stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ngulung Kulon, Munjungan, Trenggalek

| Ngulung Kulon |
| --- | --- |
Desa
Negara:  Indonesia
Provinsi: Jawa Timur
Kabupaten: Trenggalek
Kecamatan: Munjungan
Kode pos: 66365
Kode Kemendagri: 35.03.02.2001 
Luas: ... km²
Jumlah penduduk: 2.271 jiwa (2010)
Kepadatan: ... jiwa/km²
Ngulung Kulon adalah salah satu desa yang berada di Kecamatan Munjungan, Kabupaten Trenggalek, Jawa Timur, Indonesia.
Pranala luar

(Indonesia) Keputusan Menteri Dalam Negeri Nomor 050-145 Tahun 2022 tentang Pemberian dan Pemutakhiran Kode, Data Wilayah Administrasi Pemerintahan, dan Pulau tahun 2021
(Indonesia) Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 72 Tahun 2019 tentang Perubahan atas Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 137 Tahun 2017 tentang Kode dan Data Wilayah Administrasi Pemerintahan
(Indonesia) Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 137 Tahun 2017 tentang Kode dan Data Wilayah Administrasi Pemerintahan
| l b Kecamatan Munjungan, Kabupaten Trenggalek, Jawa Timur |
| --- | --- |
Desa:  Bangun  Bendoroto  Besuki  Craken  Karangturi  Masaran  Munjungan  Ngulung Kulon  Ngulung Wetan  Sobo  Tawing
Sōshoku Danshi

Sōshoku Danshi (草食男子, Sōshoku Danshi), atau Sōshokukei Danshi (草食系男子, Sōshokukei Danshi) muncul di media sekitar tahun 2008. Sōshoku (草食, Sōshoku) artinya Herbivora dan Danshi (男子, Danshi) artinya laki-laki. Kata sinonim ini adalah Sōshokukei Joshi (草食系女子, Sōshokukei Joshi), dan kata lawan (antonim) ini adalah Nikushokukei Danshi (肉食系男子, Nikushokukei Danshi) atau Nikushokukei Joshi (肉食系女子, Nikushokukei Joshi). Nikushoku (肉食, Nikushoku) artinya Karnivora, dan Joshi (女子, Joshi) artinya perempuan.
Asal usul

Pada bulan Juli 2006, Maki Fukuzawa memakai kata Sōshoku Danshi pertama di “U-35 danshi marketing zukan (buku bergambar untuk pemasaran U-35 laki-laki)”, dalam serial majalah “Nikkei business online”. Setelah itu pada 5 April 2008, artikel khusus untuk Sōshoku Danshi muncul di majalah “nonno” ramai dibicarakan oleh masyarakat.
Pada bulan Juli 2008, buku “Sōshokukei Danshi no Renaigaku (ilmu cinta untuk Sōshokukei Danshi)” karya Masahiro Morioka diterbitkan. Setelah itu, pada bulan November 2008, buku “Sōshokukei Danshi 'Ojōman' ga Nihon wo Kaeru (Sōshokukei Danshi 'Ojōman' mengubah Jepang)” karya Megumi Ushikubo diterbitkan, dan Sōshokukei Danshi menarik perhatian. Memasuki pada tahun 2009, semua media mulai memakai kata Sōshokukei Danshi, karena tidak hanya TV tapi juga koran utama di Jepang (seperti Yomiuri Shimbun, Mainichi Shimbun, Asahi Shimbun, Sankei Shimbun dan lain-lain) menulis artikel khusus tentang Sōshokukei Danshi.
Di luar negri, 、、　juga menulis tentang Sōshokukei Danshi.
Definisi

