stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Penambahan
Sifat-sifat > Elemen identitas

Ketika menambahkan nol dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah elemen identitas dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk x apapun,
Hukum ini pertama dikenali dalam Brahmasphutasiddhanta dari Brahmagupta pada tahun 628, meskipun dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah a adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan India kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, Mahavira menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", sesuai dengan pernyataan unary 0 + x = x.
Sifat-sifat > Penerus

Dalam konteks bilangan bulat, penambahan satu juga memainkan peran khusus: untuk sembarang bilangan bulat a, bilangan bulat (a + 1) adalah bilangan bulat terkecil dari a, juga dikenal sebagai penerus dari a. Misalnya, 3 adalah penerus 2 dan 7 adalah penerus 6. Karena suksesi ini, nilai a + b juga dapat dilihat sebagai penerus ke-b dari a, membuat penambahan suksesi iterasi. Misalnya, 6 + 2 adalah 8, karena 8 adalah penerus 7, yang merupakan penerus 6, menjadikan 8 penerus ke-2 dari 6.
Sifat-sifat > Satuan

Untuk menambahkan kuantitas-kuantitas fisik dengan satuan, kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama. Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar dari analisis dimensi.
Cara penambahan > Kemampuan bawaan

Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomena pembiasaan: bayi melihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga. Percobaan tersebut dimulai oleh Karen Wynn pada tahun 1992 yang melibatkan boneka Mickey Mouse yang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap' 1 + 1 menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa 1 + 1 bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda. Eksperimen tahun 1992 lainnya dengan balita yang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bola ping-pong dari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.
Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutama primata. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakan terong sebagai pengganti boneka), monyet rhesus dan tamarin berkepala kapas memiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dari angka Arab 0 hingga 4, satu simpanse dapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut. Baru-baru ini, Gajah Asia telah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.
Cara penambahan > Pembelajaran masa kecil

Biasanya, anak pertama menguasai menghitung. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat, lima" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru. Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat, lima." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("bilangan ikatan"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu 6 + 6 = 12 dan kemudian beralasan bahwa 6 + 7 adalah 13. Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.
Negara yang berbeda memperkenalkan bilangan bulat dan aritmetika pada usia yang berbeda, dengan banyak negara mengajar tambahan di prasekolah. Namun, di seluruh dunia, penjumlahan diajarkan pada akhir tahun pertama sekolah dasar.
Cara penambahan > Pembelajaran masa kecil > Tabel

Anak-anak sering diberikan tabel penjumlahan pasangan angka dari 0 hingga 9 untuk dihafal. Mengetahui hal ini, anak-anak dapat melakukan penjumlahan apapun.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
Cara penambahan > Sistem desimal

Prasyarat untuk penjumlahan dalam sistem desimal adalah penarikan atau penurunan yang lancar dari "fakta penjumlahan" 100 digit tunggal. Seseorang bisa menghafal semua fakta dengan hafalan, tetapi strategi berbasis pola lebih mencerahkan dan, bagi kebanyakan orang, lebih efisien:
Sifat komutatif: Disebutkan diatas, menggunakan pola a + b = b + a mengurangi jumlah "fakta penjumlahan" dari 100 menjadi 55.
Satu atau dua: Menambahkan 1 atau 2 adalah tugas dasar, dan dapat dilakukan dengan mengandalkan atau, pada akhirnya, intuisi.
Nol: Karena nol adalah identitas aditif, menambahkan nol adalah trivial. Meskipun demikian, dalam pembelajaran berhitung, beberapa siswa diperkenalkan penjumlahan sebagai proses yang selalu meningkatkan penjumlahan; masalah kata dapat membantu merasionalisasi "pengecualian" dari nol.
Ganda: Menambahkan bilangan terkait dengan menghitung dua dan perkalian. Fakta ganda membentuk tulang punggung untuk banyak fakta terkait, dan siswa menemukannya relatif mudah untuk dipahami.
Hampir ganda: Jumlah seperti 6 + 7 = 13 dapat dengan cepat diturunkan dari fakta ganda 6 + 6 = 12 dengan menambahkan satu, atau dari 7 + 7 = 14 dengan menguranginya.
Lima dan sepuluh: Jumlah dari bentuk 5 + x dan 10 + x biasanya dihafal lebih awal dan dapat digunakan untuk mendapatkan fakta lain. Sebagai contoh, 6 + 7 = 13 dapat diturunkan dari 5 + 7 = 12 dengan menambahkan satu.
Membuat sepuluh: Strategi tingkat lanjut menggunakan 10 sebagai perantara untuk jumlah yang melibatkan 8 atau 9; sebagai contoh, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.
Seiring bertambahnya usia siswa, mereka mengingat lebih banyak fakta, dan belajar memperoleh fakta lain dengan cepat dan lancar. Banyak siswa tidak pernah mengingat semua fakta, tetapi masih dapat menemukan fakta dasar dengan cepat.
Cara penambahan > Sistem desimal > Simpan

