stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Dysidea avara

| Dysidea avara |
| --- | --- |

Klasifikasi ilmiah
Kerajaan:: Animalia
Subkerajaan:: Parazoa
Filum:: Porifera
Kelas:: Demospongiae
Ordo:: Dictyoceratida
Famili:: Dysideidae
Genus:: Dysidea
Spesies:: Dysidea avara

Dysidea avara adalah spesies spons yang tergolong dalam kelas Demospongiae. Spesies ini juga merupakan bagian dari genus Dysidea dan famili Dysideidae. Nama ilmiah spesies ini pertama kali diterbitkan pada tahun 1862 oleh Schmidt.
Seperti spons pada umumnya, spesies ini memiliki tubuh yang berpori dan permukaan yang keras seperti batu. Selain itu, Dysidea avara juga dapat menyerap oksigen dari air melalui proses difusi.
Dorno

| Dorno |
| --- | --- |
Dorno
Koordinat: 45°9′N 8°57′E﻿ / ﻿45.150°N 8.950°E﻿ / 45.150; 8.950
Luas
 • Total: 30,6 km2 (118 sq mi)
Populasi (Desember 2004)
 • Total: 4,415 jiwa
 • Kepadatan: 144/km2 (370/sq mi)
Zona waktu: UTC+1 (CET)
Dorno merupakan komune di Provinsi Pavia di Lombardy, Italia; berjarak 40 km di barat daya Milan dan 15 km di barat Pavia. Pada 31 Desember 2004, daerah ini mempunyai populasi 4.415 dengan luas 30,6 km².
Daerah di daerah Dorno: Alagna, Garlasco, Gropello Cairoli, Pieve Albignola, Sannazzaro de' Burgondi, Scaldasole, Valeggio, Zinasco.
Vitalis Djebarus

| Yang Mulia Vitalis Djebarus S> V.D. |
| --- | --- |
Uskup Denpasar
Gereja: Gereja Katolik Roma
Keuskupan: Denpasar
Penunjukan: 4 September 1980 (51 tahun, 191 hari)
Masa jabatan berakhir: 22 September 1998 (69 tahun, 208 hari)
Pendahulu: Paul Sani Kleden, S.V.D.
Penerus: Benyamin Yosef Bria
Imamat
Tahbisan imam: 14 Januari 1959 (29 tahun, 322 hari)
Tahbisan uskup: 5 Mei 1973 (44 tahun, 68 hari) oleh Joseph Mees
Informasi pribadi
Nama lahir: Vitalis Djebarus
Lahir: (1929-02-26)26 Februari 1929 Wangkung-Rahong, Ruteng, Manggarai, Pulau Flores, Hindia Belanda
Meninggal: 22 September 1998(1998-09-22) (umur 69) Rumah Sakit Sint Carolus, Paseban, Senen, Jakarta Pusat, Indonesia
Makam: 24 September 1998   Tempat Pemakaman Palasari, Ekasari, Melaya, Jembrana, Bali
Kewarganegaraan: Indonesia
Denominasi: Katolik Roma
Jabatan sebelumnya: Uskup Ruteng (1973–1980)
Semboyan: "Domine ut Videam"   (Tuhan, semoga aku melihat!)
Mgr. Vitalis Djebarus, S.V.D. (26 Februari 1929 – 22 September 1998
) adalah Uskup Denpasar sejak terpilih pada 1980 hingga wafat pada 1998. Sebelum menduduki jabatan ini, ia merupakan Uskup Ruteng sejak terpilih pada 17 Maret 1973 hingga terpilih sebagai Uskup Denpasar.
Pendidikan

Pada tahun 1942, Djebarus menamatkan Vervolgschool (VVS) di Ruteng, dan melanjutkan pendidikannya di Seminari Menengah di Mataloko. Pada tahun 1950, ia masuk novisiat SVD di Ledalero, dan selanjutnya menyelesaikan studi di sana.
Karya

