stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
אלבני (לונדון)
בסיפורת

גיבור הרומן של בנג'מין דיזראלי סיביל (1845), צ'ארלס אגרמונט, חי שם; מצוין גם באמצע הספר כי דיוקן מאת כריסטיפאנו אלורי תלוי מעל האח שלו. הרומן הרווק של אולבני (1847) מאת מרמיון וילארד סאבאג' סובב סביב הבניין.
מר Fascination Fledgeby, מלווה כספים ברומן של צ'ארלס דיקנס, Our Mutual Friend (1865) מתואר כחי שם, וכמה סצנות בספר מתרחשות בדירתו. ברומן "תמונתו של דוריאן גריי" (1890) מאת אוסקר ווילד, לורד פרמור, דודו של הדמות לורד הנרי ווטון, מתגורר באולבני. במחזה של אוסקר ווילד, The Importance of Being Earnest (1895), לדמות ג'ון (ג'ק) וורת'ינג יש סט באולבני (מספר B.4), שם הוא מתגורר בזמן שהוא שוהה בלונדון תחת השם הבדוי ארנסט.
AJ Raffles, הפורץ הג'נטלמן שנוצר על ידי EW Hornung, ואשר הופיע לראשונה בסרט " The Ides of March " (1898), חי באלבני, כמו גם ההרפתקן לורד ג'ון רוקסטון מהרומן "העולם האבוד" מאת ארתור קונאן דויל (1912), וגם רוג'ר שרינגהאם, הבלש החובב ביצירותיו של אנתוני ברקלי קוקס שהופיע לראשונה ב-The Layton Court Mystery (1925). בסיפור The Queer Feet (1910) מסדרת האב בראון של GK Chesterton, נאמר על דמותו של מר אודרי שהוא "[נראה] כמו רווק עדין ומפונק, עם חדרים באולבני - מה שהוא היה".
בסיפור הקצר הקומי " Uncle Fred Flits By " (1935) מאת PG Wodehouse, הג'נטלמן הצעיר פונגו טוויסטלטון מתגורר באולבני. ב-The Foundling (1948), רומן מאת ג'ורג'ט הייר, קפטן גדעון וור מהמשמר המלכותי שוכר סט חדרים באולבני. בסרט "לבבות וכותרות חביבות" (1949), לואי מאציני לוקח סט קטן באלבני כשהוא עולה בסולם החברתי.
ברומן מסדרת ג'יימס בונד Moonraker מאת איאן פלמינג (1955), מסופר כי מקס מאייר, שותפו לברידג' של סר הוגו דראקס, מתגורר באלבני. ב"הגורם האנושי" של גרהם גרין (1978), ד"ר פרסיבל מתגורר בסט D.6. ברומנים מסדרת מייג'ור הארי מקסים מאת גאווין ליאל, לג'ורג' הארבינגר, הבוס של הארי, המופיע לראשונה בסרט "המשרת החשאי" (1980), יש דירה באלבני שבה הוא מתגורר עם בת זוגו, אנט. ברומן בלגרביה של ג'וליאן פלובס (2016), מר ג'ון בלסיס מתגורר בדירה באלבני.
הערות שוליים

↑  Brown p44
↑  Brown p49
1 2  Brown, Colin (2018). Lady M The Life and Loves of Elizabeth Lamb, Viscountess Melbourne 1751-1818 (paperback ed.). Stroud, Gloucestershire, UK: Amberley Publishing. pp. 134–8. ISBN 9781445689456.
1 2  Arthurs, William. "Philip Bobbitt on life in Albany". London Society Journal. London Society. נבדק ב-10 בדצמבר 2012. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Antony Grey: campaigner for homosexual rights" (באנגלית). ISSN 0140-0460. נבדק ב-2023-04-25.
1 2  Ingerfield, Mark (10 באפריל 2004). "A cluster of salubrious solitudes". The Daily Telegraph. London. אורכב מ-המקור ב-21 באפריל 2012. נבדק ב-11 בדצמבר 2012. {{cite news}}:  (עזרה)
↑  "Historic Albany set for sale". Easier Property. 16 באוגוסט 2007. נבדק ב-27 ביוני 2016. {{cite web}}:  (עזרה)
1 2  "The William Stone Society". Peterhouse College. נבדק ב-24 בדצמבר 2012. {{cite web}}:  (עזרה)
1 2  Kloester, Jennifer (2011). Georgette Heyer Biography. Random House. p. 248. ISBN 1446473368.
↑  "Designed for Living", The Times, 26 June 1958, p. 13
↑  Wodehouse, P. G. (2009). Young Men in Spats (Reprinted ed.). London: Arrow Books. p. 171. ISBN 9780099514039.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  LCCN: no2019147275  VIAF: 306365655   WorldCat (עם VIAF): 306365655 
ציור מאת תומאס ה. שפרד, בערך 1830
אינוקנטיוס התשיעי

