stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
השערת פואנקרה
התפתחות ההשערה והוכחתה > המקרה התלת-ממדי - ניסוח ההשערה

פואנקרה תהה אילו תכונות מטופולוגיה אלגברית דרושות כדי לאפיין גופים טופולוגיים פשוטים, כמו הספירה התלת-ממדית. פואנקרה חשב בתחילה שכמו במקרה הדו-ממדי, די בחבורות ההומולוגיה של הספירה כדי לתאר אותה, דהיינו שגוף תלת-ממדי שיש לו אותה הומולוגיה כמו לספירה, מוכרח להיות ספירה בעצמו, והוא אף העלה טענה זו על הכתב ב-1900. כמה שנים אחר-כך, ב-1904, מצא פואנקרה דוגמה נגדית להשערה זו: הוא גילה מרחב (הקרוי ספירת פואנקרה), שיש לו הומולוגיה של ספירה, אך הם אינם שקולים זה לזה.
בטופולוגיה האלגברית ידועה שיטה נוספת, שהיא במובנים מסוימים עדינה יותר מן ההומולוגיה. התבוננות בלולאות העוברות במרחב נתון מאפשרת להצמיד לו חבורה נוספת, הקרויה החבורה היסודית, שאינה חייבת להיות אבלית. חבורה זו היא טריוויאלית (כלומר, יש בה רק איבר אחד), אם כל לולאה סגורה העוברת במרחב אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מגבולות המרחב. מרחב שיש לו תכונה זו נקרא מרחב פשוט קשר. הספירה היא פשוטת קשר, בעוד שלספירת פואנקרה יש חבורה יסודית מסדר 120 ולכן הם אינם יכולים להיות הומיאומורפיים זה לזה.
בעקבות הבחנה זו, העלה פואנקרה את ההשערה שאם ליריעה תלת-ממדית סגורה יש אותה חבורה יסודית כמו לספירה, אזי היא הומיאומורפית אליה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > פירמול ההשערה וגרסאותיה

הרמן וייל והסלר ויטני. מאבות תורת היריעות המודרנית.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |

סמואל אלנברג, ווטולד הורביץ וג'ון וייטהד. מאבותיה של הטופולוגיה האלגברית המודרנית.
במחצית הראשונה של המאה ה-20 תחום הטופולוגיה בכלל והטופולגיה האלגברית והגאומטרית בפרט התפתח מאוד. התפתחות זו אפשרה את הניסוח המודרני והמדויק של ההשערה. היא גם אפשרה לעמוד על דקויות בניסוח ההשערה שלא היו ברורות קודם לכן, ובהתאם נוסחו מספר גרסאות להשערה. כמו כן נוצר עניין בהכללות של ההשערה לממדים גבוהים מ-3. הכלים שפותחו בתקופה זו היוו את אבני הבניין בהוכחות ההשערה, הכללותיה וגרסאותיה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > פירמול ההשערה וגרסאותיה > פירמול הטופולוגיה הקבוצתית

בעשור השני של המאה ה-20 פיתח פליקס האוסדורף את המושג מרחב טופולוגי. אומנם תחום הטופולוגיה היה קיים כבר שנים רבות אך מושג זה אפשר לנסח תוצאות והשערות בתחום בצורה ריגורוזית הדומה לצורה שבה מתמטיקאים מדברים עליהן כיום. עבודותיו של האוסדורף לא התמקדו ביריעות אלא במרחבים טופולוגיים ומטריים כלליים. כשהוכחה השערת פואנקרה, כמאה שנים לאחר האוסדורף, התברר שכחלק מההוכחה הופיעו מרחבים מטריים שאינם יריעות כלל. עבודתו של האוסדורף על מרחבים אלו הייתה שימושית מאוד בהוכחה. ספציפית, המושג מרחק האוסדורף, המהווה מושג של מרחק בין שתי תת-קבוצות של מרחב מטרי, היה הבסיס לאחד הכלים בהוכחה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > פירמול ההשערה וגרסאותיה > פירומול מושג היריעה

בהתבסס על עבודותיו של האוסדורף נתן הרמן וייל הגדרה ריגוזית למושג יריעה חלקה. המיון הריגורוזי של משטחים התבצע בשנות ה-20 על ידי ברהאנה,
באופן סיסטמטי יותר פותח מושג היריעה על ידי הסלר ויטני. עבודות אלה אפשרו לנסח את השערת פואנקרה באופן ריגורוזי, כמו כן אפשרו לעמוד על ההבדלים בין הגרסאות עבור מחלקות יריעות שונות: יריעות טופולוגיות ויריעות חלקות.
התפתחות ההשערה והוכחתה > פירמול ההשערה וגרסאותיה > פירומול ופיתוח הטופולוגיה האלגברית

