Reinhardt cardinal

Reinhardt Cardinal adalah jenis kardinal besar dalam teori himpunan, yang dibahas dalam matematika. Reinhardt Cardinal ini dipertimbangkan dalam kerangka ZF (Zermelo-Fraenkel set theory tanpa Aksioma Pilihan), karena tidak konsisten dengan ZFC (ZF dengan Aksioma Pilihan). Konsep ini diusulkan oleh matematikawan Amerika William Nelson Reinhardt (1939-1998).
Definisi:
Reinhardt Cardinal adalah titik kritis dari penanaman elemen non-trivial j: V -> V dari V ke dalam dirinya sendiri.
Definisi ini secara eksplisit merujuk pada kelas yang pantas j. Dalam ZF standar, kelas-kelas ditulis sebagai {x | φ(x, a)} untuk beberapa himpunan a dan formula φ. Namun, Suzuki (1999) menunjukkan bahwa tidak ada kelas semacam itu yang merupakan penanaman elemen j: V -> V. Oleh karena itu, Reinhardt Cardinal tidak konsisten dengan konsep kelas ini.
Terdapat formulasi lain dari Reinhardt Cardinal yang belum diketahui apakah konsisten atau tidak. Salah satunya adalah dengan menambahkan simbol fungsi baru j ke dalam bahasa ZF, bersama dengan aksioma yang menyatakan bahwa j adalah penanaman elemen dari V, serta aksioma Pengumpulan dan Penyisipan untuk semua formula yang melibatkan j. Pendekatan lain adalah dengan menggunakan teori kelas seperti NBG atau KM, yang memperbolehkan kelas-kelas yang tidak harus dapat didefinisikan dalam arti di atas.
Teorema ketidaksesuaian Kunen:
Kunen (1971) membuktikan teorema ketidaksesuaian, yang menunjukkan bahwa keberadaan penanaman elemen j: V -> V yang menjaga sifat tertentu bertentangan dengan NBG dengan aksioma pilihan (dan ZFC yang diperluas dengan j). Bukti Kunen menggunakan aksioma pilihan, dan masih menjadi pertanyaan terbuka apakah penanaman semacam itu konsisten dengan NBG tanpa aksioma pilihan (atau dengan ZF ditambah simbol tambahan j dan aksioma yang terkait).
Teorema Kunen bukanlah akibat langsung dari Suzuki (1999), karena merupakan akibat dari NBG, dan oleh karena itu tidak memerlukan asumsi bahwa j adalah kelas yang dapat didefinisikan. Selain itu, jika diasumsikan bahwa 0^# ada, maka terdapat penanaman elemen dari model transitif M dari ZFC (sebenarnya alam semesta konstruktif Goedel L) ke dalam dirinya sendiri. Namun, penanaman semacam itu bukan kelas dari M.
Aksioma yang Lebih Kuat:
Terdapat variasi Reinhardt Cardinal yang membentuk hierarki hipotesis yang menyatakan keberadaan penanaman elemen j: V -> V.
Super Reinhardt Cardinal adalah kardinal κ sedemikian rupa bahwa untuk setiap ordinal α, terdapat penanaman elemen j: V -> V yang memenuhi j(κ) > α dan memiliki titik kritis κ.
J3: Terdapat penanaman elemen non-trivial j: V -> V.
J2: Terdapat penanaman elemen non-trivial j: V -> V dan DC λ terpenuhi, di mana λ adalah titik tetap terkecil di atas titik kritis.
J1: Untuk setiap ordinal α, terdapat penanaman elemen j: V -> V yang memenuhi j(κ) > α dan memiliki titik kritis κ.
Setiap J1 dan J2 secara langsung menyiratkan J3. Kardinal κ sebagaimana pada J1 dikenal sebagai super Reinhardt Cardinal.
Berkeley Cardinal adalah kardinal besar yang lebih kuat yang diusulkan oleh Woodin.
Definisi: Sebuah kardinal κ dikatakan sebagai Reinhardt Cardinal jika terdapat fungsi penanaman elemen (embedding) j: V → V yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:
1. j adalah penanaman elemen: j adalah fungsi yang memetakan setiap elemen himpunan universal V ke dalam dirinya sendiri.
2. j adalah non-trivial: j bukan hanya fungsi identitas, artinya terdapat setidaknya satu elemen x dalam V sedemikian rupa sehingga j(x) ≠ x.
3. κ adalah titik kritis: κ adalah titik tetap terkecil dari j, yaitu untuk setiap elemen x dalam V, j(x) = x jika dan hanya jika x < κ.
4. j(κ) > α untuk setiap ordinal α: Untuk setiap ordinal α, nilai penanaman j(κ) harus lebih besar dari α.
5. j adalah elemen dari kelas: j adalah elemen dari kelas On^V, yaitu kelas dari semua ordinal yang dapat didefinisikan dalam himpunan V.
Dalam definisi ini, simbol-simbol yang digunakan memiliki arti sebagai berikut:
- κ: Merupakan kardinal Reinhardt yang merupakan titik kritis dari penanaman elemen j.
- α: Sebuah ordinal yang digunakan sebagai batas atas untuk nilai penanaman j(κ). Setiap nilai penanaman j(κ) harus lebih besar dari α.
- j: Merupakan penanaman elemen (embedding) yang memetakan himpunan universal V ke dalam dirinya sendiri. Fungsi ini memainkan peran penting dalam definisi Reinhardt Cardinal.
- V: Merupakan himpunan universal yang berisi semua objek dalam teori himpunan.
- x: Merupakan elemen dalam himpunan V yang merupakan argumen dalam penanaman elemen j.
- j(x): Merupakan nilai penanaman dari x dalam penanaman elemen j. Nilai ini dapat berbeda dengan x jika x ≥ κ, dan mencerminkan perubahan yang terjadi pada elemen x saat ditransformasikan oleh penanaman j.
- > : Simbol "lebih besar dari", menunjukkan hubungan urutan antara nilai penanaman j(κ) dan ordinal α.
- On^V: Merupakan kelas dari semua ordinal yang dapat didefinisikan dalam himpunan V. Kelas ini mencakup semua ordinal yang merupakan elemen dari V.