האפיפיור אינוקנטיוס התשיעי (בלטינית: Innocentius IX;‏ 20 ביולי 1519 - 30 בדצמבר 1591), נולד כג'ובאני אנטוניו. היה האפיפיור בין 29 באוקטובר ל-30 בדצמבר 1591.
לפני כהונתו כאפיפיור, היה עורך דין, דיפלומט ומנהלן בכיר בזמן כהונתו של האפיפיור הקודם, גרגוריוס הארבעה עשר.
אינוקטיוס נולד בשנת 1519 בבולוניה שבאיטליה, לאחר שמשפחתו היגרה מצפון המדינה. למד משפטים באוניברסיטת בולוניה ושם קיבל תואר דוקטור במשפטים. לאחר מכן עבר לרומא ועלה בסולם הדרגות הדתי. בשנת 1560 מונה לבישוף. בשנת 1572 הפך לקרדינל.
כיהן כראש הפטריארכיה הלטינית בשנים 1572–1585.
בשנת 1591 מונה לאפיפיור, וכיהן בתפקיד זה רק כחודשיים. הוא הספיק למנות מספר קרדינלים לתפקידם ולעזור בניהול מלחמות הדת בצרפת, אך מותו לא אפשר לו לממש את תוכניותיו.
איליה מלינין

איליה מלינין (באנגלית: Ilia Malinin; נולד ב-2 בדצמבר 2004) הוא מחליק אמנותי אמריקאי, אלוף העולם (מונטריאול 2024), פעמיים ברציפות אלוף ארצות הברית (2023 ו-2024) בהחלקה אמנותית על קרח ליחידים. המחליק היחיד בעולם שביצע בתחרות בינלאומית, קפיצת ארבע אקסל, quadruple Axel (הקפיצה הקשה ביותר לביצוע), ונחת היטב על הקרח.
ביוגרפיה

מלינין נולד וגדל בפיירפקס, וירג'יניה. הוא בנם של טטיאנה מלינינה ורומן סקורנייקוב מחליקים אמנותיים על הקרח אוזבקים. אמו סיימה במקום שמיני במשחקים האולימפיים (נאגנו 1998) ורביעי באליפות העולם (הלסינקי 1999) ואביו סיים פעמיים במקום 19 במשחקים האולימפיים (נאגנו 1998 וסולט לייק סיטי 2002) ו-14 באליפות העולם (מיניאפוליס 1998).
ביוגרפיה > 2022 > סגן אלוף ארצות הברית

באליפות ארצות הברית שנערכה בנשוויל, טנסי בתחילת ינואר 2022 זכה במדליית כסף בתחרות ליחידים בתוצאה של 302.48 נק', אחרי נייתן צ'ן (328.01 נק') ולפני וינסנט ג'ואו (290.16 נק'). באליפות העולם שנערכה במונפלייה, צרפת במרץ הוא סיים במקום תשיעי בתחרות ליחידים בתוצאה של 263.79 נק'.
ביוגרפיה > 2022 > אלוף העולם לנוער

באליפות העולם לנוער שנערכה בטאלין, אסטוניה באפריל 2022 זכה במדליית זהב בתחרות ליחידים בתוצאה של 276.11 נק', לפני מיכאיל שיידורוב מקזחסטן (234.31 נק') וטאצויה צובוי מיפן (233.82 נק').
ביוגרפיה > 2023 > ארבע אקסל

בתחרות הבינלאומית הראשונה לעונת 2022/2023 שנערכה בלייק פלאסיד, ניו יורק בספטמבר 2022 הוא קפץ ארבע אקסל (quadruple Axel) ונחת היטב על הקרח ובכל היה למחליק הראשון בהיסטוריה שמבצע קפיצה זו באופן מושלם בתחרות בינלאומית.
ביוגרפיה > 2023 > אלוף ארצות הברית

באליפות ארצות הברית שנערכה בסאן חוזה, קליפורניה בסוף ינואר 2022 זכה במדליית זהב בתחרות ליחידים בתוצאה של 287.74 נק', לפני ג'ייסון בראון (277.32 נק') ואנדרו טורגשב (255.56 נק').
ביוגרפיה > 2023 > מדליית ארד באליפות עולם

