stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
La Mappasessu To Appatunru
Riwayat Hidup

La Mappatunru To Appasessu Lahir pada tanggal 16 Desember 1777 atau 15 Zulkaedah 1191 H, dan pada Tahun 1823, Arungpone mangkat dan dimakamkan di Laleng Bata sehingga digelari MatinroE ri Laleng Bata. Lahir dari pasangan Raja Bone XXIII, La Tenri Tappu To Appaliweng MatinroE ri Rompegading (1749-1775) dan We Padauleng Arung Timurung MatinroE ri Sao Daeranna.
Riwayat Hidup > Riwayat Pemerintahan

La Mappatunru adalah Raja Kesultanan Bone XXIV yang naik tahta menggantikan ayahnya pada tahun 1812 sampai tahun 1823. Baginda Raja juga dikenal dengan nama Islam yaitu Sultan Ismail Muhtajuddin, dan mewarisi gelar Arung Palakka.
Pada masa pemerintahannya, Inggris datang menggantikan Belanda untuk berkuasa di Sulawesi Selatan. Inggris kemudian menutus Daeng Riboko Arung Mampu untuk meminta Sudang dan benda-benda pusaka Kerajaan Gowa lainnya yang berada di tangan Arungpone yang juga merupakan keturunan dari Raja Gowa La Pareppa Tosappewali yang dikenal dengan nama mangkatnya Matinroe ri Somba Opu. Sebelumnya, Residen Inggris yaitu Philips juga sudah mengirim utusan untuk meminta kepada Raja Bone sebelumnya tapi gagal yang kemudian berujung pada terjadinya perang dan berhasil menduduki istana Rompegading sehingga Raja Bone memilih pulang ke Laleng Bata di Watampone. Sultan Ismail lalu menyerahkan kepada Datu Soppeng yang kemudian menyerahkan kepada Arung Mampu dan Arung Mampulah yang membawa kepada Inggris pada tahun awal bulan Juni tahun 1814. Panglima Inggis, Nigtingale lalu menyerahkan benda-benda pusaka Gowa ini kepada Bate Salapang sehingga Raja Gowa memiliki legitimasi karena terdapat aturan bahwa barang siapa yang memegang benda-benda kerajaan tersebut maka dirinyalah yang sah sebagai Karaeng ri Gowa. Tidak lama setelah itu, Belanda kembali masuk berkuasa di Sulawesi Selatan pada tahun 1816.
Pranala luar

Riwayat Raja Bone (24): La Mappasessu To Appatunru
Mengenal Haji Isam, Crazy Rich Asal Kalimantan
Tok! Erick Angkat Sapri Pamulu Jadi Dirut BUMN Indah Karya
Jenderal M. Jusuf : Panglima para prajurit
International Safety Management Code
Lihat pula

Keselamatan pelayaran
Biro Klasifikasi Indonesia
Konvensi Internasional SOLAS
Pranala luar

SERTIFIKASI ISM-Code Diarsipkan 2009-07-31 di Wayback Machine.
International Safety Management (ISM) Code 2002 Diarsipkan 2013-08-27 di Archive-It
Pelacakan peretas

