Bilangan persegi
Sifat-sifat

Bilangan m adalah bilangan persegi jika dan hanya jika seseorang dapat menyusun m titik dalam sebuah persegi:
| --- | --- |
m = 12 = 1: 
m = 22 = 4: 
m = 32 = 9: 
m = 42 = 16: 
m = 52 = 25: 
Ekspresi untuk bilangan persegi ke-n adalah n2. Ini juga sama dengan jumlah n angka ganjil pertama seperti yang dapat dilihat pada gambar di atas, di mana kuadrat dihasilkan dari kuadrat sebelumnya dengan menambahkan titik-titik bernilai ganjil (ditunjukkan dalam warna magenta). Rumusnya adalah sebagai berikut: n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).Contohnya, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Terdapat beberapa metode rekursi untuk menghitung bilangan persegi. Contohnya, bilangan persegi ke-n dapat dihitung dari kuadrat sebelumnya dengan n2 = (n − 1)2 + (n − 1) + n = (n − 1)2 + (2n − 1). Selain itu, bilangan persegi ke-n dapat dihitung dari dua angka sebelumnya dengan menggandakan kuadrat ke-(n − 1), mengurangkan kuadrat ke-(n − 2), dan menambahkan 2, karena n2 = 2(n − 1)2 − (n − 2)2 + 2. Contoh,
Bilangan persegi dikurangi satu dari sebuah bilangan m selalu merupakan hasil dari  m-1 dan  m+1; sehingga, m^{2}-1=(m-1)(m+1).Contoh, karena 72 = 49, kita memiliki  6\times 8=48. karena sebuah bilangan prima hanya memiliki faktor 1 dan dirinya sendiri, dan karena m = 2 adalah satu-satunya nilai m yang tidak nol yang memberikan faktor 1 di ruas kanan persamaan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa 3 adalah satu-satunya bilangan prima yang kurang dari sebuah bilangan persegi (3 = 22 − 1).
Secara umum, selisih kuadrat dari dua bilangan adalah hasil kali jumlah dan selisihnya. Artinya, a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)Ini adalah selisih dua bilangan kuadrat, yang dapat berguna untuk aritmatika mental. Contohnya, 47 × 53 dapat dengan mudah dihitung sebagai 502 − 32 = 2500 − 9 = 2491.
Suatu bilangan persegi juga merupakan jumlah dari dua bilangan segitiga yang berurutan. Jumlah dari dua bilangan persegi yang berurutan adalah bilangan persegi terpusat. Setiap bilangan persegi ganjil juga merupakan bilangan oktagonal terpusat.
Sifat lain dari bilangan persegi adalah (kecuali 0), bilangan ini memiliki jumlah pembagi positif ganjil, sedangkan bilangan asli lainnya memiliki jumlah pembagi positif genap. Akar bilangan bulat adalah satu-satunya pembagi yang berpasangan dengan dirinya sendiri untuk menghasilkan bilangan persegi, sedangkan pembagi lainnya berpasangan.
Teorema empat persegi Langrange menyatakan bahwa setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai jumlah dari empat atau kurang dari kuadrat sempurna. Tiga bilangan persegi tidak cukup untuk bilangan-bilangan yang memiliki bentuk 4k(8m + 7). Sebuah bilangan bulat positif dapat direpresentaskan sebagai jumlah dari dua bilangan persegi tepat jika faktorisasinya mengandung pangkat ganjil dari bilangan prima yang memiliki bentuk 4k + 3. Ini diperluas dalam masalah Waring.
Dalam basis 10, sebuah bilanhan persegi hanya dapat diakhiri dengan digit angka 0, 1, 4, 5, 6 atau 9, sebagai berikut:
jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, kuadratnya berakhiran 00;
jika digit terakhir suatu bilangan adalah 1 atau 9, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 1;
jika digit terakhir suatu bilangan adalah 2 atau 8, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 4;
jika digit terakhir suatu bilangan adalah 3 atau 7, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 9;
jika digit terakhir suatu bilangan adalah 4 atau 6, kuadratnya diakhiri dengan angka ganjil diikuti dengan angka 6; Dan
jika digit terakhir suatu bilangan adalah 5, maka kuadratnya berakhiran 25.
