stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Eksponensiasi
Terminologi

Ekspresi b2 = b  ⋅ b disebut "persegi dari b" atau "kuadrat b", karena luas persegi dengan panjang sisi b adalah b2.
Demikian pula, ekspresi b3 = b ⋅ b ⋅ b disebut "kubus dari b" atau "b pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk b adalah b3.
Karena itu adalah bilangan bulat positif, eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243. Basis 3 muncul 5 kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah 5. Maka, 243 adalah pangkat ke-5 dari 3, atau 3 terpangkat ke-5.
Kata "pangkat" terkadang dihilangkan, jadi 35 dapat dibaca "3 ke 5". Oleh karena itu, eksponensiasi bn dinyatakan sebagai "b untuk pangkat n", "b untuk pangkat ke-n", "b untuk ke-n", atau disingkat juga sebagai "b untuk n ".
Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti 357 (yang berarti 3(57) dan bukan (35)7), disebut juga sebagai menara pangkat.
Eksponen bilangan bulat

Operasi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan langsung dari operasi aritmetika dasar.
Eksponen bilangan bulat > Eksponen positif

Definisi eksponensial sebagai perkalian teriterasi dibuktikan secara formalisasi dengan menggunakan induksi, dan definisi ini digunakan segara untuk perkalian asosiasi:
Kasus dasarnya adalah
dan pengulangan adalah
Asosiasi perkalian menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif m dan n, adalah
dan
Eksponen bilangan bulat > Eksponen nol

Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol terpangkat ke pangkat 0 adalah 1:
Definisi ini adalah satu-satunya memungkinkan perluasan rumus
ke nol eksponen. Ini digunakan pada setiap struktur aljabar dengan perkalian yang memiliki identitas.
Secara intuitif,  b^{0} diartikan sebagai darab kosong dari salinan b. Jadi, persamaan  b^{0}=1 adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.
Kasus 00 adalah rumit. Dalam konteks dimana pangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai 0 umumnya ditetapkan ke  0^{0}, namun, jika tidak, pilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks.
Untuk detail selengkapnya, lihat Nol ke pangkat nol.
Eksponen bilangan bulat > Eksponen negatif

Eksponen dengan eksponen negatif didefinisikan oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat n dan bukan nol b:
Menaikkan 0 ke eksponen negatif tidak ditentukan, tetapi dalam beberapa keadaan, maka ditafsirkan sebagai tak hingga ( \infty ).
Definisi eksponen dengan eksponen negatif ini adalah satu-satunya yang memungkinkan perluasan identitas  b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n} ke eksponen negatif (pertimbangkan kasus  m=-n).
Definisi yang sama berlaku untuk elemen terbalikkan dalam monoid perkalian, yaitu, struktur aljabar dengan perkalian asosiatif dan identitas perkalian yang dilambangkan 1 (misalnya, matriks persegi dari dimensi tertentu). Secara khusus, dalam struktur ini, invers dari elemen terbalikkan x secara standar dilambangkan sebagai  x^{-1}.
Eksponen bilangan bulat > Identitas dan sifat

"Hukum Indeks" beralih ke halaman ini. Untuk kuda, lihat Hukum Indeks (kuda).
Identitas berikut ini, sering disebut juga sebagai kaidah eksponen, untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:
Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah komutatif (misalnya, 23 = 8 ≠ 32 = 9), dan juga tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah asosiatif (misalnya, (23)2 = 82 = 64, dimana 2(32) = 29 = 512). Tanpa tanda kurung, urutan operasi konvensional untuk deret eksponensial dalam notasi superskrip adalah top-down (atau asosiatif-kanan), bukan bottom-up (atau asosiatif-kiri). Maka,
yang secara umum berbeda dengan
Eksponen bilangan bulat > Pangkat jumlah

pangkat jumlah biasanya dihitung dari pangkat penjumlahan dengan rumus binomial
Namun, rumus ini hanya berlaku jika jumlah komuter (yaitu ab = ba), yang menyatakan apabila ia termasuk dalam struktur yaitu komutatif. Jika tidak, a dan b adalah matriks persegi dengan ukuran yang sama, rumus ini tidak digunakan. Oleh karena itu dalam aljabar komputer, banyak algoritma yang melibatkan eksponen bilangan bulat diubah ketika basis eksponensial tidak komuter. Beberapa tujuan umum sistem aljabar komputer menggunakan notasi yang berbeda (terkadang, ^^ sebagai gantinya adalah ^) untuk eksponensial dengan basis non-komuter, yang kemudian disebut eksponensial non-komutatif.
Eksponen bilangan bulat > Interpretasi kombinatorial

