stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מפעם

ערך זה עוסק במונח מתחום המוזיקה. אם התכוונתם למַפְעֵם, מכשיר רפואי לטיפול בהפרעות בתפקוד הלב, ראו .
מִפְעָם או טֶמְפּוֹ (tempo באיטלקית פירושו זמן, תנועה, מהירות) הוא מונח מוזיקלי המגדיר את המהירות או את הקצב של לחן מסוים. הגדרת המפעם של הלחן הכרחית ביותר משום שהיא משפיעה על אווירת הלחן או על קושי ניגונו. את הטמפו אפשר להגדיר באמצעות "מהירות מטרונום", המייצגת את מספר הפעמות בדקה (BPM – Beats Per Minute).
מטרונום ידני. ניתן לראות שעל הסקאלה רשומים תחומי הפעימות הנפוצים לפי שם המפעם
מהירות המנגינה נקבעת על ידי הטמפו ואורך התיבה. המספרים מסמנים את מספר הפעימות לדקה, למשל – מהירות נגינה הנחשבת איטית היא 60 פעימות שוות בדקה. עם-זאת, המונחים "איטי" ו"מהיר" הם במידה רבה סובייקטיביים, ותלויים ביצירה עצמה. יצירה שהטמפו שלה 60 פעימות בדקה יכולה בהחלט להשמע מהירה יותר מיצירה בת 80 פעימות בדקה, אם היא כתובה, למשל, בערכי צליל קצרים יותר.
מלחינים רבים מציינים מהירות בהוראת ביצוע מילולית (לרוב באיטלקית). להלן כמה מן המונחים הנפוצים ביותר. מונחים אלו הם מונחים יחסיים המתארים את אופי היצירה. מהירות המטרונום הרשומה אינה מהירות מחייבת.
לרגו (Largo) – פירושו "רחב" – מהירות נגינה איטית מאוד.
לרגטו (Larghetto) – מהיר במעט מ-Largo.
אדג'ו (Adagio) – איטי יחסית. בדרך-כלל הטמפו האיטי ביותר בתקופת הבארוק.
אנדנטה (Andante) – פירושו "צועד" – מהיר מ-Adagio ומ-Largo.
מודרטו (Moderato) – פירושו "מתון".
אלגרטו (Allegretto) – איטי במעט מ-Allegro. המפעם האיטי מבין המפעמים המהירים.
אלגרו (Allegro) – פירושו "שמח" – מהיר.
פרסטו (Presto) – מהיר מאוד. משמעו "דחוס" או "לחוץ".
פרסטיסימו (Prestissimo) – מהיר ביותר.
ניתן לתאר בהרחבה את מושג המפעם, למשל: Allegro di molto – מהיר ביותר, מהיר כמו פרסטו.
דוגמה לכתיבת מפעם:
ראו גם

מטרונום
גארום

מתקני ייצור גארום בדרום ספרד
אמפורות לאחסון גארום מפומפיי
כדי חרס במתקן להפקת גארום בתיפאזה, אלג'יריה
גארוּם (בלטינית: Garum, מיוונית עתיקה: γάρον, גָרוֹן; בתלמוד מופיע בשם אוקסיגרון, אכסיגורין או איקסגורין וידוע גם כמורייס או מורייסא) הוא רוטב דגים שהיווה את הציק (תבלין נוזלי) המרכזי במטבח הרומי.
הכנת הגארום

הגארום הוכן מדגים טריים שונים (בעיקר מקרל, צלופח ורכיכות ימיות שונות), שהונחו בשמש על רשתות והומלחו במלח ים בשכבות, כשביניהם הונחו עשבי תיבול. מתחת לרשתות הונחו קערות חרס שקלטו את המיצים שטיפטפו מחלקי הפנים התוססים של הדגים במשך עד שלושה חודשים. הנוזל הצלול בצבע ענבר שנקווה בקערות אלה היווה את הבסיס לרוטב. שאריות הדגים נמכרו לפשוטי העם. בעוד הגארום היה בעל ריח מעודן יחסית הרי שתהליך הפקתו היה מצחין ולכן נמצאו מפעלי הפקת הרוטב מחוץ למקומות יישוב. חוקרים מודרניים, כגון חוקר המזון הספרדי, קרלוס אזקויטיאה (Carlos Azcoytia) סבורים שרמת המליחות הגבוהה והטמפרטורה הגבוהה של מיצוי הרוטב סייעו בעיקורו מחיידקים. הרוטב הגולמי עורבב עם מרכיבים שונים, לפי מיקומו של המפעל והמתכון הסודי של בעליו: תבלינים, חומץ (אז נקרא oxygarum), שמן ואף דבש (אז נקרא mellogarum). במקרים מסוימים כבשו בציר חלקים פנימיים של הדגים עצמם או צדפות. ידועים כ-100 מפעלי הפקת גארום סביב לים התיכון ואיים שלו, חלקם נמצאו בחפירות ארכאולוגיות. מחוץ לפומפיי נמצא מפעל הפקה שבו הדגים עדיין מונחים על הרשתות. הגארום היקר ביותר הגיע מדרום ספרד (היספניה בייטיקה ולוזיטניה) ומחירו היה כה יקר שאיפשר רק לעשירים ביותר לרכוש אותו. הרוטב שווק בכלי קיבול ייחודי בשם אמפורה. חלק מהאמפורות צופו מבפנים בשרף שאטם לחלוטין את הכלי ואף העניק לרוטב ארומה.
במשך כל העת העתיקה נערך מסחר ער ברוטב הגארום ברחבי הים התיכון, והוא היה מוכר מממלכת פרס ועד בריטניה.
הכנת הגארום > ביהודה

