stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מצעדי הבילבורד
סינגלים ורצועות > מבוגרים / פופ

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד 40 שירי המיינסטרים | השמעות ברדיו (ספינים) | 40 | מודד את כמות ההשמעות ב-157 תחנות רדיו, שמשמיעות שירים לפי הז'אנר. |
| מצעד 40 השירים למבוגרים | השמעות ברדיו (ספינים) | 40 | מודד את כמות ההשמעות ב-90 תחנות רדיו, שמשמיעות מוזיקה עכשוויות למבוגרים. |
| מצעד השירים העכשוויים למבוגרים | השמעות ברדיו (ספינים) | 30 | מודד את כמות ההשמעות ב-85 תחנות רדיו עכשוויות למבוגרים. |
סינגלים ורצועות > קאנטרי

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד שירי הקאנטרי | מכירות השמעות ברדיו הזרמת מוזיקה | 50 | מציג את 50 שירי הקאנטרי המצליחים ביותר, על סמך מכירות, השמעות ברדיו וסטרימינג. |
| מצעד הקאנטרי איירפליי | איירפליי (קהל) | 60 | מודד את כמות ההשמעות ב-128 תחנות רדיו שמשמיעות מוזיקת קאנטרי. |
| מצעד שירי הקאנטרי הדיגיטליים | מכירות דיגיטליות | 50 | מתבסס על הורדות דיגיטליות בפורמטים שונים שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הסטרימינג (קאנטרי) | סטרימינג | 50 | מודד סטרימינג של שירי קאנטרי ברשתות הזרמות המדיה השונות. |
סינגלים ורצועות > רוק

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד שירי הרוק & האלטרנטיביים | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג | 50 | מדרג את שירי הרוק המובילים על סמך השמעות ברדיו בכל הפורמטים, נתוני מכירות וסטרימינג. |
| מצעד שירי הרוק & אלטרנטיבי איירפליי | איירפליי (קהל) | 50 | מתבסס על האיירפליי והקהל ומציג בתוכו 50 מקומות בסך הכול. |
| מצעד שירי הרוק הדיגיטליים | מכירות דיגיטליות | 50 | מתבסס על הורדות דיגיטליות בפורמטים שונים שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הרוק (סטרימינג) | סטרימינג | 25 | מתבסס על נתוני הסטרימינג שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד השירים האלטרנטיביים | השמעות ברדיו (ספינים) | 25 | מדרג את השירים האלטרנטיביים המובילים ביותר ברדיו, סטרימינג ומכירות. |
| מצעד האיירפליי האלטרנטיבי | השמעות ברדיו (ספינים) | 40 | מודד את כמות ההשמעות ב-50 תחנות רדיו שמשמיעות שירי רוק אלטרנטיביים / מודרניים. |
| מצעד השירים האלטרנטיביים הדיגיטליים | מכירות דיגיטליות | 25 | מבוסס על הורדות דיגיטליות שמכונות "אלטרנטיביות", בפורמטים שונים שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד השירים האלטרנטיביים (סטרימינג) | סטרימינג | 25 | מתבסס על נתוני הסטרימינג שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד הרוק מיינסטרים | השמעות ברדיו (ספינים) | 40 | מודד את כמות ההשמעות ב-77 תחנות רדיו מיינסטרים וכדומה. |
| מצעד השירים האלטרנטיביים למבוגרים (טריפל איי) | השמעות ברדיו (ספינים) | 40 | מודד את כמות ההשמעות ב-24 תחנות רדיו אלטרנטיביות למבוגרים בלבד. |
| מצעד שירי הרוק הכבד | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג | 25 | מדרג את שירי הרוק הכבד המובילים במכירות, רדיו וסטרימינג. |
| מצעד שירי הרוק הכבד הדיגיטליים | מכירות דיגיטליות | 25 | מתבסס על הורדות דיגיטליות בפורמטים שונים שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הרוק הכבד (סטרימינג) | סטרימינג | 25 | מתבסס על נתוני הסטרימינג שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
סינגלים ורצועות > דאנס