Djebarus ditahbiskan menjadi imam Serikat Sabda Allah pada tanggal 14 Januari 1959 di Ledalero. Ia kemudian berkarya di Ledalero selama 12 tahun. Pada tahun 1961, ia mengikuti kursus jurnalistik di Munchen, Jerman, dan selanjutnya studi teologi asetis di Universitas Angelicum, Roma.
Pada 29 Januari 1972, Mgr. Wilhelmus van Bekkum, S.V.D. secara tertulis menyatakan pengunduran diri dari Keuskupan Ruteng. Pernyataan ini dibacakan oleh Uskup Agung Ende pada 30 Januari 1972 di Gereja Katedral Ruteng. Hal ini disusul dengan pengumuman dekret Kongregasi Penyebaran Iman tentang pengangkatan Djebarus sebagai Administrator Apostolik Ruteng. Pada 31 Januari 1972, Vitalis menerima pengangkatan sebagai Administrator Apostolik Keuskupan Ruteng.
Pada 17 Maret 1973, Tahta Suci menunjuknya sebagai Uskup Ruteng. Pada 5 Mei 1973 ia ditahbiskan menjadi uskup oleh Uskup Agung Joseph Mees yang merupakan Nuncio Apostolik untuk Indonesia dan bergelar Uskup Agung Tituler Ypres. Uskup Agung Ende Donatus Djagom, S.V.D. dan Uskup Kupang Gregorius Manteiro, S.V.D. bertindak sebagai Uskup Penahbis Pendamping.
Seiring masa indonesianisasi, karya-karya dalam bidang pemandirian telah mulai ditanam. Ide dan visi tentang gereja mandiri dengan pelbagai aspeknya juga mulai dirintis. Djebarus memberikan program Paroki Berdikari yang meliputi tiga bidang, yakni pemberdikarian mental, pemberdikarian material, dan pemberdikarian personil. Selain program pemberdikarian, ia turut mengembangkan kerja sama antara Gereja dan Pemerintah. Dalam cara yang elegan, ia kerapkali mengkritisi kebijakan pemerintah yang kurang rasional, termasuk pada 7 Juni 1977 ia melakukan penarikan kembali perbantuan semua Pegawai Negeri Sipil yang bekerja pada Yayasan SUKMA (Yayasan Persekolahan Umat Katolik Manggarai).
Pada 4 September 1980, ia ditunjuk sebagai Uskup Denpasar untuk meneruskan kepemimpinan di sana, setelah Paulus Sani Kleden meninggal dunia dan diisi oleh Mgr. Antonius Hubertus Thijssen, S.V.D. sebagai Administrator Apostolik Denpasar yang kemudian mundur karena alasan kesehatan. Untuk Keuskupan Ruteng, R.P. Gerardus Mezemberg, S.V.D. bertugas menjadi Vikaris Kapitularis sebelum digantikan R.D. Max Nambu sebagai Administrator Diosesan pada 15 Desember 1983.
Djebarus dilantik sebagai Uskup Denpasar pada tanggal 13 Januari 1981. Dalam masa kepemimpinannya, karya pendidikan, kesehatan, dan karya sosial menjadi perhatian. Pada 24 November 1990, Gereja di Pulau Sumbawa yang sebelumnya masuk dalam wilayah Keuskupan Weetebula digabungkan dengan wilayah Keuskupan Denpasar. Serah terima dilakukan antara Djebarus dengan Uskup Weetebula Mgr. Gerulfus Kherubim Pareira, S.V.D.
Dalam masa kegembalaannya, pembangunan Gereja Katedral Denpasar juga mulai diwujudkan.
Sejak tahun 1996, kesehatannya mulai menurun. Ia kemudian meninggal dunia pada 22 September 1998 di Rumah Sakit Sint Carolus, Jakarta. Jenazahnya dibawa ke Denpasar untuk dimakamkan di Palasari pada 24 September 1998.
Pranala luar

(Inggris) Entri Vitalis Djebarus pada situs web Catholic-Hierarchy
(Inggris) Entri Vitalis Djebarus pada situs web Giga Catholic
| Jabatan Gereja Katolik |
| --- | --- | --- |
| Didahului oleh: Wilhelmus van Bekkum, S.V.D. | Uskup Ruteng 17 Maret 1973 – 4 September 1980 | Diteruskan oleh: Eduardus Sangsun, S.V.D. |
| Didahului oleh: Paul Sani Kleden, S.V.D. | Uskup Denpasar 4 September 1980 – 22 September 1998 | Diteruskan oleh: Benyamin Yosef Bria |
| Pengawasan otoritas  |
| --- | --- |
Umum:  VIAF 1  WorldCat (via VIAF) 
Perpustakaan nasional:  Amerika Serikat
Wakaba-ku, Chiba

