Polinomial karakteristik
Sifat-sifat

Polinomial karakteristik  p_{A}(t) dari sebuah matriks  n\times n bersifat monik (koefisien dari suku terbesarnya adalah 1) dan derajatnya adalah  n. Fakta yang terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah disebut di bagian Motivasi: nilai-nilai eigen  A adalah akar-akar dari  p_{A}(t) (fakta ini juga berlaku untuk polinomial minimal dari  A, namun derajatnya dapat lebih kecil dari  n). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi dari entri-entri matriks. Secara khusus, koefisien  t^{0} bernilai  \det(-A)=(-1)^{n}\det(A), koefisien  t^{n} bernilai  1, dan koefisien  t^{n-1} bernilai  \operatorname {tr} (-A)=-\operatorname {tr} (A), dengan  \operatorname {tr} (A) melambangkan teras dari  A. (Tanda yang diberikan di bagian ini disesuaikan dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya; sedangkan untuk definisi alternatif, masing-masing koefisien tersebut akan memiliki nilai  \det(A) dan  (-1)^{n-1}\operatorname {tr} (A).) Sebagai contoh, untuk sebarang matriks  A dengan ukuran  2\times 2, polinomial karakteristiknya dirumuskan dengan t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).
Dengan menggunakan bahasa aljabar eksterior, polinomial karakteristik dari matriks  A berukuran  n\times n dapat dinyatakan sebagai p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)dengan 



tr
⁡

(


⋀

k


A

)



{\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}

 menyatakan teras dari pangkat eksterior dari  A, yang memiliki dimensi 






(


n
k


)





{\textstyle {\binom {n}{k}}}

. Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama ukuran  k dari  A. Algoritme rekursif Faddeev–LeVerrier menghitung koefisien-koefisien tersebut dengan cara yang lebih efisien. Ketika lapangan dari koefisien-koefisien memiliki karakteristik bernilai 0, setiap teras dapat dihitung sebagai sebuah determinan tunggal dari matriks  k\times k, yakni \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}.
Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa mensubtitusi  t dalam polinomial karakteristik dengan  A (dan memandang operasi perpangkatan sebagai perpangkatan matriks, dan suku konstan  c sebagai perkalian  c dengan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol. Secara informal, hubungan ini mengartikan setiap matriks memenuhi persamaan karakteristik mereka. Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa polinomial minimal  A membagi polinomial karakteristik  A.
Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: dua matriks dengan polinomial karakteristik yang sama belum tentu serupa.
Sebarang matriks dan transpos-nya memiliki polinomial karakteristik yang sama. Matriks  A serupa dengan matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor-faktor linear atas  K (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal). Dalam kasus ini,  A serupa dengan suatu matriks dalam bentuk normal Jordan.