stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Turunan
Notasi turunan > Notasi Lagrange

Terkadang disebut dengan notasi petik/prima (prime notation), salah satu notasi turunan yang umum lainnya adalah notasi yang diperkenalkan Joseph-Louis Lagrange. Notasi ini menggunakan simbol prima, yang mirip dengan simbol petik. Turunan dari fungsi  f dituliskan sebagai  f'. Serupa dengan itu, turunan kedua dan ketiga dari fungsi ditulis sebagai
Untuk menyatakan turunan tingkat tinggi, beberapa penulis menggunakan angka Romawi yang ditulis sebagai tika atas, sedangkan yang lain menuliskan angka dalam simbol kurung:
Notasi yang kedua dapat diperumum untuk menghasilkan notasi  f^{(n)} untuk turunan ke-n dari  f. Notasi ini ringkas dan paling berguna ketika turunan dianggap sebagai fungsi tersendiri, berbeda dengan notasi Leibniz yang mengganggap turunan sebagai hubungan antar variabel. Nilai fungsi turunan ke-n di  a dituliskan sebagai  f^{(n)}(a).
Notasi turunan > Notasi Newton

Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/titik. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika  y=f(t), maka
masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari  y. Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap panjang busur, yang umum ditemukan dalam persamaan diferensial di fisika dan geometri diferensial. Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk turunan tingkat tinggi (turunan ke-4 atau lebih), dan tidak dapat digunakan untuk fungsi multivariabel.
Notasi turunan > Notasi Euler

Notasi yang diperkenalkan Leonhard Euler menggunakan operator diferensial  D, yang ketika diterapkan pada sebuah fungsi  f akan menghasilkan turunan pertama  Df. Turunan ke-n dengan notasi ini ditulis sebagai  D^{n}f. Jika  y=f(x) adalah variabel terikat, maka tika bawah  x umum dilekatkan ke  D untuk memperjelas  x adalah variabel bebas. Notasi Euler selanjutnya dapat ditulis sebagai
walaupun tika bawah umumnya tidak digunakan jika konteks variabel  x dapat dipahami, contohnya ketika  x adalah satu-satunya variabel bebas dalam ekspresi. Notasi Euler berguna dalam menyatakan dan menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.
Kaidah dalam menentukan turunan fungsi

Lihat pula: Tabel integral
Definisi turunan dapat digunakan untuk menentukan turunan suatu fungsi, seperti  x^{n} dan  \sin(x). Proses ini dilakukan membuat persamaan perbandingan beda, lalu menghitung limitnya. Tapi pada praktiknya proses ini seringkali melelahkan. Dalam pendidikan terkait kalkulus diferensial, proses ini hanya dilakukan pada awal pembelajaran. Selanjutnya, menentukan turunan fungsi dilakukan dengan merujuk pada tabel/daftar turunan fungsi yang umum maupun dengan menggunakan aturan-aturan turunan.
Kaidah dalam menentukan turunan fungsi > Kaidah untuk fungsi-fungsi dasar