Artikel utama: Simpan (aritmetika)
Algoritma standar untuk menambahkan bilangan banyak digit adalah dengan meratakan penjumlahan secara vertikal dan menambahkan kolom, dimulai dari kolom satuan di sebelah kanan. Jika sebuah kolom melebihi sembilan, digit tambahannya adalah "simpan" ke kolom berikutnya. Misalnya, sebagai tambahan 27 + 59
¹
  27
+ 59
————
  86
7 + 9 = 16, dan bilangan 1 adalah simpan. Strategi alternatif mulai menambahkan dari digit paling signifikan di sebelah kiri; rute ini membawa sedikit canggung, tetapi lebih cepat untuk mendapatkan perkiraan kasar jumlahnya. Ada banyak metode alternatif.
Cara penambahan > Sistem desimal > Pecahan desimal

Pecahan desimal dapat ditambahkan dengan modifikasi sederhana dari proses di atas. Satu meratakan dua pecahan desimal di atas satu sama lain, dengan titik desimal di lokasi yang sama. Jika perlu, menambahkan bilangan nol di belakang ke desimal yang lebih pendek untuk sama panjang dengan desimal yang lebih panjang. Akhirnya, melakukan proses penjumlahan yang sama seperti diatas, kecuali koma desimal ditempatkan di jawaban, persis ditempat itu ditempatkan di penjumlahan.
Sebagai contoh, 45.1 + 4.34 dapat diselesaikan sebagai berikut:
4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4
Cara penambahan > Sistem desimal > Notasi ilmiah

Artikel utama: Notasi ilmiah § Operasi dasar
Pada notasi ilmiah, bilangan ditulis dalam bentuk  x=a\times 10^{b}, dimana  a adalah signifikan dan  10^{b} adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.
Sebagai contoh:
Cara penambahan > Bukan desimal

Artikel utama: Penambahan biner
Penjumlahan pada basis lain sangat mirip dengan penjumlahan desimal. Sebagai contoh, apabila mempertimbangkan penjumlahan dalam biner. Menambahkan dua angka biner satu digit relatif sederhana, menggunakan bentuk pembawa:
Menambahkan dua digit "1" menghasilkan digit "0", sedangkan 1 harus ditambahkan ke kolom berikutnya. Ini mirip dengan apa yang terjadi dalam desimal ketika angka satu digit tertentu dijumlahkan; jika hasilnya sama atau melebihi nilai akar (10), digit ke kiri bertambah:
Ini dikenal sebagai simpan. Ketika hasil penjumlahan melebihi nilai sebuah digit, prosedurnya adalah "simpan" kelebihan jumlah dibagi dengan radix (yaitu, 10/10) ke kiri, menambahkannya ke nilai posisi berikutnya. Ini benar karena posisi berikutnya memiliki bobot yang lebih tinggi dengan faktor yang sama dengan akar. Simpan kerja dengan cara yang sama dalam biner:
1 1 1 1 1    (angka simpan)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36
Dalam contoh ini, dua angka ditambahkan dengan: 011012 (1310) dan 101112 (2310). Baris atas menunjukkan bit simpan yang digunakan. Mulai dari kolom paling kanan, 1 + 1 = 102. 1 dibawa ke kiri, dan 0 ditulis dibagian bawah kolom paling kanan. Kolom kedua dari kanan ditambahkan: 1 + 0 + 1 = 102; 1 dilakukan, dan 0 ditulis dibagian bawah. Kolom ketiga: 1 + 1 + 1 = 112. Kali ini, 1 dilakukan, dan 1 ditulis di baris bawah. Melanjutkan seperti ini memberikan jawaban akhir 1001002 (3610).
Penambahan bilangan

