stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
לייב 8
הופעות > ברלין, 2 ביולי 2005

| תחילת ההופעה (B) | אמן | שיר |
| --- | --- | --- |
| 14:03 | Die Toten Hosen | "Wünsch Dir Was" |
| 14:03 | Die Toten Hosen | "Pushed Again" |
| 14:03 | Die Toten Hosen | "Steh Auf, Wenn Du Am Boden Bist" |
| 14:03 | Die Toten Hosen | "Show Everyone You're Here" |
| 14:03 | Die Toten Hosen | "Hang On Sloopy" |
| 14:27 | Wir sind Helden | "Nur Ein Wort" |
| 14:27 | Wir sind Helden | "Denkmal" |
| 14:27 | Wir sind Helden | "Bist Du Nicht Müde" |
| 14:44 | Söhne Mannheims | "Jah Is Changing All" |
| 14:44 | Söhne Mannheims | "Babylon System" |
| 15:02 | קתרין ג'נקינס | "Amazing Grace" |
| 15:11 | BAP | "Wie Schön Dat Wöhr" |
| 15:11 | BAP | "Verdamp Lang Her" |
| 15:28 | Audioslave | "Doesn't Remind Me" |
| 15:28 | Audioslave | "Dedication To What Is Right" |
| 15:28 | Audioslave | "Black Hole Sun" |
| 15:28 | Audioslave | "Like a Stone" |
| 15:28 | Audioslave | "Killing in the Name" |
| 15:52 | Green Day | "American Idiot" |
| 15:52 | Green Day | "Holiday" |
| 15:52 | Green Day | "Minority" |
| 15:52 | Green Day | "We Are the Champions" |
| 16:18 | Juli | "Geile Zeit" |
| 16:18 | Juli | "Perfekte Welle" |
| 16:59 | Silbermond | "Zeit für Optimisten" |
| 16:59 | Silbermond | "Durch die Nacht" |
| 17:13 | כריס דה ברג | "The Road To Freedom" |
| 17:13 | כריס דה ברג | "Lebanese Night" |
| 17:13 | כריס דה ברג | "The Lady In Red" |
| 17:13 | כריס דה ברג | "Don't Pay the Ferryman" |
| 17:34 | בריאן וילסון | "Wonderful" |
| 17:34 | בריאן וילסון | "Our Prayer" |
| 17:34 | בריאן וילסון | "Gee" |
| 17:34 | בריאן וילסון | "Heroes and Villains" |
| 17:34 | בריאן וילסון | "God Only Knows" |
| 17:34 | בריאן וילסון | "California Girls" |
| 17:34 | בריאן וילסון | "Good Vibrations" |
| 17:34 | בריאן וילסון | "Fun Fun Fun" |
| 17:58 | רין אולסטיד | "My Baby Just Cares for Me" |
| 18:06 | סשה | "If You Believe" |
| 18:06 | סשה | "Hard to Handle" |
| 18:06 | סשה | "Turn It Into Something Special" |
| 18:22 | A-ha | "Take On Me" |
| 18:22 | A-ha | "Summer Moved On" |
| 18:22 | A-ha | "Hunting High And Low" |
| 18:45 | דניאל פאווטר | "Bad Day" |
| 18:45 | דניאל פאווטר | "Song 6" |
| 18:57 | ג'ואנה זימר | "I Believe" |
| 19:12 | חואן דייגו פלורס | "You'll Never Walk Alone" |
| 19:20 | Reamonn | "Hallelujah" |
| 19:20 | Reamonn | "Alright" |
| 19:37 | Roxy Music | "Virginia Plain" |
| 19:37 | Roxy Music | "Love Is the Drug" |
| 19:37 | Roxy Music | "Do the Strand" |
| 19:37 | Roxy Music | "Jealous Guy" |
| 20:01 | Faithless | "Mass Destruction" |
| 20:01 | Faithless | "We Come 1" |
| 20:15 | הרברט גרונמייר | "Der Mond ist aufgegangen" |
| 20:15 | הרברט גרונמייר | "Mensch" |
| 20:15 | הרברט גרונמייר | "Bleibt Alles Anders" |
| 20:15 | הרברט גרונמייר | "Flugzeuge im Bauch" |
| 20:15 | הרברט גרונמייר | "Bochum" |
| 20:15 | הרברט גרונמייר | "Heimat" |
| 20:47 | אוטו ווקס | "Piano Man" |
הופעות > ברלין, 2 ביולי 2005 > מנחים

