stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ג'ון ספלמן
מושל וושינגטון

ב-1976 התמודד ספלמן לראשונה על משרת מושל וושינגטון. בבחירות המקדימות הסגורות של הרפובליקנים הוא דורג ראשון, אך נוצח בבחירות הכלליות על ידי מועמדת המפלגה הדמוקרטית, דיקסי לי ריי. ב-1980 הוא התמודד שוב, והביס בבחירות המקדימות בהפרש קל את חבר בית הנבחרים המדינתי דואן ברנסטון. מועמד הדמוקרטים היה ג'ים מקדרמוט, שהביס בבחירות המקדימות את ריי, אך נוצח על ידי ספלמן בבחירות הכלליות בהפרש קל בשנה בה זכו הרפובליקנים בניצחונות רבים בכל רחבי ארצות הברית.
במהלך ארבע שנות כהונתו של ספלמן כמושל וושינגטון, סבלה כלכלת המדינה ממיתון רציני שעמד בסימן עליית האבטלה ובסימן הכנסות מאכזבות מתקבולי המיסים. בית המחוקקים המדינתי היה מפולג בשאלה כיצד לטפל בירידת ההכנסות ממיסים, אך לא הצליח להגיע להסכמה על הגדלת מס הרכוש המדינתי משיעור של 5.5 אחוזים ל-6.5 אחוזים. על אף הבטחת הבחירות להתנגד להטלת מיסים חדשים, קידם ספלמן הטלת מיסים חדשים בשיעור של 2.5 מיליארד דולר כדי להתגבר על הפערים.
אחת העמדות הזכורות של ספלמן הייתה מחויבותו העמוקה לאיכות הסביבה. לנוכח לחץ מקבוצות עסקיות ומחוקקים רבים, הוא הטיל וטו על הצעת חוק שהתירה מיזם פיתוח שסיכן את איכות הסביבה של חברת ברזל משיקגו באזור חוף רגיש במחוז ווטאקום. הווטו נעקף על ידי הצבעה של הסנאט המדינתי. הוא מנע בהצלחה את הקמתו של צינור נפט שהיא אמור לעבור תחת מימי מפרץ פיוג'יט תוך סיכון של האקולוגיה של המפרץ, וסירב לחזור בו נוכח התמיכה הציבורית במיזם.
בספטמבר 1983, לאחר מותו של הסנאטור הנרי ג'קסון, מינה ספלמן את המושל הרפובליקני לשעבר דניאל ג'. אוונס כדי לאייש את המושב שהתפנה. אף על פי שהדמוקרטים מחו על מינויו של רפובליקני לאייש את מושבו של סנאטור דמוקרטי, המינוי של ספלמן היה חוקי על פי הכללים של אז. בחוקי המדינה נדרש קיום של בחירות מקדימות באופן מידי ולאחר מכן עריכת בחירות כלליות לאיוש המושב בסנאט עד לתום תקופת כהונתו המתוכננת של ג'קסון. הבחירות המקדימות נערכו שלושה שבועות בלבד לאחר המינוי הזמני של אוונס.
ב-1984 התמודד ספלמן בבחירות לתקופת כהונה שנייה כמושל. לאחר הבחירות המקדימות של הדמוקרטים, בהן התמודדו הסנאטור ג'ים מקדרמוט, חבר בית הנבחרים המדינתי לשעבר ג'ון ג'וונוביץ', ומנהל מחוז פירס בות' גרדנר, ניצב ספלמן בקרב קשה בבחירות הכלליות מול גרדנר. בבחירות הכלליות שהתקיימו בנובמבר, נוצח ספלמן על ידי גרדנר, וכך הוא היה המושל הרפובליקני האחרון במדינת וושינגטון עד היום.
שנותיו האחרונות

לאחר תום כהונתו כמושל ב-1985, שב ספלמן לעיסוקו בעריכת דין במגזר הפרטי. ב-1990 הוא ניסה להתמודד על משרת שופט בבית המשפט העליון של מדינת וושינגטון מול ריצ'רד פ. גאי, אך נוצח. הוא היה שותף במשרד עורכי דין בסיאטל בשם "קרני, בדלי וספלמן".
ג'ון ספלמן נפטר בבית חולים בסיאטל ב-16 בינואר 2018 כתוצאה מדלקת ריאות לאחר שהתאשפז בו בשל שבירת ירכו שלושה שבועות קודם לכן. הוא נטמן בבית הקברות קאוולרי שבעיר.
הערות שוליים