רוטב גארום איכותי מספרד[דרושה הבהרה] עלה אף על שולחנו של המלך הורדוס במצדה, סמל לעושר, טוב-טעם ופאר[דרוש מקור]. בחודש דצמבר 2019 התגלה באשקלון מפעל לייצור גארום.
שימושים

הגארום היה רוטב עשיר מבחינה תזונתית והיה עשיר בחלבון, מינרלים וויטמין B. השימוש העיקרי של הרוטב היה בתיבול, כנראה משום שהוא מכיל חומצה גלוטמית האחראית על טעם האומאמי. כמו כן הוא היווה סמל סטטוס עקב מחירו הגבוה של הגארום המשובח.
ספרי המתכונים של העת העתיקה מכילים שימושים רבים לרוטב במינים רבים של מאכלים, תבשילי בשר ודגים, מאפי בצק ואף קינוחי פירות ואגוזים.
פליניוס הזקן מדווח בספרו "תולדות הטבע" שהגארום המהול במים (hydrogarum) שימש כתרופה לנגעים רבים בהם נשיכת כלב, דיזנטריה וכיבים מסוגים שונים. גארום מהול במים סופק לצבא הרומי למטרות רפואיות.
גארום מהול ביין (oenogarum) נחשב לרוטב מקובל במטבח הביזנטי.
כמו כן נעשה שימוש בגארום גם כמשחה קוסמטית וכמעורר חשק מיני (אפרודיזיאק).
במקורות ישראל

הגארום היה מוכר וידוע בארץ ישראל והתקיים דיון בקשר לכשרותו, כיוון שלרוב נעשה על ידי גויים והיה קיים חשש שעורבו בו גם דגים טמאים.
במסכת עבודה זרה נאמר:
השולח חבית של יין ביד כותי ושל ציר ושל מורייס ביד עובד כוכבים אם מכיר חותמו וסתמו מותר אם לאו אסור
ורש"י מפרש שם: "מורייס יקרים מדמי יין... ציר מזיעה וזיבות של דגים כשכובשין אותן במכבש... ונעשה חזק כחומץ ומטבל בו. מורייס מערבין בו קרבי דגים." כלומר, מדובר בסוג של גארום שמעורבים בו גם חלקי פנים כבושים של הדגים.
בתלמוד הירושלמי נאמר:
אין מחייבין אותו לשתות אניגרון ולא איקסגורין ולא יין ושמרים החושש בשיניו לא יהא מגמא חומץ ופולט
והפירוש (הגיון אריה) אומר: אכסיגרון זו מילה יוונית ופירושה תערובת מים בחומץ מלח ודגים. הרוטב מוזכר גם בתלמוד הבבלי, מסכת יומא דף ע"ו ע"א.
בחפירות בעיר פומפיי, נתגלו כדים עם הכיתוב "גארום כשר".
ראו גם

ציר דגים בתקופה הרומית במצדה
לקריאה נוספת

מנדל נון, "תעשיית שמורי הדגים לפנים ובימינו". ים - גליונות החבל הימי לישראל, חוברת ב' (ע"ה), נובמבר 1951, עמ' 4–6.
הערות שוליים

↑  מפעל הגארום הרחוק ביותר מרומא-בספרדית
↑  איתי בלומנטל, מפעל לרוטב דגים מלפני 2,000 שנה נחשף באשקלון, באתר ynet, 16 בדצמבר 2019
↑  כתובות גרפיטי מפומפיי, וכדים עם "גארום כשר"
פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)

| --- | --- |

 פרינקיפיה מתמטיקה I  פרינקיפיה מתמטיקה II  פרינקיפיה מתמטיקה III 
 מידע כללי
 מאת:  אלפרד נורת' וייטהד, ברטראנד ראסל
 שפת המקור:  אנגלית 
 סוגה:  מתמטיקה
 נושא:  מתמטיקה 
 הוצאה
 הוצאה:  הוצאת אוניברסיטת קיימברידג' 
 תאריך הוצאה:  1910, 1912, 1913
 הוצאה בעברית
 תרגום:  לא תורגם
 
