אינטגרלי מסלול
גזירה של אמפליטודת המעבר

בחלק זה נראה תמצות לדרך בה מקבלים, באופן פורמלי, את ההצגה של אמפליטודת ההסתברות בעזרת אינטגרלי המסלול. החישוב המפורט, מראשיתו ועד סופו, מופיע בערך המורחב. לשם פשטות, נתבונן במערכת חד-ממדית המתוארת באמצעות ההמילטוניאן:
 \ H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x)
כאשר  \ m היא מסת החלקיק,  \ p התנע שלו,  \ x מיקומו ו-  \ V(x) האנרגיה הפוטנציאלית שלו.
אמפילטודת המעבר מנקודה  \ x_{0}  לנקודה  \ x_{f} נתונה בביטוי: 
 \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=\langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht}|x_{0}\rangle 
כאשר השתמשנו בסימון דיראק בו המצב   |x\rangle  מציין מצב מקום. לגודל זה נהוג גם לקרוא אופרטור ההתפתחות בזמן (או הפרופגטור) כיוון שהוא מקדם את המערכת בזמן. מכיוון שהמערכת אינה תלויה מפורשות בזמן אפשר לרשום את האופרטור  \ e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht} כמכפלה של  \ N גורמים  \ \left(e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}\right)^{N} כאשר  \ t=N\Delta t. בשלב הבא מציבים בין כל זוג גורמים במכפלה הזו את אופרטור הזהות  \ I המבוטא באמצעות  יחס השלמות של מצבי המקום:
 \ I=\int dx|x\rangle \langle x|
ומכאן מקבלים
\psi _{x_{0}}(x_{N},t)=\int \mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{N-1}\langle x_{N}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}|x_{N-1}\rangle \langle x_{N-1}|\cdots |x_{1}\rangle \langle x_{1}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}|x_{0}\rangle 
כאשר לשם נוחות ההצגה החלפנו את המציין של נקודת הסיום להיות  \ x_{f}=x_{N}. 
אופרטור ההתפתחות בזמן עבור פרק זמן קטן  \Delta t\to 0 הוא:
 \ \langle x_{j+1}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}H\Delta t}|x_{j}\rangle ={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar \Delta t}}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\left({\frac {m}{2}}{\frac {(x_{j+1}-x_{j})^{2}}{\Delta t}}-V(x_{j})\right)}
ולכן אמפליטודת המעבר בגבול  \ N\to \infty  היא
\psi _{x_{0}}(x_{N},t)=\int \mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{N-1}\left({\frac {m}{2\pi i\hbar \Delta t}}\right)^{\frac {N-1}{2}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\sum _{j=1}^{N-1}\Delta t\left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {x_{j+1}-x_{j}}{\Delta t}}\right)^{2}-V(x_{j})\right]}
לנוסחה זו ניתן לתת את הפרוש הבא: אמפליטודת ההסתברות למעבר בין שתי נקודות נתונות בפרק זמן  \ t היא מכפלה של אמפליטודות הסתברות למעבר דרך סדרת נקודות  \ (x_{0},x_{1},x_{2}\cdots x_{N}) כאשר פרק הזמן למעבר בין כל שתי נקודות שכנות הוא  \ \Delta t, ויש לסכם על כל  נקודות הבינים האפשריות. אם נפרש את המשתנים  \ x_{j} כדגימה של הפונקציה  \ x(\tau ), המתארת את מסלול החלקיק, בזמנים  \ \tau _{j}=j\Delta t, אזי האינטגרל שלמעלה מתאר אינטגרציה על כל המסלולים האפשריים המחברים את נקודת ההתחלה והסיום.
השלב האחרון הוא בסך הכול הסימון של האינטגרל שלעיל. בהנחה ש-  \ x_{j} הן נקודות הדגימה של מסלול החלקיק  \ x(\tau ), ניתן להבין את הסכום באספוננט כסכום רימן אשר בגבול  \ N\to \infty  נותן את הפעולה לאורך המסלול:
 \ \lim _{N\to \infty }\sum _{j=1}^{N-1}\Delta t\left[{\frac {m}{2}}\left({\frac {x_{j+1}-x_{j}}{\Delta t}}\right)^{2}-V(x_{j})\right]=\int _{0}^{t}\mathrm {d} \tau {\frac {m}{2}}{\dot {x}}^{2}(\tau )-V(x(\tau ))
ולכן נהוג לסמן את האינטגרל המסלולי בצורה:
 \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=\int \mathrm {D} x(\tau )e^{{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}d\tau L({\dot {x}},x)}
כאשר  L({\dot {x}},x) הוא הלגראנז'יאן של המערכת. הסמל  \mathrm {D} x(\tau ) אנלוגי לסמל  \mathrm {d} x באינטגרציה של פונקציות, ומשמעותו שיש לסכם על כל המסלולים עם משקל (מידה) הנקבעת דרך הדיסקרטיזציה של האינטגרל לנקודות זמן  \ \Delta t=t/N, בגבול  \ N\to \infty .