stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Logaritma
Bilangan pokok khusus

Secara khusus, terdapat tiga bilangan pokok yang umum di antara semua pilihan bilangan pokok pada logaritma. Ketiga bilangan pokok tersebut adalah b = 10, b = e (konstanta bilangan irasional yang kira-kira sama dengan 2,71828), dan b = 2 (logaritma biner). Dalam analisis matematika, logaritma dengan bilangan pokok e tersebar karena sifat analitik yang dijelaskan di bawah. Di sisi lain, logaritma dengan bilangan pokok 10 mudah dipakai dalam perhitungan manual dalam sistem bilangan desimal:
Jadi, 10log x berkaitan dengan jumlah digit desimal dari bilangan bulat positif x: jumlah digitnya merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari 10log x. Sebagai contoh, 10log 1430 kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam teori informasi, logaritma alami dipakai dalam nat dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam bit sebagai satuan dasar informasi. Logaritma biner juga dipakai dalam ilmu komputer, dengan sistem biner ditemukan dimana-mana. Dalam teori musik, rasio tinggi nada kedua (yaitu oktaf) ditemukan dimana-mana dan jumlah sen antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per setengah nada dengan temperamen sama). Dalam fotografi, logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur nilai pajanan, tingkatan cahaya, waktu eksposur, tingkap, dan kecepatan film dalam "stop".
Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Selain blog x, adapula notasi logaritma lain yang ditulis sebagai logb x, dan juga seperti log x. Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankan Organisasi Standardisasi Internasional, yakni ISO 80000-2. Karena notasi log x telah dipakai untuk ketiga bilangan pokok di atas (atau ketika bilangan pokok belum ditentukan), bilangan pokok yang dimaksud harus sering diduga tergantung konteks atau bidangnya. Sebagai contoh, log biasanya mengacu pada 2log dalam ilmu komputer, dan log mengacu pada elog. Dalam konteks lainnya, log seringkali mengacu pada 10log.
| Bilangan pokok b | Nama blog x | Notasi ISO | Notasi lain | Dipakai dalam bidang |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | logaritma biner | lb x | ld x, log x, lg x, 2log x | ilmu komputer, teori informasi, bioinformatika, teori musik, fotografi |
| e | logaritma alami | ln x | log x (dipakai dalam matematika dan beberapa bahasa pemrograman lainnya), elog x | matematika, fisika, kimia, statistik, ekonomi, teori informasi, dan rekayasa |
| 10 | logaritma biasa | lg x | log x, 10log x (dipakai dalam rekayasa, biologi, dan astronomi) | bidang berbagai rekayasa (lihat desibel dan lihat di bawah), tabel logaritma, kalkulator genggam, spektroskopi |
| b | logaritma dengan bilangan pokok b | blog x |  | matematika |
Sejarah

Artikel utama: Sejarah logaritma
Sejarah logaritma yang dimulai dari Eropa pada abad ketujuh belas merupakan penemuan fungsi terbaru yang memperluas dunia analisis di luar keterbatasan metode aljabar. Metode logaritma dikemukakan secara terbuka oleh John Napier pada tahun 1614, dalam bukunya yang berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Namun, teknik-teknik lain sebelum penemuan Napier sudah ada dengan keterbatasan metode yang serupa, contohnya seperti prosthafaeresis atau penggunaan tabel barisan, yang dikembangkan dengan luas oleh Jost Bürgi sekitar tahun 1600. Napier menciptakan istilah untuk logaritma dalam bahasa Latin Tengah, “logaritmus”, yang berasal dari gabungan dua kata Yunani, logos “proporsi, rasio, kata” + arithmos “bilangan”. Secara harfiah, "logaritmus" berarti “bilangan rasio”.
Logaritma umum dari bilangan adalah indeks dari perpangkatan sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut. Bilangan yang sangat membutuhkan banyak angka merupakan kiasan kasar untuk logaritma umum, dan Archimedes menyebutnya sebagai “orde bilangan”. Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Ada beberapa metode yang menggunakan tabel yang diperoleh dari identitas trigonometri, dan metode tersebut dinamakan prosthafaeresis.
Penemuan fungsi yang dikenal saat ini sebagai logaritma alami, berawal dari saat Grégoire de Saint-Vincent mencoba menggambarkan kuadratur hiperbola persegi panjang. Archimedes menulis risalah yang berjudul The Quadrature of the Parabola pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur hiperbola menghindari semua upayanya hingga Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Logaritma yang mengaitkan barisan dan deret geometri dalam argumen dan nilai barisan dan deret aritmetika, meminta Antonio de Sarasa untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam prosthafaeresis sehingga mengarah ke sebuah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". Christiaan Huygens dan James Gregory mulai mengenali fungsi baru tersebut. Leibniz memakai notasi Log y pada tahun 1675, dan tahun berikutnya ia mengaitkannya dengan integral
Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, Roger Cotes memperlihatkan hasil yang hampir sama pada tahun 1714 bahwa
Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah

Dengan menyederhanakan perhitungan yang rumit sebelum adanya mesin hitung komputer, logaritma berkontribusi pada kemajuan pengetahuan, khususnya astronomi. Logaritma sangat penting terhadap kemajuan dalam survei, navigasi benda langit, dan cabang lainnya. Pierre-Simon Laplace menyebut logaritma sebagai
Karena fungsi f(x) = bx adalah fungsi invers dari blog x, maka fungsi tersebut disebut sebagai antilogaritma. Saat ini, antilogaritma lebih sering disebut fungsi eksponensial.
Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah > Tabel logaritma

Sebuah alat penting yang memungkinkan penggunaan logaritma adalah tabel logaritma. Tabel logaritma pertama kali disusun oleh Henry Briggs pada tahun 1617 setelah penemuan Napier, tetapi penemuannya menggunakan 10 sebagai bilangan pokok. Tabel pertamanya memuat logaritma umum dari semua bilangan bulat yang berkisar antara 1 dengan 1000, dengan ketepatan yang dimiliki 14 digit, dan kemudian ia membuat tabel dengan kisaran yang besar. Tabel tersebut mencantumkan nilai  ^{10}\!\log x untuk setiap bilangan  x dalam kisaran dan ketepatan tertentu. Karena bilangan yang berbeda dengan faktor 10 memiliki logaritma yang berbeda dengan bilangan bulat, logaritma dengan bilangan pokok 10 digunakan secara universal untuk perhitungan, sehingga disebut logaritma umum. Logaritma umum dari  x dipisahkan menjadi bagian bilangan bulat yang dikenal sebagai karakteristik, dan bagian pecahan (bahasa Inggris: fractional part) yang dikenal sebagai mantissa. Tabel logaritma hanya perlu menyertakan mantissa, karena karakteristik logaritma umum dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung angka dari titik desimal. Karakteristik logaritma umum dari  10\cdot x sama dengan satu ditambah karakteristik  x, dan mantissanya sama. Dengan menggunakan tabel logartima dengan tiga digit, nilai logaritma dari 3542 kira-kira sama dengan
Nilainya dengan ketepatan yang sangat tinggi dapat diperoleh melalui interpolasi:
Nilai  10^{x} dapat ditentukan dengan pencarian terbalik pada tabel yang sama, karena logaritma merupakan fungsi monoton.
Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah > Perhitungan

Hasil kali atau hasil bagi dari dua bilangan positif c dan d biasanya dihitung sebagai penambahan dan pengurangan logaritma. Hasil kali cd berasal dari antilogaritma dari penambahan dan hasil bagi cd berasal dari antilogaritma dari pengurangan, melalui tabel yang sama:
dan
Untuk perhitungan manual yang meminta ketelitian yang cukup besar, melakukan pencarian kedua logaritma, menghitung jumlah atau selisihnya, dan mencari antilogaritma jauh lebih cepat daripada menghitung perkalian dengan metode sebelumnya seperti prosthafaeresis, yang mengandalkan identitas trigonometri.
Perhitungan pangkat direduksi menjadi perkalian, dan sedangkan perhitungan akar direduksi menjadi pembagian. Pernyataan ini dapat dilihat sebagai
dan
Perhitungan trigonometri dilengkapi dengan tabel-tabel yang memuat logaritma umum dari fungsi trigonometri.
Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah > Mistar hitung

