היסטוריה של המתמטיקה
תרבויות המזרח הרחוק > הודו

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו לוויקיפדיה . ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הסיבה היא: ניסוחים מעט מרושלים.
להודו הייתה השפעה משמעותית על התפתחות המתמטיקה, כשהתרומה הידועה והחשובה ביותר היא פיתוח השיטה העשרונית הפוזיציונלית (מיקומית) והגדרת מושג ה־0. עם זאת, בהשוואה למתמטיקה היוונית, שהייתה מאופיינת בריגורוזיות לוגית ובערך פילוסופי, המתמטיקה ההודית התמקדה יותר בפתרונות מעשיים ולעיתים הייתה פורמלית פחות מבחינה לוגית. המתמטיקה ההודית נכתבה ברובה בחרוזים ובסגנון מיסטי.
בין השנים 3300 לפנה"ס עד 1300 לפנה"ס התקיימה, בחלק משטחי הודו של ימינו, תרבות עמק האינדוס. אנשי תרבות זו אימצו מערכת של מידות ומשקולות המבוססת על חלוקה עשרונית של "מידות טבעיות". בחפירות ארכאולוגיות נמצאו שרידים המראים שימוש ביחידת מידה של 3.35 ס"מ אשר מהווה באורכה עשירית מיחידת הרגל, וכן ביחידת מידה אחרת שאורכה 0.932 ס"מ ומהווה מאית מיחידת הפסע.
כשירדה קרנם של תושבי עמק האינדוס, תפסו את מקומם ההינדו-אריאנים. ספרי הקודש שלהם, הוודה, כללו בין השאר את ה"שולבה סוטרא" - ספר קודש העוסק בבניית מזבחות לשם הקרבת קורבנות. ספר זה הוא דתי בעיקרו, אך מציג מתמטיקה מתקדמת. בין השאר נמצאים בו נוסח של משפט פיתגורס ("האלכסון במלבן יוצר שטח השווה לסכום השטחים ששתי צלעות המלבן יוצרות בנפרד"), בעיית בניית מזבח מרובע ששטחו שווה למעגל נתון (בעיה מקבילה לבעיית "תרבוע העיגול" של היוונים), וקירוב מדויק לשורש הריבועי של 2:  {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}(1+{\frac {1}{4}}(1-{\frac {1}{34}}))={\frac {577}{408}}\approx 1.4142156, מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה. אין זכר להוכחות בטקסט זה.
בסביבות המאה ה-3 לפנה"ס הופיעו הספרות הברהאמיניות. במובן מסוים הן המקור לשיטה העשרונית המודרנית, אך הן אינן מפותחות כמו שיטת הספירה ההודית המאוחרת יותר.
עם שקיעתה של הדת ההודית, החלו להתבסס דתות אחרות. הג'ייניזם שהתפתחה במאה השישית לפני הספירה על בסיס ההינדואיזם, הייתה אחת מהן. הקוסמולוגיה הג'יינית והצורך בתחזיות אסטרונומיות (למשל, לכתיבת לוחות שנה) היוו כוח מניע להתפתחויות מתמטיות רבות. עם זאת, המתמטיקה נתפסה עדיין כמדע שימושי או ככלי יישומי. כך, למשל, הביאו סוגיות בקוסמולוגיה לפיתוח רעיונות בנושא האינסוף, שלא נשקלו בשנית עד לעבודותיו של גאורג קנטור.
במאות ה-5 עד ה-7 לספירה חיו שני מתמטיקאים חשובים במיוחד: אריאבהטה ובראהמגופטה.
