stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מכניקת הרצף
בעיית תנועה כדוגמה מייצגת > תצפית הסוגרת את הבעיה

המד"ח הקודמת היא משוואה אחת עם שני נעלמים, יש צורך במשוואה נוספת על מנת שהבעיה תהיה מוצגת היטב (אנ'). משוואה נוספת כזו נדרשת על פי רוב במכניקת הרצף, משוואה כזו מופקת בדרך כלל מניסויים. במקרה תנועת כלי רכב ניתן לקבוע כי מכוניות בדרך כלל נוסעות בהתאם לצפיפות,  u=V(\rho ). במספר ניסויים נמצא כי הפונקציה  Vהיא פונקציה של צמצום הצפיפות. לדוגמה, ניסויים במנהרת לינקולן מצאו כי ישנה הלימה (חוץ מבמקרים של צפיפות נמוכה) טובה עבור המשוואה הבאה:  u=V(\rho )=27.5\ln(142/\rho ) (ק"מ לשעה יחסית ל מכוניות/ק"מ).
לפיכך, המודל הרציף הבסיסי עבור תנועת כלי רכב הוא המד"ח הבאה:
{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[\rho V(\rho )]=0
עבור צפיפות כלי רכב  \rho (x,t)בכביש מהיר.
תחומים עיקריים

| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| מכניקת הרצף תחום בפיזיקה העוסק בחומרים רציפים. | מכניקת מוצקים תחום בפיזיקה העוסק בחומרים רציפים הנמצאים במצב מנוחה. | אלסטיות מתאר חומרים החוזרים למצב המנוחה, לאחר הסרת המאמצים (לחצים). | אלסטיות מתאר חומרים החוזרים למצב המנוחה, לאחר הסרת המאמצים (לחצים). |
| מכניקת הרצף תחום בפיזיקה העוסק בחומרים רציפים. | מכניקת מוצקים תחום בפיזיקה העוסק בחומרים רציפים הנמצאים במצב מנוחה. | פלסטיות מתאר חומרים המתעוותים לצמיתות לאחר הפעלת רף מסוים של מאמץ. | ראולוגיה תחום העוסק בחומרים בעלי מאפיינים מוצקים וזורמים. |
| מכניקת הרצף תחום בפיזיקה העוסק בחומרים רציפים. | מכניקת זורמים התחום בפיזיקה העוסק בחומרים רציפים המתעוותים בחשיפה לכוח. | זורמים לא-ניוטונים חווים את שיעורי המעוות באופן שאינו פרופורציוני למאמץ הגזירה המופעל עליהם. | ראולוגיה תחום העוסק בחומרים בעלי מאפיינים מוצקים וזורמים. |
| מכניקת הרצף תחום בפיזיקה העוסק בחומרים רציפים. | מכניקת זורמים התחום בפיזיקה העוסק בחומרים רציפים המתעוותים בחשיפה לכוח. | זורמים ניוטונים חווים את שיעורי המעוות באופן פרופורציוני למאמץ הגזירה המופעל עליהם. | זורמים ניוטונים חווים את שיעורי המעוות באופן פרופורציוני למאמץ הגזירה המופעל עליהם. |
תחום נוסף של מכניקת הרצף כולל קצף אלסטומרי, אשר מציג עקומת מאמץ-עיבור היפרבולית מעניינת. האלסטומר רציף אבל חלוקה הומוגנית של חללים מעניקה לו תכונות בלתי רגילות.
הגדרת מודלים

הגדרת מודל במכניקת הרצף מתחילה בהגדרת מרחב אוקלידי בעל שלושה ממדים עבור גוף חומרי  {\displaystyle {\mathcal {B}}}. הנקודות שקיימות בתוך אזור זה נקראות חלקיקים או נקודות חומר. תצורות שונות של הגוף מתאימות לאזורים שונים בחלל האוקלידי. האזור המתאים עבור תצורה כלשהי של הגוף בזמן  t יסומן בצורה הבאה:  \kappa _{t}({\mathcal {B}}).
חלקיק מסוים בתוך הגוף עבור תצורה מסוימת יסומן על ידי וקטור מיקום:
\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},
כאשר  {e}_{i} הן קואורדינטות באותה מערכת צירים/סביבת ייחוס, עבור הבעיה (ראו איור מס' 1). את הווקטור ניתן להציג כפונקציה של מיקום החלקיקים  \mathbf {X}  בתצורת התייחסות מסוימת. לדוגמה התצורה בה ניתן לבטא את המיקום ההתחלתי היא:
\mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).
פונקציה זו נדרשת למגוון מאפיינים, כך שהמודל צריך להיות פיזיקלי. הפונקציה  \kappa _{t}(\cdot ) נדרשת לקיים את התנאים הבאים:
רציפה בזמן, כך שהגוף משתנה בצורה ריאליסטית.
הפיכה בכללותה, כך שהגוף לא יכול לחצות את עצמו.
אוריינטציה יחידה/שימור אוריינטציה, כיוון שהשינויים הנוצרים מהשתקפות במראה אינם פיזיקליים.
עבור ניסוח מתמטי של המודל,  \kappa _{t}(\cdot ) היא פונקציה רציפה ודיפרנציאבילית פעמיים, כך שבאמצעות מניפולציות דיפרנציאליות ניתן לתאר את תנועת הגוף במרחב באופן מתמטי.
כוחות במכניקת הרצף