ברטראנד ראסל, 1954
54.43* "מהנחה זו נובע, לאחר שהוגדר החיבור האריתמטי, ש-2 = 1 + 1. עמוד I מהדורה ראשונה, עמוד 379.
פרינקיפיה מתמטיקה (במקור: Principia Mathematica - PM; בעברית: עקרונות המתמטיקה) היא עבודה בת שלושה כרכים על יסודות המתמטיקה, אשר נכתבה על ידי אלפרד נורת' וייטהד וברטראנד ראסל ופורסמה בשנים 1910, 1912 ו-1913. בשנת 1927 היא הופיעה במהדורה שנייה עם הקדמה חשובה, נספח A שהחליף את 9* ונספח C חדש לגמרי.
הפרינקיפיה הייתה ניסיון לתאר אוסף של אקסיומות וכללי היסק בלוגיקה מתמטית אשר מתוכם ניתן להוכיח באופן עקרוני את כל האמיתות המתמטיות. פרויקט שאפתני זה הוא בעל חשיבות רבה בהיסטוריה של המתמטיקה והפילוסופיה, עקב היותו אחד התוצאים הראשונים במעלה של האמונה כי מפעל מסוג זה הוא בר מימוש. עם זאת, בשנת 1931 משפטי האי-שלמות של גדל הוכיחו שלמעשה כל ניסיון לא יוכל להגשים את המטרה הנשגבת, שכן לכל אוסף של אקסיומות וכללי היסק שיוצאו כדי לתמצת את המתמטיקה, או שהמערכת תהיה בלתי-עקבית, או שיהיו אמיתות מתמטיות מסוימות שלא יהיה ניתן להסיק מהן.
אחת ההשראות וההנעות הראשיות לפרינקיפיה היא העבודה של גוטלוב פרגה בלוגיקה, אשר ראסל גילה שמאפשרת את היצירה של קבוצה פרדוקסלית (הפרדוקס של ראסל). פרינקיפיה נועדה להימנע מבעיה זו על ידי שלילת האפשרות ליצירה שרירותית של קבוצות. דבר זה הושג על ידי החלפת הרעיון של קבוצה כללית עם הרעיון של היררכית קבוצות מטיפוסים שונים, כך שקבוצה מטיפוס מסוים יכולה להכיל רק קבוצות מטיפוסים נמוכים יותר. מתמטיקה מודרנית נמנעת מפרדוקסים כגון זה בדרכים פחות מגושמות, כמו אקסיומות צרמלו-פרנקל.
אין לבלבל בין ה-Principia Mathematica לבין "The Principles of Mathematics" של ראסל שמשמעות שמו דומה אבל יצא לאור בשנת 1903. בפרינקיפיה מצוין ש:"במקור יעדנו להכליל את העבודה הזו ככרך שני של "the principles".... אבל ככל שהתקדמנו, הלך והתברר שהנושא גדול בהרבה משניתן היה להניח. לא רק זאת אלא שמשוואות בסיסיות רבות אשר נותרו מעורפלות ונתונות בספק בעבודה הקודמת, עתה הגענו למה שאנו רואים כפתרונות המשביעים את הדעת". הפרינקיפיה של ראסל שואבת את שמה מן הפרינקיפיה המפורסמת האחרת, של אייזיק ניוטון.
הוצאת הספרייה המודרנית (Modern Library) דרגה את PM במקום ה-23 ברשימת 100 ספרי העיון של השפה האנגלית במאה העשרים.
היקף היסודות שהונחו

הפרינקיפיה מתמטיקה כיסתה רק את תורת הקבוצות, מספרים קרדינליים, מספרים סודרים ומספרים ממשיים. משפטים מאנליזה ממשית לא נכללו, אבל לקראת סוף הכרך השלישי היה ברור למומחים שבאופן עקרוני ניתן באמצעות התוכן הקיים לפתח חלקים ניכרים מהתחומים שלא כוסו. היה ברור גם כמה מורכב ומסובך יהיה פיתוח מלא מסוג זה.
כרך רביעי אודות היסודות של הגאומטריה תוכנן לצאת לאור, אך המחברים הודו בתשישות אינטלקטואלית עם השלמתו של הכרך השלישי.
בסיס תאורטי

