stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Simetri ikosahedral
Sebagai titik grup

Terlepas dari dua deret tak hingga dari simetri prismatik dan antiprismatik, simetri ikosahedral rotasi atau simetri ikosahedral kiral dari objek kiral dan simetri ikosahedral penuh atau simetri ikosahedral akiral adalah simetri titik diskret (atau ekuivalen, simetri pada bola) dengan grup simetri terbesar.
Simetri ikosahedral tidak kompatibel dengan simetri translasi, jadi tidak ada grup titik kristalografi atau grup ruang terkait.
| Schö>  | Coxeter | Coxeter | Orb>  | Struktur abstrak | Orde |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| I | [5,3]+ |  | 532 | A5 | 60 |
| Ih | [5,3] |  | *532 | A5×2 | 120 |
Presentasi yang sesuai dengan di atas adalah:
Ini sesuai dengan grup ikosahedral (rotasi dan penuh) sebagai (2,3,5) grup segitiga.
Presentasi pertama diberikan oleh William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam makalahnya tentang kalkulus ikosian.
Perhatikan bahwa presentasi lain dimungkinkan, misalnya sebagai grup selang-seling (untuk I).
Sebagai titik grup > Visualisasi

| Schoe>  (Orb.).Schoe. (Orb.) | NotasiCoxeter | Elemen | Diagram cermin> Ortogonal | Diagram cermin> Proyeksi stereografis | Diagram cermin> Proyeksi stereografis | Diagram cermin> Proyeksi stereografis |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Ih (*532) |   [5,3] | Garis cermin: 15  |  |  |  |  |
| I (532) |   [5,3]+ | Titik girasi: 125 203 302 |  |   |   |   |
Struktur grup

| --- | --- |

Tepi sebuah bola gabungan lima oktahedra mewakili 15 bidang cermin sebagai lingkaran besar berwarna. Setiap oktahedron/segi delapan mewakili 3 bidang cermin ortogonal pada tepinya.

Simetri piritohedron adalah subgrup indeks 5 simetri ikosahedral, dengan 3 garis refleksi hijau ortogonal dan 8 titik girasi urutan-3 merah. Ada 5 orientasi yang berbeda dari simetri piritohedron.
Grup rotasi ikosahedral I adalah urutan 60. Grup I adalah isomorfik hingga A5, grup selang-seling dari permutasi genap lima objek. Isomorfisme ini diwujudkan dengan "I" pada berbagai senyawa, terutama majemuk lima kubus (yang tertulis di dodecahedron), gabungan lima oktahedra, atau salah satu dari dua senyawa lima tetrahedra (yaitu enantiomorf, dan tertulis di dodecahedron).
Grup berisi 5 versi Th dengan 20 versi D3 (10 sumbu, 2 per sumbu), dan 6 versi D5.
Grup ikosahedral penuh Ih memiliki urutan 120. Memiliki I sebagai subgrup normal dari indeks 2. Grup Ih isomorfik dengan I × Z2, atau A5 × Z2, dengan inversi di tengah sesuai dengan elemen (identitas,-1), dimana Z2 ditulis secara perkalian.
Ih pada gabungan lima kubus dan gabungan lima oktahedra, namun 1 bertindak sebagai identitas (karena kubus dan oktahedra simetris terpusat). Ia bekerja pada gabungan sepuluh tetrahedra: I pada dua bagian kiral (gabungan dari lima tetrahedra), dan 1 menukar dua bagian.
Khususnya, "tidak" bertindak sebagai S5, dan grup ini tidak isomorfik; lihat di bawah untuk detailnya.
Grup ini berisi 10 versi D3d dan 6 versi D5d (simetri seperti antiprisma).
I adalah isomorfik pada PSL2(5), namun Ih tidak isomorfik terhadap SL2(5).
Struktur grup > Isomorfisme I dengan A5