| --- | --- |
 :  ראו גם – מאמץ (הנדסה), טנזור מאמצים
מכניקת הרצף עוסקת בגופים הניתנים לעיוות, בניגוד לגופים קשיחים. גוף מוצק הוא גוף הניתן לעיוות, שיכול לשאת במאמצי גזירה (הנובעים מכוחות הפועלים על פני שטח מסוים במקביל לו). לעומת זאת זורמים אינם יכולים לשאת מאמצי גזירה. כאמור, לצורך לימוד והבנה של המאפיינים המכניים של מוצקים וזורמים יש להניח כי מדובר בגופים רציפים בלי התייחסות למבנה המולקולרי של הגוף.
הדינמיקה הקלאסית ע"פ ניוטון ואוילר, גורסת כי תנועת גוף חומרי היא תוצאה של הפעלת כח חיצוני, אשר ניתן לסווג לשני סוגים שונים: כוחות שטח  {F}_{C} וכוחות גוף  {F}_{B}. כך שסכום הכוחות הכולל  {\mathcal {F}} הפועל על גוף או חלק מגוף ניתן לידי ביטוי כך:
{\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}
כוחות במכניקת הרצף > כוחות שטח

כוחות שטח (או כוחות מגע) יכולים לפעול על משטחי הגבול של הגוף כתוצאה מקשר מכני עם גופים אחרים, או על משטחים פנימיים דמיוניים שגובלים חלק מהגוף, כתוצאה מאינטראקציה מכנית בין חלקי הגוף לבין צדדים אחרים של המשטח (עיקרון המאמצים של אוילר וקושי). כאשר מופעל על גוף כוח חיצוני, כוחות מגע פנימיים נוצרים בפנים הגוף מנקודה לנקודה על מנת לאזן את הכוח, על פי חוק התנועה השלישי של ניוטון, כך שמתקיים שימור תנע קווי ותנע זוויתי (עבור גופים רציפים, חוק זה נכלל במשוואות התנועה של אוילר). הכוחות הפנימיים בגוף מיוחסים למעוותי גוף על פי המשוואות הקונסטיטוטיביות. ניתן לתאר את כוחות המגע הפנימיים באופן מתמטי ואת הקשר ביניהם לבין תנועת הגוף, ללא תלות במאפיינים החומריים של הגוף. את כוחות השטח נהוג לתאר ביחידות של לחץ, כלומר כוח ליחידת שטח.
פילוג כוחות המגע הפנימיים בכל נפח הגוף מניח שהוא רציף, לכן גם קיימת צפיפות כוח מגע או שדה הטרחה של קושי  \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)אשר מציג את פילוג הכוחות והמאמצים בכיוון, במיקום ובזמן מסוימים. זהו אינו שדה וקטורי כיוון שהוא לא תלוי רק במיקום  \mathbf {x} של נקודה חומרית מסוימת, אלא גם בכיוון המקומי של אלמנט השטח כפי שהוגדר על ידי הווקטור הנורמלי שלו  \mathbf {n} .
כל שטח דיפרנציאלי  dS\,\! בעל וקטור נורמלי  \mathbf {n}  עבור שטח פנימי נתון  S\,\!, הגובל עם חלק מהגוף, חווה כוחות מגע  d\mathbf {F} _{C}\,\! הנובע מהמגע בין שני חלקי הגוף מכל צד של השטח  S\,\!, וניתן לידי ביטוי ע"י:
d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS
כאשר  \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}הוא וקטור ההטרחה (וקטור מאמץ שטחי), או וקטור המאמצים. וקטור המאמצים הוא וקטור אשר לא תלוי במערכות הייחוס (עקרון המאמצים של אוילר וקושי).
כלל כוחות המגע הפועלים על משטח פנימי מסוים  S\,\! באים לידי ביטוי על ידי סכום (אינטגרל משטחי) של כוחות המגע על פני שטח המגע הדיפרנציאלי  dS\,\! :
\mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS
במכניקת הרצף, גוף נחשב כגוף חופשי אם הכוחות היחידים הפועלים עליו הם כוחות בין אטומיים (כוחות יוניים, מתכתיים וואן דר ואלס) הנדרשים עבור גיבוש הגוף כמקשה אחת ושמירה על צורתו בהיעדר השפעות חיצוניות (כולל כוח משיכה). מאמצים הנוצרים במהלך ייצור הגוף לתצורתו הדרושה/רצויה, אינם נכללים בחישובי מאמצים מאוחרים יותר שמתבצעים על גוף כלשהו. לכן המאמצים שנלקחים בחשבון במכניקת הרצף הם אך ורק המאמצים שנוצרים על ידי עיוות של הגוף. זאת אומרת רק שינויים יחסיים שנוצרים על הגוף נחשבים, ולא הערכים המוחלטים של אותם מאמצים.
כוחות במכניקת הרצף > כוחות גוף

