stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
דואליות פונטריאגין
תכונות בסיסיות

נמנה כעת מספר תכונות בסיסיות של החבורה הדואלית ונוכיח חלק מהן לאחר מכן. המושג "איזומורפים" מתייחס כאן לאיזומורפיות כחבורות טופולוגיות.
לכל חבורה טופולוגית  G, החבורה הדואלית  {\hat {G}} עם פעולת הכפל והטופולוגיה שהוגדרו לעיל היא חבורה טופולוגית אבלית.
לכל חבורה טופולוגית  G, החבורה הדואלית היא תת-מרחב סגור של מרחב הפונקציות הרציפות  C(G,S^{1}) בטופולוגיה המושרה מהטופולוגיה לעיל.
אם  G חבורה קומפקטית (חבורה טופולוגית קומפקטית) אז  {\hat {G}} חבורה דיסקרטית.
אם  G חבורה דיסקרטית אז  {\hat {G}} חבורה קומפקטית.
אם  G חבורה קומפקטית-מקומית אז גם  {\hat {G}} חבורה קומפקטית מקומית.
מכיוון ש- S^{1} מקיימת את תכונת האוסדורף אז לכל חבורה טופולוגית  G, החבורה הדואלית  {\hat {G}} מקיימת תמיד את תכונת האוסדורף כתת-מרחב של  (S^{1})^{G} (מרחב פונקציות כמכפלה של מרחבים).
מהתכונות הנ"ל נובע כי בפרט, אם  G חבורה אבלית קומפקטית-מקומית אז  {\hat {G}} חבורה אבלית קומפקטית-מקומית.
משפט הדואליות של פונטריאגין- לכל חבורה אבלית קומפקטית-מקומית  G, מתקיים כי- G\cong {\hat {\hat {G}}}, כלומר הבי-דואל של  G (הדואל של הדואל של  G) איזומורפי ל- G. הכוונה היא ששתי החבורות איזומורפיות כחבורות טופולוגיות, כלומר שקיימת פונקציה  \phi :G\rightarrow {\hat {\hat {G}}} חח"ע ועל, רציפה ומכבדת את מבנה החבורות (כפלית). המשפט גורס כי הפונקציה -  \phi :G\rightarrow {\hat {\hat {G}}},\quad \forall a\in G\forall \chi \in {\hat {G}}\quad \phi (a)(\chi )=\chi (a) עונה על הדרישות.
אם  A,B חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית אז  {\widehat {A\times B}}\cong {\hat {A}}\times {\hat {B}} עם ההגדרות הסטנדרטיות של מכפלת חבורות ומכפלת מרחבים טופולוגיים. בנוסף קיימת הכללה למכפלות כלשהן.
אם  G חבורה אבלית קומפקטית-מקומית ו- H\leq G תת-חבורה (במקרה הזה נורמלית) אז  H^{\perp }\cong {\widehat {G/H}} כאשר  H^{\perp }:=\{\chi \in {\hat {G}}|\forall h\in H,\quad \chi (h)=1\} והטופולוגיה על מרחב המנה  G/H היא טופולוגיית המנה.
תכונות בסיסיות > הוכחת המבנה כחבורה אבלית

עבור חבורה טופולוגית כללית  G, נראה כי  {\hat {G}} עם פעולת הכפל שהגדרנו היא חבורה אבלית.
סגירות תחת הפעולה - ראשית נוודא שהפונקציה המוגדרת על ידי כפל נקודתי היא אכן קרקטר. תהיינה  \chi ,\eta \in {\hat {G}}.
נראה כי  \chi \eta  הומומורפיזם של חבורות - עבור  a,b\in G, מכיוון ש- \chi ,\eta  הומומורפיזמים של חבורות אז  \chi \eta (ab)=\chi (ab)\eta (ab)=\chi (a)\chi (b)\eta (a)\eta (b) מקומוטטיביות הכפל בשדה המרוכבים נובע כי  \chi (a)\chi (b)\eta (a)\eta (b)=\chi (a)\eta (a)\chi (b)\eta (b)=\chi \eta (a)\chi \eta (b) כפי שרצינו.
נראה כי  \chi \eta  רציפה - מכיוון שזהו הומומורפיזם של חבורות, עבור  e\in G איבר היחידה מתקיים  \chi \eta (e)=1 ומספיק להוכיח רציפות ב- e.
עבור  \epsilon >0 ניקח מרציפות  \chi ,\eta  סביבה  U של  e כך ש-  \forall a\in U\quad |\chi (a)-1|<\epsilon /2,|\eta (a)-1|<\epsilon /2 ולכן לכל  a\in U מתקיים כי |\chi (a)\eta (a)-1|=|\chi (a)\eta (a)-\chi (a)+\chi (a)-1|\leq |\chi (a)||\eta (a)-1|+|\chi (a)-1|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon
פעולת כפל אסוציאטיבית - לכל  \chi ,\eta ,\phi \in {\hat {G}}, מתקיים מאסוציאטיביות ב- \mathbb {C}  כי-
 \forall a\in G,((\chi \eta )\phi )(a)=(\chi (a)\eta (a))\phi (a)=\chi (a)(\eta (a)\phi (a))=(\chi (\eta \phi ))(a)
ולכן  (\chi \eta )\phi =\chi (\eta \phi ).
אבליות - לכל  \chi ,\eta \in {\hat {G}} מתקיים מחילופיות (קומוטטיביות) ב- \mathbb {C}  כי-
 \forall a\in G,\chi \eta (a)=\chi (a)\eta (a)=\eta (a)\chi (a)=\eta \chi (a) ולכן  \chi \eta =\eta \chi .
קיום איבר יחידה - הפונקציה הקבועה  \chi  הנתונה על ידי  \forall a\in G,\chi (a)=1 היא קרקטר ומקיימת לכל  \eta \in {\hat {G}} כי -  \forall a\in G,\chi \eta (a)=1\cdot \eta (a)=\eta (a) ולכן  \chi \eta =\eta . מאבליות, נכונה גם אדישות לכפל מימין.
קיום איבר הופכי - לכל  \chi \in {\hat {G}} נטען כי הפונקציה  \chi ^{-1} המוגדרת על ידי  \forall a\in G,\chi ^{-1}(a):=\chi (a)^{-1}={\overline {\chi (a)}}, היא איבר הופכי ל- \chi .
ואכן, פונקציה זו רציפה כהרכבת רציפות (הצמדה רציפה ב- \mathbb {C} ) והיא הומומורפיזם של חבורות כהרכבת הומומורפיזמים של חבורות (הצמדה שומרת על כפל ב- \mathbb {C} ).
בנוסף, מתקיים לכל  a\in G כי  {\overline {\chi (a)}}\chi (a)=|\chi (a)|^{2}=1 ולכן  \chi  הפיך.
תכונות בסיסיות > סגירות טופולוגית במרחב הפונקציות הרציפות