1 2 3 4  "John Spellman: Politics Never Broke His Heart". Office of the Secretary of State.
1 2  "John Spellman". Office of the Secretary of State.
↑  Camden, Jim (January 25, 2018). "Former Washington First Lady Lois Spellman dies". The Spokesman-Review.
1 2  Oldham, Kit (March 11, 2006). "Spellman, John D. (1926-2018)". HistoryLink.
↑  "Former Washington Governor John D. Spellman Dies at 91". Q13 Fox. January 16, 2018.
1 2  "Former Washington Governor John Spellman Dies at 91". Oregon Public Broadcasting. Associated press. January 16, 2018. Archived from the original on January 17, 2018.
1 2  Pemberton, Lisa (January 16, 2018). "Washington state governor John Spellman dies at 91". The News Tribune.
↑  Pryne, Eric (March 28, 1982). "Spellman refuses too read 7,500 letters on Northern Tier". The Seattle Times. p. C4.
↑  La Corte, Rachel (January 16, 2018). "John Spellman, last Republican elected Washington governor, dead at age 91". Kitsap Sun. Associated Press.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  ISNI: 0000 0000 2653 9515  LCCN: n82038504  SNAC: w6283nc4  VIAF: 28412234   WorldCat (עם VIAF): 28412234
ג'ון סקוט הריסון

ג'ון סקוט הריסון (באנגלית: John Scott Harrison;‏ 4 באוקטובר 1804 – 25 במאי 1878) היה חקלאי ופוליטיקאי אמריקאי שכיהן כחבר בבית הנבחרים של ארצות הברית מאוהיו בין השנים 1853 ל-1857. הוא היה בנם של נשיא ארצות הברית ויליאם הנרי הריסון והגברת הראשונה אן הריסון וכן אביו של נשיא ארצות הברית בנג'מין הריסון. הוא האדם היחיד שהיה גם בנו וגם אביו של נשיא ארצות הברית.
ביוגרפיה > ראשית חייו

הריסון נולד בוינסנס, אינדיאנה, לנשיא העתידי ויליאם הנרי הריסון ואן תותיל סימס. הוא היה גם נכדו של חותם הכרזת העצמאות בנג'מין הריסון החמישי. הריסון השלים לימודי הכנה ולמד רפואה. מאוחר יותר הוא נטש את הלימודים כדי להפוך לחקלאי.
בשנת 1824, הוא נישא ללוקרטיה קנאפ ג'ונסון (1804–1830). נולדו להם שלושה ילדים:
אליזבת שורט הריסון (1825–1904)
ויליאם הנרי הריסון (1827–1829)
שרה לוקרטיה הריסון (1829–1917)
ב-12 באוגוסט 1831, בסינסינטי, אוהיו, הוא התחתן עם אליזבת רמזי ארווין (1810–1850). לו ולאליזבת היו 10 ילדים:
לוטננט קולונל ארצ'יבלד הריסון (1832–1870); מפקד רגימנט הרגלים ה-27 של אינדיאנה
בנג'מין הריסון (1833–1901); הפך לנשיא
מרי ג'יין הריסון (1835–1867)
אנה סימס הריסון (1837–1838)
ג'ון ארווין הריסון (1839)
קרטר באסט הריסון (1840–1905); קפטן, רגימנט הרגלים ה-51 של אוהיו
אנה סימס הריסון (1842–1926)
ג'ון סקוט הריסון ג'וניור (1844–1926)
ג'יימס פינדלי הריסון (1847–1848)
ג'יימס ארווין הריסון (1849–1850)
לאחר מות אביו, בשנת 1841, עברה אמו לגור עם משפחתו כדי לסייע בגידול הילדים.
ביוגרפיה > קריירה פוליטית

הוא נבחר מטעם המפלגה הוויגית לבית הנבחרים של ארצות הברית ב-1852, נבחר מחדש מטעם מפלגת האופוזיציה ב-1854 וכיהן בין השנים 1853 ל-1857.
לאחר שהובס לקדנציה שלישית ב-1856, פרש הריסון לאחוזתו "חוות פוינט" בנורת' בנד, אוהיו, שם מת ב-25 במאי 1878, בגיל 73.
הוא היה הילד האחרון ששרד של ויליאם הנרי הריסון. הוא נקבר בקבר המשפחה בנורת' בנד, היום אנדרטת קבר ויליאם הנרי הריסון, עם הוריו ובני משפחה נוספים. גופתו של הריסון נגנבה על ידי שודדי קברים עד שבסופו של דבר הוחזרה למקום מנוחתה האחרון.
גייב יורק

| --- | --- |

יורק במדי לייקלנד מג'יק
 לידה:  2 באוגוסט 1993 (בן 31) וסט קובינה, קליפורניה, ארצות הברית
 עמדה:  רכז, קלע (כדורסל)
 גובה:  1.91
 מספר:  32
 דראפט:  לא נבחר, 2016
 קבוצות כשחקן
 2016   2016–2017   2017–2018   2018–2019   2018–2019   2019   2019–2020   2020–2021   2021–2022   2022–:  ונולי קרמונה   קולג' פארק סקייהוקס   מדי ביירוית   אורלנדו מג'יק   ← לייקלנד מג'יק   א.א.ק. אתונה (כדורסל)   שטרסבורג (כדורסל)   הפועל תל אביב (כדורסל)   פורט ויין מאד אנטס   אינדיאנה פייסרס
גייב יורק (באנגלית: Gabe York; נולד ב-2 באוגוסט 1993) הוא כדורסלן אמריקאי בעמדת הרכז.
קריירה