אן וויל
מייקל מיטרמייר
קלאודיה שיפר
הופעות > מוסקבה, 2-3 ביולי 2005 > אמנים (רשימה חלקית)

| תחילת ההופעה (M) | אמן | שיר |
| --- | --- | --- |
| 20:06 | Agatha Christie | "Триллер" |
| 20:06 | Agatha Christie | "Ковёр-вертолёт" |
| 20:06 | Agatha Christie | "Сказочная тайга" |
| 20:06 | Agatha Christie | "Как на войне" |
| 20:26 | Bi-2 | לא ידוע |
| 20:46 | Bravo | לא ידוע |
| 21:06 | דולפין | לא ידוע |
| 21:26 | דאגלס וייל | "Popular" |
| 21:26 | דאגלס וייל | "A Little While" |
| 21:26 | דאגלס וייל | "Crush...Interrupted" |
| 21:26 | דאגלס וייל | "En El Tunel" |
| 21:46 | Jungo | לא ידוע |
| 22:06 | לינדה | לא ידוע |
| 22:26 | Moral Code X | לא ידוע |
| 22:46 | Red Elvises | "I Wanna See You Bellydance" |
| 22:46 | Red Elvises | "Ticket To Japan" |
| 22:46 | Red Elvises | "Kosmonaut Petrov" |
| 23:06 | Splean | לא ידוע |
| 23:26 | גרליק סוקצ'וב | לא ידוע |
| 23:46 | ואלרי סיוטקין | לא ידוע |
| 00:06 | אליאונה סבירידובה | לא ידוע |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "It's a Sin" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "Suburbia" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "Opportunities" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "Domino Dancing" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "New York City Boy" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "Always on My Mind" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "Where the Streets Have No Name" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "West End Girls" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "Left to My Own Devices" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "Go West" |
| 00:26 | Pet Shop Boys | "It's a Sin" |
הופעות > פריז, 2 ביולי 2005

| תחילת ההופעה (V) | אמן | שיר |
| --- | --- | --- |
| 17:39 | פאסי | "Reviens dans me vie" |
| 17:46 | פאודל | "Je Veux Vivre" |
| 17:53 | Magic System | "Bouger Bouger" |
| 18:01 | אלפא בלונדי | "Cocody Rock" |
| 18:01 | אלפא בלונדי | "Sweet Fanta Diallo" |
| 18:01 | אלפא בלונדי | "Brigadier Sabari" |
| 18:18 | טינה ארנה וקרייג דייוויד | "Come Together" |
| 18:26 | Muse | "Hysteria" |
| 18:26 | Muse | "Bliss" |
| 18:26 | Muse | "Time is Running Out" |
| 18:26 | Muse | "Plug In Baby" |
| 18:57 | Kyo | "Contact" |
| 18:57 | Kyo | "Qui Je Suis" |
| 19:09 | מ. פוקורה | "Elle Me Contrôle" |
| 19:16 | אנדראה בוצ'לי ופילהרמונית דר נציונן | "O Surdato 'nnammurato" |
| 19:16 | אנדראה בוצ'לי ופילהרמונית דר נציונן | "The Prayer" |
| 19:28 | דיאמס ואמל בנט | "Marine" |
| 19:36 | רפאל | "Caravane" |
| 19:43 | שאקירה | "Whenever, Wherever" |
| 19:43 | שאקירה | "La Tortura" |
| 19:54 | יאניק נואה ודיסיז | "Metisse" |
| 19:54 | יאניק נואה | "Saga Africa" |
| 19:54 | יאניק נואה | "La Voix Des Sages" |
| 20:11 | טינה ארנה | "Aller Plus Haut" |
| 20:18 | רפאל | "Ne Partons Pas Faches" |
| 20:25 | דיאמס | "Suzy" |
| 20:42 | קלוגרו | "Prendre racine" |
| 20:42 | קלוגרו ופאסי | "Face A La Mer" |
| 20:57 | אמל בנט | "Ma philosophie" |
| 21:05 | קרייג דייוויד | "All The Way" |
| 21:05 | קרייג דייוויד | "Fill Me In" |
| 21:19 | דייוויד האלידיי | "Le Defi" |
| 21:19 | דייוויד האלידיי | "My Sharona" |
| 21:30 | לואיס ברטיגנאק | "Je joue" |
| 21:30 | לואיס ברטיגנאק | "Cendrillon" |
| 21:42 | סרון, נייל רוג'רס ואקסל רד | "Supernature" |
| 21:42 | אקסל רד | "J'ai fait un rêve" |
| 21:42 | אקסל רד | "Le Monde Tourne Mal" |
| 21:59 | פלורנט פגני | "Une Nube Blanca" |
| 21:59 | פלורנט פגי ופטרישה פטיטבון | "Guide me home" |
| 22:13 | Placebo | "The Bitter End" |
| 22:13 | Placebo | "Twenty Years" |
| 22:26 | זוקרו | "Everybody's Gotta" |
| 22:26 | זוקרו | "Il Volo" |
| 22:26 | זוקרו | "Diavolo In Me" |
| 22:43 | The Cure | "Open" |
| 22:43 | The Cure | "One Hundred Years" |
| 22:43 | The Cure | "End" |
| 22:43 | The Cure | "Just Like Heaven" |
| 22:43 | The Cure | "Boys Don't Cry" |
| 23:14 | יוסו נדור ודיידו | "7 Seconds" |
| 23:14 | יוסו נדור | "Africa" |
הופעות > פריז, 2 ביולי 2005 > מנחים (לפי שעה)