באליפות העולם שנערכה בסאיטמה, יפן במרץ הוא זכה במדליית ארד בתוצאה של 288.44 נק', אחרי שומה אונו מיפן (301.14 נק') וצ'ה ג'ון-הוואן מקוריאה הדרומית (296.03 נק').
ביוגרפיה > 2024 > אלוף עולם

באליפות העולם שנערכה במונטריאול, קנדה במרץ הוא זכה במדליית זהב בתוצאה של 333.76 נק' (בתרגיל החופשי הוא קבע שיא עולם חדש של 227.79 נקודות), לפני יומה קג'יאמה מיפן (309.65 נקודות) ואדם סיאו הים פה מצרפת (284.39 נקודות). במהלך התרגיל הוא ביצע 6 קפיצות שונות של 4 סיבובים באוויר כולל את ארבע אקסל.
הערות שוליים

↑  By Les Carpenter, U.S. figure skater Ilia Malinin lands first quad axel in competition, The Washington Post, September 14, 2022 (באנגלית)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 1268216550  VIAF: 4328166360575707070004   WorldCat (עם VIAF): 4328166360575707070004
אופרטור התנע הזוויתי

אופרטור התנע הזוויתי הוא אופרטור וקטורי ממכניקת הקוונטים אשר מתאים למדידת תנע זוויתי של חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל. לאופרטור זה חשיבות רבה בחקר של תופעות טבע שונות, ובפרט במערכות של פוטנציאל מרכזי וסימטריה סיבובית כדוגמת אטום המימן.
ניתן לפרק את אופרטור התנע הזוויתי לשלושה סוגים. ניתן להתייחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי המסומן לרוב באות  \mathbf {L}  ומוגדר להיות המכפלה הווקטורית של אופרטור המיקום ואופרטור התנע:
\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}
כמו כן, ישנו אופרטור תנע זוויתי ספיני שסימונו  \mathbf {S} . לאופרטור זה, על אף שתכונותיו דומות לזה של אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי, אין ייצוג במרחב המיקום. בנוסף, בבעיות שבהן ישנו צימוד ספין-מסילה, צימוד ספין-ספין או צימוד בין שני חלקיקים, ניתן להתייחס לאופרטור התנע הזוויתי הכולל המסומן באות  \mathbf {J} .
מבוא > תנע זוויתי אורביטלי

במכניקה הקלאסית נהוג להגדיר את גודל התנע הזוויתי של חלקיק להיות המכפלה הווקטורית של שני הגדלים המדידים, וקטור ההעתק והתנע הקווי. במכניקת הקוונטים מיוצגים שני גדלים אלו על ידי אופרטור המיקום ואופרטור התנע בהתאמה, ועל כן ניתן באופן אנלוגי להגדיר את אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי כמכפלה הווקטורית של שני אופרטורים אלו:
\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )
מאחר שאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי הוא אופרטור וקטורי, ניתן לפרקו לרכיבי הצירים ולסמנם ב- L_{x},L_{y},L_{z}. אופרטורים אלו מקבלים את הצורה:
L_{x}=yp_{z}-zp_{y},L_{y}=zp_{x}-xp_{z},L_{z}=xp_{y}-yp_{x}
בנוסף לכך נהוג להגדיר את האופרטור הסקלרי  L^{2} כך:
L^{2}:=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}
מאחר שהתנע הזוויתי האורביטלי מוגדר כמכפלה וקטורית של שני אופרטורים הניתנים לייצוג במרחב המיקום, גם הוא ניתן לייצוג במרחב המיקום (ובאופן זהה במרחב התנע).
מבוא > ספין

בנוסף לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי, ניתן להגדיר אופרטור בעל יחידות של תנע זוויתי הקרוי אופרטור הספין ומסומן באות  \mathbf {S} . אופרטור זה אף הוא אופרטור וקטורי ומתאים למדידת הספין של חלקיק מסוים. עם זאת, לאופרטור הספין, על אף שיש לו יחידות של תנע זוויתי, אין ייצוג במרחב המיקום, זאת בניגוד לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי.
גם את אופרטור הספין ניתן לפרק לרכיביו,  S_{x},S_{y},S_{z}, ולהגדיר את האופרטור  S^{2}, בדומה לתנע הזוויתי האורביטלי.
תכונות וזהויות > ייצוג תנע זוויתי אורביטלי במרחב המיקום

עבור מרחב המיקום בקואורדינטות קרטזיות ניתן לכתוב את רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי כך:
L_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)
L_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)
L_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)
לעומת זאת, בקואורדינטות כדוריות מקבלים רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי את הצורה הבאה:
L_{x}=i\hbar \left(\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)
L_{y}=i\hbar \left(-\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)
L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}
ייצוג רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי אינו תלוי בקואורדינטה  r ובנגזרותיה, אלא רק בקואורדינטות הזוויתיות  \theta  ו- \phi , מה שמדגיש את האופי הסיבובי של אופרטורים אלו. בקואורדינטות כדוריות מקבל האופרטור  L^{2} את הצורה:
L^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)
תכונות וזהויות > יחסי חילוף

