stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
עידן הג'אז
השפעות תרבותיות > מוזיקה קלאסית

עם תחילת עליית הפופולריות של הג'אז, שאפו האליטות האמריקאיות, שהעדיפו מוזיקה קלאסית, להגדיל את כמות המאזינים של הסוגה המועדפת עליהם, בתקווה שהג'אז לא יהפוך לזרם המרכזי. באופן שנוי במחלוקת, הפך הג'אז להיות בעל השפעה על מלחינים שונים כמו ג'ורג' גרשווין והרברט האוולס.
ראו גם

גטסבי הגדול
פלאפר
שנות העשרים הסוערות
לקריאה נוספת

Allen, Frederick Lewis (1931). Only Yesterday: An Informal History of the Nineteen-Twenties. online edition
Barlow, William. "Black music on radio during the jazz age." African American Review 29.2 (1995): 325-328.
Best, Gary Dean. The Dollar Decade: Mammon and the Machine in 1920s America. Praeger Publishers, 2003.
Berger, Morroe. "Jazz: Resistance to the Diffusion of a Culture-Pattern". The Journal of Negro History 32 (October 1947): 461-494
Chevan, David. "Musical Literacy and Jazz Musicians in the 1910s and 1920s." Current Musicology
Dinerstein, Joel. "Music, memory, and cultural identity in the jazz age." American Quarterly 55.2 (2003): 303-313.
Doerksen, Clifford J. American Babel: Rogue Radio Broadcasters of the Jazz Age (2005) [L: http://www.h-net.org/reviews/showrev.php?id=13658 online review]
Dumenil, Lynn. The Modern Temper: American Culture and Society in the 1920s. Hill and Wang, 1995.
Fass, Paula. The Damned and the Beautiful: American Youth in the 1920s. Oxford University Press, 1977.
David E. Kyvig; Daily Life in the United States, 1920–1939: Decades Promise and Pain. Greenwood Press, (2002). online edition
Leuchtenburg, William. The Perils of Prosperity, 1914–1932 University of Chicago Press, 1955.
Lynd, Robert S., and Helen Merrell Lynd. Middletown: A Study in Modern American Culture. Harcourt, Brace and World, 1929. Famous sociological study of Muncie, Indiana, in the 1920s.
Mowry; George E. (ed.). The Twenties: Fords, Flappers, & Fanatics. Prentice-Hall, 1963; readings.
Parrish, Michael E. Anxious Decades: America in Prosperity and Depression, 1920–1941. W. W. Norton, 1992.
Peretti, Burton W. "The Great Travelers." The Creation of Jazz: Music, Race, and Culture in Urban America.
Savran, David. "The Search for America's Soul: Theatre in the Jazz Age". Theatre Journal.
Snelson, Tim. "‘They’ll Be Dancing in the Aisles!’: Youth audiences, cinema exhibition and the mid-1930s swing boom." Historical Journal of Film, Radio and Television 37.3 (2017): 455-474.
פיקוד החופים של חיל האוויר המלכותי

| --- | --- |

 מאמץ מתמיד Constant Endeavour
 פרטים
 מדינה:  הממלכה המאוחדת הממלכה המאוחדת
 שיוך:  חיל האוויר המלכותי חיל האוויר המלכותי
 סוג:  לוחמה נגד צוללות סיור ותצפית אווירית חילוץ אווירי ימי
 בסיס האם:  מפקדת נורת'ווד
 אירועים ותאריכים
 תקופת הפעילות:  14 ביולי 1936 – 27 בנובמבר 1969 (33 שנים)
 נוצרה מתוך:  גזרת החופים של חיל האוויר המלכותי
 התמזגה לתוך:  פיקוד התקיפה של חיל האוויר המלכותי
 מלחמות:  מלחמת העולם השנייה המלחמה הקרה
 פיקוד
 דרגת המפקד:  מרשל אוויר או מרשל אוויר ראשי
 מפקדים:  ארתור לונגמור פיליפ ג'וברט דה לה פרטה
פיקוד החופים של חיל האוויר המלכותי (באנגלית: RAF Coastal Command) היה פיקוד שריכז את יחידות חיל האוויר המלכותי שעסקו בלוחמה נגד צוללות, סיור ותצפית ימית, חילוץ והצלה ימית ותעופה ימית.
הפיקוד הוקם ב-14 ביולי 1936 במהלך של ארגון מחדש של חיל האוויר המלכותי (לצד הקמה של מספר פיקודים נוספים) ושירת לאורך מלחמת העולם השנייה בעיקר בזירה האטלנטית, הזירה הפסיפית והים התיכון. לאחר המלחמה המשיך לפעול בשנים הראשונות של המלחמה הקרה עד אשר מוזג עם פיקודי לוחמה אווירית נוספים לכדי פיקוד התקיפה של חיל האוויר המלכותי ב-27 בנובמבר 1969.
לאורך מלחמת העולם השנייה עיקר העיסוק של יחידות הפיקוד היה חילוץ והצלה ימית לצד הגנה על שיירות אספקה ימיות וספינות הצי המלכותי הבריטי והצי הסוחר בעיקר מפני תקיפות של צוללות אויב ומטוסי הלופטוואפה. מטוסי הפיקוד ביצעו 240,000 גיחות והשלימו כמיליון שעות טיסה סך הכל, הם השמידו 212 צוללות ו-366 ספינות תובלה שהסתכם בכחצי מיליון טונות של אספקה שהושמדה וכמות דומה בספינות שנפגעו אך לא הושמדו. יחידות הפיקוד הצליחו לאורך חודשי המלחמה להציל 10,663 ניצולים בלב הים מהם 5,721 אנשי צוות אוויר של בעלות הברית. 2,060 ממטוסי הפיקוד נפגעו ו-5,866 חיילים בשירות הפיקוד נהרגו לאורך המלחמה.
היסטוריה