Setiap aturan pada bagian ini dapat dihasilkan dengan membuat persamaan beda, lalu menghitung limit  h\to 0. Proses tersebut memerlukan strategi yang berbeda untuk mendapatkan hasil turunan, tergantung jenis fungsinya. Pada bagian ini,  a berupa bilangan real.
Turunan pangkat:
 {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}.
 {\frac {d}{dx}}x^{a}={\frac {d}{dx}}x\cdot a\cdot x^{a-1}
Turunan implisit:
Contoh 1: mencari turunan dy/dx dari:
x^{3}+3x+2=y^{2}
dapat dilakukan dengan cara berikut:
\rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}(x^{3}+3x+2)={\frac {d}{dx}}(y^{2})
\rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}x^{3}+{\frac {d}{dx}}3x+{\frac {d}{dx}}2={\frac {d}{dx}}y^{2}
\rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {d}{dx}}{\frac {dy}{dy}}y^{2}
\rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {dy}{dx}}{\frac {d}{dy}}y^{2}
\rightarrow \quad 3x^{2}+3={\frac {dy}{dx}}2y
\rightarrow \quad {\frac {dy}{dx}}={\frac {3x^{2}+3}{2y}}
Contoh 2: mencari turunan dx/dy dari:
x^{3}+3x+2=y^{2}
dapat dilakukan dengan cara berikut:
\rightarrow \quad {\frac {d}{dy}}x^{3}+{\frac {d}{dy}}3x+{\frac {d}{dy}}2={\frac {d}{dy}}y^{2}
\rightarrow \quad {\frac {d}{dy}}{\frac {dx}{dx}}x^{3}+{\frac {d}{dy}}{\frac {dx}{dx}}3x=2y
\rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}x^{3}+{\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}3x=2y
\rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}3x^{2}+{\frac {dx}{dy}}3=2y
\rightarrow \quad {\frac {dx}{dy}}={\frac {2y}{3x^{2}+3}}
Fungsi eksponensial dan logaritma:
 {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.
 {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a),\qquad a>0
 {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.
 {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad x,a>0
Fungsi trigonometri:
 {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).
 {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).
 {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).
Fungsi invers trigonometri:
 {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.
 {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad -1<x<1.
 {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}
Kaidah dalam menentukan turunan fungsi > Kaidah untuk fungsi komposit

Beberapa aturan berikut dapat digunakan untuk menentukan turunan komposisi fungsi dengan membaginya menjadi masalah-masalah turunan yang lebih sederhana. Pada bagian ini,  f,  g, dan  h adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang  I.
Aturan konstanta:
 f'(x)=0. untuk  f(x) berupa fungsi konstan.
Kaidah jumlah:
 (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g' untuk semua fungsi f dan g, dan untuk semua bilangan real  \alpha  dan  \beta .
Kaidah darab:
 (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' untuk semua fungsi f dan g. Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa  (\alpha \cdot f)'=\alpha \cdot f' dengan  \alpha  berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta,  (\alpha \cdot f)'=\alpha \cdot f'+\alpha '\cdot f=\alpha \cdot f'+0\cdot f=\alpha \cdot f'.
Kaidah hasil-bagi:
 \left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}} untuk semua fungsi  g dan  h, di semua titik  x di  I yang memenuhi  h(x)\neq 0. Pada kasus  g berupa fungsi konstan bernilai  1, akan didapatkan hubungan  \left({\frac {1}{h}}\right)'={\frac {-h'}{h^{2}}}
Aturan rantai untuk komposisi fungsi:
Jika fungsi  h terdiferensialkan pada selang  I_{1}, dan fungsi  g terdiferensialkan pada selang  I_{2}=h(I_{1}) ( I_{2} adalah citra dari  I_{1} yang dihasilkan fungsi  h), maka komposisi fungsi  g\circ h terdiferensialkan di  I_{1} dan
 (g\circ h)'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Kaidah fungsi invers:
Jika fungsi  f bersifat bijektif, dan  f^{-1} adalah invers dari fungsi tersebut, maka
 [f^{-1}]'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}
Hubungan ini berlaku sembarang titik  x yang memenuhi  f'(f^{-1}(x))\neq 0
Kaidah dalam menentukan turunan fungsi > Contoh perhitungan

Turunan dari fungsi
dapat dilakukan dengan pertama kali menerapkan kaidah jumlah; turunan dari penjumlahan fungsi-fungsi sama dengan penjumlahan dari turunan fungsi-fungsi:
f'(x)={\frac {d}{dx}}(x^{4})+{\frac {d}{dx}}{\Big (}\cos \left(x^{2}\right){\Big )}-{\frac {d}{dx}}(e^{x})-{\frac {d}{dx}}{\Big (}\ln(x)e^{x}{\Big )}+{\frac {d}{dx}}(7)Tahap selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi. Kaidah rantai digunakan untuk menentukan turunan dari  \cos(x^{2}), sedangkan kaidah darab digunakan untuk menentukan turunan  \ln(x)e^{x}:
Turunan tingkat tinggi

