stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Sungai Świna
Delta Regresif

Delta regresif dibentuk oleh banjir sungai Świna di wilayah Taman Nasional Wolin pada tahun 1996. Kompleks alami berlumpur air ini membentuk kepulauan dari 44 pulau dan kanal dengan perubahan arah aliran air. Delta sungai Świna dibentuk oleh gletser Skandinavia yang mengundurkan diri dari wilayah ini 12 ribu tahun yang lalu. Selama badai barat dan utara, air laut mengalir ke Laguna Szczecin, meluap kepulauan. Perbatasan pulau terus terbentuk selama proses akumulasi.
Lihat pula

Dziwna
Sungai Peene
Tanjungsepreh, Maospati, Magetan

| Tanjungsepreh |
| --- | --- |
Desa
Negara:  Indonesia
Provinsi: Jawa Timur
Kabupaten: Magetan
Kecamatan: Maospati
Kode pos: 63392
Kode Kemendagri: 35.20.11.2002 
Luas: 2,37 km²
Jumlah penduduk: 2.854 jiwa
Kepadatan: 1.204 jiwa/km²
Tanjungsepreh adalah sebuah nama desa di wilayah Kecamatan Maospati, Kabupaten Magetan, Provinsi Jawa Timur. Desa ini merupakan Desa paling barat di Kecamatan Maospati.
Ekonomi

Sebagian besar penduduk Bermata Pencaharian sebagai Petani baik Sayur Mayur maupun Padi, Sebagian lagi bergelut pada Industri Kerajinan Genteng yang oleh Daerah setempat bernama Kerajinan Genteng Winong. Nama Winong sendiri mengacu pada dua Desa yaitu Desa Gulun dan Desa Tanjung Sepreh sendiri.
Batas Wilayah

Sebelah Utara: Desa Temenggungan, Karas dan Desa Temboro, Karas
Sebelah Timur: Desa Gulun
Sebelah Selatan: Desa Sugihwaras
Sebelah Barat: Desa Kembangan, Sukomoro
| l b Kecamatan Maospati, Kabupaten Magetan, Jawa Timur |
| --- | --- |
Kelurahan:  Kraton  Maospati  Mranggen 
Desa:  Gulun  Klagen Gambiran  Malang  Ngujung  Pandeyan  Pesu  Ronowijayan  Sempol  Sugihwaras  Sumberejo  Suratmajan  Tanjungsepreh
2013 CZ129

| Ciri-ciri orbit |
| --- | --- |
Aphelion: 5.383
Perihelion: 5.138
Sumbu semimayor: 5.260
Eksentrisitas: 0.023
Anomali rata-rata: 36.16
Inklinasi: 29.3
Bujur node menaik: 163.8
Argumen perihelion: 339.1
Ciri-ciri fisik
Magnitudo mutlak (H): 13.2
 
2013 CZ129 adalah sebuah asteroid. Asteroid ini merupakan bagian dari asteroid Troya Yupiter, yang terletak di orbit Yupiter. Eksentrisitas orbit asteroid ini tercatat sebesar 0.023, sementara magnitudo mutlaknya adalah 13.2.
Pembentukan

Seperti asteroid secara keseluruhan, asteroid ini terbentuk dari nebula matahari primordial sebagai pecahan planetisimal, sesuatu di nebula matahari muda yang tidak cukup besar untuk berubah menjadi planet.
Sybra tonkinensis

| Sybra tonkinensis |
| --- | --- |

Klasifikasi ilmiah
Kerajaan:: Animalia
Filum:: Arthropoda
Kelas:: Insecta
Ordo:: Coleoptera
Famili:: Cerambycidae
Subfamili:: Lamiinae
Tribus:: Apomecynini
Genus:: Sybra
Spesies:: Sybra tonkinensis

