stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
חוקת ניו זילנד
רפורמה > הצעות לרפורמה > קבוצת עבודה חוקתית מאורי

בשנת 2010 פורום הכיסאות של איווי פורום המורכב מאנשים מארגון איווי(אנ'), ארגון מאורי בניו זילנד הקים קבוצת עבודה חוקתית על מנת ליצור שיחה עם שיח של המאורים כיצד ניתן לפתח חוקה לניו זילנד מנקודת מבט מאורית. פורום יושבי ראש איווי הנחה את קבוצת העבודה לבסס את הדיונים על הכרזת העצמאות משנת 1835, על הסכם ואיטנגי, על הצהרת האומות המאוחדות על זכויותיהם של עמים ילידים ועל העקרונות של טיקנגה. הפורום קיים 252 פגישות עם מאורים במארה ובמסגרות אחרות בין 2012 ל-2015 הממצאים פורסמו ב-2016 במסמך בשם Matike Mai Aotearoa.
ראו גם

הפוליטיקה של ניו זילנד
ארבע פעולות החשבון

ארבע פעולות החשבון הן פעולות החשבון הבסיסיות ביותר, השימושיות בחיי היומיום של מרבית בני האדם. פעולות אלה נלמדות בתחילת לימודי המתמטיקה בבית הספר היסודי, וחרף פשטותן היחסית, נדרשת לביצוען מידה מסוימת של הפשטה.
ארבע פעולות החשבון הן חיבור, חיסור, כפל וחילוק. כל אחת מפעולות אלה היא פעולה בינארית, כלומר פונקציה הפועלת על שני מספרים.
להבהרת המשך הדיון נציין שפעולה נקראת "סגורה" בקבוצה מסוימת כאשר התוצאות שהיא מחזירה שייכות תמיד לאותה הקבוצה.
חיבור

משמעותו המקובלת של החיבור היא משמעות של צירוף. המספרים הנתונים לחיבור נקראים "מחוברים" (כאשר כל אחד מהם נקרא "מחובר"), והמספר המתקבל כתוצאה מהחיבור נקרא "סכום". פעולת החיבור מסומנת בסימן  \ +, המבוטא "ועוד" או "פלוס". לכן, את הביטוי 3 + 5 יש לקרוא "חמש ועוד שלוש" או "חמש פלוס שלוש".
כדי לחשב חיבור, אפשר להיעזר בלוח החיבור, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת החיבור בין כל שני מספרים  בני ספרה אחת. פעולת החיבור סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, כלומר חיבור של שני מספרים טבעיים אף הוא מספר טבעי.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
לוח החיבור

| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | + |
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 |
| 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 1 |
| 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 2 |
| 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 3 |
| 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 4 |
| 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 5 |
| 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 6 |
| 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 7 |
| 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 8 |
| 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 9 |
חיסור

בפעולת החיסור ניתנים כרגיל שני מספרים, הראשון אשר ממנו מחסרים נקרא "מְחוּסַר", והשני, שאותו מחסרים, נקרא "מְחַסְר". המספר המתקבל כתוצאה מהחיסור נקרא "הֶפְרֵשׁ". פעולת החיסור מסומנת בסימן  \ -, המבוטא "מינוס" או "פחות". לכן, את הביטוי 2 - 5 יש לקרוא "חמש מינוס שתיים" או "חמש פחות שתיים". בחינת תוצאת החיסור נעשית באמצעות חיבור ההפרש למחסר. הדרך האינטואיטיבית המקובלת לחשוב על חיסור היא כעל גריעה: אם בקבוצה היה מספר כלשהו של עצמים וגרענו מהקבוצה חלק מהעצמים, כמה נשארו? חיסור היא הפעולה ההפוכה לחיבור, כלומר אם  \!\,a+b=c, הרי פעולת החיסור תיתן תשובה לשאלה: כאשר במשוואה זו ידועים ערכיהם של b ושל c, מהו ערכו של a ? פעולת החיסור אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, משום שחיסור מספר ממספר קטן ממנו נותנת מספר שלילי. פעולת החיסור סגורה בקבוצת המספרים השלמים. ניתן להרחיב את הגדרתה של פעולת החיבור בקבוצת המספרים הטבעיים כך שתחול גם על קבוצת המספרים השלמים.
למעשה בקבוצת המספרים השלמים ובקבוצות שמכילות אותה, פעולה של חיסור מספר  \ a כלשהו זהה לפעולה של חיבור  \ -a, שהוא המספר הנגדי של  \ a, כלומר  \ x-a=x+(-a). על כן, ניתן לראות כל פעולת חיסור כסוג של פעולת חיבור.
כפל

