Kaidah Cramer
Bukti

Bukti untuk kaidah Cramer didasarkan pada sifat dari determinan: linearitas terhadap setiap kolom, dan fakta bahwa determinan bernilai nol jika terdapat dua kolom yang sama (tersirat dari sifat tanda determinan yang berubah ketika terjadi penukaran dua kolom matriks).
Pilih sebarang kolom ke-j dari sebuah matriks. Linearitas mengartikan jika kita menganggap hanya kolom ke-j sebagai variabel, fungsi  \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}  yang dihasilkan (dengan asumsi elemen matriks adalah anggota  \mathbb {R} ) dapat ditulis sebagai perkalian sebuah matriks, dengan satu baris dan n kolom, dengan kolom ke-j. Faktanya, ini yang dilakukan oleh ekspansi Laplace, yang menyatakan  \operatorname {det} (A)=C_{1}a_{1,j}+\dots +C_{n}a_{n,j} dengan koefisien  C_{1},\,\dots ,C_{n} bergantung pada kolom-kolom matriks  A selain kolom ke-j. Nilai  \operatorname {det} (A) juga dapat ditulis sebagai perkalian matriks satu-baris  L_{(j)}=[C_{1}\ \ \dots \ \ C_{n}] dengan kolom ke-j dari  A. Jika  L_{(j)} dikalikan dengan kolom lain dari  A, misal kolom ke-k, hal ini sama mengganti kolom ke-j dengan kolom ke-k. Pada kasus ini determinan akan bernilai 0 (sifat determinan jika terdapat dua kolom yang sama).
Selanjutnya perhatikan sistem n persamaan linear dengan n variabel, dengan  A sebagai matriks koefisien, dan  \operatorname {det} (A) diasumsikan tidak bernilai nol:
Lalu bentuk persamaan "gabungan" dari menjumlahkan persamaan pertama dikali  C_{1}, dengan persamaan kedua dikali  C_{2}, dan seterusnya, sampai persamaan terakhir dikali  C_{n}. Koefisien untuk variabel  x_{j} pada persamaan ini adalah
sedangkan koefisien untuk variabel lainnya akan bernilai 0; sehingga ekspresi di ruas kiri persamaan hanyalah  \operatorname {det} (A)x_{j}. Sedangkan, ruas kanan memiliki bentuk  C_{1}b_{1}+\dots +C_{n}b_{n}, yang sama dengan mengalikan  L_{(j)} dengan vektor kolom  \mathbf {b} . Faktanya, proses yang kita lakukan sama dengan mengalikan persamaan  A\mathbf {x} =\mathbf {b}  dengan  L_{(j)} dari kiri. Membagi kedua ruas dengan  \operatorname {det} (A) akan menghasilkan persamaan berikut:
Bentuk pembilang pada persamaan tersebut sama dengan nilai determinan dari matriks  A, dengan kolom ke-j yang diganti dengan vektor  \mathbf {b} . Akhirnya, kita mendapatkan ekspresi kaidah Cramer yang juga merupakan syarat perlu untuk solusi. Proses yang sama dapat dilakukan untuk nilai-nilai j lain untuk mendapatkan nilai variabel  x lainnya.
Hal terakhir yang perlu dibuktikan adalah, apakah (satu-satunya) nilai yang didapatkan dari cara ini memang merupakan solusi dari sistem persamaan. Ketika matriks  A dapat diinvers dengan matriks invers  A^{-1}, maka  \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}  adalah solusi dari sistem (dan menunjukkan eksistensinya). Untuk menunjukkan  A dapat diinvers ketika  \operatorname {det} (A) tidak bernilai nol, pertimbangkan matriks  M ukuran  n\times n yang dibentuk dengan menumpuk matriks satu-baris  L_{(j)} secara berurutan untuk  j = 1, ..., n (ini adalah matriks adjugat dari  A). Dapat ditunjukkan bahwa  L_{(j)}A=[0\ \ \dots 0\ \ \operatorname {det} (A)\ \ 0\ \ \dots 0], dengan  \operatorname {det} (A) berada pada kolom ke-j; dari ini dapat simpulkan  MA=\operatorname {det} (A)I_{n}. Sehingga didapatkan,
yang melengkapi pembuktian.
Untuk bentuk-bentuk pembuktian yang lain, lihat dibawah.