בטופולוגיה שהגדרנו מתקיים כי כל נקודת הצטברות  f:G\rightarrow S^{1} רציפה של  {\hat {G}} היא הומומורפיזם של חבורות.
הוכחה: (כולל שימוש ברעיון של רשתות) יהיו  a,b\in G ונראה כי  f(ab)=f(a)f(b). מההנחה על  f ניקח רשת  (g_{\alpha })_{\alpha \in D}\subset {\hat {G}} המתכנסת ל- f.יהיו  a,b\in G ונראה כי  f(ab)=f(a)f(b). מתקיים כי הטופולוגיה של התכנסות נקודתית (טופולוגיית המכפלה) על  C(G,S^{1}) גסה יותר מהטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה (מוכלת בה כקבוצה), כי יחידונים הם קבוצות קומפקטיות. לכן, אנו מקבלים כי הרשתות  \{g_{\alpha }(a)\}_{\alpha \in D},\{g_{\alpha }(b)\}_{\alpha \in D},\{g_{\alpha }(ab)\}_{\alpha \in D} מתכנסות ל- f(a),f(b),f(ab) בהתאמה.
לכן מיחידות הגבול ב- S^{1} כמרחב האוסדורף ומכפליות  g_{\alpha } לכל  \alpha  נקבל-
 f(ab)=lim_{\alpha \in D}\{g_{\alpha }(ab)\}_{\alpha }=lim_{\alpha \in D}\{g_{\alpha }(a)g_{\alpha }(b)\}_{\alpha }=f(a)f(b), כנדרש.
תכונות בסיסיות > טופולוגיה במקרה של קומפקטיות מקומית

עבור חבורה טופולוגית כללית  G, הגדרנו את הטופולוגיה על החבורה הדואלית  {\hat {G}} להיות הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה. כלומר במונחים של  {\hat {G}} זו הטופולוגיה שנוצרת על-ידי תת-הבסיס:
\{S(K,U)\subseteq {\hat {G}}|K\subseteq G{\text{ is compact}},U\subseteq S^{1}{\text{ is open}}\},\quad S(K,U):=\{\chi \in {\hat {G}}|\chi (K)\subseteq U\}.
במקרה ש- G היא קומפקטית-מקומית כמרחב טופולוגי, יש תיאור נוסף לטופולוגיה על החבורה הדואלית. מכיוון ש- {\hat {G}}\subseteq C(G,S^{1}) כלומר כל פונקציה בחבורה הדואלית היא רציפה, נובע מטיעונים טופולוגיים בלבד, (בין היתר ממטריות  S^{1}) כי הטופולוגיה שהגדרנו על  {\hat {G}} מזדהה עם הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על קבוצות קומפקטיות, שנוצרת על-ידי הבסיס:
\{B(f,K,\epsilon )\subseteq (S^{1})^{G}|f:G\rightarrow S^{1},K\subseteq G{\text{ is compact}},\epsilon >0\},\quad B(f,K,\epsilon ):=\{g:G\rightarrow S^{1}|sup\{|f(a)-g(a)|:a\in K\}<\epsilon \}
תכונות בסיסיות > דואליות בין חבורות קומפקטיות וחבורות דיסקרטיות