Misalkan  f adalah fungsi terdiferensialkan, dan  f' adalah fungsi turunannya. Turunan dari  f' (jika ada) ditulis sebagai  f'' dan disebut turunan kedua dari  f. Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai  f''' dan disebut turunan ketiga dari  f; dan seterusnya. Turunan berulang ini disebut turunan tingkat tinggi. Turunan ke-n juga dapat dituliskan sebagai  f^{(n)}. Jika  x(t) menyatakan posisi suatu objek pada waktu  t, maka turunan tingkat tinggi dari  x memiliki interpretasi khusus dalam bidang fisika. Turunan pertama dari  x menyatakan kecepatan objek, turunan kedua menyatakan besar akselerasinya, sedangkan turunan ketiga dari  x menyatakan sentakan.
Turunan tingkat tinggi > Fungsi mulus

Artikel utama: Fungsi mulus
Sebuah fungsi yang dapat diturunkan tak hingga kali disebut fungsi mulus. Tidak semua fungsi merupakan fungsi mulus; sebagai contoh, fungsi  f yang tidak kontinu tidak dapat diturunkan. Serupa dengan itu, bahkan jika  f memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi
Perhitungan menunjukkan bahwa  f'(x)=2|x| adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan k kali berturut-turut dan turunan ke-k-nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota kelas keterdiferensialan Ck.
Turunan tingkat tinggi > Polinomial Taylor dengan sisa

Artikel utama: Teorema Taylor
Pada garis bilangan real, setiap fungsi polinomial terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan kaidah turunan pangkat, sebuah polinomial berderajat n akan menjadi fungsi konstan jika diturunkan sebanyak n kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (fungsi konstan). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.
Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi  f di suatu titik  x, akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik  x. Sebagai contoh, jika  f terdiferensialkan dua kali, maka
dalam artian bahwa
Jika  f terdiferensialkan tak hingga kali, maka persamaan turunan kedua dapat diteruskan menjadi deret Taylor untuk fungsi  f yang dievaluasi di x + h sekitar titik x.
Turunan tingkat tinggi > Kaidah untuk turunan tingkat tinggi

Aturan Leibniz
Jika  f dan  g dapat diturunkan sebanyak  n kali, maka turunan ke- n dari fungsi  f(x)\cdot g(x) adalah
 (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}.
Ekspresi 






(


n
k


)





{\textstyle {\binom {n}{k}}}

 yang muncul pada persamaan tersebut menandakan koefisien binomial. Aturan ini adalah perumuman dari kaidah darab.
Turunan pada sistem bilangan kompleks

Definisi dan aturan-aturan terkait turunan dapat diperumum untuk fungsi dengan variabel kompleks dan nilai kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan karena bilangan kompleks juga memiliki sifat penjumlahan, perkalian, dan pembagian; sama seperti bilangan real. Selain itu, konsep jarak (Euklides) antar bilangan pada bilangan kompleks dapat dijelaskan secara sederhana.
Jika  U\subset \mathbb {C}  berupa himpunan buka, dan  f:U\to \mathbb {C}  adalah fungsi bernilai kompleks, maka  f dikatakan terdiferensialkan di titik  z\in \mathbb {C}  bila nilai limit
ada. Turunan kompleks ini disimbolkan dengan  f'(z). Definisi ini memungkinkan untuk menggunakan konsep kelinearan: turunan menyatakan besar "kemiringan" dari fungsi [kompleks] linear terbaik yang menghampiri fungsi  f. Tapi, perhatian lebih diperlukan karena nilai  h pada limit berupa bilangan kompleks. Berbeda dengan limit pada bilangan real yang hanya memerlukan dua arah ("limit dari kanan" dan "limit dari kiri"), limit pada bilangan kompleks dapat "bergerak" dari takhingga banyaknya arah. Akibatnya, konsep turunan fungsi kompleks jauh lebih ketat ketimbang pada fungsi bernilai real. Sebagai contoh fungsi nilai mutlak kompleks tidak memiliki turunan dimanapun. Sebuah fungsi kompleks dapat diturunkan pada suatu titik, jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di titik tersebut.
Walaupun (atau tepatnya karena) konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.
Jika fungsi  f terdiferensialkan di keseluruhan domain  U, maka fungsi  f disebut fungsi holomorfik di  U. Fungsi kompleks yang terdiferensialkan di keseluruhan  \mathbb {C}  disebut fungsi entire. Fungsi holomorfik memiliki beberapa sifat yang unik. Sebagai contoh, teorema Picard menyimpulkan bahwa citra (range) dari fungsi entire hanya dapat berupa:  \mathbb {C} ,  \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}, atau  \{z_{0}\} untuk suatu  z_{0}\in \mathbb {C} . Hasil ini dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa, jika fungsi kompleks  f tidak pernah menghasilkan nilai  z maupun nilai  w, maka  f adalah fungsi konstan.
Turunan untuk fungsi bernilai vektor