Untuk membuktikan sifat-sifat penambahan, penambahan harus didefinisikan pada suatu konteks terlebih dahulu. Penambahan awalnya didefinisikan untuk bilangan asli. Dalam teori himpunan, operasi penambahan lalu diperluas untuk himpunan bilangan lain yang mengandung bilangan asli, yaitu bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real.
Penambahan bilangan > Bilangan asli

Informasi lebih lanjut: Bilangan asli
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli a dan b. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai kardinalitas dari himpunan hingga, (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan N(S) adalah lambang untuk kardinalitas himpunan S. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas A dan B, dengan N(A) = a dan N(B) = b. Maka a + b didefinisikan sebagai  N(A\cup B).
Di sini, A ∪ B adalah gabungan dari A dan B. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkan A dan B bertindih dan kemudian mengambil satuan disjoin, mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.
Definisi populer lainnya bersifat rekursif:
Misalkan n+ adalah lambang untuk penerus dari n, yaitu bilangan setelah n dalam himpunan bilangan asli, jadi 0+=1, 1+=2. Definisikan a + 0 = a. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursi a + (b+) = (a + b)+. Jadi misalnya 1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2.
Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dari teorema rekursi pada himpunan terurut parsial N2. Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satu a untuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi pada b untuk mendefinisikan fungsi "a +", dan menempelkan operasi uner ini untuk semua a dengan membentuk operasi biner penuh.
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya. Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan induksi matematika.
Penambahan bilangan > Bilangan bulat

Informasi lebih lanjut: Bilangan bulat
Konsepsi bilangan bulat yang sederhana adalah ia terdiri dari nilai absolut (yang merupakan bilangan asli) dan tanda (umumnya positif atau negatif). Bilangan bulat nol adalah kasus ketiga khusus, yang bukan positif atau negatif. Definisi yang sesuai dari penambahan harus dilanjutkan dengan kasus:
Untuk bilangan bulat n, maka |n| menjadi nilai mutlaknya. Misalkan a dan b adalah bilangan bulat. Jika a atau b adalah nol, perlukan sebagai identitas. Jika a dan b keduanya positif, tentukan a + b = |a| + |b|. Jika a dan b keduanya negatif, tentukan a + b = −(|a| + |b|). Jika a dan b memiliki tanda yang berbeda, tentukan a + b sebagai selisih antara |a| dan |b|, dengan tanda suku yang nilai absolutnya lebih besar. Sebagai contoh, −6 + 4 = 2; karena –6 dan 4 memiliki tanda yang berbeda, nilai absolutnya dikurangi, dan karena nilai absolut suku negatif lebih besar, jawabannya adalah negatif.
Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut, a – b sama dengan c – d jika dan hanya jika a + d = b + c.
Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagai kelas ekuivalensi dari pasangan terurut bilangan asli di bawah relasi ekuivalensi
Kelas ekuivalensi dari (a, b) berisi (a – b, 0) jika a ≥ b, atau (0, b – a). Jika n adalah bilangan asli, yang menyatakan +n kelas ekuivalen dari (n, 0), dan dengan –n kelas ekuivalen dari (0, n). Hal ini memungkinkan mengidentifikasi bilangan asli n dengan kelas ekivalen +n.
Penambahan pasangan terurut dilakukan berdasarkan komponen:
Perhitungan langsung menunjukkan bahwa kelas ekuivalen dari hasil hanya bergantung pada kelas ekuivalen dari penyebut, dan dengan demikian ini mendefinisikan penambahan kelas ekuivalen, yaitu bilangan bulat. Perhitungan langsung lainnya menunjukkan bahwa penambahan ini sama dengan definisi kasus di atas.
Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalam grup komutatif semigrup dengan sifat pembatalan. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.
Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan nama grup Grothendieck untuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalan homomorfisme semigrup dari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawah isomorfisme objek dari kategori Abelian, dengan jumlah langsung sebagai operasi semigrup.
Penambahan bilangan > Bilangan rasional (pecahan)