עבודותיו של פואנקרה הניחו את היסודות לטופולוגיה האלגברית המודרנית. עם זאת, הגדרותיו לא היו מלאות. למשל מושג ההומולוגיה שפואנקרה הגדיר הניח קיום של טריאנגולציה על יריעה – דבר שאינו קיים באופן כללי. כמו כן, ההומולוגיות של פואנקרה לא היו חבורות (כפי שהן היום) אלה מספרים הנגזרים מחבורות אלה. מתמטיקאים רבים (אמי נטר, ג'יימס אלכסנדר, סולומון ליפשיץ ואחרים) שיפרו הגדרות אלה עד שבשנת 1944 הגיע סמואל אלנברג להגדרה המקובלת כיום.
עבודתו של פואנקרה היוותה גם את הבסיס לתורת ההומוטופיה. פואנקרה הגדיר את החבורה היסודית שהיא הראשונה בסדרה של חבורות הנקראות חבורת הומוטופיה. את יתר חבורת ההומוטופיה הגדירו אדוארד צ'אך(אנ') וווטולד הורביץ(אנ') בשנות ה-30. הורביץ הגדיר גם את מושג השקילות ההומוטופית והוכיח את משפט הורביץ החוקר את הקשר בין הומולוגיה והומוטופיה.
פיתוח חשוב נוסף בתחום הטופולוגיה האלגברית היה מושג הקומפלקס התאי. מושג זה פותח על ידי ג'ון וייטהד ומהווה מסגרת טובה עבור הטופולוגיה האלגברית. כל התוצאות בטופולוגיה האלגברית עובדות בצורה מיטבית עבור מרחבים אלה. וייטהד הגדיר גם את מושג השקילות ההומוטופית החלשה והוכיח את משפט וייטהד שאמר שעבור קומפלקסים תאיים, שקילות הומוטופית חלשה שקולה לשקילות הומוטופית.
כפי שהוסבר מעלה, פיתוחים אלה אפשרו להראות שיריעה (טופולוגית) המקיימת את תנאי השערת פואנקרה שקולה הומוטופית חלש לספירה תלת־ממדית. אולם באותו שלב עדיין לא היה ידוע שעל יריעות כאלה יש מבנה של קומפלקס תאי, כך שלא היה ניתן להסיק מכך שהיריעה שקולה הומוטופית לספירה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > פירמול ההשערה וגרסאותיה > המעבר לממד כללי

בשנות ה-30 וה-40 החלו להופיע גרסאות של ההשערה לממדים גבוהים יותר.
במקרה הרב-ממדי, לא כל היריעות הקומפקטיות (ללא שפה) פשוטות הקשר שקולות הומוטופית לספירה. לכן הן גם לא יכולות להיות הומיאומורפיות לה. לכן יש צורך בהנחות נוספות על היריעה. אחת מהגרסאות המקובלות להשערת פואנקרה המוכללת אומרת
שכל יריעה (קומפקטית בלי שפה) אשר שקולה הומוטופית לספירה גם הומיאומורפית לה. כפי שהוסבר למעלה גרסה זאת שקולה לגסאות חזקות יותר, שדורשות פחות תנאים על היריעה. גם גרסאות אלה הופיעו באותה תקופה, אך השקילות ביניהם התבררה רק מאוחר יותר. עם זאת, ניתן היה להסיק מהתוצאות של אותה התקופה, שיריעות המקיימות את הדרישות החלשות יותר בהכרח שקולות הומוטופית חלש לספירה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > פירמול ההשערה וגרסאותיה > תורת מורס

תורת מורס החלה את התפתחותה בסוף שנות ה-20. את בסיס התורה פיתח מרסטון מורס ומספר מתמטיקאים המשיכו את פיתוחה.
תורת מורס מאפשרת לפרוס יריעה חלקה לפרוסות קלות יחיסת להבנה. פריסה זו נקבעת לפי פונקציה על היריעה המקיימת תכונות מסוימות. פונקציה כזאת נקראת פונקציית מורס.
תורת מורס מהווה כלי מרכזי במחקר יריעות. רוב ההוכחות החלקיות של הגרסאות השונות של השערת פואנקרה התבססו על תורת מורס בצורה זו או אחרת.
תורת מורס מאפשרת בין היתר להגדיר מבנה תאי על כל יריעה חלקה. דבר זה מוכיח, בהתבסס על התוצאות הקודמות, שכל יריעה חלקה המקיימת את תנאי ההשערה שקולה הומוטופית לספירה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > ניסיונות מוקדמים להוכחת ההשערה

בשנת 1934 פרסם וייטהד הוכחה שגויה להשערה.

וייטהד הבין את טעותו מה שהוביל אותו בשנת 1935 לתגלית של יריעה תלת־ממדית (לא קומפקטית ללא שפה) כוויצה שאינה הומיומורפית ל  \mathbb {R} ^{3}.
יריעה זאת נקראת יריעת וייטהד. יריעת וייטהד מהווה דוגמה נגדית לגרסה לא קומפקטית של השערת פואנקרה: בעוד שלפי השערת פואנקרה כל יריעה (קומפקטית בלי שפה) ששקולה הומוטופית לספירה גם הומיאומורפית לה, יריעת וייטהד שקולה הומוטופית למרחב האוקלידי אך אינה הומיאומורפית לו.
לאחר עבודותיו של וייטהד ניסו מספר מתמטקאים להוכיח את ההשערה. ביניהם מקס ניומן, ג'ורג' דה-ראהם, R. H. Bing ולפגאנג האקן, אדוין מויס וקריסטוס פאפאקיריאקופוולס. איש מהם לא הצליח, אך בשנת 1958 בינג הוכיח גרסה חלשה של ההשערה לפיה אם ביריעה  M (קומפקטית תלת-ממדית ללא שפה) כל לולאה פשוטה (כלומר ללא חיתוכים עצמיים) מוכלת בקבוצה פתוחה ההומיאומורפית לכדור תלת-ממדי אז  M הומיומורפית לספירה התלת-ממדית.
התפתחות ההשערה והוכחתה > מרחבי אלכסנדרוב

