stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
העתקה אפינית
ייצוג באמצעות העתקה ליניארית > אנדומורפיזם

במקרה שבו  f היא אנדומורפיזם על  A (כלומר, העתקה אפינית מהמרחב אפיני  (A,{\vec {A}}) לעצמו), לכל  a\in A מגדירים פונקציה  {\vec {f}}_{a}\colon A\to A כך שלכל  x\in A מוגדר ש- {\vec {f}}_{a}(x):=a+{\vec {f}}(x-a). ניתן להוכיח כי  {\vec {f}}_{a} היא אנדומורפיזם על  A שיש לו נקודת שבת ב- a.
כעת, מגדירים  {\vec {v}}_{0}:=f(a)-a\in {\vec {A}} בתור וקטור ההסטה של  f על  a. על כן, מתקבל כי לכל  x\in A:
{\begin{aligned}f(x)=f(a+(x-a))\\=f(a)+{\vec {f}}(x-a)\\=\underbrace {a+{\vec {f}}(x-a)} _{={\vec {f}}_{a}(x)}+\underbrace {(f(a)-a)} _{={\vec {v}}_{0}}\\={\vec {f}}_{a}(x)+{\vec {v}}_{0}\\=T_{{\vec {v}}_{0}}\circ {\vec {f}}_{a}(x)\end{aligned}}
כלומר, כל אנדומורפיזם ניתן לייצוג על-ידי העתקה ליניארית  {\vec {f}}, נקודת ייחוס  a ווקטור הסטה  {\vec {v}}_{0}.
משמעות הדבר היא כי כל אנדומורפיזם הוא הלכה למעשה העתקה ליניארית מורכבת עם פעולת הזזה. מאחר שנקודת הייחוס  a נבחרה שרירותית, מובן כי הדבר הנכון לכל נקודת ייחוס באשר היא ומייצג תכונה אינהרנטית של אנדומופריזמים בפרט והעתקות אפיניות בכלל.
יש להבחין כי בעוד ההעתקה הליניארית  {\vec {f}} אינה תלויה בבחירת נקודת הייחוס, וקטור ההסטה  v_{0} כן תלוי בה. זאת אומרת שההעתקה הליניארית  {\vec {f}} "נראית אותו הדבר" לא משנה ביחס לאיזה נקודת ייחוס היא נלקחת וכי האלמנט היחיד שמשתנה עם שינוי נקודת ייחוס הוא אך ורק וקטור ההסטה.
ייצוג העתקות אפיניות בין מרחבים מממד סופי

בהינתן מרחב אפיני  (A,{\vec {A}}) מממד סופי  n\in \mathbb {N} , ניתן להוכיח כי הוא איזומורפי למרחב האפיני  (\mathbb {A} ^{n},F^{n}) כאשר:
\mathbb {A} ^{n} הוא מרחב הנקודות ה- n ממדיות. מרחב זה מיוצג על-ידי  n-יות סדורות של איברי  F שלא מקיימות מבנה של מרחב וקטורי.
F^{n} מרחב וקטורי  n ממדי מעל  F. מרחב זה גם הוא מיוצג על-ידי  n-יות סדורות של איברי  F שביניהן ישנה פעולת חיבור איבר-איבר וכפל בקלר.
מסיבה זו כל העתקה אפינית  f בין מרחבים מממדים סופיים  n\in \mathbb {N}  ו- m\in \mathbb {N}  שקולה להעתקה  f\colon \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m} כאשר ההעתקה היא למעשה בין קואורדינטות אפיניות.
ניתן לייצג העתקה זו בשני אופנים:
ייצוג העתקות אפיניות בין מרחבים מממד סופי > הצגה באמצעות מטריצה ווקטור

מאחר שכל העתקה אפינית ניתנת לייצוג באמצעות העתקה ליניארית ושתי נקודות ייחוס, וכל העתקה ליניארית בין מרחבים סופיים ניתנת לייצוג כמטריצה, ניתן למצוא מטריצה  M\in F^{m\times n} ווקטור  b\in F^{m} כך שלכל  x\in \mathbb {A} ^{n}:
f(x)=Mx+b
כלומר, במקרה של העתקה אפינית בין מרחבים סופיים, כל העתקה ניתנת לייצוג כהרכבה בין העתקה ליניארית  M והזזה בוקטור  b. תכונה זו ממחישה את היותן של העתקות אפיניות "העתקות ליניאריות בתוספת הזזה", גם להעתקות שאינן אנדומורפיזמים כפי שהוצג קודם.
ניתן להוכיח כי  f העתקה הפיכה אם ורק אם  M מטריצה הפיכה.
ייצוג העתקות אפיניות בין מרחבים מממד סופי > הצגה באמצעות מטריצה מורחבת