"Sōshoku Danshi" (laki-laki yang tidak suka berhubungan dengan perempuan) adalah laki-laki yang tidak jantan tetapi dengan baik hati dan kurang pandai mengalami percintaan. Mereka juga ingin menghindar dilukai atau melukai perempuan dalam percintaan. Di Jepang,pertama adanya Sōshoku Danshi dinilai baik sebagai bentuk hubungan yang baru dalam laki-laki dan perempuan.Sekarang ada penilaian baik yang tidak sombong kepada perempuan, sedangkan ada penilaian negatif yang berarti laki-laki yang kurang jantan. Artinya masih tersebar.
Sōshoku Danshi merupakan tipe lelaki dengan tingkah laku yang bertolak belakang dengan Nikushoku Danshi, para lelaki ini peduli dengan gaya rambut dan pakaian mereka, sering kali terlihat pasif dan pemalu dalam hal menjalin hubungan. Bahkan beberapa jenis lelaki ini peduli dengan berat badan mereka. Tipe seperti ini tidak akan terlalu sering berargumen, namun mereka sering ragu-ragu dalam mengambil keputusan. Sōshoku Danshi ini sering kali disebut sebagai tipe yang membuat wanita di Jepang merasa bosan. Namun, kalian tidak perlu khawatir kalau mereka akan menjadi preman, umumnya Sōshoku Danshi tidur lebih awal dan suka membaca buku serta mendengarkan musik.
Aljabar Lie

"Braket Lie" beralih ke halaman ini. Untuk operasi pada bidang vektor, lihat Braket Lie bidang vektor.
Dalam matematika, aljabar Lie (pengucapan /liː/ "Lee") adalah ruang vektor  {\mathfrak {g}} bersama dengan operasi yang disebut braket Lie, peta bilinear bergantian  {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}},\ (x,y)\mapsto [x,y] adalah bagian dari identitas Jacobi. Ruang vektor  {\mathfrak {g}} dengan operasi ini adalah aljabar non-asosiatif, yang berarti bahwa kurung Lie belum tentu asosiatif.
Aljabar Lie berkaitan erat dengan grup Lie, yaitu grup dengan lipatan halus: setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie, yang merupakan ruang singgung identitasnya. Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga di atas bilangan riil atau kompleks, ada yang sebagai penghubung dengan grup Lie hingga penutupan (teorema ketiga Lie). Korespondensi ini memungkinkan untuk mempelajari struktur dan klasifikasi grup Lie dalam kaitannya dengan aljabar Lie.
Dalam fisika, grup Lie sebagai grup simetri dari sistem fisik, dan aljabar Lie (vektor tangen dekat identitas) sebagai gerakan simetri yang sangat kecil. Jadi aljabar Lie dan representasi mereka digunakan secara luas dalam fisika, terutama dalam mekanika kuantum dan fisika partikel.
Contoh dasar adalah ruang vektor tiga dimensi  {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3} dengan operasi braket yang ditentukan oleh produk silang  [x,y]=x\times y. Simetris-miring dari  x\times y=-y\times x, dan asosiatif, maka identitas Jacobi:
Ini adalah aljabar Lie dari grup Lie rotasi ruang, dan setiap vektor  v\in \mathbb {R} ^{3} dapat digambarkan sebagai rotasi yang sangat kecil di sekitar sumbu v, dengan kecepatan yang sama dengan besaran v. Braket Lie adalah ukuran non-komutatif antara dua rotasi: karena rotasi berjalan dengan sendirinya, maka memiliki sifat  [x,x]=x\times x=0.
Sejarah

Aljabar Lie diperkenalkan untuk mempelajari konsep transformasi infinitesimal oleh Marius Sophus Lie pada tahun 1870-an, dan ditemukan secara independen oleh Wilhelm Killing di tahun 1880-an. Nama aljabar Lie diberikan oleh Hermann Weyl pada tahun 1930-an; dalam teks yang lebih lama, istilah grup infinitesimal digunakan.
Definisi > Definisi aljabar Lie

