Nilai dan vektor eigen
Nilai dan vektor eigen dari matriks > Nilai eigen dan polinomial karakteristik

Artikel utama: Polinomial karakteristik
Persamaan (2) memiliki solusi tak nol  \mathbf {v}  jika dan hanya jika nilai determinan dari matriks  (A-\lambda I) adalah nol. Dengan demikian, nilai-nilai eigen dari  A adalah nilai-nilai  \lambda  yang memenuhi persamaan
Dengan menggunakan rumus Leibniz, ruas kiri pada Persamaan (3) dapat dijabarkan menjadi sebuah fungsi polinomial dengan variabel  \lambda  dan berderajat  n, yakni ukuran dari matriks  A. Koefisien-koefisien polinom ini bergantung pada entri-entri matriks  A, kecuali suku berderajat  n yang akan memiliki koefisien  (-1)^{n}. Polinomial ini disebut sebagai polinomial karakteristik dari  A. Persamaan (3) sendiri disebut sebagai persamaan karakteristik dari  A. Teorema dasar aljabar mengakibatkan polinomial karakteristik dari  A, yang berderajat  n, dapat difaktorkan sebagai perkalian  n buah suku linear,
dengan setiap  \lambda _{i} dapat berupa bilangan real, walau pada umumnya berupa kompleks. Nilai  \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{n}, yang mungkin tidak semuanya unik, adalah akar-akar dari polinomial dan merupakan nilai eigen dari  A.
Sebagai contoh singkat, yang akan dijelaskan pada bagian Contoh nanti, misalkan sebuah matriks
A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.
Dengan menghitung determinan dari  (A-\lambda I), didapatkan polinom karakteristik dari  A yakni
|A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.
Setelah mencari akar dari polinom ketika sama dengan nol, didapatkan akar  \lambda =1 dan  \lambda =3, yang selanjutnya merupakan nilai eigen dari  A. Vektor eigen yang berasosiasi dengan masing-masing nilai eigen tersebut dapat ditentukan dengan menyelesaikan komponen  \mathbf {v}  di persamaan  \left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} . Dalam contoh ini, vektor eigen adalah sembarang kelipatan skalar (tak nol) dari \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},{\text{ dan}}\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.Jika entri-entri dari matriks  A berupa bilangan real, maka koefisien dari polinom karakteristik juga berupa bilangan real. Namun, nilai eigen sebagai solusi dari polinom tersebut mungkin memiliki bagian imajiner; entri-entri pada vektor eigen yang berasosiasi dengannya juga mungkin memiliki bagian imajiner. Serupa dengan itu, nilai eigen dapat berupa bilangan irasional walau semua entri dari  A berupa bilangan rasional, atau bahkan jika semuanya berupa bilangan bulat.
Bagian imajiner dari akar pada polinomial real dengan koefisien-koefisien real dapat dikelompokkan dalam pasangan konjugat kompleks, yakni dengan anggotanya memiliki bagian real yang sama dan hanya berbeda tanda di bagian imajinernya. Jika polinom berderajat ganjil, maka teorema nilai antara mengatakan setidaknya satu akar akan berupa real. Dengan demikian, sembarang matriks real berukuran ganjil akan memiliki setidaknya satu nilai eigen real, sedangkan matriks real berukuran genap mungkin tidak memiliki satupun nilai eigen real. Vektor-vektor eigen yang berasosiasi dengan nilai-nilai eigen kompleks akan memiliki komponen kompleks, dan juga muncul dalam pasangan konjugat kompleks.