stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
אינגרט (זמרת)

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  16 באוקטובר 1997 (בת 26) ויניצה, אוקראינה 
 חברת תקליטים:  Pomitni 
 
אינגרט קוסטנקו (באוקראינית: Інгрет Костенко; נולדה ב-16 באוקטובר 1997), ידועה בשמה הפרטי אינגרט, היא זמרת אוקראינית. היא החלה את קריירת המוזיקה דרך תוכניות הריאליטי X-factor Ukraine ו-Voice of the Country, שם דורגה במקום השני. בשנת 2024 השתתפה בקדם האוקראיני לאירוויזיון 2024, Vidbir 2024.
שנותי הראשונות

אינגרט נולדה ב-16 באוקטובר 1997 בויניציה שבאוקראינה. משפחת אמה בעלת שורשים גרמניים. כבר בילדותה החלה ללמוד נגינה על פסנתר. את שירה הראשון כתב והלחינה בגיל 11. היא למדה במכללה על שם מיקולה לאונטוביץ'. בשנה השנייה ללימודיה השתתפה בק.ו.ן. לאחר מכן עברה להתגורר בקייב.
קריירה

בשנת 2015 השתתפה בעונתה השישית של תוכנית הריאליטי X-factor Ukraine. באודישן שלה ביצעה את "Годі говорити про того, кого нема" ("הגיע הזמן לדבר על מישהו שלא נמצא שם"). היא הגיעה עד השלב השלישי של מחנה האימונים, שם הודחה מהתחרות.
בשנת 2017 השתתפה בעונתה השביעית של Voice of the Country. באודישן שלה ביצעה את "Пташечка" ("ציפור"). היא הגיעה עד לגמר התחרות, שם דורגה במקום השני.
ב-17 בפברואר 2018 הופיעה בחצי הגמר השני של הקדם האוקראיני לאירוויזיון 2018. שירה היה "My Planet". היא דורגה במקום השביעי וכשלה בניסיון להעפיל לגמר.
בשנת 2024 השתתפה פעם נוספת בקדם עם השיר "Keeper". היא הגיעה בערב הגמר למקום השישי.
דיסקוגרפיה > אלבומי אולפן

2018: Не спи
הערות שוליים

↑  "Ukraine's national selection finalist for Eurovision releases new video and launches fundraising for military".
אלוויזה ג'ובאני מוצ'ניגו

דיוקנו של אלוויזה ג'ובאני מוצ'ניגו, 1763.
אלוויזה ג'ובאני מוצ'ניגו (באיטלקית: Alvise Giovanni Mocenigo ; ‏ 19 במאי 1701 - 31 בדצמבר 1778) היה הדוכס ה-118 של ונציה. רוציני כיהן כדוג'ה מאז בחירתו בשנת 1763 ועד פטירתו.
בתקופת כהונתו הארוכה ניסה מוצ'ניגו לשקם את כלכלת העיר, שהתדרדרה בשל אובדן השליטה בשטחים רבים בשנים שקדמו לשלטונו. מוצ'ניגו כרת הסכמי סחר עם טריפולי, תוניסיה, מרוקו, רוסיה וארצות הברית - מדינות אשר ונציה לא סחרה עימן בעבר.
כמו כן הגביל מוצ'ניגו את זכויות אנשי הכנסייה בעיר, צעד אשר הרע את היחסים בין ונציה לבין האפיפיור קלמנס השלושה עשר.
מוצ'ניגו נפטר ב-31 בדצמבר 1778 ונקבר בעיר.
אלגברת לי נילפוטנטית

באלגברה מופשטת, אלגברת לי היא נילפוטנטית אם הסדרה המרכזית היורדת שלה מתאפסת החל ממקום מסוים. לאלגברות לי נילפוטנטיות מקום חשוב בתורת המבנה של אלגברות לי, ובפרט במיון של אלגברות לי פשוטות למחצה.
הגדרה

תהי  L אלגברת לי מעל שדה  F.
הסדרה המרכזית היורדת של  L היא הסדרה המוגדרת על ידי  {L}^{1}=L,{L}^{n}=[L,{L}^{n-1}]. כלומר, הסדרה היא  L,[L,L],[L,[L,L]],....
L היא נילפוטנטית אם הסדרה המרכזית היורדת שלה מתאפסת החל ממקום מסוים, כלומר קיים  n כך ש- {L}^{n}=0.
תכונות

