Deret geometrik
Pranala luar

"Geometric progreDssion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld.
Geometric Series at PlanetMath.org.
Peppard, Kim. "College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series". West Texas A&M University.
Casselman, Bill. "A Geometric Interpretation of the Geometric Series". Diarsipkan dari versi asli (Applet) tanggal 2007-09-29.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
"Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
| l b Kalkulus |
| --- | --- |
Prakalkulus:  Teorema binomial  Fungsi cekung  Fungsi kontinu  Faktorial  Beda hingga  Variabel bebas dan variabel terikat  Grafik fungsi  Fungsi linear  Radian  Teorema Rolle  Sekan  Kemiringan  Garis singgung 
Limit (matematika):  Bentuk tak tentu  Limit barisan  Limit fungsi Limit sepihak  Urutan aproksimasi  definisi (ε, δ) dari limit 
Kalkulus diferensial:  Turunan  Turunan kedua  Turunan parsial  Diferensial  Operator diferensial  Teorema nilai purata  Notasi Notasi Leibniz  Notasi Newton  Kaidah pendiferensialan jumlahan  linearitas  pangkat  Rantai  L'Hôpital  darab Aturan umum Leibniz  Hasil-bagi  Teknik lainnya Turunan implisit  Turunan fungsi invers  Turunan logaritmik  Laju yang berkaitan  Titik stasioner Uji turunan pertama  Uji turunan kedua  Teorema nilai ekstrem  Maksimum dan minimum  Penerapan lebih lanjut Metode Newton  Teorema Taylor  Persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa  Persamaan diferensial parsial  Persamaan diferensial stokastik  Persamaan diferensial-integral 
Kalkulus integral:  Integral tak tentu  Panjang busur  Integral Riemann  Sifat dasar  Konstanta integrasi  Teorema dasar kalkulus Kaidah integral Leibniz  Pengintegralan parsial  Integral substitusi Substitusi trigonometri  Substitusi Euler  Substitusi tangen setengah sudut  Dekomposisi pecahan parsial Integral kuadratik  Kaidah trapesium  Volume Integrasi cakram  Integrasi kulit  Persamaan integral  Persamaan diferensial-integral 
Kalkulus vektor:  Turunan Gradien  Turunan berarah  Divergensi  Kerul  Laplace  Teorema dasar Integral garis  Green  Stokes  Gauss 
Kalkulus multivariabel:  Turunan parsial  Pengali Lagrange  Integral lipat  Integral garis  Integral permukaan  Integral volume  Matriks Hesse  Matriks Jacobi  Geometrik  Matrix  Topik lanjutan Bentuk diferensial  Luar  Perumuman teorema Stokes  Tensor 
Deret:  Barisan aritmetika-geometrik  Jenis-jenis deret Geometrik  Takhingga  Harmonik  Pangkat Taylor  Maclaurin  Selang-seling  Binomial  Fourier  Deret teleskopik  Uji konvergensi suku ke-n  Rasio  Akar  Integral  Perbandingan langsung  Perbandingan limit  Deret selang-seling  Kondensasi Cauchy  Dirichlet  Abel 
Fungsi dan bilangan khusus:  Bilangan Bernoulli  e (konstanta matematika)  Fungsi eksponensial  Logaritma alami  Aproksimasi Stirling 
Sejarah kalkulus:  Adequality  Brook Taylor  Colin Maclaurin  Fluksion  Gottfried Wilhelm Leibniz  Hukum kekontinuan  Infinitesimal  Isaac Newton  Kalkulus infinitesimal  Keumuman aljabar  Leonhard Euler  Method of Fluxions  The Method of Mechanical Theorems 
Daftar-daftar:  Kaidah pendiferensialan  Daftar limit  Daftar integral  Daftar integral dari fungsi eksponensial  Daftar integral dari fungsi hiperbolik  Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers  Daftar integral dari fungsi irasional  Daftar integral dari fungsi logaritmik  Daftar integral dari fungsi rasional  Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers  Daftar integral dari fungsi trigonometrik Sekan  Sekan kubik 
Topik lainnya:  Kalkulus kompleks Integral kontur  Geometri diferensial Manifol  Kelengkungan  dari kurva  dari permukaan  Tensor  Rumus Euler–Maclaurin  Terompet Jibril  Integration bee  Bukti bahwa 22/7 melebihi π  Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus 
Konvergensi dari deret geometrik dengan 



r
=


1
2




{\textstyle r={\frac {1}{2}}}

 dan 



a
=


1
2




{\textstyle a={\frac {1}{2}}}
Konvergensi dari deret geometrik dengan 



r
=


1
2




{\textstyle r={\frac {1}{2}}}

 dan 



a
=


1
2




{\textstyle a={\frac {1}{2}}}
Derivasi visual dari penjumlahan suku takhingga dari sebuah deret geometrik
Turunan geometrik berikut dari 