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד שירי הדאנס קלאב | דיווחים מתקליטנים | 50 | מורכב משירים שמנוגנים במועדוני לילה במדינה, תוך שהדיווחים מתבצעים על ידי דיג'יים מורשים בלבד. |
| מצעד שירי הדאנס/אלקטרוני | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג הורדות דיגיטליות דיווחים מדיג'יים | 50 | בדומה למצעד הבילבורד הוט 100, גם מצעד זה מכיל בתוכו את שירי הדאנס\אלקטרוני המצליחים ביותר במדינה. |
| מצעד הדאנס/מיקס שואו איירפליי | דיווחים מטעם 157 עיתונאים | 40 | במקור נקרא "Hot Dance Airplay", תוך שמספר המיקומים בו הורחב ל-40. כמו כן, הדיווחים מתבצעים על ידי 157 עיתונאים מוסמכים בלבד. |
| מצעד שירי הדאנס/אלקטרוני הדיגיטליים | מכירות דיגיטליות | 50 | מורכב ממכירות דיגיטליות של שירים לפי הז'אנר, כולל דיסקו וכדומה. |
| מצעד שירי הדאנס/אלקטרוני (סטרימינג) | סטרימינג | 25 | מודד סטרימינג של שירי דאנס\אלקטרוני ברשתות הזרמות המדיה והרדיו השונות. |
סינגלים ורצועות > לטיני

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד השירים הלטיניים | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג | 50 | אחד ממצעדי הדגל של הבילבורד. המצעד מבוסס על מכירות, השמעות ברדיו וסטרימינג ומציג את 50 השירים הלטיניים המצליחים ביותר במדינה. |
| מצעד האיירפליי הלטיני | השמעות ברדיו (ספינים) | — | המצעד משכלל את כמות ההשמעות של השירים הלטיניים בארצות הברית ופוארטו ריקו. |
| מצעד השירים הלטיניים הדיגיטליים | הורדה דיגיטלית | — | מתבסס על הורדות דיגיטליות בפורמטים שונים שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הפופ הלטיניים | השמעות ברדיו (ספינים) | — | הוקם בשנת 1994, על מנת לדרג את שירי הפופ הלטיניים המצליחים ביותר במדינה. |
| מצעד השירים המקסיקניים האזוריים | השמעות ברדיו (ספינים) | — | מודד את כמות ההשמעות ב-65 תחנות רדיו מקסיקניות אזוריות. הוקם בשנת 1994. |
| מצעד השירים הטרופיים | השמעות ברדיו (ספינים) | — | מודד את כמות ההשמעות ב-18 תחנות מוזיקה לטיניות. הוא הוקם על ידי המגזין בשנת 1994, בדומה למצעד השירים המקסיקניים האזוריים. |
| מצעד שירי הקצב הלטיניים | השמעות ברדיו (ספינים) | — | מודד את כמות ההשמעות ב-15 תחנות רדיו שמשמיעות מוזיקה קצבית ולטינית. המצעד הוקם בשנת 2005. |
| מצעד שירי הסטרימינג הלטיניים | סטרימינג | — | מודד סטרימינג של שירים לטיניים ברשתות הזרמות המדיה והרדיו השונות. כמו כן, יש מתן דגש על הקליפים של השירים. |
סינגלים ורצועות > נוצרי

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד השירים הנוצריים | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג | 50 | מורכב משירים נוצריים ומתבסס על מכירות, השמעות ברדיו וסטרימינג. |
| מצעד השירים הנוצריים הדיגיטליים | הורדות דיגיטליות | 50 | מתבסס על הורדות דיגיטליות בפורמטים שונים שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הסטרימינג הנוצריים | סטרימינג | 50 | מודד סטרימינג של שירים נוצריים ברשתות הזרמות המדיה והרדיו השונות. |
| מצעד האיירפליי הנוצרי | איירפליי (קהל) | 50 | מודד נתוני השמעות בתחנות רדיו שונות. |
| מצעד שירי ה-AC הנוצריים | השמעות ברדיו (ספינים) | 30 | מודד נתוני השמעות בתחנות רדיו עכשוויות למבוגרים שמשדרות מוזיקה נוצרית. |
| מצעד שירי ה-AC\CHR הנוצריים | השמעות ברדיו (ספינים) | — | מודד נתוני השמעות בתחנות הרדיו ה-CHR הנוצריות. |
| מצעד שירי ה-AC הנוצריים העדינים | השמעות ברדיו (ספינים) | — | מודד נתוני השמעות בתחנות הרדיו ה-AC הנוצריות. |
| מצעד שירי הרוק הנוצריים | השמעות ברדיו (ספינים) | — | מודד נתוני השמעות בתחנות הרדיו שמשדרות מוזיקת רוק הנוצרית. |
| מצעד שירי ה-AC הנוצריים המכוונים | השמעות ברדיו (ספינים) | — | — |
| מצעד שירי הגוספל | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג | 30 | — |
| מצעד שירי הגוספל איירפליי | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג | — | — |
| מצעד שירי הגוספל הדיגיטליים | מכירות דיגיטליות | — | מתבסס על הורדות דיגיטליות בפורמטים שונים שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הגוספל (סטרימינג) | סטרימינג | — | מתבסס על נתוני הסטרימינג שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
סינגלים ורצועות > ג'אז