כפי שצוין בביקורת של קורט גדל, שלא כמו תאוריית הפורמליזם, התאוריה ה"לוגית" של הפרינקיפיה חסרה את התחביר המדויק של הפורמליזם. הערה נוספת היא שכמעט מיד מוצגים פירושים (במובן של תורת המודלים) כמונחים של ערכי אמת עבור ההתנהגות של הסמל"⊢" (טענות נכונות), "~" (לא) ו-"V" (או).
ערכי אמת: הפרינקיפיה מטמיעה את המושגים של "אמת" (truth) ו"שקר" (falsity) במושג של "טענה פרימיטיבית" (primitive proposition). תאוריה פורמליסטית גולמית (טהורה) לא תספק את המשמעות של הסמלים אשר יוצרים טענות פרימיטיביות - הסמלים עצמם יכולים להיות שרירותיים ובלתי מוכרים לחלוטין. התאוריה תציין רק איך הסמלים מתנהגים בהתבסס על התחביר של התאוריה. לאחר מכך, על ידי הקצאה של "ערכים", מודל יכול לספק פירוש של מה הנוסחאות מביעות. על כן, במערכת הסמלים של Kleene, ה"פירוש" של המשמעות הנפוצה של הסמלים, ואופן השימוש המשתמע ממנה, ניתנת בסוגריים. למשל: "¬ (לא)". אבל, אין זו תאוריה פורמליסטית טהורה.
בסיס תאורטי > הבניה של תאוריה רשמית התואמת את התקופה

התאוריות הפורמליסטיות הבאות מוצגות כנגד התאוריה הלוגיסטית של הפרינקיפיה. מערכת רשמית התואמת את התקופה תבנה בדרך זו:
שימוש בסמלים: זו המערכת ההתחלתית וסמלים נוספים יכולים להופיע רק על ידי הגדרה הנובעת מתוך סמלים התחלתיים אלו. מערכת התחלתית יכולה להיות מערכת הסמלים הבאה שהופקה על ידי Kleene בשנת 1952: הסמלים הלוגיים "→" (אם-אז, IF-THEN, "⊃"), "&" (וגם), "V" (או), "¬" (לא), "∀" (לכל), "∃" (קיים); predicate symbol "=" (שווה); סמלי פונקציות: "+" (חיבור), "∙" (כפל), "'" (עוקב); הסמל "0" (אפס); משתנים "a", "b", "c", וכו'; וסוגריים "(" ו-")".
מחרוזת סמלים: התאוריה תבנה "מחרוזות" של סמלים אלו על ידי שרשור.
חוקי יצירה: התאוריה מפרטת את חוקי התחביר, בדרך כלל כהגדרה רקורסיבית שמתחילה ב"0" ומציינת איך לבנות שרשורים מקובלים או נוסחאות בנויות היטב (well-formed formulas - wffs) כמו חוק ההחלפה.
חוקי טרנספורמציה: האקסיומות שמפרטות את ההתנהגויות של הסמלים ורצפי הסמלים.
כללי היסק, ניתוק, מודוס פוננס (modus ponens): החוק שמאפשר לתאוריה "לנתק" "מסקנה" מתוך הנחות היסוד שהובילו אליה ובכך להיפטר מהן (סמלים מצדו השמאלי של הקו |, או סמלים מעל הקו אם הוא מאוזן). אם זה לא היה המקרה, אז ההחלפה הייתה מובילה לשרשורים ארוכים יותר ויותר שהיה צריך לגרור הלאה. לאחר תהליך זה כל שנותר הוא המסקנה, השאר נעלם במהלך התהליך.
תאוריות רבות מתארות את האקסיומות הראשונות שלהן כקלסיות, מודוס פוננס או "חוק הניתוק":
A, A ⊃ B │ B
הסמל "|" נכתב בדרך כלל כקו אנכי, כאן "⊃" מציין "גורר" (implies). הסמלים A ו-B הם "שומרי מקום" (stand-ins) עבור שרשורים. צורה זו של כתיבה מכונה "סכמת האקסיומה". ניתן לקרוא את זה בדרך דומה ל "אם-אז", אבל עם שינוי: בהינתן שרשור הסמלים "אם A" ו-"A גורר B" "אז B" (וניתן לשמר רק את B לצורך שימוש עתידי). אבל לסמלים אין שום "פירוש" (אין טבלת אמת, ערכי אמת או פונקציות אמת) ומודוס פוננס ממשיכה באופן מכני על ידי הדקדוק לבדו.
בסיס תאורטי > הבנייה