ניתן להסיק כי הקומוטטור של רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי מקיים את היחסים:
[L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}
נהוג לכתוב זהויות אלו בקיצור:
[L_{i},L_{j}]=i\hbar \sum _{k=1}^{3}{\epsilon _{ijk}L_{k}}
כאשר הקואורדינטות  x,y,z מזוהות עם האינדקסים  1,2,3 בהתאמה ו- \epsilon _{ijk} הוא סימן לוי-צ'יוויטה. כמו כן, באמצעות זהויות הקומטטור למכפלת אופרטורים ניתן להראות כי:
[L^{2},L_{x}]=[L^{2},L_{y}]=[L^{2},L_{z}]=0
כלומר,  L^{2} מתחלף עם כל אחד מרכיבי התנע הזוויתי, על אף שהם לא מתחלפים אחד עם השני.
באופן דומה, כל היחסים הללו מתקיימים אף לאופרטור הספין  \mathbf {S}  ולרכיביו.
מצבים עצמיים > תנע זוויתי אורביטלי

מאחר ש- L^{2} מתחלף עם כל אחד מרכיבי  \mathbf {L} , ניתן לבחור אחד מהם ולמצוא בסיס מצבים עצמיים משותף. נהוג לבחור ב- L_{z}, על אף שבבעיות ספציפיות ניתן לבחור איבר אחר.
הפונקציות העצמיות המשותפות ל- L^{2} ו- L_{z} הן ההרמוניות הספריות  Y_{l}^{m}. בכתיב דיראק נהוג לסמנן ב- |lm\rangle . כלומר, לכל  {\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3} מתקיים:
\langle {\vec {r}}|lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ) כאשר  \theta  ו- \phi  הן הקואורדינטות הזוויתיות של  {\vec {r}} כאשר זה מיוצג בקואורדינטות כדוריות.
הערכים העצמיים של  |lm\rangle  עבור האופרטורים  L^{2} ו- L_{z} הם:
L_{z}|lm\rangle =m\hbar |lm\rangle
L^{2}|lm\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|lm\rangle
המספר הקוונטי  l נקרא מספר קוונטי זוויתי והוא רשאי לקבל ערכים שלמים אי-שליליים בלבד. כלומר,  l=0,1,2,3,\dots .
המספר הקוונטי  m נקרא מספר קוונטי מגנטי והוא רשאי לקבל מספרים שלמים שערכם המוחלט קטן או שווה ל- l. כלומר  m=-l,-l+1,\dots ,l-1,l.
מצבים עצמיים > ספין

גם עבור אופרטור הספין ניתן למצוא בסיס משותף ל- S^{2} ו- S_{z}. איברי הבסיס המשותף של אופרטורים אלו בנויים משני מספרים קוונטים  s ו- m_{s} ומסומנים בכתיב דיראק בסימון  |sm_{s}\rangle . הערכים העצמיים של  |sm_{s}\rangle  עבור  S^{2} ו- S_{z} זהים לאלו של התנע הזוויתי האורביטלי:
S_{z}|sm_{s}\rangle =s\hbar |sm_{s}\rangle
S^{2}|sm_{s}\rangle =s(s+1)\hbar ^{2}|sm_{s}\rangle
עם זאת, בניגוד לתנע הזוויתי האורביטלי, אין להם ייצוג במרחב המיקום (או במרחב התנע).
המספר הקוונטי  s נקרא מספר קוונטי ספיני והוא רשאי לקבל ערכים חצי-שלמים אי-שליליים בלבד, גם זאת בניגוד לתנע הזוויתי האורביטלי. כלומר,  s=0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\dots .
המספר הקוונטי  m_{s} נקרא מספר קוונטי ספיני שניוני והוא רשאי לקבל שערכם המוחלט קטן או שווה ל- s בקפיצות של 1. כלומר  m_{s}=-s,-s+1,\dots ,s-1,s.
תנע זוויתי כולל

