Teorema bilangan prima
Bukti Newman tentang TBP

Fungsi Chebyshev pertama dan kedua masing-masing
Deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan  k\geq 2 dari yang pertama. TBP setara dengan  \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1 atau  \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=1.
Jumlah untuk adalah  \psi  dan  \vartheta  jumlah parsial dari koefisien dari deret Dirichlet
-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,\,p^{-ks}\quad {\text{  dan     }}\quad \quad \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s},
dimana  \zeta  adalah fungsi zeta Riemann. Seperti jumlah parisal, deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan  k\geq 2 dari yang pertama. Deret Dirichlet dibentuk oleh suku-suku dengan  k\geq 2 didominasi oleh deret Dirichlet untuk  \zeta (2s+\varepsilon ) untuk setiap positif  \varepsilon , jadi turunan logaritmik  \zeta  dan  \Phi (s) berbeda dengan sebuah holomorfik fungsi dalam  \Re s>{\frac {1}{2}}, dan oleh karena itu memiliki singularitas yang sama pada garis  \Re s=1.
Mengintegrasi dengan bagian diberikan untuk  \Re s>1,
Semua bukti-bukti analitik dari TBP menggunakan fakta bahwa  \zeta  tidak memiliki nol pada garis  \Re s=1. Satu informasi lebih lanjut dalam pembuktian Newman adalah  {\frac {\vartheta (x)}{x}} dibatasi, Ini bisa dengan mudah membuktikan metode-metode dasar.
Metode Newman membuktikan TBP dengan menunjukkan integral
\Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt
konvergen, dan karena itu integrand tersebut menuju nol karena  t\to \infty . Secara umum, konvergensi dari integral takwajar tidak menyiratkan bahwa integrand menuju nol, karena itu mungkin berosilasi, tetapi karena  \vartheta  meningkat, itu mudah untuk ditampilkan dalam kasus ini.
Untuk  \Re s>0, misalkan
maka
yang holomorfik pada garis  \Re z=0. Konvergensi dari integral  I dibuktikan dengan menunjukkan bahwa  \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0). Ini melibatkan perubahan urutan limit karena itu dapat ditulis sebagai
dan karena itu digolongkan sebagai teorema Tauberian.
Selisih  g(0)-g_{T}(0) diekspresikan dengan menggunakan rumus integral Cauchy dan kemudian taksirannya diterapkan ke integral. Tetapkan  R>0 dan  \delta >0, seperti  g(z) holomorfik dalam daerah dimana  \left|z\right|\leq R dan  \Re z>-\delta  dan misalkan  C menjadi batasnya. Karena  0 ada di bagian dalam, rumus integral Cauchy memberikan
g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}.
Untuk mendapatkan sebuah taksiran kasar pada integrand, misalkan  B menjadi sebuah batas atas untuk  {\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1, maka untuk  \Re z>0
Batas ini tidak cukup baik untuk membuktikan hasil tersebut, namun Newman memperkenalkan faktor
menjadi integrand untuk  g(0)-g_{T}(0). Karena faktor Newman  F adalah menyeluruh dan  F(0)=1, ruas kiri tetap tidak berubah. Sekarang taksiran di atas untuk  \left|g(z)-g_{T}(z)\right| dan taksiran pada  F menggabungkan untuk diberikan
dimana  C_{+} adalah setengah lingkaran  C\cup \{z\mid \Re z>0\}
Misalkan  C_{-} menjadi kontur  C\cap \{\Re z\leq 0\}. Fungsi  g_{T} adalah menyeluruh, jadi dengan menggunakan teorema integral Cauchy, kontur  C dapat dimodifikasi ke sebuah setengah lingkaran dari jari-jari  R dalam kiri setengah bidang tanpa mengubah integral  {\frac {g_{T}(z)F(z)}{2\pi iz}}, dan argumen yang sama memberikan nilai mutlak dari integral ini sebagai  \leq {\frac {B}{R}}. Akhirnya, dengan memisalkan  T\to \infty , integral  {\frac {g_{T}(z)F(z)}{z}} pada kontur  C_{\delta } menuju nolkarena  F menuju nol pada kontur. Menggabungkan tiga taksiran, mendapatkan
Ini berlaku untuk setiap  R sehingga  \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0), dan TBP berikut.