Aljabar Lie adalah ruang vektor  \,{\mathfrak {g}} di beberapa bidang F dengan operasi biner  [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}} disebut braket Lie memenuhi aksioma berikut:
Bilinearitas,
Alternatif,
Identitas Jacobi,
Menggunakan bilinearitas untuk memperluas kurung Lie  [x+y,x+y] dan menggunakan alternativitas menunjukkan  [x,y]+[y,x]=0\  untuk elemen x, y dalam  {\mathfrak {g}} yang menunjukkan bilinearitas dan alternativitas sebagai
Antikomutatif,
Untuk menunjukkan aljabar Lie dengan huruf fraktur huruf kecil seperti  {\mathfrak {g,h,b,n}}. Jika aljabar Lie dikaitkan dengan grup Lie, maka aljabar tersebut dilambangkan dengan versi fraktur grup: misalnya aljabar Lie SU(n) adalah  {\mathfrak {su}}(n).
Definisi > Generator dan dimensi

Elemen aljabar Lie  {\mathfrak {g}} dikatakan generator jika subaljabar terkecil yang menggunakan elemen ini adalah  {\mathfrak {g}}. Dimensi dari aljabar Lie adalah dimensinya sebagai ruang vektor di atas F. Kardinalitas himpunan pembangkit minimal dari aljabar Lie tetap kurang dari atau sama dengan dimensinya.
Lihat klasifikasi aljabar Lie berdimensi rendah untuk contoh kecil lainnya.
Definisi > Subaljabar, ideal dan homomorfisme

Braket Lie tidak harus menggunakan asosiatif, artinya  [[x,y],z] tidak harus menggunakan  [x,[y,z]]. Namun, aljabar fleksibel. Meskipun demikian, istilah gelanggang asosiatif dan aljabar biasanya diterapkan pada aljabar Lie. Subaljabar Lie adalah subruang  {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}} sebagai penutupan di bawah braket Lie. Ideal  {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}} adalah subaljabar yang menggunakan kondisi yang lebih sederhana:
Aljabar Lie homomorfisme adalah peta linear kompatibel dengan tanda kurung Lie:
Gelanggang asosiatif sebagai ideal adalah kernel homomorfisme; menggunakan aljabar Lie  {\mathfrak {g}} dan ideal  {\mathfrak {i}} untuk menghasilkan aljabar fungtor atau aljabar hasil bagi  {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}, dan teorema isomorfisme pertama berlaku untuk Lie aljabar.
Karena barket Lie adalah sejenis komutator lebih kecil kecil dari grup Lie, maka dua elemen  x,y\in {\mathfrak {g}} diubah jika braket:  [x,y]=0.
Subaljabar pemusat dari himpunan bagian  S\subset {\mathfrak {g}} adalah himpunan elemen dengan S: yaitu,  {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ untuk }}s\in S\}. Pemusat dari  {\mathfrak {g}} adalah pusat  {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}). Demikian pula, untuk subruang S, subaljabar penormal dari S adalah  {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ untuk}}\ s\in S\}. Dengan halnya, jika S adalah subaljabar Lie,  {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S) adalah subaljabar terbesar sehingga  S adalah ideal dari  {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S).
Definisi > Subaljabar, ideal dan homomorfisme > Contoh

Untuk  {\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2), komutator dari dua elemen
{\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}
maka  {\mathfrak {d}}(2) adalah subaljabar kecuali ideal. Maka, karena setiap ruang sub-vektor satu dimensi dari aljabar Lie menghasilkan struktur aljabar Lie abelian induksi, yang umumnya tidak ideal. Untuk aljabar Lie sederhana, semua aljabar Lie abelian tidak menjadi ideal.
Definisi > Jumlah langsung dan produk setengah langsung

