stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מערכות מספרים
המספרים הטבעיים

המספרים הטבעיים, כמו 1, 3 או 18, משמשים לספירה או לסידור של עצמים. הפיתוח האקסיומטי, המסודר, של מערכות מספרים החל בניסיונו של ג'וזפה פאנו, בסביבות 1880, לבנות מערכת של אקסיומות שתתפוס בדייקנות את מה שאנחנו מצפים מן המספרים האלה. אקסיומות אלה נוסחו במה שמאוחר יותר ייקרא בלוגיקה מתמטית שפה מסדר ראשון. הרעיון הבסיסי של פאנו היה שכדי לתאר את המספרים הטבעיים מספיק להניח שקיים איבר קטן ביותר (האפס), ושלכל איבר יש עוקב (העוקב של 7 הוא 8, וכן הלאה). מהנחות אלה, יחד עם אקסיומת האינדוקציה, הוא פיתח את מערכת פאנו של המספרים הטבעיים.
האינדוקציה מאפשרת להגדיר את פעולת החיבור: אם נסמן ב- \ S(x) את העוקב של  \ x, אז הוספת 1 מוגדרת לפי  \ x+1=S(x), בעוד שהוספת כל מספר גדול יותר מוגדרת כעוקב של פעולת חיבור שכבר הוגדרה:  \ x+S(y)=S(x+y). באופן דומה אפשר להגדיר גם את הכפל:  \ x\cdot 1=x, ואילו  \ x\cdot S(y)=x\cdot y+x. פאנו הראה שפעולות אלה מקיימות את כל התכונות המוכרות של חיבור וכפל: קומוטטיביות, אסוציאטיביות, ודיסטריבוטיביות. עוד תכונה יסודית המשולבת במערכת של פאנו: ישנו יחס סדר המאפשר להשוות שני מספרים טבעיים ולקבוע מי מהם גדול יותר. יחס הסדר הזה הוא יחס סדר ליניארי שהוא גם סדר טוב.
מאוחר יותר, במסגרת הכללית יותר של תורת הקבוצות האקסיומטית, ביקשו הלוגיקאים לבסס את המספרים הטבעיים על המושג היסודי של קבוצה. ג'ון פון נוימן בנה מודל לאקסיומות של פאנו באמצעות שימוש בקבוצות. הוא הציע לבחור את הקבוצה הריקה כאיבר האפס, ולהגדיר את המספרים הבאים באינדוקציה:  \ S(x)=x\cup \{x\}, כאשר  \ \cup  היא פעולת האיחוד של קבוצות. מהגדרה זו יוצא שהמספר 1 הוא הקבוצה שיש לה איבר יחיד, 0; 2 היא הקבוצה שיש לה שני איברים, 0 ו-1, ובאופן כללי המספר n הוא הקבוצה שיש בה בדיוק n איברים:  \ n=\{0,1,2,\dots ,n-1\}. מודל זה ניתן לניסוח במסגרת השפה של תורת הקבוצות (עם אקסיומות צרמלו פרנקל).
את מערכת המספרים הטבעיים מקובל לסמן באות  \ \mathbb {N} . לפעמים הכוונה היא לקבוצה הכוללת את כל המספרים מאפס ואילך, ולפעמים רק את אלו הגדולים ממש מאפס.
המספרים השלמים

לאחר שנבנתה המערכת של המספרים הטבעיים עם פעולות החיבור והכפל שלהם, אפשר לחשוב על מספר שלם כאילו היה הפרש של שני מספרים טבעיים. באופן פורמלי יותר, מגדירים יחס שקילות על קבוצת הזוגות הסדורים  \ \mathbb {N} \times \mathbb {N} , על ידי שמזהים זוגות  \ (a,b)\sim (c,d) אם ורק אם  \ a+d=b+c. באופן לא פורמלי חושבים על מחלקת השקילות של הזוג  \ (a,b), אותה מסמנים ב- \ [(a,b)], כאילו היא מייצגת את ההפרש  \ a-b.
כעת אפשר להגדיר את פעולות החיבור והכפל במספרים שלמים:  \ [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)], ו- \ [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]. אפשר לבדוק שהגדרות אלו מוגדרות היטב (כלומר אינן תלויות בבחירת הנציגים), ושהפעולות לא איבדו את התכונות הטובות שהיו להן קודם לכן. בנוסף לזה מרוויחים תכונה חדשה: לכל מספר  \ [(a,b)] יש מספר  \ [(b,a)] כך שסכומם הוא אפס. יתרה מזו, קבוצת המספרים הטבעיים לא הלכה לאיבוד: אם מתבוננים בתת-הקבוצה של המספרים מהצורה  \ [(a,0)], מתברר שהיא מקיימת את כל התכונות שהיו למספרים הטבעיים. אם כך, קבוצת המספרים השלמים מכילה 'עותק' של המספרים הטבעיים בתוכה. גם את יחס הסדר אפשר להעתיק לכאן, והוא עדיין יחס סדר ליניארי. כך למעשה הוספנו את המספרים השליליים.
הקבוצה שבנינו כאן היא חוג קומוטטיבי, הנקרא חוג המספרים השלמים. קבוצה זו מסמנים בדרך-כלל ב- \ \mathbb {Z} . זוהי הדוגמה הבסיסית והפשוטה ביותר לתחום שלמות, שהוא במקרה זה חוג אוקלידי.
המספרים הרציונליים

