Ruang Hilbert
Teori spektral

Ada teori spektral yang dikembangkan dengan baik untuk operator self-adjoint di ruang Hilbert, yang secara kasar dapat dianalogikan dengan studi matriks simetris pada real atau matriks adjoint sendiri pada bilangan kompleks. Dalam pengertian yang sama, seseorang dapat memperoleh "diagonalisasi" dari operator adjoint sendiri sebagai jumlah yang sesuai (sebenarnya merupakan integral) dari operator proyeksi ortogonal.
Spektrum operator   T , dilambangkan dengan σ(T), adalah himpunan bilangan kompleks   λ  sedemikian rupa sehingga T − λ tidak memiliki pembalikan terus menerus. Jika   T  dibatasi, maka spektrum selalu merupakan himpunan kompak dalam bidang kompleks, dan terletak di dalam cakram |z| ≤ Templat:Norm. Jika   T  adalah self-adjoint, maka spektrumnya nyata. Faktanya, itu terkandung dalam interval [m, M] dimana
Selain itu,   m  dan   M  keduanya sebenarnya berada dalam spektrum.
Eigenpaces dari operator   T  dirumuskan
Tidak seperti matriks berhingga, tidak setiap elemen spektrum   T  harus berupa nilai eigen: operator linear T − λ mungkin hanya kekurangan invers karena tidak surjective. Elemen spektrum operator dalam pengertian umum dikenal sebagai  nilai spektral . Karena nilai spektral tidak harus berupa nilai eigen, dekomposisi spektral sering kali lebih halus daripada dalam dimensi yang terbatas.
Namun, teorema spektral dari operator adjoint sendiri   T  mengambil bentuk yang sangat sederhana jika, sebagai tambahan,   T  diasumsikan jadilah operator kompak. teorema spektral untuk operator adjoint kompak menyatakan:
Operator adjoint mandiri yang ringkas   T  hanya memiliki banyak nilai spektral yang terhitung (atau tak terbatas). Spektrum   T  tidak memiliki titik batas dalam bidang kompleks kecuali mungkin nol. Eigenpaces dari   T  menguraikan   H  menjadi jumlah langsung ortogonal:
 H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }\,.
Teorema ini memainkan peran fundamental dalam teori persamaan integral, karena banyak operator integral kompak, khususnya yang muncul dari operator Hilbert–Schmidt.
Teorema spektral umum untuk operator self-adjoint melibatkan semacam operator bernilai integral Riemann–Stieltjes, daripada penjumlahan tak terbatas.  Keluarga spektral  yang terkait dengan   T  terkait dengan setiap bilangan riil λ sebuah operator Eλ, yang merupakan proyeksi ke ruang null operator (T − λ)+, dengan bagian positif dari operator adjoint ditentukan oleh
Operator Eλ Apakah monoton meningkat relatif terhadap urutan parsial yang ditentukan pada operator adjoint sendiri; nilai eigen sama persis dengan diskontinuitas lompatan. Seseorang memiliki teorema spektral, yang menegaskan
Integral dipahami sebagai integral Riemann–Stieltjes, konvergen sehubungan dengan norma di B(H). Secara khusus, seseorang memiliki representasi integral nilai skalar biasa
Dekomposisi spektral yang agak mirip berlaku untuk operator normal, meskipun karena spektrum sekarang mungkin berisi bilangan kompleks non-nyata, ukuran Stieltjes yang dihargai operator dEλ sebagai gantinya harus diganti dengan resolusi identitas.
Aplikasi utama dari metode spektral adalah teorema pemetaan spektral, yang memungkinkan seseorang untuk diterapkan ke operator adjoint mandiri   T  fungsi kompleks berkelanjutan apa pun   f  yang ditentukan pada spektrum   T ' ' dengan membentuk integral
Kalkulus fungsional berkelanjutan yang dihasilkan memiliki aplikasi khususnya untuk operator pseudodiferensial.
Teori spektral operator self-adjoint  tidak terbatas  hanya sedikit lebih sulit daripada operator terikat. Spektrum operator tak terbatas didefinisikan dengan cara yang persis sama: λ adalah nilai spektral jika operator penyelesai
gagal menjadi operator berkelanjutan yang terdefinisi dengan baik. Penyesuaian diri   T  masih menjamin bahwa spektrumnya riil. Dengan demikian, gagasan penting untuk bekerja dengan operator tak terbatas adalah untuk melihat resolvent Rλ dimana λ tidak nyata. Ini adalah operator normal  terbatas , yang mengakui representasi spektral yang kemudian dapat ditransfer ke representasi spektral dari   T . Strategi serupa digunakan, misalnya, untuk mempelajari spektrum operator Laplace: daripada menangani operator secara langsung, seseorang malah terlihat sebagai resolvent terkait.
Versi tepat dari teorema spektral dalam kasus ini adalah:
Ada juga versi teorema spektral yang berlaku untuk operator normal tak terbatas.