stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
הצדקה ומוטיבציה למשוואת שרדינגר
אנלוגיה קוונטית לאלקטרודינמיקה הקלאסית > הסתברות עבור פוטון בודד

ישנן שתי דרכים בהן ניתן להביע בפרשנות הסתברותית את התנהגות הפוטונים; ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחשב את המספר המסתבר של פוטונים במצב מסוים, או לחלופין ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחישוב הסבירות של פוטון בודד להיות במצב מסוים. ההסבר הראשון נראה כמפר את שימור האנרגיה. דיראק מסביר זאת בהקשר של ניסוי שני הסדקים:
זמן מה לפני גילוי מכניקת הקוונטים אנשים הבינו שהקשר בין גלי אור לפוטונים חייב להיות בעל אופי סטטיסטי. עם זאת, מה שהם לא הבינו בבירור הוא ש"פונקציית הגל" נותנת מידע על ההסתברות של פוטון יחיד להימצא במקום מסוים ולא על המספר המִסְתַּבֵּר של פוטונים שיאכלסו את אותו המקום. ניתן להבהיר את חשיבות ההבחנה בדרך הבאה. נניח שיש לנו אלומת אור המורכבת ממספר רב של פוטונים המתפצלים לשני רכיבי קרן בעלי עוצמה שווה. בהנחה שעוצמת הקרן קשורה למספר המסתבר של הפוטונים בה, יש לנו חצי מהמספר הכולל שנכנס לכל רכיב של הקרן. אם שני הרכיבים עשויים כעת להתאבך, עלינו לדרוש כי לפוטון ברכיב אחד יתאפשר להתאבך עם פוטון אחר ברכיב השני. לפעמים שני הפוטונים האלה יהרסו זה את זה ופעמים אחרות הם יתאבכו בהתאבכות בונה וייווצרו ארבעה פוטונים. זה יסתור את שימור האנרגיה. התיאוריה החדשה, המחברת את פונקציית הגל עם הסתברויות לעבור פוטון יחיד, מתגברת על הקושי הזה בכך שהיא גורמת לכל פוטון להיכנס חלקית לכל אחד משני הרכיבים. אז כל פוטון מתאבך רק עם עצמו. התאבכות בין שני פוטונים שונים לעולם איננה מתרחשת.
המקור באנגלית
Some time before the discovery of quantum mechanics people realized that the connection between light waves and photons must be of a statistical character. What they did not clearly realize, however, was that the "wave function" gives information about the probability of  photon being in a particular place and not the probable number of photons in that place. The importance of the distinction can be made clear in the following way. Suppose we have a beam of light consisting of a large number of photons split up into two components of equal intensity. On the assumption that the beam is connected with the probable number of photons in it, we should have half the total number going into each component. If the two components are now made to interfere, we should require a photon in one component to be able to interfere with one in the other. Sometimes these two photons would have to annihilate one another and other times they would have to produce four photons. This would contradict the conservation of energy. The new theory, which connects the wave function with probabilities for one photon gets over the difficulty by making each photon go partly into each of the two components. Each photon then interferes only with itself. Interference between two different photons never occurs.
הסבר זה מיושן במובן מסוים, או אפילו ארכאי. יהיה נכון יותר לומר כי הפירוש ההסתברותי הראשון (מספר הפוטונים המסתבר שיאכלסו מצב) חל על אור תרמי או על אור קוהרנטי (ראה אופטיקה קוונטית), והפירוש השני אפשרי למצב פוק של פוטון בודד. אך לעצם עניינו, ההקבלה למשוואת שדינגר (שכאמור נוגעת לחלקיקים מסיביים לא ייחסותיים), הפרשנות השנייה היא אנלוגיה מתבקשת.
אנלוגיה קוונטית לאלקטרודינמיקה הקלאסית > הסתברות עבור פוטון בודד > משרעת ההסתברות

ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בשדות כפי שחושבו על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות: פונקציית המצב של הפוטון מתכונתית לשדה, צפיפות ההסתברות היא ריבועית ערך השדות (וכתוצאה מכך היא גם ריבוע הערך המוחלט של המצב הקוונטי של הפוטון). על כן, אפשר לומר באנלוגיה, שבמכניקת הקוונטים פונקציית המצב או משרעת ההסתברות של חלקיק בודד מכילות את מידע ההסתברות הבסיסי. באופן כללי, הכללים להרכבת משרעות הסתברות נראים מאוד כמו הכללים הקלאסיים להרכבת הסתברויות: (מתוך "Baym" לקריאה נוספת)
משרעת ההסתברות עבור שתי התרחשויות הסתברותיות עוקבות, היא מכפלת המשרעות המיצגות כל אחת מהן. [...]
המשרעת עבור תהליך שיכול להתרחש באחת מכמה דרכים בלתי מובחנות ביניהן, היא סכום המשרעות עבור כל אחת מהדרכים הללו. [...]
ההסתברות הכוללת להתרחשות התהליך היא הערך המוחלט בריבוע של המשרעת הכוללת המחושבת לפי כללים 1 ו־2.
המקור באנגלית
The probability amplitude for two successive probabilities is the product of amplitudes for the individual possibilities. [...]
The amplitude for a process that can take place in one of several indistinguishable ways is the sum of amplitudes for each of the individual ways. [...]
The total probability for the process to occur is the absolute value squared of the total amplitude calculated by 1 and 2.
גלי דה־ברויי

