Turunan
Pendahuluan > Asal-usul definisi

Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai limit dari perbandingan dua bilangan real. Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada suatu lingkungan buka dari suatu bilangan real a. Dalam geometri, garis singgung dari grafik fungsi f di a adalah suatu garis unik yang melalui titik (a, f(a)) dan tidak memotong fungsi f di sekitar titik (a, f(a)). Turunan dari y terhadap x di a secara geometris adalah besar kemiringan dari garis singgung grafik f di (a, f(a)). Besar kemiringan garis singgung akan sangat mirip dengan besar kemiringan garis yang melalui titik (a, f(a)) dan sebuah titik lain di grafik yang dekat dengannya, sebagai contoh (a + h, f(a + h)). Garis yang didefinisikan ini disebut dengan garis sekan. Nilai h yang dekat dengan nol akan memberikan hampiran (dugaan, aproksimasi) yang baik mengenai besar kemiringan garis singgung; dan secara umum, nilai (mutlak) h yang semakin kecil akan memberikan hampiran yang lebih baik. Besar kemiringan m dari garis sekan adalah perbedaan nilai y antara dua titik tersebut, dibagi dengan perbedaan nilai x pada dua titik yang sama, dengan kata lain m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.Limit digunakan untuk mengubah nilai hampiran ke nilai yang pasti (exact). Jika nilai dari limit ketika h menuju nol ada, maka nilai ini menyatakan besar kemiringan dari garis singgung fungsi di titik (a, f(a)). Limit ini didefinisikan sebagai turunan dari fungsi f di a:
f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.
Jika nilai limit ada, f dikatakan terdiferensialkan di a. Notasi  f'(a) adalah salah satu notasi umum untuk turunan. Definisi turunan ini mengandung hubungan yang intuitif bahwa suatu fungsi terdiferensialkan f bersifat menaik jika dan hanya jika turunannya bernilai positif, dan menurun jika dan hanya jika turunannya bernilai negatif. Fakta ini sering digunakan dalam analisis mengenai perilaku fungsi, contohnya dalam menentukan titik ekstrem fungsi.
Selain itu, turunan juga memenuhi sifat \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)\cdot h)}{h}}=0,
yang menghasilkan interpretasi yang intuitif (lihat Gambar 1) bahwa garis singgung fungsi f di a memberikan hampiran linear terbaik f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h
untuk nilai fungsi f di sekitar a (yakni, untuk nilai h yang kecil). Interpretasi ini adalah konsep termudah yang dapat diperumum ke kasus-kasus lainnya.
Metode subtitusi h dengan nol pada perbandingan beda tidak dapat dilakukan karena menghasilkan pembagian oleh nol. Hal ini menyebabkan besar kemiringan dari garis singgung tidak dapat ditemukan secara langsung lewat subtitusi. Besar kemiringan dapat ditentukan mendefinisikan Q(h) menjadi perbandingan (quotinent) beda sebagai fungsi dari h: Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.
Q(h) secara geometris menyatakan kemiringan dari garis sekan yang melalui  (a,\,f(a)) dan  (a+h,\,f(a+h)). Jika f adalah fungsi kontinu, secara informal mengartikan grafik fungsinya berupa kurva tak putus dan tidak mengandung celah, maka fungsi Q kontinu selain di  h=0. Jika limit  \lim _{h\to 0}Q(h) ada, maka ada cara lain memilih nilai untuk Q(0) yang membuat Q menjadi fungsi kontinu, membuat fungsi f terdiferensialkan di a, dan besar turunannya di a sama dengan Q(0). Pada praktiknya, keberadaan Q(h) yang kontinu di  h=0 ditunjukkan dengan mengubah ekspresi pada pembilang agar dapat "mencoret" semua suku h pada penyebut. Manipulasi seperti itu memungkinkan nilai limit dari Q untuk nilai h yang kecil terlihat jelas, walaupun Q masih tidak terdefinisi di  h=0. Proses manipulasi ini dapat sangat panjang dan melelahkan untuk fungsi yang rumit, dan banyak jalan pintas digunakan untuk menyederhanakan proses.