החיסרון הבולט של המספרים השלמים הוא בכך שלא תמיד ניתן לחלק במסגרתם, או, במילים אחרות, הם אינם סגורים תחת פעולת החילוק. אין מספר שלם שאם נכפיל אותו בשלוש ייתן שבע. כדי לפתור את הבעיה, מגדירים מערכת מספרים גדולה יותר, שתכלול את כל המספרים השלמים, וגם את המנות שלהם.
בניית המספרים הרציונליים דומה לזו שהניבה את השלב הקודם בסולם, המספרים השלמים. אנו מתבוננים באוסף הזוגות  \ \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\}), כלומר, כל הזוגות הסדורים של מספרים שלמים שבהם הרכיב השני אינו אפס, ומגדירים עליו יחס שקילות לפי התנאי  \ (a,b)\sim (c,d) אם ורק אם  \ ad=bc. שוב אפשר לחשוב על הזוג  \ (a,b) כאילו הוא מייצג את המנה  \ {\frac {a}{b}}, אלא שפורמלית איננו יכולים לדבר על שברים משום שעדיין לא בנינו אותם. פעולות החיבור והכפל בין מחלקות השקילות החדשות מוגדרות על-פי הפעולות במספרים השלמים:  \ [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)] ו- \ [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]. שוב יש לבדוק שההגדרות אינן תלויות בבחירת הנציגים, ושהפעולות החדשות מקיימות את אותן תכונות שהתקיימו במערכת הקודמת. את יחס הסדר אפשר להגדיר כך:  \ [(a,b)]<[(c,d)] אם  \ abd^{2}<b^{2}cd. היחס עדיין ליניארי (כלומר: אם שני איברים שונים זה מזה, אז אחד מהם גדול מן השני), וכעת הוא גם צפוף.
גם בבנייה הזו אנחנו מרוויחים תכונה חדשה: לכל מספר  \ [(a,b)] שאינו אפס, יש מספר  \ [(b,a)] הופכי ביחס לכפל. קבוצה בעלת כל התכונות האלה נקראת שדה סדור. השדה הסדור המתקבל נקרא שדה המספרים הרציונליים ומסמנים אותו באות  \mathbb {Q} . איבריו של השדה הזה הם מספרים רציונליים.
המספרים השלמים עדיין איתנו: אלו הם המספרים מהצורה  \ [(a,1)]. אפשר לחבר ולהכפיל אותם כמספרים שלמים (באמצעות הפעולות שהוגדרו ב- \ \mathbb {Z} ) או כמספרים רציונליים, ומתקבלת אותה תוצאה.
מספרים אלגבריים

במערכת המספרים הרציונליים  \ \mathbb {Q}  אפשר לחלק, אבל יש לה שני חסרונות בולטים אחרים:
המספרים הרציונליים אינם כוללים שורשים, כגון  \ {\sqrt {2}}, וגם אין בהם שורשים למשוואות מסובכות יותר, כמו  \ x^{7}-7x-7=0.
שדה המספרים הרציונליים אינו שלם, כלומר, יש בו קבוצות חסומות שאין להן חסם עליון (משמעותו של חיסרון זה תובהר בסעיף הבא).
את הבעיה הראשונה אפשר לפתור עבור כל פולינום ופולינום באופן פרטני, על ידי יצירת הרחבות מתאימות של שדה הרציונליים (שדות אלו נקראים שדות מספרים). מכל ההרחבות האלה יחד אפשר לבנות את הסגור האלגברי של שדה הרציונליים (הנקרא שדה המספרים האלגבריים), שבו יש שורש לכל פולינום.
גישה זו של פתרון משוואות פולינומיות אינה מתגברת על חוסר השלמות שציינו קודם לכן. בנוסף לזה, כיוון שעדיין לא בנינו שדה גדול יותר, לא ברור איך לחבר איברים של הרחבות שונות זה עם זה, ולכן הבנייה של הסגור האלגברי די מסובכת (היא דורשת את הלמה של צורן). מתברר שגישה אחרת, המתמודדת רק עם החיסרון השני, פותרת בדרך אגב גם את הבעיה הראשונה, ולכן בפיתוח מסודר של מערכות המספרים לא רואים צורך לעצור בדרך לשם בנייה של שדה המספרים האלגבריים.
מספרים ממשיים

