קרל פרידריך גאוס
הישגיו של גאוס > תורת המספרים

ה-Disquisitiones Arithmeticae של גאוס נחשב ליצירת מופת שכוננה את תורת המספרים המודרנית. גאוס הנהיג בה לראשונה את הסימון ≡ לקונגרואנציות והציג באופן שיטתי תוצאות קודמות בתורת המספרים באמצעות אריתמטיקה מודולרית, הוכיח את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות (שבאמצעותה הוכיח, כתוצאה אחת מני רבות, שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של לכל היותר 3 מספרים משולשיים, ואף קבע את מספר הדרכים שמספר כלשהו ניתן להצגה כזאת), ניסח את בעיית מספר המחלקות (Class number problem) – השערה מרחיקת לכת שהייתה לה השפעה רבה על התפתחות תורת המספרים, והציג את פתרון בעיית הבנייה בסרגל ובמחוגה של מצולעים משוכללים.
ה-Disquisitiones Arithmeticae היה נקודת ההתחלה בעבור מתמטיקאים במאה ה-19 שהתמחו בתורת המספרים. הוא שימש כמקור בלתי נדלה של רעיונות מתמטיים, שחלקם הופיעו בו באופן מפורש. אחרים הופיעו בו בצורה בוסרית, ובישרו את הופעתם של רעיונות מתמטיים מתקדמים. ההתעמקות בספר בידי מתמטיקאים שונים הובילה לתאוריות מתמטיות שונות כמו תורת גלואה על פתרון משוואות אלגבריות, תאוריית האידיאלים של דדקינד, ויישומים מתמטיים שונים כמו סוגים של מבחני ראשוניות. כהדגמה של ההשפעה של מחקרים אריתמטיים על פיתוח תורת גלואה, נציין שגאוס הביא בספרו בנייה אלגברית מפורשת למצולע המשוכלל בעל ה-17 צלעות, המתקבלת מהצגת קוסינוס הזווית במצולע כזה על ידי סדרה של שורשים ריבועיים:
הדרך בה הגיע לתוצאה הזאת (שהוא תיאר בפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים) מעידה על הבנה עמוקה של חבורת גלואה של הרחבות השדה הריבועיות, המקודדת את הקשרים המתמטיים הללו.
הפרק השביעי של מחקרים אריתמטיים כולל גם את אחת התוצאות המרחיקות לכת ביותר שלו; במאמר 358 הוא נתן חסם למספר הפתרונות לקונגרואנציה מסוימת ממעלה שלישית (בשפה מודרנית הוא מנה נקודות שלמות על עקום אליפטי), במה שנודע כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של משפט הסה וייל, אשר ניתן לפרש אותו גם כמקרה הלא-טריוויאלי הראשון של השערת רימן מעל שדות סופיים. אנדרה וייל ציין כי תוצאה זו ביחד עם תוצאות נוספות בכתביו הלא מפורסמים של גאוס הובילה אותו לנסח את השערות וייל; במיוחד הערה 146 מיומנו של גאוס מכילה אלמנטים רעיוניים רבים של הגישה המודרנית לבעיות מסוג זה, ולכן היא נתפסת לעיתים קרובות כקדימון להתפתחות מרחיקת הלכת שעברה תורת המספרים במאה ה-20, במהלכה נוצרו הן התשתית לגאומטריה האלגברית המודרנית והן הכלים לתקוף בעיות אריתמטיות הנוגעות לספירת נקודות רציונליות על יריעות אלגבריות כלליות. גאוס הוכיח גם את נוסחת מספר המחלקה הראשונה, בעבור שדות ריבועיים, זמן רב לפני פרסום הנוסחה בידי דיריכלה; את התוצאות הראשונות שלו בנוגע להערכות אסימפטוטיות של מספרי מחלקה הוא פרסם במאמרים 301-302 בפרק החמישי של ספרו, ומאוחר יותר חקר באופן לא גמור את השימוש בטורים דמויי פונקציית זטא כדי לחשב מספרי מחלקה. מיד לאחר מכן, במאמרים 303-304, הוא ניסח גם סדרה של השערות מרחיקות לכת (Gauss's class number problems), שחלקן ממשיכות להעסיק מתמטיקאים עד עצם היום הזה.
