מתמטיקה
סימון, שפה וריגורוזיות

מרבית הסימונים המתמטיים שבשימוש כיום הומצאו רק במאה ה-16 ואילך. לפני כן, המתמטיקה נכתבה במילים ולא בסימנים - תהליך איטי שהגביל את היכולת המתמטית של בני אותן תקופות. לאונרד אוילר המציא, במאה ה-18, רבים מהסימנים שבשימוש כיום. הסימון המתמטי המודרני הופך את העיסוק במתמטיקה נוח ביותר למקצוענים, אך מתחילים מוצאים אותו מרתיע לעיתים. הסימון המתמטי "דחוס" מאוד: ניתן להביע באמצעותו מידע רב מאוד תוך שימוש במספר מועט של סמלים. בדומה לתיווי מוזיקלי, גם לתיווי המתמטי המודרני תחביר מדויק ונוקשה, והוא מקודד מידע שיהיה קשה לכתבו בכל צורה אחרת.
גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים. למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעיתים שונה, מבלשון היומיומית. בנוסף, מילים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת. הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות. ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום. המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות".
ריגורוזיוּת היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית. המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית. רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית (ראו למשל: משפט ארבעת הצבעים). רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים השתנתה במשך ההיסטוריה. היוונים, שטיפלו בעיקר ביצורים גאומטריים קונקרטיים, דרשו טיעונים מפורטים. בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות, וגם ההגדרות שנתנו ניוטון ולייבניץ למושגי היסוד של האנליזה, כמו הגבול של סדרה, לא היו מדוקדקים די הצורך בסטנדרטים מודרניים.
בעיות מהותיות בהגדרת מושג הפונקציה, שהתעוררו בעיקר סביב עבודתו של פורייה, הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19. גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות בעזרת מחשב. חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיוֹת מספיק.
| x | π(x) | π(x) - x/ln(x) |
| --- | --- | --- |
| 101 | 4 | 0 |
| 102 | 25 | 3 |
| 103 | 168 | 23 |
| 104 | 1,229 | 143 |
| 105 | 9,592 | 906 |
| 106 | 78,498 | 6,116 |
בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית. במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית. מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי-שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית. למרות זאת, לעיתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעל אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג על ידי נוסחאות בתחום תורת הקבוצות.
אחת מדרישות הריגורוזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה. בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול ככל שיהיה. דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית. לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים, שמספק את הקירוב  \ Li(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\log(t)}}dt למספר הראשוניים הקטנים מ-x. (היחס בין ערך זה לבין הפונקציה  \ {\frac {x}{\log(x)}}, x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו, שואף ל-1). הערכה זו מפריזה במספר הראשוניים לכל ערך שעבורו היא נבדקה, אך ג'ון אדנזור ליטלווד הראה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים. משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), אף על פי שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי-על, התקפות למספרים רבים.