בשנת 1948, ללא כל קשר להשערת פואנקרה הגדיר אלכסנדר אלכסנדרוב מחלקה של מרחבים מטריים שמכלילה יריעות רימניות. בשונה מיריעות, המבנה הטופולוגי המקומי של מרחבים אלה שונה מזה של מרחב אוקלידי. עדיין ניתן לפתח עבורם חלק מהתורה של יריעות רימניות. למעלה מחצי מאה מאוחר יותר, כשהוכחה השערת פואנקרה, התברר שלמרחבים אלה יש תפקיד חשוב בהוכחתה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > מבנים חלקים על יריעות תלת־ממדיות, ומבנים תאיים על יריעות ממד כללי

בשנת 1952 הוכיח אדווין מויס שעל כל יריעה טופולוגית מממד 3 קיים מבנה חלק יחיד (עד כדי דיפאומורפיזם).
לאור תוצאה זאת, הגרסאות של השערת פואנקרה ליריעות שונות, כולן שקולות (לממד 3). בפרט מקבלים שכל יריעה טופולוגית (תלת־ממדית) המקיימת את תנאי ההשערה שקולה הומוטופית לספירה.
ההוכחה של השערת פואנקרה השתמשה במשפט מויס, מכיוון שהשלב הראשון בהוכחה הוא בחירה של מבנה חלק על היריעה. מבנה זה קיים בזכות משפט מויס.
משפט מויס לא תקף בממדים גבוהים מ-3 (ראו פרוט למטה). אולם, לפי משפט של רובין קירבי (אנ'), כל יריעה טופולוגית שקולה הומוטופית לקומפלקס תאי, לכן גם בממדים אלו די לדרוש שקילות הומוטופית חלשה לספירה (או כל תנאי שקול כפי שתואר מעלה) כדי להבטיח את תנאי השערת פואנקרה המוכללת. עם זאת משפט קירבי הוכח רק ב-1969, מספר שנים לאחר שהוכחה השערת פואנקרה המוכללת לממדים גדולים מ-4.
התפתחות ההשערה והוכחתה > פיתוח תורת הקו-בורדיזם

בתחילת שנות ה-50 עסק המתמטיקאי רנה תום בתורת הקו-בורדיזם (שיסודותיה הונחו על ידי פונטריאגין). תורה זו חוקרת יריעות עד כדי יחס שקילות חלש יותר מהומיאומורפיזם הנקרא קו-בורדיזם. יש מספר גרסאות למושג קו-בורדיזם. באופן אינטואיטיבי, קו-בורדיזם בין שתי יריעות (קומפקטיות בלי שפה)  X ו- Y ממד  n הוא דרך לחבר ביניהן על ידי יריעה מממד  n+1. באופן פורמלי יותר, על פי אחת הגרסאות, קו-בורדיזם בין  X ו- Y הוא יריעה (קומפקטית עם שפה)  M כך ששפתה מורכבת מהאיחוד הזר של  X ו- Y.
תום הראה שאוסף כל היריעות מממד מסוים, עד כדי קו-בורדיזם, מהווה חבורה. הוא גם תיאר חבורה זו (במובן מסוים). בין היתר הראה תום שיריעה המקיימת את התנאים של השערת פואנקרה המוכללת קו-בורדנטית לספירה (מאותו ממד). חלק גדול מההתקדמות בהשערת פואנקרה המוכללת, לרבות הוכחתה לממדים גדולים מ-3, מבוססת על טענה זו.
עבודותיו של תום על תורת הקו-בורדיזם זיכו אותו במדליית פילדס בשנת 1958.
התפתחות ההשערה והוכחתה > גילוי הספירות האקזוטיות