בבעיות פיזיקליות רבות יכולים להינתן שני אופרטורי תנע זוויתי  \mathbf {J_{1}} ,\mathbf {J_{2}}  אשר כל רכיביהם חילופיים אחד עם השני, כלומר  [J_{1,i},J_{2,j}]=0 לכל  i,j. אופרטורים אלו יכולים להיות האופרטורים  \mathbf {L} ,\mathbf {S}  של אותו החלקיק, או לחלופין אופרטורי תנע זוויתי כלשהם של שני חלקיקים שונים באותה מערכת פיזיקלית.
מאחר שכל הרכיבים של  \mathbf {J_{1}} ,\mathbf {J_{2}}  חילופיים אלה עם אלה, ניתן לבנות בסיס מצבים עצמיים משותף לאופרטורים  J_{1}^{2},J_{1,z},J_{2}^{2},J_{2,z}. בסיס זה נקרא בסיס המכפלה והוא בנוי על-ידי המכפלה הטנזורית של הבסיסים  |j_{1}m_{1}\rangle  של  J_{1}^{2},J_{1,z} ו- |j_{2}m_{2}\rangle  של  J_{2}^{2},J_{2,z}. נהוג לסמן את איברי בסיס זה בסימון  |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle .
עם זאת, ייתכן ובמערכת הפיזיקלית הנתונה ישנו צימוד בין שני התנעים, כלומר מופיע איבר מהצורה  J_{1,i}J_{2,j} בהמילטוניאן. בבעיות מסוג זה בסיס המכפלה אינו נוח לפתרון הבעיה.
לשם כך ניתן להגדיר את התנע הזוויתי הכולל להיות  \mathbf {J} :=\mathbf {J_{1}} +\mathbf {J_{2}} . זהו אופרטור וקטורי אשר גם אותו ניתן לפרקו לרכיביו  J_{x},J_{y},J_{z} ולהגדיר עבורו את האופרטור  J^{2}.
\mathbf {J}  ורכיביו מקיימים את כל יחסי החילוף של שאר אופרטורי התנע הזוויתי. מסיבה זו ניתן להגדיר בסיס מצבים עצמיים חדש המשותף לאופרטורים  J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}. בסיס זה נקרא בסיס הסכום ואיבריו מסומנים ב- |j_{1}j_{2}JM\rangle . במקרים רבים מצבים עצמיים אלו יהיו מצבים עצמיים נוחים יותר לפתרון הבעיה הפיזיקלית.
עבור המצבים העצמיים  |j_{1}j_{2}JM\rangle ,  J מקבל ערכים בין  |j_{1}-j_{2}| ל- j_{1}+j_{2} בקפיצות של 1. כמו כן  M מקבל ערכים בין  -J ל- J בקפיצות של 1. באופן כללי, אם אחד מהאופרטורים בסכום יכול לקבל ערכי תנע זוויתי חצי שלמים (כמו אופרטור ספיני למשל), אזי גם  J יכול לקבל ערכים חצי שלמים. אחרת,  J מקבל מספרים שלמים אי-שליליים בלבד.
ניתן לעבור מבסיס המכפלה לבסיס הסכום ולהפך על-ידי פעולת חיבור תנע זוויתי ושימוש במקדמי קלבש-גורדן.
אופרטורי סולם

בהינתן אופרטור תנע זוויתי  \mathbf {J}  כלשהו (אורביטלי, ספיני או כולל), נגדיר את האופרטורים:
J_{+}:=J_{x}+iJ_{y}
J_{-}:=J_{x}-iJ_{y}
עבור בסיס המצבים העצמיים  |j,m\rangle  של האופרטורים  J^{2} ו- J_{z} מתקיים כי:
J_{+}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle
J_{-}|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle
כלומר, אופרטורים אלו מעלים ומורידים את המספר הקוונטי המגנטי. במקרים רבים ניתן להשתמש באופרטורים אלו כדי למצוא את מקדמי קלבש-גורדן.
קשר לאופרטור סיבוב