פיקוד החופים הוקם ב-14 ביולי 1936 מתוך גזרת החופים של חיל האוויר המלכותי (שהוקם לאחר מלחמת העולם הראשונה) במטרה לרכז ולנהל את יכולות התעופה הימית של חיל האוויר המלכותי. עד לפרוץ מלחמת העולם השנייה תחומי האחריות של הפיקוד היו מצומצים יחסית וכללו חילוץ ימי, תובלה ותצפית בהגנה על כלי שיט, הלחימה האווירית הימית נותרה ברובה המכריע בתחום האחריות של זרוע האוויר של הצי המלכותי. מסיבה זו, ערב מלחמת העולם הראשונה כלל הפיקוד סך הכל 183 מטוסים בלבד, מהם 135 היו מטוסי אוורו אנסון, מטוס שהיה מוגבל מאוד בחימושו ובטווח הטיסה שלו.
בסוף 1940 קו החזית התקרב לאי הבריטי ופיקוד החופים התעצם בחשיבותו ובתחומי האחריות שלו נוכח הכיבוש הגרמני של צרפת וארצות השפלה והישגי הלופטוואפה והקריגסמרינה בתקיפת מטרות סחר ותובלה ימיות. כדי להגדיל את יכולת הפיקוד לסייע להגן על מטרות ימיות אסטרטגיות ולתקוף מטרות של האויב, הוא התרחב באופן משמעותי לכדי 554 מטוסים, בהם מטוסים מתקדמים בהרבה מאלו ששירתו בו מספר חודשים לפני כן כגון מטוסי ויקרס ולינגטון (עודפי פיקוד המפציצים), בריסטול בופייטר ואף מטוסי סופרמרין ספיטפייר שהותאמו לסיור וצילום. שנה מאוחר יותר מספר מטוסי הפיקוד גדל ל-633 ולקראת סוף 1941 קיבל הפיקוד טייסת ראשונה של מטוסי קונסולידייטד B-24 ליברייטור בעלי טווח מבצעי ארוך במיוחד ויכולת להגיע לרוב אזורי צפון האוקיינוס האטלנטי, בנוסף למטוסי PBY קטלינה הימיים.
לאורך המלחמה קיבלו אנשי צוות ומשרתים ביחידות הפיקוד יותר מ-2,000 עיטורים, כולל ארבעה עיטורי צלב ויקטוריה, 17 מדליית ג'ורג' ו-82 אות השירות המצוין. אף על פי שלאורך המלחמה ולאחריה פיקוד מטוסי הקרב ופיקוד המפציצים זכו להכרה רבה יותר, הפעילות המבצעית של יחידות פיקוד החופים הוכיחה את עצמה ובתנאים קשים במיוחד.
בסוף מלחמת העולם השנייה הצטמצמו באופן דרסטי מספר המטוסים והיחידות המשרתות תחת הפיקוד לכדי 116 מטוסים בלבד ב-1953 ב-16 טייסות. בתקופה זו המטוס העיקרי ששירת בפיקוד היה האוורו שקלטון עם 64 מטוסים ששירתו במחצית מטייסות הפיקוד באמצע 1953, שני המטוסים הנוספים ששירתו בשאר טייסות הפיקוד היו הלוקהיד P-2 נפטון והשורט סנדרלנד. בשנים הראשונות שלאחר המלחמה רוב טייסות הפיקוד נסגרו ומטוסים רבים הועברו לפיקוד התובלה ואף לקחו חלק ברכבת האווירית לברלין. עם התעצמות האיום של ברית המועצות בשנים הראשונות של המלחמה הקרה, המשימה העיקרית של פיקוד החופים היה תצפית והגנה מפני כלי שיט ובעיקר צוללות של ברית ורשה סביב חופי אירופה והאוקיינוס האטלנטי. בשנת 1953 קיבל הפיקוד לראשונה מסוקים ימיים בצורת מסוק הבריסטול סיקמור.
במהלך שנות ה-50 וה-60 הפיקוד המשיך להצטמצם באופן משמעותי לאור צימצום בתקציב הביטחון, יחידות הפיקוד השתתפו במספר מבצעים נקודתיים ככוחות סיוע בהם מלחמת סיני (מבצע מוסקטר) וכוננות מוגברת במהלך משבר הטילים בקובה. כחלק מהתייעלות חיל האוויר המלכותי ולאור תקציבי הביטחון המצומצמים, ב-27 בנובמבר 1969 פורק הפיקוד וכוחותיו התמזגו לתוך פיקוד התקיפה של חיל האוויר המלכותי שאיגד לתוכו מספר פיקודי אוויר בהם פיקוד מטוסי הקרב, פיקוד המפציצים, פיקוד הקשר, פיקוד הסיוע האווירי ובהמשך גם פיקוד חיל האוויר המלכותי בגרמניה.
בשנת 2004 נחנכה אנדרטה לאומית רשמית ראשונה לפיקוד במנזר וסטמינסטר לציון 60 שנה לשיא הלחימה באוקיינוס האטלנטי.
מבנה