Lihat pula: Eksponen atas himpunan
Untuk bilangan bulat tak-negatif n dan m, nilai dari nm adalah jumlah fungsi dari elemen himpunan m ke elemen himpunan n (lihat eksponensial kardinal). Fungsi tersebut diwakilankan sebagai rangkap-m dari elemen himpunan-n (atau sebagai kata huruf m dari alfabet huruf n). Beberapa contoh untuk nilai m dan n tertentu diberikan dalam tabel berikut:
| nm | nm yang merupakan rangkap-m dari elemen himpunan (1, > .., n} |
| --- | --- |
05 = 0: tidak ada
14 = 1: (1, 1, 1, 1)
23 = 8: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
32 = 9: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
41 = 4: (1), (2), (3), (4)
50 = 1: ()
Eksponen bilangan bulat > Basis khusus > Pangkat sepuluh

Lihat pula: Notasi ilmiah
Artikel utama: Pangkat 10
Dalam sistem bilangan basis sepuluh (desimal), pangkat bilangan bulat 10 ditulis sebagai digit 1 diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya, 103 = 1000 dan 10−4 = 00.001.
Eksponen dengan basis 10 digunakan dalam notasi ilmiah untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, 299.792.458 m/s (kecepatan cahaya dalam ruang hampa), dalam meter per detik) dapat ditulis sebagai 299.792.458×108 m/s dan kemudian perkiraan sebagai 2998×108 m/s.
Awalan SI berdasarkan pangkat 10 yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalan kilo berarti 103 = 1000, jadi satu kilometer adalah 1000 m.
Eksponen bilangan bulat > Basis khusus > Pangkat dua

Artikel utama: Pangkat dua
pangkat negatif pertama 2 biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya: setengah dan kuarterner.
pangkat 2 muncul dalam teori himpunan, karena himpunan dengan anggota n memiliki himpunan pangkat, himpunan dari semua himpunan bagian-nya, yang memiliki anggota 2n.
pangkat bilangan bulat 2 penting dalam ilmu komputer. Bilangan bulat positif pangkat 2n memberikan jumlah bilangan untuk bit n bilangan bulat bilangan biner; misalnya, bita mengambil nilai 28 = 256 yang berbeda. Sistem bilangan biner menyatakan bilangan sebagai jumlah dari pangkat 2, dan menyatakannya sebagai urutan 0 dan 1, dipisahkan oleh titik biner, dimana 1 menunjukkan pangkat 2 yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat 1 ini: eksponen nonnegatif adalah pangkat 1 sebelah kiri titik (mulai dari 0), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.
Eksponen bilangan bulat > Basis khusus > Pangkat satu

pangkat satu adalah semua satu-satunya: 1n = 1.Ppangkat nol
Jika eksponen n positif (n > 0), pangkat ke-n dari nol adalah nol: 0n = 0.
Jikalau eksponen n negatif (n < 0), pangkat ke-n dari nol 0 n tidak ditentukan, maka dari itu harus sama dengan  1/0^{-n} dengan −n > 0, dan ini sebagai menjadi  1/0.
Ekspresi 00 didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (lihat Nol pangkat nol).
Eksponen bilangan bulat > Basis khusus > [Pangkat negatif satu

Jika n adalah bilangan bulat genap, maka (−1)n = 1.
Jikalau n adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah (−1)n = −1.
Oleh karena itu, pangkat −1 berguna untuk menyatakan sebagai urutan bergantian. Untuk diskusi serupa tentang pangkat bilangan kompleks i, lihat § Pangkat bilangan kompleks.
Eksponen bilangan bulat > Eksponen besar

Limit barisan pangkat dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:
Apabila dibaca sebagai "b pangkat n cenderung +∞ sebagai n cenderung tak hingga ketika b memiliki nilai besar daripada satu".
pangkat suatu bilangan dengan nilai absolut kurang dari satu cenderung nol:
Setiap pangkat satu tetap satu:
pangkat –1 berganti antara 1 dan –1 sebagai n berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan n.
Jika b < –1, bn, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan n berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan n.
Jika bilangan eksponen berubah cenderung ke 1 karena eksponen cenderung tak hingga, maka limitnya belum tentu salah satu atas. Kasus yang sangat penting adalah
Lihat § Fungsi eksponensial dibawah ini.
Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan bentuk antara, dijelaskan dalam § Pangkat limit dibawah.
Eksponen bilangan bulat > Fungsi pangkat