כפי שציינו, שדה המספרים הרציונליים אינו שלם, והדבר מכביד מאוד על פיתוח מסודר של האנליזה.
המעבר לשדה שלם הוא מסובך יותר מהשלבים הקודמים, ולכך יש סיבה עקרונית. כל המערכות שראינו עד כאן: הטבעיים, השלמים, הרציונליים ואפילו המספרים האלגבריים, הן בנות מנייה. בבניית השדה השלם, שדה המספרים הממשיים, אנחנו צריכים לייצר קבוצה בעלת עוצמה גדולה יותר, במקרה הזה עוצמת הרצף.
את אי-השלמות של המספרים הרציונליים אפשר לנסח בשתי דרכים:
ישנן קבוצות חסומות שאין להן חסם עליון, דהיינו חסם מלעיל מינימלי. לדוגמה, קבוצת המספרים הקטנים מארבע בעלי סינוס חיובי היא כמובן קבוצה חסומה. כל מספר (רציונלי) גדול מפאי, גדול מכל האיברים בקבוצה זו ולכן הוא חסם מלעיל. אבל פאי אינו מספר רציונלי, ולכן בקבוצת המספרים הרציונליים הגדולים מפאי אין איבר קטן ביותר.
ישנן סדרות קושי שאינן מתכנסות. בדרך כלל מפתחים את המושגים 'סדרת קושי' ו'סדרה מתכנסת' אחרי שנבנה השדה הממשי, ולכן חשוב להדגיש כאן שאפשר להגדיר מושגים אלה כבר אחרי שבנינו את השדה הרציונלי  \ \mathbb {Q}  (לצפיפות והארכימדיות יש כאן תפקיד חשוב).
כנגד שתי המגבלות האלה של שדה הרציונליים, הוצעו ב-1872 שתי גישות לבניית שדה המספרים הממשיים.
ריכרד דדקינד הציע בנייה המבוססת על חתכי דדקינד, שהם קבוצות  A של מספרים רציונליים (בשלב זה – אלו המספרים העומדים לרשותנו) המקיימות ארבע דרישות:
הקבוצה  A אינה ריקה.
הקבוצה  A אינה כוללת את כל הרציונליים.
כל איבר ב- A קטן מכל איבר שאינו ב- A.
אין ל- A איבר מקסימלי.
קבוצה בעלת תכונות אלה נקראת כאמור 'חתך דדקינד', וחתכים אלו הם המספרים הממשיים. דדקינד הראה איך להגדיר חיבור וכפל על קבוצות אלה, באופן שיכבד את כל התכונות הקודמות. את יחס הסדר מגדירים בעזרת ההכלה (מספר קטן יותר מוכל במספר גדול ממנו). אפשר לזהות את המספר הרציונלי  \ x עם הקבוצה  \ \{r:r<x\}, וכך, פעם נוספת, מכילה הקבוצה החדשה עותק של הקבוצה הקודמת שבנינו.
את קבוצת החתכים מסמנים באות  \ \mathbb {R} . זהו שדה סדור שלם מינימלי: הוא מוכל בכל שדה סדור שלם אחר. מכיוון שכך, שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור השלם המינימלי היחיד (אם יש שניים כאלה, הם מוכלים זה בזה ולכן שווים).
באותה שנה הציע גאורג קנטור שיטה אחרת להשגת אותה מטרה. אצל קנטור 'מספר ממשי' הוא מחלקת שקילות של סדרות קושי של מספרים רציונליים, כאשר שתי סדרות קושי שקולות זו לזו אם סדרת ההפרשים מתכנסת לאפס. החיבור והכפל מוגדרים על-פי רכיבים. גם כאן התוצאה היא שדה סדור שלם מינימלי, ומכאן שקנטור ודדקינד בנו (באופנים שונים) את אותה המערכת.
מספרים מרוכבים

לשדה המספרים הממשיים יש עדיין חיסרון אחד: אין בו שורש של מספרים שליליים. זו אינה בעיה ייחודית למספרים הממשיים – בכל שדה סדור (שדה שיש בו סדר, ולכן מספרים חיוביים ושליליים) המכפלה של חיובי בחיובי היא חיובית, וגם המכפלה של שלילי בשלילי היא חיובית, ומכאן שאין מספר שריבועו שלילי. אם רוצים שורשים למספרים שליליים, מוכרחים לוותר על יחס הסדר.
שדה כזה אפשר לקבל על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל על זוגות סדורים של מספרים ממשיים:
 \ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ו- \ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc). את הזוג (a, b) מסמנים ב-a+bi. הקבוצה  \ \mathbb {R} \times \mathbb {R}  הופכת תחת פעולות אלה לשדה סגור אלגברית שהוא גם מרחב מטרי שלם. שדה זה, אותו מסמנים ב- \ \mathbb {C} , נקרא שדה המספרים המרוכבים, והוא המצע לכל הפעילות באנליזה. בתור אוסף של זוגות סדורים,  \ \mathbb {C}  הוא מרחב וקטורי מעל השדה הממשי, וממדו 2. אינטואיטיבית, מספר מרוכב הוא למעשה תוצאת חיבור של מספר מדומה, כלומר שורש של מספר שלילי, עם מספר ממשי – שורש של מספר חיובי.
יצירתם של המספרים המרוכבים מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו בתחילת המאה ה-16, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.
מערכות מספרים נוספות > אלגברות קיילי-דיקסון