Sybra tonkinensis adalah spesies kumbang tanduk panjang yang berasal dari famili Cerambycidae. Spesies ini juga merupakan bagian dari genus Sybra, ordo Coleoptera, kelas Insecta, filum Arthropoda, dan kingdom Animalia.
Larva kumbang ini biasanya mengebor ke dalam kayu dan dapat menyebabkan kerusakan pada batang kayu hidup atau kayu yang telah ditebang.
Wae Mowol, Lembor, Manggarai Barat

| Wae Mowol |
| --- | --- |
Desa
Negara:  Indonesia
Provinsi: Nusa Tenggara Timur
Kabupaten: Manggarai Barat
Kecamatan: Lembor
Kode pos: 86753
Kode Kemendagri: 53.15.03.2034 
Luas: 5,00 km2
Jumlah penduduk: 1.581 jiwa (2019)
Untuk kegunaan lain, lihat Wae (disambiguasi).
Wae Mowol adalah nama sebuah desa yang terdapat di kecamatan Lembor, kabupaten Manggarai Barat, provinsi Nusa Tenggara Timur. Desa ini memiliki luas wilayah 5,00 km2 dengan jumlah penduduk tahun 2019 sebanyak 1.581 jiwa.
Kependudukan

Penduduk asli di kabupaten Manggarai Barat umumnya adalah suku Manggarai, Flores, Bajo, dan saat ini ada pula suku pendatang lainnya seperti Jawa dari pulau Jawa, suku Bugis dari Sulawesi Selatan dan suku Bima dari Nusa Tenggara Barat, dan suku lainnya. Pekerjaan utama masyarakat Manggarai Barat, dan termasuk di desa ini adalah pertani dan nelayan, dan ada juga sebagai pedagang, dan Pegawai Negeri Sipil.
Masyarakat kecamatan Lembor memiliki keberagaman budaya dan keagamaan, termasuk di desa ini. Berdasarkan data Badan Pusat Statistik atau BPS tahun 2020, mencatat bahwa semua warga memeluk agama Katolik.
Wae Kanta, Lembor, Manggarai Barat

| Wae Kanta |
| --- | --- |
Desa
Negara:  Indonesia
Provinsi: Nusa Tenggara Timur
Kabupaten: Manggarai Barat
Kecamatan: Lembor
Kode pos: 86753
Kode Kemendagri: 53.15.03.2010 
Luas: 4,90 km2
Jumlah penduduk: 2.548 jiwa (2019)
Untuk kegunaan lain, lihat Wae (disambiguasi).
Wae Kanta adalah nama sebuah desa yang terdapat di kecamatan Lembor, kabupaten Manggarai Barat, provinsi Nusa Tenggara Timur. Desa ini memiliki luas wilayah 4,90 km2 dengan jumlah penduduk tahun 2019 sebanyak 2.548 jiwa.
Kependudukan

Penduduk asli di kabupaten Manggarai Barat umumnya adalah suku Manggarai, Flores, Bajo, dan saat ini ada pula suku pendatang lainnya seperti Jawa dari pulau Jawa, suku Bugis dari Sulawesi Selatan dan suku Bima dari Nusa Tenggara Barat, dan suku lainnya. Pekerjaan utama masyarakat Manggarai Barat, dan termasuk di desa ini adalah pertani dan nelayan, dan ada juga sebagai pedagang, dan Pegawai Negeri Sipil.
Masyarakat kecamatan Lembor memiliki keberagaman budaya dan keagamaan, termasuk di desa ini. Berdasarkan data Badan Pusat Statistik atau BPS tahun 2020, mencatat bahwa pemeluk agama Kekristenan sebanyak  99,73% (Katolik 99,49% dan Protestan 0,24%), kemudian Islam 0,27%.
Observatorium Sydney

Observatorium difoto pada 1874.
Observatorium hari ini.
Sydney Observatory terletak di sebuah bukit yang sekarang dikenal sebagai 'Observatory Hill' di sebuah daerah di pusat Sydney yang dikenal sebagai The Rocks. Tempat ini berubah dari sebuah benteng yang dibangun di 'Windmill Hill' di awal abad ke-19 menjadi sebuah observatorium astronomi selama abad ke-19. Sekarang menjadi sebuah museum di mana pengunjung malam dapat melihat bintang dan planet melalui sebuah teleskop schmidt-cassegrain 40 cm modern yang dibangun tahun 1874, teleskop tertua di Australia yang masih digunakan. Diarsipkan 2009-03-23 di Wayback Machine.
Penggunaan awal

