Grup kuaternion
Sifat

Perhatikan bahwa  i ,  j , dan  k  semuanya memiliki  urutan empat di Q 8  dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup.  Presentasi lainnya dari Q8 berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:
Seseorang mungkin mengambil, misalnya,  i=x,j=y, dan  k=xy.
Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai  Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah  normal. Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.
Grup angka empat Q 8  dan grup dihedral D 4  adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian  nilpoten.
Pusat dan subgrup komutator dari Q 8  adalah subgrup  \{e,{\bar {e}}\}. Grup automorfisme dalam dari Q 8  diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,e}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8  adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat  Representasi matriks  di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8  adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.
Grup angka empat Q 8  memiliki lima kelas konjugasi, {e }, { e }, { i, i }, { j, j }, { k, k }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:
Representasi trivial
Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal  N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen  N  ke 1, dan elemen di luar  N  ke -1.
Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam  Representasi matriks .
Tabel karakter dari Q 8  ternyata sama dengan D4:
| Representasi (ρ)/kelas konjugasi | { e } | { e } | { i, i } | { j, j } | { k, k } |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
Representasi trivial: 1
| Tanda representasi dengan i-kernel | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| Tanda representasi dengan j-kernel | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| Tanda representasi dengan k-kernel | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| Representasi 2 dimensi | 2 | -2 | 0 | 0 | 0 |
Karena karakter yang tidak dapat direduksi  \chi _{\rho } pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan  dekomposisi dari  aljabar grup nyata dari  G=Q_{8} menjadi minimal dua sisi  ideal:  \textstyle \mathbb {R} [Q_{8}]\ =\ \bigoplus _{\rho }(e_{\rho }), di mana  idempotensi  e_{\rho }\in \mathbb {R} [Q_{8}] sesuai dengan irreducibles:  \textstyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g, seperti
e_{\text{triv}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})
e_{i{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})
e_{j{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})
e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})
e_{2}={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}}).
Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata  \mathbb {R} . Ideal terakhir  (e_{2}) isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat  \mathbb {H}  dengan korespondensi:
\textstyle {\frac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\longleftrightarrow 1,\ \ {\frac {1}{2}}(i-{\bar {i}})\longleftrightarrow i,\ \ {\frac {1}{2}}(j-{\bar {j}})\longleftrightarrow j,\ \ {\frac {1}{2}}(k-{\bar {k}})\longleftrightarrow k.
Selanjutnya, proyeksi homomorfisme  \mathbb {R} [Q_{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H}  diberikan oleh  r\mapsto re_{2} memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten:
e_{2}^{\perp }\ =\ \textstyle e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}\ =\ {\frac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),
sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi  \mathbb {R} [Q_{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} .
Aljabar grup kompleks dengan demikian  \mathbb {C} [Q_{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ), dimana  M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\!\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H}  adalah aljabar dari bikuaternion.