17:35- לורנט בוייר
18:47- ויל סמית'
20:53- סולידריטה סידה
הופעות > רומא, 2 ביולי 2005 > מנחים (לפי שעות)

19:23- ג'יין אלכסנדר
20:58- פאולה קורטלסי
21:00- ראש עיריית למפדוזה
הופעות > צ'יבה, 2-3 ביולי 2005 > אמנים (רשימה חלקית)

| תחילת ההופעה (CH) | אמן | שיר |
| --- | --- | --- |
| 15:00 | Rize | לא ידוע |
| 16:30 | McFly | "I've Got You" |
| 16:30 | McFly | "That Girl" |
| 16:30 | McFly | "I'll Be OK" |
| 16:30 | McFly | "All About You" |
| 16:30 | McFly | "5 Colours in Her Hair" |
| 16:30 | McFly | "Obviously" |
| 18:00 | Good Charlotte | "Lifestyles of the Rich and Famous" |
| 18:00 | Good Charlotte | "The Anthem" |
| 18:00 | Good Charlotte | "The Chronicles of Life and Death" |
| 19:30 | Dreams Come True | "Mascara Matsuge" |
| 19:30 | Dreams Come True | "Asahi no Senrei" |
| 19:30 | Dreams Come True | "!Olá! Vitória" |
| 19:30 | Dreams Come True | "Nando demo" |
| 19:30 | Dreams Come True | "Love Love Love" (גרסה אנגלית) |
| 21:00 | Do As Infinity | "For the Future" |
| 21:00 | Do As Infinity | "Tōku Made" |
| 21:00 | Do As Infinity | "Tao" |
| 21:00 | Do As Infinity | "Need Your Love" |
| 21:00 | Do As Infinity | "Bōkenshatachi" |
| 21:00 | Do As Infinity | "Honjitsu wa Seiten Nari" |
| 22:30 | Def Tech | לא ידוע |
| 00:00 | ביורק | "Pagan Poetry" |
| 00:00 | ביורק | "All Is Full of Love" |
| 00:00 | ביורק | "Desired Constellation" |
| 00:00 | ביורק | "Jóga" |
| 00:00 | ביורק | "Hyperballad" |
| 00:00 | ביורק | "Generous Palmstroke" |
| 00:00 | ביורק | "Bachelorette" |
| 00:00 | ביורק | "It's in Our Hands" |
הופעות > יוהנסבורג, 2 ביולי 2005 > אמנים (רשימה חלקית)

| תחילת ההופעה (JB) | אמן | שיר |
| --- | --- | --- |
| 12:25 | Jabu Khanyile & Bayete | לא ידוע |
| 13:15 | לינדי | לא ידוע |
| 13:55 | לאקי דיוב | "Feel Irie" |
| 14:35 | Mahotella Queens | לא ידוע |
| 15:15 | Malaika | לא ידוע |
| 15:45 | Orchestra Baobab | מחרוזת |
| 16:15 | אומו סנגייר | לא ידוע |
| 16:50 | זולה | לא ידוע |
| 17:20 | ווסי מחלסלה | "When You Come Back" |
הופעות > יוהנסבורג, 2 ביולי 2005 > מנחים