כוחות גוף הם כוחות שמקורם נובע במקורות מחוץ לגוף, שפועלים על נפח (או מסה) של גוף מסוים. ניתן לומר כי כאשר קיימים כוחות גוף הנובעים ממקורות חיצוניים, האינטראקציה בין חלקים שונים בגוף (כוחות פנימיים) באה לידי ביטוי באמצעות כוחות המגע בלבד. כוחות אלו נובעים מעצם היותו של הגוף נתון לשדות כח, למשל: שדה כבידה (כוחות כבידה), שדה אלקטרומגנטי (כוחות אלקטרומגנטים) או מכוחות אינרציה הנובעים כאשר הגוף בתנועה. כאשר ניתן להניח כי מסה של גוף רציף מפוזרת בצורה אחידה/רציפה, כל כוח שמקורו נובע מעצם המסה מופץ גם הוא ברציפות. לכן, כוחות גוף מוגדרים על ידי שדות וקטוריים אשר מניחים כי הם רציפים עבור נפח הגוף כולו, כלומר פועלים על כל נקודה בו. כוחות הגוף מיוצגים על ידי צפיפות כוח הגוף   \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t) (עבור יחידת מסה) שהוא שדה וקטורי אדיש למערכות ייחוס (frame-indifferent).
במקרה של כוחות כבידה, עוצמת כוח הכבידה תלויה או פרופציונלית לצפיפות המסה  \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\! של החומר, והוא מוגדר במונחים של כח ליחידת מסה ( b_{i}\,\!) או ליחידת נפח ( p_{i}\,\!). לשתי הגדרות יש מקדם פרופורציה בדמות צפיפות החומר כך שניתן לקשר בין שתיהן על ידי המשוואה הבאה:  \rho b_{i}=p_{i}\,\!. באופן דומה עוצמת הכוחות האלקטרומגנטים תלויה בעוצמת (מטען חשמלי) השדה האלקטרומגנטי.
כלל כוחות הגוף הפועלים על גוף רציף מיוצגים על ידי המשוואה הבאה:
\mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV
כוחות גוף וכוחות מגע הפועלים על הגוף, מובילים למומנטי כוח תואמים יחסית לנקודה נתונה. לפיכך המומנט הכולל  {\mathcal {M}} המופעל על גוף כלשהו נובע ממונטי מגע ומומנטי גוף:
{\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}
במצבים מסוימים, שאינם נכללים בדרך כלל בניתוח התנהגות מכנית של חומרים. יש הכרח לכלול שני סוגים נוספים של כוחות: צמדי מאמצים (צמדים משטחיים, מומנטי מגע) ומומנטי גוף. צמדי מאמצים (Couple stresses) הם מומנטים ליחידת שטח הפועלים על משטח. מומנטי גוף או צמדי גוף (body couples) הם מומנטים ליחידת נפח או יחידת מסה הפועלת על נפח גוף. שני הסוגים חשובים בניתוח מאמצים בגופים מקוטבים דיאלקטרים (polarized dielectric) תחת השפעת שדה חשמלי, חומרים שיש צורך להתחשב במבנה המולקולרי שלהם, למשל: עצמות. כמו כן מוצקים/גופים תחת השפעת שדה מגנטי חיצוני ומתכות המושפעות מתורת הנקעים.
חומרים המציגים צמדי גוף או צמדי מאמצים בנוסף למומנטים הנוצרים על ידי כוחות חיצוניים נקראים חומרים קוטביים. חומרים לא קוטביים הם חומרים עם מומנטי כח בלבד. בענפים הקלאסיים של מכניקת הרצף פיתוח תאוריות עבור מאמצים נעשים על בסיס חומרים לא-קוטביים בלבד.
לפיכך, סכום הכוחות והמומנטים (ביחס לראשית מערכת הצירים) הפועלים על גוף הם:
{\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV
{\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV
קינמטיקה: תנועה ומעוותים

