stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משוואות פרנה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור  \gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{2} בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה (Frenet) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה והווקטור הנורמל לו, כתלות בעקמומיות העקומה. חשיבותן של משוואות אלה היא שבהינתן תנאי התחלה ופונקציית עקמומיות רגולרית, ניתן לשחזר את העקומה באופן גלובלי באמצעות פתרון המשוואות.
תהי  {\vec {\gamma }}\in C^{2}[0,L] עקומה רגולרית ( \ |{\vec {\gamma }}'(s)|\neq 0) וגזירה פעמיים ברציפות בפרמטר הטבעי. נגדיר וקטור משיק על ידי
מכיוון שהעקומה נתונה בפרמטריזציה טבעית זהו וקטור יחידה, כלומר הנורמה או הגודל שלו שווה ל-1. נשלים וקטור זה לבסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית (בעזרת כלל יד ימין) על ידי וקטור יחידה נוסף,  {\vec {n}}(s) הניצב לווקטור המשיק. משוואות פרנה טוענות ש-
כאשר  \ k(s) היא העקמומיות. זוהי מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות ומסדר ראשון. נהוג להציג את המשוואות בצורה מטריציונית:
נשים לב שמטריצת המקדמים היא מטריצה אנטי-סימטרית. עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר.
את המשוואות ניתן להסיק באופן הבא:
מאחר ש-v מוגדר להיות וקטור יחידה הוא מקיים את השוויון  \langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle =1. נגזור את שני אגפי המשוואה  0=2\langle {\vec {v'}},{\vec {v}}\rangle . כלומר: 'v אורתוגונלי ל-v ולכן הוא פרופורציונלי, או מקביל, ל-n. גורם הפרופורציה מוגדר להיות  \ k(s) - העקמומיות. מכאן נובעת משוואת פרנה הראשונה.
באותו אופן, נגזור את   \langle {\vec {n}},{\vec {n}}\rangle =1 ונקבל ש-'n מקביל ל-v.
כעת נגזור את  \langle {\vec {v}},{\vec {n}}\rangle =0 ונקבל  \ 0=\langle {\vec {v'}},{\vec {n}}\rangle +\langle {\vec {v}},{\vec {n}}'\rangle =\langle k{\vec {n}},{\vec {n}}\rangle +\langle {\vec {v}},\lambda {\vec {v}}\rangle =k+\lambda  ומכאן  \ \lambda =-k ומשוואת פרנה השנייה.
ראו גם

משוואות פרנה-סרה (הכללה לעקומים במרחב תלת-ממדי)
נג'ראן

| --- | --- |

בית מסורתי בנג'ראן
 מדינה:  ערב הסעודית ערב הסעודית
 מחוז:  נג'ראן
 שפה רשמית:  ערבית
 תאריך ייסוד:  2000 לפנה"ס
 גובה:  1,293 מטרים
 אוכלוסייה:  ‏
  ‑ בעיר:  381,431 (2022)
 קואורדינטות:  17°29′30″N 44°07′56″E﻿ / ﻿17.4917°N 44.1322°E﻿ / 17.4917; 44.1322 
 אזור זמן:  UTC +3
 אתר העיר
  מפת מיקום  מפה מפורטת   (למפת ערב הסעודית מוגדלת) ריאד ג'דה מכה אל-מדינה דמאם בוריידה ח'מיס מושייט איראן כווית עיראק ירדן יש. מצרים סודאן ארי. תימן עומאן איחוד האמיר.  ק. המ. הפ.  ים סוף נג'ראן(למפת ערב הסעודית רגילה) ריאד ג'דה מכה אל-מדינה דמאם בוריידה ח'מיס מושייט איראן כ. עיראק ירדן יש. מצ. סודאן ארי. תימן עומאן איחוד האמיר.  ק. המ. הפ.  ים סוף נג'ראן  he tabBackground:;tabBorder:#aaa;defaultTab:0;
נג'ראן (בערבית: نجران) היא עיר בדרום ערב הסעודית ובירתו של מחוז בעל שם זהה. העיר ממוקמת כ-840 ק"מ דרום-מערבית לבירה ריאד ובסמוך לגבול עם תימן.
בעבר נג'ראן נחשבה למרכז חשוב לייצור בדים, וישנן הערכות כי הבדים שכיסו בתחילה את הכעבה נוצרו באזור זה. בעבר התקיימה בעיר גם קהילה יהודית שמיוחסת (לפי יהודי תימן) לצאצאי עשרת השבטים. בשנת 1934, תחת השלטון הסעודי, החלו רדיפות אחר היהודים. רדיפות אלו גרמו לבריחת היהודים לתימן עד שנת 1949. לאחר מכן יהודים אלו עלו למדינת ישראל במסגרת מבצע על כנפי נשרים.
היסטוריה

ההתיישבות באזור נג'ראן החלה ככל הנראה כאלפיים שנים לפני הספירה. בעת העתיקה העיר ישבה על דרך הבשמים. האזור נכבש על ידי חמיר בשנת 280. בתחילת המאה ה-6 התקיימה בעיר קהילה נוצרית משגשגת. בתקופה זו שלט בעיר המלך היהודי יוסף ד'ו נואס. לפי ההיסטוריון המוסלמי מן המאה ה-8 אבן אסחאק, אזור נג'ראן הוא האזור הראשון בחצי האי ערב שאליו הגיעה הנצרות. הקהילה הנוצרית גורשה למסופוטמיה עם שלטונו של עומר בן אל-ח'טאב. באותן השנים הייתה נג'ראן מרכז אזורי לייצור נשק ועור.