מדד שנאת הסיכון של ארו-פראט
המדד > שנאת סיכון גלובלית

המדד שהוצג לעיל הוא מדד לוקאלי ביחס לרמת ההון התחילי  w. אך מה אם אנו מעוניינים להשוות בין שנאת הסיכון של שני פרטים לכל רמת הון תחילי? ישנן 3 דרכים טבעיות לבצע השוואה זו:
על ידי שימוש במדד שנאת הסיכון הלוקאלית
בהינתן שני פרטים המקיימים את אקסיומות פון נוימן מורגנשטרן. אם לפרט א' פונקציית תועלת  u(w) ולפרט ב' פונקציית תועלת  v(w) ,נאמר כי פרט א' הוא בעל שנאת סיכון גדולה יותר אם לכל רמת הון תחילי  w מתקיים:
r_{u}(w)>r_{v}(w)
על ידי טרנספורמציה מונוטונית וקעורה ממש
נאמר כי פרט א' הוא בעל שנאת סיכון גדולה יותר מפרט ב' אם פונקציית התועלת של פרט א', u(w), "קעורה" יותר מפונקציית התועלת של פרט ב',  v(w). פורמלית, אם קיימת פונקציה  G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}  מונוטונית עולה, קעורה ממש וגזירה פעמיים ברציפות כך שמתקיים:
u(w)=G(v(w))
על ידי הגדרת פרמיית סיכון
בבניית מדד שנאת הסיכון הלוקאלי של אראו-פראט התבוננו בפרט בעל הון תחילי  w העומד בפני הגרלה הוגנת. יהי  {\tilde {h}} הרווח בהגרלה זו – משתנה מקרי המקיים  \mathbb {E} [{\tilde {h}}]=0.
הגדרה: פרמיית הסיכון בהגרלה תסומן  \Pi _{A}({\tilde {h}}) והיא רמת העושר המקסימלית שפרט A מוכן לוותר עליה על מנת להימנע מההימור  {\tilde {h}}. זאת אומרת,  \Pi _{A}({\tilde {h}}) מקיימת:
u(w-\Pi _{A}({\tilde {h}}))=\mathbb {E} [u(w+{\tilde {h}})]
עבור פרט שונא סיכון ובעל פונקציית תועלת קעורה ממש מתקיים  \Pi _{A}({\tilde {h}})>0 לכל רמת עושר תחילי  w. 
אנו נאמר כי פרט א' הוא שונא סיכון יותר מפרט ב' אם  \forall w:\Pi _{A}({\tilde {h}})>\Pi _{B}({\tilde {h}}).
שלוש הדרכים הללו לטיפול בשנאת סיכון גלובלית הן טבעיות, אך נראה כי קשה לבחור באחת מהן על פני האחרות ועולה השאלה איזו מהן היא הנכונה יותר. מסתבר כי תחת הנחות מסוימות על פונקציות התועלת של הפרטים מתקיים המשפט הבא:
משפט: [Pratt]
תהיינה  A(w),B(w) פונקציות תועלת גזירות פעמיים ברציפות, מונוטוניות עולות ממש וקעורות. הטענות הבאות שקולות:
r_{A}(w)>r_{B}(w) לכל עושר תחילי  w.
A(w)=G(B(w)) כאשר  G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}  מונוטונית עולה ממש, קעורה ממש וגזירה פעמיים ברציפות.
\Pi _{A}({\tilde {h}})>\Pi _{B}({\tilde {h}}) לכל רמת עושר תחילי  w ולכל משתנה מקרי  {\tilde {h}} כך שמתקיים  \mathbb {E} [{\tilde {h}}]=0.
הוכחה:
(2)\leftarrow (1)
נגדיר את  G(w) באופן עקיף על ידי  A(w)=G(B(w)). מכך ש- A(w),B(w) מונוטוניות נובע כי  G(w) מוגדרת היטב. על ידי גזירת שני האגפים פעמיים נקבל:
A'(w)=G'(B(w))\cdot B'(w)
A''(w)=G''(B(w))\cdot (B'(w))^{2}+G'(w)\cdot B''(w)
מהשורה הראשונה ומכך ש- B(w) מונוטונית עולה ממש נקבל  G'(B(w))={\frac {A'(w)}{B'(w)}}>0.על ידי חלוקת השורה השנייה בראשונה נקבל כי:
G''(B(w))=({\frac {A''(w)}{A'(w)}}-{\frac {B''(w)}{B'(w)}})\cdot {\frac {B'(w)\cdot G'(B(w))}{(B'(w))^{2}}}<0
ולכן קיבלנו את הדרוש.
(3)\leftarrow (2)
נשים לב לכך שמתקיימים אי השוויונים הבאים:
A(w-\Pi _{A}({\tilde {h}}))=\mathbb {E} [A(w+{\tilde {h}})]=\mathbb {E} [G[B(w+{\tilde {h}})]]<G[\mathbb {E} [B(w+{\tilde {h}})]]=G[B(w-\Pi _{B}({\tilde {h}}))]=A(w-\Pi _{B}({\tilde {h}}))
כאשר אי השוויון נובע מאי-שוויון ינסן. ממונוטוניות  A(w) נקבל  \Pi _{A}({\tilde {h}})>\Pi _{B}({\tilde {h}}).
(1)\leftarrow (3)
יהי  {\tilde {h}} משתנה מקרי שרירותי קטן כלשהו ונתבונן במשפחת המשתנים המקריים  \{t{\tilde {h}};t\in [0,1]\}. תהי  \Pi (t) פונקציה של  t בקטע  [0,1]. נתבונן בקירוב טיילור עבור  \Pi (t) סביב  t=0:
\Pi (t)\approx \Pi (0)+\Pi '(0)t+{\frac {1}{2}}\Pi ''(0)t^{2}
מהגדרת  \Pi (t) מתקיים כי  A(w-\Pi (t))=\mathbb {E} [A(w+t{\tilde {h}})] ולכן  \Pi (0)=0. על ידי גזירת שני אגפי ההגדרה פעמיים נקבל:
-A'(w-\Pi (t))\cdot \Pi '(t)=\mathbb {E} [A'(w+t{\tilde {h}})\cdot {\tilde {h}}]
A''(w-\Pi (t))\cdot \Pi '(t)-A'(w-\Pi (t))\cdot \Pi ''(t)=\mathbb {E} [A''(w+t{\tilde {h}})\cdot {\tilde {h}}^{2}]
מהצבת  t=0 בשני השוויונות נקבל כי  \Pi '(t)=0 וכן  \Pi ''(0)={\frac {\mathbb {E} [A''(w)\cdot {\tilde {h}}^{2}]}{-A'(w)}}=-{\frac {A''(w)}{A'(w)}}\cdot \sigma ^{2}, כאשר  \sigma ^{2} היא השונות של  {\tilde {h}}.
על ידי הצבת  \Pi (0),\Pi '(0),\Pi ''(0) אל תוך קירוב טיילור נקבל:
\Pi (t)\approx -{\frac {A''(w)}{A'(w)}}\cdot {\frac {\sigma ^{2}}{2}}\cdot t^{2}
ולכן לכל רמת עושר תחילי  w ולכל משתנה מקרי {\tilde {h}}, עבור ערכי  t קטנים מספיק פרמיית הסיכון תלויה באופן מונוטוני ברמת שנאת הסיכון. מכאן:  \Pi _{A}({\tilde {h}})>\Pi _{B}({\tilde {h}})\Rightarrow r_{A}(w)>r_{B}(w).