משפט העקום של ז'ורדן
נוסח פורמלי והכללות > הוכחה באמצעות משפט נקודת השבת של בראואר

נציג להלן את הוכחתו של ריוג'י מאהרה (Ryuji Maehara) מ-1984, העושה שימוש במשפט נקודת השבת של בראואר.
נבחין תחילה בשתי העובדות הבאות:
אם  U\subset X רכיב קשירות כלשהו, אז  U קבוצה פתוחה וקשירה-מסילתית (כי  \mathbb {C}  מרחב קשיר-מסילתית מקומית).
{\mathcal {G}} קבוצה קומפקטית ולכן חסומה, ונובע כי  X בעל רכיב קשירות לא-חסום יחיד. אם כך, כדי להוכיח את המשפט די להראות כי  X בעל רכיב קשירות חסום יחיד, וכי שפתו של כל רכיב קשירות היא  {\mathcal {G}}.
לאורך ההוכחה נשתמש בשתי הטענות הבאות, אותן ניתן להוכיח על ידי משפט נקודת השבת של בראואר:
טענה 1: אם  X לא קשיר, אז השפה של כל רכיב קשירות היא  {\mathcal {G}}.
טענה 2: יהיו  f,g:I\to \left[0,1\right]\times \left[0,1\right] זוג מסילות כך שהמסילה f מתחילה "למטה" ומסתיימת "למעלה" (כלומר  \pi _{x}f\left(0\right)=0,\,\pi _{x}f\left(1\right)=1), והמסילה g מתחילה "משמאל" ומסתיימת "מימין" (כלומר  \pi _{y}g\left(0\right)=0,\,\pi _{y}g\left(1\right)=1). אזי קיימים  s,t\in I כך שמתקיים  f\left(s\right)=g\left(t\right).
מעובדה 2 לעיל יחד עם טענה 1, די להראות כי  X:=\mathbb {C} \backslash {\mathcal {G}} הוא בעל רכיב קשירות חסום יחיד.
נשים לב כי  {\mathcal {G}} קומפקטית, לכן יש  a,b\in {\mathcal {G}} המקיימות, \left\Vert a-b\right\Vert =\max \left\{\left\Vert x-y\right\Vert \mid x,y\in {\mathcal {G}}\right\} נניח ללא הגבלת הכלליות כי  a=\left(-1,0\right),\,b=\left(1,0\right) (ניתן לסובב ולמתוח ללא שינוי רכיבי הקשירות), ונקבל כי המלבן  {\mathcal {R}}:=\left[-1,1\right]\times \left[-2,2\right] מכיל את  {\mathcal {G}}, וכי שפתו  \Gamma :=\partial {\mathcal {R}} מקיימת  \Gamma \cap {\mathcal {G}}=\left\{a,b\right\}.
נתבונן בנקודות האמצע של ארבע צלעות  {\mathcal {R}}. שתיים מהן הן הנקודות  a,b והשתיים האחרות הן  n:=\left(0,2\right),\,s:=\left(0,-2\right). נשים לב כי הנקודות  a,b מחלקות את  {\mathcal {G}} לתמונות של שתי מסילות, שנסמן  {\mathcal {G}}_{n},{\mathcal {G}}_{s}, שנקודת ההתחלה שלהן היא  a ונקודת הסיום שלהן היא  b.
נשים לב כי הקטע האנכי  \left[n,s\right] הוא מסילה המחברת את צלעותיו האופקיות של  {\mathcal {R}}. אם כך, מטענה 2 עבור המסילות  \left[n,s\right],\,{\mathcal {G}}_{n} נקבל כי החיתוך  \left[n,s\right]\cap {\mathcal {G}}_{n} לא ריק. תהי  l הנקודה הגבוהה ביותר בחיתוך הנ"ל, ותהי  m הנקודה הנמוכה ביותר (אולי  m=l).
נתבונן במסילה  \beta \equiv \left[n,l\right]\star {\mathcal {G}}\mid _{\left[l,m\right]}\star \left[m,s\right]. נשתמש בטענה 2 עבור המסילות  \beta ,{\mathcal {G}}_{s}, ונקבל כי הן נחתכות. יהיו  p,q\in \beta \cap {\mathcal {G}}_{s} כך ש- p הגבוהה ביותר ו- q הנמוכה ביותר (אולי  p=q).
