Teori fungsi rapatan
Penurunan dan Formalisasi

Pada umumunya dalam perhitungan struktur elektron banyak partikel, inti yang dimiliki molekul atau 'cluster' terlihat tetap (pendekatan Born-Oppenheimer), menghasilkan sebuah potensial eksternal statis  \,\!V di mana elektron berpindah. Keadaan elektron yang mantap 'stationer' dijelaskan dalam fungsi gelombang  \Psi ({\vec {r}}_{1},...,{\vec {r}}_{N}) penyelesaian Persamaan Schrodinger banyak elektron.
H\Psi =\left[{T}+{V}+{U}\right]\Psi =\left[\sum _{i}^{N}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i}^{N}V({\vec {r}}_{i})+\sum _{i<j}U({\vec {r}}_{i},{\vec {r}}_{j})\right]\Psi =E\Psi
dengan  \,\!N adalah jumlah elektron dan  \,\!U
adalah interaksi elektron-elektron. Operator  \,\!T
dan  \,\!U biasa disebut sebagai operator umum 'universal' karena operator tersebut berlaku untuk semua sistem, dengan  \,\!V adalah sistem yang tidak dapat berdiri sendiri atau tidak umum/'universal'. Dapat terlihat perbedaan yang nyata antara permasalahan partikel tunggal dengan permasalahan banyak partikel yang rumit, yaitu pada persamaan interaksi  \,\!U. Sekarang, banyak metode yang pintar untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger, misalnya teori gangguan diagramatis dalam fisika, sedangkan dalam kimia kuantum sering menggunakan metode interaksi konfigurasi (CI), yang didasarkan pada pengembangan sistematis fungsi gelombang dalam determinan Slater. Akan tetapi, permasalahan dengan metode ini adalah membutuhkan kemampuan komputasi yang sangat besar, yang membuatnya tidak mungkin untuk menerapkannya pada sistem kompleks yang lebih besar.
Dalam hal ini DFT memberikan suatu alternatif yang menarik, yang lebih bermanfaat karena DFT memberikan suatu cara sistematis pemetaan permasalahan banyak-partikel, dengan  \,\!U, menjadi permasalahan partikel-tunggal tanpa  \,\!U. Dalam DFT, variabel kunci adalah kerapatan partikel  n({\vec {r}}) yang diberikan oleh persamaan:
n({\vec {r}})=N\int {\rm {d}}^{3}r_{2}\int {\rm {d}}^{3}r_{3}...\int {\rm {d}}^{3}r_{N}\Psi ^{*}({\vec {r}},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{N})\Psi ({\vec {r}},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{N}).
Hohenberg dan Kohn membuktikan pada tahun 1964 bahwa hubungan yang dinyatakan di atas dapat dibalikkan, yaitu menjadi kerapatan keadaan dasar  n_{0}({\vec {r}}). Prinsip ini memungkinkan untuk menghitung fungsi gelombang keadaan dasar yang bersesuaian  \Psi _{0}({\vec {r}}_{1},...,{\vec {r}}_{N}). Yang berarti,  \,\!\Psi _{0} merupakan fungsi yang unik dari  \,\!n_{0}, yang diberikan oleh persamaan:
\,\!\Psi _{0}=\Psi _{0}[n_{0}]
Dan sebagai konsekuensinya, semua keadaan dasar yang dapat teramati  \,\!O juga merupakan fungsi dari  \,\!n_{0}
\left\langle O\right\rangle [n_{0}]=\left\langle \Psi _{0}[n_{0}]\left|O\right|\Psi _{0}[n_{0}]\right\rangle
Dari sini dengan mengikuti fakta-fakta yang ada, bahwa energi keadaan dasar juga merupakan fungsi dari  \,\!n_{0}
E_{0}=E[n_{0}]=\left\langle \Psi _{0}[n_{0}]\left|T+V+U\right|\Psi _{0}[n_{0}]\right\rangle ,
Dengan kontribusi potensial eksternal  \left\langle \Psi _{0}[n_{0}]\left|V\right|\Psi _{0}[n_{0}]\right\rangle  dapat ditulis secara eksplisit dalam persamaan kerapatan.