Skema Pelacakan peretas membantu melacak sumber kebocoran ketika data rahasia atau kepemilikan dijual ke banyak pelanggan. Dalam skema pelacakan peretas, setiap pelanggan diberikan kunci dekripsi pribadi yang berbeda. (Skema pelacakan peretas sering digabungkan dengan sistem akses bersyarat sehingga setelah algoritme penelusuran peretas mengidentifikasi kunci dekripsi pribadi yang terkait dengan kebocoran, distributor konten dapat mencabut kunci dekripsi pribadi tersebut, memungkinkan pelanggan yang jujur untuk terus menonton televisi berbayar sementara peretas dan semua pengguna yang tidak sah menggunakan kunci dekripsi pribadi peretas terputus.)
Skema pelacakan peretas dipakai di televisi berbayar untuk mencegah pirate decryption – untuk mencegah pelanggan yang sah memberikan kunci dekripsi. Skema pelacakan peretas tidak efektif jika peretas menyiarkan ulang seluruh konten asli (yang didekripsi). Ada jenis skema lain yang mencegah siaran ulang pirate decryption  – yaitu, mencegah pelanggan yang sah memberikan konten asli yang didekripsi. Skema lain ini menggunakan penandaairan digital tahan kerusakan untuk menghasilkan versi berbeda dari konten asli. Skema penugasan kunci pelacakan peretast dapat diterjemahkan ke dalam skema penandaairan digital semacam itu. Pelacakan peretas adalah sistem deteksi pelanggaran hak cipta yang bekerja dengan melacak sumber file yang bocor daripada dengan perlindungan salinan langsung. Metodenya adalah distributor menambahkan salt unik ke setiap salinan yang diberikan. Ketika salinannya bocor ke publik, distributor dapat memeriksa nilainya dan melacaknya kembali ke "kebocoran".
Metode Utama > Kontrol Aktivasi

Konsep utamanya adalah bahwa setiap pemegang lisensi (pengguna) diberikan kunci unik yang membuka kunci perangkat lunak atau memungkinkan media untuk didekripsi. Jika kunci dibuat untuk publik, pemilik konten kemudian tahu persis siapa yang melakukannya dari basis data kode yang ditetapkan. Serangan utama pada strategi ini adalah generator kunci ( keygen). Dengan merekayasa balik perangkat lunak, kode yang digunakan untuk mengenali kunci yang valid dapat dicirikan dan kemudian sebuah program untuk mengeluarkan kunci yang valid pada perintah dapat dibuat. Praktik pelacakan peretas paling sering diimplementasikan dengan perangkat lunak komputer, dan berkembang dari metode kode aktivasi sebelumnya. Dalam model ini, setiap kotak perangkat lunak dikirimkan dengan nomor aktivasi unik pada stiker atau label yang hanya dapat dibaca setelah paket dibuka, terpisah dari CD-ROM atau DVD-ROM. Nomor ini adalah nomor seri yang disandikan, diperluas ke sejumlah besar atau rangkaian huruf, angka, dan tanda hubung yang biasanya banyak. Ketika perangkat lunak sedang dipasang atau pertama kali dijalankan, pengguna akan diminta untuk mengetikkan kode lisensi. Kode ini kemudian diterjemahkan kembali ke nomor seri dasarnya. Proses ini mengurangi kerumitan nomor dan informasi tambahan yang dihapus oleh proses ini digunakan untuk memverifikasi keaslian nomor seri. Jika pengguna salah mengetik satu karakter dalam kode yang terkadang sangat panjang, perangkat lunak akan menolak untuk memasang dan meminta nomor untuk diketik ulang sampai benar. Kode aktivasi ini dihasilkan selama fase pembuatan kemasan, sehingga setiap pengguna menerima perangkat lunak yang sama tetapi kode aktivasi yang berbeda. Jika pengguna melakukan "salinan biasa" perangkat lunak untuk teman, teman itu harus memiliki kode lisensi serta perangkat lunak untuk memasangnya di sistem mereka. Karena perangkat lunak itu sendiri tidak dapat menentukan bahwa itu adalah salinan, ini adalah cara untuk mengalahkan sistem dasar ini. Dengan perluasan jaringan komputer, dua tingkat tambahan perlindungan perangkat lunak telah berkembang, "registrasi jaringan" dan "registrasi daring".
Metode Utama > Registrasi Jaringan

Perangkat lunak yang menggunakan keamanan tambahan ini menyimpan salinan nomor seri aktual yang digunakan dalam kode lisensi. Saat aktif, ia menyiarkan nomor ini di saluran klandestin di jaringan lokal. Jika perangkat lunak telah dipasang pada komputer lain di jaringan yang sama, menggunakan kode lisensi yang sama, ketika salinan kedua dijalankan, ia akan mendeteksi nomor seri yang digunakan di jaringan dan biasanya akan menolak untuk dijalankan. Ini juga dapat menyebabkan salinan lain dari dirinya sendiri yang sudah digunakan ditutup. Ini mencegah usaha kecil membeli satu salinan perangkat lunak mahal dan menginstalnya di beberapa komputer di lokasi mereka, asalkan mereka terhubung ke jaringan.
Metode Utama > Registrasi Daring