ב-22 ביולי 2016 חתם יורק בקבוצת ונולי קרמונה האיטלקית. ב-15 בנובמבר 2016 עזב יורק את הקבוצה לאחר שהעמיד ממוצעים של: 4.3 נקודות ו-2.5 ריבאונדים כאשר שיחק שישה משחקים בלבד.
שישה ימים בלבד לאחר שעזב את ונולי קרמונה חתם יורק באירי בייהוקס מליגת הפיתוח של ה-NBA שם רשם שיא קריירה של 38 נקודות בניצחון 99–118 על סאות' ביי לייקרס (קבוצת הבת של לוס אנג'לס לייקרס).
ב-31 ביולי 2017 חתם יורק במדי ביירוית מליגת העל הגרמנית בכדורסל, בה קלע 14.2 נקודות למשחק.
ב-5 בספטמבר 2018 חתם יורק באורלנדו מג'יק ששלחה אותו לקבוצת ליגת הפיתוח לייקלנד מג'יק.
ב-12 באפריל 2019 חתם יורק בא.א.ק אתונה מליגת העל היוונית וליגת האלופות בכדורסל עד סוף עונת 2018–2019.
לפני תחילת עונת המשחקים 2019\2020 חתם יורק בשטרסבורג מה-pro a.
ב-30 בנובמבר 2020 חתם יורק בהפועל תל אביב מליגת העל, שם מעמיד ממוצעים של 9.8 נקודות, 2.3 אסיסטים, 2.2 ריבאונדים ו 1.7 חטיפות. במחזור השמיני מול עירוני נהריה יורק רשם שיא עונתי של 20 נקודות בניצחון קבוצתו 94:71. ב-18 במרץ 2021 שוחרר מהקבוצה.
גורו פורנימה

גורו פורנימה (בסנסקריט: गुरु पूर्णिमा) הוא חג הינדי ובודהיסטי, הנחוג כל שנה ביום הירח המלא של חודש האשאדה בלוח השנה ההינדי (יוני או יולי בלוח השנה הגרגוריאני). החג מוקדש למורים רוחניים ואקדמיים ובמהלכו מביעים תלמידיהם את הערכתם כלפיהם. מכונה גם ויאסה פורנימה, היום בו לפי המסורת הופיע לראשונה החכם ויאסה.
בבודהיזם ביום זה מציינים תחילת הרצאות של גאוטמה הבודהה על תורתו.
ג'יימס ויליאמס (פוליטיקאי מדלאוור)

ג'יימס ויליאמס (באנגלית: James Williams‏; 4 באוגוסט 1825 – 12 באפריל 1899) היה חוואי ופוליטיקאי אמריקאי מסמירנה, דלאוור. הוא היה חבר במפלגה הדמוקרטית, שכיהן באספה הכללית של דלאוור וכחבר בית הנבחרים של ארצות הברית מדלאוור.
ביוגרפיה > ראשית חייו

ויליאמס נולד ב-4 באוגוסט 1825 בפילדלפיה, פנסילבניה, היה בנם של ג'ון ואסתר ויליאמס. אביו היה סוחר עצים, והשכלתו המוקדמת הייתה בשיעורים פרטיים. תחילה הוא הפך לחניך נגר, והתכוון להיות אדריכל. בשנת 1848 אביו קנה אחוזה גדולה במחוז קנט, דלאוור, וויליאמס הצעיר עבר לקנטון כדי להתחיל בחקלאות ולנהל את הנכס.
ביוגרפיה > קריירה מקצועית ופוליטית

ויליאמס נעשה פעיל פוליטית במפלגה הדמוקרטית, ונבחר לבית הנבחרים של דלאוור, כיהן בשנים 1857/1858, 1863/1864 ו-1883/1884. לאחר מכן כיהן בסנאט של המדינה מ-1891/1892, והיה יושב ראש הסנאט ל-1869/1870. בשנת 1872 הוא היה ציר בוועידה הלאומית של המפלגה אשר מינה את הוראס גרילי למועמד לנשיא ארצות הברית. ויליאמס נבחר פעמיים כחבר היחיד של דלאוור בבית הנבחרים של ארצות הברית, וכיהן בשתי קדנציות מ-1875 עד 1879, בקונגרסים ה-44 וה-45 תחת נשיאי ארצות הברית יוליסס ס. גרנט ורתרפורד הייז.
הוא נשאר חקלאי לאורך כל שירותו הציבורי. לאחר שחזר לחיים הפרטיים התרחב לייצור דשנים, והגדיל את אחזקותיו בחוות בדלאוור ובמרילנד. ב-1891 עבר לסמירנה, דלאוור, אך המשיך בחקלאות עד סוף חייו.
ביוגרפיה > מוות ומורשת

