stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Integral
Definisi formal

Ada banyak cara untuk mendefinisikan integral secara formal, tapi tidak semuanya setara. Perbedaan tersebut sebagian besar terjadi untuk menangani kasus-kasus khusus yang mungkin tidak dapat diintegrasikan dalam definisi lain, tetapi terkadang juga terjadi karena alasan pedagogis. Definisi integral yang paling umum digunakan adalah integral Riemann dan integral Lebesgue.
Definisi formal > Integral Riemann

Artikel utama: Integral Riemann
Integral Riemann didefinisikan menggunakan jumlah Riemann dari fungsi terhadap partisi bertanda dari sebuah interval. Partisi bertanda dari sebuah selang tertutup  [a,\,b] pada garis riil adalah barisan terbatas a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!Partisi ini memecah selang  [a,\,b] menjadi  n subselang  [x_{i-1},\,x_{i}] yang diindeks oleh  i, dan masing-masing "menandai" suatu titik  t_{i}\in [x_{i-1},\,x_{i}]. Mesh dari partisi tersebut adalah subselang di partisi dengan lebar terbesar, 




max

i
=
1
,
⋯
,
n



Δ

i




{\textstyle \max _{i=1,\cdots ,n}\Delta _{i}}

. Selanjutnya, jumlah Riemann dari sebuah fungsi  f terhadap partisi bertanda tersebut didefinisikan sebagai \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};sehingga setiap suku dalam penjumlahan menyatakan luas sebuah persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada suatu nilai di subselang tersebut, dan dengan lebar sama dengan lebar subselang,  \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}.
Akhirnya, integral Riemann dari sebuah fungsi  f pada selang  [a,\,b] didefinisikan sama dengan  S jika:
Jika tanda setiap subselang yang dipilih adalah maksimum (atau serupa dengan itu, minimum) dari nilai fungsi pada subselang tersebut, maka jumlah Riemann akan sama dengan jumlah Darboux atas (atau serupa dengan itu, bawah); memperlihatkan kaitan erat antara integral Riemann dan integral Darboux.
Definisi formal > Integral lainnya

Walau integral Riemann dan Lebesgue adalah definisi integral yang paling umum digunakan, ada beberapa definisi integral lainnya, termasuk diantaranya:
Integral Darboux, yang didefinisikan menggunakan jumlah Darboux (kasus khusus dari jumlah Riemann), tapi setara dengan integral integral Riemann. Suatu fungsi terintegralkan-Darboux jika dan hanya jika fungsi tersebut terintegralkan-Riemann. Integral Darboux memiliki keuntungan karena lebih mudah didefinisikan ketimbang integral Riemann.
Integral Riemann–Stieltjes, perumuman dari integral Riemann yang mengintegrasi terhadap sebuah fungsi ketimbang sebuah variabel.
Integral Lebesgue–Stieltjes, dikembangkan lebih lanjut oleh Johann Radon, memperumum integral Riemann–Stieltjes dan integral Lebesgue.
Integral Daniell, yang mengubah integral Lebesgue dan Lebesgue-Stieltjes sehingga tidak bergantung pada konsep ukuran.
Integral Haar, digunakan untuk integrasi pada grup topologis yang kompak secara lokal, diperkenalkan oleh  Alfréd Haar pada tahun 1933.
Integral Henstock–Kurzweil, didefinisikan oleh Arnaud Denjoy, Oskar Perron, dan (secara lebih elegan sebagai gauge integral) Jaroslav Kurzweil, dan dikembangkan oleh Ralph Henstock.
Integral Itô dan integral Stratonovich, yang mendefinisikan integrasi terhadap semimartingales seperti gerak Brown.
Integral Young, salah satu jenis integral Riemann–Stieltjes terhadap suatu jenis fungsi dengan unbounded variation.
Integral rough path, didefinisikan untuk fungsi yang dilengkapi oleh suatu struktur "rough path" tambahan dan memperumum integrasi stokastik baik terhadap semimartingales dan proses seperti gerak Brown fraksional.
Integral Choquet, sebuah integral subaditif atau superaditif yang dibuat oleh matematikawan Prancis Gustave Choquet pada tahun 1953.
Integral Bochner, sebuah perumuman dari integral Lebesgue ke suatu kelompok fungsi yang lebih luas, yakni fungsi yang domain merupakan ruang Banach.
Sifat > Kelinearan