Hal ini berguna untuk menggambarkan secara eksplisit seperti apa isomorfisme antara I dan A5. Pada tabel berikut, permutasi Pi dan Qi masing-masing bekerja pada 5 dan 12 elemen, sedangkan matriks rotasi Mi adalah elemen dari I. Jika Pk adalah hasil kali dari permutasi Pi dan menerapkan Pj padanya, maka untuk nilai yang sama dari i, j dan k, juga benar bahwa Qk adalah hasil kali dari pengambilan Qi dan menerapkan Qj, dan juga mengalikan sebuah vektor dengan Mk sama dengan mengalikan vektor tersebut dengan Mi dan kemudian mengalikan hasilnya dengan Mj, yaitu Mk =  Mj × Mi. Karena permutasi Pi adalah semua 60 permutasi genap dari 12345, korespondensi satu-ke-satu dibuat eksplisit, oleh karena itu isomorfismenya juga.
Struktur grup > Isomorfisme I dengan A5

|  M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}} |  P_{56} = (1 5)(2 3) |  Q_{56} = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9) |
|  M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}} |  P_{57} = (1 5 2 3 4) |  Q_{57} = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5) |
|  M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}} |  P_{58} = (1 5 2 4 3) |  Q_{58} = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10) |
|  M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}} |  P_{59} = (1 5 3 2 4) |  Q_{59} = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11) |
|  M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}} |  P_{60} = (1 5)(2 4) |  Q_{60} = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8) |
Struktur grup > Grup biasa limbung

Semua grup berikut memiliki urutan 120, tetapi tidak isomorfik:
S5, grup simetris pada 5 elemen
Ih, grup ikosahedral penuh (subjek artikel ini, juga dikenal sebagai H3)
2I, grup ikosahedral biner
Ia sesuai dengan urutan tepat pendek berikut (yang terakhir tidak terpecah) dan produk
In words,
A_{5} adalah subgrup normal dari  S_{5}
A_{5} adalah faktor dari  I_{h}, yang merupakan produk langsung
A_{5} adalah grup hasil bagi dari  2I
Perhatikan bahwa  A_{5} memiliki biasa 3 dimensi representasi yang tidak direduksi (sebagai grup rotasi ikosahedral), namun  S_{5} tidak memiliki representasi 3 dimensi yang tidak dapat direduksi, sesuai dengan grup ikosahedral penuh tidak sebagai grup simetris.
Ini juga dikaitkan dengan grup linear atas Medan hingga dengan lima elemen, yang menunjukkan subgrup dan grup penutup secara langsung; tidak satupun dari ini adalah grup ikosahedral penuh:
A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5), Grup linear proyeksi khusus, lihat di sini untuk bukti;
S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5), grup linear umum proyeksi;
2I\cong \operatorname {SL} (2,5), grup linear khusus.
Struktur grup > Kelas konjugasi

120 simetri terbagi dalam 10 kelas konjugasi.
| I | Kelas penjumlahan Ih |
| --- | --- |
 identitas, urutan 1  12 × rotasi sebesar ±72°, urutan 5, mengelilingi 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron  12 × rotasi sebesar ±144°, urutan 5, mengelilingi 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron  20 × rotasi dengan ±120°, urutan 3, sekitar 10 sumbu melalui simpul dari dodecahedron  15 × rotasi 180°, urutan 2, sekitar 15 sumbu melalui titik tengah tepi dodecahedron:  inversi pusat, urutan 2  12 × rotorefleksi sebesar ±36°, urutan 10, di sekitar 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron  12 × rotorefleksi sebesar ±108°, urutan 10, di sekitar 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron  20 × rotorefleksi sebesar ±60°, orde 6, di sekitar 10 sumbu melalui simpul dodecahedron  15 × refleksi, urutan 2, pada 15 bidang melalui tepi dodecahedron
Struktur grup > Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh

Setiap baris dalam tabel berikut mewakili satu kelas subgrup konjugat (yaitu, ekuivalen secara geometris). Kolom "Banyak." (multiplisitas) memberikan jumlah subgrup yang berbeda di kelas konjugasi. Penjelasan warna: hijau = grup yang dihasilkan oleh refleksi, merah = grup kiral (pelestarian orientasi), yang hanya berisi rotasi.
Grup tersebut digambarkan secara geometris dalam bentuk dodecahedron. Singkatan "s.p.m.t.(tepi)" berarti "setengah putaran menukar tepi ini dengan tepi berlawanan", dan juga untuk "wajah" dan "simpul".
| Schön>  | Coxeter | Coxeter | Orb>  | H-M | Struktur | Siklus>  | Urutan|Indeks | Mult>  | Deskripsi |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Ih | [5,3] |  | *532 | 532/m | A5×Z2 |  | 120 | 1 | 1 | grup penuh |
| D2h | [2,2] |  | *222 | mmm | Dih2×Dih1=Dih13 |  | 8 | 15 | 5 | memperbaiki dua sisi berlawanan, dengan menukarnya |
| C5v | [5] |  | *55 | 5m | Dih5 | 25px]] | 10 | 12 | 6 | memperbaiki wajah |
| C3v | [3] |  | *33 | 3m | Dih3=S3 |  | 6 | 20 | 10 | memperbaiki simpul |
| C2v | [2] |  | *22 | 2mm | Dih2=Dih12 |  | 4 | 30 | 15 | memperbaiki tepi |
| Cs | [ ] |  | * | 2 atau m | Dih1 |  | 2 | 60 | 15 | refleksi menukar dua titik akhir dari sebuah tepi |
| Th | [3+,4] |  | 3*2 | m3 | A4×Z2 |  | 24 | 5 | 5 | grup piritohedral |
| D5d | [2+,10] |  | 2*5 | 10m2 | Dih10=Z2×Dih5 |  | 20 | 6 | 6 | memperbaiki dua wajah berlawanan, dengan menukarnya |
| D3d | [2+,6] |  | 2*3 | 3m | Dih6=Z2×Dih3 |  | 12 | 10 | 10 | memperbaiki dua simpul berlawanan, dengan menukarnya |
| D1d = C2h | [2+,2] |  | 2* | 2/m | Dih2=Z2×Dih1 |  | 4 | 30 | 15 | setengah putaran di sekitar titik tengah tepi, ditambah inversi pusat |
| S10 | [2+,10+] |  | 5× | 5 | Z10=Z2×Z5 |  | 10 | 12 | 6 | rotasi wajah, ditambah inversi pusat |
| S6 | [2+,6+] |  | 3× | 3 | Z6=Z2×Z3 |  | 6 | 20 | 10 | rotasi tentang simpul, ditambah inversi pusat |
| S2 | [2+,2+] |  | × | 1 | Z2 |  | 2 | 60 | 1 | inversi pusat |
| I | [5,3]+ |  | 532 | 532 | A5 |  | 60 | 2 | 1 | semua rotasi |
| T | [3,3]+ |  | 332 | 332 | A4 |  | 12 | 10 | 5 | rotasi dari tetrahedron terhubung |
| D5 | [2,5]+ |  | 522 | 522 | Dih5 |  | 10 | 12 | 6 | rotasi di sekitar pusat wajah, dan s.p.m.t.(wajah) |
| D3 | [2,3]+ |  | 322 | 322 | Dih3=S3 |  | 6 | 20 | 10 | rotasi di sekitar simpul, dan s.p.m.t.(titik) |
| D2 | [2,2]+ |  | 222 | 222 | Dih2=Z22 |  | 4 | 30 | 15 | setengah berputar di sekitar titik tengah tepi, dan s.p.m.t.(tepi) |
| C5 | [5]+ |  | 55 | 5 | Z5 |  | 5 | 24 | 6 | rotasi di sekitar pusat wajah |
| C3 | [3]+ |  | 33 | 3 | Z3=A3 |  | 3 | 40 | 10 | rotasi di sekitar simpul |
| C2 | [2]+ |  | 22 | 2 | Z2 |  | 2 | 60 | 15 | setengah putaran titik tengah tepi |
| C1 | [ ]+ |  | 11 | 1 | Z1 |  | 1 | 120 | 1 | grup trivial |
Struktur grup > Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh > Stabilisator titik

