Integral
Perumuman > Integral garis dan integral permukaan

Artikel utama: Integral garis dan Integral permukaan
Konsep dari integral dapat diperluas ke domain integrasi yang lebih umum, seperti pada kurva yang berkelok dan permukaan di ruang dimensi tinggi. Integral semacam itu masing-masing dikenal sebagai integral garis dan integral permukaan. Keduanya memiliki penerapan yang penting dalam fisika, contohnya ketika berurusan dengan medan vektor.
Integral garis adalah integral dengan fungsi integran dievaluasi sepanjang sebuah kurva. Ada banyak jenis integral garis; pada kasus kurva tertutup, integral ini juga disebut dengan integral kontur.
Fungsi yang diintegrasi dapat berupa medan skalar atau medan vektor. Nilai dari integral garis adalah jumlah dari nilai-nilai medan di setiap titik pada kurva, dikalikan bobot yang didapatkan dari fungsi pada kurva (umumnya panjang busur, sedangkan untuk medan vektor: perkalian skalar medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva). Pembobotan ini membedakan integral garis dari integral-integral sederhana yang tedefinisi pada selang. Banyak rumus dalam fisika memiliki bentuk kontinu yang alami ketika dinyatakan sebagai integral garis. Sebagai contoh, usaha setara dengan perkalian gaya  \mathbf {F}  dengan besar perpindahan  \mathbf {s} , yang dalam bentuk vektor dituliskan sebagai:  W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .Untuk suatu objek yang bergerak sepanjang lintasan  C di dalam medan vektor  \mathbf {F} , misalnya medan listrik atau medan gravitasi, total usaha yang dikerjakn oleh medan pada objek didapatkan dengan menjumlahkan usaha diferensial ketika memindahkan objek dari  \mathbf {s}  ke  \mathbf {s} +d\mathbf {s} . Hal ini memberikan integral garis  W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .
Integral permukaan memperumum integral lipat ke integrasi atas permukaan (yang mungkin berupa himpunan yang melengkung di suatu ruang). Fungsi integran dapat berupa medan skalar atau medan vektor. Nilai dari integral permukaan adalah hasil penjumlahan nilai-nilai medan pada semua titik di permukaan. Penjumlahan ini dapat dilakukan dengan memotong permukaan menjadi elemen-elemen permukaan, yang selanjutnya menghasilkan partisi untuk jumlah Riemann.
A surface integral generalizes double integrals to integration over a surface (which may be a curved set in space); it can be thought of as the double integral analog of the line integral. The function to be integrated may be a scalar field or a vector field. The value of the surface integral is the sum of the field at all points on the surface. This can be achieved by splitting the surface into surface elements, which provide the partitioning for Riemann sums.
Sebagai contoh dari penerapan integral permukaan, pertimbangkan sebuah medan vektor  \mathbf {v}  pada permukaan  S; maksudnya, untuk setiap titik  p di  S,  \mathbf {v} (p) berupa vektor. Bayangkan suatu fluida mengalir melalui  S, sedemikian sehingga  \mathbf {v} (p) menyatakan kecepatan fluida di titik  p. Fluks didefinisikan sebagai banyaknya fluida yang mengalir melalui  S per satuan waktu. Untuk menentukan nilai fluks, kita perlu menghitung hasil perkalian titik  \mathbf {v}  dengan vektor normal permukaan  S pada setiap titik, yang selanjutnya menghasilkan bentuk integral atas permukaan:  \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.Fluks dalam contoh di atas dapat berupa fluida fisik seperti air dan udara, tetapi juga bisa berupa fluks elektrik atau magnetik. Integral permukaan banyak diterapkan dalam fisika, khususnya teori klasik elektromagnetik.