מבנה הפיקוד השתנה לאורך המלחמה וכלל להקים של חיל האוויר המלכותי וטייסות בעיקר של חיל האוויר המלכותי. בדומה למסגרות אחרות ברחבי הכוחות הבריטים במלחמת העולם השנייה, גם בפיקוד החופים שירתו טייסות של חילות האוויר אחרים מאיחוד העמים הבריטי בהם חיל האוויר המלכותי האוסטרלי וחיל האוויר הדרום-אפריקאי, טייסות מבעלות ברית שנכבשו על ידי גרמניה הנאצית בהם צ'כוסלובקיה ופולין וגם טייסות מזרוע האוויר של הצי המלכותי הבריטי.
בתחילת המלחמה ב-3 בספטמבר 1939 כלל הפיקוד ארבעה להקים: להק 15, 16, 17 ו-18. להק 17 היה להק אימון ובשאר הלהקים שירתו סך הכל 19 טייסות.
ב-6 ביוני 1944 ערב הפלישה לנורמנדי פיקד הפיקוד על שישה להקים ושתי מפקדות אזוריות, אלו היו:
להק 15: שש טייסות של חיל האוויר המלכותי, טייסת 407, 422 ו-423 של חיל האוויר הקנדי וטיסה מטרולוגית 1402.
להק 16: 12 טייסות של חיל האוויר המלכותי, טייסת 833 ו-836 של זרוע האוויר של הצי, וטייסת 407 של חיל האוויר הקנדי.
להק 17: להק אימון שכלל מספר יחידות ומתקני אימון.
להק 18: חמש טייסות של חיל האוויר המלכותי, טייסת מטרולוגית 521 וטיסת תצפית כללית 1693.
להק 19: 17 טייסות של חיל האוויר המלכותי, טייסת 304 של חיל האוויר הפולני, טייסת 311 של חיל האוויר הצ'כי, טייסות 404 ו-407 של חיל האוויר הקנדי, טייסות 10 ו-461 של חיל האוויר האוסטרלי, ארבע טייסות של זרוע האוויר של הצי המלכותי וארבע טייסות סיור הפצצה של צי ארצות הברית.
להק 106: טייסות 540, 541, 542 ו-542 של חיל האוויר המלכותי.
להק 247: טייסות 220 ו-269 של חיל האוויר המלכותי.
מפקדה אזורית גיברלטר: טייסת 202 ו-520 (חיל האוויר המלכותי).
מפקדה אזורית איסלנד: טייסת 162 (חיל אוויר הקנדי) וטיסה מטרולוגית 1407.
מפקדים

| דרגה | שם | כניסה לתפקיד | סיום תפקיד |
| --- | --- | --- | --- |
|  מרשל אוויר | סר ארתור לונגמור | 14 ביולי 1936 | 1 בספטמבר 1936 |
|  מרשל אוויר | סר פיליפ ג'וברט דה לה פרטה | 1 בספטמבר 1936 | 18 באוגוסט 1937 |
|  מרשל אוויר | סר פרידריק בוהיל | 18 באוגוסט 1937 | 14 ביוני 1941 |
|  מרשל אוויר ראשי | סר פיליפ ג'וברט דה לה פרטה | 14 ביוני 1941 | 5 בפברואר 1943 |
|  מרשל אוויר | סר ג'ון סלסור | 5 בפברואר 1943 | 20 בינואר 1944 |
|  מרשל אוויר ראשי | סר שולטו דאגלס | 20 בינואר 1944 | 30 ביוני 1945 |
|  מרשל אוויר | סר לנרד סלייטר | 30 ביוני 1945 | 1 בנובמבר 1948 |
|  מרשל אוויר | סר ג'ון בייקר | 1 בנובמבר 1948 | 1 בינואר 1950 |
|  מרשל אוויר | סר צ'ארלס סטייל | 1 בינואר 1950 | 8 ביוני 1951 |
|  מרשל אוויר | סר אליק סטיבנס | 8 ביוני 1951 | 8 בנובמבר 1953 |
|  מרשל אוויר | סר ג'ון בות'מן | 8 בנובמבר 1953 | 5 באפריל 1956 |
|  מרשל אוויר | סר בריאן ריינולדס | 5 באפריל 1956 | 1 ביוני 1959 |
|  מרשל אוויר | סר אדוארד צ'ילטון | 1 ביוני 1959 | 10 באוגוסט 1962 |
|  מרשל אוויר | סר אנטוני סלווי | 10 באוגוסט 1962 | 22 בינואר 1965 |
|  מרשל אוויר | סר פול הולדר | 22 בינואר 1965 | 5 בספטמבר 1968 |
|  מרשל אוויר | סר ג'ון לפסי | 5 בספטמבר 1968 | 28 בנובמבר 1969 |
ראו גם