| Wakaba 若葉区 |
| --- | --- |
Distrik kota
Balai Distrik kota Wakaba
Lokasi Wakaba di kota Chiba
Negara:  Jepang
Wilayah: Kantō
Prefektur:  Chiba
Kota: Chiba
Luas
 • Total: 84,19 km2 (32,51 sq mi)
Populasi (Oktober 1, 2020)
 • Total: 146.940
 • Kepadatan: 1.745/km2 (4,520/sq mi)
Zona waktu: UTC+09:00
Kode pos: 264-8733
Nomor telepon: 043-233-8111
Alamat: 2-1-1 Sakuragikita, Wakaba-ku, Chiba-shi, Chiba-ken
Situs web: Situs web resmi
Wakaba (若葉区code: ja is deprecated , Wakaba-ku) adalah satu dari enam distrik kota di kota Chiba, Prefektur Chiba, Jepang.
Demografi

Menurut data sensus Jepang, ini adalah populasi Wakaba dalam beberapa tahun terakhir.
| 1995 | 2000 | 2005 | 2010 | 2015 | 2020 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 149.263 | 151.351 | 149.898 | 151.585 | 150.921 | 146.940 |
Pranala luar

Situs web resmi
Edy Murbowo

| Edy Murbowo |
| --- | --- |
 
Kakorbinmas Baharkam Polri
Petahana
Mulai menjabat  20 September 2024
Pendahulu Roycke Harry LangiePengganti Petahana
Dirbinpotmas Korbinmas Baharkam Polri
Masa jabatan 3 Februari 2020 – 20 September 2024
Pendahulu Ricky Francois WakannoPengganti Badya Wijaya
 
Informasi pribadi
Lahir: 0 Mei 1968 (umur 56) Indonesia
Alma mater: Akademi Kepolisian (1990)
Karier militer
Pihak:  Indonesia
Dinas/cabang:  Kepolisian Negara Republik Indonesia
Masa dinas: 1990—sekarang
Pangkat:  Inspektur Jenderal Polisi
Satuan: SDM


Sunting kotak info • L • B
 
Irjen. Pol. Edy Murbowo, S.IK., M.Si. (lahir Mei 1968) adalah seorang perwira tinggi Polri yang sejak 20 September 2024 mengemban amanat sebagai Kakorbinmas Baharkam Polri.
Edy, lulusan Akpol 1990 ini berpengalaman dalam bidang SDM. Jabatan terakhir jenderal bintang dua ini adalah Dirbinpotmas Korbinmas Baharkam Polri.
Riwayat jabatan

Kapolres Pekalongan
Kapolres Magelang (2011)
Kabagbinjas Rowatpers SSDM Polri
Karo SDM Polda Kalsel (2013)
Analis Kebijakan Madya Bidang Watpers SSDM Polri (2015)
Karo SDM Polda Jateng (2016)
Kabagren Rojianstra SSDM Polri (2017)
Dirbinpotmas Korbinmas Baharkam Polri (2020)
Kakorbinmas Baharkam Polri (2024)
Domnall mac Muirecáin

| Domnall mac Muirecáin |
| --- | --- |
 
Raja Leinster
Masa jabatan 871–884
 


Sunting kotak info • L • B
 
Domnall mac Muirecáin adalah Raja Leinster. Leinster sendiri adalah sebuah kerajaan yang pernah berdiri di sisi tenggara Pulau Irlandia. Domnall mac Muirecáin mulai berkuasa sebagai raja pada tahun 871. Masa kekuasaannya kemudian berakhir pada tahun 884.
Exechia repandoides

| Exechia repandoides |
| --- | --- |

Klasifikasi ilmiah
Kerajaan:: Animalia
Filum:: Arthropoda
Kelas:: Insecta
Ordo:: Diptera
Famili:: Mycetophilidae
Genus:: Exechia
Spesies:: Exechia repandoides