Sebuah fungsi bernilai vektor  \mathbf {y}  dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan bilangan real (ril) ke suatu vektor di suatu ruang vektor  \mathbb {R} ^{n}. Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya,  y_{1}(t),\,y_{2}(t),\,\dots ,\,y_{n}(t). Hal ini mengartikan fungsi  \mathbf {y}  dapat ditulis sebagai  \mathbf {y} (t)=(y_{1}(t),\,y_{2}(t),\,\dots ,\,y_{n}(t)). Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah kurva parametrik di  \mathbb {R} ^{2} atau  \mathbb {R} ^{3}. Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. Turunan dari fungsi  \mathbf {y} (t) didefinisikan sebagai sebuah vektor, disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain, \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitung \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},dengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila  \mathbf {y} (t) adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu  t, turunan  \mathbf {y} '(t) dapat dipandang sebagai vektor kecepatan dari partikel pada waktu  t.
Turunan untuk fungsi multivariabel

Lihat pula: Kalkulus multivariabel
Pembahasan pada bagian-bagian sebelumnya hanya memperhatikan fungsi dengan satu variabel. Fungsi yang memetakan vektor ke vektor maupun vektor ke bilangan juga dapat memiliki turunan. Tetapi, garis singgung pada grafik fungsi tersebut belum tentu unik, karena ada banyak arah yang mungkin untuk membuat garis tersebut. Oleh karena itu, perumuman turunan diperlukan untuk jenis fungsi ini.
Turunan untuk fungsi multivariabel > Keterdiferensialan dan matriks Jacobi > Turunan parsial

Artikel utama: Turunan parsial
Grafik dari fungsi . Pada turunan parsial dengan nilai variabel  konstan, garis singgung yang dihasilkan akan sejajar dengan bidang-.
Irisan dari grafik fungsi di bidang- . Dua sumbu yang disajikan di sini memiliki skala yang berbeda. Kemiringan dari garis singgung di titik  sama dengan 3.
Misalkan  f adalah fungsi multivariabel, sebagai contoh  f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}. Fungsi  f dapat dianggap sebagai keluarga fungsi satu variabel yang diindeks oleh variabel-variabel yang lain:
Dalam contoh ini, setiap nilai  x akan menghasilkan sebuah fungsi  f_{x} yang merupakan fungsi satu variabel. Hal ini dapat dinyatakan dengan pemetaan
Setelah suatu nilai  x dipilih, misalnya  x=a, maka  f(x,y) selanjutnya menentukan sebuah fungsi  f_{a} yang memetakan  y ke  a^{2}+ay+y^{2}, juga dapat ditulis sebagai  f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}. Dalam ekspresi tersebut  a adalah sebuah konstanta dan bukan sebuah variabel, menjadikan  f_{a} sebagai fungsi satu variabel. Alhasil, definisi turunan untuk fungsi satu variabel berlaku:
Prosedur ini dapat diterapkan untuk sembarang pemilihan nilai  a. Menggunakan notasi Leibniz, turunan ini menyampaikan perbandingan perubahan nilai fungsi  f dalam arah  y:
dan disebut sebagai turunan berarah dari  f terhadap  y. Dalam ekspresi tersebut, simbol ∂ adalah huruf d melengkung yang disebut sebagai simbol turunan parsial. Untuk membedakannya dengan huruf d yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan sebagai "der", "del", atau "parsial", ketimbang "de".
Secara umum, turunan parsial sebuah fungsi  f(x_{1},\,\dots ,\,x_{n}) dalam arah  x_{i} di titik  (a_{1},\,\dots ,\,a_{n}) didefinisikan sebagai
Dalam perbandingan beda di atas, semua nilai variabel kecuali  x_{i} dibuat konstan. Tindakan membuat konstan variabel-variabel ini akan menghasilkan fungsi satu variabel
dan dari definisi,
Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.
Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan  \mathbf {f} (x_{1},\,\dots ,\,x_{n}) sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial  {\tfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}} terdefinisi di titik  \mathbf {a} =(a_{1},\,\dots ,\,a_{n}), turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor
yang disebut sebagai gradien dari  \mathbf {f}  di  \mathbf {a} . Jika  \mathbf {f}  terdiferensialkan di setiap titik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah fungsi bernilai vektor  \nabla \mathbf {f}  yang memetakan titik  (a_{1},\,\dots ,\,a_{n}) ke vektor  \nabla \mathbf {f} (a_{1},\,\dots ,\,a_{n}). Akibatnya, gradien menentukan suatu medan vektor.
Turunan untuk fungsi multivariabel > Keterdiferensialan dan matriks Jacobi > Turunan berarah

