Bilangan kuantum azimut
Derivasi

Terdapat empat bilangan kuantum yang terkait dengan keadaan energi elektron suatu atom yaitu: n, ℓ, mℓ, dan ms. Semuanya menyatakan keadaan kuantum yang lengkap dan unik dari elektron tunggal dalam suatu atom, dan menyusun fungsi gelombang atau orbitalnya. Fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger mengurangi tiga persamaan yang jika dipecahkan, mengarah pada tiga bilangan kuantum pertama. Oleh karena itu, persamaan untuk tiga bilangan kuantum pertama kesemuanya saling terkait. Bilangan kuantum azimut muncul dalam penyelesaian bagian polar dari persamaan gelombang seperti ditunjukkan di bawah. Untuk membantu pemahaman tentang konsep azimut ini, mungkin juga bermanfaat untuk meninjau sistem koordinat sferis [en], dan/atau sistem koordinat matematis alternatif selain sistem koordinat Kartesius. Umumnya, sistem koordinat sferis paling cocok untuk model sferis, sistem silindris untuk tabung, kartesius untuk volume secara umum, dan seterusnya.
Momentum sudut elektron atom, L, berhubungan dengan bilangan kuantumnya ℓ sesuai persamaan berikut:
dengan ħ adalah tetapan Planck tereduksi, L2 adalah operator momentum sudut orbital dan  \Psi  adalah fungsi gelombang elektron. Bilangan kuantum ℓ selalu bilangan bulat positif: 0, 1, 2, 3, dst. Sementara banyak buku teks pengantar tentang mekanika kuantum dengan L mengacu pada dirinya sendiri, L tidak memiliki makna sebenarnya kecuali penggunaannya sebagai operator momentum sudut [en]. Bila mengacu pada momentum sudut, lebih baik menggunakan bilangan kuantum ℓ.
Orbital atom memiliki bentuk khas yang dilambangkan dengan huruf. Dalam ilustrasi, huruf s, p, dan d menggambarkan bentuk orbital atom.
Fungsi gelombang mereka berbentuk harmonis sferis, dan dijelaskan oleh polinomial Legendre. Berbagai orbital yang berkaitan dengan nilai ℓ yang berbeda kadang-kadang disebut sub-kelopak, dan (terutama untuk alasan historis) disebut dengan huruf, sebagai berikut:
| Bilangan Azimut (ℓ) | Huruf Historis | Jumlah Elektron Maksimum | Nama Historis | Bentuk |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | s | 2 | sharp | sferis |
| 1 | p | 6 | principal | orbital berbentuk dumbel berorientasi polar; satu cuping (lobe) di setiap sumbu (pole) x, y, dan z (sumbu + dan −); dua elektron di masing-masing cuping |
| 2 | d | 10 | diffuse | sembilan dumbel dan satu donat (atau “bentuk unik #1” lihat gambar harmoni sferis, baris ketiga tengah) |
| 3 | f | 14 | fundamental | “bentuk unik #2” (lihat gambar harmoni sferis, baris paling bawah tengah) |
| 4 | g | 18 |  |  |
| 5 | h | 22 |  |  |
| 6 | i | 26 |  |  |
Huruf setelah sub-kelopak f urut sesuai abjad setelah f kecuali huruf j dan huruf-huruf yang telah digunakan.
Masing-masing keadaan momentum sudut yang berbeda dapat menampung 2(2ℓ + 1) elektron. Hal ini karena bilangan kuantum ketiga mℓ (dapat dianggap sebagai proyeksi kuantisasi dari vektor momentum sudut pada sumbu z) bergerak dari −ℓ ke +ℓ dalam satuan bilangan bulat, sehingga terdapat kemungkinan keadaan sebanyak 2ℓ + 1. Setiap orbital n, ℓ, mℓ yang berbeda dapat ditempati oleh dua elektron dengan spin yang berlawanan (diberikan oleh bilangan kuantum ms = ±½), menghasilkan 2(2ℓ + 1) elektron secara keseluruhan. Orbital dengan ℓ lebih tinggi daripada yang diberikan dalam tabel sangat dimungkinkan, namun nilai tersebut mencakup semua atom yang sejauh ini telah ditemukan.
Untuk nilai tertentu dari bilangan kuantum utama n, nilai ℓ yang mungkin berada pada kisaran mulai 0 sampai n – 1; sehingga, kelopak n = 1 hanya memiliki satu subkelopak s dan hanya dapat menampung 2 elektron, kelopak n = 2 memiliki satu subkelopak s dan satu subkelopak p dan dapat menampung 8 elektron secara keseluruhan. Kelopak n = 3 memiliki subkelopak s, p, dan d dan memiliki maksimum 18 elektron, dan seterusnya. Secara umum, jumlah elektron maksimum pada tingkat energi ke-n adalah 2n2.
Bilangan kuantum momentum sudut, ℓ, mengatur jumlah simpul planar yang melalui nukleus. Simpul planar dapat dijelaskan dalam gelombang elektromagnetik sebagai titik tengah antara puncak dan lembah, yang mempunyai magnitudo nol. Pada orbital s, tidak ada simpul yang melalui nukleus, sehingga bilangan kuantum azimutnya adalah 0. Pada orbital p, satu simpul melintasi nukleus dan oleh karena itu ℓ memiliki nilai 1. L memiliki nilai √2 ħ.
Terdapat bilangan kuantum momentum sudut ℓ dan deret yang mengikutinya, bergantung pada nilai n. Panjang gelombang berikut ini adalah untuk atom hidrogen: