Gelombang-S
Teori > Medium isotropis

Untuk tujuan penjelasan ini, sebuah medium padat dapat dikatakan isotropis jika regangan (deformasi) medium dalam merespons tegangan sama di segala arah. Misal  {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3}) adalah vektor perpindahan suatu partikel dalam suatu medium dari posisi "istirahat"  {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}) akibat getaran elastis, yang dipahami sebagai fungsi dari posisi istirahat  {\boldsymbol {x}} dan waktu  t. Deformasi medium pada titik tersebut dapat dijabarkan oleh tensor regangan  {\boldsymbol {e}}, matriks 3×3 yang elemennya merupakan
 e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)
dengan  \partial _{i} adalah turunan parsial terhadap koordinat posisi  x_{i}. Tensor regangan berhubungan dengan tensor tegangan 3×3  {\boldsymbol {\tau }} melalui persamaan
 \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}
Di sini  \delta _{ij} adalah fungsi delta Kronecker (1 jika  i=j, 0 untuk kondisi lainnya) serta  \lambda  dan  \mu  adalah parameter Lamé ( \mu  menjadi modulus geser material). Sehingga persamaan tersebut menjadi
 \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)
Dari Hukum inersia Newton, juga didapat satu persamaan
 \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}
dengan  \rho  adalah massa jenis (massa per satuan volume) medium pada titik tersebut, dan  \partial _{t} adalah turunan parsial terhadap waktu. Menggabungkan dua persamaan terakhir, diperoleh persamaan gelombang seismik pada media homogen
 \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}
Menggunakan notasi operator nabla pada kalkulus vektor,  \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}), dengan berbagai aproksimasi, persamaan ini dapat ditulis sebagai
 \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)
Menggunakan operator rotasi pada persamaan ini dan menerapkan vektor identitas, diperoleh persamaan
 \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)
Persamaan ini merupakan persamaan gelombang yang berlaku pada besaran vektor  \nabla \times {\boldsymbol {u}}, yang merupakan regangan geser material. Solusi persamaan ini, gelombang-S, merupakan kombinasi linear dari gelombang bidang sinusoidal dengan berbagai panjang gelombang dan arah rambat, tetapi semua gelombang memiliki kecepatan sama sebesar 



β
=


μ

/

ρ




{\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}
Menggunakan operator divergensi terhadap persamaan gelombang seismik pada media homogen, alih-alih operator rotasi, menghasilkan persamaan gelombang yang menjabarkan perambatan besaran  \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}, yang merupakan regangan tekan material. Solusi persamaan ini, gelombang-P, merambat pada kecepatan sebesar 



α
=


(
λ
+
2
μ
)

/

ρ




{\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}

, lebih dari dua kali lipat kecepatan  \beta  pada gelombang-S.
Gelombang SH keadaan tunak dijabarkan oleh persamaan Helmholtz
 \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0
dengan k adalah bilangan gelombang.