בשנת 1923 התייחס לואי דה־ברויי לשאלה האם כל החלקיקים הם בעלי אופי שָׁנוּי – גם בעלי תכונות גליות וגם בעלי תכונות חלקיקיות – בדומה לפוטון. פוטונים שונים מחלקיקים רבים אחרים בכך שהם חסרי מסה ונעים במהירות האור. בפרט, שאל דה־ברויי, האם חלקיק שיש לו אופי גלי־חלקיקי שכזה עולה בקנה אחד עם שתי התרומות הגדולות של איינשטיין משנת 1905, תורת היחסות הפרטית והקוונטיזציה של אנרגיה ותנע ובאופן עקבי. התשובה לכך התבררה כחיובית. האופי הגל־חלקיק של אלקטרונים נצפה בניסוי כבר בשנת 1927, שנתיים לאחר גילוי משוואת שרדינגר ובניסויים רבים מאוד מאז.
גלי דה־ברויי > השערת דה־ברויי

דה־ברויי הניח שלכל חלקיק יש ביטוי גם כחלקיק וגם כגל, כך שהתדירות הזוויתית,  \omega , ומספר גל,  k, "של הגל" קשורים לאנרגיה E ולתנע p "של החלקיק", על ידי: E=\hbar \omega  p=\hbar k.בכך השאלת העקביות הכללית הצטמצמה לשאלה: האם כל צופה שהוא, בכל מערכת ייחוס אינרציאלית, יסכים על פאזת הגל. אם כן, אז תיאור הקוונטי דמוי גל של חלקיקים עשוי להתאים לתורת היחסות הפרטית.
גלי דה־ברויי > השערת דה־ברויי > מערכת המנוחה

תחילה נסתכל על מערכת המנוחה של החלקיק. במערכת זו, הקשר בין התדירות הזוויתית והאנרגיה תיתן על ידי E_{0}=mc^{2}=\hbar \omega _{0}והקשר בין מספר הגל לתנע על ידי p_{0}=0=\hbar k_{0}כאשר m היא מסת (המנוחה) החלקיק.
זה מתאר גל בעל אורך גל ומהירות מופע אינסופיים v_{\phi }={\omega _{0} \over k_{0}}.הגל עשוי להיכתב כמתכונתי לפונקציה הזמנית \cos(\omega _{0}t).מצד שני, זהו גם פתרון מתנד הרמוני פשוט, עליו ניתן לחשוב כמעין "שעון" במסגרת המנוחה של החלקיק. אפשר בקלות לדמיין שעון ה"מתקתק" באותו תדר שבו הגל מתנודד, למשל בכל פעם שהרכיב הזמני לעיל שווה ל־1. התדירות המשותפת מאפשרת לנו גם לסנכרן את מופעי הגל והשעון. כלומר לתזמן אותם כך שזמן ה־0, זמן ההתחלה, של השעון והגל, שווים.
גלי דה־ברויי > השערת דה־ברויי > מערכת הצופה

הוצג כי מופע הגל במערכת הצופה זהה למופע הגל במערכת החלקיק, על כן גם השעונים בשתי המערכות זהים. ישנה, אם כך, עקביות של שתי נקודות המבט – הגלית והחלקיקית – בתורת היחסות הפרטית.
גלי דה־ברויי > השערת דה־ברויי > מערכת הצופה > מופע השעון של הצופה

במערכת הצופה הנע במהירות יחסית v בייחס לחלקיק, "שעון החלקיק" צפוי לתקתק בתדירות \omega _{c}={\omega _{0} \over \gamma }כאשר \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}הוא גורם לורנץ המתאר את התארכות הזמן של שעון החלקיק כפי שהיא נצפת על ידי הצופה.
המופע של שעון הצופה הוא \omega _{c}t={\omega _{0} \over \gamma }(\gamma t_{0})=\omega _{0}t_{0}כש־ t_{0} הוא זמן שנמדד במערכת החלקיק. כלומר שני השעונים, שעון הצופה ושעון החלקיק, "מסכימים" על המופע.
גלי דה־ברויי > השערת דה־ברויי > מערכת הצופה > מופע גל של הצופה

