Ruang Hilbert
Pelengkap dan proyeksi ortogonal

Jika   S  adalah himpunan bagian dari spasi Hilbert   H , himpunan vektor ortogonal ke   S  didefinisikan oleh
S⊥ adalah subruang tertutup dari   H  (dapat dibuktikan dengan mudah menggunakan linearitas dan kontinuitas hasil kali dalam) sehingga membentuk ruang Hilbert sendiri. Jika   V  adalah subruang tertutup dari   H , maka V⊥ disebut  pelengkap ortogonal  dari   V . Faktanya, setiap x ∈ H kemudian dapat ditulis secara unik sebagai x = v + w, dengan v ∈ V dan w ∈ V⊥. Oleh karena itu,   H  adalah penjumlahan internal Hilbert dari   V  dan V⊥.
Operator linear PV : H → H yang memetakan   x  ke   v  disebut  proyeksi ortogonal  ke   V . Ada korespondensi satu-ke-satu natural antara himpunan semua subruang tertutup dari   H  dan himpunan semua operator adjoint mandiri yang dibatasi   P  dirumuskan P2 = P.
Teorema — Proyeksi ortogonal PV adalah operator linear adjoint pada   H  dari norma ≤ 1 dengan properti P2V = PV. Selain itu, setiap operator linear adjoint mandiri   E  sedemikian rupa sehingga E2 = E adalah dari bentuk PV, dengan   V  adalah rentang dari   E . Untuk setiap   x  dalam   H , PV(x) adalah elemen unik   v  dari   V  yang meminimalkan jarak Templat:Norm.
Maka hal ini memberikan interpretasi geometris dari PV(x): itu adalah perkiraan terbaik untuk  x  dengan elemen  V .
Proyeksi PU dan PV disebut saling ortogonal jika PUPV = 0. Ini setara dengan   U  dan   V  ortogonal sebagai subruang dari   H . Jumlah dari dua proyeksi PU dan PV adalah proyeksi hanya jika   U  dan   V  ortogonal satu sama lain, dan dalam hal itu PU + PV = PU+V. Komposit PUPV umumnya bukan proyeksi; pada kenyataannya, komposit adalah proyeksi jika dan hanya jika dua proyeksi tersebut berpindah-pindah, dan dalam kasus PUPV = PU∩V.
Dengan membatasi codomain ke ruang Hilbert   V , proyeksi ortogonal PV memunculkan pemetaan proyeksi π : H → V; itu adalah ujung dari pemetaan inklusi
yang berarti bahwa
pada x ∈ V dan y ∈ H.
Norma operator dari proyeksi ortogonal PV ke subruang tertutup bukan nol   V  sama dengan 1:
Oleh karena itu, setiap subruang tertutup  V  dari ruang Hilbert adalah citra operator   P  dari norma satu sehingga P2 = P. Properti memiliki operator proyeksi yang sesuai menjadi ciri ruang Hilbert:
Ruang Banach dengan dimensi lebih tinggi dari 2 adalah (secara isometrik) ruang Hilbert jika dan hanya jika, untuk setiap subruang tertutup   V , terdapat operator PV dari norma satu yang citranya adalah   V  maka P2V = PV.
Sementara hasil ini mencirikan struktur metrik ruang Hilbert, struktur ruang Hilbert sebagai ruang vektor topologis itu sendiri dapat dicirikan dalam hal keberadaan komponen:
Spasi Banach   X  secara topologi dan linier isomorfik ke ruang Hilbert jika dan hanya jika, untuk setiap subruang tertutup   V , ada subruang tertutup   W  sedemikian rupa sehingga   X  sama dengan jumlah langsung internal V ⊕ W.
Pelengkap ortogonal memenuhi beberapa hasil yang lebih mendasar. Ini adalah fungsi monoton dalam arti jika U ⊂ V, kemudian V⊥ ⊆ U⊥ dengan kepemilikan persamaan jika dan hanya jika   V  terdapat dalam penutupan dari   U . Hasil ini adalah kasus khusus dari Teorema Hahn–Banach. Penutupan subruang dapat sepenuhnya dicirikan dalam istilah komplemen ortogonal: jika   V  adalah subruang dari   H , maka penutupan dari   V  sama dengan V⊥⊥. Jadi, komplemen ortogonal adalah koneksi Galois pada urutan parsial dari subruang ruang Hilbert. Secara umum, komplemen ortogonal dari sejumlah subruang adalah perpotongan dari komplemen:
Jika Vi juga ditutup, maka