Teori permainan
Penerapan teori permainan dalam pemodelan ekonomi > Model kepemimpinan Stackelberg

Pada 1934, matematikawan dan ekonom jerman yang bernama Heinrich Freiherr von Stackelberg, mengembangkan model pasar kepemimpinan pada bukunya yang berjudul Market Structure and Equilibrium (Marktform und Gleichgewicht). Stackelberg menuturkan bahwa terdapat persaingan antar perusahaan dimana beberapa perusahaan pasti akan memiliki kekuatan pasar yang lebih kuat. Model Stackelberg memiliki dua jenis agen dalam permainannya, pemimpin (leader) dan pengikut (follower). Pemimpin merupakan tipe pemain dengan kekuatan pasar yang lebih kuat dibanding tipe pemain pengikut. Pemimpin akan menentukan strateginya lebih dahulu (First mover) dibanding pengikut. Alhasil, tipe permainan dari model Stackelberg adalah permainan sekuensial (Sequential Games). Penyelesaian tipe permainan ini menggunakan backward induction. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan Stackelberg :
Terdapat lebih dari satu perusahaan yang berkompetisi secara simultan dengan produk barang yang homogen (tidak berbeda).
Perusahaan-perusahaan yang terlibat berkompetisi dalam bentuk pola informasi yang sempurna dan lengkap (perfect and complete information).
Semua perusahaan yang berkompetisi tidak ada indikasi untuk bekerja sama dan berbagi informasi (Information sharing).
Perusahaan-perusahaan yang berkompetisi memiliki kekuatan pasar yang tidak seimbang. Beberapa perusahaan merupakan perusahaan berkekuatan pasar yang besar (pemimpin) dan berkekuatan pasar yang kecil (pengikut)
Perusahaan yang berkompetisi bertindak rasional dan strategis untuk memaksimalkan pendapatan, keuntungan, atau payoff mereka.
Poin 1, 2, 3 dan 5 cukup sama dengan pemodelan Cournot dan Bertrand. Kunci dari model ini adalah pada poin 4. Kondisi keseimbangan dari permainan sekuensial disebut Subperfect Nash Equilibrium. Hal ini cukup berseberangan dengan konsep keseimbangan Nash dimana semua agen yang berkompetisi menetapkan strateginya secara simultan. Sebagai contoh pada pemodelan Cournot, perusahaan  A adalah pemimpin dan perusahaan  B adalah pengikut. Artinya, perusahaan  A memilliki kekuatan pasar yang lebih besar dibanding perusahaan  B. Dalam Cournot, perusahaan  A menghasilkan produk sebesar  q_{A} unit dan perusahaan  B menghasilkan produk sebesar  q_{B} unit. Pemodelan Stackelberg yang diformulasikan dengan pendekatan pemrograman matematika (Mathematical Programming) disebut pemrograman Bilevel atau Nested Optimization. Bentuk model pendapatan dari perusahaan  A dan  B adalah sebagai berikut.
{\begin{aligned}&\max(q_{A})\quad \pi _{A}(q_{A},q_{B})=[a-b\times (q_{A}+q_{B})]\times q_{A}\\&S.T\\&q_{B}\in \arg \max(q_{B})\quad \pi _{B}(q_{B},q_{A})=[a-b\times (q_{A}+q_{B})]\times q_{B}\end{aligned}}
Pendekatan yang digunakan untuk menyelesaikan model berikut adalah Backward Induction. Perusahaan  A, sebagai pemimpin, dapat mengantisipasi gerakan dari perusahaan  B sebagai pengikut. Jadi dalam fungsi pendapatan perusahaan  A, respon terbaik dari perusahaan  B digunakan untuk mensubsitusi  q_{B}. Alhasil, perusahaan  A dapat dikatakan bergerak lebih dahulu (first mover).
{\begin{aligned}q_{B}&={\frac {a-b\times q_{A}}{2b}}\\\pi _{A}(q_{A})&=[a-b\times (q_{A}+{\frac {a-b\times q_{A}}{2b}})]\times q_{A}\\\end{aligned}}
Karena fungsi pendapatan perusahaan  A masih termasuk ke model ordo kedua (second-order), maka fungsi pendapatan diturunkan terhadap  q_{A}untuk melihat kondisi ordo pertamanya (first-order).
{d\pi _{A}(q_{A}) \over dq_{A}}={\frac {b^{2}-2}{2}}\times (a-2b\times q_{A})=0
Kondisi optimal dari perusahaan  A adalah:
q_{A}={\frac {a}{2b}}
Berdasar strategi dari  q_{A} dari perusahaan  A,maka perusahaan  B akan menentukan strateginya berdasar respon terbaiknya. Dengan mensubsitusi fungsi  q_{A} pada respon terbaik  q_{B}, strategi perusahaan  B adalah sebagai berikut:
{\begin{aligned}q_{B}&={\frac {a-b\times {\frac {a}{2b}}}{2b}}\\&={\frac {a}{4b}}\\\end{aligned}}
Dengan keputusan strategi yang sudah ditetapkan perusahaan  A dan  B, strategi mencapai Subperfect Nash Equilibrium. Jadi perusahaan  A dan  B akan mencoba untuk memproduksi  q_{A} dan  q_{B} produk sebesar  {\frac {a}{2b}} dan  {\frac {a}{4b}} unit. Berdasar keputusan yang sudah seimbang, keluarannya adalah sebagai berikut:
{\begin{aligned}Q&=q_{A}+q_{B}&\\&={\frac {a}{2b}}+{\frac {a}{4b}}\\&={\frac {3a}{4b}}\\p(q_{A},q_{B})&=a-b\times (q_{A}+q_{B})\\&=a-b({\frac {3a}{4b}})\\&={\frac {a}{4}}\\\pi _{A}&=p(q_{A},q_{B})\times q_{A}\\&{\frac {a}{4}}\times {\frac {a}{2b}}\\&={\frac {a^{2}}{8b}}\\\pi _{b}&=p(q_{A},q_{B})\times q_{B}\\&{\frac {a}{4}}\times {\frac {a}{4b}}\\&={\frac {a^{2}}{16b}}\end{aligned}}
Dari strategi, harga, dan payoff dari setiap perusahaan, perusahaan  A akan menghasilkan kuantitas produksi 2 kali lipat dibanding perusahaan  B ( {\frac {q_{A}}{q_{B}}}={\frac {\frac {a}{2b}}{\frac {a}{4b}}}=2) dan perusahaan  A akan mendapatkan pendapatan 2 kali lipat dari perusahaan  B ( {\frac {\pi _{A}}{\pi _{B}}}={\frac {\frac {a^{2}}{8b}}{\frac {a^{2}}{16b}}}=2). Hal ini menunjukan sebuah keuntungan menjadi pemimpin atau agen dengan cakupan pasar yang lebih besar dibanding dengan pengikut.