stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Akar bilangan
Definisi dan notasi > Akar pangkat tiga

Artikel utama: Akar pangkat tiga
Sebuah akar pangkat tiga dari bilangan x adalah bilangan r yang kubusnya adalah x:
Setiap bilangan real x memiliki tepat satu akar pangkat tiga, ditulis  {\sqrt[{3}]{x}}. Misalnya,
Setiap bilangan real memiliki dua akar pangkat tiga kompleks tambahan.
Dasar-dasar matematika

Deskripsi berikut dari fungsi akar kuadrat sebagai teoretis mengacu pada tubuh yang diatur bilangan real ℝ, sehingga sampai batas tertentu pada matematika didatik. Istilah akar yang umum untuk mencakup penjelasan tersebut, dibahas dalam artikel adjungsi.
Dasar-dasar matematika > Koneksi dengan potensi

Akar kuadrat dengan eksponen akar  n dan eksponen dengan eksponen  n saling meniadakan. Menurut definisi akar atas, untuk semua bilangan real  a\geq 0 dan untuk semua bilangan asli  n\geq 1:
Akar kuadrat dengan eksponen akar  n melakukan seperti eksponen dengan eksponen  {\tfrac {1}{n}}. Menurut kaidah perhitungan untuk kuasa:
Oleh karena itu akar kuadrat dengan eksponen akar n juga diartikan sebagai eksponen dengan eksponen 1/n:
Dasar-dasar matematika > Akar unik dari bilangan positif

Meskipun pertanyaan yang disebutkan diawal memiliki dua solusi dengan tanda yang berbeda untuk eksponen akar genap dan radikan positif, yang merupakan notasi dengan tanda akar  {\sqrt[{}]{\color {white}1}} pada dasarnya untuk solusi positif. Misalnya, persamaan  x^{2}=4 memiliki dua solusi  x=+2 dan  x=-2. Namun, istilah  {\sqrt[{2}]{4}} memiliki nilai +2 dan yang bukan nilai −2.  Oleh karena itu, eksponen tersebut digunakan dalam akar genap
Dasar-dasar matematika > Akar bilangan negatif

Definisi akar dari bilangan negatif bukan seragam. Maka berlaku, yaitu
dan  -2 adalah satu-satunya bilangan real kuasa ketiga  -8. Secara umum, bilangan negatif menghasilkan kuasa ganjil dari bilangan negatif.
Berkenaan dengan akar ganjil dari bilangan negatif, berikut ini diambil:
Akar dari bilangan negatif umumnya tidak didefinisikan. Misalnya,  {\sqrt[{3}]{-8}} tidak didefinisikan. Solusi dari persamaan  x^{3}=-8 ditulis sebagai  x=-{\sqrt[{3}]{8}}.
Akar dari bilangan negatif didefinisikan jika eksponen akar adalah bilangan ganjil (3, 5, 7, ...). Untuk bilangan ganjil  2n+1 adalah
Akar kuasa genap dari bilangan negatif tidak berupa bilangan real karena kuasa bilangan real bukanlah negatif. Tidak ada bilangan real  x, jadi  x^{2}=-1 tidak dapat menemukan akar  x={\sqrt[{2}]{-1}} yang terletak pada bilangan real. Dibutuhkan akan akar bilangan negatif disebabkan karena pengenalan bilangan kompleks; namun, dengan konsep akar pada area bilangan kompleks, terdapat kesulitan tertentu dengan identifikasi yang jelas dari salah satu akar, lihat dibawah.
Dasar-dasar matematika > Akar irasional dari bilangan bulat

