stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משפט דייוויס-קהאן
רעיונות מרכזיים בהוכחה

נתבסס על ההוכחה של המשפט במאמר של דייוויס וקהאן. תחילה, נשתמש בטענת עזר - תהי נורמה נשמרת אוניטרית ויהיו  \alpha \geq 0,\delta >0 ויהיו שני אופרטורים שמקיימים  \Vert A^{-1}\Vert \leq (\alpha +\delta )^{-1} וגם  \Vert B\Vert \leq \alpha  ויהי אופרטור  X אזי האופרטור:
מקיים  \Vert C\Vert \leq \delta \Vert X\Vert .
הוכחת טענת העזר: מתת-כפליות של נורמה נשמרת אוניטרית,  \Vert XB\Vert \leq \alpha \Vert X\Vert  וגם  \Vert AX\Vert \geq (\alpha +\delta )\Vert X\Vert  ומאי-שוויון המשולש:
כנדרש.
כעת נכתוב בצורה יותר מפורשת את המטריצות:
A+H={\begin{pmatrix}\ E_{0}&E_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Lambda _{0}+H_{0}&B^{*}\\B&\Lambda _{1}+H_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ E_{0}^{*}\\\ E_{1}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ F_{0}&F_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {M} _{0}&0\\0&\mathrm {M} _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ F_{0}^{*}\\\ F_{1}^{*}\end{pmatrix}}
מהכתיבה המפורשת של המטריצות ניתן להסיק  AE_{0}=E_{0}\Lambda _{0}. לכן:
כעת, מפני שנורמת האופרטור  F_{1} חסומה על ידי  1, מתת-כפליות  \Vert R\Vert =\Vert R^{*}\Vert \geq \Vert R^{*}F_{1}\Vert . נקבל:
נוסיף לאופרטור  A כפולה של מטריצת היחידה (ניתן לעשות זאת מכיוון שזה לא משנה את המרחבים העצמיים) כך שנקבל  0\leq \alpha =-\beta . בצורה הזו מהנתון בתנאי המשפט על ההפרש בספקטרום, נוכל להשתמש בטענת העזר:
לבסוף, ניתן להראות שלאופרטור  E_{0}^{*}F_{1} יש אותם ערכים סינגולריים כמו ל- \sin(\Theta ), ומפני שנורמה נשמרת אוניטרית היא פונקציה של הערכים הסינגולריים של האופרטור, מתקיים:
היסטוריה

המשפט של דייוויס-קהאן נולד מתוך התפתחות תורת ההפרעות של מטריצות, תחום שקיבל תשומת לב רבה במאה ה-20. בעבודות מוקדמות, כמו הספר של טוסיו קאטו(אנ') - "תורת ההפרעות לאופרטורים ליניאריים" משנת 1966, נדרשה רמת דיוק גבוהה יותר בניתוח מטריצות, דבר שהשפיע על התחום המתמטי והרחיב את הידע בהקשר של ניתוח ספקטרלי. במקביל, אנליסטים נומריים תרמו להבנת יציבות ערכים עצמיים ותתי מרחבים עצמיים של מטריצות מופרעות, ובמיוחד דרך עבודותיהם של ג'יימס הארדי וילקינסון(אנ') ואחרים.
בשנת 1970 יצא משפט דייוויס-קהאן שהפך לכלי מרכזי בהבנת רגישותם של תתי מרחבים ספקטרליים להפרעות, בכך שהציע גבול ברור על הזווית בין מרחבים עצמיים של מטריצה ומטריצה מופרעת. תוצאה זו הייתה חשובה במיוחד לאנליסטים נומריים, והיא הובילה לפיתוחים נוספים בתחום. בשנת 1972, תוצאות אלו הורחבו על ידי וודין למטריצות לא הרמיטיות, מה שאִפשר את יישום התיאוריה גם במקרים של מטריצות מלבניות כלליות. במאמר מ-2015 של יו טנגיאו וואנג וריצ'רד סאמוורת' הותאמה תוצאת דייוויס-קאהן להקשרים סטטיסטיים, עם תנאי הפרדה מקלים בין ערכים עצמיים של אוכלוסייה ומדגם, מה שהרחיב את השימוש בה ואפשר גישה ליישומים מעשיים. בשנת 2018, שיפרו אלדרידג', בלקין ו-וואנג את חסמי ההפרעה הקלאסיים על ידי התחשבות ברעש אקראי. הם הציעו חסמים מדויקים יותר להפרעות בערכים עצמיים ובווקטורים עצמיים, והתוצאות עלו בביצועיהן על אלו של משפטים מסורתיים כמו משפט וייל ברבים מהמקרים המעשיים. חשוב לציין שרשימת הפיתוחים הנ"ל אינה ממצה את מה שקיים בספרות המתמטית.
היסטוריה > הקשר לתורת ההפרעות

משפט דייוויס-קהאן קשור ישירות לתורת ההפרעות, תחום במתמטיקה ובפיזיקה שמתמקד בניתוח השפעות של שינויים קטנים במערכות על הפתרונות שלהן. בתורת ההפרעות, נבחנים שינויים קטנים במטריצות, אופרטורים, או מערכות דינמיות, וכיצד שינויים אלו משפיעים על הערכים העצמיים, הווקטורים העצמיים או תוצאות אחרות.
המשפט והרחבותיו מהווה למעשה תוצאה בתורת ההפרעות עבור מטריצות, כאשר יש עניין באמידת השינוי שנגרם לווקטורים העצמיים בעקבות הוספת הפרעה קטנה. משפט דייוויס-קהאן מספק כלים פורמליים למדידת שינויים אלו.
דוגמה קלאסית לשימוש בתורת ההפרעות מופיעה בפיזיקה קוונטית, שם אופרטורים המייצגים גדלים פיזיקליים מתוארים כמטריצות הרמיטיות, והערכים העצמיים מייצגים תוצאות אפשריות של מדידות. הפרעות קטנות באופרטורים אלו, כגון שדה חיצוני, משפיעות על הערכים והווקטורים העצמיים של המערכת. תורת ההפרעות מאפשרת לחשב את השינויים האלו, ומשפט דייוויס-קהאן מספק חסמים לשינויים אלו עבור וקטורים עצמיים.
דוגמאות לשימושים > מודל Spiked Covariance

מודל זה עוסק באומדן וקטור עצמי מוביל של מטריצת שונות משותפת מדגמית. במצבים בהם הווקטור העצמי המוביל בולט בצורה משמעותית על פני וקטורים אחרים, באמצעות משפט דייוויס-קהאן ניתן להעריך את מידת הקרבה בין הווקטור העצמי האמיתי לבין זה שנאמד על בסיס דגימות אקראיות. באופן פורמלי, יהיו  X_{1},...,X_{n}{\overset {i.i.d}{\sim }}(0,\Sigma ) וקטורים אקראיים ב -  \mathbb {R} ^{d}. נניח שמטריצת השונות המשותפת,  \Sigma  היא  \Sigma =\theta vv^{T}+I_{d} עבור  \theta >0 ו -  v\in \mathbb {R} ^{d} וקטור בגודל יחידה ( \Vert v\Vert =1). מההגדרה הנ"ל, הערך העצמי הגדול ביותר של מטריצה  \Sigma  הוא  1+\theta  עם וקטור עצמי מתאים  v. אנחנו מעוניינים להסיק מהו  v על סמך דגימות. תהי  \Sigma _{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}X_{i}^{T} ויהי  v_{n} הווקטור העצמי (בגודל יחידה) המוביל של  \Sigma _{n} נשתמש בחישוב הבא:
כעת, מאי שוויון קושי שוורץ,  |v^{T}v_{n}|\leq \Vert v_{n}\Vert \cdot \Vert v\Vert =1 לכן:
2-2|v^{T}v_{n}|\leq 2-2|v^{T}v_{n}|^{2}=2-2\cdot {\frac {|v^{T}v_{n}|^{2}}{(\Vert v_{n}\Vert \Vert v\Vert )^{2}}}=2-2\cos ^{2}(\angle (v,v_{n}))=2\sin ^{2}(\angle (v,v_{n}))
מפני שההפרש בין הערך העצמי המוביל לכל הבאים הוא  \theta , נשתמש ב (הרחבה לסטטיסטיקאים של) משפט דייוויס-קהאן ונקבל:
תחת הנחות נוספות ניתן לקבל חסם על  \Vert \Sigma _{n}-\Sigma \Vert _{F} והערכה על קצב הדעיכה של  \Vert v_{n}-v\Vert .
דוגמאות לשימושים > מודל בלוקים סטוכסטי

נראה שימוש למקרה פרטי של מודל בלוקים סטוכסטי. יהי גרף שקבוצת הקודקודים בו מחולקת לשתי קהילות שבה כל זוג נקודות בתוך הקהילה מחוברות זו לזו בהסתברות  p וכל זוג נקודות בקהילות שונות מחוברות זו לזה בהסתברות  q. מטריצת השכנויות של הגרף מוגדרת באופן הסתברותי כך ש- A_{i,j} מתפלג ברנולי בהסתברות  p אם  i,j באותה קהילה ומתפלג ברנולי בהסתברות  q אם הם בקהילות שונות. נשים לב לכך שהתוחלת של המטריצה  A היא:
\ P=\mathbb {E} (A)={\begin{bmatrix}p&p&\cdots &q&q&\cdots \\p&p&\cdots &q&q&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\cdots \\q&q&\cdots &p&p&\cdots \\q&q&\cdots &p&p&\cdots \\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}
משמע  \mathbb {E} (A)_{i,j} מטריצת בלוקים שכל אחד מארבעת הבלוקים מטריצה שמקבלת רק הערך  p או  q בהתאמה. אפשר להראות שהדרגה של  P היא  2, שהערך העצמי המוביל הוא  \lambda _{1}=({\frac {p+q}{2}})n והווקטור העצמי המתאים לו הוא:
u_{1}(P)={\frac {1}{\sqrt {n}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\\1\end{bmatrix}}
הערך העצמי השני הוא  \lambda _{1}=({\frac {p-q}{2}})n והווקטור העצמי המתאים לו:
u_{2}(P)={\frac {1}{\sqrt {n}}}{\begin{bmatrix}1\\\vdots \\1\\-1\\\vdots \\-1\end{bmatrix}}
נרצה לנחש את הקהילות המקוריות באמצעות קירוב את הווקטור העצמי השני (אם  u_{2}(P)_{i}=1 אז  i בקהילה אחת ואם  u_{2}(P)_{i}=-1 אז  i בקהילה השנייה). נשתמש במשפט הבא:
תהי  E מטריצה ממשית מסדר  n\times n עם איברים  e_{ij} שכל אחד משתנה מקרי בעל תוחלת  0 ומתפלג תת-גאוסית עם נורמת תת-גאוסית  k. לכל  t>0 קיים  C קבוע כך שאי השוויון הבא מתקיים:
מכאן, מפני שהמטריצה נגדיר מטריצה חדשה  E=A-P מקיימת את תנאי המשפט, בהסתברות גבוהה מתקיים:
בנוסף, ההפרש בין הערך העצמי השני לערכים העצמיים הקרובים אליו (הראשון והשלישי) של  P הוא:
מכאן, בשימוש בהרחבה של משפט דייוויס-קהאן לסטטיסטיקאים, נקבל בהסתברות גבוהה שקיים  \epsilon \in \{-1,1\} עבורו הווקטור העצמי השני מקיים:
\ \Vert u_{2}(A)-\epsilon u_{2}(P)\ \Vert \leq {\frac {2^{3/2}\Vert E\Vert _{op}}{\delta }}\leq {\frac {2C}{\min(q,{\frac {p-q}{2}}){\sqrt {n}}}}
ניתן להראות שמספר האינדקסים בהם הסימן של  \epsilon u_{2}(P)_{i} שונה מזה של  u_{2}(A)_{i} שואף ל- 0 כאשר  n שואף לאינסוף. לכן, עבור  n מספיק גדול, בהסתברות גבוהה מספר טעויות הסיווג יהיה קטן.
ראו גם

תורת ההפרעות


משפט הפירוק הספקטרלי


ספקטרום (מתמטיקה)


פירוק לערכים סינגולריים


אי-שוויון וייל


מודל בלוקים סטוכסטי


מודל spiked covariance


תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)
הערות שוליים

↑  P. Zhu and A. V. Knyazev (2013). "Angles between subspaces and their tangents". J. Numer. Math. 21 (4).
↑  Mirsky, L. (1960). "Symmetric Gauge Functions and Unitarily Invariant Norms". The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford University Press. 11 (1): 50–59. doi:10.1093/qmath/11.1.50. נבדק ב-2024-10-14.
↑  Higham, Nicholas (2021-02-02). "What is a unitarily invariant norm". Nicholas Higham's Blog. נבדק ב-2024-10-06.
↑  Bhatia, Rajendra (1997). Matrix Analysis. Springer. p. 94. נבדק ב-2024-10-06.
↑  Chandler Davis and W. M. Kahan (1970). "The Rotation of Eigenvectors by a Perturbation". SIAM Journal on Numerical Analysis. 7 (1): 10.
1 2 3  Chandler Davis and W. M. Kahan (1970). "The Rotation of Eigenvectors by a Perturbation". SIAM Journal on Numerical Analysis. 7 (1).
1 2  Per-Ake Wedin (1972). "Perturbation Bounds in Connection with Singular Value Decomposition". BIT. 12.
1 2  Yu, Y.; Wang, T.; Samworth, R. J. (2015). "A useful variant of the Davis–Kahan theorem for statisticians". Biometrika. Oxford University Press. 102 (2). doi:10.1093/biomet/asv008.
↑  Kato, Tosio (1966). Perturbation Theory for Linear Operators. Berlin: Springer-Verlag.
↑  Eldridge, Justin; Belkin, Mikhail; Wang, Yusu (2016).  Mohri, Mehryar; Sridharan, Karthik (eds.). Unperturbed: spectral analysis beyond Davis-Kahan (PDF). Proceedings of the 29th Conference on Learning Theory. New York, NY, USA: PMLR. pp. 1497–1561. נבדק ב-2024-10-06.
1 2  Rinaldo, Alessandro; Tomaselli, Lorenzo (2019-04-16). 36-709: Advanced Statistical Theory I, Lecture 23 (PDF). Pittsburgh, PA: Carnegie Mellon University. נבדק ב-2024-10-06.
↑  Vershynin, Roman (2024-05-20). High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science. Theorem 4.4.5 (Norm of matrices with sub-gaussian entries): University of California, Irvine. נבדק ב-2024-10-06.{{cite book}}:  תחזוקה - ציטוט: location (link)
יעל גרמן

ערך זה עוסק בשרת הבריאות וראש עיריית הרצליה לשעבר. אם התכוונתם למוזיקאית ישראלית, ראו .
יעל גרמן (נולדה ב-5 באוגוסט 1947, י"ט באב ה'תש"ז) היא פוליטיקאית ישראלית. כיהנה כשרת הבריאות בין השנים 2013 ו-2014, כחברת הכנסת מטעם מפלגת "יש עתיד", וכחברת רשימת כחול לבן. כיהנה גם כראש עיריית הרצליה בשנים 1998–2013. לקדנציה הראשונה שלה בראשות העירייה נבחרה מטעם מפלגת מרצ ובבחירות בשנים 2003 ו-2008, התמודדה עם רשימה-בת של מרצ, "הרצליה שלנו". במרץ 2020 התפטרה מן הכנסת עקב אירוע מוחי שעברה. כיהנה כשגרירת ישראל בצרפת בשנת 2022 למשך פחות מחצי שנה, אך פרשה מתפקידה עקב הקמת ממשלת ישראל השלושים ושבע.
ראשית חייה

גרמן נולדה בחיפה לבנימין, איש עסקים יליד הונגריה, ולאדלה ארנר, מורה לשירה ילידת רומניה, ולה אחות גדולה ממנה. בילדותה עברה משפחתה לרמת גן. כשהייתה בת תשע עברה לגור במשך שנה באיסטנבול, שם הקים אביה בית חרושת למכונות תפירה, ושם גם למדה במנזר, וחוותה אנטישמיות כילדה. לאחר שובם לארץ, חזרה המשפחה להתגורר ברמת גן, והיא סיימה את בית הספר התיכון בגבעתיים.
היא נישאה בגיל 19 ובשל כך לא שירתה בצה"ל, והחלה ללמוד במכללת לוינסקי לחינוך למורים והוסמכה למורה. גרמן בוגרת אוניברסיטת תל אביב בהיסטוריה כללית, ובעלת תואר שני במנהל עסקים בהתמחות במנהיגות ציבורית מהמרכז הבינתחומי הרצליה (משנת 2007).
בשנת 1980 ייסדה את בית-הספר למבוגרים "תהיל"ה" בהרצליה, אותו ניהלה עד שנת 1987. על פעילותה בו הוענק לה פרס בשנת 1986. בין השנים 1987 ל-1994 ניהלה מפעל לאלקטרוניקה. בהמשך שימשה מנכ"ל משותף בחברת "יועצים לתקשורת המונים", לצד יריב בן אליעזר.
בשנת 1988 הצטרפה למפלגת "שינוי" של אמנון רובינשטיין. בשנת 1992, עם הקמת מרצ, שהייתה אז עדיין רשימה אחת לכנסת אך כקואליציה של שלוש מפלגות, הצטרפה גרמן למרצ. כאשר אנשי "שינוי" בראשות אברהם פורז פרשו ממרצ, נשארו גרמן ורובינשטיין במפלגה. עד מהרה נבחרה גרמן ליו"ר הסניף של מרצ בהרצליה, וב-1993 נבחרה כחברת מועצת העיר מטעם המפלגה.
ראשות עיריית הרצליה

גרמן כיהנה כראש העירייה במשך שלוש קדנציות. בשנת 1998 נבחרה לכהונה ראשונה, בסיבוב שני. בכך הייתה גרמן לאישה הראשונה שכיהנה בתפקיד זה בהרצליה, והיחידה אי פעם מטעם מרצ. בשנת 2003 נבחרה לכהונה שנייה, בתמיכת 56% מהמצביעים. בפברואר 2005 התמנתה ליו"ר ועדת החינוך במרכז השלטון המקומי. בנובמבר 2008 נבחרה לכהונה שלישית בראשות העירייה, הפעם ברוב של 62%, ורשימתה "הרצליה שלנו" זכתה בשבעה מושבים במועצת העיר.
כראש עיר ניהלה גרמן תקציב של למעלה ממיליארד ש"ח בשנה, תוך שמירה על איזון תקציבי וניהול כספי יציב. הוכחה לכך ניתנה כשהעיר הרצליה קיבלה, בדומה לעיריית רעננה ועיריית תל אביב, דירוג אשראי של ilAAA/Stable (הדירוג הגבוה ביותר בסולם דירוג האשראי המקומי) מחברת דירוג האשראי S&P מעלות.
גרמן עמדה בראש מאבק למניעת הרחבת פריסת האנטנות הסלולריות, מאבק שהביא אותה לעימות עם פורום החברות הסלולריות. בעקבות המאבק חוקק "חוק האנטנות הסלולריות", המחייב את החברות המפעילות רשתות סלולריות לקבל אישור מוועדת התכנון והבנייה המחוזית כדי להציב אנטנה.
בקדנציה הראשונה שלה הקימה את "תיאטרון אנסמבל הרצליה" ואת המרכז העירוני לתיאטרון, שפעלו תחילה באוהל שהוקם בסמוך לאצטדיון הכדורגל העירוני, ולאחר מכן עברו למשכן קבע בבית חיל האוויר שהוקם בעיר. עם זאת, עלויות תפעול גבוהות, קושי בגיוס חסויות והכנסות נמוכות מהצפוי ממכירת כרטיסים, קלעו את האנסמבל לגירעון תקציבי שהלך וגדל. גרמן שאפה לשפר את מצבו של האנסמבל באמצעות עמותה פרטית שבה כיהנה כיו"ר. עד 2004, אז הפכה העמותה לעירונית, הזרימה עיריית הרצליה 7.2 מיליון שקלים לעמותה. ב-2005 הגיש מבקר העירייה נתן לביא דו"ח בו נטען כי העירייה תמכה באנסמבל בהיקפים חריגים ביחס לתמיכה לה זכו עמותות אחרות. כמו כן נטען בדו"ח כי לא בכל המקרים דווחו העברות הכספים. זמן קצר לאחר סיום כהונתה נסגר "תיאטרון אנסמבל הרצליה".
גרמן הקימה את הספורטק העירוני ולאחר מכן את בית הנוער. בעת כהונתה הוקמו בעיר קניון שבעת הכוכבים וקניון ארנה הרצליה, ונחנך בית חיל האוויר. בקדנציה השנייה שלה הובילה גרמן שיפוץ נרחב של מרכז העיר ובעיקרו רחוב סוקולוב, הרחוב הראשי של העיר, לשם הרחבה ניכרת של מדרכותיו, כחלק מפרויקט הידוע בשם "המרכז החדש של הרצליה". במסגרת הפרויקט נפתחו במרכז העיר סינמטק הרצליה ובית האזרח, אליו עבר תיאטרון אנסמבל הרצליה. בקדנציה זו נפתח פארק הרצליה ובית משפט השלום עבר למבנה חדש, מרווח ומודרני.
ב-10 בנובמבר 2006 הייתה גרמן לראש העירייה הראשונה במדינת ישראל שהביעה סולידריות עם הקהילה הלהט"בית, והשתתפה בעצרת הגאווה באצטדיון האוניברסיטה העברית בגבעת רם בירושלים. היא אמרה בעניין:
”איך יעלה על הדעת שאלימות תמנע זכות אלמנטרית כזו במדינת ישראל? אם אנחנו נחשוש - בואו נלך הביתה. לאף איש ציבור שחושש מאיומים, אין זכות קיום ציבורית”.
גרמן פעלה ללא הצלחה לקידום סגירתו של שדה התעופה הרצליה, בנימוק שההמראות והנחיתות בו מסכנות את חיי התושבים בשכונת גן רש"ל הסמוכה לו. בתפקידה זה נמתחה על גרמן ביקורת על שפעלה לקידום מינויו של מקורבה שרגא אלקלעי לתפקיד מנכ"ל החברה הכלכלית, על אף העובדה שוועדת איתור לבחירת מנכ"ל בחרה בחן סאלטי. גרמן גנזה את מסקנות הוועדה ומינתה לתפקיד את אלקלעי "לאור היכרותו עם המערכת המוניציפלית בכלל, והמערכת בהרצליה בפרט, ולנוכח יחסי האמון השוררים בינו ובינה". בתגובה התפטרו ארבעה חברי דירקטוריון החברה הכלכלית, בהם שני חברי ועדת האיתור. עד עזיבת ראשות העיר, שימשה גרמן יו"ר החברה הכלכלית לפיתוח הרצליה, יו"ר תאגיד התרבות, יו"ר תיאטרון אנסמבל הרצליה ויו"ר צוות ההיגוי של הביאנלה בהרצליה.
פעילות בכנסת ובממשלה > הכנסת ה-19

לקראת הבחירות לכנסת ה-19 הודיעה גרמן על הצטרפותה למפלגת "יש עתיד". זמן קצר לאחר מכן הודיעה על התפטרותה מתפקידה בראשות העיר, כדי שתוכל להקדיש מזמנה למערכת הבחירות. גרמן הוצבה במקום השלישי ברשימת "יש עתיד" לכנסת ונבחרה לכנסת לאחר שהמפלגה זכתה ב-19 מנדטים.
גרמן פעלה לקרוב לבבות עם האוכלוסייה הלא-יהודית בישראל, ואף גילתה יחס ליברלי לנישואים בין-דתיים. היא נתנה דגש לכך בשיאו של מבצע צוק איתן, כשבאה לתמוך ביהודייה שהתאסלמה ובן זוגה, בעת שחוגי הימין הקיצוני הפגינו נגדם וניסו למנוע את חתונתם. כמו כן, דוגלת גרמן בגישה שמקלה על איחוד משפחות בין אזרחי ישראל לבין תושבי רצועת עזה ויו"ש שאינם אזרחי ישראל.
פעילות בכנסת ובממשלה > הכנסת ה-19 > שרת הבריאות 2013–2014

ב-18 במרץ 2013 הושבעה גרמן כשרת הבריאות. שימשה כחברה בוועדת השרים לענייני חקיקה. ההחלטה הראשונה שקיבלה גרמן כשרת הבריאות הייתה לבחון מחדש את הסעיף בשאלון תורם דם האוסר על הומואים שקיימו יחסי מין עם גברים לתרום דם בישראל. החלטה נוספת שקיבלה הייתה בנוגע להפסקת ההפלרה הגורפת של מי שתייה בישראל. משנת 2002 חייב משרד הבריאות את כל ספקי המים בישראל להוסיף פלואוריד למי השתייה בכל יישוב המונה מעל 5,000 איש. בעקבות החלטתה של גרמן, הופסקה ההפלרה בראשית 2014.
בתקופתה של גרמן כשרה, הוסכם גם על ביטול הרחבת טיפולי השיניים לילדים, שהייתה אמורה להיכנס לתוקף ביולי 2013. למשרד הבריאות הובטח תקציב של 80 מיליון ש"ח לצורך הרחבת טיפולי שיניים לילדים עד גיל 14, אולם על רקע גירעון של 40 מיליארד ש"ח בתקציב המדינה שנוצר בשנת 2012, בוטלה ההרחבה במסגרת חוק ההסדרים.
בנובמבר 2013 פורסם דבר הקמת מועצה לאומית למניעת התאבדויות. המועצה נועדה לפעול להקטנת הנגישות לאמצעי התאבדות, לפיקוח על מקומות המועדים לפורענות, ולהכשרת 'שומרי סף' שיאתרו תושבים בסיכון להתאבדות ויפנו אותם לאבחון מקצועי במרפאות הציבוריות לבריאות הנפש של משרד הבריאות בהליך הפניה מהיר. המועצה מתוקצבת בכ-40 מיליון ש"ח בשנה. גרמן פעלה לפתיחת מרפאה פסיכיאטרית למסתננים מאפריקה, כמו גם לקידום הוצאתו לדרך של מיזם לסבסוד הטיפול התרופתי במסתננים נשאי HIV וחולי איידס.
ב-30 במרץ 2014 פיזרה גרמן את דירקטוריון קופת חולים מאוחדת וביטלה את תקנון הקופה. ברקע המהלך עמדה שורת חשדות, לפיהן הבחירות לדירקטוריון התנהלו בצורה לא כשרה, וכי אופן הפעולה לקראת איתור המועמדים לבחירות "נועד לסמן מראש את זהות המתמנים או להבטיח השפעה מהותית של גורמים מוגדרים בקופה על קביעת זהותם, בדרך אחרת, בבחינת 'אותה גברת בשינוי אדרת'". במקום הדירקטוריון שפוזר מינתה גרמן דירקטוריון זמני, ובראשו עורך הדין יעקב כהן.
ב-3 באפריל 2014 פורסם כי גרמן החליטה שלא לאפשר כל סוג של כריית פוספטים בשדה בריר הסמוך לערד, זאת לאור חוות דעתו של המומחה שנשכר בעניין על ידי משרד הבריאות.
כחלק מהמלצות ועדת גרמן לחיזוק הרפואה הציבורית בישראל, הקימה גרמן את רשות בתי החולים הממשלתיים, אשר תפקידה לנהל את בתי החולים בנפרד ממשרד הבריאות.
בדצמבר 2014 פרשה גרמן מהממשלה, יחד עם יתר שרי יש עתיד, בעקבות פיטוריו של ראש המפלגה ממשרת שר האוצר.
פעילות בכנסת ובממשלה > הכנסת ה-20

לקראת הבחירות לכנסת ה-20, הוצבה בשנית במקום השלישי ברשימת יש עתיד ונבחרה לכהונה נוספת, לאחר שמפלגתה זכתה ב-11 מנדטים. היא כיהנה כחברה בוועדת הפנים והגנת הסביבה ובוועדת חוק, חוקה ומשפט. בנוסף, עמדה בראש שלוש שדולות: השדולה לבריאות ציבורית, השדולה למען זכויות בעלי החיים והשדולה לקהילה הגאה (בשיתוף עם חברי הכנסת יואב קיש, מרב מיכאלי ומיכל רוזין). שימשה כחברה בשדולה לחיזוק ופיתוח הכלכלה הערבית. באותה קדנציה הוכתרה כחברת הכנסת במקום ה-2 במדד דירוג פעילותם הפרלמנטרית של חברי הכנסת ה-20 לטובת הקהילה הגאה.
פעילות בכנסת ובממשלה > הכנסת ה-21

לקראת הבחירות לכנסת ה-21 הוצבה במקום החמישי ברשימת יש עתיד. לאחר האיחוד עם מפלגות "חוסן לישראל" בראשות בני גנץ ו-"תל"ם - תנועה לאומית ממלכתית" בראשות משה יעלון, הוצבה במקום השלושה עשר ברשימת כחול לבן המאוחדת.
ב-15 במרץ 2020 נודע כי גרמן עתידה להתפטר לקראת השבעת הכנסת העשרים ושלוש, זאת בשל אירוע מוחי קל שעברה.
לאחר פרישתה מהכנסת

ב-3 באוגוסט 2021 מונתה על ידי שר החוץ יאיר לפיד לשגרירת ישראל בצרפת במסגרת מכסת המינויים הפוליטיים במשרד החוץ. ב-18 בינואר 2022 יצאה לשליחותה, וביולי 2022 הגישה את כתב האמנה לנשיא צרפת עמנואל מקרון. ב-29 בדצמבר באותה שנה היא התפטרה מתפקידה, לאור חילופי הממשלה שהתרחשו באותו יום בישראל והקמת ממשלת ישראל השלושים ושבע בראשותו של בנימין נתניהו וחוסר רצונה לייצג את הממשלה החדשה.
בבחירות לרשויות המקומיות הביעה תמיכה במועמדותו של יריב פישר לראשות עיריית הרצליה.
בסוף אוקטובר 2023, במהלך מלחמת חרבות ברזל, קראה להדחתם של ראש הממשלה בנימין נתניהו וממשלתו.
חיים אישיים

גרמן הייתה נשואה ליוסף (אוסיקה) גרמן, מנהל ובעלים של מפעל אלקטרוניקה, והתאלמנה ממנו במאי 2020. יש לה שני בנים ובת. בנה איל נהרג בתאונת אימונים ב-17 בנובמבר 1987, במהלך שירותו הצבאי. היא תושבת הרצליה משנת 1979.
פרסים והוקרה

ביוני 2014 העניק לה ארגון הנוער הלהט"בי, איגי, אות הוקרה עבור תרומתה לקהילה הגאה.
1986, פרס על הקמת וניהול בית-הספר למבוגרים "תהיל"ה" בהרצליה, בשנים 1980-1987
אדוארד קודרינגטון

| --- | --- |
אדמירל סר אדוארד קודרינגטון
אדמירל סר אדוארד קודרינגטון
 לידה:  27 באפריל 1770 בריטניה דודינגטון, אנגליה
 פטירה:  28 באפריל 1851 (בגיל 81) בריטניה לונדון, אנגליה
 מקום קבורה:  בית הקברות ברוקווד
 מדינה:  ממלכת בריטניה הגדולה, הממלכה המאוחדת של בריטניה הגדולה ואירלנד 
 השכלה:  בית ספר הארו
 בת זוג:  ג'יין הול
 צאצאים:  ויליאם קודרינגטון (גנרל), הנרי קודרינגטון (אדמירל של הצי), ג'יין קודרינגטון
 השתייכות:  הצי המלכותי הצי המלכותי הבריטי
 תקופת הפעילות:  1783–1842 (כ־59 שנים)
 דרגה:   אדמירל הצי
 תפקידים בשירות
 קפטן של אוניות הוד מלכותו:באבט, דרויד, אוריון מפקד צי הים התיכון פיקוד פורטסמות'
 פעולות ומבצעים
 המלחמות הנפוליאוניות • קרב הראשון ביוני המהולל • קרב טרפלגר  מלחמת העצמאות היוונית • קרב נאווארינו
 עיטורים
  אביר מפקד של מסדר האמבט
 תפקידים אזרחיים
 נציג דוונפורט בפרלמנט
 
אדמירל סר אדוארד קודרינגטון (באנגלית: Edward Codrington;‏ 27 באפריל 1770 – 28 באפריל 1851) היה קצין הצי המלכותי הבריטי, שהשתתף במלחמות הנפוליאוניות ובמלחמת 1812, אך זכור במיוחד בשל ניצחונו בקרב נאווארינו במלחמת העצמאות היוונית.
ראשית דרכו בצי

קודרינגטון, הצעיר בשלושת בניה של משפחת אצולה ובעלת אדמות, גדל והתחנך בבית דודו. הוא למד זמן קצר בבית הספר הארו, והתגייס לצי המלכותי ביולי 1783. את שירותו החל בחוף המזרחי של ארצות הברית, בים התיכון ובמימי הבית, וב-28 במאי 1793 הועלה לדרגת לפטננט. קודרינגטון נבחר על ידי לורד האו להיות קצין האיתות של "קווין שארלוט", (100 תותחים), אוניית הדגל של צי התעלה בתחילת מלחמות המהפכה הצרפתית. הוא מילא תפקיד זה במהלך פעולותיו המבצעיות של הצי, ששיאן היה קרב האחד ביוני המהולל.
כהוקרה על פועלו בקרב הועלה קודרינגטון ב-7 באוקטובר 1794 לדרגת קומנדר, וב-6 באפריל 1795 קיבל דרגת פוסט קפטן ואת הפיקוד על הסלופ "בָּבֶּט"" (22 תותחים), ממנה השקיף על קרב גרואה. הפיקוד הבא שלו היה על הפריגטה "דרואיד", עליה פיקד בתעלה ובחופי פורטוגל עד הוצאתה משירות ב-1797. לאחר מכן עשה קודרינגטון שנים אחדות בחוף במחצית השכר. בדצמבר 1802 נישא לג'יין הוֹל, אנגליה מקינגסטון שבג'מייקה, ונותר בחוף עד קריסתו של שלום אמיין ב-1803.
שירותו במלחמות הנפוליאוניות ובמלחמת 1812

משנתחדשו פעולות האיבה עם צרפת, שב קודרינגטון לים וזמן מה הוסיף לשרת בפריגטות. באביב 1805 נמסר לו הפיקוד על אוניית הקו "אוריון", והוא צורף לצי של אדמירל נלסון המטיל הסגר על הצי המאוחד של ספרד וצרפת במפרץ קדיס. קודרינגטון השתתף בקרב טרפלגר (21 באוקטובר 1805); אונייתו הוצבה במאסף הפלגה הצפונית, ועל כן חלפו שעתיים עד שיצרה מגע והחלה בלחימה. מרגע זה התעלם קודרינגטון מכל יתר האוניות והתמקד רק בתקיפת האונייה הצרפתית "סוויפטשור", שעמדה עד לזמן זה ללא פגע, ותוך שהוא יורה מתותחיו אילץ אותה להיכנע. אחר כך תקף את אוניית הדגל הספרדית "פרינציפה דה אסטוריאס", ומשנכשלו נסיונותיו להכניעה, הסתער על האונייה הצרפתית ""אַנטרֶפִּיד"". "אוריון", יחד עם אוניות אחרות, פגעה בתרניה של "אנטרפיד" ואחר כך שטה סביבה כשהיא יורה בלא הפסק עד הכנעתה.
בשנים הבאות נלחם קודרינגטון בים התיכון לצדם של הספרדים ונגד הצרפתים, ופיקד על שייטת שפגעה בספנות המסחרית של צרפת וערכה פשיטות רבות על חופיה. ב-1809 סייע לחיל המשלוח הבריטי הכושל לאי ווֹלכֶרֶן שבהולנד. במהלך מלחמת 1812 שירת בחופי צפון אמריקה כקפטן של הצי תחת פיקודו של אדמירל סר אלכסנדר קוקריין, ופעל נגד וושינגטון, בולטימור וניו אורלינס. ב-4 ביוני 1814 הועלה לדרגת סגן אדמירל של השייטת הכחולה, ושנה אחר כך, כאות הוקרה על שירותו, נעשה אביר מפקד של מסדר האמבט. ב-12 באוגוסט 1819 הועלה לדרגת סגן אדמירל של השייטת האדומה, וב-10 ביולי 1821 לדרגת אדמירל משנה.
מלחמת העצמאות היוונית וקרב נאווארינו

בדצמבר 1826 שוב מונה קודרינגטון לפיקוד בים התיכון, אליו הפליג מאנגליה ב-1 בפברואר 1827. מלחמת העצמאות היוונית נמשכה זה שש שנים ללא הכרעה, ומשימתו של קודרינגטון הייתה לאכוף הפסקת אש על הצדדים הנצים; כמו כן הוטל עליו למנוע את מעברן של תגבורות ואספקה מאסיה הקטנה ומצרים אל הכוחות העות'מאניים ביוון עד שיושג הסדר סופי ברוח הסכם לונדון. לצורך ביצוע המשימה חברו אליו שתי שייטות נוספות, אחת מצרפת והשנייה מרוסיה. תפקידו היה דיפלומטי מעיקרו, ובהוראות שקיבל נכתב כי מותר לו להשתמש בכוח רק כמוצא אחרון. ברם, קודרינגטון לא היה ידוע בכישרונו הדיפלומטי, וב-20 באוקטובר 1827 השמיד צי הברית שבפיקודו את הצי הטורקי-המצרי בקרב נאווארינו.
לאחר הקרב יצא קודרינגטון אל מלטה לתיקון אוניותיו הנזוקות. הוא נשאר שם עד מאי 1828, אז הצטרף אל עמיתיו האדמירלים הרוסי והצרפתי במימי הפלופונסוס. השלושה עשו מאמצים לאכוף על אבראהים פאשא את פינוי חצי האי בדרכי שלום, אך הפאשה הערים עליהם קשיים דיפלומטיים. ב-25 ביולי החליטו שלושת האדמירלים כי על קודרינגטון לצאת אל אלכסנדריה ולבקש מאת מוחמד עלי להורות לבנו איברהים לשוב עם צבאו למצרים. ב-22 ביוני קיבל קודרינגטון איגרת מאת האדמירליות על סיום תפקידו, אך מאחר שמחליפו עדיין לא הגיע, בוצעה ההחלפה רק ב-25 ביוני. נוכחותו באלכסנדריה השפיעה על קבלת ההסכם מן ה-6 באוגוסט 1828, המסדיר את פינוי הפלופונסוס מחילות טורקיה ומצרים. כאות הוקרה על שירותו הוענק לו אות "הצלב הגדול" של מסדר האמבט, אך אין כל ספק כי ממשלת בריטניה חשה אי-נוחות מדיפלומטיית ספינות התותחים המגושמת שלו.