Rangkap tiga Pythagoras
Sifat-sifat elementer rangkap tiga Pythagoras primitif > Kasus khusus

Sebagai tambahan, rangkap tiga Pythagoras khusus dengan sifat-sifat tertentu dapat dijamin untuk ada:
Setap bilangan bulat lebih besar dari 2 tidak kongruen dengan 2  mod 4 (dengan kata lain, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 yang bukan dari bentuk  4k+2) merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras. (Jika bilangna bulat memiliki bentuk  4k, salah satunya dapat mengambil  n=1 dan  m=2k dalam rumus Euclid, jika blangan bulatnya adalah  2k+1, salah satunya dapat ambil  n=k dan  m=k+1.)
Setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras primtif atau takprimitif. Contohnya, bilangan bulat 6, 10, 14, dan 18 bukan bagian rangkap tiga primitif, tetapi merupakan bagian dari rangkap tiga takprimitif  (6,8,10),  (14,48,50) dan  (18,80,82).
Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat satu. Seperti rangkap tiga adalah primitif perlu dan memiliki bentuk  (2n+1,2n^{2}+2n,2n^{2}+2n+1). Hasil ini dari rumus Euclid dengan berkomentar bahwa syaratnya menyiratkan bahwa rangkap tiganya adalah primitif dan harus membenarkan  (m^{2}+n^{2})-2mn=1. Ini menyiratkan  (m-n)^{2}=1, dan demikian  m=n+1. Bentuk di atas dari hasil rangkap tiga mengenai substitusi  m untuk  n+1 dalam rumus Euclid.
Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat dua. Mereka semua primitif, dan diperoleh dengan meletakkan  n=1 dalam rumus Euclid. Lebih umumnya, untuk setiap bilangan bulat  k>0, terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki ganjil berbeda dengan  2k^{2}. Mereka diperoleh dengan menaruh  n=k dalam rumus Euclid.
Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana dua kaki berbeda dengan tepat satu. Contohnya,  20^{2}+21^{2}=29^{2}, ini dihasilkan oleh rumus Euclid ketika  {\frac {m-n}{n}} adalah konvergen dengan  {\sqrt {2}}.
Untuk setiap bilangan asli  k, terdapat rangkap tiga Pythagoras  k dengan hipotenusa yang berbeda dan luas yang sama.
Untuk setiap bilangan asli  k, terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif  k yang berbeda dengan kaki  a yang sama, dimana  a adalah suatu bilangan asli (Panjang dari kaki genap adalah  2mn, dan cukup untuk memilih  a dengan banyak faktorisasi, contohnya  a=4b, dimana  b adalah sebuah darab bilangan prima ganjil  k yang berbeda; ini menghasilkan setidaknya  2^{k} rangkap tiga primitif yang berbeda).:30
Untuk setiap bilangan asli  n, terdapat setidaknya rangkap tiga Pythagoras  n yang berbeda dengan hipotenusa yang sama.:31
Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya dengan bilangan kuadrat untuk keduanya hipotenusa  c dan jumlah dari kaki  a+b. Menurut Fermat, yang paling terkecil seperti rangkap tiga memiliki sisi  a=4\,565\,486\,027\,761,  b=1\,061\,652\,293\,520,  c=4\,687\,298\,610\,289. Disini  a+b=2\,372\,159^{2} dan  c=2\,165\,017^{2}. Ini dihasilkan oleh rumus Euclid dengan nilai parameter  m=2\,150\,905 dan  n=246\,792.
Terdapat segitiga Pythagoras takprimitif dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa. Seperti segitiga Pythagoras dikenal sebagai teruraikan karena mereka dapat dipisahkan sepanjang ketinggian ini menjadi dua pemisah dan segitiga Pythagoras lebih kecil.