Jika  n adalah bilangan bulat tidak negatif dan  k adalah bilangan bulat positif, jadi  {\sqrt[{k}]{n}} adalah bilangan bulat atau bilangan irasional. Hal ini dibuktikan dengan menerapkan keunikan faktorisasi prima:
Jika  n\leqq 1, maka  {\sqrt[{k}]{n}}=n, yaitu bilangan bulat. Jika tidak, faktorisasi prima unik kecuali urutan faktor  n=p_{1}^{e_{1}}\dotsm p_{r}^{e_{r}} dengan urutan bilangan prima yang berbeda  p_{1},\dotsc ,p_{r} dan bilangan bulat positif  e_{1},\dotsc ,e_{r}. Apakah semua  e_{j} untuk  1\leqq j\leqq r habis dibagi  k, jadi  {\sqrt[{k}]{n}}=p_{1}^{e_{1}/k}\dotsm p_{r}^{e_{r}/k} adalah bilangan bulat.
Untuk menunjukkannya adalah: Apakah ada setidaknya satu  j dengan  1\leqq j\leqq r, sehingga  e_{j} tidak habis dibagi  k, maka  {\sqrt[{k}]{n}} adalah irasional. Bukti irasionalitas tak langsung, juga menyangkal asumsi berlawanan seperti dalam bukti irasional akar 2 dalam Euklides, yang pada dasarnya adalah kasus khusus  n=k=2 dari pembuktian ini.
Misalkan  {\sqrt[{k}]{n}} adalah rasional. Kemudian Anda menulis bilangan tersebut sebagai pecahan dari dua bilangan asli  a dan  b:
Dengan menaikkan persamaan ke kuasa
dan mengikuti
Faktorisasi prima  p_{j} muncul pada  a^{k} atau  b^{k},  k lebih digunakan daripada  a atau  b, setidaknya dalam perkalian yang  dibagi dengan  k, dimana kemunculan 0 tentu saja diizinkan. Pada  n disesuaikan dengan prasyarat pada perkalian  e_{j} yang tidak habis dibagi  k. Jadi itu tidaklah muncul pada sisi kiri persamaan yang digunakan dalam perkalian yang habis dibagi  k, tetapi pada bagian sebelah kanannya, dan mendapatkan kontradiksi dengan keunikan faktorisasi prima. Oleh karena itu,  {\sqrt[{k}]{n}} adalah irasional.
Dasar-dasar matematika > Hukum Akar

Aturan perhitungan untuk akar dihasilkan dari aturan untuk kuasa.
Hukum matematika berikut ini berlaku untuk bilangan positif  a dan  b dan  n,m,k\in \mathbb {N} :
Darab:  {\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}
Pembagian/Hasil bagi:  {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}
Iterasi:  {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}
Definisi eksponen pecahan:  a^{\frac {k}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{k}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}
Definisi eksponen negatif:  a^{-{\frac {k}{n}}}={\frac {1}{a^{\frac {k}{n}}}}
Dengan radikan yang sama, berikut ini berlaku:  {\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}={\sqrt[{mn}]{a^{m+n}}}
Dengan bilangan negatif  a dan  b, hukum aritmetika ini hanya dapat digunakan, jika  m dan  n adalah bilangan ganjil. Dalam kasus bilangan kompleks, ia harus dihindari sepenuhnya, atau ekuivalen hanya berlaku dengan pilihan saham sekunder yang sesuai. Dengan kata lain: dalam contoh, akar apa pun (misalnya, nilai utama) dipilih pada sisi kiri, untuk sisi kanan terdapat bilangan sekunder yang sesuai yang memenuhi persamaan—sisi kiri dan kanan berbeda satu akar satuan.
Dasar-dasar matematika > Barisan

Limit barisan berikut ini berlaku:
\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1 untuk  a>0
\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1
\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{k}}}=1, dimana  k adalah bilangan asli tetap.
\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(n)}{n}}=0,
Dasar-dasar matematika > Fungsi akar

Fungsi berikut ini berlaku dalam bentuk
yang disebut juga sebagai fungsi akar. Maka ia adalah fungsi kuasa, yang berlaku  {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac {m}{n}}.
Identitas dan sifat

