מטריקת שוורצשילד
רקע

מכאן והלאה, לשם הקיצור, המשוואות מוצגות ביחידות טבעיות, בהן  c=G=1.
תורת היחסות הכללית של איינשטיין מתארת את שדה הכבידה שנוצר כתוצאה מהתפלגות חומר וכיצד שדה הכבידה הזה משפיע על תנועת החומר וחוזר חלילה. במסגרת התורה, שדה הכבידה אינו כוח פיזיקלי כשאר הכוחות, אלא הוא מבוטא על ידי עקמומיות ביריעת המרחב-זמן. תנועת חלקיקים במרחב-זמן עקום בהיעדר כוחות חיצוניים (למשל כוחות אלקטרומגנטיים) היא לאורך גאודזיות, שהן הכללת מושג הקו הישר ליריעה בעלת עקמומיות. התפלגות התוכן החומרי, אשר מבוטאת באמצעות טנזור תנע-אנרגיה, מכתיבה את הגאומטריה של המרחב-זמן דרך משוואות השדה של איינשטיין, שבצורה קומפקטית ניתנות לרישום באופן הבא:
(1)  G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }
באגף שמאל נמצא טנזור איינשטיין ובאגף ימין טנזור התנע-אנרגיה מוכפל בקבוע.
בריק, משוואות איינשטיין מצטמצמות למערכת המשוואות הסגורה:  R_{\mu \nu }=0, כאשר  R_{\mu \nu } הוא טנזור ריצ'י. בנוכחות חומר, לעומת זאת, משוואות השדה של איינשטיין אינן מהוות מערכת סגורה, ולשם הסגירות נחוצות גם משוואות החומר המתאימות, למשל, משוואות מקסוול בנוכחות שדות אלקטרומגנטיים או משוואת קליין-גורדון בנוכחות שדה סקלרי.
בשנת 1916, חודש לאחר פרסום משוואות השדה של איינשטיין, פרסם קרל שוורצשילד את הפתרון המדויק למשוואות השדה של איינשטיין בסימטריה כדורית בריק. שדה כבידה בעל סימטריה כדורית מתקבל כתוצאה מכל התפלגות חומר בעלת סימטריה כדורית ושתנועתו שומרת על הסימטריה. למשל, ניתן לחשוב על כדור סטטי או כוכב בעל תנועות פעימה כדוריות.
תוך שימוש בקואורדינטות הכדוריות  (r,\theta ,\phi ), האינטרוול הכללי ביותר שמתאים למקרה של סימטריה כדורית היא:
(2)  ds^{2}=g_{TT}dT^{2}+g_{RR}dR^{2}+g_{R,T}dRdT+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})
מהשרירותיות בבחירת מערכת קואורדינטות בתורת היחסות הכללית נובע כי ניתן לבצע כל טרנספורמציית קואורדינטות שתשמר את הסימטריה הכדורית. נוח להשתמש בבחירה של הילברט ולעבור לקואורדינטות חדשות  t=t(T,R) ו- r_{1}(R,T), כך ש-  r_{1}(R,T)=r ו- g_{rt}=0. בדרישה זו הותרנו חופש כיול שיורי לטרנספורמציות  t\mapsto \mathrm {T} (t), מכיוון שהתאפסות  g_{rt} גוררת את התאפסות  g_{r\mathrm {T} } על ידי משוואות הטרנספורמציה  g_{r\mathrm {T} }=g_{rt}\mathrm {T} _{,t}. האינטרוול המתקבל הוא:
(3)  ds^{2}=g_{tt}(r,t)dt^{2}+g_{rr}(r,t)dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})
נבחר להניח כי  g_{rr}>0 ו- g_{tt}<0, כלומר ש- r הוא קואורדינטה מרחבית ו- t קואורדינטה זמנית. תחת הנחה זו, נוח לסמן:  g_{rr}=e^{\lambda } ו- g_{tt}=-e^{\nu } כאשר  \lambda  ו- \nu  הן פונקציות כלשהן של  r ו- t. הביטוי הבא לאינטרוול מתקבל:
(4)  ds^{2}=-e^{\nu }dt^{2}+e^{\lambda }dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})
עבור המטריקה המתאימה לאינטרוול זה, משוואות השדה של איינשטיין בריק הן:
(5)  e^{-\lambda }(r\nu _{r}+1)-1=0
(6)  e^{-\lambda }(1-r\lambda _{r})-1=0