Himpunan semua fungsi terintegralkan-Riemann pada suatu selang tertutup  [a,\,b] akan membentuk sebuah ruang vektor di bawah operasi penjumlahan setitik (pointwise addition) dan perkalian dengan skalar. Operasi integrasi f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dxmerupakan bentuk linear pada ruang vektor tersebut. Akibatnya, himpunan fungsi terintegralkan bersifat tertutup dibawah kombinasi linear, dan integral dari sebuah kombinasi linear sama dengan kombinasi linear dari integral: \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,Mirip dengan hal itu, himpunan fungsi terintegralkan-Lebesgue bernilai-riil pada suatu ruang ukuran  E dengan ukuran  \mu , bersifat tertutup dibawah proses membuat kombinasi linear, sehingga menghasilkan sebuah ruang vektor. Integral Lebesgue f\mapsto \int _{E}f\,d\mu merupakan bentuk linear dalam ruang vektor tersebut, sehingga: \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .Secara umum, pertimbangkan ruang vektor dari semua fungsi terukur pada ruang ukuran  (E,\,\mu ), dengan nilai di ruang vektor topologis yang lengkap dan kompak lokal  V atas suatu lapangan topologis kompak lokal  K,  f:E\to V.  Kita dapat mendefinisikan pemetaan integrasi abstrak yang memadankan setiap fungsi  f masing-masing dengan sebuah elemen di  V atau simbol  \infty , f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,yang kompatibel dengan kombinasi linear. Dalam kasus ini, kelinearan berlaku untuk subruang dari fungsi yang integralnya adalah suatu elemen dari  V (dengan kata lain, "bernilai hingga"). Kasus penting yang spesial muncul ketika  K berupa  \mathbb {R} ,  \mathbb {C} , atau perluasan hingga dari lapangan bilangan p-adic  \mathbb {Q} _{p}, dan  V adalah suatu ruang vektor dimensi-hingga atas   K; dan ketika  K=\mathbb {C}  dan  V adalah ruang Hilbert kompleks.
Kelinearan, bersama dengan beberapa sifat kekontinuan dan normalisasi untuk suatu kelompok fungsi "sederhana", dapat digunakan untuk membuat definisi alternatif dari integral. Ini adalah pendekatan yang dilakukan integral Daniell untuk kasus fungsi bernilai riil pada sebuah himpunan  X; dan diperumum oleh Nicolas Bourbaki ke fungsi-fungsi dengan nilai yang terletak di ruang vektor topologis kompak lokal. Lihat Hildebrandt 1953 untuk karakterisasi aksiomatik dari integral ini.
Sifat > Konvensi

Di bagian ini,  f adalah fungsi bernilai-riil yang terintegralkan-Riemann. Integral  \int _{a}^{b}f(x)\,dxpada selang  [a,\,b] terdefinisi jika  a<b. Hal ini mengartikan batas bawah dan atas dari penjumlahan nilai fungsi  f dievaluasi pada partisi  a=x_{0}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}=b dengan nilai  x_{i} yang semakin meningkat. Secara geometris, proses mengintegralkan dimaknai dilakukan "dari kiri ke kanan", mengevaluasi nilai  f pada subselang  [x_{i},\,x_{i+1}] dengan ujung kanan subselang tepat bersebelahan dengan ujung kiri subselang indeks selanjutnya. Nilai  a dan  b, kedua ujung dari selang, disebut sebagai batas (atau limit) dari integrasi dari  f. Integral juga dapat didefinisikan untuk  a>b sebagai berikut: \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.Pada kasus  a=b, ini mengartikan  \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.Konvensi pertama diperlukan dalam mengintegrasi pada sub-subselang dari  [a,\,b]. Sedangkan konvensi kedua mengartikan integral pada selang degenerat, yakni yang sama saja dengan sebuah titik, akan bernilai nol. Lebih lanjut terkait konvensi pertama, salah alasan ini diperlukan adalah bahwa keintegralan dari  f pada  [a,\,b] mengartikan  f dapat diintegralkan pada sebarang subselang  [c,\,d] dari  [a,\,b]. Secara khusus, untuk sebarang elemen  c\in [a,\,b] berlaku:
Dengan adanya konvensi pertama, hubungan
terdefinisi dengan baik untuk semua permutasi siklik dari a, b, dan c.
Teorema dasar kalkulus