במערכת הצופה התדירות ומספר הגל של הגל נתונים על ידי E=\gamma m_{o}c^{2}=\hbar \omega =\gamma \hbar \omega _{o}וכן {\vec {p}}=\gamma m_{o}{\vec {v}}=\hbar {\vec {k}}={\frac {\gamma \hbar \omega _{o}{\vec {v}}}{c^{2}}}עם מהירות מופע v_{\phi }={\omega  \over k}={E \over p}={c^{2} \over v}.המופע של הגל במערכת הצופה הוא \omega t-kx=\omega t-{\omega  \over v_{\phi }}vt=\omega t\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)={\omega t \over \gamma ^{2}}={1 \over \gamma ^{2}}{\gamma m_{o}c^{2} \over \hbar }(\gamma t_{o})=\omega _{o}t_{o}=\omega _{c}t.המופע של הגל במערכת הצופה זהה למופע במערכת החלקיק, באותו אופן שמופעי השעונים בערכת החלקיק ובמערכת הצופה זהים. נקודת המבט הגלים של חלקיקים תואמת אפוא את תורת היחסות הפרטית.
למעשה, אנו יודעים כעת שניתן לכתוב את היחסים הללו בצורה תמציתית באמצעות הסימון ה־4־וקטורי, כמקובל ביחסות פרטית.
ארבעת ה־4־ווקטורים הרלוונטיים הם:
ארבע־המאורע/המקום  \mathbf {X} =(ct,{\vec {x}})
ארבע־מהירויות  \mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {u}})
ארבע־תנע  \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)
ארבע־וקטור־גל  \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{\phi }}}{\hat {n}}\right)
היחסים בין ה־4־וקטורים הם כדלקמן:
\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}
\mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =m_{o}\mathbf {U}
\mathbf {K} =\left({\frac {m_{o}}{\hbar }}\right)\mathbf {U} =\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U}
המופע של הגל הוא השמורה (אינווריאנט) הייחסותי: \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}=\omega _{o}t_{o}=\omega _{o}\tau
אטום בוהר > חוסר ההתאמה של התצפית עם פיזיקה קלאסית

השערת דה־ברויי עזרה לפתור בעיות בולטות בפיזיקה האטומית. הפיזיקה הקלאסית לא הצליחה להסביר את ההתנהגות הנצפית של אלקטרונים באטומים. ובפרט, אלקטרונים מואצים פולטים קרינה אלקטרומגנטית לפי נוסחת לרמור (באנגלית). לכן אלקטרונים המקיפים את הגרעין צריכים לאבד אנרגיה לקרינה ולקרוס לתוך הגרעין. תופעה זו לא נצפית, שכן האטומים יציבים בטווחי זמן ארוכים בסדרי גודל ממה שחוזה נוסחת לרמור הקלאסית.
בנוסף לכך, נודע כי אטומים מעוררים פולטים קרינה בתדרים בדידים. איינשטיין השתמש בעובדה זו כדי לפרש את מנות אור עם אנרגיה בדידה, למעשה, כחלקיקים "אמיתיים". אולם אם החלקיקים ה"אמיתיים" הללו נפלטים מאטומים במנות אנרגיה בדידות, חייבים החלקיקים הפולטים אותם, קרי האלקטרונים, לשנות את האנרגיה שלהם במנות אנרגיה בדידות גם הם? אין שום תופעה מוכרת במכניקה הניוטונית שמסביר התנהגות שכזו.
השערת דה־ברויי עזרה להסביר את התופעות הללו בכך שהגבילה את המצבים ה"מותרים" עבור כל אלקטרון הסובב באטום, רק לאותם המצבים המאפשרים גלים עומדים הקשורים לאותו האלקטרון.
אטום בוהר > סדרת בלמר

סדרת בלמר מציגה את התדרים של אור היכולים להיפלט מאטום מימן מעורר:
כאשר R ידוע בתור קבוע רידברג ושווה ל־13.6 אלקטרון־וולט.
אטום בוהר > הנחות היסוד של מודל בוהר

מודל בוהר, שהוצג ב־1913, היה ניסיון לספק בסיס תאורטי לסדרת בלמר. הנחות המודל הן:
האלקטרונים הסובבים את הגרעין באטום קיימים במסלולים מעגליים בעלי אנרגיות מקוונטטות בדידות. כלומר, לא כל מסלול אפשרי אלא רק מסלולים מסוימים (הנקראים גם אורביטלים).
חוקי המכניקה הקלאסית אינם חלים כאשר אלקטרונים עושים קפיצה ממסלול מותר אחד לאחר.
כאשר אלקטרון מבצע קפיצה ממסלול אחד למשנהו, הפרש האנרגיה נפלט (או מסופק) על ידי קוונטה אחת של אור (הנקראת פוטון) עם אנרגיה השווה להפרש האנרגיה בין שני האורביטלים.
המסלולים המותרים הם אלו עם ערכים (בדידים) של תנע זוויתי מסלולי, L, לפי המשוואה:  L=n\hbar כאשר  n=1,2,3,... נקרא המספר הקוונטי העיקרי.
אטום בוהר > השלכות המודל של בוהר