(7)  e^{-\lambda }{\dot {\lambda }}=0
(8)  e^{-\lambda }(\nu _{rr}+{\nu _{r}^{2} \over 2}+{\nu _{r}-\lambda _{r} \over r}-{\lambda _{r}\nu _{r} \over 2})-e^{-\nu }(\lambda _{tt}+{\lambda _{t}^{2} \over 2}-{\lambda _{t}\nu _{t} \over 2})=0
משוואה (8) נובעת ממשוואות (5) ו-(6). ממשוואה (7) ניתן להסיק מיידית כי  \lambda =\lambda (r). נחסר את משוואה (6) ממשוואה (5) ונקבל:  e^{-\lambda }r(\nu _{r}+\lambda _{r})=0, כלומר  (\nu +\lambda )_{r}=0, על-כן:  \nu =f(t)-\lambda (r) כאשר  f היא פונקציה של  t בלבד. כזכור, נותר עוד חופש כיול שיורי, על-כן נבצע טרנספורמציה  t\mapsto \mathrm {T} (t) שמקיימת את התנאי:  {d\mathrm {T}  \over dt}=e^{{1 \over 2}f(t)} ונקבל:
e^{\nu }=g_{\mathrm {T} \mathrm {T} }=g_{tt}({dt \over d\mathrm {T} })^{2}=e^{\nu }(e^{-{1 \over 2}f(t)})^{2}=e^{f(t)-\lambda (r)}e^{f(t)}=e^{-\lambda (r)}
כלומר קיבלנו  \nu =-\lambda (r). נציב תוצאה זו במשוואה (5) ונקבל:  e^{-\lambda }(1-r\lambda _{r})=1, כלומר  (re^{-\lambda })_{r}=1, לכן  e^{\nu }=e^{-\lambda }=1+{constant \over r}. מטריקה זו מתאפיינת בשטיחות אסימפטוטית, כלומר הרחק ממקור הכבידה המטריקה מתכנסת למטריקה הגלילאית השטוחה.  \lim _{r\to \infty }e^{\lambda }=1,\lim _{r\to \infty }(-e^{\nu })=-1. מהשוואה עם הגבול הניוטוני, היינו מהדרישה לקיום משטר ניוטוני בשדה חלש בו  g_{tt}=-(1-2\phi ),\phi =-{m \over r} כאשר  m היא המסה הכוללת של מקורות הכבידה, נקבל את ערך הקבוע  \mathrm {constant} =2m\equiv r_{s} אשר מכונה רדיוס שוורצשילד. האינטרוול המתקבל (ביחידות גאומטריות, כזכור) הוא:
(9)  ds^{2}=-(1-{2m \over r})dt^{2}+{dr^{2} \over (1-{2m \over r})}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})
קיבלנו משפחה חד-פרמטרית של פתרונות עם פרמטר  m, פתרונות אלו הם סטטיים ומתאפיינים בשטיחות אסימפטוטית. זוהי מטריקת שוורצשילד מבוטאת בקואורדינטות שוורצשילד. בשנת 1923 הוכיח המתמטיקאי האמריקני, ג'ורג' דייוויד בירקהוף, משפט יחידות לפיו בהינתן גאומטריה של תחום כלשהו במרחב-זמן בעלת סימטריה כדורית ומהווה פתרון למשוואות השדה של איינשטיין בריק, אזי גאומטריה זו היא פיסה מגאומטריית שוורצשילד. משפט זה מוכר כמשפט בירקהוף (Birkhoff). השדה החיצוני של כל כוכב כדורי נייטרלי חשמלית, בין אם הוא סטטי, פועם או קורס, מקיים את תנאי משפט בירקהוף, על-כן, השדה החיצוני מהווה פיסה מגאומטריית שוורצשילד. כוכב בעל סימטריה כדורית שפועם אינו פולט גלי כבידה, מכיוון שהפתרון הוא סטטי. עובדה זו היא ביטוי למשפט בירקהוף. דבר דומה מתרחש באלקטרודינמיקה, שם מטען פועם בעל סימטריה כדורית אינו פולט גלים אלקטרומגנטיים, שכן משוואות מקסוול אוסרות על קרינת מונופול.
במקרה של כוכב בקריסה כבידתית, פני השטח שלו נעים במסלול של ערכי  r שהולכים וקטנים, עד אשר הם חוצים את רדיוס שוורצשילד. חציית רדיוס שוורצשילד וכניסה לתחומים בהם  r<2m היא תהליך בלתי הפיך שמוביל לנפילת החומר אל עבר הסינגולריות ובכך נוצר חור שחור.