מערכות מספרים גדולות משדה המספרים המרוכבים אינן מקיימות את מלוא התכונות של אלה, אבל יש להן כמה תכונות מעניינות. המבנה הטיפוסי כאן צריך להיות מרחב וקטורי מעל  \ \mathbb {R} , שאפשר להגדיר בו פעולת כפל מוצלחת. מערכות כאלה אכן קיימות, אלא שבהיפוך מוזר של המגמה שראינו עד כה, בכל צעד של הבנייה מאבדים תכונה חשובה. מעל לשדה המספרים המרוכבים בנה ויליאם רואן המילטון את אלגברת הקווטרניונים, שאינה שדה אלא אלגברה לא קומוטטיבית עם חילוק. בקווטרניונים ישנם אינסוף עותקים של שדה המספרים המרוכבים.
אלגברת הקווטרניונים היא אלגברה אסוציאטיבית. קיימת אלגברה מממד 8, אלגברת האוקטוניונים, שהיא עדיין אלגברה עם חילוק (כלומר, לכל איבר שאינו אפס קיים הפכי), אבל אינה אסוציאטיבית: זוהי אלגברה אלטרנטיבית, המכילה עותק של אלגברת הקווטרניונים.
המעברים מן הממשיים למרוכבים, מן המרוכבים לקווטרניונים ומשם לאוקטוניונים הם כולם מקרים פרטיים של הבנייה של אלגברות קיילי-דיקסון, המייצרת מאלגברה עם אינוולוציה מממד n אלגברה חדשה, מממד 2n. האלגברה של קיילי-דיקסון מממד 16 היא אלגברה לא אסוציאטיבית שאינה אפילו אלטרנטיבית.
מערכות מספרים נוספות > מערכות מספרים אריתמטיות

שדות אחרים שאפשר לראות כמערכות של מספרים הן שדה המספרים ה-p-אדיים שהוא ההשלמה של השדה הרציונלי ביחס להערכה לא ארכימדית, והשדה של המספרים הסוריאליסטיים.
מערכות מספרים נוספות > מספרים סודרים

המעבר מן המספרים הטבעיים אל השלמים מבוסס על פעולת החיסור. אם מוותרים על פעולה זו ומעדיפים להכליל את תכונות הספירה של המספרים הטבעיים (כך שיכולו גם על גדלים אינסופיים), מתקבלים המספרים המונים, או המספרים הסודרים, הכוללים את המונים בתוכם.
תרשים

להלן תרשים המציג מערכות מספרים שונות במתמטיקה, את הקשרים ביניהם ואובייקטים נוספים הקשורים אליהם.
מערכות מספרים בפילוסופיה של המתמטיקה