Proses registrasi daring sangat mirip dengan kode aktivasi, tetapi menambahkan langkah tambahan. Sebagian besar perusahaan modern sekarang tidak hanya memiliki jaringan internal, tetapi juga terhubung ke internet. Ini memungkinkan produsen perangkat lunak untuk menambahkan pemeriksaan tambahan ke sistem mereka selama proses instalasi. Ketika pengguna memasukkan kode lisensi yang valid, perangkat lunak tidak segera menginstal. Sebagai gantinya, ia menggunakan koneksi internet aktif untuk menghubungi server yang dioperasikan oleh produsen perangkat lunak. Kode lisensi ditransmisikan ke server, dan menunggu server untuk memberi tahu apakah instalasi harus diizinkan. Server memelihara database semua nomor seri yang telah digunakan untuk menginstal perangkat lunak mereka. Jika satu nomor seri digunakan pada sejumlah mesin (batas tipikal adalah lima mesin) maka server memberi tahu perangkat lunak bahwa kemungkinan besar salinan dan untuk membatalkan instalasi. Pengguna biasanya disajikan dengan dialog yang menginstruksikan mereka untuk menghubungi pabrikan.
Tanda Air

Situs web yang menawarkan unduhan pelanggan dapat menyematkan tanda air digital dalam unduhan, biasanya dengan cara yang tidak mudah terlihat oleh pengguna. Misalnya, nomor identifikasi dapat disematkan dalam gambar, atau dalam metadata seperti tanggal file. Dimungkinkan juga untuk menandai beberapa salinan file dengan tanda air unik per penerima sebelum mengirimnya. Dalam hal ini nomor identifikasi yang disematkan dapat berupa ID penerima.
Grup Lie

Artikel ini bukan mengenai Grup tipe Lie.
Dalam matematika, grup Lie (/liː/ "Lee") adalah grup yang merupakan lipatan berjenis. Lipatan adalah ruang lokal ruang Euklides, sedangkan grup mendefinisikan abstrak, konsep umum perkalian dan pengambilan invers (pembagian). Menggabungkan dua ide ini, kita akan mendapatkan grup kontinu dimana poin dikalikan secara kebersamaan dan kebalikannya dapat diambil. Jika, sebagai penambahan, perkalian, dan pengambilan invers didefinisikan sebagai halus (terdiferensiasi), maka kita mendapatkan rumus grup Lie.
Grup Lie diberikan sebuah model alami untuk konsep simetri kontinu, contohnya adalah simetri rotasi dalam tiga dimensi (diberikan oleh grup ortogonal khusus  {\text{SO}}(3)). Grup Lie sering digunakan di banyak bagian matematika dan fisika modern.
Grup Lie pertama kali ditemukan dengan mempelajari subgrup matriks  G dalam  {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} ) or  {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} ), grup dari  n\times n matriks inver di atas  \mathbb {R}  atau  \mathbb {C} . Ini disebut sebagai grup klasik, karena konsepnya telah diperluas jauh melampaui asal-usulnya. Grup Lie dinamai menurut matematikawan asal Norwegia yaitu Sophus Lie (1842–1899) yang memberikan dasar teori grup transformasi kontinu. Motivasi asli Lie untuk memperkenalkan grup Lie adalah untuk model kesimetrian kontinu dengan persamaan diferensial yang sama bahwa grup hingga digunakan dalam teori Galois untuk model simetri diskrit persamaan aljabar.
Ikhtisar

