stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משפט דיריכלה

ערך זה עוסק במשפט בתורת המספרים, הקובע שיש אינסוף מספרים ראשוניים בכל סדרה חשבונית שבסיסה זר להפרשה. אם התכוונתם למבחן התכנסות, ראו .
יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה. הוכיח את המשפט בשנים 1837–1839.
סטטיסטיקה המדגימה את משפט דיריכלה כאשר  m=60. בתמונה פרוסים כל המספרים הראשוניים עד 1800 על פי השארית שלהם מודולו 60. כל עמודה מייצגת סדרה חשבונית. בעמודות שמספרם זר ל-60, הראשוניים מפולגים באופן שנראה הומוגני אם כי מדלל ככול שעולים בערך המספר. בעמודות 2, 3 ו-5 יש ראשוני אחד. ביתר העמודות אין ראשוניים כלל.
משפט דיריכלה הוא משפט מתמטי, הקובע כי יש אינסוף מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית שבסיסה זר להפרש שלה. גרסאות חזקות יותר של המשפט קובעות את הצפיפות היחסית של המספרים הראשוניים בסדרות חשבוניות. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה בשנים 1837–1839.
עוד מימי אוקלידס ידוע שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחות דומות לזו של אוקלידס מאפשרות להראות גם שקיימים אינסוף ראשוניים מן הצורות
 4n\pm 1,6n\pm 1, וידועות גם תוצאות כלליות יותר. דיריכלה היה הראשון שהראה שבכל סדרה חשבונית שבה הדבר אפשרי (כלומר סדרה מהצורה  a,a+m,a+2m,a+3m\ldots  שבה  a,m זרים), קיימים אינסוף ראשוניים.
דיריכלה הוכיח שלקבוצת המספרים הראשוניים השקולים ל- a מודולו  m יש צפיפות דיריכלה ביחס לקבוצת כל הראשוניים, והיא שווה ל- {\frac {1}{\phi (m)}}, כאשר  \phi  היא פונקציית אוילר. ההוכחה מבוססת על התמרת פורייה דיסקרטית על חבורת אוילר המאפשרת לבטא את הצפיפות היחסית באמצעות סיכום משוקלל של לוגריתמים של פונקציות L של דיריכלה – וריאנטים על פונקציית זטא של רימן התלויים בקרקטר כפליים מודולו  m.
ההוכחה של דיריכלה נחשבת פורצת דרך, שכן היא עירבה לראשונה שימוש מרובה באנליזה מתמטית מתקדמת כדי להשיג תוצאה בתורת המספרים. הוכחת המשפט נחשבת להולדת תורת המספרים האנליטית. כמו כן, ההוכחה השפיעה על התפתחות תורת המספרים האלגברית ותורת ההצגות.
ב-1896, יחד עם הוכחת משפט המספרים הראשוניים, הראו ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן שהטענה נכונה גם אם מחליפים את צפיפות דיריכלה בצפיפות הטבעית.
גרסאות של המשפט

יהי  m מספר טבעי. הגרסה הבסיסית של משפט דיריכלה אומרת:
לכל  a זר ל- m, יש אינסוף מספרים ראשוניים שהשארית שלהם בחלוקה ל- m היא  a.
כל ההוכחות הידועות למשפט (התקפות באופן כללי) מוכיחות גם חסם כמותי לצפיפות הראשוניים במובן זה או אחר. הוכחתו המקורית של דיריכלה הוכיחה גם את המשפט הבא:
הטור  \sum _{p\,\equiv \,a\!{\pmod {\!m}}}{\frac {1}{p}} מתבדר
כאן, וביתר הערך, השימוש באות  p מסמן שמדובר במספר ראשוני.
המקרה  a=m=1 הוכח על ידי אוילר עוד במאה ה-18. לכן גרסה זאת נובעת מהגרסה הבאה שגם אותה הוכיח דיריכלה:
צפיפות דיריכלה של קבוצת המספרים הראשוניים בסדרה החשבונית  a+m\mathbb {N}  ביחס לקבוצת המספרים הראשוניים שווה ל- {\frac {1}{\varphi (m)}} כאשר  \varphi  היא פונקציית אוילר. זאת אומרת כי:
 \lim _{s\to 1^{+}}{\frac {\sum \limits _{p\,\equiv \,a\!{\pmod {\!m}}}{\frac {1}{p^{s}}}}{\sum \limits _{p}{\frac {1}{p^{s}}}}}={\frac {1}{\varphi (m)}}
הטורים המוזכרים מעלה מהווים מדד עקיף לצפיפות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. משפט המספרים הראשוניים מספק מדד ישיר ומדויק יותר לצפיפות קבוצת המספרים הראשוניים. יחד עם הוכחת משפט המספרים הראשוניים, שילבו ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן בין הוכחת משפט המספרים הראשוניים והוכחת משפט דיריכלה וקיבלו את המשפט הבא:
\lim _{x\to \infty }{\frac {\#\{p|p<x;\,p\equiv a\mod m\}}{\frac {x}{\ln(x)}}}={\frac {1}{\varphi (m)}}
המונה בנוסחה האחרונה מסמל את גודל קבוצת הראשוניים הקטנים מ -  x ונמצאים בסדרה החשבונית  p\equiv a\mod m.
המקרה  a=m=1 הוא משפט המספרים הראשוניים, כך שבהינתן משפט המספרים הראשוניים, ניסוח זה שקול לניסוח הבא:
הצפיפות הטבעית של קבוצת המספרים הראשוניים הסדרה החשבונית  a+m\mathbb {N}  ביחס לקבוצת המספרים הראשוניים שווה ל
 {\frac {1}{\varphi (m)}}. זאת אומרת כי:
 \lim _{x\to \infty }{\frac {\#\{p|p<x;\,p\equiv a\mod m\}}{\#\{p|p<x\}}}={\frac {1}{\varphi (m)}}
היסטוריה > מספרים ראשוניים בעת העתיקה