Mengekspresikan derajat akar pangkat n dalam bentuk eksponen, seperti dalam  x^{1/n}, mempermudah manipulasi kuasa dan akar. Jika  a adalah bilangan real non-negatif,
Setiap bilangan non-negatif memiliki tepat satu akar pangkat n real non-negatif, jadi kaidah untuk operasi dengan surd yang melibatkan radikan non-negatif  a dan  b langsung dalam bilangan real:
Kehalusan dapat terjadi saat mengambil akar pangkat n dari negatif atau bilangan kompleks. Misalnya:
Karena kaidah  {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}} hanya berlaku untuk radikan real non-negatif saja, penerapannya mengarah pada ketaksamaan pada langkah pertama diatas.
Bentuk sederhana dari ekspresi radikal

Ekspresi radikal tak bersarang dikatakan dalam bentuk sederhana jika
Tidak ada faktor radikan yang ditulis sebagai kuasa besar atau sama dengan indeks.
Tidak ada pecahan di bawah tanda radikal.
Tidak ada radikal dalam penyebutnya.
Misalnya, untuk menulis ekspresi akar  {\sqrt {\tfrac {32}{5}}} dalam bentuk sederhana, kita melanjutkannya sebagai berikut. Pertama, cari kuadrat sempurna di bawah tanda akar kuadrat dan hapus:
Selanjutnya, ada pecahan di bawah tanda radikal, yang kita ubah sebagai berikut:
Akhirnya, kita menghapus akar dari penyebut sebagai berikut:
Ketika ada penyebut yang melibatkan surd, mungkin menemukan faktor untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan cara menyederhanakan ekspresi. Misalnya menggunakan faktorisasi jumlah dua kubus:
Menyederhanakan ekspresi radikal yang melibatkan radikal tersarang bisa sangat sulit. Misalnya bahwa:
Di atas dapat diturunkan melalui:
Misalkan  r=p/q, dengan p dan q berkoprima dan bilangan bulat positif. Maka  {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}} adalah rasional jika dan hanya jika keduanya  {\sqrt[{n}]{p}} dan  {\sqrt[{n}]{q}} adalah bilangan bulat, yang berarti bahwa baik p dan q adalah kuasa ke-n dari beberapa bilangan bulat.
Deret tak hingga

Radikal atau akar yang diwakili oleh deret tak hingga:
dengan  |x|<1. Ekspresi ini diturunkan dari deret binomial.
Menghitung akar utama > Menggunakan metode Newton

Akar ke-n dari bilangan A dihitung dengan metode Newton. Mulailah dengan tebakan awal x0 dan kemudian ulangi menggunakan relasi perulangan
until the desired precision is reached.  Misalnya, untuk mencari akar kelima dari 34, kita masukkan n = 5, A = 34 dan x0 = 2 (tebakan awal). 5 iterasi pertama adalah, kira-kira:


x0 = 2


x1 = 2.025


x2 = 2.024397817


x3 = 2.024397458


x4 = 2.024397458


Perkiraan x4 adalah nilai akurat hingga 25 tempat desimal.
Metode Newton dapat dimodifikasi untuk menghasilkan berbagai pecahan kontinu umum untuk akar pangkat n. Misalnya,
Menghitung akar utama > Perhitungan digit-kali-digit dari akar utama bilangan desimal (basis 10)