פיקוד מטוסי הקרב של חיל האוויר המלכותי
זרוע האוויר של הצי המלכותי
לקריאה נוספת

Roy Conyers Nesbit, RAF Coastal Command in Action: 1939-1945, Budding Books, UK, 2000.
Ian Carter, RAF Coastal Command: 1939-45, Ian Allan Publishing, UK, 2004.
הערות שוליים

↑  Conyers Nesbit, 2000, עמ' 2.
↑  Conyers Nesbit, 2000, עמ' 28.
↑  Conyers Nesbit, 2000, עמ' 52.
↑  מתוך עמוד על אנדרטת פיקוד החופים באתר מנזר וסטמינסטר.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| הקודם: גזרת החופים של חיל האוויר המלכותי | פיקוד החופים של חיל האוויר המלכותי  1936 - 1969 | הבא: פיקוד התקיפה של חיל האוויר המלכותי |
מטוס ליברייטור סימן III מטייסת 224 של הפיקוד, דצמבר 1942.
מטוס שורט סנדרלנד מטייסת 230 של הפיקוד באיים המלדיבים.
מטוסי בריסטול בופייטר של טייסת 404 (חיל האוויר המלכותי הקנדי) בשירות הפיקוד.
מטוס הסיור הימי אוורו שקלטון, 1955
פונקציית פוליגמא

גרפים של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי.
במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת ה- m+1 של הלוגריתם של פונקציית גמא:
ו-  \Gamma (z) היא פונקציית גמא. פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום  \mathbb {C} \setminus -\mathbb {N} _{0}.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |

|  \ln \Gamma (z) |  \psi ^{(0)}(z) |  \psi ^{(1)}(z) |

|  \psi ^{(2)}(z) |  \psi ^{(3)}(z) |  \psi ^{(4)}(z) |
נוסחה על ידי אינטגרל

אפשר להגדיר את פונקציות הפוליגמא על ידי אינטגרלים:
נוסחת נסיגה

וגם על ידי נוסחת נסיגה
או על ידי
כאשר
לכל  n טבעי ( \gamma  הוא הקבוע של אוילר-מסקרוני).
טור טיילור

טורי טיילור של פונקציות הפוליגמא הם:
כאשר
אשר מתכנס כאשר לכל  z בעל ערך מוחלט קטן מ-1.  במקרה זה  \zeta  היא פונקציית הזטא של רימן.
פריץ קולבה

| --- | --- |

 לידה:  25 בספטמבר 1900 ברלין, הקיסרות הגרמנית 
 פטירה:  16 בפברואר 1971 (בגיל 70) ברן, שווייץ 
 מדינה:  גרמניה 
 מקום קבורה:  Luisenfriedhof III 
 תקופת הפעילות:  ? – 16 בפברואר 1971 
 מבצעים:  מלחמת העולם השנייה 
 
פריץ קולבה (גרמנית: Fritz Kolbe; ‏25 בספטמבר 1900 - 16 בפברואר 1971) היה דיפלומט גרמני אשר הפך למרגל החשוב ביותר לטובת ארצות הברית במהלך מלחמת העולם השנייה.
חייו