בפעולת כפל נתונים שני מספרים. האחד - הראשון בסדר הכתיבה אשר אותו מכפילים - נקרא "נִכְפָּל", והשני - בו מכפילים - נקרא" "כּוֹפֵל". שניהם יחדו נקראים "גורמים". עבור שאלות מילוליות - הנכפל נושא תמיד את השם הנתון בשאלה (כדורים / בובות וכו'). הכופל מראה פי כמה להגדיל את הנכפל, ולכן מיחסים לו את השם "פעמים". המספר המתקבל כתוצאה מהכפל נקרא "מַכְפֵּלָה". את הביטוי  3X5 יש לקרוא "שלוש כפול חמש" או "חמש פעמים שלוש ".
כפל הוא קיצור של פעולת החיבור, אך באופן כללי נוהגים לראות כפל כפעולה העומדת בפני עצמה. בקבוצת השלמים, אפשר להסביר את הפעולה על ידי החלפת המילה "כפול" במילה "פעמים". כך ש- a כפול  b, הוא בעצם, " b פעמים  a" או במפורש, הכפלת מספר  a במספר  b, דינה כסכום של  a עם עצמו  b פעמים (או כעוצמת קבוצת האיחוד של  b קבוצות זרות בעלות עוצמה  a). הגדרה נאיבית של פעולת הכפל נעשית באמצעות לוח הכפל, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת הכפל, הקרויה מכפלה, על כל שני מספרים אפשריים שכל אחד מהם בן ספרה אחת. פעולת הכפל סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם בקבוצת המספרים השלמים.
כפל מוגדר גם עבור מספרים רציונליים (שברים) ומספרים ממשיים, בעזרת הרחבת ההגדרה לשלמים. מספר שלם ניתן להצגה כשבר (למשל בבחירת המספר עצמו כמונה, עם מכנה 1), וכפל שברים מוגד כשבר שמונהו הוא מכפלת שני המונים, ומכנהו מכפלת שני המכנים.
הכפל היא פעולה קומוטטיבית: החלפת הכופל והנכפל לא משנה את המכפלה, כלומר  \ a\times b=b\times a. עם זאת, יש לשים לב שכאשר מייחסים לכופל, לנכפל, או לשניהם משמעות מוחשית, יש למיקום חשיבות. לדוגמה, יש אותו מספר בקבוקים בשלוש אריזות של עשרה בקבוקים ובעשר אריזות של שלושה בקבוקים, אך אותם שלושים בקבוקים מייצגים מציאות פיזית שונה בשני המקרים.
פעולת הכפל מסומנת בסימן  \ \times  או לפעמים  \ \cdot , וכאשר אין סכנה לבלבול, משמיטים אותה כליל. כלומר  \ ab זהה לכתיבת  \ a\times b, ו- \ 5(3+4) זהה ל- \ 5\times (3+4).
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
לוח הכפל

| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |  \!\,\times  |
0
| 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 16 | 14 | 12 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | 2 |
| 27 | 24 | 21 | 18 | 15 | 12 | 9 | 6 | 3 | 0 | 3 |
| 36 | 32 | 28 | 24 | 20 | 16 | 12 | 8 | 4 | 0 | 4 |
| 45 | 40 | 35 | 30 | 25 | 20 | 15 | 10 | 5 | 0 | 5 |
| 54 | 48 | 42 | 36 | 30 | 24 | 18 | 12 | 6 | 0 | 6 |
| 63 | 56 | 49 | 42 | 35 | 28 | 21 | 14 | 7 | 0 | 7 |
| 72 | 64 | 56 | 48 | 40 | 32 | 24 | 16 | 8 | 0 | 8 |
| 81 | 72 | 63 | 54 | 45 | 36 | 27 | 18 | 9 | 0 | 9 |

הערה: לוח הכפל המוכר יותר (שחיבורו מיוחס לפיתגורס) עוסק במכפלות בתחום 1–10, ולא בתחום 0–9 כפי שמוצג כאן. אין טעם טכני בהצגת מכפלות של 10, משום שאלה הן כבר מכפלות של מספר בן שתי ספרות, שאותן ניתן לבצע לפי לוח הכפל המופיע כאן, והכללים לכפל של מספרים בני יותר מספרה אחת.
חילוק