Tahun 1796, pada awal pemukiman Eropa di New South Wales, Australia, sebuah kincir angin dibangun di bukit di atas pemukiman pertama. Dalam sepuluh tahun, kincir angin ini telah memasuki titik tak berguna; layar kanvasnya dicuri, badai merusak mesinnya, dan pada 1800 pondasinya runtuh. Nama Millers Point memperingati penggunaan awal tanah ini.
Tahun 1803, Fort Philip dibangun di tempat itu di bawah arahan Gubernur Hunter untuk melindungi pemukiman baru ini dari serangan oleh Prancis dan juga dari tahanan yang memberontak. Benteng ini tak pernah digunakan untuk hal seperti itu. Tahun 1825 dinding timur benteng diubah menjadi stasiun sinyal. Bendera digunakan untuk mengirim pesan pada kapal di dermaga dan pada stasiun sinyal di South Head di dermaga.
Observatorium

Sebuah observatorium didirikan tahun 1788 di Flagstaff Hill di Dawes Point, di kaki Observatory Hill, dalam usaha yang gagal untuk mengamati kembalinya Komet Halley tahun 1790. Sebuah observatorium kedua didirikan di Parramatta tahun 1821 oleh Gubernur Sir Thomas Brisbane.
Tahun 1848, sebuah stasiun sinyal baru dibangun oleh Arsitek Kolonial, Mortimer Lewis, menggantikan bagian dari benteng di Windmill Hill. Atas dorongan Gubernur, Sir William Denison, segera disetujui untuk memperluas menara menjadi sebuah observatorium penuh. Astronom Pemerintah pertama, William Scott, ditunjuk tahun 1856, dan pembangunan observatorium baru ini selesai tahun 1858.
Peran pertama observatorium ini adalah sebagai sebuah menara bola waktu, dibangun dekat stasiun sinyal. Setiap hari pada pukul 13.00, bola waktu di puncak menara akan jatuh untuk menandakan waktu yang tepat pada kota dan dermaga di bawahnya. Pada waktu yang sama, sebuah meriam di Fort Denison ditembakkan. Bola waktu ini pertama kali dijatuhkan pada siang 5 Juni 1858. Setelah itu, kejatuhan ini menandakan jam satu. Bola waktu ini masih dijatuhkan setiap hari pada pukul 1 siang dan rekaman tembakan meriam juga secara simbolis diputar, tetapi dengan bantuan motor listrik, pada hari-hari awal penjatuhan ini dilakukan secara manual.
Observatorium ini adalah sekumpulan bangunan batu pasir bergaya Italianate. Terdapat dua observatorium kubah dengan gedung oktagon dan sebuah menara bertingkat empat yang digunakan untuk bola waktu. Bangunan 1858 dirancang oleh Arsitek Kolonial, Alexander Dawson, yang terdiri dari sebuah ruang berkubah untuk menempatkan teleskop khatulistiwa, sebuah ruang dengan jendela panjang dan sempit untuk teleskop transit, sebuah kantor untuk penghitungan, dan kediaman astronom. Sebuah sayap barat dibangun pada 1877 dengan kantor dan perpustakaan dan sebuah kamar berkubah kedua untuk teleskop lain. Beberapa foto astronomi pertama diambil di observatorium ini, di bawah arahan Henry Chamberlain Russell. Observatorium ini juga terlibat dalam pembuatan atlas langit, The astrographic catalogue. Bagian yang diselesaikan di Sydney memakan 70 tahun, mulai 1899 hingga 1971, dan memenuhi 53 volume.
Meskipun sejak federasi Australia tahun 1901, meteorologi menjadi satu fungsi untuk Pemerintah Persemakmuran, observatorium ini meneruskan peran astronomisnya. Observatorium ini terus menyumbangkan observasi kepada The astrographic catalogue, menyimpan waktu dan memberikan informasi kepada masyarakat. Contohnya, setiap hari observatorium ini memenuhi suratkabar Sydney dengan waktu terbit dan terbenam matahari, bulan dan planet. Sebuah proposal untuk menutup observatorium ini pada 1926 ditolak, tetapi pada pertengahan 1970-an, masalah yang meningkat terhadap polusi udara dan cahaya kota membuat pekerjaan di observatorium ini semakin sulit. Tahun 1982, Sydney Observatory diubah menjadi museum astronomi dan bidang terkait, yang menjadi bagian dari Powerhouse Museum.
Lihat pula