Fungsi real dari bentuk  f(x)=cx^{n}, dimana  c\neq 0, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.[butuh rujukan]
 Ketika  n adalah bilangan bulat dan  n\geq 1, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk  n genap, dan untuk  n ganjil. Secara umum untuk  c>0, bila  n genap  f(x)=cx^{n} cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan penambahan  x, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan  x. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum  y=cx^{2}, yang merata ditengah sebagai tingkatan  n. Fungsi dengan simetri ( f(-x)=f(x)) seperti ini disebut fungsi genap.
Ketika  n ganjil, perilaku asimptotik  f(x) berbalik dari  x positif ke  x negatif. Untuk  c>0,  f(x)=cx^{n} juga cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan tingkatan  x, tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan  x. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat ganjil memiliki bentuk umum  y=cx^{3}, merata ditengah ketika tingkatan  n dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untuk  n=1. Fungsi dengan simetri seperti ini ( f(-x)=-f(x)) disebut fungsi ganjil.
Untuk  c<0, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.
Eksponen bilangan bulat > Daftar pangkat bilangan bulat

| n | n2 | n3 | n4 | n5 | n6 | n7 | n8 | n9 | n10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19.683 | 59.049 |
| 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16.384 | 65.536 | 262.144 | 1.048.576 |
| 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15.625 | 78.125 | 390.625 | 1.953.125 | 9.765.625 |
| 6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46.656 | 279.936 | 1.679.616 | 10.077.696 | 60.466.176 |
| 7 | 49 | 343 | 2401 | 16.807 | 117.649 | 823.543 | 5.764.801 | 40.353.607 | 282.475.249 |
| 8 | 64 | 512 | 4096 | 32.768 | 262.144 | 2.097.152 | 16.777.216 | 134.217.728 | 1.073.741.824 |
| 9 | 81 | 729 | 6561 | 59.049 | 531.441 | 4.782.969 | 43.046.721 | 387.420.489 | 3.486.784.401 |
| 10 | 100 | 1000 | 10.000 | 100.000 | 1.000.000 | 10.000.000 | 100.000.000 | 1.000.000.000 | 10.000.000.000 |
Eksponen rasional

Jika x adalah bilangan real nonnegatif, dan n adalah bilangan bulat positif,  x^{\frac {1}{n}} atau  {\sqrt[{n}]{x}} menunjukkan real positif unik akar ke-n dari x, yaitu, bilangan real positif unik y sehingga  y^{n}=x.
Jika x adalah bilangan real positif, dan  {\frac {p}{q}} adalah bilangan rasional, dengan p dan q ≠ 0 bilangan bulat, maka 




x


p
q





{\textstyle x^{\frac {p}{q}}}

 didefinisikan sebagai
Persamaan sebelah kanan diturunkan dengan menetapkan  y=x^{\frac {1}{q}}, dan menulis  (x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.
Jika r adalah bilangan rasional positif,  0^{r}=0, menurut definisi.
Semua definisi ini diperlukan untuk memperluas identitas  (x^{r})^{s} ke eksponen rasional.
Di sisi lain, ada masalah dengan perluasan definisi ini ke basis yang bukan bilangan real positif. Misalnya, bilangan real negatif memiliki akar ke-n real, yang negatif jika n adalah ganjil, dan tidak memiliki akar real jika n genap. Dalam kasus terakhir, kompleks mana pun akar ke-n memilih satu untuk  x^{\frac {1}{n}}, identitas  (x^{a})^{b}=x^{ab}. Misalnya,
Lihat § Eksponen real dengan basis negatif dan Pangkat bilangan kompleks § Catatan untuk detail tentang cara menangani masalah ini.
Eksponen real

Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk pangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas pangkat rasional ke real dengan kontinuitas (§ Limit eksponen rasional, dibawah), atau dalam hal logaritma dari basis dan fungsi eksponensial (§ Pangkat melalui logaritma, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan identitas dan sifat yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke kompleks eksponen.
Di sisi lain, eksponensial ke pangkat real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat § Eksponen real dengan basis negatif). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebut nilai utama, tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya
adalah benar; lihat § Kegagalan pangkat dan identitas logaritma. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai fungsi multinilai.
Eksponen real > Limit eksponen rasional

Karena bilangan irasional dapat dinyatakan sebagai limit barisan dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif b dengan eksponen real sembarang x didefinisikan oleh kontinuitas dengan kaidah
dimana limitnya diambil alih nilai rasional r saja. Limit ini ada untuk setiap b positif dan setiap x real.
Misalnya, jika x = π, diwakilankan desimal tanpa π = 3.14159... dan monotonisitas dari pangkat rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh pangkat rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagai  b^{\pi }:
Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua barisan yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai  b^{\pi }.
Apabila mendefinisikan  b^{x} untuk setiap b positif dan x positif sebagai fungsi kontinu dari b dan x.
Eksponen real > Fungsi eksponensial