באמצע שנות ה-50 עבד על ההשערה המתמטיקאי ג'ון מילנור. בהתבסס על עבודותיהם של תום ופונטריאגין הוא הצליח לבנות אינווריאנט של יריעות חלקות המקיימות את תנאי ההשערה. כלומר, הוא התאים לכל יריעה חלקה כזו אובייקט מסוים, כך שאם שתי יריעות כאלה דיפאומורפיות (זאת אומרת שקיימת העתקה גזירה חד-חד ערכית ועל ביניהן שההעתקה ההופכית לה גם-כן גזירה) אז האובייקטים המתאימים לשתיהן שווים. הוא הצליח לבנות דוגמה ליריעה חלקה 7-ממדית (שמקימת את תנאי ההשערה) שאינווריאנט זה עבורה שונה מאשר ערכו עבור הספירה ה-7 ממדית. בכך הוא הוכיח שיריעה זו אינה דיפאומורפית לספירה ה-7 ממדית. תחילה חשב מילנור שהפריך את השערת פואנקרה המוכללת, אך במהרה הבין כי למעשה היריעה שבנה דווקא הומיאומורפית לספירה (הוא הוכיח זו על ידי תורת מורס), אבל לא דיפאומורפית לה. הייתה זו הדוגמה הראשונה ליריעות שהן הומיאומורפיות אך לא דיפאומורפיות. דוגמה זו הפתיעה מאוד את מילנור ואת הקהילה המתמטית, כיוון שעד אותו שלב ההערכה הייתה שדוגמה כזו אינה קיימת.
מאז, יריעות ההומיאומורפיות לספירה אך לא דיפאומורפיות לה נקראות ספירות אקזוטיות. באופן כללי יותר, יריעות חלקות הומיאומורפיות ליריעה חלקה נתונה  M אך לא דיפאומורפיות לה נקראות מבנים אקזוטיים על  M. מילנור יחד עם שותפים מיינו את כל הספירות האקזוטיות מכל ממד למעט 4.
גילוי הספירות האקזוטיות זיכה את מילנור במדליית פילדס בשנת 1962.
התפתחות ההשערה והוכחתה > ההוכחה למקרה שהממד גדול מ-4

בשנת 1961 הוכיח סטפן סמייל את השערת פואנקרה המוכללת עבור ממדים גדולים מ-4. בשנת 1962 הכליל סמייל תוצאה זו למשפט שאומר, שקיום קו-בורדיזם בין יריעות שממדם גדול מ-4 המקיים תנאים מסוימים, גורר קיום הומיאומורפיזם בין יריעות אלה. קו-בורדיזם שמקיים תנאים אלו נקרא  h-קו-בורדיזם, ומשפטו של סמייל אודות קו-בורדיזמים אלו נקרא משפט ה-h-קו-בורדיזם.
זמן קצר לאחר הוכחתו של סמייל הוכיחו ג'ון סטאלינג (אנ') וקריסטופר זימאן (אנ') את אותו משפט בדרך אחרת.
הן הוכחתו של סמייל והן אלה של סטאלינג וזימאן היו תקפות רק ליריעות חלקות (כמו גם ליריעות ליניאריות למקוטעין). לא על כל יריעה טופולוגית קיים מבנה חלק, כך שההוכחה אינה מתאימה לכל היריעות הטופולוגיות. בשנת 1966 הוכיח מקס ניומן את המשפט עבור יריעות טופולוגיות כלליות מממדים גדולים מ-4 בהתבסס על השיטה של סטאלינג. למעשה ניומן הוכיח משפט חזק יותר: כל יריעה טופולוגית קומפקטית ללא שפה מממד גדול מ-4 השקולה הומוטופית חלש לספירה, גם הומיאומורפית לה. בדיעבד משפט זה שקול להשערת פואנקרה לממדים אלה, אך זה נובע ממשפט של קירבי שהוכח מספר שנים מאוחר יותר.
באופן שיטחי ולא מדויק ניתן לתאר את הוכחתו של סמייל להשערה כך: תחילה משתמשים במשפט תום כדי להראות שיריעה  n-ממדית  X המקיימת את תנאי ההשערה מהווה שפה של יריעה (עם שפה) קומפקטית  D. לאחר מכן מבצעים סדרה סופית של פעולות ה"משפרות" את  D. לבסוף מוכיחים שלאחר מספיק פעולות  D הופכת לכדור  n+1-ממדי. מכאן ש- X חיובת להיות הספירה.
בממד נמוך מ-4 "אין מספיק מקום" כדי לבצע פעולות אלה. בממד-4 אומנם ניתן לבצען, אך הן לא "משפרות את המצב".
הוכחתו זו זיכתה את סמייל במדליית פילדס בשנת 1966.
התפתחות ההשערה והוכחתה > ההוכחה לממד-4

בשנת 1982 הצליח מייקל פרידמן להכליל את תוצאתיו של סמייל למקרה ה-4-ממדי. הוא סיפק גרסה 4-ממדית של משפט ה-h-קו-בורדיזם והוכיח את השערת פואקרה המוכללת עבור ממד 4. יתר על כן, הוא סיפק מיון מלא של כל היריעות ה-4-ממדיות הקופקטיות פשוטות הקשר.
באופן אינטואיטיבי, הוכחתו התבססה על בניה אינסופית בה מבצעים את התהליך שביצע סמייל אינסוף פעמים ומראים שאז הוא באמת "משפר את המצב".
על הוכחת השערת פואנקרה בממד 4 קיבל פרידמן מדליית פילדס בשנת 1986.
התפתחות ההשערה והוכחתה > ההוכחה לממד-4 > מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות

תוצאותיו של פרידמן, בשילוב עם תוצאות של דונלדסון על אינווריאנטים של יריעות חלקות 4-ממדיות, הובילו למציאת דוגמאות של מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות (דבר שלא היה ידוע קודם). בפרט נמצאו  \color {blue}{\aleph } מבנים אקזוטיים על המרחב האוקלידי ה-4-ממדי  \mathbb {R} ^{4}. מרחב זה הוא המרחב האוקלידי היחיד בעל מבנים אקזוטיים. שאלת קיומם של מבנים אקזוטיים על הספירה ה-4-ממדית עודנה פתוחה.
על מציאת מבנים אקזוטיים על  \mathbb {R} ^{4} קיבל דונלדסון את מדליית פילדס בשנת 1986.
התפתחות ההשערה והוכחתה > מרחק גרומוב-האוסדורף ומשפט הקומפקטיות של גרומוב

בשנת 1975 פיתח דויד אדוארדס גרסה אבסולוטית למרחק האוסדורף. גרסה זאת נקראה לימים "מרחק גרומוב-האוסדורף". בעוד שמרחק האוסדורף מוגדר עבור תת-קבוצות במרחב מטרי נתון, מרחק גרומוב-האוסדורף מוגדר עבור מרחבים מטריים קומפקטיים כלשהם, ללא שיהיה צורך לשכנם במרחב מטרי גדול יותר. מושג זה מאפשר לדון במרחב המטרי של כל המרחבים המטריים.
בשנת 1981 פתיח מיכאיל גרומוב מושג זה מחדש, ללא שהיה מודע לעבודותיו של אדוארדס. גרומוב גם הוכיח תכונות רבות של מושג זה, שהידועה ביניהן היא "משפט הקומפקטיות של גרומוב". משפט זה אומר שקבוצות מסוימות במרחב המטרי של המרחבים המטריים הן קומפקטיות.
משפט הקומפקטיות של גרומוב מאפשר לראות במרחבי אלכסנדרוב כמקרה גבולי של יריעות רימינות. למסקנה זאת הייתה חשיבות מכרעת בהוכחת השערת פואנקרה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > ניסוח השערת הגאומטריזציה

בשנת 1982 ניסח ויליאם ת'ורסטון השערה המספקת מיון (חלקי) ליריעות תלת-ממדיות קומפקטיות. באופן לא פורמלי, ההשערה טוענת שכל יריעה כזו ניתן "להרכיב" מאבני בניין פשוטות יחסית הנקראות גאומטריות.
אבני בניין אלה הן יריעות שעליהן קיימת מטריקה רימנית (מושג כמותי של מרחק) מאוד סימטרית. באופן פורמלי יותר: כך שלכל  x,y על היריעה  X קיימת איזומטריה של  X (טרנספורמציה מ- X לעצמו השומרת מרחק), המעבירה את  x ל- y.
קל יחסית למיין את כל הגאומטריות. בהתאם גם לא מאוד קשה (בשימוש בכלים סטנדרטיים שהיו קיימים באותה עת) להסיק את השערת פואנקרה מהשערת הגאומטריזציה. טרם ניסוח השערת הגאומטריזציה באופן כללי הוכיח אותה ת'ורסטון למשפחה רחבה של יריעות תלת-ממדיות.
עבודותיו של ת'ורסטון על יריעות מממד נמוך זיכו אותו במדליית פילדס בשנת 1982.
התפתחות ההשערה והוכחתה > פיתוחה של זרימת המילטון-ריצ'י

בשנת 1982 הוכיח ריצ'רד המילטון את "משפט הספירה". משפט זה אומר שיריעה רימנית (יריעה חלקה עם מטריקה רימנית עליה) המקיימת תנאים מסוימים, היא דיפאומורפית לספירה מממד מתאים. לשם כך הוא פיתח זרימה גאומטרית שאותה כינה זרימת ריצ'י (היום היא מכונה לעיתים גם זרימת המילטון-ריצ'י). זרימה גאומטרית היא דרך לשנות את הגאומטריה של אובייקט מסוים באופן רציף והדרגתי. זרימת המילטון-ריצ'י משנה את המטריקה הרימנית על היריעה (מבלי לשנות את היריעה עצמה) על ידי הוספה של עקמומיות ריצ'י שלה (עם מקדם) למטריקה. תהליך זה הופך את היריעה לסימטרית יותר. המילטון הוכיח שבתנאי המשפט היריעה תהפוך בסופו של דבר לספירה מבחינה מטרית, ומכיוון שהזרימה אינה משנה את המבנה הטופולוגי, זו ראיה לכך שמלכתחילה הייתה דיפאומורפית לספירה.
זרימת המילטון-ריצ'י מוגדרת על ידי מערכת משוואת דפרנציאליות חלקיות. הזרימה מהווה פתרון למערכת הזו. מערכת משוואות זו דומה למשוואת החום אלא שבמקום לפזר חום היא "מפזרת" עקמומיות. לכן, המטריקה הופכת ליותר סימטרית לאורך הזרימה. כפי שקורה במקרים רבים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, ליריעות רימניות כלליות, למערכת משוואות זו אין פתרון המתקיים לאורך זמן, לכן זרימת ריצ'י "נתקעת" לאחר זמן מה.
במהלך שנות ה-80, בעקבות הצעה של שינג טונג יאו הגה המילטון אסטרטגיה להוכחת השערת הגאומטריזציה המבוססת על זרימת ריצ'י. תחילה בוחרים מבנה של יריעה חלקה על היריעה הנתונה  M. קיום (ויחידות) של מבנה כזה היה ידוע עוד בשנות ה-50. לאחר מכן בוחרים מטריקה רימנית כלשהי על  M. קל להוכיח קיום של מטריקה רימנית על כל יריעה חלקה. אז מפעילים את זרימת ריצ'י על היריעה עד אשר היא "תתקע". קצת לפני שהיא נתקעת "חותכים" את היריעה באופן שיאפשר המשך זרימה על כל אחד מהחלקים בנפרד (תוך כדי התאמת המקדם בזרימה לכל חלק בניפרד). ממשיכים בתהליך עד שכל אחד מהחלקים מגיע למצב קבוע. המילטון הראה שמצבים אלו הם בדיוק הגאומטריות. כעת נותר רק "להרכיב" את היריעה בחזרה מגאומטריות אלה.
בתחילת שנות ה-90 ניסה המילטון לממש אסטרטגיה זו, ואף הצליח בכך במספר רב של מקרים. אך בסופו של דבר נקלע למבוי סתום ולא הצליח להוכיח את ההשערה.
בשנת 2011 כעשור לאחר שהשערת פואנקרה הוכחה על ידי פרלמן באמצעות זרימת המילטון-ריצ'י, זכה המילטון בפרס שאו על פיתוח זרימה זו.
התפתחות ההשערה והוכחתה > הכלת הבעיה בפרס המילניום של קליי