Artikel utama: Turunan berarah
Jika  f adalah fungsi bernilai real di  \mathbb {R} ^{n}, maka turunan parsial  f mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika  f adalah fungsi dari  x dan  y, maka turunan parsial  f mengukur variasi di  f dalam arah  x dan  y. Tapi, turunan  f tidak mengukur secara langsung variasi  f pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal  y=x. Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor
turunan berarah  f dalam arah  \mathbf {v}  di titik x didefinisikan melalui limit
Dalam beberapa kasus, menghitung atau menaksir turunan berarah akan lebih mudah setelah panjang vektor diubah. Proses ini seringkali dilakukan dengan mengubah suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan  \mathbf {v} =\lambda \mathbf {u}  dan  \mathbf {u}  adalah satuan vektor pada arah  \mathbf {v} . Mensubstitusi  h={\tfrac {k}{\lambda }} ke perbandingan beda di ruas kanan persamaan, akan menghasilkan bentuk
Dengan mengambil limit  h menuju nol dari persamaan di atas, didapatkan hubungan turunan berarah  f dalam arah vektor  \mathbf {v}  sama saja dengan  \lambda  kali turunan berarah  f dalam arah vektor satuan  \mathbf {u} . Oleh karena itu,  D_{\mathbf {v} }(f)=\lambda D_{\mathbf {u} }(f). Karena sifat penskalaan ini, turunan berarah seringkali digunakan hanya untuk vektor satuan.
Jika semua turunan parsial  f ada dan kontinu di  \mathbf {x} , maka semua turunan parsial menentukan turunan berarah  f pada arah  \mathbf {v}  melalui rumus berikut:
Rumus di atas merupakan akibat dari definisi turunan total. Rumus ini juga menunjukkan bahwa turunan berarah bersifat linear di  \mathbf {v} , dalam artian  D_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }(f)=D_{\mathbf {v} }(f)+D_{\mathbf {w} }(f).
Definisi yang sama juga berlaku ketika  f berupa fungsi yang memiliki nilai di  \mathbb {R} ^{m}; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, turunan berarah merupakan vektor di  \mathbb {R} ^{m}.
Turunan pada sistem bilangan hiperreal

Dalam matematika, bilangan hiperreal adalah sebuah cara memaknai besaran tak hingga dan infinitesimal (tak hingga kecilnya tapi tidak nol). Hiperreal adalah perumuman dari himpunan bilangan real  \mathbb {R} , dan mencakup bilangan-bilangan yang lebih besar daripada  1+1+\dots +1 (untuk sembarang terhingga banyaknya suku). Pada sistem bilangan ini, turunan fungsi real  y=f(x) di titik real  x dapat didefinisikan sebagai bayangan perbandingan ∆y∆x untuk infinitesimal ∆x, dengan ∆y = f(x + ∆x) − f(x). Perluasan (perumuman, ekstensi) alami fungsi  f untuk hiperreal masih dilambangkan sebagai  f, dan turunannya dikatakan ada jika besar bayangan tidak bergantung pada pemilihan infinitesimal.
Perumuman