מושגי מערכות המספרים עוררו תהיות פילוסופיות רבות. האם המספרים השלמים, הממשיים והמרוכבים "קיימים" באותה מידה? גם הוגיהם הראשונים של המספרים המדומים והמרוכבים סברו שמדובר במספרים דמיוניים. כך, לדוגמה, לאופולד קרונקר טען כי "אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה האדם".
ניתן לשאול בהקשר זה האם ניתן למצוא הקבלה לעולם החושי במספרים שונים. אפשר להקביל את המספר הטבעי 2 לשני תפוחים, את המספר השלם השלילי 2- לחוב של שני תפוחים ואת המספר הרציונלי 1/2 כחציו של תפוח. במספרים האי-רציונליים נתקלים בקושי מסוים במודל התפוחים, אך עבור אלו מהם הנכללים בשדה המספרים הניתנים לבנייה קל לפתור אותו. כך למשל את המספר האי רציונלי השורש הריבועי של 2 ניתן להציג, על פי משפט פיתגורס, כיחס בין אורך היתר לאורך הניצב במשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.
לעומת זאת, עבור מספרים שאינם ניתנים לבנייה, ועל אחת כמה וכמה שאינם ממשיים, קשה למצוא עצם חוץ מתמטי שיקיים את תכונותיהם. עם זאת, המספרים המרוכבים שימושיים, בין השאר, בתורת החשמל ובמכניקת הקוונטים, כך שיש להם גם נגיעה לעולם הממשי.
התומכים בעמדה לפיה מעמדם של המספרים הממשיים והלא ממשיים שווה מזכירים כי כל מערכות המספרים נבנו כדי למלא חוסרים במערכת המוכלת בהם, וטוענים כי לפיכך אין הבדל מהותי בין בניית 2- כ"2 פחות 4" לבין בניית i כ"שורש הריבועי של 1-". אכן, מבחינה היסטורית המספרים השליליים והאי-רציונליים זכו ליחס מפקפק לא פחות מהמדומים, ובפרט ידוע סיפור העם על פיו השליכו תלמידיו של פיתגורס את תלמידו היפאסוס לנהר בשל גילוי האי-רציונליות של השורש הריבועי של 2. למעשה, האמירה לפיה פיתגוראים גילו את קיומם של מספרים אי-רציונליים היא אנכרוניזם. כל תגליתם היא שקיימים קטעים חסרי מידה משותפת, מה שמקביל בעיניים מודרניות לקיום מספרים אי-רציונליים, ולפיכך ניתן לראות שגם מה שנראה כגילוי שאין להכחישו, מקבל פרשנות אחרת בהתאם לחשיבה של אותו זמן. באופן דומה, בכל תקופת תור הזהב של המתמטיקאים היוונים איש מהם לא דן במספרים שליליים, רעיון שהתפתח רק בהודו במאה ה-7, פחות או יותר, אף על פי שהיו ידועות משוואות שתוצאותיהן, לכאורה, שליליות. באופן דומה, גם המספרים המרוכבים התקבלו רק כשהבשילו התנאים. ג'ירולמו קרדאנו, בבואו לפתור את המשוואה  \ x^{3}=15x+4, הגיע לביטוי שכלל את המספר  {\sqrt {-121}}. בספרו "האמנות הגדולה" (Ars magna) פרסם קרדאנו פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת", והתפתחות המתמטיקה המתקדמת בנושא זה מאוחרת יותר. בכל אופן, גילוי (או המצאת) המספרים השליליים, האי-רציונליים והמרוכבים קדם לניסוח הריגורוזי של בנייתם מהמערכת הקודמת.
מן הצד השני ישנו הפורמליזם, שעל פיו לאף אחד מהמספרים אין קיום משל עצמו אלא רק בהתאמה לאקסיומות, ולכן במערכת המוגדרת כמכילה את המרוכבים, ואף מערכת מורכבת יותר, ממשותם של כל המספרים במערכת זהה. אם ב"משחק" המתמטי מניחים את קיומם של מספרים, והדבר לא מוביל לסתירות, הם קיימים במסגרתו (ובשום פנים ואופן לא מעבר לכך).
לקריאה נוספת

Elliott Mendelson, Number Systems and the Foundations of Analysis, Academic Press Inc., 1973.
H.A.Thurston, "The Number System", Blackie and Son, 1956.
Ethan D. Bloch, "The Real Numbers and Real Analysis", Springer, 2011.
בן בנטיל

| --- | --- |

 לידה:  29 במרץ 1995 (בן 29) סקונדי-טקורדי, גאנה 
 עמדה:  פאוור פורוורד 
 גובה:  2.06 מטרים
 מכללה:  מכללת פרובידנס
 דראפט:  בחירה 51, 2016 בוסטון סלטיקס
 קבוצות כשחקן
 2016 2016 2017 2017 2017–2018 2018 2018–2019 2019–2021 2021 2021–2022 2022–2023 2023–2024 2024:  פורט ויין מאד אנטס שינג'יאנג פליינג טייגרס פורט ויין מאד אנטס דאלאס מאבריקס שאלון-ריימס בילבאו באסקט פריסטרי אתונה פנאתינאיקוס בחצ'שהיר קולג'י אולימפיה מילאנו הכוכב האדום בלגרד גונמה קריין ת'אנדרס הפועל תל אביב
 הישגים כשחקן
 אליפות סרביה (2022)  2 אליפויות יוון (2020, 2021)  אליפות איטליה (2022)  הגביע היווני בכדורסל (2021)  הגביע האיטלקי בכדורסל (2022)  גביע רדיבוי קוראץ' (2023)  מלך הריבאונדים של ליגת העל היוונית (2019)
 
בנג'מין בנטיל (באנגלית: Benjamin Bentil; נולד ב-29 במרץ 1995) הוא כדורסלן גנאי המשחק בעמדת הפאוור פורוורד.
ראשית חייו

בנטיל, שנולד בסקונדי-טקורדי, גאנה, נשלח לארצות הברית כשהיה בן 15 ויכולותיו האתלטיות זיכו אותו במלגה לבית הספר בהאברפורד, פנסילבניה, לפני שעבר לבית הספר סנט אנדרו במידלטאון, דלאוור. הוא שיחק בקבוצות הכדורגל והכדורסל של בית הספר, וזכה במלגת כדורסל במכללת פרובידנס.
קריירת מכללות