Penambahan bilangan rasional didefinisikan menggunakan penambahan dan perkalian bilangan asli.
Definisikan  {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.
Sebagai contoh, jumlah  {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}.
Penambahan pecahan lebih sederhana ketika penyebutnya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya:  {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}, jadi  {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.
Komutatifitas dan asosiatifitas penjumlahan rasional adalah konsekuensi mudah dari hukum aritmetika bilangan bulat. Untuk diskusi yang lebih ketat dan umum, lihat medan pecahan.
Penambahan bilangan > Bilangan riil

Informasi lebih lanjut: Konstruksi bilangan riil
Konstruksi umum dari himpunan bilangan riil adalah penyelesaian Dedekind dari himpunan bilangan rasional. Bilangan riil didefinisikan sebagai potongan Dedekind dari rasional: himpunan tak kosong dari rasional tertutup bawah dan tidak memiliki elemen terbesar. Jumlah bilangan riil a dan b didefinisikan elemen demi elemen:
Tentukan  a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.
Definisi ini pertama kali diterbitkan, dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, oleh Richard Dedekind pada tahun 1872.
Komutatifitas dan asosiatifitas dari penjumlahan riil bersifat langsung; mendefinisikan bilangan riil 0 sebagai himpunan rasional negatif, itu mudah dilihat sebagai identitas tambahan. Mungkin bagian tersulit dari konstruksi yang berkaitan dengan penjumlahan ini adalah definisi invers aditif.
Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda. Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dari urutan Cauchy dari rasional, lim an. Penambahan didefinisikan istilah demi istilah:
Define  \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).
Definisi ini pertama kali diterbitkan oleh Georg Cantor, juga pada tahun 1872, meskipun formalismenya sedikit berbeda.
Apabila membuktikan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik, berurusan dengan urutan ko-Cauchy. Setelah tugas itu selesai, semua sifat-sifat penjumlahan riil segera mengikuti sifat-sifat bilangan rasional. Selanjutnya, operasi aritmetika lainnya, termasuk perkalian, memiliki definisi analog yang langsung.
Penambahan bilangan > Bilangan kompleks

Bilangan kompleks ditambahkan dengan menambahkan bagian riil dan imajiner dari penjumlahan. Artinya:
Menggunakan visualisasi bilangan kompleks pada bidang kompleks, penambahan memiliki interpretasi geometris berikut: jumlah dua bilangan kompleks A dan B, ditafsirkan sebagai titik dari bidang kompleks, adalah titik X yang diperoleh dengan membangun jajar genjang tiga di antaranya adalah O, A dan B. Secara ekuivalen, X adalah titik sedemikian rupa segitiga dengan simpul O, A, B, dan X, B, A adalah kongruen.
Generalisasi

Ada banyak operasi biner yang bisa dianggap sebagai generalisasi dari penambahan. Bidang aljabar abstrak utamanya membahas mengenai operasi-operasi yang digeneralisasi, dan operasi-operasi seperti itu juga ada dalam teori himpunan dan teori kategori.
Generalisasi > Aljabar abstrak > Vektor

Artikel utama: Penjumlahan vektor
Dalam aljabar linear, ruang vektor adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua vektor dan perkalian skalar suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (a,b) dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (a,b). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
Operasi penambahan ini penting sekali bagi mekanika klasik, di mana gaya ditafsirkan sebagai vektor.
Generalisasi > Aljabar abstrak > Matriks

Artikel utama: Penjumlahan matriks
Penjumlahan matriks didefinisikan untuk dua matriks yang dimensinya sama. Jumlah dari dua matriks berukuran m × n A dan B, dilambangkan dengan A + B, adalah sebuah matriks m × n yang dihitung dengan menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian:
Contohnya:
Generalisasi > Aljabar abstrak > Aritmetika modular

