Bilangan riil negatif
Sejarah

Untuk waktu yang lama, pemahaman tentang bilangan negatif tertunda karena ketidakmungkinan memiliki suatu benda fisik dalam jumlah bilangan negatif, misalnya "minus tiga apel", dan solusi negatif terhadap masalah dianggap "salah".
Di Mesir Helenistik, matematikawan Yunani Diophantus pada abad ke-3 M mengacu pada persamaan yang setara dengan  4x+20=4 (yang memiliki solusi negatif) dalam Arithmetica, mengatakan bahwa persamaan tersebut tidak masuk akal.  Oleh karena itu, para ahli geometri Yunani mampu menyelesaikan secara geometris semua bentuk persamaan kuadrat yang memberikan akar-akar positif; sementara mereka tidak bisa memperhitungkan orang lain.
Bilangan negatif muncul untuk pertama kalinya dalam sejarah dalam Sembilan Bab Seni Matematika (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù ), yang dalam bentuknya yang sekarang berasal dari periode Han, tetapi mungkin berisi materi yang jauh lebih tua.  Ahli matematika Liu Hui (c. abad ke-3) menetapkan aturan untuk penjumlahan dan pengurangan bilangan negatif. Sejarawan Jean-Claude Martzloff berteori bahwa pentingnya dualitas dalam filsafat alam Tiongkok memudahkan orang Tiongkok menerima gagasan bilangan negatif.  Orang Cina mampu menyelesaikan persamaan simultan yang melibatkan bilangan negatif. Sembilan Bab menggunakan batang hitung berwarna merah untuk menunjukkan koefisien positif dan batang hitam untuk menunjukkan koefisien negatif.   Sistem ini merupakan kebalikan dari pencetakan angka positif dan negatif masa kini di bidang perbankan, akuntansi, dan perdagangan, dimana angka merah menunjukkan nilai negatif dan angka hitam menunjukkan nilai positif. Liu Hui menulis:
Now there are two opposite kinds of counting rods for gains and losses, let them be called positive and negative. Red counting rods are positive, black counting rods are negative.
Naskah Bakhshali India kuno melakukan perhitungan dengan angka negatif, menggunakan "+" sebagai tanda negatif. Tanggal naskah tidak dapat dipastikan. LV Gurjar memberi tanggal paling lambat pada abad ke-4,  Hoernle memberi tanggal antara abad ketiga dan keempat, Ayyangar dan Pingree memberi tanggal pada abad ke-8 atau ke-9,  dan George Gheverghese Joseph memberi tanggal sekitar tahun 400 M dan paling lambat awal abad ke-7,
Selama abad ke-7 M, angka negatif digunakan di India untuk mewakili utang. Matematikawan India Brahmagupta, dalam Brahma-Sphuta-Siddhanta (ditulis sekitar tahun 630 M), membahas penggunaan bilangan negatif untuk menghasilkan rumus kuadrat bentuk umum yang masih digunakan hingga saat ini.  Ia juga menemukan solusi negatif persamaan kuadrat dan memberikan aturan mengenai operasi yang melibatkan bilangan negatif dan nol, seperti "Utang yang dipotong dari ketiadaan menjadi kredit; kredit yang dipotong dari ketiadaan menjadi utang." Dia menyebut angka positif sebagai “keberuntungan”, nol sebagai “sandi”, dan angka negatif sebagai “hutang”.
Pada abad ke-9, matematikawan Islam sudah mengenal bilangan negatif dari karya matematikawan India, namun pengenalan dan penggunaan bilangan negatif pada periode ini masih bersifat pemalu.  Al-Khawarizmi dalam karyanya Al-jabr wa'l-muqabala (dari mana kata "aljabar" berasal) tidak menggunakan bilangan negatif atau koefisien negatif.  Namun dalam waktu lima puluh tahun, Abu Kamil mengilustrasikan aturan tanda untuk memperluas perkalian  (a\pm b)(c\pm d),  dan al-Karaji menulis dalam al-Fakhrī -nya bahwa "kuantitas negatif harus dihitung sebagai istilah".  Pada abad ke-10, Abū al-Wafā' al-Būzjānī menganggap utang sebagai angka negatif dalam A Book on What Is Necessary from the Science of Arithmetic for Scribes and Businessmen .
