Ruang (matematika)
Sejarah > Sebelum zaman keemasan geometri

Di dalam matematika kuno, "ruang" adalah abstraksi geometri ruang berdimensi-tiga yang dapat diamati dalam kehidupan sehari-hari. Metode aksiomatik telah menjadi alat penelitian utama sejak Euklides (kira-kira 300 SM). Metode koordinat (geometri analitik) diangkat oleh René Descartes pada tahun 1637. Pada masa itu, teorema-teorema geometri diperlakukan sebagai kebenaran objektif mutlak yang dapat diketahui melalui intuisi dan nalar, serupa dengan objek-objek pada ilmu alam; dan aksioma-aksioma diperlakukan sebagai implikasi yang jelas dari definisi yang ada.
Dua relasi ekivalen (atau hubungan kesetaraan) antar-gambar geometri digunakan: kongruensi dan keserupaan. Translasi (pergeseran), rotasi (bukan "spin", bukan pula "revolusi"), dan refleksi (pencerminan) mentransformasi sebuah gambar menjadi gambar yang kongruen; homotetis — ke dalam gambar yang serupa. Misalnya, semua lingkaran adalah saling-serupa, tetapi elips tidak serupa dengan lingkaran. Hubungan kesetaraan yang ketiga, diperkenalkan oleh geometri projektif (Gaspard Monge, 1795), berkorespondensi dengan transformasi projektif. Tidak hanya elips, tetapi juga parabola dan hiperbola berubah menjadi lingkaran di bawah transformasi projektif yang bersesuaian; mereka semua adalah gambar-gambar yang setara secara projektif.
Hubungan antar-dua-geometri, euklidean dan projektif, menunjukkan bahwa objek-objek matematika tidaklah diberikan kepada kita disertai dengan struktur mereka. Melainkan, tiap-tiap teori matematika menjelaskan objek-objeknya oleh beberapa sifat mereka, tepatnya sifat-sifat yang diletakkan sebagai kumpulan aksioma pada dasar-dasar teori yang berkenaan.
Jarak dan sudut tidak pernah disebutkan dalam aksioma-aksioma geometri projektif, dan oleh karenanya tidak dapat muncul di dalam teorema-teoremanya. Pertanyaan tentang "berapakah jumlah dari tiga sudut suatu segitiga" sangatlah berarti di dalam geometri euklidean tetapi tidak bermakna apa-apa dalam geometri projektif.
Situasi yang berbeda terjadi pada abad ke-19: dalam beberapa geometri jumlah dari tiga sudut suatu segitiga telah terdefinisi dengan baik tetapi berbeda bila dibandingkan dengan nilai klasik (180 derajat). Geometri hiperbola non-euklidean, diperkenalkan oleh Nikolai Lobachevsky pada tahun 1829 dan János Bolyai pada tahun 1832 (dan Carl Gauss pada tahun 1816, tidak diterbitkan) yang menyatakan bahwa jumlah yang dimaksud adalah bergantung kepada bentuk segitiga dan selalu lebih kecil daripada 180 derajat. Eugenio Beltrami pada tahun 1868 dan Felix Klein pada tahun 1871 memperoleh "model-model" euklidean dari geometri hiperbola non-euklidean, dan dengan demikian lengkaplah justifikasi akan teori ini.
Temuan ini memaksa pembebasan diri akan segala pretensi terhadap kebenaran mutlak geometri euklidean. Temuan ini menunjukkan bahwa aksioma-aksioma yang telah ada tidaklah "jelas", tidak pula "implikasi dari definisi-definisi". Melainkan, mereka hanyalah hipotesis. Kepada perluasan yang manakah mereka akan berkorespondensi dengan realitas eksperimental? Masalah fisis penting ini tidak lagi berkaitan dengan matematika. Bahkan jika suatu "geometri" tidak berkoresponden dengan suatu realitas eksperimental, maka teorema-teoremanya sekadar menyatakan "kebenaran matematika".
Sebuah model euklidean dari geometri non-euklidean adalah pilihan yang cerdas dari beberapa objek yang hadir dalam ruang euklidean dan beberapa hubungan di antara objek-objek ini yang memenuhi semua aksioma (oleh karenanya pula, semua teorema) geometri non-euklidean. Objek-objek dan hubungan euklidean ini "memainkan" geometri non-euklidean seperti aktor kontemporer yang memainkan peran kuno. Hubungan-hubungan antar para aktor hanya menirukan hubungan-hubungan di antara para tokoh dalam peran. Demikian juga, hubungan-hubungan terpilih di antara objek-objek terpilih dari model euklidean hanya menirukan hubungan-hubungan non-euklidean. Ia menunjukkan bahwa hubungan-hubungan di antara objek-objek adalah penting di dalam matematika, sementara sifat objek-objek itu tidaklah penting.