התנאי לתנועה במסלול מעגלי הוא שהכוח הצנטריפוגלי מאזן את כוח המשיכה של האלקטרון לגרעין:
כש־m היא מסת האלקטרון, v היא מהירות האלקטרון, r הוא רדיוס המסלול והקבוע באגף ימין
כש־e הוא המטען האלקטרון (או הפרוטון) בערך מוחלט.
והאנרגיה של האלקטרון הסובב היא
כנובע מהביטוי להכוח הצנטריפוגלי.
מההנחה על התנע הזוויתי של מודל בוהר נובע כי
ושבשילוב עם הביטוי להכוח הצנטריפוגלי, רדיוס המסלול ניתן על ידי
מכך, וממשוואת האנרגיה, משתמע
וקיבלנו שההבדל בין שתי רמות האנרגיה משחזר את סדרת בלמר.
אטום בוהר > תרומתו של דה־ברויי למודל בוהר

הנחות המודל של בוהר משחזרות את התוצאות שצופה סדרת בלמר. אולם הנחות הבוהר עצמן אינן מבוססות על שום תיאוריה כללית יותר. מדוע, למשל, המסלולים המותרים צריכים להיות תלויים בתנע הזוויתי? השערת דה־ברויי מספקת תובנה מסוימת.
אם נניח שלאלקטרון יש תנע הנתון על ידי
לפי ההנחה של השערת דה ברויי, אז התנע הזוויתי ניתן על ידי
כאשר  \lambda  הוא אורך־הגל של גל האלקטרון.
אם באטום מותרים רק גלי־אלקטרון־עומדים, אז רק מסלולים שהיקפם שווה לכפולה שלמה של אורך־הגל מותרים:
מכך נובע שלמסלולים מותרים יש תנע זוויתי
שזו ההנחה הרביעית של בוהר.
ההנחות הראשונה והשנייה נובעות מכך גם הן. וההנחה השלישית נובעת משימור אנרגיה, שדה־ברויי הראה שתואמת את פרשנות הגלית של חלקיקים.
אטום בוהר > צורך במשוואות דינמיות

הבעיה עם יישום של השערת דה־ברויי על אטום בוהר היא שכפינו פתרון של גל מישורי, אשר בר־תוקף בחלל הריק, למצב שבו יש פוטנציאל משיכה חזק. עדיין לא גילינו את המשוואה הדינמית הכללית לגלי אלקטרונים ולהתפתחותם בהשפעת כוחות. משוואת שרדינגר היא ההכללה היישירה להשערת דה־ברויי והדינמיקה של הפוטון.
משוואת שרדינגר > האנלוגיה עם הדינמיקה של הפוטון

הדינמיקה של פוטון נתונה על ידי
כאשר H הוא אופרטור הרמיטי שנקבע על ידי משוואות מקסוול. ההרמיטיות של האופרטור מבטיחה כי האנרגיה נשמרת.
ארווין שרדינגר הניח שהדינמיקה של חלקיקים מסיביים פועלת באותה הצורה כמו דינמיקת הפוטונים שומרת האנרגיה.
כאשר  |\psi (t)\rangle  הוא וקטור־המצב של החלקיק ו־H הוא כעת אופרטור הרמיטי לא ידוע שיש לקבוע.
משוואת שרדינגר > וקטור מצב עבור חלקיקים

במקום מצבי קיטוב, כפי שהיה לנו במקרה הפוטון, שרדינגר הניח שווקטור המצב של חלקיקים תלוי במיקום החלקיק. אם נניח כי חלקיק חי במרחב חד־ממדי, אז הוא חילק את הציר של המרחב למספר אינסופי של מקטעים קטנים באורך  \lambda  והִקְצָה רכיב של וקטור־המצב לכל מקטע
הציון התחתי j מזהה את המקטע.
משוואת שרדינגר > מטריצת ומשרעת המעבר