12:00- נלסון מנדלה
הופעות > במת האוויר הפתוח, פרויקט עדן, 2 ביולי 2005 > אמנים (רשימה חלקית)

| תחילת ההופעה (HP) | אמן | שיר |
| --- | --- | --- |
| 13:00 | איוב אוגדה ו-Uno | לא ידוע |
| 13:40 | מריזה | לא ידוע |
| 14:45 | תומאס מאפפומו ו-The Blacks Unlimited | "Kuvarira Mukati" |
| 15:45 | קוקו אמבאסי | לא ידוע |
| 16:20 | מודו דיאוף ואו פוגום | לא ידוע |
| 17:15 | יוסו נדור, Le Super Étoile de Dakar ודידו | מחרוזת |
| 17:15 | יוסו נדור, Le Super Étoile de Dakar ודידו | "New Africa" |
| 18:10 | ג'אופרי אורימה | "Lapwony" |
| 18:45 | אנז'ליק קיג'ו | לא ידוע |
| 19:45 | Tinariwen | לא ידוע |
| 20:55 | קנדה בונגו מן | "Billi" |
| 22:00 | Daara J | לא ידוע |
הופעות > במת האוויר הפתוח, פרויקט עדן, 2 ביולי 2005 > מנחים (לפי שעה)

22:40- פיטר גבריאל וג'וני קלסי
הופעות > במת הביומה, פרויקט עדן, 2 ביולי 2005 > אמנים (רשימה חלקית)

| תחילת ההופעה (HP) | אמן | שיר |
| --- | --- | --- |
| 13:20 | צ'ארטוול דוריטו | לא ידוע |
| 14:20 | מרים מרסל | לא ידוע |
| 16:00 | שיקישה | לא ידוע |
| 16:45 | Siyaya | לא ידוע |
| 17:55 | עמנואל ג'אל | לא ידוע |
| 18:25 | קוקו אמבסי | לא ידוע |
| 19:25 | איוב אוגדה | לא ידוע |
| 19:50 | צ'ארטוול דוריטו | לא ידוע |
| 20:30 | פריטיטי | לא ידוע |
| 21:30 | אקים אל שיקמיה | לא ידוע |
ראו גם

לייב אייד
ארגון המדינות המתועשות
לייב ארת'
הערות שוליים

↑  נמרוד הלפרן, עושים הכל למען עניי אפריקה מלבד לשחרר את הרסן, באתר הארץ, 8 ביולי 2005
↑  אביבה אבירם, אופס, גילינו את אפריקה, באתר הארץ, 29 בספטמבר 2005
1 2  סוכנויות הידיעות, האם בונו ופינק פלויד ישכנעו את הג'י-8 לעזור לאפריקה?, באתר הארץ, 3 ביולי 2005
↑  יעל גאוני, ‏6.9% רייטינג למופע ה"לייב 8" בערוץ 10, באתר גלובס, 3 ביולי 2005
↑  סוכנויות הידיעות, מופע Live 8 סחף כמיליון צופים במופעים ברחבי העולם ושני מיליארד צופים בטלוויזיה ובאינטרנט, באתר הארץ, 6 בפברואר 2005
↑  עפרה שלו, לייב 8: יותר מ-5 מיליון צופים ב-AOL, באתר הארץ, 4 ביולי 2005
להקת אר.אי.אם. על בימת המופע בלונדון
משולש

ערך זה עוסק במצולע בעל שלוש צלעות. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
משולש
"עמודי הרקולס", בנבאו בולוק 1995, פלדה צבועה
בגאומטריה מקובלות שתי דרכים להגדרתו של משולש:
על פי מושגים יסודיים: "שלוש נקודות  \ C,B,A שאינן על קו ישר אחד והקטעים  {\overline {AC}},{\overline {BC}},{\overline {AB}} הם משולש".
כמקרה פרטי של הגדרה כללית יותר: משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות.
במשולש יש שלוש זוויות ושלושה קודקודים.
תכונות המשולש

משולש הוא צורה דו-ממדית המוכלת במישור. עובדות בסיסיות על משולשים הוצגו על ידי אוקלידס בספרים 1–4 בספרו יסודות, בסביבות המאה ה-3 לפני הספירה.
בגאומטריה האוקלידית סכום כל הזוויות הפנימיות במשולש הוא תמיד 180 מעלות. עובדה זו שקולה לאקסיומת המקבילים של אוקלידס. בשל כך ניתן לחשב את הזווית השלישית של המשולש בהינתן שתי הזוויות האחרות. זווית חיצונית במשולש היא הזווית בין צלע לבין המשך הצלע הסמוכה, והיא משלימה את הזווית הפנימית בין 2 הצלעות הללו ל-180 מעלות; על כן, בשל הטענה המדוברת, נובע כי זווית חיצונית במשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא סמוכות אליה. זהו משפט הזווית החיצונית במשולש. סכום שלוש הזוויות החיצוניות במשולש הוא 360 מעלות.
תכונות נוספות במשולש הן:
משולש הוא תמיד קמור.
סכום אורכיהן של שתי צלעות במשולש גדול מאורך הצלע השלישית (ראו גם: אי-שוויון המשולש). זוהי המגבלה היחידה על אורכי צלעות המשולש, כלומר בהינתן שלשה של מספרים חיוביים המקיימים את אי-שוויון המשולש, קיים משולש (יחיד עד כדי חפיפה) שהמספרים הם אורכי צלעותיו.
מול הזווית הגדולה במשולש נמצאת הצלע הגדולה בו, ומול הזווית הקטנה במשולש נמצאת הצלע הקטנה בו. כימות של כלל זה ניתן למצוא במשפט הסינוסים.
המשפט ההפוך: מול הצלע הגדולה במשולש נמצאת הזווית הגדולה בו, ומול הצלע הקטנה במשולש נמצאת הזווית הקטנה בו.
סוגי משולשים