כל אלגברת לי אבלית היא נילפוטנטית.
כל אלגברת לי נילפוטנטית היא גם פתירה, וההפך לא נכון.
כל תמונה אפימורפית ואלגברת מנה של אלגברת לי נילפוטנטית הם נילפוטנטיים.
המרכז של אלגברת לי נילפוטנטית לא ריק.
אם  L/\operatorname {Z} (L) נילפוטנטית אז גם  L.
תנאי שקול לנילפוטנטיות הוא  \forall {x}_{i},y\in L:\operatorname {ad} {x}_{1}\operatorname {ad} {x}_{2}...\operatorname {ad} {x}_{n}(y)=0 עבור  n ספציפי.
לפי משפט אנגל, אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי העתקת הצמוד שלה נילפוטנטיים.
ראו גם

אלגברת לי פתירה
ההצגה הצמודה
משפט אנגל
לקריאה נוספת

Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, p. 11-12
אלברט לורצינג

| --- | --- |

אלברט לורצינג, 1830
 לידה:  23 באוקטובר 1801 ברלין, ממלכת פרוסיה 
 פטירה:  21 בינואר 1851 (בגיל 49) ברלין, ממלכת פרוסיה 
 מקום קבורה:  Friedhof II der Sophiengemeinde Berlin 
 מוקד פעילות:  ממלכת פרוסיה 
 סוגה:  אופרה 
 סוג קול:  טנור 
 שפה מועדפת:  גרמנית 
 בן או בת זוג:  Rosine Regina Ahles (1823–ערך בלתי־ידוע) 
 פרופיל ב-IMDb
 חתימה:  
 
גוסטב אלברט לורצינג (בגרמנית: Gustav Albert Lortzing‏; 23 באוקטובר 1801 – 21 בינואר 1851) היה מלחין גרמני.
ביוגרפיה

לורצינג נולד בברלין להורים, ששניהם היו שחקנים. בהיותו בן 19 החל לשחק בתפקיד המאהב הצעיר (Jugendlicher Liebhaber) בתיאטראות דיסלדורף ואאכן. לפעמים גם שר בתפקידי טנור או בריטון קטנים.
האופרה הראשונה שלו, "עלי פאשה מיאנינה" הוצגה לראשונה בשנת 1824, אבל פרסומו כמוזיקאי נובע בעיקר משתי האופרות "Der Wildschütz" משנת 1824 ו-"Zar und Zimmermann" משנת 1837.
"Zar und Zimmermann" התקבלה ללא התלהבות יתרה בלייפציג, אבל ההצגות הבאות בברלין הפיקו תגובה חיובית פי כמה. האופרה עלתה עד מהרה על כל בימות גרמניה ונחשבת כיום לאחת מיצירות המופת של האופרה הקומית הגרמנית. 
היא תורגמה לאנגלית, צרפתית, שוודית, דנית, הולנדית, בוהמית, הונגרית ורוסית. הסיפור מבוסס על חיי פטר הגדול, שנסע לגרמניה, הולנד ואנגליה מחופש לנגר כדי לרכוש ממקור ראשון את הידע שראה כנחוץ לקדמה הכלכלית של ארצו, כגון טכניקות מודרניות לבניית אוניות.
"Der Wildschütz" התבססה על קומדיה מאת אוגוסט פון קוֹצֶבּוּ והייתה סאטירה על ההתפעלות חסרת התבונה והמוגזמת שהביעה אצולת הבורגנות ליופי באמנות.
יצירות נבחרות

Die Himmelfahrt Christi Oratorium (Münster 1828)
Der Pole und sein Kind (1831)
Szenen aus Mozarts Leben (Münster 1832)
Der Weihnachtsabend (Münster 1832)
Die beiden Schützen (Leipzig 1837)
Zar und Zimmermann (Leipzig 1837)
Hans Sachs (opera)|Hans Sachs (Leipzig 1840)
Casanova (opera)|Casanova (Leipzig 1841)
Der Wildschütz (Leipzig 1842)
Undine (Lortzing)|Undine (Magdeburg 1845)
Der Waffenschmied (Vienna 1846)
Regina (Lortzing)|Regina (Vienna 1848)
Rolands Knappen oder Das ersehnte Glück (Leipzig 1849)
Die Opernprobe (Frankfurt 1851)
אלברט מאאכן