Untuk dua Aljabar Lie  {\mathfrak {g^{}}} dan  {\mathfrak {g'}}, jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor
 {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}terdiri dari  {\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}, dengan operasi tersebut
sehingga salinan  {\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}':  [(x,0),(0,x')]=0. Maka  {\mathfrak {g}} menjadi aljabar Lie dan  {\mathfrak {i}} ideal dari  {\mathfrak {g}}. Jika peta kanonik  {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}} (yaitu, menerima bagian), maka  {\mathfrak {g}} dikatakan sebagai produk setengah langsung dari  {\mathfrak {i}} dan  {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}},  {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}. Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.
Teorema Levi mengatakan bahwa aljabar Lie berdimensi-hingga adalah perkalian setengah langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (Levi subaljabar).
Definisi > Turunan

Turunan  pada aljabar Lie  {\mathfrak {g}} (atau pada aljabar non-asosiatif) adalah peta linear  \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}} yang mematuhi hukum Leibniz, yaitu,
untuk  x,y\in {\mathfrak {g}}.  Turunan batin  yang terkait dengan  x\in {\mathfrak {g}} adalah pemetaan adjoin  \mathrm {ad} _{x} didefinisikan oleh  \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]. (Ini adalah derivasi sebagai konsekuensi dari identitas Jacobi.) Turunan luar adalah derivasi yang tidak berasal dari representasi adjoin aljabar Lie. Jika  {\mathfrak {g}} adalah setengah sederhana, setiap turunan adalah dalam.
Turunan membentuk ruang vektor  \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}), yang merupakan subaljabar Lie dari  {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}); braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari  \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).
Definisi > Turunan > Contoh

Misalnya, aljabar Lie ideal  {\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}} representasi adjoin  {\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}} dari  {\mathfrak {g}} bertindak sebagai turunan luar pada  {\mathfrak {i}} karena  [x,i]\subset {\mathfrak {i}} untuk  x\in {\mathfrak {g}} dan  i\in {\mathfrak {i}}. Untuk aljabar Lie  {\mathfrak {b}}_{n} dari matriks segitiga atas dalam  {\mathfrak {gl}}(n), dari ideal  {\mathfrak {n}}_{n} dari matriks segitiga atas (di mana satu-satunya elemen bukan nol berada di atas diagonal matriks). Misalnya, komutator elemen dalam  {\mathfrak {b}}_{3} dan  {\mathfrak {n}}_{3} gives
{\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}0&ax&ay+bz\\0&0&dz\\0&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&dx&ex+yf\\0&0&fz\\0&0&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&(a-d)x&(a-f)y-ex+bz\\0&0&(d-f)z\\0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}
menunjukkan turunan luar dari  {\mathfrak {b}}_{3} dalam  {\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3}).
Definisi > Jumlah langsung dan produk setengah langsung

Untuk dua aljabar Lie  {\mathfrak {g^{}}} dan  {\mathfrak {g'}}, jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor
 {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}terdiri dari semua  {\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}, dengan operasi tersebut
maka salinan  {\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}' komutatif satu sama lain:  [(x,0),(0,x')]=0. Maka  {\mathfrak {g}} sebagai aljabar Lie dan  {\mathfrak {i}} ideal  {\mathfrak {g}}. Jika peta kanonik  {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}} membagi (yaitu, menerima bagian), lalu  {\mathfrak {g}} dikatakan sebagai produk setengah langsung dari  {\mathfrak {i}} dan  {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}},  {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}. Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.
Teorema Levi digunakan aljabar Lie berdimensi-hingga adalah hasil kali setengah-langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (subaljabar Levi).
Definisi > Turunan

Turunan pada aljabar Lie  {\mathfrak {g}} (atau pada aljabar non-asosiatif) adalah peta linear  \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}} yang mematuhi hukum Leibniz, yaitu,
untuk semua  x,y\in {\mathfrak {g}}. Turunan batin yang terkait dengan  x\in {\mathfrak {g}} adalah pemetaan adjoin  \mathrm {ad} _{x} didefinisikan oleh  \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]. Jika  {\mathfrak {g}} adalah setengah sederhana, setiap turunan adalah dalam.
Turunan membentuk ruang vektor  \mathrm {Tur} ({\mathfrak {g}}) yang merupakan subaljabar Lie dari  {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}); braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari  \mathrm {Tur} ({\mathfrak {g}}).
Definisi > Turunan > Contoh

