Aljabar
Aplikasi

Lihat pula: Matematika terapan
Aljabar memberikan banyak dampak di dalam matematika dan penerapannya di bidang lain. Aljabarisasi matematika (algebraization of mathematics) berarti proses mengaplikasikan metode dan prinsip-prinsip aljabar ke cabang matematika yang lain, seperti geometri, topologi, teori bilangan, dan kalkulus. Penerapan tersebut menggunakan simbol berupa variabel untuk mengekpresikan penjelasan secara matematis pada tingkat yang lebih umum, yang memungkinkan matematikawan mengembangkan model secara formal yang menjelaskan bagaimana cara objek-objek berinteraksi dan berkaitan satu sama lain.
Salah satu penerapan aljabar ditemukan dalam geometri, yang menggunakan pernyataan aljabar untuk menjelaskan gambaran geometris. Sebagai contoh, persamaan  y=3x-7 menggambarkan suatu garis di dalam ruang berdimensi dua, sedangkan persamaan  x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 menggambarkan bola dalam ruang berdimensi tiga. Beberapa cabang minat khusus geometri aljabar adalah varietas aljabar, yang merupakan solusi untuk sistem persamaan polinomial yang dapat digunakan untuk menjelaskan gambaran geometris yang lebih kompleks. Selain itu, penalaran aljabar dapat memecahkan permasalashan geometris. Sebagai contoh, seseorang dapat menentukan apakah dan dimanakah garis yang dinyatakan sebagai  y=x+1 berpotongan dengan lingkaran yang dinyatakan sebagai  x^{2}+y^{2}=25 dengan memecahkan sistem persamaan dari kedua persamaan tersebut. Topologi mengkaji sifat-sifat bangunan geometris atau ruang topologis yang dipertahankan di bawah operasi deformasi kontinu. Topologi aljabar mengandalkan teori-teori aljabar seperti teori grup untuk mengklasifikasi ruang-ruang topologis. Sebagai contoh, grup homotopi mengklasifikasi ruang-ruang topologis berdasarkan keberadaan loop atau lubang di dalamnya.
Teori bilangan melibatkan sifat-sifat dan hubungan antara bilangan bulat. Teori bilangan aljabar applies menerapkan metode dan prinsip aljabar ke cabang teori bilangan. Contoh-contohnya berupa penggunaan ekspresi aljabar untuk menjelaskan hukum yang umum seperti Teorema Terakhir Fermat, dan pengunaan struktur aljabar untuk menganalisis perilaku bilangan seperti gelanggang bilangan bulat. Kaitan cabang lainnya adalah kombinatorik, yang menggunakan teknik aljabar untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan pencacahan, penyusunan, dan kombinasi dari objek-objek yang diskret. Contohnya seperti kombinatorik aljabar yang merupakan penerapan teori grup untuk menganalisis graf dan simetri. Pemahaman aljabar yang relevan dengan kalkulus, yang menggunakan ekrepsi matematika untuk menguji laju perubahan dan akumulasi. Kalkulus mengandalkan aljabar, contohnya seperti memahami bagaimana ekspresi-ekspresinya dapat diubah dan variabel mana yang akan dimainkan. Logika aljabar menggunakan metode aljabar untuk menjelaskan dan menganalisis struktur dan pola yang mendasari penalaran secara logika, menjelajahi struktur matematika yang berkaitan dan penerapannya terhadap permasalahan logika yang konkret. Logika lajabar juga mencakup kajian aljabar Boole untuk menjelaskan logika proporsisional serta formulasi dan analisis struktur aljabar yang korespodensi dengan sistem logika yang lebih kompleks.
Metode aljabar sering kali digunakan di dalam cabang lain, seperti ilmu alam. Sebagai contoh, metode aljabar digunakan untuk mengekspresikan hukum-hukum ilmiah dan menyelesaikan permasalahan di dalam fisika, kimia, dan biologi. Penerapan yang mirip juga ditemukan di dalam cabang ekonomi, geografi, rekayasa (yaitu elektronik dan robotik), serta ilmu komputer untuk mengekspresikan kaitan, menyelesaikan permasalashan, dan memodelkan sistem. Aljabar lienar memainkan peran penting di dalam kecerdasan buatan dan machine learning, contohnya dengan memungkinkan proses dan analisis secara efisien mengenai dataset yang cukup besar. Berbagai cabang yang mengandalkan struktur aljabar juga dipelajari oleh aljabar abstrak. Sebagai contoh, krsitalografi dan mekanika kuantum membuat pengunaan teori grup yang ekstensif, yang juga digunakan untuk mengkaji teka-teki seperti Sudoku dan kubus Rubik, serta origami. Teori pengodean dan kriptologi mengandalkan aljabar abstrak untuk memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan transmisi data, seperti menghindari efek derau dan menjaga keamanan data.