Fungsi kontinu
Fungsi real > Definisi

Sebuah fungsi real, yakni fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real, dapat dinyatakan sebagai sebuah grafik pada bidang Kartesius. Secara informal, fungsi tersebut dikatakan kontinu jika grafik dari fungsi tersebut berupa satu kurva utuh dengan domainnya adalah seluruh garis bilangan. Definisi matematis yang lebih tegas (rigor) diberikan pada bagian artikel di bawah. Secara sederhana, kekontinuan fungsi real umumnya didefinisikan dalam bentuk limit. Sebuah fungsi  f dengan variabel  x dikatakan kontinu di bilangan real  c, jika limit dari  f(x) ketika  x menuju  c, akan sama dengan  f(c).
Terdapat beberapa definisi berbeda mengenai kekontinuan (secara global) dari fungsi, yang bergantung dari bentuk domain fungsi tersebut. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang buka jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, dan jika fungsi kontinu di setiap titik di selang tersebut. Fungsi yang kontinu pada selang  (-\infty ,+\infty ) (yakni seluruh garis bilangan) umumnya cukup disebut sebagai fungsi kontinu; sebagian menyebut fungsi tersebut kontinu dimanapun. Sebagai contoh, semua fungsi polinomial kontinu dimanapun. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang semi-buka atau pada selang tutup, jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, fungsi kontinu di setiap titik dalam (interior) di selang tersebut, dan nilai fungsi pada ujung selang sama dengan nilai limit fungsi ketika variabel fungsi tersebut mendekati ujung selang dari sisi dalam selang. Sebagai contoh, fungsi  f(x)={\sqrt {x}} kontinu pada selang tutup-buka  [0,+\infty ); karena selang tersebut berada dalam domain fungsi (lebih tepatnya, selang tersebut adalah domain dari fungsi), fungsi kontinu di setiap titik di  (0,+\infty ), dan nilai  f(0) sama dengan nilai  \lim f(x) ketika  x\to 0 dari arah kanan.
Sebuah fungsi dikatakan takkontinu pada suatu titik, jika titik tersebut berada di ketertutupan (closure) dari domainnya, dan jika titik tersebut bukan bagian domain fungsi atau fungsi tidak kontinu pada titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi 



x
↦


1
x




{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}

 dan 



x
↦
sin
⁡
(


1
x


)


{\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}

 takkontinu di  x=0, dan tetap takkontinu bahkan ketika nilai fungsi di titik tersebut didefinisikan. Titik dimana fungsi takkontinu disebut titik ketakkontinuan atau diskontinuitas.
Banyak fungsi yang ditemui umumnya memiliki domain berupa seluruh bilangan real, kecuali untuk beberapa titik pencil. Contoh fungsi jenis ini adalah fungsi 



x
↦


1
x




{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}

 dan  x\mapsto \tan x. Ketika dibahas dalam konteks domain mereka, fungsi jenis ini dapat dikatakan kontinu, walaupun tidak kontinu dimanapun. Dalam konteks lain, khususnya perilaku fungsi di sekitar titik-titik istimewa seperti  x=0 untuk 



x
↦


1
x




{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}

, fungsi jenis ini termasuk fungsi takkontinu.
Menggunakan notasi matematika, ada beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi kontinu berdasarkan tiga sudut pandang yang disebutkan di atas. Untuk itu, misalkan f:D\to \mathbb {R} \quad adalah fungsi yang terdefinisi pada suatu subset  D dari himpunan bilangan real  \mathbb {R} . Subset  D ini adalah domain dari  f. Ketiga sudut pandang kekontinuan ada pada bentuk domain:
D=\mathbb {R} , yakni  D adalah keseluruhan himpunan bilangan real; atau untuk suatu bilangan real  a dan  b,
D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}:  D berupa selang tutup, atau
D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}:  D berupa selang buka.
Pada kasus domain  D didefinisikan sebagai suatu selang buka, titik  a dan  b tidak berada di  D, dan nilai dari  f(a) dan  f(b) tidak mempengaruhi kekontinuan fungsi pada  D.