Aljabar
Aljabar elementer

Artikel utama: Aljabar elementer
Aljabar elementer adalah bentuk aljabar tertua sekaligus paling mendasar. Aljabar elementer adalah bentuk umum dari aritmetika yang mengandalkan variabel dan mengkaji cara pernyataan matematis dapat diubah. Aritmetika disini adalah kajian operasi perhitungan dan mengkaji bagaimana suatu bilangan digabungkan dan diubah menjadi operasi aritmetika seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensiasi, pengakaran, dan logaritma. Sebagai contoh, operasi penambahan menggabungkan dua bilangan (yang disebut penambah) menjadi bilangan ketiga (yang disebut jumlah), seperti  2+5=7.
Aljabar elementer mengandalkan operasi yang sama, meskipun variabel juga dihadirkan selain bilangan biasa. Variabel melambangkan kuantitas yang tidak diketahui, yang dapat digunakan sebagai lambang untuk menyatakan kepada seseorang tidak mengetahui nilai pasti serta mengekpresikan hukum umum yang pernyataannya benar, apapun bilangan yang digunakan. Sebagai contoh, persamaan  2\times 3=3\times 2 milik cabang aritmetika karena mengekpresikan sebuah kesamaan hanya untuk bilangan-bilangan spesifik. Bilangan pada persamaan tersebut dapat diganti dengan variabel, yang memungkinkan untuk mengekpresikan hukum umum yang menerapkan ke sebarang kombinasi bilangan, seperti sifat perkalian komutatif, yang dinyatakan dalam persamaan  a\times b=b\times a.
Ekspresi aljabar dibentuk dengan menggunakan operasi aritmetika untuk menggabungkan variabel dan bilangan. Berdasarkan konvensi  x,  y, dan  z melambangkan variabel. Pada beberapa kasus, subskripsi juga ditambahkan untuk membedakan variabel seperti  x_{1},  x_{2}, and Huruf kecil  a,  b, dan  c biasanya digunakan sebagai konstanta dan koefisien. Ekspresi  5x+3 adalah contoh ekspresi aljabar yang diciptakan dengan mengalikan bilangan 5 dengan variabel  x, yang kemudian ditambahkan 3 sebagai hasil akhirnya. Contoh ekspresi aljabar lainnya adalah  32xyz dan  64x_{1}^{2}+7x_{2}-c.
Beberapa ekspresi aljabar mengambil bentuk pernyataan yang mengaitkan dua ekspresi ke suatu ekspresi yang lain. Persamaan adalah suatu pernyataan yang dibentuk dengan membandingkan dua ekspresi, katakanlah ekspresi itu sama. Kesamaan kedua ekspresi itu menggunakan lambang sama dengan ( =), seperti  5x^{2}+6x=3y+4. Pertidaksamaan melibatkan jenis perbandingan, katakanlah dua ruas sisi berbeda. Ketidaksamaan tersebut menggunakan lambang kurang dari ( <), lebih dari ( >), dan lambang tidak sama dengan ( \neq ). Tidak seperti ekspresi lainnya, pernyataan dapat benar atau salah, dan nilai kebenarannya biasanya bergantung pada nilai variabel. Sebagai contoh, pernyataan  x^{2}=4 benar jika  x bernilai 2 atau −2, tetapi pernyataan sebaliknya salah. Persamaan dengan variabel dapat dibagi menjadi persamaan identitas dan persamaan bersyarat. Persamaan identitas adalah benar untuk semua nilai yang dapat ditetapkan dengan variabel, seperti persamaan  2x+5x=7x. Sementara itu, persamaan bersyarat adalah benar untuk suatu nilai; sebagai contoh, persamaan  x+4=9 adalah benar apabila  x bernilai 5.
Tujuan utama aljabar elementer adalah menentukan nilai bila suatu pernyataan itu benar. Ini didapatkan dengan mengubah dan memanipulasi pernyataan menurut hukum-hukum tertentu. Prinsip utama yang menuntun proses tersebut adalah operasis apapun yang diterapkan ke sebelah ruas suatu persamaan harus diterapkan juga ke ruas lainnya. Sebagai contoh, jika seseorang mengurangi 5 dari ruas kiri suatu persamaan, maka seseorang juga mengurangi 5 dari ruas kanan supaya kedua ruas menjadi seimbang nilainya. Tujuan dari langkah-langkah ini biasanya mengisolasikan suatu variabel pada sebelah ruas persamaan. Sebagai contoh, persamaan  x-7=4 dapat diselesaikan untuk  x dengan menambahkan 7 pada kedua ruas, sehingga mengisolasikan  x pada ruas kiri dan hasilnya menjadi  x=11.
Ada banyak teknik lain yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan. Penyederhanaan (simplification) digunakan untuk menggantikan ekspresi yang sulit bentuknya menjadi ekspresi yang lebih mudah. Sebagai contoh, ekspresi  7x-3x dapat diganti dengan  4x karena  7x-3x=(7-3)x=4x menurut sifat distributif. Untuk pernyataan dengan beberapa variabel, substitusi adalah teknik umum untuk menggantikan suatu variabel dengan suatu ekspresi ekuivalen yang tidak menggunakan variabel tersebut. Sebagai contoh, jika  y=3x maka ekspresi  7xy dapat disubstitusikan sehingga hasilnya menjadi  21x^{2}. Dengan cara yang sama, jika seseorang tahu nilai suatu variabel, maka seseorang dapat menggunakan variabel itu untuk menentukan nilai dari variabel yang lain.
Persamaan aljabar dapat dipandang secara geometris untuk membentuk gambaran spasial dalam bentuk grafik. Caranya adalah variabel yang berbeda di dalam persamaan dapat dipandang sebagai koordinat dan nilai yang menyelesaikan persamaan dipandang sebagai titik suatu grafik. Sebagai contoh, jika  x ditetapkan bernilai nol dalam persamaan  y=0.5x-1, maka  y pasti bernilai −1 supaya persamaan itu menjadi benar. Ini berarti bahwa pasangan  (x,y) bernilai  (0,-1) menjadi bagian dari grafik persamaan. Sebaliknya, pasangan  (x,y) bernilai  (0,7) tidak menyelesaikan persamaan dan bukan bagian dari grafik. Grafik meliputi totalitas dari pasangan  (x,y) yang menyelesaikan suatu persamaan.