stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
George Plimpton
Kehidupan awal

Plimpton lahir di New York City pada 18 Maret 1927, dan menjalani masa kecilnya di sana, masuk St. Bernard's School dan dibesarkan di sebuah apartemen di 1165 Fifth Avenue, Upper East Side, Manhattan. Pada musim panas, ia tinggal di penginapan West Hills, Huntington, Suffolk County, Long Island.
Ia adalah putra dari Francis T.P. Plimpton, dan cucu dari Frances Taylor Pearsons dan George Arthur Plimpton. Kakeknya adalah pendiri perusahaan penerbitan Ginn dan filantropis. Ayahnya adalah pengacara perusahaan dan mitra firma hukum Debevoise and Plimpton. Ia dilantik oleh Presiden John F. Kennedy menjadi deputi duta besar AS untuk PBB yang menjabat dari 1961-65.
Ibunya adalah Pauline Ames, putri dari botanis Oakes Ames dan artis Blanche Ames. Kedua kakek nenek pihak ibu Plimpton lahir dengan marga Ames; ibunya adalah cucu dari penerima Medal of Honor Adelbert Ames, seorang pelaut, prajurit, dan politikus Amerika, dan Oliver Ames, seorang figur politik AS dan Gubernur Massachusetts ke-35 (1887–1890). Ia juga cicit pihak ayah dari Oakes Ames (1804–1873), seorang industrialis dan anggota kongres yang tersandung skandal jalan rel Crédit Mobilier pada 1872; dan Gubernur-Jenderal New Orleans Benjamin Franklin Butler, seorang pengacara dan politikus yang mewakili Massachusetts di Dewan Perwakilan Amerika Serikat dan kemudian menjabat sebagai Gubernur Massachusetts ke-33.
George memiliki tiga saudara: Francis Taylor Pearsons Plimpton Jr., Oakes Ames Plimpton, dan Sarah Gay Plimpton.
Bacaan tambahan

Aldrich, Nelson W.George, Being George: George Plimpton's Life as Told, Admired, Deplored, and Envied by 200 Friends, Relatives, Lovers, Acquaintances, Rivals—and a Few Unappreciative Observers Diarsipkan 2023-07-31 di Wayback Machine. New York. Publisher: Random House, Inc., 2009 ISBN 0-8129-7418-2.
Chase, Levi Badger A genealogy and historical notices of the family of Plimpton or Plympton in America and of Plumpton in England. Publisher: Plimpton Mfg. Company 1884.
Swetz, Frank, J. 1987. Capitalism and Arithmetic. La Salle: Open Court.
Walter, Eugene; Katherine Clark (2002). Milking the Moon: A Southerner's Story of Life on This Planet. New York: Three Rivers Press. ISBN 0-609-80965-2.  The author describes his years of working with Plimpton in Paris.
Plimpton, George (May 31, 1992). "The Smaller the Ball, the Better the Book: A Game Theory of Literature" (This is a 1992 essay by George Plimpton.). New York Times: Books section: Sunday, Late Edition – Final. hlm. 1. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2018-02-04. Diakses tanggal March 6, 2010.
Pranala luar

Portal Biografi
1969 St. Louis Literary Award Recipient Diarsipkan 2016-10-26 di Wayback Machine.
George Plimpton di IMDb (dalam bahasa Inggris)
Karya oleh George Plimpton di Open Library
(Inggris) George Plimpton di Find a Grave
| Pengawasan otoritas  |
| --- | --- |
Umum:  Integrated Authority File (Jerman)  ISNI 1  VIAF 1  WorldCat (via VIAF) 
Perpustakaan nasional:  Norwegia  Spanyol  Prancis (data)  The ICCU id CFIV005418 is not valid.  Amerika Serikat  Republik Ceko  Belanda  Polandia 
Lain-lain:  Faceted Application of Subject Terminology  MusicBrainz artist  National Archives (US)  Social Networks and Archival Context  SUDOC (Prancis) 1  Trove (Australia) 1
Pasi, Lhoong, Aceh Besar

| Pasi |
| --- | --- |
Gampong
Negara:  Indonesia
Provinsi: Aceh
Kabupaten: Aceh Besar
Kecamatan: Lhoong
Kodepos: 23354
Kode Kemendagri: 11.06.01.2025 
Luas: ... km²
Jumlah penduduk: ... jiwa
Kepadatan: ... jiwa/km²
Assalamu'alaikum Wr. Wb
Pasi adalah gampong di kecamatan Lhoong, Kabupaten Aceh Besar, Aceh, Indonesia.
Pranala luar

