Topologi
Sejarah

Topologi, sebagai disiplin matematika yang terdefinisi dengan baik, berasal dari awal abad kedua puluh, tetapi beberapa hasil terisolasi dapat ditelusuri kembali beberapa abad. Diantaranya adalah beberapa pertanyaan dalam geometri yang diselidiki oleh Leonhard Euler. Makalah tahun 1736 tentang Tujuh Jembatan Königsberg dianggap sebagai salah satu aplikasi praktis pertama topologi. Pada tanggal 14 November 1750, Euler menulis kepada seorang temannya bahwa dia telah menyadari pentingnya  tepi  dari sebuah polihedron. Hal ini menyebabkan rumus polihedron, V − E + F = 2 (dimana V, E, dan F masing-masing menunjukkan jumlah simpul, tepi, dan permukaan polihedron). Beberapa otoritas menganggap analisis ini sebagai teorema pertama, yang menandakan kelahiran topologi.
Kontribusi lebih lanjut dibuat oleh Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann dan Enrico Betti. Listing memperkenalkan istilah "Topologie" dalam  Vorstudien zur Topologie , ditulis dalam bahasa Jerman asalnya, pada tahun 1847, setelah menggunakan kata tersebut selama sepuluh tahun dalam korespondensi sebelum kemunculan pertamanya dalam prin. Bentuk bahasa Inggris "topologi" digunakan pada tahun 1883 dalam obituari Listing di jurnal Nature  untuk membedakan "geometri kualitatif dari geometri biasa di mana geometri kuantitatif.
Pekerjaan mereka dikoreksi, dikonsolidasikan, dan sangat diperluas oleh Henri Poincaré. Pada tahun 1895, ia menerbitkan makalah terobosannya tentang  Analisis Situs, yang memperkenalkan konsep yang sekarang dikenal sebagai homotopi dan homologi, yang sekarang dianggap sebagai bagian dari topologi aljabar.
| Manifold | Bilangan Euler | Orientabilitas | Bilangan Betti> b0 | Bilangan Betti> b1 | Bilangan Betti> b2 | Koefisien torsi (1-dim) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Bola | 2 | Orientable | 1 | 0 | 1 | tidak ada |
| Torus | 0 | Orientable | 1 | 2 | 1 | tidak ada |
| Torus berlubang | −2 | Orientable | 1 | 4 | 1 | tidak ada |
| g-torus berlubang (genus g) | 2 − 2g | Orientable | 1 | 2g | 1 | tidak ada |
| Bidang proyektif | 1 | Tidak berorientasi | 1 | 0 | 0 | 2 |
| Botol Klein | 0 | Tidak berorientasi | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Bola dengan c lintas topi (c > 0) | 2 − c | Tidak berorientasi | 1 | c − 1 | 0 | 2 |
| 2 Manifold dengan lubang g dan c topi silang (c > 0) | 2 − (2g + c) | Non-orientable | 1 | (2g + c) − 1 | 0 | 2 |
Menyatukan pekerjaan pada ruang fungsi Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli dan lainnya, Maurice Fréchet memperkenalkan ruang metrik. Sebuah ruang metrik sekarang dianggap sebagai kasus khusus dari ruang topologi umum, dengan setiap ruang topologi tertentu berpotensi menimbulkan banyak ruang metrik yang berbeda. Pada tahun 1914, Felix Hausdorff menciptakan istilah "ruang topologis" dan memberikan definisi untuk apa yang sekarang disebut ruang Hausdorff. Saat ini, ruang topologi adalah sedikit generalisasi dari ruang Hausdorff, diberikan pada tahun 1922 oleh Kazimierz Kuratowski.
Topologi modern sangat bergantung pada gagasan teori himpunan, yang dikembangkan oleh Georg Cantor di akhir abad ke-19. Selain menetapkan ide-ide dasar teori himpunan, Cantor mempertimbangkan himpunan titik dalam ruang Euklides sebagai bagian dari studinya tentang deret Fourier. Untuk perkembangan lebih lanjut, lihat topologi himpunan-titik dan topologi aljabar.