אלברט מאאכן (לטינית: Albericus Aquensis, בגרמנית: Albert von Aachen) היה כרוניקן והיסטוריון של מסע הצלב הראשון, נולד בשלהי המאה ה-11, ולאחר מכן הפך לקנון והקוסטוס של כנסיית אאכן.
כיבוש ירושלים במהלך מסע הצלב הראשון, 1099. איור בלתי מזוהה של ימי הביניים המאוחרים (המאה ה-14 או ה-15) כנראה מתוך סבסטיאן ממרות, Les Passages d'oultre mer.
דבר לא ידוע עליו פרט לכך שחיבר את "Historia Hierosolymitanae expeditionis" ("תולדות המסע לירושלים") ובשמה הנוסף "Chronicon Hierosolymitanum de bello sacro" ("כרוניקה ירושלמית של מלחמת הקודש"). כרוניקה שנרשמה בלטינית בספר של 12 כרכים בין השנים 1125 עד 1150. העבודה החלה בתקופת ועידת קלרמון שדנה על האיום שמרחף על האימפריה הביזנטית מצד הסלג'וקים ושגרמה למסע הצלב הראשון לצאת לדרך, והסתיימה בפתאומיות בשנת 1121. הספר היה ידוע במהלך ימי הביניים. ויליאם מצור, הארכיבישוף של העיר צור השתמש בו באופן נרחב עבור החיבור בששת הכרכים ההיסטוריים שכתב "Belli sacri". בתקופת העת החדשה, למשך תקופה ארוכה, התקבל החיבור ללא סיג בידי היסטוריונים, כולל בידי אדוארד גיבון, אולם בשנים מאוחרות יותר, החלו היסטוריונים לפקפק במידע שבו, אך בסופו של דבר הוסכם  כי הוא מכיל בתוכו פרטים מציאותיים על מסע הצלב הראשון, על אף שמשלב גם כמה סיפורים בדויים.
אלברט מאאכן מעולם לא ביקר בארץ הקודש, אולם נראה כי שוחח רבות עם הצלבנים שחזרו מהמסע ושיחות אלו היוו מקור לחומר יקר ערך. בניגוד לשאר הכרוניקות על מסעי הצלב, אלברט לא הסתמך על עלילות הפרנקים, אלא על הראיונות שלו. המהדורה הראשונה של ספרו פורסמה בהלמשטדט בשנת 1584 ומהדורה טובה יותר יצאה בכרך ד' של הספר Recueil des Historiens des Croisades (פריז, 1841-1887).
אלברט תיאר בכרוניקה שלו את העוולות שביצעו הנוצרים בימי מסע הצלב הראשון וגינה אותן. הוא כותב הכרוניקה הנוצרי האוהד ביותר לסבלם של היהודים בתקופה זו.
לקריאה נוספת

יהושע פראוור, תולדות ממלכת הצלבנים בארץ ישראל, א, ירושלים : הוצאת מוסד ביאליק, 1963, עמ' 181.
Susan B. Edgington, "Albert of Aachen and the Chansons de Geste" in The Crusades and their sources: essays presented to Bernard Hamilton ed. John France, William G. Zajac (Aldershot: Ashgate, 1998) pp. 23–37
Albert of Aachen, Historia Ierosolimitana, ed. and trans. S. Edgington (Oxford: Oxford Medieval Texts, 2007).
הערות שוליים

↑  איריס שגריר, מסעי הצלב: היסטוריה והיסטוריוגרפיה, האוניברסיטה הפתוחה, עמ' 224.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007434058705171  PLWABN: 9810600454505606  BIBSYS: 7052089  BnF: cb13624084v (data)  GND: 118647598  ICCU: MILV266691  ISNI: 0000 0000 8160 7744  LCCN: n2006069738  NKC: ola2006340263  NTA: 072340592  RERO: 02-A000005298  SUDOC: 084580151  VcBA: 495/7008  VIAF: 74028786   WorldCat (עם VIAF): 74028786
איתם ישראלי

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  24 באוקטובר 1984 (בן 39) חורשים, ישראל 
 מדינה:  ישראל ישראל
 עיסוק:  מרצה, מכשיר מרצים
 קישורים חיצוניים
 eitamisraeli.co.il
 
איתם ישראלי (נולד ב-24 באוקטובר 1984) הוא מרצה, ממייסדי שיט העיוורים בישראל, זוכה מדליית הארד באליפות העולם בשיט עיוורים וזוכה גביע אליפות אירופה בכדורשער.
ביוגרפיה

