Infinitesimal
Sejarah infinitesimal

Gagasan tentang jumlah kecil yang tak terhingga telah dibahas oleh Sekolah Eleatic. Yunani matematikawan Archimedes (sekitar 287 SM–212 SM), dalam Metode Teorema Mekanik, adalah orang pertama yang mengusulkan definisi infinitesimal yang secara logis ketat. Properti Archimedean mendefinisikan bilangan x sebagai tak terhingga jika memenuhi syarat |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., dan infinitesimal bila x≠0 dan satu set kondisi serupa berlaku untuk x dan kebalikan dari bilangan bulat positif. Sistem bilangan dikatakan Archimedean jika tidak mengandung anggota yang tak terhingga atau sangat kecil.
Ahli matematika Inggris John Wallis memperkenalkan ekspresi tersebut 1/∞ dalam bukunya yang berjudul Treatise on the Conic Sections pada tahun 1655. Simbol, yang menunjukkan kebalikan, atau kebalikan, dari ∞, adalah representasi simbolik dari konsep matematika Infinitesimal. Dalam bukunya Treatise on the Conic Sections, Wallis juga membahas tentang konsep hubungan antara representasi simbolik infinitesimal 1/∞ yang dia perkenalkan dan konsep ketidakterbatasan yang dia perkenalkan simbol dari ∞. Konsep ini menyarankan eksperimen pikiran untuk menambahkan jajaran genjang dengan lebar tak terhingga untuk membentuk daerah berhingga. Konsep ini adalah pendahulu metode integrasi modern yang digunakan dalam kalkulus integral. Asal-usul konseptual dari konsep infinitesimal 1/∞ dapat ditelusuri sejauh filsuf Yunani Zeno dari Elea, yang paradoks dikotomi Zeno adalah konsep matematika pertama untuk mempertimbangkan hubungan antara interval berhingga dan interval mendekati interval berukuran sangat kecil.
Infinitesimal menjadi subjek kontroversi politik dan agama di Eropa abad ke 17, termasuk larangan infinitesimal yang dikeluarkan oleh para ulama di Roma pada tahun 1632.
Sebelum penemuan matematikawan kalkulus dapat menghitung garis singgung menggunakan metode Pierre de Fermat dari kecukupan dan René Descartes 'metode normal. Ada perdebatan di antara para ahli tentang apakah metode Infinitesimal atau aljabar. Ketika Newton dan Leibniz menemukan kalkulus, mereka menggunakan infinitesimal, Newton fluks dan Leibniz diferensial. Penggunaan infinitesimal diserang sebagai tidak benar oleh Bishop Berkeley dalam karyanya The Analyst. Matematikawan, ilmuwan, dan insinyur terus menggunakan infinitesimal untuk menghasilkan hasil yang benar. Pada paruh kedua abad kesembilan belas, kalkulus dirumuskan kembali oleh Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Cantor, Dedekind, dan lainnya yang menggunakan (ε, δ)-definisi limit dan teori himpunan.
Sementara pengikut Cantor, Dedekind, dan Weierstrass berusaha menyingkirkan analisis infinitesimals, dan sekutu filosofis mereka seperti Bertrand Russell dan Rudolf Carnap pseudoconcepts, Hermann Cohen dan sekolah Marburg neo Kantianisme berusaha mengembangkan logika kerja infinitesimals. Studi matematis dari sistem yang mengandung infinitesimals dilanjutkan melalui karya Levi-Civita, Giuseppe Veronese, Paul du Bois-Reymond, dan lainnya, sepanjang akhir abad kesembilan belas dan kedua puluh, seperti yang didokumentasikan oleh Philip Ehrlich (2006). Pada abad ke-20, ditemukan bahwa infinitesimals dapat berfungsi sebagai dasar untuk kalkulus dan analisis (lihat bilangan hiperriil).