Persamaan kubik
Sejarah

Persamaan kubik dikenal oleh orang-orang Babilonia, Yunani, Tionghoa, India, dan Mesir kuno. Papan aksara paku Babilonia (abad ke-20 sampai ke-16 SM) telah ditemukan berisi tabel untuk menghitung kubik dan akar kubik. Orang-orang Babilonia mungkin telah menggunakan tabel-tabel tersebut untuk menyelesaikan persamaan kubik, tetapi tidak ada bukti yang mengonfirmasinya. Masalah menggandakan kubus melibatkan persamaan kubik yang paling sederhana dan tua, dan dipercayai oleh orang-orang Mesir kuno tidak memiliki penyelesaian. Pada abad ke-5 SM, Hippokrates mereduksi masalah ini menjadi masalah mencari rata-rata geometri antara suatu garis dengan garis lain yang dua kali lipat panjangnya, tetapi tidak bisa menyelesaikan ini menggunakan sebuah konstruksi jangka dan penggaris, cara yang sekarang diketahui tidak mungkin dilakukan. Metode untuk menyelesaikan persamaan kubik muncul dalam The Nine Chapters on the Mathematical Art, sebuah teks matematika Tiongkok yang dikumpulkan pada sekitar abad ke-2 SM dan dikomentari oleh Liu Hui pada abad ke-3. Pada abad ke-3 Masehi, matematikawan Yunani Diofantos menemukan penyelesaian bilangan bulat atau rasional untuk beberapa persamaan bivariat (persamaan Diophantine). Hippokrates, Menaikhmos dan Archimedes dipercaya telah hampir menyelesaikan permasalahan menggandakan kubus menggunakan irisan kerucut yang berpotongan, meskipun sejarawan seperti Reviel Netz mempertanyakan apakah para orang Yunani memikirkan tentang persamaan kubik atau hanya masalah yang bisa menghasilkan persamaan kubik. Sebagian yang lain seperti T. L. Heath, yang menerjemahkan semua karya Archimedes, tidak setuju, memberikan bukti bahwa Archimedes benar-benar menyelesaikan persamaan kubik menggunakan perpotongan dua irisan kerucut, tetapi juga mendiskusikan apabila akarnya ada 0, 1 atau 2.
Pada abad ke-7, astronom-matematikawan dinasti Tang Wang Xiaotong dalam risalah matematikanya yang berjudul Jigu Suanjing secara sistematis menetapkan dan menyelesaikan secara numerik 25 persamaan kubik dengan bentuk  x^{3}+px^{2}+qx=N, 23 di antaranya dengan  p,q\neq 0, dan dua di antaranya dengan  q=0.
Pada abad ke-11, penyair-matematikawan Persia, Umar Khayyam (1048–1131), membuat kemajuan signifikan dalam teori persamaan kubik. Dalam karangan lamanya, dia menemukan bahwa sebuah persamaan kubik bisa memiliki lebih dari satu penyelesaiaan dan menyatakan bahwa persamaan kubik tidak bisa diselesaikan menggunakan konstruksi jangka dan penggaris. Dia juga menemukan sebuah penyelesaian geometris. Dalam karya lainnya kemudian, Treatise on Demonstration of Problems of Algebra, dia menulis sebuah pengelompokan lengkap persamaan kubik dengan penyelesaian geometris umum yang ditemukan dengan cara memotongkan irisan kerucut.
Pada abad ke-12, matematikawan India Bhaskara II mencoba menyelesaikan persamaan kubik tetapi secara umum tidak berhasil. Akan tetapi, dia memberikan satu contoh persamaan kubik:  x^{3}+12x=6x^{2}+35. Pada abad ke-12, matematikawan Persia lainnya, Sharaf al-Din al-Tusi (1135–1213), menulis Al-Muʿādalāt (Treatise on Equations), yang berurusan dengan delapan jenis persamaan kubik dengan penyelesaian positif dan lima jenis persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif. Dia menggunakan apa yang kemudian dikenal sebagai "metode Ruffini-Horner" untuk memperkirakan secara numerik akar persamaan kubik. Dia juga menggunakan konsep maksimum dan minimum kurva untuk menyelesaikan persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif. Dia memahami pentingnya diskriminan suatu persamaan kubik dalam mencari penyelesaiaan aljabar dari jenis-jenis persamaan kubik tertentu.
Dalam bukunya Flos, Leonardo de Pisa, juga dikenal sebagai Fibonacci (1170–1250), mampu memperkirakan dengan dekat penyelesaian positif untuk persamaan kubik  x^{3}+2x^{2}+10x=20. Menulis dengan angka-angka Babilonia dia memberikan hasil 1.22.7.42.33.4.40 (ekuivalen dengan 