בפעולת חילוק נתונים שני מספרים. הראשון שאותו מחלקים, נקרא "מחולק". והשני, שבו מחלקים את הראשון, נקרא "מחלק". המספר המתקבל כתוצאה מהחילוק נקרא "מנה". בחילוק אי אפשר לשנות את מיקומם של המספרים הנתונים בו. הבחינה של תוצאת החילוק נעשית באמצעות כפל - מכפילים את המחלק במנה, וכשיש שארית מוסיפים אותה למכפלה של המחלק במנה. את התוצאה משווים למחולק.
ישנן שתי משמעויות מקובלות לחילוק - "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה". חילוק לחלקים היא פעולה של חלוקה לחלקים שווים: אם יש לנו קבוצה בת a איברים וחילקנו אותה ל-b קבוצות שוות בגודלן, כמה איברים יש בכל קבוצה? אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין חמישה ילדים, כמה פרוסות קיבל כל ילד? בחילוק לחלקים נכתב המחלק בלי שם, כי הוא מראה פי כמה להקטין את המחולק, והמנה מציינת כמות מאותו סוג של המחולק.
המשמעות השנייה היא חילוק להכלה. שם זה נובע מכך שבחלוקה זו, אנו מקבלים מידע על החלק ועל השלם, ושואלים כמה פעמים החלק מוכל בשלם. בחילוק להכלה נשאלת השאלה, בהינתן שיש לנו קבוצה בגודל a שחילקנו למספר קבוצות שוות בגודל b, מהו מספר הקבוצות שאליהן חילקנו? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין מספר ילדים בצורה שווה כך שכל ילד קיבל שתי פרוסות, כמה ילדים יש? בדוגמת העוגות, אנו יודעים שגודל כל חלק הוא 2 וגודל השלם הוא 10, ושואלים את עצמנו כמה פעמים נכנס (מוכל) 2 ב-10. בחילוק להכלה למחולק ולמחלק שם אחד, והמנה נכתבת בלי שם, כי היא מראה כמה פעמים כלול המחלק במחולק.
חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל, כלומר אם  \ a\times b=c, הרי פעולת החילוק של c ב-b תיתן תשובה לשאלה: כאשר במשוואה זו ידועים ערכיהם של b ושל c, מהו ערכו של a?
אם קיים מספר שלם כזה, אז b מחלק את c. למשל, 6 מחלק את 18 משום ש-  3\times 6=18 (לפעמים כותבים  \ b|c כדי לציין ש- b מחלק את c). פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם לא בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 7 ב-2, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם. ביצוע פעולת חילוק זו בקבוצת המספרים השלמים נותן מנה 3 ושארית 1. פעולת החילוק סגורה בקבוצת המספרים הרציונליים. ניתן להרחיב את הגדרתן של פעולת החיבור, החיסור והכפל כך שיחולו גם על קבוצת המספרים הרציונליים (ראו בערך מספר רציונלי).
עם זאת, מעל קבוצת המספרים הרציונליים (וגם המספרים הממשיים והמרוכבים) התוצאה של חלוקה באפס אינה מוגדרת היטב. זאת מכיוון שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לכל  \ c\neq 0 לא קיים מספר  \ a כך ש \ a\times 0=c, ואילו כאשר המשוואה שלנו היא  \ a\times 0=0 הרי שכל מספר הוא תשובה לשאלה שלנו, ולכן התשובה איננה חד משמעית. ישנם פיתוחים מתמטיים של קבוצות המספרים כך שחלוקה באפס תתאפשר (תוך ויתור על חלק מתכונות המספרים), אך באופן כללי תוצאה של חלוקה באפס נותרה בלתי מוגדרת.
פעולת החילוק מסומנת בסימן  \ / או בסימן  \ :. באופן מעשי לרוב נהוג לכתוב חילוק באמצעות שבר, כאשר המחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה.
נשים לב כי בקבוצת המספרים הרציונליים ובקבוצות המכילות אותה, פעולה של חילוק במספר  \ a כלשהו זהה לפעולה של כפל במספר  \ {\frac {1}{a}}, שהוא המספר ההופכי של  \ a, כלומר  \ x:a=x\times {\frac {1}{a}}. על כן, ניתן לראות כל פעולת חילוק כסוג של פעולת כפל.
ניתן להרחיב את הגדרתן של פעולות החיבור, החיסור, הכפל והחילוק כך שיחולו גם על קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים המרוכבים.
ראו גם: מבחני התחלקות
סדר פעולות החשבון