לתאוריה של הפרינקיפיה יש נקודות דמיון ושוני בהשוואה לתאוריה פורמלית. קלן (Kleene) מציין ש"הדידקציה (deduction) של מתמטיקה מלוגיקה הוצאה כאקסיומה אינטואטיבית. האקסיומות נועדו לכך שיאמינו בהן, או שלפחות יקבלו אותן כהיפותזות אפשריות בנוגע לעולם. אמנם, בשונה מתאוריה פורמליסטית שעורכת מניפולציות על סמלים על פי חוקי תחביר, הפרינקיפיה מציגה את המושג של "ערכי אמת" (כלומר, אמת ושקר כפי שהם באים לידי ביטוי בעולם הממשי) ואת "טענת הנכונות" באופן כמעט מיידי כאלמנטים החמישי והשישי במבנה של התאוריה (PM 1962:4–36):
1. ערכים
2. שימושים באותיות שונות
3. הפונקציות הבסיסיות של הטענות (The fundamental functions of propositions): "פונקציית הסתירה" (Contradictory Function) המסומלת על ידי "~" וה"פונקציה של סכום לוגי או הבדלה" (Logical Sum or Disjunctive Function) המסומל על ידי "∨" שנחשבת לגורר פרמיטיבי ולוגי שמוגדר על ידי:
p ⊃ q .=. ~ p ∨ q Df. (PM 1962:11)

ותוצר לוגי מוגדר כ:
p . q .=. ~(~p ∨ ~q) Df. (PM 1962:12)
4. שקילות: שקילות לוגית, לא אריתמטית: "≡" ניתנת כהדגמה לדרך השימוש בסמלים. למשל "כך ' p ≡ q ' מסמל '(p ⊃ q) . (q ⊃ p)'." מתוך (PM 1962:7). כדי לדון בסימול מסוים הפרינקיפיה מגדירה "מטה"-סימול עם "[רווח]... [רווח]".
שקילות לוגית מופיעה שוב כהגדרה:
p ≡ q .=. (p ⊃ q) . (q ⊃ p) (PM 1962:12),
שימו לב להופעתם של הסוגריים. השימוש התחבירי הזה אינו מפורט באופן מוגדר ומופיע באופן בלתי סדיר (ספוראדי). עם זאת לסוגריים יש תפקיד חשוב בשרשורים של סמלים, כמו למשל הסימול "(x)" עבור "x∀" הנהוג במתמטיקה המודרנית.
5. ערכי אמת: ערכי האמת של טענה הוא "אמת" אם היא אמיתית ו"שקר" אן היא שקרית (PM 1962:7).
6. סימן הטענה: " ניתן לקרוא את '⊦'. p. כ'זה נכון ש'.... ולכן '⊦: p .⊃. q ' אומר " זה נכון ש- p גורר q, בעוד ש '⊦. p .⊃⊦. q ' אומר p אמיתי ולכן q אמיתי. הראשון מביניהם לא מערב בהכרח את האמתיות של p או q, בעוד שהשני מערב את האמתיות של שתיהן (PM 1962:92).
7. הסקה: הגרסה של הפרינקיפיה למודוס פונוס "[If] '⊦. p ' וגם '⊦ (p ⊃ q)' התרחשו, אז '⊦ . q ' יתרחש אם יהיה רצון לתעד זאת. לא ניתן לצמצם את התהליך של הסקה לסמלים. העדות היחידה שלו היא ההתרחשות של '⊦. q ' [במילים אחרות, הסמלים בצד שמאל נעלמים או ניתנים למחיקה] (PM 1962:9).
8. השימוש בנקודות
9. הגדרות: הן משתמשות בסימן "=" אם "Df" בסוף הצד הימני.
10. סיכום של טענות קודמות: דיון קצר של הרעיונות הפרמיטיביים: "~ p", "p ∨ q" ו- "⊦" כתחיליות הצמודות לטענות.
11. טענות פרמיטיביות: האקסיומות או ההנחות. היבט זה שונה בצורה משמעותית במהדורה השנייה.
12. פונקציות של טענות: הרעיון של "טענות" שונה באופן משמעות במהדורה השנייה, כולל ההצגה של טענות "אטומיות" (atomic) המקושרות על ידי סמלים לוגיים מטענות "מולקולריות" (molecular), והשימוש בתחליפים של טענות מולקולריות לטענות אטומיות או מולקולריות ולצירת ביטויים חדשים.
13. הטווח של ערכים והסכום הכולל של השונות.
14. טענות דו משמעיות (Ambiguous) והמשתנה האמיתי: סעיף זה והשניים שאחריו שונו או ננטשו במהדורה השנייה. במיוחד הדיון בין המושגים שהוגדרו בסעיף 15 ו-16.
15. הגדרות והמשתנה האמיתי. סעיף זה הוסר מהמהדורה השנייה.
16. טענות בנוגע למשתנים אמתיים וגלויים. סעיף זה הוסר מהמהדורה השנייה.
17. השלכות פורמליות ושקילות פורמלית
18. זהות
19. סוגים ויחסים (Classes and relations)
20. פונקציות תאוריות שונות של יחסים
21. פונקציות תאוריות מרובות
22. יחידות הסוגים (Unit classes)
בסיס תאורטי > רעיונות פרמיטיביים