| --- | --- |

אוקלידס וארטוסתנס, מתמטיקאים יוונים במאות השלישית והרביעית לפני הספירה, אבות המחקר על מספרים ראשוניים.
העובדה שישנם אינסוף מספרים ראשוניים הייתה ידועה עוד ביוון העתיקה. ההוכחה הראשונה הידועה שלה מופיעה בספר "יסודות" של אוקלידס עוד במאה השלישית לפני הספירה.
מספר עשורים לאחר מכן פיתח ארטוסתנס את הנפה של ארטוסתנס, שהיא שיטה יעילה ליצירת טבלאות של מספרים ראשוניים. באמצעות שיטה זו ניתן היה להבחין בתבניות הקשורות להתפלגות המספרים הראשוניים.
היסטוריה > משוואת פל

המשוואה  x^{2}-my^{2}=1 (כאשר  m הוא פרמטר טבעי ו-  x,y הם נעלמים שלמים) נחקרה עוד בעת העתיקה. במאה ה-12 המתמטיקאי ההודי בהסקארא השני (אנ') הציג פתרון כללי למשוואה. אולם פתרון זה לא הגיע לאירופה. כ-500 שנה מאוחר יותר פייר דה פרמה פתר משוואה זו מחדש, והפתרון נודע באירופה.

אוילר כינה משוואה זו משוואת פל, מכיוון שייחס את הפתרון בטעות לג'ון פל, ומאז התקבע השם.
במקרה בו ל- m יש גורמים ראשוניים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל-4, ההוכחה הראשונה של משפט דיריכלה השתמשה בפתרון של גרסה של משוואת פל. עבור שאר המקרים, את מקומה של משוואת פל מחליפה המשוואה  x^{2}+my^{2}=1, והיא פשוטה מאוד.
היסטוריה > אנליזה מתמטית וקשריה עם תורת המספרים

| --- | --- |

אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ, מתמטיקאים אירופיים מהמאות ה-17–18, אבות האנליזה המתמטית. אחד החידושים בהוכחתו של דיריכלה הוא שימוש מרכזי באנליזה מתקדמת כדי לקבל תוצאות בתורת המספרים.
האנליזה המתמטית פותחה במאה ה-17 על-ידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (אף שניצניה הופיעו מאות רבות קודם לכן, החל לפחות בעבודותיו של ארכימדס). אף שהאנליזה המתמטית פותחה לצורך מחקר הפיזיקה ולשימושים בהנדסה, מתמטיקאים רבים הוסיפו לפתח את האנליזה המתמטית ובמרוצת השנים היא נהייתה שימושית מאוד במגוון תחומים במתמטיקה ובמדעים אחרים.
האנליזה המתמטית איפשרה לטפל באופן שיטתי בסכומים אינסופיים. סכומים כאלה נקראים טורים. לאונרד אוילר פיתח מאוד את תורת הטורים והשתמש בה (ובכלים נוספים מהאנליזה) לטובת תורת המספרים. אפשר לראות בעבודותיו אלה של אוילר את לידתה של תורת המספרים האנליטית, אולם השימוש באנליזה לצורך ההוכחה של משפט דיריכלה מובהק בהרבה מהשימוש של אוילר בכלים מהאנליזה בתורת המספרים. לכן רבים רואים בהוכחה של משפט דיריכלה את נקודת לידתה של תורת המספרים האנליטית המודרנית.
האנליזה המתמטית פותחה תחילה ללא הגדרות והוכחות ריגורוזיות. במשך השנים היא קיבלה צורה מתמטית ריגורוזית. בתהליך השתתפו מתמטיקאים רבים והוא הושלם רק לקראת סוף המאה ה-19, אולם כבר בתחילת המאה ה-19 הכלים האנליטיים שבהם השתמש דיריכלה בהוכחתו היו ריגורוזיים למדי, כך שהוכחתו נחשבת למלאה גם בסטנדרטים מודרניים.
היסטוריה > עבודותיו של אוילר