(Indonesia) Keputusan Menteri Dalam Negeri Nomor 050-145 Tahun 2022 tentang Pemberian dan Pemutakhiran Kode, Data Wilayah Administrasi Pemerintahan, dan Pulau tahun 2021
(Indonesia) Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 72 Tahun 2019 tentang Perubahan atas Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 137 Tahun 2017 tentang Kode dan Data Wilayah Administrasi Pemerintahan
(Indonesia) Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 137 Tahun 2017 tentang Kode dan Data Wilayah Administrasi Pemerintahan
| l b Kecamatan Lhoong, Kabupaten Aceh Besar, Aceh |
| --- | --- |
Gampong:  Baroh Blangmee  Baroh Geunteut  Baroh Kruengkala  Biriek  Cundien  Gapui  Glee Bruek  Jantang  Kareung  Keutapang  Lamgeuriheu  Lamjuhang  Lamkuta Blangmee  Lamsujen  Meunasah Cot  Meunasah Krueng Kala  Meunasah Lhok  Monmata  Paroi  Pasi  Pudeng  Saney  Seungko Mulat  Teungoh Blangmee  Teungoh Geunteut  Tunong Kruengkala  Umong Seuribee  Utamong
Desiderata dari Lombardia

Desiderata merupakan salah satu putri Desiderius, Raja Lombardia, dan ratunya, Ansa. Ia menikah dengan Charlemagne, Raja Franka, pada tahun 770, kemungkinan untuk membentuk suatu ikatan di antara negara-negara Francia dan Lombardia. Pernikahan tersebut dibatalkan pada tahun 771 dan hal ini melukai hubungan dengan Lombardia, memicu perang tahun 774. Ia tidak memiliki keturunan dan nasib akhirnya tidak diketahui.
Meskipun ia dikenal dengan nama Desiderata, sekarang diteorikan nama tersebut diambil dari kesalahan edit pada salinan abad ke-19 Monumenta Germaniae Historica yang mengeja D di dalam desideratam filiam (Latin untuk putri yang diinginkan). Bahkan kesalahan ini kadang diperparah dengan pembentukan kembali Desideria, nama pertama yang lebih mungkin (bentuk femina Desiderius, nama ayahnya), atau diterjemahkan (ke dalam bahasa Prancis, Désirée).
Sejarawan Carolingia terkemuka, Janet Nelson, menghipotesakan di dalam karya tahun 1998 "Setelah Keruntuhan Roma" bahwa puteri Desiderius sebenarnya bernama Gerperga. Alasan yang digunakan oleh Nelson Hinges tampaknya memiliki banyak kekacauan antara dirinya dan Gerberga, istri bangsa Franka Carloman I yang merupakan saudara Charlemagne dan rekan-penguasa tahun 768-771. Bahkan Paus Stefanus III tampaknya bingung pada dua dan para penulis sejarah dan analis tampaknya percaya bahwa Gerberga melarikan diri ketika suaminya meninggal, ke istana ayahnya (ia lari ke Desiderius, yang jelas bukan ayahnya).
Apa yang pasti adalah bahwa Desiderius dan Ansa memiliki tiga anak perempuan lainnya yang bernama Anselperga, Adelperga, dan Liutperga. Kesamaan dalam nama putri mereka berakhir "-Perga". Berdasarkan hal ini, penulis percaya kebingungan ini disebabkan karena kedua ratu (istri-istri dari dua bersaudara Charles dan Carloman) memiliki nama yang sama, yaitu Gerberga atau Gerperga, yang masing-masing bangsa Franka dan Lombardia dari nama modern Prancis Gerberge.
Lihat pula