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד שירי הג'אז הקלים | השמעות ברדיו (ספינים) | 30 | מודד את כמות ההשמעות ב-14 תחנות רדיו שמשמיעות שירי ג'אז עדינים |
סינגלים ורצועות > חג

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד 100 שירי החג | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג | 100 | מציג את 100 שירי החג המצליחים ביותר במדינה. מתפרסם רק בדצמבר בכל שנה. |
| מצעד שירי החג הדיגיטליים | הורדות דיגיטליות | 50 | מתבסס על הורדות דיגיטליות בפורמטים שונים שמוזכרים ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי החג (סטרימינג) | סטרימינג | 50 | מודד סטרימינג של שירי חג. מתפרסם רק בדצמבר בכל שנה. |
| מצעד החג איירפליי | איירפליי (קהל) | 50 | מתבסס על השמעות בתחנות הרדיו השונות. מתפרסם רק בדצמבר בכל שנה. |
סינגלים ורצועות > רינגטונים

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| מצעד הרינגטונים | מכירת רינגטונים | 40 | בשנת 2004 המצעד הושק והוא מתבסס על מכירות של רינגטונים. |
| מצעד הרינג מאסטרס | מכירת רינגטונים | 40 | בדומה למצעד הרינגטונים, מצעד זה מתבסס על מכירות של רינגטונים מאסטרס בטלפונים הניידים. |
| מצעד הווידאו קליפים המסחריים | — | 25 | מדרג את הווידאו קליפים המצליחים ביותר ברשתות הזרמות המדיה השונות. |
סינגלים ורצועות > ספוטיפיי

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| Spotify Velocity | סטרימינג | 30 | מדרג את השירים המושמעים ביותר בספוטיפיי. |
| מצעד 50 השירים הוויראליים | סטרימינג | 50 | מדרג את השירים הויראליים בספוטיפיי. |
| Spotify Rewind | סטרימינג | 30 | מדרג את השירים הישנים \ קלאסיים בספוטיפיי, על מנת להעניק להם הזדמנות שנייה להצליח. |
סינגלים ורצועות > מצעדים קנדיים

| שם | סוג | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- | --- |
| קנדה הוט 100 | מכירות  השמעות ברדיו סטרימינג | 100 | המצעד המייצג את קנדה. יש בו 100 שירים בסך הכול והוא אחד מהמצעדים החשובים ביותר בעולם המוזיקה. |
| מצעד השירים עבור אמנים חדשים | — | 30 | מדרג את השירים הפופולריים ביותר של אמנים קנדים חדשים. |
| מצעד השירים הדיגיטליים | מכירות דיגיטליות | 75 | מבוסס על מכירות דיגיטליות של שירים, תוך שהוא משלב גרסאות שונות של שירים. |
| מצעד האיירפליי | איירפליי (קהל) | 75 | מודד את כמות ההשמעות ב-137 תחנות רדיו שונות בקנדה. |
| מצעד האיירפליי (כל הפורמטים) | השמעות ברדיו (ספינים) | 50 | מודד את כמות ההשמעות ב-137 תחנות רדיו ביותר מחמישה פורמטים. |
| מצעד 40 שירי ה-CHR איירפליי | השמעות ברדיו (ספינים) | 50 | מודד את כמות ההשמעות ב-25 תחנות רדיו CHR. |
| מצעד ה-AC איירפליי | השמעות ברדיו (ספינים) | 50 | מודד את כמות ההשמעות ב-28 תחנות רדיו AC. |
| מצעד האיירפליי העכשווי | השמעות ברדיו (ספינים) | 50 | מודד את כמות ההשמעות ב-24 תחנות רדיו AC עכשווי. |
| מצעד הקאנטרי איירפליי | השמעות ברדיו (ספינים) | 50 | מודד את כמות ההשמעות ב-31 תחנות רדיו במדינה. |
| מצעד הרוק איירפליי | השמעות ברדיו (ספינים) | 50 | מודד את כמות ההשמעות ב־29 תחנות רדיו שמשמיעות מוזיקת רוק. |
סינגלים ורצועות > מצעדים בין-לאומיים