Misalnya, aljabar Lie ideal  {\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}} representasi adjoin  {\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}} dari  {\mathfrak {g}} bertindak sebagai turunan luar pada  {\mathfrak {i}} since  [x,i]\subset {\mathfrak {i}} untuk semua  x\in {\mathfrak {g}} dan  i\in {\mathfrak {i}}. Untuk aljabar Lie  {\mathfrak {b}}_{n} dari matriks segitiga atas dalam  {\mathfrak {gl}}(n), menggunakan ideal  {\mathfrak {n}}_{n} dari matriks segitiga atas (dimana satu-satunya elemen bukan nol berada di atas diagonal matriks). Misalnya, komutator elemen dalam  {\mathfrak {b}}_{3} dan  {\mathfrak {n}}_{3} diberikan oleh
{\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}0&ax&ay+bz\\0&0&dz\\0&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&dx&ex+yf\\0&0&fz\\0&0&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&(a-d)x&(a-f)y-ex+bz\\0&0&(d-f)z\\0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}
menunjukkan turunan luar dari  {\mathfrak {b}}_{3} dalam  {\text{Tur}}({\mathfrak {n}}_{3}).
Definisi > Membagi aljabar Lie

Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang F,  {\mathfrak {gl}}(V) aljabar Lie transformasi linear dan  {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V) sebuah subaljabar Lie. Maka  {\mathfrak {g}} sebagai membagi jika akar dari polinomial karakteristik dari semua transformasi linear dalam  {\mathfrak {g}} berada di bidang dasar F. Lebih umum, aljabar Lie berdimensi-hingga  {\mathfrak {g}} dikatakan terpecah jika memiliki subaljabar Cartan yang gambarnya di bawah representasi adjoin  \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}) adalah aljabar Lie terpisah. Bentuk riil terpisah dari aljabar Lie setengah sederhana kompleks (lihat #Bentuk riil dan pengkompleksan) adalah contoh membagi aljabar Lie riil. Lihat pula membagi aljabar Lie untuk informasi lebih lanjut.
Definisi > Basis ruang vektor

Untuk kalkulasi praktis, sering kali lebih mudah untuk memilih basis ruang vektor eksplisit untuk aljabar. Konstruksi umum untuk basis ini digambarkan dalam artikel konstanta struktur.
Definisi > Definisi menggunakan notasi teori-kategori

Meskipun definisi di atas cukup untuk pemahaman konvensional tentang Lie aljabar, setelah dipahami, wawasan tambahan dapat diperoleh dengan menggunakan notasi umum untuk teori kategori, yaitu dengan mendefinisikan aljabar Lie dalam istilah peta linear—yaitu, morfisme dari kategori ruang vektor tanpa mempertimbangkan elemen individu. Dalam bagian ini, bidang dimana aljabar didefinisikan karakteristik berbeda dari dua.)
Untuk definisi kategori-teoretis dari aljabar Lie, diperlukan dua kepangan isomorfisme. Jika A adalah ruang vektor, pertukaran isomorfisme  \tau :A\otimes A\to A\otimes A didefinisikan oleh
Kepangan siklik-permutasi  \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A didefinisikan sebagai
dimana  \mathrm {id}  adalah morfisme identitas.
Sama halnya,  \sigma  didefinisikan oleh
Dengan notasi ini, aljabar Lie dapat didefinisikan sebagai objek  A dalam kategori ruang vektor dengan morfisme
yang memenuhi dua persamaan morfisme
dan
Contoh > Ruang vektor

Setiap ruang vektor  V sebagai tanda kurung siku nol yang identik menjadi aljabar Lie. Aljabar Lie satu dimensi di atas bidang adalah abelian, dengan sifat dari kurung Lie.
Contoh > Aljabar asosiatif dengan tanda kurung komutator

