Infinitesimal

Infinitesimal (ε) dan tak terbatas (ω) di garis bilangan surealis (ε = 1/ω)
Dalam matematika, Infinitesimal atau Bilangan Infinitesimal adalah kuantitas yang mendekati angka nol daripada standar pada nilai bilangan riil, tetapi angka bukan nol. Mereka tidak terdapat sistem bilangan riil dengan nilai standar, tetapi ada banyak sistem bilangan lain, seperti bilangan surealis dan bilangan hiperriil, yang dapat dianggap sebagai bilangan riil yang ditambah dengan sistem jumlah infinitesimal, serta kuantitas tak hingga, yang merupakan kebalikan dari tak terhingga.
Rumus yang terkenal dalam pengembangan kalkulus, di mana turunan dari awal dianggap sebagai rasio dua kuantitas pada Infinitesimal. Definisi ini, seperti kebanyakan matematika pada masa ke masa, tidak diformalkan dengan cara yang sangat ketat. Akibatnya, perlakuan formal selanjutnya dari kalkulus cenderung menjatuhkan sudut pandang yang sangat kecil yang mendukung nilai Limit, yang dapat dilakukan menggunakan riil standar.
Infinitesimal mendapatkan kembali popularitas pada abad ke-20 dengan Abraham Robinson pengembangan analisis nonstandar dan bilangan hiperriil, yang menunjukkan bahwa pengobatan formal dari kalkulus Infinitesimal, setelah kontroversi panjang tentang topik ini selama berabad-abad matematika. Berikut ini adalah pengembangan dari angka nyata, formalisasi yang terkait erat dari bilangan tak hingga dan tak terhingga yang mencakup bilangan hiperreal dan bilangan ordinal, dan yang merupakan bidang terurut terbesar.
Wawasan dengan mengeksploitasi infinitesimal adalah bahwa entitas masih dapat mempertahankan properti spesifik tertentu, seperti sudut atau kemiringan, meskipun entitas ini sangat kecil. Kata dari infinitesimal berasal dari mata uang modern latin abad ke-17 infinitesimus, yang awalnya merujuk pada item "tak terhingga ke" secara berurutan.
Infinitesimal adalah bahan dasar dalam prosedur kalkulus Infinitesimal seperti yang dikembangkan oleh Gottfried Leibniz, termasuk hukum kontinuitas dan hukum homogenitas transendental. Dalam bahasa umum, objek Infinitesimal adalah objek yang lebih kecil daripada ukuran yang dapat diukur, tetapi tidak berukuran nol atau, sangat kecil sehingga tidak dapat dibedakan dari nol dengan cara apa pun yang tersedia. Karena, bila digunakan sebagai kata sifat dalam penggunaan matematika, "infinitesimal" berarti "sangat kecil", atau lebih kecil dari bilangan riil standar mana pun. Untuk memberi arti, infinitesimal sering dibandingkan dengan infinitesimal lain dengan ukuran yang sama (seperti dalam turunan). Tak terhingga banyak infinitesimals dijumlahkan untuk menghasilkan integral.
Konsep infinitesimals awalnya diperkenalkan sekitar tahun 1670 oleh Nicolaus Mercator atau Gottfried Wilhelm Leibniz. Archimedes menggunakan apa yang akhirnya dikenal sebagai metode tak terpisahkan dalam karyanya Metode Teorema Mekanik untuk menemukan daerah wilayah dan volume padatan. Dalam risalah resmi yang diterbitkan, Archimedes memecahkan masalah yang sama menggunakan metode penghabis. Abad ke-15 melihat karya Nicholas dari Cusa, yang dikembangkan lebih lanjut pada abad ke 17 oleh Johannes Kepler, khususnya dalam penghitungan luas lingkaran dengan merepresentasikan yang terakhir sebagai hasil tak terhingga. Simon Stevin bekerja pada representasi desimal dari semua bilangan pada abad ke 16 menyiapkan dasar untuk kontinum nyata. Bonaventura Cavalieri metode indivisibles menyebabkan perluasan hasil penulis klasik. Metode indivisibles yang terkait dengan figur geometris yang terdiri dari entitas codimension 1. John Wallis infinitesimal berbeda dari tak terpisahkan dalam hal ia akan menguraikan sosok geometris menjadi blok bangunan tipis tak terhingga dari dimensi yang sama seperti gambar, menyiapkan dasar untuk metode umum pada kalkulus integral. Dia memanfaatkan sangat kecil yang dilambangkan 1/∞ dalam perhitungan luas.
Penggunaan infinitesimal oleh Leibniz mengandalkan prinsip heuristik, seperti hukum kontinuitas.: yang berhasil untuk bilangan hingga berhasil juga untuk bilangan yang tak hingga dan sebaliknya; dan hukum homogenitas transendental yang menentukan prosedur untuk mengganti ekspresi yang melibatkan jumlah yang tidak dapat ditetapkan, dengan ekspresi yang hanya melibatkan yang dapat ditetapkan. Abad ke 18 melihat penggunaan rutin infinitesimal oleh ahli matematika seperti Leonhard Euler dan Joseph-Louis Lagrange. Augustin-Louis Cauchy dieksploitasi infinitesimals baik dalam mendefinisikan kontinuitas dalam dirinya Cours d'Analyse, dan dalam mendefinisikan bentuk awal dari Fungsi delta Dirac. Saat Cantor dan Dedekind mengembangkan versi yang lebih abstrak dari kontinum Stevin, Paul du Bois-Reymond menulis serangkaian makalah tentang infinitesimal terus diperkaya berdasarkan tingkat pertumbuhan fungsi. Karya Du Bois-Reymond menginspirasi Émile Borel dan Thoralf Skolem. Borel explicitly linked du Bois-Pekerjaan Reymond untuk pekerjaan Cauchy tentang tingkat pertumbuhan infinitesimal. Skolem mengembangkan model aritmatika non-standar pertama pada tahun 1934. Sebuah implementasi matematis dari hukum kontinuitas dan infinitesimal dicapai oleh Abraham Robinson pada tahun 1961, yang mengembangkan analisis tidak standar berdasarkan karya sebelumnya oleh Edwin Hewitt pada tahun 1948 dan Jerzy Łoś pada tahun 1955. hiperriil mengimplementasikan sebuah infinitesimal kontinu yang diperkaya dan prinsip transfer mengimplementasikan hukum kontinuitas Leibniz. Fungsi bagian standar mengimplementasikan kecukupan Fermat.
Vladimir Arnold menulis pada tahun 1990:
Saat ini, ketika mengajarkan analisis, tidak terlalu populer untuk membicarakan Infinitesimal. Akibatnya siswa saat ini tidak sepenuhnya menguasai bahasa ini. Namun demikian, itu masih perlu untuk dikuasai.