איתם ישראלי נולד בקיבוץ חורשים. בגיל 4 התגלתה מחלה נדירה בעיניו וכתוצאה מכך ראייתו הלכה והידרדרה עד שבגיל 16 איבד את ראייתו בעין ימין ובגיל 22 התעוור לחלוטין. לאיתם אחות גדולה ושני אחים קטנים.
בנובמבר 2003 התגייס לצה"ל בעזרת עמותת אתגרים. לאחר שקיבל פטור משירות חובה, בחר להתנדב לתפקידי הדרכה ושירת כמדריך נוער בשדה בוקר ומדריך נוער בסיכון בכפר הנוער נירים של שייטת 13.
בשנת 2005 השתתף וייצג את ישראל לראשונה בתחרות אליפות איטליה הפתוחה. בשנים 2006 ו-2007 זכה במדליית ארד באליפות העולם לשייט עיוורים שהתקיימה באיטליה.
בשנת 2009 שימש כסנטר נבחרת ישראל בכדורשער. הנבחרת זכתה באותה שנה בגביע אליפות אירופה. משנת 2011 הוא מאמן את נבחרת ישראל בשייט לעיוורים.
בשנת 2012 נכנס לבית האח הגדול, בעונה הרביעית, שם שהה במשך 66 ימים יחד עם כלב הנחיה שלו, וולטר.
ישראלי מרצה במסגרות נוער וביטחון ובקרב חברות וארגונים במשק הישראלי. בהרצאתו "לראות מעבר" הוא משתף את הקהל בסיפור חייו במטרה להגביר את המוטיבציה ואת השאיפה למצוינות בקרב שומעיו.
ב-2019 הוא רץ לכנסת ה-22 כמקום 3 ברשימת "זכויותנו בקולנו".
הערות שוליים

↑  איתם ישראלי מייצג את ישראל באליפות העולם בשייט לעיוורים  תחרות שייט לעיוורים
↑  אברהם תשובה, ישראל אלופת אירופה בכדור שער לעיוורים, באתר nrg‏, 28 במאי 2009
↑  איתם ישראלי בתחרות אליפות איטליה הפתוחה  תחרות שייט לעיוורים
↑  משנה מסלול: איתם ישראלי נכנס לפוליטיקה, באתר ‏מאקו‏, 29 באוגוסט 2019
אל-מקתדי

אל-מקתדי באמר אללה, אבו אל-קאסם עבדאללה בן מחמד בן אל-קאא'ם באמר אללה (בערבית: المقتدي بامر الله, ابو القاسم عبد الله بن محمد بن القائم بامر الله), היה נכדו של הח'ליף הקודם אל-קאא'ם והח'ליף העבאסי ששלט בבגדאד בין השנים 1075 ל-1094. בימיו, הוא זכה להכרה ולהוקרה מצד הסולטאן הסלג'וקי מאלכ שאה הראשון ותחומי הח'ליפות הורחבו סמלית לערי הקודש בחג'אז אשר שוחררו מידי הפאטמים.
מאלכ-שאה נתן את ידה של בתו לאל-מקתדי. מנישואין אלה נולד בן זכר, וקווה שכך יאוחדו כס הח'ליפות עם כס הסולטנות. התוכנית נכשלה לאחר שהנסיכה עזבה את חצר הח'ליפות עם תינוקה וחזרה לבירה אספהאן. מאלכ-שאה החל לקנא במעורבות ההולכת וגדלה של אל-מקתדי וזמם להדיחו מהח'ליפות ולכלוא אותו בבצרה. רק מותו של מאלכ-שאה בשנת 1092 סיכל תוכנית זו.
| בית עבאס  ★  العبّاسيّون |
| --- | --- | --- |
| מושגי יסוד | אל-עבאס • אבן אל-עבאס •  ההאשמיה והמהפכה העבאסית • בית עבאס •  רשימת הח'ליפים |  |
| הח'ליפים המוקדמים בבגדאד (750–833) | א-ספאח • אל-מנסור • אל-מהדי • אל-האדי • הארון א-רשיד • אל-אמין • אל-מאמון |  |
| הח'ליפים בסאמרא   (833–892) | אל-מעתצם • אל-ואת'ק I • מתוכל  I • אל-מנתצר •  אל-מסתעין I • אל-מעתז • אל-מהתדי • אל-מעתמד •  מופק (בפועל) |  |
| הח'ליפים בבגדאד תחת הטורקים (892–946) | אל-מעתדד I • אל-מכתפי • אל-מקתדר • אל-קאהר • א-ראדי • אל-מתקי • אל-מסתכפי I |  |
| הח'ליפים בבגדאד תחת הבויהים (946–1065) | אל-מטיע • א-טאאע • אל-קאדר • אל-קאאם I |  |
| הח'ליפים בבגדאד תחת הסלג'וקים ויורשיהם (1065–1258) | אל-מקתדי • אל-מוסתזהר • אל-מסתרשד • א-ראשד • אל-מקתפי • אל-מסתנג'ד I • אל-מסתדא • א-נאצר • א-זאהר • אל-מסתנצר I • אל-מסתעצם I |  |
| הח'ליפים הסמליים בקהיר תחת הממלוכים   (1261–1517) | אל-מסתנצר II • אל-חאכם I  • אל-מסתכפי II • אל-ואת'ק II • אל-חאכם II • אל-מעתדד II • אל-מתוכל II • אל-ואת'ק III • אל-מסתעצם II • אל-מסתעין II • אל-מעתדד III • אל-מסתכפי III • אל-קאאם II • אל-מסתנג'ד II • אל-מתוכל III • אל-מסתמסכ • אל-מתוכל IV |  |
| בירות הח'ליפות העבאסית | בגדאד • סאמרא • א-רקה • קהיר |  |
| אחרים | קרב הזב (750) • ח'יזוראן • אל-מאייד • ברמכים • נפילת בגדאד (1258) |  |
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| הקודם: אל-קאאם | הח'ליפים לבית עבאס  1075–1094 | הבא: אל-מוסתזהר |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  TDVİA: muktedi-biemrillah 
ערך זה הוא קצרמרבנושא אסלאם. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
אלגברת ז'ורדן ריבועית