Biara Santa Giulia
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Didahului oleh: Bertrada dari Laon | Ratu Franka 770–771 dengan Gerberga (768–771) | Diteruskan oleh: Hildegarde |
Awilinan, Air Buaya, Buru

| Awilinan |
| --- | --- |
Desa
Negara:  Indonesia
Provinsi: Maluku
Kabupaten: Buru
Kecamatan: Air Buaya
Kode pos: 97572
Kode Kemendagri: 81.04.02.2023 
Luas: ... km²
Jumlah penduduk: ... jiwa
Kepadatan: ... jiwa/km²
Awilinan adalah sebuah desa di Kecamatan Air Buaya, Kabupaten Buru, Provinsi Maluku.
Pranala luar

(Indonesia) Keputusan Menteri Dalam Negeri Nomor 050-145 Tahun 2022 tentang Pemberian dan Pemutakhiran Kode, Data Wilayah Administrasi Pemerintahan, dan Pulau tahun 2021
(Indonesia) Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 72 Tahun 2019 tentang Perubahan atas Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 137 Tahun 2017 tentang Kode dan Data Wilayah Administrasi Pemerintahan
(Indonesia) Peraturan Menteri Dalam Negeri Nomor 137 Tahun 2017 tentang Kode dan Data Wilayah Administrasi Pemerintahan
| l b Kecamatan Air Buaya, Kabupaten Buru, Maluku |
| --- | --- |
Desa:  Air Buaya  Awilinan  Bara  Batlale  Kampung Baru  Selwadu  Tanjung Karang  Waemangit  Waepure  Wasbaka
Rangkap tiga Pythagoras

Animasi menunjukkan rangkap tiga Pythagoras paling sederhana,  3^{2}+4^{2}=5^{2}.
Sebuah rangkap tiga Pythagoras (atau umumnya disebut tripel Pythagoras) terdiri dari tiga bilangan bulat positif  a,  b, dan  c, sehingga  a^{2}+b^{2}=c^{2}. Seperti sebuah rangkap tiga biasanya ditulis  (a,b,c), dan sebuah contoh yang terkenal adalah  (3,4,5). Jika  (a,b,c) adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan  (ka,kb,kc) untuk suatu bilangan bulat positif  k. Sebuah rangkap Pythagoras primitif adalah salah satu di mana  a,  b, dan  c adalah koprima (yaitu, mereka tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari  1). Sebuah segitiga yang sisinya membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras disebut segitiga Pythagoras, dan selalu sebuah segitiga siku-siku.
Namanya diturunkan dari teorema Pythagoras, menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang memenuhi rumus  a^{2}+b^{2}=c^{2}; demikian, rangkap tiga Pythagoras menggambarkan tiga panjang sisi bilangan bulat dari sebuah segitiga siku-siku. Namun, segitiga siku-siku dengan sisi tak bilangan bulat tidak membentuk rangkap tiga Pythagoras. Misalnya, segitiga dengan sisi  a=b=1 dan  c={\sqrt {2}} merupakan sebuah segitiga siku-siku, tetapi  (1,1,{\sqrt {2}}) bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras karena  {\sqrt {2}} bukanlah sebuah bilangan bulat. Selain itu,  1 dan  {\sqrt {2}} tidak memiliki sebuah kelipatan persekutuan bilangan bulat karena  {\sqrt {2}} adalah irasional.
Rangkap tiga Pythagoras telah dikenal sejak waktu kuno. Catatan terlama yang dikenal dari Plimpton 322, sebuah loh tanah liat Babylonian dari sekitar 1800 SM, ditulis dalam sebuah sistem bilangan seksagesimal. Ini ditemukan oleh Edgar James Banks sesaat setelah tahun 1900, dan dijual ke George Arthur Plimpton pada tahun 1922, untuk $10.
Ketika menelusuri untuk penyelesaian bilangan bulat, persamaan  a^{2}+b^{2}=c^{2} merupakan sebuah persamaan Diophantus. Demikian rangkap tiga Pythagoras adalah penyelesaian terlama yang diketahui mengenai sebuah persamaan Diophantus taklinear
Contoh-contoh

