הקוניקה (ספר)
כרכים > הכרך הראשון

הספר הראשון מציג 60 טענות הנוגעות ליצירת חתכים ולתכונות יסודיות של קטרים ומשיקים. בתוך אלה אפולוניוס פורט את ההגדרות הבסיסיות הנוגעות לחרוטים ולחתכי חרוט. אטימולוגית, המילים המתארות בימינו חתכי חרוט נגזרו מן היווניות, אך ההגדרות אינן בהכרח חופפות להגדרות המודרניות של אותן מילים.
תחילה מגדיר אפולוניוס "משטח חרוטי" - משטח הנוצר על ידי קטע קו שמסובב ביחס לנקודת קבועה (קודקוד), כך שנקודות הקצה מתארות מעגלים, כל אחת במישור משלה. הגוף המוכל בין הקודקוד, המעגל והמשטח החרוטי ייקרא חרוט. כלומר הגוף הכלוא על ידי "ענף" יחיד של המשטח החרוטי הכפול. קודקוד המשטח ייקרא גם "קודקוד החרוט", והקו הישר המחבר את הקודקוד עם מרכז המעגל ייקרא "ציר". המעגל ייקרא "בסיס החרוט".
"חתך" (ביוונית: τομή), או חתך חרוט, מתקבל מחיתוך (מתמטי) של משטח חרוטי עם מישור. קו ישר שקצותיו על העקומה המתקבלת מהחיתוך הוא "מיתר", וכל ישר שמצויר מתוך העקומה וחוצה כל מיתר שמקביל למיתר נתון ייקרא "קוטר".
בהתבסס על הגדרות אלה, הקוניקה מתארת את יצירת ארבעת חתכי החרוט - מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה:
טענה I.3 מגדירה את "משולש הציר":
"אם חרוט נחתך על ידי מישור דרך הקודקוד, החתך הוא משולש."
טענה I.4 גורסת שחתכים של חרוט המקבילים לבסיס הם מעגלים שמרכזיהם על הציר:
"אם אחד מהמשטחים [החרוטיים] המנוגדים אנכית נחתך על ידי מישור כלשהו המקביל למעגל שלאורכו מוזז הקו הישר שיוצר את המשטח [החרוטי], חלקו של המישור בתוך המשטח יהיה מעגל שמרכזו על הציר..."
טענה I.11 מתארת פרבולה. המישור שמגדיר אותה מקביל לשוק של המשולש המתואר ב-I.3:
"אם חרוט נחתך על ידי מישור דרך הציר, ואם הוא גם נחתך על ידי מישור שני שחותך את מישור בסיס החרוט בקו ישר שניצב לבסיס משולש הציר, ואם קוטר החתך שהמישור השני חותך בחרוט הוא מקביל לאחת הצלעות של משולש הציר[...]לחתך הזה קוראים פרבולה".
טענה I.12 מתארת היפרבולה. המישור שמגדיר אותה מקביל לציר. מישור זה חותך את שני החרוטים שמרכיבים את המשטח החרוטי, ועל כן להיפרבולה שני ענפים נפרדים.
טענה I.13 מתארת את האליפסה, אשר ניתנת על ידי חיתוך של חרוט בודד עם מישור הנוטה ביחס למישור הבסיס וחוצה את מישור הבסיס בקו שמאונך לקוטר של הבסיס (המורחב מעבר לחרוט). על זווית המישור המוטה להיות גדולה מאפס, אחרת החתך יהיה מעגל. בנוסף, עליה להיות קטנה מזווית הבסיס המתאימה של המשולש הצירי, כי במקרה זה החתך הוא פרבולה:
"אם חרוט נחתך על-ידי מישור דרך צירו, ונחתך גם על-ידי מישור אחר שמצד אחד חותך את שתי צלעות משולש הציר, ומצד שני נמשך שלא במקביל לבסיס[...]ואם המישור בבסיס החרוט והמישור החותך נפגשים בקו ישר שהוא אנכי לבסיס משולש הציר או להמשכו[...]לחתך הזה קוראים אליפסה."
בתיאורו את הדרכים לבנות חתכי חרוט על ידי מישורים מוטים ביחס למשטח החרוטי, אפולוניוס מעניק לחתכים תכונות מאפיינות (Symptoma). אלה מוצגות בין היתר באמצעות בדיקת יחסים בין שטחים הנבנים לאורך צלעות אנכיות של החתך (Latus Rectum) לקטרים של החתכים.
על מנת לבדוק באם יחס מסוים מתקיים נבדקת "העתקת שטחים" (application of areas). בהינתן שטח וקטע, נאמר שהשטח "מועתק" (apply) אם הוא שווה לשטח של ריבוע הנבנה על הקטע, ואז מתקיימת "העתקה". אפולוניוס, בעקבות אוקלידס, שאל במילותיו האם מלבן על הקואורדינטה האופקית של כל נקודה על החתך "מועתק" על ריבוע הקואורדינטה האנכית. במושגים של ימינו, שאלה זו שקולה לקיום המשוואה 




y

2


=
p
x


{\textstyle y^{2}=px}

, צורה מודרנית אחת של המשוואה עבור פרבולה (למלבן יש צלעות  p ו- x). הוא זה שכינה את האובייקט פרבולה, או "העתקה" (application).
אם כאשר מתקיימת "העתקה", מתקיים יחס מסוים 




y

2


=
g
(
x
)


{\textstyle y^{2}=g(x)}

 (באנלוגיה לפרבולה), אז ישנן שתי אפשרויות כאשר אין "העתקה":
y

2


>
g
(
x
)


{\textstyle y^{2}>g(x)}

. משמע 



g
(
x
)


{\textstyle g(x)}

 קטן מ-




y

2




{\textstyle y^{2}}

 בכמות מסוימת 



d


{\textstyle d}

 המכונה "אליפסיס", או "גירעון". במקרה זה ניתן להשיג "העתקה" על ידי הוספת הגירעון, 




y

2


=
g
(
x
)
+
d


{\textstyle y^{2}=g(x)+d}

. הצורה המפצה על גירעון היא האליפסה.
y

2


<
g
(
x
)


{\textstyle y^{2}<g(x)}

. משמע 



g
(
x
)


{\textstyle g(x)}

 גדול בכמות מסוימת 



s


{\textstyle s}

 המכונה "היפרבולה", או "עודף". במקרה זה ניתן להשיג "העתקה" על ידי הפחתת העודף, 




y

2


=
g
(
x
)
−
s


{\textstyle y^{2}=g(x)-s}

. הצורה המפצה על עודף היא ההיפרבולה.
ואכן, את המשוואה הכללית של אליפסה קנונית ניתן לכתוב באופן הבא:  Ax^{2}+By^{2}=C. באופן שקול:  y^{2}={\frac {A}{B}}x^{2}+{\frac {C}{B}}, ואז  {\frac {C}{B}} הוא הגירעון המתואר לעיל. באותו אופן, את המשוואה עבור ההיפרבולה:  Ax^{2}-By^{2}=C, ניתן לכתוב כך:  y^{2}={\frac {A}{B}}x^{2}-{\frac {C}{B}}, ואז  {\frac {C}{B}} הוא העודף.