| שם | תיאור |
| --- | --- |
ארגנטינה הוט 100: המצעד המייצג את ארגנטינה. מציג את השירים המצליחים ביותר במדינה.
סין הוט 100: המצעד המייצג את סין. מציג את השירים המצליחים ביותר במדינה.
מצעד השירים האירופאים הדיגיטליים: המצעד המייצג את אירופה. מציג את השירים הדיגיטליים המצליחים ביותר ביבשת.
בילבורד גלובל 200: מציג את השירים המצליחים ביותר לפי נתוני מכירות וסטרימינג מלמעלה מ-200 מדינות ברחבי העולם.
בילבורד גלובל ללא ארצות הברית: מציג את השירים המצליחים ביותר לפי נתוני מכירות וסטרימינג מלמעלה מ-200 מדינות ברחבי העולם, לא כולל ארצות הברית.
אינדונזיה הוט 100: המצעד המייצג את אינדונזיה. מציג את השירים המצליחים ביותר במדינה.
יפן הוט 100: המצעד המייצג את יפן. מציג את השירים המצליחים ביותר במדינה.
קיי-פופ הוט 100: המצעד המייצג את קוריאה הדרומית. מציג את השירים המצליחים ביותר במדינה.
מצעד האיירפליי המקסיקני: המצעד המייצג את מקסיקו. מציג את השירים המצליחים ביותר במדינה.
מצעד האיירפליי המקסיקני הספרדי: המצעד השני המייצג את מקסיקו. מציג את השירים הספרדיים המצליחים ביותר במדינה.
מצעד האיירפליי המקסיקני האנגלי: המצעד השלישי המייצג את מקסיקו. מציג את השירים האנגליים המצליחים ביותר במדינה.
מצעד השירים השווייצרים הדיגיטליים: המצעד המייצג את שווייץ. מציג את השירים הדיגיטליים המצליחים ביותר במדינה.
מצעד שירי העולם הדיגיטליים: המצעד המייצג את מוזיקת העולם בארצות הברית. מציג את השירים הדיגיטליים בסוגת מוזיקת העולם המצליחים ביותר במדינה.
סינגלים ורצועות > מצעדים שהופסקו

| שם | תאריך הפסקה | תיאור |
| --- | --- | --- |
| מצעד הווידאו קליפים המקיפים | 2012 (?) | דירג בעבר את ה-DVD הנמכרים ביותר במדינה, כולל אלו שלא נמכרו בחנויות קמעונאיות. |
| מצעד הסינגלים (קאנטרי) | 2005 | דירג בעבר את הסינגלים מסוגת הקאנטרי המצליחים ביותר מבחינה מסחרית במדינה. |
| מצעד השירים הנמכרים ביותר בחנויות | 13 באוקטובר 1958 | דירג בעבר את השירים הנמכרים ביותר בחנויות הקמעונאיות למיניהן. |
| טופ 100 ברזיל | 2019 | המצעד שמייצג את ברזיל. הופיע במגזין בילבורד ברזיל עד ינואר 2019. |
| מצעד רצועות אירופה הדיגיטליות | 29 בנובמבר 2014 | דירג בעבר את השירים הדיגיטליים הנמכרים ביותר באירופה. |
| אירופה הוט 100 | 11 בדצמבר 2010 | דירג בעבר את השירים הדיגיטליים הנמכרים ביותר באירופה, תוך שילוב מכירות דיגיטליות ממדינות שונות. |
| גלובל דאנס טראקס | 29 ביוני 2013 | היה מעין סקר שבועי, בו סוכמו שירי הדאנס המושמעים ביותר ברחבות הריקודים ומועדוני הלילה. |
| מצעד הלהיטים המכובדים | 16 בנובמבר 1963 | — |
| מצעד שירי הדאנס המסחריים | 2013 | התבסס בעבר על מכירות של מקסי סינגל, תקליטורים מסוגת דאנס וכדומה. |
| מצעד השירים הדיגיטליים של לוקסמבורג | 2020 | המצעד אשר ייצג באופן דיגיטלי את לוקסמבורג. |
| השירים הכי מושמעים בג'וקיז | 28 ביולי 1958 | — |
| מצעד השירים המושמעים ביותר בג'וקבוקס | 17 ביוני 1957 | בשונה מהמצעד הקודם, מצעד זה סיכם את השירים המושמעים ביותר בג'וקבוקס. |
| הפיליפינים הוט 100 | 15 בינואר 2018 | בעבר דירג את 100 השירים המצליחים ביותר בפיליפינים. |
| הפיליפינים טופ 20 | 15 בינואר 2018 | בעבר ייצג את הפיליפינים. הציג את השירים המצליחים ביותר במדינה. |
| מצעד שירי הפופ | 13 ביוני 2009 | הוחל במצעד 40 שירי המיינסטרים. |
| מצעד 100 שירי הפופ איירפליי | 13 ביוני 2009 | בעבר היה אחד מהמצעדים עליו התבסס מצעד שירי הפופ הידוע. |
| מצעד 40 הרצועות | מרץ 2005 | לאחר הקמת שלל מצעדי פופ ו-AC שונים, הופסקו שידורי המצעד הזה. |
| מצעד שירי הפופ הדיגיטליים | ינואר 2020 | התבסס על הורדות דיגיטליות של שירי פופ בפורמטים שונים שהוזכרו ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הג'אז הדיגיטליים | ינואר 2020 | התבסס על הורדות דיגיטליות של שירי ג'אז בפורמטים שונים שהוזכרו ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד השירים הקלאסיים הדיגיטליים | ינואר 2020 | התבסס על הורדות דיגיטליות של שירים קלאסיים בפורמטים שונים שהוזכרו ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הגל החדש הדיגיטליים | ינואר 2020 | התבסס על הורדות דיגיטליות של שירי גל חדש בפורמטים שונים שהוזכרו ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הבלוז הדיגיטליים | ינואר 2020 | התבסס על הורדות דיגיטליות של שירי בלוז בפורמטים שונים שהוזכרו ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הרגאיי הדיגיטליים | ינואר 2020 | התבסס על הורדות דיגיטליות של שירי רגאיי בפורמטים שונים שהוזכרו ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד שירי הילדים הדיגיטליים | ינואר 2020 | התבסס על הורדות דיגיטליות של שירי ילדים בפורמטים שונים שהוזכרו ב-Nielsen SoundScan. |
| מצעד רצועות הקומדיה הדיגיטליות המסחריות | ינואר 2020 | התבסס על הורדות דיגיטליות של רצועות קומדיה מסחריות בפורמטים שונים שהוזכרו ב-Nielsen SoundScan. |
וידאו

