Persamaan Diophantus
Persamaan homogen > Derajat dua > Parameterisasi

Sekarang misalkan  A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right) menjadi penyelesaian bilangan bulat dari persamaan  Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0. Karena Q adalah sebuah polinomial derajat dua, sebuah garis lewat melalui  A menyilang hiperpermukaan di sebuah titik tunggal lainnya, yang mana merupakan rasional jika dan hanya jika garisnya rasional (yaitu, jika garisnya didefinisikan oleh parameter rasional). Ini memungkinkan memparameterisasikan hiperpermukaan oleh garis lewat melalui  A, dan titik rasional adalah itu yang diperoleh dari garis-garis rasional, yakni, itu yang berpadan dengan nilai-nilai rasional dari parameter.
Lebih tepatnya, salah satunya dapat dilanjutkan sebagai berikut.
Dengan mengubah urutan indeks, salah satunya dapat menganggap, tanpa mengurangi keumuman bahwa  a_{n}\neq 0. Maka salah satunya dapat lewat ke kasus afin dengan menganggap hiperpermukaan afin didefinisikan oleh
yang mana memiliki titik rasional
Jika titik rasional ini merupakan sebuah titik tunggal, yakni jika semua turunan parsial adalah nol di  R, semua garis lewat melalui  R diisi di hipepermukaannya, dan salah satunya memiliki sebuah kerucut. Perubahan peubahnya
tidak mengubah titik rasionalnya, dan mengubah  q menjadi sebuah polinomial homogen di  n-1 peubah. Dalam kasus ini, masalahnya dapat demikian dipecahkan dengan menerapkan metode untuk sebuah persamaan dengan beberapa peubah.
Jika polinomial  q adalah sebuah hasilkali polinomial linear (mungkin dengan koefisien takrasional), maka ini menentukan dua hiperbidang. Perpotongan mengenai hiperbidang ini adalah sebuah datar rasional, dan berisi titik tunggal rasional. Kasus ini demikian sebuah contoh khusus dari kasus sebelumnya.
Dalam kasus umum, misalkan anggap persamaan parametrik mengenai sebuah garis lewat melalui  R:
Memasukkan ini di  q, salah satunya mendapatkan sebuah polinomial derajat dua di  x_{1}, yaitu nol untuk  x_{1}=r_{1}. Ini demikian terbagi oleh  x_{1}-r_{1}. Hasil baginya adalah linear di  x_{1}, dan dapat dipecahkan untuk mengungkapkan  x_{1} sebagai sebuah hasil bagi dua polinomial dengan derajat setidaknya dua di  t_{2},\ldots ,t_{n-1}, dengan koefisien bilangan bulat:
Memasukkan ini dalam ungkapannya untuk  x_{2},\ldots ,x_{n-1}, salah satunya mendapatkan, untuk  i=1,\dots ,n-1,
dimana  f_{1},\ldots ,f_{n} polinomial derajat setidaknya dua dengan koefisien bilangan bulat.
Kemudian, salah satunya dapat membalikkan ke kasus homogen. Misalkan, untuk  i=1,\dots ,n,
menjadi homogenisasi dari  f_{i}. Polinomial-polinomial kuadrat ini dengan koefisien bilangan bulat membentuk sebuah parameterisasi dari hiperpermukaan projektif didefinisikan oleh Q:
Sebuah titik dari hiperpermukaan projektif didefinisikan oleh Q adalah rasional jika dan hanya jikai ini dapat diperoleh dari nilai-nilai rasional dari  t_{1},\ldots ,t_{n-1}. Karena  F_{1},\ldots ,F_{n} adalah polinomial homogen, titiknya tidak berubah jika semua   t_{i} dikalikan oleh bilangan rasional yang sama. Demikian, salah satunya dapat menganggap bahwa  t_{1},\ldots ,t_{n-1} adalah bilangan bulat koprima. Ini mengikuti bahwa penyelesaian bilangan bulat dari persamaan Diophantus persisnya barisan  (x_{1},\ldots ,x_{n}) dimana, untuk i = 1, ..., n,
dimana k adalah sebuah bilangan bulat,  t_{1},\ldots ,t_{n-1} adalah bilangan bulat koprima, dan d adalah faktor persekutuan terbesar dari  F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}) bilangan bulat n.
Salah satunya daoat berharap bahwa koprimalitas dari  t_{i} dapat menyiratkan bahwa d = 1. Sayangnya, ini bukanlah kasusnya, sepertin yang ditunjukkan dalam bagian selanjutnya.