Teorema bilangan prima
Sketsa bukti

ini adalah sebuah sketsa dari bukti yang disebut di salah satu kuliah Terence Tao. Ide tersebut adalah untuk menghitung bilangan prima (atau sebuah himpunan yang terkait seperti himpunan dari pangkat-pangkat bilangan prima) dengan bobot untuk sampai pada sebuah fungsi dengan perilaku asimtotik yang lebih mulus. Yang paling umum seperti fungsi penghitungan rampat adalah fungsi Chebyshev.
\psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\ln p
Kadang-kadang, ini ditulis sebagai
dimana  \Lambda (n) adalah fungsi von Mangoldt, yaitu
Sekarang relatif mudah untuk memeriksa bahwa TBP setara dengan tujuannya bahwa
Memang, ini mengikuti dari perkiraan yang mudah
dan (menggunakan notasi O besar) untuk setiap  \varepsilon >0,
Langkah selanjutnya adalah mencari sebuah representasi yang berguna untuk  \psi (x). Misalkan  \zeta (s) menjadi sebuah fungsi zeta Riemann. Ini bisa menunjukkan bahwa  \zeta (s) berakitan dengan fungsi von Mangoldt  \Lambda (n),
Sebuah analisis yang rumit dari persamaan ini dan sifat-sifat yang terkati dengan fungsi zeta, menggunakan transformasi Mellin dan rumus Perron, menunjukkkan bahwa untuk bukan bilangan bulat  x persamaan
\psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )berlaku, dimana jumlah di atas semuanya nol (trivial dan nontrivial) dari fungsi zeta. Rumus yang mencolok ini adalah salah satu yang disebut rumus eksplisit teori bilangan, dan sudah menunjukkan dari hasil yang kita buktikan, sejak suku  x (diklaim menjadi perbaikan urutan asimtotik  \psi (x)) muncul pada sebelah kanan, diikuti oleh (agaknya) suku asimtotik urutan lebih rendah.
Langkah selanjutnya dalam bukti melibatkan sebuah studi dari nol dari fungsi zeta. Nol trivial  -2,-4,-6,-8,\dots  bisa ditangani secara terpisahː
yang hilang untuk sebuah  x besar. Untuk nol nontrivial, yaitu yang ada di garis kritis  0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1, berpotensi menjadi sebuah urutan asimtotik sebanding ke suku utama  x jika  \operatorname {Re} (\rho )=1, jadi kita perlu menunjukkan bahwa semua nol memiliki bagian real sangat kurang dari  1.
Untuk melakukan ini, kita menerima begitu saja bahwa  \zeta (s) adalah meromorfik dalam setengah bidang  \operatorname {Re} (s)>0, dan  analitik di sana kecuali untuk sebuah kutub sederhana pada  s=1, dan itu terdapat sebuah rumus produk
\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}
untuk  \operatorname {Re} (s)>1. Rumus produk ini mengikuti dari adanya faktorisasi bilangan prima tunggal dari bilangan bulat, dan menunjukkan bahwa  \zeta (s) tidak pernah nol di daerah ini, jadi logaritmanya didefinisikan di sana dan
Tulis  s=x+iy, lalu
{\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}\right).
Sekarang mengamati identitas
sehingga
untuk semua  x>1. Misalkan bahwa  \zeta (1+iy)=0. Tentu saja  y bukan nol, karena  \zeta (s) memiliki sebuah kutub sederhana pada  s=1. Misalkan bahwa  x>1 dan misalkan  x cenderung ke  1 dari atas. Karena  \zeta (s) adalah sebuah kutub sederhana pada  s=1 dan  \zeta (x+2iy) tetap analitik, sisi kiri di pertidaksamaan sebelumnya cenderung ke  0, sebuah kontradiksi.
Terakhir, kita bisa menyimpulkan bahwa TBP secara heuristik benar. Untuk menyelesaikan bukti dengan teliti, masih ada teknik-teknik yang serius untuk diatasi, karena faktanya bahwa penjumlahan pada nol zeta dalam rumus eksplisit untuk  \psi (x) tidak konvergen sepenuhnya tetapi hanya bersyarat dan dalam sebuah arti "nilai utama". Terdapat beberapa cara di sekitar masalah ini tapi banyak dari mereka membutuhkan perkiraan analisis kompleks yang agak rumit. Buku Edward menyediakan detailnya. Metode lainnya adalah menggunakan teorema Tauberian Ikehara, meskipun teorema ini sendiri cukup sulit untuk membuktikan. D. J. Newman mengamati bahwa kekuatan penuh dari teorema Ikehara tidak dibutuhkan untuk teorema bilangan prima, dan salah satunya bisa lolos dengan sebuah kasus spesial yang jauh lebih mudah untuk membuktikan.