אריאבהטה (476–550 לספירה) הוא אחד מגדולי המתמטיקאים ההודים. הוא נחשב לאבי השיטה העשרונית. עבודתו ה"אריאבהטיה" שפרסם בגיל 23 השפיעה רבות על המתמטיקה ההודית. בין השאר נמצאים בחיבור: אלגוריתם להוצאת שורש ריבועי ושלישי, הנוסחה לאורך צלע משושה משוכלל, רעיון הרדיאן, הוכחה בעזרת דמיון משולשים, משפט פיתגורס, והנוסחאות לחישוב סכום האיברים בסדרה חשבונית, או לחלופין מספר האיברים, אם ידועים סכום הסדרה והאיבר הראשון. הקירוב המוצג ל-π הוא "חבר ארבע למאה אחת, הכפל בשמונה, והוסף שוב ששים ושניים אלף, התוצאה היא ערכו בקירוב של π כאשר הקוטר הוא עשרים אלף", כלומר בדיוק 3.1416, שהוא קירוב בדיוק של אלפית. תוצאות אלו מראות על הבנה מתמטית מרשימה לתקופתו. עם זאת, במדידת הנפחים נפלו כמה טעויות. נראה שהוא הושפע מהמתמטיקה יוונית. פרשן בולט שלו הוא בהסקרה הראשון (600–660 בקירוב).
בשנים 598–668 חי המתמטיקאי והאסטרונום החשוב בראהמגופטה. הוא עבד כאסטרונום הראשי של מצפה הכוכבים בעיר אואז'ין. עבודתו החשובה, "המערכת המתוקנת של ברהמה" (Brahmasphutasiddhanta), עוסקת בעיקרה באסטרונומיה ובחישובים אסטרונומיים (ככל הידוע לנו הוא החוקר ההודי הראשון שהשתמש באלגברה לצרכים אסטרונומיים), אך כוללת ארבעה פרקים (מתוך עשרים ושלושה) של מתמטיקה עיונית, שהם הפרקים המשפיעים ביותר בספר. הוא הושפע רבות ממתמטיקאים ואסטרונומים הודים קודמים, כמו וורהמירה ואריאבהטה, ולרוב הגיע להישגים טובים משלהם. הוא עסק במשוואות (לדוגמה משוואות פל), בכדוריות, במדידת נפחים (בנושא זה היו לו טעויות לא זניחות) ועוד. למרות הגיוון בנושאיו, החידוש הגדול בספר הוא שבו הופיע לראשונה האפס כמספר בפני עצמו, ולא רק כמציין מקום חסר, ואף הגדיר אותו כתוצאת חיסור מספר מעצמו. הוא ניסח את כללי הפעולות עם אפס: "אם מוסיפים או מורידים ממספר אפס הוא נשאר ללא שינוי, אם מכפילים מספר באפס התוצאה היא אפס". כמו כן, בספרו התקיימו המספרים השליליים ("חוב") וההפרדה בינם לבין החיוביים ("הון"), נרשמו כללים לפעולות במספרים חיוביים, שליליים ובאפס המזכירים את אלו המודרניים, והוא אף הכליל פתרונות שליליים כפתרונות קבילים למשוואותיו. עבודתו של בראהמגופטה היוותה הבסיס לשני תחומים מרכזיים, אם לא שני התחומים המרכזיים, במתמטיקה ההודית, "מתמטיקה של אלגוריתמים" המקבילה בקירוב לאריתמטיקה, ו"מתמטיקה של משוואות" המקבילה בקירוב לאלגברה.
בראהמגופטה השפיע רבות על המתמטיקה ההודית. מהווירה, בן המאה התשיעית, פיתח את רעיונותיו. במאות ה-9 עד ה-11, בכל אופן, לא היו תרומות מתמטיות רבות מלבד פרשנויות לספרים מוקדמים יותר וחישובים אסטרונומיים למיניהם. במאה ה-12 הייתה התקדמות מה במתמטיקה ההודית, ובעיקר השפיע ספרו של בהסקרה השני "כתר השיטה האסטרונומית", שבו נכללו גם כללי כפל וחילוק למספרים חיוביים ושליליים. ספר זה נחשב לשיא הרמה אליה הגיעה המתמטיקה ההודית.
בכל אופן, תרומה משמעותית כזו של אריאבהטה ובראהמגופטה לא חזרה על עצמה מעולם בספר בודד.