Exechia repandoides adalah spesies lalat yang berasal dari genus Exechia dan famili Mycetophilidae. Lalat ini juga merupakan bagian dari ordo Diptera, kelas Insecta, filum Arthropoda, dan kingdom Animalia.
Lalat ini biasanya dapat ditemui di tempat lembab.
Exechia pseudocontaminata

| Exechia pseudocontaminata |
| --- | --- |

Klasifikasi ilmiah
Kerajaan:: Animalia
Filum:: Arthropoda
Kelas:: Insecta
Ordo:: Diptera
Famili:: Mycetophilidae
Genus:: Exechia
Spesies:: Exechia pseudocontaminata

Exechia pseudocontaminata adalah spesies lalat yang berasal dari genus Exechia dan famili Mycetophilidae. Lalat ini juga merupakan bagian dari ordo Diptera, kelas Insecta, filum Arthropoda, dan kingdom Animalia.
Lalat ini biasanya dapat ditemui di tempat lembab.
Elisa (putra Yawan)

Artikel ini bukan mengenai Elisa.
Elisa, Elishah, atau Eliseus (bahasa Ibrani: אֱלִישָׁה‎ Elishah) adalah putra Yawan menurut Kejadian 10:4. Septuaginta Yunani dari Kejadian 10 menyatakan bahwa Elisa tak hanya putra Yawan, namun juga cucu Yafet.
Para cendekiawan sering kali mengidentifikasikan Elisa dengan bangsa Siprus, karena pada zaman kuno pulau Siprus atau bagian darinya dikenal sebagai Alashiya.
Sejarawan Yudea Flavius Yosefus mengaitkan keturunan Elisa dengan bangsa Aeolia, salah satu cabang leluhur dari bangsa Yunani.
Presentasi grup

"Relator "mengalihkan di sini. Untuk kegunaan lain, lihat Relator (disambiguasi)
Artikel ini bukan mengenai Representasi grup.
Halaman ini berisi artikel tentang menentukan generator dan relasi grup. Untuk mendeskripsikan modul di atas gelanggang, lihat presentasi bebas.
Dalam matematika, presentasi adalah salah satu metode untuk menentukan grup. Presentasi dari grup  G  terdiri dari satu set  S  dari generator, sehingga setiap elemen grup dapat ditulis sebagai produk kekuatan dari beberapa generator ini, dan satu himpunan  R  dari relasi di antara generator tersebut. Kami kemudian mengatakan  G  memiliki presentasi
Secara informal,  G  memiliki presentasi di atas jika itu adalah "grup paling bebas" yang dihasilkan oleh  S  yang hanya tunduk pada relasi  R . Secara formal, grup  G  dikatakan memiliki presentasi di atas jika isomorfik ke hasil bagi dari grup bebas pada  S bebas  oleh subgrup normal dihasilkan oleh relasi  R .
Sebagai contoh sederhana, grup siklik dengan urutan  n  memiliki penyajian
dimana 1 adalah identitas grup. Ini dapat ditulis sama dengan
berkat konvensi bahwa istilah-istilah yang tidak menyertakan tanda sama dengan dianggap sama dengan identitas grup.  Istilah seperti itu disebut relator, membedakannya dari relasi yang menyertakan tanda sama dengan.
Setiap kelompok memiliki presentasi, dan ternyata banyak presentasi yang berbeda; presentasi sering kali merupakan cara paling ringkas untuk mendeskripsikan struktur grup.
Sebuah konsep yang terkait erat tetapi berbeda adalah konsep presentasi mutlak dari suatu grup.
Latar Belakang

