Masalah Monty Hall
Analisis Bayes

Analisis masalah yang menggunakan formalisme teori probabilitas Bayes (Gill 2002) menerangkan secara eksplisit pentingnya penetapan asumsi dalam masalah ini. Dalam teori ini, probabilitas diasosiasikan dengan proposisi dan tergantung pada informasi latar belakang apapun yang diketahui.Untuk masalah ini, informasi latar belakangnya adalah peraturan permainan, dan proposisnya adalah:
Sebagai contoh,  C_{1}\, menandakan proposisi mobil di belakang pintu 1 dan  H_{12}\, menandakan pembawa acara membuka pintu 2 setelah pemain memilih pintu 1. Dengan mengindikasikan informasi latar dengan  I\,, asumsi dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut:
Pertama-tama, mobil dapat berada di pintu manapun, dan semua pintu secara a priori memiliki peluang yang sama menyembunyikan mobil. Dalam hal ini, a priori berarti sebelum permainan di mulai, atau sebelum melihat kambing. Karenanya, probabilitas awal proposisi  C_{i}\, adalah:
Kedua, pembawa acara akan selalu membuka pintu yang tidak terdapat mobil di belakangnya dan memilih salah satu dari dua pintu yang pemain tidak pilih. Jika kedua pintu tersebut memungkinkan untuk dibuka, maka kedua-duanya memiliki peluang yang sama untuk dibuka. Aturan ini menentukan probabiltas bersyarat dari proposisi  H_{ij}\, tergantung pada keberadaan mobil tersebut:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}} |  \,0\, |   | jika i = j, (pembawa acara tidak bisa membuka pintu yang dipilih pemain) |
|  P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}} |  \,0\, |   | jika j = k, (pembawa acara tidak bisa membuka pintu yang terdapat mobil di belakangnya) |
|  P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}} |  \,1/2\, |   | jika i = k, (kedua pintu yang tidak terdapat mobil memiliki peluang yang sama untuk dibuka) |
|  P(H_{ij}|C_{k},\,I)\,\,=\,{\begin{cases}\,\\\,\\\,\\\,\end{cases}} |  \,1\, |   | jika i  \neq k dan j  \neq  k, (hanya terdapat satu pintu yang tersedia untuk dibuka) |
Masalah ini dapat diselesaikan sekarang dengan menentukan probabilitas posterior kemenangan pada setiap kemungkinan. Tanpa menghilangkan generalitas, kita asumsikan pemain memilih pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3 dan menampakkan kambing. Dengan kata lain, pembawa acara melakukan proposisi  H_{13}\,.
Probabilitas posterior kemenangan dengan tidak beralih pada pintu yang lain, bergantung pada peraturan permainan dan  H_{13}\,, ditulis  P(C_{1}|H_{13},\,I). Dengan menggunakan Teorema Bayes, hal ini dapat diekspresikan sebagai:
Dengan asumsi di atas, pembilang pada sisi kanan persamaannya adalah:
Tetapan penormalan pada penyebut dapat dievaluasi dengan mengembangkannya menggunakan definisi probabilitas marginal dan probabilitas bersyarat:
Pembagian pembilang dengan tetapan penormalan menghasilkan:
Perhatikan bahwa ini sama dengan probabilitas awal mobil berada di belakang pintu yang dipilih, hal ini berarti tindakan pembawa acara belum memberikan kontribusi apapun pada probabilitas.
Probabilitas kemenangan dengan mengalihkan pilihan menjadi pintu 2,  P(C_{2}|H_{13},\,I), dapat dievaluasi dengan mengambil keseluruhan probabilitas posterior proposisi sebagai 1:
Tidak ada mobil di belakang pintu 3 karena pembawa acara telah membukanya, maka  P(C_{3}|H_{13},\,I) haruslah 0. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Bayes dan hasil perhitungan sebelumnya:
Maka:
Ini menunjukkan bahwa strategi untuk memenangkan permainan adalah mengalihkan pilihan ke pintu 2. Ini juga menjelaskan tindakan pembawa acara yang menunjukkan kambing berada di pintu 3 mengakibatkan transfer probabilitas a priori sebesar 1/3 ke pintu sisanya yang tidak dibuka maupun dipilih, sehingga menjadikan pintu tersebut memiliki peluang yang lebih besar untuk terdapat mobil.