Ruang vektor topologis
Definisi > Mendefinisikan topologi menggunakan string

Misalkan  X menjadi ruang vektor dan misalkan U• = (Ui)∞i=1 menjadi urutan himpunan bagian dari  X. Masing-masing set secara berurutan U• disebut simpul dari U• dan untuk setiap indeks  i, Ui disebut i- simpul of U•. HimpunanU1 disebut awal dari U•.  
Urutan U• adalah:
Sumatif jika Ui+1 + Ui+1  ⊆  Ui untuk setiap indeks  i.
Seimbang (resp. menyerap, penutupan, cembung, Buka, simetris, laras, himpunan cembung/disk, dll) jika ini benar untuk setiap Ui.
Pita jika U• sumatif, menyerap, dan seimbang.
Pita topologi atau pita lingkungan di RVT  X if U• adalah string dan lingkungan asalnya X.
Jika  U adalah absorbing disk dalam ruang vektor  X maka urutan yang ditentukan oleh Ui := 21 − i U membentuk string yang dimulai dengan U1 = U. Ini disebut pita natural dari U 
Selain itu, jika ruang vektor  X memiliki dimensi yang dapat dihitung, maka setiap string berisi string absolut cembung.
Urutan sumatif dari himpunan memiliki properti yang sangat bagus yang mereka definisikan sebagai fungsi subadditif nilai riil kontinu non-negatif. 
Fungsi ini kemudian dapat digunakan untuk membuktikan banyak sifat dasar ruang vektor topologis.
Teorema (ℝ-fungsi nilai yang diinduksi oleh pita) — Maka U• = (Ui)∞i=0 menjadi kumpulan himpunan bagian dari ruang vektor sedemikian rupa sehingga 0 ∈ Ui dan Ui+1 + Ui+1 ⊆ Ui for all i ≥ 0. 
Untuk u ∈ U0, maka
Menetapkan f : X → [0, 1] oleh f (x) = 1 jika x ∉ U0 dan sebaliknya maka
Maka  f adalah subaditif (yaitu f (x + y) ≤ f (x) + f (y) untuk x, y ∈ X) dan f = 0 pada ∩i ≥ 0 Ui, jadi khususnya f (0) = 0. 
Jika Ui himpunan simetris maka f (−x) = f (x) dan jika Ui diseimbangkan maka f(sx) ≤  f(x) untuk skalar  s maka |s|
≤ 1 dan x ∈ X.
Jika  X adalah ruang vektor topologi dan jika Ui adalah lingkungan asal maka  f kontinu, dengan tambahan  X adalah Hausdorff dan U• membentuk dasar lingkungan seimbang asal di  X maka d(x, y) := f(x − y) adalah metrik yang mendefinisikan topologi vektor di  X.
Jika U• = (Ui)i ∈ ℕ dan V• = (Vi)i ∈ ℕ adalah dua kumpulan himpunan bagian dari ruang vektor  X dan jika  s adalah skalar, maka menurut definisi:
V• mengandung U•:  U•  ⊆  V• jika dan hanya jika Ui  ⊆  Vi untuk indeks  i.
Himpunan simpul:  Knots (U•)  :=  { Ui  :  i ∈ ℕ }.
Kernel:  ker U•  :=  ∩i ∈ ℕ Ui.
Skalar ganda:  s U•  :=  (s Ui)i ∈ ℕ.
Jumlah:  U• + V•  :=  (Ui + Vi)i ∈ ℕ.
Interseksi:  U• ∩ V•  :=  (Ui ∩ Vi)i ∈ ℕ.
Jika  𝕊 adalah sekumpulan rangkaian himpunan bagian dari  X, maka  𝕊 dikatakan diarahkan (ke bawah) dalam penyertaan atau sederhananya diarahkan jika  𝕊 tidak kosong dan untuk U•, V• ∈ 𝕊 ada beberapa W• ∈ 𝕊 dirumuskan W• ⊆ U• dan W• ⊆ V• (dikatakan berbeda, jika dan hanya jika  𝕊 adalah prefilter sehubungan dengan penahanan  ⊆ yang ditentukan di atas).
Notasi: Maka Knots (𝕊)  :=  ∪U• ∈ 𝕊 Simpul (U•) jadilah himpunan dari semua simpul dari semua string di  𝕊.
Mendefinisikan topologi vektor menggunakan kumpulan string sangat berguna untuk menentukan kelas RVT yang tidak selalu konveks lokal.
Teorema (Topologi diinduksi oleh pita) — Jika (X, 𝜏) adalah ruang vektor topologi maka himpunan  𝕊 dari string tetangga di  X yang diarahkan ke bawah dan sedemikian rupa sehingga himpunan semua simpul dari semua string di  𝕊 adalah basis lingkungan di asal untuk (X, 𝜏). Kumpulan string seperti itu dikatakan 𝜏 fundamental.
Sebaliknya, jika  X adalah ruang vektor dan jika  𝕊 adalah kumpulan string dalam  X yang mengarah ke bawah, kemudian himpunan  Knot (𝕊) dari semua knot dari semua string di  𝕊 membentuk basis lingkungan pada asal untuk topologi vektor di  X. Dalam hal ini, topologi ini dilambangkan dengan 𝜏𝕊 dan itu disebut topologi yang dihasilkan oleh  𝕊.
Jika  𝕊 adalah himpunan semua string topologi di RVT (X, 𝜏) kemudian 𝜏𝕊 = 𝜏.
Sebuah TVS Hausdorff adalah dapat diukur jika dan hanya jika topologinya dapat diinduksi oleh satu string topologi.