Pada aljabar asosiatif  A di atas bidang  F dengan perkalian  (x,y)\mapsto xy, braket Lie dapat ditentukan dengan komutator  [x,y]=xy-yx. Dengan tanda kurung ini,  A adalah aljabar Lie. Aljabar asosiatif A disebut aljabar pembungkus dari aljabar Lie  (A,[\,\cdot \,,\cdot \,]). Setiap aljabar Lie dapat digabungkan ke aljabar yang muncul dari aljabar asosiatif dengan aljabar pembungkus universal.
Aljabar asosiatif endomorfisma dari ruang-F vektor  V dengan braket Lie di atas dilambangkan  {\mathfrak {gl}}(V).
Untuk ruang vektor berdimensi hingga  V=F^{n}, contoh sebelumnya, aljabar Lie dari matriks n×n, dinotasikan  {\mathfrak {gl}}(n,F) atau  {\mathfrak {gl}}_{n}(F), dengan braket  [X,Y]=X\cdot Y-Y\cdot X, dimana  \cdot  menunjukkan perkalian matriks. Aljabar Lie dari grup linear umum yang terdiri dari matriks invers.
Contoh > Matriks khusus

Dua subaljabar dari  {\mathfrak {gl}}_{n}(F) adalah:
Matriks jejak nol membentuk aljabar Lie linear khusus  {\mathfrak {sl}}_{n}(F), aljabar Lie dari grup linear khusus  \mathrm {SL} _{n}(F).
Matriks condong-Hermitian membentuk aljabar Lie kesatuan  {\mathfrak {u}}(n), aljabar Lie dari satuan grup U(n).
Contoh > Aljabar matriks Lie

Kompleks grup matriks adalah grup Lie yang terdiri dari matriks  G\subset M_{n}(\mathbb {C} ) dimana perkalian G adalah perkalian matriks. Aljabar Lie  {\mathfrak {g}} ruang matriks merupakan vektor bersinggungan dengan G dalam ruang linear  M_{n}(\mathbb {C} ): terdiri dari turunan kurva halus dalam G dengan identitas:
{\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {C} )\ \mid \ {\text{ polos }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.
Braket Lie dari  {\mathfrak {g}} adalah komutator matriks,  [X,Y]=XY-YX. Dengan aljabar Lie, kita dapat memulihkan grup Lie sebagai citra pemetaan matriks eksponensial  \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} ) didefinisikan oleh  \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots , yang menyatu untuk setiap matriks  X: yaitu,  G=\exp({\mathfrak {g}}).
Berikut ini adalah contoh aljabar Lie dari grup matriks Lie:
Grup linear khusus  {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} ) terdiri dari n × n matriks dengan determinan 1. Aljabar Lie  {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )terdiri dari n × n matriks dengan entri kompleks dan jejak 0. Demikian pula, mendefinisikan grup Lie riil  {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} ) dan aljabar Lie  {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} ).
Grup uniter  U(n) terdiri dari n × n matriks uniter (sebagai  U^{*}=U^{-1}). Aljabar Lie  {\mathfrak {u}}(n) terdiri dari matriks adjoin ( X^{*}=-X).
Grup ortogonal khusus  \mathrm {SO} (n), terdiri dari matriks ortogonal determinan-satu riil ( A^{\mathrm {T} }=A^{-1}). Aljabar Lie  {\mathfrak {so}}(n) terdiri dari matriks simetris-miring riil ( X^{\rm {T}}=-X). Grup ortogonal penuh  \mathrm {O} (n), tanpa determinan-satu kondisi, terdiri dari  \mathrm {SO} (n) dan komponen terhubung yang terpisah, maka memiliki aljabar Lie sama dengan  \mathrm {SO} (n). Demikian pula, mendefinisikan versi kompleks dari grup dan aljabar ini, hanya dengan entri matriks kompleks.
Contoh > Dua dimensi