Daftar observatorium
Gardujaya, Panawangan, Ciamis

| Gardujaya |
| --- | --- |
Desa
Negara:  Indonesia
Provinsi: Jawa Barat
Kabupaten: Ciamis
Kecamatan: Panawangan
Kode Kemendagri: 32.07.10.2011 
Luas: ... km²
Jumlah penduduk: ... jiwa
Kepadatan: ... jiwa/km²
Gardujaya adalah desa di kecamatan Panawangan, Ciamis, Jawa Barat, Indonesia.
Sosial Budaya

Di Desa Gardujaya berpenduduk 95% suku Sunda dan sisanya beberapa pendatang dari daerah Jawa Tengah dan Jakarta. Penduduk didesa ini masih menjunjung tinggi nilai kebudayaan yang tidak bertentangan dengan agama.
Mata Pencaharian

Kondisi/kehidupan ekonomi masyarakat desa Gardujaya pada umumnya bermata pencaharian sebagai petani atau buruh tani, tetapi ada pula pegawai negeri sipil, pedagang, tukang/ahli bangunan, jasa, wirausaha di daerah sendiri dan ada pula yang ke kota-kota besar.
Hankam

Kondisi pertahanan dan keamanan di Desa Gardujaya cukup kondusip. Setiap RW mempunyai Pos Ronda dan Siskambling dilaksanakan setiap malam secara bergantian oleh penduduk setempat.
Agama dan kepercayaan

Penduduk desa Gardujaya 100% menganut agama Islam, dengan tempat ibadah agama Islam yang menyebar di tiap-tiap dusun. Terdapat juga beberapa tempat pengajian di Mesjid atau Mushola yang diadakan biasanya dua kali dalam seminggu dan setipa hari bagi pendidikan anak. Namun walaupun pengaruh agama cukup kuat, masyarakat di Desa Gardujaya masih percaya dan meyakini tentang mistis seperti kuntilanak, setan penunggu jembatan dan lain sebagainya.
Pendidikan

Sarana pendidikan yang ada di desa Gardujaya antara lain Madrasah TPA, SD Negeri, SMP Negeri, dan SMK.
Blok Muhara

Adalah tempat di timur Gardujaya yang merupakan tempat bersejarah. Tempat ini menjunjung tinggi nilai adat istiadat dan gotong royong. Terdiri dari 3 RT, dan dibagi 3 wilayah yaitu muhara wetan, muhara kulon dan pamugaran/pasir bogo.
Sejarah Muhara diawali dari bermukimnya Raden Suradijaya (Buyut sura) dari kerajaan Mataram untuk mengawal raja mataram ke wilayah Galuh. Ia memutuskan untuk tinggal dan menetap. Dibamakan Blok Muhara karena ia mulai menetap pada bulan muharam dan tempat itu dikelilingi air sungai yg dibendung sehingga dinamai Muhara.
Tiap bulan muharam (sura) di muhara diadakan acara adat "bubur sura" atau sedekah bumi untuk menghargai jasa Buyut sura yang membuat "ngabebera" muhara menjadi tempat yang subur.
Kini muhara merupakan tempat termaju di Desa Gardujaya karena sarana dan prasarananya yang memadai, dengan adanya PAUD Al Barkah, Mesjid Al Barkah dan irigasi yang baik juga fasilitas jalan yang bagus dan SDM yang merata di segala bidang.
Tempat yang indah di muhara yaitu, Tando, Cekdam, Leuwi Muhara dan Gembor adalah tempat mancing yang bagus, juga di musim kemarau ada acara "tunggu mijah" yaitu mencari ikan di malam hari.
Makanan khas muhara yaitu, Opak, raginang, pais nilem, cuhcur, dan papais.
Torymus notatus

| Torymus notatus |
| --- | --- |


Klasifikasi ilmiah
Kerajaan:: Animalia
Filum:: Arthropoda
Kelas:: Insecta
Ordo:: Hymenoptera
Famili:: Torymidae
Genus:: Torymus
Spesies:: Torymus notatus

Torymus notatus adalah spesies tawon khalkhos yang tergolong ke dalam famili Torymidae. Spesies ini juga merupakan bagian dari ordo Hymenoptera.
Spesies Torymus notatus sendiri merupakan bagian dari genus Torymus yang mencakup lebih dari 400 spesies di berbagai belahan dunia. Sebagian besar spesies dalam genus tersebut merupakan spesies ektoparasit, yaitu jenis parasit yang hidup di tubuh inangnya.
Teorema apit