שינוי תצורה של גוף רציף מוביל לתזוזה. תזוזת גוף מורכבת משני רכיבים: תזוזת גוף קשיח ועיבור. תזוזת גוף קשיח מורכבת מתזוזה וסיבוב בו זמנית (תנועה בשש דרגות החופש האפשריות) זאת מבלי לשנות את צורתו או גודלו. עיבור הוא השינוי בצורה או בממדי הגוף יחסית לתצורת הגוף ההתחלתית (כאשר השינוי האבסולוטי הוא מעוות). מתצורה התחלתית  \kappa _{0}({\mathcal {B}}) לתצורה מוזזת  \kappa _{t}({\mathcal {B}}) כמתואר באיור מס' 2.
תנועת גוף רציף משמעותה סכימת רצף התזוזות של הגוף בזמן. לכן, הגוף החומרי יתפוס תצורות שונות בזמנים שונים, כך שניתן לתאר את חלקיקי הגוף על ידי סדרת נקודות בחלל המתארות קו מסלול.
קיימת המשכיות לתנועה או דפורמציה של גוף רציף במובנים הבאים:
נקודות החומר יוצרות עקומה סגורה בכל רגע נתון כך שגם בצעד הזמן הבא ניתן ליצור עקומה סגורה מנקודות החומר.
נקודות החומר היוצרות משטח סגור בכל רגע, ייצרו משטח סגור בכל זמן עוקב והחומר הכלוא בתוך המשטח הסגור תמיד יישאר בתוכו.
ניתן לזהות תצורה ראשונית או תנאי התחלה כך שכל מצב עתידי יוכל להתייחס לתצורה הראשונית או כנובע מתנאי ההתחלה. התצורה הראשונית היא תצורה התייחסותית בלבד כך שאין חובה שתצורה עתידית תקיים את התנאים הראשוניים. לעיתים קרובות התצורה ב t=0 נחשבת כתצורת הייחוס  \kappa _{0}({\mathcal {B}}). הרכיב  {\displaystyle \ }\ X_{i}של וקטור מיקום החלקיק  {\displaystyle \ \mathbf {X} }נמדד יחסית לתצורה הראשונית, כלומר יחסית לראשית הצירים המקורית.
כאשר מנתחים את התנועה או הדפורמציה של מוצרים או זרימה של זורמים, יש צורך לתאר את השינוי וההתפתחויות של התצורות כתלות בזמן. אחד מתיאורי התנועה של החומר ביחס לקואורדינטות הראשוניות נקרא תיאור חומרי או תיאור לגראנז'י.
קינמטיקה: תנועה ומעוותים > תיאור לגראנז'י