נראה כעת כי אם  G חבורה טופולוגית קומפקטית אז החבורה הדואלית היא מרחב דיסקרטי. ולהפך, אם  G חבורה דיסקרטית אז  {\hat {G}} קומפקטית. נשים לב כי בשני המקרים  G קומפקטית-מקומית ולכן הטופולוגיה על  {\hat {G}} היא הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על קבוצות קומפקטיות.
עבור המקרה השני נצטרך את משפט ארצלה-אסקולי:
אם  X מרחב טופולוגי ו- (Y,d) מרחב מטרי, תת-קבוצה סגורה  F\subseteq C(X,Y) היא קומפקטית בטופולוגיה של התכנסות קומפקטית אם מתקיימים שני התנאים הבאים: א)  F רציפה במידה אחידה, כלומר לכל  x\in X לכל  \epsilon >0 יש סביבה  x\in U כך ש-
 \forall f\in F,f(U)\subset B(f(x),\epsilon ) כאשר  B(f(x),\epsilon ) כדור פתוח בטופולוגיה המטרית על  Y. ב) מתקיים כי לכל  x\in X, הסגור הטופולוגי של הקבוצה  F_{x}=\{f(x)|f\in F\} קומפקטי כתת-מרחב של  Y.
תכונות בסיסיות > דואליות בין חבורות קומפקטיות וחבורות דיסקרטיות > אם  G קומפקטית אז  {\hat {G}} דיסקרטית

הוכחה:
על מנת להוכיח טענה זו עלינו להוכיח שתי טענות-
טענה1: אם  1\neq \xi \in S^{1} כך ש Re(\xi )>0 אז יש  k\in \mathbb {N}  כך ש Re(\xi ^{k})<0.
באמצעות טענה1 ניתן להוכיח את הטענה הבאה-
טענה2: אם  G חבורה טופולוגית, אז הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה על  {\hat {G}} היא הטופולוגיה הדיסקרטית.
מסקנה: מכיוון ש- G קומפקטית ו- S^{1} מרחב מטרי, אז הטופולוגיה של התכנסות קומפקטית על  C(G,S^{1}) מזדהה עם הטופולוגיה של התכנסות במידה-שווה. בפרט הטופולוגיות מזדהות על  {\hat {G}} ולכן היא דיסקרטית לפי טענה2.
תכונות בסיסיות > דואליות בין חבורות קומפקטיות וחבורות דיסקרטיות > אם  G דיסקרטית אז  {\hat {G}} קומפקטית

הוכחה: נראה שהחבורה הדואלית מקיימת את תנאי משפט ארצלה-אסקולי כתת-קבוצה של  C(G,S^{1}).
נסמן  F={\hat {G}}. ראינו שהחבורה הדואלית סגורה במרחב הפונקציות הרציפות, כלומר  F={\overline {F}}.
נראה קיום תנאי משפט ארצלה-אסקולי- א)  F רציפה במידה אחידה- יהי  a\in G, אז  \{a\} סביבה פתוחה של  a. בנוסף מתקיים כי  \forall f\in F,f(\{a\})=\{f(a)\}. לכן לכל  \epsilon >0 מתקיים
 \forall f\in F,f(\{a\})\subset B(f(a),\epsilon ) ומכאן ש- F רציפה במידה אחידה. ב) מכיוון ש- S^{1} מרחב קומפקטי, כל תת-מרחב סגור שלו הוא מרחב קומפקטי, בפרט נכון עבור כל המרחבים  {\overline {F_{a}}}\quad ,a\in G.
מכיוון שהתנאים מתקיימים,  F={\hat {G}} קומפקטי.
דוגמאות

החבורות בדוגמאות הבאות הן חבורות אבליות קומפקטיות-מקומית. המושג "איזומורפים" מתייחס כאן לאיזומורפיות כחבורות טופולוגיות.
עבור החבורה האדיטיבית  \mathbb {R}  עם הטופולוגיה הסטנדרטית, החבורה הדואלית איזומורפית ל- \mathbb {R}  עצמה באופן לא-קנוני. כל התאמה מהסוג  y\mapsto e^{r\cdot ixy} כאשר  r\in \mathbb {R}  ותמונת  y היא פונקציה ב- x, עובדת.
באופן יותר כללי, לכל  n\in \mathbb {N} , החבורה הדואלית לחבורה האדיטיבית  \mathbb {R} ^{n} עם הטופולוגיה הסטנדרטית איזומורפית ל- \mathbb {R} ^{n}, למשל עם ההתאמה המוכללת הבאה- {\vec {y}}\mapsto e^{i<{\vec {x}},{\vec {y}}>}, כאשר המכפלה הפנימית  <{\vec {x}},{\vec {y}}> היא המכפלה הפנימית הסטנדרטית על  \mathbb {R} ^{n}.
החבורה הדואלית לתת-חבורה הכפלית  S^{1}\subset \mathbb {C} -0 עם הטופולוגיה המושרה מהטופולוגיה הסטנדרטית, איזומורפית לחבורה האדיטיבית  \mathbb {Z} , עם הטופולוגיה הדיסקרטית. ההתאמה נתונה על ידי הפונקציה  n\mapsto z^{n} כאשר תמונת מספר שלם היא פונקציה ב- z.
להפך, החבורה הדואלית של  \mathbb {Z}  איזומורפית ל-  S^{1}. שתי הדוגמאות האחרונות הן מהמקרים הידועים ביותר שעונים על התכונות שראינו לגבי מרחבים קומפקטיים ומרחבים דיסקרטיים.
לכל  n\in \mathbb {N} , החבורה הדואלית של  \mathbb {Z} _{n} איזומורפית ל-  \mathbb {Z} _{n} עצמה. כאן  \mathbb {Z} _{n} היא החבורה האדיטיבית "השלמים מודולו  n" עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
לכל מספר ראשוני  p, החבורה הדואלית לחבורה האדיטיבית של שדה המספריים ה p-אדיים  \mathbb {Q} _{p} עם הטופולוגיה ה p-אדית איזומורפית ל- \mathbb {Q} _{p} עצמה.
הקשר להתמרת פורייה

