Matematika murni
Umum dan abstraksi

Salah satu konsep sentral dalam matematika murni adalah pada ide umum, matematika murni sering tampak menampilkan kecenderungan secara umum. Secara umum memiliki banyak manifestasi yang berbeda, seperti membuktikan kaidah di bawah asumsi yang lebih lemah atau mendefinisikan struktur matematis dengan menggunakan asumsi yang lebih sedikit. Meskipun kadang-kadang ditempuh umum atau dinilai demi kepentingannya akan tetapi dapat memiliki kelebihan tertentu, seperti termasuk:
Generalisasi kaidah atau struktur matematika dapat menyebabkan pemahaman yang lebih mendalam pada kaidah asli atau struktur dengan melakukan eksplorasi implikasi yang dapat melemahkan asumsi, salah-satu keuntungan dalam pemahaman yang lebih baik dari asumsi-asumsi yang memainkan peran dalam kaidah asli atau struktur.
Secara umum lebih dapat menyederhanakan materi presentasi, sehingga bukti-bukti atau argumen lebih pendek yang lebih mudah diikuti.
Secara umum lebih dapat menghindari duplikasi upaya dengan membuktikan hasil umum darpada harus membuktikan kasus-kasus yang terpisah secara independen atau menggunakan wilayah lain dari matematika.
Secara umum dapat sebagai fasilitas hubungan antara berbagai cabang matematika dengan menekankan kesamaan struktur yang mungkin tidak akan terlihat pada tingkat yang kurang umum. Teori kategori merupakan bidang matematika yang didedikasikan untuk menjelajahi kesamaan struktur ini seperti dibeberapa bidang matematika.
Dampak umum pada intuisi terdapat ketergantungan antara subjek dan masalah preferensi pribadi atau gaya belajar, pada umumnya sering dipandang sebagai penghalang bagi intuisi, meskipun sebenarnya dapat berfunsi berlaku sebagai bantuan terhadap hal tersebut, terutama bila dapat memberikan ketersediaan bahan analogi untuk yang sudah memiliki intuisi yang baik.
Sebagai contoh umum yang utama yakni dalam Program Erlangen ikut melibatkan perluasan geometri guna mengakomodasi geometri non-Euclidean yang termasuk di dalamnya bidang topologi dan bentuk lain dari geometri, bila dilihat dari geometri sebagai ruang studi bersama dengan himpunan dari transformasi.
Studi tentang bilangan yang disebut sebagai aljabar pada awal pendidikan tingkat sarjana kemudian meluas menuju pada aljabar abstrak lalu pada tingkat selanjutnya dalam studi tentang fungsi yang disebut pula sebagai kalkulus dan bila diteruskan pada tingkatan selanjutnya akan mendapatkan analisis matematis dan analisis fungsional. Masing-masing cabang ini tampak lebih kepada matematika abstrak yang akan memiliki banyak bidang sub-spesialisasi dan pada hakekatnya terdapat banyak hubungan antara matematika murni dengan disiplin keilmuan matematika terapan.
Dalam praktik perkembangan ini menyebabkan terjadinya penyimpangan yang sangat tajam dari fisika, khususnya terjadi antara tahun 1950-1980 yang kemudian mendapatkan kritikan, antara lain oleh Vladimir Arnold atau Hilbert yang banyak sekali melakukan kirikannya yang lalu disusul kemudian oleh Poincaré. Inti perdebatan ini tampaknya belum tampak dapat diselesaikan (dasar kontroversi tidak terlihat pada segi padangan kumpulan teori) bila dalam untaian teori dapat saling menarik sedangkan dalam matematika mempunyai ciri-ciri tersendiri yang dapat menarik kembali kepada bukti sebagai pusat.