Pangkat dua
Dalam sistem bilangan bulat > Sifat

Bilangan  m adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika  m titik dapat disusun sebagai sebuah persegi seperti berikut:
| --- | --- |
m = 12 = 1: 
m = 22 = 4: 
m = 32 = 9: 
m = 42 = 16: 
m = 52 = 25: 
Bentuk untuk bilangan kuadrat ke- n adalah  n^{2}. Bentuk ini sama dengan jumlah  n bilangan ganjil (positif) pertama. Seperti pada gambar di atas, bilangan kuadrat baru dapat dihasilkan dari bilangan kuadrat  dengan menambahkan sejumlah ganjil titik baru (ditandai dengan warna ungu). Secara matematis, visualisasi tersebut menunjukkan hubungan  n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). Sebagai contoh, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Fakta  n^{2} adalah bilangan kuadrat ke- n juga menyimpulkan bahwa terdapat   \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor  bilangan kuadrat sempurna diantara 1 sampai (dan termasuk)  m, dengan notasi  \lfloor x\rfloor  menyatakan fungsi lantai dari  x.
Sifat lain dari bilangan kuadrat sempurna (selain 0) adalah mereka memiliki pembagi positif dengan jumlah yang ganjil, sedangkan bilangan bulat lainnya memiliki jumlah yang genap.
Teorema empat-kuadrat Lagrange menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari empat (atau kurang) bilangan kuadrat sempurna. Jumlah dari tiga kuadrat sempurna tidak dapat menghasilkan bilangan berbentuk 4k(8m + 7). Bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua kuadrat sempurna ketika faktorisasi primanya tidak mengandung pangkat ganjil dari bilangan prima berbentuk 4k + 3. Hubungan ini dapat diperumum menjadi masalah Waring.
Secara umum, jika bilangan prima  p membagi suatu kuadrat sempurna  m, maka kuadrat dari  p juga membagi  m. Dalam bentuk lain, jika p tidak dapat membagi mp, maka  m pasti bukan bilangan kuadrat sempurna. Dengan menggunakan sifat pembagian ini secara berulang, dapat disimpulkan setiap bilangan prima akan membagi suatu kuadrat sempurna dengan sebanyak genap kali (termasuk sebanyak 0 kali). Akibatnya, bilangan  m adalah kuadrat sempurna jika dan hanya jika semua ekponen pada representasi kanoniknya merupakan bilangan genap.
Uji kekuadratan dapat digunakan sebagai cara alternatif faktorisasi bilangan berukuran besar. Daripada menguji keterbagian, uji sifat kekuadratan bilangan: untuk suatu m dan bilangan k, jika k2 − m adalah kuadrat dari suatu bilangan bulat  n maka k − n membagi m. Sebagai contoh, 1002 − 9991 adalah kuadrat dari 3, akibatnya 100 − 3 membagi 9991. Uji ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil yang berada di selang k − n sampai k + n, dengan k adalah bilangan bulat yang memenuhi  k\geq {\sqrt {m}}.
Bilangan kuadrat sempurna tidak dapat berupa bilangan sempurna.
Jumlah dari  n kuadrat sempurna pertama memenuhi hubungan \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.Bilangan-bilangan ini disebut bilangan piramida persegi (barisan A000330 pada OEIS), dengan beberapa nilai pertamanya adalah:
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
Jumlah dari  n bilangan kubik pertama sama dengan kuadrat dari jumlah  n bilangan positif pertama. Hubungan ini dikenal dengan teorema Nicomachu.