באנליזה הרמונית לומדים תחילה על שני מקרים של התמרת פורייה, שננסח כעת. לאחר מכן, ניתן בעזרת החבורה הדואלית משמעות כללית יותר למושג "התמרת פורייה".
ננסח את המקרים ה"ידועים" באופן שיתאים להכללות שנציג:
המקרה הראשון הוא ב- \mathbb {R} . בהינתן פונקציה  f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}  שהיא רציפה, חסומה ושהאינטרגל של  |f| על כל הישר הממשי מתכנס, ניתן להגדיר את התמרת פורייה. התמרת פורייה של  f היא פונקציה  {\hat {f}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} , המוגדרת באופן הבא:  {\hat {f}}(\omega )=\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-i\omega x}dx:=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx. ניתן להראות כי פונקציה זו גם היא רציפה וחסומה אך ניתן להבטיח "רק" כי האינטגרל של  |{\hat {f}}|^{2} על כל הישר מתכנס.
המקרה השני הוא ב-  S^{1}, אשר איזומורפי כחבורה טופולוגית למרחב המנה (שהוא גם חבורת מנה)  \mathbb {R} /\mathbb {Z} , נדבר אם כך במונחים של חבורה זו.
כאן, כל פונקציה  f:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C}  שהיא רציפה נתפסת כפונקציה רציפה  f:[0,1]\rightarrow \mathbb {C}  כאשר  f(0)=f(1) (שקול גם לפונקציה רציפה, מחזורית עם מחזור 1 על כל הישר הממשי).  f כזו היא גם חסומה מקומפקטיות  \mathbb {R} /\mathbb {Z}  ומתקיים כי האינטגרל של  |f| ב-  [0,1] קיים.
במקרה זה, ניתן להגדיר את התמרת פורייה של  f להיות פונקציה  {\hat {f}}:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C}  כאשר  \mathbb {Z}  היא החבורה האדיטיבית עם הטופולוגיה הדיסקרטית, באופן הבא:  {\hat {f}}(n)=\int _{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }f(x)e^{-2\pi inx}dx:=\int _{0}^{1}f(x)e^{-2\pi inx}dx. פונקציה זו היא רציפה מדיסקרטיות  \mathbb {Z} . בנוסף, ניתן להראות גם את התכונות חסימות (נובע מלמת רימן-לבג) והתכנסות הטור  \sum _{n\in \mathbb {Z} }|{\hat {f}}(n)| שמהווה מושג של אינטגרציה על  \mathbb {Z} .
על-מנת להכליל את המושג "התמרת פורייה" לחבורות אבליות קומפקטיות-מקומית, נכליל תחילה את מושג האינטגרל על חבורה קומפקטית-מקומית (לא בהכרח אבלית).
הקשר להתמרת פורייה > אינטגרל האר