כל משולש נמצא באחת משלוש קטגוריות: קהה-זווית, חד-זווית, או ישר-זווית.
משולש קהה-זווית הוא משולש שאחת הזוויות שלו היא זווית קהה, כלומר גדולה מתשעים מעלות (וממילא שאר זוויות המשולש הן זווית חדות).
משולש חד-זווית הוא משולש שכל אחת משלוש זוויותיו היא חדה, כלומר קטנה מתשעים מעלות.
משולש ישר-זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו היא זווית ישרה, ולכן שתי זוויותיו האחרות הן זוויות חדות.
קווים ונקודות מיוחדים במשולש

הצלע שאינה עוברת דרך קודקוד A נקראת צלע נגדית ל-A, או הצלע שמול A.
קווים ונקודות מיוחדים במשולש > קטעים וישרים מיוחדים

הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם הצלע שממולו וחוצה את הזווית שבקודקוד לשני חלקים שווים קרוי חוצה זווית.
הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם אמצע הצלע שמולו קרוי תיכון.
הקו היוצא מאמצע הצלע ומאונך לה, נקרא אנך אמצעי.
הקטע היוצא מקודקוד של המשולש ומאונך לצלע שממולו קרוי גובה.
הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות קרוי קטע אמצעים. הוא מקביל לצלע השלישית, ושווה באורכו למחציתה.
במשולש שווה-שוקיים, התיכון לבסיס, הגובה לבסיס, האנך האמצעי לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים לקטע אחד.
קווים ונקודות מיוחדים במשולש > נקודות מרכזיות

לקטעים אלה, ובעיקר לשלושת הראשונים, יש תפקיד מרכזי בחקירת תכונות המשולש, בעיקר דרך הנקודות שהם מגדירים:
שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו מצויה במרחק שווה משלוש הצלעות, ולכן היא מרכז המעגל החסום.
שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו מצויה במרחק שווה משלושת הקודקודים, ולכן היא מרכז המעגל החוסם.
שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המצויה בשני שלישים הדרך מן הקודקוד לצלע, לאורך כל אחד מן התיכונים. נקודה זאת היא מרכז הכובד של המשולש.
מעגל פיירבך, באדום; תשע הנקודות מסומנות בכחולשלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
בשנת 1765 הוכיח לאונרד אוילר שמפגש האנכים האמצעיים (O), מפגש התיכונים (M) ומפגש הגבהים (H) נמצאים על ישר אחד, הקרוי ישר אוילר של המשולש, ומסודרים באופן ש-M נמצאת בשני שלישים הדרך מ-H ל-O.
קטע המחבר קודקוד של המשולש לנקודה על הצלע הנגדית נקרא צ'ביאן (דוגמאות: חוצה הזווית, הגובה והתיכון). משפט צ'בה מספק תנאים לכך ששלושה צ'ביאנים ייפגשו בנקודה אחת.
קווים ונקודות מיוחדים במשולש > מעגל תשע הנקודות

באותה שנה גילה אוילר גם שתשע נקודות מיוחדות במשולש מצויות כולן על מעגל אחד: אמצעי שלוש הצלעות, הנקודות מהן עולים הגבהים, ואמצעי הקטעים המחברים את הקודקודים עם מפגש הגבהים. את המעגל גילה מחדש קרל וילהלם פיירבך Karl Wilhelm Feuerbach (1834–1800) ב-1822, והוא קרוי "מעגל תשע הנקודות" או מעגל פיירבך.
חפיפת משולשים

