stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מחסור בוויטמין D
גורמים למחסור בוויטמין D > מחלת כבד

הכבד נדרש על מנת להפוך את ויטמין D ל־25-hydroxyvitamin D. זהו תוצר ביניים לא פעיל של ויטמין D אך הוא אבן בניין הכרחי ליצירת הצורה הפעילה של ויטמין D. כאשר התפקוד התקין של הכבד נפגע, נפגעת היכולת להפיק 25-hydroxyvitamin D דבר המוביל למחסור בוויטמין.
גורמים למחסור בוויטמין D > מחלת כליות

הכליות אחראיות להמרת 25-hydroxyvitamin D ל־1,25-hydroxyvitamin D. זוהי הצורה הפעילה של ויטמין D בגוף. מחלת כליות מפחיתה היווצרות 1,25-hydroxyvitamin D, מה שמוביל להשפעות במחסור בוויטמין D.
גורמים למחסור בוויטמין D > אי ספיגה של ויטמין D

מחלות מעיים הגורמים לספיגה נמוכה של חומרים מזינים עשויים לתרום גם למחסור בוויטמין D, על ידי הפחתת כמות הוויטמין הנספגת מהמזון. בנוסף, מחסור בוויטמין D עלול לגרום לירידה בספיגת הסידן במעיים, וכתוצאה מכך לייצור מוגבר של אוסטאוקלסטים העלולים לפרק את מטריצת העצם של האדם. במצבים של היפוקלצמיה סידן יעזוב את העצמות ועשוי להוליד היפרפראתירואידיזם משני, שהוא תגובה של הגוף להגברת רמות הסידן בסרום. זה עלול להוביל לאוסטאופורוזיס אצל מבוגרים ורככת בקרב ילדים.
מחלות ותסמינים הנגרמות ממחסור בוויטמין D

ניתן לגלות מחסור בוויטמין D רק בבדיקות דם, המחסור גורם למחלות עצמות מסוימות וקשור למצבים הבאים:
רככת, מחלת ילדים המאופיינת בצמיחה ועיוות של העצמות הארוכות. הסימן התת-קליני המוקדם ביותר למחסור בוויטמין D הוא קרניוטאב - ריכוך חריג או דילול הגולגולת.
אוסטאומלציה - מחלת דילול עצם המתרחשת רק אצל מבוגרים ומאופיין בחולשה של שרירים מקורבים למרכז הגוף ושבירות העצם.
אוסטאופורוזיס, מצב המאופיין בצפיפות מינרלים בעצמות נמוכה ושבירות עצם גבוה.
דלקת חניכיים, נסיגת עצם הגורמת דלקת מקומית ועלולה לגרום לאובדן שיניים.
רעלת הריון: יש קשר בין מחסור בוויטמין D ונשים המפתחות רעלת הריון אך הקשר המדויק של תנאים אלה אינו מובן. מחסור בוויטמין D אצל האם עלול להשפיע על התינוק, ולגרום למחלת עצם גלויה לפני הלידה ולפגיעה באיכות העצם לאחר הלידה.
זיהומים בדרכי הנשימה ו-COVID-19: מחסור בוויטמין D מגביר את הסיכון לזיהומים חריפים בדרכי הנשימה ול-COPD. מחקרים חדשים הציעו קשר בין מחסור בוויטמין D לבין תסמיני COVID-19. מחקר הראה כי מחסור בוויטמין D אינו קשור לסיכוי גבוה יותר לחלות ב- COVID-19, אך הוא קשור לחומרה גדולה יותר של המחלה, כולל עלייה של 80% בשיעורי האשפוז והתמותה.
סכיזופרניה: לאנשים עם סכיזופרניה בדרך כלל יש רמות נמוכות יותר של ויטמין D.הסיבה לכך היא שחלק מהגורמים המשפעים על סכיזופרניה גם גורמים למחסור בוויטמין D לדוגמה גורמי הסיכון הסביבתיים של לידה בעונות שונות, קו רוחב והגירה. כמו גם מצבים בריאותיים אחרים כמו השמנת יתר מצד האם. ויטמין D חיוני להתפתחות תקינה של מערכת העצבים. מחסור בוויטמין D אצל האם עלול לגרום למומים נוירו-התפתחותיים טרום לידתיים, המשפיעים על העברה עצבית, שינוי מקצבי המוח וחילוף החומרים של דופמין.
גורמי סיכון > גיל

לקשישים יש סיכון גבוה יותר למחסור בוויטמין D עקב שילוב של מספר גורמי סיכון, כולל: ירידה בחשיפה לאור השמש, ירידה בצריכת ויטמין D בתזונה, וירידה בעובי העור שמוביל לירידה נוספת בספיגת ויטמין D מהשמש.
גורמי סיכון > אחוז שומן

מכיוון שוויטמין D3 (כולקלציפרול) וויטמין D2 (ארגוקלציפרול) מסיסים בשומן, בני אדם ובעלי חיים אחרים עם שלד צריכים לאגור מעט שומן. ללא שומן, בעל החיים יתקשה לספוג ויטמין D2 וויטמין D3 וככל שאחוזי השומן נמוכים יותר, כך הסיכון למחסור בוויטמינים יהיה גדול יותר. דבר זה נכון אצל חלק מהספורטאים השואפים להיות רזים ככל האפשר.
גורמי סיכון > תת-תזונה