ניתן לייצג גם את ההזזה ואת המיפוי הליניארי באמצעות כפל מטריצות בודד, אם מרחיבים הן את הווקטורים והן את המטריצות: לווקטורים מוסיפים קואורדינטה נוספת והיא הסקלר 1, ולכל המטריצות מוסיפים שורה של אפסים בתחתית, ועמודה נוספת (וקטור ההזזה) מימין, שבתחתיתה המספר 1.
כך למשל, עבור ההעתקה  f, ניתנת להשתמש במטריצה  M ובוקטור העמודה  b כדי להגדיר את הפונקציה המורחבת:
{\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}M&b\\0&1\end{pmatrix}}\in F^{(n+1)\times (m+1)}
אם  x\in \mathbb {A} ^{n} ו- y:=f(x)\in \mathbb {A} ^{m}, ניתן להגדיר:
{\tilde {x}}:={\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}\in F^{n+1},{\tilde {y}}:={\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}\in F^{m+1}
ואז יתקבל כי  {\tilde {y}}={\tilde {M}}{\tilde {x}}. כלומר, ניתן לייצג כל העתקה אפינית ממרחב מממד  n למרחב מממד  m על ידי מטריצה יחידה מממד  (n+1)\times (m+1). מטריצה זו תקרא מטריצת העתקה אפינית. הווקטורים  {\tilde {x}} ו- {\tilde {y}} ייקראו קואורדינטות הומוגניות.
היתרון בשימוש בקואורדינטות הומוגניות הוא שניתן להרכיב כל שילוב של העתקות אפיניות להעתקה אחת, על ידי הכפלה של המטריצות המתאימות. מאפיין זה משמש בהרחבה בגרפיקה ממוחשבת, בראייה ממוחשבת וברובוטיקה.
החבורה האפינית > המקרה הכללי

בהינתן מרחב אפיני  (A,{\vec {A}}), החבורה האפינית מוגדרת להיות קבוצת כל האוטומורפיזמים מעל  A (קריא, כל האיזומופיזמים מ- A לעצמו), ומסומנת ב- {\text{Aff}}({\vec {A}}). קבוצה זו היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה. ניתן להוכיח כי החבורה האפינית איזומורפית למכפלה חצי ישרה של החבורה הליניארית הכללית  {\text{GL}}({\vec {A}}) עם המרחב הווקטורי  {\vec {A}}. כלומר:
{\text{Aff}}({\vec {A}})\cong {\vec {A}}\rtimes {\text{GL}}({\vec {A}})
תכונה מצביעה שוב על התכונה שכל אנדומורפיזם, ובתוך זה כל אוטומורפיזם, הוא למעשה העתקה ליניארית מורכבת עם הזזה.
החבורה האפינית פועלת כפעולת חבורה על קבוצת הנקודות  A. למעשה, ניתן להוכיח כי זוג מרחבים אפינים  (A,{\vec {A}}) ו- (B,{\vec {B}}) איזומורפיים זה לזה אם ורק אם החבורות האפיניות שלהם  {\text{Aff}}({\vec {A}}) ו- {\text{Aff}}({\vec {B}}) איזומורפיות.
החבורה האפינית > עבור מרחבים מממד סופי

עבור המרחב האפיני  (\mathbb {A} ^{n},F^{n}), נהוג לסמן את החבורה האפינית ב- {\text{Aff}}(n,F) (באופן דומה לכך שהחבורה הליניארית הכללית מסומנת ב- {\text{GL}}(n,F)). ניתן להראות שבאופן דומה למקרה הכללי:
{\text{Aff}}(n,F)\cong F^{n}\rtimes {\text{GL}}(n,F)
החבורה האפינית  {\text{Aff}}(n,F) משוכנת באופן טבעי בחבורה הליניארית הכללית  {\text{GL}}(n+1,F), ומכילה את כל המטריצות  (n+1)\times (n+1) מהצורה  {\begin{pmatrix}M&b\\0&1\end{pmatrix}} כך ש- M\in {\text{GL}}(n,F) ו- b\in F^{n}.
דוגמאות > העתקות אפיניות על הישר הממשי

עבור הישר הממשי  \mathbb {R} , כל העתקה אפינית  f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}  היא פונקציה מהצורה  f(x)=ax+b עבור  a,b\in \mathbb {R}
דוגמאות > דוגמה במישור התלת־ממדי

נרצה לייצג העתקה אפינית  f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3} אשר מסובבת את המרחב ב-45 מעלות סביב ציר  z ומסיתה את המרחב יחידה אחת בכיוון ציר  z.
מטריצת הסיבוב ב-45 מעלות היא:
M:={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}
ווקטור ההזזה הוא:
b:={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}
ועל כן מטריצת ההעתקה האפינית היא:
{\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0&0\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}}
ראו גם

