Kategori (matematika)

Untuk kegunaan lain, lihat Kategori (disambiguasi) § Matematika.
Artikel ini bukan mengenai Kategori:Matematika.
Kategori dengan kumpulan objek A, B, C dan kumpulan morfisme yang dilambangkan dengan f, g,  g ∘ f, dan loop adalah panah identitas. Kategori ini biasanya dilambangkan dengan huruf tebal 3.
Dalam matematika, kategori (terkadang disebut kategori abstrak untuk membedakannya dari kategori konkret) adalah kumpulan "objek" yang dihubungkan oleh "panah". Kategori memiliki dua properti dasar: kemampuan untuk menyusun panah asosiatif dan keberadaan panah identitas untuk setiap objek. Contoh sederhananya adalah kategori himpunan, yang objek himpunan dan panahnya adalah fungsi.
Teori kategori adalah cabang matematika untuk menggeneralisasi semua matematika dalam istilah kategori, terlepas dari apa yang diwakili oleh objek dan panahnya. Hampir setiap cabang matematika modern dapat dijelaskan dalam istilah kategori, dan mengungkapkan wawasan yang mendalam dan persamaan antara bidang matematika yang tampaknya berbeda. Maka, teori kategori memberikan landasan alternatif untuk matematika teori himpunan dan dasar aksiomatik lain yang diusulkan. Secara umum, objek dan panah dapat berupa entitas abstrak dalam bentuk, dan pengertian kategori menyediakan cara fundamental dan abstrak untuk menggambarkan entitas matematika dan relasi.
Selain memformalkan matematika, teori kategori juga digunakan untuk memformalkan banyak sistem lain dalam ilmu komputer, seperti semantik bahasa pemrograman.
Dua kategori adalah sama jika mereka memiliki koleksi objek yang sama, kumpulan panah, dan metode asosiatif untuk menyusun relasi panah. Dua kategori  berbeda  juga dapat dianggap "ekuivalen" untuk tujuan teori kategori, bahkan jika keduanya tidak memiliki struktur yang persis sama.
Kategori yang terkenal dilambangkan dengan kata atau singkatan singkat yang dicetak tebal atau miring: contohnya termasuk Himpunan, kategori himpunan dan fungsi himpunan; Gelanggang, kategori gelanggang dan homomorfisme gelanggang; dan ruang, kategori ruang topologi dan peta kontinu. Semua kategori sebelumnya memiliki peta identitas sebagai panah identitas dan komposisi sebagai operasi asosiatif pada panah.
Teks klasik dan masih banyak digunakan pada teori kategori adalah  Kategori untuk Matematikawan  oleh Saunders Mac Lane. Referensi lain diberikan dalam referensi di bawah. Definisi dasar dalam artikel ini terdapat dalam beberapa bab pertama dari salah satu buku ini.
| Struktur grup>  | Struktur grup> Totalitas | Struktur grup> Asosiatif | Struktur grup> Identitas | Struktur grup> Invers | Struktur grup> Komutativitas |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Semigrupoid | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Kategori Kecil | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Grupoid | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Magma | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Kuasigrup | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Magma Unital | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Loop | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Semigrup | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Semigrup invers | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Monoid | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Monoid komutatif | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan |
| Grup | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Grup Abelian: Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.
Monoid sebagai jenis kategori khusus (dengan satu objek morfisme diwakili oleh elemen monoid), dan begitu pula praorder.