קולבה הועסק כדיפלומט זוטר על ידי משרד החוץ הגרמני לפני מלחמת העולם השנייה ושובץ במדריד ובקייפטאון, שם סייע לנרדפי הנאצים בהכנת דרכונים מזויפים. סירובו להצטרף למפלגה הנאצית הביא להצבתו בתפקיד פקידותי זוטר בברלין החל מ-1939. בסביבות נובמבר 1941 הוא הפך נחוש לסייע באופן פעיל בהבסת הנאצים. אולם היה זה לא לפני 1943 כשהתעוררה הזדמנות, כאשר עמית אנטי נאצי העביר אותו למשרה רמה יותר, של בלדר דיפלומטי. ב-19 באוגוסט 1943 הופקד בידו שק דיפלומטי אותו הוא היה אמור לשאת לברן, שווייץ. בשהותו שם, הוא ניסה להציע מסמך סטנסיל סודי לשגרירות הבריטית. הבריטים סירבו לו, אז הוא ניסה את מזלו אצל האמריקאים, בתיווך של חבר יהודי, איש משרד החוץ הגרמני בעבר. האמריקאים החליטו לתת סיכוי לעניין. ב-1944 הם הבינו שיש להם ביד סוכן מהמעלה הגבוהה ביותר. הוא קיבל את שם הקוד "ג'ורג' ווד". מפעילו ב-OSS (המשרד לשירותים אסטרטגיים, הגוף שקדם ל-CIA) היה אלן דאלס. בסך הכל, עד סוף המלחמה, הוא העביר 2,600 מסמכים, בין היתר על הפשעים שביצעו הכוחות הגרמניים ועל רצח יהדות אירופה. מאוחר יותר הוא תואר על ידי ה-CIA כ"מרגל החשוב ביותר במלחמה".

הוא סיפק פרטים אודות:
ציפיות הגרמנים באשר למקום הנחיתה המיועד של בעלות הברית בפלישתן לצרפת.
תוכנית הטילים V-1 ו-V-2.
מטוס הקרב הסילוני מסרשמיט Me-262
תוכניות היפנים בדרום-מזרח אסיה.
פרשת ציצרו
דיווחיו של קולבה אודות מצב הרוח בברלין וניתוחיו האישיותיים זכו להוקרה מיוחדת מצד האמריקאים.
ב-1949 ניסה קולבה להתיישב בארצות הברית אך לא הצליח למצוא עבודה הולמת. ב-1951 ניסה להתקבל שוב למשרד החוץ גרמני, אך נדחה, על ידי דיפלומטים בעלי עבר נאצי. בסופו של דבר מצא קולבה עבודה כנציג של חברה אמריקנית למסורים חשמליים.

קולבה נפטר מסרטן בברן, ב-1971.
| ביון במלחמת העולם השנייה |
| --- | --- | --- |
| בעלות הברית המערביות | בעלות הברית המערביות |  |
| גופים | MI9 • MI6 • MI5 • מנהלת המבצעים המיוחדים • ועדת XX • המשרד לשירותים אסטרטגיים • קבוצת הארמיות הראשונה / הארמייה ה-14 (ארצות הברית) |  |
| אישים | ארצ'יבלד וייוול • ג'ספר מסקליין • דאדלי קלארק • ג'ון גודפרי • יו דלטון • איאן פלמינג • ג'ון לה קארה • יואן מונטגיו • חואן פויול גארסיה • אדי צ'פמן • אלן טיורינג • אנשי סגל בלצ'לי פארק • פריץ קולבה • אלן דאלס • אנשי המשרד לשירותים אסטרטגיים (OSS) |  |
| מבצעים | מבצע ברקלי / מבצע קציצה • מבצע שומר ראש / מבצע פורטיטיוד |  |
| מושגים קשורים נוספים | אניגמה • אולטרה • PURPLE • מג'יק • התזמורת האדומה (טרפר) |  |
| ברית המועצות | ברית המועצות |  |
| גופים | נקוו"ד • ג.ר.או • סמר"ש • המשרד לביטחון המדינה |  |
| אישים | לברנטי בריה • ויקטור אבאקומוב |  |
| גרמניה | גרמניה |  |
| גופים | אבווהר • גסטפו • אס דה • המשרד הראשי לביטחון הרייך |  |
| אישים | וילהלם קנריס • הנס אוסטר • הנס ברנד גיזביוס • ארווין פון לאהוסן • הנס פון דוהנאני • ריינהרד היידריך • אוטו אולנדורף • ארנסט קלטנברונר • ולטר שלנברג |  |
| מבצעים | תקרית גלייביץ • פרשת ציצרו • מבצע פסטוריוס • מבצע בוליבאר • מבצע נורדפול (אנ') |  |
פונקציית מחלקים

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת המספרים, פונקציית מחלקים היא פונקציה אריתמטית הקשורה למחלקים של מספר שלם. מקרה פרטי של פונקציית מחלקים הסופרת את מספר המחלקים של מספר שלם נקראת פונקציית המחלקים. רמנוג'אן חקר את פונקציית המחלקים ומצא מספר זהויות הקשורות בה.
הגדרה

פונקציית מחלקים  \ \sigma _{x}(n)  מוגדרת כסכום של המחלקים בחזקת x של n, או:
הפונקציה הסופרת את מספר המחלקים מסומנת ב- \ d(n) או ב- \ \tau (n) (פונקציית הטאו) והיא בעצם  \ \sigma _{0}(n). כלומר:
כאשר x הוא 1 זוהי פונקציית סכום המחלקים, ואז משמיטים את הכתיב התחתון.
לכל מספר ראשוני p:
ובאופן כללי אם  n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}} הוא הפירוק לגורמים של n, אז:
ובפרט:
שימוש בטורים