Artikel utama: Aritmetika modular
Dalam aritmetika modular, penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang kongruen dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.
Generalisasi > Aljabar abstrak > Teori umum

Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif. Struktur aljabar dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalah monoid komutatif dan grup abelian.
Generalisasi > Teori himpunan dan teori kategori

Generalisasi luas dari penjumlahan bilangan asli adalah penambahan bilangan urut dan bilangan kardinal dalam teori himpunan. Ini memberikan dua generalisasi yang berbeda dari penambahan bilangan asli ke lintas-hingga. Tidak seperti kebanyakan operasi penjumlahan, penambahan bilangan urut bukan komutatif. Penjumlahan bilangan kardinal, bagaimanapun, adalah operasi komutatif yang berkaitan erat dengan operasi satuan disjoin.
Dalam teori kategori, satuan disjoin dilihat sebagai kasus khusus dari operasi koproduk, dan produk bersama umum memungkinkan abstrak dari semua generalisasi penjumlahan. Beberapa produk sampingan, seperti jumlah langsung dan jumlah irisan, diberi nama untuk membangkitkan hubungannya dengan penjumlahan.
Operasi terkait

Penambahan, bersama dengan pengurangan, perkalian dan pembagian, dianggap sebagai salah satu operasi dasar dan digunakan dalam aritmatika dasar.
Operasi terkait > Aritmetika

Pengurangan dianggap sebagai semacam penambahan—yaitu, penambahan aditif invers. Pengurangan-diri adalah inversi dari penjumlahan, karena penjumlahan x dan pengurangan x adalah fungsi invers.
Diberikan himpunan dengan operasi penambahan, tidak selalu dapat mendefinisikan operasi pengurangan yang sesuai pada himpunan tersebut; himpunan bilangan asli adalah contoh sederhana. Di sisi lain, operasi pengurangan secara unik menentukan operasi penambahan, operasi kebalikan aditif, dan identitas aditif; untuk alasan ini, grup aditif digambarkan sebagai himpunan yang tertutup dalam pengurangan.
Perkalian dianggap sebagai penjumlahan berulang. Jika satu suku x muncul dalam jumlah n kali, maka jumlah tersebut adalah hasil kali n dan x. Jika n bukan bilangan asli, produk mungkin masih masuk akal; misalnya, perkalian dengan −1 menghasilkan invers aditif dari suatu bilangan.
Dalam bilangan riil dan kompleks, penjumlahan dan perkalian dapat dipertukarkan dengan fungsi eksponensial:
Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihat tabel dari logaritma dan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian pada mistar hitung. Rumusnya masih merupakan pendekatan urutan pertama yang baik dalam konteks luas grup Lie, dimana ia menghubungkan perkalian elemen grup yang sangat kecil dengan penambahan vektor-vektor dalam aljabar Lie yang terkait.
Bahkan ada lebih banyak generalisasi perkalian daripada penambahan. Secara umum, operasi perkalian selalu distributif melebihi penjumlahan; persyaratan ini diformalkan dalam definisi gelanggang. Dalam beberapa konteks, seperti bilangan bulat, distribusi pada penjumlahan dan keberadaan identitas perkalian cukup untuk menentukan operasi perkalian secara unik. Sifat distributif juga memberikan informasi tentang penjumlahan; dengan memperluas produk (1 + 1)(a + b) dalam kedua cara, orang menyimpulkan bahwa penambahan dipaksa menjadi komutatif. Oleh karena itu, penjumlahan gelanggang pada umumnya bersifat komutatif.
Pembagian adalah operasi aritmatika jarak jauh yang berhubungan dengan penjumlahan. Karena a/b = a(b−1), pembagian adalah distributif kanan atas penjumlahan: (a + b) / c = a/c + b/c. Namun, pembagian tidak dibiarkan distributif atas penambahan; 1 / (2 + 2) tidak sama dengan 1/2 + 1/2.