Ilustrasi teorema apit, dengan fungsi berwarna biru, diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.
Dalam kalkulus, teorema apit merupakan teorema yang melibatkan limit pada suatu fungsi yang diapit oleh dua fungsi lain sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama. Sebagai ilustrasi, dapat terlihat pada gambar di samping bahwa fungsi yang berwarna biru diapit dari atas oleh fungsi yang berwarna hijau dan di apit dari bawah oleh fungsi yang berwarna merah.
Teorema apit sering digunakan pada bidang kalkulus dan analisis matematika untuk mencari nilai limit dengan cara membandingkannya dengan dua fungsi lain yang nilai limitnya diketahui. Teorema ini pertama kali digunakan secara geometris oleh matematikawan Archimedes dan Eudoksos untuk menghitung nilai π, yang kemudian dirumuskan menggunakan notasi modern oleh Carl Friedrich Gauss.
Pernyataan

Teorema apit secara formal dapat dinyatakan sebagai berikut:
Teorema — 
Misalkan  I adalah selang yang memuat titik  c. Misalkan  f,  g, dan  h adalah fungsi yang terdefinisi pada  I\setminus \left\{c\right\}, dengan
untuk setiap  x\in I\setminus \left\{c\right\}. Jika  \lim _{x\,\to \,c}f(x)=\lim _{x\,\to \,c}h(x)=L, maka  \lim _{x\,\to \,c}g(x)=L
Fungsi  f dan  h (berturut-turut) disebut sebagai batas bawah dan atas dari fungsi  g
Titik  x=c tidak diharuskan berada pada interior dari  I. Jika  x=c adalah titik ujung dari  I, maka limit di atas adalah limit kiri atau limit kanan.
Pernyataan serupa juga berlaku untuk selang takhingga. Sebagai contoh, jika  I=\left(0,\,\infty \right), maka teorema apit dapat digunakan dengan mengambil limit saat  x mendekati  \infty
Pernyataan > Bukti > Supremum dan Infimum

Menurut hipotesis di atas, maka
f(x)\leq \inf g(x), dan
\sup g(x)\leq h(x)
Oleh karena  \inf g(x)\leq g(x)\leq \sup g(x), maka dengan mengambil limit saat  x mendekati  c, diperoleh rantai pertidaksamaan
Perhatikan bahwa  \lim _{x\,\to \,c}f(x)=L=\lim _{x\,\to \,c}h(x), sehingga rantai pertidaksamaan di atas menjadi rantai persamaan, maka dapat disimpulkan bahwa  \lim _{x\,\to \,c}g(x)=L
Pernyataan > Bukti > Definisi (ε, δ) dari limit

Diketahui  \lim _{x\,\to \,c}f(x)=L dan  \lim _{x\,\to \,c}h(x)=L. Jika diberikan suatu  \varepsilon >0, maka
\left(\exists \delta _{1}>0\right)\left(0\leq \left|x-c\right|\leq \delta _{1}\right)\implies \left(\left|f(x)-L\right|<\varepsilon \right)
\left(\exists \delta _{2}>0\right)\left(0\leq \left|x-c\right|\leq \delta _{2}\right)\implies \left(\left|h(x)-L\right|<\varepsilon \right)
Oleh karena pertidaksamaan  \left|a\right|\leq b ekuivalen dengan pertidaksamaan  -b\leq a\leq b, dengan memilih  \delta =\min \left\{\delta _{1},\,\delta _{2}\right\}, maka diperoleh rantai pertidaksamaan
yang mengakibatkan  -\varepsilon \leq g(x)-L\leq \varepsilon  (atau menggunakan tanda mutlak,  \left|g(x)-L\right|\leq \varepsilon ). Sehingga, terbukti bahwa  \lim _{x\,\to \,c}g(x)=L. Q.E.D.
Teorema apit untuk barisan

Teorema ini juga dapat diterapkan pada barisan. Misalkan  \langle P_{n}\rangle  dan  \langle R_{n}\rangle  adalah barisan yang konvergen ke  L dan  \langle Q_{n}\rangle  adalah suatu barisan. Jika terdapat suatu bilangan  k\in \mathbb {N}  sedemikian sehingga berlaku
untuk setiap nilai  n\geq k, maka barisan  \langle Q_{n}\rangle  juga konvergen ke  L.
Teorema apit untuk barisan > Bukti