Grup bebas pada himpunan  S  adalah grup di mana setiap elemen dapat  secara unik  dijelaskan sebagai produk panjang terbatas dari bentuk:
dimana si adalah elemen S, berdekatan si berbeda, dan  a i   adalah bilangan bulat bukan nol (tetapi  n  bisa jadi nol). Dalam istilah yang kurang formal, grup tersebut terdiri dari kata-kata di generator  dan inversnya , hanya tunduk pada pembatalan generator dengan kejadian invers yang berdekatan.
Jika  G  adalah grup apa pun, dan  S  adalah subset yang menghasilkan dari  G , maka setiap elemen  G  juga berbentuk di atas; namun secara umum, produk ini tidak akan  secara unik  menggambarkan elemen  G .
Misalnya, grup dihedral D 8  berorde enam belas dapat dihasilkan oleh rotasi,  r , berorde 8; dan flip, f, of order 2; dan tentunya setiap elemen D  8  adalah produk dari r' dan f'.
Namun, kami memiliki, misalnya, rfr = f, r7 = r−1, dll., jadi produk seperti itu  tidak unik  di D 8 . Masing-masing produk ekuivalen dapat diekspresikan sebagai persamaan dengan identitas, seperti
Secara informal, kita dapat menganggap produk ini di sisi kiri sebagai elemen dari grup bebas F = <r, f>, dan dapat mempertimbangkan subgrup  R  dari  F  yang dihasilkan oleh string ini; masing-masing juga akan sama dengan 1 jika dianggap sebagai produk dalam D8.
Jika kemudian kita membiarkan  N  menjadi subgrup dari  F  yang dihasilkan oleh semua konjugasi x−1Rx dari  R , maka berikut definisi bahwa setiap elemen  N  adalah produk hingga x1−1r1x1 ... xm−1rm xm of anggota konjugat tersebut. Oleh karena itu, setiap elemen  N , jika dianggap sebagai produk pada D8, juga akan mengevaluasi ke 1; dan dengan demikian  N  adalah subgrup normal dari  F . Jadi D 8  isomorfik ke grup hasil bagi F/N. Kami kemudian mengatakan bahwa D 8  memiliki presentasi
Di sini himpunan generatornya S = {r, f }, dan himpunan relasinya adalah R = {r 8 = 1, f 2 = 1, (rf )2 = 1}.  Kita sering melihat  R  disingkat, memberikan presentasi
Bentuk yang lebih pendek menghilangkan tanda-tanda kesetaraan dan identitas, untuk mendaftar hanya himpunan relator, yaitu {r 8, f 2, (rf )2}.  Melakukan ini memberikan presentasi
Ketiga presentasi itu setara.
Notasi

Meskipun notasi Templat:Braket  digunakan dalam artikel ini untuk presentasi sekarang yang paling umum, penulis sebelumnya menggunakan variasi yang berbeda pada format yang sama.  Notasi tersebut meliputi:[butuh rujukan]
Templat:Braket
(S | R)
{S; R}
⟨S; R⟩
Definisi

Maka  S  menjadi satu set dan biarkan FS jadilah grup gratis di  S . Misalkan  R  menjadi satu himpunan kata-kata pada  S , jadi  R  secara alami memberikan subset dari  F_{S}. Untuk membentuk grup dengan presentasi  \langle S\mid R\rangle , ambil hasil bagi dari  F_{S} oleh subgrup normal terkecil yang berisi setiap elemen  R .  (Subgrup ini disebut penutupan normal  N  dari  R  di  F_{S}.)  Grup  \langle S\mid R\rangle  kemudian ditentukan sebagai grup hasil bagi
Elemen  S  disebut generator dari  \langle S\mid R\rangle  dan elemen  R  disebut relator. Grup  G  dikatakan memiliki presentasi  \langle S\mid R\rangle  if G isomorfik menjadi  \langle S\mid R\rangle .
Merupakan praktik umum untuk menulis relator dalam bentuk  x=y di mana  x  dan  y  adalah kata-kata di  S . Artinya adalah itu  y^{-1}x\in R. Ini memiliki arti intuitif bahwa gambar  x  dan  y  seharusnya sama dalam kelompok hasil bagi. Jadi, misalnya,  r n   dalam daftar relator sama dengan  r^{n}=1.
Untuk grup hingga  G , dimungkinkan untuk membuat presentasi  G  dari tabel perkalian grup, sebagai berikut. Ambil  S  sebagai elemen set  g_{i} dari  G  dan  R  menjadi semua kata dalam bentuk  g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}, dimana  g_{i}g_{j}=g_{k} adalah entri dalam tabel perkalian.
Definisi > Definisi alternatif

Definisi presentasi kelompok dapat disusun kembali dalam istilah kelas ekivalen dari kata-kata pada alfabet  S\cup S^{-1}.  Dalam perspektif ini, kami mendeklarasikan dua kata menjadi setara jika memungkinkan untuk berpindah dari satu kata ke kata lain dengan serangkaian gerakan, di mana setiap gerakan terdiri dari menambah atau menghapus pasangan yang berurutan  xx^{-1} or  x^{-1}x untuk beberapa  x di  S, atau dengan menambahkan atau menghapus salinan relator yang berurutan. Elemen grup adalah kelas kesetaraan, dan operasi grup adalah penggabungan.
Sudut pandang ini sangat umum di bidang teori grup kombinatorial.
Grup disajikan dengan sempurna