אנו לא נבנה כאן את אינטגרל האר, אלא נסביר את המוטיבציה. לפירוט, ראו בביבליוגרפיה ואת הערך הויקיפדי על מידת האר.
עבור חבורה קומפקטית-מקומית והאוסדורף  G, ברצוננו למצוא קבוצת פונקציות  X\subseteq \mathbb {C} ^{G} המקיימת תכונות מסוימות - נרצה שקבוצה זו תהווה מרחב וקטורי מעל  \mathbb {C}  ותכיל בין היתר את כל הפונקציות הרציפות עם תומך קומפקטי, כלומר  C_{c}(G)\subseteq X.
על מרחב זה יהיה מוגדר פונקציונל ליניארי  I:X\rightarrow \mathbb {C}  שאיננו פונקציונל האפס, שיקיים את התכונות הבאות:
אם  f\in X וגם לכל  a\in G,  f(a)\geq 0 (סימון:  f\geq 0) אז  I(f)\geq 0. תכונה זו נקראת אי-שליליות.
לכל  f\in X ולכל  b\in G, עבור הפונקציה במשתנה  a שמוגדרת על ידי  f_{b}(a):=f(ba) מתקיים כי  I(f)=I(f_{b}). תכונה זו נקראת אינוואריאנטיות-משמאל.
פונקציונל כזה נקרא אינטגרל האר או אינטגרל האר שמאלי על  G.
משפט: קיים (ויחיד עד כדי כפל בסקלר חיובי) אינטגרל האר שמאלי על  G, שמוגדר על המרחב הווקטורי  C_{c}(G) וניתן להרחבה למרחב וקטורי הנקרא  L^{1}(G). מרחב זה מקיים -  f\in L^{1}(G)\iff |f|\in L^{1}(G), כלומר זהו מרחב הפונקציות עם "אינטגרל מתכנס בהחלט".
נסמן לכל  f\in L^{1}(G), את האינטגרל של  f על  G להיות -  \int _{G}f(x)dx:=I(f).
נסמן ב-  L_{bc}^{1}(G)\subseteq L^{1}(G) את תת-המרחב הווקטורי המוגדר על ידי -  L_{bc}^{1}(G)=\{f\in L^{1}(G):f{\text{ is bounded and continuous}}\}.
הקשר להתמרת פורייה > הכללה 1

כעת נעשה שימוש ראשון בחבורת הקרקטרים.
עבור חבורה אבלית קומפקטית-מקומית  G, עם ההגדרה של אינטגרל האר הנ"ל, לכל  f\in L_{bc}^{1}(G) ולכל  \chi \in {\hat {G}} מתקיים  |f\cdot \chi ^{-1}|=|f\cdot {\overline {\chi }}|=|f|\in L_{bc}^{1}(G) לפי המשפט שהצגנו ולכן  f\cdot \chi ^{-1}=f\cdot {\overline {\chi }}\in L_{bc}^{1}(G).
אם כך, נגדיר עבור  f\in L_{bc}^{1}(G) את התמרת פורייה של  f להיות הפונקציה  {\hat {f}}:{\hat {G}}\rightarrow \mathbb {C}  המוגדרת על ידי -  {\hat {f}}(\chi )=<f,\chi >:=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}dx.
הערות:
זוהי אכן הכללה עבור המקרים שהצגנו עם החבורות האבליות והקומפקטיות מקומית  \mathbb {R} ,S^{1}. במקרים אלו ראינו צורה מפורשת של החבורה הדואלית ובנוסף השימוש בצורות המתאימות של אינטגרל רימן נותן אינטגרל האר על  \mathbb {R} ,S^{1}. מיחידות עד-כדי סקלר, התמרת פורייה ש"הכרנו" היא כעת אחת מאינסוף אפשרויות להגדיר התמרת פורייה על כל אחת מהחבורות.
לקריאה נוספת

יואיט ורוס Abstract Harmonic Analysis
המעניק (סרט)

| --- | --- |

 מבוסס על:  המעניק 
 בימוי:  פיליפ נויס 
 הופק בידי:  ג'ף ברידג'ס 
 תסריט:  רוברט ב. וידה, לויס לאורי, מייקל מיטניק 
 עריכה:  בארי אלכסנדר בראון 
 שחקנים ראשיים:  אלכסנדר סקושגורד קייטי הולמס מריל סטריפ אודיה רש ג'ף ברידג'ס ברנטון ת'ווייטס קמרון מונאהן טיילור סוויפט 
 מוזיקה:  מרקו בלטרמי 
 צילום:  רוס אמרי 
 מדינה:  ארצות הברית 
 חברת הפקה:  Walden Media, חברת ויינסטין 
 חברה מפיצה:  Big Bang Media, נטפליקס, חברת ויינסטין, FandangoNow 
 שיטת הפצה:  וידאו על פי דרישה 
 הקרנת בכורה:  11 באוגוסט 2014 
 משך הקרנה:  97 דק' 
 שפת הסרט:  אנגלית 
 סוגה:  סרט מדע בדיוני, סרט מבוסס יצירה ספרותית, סרט דיסטופי, סרט דרמה, סרט פעולה 
 הכנסות באתר מוג'ו:   giver
 thegiverfilm.com
 דף הסרט ב־IMDb
 
המעניק (באנגלית: The Giver) הוא סרט מדע בדיוני אמריקאי חברתי משנת 2014 שמבוסס על הנובלה בעלת השם הזהה - "המעניק" - מאת הסופרת לויס לאורי. הסרט בוים על ידי פיליפ נויס ונכתב על ידי מייקל מיטניק ורוברט ב. וידה. בסרט מופיעים ג'ף ברידג'ס, מריל סטריפ, ברנטון ת'ווייטס, אלכסנדר סקארסגארד, אודיה רש, קייטי הולמס וטיילור סוויפט. הסרט יצא לאקרנים בארצות הברית ובישראל ב-15 באוגוסט 2014.
עלילת הסרט