Pernyataan di atas dapat dibuktikan dengan cara serupa seperti sebelumnya. Diketahui  \langle P_{n}\rangle  dan  \langle R_{n}\rangle  sama-sama konvergen ke  L. Jika diberikan suatu  \varepsilon >0, maka
\left(\exists k_{1}\in \mathbb {N} \right)\left(\forall n\geq k_{1}\right)\implies \left(\left|P_{n}-L\right|<\varepsilon \right)
\left(\exists k_{2}\in \mathbb {N} \right)\left(\forall n\geq k_{2}\right)\implies \left(\left|R_{n}-L\right|<\varepsilon \right)
\left(\exists k_{3}\in \mathbb {N} \right)\left(\forall n\geq k_{3}\right)\implies \left(P_{n}\leq Q_{n}\leq R_{n}\right)
Oleh karena pertidaksamaan  \left|a\right|\leq b ekuivalen dengan pertidaksamaan  -b\leq a\leq b, dengan memilih  k=\max \left\{k_{1},\,k_{2},\,k_{3}\right\}, maka diperoleh rantai pertidaksamaan
yang mengakibatkan  -\varepsilon \leq Q_{n}-L\leq \varepsilon  (atau menggunakan tanda mutlak,  \left|Q_{n}-L\right|\leq \varepsilon ). Sehingga, terbukti bahwa barisan  \langle Q_{n}\rangle  juga akan konvergen ke  L.
Contoh permasalahan > Contoh pertama

Nilai limit dari  \lim _{x\,\to \,0}x^{2}\sin \left({\dfrac {1}{x}}\right) tidak dapat dicari dengan menggunakan sifat perkalian dari limit, yaitu
 \lim _{x\,\to \,a}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\left(\lim _{x\,\to \,a}f(x)\right)\cdot \left(\lim _{x\,\to \,a}g(x)\right)
sebab nilai  \lim _{x\,\to \,0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right) tidak ada. Akan tetapi, perhatikan bahwa berlaku pertidaksamaan
untuk setiap bilangan riil  \theta . Dengan memilih  \theta ={\dfrac {1}{x}}, maka didapatkan rantai pertidaksamaan
Sehingga, dapat disimpulkan bahwa  \lim _{x\,\to \,0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)
Contoh permasalahan > Contoh kedua

Salah satu contoh yang paling terkenal mengenai pencarian limit melalui proses penghimpitan adalah pembuktian nilai
 \lim _{x\,\to \,0}{\frac {\sin x}{x}}=1\qquad {\text{dan}}\qquad \lim _{x\,\to \,0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0
Untuk membuktikan hasil pertama, dapat dengan mudah terlihat (dengan menggunakan ilustrasi geometris di bagian kanan) bahwa[butuh rujukan]
{\text{Luas segitiga }}ADB\,\leq \,{\text{Luas juring }}ADB\,\leq \,{\text{Luas segitiga }}ADF
sehingga diperoleh rantai pertidaksamaan
 {\begin{array}{rcccl}{\frac {1}{2}}\cdot a_{ADB}\cdot t_{ADB}&\leq &k\cdot \pi r^{2}&\leq &{\frac {1}{2}}\cdot a_{ADF}\cdot t_{ADF}\\[4pt]{\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot \sin x&\leq &{\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi (1)^{2}&\leq &{\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot \tan x\\[4pt]\sin x&\leq &x&\leq &{\frac {\sin x}{\cos x}}\\[4pt]1&\leq &{\frac {x}{\sin x}}&\leq &{\frac {1}{\cos x}}\\[4pt]{\frac {1}{(1)}}&\geq &{\frac {1}{\left({\tfrac {x}{\sin x}}\right)}}&\geq &{\frac {1}{\left({\tfrac {1}{\cos x}}\right)}}\\[4pt]1&\geq &{\frac {\sin x}{x}}&\geq &\cos x\end{array}}
untuk nilai  x yang cukup dekat dengan  0. Oleh karena fungsi kosinus  \left(\cos x\right) dan fungsi sinc  \left({\frac {\sin x}{x}}\right) sama-sama merupakan fungsi genap, maka pertidaksamaan di atas juga berlaku untuk nilai  x negatif. Dengan mengambil nilai limit saat  x mendekati  0, maka didapatkan  \lim _{x\,\to \,0}{\frac {\sin x}{x}}=1
Untuk membuktikan hasil kedua, dengan menggunakan ilustrasi yang sama, perhatikan bahwa  {\overline {\text{AB}}} dan  {\overline {\text{AD}}} sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, sehingga segitiga  {\text{ABD}} merupakan segitiga sama kaki. Oleh karena  \angle BAD=x, maka didapatkan  \angle ADB={\frac {1}{2}}(360^{\circ }-x). Akibatnya,
Sehingga,
untuk nilai  x positif yang cukup dekat dengan  0. Oleh karena fungsi  {\frac {1\,-\,\cos x}{x}} dan fungsi sinus  \sin \left({\tfrac {x}{2}}\right) sama-sama merupakan fungsi ganjil, maka pertidaksamaan di atas akan menjadi
yang berlaku untuk nilai  x negatif yang cukup dekat dengan  0. Dengan mengambil nilai limit saat  x mendekati  0 dari kiri dan dari kanan, maka didapatkan  \lim _{x\,\to \,0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0
Kedua nilai limit ini digunakan untuk membuktikan turunan dari fungsi sinus adalah fungsi kosinus.
Contoh permasalahan > Contoh ketiga

