Geometri proyektif
Tinjauan

Geometri projektif adalah sebuah bentuk tak-metrik elementer dari geometri, artinya bahwa geometri projektif tidak didasarkan pada konsep jarak. Di dalam dua dimensi, geometri projektif bermula dengan kajian konfigurasi titik dan garis. Tentu saja terdapat beberapa kepentingan geometri di dalam tatanan yang langka ini dipandang sebagai geometri projektif yang dikembangkan oleh Desargues dan lain-lain di dalam penggalian mereka akan prinsip-prinsip seni perspektif.
Di dalam ruang-ruang yang berdimensi lebih tinggi terdapat hiperbidang dan subruang linear lainnya, yang memperlihatkan prinsip dualitas. Ilustrasi paling sederhana dari dualitas adalah dalam bidang projektif, di mana pernyataan "dua titik yang berbeda menentukan sebuah garis unik" (yakni garis yang melaluinya) dan "dua garis yang berbeda menentukan satu titik unik" (yakni titik perpotongannya) menunjukkan struktur yang sama sebagai proposisi.
Geometri projektif dapat juga dipandang sebagai geometri konstruksi dengan hanya satu straightedge (sisi-lurus). Karena geometri projektif tidak melibatkan konstruksi jangka, maka tidak ada lingkaran, tidak ada sudut, tidak ada pengukuran, tidak ada garis sejajar, dan tidak ada konsep intermediasi. Dimaklumi bahwa teorema-teorema yang digunakan di dalam geometri projektif adalah pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana. Misalnya irisan-irisan kerucut yang berbeda adalah semuanya ekivalen di dalam geometri projektif (kompleks), dan beberapa teorema mengenai lingkaran dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema-teorema umum ini.
Pada permulaan abad ke-19, karya Poncelet, Lazare Carnot, dan yang lainnya mendirikan geometri projektif sebagai cabang tersendiri dari matematika. Dasar-dasar yang saksama ini diajukan oleh Karl von Staudt dan disempurnakan oleh orang Italia Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa, dan Gino Fano pada penghujung abad ke-19.
Geometri projektif, seperti geometri afin dan geometri euklides, dapat juga dikembangkan dari program Erlangen-nya Felix Klein; geometri projektif dikarakterisasi oleh invarian-invarian di bawah transformasi-transformasi grup projektif.
Setelah banyak karya yang memuat sedemikian banyaknya teorema dalam subjek ini, dasar-dasar geometri projektif menjadi lebih terpahami. Struktur insidensi dan rasio silang adalah invarian fundamental di bawah transformasi projektif. Geometri projektif dapat dimodelkan oleh bidang afin (atau ruang afin) ditambah sebuah garis (hiperbidang) "di ketakhinggaan" dan kemudian memperlakukan garis itu (atau hiperbidang) sebagai sesuatu yang "biasa".
Sebuah model aljabar untuk mengerjakan geometri projektif di dalam gaya geometri analitik diberikan oleh koordinat-koordinat homogen. Di pihak lain, kajian-kajian aksiomatik justru menyibak keberadaan bidang non-desarguesian, contoh-contoh untuk menunjukkan bahwa aksioma-aksioma insidensi dapat dimodelkan (hanya dalam dua dimensi) oleh struktur-struktur yang tidak aksesibel untuk penalaran melalui sistem koordinat homogen.
Di dalam artian yang mendasar, geometri projektif dan geometri terurut adalah elementer karena mereka melibatkan aksioma sesedikit mungkin dan kedua-duanya dapat digunakan sebagai fondasi bagi geometri afin dan geometri euklides. Geometri projektif tidaklah "terurut" dan dengan demikian geometri projektif adalah fondasi yang berbeda dari geometri.