Teori bilangan aljabar
Pengertian dasar > Kegagalan faktorisasi unik

Sifat penting dari gelanggang bilangan bulat adalah memenuhi teorema dasar aritmetika, teorema yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat (positif) memiliki faktorisasi menjadi hasil kali bilangan prima, dan faktorisasi ini unik hingga urutan faktor-faktornya. Ini mungkin tidak lagi benar di gelanggang bilangan bulat O dari bidang bilangan aljabar K.
Sebuah  elemen utama  adalah elemen   p  dari   O  sedemikian rupa sehingga jika   p  membagi hasil kali   ab , lalu membagi salah satu faktor   a  atau b. Properti ini terkait erat dengan primalitas dalam bilangan bulat, karena bilangan bulat positif apa pun yang memenuhi properti ini adalah  1 atau bilangan prima. Namun, itu sangat lemah. Misalnya,  -2 bukanlah bilangan prima karena negatif, tetapi merupakan elemen prima. Jika faktorisasi menjadi elemen prima diperbolehkan, maka, bahkan dalam bilangan bulat, ada faktorisasi alternatif seperti
Secara umum, jika   u  adalah satuan, artinya bilangan dengan pembalikan perkalian di O, dan jika   p  adalah elemen prima, maka   up  juga merupakan elemen prima. Angka-angka seperti   p  dan   up  dikatakan sebagai  sekutu . Dalam bilangan bulat, bilangan prima   p  dan  - p  adalah asosiasi, tetapi hanya satu yang positif. Mewajibkan bilangan prima positif memilih elemen unik dari antara kumpulan elemen prima terkait. Ketika  K  bukan angka rasional, bagaimanapun, tidak ada analog dari kepositifan. Misalnya, di Gaussian integers Z[i], bilangan 1 + 2i dan −2 + i diasosiasikan karena yang terakhir adalah produk dari yang pertama oleh   i , tetapi tidak ada cara untuk memilih salah satu sebagai lebih kanonis daripada yang lain. Ini mengarah ke persamaan seperti
yang membuktikan Z[i], tidak benar bahwa faktorisasi bersifat unik hingga urutan faktor-faktornya. Untuk alasan ini, seseorang mengadopsi definisi faktorisasi unik yang digunakan dalam domain faktorisasi unik (DFU). Dalam DFU, elemen prima yang terjadi dalam faktorisasi hanya diharapkan unik hingga unit dan urutannya.
Namun, bahkan dengan definisi yang lebih lemah ini, banyak cincin bilangan bulat dalam bidang bilangan aljabar tidak menerima faktorisasi unik. Ada halangan aljabar yang disebut kelompok kelas ideal. Ketika kelompok kelas yang ideal adalah sepele, cincinnya adalah DFU. Jika tidak, ada perbedaan antara elemen utama dan elemen tak tersederhanakan. Sebuah  elemen yang tidak dapat direduksi    x  adalah elemen yang jika x = yz, maka   y  atau   z  adalah satuan. Ini adalah elemen yang tidak dapat difaktorkan lebih jauh. Setiap elemen dalam  O  mengakui faktorisasi menjadi elemen yang tidak dapat direduksi, tetapi dapat menerima lebih dari satu. Ini karena, meskipun semua elemen utama tidak dapat direduksi, beberapa elemen yang tidak dapat direduksi mungkin bukan prima. Misalnya, perhatikan cincinnya Z[√-5]. Di ring ini, angka 3, 2 + √-5 dan 2 - √-5 tidak bisa direduksi. Ini berarti bilangan  9 memiliki dua faktorisasi menjadi elemen yang tidak dapat direduksi,
Persamaan ini menunjukkan bahwa  3 membagi hasil kali (2 + √-5)(2 - √-5) = 9. Jika  3 adalah elemen prima, maka elemen tersebut akan membagi 2 + √-5 atau 2 - √-5, tetapi tidak, karena semua elemen yang habis dibagi oleh  3 berbentuk 3a + 3b√-5.  Demikian pula, 2 + √-5 dan 2 - √-5 bagi produk 32, tapi tidak satu pun dari elemen ini yang membagi  3 sendiri, jadi tidak satu pun dari mereka adalah bilangan prima. Seperti tidak ada rasa di mana elemen 3, 2 + √-5 dan 2 - √-5 dapat dibuat setara, faktorisasi unik gagal masuk Z[√-5]. Berbeda dengan situasi unit, di mana keunikan dapat diperbaiki dengan melemahkan definisi, mengatasi kegagalan ini membutuhkan perspektif baru.