Membangun perhitungan digit-kali-digit dari akar kuadrat, dapat dilihat bahwa rumus yang digunakan di sana,  x(20p+x)\leq c, atau  x^{2}+20xp\leq c, mengikuti pola yang melibatkan segitiga Pascal. Untuk akar pangkat n suatu bilangan  P(n,i) didefinisikan sebagai nilai elemen  i pada baris  n dari Segitiga Pascal sehingga  P(4,1)=4 dapat ditulis ulang ekspresi sebagai  \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}. Untuk kenyamanan, seruan hasil dari ekspresi ini  y. Menggunakan ekspresi yang lebih umum ini, setiap akar utama positif dapat dihitung, digit-kali-digit, sebagai berikut.
Tulis bilangan asli dalam bentuk desimal. Bilangan-bilangan ditulis dengan algoritma pembagian panjang, dan, seperti pada pembagian panjang, akarnya akan ditulis pada baris diatas. Sekarang pisahkan bilangan-bilangan menjadi grup bilangan yang sama dengan akar yang diambil, mulai dari titik desimal dan ke kiri dan kanan. Titik desimal dari akar akan berada diatas titik desimal dari radikan. Satu digit akar akan muncul diatas pada setiap grup digit dari bilangan aslinya.
Dimulai dengan grup digit paling kiri, lakukan prosedur berikut untuk setiap gru0:
Mulai dari kiri, turunkan grup bilangan paling signifikan (paling kiri) yang belum digunakan (jika semua digit telah digunakan, tulis "0" berapa kali untuk membuat grup) dan tuliskan dibagian kanan sisa dari langkah sebelumnya (pada langkah pertama, tidak akan ada sisa). Dengan kata lain, kalikan sisanya dengan  10^{n} dan tambahkan digit dari grup berikutnya. Ini akan menjadi nilai saat c.
Temukan p dan x , sebagai berikut:
Maka  p sebagai bagian dari akar yang ditemukan sejauh ini, dengan tidak menggunakan titik desimal apa pun. (Untuk langkah pertama,  p=0).
Tentukan bilangan terbesar  x sehingga  y\leq c.
Tempatkan digit  x sebagai digit berikutnya dari akar, yaitu, bagian atas grup digit yang baru saja Anda turunkan. Jadi p berikutnya akan menjadi p lama dikalikan 10 ditambah x.
Kurangi  y dari  c untuk membentuk sisa baru.
Jika sisanya adalah nol dan tidak ada lagi bilangan yang harus diturunkan, maka algoritma telah dihentikan. Jika tidak, kembali ke langkah 1 untuk iterasi lain.
Menghitung akar utama > Perhitungan digit-kali-digit dari akar utama bilangan desimal (basis 10) > Contoh

Temukan akar kuadrat dari 152,2756.
1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56
01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Perhitungan algoritma terakhir: Jawabannya adalah 12.34
Cari akar pangkat tiga dari 4192 ke perseratusan terdekat.
1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000
004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               Presisi yang diinginkan tercapai:
                               Akar pangkat tiga dari 4192 adalah sekitar 16,12
Menghitung akar utama > Perhitungan logaritma

Akar ke-n utama dari bilangan positif dihitung menggunakan logaritma. Dimulai dari persamaan yang mendefinisikan r sebagai akar pangkat n, yaitu  r^{n}=x, dengan x positif dan oleh karena itu akar utamanya r juga positif, satu mengambil logaritma dari kedua sisi (basis logaritma akan dilakukan) untuk mendapatkan
Akar r dengan mengambil antilog:
(Catatan: Rumus tersebut menunjukkan kuasa b dengan hasil pembagian, bukan b dikalikan dengan hasil pembagian.)
Untuk kasus dimana x negatif dan n ganjil, ada satu akar real r yang juga negatif. Ini ditemukan dengan mengalikan kedua sisi persamaan yang mendefinisikan dengan 1 untuk mendapatkan  |r|^{n}=|x|, kemudian dilanjutkan sebelumnya untuk menemukan |r|, dan menggunakan r = −|r|.
Konstrukbilitas geometris

Matematikawan Yunani kuno tahu bagaimana menggunakan kompas dan penggaris untuk membangun panjang yang sama dengan akar kuadrat dari panjang tertentu, ketika garis satuan panjang diberikan. Pada tahun 1837 Pierre Wantzel membuktikan bahwa akar pangkat n dari panjang tertentu tidak dapat dibangun jika n bukanlah kuasa 2.
Akar kompleks

Setiap bilangan kompleks selain 0 memiliki n akar pangkat n yang berbeda.
Akar kompleks > Akar kuadrat