במאה ה-18 חקר לאונרד אוילר את התפלגותם של מספרים ראשוניים. הוא חקר את הפונקציה שלימים הורחבה על ידי רימן ונקראה פונקציית זטא של רימן. פונקציה זו היא ארכיטיפוס של משפחה רחבה של פונקציות הנקראות פונקציות L. לפוקציות אלה (כמו גם לפונקציית זטא של רימן) היה תפקיד מכריע בהוכחה של דיריכלה.
אוילר פיתח את נוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן, נוסחה זו הפכה לימים כלי מרכזי בתורת המספרים האנליטית בכלל ובהוכחת משפט דיריכלה בפרט. באמצעות נוסחה זו הוכיח אוילר (בשנת 1737) כי טור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר.
אוילר התייחס בעבודותיו לטענה של משפט דיריכלה ללא הוכחה.
בנוסף, התברר לימים כי עבודתיו של אוילר על חבורת המספרים ההפיכים מודולו  n חיוניות להוכחה.
היסטוריה > ניסוח המשפט

בשנת 1798 ניסח אדריאן-מארי לז'נדר את משפט דיריכלה ואף הציג הוכחה לו, אולם הוכחה זו הייתה שגויה. הוא השתמש בטענה טכנית מסוימת וכתב שקל להוכיח אותה. אולם לא כך היה הדבר. טענה זו הופרכה בשנת 1858 על-ידי אתאנאס דופרה (אנ'). עם זאת לז'נדר נתן הוכחה נכונה למספר מקרים פרטיים.
היסטוריה > תבניות ריבועיות

בשנת 1801 פרסם קרל פרידריך גאוס את הספר "מחקרים אריתמטיים", שבנוסף לידע שהיה קיים אז בתורת המספרים, הכיל גם עבודות חדשות של גאוס על תבניות ריבועיות. בעבודותיו אלה חקר את השאלה איזה מספרים שלמים אפשר לבטא בצורה  ax^{2}+bxy+cy^{2} כאשר  a,b,c שלמים נתונים ו- x,y משתנים שלמים. במחקריו של גאוס הופיע אינווריאנט הנקרא מספר המחלקה של מספר שלם, הקשור לתבנית ריבועית. כמו כן, כלל גאוס בספר זה את ההוכחות הראשונות (שלו) להדדיות הריבועית.
להדדיות הריבועית ולמספר המחלקה היה תפקיד חשוב בהוכחתו של דיריכלה, אם כי חלק מההוכחות המאוחרות יותר לא משתמשות בהם.
היסטוריה > טור פורייה

בתחילת המאה ה-19 פיתח ז'וזף פורייה שיטה לקרב כל פונקציה מחזורית על ידי קומבינציה של פונקציות טריגונומטריות.
שיטה זו היא אנליטית מטבעה ועוסקת באובייקטים רציפים. עד היום מרבית השימושים בשיטה הם אנליטיים ורציפים. אולם לימים התברר שגרסה דיסקרטית של השיטה היא בעלת תפקיד מפתח בהוכחת משפט דיריכלה.
היסטוריה > הוכחת המשפט

בשנים 1837–1839 הוכיח יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה את המשפט בסדרת מאמרים. בשנת 1837 דיריכלה הצהיר על כך שהוכיח את המשפט ופרסם את ההוכחה עבור  m ראשוני. הוא גם הצביע על הטעות בהוכחתו של לז'נדר. את ההוכחה למקרה הכללי פרסם דיריכלה ב-1839.
הוכחתו של דיריכלה מתבססת על התמרת פורייה דיסקרטית, על חבורת אוילר ועל משפחת פונקציות שהוא הגדיר הנקראות כיום פונקציות L של דיריכלה ומהוות הכללה של פונקציית זטא של רימן. השלב הראשון בהוכחתו של דיריכלה מהווה רדוקציה לאי־התאפסות של פונקציות  L בנקודה 1. שלב זה הופיע במאמרים מ-1837 למקרה הכללי. דיריכלה גם נתן במאמרים אלו נוסחה מפורשת לערך של פונקציות  L בנקודה 1 והצליח להוכיח מנוסחה זו את אי־ההתאפסות עבור  m ראשוני. במאמרים משנת 1839 הציג דיריכלה נוסחה אחרת לערך של פונקציות  L בנקודה 1 הקושרת בין ערך זה לאינווריאנט מסוים של מספר שלם הנקרא מספר המחלקה. נוסחה זו נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה והוכחתה מתבססת על עבודותיו של גאוס על תבניות ריבועיות. הנוסחה גוררת באופן מיידי את אי־ההתאפסות של פונקציות  L בנקודה 1 ובכך משלימה את ההוכחה.
הוכחתו של דיריכלה נותנת גם מידע כמותי על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית: היא מוכיחה שצפיפות דיריכלה שלהם מבין כל הראשוניים היא חיובית. אולם היא לא מספקת מידע על הצפיפות הטבעית של קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית.
היסטוריה > הוכחות מאוחרות יותר