בהינתן וקטור יחידה  {\hat {n}} כלשהו ( {\hat {n}} שהנורמה שלו שווה ל-1), ניתן להגדיר את האופרטור  R({\hat {n}},\theta ) להיות אופרטור סיבוב סביב הציר  {\hat {n}} ב- \theta  רדיאנים נגד כיוון השעון. אם מגדירים את  L_{\hat {n}}:={\hat {n}}\cdot \mathbf {L}  להיות התנע הזוויתי סביב  {\hat {n}}, ניתן להראות כי מתקיים השוויון:
R({\hat {n}},\theta )=\exp \left({\frac {-i\theta L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)
כלומר,  L_{\hat {n}} הוא האופרטור היוצר של סיבוב סביב  {\hat {n}}. לכן, על-פי משפט נתר, במערכות פיזיקליות שבהן יש סימטריה לסיבוב סביב  {\hat {n}}, הגודל של  L_{\hat {n}} נשמר. מעבר לכך, במערכות שבהן יש סימטריה לכל הסיבובים, כל איברי  \mathbf {L}  נשמרים.
הקשר בין אופרטורי התנע הזוויתי לאופרטורי סיבוב מקנה נקודת מבט גאומטרית יותר על יחסי החילוף הקנוניים בין האופרטורים  L_{x},L_{y},L_{z}, במסגרתה אי-החילופיות שלהם נובעת מאי-החילופיות של סיבובים מרחביים. למשל, הפעלת אופרטור סיבוב בזווית אינפיניטסימלית  R_{1}({\hat {x}},\epsilon _{1}) סביב ציר x ולאחריו אופרטור סיבוב בזווית אינפיניטסימלית  R_{2}({\hat {y}},\epsilon _{2}) סביב ציר y, אינה שקולה במדויק להפעלת אותם הסיבובים בסדר הפוך. ניתן להראות בדרך גאומטרית לחלוטין שההבדל בין שני אופני הסיבוב, שהוא למעשה יחס החילוף של אופרטורי הסיבוב שתוארו מקודם ( [R_{1},R_{2}]=R_{1}R_{2}-R_{2}R_{1}), שקול לאופרטור המייצג סיבוב בזווית  \epsilon _{1}\epsilon _{2} סביב ציר z. מעובדה זאת ומן הקשר בין  R({\hat {n}},\theta ) ל- L_{\hat {n}} ניתן לגזור אלגברית את יחס החילוף  [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z}, ובדומה לכך את יחסי החילוף האחרים.
ראו גם

תנע זוויתי
הפוסטולטים של תורת הקוונטים
אופרטור
אופרטור המיקום
אופרטור התנע
הערות שוליים

↑  Richard Fitzpatrick, Angular Momentum Operators, University of Texas
↑  Angular momentum, University of Edinburgh
↑  Jim Branson, The Angular Momentum Eigenfunctions, University of California, San Diego, ‏2013-04-22
↑  Spin Algebra, Spin Eigenvalues, Pauli Matrices, University of Berkely, ‏2003-09-25
תיאור ויזואלי של המצבים העצמיים של אופרטור תנע זוויתי עם  l=2
אלכסנדר מרקורייב

| --- | --- |

 לידה:  25 בספטמבר 1955 (בן 69) סנקט פטרבורג, ברה"מ 
 ענף מדעי:  מתמטיקה
 מקום מגורים:  קליפורניה
 מקום לימודים:  אוניברסיטת סנקט פטרבורג (1979) 
 מנחה לדוקטורט:  Anatoly Yakovlev 
 מוסדות:  אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס (1997)  אוניברסיטת סנקט פטרבורג (1977) 
 תלמידי דוקטורט:  Oleg Izhboldin, Mark Blunk, Tan Chong Hui, Alexei Korolev, Alexander Ritchie Boisvert, Sanghoon Baek, Bryant Gregory Mathews, Dinh Huu Nguyen, Semyon Blinstein, Anthony Ruozzi, Vladimir Khalin, Roman Bogomolov, Mona Mocanasu, Pedro Benjamin Barquero-Salavert, Owen M. Davey, Mikhail M. Gruntovich, Nikita Karpenko, Alexander Sivatskii, Shuang Cai, Igor Sivitskii, Wanshun Wong 
 פרסים והוקרה:  פרס קול באלגברה (2012)  מלגת גוגנהיים (2013)  פרס הומבולדט (1995)  עמית האגודה האמריקאית למתמטיקה (2013)  עמית אלכסנדר פון הומבולדט  Saint Petersburg Mathematical Society 
 אתר רשמי
 תרומות עיקריות
 מחקרים בתחום האלגבראות הפשוטות וחבורות אלגבריות
 
אלכסנדר מרקורייב (רוסית: Алекса́ндр Сергее́вич Мерку́рьев; ‏נולד ב־25 בספטמבר 1955) הוא מתמטיקאי אמריקאי ממוצא רוסי, העוסק בנושאים שונים באלגברה. מרקורייב הוא אחד המתמטיקאים המובילים בתחום זה, ומחקריו תרמו רבות לנושאים שונים, כמו אלגבראות פשוטות מרכזיות, תבניות ריבועיות, חבורות אלגבריות ותורת K של חוגים. מרקורייב הוא פרופסור בUCLA. יחד עם מתמטיקאים מובילים נוספים מהתחום, כמו ז’אן-פייר טיניול ומרקוס רוסט, חיבר מספר ספרים חשובים בתחום.
תרומתו למתמטיקה

