מלקחיים אופטיים
קירוב הדיפול החשמלי

קירוב זה נועד עבור המקרים בהם ניתן להתייחס לחלקיק כחלקיק נקודתי ביחס לאורך הגל הבוחן או במילים אחרות, כאשר גודל החלקיק קטן משמעותית מאורך הגל. כאשר קרן אור פוגעת בחלקיק מסוג זה היא משרה שדה חשמלי, אשר יוצר דיפול חשמלי נקודתי, וזה בתורו מטופל כדיפול נקודתי בשדה לא הומוגני. את הכוחות הפועלים על הדיפול ניתן לקבל משימוש בכוח לורנץ ושימוש בקירוב הדיפולי כדלקמן: מניחים שיש שני מטענים הפוכים קרובים מאוד כאשר המרחק ביניהם הוא d ומטענם בערכו המוחלט הוא q. ללא הגבלת הכלליות נניח שהשדה הוא בכיוון x בלבד. כוח לורנץ הוא:
{\vec {F}}=q\left({{\vec {E}}\left(x\right)+{\vec {v}}\times {\vec {B}}}\right)\,\,,{\vec {v}}\,={\frac {dx}{dt}},
כאשר יש צורך להחליף את השדה החשמלי בשדה של שני חלקיקים נקודתיים קרובים בעלי מטען הפוך (משנה את הסימן של השדה תוך כדי השארת המטען מחוץ לסוגריים):
{\vec {F}}=q\left({{\vec {E}}(x)-{\vec {E}}(x+d)+{\vec {v}}\times {\vec {B}}}\right)\,\,,
היות ש-d הוא קטן מאוד ניקח אותו להיות dx נפתח בטור טיילור ונקבל:
{\vec {F}}=q\left({{\vec {E}}(x)-{\vec {E}}(x)+(dx\cdot \nabla ){\vec {E}}(x)+{\frac {dx}{dt}}\times {\vec {B}}}\right)
נשים לב שעבור המקרה הכללי כאשר הדיפול מוסט בכל 3 הצירים x,y,z נקבל את האופרטור  \nabla  במקום הגזירה הרגילה כפי שקיבלנו במשוואה (5) נזכור ש-dx שווה ל-d ונגדיר את הפולריזציה של הדיפול
{\vec {p}}=q{\vec {d}}\,
נציב ב-(5) ונקבל:
{\vec {F}}=q\left({(d{\vec {x}}\cdot \nabla ){\vec {E}}(x)+{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\times {\vec {B}}}\right)=\left({({\vec {p}}\cdot \nabla ){\vec {E}}(x)+{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\times {\vec {B}}}\right)
כעת נניח שלדיפול החשמלי המושרה יש תלות ליניארית בשדה המשרה
{\vec {p}}=\alpha {\vec {E}}
נציב בחזרה ב-(7) ונקבל
{\vec {F}}=\alpha \left({({\vec {E}}\cdot \nabla ){\vec {E}}(x)+{\frac {d{\vec {E}}}{dt}}\times {\vec {B}}}\right)
נשתמש בזהות הווקטורית הבאה:
{\frac {1}{2}}\nabla {\vec {E}}^{2}={\vec {E}}\times (\nabla \times {\vec {E}})+({\vec {E}}\cdot \nabla ){\vec {E}}
ובחוק פאראדיי מתוך משוואות מקסוול
\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {d{\vec {B}}}{dt}}
נציב את (11) ב-(10) ואת (10) ב-(9) ונקבל
{\vec {F}}=\alpha \left({{\frac {1}{2}}\nabla {\vec {E}}^{2}-{\vec {E}}\times (-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}})+{\frac {d{\vec {E}}}{dt}}\times {\vec {B}}}\right)=\alpha \left({{\frac {1}{2}}\nabla {\vec {E}}^{2}+{\vec {E}}\times {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}+{\frac {d{\vec {E}}}{dt}}\times {\vec {B}}}\right)=\alpha \left({{\frac {1}{2}}\nabla {\vec {E}}^{2}+{\frac {d}{dt}}\left({{\vec {E}}\times {\vec {B}}}\right)}\right)
כאשר התרומה של האיבר השני מתאפסת, התרומה מתאפסת מכיוון שהיא מייצגת את השינוי של הפוינטינג ווקטור בזמן אשר אומר איך צפיפות האנרגיה משתנה בזמן. כאשר עובדים עם לייזר בעל אנרגיה קבועה אזי הפוינטינג ווקטור קבוע ואינו תלוי בזמן ולכן תרומה זו מתאפסת. כלומר עבור מקור לייזר קבוע נקבל שהכוח תלוי רק בגרדיאנט
{\vec {F}}=\alpha {\frac {1}{2}}\nabla {\vec {E}}^{2}
ריבוע גודל השדה החשמלי הולך כמו עוצמת הקרן כפונקציה של המקום ועבור קרן גאוסיאנית קשר זה גורם לדיפול בחלקיק, לכן כאשר מטפלים בחלקיק זה כבדיפול נקודתי הכוח הפועל עליו פרופורציוני לגרדיאנט בעוצמת הקרן (גדלה ככל שמתקרבים למרכז הקרן) ולכן החלקיק נמשך לאזור בו העוצמה גבוהה יותר, יש לזכור שהמציאות איננה מערכת אידיאלית ולכן כמו בקירוב הקלאסי גם כאן יש צורך להתחשב בכוחות הפיזור ושיווי המשקל יתקבל כאשר השניים ישתוו בגודלם.