בשנת 2048, אחרי מלחמה, החברה החליטה להיפטר ממגוון גזעי, ראיית צבעים ורגשות. כל התושבים מחקו את הזכרונות שלהם חוץ ממקבל הזיכרון. מכיוון שמקבל הזיכרון הוא האדם היחיד בקהילה שיש לו זיכרונות מוקדמים של העבר, הוא חייב לייעץ למועצת הזקנים ולעומדת בראשה בהחלטות בקהילה. ג'ונאס, נער שחי וגדל בקהילה דורות רבים לאחר השינוי הקיצוני של האנושות, נבחר להיות המקבל הבא של הזיכרונות, ומקבל ישירות זכרונות מהמקבל הקודם, שכעת הוא המעניק. ג'ונאס לומד מהעבר של המעניק ושל בתו, רוזמרי. רוזמרי הייתה מקבלת הזיכרון לפני ג'ונאס, אך הייתה כל כך נסערת מהזיכרונות שאביה הראה לה, עד שהמועצה החליטה להמיתה, באמצעות מה שנקרא בקהילה "שחרור". חברי הקהילה לא יודעים מהו שחרור, מלבד המעניק, ובהמשך הסרט- ג'ונאס. בעוד בחברה מתייחסים לשחרור כאל פרישה ל"שום מקום" - מקום טוב מחוץ לקהילה - הקהל לומד שזהו מוות על ידי זריקה קטלנית. ג'ונאס מתחיל לחלוק את מה שגילה עם חברתו מילדות פיונה, ומעודד אותה להימנע מהזריקה היומית (המדכאת רגשות וחלומות) ומעורר בה רגשות. פיונה לא בטוחה מהם רגשות אלו, וג'ונאס מנשק אותה, ובכך מסביר לה מה היא 'אהבה'.
ג'ונאס חולק את זכרונותיו עם התינוק שאביו הביא הביתה, גבריאל (גייב), ומפתח מערכת יחסים קרובה איתו לאחר שגילה שהוא חולק את אותו סימן על פרק ידו של ג'ונאס, הסימן של מקבל זיכרון פוטנציאלי. ג'ונאס מחליט שכולם צריכים להכיר את זיכרונות העבר וביחד עם המעניק הם מחליטים שהדרך היחידה שהם יכולים לעזור לקהילה היא ללכת מעבר לגבול של שום מקום, לגבול הזיכרון, לעבור אותו וכך לשחרר את הזיכרונות בחזרה לתוך הקהילה. ג'ונאס מתגנב החוצה בשעת העוצר, ומחליט לקחת איתו את גייב, לאחר שגילה שגייב עומד ל"השתחרר" בגלל סימנים של חולשה. אשר, חברו הטוב ביותר, מנסה לעצור בו לפני שהוא עוזב את השכונה, אך ג'ונאס מרתק אותו במהירות לקרקע. אשר שוכב המום על הקרקע, בעוד ג'ונאס רוכב על אופניו למרכז הטיפוח. הוא מספר לפיונה את תוכניתו ורוצה לקחת אותה אתו, אבל היא מסרבת ובמקום זאת עוזרת לו להוציא את גייב. לפני שהוא עוזב, היא מנשקת אותו ועוזרת לו לברוח.
בינתיים אמו של ג'ונאס ואשר הולכים לראש הזקנים כדי לספר להם שג'ונאס נעדר. שומרים נשלחים לסרוק ולמצוא את ג'ונאס, שלפי הכרזת המועצה הפך למסוכן. ג'ונאס לוקח אחד מאופנועי השומרים ונוסע לצוק ליד מקום מגוריו של המעניק, ומזנק מעבר לגבול של שום מקום. ראש מועצת הזקנים מקצה לאשר מזל"ט כדי למצוא את ג'ונאס ו"לאבד" אותו (משמע להרוג אותו). אשר מוצא את ג'ונאס עם גייב ביער, ולוכד אותו עם המזל"ט, אך לאחר שג'ונאס מפציר בו שייתן לו ללכת, אשר מפיל אותו לתוך הנהר ומשחרר אותו לחופשי. ג'ונאס ממשיך לנוע בכוחותיו האחרונים בשום מקום, בזמן שפיונה נדונה ל"שחרור" על שעזרה לו. בדיוק כשהיא עומדת ל"השתחרר" על ידי אביו של ג'ונאס, המעניק צועד פנימה ומנסה לעכב את "ההשתחררות" של פיונה על ידי זיכרונות של בתו רוזמרי ודיבור ללבם של חברי המועצה. בסופו של דבר, ג'ונאס מוצא מזחלת אותה חזה בזיכרון הראשון שהוענק לו ועושה את דרכו אל מעבר לגבול של שום מקום. הוא משחרר את הזכרונות, הצבע והרגשות. "שחרורה" של פיונה מתבטל לאחר שאביו של ג'ונאס מבין מה הוא עמד לעשות. ג'ונאס וגייב מגיעים במזחלת לבית שראו בזיכרון הראשון, ושומעים מתוך הבית מזמורי חג מולד.
צוות שחקנים

