stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
C. P. Snow

| The Right Honourable The Lord Snow CBE |
| --- | --- |
Lahir: (1905-10-15)15 Oktober 1905 Leicester
Meninggal: 1 Juli 1980(1980-07-01) (umur 74) London
Kebangsaan: Inggris
Almamater: Universitas London Universitas Leicester Christ's College, Cambridge
Karier ilmiah
Bidang: Fisika, kimia, sastra (novelis)
Institusi: Christ's College, Cambridge
Mahasiswa doktoral: Eric Eastwood
 
Charles Percy Snow, Baron Snow, CBE (15 Oktober 1905 – 1 Juli 1980) adalah seorang novelis Inggris dan ahli kimia fisik yang juga bertugas di beberapa posisi penting di Layanan Sipil Inggris dan sempat menjabat di Pemerintahan Britania Raya walaupun tidak lama. Ia terkenal karena serangkaian novelnya yang secara kolektif berjudul Strangers and Brothers dan The Two Cultures, ia kuliah tahun 1959 dan ia menyesali karena adanya jurang pemisah antara ilmuwan dan "intelektual sastra".
Kehidupan awal

Lahir di Leicester dari orang tua William Snow, seorang organisator dan pemimpin gereja, dan istrinya Ada, Charles Snow adalah anak kedua dari empat anak laki-laki, saudara-saudaranya adalah Harold, Eric dan Philip Snow, dan mengenyam pendidikan di Alderman Newton's School.
Pada tahun 1923, ia lulus dari British School Certificate, dan pada tahun 1925 ia mengikuti program pendidikan dari Universitas London (eksternal) dalam bidang Fisika di University College, Leicester (sekarang menjadi Universitas Leicester). Snow kemudian mendapatkan beasiswa dari Christ's College, Cambridge, dan memperoleh PhD-nya dalam bidang fisika (spektroskopi). Pada 1930 dia menjadi Fellow dari Christ's College.
Snow menikah dengan novelis Pamela Hansford Johnson pada tahun 1950 dan dikaruniai seorang putra.
Karya-karyanya > Seri Strangers and Brothers

George Passant (terbitan pertama berjudul Strangers and Brothers), 1940
The Light and the Dark, 1947
Time of Hope, 1949
The Masters, 1951
The New Men, 1954
Homecomings, 1956
The Conscience of the Rich, 1958
The Affair, 1959
Corridors of Power, 1964
The Sleep of Reason, 1968
Last Things, 1970
Karya-karyanya > Fiksi lainnya

Death Under Sail, 1932
New Lives for Old, 1933
The Search, 1934
The Malcontents, 1972
In Their Wisdom, 1974, mendapat penghargaan Booker Prize
A Coat of Varnish, 1979
Karya-karyanya > Non-fiksi

The Two Cultures and the Scientific Revolution, 1959
Science and Government, 1961
The Two Cultures and a Second Look, 1963
Variety of men, 1967
The State of Siege, 1968
Public Affairs, 1971
Trollope: His Life and Art, 1975
The Realists, 1978
The Physicists, 1981
Liga Utama Bosnia dan Herzegovina

| --- | --- |

Negara:  Bosnia dan Herzegovina
Konfederasi: UEFA
Dibentuk: 2000
Jumlah tim: 12
Tingkat pada piramida: 1
Degradasi ke: Liga Pertama Bosnia dan Herzegovina,  Liga Pertama Republik Srpska
Piala domestik: Piala Bosnia dan Herzegovina
Piala internasional: Liga Champions UEFA Liga Eropa UEFA
Juara bertahan liga: Zrinjski Mostar  (2021–2022)
Klub tersukses: Zrinjski Mostar (7 gelar)
Televisi penyiar: Arena Sport
Situs web: http://www.nfsbih.ba
 Liga Utama Bosnia dan Herzegovina 2021–2022
Liga Utama Bosnia dan Herzegovina atau juga Liga m:tel Bosnia dan Herzegovina (bahasa Bosnia: m:tel Premijer liga Bosne i Hercegovine / м:тел Премијер лига Босне и Херцеговине) karena alasan sponsor, atau juga disebut sebagai Liga 12, adalah liga sepak bola teratas di Bosnia dan Herzegovina, dan dijalankan oleh Asosiasi Sepak Bola Bosnia dan Herzegovina. Liga ini diikuti oleh 12 klub dengan dua tim terbawah akan terdegradasi.
Sejarah > Periode 1992–1996

