פלימפטון 322
הפרשנויות השונות לאופן יצירת הלוח > מספרים הופכיים

דרך נוספת לייצר את המספרים שבטבלה היא באמצעות זוגות של מספרים הופכיים. ייתכן שהמספרים שבעמודות השנייה והשלישית הם הפרמטרים של תרגיל חשבוני שמטרתו הייתה מציאת זוגות ההופכיים כמתואר להלן. אם מניחים שהטבלה נוצרה בשיטה זו, אז העמודה הראשונה משמאל מהווה תוצאת ביניים של החישוב, ולא אחת ממטרותיו.
השיטה היא כדלקמן: בהינתן מספר  \ x וההופכי שלו  \ x^{-1}, ניתן להגדיר שני מספרים
 \ s={\frac {1}{2}}\left(x-x^{-1}\right),\,d={\frac {1}{2}}\left(x+x^{-1}\right). כעת מתקיים הקשר
 \ s^{2}+1^{2}=d^{2}
(משום ש-  \ \left({\frac {x-x^{-1}}{2}}\right)^{2}+1={\frac {x^{2}-2+x^{-2}+4}{4}}=\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)^{2}),
כלומר, התקבלה השלשה הפיתגורית  \ (s,1,d), כאשר s ו-d אינם שלמים. על ידי כפל של s, ‏d ו-1 בגורם משותף ניתן לקבל שלושה שלמים שגם הם שלשה פיתגורית. בדרך זו ניתן להפיק את כל המספרים שבטבלה באמצעות זוגות של  \ x,x^{-1}.
אישוש לכך שזוהי דרך הפעולה ששימשה ליצירת הלוח ניתן למצוא בכך שהתהליך המתואר בו מזכיר את שיטת ההשלמה לריבוע, שהייתה ידועה לבבלים בניסוח גאומטרי. דוגמה לשימוש בשיטה זו ניתן לראות בבעיה הבאה: בהינתן מלבן A ששטחו  \ 1 וההפרש בין אורך צלעותיו הוא  \ t, יש למצוא את הצלעות.
אם נסמן את הצלעות בתור  \ x,x^{-1} (סימון עקבי עם נתוני השאלה, כי מכפלת שתי הצלעות היא 1), כך ש- \ x היא הצלע הגדולה יותר, הרי שההפרש בין אורך הצלעות הוא:  \ t=x-x^{-1}. ניתן לראות את המלבן בתור ריבוע B שאורך צלעו  \ x^{-1}, ומחובר אליו מלבן C שאורך צלעו האחת  \ x^{-1} ואורך צלעו השנייה  \ t. שיטת ההשלמה לריבוע מבוססת על יצירת ריבוע בעזרת המלבן הזה, באופן הבא: חותכים חצי מהמלבן C, מסובבים חתיכה זו ומדביקים אותה לתחתית הריבוע B. קיבלנו צורה שנראית כמו האות L, ושטחה זהה לשטח המלבן A, כלומר הוא 1. כדי להשלים את הצורה הזו לריבוע יש להוסיף את שטח הריבוע ה"דמיוני" D, שאורך צלעו הוא בדיוק  \ t/2=s. כלומר, שטח הריבוע הגדול הוא  \ d^{2}=1+s^{2}. על ידי הוצאת שורש ריבועי ניתן למצוא את אורך צלע הריבוע הגדול, ועל ידי חיסור התוספת של  \ s ניתן לקבל את הערכים  \ x,x^{-1} המבוקשים.
בשיטה זו עולים המספרים  \ s,d באופן טבעי, כאשר  \ d^{2} (העמודה הראשונה מימין) מופיע כתוצר ביניים של החישוב.
הטבלה הבאה מסכמת את יצירת הלוח בדרך זו:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| מספר השורה |  \ x |  \ x^{-1} |  \ s |  \ d |  \ d^{2} |  \ a |  \ c |
| 1 | 12/5 | 5/12 | 119/120 | 169/120 | 28,561/14,4000 | 119 | 169 |
| 2 | 64/27 | 27/64 | 3367/3456 | 4825/3456 | 23,280,625/11,943,936 | 3367 | 4825 |
| 3 | 75/32 | 32/75 | 4601/4800 | 6649/4800 | 44,209,201/23,040,000 | 4601 | 6649 |
| 4 | 125/54 | 54/125 | 12,709/13,500 | 18,541/13,500 | 343,768,681/182,250,000 | 12,709 | 18,541 |
| 5 | 9/4 | 4/9 | 65/72 | 97/72 | 9409/5184 | 65 | 97 |
| 6 | 20/9 | 9/20 | 319/360 | 481/360 | 231,361/129,600 | 319 | 481 |
| 7 | 54/25 | 25/54 | 2291/2700 | 3541/2700 | 12,538,681/7,290,000 | 2291 | 3541 |
| 8 | 32/15 | 15/32 | 799/960 | 1249/960 | 1,560,001/921,600 | 799 | 1249 |
| 9 | 25/12 | 12/25 | 481/600 | 769/600 | 591,361/360,000 | 481 | 769 |
| 10 | 81/40 | 40/81 | 4961/6480 | 8161/6480 | 66,601,921/41,990,400 | 4961 | 8161 |
| 11 | 2 | 1/2 | 3/4 | 5/4 | 25/16 | 45 | 75 |
| 12 | 48/25 | 25/48 | 1679/2400 | 2929/2400 | 8,579,041/5,760,000 | 1679 | 2929 |
| 13 | 15/8 | 8/15 | 161/240 | 289/240 | 83,521/57,600 | 161 | 289 |
| 14 | 50/27 | 27/50 | 1771/2700 | 3229/2700 | 10,426,441/7,290,000 | 1771 | 3229 |
| 15 | 9/5 | 5/9 | 28/45 | 53/45 | 2,809/2,025 | 28 | 53 |
נשים לב כי עבור הסבר זה, התיקון שבשורה האחרונה השתנה: במקום לתקן את 53 ל-106, מתקנים את 56 ל-28.
תכונה חשובה נוספת של הטבלה היא שהמיון בה מתבצע על פי ערכו של  \ x: הערכים מסודרים בסדר יורד, החל מ-2.4 ועד 1.8. הדבר תורם להשערה לפיה פלימפטון 322 הוא רק חלק מהלוח המקורי. עם זאת, אפשרי גם שהלוח שלם, ושהוא נוצר על ידי העתקה מגרסת טיוטה שכן הכילה את ערכיו של  \ x.
פרשנות זו מציגה הסברים לדרך שבה התקבלו השגיאות שבלוח. על פיה, השגיאה שבשורה 13 יכלה להיווצר בדרך הבאה: אם  \ s חושב באמצעות הנוסחה  \ s^{2}=d^{2}-1, ייתכן שיוצר הלוח שכח להוציא שורש מהתוצאה. גם השגיאות שבשורות 2 ו-15 יכולות להיות מוסברות על ידי שגיאה בשלב ההכפלה של  \ s,d לקבלת מספרים שלמים זרים, שעליה נוספה שגיאת העתקה.
פרשנות זו הוצגה לראשונה על ידי אוורט-מארי בראנס (Evert Marie Bruins), וזכתה להרחבה וביסוס בידי ההיסטוריונית אלינור רובסון (אנ') (מאמרה בנושא זה זיכה אותה בפרס מטעם האיגוד המתמטי של אמריקה).