אף על פי שכיום (ינואר 2021) רככת ואוסטיאומלציה נדירות בבריטניה, התפרצויות אוסטאומלציה בחלק מקהילות המהגרים כללו נשים עם חשיפה חיצונית לכאורה לשמש ולבוש בגדים מערביים טיפוסיים. בעל עור כהה יותר וחשיפה מופחתת לשמש לא ייצר רככת אלא אם כן התזונה חרגה מדפוס אוכל מערבי המאופיין בצריכה גבוהה של בשר, דגים וביצים, וצריכה נמוכה של דגני מיצוי גבוהים. במדינות שטופות שמש בהן רככת מופיעה בקרב פעוטות מבוגרים וילדים, מחסור בוויטמין D יוחס לצריכת סידן בתזונה נמוכה. זה אופייני לדיאטות על בסיס דגני בוקר עם גישה מוגבלת למוצרי חלב. צריכת חלבון מן החי בתזונה יחד עם צריכה של חלב מועשר ויטמין D בכמויות קטנות יחסית, גרם לירידה דרמטית במספר מקרי הרככת. מחקר אחד שנערך על ילדים בבית חולים באוגנדה, לעומת זאת, לא הראה הבדל משמעותי ברמות ויטמין D של ילדים בתת-תזונה בהשוואה לילדים שאינם בתת-תזונה. מכיוון ששתי הקבוצות היו בסיכון בגלל פיגמנטציה כהה יותר של העור, לשתי הקבוצות היה מחסור בוויטמין D. נראה כי המצב התזונתי לא מילא תפקיד במחקר זה.
גורמי סיכון > השמנה

קיים סיכון מוגבר למחסור בוויטמין D אצל אנשים שנחשבים בעלי עודף משקל בהתבסס על מדידת מסת הגוף (BMI) שלהם. הקשר בין תנאים אלה אינו מובן היטב. ישנם גורמים שונים שיכולים לתרום לקשר זה, במיוחד דיאטה וחשיפה לאור השמש. לחלופין, ויטמין D מסיס בשומן ולכן ניתן לאחסן בגוף כמויות עודפות ברקמת השומן ולהשתמש בו בחורף, כאשר החשיפה לשמש מוגבלת.
גורמי סיכון > חשיפה לשמש

השימוש בקרם הגנה עם מקדם הגנה מפני השמש יכול באופן תאורטי לעכב יותר מ 95% מייצור ויטמין D בעור. אולם בפועל, קרם הגנה משפיע באופן זניח על מצב ויטמין D. לעומת קרם ההגנה, לבוש בגדים יעיל יותר בהפחתת כמות העור החשוף ל- UV והפחתת סינתזת ויטמין D טבעית. לבוש המכסה חלק גדול מהעור, כאשר הוא נלבש באופן עקבי וקבוע, כמו בורקה, נמצא בקורלציה עם רמות ויטמין D נמוכות יותר ושכיחות מוגברת של מחסור בוויטמין D.
באזורים המרוחקים מקו המשווה יש שינוי עונתי גבוה של כמות ועוצמת אור השמש. בבריטניה, השכיחות של מחסור בוויטמין D אצל ילדים ובני נוער, נמצאת גבוהה יותר בחורף מאשר בקיץ. גורמים באורח החיים כמו עבודה במקומות סגורים לעומת עבודה בחוץ ובבילוי במקומות חשופים לשמש, משחקים תפקיד חשוב ברמת ויטמין D.
בנוסף, מחסור בוויטמין D נקשר למקום מגורים עירוני הן מבחינת זיהום האוויר (החוסם אור UV) והן במספר האנשים העובדים במקומות סגורים. קשישים נחשפים בדרך כלל לפחות אור UV בגלל אשפוז, חוסר תנועה, מיסוד והיותם בבית, מה שמוביל לירידה ברמות של ויטמין D.
גורמי סיכון > צבע עור כהה יותר

הפיגמנטציה המופחתת של אנשים בעלי עור בהיר עשויה לגרום לרמות ויטמין D גבוהות יותר. מלנין פועל כמו חוסם שמש. אנשים כהי עור עשויים לסבול ממחסור בוויטמין D בקווי רוחב גבוהים יותר.
גורמי סיכון > ספיגה לקויה

שיעורי המחסור בוויטמין D גבוהים יותר בקרב אנשים הסובלים ממחלות מעיים המייצרות בעיות של ספיגה. למשל, מחלת צליאק לא מטופלת, מחלות מעי דלקתיות, אי ספיקה בלבלב אקסוקרינית מסיסטיק פיברוזיס ותסמונת המעי הדק. מחסור בוויטמין D שכיח יותר גם לאחר הליכים כירורגיים המפחיתים את הספיגה מהמעי, כולל הליכי הרזיה.
גורמי סיכון > מחלה קשה

