לוח סילוקין
פיתוח מתמטי

לצורך פיתוח מתמטי נסמן :
\ P- גודל ההלוואה.
\ N- תקופת ההלוואה בחודשים.
\ P_{n}- יתרת ההלוואה בחודש  \ n עבור  \ n\in \left\{0,1,...,N\right\}.
\ x_{n}- תשלום הקרן בחודש  \ n עבור  \ n\in \left\{1,2,...,N\right\}.
\ y_{n}- תשלום הריבית בחודש  \ n עבור  \ n\in \left\{1,2,...,N\right\}.
\ z_{n}- סך כל התשלום בחודש  \ n עבור  \ n\in \left\{1,2,...,N\right\}. ניתן לשים לב כי  \ z_{n}=x_{n}+y_{n}.
\ r_{n}- ריבית תקופתית חודשית בחודש  \ n(כלומר הריבית שהצטברה מחודש  \ nלחודש  \ n+1) מתחילת ההלוואה עבור  \ n\in \left\{0,1,...,N-1\right\}. יש לשים לב שהריבית מתואמת ליחידות ולהגדרתה (נומינלית א מתואמת), עבור ריבית נומינלית של  \ Rאחוזים ל -  \ Tחודשים הריבית התקופתית היא  \ r={\frac {R}{100T}}ועבור ריבית מתואמת של  \ Rאחוזים ל -  \ Tחודשים הריבית התקופתית היא  \ r=\left(1+{\frac {R}{100}}\right)^{1/T}-1, (למשל עבור ריבית שנתית  \ T=12), נסמן את שינוי הריבית המצטבר  \ R_{n}=\prod _{m=0}^{n-1}(1+r_{m}) המתאר את סך השינוי של המדד עד לחודש  \ n, במידה והמדד נתון לפי פונקציה  \ r(x)(המנורמלת ליחידות של חודש) וההלוואה נקלחת בנקודת זמן  \ t_{0}אז נקבל שינוי ריבית מצטבר.
של  \ R_{n}={\frac {r(t_{0}+n)}{r(t_{0})}}, וריבית תקופתית  \ r_{n}={\frac {r(t_{0}+n+1)}{r(t_{0}+n)}}-1 עבור כל התנהגות אחרת של ריבית  \ r(x;c) שתלויה בפרמטר  \ c לפי נקודת ייחוס  \ t_{0} עם ריבית מתואמת  \ Rלתקופה של  \ nחודשים.
בכדי למצוא את  \ c נפתור את המשווה :   \ {\frac {r(t_{0}+n;c)}{r(t_{0};c)}}=1+R. \ w_{n}- שינוי המדד בחודש  \ n(כלומרת התשואה שהצטברה מחודש  \ nלחודש  \ n+1).
\ w_{n}- שינוי מדד תקופתי חודשי בחודש  \ n(כלומר השינוי מחודש  \ nלחודש  \ n+1)  נסמן את שינוי המדד המצטבר  \ W_{n}=\prod _{m=0}^{n-1}(1+w_{m}) המתאר את סך השינוי של המדד עד לחודש  \ n, במידה והמדד נתון לפי פונקציה  \ w(x)(המנורמל ליחידות של חודש) וההלוואה נקלחת בנקודת זמן  \ t_{0}אז נקבל מדד מצטבר של  \ W_{n}={\frac {w(t_{0}+n)}{w(t_{0})}}  ושינוי מדד תקופתי של  \ w_{n}={\frac {w(t_{0}+n+1)}{w(t_{0}+n)}}-1 עבור כל התנהגות אחרת של מדד  \ w(x;c) שתלויה בפרמטר  \ c לפי נקודת ייחוס  \ t_{0} עם ריבית מתואמת  \ Wלתקופה של  \ nחודשים למציאת  \ cנפתור :  \ {\frac {w(t_{0}+n;c)}{w(t_{0};c)}}=1+W.
לוח שפיצר : עבור לוח שפיצר נדרוש כי ההחזר החודשי המצטבר יהיה קבוע נסמן תשלום זה ב -  \ z, עבור זמן  \ nהיתרה  \ P_{n}תצבור ריבית  \ r_{n}P_{n}ולאחר מכן נוריד ממנה את הסכום החודשי  \ x, מכאן נסיק את משוואת ההפרשים :  \ P_{n+1}=(1+r_{n})P_{n}-xכאשר ידוע תנאי ההתחלה  \ P_{0}=P. ניתן להוכיח באינדוקציה כי הפתרון למשוואת ההפרשים היא : P_{n}=PR_{n}-{\frac {z}{R_{1}}}\sum _{k=1}^{n}R_{k} P_{n}=\left(P-x\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{R_{k}}}\right)R_{n}