במתמטיקה, אלגברת ז'ורדן ריבועית היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.
הגדרה

יהי k חוג קומוטטיבי. אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל k היא מודול J, עם העתקה  U{\,:\,}J\rightarrow \operatorname {End} _{k}(J) (שמסמנים  \,U_{x}=U(x)) ואיבר מיוחד  1\in J, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J. ראשית, U היא העתקה ריבועית; כלומר,  \,U_{\alpha x}=\alpha ^{2}U_{x}, ו- \,U_{x,y}=U_{x+y}-U_{x}-U_{y} היא תבנית ביליניארית; שנית,  \,U_{1}={\bf {1}}; ושלישית, מתקיימות הזהות היסודית  \,U_{U_{x}y}=U_{x}U_{y}U_{x}, והזהות  \,U_{x}V_{y,x}=V_{x,y}U_{x} כאשר  \,V_{x,y}z=U_{x,z}y.
באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים  \,\{xyz\}=U_{x,z}y; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה  \,x\circ y=\{x1y\}=\{xy1\}=\{1xy\} היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית,  \,U_{x,y},V_{x,y} הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.
הגדרה > הקשר לאלגברות ז'ורדן

כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה  \,xy={\frac {1}{2}}x\circ y; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי  \,U_{x}=2L_{x}^{2}-L_{x^{2}} (כאשר  \,L_{x}y=xy), ואז  \,\{xyz\}=2(x(zy)+z(xy)-(xz)y) (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים  \,U_{x}y=xyx). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.
הגדרה > דוגמאות

אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה  \,U_{x}y=xyx הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב- A^{+}. תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא מיוחדת; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא יוצאת דופן.
איברים, אידיאלים ומנות

איבר x הוא הפיך אם הפונקציה  \,U_{x} המתאימה לו הפיכה (באלגברה  \,A^{+} איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A). האיבר היחיד y המקיים  \,U_{x}y=x הוא ההפכי של x, ומסמנים אותו ב- x^{-1}. אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק.
תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם  \,U_{I}J,U_{J}I\subseteq I. אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה פשוטה אם אין לה אידיאלים, ופשוטה לחלוטין אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית).
תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך. אז J עם איבר היחידה  \,p^{-1} והפעולות  \,U'_{x}=U_{x}U_{p}, גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, איזוטופית לאלגברה המקורית. (אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות). אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא חבורת המבנה של J. אוסף ההעתקות ההפיכות  \,U_{x} יוצר תת-חבורה הנקראת חבורת המבנה הפנימית.
אינטגרציה בחלקים

\ \int vu'=vu-\ \int v'u
באנליזה מתמטית, אינטגרציה בחלקים היא שיטת אינטגרציה שמתבססת על שימוש בכלל המכפלה עבור נגזרות. בשיטת האינטגרציה בחלקים ניתן להפוך את הבעיה של אינטגרל של מכפלה של שתי פונקציות לבעיה של מציאת אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות אחרות, נגזרת הראשונה והפונקציה הקדומה של השנייה.
באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ניתן להשתמש גם בשיטה זו כדי לחשב במדויק אינטגרלים מסוימים.
ניסוח פורמלי

בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות  f,g, מתקיים עבור אינטגרל שאינו מסוים:
\ \int f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x
כדי להראות את נכונות הטענה די לבצע אינטגרציה על שני האגפים של כלל המכפלה האומר כי  \left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
חישוב אינטגרציה בחלקים עבור אינטגרל מסוים

מכלל לייבניץ לנגזרת מכפלה:
נבצע אינטגרציה על המשוואה:
נשתמש בליניאריות האינטגרל:
נשתמש בנוסחת ניוטון-לייבניץ:
לפיכך:
נבצע העברת אגפים ונקבל את הנוסחה:
בחירת הפונקציה הקדומה והנגזרת

אף על פי שהכלל תקף תמיד, הוא לא בהכרח מפשט את האינטגרל שאותו אנו רוצים למצוא, ולכן יעיל לשימוש רק במקרים מסוימים. מכיוון שלרוב, ישנן מספר דרכים לפרק כל פונקציה למכפלה של שתי פונקציות, בחירה חכמה של פונקציות יכולה להיות הכרחית להצלחת השיטה.
ככלל אצבע לא מחייב, כדאי לבחור את הפונקציה  g(x) על פי הרשימה הבאה, בסדר יורד:
פונקציות מעריכיות כדוגמת  e^{x}\!,  13^{x}\!
פונקציות טריגונומטריות כדוגמת  \sin x,\cos x
פונקציות פולינומיות כדוגמת  x^{2}\!,  3x^{50}\!
פונקציות טריגונומטריות הפוכות כדוגמת  \arctan x,\operatorname {arcsec} x
פונקציות לוגריתמיות כדוגמת  \log x (שלעיתים מסומנת כ- \ln x)
נשים לב שככל שהפונקציות נמצאות במעלה הרשימה, יותר קל לגלות עבורן את הפונקציה הקדומה שלהן, צעד אשר הכרחי במהלך ביצוע האינטגרציה בחלקים.
עם זאת, לא קיים אלגוריתם לביצוע אינטגרציה בחלקים וקיימים מקרים בהם עדיף לא לעקוב אחרי הסדר ברשימה. לכן יש להתייחס לרשימה זאת אך ורק בגדר כלל אצבע.
דוגמאות לשימושים

דוגמה:
אנו רוצים לחשב את האינטגרל  \int x\cos(nx)\,\mathrm {d} x ולכן בהתאם לנוסחה ובהמשך ל"כלל האצבע" נבחר את המשתנים שלנו כך:
המשתנים מהפונקציה המקורית יוגדרו:
f(x)=x,  g'(x)=\cos(nx)
ולכן נגדיר בהתאם:
f'(x)=1,  g(x)={\frac {\sin(nx)}{n}}
ומכאן נקבל:
x{\frac {\sin(nx)}{n}}-\int {\frac {\sin(nx)}{n}}\,\mathrm {d} x=x{\frac {\sin(nx)}{n}}+{\frac {\cos(nx)}{n^{2}}} =  \int x\cos(nx)\,\mathrm {d} x
דוגמה נוספת:
אנו רוצים לחשב את האינטגרל  \int \arctan(x)\,\mathrm {d} x. כאן נדמה כי הפונקציה שאנו מוצאים לה אינטגרל היא יחידה ואין כאן מכפלה של פונקציות, ולכן אין דרך להשתמש בשיטת האינטגרציה בחלקים, אולם ניתן להסתכל על אינטגרל זה כעל האינטגרל  \int 1\cdot \arctan(x)\,\mathrm {d} x.
כעת, נבחר את הפונקציות של המכפלה כך:  \ g'(x)=1,f(x)=\arctan(x). פונקציה קדומה של  \ 1 קל לחשב: למשל  \ x. גם הנגזרת של  \arctan(x) ידועה:  {\frac {1}{1+x^{2}}}. לכן נקבל:
\ \int 1\cdot \arctan(x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=x\arctan(x)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C
ממדים גבוהים

ניתן להרחיב את הנוסחה של אינטגרציה בחלקים עבור משתנים מרובים. במקום לבצע אינטגרל על אינטרוול, יש לבצע אינטגרציה על קבוצה  n-ממדית. כמו כן, יש להחליף את הנגזרת בנגזרת חלקית.
באופן מדויק יותר, נניח כי  \Omega  היא תת-קבוצה פתוחה וחסומה של  \mathbb {R} ^{n} עם שפה חלקה  \Gamma . אם  u ו- v הן דיפרנציאביליות ברציפות בסגור של  \Omega  אז הנוסחה של אינטגרציה החלקים ניתנת ע"י:
כאשר  {\hat {\mathbf {\nu } }} הוא הנורמל היוצא כלפי חוץ ל  \Gamma  ו- \mathbf {\nu } _{i} הוא הרכיב ה- i-י של  \nu  כאשר  i נע בין  1 ל- n.
ראו גם

