Semigelanggang
Contoh > Contoh spesifik

Akhir pecahan (non-negatif)  {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-n}\mid m,n\in \mathbb {N} _{0}\right\} dalam sistem bilangan posisi ke basis tertentu  b\in \mathbb {N} . Maka  {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\subseteq {\frac {\mathbb {N} _{0}}{c^{\mathbb {N} _{0}}}}‍ jika  b bagi  c. Selanjutnya,  {\frac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}}:={\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\cup \left(-{\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\right) adalah gelanggang dari semua pecahan ke basis  b, dan padat dalam  \mathbb {Q}  untuk  |b|>1.
Bilangan alami ekstensi N ∪ {∞} dengan penjumlahan dan perkalian ekstensi (dan 0⋅∞ = 0).
Diberikan semigelanggang S, maka matriks semigelanggang  M_{n}(S) dari persegi-n dengan -n matriks membentuk semiring di bawah matriks biasa penjumlahan dan perkalian, dan semigelanggang matriks ini umumnya non-komutatif meskipun S komutatif. Misalnya, matriks dengan entri non-negatif,  M_{n}(\mathbb {N} ) bentuk matriks semigelanggang.
Jika A adalah monoid komutatif, himpunan End(A) dari endomorfisme f : A → A bentuk sebuah semigelanggang, dimana penjumlahan adalah penjumlahan dan perkalian secara runcing komposisi fungsi. Morfisme nol dan identitas adalah elemen netral. Semigelanggang komposisi tidak terdistribusi pada penambahan searah yang tersisa: a · (b+c) ≠ (a·b) + (a·c). Jika A adalah monoid aditif dari bilangan asli kita memperoleh semigelanggang dari bilangan asli sebagai End(A), dan jika A = Sn dengan S semigelanggang (setiap morfisme ke matriks) semigelanggang matriks persegi n-oleh-n dengan koefisien dalam S.
Semigelanggang Boolean adalah semigelanggang komutatif B dari bentuk oleh aljabar Boolean dua elemen dan ditentukan oleh 1 + 1 = 1. Idempoten dan merupakan contoh paling sederhana dari semigelanggang yang bukan gelanggang. Diberikan dua himpunan X dan Y, relasi biner antara X dan Y dengan matriks indeks oleh X dan Y dengan entri dalam semigelanggang Boolean, penjumlahan matriks terkait dengan penyatuan relasi, dan perkalian matriks terkait dengan komposisi relasi.
Diketahui himpunan U, himpunan relasi biner di atas U adalah semigelanggang dengan penambahan union (dari relasi sebagai himpunan) dan perkalian komposisi relasi. Nol semigelanggang adalah relasi kosong dan unitnya adalah relasi identitas. Relasi ini sesuai dengan semiring matriks (memang, semialjabar matriks) dari matriks persegi indeks U dengan entri dalam semigelanggang Boolean, dan kemudian penjumlahan dan perkalian adalah operasi matriks biasa, sedangkan nol dan unit adalah matriks nol dan matriks identitas biasa.
Himpunan polinomial dengan koefisien bilangan asli, dilambangkan N[x], membentuk semiring komutatif. Sebenarnya, ini adalah semigelanggang komutatif bebas pada generator tunggal {x}.
Semigelanggang tropis ditentukan dengan berbagai cara. Maks-plus semigelanggang R ∪ {−∞} adalah komutatif, semiring idempoten dengan max(a, b) sebagai penjumlahan semigelanggang (identitas −∞) dan penjumlahan biasa (identitas 0) berfungsi sebagai perkalian semigelanggang. Dalam rumus alternatif, semigelanggang tropis adalah R ∪ {∞}, dan min menggantikan max sebagai operasi penjumlahan. Versi terkait menggunakan R ∪ {±∞} sebagai himpunan dasar.
Himpunan bilangan pokok lebih kecil dari tak hingga mana pun dari bentuk kardinal apa pun yang diberikan dalam penjumlahan dan perkalian kardinal. Kelas semua kardinal dari model dalam membentuk semiring (kelas) di bawah penjumlahan dan perkalian kardinal (model dalam).
Probabilitas semigelanggang dari bilangan riil non-negatif dengan penjumlahan dan perkalian biasa.
Log semigelanggang di atas R ∪ {±∞} dengan tambahan yang diberikan oleh
 x\oplus y=-\log(e^{-x}+e^{-y})\ ,
dengan perkalian +, elemen nol + ∞, dan elemen satuan 0.
Keluarga (kelas kesetaraan isomorfisme) kelas kombinatorial (himpunan banyak objek dengan ukuran bilangan bulat non-negatif maka banyak objek tak hingga dari setiap ukuran) dengan kelas kosong sebagai objek nol, kelas yang hanya terdiri dari himpunan kosong sebagai unit, disjoint union kelas sebagai penjumlahan, dan produk Kartesius kelas sebagai perkalian.
Semigelanggang Łukasiewicz: interval tertutup [0, 1] dengan tambahan yang diberikan dengan maksimal argumen (a + b = maks(a,b)) dan perkalian ab diberikan oleh max(0, a + b − 1) dalam logika multi-nilai.
Semigelanggang Viterbi ditentukan melalui himpunan dasar [0, 1] dan maksimum sebagai penjumlahan, maka perkaliannya adalah perkalian biasa dari bilangan real. Ini sebagai penguraian probabilistik.
Diberikan alfabet (himpunan hingga) Σ, himpunan bahasa formal di atas Σ (himpunan bagian dari Σ∗) adalah semiring dengan produk induksi oleh pita penggabungan  L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}\mid w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right\} dan penambahan sebagai penyatuan bahasa (yaitu, penyatuan sebagai kumpulan). Nol dari semigelanggang adalah himpunan kosong (bahasa kosong) dan unit semiring adalah bahasa yang hanya berisi pita kosong.
Menggeneralisasi contoh sebelumnya (dengan melihat Σ∗ sebagai monoid bebas di atas Σ), ambil M menjadi monoid; himpunan daya P(M) dari semua himpunan bagian M bentuk semigelanggang di bawah satuan teori himpunan sebagai penjumlahan dan perkalian himpunan:  U\cdot V=\{u\cdot v:u\in U,\ v\in V\}.
Begitu pula jika  (M,e,\cdot ) adalah monoid, maka himpunan multihimpunan hingga dalam  M bentuk sebuah semigelanggang. Artinya, elemen adalah fungsi  f:M\to \mathbb {N} ; diberikan elemen  M, fungsi tersebut memberi tahu berapa kali elemen muncul dalam multihimpunan yang diwakilinya. Satuan aditif adalah fungsi nol konstan. Unit perkalian adalah fungsi memetakan  e ke 1, dan semua elemen lain dari  M ke 0. Jumlah diberikan oleh  (f+g)(x)=f(x)+g(x) dan produk diberikan oleh  (fg)(x)=\sum \{f(y)g(z)\mid y\cdot z=x\}.