Lihat pula: Teorema dasar kalkulus
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah operasi yang saling berkebalikan (invers): jika sebarang fungsi kontinu diintegralkan kemudian diturunkan, hasilnya akan sama dengan fungsi semula. Satu akibat penting dari pernyataan tersebut, terkadang disebut teorema dasar kalkulus kedua, memungkinkan perhitungan integrasi dilakukan menggunakan antiturunan dari fungsi yang diintegrasi.
Teorema dasar kalkulus > Teorema pertama

Misalkan  f adalah fungsi bernilai-riil yang terdefinisi pada selang tertutup  [a,\,b]. Selanjutnya, misalkan  F adalah fungsi yang didefinisikan, untuk setiap  x di  [a,\,b], sebagai F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.Maka, fungsi  F kontinu pada  [a,\,b], terturunkan (terdiferensialkan) pada selang buka  (a,\,b), dan  F'(x)=f(x)untuk sebarang  x di  (a,\,b).
Teorema dasar kalkulus > Teorema kedua

Misalkan  f adalah fungsi bernilai-riil yang terdefinisi pada selang tertutup  [a,\,b], dan  F adalah fungsi kontinu pada  [a,\,b] yang merupakan suatu antiturunan dari  f pada  (a,\,b). Artinya, untuk   x\in [a,\,b] berlaku  F'(x)=f(x).Jika  f terintegralkan pada  [a,\,b], maka  \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).
Perhitungan > Analitik

Teknik paling sederhana dalam menghitung integral tentu dari fungsi satu variabel bernilai riil, adalah dengan menggunakan teorema dasar kalkulus. Misalkan  f(x) adalah fungsi dari  x yang akan diintegralkan pada suatu selang  [a,\,b]. Maka selanjutnya antiturunan dari  f perlu dicari; yakni, sebuah fungsi  F sedemikian sehingga  F'=f pada selang tersebut. Mengasumsikan integran dan integral tidak memiliki singularitas pada selang integrasi, maka menggunakan teorema dasar kalkulus, \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).
Terkadang satu atau beberapa dari banyak teknik menyelesaikan integral perlu digunakan. Kebanyakan dari teknik ini menuliskan integral dalam bentuk lain yang diharapkan lebih mudah diselesaikan. Teknik-teknik tersebut meliputi integrasi dengan substitusi, integrasi secara parsial, integrasi dengan subtitusi trigonometri, dan integrasi dengan pecahan parsial.
Ada beberapa metode alternatif untuk menghitung integral yang lebih rumit. Banyak integral dari fungsi non-elementer dapat dijabarkan sebagai deret Taylor lalu diintegralkan suku-demi-suku. Terkadang, hasil deret takhingga yang didapatkan bisa dijumlahkan secara analitis. Metode konvolusi menggunakan fungsi-G Meijer juga dapat digunakan, mengasumsikan integran dapat dituliskan sebagai hasil perkalian fungsi-fungsi-G Meijer. Ada banyak cara lain yang tidak dikenal umum untuk menghitung integral tentu. Sebagai contoh, identitas Parseval dapat digunakan untuk mengubah integral atas daerah berbentuk persegi panjang menjadi penjumlahan takhingga. Terkadang pula, ada integral yang dapat diselesaikan menggunakan suatu trik; sebagai contoh kasus ini, lihat integral Gauss.
Perhitungan integral yang menyangkut volume suatu benda putar umumnya dilakukan dengan metode cakram atau metode kulit.
Cara-cara spefisik dari banyak teknik lainnya disusun dan dikumpulkan dalam tabel integral.
Perhitungan > Simbolik