ניתן לכתוב את משוואת המעבר בצורת מטריצה כך
תנאי ההרמיטיות דורש כי
שרדינגר הניח שבמהלך מקטע זמן איפיטיסמלי אחד, dt, ההסתברות יכולה "לזלוג" רק למקטעים אינפיטיסמליים סמוכים במרחב. במילים אחרות, כל הרכיבים של H הם אפס למעט מעברים בין מקטעים שכנים:
או ממקטעים לעצמם:
יתרה מכך, בהנחה שהמרחב אחיד, במובן זה שכל המעברים לימין שווים
וכן כל המעברים לשמאל גם הם שווים
משוואת המעבר הופכת
האיבר הראשון באגף ימין מייצג את התנועה של משרעת ההסתברות לתוך מקטע j מהמקטע שמימינו. האיבר השני מייצג זליגה של הסתברות ממקטע j ימינה. האיבר השלישי מייצג מעבר של הסתברות לתוך מקטע j משמאל. והאיבר הרביעי מייצג מעבר ממקטע j לשמאל. האיבר האחרון מייצג כל שינוי מופע במשרעת ההסתברות במקטע j עם עצמו.
אם נפתח את משרעת ההסתברות לסדר שני של מקטעים בגודל  \lambda , ונניח שהמרחב הוא איזוטרופי, כלומר  H_{R}=H_{L}\equiv H_{0}, משוואת המעבר מצטמצמת ל־
משוואת שרדינגר > משוואת שרדינגר בחד־ממד

משוואת המעבר חייבת להיות עקבית עם השערת דה־ברויי. במרחב הריק משרעת ההסתברות של גל דה־ברויי מתכונתית ל־
כאשר
בגבול הלא יחסותי.
פתרון דה־ברויי עבור מרחב ריק הוא פתרון למשוואת המעבר אם דורשים
וכן
ניתן לזהות את איבר הנגזרת לפי זמן במשוואת המעבר עם האנרגיה של גל דה־ברויי. וכן, ניתן לזהות את האיבר הנגזרת המרחבית עם האנרגיה הקינטית. זה מצביע על כך איבר המכיל את  H_{jj} מתכונתי לאנרגיה הפוטנציאלית. ומכך מובעת משוואת שרדינגר:
כאשר U היא האנרגיה הפוטנציאלית הקלאסית, ומתקיים
וכן
משוואת שרדינגר > משוואת שרדינגר בתלת־ממד

בתלת מימד, בעזרת פיתוח דומה, הופכת משוואת שרדינגר ל:
משוואת שרדינגר > אטום מימן

הפתרון לאטום המימן מתאר גלים עומדים של אנרגיה שניתנים בדיוק על ידי סדרת בלמר. זה היה אימות ואישוש חזק של משוואת שרדינגר ושל ההתנהגות הגלית של החומר.
ראו גם

מושגי יסוד של מכניקת הקוונטים
היסטוריה של מכניקת הקוונטים
תדירות זוויתית
משוואת דיראק
אינטגרלי מסלולי
האפקט הפוטואלקטרי
קיטוב פוטון
אלקטרודינמיקה קוונטית
הקשר בין משוואת שרדינגר לניסוח האינטגרלי מסלולי של מכניקת הקוונטים
ניסוי שטרן־גרלך
דואליות גל־חלקיק
לקריאה נוספת

Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 047130932X.
Baym, Gordon (1969). Lectures on Quantum Mechanics. W. A. Benjamin. ISBN 978-0805306675.
Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics (Fourth ed.). Oxford. ISBN 0-19-851208-2.
הערות שוליים

↑  כפי שמקובל לחשוב היום, פונקציית גל של פוטון בודד היא הרעיון שנוי במחלוקת (Iwo Bialynicki-Birula, Photon wave function, arXiv e-prints, 2005-08-01, עמ' quant–ph/0508202), שההסתברות במצבים קוהרנטיים אכן מביעה את מספר הפוטונים המסתבר, הנתון על ידי התפלגות פואסונית של המצב הקוהרנטי. וכן, פוטונים שונים אכן יכולים להתאבך (Y. H. Shih, A. V. Sergienko, M. H. Rubin, T. E. Kiess, C. O. Alley, Two-photon interference in a standard Mach-Zehnder interferometer, Physical Review A 49, 1994-05-01, עמ' 4243–4246 doi: 10.1103/PhysRevA.49.4243).
↑  שוב, לייתר דיוק, בפוטונים ריבוע השדות ייתן את תוחלת של מספר הפוטונים במצב קוהרנטי באזור מוגבל של המרחב. וכן, ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בהתפלגות צפיפות ההסתברות במרחב, והיא זו שנובעת ממתפלגות השדות כפי שחושבה על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות (בייצוג P של גלאובר־סודארשן הערך באנגלית של מצב פוק של פוטון יחיד).
↑  הפונקציה הזמנית (או הרכיב הזמני) – פרושה הקשורה בזמן, כניגוד לפנקציה המרחבית (או הרכיב המרחבי).
ניתן לדמיין קרינה אלקטרומגנטית כגל רוחבי מתנודד המתפשט בשדות החשמלי והמגנטי. איור זה מציג גל מקוטב ליניארי מישור המתפשט משמאל לימין.
לואי דה־ברויי. דה־ברויי קיבל את פרס נובל לפיזיקה בשנת 1929 על זיהויו של גלים עם חלקיקים.
נילס בוהר. בשנת 1922 הוענק פרס נובל לפיזיקה לנילס בוהר על תרומתו להבנת מכניקת הקוונטים.
צפיפויות ההסתברות של האלקטרון עבור מספרים קוונטיים שונים באטום המימן.
הונאת פונזי