| שם | מספר מיקומים | תיאור |
| --- | --- | --- |
| מצעד אלבומי הווידאו | 100 | מתבסס על מכירות של אלבומי וידאו מכל ז'אנר. |
ראו גם

הישגים ואבני דרך בבילבורד הוט 100
נובי אורנגוי

נובי אורנגוי (ברוסית: Новый Уренгой) היא עיר במחוז האוטונומי ימאלו-ננץ שברוסיה.
גאוגרפיה

זוהי היא העיר הראשונה בגודלה במחוז, אחת הערים האזוריות הרוסיות הבודדות שעוברות את המרכז האדמיניסטרטיבי של סובייקט בפדרציה הרוסית (במקרה זה, סלחרד) הן מבחינת אוכלוסייה והן מבחינת פיתוח תעשייתי.
העיר נוסדה במהלך פיתוח הנפט של טיומן, והיא שוכנת על גדות נהר אבויאחה, יובל של נהר פור (אנ')‏, 579 ק"מ מזרחית לסלחרד.
אוכלוסיית העיר דה יורה מונה 118,115 אנשים (נכון לשנת 2021). כמרכז הייצור של אזור הגז הגדול ביותר, נובי אורנגוי היא "בירת הגז" הבלתי רשמית של רוסיה.
הערות שוליים

↑  Как глухой ямальский поселок стал газовой столицей России, Российская газета (ברוסית)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007475729605171  GND: 1026226775  LCCN: n00034430  MusicBrainz: 18ef8665-e492-4a71-96f5-2856b62a68cb  VIAF: 139517872   WorldCat (עם VIAF): 139517872 
ערך זה הוא קצרמרבנושא יישובים ברוסיה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
משפט ברטראן

ערך זה עוסק במשפט בפיזיקה. אם התכוונתם למשפט הנוגע לתורת המספרים, ראו .
ציור 1 - דוגמאות למסלולים סגורים - 
 (1) מסלול אליפטי (2) אוסילציות סביב מסלול מעגלי (3) עקומת ליסז'ו
ציור 2 - דוגמה למסלול לא סגור - אליפסה המבצעת נקיפה
משפט ברטראן בפיזיקה, דן בתנאים לקיומם של מסלולים סגורים יציבים עבור תנועת גוף בהשפעת פוטנציאל מרכזי. על פי המשפט, הפוטנציאלים היחידים עבורם המסלולים החסומים סגורים עבור כל תנאי התחלה הם הפוטנציאל הגרביטציוני/אלקטרוסטטי  V(r)=-{\frac {k}{r}} או הפוטנציאל ההרמוני  V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}.
המשפט הוצג בידי הפיזיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1873.
הגדרות