מחסור בוויטמין D קשור לתמותה מוגברת במחלות קשות. אנשים הנוטלים תוספי ויטמין D לפני כניסתם לטיפול נמרץ נוטים למות פחות מאלה אשר אינם נוטלים תוספי ויטמין D. בנוסף, רמות ויטמין D יורדות במהלך שהייה בטיפול נמרץ. ויטמין D3 (כולקלציפרול) או קלציטריול הניתן דרך הפה עשויים להפחית את שיעור התמותה ללא תופעות לוואי משמעותיות.
אבחון

מחסור בוויטמין D מאובחן בדרך כלל על ידי מדידת ריכוז ה-25-hydroxyvitamin D בדם, שהוא המדד המדויק ביותר של מאגרי ויטמין D בגוף. אחת ננוגרם לכל מיליליטר (1 ננוגרם / מ"ל) הוא שווה ערך ל 2.5 nanomoles לליטר (2.5 nmol / L).
מחסור חמור: <12 ng / mL = <30 nmol / L
מחסור: <20 ng / mL = <50 nmol / L.
לא מספיק: 20–29 ng / mL = 50-75 nmol / L.
רגיל: 30-50 ng / mL = 75-125 nmol / L.
רמות ויטמין D הנמצאות בטווח נורמלי זה מונעות ביטויים קליניים של אי ספיקה בוויטמין D וכן רעילות לוויטמין D.
טיפול

בארצות הברית ובקנדה החל משנת 2016, כמות ויטמין D המומלצת היא 400 IU ליום לילדים, 600 IU ליום למבוגרים ו- 800 IU ליום לאנשים מעל גיל 70. האגודה לילדים בקנדה ממליצה לנשים בהריון או מניקות לשקול ליטול 2000 IU ליום, בנוסף שכל התינוקות שיונקים באופן בלעדי יקבלו תוספת של 400 IU ליום, ותינוקות החיים צפונית ל -55 N יקבלו 800 IU ליום מאוקטובר עד אַפּרִיל.
הטיפול במחסור בוויטמין D תלוי בחומרת המחסור. הטיפול כולל שלב טיפול ראשוני במינון גבוה עד להשגת רמות הסרום הנדרשות, ואחריו שמירה על הרמות הנרכשות. ככל שריכוז הסרום נמוך לפני הטיפול, כך המינון הנחוץ גבוה יותר על מנת להגיע במהירות לרמת סרום מקובלת.
הטיפול במינון גבוה ראשוני יכול להינתן על בסיס יומי או שבועי או יכול להינתן בצורה של מנה אחת או כמה מנות בודדות (המכונה גם טיפול בסטוס, מהמילה הגרמנית "Stoßen" שפירושה לדחוף).
מרשמי הטיפול משתנים, ואין עדיין הסכמה לגבי הדרך הטובה ביותר להגיע לרמת סרום מיטבית. אמנם יש עדויות לכך שוויטמין D3 מעלה את רמות הסרום בצורה יעילה יותר מויטמין D2,  עדויות אחרות מצביעות על כך ש- D2 ו- D3 שווים לשמירה על מצב סרום תקין.
טיפול > שלב ראשוני > מנה יומית, שבועית או חודשית

לטיפול ברככת, האקדמיה האמריקאית לרפואת ילדים (AAP) המליצה לילדים חולים לקבל טיפול ראשוני של חודשיים-שלושה בטיפול "ויטמין D במינון גבוה". בטיפול זה, המינון היומי של כולקלציפרול הוא 1,000 IU לפעוטות שנולדו, 1,000 עד 5,000 IU לפעוטות בני חודש עד 12 חודשים ו -5,000 IU לחולים מעל גיל שנה.
למבוגרים נקבעו מינונים אחרים. מבדיקה של המינונים המומלצים לשנת 2008/2009 של 1,000 IU כולקלציפרול ל -10 ng / ml עלה כי נדרשת העלאת סרום, שיינתן מדי יום במשך חודשיים-שלושה. הנחיה נוספת למינון של כולקלציפרול עבור מבוגרים חסרי ויטמין D הוא מתן מינון שבועי, עד לכמות כוללת לעליית הסרום הנדרשת (עד לרמה של 75 ננומטר / ליטר), ובהתחשבות משקל הגוף.
על פי נתונים ושיטות עבודה חדשות הרלוונטיות לרמות ויטמין D ועל מנת לייצר באוכלוסייה הכללית בצרפת מצב של רמות ויטמין D מיטביות ובנוסף לקבוע תדירות של מינון תוספי לסירוגין. חולים עם או בסיכון גבוה לאוסטיאופורוזיס ומחסור בוויטמין D צריכים להתחיל להשלים עם השלב המורכב מ־50,000 IU שבועי של ויטמין D למשך 8 שבועות בחולים עם רמות קטנות מ20 ng / mL ו- 50,000 IU לשבוע למשך 4 שבועות בחולים עם רמות בין 20 ל־30 ng / mL. לאחר מכן, יש לקבוע תוספת לטווח ארוך כ־50,000 IU לחודש. אם יש אפשרות לתוספים יומיים, חולים המציגים דבקות טובה בטיפול יכולים לקחת מנה יומית הנקבעת על פי רמת ויטמין D בדם.
עד לזמן זה (ינואר 2021), אין נתונים עקביים המצביעים על תזונה אידיאלית הכוללת תוספי ויטמין D, ושאלת משך הזמן האידיאלי בין מינון למינון עדיין ניתנת לדיון. בוצע מחקר  בקרב נשים מבוגרות להשוואת היעילות והבטיחות של מנה יומית של 1500 IU למינון שבועי של 10,500 IU ולמינון של 45,000 IU הניתן כל 28 יום למשך חודשיים. הם הגיעו למסקנה כי היעילות של תוספי ויטמין D היא באותה מידה בתדירות מינון יומית, שבועית או חודשית. מחקר נוסף המשווה תוספי תזונה יומיים, שבועיים וחודשיים בחולה חסר ויטמין D פורסם גם כן. במחקר זה דווח על יעילות שווה של 1000 IU שנלקחו מדי יום, 7000 IU שנלקחו מדי שבוע ו- 30,000 IU שנלקחו מדי חודש. עם זאת, ממצאים עקביים אלה שונים מהדוח של אחרים  שבו מינון יומי היה יעיל יותר מאשר מנה חודשית. במחקר זה, החישוב יכול להיות מוטל בספק, מכיוון שרק דגימות אקראיות של התרופות שהוחזרו נספרו. במחקר אחר  נבדקו 60 אנשים עם מחסור בוויטמין D וחולקו באקראי לקבלת 2,000 IU ויטמין D3 מדי יום או 50,000 IU מדי חודש. הם דיווחו על יעילות דומה של שתי אופציות המינון, כאשר המינון החודשי מספק נורמליזציה מהירה יותר של רמות ויטמין D.
טיפול > שלב ראשוני > טיפול במינון יחיד