מרחב אפיני
חבורה אפינית
גאומטריה אפינית
הערות שוליים

↑  Eric W. Weisstein, Affine Transformation, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
↑  ישנן גם העתקות  אפיניות מנוונות שמעבירות חלק מהישרים לנקודות. במקרה כזה, אם ישר עובר לנקודה אז כך גם כל ישר מקביל לו.
↑  Philip Schneider, David H. Eberly, Geometric Tools for Computer Graphics, Elsevier, 2002-10-10, ISBN 978-0-08-047802-9. (באנגלית)
↑  Marcel Berger, Geometry I, Springer Science & Business Media, 2009-01-21, ISBN 978-3-540-11658-5. (באנגלית)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 4141560-7 
תמונה של שרך פרקטלי, המציג דמיון אפיני. ניתן לקבל את כל אחד מעלי השרך מכל עלה אחר על ידי העתקה אפינית. כך, למשל, העלה האדום יכול להפוך לעלה הכחול-כהה על ידי שילוב של שיקוף, סיבוב, שינוי קנה מידה והזזה; בנוסף, הוא יכול להפוך באותה דרך גם לעלה הכחול הבהיר (הגדול).
ניתן לבצע העתקה אפינית על מישור (דו-ממדי) כהעתקה ליניארית בשלושה ממדים. ההזזה מתבצעת על ידי הפעלת מאמץ גזירה בניצב לציר Z, והסיבוב מתבצע סביב ציר Z.
בדיקת VDRL

שקף VDRL לביצוע בדיקת הדם לעגבת
בדיקת "מעבדת מחקר למחלות מין" (באנגלית: Venereal Disease Research Laboratory test; בראשי תיבות: VDRL) היא בדיקת דם לאיתור עגבת וטרפונמטוזיס שאיננו קשור למחלות מין (Treponematosis הוא מונח המשמש לתיאור אינדיבידואלי של כל אחת מהמחלות הנגרמות על ידי ארבעה חברים מהסוג של חיידקי טרפונמה פאלידום. ארבע המחלות מכונות ביחד טרפונמטוזות). הבדיקה שפותחה על ידי המעבדה האמריקאית המכונה בשם זה. בדיקת VDRL משמשת לבדיקת שלב העגבת (יש לה רגישות גבוהה), בעוד שבדיקות אחרות וספציפיות יותר משמשות לאבחון המחלה.
היסטוריה

מבחן VDRL הומצא לפני מלחמת העולם הראשונה, כשהגרסה הראשונה שלו הייתה זו שפותחה על ידי אוגוסט פון וסרמן בסיועו של אלברט נייסר ב-1906. מבחן VDRL, כפי שהוא נעשה ברובו עד היום, פותח ב-1946 על ידי האריס, רוזנברג ורידל (Harris, Rosenberg, and Riedel). שם המעבדה שונה מאז ל- Treponemal Pathogenesis and Immunology Branch של שירות הבריאות הציבורי של ארצות הברית.
מנגנון

ה-VDRL הוא סקר סרולוגי לא-טרפונמאלי לאיתור עגבת המשמש גם להערכת התגובה לטיפול, לזיהוי מעורבות מערכת העצבים המרכזית וכסיוע באבחון של עגבת מולדת. בסיס הבדיקה הוא שנוגדן המיוצר על ידי חולה עם עגבת מגיב לתמצית המופקת מלב שור (דיפוספטידיל גליצרול - diphosphatidyl glycerol). לכן הוא מזהה נוגדני אנטי-קרדיוליפין (IgG, IgM או IgA), המוצגים באמצעות הקצף של נוזל המבחנה או ה"הפתתה" (הפתתה - מלשון פתית - היא תהליך הפיכת המים לצלולים, כלומר הסרת עכירות וצבע. שלב זה נעשה באמצעות הוספת חומרים שיגרמו להגדלת המוצקים על ידי התלכדות חלקיקים לפתית גדול יותר ויצירת משקע שניתן להסיר אחר כך בסינון. המים מעורבבים באיטיות ליצירת).
מבחן הפלזמה המהירה (RPR) משתמש באותו אנטיגן כמו ה-VDRL, אך בבדיקה זו, הוא נקשר למספר מולקולות אחרות, כולל חלקיק פחמן, כדי לאפשר הדמיה של תגובת ההפתתה ללא צורך במיקרוסקופ. מצבים רפואיים רבים אחרים יכולים להניב תוצאות חיוביות שגויות, כולל וירוסים מסוימים (מונונוקלוזיס, הפטיטיס), תרופות, הריון, קדחת שגרונית, דלקת מפרקים שגרונית, זאבת וצרעת.
נוגדני העגבת האנטי-קרדיוליפין אינם תלויים ב- Beta-2 גליקופרוטאין (Apolipoprotein H), ואילו אלו המופיעים בתסמונת אנטי-פוספוליפידית (הקשורה לזאבת למשל) תלויים ב-Beta-2 גליקופרוטאין וניתן להשתמש בזה כדי להבדיל ביניהם בבדיקת ELISA. בדיקה זו שימושית מאוד מכיוון שמגמת הכיל נמצאת בקורלציה לפעילות המחלה (כלומר ירידה בכיל מעידה על טיפול מוצלח). יש לו רגישות טובה מאוד לעגבת, למעט בצורה השלישונית המאוחרת.
בדיקות אחרות