כאמור ההוכחה של משפט דיריכלה מחולקת לשני חלקים:
רדוקציה לאי־התאפסות של פונקציית  L בנקודה 1.
הוכחת אי־התאפסות זו.
החלק הראשון כמעט ולא השתנה עם השנים. ישנן מספר גרסאות לחלק זה, אך הן דומות למדי. הדרכים המודרניות להציג את ההוכחה שונות במקצת מההצגה המקורית.
לעומת זאת, במרוצת השנים, מתמטיקאים רבים מצאו גרסאות רבות ושונות לחלק השני של ההוכחה.
ישנן גם הוכחות מועטות למשפט דיריכלה שאינן עוברות דרך פונקציית  L כלל.
היסטוריה > הוכחות מאוחרות יותר > עבודותיו של דדקינד על תורת המספרים האלגברית

במחצית השנייה של המאה ה-19 כתב ריכרד דדקינד את הספר "הרצאות בתורת המספרים" (Vorlesungen über Zahlentheorie), שסיכם את עבודותיו של דיריכלה והכיל מספר תוספות של דדקינד. בספר זה הוא ניסח מחדש את הוכחתו של דיריכלה בצורה מודרנית וקונספטואלית יותר. בגרסאות המאוחרות של הספר, הוא פיתח את התורה של חוגי השלמים בשדות מספרים והאידיאלים שלהם. תורה זו מאפשרת ניסוח מחדש של המושג מספר המחלקה במונחים של הרחבות ריבועיות של   \mathbb {Q}  במקום תבניות ריבועיות. בכך היא מאפשרת גם הכללת מושג זה עבור שדות מספרים כלליים. דדקינד הוכיח הכללה של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה לשדות מספרים כלליים. הכללה זו נקראת נוסחת מספר המחלקה של דדקינד. היא מספקת הוכחה נוספת למשפט דיריכלה. הוכחה זו לא עושה שימוש בהדדיות ריבועית, ובמובן מסוים היא קונספטואלית יותר, אבל היא פחות אלמנטרית כיוון שהיא עושה שימוש בכלים מתקדמים יותר מתורת המספרים האלגברית. בפרט היא החליפה את השימוש במשוואת פל (הפשוטה יחסית) בשימוש במשפט היחידות של דיריכלה המהווה הכללה של משוואת פל.
היסטוריה > הוכחות מאוחרות יותר > ההוכחות האלמנטריות של מרטנס

בשלהי המאה ה-19 הציג פרנץ מרטנס (אנ') מספר הוכחות אנליטיות אלמנטריות לאי־התאפסות של פונקציית  L בנקודה 1. ההוכחות האלה היו פשוטות יותר מהוכחתו של דיריכלה. הן לא עברו דרך נוסחת מספר המחלקה. למעשה הן לא נתנו מידע ישיר על הערך של פונקציית  L, אלא רק את העובדה שהיא לא מתאפסת.
היסטוריה > הוכחות מאוחרות יותר > הרחבה של פונקציית זטא ופונקצוית L למישור המרוכב

בשנת 1859 פרסם ברנהרד רימן את מאמרו על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון, שבו הוא הרחיב את ההגדרה של פונקציית זטא של רימן (שהוגדרה במקור על ידי אוילר עבור משתנה ממשי גדול מ-1) לכל משתנה מרוכב. הרחבה זו איפשרה לקבל מידע רב על מספרים ראשוניים באמצעות אנליזה מרוכבת, ובכך סללה את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים.
מספר מתמטיקאים (Kinkelin, A. Hurwitz, R. Lipschitz) הרחיבו את תוצאותיו של רימן עבור פונקציות L של דיריכלה.
היסטוריה > הוכחות מאוחרות יותר > משפט המספרים הראשוניים וגרסה מדויקת יותר של משפט דיריכלה

ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן – הוכיחו בשנת 1896 את משפט המספרים הראשוניים וגרסה של משפט דיריכלה שנותנת מידע על הצפיפות הטבעית.
בשנת 1896 הוכיחו ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן את משפט המספרים הראשוניים, בהתבסס על עבודותיו של רימן. ביחד עם הוכחותיהם למשפט המספרים הראשוניים, הוכיחו אדמר ודה לה ואלה פוסן גרסה של משפט דיריכלה שנותנת מידע על הצפיפות הטבעית של קבוצת המספרים הראשוניים בסדרה חשבונית. הוכחתם משלבת בין הוכחתו של דיריכלה והוכחת משפט המספרים הראשוניים.
היסטוריה > הוכחות מאוחרות יותר > ההוכחות הקצרות של לנדאו

בתחילת המאה ה-20 מצא אדמונד לנדאו שתי הוכחות אנליטיות נוספות לאי־התאפסות של פונקציית L ב-1. הוכחות אלו קצרות אף יותר מההוכחות של מרטנס, אך משתמשות בכלים של אנליזה מרוכבת ובכך פחות אלמנטריות.
היסטוריה > הוכחות מאוחרות יותר > ההוכחות ללא פונקציות L של דיריכלה

החל מאמצע המאה ה-20 נמצאו מספר הוכחות (על ידי אטלה סלברג, הרולד שפירו, הנס זסנהאוס ואחרים) למשפט דיריכלה אשר לא משתמשות בפונקציית L של דיריכלה. הוכחות אלה משתמשות בכלים מאנליזה ואינן אלמנטריות או פשוטות יותר מהוכחתו של דיריכלה, אולם הן שונת ממנה באופן מהותי.

ההוכחות מתבססות בין היתר על הכלים שפותחו על ידי סלברג ופאול ארדש בהוכחתם האלמנטרית של משפט המספרים הראשוניים. אחת מההוכחות של סלברג למשפט דיריכלה מוכיחה את הגרסה על הצפיפות הטבעית של הראשוניים בסדרה חשבונית. בדומה להוכחה של סלברג וארדש למשפט המספרים הראשוניים, הוכחה זו לא משתמשת באנליזה מרוכבת אלה רק באנליזה ממשית.
הכללות

למשפט דיריכלה נמצאו הכללות במשך השנים. כמו כן מספר השערות ידועות מהוות הכללות שלו.
משפט הצפיפות של צ'בוטרב ומשפט פרובניוס: שני משפטים אלה מחשבים את הצפיפות של תתי-קבוצות מסוימות של קבוצת המספרים הראשוניים.
ניתן לראות במשפט דיריכלה חלק מתופעה כללית, על-פיה במקרים רבים בהינתן תנאי מסוים שאין מניעה ברורה שמספרים ראשוניים יקיימו אותו, אז קיימים מספרים ראשוניים המקיימים אותו. דוגמאות נוספות לתופעה זו הן:
השערת התאומים הראשוניים
משפט גרין-טאו
בעיית לנדאו הרביעית
השערת שלשות הראשוניים
השערת גולדבך, במידה מסוימת.
חלק מרכזי במשפט דיריכלה הוא אי־ההתאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב-1. ישנן טענות אי־התאפסות של פונקציות L שונות, בהן כאלה שמכלילות את משפט דיריכלה. דוגמה:
אי־התאפסות של פונקציית זטא של רימן על הישר  \Re (s)=1 הוכחה על ידי אדמר ודה לה ולה פוסן. היא גוררת את משפט המספרים הראשוניים.
אי־התאפסות של פונקציית  L של דיריכלה על הישר  \Re (s)=1 הוכחה על ידי אדמר ודה לה ולה פוסן. היא גוררת את הגרסה של משפט דיריכלה לגבי הצפיפות הטבעית.
אי־התאפסות של פונקציית  L של ארטין ב-1 גוררת את משפט הצפיפות של צ'בוטרב.
אי־התאפסות של פונקציית  L של ארטין על הישר  \Re (s)=1 גוררת גרסה של משפט צ'בוטרב התקפה לגבי הצפיפות הטבעית.
שימושים

