Hukum Stefan–Boltzmann
Asal-usul > Penurunan dari hukum Planck

Hukum Stefan–Boltzmann dapat diturunkan dengan mempertimbangkan permukaan benda hitam datar kecil yang mengeluarkan radiasi ke sebuah setengah bola. Penurunan ini menggunakan sistem koordinat bola, dengan  \theta  sebagai sudut zenit dan  \varphi  sebagai sudut azimut; dan permukaan benda hitam datar kecil berada pada bidang xy, dengan  \theta ={\frac {\pi }{2}}.
Intensitas cahaya yang dipancarkan dari permukaan benda hitam tersebut diberikan oleh hukum Planck:
I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},
dengan
I(\nu ,T) adalah jumlah daya per satuan luas permukaan per satuan sudut padat [en] per satuan frekuensi yang dipancarkan di frekuensi  \nu  oleh benda hitam di suhu  T
h adalah konstanta Planck
c adalah kelajuan cahaya, dan
k adalah konstanta Boltzmann.
Kuantitas  I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega  adalah daya yang diradiasikan oleh luas permukaan  A melalui sudut padat  d\Omega  pada frekuensi antara  \nu  dan  \nu +d\nu .
Hukum Stefan–Boltzmann memberikan daya yang dipancarkan per satuan luas dari benda pemancar:
 {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega
Catatan: kosinus muncul karena benda hitam adalah Lambertian (mereka mematuhi hukum kosinus Lambert), yang berarti intensitas yang diamati melalui bola adalah intensitas nyata dikali dengan kosinus dari sudut zenit.
Untuk menurunkan hukum Stefan–Boltzmann, kita perlu mengintegrasikan 



d
Ω
=
sin
⁡
θ

d
θ

d
φ


{\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }

 terhadap setengah bola dan mengintegrasikan  \nu  dari 0 hingga ∞.
{\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}
Lalu kita masukkan  I:
 {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu
Untuk mengevaluasi integral, lalukan substitusi:
 {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}
yang menghasilkan:
 {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.
Integral di kanan adalah standar dan memiliki banyak nama: polilogaritme atau fungsi zeta Riemann  \zeta (s). Nilai dari integral tersebut adalah  \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}} (dengan  \Gamma (s) adlaah fungsi gamma), yang menghasilkan persamaan berikut untuk permukaan benda hitam sempurna:
M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.
Akhirnya, pembuktian ini dimulai hanya mempertimbangkan permukaan datar kecil. Namun, permukaan yang dapat didiferensialkan dapat dikira dengan koleksi permukaan datar kecil. Selama geometri dari permukaan tidak membuat benda hitam menyerap kembali radiasinya sendiri, total energi yang dipancarkan adalah jumlah dari energi yang dipancarkan oleh masing-masing permukaan; dan total luas permukaan hanyalah penjumlahan dari luas masing-masing permukaan. Jadi, hukum ini juga berlaku untuk benda hitam cembung, selama permukaannya memiliki suhu yang sama. Hukum ini diperluas hingga radiasi dari benda noncembung dengan menggunakan fakta bahwa selubung cembung darn benda hitam memancarkan radiasi walaupun dirinya adalah benda hitam.