Integral
Definisi formal > Integral Lebesgue

Artikel utama: Integral Lebesgue
Baik dalam teori maupun penerapan, seringkali perhitungan perlu memindahkan limit ke "sisi" dalam integral. Sebagai contoh, suatu barisan fungsi sering dibuat untuk menghampiri, dalam konteks yang masuk akal, solusi (dalam rupa fungsi) dari sebuah masalah. Dalam hal ini, integral dari fungsi solusi sewajarnya sama dengan limit dari integral fungsi hampiran. Akan tetapi, banyak fungsi yang dapat dihasilkan dari limit tidak terintegralkan-Riemann, sehingga teorema limit seperti itu tidak berlaku ketika menggunakan integral Riemann. Akibatnya, diperlukan suatu definisi integral yang memungkinkan lebih banyak jenis fungsi yang dapat terintegralkan.
Integral yang memenuhi syarat tersebut adalah integral Lebesgue, yang menggunakan fakta berikut untuk memungkinkan lebih banyak jenis fungsi dapat terintegralkan: jika nilai dari fungsi disusun ulang atas domainnya, integral dari fungsi tersebut harus tidak berubah. Alhasil Henri Lebesgue memperkenalkan integral yang menyandang namanya, dan menjelaskan integral ini dalam surat ke Paul Montel:
Saya harus membayar sejumlah uang, yang telah saya kumpulkan di saku saya. Saya mengambil uang kertas dan koin dari saku saya, dan memberikannya kepada kreditor sesuai urutan saya menemukannya sampai saya mencapai  total uang tersebut. Ini adalah integral Riemann. Tetapi saya dapat melanjutkan secara berbeda. Setelah saya mengeluarkan semua uang dari saku, saya dapat mengurutkan uang kertas dan koin berdasarkan nilai mereka dan baru kemudian saya membayar beberapa tumpukan [nilai uang] satu-demi-satu kepada kreditor. Ini adalah integral saya.
Folland menyampaikan konsep integral ini seperti berikut: "Untuk menghitung integral Riemann dari  f, seseorang perlu mempartisi domain  [a,\,b] sebagai sub-subselang, sedangkan dalam integral Lebesgue, dia mempartisi [rentang] nilai dari  f." Definisi dari integral Lebesgue didasarkan dengan sebuah ukuran,  \mu . Dalam kasus paling sederhana, ukuran Lebesgue  \mu (A) dari selang  A=[a,\,b] adalah lebarnya,  b-a, sehingga hasil integral Lebesgue sama dengan integral Riemann ketika keduanya ada. Pada kasus yang lebih rumit, ukuran dari himpunan dapat sangat terpecah-pecah, tanpa kekontinuan dan tidak memiliki kemiripan apapun dengan selang.
Menggunakan sudut pandang "mempartisi rentang nilai dari  f", integral dari sebuah fungsi non-negatif  f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}  akan menyatakan penjumlahan terhadap  t, dari luas-luas (mungkin beberapa) strip horizontal tipis yang terletak di antara  y=t dan  y=t+dt. Luas dari strip ini adalah  \mu (\{x:f(x)>t\})dt. Misalkan  f^{*}(t)=\mu (\{x:f(x)>t\}). Integral Lebesgue dari  f selanjutnya didefinisikan sebagai \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dtdengan bentuk integral di ruas kanan adalah bentuk integral takwajar Riemann biasa (fungsi  f^{*} adalah fungsi positif yang menurun tegas (strictly decreasing), sehingga memiliki integral takwajar Riemann). Definisi ini berlaku untuk suatu kelompok fungsi yang sesuai (yakni fungsi terukur).
Sebarang fungsi terukur  f terintegralkan-Lebesgue jika jumlah dari nilai-nilai mutlak dari luas daerah diantara grafik fungsi  f dan sumbu- x bernilai hingga; secara matematis: \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .Dalam kasus tersebut, integralnya adalah selisih luas daerah diatas sumbu- x dengan luas dibawah sumbu- x; sama seperti integral Riemann. Dituliskan dalam bentuk matematis: \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu dengan {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{jika }}f(x)>0,\\0,&{\text{lainnya,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{jika }}f(x)<0,\\0,&{\text{lainnya.}}\end{cases}}\end{alignedat}}