Setelah pecahnya Yugoslavia dan setelah proklamasi kemerdekaan pada akhir musim 1992, klub-klub dari Bosnia dan Herzegovina keluar dari Liga Utama Yugoslavia, yang sudah tidak berjalan lagi pada 1991–1992. Di tahun yang sama N/FSBiH (asosiasi sepak bola Bosnia dan Herzegovina) mengajukan keanggotaan ke FIFA dan UEFA. Akibat Perang Bosnia pada April 1992, tidak ada pertandingan yang dimainkan pada musim 1992–1993. Pada akhir 1993, beberapa daerah mengadakan kompetisi sepak bola dengan skala kecil. Tetapi, situasi saat itu yang terbagi menurut etnis berakibat pula di sepak bola.
Pada tahun 1993, Kroat Bosnia membentuk Federasi Sepak Bola Herzeg Bosnia dan Liga Utama Herzeg-Bosnia, di mana hanya klub Kroasia yang berkompetisi di kompetisi ini, terutama yang berasal dari Herzegovina Barat dan beberapa daerah lainnya. Pada tahun yang sama, Serbia Bosnia juga membentuk Liga Utama Republika Srpska, di wilayah yang dipegang oleh rezim Republika Srpska saat itu. Sementara, N/FSBiH mengorganisir sepak bola di wilayah Republik Bosnia dan Herzegovina saja, dengan mayoritas Bosniak. Kompetisi di bawah naungan N/FSBiH dilanjutkan sampai musim 1995–1996 ketika Liga Pertama Bosnia dan Herzegovina digelar.
Sejarah > Periode pasca perang 1996–2000

Ketiga liga sepak bola terpisah ini berjalan di Bosnia dan Herzegovina hingga tahun 1998, dan 2000. FIFA dan UEFA mendukung untuk menyatkuna ketiga asosiasi yang berdiri tersebut menjadi satu sebagai N/FSBiH, kejadian ini terjadi akibat dari Perjanjian Damai Dayton. FIFA mengakui N/FSBiH pada Juli 1996, sementara pada tahun yang sama UEFA mengakui N/FSBiH sebagai anggota (belum penuh) hingga pada 1998 diakui secara penuh oleh UEFA. Artinya, hanya klub yang berada di bawah N/FSBiH dan tim nasional mereka yang bisa bersaing di level internasional dan resmi.
Sejarah > Pembentukan Liga Utama 2000–2001

Liga Utama BiH diadakan pada musim gugur 2000. Namun, musim pertama 2000–2001 hanya dari federasi BiH, sementara klub dari klub dari Republik Srpska hanya berkompetisi di liga mereka sendiri karena menolak bergabung dengan N/FSBiH. Namun, UEFA dan FIFA tidak pernah mengakui asosiasi Republika Srpska, yang berarti klub di bawah federasi tersebut tidak bisa ikut kompetisi resmi internasional. Situasi tersebut memaksa anggota mereka untuk bergabung dengan N/FSBiH dua tahun kemudian. Sejak tahun 2000, Liga Utama Bosnia dan Herzegovina menjadi liga tertinggi di negara itu. Liga yang berjalan dibawah asosiasi Republika Srpska menjadi liga tingkat kedua bersama dengan liga tingkat kedua milik N/FSBiH.
Sejarah > Liga Utama sebagai Liga 12 dari 2016–2017 hingga 2018–2019

Pada musim 2016–2017 dan musim 2017–2018, Liga Utama BH Telecom mengubah format liga, mengurangi sejumlah klub dari 16 klub menjadi 12 klub, sehingga liga ini sering disebut sebagai Liga 12. Mereka memasukkan jadwal play-off dan play-out. Play-off mempertandingkan 6 klub teratas untuk memperebutkan jatah Liga Champions dan Liga Eropa, sedangkan play-out mempertandingkan 6 klub terbawah untuk menghindari degradasi dengan dua tim terakhir akan terdegradasi.
Sejarah > Format lama sejak 2018–2019