משולשים חופפים הם זוג משולשים שניתן להזיז, לסובב או לשקף אותם כך שהם יתלכדו זה עם זה, כלומר שלוש הצלעות שלהם ושלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה. 
אינטואיטיבית, שני משולשים חופפים הם בעצם שני עותקים שונים של אותו משולש.
היכולת לזהות משולשים חופפים היא כלי בסיסי בגאומטריה האוקלידית, כיוון שמשולשים חופפים הם בעלי תכונות זהות. כך, שטח שני משולשים חופפים הוא שווה, אורכי האנכים שווים, וכן גם רדיוסי המעגל החסום והחוסם, וכו'.
משולשים חופפים הם מקרה פרטי של דמיון משולשים (ראו להלן).
דמיון משולשים

משולשים דומים הם שני משולשים המקיימים את התנאים הבאים:
שלוש הזוויות של שני המשולשים שוות בהתאמה.
היחס בין הצלעות המתאימות של שני המשולשים שווה עבור שלושת זוגות הצלעות.
די בכך שהמשולש מקיים את אחד התנאים, משום שקיום אחד התנאים גורר את קיום התנאי האחר.
אינטואיטיבית, במשולשים דומים משולש אחד הוא בעצם הגדלה של המשולש השני, הגדלה שבה כל הפרופורציות של המשולש המקורי נשמרות.
משולשים חופפים הם גם משולשים דומים, אך משולשים דומים אינם בהכרח חופפים.
מדידת גדלים במשולש

אם במשולש, אורכי הצלעות הם a, b ו-c, אז:
אורך הגובה לצלע c הוא  {\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2c}}
אורך התיכון לצלע c לפי משפט התיכון הוא  {\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}
אורך חוצה הזווית שמול הצלע c הוא  {\sqrt {ab\left[1-\left({\frac {c}{a+b}}\right)^{2}\right]}}
מדידת גדלים במשולש > שטח המשולש

ישנן כמה נוסחאות לחישוב שטח המשולש, שהידועה בהן משתמשת באורך b של אחת הצלעות, ובאורך h של הגובה היורד אל אותה צלע:  {\frac {bh}{2}} (האיור המצורף מוכיח נוסחה זו).
נוסחת הרון משמשת לחישוב שטח המשולש לפי אורכי שלוש צלעותיו.
פירוט נוסחאות לחישוב שטח המשולש:
S_{\triangle ABC}={\frac {bh_{b}}{2}}המחשת הנוסחה לחישוב שטח המשולש, באמצעות מעבר ממשולש למקבילית וממנה למלבן
S_{\triangle ABC}={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}
S_{\triangle ABC}={\frac {r(a+b+c)}{2}}=pr=(p-b)r_{b}
S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}
S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}} (נוסחת הרון)
S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }
S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})|
S_{\triangle ABC}=r^{2}+2rR
כאשר  \ r הוא רדיוס המעגל החסום במשולש ו- \ R הוא רדיוס המעגל החוסם של המשולש, ו- \ p הוא מחצית היקף המשולש ( \ p={\frac {a+b+c}{2}}).
אי-שוויון Finsler–Hadwiger קובע שהשטח S של משולש שצלעותיו a,b,c מקיים  a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}S+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}.
משולשים מיוחדים > משולש ישר-זווית

משולש שאחת מזוויותיו שווה ל-90° נקרא משולש ישר-זווית. במשולש זה, הצלע שמול הזווית בת ה-90° נקראת יתר ואילו שתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.
משפט פיתגורס קובע את הקשר בין אורכי הצלעות במשולש ישר-זווית: סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר-זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר (ולהפך - משולש בעל תכונה זו הוא ישר-זווית), כלומר, היתר בחזקת שתיים יהיה שווה לניצב אחד בחזקת שתיים ועוד הניצב השני בחזקת שתיים.
התיכון ליתר במשולש ישר-זווית שווה למחצית היתר (ולהפך – משולש בעל תכונה זו הוא ישר-זווית).
הגובה ליתר במשולש ישר-זווית מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי. מכאן נובע משפט אוקלידס – אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר.
הגובה ליתר במשולש ישר-זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר (ולהפך – משולש בעל תכונה זו הוא ישר-זווית)
במשולש ישר-זווית שאחת מזוויותיו שווה ל-30°, הניצב שמולה שווה לחצי היתר (ולהפך – במשולש ישר-זווית שבו אחד הניצבים שווה למחצית היתר, הזווית שמול ניצב זה היא בת 30 מעלות).
במשולש ישר-זווית היתר הוא הצלע הגדולה ביותר.
משולשים מיוחדים > משולש שווה-שוקיים