שני טורי דיריכלה המשתמשים בפונקציית המחלקים הם
טור למברט המשתמש בפונקציית המחלקים הוא:
קצב גידול

ההתנהגות של פונקציית המחלקים היא אי-רגולרית.
קצב הגידול שלה ניתן לביטוי על ידי
כאשר הוא  \ \gamma  קבוע אוילר.
ראו גם

סדרת מחלקים
פונקציית סילבסטר

באלגברה, ובמיוחד בתורת החוגים, פונקציית סילבסטר (Sylvester rank function) היא פונקציה ממשית על אוסף המטריצות מעל חוג נתון, המחקה דרגה של מטריצה מעל חוג. לפיכך, מעל חוג המצויד בפונקציית סילבסטר, ניתן לבסס תורת אלגברה ליניארית. חשיבות מבנית נודעת לקיומה של פונקציית סילבסטר: הוא שקול לקיומו של הומומורפיזם לחוג פשוט ארטיני, וקיומה של פונקציית סילבסטר 'נאמנה' המקבלת ערכים שלמים שקול לקיומו של שיכון לתוך חוג עם חילוק. המחקר השיטתי של פונקציות סילבסטר בהקשרי שיכון לתוך חוגים עם חילוק נעשה על ידי Cohn ו-Malcolmson, ובהקשר הנרחב יותר של שיכון לחוגים פשוטים ארטיניים על ידי Schofield.
הגדרות

יהי  R חוג. פונקציה  \rho \colon \bigcup _{n,m=1}^{\infty }M_{n\times m}(R)\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0} היא פונקציית סילבסטר אם מתקיימות האקסיומות הבאות:
לכל מטריצת אפס  O, מתקיים  \rho (O)=0. למטריצת היחידה מסדר n, מתקיים:  \rho (I_{n})=n
לכל שתי מטריצות מסדרים עבורם המכפלה מוגדרת, מתקיים:  \rho (AB)\leq \min\{\rho (A),\rho (B)\}
לכל שתי מטריצות  A,B מתקיים:  \rho {\Bigl (}{\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}{\Bigr )}=\rho (A)+\rho (B)
לכל שלוש מטריצות  A,B,C מסדרים עבורם המטריצה הבאה מוגדרת, מתקיים:  \rho {\Bigl (}{\begin{array}{cc}A&C\\0&B\end{array}}{\Bigr )}\geq \rho (A)+\rho (B)
ישנה הגדרה דואלית, של פונקציית סילבסטר למודולים. זוהי פונקציה ממשית אי-שלילית  \rho  המוגדרת על אוסף המודולים המוצגים סופית מעל  R ומקיימת את האקסיומות הבאות:
\rho (R)=1 (כאשר חושבים על  R כמודול חופשי מעל עצמו)
\rho (M\oplus N)=\rho (M)+\rho (N)
לכל סדרה מדויקת  0\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow K\rightarrow 0 מתקיים:  \rho (K)\leq \rho (M)\leq \rho (N)+\rho (K)
לכל פונקציית סילבסטר (על מטריצות) ישנה המשכה יחידה לפונקציית סילבסטר למודולים: כל מודול מוצג סופית  M ניתן לכתיבה כקו-גרעין של הומומורפיזם של מודולים חופשיים, שלו מטריצה מייצגת, נאמר  A\colon R^{m}\rightarrow R^{n}. מגדירים אפוא את הדרגה של  M בתור  n-\rho (A).
הקשר בין פונקציות סילבסטר להצגות מעל חוגים עם חילוק

יהי  R חוג.
ישנה התאמה חד חד ערכית בין פונקציות סילבסטר מעל  R המקבלות ערכים שלמים להומומורפיזמים  \varphi \colon R\rightarrow D כאשר  D חוג עם חילוק.
ישנה התאמה חד חד ערכית בין פונקציות סילבסטר מעל  R המקבלות ערכים בתת-חבורה מהצורה  {\frac {1}{n}}\mathbb {Z}  להומומורפיזמים  \varphi \colon R\rightarrow M_{n}(D) כאשר  D חוג עם חילוק.
ההתאמות הללו נותרות כאשר מצטמצמים לפונקציות סילבסטר נאמנות (כאלה שאינן מעניקות דרגה אפס לאף איבר שונה מאפס בחוג, בהיותו מטריצה מגודל 1), ומנגד לשיכונים לתוך חוגים עם חילוק (או חוגים פשוטים ארטיניים).
דוגמאות

כאשר  R הוא שדה (או באופן כללי יותר, חוג עם חילוק), הדרגה של מטריצה (במובן ממד מרחב העמודות) מהווה פונקציית סילבסטר, והממד של מרחב וקטורי מהווה פונקציית סילבסטר למודולים.
כאשר  R חוג ארטיני, האורך של סדרת הרכב של מודול נוצר סופית מעל  R, מנורמל באורך של  R כמודול מעל עצמו, מהווה פונקציית סילבסטר נאמנה למודולים; מכאן שכל חוג ארטיני משוכן בחוג פשוט ארטיני.
קיימים חוגים נתריים שאינם ניתנים לשיכון באף חוג ארטיני, וממילא אין להם אף פונקציית סילבסטר נאמנה (ראו בערך חוג ארטיני).
הערות שוליים