Sejak musim 2018–2019, liga tidak dimainkan seperti musim sebelumnya. Setelah semua (12 klub) bermain dua kali (satu kali kandang, satu kali tandang), mereka akan bermain satu kali lagi. Sehingga, satu klub bertemu dengan klub lainnya sebanyak tiga kali dalam semusim. Karena itu, satu musim liga memiliki 33 pertandingan, 22 pertandingan di putaran reguler dan 10 pertandingan di putaran play-off dan play-out.
Tim pada musim 2021–2022

ZRINJSKI
BORA
SARAJEVO
POSUŠJE
IGMAN
RADNIK
VELEŽ
Tuzla City
DOBOJ
GOŠK
TUZLA
Lokasi tim Liga Utama BiH musim 2021–2022
| Tim | Lokasi | Stadion | Kapasitas |
| --- | --- | --- | --- |
| Borac FK Borac Banja Luka | Banja Luka | Stadion Kota Banjau Luka | 10,030 |
| FK Leotar | Trebinje | Stadion Polisi | 8,550 |
| HŠK Posušje | Posušje | Stadion Mokri Dolac | 8,000 |
| FK Radnik Bijeljina | Bijeljina | Stadion Gradski Bijeljina | 6,000 |
| FK Rudar Prijedor | Prijedor | Stadion Gradski Prijedor | 6,000 |
| Sarajevo FK Sarajevo | Sarajevo | Asim Ferhatović Hase | 34,500 |
| FK Sloboda Tuzla | Tuzla | Tušanj | 7,200 |
| Široki Brijeg NK Široki Brijeg | Široki Brijeg Široki Brijeg | Pecara | 7,000 |
| FK Tuzla City | Tuzla | Tušanj | 7,200 |
| FK Velež Mostar | Mostar | Stadium Rođeni | 7,000 |
| HŠK Zrinjski Mostar | Mostar | Bijeli Brijeg | 9,000 |
| Željezničar FK Željezničar Sarajevo | Sarajevo | Grbavica | 13,449 |
Daftar Juara Liga Utama Bosnia dan Herzegovina

Dibawah ini adalah daftar juara sejak diperkenalkan sebagai Liga Utama Bosnia dan Herzegovina pada tahun 2000.
| Musim | Juara (Gelar ke-) | Peringkat dua | Peringkat tiga | Pencetak gol terbanyak> Pemain (Klub) | Pencetak gol terbanyak> Gol |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2000–011 | Željezničar (1) | Brotnjo | Sarajevo |  Dželaludin Muharemović (Željezničar) | 31 |
| 2001–021 | Željezničar (2) | Široki Brijeg | Brotnjo |  Ivica Huljev (Željezničar) | 15 |
| 2002–03 | Leotar (1) | Željezničar | Sarajevo |  Emir Obuća (Sarajevo) | 24 |
| 2003–04 | Široki Brijeg (1) | Željezničar | Sarajevo |  Alen Škoro (Sarajevo) | 20 |
| 2004–05 | Zrinjski (1) | Željezničar | Široki Brijeg |  Zoran Rajović (Zrinjski) | 17 |
| 2005–06 | Široki Brijeg (2) | Sarajevo | Zrinjski |  Petar Jelić (Modriča) | 19 |
| 2006–07 | Sarajevo (1) | Zrinjski | Slavija |  Stevo Nikolić (Modriča)  Dragan Benić (Borac) | 19 |
| 2007–08 | Modriča (1) | Široki Brijeg | Čelik |  Darko Spalević (Slavija) | 18 |
| 2008–09 | Zrinjski (2) | Slavija | Sloboda |  Darko Spalević (Slavija) | 17 |
| 2009–10 | Željezničar (3) | Široki Brijeg | Borac |  Feđa Dudić (Travnik) | 16 |
| 2010–11 | Borac (1) | Sarajevo | Željezničar |  Ivan Lendrić (Zrinjski) | 16 |
| 2011–12 | Željezničar (4) | Široki Brijeg | Borac |  Eldin Adilović (Željezničar) | 19 |
| 2012–13 | Željezničar (5) | Sarajevo | Borac |  Emir Hadžić (Sarajevo) | 20 |
| 2013–14 | Zrinjski (3) | Široki Brijeg | Sarajevo |  Wagner (Široki Brijeg) | 18 |
| 2014–15 | Sarajevo (3) | Željezničar | Zrinjski |  Riad Bajić (Željezničar) | 15 |
| 2015–16 | Zrinjski (4) | Sloboda Tuzla | Široki Brijeg |  Leon Benko (Sarajevo) | 17 |
| 2016–17 | Zrinjski (5) | Željezničar | Sarajevo |  Ivan Lendrić (Željezničar) | 19 |
| 2017–18 | Zrinjski (6) | Željezničar | Sarajevo |  Miloš Filipović (Zrinjski) | 16 |
| 2018–19 | Sarajevo (4) | Zrinjski | Široki Brijeg |  Sulejman Krpić (Željezničar) | 16 |
| 2019–20 | Sarajevo (5) | Željezničar | Zrinjski |  Mersudin Ahmetović (Sarajevo) | 16 |
| 2020–21 | Borac (2) | Sarajevo | Velež |  Nemanja Bilbija (Zrinjski) | 17 |
| 2021–22 | Zrinjski (7) | Tuzla City | Borac |  Nemanja Bilbija (Zrinjski) | 33 |
1 Dimainkan tanpa klub dari Republika Srpska.
Pranala luar