Grup Lie adalah lipatan berjenis halus dan dengan demikian dapat dipelajari menggunakan kalkulus diferensial berbeda dengan grup topologi umum. Salah satu ide kunci dalam teori grup Lie adalah mengganti objek global grup dengan versi lokal atau linierisasi. Grup Lie sendiri disebut sebagai "grup infinitesimal" dan dikenal sebagai aljabar Lie.
Grup Lie memainkan peran yang sangat besar dalam geometri modern unruk beberapa tingkatan yang berbeda. Felix Klein berpendapat dalam program Erlangen dapat mempertimbangkan berbagai "geometri "dengan menentukan grup transformasi yang sesuai yang menghilangkan sifat geometris invarian. Jadi geometri Euklides dengan pilihan grup E(3) dari transformasi jarak ruang Euklides R3 konformal geometri dengan memperbesar grup ke grup konformal, sedangkan dalam geometri proyektif tertarik pada sifat invarian di bawah grup proyektif. Ide ini kemudian mengarah pada gagasan tentang sebuah struktur-G, dimana G adalah grup Lie dari simetris "lokal" dari lipatan.
Grup Lie dan aljabar Lie memainkan peran utama dalam fisika modern, dengan grup Lie biasanya memainkan peran sebagai simetri sistem fisik. Di sini, wakilan dari grup Lie atau aljabar Lie sangat penting untuk penggunaannya. Teori representasi digunakan secara luas dalam fisika partikel. Grup wakilannya sangat penting untuk digunakan grup rotasi S(3) atau penutup ganda SU(2), grup satuan khusus SU(3) dan grup Poincaré.
Pada tingkat "global", setiap grup Lie aksi pada objek geometris, yaitu Riemannian atau lipatan simplektis, aksi ini memberikan ukuran dan menghasilkan struktur aljabar yang banyak. Adanya simetri kontinu yang diekspresikan melalui grup Lie aksi pada lipatan menempatkan batasan yang kuat pada geometrinya dan memfasilitasi analisis pada lipatan. Grup Lie aksi sangat penting dalam penggunaannya, dan dipelajari dalam teori wakilan.
Pada 1940-an-1950-an, Ellis Kolchin, Armand Borel, dan Claude Chevalley menyadari bahwa banyak hasil dasar mengenai grup Lie yang dikembangkan sepenuhnya secara aljabar sebagai teori grup aljabar yang ditentukan melalui sembarang medan. Wawasan ini membuka kemungkinan baru dalam aljabar murni, dengan memberikan konstruksi seragam untuk sebagian besar grup sederhana hingga serta dalam geometri aljabar. Teori bentuk automorfik, cabang penting dari teori bilangan modern, berurusan secara ekstensif dengan analogi grup Lie selama gelanggang Adele; bilangan p-adik grup Lie memainkan peran penting dengan melalui koneksi dengan representasi Galois dalam teori bilangan.
Definisi dan contoh

Grup Lie riil adalah grup merupakan berdimensi riil hingga lipatan halus, dimana operasi grup perkalian dan inversi adalah peta halus. Maka perkalian grup, adalah
jadi μ adalah pemetaan halus dari produk berjenis G × G sebagai G. Kedua persyaratan ini dapat digabungkan menjadi satu persyaratan yaitu pemetaan
sebagai pemetaan mulus dari produk berjenis yaitu G.
Definisi dan contoh > Grup Matriks Lie

Maka  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ) sebagai grup  n\times n matriks invers dengan entri dalam  \mathbb {C} . Subgrup tertutup dari  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ) adalah grup Lie yang disebut matriks grup Lie Karena sebagian besar contoh dari grup Lie direalisasikan sebagai matriks grup Lie, beberapa buku teks membatasi perhatian pada kelas ini, termasuk yang ada dalam Hall dan Rossmann. Membatasi sebuah matriks grup Lie dengan cara menyederhanakan definisi aljabar Lie dan peta eksponensial. Berikut ini adalah contoh standar grup matriks Lie.
Grup linear khusus di atas  \mathbb {R}  dan  \mathbb {C}  yaitu  \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} ) dan  \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} ) terdiri dari  n\times n matriks dengan determinan satu dan entri dalam  \mathbb {R}  atau  \mathbb {C}
Grup unital dan grup uniter khusus yaitu  {\text{U}}(n) dan  {\text{SU}}(n), terdiri dari  n\times n matriks kompleks  U^{*}=U^{-1} (dan  \det(U)=1 dalam kasus  {\text{SU}}(n))
Grup ortogonal dan grup ortogonal khusus yaitu  {\text{O}}(n) dan  {\text{SO}}(n), terdiri dari  n\times n matriks  R^{\mathrm {T} }=R^{-1} (dan  \det(R)=1 dalam kasus  {\text{SO}}(n))
Semua contoh sebelumnya termasuk dalam tajuk grup klasik.
Definisi dan contoh > Konsep terkait

