Grup Lie
Konsep grup Lie, dan kemungkinan klasifikasi

Grup Lie dianggap sebagai grup kesimetrian yang bervariasi dengan polos. Contoh kesimetrian termasuk rotasi di sekitar sumbu. Yang harus dipahami adalah sifat transformasi 'kecil', misalnya, rotasi melalui sudut-sudut kecil, yang menghubungkan transformasi di dekatnya. Objek matematika yang menangkap struktur ini disebut aljabar Lie (Lie sendiri menyebutnya "grup infinitesimal"). Dapat didefinisikan karena grup Lie adalah lipatan polos, sehingga memiliki ruang tangen pada setiap titik.
Aljabar Lie dari setiap grup Lie kompak (kira-kira: salah satu yang kesimetriannya membentuk himpunan hingga) dapat didekomposisi sebagai jumlah langsung dari aljabar Lie Abelian dan sejumlah sederhana. Struktur aljabar Lie abelian secara matematis tidak menarik, karena tanda kurung Lie identik dengan nol, minatnya terdapat pada ringkasan sederhana. Karenanya muncul pertanyaan, sebagai berikut: Apa aljabar Lie sederhana dari grup kompak? Ternyata mereka kebanyakan ke dalam empat keluarga tak hingga, "aljabar Lie klasik" An, Bn, Cn dan Dn, yang dimiliki deskripsi sederhana dalam hal kesimetrian ruang Euklides. Tetapi hanya ada lima "aljabar Lie eksepsional" yang tidak termasuk dalam salah satu keluarga ini. E8 adalah yang terbesar.
Grup Lie diklasifikasikan menurut sifat aljabar, yaitu sederhana, semi-sederhana, berpenyelesaian, nilpoten, abelian, keterhubungan, yaitu terkoneksi atau terhubung sederhana, dan kekompakan.
Hasil utama pertama adalah dekomposisi Levi yang mengatakan bahwa setiap grup Lie yang terhubung sederhana adalah produk semilangsung dari subgrup normal yang dapat dipecahkan dan subgrup semisederhana.
Grup Lie kompak yang terhubung yang diketahui: pusat hasil bagi hingga dari produk salinan grup lingkaran S1 dan grup Lie kompak sederhana, yang sesuai dengan diagram Dynkin yang terhubung.
Setiap gugus Lie berpenyelesaian secara sederhana adalah isomorfik ke subgrup tertutup dari grup matriks segitiga atas invers dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup seperti itu adalah 1-dimensi. Grup berpenyelesaian terlalu berantakan untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.
Setiap grup Lie nilpoten yang terhubung sederhana adalah isomorfik ke sungrup tertutup dari grup matriks segitiga atas yang dapat dibalik dengan 1 dalam diagonal dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup adalah 1-dimensi. Seperti grup berpenyelesaian, grup nilpoten untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.
Grup Lie sederhana terkadang didefinisikan sebagai grup yang sederhana sebagai grup abstrak, dan terkadang didefinisikan sebagai grup Lie yang terhubung dengan aljabar Lie sederhana. Misalnya, SL(2, R) sederhana menurut definisi kedua tetapi tidak menurut definisi pertama. Seluruhnya telah diklasifikasikan (untuk kedua definisi).
Grup Lie Semisederhana adalah grup Lie yang aljabar Lie merupakan produk dari aljabar Lie sederhana. Seluruhnya adalah perluasan utama dari produk grup Lie sederhana.
Komponen identitas dari setiap grup Lie adalah subgrup normal terbuka, dan grup hasil bagi adalah grup diskrit. Sampul universal dari setiap grup Lie yang terhubung adalah grup Lie yang terhubung secara sederhana, dan sebaliknya setiap grup Lie yang terhubung adalah hasil bagi dari grup Lie yang terhubung secara sederhana oleh subgrup normal diskrit dari pusat. Setiap grup Lie G diuraikan menjadi grup diskrit sederhana, dan abelian dengan cara kanonik sebagai berikut. Ditulis sebagai:
maka, memiliki urutan subgrup normal
Kemudian
Ini digunakan untuk mengurangi beberapa masalah tentang grup Lie (seperti menemukan wakilan uniter) untuk masalah yang sama untuk grup sederhana yang terhubung dan sungrup nilpoten dan dipecahkan dengan dimensi yang lebih kecil.
Grup difeomorfisme dari grup Lie bertindak secara transitif pada grup Lie
Setiap grup Lie adalah parallelizabel, dan karenanya lipatan berorientasi (terdapat isomorfisma berkas antara berkas tangen dan produk dengan ruang tangen pada identitasnya)