תיאור לגראנז'י מציג את התכונות הפיזיקליות של החלקיקים במובני חומר או ביחס לקואורדינטות ולזמן. במקרה זה תצורת הייחוס מתייחסת לתצורה בזמן  {\displaystyle \ t=0}. בתיאור זה הצופה בוחן את השינויים במיקום ובתכונות הפיזיקליות של הגוף החומרי הנע במרחב לאורך הזמן. התוצאות המתקבלות אינן תלויות בזמן הראשוני ותצורת הייחוס,  {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}. תיאור זה נפוץ במכניקת מוצקים.
בתיאור לגראנז'י, תנעת גוף רציף מיוצגת על ידי הפונקציה  {\displaystyle \ \chi (\cdot )}(איור מס' 2).
\ \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)
תיאור זה מציג את המעבר מהתצורה הראשונית  {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})} אל התצורה הנוכחית  {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}. תיאור גאומטרי של המעבר בין שני המצבים. כלומר וקטור המיקום  {\displaystyle \ \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}של חלקיק  {\displaystyle \ X}, בנוסף לוקטור המיקום  {\displaystyle \ \mathbf {X} }בתצורה הלא מעוותת או בתצורה היחסותית הראשונית  {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}, יציג את התצורה הנוכחית או התצורה המוזזת  {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})} בזמן  {\displaystyle \ t}. רכיבי הווקטור  {\displaystyle \ x_{i}}\ נקראים הקואורדינטות המרחביות.
תכונות פיזיקליות וקינימטיות  {\displaystyle \ P_{ij\ldots }}כמו גם תכונות תרמודינמיות ומהירות זרימה, המתארים תכונות ומאפיינים של גוף חומרי מוצגות כפונקציות רציפות של מיקום וזמן:  {\displaystyle \ P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}.
הנגזרת החומרית של כל תכונה רציפה  {\displaystyle \ P_{ij\ldots }}העשויה להיות סקלר, וקטור או טנזור. היא קצב השינוי בזמן של התכונה עבור קבוצת חלקיקים (או של הגוף החומרי כולו) של הגוף הרציף הנע בין מצבים שונים. הנגזרת החומרית ידועה גם כנגזרת חלקית. שינוי זה הוא הקצב בו המאפיין משתנה כאשר הוא נמדד במערכת הייחוס של הגוף, כלומר השינוי נמדד על ידי צופה הנע עם אותה קבוצת חלקיקים מדוברת.
בתיאור לגראנז'י, הנגזרת החומרית של הפונקציות הפיזיקליות  {\displaystyle \ P_{ij\ldots }}היא פשוט הנגזרת החלקית ביחס לזמן, כאשר וקטור המיקום  {\displaystyle \ \mathbf {X} }נשאר קבוע ולא משתנה בזמן כך שמתקבל כי:
{\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}
המיקום הרגעי  {\displaystyle \ \mathbf {x} }הוא תכונה של חלקיק, הנגזרת החלקית של התכונה היא מהירות הזרימה הרגעית  {\displaystyle \ \mathbf {v} }של החלקיק. לכן שדה הזרימה של החלקיק הרציף הוא:
\ \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}
באופן דומה, שדה ההאצה של החלקיק:
\ \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}
רציפות בתיאור הלגראנז'י באה לידי ביטוי על ידי המרחב ורציפות ה'רגעים' כך שניתן לעבור מתצורת הייחוס לתצורה העכשווית של הנקודות החומריות. כל הרכיבים הפיזיקליים המאפיינים את החומר מתוארים בצורה הזו, על ידי פונקציות רציפות. לכן הפונקציה  {\displaystyle \chi (\cdot )} והפונקציה  {\displaystyle \ P_{ij\ldots }(\cdot )}הם פונקציות חד ערכיות ורציפות וכך גם נגזרותיהם (בכל סדר שזהוא, בדרך כלל עד לסדר שני ושלישי) ביחס למרחב ולזמן.
קינמטיקה: תנועה ומעוותים > תיאור אוילרי

הרציפות מאפשרת הפיכה של הווקטור  {\displaystyle \chi (\cdot )} כך שיהיה ניתן לשחזר את מיקומו של החלקיק במרחב כך שניתן למצוא את  {\displaystyle \mathbf {x} } עבור התצורה ההתחלתית  {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}. במקרה זה תיאור התנועה מתבצע במונחים של קואורדינטות מרחביות. במקרים כאלו התיאור נקרא: התיאור המרחבי או התיאור האוילרי כך שהתצורה הנוכחית נלקחת כתצורה הייחוס.
התיאור האוילרי, הוצג על ידי ד'אלמבר, התמקד בתצורה הנוכחית   {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}
{\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}. התיאור מתייחס למתרחש בנקודה מסוימת במרחב למשך זמן, במקום להתמקד בחלקיקים בודדים הנעים במרחב ובזמן. גישה זו נוחה ליישום במחקרי זרימת נוזלים, כאשר המאפיין הקינמטי המעניין ביותר הוא הקצב בו מתרחש שינוי ולא צורת גוף הנוזל בזמן מסוים.
התנועה הרציפה בתיאור אוילרי מיוצגת על ידי פונקציית מיפוי:
\mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)
-חסר יושלם בהמשך
\ J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0
בתיאור אוילר, המאפיינים והתכונות הפיזיקליות  {\displaystyle \ P_{ij\ldots }}מוצגים כך:
\ P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)
האופן הפונקציונלית של  \ P_{ij\ldots }בתיאור הלגראנז'י שונה מצורת ההצגה  \ p_{ij\ldots } בתיאור האוילרי.
הנגזרת החומרית של התכונות הפיזיקליות  \ p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t), משתמשת בכלל השרשרת כך:
\ {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}
האיבר הראשון בצד ימין של המשוואה מייצג את שיעור השינוי המקומי של המאפיין  {\displaystyle \ p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)} המתרחש במיקום  \ \mathbf {x} . האיבר השני בצד הימני של המשוואה מבטא את קצב השינוי ותרומתו של קצב שינוי המיקום (התנועה) של החלקיק במרחב.
רציפות בתיאור האוילרי באה לידי ביטוי על ידי המרחב, רציפות ה'רגעים' ורציפות דיפרנציאבלית של שדה מהירות הזרימה. כל הרכיבים הפיזיקליים מוגדרים בצורה הזו בכל רגע בזמן, בתצורה הנוכחית  {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})} כפונקציה של וקטור המיקום  \ \mathbf {x} .
ראו גם