תצלום של צ'ארלס פונזי משנת 1920, בעת שעבד במשרדו בבוסטון
הונאת פּוֹנזי (באנגלית: Ponzi Scheme) היא סוג של הונאת ממון שבה מובטח למשקיעים החזר השקעה גבוה במיוחד בפרק זמן קצר, אך למעשה, הרווחים המוצגים להם הם "על הנייר". החזרי ההשקעה, אם יש כאלה, משולמים מכספם של משקיעים אחרים (מקורם בקרן ההשקעה, ולא מתוך רווחים עליה כמובטח), בעוד שיוזם ההונאה נהנה מכסף זמין עד שההונאה נחשפת והמשקיעים מגלים כי לא יקבלו את הכספים שלכאורה היו בחשבונם.
הונאה זו נקראה על שם צ'ארלס פונזי, איטלקי שהיגר לארצות הברית בתחילת המאה ה-20 והיה הראשון שנתפס מרוויח באמצעותה סכומי כסף גדולים.
דוגמה להונאת פונזי

יוזם ההונאה מפרסם מודעה על השקעה בעלת החזר גבוה בפרק זמן קצר, לדוגמה, רווח של 25% בפרק זמן של 30 יום. כדי לגרום למשקיעים להפקיד את כספם בידיו הוא טוען שמדובר בהשקעות שונות, כגון במטבע חוץ, בקרנות גידור, בהשקעות חוץ או בהשקעות אחרות המוכרות כחוקיות. בפועל, כספים שמתקבלים ממשקיע אחד משמשים כדי לשלם את הבטחת ההחזר של משקיעים קודמים ולמעשה לא מתבצעת השקעה כלשהי באפיקי ההשקעה שהובטחו מלכתחילה ושמהם צפוי היה לנבוע הרווח שהובטח למשקיעים.
מספר מקרים עשויים להוביל לסיום ההונאה, לדוגמה:
יוזם ההונאה נוטל את כספי המשקיעים, בורח ונעלם.
ההונאה הופכת לגדולה מדי, ויוזם ההונאה מתקשה להחזיר את כספי המשקיעים הוותיקים כשמצטמצמת כמות הכסף המגיעה ממשקיעים חדשים.
מספר רב של משקיעים דורשים את כספם בו-זמנית (למשל בעיתות משבר כלכלי), ואז ליוזם ההונאה אין יכולת להחזיר את הכסף.
רשויות החוק עוצרות את יוזם ההונאה.
הונאות פונזי ידועות > פרשת סטביסקי

בסוף 1933 התגלתה בצרפת הונאת פונזי גדולה (מאתיים מיליון פרנקים צרפתים) שנודעה בשם פרשת סטביסקי. היא גרמה למשבר כלכלי ופוליטי בשנת 1934 שאיים על יציבות הרפובליקה הצרפתית השלישית.
הונאות פונזי ידועות > פרשת מיידוף

הונאת פונזי בעלת ההיקף הגדול ביותר אי־פעם נחשפה בדצמבר 2008, עם מעצרו של ברנרד מיידוף, לשעבר יו"ר נאסד"ק. לאחר שלושה חודשי מעצר, הודה מיידוף בביצוע הונאת הפונזי בתחום ההשקעות בהיקף של כ-50 מיליארד דולר ובמשפט שנערך נגזר עליו עונש מאסר של מאה וחמישים שנה. סכום ההפסדים המוערך "על הנייר" של קורבנות הונאת מיידוף עומד על סך של 64.8 מיליארד דולר וההפסדים הממשיים מוערכים בכ-18 מיליארד דולר. רשימת קורבנותיו כוללת בנוסף לאלפי משקיעים פרטיים גם רבים מבני משפחתו המורחבת, קרנות גידור, ארגוני סעד, קרנות למתן מלגות ללימודים אקדמיים ועוד. להונאת מיידוף קיימות השלכות גם על מוסדות ציבור רבים בישראל (בתי חולים, אוניברסיטאות, מכוני מחקר ועוד).
הונאות פונזי ידועות > פרשת סטנפורד