כל אחת מארבע פעולות החשבון פועלת, כאמור לעיל, על שני מספרים, אך ניתן לכתוב ביטויים הכוללים מספרים רבים ופעולות רבות, ובמקרה זה נחוצים כללים לקביעת סדר ביצוע הפעולות (פעולה קרויה גם אופרטור, ומספרים שעליהם היא פועלת קרויים אופרנדים). הכלל הראשון קובע שפעולות כפל וחילוק קודמות לפעולות חיבור וחיסור. כדי לבצע את הפעולות בסדר שונה מהאמור בכלל זה יש להשתמש בסוגריים. לאחר שני כללים אלה, הפעולות מתבצעות משמאל לימין.
דוגמאות:
את הביטוי  3+4\times 5 יש לחשב: תחילה  4\times 5=20 ולתוצאה להוסיף 3, כך שערכו של הביטוי הוא 23.
את הביטוי  (3+4)\times 5 יש לחשב: תחילה  \ 3+4=7 ואת התוצאה יש להכפיל ב-5, כך שערכו של הביטוי הוא 35.
בביטוי  8:2\times 3=[8:2]\times 3=[4\times 3]=12\, יש חשיבות רבה לסדר הפעולות (משמאל לימין), משום שביצוע פעולת הכפל לפני פעולת החילוק ייתן תוצאה שונה.
בצורת הכתיב המקובלת נכתבת הפעולה, ומשני צדיה המספרים שעליהם היא פועלת. כתיב שאינו מקובל בחיי היומיום הוא הכתיב הפולני, שבו נכתבת הפעולה ואחריה שני המספרים שעליהם היא פועלת. יתרונו של הכתיב הפולני בכך שאין צורך בו בכללי קדימות אופרטורים, ואין צורך בסוגריים.
תכונות הפעולות > חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)

הן החיבור והן הכפל מקיימים את תכונת האסוציאטיביות. פירוש הדבר הוא, עבור כל אחת מהפעולות, שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן וניתן לקבץ אותן בסוגריים בלי שהדבר ישפיע על התוצאה. כלומר, מתקיים:
\ (a+b)+c=a+(b+c) ולכן ניתן לכתוב פשוט  \ a+b+c.
a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c ולכן ניתן לכתוב פשוט  a\cdot b\cdot c.
תכונות הפעולות > חוק החילוף (קומוטטיביות)

הן החיבור והן הכפל מקיימים את תכונת הקומוטטיביות. פירוש הדבר הוא שכאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני. כלומר, מתקיים:
\!\,a+b=b+a.
\!\,a\times b=b\times a.
לעומת זאת, חיסור וחילוק אינן קומוטטיביות. כאשר מתרגמים את אופרטורי החילוק והחיסור לאופרטורי חיבור וכפל משנים את האופרנד השני, ולכן יש חשיבות לסדר האופרנדים. קל לראות זאת על ידי דוגמה:
\!\,1-0=1, אבל  \!\,0-1=-1. אין זה מקרי שקיבלנו מספרים נגדיים - זוהי תכונה כללית.
\!\,4:2=2, אבל  \!\,2:4={\frac {1}{2}}. גם כאן, אין זה מקרי שקיבלנו שני מספרים כך שהאחד שווה ל-1 חלקי השני.
תכונות הפעולות > חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות)

החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל הוא חוק הפילוג (החוק הדיסטריבוטיבי), הקובע שלכל שלושה מספרים  \ a,b,c מתקיים ש  a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.
פעולות החשבון בחיי היומיום

פעולות החשבון הן פעולות מופשטות, המוגדרות על עצמים מופשטים - המספרים. חרף זאת, יש לפעולות החשבון שימושים רבים בחיי היומיום, כפי שיעידו הדוגמאות הבאות:
בידי השמאלית שקית ובה חמישה תפוחים, ובידי הימנית שקית ובה שבעה תפוחים. כמה תפוחים יש בשתי ידי? התשובה ניתנת באמצעות פעולת החיבור, והיא: שנים-עשר תפוחים.
דני מחזיק שקית ובה עשר סוכריות. הוא נותן לדנה ארבע סוכריות. כמה סוכריות נותרו לדני? התשובה ניתנת באמצעות פעולת החיסור, והיא: שש סוכריות.
כל תלמיד בכיתה שבה עשרים תלמידים תרם חמישה שקלים לקרן הקיימת. כמה שקלים נתרמו בסך הכל? התשובה ניתנת באמצעות פעולת הכפל, והיא: מאה שקלים.
לכיתה בת עשרה תלמידים הגיעה שקית ובה חמישים סוכריות, שחולקו שווה בשווה בין התלמידים. כמה סוכריות קיבל כל תלמיד? התשובה ניתנת באמצעות פעולת החילוק, והיא: חמש סוכריות.
נשים לב למשותף חשוב לכל הדוגמאות הללו: בכולם הספירה נעשית באמצעות מספרים טבעיים (מספרים חיוביים ושלמים) - ואכן, לרוב יש משמעות אינטואיטיבית לפעולות החשבון רק כאשר הן עוסקות במספרים טבעיים, אם כי גם למספרים רציונליים יש מקום - למשל, תשלום יכול להיעשות בחלקי שקלים, ומינוס יכול לייצג חוב, כפי שמראה הדוגמה הבאה:
אדם קנה אצל הירקן 4 ק"ג עגבניות במחיר של 3.25 ש"ח לקילוגרם ו-5 ק"ג בצל במחיר של 2.55 ש"ח לק"ג. הוא הושיט לירקן שטר של 20 ש"ח, כמה עודף יקבל?
כלים לביצוע פעולות החשבון

