Teorema dasar aljabar
Bukti > Bukti analisis kompleks

Misalkan  D adalah cakram dengan radius  r berpusat di titik asal sedemikian rupa sehingga  |p(z)|>|p(0)| saat  |z|\geq r.  Nilai minimal dari  |p(z)| pada himpunan  D ada, sebab  D adalah himpunan kompak, sehingga nilai minimum tersebut tercapai di suatu titik interior  z_{0} dari himpunan  D, bukan di titik batas dari himpunan  D. Prinsip modulus maksimum (diterapkan ke  1/p(z))  kemudian menunjukkan bahwa  p(z_{0})=0. Dengan kata lain,  z_{0} adalah akar dari  p(z).
Variasi dari bukti ini tidak memerlukan penggunaan prinsip modulus maksimum (pada kenyataannya, argumen yang sama dengan perubahan kecil memberikan bukti prinsip modulus maksimum untuk fungsi holomorfik). Bagian sebelum penggunaan prinsip modulus maksimum juga dapat dilanjutkan dengan kontradiksi, i.e. memisalkan  p(z_{0}) bernilai suatu konstan  a tak nol, maka  p(z) dapat dituliskan dalam deret pangkat  (z-z_{0}) sebagai berikut p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.
Di sini,  c_{j} adalah koefisien dari  z^{j} pada polinomial  p(z+z_{0}) jika dijabarkan, dan  k adalah indeks dari koefisien tak nol pertama setelah suku konstan  p(z_{0}). Untuk  z yang cukup dekat dengan  z_{0}, fungsi ini memiliki perilaku yang secara asimtotik sama dengan polinomial  q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}. Lebih tepatnya, hal ini dapat dituliskan sebagai \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq Muntuk suatu konstanta positif  M di suatu lingkungan dari  z_{0}. Oleh karena itu, misalkan  \theta =(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k  dan  z=z_{0}+re^{i\theta }, maka untuk suatu bilangan positif  r yang cukup kecil (sedemikian sehingga hingga batas  M yang disebutkan di atas berlaku), {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}.\end{aligned}}
Apabila  r cukup dekat dengan  0, argumen di atas mengakibatkan batas atas dari  |p(z)| lebih kecil daripada  |a|, kontradiksi dengan asumsi  z_{0} merupakan titik global minimum dari  |p(z)| pada himpunan  D. Secara geometris, argumen ini memberikan arah eksplisit  \theta _{0} sedemikian sehingga jika  z mendekati  z_{0} dari arah tersebut, maka  |p(z)|<|p(z_{0})| untuk  r yang cukup dekat dengan 0.
Bukti analitik lain dapat diperoleh dengan mengamati bahwa   |p(z)|>|p(z_{0})| di luar  D mengakibatkan nilai minimum  |p(z)| di seluruh bidang kompleks dicapai di  z_{0}. Jika  |p(z_{0})|>0, maka  1/p(z) adalah fungsi holomorfik terbatas di seluruh bidang kompleks, karena  |1/p(z)|\leq |1/p(z_{0})| untuk setiap bilangan kompleks  z.  Namun, Teorema Liouville menyatakan bahwa fungsi holomorfik yang terbatas pada  \mathbb {C}  haruslah merupakan fungsi konstan. Hal ini mengakibatkan  1/p(z) adalah fungsi konstan, yang merupakan kontradiksi. Maka,  p(z_{0})=0.
Bukti analitik lain mengandalkan prinsip argumen. Misalkan  R adalah bilangan real positif yang cukup besar sehingga setiap akar dari  p(z) memiliki nilai absolut lebih kecil dari  R. Bilangan  R yang memenuhi sifat ini haruslah ada karena setiap fungsi polinomial tak konstan berderajat  n memiliki paling banyak  n akar. Untuk setiap  r>R, tinjau bilangan N={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,dimana  c(r) adalah lingkaran yang berpusat pada titik asal dengan jari-jari  r  berorientasi berlawanan arah jarum jam. Dari prinsip argumen,  N merepresentasikan banyaknya akar dari  p(z) (memperhitungkan multiplisitas aljabar) di dalam bola buka berpusat di  0 dengan radius  r.  Karena  r>R,  maka bilangan  N sama dengan banyaknya pembuat nol di  \mathbb {C} . Di sisi lain, hasil dari pembagian integral dari  n/z sepanjang kontur  c(r) oleh  2\pi i sama dengan  n. Namun, selisih dari kedua angka tersebut adalah {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.
Pembilang dari bentuk rasional yang diintegralkan berderajat paling besar  n-1, sedangkan penyebutnya berderajat  n+1. Oleh karena itu, integral di atas cenderung mendekati  0 seiring  r\rightarrow +\infty . Tetapi bilangan ini juga sama dengan  N-n, sehingga  N=n.
Bukti dengan metode analisis kompleks lain diberikan dengan mengkombinasikan aljabar linier dengan Teorema Cauchy. Memperlihatkan bahwa setiap polinomial kompleks berderajat  n > 0 memiliki pembuat nol dapat dilakukan dengan hanya menunjukkan bahwa setiap matriks persegi  n\times n dengan entri kompleks memiliki nilai eigen kompleks. Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi.
Misalkan  A adalah matriks persegi  n\times n dengan entri kompleks dan  I_{n} adalah matriks identitas perkalian dengan ukuran yang sama. Asumsikan  A tidak memiliki nilai eigen, maka fungsi resolvent R(z)=(zI_{n}-A)^{-1}adalah fungsi meromorfik pada bidang kompleks dengan kodomain ruang vektor matriks dengan entri kompleks. Nilai eigen dari  A adalah pole dari  R(z). Karena diasumsikan  A tidak memiliki nilai eigen, fungsi  R(z) adalah fungsi entire dan Teorema Cauchy mengimplikasikan bahwa \int _{c(r)}R(z)dz=0.
Di sisi lain, ekspansi  R(z) sebagai deret geometri memberikan R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}.
Rumus ini valid di luar cakram tertutup berjari-jari  \|A\| (norm dari operator  A). Misalkan  r>\|A\|. Maka \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k+1}=2\pi iI_{n}
(hanya untuk  k=0 integran pada suku deret tersebut bernilai tak nol). Ini adalah kontradiksi, sehingga  A memiliki nilai eigen.
Terakhir, aplikasi Teorema Rouche memberikan bukti dari teorema dasar aljabar yang barangkali paling singkat.