Ruang (matematika)
Tata nama > Jenis-jenis ruang > Ruang keterukuran, ruang ukuran, dan ruang peluang

Dengan mengecualikan jarak dan sudut, sambil mempertahankan volume (dari bangun geometris) seseorang bergerak menuju teori ukuran. Di samping volume, ukuran memperumum luas, panjang, sebaran massa (atau muatan), dan juga sebaran peluang, menurut pendekatan Andrey Kolmogorov terhadap teori peluang.
"Bangun geometris" matematika klasik jauh lebih teratur (regular) daripada sekadar himpunan titik. Batas suatu bangun adalah volume nol. Dengan demikian, volume bangun adalah volume bagian dalamnya, dan bagian dalam tersebut dapat diperkurus oleh sebarisan takhingga kubus. Sebaliknya, batas himpunan sembarang titik-titik boleh jadi volume tak-nol (misalnya: himpunan semua titik rasional di dalam kubus yang diberikan). Teori ukuran berjaya memperluas gagasan volume (atau ukuran lainnya) menjadi sebuah kelas himpunan yang luas/besar cakupannya, disebut pula himpunan terukur. Jelaslah, himpunan-himpunan takterukur tidak pernah muncul di dalam terapan, tetapi, teori ini harus membatasi dirinya sendiri hanya pada himpunan-himpunan (dan fungsi-fungsi) terukur.
Himpunan terukur, diberikan dalam ruang terukur menurut definisi, mengarah kepada peta dan fungsi terukur. Untuk mengubah ruang topologi menjadi ruang terukur, seseorang memberkatinya dengan aljabar-σ (baca: aljabar-sigma). Aljabar-σ dari himpunan borel adalah yang paling popular, tetapi bukan satu-satunya pilihan (himpunan baire, himpunan terukur semesta. kadang-kadang digunakan juga). Kemungkinan lain, aljabar-σ dapat dihasilkan oleh suatu kumpulan himpunan (atau fungsi) yang diberikan, tidak bergantung pada topologi manapun. Cukup sering, topologi-topologi yang berbeda mengarah kepada aljabar-σ (misalnya, topologi norma dan topologi lemah pada suatu ruang hilbert terpisahkan). Setiap subhimpunan dari suatu ruang terukur adalah juga ruang terukur.
Ruang terukur baku (disebut juga "ruang borel baku") adalah berguna secara khusus. Setiap himpunan borel (khususnya, setiap himpunan tertutup dan setiap himpunan terbuka) di dalam ruang euklidean (dan lebih umumnya, dalam ruang metrik terpisahkan lengkap) adalah ruang terukur baku. Semua ruang terukur baku yang takterhitung adalah saling isomorfik.
Ruang ukuran adalah ruang terukur yang diberkati dengan ukuran. Ruang euklidean dengan ukuran Lebesgue adalah ruang ukuran. Teori Integral mendefinisikan keterintegralan dan integral fungsi terukur pada ruang ukuran.
Himpunan ukuran 0, disebut himpunan nol, adalah dapat diabaikan. Oleh karena itu, ismorfisma  \mod 0 terdefinisi sebagai isomrfisma antara subhimpunan-subhimpunan berukuran penuh (yakni, dengan komplemen yang dapat diabaikan).
Ruang peluang adalah ruang ukuran, sedemikian sehingga ukuran keseluruhan ruang adalah sama dengan 1. Hasil kali sembarang keluarga (berhingga atau tidak) dari ruang-ruang peluang adalah juga ruang peluang. Sebaliknya, untuk ruang ukuran secara umum, hanya hasil kali ruang-ruang (terhingga banyaknya) yang terdefinisi. Oleh karena itu, ada banyak ukuran peluang berdimensi-takhingga (khususnya, ukuran gaussian), tetapi tidak ada ukuran lebesgue yang berdimensi-takhingga.
Ruang peluang baku adalah berguna secara khusus. Setiap ruang peluang pada ruang terukur baku mengarah kepada ruang peluang baku. Hasil kali sebarisan (berhingga ataupun tidak) dari ruang-ruang peluang baku adalah juga ruang peluang baku. Semua ruang peluang baku non-atomik adalah saling isomorfik  \mod 0; salah satu dari mereka adalah interval  (0,1) dengan ukuran Lebesgue.
Ruang-ruang ini adalah tidak begitu geometris. Khususnya, gagasan tentang dimensi, terterapkan (dalam satu bentuk atau bentuk lainnya) terhadap semua ruang lainnya, tidak berlaku bagi ruang terukur, ruang ukuran, dan ruang peluang.