stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
חוק סטוקס

ערך זה עוסק בחוק מתחום ההידרודינמיקה. אם התכוונתם למשפט מתחום החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ראו .
חוק סטוקס בהידרודינמיקה עוסק בתנועת גוף בתווך צמיג. החוק קרוי על שמו של הפיזיקאי האנגלי ג'ורג' סטוקס אשר ניסח אותו בשנת 1851.
על פי חוק סטוקס, כוח הגרר (כוח ה"חיכוך" המתנגד לתנועת הגוף) על כדור ברדיוס  \ R הנע במהירות  \ v בתווך בעל מקדם צמיגות  \ \eta  נתון על ידי:
 F_{drag}=\ -6\pi \eta Rv
חוק סטוקס תקף בגבול של מספר ריינולדס קטן ( Re\ll 1) בו הצמיגות דומיננטית יחסית לאינרציה. במקרה זה ניתן לקבל את חוק סטוקס על ידי פתרון של משוואת נאווייה-סטוקס בהזנחת אברי האינרציה.
היחס הישר בין כוח הגרר ובין המהירות מתקיים גם לגופים בעלי צורה לא כדורית, אולם עבורם לא ניתן לחשב את מקדם הפרופורציה במדויק.
עבור תנועה במהירויות גבוהות (מספר ריינולדס לא קטן) חוק סטוקס נשבר ובגבול של מספר ריינולדס גדול כוח הגרר מתכונתי ל- \ v^{2}.
עם זאת, חוק סטוקס תקף במגוון רחב של מצבים ויש לו חשיבות גדולה בחקר תנועת גופים בתווך צמיג, כמו למשל מחקר של תנועת מיקרואורגניזמים ותאים בנוזל.
תנועה בהשפעת גרביטציה

כאשר הגוף נע בהשפעת גרביטציה, יפעל עליו בנוסף לכוח הגרר גם כוח הגרביטציה וכוח העילוי. משוואת התנועה שלו תהיה:
 m{\frac {dv}{dt}}=mg-\rho _{f}Vg-bv
כאשר:
\ m מסת הגוף ו-  \ mg כוח הגרביטציה הפועל עליו.
\ V נפח הגוף,  \ \rho _{f} צפיפות הזורם המקיף אותו ו -  \ \rho _{f}Vg כוח העילוי הפועל על הגוף.
\ bv הוא כוח הגרר, עם הקבוע  \ b=6\pi \eta R עבור כדור.
פתרון המשוואה מראה כי מהירות הגוף שואפת (אקספוננציאלית) לערך קבוע, אשר עבור כדור נתון על ידי  V_{s}={\frac {2}{9}}{\frac {\left(\rho -\rho _{f}\right)}{\eta }}g\,R^{2} ( \ \rho  היא צפיפות הגוף הכדורי). בתופעה זו נעשה שימוש לצורך מדידת מקדמי צמיגות של חומרים.
זרימה של יונים בתמיסה

כאשר יון בעל מטען  ze נע בתמיסה בהשפעת שדה חשמלי  E, יפעל עליו בנוסף לכוח הגרר גם כוח חשמלי  \ F_{e}=zeE. היון יאיץ עד שהכוח השקול הפועל עליו  F_{drag}+F_{e} יהיה שווה לאפס, ומהירותו במצב זה תהיה:
 v_{drift}={\frac {zeE}{6\pi \eta R}}
מהירות זו נקראת מהירות הסחיפה של היון, ועבור יון מסוים היא נמצאת ביחס ישר לעוצמת השדה החשמלי וביחס הפוך לצמיגות הממס.
זרימה זוחלת מסביב לספירה.
חותלות

נערה לובשת חותלות
פלמ"חניקיות לובשות חותלות בטיול לעין גדי, שנות ה-40 של המאה ה-20
מסדר סיום קורס קצינים בצה"ל, אוקטובר 1955, עת חותלות קנבס היו חלק ממדי צה"ל
חותלות הן פריטי לבוש שלובשים על הרגל. דמותן כשל שרוולים או גרביים ארוכים, ובדרך כלל הן מכסות את השוקיים אך לא את כפות הרגליים. חותלות יוצרו בתחילה מצמר, אך כיום ניתן למצוא גם חותלות עשויות כותנה, בד סינתטי או קטיפה.
רקדנים משתמשים בחותלות כדי לשמור על שרירי הרגליים שלהם חמים ולהימנע מהתכווצויות שרירים. בראשית שנות ה-80 הפכו החותלות לפריט אופנתי בקרב נשים, בהשראת סרטי ריקוד כ"תהילה" ו"פלאשדאנס".
בתקופת הפלמ"ח

החותלות (בלעז: פָּאטֶס או פט'ס) היו אחד מסימני ההיכר של הלבוש הפלמ"חניקי. נתיבה בן-יהודה הגדירה אותן כך: ”פט'ס - חותלות מעל לנעליים, כדי לחזק את הרגל ולמנוע כניסת אבנים וקוצים לנעליים. בפלמ"ח לא הלכו מטר בלי פט'ס.” (מתוך הספר "1948 - בין הספירות", עמ' 31).
כך סיפרה לוחמת הפלמ"ח רינה דותן, בסרט התיעודי "אחיותינו גיבורות התהילה":
מי שלבש חולצת חאקי עם כיס אחד, ידעו שהוא מהפלמ"ח ואם עוד היו לו פאטס, זה חותלות, זה היה עוד סימן.
ציוד סערה