Football Association of Bosnia and Herzegovina official site (Bosnia)
League at uefa.com
BiH soccer (Bosnia)
Teorema Sylow

Dalam matematika, khususnya di bidang teori grup hingga, Teorema Sylow adalah kumpulan teorema yang dinamai menurut matematikawan Norwegia  Peter Ludwig Sylow (1872) yang memberikan informasi rinci tentang jumlah subgrup dari  urutan yang berisi grup hingga tertentu. Teorema Sylow membentuk bagian fundamental dari teori grup hingga dan memiliki aplikasi yang sangat penting dalam klasifikasi grup sederhana hingga.
Untuk bilangan prima p, Sylow subgrup p (terkadang Sylow subgrup p dari grup  G  adalah maksimal subgrup  p   dari  G , yaitu, subgrup dari  G  yaitu grup p (sehingga  urutan dari setiap elemen grup adalah  kekuatan dari p) itu bukan subgrup yang tepat dari  p  lainnya, subgrup dari  G . Himpunan dari semua Sylow subgrup  p  untuk prima tertentu  p  terkadang ditulis Sylp(G).
Teorema Sylow menyatakan kebalikan parsial  Teorema Lagrange. Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk setiap grup hingga  G  urutan (jumlah elemen) dari setiap subgrup  G  membagi urutan  G .  Teorema Sylow menyatakan bahwa untuk setiap faktor prima  p  dari urutan grup hingga  G , terdapat Sylow subgrup  p  order  G  pn, pangkat tertinggi  p  yang membagi urutan  G . Selain itu, setiap subgrup order pn adalah Sylow subgrup  p   dari  G , dan Sylow  p  - subgrup dari grup (untuk prime  p  tertentu) adalah konjugasi satu sama lain. Selanjutnya, jumlah Sylow subgrup  p  dari grup untuk prima  p  yang diberikan kongruen dengan 1 mod p.
Teorema

Kumpulan subgrup yang masing-masing maksimal dalam satu hal atau lainnya adalah hal biasa dalam teori grup. Hasil yang mengejutkan di sini adalah dalam kasus Sylp(G), semua anggota sebenarnya  isomorphic satu sama lain dan memiliki urutan terbesar: jika |G| = pnm dengan n > 0 dimana  p  tidak membagi  m , maka setiap Sylow subgrup  p  , P  memiliki urutan |P| = pn. Artinya,  P  adalah grup  p  dan gcd(|G : P|, p) = 1. Sifat ini dapat dimanfaatkan untuk menganalisis lebih lanjut struktur  G .
Teorema berikut pertama kali diajukan dan dibuktikan oleh Ludwig Sylow pada tahun 1872, dan diterbitkan pada Mathematische Annalen.
Teorema 1: Untuk setiap faktor prima  p  dengan  kelipatan  n  dari urutan grup hingga  G , terdapat Sylow subgrup  p  dan  G , berurutan pn.
Versi lemah teorema 1 berikut ini pertama kali dibuktikan oleh Augustin-Louis Cauchy, dan dikenal sebagai  Teorema Cauchy.
Korolari: Diberikan kelompok terbatas  G  dan bilangan prima  p  membagi urutan  G , maka terdapat elemen (dan karenanya subgrup) berorde  p  pada G.
Teorema 2: Diberikan grup terbatas  G  dan bilangan prima  p , pada Sylow subgrup  p  dari  G  adalah  konjugasi satu sama lain, yaitu jika  H  dan  K  adalah Sylow subgrup  p  dari  G , maka terdapat elemen  g  di  G  dengan g−1Hg = K.
Teorema 3: Misalkan  p  menjadi faktor prima dengan kelipatan  n  dari urutan grup hingga  G , sehingga urutan  G  dapat dituliskan sebagai pnm, dimana n > 0 dan  p  tidak membagi  m . Maka np jadilah jumlah Sylow subgrup  p  dari  G . Kemudian penangguhan berikut:
np membagi  m , yang merupakan  indeks dari Sylow subgrup  p  pada  G .
np ≡ 1 (mod p).
np = |G : NG(P)|, di mana  P  adalah sembarang Sylow subgrup  p  dari  G  dan NG menunjukkan penormal.
Teorema > Konsekuensi