V[n]=\int V({\vec {r}})n({\vec {r}}){\rm {d}}^{3}r
Fungsi-fungsi  \,\!T[n] dan  \,\!U[n] disebut fungsi umum ‘universal’, sedangkan  \,\!V[n] merupakan fungsi yang tidak umum ‘tidak universal’, karena fungsi tersebut bergantung pada sistem yang sedang dipelajari. Setelah sebuah sistem ditetapkan, yaitu ... diketahui, langkah selanjutnya meminimalkan fungsi tersebut.
E[n]=T[n]+U[n]+\int V({\vec {r}})n({\vec {r}}){\rm {d}}^{3}r
Dengan mengacu pada  n({\vec {r}}), dengan asumsi memiliki ungkapan yang dapat dipercaya untuk  \,\!T[n] dan  \,\!U[n]. Keberhasilan meminimalkan fungsi energi akan menghasilkan kerapatan keadaan dasar  \,\!n_{0} dan semua keadaan dasar yang dapat teramati.
Permasalahan variasi dalam meminimalkan fungsi energi  \,\!E[n] dapat diselesaikan dengan menerapkan metode Lagrangian dari pengali yang tidak dapat ditentukan, yang telah dilakukan oleh Kohn dan Sham pada tahun 1965. Dengan metode ini, salah satu kegunaan nyata fungsi tersebut dalam persamaan di atas dapat ditulis sebagai fungsi kerapatan fiktif dari fungsi yang tidak berinteraksi.
E_{s}[n]=\left\langle \Psi _{s}[n]\left|T_{s}+V_{s}\right|\Psi _{s}[n]\right\rangle ,
Dengan  \,\!T_{s} notasi untuk energi kinetik yang tidak berinteraksi dan  \,\!V_{s} adalah potensial efektif eksternal di mana partikel berpindah. Secara nyata,  n_{s}({\vec {r}})\equiv n({\vec {r}}) jika  \,\!V_{s} dipilih untuk menjadi:
V_{s}=V+U+\left(T_{s}-T\right).
Sehingga, dapat menyelesaikan persamaan Kohn-Sham dari sistem pelengkap yang tidak saling berinteraksi.
\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{s}({\vec {r}})\right]\phi _{i}({\vec {r}})=\epsilon _{i}\phi ({\vec {r}}),
Yang menghasilkan orbital  \,\!\phi _{i} itu dihasilkan kembali kerapatan
 n({\vec {r}}) dari sistem banyak-partikel yang sebenarnya.
n({\vec {r}})\equiv n_{s}({\vec {r}})=\sum _{i}^{N}\left|\phi _{i}({\vec {r}})\right|^{2}.
Potensial partikel-tunggal efektif  \,\!V_{s} dapat ditulis lebih detail sebagai:
V_{s}=V+\int {\frac {e^{2}n_{s}({\vec {r}}\,')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}{\rm {d}}^{3}r'+V_{\rm {XC}}[n_{s}({\vec {r}})],
Dengan notasi persamaan kedua disebut persamaan Hartree yang menjelaskan tolakan ‘Coulomd’ antar elektron-elektron, sedangkan persamaan terakhir  \,\!V_{\rm {XC}} disebut potensial hubungan pertukaran. Dengan  \,\!V_{\rm {XC}} meliputi semua interaksi banyak partikel. Karena persamaan Hartree dan  \,\!V_{\rm {XC}} bergantung pada  n({\vec {r}}), yang bergantung pada  \,\!\phi _{i}, yang bergantung pula pada  \,\!V_{s}, masalah penyelesaian persamaan Kohn-Sham dapat dilakukan dengan sebuah cara "self-consistent". Biasanya dimulai dengan perkiraan awal untuk  n({\vec {r}}), lalu menghitung kesesuaian  \,\!V_{s} dan penyelesaian persamaan Kohn-Sham untuk  \,\!\phi _{i}. Dari perhitungan ini sebuah kerapatan baru dan mulai kembali. Prosedur ini diulang terus menerus sampai konvergensi dicapai.