בהקשר זה של הפן האנליטי יותר של עבודתו בתורת המספרים, גאוס הכיר גם את הטכניקות המתמטיות הקריטיות להוכחת משפט ארבעת הריבועים של יעקובי: הזהות המציגה את החזקה הרביעית של פונקציית תטא כטור למברט, אשר מהווה למעשה את חלק הארי בהוכחת המשפט (שכן ממנה ניתן לדלות מידע אריתמטי על פונקציית סכום הריבועים  r_{4}(n)), מופיעה באחד מכתביו הלא מפורסמים על פונקציות אליפטיות, כשלצידה מופיעה הערה על הצגת מספר כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הזה זכור בהיסטוריה של תורת המספרים כדוגמה הראשונה של שימוש בתיאוריה של פונקציות אליפטיות להוכחת תוצאה בתורת המספרים. במקרה זה המחלוקת אינה האם הוא הכיר את טכניקות ההוכחה של המשפט, אלא האם הוא עשה את הדדוקציה הספציפית של הנוסחה המפורשת של יעקובי מהזהויות שגזר (הנוסחה של יעקובי לא מופיעה בכתביו באופן מפורש), אף על פי שזה סביר למדי, שכן זו נובעת בנקל מעבודתו.
אחד החלקים העמוקים והטכניים ביותר בכל "מחקרים אריתמטיים" הוא החלק שבו בונה גאוס את חוק ההרכבה של תבניות ריבועיות בינאריות – אותו הוא מציג במאמרים 234–244 של הפרק החמישי של ספרו. "הרכבה" של תבניות ריבועיות בינאריות היא פעולה מתמטית שמקבלת שתי תבניות ריבועיות בינאריות  f_{1},f_{2} ומחזירה תבנית שלישית כזאת  f_{3}=f_{1}\circ f_{2} באופן כזה שאוסף המספרים המיוצגים על ידי התבנית  f_{3} (כתבנית מעל השלמים) מורכב ממכפלות כל זוגות השלמים (n,m) כאשר n הוא מספר שמיוצג על ידי  f_{1} ו-m מיוצג על ידי  f_{2}. למשל, ההרכבה של התבניות  4u^{2}+3uv+5v^{2} והתבנית  3r^{2}+rs+6s^{2} היא התבנית  2x^{2}+xy+9y^{2}, כאשר x ו-y מחושבים כך:  x=ur-3us-2vr-3vs,y=ur+us+vr-vs. גאוס הוכיח שהרכבה כזאת תמיד ניתנת לביצוע: תחילה הראה שניתן תמיד להרכיב תבניות ריבועיות בינאריות מאותה דיסקרימיננטה D, ולאחר מכן הרחיב את הגדרת חוק ההרכבה, באופן המאפשר להרכיב אף תבניות לא פרימיטיביות ובעלות דיסקרימיננטה שונה. תהליך הבנייה המדויק של פעולת ההרכבה - במסגרתו מראה גאוס כי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית - חשף מבנה אריתמטי פתלתל העומד ביסוד תורת התבניות הריבועיות הבינאריות, ולמעשה הדגים שאוסף מחלקות השקילות של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה D מהווה חבורה אבלית סופית ביחס לפעולת ההרכבה; חבורה זו נקראה בהמשך המאה ה-19 בשם "חבורת המחלקות"  \mathbb {Cl} (D). חוק ההרכבה שלו עמד בליבה של התאוריה החישובית של תבניות ריבועיות במשך מאתיים שנה, וההכללה הראשונה שלו לתבניות מסדר שלישי ורביעי ניתנה בסדרת מאמרים מ-2004 של זוכה מדליית פילדס מנג'ול בהרגבה.