ג'ף ברידג'ס - המעניק
מריל סטריפ - ראש מועצת הזקנים
ברנטון ת'ווייטס - ג'ונאס
אלכסנדר סקארסגארד - אביו של ג'ונאס
קייטי הולמס - אמו של ג'ונאס
אמה טרמבליי - לילי
אודיה רש - פיונה
קמרון מוינאהן - אשר
טיילור סוויפט - רוזמרי
מוזיקה

הפסקול לסרט נכתב על ידי מרקו בלטרמי.
הערות שוליים

↑   מאיה לוין, אם עכשיו הסרט, למה שארצה לקרוא את הספר?, באתר הארץ, 2 באוקטובר 2014
חיים במנוסה

| --- | --- |

 בימוי:  שון פן 
 תסריט:  ג'ז באטרוורת' 
 עריכה:  מישל טסורו, ולדיס אוסקרסדוטיר 
 שחקנים ראשיים:  שון פן אדי מארסן Bailey Noble קתרין וויניק ג'יימס רוסו דייל דיקי ג'וש ברולין נורברט ליאו בוץ דילן פן רג'ינה קינג 
 צילום:  דניאל מודר 
 מדינה:  ארצות הברית 
 שיטת הפצה:  וידאו על פי דרישה 
 הקרנת בכורה:  2020 
 משך הקרנה:  109 דק' 
 שפת הסרט:  אנגלית 
 סוגה:  סרט דרמה 
 אתר רשמי
 דף הסרט ב־IMDb
 
חיים במנוסה (באנגלית: Flag Day) הוא סרט דרמה אמריקאי משנת 2021 בבימויו ובכיכובו של שון פן. בסרט משחקת בתפקיד ראשי בתו של פן, דילן. הסרט הוקרן בבכורה בתחרות בפסטיבל קאן 2021. הוא שוחרר ב-20 באוגוסט 2021 על ידי יונייטד ארטיסט, וזכה לביקורות מעורבות מצד המבקרים.
עלילה

בתו של נוכל רמאי נאבקת להשלים עם עברו של אביה, הכרוכה בתפיסה הרביעית בגודלה של שטרות מזויפים בתולדות ארצות הברית, כמעט 20 מיליון דולר. הסרט מבוסס על סיפור אמיתי המתואר בספרה של ג'ניפר פוגל משנת 2004, Flim-Flam Man : A True Family History.
צוות השחקנים

דילן פן - ג'ניפר פוגל
ג'דין ריילי - ג'ניפר כמתבגרת
אדיסון טימק - ג'ניפר בילדותה
שון פן - ג'ון פוגל
קתרין ויניק - פטי ווגל
ג'וש ברולין - הדוד בק
הופר פן - ניק ווגל
בקהאם קרופורד - ניק כילד צעיר יותר
רג'ינה קינג - מרשל בלייק
נורברט ליאו בוץ - דוק
דייל דיקי - סבתא מרגרט
אדי מארסן - מר עמנואל
ביילי נובל - דבי
הפקה

במרץ 2012, theplaylist.net דיווח על התעניינותו של פן בהפקת הסרט המבוסס על הרומן Flim-Flam Man עם אלחנדרו גונזלס איניאריטו שהופקד על הבימוי.
במרץ 2019 פורסמה מודעת ליהוק לסרט, כאשר הצילומים אמורים להתחיל בוויניפג, קנדה.
הצילומים החלו ביוני כשהצוות כולל את פן וילדיו דילן פן והופר פן. ג'וש ברולין, מיילס טלר וקתרין וויניק היו גם הם בין צוות השחקנים שלוהקו. ביולי 2019 לוהק ג'יימס רוסו לתפקיד בסרט. ב-1 באוגוסט 2019, סצנות צולמו בקמפוס " פורט גארי" של אוניברסיטת מניטובה. ב-6 בספטמבר 2019, הצילומים התקיימו ב-Piedras Blancas במחוז סן לואיס אוביספו, קליפורניה.
הסרט הופק על ידי ויליאם הורברג, ג'ון קיליק ופרננדו סוליצ'ין.
בראיון למגזין Deadline Hollywood בפסטיבל קאן 2021, פן אמר כי הוא חשב בתחילה שזה יהיה משהו שהוא עשוי לשחק בו, אבל לאחר קושי לבחור את הבמאי הנכון לפרויקט הוא לקח על עצמו את התפקיד. זהו הסרט הראשון בבימויו של פן בו הוא גם מופיע.
יציאת הסרט לאקרנים

הסרט הוצג בבכורה עולמית בפסיטבל קאן ביולי 2021. לפני הפסטיבל, מטרו גולדווין מאייר רכשה את זכויות ההפצה של הסרט בארצות הברית, כשהיא מתכננת להוציא אותו מאוחר יותר באותה שנה באמצעות המיזם המשותף שלהם, יונייטד ארטיסט. הוא הוקרן לראשונה ב-20 באוגוסט 2021. הסרט היה אמור לצאת ב-13 באוגוסט, אך הקרנתו נדחתה כדי להימנע מהתחרות עם יציאת הסרט ריספקט של חברת MGM.
פסקול