בשונה מהסוג האופנתי, חותלות משמשות גם בשילוב עם מכנסי סערה להגנה מפני כניסת מים ושלג בין הנעלים למכנסים. מקובל מאוד בקרב מטפסי הרים. נקרא באנגלית Gaiters.
יצירת חותלות

בתקופות שונות נערות סרגו לעצמן חותלות מתאימות לכפפות, או לסוודרים. בעיתוני סריגה מופיעים לעיתים הוראות לסריגת חותלות מצמר או כותנה. בין הממחזרות בגדים יש רבות שמשתמשות בשרוולים של סוודרים ישנים והופכות אותם לחותלות.
הערות שוליים

↑  רוביק רוזנטל, מברג במגבת: סודות שפת הקשר הצה"לית, באתר ישראל היום, 11 במאי 2019
↑  Easy DIY Transformation: Sweater - Leg Warmers, Instructables Craft (באנגלית)
טורווזאורוס

| טורווזאורוס |
| --- | --- |
 שלד של Torvosaurus tanneri
תקופה
יורה עליון, 153–148 מיליון שנה לפני זמננו PreЄ Є O S D C P T J K Pg N     
מיון מדעי
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: זוחלים
סדרה:: בעלי אגן דמוי לטאה
תת־סדרה:: תרופודה
משפחה:: מגלוזאוריים
סוג:: טורווזאורוס
מינים
 Torvosaurus tanneri  Torvosaurus gurneyi
שם מדעי
 Torvosaurus ‏גלטון ויינסן, 1979

טורווזאורוס (שם מדעי: Torvosaurus) הוא סוג של דינוזאור תרופוד, טורף ממשפחת מגלוזאוריים, שחי בשלהי תור היורה, באמריקה הצפונית ואירופה.
מאפיינים

פירוש שמו של דינוזאור זה הוא "לטאה פראית".
המין Torvosaurus tanneri נתגלה ב-1971 באמריקה הצפונית ואירופה ותואר ב-1979. המין Torvosaurus gurneyi התבסס על מאובנים שנתגלו ב-2006 בפורטוגל וכללו בעיקר חלקים מהלסת וסווג כמין חדש רק ב-2014.
טורווזאורוס היה אחד הטורפים הגדולים של תקופתו: אורכו הגיע עד ל-9–10 מטרים ומשקלו ל-2–4.5 טון. מבנה גופו היה אופייני לתרופוד טורף גדול: צוואר קצר וחזק שנושא גולגולת חזקה, לסת החמושה בשיניים חדות באורך 10 ס"מ, רגליים שריריות למרדף וזנב ארוך ומוצק שנועד לאיזון הגוף בעת מרדף אחרי טרף. זרועותיו היו קצרות (אך לא כמו של הטירנוזאוריים) וחזקות.
בתרבות

דינוזאור זה הופיע בסדרה מהפכת הדינוזאורים.
גלריה

איור המשחזר Torvosaurus tanneri
שחזור שלד של Torvosaurus gurneyi
שחזור
שלד
ראו גם

מגלוזאורוס
הערות שוליים

↑  אבי בליזובסקי, ‏דינוזאור חדש התגלה בפורטוגל, הטורף הקרקעי הגדול ביותר שחי באירופה בתקופת היורה, באתר "הידען", 17 במרץ 2014
טיסה 592 של וליוג'ט

| --- | --- |
המטוס במאי 1995
המטוס במאי 1995
 תאריך:  11 במאי 1996
 מיקום:  אוורגליידס, דרום פלורידה
 גורם:  התפרצות שרפה בתא המטען במהלך הטיסה
 קואורדינטות:  25°54′47″N 80°34′41″W﻿ / ﻿25.91306°N 80.57806°W﻿ / 25.91306; -80.57806
 הרוגים:  110
 ניצולים:  0
 המעורבים באסון

כלי טיס
 כלי טיס:  DC-9
 מספר זנב:  N904V
 מוצא:  נמל התעופה הבינלאומי של מיאמי, מיאמי, פלורידה
 יעד:  הרטספילד - ג'קסון, אטלנטה, ג'ורג'יה
 מפעיל:  וליוג'ט
 נוסעים:  105
 אנשי צוות:  5
 he
 
טיסה 592 של וליוג'ט הייתה טיסה שהתרסקה ב-11 במאי 1996 בדרכה מנמל התעופה הבינלאומי של מיאמי, פלורידה לנמל התעופה הבינלאומי הרטספילד-ג'קסון באטלנטה, ג'ורג'יה. ההתרסקות מוטטה את האמינות של חברת התעופה הזולה וליוג'ט.
התאונה

