Optimisasi multiobjektif
Pendahuluan

Masalah optimisasi multiobjektif adalah masalah optimisasi yang melibatkan beberapa fungsi objektif. Secara formal, masalah tersebut dapat diformulasikan dalam bentuk {\begin{aligned}\min &\left(f_{1}({\vec {x}}),f_{2}({\vec {x}}),\ldots ,f_{k}({\vec {x}})\right)\\{\text{s.t. }}&{\vec {x}}\in X,\end{aligned}}Dengan bilangan bulat  k\geq 2 menyatakan banyak objektif dan himpunan  X adalah himpunan feasibel berisi vektor keputusan (solusi) dan umumnya  X\subseteq \mathbb {R} ^{n}. Himpunan feasibel biasanya didefinisikan lewat beberapa fungsi konstrain. Fungsi objektif bernilai vektor juga sering didefinisikan sebagai {\vec {f}}:X\to \mathbb {R} ^{k},\ {\vec {f}}({\vec {x}})=(f_{1}({\vec {x}}),\ldots ,f_{k}({\vec {x}}))^{\intercal }Memaksimumkan nilai sebuah fungsi objektif sama dengan meminimumkan negatif dari nilai fungsi tersebut. Citra dari  X dinyatakan dengan  Y\subseteq \mathbb {R} ^{k}
Sebuah elemen  {\vec {x}}^{*}\in X disebut solusi feasibel (solusi yang mungkin) atau keputusan feasibel. Sebuah vektor  {\vec {z}}^{*}:={\vec {f}}({\vec {x}}^{*})\in \mathbb {R} ^{k} untuk suatu solusi feasibel  {\vec {x}}^{*} disebut dengan vektor objektif atau sebuah hasil (outcome). Dalam optimisasi multiobjektif, umumnya tidak ada solusi feasibel yang meminimumkan nilai semua fungsi objektif secara bersamaan. Oleh karena itu, perhatian difokuskan pada solusi optimal Pareto; yakni, solusi yang tidak dapat meningkatkan nilai salah satu fungsi objektif lainnya tanpa mengurangi setidaknya satu fungsi objektif lainnya. Secara matematis, solusi feasibel   {\vec {x}}_{1}\in X dikatakan mendominasi (Pareto) solusi  {\vec {x}}_{2}\in X, jika
f_{i}({\vec {x}}_{1})\leq f_{i}({\vec {x}}_{2}), untuk semua indeks  i\in \left\{{1,2,\dots ,k}\right\}, dan
f_{j}({\vec {x}}_{1})<f_{j}({\vec {x}}_{2}), setidaknya untuk satu indeks  j\in \left\{{1,2,\dots ,k}\right\}.
Sebuah solusi  {\vec {x}}^{*}\in X (dan hasil dari  {\vec {f}}({\vec {x}}^{*})) dikatakan optimal Pareto, jika tidak ada solusi lain yang mendominasi solusi tersebut. Himpunan hasil optimal Pareto umum disebut dengan batas Pareto.
Batas Pareto dari sebuah masalah optimisasi multiobjektif dibatasi (bounded) oleh sebuah vektor objektif nadir  {\vec {z}}^{nad} dan sebuah vektor objektif ideal  {\vec {z}}^{ideal}, jika nilai vektor-vektor tersebut terbatas. Vektor objektif nadir didefinisikan sebagai {\vec {z}}^{nad}\ni {\vec {z}}_{i}^{nad}={\underset {x\in X}{\sup }}\{f_{i}(x)\}{\text{ untuk setiap }}i=1,\ldots ,k,dan vektor objektif ideal {\vec {z}}^{ideal}\ni {\vec {z}}_{i}^{ideal}={\underset {x\in X}{\inf }}\{f_{i}(x)\}{\text{ untuk setiap }}i=1,\ldots ,k.Dengan kata lain, komponen-komponen dari vektor objektif nadir dan ideal, secara berurutan, menyatakan batas bawah dan batas atas nilai fungsi objektif dari solusi optimal Pareto. Dalam praktiknya, nilai vektor objektif nadir hanya dapat diperkirakan, karena himpunan optimal Pareto tidak diketahui secara keseluruhan. Sebagai tambahan, sebuah vektor objektif utopia  {\vec {z}}^{utopia} umum didefinisikan karena alasan perhitungan numerik, yakni sebagai {\vec {z}}_{i}^{utopia}={\vec {z}}_{i}^{ideal}-\epsilon {\text{ untuk setiap }}i=1,\ldots ,k,dengan konstanta  \epsilon >0 bernilai kecil.