Grup Lie kompleks didefinisikan dengan cara yang sama menggunakan lipatan kompleks yang sebenarnya (contoh:  \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )), dan menggunakan alternatif pelengkap metrik dari  \mathbb {Q} , grup topologi dimana setiap titik memiliki lingkungan p-adik.
Masalah kelima Hilbert menanyakan apakah untuk mengganti lipatan yang dibedakan dengan topologi atau analitik dapat menghasilkan contoh baru. Jawaban atas pertanyaan ini ternyata negatif: pada tahun 1952 matematikawan Gleason, Montgomery dan Zippin menunjukkan bahwa jika G adalah lipatan topologi, maka tepat satu struktur analitik pada G yang mengubah menjadi grup Lie (lihat pula Konjektur Hilbert–Smith). Jika lipatan dasar yang berdimensi tak hingga (misalnya, lipatan Hilbert), maka sampai pada gagasan tentang grup Lie berdimensi tak hingga. Dimungkinkan untuk mendefinisikan analogi dari banyak grup Lie di atas bidang hingga, dan memberikan sebagian besar contoh grup sederhana hingga.
Definisi dan contoh > Definisi topologi

Grup Lie dapat didefinisikan sebagai (Hausdorff) grup topologi dimana elemen tersebut adalah identitas, terlihat seperti grup transformasi, tanpa referensi ke lipatan yang dibedakan. Pertama, definisikan grup Lie linear jauh menjadi subgrup G dari grup linear umum  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ) maka
untuk beberapa lingkungan V dari elemen identitas e dalam G, topologi V adalah topologi subruang  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ) dan V sebagai penutupan dalam  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).
G memiliki hitung komponen yang terhubung.
Misalnya, subgrup tertutup dari  \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ); yaitu, matriks grup Lie memenuhi kondisi di atas.
Maka grup Lie didefinisikan sebagai grup topologi (1) secara lokal isomorfik dekat identitas ke grup Lie linear dan (2) memiliki banyak komponen yang terhubung. Menunjukkan definisi topologi ekuivalen dengan yang biasa bersifat teknis (dan pembaca pemula harus melewatkan yang berikut) tetapi dilakukan sebagai berikut:
Diberikan grup Lie  G  dalam arti berjenis biasa, korespondensi grup Lie–aljabar Lie (atau versi teorema ketiga Lie) membentuk subgrup Lie terbenam  G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ) maka  G,G' dibagikan aljabar Lie yang sama; dengan demikian, isomorfik secara lokal. Oleh karena itu, G memenuhi definisi topologi di atas.
Maka G sebagai grup topologi yang merupakan grup Lie dalam pengertian topologis di atas dan grup Lie linear  G' lokal isomorfik ke G. Kemudian, dengan versi teorema subgrup tertutup,  G' adalah lipatan analitik-riil dan isomorfisme lokal, G memperoleh struktur lipatan ganda dekat elemen identitas. Maka ditunjukkan hukum grup G diberikan deret pangkat formal; jadi operasi grup adalah analitik-riil dan G adalah lipatan analitik-riil.
Definisi topologi sebagai dua grup Lie isomorfik sebagai grup topologi, maka isomorfik adalah grup Lie. Faktanya, prinsip umum bahwa untuk sebagian besar, topologi grup Lie dengan hukum grup menentukan geometri grup.
Definisi dan contoh > Contoh pertama