Proses penghimpitan juga dapat digunakan untuk membuktikan
 {\frac {\text{d}}{{\text{d}}\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta
Berikut adalah penjelasan ilustrasi di bagian kanan :
Konstruksikan lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal beserta garis x=1 dan garis y=\left(\tan \theta \right)x , untuk suatu parameter \theta .
Dengan bantuan identitas Pythagoras, maka diperoleh jarak titik  (0,\,0) dengan titik  (1,\,\tan \theta ) adalah  \sec \theta .
Kemudian, dikonstruksikan lingkaran berjari-jari  \sec \theta  dengan pusat yang sama.
Lakukan hal serupa untuk sudut  \theta +\Delta \theta
Perhatikan juring lingkaran yang berjari-jari  \sec \theta . Saat  \Delta \theta  mendekati  0, bagian busur lingkaran nya akan mendekati garis lurus, sehingga luas juringnya dapat didekati dengan bangun segitiga. Jika panjang busurnya (yaitu  \sec \theta \cdot \Delta \theta ) dijadikan sebagai alas segitiga, maka tinggi segitiganya adalah jari-jari lingkaran (yaitu  \sec \theta ), sehingga diperoleh
L_{1}={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta
Sekarang perhatikan juring lingkaran yang berjari-jari  \sec \theta +\Delta \theta . Dengan argumentasi serupa, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa luas juringnya (yang dinotasikan dengan  L_{2}) adalah
L_{2}={\frac {1}{2}}\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta
Bangun yang akan dihimpit oleh  L_{1} dan  L_{2} adalah segitiga yang memiliki titik sudut pada koordinat  (0,\,0),\,(1,\,\tan \theta ), dan  (1,\,\tan(\theta +\Delta \theta )). Jika tinggi segitiganya adalah  1 satuan, maka panjang alasnya adalah  \tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta , sehingga luas segitiganya ialah
L={\frac {1}{2}}\left(\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta \right)
Akibatnya, diperoleh rantai pertidaksamaan
{\begin{array}{rcccl}L_{1}&\leq &L&\leq &L_{2}\\{\frac {1}{2}}\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta &\leq &{\frac {1}{2}}\left(\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta \right)&\leq &{\frac {1}{2}}\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta \\\sec ^{2}\theta &\leq &{\dfrac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}&\leq &\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\end{array}}
dengan asumsi bahwa  \Delta \theta >0. Apabila  \Delta \theta <0, maka didapatkan
 \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\leq {\frac {\tan \theta -\tan(\theta +\Delta \theta )}{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}\theta
Pada kedua kasus di atas, ekspresi pertama dan ketiga sama-sama mendekati  \sec ^{2}\theta  saat  \Delta \theta  mendekati  0, sedangkan ekspresi di tengah akan mendekati  {\tfrac {\text{d}}{{\text{d}}\theta }}\tan \theta  saat  \Delta \theta  mendekati  0, sehingga terbukti bahwa nilai  {\tfrac {\text{d}}{{\text{d}}\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta  menggunakan teorema apit.