עיקר השפעתו של משפט דיריכלה היא עקיפה. אולם למשפט גם מספר שימושים ישירים. להלן מספר דוגמאות:
משפט דיריכלה והגרסאות הכמותיות שלו מהווים כלי מרכזי בהוכחת השערת גולדבך החלשה.
משפט דיריכלה גורר כי עבור אינסוף ראשוניים  p, הפולינום  x^{m}-1 מתפצל לגורמים ליניאריים מעל השדה  \mathbb {F} _{p}. משפט צ'בוטרב גורר את אותו הדבר עבור כל פולינום עם מקדמים שלמים. כך שבעוד שעבור כל מספר ראשוני  p השדה הסופי  \mathbb {F} _{p} אינו סגור אלגברית, לפי משפט דיריכלה ומשפט צ'בוטרב, כל השדות האלה יחד מהווים מעין "מערכת סגורה אלגברית".
בהינתן מערכת משוואות פולינומיות  X עם מקדמים שלמים במספר משתנים, השערות וייל מספקות קשר בין הטופולוגיה של היריעה  X(\mathbb {C} ) של הפתרונות המרוכבים של  X ובין מספר הנקודות בקבוצה  X(\mathbb {F} _{p}) של הפתרונות ב- \mathbb {F} _{p} של  X. השימוש המרכזי של השערות וייל הוא לקבל מידע על הקבוצה  X(\mathbb {F} _{p}) באמצעות היריעה  X(\mathbb {C} ). אולם בזכות משפט דיריכלה ומשפט צ'בוטרב ניתן גם לקבל מידע על היריעה  X(\mathbb {C} ) באמצעות כל הקבוצות  X(\mathbb {F} _{p}) כאשר  p רץ על כל הראשוניים.
השפעה > תורת המספרים האנליטית

ניתן לראות במשפט דיריכלה את לידתה של תורת המספרים האנליטית. אומנם שימוש באנליזה לטובת תורת המספרים הופיע עוד בעבודותיו של אוילר, אולם תפקידה של האנליזה בהוכחתו של דיריכלה היה סיסטמטי ומסיבי בהרבה. משפט דיריכלה יצר פרדיגמה חדשה בתורת המספרים. על פי פרדיגמה זו, כדי לחקור שאלה מסוימת בתורת המספרים יש לבצע את השלבים הבאים:
להתאים לשאלה הנחקרת פונקציית L, זו אומרת טור דיריכלה המקודד את הבעיה.
להוכיח תכונות בסיסיות של פונקציית L זו: מכפלת אוילר, ולאחר עבודותיו של רימן, גם המשכה אנליטית (למישור המרוכב) ומשוואה פונקציונלית.
לחקור פונקציית L זו בכלים אנליטיים. זה כולל בדרך כלל:
הוכחת אי־ההתאפסות שלה באזורים מסוימים במישור המרוכב.
הוכחת הרגולריות שלה באזורים מסוימים במישור המרוכב.
מציאת חסמים על גודלה.
להסיק מהתנהגות פונקציית L זו מסקנות על השאלה המקורית בתורת המספרים.
פרדיגמה זו השתרשה עד כדי כך, שכיום תוצאות רבות בתורת המספרים מנוסחות כתוצאות על תכונות של פונקציות L, ללא גזירה של מסקנות לגבי האובייקטים מתורת המספרים שפונקציות L אלה מבוססות עליהם.
להלן מספר דוגמות לפונקציות L הנחקרות כיום:
פונקציית זטא של רימן – מקודדת תכונות של המספרים הראשוניים.
פונקציית L של דיריכלה – מקודדת תכונות של המספרים ראשוניים בסדרה חשבונית וקרקטרי דיריכלה.
פונקציית זטא של דדקינד – מקודדת תכונות של שדות מספרים.
פונקציית L של ארטין – מקודדת תכונות של הצגות גלואה של הרחבות שדות מספרים.
פונקציית L של הקה – מקודדת תכונות של חבורת מחלקות האידלים וקרקטרי הקה.
פונקציית L של תבנית אוטומורפית – מקודדת תכונות של תבניות אוטומורפיות.
פונקציית L מוטיבית – מקודדת תכונות של אובייקטים מגאומטריה אלגברית אריתמטית. לדוגמה:
פונקציית זטא של הסה-וויל ופונקציית זטא אריתמטית - שתיהן סופרות נקודות ביריעות אלגבריות מעל שדה סופי.
פונקציית זטא של איגוסה – סופרת נקודות ביריעות אלגבריות מעל חוגים סופיים.
פונקציות L מופיעות גם מחוץ לתורת המספרים, כאשר סופרים אובייקטים. לדוגמה:
פונקציית זטא של חבורה – טור דיריכלה הסופר תתי-חבורות של חבורה.
פונקציית זטא הצגתית של חבורה - טור דיריכלה הסופר הצגות של חבורה.
הערה: פונקציות זטא הן מקרה פרטי של פונקציות L, בו כל המקדמים הם חיוביים.
לעיתים, הדרך לקשר בין שני אובייקטים שונים היא להוכיח שיש להם אותה פונקציית L. השערת לנגלנדס והשערת טניאמה-שימורה הן דוגמאות לקשר כזה.
השפעה > תורת המספרים האלגברית ואלגברה קמוטטיבית