Dua akar kuadrat dari bilangan kompleks tetap negatif satu sama lain. Misalnya, akar kuadrat dari −4 adalah 2i dan −2i, dan akar kuadrat dari i adalah
Apabila kita menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk polar, maka akar kuadrat memperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari jari-jari dan membagi dua sudut:
Akar utama dari bilangan kompleks dapat dipilih dengan berbagai cara, misalnya
yang memperkenalkan cabang potong pafa medan kompleks sepanjang sumbu real positif dengan kondisi 0 ≤ θ < 2π, atau sepanjang sumbu real negatif dengan −π < θ ≤ π.
Dengan menggunakan cabang pertama(terakhir) potong akar kuadrat utama  \scriptstyle {\sqrt {z}} memetakan  \scriptstyle z ke setengah medan dengan bagian imajiner (real) non-negatif. Cabang potong terakhir diandaikan dalam perangkat lunak matematika seperti Matlab atau Scilab.
Akar kompleks > Akar satuan

Artikel utama: Akar satuan
Bilangan 1 memiliki n akar n yang berbeda pada medan kompleks, yaitu
dimana
Akar-akar ini ditempatkan secara merata di sekitar lingkaran satuan pada medan kompleks, sudut yang merupakan kelipatan dari  2\pi /n. Misalnya, akar kuadrat dari satuan adalah 1 dan −1, dan akar keempat dari satuan adalah 1,  i, −1, dan  -i.
Akar kompleks > Akar ke-n

Setiap bilangan kompleks memiliki n akar pangkat n yang berbeda pada medan kompleks. Maka, ini adalah
dimana η adalah akar tunggal ke-n, dan 1, ω, ω2, ... ωn−1 adalah akar akar satuan ke-n. Misalnya, empat akar keempat yang berbeda dari 2 adalah
Dalam bentuk polar, akar pangkat n tunggal dapat ditemukan dengan rumus
Disini r adalah magnitudo (modulus, juga disebut nilai absolut) dari bilangan yang akarnya akan diambil; jika bilangan tersebut dapat ditulis sebagai a+bi maka  r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}. Juga,  \theta  adalah sudut yang dibentuk sebagai salah satu poros pada titik asal berlawanan arah jarum jam dari sumbu horizontal positif ke sinar dari titik asal ke bilangan; yang memiliki sifat  \cos \theta =a/r,,  \sin \theta =b/r,, dan  \tan \theta =b/a.
Dengan demikian, menemukan akar pangkat n pada medan kompleks dibagi menjadi dua langkah. Pertama, besar semua akar pangkat n adalah akar pangkat n dari besaran bilangan asli. Kedua, sudut antara sumbu horizontal positif dan sinar dari titik asal ke salah satu akar pangkat n adalah  \theta /n, dimana  \theta  adalah sudut yang didefinisikan dengan cara yang sama untuk bilangan akar yang akan diambil. Selanjutnya, semua n dari akar pangkat n berada pada sudut yang sama jarak satu sama lain.
Jika n adalah genap, akar pangkat n adalah bilangan kompleks, dimana terdapat bilangan genap, datanglah berpasangan aditif invers, sehingga jika suatu bilangan r1 adalah salah satu akar pangkat n maka r2 =  –r1 adalah lainnya. Ini karena menaikkan koefisien yang terakhir -1 ke kuasa ke-n untuk genap n menghasilkan 1: yaitu, (–r1)n = (–1)n × r1n = r1n.
Seperti halnya akar kuadrat, rumus atas tidak mendefinisikan fungsi kontinu untuk seluruh medan kompleks, tetapi memiliki cabang potong pada titik dimana θ / n adalah takkontinu.
Menyelesaikan polinomial