ויליאמס חי בשקט, מת ב-12 באפריל 1899 בסמירנה, דלאוור, ונקבר שם בבית הקברות של הכנסייה האפיסקופלית של פטרוס הקדוש.
ג'יימס ויליאם אדמונד דויל

| --- | --- |

 לידה:  22 באוקטובר 1822 לונדון, הממלכה המאוחדת של בריטניה הגדולה ואירלנד 
 פטירה:  3 בדצמבר 1892 (בגיל 70) לונדון, הממלכה המאוחדת של בריטניה הגדולה ואירלנד 
 מקום קבורה:  בית הקברות קנסאל גרין 
 
ג'יימס ויליאם אדמונד דויל (אנגלית: James William Edmund Doyle‏; 22 באוקטובר 1822 – 3 בדצמבר 1892) היה היסטוריון, אספן עתיקות ומאייר.
ביוגרפיה

דויל נולד בלונדון ב־22 באוקטובר 1822, היה בנו הבכור של ג'ון דויל. ריצ'רד דויל והנרי אדוארד דויל היו אחים צעירים יותר. הוא היה דודו של ארתור קונן דויל.
הוא התחנך כקתולי. הוא ירש חלק מיכולתו האמנותית של אביו, ובתחילת חייו למד רישום וציור. בין שאר העבודות הוא ביצע ציור של ד"ר ג'ונסון שקרא את כתב היד של "הכומר וייקפילד", שנחרט וזכה לפופולריות ניכרת. זכויות היוצרים על התמונה הכניסו לו 100 ליש"ט.
ב־12 בפברואר 1874 התחתן עם ג'יין הנרייטה הוקינס בכנסיית גבירתנו של כנסיית הרוזרי, מרילבון רואד, לונדון.
אולם בעודו צעיר יחסית, נטש דויל את מקצוע האמן והתמסר למחקרים היסטוריים. לצורך הכתיבה שלו הוא חיבר 'כרוניקה של אנגליה' מ- B.C. 55 עד 1485 לספירה, ואייר את הספר באיורים רבים בצבעים. היצירה זכתה לשבחים רבים מאנשים שונים בין היתר ממשפחת המלוכה, והתקבלה היטב על ידי הציבור כאשר פורסמה בשנת 1864 האיורים של דויל נחקקו והודפסו בצבעים על ידי אדמונד אוונס.
אולם המשימה הגדולה בחייו של דויל הייתה התיעוד הרשמי של אנגליה, שכלל את כל דרגות אצולה פרט לברונים. הכינוי 'הרשמי' בכותרת פירושו שהוא נתן רשימה ממצה של המכובדים והאצילים. ההרכב תוכנן תחילה כדי לכסות את התקופה שבין הכיבוש הנורמני למהפכה בשנת 1688, אך לאחר מכן הוא הועלה עד 1885. הוא סיפק פרטים מלאים ככל האפשר, על הנכסים, המשרות והסמלים. הוא הנציח את המראה האישי של כל אציל. היצירה פורסמה בשלושה כרכים בשנת 1886, מהדורה בעלת נייר גדול שהוגבלה למאתיים עותקים, שהופיעה מוקדם יותר בשנת 1885.
זו הייתה עבודה מדוקדקת אך לא אחידה. עבור החלק ההסטורי הקדום יותר, במיוחד התקופה הנורמנית דויל הסתמך יותר מדי על מקורות משניים ולא היה מספיק ביקורתי. לאכזבתו, הספר לא זכה להצלחה כלכלית, והסב הפסדים כבדים בהוצאות.
בשנת 1886 כתב את טקסט ההסבר לקריקטורות הצבעוניות של אביו ריצ'רד דויל שכותרתו סצנות מההיסטוריה האנגלית.
הוא נפטר בלונדון ב -3 בדצמבר 1892 במעונו, ונקבר בבית הקברות של קנסל גרין ב -9 בדצמבר.
גלריה

כרוניקה של אנגליה - עבדים ברומא
כרוניקה של אנגליה, הריגת מלך מזרח אנגליה
כרוניקה של אנגליה, הנרי השלישי והפרלמנט
כרוניקה של אנגליה, מפגש הנרי וריצ'רד
הערות שוליים