S
=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r}}}

 mulai dengan mewakili suku-suku dari deret geometrik 



1
,
r
,

r

2


,
…
,

r

i


,
…


{\textstyle 1,r,r^{2},\dots ,r^{i},\dots }

 sebagai luas persegi bertindih,






A

0


,

A

1


,

A

2


,
…
,

A

i


,
…


{\textstyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{i},\dots }

 masing-masing. Setiap luas persegi bertindih 




A

i




{\textstyle A_{i}}

 memiliki luas berbentuk L tak bertindih 




L

i


=

A

i


−

A

i
+
1


=

A

i


⋅
(
1
−
r
)


{\textstyle L_{i}=A_{i}-A_{i+1}=A_{i}\cdot (1-r)}

. Oleh karena itu, 






A

i



L

i




=


1

1
−
r





{\textstyle {\frac {A_{i}}{L_{i}}}={\frac {1}{1-r}}}

 atau 




A

i


=



L

i



1
−
r





{\textstyle A_{i}={\frac {L_{i}}{1-r}}}

. Dengan kata lain, setiap luas persegi bertindih bsa ditransformasi menjadi sebuah luas ekuivalen berbentuk L tak bertindih dengan penskalaan bahwa sebuah faktor dari 





1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}}

. Diberikan bahwa penjumlahan dari semua luas berbentuk L tidak berskala adalah 



1


{\textstyle 1}

 (karena mereka mempartisi persegi satuan), penjumlahan dari semua luas berbentuk L berskala oleh 





1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}}

 juga harus 





1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}}

, di mana penjumlahan dari semua suku dari deret geometrik. Sebuah skala umum untuk mendapatkan benetuk yang lebih umum dari rumus bentuk tertutup, 



S
=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r}}}

, di mana diturunkan untuk rentang 



0
<
r
<
1


{\textstyle 0<r<1}

 tetapi bisa diperpanjang hingga rentang 



−
1
<
r
<
1


{\textstyle -1<r<1}

 dengan menerapkan rumus yang diturunkan secara terpisah menjadi dua partisi dari deret geometrikː salah satu dengan pangkat genap 



r


{\textstyle r}

 (yang tidak bisa negatif) dan lainnya dengan pangkat ganjil 



r


{\textstyle r}

 (yang bisa negatif). Jumlah dari dua partisi adalah 



S
=


a

1
−

r

2





+



a
r


1
−

r

2





=



a
⋅
(
1
+
r
)


(
1
−
r
)
(
1
+
r
)



=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r^{2}}}+{\frac {ar}{1-r^{2}}}={\frac {a\cdot (1+r)}{(1-r)(1+r)}}={\frac {a}{1-r}}}

.
Berikut ini adalah sebuah turunan geometrik dari rumus untuk deret geometrik parsial  S=1+r+r^{2}+\dots +r^{n-1} dengan rasio  r>1. Setiap suku dari deret  r^{i} diwakli oleh luas dari persegi bertindih  A_{i} yang dapat berubah menjadi luas berbentuk ;. Setiap luas berbentuk L  L_{i}=A_{i}-A_{i-1}=\left(1-{\frac {1}{r}}\right)A_{i}={\frac {\left(r-1\right)A_{i}}{r}}=\left(r-1\right)A_{i-1}, yang ekuivalen dengan 




L

i
+
1


=
(
r
−
1
)

A

i




{\textstyle L_{i+1}=(r-1)A_{i}}

, atau 




A

i


=



L

i
+
1



r
−
1





{\textstyle A_{i}={\frac {L_{i+1}}{r-1}}}

. Oleh karena itu, 



S


{\textstyle S}

, jumlah dari  A_{i} pada  i=0 ke 



n
−
1


{\textstyle n-1}

 sama dengan jumlah dari 






L

i



r
−
1





{\textstyle {\frac {L_{i}}{r-1}}}

 pada 



i
=
1


{\textstyle i=1}

 ke 



n


{\textstyle n}

. Catat bahwa tak berskala  L_{i} pada 



i
=
1


{\textstyle i=1}

 ke 



n


{\textstyle n}

 hanya sebuah partisi  A_{n} kurang takik dari kanan atas luas 




A

0




{\textstyle A_{0}}

, 



S
=




A

n


−

A

0




r
−
1



=




r

n


−
1


r
−
1





{\textstyle S={\frac {A_{n}-A_{0}}{r-1}}={\frac {r^{n}-1}{r-1}}}

. Menerapkan sebuah skala 



a


{\textstyle a}

 ke semua hasil jumlah bertindih dan luas tak bertindih dalam 



S
=



a
⋅
(

r

n


−
1
)


r
−
1





{\textstyle S={\frac {a\cdot (r^{n}-1)}{r-1}}}

.
Pemisahan Archimedes dari sebuah segmen parabolik menjadi tak terhingga banyaknya segitiga
Interior dari kepingan salju Koch adalah sebuah gabungan dari banyaknya segitiga tak terhingga.