מטוס DC-9 בן 27 השנים במסלול זה, בבעלות קודמת של חברת התעופה דלתא, המריא לאחר עיכוב של שעה ו-4 דקות בשעה 14:04 והחל בטיפוס שגרתי. אולם, בשעה 14:10, ביקש מפיקוח הטיסה לשוב למיאמי בשל עשן בתא הטייס ובתא הנוסעים. הקברניטה קנדי קובק והקצין הראשון ריצ'רד האזן קיבלו הוראות לשוב לשדה התעופה. שניות לאחר מכן, הוקלטו קריאות "שרפה" מתוך תא הנוסעים בקופסה השחורה של המטוס. דיילת פתחה את דלת תא הטייס והודיעה לצוות הטיסה שתא הנוסעים עולה באש. פנים המטוס עלה כליל באש.
הטיסה נעלמה ממסכי המכ"ם בשעה 14:14. היא התרסקה לביצות אוורגליידס שבדרום פלורידה, קילומטרים ספורים ממערב למיאמי. כל הנוסעים וצוות הטיסה נספו בהתרסקות.
החקירה

חקירת המועצה הלאומית לבטיחות בתעבורה של ארצות הברית (NTSB) העלתה שמקור הדליקה שהפילה את טיסה 592 היה בתא המטען שנמצא מתחת לתא הנוסעים במטוס. מערכת מניעת השריפות בתא המטען התבססה על היעדר חמצן - דבר הגורם לכל שרפה שעלולה לפרוץ להכבות מאליה.
החקירה העלתה שהשרפה נגרמה על ידי מחוללי חמצן כימיים שהושמו בתא המטען על ידי קבלן התחזוקה של וליוג'ט. חל איסור על הטסת המחוללים באופן שהוטסו, משום שהם נחשבים חומרים מסוכנים. יתר על כן, הנצרות של מחוללי החמצן לא נוטרלו כהלכה, והמכלים הוצהרו כריקים למרות שלא כך היה המצב.
חותך פיצה

גלגלת פיצה
מצלונה
חיתוך פיצה
חותך פיצה או סכין פיצה הוא כלי המשמש לחיתוך פיצה לפרוסות.
היסטוריה

ב-20 בספטמבר 1892, המציא דויד ס. מורגן, את חותך הפיצה הראשון בצורתו המודרנית ורשם אותו כפטנט. למרות זאת, במקור הוא לא שימש לחיתוך פיצה אלא לחיתוך טפטים.
סוגים

ישנם שני סוגים עיקריים של חותך פיצה. הסוג הנפוץ ביותר הוא גלגלת פיצה, הכוללת גלגל המחודד בקצותיו אותו האדם החותך מעביר בכיוון בו הוא רוצה לחתוך את הפיצה, והסוג השני היא סכין גדולה ומעוקלת הנקראת מצלונה (Mezzaluna, חצי ירח באיטלקית) אשר נעה קדימה ואחורה כדי לחתוך את הפיצה. שני הסוגים מגיעים בגדלים שונים.
ניתן להשתמש בגלגלת פיצה גם לשימושים אחרים, כגון עבודות אומנות. המצלונה משמשת גם לקיצוץ עגבניות (בעיקר הדגם עם הלהב הכפול) ולחיתוך עשבי תיבול.
ראו גם

שומר פיצה
הערות שוליים

↑  https://patents.google.com/patent/US482830A/en Roller-knife for trimming wall-paper
טורהאן הדיג'ה סולטאן

טורהאן הדיג'ה סולטאן (בטורקית: Turhan Hatice Sultan;‏ 1627 לערך – 4 באוגוסט 1683) הייתה האסקי סולטאן של הסולטאן העות'מאני אבראהים הראשון, וולידה סולטאן כאמו של מהמט הרביעי. טורהאן הייתה בולטת בשל היותה עוצרת לבנה הצעיר מהמט הרביעי ופרויקטי הבנייה שלה. היא וחמותה, קסם סולטאן, הן שתי הנשים היחידות בהיסטוריה העות'מאנית המוכרות כעוצרות רשמיות והיו בעלות שליטה עליונה על האימפריה העות'מאנית. טורהאן הייתה היחידה בהיסטוריה העות'מאנית שניהלה את האימפריה יחד עם הסולטאן באופן חוקי, אף על פי שבפועל היא העבירה את כוחה הפוליטי לווזיר הגדול. כתוצאה מכך, טורהאן הפכה לאחת הנשים הבולטות בתקופה שנודעה כסולטנות הנשים.
שנותיה הראשונות

ממוצא רוסי, טורהאן סולטאן, נולדה בשנת 1627 בדרום-מזרח רוסיה. היא נלכדה באחת מפשיטות הטטרים ונמכרה לעבדות. היא נשלחה להרמון הקיסרי בארמון טופקאפי כמתנה מח'אן קרים. היא הוכשרה על ידי אטיקה סולטאן, בתו של הסולטאן אהמט הראשון, וטופחה על ידי קסם, שהציגה אותה בפני בנה אבראהים.
לטורהאן נולדו שני ילדים, שהזאדה מהמט (לימים מהמט הרביעי) נולד ב־2 בינואר 1642, ופאטמה סולטאן (1642–1657). לידתו של מהמט עוררה שמחה גדולה גם בתוך הארמון וגם מחוצה לו. אף על פי שהיא ילדה לסולטאן את בנו הראשון, הוא התעלם ממנו במידה רבה. שכרה היומי כהאסקי היה 1,000 אקצ'ה.
בשלב מסוים אברהים חיבב מאוד את בנו התינוק משפחתו האחרת, עד כדי שהעדיף אותו על פני בנו החוקי מהמט. טורהאן, קינאה מאוד והוציאה את כעסה על אבראהים, וכתוצאה מכך, הוא תפס בזעם את בנו והשליך אותו למזרקה. מהמט היה טובע לולא המשרת לא היה מציל אותו. הוא נותר עם צלקת קבועה במצחו.
עלייתו של מהמט למלכות