Terdapat 16 rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 100:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  (3,4,5) |  (5,12,13) |  (8,15,17) |  (7,24,25) |
|  (20,21,29) |  (12,35,37) |  (9,40,41) |  (28,45,53) |
|  (11,60,61) |  (16,63,65) |  (33,56,65) |  (48,55,73) |
|  (13,84,85) |  (36,77,85) |  (39,80,89) |  (65,72,97) |
Setiap titik-titik ini membentuk sebuah garis pemancar dalam plot pancar. Rangkap tiga Pythagoras kecil lainnya seperti  (6,8,10) tidak terdaftar karena mereka bukanlah primitf, misalnya  (6,8,10) merupakan kelipatan dari  (3,4,5).
Ini sebagai tambahannya merupakan sisa rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 300:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  (20,99,101) |  (60,91,109) |  (15,112,113) |  (44,117,125) |
|  (88,105,137) |  (17,144,145) |  (24,143,145) |  (51,140,149) |
|  (85,132,157) |  (119,120,169) |  (52,165,173) |  (19,180,181) |
|  (57,176,185) |  (104,153,185) |  (95,168,193) |  (28,195,197) |
|  (84,187,205) |  (133,156,205) |  (21,220,221) |  (140,171,221) |
|  (60,221,229) |  (105,208,233) |  (120,209,241) |  (32,255,257) |
|  (96,247,265) |  (69,260,269) |  (115,252,277) |  |
|  (160,231,281) |  (161,240,289) |  (68,285,293) |  |
Menghasilkan sebuah rangkap tiga

Rumus Euclid merupakan sebuah rumus dasar untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras yang diberikan sebuah pasangan sembarang bilangan bulat  m dan  n dengan  m>n>0. Rumusnya menyatakan bahwa bilangan bulat
membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras. Rangkapya dihasilkan oleh rumus Euclid adalah primitif jika dan hanya jika  m dan  n adalah koprima dan keduanya bukan bilangan ganjil. Ketika keduanya  m dan  n adalah ganjil, maka  a,  b, dan  c akan menjad genap, dan rangkap tiganya tidak akan menjadi primitif, namun, membagi  a,  b, dan  c oleh 2 akan menghasilkan sebuah rangkap tiga primitf ketika  m dan  n adalah koprima dan keduanya ganjil.
Setiap rangkap tiga primitif muncul (setelah pertukaran  a dan  b, jika  a adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal bilangan koprima  m,  n, salah satunya yang genap. Ini mengikuti bahwa terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif banyak. Hubungan ini mengenai  a,  b, dan  c dengan  m dan  n dari rumus Euclid direferensikan sepanjang sisa halaman ini.
Meski menghasilkan semua rangkap tiga primitif, rumus Euclid tidak menghasilkan semua rangkap tiga—contohnya,  (9,12,15) tidak dapat dihasilkan menggunakan bilangan bulat  m dan  n. Ini dapat diperbaiki dengan memasukkan sebuah parameter tambahan  k ke rumusnya. Berikut ini akan menghasilkan semua rangkap tiga Pythagoras dengan tunggal:
dimana  m,  n, dan  k adalah bilangan bulat positif dengan  m>n, dan dengan  m dan  n adalah koprima dan keduanya bukanlah ganjil.
Bahwa rumus-rumus ini menghasilkan rangkap tiga Pythagoras dapat diverifikasikan dengan memperluas  a^{2}+b^{2} menggunakan aljabar elementer dan memverifikasikan bahwa hasilnya sama dengan  c^{2}. Karena setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dibagi melalui oleh suatu bilangan bulat  k untuk memperoleh sebuah rangkap tiga primitif, setiap rangkap tiga dapat secara tunggal dengan menggunakan rumus dengan  m dan  n untuk menghasilkan pasangan primitifnya dan kemudian mengalikan melalui oleh  k seperti dalam persamaan terakhirnya.
Memilih  m dan  n dari barisan bilangan tertentu memberikan hasil yang menarik. Contohnya, jika  m dan  n adalah bilangan Pell berturut-turut,  a dan  b akan berbeda oleh 1.
Banyak rumus-rumsu untuk menghasilkan rangkap tiga dengan sifat-sifat khusus telah dikembangkan sejak zaman Euclid.
Menghasilkan sebuah rangkap tiga > Bukti rumus Euclid

