שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים
אינטגרציה בחלקים

מקור שיטת אינטגרציה זו, היא בנגזרת של מכפלת פונקציות. יהיו  f(x)\colon A\longrightarrow B ו- g(x)\colon C\longrightarrow Dשתי פונקציות ממשיות רציפות ( A,B,C,D,E,F\subseteq \mathbb {R} ), ופונקציה שלישית  h(x):E\longrightarrow F שנתונה על ידי מכפלת שתי הפונקציות:  h(x)\equiv f(x)\cdot g(x):=fg. כמו כן הנגזרת נתונה על ידי:  {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\cdot g+{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\cdot f. על ידי העברת אגפים נקבל:
{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\cdot g={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}-{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\cdot f, וכעת על ידי אינטגרציה נוכל לקבל את הביטוי:  \int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\cdot g=\int \left({\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}-{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\cdot f\right). נשתמש בעובדה שהאינטגרל הוא אופרטור ליניארי, ונקבל:  \int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\cdot g=\int {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}-\int {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\cdot f. בעצם,  \int {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}=h=fg. מכאן נקבל את הנוסחה לאינטגרציה בחלקים  \int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\cdot g=fg-\int {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\cdot f, או בכתיב ניוטוני  \ \int f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x.
לחלופין נגדיר  {\begin{matrix}u:=f(x)&du:=f'(x)\,\mathrm {d} x\\v:=g(x)&dv:=g'(x)\,\mathrm {d} x\end{matrix}}, ועל ידי הצבה לאינטגרל נקבל  \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u.
כלומר בעת פתרון האינטגרל, נצטרך לבחור חלק מהאינטגרנד (הפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה) להיות  u, את הנותר  \mathrm {d} v ועל ידי גזירה לקבל את  \mathrm {d} u ועל ידי אינטגרציה לקבל את  v, ומכאן פשוט להציב בנוסחה לעיל ולפתור. לעיתים יהיה צורך בשימוש בשיטה זו יותר מפעם אחת כדי לפתור אינטגרל.
דוגמה 1:
\int \ln(x)\,\mathrm {d} x={\begin{Bmatrix}u=\ln(x)&du={\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\v=\int \,\mathrm {d} x=x&\mathrm {d} v=1\mathrm {d} x\end{Bmatrix}}=x\ln(x)-\int x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=x\ln(x)-\int \mathrm {d} x=x\ln(x)-x+C
דוגמה 2:
\int x^{2}e^{x}\,\mathrm {d} x={\begin{Bmatrix}u=x^{2}&\mathrm {d} u=2x\,\mathrm {d} x\\v=\int e^{x}\mathrm {d} x=e^{x}&\mathrm {d} v=e^{x}\,\mathrm {d} x\end{Bmatrix}}=x^{2}e^{x}-\int 2xe^{x}\mathrm {d} x
גם את האינטגרל שיצא מתוך האינטגרציה בחלקים אין אנו יודעים לפתור באופן מידי. לכן נבצע גם עליו אינטגרציה בחלקים:
2\int xe^{x}\,\mathrm {d} x={\begin{Bmatrix}u=x&\mathrm {d} u=\mathrm {d} x\\v=\int e^{x}\mathrm {d} x=e^{x}&dv=e^{x}\,\mathrm {d} x\end{Bmatrix}}=2\left(xe^{x}-\int e^{x}\,\mathrm {d} x\right)=2xe^{x}-2e^{x}+c_{1}
נציב את פתרון האינטגרל השני בחזרה ונקבל:
\int x^{2}e^{x}\,\mathrm {d} x=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C
הערה חשובה! בכל פעם שנתבקש לחשב אינטגרל שמורכב ממכפלה של אקספוננט בפולינום כלשהו, נשתמש באינטגרציה בחלקים. בכל פעם נגדיר את  u להיות המשתנה בחזקה בה הוא מופיע, ונחזור על פעולה זו שוב ושוב עד שהאינטגרל יהפוך להיות אינטגרל על אקספוננט בלבד.
דוגמה 3:
\int e^{x}\cos x\,\mathrm {d} x={\begin{Bmatrix}u=\cos x&\mathrm {d} u=-\sin x\,\mathrm {d} x\\v=\int e^{x}\,\mathrm {d} x=e^{x}&\mathrm {d} v=e^{x}\,\mathrm {d} x\end{Bmatrix}}=e^{x}\cos x-\int (-\sin x)e^{x}\,\mathrm {d} x=e^{x}\cos x+\int \sin xe^{x}\,\mathrm {d} x
גם את האינטגרל שיצא מתוך האינטגרציה בחלקים אין אנו יודעים לפתור באופן מידי. לכן נבצע גם עליו אינטגרציה בחלקים:
\int \sin xe^{x}\,\mathrm {d} x={\begin{Bmatrix}u=\sin x&\mathrm {d} u=\cos x\,\mathrm {d} x\\v=\int e^{x}\,\mathrm {d} x=e^{x}&\mathrm {d} v=e^{x}\,\mathrm {d} x\end{Bmatrix}}=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,\mathrm {d} x
למעשה, לא הצלחנו להיפטר מסימן האינטגרל, ויתר על כן, הגענו לאותו האינטגרל שקודם לכן לא יכולנו לפתור. יחד עם זאת, ישנה דרך להגיע לפתרון האינטגרל. לשם כך נסמן  I:=\int e^{x}\cos x\,\mathrm {d} x. נציב בחזרה את פתרון האינטגרל השני ונקבל:  I=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-I. נעביר אגפים ונקבל  2I=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x. על ידי חלוקה בשתיים, נמצא את פתרון האינטגרל:  I=\int e^{x}\cos x\,\mathrm {d} x={\frac {e^{x}\cos x+e^{x}\sin x}{2}}+C.