Stabilisator dari pasangan simpul berlawanan diartikan sebagai stabilisator dari sumbu yang dihasilkan.
stabilisator titik di I memberikan grup siklik C3
stabilisator titik di Ih memberikan grup dihedral D3
stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di I memberikan grup dihedral D3
stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di Ih memberikan  D_{3}\times \pm 1
Struktur grup > Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh > Stabilisator tepi

Stabilisator dari sepasang tepi berlawanan diartikan sebagai stabilisator persegi panjang yang dihasilkan.
stabilisator tepi di I memberikan grup siklik Z2
penstabil tepi di Ih memberikan Klein empat grup  Z_{2}\times Z_{2}
stabilisator dari sepasang sisi dalam I memberikan Klein empat grup  Z_{2}\times Z_{2}; 5 diantaranya, diberikan oleh rotasi 180° dalam 3 sumbu tegak lurus.
stabilisator dari sepasang sisi dalam Ih memberikan  Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}; 5 diantaranya, yang diberikan oleh refleksi dalam 3 sumbu tegak lurus.
Struktur grup > Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh > Stabilisator wajah

Stabilisator dari pasangan wajah berlawanan diartikan sebagai stabilisator anti-prisma yang dihasilkan.
stabilisator wajah di I memberikan grup siklik C5
stabilisator wajah di Ih memberikan grup dihedral D5
stabilisator dari pasangan wajah berlawanan di I memberikan grup dihedral D5
stabilisator dari pasangan wajah yang berlawanan di Ih memberikan  D_{5}\times \pm 1
Struktur grup > Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh > Stabilisator polihedron

Untuk masing-masing, 5 salinan konjugasi, dan tindakan konjugasi memberikan peta,  I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}.
stabilisator dari tetrahedra tertulis di I adalah salinan T
stabilisator dari tetrahedra tertulis di Ih adalah salinan T
stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di I adalah salinan T
stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di Ih adalah salinan dari Th
Struktur grup > Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh > Generator grup Coxeter

Grup simetri ikosahedral penuh [5,3] () urutan 120 memiliki generator diwakili oleh matriks refleksi R0, R1, R2, dengan relasi R02 = R12 = R22 = (R0×R1)5 = (R1×R2)3 = (R0×R2)2 = Identitas. Grup [5,3]+ () urutan 60 dihasilkan oleh dua rotasi S0,1, S1,2, S0,2. Sebuah refleksi rotor urutan 10 dihasilkan oleh V0,1,2, produk dari ketiga refleksi. Di sini  \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}} menunjukkan rasio emas.
| Nama | Refleksi> R0 | Refleksi> R1 | Refleksi> R2 | Rotasi> S0,1 | Rotasi> S1,2 | Rotasi> S0,2 | Rotorefleksi> V0,1,2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
Grup: 
| Urutan | 2 | 2 | 2 | 5 | 3 | 2 | 10 |
| Matrix |  \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right] |  \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right] |  \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right] |  \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right] |  \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right] |  \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right] |  \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right] |
|  | (1,0,0)n |  ({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})n | (0,1,0)n |  (0,-1,\phi )sumbu |  (1-\phi ,0,\phi )sumbu |  (0,0,1)sumbu |  |
Domain fundamental

Domain fundamental untuk grup rotasi ikosahedral dan grup ikosahedral penuh diberikan oleh:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Grup rotasi ikosahedral I |  Grup ikosahedral penuh Ih |  Wajah triacontahedron Disdyakis adalah domain fundamental |
Dalam triacontahedron Disdyakis satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap himpunan bagian menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.
Polihedra dengan simetri ikosahedral