Kepuasannya mengenai rumus Euclid oleh  a,  b, dan  c adalah cukup untuk segitiga menjadi Pythagoras rupanya dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif  m dan  n,  m>n,  a,  b, dan  c diberikan oleh rumus adalah bilangan positif semua, dan dari fakta bahwa
Sebuah bukti keperluannya bahwa  a,  b, dan  c diungkapkan oleh rumus Euclid untuk suatu rangkap tiga Pythagoras priitif adalah sebagai berikut. Semua seperti rangkap tiga dapat ditulis sebagai  (a,b,c) dimana  a^{2}+b^{2}=c^{2} dan  a,  b, serta  c adalah koprima. Demikian juga,  a,  b, dan  c adalah koprima sepasangan (jika sebuah bilangan prima dibagi dua dari mereka, ini juga akan mendorong untuk membagi yang ketiganya). Karena  a dan  b adalah koprima, setidaknya salah satu darinya adalah ganjil, jadi kita dapat menganggap bahwa  a adalah ganjil, dengan menukarkan, jika diperlukan  a dan  b. Ini menyiratkan bahwa  b adalah genap dan  c adalah ganjil (jika  b adalah ganjil,  c akan menjadi genap, dan  c^{2} akan menjadi sebuah kelipatan dari 4, sementara  a^{2}+b^{2} akan menjadi kongruen dengan 2 modulo 4, sebagai sebuah bilangan kuadrat ganjil adalah kongruen dengan 1 modulo 4).
Dari  a^{2}+b^{2}=c^{2}, kita memperoleh  c^{2}-a^{2}=b^{2} dan karena itu  (c-a)(c+a)=b^{2}. Maka  {\frac {(c+a)}{b}}={\frac {b}{(c-a)}}. Karena  {\frac {(c+a)}{b}} adalah rasional, kita meletakkannya sama dengan  {\frac {m}{n}} dalam jangka terendah. Demikian  {\frac {(c-a)}{b}}={\frac {n}{m}}, menjadi timbal balik dari  {\frac {(c+a)}{b}}. Lalu menyelesaikan
untuk  {\frac {c}{b}} dan  {\frac {a}{b}} memberikan
Karena  {\frac {m}{n}} tereduksi dengan penuh,  m dan  n adalah koprima, dan mereka tidak dapat menjadi genap. Jika mereka keduanya ganjil, pembilang dari  {\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}} akan menjadi sebuah kelipatan dari 4 (karena sebuah bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4), dan penyebutnya  2mn tidak akan menjadi sebuah kelipatan dari 4. Karena 4 akan menjadi faktor genap minimum mungkin dalam pembilang dan 2 akan menjadi faktor genap maksimum mungkin dalam penyebut, ini akan menyiratkan  a menjadi genap meskipun menentukannya sebagai ganjil. Demikian salah satu dari  m dan  n adalah ganjil dan lainnya adalah genap, dan pembilangnya dari dua pecahan dengan penyebut  2mn adalah ganjil. Demikian pecahan-pecahan ini adalah tereduksi dengan penuh (sebuah bilangan prima ganjil membagi penyebut ini dibagi salah satu dari  m dan  n tetapi bukan yang lainnya; demikian ini tidak membagi  m^{2}\pm n^{2}). Salah satunya dapat demikian menyamakan penyebut, memberikan rumus Euclid.
Sebuah bukti yang lebih panjang tapi lebih umum diberikan di Maor (2007) dan Sierpiński (2003). Bukti lain diberikan dalam Persamaan Diophantus § Contoh rangkap tiga Pythagoras, sebagai sebuah contoh mengenai sebuah metode umum yang berlaku dengan setiap persamaan Diophantus homogen derajat dua.
Menghasilkan sebuah rangkap tiga > Interpretasi mengenai parameter dalam rumus Euclid