Artikel utama: Integrasi simbolik
Banyak masalah dalam matematika, fisika, dan teknik berurusan dengan integrasi yang memerlukan hasil berupa rumus eksplisit. Untuk membantu hal ini, tabel integral yang komprehensif telah disusun dan diterbitkan selama bertahun-tahun. Seiring penggunaan komputer yang makin marak, banyak tenaga profesional, pendidik, dan siswa beralih ke sistem aljabar komputer yang secara khusus dirancang untuk melakukan tugas-tugas yang sulit dan/atau melelahkan, termasuk integrasi. Integrasi simbolik telah menjadi salah satu motivasi untuk mengembangkan sistem yang dapat melakukannya, seperti Macsyma dan Maple.
Kesulitan matematis utama dalam integrasi simbolik adalah bahwa dalam banyak kasus, fungsi yang relatif sederhana tidak memiliki integral yang dapat dituliskan (diekspresikan) dalam bentuk tertutup yang hanya melibatkan fungsi-fungsi elementer, yang meliputi fungsi rasional dan eksponensial, logaritma, fungsi trigonometri, dan fungsi invers trigonometri, serta operasi-operasi terkait perkalian dan komposisi. Algoritma Risch memberikan kriteria umum untuk menentukan apakah antiturunan dari suatu fungsi elementer bersifat elementer (dan cara untuk menghitung integral jika memang bersifat elementer). Namun, fungsi-fungsi dengan ekspresi antiturunan yang tertutup adalah kasus khusus: sistem aljabar komputer secara umum tidak mampu menemukan antiturunan dari fungsi elementer yang dibuat secara acak. Sisi positifnya, jika "blok pembangun" untuk antiturunan dapat ditetapkan di awal, sistem mungkin dapat menentukan apabila antiturunan dari suatu fungsi dapat dinyatakan menggunakan blok-blok pembangun tersebut, dan solusi simboliknya jika dapat ditemukan. Algoritam Risch yang diterapkan dalam Mathematica, Maple, dan sistem-sistem lainnya melakukan hal tersebut untuk fungsi dan antiturunan yang dibangun dari fungsi-fungsi rasional, akar, logaritma, dan/atau eksponensial.
Beberapa integran khusus muncul cukup sering sehingga wajar untuk dipelajari lebih lanjut. Secara khusus, mungkin dapat berguna untuk memiliki antiturunan dari fungsi-fungsi spesial (seperti fungsi-fungsi Legendre, hipergeometrik, gamma, dll.). Memperluas algoritma Risch untuk mencakup fungsi-fungsi tersebut dimungkinkan walau kesulitannya yang menantang; hal ini sedang menjadi subjek penelitian yang aktif.
Cara lain yang baru dikembangkan belakangan ini adalah menggunakan fungsi-fungsi hingga-D (D-finite functions), yang merupakan solusi dari persamaan diferensial linear dengan koefisien-koefisien polinomial. Sebagian besar dari fungsi-fungsi elementer dan spesial merupakan hingga-D, dan integral dari fungsi hingga-D juga merupakan fungsi hingga-D. Hal ini memberikan suatu algoritma untuk menyatakan antiturunan dari fungsi hingga-D sebagai solusi dari persamaan diferensial.
Sistem integrasi berbasis-aturan juga dapat membantu masalah integrasi. Rubi, sistem aljabar komputer menggunakan daftar pola yang mencocokan integral dengan lebih dari 6600 aturan integrasi simbol untuk banyak jenis integran.
Perhitungan > Numerik

Artikel utama: Integrasi numerik
Nilai dari integral tentu dapat dihampiri menggunakan beberapa metode integrasi numerik. Metode persegi panjang melakukan ini dengan membagi daerah dibawah fungsi menjadi suatu barisan persegi panjang yang bersesuian dengan nilai-nilai dari fungsi, lalu mengalikannya dengan lebar langkah (step width) dan menjumlahkannya untuk mendapatkan hasilnya. Nilai hampiran yang lebih baik adalah dengan menggunakan aturan trapesium, yang mengganti persegi panjang dengan trapesium. Ide yang mendasar aturan trapesium, bangun yang lebih mirip dengan grafik akan menghasilkan taksiran integral yang lebih baik, dapat dikembangkan lebih lanjut: aturan Simpson menghampiri integran dengan potongan-potongan fungsi kuadratik.
Jumlah Riemann, aturan trapesium, dan aturan Simpson adalah contoh dari kelompok aturan kuadratur yang disebut rumus Newton–Cotes. Rumus Newton–Cotes derajat  n menghampiri kurva fungsi pada setiap subselang dengan sebuah polinomial derajat  n. Polinomial tersebut dipilih sedemikian sehingga dapat menginterpolasi nilai-nilai fungsi pada selang integrasi. Polinomial dengan derajat lebih tinggi dapat menghasilkan hampiran yang lebih akurat, tetapi juga memerlukan perhitungan fungsi yang lebih banyak, dan dapat mengalami ketakcermatan (inaccuracy) numerik akibat fenomena Runge. Salah satu solusi dari masalah tersebut adalah kuadratur Clenshaw–Curtis, yang menghampiri integran dengan menjabarkannya dalam suku-suku berupa polinomial Chebyshev.
Metode Romberg membagi lebar langkah menjadi setengahnya secara iteratif, pada setiap tahap menghasilkan hampiran trapesium  T(h_{0}),  T(h_{1}), dan seterusnya; dengan  h_{k+1}={\tfrac {1}{2}}h_{k}. Untuk setiap lebar langkah yang baru, hanya setengah dari nilai-nilai fungsi integran yang perlu dicari; sisanya menggunakan dari hasil perhitungan lebar langkah sebelumnya. Kemudian metode ini menginterpolasi sebuah polinomial berdasarkan hampiran-hampiran yang didapatkan, lalu mengekstrapolasi ke  T(0). Kuadratur Gauss mengevaluasi integran di akar-akar dari suatu himpunan polinomial ortogonal. Metode Gauss  n-titik tepat (exact) untuk polinomial sampai derajat  2n-1.
Perhitungan integral dimensi tinggi (sebagai contoh, perhitungan volume) menggunakan alternatif lain seperti integrasi Monte Carlo.
Perhitungan > Mekanikal