משולש שווה-שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות שוקיים, והצלע השלישית נקראת בסיס.
במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולהפך – משולש ששתיים מזוויותיו שוות הוא שווה-שוקיים. במשולש שווה-שוקיים, חוצה הזווית של זווית הראש, התיכון לבסיס, האנך האמצעי לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים, ולהפך – משולש בו שניים מהם מתלכדים הוא שווה-שוקיים. כמו כן, שני הגבהים לשוקיים שווים זה לזה, וכן התיכונים לשוקיים וחוצי זוויות הבסיס, ולהפך.
משולשים מיוחדים > משולש שווה-צלעות

משולש שווה-צלעות הוא משולש שמהווה מצולע משוכלל – מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. הזווית הפנימית בכל קודקוד של משולש שווה-צלעות היא בת 60°  וזווית הנוצרת עם צלעות משולש שווה-צלעות ומחוץ לו היא בת 300°.
כל משולש  שווה-צלעות הוא גם שווה-שוקיים (בשלוש דרכים שונות).
כל המשולשים שווי הצלעות דומים זה לזה.
במשולש שווה-צלעות, חוצה הזווית, התיכון, הגובה והאנך האמצעי מתלכדים לקו אחד.
באמצעות משפט פיתגורס ניתן להוכיח כי
משולש שווה-צלעות שאורך צלעו a, שטחו הוא  \ {\frac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}
משולש שווה-צלעות שאורך גובהו h, שטחו הוא  \ {\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}
משולש שווה-צלעות שאורך צלעו a, גובהו הוא  \ {\frac {{\sqrt {3}}a}{2}}
משולשים מיוחדים > "משולש הזהב"

בשם "משולש זהב" נקרא משולש שווה-שוקיים שבו היחס בין השוק לבסיס הוא יחס הזהב. היחס בין הזוויות במשולש זה הוא  1:2:2  (36^{\circ },72^{\circ },72^{\circ }).
בישראל ניתן הכינוי "משולש הזהב" גם למשולש ישר-זווית שזוויותיו הן בנות 90, 60 ו-30 מעלות; במשולש זה, היתר גדול פי 2 מהניצב שנמצא מול הזווית השווה ל 30°, והניצב הגדול (שנמצא מול הזווית השווה ל 60°), גדול פי  {\sqrt {3}} מהניצב הקטן, כך שאפשר לתאר את היחס בין הצלעות (מהגדולה לקטנה)  1:{\sqrt {3}}:2 בנוסף מוזכר בישראל "משולש כסף", שהוא משולש שווה-שוקיים בעל זווית בסיס של 45 מעלות. משולש זה הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים בו זמנית. אורך היתר בו גדול פי שורש 2 מכל אחד מהניצבים.
מרחב ההשתנות של משולשים

ניתן לחקור את אוסף כל המשולשים עד כדי דמיון בכלים של גאומטריה אלגברית. בהקשר זה הוא נקרא מרחב ההשתנות (variety) של משולשים.  אוסף זה הוא באופן טבעי מנה של יריעה אלגברית ממשית תחת פעולה של חבורה אלגברית ממשית.  מנה כזאת היא באופן טבעי סטק אלגברי (או גם גרופואיד בקטגוריית היריעות האלגבריות). מרחב השתנות זה הוא דוגמה קלאסית פשוטה לסטק אלגברי.
גופים שפאותיהם כוללות משולשים

שלושה מחמשת הגופים האפלטוניים הם גופים שפאותיהם כוללות משולשים: הארבעון (טטראדר), שכל ארבע פאותיו הן משולשים, התמניון (אוקטאדר), שכל שמונה פאותיו הן משולשים, והעשרימון (איקוסהדרון), שכל עשרים פאותיו הן משולשים. בנוסף, במנסרה משולשת שני הבסיסים הם משולשים.
המשולש בגאומטריות לא אוקלידיות

גאומטריות לא אוקלידיות הן גאומטריות שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת. אחד המאפיינים הבולטים המבדילים בין הגאומטריה האוקלידית לגאומטריות הלא אוקלידיות הוא סכום הזוויות במשולש (והתכונות הנגזרות ממנו).
בגאומטריה אוקלידית, סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.
בגאומטריה היפרבולית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה. בגאומטריה זו סכום הזוויות במשולש תמיד קטן מ-180 מעלות.
בגאומטריה פרויקטיבית ובגאומטריה ספירית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: כל שני ישרים במישור נפגשים בנקודה. בגאומטריות אלו סכום הזוויות במשולש תמיד גדול מ-180 מעלות.
בגאומטריה אוקלידית, שטח המשולש אינו תלוי בסכום זוויותיו. בגאומטריה ההיפרבולית ובגאומטריה הספירית שטח המשולש יחסי לפער שבין סכום זוויותיו ל-180 מעלות.
ביאורים

