Ruang vektor
Definisi

Dalam artikel ini, vektor direpresentasikan dengan huruf tebal untuk membedakannya dari skalar.
Sebuah ruang vektor di atas bidang  F adalah himpunan  V bersama dengan dua operasi yang memenuhi delapan aksioma tercantum di bawah ini. Berikut ini,  V × V menunjukkan produk Cartesian dari  V  dengan dirinya sendiri, dan  → menunjukkan pemetaan dari satu himpunan ke himpunan lainnya.
Elemen  V biasanya disebut  vektor . Elemen  F biasanya disebut  skalar . Simbol umum untuk menunjukkan ruang vektor termasuk  U,  V dan  W.
Dalam dua contoh di atas, bidang adalah bidang dari bilangan real, dan himpunan vektor terdiri dari panah planar dengan titik awal tetap dan pasangan bilangan real.
Untuk memenuhi syarat sebagai ruang vektor, himpunan  V dan operasi penjumlahan dan perkalian harus mematuhi sejumlah persyaratan yang disebut aksioma. Ini tercantum dalam tabel di bawah ini, di mana u, v dan w menunjukkan vektor arbitrer di  V, dan  a dan  b menunjukkan skalar di  F.
| Aksioma | Rumus |
| --- | --- |
Asosiatif tambahan: u + (v + w) = (u + v) + w
Komutatif tambahan: u + v = v + u
Elemen identitas penambahan: Ada elemen 0 ∈ V, disebut  vektor nol , sepertivv + 0 = v untuk v ∈ V.
Elemen invers penambahan: Untuk setiap v ∈ V, ada elemen −v ∈ V, disebut  aditif invers  dari v, seperti yang v + (−v) = 0.
Kompatibilitas dari perkalian skalar dengan perkalian bidang: a(bv) = (ab)v 
Elemen identitas perkalian skalar: 1v = v, dengan  1 menunjukkan multiplicative identity di  F.
Distributivitas perkalian skalar sehubungan dengan penambahan vektor: a(u + v) = au + av
Distributivitas perkalian skalar sehubungan dengan penambahan medan: (a + b)v = av + bv
Aksioma ini menggeneralisasi properti vektor yang diperkenalkan pada contoh di atas. Memang, hasil penjumlahan dua pasangan berurutan (seperti contoh kedua di atas) tidak bergantung pada urutan penjumlahan:
Demikian juga, dalam contoh geometris vektor sebagai panah, v + w = w + v karena jajar genjang yang menentukan jumlah vektor tidak bergantung pada urutan vektor. Semua aksioma lainnya dapat diverifikasi dengan cara yang sama pada kedua contoh. Jadi, dengan mengabaikan sifat konkret dari jenis vektor tertentu, definisi menggabungkan dua dan lebih banyak contoh dalam satu pengertian ruang vektor.
Pengurangan dua vektor dan pembagian dengan skalar (bukan nol) dapat didefinisikan sebagai
Ketika bidang skalar  F adalah bilangan real R, ruang vektor disebut  ruang vektor nyata . Jika bidang skalar adalah bilangan kompleks C, ruang vektor disebut  ruang vektor kompleks . Kedua kasus ini adalah yang paling sering digunakan dalam bidang teknik. Definisi umum ruang vektor memungkinkan skalar menjadi elemen dari setiap bidang  F tetap. Gagasan tersebut kemudian dikenal sebagai  F- ruang vektor  atau  ruang vektor di atas  F . Bidang pada dasarnya adalah sekumpulan angka yang memiliki operasi penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Misalnya, bilangan rasional membentuk suatu bidang.
Berbeda dengan intuisi yang berasal dari vektor pada bidang dan kasus berdimensi lebih tinggi, dalam ruang vektor umum, tidak ada gagasan tentang kedekatan, sudut atau jarak. Untuk menangani hal-hal tersebut, jenis ruang vektor tertentu diperkenalkan; lihat Ruang vektor dengan struktur tambahan di bawah untuk informasi selengkapnya.