ב-1816, ככל הנראה זמן קצר לאחר שאולברס ניסה לעודדו להתחרות על פרס שהציעה האקדמיה הצרפתית על הוכחת המשפט האחרון של פרמה, גאוס הוכיח את המקרים n = 3 ו-n = 5 של המשפט. גאוס פיתח הוכחה אלטרנטיבית אלגנטית למקרה n = 3 של המשפט האחרון, שהייתה בהירה יותר מההוכחה שניתנה על ידי אוילר. באמצעות פיתוח שיטתי של תכונות השדה הציקלוטומי השלישי  Q(\zeta _{3}) (כאשר  \zeta _{3}=e^{2\pi i/3}) ושיטת הנסיגה האינסופית של אוילר ופרמה, הוא הוכיח את אי הפתירות של המשוואה  x^{3}+y^{3}+z^{3}=0 במספרים שלמים מרוכבים; אף על פי שהתוצאה שלו הייתה כללית יותר, ההוכחה נתגלתה כברורה ופשוטה יותר מאשר במקרה הממשי. אף על פי שההוכחה שלו מובילה לאסטרטגיה שמצליחה בעבור ערכים אחרים של n, הוא מעולם לא העסיק את עצמו עם המשפט באופן שיטתי משום שלא החשיב את ההתמקדות בו למועילה במיוחד לעתיד ענף תורת המספרים, וכתוצאה בחר לא לפרסם את הוכחותיו למקרים אלו. מנקודת מבט עכשווית, ניתן לקשור הוכחותיו אלו עם ניסיונותיו למצוא חוקי הדדיות מסדרים גבוהים יותר, משום ששני הנושאים מטופלים בבהירות רבה יותר דרך המסגרת האלגברית המורחבת של שדות ציקלוטומיים. ואכן, באותו מקום בכתביו הוא זיהה במפורש כמה תכונות חשובות של איברים בשדות ציקלוטומיים מסדר ראשוני  p, כמו ההגדרה של הנורמה האלגברית של איבר בשדה כזה (כפי שניתנה מאוחר יותר על ידי ארנסט קומר), והעובדה שכל היחידות הציקלוטומיות (אנ') מתקבלות כמכפלות של מספרים מהצורה  (\zeta ^{\alpha }-\zeta ^{\beta })/(\zeta ^{\gamma }-\zeta ^{\delta }) (כאשר  \zeta ^{p}=1,\zeta \neq 1).
נקודות ראויות לציון אחרות בעבודתו של גאוס בתורת המספרים כוללות את הפרק השמיני הלא מפורסם של מחקרים אריתמטיים (שגאוס לא השלימו), שתוצריו המובהקים הם תאוריה שיטתית של המבנה של שדות סופיים, והגילוי של ההוכחה השביעית והשמינית שלו לחוק ההדדיות הריבועית. בחיבור זה תקף גאוס את הבעיה של קונגרואנציות ממעלה שרירותית מודולו מספר ראשוני  p וביסס כלים חשובים כדי לגשת לבעיות מהסוג הזה. בין היתר, גאוס חוקר את המבנה של שדות סופיים דרך אוטומורפיזם פרובניוס, ונעזר בנוסחת ההיפוך של מביוס כדי "לספור" את מספר הפולינומים האי-פריקים ממעלה n מעל שדה סופי (GF(p מודולו p. בחלקו האחרון של החיבור גאוס דן בהכללות אפשריות של חקירות אלו, ומוכיח גרסה מוקדמת של למת הנזל - תוצאה יסודית המאפשרת להרים תופעות מודולריות ביחס למספר ראשוני p לכדי חזקות הולכות וגדלות  p^{k} של אותו ראשוני. נקודת המבט בה נקט בחיבור קרובה לזו שננקטה מאוחר יותר על ידי אווריסט גלואה וריכרד דדקינד, כך שפרסומיהם "ייתרו" חיבור זה, אולם הוא עדיין נותר חשוב לצורך התחקות אחר שורשי הרעיונות המתמטיים של גאוס. ישנן ראיות שגאוס היה מודע חלקית לתפקיד הטכני המרכזי של למת הנזל בהתרת בעיות אריתמטיות מודרניות, כפי שעולה מהערות אחדות ביומנו או מן המניע שלו להוכחת למת גאוס על פולינומים. בתחילת המאה ה-20 הציג קורט הנזל את שדה המספרים ה-p-אדיים ובכך שפך אור על חקירות אלו, והציבן במסגרת מושגית שהפכה עד מהרה לאחד הכלים החשובים בתורת המספרים המודרנית.
מבין עבודותיו המפורסמות בתורת המספרים, מאמריו שהוזכרו מקודם על חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי שניים בחשיבותם רק ל-"מחקרים אריתמטיים". בכך שהרחיב באופן שיטתי את מושא המחקר של תורת המספרים לשדה המרוכבים, גאוס עשה את הקפיצה הקונספטואלית המשמעותית שאפשרה את כינון תורת המספרים האלגברית. מאמריו אלו הנהיגו לראשונה את השימוש בחוג השלמים של גאוס (כולל את השימוש בראשוניי גאוס) וטיפלו בתכונות האריתמטיות שלו - תחת ההרחבה הזאת, מספרים שהם ראשוניים באריתמטיקה הרגילה כבר אינם כאלה יותר בחוג גאוס, שכן למשל:  5=(1+2i)(1-2i) כך ש-5 אינו ראשוני בחוג זה.