הפסקול של הסרט כולל מוזיקה מקורית מאת אדי ודר, גלן הנסרד וקאט פאוור. הסינגל הראשון, "My Father's Daughter" סעמן את הופעת הבכורה המוזיקלית של בתו בת ה-17 של וודר, אוליביה, שגם שרה את שיר "יThere's a Girl". האלבום בן שלוש עשרה הרצועות יצא ב-20 באוגוסט 2021.
לצוד את האויב

| --- | --- |

כרזת הסרט בישראל
 מבוסס על:  הספר "Firing Point" מאת דון קית' וג'ורג' וואלאס
 בימוי:  דונובן מארש
 הופק בידי:  טובי יפה טאקר קולי ג'רארד באטלר ניל ה. מוריז מארק גיל אלן סיגל
 תסריט:  ג'יימי מוס ארנה שמידט
 עריכה:  מייקל ג'. דוטי
 שחקנים ראשיים:  ג'רארד באטלר טובי סטיבנס קומון גארי אולדמן לינדה קרדליני יורי קולוקולניקוב מיכאל ניקוויסט   קרטר מקינטייר
 מוזיקה:  טרוור מוריס
 צילום:  טום מאריאס
 מדינה:  ארצות הברית ארצות הברית
 חברת הפקה:  Original Film, סרטי מילניום, Nu Image 
 חברה מפיצה:  Summit Entertainment
 שיטת הפצה:  וידאו על פי דרישה 
 הקרנת בכורה:  ארצות הברית 26 באוקטובר 2018
 משך הקרנה:  121 דקות
 שפת הסרט:  אנגלית
 סוגה:  סרט פעולה, סרט מלחמה, סרט מתח, סרט מבוסס יצירה ספרותית 
 מקום התרחשות:  וושינגטון די. סי. 
 תקציב:  40 מיליון דולר
 הכנסות באתר מוג'ו:   hunterkiller
 www.hunterkiller.movie
 דף הסרט ב־IMDb
 
לצוד את האויב (באנגלית: Hunter Killer) הוא סרט מתח ופעולה משנת 2018 המבוסס על ספר מאת דון קית' וג'ורג' וואלאס, בכיכובם של ג'רארד באטלר, טובי סטיבנס, קומון, גארי אולדמן, לינדה קרדליני ומיכאל ניקוויסט.
עלילה

הצוללת האמריקנית טאמפה ביי הייתה במשימת מעקב אחר צוללת רוסית בים ברנץ, כשלפתע אירע פיצוץ בצוללת הרוסית ואילו זו האמריקנית נפגעה בידי טורפדו. בשל העובדה שלא התקבל כל דיווח מן הצוללת מחליט ראש אגף המבצעים של המטות המשולבים, אדמירל ג'ון פיסק (קומון), לשלוח את הצוללת ארקנסו שלה מונה מפקד חדש, קומנדר ג'ו גלאס (באטלר), לאתר את הצוללת הנעדרת ולחלץ את אנשיה אם ניתן, שכן על סיפון הצוללת ישנה גם המיסטיק, צוללת חילוץ.
כשהצוללת ארקנסו מגיעה לאזור התקרית מתברר לגלאס ולצוותו כי צוללת רוסית נוספת אורבת מתחת לפני השטח. במקביל מחליט אדמירל פיסק, בעצת ג'ין נורקוויסט (קרדליני), אנליסטית בכירה במועצה לביטחון לאומי, לשלוח צוות מיחידת "אריות הים" (Navy SEALs), בפיקוד לוטננט ביל בימן (סטיבנס), שיחדור בצניחה לרוסיה ויבצע סיור לאיסוף מודיעין בבסיס הצי הרוסי בפוליארני, שבחצי האי קולה. הצוות, בפיקוד בימן, מגלה עד מהרה ששר ההגנה הרוסי, אדמירל דמיטרי דורוב, ביצע הפיכה צבאית ועצר את הנשיא הרוסי, זאכרין.
דורוב מתכנן להצית מלחמת עולם שלישית, ובעוד יו"ר המטות המשולבים, אדמירל צ'ארלס דונגן (אולדמן), ממליץ לנשיאה האמריקנית לשלוח את הצי השישי למתקפה מקדימה על רוסיה, מחליטה הנשיאה להטיל על גלאס ובימן, על אנשיהם, לעצור אותו.
דמיטרי סטרוקוב

| --- | --- |

 לידה:  1828 מוסקבה, האימפריה הרוסית 
 פטירה:  1899 (בגיל 71 בערך) מוסקבה, האימפריה הרוסית 
 מקום קבורה:  בית הקברות דונסקויה החדש 
 מקום לימודים:  האקדמיה הלאומית סטרוגנוב לאמנות שימושית ותעשייתית במוסקבה 
 פרסים והוקרה:  מסדר סנטה אנה, דרגה 2  מסדר סטניסלב הקדוש, דרגה 2  אות המסדר אנה הקדושה, דרגה 3  עיטור ולדימיר הקדוש, דרגה 4 
 
דמיטרי סטרוקוב (ברוסית: Дмитрий Струков;‏ 1828 – 1899) היה צייר, משחזר אמנות וארכאולוג רוסי.