כפרשמן בפרובידנס פתח בנטיל ב-23 מתוך 34 המשחקים והעמיד ממוצעים של 6.4 נקודות ו-4.9 ריבאונדים ב-21.5 דקות למשחק. הוא התחיל לבוא לידי ביטוי לקראת סוף העונה, ורשם חמישה דאבל דאבלים ב-12 המשחקים האחרונים שלו.
בנטיל פרץ במהלך שנת הסופומור שלו, והוא וחברו לקבוצה כריס דאן הפכו לאחד הצמדים הטובים ביותר במכללות. הוא הוביל את אזור הביג איסט עם בנקודות למשחק (21.1), סלי שדה (246) וזריקות עונשין (194). הוא סיים חמישי באזור באחוזים מהשדה (46.2%), שישי באחוז עונשין (78.2%) ורביעי בריבאונדים למשחק (7.7). הוא פתח ב-32 מ-35 המשחקים של פרובידנס, קלע בספרות כפולות ב-31 משחקים, קלע לפחות 20 נקודות 21 פעמים וקלע לפחות 30 נקודות חמש פעמים. בנטיל רשם 31 נקודות ושיא קריירה של 13 ריבאונדים ב-24 בינואר במהלך ניצחון החוץ בהארכה על אלופת המכללות בסיום העונה וילאנובה, ושבועיים וחצי לאחר מכן קלע שיא קריירה של 42 במהלך הפסד בשתי הארכות לאוניברסיטת מרקט, כולל 14 מ-17 מהעונשין ו-12 ריבאונדים. בשני משחקי טורניר אליפות המכללות בכדורסל של פרובידנס הוא רשם ממוצעים 20 נקודות ו-6 ריבאונדים. הוא שיחק את כל 40 הדקות בסיבוב הראשון נגד USC, ורשם 19 נקודות ותשעה ריבאונדים בניצחון 70–69. פרובידנס הודחה בסיבוב השני על ידי סגנית האלופה בסופו של דבר, UNC, למרות 50 נקודות משותפות של בנטיל ודאן. בנטיל נבחר לחמישיית העונה בביג איסט ולשחקן המשתפר של האזור.
ב-23 במרץ 2016 הכריז בנטיל על מועמדות לדראפט ה-NBA, ולמעשה ויתר על השנתיים האחרונות שלו במכללה.
קריירה מקצוענית > פורט ויין מאד אנטס (2016)

ב-23 ביוני 2016 נבחר בנטיל על ידי בוסטון סלטיקס בבחירה ה-51 בדראפט ה-NBA ‏2016. הוא חתם בסלטיקס ב-27 ביולי אך נופה ב-21 באוקטובר לאחר שהופיע בשלושה משחקי קדם עונה. שלושה ימים לאחר מכן הוא הוחתם ונופה על ידי אינדיאנה פייסרס. ב-31 באוקטובר הוא נרכש על ידי פורט ויין מאד אנטס מליגת הפיתוח של ה-NBA כשחקן שותף של הפייסרס. לאחר שהופיע רק במשחק ליגה אחד הוא עזב את הקבוצה באמצע נובמבר.
קריירה מקצוענית > שינג'יאנג פליינג טייגרס (2016)

ב-25 בנובמבר 2016 חתם בנטיל בשינג'יאנג פליינג טייגרס (אנ') מליגת ה-CBA הסינית כמחליף לאנדריי בלאטץ' הפצוע. הוא ערך את הופעת הבכורה שלו באותו הלילה, כשקלע 28 נקודות מהספסל מול ג'ילין נורת'איסט טייגרס. הוא עזב את שינג'יאנג בסוף דצמבר 2016 לאחר שהופיע ב-11 משחקים.
קריירה מקצוענית > דאלאס מאבריקס ופורט ויין (2017)

ב-16 בינואר 2017 חזר בנטיל לפורט ויין מאד אנטס.
ב-26 בפברואר 2017 חתם בנטיל על חוזה ל-10 ימים בדאלאס מאבריקס. הוא ערך את הופעת הבכורה שלו ב-NBA שלושה ימים לאחר מכן בהפסד 95–100 לאטלנטה הוקס. בנטיל נכנס למשחק ברבע השני, ועל אף שלא הצליח לקלוע ב-4 וחצי דקות משחק הפך ליליד גאנה הראשון ששיחק בליגה. ב-8 במרץ 2017, לאחר שני משחקים נוספים במאבריקס, פג תוקף החוזה ובנטיל חזר למאד אנטס.
קריירה מקצוענית > שאלון-ריימס (2017–2018)