↑  P. Malcolmson, Determining homomorphisms to skew fields, J. Algebra 64 (2), 399-413, 1980
↑  A. H. Schofield, Representations of rings over skew fields, Lond. Math. Soc. Lecture Note Series 92: Cambridge University Press, 1985
פורט נוקס (בסיס צבאי)

| --- | --- |

 מידע על המבנה
 סוג:  בסיס צבאי 
 על שם:  הנרי נוקס 
 מיקום:  קנטקי, ארצות הברית
 תקופת הבנייה:  ?–1918
 בשימוש פעיל:  1918-היום
 נשלט על ידי:  צבא ארצות הברית
 קואורדינטות:  37°54′57″N 85°57′23″W﻿ / ﻿37.915972222222°N 85.95625°W﻿ / 37.915972222222; -85.95625
  (למפת קנטקי מוגדלת) פרנקפורט לואיוויל לקסינגטון באולינג גרין אוונסבורו אילינוי אינדיאנה אוהיו ויר. המע.  וירג'יניה טנסי מיז.פורט נוקס(למפת קנטקי רגילה) פרנקפורט לואיוויל לקסינגטון באולינג גרין אוונסבורו אילינוי אינדיאנה אוהיו ויר. המע.  וירג'יניה טנסי מיז.פורט נוקס(למפת ארצות הברית רגילה) וושינגטון ניו יורק לוס אנג'לס שיקגו סן פרנסיסקו אטלנטה דאלאס יוסטון בוסטון סיאטל מיאמי ה א ט ל נ ט י  ה ש ק ט  מפרץ מקסיקו  קנדה מקסיקו איי בהאמה פורט נוקס(למפת ארצות הברית מוגדלת) וושינגטון ניו יורק לוס אנג'לס שיקגו סן פרנסיסקו אטלנטה דאלאס יוסטון בוסטון סיאטל מיאמי ה א ט ל נ ט י  ה ש ק ט  מפרץ מקסיקו  קנדה מקסיקו איי בהאמה פורט נוקס
 
פורט נוקס (באנגלית: Fort Knox) הוא בסיס צבאי של צבא ארצות הברית הממוקם בקנטקי. הבסיס קרוי על שמו של הנרי נוקס, קצין בכיר בצבא הקונטיננטלי ומזכיר המלחמה הראשון. סמוך לבסיס נמצא אוצר המטילים של ארצות הברית המכונה אף הוא "פורט נוקס".
הבסיס שימש את בית הספר לשריון של צבא ארצות הברית מ-1940 ועד 2010, עת עבר לפורט בנינג. נכון ל-2020 ממוקמות בבסיס היחידות הבאות:
הקורפוס החמישי
דיוויזיית מזרח של הארמייה הראשונה
הדיוויזיה ה-100
פיקוד האימונים ה-84
פיקוד משאבי האנוש של הצבא
מפקדת צוערי כוחות המילואים של הצבא (US Army Cadet Command)
מפקדת הגיוס של הצבא (US Army Recruiting Command)
פיקוד התמיכה הלוגיסטית הראשון
פיקוד האימונים האווירי של הצבא (ARAC)
מרפאת אירלנד (MEDDAC)
מרכז ההדרכה של מערכת בתי הספר של הצבא
גדוד ההנדסה ה-19
אגד המודיעין הצבאי 902
בבסיס ממוקם מוזיאון ג'ורג' פטון שנפתח במאי 1949 וכן שדה התעופה גודמן שהוקם באוקטובר 1918. הוא משתרע על פני שטח של כ-54 קמ"ר. ב-1936 הועברו חלק מאדמות הבסיס לטובת הקמת אוצר המטילים, והמבנה החדש שהוקם לשימור הזהב מזוהה עם השם פורט נוקס.
הבסיס הוקם ב-1918 בעקבות הצטרפות ארצות הברית למלחמת העולם הראשונה ושימש תחילה לאימוני יחידות ארטילריה. ב-1931 נבחר הבסיס לפעילותו של הכוח הממוכן החדש של צבא ארצות הברית.
בתקופת מלחמת העולם השנייה הוקם בבסיס בית הספר לשריון של צבא ארצות הברית, ונערכו בו ניסויים בטנקים חדישים. כמו כן הוקם בשטחו מחנה שבויים שפעל מפברואר 1944 עד יוני 1946. בתקופת המלחמה פעל בשדה התעופה גודמן להק הפצצה 447 של טייסי טסקיגי.
פיקוד מטוסי הקרב של חיל האוויר המלכותי

