Aljabar Bose–Mesner
Definisi

Misalkan X adalah himpunan elemen v dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari X adalah himpunan bagian takkosong n, R1, ..., Rn sehingga:
diberikan  x\in X, jumlah dari  y\in X sehingga  \{x,y\}\in R_{i} hanya bergantung pada i (dan bukan pada x). Bilangan ini akan dilambangkan dengan vi, dan
diberikan  x,y\in X dengan  \{x,y\}\in R_{k}, jumlah dari  z\in X sehingga  \{x,z\}\in R_{i} dan  \{z,y\}\in R_{j} hanya bergantung pada i, j dan k (dan bukan pada x dan y). Bilangan ini akan dilambangkan dengan  p_{in}^{k}.
Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang X dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian R0. Hal ini memungkinkan parameter i, j, dan k mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap x,y atau z adalah sama.
Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut skema asosiasi. Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi graf lengkap (dengan himpunan simpul X) ke dalam kelas-n yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.
Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan Di adalah matriks yang didefinisikan sebagai:
Lalu, misalkan  {\mathcal {A}} adalah ruang vektor yang terdiri dari semua matriks  \sideset {}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i} dengan kompleks  a_{i}. Maka, definisi dari skema asosiasi ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa  D_{i} adalah v × v pada matriks-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:
D_{i} adalah simetris,
\sum _{i=0}^{n}D_{i}=J (semuanya adalah matriks satuan),
D_{0}=I,
D_{i}D_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}D_{k}=D_{j}D_{i},\qquad i,j=0,\ldots ,n.
Entri ke-(x,y) dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan x dan y (menggunakan "warna" i dan j) dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom  D_{i} mengandung 1 di  v_{i}:
Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa matriksnya adalah simetris. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa.  D_{0},\ldots ,D_{n} adalah bebas linear, dan dimensi  {\mathcal {A}} adalah  n+1. Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa  {\mathcal {A}} tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. Aljabar komutatif  {\mathcal {A}} yang memiliki sifat asosiatif ini, disebut juga sebagai aljabar Bose–Mesner dari skema asosiasi. Karena matriks pada  {\mathcal {A}} adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada matriks  S sehingga untuk setiap  A\in {\mathcal {A}}, terdapat matriks diagonal  \Lambda _{A} dengan  S^{-1}AS=\Lambda _{A}. Hal ini mengartkan bahwa  {\mathcal {A}} adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif  J_{0},\ldots ,J_{n}. Matriks kompleks n × n ini memenuhi sifat-sifat berikut.
Aljabar Bose–Mesner memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari matriks idempoten  D_{i}, dan yang kedua, basisnya terdiri dari matriks idempoten taktereduksikan  E_{k}. Menurut definisi, ada bilangan kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga
dan
Bilangan-p  p_{i}(k) dan bilangan-q  q_{k}(i) memainkan peran penting dalam teori. Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-p adalah nilai eigen dari matriks kedampingan  D_{i}.