מכאן ניתן לדרוש כי יתרה ההלוואה בזמן  \ Nתהיה  \ 0, כלומר :  \ P_{N}=0, נציב  \ n=Nבמשוואה, ונקבל :
P_{N}=PR_{N}-{\frac {z}{R_{1}}}\sum _{k=1}^{N}R_{k}=0 P_{N}=P_{N}=\left(P-x\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}\right)R_{N}=0נבודד את  \ x, נשנה משתנה סכימה ונקבל :
x_{n}=x={\frac {R_{1}R_{N}P}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}
x_{n}=x={\frac {P}{\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}}}
נשים לב כי במידה ואנו יודעים מה גודל התשלום הקבוע  \ zנוכל לחשב את גודל ההלוואה הנלקחת בהתאם  \ P: P={\frac {x\sum _{k=1}^{N}R_{k}}{R_{1}R_{N}}}בהצבת  \ zנקבל ביטוי עבור יתרת ההלוואה בזמן  \ n:
P_{n}=\left(R_{n}-{\frac {R_{N}\sum _{k=1}^{n}R_{k}}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}\right)P
ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה  \ r_{n-1}P_{n-1}והתשלום עבור הקרן יהיה  \ x-r_{n-1}P_{n-1}.
y_{n}=r_{n}P_{n-1}=\left(R_{n-1}-{\frac {R_{N}\sum _{k=1}^{n-1}R_{k}}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}\right)r_{n-1}P\quad ,\quad x_{n}=z-y_{n}=\left({\frac {R_{N}\left(R_{1}+r_{n-1}\sum _{k=1}^{n-1}R_{k}\right)}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}-r_{n-1}R_{n-1}\right)r_{n}P
במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר נכפיל את כל התוצאות בערך המצטבר של המדד
עד לזמן  \ nשנתון על ידי הביטוי :  \ W_{n}, ולכן התשלום החודשי (עם הצמדה) יהיה נתון על פי הנוסחא :  z_{n}=W_{n}z={\frac {R_{1}R_{N}W_{n}P}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה  \ W_{n}r_{n-1}P_{n-1}והתשלום עבור הקרן יהיה  \ W_{n}\left(z-r_{n-1}P_{n-1}\right).
y_{n}=\left(R_{n-1}-{\frac {R_{N}\sum _{k=1}^{n-1}R_{k}}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}\right)W_{n}r_{n-1}P\quad ,\quad x_{n}=\left({\frac {R_{N}\left(R_{1}+r_{n-1}\sum _{k=1}^{n-1}R_{k}\right)}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}-r_{n-1}R_{n-1}\right)W_{n}r_{n-1}P
מקרה פרטי : לצורך פשטות נבחור ריבית קבועה  \ r_{n}=r, עם הצמדה קבועה  \ w_{n}=w, במקרה של ריבית דריבית נציב :  \ R_{n}=(1+r)^{n},\quad W_{n}=(1+w)^{n}
(הערה : במקרה של ריבית רגילה עם נקודת ייחוס  \ t_{0}=0 צריך להציב  \ R_{n}=1+rn,\quad W_{n}=1+wnאך לא נציב ערכים אלו).
ניעזר בנוסחא של טור גאומטרי  \ \sum _{k=0}^{N-1}q^{k}={\frac {q^{N}-1}{q-1}} ונקבל :
z={\frac {P(1+r)\prod _{k=0}^{N-1}(1+r)}{\sum _{k=0}^{N-1}\prod _{m=0}^{k}(1+r)}}={\frac {P(1+r)(1+r)^{N}}{\sum _{k=0}^{N-1}(1+r)^{k+1}}}={\frac {P(1+r)^{N}}{\sum _{k=0}^{N-1}(1+r)^{k}}}={\frac {(1+r)^{N}Pr}{(1+r)^{N}-1}}={\frac {1}{1-(1+r)^{-N}}}rP
כעת ניתן לחשב את יתרת ההלוואה בזמן  \ n:
P_{n}=\left(R_{n}-{\frac {R_{N}\sum _{k=1}^{n}R_{k}}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}\right)P=\left((1+r)^{n}-{\frac {(1+r)^{N}\sum _{k=1}^{n}(1+r)^{k}}{\sum _{k=1}^{N}(1+r)^{k}}}\right)P ={\frac {(1+r)^{n}\left((1+r)^{N}-1\right)-(1+r)^{N}\left((1+r)^{n}-1\right)}{(1+r)^{N}-1}}P={\frac {(1+r)^{N}-(1+r)^{n}}{(1+r)^{N}-1}}P={\frac {1-(1+r)^{n-N}}{1-(1+r)^{-N}}}P
בהצמדה קבועה  \ wנקבל תשואה מצטברת של  \ W_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1+w)=(1+w)^{n} ומכאן נקבל תשלום חודשי של :
z_{n}=W_{n}z={\frac {1}{1-(1+r)^{-N}}}(1+w)^{n}rP
מכאן נסיק כי תשלומי הריבית וההצמדה יהיו : y_{n}={\frac {1-(1+r)^{n-N}}{1-(1+r)^{-N}}}(1+w)^{n}rP\quad ,\quad x_{n}={\frac {(1+r)^{n-N}}{1-(1+r)^{-N}}}(1+w)^{n}rP
סך כל התשלומים יהיה :
Z=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{1-(1+r)^{-N}}}(1+w)^{n}rP={\frac {rP}{1-(1+r)^{-N}}}\cdot {\frac {(1+w)^{N}-1}{w}}
קרן שווה : עבור קרן שווה נדרוש כי התשלום עבור הקרן יהיה קבוע :  \ x_{n}={\frac {P}{N}} ויתחלק באופן שווה בכל תקופת ההלוואה, כלומר יתרת ההלוואה תקטן כל פעם ב -  \ {\frac {P}{N}}
מכאן נקבל את משוואת ההפרשים  \ P_{n+1}=P_{n}-{\frac {P}{N}}כאשר ידוע תנאי ההתחלה  \ P_{0}=P. ניתן להוכיח באינדוקציה כי הפתרון למשוואת ההפרשים היא :
P_{n}=\left(1-{\frac {n}{N}}\right)Pמכאן נוכל לגזור את ערך הריבית :  \ y_{n}=r_{n}P_{n-1} ואת סך הסכום  \ z_{n}=y_{n}+{\frac {P}{N}}  ולכן : x_{n}={\frac {P}{N}}\quad ,\quad y_{n}=r_{n}P_{n-1}=\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r_{n-1}P\quad ,\quad z_{n}=x_{n}+y_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r_{n-1}\right)P
גם כאן כמו במקרה הקודם במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר יוכפל בערך המצטבר של המדד עד לזמן  \ nשנתון על ידי הביטוי :  \ W_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1+w_{n}), ולכן התשלום החודשי היה נתון על פי הנוסחא :  z_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r_{n-1}\right)W_{n}P x_{n}={\frac {W_{n}P}{N}}\quad ,\quad y_{n}=\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)W_{n}r_{n-1}P\quad ,\quad z_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r_{n-1}\right)W_{n}Pמקרה פרטי : לצורך פשטות נבחור ריבית קבועה  \ r_{n}=r, עם הצמדה קבועה  \ w_{n}=w
ללא הצמדה התשלומים יהיו : x_{n}={\frac {P}{N}}\quad ,\quad y_{n}=\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)rP\quad ,\quad z_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r\right)P
ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה  \ {\frac {P}{N}}והתשלום עבור הקרן יהיה  \ \left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)rP.
סך כל התשלומים יהיה : Z=\sum _{n=1}^{N}z_{n}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r\right)P=P+{\frac {N(r+1)}{2}}P