לחלופין, משתמשים במינון חד פעמי במקרים מסוימים, למשל אם יש חשש לחוסר שיתוף פעולה מצד המטופל. הטיפול במינון יחיד יכול להינתן כזריקה, אך ניתן בדרך כלל בצורה של תרופה דרך הפה.
טיפול > שלב ראשוני > מינונים של ויטמין D וארוחות

ארוחה ותכולת השומן של אותה ארוחה עשויים גם הם להיות חשובים. מכיוון שוויטמין D מסיס בשומן, ההשערה היא שהספיגה תשתפר אם המטופלים יונחו לקחת את התוסף שלהם בארוחה. בוצעו מחקרים שונים  המאשרים כי ארוחה עתירת שומן הגבירה את ספיגת ויטמין D3 כפי שנמדדה בבדיקת דם. דו"ח קליני הצביע על כך שרמות ויטמין D בסרום עלו בממוצע ב-57% על פני חודשיים עד 3 חודשים אצל 17 חולי מרפאה לאחר שהונחו לקחת את המינון הרגיל של ויטמין D עם הארוחה הגדולה ביותר ביום. מחקר אחר שנערך בקרב 152 גברים ונשים בריאים הגיע למסקנה כי דיאטות עשירות בחומצות שומן חד בלתי רוויות עשויות לשפר את היעילות ואלה העשירות בחומצות שומן רב בלתי רוויות עשויות להפחית את היעילות של תוספי ויטמין D3. במחקר אחר  נבדקו 88 גברים ונשים אשר קיבלו דרך הפה מנה אחת של 50,000 IU של ויטמין D3 הנמצאת בתמיסה שמנונית. ניתן כשתי אמפולות המכילות כל אחת 25,000 IU (מעבדות SMB SA, בריסל, בלגיה D-CURE®) עם או בלי שומן עשיר הסטנדרטי לארוחת בוקר. לא נצפה הבדל מובהק בין צום לעומת תנאי האכלה.
טיפול > שמירה על רמת ויטמין D תקינה

לאחר שהושגה רמת הסרום הרצויה, בין אם על ידי מינון יומי או שבועי או חודשי גבוה או על ידי טיפול במינון יחיד, המלצת AAP ממליצה תוספת תחזוקה של 400 IU לכל קבוצות הגיל, כאשר המינון הזה יוכפל עבור תינוקות פגים, תינוקות וילדים כהי עור, ילדים השוהים באזורים עם חשיפה מוגבלת לשמש (37.5 מעלות), חולים בעודף משקל ואנשים הנוטלים תרופות מסוימות.
טיפול > מקרים מיוחדים

כדי לשמור על רמות הסידן בדם, לפעמים ניתנים מינונים של ויטמין D טיפולי (עד 100,000 IU או 2.5 מ"ג מדי יום) לחולים שהסירו את בלוטות התריס שלהם (לרוב חולי דיאליזה בכליות שעברו היפרפראתירואידיזם שלישוני, אך גם לחולים עם היפרפרתירואידיזם ראשוני) או עם היפופראתירואידיזם. חולים עם מחלת כבד כרונית או הפרעות ספיגה במעי עשויים להזדקק למינונים גדולים יותר של ויטמין D (עד 40,000 IU או 1 מ"ג מדי יום).
אפידמיולוגיה

גם בישראל שטופת השמש מדווחים על חסר ותת-ספיקה בשכיחות גבוהה במגוון אוכלוסיות, כולל אנשים בריאים (תת-ספיקה אצל כ-80 אחוז מהנבדקים), חולים מאושפזים במחלקה פנימית (רמה ממוצעת של כ-20 ng/ml) ואוכלוסיות מיוחדות בעלות שכיחות גבוהה במיוחד של חוסר בוויטמין D, כגון בדואים, יוצאי אתיופיה, יהודים אורתודוקסים ואחרים.
האחוז המשוער של האוכלוסייה עם מחסור בוויטמין D משתנה בהתאם לסף המשמש להגדרת מחסור.
ההמלצות לרמות ויטמין D בבדיקות דם משתנות בין הרשויות, וכנראה משתנות בהתאם לגורמים כמו גיל. חישובים לאפידמיולוגיה של מחסור בוויטמין D תלויים ברמה המומלצת.
היסטוריה

תפקיד הדיאטה בפיתוח רככת נקבע על ידי אדוארד מלאנבי בין השנים 1918 עד 1920. בשנת 1921 זיהה אלמר מקקולום חומר אנטי- מרכיבי שנמצא בשומנים מסוימים העשוי למנוע רככת. מכיוון שהחומר שהתגלה לאחרונה היה הוויטמין הרביעי שזוהה, הוא נקרא ויטמין D. פרס נובל לכימיה לשנת 1928 הוענק לאדולף ווינדאוס, שגילה את הסטרואיד 7-דההידרוכלסטרול, קודמו של ויטמין D.
לפני ביצור מוצרי חלב עם ויטמין D, רככת הייתה בעיה מרכזית בבריאות הציבור. בארצות הברית החלב הועשר ב-10 מיקרוגרם (400 IU) של ויטמין D לרבעון מאז שנות השלושים, מה שהוביל לירידה דרמטית במספר מקרי הרככת.
מחקר

מחקר רב נערך כדי להבין האם רמות נמוכות של ויטמין D עלולות לגרום או להיות תוצאה של מצבים אחרים.
עדויות מסוימות מצביעות על כך שמחסור בוויטמין D עשוי להיות קשור לתוצאה גרועה יותר עבור סוגי סרטן מסוימים, אך אין ראיות כדי להמליץ על מתן ויטמין D לאנשים חולי סרטן. לנטילת תוספי ויטמין D אין השפעה משמעותית על הסיכון לסרטן. עם זאת, נראה כי ויטמין D3 מקטין את הסיכון למוות מסרטן, אך קיים חשש לאיכות הנתונים. למרות אי הבהירות לגבי השפעת ויטמין D על סרטן באדם, מחקר שנערך בעכברים לאחרונה אישש את הקשר בין רמות ויטמין D בדיאטה לבין תגובה חיסונית טובה יותר לסרטן. בנוסף עלו עדויות למעורבות של חיידקי המעיים בתגובה זו
מחסור בוויטמין D נחשב כממלא תפקיד בפתוגנזה של מחלת הכבד השומני שאינה נובעת מצריכת אלכוהול.
מחקרים מסוימים הראו כי מחסור בוויטמין D עשוי למלא תפקיד בחסינות. אלו עם מחסור בוויטמין D עשויים להתקשות להדוף סוגים מסוימים של זיהומים. זה עשוי להשפיע במידה דומה עבור מחלות לב וכלי דם, סוכרת סוג 1, סוכרת סוג 2, וכמה סוגי סרטן.
מחקרי סקירה הראו גם קשר בין מחסור בוויטמין D לבין רעלת הריון.
קריאה נוספת

Michael F. Holick, M.D. Ph.D, Vitamin D Deficiency, N Engl J Med, 2007
2008,The American Journal of Clinical Nutrition Vitamin D deficiency: a worldwide problem with health consequences,
Michael F. Holick
ראו גם

ויטמין D
רככת
גרף מרחיב

במתמטיקה, גרף מרחיב (מכונה גם אקספנדר) הוא גרף "קשיר ביותר", במובן זה שכדי לפרק אותו לשני רכיבי קשירות גדולים יש להוציא ממנו מספר רב של צלעות. לגרפים מרחיבים שהדרגה שלהם קטנה יש שימושים רבים בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב.
מכיוון שכל גרף סופי הוא מרחיב במידה מסוימת, עיקר העניין הוא בסדרות של גרפים שכולם מרחיבים במידה קבועה. למרות שמבחינה הסתברותית רוב הגרפים הם מרחיבים, לא קל לבנות משפחות כאלה במפורש.
הגדרה קומבינטורית

גרף רגולרי  X=(V,E) בעל  n קדקדים ודרגה  k נקרא  c-מרחיב אם לכל קבוצה של קודקודים  A\subset V מתקיים 
 |\partial A|\geq c\left(1-{\frac {|A|}{n}}\right)|A|.
כאשר מסמנים ב- \partial A את קבוצת הקודקודים שאינם ב- A אבל מחוברים לקודקוד ששייך ל- A.
קל לראות שכל גרף קשיר הוא  c-מרחיב עבור  c>0 קטן מספיק. לכן מתייחס לפעמים השם "גרף מרחיב" למשפחה אינסופית של גרפים שכולם מרחיבים עם אותו קבוע  c (ואותו  k), ולא לגרף בודד.
הגדרה ספקטרלית

