Teorema dasar aljabar
Batas pada akar dari polinomial

Artikel utama: Sifat dari akar polinomial
Dari perspektif teoretis ataupun perspektif praktis tertentu, lokasi dari akar-akar suatu polinomial merupakan informasi yang berharga. Sayangnya, walaupun teorema dasar aljabar telah menunjukkan adanya akar dari polinomial variabel tunggal, teorema ini tidak memberikan informasi mengenai lokasi dari akar polinomial variabel tunggal. Salah satu hasil terkait  lokasi akar polinomial variabel tunggal yang relatif sederhana diberikan oleh batas pada modulus berikut: semua akar  \zeta  pada polinomial monik  z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0} memenuhi pertidaksamaan  |\zeta |\leq R_{\infty }, dengan
R_{\infty }=1+\max\{|a_{0}|,\dots ,|a_{n-1}|\}.
Perhatikan bahwa hasil ini tidak menyatakan bahwa polinomial variabel tunggal memiliki akar, namun hanyalah pernyataan jika suatu polinomial memiliki akar, maka akar tersebut terdapat pada cakram tertutup berpusat di titik asal dengan jari-jari  R_{\infty }.  Namun, hasil ini bersama-sama dengan teorema dasar aljabar menyatakan bahwa cakram tertutup tersebut memuat setidaknya satu akar. Secara lebih luas, batas pada akar polinomial dapat diberikan dengan menggunakan norma-p dari vektor koefisien polinomial  a:=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1}), yaitu  |\zeta |\leq R_{p}, dengan  R_{p} merupakan norma-q dari vektor  (1,\|a\|_{p}), dengan  q adalah eksponen konjugat dari  p, atau dengan kata lain  {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1, untuk  1\leq p\leq \infty . Maka, modulus dari akar-akar polinomial dibatasi juga oleh R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\}, R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},
dengan  1<p<\infty , dan khususnya, R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}(dengan  a_{n}=1, yang masuk akal karena koefisien  z^{n} pada polinomial adalah 1). Kasus umum untuk sembarang polinomial berderajat  n, P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0},tentunya dapat direduksi ke kasus polinomial monik dengan membagi semua koefisien dengan  a_{n}\neq 0. Jika 0 bukan akar dari polinomial tersebut, i.e.  a_{0}\neq 0, batas bawah dari  \zeta  adalah batas atas dari  1/\zeta , yaitu, akar-akar dari a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\dots +a_{n-1}z+a_{n}.
Dari uraian di atas, batas atas dan batas bawah jarak  |\zeta -\zeta _{0}| dari akar  \zeta  ke sembarang titik  \zeta _{0} dapat ditentukan, dengan memandang  \zeta -\zeta _{0} sebagai akar dari polinomial  P(z+\zeta _{0}), yang koefisiennya adalah ekspansi Taylor dari  P(z) pada  z=\zeta _{0}.
Untuk membuktikan  |\zeta |\leq R_{p}, misalkan  \zeta  adalah akar dari polinomial z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0};sehingga dapat diasumsikan  |\zeta |<1. Maka, -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\dots +a_{1}\zeta +a_{0};dan dengan menggunakan pertidaksamaan Hölder diperoleh bahwa |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\|(\zeta ^{n-1},\dots ,\zeta ,1)\|_{q}.
Khususnya, jika  p=1, |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max\{|\zeta |^{n-1},\dots ,|\zeta |,1\}=\|a\|_{1}\|\zeta |^{n-1},maka |\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.
Jika  1<p\leq \infty , dengan menggunakan rumus deret geometri diperoleh bahwa
|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}(|\zeta |^{q(n-1)}+\dots +|\zeta |^{q}+1)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},maka |\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}yang dapat disederhanakan menjadi \|\zeta \|^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.Maka |\zeta \|\leq \|(1,\|a_{p}\|)\|_{q}=R_{p},untuk  1\leq p\leq \infty .