משוואת איינשטיין
פיתוח המשוואה > שלב שני: קבוע הכבידה של איינשטיין

כעת נחפש את הערך הקבוע  \kappa , קבוע הכבידה של איינשטיין. משוואת השדה צריכה לשמר את צורת תאוריית הכבידה הניוטונית בקירובים של כבידה חלשה, למעשה כדי לפתוח של משוואת השדה נעשה שימוש בתאוריית הכבידה הניוטונית תחת הנחת כבידה חלשה.
תאוריית הכבידה של ניוטון מנוסחת בצורתה הכללית ביותר על ידי חוק גאוס הכבידתי, חוק מקשר בין פוטנציאל הכבידה  \Phi  לבין צפיפות המסה  \rho .
\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho  (6)
מסלול של גוף הנופל נפילה חופשית הוא:
{\ddot {\vec {x}}}={\vec {g}}=-{\vec {\nabla }}\Phi
{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=-{\partial \Phi  \over \partial x^{i}} (7)
משוואת התנועה ביחסות כללית היא משוואת הגאודזיה שנכתבת כך:
{d^{2}x^{\sigma } \over d\tau ^{2}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{dx^{\mu } \over d\tau }{dx^{\nu } \over d\tau }=0 (8)
עובר קירוב של מהירויות נמוכות אנו מניחים ש 4-וקטור המהירות הוא:
v^{\sigma }={dx^{\sigma } \over d\tau }\approx (c,0,0,0) (9)
חישוב של סמלי כריסופל על ידי שימוש במשוואת התנועה (8) עבור מהירויות נמוכות נותן:
\Gamma _{00}^{i}=-{\frac {1}{c^{2}}}{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}
לפי משוואה 7
\Gamma _{00}^{i}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial \Phi  \over \partial x^{i}} (10)
עבור מהירויות נמוכות טנזור האנרגיה תנע שווה ל:
T_{\mu \nu }={\text{diag}}(\rho c^{2},0,0,0) (11)
אנו מניחים שהכבידה חלשה לכן עקמומיות המרחב זמן גם כן קטן ולכן המטריקה היא:
g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu } (12)
כאשר  h_{\mu \nu } הוא ערך קטן מאוד.
נניח גם כן שהמטריקה אינה תלויה בזמן (כי המהירויות הם מאוד נמוכות) לכן:
\partial _{0}g_{\mu \nu }=0\Rightarrow \partial _{0}\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=0 (13)
כעת נחשב את טנזור ריצ'י על ידי שימוש במשוואת איינשטיין עבור שלושת ממדי המרחב
G_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=\kappa T_{ij}
לפי משוואה 12 ביטוי זה שווה בקירוב ל:
R_{ij}-{\frac {1}{2}}\eta _{ij}R=0
R_{ij}={\frac {1}{2}}R\delta _{ij} (13)
נחשב את סקלר ריצ'י
R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=-R_{00}+\delta ^{ij}R_{ij}
נציב את משוואה 13
R\approx -R_{00}+\delta ^{ij}{\frac {1}{2}}R\delta _{ij}=-R_{00}+3{\frac {1}{2}}R
לכן:
R_{00}={\frac {1}{2}}R (14)
מתוך המשוואות 13 ו־14
R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}R\delta _{\mu \nu } (15)
כעת נחשב את  R_{00} לפי נוסחת טנזור ריצ'י
R_{00}={R^{\mu }}_{0\mu 0}={R^{0}}_{000}+{R^{i}}_{0i0}={R^{i}}_{0i0}
טנזור רימן הוא:
{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\sigma \mu }^{\rho }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \mu }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \nu }^{\rho }
לכן עובר  R_{00}:
{R^{i}}_{0i0}=\partial _{i}\Gamma _{00}^{i}-\partial _{0}\Gamma _{0i}^{i}+\Gamma _{00}^{\alpha }\Gamma _{\alpha i}^{i}-\Gamma _{0i}^{\alpha }\Gamma _{\alpha 0}^{i}
מתוך ההנחה שהכבידה חלשה מאוד (משוואה 12) סמלי כריסטופל קטנים לכן ניתן לבצע קירוב לביטוי זה
{R^{i}}_{0i0}=\partial _{i}\Gamma _{00}^{i}-\partial _{0}\Gamma _{0i}^{i}
מתוך ההנחה שהמטריקה אינה תלויה בזמן (משוואה 13) ניתן לכתוב ביטוי זה כך:
{R^{i}}_{0i0}=\partial _{i}\Gamma _{00}^{i}
לכן:
R_{00}=\partial _{i}{\Bigl (}{\frac {1}{c^{2}}}{\partial \Phi  \over \partial x^{i}}{\Bigr )}={\frac {1}{c^{2}}}\nabla ^{2}\Phi
נציב את משוואה 6 ונקבל:
R_{00}={\frac {1}{c^{2}}}4\pi G\rho  (16)
נכתוב את משוואת איינשטיין:
G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }
לפי הנחת הכבידה החלשה (משוואה 12), והצבה של משוואה 15, ניתן לכתוב את משוואת איינשטיין כך:
{\frac {1}{2}}R\delta _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }
שזה שווה ל:
{\frac {1}{2}}R{\text{ diag}}(1,1,1,1)-{\frac {1}{2}}R{\text{ diag}}(-1,1,1,1)R=\kappa {\frac {1}{2}}R{\text{ diag}}(\rho c^{2},0,0,0)
לכן משוואת איינשטיין עבור  \mu =\nu =0 היא:
R=\kappa \rho c^{2}
נציב את משוואה 14 ונקבל:
2R_{00}=\kappa \rho c^{2}
נציב את משוואה 16 ונקבל:
2{\frac {4\pi G\rho }{c^{2}}}=\kappa \rho c^{2}
לכן קבוע הכבידה של איינשטיין הוא:
\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}
\kappa =2.07664122\cdot 10^{-43}sec^{2}kg^{-1}m^{-1}
לכן משוואת השדה של איינשטיין היא:
R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }
טנזור מאמץ-אנרגיה יחסותי ורכיביו