Informasi lebih lanjut: Padatan dengan simetri ikosahedral
Polihedra dengan simetri ikosahedral > Kiral polihedra

| Kelas | Simbol | Gambar |
| --- | --- | --- |
| Archimedean | sr{5,3}  |  |
| Catalan | V3.3.3.3.5  |  |
Polihedra dengan simetri ikosahedral > Simetri ikosahedral penuh

| Padatan Platonis | Polihedra Kepler–Poinsot | Polihedra Kepler–Poinsot | Padatan Archimedean | Padatan Archimedean | Padatan Archimedean | Padatan Archimedean | Padatan Archimedean |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  {5,3}  | Berkas:SmallStellatedDodecahedron.svg {5/2,5}  | Berkas:GreatStellatedDodecahedron.svg {5/2,3}  | Berkas:TruncatedDodecahedron.svg t{5,3}  |  t{3,5}  | Berkas:IcosiDodecahedron.svg r{3,5}  | Berkas:RhombicosiDodecahedron.svg rr{3,5}  | Berkas:TruncatedicosiDodecahedron.svg tr{3,5}  |
| Padatan Platonik | Polihedra Kepler–Poinsot | Polihedra Kepler–Poinsot | Padatan Catalan | Padatan Catalan | Padatan Catalan | Padatan Catalan | Padatan Catalan |
|  {3,5}  =  | Berkas:GreatDodecahedron.svg {5,5/2}  =  |  {3,5/2}  =  |  V3.10.10  | Berkas:PentakisDodecahedron.svg V5.6.6  |  V3.5.3.5  |  V3.4.5.4  |  V4.6.10  |
Objek lain dengan simetri ikosahedral

Contoh simetri ikosahedral
, sebuah Radiolarian
Kapsid dari Adenovirus
Permukaan Barth
Struktur virus, dan Kapsid
Dalam kimia, ion dodecaborate ([B12H12]2−) dan molekul dodecahedrane (C20H20)
Objek lain dengan simetri ikosahedral > Kristal cair dengan simetri ikosahedral

Untuk fase bahan antara yang disebut kristal cair keberadaan simetri ikosahedral diusulkan oleh H. Kleinert dan K. Maki 
dan strukturnya pertama kali dianalisis secara rinci dalam makalah itu. Lihat artikel ulasan disini.
Dalam aluminium, struktur ikosahedral ditemukan secara eksperimental tiga tahun setelah ini oleh Dan Shechtman, yang membuatnya mendapatkan Hadiah Nobel pada tahun 2011.
Geometri terkait

Simetri ikosahedral setara dengan grup linear khusus proyeksi PSL(2,5), dan adalah grup simetri dari kurva modular X(5), dan lebih umum PSL(2,p) adalah grup simetri dari kurva modular X(p). Kurva modular X(5) secara geometris merupakan dodecahedron dengan titik puncak di tengah setiap wajah poligonal, yang menunjukkan grup simetri.
Geometri ini, dan grup simetri terkait, dipelajari oleh Felix Klein sebagai kelompok monodromi permukaan Belyi – permukaan Riemann dengan peta holomorfik ke bola Riemann, bercabang hanya 0, 1, dan tak hingga (sebuah fungsi Belyi) – puncaknya adalah titik-titik yang terletak atas tak hingga, sedangkan simpul dan pusat setiap tepi terletak di atas 0 dan 1; tingkat penutup (jumlah lembar) sama dengan 5.
Ini muncul dari usahanya untuk memberikan pengaturan geometris mengapa simetri ikosahedral muncul dalam solusi persamaan kuintik, dengan teori yang diberikan dalam (Klein 1888) yang terkenal; eksposisi modern diberikan dalam (Tóth 2002, Bagian 1.6, Topik Tambahan: Teori Klein tentang Ikosahedron, p. 66).
Penyelidikan Klein dilanjutkan dengan penemuan simetri urutan 7 dan urutan 11 dalam (Klein 1878/79b) dan (Klein 1879) (dan penutup terkait derajat 7 dan 11) dan dessins d'enfants, yang pertama menghasilkan kuintik Klein, geometri yang terkait memiliki ubin dengan 24 segi enam (dengan titik puncak di tengah).
Geometri serupa dengan PSL(2,n) dan grup yang umum untuk kurva modular lainnya.
Lebih eksotis lagi, relasi khusus antara grup PSL(2,5) (urutan 60), PSL(2,7) (urutan 168) dan PSL(2,11) (urutan 660), yang juga menerima interpretasi geometris – PSL(2,5) adalah simetri ikosahedron (genus 0), PSL(2,7) dari Klein quartic (genus 3), dan PSL(2,11) permukaan bukminsterfulerena (genus 70). Kelompok-kelompok ini membentuk "trinitas" dalam arti Vladimir Arnold, yang memberikan kerangka kerja untuk berbagai hubungan; lihat trinitas untuk detailnya.
Ada hubungan dekat dengan padatan Platonis lainnya.
Lihat pula