נתון גוף, הנע בהשפעת כוח הנגזר מפוטנציאל מרכזי -  {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V(r).
מסלול הגוף (כלומר פתרון משוואות התנועה) כפונקציה של הזמן הוא  {\vec {r}}(t). כיוון שהגוף נע בהשפעת כוח מרכזי, מסלול תנועתו מוגבל למישור וניתן לתאר אותו על ידי שימוש בקואורדינטות פולריות  \ r,\theta .
מסלול הגוף הוא חסום אם קיים  \ R כך ש  \ r(t)<R לכל זמן t (כלומר הגוף אינו מתרחק לאינסוף, אלא נשאר בסביבת מקור הכוח).
מסלול הגוף הוא סגור אם קיים  \ T כך  {\vec {r}}(t+T)={\vec {r}}(t) (במקרה זה הגוף מבצע תנועה מחזורית עם זמן מחזור  \ T).
התנאים לקבלת מסלול סגור > מסלולים מעגליים

המסלול הסגור הפשוט ביותר הוא מסלול בצורת מעגל, עבורו  \ r(t)=r_{0}={\rm {const}}. מסלול כזה קיים עבור כל כוח מושך, והוא מתקבל כאשר הכוח הפועל על הגוף מתקזז בדיוק עם ה"כוח הצנטריפוגלי", כלומר כאשר:
 F(r_{0})=-m{\dot {\theta }}^{2}r_{0}=-{\frac {L^{2}}{mr_{0}^{3}}}
כאשר  \ L=mr^{2}{\dot {\theta }} הוא התנע הזוויתי. בנוסף, עבור מסלול מעגלי, האנרגיה של הגוף שווה למינימום של הפוטנציאל האפקטיבי  V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}} (ציור 3).
לסיכום, ניתן לקבל מסלול מעגלי סגור עבור כל כוח מרכזי מושך, אך על מנת לקבל מסלול שכזה יש צורך בתנאי התחלה מיוחדים. הסעיפים הבאים ידונו בקיום מסלול סגור במקרים בו התנאים הנ"ל אינם מתקיימים.
התנאים לקבלת מסלול סגור > סטיות קטנות ממסלול מעגלי

כדי לבחון את המתרחש עבור מסלול שאינו מעגלי, יש להשתמש במשוואת המסלול שפתרונה נותן את צורת המסלול  \ r(\theta ). את משוואת המסלול נוח לכתוב עבור המשתנה  u={\frac {1}{r}}:
 {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}F\left({\frac {1}{u}}\right)
עבור, סטייה קטנה ממסלול מעגלי  \ u=u_{0}, ניתן לבצע ליניאריזציה של המשוואה ולקבל כי הפתרון הוא מן הצורה  \ u=u_{0}+a\sin(\beta \theta ), כלומר אוסצילציות קטנות סביב המסלול המעגלי [ציור 1 (2)]. המסלול יהיה סגור אם ורק אם  \ \beta  הוא מספר רציונלי. ניתוח של משוואת המסלול מראה כי  \ \beta  רציונלי יתקבל רק עבור כוח מן הצורה:
 F(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}
כלומר, רק עבור כוחות מן הצורה הנ"ל, כאשר  \ \beta  רציונלי, סטייה קטנה מן התנאים למסלול מעגלי תוביל אף היא למסלול סגור (דוגמת זה המופיע בחלק 2 של ציור 1).
התנאים לקבלת מסלול סגור > סטיות גדולות ממסלול מעגלי - משפט ברטראן

כאשר הסטייה ממסלול מעגלי אינה קטנה לא ניתן להסתפק בגרסה הליניארית של משוואת המסלול אלא יש צורך בניתוח מעמיק יותר. מניתוח זה עולה כי הכוחות היחידים עבורם מתקבל מסלול סגור עבור תנאי התחלה כללי (לאו דווקא קרוב למסלול מעגלי) הם:
הכוח הריבועי ההפוך  F(r)=-{\frac {k}{r^{2}}}, דוגמת כוח הגרביטציה, או הכוח החשמלי, המתאים לפוטנציאל  V(r)=-{\frac {k}{r}}.
אוסצילטור הרמוני איזוטרופי - הכוח  \ F(r)=kr, דוגמת כוח אלסטי של קפיץ (חוק הוק), המתאים לפוטנציאל הרמוני  V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}.
בשני המקרים הנ"ל צורת המסלול המתקבלת היא אליפסה.
דיון

