Eliminasi Gauss
Algoritma > Contoh algoritma

Misalkan kita ingin menemukan dan mendeskripsikan himpunan solusi ke sistem persamaan linear berikut:  {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&{}-{}&z&{}={}&8&\qquad (L_{1})\\-3x&{}-{}&y&{}+{}&2z&{}={}&-11&\qquad (L_{2})\\-2x&{}+{}&y&{}+{}&2z&{}={}&-3&\qquad (L_{3})\end{alignedat}}
Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks koefisien gabungan:  \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]
Prosedur operasi baris dasar dapat diringkas sebagai berikut: hilangkan variabel  x dari semua persamaan di bawah  L_{1}, lalu hilangkan variabel  y dari semua persamaan di bawah ini  L_{2}. Ini akan membuat matriks memiliki bentuk matriks segitiga atas. Langkah ini hanya dapat bekerja jika tidak ada elemen diagonal pada matriks yang bernilai nol. Pada kasus ada elemen diagonal bernilai nol, pertukaran dengan baris lain (yang tidak bernilai nol pada kolom elemen diagonal yang dimaksud) perlu dilakukan.
Untuk pada langkah pertama, variabel  x dihilangkan dari  L_{2} dengan menambahkan  {\tfrac {3}{2}}L_{1} ke  L_{2}. Intepretasi lain dari operasi ini adalah mengganti  L_{2} dengan  {\tfrac {3}{2}}L_{1}+L_{2}, yang dilambangkan dengan  {\tfrac {3}{2}}L_{1}+L_{2}\to L_{2}. Sedangkan  x dihilangkan dari  L_{3} dengan menambahkan  L_{1} ke  L_{3}. Langkah ini akan menghasilkan matriks koefisien dan sistem persamaan berikut:
| Matriks koefisien gabungan | Sistem persamaan |
| --- | --- |
 \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]:  {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&{}-{}&z&{}={}&8&\\&&{\tfrac {1}{2}}y&{}+{}&{\tfrac {1}{2}}z&{}={}&1&\\&&2y&{}+{}&z&{}={}&5&\end{alignedat}}
Langkah berikutnya adalah menghilangkan variabel  y  dengan melakukan operasi  L_{3}+-4L_{2}\to L_{3}. Hal ini menghasilkan matriks berikut
| Matriks koefisien gabungan | Sistem persamaan |
| --- | --- |
 \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]:  {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&{}-{}&z&{}={}&8&\\&&{\tfrac {1}{2}}y&{}+{}&{\tfrac {1}{2}}z&{}={}&1&\\&&&&-z&{}={}&1&\end{alignedat}}
Saat ini bagian pertama pertama dari eliminasi Gauss telah selesai. Bagian berikutnya adalah menemukan solusi dari variabel dalam urutan terbalik, sebuah proses yang dikenal sebagai substitusi balik. Untuk permasalahan di atas, kita pertama kali mendapatkan  z=-1. Lalu dengan mensubtitusi nilai  z ke persamaan  {\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{2}}z=1 akan didapatkan  y=3. Melanjutkan proses, didapatkan  x=2. Dari sudut pandang komputasi, cara ini lebih cepat untuk menemukan solusi sistem persamaan.
Alih-alih berhenti setelah matriks dalam bentuk eselon baris, seseorang dapat melanjutkan hingga matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi, seperti yang dilakukan pada tabel berikut. Proses operasi baris hingga ke bentuk eselon baris tereduksi terkadang disebut sebagai Eliminasi Gauss–Jordan, untuk membedakannya dari proses operasi baris yang berhenti setelah mencapai bentuk eselon.
| Operasi baris | Hasil matriks koefisien gabungan | Sistem persamaan |
| --- | --- | --- |
|  {\begin{aligned}L_{2}+{\tfrac {1}{2}}L_{3}&\to L_{2}\\L_{1}-L_{3}&\to L_{1}\end{aligned}} |  \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&0&7\\0&{\frac {1}{2}}&0&{\frac {3}{2}}\\0&0&-1&1\end{array}}\right] |  {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&&&{}={}7&\\&&{\tfrac {1}{2}}y&&&{}={}{\tfrac {3}{2}}&\\&&&{}-{}&z&{}={}1&\end{alignedat}} |
|  {\begin{aligned}2L_{2}&\to L_{2}\\-L_{3}&\to L_{3}\end{aligned}} |  \left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right] |  {\begin{alignedat}{4}2x&{}+{}&y&\quad &&{}={}&7&\\&&y&\quad &&{}={}&3&\\&&&\quad &z&{}={}&-1&\end{alignedat}} |
|  {\begin{aligned}L_{1}-L_{2}&\to L_{1}\\{\tfrac {1}{2}}L_{1}&\to L_{1}\end{aligned}} |  \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right] |  {\begin{alignedat}{4}x&\quad &&\quad &&{}={}&2&\\&\quad &y&\quad &&{}={}&3&\\&\quad &&\quad &z&{}={}&-1&\end{alignedat}} |