פעולות החשבון הן פעולות מופשטות על עצמים מופשטים, ולכן ניתן לבצע אותן במוח האדם. את הפעולות ניתן לבצע בחישוב בראש או להיעזר בכלי כתיבה לשם רישום הפעולות וביצוע הטכניקות המקובלות לשם קבלת התוצאה.
כלים ספציפיים לביצוע פעולות החשבון הם:
אצבעות כף היד (הכלי הקדום ביותר)
חשבונייה (אבקוס): מסגרת עץ שבתוכה חרוזים המושחלים על מוטות. החשבונייה שימשה במשך אלפי שנים ככלי לביצוע ארבע פעולות החשבון.
סרגל חישוב: מכשיר מכני לעריכת חישובים. הסרגל מורכב מלפחות שתי סקאלות מופרדות היטב, עם אשנב זז הקרוי סמן. לפני המצאת המחשבון היה סרגל החישוב כלי החישוב הנפוץ ביותר במדע ובהנדסה.
מכונת חישוב: מכשיר מכני או אלקטרוני המיועד לעזור בעריכת ארבע פעולות החשבון.
קופה רושמת: מכשיר לרישום פרטי קנייה בחנות לשם הגשת חשבון ללקוח.
מחשבון: מכשיר אלקטרוני שנועד לביצוע חישובים, ובדרך כלל מאפשר פעולות רבות, בנוסף לארבע פעולות החשבון.
תוכנת מחשב ייעודית, כגון תוכנת המחשבון שנלווית למערכת ההפעלה. מבחינת המשתמש היא מחקה את אופן פעולתו של המחשבון.
אצבעות כף היד
חשבונייה
סרגל חישוב
מכונת חישוב
קופה רושמת
מחשבון
תוכנת מחשב
היסטוריה של סימני הפעולות

על אף שכיום סימניהן של ארבע פעולות החשבון נראים מובנים ופשוטים, הם אינם עתיקים. הסימן המצרי לחיבור, למשל, הזכיר זוג רגליים שכוונו הוא ככיוון הטקסט (המצרים יכלו לכתוב גם משמאל לימין וגם מימין לשמאל), כאשר הכיוון ההפוך משמעו חיסור:
בתחילת המאה ה-15 השתמשו באירופה באותיות P עם קו מעליה (p̄) ו M עם קו מעליה (m̄) לסימון חיבור וחיסור. הסימנים הללו הופיעו בפעם הראשונה באסופה המתמטית של לוקה פאצ'ולי, "Summa de arithmetica" שכללה גאומטריה ופרופורציה ופורסמה לראשונה בוונציה ב-1494. בחיבורו ב-1489 התייחס יוהנס וידמן לסימנים – ו + כ"מינוס" ו"מר" - מילה שפרושה בגרמנית הוא "עוד". 
רוברט רקורד, המעצב של הסימן "=", הציג את סימני הפלוס והמינוס לבריטים ב-1557 במשפט זה: "ישנם שני סימנים נפוצים נוספים, אשר הראשון נראה כך + ופירושו "עוד", והשני נראה כך: – ופירושו "פחות".
הסימן × לציון כפל הוצג לראשונה בשנת 1631 על ידי הכומר והמתמטיקאי האנגלי ויליאם אוטרד. במאה ה-18 התבסס השימוש בנקודה במרכז השורה, "·", לציון כפל, ובאלגברה מקובל להשמיט כליל את הסימן ( ab, למשל, פירושו a כפול b).
הסימן ÷ לציון חילוק הופיע לראשונה בשנת 1659 בספר אלגברה מאת המתמטיקאי השווייצרי יוהאן רן (אנ'); יש המשערים שג'ון פל, שערך את הספר, הוא שהכניס לתוכו את הסימן. סימנים נפוצים יותר לציון חילוק הם הנקודתיים : והלוכסן /.
הגדרות פורמליות > חיבור

את החיבור במספרים הטבעיים מגדירים תוך שימוש באקסיומת העוקב של אקסיומות פאנו (לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב ולא קיים מספר שהעוקב שלו 0), שאותן מקיימים המספרים הטבעיים. אם  \!\,a^{+} הוא הסימון לעוקב של  \!\,a, אז החיבור מוגדר באינדוקציה כך:
\!\,a+0=a.
\!\,\left(a+b^{+}\right)=(a+b)^{+}.
לדוגמה:  \!\,(4+2)=(4+1)^{+}=\left((4+0)^{+}\right)^{+}=\left((4)^{+}\right)^{+}=\left(5\right)^{+}=6.
הגדרות פורמליות > כפל