Teorema Sylow menyiratkan bahwa untuk bilangan prima  p  setiap Sylow subgrup  p   memiliki urutan yang sama, pn. Sebaliknya, jika subgrup memiliki urutan pn, maka itu adalah Sylow subgrup  p , dan begitu juga isomorfik untuk setiap Sylow subgrup  p . Karena kondisi maksimalitas, jika  H  adalah salah satu  p  - subgrup dari  G , maka  H  adalah subgrup dari subgrup  p  dari urutan pn.
Konsekuensi yang sangat penting dari Teorema 2 adalah kondisi tersebut np = 1 setara dengan mengatakan bahwa Sylow subgrup  p ,  G  adalah subgrup normal
(ada grup yang memiliki subgrup normal tetapi tidak ada subgrup Sylow normal, seperti S4).
Teorema > Teorema Sylow untuk grup tak hingga

Ada analogi dari teorema Sylow untuk kelompok tak terbatas. Kami mendefinisikan Sylow subgrup  p  dalam grup tak terbatas menjadi subgrup  p  (yaitu, setiap elemen di dalamnya memiliki urutan daya  p ) yang maksimal untuk dimasukkan di antara semua subgrup  p  dalam grup. Subgrup semacam itu ada oleh lemma Zorn.
Teorema: Jika  K  adalah Sylow  p  - subgrup dari  G , dan np = |Cl(K)| terbatas, maka setiap Sylow subgrup  p  dikonjugasikan menjadi  K , dan np ≡ 1 (mod p), dimana Cl(K) menunjukkan kelas konjugasi  K .
Contoh

Ilustrasi sederhana subgrup Sylow dan teorema Sylow adalah kelompok dihedral dari n-gon, D2n. Untuk n ganjil, 2 = 21 adalah pangkat tertinggi dari 2 yang membagi ordo, dan dengan demikian subgrup orde 2 adalah subgrup Sylow. Ini adalah grup yang dihasilkan oleh refleksi, yang mana terdapat  n , dan semuanya terkonjugasi di bawah rotasi; secara geometris sumbu-sumbu simetri melewati sebuah simpul dan sisi.
Sebaliknya, jika  n  genap, maka 4 membagi urutan grup, dan subgrup orde 2 bukan lagi subgrup Sylow, dan kenyataannya mereka terbagi dalam dua kelas konjugasi, secara geometris menurut apakah mereka melewati dua simpul atau dua sisi. Ini terkait dengan automorfisme luar, yang dapat diwakili oleh rotasi melalui π /  n , setengah dari rotasi minimal dalam kelompok dihedral.
Contoh lainnya adalah p-subgrup Sylow dari GL2(Fq), di mana  p  dan  q  adalah bilangan prima ≥ 3 dan p ≡ 1 (mod q) , yang semuanya  abelian. Urutan GL2(Fq) is (q2 − 1)(q2 − q) = (q)(q + 1)(q − 1)2. Maka q = pnm + 1, urutan GL2(Fq) = p2n m′. Jadi dengan Teorema 1, urutan dari Sylow  p  adalah p2n.
Salah satu subgrup  P , adalah himpunan matriks diagonal   {\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}, x adalah salah satu  akar primitif dari  Fq. Karena urutan Fq is q − 1, its primitive roots have order q − 1, which implies that x(q − 1)/pn or xm dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan  p . Jadi,  P  adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p. Jika pn pilihan untuk  a  dan  b , membuat |P| = p2n. Ini berarti  P  adalah Sylow  p  - subkelompok, yang abelian, karena semua matriks diagonal bolak-balik, dan karena Teorema 2 menyatakan bahwa semua Sylow subgrup p  berkonjugasi satu sama lain GL2(Fq) pada grup abelian.
Contoh aplikasi