Penerapan penting lainnya adalah mistar hitung, sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Adapun skala logaritmik yang tidak memiliki sorong, mistar Gunter, ditemukan tak lama setelah penemuan Napier dan disempurnakan oleh William Oughtred untuk menciptakan sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain, yaitu mistar hitung. Angka yang ditempatkan pada skala hitung pada jarak sebanding dengan selisih antara logaritmanya. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:
Sebagai contoh, dengan menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala di bagian bawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala di bagian atas menghasilkan hasil kali 6, yang dibacakan di bagian bawah. Mistar hitung adalah sebuah alat menghitung yang penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena dengan mengorbankan ketepatan nilai memungkinkan perhitungan yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.
Sifat analitik

Kajian yang lebih dalam mengenai logaritma memerlukan sebuah konsep yang disebut fungsi. Fungsi merupakan sebuah kaidah yang dipetakan suatu bilangan akan menghasilkan bilangan lain. Contohnya seperti fungsi yang menghasilkan bilangan konstan b, yang dipangkatkan setiap bilangan real x. Fungsi ini secara matematis ditulis sebagai f(x) = b x. Ketika b positif dan tak sama dengan 1, maka f adalah fungsi terbalikkan ketika dianggap sebagai fungsi dengan interval dari bilangan real ke bilangan real positif.
Sifat analitik > Keberadaan

Misalkan b adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan f(x) = b x. Pernyataan yang diikuti dari teorema nilai antara ini, merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah (bahasa Inggris: domain) dan kisarannya (bahasa Inggris: range). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa f yang menaik sempurna (untuk b > 1), atau menurun sempurna (untuk 0 < b < 1) merupakan fungsi kontinu, memiliki ranah  \mathbb {R}  dan memiliki kisaran  \mathbb {R} _{>0}. Oleh karena itu, f adalah fungsi bijeksi dari  \mathbb {R}  ke  \mathbb {R} _{>0}. Dengan kata lain, untuk setiap bilangan real positif y, terdapat setidaknya satu bilangan real x sehingga  b^{x}=y.
Misalkan  ^{b}\!\log \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R}  yang menyatakan invers dari fungsi f. Dalam artian, blog y adalah bilangan real tunggal x sehingga  b^{x}=y. Fungsi ini disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok-b atau fungsi logaritmik (atau logaritma saja).
Sifat analitik > Karakterisasi melalui rumus hasil kali

Pada dasarnya, fungsi blog x juga dapat dikarakterisasikan melalui rumus hasil kali
Lebih tepatnya, logaritma untuk setiap bilangan pokok b > 1 yang hanya merupakan fungsi f naik dari bilangan real positif ke bilangan real memenuhi sifat bahwa f(b) = 1 dan
Sifat analitik > Grafik fungsi logaritma

Seperti yang dibahas sebelumnya, fungsi blog invers terhadap fungsi eksponensial  x\mapsto b^{x}. Karena itu, grafiknya berkorespondensi dengan satu sama lain saat menukar koordinat-x dan koordinat-y (atau saat melakukan pencerminan di garis diagonal x = y), seperti yang diperlihatkan sebagai berikut: sebuah titik (t, u = bt) pada grafik dari f menghasilkan sebuah titik (u, t = blog u) pada grafik logaritma dan sebaliknya. Akibatnya, blog (x) divergen menuju takhingga (dalam artian semakin besar dari setiap bilangan yang diberikan) jika x naik menuju takhingga, asalkan b lebih besar dari satu. Pada kasus tersebut, blog(x)  merupakan fungsi menaik. Sedangkan untuk kasus b < 1, blog (x) cenderung menuju ke negatif takhingga. Ketika x mendekati nol, blog x menuju ke negatif takhingga untuk b > 1 dan menuju ke plus takhingga untuk b < 1.
Sifat analitik > Turunan dan antiturunan

Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya. Jadi, ketika f(x) = bx adalah fungsi kontinu dan terdiferensialkan, maka blog y fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika turunan dari f(x) menghitung nilai ln(b) bx melalui sifat-sifat fungsi eksponensial, aturan rantai menyiratkan bahwa turunan dari blog x dirumuskan sebagai
Artinya, kemiringan dari garis singgung yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok b di titik (x, blog (x)) sama dengan 1x ln(b).
Turunan dari ln(x) adalah 1x, yang berarti ini menyiratkan bahwa ln(x) adalah integral tunggal dari 1x yang mempunyai nilai 0 untuk x = 1. Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta e.
Turunan dengan argumen fungsional rampat f(x) dirumuskan sebagai
Hasil bagi pada ruas kanan disebut turunan logaritmik dari f dan menghitung f'(x) melalui turunan dari ln(f(x)) dikenal sebagai pendiferensialan logaritmik. Antiturunan dari logaritma alami ln(x) dirumuskan sebagai:
Terdapat rumus yang berkaitan, seperti antiturunan dari logaritma dengan bilangan pokok lainnya dapat diperoleh dari persamaan ini dengan mengubah bilangan pokoknya.
Sifat analitik > Representasi integral mengenai fungsi logaritma

Logaritma alami dari t dapat didefinisikan sebagai integral tentu:
Definisi ini menguntungkan karena tidak bergantung pada fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri apapun, dan definisi ini merupakan sebuah integral dari fungsi timbal balik sederhana. Penjelasan dalam integral, ln(t) sama dengan luas antara sumbu-x dan grafik fungsi 1x, yang berkisar dari x = 1 ke x = t. Penjelasan ini juga merupakan akibat dari teorema dasar kalkulus, dan bahkan turunan dari ln(x) sama dengan 1x. Rumus logaritma hasil kali dan pangkat dapat diperoleh melalui definisi ini. Sebagai contoh, rumus hasil kali ln(tu) = ln(t) + ln(u) dapat disimpulkan sebagai:
Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel w menjadi xt. Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor t dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Dengan memindahkan daerah biru ke daerah kuning, luasnya menyesuaikan grafik fungsi f(x) = 1x lagi. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi f(x) dengan interval dari t hingga tu sama dengan integral dari fungsi yang sama dengan interval 1 hingga u. Hal ini membenarkan persamaan  (2) melalui bukti geometri lainnya.
Rumus pangkat ln(tr) = r ln(t) dapat real dalam cara yang serupa:
Persamaan kedua menggunakan perubahan variabel w = x1r melalui integral substitusi.
Jumlah keseluruhan timbal balik dari bilangan asli yang dirumuskan
disebut deret harmonik. Deret ini sangat terkait erat dengan logaritma alami, yang dinyatakan melalui pernyataan berikut: ketika n cenderung menuju takhingga, selisih dari
konvergen (yakni mendekati dengan sembarang) ke sebuah bilangan yang dikenal sebagai konstanta Euler–Mascheroni γ = 0,5772.... Kaitan antara deret harmonik dan logaritma natural membantu dalam menganalisis kinerja algoritma seperti quicksort.
Sifat analitik > Transendensi logaritma

Bilangan real yang bukan merupakan bilangan aljabar disebut bilangan transendental. Sebagai contoh, π dan e adalah bilangan transendental, sedangkan  {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}} bukan. Hampir semua bilangan real adalah transendental. Logaritma merupakan sebuah contoh fungsi transendental. Teorema Gelfond–Schneider mengatakan bahwa logaritma biasanya memberikan nilai transendental.
Perhitungan