בשנת 2000 פרסם מכון קליי רשימה של שבע בעיות במתמטיקה לכבוד תחילת המילניום השלישי. מכון קליי הבטיח פרס בסכום של מיליון דולר על פתרון כל אחת מהבעיות. הבעיות נגעו לתחומים הבאים: פיזיקה מתמטית, תורת המספרים (האנליטית והאלגברית), תאוריה של מדעי המחשב, גאומטריה אלגברית וטופולוגיה אלגברית וגאומטרית.
השערת פואנקרה הייתה הבעיה השישית ברשימה זו. היא הייתה הבעיה היחידה שניתן לשייך לתחומי הטופולוגיה האלגברית והגאומטרית באופן מובהק. לצדה הייתה גם השערת הודג' שנמצאת על התפר שבין גאומטריה אלגברית לטופולוגיה אלגברית.
את נוסח ההשערה הרשמי כתב ג'ון מילנור.
התפתחות ההשערה והוכחתה > הוכחת ההשערה

בתחילת שנות ה-90 עבד גריגורי פרלמן על מרחבי אלכסנדרוב יחד עם יורי בורגו, מיכאיל גרומוב ואנטון פטרונין. בשנת 1992 נסע פרלמן לארצות הברית למספר שנים. בתקופה זו הוא שמע הרצאה של ריצ'רד המילטון. לאחר ההרצאה שוחח פרלמן עם המילטון ארוכות. בשיחה זו סיפר לו המילטון את כל ההתקדמות שהייתה לו בהוכחת השערת פואנקרה. זמן מה לאחר מכן (בשנת 1996), לאחר שפרלמן ראה פרסום של המילטון ב-arXiv, הוא פנה להמילטון והציע לו לשתף פעולה בניסיון להוכיח את ההשערה. לאחר שהמילטון לא ענה להצעה זו, חזר פרלמן לרוסיה (למכון סטקלוב בסנט-פטרסבורג) לעבוד על ההשערה בגפו. פרלמן הבין שכאשר זרימת ריצ'י נתקעת, היא הופכת את היריעה למרחב אלכסנדרוב, ולכן קיווה שבעזרת מרחבי אלכסנדרוב יוכל להתקדם במקום שבו נעצר המילטון.
פרלמן עמל על ההשערה כשבע שנים ולבסוף, בשנים 2002–2003 פרסם את עיקרי הוכחתו להשערת פואנקרה בסדרה של שלושה מאמרים ב-arXiv.
התפתחות ההשערה והוכחתה > אחרית דבר > אימות ההוכחה