Lihat pula: Algoritma pencarian akar
Salah satu konjektur bahwa semua persamaan polinomial sebagai penyelesaian aljabar (yaitu, bahwa semua akar dari polinomial dinyatakan dalam jumlah hingga radikal dan operasi dasar). Namun, sementara ini berlaku untuk polinomial derajat ketiga (kubik) dan polinomial derajat keempat (kuartik), Teorema Abel–Ruffini (1824) menunjukkan bahwa ini tidak benar secara umum ketika derajatnya 5 atau lebih besar. Misalnya, solusi persamaan
tidak dinyatakan dalam bentuk radikal. (cf. persamaan kuintik)
Bukti irasionalitas untuk kuasa ke-n taksempurna x

Asumsikan bahwa  {\sqrt[{n}]{x}} adalah rasional. Artinya, mereduksi menjadi pecahan  {\frac {a}{b}}, dimana a dan b adalah bilangan bulat tanpa faktor persekutuan.
Ini berarti bahwa  x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.
Karena x adalah bilangan bulat,  a^{n} dan  b^{n} harus memiliki faktor persekutuan jika  b\neq 1. Ini berarti jika  b\neq 1,  {\frac {a^{n}}{b^{n}}} tidak dalam bentuk sederhana. Jadi b harus sama dengan 1.
Karena  1^{n}=1 dan  {\frac {n}{1}}=n,  {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}.
Ini berarti  x=a^{n} dan dengan demikian,  {\sqrt[{n}]{x}}=a. Maka, ini menyatakan bahwa  {\sqrt[{n}]{x}} adalah bilangan bulat. Karena x bukanlah kuasa ke-n sempurna, kemungkinan tidak. Jadi  {\sqrt[{n}]{x}} adalah irasional.
Sejarah

Artikel utama: Akar kuadrat § Sejarah, dan Akar kubus § Sejarah
Istilah kuno untuk operasi pengambilan akar n adalah radikasi.
Lihat pula

Algoritma akar pangkat n
Geseran algoritma akar pangkat n
Simbol radikal
Bilangan aljabar
Radikal tersarang
Akar kedua belas dari dua
Superakar
Pranala luar

Lihat entri  di kamus bebas Wiktionary.
Lihat entri  di kamus bebas Wiktionary.
Templat:Hiperorperasi
Empat akar ke-4 dari −1,
 bukan dari nilai real
Tiga akar ke-3 dari −1,
 salah satunya adalah real negatif
Grafik  y=\pm {\sqrt {x}}.
Grafik  y={\sqrt[{3}]{x}}.
Segitiga Pascal menunjukkan  P(4,1)=4.
Akar kuadrat dari i
Tiga akar ke-3 dari 1
Wakilan geometris dari akar ke-2 hingga ke-6 bilangan kompleks z, dalam bentuk polar reiφ  dimana r = |z | dan φ = arg z. If z adalah real, φ = 0 atau π. Akar utama ditampilkan dalam warna hitam.
Lepas (album Imaniar)

Untuk kegunaan lain, lihat Lepas (disambiguasi).
Lepas merupakan sebuah album musik karya Imaniar. Dirilis pada tahun 1995. Lagu utamanya ialah Lepas.
Daftar lagu

Anak Malam
Lepas
Damai
Jujur Padaku
Tak Berdaya
Masa Masa
Katakan
Apatis
(107804)

| Ciri-ciri orbit |
| --- | --- |
Aphelion: 5.436
Perihelion: 5.098
Sumbu semimayor: 5.267
Eksentrisitas: 0.032
Anomali rata-rata: 156.88
Inklinasi: 6.9
Bujur node menaik: 346.8
Argumen perihelion: 44.0
Ciri-ciri fisik
Magnitudo mutlak (H): 12.1
 
(107804) 2001 FV58 adalah sebuah asteroid. Asteroid ini merupakan bagian dari asteroid Troya Yupiter, yang terletak di orbit Yupiter. Eksentrisitas orbit asteroid ini tercatat sebesar 0.032, sementara magnitudo mutlaknya adalah 12.1.
Pembentukan

Seperti asteroid secara keseluruhan, asteroid ini terbentuk dari nebula matahari primordial sebagai pecahan planetisimal, sesuatu di nebula matahari muda yang tidak cukup besar untuk berubah menjadi planet.
Cemal Öner

| Informasi pribadi |
| --- | --- |
Kewarganegaraan: Turki
Lahir: 1 November 1966 (umur 57)
 