החל משנות ה-80, פרסם מרקורייב מאמרים ומחקרים רבים בנושאים שונים באלגברה מופשטת, ביניהם על אלגבראות פשוטות מרכזיות, תבניות ריבועיות, חבורות אלגבריות ותורת K של חוגים. בשנת 1981 הוכיח משפט בסיסי בתורת המבנה של אלגבראות מאקספוננט מחלק 2, לה מסקנות חשובות לחלק מפיתול 2 בחבורת בראואר. בעבודה מאוחרת יותר עם אנדרי סוסלין, הכלילו השניים תוצאה זו לאקספוננט כללי, תוצאה הידועה בתור משפט סוסלין-מרקורייב. משפט זה הוכלל בראשית המאה ה-21, על ידי מרקוס רוסט וולדימיר וויבודסקי, לNorm residue isomorphism theorem, אשר היה ידוע עד אז בתור השערת בלוך-קאטו.
בשנות ה-90, מרקורייב ניסח הגדרה כללית עבור essential dimension של אלגבראות (שהוגדר מוקדם יותר על ידי ג'ו בוילר וזינובי ריכשטיין). באותו נושא, ביצע מרקורייב מספר חישובים מהותיים ובפרט חישב את ה-essential p-dimension של אלגבראות פשוטות מרכזיות מדרגה  p^{2}, ושל חבורות p סופיות.
מרקורייב עסק גם באינווריאנטים של תבניות ריבועיות ומיון מרחבים ריבועיים, טורסורים של חבורות אלגבריות כלליות והקשר לתורת הקוהומולוגיה של חוגים ותורת קומר, אינווריאנטי רוסט של חבורות אלגבריות קשירות.
למרקורייב היו תלמידי מחקר רבים לאורך העשורים האחרונים, איתם חקר נושאים רבים בתחום האלגברה. אחד מתלמידיו הבולטים הוא ניקיטה קרפנקו.
ביבליוגרפיה > מספריו

Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost, Jean-Pierre Tignol: The book of involutions, American Mathematical Society 1998.
Skip Garibaldi, Jean-Pierre Serre, Alexander Merkurjev: Cohomological Invariants in Galois Cohomology, American Mathematical Society 2003.
Richard Elman, Nikita Karpenko, Alexander Merkurjev: Algebraic and geometric theory of quadratic forms, American Mathematical Society 2008.
ביבליוגרפיה > ממאמריו

A. Merkurjev (1981). "On the norm residue symbol of degree 2". Dokl. Akad. Nauk SSSR, 261: 542–547
A. Merkurjev (2010). "Essential p-dimension of PGL(p^2)". JAMS, 23. pp. 693–712
N. Karpenko, A. Merkurjev (2008). "Essential dimension of finite p-groups". Inventiones Mathematicae. 172: 491–508
Chernousov V., Merkurjev A. R-equivalence in spinor groups J. Amer. Math. Soc., 14 (2001), 509-534.
Merkurjev A. Invariants of algebraic groups J. Reine Angew. Math., 508 (1999), 127-156.
לקריאה נוספת

דף הבית של מרקורייב ב-UCLA
אלן הנדרסון

| --- | --- |
 לידה:  2 בדצמבר 1972 (בן 51) מורגנטאון, וירג'יניה המערבית, ארצות הברית
 עמדה:  פאוור פורוורד
 גובה:  2.06 מטרים
 מספר:  44, 50
 מכללה:  אוניברסיטת אינדיאנה
 דראפט:  בחירה מספר 16, 1995 אטלנטה הוקס
 קבוצות כשחקן
 1995–2004 2004–2005 2005–2006 2006–2007:  אטלנטה הוקס דאלאס מאבריקס קליבלנד קאבלירס פילדלפיה 76'
 הישגים כשחקן
 השחקן המשתפר של העונה ב-NBA‏ (1998)
אלן ליברוקס הנדרסון (באנגלית: Alan Lybrooks Henderson; נולד ב-2 בדצמבר 1972) הוא כדורסלן עבר אמריקאי, אשר שיחק בליגת ה-NBA בין השנים 1995–2007. בעונת 1997/1998 זכה בפרס השחקן המשתפר של העונה ב-NBA כשחקן אטלנטה הוקס. ממוצעיו הכוללים לאורך הקריירה הם 7.8 נקודות ו-5.0 ריבאונדים למשחק.
קריירת תיכונים ומכללות

