משוואת לנז'בן
משוואת לנז'בן אינרטית במימד אחד

משוואת לנז'בן במימד אחד, על פי החוק השני של ניוטון עבור תנועה של חלקיק בראוני בנוזל, היא:
m{dx^{2} \over dt^{2}}=-\xi {dx \over dt}-{dU \over dx}+R(t)
כאשר החלק הדטרמיניסטי מכיל את האיברים:
-{dU \over dx} – הכוח המאפיין פוטנציאלים שונים (כוח אלקטרומגנטי, כוח גרביטציוני וכו'). חלק זה אינו מופיע בפיתוח המשוואה עבור חלקיק בראוני בנוזל של לנז'בן, עקב תרומתן הזניחה של השפעות אלו.
-\xi {dx \over dt} – כוח הגרר בנוזל, בדרך כלל מאופיין על ידי חוק סטוקס, הקובע כי כוח הגרר מתכונתי למהירות החלקיק (ראה חוק סטוקס). בצורה זו  \xi \equiv 6\pi \eta R, כאשר  \eta  הוא מקדם הצמיגות של התווך הנוזלי, ו- R הוא רדיוס הכדורי של החלקיק.
החלק האקראי של המשוואה הוא  R(t), המייצג את ההתנגשות האקראית של חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני. לחלק זה המאפיינים נובעים מהשיקולים הפיזיקליים הבאים:
R(t) אינו תלוי במפורש ב- dx(t) \over dt .
R(t) משתנה בפרקי זמן קצרים בהרבה מ  dx(t) \over dt .
מכיוון שהתנגשות חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני היא אקראית ואיזוטרופית למרחב, ערך הממוצע של פונקציה זו על אנסמבל של חלקיקים שווה לאפס.  <R(t)>=0
מכיוון ש- R(t) משתנה בפרקי זמן קצרים בהרבה בהשוואה למיקום, ניתן להניח שכל התנגשות היא מיידית. שינוי מהיר זה ניתן לבטא כ:  <R_{i}(t)R_{j}(t')>=2\xi \delta _{ij}\delta (t-t')k_{B}T
כאשר  \delta (t-t') היא הדלתא של דיראק, ו-  \delta _{ij} היא הדלתא של קרוניקר. שיקול זה נובע מהקירוב עבור הבדלי סדרי הגודל של פרק הזמן של פונקציה R(t) ל-  dx(t) \over dt ואף להעתק, והופך למדויק רק עבור טווחי זמן גדולים- המתארים תנועה עבור חלקיקים בראונים "מקרוסקופיים" (כאשר מסת החלקיק גדולה משמעותית ממסת חלקיקי הנוזל). הסתכלות דיפרנציאלית על קשר הקורלציה אינו נכון לחלוטין, שכן גם מהירות החלקיק אינה מוגדרת היטב בגבול זה. בטיפול במשוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות כגון משוואת לנז'בן, נהוג לקחת אינטגרל כך ש-
m{dx \over dt}=\int _{}^{t}-{\xi {dx \over dt}-{dU \over dx}+R(t)}
ההסתברות למציאת ערך  R(t) כלשהו, מתפלגת התפלגות גאוסיאנית, כך ש-
P(R_{1},R_{2},...,R_{n})={1 \over {\sqrt {2\pi <R^{2}>}}}\exp {-\sum _{i}^{n}R_{i}^{2} \over 2<R^{2}>}
כאשר בגבול הרצף
\sim {1 \over {\sqrt {2\pi <R^{2}>}}}\exp {-\int _{t_{1}}^{t_{n}}R(t)^{2}dt \over 2\pi <R^{2}>\Delta t}
כאשר  \Delta t=t_{j+1}-t_{j}.
החלק האקראי של המשוואה נקרא לעיתים כוח לנז'בן, ועבור חלקיק בראוני, חלק זה מראה כיצד שינויים בטמפרטורה מכתיבים את אופייה הסטוכסטי של התנועה הבראונית.
לדוגמה, נסתכל פתרון של משוואת לנז'בן עבור חלקיק בראוני. אם נכפיל את שני צידי המשוואה ב- x(t):
m{dx^{2} \over dt^{2}}x(t)=-\xi {dx \over dt}x(t)+R(t)x(t)
כאשר :
x(t){d^{2}x(t) \over dt^{2}}={1 \over 2}{d \over dt}({dx(t)^{2} \over dt})-{dx(t)^{2} \over dt} ו-  x(t){dx(t) \over dt}={1 \over 2}{d \over dt}({dx(t)^{2} \over dt})
בהצבה במשוואה, ולקיחת ערך ממוצע עבור אנסמבל חלקיקים, נקבל:
{1 \over 2}m{d \over dt}<{dx(t)^{2} \over dt}>-m<{dx(t)^{2} \over dt}>=-{\xi  \over 2}<{dx(t)^{2} \over dt}>+<R(t)x(t)>
מכיוון שעבור החלק האקראי ערך ממוצע של אנסמבל חלקיקים מתאפס, חלק זה של המשוואה נופל. מחוק החלוקה השווה אנו יודעים  m<{dx(t) \over dt}^{2}>=k_{B}T.
נסמן  <{dx(t)^{2} \over dt}>=z,
ונקבל:  {m \over 2}<{dz \over dt}>+{\xi  \over 2}z=k_{B}T
עבור פרקי זמן גדולים מ  m \over \xi , הפתרון  <{dx(t)^{2} \over dt}> מתפתח ליניארית בזמן. כלומר:
<x(t)^{2}>-<x(0)^{2}>\approx {2k_{B}T \over \xi }t\longrightarrow 2Dt
ובכך, הצטמצמנו למקרה הפרטי של פתרון איינשטיין לתנועה בראונית, ושהעתק החלקיק מתכונתי לשורש הטמפרטורה.