Karena teorema Sylow memastikan keberadaan subgroup-p dari kelompok terbatas, ada baiknya mempelajari grup tatanan kekuatan utama lebih dekat. Sebagian besar contoh menggunakan teorema Sylow untuk membuktikan bahwa sekelompok urutan tertentu bukanlah  sederhana. Untuk kelompok orde kecil, kondisi kesesuaian teorema Sylow sering kali cukup untuk memaksa keberadaan subgrup normal.
Contoh aplikasi > Pesanan grup siklik

Beberapa bilangan prima  n  sedemikian rupa sehingga setiap kelompok orde  n  berbentuk siklik. Dapat ditunjukkan bahwa  n  = 15 adalah bilangan seperti itu dengan menggunakan teorema Sylow:  Misalkan  G  adalah sekelompok berorde 15 = 3 · 5 dan n3 menjadi jumlah Sylow 3-subgrup. Kemudian n3  \mid  5 dan n3 ≡ 1 (mod 3). Satu-satunya nilai yang memenuhi batasan ini adalah 1; oleh karena itu, hanya ada satu subgrup berorde 3, dan itu harus  normal (karena tidak memiliki konjugasi berbeda). Demikian pula, n5 harus membagi 3, dan n5 harus sama dengan 1 (mod 5); jadi ia juga harus memiliki satu subgrup normal berorde 5. Karena 3 dan 5 adalah coprime, perpotongan kedua subgrup ini adalah trivial, dan jadi  G  haruslah produk langsung internal dari grup orde 3 dan 5, yaitu grup siklik orde 15. Jadi, hanya ada satu grup orde 15 (hingga isomorfisme).
Contoh aplikasi > Grup kecil tidak sederhana

Contoh yang lebih kompleks melibatkan urutan grup sederhana terkecil yang bukan  siklik. Teorema Burnside pa qb menyatakan bahwa jika orde suatu kelompok adalah hasil kali dari satu atau dua pangkat utama s, maka ia  dapat dipecahkan, sehingga kelompok tersebut tidak sederhana, atau merupakan orde utama dan berhubung dgn putaran. Ini mengesampingkan setiap grup hingga orde 30 (= 2 · 3 · 5).
Jika  G  sederhana, dan |G| = 30, kemudian n3 must divide 10 ( = 2 · 5), dan n3 harus sama dengan 1 (mod 3). Karena baik 4 maupun 7 tidak membagi 10, dan jika n3 = 1 kemudian, seperti di atas,  G  akan memiliki subgrup normal berorde 3, dan tidak bisa sederhana.  G  kemudian memiliki 10 subgrup siklik berbeda dari orde 3, yang masing-masing memiliki 2 elemen orde 3 (indentitas penambahan). Ini berarti  G  memiliki setidaknya 20 elemen berbeda dari orde 3.
Juga,  n  5  = 6, karena  n   5  harus membagi 6 (= 2 · 3), dan n5 harus sama dengan 1 (mod 5). Jadi  G  juga memiliki 24 elemen berbeda dari orde 5. Tapi orde  G  hanya 30, jadi grup sederhana berorde 30 tidak mungkin ada.
Selanjutnya, misalkan |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Di sini  n  7  harus membagi 6 ( =  2 · 3) dan n7 harus sama dengan 1 (mod 7), jadi  n  7  = 1. Jadi, seperti sebelumnya,  G  tidak bisa sederhana.
Di sisi lain, untuk |G| = 60 = 22 · 3 · 5, maka  n  3  = 10 dan  n  5  = 6 sangat mungkin. Dan faktanya, grup non-siklik sederhana terkecil adalah A5, grup bergantian lebih dari 5 elemen. Ia memiliki urutan 60, dan memiliki 24 permutasi siklik dari urutan 5, dan 20 dari urutan 3.
Contoh aplikasi > Teorema Wilson

