Aksioma Peano
Perumusan

Ketika Peano merumuskan aksiomanya, bahasa logika matematika masih dalam masa pertumbuhannya. Sistem notasi logika yang dia buat untuk menyampaikan aksiomanya tidak menjadi populer, walaupun sistem tersebut merupakan asal mula dari notasi modern untuk keanggotaan himpunan (∈, yang berasal dari ε dari Peano) dan implikasi (⊃, yang berasal dari 'C' dari Peano yang dibalik.) Peano menjaga perbedaan antara simbol matematika dan logika, yang pada saat itu belum sering dijumpai dalam matematika; pemisahan seperti itu pertama kali diperkenalkan dalam Begriffsschrift oleh Gottlob Frege, diterbitkan pada tahun 1879. Peano tidak mengetahui tentang karya Frege dan secara terpisah membuat ulang peraltan logikanya berdasarkan karya Boole dan Schröder.
Aksioma Peano mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari bilangan asli, biasanya dilambangkan sebagai sebuah himpunan  \mathbf {N}  atau  \mathbb {N} . Simbol taklogis untuk aksiomanya terdiri dari simbol tetapan 0 dan simbol fungsi uner  S.
Aksioma pertama menyatakan bahwa tetapan 0 adalah bilangan asli:
0 adalah sebuah bilangan asli.
Empat aksioma berikutnya menjelaskan relasi kesamaan. Karena mereka secara logika valid dalam logika predikat tingkat pertama dengan kesamaan, mereka tidak dianggap sebagai bagian dari "aksioma Peano" dalam penafsiran modern.
Untuk setiap bilangan asli  x, 
  x=x. Artinya, kesamaan bersifat refleksif.
Untuk semua bilangan asli  x dan  y, jika  x=y, maka  y=x. Artinya, kesamaan bersifat simetrik.
Untuk semua bilangan asli  x,  y dan  z, jika  x=y dan  y=z, maka  x=z. Artinya, kesamaan bersifat transitif.
Untuk semua  a dan  b, jika  b merupakan sebuah bilangan asli dan  a=b, maka  a juga merupakan bilangan asli. Artinya, bilangan-bilangan asli bersifat tertutup terhadap kesamaan.
Aksioma berikutnya mendefinisikan sifat-sifat aritmetis dari bilangan asli. Bilangan asli diasumsikan tertutup di bawah sebuah fungsi "penerus" dengan satu nilai, yang disebut  S.
Untuk setiap bilangan asli  n,  S(n) adalah bilangan asli. Artinya, bilangan asli tertutup terhadap  S.
Untuk semua bilangan asli  m dan  n,  m=n jika dan hanya jika  S(m)=S(n). Artinya,  S bersifat injektif.
Untuk setiap bilangan asli  n,  S(n)=0 bernilai salah. Artinya, tidak ada bilangan asli yang penerusnya adalah 0.
Perumusan Peano yang asli menggunakan 1 bukannya 0 sebagai bilangan asli "pertama". Pilihan ini dilakukan semaunya, karena aksioma 1 tidak memberikan tetapan 0 sifat tambahan apapun. Akan tetapi, karena 0 merupakan identitas penambahan dalam aritmetika, kebanyakan perumusan aksioma Peano modern memulai dari 0. Aksioma 1, 6, 7, 8 mendefinisikan sebuah representasi uner dari ide intuitif bilangan asli: bilangan 1 bisa didefinisikan sebagai  S(0), 2 sebagai  S(S(0)), dan seterusnya. Namun, mempertimbangkan ide bilangan asli sebagaimana didefinisikan oleh aksioma-aksioma tersebut, aksioma 1, 6, 7, 8 tidak mengimplikasikan bahwa fungsi penerus menghasilkan semua bilangan asli yang berbeda dari 0. Dengan kata lain, mereka tidak menjamin bahwa setiap bilangan asli selain nol harus meneruskan suatu bilangan asli lainnya.
Ide intuitif bahwa setiap bilangan asli bisa diperoleh dengan menerapkan penerus pada nol memerlukan aksioma tambahan, yang terkadang disebut aksioma induksi.
Jika K merupakan sebuah himpunan sehingga: maka K berisi setiap bilangan asli.
0 merupakan anggota  K, dan
untuk setiap bilangan asli  n ,  n merupakan anggota  K mengimplikasikan  S(n) merupakan anggota  K,
Aksioma induksi terkadang dinyatakan dalam bentuk berikut:
Jika \varphi adalah predikat uner sehingga: maka \varphi (n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n .
\varphi (0) bernilai benar, dan
untuk setiap bilangan asli  n,  \varphi (n) bernilai benar mengimplikasikan  \varphi (S(n)) bernilai benar,
Dalam perumusan asli dari Peano, aksioma induksi merupakan sebuah aksioma tingkat kedua. Sekarang prinsip tingkat kedua ini kerap diganti dengan skema induksi tingkat pertama yang lebih lemah. Terdapat perbedaan-perbedaan penting antara perumusan tingkat kedua dan tingkat pertama, sebagimana didiskusikan di bagian § Model di bawah.