| --- | --- |


המתמטיקאים שאימתו את ההוכחה של פרלמן בתחילת המאה ה-21. מימן לשמאל מלמעלה למטה: ברוס קלינר, ג'ון לוט, ג'ון מורגן וגאנג טיאן
פרסום תוצאות מתמטיות חשובות באתר אינטרנט כדוגמת ה-arXiv לפני פרסום בכתב עת מדעי, הוא דבר מקובל מאוד. אולם בדרך כלל, לאחר פרסום כזה, המאמר מוגש לכתב עת, שם הוא עובר ביקורת עמיתים. אחת המטרות של תהליך זה היא בדיקת נכונת הממצאים המוצגים במאמר. פרלמן בחר שלא להגיש את המאמר לכתב עת, דבר שלא איפשר בדיקה באופן זה. בנוסף, מאמריו של פרלמן לא הכילו פרטים רבים מההוכחה, ודרשו עבודת השלמה. מכל מקום, לבעיות מסדר גודל כמו השערת פואנקרה, יש תכופות היסטוריה של "הוכחות" שגויות, והוכחתן מורכבת מאוד, כך שלוקח זמן לקהילה המדעית להשתכנע בשלמות ההוכחה.
לאחר שפרסם את מאמריו, הוזמן פרלמן לתת מספר הרצאת בארצות הברית על עבודתו. בהרצאות אלה נכחו מומחים רבים בתחומים אליהם נגעה ההשערה. מספר מתמטיקאים החלו לעבוד על אימות ההוכחה והשלמת הפרטים.
בשנת 2006 כתבו ברוס קלינר (Bruce Kleiner), ג'ון לוט (John Lott), ג'ון מורגן (John Morgan) וגאנג טיאן (Gang Tian) מספר מאמרים ב-arXiv שהתבססו על עבודותיו של פרלמן והכילו הוכחה מפורטת של ההשערה. בשנים 2007–2008 התפרסמו מאמרים אלה בכתבי עת לאחר שעברו ביקורת עמיתים. נקודה זו היוותה עבור רבים סיום בדיקת ההוכחה. מאמרים נוספים עם הסברים שונים ופרספקטיבות שונות על ההוכחה התפרסמו בשנים לאחר מכן. העבודות של קלינר, לוט, מורגן וטיאן לא היו חפות לחלוטין מטעויות. אולם הטעויות שהתגלו במהלך השנים היו קטנות ותוקנו במהרה. קלינר, לוט, מורגן וטיאן, כמו גם רוב המתמטיקאים שעבדו על הנושא אחריהם, לא ניסו לנכס לעצמם קרדיט על ההוכחה, כולם הסכימו שפרלמן הוכיח את המשפט בהתבסס על פריצת הדרך של המילטון והעבודות המאוחרות יותר באו רק לבאר את ההוכחה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > אחרית דבר > פרלמן לאחר שהוכיח את ההשערה

חבריו של פרלמן תארו אותו כאדם סגור למדי מאז ומתמיד. אולם לפני שהוכיח את ההשערה לא היה פרלמן מנותק מהעולם. הוא קיים קשרים חברתיים ומקצועיים עם מספר מתמטיקאים. בשנים שבהן עבד על ההשערה הוא היה מרוכז כמעט לחלוטין בה אך שמר עדיין על קשרים אלו. בשנתיים הראשונות לאחר שהוכיח את ההשערה המשיך לתקשר עם מתמטיקאים רבים ואף הסכים לשוחח עם עיתונאים. אולם בשנים לאחר מכן החל פרלמן להתבודד מהעולם ולנתק כמעט כל קשר שהיה לו. אף על פי שהתהילה הגדולה שזכה לה אפשרה לו למצוא בקלות עבודה מכניסה מאוד, הוא נשאר לחיות בדירה קטנה בסנקט פטרבורג. יתר על כן, בסוף שנת 2005 התפטר מעבודתו, והודיע לקומץ חבריו שהחליט להפסיק לעסוק במתמטיקה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > אחרית דבר > הפולמוס סביב התנהגותם של יאו ותלמידיו בנושא

איור שהתפרסם בניו-יורקר בשנת 2006 המאשים את יאו בניסיון לגזול לפרלמן את התהילה על ההוכחה. יש מחלוקת בקהילה המדעית האם ובאיזו מידה האשמות אלה מוצדקות. אולם קיים קונצנזוס על כך שאין בהוכחתו של פרלמן חוסרים מהותיים, ורק הצגת ההוכחה דרשה פרוט נוסף
ביוני 2006 פרסמו האו דונג קאו ושי-פינג ז'ו מאמר בז'ורנל האסייתי למתמטיקה תחת הכותרת "הוכחה שלמה של השערת הגאומטריזציה - יישום של תורת זרימת ריצ'י של המילטון-פרלמן". המאמר פורסם ביוזמת העורך הראשי של כתב העת שינג טונג יאו מורם של השניים, תוך כדי שהוא עוקף את יתר העורכים. בדומה למאמרים קודמים מאמר זה מציג הוכחה מפורטת להשערה המבוססת על עבודותיו של פרלמן, אך בשונה משאר המאמרים שעשו כן, כותרת המאמר והתקציר שלו, מציגים את המאמר כהוכחה ולא כהצגה מפורטת של הוכחה קיימת. בנוסף, במאמר הם העתיקו הסברים שפרסמו קודם לכן קלינר ולוט לחלק מהפרטים החסרים אצל פרלמן ללא שציינו את קלינר ולוט.
התנהלותו של יאו (חתן מדליית פילדס) ושל תלמידיו גררה ביקורת קשה. הפרשה חרגה מגבולות הקהילה המתמטית כאשר באוגוסט 2006 התפרסם מאמר בניו יורקר מאת סילביה נזר ודויד גרובר הסוקר את הפרשה ומאשים את יאו בניסיון ליחס לו ולתלמידיו קרדיט על ההוכחה.
במאמר בניו יורקר נטען כי במסיבת עיתונאים בסין, תיאר יאו איך הוא רואה את חלוקת הקרדיט עבור הוכחה: 50% להמילטון כ־25% לפרלמן ו-30% ליאו ותלמידיו (הסכום לא 100 במקור). המאמר גם מאשים את יאו בהתנהגות דומה במקרים אחרים.
יאו התנער מההאשמות כלפיו. טען שהציטוט ממסיבת העיתונאים מפוברק, שמעולם לא ניסה לנכס לעצמו או לתלמידיו קרדיט על ההוכחה, ושמעולם לא טען שבהוכחה של פרלמן יש חורים אלא רק שהיא לא ברורה דיה ויש חשיבות להשלמת הפרטים. יאו אף איים לתבוע את הניו-יורקר.
מספר מתמטיקאים כתבו מכתבי תמיכה ביאו. ביניהם גם המילטון, שכתב מכתב שמשבח את תרומתו של יאו לתוכנית להוכחת ההשערה עוד בשנות ה-80, מתאר מספר מקרים בהם יאו התנהג בצורה הגונה ואף סירב לקחת קרדיט כאשר הרגיש שלא תרם מספיק לתוצאה מסוימת. המילטון גם כותב שיאו תמך בהענקת מדליית פילדס לפרלמן ושלמיטב ידיעתו יאו מעולם לא טען שמגיע לו או לאיש מלבד פרלמן והמילטון קרדיט על ההוכחה.
בדצמבר 2006 פרסמו קאו וז'ו ב-arXiv גרסה מעודכנת של מאמרם שבה הם נותנים את מלוא הקרדיט על ההוכחה להמילטון ופרלמן, ומתנצלים על כך שלא התייחסו לקלינר לוט כשהשתמשו בתוצאותיהם. כמו כן הם פרסמו אראטום בז'ורנל האסייתי למתמטיקה באותו החודש. המאמר המקורי הוסר מכתב העת באותו הזמן.
התפתחות ההשערה והוכחתה > אחרית דבר > זכייתו של פרלמן במדליית פילדס