גאוס הראה הלכה למעשה כי חוג השלמים המרוכבים מהווה תחום פריקות יחידה; הווה אומר, כל מספר בחוג זה ניתן לפירוק לראשוני גאוס באופן יחידי, באופן אנלוגי למשפט היסודי של האריתמטיקה. לאחר מכן הוא מבסס את חשיבות חוג זה לחקר חוקי הדדיות מסדרים גבוהים, תוך הכללת רבים ממונחי המפתח של תורת המספרים האלמנטרית; למשל, הוא הוכיח את המשפטים האנלוגיים למשפט הקטן של פרמה וללמה של גאוס. במאמר גאוס ניסח את חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי בצורה הבאה:
עבור שני מספרים ראשוניים גאוסיאניים (כלומר החוק מנוסח למספרים מרוכבים)  \pi  ו- \sigma  מתקיים:
({\frac {\pi }{\sigma }})_{4}({\frac {\sigma }{\pi }})_{4}=(-1)^{(N(\pi )-1)/4\cdot (N(\sigma )-1)/4}
כאשר  N(a+bi)=a^{2}+b^{2} הוא ריבוע הנורמה של המספר המרוכב, ו- ({\frac {\pi }{\sigma }})_{4} הוא סימן שארית החזקה
(אנ') מסדר רביעי של  \pi  ביחס ל- \sigma , מעין הכללה של סימן לז'נדר שערכיה האפשריים הם שורשי יחידה מסדר רביעי. לאחר הניסוח של חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי, גאוס מוכיח במאמרו כמה מקרים פרטיים שלו; לדוגמה, בראשון מבין המאמרים הללו, הוא הוכיח את ההשערה של אוילר שהמספר 2 הוא שארית דו-ריבועית של מספר ראשוני (p ≡ 1 (mod 4 אם ורק אם p = a2 + 64b2. באשר להוכחה מלאה של החוק, לא ברור כיצד הוכיח אותו לראשונה; גאוס טען כי מצא את ההוכחות למשפטים הכלליים של הדדיות ממעלה שלישית ורביעית בסביבות 1814, לאחר מאמצים רבים, אך מאמריו מ-1828 ו-1832 לא הכילו הוכחה מלאה. בפרסום שלו (מ-1818) שמכיל את ההוכחה החמישית והשישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, הוא טען שהטכניקות של ההוכחות האלו (סכומי גאוס ולמת גאוס) יכולות להיות מיושמות להוכחת משפטי הדדיות כלליים יותר. הוכחה ציקלוטומית המבוססת על סכומי גאוס ממעלה רביעית אכן נמצאה בכתביו הלא מפורסמים; אף על פי כן, ייתכן כי היא נכתבה לאחר פרסום ההוכחה של אייזנשטיין, אשר התבססה על שיטות דומות. כתביו הלא מפורסמים כן מכילים תרומה מקורית אחת לחוק ההדדיות ממעלה רביעית; בעוד שמרבית ההוכחות שניתנו לחוק החל מ-1850 ועד היום הן פשוט וריאציות על ההוכחות שאייזנשטיין נתן במקור, גאוס הותיר אחריו הוכחה גאומטרית השונה בטיבה מזו שאייזנשטיין נתן. הוכחתו של גאוס התבססה על טכניקות מקוריות ביותר המערבות ספירת נקודות סריג בתוך צורות גאומטריות מסוימות, ולפיכך היא קרובה יותר מבחינה רעיונית לשיטות מתחום הגאומטריה של מספרים מאשר להוכחות האנליטיות של אייזנשטיין.
ללא קשר לזהות בעל הקרדיט על ההוכחה הראשונה, המאמרים הללו זכורים בשל העושר והעומק של החקירות האריתמטיות שבאו בעקבותיהם – ההצגה של חוג השלמים הגאוסיאנים והטיפול המפורט בתכונות האריתמטיות שלו הציבה את הנושא בחזית המחקר על תורת המספרים וחוקי הדדיות, ובתוך מספר שנים שחלפו מאז פרסום המאמר הופיעו הוכחות שונות של חוקי ההדדיות מסדר שלישי ורביעי, שפורסמו על ידי אייזנשטיין, יעקובי, ודיריכלה. המאמר זכור גם כנקודת ציון מבחינת האופן שבו הוא שינה את תפיסתם של מתמטיקאים את המספרים המרוכבים, שעד אז נחשבו ל"פיקציות מטאפיזיות" בלבד; הוא משופע בדוגמאות ל"טענות אריתמטיות שמנצנצות בבהירות רבה יותר במסגרת האריתמטיקה המורחבת" (במילותיו של גאוס) ומכיל את אחד השימושים הרשמיים הראשונים בוויזואליזציה של המספרים המרוכבים כנקודות במישור המרוכב (ככל הנראה גאוס השתמש בתיאור המספרים המרוכבים כנקודות במישור עוד לפני עבודת הדוקטורט שלו, אך פרסמו רק ב-1831).