אינטגרל
כלל לייבניץ
שיטות אינטגרציה
| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- | --- | --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |  |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |  |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |  |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |  |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |  |
אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה
אותיות גותיות

ערך זה עוסק בגופן לטיני. אם התכוונתם לאותיות השפה הגותית, ראו .
תנ"ך בלטינית מאנגליה, 1407
עיתון שווייצרי (נויה ציריכר צייטונג) משנת 1780
אותיות גותיות (כך ברוב השפות, באנגלית: Blackletter, כלומר אותיות שחורות) הוא גופן קליגרפי של האלפבית הלטיני. הגופן היה בשימוש במערב אירופה מאמצע המאה ה-12 לערך ועד המאה ה-17 ובגרמניה עד אמצע המאה ה-20. למרות שנקלט היטב ומהווה גופן אופייני בהקשר של גרמנית, הגופן חדר לאזורים דוברי הגרמנית רק מאמצע המאה ה-15. השם "גותי" ניתן לגופן באיטליה בתקופת הרנסאנס, כיוון שהוא נחשב כתב ברברי והמילה "גותי" (המתייחסת לשבט הגותים) שימשה כמילה נרדפת ל"ברברי", זאת בניגוד לכתב הקרולינגי (שלפי אמונתם שימש ברומא העתיקה).
התפתחות

האותיות הגותיות התפתחו מן האותיות הקרולינגיות, עם גידול הדרישה לספרים במערב אירופה עקב התפתחות האוניברסיטאות והאוריינות והתרחבות ההעתקה במנזרים על מנת למלא צורך זה. עיצוב האותיות הקרולינגיות דרש זמן עבודה גדול יחסית ומקום רחב על הדף, כך שעל מנת לכתוב מהר יותר ובפחות בזבוז שטח דף, פיתחו מעתיקים כתב יעיל יותר. עד אמצע המאה ה-12 התייצבה צורת אות שונה, מתאימה יותר לכתיבה רהוטה (קורסיבית), בצפון צרפת וארצות השפלה.
מלומדי הרנסאנס במאה ה-15 הבחינו בין "הספרות העתיקה" (litterae antiquae), האיכותית, הכתובה בכתב קרולינגי לבין "הספרות המודרנית" (litterae modernae) הכתובה באותיות גותיות, שנחשבו, כאמור, "ברבריות".
האותיות, שנוצרו עבור כתיבה ידנית, היו פחות מתאימות לדפוס ופחות קריאות מאותיות לטיניות מטיפוס רומן (Roman type) או איטליק (Italic type) ולכן, עם התפתחות הדפוס נדחקו והפכו נדירות בשימוש, פרט למדינות דוברות גרמנית. עם זאת, המשיך הגופן לשמש לכותרות, שלטים וכרזות.
שיטת ההדגשה שהתפתחה בטקסטים הכתובים באותיות גותיות איננה על ידי הכהייה של הכתב (bold) אלא על ידי ריווח (s p e r r s a t z, בגרמנית). ליגטורות כגון ch, ck, tz ו-ſt לא רווחו ונשארו צמודות.
סוגים > טקסטואליס, טקסטורה