גם את הכפל במספרים טבעיים ניתן להגדיר אינדוקטיבית על ידי שימוש בהגדרת העוקב:
a\cdot 1=a
a\cdot b^{+}=a\cdot b+a
לדוגמה:  5\cdot 3=5\cdot 2+5=(5\cdot 1+5)+5=5\cdot 1+10=5+10=15
חיסור מוגדר כחיבור עם הנגדי וחילוק ככפל בהופכי.
פעולות החשבון בקבוצות אחרות

הפעולות שהראינו כאן מוגדרות על קבוצות אינסופיות של מספרים, אך ניתן להגדיר אותן גם על קבוצות סופיות - ראו חשבון מודולרי.
הפעולות שהראינו כאן מוגדרות על קבוצות של מספרים, אולם באלגברה מופשטת מעוניינים לחקור את תכונותיהן של פעולות שמוגדרות על קבוצות כלשהן, לא בהכרח של מספרים, אך שמזכירות את פעולות החשבון על המספרים.
מעל שדות נוהגים להגדיר פעולות של "חיבור" ו"כפל", ולדרוש שפעולות אלו יקיימו את תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות והדיסטריביוטיביות שהראינו קודם, וכן שיהיה קיים איבר נייטרלי לכל אחת מהפעולות, ואיבר הופכי לכל אחת מהפעולות. אם כל הדרישות הללו מתמלאות, הרי שהפעולות שהוגדרו אכן מזכירות בתכונותיהן את הפעולות שמוגדרות מעל המספרים, וניתן להגדיר חיסור וחילוק באמצעותן. מכאן ניתן לראות שקבוצות המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים, עם הפעולות שהוגדרו עליהן, הם בעצם מקרים פרטיים (חשובים מאוד) של שדות.
ראו גם

התפתחות סימני הפעולות
אלגברה מופשטת
מערכות מספרים
חשבון להורים (ספר)
מבחן בדיקה של פעולות חשבון בעזרת סכום ספרות סופי
לקריאה נוספת

רון אהרוני, חשבון להורים - ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים, הוצאת שוקן, 2004.
הערות שוליים

↑  Sangster, Alan; Stoner, Greg; McCarthy, Patricia (2008). "The market for Luca Pacioli's Summa Arithmetica" (PDF). Accounting Historians Journal. 35 (1): 111–134 [p. 115].
↑  Florian Cajori (1919). A History of Mathematics. Macmillan.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 4197290-9 
\ 3+2=5
\ 5-2=3
\ 3\times 4=12
\ 20:4=5
שולחן הממתקים בסנאט האמריקאי

שולחן הממתקים
שולחן הממתקים הוא מסורת בסנאט של ארצות הברית מאז שנת 1968, לפיה סנטור רפובליקני היושב ליד הכניסה שומר מגירה מלאה בממתקים עבור חברי הסנאט. המתחזק הנוכחי (2025) של שולחן הממתקים הוא הסנטור מארקוויין מולין מאוקלהומה.
המנהג התחיל כאשר בשנת 1965 הצטרף לסנאט ג'ורג' מרפי מקליפורניה, ושמר ממתקים על שולחנו כדי להציע לעמיתיו ולעצמו, אף על פי שאסור לאכול באולם הסנאט. כשעזב את הסנאט לאחר כהונה של שש שנים, סנאטורים רפובליקנים אחרים המשיכו את המנהג. המסורת המתהווה לא התפרסמה בציבור עד אמצע שנות ה-80, כאשר הסנאטור מוושינגטון סלייד גורטון חשף זאת בהכרזתו כי ישב ליד שולחן הממתקים.
סנאטורים שהמשיכו את מסורת שולחן הממתקים כוללים את ג'ון מקיין, הריסון שמיט וריק סנטורום. לאחר שסנטורום עזב את הסנאט ב-2007, את שולחן הממתקים תחזקו מספר סנאטורים לזמן קצר כל אחד, לפני שהסנאטור פט טומי מפנסילבניה החל את תחזוקו ב-2015. החל משנת 2023 מתחזק את השולחן טוד יאנג.
מיקום שולחן הממתקים בסנאט של ארצות הברית
היסטוריה