ב-8 באוגוסט 1648, הודח אבראהים מכס המלוכה, וכעבור מספר ימים נרצח. יורשו, מהמט, היה עדיין ילד, וככזה, תפקיד ואלידה סולטאן היה צריך לעבור לטורהאן הדיג'ה. אך באמתלת גילה הצעיר וחוסר ניסיונה, נטלה על עצמה את התפקיד אמו של אבראהים, קסם סולטאן, ששירתה כולידה סולטאן בעת שלטונו של בנה.
אך טורהאן הדיג'ה סירבה לוותר על מעמדה, וערכה מאבק כוחות מול קסם סולטאן, בעזרתם של הסריס הראשי, מפקד שומרי ההרמון ותפקיד בעל השפעה גדולה בארמון הסולטאן, וכן של הווזיר הגדול. בקסם סולטאן תמך חיל היניצ'רים, ועל אף שהחזקתה בתפקיד נתפש באופן נרחב כטוב לממשלה, הייתה הרבה טינה מהעם ביחס להשפעת היניצ'רים. קסם סולטאן תכננה להדיח את מהמט, ולהחליפו באחד מנכדיה האחרים - תוכנית שכפי הנראה נועדה בעיקר לסכל את מעמדה של טורהאן הדיג'ה. היא לא הצליחה. לא ידוע אם יש קשר בין הדברים, אך קסם סולטאן נרצחה כעבור שלוש שנים.
תפקידה כולידה ועוצרת

עם מותה של יריבתה, טורהאן הדיג'ה הייתה לולידה סולטאן, ולעוצרת בשם בנה מהמט. בתפקידה זה, היה לה כוח רב. היא ליוותה את בנה למפגשים חשובים, ואף הייתה מדברת בהם, אם כי מאחורי וילון. בנה אהב אותה מאוד וראה בה שותפה למלוכה, ונתן לה סמכויות רבות, עד להחשבתה כסולטאנית הרשמית של האימפריה. היא הייתה הולידה היחידה בהיסטוריה העות'מאנית לחלוק באופן שווה את ניהול האימפריה עם בנה, והחזיקה ביותר כוח אפילו מקסם סולטאן בזמנה בתפקיד. עם זאת, טורהאן נשענה מאוד על עצתם של חברי ממשל אחרים, ובמיוחד הווזיר הגדול.
שני נושאים הכתימו את תקופת עוצרותה: המלחמה עם הוונציאנים על האי כרתים, והמשבר הכלכלי שעריכת מלחמה זו גררה. שורה של וזירים גדולים חלשים לא סייעו לשיפור המצב. אך כשמונה בשנת 1656 וזיר גדול חדש בשם מהמט פאשא קפרולו, הוא הסכים לקבל על עצמו את התפקיד רק אם יקבל סמכויות רחבות יותר מקודמיו, וטורהאן הסכימה לכך. קפרולו ביצע רפורמות שהחזירו לצבא העות'מאני את עוצמתו.
המשך חייה

בהעבירה כוח כה גדול לווזיר הגדול, הגבילה טורהאן הדיג'ה בעצם את הסמכויות שלה עצמה, אך היא הקדישה בעקבות כך את כוחותיה לפרויקטים אחרים בהם היה בידה להשפיע, כגון יוזמות אדריכליות גדולות.
המיזם הגדול הראשון שלה, אולי בעקבות מלחמת הציים עם ונציה, היה בשנת 1658, בבניית שתי מצודות בפתח מיצרי הדרדנלים. המצודות, אחת בצד האסייתי ואחת בצד האירופי של המצרים, קיימות עד היום. יוזמה זו מציבה את טורהאן הדיג'ה כשווה בין שווים עם מהמט הכובש וסולטאנים אחרים הידועים על ביצורים באזור.
אך ההצלחה הגדולה שלה הייתה בניית מסגד ולידה סולטאן (מסגד יני) החדש באסטנבול. הבנייה החלה בסוף המאה הקודמת על ידי הוואלידה סאפיה סולטאן, ברובע של העיר בה חיו תושביה הלא-מוסלמים. היא חשבה שבכך תסייע באסלאמיזציה של האזור. השטח עליו נבנה המסגד הופקע מידי תושבים לא-מוסלמים. אך הבנייה פסקה כשנפטר ב-1603 בנה של ספייה סולטאן, מהמט השלישי, והיא כבר לא הייתה ולידה. כמעט 60 שנים מאוחר יותר, טורהאן הדיג'ה החליטה לסיים את הפרויקט, אחרי שהרובע נהרס בשריפה הגדולה של 1660. היא סיימה את הבנייה ב-1665. בסיום הפרויקט, נבנו במתחם, בנוסף למסגד, גם בית ספר, מזרקות ציבוריות, שוק, ומאוזוליאום. היה זה המסגד הקיסרי הראשון שנבנה על ידי אישה.
טורהאן הדיג'ה נפטרה בשנת 1683, ונקברה במאוזוליאום במסגד יני; לצדה קבורים בנה וצאצאיה שאחריו. היא הייתה האישה האחרונה להחזיק בכוח כה רב באימפריה, ולשמש כעוצרת ליורש.
לקריאה נוספת

