היסטוריה של תורת ההסתברות
הולדת הקומבינטוריקה ותורת ההסתברות הנאיבית > פסקל ופרמה

בלז פסקל (מימין) ופייר דה פרמה (משמאל), שהתכתובת ביניהם נחשבת ללידתה של תורת ההסתברות.
ידוע כי עבודות של האסטרונומים יוהאנס קפלר וגלילאו גליליי שילבו אלמנטים הסתברותיים, אולם למרות זאת בקרב היסטוריונים של המתמטיקה מקובל לתארך את לידתה של תורת ההסתברות הנאיבית לשנת 1654. בשנה זו פנה אציל צרפתי בשם שבליה דה מרה למתמטיקאי הצרפתי בלז פסקל בנוגע למשחק קוביות, והציג שאלה שזכתה לשם "בעיית הניקוד": נניח ששני שחקנים משחקים משחק מזל בו בכל תור אחד מהם מקבל נקודה באופן אקראי (למשל לפי תוצאת הטלת קוביות), ומי שמגיע למספר נקודות מסוים זוכה בפרס שנקבע מראש. אם המשחק הופסק לפני סיומו, איך צריך לחלק את הפרס בין השחקנים?
בעקבות פנייה זו החלה להתנהל תכתובת בין פסקל לבין פייר דה פרמה, ובה עסקו שני המתמטיקאים בבעיות הקשורות למשחקי מזל. בין השאר מצאו פתרון הוגן עבור בעיית הניקוד, כפי שיתואר להלן. התכתובת בין פסקל לפרמה פורסמה רק ב-1679 (לאחרי פרסומו של הויגנס, ראו להלן).
חלק מהבעיות בהן עסקו פרמה ופסקל כבר נפתרו על ידי קרדנו, אך הם לא היו מודעים לכך. באשר למשחקי קובייה, פסקל ופרמה דנו בבעיות כמו מה ההסתברות שיופיע המספר  6 בארבע זריקות של קובייה אחת, או שיופיע רצף של  6,6 בשמונה זריקות לכל היותר (כלומר בזריקה אחת, או בשתי זריקות וכן הלאה עד שמונה) של שתי קוביות, וכדומה. במהלך ההתכתבות נעשה שימוש שיטתי בכללי החיבור והמכפלה, כלומר: אם ההסתברות למאורע  A היא  p וההסתברות למאורע  B היא  q, אזי ההסתברות להתרחשות המאורע  A~{\text{or}}~B היא  p+q (כלל זה תקף רק כאשר המאורעות  A,B זרים), וההסתברות להתרחשות המאורע  A~{\text{and}}~B היא  p\cdot q (כלל זה תקף רק כאשר המאורעות  A,B בלתי-תלויים). כמו כן נעשה שימוש ראשון במכפלה של ההסתברות לזכייה בערך הזכייה - המוכרת כיום כתוחלת, אחד המושגים הבסיסיים בתורת ההסתברות. כן הם עשו שימוש במונח קומבינציה — צירוף בו אין חשיבות לסדר האיברים.
בנוסף התייחסו פרמה ופסקל בהתכתבותם למאורעות שאת היחסים ביניהם ניתן לתאר במונחים מאוחרים יותר כתלות, אולם הם לא הציגו תיאור כללי של תלות ואי-תלות.
פרמה סיפק לראשונה פתרון הוגן לבעיית הניקוד: נניח כי לשחקן  A חסרות  a נקודות, וכי לשחקן  B חסרות  b נקודות. במצב זה, המשחק יסתיים אחרי לכל היותר  \ a+b-1 צעדים, ולכן יש לכל היותר  \ N=2^{a+b-1} אפשרויות שונות להמשך המשחק. פתרונו של פרמה הוא כדלקמן: נבנה טבלה את כל התוצאות האפשריות של  a+b-1 הצעדים הבאים במשחק (נתעלם מכך שהמשחק יכול להיות מוכרע עוד לפני שכולם הסתיימו). נספור את המקרים בהם כל שחקן מנצח ונסמן אותם  \ N_{A},N_{B} בהתאמה (אפשר לבצע חישוב בעזרת משולש פסקל). ההסתברויות לניצחון של כל שחקן הן  {\frac {N_{A}}{N}},{\frac {N_{B}}{N}}, ואת החלוקה ההוגנת קובעים לפי יחס ההסתברויות  N_{A}:N_{B}.
פסקל שיפר את הפתרון של פרמה (אשר הולך ומסתבך ככל שמספר הנקודות החסרות גדל) על ידי פתרון רקורסיבי לבעיה, דבר שהיווה שימוש ראשון ברקורסיה לפתרון בעיות בהסתברות: נסמן ב- e(a,b) את החלק היחסי מהקופה שצריך לקבל שחקן  A במצב שתואר לעיל ( a,b מספר הנקודות הדרושות לניצחון עבור כל שחקן). אילו בוצע צעד נוסף במשחק, היו יכולים להיות שני מצבים אפשריים -  e(a-1,b) או  e(a,b-1), בהסתברות שווה, ולכן צריך לתת להם משקלים שווים, ומכאן ניתן לחשב באופן רקורסיבי:
 e(a,b)={\frac {1}{2}}\cdot \left(e(a-1,b)+e(a,b-1)\right)
כאשר תנאי העצירה הם:  e(0,b)=1,e(a,0)=0.
e(a,b) היא למעשה תוחלת הזכייה, ופסקל משתמש בה כאן לראשונה, בלי להגדירה במפורש.
פסקל ופרמה דנו באותה בעיה גם עם שלושה שחקנים. הפתרון הרקורסיבי פעל גם במקרה זה באופן דומה, אך בשיטה של פרמה (מניית האפשרויות) נוצר סיבוך נוסף: מספר התוצאות האפשריות הוא  \ 3^{a+b+c-2}, אבל יש מקרים בהם שני שחקנים משיגים את מספר הניצחונות הדרוש להם, ואז כדי להחליט למי לייחס את התוצאה יש להתחשב בסדר בו השיגו השחקנים את הניצחונות - ולא ניתן לנצל את משולש פסקל לחישוב מקוצר כמו במקרה של שני שחקנים.