הונאת פונזי אחרת, נחשפה ב-2009 ביוסטון, טקסס. המיליארדר סיר אלן סטנפורד, ניהל הונאת פונזי בהיקף של קרוב ל-8 מיליארד דולר. מובילי ויוזמי ההונאה והאשמים העיקריים לפי הרשות האמריקאית לניירות ערך היו אלן סטנפורד וג'יימס מ. דייוויס. ההונאה בוצעה בפועל על ידי כמאה חברות בבעלות סטנפורד, כולל Stanford International Bank Ltd. לורה פנדרג'סט-הולט, סמנכ"לית השקעות בקבוצת סטנפורד הייתה אישיות מרכזית בתוכנית ההונאה, הן בביצוע פעולות ישירות והן בהכשרת עובדי הקבוצה לביצוע פעולות ההונאה. הבנק בבעלותו של סטנפורד החזיק כשמונה מיליארד דולרים ב"חשבונות פיקדון" כוזבים. חשבונות אלה הבטיחו שיעור תשואה גבוה מהשקעות באפיקים סולידיים בבנקים שונים. הבנק טען כי מדיניות ההשקעה המיוחדת שלו הצליחה להשיג שיעורי תשואה דו ספרתיים ב-15 השנים האחרונות, כולל תשואה שלילית של 1.3% בלבד במשבר הכלכלי של 2008, כשמדדים כמו הדאו ג'ונס וה-S&P 500 איבדו כארבעים אחוזים. למעשה, הכסף ברובו לא הושקע אלא זרם לכיסו הפרטי של המיליארדר הטקסני. היו סכומים שהושקעו באפיקים מסוכנים, כמו נדל"ן במרכז אמריקה (אנטיגואה), בניגוד להצהרות הבנק כי הוא משקיע רק באפיקים בטוחים ונזילים (תיק ני"ע גלובאלי, כהגדרתו). הרשות האמריקאית לני"ע האשימה את סטנפורד בעבירות פדרליות שונות. משפטו החל בספטמבר 2011, במרץ 2012 הוא הורשע בביצוע ההונאה וב-14 ביוני 2012 נגזר עליו עונש של 110 שנות מאסר.
הונאות פונזי ידועות > פרשת רקס וונצ'רס גרופ

באוגוסט 2012 הודיעה הרשות לניירות ערך בארצות הברית על חשיפת הונאת פונזי בהיקף מוערך של כ-600 מיליון דולר, שלטענתה היא אחת ההונאות הפיננסיות הגדולות שנתגלו. ההונאה בוצעה על ידי חברת "רקס וונצ'רס גרופ" באמצעות אתרי אינטרנט של "זיק-ריוורדס" ו"זיקלר" ששימשו למכירות פומביות. מעריכים כי עשרות או מאות אלפי בני אדם נפגעו מהונאה זו ובהם כ-20,000 ישראלים. שיטת הפעולה הייתה גבייה של אלפי דולרים כדמי חבר לאתר שצפוי להניב לחבריו הכנסות קבועות. נכסי החברה, המוערכים בסכום של כ-225 מיליון דולר, הוקפאו בצו שיפוטי.
הונאות פונזי ידועות > פרשת ערן מזרחי

ערן מזרחי, יועץ השקעות מסביון, הורשע באפריל 2013 בהונאת לקוחותיו בסכום של עשרות מיליוני שקלים, וביולי אותה שנה נגזרו עליו 12 שנות מאסר וקנסות כבדים. מזרחי קיבל בין 2007 ועד מעצרו במאי 2012 סכום של 57 מיליון ש"ח מ-101 משקיעים תוך שהוא משתמש בכספי המשקיעים להצגת מצג שווא של רווחים ולהנאתו האישית.
הונאות פונזי ידועות > פרשת אמיר ברמלי וקרן קלע