רוברטה ריץ, המיילדת מן ההרמון, הוצאת כנרת, 2015
Peirce, Leslie P. The Imperial Harem: Women and Sovereignty in the Ottoman Empire. Oxford: Oxford University Press, 1993
Thys-Senocak, Lucienne. Ottoman Women Builders. Aldershot: Ashgate, 2006
Afyoncu; Uğur Demir, Erhan (2015). Turhan Sultan. Istanbul: Yeditepe Yayınevi. ISBN 978-605-9787-24-6
טוקיו אינטרנשיונל פורום

| --- | --- |

 מידע כללי
 סוג:  מרכז תרבות, עסק, אולם תצוגה, המגזר השלישי 
 מיקום:  Marunouchi 
 מדינה:  יפן 
 הקמה ובנייה
 תקופת הבנייה:  ? – מאי 1996
 תאריך פתיחה רשמי:  10 בינואר 1997 
 אדריכל:  רפאל וינולי 
 מידות
 גובה:  58 מ' 
 קואורדינטות:  35°40′37″N 139°45′51″E﻿ / ﻿35.676944444444°N 139.76416666667°E﻿ / 35.676944444444; 139.76416666667
 www.t-i-forum.co.jp
  (למפת טוקיו מוגדלת) טוקיו אינטרנשיונל פורום(למפת טוקיו רגילה) טוקיו אינטרנשיונל פורום
 
טוקיו אינטרנשיונל פורום
טוקיו אינטרנשיונל פורום הוא מרכז תערוכות רב תכליתי בטוקיו, יפן.
המרכז עוצב על ידי האדריכל רפאל וינולי והושלם בשנת 1996.
במרכז 7 אולמות, שאחד מהם כולל 5,000 מושבים. וכן חלל תצוגה, לובי, מסעדה, חנויות ומתקנים אחרים.
בין האירועים שהתרחשו במרכז: הקונגרס העולמי של איחוד האדריכלים הבינלאומי בשנת 2011, המפגש השנתי של הבנק העולמי וקרן המטבע הבינלאומית (IMF) בשנת 2012, סיבוב ההופעות של אריאנה גרנדה "The Honeymoon Tour" בשנת 2015 ועוד.
בשנת 2021 יארח המרכז את תחרויות הרמת המשקולות באולימפיאדת טוקיו.
חבורת ארטין

חבורת ארטין (Artin Group) היא חבורה מוצגת סופית בעלת יחסים מסוימים המערבים מכפלות חוזרות של שני יוצרים. חבורות מסוג זה מכלילות את חבורת הצמות, ולכל חבורת ארטין ניתן להתאים חבורת קוקסטר המתקבלת כמנה שלה, בהוספת היחסים ההופכים כל איבר לאיבר מסדר 2.
חבורות ארטין נחקרות במספר תחומים במתמטיקה, כמו תורת החבורות הקומבינטורית, הצפנה לא קומוטטיבית, טופולוגיה גאומטרית.
החבורות נקראות על שם המתמטיקאי אמיל ארטין.
הגדרה

חבורה נקראת חבורת ארטין אם יש לה הצגה סופית מהצורה
\langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\mid (\sigma _{1},\sigma _{2})^{m_{1,2}}=(\sigma _{2},\sigma _{1})^{m_{2,1}},\dots ,(\sigma _{n-1},\sigma _{n})^{m_{n-1.n}}=(\sigma _{n},\sigma _{n-1})^{m_{n,n-1}}\rangle
כאשר  m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\dots ,\infty \} ו- (\sigma _{i},\sigma _{j})^{m_{i,j}} הוא האיבר בו מתבצעות  m_{i,j} הכפלות לסירוגין של  \sigma _{i},\sigma _{j} המתחילות ב- \sigma _{i}. כך למשל,  (\sigma _{1},\sigma _{2})^{3}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}. אם  m_{i,j}=\infty  פירושו שלא מופיע יחס בין  \sigma _{i},\sigma _{j}. היות שהיחסים על האלכסון חסרי משמעות, נקבע כי  m_{i,i}=\infty .
מבנה > מטריצת קוקסטר

לכל חבורת ארטין ניתן להתאים טבלה ריבועית אשר במקום ה- i,j מופיע האיבר  m_{i,j}. מטריצה סימטרית זו נקראת מטריצת קוקסטר של החבורה, וכל חבורת קוקסטר בעלת טבלה כזו מתקבלת על ידי מנה של חבורת ארטין המקורית, בתוספת היחסים  \sigma _{1}^{2}=1,\dots ,\sigma _{n}^{2}=1. בפרט, מוגדר אפימורפיזם מחבורת ארטין לחבורת קוקסטר המתאימה לה, והגרעין שלו נקרא חבורת ארטין טהורה.
מבנה > גרף ארטין

לכל חבורת ארטין ניתן להתאים גרף מכוון (כי המטריצה סימטרית), בו הקדקודים מייצגים את איברי החבורה, וביניהם יש קשתות בעלות משקלים  m_{i,j} (ובלי קשת במקרה  m_{i,j}=\infty ) - כלומר כל יחס מיוצג על ידי קשת. זהו גרף בלי קשתות כפולות ובלי לולאות. אוטומורפיזמים של גרפים משרים אוטומורפיזמים על חבורת ארטין המתאימה, ולכן בעזרת הגרף ניתן למצוא תת-חבורות של חבורת האוטומורפיזמים  \operatorname {Aut} (G).
דוגמאות > חבורת הצמות

חבורת הצמות היא חבורת ארטין, בעלת מטריצה:
{\begin{pmatrix}\infty &3&2&\dots &2\\3&\ddots &3&\dots &\dots \\2&\ddots &\ddots &\ddots &2\\\dots &\dots &\ddots &\ddots &3\\2&\dots &2&3&\infty \end{pmatrix}}
חבורת קוקסטר המתאימה לה היא החבורה הסימטרית  S_{n}, והגרעין של האפימורפיזם  \pi :B_{n}\to S_{n} נקראת חבורת הצמות הטהורה.
דוגמאות > חבורת ארטין מטיפוס סופי

במקרה בו חבורת קוקסטר המתאימה לחבורת ארטין היא סופית, חבורת ארטין נקראת מטיפוס סופי (Artin group of finite type). כך למשל, חבורת הצמות היא מטיפוס סופי.
הטיפוסים האי-פריקים בקטגוריה זו מסומנים  A_{n},B_{n}=C_{n},D_{n},I_{2}(n),F_{4},E_{6},E_{7},E_{8},H_{3},H_{4} (ראו לקריאה נוספת לפרטים). חבורת ארטין טהורה של חבורת ארטין מטיפוס סופי ניתן לממש בתור חבורה יסודית של משלים של סידורים היפר-מישורים במרחב מרוכב  \mathbb {C} ^{n}. בעזרת תיאור זה ניתן לחשב את המרכז של חבורת ארטין המתאימה, וכן לפתור את בעיית המילה ובעיית הצמידות שלה.
דוגמאות > חבורת ארטין ישרת-זווית

חבורת ארטין נקראת ישרת-זווית (Right-angled Artin group) אם מתקיים  m_{i,j}\in \{2,\infty \}, כלומר כל היחסים הם יחסי קומוטטיביות. במקרה זה מתאימים לכל חבורה גרף אחר: לוקחים כל גרף לא מכוון ומתאימים לו את היחסים, כך ש- m_{i,j}=2 אם יש קשת בין  i,j, ואינסוף אחרת. כלומר, היוצרים בחבורה יתחלפו בדיוק כאשר יש בין הקודקודים המתאימים להם קשת.
למשל, כל חבורה חופשית (נוצרת סופית) היא ישרת-זווית (ומתאים לה הגרף הריק); כל חבורה אבלית חופשית (נוצרת סופית) היא ישרת-זווית (ומתאים לה גרף שלם); החבורה המתאימה לגרף ריבוע היא מכפלה ישרה של שתי חבורות חופשיות.
כל חבורת ארטין ישרת-זווית ניתן לשכן בתור תת-חבורה מאינדקס סופי בתוך חבורת קוקסטר ישרת-זווית כלשהי. בפרט, אלו הן חבורות ליניאריות.
חבורת ארטין ישרת-זווית מתקבלת כחבורה יסודית של משטח 3-ממדי אם ורק אם בגרף המתאים לה כל רכיב קשירות הוא משולש או עץ.
לפרטים ותכונות נוספים ראו לקריאה נוספת.
דוגמאות > חבורת ארטין מטיפוס גדול

חבורת ארטין נקראת מטיפוס גדול (Artin group of large type) אם מתקיים  m_{i,j}\geq 3, ונקראת מטיפוס גדול במיוחד (extra-large type) אם  m_{i,j}\geq 4.
חבורות ארטין גדולות במיוחד הן חסרות פיתול, ותת-החבורה שלהן מהצורה  \langle \sigma _{1}^{2},\dots ,\sigma _{n}^{2}\rangle  היא חופשית. הוכח גם שבחבורות מסוג זה בעיית הצמידות היא פתירה.
שימושים בהצפנה

חבורת הצמות הייתה הצעה קלאסית של מספר מחברים לשימוש במספר פרוטוקולי הצפנה, כמו Anshel-Anshel-Goldfeld ו-Ko-Lee. עם זאת, הוצעו מספר התקפות (הסתברותיות) על בעיית חיפוש המצמיד של חבורת הצמות, ולכן נדרשו חבורות אחרות. אחת ההצעות הייתה להכליל את חבורת הצמות בעזרת חבורות ארטין, ואכן הוצעו מספר חבורות ארטין בעלות יחסים מסובכים יותר, וגם בחלקן הצליחו לפרוץ בעיית חיפוש המצמיד.
ראו גם

חבורת הצמות
חבורת קוקסטר
חבורה גאוסיאנית
חבורת גרסייד
לקריאה נוספת

Braid groups and Artin groups, Luis Paris, 2007
An Introduction To Right-Angled Artin Groups, Ruth Charney
| --- | --- |
בקרת זהויות :  BnF: cb18089552q (data)
זה נהנה וזה לא חסר