ב-1964 ג'ורג' מרפי מקליפורניה נבחר לסנאטור, ונכנס לתפקיד בשנה שלאחר מכן. למרפי, הייתה חיבה למתוקים. וזמן קצר לאחר הצטרפותו לסנאט, הוא התחיל לשמור ממתקים על שולחנו; ואז, ב-1968, הוא עבר בין שולחנות והגיע למקום בו נמצא כעת שולחן הממתקים. מכיוון שעוד סנאטורים עברו כעת על שולחנו על בסיס יומי, הוא החל להציע את תכולת שולחנו לעמיתיו. סנאטורים שהוזמנו להשתתף בממתקים התחילו לקרוא לשולחן של מרפי "שולחן הממתקים". מרפי הפסיד בבחירות לסנאט של 1970 (אנ'), אך הסנאטורים הבאים המשיכו את המסורת של אספקת ממתקים על שולחנם להנאת הסנאטורים כולם.
הסאנטורים פול פאנין, הריסון שמיט, רוג'ר ג'פסן וסטיב סימס המשיכו את מסורת שולחן הממתקים החדשה, לאחר שהקדנציה האחת של מרפי הסתיימה. פאנין, שמיט וג'פסן סיפקו רק ממתקים קשים, אבל סימס היה הראשון להחזיק ממתקים שסופקו על ידי "אגודות ממתקים ושוקולד". במהלך כהונתם של סנאטורים אלה, שולחן הממתקים לא היה מקובע למקום מסוים אחד.
דבר מהאמור לעיל לא היה ידוע בציבור עד 1985, אז סלייד גורטון הוציא הודעה לעיתונות שבה נכתב "הוא היה עכשיו הדייר של השולחן הזה וימשיך את המסורות העשירות שהתחיל מרפי". הוא גם ציין את הסנטורים הקודמים שהמשיכו את המסורת.
השיא של תפוצת הממתקים הגיע במהלך עשר השנים שבהן ריק סנטורום ישב ליד שולחן הממתקים (1997–2007). בהיותו סנאטור מפנסילבניה, הוא מילא את שולחן הממתקים בסוכריות כגון מייק ואייק והוט טמאלס של חברות הממתקים הרשי ו־Just Born (אנ'), היושבות בפנסילבניה. במהלך פרק הזמן הזה, חברת הרשי שלחה שוקולד וממתקים אחרים במשקל של בערך 100 פאונד ארבע פעמים בשנה כדי שסנטורום ימלא את השולחן. כאשר סנטורום לא זכה בבחירה חוזרת במהלך הבחירות לסנאט בארצות הברית ב-2006 (אנ'), חברת הרשי הפסיקה לספק את השוקולדים לשולחן. "היינו שמחים להיות חלק קטן מהמתקת הליכי הקונגרס", אמר קירק סאוויל, דובר חברת הרשי.
בעיות התעוררו לאחר שסנטורום הפסיד בבחירות לסנאט ב-2006, והסנאטור קרייג תומאס החל את כהונתו בשולחן הממתקים. לוויומינג, המדינה אותה ייצג, אין חברים ב"איגוד הקונדיטורים הלאומי" (אנ'), ולכן אין יצרני ממתקים גדולים מספיק כדי לתרום מאות דולרים של ממתקים כדי למלא את השולחן. כללי האתיקה של הסנאט "אוסרים על חברים לקבל מתנות בשווי 100 דולר או יותר בשנה ממקור יחיד", מה שעלול היה להפוך לבעיה אם צורכים כמות גדולה של ממתקים מהשולחן מדי שנה. החריג לכלל זה מאפשר מתנות גדולות יותר של חפצים שנוצרו או מיוצרים במדינה ממנה מגיע הסנאטור, כל עוד הפריטים אינם משמשים בעיקר את הסנאטור וצוותו. זה כדי שהסנטורים יוכלו "להציע למבקרים חטיפים תוצרת בית, כמו מיץ תפוזים של פלורידה או בוטנים של ג'ורג'יה".
כשסוזן סמית', נציגה מאגודת הקונדיטורים הלאומית, נשאלה על כך שתומס אחראי על שולחן הממתקים, "אנו שמחים לספק ממתקים אם יש חברי [איגוד] ... יהיה לנו קשה לעשות את זה עכשיו." בעיות אלה נפתרו על ידי פנייה מעסקי קונדיטוריות ושוקולטירים קטנים ומקומיים רבים בוויומינג שסיפקו כמויות קטנות של ממתקים שחולקו בשולחן.
לאחר פטירתו של תומאס ב-2007, הטיפול בשולחן עבר לג'ורג' וויינוביץ' ולאחר מכן למל מרטינז. לשניהם היו כהונות קצרות יחסית. ב-2009, ג'ורג' לה-מייו (אנ'), יורשו של מרטינז, החל לשבת ליד השולחן והיה שם עד שעזב את הסנאט ב-2011. מארק קירק מאילינוי תפס את השולחן מ-2011 עד 2015 ופט טומי מ-2015 עד 2023.
מקום