בנטיל נכלל בסגל סן אנטוניו ספרס לליגת הקיץ של ה-NBA ‏2017. ב-28 באוגוסט 2017 חתם בנטיל בשאלון-ריימס (אנ') מה-LNB Pro A הצרפתית.
קריירה מקצוענית > בילבאו באסקט (2018)

בפברואר 2018 עזב בנטיל את שאלון-ריימס וחתם בבילבאו באסקט מליגת ה-ACB הספרדית.
קריירה מקצוענית > פריסטרי אתונה (2018–2019)

ב-25 בספטמבר 2018 חתם בנטיל בפריסטרי אתונה היוונית, במדיה העמיד ממוצעים של 12.5 נקודות (49.7% ל-2 נקודות ו-37.9% לשלוש), 6.7 ריבאונדים, 0.9 אסיסטים ו-0.8 חטיפות ב-35 משחקים בליגת העל היוונית.
קריירה מקצוענית > פנאתינאיקוס (2019–2021)

ב-21 ביוני 2019 חידש בנטיל את חוזהו בפריסטרי לעונה נוספת, וכלל בו סעיפי יציאה ל-NBA וליורוליג. ב-17 ביולי 2019 הוא ניצל את סעיף היציאה וחתם בפנאתינאיקוס לשנתיים בעקבות מאמנו בפריסטרי, ארגיריס פדולאקיס. במדי הירוקים רשם בנטיל ממוצעים של 4.3 נקודות ו-4.5 ריבאונדים בליגה היוונית ו-3.1 נקודות ו-2.0 ריבאונדים ב-8.6 דקות למשחק ביורוליג. בעונת 2019/20 זכה בנטיל באליפות יוון.
לאחר שזכה בדאבל של אליפות וגביע ב-2021, נפרד בנטיל מפנאתינאיקוס. הוא העמיד ממוצעים של 6 נקודות ו-2.6 ריבאונדים למשחק ביורוליג ו-8.1 נקודות ו-3.6 ריבאונדים בליגה היוונית.
קריירה מקצוענית > בחצ'שהיר קולג'י (2021)

ב-7 ביולי 2021 חתם בנטיל בבחצ'שהיר קולג'י מהסופר ליגי הטורקית. במדי הקבוצה העמיד בנטיל ממוצעים של 12 נקודות, 4.4 ריבאונדים ו-2.3 אסיסטים למשחק.
קריירה מקצוענית > אולימפיה מילאנו (2021–2022)

ב-27 בנובמבר 2021 חתם בנטיל באולימפיה מילאנו מהסרייה א' האיטלקית והיורוליג.
קריירה מקצוענית > הכוכב האדום בלגרד (2022–2023)

ב-20 ביולי 2022 חתם בנטיל בכוכב האדום בלגרד הסרבית מהליגה האדריאטית והיורוליג.
קריירה מקצוענית > גונמה קריין ת'אנדרס (2023–2024)

ב-21 ביולי 2023 חתם בנטיל בגונמה קריין ת'אנדרס (אנ') מליגת העל היפנית בכדורסל (B.League).
קריירה מקצוענית > הפועל תל אביב (2024)

ב-1 ביולי 2024 חזר בנטיל לאירופה וחתם בהפועל תל אביב מליגת העל הישראלית והיורוקאפ, אך ב-25 באוקטובר שוחרר לאחר שני משחקים רשמיים בלבד.
פיג'ו סוג 125

| --- | --- |

Peugeot Type 125
 מאפיינים כלליים
 יצרן:  פיג'ו
 שנות ייצור:  1910
 יחידות שיוצרו:  150
 הרכבה:  צרפת צרפת
 מודל קודם:  Peugeot Type 118  (אנ')
 מודל אחריו:  Peugeot Type 173 (אנ')
 מרכב:  Front-engine, rear-wheel-drive layout (אנ')
 אורך:  3,650 מ"מ
 רוחב:  1,600 מ"מ
 בסיס גלגלים:  2,670 מ"מ
 מפרט טכני
 מנוע:  2V צילינדרים, 1,148 סמ"ק (מנוע מסוג "V-twin engine" (אנ'))
 הילוכים:  תמסורת ידנית
 מהירות מרבית:  45 קמ"ש
 מעצב:  Armand Peugeot (אנ')
פיג'ו סוג 125 (בצרפתית: Peugeot Type 125) היא מכונית ספורטיבית פתוחה, בסגנון טורפדו Torpedo (car) (אנ'). מתוצרת יצרנית הרכב הצרפתית פיג'ו אשר יוצרה בשנת 1910.
מאפיינים

דגם פתוח לחלוטין.
2 נוסעים.
מנוע קדמי.
מנוע בנזין.
מנוע הנעה אחורית.
מערכת היגוי - מימין.
4 צמיגים סימטריים.
רמת גימור מהודרת.
תמונות