גם עבודתו על חוק ההדדיות מסדר שלישי ראויה לציון, ובהערה למאמרו על חוג השלמים המרוכבים הוא ציין כי את המשפט ניתן להוכיח בדומה להדדיות ממעלה רביעית, באמצעות פיתוח האריתמטיקה בחוג השלמים של אייזנשטיין. הוכחה לחוק ההדדיות ממעלה שלישית נמצאה בכתביו; היא מבוססת על ההוכחה השישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, ומכילה כלמה את הטענה שחוג השלמים של אייזנשטיין הוא אוקלידי ולכן גם תחום פריקות יחידה. בעת שניסה לבסס תשתית אריתמטית לחוק ההדדיות מסדר שלישי, גאוס החל לחקור גם תבניות מעוקבות, ובמספר הערות מ-1808 הוא חקר את אוסף הפתרונות השלמים של המשוואה הדיופנטית  x^{3}+ny^{3}+n^{2}z^{3}-3nxyz=1, ואפיין את כל המספרים הראשוניים המיוצגים על ידי התבנית הזאת כאלו שעבורם n הוא שארית מעוקבת. אגף שמאל הוא הנורמה של המספר  x+\nu y+\nu ^{2}z בשדה המעוקב הנוצר על ידי סיפוח  \nu =n^{1/3}, כך שמשמעות הפתרון היא למעשה איתור ה"יחידות" – איברים מנורמה 1, בשדה הנתון. בכתביו נמצאה טבלה של הפתרונות היסודיים (אנ') למשוואה זאת עבור ערכים רבים של  n בין 2 ל-37; בעיית חישוב הפתרון היסודי של משוואה זאת (שניתן לחשוב עליה כעל האנלוג המעוקב של משוואת פל) היא סבוכה ומוליכה למספרים גדולים כבר עבור ערכים קטנים של  n, כך שלא ברור כיצד גאוס בנה טבלה זו. בכל אופן, הפתירות של משוואה דיופנטית זאת כמו גם העובדה שכל הפתרונות שלה מתקבלים כחזקות של פתרון יסודי יחיד הם מקרה פרטי של משפט היחידות של דיריכלה (שכאמור לעיל הגיע לממצאיו באופן בלתי תלוי).
לכמה מההשערות שלו בנוגע לתורת המספרים הייתה השפעה רבה, אף שברוב המקרים הוא לא הניח יסודות מוצקים כיצד להוכיח אותן. ההשערה של גאוס את משפט המספרים הראשוניים, אותו הוא גילה על בסיס חישובים מספריים אמפיריים מקיפים (גאוס ערך טבלה של כל המספרים הראשוניים עד ל-3 מיליון), נתנה הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים ברמת המקרו. למעשה, הוא שיער יותר מכך; בכתב לא מפורסם שלו תחת הכותרת "חוקים אסימפטוטיים של אריתמטיקה" הוא העלה על הכתב כמה תוצאות שמכלילות את משפט המספרים הראשוניים; הוא שיער שבאופן אסימפטוטי, מספר המספרים שקטנים מ- a להם 2 גורמים ראשוניים הוא:  {\frac {\log \log(a)a}{\log a}}, וכן שיער השערה כללית יותר לגבי ההתפלגות האסימפטוטית של מספרים k-כמעט ראשוניים. את התוצאות הללו הוא גזר תחת ההנחה שמשפט המספרים הראשוניים נכון; על סמך הנחה זו הוא חישב באמצעות שיטות מתוחכמות את חוקי ההתפלגות של המספרים הכמעט ראשוניים (ב-1901 בנה אדמונד לנדאו את המתודולוגיה שלו מחדש). מאוחר יותר הוא עידן את ההשערה שלו על צפיפות המספרים הראשוניים וטען כי  1/\log x היא תדירות ההופעה של המספרים הראשוניים "בסביבות" המספר x ולאו דווקא התדירות הממוצעת בתוך קבוצת המספרים הטבעיים מ-1 עד x, מה שמוביל ישירות לקירוב של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי  \ \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}dt (מכתב לאנקה, 1849).