Presentasi dikatakan dihasilkan secara terbatas jika  S  terbatas dan terkait dengan batas jika  R  terbatas. Jika keduanya terbatas maka dikatakan sebagai presentasi yang terbatas. Sebuah grup dihasilkan secara tak terbatas (masing-masing terkait secara tak terbatas, disajikan dengan halus) jika itu memiliki presentasi yang dihasilkan secara terbatas (masing-masing terkait dengan halus, presentasi terbatas). Grup yang memiliki presentasi terbatas dengan satu relasi disebut grup relator satu.
Grup yang disajikan secara rekursif

Jika  S  diindeks oleh satu set  I  yang terdiri dari semua bilangan asli N atau subset yang terbatas dari mereka, maka mudah untuk mengatur pengkodean sederhana satu ke satu f : FS → N dari grup bebas di  S  ke bilangan asli, sehingga kita dapat menemukan algoritme yang, diberikan  f ( w ), hitung  w , dan sebaliknya. Kami kemudian dapat memanggil subset  U  dari FS rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif) jika  f ( U ) adalah rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif). Jika  S  diindeks seperti di atas dan  R  dapat dihitung secara rekursif, maka penyajiannya adalah penyajian rekursif dan grup yang sesuai adalah disajikan secara rekursif. Penggunaan ini mungkin tampak aneh, tetapi dapat dibuktikan bahwa jika sebuah grup memiliki presentasi dengan  R  yang dapat dihitung secara rekursif, maka grup tersebut memiliki presentasi lain dengan  R  rekursif.
Setiap grup yang disajikan secara halus disajikan secara rekursif, tetapi ada grup yang disajikan secara rekursif yang tidak dapat disajikan secara halus.  Namun, teorema Graham Higman menyatakan bahwa grup yang dihasilkan tak terhingga memiliki presentasi rekursif jika dan hanya jika dapat disematkan dalam grup yang disajikan tak terhingga. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ada (hingga isomorfisme) hanya terhitung banyak grup disajikan rekursif yang dihasilkan secara halus. Bernhard Neumann telah menunjukkan bahwa terdapat terhitung banyak dua kelompok generator non-isomorfik. Oleh karena itu, ada grup yang dibuat secara terbatas yang tidak dapat disajikan secara rekursif.
Sejarah

Salah satu presentasi paling awal dari grup oleh generator dan hubungan diberikan oleh ahli matematika Irlandia William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam kalkulus icosian presentasi dari grup Katedral.
Studi sistematis pertama diberikan oleh Walther von Dyck, siswa Felix Klein, pada awal 1880-an, meletakkan dasar untuk teori grup kombinatorial.
Contoh

Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh presentasi untuk kelompok yang umum dipelajari. Perhatikan bahwa dalam setiap kasus ada banyak presentasi lain yang memungkinkan. Presentasi yang terdaftar belum tentu yang paling efisien.
| Grup | Presentasi | Komentar |
| --- | --- | --- |
| grup bebas pada  S  |  \langle S\mid \varnothing \rangle  | Grup bebas adalah "bebas" dalam arti tidak ada hubungan. |
| Cn, grup siklik dengan urutan  n  |  \langle a\mid a^{n}\rangle  |  |
| Dn, grup dihedral ketertiban 2n |  \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle  | Di sini  r  mewakili rotasi dan  f  refleksi |
| D∞, grup hingga |  \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle  |  |
| Dicn, grup siklik |  \langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}\rangle  | Grup hasil bagi Q 8  adalah kasus khusus ketika  n  = 2 |
| Z × Z |  \langle x,y\mid xy=yx\rangle  |  |
| Z/mZ × Z/nZ |  \langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle  |  |
| grup abelian bebas 0ada S |  \langle S\mid R\rangle  di mana  R  adalah himpunan dari semua komutator elemen  S  |  |
| Sn, grup simetris pada simbol  n  | generators:  \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1} relasi:  \sigma _{i}^{2}=1,   \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1,   \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\  Kumpulan relasi terakhir dapat diubah menjadi   {(\sigma _{i}\sigma _{i+1}})^{3}=1\  using  \sigma _{i}^{2}=1. | Here σi adalah permutasi yang menukar elemen  ith dengan  i  + 1 satu. Produk σiσi+1 adalah 3-siklus pada himpunan {i, i+1, i+2}. |
| Bn, grup Braid | generator:  \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}  relations:  \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1,   \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\  | Perhatikan kesamaan dengan grup simetris; satu-satunya perbedaan adalah penghapusan relasi  \sigma _{i}^{2}=1. |
| T ≅ A4, grup tetrahedral |  \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle  |  |
| O ≅ S4, grup oktahedral |  \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle  |  |
| I ≅ A5, kelompok ikosahedral |  \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle  |  |
| Q8, grup hasil bagi |  \langle i,j\mid jij=i,iji=j\rangle \, | Untuk presentasi alternatif lihat Dicn di atas dengan n = 2. |
| SL(2, Z) |  \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle  | topologis  a  dan  b  dapat divisualisasikan sebagai Dehn twist pada torus |
| GL(2, Z) |  \langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle  | nontrivial Z/2Z – ekstensi grup pada SL(2, Z) |
| PSL(2, Z), grup modular |  \langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle  | PSL(2, Z) adalah produk bebas dari grup siklik Z/2Z and Z/3Z |
| grup Heisenberg |  \langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle  |  |
| BS(m, n), Grup Baumslag–Solitar |  \langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle  |  |
| grup Tits |  \langle a,b\mid a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},((ab)^{4}ab^{-1})^{6}\rangle  | [a, b] adalah komutator |
Contoh grup yang dibuat secara terbatas yang disajikan tidak terbatas adalah produk karangan bunga  \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z}  dari grup bilangan bulat dengan dirinya sendiri.
Beberapa teorema

Teorema. Setiap grio memiliki presentasi.
Untuk melihat ini, diberi grup  G , pertimbangkan grup bebas  F G   pada  G . Dengan sifat universal grup bebas, terdapat homomorfisme grup φ : FG → G yang batasannya untuk  G  adalah peta identitas. Misalkan  K  menjadi kernel dari homomorfisme ini. Kemudian  K  normal di FG, Oleh karena itu sama dengan penutupan normalnya, jadi ⟨G | K⟩ = FG/K. Karena peta identitas bersifat surjektif,  φ  juga bersifat surjektif, jadi menurut  Teorema Isomorfisme Pertama, ⟨G | K⟩ ≅ im(φ) = G. Presentasi ini mungkin sangat tidak efisien jika  G  dan  K  lebih besar dari yang diperlukan.
Korollari. Setiap grup terbatas memiliki presentasi yang terbatas.
Seseorang dapat mengambil elemen grup untuk generator dan tabel Cayley untuk relasi.
Beberapa teorema > Teorema Novikov – Boone

Solusi negatif untuk masalah kata untuk grup menyatakan bahwa ada presentasi yang terbatas  ⟨S | R⟩  di mana tidak ada algoritma yang, diberikan dua kata  u ,  v , memutuskan apakah  u  dan  v  mendeskripsikan elemen yang sama dalam grup. Hal ini ditunjukkan oleh Pyotr Novikov pada tahun 1955 dan bukti yang berbeda diperoleh oleh William Boone pada tahun 1958.
Teori grup geometris

Artikel utama: Teori grup geometri
Informasi lebih lanjut: Grafik Cayley
Informasi lebih lanjut: Metrik kata
Presentasi dari sebuah grup menentukan sebuah geometri, dalam pengertian teori grup geometri: satu memiliki grafik Cayley, yang memiliki metrik, yang disebut metrik kata. Ini juga dua order yang dihasilkan,  order lemah  dan  urutan Bruhat , dan diagram Hasse yang sesuai. Contoh penting ada di grup Coxeter.
Lebih lanjut, beberapa properti grafik ini (geometri kasar) bersifat intrinsik, yang berarti tidak bergantung pada pilihan generator.
Lihat pula

Transformasi Nielsen
Transformasi Tietze
Presentasi modul
Presentasi monoid
Pranala luar

(Inggris) de Cornulier, Yves. "Group Presentation". MathWorld.
Small groups and their presentations on GroupNames