Uji kekonvergenan
Daftar uji kekonvergenan

Limit dari jinumlah: Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu  \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0, maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan  jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
Uji rasio: Uji ini juga dikenal sebagai kriteria d'Alembert (d'Alembert's criterion). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat  r sedemikian rupa sehingga \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.Jika  r<1, maka deret tersebut konvergen. Jika  r>1, maka deret tersebut divergen. Jika  r=1, maka uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
Uji akar: Uji ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (n-th root test)atau kriteria Cauchy (Cauchy's criterion). Misalkan r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},dengan  \lim \sup  melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya). Jika  r<1, maka deret tersebut konvergen. Jika  r>1, maka deret tersebut divergen. Jika  r=1, maka uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
Uji integral : Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+} adalah suatu fungsi positif dan menurun secara monoton sedemikian rupa sehingga f(n)=a_{n} . Jika \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty , maka deret tersebut konvergen. Akan tetapi, jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen. Dengan kata lain, deret {a_{n}} konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.
Korolari dari uji integral yang umum dipakai adalah uji deret-p: Misalkan  k>0, maka 




∑

n
=
k


∞




1

n

p






{\textstyle \sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

 konvergen jika  p>1. Kasus  p=1,k=1 untuk uji ini akan menghasilkan deret harmonik yang hasilnya divergen. Kasus  p=2,k=1 adalah masalah Basel dan deret tersebut konvergen menuju 






π

2


6




{\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}

. Secara umum, untuk  p>1,k=1, maka deret tersebut sama dengan fungsi zeta Riemann dari  p, yaitu  \zeta (p).
Uji perbandingan langsung: Jika deret 




∑

n
=
1


∞



b

n




{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}

 merupakan suatu deret konvergen mutlak dan  |a_{n}|\leq |b_{n}| untuk  n yang cukup besar, maka deret 




∑

n
=
1


∞



a

n




{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

 konvergen mutlak.
Uji perbandingan limit: Jika  \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0, dan limit 




lim

n
→
∞





a

n



b

n






{\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}

 ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka 




∑

n
=
1


∞



a

n




{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

 konvergen jika dan hanya jika 




∑

n
=
1


∞



b

n




{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}

 konvergen.
Uji kondensasi Cauchy: Misalkan  \left\{a_{n}\right\} adalah barisan positif yang tidak menaik, maka jumlah 



A
=

∑

n
=
1


∞



a

n




{\textstyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}

 adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah 




A

∗


=

∑

n
=
0


∞



2

n



a


2

n






{\textstyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}

 konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan  A\leq A^{*}\leq 2A.
Uji Abel: Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar: 



∑

a

n




{\textstyle \sum a_{n}}

 adalah suatu deret konvergen;  \{b_{n}\} adalah suatu urutan monoton; dan  \{b_{n}\} mempunyai batasan (bounded). Maka 



∑

a

n



b

n




{\textstyle \sum a_{n}b_{n}}

 juga konvergen.
Uji Dirichlet: Jika  \{a_{n}\} adalah barisan bilangan real dan  \{b_{n}\} adalah barisan bilangan kompleks yang memenuhi syarat bahwa:  a_{n}\geq a_{n+1}, 




lim

n
→
∞



a

n


=
0


{\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}

, dan 




|


∑

n
=
1


N



b

n



|

≤
M


{\textstyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}

 untuk setiap bilangan bulat positif  N dengan menyatakan suatu konstan, maka deret 




∑

n
=
1


∞



a

n



b

n




{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}

 konvergen.
Uji kekonvergenan Cauchy: Suatu deret 




∑

i
=
0


∞



a

i




{\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}

 adalah konvergen jika dan hanya jika untuk setiap  \varepsilon >0, terdapat suatu bilangan asli  N sehingga |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon  berlaku untuk semua  n>N dan untuk semua  p\geq 1.
Teorema Stolz–Cesàro: Misalkan  (a_{n})_{n\geq 1} dan  (b_{n})_{n\geq 1} adalah dua barisan bilangan real. Asumsi bahwa  (b_{n})_{n\geq 1} adalah barisan yang monoton sempurna dan divergen, serta mempunyai nilai limit berikut: \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ Maka, limit \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\
Uji-M Weierstrass: Misalkan  (f_{n}) adalah suatu barisan dari fungsi bilangan real atau kompleks yang terdefinisi pada suatu himpunan  A, dan misalkan terdapat barisan bilangan non-negatif  (M_{n}) yang memenuhi syarat-syarat:  |f_{n}(x)|\leq M_{n} untuk semua  n\geq 1 dan semua  x\in A, serta 




∑

n
=
1


∞



M

n




{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}

 konvergen. Maka deret 




∑

n
=
1


∞



f

n


(
x
)


{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}

 konvergen mutlak dan seragam di  A.
Uji Raabe–Duhamel: Misalkan  \{a_{n}\} adalah barisan bilangan positif. Misalkan terdapat barisan yang didefinisikan dengan  b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).Jika  L=\lim _{n\to \infty }b_{n} ada, maka akan ada tiga kemungkinan: Jika  L>1, maka deret itu konvergen; jika  L<1, maka deret itu divergen; dan jika  L=1, maka uji tersebut tidak dapat disimpulkan. Perumusan uji lainnya adalah sebagai berikut: Misalkan  \{a_{n}\} adalah suatu deret bilangan real. Jika terdapat  b>1 dan  K (adalah suatu bilangan asli) sehingga \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}untuk semua  n>K, maka deret  \{a_{n}\} konvergen.