Pada abad ke-12, penerus al-Karaji menyatakan aturan umum tanda dan menggunakannya untuk menyelesaikan pembagian polinomial .  Sebagaimana al-Samaw'al menulis:
hasil kali bilangan negatif— al-nāqiṣ (kerugian)—dengan bilangan positif— al-zāʾid (keuntungan)—adalah negatif, dan hasil kali bilangan negatif adalah positif. Jika kita mengurangkan suatu bilangan negatif dari bilangan negatif yang lebih tinggi, maka sisanya adalah selisih negatifnya. Selisihnya tetap positif jika kita mengurangkan suatu bilangan negatif dari bilangan negatif yang lebih rendah. Jika suatu bilangan negatif dikurangkan dari bilangan positif, maka sisanya adalah jumlah positifnya. Jika kita mengurangkan bilangan positif dari pangkat kosong ( martaba khāliyya ), maka sisanya adalah bilangan negatif yang sama, dan jika kita mengurangkan bilangan negatif dari pangkat kosong, maka sisanya adalah bilangan positif yang sama.
Pada abad ke-12 di India, Bhāskara II memberikan akar negatif pada persamaan kuadrat tetapi menolaknya karena tidak sesuai dengan konteks masalahnya. Ia menyatakan bahwa nilai negatif "dalam hal ini tidak boleh diambil, karena tidak memadai; masyarakat tidak menyetujui akar negatif".
Fibonacci mengizinkan solusi negatif dalam masalah keuangan yang dapat diartikan sebagai debit (bab 13 Liber Abaci, 1202 M) dan kemudian sebagai kerugian (dalam karya Fibonacci Flos ).
Pada abad ke-15, Nicolas Chuquet, seorang Perancis, menggunakan bilangan negatif sebagai eksponen  tetapi menyebutnya sebagai "bilangan yang tidak masuk akal".
Michael Stifel membahas bilangan negatif dalam karyanya Arithmetica Integra tahun 1544 M, di mana ia juga menyebutnya numeri absurdi (angka absurd).
Pada tahun 1545, Gerolamo Cardano, dalam bukunya <i id="mwAl8">Ars Magna</i>, memberikan perlakuan memuaskan pertama terhadap bilangan negatif di Eropa.  Dia tidak mengizinkan bilangan negatif dalam pertimbangan persamaan kubiknya, jadi dia harus menangani, misalnya,  x^{3}+ax=b secara terpisah dari  x^{3}=ax+b (dengan  a,b>0 dalam kedua kasus). Secara keseluruhan, Cardano terdorong untuk mempelajari tiga belas jenis persamaan kubik, masing-masing dengan semua suku negatif dipindahkan ke sisi lain tanda = untuk menjadikannya positif. (Cardano juga berurusan dengan bilangan kompleks, tetapi dapat dimengerti bahwa ia bahkan kurang menyukainya.)
Pada tahun 1748 Leonhard Euler, dengan secara formal memanipulasi deret pangkat kompleks dengan menggunakan akar kuadrat dari  -1, memperoleh rumus analisis kompleks Euler :  \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }Di mana  i={\sqrt {-1}}.
Pada tahun 1797 M, Carl Friedrich Gauss menerbitkan bukti teorema dasar aljabar tetapi menyatakan keraguannya pada saat itu tentang "metafisika sebenarnya dari akar kuadrat − 1".
Namun, sebagian besar matematikawan Eropa menolak konsep bilangan negatif hingga pertengahan abad ke-19. Pada abad ke-18, merupakan praktik umum untuk mengabaikan hasil negatif apa pun yang diperoleh dari persamaan, dengan asumsi bahwa hasil tersebut tidak ada artinya. Pada tahun 1759 M, matematikawan Inggris Francis Maseres menulis bahwa bilangan negatif "menggelapkan seluruh doktrin persamaan dan menggelapkan hal-hal yang sifatnya menjadi terlalu jelas dan sederhana". Dia sampai pada kesimpulan bahwa angka negatif tidak masuk akal.