Filsafat matematika
Tema utama > Logika dan ketelitian

Penalaran dalam matematika memerlukan ketelitian. Ini berarti bahwa setiap definisi harus benar-benar jelas tanpa ambiguitas, dan setiap pembuktian harus dapat diuraikan menjadi rangkaian penerapan silogisme atau aturan interfensi, tanpa menggunakan bukti empiris atau intuisi.
Aturan penalaran yang ketat telah ditetapkan oleh para filsuf Yunani kuno dengan nama logika. Logika tidak hanya digunakan dalam matematika, tetapi dalam matematika, standar ketelitiannya jauh lebih tinggi dibandingkan bidang lain. Selama berabad-abad, logika digunakan dalam pembuktian matematika tetapi tetap menjadi bagian dari filsafat dan tidak dipelajari secara khusus oleh matematikawan.
Sekitar akhir abad ke-19, muncul berbagai paradoks yang meragukan dasar logis matematika, sehingga validitas keseluruhan matematika dipertanyakan. Salah satunya adalah kritik Frege seorang matematikawan Jerman terhadap konsepsi filosofis matematika yang penting, sebelum menyajikan elaborasi program logika seperti yang disediakan dalam karyanya berjudul Begriffsschrift. Kemudian mengikuti presentasi penjelasan lanjutan Russell dan Whitehead di Principa Mathematica. Elaborasi ini diprakarsai oleh penemuan Russel tentang paradoks yang tampaknya menghancurkan soliditas dasar logis matematika dalam format yang disarankan oleh Frege. Beliau menyajikan logika sebagai sistem aksiomatik untuk semua kesimpulan yang valid yang mungkin dapat kita buat. Dari aksioma logis, seseorang dapat menyimpulkan teorema logis, dan jika aksioma valid, maka teorema valid. Dan setelah presentasi Frege tentang Begriffsschrift, validitas inferensi ini menjadi jelas; inferensi benar jika dan hanya jika diwakili oleh hukum logis dalam aksiomatik Frege,
Masalah dasar dalam matematika akhirnya terselesaikan dengan munculnya logika matematika sebagai cabang baru dalam matematika. Dalam kerangka ini, suatu teori matematika atau logika terdiri dari bahasa formal yang menentukan bentuk pernyataan yang sah, seperangkat pernyataan dasar yang disebut aksioma, dan seperangkat aturan inferensi yang memungkinkan pembuatan pernyataan baru dari satu atau beberapa pernyataan yang sudah diketahui.
Teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan, yang biasanya disebut ZFC, merupakan logika tingkat tinggi yang menjadi dasar bagi seluruh matematika. Teori ini digunakan secara implisit dalam semuat teks matematika yang tidak secara eksplisit menyebutkan fondasi yang mereka gunakan. Slain itu, fondasi matematika lain yang diusulkan dapat dimodelkan dan dipelajari dalam kerangka ZFC.
Akibatnya, konsep "ketelitian" dalam matematika tidak lagi relevan, karena suatu pembuktian hanya benar atau salah, sehingga istilah "pembuktian yang teliti" sebenarnya berlebihan. Konsep ketelitian lebih berkaitan dengan aspek sosial dalam pembuktian. Dalam praktinya, pembuktian jarang dituliskan secara lengkap, dan beberapa langkah sering dianggap sepele, mudah, atau langsung jelas, sehingga dibiarkan untuk disimpulkan oleh pembaca. Namun, karena kesalahan pembuktian sering terjadi pada langkah-langkah yang dilewati ini, suatu pembuktian baru harus diverivikasi oleh ahli lain di bidang tersebut. Pembuktian hanya dianggap dapat dipercaya setelah diterima oleh komunitas ahli, yang bisa memakan waktu bertahun-tahun.