Titik akumulasi
Sifat-sifat

Setiap limit dari barisan tak konstan merupakan titik akumulasi dari barisan tersebut, dan berdasarkan definisi, setiap titik limit merupakan titik adheren.
Penutup dari himpunan  H (yang ditulis sebagai  {\overline {H}}) merupakan gabungan lepas dari himpunan titik-titik limitnya beserta himpunan titik-titik terisolasinya. Secara matematis, maka
 {\overline {H}}=L\!\left(H\right)\cup I\!\left(H\right)\qquad {\text{dan}}\qquad L\!\left(H\right)\cap I\!\left(H\right)=\varnothing
Sifat 1 — Suatu titik  x\in X merupakan titik limit dari  H\subseteq X jika dan hanya jika  x termuat pada penutup dari  H\setminus \left\{x\right\}.
Diambil sembarang  H\subseteq X dan sembarang titik  x\in X. Akan digunakan definisi penutup suatu himpunan berdasarkan persekitaran: suatu titik  x\in X adalah anggota dari  {\overline {H}} jika dan hanya jika setiap persekitaran dari  x memuat titik pada  H, yang secara matematis dapat ditulis sebagai
 {\overline {H}}=H\cup \partial H
dengan  \partial H menyatakan batas dari himpunan  H.
Bagian 1. Jika  x merupakan titik limit dari  H, maka berdasarkan definisi dari titik limit, setiap persekitaran dari  x memuat titik pada  H selain  x itu sendiri. Dengan kata lain, setiap persekitaran dari  x memuat titik pada  H\setminus \left\{x\right\}. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka terbukti bahwa  x termuat pada penutup dari  H\setminus \left\{x\right\}.
Bagian 2. Jika  x termuat pada penutup dari  H\setminus \left\{x\right\}, maka berdasarkan definisi penutup himpunan, setiap persekitaran dari  x memuat titik pada  H\setminus \left\{x\right\}. Dengan kata lain, setiap persekitaran dari  x memuat titik pada  H selain  x itu sendiri. Berdasarkan definisi dari titik limit, maka terbukti bahwa  x merupakan titik limit dari  H.
Jika  L\!\left(H\right) menyatakan himpunan titik-titik limit dari  H, maka diperoleh karakterisasi lain dari penutup  H. Karakterisasi ini terkadang digunakan sebagai definisi dari operator penutup himpunan.
Sifat 2 — Penutup dari  H merupakan gabungan dari  H dan  L\!\left(H\right). Secara simbolis, maka
 {\overline {H}}=H\cup L\!\left(H\right)
Bagian 1. Diambil sembarang  H\subseteq X dan  x\in {\overline {H}}. Akan dibuktikan bahwa  {\overline {H}}\subseteq H\cup L\!\left(H\right).
Jika  x\in H, maka pembuktiannya selesai.
Jika  x\not \in H, maka setiap persekitaran dari  x memuat suatu titik pada  H, dan titik ini bukanlah  x. Dengan kata lain,  x merupakan titik limit  H, sehingga  x\in L\!\left(H\right).
Akibatnya, terbukti bahwa  {\overline {H}}\subseteq H\cup L\!\left(H\right).
Bagian 2. Diambil sembarang  H\subseteq X dan  x\in H\cup L\!\left(H\right). Akan dibuktikan bahwa  H\cup L\!\left(H\right)\subseteq {\overline {H}}.
Jika  x\in H, maka jelas bahwa setiap persekitaran dari  x memuat suatu titik dari  H. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka  x\in {\overline {H}}.
Jika  x\in L\!\left(H\right), maka berdasarkan definisi dari titik limit, setiap persekitaran dari  x memuat suatu titik dari  H selain dari  x itu sendiri. Berdasarkan definisi dari penutup himpunan, maka  x\in {\overline {H}}.
Pada kedua kasus di atas, maka terbukti bahwa  H\cup L\!\left(H\right)\subseteq {\overline {H}}.
Akibat dari hasil di atas ialah karakterisasi lain dari himpunan tertutup, yang dinyatakan sebagai berikut
Sifat 3 — Suatu himpunan  H\subseteq X merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika  H memuat seluruh titik-titik limitnya.
Diambil sembarang himpunan  H\subseteq X. Akan digunakan definisi himpunan tertutup menggunakan penutup himpunan: suatu himpunan  H merupakan himpunan tertutup jika dan hanya jika  H={\overline {H}}
Bagian 1. Jika himpunan  H merupakan himpunan tertutup, maka
 {\begin{aligned}H&={\overline {H}}\\&=H\cup L\!\left(H\right)\end{aligned}}
Akibatnya,  L\!\left(H\right)\subseteq H, yang berarti himpunan  H memuat seluruh titik-titik limitnya.
Bagian 2. Jika himpunan  H memuat seluruh titik-titik limitnya, maka  L\!\left(H\right)\subseteq H. Akibatnya,
 {\begin{aligned}H\cup L\!\left(H\right)&=H\\{\overline {H}}&=H\end{aligned}}
sehingga himpunan  H merupakan himpunan tertutup.
Sifat 4 — titik terisolasi bukanlah titik limit dari himpunan manapun.
Definisi dari titik terisolasi merupakan negasi dari definisi titik limit.
Untuk setiap himpunan  H\subseteq X dan sembarang titik  x\in H, pernyataan "terdapat suatu persekitaran dari titik  x yang tidak memuat titik lain pada  H" merupakan negasi dari "setiap persekitaran dari titik  x memuat titik lain pada  H". Secara simbolis, maka
 \underbrace {\left(\exists S_{x}\right)\left(S_{x}\cap H=\left\{x\right\}\right)} _{\text{definisi titik terisolasi}}=\neg \;\underbrace {\left(\left(\forall S_{x}\right)\left(S_{x}\cap H\neq \left\{x\right\}\right)\right)} _{\text{definisi titik limit}}
Sifat 5 — Suatu ruang  X merupakan ruang diskret jika dan hanya jika tidak ada himpunan bagian dari  X yang memiliki titik limit.
Bagian 1. Jika  X merupakan ruang diskret, maka berdasarkan definisi, setiap singleton merupakan himpunan terbuka. Berdasarkan definisi dari titik terisolasi, suatu titik  x dikatakan sebagai titik terisolasi pada himpunan  H\subseteq X jika terdapat suatu himpunan terbuka  B sedemikian sehingga  B\cap H=\left\{x\right\}. Dengan memilih  B=\left\{x\right\} dan  H=X, maka setiap titik  x\in X merupakan titik terisolasi. Akibatnya,  x bukanlah titik limit dari himpunan manapun.
Bagian 2. Jika  X bukan merupakan ruang diskret, maka maka berdasarkan definisi, terdapat suatu singleton  \left\{x\right\} yang tidak terbuka. Misalkan  S adalah persekitaran terbuka dari  \left\{x\right\}. Andaikan  S tidak memuat titik lain selain  x, maka  S=\left\{x\right\} Akan tetapi, himpunan  S merupakan himpunan terbuka, sedangkan diketahui bahwa singleton  \left\{x\right\} tidak terbuka. Akibatnya, setiap persekitaran terbuka dari  \left\{x\right\} memuat suatu titik  p\neq x. Berdasarkan definisi dari titik limit, maka  x merupakan titik limit pada  X.