Luas dari sebarang bangun dua dimensi dapat ditentukan menggunakan instrumen yang disebut planimeter. Volume dari objek yang tidak beraturan dapat diukur dengan teliti menggunakan banyaknya air yang dipindahkan ketika objek dicelupkan.
Penerapan

Integral sering digunakan dalam banyak hal. Sebagai contoh, dalam teori peluang, integral digunakan untuk menentukan peluang dari variabel acak berada di suatu rentang tertentu. Lebih lanjut, integral dari keseluruhan fungsi kepadatan peluang harus bernilai 1, yang memberi cara mengecek apakah fungsi tanpa nilai negatif dapat menjadi fungsi kepadatan atau tidak.
Dalam fisika, pada bidang seperti kinematika, integral digunakan untuk mencari besaran seperti perpindahan, waktu, dan kecepatan. Sebagai contoh, dalam gerak lurus, total perpindahan dari objek pada selang waktu  [a,b] dapat dihitung dengan  x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,dengan  v(t) menyatakan kecepatan sebagai fungsi terhadap waktu. Besar usaha  F(x) yang digunakan  (ditulis sebagai fungsi terhadap posisi) dari posisi  A ke posisi tujuan  B adalah:  W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.Integral juga digunakan dalam termodinamika, dengan integrasi termodinamika dipakai untuk menghitung selisih energi bebas diantara dua keadaan.
Perumuman > Integral takwajar

Artikel utama: Integral takwajar
Integral Riemann "wajar" mengasumsikan integran terdefinisi dan bernilai hingga pada selang tertutup dan terbatas. Integral disebut takwajar jika satu atau lebih dari kondisi tersebut tidak terpenuhi. Dalam beberapa kasus, integral seperti itu dapat didefinisikan dengan menggunakan limit dari barisan integral Riemann wajar dengan selang yang semakin besar.
Jika selang dari integrasi tidak terbatas, sebagai contoh batas atasnya, maka integral takwajar adalah limit integral ketika batas atas menuju tak hingga:
Jika integran hanya terdefinisi atau terhingga pada selang setengah-buka, misalnya  (a,\,b], maka limit (mungkin) dapat menghasilkan solusi yang terhingga:
Dengan kata lain, integral takwajar adalah limit dari integral wajar dengan salah satu batas integrasi menuju suatu nilai riil tertentu, atau  \infty , atau  -\infty . Dalam kasus-kasus yang lebih rumit, limit diperlukan pada kedua batas integrasi, atau pada titik-titik interior.
Perumuman > Integral lipat

Artikel utama: Integral lipat
Sama seperti integral tentu dari fungsi positif satu-variabel merepresentasikan luas daerah di antara grafik fungsi dan sumbu-x, integral lipat dari fungsi positif dua-variabel merepresentasikan volume daerah di antara permukaan fungsi dan bidang dari domainya. Sebagai contoh, untuk sebuah fungsi  f bernilai riil dengan dua variabel,  x dan  y, integral fungsi tersebut atas persegi panjang  R yang dihasilkan dari perkalian Kartesius kedua selang integrasinya,  R=[a,b]\times [c,d], dapat dituliskan sebagai \int _{R}f(x,y)\,dA
dengan diferensial  dA menandakan integrasi dilakukan terhadap luas. Integral lipat-dua ini dapat didefinisikan menggunakan jumlah Riemann, dan merepresentasikan volume (bertanda) dibawah grafik  z=f(x,\,y) atas domain  R. Dalam kondisi yang cocok (misal, jika  f kontinu), teorema Fubini menyatakan bahwa integral ini dapat dituliskan sebagai integral berulang  \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.Bentuk tersebut menyederhanakan masalah menghitung integral lipat-dua menjadi menghitung integral satu-dimensi (sebanyak dua kali). Oleh karena itu, notasi lain dari integrasi atas  R menggunakan simbol integral ganda:  \iint _{R}f(x,y)\,dA.Integrasi atas domain yang lebih umum dapat dilakukan. Integral dari sebuah fungsi  f, menurut terhadap volume, atas daerah dimensi-n  D\subseteq \mathbb {R} ^{n} dapat dituliskan: \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.
Sejarah