מספר ריינולדס
משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)
משפט ברנולי
משוואות נאוויה-סטוקס
דמיות
ריאולוגיה
הערות שוליים

↑  M.Ostoja-Starzewski, 7-10, Microstructural randomness and scaling in mechanics of materials, CRC Press, 2008, ISBN 978-1-58488-417-0
↑  A. J. Roberts, A One-Dimensional Introduction to Continuum Mechanics, World Scientific, 1994
↑  J. K. Diens, J. C. Solem, Nonlinear behavior of some hydrostatically stressed isotropic elastomeric foams, Acta Mechanica 138, 1999, עמ' 155–162 doi: 10.1007/BF01291841
↑  Smith & Truesdell p.97
↑  Slaughter
↑  Lubliner
↑  Liu
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007557831705171  BnF: cb119428967 (data)  GND: 4032296-8  LCCN: sh85031576  NDL: 00575759  NKC: ph115248 
איור מס' 1: תיאור של גוף רציף
איור מס' 2: תנועה של גוף רציף
התחנה המרכזית של אשקלון

| --- | --- |
תחנה מרכזית אשקלון רציפים בין עירוני
 תקופת הפעילות:  1965–הווה (כ־60 שנה)
 מיקום:  אשקלון
 אתרים סמוכים:  אצטדיון סלה, קניון גירון, בית משפט השלום
 שירות אוטובוסים:  לרוב חלקי ישראל
 קואורדינטות:  31°39′50″N 34°33′59″E﻿ / ﻿31.663830555556°N 34.566519444444°E﻿ / 31.663830555556; 34.566519444444
  מפת מיקום  מפה דינמית   (למפת השפלה מוגדלת) התחנה המרכזית של אשקלון(למפת השפלה רגילה) התחנה המרכזית של אשקלון(למפת ישראל רגילה) ירושלים תל אביב חיפה ראשון לציון אשדוד באר שבע נתניה אילת קריית שמונה בית שאן קצרין טבריה עפולה חדרה נהריה עכו כרמיאל אשקלון מצפה רמון  ערד עזה יריחו ירדן סוריה לבנון סיני (מצרים) הים התיכון נצרת לוד רהט הים האדום התחנה המרכזית של אשקלון(למפת ישראל מוגדלת) ירושלים תל אביב חיפה ראשון לציון אשדוד באר שבע נתניה אילת קריית שמונה בית שאן קצרין טבריה עפולה חדרה נהריה עכו כרמיאל אשקלון מצפה רמון  ערד עזה יריחו ירדן סוריה לבנון סיני (מצרים) הים התיכון נצרת לוד רהט הים האדום התחנה המרכזית של אשקלון  he התחנה המרכזית של אשקלוןhe התחנה המרכזית של אשקלוןמפת  __ אשקלון [‌למפה דינמית של השפלה וסביבותיה‌]מצפון, ממזרח ומדרום: __ מועצה אזורית חוף אשקלון ממערב: הים התיכון tabBackground:;tabBorder:#aaa;defaultTab:0;
 
התחנה המרכזית באשקלון עם פתיחתה בשנת 1965
התחנה המרכזית של אשקלון היא מסוף האוטובוסים המרכזי של העיר, השוכן בשדרות דוד בן-גוריון. התחנה נמצאת בבעלות חברת נצבא החזקות.
היסטוריה

התחנה נחנכה בשנת 1965. היא תוכננה על ידי האדריכל נחום שני והמהנדס ב. רוזנסקי, נבנתה על ידי סולל בונה ושטחה עמד על 17,000 מטר רבוע. 
חברת אגד הפעילה את הקווים העירוניים בעיר עד שנת 2005, אז הוקמה חברת "אגד פלוס תעבורה". ב-2006 התמזגה החברה עם "אגד אישי" והפכה לאגד תעבורה, שפעלה בעיר עד סוף יוני 2016. מיולי 2016 מפעילה חברת דן בדרום את הקווים העירוניים. ב-2023 החלה בניית התחנה המרכזית החדשה שתחליף את התחנה הנוכחית.
שירותי התחנה

התחנה המרכזית של אשקלון היא תחנת האוטובוסים המרכזית בעיר. בתחנה עוברים קווים של החברות אגד, אלקטרה אפיקים ודן בדרום.
ב־2015 תוכננו עבודות לשיפוץ התחנה, ריצוף וקירוי מלא, והוספת של רציפים תת־קרקעיים וקומות מסחר ובילוי.
בתחילת 2023 החלו עבודות להקמת תחנה מרכזית חדשה בצמוד לתחנה הקיימת.
ב־12 בפברואר 2016 הועברו לדן בדרום הקווים האזוריים והבינעירוניים שהופעלו על ידי אגד תעבורה וב-1 ביולי 2016 הועברו לדן בדרום הקווים העירוניים שגם הופעלו על ידי אגד תעבורה במסגרת מכרז אשכול צפון הנגב.
אומנות בתחנה