משפט ברטרנד שופך אור על הייחוד של אופי המסלולים בשתיים מן הבעיות החשובות במכניקה - בעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני. העובדה כי בבעיות אלו מתקבלים מסלולים סגורים אינה טריביאלית והיא תלויה בצורה המיוחדת של הכוח הפועל בבעיות אלו. ניתן להראות כי בבעיות אלו קיימים גדלים שמורים ייחודיים, בנוסף לגדולים השמורים הקיימים בכל בעיית כוח מרכזי (אנרגיה ותנע זוויתי). קיום הגדלים הנ"ל גורם לכך שהמסלולים המתקבלים סגורים. כך לדוגמה, בבעיית קפלר וקטור לפלס-רונגה-לנץ הוא וקטור שמור המצביע בכיוון הציר הראשי של האליפסה. העובדה כי זהו וקטור קבוע, שומרת על האליפסה קבועה, מונעת ממנה לבצע פרצסיה ולפיכך מתקבל מסלול סגור. כאשר ישנן סטיות מן הכוח הריבועי ההפוך הווקטור הנ"ל כבר אינו שמור, האליפסה מבצעת פרצסיה (ציור 2) והמסלול המתקבל כבר אינו סגור. סטיות כאלו, אמנם קיימות עבור תנועת כוכבי הלכת במערכת השמש (כתוצאה מתיקונים יחסותיים והשפעות הדדיות בין כוכבי הלכת) והדבר אכן גורם לפרצסיה במסלולם.
את היחוד של בעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני, ניתן להציג בדרכים נוספות:
בתנועה חסומה המתקבלת בבעיית כוח מרכזי כללית, הגוף מבצע תנועה מחזורית בשתי הקואורדינטות  \ r,\theta . באופן כללי תדירות התנודה בשתי הקואורדינטות תהיה שונה. אולם בבעיית קפלר ובבעיית האוסצילטור ההרמוני, קיים ניוון - שתי התדירויות שוות ולפיכך מתקבל מסלול סגור.
בבעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני יש סימטריה גדולה יותר מאשר בבעיית כוח מרכזי כללית. בבעיית כוח מרכזי כללית קיימת סימטריה לסיבובים, כלומר המערכת אינווריאנטית תחת טרנספורמציה מתוך חבורת הסימטריה  \ SO(3). לעומת זאת עבור בעיית קפלר חבורת הסימטריה היא  \ SO(4) ועבור האוסצילטור ההרמוני  \ SU(3).
ראו גם

וקטור לפלס-רונגה-לנץ
בעיית קפלר
לקריאה נוספת

Joseph Louis François Bertrand, "Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe", (1873) Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences, Paris 77, 849-853
H. Goldstein, Classical Mechanics
הערות שוליים

↑  כאן אין מדובר בכוח מרכזי.
↑  או ליתר דיוק לאקסטרמום. אם אקסטרמום זה הוא מקסימום, המסלול המעגלי לא יהיה יציב.
↑  אם  \ \beta =p/q כאשר  \ p,q שלמים, המסלול יסגר על עצמו לאחר  \ q סיבובים.
↑  עבור  \ \beta =1 (כוח ריבועי הפוך) או  \ \beta =2 מתקבלת אליפסה.
ציור 3 - הפוטנציאל האפקטיבי עבור בעיית קפלר עם כוח מושך וסיווג המסלולים האפשריים. מסלול מעגלי מתקבל עבור אנרגיה השווה למינימום הפוטנציאל האפקטיבי.
ניקולס לוקהוף

| --- | --- |

 לידה:  20 באוקטובר 1872 פסקוב 
 פטירה:  7 ביולי 1948 (בגיל 75) פירנצה, איטליה 
 תקופת הפעילות:  1800–1899 (כ־99 שנים) 
 בן או בת זוג:  Marija Mitrofanovna Sizareva 
 
ניקולס לוקהוף (ברוסית: Николай Лохов; באיטלקית: Nicola Lockhoff; ‏  20 באוקטובר 1872 - 7 ביולי 1948) היה צייר-מעתיק ומשחזר רוסי-סובייטי.
ביוגרפיה

