebih rumit dan abstrak, dan untuk hal-hal yang bukan bilangan (seperti matriks) atau yang tidak terlalu mirip dengan bilangan (seperti kuaternion).
Eksponensial

Artikel utama: Eksponensial
Ketika perkalian diulang, operasi yang dihasilkan dikenal sebagai eksponensial. Misalnya, hasil kali tiga faktor dari dua (2×2×2) adalah "dua pangkat tiga", dan dilambangkan dengan 23, dua dengan superskrip tiga. Dalam contoh ini, angka dua adalah basis, dan tiga adalah eksponen. Secara umum, eksponen (atau superskrip) menunjukkan berapa kali basis muncul dalam ekspresi, sehingga ekspresi
menunjukkan bahwa salinan n dari basis a harus dikalikan bersama. Notasi ini dapat digunakan bila perkalian diketahui sebagai asosiatif kuasa.
Lihat pula

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Analisis dimensi  Algoritma perkalian Algoritma Karatsuba, untuk jumlah besar  Perkalian Toom–Cook, untuk bilangan besar  Algoritma Schönhage–Strassen, untuk bilangan besar  |  Tabel perkalian  Pengganda biner, bagaimana komputer ganda Algoritma perkalian Booth  Titik kambang  Perkalian tambahan–ganda  Pengganda–akumulasi  Pohon Wallace  |  Perkalian invers, timbal-balik  Faktorial  Kaidah Genaille–Lucas  Tulang Napier  Perkalian peasant  Darab (matematika), untuk generalisasi  Kaidah geser  |