Logaritma
Perumuman > Logaritma kompleks

Artikel utama: Logaritma kompleks
Semua bilangan kompleks a yang menyelesaikan persamaan
disebut logaritma kompleks dari z, ketika z (dianggap sebagai) bilangan kompleks. Bilangan kompleks biasanya dinyatakan sebagai z = x + iy, dengan x dan y adalah bilangan real dan i adalah satuan imajiner (satuan yang dikuadratkan memberikan nilai −1). Bilangan kompleks dapat divisualisasikan melalui sebuah titik dalam bidang kompleks, seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut. Bentuk polar menulis bilangan kompleks tak-nol z melalui titik nilai mutlak, yang berarti jarak yang berupa bilangan bernilai real dan positif r sama dengan titik z ke titik asalnya. Bentuk polar juga menulis sebuah sudut antara bilangan real pada sumbu-Re (yakni sumbu-x)  Re dan garis yang melalui titik asal dan titik z. Sudut tersebut disebut sebagai argumen dari z.
Nilai mutlak r dari z dinyatakan sebagai
Dengan menggunakan pandangan geometris pada fungsi sinus dan kosinus beserta periodisitasnya dalam 2π, setiap bilangan kompleks z dapat dinyatakan sebagai
untuk setiap bilangan bulat k. Nyatanya, argumen dari z tidak dijelaskan secara unik, yakni: bilangan φ dan φ' = φ + 2kπ adalah argumen valid dari z untuk semua bilangan bulat k, karena menambahkan 2kπ radian atau k⋅360° ke bilangan φ berpadanan dengan "lilitan" di sekitar titik asal yang berputar berlawanan arah jarum jam sebanyak k putaran. Hasil bilangan kompleks selalu z, seperti yang diilustrasikan pada gambar untuk k = 1. Setidaknya ada salah satu dari argumen z yang mungkin disebut sebagai argumen prinsip, yang dilambangkan Arg(z), dipilih dengan memerlukan putaran φ di selang (−π, π] atau [0, 2π). Daerah-daerah tersebut, dengan argumen z ditentukan sekali disebut cabang dari fungsi argumen.
Rumus Euler mengaitkan fungsi trigonometri sinus dan kosinus dengan eksponensial kompleks:
Dengan menggunakan rumus di atas, dan periodisitasnya lagi, maka berlaku identitas berikut:
dengan ln(r) adalah fungsi logaritma real tunggal, ak menyatakan logaritma kompleks dari z, dan k bilangan bulat sembarang. Karena itu, logaritma kompleks dari z, yang semua bilangan kompleks ak untuk e pangkat ak sama dengan z, mempunyai tak berhingga banyaknya nilai
Dengan mengambil k sehingga φ + 2kπ ada di dalam selang yang ditentukan untuk argumen prinsip, maka ak disebut nilai prinsip dari logaritma, dinotasikan sebagai Log(z). Argumen prinsip setiap bilangan real positif  x bernilai 0, jadi Log(x) adalah sebuah bilangan real yang sama dengan logaritma (alami). Akan tetapi, rumus logaritma tentang darab dan perpangkatan bilangan di atas tidak memberikan perumuman terkait nilai prinsip dari logaritma kompleks.
Ilustrasi tersebut menggambarkan Log(z), membatasi argumen  z dengan interval (−π, π]. Cara memadankan cabang dari logaritma kompleks mempunyai ketakkontinuan di sepanjang sumbu-x real negatif, seperti yang dapat dilihat pada lompatan hue di gambar. Saat melintasi batas, ketakkontinuan tersebut dimulai dari lompatan hingga batas lain yang ada di cabang yang sama, dalam artian bahwa tiada perubahan dengan nilai-k dari cabang tetangga kontinu yang berpadanan. Lokus tersebut dinamakan potongan cabang. Dengan menghapus perbatasan argumen, maka relasi "argumen dari z" dan "logaritma dari z" menjadi fungsi bernilai banyak.