אמיר ברמלי גייס באמצעות "קרן קלע" בין השנים 2009 ל-2015 מאות מיליוני שקלים מן הציבור. לאחר תחילת חקירת רשות ניירות ערך בתחילת 2015, "קרן קלע" נכנסה לקשיים תזרימיים ולהליכי פירוק במסגרתם הועלתה הטענה שמדובר בפירמידה או פונזי. בינואר 2016 הוצא צו פירוק קבוע לכלל קבוצת רוביקון ו"קרן קלע" וביוני 2016 הוגש נגד ברמלי כתב אישום בגין גנבה בידי מורשה, מרמה, זיוף והלבנת הון בסך של יותר מ־400 מיליוני שקלים, בו נטען שברמלי וחברותיו הבטיחו ללקוחות תשואה שנתית דו-ספרתית באחוזים, בעבור השקעתם באיגרות החוב של קרן קלע, אך משלא הושגה תשואה שכזו על ידי פעילות הקבוצה, ובפועל הפעילות של הקבוצה הייתה בכלל גירעונית, החל ברמלי לממן את ההחזרים למשקיעיו, בכספי הלוואות חדשות שנטל ממשקיעים חדשים. במילים אחרות, ברמלי ניהל לטענת המדינה הונאת פונזי, או "פירמידה" שעה שהוא הציג למשקיעים מצגים שקריים לכאורה על פעילות רווחית של הקבוצה. באוקטובר 2020 הורשע ברמלי בהונאת משקיעים בהיקף של 340 מיליון שקל בבית המשפט המחוזי בתל אביב.
ב-25 בפברואר 2021 בית המשפט גזר על ברמלי 10 שנות מאסר, לאחר שהורשע בגניבה של מעל 100 מיליון ש"ח.
הונאות פונזי ידועות > פרשת מיכאל בן ארי וחברת EGFE

מיכאל (מייק) בן ארי (גרינפילד), גייס סכום הנאמד בין 300-600 מיליוני שקלים מכ-450 משקיעים. חלקם השקיעו אצלו כבר בשנת 2004. אחד מאפיקי ההשקעה העיקריים שהציע כביכול היה דרך הקרן האמריקאית "Blue River Partners" שמנהלת למעלה מטריליון דולר ומתמחה בהשקעה באג"ח מוניציפלי בארצות הברית, אך לאחר התפוצצות הפרשה ופניית משקיעים לבלו ריבר התברר כי EGFE ובן ארי הפסיקו להשקיע ב"בלו ריבר" לפני 2008. בתחילת שנת 2021 פתחה רשות ניירות ערך בחקירה כנגד בן ארי, ובחודש אפריל 2021 הוא נעצר בחשד להונאת משקיעים. לאחר ששוחרר בתנאים מגבילים, הוא נמלט בחודש מאי מהארץ באמצעות דרכון של חבר. לאחר כשנה, ב-24 ביוני 2022 נעצר בן ארי בבוסניה ונפתחו נגדו הליכי הסגרה לישראל. בדצמבר 2022 הורה שר המשפטים הבוסני על הסגרתו לישראל.
בן ארי עלה לישראל מארצות הברית בשנת 1981. הוא בוגר תואר ראשון בכלכלה ותואר שני במינהל עסקים, עבד בבנק לאומי ולאחר מכן ככלכלן בשופרסל.
ראו גם

תרמית פירמידה
דרור גלר
מרדכי זייץ
יניב ארד
הערות שוליים

↑  חן מענית, ‏הונאת מיידוף: תביעות מאיימות לטלטל בתי-חולים בישראל, באתר גלובס, 18 באוגוסט 2012
↑  קובי ישעיהו, ‏110 שנות מאסר נגזרו על אלן סטנפורד על הונאת פונזי ענקית, באתר גלובס, 14 ביוני 2012
↑  חזי שטרנליכט, בשל חשד להונאת פירמידה: נסגר אתר "זיק־ריוורדס", ישראל היום, 19 באוגוסט 2012
↑  יצחק דנון, ערן מזרחי שהונה את לקוחותיו בעשרות מיליוני שקלים נידון ל-12 שנות מאסר, באתר כלכליסט, 4 ביולי 2013
↑   שלי אפלברג, "מדובר בשיטת הפירמידה, משקיעים חדשים מממנים את הקודמים", באתר TheMarker‏, 2 באוקטובר 2015
↑   גור מגידו, ‏פרשת רוביקון-קרן קלע: צו פירוק קבוע לחברות של אמיר ברמלי, באתר גלובס, 31 בינואר 2016
↑  אלה לוי-וינריב וגור מגידו, ‏הוגש כתב אישום נגד אמיר ברמלי בגין עבירות גניבה, באתר גלובס, 26 ביוני 2016
↑  ניצן שפיר, ‏מקסם השווא של אמיר ברמלי הסתיים בהרשעה מהדהדת, באתר גלובס, 13 באוקטובר 2020
↑   אפרת נוימן, פרשת "מיידוף הישראלי": מייק בן ארי נעצר בבוסניה - ישראל תבקש את הסגרתו, באתר TheMarker‏, 5 ביולי 2022
↑   אפרת נוימן, פרשת "מיידוף הישראלי": הערעור של מייק בן ארי נדחה והוא יוסגר לישראל, באתר TheMarker‏, 23 בדצמבר 2022
↑  ניצן שפיר, ‏המשקיעים שוב איבדו הכול: כך עבדה על פי החשד הונאת הפונזי החדשה בשוק ההון, באתר גלובס, 27 באפריל 2021
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007291733805171  BnF: cb161945669 (data)  LCCN: sh00005148