Deret harmonik (matematika)
Penerapan

Deret harmonik bisa berlawanan dengan intuisi siswa yang pertama kali menjumpainya, itu adalah sebuah deret divergen meskipun limit dari suku ke- n saat  n menuju ke takhingga adalah nol. Kedivergenan dari deret harmonik juga merupakan sumber dari beberapa paradoks yang jelas. Salah satu dari contoh-contoh ini adalah "cacing di gelang karet". Andaikan bahwa sebuah cacing merangkak di sekitar karet gelang satu meter dengan elastis takhingga pada saat yang sama saat karet gelang direngangkan terdistribusi secara merata. Jika cacing berjalan 1 cm per meint dan karetnya meregang 1 meter per menit, akankah cacing mencapai akhir dari gelang karet? Jawabannya. secara berlawanan, "ya", untuk setelah  n menit, rasionya dari jarak berpergian oleh cacing dengan panjang totoal dari gelang karet adalah
(Faktanya rasio sebenarnya sedikit kurang dari penjumlahan ini karena gelang memanjang terus-menerus.)
Karena deeretnya menjadi besar secara sebarang saat  n menjadi besar, akhirnya rasio ini harus melebihi 1, yang menyiratkan bahwa cacing mencapai akhir dari gelang karet. Namun, nilai  n di mana ini terjadi harus sangat besar; sekitar  e^{100}, sebuah bilangan melebihi  10^{43} menit ( 10^{37} tahun). Meskipun deret harmonik divergen, itu melakukannya dengan sangat lambat.
Masalah lainnya melibatkan deret harmonik adalah masalah jip, yang (dalam satu bentuk) menanyakan berapa total bahan bakar yang dibutuhkan untuk sebuah jip dengan daya dukung bahan bakar yang terbatas untuk menyeberangi gurun, kemungkinan menyebabkan penurunan bahan bakar di sepanjang rute. Jarak yang bisa dilintasi dengan jumlah bahan bakar berkaitan dengan jumlah parsial dari deret harmonik, yang tumbuh secara logaritmik. Dan juga bahan bakar dibutuhkan meningkat secara eksponensial dengan jarak yang diinginkan.
Contoh lain adalah masalah penumpukan balok, diberikan sebuah kumpulan domino yang identik, ini jelas mungkin untuk menumpukkan mereka pada tepi dari sebuah meja sehingga mereka menggantung di tepi dari meja tanpa jatuh. Hasil yang berlawanan dengan intuisi adalah bahwa salah satu bisa menumpukkan mereka sedemikian rupa untuk membuat bergantungan menjadi besar, asalkan ada domnio yang cukup.
Sebuah contoh yang lebih sederhana, di samping itu, adalah perenang yang tetap menambahkan lebih banyak kecepatan ketika menyentuh tembok dari kolam. Perenang mulai melintasi sebuah kolam 10 meter pada sebuah kecepatan 2 m.s, dan dengan setiap lintasan, 2 m/s lainnya ditambahkan ke kecepatan. Dalam teori, kecepatan perenang adalah tak terbatas, tetapi jumlah lintasan yang dibutuhkan untuk mencapai kecepatan itu menjadi sangat besar; contohnya, untuk mencapai kecepatan cahaya (abaikan relativitas khusus), perenang membutuhkan untuk melintasi kolam 150 juta kali. Berbeda dengan jumlah besar ini, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai sebuah keceptan yang diberikan tergantung pada penjumlahan dari deretnya pada setiap diberikan jumlah lintasan kolam (berulang)ː
Menghitung jumlah (secara berulang) menunjukkan bahwa untuk mencapai kecepatan cahaya, waktu yang dibutuhkan hanya 97 detik. Dengan melanjtukan melampaui titik ini (melebihi kecepatan cahaya, lagi abaikan relativitas khusus), waktu yang diambil untuk melintasi kolam pada kenyataannya akan mendekati nol saat jumlah berulang menjadi sangat besar, da meskipun waktu yang dibutuhkan untuk melintasi kolam muncul untuk cenderung ke nol (pada sebuah bilangan takhingga berulang), jumlah berulang (waktu yang diberikan untuk total lintasan kolam) akan tetap divergen pada sebuah divergen dengan kecepatan yang sangat lambat.