↑  גאומטריה לא-אוקלידית, שהיא גאומטריה על משטח שאינו מישור, היא לעיתים קרובות גאומטריה שלא מקיימת את אקסיומת המקבילים, ולכן סכום הזוויות במשולש בגאומטריה שכזו הוא לא 180 מעלות. לדוגמה, סכום הזוויות במשולש בגאומטריה ספירית הוא תמיד יותר מ-180 מעלות.
↑  סכום n הזוויות החיצונית בכל מצולע קמור בעל n צלעות הוא 360. הסבר אינטואיטיבי לכך שאם נלך לאורך היקפו של מצולע קמור, בכל קודקוד נעשה פנייה שגודלה כגודל הזווית החיצונית, ולכן אחרי שנשלים סיבוב שלם, פנינו כגודל סכום הזוויות החיצוניות. אבל, מכיוון שחזרנו לאותו מקום, הפנייה הכוללת שלנו היא של 360 מעלות.
הערות שוליים

↑  דיבשה אמירה, ביסוס אכסיומתי ליסודות הגאומטריה, עם עובד ודביר, 1962, עמ' 35
↑  אוקלידס, יסודות, ספר I, טענה 32
| מצולעים ופאונים |
| --- | --- | --- |
| מושגים | מצולע • פאון • קודקוד • צלע • מקצוע • פאה • זווית חיצונית • אלכסון |  |
| מצולעים | מצולעים |  |
| לפי מספר צלעות | משולש • מרובע • מחומש • משושה • משובע • מתומן |  |
| משולשים | משולש ישר-זווית • משולש שווה-שוקיים • משולש שווה-צלעות |  |
| מרובעים | מקבילית • טרפז • טרפז שווה-שוקיים • מרובע ציקלי • דלתון • דלתון ריצוף • מעוין • מלבן • ריבוע |  |
| כוכבים | פנטגרם • מגן דוד • אניאגרם |  |
| תכונות | מצולע משוכלל • מצולע שווה-צלעות • מצולע קמור • כוכב |  |
| פאונים | פאונים |  |
| פאונים משוכללים | ארבעון • קובייה • תמניון • תריסרון • עשרימון |  |
| פאונים ארכימדיים | ארבעון קטום • קובוקטהדרון • קובייה קטומה • תמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת |  |
| פאונים אחרים | פירמידה • מנסרה • אנטי-מנסרה • מקבילון • מעוינון • תיבה • איקוסיטטרהדרון |  |
| תכונות | פאון משוכלל • פאון משוכלל למחצה • פאון ארכימדי |  |
| הכללות | הכללות |  |
| הכללות | סימפלקס • היפרקובייה • טסרקט |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007548775205171  BnF: cb11946969k (data)  LCCN: sh85137407  NKC: ph126753 
הוכחה שסכום הזוויות במשולש שווה 180 מעלות: 
 נתחיל בבניית עזר. נצייר ישר מקביל לבסיס המשולש, שחותך את המשולש בקודקוד של  \ \gamma . מכיוון ש- \ \alpha ',\beta ',\gamma  יוצרים זווית שטוחה אזי   \alpha '+\beta '+\gamma =180^{\circ }. כעת, בגלל שצלעות המשולש הצדדיות חותכות שני ישרים מקבילים מתקיימים השוויונות הבאים בין הזוויות:   \alpha =\alpha '\ ,\ \beta =\beta '. נציב זאת בשוויון לעיל ונקבל:  \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }, כלומר: סכום הזוויות במשולש שווה 180 מעלות. מ.ש.ל.
אנך אמצעי (בצהוב), תיכון (כחול), חוצה זווית (סגול), גובה (ירוק) וקטע אמצעים (חום)
ישר אוילר, באדום; אנכים אמצעיים בצהוב, תיכונים בכחול, וגבהים בירוק
קווים ונקודות מיוחדים במשולש
סוגי משולשים
משולש ישר-זווית
משולש שווה-שוקיים
תחום יסודי של מרחב ההשתנות של משולשים. כל משולש דומה למשולש בו הצלע הארוכה היא הקטע  [0,1]. לכן ניתן לתאר מחלקת משולשים עד כדי דמיון על ידי נקודה במישור שמיצג את הקודקוד מול הצלע הזאת. רק חלק מהנקודות במישור יכולות ליצג קודקוד זה. כמו כן נקודות שונות יכולות ליצג משולשים דומים. לכן יש צורך רק בחלק מנקודות אלו. בתמונה מצוירת בחירה של חלק כזה ומצוינים סוגי המשולשים שנקודות שונות מייצגות.