מדליית פילדס מחולקת בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים המתקיים אחת לארבע שנים. הפעם הראשונה בה הקונגרס התכנס לאחר פרסומיו של פרלמן הייתה באוגוסט 2006. באותה העת היה קונצנזוס בקהילה המדעית על כך שעבודותיו של פרלמן משמעותיות, אך שלמותה של ההוכחה עדיין לא התבררה באופן סופי. ועדת פרס פילדס לשנת 2006 בראשות נשיא האיגוד המתמטי הבינלאומי ג'ון באל החליטה להעניק לפרלמן את המדליה "על תרומתו לגאומטריה ותובנותיו המהפכניות למבנה האנליטי והגאומטרי של זרימת ריצ'י". בהודעה לתקשורת על זכייתו, הם מציינים את הוכחתו של פרלמן להשערת פואנקרה והשערת הגאומטריזציה ואת העובדה שבזמן שעבר לא נמצאו בה חוסרים משמעותיים, אך גם את העובדה שתהליך הבדיקה טרם הסתיים. פרלמן סירב לקבל את המדליה. הייתה זו הפעם הראשונה שמתמטיקאי סירב לקבל פרס זה. לצדו של פרלמן זכו במדליית פילדס באותה שנה עוד שלושה מתמטיקאים על עבודות בתחומים שונים במתמטיקה.
התפתחות ההשערה והוכחתה > אחרית דבר > זכייתו של פרלמן בפרס קליי

על פי תקנון פרס קליי, על מנת שפתרון ייבחן על ידי מכון קליי צריכים להתקיים התנאים הבאים:
הפתרון צריך להתפרסם בכתב עת העובר ביקורת עמיתים (אם כתב העת עומד בסטנדרטים מסוימים אפשר לוותר על התנאי האחרון)
צריכות לעבור לפחות שנתיים מאז פרסום זה
ההוכחה צריכה להתקבל על ידי הקהילה המדעית
המכון אינו דורש שהפרסום יתבצע על ידי פותר הבעיה. כשנתיים לאחר פרסום מאמריהם של קלינר לוט מורגן וטיאן מינה המכון ועדה שבחנה את זכאותו של פרלמן לפרס. הוועדה כללה את סיימון דונלדסון, דויד גבאי, מיכאיל גרומוב, טרנס טאו ואנדרו ויילס. בשנת 2010 קבעה הוועדה כי פרלמן הוכיח את ההשערה וזכאי לפרס. החלטת הוועדה אושרה על ידי המועצה המדעית של מכון קליי (ג'יימס קארלסון, סיימון דונלדסון, גרגורי מרגוליס, ריצ'רד מלרוז, יום-טונג סיו ואנדרו ויילס).
במרץ 2010 פרסם המכון הודעה על זכייתו של פרלמן. פרלמן התלבט כשלושה חודשים האם לקבל את הפרס. לבסוף לקראת טקס הענקת הפרס הודיע פרלמן שהוא דוחה את הפרס. לא ברור מה ההסבר שנתן פרלמן. מקורות שונים מציינים הסברים שונים. חלקם נותנים את ההסבר הסתום "הסיבה העיקרית היא חוסר הסכמה עם הקהילה המתמטית. לא מוצאות חן בעיני ההחלטות שלהם, אני מוצא אותן לא הוגנות" אחרים מוסיפים הסבר מפורט יותר: "אני רואה בתרומתו של המתמטיקאי האמריקאי המילטון לפתרון הבעיה לא פחותה משלי"