Nilai dan vektor eigen
Nilai dan vektor eigen dari matriks > Ruang eigen, kegandaan geometrik, dan basis eigen bagi matriks

Misalkan  \lambda  adalah suatu nilai eigen dari matriks  A berukuran  n\times n, dan himpunan  E berisi semua vektor  \mathbf {v}  yang memenuhi Persamaan (2),
Di satu sisi, himpunan ini adalah kernel atau ruang nol (nullspace) dari matriks  (A-\lambda I). Di sisi lain, dari definisi, setiap vektor tak nol yang memenuhi Persamaan (2) adalah vektor-vektor eigen dari  A yang berasosiasi dengan  \lambda . Jadi, himpunan  E adalah gabungan vektor nol dengan himpunan semua vektor eigen dari  A yang berasosiasi dengan  \lambda , sekaligus sama dengan kernel dari  (A-\lambda I). Himpunan  E disebut sebagai ruang eigen (eigenspace) dari  A yang berasosiasi dengan  \lambda . Secara umum  \lambda  akan berupa bilangan kompleks dan vektor eigen akan berupa matriks kompleks berukuran  n\times 1.
Ruang eigen  E tertutup atas penjumlahan, karena  E is adalah suatu subruang vektor (dari  \mathbb {C} ^{n}). Dengan kata lain, untuk sembarang vektor  \mathbf {u}  dan  \mathbf {v}  anggota  E, vektor  \mathbf {u} +\mathbf {v}  juga anggota  E; atau secara ekuivalen,  A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ). Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat distributif perkalian matriks. Serupa dengan itu,  E juga tertutup atas perkalian skalar. Artinya, jika  \mathbf {v} \in E dan  \alpha  merupakan bilangan kompleks, maka  (\alpha \mathbf {v} )\in E; atau secara ekuivalen,  A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} ). Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat komutatif perkalian matriks kompleks dengan bilangan kompleks. Selama  \mathbf {u} +\mathbf {v}  dan  \alpha \mathbf {v}  bukan vektor nol, mereka juga merupakan vektor eigen dari  A yang berasosiasi dengan  \lambda .
Dimensi dari ruang eigen  E yang berasosiasi dengan  \lambda , yakni banyaknya vektor eigen yang berasosiasi dengan  \lambda  dan saling bebas linear, disebut dengan kegandaan geometrik (geometric multiplicity) dari nilai eigen  \lambda , disimbolkan dengan  \gamma _{A}(\lambda ). Karena  E sama dengan kernel dari  (A-\lambda I), maka kegandaan geometrik dari  \lambda   adalah dimensi dari kernel   (A-\lambda I), juga disebut sebagai nolitas dari  (A-\lambda I), dan berhubungan dengan dimensi dan rank dari  (A-\lambda I) lewat persamaan
\gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).
Sebagai akibat dari definisi nilai eigen dan vektor eigen, nilai kegandaan numerik dari suatu nilai eigen  \lambda  setidaknya sama dengan 1. Lebih lanjut, nilai kegandaan numerik dari  \lambda  tidak dapat melebihi nilai kegandaan aljabarnya; dan kegandaan aljabar tidak dapat melebihi dimensi dari matriks  A. Secara matematis hal tersebut dapat ditulis sebagai 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n
Untuk membuktikan pertidaksamaan  \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda ), pertimbangkan bahwa definisi kegandaan geometrik mengakibatkan eksistensi  \gamma _{A}(\lambda ) buah vektor eigen  {\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )} yang ortonormal, dan memenuhi  A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}. Kita dapat menemukan matriks (uniter)  V yang  \gamma _{A}(\lambda ) kolom pertamanya adalah vektor-vektor eigen ini, dan kolom-kolom yang tersisa adalah sembarang himpunan  n-\gamma _{A}(\lambda ) buah vektor ortonormal yang ortogonal dengan vektor-vektor eigen tadi. Maka  V memiliki rank penuh sehingga memiliki invers, dan memenuhi persamaan  AV=VD, dengan  D adalah matriks yang blok bagian atas kirinya adalah matriks diagonal  \lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}. Hal ini mengimplikasikan  (A-\xi I)V=V(D-\xi I). Dengan kata lain,  A-\xi I serupa dengan  D-\xi I, yang selanjutnya mengakibatkan  \det(A-\xi I)=\det(D-\xi I). Namun dari definisi matriks  D kita ketahui bahwa  \det(D-\xi I) mengandung faktor  (\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}, yang mengartikan kegandaan aljabar dari  \lambda  harus memenuhi  \mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda ).
Misalkan  A memiliki  d\leq n nilai eigen unik  \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}, dengan kegandaan geometrik dari  \lambda _{i} adalah  \gamma _{A}(\lambda _{i}). Total kegandaan geometrik dari  A,
{\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\\d&\leq \gamma _{A}\leq n,\end{aligned}}
adalah dimensi dari jumlah semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen  A; atau secara ekuivalen, adalah banyaknya vektor-vektor eigen dari  A yang saling bebas linear. Jika  \gamma _{A}=n, maka
Jumlah langsung semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen  A akan sama dengan ruang vektor  \mathbb {C} ^{n}.
Suatu basis bagi  \mathbb {C} ^{n} dapat dibentuk dari  n buah eigen vektor dari  A yang saling bebas linear; basis tersebut dikatakan sebagai basis eigen (eigenbasis)
Sembarang vektor di  \mathbb {C} ^{n} dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen dari  A.