לוקהוף נולד למשפחת סוחרי ברזל. אביו, ניקולאי לוקהוף, היה אזרח כבוד של העיר פסקוב   בשנת 1882 נכנס למכינה של הגימנסיה המחוזית של פסקוב, שם למד עד 1891. לאחר מכן עבר לגימנסיה של החברה הפילנתרופית הקיסרית בסנט פטרבורג, אותה סיים ב-1893. באותה שנה הוא נכנס לפקולטה למשפטים של אוניברסיטת סנט פטרבורג. בשנים שלאחר מכן, מסיבות שונות, הוא פוטר מספר פעמים והוחזר לתפקידו באוניברסיטה. אך במרץ 1899 הוא הודח סופית בגלל השתתפות בתסיסה של סטודנטים.
לאחר הגירוש מהאוניברסיטה התגורר לוקהוף בפסקוב, שם פגש את ולדימיר לנין שהוגלה אליה ב-1900. ב-13 באוקטובר 1900 נידון לוקהוף לגירוש למחוז אסטרחאן בפיקוח משטרתי ציבורי למשך ארבע שנים, אך ברח מרוסיה. הוא התגורר בשווייץ, שם נפגש שוב עם לנין. הוא כתב בעיתונות הרוסית מאמרים בשם הבדוי "אולכין" (ברוסית: Ольхин).  בשנת 1901, הוא צייר את הפירמידה החברתית המפורסמת. ציור זה חוזר על עצמו מספר פעמים בדפוס והפכה לבסיס ליצירת תמונות רבות תחת הכותרת הכללית פירמידת המערכת הקפיטליסטית.
לאחר הקונגרס השני של מפלגת העבודה הסוציאל-דמוקרטית הרוסית בבריסל (1903), יחד עם מהפכנים רוסים אחרים, הוא גורש מבלגיה, עבר ללונדון, ומשם לפריז. הוא התפרנס ממכירת ציוריו. בשנת 1906 חזר לרוסיה. עד אז הוא התפכח מרעיונות מהפכניים, פרש מפעילות פוליטית והתמסר לאמנות.
המטרה העיקרית של חייו בשלב הזה, הייתה יצירה עבור רוסיה - עותקים של פרסקאות וציורים של מאסטרים מהרנסאנס האיטלקי. הרעיון נתמך על ידי מנהל מוזיאון מוסקבה לאמנויות יפות על שם אלכסנדר השלישי. האמן קיבל מקדמה עבור יצירת 70 עותקים ומדריך. ב-1907 לוקהוף עזב לאיטליה עם משפחתו והתיישב בפירנצה.
הוא היה נשוי למריה מיטרופנובנה סיזרבה. בני הזוג נפגשו בסנט פטרסבורג כסטודנטים, והפכו לבלתי נפרדים במשך כל חייהם הארוכים המשותפים. ב-1905 נולד בנם בוריס בפריז; ב-1915 נולדה בתם לידיה בפירנצה.
ללא השכלה אמנותית, לוקהוף היה אוטודידקט, למד באופן אינטואיטיבי את רזי האמנות וחווה אותם באופן אישי. העותקים שלו בולטים בדיוק מושלם, נאמנות מוחלטת למקור. הוא עצמו הכין את הציור והצבע לפי מתכונים ישנים, חזר על מרקם העבודות, על אופיים, על רצף השכבה והזיגוגים, על הטכניקות האישיות של המאסטרים הוותיקים.
במלחמת העולם הראשונה הוא נותק מרוסיה, הפסיק לקבל קצבאות, חי בעוני, אבל המשיך לעבוד, ולא זנח את החלום לשלוח לרוסיה אוסף מיצירותיו. בשנות ה-20 החל לעבוד על שיקום מקצועי וקיבל הזמנות ממשלת איטליה. במיוחד הוא שיחזר את ציורי הקיר של אנג'ליקו בחצר של מנזר סן מרקו. בשנים 1924–1925, כמומחה לציור איטלקי ישן, הוא ביקר בפריז מספר פעמים. בשנים 1927–1928 הוא מכר מספר רפרודוקציות למוזיאונים ולאספנים פרטיים, אך הציורים שנמכרו חזרו על עצמם בהכרח, תוך הקפדה על שלמות האוסף. בשנות ה-30 צייר נופים של מרכז איטליה.
בתחילת שנות ה-20 של המאה ה-20 יצר לוקהוף מערכת יחסים עם הצוות של מוזיאון פוג לאמנות באוניברסיטת הרווארד. בכמה שלבים רכש המוזיאון שלוש סצנות פלורנטיניות שלו. מוסדות אמריקאים נוספים רכשו יצירות של לוקהוף כללו את מוזיאון פורטלנד לאמנות באורגון, בית הספר סנט פול בקונקורד, ניו המפשייר
ניקולס לוקהוף נפטר ב-7 ביולי 1948 .
יורשי האמן הציעו לברית המועצות לרכוש אוסף עותקים, אך הסובייטים סירבו. הם הגיעו לאוניברסיטת פיטסבורג, שם הם מוצגים בקלויסטר ניקולס לוקהוף של האוניברסיטה. בניין לאמנויות.
ב-21 בדצמבר 2017 הוקם לוח זיכרון לכבודו על מבנה הגימנסיה פסקוב, בה למד האמן