Olahraga
Olahraga: Tinju
Cemal Öner (lahir 1 November 1966
) adalah seorang petinju asal Turki. Ia berkompetisi dalam lomba kelas bantam putra di Olimpiade Musim Panas 1984.
(137084)

| Penemuan |
| --- | --- |
Ditemukan oleh: LINEAR
Situs penemuan: 704
Tanggal penemuan: 1998/12/15
Ciri-ciri orbit
Aphelion: 1.814
Perihelion: 0.610
Sumbu semimayor: 1.212
Eksentrisitas: 0.497
Anomali rata-rata: 244.8
Inklinasi: 26.6
Bujur node menaik: 273.0
Argumen perihelion: 358.3
Ciri-ciri fisik
Magnitudo mutlak (H): 16.2
 
(137084) 1998 XS16 adalah sebuah asteroid. Asteroid ini merupakan bagian dari asteroid Apollo, yang terletak dekat dengan bumi. Eksentrisitas orbit asteroid ini tercatat sebesar 0.497, sementara magnitudo mutlaknya adalah 16.2.
Pembentukan

Seperti asteroid pada umumnya, asteroid ini terbentuk dari nebula matahari primordial sebagai pecahan planetisimal, sesuatu di nebula matahari muda yang tidak cukup besar untuk berubah menjadi planet.
Manna (pemeran)

| Manna |
| --- | --- |
Lahir: SM Aslam Talukder (1964-04-14)14 April 1964 Tangail, East Pakistan, Pakistan
Meninggal: 17 Februari 2008(2008-02-17) (umur 43) Gulshan, Dhaka, Bangladesh
Kebangsaan: Bangladeshi
Almamater: Dhaka College
Pekerjaan: Actor
Tahun aktif: 1984 – 2008

 
Manna (14 April 1964 – 17 Februari 2008
) adalah seorang aktor dan produser film yang berasal dari Bangladesh.
Konferensi Waligereja Latvia

Konferensi Waligereja Latvia (bahasa Latvia: Latvijas Bīskapu konference) adalah Konferensi Uskup Katolik Roma nasional di Latvia. Berkantor pusat di Riga dan menjadi anggota Dewan Konferensi Waligereja Eropa (CCEE) dan Komisi Konferensi Waligereja Komunitas Eropa. Didirikan sebagai koordinator para uskup Latvia pada tanggal 15 November 1997, dan mengadakan pertemuan pengukuhannya pada tanggal 29 Juni 1998, dimulai dengan Misa Tinggi Kepausan di Basilika Asumsi di Aglona. Presiden pertamanya adalah Kardinal Jānis Pujats, kemudian uskup agung Riga.
Statuta, struktur dan fungsi Konferensi Waligereja didasarkan pada dokumen-dokumen Konsili Vatikan II yang diabadikan dalam Kode Hukum Kanonik (CIC) Art. 447 dst. 1983. Anggota lainnya adalah:
Zbigņevs Stankevičs, uskup agung Riga
Jānis Pujats, pensiunan uskup agung Riga
Jānis Cakuls, pensiunan Uskup Pembantu Riga
Vilhelms Lapelis, Uskup Emeritus (pensiunan) dari Liepāja
Edvards Pavlovskis, uskup Jelgava
Antons Justs, uskup emeritus Jelgava
Jānis Bulis, uskup Rēzekne-Aglona dan presiden konferensi saat ini
Viktors Stulpins uskup Liepāja
Martín Fernández de Enciso

Martín Fernández de Enciso (1469–1533) adalah seorang pengacara dan ahli geografi asal Spanyol. Ia berperan penting dalam memberikan deskripsi geografi mengenai Dunia Baru secara sistematis. Martín Fernández de Enciso juga terlibat dalam penaklukan Panama oleh Spanyol.