Andaikan sisi segitiga Pythagoras memiliki panjang  m^{2}-n^{2},  2mn,  m^{2}+n^{2}, dan menganggap sudutnya antara kaki dengan panjang  m^{2}-n^{2} dan hipotenusa dengan panjang  m^{2}+n^{2} dilambangkan sebagai  \beta . Maka  \tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)={\frac {m}{n}} dan nilai trigonometrik sudut penuhnya adalah  \sin \beta ={\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}, dan  \cos \beta ={\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}, dan  \tan \beta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}.
Menghasilkan sebuah rangkap tiga > Sebuah varian

Varian berikut mengenai rumus Euclid terkadang lebih cocok, karena menjadi lebih simetrik dalam  m dan  n (syarat paritas yang sama pada  m dan  n)
Jika  m dan  n adalah dua bilangan bulat ganjil sehingga  m>n, maka
adalah tiga bilangan bulat membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, yang adalah primitif jika dan hanya jika  m dan  n adalah koprima. Sebaliknya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif muncul (setelah pertukaran  a dan  b, jika  a adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal  m>n>0 mengenai bilangan bulat ganjil.
Geometri mengenai rumus Euclid > Titik rasional pada sebuah lingkaran satuan

Rumus Euclid untuk sebuah rangkap tiga Pythagoras
dapat dipahami dalam istilah dari geometri titik rasional pada satuan lingkaran (Trautman 1998).
Faktanya, sebuah titik dalam bidang Cartesius dengan koordinat  (x,y) menjadi miliki lingkaran satuan jika  x^{2}+y^{2}=1. Titiknya adalah rasional jika  x dan  y adalah bilangan rasional, yaitu, jika terdapat bilangan bulat koprima  a,  b,  c sehingga
Dengan mengalikan kedua anggota  c^{2}, salah satunya dapat lihat bahwa titik rasional pada lingkaran adalah dalam berpadanan satu-ke-satu dengan rangkap tiga Pythagoras primitif.
Lingkaran satuan juga dapat didefinisikan oleh sebuah persamaan parametrik
Rumus Euclid untuk rangkap tiga Pythagoras berarti bahwa, kecuali untuk  (-1,0), sebuah titik pada lingkaran adalah rasional jika dan hanya jika nilainya berpadanan dari  t adalah sebuah bilangan rasional.
Geometri mengenai rumus Euclid > Pendekatan stereografik

Ini adalah sebuah padanan antara titik pada lingkaran satuan dengan koordinat rasional dan rangkap tiga Pythagoras primitif. Di poin ini, rumus Euclid dapat diturunkan baik oleh metode trigonometri maupun dengan setara menggunakan projeksi stereografik.
Untuk pendekatan stereografik, andaikan bahwa  P' adalah sebuah titik pada sumbu- x dengan koordinat rasional
Maka, ini dapat ditunjukkan oleh aljabar dasar bahwa titik  P memiliki koordinat
Ini menetapkan bahwa setiap titik rasional dari sumbu- x berjalan lewat ke sebuah titik rasional dari lingkaran satuan. Sebaliknya, bahwa setiap titik rasional dari lingkaran satuan datang dari seperti sebuah titik dari sumbu- x, mengikuti dengan menerapkan projeksi stereografik inversnya. Andaikan bahwa  P(x,y) merupakan sebuah titik dari lingkaran satuan dengan  x dan  y bilangan rasional. Mka titik  P' diperoleh dari projeksi stereografik pada sumbu- x memiliki koordinat
yang merupakan rasional.
Dalam istilah geometri aljabar, varietas aljabar mengenai titik rasional pada lingkaran satuan adalah birasional ke garis afin atas bilangan rasional. Demikian lingkaran satuan disebut sebuah lengkung rasional, dan ini adalah fakta yang memungkinkan sebuah parameterisasi eksplisit dari titik (bilangan rasional) pada hal itu melalui fungsi rasional.
Segitiga Pythagoras dalam sebuah kekisi 2 dimensi