ישנן מספר בדיקות ספציפיות טרפונמל כגון בדיקת קליטת נוגדני טרפונמל פלואורסצנטי (FTA-ABS), מבחני TPHA (Treponema pallidum particle agglutination assay), ומבחן מיקרו-המגלוטינציה (MHA-TP).
מבחן ה-MHA-TP משמש לאישור זיהום עגבת לאחר שמבחן בשיטה אחרת חיובי לחיידקי העגבת. בדיקת MHA-TP מאתרת נוגדנים לחיידקים הגורמים לעגבת וניתן להשתמש בה לאיתור עגבת בכל השלבים, למעט במהלך 3 עד 4 השבועות הראשונים מההדבקה. בדיקה זו אינה נעשית על נוזל עמוד השדרה. מבחן MHA-TP משמש היום לעיתים רחוקות. למרבה הצער, זיהומים טרפונמלים אחרים כגון פטלת, בג'ל (אנ') ופינטה (אנ') ואולי "טרפונמות קומנסליות לא פתוגניות" עלולות לגרום לתוצאה חיובית. לא כל המחלות הללו הן מחלות מין, על כן הומלץ למעבדות לכלול הסבר זהיר של עובדה זו עם תוצאות הבדיקה.
הערות שוליים

↑  Harris A, Rosenberg AA, Riedel LM. A microflocculation test for syphilis using cardiolopin antigen: preliminary report. J Vener Dis Inform 1946; 27: 159–172.
↑  Hunt JE, McNeil HP, Morgan GJ, Crameri RM, Krilis SA (1992). "A phospholipid-beta 2-glycoprotein I complex is an antigen for anticardiolipin antibodies occurring in autoimmune disease but not with infection". Lupus. 1 (2): 75–81. doi:10.1177/096120339200100204. PMID 1301967.
↑  Kumar KS, Jyothy A, Prakash MS, Rani HS, Reddy PP (2002). "Beta2-glycoprotein I dependent anticardiolipin antibodies and lupus anticoagulant in patients with recurrent pregnancy loss". Journal of Postgraduate Medicine. 48 (1): 5–10. PMID 12082318.
↑  "How do I Know if I Have Syphilis?".
↑  Marks, M; Lebari, D; Solomon, AW; Higgins, SP (בספטמבר 2015). "Yaws". International Journal of STD & AIDS. 26 (10): 696–703. doi:10.1177/0956462414549036. PMC 4655361. PMID 25193248. {{cite journal}}:  (עזרה)
הבהרה: המידע בוויקיפדיה נועד להעשרה בלבד ואינו מהווה ייעוץ רפואי.
| בקטריולוגיה |
| --- | --- | --- |
| מונחי יסוד | פרוקריוטים • ארכאונים (חיידקים קדומים) • חיידקים אמיתיים • אנדוטוקסין |  |
| חלקי התא החיידקי ואברוניו | נוקלאואיד • פלסמיד • ציטופלזמה • ריבוזום • קרום התא • דופן התא: פפטידוגליקן (חומצה טיכואית) • פריפלזמה • קרום חיצוני: ליפופוליסכריד • קפסולה ו-Slime layer • שוטון • פילי • פימבריה • ביופילם |  |
| מורפולוגיה | נקד • מתג • סלילון |  |
| פיזיולוגיה | פליגה • קוניוגציה • טרנספורמציה • עמידות לאנטיביוטיקה |  |
| מטבוליזם | חיידקים אירוביים (אווירניים אובליגטוריים, אווירניים פקולטטיביים, מיקרואירופילים) • חיידקים אנאירוביים (אל-אווירניים אובליגטוריים, אל-אווירניים פקולטטיביים, אל-אווירני סובל אוויר) • תסיסה • חיזור סולפט מיקרוביאלי • חיידקים סגולים |  |
| שיטות בקטריולוגיות | צביעת גראם (חיידקים גראם-חיוביים, חיידקים גראם-שליליים) • צביעה יציבת חומצה • מבחן קטלאז • מבחן אוקסידאז • מבחן קואגולאז • סיווג לנספילד • מבחן CAMP |  |
| מיגור חיידקים | חיטוי • פסטור • עיקור • אנטיביוטיקה |  |
שקופיות VDRL בשימוש בהודו
טיה דורה

| --- | --- |

 לידה:  1 במאי 1992 (בת 32) סרביה בור, סרביה 
 מוקד פעילות:  סרביה 
 שפה מועדפת:  סרבית, אנגלית, קרואטית 
 פרופיל ב-IMDb
 
תאודורה פבלובסקה (בסרבית: Теодора Павловска; נולדה ב-1 במאי 1992), הידועה בשם הבמה טיה דורה (Теја Дора), היא זמרת-יוצרת ומפיקה מוזיקלית סרבית. היא ייצגה את סרביה באירוויזיון 2024 עם השיר "Ramonda".
ביוגרפיה