↑  Doyle, James William Edmund (1822–1892), illustrator and antiquary by Rosemary Mitchell, Oxford Dictionary of National Biography
↑  ILAB-LILA, web.archive.org, ‏2011-07-16
↑  Carlyle, Edward Irving, Doyle, James William Edmund, Dictionary of National Biography, 1901 supplement Volume 2
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987010026951505171  GND: 173026575  ISNI: 0000 0000 6629 3927  LCCN: nr00026986  RKD: 24108  SNAC: w6481zjz  ULAN: 500030711  VcBA: 495/78172  VIAF: 7230226   WorldCat (עם VIAF): 7230226
בעיית קפלר

ערך זה עוסק בבעיה בפיזיקה. אם התכוונתם לבעיה במתמטיקה, ראו .
בעיית קפלר היא בעיה פיזיקלית המבקשת למצוא את המסלול שבו נעים שני גופים, כאשר פועל עליהם רק כוח אחד - כוח הדדי שעוצמתו יורדת עם ריבוע המרחק (כוח ריבועי הפוך), דוגמת כוח הכבידה או הכוח החשמלי.
בעיה זו, שהיא מקרה פרטי של בעיית שני הגופים, היא אחת הבעיות החשובות בפיזיקה. היא מופיעה למשל בתיאור התנועה של כוכב לכת יחיד סביב כוכב, או בתיאור תנועת האלקטרון והפרוטון באטום המימן לפי המודל הקלאסי. בעיית קפלר היא בין הבעיות הבודדות במכניקה הניתנות לפתרון באופן מדויק, וזאת במגוון דרכים.
הבעיה קרויה על שם האסטרונום הגרמני יוהאנס קפלר, אשר 'גילה' את פתרון הבעיה בעזרת ניתוח תצפיות של תנועת גרמי השמים. מאוחר יותר ניסח אייזק ניוטון את חוקי ניוטון ואת חוק המשיכה האוניברסלי, בעזרתם ניתן לקבל את החוקים שניסח קפלר באופן תאורטי מעקרונות יסודיים יותר. ערך זה עוסק בניתוח מתמטי של בעיית קפלר במכניקה קלאסית וקבלת חוקי קפלר באופן תאורטי מתוך חוקי ניוטון. תיאור מפורט של חוקי קפלר מופיע בערך חוקי קפלר.
ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון

בעיית קפלר היא בעיה דו-גופית, המערבת שני גופים שמסתם  \ m_{1},m_{2} הנמצאים במיקום  {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}. הגופים מפעילים זה על זה כוח ריבועי הפוך, כלומר גוף אחד מפעיל על הגוף השני כוח מן הצורה  {\vec {F}}={\frac {k}{r^{2}}}{\hat {r}}, כאשר:
{\hat {r}} הוא וקטור יחידה המצביע בכיוון הווקטור המחבר בין מיקומי שני הגופים.
\ r הוא המרחק בין שני הגופים.
\ k הוא פרמטר התלוי באופי הכוח. עבור כוח הכבידה  \ k=-Gm_{1}m_{2} (כאשר  \ G הוא קבוע הגרביטציה האוניברסלי). אם  \ k<0 הכוח מושך (דוגמת כוח הגרביטציה, או הכוח החשמלי האלקטרוסטטי בין מטענים בעלי סימן שונה). אם  \ k>0 הכוח דוחה (דוגמת הכוח החשמלי בין מטענים שווי סימן).
כיוון שמדובר בבעיה דו-גופית, מרכז המסה של שני הגופים נע במהירות קבועה, ועל ידי שימוש במערכת מרכז המסה ניתן להתעלם ממנו ולטפל רק בתנועה היחסית של גוף אחד יחסית לשני סביב מרכז המסה. משוואת התנועה של הקואורדינטה היחסית  {\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2} (מיקום הגוף הראשון יחסית לשני) היא:
 \ m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}=m{\ddot {\vec {r}}}={\frac {k}{r^{2}}}{\hat {r}}
כאשר  \ m={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}} היא המסה המצומצמת, ונקודה עילית מסמנת גזירה לפי הזמן.
המשוואה האחרונה היא משוואת תנועה של גוף בעל מסה m הנע בהשפעת כוח מרכזי, ולפיכך:
התנועה מוגבלת למישור קבוע, וניתן לאפיין את מסלול התנועה בעזרת קואורדינטות קוטביות  \ r,\theta  במישור זה.
האנרגיה  \ E והתנע הזוויתי  {\vec {L}} משתמרים, וגודלם נתון על ידי:
L=mr^{2}{\dot {\theta }}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
E={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {k}{r}}\ \ \ \ (2)
כאשר  {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}} היא האנרגיה הקינטית (של תנועה בכיוון הרדיאלי ותנועה סיבובית), ו- -{\frac {k}{r}} היא האנרגיה הפוטנציאלית.
ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון > החוק השני של קפלר