קיר הכניסה של התחנה קושט בפסל-קיר ממתכת שתיאר מרכבות סוסים תנ"כיות. את היצירה יצרה איזה הרשקוביץ, אולם במהלך השנים כוסתה היצירה והיום לא ניתן לראותה (ניתן להבחין בעבודה בתמונה מפתיחת התחנה).
במרכז התחנה נמצאת עבודת אומנות שיצר האומן משה סעידי, שנועדה להנצחתו של שלמה צ'רשניה, עובד אגד מתחנת אשקלון, שנהרג במלחמת ששת הימים בסיני.
הערות שוליים

1 2 3  יצחק יעקבי (עיתונאי), התחנה החדשה תשפר את השירותים ותרבה בטיחות, דבר, 4 במאי 1965
↑  מיכאל יעקובסון, תחנה סופית: האם ישראל מוכנה לוותר על התחנות המרכזיות?, באתר Xnet‏, 14 בפברואר 2013
↑  מירב קריסטל, התחנות המרכזיות המוזנחות יהפכו למרכזי קניות, באתר ynet, 13 ביולי 2013
↑  מיכאל יעקובסון, סיבוב בתחנה המרכזית של אשקלון עם קיר האמנות הראשון שיצר משה סעידי, באתר חלון אחורי, ‏2021-06-25
↑  הקו מתואם עם זמני הגעת הרכבת לתחנת הרכבת אשקלון
↑  הקו מתואם עם זמני הגעת הרכבת לתחנת הרכבת אשקלון. קו 18א אינו נכנס לבית החולים ברזילי
↑  קו עונתי. פועל בקיץ בלבד
↑  הקו פועל בקיץ בלבד וניתן לשמור מקומות בקו זה
חשבונות האינסטגרם הישראליים הנעקבים ביותר

השחקנית גל גדות, הישראלית עם הכי הרבה עוקבים באינסטגרם והיחידה מביניהם שנכנסה לרשימת 50 חשבונות האינסטגרם הנעקבים ביותר, עם 109 מיליון
הדוגמנית בר רפאלי, האדם הישראלי החמישי הנעקב ביותר באינסטגרם, עם מעל ל-3.7 מיליון עוקבים, היא האדם בעל מספר העוקבים הישראליים הגבוה ביותר.
השחקנית והדוגמנית גל גדות היא הישראלית בעלת מספר העוקבים הגבוה ביותר ברשת החברתית המקוונת, אינסטגרם, עם מעל לכ-100 מיליון עוקבים.
הבלוגר נוסייר יאסין, הידוע בכינוי "נאס דיילי" הוא הגבר הישראלי השלישי, והערבי-הישראלי היחיד ברשימה זו, על פי מספר העוקבים באינסטגרם.
30 חשבונות של ישראלים עברו את רף המיליון עוקבים, 21 מתוכם הם חשבונות של נשים ו-7 של גברים. שני החשבונות העסקיים היחידים שהגיעו למעמד זה הוא ערוץ הבידור ישראל בידור והערוץ ערב טוב עם גיא פינס.
על פי נתונים של חברת לידרס משנת 2019, כ-26 אחוזים מהעוקבים אחר חשבון האינסטגרם של בר רפאלי (כ-780 אלף) הם ישראלים, דבר המעמיד אותה כאדם בעל מספר העוקבים הישראליים הגבוה ביותר, זאת לעומת שני אחוזים בלבד של עוקבים ישראליים (666 אלף) אחר חשבון האינסטגרם של גל גדות.
החשבונות הישראליים הנעקבים ביותר

