Matriks (matematika)

Untuk kegunaan lain, lihat matriks.
"Teori matriks" beralih ke halaman ini. Untuk topik fisika, lihat Teori matriks string.
Baris m adalah vertikal dan kolom n horizontal. Setiap elemen matriks sering dilambangkan menggunakan variabel dengan dua notasi indeks. Misalnya, a2,1 mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks A.
Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi. Sebagai contoh, matriks di bawah ini adalah matriks berukuran 2 × 3 (baca "dua kali tiga"): {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom.
Setiap objek dalam matriks  \mathbf {A}  berdimensi  m\times n sering dilambangkan dengan  a_{i,j}, dimana nilai maksimum  i=m dan nilai maksimum  j=n. Objek dalam matriks disebut elemen, entri, atau anggota matriks.
Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Perkalian ini akan menghasilkan matriks dengan ukuran jumlah baris matriks pertama dan jumlah kolom matriks kedua. Artinya, perkalian matriks  m\times \mathbf {n}  dengan matriks  \mathbf {n} \times p menghasilkan matriks  m\times p. Perkalian matriks tidak bersifat komutatif.
Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suatu generalisasi fungsi linear seperti  f(x)=4x. Sebagai contoh, efek rotasi pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi  \mathbf {R} . Jika  v adalah sebuah vektor di dimensi tiga, hasil dari  \mathbf {R} v menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan komposisi dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi sistem persamaan linear. Jika matriks merupakan matriks persegi, beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai determinan. Misalnya, matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika nilai determinannya tidak sama dengan nol. Sisi geometri dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari eigenvalue dan eigenvector matriks.
Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang fisika, contohnya mekanika klasik, mekanika kuantum, dan optika, matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang grafika komputer, matriks digunakan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks stokastik digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma PageRank dalam menentukan urutan halaman pada pencarian Google. Kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari turunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi.