stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
יריעה אלגברית
הכללות > סכמות

אף על פי שמושג היריעה האלגברית כללי למדי, יש למושג זה מספר מגבלות:
נדרש לקבוע את השדה  k, לכן לא ניתן לטפל בו זמנית ביריעות מעל שדות שונים. מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים כאשר רוצים לקשר בין פתרונות של מערכת משוואות מעל שדה סופי ובין הגאומטריה של היריעה המוגדרת על ידי מערכת זאת מעל  \mathbb {C} . כמו כן הגדלת השדה מאפשרת הוספה של מספרים טרנסצנדנטים מה שמאפשר יצירה של נקודות גנריות, זאת אומרת נקודות שימצאו בכל קבוצה פתוחה זריצקי המוגדרת מעל השדה המקורי.
יריעות לא מאפשרות טיפול בפתרונות של מערכות משוואות מעל חוגים שאינם שדות. גם מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים שאחת הבעיות המרכזיות בה היא ניתוח של משוואות דיופנטיות.
יריעות לא מאפשרות טיפול בשורשים מרובים. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה  x^{2}=0 זהה ליריעה המוגדרת על ידי המשוואה  x=0. אולם כאשר מנתחים שורשים של פולינום נהוג לקחת בחשבון את ריבוי השורשים ולכן להתייחס לקבוצת השורשים של  x^{2} באופן שונה מאשר לקבוצת השורשים של  x. התייחסות לריבוי השורשים משפרת את הניסוח והשימושיות של מספר משפטים. למשל את המשפט היסודי של האלגברה.
כדי להתמודד עם מגבלות אלה פיתח גרותנדיק את מושג הסכמה. כדי להבין את ההבדל בין סכמות ויריעות אפשר להסתכל תחילה על המקרה האפיני. סכמות אפיניות, כמו יריעות אפיניות מוגדרות על ידי חוג הפונקציות עליהם, אלא שבמקרה של סכמה מסירם את רוב ההגבלות מחוג זה. ראשית לא דורשים שהוא יהיה נוצר סופית מעל שדה, זה מאפשר להתמודד עם מגבלות 1,2 למעלה. שנית מאפשרים לו להכיל נילפוטנטים, זה מאפשר להתמודד עם מגבלה 3. הסרת מגבלת הנילפוטנטים גורמת לכך שהחוג כבר לא חוג פונקציות. לכן כאשר מגדירים סכמה כללית לא מגדירים אותה בתור מרחב טופולוגי עם אלומת פונקציות אלה בתור מרחב טופולוגי עם אלומה של אלגבראות אבסטרקטיות. מבנה כזה נקרא מרחב מחויג.
לוויתור על הנוצרות סופית של חוג הפונקצוית הרגולריות ישנן השלכות. כאשר מתאימים לאלגברה יריעה אפינית, משתמשים בספקטרום המקסימלי שלה, זאת אומרת אוסף האידיאלים המקסימליים שלה, בעוד שכשמתאימים לחוג סכמה אפינית, משתמשים בספקטרום הראשוני שלו, זאת אומרת אוסף האידיאלים הראשוניים שלו. הצורך להשתמש בספקטרום ראשוני נובע מכך שבהינתן העתקה בין חוגים כלליים (לאו דווקא נוצרים סופית מעל שדה) אין זה נכון שתמונה הפוכה של אידיאל מקסימלי היא אידיאל מקסימלי, אבל נכון שתמונה הפוכה של אידיאל ראשוני היא אידיאל ראשוני.
הבדל נסף בין סכמות ליריעות הוא הוויתור על הדרישה שהכיסוי של סכמה על ידי סכמות אפיניות היה סופי. דורשים רק קיום של כיסוי פתוח על ידי סכמות אפיניות. ויתור זה אינו פועל יוצא של אחת המגבלות שתוארו מעלה, אלה בא לאור העבדה שסכמות הן מושג מאוד כללי ולכן מוותרים על כל ההגבלות שאינן הכרחיות.
סכמות בעלות כיסוי סופי כזה נקראות סכמות קוואזי-קומפקטיות. במקרים רבים כשחוקרים סכמות מצמצמים את הדיון לסכמות קוואזי-קומפקטיות, מכיוון שמשפטים רבים אינם תקפים לסכמות שאינן קוואזי-קומפקטיות.
הכללות > הכללות נוספות

גם למושג הסכמה יש מגבלות, לדוגמה, אין מושג של סכמת מנה של סכמה על פי יחס שקילות. אפילו כאשר היחס שקילות בעל תיאור מגאומטריה אלגברית, ואפשר לצפות משיקולים גאומטריים שמנה כזאת צריכה להיות, למשל כאשר מדובר במנה של סכמה על פי פעולה חופשית של חבורה סופית (שפועלת על ידי העתקות אלגבריות). כדי להתמודד עם מגבלה זאת פותח המושג מרחב אלגברי.
גם הכללה זאת איננה המילה האחרונה. המושג סטק אלגברי מהווה הכללה שלו. הכללה זאת לא נועדה כדי להרחיב את האובייקטים הגאומטריים שעליהם אפשר לדבר, אלה כדי להוסיף מידע נוסף (שאינו לחלוטין גאומטרי) ליריעה. באופן אינטואיטיבי, סטק אלגברי הוא גרופואיד אשר על אוסף האובייקטים שלו יש מבנה של יריעה אלגברית (או באופן כללי יותר מרחב אלגברי). בשונה מיריעות, סכמות ומרחבים אלגבריים, אוסף הסטקים האלגבריים אינו מהווה סתם קטגוריה, אלא 2-קטגוריה.
מקרה פרטי חשוב של סטק אלגברי שמכליל את המושג מרחב אלגברי הוא סטק דלין-ממפורד.
מתחילת המאה ה-21 כאשר מושג ה- \infty -קטגוריה תפס תאוצה בזכות עבודותיהם של יעקב לוריא (Jacob Lurie) ואחרים, הכלל מושג הסטק האלגברי למושג ה- n-סטק ו- \infty -סטק. לעיתים מכנים  n-סטק בשם  (n+1)-סכמה, כך שאפשר לקרוא ל- \infty -סטק גם  \infty -סכמות. אוסף ה- \infty -סטקים אינו מהווה סתם קטגוריה, אלא  \infty -קטגוריה.
מושג ה- \infty -קטגוריה הוליד גם הכללה של  \infty -סטקים והיא  \infty -סטקים נגזרים. הטבלה הבאה נועדה להסביר את האופי של הכללה הזאת:
| מהות האובייקט  X | מהות האובייקט  X(R) כאשר  R הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה | מהות אוסף הפונקציות על  X>  |
| --- | --- | --- |
| יריעה אלגברית | קבוצה | אלגברה חסרת נילפוטנטים אלגברה נוצרת סופית מעל שדה |
| סכמה | קבוצה | חוג קמוטטבי עם יחידה |
| מרחב אלגברי | קבוצה | חוג קמוטטבי עם יחידה |
| סטק דלין-ממפורד | גרופואיד בעל חבורת אוטומורפיזמים סופיות | חוג קמוטטבי עם יחידה |
| סטק אלגברי | גרופואיד | חוג קמוטטבי עם יחידה |
|  \infty -סטק |  \infty -גרופואיד. במילים אחרות טיפוס הומוטופי | חוג קמוטטבי עם יחידה |
|  \infty -סטק נגזר |  \infty -גרופואיד | חוג ניגזר קמוטטבי עם יחידה, זאת אומרת  \infty -גרופואיד בעל מבנה של חוג קמוטטבי עם יחידה. |
מושגים מקבילים

הגאומטריה המודרנית חוקרת מספר מחלקות של אובייקטים גאומטריים. יריעות אלגבריות מהוות אחת ממחלקות אלו, לצידם חוקרים גם יריעות טופולוגיות, יריעות חלקות (differentiable manifolds), יריעות אנליטיות, מרוכבות וממשיות, סוגים שונים של יריעות אלגבריות למחצה (למשל יריעות נאש), יריעות אנליטיות p-אדיות, מרחבים אנליטיים קשיחים, מרחבי ברקוביץ', מרחבים פרפקטואידים ועוד. שלוש המחלקות האחרונות הן גרסאות מודרניות ומעודנות יותר של יריעות אנליטיות p-אדיות. יריעות אלה בתורן הן גרסה לא ארכימדית של יריעות אנליטיות מרוכבות וממשיות. יריעות נאש הן יריעות ממשיות חלקות אלגבריות למחצה, הן דומות מאוד ליריעות אלגבריות ממשיות חלקות. אם נקבע  k=\mathbb {R} , נראה שטבעי להשוות בין יריעות אלגבריות, יריעות אנליטיות ויריעות חלקות. בהשוואה זאת, יריעות אלגבריות הן המחלקה הקשיחה ביותר, ויריעות חלקות הן המחלקה הגמישה ביותר. כל פונקציה אלגברית היא אנליטית וכל פונקציה אנליטית היא חלקה.
על ציר זה (גמישות/קשיחות) יריעות אנליטיות קרובת בהרבה ליריעות אלגבריות מאשר ליריעות חלקות. אחת הסיבות לכך היא שביריעות חלקות יש את משפט פיצול היחידה בעוד שביריעות אלגבריות ואנליטיות הוא לא יכול להתקיים מכיוון שהוא סותר את משפט היחידות (שלא מתקיים עבור פונקציות חלקות; אך מתקיים עבור פונקציות אלגבריות ואנליטיות). למעשה משפט ג.א.ג.א. של סר מתאר שקילות קטגורית בין יריעות אלגבריות פרויקטיביות מרוכבות ובין יריעות אנליטיות פרויקטיביות מרוכבות.
קשיחות זאת גורמת לכך שבמיקרים רבים על יריעה חלקה אחת יש רצף של מבנים של יריעה אלגברית או אנליטית.
הבדל מובהק בין יריעות אלגבריות ואנליטיות הוא העובדה שמשפט הפונקציה ההפוכה לא תקף במקרה האלגברי. הבדל זה הוא המוטיבציה המרכזית להגדרת טופולוגית אטל על יריעות אלגבריות. טופולוגיה זאת מאפשרת במקרים רבים להחליף את משפט הפונקציה ההפוכה ובכך לצמצם את הפער בין יריעה אלגברית ואנליטית. הבדל נוסף בין יריעות אלגבריות לאנליטיות נובע מכך שבעולם האנליטי (כמו גם בעולם החלק) לכל מד"ר יש פתרון ולרוב המד"רים אין פתרונות אלגבריים.
ברמה הפרקטית מה שמיחד יריעות אלגבריות משאר האובייקטים בגאומטריוה זה האלגבריות שלהן, זאת אמרת שניתן לתאר כל יריעה אלגברית באמצעות כמות סופית של מידע. דבר זה אינו אפשרי עבור אובייקטים גאומטריים אחרים.
הטבלה הבאה מסכמת את ההבדלים בין העולם האלגברי האנליטי והחלק במקרה הממשי:
|  | יריעות אלגבריות ממשיות | יריעות אנליטיות ממשיות | יריעות חלקות (דיפרנצאבילות) |
| --- | --- | --- | --- |
| משפט הפונקציה ההפוכה | לא תקף. המעבר לטופולגית אטל נועד כדי לפתור בעיה זאת | תקף | תקף |
| משפט הפונקציה הסתומה | לא תקף. אולם רק מפני שמשפט הפונקציה ההפוכה לא תקף. המעבר לטופולגית אטל פותר בעיה זאת | תקף | תקף |
| משפט היחידות | תקף | תקף | לא תקף |
| cutoff function | לא קיימות | לא קיימות | קיימות |
| משפט פיצול היחידה | לא תקף | לא תקף | תקף |
משפט יחידות למד"ר: תקף
| משפט קיום למד"ר | לא תקף | תקף | תקף |
| אוסף מחלקות האיזומורפיזם של אובייקטים קומפקטיים | רציף; מקומית ממד סופי | רציף; מקומית ממד סופי | בדיד |
| אוסף מחלקות האיזומורפיזם של אובייקטים כללים | אינסוף ממדי (גם מקומית) אך לא פיראי לחלוטין | פיראי לחלוטין | פיראי לחלוטין |
| הכללות עבור שדות אחרים | קיימות לכל שדה וגם מעבר לכך. | קיימות עבור שדות מקומיים, אך שונות למדי ובחלק מהמקרים ללא גרסה מוסכמת אחת | כמעט לא קיימות, לשדות מקומיים יש גרסאות מסוימות אך לא מפותחות ולא פופולריות. |
| נתנות לתיאור על ידי מידע סופי | כן | לא | לא |
סיווג

ישנן מחלקות רבות של ירעות שנחקרות במסגת הגאומטריוה אלגברית. התרשים הבא מסכם את חלקן.
דוגמאות > נקודה ויריעות 0-ממדיות אחרות

בהינתן שדה סגור אלגברית  k, הנקודה היא היריעה האלגברית הקשירה היחידה ממד 0 מעל  k. היא האובייקט הסופי בקטגוריה של יריעות אלגבריות מעל  k. כל יריעה אלגברית ממד 0 מעל  k היא קו-מכפלה של נקודות. זאת אומרת קבוצה סופית בדידה. לכן מחקר של יריעות אלגבריות ממד 0 לא מהווה עינין. מעל שדה לא סגור המצב מסובך יותר. למשל, אם השדה מושלם אז יריעות 0-ממדיות מעליו ניתנות לתיאור על ידי קבוצות סופיות יחד עם פעולה של חבורת גלואה האבסולוטית של השדה. אובייקט זה מסובך בהרבה, אך אינו גאומטרי כלל והמחקר שלו לא מתבצע במסגרת הגאומטריה האלגברית בדרך כלל. להבדיל, המצב עם סכמות אינו כזה. סכמות ממד 0 מסובכות בהרבה, אומנם הן עדין אובייקט אלגברי ביסודו, אך למחקר שלהן השלכות רבות בגאומטריה אלגברית.
דוגמאות > מרחב אפיני ומרחב פרויקטיבי

המרחב האפיני הוא הארכי טיפוס של הירעות האפיניות. לשאלות רבות על יריעות אפיניות יש רדוקציה למרחבים אפיניים. לדוגמה, ניתן לשכן את קטגורית האלומות הקוהרנטיות על יריעה אפינית לתוך קטגורית האלמות הקוהרנטיות על המרחב האפיני. למרות פשטותו היחסית, יש מספר השערות קשות הקשורת אליו. המפורסמת בהן היא השערת היעקוביאן.
חבורת האוטומורפיזמים של מרחב אפיני עשירה מאוד. היא אינסוף ממדית ומסובכת. ישנן מספר השערות הקשורות לחבורה זאת.
באופן דומה המרחב הפרויקטיבי הוא הארכי טיפוס של היריעות הפרויקטיביות. לשאלות רבות על יריעות פרויקטיביות יש רדוקציה למרחבים פרויקטיביים. יתר על כן, באמצעות הלמה של צ'ו ניתן גם להכליל תשובות לשאלות אלה ליריעות שלמות.
חבורת האוטומורפיזמים של מרחב פרויקטיבי עשירה למדי אך לא מסובכת. היא החבורה האלגברית הליניארית (מממד סופי)  PGL_{n+1}.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
 : 
סדרה של טרנספורציות (אלגבריות, הפיכות) של המישור האפיני, אשר הולכות ונהיות מסובכות יותר. טרמספורמציות אלה אינן אפיניות. טררנספורמציות אפיניות הן טרנספורמציות אלגבריות פשוטות ביותר (שילוב של הזזות וטרנספורמציות ליניאריות)
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |

דוגמאות לטרנספורמציות (אלגבריות, הפיכות) של המישור הפרויקטיבי. טרנספורמציות כאלה נקראות טרנספורמציות פרויקטיביות.
דוגמאות > עקומים

עקום אלגברי הוא יריעה אלגברית חד-ממדית. בדרך כלל דושים שעקום יהיה בלתי-פריק. אם לא דורשים זאת אז דורשים שכל רכיבי האי-פריקות שלו יהיו חד־ממדיים. עקום שלם הוא תמיד פרויקטיבי.
למרות פשטותם היחסית, המחקר של עקומים אלגבריים הוא עשיר ומאתגר.
משפטים רבים בגאומטריה אלגברית הוכחו תחילה עבור עקומים ואחר כך הוכללו עבור יריעות כלליות. במקרים רבים הוכחת המשפט לעקומים שונה מאוד מהרדוקציה מיריעה כללית לעקום. בהרבה מקרים ההוכחה לעקומים בתבססת על חישובים מפורשים בעוד שהרדוקציה למקרה של עקום מתבססת על כלים כללים של גאומטריה אלגברית.
דוגמאות > עקומים > עקומים שלמים חלקים

יש מיון ידוע של עקומים חלקים שלמים. האינווריאנט הממיין הראשי של עקומים כאלה הוא הגנוס. במקרה  k=\mathbb {C}  המרחב  X(\mathbb {C} ) הוא משטח טופולוגי סגור אורינטבילי, והגנוס של  X הוא הגנוס של  X(\mathbb {C} ) כמשטח טופולוגי. מזה נובע שמחלקת הדיפאומורפיזם של  X(\mathbb {C} ) תלויה רק בגנוס של  X אם  X הוא עקום שלם חלק מרוכב. בהינתן גנוס קבוע  g יש מבנה של יריעה אלגברית (ליתר דיוק של סטק דלין ממפורד) על אוסף כל מחלקות האיזומורפיזם של עקומים מגנוס  g.
יש עקום יחיד מגנוס 0. הוא הישר הפרויקטיבי. זה העקום החלק השלם היחיד המהווה יריעת פאנו. עקומים מגנוס 1 נקראים עקומים אליפטיים. יש משפחה חד פרמטרית של עקומים כאלה (הפרמטר נקרא אינווריאנט  j של העקום והוא רץ ב- k). לעקומים אליפטיים מקום מיוחד בחקר העקומים ובגאומטריה אלגברית בכלל. על כל עקום אליפטי יש מבנה של חבורה אלגברית. חבורת האוטומורפיזם של עקום אליפטי (כשחושבים עליו כיריעה) היא הרחבה סופית של העקום עצמו (כשחושבים עליו כחבורה). עקומים אליפטיים הם העקומים החלקים השלמים היחידים המהווים יריעות קאלאבי-יאו.
עקום אלגברי שלם חלק שהתפרסם בזכות הקשר שלו למשפט פרמה הוא עקום פרמה.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| הספירה של רימן: יצוג גאומטרי של הישר הפרויקטיבי המרוכב. הישר הפרויקטיבי הוא העקום האלגברי החלק השלם היחיד מגנוס 0 | טורוס - משטח טופולוגי סגור אוריינטבילי מגנוס 1. אם  X הוא עקום אליפטי (עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 1) אז  X(\mathbb {C} ) דיפאומורפי לטורוס. | משטח טופולוגי סגור אוריינטבילי מגנוס 2. אם  X הוא עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 2 אז  X(\mathbb {C} ) דיפאומורפי למשטח זה. | משטח טופולוגי סגור אוריינטבילי מגנוס 3. אם  X הוא עקום אלגברי חלק שלם מגנוס 3 אז  X(\mathbb {C} ) דיפאומורפי למשטח זה. |
דוגמאות > עקומים > עקומים חלקים

לכל עקום אלגברי חלק יש קומפקטיפיקציה (זאת אומרת עקום שלם המכיל אותו כתת-קבוצה פתוחה צפופה) חלקה יחידה. לכן ניתן למיין עקומים אלגבריים חלקים באמצעות עקומים חלקים שלמים. באופן מפורש יותר, כדי לתאר עקום חלק, צריך לתאר עקום חלק שלם ולהוציא ממנו קבוצה סופית של נקודות.
דוגמאות > עקומים > עקומים סינגולריים

אם העקום אינו חלק אז כל הסינגולריות שלו מבודדות. לכן נהוג לחקור עקומים לא חלקים רק מקומית בסביבת הסינגולריות. אין מיון מלא של כל הסינגולריות האפשריות של עקומים, אבל בהנחות מסוימות על הסינגולריות לעיתים קיים מיון. אחד הדברים שמקלים על המיון הזה היא העובדה שעקום נורמלי הוא תמיד חלק. לכן נורמליזציה של עקום מהווה התרת סינגולריות קנונית שלו.
דוגמאות > עקומים > עקומים מישוריים

עקום מישורי אפיני הוא עקום השוכן במישור האפיני בתור תת-קבוצה סגורה. עקום כזה תמיד ניתן להגדרה על ידי משוואה אחת (משני משתנים). המעלה של המשוואה הזאת נקראת המעלה של העקום. באופן דומה עקום מישורי פרויקטיבי ממעלה  k הוא עקום במישור הפרויקטיבי הנתון על ידי משוואה הומוגנית אחת ממעלה  k משלושה משתנים. אוסף כל העקומים המישוריים הפרויקטיבים ממעלה  d הוא מרחב פרויקטיבי ממד
 {\frac {(d+1)(d+2)}{2}}-1
ניתן לחלק מרחב זה לתתי יריעות לפי הטיפוסים השונים של העקומים. מיון של עקומים מישוריים ממעלה נתונה איננה משימה פשוטה. מנקודת מבט מודרנית, מבין כל משימות מיון העקומים המישוריים, קל יותר למיין עקומים מישוריים פוריקטיביים מעל שדה סגור אלגברית (למשל  \mathbb {C} ).
ולכן בדרך כלל מתחילים במקרה זה, אחר כך מנסים לעדן את המיון שיתאים לשדות אחרים (למשל  \mathbb {R} ) ולמקרה האפיני. אולם, היסטורית, שדה המרוכבים והגאומטריה הפרויקטיבית התפתחו מאוחר, לכן עקומים ממעלה נמוכה נחקרו תחילה במקרה הממשי האפיני.
עקומים מישוריים ממעלה 1 הם ישרים. אפשר לראות במיון של עקומים מישוריים ריבועיים כנקודת ההתחלה של הגאומטריה האלגברית, הוא היה ידוע עוד ביוון העתיקה.
במקרה האפיני הממשי הם:
פרבולה (איזומורפית לישר)
היפרבולה (איזומורפית לישר בלי נקודה)
אליפסה (איזומורפית למעגל)
שני ישרים מקבילים
שני ישרים נחתכים
מעגל עם רדיוס 0 (יריעה בעלת נקודה ממשית 1)
מעגל עם רדיוס שלילי (יריעה ללא נקודות ממשית כלל)
זוג ישרים מקבילים מדומים (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
ישר אחד (כפול)
המקרה הפרויקטיבי המרוכב פשוט יותר. יש רק שני סוגים של עקומים כאלה: ישר פרויקטיבי וזוג ישרים פרויקטיבים נחתכים.
המיון של עקומים מישוריים ממעלה שלישית מסובך בהרבה, הוא התבצע באופן חלקי על ידי ניוטון ובאופן מלא על ידי פלוקר וכלל למעלה מ-100 מקרים. בשונה ממעלות נמוכות יותר, יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של כאלה עקומים. אולם, במקרה הפריקטיבי המרוכב ניתן לתאר את כל העקומים האלה בקלות יחסית:
העקומים חלקים: אלה בדיוק העקומים האליפטיים. יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של עקומים כאלה, אך יריעות הנקודות שלהם הומיומורפיות.
עקום נודלי: עקום בלתי פריק עם סינגולריות נודלית. סינגולריות נודלית היא סינגולריות הנראית (מקומית בטופולוגית אטל או האנליטית) כמו זוג ישרים נחתכים. הנורמליזציה של עקום זה היא הישר הפרויקטיבי. אפשר לתאר את החלק האפיני של העקום על ידי המשוואה
y^{2}=x^{2}\cdot (x+1)
עקום קספידלי: עקום בלתי פריק עם סינגולריות יחידה בצורת חוד. גם הנורמליזציה של עקום זה היא הישר הפרויקטיבי. אפשר לתאר את החלק האפיני של העקום על ידי המשוואה  y^{2}=x^{3}
ישר ועקום (בליתי פריק) ממעלה 2 הנחתכים בשתי נקודות. עקום זה איזומורפי לאיחוד של שני ישרים פרויקטיביים הנחתכים ב-2 נקודות.
ישר ועקום (בליתי פריק) ממעלה 2 המשיקים בנקודה אחת. עקום זה איזומורפי לאיחוד של שני ישרים פרויקטיביים המשיקים בנקודה אחת.
שלושה ישרים הנחתכים ב-3 נקודות.
שלושה ישרים הנחתכים בנקודה אחת.
שני ישרים נחתכים (אחד מהם כפול)
ישר אחד (מריבוי 3).
הגנוס של עקום מישורי פרויקטיבי חלק ממעלה  d הוא  g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}
דוגמאות > משטחים

משטח אלגברי הוא יריעה אלגברית דו-ממדית. משטחים אלגבריים מסובכים בהרבה מעקומים אך עדיין פשוטים יותר מיריעות כלליות. משטחים חלקים שלמים הם תמיד פרויקטיביים אולם משטחים שלמים שאינם חלקים לאו דווקא.
דוגמאות > משטחים > סינגולריות של משטחים

סינגולריות של משטח נורמלי היא תמיד מבודדות, לכן כשחוקרים אותה בדרך כלל מתמקדים בסביבה של נקודה סינגולרית. גם כאן כמו בעקומים אין מיון כללי אולם אם מגבילים את הסינגולריות לפעמים ניתן למין אותן.
לדוגמה יש מיון אלגנטי של כל סוגי הסינגולריות של משטחים שהם רציונלים וגורנשטיין. המיון מתאים לסינגולריות אלה דיאגרמות דינקין מטיפוסים A,D,E (דיאגרמות ללא קשתות מרובות; simply laced diagrams). סינגולריות אלה נקראות סינגולריות דה-ואל (וגם סינגולריות קליין, סינגולריות משטחית פשוטה, נקודה רציונלית כפולה). ניתן לקשר בין סינגולריות אלה והתת חבורות הסופיות של  SO(3) (או של  SL_{2}) הממוינות על ידי אותן דיאגרמות. משפט בריסקונד גם מקשר בין סינגולריות אלה ואלגבראות הלי הפשוטות שמתאימות לאותן דיאגרמות.
סינגולריות דו-ואל ודיאגרמות דינקין שלהן
דוגמאות > משטחים > התרת סינגולריות

התרת סינגולריות עבור משטחים פשוטה יותר מאשר עבור יריעות אלגבריות כלליות. היא הוכחה על ידי זריצקי כעשור לפני שהוכחה על ידי הרונקה עבור יריעות אלגבריות כלליות (מעל שדה עם מאפיין 0). כמו כן היא הוכחה גם עבור מאפיין חיובי, בעוד שהתרת סינגולריות במקרה הכללי עודנה פתוחה עבור מאפיין חיובי.
דוגמאות > משטחים > מודל מינימלי

בכל מחלקת שקילות בירציונלית קיים משטח חלק שלם שאינו ניפוח (לאורך מרכז חלק) של אף משטח חלק אחר. משטח זה נקרה מודל מינימלי של המחלקה. ברוב המקרים משטח זה יחיד, ובאלה שהוא אינו יחיד יש תיאור פשוט לכל המודלים המינימליים. עובדה זאת מקלה על מיון המשטחים עד כדי שקילות בירציונלית.
בממדים גדולים יותר המצב מסובך יותר, הניסיונות להבין אותו נקראים "תוכנית המודל מינימלי".
דוגמאות > משטחים > משטחים במרחב

החקר של משטחים במרחב דומה במקצת לחקר עקומים מישוריים (אך מסובך בהרבה). גם כאן ניתן למין אותם לפי מעלתם. משטחים ממעלה 1 הם מישורים. במקרה הפרויקטיבי המרוכב יש רק 3 טיפוסי איזומורפיזם של משטחים ממעלה 2: מישור פרויקטיבי, זוג מישורים פרויקטיבים נחתכים והחרוט הריבועי. במקרה האפיני הממשי, יש את הטיפוסים הבאים:
פרבולואיד היפרבולי, גליל פרבולי, פרבולואיד אליפטי. כולם איזומורפיים למישור
זוג מישורים מקבילים
זוג מישורים נחתכים
גליל אליפטי
החרוט הריבועי
אליפסואיד
היפרבולואיד חד-יריעתי
היפרבולואיד דו-יריעתי
גליל מרדיוס 0 (יריעה שהנקודות הממשיות שלה מהוות ישר)
אליפסואיד מרדיוס 0 (יריעה שהנקודות בעלת נקודה ממשית 1)
אליפסואיד מרדיוס שלילי (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
גליל מרדיוס שלילי (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
זוג מישורים מקבילים מדומים (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
מישור אחד (כפול)
יש אינסוף טיפוסי איזומורפיזם של משטחים מרחביים ממעלה 3. אולם, יריעות הנקודות של משטחים מרוכבים פרויקטיביים חלקים ממעלה 3 כולן הומיאומורפיות. כמו כן כל אחד ממשטחים אלה מכיל בדיוק 27 ישרים.
אוסף כל המשטחים הפרויקטיביים במרחב ממעלה  d הוא מרחב פרויקטיבי מממד
 {\frac {(d+3)(d+2)(d+1)}{6}}-1
דוגמאות > היפר-משטחים

היפר-משטח הוא יריעה מממד  n-1 (במקרה שהיריעה פריקה דורשים את אותו התנאי על כל רכיב אי-פריקות) במרחב (פרויקטיבי או אפיני) מממד  n.
היפר-משטחים הם הכללה ישירה של עקומים מישוריים ומשטחים מרחביים. המחקר של היפר-משטחים קל יותר מאשר של יריעות כלליות. הסיבה המרכזית לכך היא שהם מוגדרים על ידי פולינום בודד. כך שלחקור אותם זה בעצם לחקור את הפולינום הזה. אפשר ללמוד הרבה על ההיפר משטח מפאון ניוטון של הפולינום הזה.
אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר להיפר-משטח סינגולרי היא הקונוס הריבועי. במקרה האפיני זאת היריעה המוגדרת על ידי המשוואה  \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}=0 כאשר  a_{i} הם פרמטרים קבועים שאינם מתאפסים. אם  k סגור אלגברית אז אין חשיבות לערכם של פרמטרים אלו.
אוסף כל ההיפר-משטחים הפרויקטיביים במרחב מממד  n ממעלה  d הוא מרחב פרויקטיבי מממד
 .{\binom {n+d}{d}}-1={\binom {n+d}{n}}-1
דוגמאות > חבורות אלגבריות ויריעות קשורות

חבורה אלגברית היא יריעה אלגברית שיש עליה מבנה של חבורה, כך שהעתקות הכפל והיפוך הן מורפיזמים של יריעות אלגבריות. לצד היותם מושא מחקר חשוב בתורת החבורות ותורת ההצגות, חבורה אלגברית מהוות מקור חשוב לדוגמאות של יריעות אלגבריות. בדרך כלל המחקר של חבורות אלגבריות מתחלק לשני סוגי חבורות:
יריעות אבליות - אלו הן חבורות אלגבריות אשר שלמות כיריעות אלגבריות.
חבורות ליניאריות - אלו הן חבורות אלגבריות אשר אפיניות כיריעות אלגבריות. באופן שקול אלו הן חבורות המהוות תתי-חבורות של  החבורה  GL_{n}.
במובן מסוים כל חבורה אלגברית מתקבלת משילוב של חבורת מסוגים אלו. (פורמלית: לפי משפט שבלה על המבנה של חבורות אלגבריות (Chevalley's structure theorem) כל חבורה אלגברית קשירה היא הרחבה של חבורה ליניארית ויריעה אבלית)
דוגמאות > חבורות אלגבריות ויריעות קשורות > יריעות אבליות

מנקודת מבט של תורת החבורות, יריעות אבליות אינן מציגות עניין רב. הן תמיד קמוטטיביות, ובמקרה  k=\mathbb {C}  חבורת הנקודות שלהן איזומורפית כחבורת לי לחבורה  SU(2)^{2n}. לכן עיקר המחקר עליהן הוא במסגרת הגאומטריה האלגברית. יריעות אבליות חד-ממדיות הן עקומים אליפטיים.
ליריעות האבליות יש תפקיד חשוב בגאומטריה אלגברית מכיוון שרכיב הקשירות של היחידה בחבורת פיקאר של יריעה אלגברית חלקה שלמה מעל שדה ממאפין 0 היא יריעה אבלית.
דוגמאות > חבורות אלגבריות ויריעות קשורות > חבורות ליניאריות