Simetri tetrahedral
Simetri oktahedral
Grup ikosahedral biner
Kalkulus ikosian
Pranala luar

(Inggris) Weisstein, Eric W. "Grup ikosahedral". MathWorld.
SUBGRUP W(H3) Diarsipkan 2021-08-30 di Wayback Machine. (Subgrup dari grup Coxeter lainnya Diarsipkan 2020-08-02 di Wayback Machine.) Gotz Pfeiffer
Relasi subgrup
Relasi subgrup kiral
Karataş, Eflani

| Karataş |
| --- | --- |
Desa
KarataşLokasi di Turki
Koordinat: 41°31′28″N 32°53′40″E﻿ / ﻿41.52444°N 32.89444°E﻿ / 41.52444; 32.89444
Negara: Turki
Provinsi: Karabük
Distrik: Eflani
Luas: 13 km2 (5 sq mi)
Ketinggian: 764 m (2,507 ft)
Populasi (2022): 77
 • Kepadatan: 5,9/km2 (15/sq mi)
Zona waktu: TRT (UTC+3)
Kode pos: 78302
Kode area telepon: 0370
Iklim: Cfa
Karataş adalah sebuah desa di Distrik Eflani, Provinsi Karabük, Turki. Desa ini berpenduduk 77 jiwa berdasarkan sensus penduduk tahun 2022.
Geografi

Desa ini terletak di kawasan geografis Laut Hitam, berjarak 64 km dari pusat ibu kota provinsi Karabük dan 19 km dari ibu kota distrik Eflani. Desa ini berada di ketinggian 764 m (2.507 ft) di atas permukaan laut.
Muhamad Nasir

Muhamad Nasir adalah seorang politikus Indonesia. Ia dilantik menjadi Wakil Bupati Lembata pada 20 Februari 2025 mendampingi P. Kanisius Tuaq selaku Bupati Lembata setelah memenangkan pemilihan umum Bupati Lembata 2024. Pada Pemilihan umum Bupati Lembata 2017, ia maju sebagai calon Wakil Bupati Lembata mendampingi Viktor Mado Watun selaku calon Bupati Lembata, namun kalah dengan pasangan Eliaser Yentji Sunur-Thomas Ola Langoday.
Koridor 7 Transjakarta

Koridor 7 Transjakarta adalah koridor bus Transjakarta yang beroperasi dengan jurusan Kampung Rambutan hingga Kampung Melayu. Pada peta perjalanan, koridor ini diberi warna pink tua.
Koridor ini melintasi Jalan Otista Raya, Jalan MT Haryono, Jalan Mayjen Sutoyo, Jalan Raya Bogor, dan Jalan Gedong Timur/Barat. Koridor 7 merupakan satu-satunya koridor yang tidak terintegrasi dengan layanan kereta komuter Commuter Line.
Koridor 7, bersama dengan koridor 4, 5, dan 6 resmi dioperasikan pada 27 Januari 2007, setelah menjalani uji coba pengoperasian pada Desember 2006.
Daftar Halte