נשים לב כי מאופן בחירת  l נובע כי  \left[m,s\right]\cap {\mathcal {G}}_{s}\neq \emptyset , שכן אם  {\mathcal {G}}\mid _{\left[l,m\right]}\cap {\mathcal {G}}_{s}\neq \emptyset  זו לא לולאה פשוטה, ואם  \left[n,l\right]\cap {\mathcal {G}}_{s}\neq \emptyset  אז  l לא מקסימלי.
תהי  x_{0}\in \left[m,p\right] נקודת אמצע הקטע. מאופן בחירת  m,p נקבל כי  x_{0}\notin {\mathcal {G}} ולכן  x_{0}\in X. יהי  U\subset X רכיב קשירות המכיל את  x_{0}. נראה כי רכיב הקשירות  U חסום ויחיד, ובזאת נסיים.
נראה כי  U חסום: נניח בשלילה כי  U אינו חסום. תהי  w_{0}\in U\cap \mathbb {C} \backslash {\mathcal {R}}. נזכור כי  U קשיר מסילתית, אז תהי  \alpha :I\to U מסילה עם  \alpha \left(0\right)=x_{0},\,\alpha \left(1\right)=w_{0}. תהי  w\in {\mbox{Im}}\alpha \cap \Gamma  הנקודה הראשונה בחיתוך הנ"ל. לא ייתכן כי  w היא בגובה  0, כי אז  w\in \left\{a,b\right\}, אבל גם  w\in U ומתקיים  U\cap {\mathcal {G}}=\emptyset . נניח כי  w אינו גבוה מ- 0, אז יש מסילה  {\widehat {ws}} ב- \Gamma  המחברת את  w,s, שאינה חותכת את  a,b. נתבונן במסילה, \left[n,l\right]\star {\mathcal {G}}\mid _{\left[l.m\right]}\star \left[m,x_{0}\right]\star \alpha \mid _{\left[x_{0},w\right]}\star {\widehat {ws}} מסילה זו אינה חותכת את  {\mathcal {G}}_{s}, בסתירה לטענה 2. באופן סימטרי, אם  w גבוה מ- 0, יש מסילה  {\widehat {wn}} ב- \Gamma  שלא חותכת את  a,b, בסתירה לטענה 2, כי המסילות  {\mathcal {G}}_{s},\,\left[s,x_{0}\right]\star \alpha \mid _{\left[x_{0},m\right]}\star {\widehat {ws}} לא נחתכות.
נראה כי  U יחיד: יהי  W\subset X רכיב קשירות חסום. כדי להראות  W=U די להראות כי  U\cap W\neq \emptyset . נשים לב כי  W\subset {\mathcal {R}}. נניח בשלילה  U\cap W=\emptyset . נתבונן במסילה  \beta \equiv \left[n,l\right]\star {\mathcal {G}}_{\left[l,m\right]}\star \left[m,p\right]\star {\mathcal {G}}_{\left[p,q\right]}\star \left[q,s\right] ניתן לראות כי  \beta  לא חותכת את  W. נשים לב כי  {\mbox{Im}}\beta  לא חותכת את  a,b, ולכן יש כדורים פתוחים  \mathbf {B} _{a},\mathbf {B} _{b} סביבות של  a,b בהתאמה, שלא נחתכים עם  {\mbox{Im}}\beta . מטענה 1 נובע כי  {\mathcal {G}}=\partial W, ולכן יש  a_{1}\in W\cap \mathbf {B} _{a},\,b_{1}\in W\cap \mathbf {B} _{b}. תהי  {\widehat {a_{1}b_{1}}} מסילה ב- W המחברת את  a_{1},b_{1}. נתבונן במסילה  \left[a,a_{1}\right]\star {\widehat {a_{1}b_{1}}}\star \left[b_{1},b\right] שבתוך  W. מסילה זו לא נחתכת עם  \beta , בסתירה לטענה 2.