Distribusi t Student

Halaman ini berisi artikel tentang sisi matematika dari distribusi  Student. Untuk penggunaannya pada statistika, lihat Uji t Student.
| --- | --- |
Fungsi kepekatan probabilitas
Fungsi distribusi kumulatif
Parameter:  \ \nu >0\  derajat kebebasan (riil, hampir selalu bilangan bulat positif)
Dukungan:  \ x\in (-\infty ,\infty )
PDF:  \textstyle \ {\frac {\Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\ \left(\ 1+{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-{\frac {\ \nu +1\ }{2}}}\ 
CDF:  {\begin{matrix}\ {\frac {\ 1\ }{2}}+x\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\ {{}_{2}F_{1}}\!\left(\ {\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu +1\ }{2}};\ {\frac {3}{\ 2\ }};\ -{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ }{\ {\sqrt {\pi \nu }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ ,\end{matrix}}       dengan  \ {}_{2}F_{1}\!(\ ,\ ;\ ;\ )\  adalah fungsi hipergeometris
Mean:  \ 0\  untuk  \ \nu >1\ , lainnya tak terdefinisi
Median:  \ 0\ 
Modus:  \ 0\ 
Variance:  \textstyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\  untuk  \ \nu >2\ , ∞ untuk  \ 1<\nu \leq 2\ ,  lainnya tak terdefinisi
Skewness:  \ 0\  for  \ \nu >3\ , lainnya tak terdefinisi
Ex. kurtosis:  \textstyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }} for  \ \nu >4\ , ∞ for  \ 2<\nu \leq 4\ ,  otherwise undefined
Entropi:  \ {\begin{matrix}{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\left[\ \psi \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ \right]\\[0.5em]+\ln \left[{\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\left(\ {\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\ \right)\right]\ {\scriptstyle {\text{(nats)}}}\ \end{matrix}}  dengan  \psi ()\  adalah fungsi digamma,  \ {\mathrm {B} }(\ ,\ )\  adalah fungsi beta. 
MGF: tidak terdefinisi
CF:  \textstyle {\frac {\ \left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)^{\nu /2}\ K_{\nu /2}\left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)\ }{\ \Gamma (\nu /2)\ 2^{\nu /2-1}\ }}\  for  \ \nu >0\   \ K_{\nu }(x)\  adalah adalah bentuk kedua dari fungsi Bessel yang dimodifikasi 
Kekurangan yang diperkirakan [en]:  \ \mu +s\ \left(\ {\frac {\ \left(\ \nu +(T^{-1}(1-p))^{2}\right)\ \ \times \ \tau \left(T^{-1}(1-p)\right)\ }{\ (\nu -1)(1-p)\ }}\ \right)\  dengan  \ T^{-1}(\ )\  adalah invers dari bentuk standar CDF t Student, dan  \ \tau (\ )\  adalah bentuk standar dari PDF t Student.
Pada teori peluang dan statistika, distribusi t Student (atau lebih sederhana distribusi t) tν adalah sebaran peluang yang menggeneralisasikan distribusi normal standar. Seperti distribusi normal, distribusi t simetris di sekitar nol dan memiliki bentuk bel.
Namun, distribusi t memiliki ekor yang lebih berat, dengan massa ekor bergantung pada parameter derajat kebebasan ν. Untuk ν = 1, distribusi t Student tν menjadi distribusi Cauchy standar, dengan ekor yang sangat "gemuk". Sementara itu, untuk ν →

 ∞, distribusi t menjadi distribusi normal standar N(0,1) yang memiliki ekor yang "tipis".
Distribusi t Students memainkan peran penting pada banyak analisis statistika, termasuk uji t Student untuk menguji signifikansi statistika dari perbedaan antara dua rerata sampel, pembangunan selang kepercayaan untuk perbedaan antara dua rerata populasi, dan pada analisis regresi linear.
Pada bentuk skala lokalisasi distribusi t lst(μ, τ2, ν), distribusi ini menggeneralisasi distribusi normal dan juga muncul pada analisis Bayes pada data dari keluarga distribusi peluang majemuk [en] keika dimarjinalkan oleh parameter variasi.