בהינתן גרף רגולרי כאמור לעיל, מטריצת השכנות שלו היא מטריצה בגודל  n\times n כך שהתא במיקום  (i,j) מכיל את הערך 1 אם קודקוד  i מחובר לקודקוד  j, ואת הערך 0 אחרת. הערך העצמי המקסימלי של מטריצת שכנות של גרף k-רגולרי הוא תמיד   k ואם הגרף דו צדדי,  גם  (-k) הוא ערך עצמי. ערכים עצמיים אלה נקראים טריוויאלים. אומרים שהגרף הוא  \alpha -מרחיב (במובן הספקטרלי) אם לכל ערך עצמי לא טריוויאלי מתקיים  |\lambda |<k-\alpha .
הגדרה זו של גרפים מרחיבים שקולה להגדרה הקודמת, כלומר לכל k ולכל  \alpha >0 יש  c>0 כך שכל גרף שהוא  \alpha -מרחיב לפי ההגדרה הספקטרלית, הוא גם  c-מרחיב בהגדרה הקומבינטורית ולהפך.
קיום ובניה של גרפים מרחיבים

על ידי שיקולי ספירה קל להראות שיש גרפים מרחיבים. ליתר דיוק, אם  k>5 ואם מגרילים גרף מקרי k-רגולרי על  n קדקדים, אז כאשר  n שואף לאינסוף, ההסתברות שהגרף הוא  {\tfrac {1}{2}}-מרחיב שואפת ל-1. בפרט, יש גרפים מרחיבים מכל סדר גדול מספיק.
בניה מפורשת של גרפים מרחיבים, לעומת זאת, איננה בעיה קלה. הבניה הראשונה ניתנה על ידי גריגורי מרגוליס בשנת 1975. הגרפים שנבנו היו גרפי קיילי של חבורות מטריצות מעל שדות סופיים. ההוכחה שגרפים אלה הם אכן מרחיבים משתמשת בתורת ההצגות (האינסוף ממדית!) של חבורות לי פשוטות.
בשנת 1988 אלכס לובוצקי ופיטר סרנק בנו דוגמה מפורשת לגרפי רמנוג'אן שהם אקספנדרים אופטימליים.
הבנייה נעזרה בהוכחה של השערת רמנוג'אן על ידי פייר דלין בתורה של תבניות מודולריות, כתוצאה מהוכחת השערות ווייל.
כיום ידועות מספר שיטות לבניית גרפים מרחיבים. השיטות המודרניות נעזרות בתחום הקומבינטוריקה האריתמטית, ונסמכות על עבודות של הלפגוט, בורגיין-גמבורד-סרנק, בורגיין-ואריו וגרין-טאו-ברוליארד.
שימושים של גרפים מרחיבים

לגרפים מרחיבים שימושים רבים במתמטיקה ובמדעי המחשב. להלן מבחר דוגמאות:
בניה של מרחבים מטריים סופיים שקשה לשכן במרחבים אוקלידיים.
בנית קודים לתיקון שגיאות.
אלגוריתמי ביטול אקראיות (אנ') רבים משתמשים בגרפים מרחיבים.
בניות של פונקציות ערבול בקריפטוגרפיה.
הוכחת משפט ה-PCP משתמשת בגרפים מרחיבים.
אי שוויון צ'יגר

קבוע צ'יגר (Cheeger) הוא מדד מספרי האם גרף מכיל "צוואר בקבוק". הקבוע מוגדר על ידי  h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}}, (מהי קבוצת הקודקודים בגודל של עד חצי ממספר הקודקודים, שעבורה מספר הקשתות שיצאו ממנה ביחס לגודל שלה יהיה מינימלי).
עבור גרף G שהוא d רגולרי קיים קשר בין הפער הספקטרלי ( d-\lambda _{2} ) לקבוע זה, שהוכח על ידי טנר, ובאופן בלתי תלוי על ידי נוגה אלון וויטלי מילמן:
{\tfrac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}
לקריאה נוספת

מנור מנדל, חוה ניומן (ע), מבוא לגרפים מרחיבים, רעננה: למדא - ספרי האוניברסיטה הפתוחה, תש"ף 2020, דאנאקוד 208-2291055, מסת"ב 978-965-06-1618-2
יצחק קרליק

יצחק קרליק (1899–1979) קצין יהודי במשטרת המנדט ולאחר קום המדינה במשטרת ישראל.
ביוגרפיה