טיה דורה נולדה ב-1 במאי 1992 בבור לאב צייר ומעצב גרפי ולאם סופרת ועיתונאית ביומון הסרבי Večernje novosti (אנ'). לאחר שעברה לבלגרד, היא החלה ללמוד בבית ספר למוזיקה, שבאמצעותו קיבלה מלגת לימודים למכללת ברקלי למוזיקה, שבה היא למדה וסיימה ב-2014. לאחר סיום לימודיה, היא עברה לגור בניו יורק, שם עבדה כפזמונאית. היא חזרה לסרביה ב-2018.
ב-22 במרץ 2023, היא הוציאה את הסינגל "Džanum". השיר הופיע בסדרת הטלוויזיה Južni vetar: Na granici.‏ השיר נהיה ויראלי בטיקטוק לאחר שהופיע במחאות שהתקיימו בעקבות פיגוע הירי בבית הספר היסודי ולדיסלב ריבניקר. הסינגל הגיע למקום הרביעי במצעד היומי של השירים הוויראליים של ספוטיפיי ב-22 במאי, וכן למקומות ה-6 וה-43 בקרואטיה ואוסטריה בהתאמה.
בדצמבר 2023, הוכרז כי היא תתמודד בקדם האירוויזיון של סרביה לאירוויזיון 2024, Pesma za Evroviziju '24, עם השיר "Ramonda". ב-29 בפברואר, היא הופיעה בחצי גמר השני והגיעה למקום הראשון עם 24 נקודות. ב-2 במרץ, היא הופיעה בגמר והגיעה למקום הראשון עם 22 נקודות, ולפיכך היא נבחרה לייצג את סרביה באירוויזיון 2024. ב-7 במאי עלתה דורה על בימת חצי הגמר הראשון של האירוויזיון וביצעה את שירה "Ramonda". בסוף הערב הוכרזה כאחת מעשרת המתמודדים שהעפילו לגמר.
הערות שוליים

↑  "Ko je Teja Dora – naša predstavnica na "Pesmi Evrovizije"". Radio Television of Serbia (בסרבית לטינית). 3 במרץ 2024. ארכיון מ-2024-03-04. נבדק ב-4 במרץ 2024. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Netović, Andrea (4 במרץ 2024). "Smrtni slučaj u porodici ju je zauvek obeležio: Ovo su otac i majka Teye Dore, popularniji su od nje (FOTO)". Story.rs (בסרבית). ארכיון מ-2024-03-13. נבדק ב-7 במרץ 2024. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Denda, Nina (5 במרץ 2024). "(VIDEO) Majka pobednice Beovizije za "Blic" otkrila nepoznate detalje privatnog života: "Dala sam otkaz da bih je školovala"". Blic (בסרבית). ארכיון מ-2024-03-09. נבדק ב-7 במרץ 2024. {{cite web}}:  (עזרה)
1 2 3  Dašić, Miloš (3 במרץ 2024). "Ko je Teya Dora, predstavnica Srbije za Evroviziju 2024, pevačica čiju pesmu već zna ceo svet". Danas (בסרבית). ארכיון מ-2024-03-05. נבדק ב-3 במרץ 2024. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Teya Dora - O pobedi na PZE2024". YouTube. ארכיון מ-2024-03-15. נבדק ב-2024-03-15.
↑  Kundačin, Aleksandra (25 במרץ 2023). "Teya Dora otkriva sve o novoj pesmi i spotu za seriju Južni vetar: Na granici". Journal.rs. ארכיון מ-2023-06-06. נבדק ב-5 ביוני 2023. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Pesma za Evroviziju 2024 – 28 pesama se bori za kartu za Malme". Radio Television of Serbia (בסרבית). 21 בדצמבר 2023. ארכיון מ-2024-03-03. נבדק ב-3 במרץ 2024. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Srbiju će na Eurosongu predstavljati Teja Dora". Radio Television of Serbia (בסרבית). 2 במרץ 2024. ארכיון מ-2024-03-02. נבדק ב-3 במרץ 2024. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Eurovision 2024 Semi-final 1 Results, eurovisionworld
| --- | --- |
בקרת זהויות :  MusicBrainz: fbad3ed6-3dd9-41b5-aa9b-5ed8453263fa
פופאסנה

פופאסנה (באוקראינית: Попасна) היא עיירה במחוז לוהנסק, אוקראינה, הנמצאת תחת שליטתה של רוסיה. בשנת 2023 חיו בה כמעט 200 תושבים.
היסטוריה