| --- | --- |

 התקפה הגנה Offence Defence
 פרטים
 מדינה:  הממלכה המאוחדת הממלכה המאוחדת
 שיוך:  חיל האוויר המלכותי חיל האוויר המלכותי
 בסיס האם:  RAF בנטלי פריורי
 אירועים ותאריכים
 תקופת הפעילות:  14 ביולי 1936 – 30 באפריל 1968 (31 שנים)
 נוצרה מתוך:  גזרת הקרב של חיל האוויר המלכותי
 התמזגה לתוך:  פיקוד התקיפה של חיל האוויר המלכותי
 מלחמות:  מלחמת העולם השנייה המלחמה הקרה
 פיקוד
 דרגת המפקד:  מרשל אוויר או מרשל אוויר ראשי
פיקוד מטוסי הקרב של חיל האוויר המלכותי (באנגלית: RAF Fighter Command) היה פיקוד שריכז את יחידות מטוסי הקרב של חיל האוויר המלכותי.
הפיקוד הוקם ב-14 ביולי 1936 במהלך של ארגון מחדש של חיל האוויר המלכותי (לצד הקמה של מספר פיקודים נוספים) והתקיים לאורך מלחמת העולם השנייה והמלחמה הקרה. הוא מוכר במיוחד במיוחד בגלל ניהול טייסות הקרב במהלך הקרב על בריטניה ב-1940. בנובמבר 1943 נסגר הפיקוד מאחר שהאיום האווירי על בריטניה ירד והמערכה האווירית התרחקה לזירות אחרות. הפיקוד על מטוסי הקרב התפצל למרכיב הגנה שהפך לפיקוד 'ההגנה האווירית של בריטניה הגדולה' (ADGB), ומרכיב התקפי שהפך לחיל האוויר הטקטי השני. באוקטובר 1944 פיקוד ההגנה האווירית שונה חזרה ל"פיקוד מטוסי הקרב" שהמשיך לספק הגנה על שמי האי הבריטי עד לסוף המלחמה. לאחר המלחמה המשיך לפעול בשנים הראשונות של המלחמה הקרה עד אשר מוזג עם פיקודי לוחמה אווירית נוספים לכדי פיקוד התקיפה של חיל האוויר המלכותי ב-30 באפריל 1968.
מטוסים עיקריים

הוקר הוריקן (1937)
סופרמרין ספיטפייר (1938)
גלוסטר מטאור (1944)
הוקר האנטר (1954)
אינגליש אלקטריק לייטנינג (1959)
מפקדים

| דרגה | שם | כניסה לתפקיד | סיום תפקיד |
| --- | --- | --- | --- |
|  מרשל אוויר ראשי | סר יו דאודינג | 14 ביולי 1936 | 25 בנובמבר 1940 |
|  מרשל אוויר | סר שולטו דאגלס | 25 בנובמבר 1940 | 28 בנובמבר 1942 |
|  מרשל אוויר | סר טרפורד לי מלורי | 28 בנובמבר 1942 | 15 בנובמבר 1943 |
|  מרשל אוויר | סר רודריק היל | 15 בנובמבר 1943 | 14 במאי 1945 |
|  מרשל אוויר | סר ג'יימס רוב | 14 במאי 1945 | 17 בנובמבר 1947 |
|  מרשל אוויר | סר ויליאם אליוט | 17 בנובמבר 1947 | 19 באפריל 1949 |
|  מרשל אוויר | סר בזיל אמברי | 19 באפריל 1949 | 7 באפריל 1953 |
|  מרשל אוויר | סר דרמוט בוייל | 7 באפריל 1953 | 1 בינואר 1956 |
|  מרשל אוויר | סר היוברט פאטץ' | 1 בינואר 1956 | 8 באוגוסט 1956 |
|  מרשל אוויר | סר תומאס פייק | 8 באוגוסט 1956 | 30 ביולי 1959 |
|  מרשל אוויר | סר הקטור מקגרגור | 30 ביולי 1959 | 18 במאי 1962 |
|  מרשל אוויר | סר דאגלס מוריס | 18 במאי 1962 | 3 במרץ 1966 |
|  מרשל אוויר | סר פרדריק רוזייר | 3 במרץ 1966 | 30 באפריל 1968 |
ראו גם

הקרב על בריטניה
פיקוד החופים של חיל האוויר המלכותי
הערות שוליים

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| הקודם: גזרת הקרב של חיל האוויר המלכותי | פיקוד החופים של חיל האוויר המלכותי  1936 - 1968 | הבא: פיקוד התקיפה של חיל האוויר המלכותי |
מפקד הפיקוד יו דאודינג מלווה את המלך ג'ורג' החמישי והמלכה אליזבת בביקורם במפקדת הפיקוד בבנטלי פריורי, 1940.
חדר המבצעים במפקדת הפיקוד בבנטלי פריורי.
טייסי ספיטפייר מטייסת 19, להק 12, ברגע של מנוחה, 1940.
מטוסי הוקר הוריקן של טייסת 245, 1940.