הנדרסון נולד במורגנטאון אשר בווירג'יניה המערבית, לומד ב"תיכון ברבוף ג'זויט" אשר באינדיאנפוליס, אינדיאנה. בשנתו האחרונה בקבוצת הכדורסל של התיכון הוביל אותה לגמר אליפות התיכונים של אינדיאנה, בו הפסידה מול קבוצת "תיכון רוזוולט" בה שיחק גלן רובינסון. בסיום אותה עונה הוזמן הנדרסון להשתתף במשחק מקדונלד'ס אול-אמריקן, המציג את שחקני התיכונים המצטיינים בארצות הברית.
בין השנים 1991–1995 למד באוניברסיטת אינדיאנה, ושיחק בקבוצת הכדורסל שלה תחת המאמן בוב נייט. בעונת 1991/1992 קלע הנדרסון 11.6 נקודות למשחק כשחקן ספסל, וקבוצתו הודחה במשחק חצי גמר טורניר אליפות המכללות על ידי אוניברסיטת דיוק, אותה הובילו כריסטיאן לייטנר וגרנט היל. בעונה העוקבת הפסידה אינדיאנה ברבע גמר הטורניר, מול אוניברסיטת קנזס. בעונתו האחרונה בליגת המכללות רשם ממוצעים של 23.5 נקודות, 9.7 ריבאונדים ו-2.1 חסימות למשחק, אך קבוצתו הודחה כבר במשחק הראשון של טורניר ה-NCAA.
קריירה מקצועית

בדראפט ה-NBA‏ 1995 נלקח הנדרסון בבחירה ה-16, על ידי אטלנטה הוקס. בעונתו השלישית ב-NBA, לאחר שנתיים בהן קלע כ-6.4 נקודות בממוצע למשחק, שיפר הנדרסון את תפוקתו ל-14.3 נקודות ו-6.4 ריבאונדים למשחק וזכה בפרס השחקן המשתפר של העונה. ב-3 העונות הבאות המשיך להציג יכולת סולידית באטלנטה עם ממוצעים של 12.1 נקודות ו-6.4 ריבאונדים למשחק, אך החל מעונת 2001/2002 ועד לסיום הקריירה שימש כשחקן ספסל זניח יחסית. ב-3 מתוך 9 עונותיו עם ההוקס העפילה הקבוצה לחצי גמר האזור המזרחי.
לקראת עונת 2004/2005 הועבר יחד עם ג'ייסון טרי בטרייד לדאלאס מאבריקס, בתמורה לאנטואן ווקר וטוני דלק. בשתי העונות הבאות שיחק עבור קליבלנד קאבלירס ופילדלפיה 76', בהתאמה, בטרם פרש ממשחק בגיל 34.
הערות שוליים

↑  סטטיסטיקות ה-NBA של הנדרסון, באתר basketball-reference.com
↑  מי מספר שתיים, באתר indystar.com,‏ 9 באפריל 2015
↑  רשימת המשתתפים במשחק מקדונלד'ס אול-אמריקן, באתר basketball-reference.com
↑  סטטיסטיקות המכללות של הנדרסון, באתר sports-reference.com
↑  רשימת הנבחרים בדראפט 1995, באתר basketball-reference.com
↑  טרי והנדרסון נשלחים בטרייד למאבריקס, באתר ESPN,‏ 3 באוגוסט 2004
אלכסנדר מרקוביץ' אוסטרובסקי

| --- | --- |

 לידה:  25 בספטמבר 1893 קייב, האימפריה הרוסית 
 פטירה:  20 בנובמבר 1986 (בגיל 93) מונטניולה, שווייץ 
 שם לידה:  Александр Маркович Островский 
 ענף מדעי:  מתמטיקה
 מקום מגורים:  האימפריה הרוסית, גרמניה, שווייץ
 מקום קבורה:  Sant'Abbondio Cemetery in Gentilino 
 מקום לימודים:  אוניברסיטת מרבורג (1914)  אוניברסיטת גטינגן (1920) 
 מנחה לדוקטורט:  אדמונד לנדאו, פליקס קליין 
 מוסדות:  אוניברסיטת בזל (1928–1958)  אוניברסיטת המבורג (1920–1922)  אוניברסיטת גטינגן (1923–1928) 
 תלמידי דוקטורט:  תאודור מוצקין, Caleb Gattegno, Walter Gautschi, Stefan E. Warschawski, Eduard Batschelet, Eduard Batschelet, Fritz Blumer 
 פרסים והוקרה:  פרס אוסטרובסקי
 
אלכסנדר מרקוביץ' אוסטרובסקי (ברוסית: Алекса́ндр Ма́ркович Остро́вский;‏ 25 בספטמבר 1893 בקייב, האימפריה הרוסית – 20 בנובמבר 1986 במונטנולה, לוגאנו, שווייץ) היה מתמטיקאי.
אוסטרובסקי (מימין) ואוטו טפליץ