בשנים 1941–1943, במהלך הכיבוש הנאצי של העיירה, הפעילו הכובשים הגרמנים בית כלא בעיירה.
עיתון מקומי יצא לאור בעיר בחודש מרץ 1979.
ב-19 ביוני 2014, על פי הדיווחים, כוחות אוקראינים הגנו על העיר מפני כוחות בדלנים פרו-רוסים שניסו לכבוש אותה במהלך ההתקוממות הבדלנית באוקראינה. ב-8 ביולי 2014, הבדלנים הפרו-רוסים השתלטו על העיירה. ב-22 ביולי 2014 גדוד דונבאס הפרו-אוקראיני כבש מחדש את העיירה מידי הבדלנים הפרו-רוסים. על פי עד ראייה, הבדלנים הפרו-רוסים נטשו את העיירה באותו יום. מאז העיר נתונה מדי פעם למתקפה מצד הבדלנים. מוקשים הונחו ליד פופאסנה. במרץ 2015 היו בעיר רק שתי חנויות עם כמה מוצרים בסיסיים ובית מרקחת אחד ולתושבים העניים חולק מזון באמצעות ארגון מתנדבים.
היסטוריה > הפלישה הרוסית לאוקראינה

בשנת 2022, במהלך הפלישה הרוסית לאוקראינה, פופאסנה הותקפה שוב על ידי הבדלנים בתמיכת רוסיה. במהלך המתקפה על מזרח אוקראינה, העיר הייתה בחזית הלחימה בין רוסיה לאוקראינה. ב-8 במאי 2022, אישר מושל מחוז לוהנסק, סריי היידאי, כי החיילים האוקראינים נאלצו לסגת מהעיר פופאסנה כדי לתפוס עמדות מבוצרות יותר, והוסיף כי "כל העיר הושמדה". מנהיג צ'צ'ניה, רמזן קדירוב, הצהיר כי חייליו שולטים כעת ברוב העיר.
הערות שוליים

↑  "Gefängnis Popasna". Bundesarchiv.de (בגרמנית). נבדק ב-9 באפריל 2022. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  № 2923. Знамя Октября // Летопись периодических и продолжающихся изданий СССР 1986 - 1990. Часть 2. Газеты. М., «Книжная палата», 1994. стр.382
↑  "RUSSIAN OFFENSIVE CAMPAIGN ASSESSMENT, APRIL 21". The Institute for the Study of War. 2022-04-21.
↑  "Ukraine troops retreat from Popasna, Luhansk governor confirms". reuters.com. 8 במאי 2022. {{cite web}}:  (עזרה)
שמואל ניצן

| --- | --- |

 לידה:  21 בינואר 1948 (בן 76) ירושלים, פלשתינה (א"י) 
 מוסדות:  אוניברסיטת בר-אילן 
 
שמואל ניצן (נולד ב-21 בינואר 1948) הוא פרופסור אמריטוס במחלקה לכלכלה באוניברסיטת בר-אילן.
ביוגרפיה

שמואל ניצן נולד בירושלים בשנת 1948 בשכונת מקור ברוך. הוריו, חוה ויעקב עלו לארץ ישראל מהונגריה וצ'כוסלובקיה ב-1934. ב-1968 החל ללמוד באוניברסיטה העברית בירושלים וסיים שם תואר ראשון בכלכלה ובמדע המדינה ב-1971. ב-1972 סיים תואר שני בכלכלה. בשנת 1976 סיים את לימודי התואר השלישי בכלכלה באוניברסיטה העברית בירושלים. מאז 1990 ועד יציאתו לגמלאות ב-2016, שימש כפרופסור מן המניין במחלקה לכלכלה באוניברסיטת בר-אילן, ובין השנים 1990–1991 כיהן כראשה. בין השנים 2006 -2017 היה מופקד על הקתדרה למחקר כלכלי על שם Sir Isaac Wolfson. פרופסור ניצן היה עורך של כתב העת European Journal of Political Economy בתקופה 1994–1998. בין השנים 1980–2012 שימש כיועץ של האוניברסיטה הפתוחה לפיתוח תחום הכלכלה. בין השנים 2014–2016 כיהן כנשיא האגודה הישראלית לכלכלה.
המחקר של פרופסור ניצן מתמקד בקבלת החלטות קולקטיבית בתנאי אי-ודאות, כלכלה פוליטית, בחירה חברתית, כלכלה ציבורית, תיאורית חיפוש הרנטות ותורת הבחירות. תרומתו לתחומים אלה כלולה ביותר מ-150 מאמרים מדעיים.
כאיש סגל של האוניברסיטה הפתוחה, השתתף בכתיבת יחידות הלימוד בקורס תורת המחירים, המשמשות כחומר הלימוד של שלשה קורסים סמסטריאליים בנושא זה, וכן כתב ספר לימוד על העדפה ובחירה חברתית.
תרומה מחקרית > קבלת החלטות קולקטיבית בתנאי אי-ודאות

