Teorema Heine–Borel
Bukti > Implikasi "jika"

Diambil sembarang  n\in \mathbb {N}  dan sembarang bilangan riil  k>0. Pertama-tama, akan dibuktikan bahwa himpunan  K=\left[-k,\,k\right]^{n} merupakan himpunan himpunan kompak melalui kontradiksi.
Andaikan  K bukan merupakan himpunan kompak, maka terdapat suatu peliput buka
 C=\bigcup _{i\,=\,1}^{\infty }C_{i}
dari  K yang tidak memiliki subliput hingga. Himpunan  K kemudian dipartisi menjadi  2^{n} subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan  K. Jika semua  2^{n} subhimpunan dari himpunan  K masing-masing dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari  C, maka himpunan  K juga dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari  C (yaitu dengan menggabungkan semua subliput hingga dari masing-masing  2^{n} subhimpunan yang telah dipartisi). Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi berdasarkan asumsi di awal (bahwasanya himpunan  K bukan merupakan himpunan kompak). Akibatnya, setidaknya salah satu dari  2^{n} subhimpunan dari himpunan  K tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari  C. Misalkan subhimpunan ini dinamai  K_{1}.
Dengan proses serupa, himpunan  K_{1} kemudian dipartisi menjadi  2^{n} subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan  K_{1}. Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, hal ini mengakibatkan setidaknya salah satu dari  2^{n} subhimpunan dari himpunan  K_{1} tidak dapat diliput oleh suatu subliput berhingga dari  C. Misalkan subhimpunan ini dinamai  K_{2}. Proses ini terus dilanjutkan, sehingga terbentuk barisan
 K\supset K_{1}\supset K_{2}\supset \ldots \supset K_{p}\supset \ldots 
Perhatikan bahwa ukuran diameter dari himpunan  K_{p} ialah  (2k)\cdot 2^{-p}, yang akan menuju 0 saat nilai  p menuju tak hingga. Misalkan didefinisikan suatu barisan  \langle x_{m}\rangle  dengan sifat  x_{m}\in K_{m}, untuk setiap  m\in \mathbb {N} . Barisan ini adalah barisan Cauchy, sehingga barisan ini akan konvergen ke suatu nilai limit  L. Oleh karena  x_{m}\in K_{p} untuk setiap  m\geq p dan setiap himpunan  K_{p} merupakan himpunan tertutup, maka diperoleh  L\in K_{p} untuk setiap  p\in \mathbb {N} .
Berdasarkan definisi dari peliput suatu himpunan, maka berlaku  K\subseteq C. Oleh karena  L\in K_{p}, maka diperoleh  L\in C. Dengan kata lain, himpunan  C=\bigcup _{i\,=\,1}^{\infty }C_{i} meliput titik  L. Akibatnya, terdapat suatu  m\in \mathbb {N}  sedemikian sehingga  L\in \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}. Oleh karena  \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}} adalah himpunan terbuka, maka terdapat suatu  \varepsilon >0 sedemikian sehingga  B_{\varepsilon }(L)\subseteq \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}. Jika dipilih  p>\,^{2}\!\log \left({\dfrac {2k}{\varepsilon }}\right), maka  (2k)\cdot 2^{-p}<\varepsilon . Akibatnya, diperoleh
 K_{p}\subset B_{\varepsilon }(L)\subset \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}\subset C
Berdasarkan hasil di atas, himpunan  K_{p} memiliki setidaknya satu peliput hingga, yaitu  \bigcup _{t\,=\,1}^{m}C_{i_{t}}. Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi, sebab telah diperoleh sebelumnya bahwa setiap himpunan  K_{p} tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari  C. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan  K bukan merupakan himpunan kompak) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa himpunan  K=\left[-k,\,k\right]^{n} merupakan himpunan himpunan kompak.
Diketahui bahwa himpunan  H adalah himpunan tertutup dan terbatas. Oleh karena himpunan  H adalah himpunan terbatas, maka terdapat suatu  k>0 sedemikian sehingga  H\subseteq \left[-k,\,k\right]^{n}. Misalkan  {\mathcal {C}}_{H} adalah suatu peliput buka dari himpunan  H. Oleh karena himpunan  H adalah himpunan tertutup, maka  H^{\complement } adalah himpunan tertutup, dan himpunan
 {\mathcal {C}}_{K}={\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement }
adalah peliput buka dari himpunan  K=\left[-k,\,k\right]^{n}, sebab untuk sembarang elemen  x\in K
Jika  x\in H, maka  x\in {\mathcal {C}}_{H}, sehingga diperoleh  x\in {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement } (sebab  H\subseteq {\mathcal {C}}_{H}\subset {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement })
Jika  x\not \in H, maka  x\in H^{\complement }, sehingga diperoleh  x\in {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{\complement } (sebab  H^{\complement }\subset {\mathcal {C}}_{H}\cup H^{c})
Telah dibuktikan sebelumnya bahwa himpunan  K=\left[-k,\,k\right]^{n} merupakan himpunan kompak. Akibatnya, peliput buka  {\mathcal {C}}_{K} memiliki suatu subliput hingga  {\mathcal {S}}_{K} yang sekaligus meliput himpunan  H.
 H\subseteq K\subseteq {\mathcal {S}}_{K}\subset {\mathcal {C}}_{K}
Perhatikan bahwa setiap anggota pada himpunan  H^{\complement } bukanlah anggota dari himpunan  H. Akibatnya, himpunan  H dapat diliput oleh
 {\mathcal {S}}_{H}={\mathcal {S}}_{K}\setminus H^{\complement }
yang merupakan subliput hingga dari  {\mathcal {C}}_{H}. Oleh karena  {\mathcal {C}}_{H} adalah sembarang peliput buka dari himpunan  H, maka terbukti bahwa himpunan  H merupakan himpunan kompak.