משחק רוב משוקלל
גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע > גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע הומוגני

טענה: יהי  \;(N;v)\; משחק רוב משוקלל הומוגני. אז יש לו הצגה הומוגנית שבה שחקני אפס מקבלים 0.

הוכחה: תהי  \;[q;w]\; הצגה הומוגנית של המשחק. לכל קואליציה זוכה מינימלית  \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\; מתקיים  \;q(w)=w(S)\; . תהי  \;D\; קבוצת שחקני האפס. נגדיר:


 \;{\hat {q}}={\tfrac {q(w)}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}\;


 \;{\hat {w}}_{i}={\begin{cases}{\tfrac {w_{i}}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}&i\notin D\\0&i\in D\end{cases}}\;


נותר לראות כי  \;[{\hat {q}};{\hat {w}}]\; היא הצגה הומוגנית של המשחק: 

תהי קואליציה זוכה מינימלית  \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\;. ממינימליות  \;S\;, נקבל כי  \;S\; לא מכילה שחקני אפס, ולכן מתקיים: 



 \;{\hat {w}}(S)=\sum _{i\in S}{\tfrac {w_{i}}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}={\tfrac {\sum _{i\in S}w_{i}}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}={\tfrac {q(w)}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}={\hat {q}}\;


כלומר:  \;\forall S\in {\mathcal {W}}^{m}\;.\;{\hat {w}}(S)={\hat {q}}\;. ולכן  \;[{\hat {q}};{\hat {w}}]\; הצגה הומוגנית של המשחק.




משפט: יהי  \;[q(w);w]\; משחק רוב משוקלל סכום קבוע הומוגני. הגרעינון הוא ההצגה המנורמלת ההומוגנית היחידה שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0.
הוכחת המשפט: 

מקרה א': קיים שחקן i עבורו  \;v(i)=1\;. 

 \;(N;v)\; משחק סכום קבוע ולכן  \;1+v(N\smallsetminus {i})=v(i)+v(N\smallsetminus {i})=v(N)=1\;, כלומר  \;v(N\smallsetminus {i})=0\;. המשחק מונוטוני ולכן:  \;\forall S\subseteq N\smallsetminus {i}=0\;,

וסה"כ נקבל  \;v(S)={\begin{cases}1&i\in S\\0&i\notin S\end{cases}}\;, 

כלומר i דיקטטור. 

במקרה זה, ההצגות ההומוגניות המנורמלות של המשחק נתונות על ידי  \;[q;w]\; עבור כל  \;q\in ({\tfrac {1}{2}},1]\; ועבור וקטור משקולות  \;w=(w_{j})_{j=1}^{n}\; המקיים  \;w_{i}=q\; ו- \;\textstyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}=1\;. 

ההצגה המנורמלת היחידה בה משקל כל שחקן אפס הוא 0, היא זו בה  \;q=1\; ווקטור המשקולות הוא:  \;w_{j}={\begin{cases}1&j=i\\0&j\neq i\end{cases}}\;. 

וקטור משקולות זה הוא הגרעינון של המשחק (וגם ערך שפלי), מכיוון ששחקני אפס מקבלים 0 בגרעינון.
מקרה ב': לכל שחקן i מתקיים  \;v(i)=0\;. 

נסמן את קבוצת שחקני האפס במשחק ב- \;D\;. מהטענה שהוכחנו - יש למשחק הצגה הומוגנית שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0. נסמן את ההצגה ב- \;[q(y),y]\;, ומתקיים  \;\forall S\subseteq N\;.\;y(S)=q(y)\;. נגדיר את הפאון (פוליטופ)  \;P\; הבא:


 \;P={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\;{\big |}\;\forall i\in N\;.\;x_{i}\geq v(i)\;\;;\;\;x(N)=v(N)\;\;;\;\;\forall S\in {\mathcal {W}}^{m}\;.\;x(S)\geq q(y)\;\;;\;\;\forall i\in D\;.\;x_{i}=0{\big \}}\;




הווקטורים ב- \;P\; יעילים וסבירים פרטית, כלומר  \;P\subseteq X(N;v)\;. 

 \;[q(y);y]\; היא הצגה הומוגנית שבה משקל כל שחקן אפס הוא 0 ולכן  \;y\in P\;, כלומר  \;y\in X(N;v)\;. 

מהמשפט הקודם (אודות גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע), הגרעינון, נסמנו ב- \;x^{*}\;, הוא הצגה מנורמלת של המשחק, ולכן לכל  \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\; מתקיים  \;x^{*}(S)\geq q(x^{*})\;. 

מטענת עזר ב' (שבהוכחת המשפט הקודם),  \;y\in X(N;v)\; גורר  \;q(x^{*})\geq q(y)\;, ולכן לכל  \;S\subseteq {\mathcal {W}}^{m}\; מתקיים  \;x^{*}(S)\geq q(y)\;. 

כלומר,  \;x^{*}\in P\;. 

נניח בשלילה  \;y\neq x^{*}\;. כלומר ב- \;P\; יש לפחות שתי נקודות קיצון:  \;y\; ו- \;z\; כך ש- \;z\neq y\;. כלומר, קיים אי שוויון בהגדרת  \;P\; שמקבל שוויון עבור  \;z\; אך מתקיים אי שוויון חזק עבור  \;y\;. עבור  \;y\; כל האי-שוויונים  \;x(S)\geq q(y)\; מתקיימים כשוויון (שכן  \;[q(y),y]\; הצגה הומוגנית, כלומר:  \;\forall S\in {\mathcal {W}}^{m}\;.\;y(S)=q(y)\;). לכן בהכרח  \;\exists i\;.\;(z_{i}=0=v(i))\,\land \,(y_{i}>0=v(i))\;. 

בפרט  \;\exists i\notin D\;.\;z_{i}=0=v(i)\; (שכן לכל  \;i\in D\; מתקיים  \;y_{i}=0=v(0)\;). 

נסמן ב-j את השחקן שמקיים  \;j\notin D\; ו-  \;z_{j}=0\;. 

j אינו שחקן 0 ולכן קיימת קואליציה  \;S\; כך ש- \;v(S)=0\; אך  \;v(S\cup {i})=1\;. תהי  \;S_{0}\; קואליציה מינימלית שעבורה מתקיים הדבר. מתקיים אפוא:  \;S\cup {j}\in {\mathcal {W}}^{m}\;.


 \;S_{0}\; מפסידה, ולכן,  \;N\smallsetminus S_{0}\; מנצחת (שכן המשחק סכום קבוע) ומתקיים:  \;j\in N\smallsetminus S_{0}\;. לכן: 



 \;q(y){\underset {(1)}{\leq }}z(N\smallsetminus S_{0})=1-z(S_{0})=1-z(S_{0}\cup {j}){\underset {(2)}{\leq }}1-q(y)\;




אי שוויון (1) מתקיים כיוון ש- \;z(T)\geq q(y)\; לכל קואליציה  \;T\; מנצחת, ו- \;N\smallsetminus S_{0}\; היא קואליציה מנצחת 

אי שוויון (2) מתקיים מסיבה דומה, עבור הקואליציה המנצחת  \;S_{0}\cup {j}\;. 



סה"כ מתקיים  \;q(y)\leq {\tfrac {1}{2}}\;, וזוהי סתירה לטענת עזר 1 (שבהוכחת המשפט הקודם). 

לפיכך מתקבל:  \;y=x^{*}\;. כלומר הגרעינון הוא ההצגה ההומוגנית היחידה שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0.