קרליק נולד בפולונה, שבפלך ווהלין לנחום קרליק, שהיה סוחר תבואה ולנחמה יענטה גילדינגורן. הוא היה חבר בצעירי ציון ובפברואר 1922 עלה לארץ ישראל.
תחילה עבד קרליק כפועל חקלאי בפתח-תקוה, ובמאי 1922 התגייס למשטרת המנדט ושירת בירושלים, תחת פיקודו של דוד תדהר. באוקטובר 1924 הוא זכה לתשבחות בדואר היום על שבשריפה ליד מאה שערים: "חרף את נפשו באמת ועמל בכל כחו להציל כמה שאפשר ותודות לו ועוד אנשים שעזרו על ידו הצליחו לכבות את התבערה בטרם תתפשט אל שאר הבתים ולא קרה שום אסונות אדם." בשנת 1928, בעת חופשתו של הקצין שלמה סופר, מלא קרליק את מקומו. בשנת 1929 הוא שמר על הסדרים ברחבת הכותל המערבי.
לאחר מאורעות תרפ"ט בנובמבר 1929 הוא נעצר בחשד שמסר מסמך סודי בה היו רשומים המופתי ועוזריו "ברשימה השחורה", מהמשטרה לעיתונאי. המסמך שימש את התעמולה של מוסדות היישוב היהודי להראות שצעדי המופתי ועוזריו נשמרו על ידי הבולשת. לאחר מספר ימים שוחרר קרליק בהיעדר ראיות לאשמתו. בסוף שנות ה-20 ובראשית שנות ה-30 פעל, בין השאר, נגד פעילים קומוניסטים. באוקטובר 1932 ניהל קרליק את החקירה של התקיפה של אנשי ההסתדרות את הבית"רים שהפרו את שביתתם בבית החרושת פרומין.
בשנת 1932 הועלה קרליק לדרגת סרג'נט. בשנת 1934 קיבל קרליק דרגת קצין ומונה למפקד תחנת רחובות ושם התמודד עם תחילת המרד הערבי הגדול. במחצית הראשונה של 1937 הוא הופקד על חקירת פרשת הרצח בחולות תל נוף ובאמצע שנת 1937 עבר למחלקה הפלילית של משטרת תל אביב. בהמשך מונה למפקד משטרת רמת גן. בתפקידו זה הרגיז את אנשי האצ"ל אשר הצמידו פצצת הפחדה למכוניתו. בעקבות זאת פנה קרליק אל אברהם קריניצי שיעץ לו ליישר את ההדורים עם אנשי האצ"ל וארגן סולחה בינו לבין אנשי האצ"ל.
ביולי 1942 קיבל קרליק את המדליה הקולוניאלית על שירות ממושך במשטרה. בינואר 1943 הוא זכה לתשבחות על שסירב לקבל שוחד ודיווח על השוחד שהוצע לו.
בשנים 1940–1947 שירת בתל אביב ובין השאר היה אחראי על שמירת הסדר בהלווית ארבעת אנשי ההגנה שנהרגו בהתקפה על מחנה שרונה בליל המשטרות.
ביולי 1947 קיבל סרט למדליה על שירותו.
לאחר הקמת מדינת ישראל נתמנה לסגן מפקד נפת תל אביב של המשטרה. בהמשך היה ראש אגף החקירות במחוז טבריה ובשנת 1951 נתמנה למפקד בסיס אמונים בבית דגן.
קרליק היה נשוי לאהובה לבית פרידמן מריגה.
הערות שוליים

↑  אורח גנב, דואר היום, 7 במאי 1926
↑  בערה, דואר היום, 7 באוקטובר 1924
↑  במשטרה, הארץ, 29 ביוני 1928
↑  התנגשויות ומכות ברחבת הכותל, דואר היום, 4 באוגוסט 1929
↑  השוטר קרליק נאסר, דואר היום, 22 בנובמבר 1929
↑  בשל מה נאסר קורפורל קרליק, דואר היום, 24 בנובמבר 1929
↑  בשל מה נאסר קורפורל קרליק, דואר היום, 29 בנובמבר 1929
↑  מאסר קומוניסט, דואר היום, 6 באפריל 1928
זוג קומוניסטים לדין, דואר היום, 1 במרץ 1930
תגרה בין הקומוניסטים והמשטרה בהלויה בירושלים, דואר היום, 17 באפריל 1930
עוד סודות מן המטבח הקומוניסטי, דואר היום, 6 ביולי 1932
דברי השופט בודילי לקומוניסט מסית, דואר היום, 12 בנובמבר 1933
↑  ביהח"ר של פרומין, דואר היום, 18 באוקטובר 1932
↑  הבחינות במשטרה שני קצינים יהודים חדשים, שלושה סרג'נטים, דואר היום, 4 בספטמבר 1932
↑  העלאות במשטרה, דבר, 4 באפריל 1934
↑  במשפט העלילה על תושבי רחובות, הארץ, 5 באוגוסט 1936
↑  עיתון מיוחד לבית הדין המחוזי, דואר היום, 20 בנובמבר 1934
הרוג אחד ו־7 פצועים, דואר היום, 17 בנובמבר 1935
↑  קבלת פני הרב הראשי לתל אביב יפו מוהר"ר משה אביגדור עמיאל, הארץ, 16 בינואר 1936
↑  חולדה בימים אלה, דבר, 15 במאי 1936
נתפס היורה באוטו, דבר, 16 במאי 1936
שרפו בית־אריזה בנ"צ, דבר, 30 ביוני 1936
התקפה המונית על עקרון, דואר היום, 15 ביוני 1936
יריות, עקירות הצתה, דבר, 7 במרץ 1937
↑  החקירה בעניו רצח צוואנגר, הארץ, 11 במאי 1937
↑  עדות הקצין קרליק, הארץ, 16 ביולי 1937
↑  במאי 1937 עדיין היה ברחובות: ילד חנוק מי הפושע?, דבר, 24 במאי 1937
משפט הילד שנחנק, הארץ, 1 בדצמבר 1979
↑  התנכל לרצוח את אשתו, הארץ, 11 בפברואר 1938
↑  נסיון נועז להתנקשות בחיי קצין יהודי, הַבֹּקֶר, 25 ביולי 1938
↑  ד. מלמדוביץ בשירות בית"ר והאצ"ל, חרות, 29 במרץ 1963
↑  היחיד והציבור, המשקיף, 10 ביולי 1942
↑  ניסתה לשחד שוטר יהודי ונקנסה, הַבֹּקֶר, 26 בינואר 1943
↑  המונים בהלוית 4 חללי ההתקפה על שרובה, המשקיף, 25 בפברואר 1946
↑  מדליות לשוטרים, המשקיף, 2 ביולי 1947
↑  העתקים מן המתבים נשלחו לתעודתם, חרות, 8 בדצמבר 1948
↑  אהובה (לובה) קרליק, מעריב, 8 בינואר 1981
ואסילי ורשצ'אגין (צייר)