שולחן הממתקים אינו שולחן ספציפי בלשכת הסנאט, אלא מקום ישיבה מסוים בתוך הלשכה, וכל שולחן שהסנאטור היושב בעמדה זו בוחר להשתמש בו הופך לשולחן הממתקים.[דרושה הבהרה] מיקומו של השולחן נשאר קבוע לפחות מאז הקונגרס ה-97 (1981–1983), ומקומו הוא ליד הדלת המזרחית של חדר הסנאט. רוב הסנאטורים נכנסים לחדר דרך הדלת הזו, שצמודה למעליות המובילות לאחת התחנות של מערכת הרכבת התחתית הקפיטול של ארצות הברית.
השולחן הוא השולחן הראשון בצד ימין, הצד הרפובליקני, והוא נמצא בשורת השולחנות האחרונה. באופן מסורתי, שולחן הממתקים נמצא תמיד בצד הרפובליקני של לשכת הסנאט ומשמש סנאטור רפובליקני.
שולחנות ממתקים אחרים

מאוחר יותר גם הדמוקרטים פתחו במסורת שולחן הממתקים, המתקיימת לפחות מאז 1985. שולחן עבודה על הקיר הקדמי, השייך למזכיר הוועידה הדמוקרטית של הסנאט של ארצות הברית, מלא גם הוא בממתקים. נשיקות הרשי היו הממתקים הפופולריים ביותר משולחן העבודה הזה במהלך שנות ה-80, ואחריו קרמלים קטנים. ממתקים לשולחן זה משולמים באמצעות "קרן ממתקים" לה תורמים סנאטורים שירצו לקחת חלק בתכולת השולחן. הסאנטור ג'יי רוקפלר היה אחראי על איסוף הכסף ורכישת הממתקים, עד שעזב את הסנאט ב-2015. מסורת זו מוכרת פחות; מאמר מ-2009 טען שאפילו ההיסטוריון של הסנאט של ארצות הברית (אנ') לא יודע הרבה על זה.
שולחנות ממתקים אחרים > בישראל

כמו בארצות הברית, גם בכנסת ישראל לא נהוג לאכול במליאה, למרות זאת חבר הכנסת דוד ביטן התפרסם בכך שנהג להכניס למליאה שקיות ממתקים, בעיקר בדיוני ארוכים שנמשכו אל תוך הלילה. בשלב מסוים ניסה יושב ראש הכנסת מיקי לוי להילחם בתופעה, מה שיצר התנגדות וסערה-זוטא.
ראו גם

M&M's נשיאותי
הערות שוליים

↑  
"Secret candy desk puts sugar coating on US Senate business". The Times of Israel. 12 באוקטובר 2021. נבדק ב-1 בנובמבר 2021. {{cite news}}:  (עזרה)
↑  Martin Chalakoski, Candy Desk: One desk in the US Senate Chamber is always filled with candy, thevintagenews, ‏בנובמבר 2017 (באנגלית)
1 2 3  Richard A. Baker ,Senate Historian, Traditions of the United States Senate, עמ' 12
1 2  , news.google.com
↑  Colby Itkowitz, Sen. Toomey’s latest role? Senate candy dispenser, The Washington Post, ‏7 בינואר 2015 (באנגלית)
↑  Caralyn Esser and Craig Holman, From Subject to Citizen, On Rules, 2016-11-15, עמ' 46–48 doi: 10.1017/9789048531745.009
↑  Sarah Lueck, In New Senate,The 'Candy Desk'Gets a Kiss-Off, The Wall Street Journal, ‏5 ביוני 2007
↑  Jan. 09, 2007, The Politics of Candy, CSP Daily News (באנגלית)
↑  NOELLE STRAUB Star-Tribune Washington bureau, Sticky solution, Casper Star-Tribune Online (באנגלית)
↑  Edward M. Kennedy, True Compass: A Memoir, Grand Central Publishing, 2009-12-25, ISBN 978-0-446-56421-2. (באנגלית)
↑  Emily Heil and Elizabeth Brotherton, Heard on the Hill: The Candy Men Can - Roll Call, באתר Roll Call, ‏16 בינואר 2009 (באנגלית)
↑  אריק בנדר, ‏הממתקים של ביטן והמתנה שהעניק לפיד לליברמן: בכנסת נערכו לדיוני התקציב, באתר מעריב אונליין, 3 בנובמבר 2021
↑  מתוק לו מתוק לו: הג'וב החדש של חבר הכנסת ביטן, באתר מעריב אונליין, 4 באוגוסט 2021
↑  דפנה ליאל, ‏"סוכריות זה לא אוכל": ח"כ ביטן נגד ההחלטה שלא להכניס ממתקים למליאת הכנסת, באתר ‏מאקו‏, 11 בנובמבר 2021
↑  ‘חנות הממתקים’ של ביטן תיסגר? ח”כים מהאופוזיציה מתקוממים, באתר חרדים10, ‏2021-11-11
ג'ורג' מרפי, סנטור לקדנציה אחת מקליפורניה, נחשב למייסד מסורת שולחן הממתקים.