שימושים בכלים אלגבריים לטובת תורת המספרים עתיקים כמו תורת המספרים עצמה, כך שתורת המספרים האלגברית התפתחה לאורך תקופה ארוכה. במהלך המאה ה-19 חלה התפתחות דרמטית בתחום זה. אחת מאבני הדרך המשמעותיות בתחום זה הן העבודות של דדקינד על חוגי שלמים בשדות המספרים והאידיאלים שלהם. עבודות אלה שמתבססות על עבודותיו של קומר מהוות המשך ישיר לעבודותיו של דיריכלה על משפט דיריכלה.
האלגברה הקמוטטיבית פותחה על ידי הילברט ונתר בהתבסס על עבודותהם של דדקינד וקומר.
השפעה > תורת ההצגות

ההתפתחות של תורת ההצגות ושל תורת המספרים האלגברית שזורות זו בזו. ניתן לראות בעבודותיו של פורייה על פירוק של פונקציה לקומבינציה של פונקציות טריגונומטריות את תחילתה של תורת ההצגות. פירוק זה נקרא טור פורייה (או התמרת פורייה). מנקודת מבט מודרנית, אפשר לראות פירוק זה כפירוק של מרחב הפונקציות על הישר (או המעגל) לתתי מרחבים אינווריאנטים לגבי הזזות. במילם אחרות: פירוק של ההצגה הרגולרית של הישר (או המעגל) להצגות בלתי פריקות. אולם בשלב זה, רעיונות אלה הוגבלו למספר מצומצם של דוגמאות דומות, ורק לחבורות קומוטטיביות.
דיריכלה, שהיה תלמידו של פורייה, הוציא את הרעיונות האלה מההקשר של אנליזה שבה הם פותחו והפעיל אותם על דוגמאות נוספות של חבורות קומוטטיביות. מהלך זה היה אחד הרעיונות המשמעותיים בהוכחת משפט דיריכלה.
דדקינד שיכתב את עבודותיו של דיריכלה בשפה כללית ונקייה יותר, ובכך פיתח את התמרת פורייה ותורת הקרקטרים עבור חבורה אבלית סופית כלשהי. דדקינד הבין שבשביל שימושים מתקדמים יותר בתורת המספרים הוא צריך גם אנלוגים של תורת הקרקטרים גם עבור חבורות לא קומוטטיביות. במכתביו לפרובניוס הציע לו דדקינד לפתח תורה כזאת.
פרובניוס הצליח לפתח תורה זו במאמרו המפורסם משנת 1896. במאמר זה פותחה תורה מעמיקה של קרקטרים של חבורות לא קומוטטיביות, ואנלוגים של פירוק פורייה בשבילן, אולם מושג ההצגה עוד לא היה קיים. עבודותיו של פרובניוס איפשרו להגדיר את פונקציית L של ארטין, שהיא הכללה של פונקציית L של דיריכלה, ולהוכיח את משפט צ'בוטרב שהוא הכללה של משפט דיריכלה.
את מושג ההצגה הגדיר תלמידו של פרובניוס, ישי שור, ובכך הניח את היסודות לתורת ההצגות בצורתה המודרנית. שור גם הסביר את הקשר בין הצגות וקרקטרים.
במהלך המאה ה-20 התפתחה תורת ההצגות והפכה לתחום מרכזי במתמטיקה המקושר לתחומים שונים הכוללים לצד תורת המספרים גם אלגברה, גאומטריה, אנליזה ואפילו פיזיקה. אולם תורת המספרים האנליטית הייתה ונשארה אחד המקורת המרכזיים לשאלות בתורת ההצגות. כך לדוגמה התחום של תבניות והצגות אוטומורפיות הוא תחום משותף לתורת המספרים ותורת ההצגות. כך גם תוכנית לנגלנדס. כמו כן תורת ההצגות של חבורות p-אדיות הוא תחום בתורת ההצגות השואב את עיקר המוטיבציה שלו מתורת המספרים.
ההוכחות למשפט > הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים

כל ההוכחת הידועות למשפט דיריכלה הן אנליטיות, ומוכיחות טענה חזקה יותר מאינסופיות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. אולם עבור מקרים פרטיים של משפט דיריכלה יש הוכחות אלגבריות הדומות להוכחתו של אוקלידס לכך שיש אינסוף ראשוניים וכמעט שאינן מספקות מידע על צפיפות קבוצה זו. רוב ההוכחות האלה מבוססות על הרעיון הבא: מוצאים פולינום  f כך שלכל  k טבעי, למספר  f(k) יש גורם ראשוני בסדרה החשבונית. אז מציבים מכפלה של ראשוניים מהסדרה החשבונית לפולינום כדי לקבל מחלקים ראשוניים מהסדרה החשבונית שלא השתתפו במכפלה. נדגים שיטה זו במספר מקרים:
ההוכחות למשפט > הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים > מספרים שאינם ריבוע מודולו m