Cf. PM 1962:90–94, עבור המהדורה הראשונה:
1. טענות יסודיות.
2. טענות יסודיות של פונקציות.
3. טענה: הצגה של המושגים "אמת" ו"שקר".
4. טענה של היגדים פונקציונליים (propositional function)
5. שלילה: "אם p היא טענה כלשהי, הטענה "לא-p" או "p היא שקרית" תהיה מיוצגת על ידי "p~".
6. הפרדה (Disjunction): "אם p ו-q הן טענות כלשהן, הטענה "p או q" כלומר "או ש-p נכונה או ש- q נכונה", כאשר שתי האפשרויות אינן סותרות אחת את השנייה, יסומנו על ידי "p ∨ q"
(cf. section B)
בסיס תאורטי > טענות פרמיטיביות

המהדורה הראשונה (ראה את הדיון על המהדורה השנייה בהמשך) מתחילה עם הגדרת הסימן "⊃"
✸1.01. p ⊃ q .=. ~ p ∨ q. Df.
✸1.1. כל מה שנגרר או מרומז (implied) על ידי טענה אמיתית בסיסית הוא אמת. Pp מודוס פונס
(✸1.11 ניטש במהדורה השנייה.)
✸1.2. ⊦: p ∨ p .⊃. p. Pp עיקרון של טאוטולוגיה
✸1.3. ⊦: q .⊃. p ∨ q. Pp עקרון החיבור
✸1.4. ⊦: p ∨ q .⊃. q ∨ p. Pp עיקרון החילוף
✸1.5. ⊦: p ∨ (q ∨ r) .⊃. q ∨ (p ∨ r). Pp עקרון הקיבוץ
✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .⊃: p ∨ q .⊃. p ∨ r. Pp עקרון החיבור
✸1.7. אם p היא תענה בסיסית, ~p היא נענה בסיסית. Pp
✸1.71. אם p ו-q הן טענות בסיסיות, p ∨ q i היא טענה בסיסית. Pp
✸1.72. אם φp ו- ψp הן טענות בסיסיות פונקציונלית (elementary propositional functions) functions שמשתמשות בטענות בסיסיות כארגומנטים (arguments), φp ∨ ψp היא טענה בסיסית. Pp
יחד עם ה"הקדמה למהדורה השנייה", נספח A של המהדורה השנייה זונח את כל סעיף ✸9. זה כולל שיש טענות פרימיטיביות ✸9 עד ✸9.15 יחד עם אקסיומות הפריקות (reducibility)
התאוריה המחודשת (revised theory) נהיית קשה יותר עקב ההצגה של קו שֶׁפֶר ("|") לסימול "אי התאמה" (למשל, אם שתי הטענות הבסיסיות p ו-q אמיתיות, ה"קו" שלהן p | q הוא שקרי), התואם ל"לא-וגם" הלוגי (NAND: not-AND). בתאוריה המחודשת, ההקדמה מציגה את המושג של "טענות אטומיות" (atomic proposition), "נתון" אשר "מקושר לחלק הפילוסופי של הלוגיקה". אין להן חלקים שהם טענות והם לא מכילים את המושגים "הכל" או "חלק". לדוגמה: "זה אדום", או "זה מוקדם יותר ממנו". דברים כאלו יכולים להתקיים כ-ad finitum, למשל גם "מנייה אין סופית" (infinite eunumeration) שלהם להחלפת ה"הכללה" (generality). כמו למשל המושג "לכל". הפרינקיפיה "מתקדמת לטענות מולקולריות" המקושרות על ידי קו שפר. הגדרות נותנות שקילות עבור "~", "∨", "⊃", ו- ".".
ההקדמה החדשה מגדירה "טענות בסיסיות" כטענות אטומיות ומולקולריות ביחד. או אז היא מחליפה את כל הטענות הפרמיטיביות ✸1.2 עד ✸1.72 עם טענה פרמיטיבית בודד, המבוססת על המושגים של קו שפר:
"אם p, q, r הן טענות בסיסיות, בהינתן p ו-p|(q|r), אנו יכולים להסיק את r. זוהי טענה בסיסית."
ההקדמה החדשה משמרת את המושג של "קיימות" (there exists) אשר עוצבה מחדש כ"אמיתי לפעמים" ו"לכל" אשר שעוצבה מחדש כ"תמיד אמיתי". נספח A מחזק את המושג של "מטריצה" או "פונקציית ניבוי" (predicative function) (טענה בסיסית, PM 1962:164) ומציגה ארבע טענות פריטיביות חדשות כ ✸8.1–✸8.13.
✸88. אקסיומת הכפל
✸120. אקסיומה של אין סוף
תוכן > חלק I לוגיקה מתמטית. כרך I מ-1✸ עד 43✸

