Rangkap tiga Pythagoras
Spinor dan grup modular

Rangkap tiga Pythagoras dapat juga disandikan menjadi sebuah matriks persegi dari bentuk
Sebuah matriks bentuk ini adalah simetrik. Lebih lanjut, determinan  X adalah
yang adalah nol tepatnya ketika  (a,b,c) adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. Jika  X berpadanan dengan sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka sebagai sebuah matriks harus memiliki peringkat 1.
Karena  X adalah simetrik, ini mengikuti dari sebuah hasil dalam aljabar linear bahwa terdapat sebuah vektor kolom  \xi ={\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T} sehingga darab luar
berlaku, dimana  T melambangkan transpos matriks. Vektor  \xi  disebut sebuah spinor (untuk grup Lorentz  \mathrm {SO} (1,2)). Dalam istilah abstrak, rumus Euclidnya berarti bahwa setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditulis sebagai darab luar dengan sendirinya mengenai sebuah spinor dengan entri-entri bilangna bulat, seperti di (1).
Grup modular  \Gamma  adalah himpunan matriks 2×2 dengan entri-entri bilangan bulat
dengan determinan sama dengan satu:  \alpha \delta -\beta \gamma =1. Himpunan ini membentuk sebuah grup, karena inversnya matriks dalam  \Gamma  adalah lagi di  \Gamma , karena merupakan darab dua matriks di  \Gamma . Grup modular bertindak pada kumpulan semua spinor bilangan bulat. Lebih lanjut, grupny transitif mengenai kumpulan spinor bilangan bulat dengan entri-entri relatif prima. Untuk jika  {\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T} memiliki entri-entri relatif prima, maka
dimana  u dan  v dipilih (oleh algoritme Euclides) sehingga  mu+nv=1.
Dengan bertindak pada spinor  \xi  di (1), tindakan  \Gamma  berjalan ke sebuah tindakan pada rangkap tiga Pythagoras, disediakan salah satunya memungkinkan untuk  rangkap tiga dengan komponen negatif mungkin. Demikian jika  A adalah sebuah matriks di  \Gamma , maka
memunculkan untuk sebuah tindakan pada matriks  X di (1). Ini tidak memberikan sebuah tindakan didefinisikan dengan baik pada rangkap tiga primitif, karena ini dapat mengambil sebuah rangkap tiga primitif ke yang takprimitif. Ini cocok pada poin ini (tiap Trautman 1998) untuk menyebut sebuah rangkap tiga  (a,b,c) standar jika  c>0 dan baik  (a,b,c) adalah relatif prima maupun  \left({\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}},{\frac {c}{2}}\right) adalah relatif prima dengan  {\frac {a}{2}} adalah ganjil. Jika spinornya  {\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}^{T} memiliki entri-entri relatif prima, maka rangkap tiga iring  (a,b,c) ditentukan oleh (1) adalah sebuah rangkap tiga standar. Ini mengikuti bahwa tindakan dari grup modular adalah transitif mengenai himpunan rangkap tiga standar.
Secara bergantian, perhatian larangan untuk nilai-nilai tersebut dari  m dan  n yang mana  m adalah ganjil dan  n adalah genap. Misalkan subgrup  \Gamma (2) dari  \Gamma  menjadi kernel dari kehomomorfan grup
dimana  \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} _{2}) adalah grup linear khusus atas medan hingga  \mathbb {Z} _{2} dari bilangan bulat modulo 2. Maka  \Gamma (2) adalah grup transformasi unimodular yang mempertahankan paritas setiap entri. Demikian jika entri pertama  \xi  adalah ganjil dan entri kedua adalah genap, maka yang sama adalah benar dari  A\xi  untuk semua  A\in \Gamma (2). Faktanya, terhadap tindakan (2), grup  \Gamma (2) bertindak secara transitif pada kumpulan rangkap tiga Pythagoras primitif (Alperin 2005).
Grup  \Gamma (2) merupakan grup bebas yang pembangkitnya adalah matriks
Akibatnya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat diperoleh dalam sebuah cara yang unik sebagai sebuah darab salinan dari matriks  U dan  L.