Sebuah kekisi 2 dimensi merupakan sebuah larik beraturan mengenai titik terpencil dimana jika suatu satu titik dipilih sebagai titik asal Cartesius  (0,0), maka semua titik lainnya ada di  (x,y) dimana  x dan  y mengembara di semua bilangan bulat positif dan negatif. Suatu segitiga Pythagoras dengan rangkap tiga  (a,b,c) dapat digambar dalam sebuah kekisi 2 dimensi dengan verteks di koordinat  (0,0),  (a,0), dan  (0,b). Jumlah langkah titik kekisi terletak sempurna dalam batas dari segitiga diberikan oleh  {\frac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}}; untuk rangkap tiga Pythagoras primitif, kekisi dalam ini adalah  {\frac {(a-1)(b-1)}{2}}. Luasnya (oleh teorema Pick sama dengan satu lebih kecil dari jumlah langkah kekisi dalam ditambah setengah dari jumlah langkah kekisi batas) sama dengan  {\frac {ab}{2}}.
Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythagoras primitif membagi luas yang sama terjadi dengan segitiga dengan sisi  (20,21,29),  (12,35,37) dan luas umumnya adalah 210 (barisan A093536 pada OEIS). Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythgoras primitif membagi jumlah langkah kekisi dalam yang sama terjadi dengan  (18108,252685,253333),  (28077,162964,165365) dan jumlah kekisi dalam adalah 2287674594 (barisan A225760 pada OEIS). Tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi luas yang sama:  (4485,5852,7373),  (3059,8580,9109),  (1380,19019,19069) dengan luas 13123110. Hingga kini, tidak ada himpunan tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi jumlah langkah kekisi dalam.
Enumerasi rangkap tiga Pythagoras primitif

Oleh rumus Euclid, semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari bilangan bulat  m dan  n dengan  m>n>0,  m+n adalah ganjil dan  \gcd(m,n)=1. Karena itu terdapat sebuah 1 ke 1 pemetaan rasional (dalam suku terkecil) ke rangkap tiga Pythagoras primitid dimana  {\frac {n}{m}} ada di dalam selang  (0,1) dan  m+n adalah ganjil.
Pemetaan terbalik dari sebuah rangkap tiga primitif  (a,b,c) dimana  c>b>a>0 ke sebuah rasional  {\frac {n}{m}} dicapai dengan mempelajari dua jumlah  a+c dan  b+c. Salah satu dari jumlah ini akan menjadi sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan  (m+n)^{2} dan lainnya akan menjadi dua kali sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan  2m^{2}. Ini kemudian mungkin untuk menentukan rasional  {\frac {n}{m}}.
Dalam rangka untuk menghitung rangkap tiga Pythagoras primitif, rasionalnya dapat diungkapkan sebagai sebuah pasangan terurut  (n,m) dan dipetakan ke sebuah bilangan bulat menggunakan sebuah fungsi pasangan Cantor. Sebuah contoh dapat dilihat pada (barisan A277557 pada OEIS). Ini dimulai
8,18,19,32,33,34,\dots  dan memberikan rasional  {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{6}},\dots  ini, ternyata, menghasilkan rangkap tiga primitif  (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots
Hubungan induk/anak

Melalui sebuah hasil dari (Berggren 1934), semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari segitiga  (3,4,5) dengan menggunakan tiga transformasi linear  T_{1},  T_{2},  T_{3} di bawah, dimana  a,b,c adalah sisi rangkap tiga:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  | sisi baru  a | sisi baru  b | sisi baru  c |
|  T_{1} |  a-2b+2c |  2a-b+2c |  2a-2b+3c |
|  T_{2} |  a+2b+2c |  2a+b+2c |  2a+2b+3c |
|  T_{3} |  -a+2b+2c |  -2a+b+2c |  -2a+2b+3c |
Dengan kata lain, setiap rangkap tiga primitif akan menjadi sebuah "induk" untuk tiga tambahan rangkap tiga primitif. Mulai dari simpul awal dengan  a=3,  b=4,  c=5, operasi  T_{1} menghasilkan rangkap tiga baru
dan dengan cara yang serupa  T_{2} dan  T_{3} menghasilkan rangkap tiga  (21,20,19) dan  (15,8,17).
Transformasi linear  T_{1},  T_{2}, dan  T_{3} memiliki sebuah interpretasi geometrik dalam bahasa bentuk kuadrat. Mereka terhubung erat dengan (tapi tidak sama dengan) cerminan menghasilkan grup ortogonal  x^{2}+y^{2}-z^{2} atas bilangan bulat.