הוכחה דומה נותנת את המשפט הבא:
ההוכחות למשפט > הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים > מספרים שהם 1 מודולו m

הוכחת המשפט מתבססת על הלמה הבאה:
הפולינום  f הוא למעשה  x\mapsto \Phi _{m}(mx) כאשר  \Phi _{m} הוא הפולינום הציקלוטומי של  m. הוכחת הלמה מתבססת על כלים של תורת המספרים האלגברית, ההוכחה איננה פשוטה אך אלגברית לחלוטין. לצורך המחשה נביא כאן את ההוכחה כאשר  m=q ראשוני.
כעת נוכיח את המשפט
ההוכחות למשפט > הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים > מסקנות

מטענות אלה נובע משפט דיריכלה ל-  m=1,2,3,4,6.
ההוכחות למשפט > מכפלת אוילר

נקודת המוצא של הוכחתו של דיריכלה (כמו גם של כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) היא נוסחת המכפלה של אוילר:
 \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(\sum _{k-0}^{\infty }{\frac {1}{p^{k}}}\right)=\prod _{p}\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}\right)כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים. הנוסחה מבוססת על טורים הנדסיים ועל משפט קיום ויחידות של פירוק לגורמים ראשוניים. הנוסחה מאפשרת לקבל מידע על ההתפלגות של מספרים ראשוניים (מאגף ימין) באמצעות כלים של אנליזה (בהם מנתחים את אגף שמאל). עם זאת, בצורתה זו הנוסחה לא נותנת מידע רב, שכן שני אגפיה מתבדרים. כדי להפוך אותה לשימושית יותר, מכניסים פרמטר ממשי  s>1 ומחליפים את הנוסחה בנוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן:
 \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}
באופן כללי, כדי לקבל מנוסחה זו את המידע הדרוש לנו, יש לנתחה כאשר  s שואף ל- 1. בדרך כלל כדי להבין את הטיעונים ברמה האינטואיטיבית אפשר להציב  s=1, אבל זה לא מספיק כדי לקבל הוכחה ריגורוזית.
ממכפלת אוילר ניתן לקבל שטור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר. לשם כך לוקחים לוגריתם של שני הצדדים של הנוסחה ומשתמשים בקירוב טיילור מסדר ראשון של הלוגריתם, ומקבלים:
 \ln(\zeta (s))=-\sum _{p}\ln \left({1-{\frac {1}{p^{s}}}}\right)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}+f(s)
כאשר:
 0<f(s):=-\sum _{p}\left({\frac {1}{p^{s}}}+\ln \left({1-{\frac {1}{p^{s}}}}\right)\right)<\sum _{p}{\frac {1}{p^{2s}}}<1
מכאן קל להסיק שהטור
 \sum _{p}{\frac {1}{p}}
מתבדר.
באופן פשטני אפשר לומר כי הרעיון בהוכחתו של דיריכלה הוא להתאים טיעון זה לטור דומה עבור הראשוניים בסדרה חשבונית.
ההוכחות למשפט > שימוש במספרים מרוכבים

אחד הרעיונות המהפכניים של רימן בתורת המספרים האנליטית היא להציב לפונקציית זטא ערכים מרוכבים של המשתנה  s (עם חלק ממשי גדול מ-1) ואז להמשיך את פונקציית זטא של רימן לפונקציה מרומורפית המוגדרת על המישור המרוכב כולו. זה הופך את פונקציית זטא לכלי עוצמתי לחקר ההתפלגות של המספרים הראשוניים. רעיון זה הוביל בין היתר להוכחת משפט המספרים הראשוניים. אולם רעיון זה הופיע כ-30 שנה לאחר הוכחת משפט דיריכלה ואינו מופיע בהוכחה המקורית של דיריכלה. חלק מההוכחות המאוחרות יותר משתמשות ברעיון זה, מה שמקצר את ההוכחה. המחיר של קיצור זה הוא שימש בכלים מתקדמים יחסית מאנליזה מרוכבת, שהוכחתם לא פשוטה.
הוכחתו של דיריכלה (כמו גם כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) משתמשת במספרים מרוכבים במקום אחר: פונקציות  L של דיריכלה, שהן גרסאות של פונקציית זטא של רימן הנחוצות בהוכחה, הן פונקציות עם ערכים מרוכבים גם כאשר המשתנה שלהן ממשי. שימוש זה לא דורש אנליזה מרוכבת אלא רק הבנה של מספרים מרוכבים, ולכן פשוט בהרבה. גם שימוש זה לא הכרחי, אפשר להחליף אתו בשימוש בפונקציות טריגונומטריות, אולם החלפה כזאת תסרבל את ההוכחה ותסתיר את הרעיונות שבה, כך שהיא לא מקובלת.