"פיג'ו סוג 125"
"פיג'ו סוג 125"
"פיג'ו סוג 125"
"פיג'ו סוג 125"
ראו גם

פיג'ו
פיג'ו סוג 27
פיג'ו סוג 183
טיילת ארמון הנציב

| --- | --- |

 מידע כללי
 סוג:  טיילת 
 על שם:  ארמון הנציב 
 כתובת:  תלפיות מזרח 
 מיקום:  ירושלים 
 מדינה:  ישראל 
 הקמה ובנייה
 תקופת הבנייה:  1984 (תחילת בניית טיילת האז) – 2003 (סיום בניית טיילת גולדמן)
 חומרי בנייה:  אבן ירושלמית
 אדריכל:  יהודית גרין שלמה אהרונסון לורנס הלפרין
 
 קואורדינטות:  31°45′20″N 35°14′04″E﻿ / ﻿31.755666666667°N 35.234416666667°E﻿ / 31.755666666667; 35.234416666667
 אתר רשמי
  (למפת ירושלים מוגדלת) טיילת ארמון הנציב(למפת ירושלים רגילה) טיילת ארמון הנציב(למפת הרי ירושלים רגילה) טיילת ארמון הנציב(למפת הרי ירושלים מוגדלת) טיילת ארמון הנציב he
 
טיילת ארמון הנְציב הוא כינוין של שלוש טיילות הממוקמות בדרום מזרח ירושלים.
הטיילות נמתחות משכונת אבו תור, לאורך קו הרכס של הר אצל דרך יער השלום וארמון הנציב, עד לשכונת נוף ציון. תוואי הטיילות סמוך לקו פרשת המים בין הים התיכון לים המלח על גבול מדבר יהודה. מהטיילות נשקף נוף פנורמי על אגן העיר העתיקה, הר הזיתים, מדבר יהודה ועל חלקים ממערב העיר. מקור הכינוי של הטיילות הוא בשל סמיכותן לארמון הנְציב הבריטי שניצב על הר אצל.
הטיילות, בפרט התצפית בטיילת האז, מהוות מוקד לתיירות בירושלים וסיורים רבים בעיר כוללים ביקור בהן.
שלוש הטיילות

הטיילת המכונה טיילת ארמון הנְציב מורכבת, למעשה, משלוש טיילות משנה, אשר נבנו אחת אחר השנייה, על ידי אדריכלים שונים. הטיילות מקושרות ביניהן פיזית, אך בנויות בסגנונות ארכיטקטוניים שונים: טיילת גבריאל שרובר, טיילת דניאל האז וטיילת ריצ'רד גולדמן.
בית קולנוע אבו תור
שלוש הטיילות > טיילת שרובר

טיילת שרובר היא טיילת המשתרעת מצפון לשכונת תלפיות, ממזרח לשכונת צפון תלפיות, ועד לרחוב נעמי בשכונת אבו תור. בנייתה החלה ב-1987, ביוזמת הקרן לירושלים, כהמשכה של טיילת דניאל האז, על פי תוכניות של אדריכל הנוף שלמה אהרונסון.
באוגוסט 1988 הודיעה הנדבנית גיטה שרובר על תרומה לפרויקט, והיא נקראה על שמו של גבריאל שרובר, בנה של הנדבנית שנפטר באותה שנה. בקצה הטיילת תוכננה הקמתו של מתנ"ס, שלטובת הקמתו גם תרמה. אולם במרץ 1989, שרובר הסתכסכה עם עוזיאל וכסלר שהיה אז מנכ"ל הרשות לפיתוח ירושלים הממונה על הקמת הפרויקט, והודיעה על ביטול התרומה והעברתה לטובת הקמת בית גבריאל בצמח. הטיילת נחנכה באוגוסט 1989. מרכז שרובר לתרבות בקצה הטיילת הוקם לבסוף לאחר מותה של שרובר, ונחנך ב-2015.
הטיילת אמורה לדמות שני עולמות שונים בו זמנית: האחד דמוי-מדבר וכפרי, ואילו השני עירוני ומתוחכם. המתח בין שני העולמות מתאפשר בין הקרבה לעיר מחד, והצמחייה והקרבה למדבר מאידך. לאורך הטיילת נבנו פרגולות המצלות על ספסלים הצופים לעבר יער השלום, הר הזיתים והרי מואב.
במרכז הטיילת נבנתה רחבה למופעים, ומולה ספסלי אבן. לצדי הרחבה מצויים חדרי הלבשה.
בעת בניית הטיילת נטעו לאורכה למעלה מ-450 עצי זית, עצי חרוב ודובדבן. בנוסף, בטיילת אף שוחזר מוביל מים מימי בית שני שנועד להביא מים לירושלים מכיוון דרום.
טיילת שרובר היא אחת מארבע היצירות הארכיטקטוניות שנבחרו לייצג את ישראל בביאנלה של ונציה בשנת 1991.