1
+


22
60


+


7

60

2




+


42

60

3




+


33

60

4




+


4

60

5




+


40

60

6






{\textstyle 1+{\frac {22}{60}}+{\frac {7}{60^{2}}}+{\frac {42}{60^{3}}}+{\frac {33}{60^{4}}}+{\frac {4}{60^{5}}}+{\frac {40}{60^{6}}}}

), yang memiliki galat hampiran sekitar 10−9.
Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro (1465–1526) menemukan metode untuk menyelesaikan sebuah jenis persamaan kubik, yaitu yang berbentuk  x^{3}+mx=n. Sebenarnya, semua persamaan kubik bisa direduksi menjadi bentuk ini jika kita membolehkan  m dan  n bernilai negatif, tetapi bilangan negatif belum diketahuinya pada saat itu. Del Ferro merahasiakan pencapaiannya sampai kematiannya, pada mana dia memberi tahu muridnya Antonio Fior tentang itu.
Pada tahun 1530, Niccolò Tartaglia (1500–1557) menerima dua permasalahan persamaan kubik dari Zuanne da Coi dan mengumumkan bahwa dia bisa menyelesaikannya. Dia kemudian ditantang oleh Fior, yang menghasilkan pertandingan terkenal di antara keduanya. Masing-masing kontestan harus menaruh sejumlah uang dan mengusulkan banyak permasalahan yang lawannya harus selesaikan. Siapapun yang menyelesaikan lebih banyak permasalahan dalam waktu 30 hari akan mendapatkan semua uangnya. Tartaglia menerima pertanyaan dalam bentuk  x^{3}+mx=n, yang dia telah kembangkan metode umumnya. Fior menerima pertanyaan dalam bentuk  x^{3}+mx^{2}=n, yang rupanya terlalu sulit untuk dia selesaikan, dan Tartaglia memenangkan pertandingannya.
Kemudian, Tartaglia dibujuk oleh Gerolamo Cardano (1501–1576) untuk mengungkapkan rahasianya dalam menyelesaikan persamaan kubik. Pada tahun 1539, Tartaglia melakukannya tetapi dengan syarat Cardano tidak boleh memberitahukannya dan apabila dia menulis buku mengenai kubik, dia harus memberikan Tartaglia untuk membuat terbitannya. Beberapa tahun kemudian, Cardano mempelajari tentang karya del Ferro dan menerbitkan metode del Ferro dalam bukunya Ars Magna pada tahun 1545, jadi Cardano memberikan Tartaglia enam tahun untuk menerbitkan hasilnya (dengan kredit diberikan kepada Tartaglia untuk penyelesaiannya sendiri). Janji Cardano kepada Tartaglia mengatakan bahwa dia tidak akan menerbitkan hasil pekerjaan Tartaglia, dan Cardano merasa dia menerbitkan hasil pekerjaan del Ferro, jadi perjanjiannya tidak dilanggar. Meskipun begitu, ini menyebabkan Cardano mendapatkan tantangan dari Tartaglia, yang Cardano tolak. Tantangannya akhirnya diterima oleh murid Cardano Lodovico Ferrari (1522–1565). Ferrari mendapatkan hasil yang lebih baik daripada Tartaglia dalam pertandingan mereka, dan Tartaglia kehilangan gengsi dan pendapatannya.
Cardano memperhatikan bahwa metode Tartaglia terkadang perlu melibatkan akar kuadrat dari bilangan negatif. Dia bahkan memasukkan sebuah penghitungan bilangan-bilangan kompleks tersebut dalam Ars Magna, tetapi dia tidak benar-benar memahaminya. Rafael Bombelli mempelajai masalah ini secara rinci dan dianggap sebagai penemu bilangan kompleks.
François Viète (1540–1603) secara mandiri menurunkan penyelesaian trigonometri untuk kubik dengan tidak akar real, dan René Descartes (1596–1650) memperluas karya Viète.