Artikel utama: Fungsi eksponensial
Fungsi eksponensial didefinisikan sebagai  x\mapsto e^{x}, dimana  e\approx 2,718 adalah bilangan Euler. Untuk menghindari penalaran lingkar, definisi ini tidak dapat digunakan di sini. Jadi, diberikan definisi fungsi eksponensial, dinotasikan  \exp(x), dan dari bilangan Euler bebas dari eksponensial. Kemudian sebuah bukti dibuat sketsa, bahwa apabila jika menggunakan definisi eksponensial yang diberikan pada bagian sebelumnya, maka memiliki:
Terdapat banyak cara ekuivalen untuk mendefinisikan fungsi eksponensial, salah satunya adalah mendefinisikannya sebagai fungsi invers dari logaritma alami. Tepatnya, logaritma natural adalah antiturunan dari  1/x yang mengambil nilai 0 untuk x = 1 :
Apabila mendefinisikan logaritma sebagai fungsi meningkat dari real positif ke bilangan real. Fungsi invers dan fungsi eksponensial dengan demikian merupakan fungsi naik dari bilangan real ke real positif, yang biasa dilambangkan exp. Satu satunya, memiliki
dan identitas eksponensial
untuk setiap x dan y.
Bilangan Euler didefinisikan sebagai  e=\exp(1). Maka, ini mengikuti dari persamaan sebelumnya bahwa  \exp(x)=e^{x} dengan x adalah bilangan bulat (ini hasil dari definisi perkalian berulang dari eksponensial). Jika x adalah real,  \exp(x)=e^{x} dihasilkan dari definisi yang diberikan pada bagian sebelumnya, dengan menggunakan identitas eksponensial jika x adalah rasional, dan kontinuitas fungsi eksponensial sebaliknya.
Fungsi eksponensial memenuhi persamaan
Karena deret konvergen untuk setiap kompleks nilai x dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula  e^{z}, untuk argumen kompleks z. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.
Eksponen real > Pangkat melalui logaritma

Definisi ex sebagai fungsi eksponensial didefinisikan bx untuk setiap bilangan real positif b, dalam hal fungsi eksponensial dan logaritmik. Secara khusus, bahwa logaritma natural ln(x) adalah invers dari fungsi eksponensial e x maka ia memiliki
untuk setiap b > 0. Untuk mempertahankan identitas  (e^{x})^{y}=e^{xy}, maka ia memiliki
Jadi,  e^{x\ln b} digunakan sebagai definisi alternatif dari bx untuk setiap real positif b. Ini sesuai dengan definisi yang diberikan di atas menggunakan eksponen rasional dan kontinuitas, dengan memperluas secara langsung ke eksponen kompleks mana pun.
Eksponen kompleks dengan basis real positif

Jika b adalah bilangan real positif, eksponen dengan basis b dan kompleks eksponen didefinisikan melalui fungsi eksponensial dengan argumen kompleks (lihat dibagian akhir § Fungsi eksponensial, diatas) sebagai
dimana  \ln b menunjukkan logaritma natural dari b.
Maka, ini memenuhi identitas
Secara umum,






(

b

z


)


t




{\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}

 tidak didefinisikan, karena bz bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat § Pangkat bilangan kompleks, dibawah), secara umum,
kecuali z adalah real atau w adalah bilangan bulat.
Rumus Euler  e^{iy}=\cos y+i\sin y, mengekspresikan bentuk polar dari  b^{z} dalam hal bagian real dan imajiner dari z, yaitu
dimana nilai absolut dari faktor trigonometri adalah satu. Maka, hasilnya adalah
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-n, yaitu, dari eksponen  1/n, dimana n adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-n, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan logaritma kompleks, dan karena itu lebih mudah dipahami.
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat > Akar ke-n pada bilangan kompleks