ניתן להסיק כי החלק היחסי שהתווסף (באחוזים) לסכום ההתחלתי  \ Pהוא :  \ 50N(r+1)(המקדם של האיבר השני של  \ Pבמשווה לעיל הוכפל ב - 100)
עם הצמדה התשלומים יהיו  :
x_{n}={\frac {(1+w)^{n}P}{N}}\quad ,\quad y_{n}=\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)(1+w)^{n}rP\quad ,\quad z_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r\right)(1+w)^{n}Pסך כל התשלומים יהיה :
Z=\sum _{n=1}^{N}z_{n}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r\right)(1+w)^{n}P={\frac {(1+w)\left((1+r)(1+w)^{N+1}-(1+w)^{N}-(rN+r+1)w-r\right)}{Nw^{2}}}P
הלוואת בלון : עבור הלוואה מסוג זה אנו מכסים חלק מסוים מהקרן והריבית ובסוף תקופת ההלוואה משלמים את יתרת הקרן והריבית.נניח כי בכל חודש אנו מעוניינים לשלם  \ \alpha _{n}מהקרן ו -  \ \beta _{n}מהריבית כאשר  \ \alpha _{N-1}=1 ו -   \ 0\leq \alpha _{n},\beta _{n}\leq 1 ו -   \ \sum _{n=0}^{N-1}\beta _{n}\leq 1, בזמן  \ n היתרה תצבור ריבית  \ r_{n-1}, מהיתרה נפרע  \ \alpha _{n} מערך הקרן  \ Pו -  \ \beta _{n} מערך הריבית על היתרה  \ r_{n}P_{n}, מכאן נקבל משוואת ההפרשים :
\ P_{n}=\left(1+r_{n-1}(1-\alpha _{n-1})\right)P_{n-1}-\beta _{n-1}P
עם תנאי התחלה  \ P_{0}=P, עבור משוואה זו הפתרון יהיה :
P_{n}=\left(\prod _{k=0}^{n-1}\left(1+r_{k}(1-\alpha _{k})\right)-\sum _{k=0}^{n-1}\beta _{k}\prod _{m=k+1}^{n-1}\left(1+r_{m}(1-\alpha _{m})\right)\right)P
ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור  \ n\in \left\{1,2,...,N-1\right\} : 
 x_{n}=\beta _{n-1}P\quad ,\quad y_{n}=\alpha _{n-1}r_{n-1}P_{n-1}\quad ,\quad z_{n}=x_{n}+y_{n}=\beta _{n-1}P+\alpha _{n-1}r_{n-1}P_{n-1}לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה  \ P_{N}ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון בצורה הבאה : התשלום עבור הקרן יהיה החלק היחסי האחרון שנותר ברכיב זה
כלומר  \ \beta _{N} מערך הקרן ההתחלתי  \ P, לכן נקבל :  x_{N}=\beta _{N-1}P\quad ,\quad y_{N}=P_{N}-x_{N}\quad ,\quad z_{N}=P_{N}
גם כאן כמו במקרים הקודמים במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר יוכפל בערך המצטבר של המדד עד לזמן  \ nשנתון על ידי הביטוי :  \ W_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1+w_{n}), ולכן התשלום החודשי בזמן  \ nיוכפל ב   \ W_{n}  :
ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור  \ n\in \left\{1,2,...,N-1\right\} : x_{n}=\beta _{n-1}W_{n}P\quad ,\quad y_{n}=\alpha _{n-1}r_{n-1}W_{n}P_{n-1}\quad ,\quad z_{n}=x_{n}+y_{n}=\left(\beta _{n-1}P+\alpha _{n-1}r_{n-1}P_{n-1}\right)W_{n}לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה  \ P_{N}ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון : x_{N}=\beta _{N}W_{N-1}P\quad ,\quad y_{N}=\left(P_{N}-x_{N}\right)W_{N}\quad ,\quad z_{N}=W_{N}P_{N}
מקרה פרטי : לצורך פשטות נבחר  \ r_{n}=r,\quad w_{n}=w,\quad \alpha _{n}=\alpha ,\quad \beta _{n}=\beta \leq {\frac {1}{N}}(ריבית קבועה ולקחת חלק יחסי אחיד מההלוואה)
נסמן  \ q=1+r(1-\alpha ) נקבל : P_{n}=\left(\prod _{k=0}^{n-1}\left(1+r(1-\alpha )\right)-\sum _{k=0}^{n-1}\beta \prod _{m=k+1}^{n-1}\left(1+r(1-\alpha )\right)\right)P=\left(\prod _{k=0}^{n-1}q-\sum _{k=0}^{n-1}\beta \prod _{m=k+1}^{n-1}q\right)P=\left(q^{n}-\beta \sum _{k=0}^{n-1}q^{n-1-k}\right)P \left(q^{n}-\beta q^{n-1}\sum _{k=0}^{n-1}q^{-k}\right)P=\left(q^{n}-{\frac {\beta q^{n}}{q}}\cdot {\frac {1-q^{-n}}{1-q^{-1}}}\right)P=\left(q^{n}-\beta \cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)Pומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור  \ n\in \left\{1,2,...,N-1\right\} :
x_{n}=\beta (1+w)^{n}P\quad ,\quad y_{n}=\left(q^{n-1}-\beta \cdot {\frac {q^{n-1}-1}{q-1}}\right)(1+w)^{n}\alpha rP\quad ,\quad z_{n}=\left(\left(q^{n-1}-\beta \cdot {\frac {q^{n-1}-1}{q-1}}\right)\alpha r+\beta \right)(1+w)^{n}P
לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה  \ P_{N}ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון :
x