חלק זה מתאר את תחשיב הפסוקים ותחשיב הפרדיקטים, ונותן את התכונות הבסיסיות של מחלקות, יחסים וטיפוסים.
תוכן > חלק II דיון מקדים לתחשיב העוצמות. כרך I מ-50✸ עד 97✸

חלק זה מקיף תכונות מגוונות של יחסים, במיוחד אלו שנדרשות לאריתמטיקה של עוצמות.
תוכן > חלק III תחשיב העוצמות. כרך II מ-100✸ עד 126✸

חלק זה מכסה את ההגדרה והתכונות הבסיסיות של עוצמות. לכל טיפוס יש את אוסף הקרדינלים המיוחסים לו וישנו צורך בניהול חשבונות משמעותי להשוואה בין קרדינלים מסוגים שונים. הפרינקיפיה הגדירה את החיבור, כפל והעלאה לחזקה של קרדינלים, והשוותה הגדרות שונות של עוצמות סופיות ואינסופיות. 120.03✸ היא האקסיומה של אין סוף.
תוכן > חלק V סדרות. כרך II מ-200✸ עד 234✸ וכרך III מ-250✸ עד 276✸

חלק זה מכסה את נושא הסדרות.
תוכן > חלק VI כמות. כרך III מ-300✸ עד 375✸

חלק זה בונה את מושג השלמים, שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים, ומשפחות וקטורים, שמקושרות למה שמכונה היום טורסורים מעל חבורות אבליות.
הבדלים בין מהדורות

פרט לתיקון של טעויות דפוס, רוב הטקסט של הפרינקיפיה לא השתנה בין המהדורה הראשונה והשנייה. במהדורה השנייה כרכים 2 ו-3 כמעט שלא השתנו, פרט למספור העמודים. עם זאת, בכרך הראשון היו חמש תוספות חדשות:
הקדמה בת 54 עמודים מאת ראסל, אשר מתארת את השינויים שהם היו עושים לו היה להם יותר זמן ואנרגיה. השינוי העיקרי שהוא הציע הוא ההסרה של אקסיומת ה-reducibility השנויה במחלוקת, אף על פי שהוא מודע שאין בידו להציע תחליף ראוי עבורה. נראה גם שהוא תומך יותר ברעיון שעל פונקציה להיקבע על ידי הערכים שלה (כמקובל במתמטיקה המודרנית).
נספח A, ממוספר כ-8*, מכיל 15 עמודים על הסימן | של Sheffer, המייצג את פעולת ה-NAND.
נספח B, ממוספר כ-89*, דן באינדוקציה בלי אקסיומת ה-reducibility
נספח C בן 8 עמודים, אשר דן ב-Propositional functions
רשימה בת 8 עמודים של הגדרות בסוף, המספקת אינדקס נחוץ ביותר לכ-500 הסימונים שבהם נעשה שימוש.
בשנת 1962 Cambridge University Press פרסמה מהדורה מקוצרת בכריכה רכה, המכילה חלקים מהמהדורה השנייה של כרך 1: ההקדמה החדשה, הטקסט העיקרי עד 56* ונספחים A ו-C.
ראו גם

כתב מושגים
אלגברה בוליאנית
הערות שוליים

↑  Irvine, Andrew D. (1 במאי 2003). "Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University. נבדק ב-5 באוגוסט 2009. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century". The New York Times Company. 30 באפריל 1999. נבדק ב-5 באוגוסט 2009. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  מערכת זו נלקחת מ-Kleene 1952:69 תוך החלפת → במקום ⊃.
↑  Kleene 1952:71, Enderton 2001:15
↑  Quote from Kleene 1952:45.
↑  In his section 8.5.4 Groping towards metalogic Grattan-Guinness 2000:454ff discusses the American logicians' critical reception of the second edition of PM.
↑  This idea is due to Wittgenstein's Tractatus.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  BnF: cb16561888s (data) 
עמוד הכותרת של הגרסה המקוצרת של "פרינקיפיה מתמטיקה" ל 56*
לוקי (סדרת טלוויזיה)