| דירוג | שם משתמש | בעלים | תאגיד | עוקבים  (במיליונים) | עיסוק/מקצוע | שפת תוכן עיקרית |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | @gal_gadot | גל גדות | — | 108.0 | שחקנית ודוגמנית | אנגלית |
| 2 | @master.sanker | עידן סנקר | — | 10.4 | צלם וכוכב רשת | אנגלית |
| 3 | @jude_devir | יהודה דביר | — | 5.1 | מאייר ומעצב גרפי | אנגלית |
| 4 | @nasdaily | נוסייר יאסין | — | 4.5 | בלוגר וידאו ואקטיביסט | אנגלית |
| 5 | @barrefaeli | בר רפאלי | — | 3.8 | דוגמנית ואשת עסקים | עברית |
| 6 | @avital | אביטל כהן | — | 2.0 | מדריכת כושר | אנגלית |
| 7 | @noakirel | נועה קירל | — | 1.8 | זמרת ושחקנית | עברית |
| 8 | @neta_alchimister | נטע אלחמיסטר | — | 1.7 | דוגמנית ואשת עסקים | עברית |
| 9 | @yaelaris | יעל כהן אריס | — | 1.7 | דוגמנית ואשת עסקים | אנגלית |
| 10 | @israel_bidur | ישראל בידור |  | 1.6 | פלטפורמה ברשתות החברתיות הסוקרת את עולם הבידור ישראלי | עברית |
| 11 | @nicolraidman | ניקול ראידמן | — | 1.6 | אשת עסקים | עברית |
| 12 | @ofiraasayag | אופירה אסייג | — | 1.4 | מנחת טלוויזיה, מגישת רדיו, עיתונאית, וכתבת ספורט | עברית ואנגלית |
| 13 | @yaelshelbia | יעל שלביה | — | 1.4 | דוגמנית ושחקנית | עברית |
| 14 | @annazak12 | אנה זק | — | 1.4 | זמרת, דוגמנית ושחקנית | עברית |
| 15 | @shira_argaman | שירה ארגמן | — | 1.4 | רקדנית, יוצרת תוכן | אנגלית |
| 16 | @b.netanyahu | בנימין נתניהו | — | 1.4 | פוליטיקאי, ראש הממשלה ה-9 של מדינת ישראל | עברית |
| 17 | @omeradam | עומר אדם | — | 1.3 | זמר | עברית |
| 18 | @yaelgrobglas | יעל גרובגלס | — | 1.2 | שחקנית | אנגלית ועברית |
| 19 | @rotemsela1 | רותם סלע | — | 1.2 | דוגמנית, שחקנית ומנחת טלוויזיה | עברית |
| 20 | @eyalgolan1 | איל גולן | — | 1.1 | זמר | עברית |
| 21 | @edenfines | עדן פינס | — | 1.1 | דוגמנית ושחקנית | עברית |
| 22 | @inbarlavi | ענבר לביא | — | 1.1 | שחקנית | עברית ואנגלית |
| 23 | @aline_cohenn | אלין כהן | — | 1.1 | שחקנית ואשת עסקים | עברית |
| 24 | @maya_devir | מאיה דביר | — | 1.0 | מאיירת ומעצבת גרפית | עברית |
| 25 | @assiazar | אסי עזר | — | 1.0 | מנחה טלוויזיה | עברית |
| 26 | @maria_domark | מריה דומרק | — | 1.0 | דוגמנית וזמרת | עברית ואנגלית |
| 27 | @natalydadon | נטלי דדון | — | 1.0 | דוגמנית | עברית |
| 28 | @edenben_zaken | עדן בן זקן | — | 1.0 | זמרת | עברית |
| 29 | @erevtov | ערב טוב עם גיא פינס |  | 1.0 | תוכנית טלווזיה הסוקרת את עולם הבידור ישראלי | עברית |
| 30 | @gali_golan | גלי גולן | — | 1.0 | כוכבת רשת | אנגלית |
נכון ל-8 בדצמבר 2024
ראו גם

חשבונות האינסטגרם הנעקבים ביותר
ערוצי היוטיוב הישראליים בעלי מספר המנויים הגדול ביותר
ביאורים

↑  כשאין קול בסרטונים בעמוד, מוצגת השפה בה כתובים שמות ותיאורי הסרטונים בערוץ
↑  בצהוב - ערוצים המפרסמים תוכן בשפה העברית, השפה הרשמית במדינת ישראל. הערוץ מסומן גם במקרה שהוא מפרסם תכנים בשפות אחרות בנוסף לתכנים בעברית
הערות שוליים

↑  ערן סויסה, הסטורי האמיתי: המספרים מאחורי חשבונות האינסטגרם של הסלבס, באתר ישראל היום, 27 בדצמבר 2019
↑  חוק יסוד: ישראל – מדינת הלאום של העם היהודי
מתי סרי

| --- | --- |

מתי סרי, 2022
 לידה:  25 בדצמבר 1952 (בן 72) ירושלים
 שם לידה:  מתתיהו סרי לוי
 מדינה:  ישראל 
 צאצאים:  גל סרי 
 מספר צאצאים:  3
 פרופיל ב-IMDb
 
מנחי זהו זה מימין לשמאל, מתי סרי, גידי גוב, מוני מושונוב ושלמה בר אבא, שנים 1982-1980
מַתִּי סֵרִי (נולד בירושלים ב-25 בדצמבר 1952) הוא שחקן, מנחה טלוויזיה, מדבב וזמר ישראלי.