Logaritma merupakan alat hitung yang mudah pada beberapa kasus, seperti 10log 1000 = 3. Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui deret kuasa atau rata-rata aritmetika–geometrik, atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan. Metode Newton, sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat. Dengan melihat tabel logaritma, metode yang mirip dengan CORDIC dapat dipakai untuk menghitung logaritma hanya dengan menggunakan operasi penambahan dan geseran bit. Terlebih lagi, algoritma dari logaritma biner menghitung lb(x) secara berulang berdasarkan penguadratan x yang berulang dan menggunakan ekspresi
Perhitungan > Deret pangkat > Deret Taylor

Untuk setiap bilangan z yang memenuhi sifat 0 < z ≤ 2, maka berlaku rumus:
Pernyataan di atas merupakan tulisan singkat untuk mengatakan bahwa ln(z) dapat diaproksimasi sebagai bilangan yang lebih-lebih akurat lagi melalui ekspresi berikut:
Sebagai contoh, pendekatan ketiga saat z = 1,5 memberikan nilai 0,4167. Nilai tersebut kira-kira 0,011 lebih besar dari ln(1,5) = 0,405465. Deret ini yang mengaproksimasi ln(z) dengan ketepatan nilai sembarang, menyediakan jumlah dari nilai yang dijumlahkan cukup besar. Dalam kalkulus elementer, ln(z) adalah limit dari deret ini dan juga merupakan deret Taylor dari logaritma alami di z = 1. Deret Taylor dari ln(z) khususnya menyediakan alat yang berguna untuk mengaproksimasi ln(1 + z) ketika z bernilai kecil, |z| < 1:
Sebagai contoh, hampiran orde pertama memberikan nilai hampiran ln(1,1) ≈ 0,1 ketika z = 0,1, yang galatnya 5% lebih kecil dari nilai eksak 0,0953.
Perhitungan > Deret pangkat > Deret lebih efisien

Deret lainnya berasal dari fungsi tangen hiperbolik invers:
untuk setiap bilangan real z > 0. Dengan menggunakan notasi Sigma, ruas kanan pada rumus di atas juga dapat ditulis sebagai
Deret ini dapat diturunkan dari deret Taylor di atas, yang konvergen lebih cepat daripada deret Taylor, khususnya jika z mendekati 1. Sebagai contoh, untuk z = 1,5, tiga suku pertama dari deret kedua memberikan nilai hampiran ln(1,5) dengan galatnya sekitar 3×10−6. Kekonvergenan cepat untuk z yang mendekati 1 dapat dimanfaatkan sebagai berikut: diberikan sebuah hampiran dengan tingkat akurat yang rendah y ≈ ln(z) dan memasukkan ke rumus
maka logaritma dari z dirumuskan:
Hampiran awalan y yang lebih baik adalah dengan membuat nilai A mendekati ke 1, sehingga nilai logaritma dapat dihitung lebih efisien. Nilai A dapat dihitung melalui deret eksponensial sehingga nilainya konvergen dengan cepat, asalkan nilai y tidak terlalu besar. Dengan menghitung logaritma dari z yang lebih besar dapat direduksi menjadi nilai z yang lebih kecil dengan menulis z = a · 10b, sehingga ln(z) = ln(a) + b · ln(10).
Terdapat metode yang sangat berkaitan dengannya dapat dipakai untuk menghitung logaritma dari bilangan bulat. Dengan memasukkan  \textstyle z={\frac {n+1}{n}} pada deret di atas, maka deret tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
Jika diketahui logaritma dari suatu bilangan bulat  n yang lebih besar, maka deret tersebut menghasilkan sebauah deret yang konvergen dengan cepat untuk log(n+1), dengan laju konvergensi dari 





(


1

2
n
+
1



)