Semua halte dilayani bus selama 24 jam sehari.
|  Koridor 7 (Kampung Rambutan – Kampung Melayu)> Kode |  Koridor 7 (Kampung Rambutan – Kampung Melayu)> Nama halte |  Koridor 7 (Kampung Rambutan – Kampung Melayu)> Transfer |  Koridor 7 (Kampung Rambutan – Kampung Melayu)> Penghubung antarmoda dan keterangan |
| --- | --- | --- | --- |
Halte secara berurut: Dari atas ke bawah (turun) ke arah Kampung Melayu (→); dari bawah ke atas (naik) ke arah Kampung Rambutan (←)
| 701 | Kampung Rambutan | Dua bangunan terpisah untuk kedua arah mengharuskan penumpang keluar area berbayar dan membayar lagi untuk transit: Bagian 1: Hanya penurunan  Bagian 2: arah Kampung Melayu (→) | Terminal Kampung Rambutan LRT Jabodebek di Stasiun LRT Kampung Rambutan |
| 702 | Tanah Merdeka | Dua bangunan terpisah untuk kedua arah mengharuskan penumpang keluar area berbayar dan membayar lagi untuk transit: Arah timur: arah Kampung Rambutan (←)  Arah barat: arah Kampung Melayu (→) |  |
| 703 | Flyover Raya Bogor |  |  |
| 704 | Trikora |   Trikora |  |
| 705 | Pasar Induk |  |  |
| 706 | Kramat Jati |  |  |
| 707 | Cililitan |  (Koridor 10 di halte PGC) | Terminal Cililitan |
| 708 1021 | Cawang Cililitan |  (Koridor 10) |  |
| 709 903 1020 | Cawang Sentral |  (Koridor 9)  (Koridor 10) |  |
| 710 904 | Cawang |  (Koridor 9) | LRT Jabodebek di Stasiun LRT Cawang |
| 711 | Cawang Baru |  |  |
| 712 | Gelanggang Remaja |  |  |
| 713 | Bidara Cina |  |  |
| 714 518 1116 | Kampung Melayu |  (Koridor 5)  (Koridor 11) | Terminal Kampung Melayu |
Armada

Tipe bus yang melayani Koridor 7 adalah sebagai berikut:
Swakelola PT Transportasi Jakarta
Mercedes-Benz OH 1526, putih-biru muda
Mercedes-Benz OH 1626, putih-biru tua
Mayasari Bakti
Mercedes-Benz OH 1626, putih-biru tua
Perum DAMRI
Zhongtong Bus LCK6126EVGRA1, putih-biru tua (bus malam)
Skywell NJL6126BEV, putih-biru tua (bus malam)
Depo

Berikut ini adalah daftar depo bus yang mengalokasi bus koridor 7.
Swakelola PT Transportasi Jakarta: Cawang
Mayasari Bakti: Cijantung
Perum DAMRI: Pulo Gadung (bus malam)
Pranala luar

transjakarta.co.id/peta-rute/
Pemilihan umum Bupati Lampung Tengah 2020

Pemilihan Umum Bupati Lampung Tengah 2020 akan dilaksanakan pada 9 Desember 2020 untuk memilih Bupati Lampung Tengah periode 2021-2024.
Kursi parlemen

Lihat pula: Dewan Perwakilan Rakyat Daerah Kabupaten Lampung Tengah
Hasil pemilihan umum legislatif 2019 di Kabupaten Lampung Tengah terdapat 9 Partai Politik dengan jumlah 50 Kursi di DPRD Kabupaten Lampung Tengah, yaitu:
| No>  | Partai politik | Partai politik | Jumlah kursi | Perubahan kursi (2014) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 |  | PDI-P | 11 / 50 |  2 kursi |
| 2 |  | Golkar | 9 / 50 |  |
| 3 |  | Gerindra | 6 / 50 |  3 kursi |
| 4 |  | PKB | 6 / 50 |  1 kursi |
| 5 |  | NasDem | 6 / 50 |  6 kursi |
| 6 |  | PKS | 5 / 50 |  1 kursi |
| 7 |  | Demokrat | 5 / 50 |  |
| 8 |  | Perindo | 1 / 50 | (baru) |
| 9 |  | PAN | 1 / 50 |  2 kursi |