| --- | --- |

 לידה:  1 בינואר 1835 (יוליאני) פרם, האימפריה הרוסית 
 פטירה:  9 באוקטובר 1909 (יוליאני) (בגיל 74) סנקט פטרבורג, האימפריה הרוסית 
 מקום לימודים:  האקדמיה הקיסרית לאמנויות (1861) 
 תחום יצירה:  ציור 
 
ואסילי פטרוביץ' ורשצ'אגין (ברוסית: Василий Петрович Верещагин;‏ 13 בינואר 1835 – 22 באוקטובר 1909) היה צייר רוסי שנודע בציורים היסטוריים ודתיים ובדיוקנאות. הוא לימד באקדמיה הקיסרית לאמנויות בסנקט פטרבורג, שבה גם למד, והשתייך לסגנון האקדמי.
ביוגרפיה

ורשצ'אגין נולד וגדל בעיר הקטנה פרם למשפחה של אמנים: אביו, פיוטר פרוקופוביץ' (1795–1843) וסבו, פרוקופי דנילוביץ' (1764–1811 לערך) היו ציירי איקונות. אֶחיו, מיטרופן ופיוטר ורשצ'אגין, נעשו אף הם לציירים. את חינוכו האמנותי קיבל מאביו ומסבו מצד אמו, הצייר איוואן באבין, וכן מצייר מקומי בשם אורלוב.
בשנת 1856 הוא החל את לימודיו באקדמיה הקיסרית לאמנויות בסנקט פטרבורג, שם למד אצל האמן אלכסיי מרקוב. הוא נשאר בה שש שנים וזכה במדליית זהב על ציורו "סופיה מליטא בחתונת בנה, וסילי העיוור". בסיום לימודיו נסע במימון האקדמיה (רו') ללמוד ולצייר באירופה, ובמיוחד ברומא, שם התגורר מרבית התקופה, במקביל לחברו לספסל הלימודים פאבל צ'יסטיאקוב. ברומא העתיק ורשצ'אגין את ציורי הציירים הגדולים וצייר בהשראת דמויות ואירועים באיטליה של אותה התקופה. על ציורו "תפילתה של חנה הקדושה, אמו של שמואל הנביא" זכה במדליית זהב בתערוכה העולמית של פריז ב-1867.
עם שובו לסנקט פטרבורג ב-1869, הציג ורשצ'אגין לאקדמיה שורה של ציורים שצייר בשבתו ברומא, ובהם "לילה בגולגולתא", "אסיר פוגש את משפחתו" וכן דיוקנאות וציורים בצבעי מים. על בסיס הישגים אלה מונה לפרופסור לציור היסטורי וציור דיוקנאות באקדמיה, תפקיד שמילא במשך כעשרים וחמש שנה. בשנה שלאחר מכן החל לעטר את ארמונו (אנ') של הנסיך ולדימיר בציורים המציגים נושאים מהשירה העממית הרוסית, כגון הסיפורים על איליה מורומץ ודובריניה ניקיטיץ'.
בשנת 1873, הוא קיבל מדליית זהב נוספת בתערוכה העולמית בווינה, ועשה עבודות דקורטיביות נוספות בקתדרלת ישו המושיע במוסקבה (1875–1879) ובקתדרלת אוספנסקי בקייב.
ב-1891 הוא הוציא לאור אלבום, ובו דיוקנאות של אנשים וסצנות בולטות מההיסטוריה הרוסית, שהפך פופולרי מאוד.
לאחר שבריאותו החלה להתדרדר הוא מסר ציורים רבים, משלו ומשל אחיו פיוטר שנפטר לפניו, ל"מוזיאון התעשייה והמדע" בפרם, במטרה ליצור שם מחלקה נפרדת לאמנות (היום הגלריה לאמנות של פרם (רו')). ורשצ'אגין מת ונקבר בסנקט פטרבורג.