Matriks riil 2 × 2  sebuah grup dalam perkalian, dilambangkan dengan GL(2, R) atau dengan GL2(R):
Matriks rotasi sebagai subgrup dari GL(2, R) yang dilambangkan dengan SO(2, R). Ini disebut sebagai grup Lie dalam sendiri: khususnya, grup Lie menghubungkan kompak satu dimensi difeomorfik ke lingkaran. Menggunakan sudut rotasi  \varphi  sebagai parameter, grup ini dapat berupa parametrized sebagai berikut:
Grup affin satu dimensi adalah grup Lie matriks dua dimensi yang terdiri dari  2\times 2 matriks segitiga atas dengan entri diagonal pertama positif dan entri diagonal kedua adalah 1. Jadi, grup tersebut terdiri dari matriks formulir
Definisi dan contoh > Bukan contoh

Untuk contoh grup dengan elemen tak terhitung yang bukan grup Lie di bawah topologi tertentu. Grup diberikan oleh
dengan  a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}  sebuah bilangan irasional adalah subgrup dari torus  \mathbb {T} ^{2} yang bukan grup Lie diberikan oleh topologi subruang. Jika mengambil lingkungan  U dari sebuah titik  h dengan  H: contoh, bagian dari  H dalam  U adalah terputus. Grup dengan rotasi  H di sekitar torus tanpa mencapai titik spiral sebelumnya dan dengan demikian sebagai  \mathbb {T} ^{2}.
Grup  H diberikan topologi yang berbeda, dimana jarak antara dua titik  h_{1},h_{2}\in H didefinisikan sebagai panjang dari jalur terpendek dalam grup  H sebagai gabungan  h_{1} dengan  h_{2}. Dalam topologi ini,  H diidentifikasi secara homeomorfis dengan garis riil untuk mengidentifikasi setiap elemen dengan bilangan  \theta  dalam definisi  H. Dengan topologi ini,  H sebagai grup bilangan riil yang ditambahkan, oleh karena itu merupakan grup Lie.
Grup  H adalah contoh gelanggang dari "subgrup Lie" dari grup Lie yang tidak tertutup. Lihat pembahasan subgrup Lie di bawah ini pada bagian tentang konsep dasar.
Lebih banyak contoh dari grup Lie

Lihat pula: Tabel grup Lie dan Daftar grup Lie sederhana
Grup Lie terdapat di seluruh materi matematika dan fisika. Grup matriks atau grup aljabar adalah grup matriks, misalnya: ortogonal dan grup simplektis, dan ini memberikan sebagian besar yang umum contoh dari Lie.
Lebih banyak contoh dari grup Lie > Dimensi satu dan dua

Salah satu grup Lie yang terhubung dengan dimensi satu adalah garis riil  \mathbb {R}  dengan operasi grup menjadi penjumlahan dan grup lingkaran  S^{1} bilangan kompleks dengan nilai absolut satu dengan operasi grup menjadi perkalian.  S^{1} grup dilambangkan sebagai  U(1) sebagai grup matriks uniter  1\times 1.
Dalam dua dimensi, jika membatasi hanya pada grup yang terhubung, maka diklasifikasikan oleh aljabar Lie. Ada (hingga isomorfisme) hanya dua aljabar Lie berdimensi dua. Grup Lie yang terhubung secara sederhana adalah  \mathbb {R} ^{2} dengan operasi grup sebagai penjumlahan vektor dan grup affin dalam dimensi satu, dijelaskan di sub-bagian sebelumnya di bawah "contoh pertama".
Lebih banyak contoh dari grup Lie > Contoh tambahan