החבורות הרדוקטיביות מהוות תת-מחלקה חשובה של החבורות הליניאריות. מנקודת מבט של גאומטריה אלגברית חבורות רדוקטיביות הן המעניינות ביותר בין החבורות הליניאריות. לדוגמה אם  char(k)=0 אז כל חבורה ליניארית קשירה איזומורפית כיריעה אלגברית לחבורה רדוקטיבית כפול מרחב אפיני. יש מיון של חבורות רדוקטיביות הדומה למיון של אלגבראות לי פשוטות למחצה אך קצת יותר מסובך. מיון זה כולל בין היתר את הסדרות הבאות:
 GL_{n},
 PGL_{n},
 SL_{n},
 SO_{n},
 SP_{n}.
מיון זה נותן בנק של דוגמאות של יריעות אלגבריות. מלבד החבורות עצמן. חבורות אלה מהוות בסיס לבנייתן של יריעות נוספות.
דוגמאות > חבורות אלגבריות ויריעות קשורות > מרחבי מנה

אם  H<G תת-חבורה סגורה, אז המנה  G/H היא יריעה קוואזי-פרויקטיבית. נניח לצורך דיון זה כי  G חבורה רדוקטיבית.
יריעות דגלים:
אם היריעה  G/H היא פרויקטיבית אז היא נקראת יריעת דגלים (חלקית) ו- H נקראת תת-חבורה פרבולית. יש מיון של תתי-חבורות פרבוליות (הן מתאימית לתתי-קבוצות של קבוצת השורשים הפשוטים של אלגברת הלי של  G) קימת תת-חבורה פרבולית מינימלית יחידה. היא נקראת תת-חבורת בורל (במקרה ש- k סגור אלגברית). יריעת הדגלים המתאימה נקרת יריעת דגלים המלאים. במיקרה של  GL_{n} יריעת הדגלים היא אוסף כל הסדרות העולות של תת-מרחבים ב- k^{n} ממדים נתונים. סדרה כזאת נקראת דגל. אם הסדרה היא מקסימלית (ז"א שהממדים הם בדיוק כל המספרים מ1 עד n) אז הדגל נקרא דגל מלא וכך מתקבלת יריעת הדגלים המלאים. דוגמאות נוספות ליריעות דגלים של  GL_{n} הן המרחב הפרויקטיבי (יריעת כל תתי המרחבים ממד 1 ב- k^{n}) והכללתו - יריעת גרסמן (יריעת כל תתי המרחבים ממד  m ב- k^{n}).
יריעות סימטריות: אם  H היא חבורת נקודות השבת של אוטומורפיזם מסדר 2 של  G אז היא נקראת תת-חבורה סימטרית של  G והמנה  G/H נקראת יריעה סימטרית. יש מיון של יריעות סימטריות (ביחס לחבורות רדוקטיביות) הדומה למיון של חבורות רדוקטיביות אך מסובך ממנו. הדוגמה הקלאסית למרחב סימטרי היא מרחב התבניות הריבועיות הלא מנוונות על מרחב ליניארי, ביחס לפעולת החפיפה של  GL_{n}.
כל חבורה  G היא מרחב סימטרי ביחס לחבורה  G\times G. אפשר לחשוב על יריעות סימטריות כעל הכללה של דוגמה זאת, וכך על חקר של יריעות סימטריות כעל הכללה של תורת החבורות האלגבריות.
יריעות ספריות: יריעה ספרית היא יריעה נורמלית  X עליה פועלת חבורה אלגברית (רדוקטיבית)  G כך שלתת-חבורת בורל של  G יש מספר סופי של מסלולים על  X. מחקר של מרחבים ספריים בדרך כלל מתמקד במרחבים ספריים טרנזיטיביים. אם
 G/H הוא מרחב ספרי אז  H נקראת תת-חבורה ספרית. כל יריעה סימטרית הוא ספרית. יריעות דגלים גם כן ספריות.
יש מיון של יריעות ספריות טרנזיטיביות אפיניות הדומה למיון של יריעות סימטריות אך מסובך ממנו בהרבה.
דוגמאות > חבורות אלגבריות ויריעות קשורות > יריעות שוברט

יריעת שוברט היא סגור של מסלול של תת-חבורה פרבולית  P<G על יריעת דגלים של  G. חקר יריעות שוברט והאינטראקציה ביניהן הוא תחום חשוב בגאומטריה אלגברית. לתחום זה יש שימושים רבים בתורת ההצגות. הקשר בין יריעות שוברט לתורת ההצגות מבוסס על
השערות קשדן-לוסטיג
שהוכחו על ידי בילינסון-ברנשטיין וברלינסקי-קשיווארה.
יש אנלוג של יריעת שוברט עבור מרחבים ספריים: סגור של מסלול של חבורה פרבולית על מרחב סימטרי.