טקסטואליס (Textualis) או טקסטורה (textura) הוא סוג האות בו הדפיס אבי הדפוס, יוהאן גוטנברג, את תנ"ך גוטנברג. סוג האות יוצר בשלושה סוגים לדפוס: littera textualis formata שנועד להדפסת ספרים בעלי חשיבות; littera textualis שנועד לספרים פחות חשובים וספרי לימוד ו-littera textualis currens שנועד לכתיבה רהוטה ולהדפסות בעלות חשיבות מועטה ואורך-חיים קצר.
סימני האות, שחלקם אופייניים לכל האותיות הגותיות, הם:
הבדל גדול מאוד בין עובי הקווים המאוזנים הדקים לעמודים המאונכים העבים, דבר המקשה על ההבדלה בין האותיות  i, u, m ו- n, שכולן נראות כקו אנכי קצר
חלקים אנכיים העולים מעל לקו השורה (ascender) "נשברים" בחדות שמאלה (למשל באותיות b, d, h)
בצירוף אותיות מעוגלות זו אחר זו (כגון "be" או "po") האותיות מתחברות והשקת הקשתות הופכת לקו ניצב
האותיות r ו-d ליד אות עם קשת מצוירות רק בחלקן ויוצרות עמה ליגטורה
החלקים היחידים היורדים מתחת לקו השורה (descender) הם חודי האותיות  g, j, p, q, y והחלק השמאלי התחתון של האות h
שני צידי האות s (שהופיעה כאות גדולה בתחילת משפט ושם פרטי או כאות קטנה בסוף מילה) מחוברים זה לזה בקו אלכסוני, בדומה ל-8. באמצעי מילים ובתחילת מילים רגילות עושה האלפבית שימוש באות S ארוכה.
מקובל לראות חיבורי אותיות במילים נפוצות, חיבורים שנועדו לקצר את זמן הכתיבה
לסוג אות זה היו מספר רב של וריאנטים. בהם Textura Quadrata, שיצרה בסופי קווים אנכיים צורת מעוין ("יהלום");  Textura Prescisus שהציגה סופי-אותיות ישרים וירידה קטנה מאוד מתחת לקו השורה באותיות המחייבות זאת; littera parisiensis נוצרה באוניברסיטת פריז במאה ה-13 לשם כתיבה מהירה ולא קליגרפית ומאופיינת באות קטנה יחסית; littera oxoniensis נוצרה באוניברסיטת אוקספורד במאה ה-14, דומה מאוד לאות הפריזאית אך לא כוללת S ארוכה.
סוגים > קורסיבה

קורסיבה (Cursiva) איננו גופן רשמי בעל תקן מחייב, אלא גרסת כתב-היד של טקסטואליס שהתפתחה מן המאה ה-14 לערך. הגופן התאים לכתיבה בדיו על גבי נייר. בגופן זה, בדרך כלל האותיות f ו-s יורדות מתחת לשורה וחלקים העולים מעל לקו השורה מעוקלים בסלסול (בייחוד באות d). עם זאת כל כותב סיגל לעצמו סגנון מעט שונה ולא כל המאפיינים מצויים בכל מסמך הכתוב בקורסיבה.
סוגים > היבריד, בסטרד

היברידה (Hybrida), בסטרד או בסטרדה (Bastarda או lettre bâtarde בצרפתית) איננו סגנון עצמאי אלא שילוב יעיל בין טקסטואליס וקורסיבה. מהטקסטואליס ירש הסגנון את השבירות הישרות של החלקים מעל השורה ומהקורסיבה את ה-s הארוכה וה-f היורדות מתחתיה, ואת צורות ה-a וה-g. צורה זו שימשה בצרפת, גרמניה וארצות השפלה במאות ה-14 וה-15 להעתקת ספרים בעלי חשיבות משנית ולאחר מכן גם להדפסתם. הגופן שימש עבור טקסטים בלשונות מקומיות ולא ללטינית. ב-1454 הוציא יוהאן גוטנברג גלופה של הגופן.
סוגים > שוואבכר

שְוָואבָּכֶר (Schwabacher) הוא גופן הנקרא על שם העיר שוואבך, בה הודפס בגופן זה התנ"ך הראשון בתרגום לגרמנית, שנערך בידי מרטין לותר (ולפיכך נחשב בראשיתו ל"גופן פרוטסטנטי"). הגופן התפתח מהטקסטואליס ושימש אך ורק לדפוס. גופן זה מתאפיין בקו מאונך "שמן" ומאסיבי וזוויתיות רבה.
סימניו המובהקים הם האות הלטינית הקטנה o בנויה משתי קשתות מעוגלות, לאות g חלק עליון מאוזן ישר המצטלב עם החלקים האנכיים מימין ומשמאל ו-H גדולה בעלת מבנה ייחודי המזכיר h קטנה ואת הספרה 5.
האות שימשה בדפוס עיתונים גרמניים עד אמצע המאה ה-20. ב-3 בינואר 1941 הוציא מרטין בורמן, סגנו של אדולף היטלר צו לפיו אסור להשתמש עוד בסוג האות ואסור לכנותו "גותי", כיוון שמדובר ב"אות יהודית" (Schwabacher Judenlettern). לדברי הצו, האות היהודית הוחדרה לגרמניה על ידי בעלי העיתונים ובתי הדפוס היהודים. הצו הורה על החלפה מיידית של האות בכל דבר-דפוס ושלט באות "אנטיקווה" (Antiqua).