א. על פי משפט המושבעים של קונדורסה (Condorcet), הכלל הטוב ביותר לקבוצה הומוגנית הבוחרת בין שתי אפשרויות שאחת מהן "נכונה" הוא כלל הרוב הפשוט. תוצאה זו תלויה בהנחה שהסיכוי שכל פרט בוחר את האפשרות הנכונה גדול מחצי ובהנחה שהצבעות הפרטים הן בלתי תלויות. התוצאה הקלאסית הזו, שהיא בת יותר מ-200 שנה, הורחבה בשנת 1982 על ידי ניצן במאמר משותף עם יעקב פרוש שבו זיהו המחברים את הכלל האופטימלי במצבים א-סימטריים (כישורי החלטה שונים, תועלות שונות מהחלטה נכונה, הסתברות א-פריורית שונה למצבי הטבע). מתוצאה זו משתמע שכאשר ידועים כישורי ההחלטה השונים של הבוחרים, ניתן להעניק משקל גבוה יותר לפרטים מוכשרים יותר וכך להגדיל את ההסתברות שהקבוצה תבחר באפשרות הנכונה. התוצאה הבסיסית של ניצן ופרוש המכלילה את משפט קונדורסה והתוצאות שבאו בעקבותיה עוררו מחקר תאורטי רב וזכו ליישומים רבים בתחום הפוליטי, הכלכלי, הארגוני והמשפטי.
ב. נקודת תורפה שפגמה באפשרות היישום של התוצאה הבסיסית משנת 1982 בשלושים השנים מאז פרסומה היא חוסר היכולת להעריך באופן מעשי את כישורי ההחלטה של הבוחרים. לאחרונה הציע ניצן שיטה להענקת משקלות אופטימליים לבוחרים גם כאשר לא קיימת כל אפשרות לבחון את כישורי ההחלטה שלהם. השיטה מבוססת על התובנה שאם קיים מידע על הצבעות קודמות של הבוחרים, ניתן למדוד את כישורי ההחלטה שלהם על ידי השוואה פשוטה של החלטותיהם המבוססת על אלגוריתם מתאים, גם כאשר לא ידועות התשובות הנכונות על השאלות שעליהן הצביעו הבוחרים. השיטה המוצעת מהווה תרומה משמעותית וחדשנית לקידום התחום שהעיסוק בו החל בסוף המאה השמונה עשרה (על ידי קונדורסה). תיאור השיטה, יישומיה והשלכותיה החשובות בתחום קבלת ההחלטות מופיע במאמרים המשותפים עם משה קופל, יעקב גולדברגר ואייל בהרד (2012).
תרומה מחקרית > כלכלה פוליטית (Political Economy)

א. תחרות בין מפלגות והצבעה הסתברותית: התוצאה המרכזית בשני המאמרים המשותפים עם Coughlin (1981) מבהירה ששוי המשקל במודל של תחרות דו-מפלגתית עם הצבעה הסתברותית הוא בעל תכונה מיוחדת וחשובה: תוצאת הבחירות מובילה למכסימיזציה של הרווחה החברתית הנמדדת על ידי מכפלת התועלות של הבוחרים (פונקציית הרווחה החברתית שהוצעה על ידי ג'ון נאש). תוצאה זו זכתה להתייחסות רבה בספרות העוסקת בתחרות בין מפלגות בהנחה של הצבעה הסתברותית.
ב. תחרות פוליטית (Rent Seeking or Lobbying Contests): במאמר המשותף עם Katz and Rosenberg (1990) ובמאמר של ניצן משנת (1991) הוצגו לראשונה תחרויות פוליטיות בהן המתחרים הם "קבוצות" ולא פרטים יחידים. במאמר הראשון הקבוצות מתחרות על זכייה בפרס בעל אופי של מוצר ציבורי שאיננו ניתן לחלוקה. במאמר השני הקבוצות מתחרות על זכייה בפרס בעל אופי של מוצר פרטי הניתן לחלוקה. לשני המאמרים האלה הייתה השפעה גדולה מאוד על הספרות בתחום תורת התחרויות הפוליטיות והם הובילו להכללות וליישומים רבים.
בעבודות משותפות יותר מאוחרות עם Ueda (2009),(2011),(2014) הורחב מודל התחרות הקבוצתית כך שהוא מאפשר תחזיות ביחס לכללי החלוקה שמאמצות הקבוצות המתחרות (כללי חלוקת הפרס בין חברי הקבוצה במקרה של זכייה). אחת התוצאות המעניינות שהתקבלו היא שבמסגרת בה מנגנון חלוקת הפרס בין חברי הקבוצה איננו נתון, אלא הוא נקבע על ידי הקבוצה, הפרדוקס הידוע של Mancur Olson המכונה פרדוקס גודל הקבוצה (group-size paradox) לא מתקיים. דהיינו, במסגרת שכזו גודל של קבוצת לחץ תמיד מהווה יתרון – גידול במספר החברים בקבוצה תמיד מגדיל את סיכויי הזכייה שלה בתחרות הפוליטית.
ג. קביעה אנדוגנית של מדיניות ציבורית בתחרות פוליטית: בסדרת עבודות עם Epstein, נבחנה השאלה כיצד נקבעת מדיניות ציבורית במסגרת חדשה של תחרות בין קבוצות לחץ המנסות לקדם את האינטרס שלהם על ידי מאמצים המכוונים לקובעי המדיניות. סיכום התוצאות מופיע בספר משנת 2007. התוצאות המרכזיות מבהירות באילו תנאים הפעילות של השדולות המשתתפות בתחרות הפוליטית מביאה לפשרה והן מסבירות מדוע רגולציה ממשלתית של מחירים או של מכסות הגירה תלויה במאפיני המערכת הפוליטית.
ד. אפליה בתחרות פוליטית: שתי עבודות משותפות עםEpstein and Mealem (2011), (2013) ועבודה משותפת עם Mealem 2013)) מתמקדות בהפליה מכוונת בתחרויות פוליטיות שמטרתה לקדם את האינטרס של מתכנן התחרות (פוליטיקאי/בירוקרט הקובע את כללי המשחק בתחרות). ההתייחסות להפליה היא חדשנית: ההפליה נתפשת לא כתוצר של אידאולוגיה או של תפישה חברתית מסוימת, אלא כביטוי לתמריץ של מתכנן התחרות לקדם את האינטרס הצר שלו – הנאה מהמשאבים שהמתחרים מוציאים בתחרות. בהקשר זה מובהר הקשר בין התרבות הפוליטית וההפליה, מובהר מדוע הפליה ישירה (מיסוי דיפרנציאלי של הפרס) עדיפה על הפליה מבנית (התייחסות שונה למאמצים של משתתפי התחרות) ומובהר מדוע תחרות המבוססת על הגרלה עדיפה על תחרות המבוססת על מכרז (all-pay auction) כאשר המתכנן יכול לקבוע את צורת ההגרלה.
תרומה מחקרית > בחירה חברתית (Social Choice)