Dalam basis 12, sebuah bilangan persegi hanya dapat diakhir dnegan digit kuadrat (seperti dalam basis 12, sebuah bilangan prima hanya dapat diakhir oleh digit prima atau 1), yaitu, 0, 1, 4 or 9, sebagai berikut:
jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3 (yaitu habis dibagi 6), kuadratnya berakhiran 0, dan digit sebelumnya harus 0 atau 3;
jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2 atau 3, kuadratnya diakhiri dengan 1, dan digit sebelumnya harus genap;
jika suatu bilangan habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 3, kuadratnya berakhiran 4, dan digit sebelumnya harus 0, 1, 4, 5, 8, atau 9; dan
jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2, tetapi habis dibagi 3, maka kuadratnya berakhiran 9, dan digit sebelumnya harus 0 atau 6.
Aturan sejenis dapat diberikan untuk basis yang lain, selain yang telah disebutkan sebelumnya, atau untuk digit-digit sebelumnya (contohnya, digit puluhan, bukan digit satuan).[butuh rujukan]
. Semua aturan tersebut dapat dibuktikan dengan memeriksa sejumlah kasus dan menggunakan aritmatika modular .
Secara umum, jika bilangan prima p membagi bilangan kuadrat m maka kuadrat dari p juga harus membagi m ; jika p gagal membagi mp, maka m pasti bukan bilangan persegi. Dengan mengulangi pembagian pada kalimat sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap bilangan prima harus membagi kuadrat sempurna yang diberikan sebanyak genap (termasuk mungkin 0 kali). Dengan demikian, bilangan m adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika, dalam representasi kanoniknyanya, semua eksponennya genap.
Uji kuadrat dapat digunakan sebagai cara alternatif dalam faktorisasi untuk bilangan besar. Daripada menguji keterbagian, ujilah kuadrat: untuk m dan bilangan tertentu k, jika k2 − m adalah kuadrat suatu bilangan bulat n lalu k − n membagi m . (Ini adalah penerapan faktorisasi selisih dua kuadrat.) Misalnya, 1002 − 9991 adalah kuadrat dari 3, jadi 100 − 3 membagi 9991. Tes ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil dalam rentang dari k − n hingga k + n dimana k mencakup beberapa rentang bilangan asli  k\geq {\sqrt {m}}.
Bilangan persegi tidak mungkin merupakan bilangan sempurna .
Jumlah n bilangan persegi pertama adalah \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.Nilai awal dari penjumlahan ini, bilangan piramida persegi, adalah:
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
Jumlah bilangan bulat ganjil pertama yang dimulai dengan satu adalah kuadrat sempurna: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, dst. Hal ini menjelaskan hukum bilangan ganjil Galileo : jika suatu benda jatuh dari keadaan diam mencakup satu satuan jarak dalam selang waktu sembarang pertama, mencakup 3, 5, 7, dst., satuan jarak dalam selang waktu berikutnya yang panjangnya sama. Dari  s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}, untuk u = 0 dan konstanta a (percepatan gravitasi tanpa hambatan udara); jadi s sebanding dengan t2, dan jarak dari titik awal adalah kuadrat berurutan untuk nilai bilangan bulat waktu yang telah berlalu.
Jumlah n kubik pertama adalah kuadrat jumlah n bilangan bulat positif pertama; ini adalah teorema Nicomachus .
Semua pangkat empat, pangkat enam, pangkat delapan, dan seterusnya adalah kuadrat sempurna.
Hubungan unik dengan bilangan segitiga  T_{n} adalah: (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}