Integral Riemann
Definisi > Integral Riemann

Secara khusus, integral Riemann adalah limit dari jumlah Riemann dari suatu fungsi ketika partisi menjadi halus. Apabila limitnya ada, maka fungsi tersebut dikatakan terintegrasi (atau lebih spesifik terintegrasi-Riemann). Jumlah Riemann dapat dibuat sedekat yang diinginkan dengan integral Riemann dengan membuat partisi halus.
Salah satu persyaratan penting adalah bahwa hubungan partisi menjadi lebih kecil dan lebih kecil, sehingga dalam limitnya adalah nol. Jika tidak demikian, maka kita tidak akan mendapatkan aproksimasi yang baik untuk fungsi pada sub-selang tertentu. Sebenarnya, hal ini cukup untuk mendefinisikan integral. Untuk lebih spesifik, dengan menyatakan bahwa integral Riemann dari  f sama dengan  s jika kondisi berikut berlaku:
Untuk semua  \varepsilon >0, terdapat  \delta >0 sehingga untuk partisi bertanda  x_{0},\dots ,x_{n} dan  t_{0},\dots ,t_{n-1} yang hubungannya kurang dari  \delta , maka
Sayangnya, definisi ini sangat sulit digunakan. Hal ini akan membantu untuk mengembangkan definisi yang setara dari integral Riemann yang lebih mudah untuk dikerjakan. Kita mengembangkan definisi ini sekarang, dengan bukti kesetaraan berikut. Definisi baru kita mengatakan bahwa integral Riemann dari  f sama dengan  s jika syarat berikut berlaku:
Untuk semua  \varepsilon >0, terdapat partisi bertanda  y_{0},\dots ,y_{m} dan  r_{0},\dots ,r_{m-1} sehingga untuk setiap partisi bertanda  x_{0},\dots ,x_{n} dan  t_{0},\dots ,t_{n-1} yang merupakan penghalusan dari  y_{0},\dots ,y_{m} dan  r_{0},\dots ,r_{m-1}, kita mempunyai
Pada akhirnya, kedua hal ini berarti bahwa jumlah Riemann dari  f berhubung dengan setiap partisi akan terungkap dekat  s. Karena ini benar maupun tidak peduli seberapa dekat kita menuntut jumlah terungkap, kita mengatakan bahwa jumlah Riemann konvergen ke  s. Definisi ini sebenarnya merupakan kasus khusus dari konsep yang lebih umum yaitu sebuah jaring.
Seperti yang kita nyatakan sebelumnya, kedua definisi ini adalah ekuivalen. Dengan kata lain,  s berfungsi dalam definisi pertama jika dan hanya jika  s berfungsi dalam definisi kedua. Untuk menunjukkan bahwa definisi pertama menyatakan definisi kedua, mulailah dengan  \varepsilon , dan pilih  \delta  yang memenuhi kondisi. Pilih partisi bertanda yang hubungannya kurang dari  \delta . Jumlah Riemann-nya berada dalam  \varepsilon  dari  s, dan setiap penghalusan dari partisi ini juga akan memiliki hubungan kurang dari  \delta , jadi jumlah Riemann dari penghalusan juga akan berada dalam  \varepsilon  dari  s.
Untuk menunjukkan bahwa definisi kedua menyatakan definisi pertama, paling mudah menggunakan integral Darboux. Pertama, satu menunjukkan bahwa definisi kedua setara dengan definisi integral Darboux; untuk ini lihat artikel integral Darboux. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa fungsi integral Darboux memenuhi definisi pertama. Menetapkan  \varepsilon , dan pilih partisi  y_{0},\dots ,y_{m} sehingga jumlah Darboux bawah dan atas sehubungan dengan partisi ini berada dalam  \varepsilon /2 dari nilai  s integral Darboux. Maka
Jika  r=0, maka  f adalah fungsi nol, yang jelas merupakan integral Darboux dan Riemann dengan integral nol. Oleh karena itu, kita akan mengasumsikan bahwa  r>0. Jika  m>1, maka kita memilih  \delta  sehingga
Jika  m=1, maka kita memilih  \delta  kurang dari satu. Pilih partisi bertanda  x_{0},\dots ,x_{n} dan  t_{0},\dots ,t_{n-1} dengan hubungan lebih kecil dari  \delta . Kita harus menunjukkan bahwa jumlah Riemann berada dalam  \varepsilon  dari  s.
Untuk melihat ini, pilih selang  [x_{i},x_{i+1}]. Jika selang ini terdapat dalam beberapa  [y_{j},y_{j+1}], maka
dimana  m_{j} dan  M_{j}, infimum dan supremum dari  f pada  [y_{j},y_{j+1}]. Jika semua selang memiliki sifat ini, maka ini akan menyimpulkan buktinya, karena setiap suku dalam jumlah Riemann akan dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux, dan kita memilih jumlah Darboux yang mendekati  s. Ini adalah kasus ketika  m=1 menjadi bukti yang selesai dalam kasus itu.
Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan  m>1. Dalam hal ini, mungkin salah satu dari  [x_{i},x_{i+1}] tidak terkandung dalam [yj, yj + 1]. Sebaliknya, hal tersebut mungkin membentang dua selang yang ditentukan oleh  y_{0},\dots ,y_{m}. Hal itu tidak dapat memenuhi tiga interval karena  \delta  diasumsikan lebih kecil dari panjang salah satu interval. Dalam simbol, maka
Kita berasumsi bahwa semua pertidaksamaan ketat karena jika tidak, kita berada dalam kasus sebelumnya dengan asumsi panjang  \delta . Ini bisa saja terbukti paling banyak mengkali  m-1.
Untuk menangani kasus ini, kita akan memperkirakan perbedaan antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux dengan membagi partisi  x_{0},\dots ,x_{n} di  y_{j+1}. Penyebutan  f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}) dalam jumlah Riemann dibagi menjadi dua penyebut:
Misalkan, tanpa kehilangan keumuman, bahwa  t_{i}\in [y_{j},y_{j+1}]. Maka
jadi suku ini dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux untuk  y_{j}. Untuk mengikat bentuk lainnya, perhatikan bahwa
Oleh karena itu, untuk suatu (memang ada)  t_{i}^{*}\in [y_{j+1},x_{i+1}],
Karena ini terjadi paling banyak mengkali  m-1, jarak antara jumlah Riemann dan jumlah Darboux paling banyak  \varepsilon /2. Oleh karena itu, jarak antara jumlah Riemann dan  s paling banyak ε.