| --- | --- |

הסמליל הרשמי
 מבוסס על:  דמותו של לוקי מאת סטן לי, לארי ליבר וג'ק קירבי
 סוגה:  גיבורי-על מסע בזמן קומדיה
 יוצרים:  מייקל וולדרון 
 בימוי:  קייט הרון
 שחקנים:  טום הידלסטון גוגו אמבתה-רו וונמי מוסקו  יוג'ין קורדרו טרה סטרונג אוון וילסון
 מדבבים:  טרה סטרונג 
 ארץ מקור:  ארצות הברית 
 שפות:  אנגלית 
 מספר עונות:  2 
 מספר פרקים:  12 
 תוכנית מקור:  כרונולוגית (MCU): "הפלקון וחייל החורף" כרונולוגית מבחינה עלילתית: "הנוקמים: סוף המשחק"
 תוכנית המשך:  כרונולוגית (MCU): "מה אם...?"
 הפקה
 מפיקים בפועל:  קווין פייגי לואיס ד'אספוזיטו ויקטוריה אלונזו סטיבן ברוסארד קייט הרון מייקל וודרון טום הידלסטון
 חברת הפקה:  אולפני מארוול
 הפצה:  Disney Platform Distribution
 אתר צילומים:  אטלנטה, לונדון, אולפני טרילית', אולפני פיינווד 
 צלמים:  אוטום דוראלד 
 מוזיקה:  נטלי הולט 
 אורך פרק:  41–56 דקות
 שידור
 רשת שידור:  דיסני+ 
 תקופת שידור מקורית:  9 ביוני 2021 – 9 בנובמבר 2023
 קישורים חיצוניים
 אתר רשמי
 דף התוכנית ב-IMDb
 
לוקי (באנגלית: Loki) היא סדרת טלוויזיה אמריקאית, שנוצרה עבור שירות הזרמת המדיה "דיסני+" על ידי מייקל וולדרון, ומבוססת על דמותו של הנבל באותו השם מבית מארוול קומיקס. הסדרה היא חלק מהיקום הקולנועי של מארוול, והיא קשורה בהמשכיותה לסרטי היקום. הסדרה מופקת על ידי אולפני מארוול, כשוולדרון משמש כמפיק בפועל והיא מבוימת על ידי הבמאית קייט הרון.
עונתה הראשונה של הסדרה, עלתה לשידור ב-9 ביוני 2021 והסתיימה ב-14 ביולי 2021. העונה השנייה של הסדרה, עלתה לשידור ב-5 באוקטובר 2023.
תקציר העלילה

בעקבות אירועי "סוף המשחק", לוקי נמלט ממאסרו עם אבן הטסרקט, אך נתפס ומובא לרשות למשתנים בזמן (באנגלית: Time Variance Authority; בראשי תיבות: TVA או רמ"ז), ארגון ביורוקרטי מסתורי המתקיים מחוץ למרחב הזמן והחלל ואחראי על ניטור ציר הזמן התקין. במהלך משפטו, ניתנת ללוקי האפשרות הבאה: להימחק מהקיום בגלל היותו "משתנה בזמן", או לעזור לתקן את ציר הזמן ולעצור איום גדול יותר. בסופו של דבר, לוקי נלכד במותחן פשע משלו בעודו עובר בין צירי זמן שונים ומשפיע על ההיסטוריה האנושית.
סקירה

| עונה | עונה | פרקים | פרקים | שודרה לראשונה (ארצות הברית)> הפרק הראשון | שודרה לראשונה (ארצות הברית)> הפרק האחרון |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 1 | 6 | 6 | 9 ביוני 2021 | 14 ביולי 2021 |
|  | 2 | 6 | 6 | 6 באוקטובר 2023 | 9 בנובמבר 2023 |
סקירה > עונה 2

|  מספר פרק בסדרה |  מספר פרק בעונה |  שם הפרק באנגלית |  שם הפרק בעברית |  בימוי |  כתיבה |  תאריך שידור מקורי |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 7‏ | 1 | Ouroboros | אורובורוס | ג'סטין בנסון ואהרון מורהד | אריק מרטין | 6 באוקטובר 2023 |
| 8‏ | 2 | Breaking Brad | שובר בראד | דן דהלייו | אריק מרטין | 13 באוקטובר 2023 |
| 9‏ | 3 | 1893 | 1893 | קסרה פארהני | אריק מרטין | 20 באוקטובר 2023 |
| 10‏ | 4 | Heart of the TVA | לבו של הטי-וי-איי | ג'סטין בנסון ואהרון מורהד | אריק מרטין וקתרין בלייר | 27 באוקטובר 2023 |
| 11‏ | 5 | Science/Fiction | מדע/בדיוני | ג'סטין בנסון ואהרון מורהד | אריק מרטין | 3 בנובמבר 2023 |
| 12‏ | 6 | Glorious Purpose | מטרה נעלה | ג'סטין בנסון ואהרון מורהד | אריק מרטין | 9 בנובמבר 2023 |