Integral
Sifat > Pertidaksamaan

Beberapa pertidaksamaan umum berlaku untuk fungsi-fungsi terintegralkan-Riemann yang terdefinisi pada selang tertutup dan terbatas  [a,\,b], dan dapat diperluas ke bentuk-bentuk integral lainnya (seperti Lebesgue). Pertidaksamaan tersebut meliputi:
Batas bawah dan batas atas. Sebarang fungsi  f yang terintegralkan pada  [a,\,b] haruslah terbatas pada selang tersebut. Artinya, ada bilangan riil  m dan  M sehingga  m\leq f(x)\leq M untuk sebarang  x\in [a,\,b]. Karena jumlah batas bawah dan batas atas dari  f pada  [a,\,b] secara berurutan sama dengan  m(b-a) dan  M(b-a), dapat disimpulkan  m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).
Pertidaksamaan antar fungsi. Jika  f(x)\leq g(x) untuk setiap  x\in [a,\,b], maka jumlah batas bawah dan atas dari  f dibatasi dari-atas masing-masing oleh jumlah batas bawah dan atas dari  g. Akibatnya, \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.Ini adalah perumuman dari pertidaksamaan sebelumnya, karena  M(b-a) sama saja dengan integral dari fungsi konstan bernilai  M pada  [a,\,b]. Lebih lanjut, jika pertidaksamaan antar fungsi bersifat tegas, maka pertidaksamaan antar integral juga tegas. Artinya, jika  f(x)<g(x) untuk setiap  x\in [a,\,b], berlaku \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.
Subselang. Jika  [c,\,d] adalah subselang dari  [a,\,b], dan  f(x) bernilai non-negatif untuk  x\in [a,\,b], maka \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.
Hasil kali dan nilai mutlak dari fungsi. Jika  f dan  g adalah fungsi, maka perkalian setitik (pointwise products), perpangkatan, dan nilai mutlak dari kedua fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai:  (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|. Jika  f terintegralkan-Riemann pada  [a,\,b], maka hal yang sama juga berlaku untuk  |f|, dan \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx. Lebih lanjut, jika  g juga terintegralkan-Riemann pada selang yang sama, maka  fg juga terintegralkan-Riemann, dengan  \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).Pertidaksamaan ini, dikenal sebagai pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, memainkan peran penting dalam teori ruang Hilbert; sisi kiri diintepretasikan sebagai hasil kali dalam dari dua fungsi terintegralkan-kuadrat  f dan  g pada  [a,\,b].
Pertidaksamaan Hölder. Misalkan  p dan  q adalah dua bilangan riil, dengan  1\leq p,q\leq \infty  dan  {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1. Misalkan pula  f dan  g adalah fungsi terintegralkan-Riemann. Dapat dibuktikan bahwa fungsi  |f|^{p} dan  |g|^{q} terintegralkan dan memenuhi pertidaksamaan Hölder berikut:  \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}. Untuk  p=q=2, pertidaksamaan Hölder tereduksi menjadi pertidaksamaan Cauchy–Schwarz.
Pertidaksamaan Minkowski. Misalkan  p\geq 1 adalah sebuah bilangan riil, dan  f dan  g adalah fungsi terintegralkan-Riemann. Dapat dibuktikan bahwa fungsi  |f|^{p},  |g|^{p}, dan  |f+g|^{p}, juga terintegralkan-Riemann dan memenuhi pertidaksamaan Minkowski berikut:  \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}. Versi integral Lebesgue dari pertidaksamaan ini digunakan dalam konstruksi ruang Lp.