משוואות רנקין-הוגוניו
היסטוריה

ההיסטוריה של התפתחות התאוריה של גלי הלם שזורה בהתפתחות היסודות המתמטיים של מדעי התרמודינמיקה ומכניקת הזורמים, והיא רוויה טעויות רבות שנבעו מהיעדר בסיס מדעי מוצק לתיאור תופעות מתחומים אלו. שמות גדולים רבים, ובהם ניוטון, אוילר, לפלס, פואסון, סטוקס, ריילי, רימן ואחרים, תרמו ישירות או בעקיפין להתפתחות התאוריה. התרומות שלהם היו לרוב בעלי סתירות פנימיות מסוימות, או שהניחו הנחות אד הוק מסוימות שלא כללו את הקשת המלאה של המצבים הפיזיקליים האפשריים. המצב הזה לא נפתר עד לעבודתם של רנקין והוגוניו, שסיפקה תיאור מלא לתופעות הקשורות במעבר גל הלם במקרה החד-ממדי.
הראשון שניסה לתקוף את הבעיה של מעבר גלי קול בחומר היה ניוטון בכרך השני של ספרו המפורסם "פרינקיפיה", בו גזר את הביטוי (השגוי) 
 C_{s}={\sqrt {P_{0}/\rho _{0}}} למהירות הקול בגז, כאשר  P_{0} הלחץ של הגז ו- \rho _{0} צפיפות הגז. הפיתוח של ניוטון הניח שאמפליטודת גל הקול היא אינפיניטסימלית, כך שמותר להניח שהלחץ וצפיפות הגז במעבר גל הקול קבועים בסדר ראשון. בנוסף, הפיתוח של ניוטון הניח הנחה מוטעית שטמפרטורת הגז קבועה במהלך מעבר גל הקול, הנחה שנבעה מהיעדר הבנה נכונה של התהליך התרמודינמי שהגז עובר. מאוחר יותר, לפלס תיקן את פיתוחו של ניוטון והצביע על שגיאה: גל דחיסה בגז חייב תמיד להתבטא תמיד בשינוי קל של הטמפרטורה של הגז, והגיע לביטוי הנכון  C_{s}={\sqrt {\frac {\gamma P_{0}}{\rho _{0}}}} כאשר  \gamma  הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע לקיבול החום בנפח קבוע.
במקביל, ענף מכניקת הזורמים התקדם בצעדים גדולים עם ההצגה של משוואות אוילר בידי המתמטיקאי והפיזיקאי השווייצרי לאונרד אוילר, שמטפלות בזורמים בהיעדר צמיגות, ועשו סינתזה בין תוצאות קודמות בתחום, כגון עקרון ברנולי. משוואות אוילר מספקות תיאור מתמטי מלא לזרימה לא עירבולית ולא צמיגה. ב-1788, המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי ז'וזף לואי לגראנז' הציג את הרעיונות של זרימה פוטנציאלית ופוטנציאל מהירות, שיצרו מסגרת קונספטואלית מעמיקה יותר לתיאור שדות זרימה. פוטנציאל המהירות מתאר את שדה הזרימה כנגזרת של פונקציית פוטנציאל. הגישה הזו שוכללה מאוחר יותר על ידי פואסון, סטוקס ואחרים.
ברנהרד רימן חקר את ההתקדמות של גלי קול עם אמפליטודה סופית (לא אינפיניטסימלית) במאמר שפורסם ב-1860. מוקדם במאמר, רימן מציג את מה שכיום נקרא משתני רימן (Riemann variables) שאותם הוא מסמן r ו-s. בעבור גז אינזטרופי הוא כותב את המשוואות השלטות כ-:
{\sqrt {\phi '(\rho )}}+u={\frac {k+1}{2}}r+{\frac {k-3}{2}}s
{\sqrt {\phi '(\rho )}}-u={\frac {k-3}{2}}r+{\frac {k+1}{2}}s
כאשר  \phi '(\rho )=dP/d\rho =a^{2}, כש-a מהירות הקול ו-k הוא יחס קיבולי החום. רימן גזר במאמר את משוואות שימור המסה ושימור התנע בחזית גל ההלם, ולאחר מכן נתן חסמים למהירות של גל הלם. רימן הראה במאמר שהפרעה כיוונית (שינוי במהירות הגז) בתכונות של התווך מתפצלת לשני גלים שנעים בכיוונים הפוכים, כאשר הגל העורפי (rarefaction wave) מתעבה בעוד גל הדחיסה החזיתי (condensation wave) נעשה דק יותר. לאחר מכן, רימן מציג במאמר את הבעיה שנקראת היום בעיית רימן - תיאור מלא של תבניות הגלים שנוצרות במעבר גל הלם. בעיית רימן נוגעת באופי האונטולוגי של גלי הלם, ובלבה עומד הניסיון לטפל גם בשינוי מהירות הקול בתווך עקב שינוי דרסטי במאפייניו (צפיפות ולחץ). היא רלוונטית במיוחד לבעיות של זרימה על קולית.
באופן אירוני מאוד, רימן הניח שהתהליך התרמודינמי שהגז בגבול גל ההלם עובר הוא אדיאבטי ומשמר אנטרופיה, ובכך לא הבין את האופי האמיתי של המעבר בגבול גל ההלם. זה לא היה עד לעבודתם של רנקין ומאוחר יותר הוגוניו שתאוריה עקבית פותחה. רנקין היה ראשון להראות שבתוך הלם, חייב לקרות, תהליך לא אדיאבטי. הוגוניו הראה שבהיעדר צמיגות והולכת חום שימור האנרגיה פירושו שימור האנטרופיה באזורים חלקים (משתני זרימה רציפים) וקפיצה באנטרופיה משני צידיה של חזית גל הלם.