Setiap bilangan kompleks bukan nol z dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai
dimana  \rho  adalah nilai absolut dari z, dan  \theta  adalah argumen. Argumen didefinisikan hingga bilangan bulat kelipatan 2π; ini berarti, jika  \theta  adalah argumen dari bilangan kompleks, maka  \theta +2k\pi  juga merupakan argumen dari bilangan kompleks yang sama.
Bentuk polar dari darab dua bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan nilai absolut dan menambahkan argumen. Oleh karena itu, bentuk kutub dari akar ke-n dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengambil akar ke-n dari nilai absolut dan membagi argumennya dengan n:
Jika  2i\pi  ditambahkan ke  \theta , maka bilangan kompleks tersebut tidak berubah, tetapi ini menambahkan  2i\pi /n ke argumen akar ke-n, dan diberikan akar ke-n yang baru. Ini dilakukan kali n, dan diberikan kepada akar ke-n n dari bilangan kompleks.
Biasanya memilih salah satu dari akar ke-n n sebagai akar utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n sebagai  -\pi <\theta \leq \pi , yaitu, akar ke-n yang memiliki bagian real terbesar, dan jika keduanya adalah dua dari bagian imajiner positif tersebut. Ini membuat akar ke-n utama sebuah fungsi kontinu dalam seluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai real negatif dari radikan. Fungsi ini sama dengan akar ke-n biasa untuk radikan real positif. Untuk radikan real negatif, dan eksponen ganjil, akar ke-n utama bukanlah real, meskipun akar ke-n yang biasa adalah real. Kelanjutan analitik menunjukkan bahwa prinsip akar ke-n utama adalah fungsi unik diferensial kompleks yang memperluas fungsi akar ke-n medan kompleks tanpa bilangan real yang bukan positif.
Jika bilangan kompleks dipindahkan sekitar nol dengan meningkatkan argumennya, setelah kenaikan  2\pi , bilangan kompleks kembali ke posisi awal, dan akar ke-n-nya adalah permutasi lingkar (yang dikalikan dengan 


e

2
i
π

/

n


e^{2i\pi /n}

). Ini menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan fungsi akar ke-n yang tidak kontinu pada seluruh medan kompleks.
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat > Akar ke-n pada bilangan kompleks > Akar satuan

Artikel utama: Akar satuan
Bilangan kompleks w sedemikian rupa sehingga wn = 1 untuk bilangan bulat positif n adalah akar satuan ke-n.  Secara geometris, akar satuan ke-n terletak pada lingkaran satuan dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-n beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.
Jika wn = 1 akan tetapi wk 1 untuk semua bilangan asli k sehingga 0 < k < n, maka w disebut akar satuan ke-n primitif. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya akar kuadrat primitif dari satuan. satuan imajiner i adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −i.
Bilangan e2πin adalah akar satuan n primitif dengan argumen positif terkecil. Hal ini terkadang disebut akar kesatuan ke-n utama, meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan nilai utama dari n√1, yaitu 1.)
Akar satuan ke-n yang lain dinyatakan sebagai bentuk akar ke-n utama, yaitu
 \left(e^{\frac {2\pi i}{n}}\right)^{k}=e^{{\frac {2\pi i}{n}}k}
untuk 2 ≤ k ≤ n.
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat > Eksponensial kompleks

Mendefinisikan eksponensial dengan basis kompleks menyebabkan kesulitan serupa dengan yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, kecuali, bahwa, secara umum, ada banyak kemungkinan nilai untuk 


z

w


z^{w}

. Jadi, salah satu nilai utama didefinisikan yang bukan kontinu untuk nilai z real dan nonpositif, atau 


z

w


z^{w}

 didefinisikan sebagai fungsi multinilai.
Dalam semua kasus, logaritma kompleks digunakan untuk mendefinisikan eksponensial kompleks, sebagai
dimana  \log z adalah varian dari logaritma kompleks yang digunakan, yaitu, fungsi atau fungsi multinilai sedemikian rupa sehingga
untuk setiap z dalam ranah definisi.
Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat > Eksponensial kompleks > Nilai utama

Nilai utama dari logaritma kompleks adalah fungsi unik, biasanya dilambangkan  \log , sehingga, untuk setiap bilangan kompleks bukan nol z,
dan bagian imajiner dari z memenuhi
Nilai utama dari logaritma kompleks tidak didefinisikan untuk  z=0, hal itu disebut juga sebagai tidak kontinu pada nilai real negatif z, dan holomorfik (yaitu, terdiferensial kompleks) pada bagian lain. Jika z adalah real dan positif, nilai utama dari logaritma kompleks adalah logaritma alami:  \log z=\ln z.
Nilai utama  z^{w} didefinisikan sebagai
 z^{w}=e^{w\log z},
dimana  \log z adalah nilai utama dari logaritma.
Fungsi  (z,w)\to z^{w} adalah holomorfik kecuali diantara titik-titik dimana z adalah real dan non-positif.
Jika z adalah real dan positif, nilai utama  z^{w} sama dengan nilai biasa yang didefinisikan di atas. Jika  w=1/n, dimana n adalah bilangan bulat, nilai utama ini sama dengan yang didefinisikan di atas.