החוק השני של קפלר גורס כי הקו המחבר בין השמש וכוכב הלכת (הווקטור  {\vec {r}}) מכסה שטחים שווים בפרקי זמן שווים.
חוק זה נובע באופן ישיר משימור התנע הזוויתי:
בפרק זמן קצר  \ dt הווקטור  {\vec {r}} עובר זווית  \ d\theta  [ציור 1]. השטח שכיסה הווקטור בזמן זה הוא
 dA={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta  (שטח של גזרה ברדיוס  \ r ובזווית  \ d\theta ).
המהירות בה הווקטור מכסה שטח היא לפיכך:
 {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {L}{2m}}={\mbox{const}}
כלומר מן העובדה שהתנע הזוויתי קבוע נובע כי המהירות בה הווקטור  {\vec {r}} מכסה שטחים קבועה ובפרקי זמן שווים הוא יכסה שטחים שווים.
יש לציין כי כיוון שהחוק השני של קפלר מסתמך אך ורק על שימור תנע זוויתי, הוא נכון לכל כוח מרכזי ולא ייחודי לבעיית קפלר.
ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון > מסלול התנועה - החוק הראשון של קפלר

את מסלול התנועה,  \ r(\theta ), ניתן למצוא במספר דרכים. אחת הפשוטות בהן היא שימוש במשוואת שימור האנרגיה (2). על ידי ארגון מחדש של אברי המשוואה ניתן להפריד משתנים ולקבל:
 dt={\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left(E+{\frac {k}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}\right)}}}
נחליף משתנה בשני אגפי המשוואה. באגף שמאל:
 L=mr^{2}{\dot {\theta }}\ \Rightarrow \ dt={\frac {mr^{2}}{L}}d\theta 
ובאגף ימין נגדיר  u={\frac {1}{r}}\ \Rightarrow \ dr=-r^{2}du. כך נקבל:
 d\theta =-{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2mE}{L^{2}}}+{\frac {2mku}{L^{2}}}-u^{2}}}}
כעת, ניתן לבצע אינטגרציה לשני האגפים. באגף שמאל האינטגרציה טריביאלית, ובאגף ימין האינטגרל הוא מן הצורה:
 \int {\frac {du}{\sqrt {a+bu-cu^{2}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\arccos \left({\frac {2cu-b}{\sqrt {b^{2}+4ac}}}\right)
שימוש בנוסחה זו עבור ערכי a,b,c המתאימים:
( a={\frac {2mE}{L^{2}}},\ b={\frac {2mk}{L^{2}}},\ c=1),
נותן:
 \theta =\theta '+\arccos {\frac {{\frac {L^{2}u}{mk}}-1}{\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}}
כאשר  \ \theta ' קבוע אינטגרציה, אותו ניתן לקבוע כאפס על ידי סיבוב מערכת הצירים.
כעת, ניתן לחלץ את  \ u ולקבל ממנו את  \ r(\theta ):
 r(\theta )={\frac {\frac {L^{2}}{mk}}{1-{\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}\cos(\theta )}}
או באופן יותר קומפקטי:
 r(\theta )={\frac {r_{0}}{1-\epsilon \cos(\theta )}}\ \ (*)
עם הקבועים:
 r_{0}={\frac {L^{2}}{mk}}\,,\quad \epsilon ={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}
המשוואה  \ (*) היא משוואה כללית של חתך קוני עם אקסצנטריות  \ \epsilon , וניתוח גאומטרי שלה נותן את צורת המסלולים האפשריים [ציור 2] כתלות באנרגיה ובתנע הזוויתי (תנאי התחלה):
|  |  | צורת המסלול |
| --- | --- | --- |
|  \ E>0 |  \ \epsilon >1 | היפרבולה |
|  \ E=0 |  \ \epsilon =1 | פרבולה |
|  \ E<0 |  \ 0<\epsilon <1 | אליפסה |
|  E=-{\frac {mk^{2}}{2L^{2}}} |  \ \epsilon =0 | מעגל |
ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון > מסלול התנועה - החוק הראשון של קפלר > מסלול שני הגופים והחוק הראשון של קפלר

הפתרון שקיבלנו הוא עבור הקואורדינטה היחסית בין שני הגופים. בעזרתו ניתן להביע את מסלול התנועה של שני הגופים במערכת מרכז המסה באופן הבא:
 {\vec {r}}_{1}(t)={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)\ \ ;\ \ {\vec {r}}_{2}(t)=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)
ומכאן שצורת מסלול תנועת כל אחד מהגופים (סביב מרכז המסה) דומה לצורת המסלול שקיבלנו. ההבדל היחיד הוא סקלת האורך של המסלול הנקבעת על פי הגורמים  {\frac {m_{i}}{m_{1}+m_{2}}} התלויים ביחס בין המסות של שני הגופים.
עבור תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, כיוון שמסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת,  m_{1}\gg m_{2}, מתקיים עבור השמש  {\vec {r}}_{1}\approx 0 ועבור כוכב הלכת  {\vec {r}}_{2}\approx {\vec {r}}. כלומר, השמש כמעט ואינה נעה, מיקומה מתלכד (בקרוב) עם מיקום מרכז המסה וכוכב הלכת מקיף אותה במסלול אליפטי. זהו החוק הראשון של קפלר.
ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון > מסלול התנועה - החוק הראשון של קפלר > דרכים נוספות למציאת המסלול

