Teorema dasar aljabar
Bukti > Bukti aljabar > Dengan induksi

Seperti yang disebutkan di atas, teorema ini cukup dibuktikan dengan memeriksa pernyataan "setiap polinomial nonkonstan   p(z) dengan koefisien real berderajat  n memiliki akar kompleks". Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan induksi pada bilangan bulat nonnegatif terbesar  k sedemikian rupa  2^{k} habis membagi  n. Misalkan  a adalah koefisien  z^{n} pada  p(z) dan  F adalah lapangan pemisahan dari  p(z) terhadap  C. Dengan kata lain, lapangan  F memuat  Cdan ada elemen  z_{1},z_{2},\dots ,z_{n} di  F maka p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).
Jika  k=0, maka  n adalah bilangan ganjil, sehingga  p(z) memiliki akar real. Sekarang, misalkan  n=2^{k}m (dengan  m bilangan ganjil dan  k>0) dan asumsikan teorema ini telah dibuktikan untuk polinomial berderajat  2^{k-1}m', dengan  m' adalah bilangan ganjil. Untuk setiap bilangan real  t, definisikan polinomial  q_{t}(z) sebagai berikut: q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).
Maka, koefisien dari  q_{t}(z) adalah polinomial simetris dalam  z_{i} dengan koefisien real. Dengan demikian, koefisien-koefisien tersebut dapat dituliskan sebagai polinomial multivariabel dengan koefisien real, dengan variabelnya berupa polinomial simetris elementer. Jadi,  q_{t}(z) adalah polinomial dengan koefisien real. Lebih jauh lagi, derajat dari polinomial  q_{t}(z) adalah  n(n-1)/2=2^{k-1}m(n-1), dan  m(n-1) adalah bilangan ganjil. Dengan menggunakan hipotesis induksi, polinomial  q_{t} memiliki setidaknya satu akar kompleks, sehingga ini berarti  z_{i}+z_{j}+tz_{i}z_{j} adalah bilangan kompleks untuk dua bilangan asli  i,j\in \{1,2,\dots n\} yang berbeda. Karena banyaknya bilangan real lebih banyak daripada banyaknya pasangan  (i,j) yang mungkin, terdapat dua bilangan real berbeda  t dan  s sehingga  z_{i}+z_{j}+tz_{i}z_{j} dan  z_{i}+z_{j}+sz_{i}z_{j} adalah bilangan kompleks (untuk pasangan  (i,j) yang sama). Akibatnya,  z_{i}+z_{j} dan  z_{i}z_{j} keduanya adalah bilangan kompleks. Mengingat setiap bilangan kompleks memiliki akar kuadrat kompleks, maka sembarang polinomial koefisien kompleks berderajat dua memiliki akar kompleks dari rumus kuadrat. Akibatnya,  z_{i} dan  z_{j} adalah bilangan kompleks, karena keduanya merupakan akar dari persamaan polinomial kuadrat  z^{2}-(z_{i}+z_{j})z+z_{i}z_{j}.
Pada 2007, Joseph Shipman menunjukkan bahwa asumsi polinomial berderajat ganjil selalu memiliki akar merupakan asumsi yang dapat diganti dengan asumsi yang lebih ringan. Ia menunjukkan semua lapangan dengan sifat setiap polinomial berderajat prima memiliki akar haruslah tertutup secara aljabar (sehingga derajat "ganjil" dapat diganti dengan derajat "ganjil prima" dan ini berlaku untuk lapangan dengan sembarang karakteristik). Sifat ini dapat digunakan sebagai definisi lapangan yang tertutup secara aljabar dapat didefinisikan, karena asumsi ini sudah tidak dapat diperingan lagi, mengingat terdapat contoh penyangkal apabila ada bilangan prima ganjil yang tidak dimasukkan ke asumsi. Akan tetapi, contoh-contoh penyangkal yang diberikan hanyalah berupa polinomial yang memiliki koefisien dari lapangan yang tidak memiliki akar kuadrat dari  -1. Pada lapangan yang memiliki akar kuadrat dari  -1, jika setiap polinomial berderajat  n\in I memiliki akar ( I adalah suatu himpunan tak hingga yang tidak memiliki anggota bilangan genap), maka setiap polinomial  f(x) berderajat ganjil memiliki akar (karena  (x^{2}+1)^{k}f(x) memiliki akar, dengan  k dipilih sedemikian sehingga  \deg(f)+2k\in I. Mohsen Aliabadi memperluas[diragukan] hasil dari Shipman pada 2013, membuktikan secara independen bahwa syarat cukup untuk sembarang lapangan (dengan sembarang karakteristik) agar menjadi tertutup secara aljabar adalah dengan menunjukkan lapangan tersebut memiliki akar untuk polinomial berderajat prima.