Teori bilangan analitik
Masalah dan hasil > Teori bilangan perkalian

Artikel utama: Teori bilangan perkalian
Euklides menperlihatkan bahwa ada tak terhingga banyaknya bilangan prima. Yang menjadi masalah pentingnya adalah menentukan distribusi asimtotik bilangan prima; yaitu, gambaran kasar mengenai berapa banyak bilangan prima yang lebih kecil daripada bilangan yang diberikan. Di antara beberapa matematikawan lain, Gauss menghitung daftar bilangan prima yang sangat panjang, yang kemudian ia menduga bahwa jumlah bilangan prima yang kurang daripada atau sama dengan bilangan besar N mendekati nilai integral
Pada tahun 1859, Bernhard Riemann menggunakan analisis kompleks dan fungsi meromorfik khusus (yang saat ini dikenal sebagai fungsi zeta Riemann), bertujuan memperoleh ekspresi analitik untuk jumlah bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan sebuah bilangan real x. Yang menakjubkannya adalah bentuk utama dalam rumus Riemann persis dengan integral tadi, yang mendukung konjektur Gauss. Riemann menemukan bahwa suku galat dalam ekspresi tersebut serta cara bilangan prima terdistribusi menjadi terkait erat dengan akar kompleks fungsi zeta. Dengan menggunakan gagasan Riemann dan dengan mendapatkan lebih banyak informasi terkait akar fungsi zeta, Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée-Poussin berhasil melengkapi bukti konjektur Gauss. Secara khusus, mereka membuktikan bahwa jika \pi (x)=({\text{jumlah bilangan prima }}\leq x),maka
\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.
Hasil utama dalam teori bilangan analitik ini merupakan hasil yang luar biasa, yang dikenal dengan nama teorema saat ini, teorema bilangan prima. Penjelasan secara kasarnya, teorema ini mengatakan bahwa diberikan bilangan besar N, maka jumlah bilangan prima yang kurang daripada atau sama dengan N adalah N/log(N).
Lebih umum lagi, masalah yang sama dapat ditanyakan tentang jumlah bilangan prima dalam barisan aritmetika a + nq untuk setiap bilangan bulat n. Dalam salah satu penerapan pertama dari teknik analitik ke teori bilangan, Dirichlet membuktikan bahwa setiap barisan aritmetika dengan bilangan koprima a dan q mengandung tak terhingga banyaknya bilangan prima. Perumuman teorema bilangan prima dapat dilakukan ke masalah ini, dengan memisalkan \pi (x,a,q)=({\text{jumlah bilangan prima }}\leq x{\text{ sehingga }}p{\text{ berada di dalam barisan aritmetika }}a+nq,n\in \mathbb {Z} ),dan jika a dan q adalah bilangan koprima, maka \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.Adapula banyak konjektur yang dalam dan luas dalam teori bilangan, yang pembuktiannya tampak terlalu sulit saat memakai teknik saat ini, contohnya seperti konjektur bilangan prima kembar yang menanyakan adakah tak berhingga banyaknya p sehingga p + 2 adalah bilangan prima. Pada asumsi konjektur Elliott–Halberstam, baru-baru ini telah dibuktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima p sehingga p + k adalah bilangan prima untuk suatu bilangan genap positif k paling banyak 12. Konjektur tersebut juga telah dibuktikan tanpa bersyarat (dalam artian tidak bergantung pada konjektur yang belum dibuktikan), yang mengatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima p sehingga p + k adalah bilangan prima untuk suatu bilangan genap positif k paling banyak 246.