N


=

(

1
−
N
β

)

(
1
+
w

)

N


P

,


y

N


=

(


q

N


−
β
⋅




q

N


−
1


q
−
1



+

(

N
β
−
1

)


)

(
1
+
w

)

N


P

,


z

N


=

(


q

N


−
β
⋅




q

N


−
1


q
−
1




)

(
1
+
w

)

N


P


{\textstyle x_{N}=\left(1-N\beta \right)(1+w)^{N}P\quad ,\quad y_{N}=\left(q^{N}-\beta \cdot {\frac {q^{N}-1}{q-1}}+\left(N\beta -1\right)\right)(1+w)^{N}P\quad ,\quad z_{N}=\left(q^{N}-\beta \cdot {\frac {q^{N}-1}{q-1}}\right)(1+w)^{N}P}
מכאן נסיק כי סך התשלומים יהיה :  Z=\sum _{n=0}^{N}z_{n}=z_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}z_{n}=\left[\left(q^{N}-\beta \cdot {\frac {q^{N}-1}{q-1}}\right)(1+w)^{N}+\sum _{n=1}^{N-1}\left(\left(q^{n}-\beta \cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)\alpha r+\beta \right)(1+w)^{n}\right](1+w)P \left(\left(q^{N}-\beta \cdot {\frac {q^{N}-1}{q-1}}\right)(1+w)^{N}+\beta \left(1+{\frac {\alpha r}{q-1}}\right){\frac {(1+w)^{N}-1}{w}}+\alpha r\left(1-{\frac {\beta }{q-1}}\right){\frac {(1+w)^{N}q^{N}-1}{(1+w)q-1}}\right)(1+w)P
עבור הלוואת בלון טיפוסית איננו משלמים כלל את תשלום הקרן, כלומר נבחר  \ w=0,\quad \beta =0עבורה נקבל  \ P_{n}=q^{n}P. 
ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור  \ n\in \left\{1,2,...,N-1\right\} : x_{n}=0\quad ,\quad y_{n}=q^{n}\alpha rP\quad ,\quad z_{n}=q^{n}\alpha rP
נשים לב כי עבור  \ \alpha =0נקבל הלוואת בלון מלאה עבורה  \ P_{n}=(1+r)^{n}P ו -  \ y_{n}=0ועבור  \ \alpha =1נקבל הלוואת בלון חלקית עבורה  \ P_{n}=P ו -  \ y_{n}=rP
לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה  \ P_{N}ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון :
x_{N}=P\quad ,\quad y_{N}=\left(q^{N}-1\right)P\quad ,\quad z_{N}=q^{N}P
נשים לב כי עבור  \ \alpha =0נקבל הלוואת בלון מלאה עבורה  \ z_{N+1}=(1+r)^{N}P ו - ועבור  \ \alpha =1נקבל הלוואת בלון חלקית עבורה  \ z_{N+1}=P כלומר משלמים את הקרן במלואה בעוד שעבור כל החודשים הקודמים שילמנו אך ורק את הריבית (ניתן לראות שלא משלמים ריבית נוספת כי  \ y_{N+1}=0 ). נוכל גם לראות מתמטית שהלוואת בלון מלאה איננה הלוואה טובה ואז מחזירים יותר כסף בכך שנציב  \ w=0,\quad \beta =0 ב -  Z ונקבל :
Z(w=\beta =0)=\left(q^{N}+\alpha r{\frac {q^{N}-1}{q-1}}\right)P=\left(\left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}+\alpha {\frac {\left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}-1}{1-\alpha }}\right)P
Z(w=\beta =\alpha =0)=\lim _{\alpha \to 0}\left(\alpha \left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}+{\frac {\left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}-1}{1-\alpha }}\right)P=(1+r)^{N} Z(w=\beta =0,\quad \alpha =1)=\lim _{\alpha \to 1}\left(\alpha \left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}+{\frac {\left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}-1}{1-\alpha }}\right)P=1+rN Z(w=\beta =\alpha =1)=1+rN\leq (1+r)^{N}=Z(w=\beta =\alpha =0)