א. שאלה בסיסית בספרות הבחירה החברתית היא כיצד ניתן להצדיק שיטת בחירות. בסדרת עבודות הציע ניצן את גישת הרציונליזציה המטרית לשיטות בחירה. ביתר פירוט, בעבודות אלו מוצגת גישה חלוצית להצדקת השימוש בכללי בחירה (לדוגמה, כלל הרובניות - Plurality rule או שיטת בורדה). הגישה מבוססת על הרעיון שהשימוש בכלל בחירה הוא מוצדק אם הכלל משיג פשרה חברתית: הכלל משיג קרבה מקסימלית לאידיאל של קיום אחידות דעים ביחס לבחירה הרצויה ביותר. הקרבה נמדדת על ידי המרחק (מטריקה) בין מערכת הטעמים בפועל של הבוחרים למערכת טעמים אפשרית (היפותטית) שבה מושגת אחידות דעים.
ב. שאלה חשובה אחרת בספרות הבחירה החברתית היא כיצד ניתן לדרג קבוצות של אפשרויות בהינתן מידע על העדפות הפרטים המוגדרות על כל האפשרויות עצמן. בעבודה בסיסית משותפת עם Pattanaik (1984) הוצעה תשובה אקסיומטית לשאלה; הוצע דירוג של קבוצות אפשרויות המתבסס על החציון של יחסי ההעדפה המוגדרים על כל האפשרויות.
ג. שתי התוצאות החשובות ביותר בספרות הבחירה החברתית הן משפט האי-אפשרות  של Arrow ומשפט האי-אפשרות של Sen. בעבודה משותפת עם Harel (1987) הוצע יישוב של הפרדוקס Sen (הידוע בשם Paretian-Liberal Paradox), המתבסס על סחר בזכויות ההתחלתיות של הפרטים.
תרומה מחקרית > תורת הבחירות (Voting Theory)

בספרות הענפה המתמקדת בשיטות בחירה, השאלה המרכזית היא מהו כלל הבחירה הראוי. בעבודה משותפת עם אייל בהרד (2007) הוכח שכלל הבחירות המכונה "כלל הרובניות ההפוך" inverse plurality rule)) הוא "כלל הזהב" מכיוון שהוא מממש בצורה מאוזנת את עקרון הרוב תוך הענקת הגנה מעריצות הרוב. מאמר זה עושה שימוש במושגים ובתוצאות שפורסמו במאמר קודם עם בהרד (2002).
חיים אישיים

נשוי לפרופ' דורית ניצן, כירורגית פה ולסת בבית החולים הדסה, עין כרם. אחיו של פרקליט המדינה לשעבר, שי ניצן.  אב לחמישה ילדים וסב לעשרים ואחד נכדים.
ספריו

העדפה ובחירה חברתית - Collective Preference And Choice - יצא לאור בהוצאת Cambridge University Press בשנת 2010.
Collective Decision Making: An Economic Outlook (with J. Paroush), Cambridge University Press, Cambridge, England, 1985.
Endogenous Public Policy and Contests (עם גיל אפשטיין), Springer, 2007.