כאמור, את מסלול התנועה עבור בעיית קפלר ניתן למצוא במגוון דרכים בנוסף לדרך שהוצגה כאן. דרכים אלו כוללות:
שיטות גאומטריות - זו הדרך בה פתר אייזק ניוטון לראשונה את הבעיה.
פתרון משוואת המסלול.
שימוש בפורמליזם של המילטון-יעקובי.
שימוש בווקטור לפלס-רונגה-לנץ - גודל שמור נוסף הייחודי לבעיית קפלר.
ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון > המקרה האליפטי והחוק השלישי של קפלר

מן המשוואה  \ (*) ניתן לקבל את מאפייני המסלול האליפטי (ציור 6):
המרחק המינימלי (פריהליון) -  r_{min}={\frac {r_{0}}{1+\epsilon }}
המרחק המקסימלי (אפהליון) -  r_{max}={\frac {r_{0}}{1-\epsilon }}
אורך הציר הראשי -  2a=r_{min}+r_{max}=2{\frac {r_{0}}{1-\epsilon ^{2}}}
אורך הציר המשני -  2b=2a{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}=2{\frac {r_{0}}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}
ניתוח מתמטי של בעיית קפלר וקבלת חוקי קפלר מחוקי ניוטון > המקרה האליפטי והחוק השלישי של קפלר > זמן המחזור - החוק השלישי של קפלר

את זמן המחזור של המסלול ניתן לחשב בעזרת העובדה כי הווקטור  {\vec {r}} מכסה את שטח האליפסה במהירות שווה (החוק השני של קפלר):  v_{A}={\frac {dA}{dt}}={\frac {L}{2m}}. כיוון ששטח האליפסה הוא  \ A_{tot}=\pi ab, הזמן שייקח לווקטור  {\vec {r}} להשלים הקפה ולכסות את כל שטח האליפסה יהיה:
 T={\frac {A_{tot}}{v_{A}}}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}a^{3/2}
או לחלופין:
 T^{2}=4\pi ^{2}{\frac {m}{k}}a^{3}
כלומר, ריבוע זמן המחזור פרופורציוני לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי של האליפסה. זהו החוק השלישי של קפלר.
יש לציין כי מקדם הפרופורציה,  \alpha =4\pi ^{2}{\frac {m}{k}}, תלוי במסה של שני הגופים. עבור כוח הגרביטציה  \ k=Gm_{1}m_{2} ומקדם הפרופורציה הוא  \alpha =4\pi ^{2}{\frac {\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{Gm_{1}m_{2}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(m_{1}+m_{2})}}. במקרה של תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, מסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת,  m_{1}\gg m_{2}, ומקדם הפרופורציה יהיה בקירוב  \alpha ={\frac {4\pi ^{2}}{Gm_{1}}}, שווה עבור כל כוכבי הלכת.
הייחוד של בעיית קפלר לעומת בעיה דו-גופית כללית

בעיית קפלר, בניגוד לבעיה דו-גופית כללית, ניתנת לפתרון מלא באופן אנליטי ופתרונה ניתן לביטוי על ידי פונקציות אלמנטריות. גם אופי המסלולים ייחודי ביחס לבעיה כללית, בכך שהמסלולים החסומים המתקבלים, שצורתם אליפסה, אף סגורים (מסלול ה'נסגר' על עצמו, בו הגוף חוזר על עקבותיו באופן מחזורי) עבור כל תנאי התחלה. על פי משפט ברטראן, תכונה זו ייחודית לכוח ריבועי הפוך,  {\frac {k}{r^{2}}}, ולכוח הרמוני מן הצורה  \ kr. כל סטייה קלה של הכוח (או הפוטנציאל) מן הצורות הנ"ל, תגרום למסלול הגנרי לשנות את אופיו (ציור 7). כך לדוגמה הכוחות שמפעילים כוכבי הלכת השונים זה על זה ואפקטים יחסותים, גורמים שהכוח הפועל על כוכבי הלכת אינו באמת כוח ריבועי הפוך. עובדה זו גורמת לנקיפה של המסלולים האליפטיים של כוכבי הלכת.
תכונה זו של המסלולים בבעיית קפלר, קשורה קשר הדוק לגודל שמור נוסף הקיים עבור בעיה זו - וקטור לפלס-רונגה-לנץ. וקטור זה מוגדר על ידי:  {\vec {A}}=m{\dot {\vec {r}}}\times {\vec {L}}-mk{\hat {r}}, וניתן להראות שהוא מכוון לאורך הציר הראשי של האליפסה. כיוון שהווקטור קבוע, גם כיוון הציר הראשי של האליפסה קבוע - היא אינה מבצעת נקיפה.
עובדת קיומו של גודל שמור נוסף בבעיית קפלר, מעידה על הסימטריה המיוחדת שיש לבעיה זו. בעיה דו-גופית כללית עם כוח מרכזי כללי, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות סיבוב של המרחב התלת הממדי - חבורת הסימטריה  \ SO(3). בעיית קפלר, לעומת זאת, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות של חבורה גדולה יותר -  \ SO(4).
ראו גם