Grup SU(2) adalah grup matriks uniter  2\times 2 dengan determinan  1. Secara topologis,  {\text{SU}}(2) adalah bola- 3 oleh  S^{3}; sebagai grup diidentifikasikan dengan grup unit kuaternion.
Grup Heisenberg adalah grup dimensi nilpoten menghubungkan  3 yang memainkan peran kunci dalam mekanika kuantum.
Gru0 Lorentz adalah grup Lie 6 dimensi dari isometri dari ruang Minkowski.
Grup Poincaré adalah grup Lie 10 dimensi dari isometri affin dari ruang Minkowski.
Grup Lie eksepsional tipe G2, F4, E6, E7, E8 memiliki dimensi 14, 52, 78, 133, dan 248. Dengan deret A-B-C-D grup Lie sederhana, grup eksepsional melengkapi daftar grup Lie sederhana.
Grup simplektik  {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} ) terdiri dari semua  2n\times 2n matriks mempererat bentuk simplektis dalam  \mathbb {R} ^{2n}. Ini disebut sebagai grup dimensi Lie yang menghubungkan  2n^{2}+n.
Lebih banyak contoh dari grup Lie > Konstruksi

Ada beberapa cara standar untuk membentuk grup Lie yang baru dari lama:
Produk dari dua grup Lie adalah grup Lie.
Setiap subgrup topologi tertutup dari grup Lie adalah grup Lie. Ini dikenal sebagai Teorema subgrup tertutup atau teorema Cartan.
Hasil bagi dari grup Lie oleh subgrup normal tertutup adalah grup Lie.
Sampul universal dari grup Lie yang terhubung adalah grup Lie. Misalnya, grup  \mathbb {R}  adalah sampul universal grup lingkaran  S^{1}. Faktanya, setiap simpul dari lipatan yang dapat dibedakan juga merupakan lipatan yang dapat dibedakan, tetapi dengan menentukan sampul universal untuk struktur grup (kompatibel dengan struktur lainnya).
Lebih banyak contoh dari grup Lie > Pengertian terkait

Beberapa contoh grup yang bukan grup Lie (kecuali dalam pengertian solvabel bahwa setiap grup banyak dapat dilihat sebagai grup Lie 0 dimensi, dengan topologi diskrit), adalah:
Gugus berdimensi tak hingga merupakan grup aditif ruang vektor riil berdimensi tak hingga, atau ruang fungsi halus dari lipatan  X ke grup Lie  G,  C^{\infty }(X,G). Ini bukan grup Lie karena bukan lipatan "berdimensi-hingga".
Beberapa grup total putusan merupakan grup Galois dengan ekstensi tak hingga bidang, atau grup aditif dari bilangan p-adik. Ini bukan grup Lie karena ruang dasarnya bukan lipatan riil. Beberapa dari grup ini adalah "grup Lie p-adik". Secara umum, l grup topologi yang memiliki kesamaan sifat lokal Rn untuk beberapa bilangan bulat positif n dapat berupa grup Lie (tentu harus memiliki struktur yang dibedakan).
Konsep dasar > Subgrup Lie

Subgrup Lie  H dari grup Lie  G adalah grup Lie himpunan bagian dari  G dan peta inklusi dari  H ke  G yang merupakan injektif pencelupan dan homomorfisme grup. Menurut teorema Cartan, subgrup tertutup dari  G mengetahui struktur halus unik yang menjadikannya sebuah subgrup tancapan Lie dari  G, yaitu sebuah subgrup Lie sedemikian rupa sehingga peta inklusi adalah penyematan mulus.
Banyak contoh subgrup non-tertutup; misalnya mengambil  G sebagai torus berdimensi 2 atau lebih besar, dan  H sebagai subgrup satu parameter dari lerengan irasional, yaitu salah satu dalam G. Maka grup Lie homomorfisme  \varphi :\mathbb {R} \to G dengan  \mathrm {im} (\varphi )=H. penutupan dari  H sebagai sub-torus  G.
peta eksponensial menghasilkan korespondensi satu-ke-satu antara subgrup Lie  terhubung dari grup Lie yang terhubung  G dan subaljabar dari aljabar Lie  G. Biasanya, subgrup yang sesuai dengan subaljabar bukanlah subgrup tertutup. Tidak ada kriteria yang didasarkan pada struktur  G untuk menentukan subaljabar, dimana yang sesuai dengan subgrup tertutup.