הספר השני של יסודות
פרשנויות באשר למשמעות הספר > ביקורת

למרות שהפרשנות בסגנון של האלגברה הגאומטרית הייתה הגישה ההיסטוריוגרפית השלטת כמאה שנה, החל מהרבע האחרון של המאה העשרים החלו כמה מתמטיקאים והיסטוריונים להעלות התנגדות לפרשנות זאת בטענה שהיא מטעה, אנכרוניסטית ושגויה. ראוי לציון במיוחד מאמרו פורץ הדרך (ומעורר המחלוקת אז) של שבתאי אונגורו ב-1975 שקרא לשכתב מחדש את ההיסטוריה של המתמטיקה היוונית במה שהוא מכנה "על בסיס היסטורי שפוי".
אונגורו טוען שאין שום בסיס היסטורי מספק לגישת האלגברה הגאומטרית המקובלת, ושהיא המצאה דמיונית של מתמטיקאים מודרניים שקוראים טקסטים קדומים דרך משקפיים מודרניות. הוא תוקף אותה בנימוקים הבאים:
מן האלגברה הגאומטרית נגרס שההוכחות המודרניות הן בדיוק מה שהיה למתמטיקאים העתיקים כשהם כתבו את שכתבו.
מסקנה נוספת מגישה זאת היא שכשמתמטיקאי מצליח להראות ששני טקסטים לא קשורים, השייכים לשתי תרבויות זרות ולשתי תקופות שונות, יש להן תוכן אלגברי זהה, למרות שיש להם מראה צורה ותוכן שונים לחלוטין – זה נעשה לגיטימי לחשוב שיש קשר ביניהן, ולהסיק שהיו השפעות והעברות מידע מבחינה היסטורית, אפילו אם אין שום ביסוס היסטורי לכך. ומעבר לכך, מתמטיקה היא בבואה של תרבות, זאת הסיבה הבסיסית ביותר מדוע יש מתמטיקה מצרית, בבלית ויוונית, אשר שונות זו מזו, ולא סתם "מתמטיקה עתיקה".
הגישה נכשלת לענות על השאלה הברורה ביותר: אם המתמטיקאים היוונים חשבו בצורה אלגברית, והנימוקים, ההוכחות והמבנים שלהם הם אלגבריים באופן מהותי (כפי שהתומכים בגישה זאת טוענים), אז למה הם נותרו עם שיטה מסורבלת וקשה כל כך על ידי אמצעים גאומטריים? למה המסגרת האלגברית נותרת מוסתרת אם אין ספק בבסיס האלגברי שעליו מבוססת המתמטיקה היוונית? אפילו מבחינת הסימון עצמו היוונים לא השתמשו באלפבית היווני כדי לסמל מספרים.
אונגרו מצביע גם על כך שגאומטריה היא חשיבה על מרחב ותכונותיו אשר מגולמת עם ייצוג של דיאגרמות, מה שמאוד שונה מצורת חשיבה אלגברית שמאופיינת בסימול של פעולות וביחסים מתמטיים ופחות באובייקטים המתמטיים עצמם ומאבסטרקטיות והכללות לא אינטואטיביות. אלו הן הבדלים מהותיים של שתי דרכי חשיבה שונות, ולכן לא יכול להיות שהמתמטיקאים היוונים כתבו בצורה גאומטרית, אך באמת התכוונו וחשבו בצורה אלגברית.
היסטורית הרעיון של אלגברה גאומטרית אינו אפשרי, שכן תנאי הכרחי לכך הוא קיום אלגברה כלשהי לפני כן שממנה היוונים יצאו. אך זו מעולם לא הייתה קיימת, שכן לא היית שום אלגברה בעידן הטרום-נוצרי. לכן לא הייתה יכולה להיות שום אלגברה גאומטרית.
אונגרו במאמרו מנסה להביא סיבות לעלייתה של גישה זאת, הוא טוען ש:
אנשים מתבלבלים מן העובדה שיש איזומורפיזם בין גאומטריה ואלגברה (שבא לידי ביטוי באופן מובהק בגאומטריה אנליטית) כי תמיד אפשר להמיר צורה ומבנה גאומטרי למקביל האנליטי האלגברי שלו, דרך טכניקות אלגבריות. אך זאת לא הנקודה ההיסטוריוגרפית המהותית! העברה כזאת עושה נזק בלתי הפיך למאפיינים המיוחדים והספציפיים של הגאומטריה היוונית, ובכל חוטאת למקצוע ההיסטוריה.
הסיבה שיש כל כך הרבה כותבים שמדברים על אלגברה גאומטרית היא אך ורק בגלל שיצא להם לחיות בתקופה שבה כבר הומצאה האלגברה והשימושים שלה בגאומטריה (כגון גאומטריה אנליטית) ומניחים לפיכך באופן א-היסטורי שיש סימטריה, כלומר מניחים שגם המקרה של יישומים של גאומטריה לאלגברה גם קרה. אך זו לא מסקנה קבילה היסטורית.
העובדה שמי שכתב את ההיסטוריה של המתמטיקה והמתמטיקה היוונית בפרט היו בדרך כלל מתמטיקאים בחזית הפיתוחים המודרניים של תחומם שלא יכלו לוותר על המידע שרכשו בזמן עיסוקם בתקופות היסטוריות בהן ידע זה היה לא רלוונטי ולא קיים.
אונגורו במאמרו מציין שהוא לא היחיד שיצא כנגד עמדה זאת באותה התקופה, הוא מציין בין היתר גם את כתביהם של אבל ריי (אנ'), מייקל שון האוני (אנ') ובמיוחד את יעקוב קליין (אנ') שסתרו וביקרו את הרעיון והמאפיינים של האלגברה הגאומטרית. אמנם אונגורו לא היה היחיד או הראשון שביקר את התפיסה השלטת, אך מאמרו היה פורץ דרך בטענותיו, בטונו, ובהשלכותיו.
באותו הזמן תקף גם וילבור קנור (אנ') תפיסה זאת.