2




{\textstyle \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}

.
Perhitungan > Hampiran purata aritmetika-geometrik

Purata aritmetika–geometrik atau rata-rata aritmetika–geometrik menghasilkan hampiran dari logaritma natural dengan tingkatan ketepatan yang tinggi. Pada tahun 1982, Sasaki dan Kanada memperlihatkan bahwa purata ini sangat cepat untuk ketepatan di antara 400 dan 1000 letak desimal, sementara metode deret Taylor biasanya lebih cepat ketika membutuhkan nilai yang kurang akurat. Dalam karyanya, ln(x) kira-kira sama dengan ketepatan dari 2−p (atau p bit yang tepat) melalui rumus berikut (karena Carl Friedrich Gauss):
Notasi M(x, y) menyatakan rata-rata aritmetika–geometrik dari x dan y. Purata ini didapatkan dengan menghitung rerata (x + y)/2 (purata aritmetika) dan 





x
y




{\textstyle {\sqrt {xy}}}

 (purata geometrik) dari x dan y secara berulang, lalu misalkan kedua bilangan tersebut merupakan bilangan x dan y selanjutnya. Kedua bilangan tersebut konvergen dengan cepat menuju ke limit yang sama, yaitu M(x, y). Agar pasti bahwa nilai yang diperlukan tepat, maka pilih m sehingga
Bilangan m yang lebih besar membuat perhitungan M(x, y), dengan nilai awal x dan y yang merupakan nilai yang sangat jauh, mengambil langkah lebih lanjut agar nilainya konvergen, tetapi memberikan nilai yang lebih tepat. Konstanta seperti π dan ln(2) dapat dihitung melalui deret yang konvergen dengan cepat.
Perhitungan > Algoritma Feynman

Richard Feynman, yang mengerjakan proyek Manhattan di Los Alamos National Laboratory, mengembangkan sebuah algoritma pengolahan bit untuk menghitung nilai logaritma. Algoritma tersebut menyerupai pembagian panjang, dan kemudian dipakai dalam sebuah anggota dari rangkaian subkomputer, Connection Machine. Bahkan bahwa setiap bilangan real 1 < x < 2 yang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dari faktor yang berbeda dari bentuk 1 + 2−k, dipakai dalam algoritma ini. Algoritma ini dibangun secara berurutan bahwa hasil kali P, yang dimulai dengan P = 1 dan k = 1, mengatakan bahwa jika P · (1 + 2−k) < x, maka P berubah menjadi P · (1 + 2−k), sehingga membuat nilai  k menaik. Algoritma tersebut berhenti ketika k cukup besar memberikan nilai akurat yang diinginkan. Karena log(x) adalah jumlah dari suku berbentuk log(1 + 2−k) yang berpadanan dengan nilai k dan faktor 1 + 2−k adalah hasil kali dari  P, maka log(x) dapat dihitung melalui operasi penambahan yang sederhana, yaitu menggunakan tabel dari log(1 + 2−k) untuk semua k. Setiap bilangan pokok dapat dipakai untuk tabel logaritma.
Penerapan

Logaritma memiliki banyak penerapan di dalam maupun di luar matematika. Ada beberapa kejadian penerapan logaritma yang berkaitan dengan gagasan kekararan skala. Sebagai contoh, setiap ruangan yang terdapat di dalam sebuah cangkang nautilus memiliki kira-kira sama dengan jumlah salinan dari ruang selanjutnya, yang ditimbang melalui faktor konstanta. Contoh tersebut menyerupai bentuk spiral logaritmik. Hukum Benford mengenai distribusi dari angka yang ditunjuk juga dapat dijelaskan melalui kekeraran skala. Logaritma juga berkaitan dengan benda yang memiliki kemiripan terhadap diri sendiri. Sebagai contoh, logaritma muncul dalam analisis tentang algoritma yang menyelesaikan masalah dengan membaginya menjadi dua masalah lebih kecil yang serupa dan memotong kecil penyelesaiannya. Dimensi dari bentuk geometrik menyerupai diri sendiri, dalam artian bahwa bentuk yang bagiannya menyerupai gambarnya secara keseluruhan juga dirumuskan melalui logaritma. Skala logaritmik berguna untuk mengukur perubahan relatif nilai daripada selisih mutlaknya. Terlebih lagi, karena fungsi logaritmik log(x) menaik sangat lambat untuk nilai besarx, skala logaritmik biasanya menekan data ilmiah yang berskala besar. Logaritma juga muncul dalam rumus ilmiah numerik, seperti persamaan roket Tsiolkovsky, persamaan Fenske, atau persamaan Nernst.