Rumus Cauchy–Binet
Bukti

Terdapat beragam jenis bukti yang dapat diberikan untuk rumus Cauchy–Binet. Bukti berikut didasarkan hanya pada manipulasi formal, dan menghindari dengan menggunakan pandangan khusus dari determinan, selain yang didefinisikan oleh rumus Leibniz. Bukti ini hanya menggunakan sifat multilinearitas pada baris dan kolom, dan sifat alternating mereka (bernilai nol jika ada baris atau kolom yang sama). Sifat perkalian determinan untuk matriks persegi tidak digunakan, tetapi dianggap sudah dibuktikan (untuk kasus  n=m). Bukti ini sah untuk sebarang gelanggang koefisien komutatif.
Rumus Cauchy–Binet dapat dibuktikan dalam dua langkah:
Menggunakan fakta bahwa kedua ruas adalah multilinear (lebih tepatnya linear  2m) dalam baris  A dan kolom  B, untuk mengurangi kasus tersebut bahwa setiap baris  A dan setiap kolom  B hanya memiliki satu entri tak nol, yaitu 1; dan
Menangani kasus dengan menggunakan fungsi  [m]\to [n] dengan jumlah baris dari  A dipetakan ke jumlah kolom dari entri yang tak nol, dan jumlah kolom dari  B dipetakan ke jumlah baris dari entri yang tak nol.
Pada langkah pertama, amati bahwa untuk setiap baris  A atau kolom  B, dan untuk setiap kombinasi- m dari  S, nilai 



det
(
A
B
)


{\textstyle \det(AB)}

 dan 



det
(

A

[
m
]
,
S


)
det
(

B

S
,
[
m
]


)


{\textstyle \det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]})}

 memang tergantung secara linear pada baris atau kolom. Akan tetapi, untuk langkah terakhir dihasilkan langsung dari sifat multinlinear dari determinan. Untuk langkah sebelumnya harus diperiksa, bahwa mengambil kombinasi linear untuk baris  A atau kolom  B tetapi meninggalkan sisa yang tidak berubah, hanya akan mempengaruhi baris dan kolom yang sesuai dari hasil kali  AB, dan dengan kombinasi linear yang sama. Dengan demikian, seseorang dapat mengerjakan pada kedua ruas dari rumus Cauchy–Binet dengan linearitas untuk setiap baris  A atau kolom  B, dan kemudian masing-masing baris dan kolom ditulis sebagai kombinasi linear vektor basis standar. Penjumlahan rangkap tersebut memberikan hasil yang amat besar, tetapi mereka memiliki bentuk yang sama untuk kedua ruas: bentuk korespondensi melibatkan faktor skalar yang sama (masing-masing merupakan hasil kali entri dari  A dan  B), dan bentuk-bentuk tersebut hanya dibedakan dengan melibatkan dua ekspresi lain dalam matriks konstan yang dijelaskan sebelumnya, dengan ekspresi tersebut harus sama menurut rumus Cauchy–Binet. Langkah ini memperoleh pengurangan langkah pertama
Secara konkret, banyak penjumlahan dapat dikelompokkan menjadi dua penjumlahan. Salah satu dari dua penjumlahan atas semua fungsi  f:[m]\to [n] dengan masing-masing indeks baris  A memberikan indeks kolom yang sesuai, dan salah satunya lagi atas semua fungsi  g:[m]\to [n] dengan masing-masing indeks kolom  B memberikan indeks baris yang sesuai. Matriks yang terkait dengan  f dan  g ditulis sebagai L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{dan}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}dengan " \delta " menyatakan delta Kronecker. Bukti rumus Cauchy–Binet di atas telah ditulis ulang sebagai \sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\det(L_{f}R_{g})=\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]})dengan  p(f,g) menyatakan faktor skalar 



(

∏

i
=
1


m



A

i
,
f
(
i
)


)
(

∏

k
=
1


m



B

g
(
k
)
,
k


)


{\textstyle (\prod _{i=1}^{m}A_{i,f(i)})(\prod _{k=1}^{m}B_{g(k),k})}

. Akan tetapi, rumus Cauchy–Binet masih diperlukan bukti untuk  A=L_{f} dan  B=R_{g}, untuk semua  f,g:[m]\to [n].
Pada langkah kedua, jika  f gagal injektif, maka  L_{f} dan  L_{f}R_{g} akan memiliki dua baris identik, dan jika  g gagal injektif, maka  R_{g} dan  L_{f}R_{g} akan memiliki dua kolom identik. Pada kasus tersebut, kedua ruas dari identitas akan bernilai nol. Sekarang, ketika memisalkan bahwa  f dan  g injekif yang memetakan  [m]\to [n], maka faktor  \det((L_{f})_{[m],S}) pada ruas kanan akan bernilai nol, kecuali  S=f([m]), sedangkan faktor  \det((R_{g})_{S,[m]}) akan bernilai nol, kecuali  S=g([m]). Jika bayangan  f dan  g berbeda, maka ruas kanan hanya akan memiliki bentuk null, dan ruas kiri akan bernilai nol juga. Hal ini dikarenakan  L_{f}R_{g} memiliki baris null (untuk  i dengan  f(i)\notin g([m])). Dalam kasus untuk bayangan  f dan  g sama, katakan  f([m])=S=g([m]), harus dibuktikan bahwa \det(L_{f}R_{g})=\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}).Misalkan  h menyatakan satu buah fungsi yang bijeksi menaik  [m]\to S, dan misalkan pula  \pi ,\sigma  adalah permutasi  [m] sehingga  f=h\circ \pi ^{-1} dan  g=h\circ \sigma . Maka  (L_{f})_{[m],S} adalah matriks permutasi untuk  \pi ,  (R_{g})_{S,[m]} adalah matriks permutasi untuk  \sigma , dan  L_{f}R_{g} adalah matriks permutasi untuk  \pi \circ \sigma , dan karena determinan dari suatu matriks permutasi sama dengan signature dari permutasi, maka identitas tersebut dapat disimpulkan bahwa signature bersifat multiplikatif (perkalian).
Menggunakan multi-linearitas terhadap baris  A dan kolom  B dalam sebuah bukti tidak diperlukan. Seseorang cukup dapat menggunakan salah satu langkah tadi, katakan langkah sebelumnya, dan menggunakan hasil kali matriks  L_{f}B yang terdiri dari sebuah permutasi dari baris  B_{f([m]),[m]} (jika  f injektif), atau memiliki setidaknya dua baris yang sama.