Fungsi zeta Riemann
Persamaan fungsional Riemann

Fungsi zeta memenuhi persamaan fungsional \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),dengan Γ(s) adalah fungsi Gamma. Ini adalah persamaan fungsi meromorfik yang valid di seluruh bidang kompleks. Persamaan ini menghubungkan nilai dari fungsi zeta Riemann di titik s dan 1 − s, khususnya mengaitkan nilai fungsi ini di titik bilangan bulat positif dengan titik bilangan ganjil negatif. Karena fungsi sinus di persamaan memiliki nol sederhana di setiap bilangan bulat, persamaan fungsional ini menunjukkan bahwa ζ(s) memiliki nol sederhana di setiap bilangan bulat negatif s = −2n, yang dikenal sebagai nol trivial dari ζ(s). Di sisi lain, jika s adalah bilangan genap positif, hasi kali sin(πs2)Γ(1 − s) pada ruas kanan bernilai tidak nol karena Γ(1 − s) memiliki kutub sederhana, yang dapat dicoret dengan nol sederhana dari fungsi sinus.
Bukti dari persamaan fungsional Riemann adalah sebagai berikut:
Perhatikan bahwa jika  \sigma >0,  berlaku
 \int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.
Akibatnya, jika   \sigma >1 maka 
 {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{\frac {s}{2}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx=\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,dx,
Perhatikan bahwa penukaran deret dan integral valid dari konvergensi mutlak (oleh karenanya syarat pada  \sigma  diperketat).
Untuk memudahkan, misalkan
 \psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}.
Maka  \zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}\psi (x)\,dx.
Dari Identitas deret Poisson, berlaku  \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi  \over x}},
sehingga  2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}.
Akibatnya,  \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx,
yang ekuivalen dengan  \int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx
atau
 {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-{3 \over 2}}\psi \left({1 \over x}\right)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.
Sekarang,
 \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)={1 \over {s({s-1})}}+\int _{1}^{\infty }\left({x^{-{{s} \over 2}-{1 \over 2}}+x^{{{s} \over 2}-1}}\right)\psi (x)\,dx
yang konvergen untuk setiap s, sehingga identitas ini berlaku dari pengontinuan analitik. Lebih lanjut lagi, ruas sebelah kanan juga tidak berubah jika s diganti menjadi 1 − s, sehingga
 \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{1 \over 2}+{s \over 2}}\Gamma \left({1 \over 2}-{s \over 2}\right)\zeta (1-s)
yang merupakan persamaan fungsional di atas.
E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta-function (edisi ke-2nd). Oxford: Oxford Science Publications. hlm. 21–22. ISBN 0-19-853369-1.  Attributed to Bernhard Riemann.
Persamaan fungsional ini dibuktikan oleh Riemann pada tahun 1859 di artikelnya berjudul "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude". Dia menggunakan persamaan ini untuk mengkonstruksi pengontinuan analitik dari fungsi zeta yang awalnya didefinisikan hanya untuk  \sigma >1. Pada 1749, Euler sebenarnya telah membuat suatu konjektur yang ekuivalen dengan persamaan fungsional Riemann. Konjektur ini memberikan identitas fungsi eta Dirichlet (fungsi zeta ganti tanda): \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}=\left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta (s).Ternyata, hubungan ini dapat digunakan untuk menghitung ζ(s) pada daerah 0 < Re(s) < 1, i.e. \zeta (s)={\frac {1}{1-{2^{1-s}}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}dengan deret pada fungsi η konvergen (walaupun tidak secara mutlak) pada bidang kompleks dengan bagian real s > 0 (untuk survei yang lebih mendetail mengenai sejarah persamaan fungsional Riemann, lihat Blagouchine).
Riemann juga menemukan versi simetris dari persamaan fungsional dengan menerapkannya ke fungsi-xi: \xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s),yang memenuhi: \xi (s)=\xi (1-s).(Fungsi awal ξ(t) versi Riemann awalnya didefinisikan sedikit berbeda dengan versi sekarang)
Semasa Riemann, faktor   \pi ^{-s/2}\Gamma (s/2) pada persamaan fungsional Riemann tidak begitu dipahami, sampai John Tate (1950) membahasnya pada tesisnya. Ia menunjukkan bahwa "faktor Gamma" ini adalah faktor-L lokal yang berpadanan dengan tempat Archimedes (Archimedean places), sedangkan faktor lainnya pada ekspansi darab Euler adalah faktor-L lokal dari tempat nonArchimedes.