Lihat pula: Sejarah kalkulus
Sejarah > Integrasi pra-kalkulus

Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalah metode penghabis dari Yunani kuno astronom Eudoksos (ca. 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan oleh Archimedes pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitung luas lingkaran, luas permukaan dan volume bola, luas elips, luas di bawah parabola, volume segmen revolusi paraboloid, volume segmen hiperboloid revolusi, dan luas spiral.
Metode serupa dikembangkan secara independen di Tiongkok sekitar abad ke-3 M oleh Liu Hui, yang menggunakan untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan pada abad ke-5 oleh ahli matematika ayah dan anak Tionghoa Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari volume bola (Shea 2007; Katz 2004, hlm. 125–126).
Di Timur Tengah, Hasan Ibn al-Haytham, dalam bahasa Latin sebagai Alhazen (ca 965 AD) menurunkan rumus untuk jumlah pangkat empat s. Dia menggunakan hasil untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral dan paraboloid.
Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral baru mulai muncul pada abad ke-17. Pada saat ini, karya Cavalieri dengan metode Indivisibles miliknya, dan karya Fermat, mulai meletakkan dasar-dasar kalkulus modern, dengan Cavalieri menghitung integral dari xn dengan derajat nilai n = 9 dalam rumus kuadrat Cavalieri. Langkah selanjutnya dibuat pada awal abad ke-17 oleh Barrow dan Torricelli, yang memberikan petunjuk pertama tentang hubungan antara integrasi. Barrow memberikan bukti pertama dari teorema fundamental kalkulus. John Wallis menggeneralisasi metode Cavalieri, menghitung integral dari nilai x menjadi kekuatan umum, termasuk kekuatan negatif dan kekuatan pecahan.
Sejarah > Leibniz dan Newton

Kemajuan besar dalam integrasi terjadi pada abad ke-17 dengan penemuan independen dari teorema dasar kalkulus oleh Leibniz dan Newton. Leibniz menerbitkan karyanya tentang kalkulus sebelum Newton. Teorema menunjukkan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Hubungan tersebut, dikombinasikan dengan kemudahan pembedaan, dapat dimanfaatkan untuk menghitung integral. Secara khusus, teorema dasar kalkulus memungkinkan seseorang untuk memecahkan masalah kelas yang jauh lebih luas. Sama pentingnya adalah kerangka matematika komprehensif yang dikembangkan oleh Leibniz dan Newton. Diberikan nama kalkulus sangat kecil, tersebut memungkinkan untuk analisis fungsi yang tepat dalam domain kontinu. Kerangka ini akhirnya menjadi modern kalkulus, yang notasinya untuk integral diambil langsung dari karya Leibniz.
Sejarah > Formalisasi

Sementara Newton dan Leibniz memberikan pendekatan sistematis untuk integrasi, pekerjaan mereka tidak memiliki derajat rigor. Bishop Berkeley secara mengesankan menyerang langkah langkah yang digunakan Newton, memanggil mereka "hantu dari jumlah yang telah pergi". Kalkulus memperoleh pijakan yang lebih kokoh dengan pengembangan limit. Integrasi pertama kali diformalkan secara ketat, menggunakan batasan, oleh Riemann. Meskipun semua fungsi kontinu bagian yang dibatasi adalah Riemann-integrable pada interval yang dibatasi, selanjutnya fungsi yang lebih umum dipertimbangkan terutama dalam konteks analisis Fourier yang mendefinisikan Riemann tidak berlaku, dan Lebesgue merumuskan definisi integral yang berbeda, didirikan di teori ukuran (subbidang dari analisis nyata). Definisi integral lainnya, memperluas pendekatan Riemann dan Lebesgue, telah diusulkan. Pendekatan ini berdasarkan sistem bilangan real adalah yang paling umum saat ini, tetapi ada pendekatan alternatif, seperti definisi integral sebagai bagian standar dari jumlah Riemann tak terbatas, berdasarkan sistem bilangan hiperreal.