חוקי קפלר
בעיה דו-גופית
כוח מרכזי
משפט ברטראן
וקטור לפלס-רונגה-לנץ
אטום המימן
לקריאה נוספת

H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Press, 1950.
הערות שוליים

↑  מערכת ייחוס אינרציאלית הנעה עם מרכז המסה
↑  זו האנרגיה הקינטית של התנועה היחסית בין הגופים. האנרגיה הקינטית הכוללת של שני הגופים כוללת גם את האנרגיה הקינטית (הקבועה) של מרכז המסה.
↑  אם L=0, הפתרון (*) אינו תקף ומתקבל קו ישר
↑  במערכת צירים אחרת יש להוסיף את קואורדינטת מרכז המסה  \ {\vec {R}}(t) במערכת זו.
ציור 1 - השטח (באפור) שמכסה רדיוס הווקטור  {\vec {r}} בפרק זמן קצר dt.
ציור 2 - צורת המסלולים האפשריים בבעיית קפלר:
 מעגל (בסגול), אליפסה (בכחול), פרבולה (ירוק) והיפרבולה (אדום).
 ראשית הצירים מסומנת בנקודה שחורה.
ציור 3 - הפוטנציאל האפקטיבי (בשחור) עבור בעיית קפלר עם כוח מושך ( k<0), ותחום ערכי  r עבור ערכי אנרגיה המתאימים לצורות המסלול השונות:
מעגל (בסגול), אליפסה (בכחול), פרבולה (ירוק) והיפרבולה (אדום)
ציור 4 - הפוטנציאל האפקטיבי (בשחור) עבור בעיית קפלר עם כוח דוחה ( k>0). במקרה זה כל המסלולים הם היפרבוליים
ציור 6 - מסלול אליפטי סביב המוקד המסומן בצהוב. הציר הראשי של האליפסה (שאורכו 2a) מסומן באדום והציר המשני (שאורכו 2b) בכחול. כמו כן מסומנים מרחקים הפריהליון ( r_{min}) והאפהליון ( r_{max})
ציור 7 - סטייה קטנה מכוח ריבועי הפוך, תגרום לנקיפה של המסלול האליפטי ומתקבל מסלול לא סגור
בניין ניו יורק העולמי

| --- | --- |

בניין ניו יורק העולמי
 מידע כללי
 סוג:  גורד שחקים, מבנה לשעבר 
 שימוש:  משרדים
 כתובת:  רחוב פארק רו 53–63, מנהטן, ניו יורק
 מיקום:  מנהטן 
 מדינה:  ארצות הברית
 בעלים:  ג'וזף פוליצר
 הקמה ובנייה
 תקופת הבנייה:  1889–1890
 תאריך פתיחה רשמי:  1890 
 תאריך פירוק:  1955 
 אדריכל:  ג'ורג' בראון פוסט
 סגנון אדריכלי:  ארכיטקטורת בו-אר 
 מידות
 גובה:  94.18 מטרים (עד גג המבנה)  106.4 מטרים (כולל התורן בראשו) מטר
 קומות:  20 
 קואורדינטות:  40°42′43″N 74°00′19″W﻿ / ﻿40.7120°N 74.0053°W﻿ / 40.7120; -74.0053
  (למפת ניו יורק מוגדלת) מנהטן הברונקס ברוקלין קווינס סטטן איילנד  ניו ג'רזיבניין ניו יורק העולמי(למפת ניו יורק רגילה) מנהטן הברונקס ברוקלין קווינס סטטן איילנד  ניו ג'רזיבניין ניו יורק העולמי(למפת מנהטן רגילה) בניין ניו יורק העולמי(למפת מנהטן מוגדלת) בניין ניו יורק העולמי
 
בניין ניו יורק העולמי (באנגלית: New York World Building), הנודע גם בשם בניין פוליצר, היה גורד שחקים ששכן ברחוב פארק רו 53–63 בעיר ניו יורק. הבניין התנשא לגובה של 106.4 מטרים והיה בעל 20 קומות. הוא תוכנן על ידי האדריכל ג'ורג' בראון פוסט ונבנה בין השנים 1889‏-1890 כביתו של עיתון הניו יורק וורלד (New York World). הבניין נהרס בשנת 1955.