Bagian dari Teorema Wilson menyatakan bahwa
untuk setiap prima  p . Seseorang dapat dengan mudah membuktikan teorema ini dengan teorema ketiga Sylow. Memang,
perhatikan bahwa bilangan np dari Sylow subgrup  p 
dalam grup simetris Sp is (p − 2)!. Maka, np ≡ 1 (mod p). Karenanya, (p − 2)! ≡ 1 (mod p). So, (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Contoh aplikasi > Hasil fusi

Argumen Frattini menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan faktorisasi dari grup hingga.  Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai Teorema fusi Burnside menyatakan Bahwa jika  G  adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup  p  dan dua himpunan bagian  A  dan  B  dinormalisasi oleh  P , lalu  A  dan  B  adalah konjugasi  G  jika dan hanya jika ada konjugasi NG(P).  Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika B=Ag, maka penormal  B  tidak hanya berisi  P  tetapi juga Pg (karena Pg terkandung dalam penormal dari Ag).  Dengan teorema Sylow  P  dan Pg terkonjugasi tidak hanya dalam  G , tetapi dalam penormalisasi  B . Karenanya gh−1 menormalkan  P  untuk beberapa  h  yang menormalkan  B , lalu Agh−1 = Bh−1 = B, so that A dan  B  adalah konjugasi NG(P).  Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut produk setengah langsung: jika  G  adalah grup terbatas yang Sylow  p  - subkelompok  P  terdapat di tengah penormalnya, lalu  G  memiliki subgrup normal  K  dengan urutan coprime ke  P , G = PK and P∩K = {1}, yaitu,  G  adalah   p  nilpotent.
Aplikasi yang kurang sepele dari teorema Sylow termasuk teorema subkelompok fokus, yang mempelajari kontrol Sylow  p  - subkelompok dari subgrup turunan memiliki struktur keseluruhan.  Kontrol ini dieksploitasi pada beberapa tahap klasifikasi grup sederhana hingga, dan misalnya mendefinisikan pembagian kasus yang digunakan dalam Teorema Alperin – Brauer – Gorenstein yang mengklasifikasikan hingga grup sederhana yang subgrup Sylow 2-nya adalah grup kuasi-dihedral.  Ini bergantung pada J. L. Alperin memperkuat bagian konjugasi dari teorema Sylow untuk mengontrol jenis elemen apa yang digunakan dalam konjugasi.
Algoritma

Masalah menemukan subkelompok Sylow dari kelompok tertentu merupakan masalah penting dalam teori grup komputasi.
Salah satu bukti keberadaan Sylow  p  - subkelompok konstruktif: jika  H  adalah subgrup  p   G  dan indeks [G:H] habis dibagi  p , lalu normalizer N = NG(H) dari  H  dalam  G  juga sedemikian rupa sehingga [ N :  H ] habis dibagi  p . Dengan kata lain, sistem pembuatan polisiklik dari Sylow  p  - subkelompok dapat ditemukan dengan memulai dari subgrup- p  pada  H  (termasuk identitas) dan mengambil elemen  p  - urutan daya yang terkandung dalam normalizer  H  tetapi tidak dalam  H  itu sendiri.  Versi algoritmik ini (dan banyak peningkatan) dijelaskan dalam bentuk buku teks di (Butler 1991, Chapter 16), termasuk algoritme yang dijelaskan dalam (Cannon 1971).  Versi ini masih digunakan dalam sistem aljabar komputer GAP.
Dalam grup permutasi terbukti di (Kantor 1985a, 1985b, 1990; Kantor & Taylor 1988) bahwa Sylow  p  - subgrup dan normalnya dapat ditemukan di waktu polinomial dari input (derajat grup dikalikan jumlah generator).  Algoritme ini dijelaskan dalam bentuk buku teks di (Seress 2003), dan sekarang menjadi praktis karena pengakuan konstruktif dari kelompok sederhana hingga menjadi kenyataan. Secara khusus, versi dari algoritma ini digunakan dalam Sistem aljabar komputer magma.
Lihat pula

Argumen Frattini
Subgrup Hall
Subgrup maksimal
grup-p
Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Sylow theorems", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Abstract Algebra/Group Theory/The Sylow Theorems di Wikibuku
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Sylow p-Subgroup". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Sylow Theorems". MathWorld.
Dalam D6 semua refleksi adalah konjugasi, karena refleksi sesuai dengan subgrup 2 Sylow.
Dalam D12 refleksi tidak lagi sesuai dengan 2-subgrup Sylow, dan terbagi dalam dua kelas konjugasi.