משפט דיריכלה
ההוכחות למשפט > הוכחות אלגבריות > גישה המשתמשת בתורת המספרים האלגברית

בהינתן שדה מספרים  k (ז.א. הרחבה סופית של  \mathbb {Q} ), ניתן להגדיר את חוג השלמים בו  {\mathcal {O}}_{k} להיות חוג כל איברי  k המהווים שלמים אלגבריים. פונקציית זטא של דדקינד של השדה  k מוגדרת כך:
 \zeta _{k}(s):=\sum _{I\triangleleft {\mathcal {O}}_{k}}|{\mathcal {O}}_{k}/I|^{-s},כאשר הסכום הוא על כל האידיאלים ב  {\mathcal {O}}_{k}.
דדקינד הוכיח כי (עד כדי מודיפיקציה קלה) פונקציה זו שווה לפונקציה  \zeta _{\chi } אם בוחרים את  k להיות הרחבה ריבועית מסוימת של  \mathbb {Q}  המתאימה ל- \chi . טענה זו היא גרסה מתקדמת של הלמה למעלה, והוכחתה משתמשת בפריקות יחידה לאידיאלים בחוגי דדקינד ובהדדיות ריבועית.
כעת נותר להוכיח את ההתבדרות של  \zeta _{k} בנקודה 1. לשם כך נשים לב ש:  \zeta _{k}(s)\geq {\bar {\zeta }}_{k}(s):=\sum _{\langle a\rangle \triangleleft {\mathcal {O}}_{k}}|{\mathcal {O}}_{k}/\langle a\rangle |
כאשר הסכום הוא על כל האידיאלים הראשיים ב  {\mathcal {O}}_{k} (ז.א. אידיאלים הנוצרים על ידי איבר אחד). לכן די להוכיח ש:
 .{\bar {\zeta }}_{k}(1)=\infty
קל לראות ש:
 |{\mathcal {O}}_{k}/\langle a\rangle |=||a|| כאשר  ||a|| הוא הערך המוחלט של נורמת גלואה של  a. כמו כן, קל לראות ש  \langle a\rangle =\langle b\rangle  אם ורק אם  {\frac {a}{b}}\in {\mathcal {O}}_{k}^{\times } כאשר  {\mathcal {O}}_{k}^{\times } מסמן את חבורת האיברים ההפיכים ב  {\mathcal {O}}_{k}. מכאן מקבלים ש:
 .{\bar {\zeta }}_{k}(1)=\sum _{a\in {\mathcal {O}}_{k}/{\mathcal {O}}_{k}^{\times }}||a||^{-1}
במקרה ש  k/\mathbb {Q}  היא הרחבה ריבועית החוג  {\mathcal {O}}_{k} איזומורפי כחבורה אבלית לסריג  \mathbb {Z} ^{2}. הפונקציה  ||\cdot || היא (ערך מוחלט של) פונקציה ריבועית על סריג זה. החבורה  {\mathcal {O}}_{k}^{\times } היא חבורה סופית (במקרה שההרחבה  k/\mathbb {Q}  היא מרוכבת) או חבורה ציקלית חופשית המתוארת על ידי משוואת פל (במקרה שההרחבה  k/\mathbb {Q}  היא ממשית). לכן קל למדי להראות את התבדרות הטור  {\bar {\zeta }}_{k}(1) ובכך לסיים את הוכחת המשפט.
ניתן גם לנתח באופן מדויק את האסימפטוטיקה של  \zeta _{k}(s) כאשר  s\to 1. לשם כך יש להעריך את היחס  \zeta _{k}(s)/{\bar {\zeta }}_{k}(s). במילים אחרות צריך להבין מהו חלקם של האידיאלים הראשיים מתוך כלל האידיאלים. חלק זה נמדד באמצעות חבורת המחלקה שגודלה נקרא מספר המחלקה של  k. מכיוון שהאסימפטוטיקה של  \zeta _{k}(s) כאשר  s\to 1 קשורה בקשר ישיר לערך  L(1,\chi ), אנו מקבלים נוסחה הקושרת ערך זה למספר המחלקה. נוסחה זו נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. נוסחה זו גוררת באופן מידי את אי־ההתאפסות  L(1,\chi )\neq 0.
הערות:
הניסוח המקורי של דיריכלה לנוסחת מספר המחלקה לא משתמש במספר המחלקה של השדה  k, אלא במספר המחלקה של תבנית ריבועית מתאימה. זהו מושג שפיתח גאוס ומהווה גרסה מוקדמת למספר המחלקה של שדה מספרים.
נוסחת מספר המחלקה כוללת גם את המנחה  m של  \chi  ומידע על חבורת האיברים ההפיכים  {\mathcal {O}}_{k}^{\times }.
אומנם דיריכלה השתמש בנוסחת המחלקה כדי לקבל מידע על הערך  L(1,\chi ) באמצעות מספר המחלקה, אבל רוב השימשים המודרניים לנוסחת המחלקה הם בכיוון ההפוך. זאת מכיוון שחישוב מספר המחלקה איננה משימה פשוטה, בעוד שחישוב של  L(1,\chi ) עבור קרקטר  \chi  נתון היא משימה פשוטה למדי. למעשה די לשערך את  L(1,\chi ) ואין צורך לחשב אותו במדויק, מכיוון שמספר המחלקה תמיד שלם ולכן נוסחת מספר המחלקה כופה מגבלות על הערך  L(1,\chi ). במקרה של דיריכלה המצב היה הפוך מכיוון שהוא התעניין בתצאה כללית על אי־התאפסות, כך שלא די בשיטות חישוב לקרקטר נתון. מאידך אי־התאפסות של מספר המחלקה מובנת מההגדרה.