Produk Tensor
Langkah bayi menuju perkalian tensor abstrak: ruang vektor bebas

Langkah pertama yang akan kita pertimbangkan melibatkan memperkenalkan sesuatu yang disebut "ruang vektor bebas" di atas himpunan tertentu. Dorongan di balik ide ini pada dasarnya terdiri dari apa yang kita katakan di poin terakhir: karena tensor  T dapat ditulis dengan penjumlahan ganda
cara paling alami untuk mendekati masalah ini adalah dengan mencari tahu bagaimana kita bisa "melupakan" tentang pilihan basa tertentu  \mathbf {e}  dan  \mathbf {f}  yang digunakan di sini. Dalam matematika, cara kita "melupakan" tentang detail representasi dari sesuatu adalah untuk menetapkan suatu identifikasi yang memberitahu kita bahwa dua hal berbeda yang dianggap representasi dari hal yang sama pada kenyataannya adalah demikian, yaitu, jika mereka mengatakan "ya, mereka" atau "tidak, mereka tidak", dan kemudian "menyatukan" semua representasi sebagai penyusun "hal yang diwakili" tanpa mengacu pada siapa pun secara khusus dengan mengemas semuanya menjadi satu himpunan. Dalam istilah formal, pertama kita membangun relasi ekivalen, dan kemudian mengambil himpunan hasil bagi dengan relasi itu.
Tapi sebelum kita bisa melakukan itu, pertama-tama kita perlu mengembangkan apa yang akan kita ambil alih hubungan kesetaraan. Cara kami melakukannya adalah dengan melakukan pendekatan sebaliknya, dari "bottom up": karena kita tidak dijamin, setidaknya dapat dibangun, dasar saat memulai dari ruang vektor arbitrer, sebagai gantinya kita mungkin mencoba untuk memulai dengan menjamin bahwa kita memiliki satu — yaitu, kita akan mulai terlebih dahulu dengan mempertimbangkan "basis", dengan sendirinya, seperti yang diberikan, dan kemudian membangun ruang vektor di atas. Untuk itu, kita mencapai hal berikut: misalkan  B adalah beberapa set, yang bisa kita sebut  himpunan dasar abstrak . Sekarang pertimbangkan semua ekspresi  formal  dari formulir
dari sembarang, tapi terbatas, panjang  n dan  a_{j} yang mana adalah skalar dan  \beta _{j} adalah anggota  B. Secara intuitif, ini adalah kombinasi linier dari vektor basis dalam arti biasa untuk memperluas elemen ruang vektor. Kami menyebutnya "ekspresi formal" karena secara teknis memperbanyak adalah  a_{j}\beta _{j} karena tidak ada operasi perkalian yang ditentukan secara default pada kumpulan arbitrer dan bidang skalar arbitrer. Sebaliknya, kita akan "berpura-pura" (mirip dengan mendefinisikan bilangan imajiner bahwa ini merujuk pada sesuatu, dan kemudian akan memanipulasinya sesuai dengan aturan yang kita harapkan untuk ruang vektor, misalnya jumlah dari dua string menggunakan urutan yang sama dari anggota  B adalah
di mana kita telah menggunakan hukum asosiatif, komutatif, dan distributif untuk mengatur ulang jumlah pertama menjadi yang kedua. Melanjutkan cara ini untuk kelipatan skalar dan semua kombinasi vektor dengan panjang yang berbeda memungkinkan kita untuk membuat penjumlahan vektor dan perkalian skalar pada kumpulan ekspresi formal ini, dan kami menyebutnya  'ruang vektor gratis'  di atas  B, menulis  F(B). Perhatikan bahwa elemen  B, dianggap sebagai ekspresi formal panjang-satu dengan koefisien 1 di depan, membentuk basis Hamel untuk ruang ini.
Ekspresi hasil kali tensor kemudian diabstraksi dengan mempertimbangkan jika  \beta _{j} dan  \gamma _{j} mewakili "vektor basis abstrak" dari dua himpunan  B dan  G, yaitu " \beta _{j}=\mathbf {e} _{j}" dan " \gamma _{j}=\mathbf {f} _{j}", kemudian pasangkan ini di produk Kartesius  B\times G, yaitu  (\beta _{i},\gamma _{j}) dianggap sebagai singkatan dari produk tensor  \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j}. (Perhatikan bahwa produk tensor dalam pernyataan tersebut dalam beberapa hal adalah "atom", yaitu penambahan dan perkalian skalar tidak membaginya menjadi yang lain, jadi kita dapat menggantinya dengan sesuatu yang berbeda tanpa mengubah struktur matematisnya.) Dengan identifikasi seperti itu, kita dapat menentukan produk tensor dari dua ruang vektor bebas  F(B) dan  F(G) sebagai sesuatu (belum diputuskan) yang isomorfik  F(B\times G).