Artikel utama: Perumuman turunan
Konsep turunan dapat diperluas menjadi perumuman lainnya. Kaitan yang paling umumnya adalah turunan fungsi di sebuah titik disajikan sebagai hampiran linear dari fungsi pada titik tersebut.
Perumuman penting mengenai turunan melibatkan fungsi kompleks dari variabel kompleks, seperti fungsi (dengan domain) bilangan kompleks  \mathbb {C}  ke  \mathbb {C} . Gagasan turunan fungsi kompleks diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kompleks melalui definisi berikut: Jika  \mathbb {C}  diidentifikasi sebagai  \mathbb {R} ^{2} dengan menulis bilangan kompleks  z sebagai  x+iy, maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari  \mathbb {C}  ke  \mathbb {C}  pasti terdiferensialkan sebagai sebuah fungsi dari  \mathbb {R} ^{2} ke  \mathbb {R} ^{2} (dalam artian bahwa semua turunan parsial juga ada), tetapi kebalikannya tidak benar pada umumnya: turunan kompleks hanya ada jika turunan real merupakan linear kompleks dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut sebagai persamaan Cauchy–Riemann – lihat fungsi holomorfik.
Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara manifold terdiferensialkan atau manifold mulus. Secara intuitif, manifold  M dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik  x melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai ruang garis singgung: contoh prototipikalnya adalah permukaan mulus di  \mathbb {R} ^{3}. Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan)  f\colon M\to N di antara manifold, di sebuah titik  x di  M, merupakan peta linear dari ruang singgung  M di  x ke ruang singgung  N di  f(x), sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara berkas garis singgung  M dan  N. Definisi tersebut merupakan bentuk dasar dalam geometri diferensial, dan definisi tersebut mempunyai banyak kegunaan – lihat pushforward dan pullback.
Diferensiasi juga dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara ruang vektor dimensi takhingga, seperti ruang Banach dan ruang Fréchet. Perumuman dari turunan berarah disebut turunan Gateaux, dan perumuman dari diferensial disebut turunan Fréchet.
Salah satu kekurangan turunan biasa adalah bahwa ada sangat banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Namun ada cara memperluas gagasan turunan sehingga semua fungsi kontinu dan fungsi lainnya dapat diturunkan melalui konsep yang dikenal sebagai turunan lemah. Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang distribusi, dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.
Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat aljabar diferensial.
Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah beda hingga. Dalam kalkulus skala waktu, studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.
Lihat pula

Portal Matematika
Analisis matematis
Aturan pendiferensialan
Diferintegral
Generalisasi turunan
Integral
Infinitesimal
Invers perkalian
Kelajuan (mathematika)
Kelas keterdiferensialan
Linearisasi
Pendiferensialan numerik
Pendiferensialan otomatik
Penerapan turunan
Sejarah kalkulus
Teorema Radon–Nikodym
Turunan aritmetika
Turunan fraktal
Turunan Hasse
Turunan Schwarz
Turunan simetrik
Catatan kaki

↑  Dalam formulasi kalkulus menggunakan konsep limit, simbol du digunakan untuk menyatakan banyak hal oleh banyak penulis. Beberapa penulis tidak memandang du tidak memiliki makna tersendiri, dan hanya terdefinisi sebagai bagian dari simbol du/dx. Penulis yang lain mendefinisikan dx sebagai variabel bebas, dan du' sebagai  du=dx\cdot f'(x).  Dalam analisis non-standar, du didefinisikan sebagai suatu infinitesimal, dan juga dapat dipandang sebagai turunan eksterior dari fungsi u. Lihat diferensial (matematika) untuk informasi lebih lanjut.