במשפט העברי, "זה נהנה וזה לא חסר" הוא מצב שבו אדם נהנה מנכסיו או מעשיו של אחר, בעוד האחר אינו מפסיד דבר, הכלל הוא בעצם התניה בחיוב תשלום מדין נהנה, שבמידה ובעל החפץ לא נחסר, הנהנה אינו מחויב לשלם לו על כך.
מקור הביטוי

מקור הביטוי בסוגיה בתלמוד הבבלי שבה נקבע כי "זה נהנה וזה לא חסר - פטור". משמעות הכלל היא, שמי שנהנו מנכסיו באופן שלא נגרם לו כל נזק, אינו יכול לתבוע מחבירו את שווי ההנאה שנהנה מנכסיו. הכלל נאמר אך ורק לאחר שכבר נהנו מנכסיו, אך במידה והתובע הודיע מראש כי אינו מסכים שיהנו מנכסיו, הנהנה מחויב לשלם על הנאתו לבעל הבית.
הסוגיה

המקרה הקלאסי, אשר בו דנה הסוגיה ועל יסודו נפסקו ההלכות, הוא של אדם "הדר בחצר חבירו שלא מדעתו" - כלומר אדם הפולש לחצר ריקה של חברו, ללא ידיעתו ורשותו. מקרה זה ניתן לחלוקה על פי שני קריטריונים,
א. חצר דעבידא למיגר. היינו, האם החצר מיועדת להשכרה.
ב. גברא דעביד למיגר. פירוש, האם השוכר עומד לשכור קרקע, היינו, במידה והשוכר לא ייוכל לגור במקום בחינם האם הדבר יגרום לו לשכור במקום אחר, או שיגרום לו לא לשכור כלל.
על פי הקריטריונים הנ"ל, ניתן לחלק את המקרה של אדם שדר בחצר חבירו לארבעה תתי מקרים,
א. דייר שמיועד לשכור, וחצר שמיועדת להשכיר. במקרה זה פשוט שהדייר צריך לשלם לבעל הבית מדין נהנה.
ב. דייר שאינו מיועד לשכור, וחצר שאינה מיועדת להשכיר. במקרה זה, פשוט שהדייר אינו צריך לשלם.
ג. דייר שאינו מיועד לשכור, אך החצר מיועדת להשכיר. במקרה זה נחלקו הראשונים האם הדין הוא שחייב לשלם לבעל החצר או פטור.
ד. דייר שמיועד לשכור, אך החצר איננה מיועדת להשכרה. מקרה זה, הוא נושא סוגייתנו, ועל זה מסיקה הגמרא שפטור.
בתקופת האמוראים נערכו מספר דיונים בשאלה זו. רמי בר חמא דן בשאלה על-פי המשנה: "כיצד השֵן מוּעדת לאכול את הראוי לה?...אבל ברשות הרבים פטור. ואם נהנית משלם מה שנהנית". הכלל הוא שבהמה נחשבת למועדת. כל בהמה צפויה לאכול את המזון שהיא רואה ולכן היא נחשבת למזיקה - באופן רגיל צפוי להיגרם ממנה נזק, כאשר היא אוכלת את הראוי לה (פירות וירקות, או חציר וקש, להבדיל מבגדים וכלי חרס או כלי מתכת). על פי המשנה, כאשר הבהמה אוכלת ברשות הניזק-היחיד, חייב בעליה בתשלום נזקים שגרמה, ואולם כאשר אוכלת הבהמה ברשות הרבים, פטור בעליה מתשלום נזקיה, אלא אם נהנה מן האכילה - אם האכילה הייתה לתועלתו ובעליה לא צריך עוד להאכילהּ. במקרה זה, שבו נהנה הבעלים מן האכילה, משלם בעליה על-פי מה שנהנתה (את העלות שהיה עולה לו להאכיל אותה). מדברים אלה ניתן לראות שלדעתו של רמי בר חמא, אף שאין עילת חיוב בנזיקין, הרי שעצם ההנאה גורמת לחיוב בתשלום - והכלל הוא "זה נהנה וזה לא חסר - חייב". לעומתו, האמורא רבא טען כי אין ללמוד מן המשנה האמורה, ובמקרה שבו אין חיסרון ואין נזק בפועל, הנהנה יהיה פטור מלשלם. רבי אמי מסכים עם רבא ומציין בהמשך הסוגיה: "וכי מה עשה לו, ומה חִסרו ומה הזיקוֹ?"
לגישת רבא ורבי אמי, כדי שתקום עילה המחייבת תשלום, יש הכרח כי להנאה יצטרף נזק בפועל - חיסרון כלשהו לאחר, ואם אין לנו "חסר" אין בעיה שאדם "יהנה".
הסוגיה > סברת הפטור

על פי חלק מפרשני התלמוד, הטעם לפטור הניתן לנהנה שלא גרם לחיסרון אצל חברו הוא הכלל "כופין על מידת סדום". כלל זה נותן סמכות לבית דין לכפות אדם לנהוג בדרך מסוימת, וזה על מנת שלא לנהוג כאנשי סדום ועמורה שהתנגדו לכל מעשה אשר עשוי היה להיטיב עם הזולת, גם אם לא היה נגרם להם חיסרון או טורח כלשהו. וכך כתבו בעלי התוספות:
הא דכופין על מידת סדום בזה נהנה וזה לא חסר, היינו בשכבר דר בחצר חבירו, שאינו מעלה לו שכר, אבל הא פשיטא שיכול למחות בו שלא ייכנס לדור בביתו אפילו בחצר דלא קיימא לאגרא...
כלומר, כופים אדם לוותר על תביעתו הממונית ובכך מונעים ממנו לנהוג כאנשי סדום. אמנם דין זה הוא בדיעבד, כשכבר גר שם, אבל לכתחלה אינו יכול לגור בחצר אף אם היא אינה מיועדת כלל להשכרה.
כאשר האחד נהנה על חשבון האחר, ויוצר חסר, עילת החיוב היא עצם ההנאה של הנהנה (עילה נזיקית). רק במקרה שבו אין חיסרון (אין עילה נזיקית), היעדרו מעכב את מימוש החיוב (בהיעדר עילה חוזית), על פי הכלל של "כופין על מידת סדום". כלל זה נהג גם במשפט הרומי שהיה מקובל בתקופת התלמוד, שבו ראו ביחסים בין הצדדים "מעין חוזה" (quasi Contract) וחייבו מכוח החוזה הלכאורי.
הסוגיה > חריגים לכלל

בקצות החושן מסביר רבי אריה לייב הכהן:
כל שחסר קצת, ומיעוטא דמיעוטא נמי, תו לא הוי ממידת סדום
כלומר, כאשר האחד נהנה והשני חסר ולו גם מעט שבמעט, הרי שגם אם לא נגרם נזק (בשל זניחות החיסרון) יהיה הנהנה חייב בתשלום.
חריג נוסף לכלל "זה נהנה וזה לא חסר" מצוי במשנת "השוכר פרה מחברו":
השוכר פרה מחבירו, והשאילה לאחר, ומתה כדרכה - ישבע השוכר שמתה כדרכה והשואל ישלם לשוכר. אמר רבי יוסי: כיצד הלה עושה סחורה בפרתו של חבירו? אלא תחזור פרה לבעלים
על-פי המשנה, פטור שוכר פרה מלשלם לבעלים אם זו "מתה כדרכה" - מתה מוות טבעי (שכן לא נהנה מן המושכר, ולמעשה הופר הסכם השכירות). על שואל פרה מוטלת אחריות מוגברת ביחס לשוכר, והוא חייב לשלם את דמי הפרה, גם אם לא התרשל כלל ומותה של הפרה היה כדרכה (שכן השואל כמוהו כלווה הנכנס בנעלי הבעלים). כלומר, נוצר המצב האבסורדי שבו במצב שבו שוכר הפרה השאילהּ לאדם אחר, ואצל השואל מתה הפרה כדרכה, על פי המשנה, השואל ישלם את דמי הפרה לשוכר, ואילו השוכר אינו חייב לשלם את דמי השכירות למשכיר (בעל הפרה). רבי יוסי תוהה על מצב הלכתי זה, ועל כן ההלכה נפסקה בהתאם לעמדתו של רבי יוסי, לפיה על השוכר להעביר את דמי השכירות לבעלים.
בהתאם לכלל זה של "השוכר פרה מחברו", לא יוכל אדם להרוויח מרכוש חברו שלא מדעתו (כלומר גם אם השוכר לכאורה "לא חסר" שכן לא היה זכאי לדמי שכירות במצב זה, לא ייתכן שהשואל "יהנה" על חשבונו), והכלל "זה נהנה וזה לא חסר" צומצם למצבים שבהם הנאתו של הנהנה אינה באה לידי ביטוי בהפקה של רווחים כספיים ממשיים.
רק כשאנו באים לחייב משום נהנה דהוא משום משתמש בממון חבירו - צריך שהשימוש יפגע קצת גם אצל בעל הממון. אבל אם ממונו גרם הוספת דבר בעולם, הדין שיזכה בעל הממון בדבר הנוסף
במשפט הישראלי

חוק עשיית עושר ולא במשפט דן בענף המשפטי הנקרא עשיית עושר ולא במשפט (Quasi Contracts). בדברי המבוא להצעת החוק נאמר, כי "הוא מאמץ את העיקרון של 'זה נהנה וזה לא חסר' כשיקול לפטור את הנהנה מהשבה". אולם בפועל עשה החוק את ההפך - על-פי סעיף 1 לחוק, הכלל הוא חובת השבה. החריג היוצא מן הכלל - פּטוֹר מהשבה, כולה או מקצתה, לפי שיקול דעת בית המשפט, כ"שהזכייה לא הייתה כרוכה בחסרון המזכה" (סעיף 2 לחוק), היינו רק על פי שיקול בית המשפט יש לנהוג לפי הכלל של המשפט העברי הפוטר מן החיוב.
משמעות כלכלית

הכלל "זה נהנה וזה לא חסר" תואם לעיקרון הכלכלי של יעילות פארטו.
ראו גם

משתרשי ליה
סמוכנות