Pada setiap bidang  F hingga isomorfisme, satu aljabar Lie nonabelian dua dimensi. Dengan generator x, y, braketnya didefinisikan sebagai  \left[x,y\right]=y. Ini sebagai grup affine dalam satu dimensi.
Maka
untuk setiap bilangan asli  n dan  c melihat bahwa elemen grup Lie yang dihasilkan adalah matriks segitiga atas 2 × 2 dengan satuan diagonal lebih rendah:
Contoh > Tiga dimensi

Aljabar Heisenberg  {\rm {H}}_{3}(\mathbb {R} ) is a aljabar Lie tiga dimensi yang dihasilkan elemen x, y, dan z dengan tanda kurung Lie
Aljabar Lie  {\mathfrak {so}}(3) dari grup SO(3) direntang oleh tiga matriks
Contoh > Dimensi tak hingga

Kelas penting aljabar Lie berdimensi tak hingga muncul di topologi diferensial. Ruang halus bidang vektor pada lipatan diferensial M membentuk aljabar Lie, dimana kurung Lie didefinisikan sebagai komutator bidang vektor. Salah satu cara untuk mengekspresikan tanda kurung Lie adalah melalui formalisme turunan Lie, yang mengidentifikasi bidang vektor X dengan operasi diferensial parsial urutan pertama LX sebagai fungsi halus dengan membiarkan LX(f) menjadi turunan arah dari fungsi f ke X. Braket Lie [X,Y] dari dua bidang vektor adalah bidang vektor yang ditentukan melalui fungsi dengan rumus:
Aljabar Kac–Moody adalah kelas besar aljabar Lie berdimensi tak hingga yang strukturnya sangat mirip dengan kasus berdimensi hingga di atas.
Aljabar Moyal adalah aljabar Lie berdimensi tak hingga yang berisi semua aljabar Lie klasik sebagai subaljabar.
Aljabar Virasoro adalah yang terpenting dalam teori pita.
Wakilan

Artikel utama: Wakilan aljabar Lie
Wakilan > Definisi

Diberikan ruang vektor V, misal  {\mathfrak {gl}}(V) menunjukkan aljabar Lie yang terdiri dari semua endomorfisma linear dari V, dengan tanda kurung yang diberikan oleh  [X,Y]=XY-YX. Sebuah wakilan dari aljabar Lie  {\mathfrak {g}} dengan V adalah homomorfisme aljabar Lie
Wakilan sebagai setia jika kernelnya nol. Teorema Ado untuk setiap aljabar Lie berdimensi-hingga memiliki wakilan setia dengan ruang vektor berdimensi-hingga.
Wakilan > Wakilan adjoin

Untuk aljabar Lie  {\mathfrak {g}}, maka didefinisikan wakilan  \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})
given by  \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y] adalah wakilan pada ruang vektor  {\mathfrak {g}} yang merupakan wakilan adjoin.
Wakilan > Tujuan teori wakilan

Salah satu aspek penting dari studi Lie aljabar (terutama aljabar Lie semi-sederhana) adalah studi tentang wakilan. Memang, sebagian besar buku yang tercantum di bagian referensi mencurahkan sebagian besar halaman untuk teori wakilan. Meskipun teorema Ado adalah hasil yang penting, tujuan utama dari teori wakilan bukanlah untuk menemukan wakilan yang tepat dari aljabar Lie yang diberikan  {\mathfrak {g}}. Dalam kasus semi-sederhana untuk wakilan adjoin adalah setia. Sebaliknya, tujuannya adalah untuk memahami semua kemungkinan wakilan  {\mathfrak {g}}, hingga gagasan alami tentang kesetaraan. Dalam kasus semi sederhana di atas bidang karakteristik nol, teorema Weyl untuk setiap wakilan berdimensi-hingga adalah jumlah langsung dari wakilan yang tidak dapat direduksi (tidak memiliki subruang invarian nontrivial). Wakilan yang tidak dapat direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan dengan teorema dengan bobot tertinggi.