משוואת הגז האידיאלי
פיתוחים > פיתוח קינטי

נסתכל על קובייה בעלת צלע באורך  L המלאה בגז אידיאלי בלחץ  P בטמפרטורה  T.
נסמן את  n ו- N בתור מספר המולים ומספר מולקולות הגז בקובייה בהתאמה.
בנוסף, נסמן את  m בתור מסת מולקולת גז ואת  M בתור מסת הגז כולו.
נניח בפיתוח זה כי כל ההתנגשויות המתרחשות בתוך המכל הן התנגשויות אלסטיות - כלומר אין איבוד אנרגיה קינטית כתוצאה מהתנגשויות.
קביעת תדירות ההתנגשויות
תחילה, נרצה למצוא את התדירות בה מולקולה יחידה מתנגשת בדופן מסוימת של המכל.
נתחיל לשם הפשטות בבחינת המתרחש בכיוון  {\hat {x}} כאשר המולקולה בזמן  t=0 נמצאת במיקום  x=L-L_{0} ומהירותה היא  {\vec {v}}=v_{x}{\hat {x}}.
המולקולה תתנגש בדופן הקובייה לראשונה ב-  x=L לאחר שעברה מרחק  L_{0} בזמן כלשהו  t_{1}.
ההתנגשות השנייה באותה הדופן תתרחש בזמן  t_{2}=t_{1}+t_{2L} כאשר המרחק שעברה המולקולה בין שתי ההתנגשויות הוא  2L ואינטרוול הזמן בין שתי ההתנגשויות הוא  \Delta t=(t_{1}+t_{2L})-t_{1}=t_{2L}.
באופן דומה ההתנגשות השלישית תתרחש בזמן  t_{3}=t_{1}+2t_{2L}, כך שהמרחק שהמולקולה עברה בין ההתנגשויות יהיה גם כן  2L ואינטרוול הזמן יישאר זהה:
\Delta t=t_{3}-t_{2}=(t_{1}+2t_{2L})-(t_{1}+t_{2L})=t_{2L}
שני הגדלים הללו, המרחק ואינטרוול הזמן, יישארו זהים בין כל זוג התנגשויות עוקבות, ולכן ניתן לחשב את גודל המהירות  v_{x} בתור המרחק שהמולקולה עברה חלקי אינטרוול הזמן:
v_{1}={\frac {L_{0}}{t_{1}}},v_{2}={\frac {2L}{t_{2L}}},v_{3}={\frac {2L}{t_{2L}}},...
מכיוון שכל ההתנגשויות אלסטיות ואין כוחות חיצוניים, המהירות אינה משתנה במהלך תנועת המולקולה ולכן:
v_{1}=v_{2}=v_{3}=...=v_{x}
מכאן ניתן לנסח את אינטרוולי הזמן בין כל זוג התנגשויות עוקבות גם בצורה הבאה:
\Delta t_{1}=t_{1}={\frac {L_{0}}{v_{1}}}={\frac {L_{0}}{v_{x}}}
\Delta t_{2}=t_{2L}={\frac {2L}{v_{2}}}={\frac {2L}{v_{x}}}
\Delta t_{3}=t_{2L}={\frac {2L}{v_{3}}}={\frac {2L}{v_{x}}}
...
\Delta t_{k}=t_{2L}={\frac {2L}{v_{k}}}={\frac {2L}{v_{x}}}
הזמן הממוצע  t_{avg} בין התנגשויות לאחר  k התנגשויות יהיה: t_{avg}={\frac {t_{1}+t_{2}+t_{3}+...+t_{k}}{k}}={\frac {{\frac {L_{0}}{v_{x}}}+{2L}{v_{x}}+{2L}{v_{x}}+...+{2L}{v_{x}}}{k}}={\frac {{\frac {L_{0}}{v_{x}}}+{\frac {2L}{v_{x}}}\cdot (k-1)}{k}}={\frac {L_{0}+2L\cdot (k-1)}{kv_{x}}}
וכאשר מספר ההתנגשויות  k שואף לאינסוף נקבל:
t_{avg}=\lim _{k\to \infty }{\frac {L_{0}+2L\cdot (k-1)}{kv_{x}}}={\frac {2L}{v_{x}}}
זהו הזמן הממוצע בין התנגשויות המתרחשות על דופן אחת. תדירות ההתנגשויות אם כך תהיה:
f={\frac {1}{t_{avg}}}={\frac {v_{x}}{2L}}
חישוב הכוח הפועל על הדופן
הכוח  F מוגדר כקצב שינוי התנע  p :
F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}=f\Delta p
השינוי בתנע הוא ההפרש בין התנע לפני ההתנגשות בדופן לתנע לאחר ההתנגשות, כלומר:
\Delta p=p_{f}-p_{i}=(-mv_{x})-mv_{x}=-2mv_{x}
הכוח שהדופן מפעילה על המולקולה הוא:
F_{wm}=f\Delta p=-2mv_{x}f
לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהמולקולה תפעיל על הדופן יהיה שווה בגודלו ל- 




F

w
m




{\textstyle F_{wm}}

 והפוך בסימנו, כלומר:
F_{mw}=-F_{wm}=2mv_{x}f
ניתן כעת להציב את התדירות שחושבה קודם לכן ולקבל:
F_{mw}=2mv_{x}\cdot {\frac {v_{x}}{2L}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}
עד לשלב זה התייחסנו רק למקרה בו קיימת מולקולה יחידה. כאשר הכוח יופעל על ידי 



N


{\textstyle N}

 מולקולות הנעות בכיוון  {\hat {x}} הוא יהיה מהצורה הבאה: F_{N}={\frac {mv_{x_{1}}^{2}}{L}}+{\frac {mv_{x_{2}}^{2}}{L}}+{\frac {mv_{x_{3}}^{2}}{L}}+...+{\frac {mv_{x_{N}}^{2}}{L}}={\frac {m}{L}}(v_{x_{1}}^{2}+v_{x_{2}}^{2}+v_{x_{3}}^{2}+...+v_{x_{N}}^{2})={\frac {m}{L}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{N}v_{x_{i}}^{2}{\biggr )}
מהירות RMS מוגדרת בצורה הבאה:
v_{rms}^{2}={\bar {v}}^{2}={\frac {1}{N}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{N}v_{x_{i}}^{2}{\biggr )}
ולכן ניתן להביע את הכוח המופעל על הדופן גם כך:
F_{N}={\frac {Nm{\bar {v}}^{2}}{L}}
מציאת לחץ הגז
הגדרת הלחץ הפועל על הדופן הוא הכוח שמופעל עליה בידי הגז ליחידת שטח, כלומר:
P={\frac {F_{N}}{A}}={\frac {Nm{\bar {v}}_{x}^{2}}{L^{3}}}={\frac {Nm{\bar {v}}_{x}^{2}}{V}}
כאשר  A=L^{2} שטח דופן הקובייה ו-  V=L^{3} נפח הקובייה.
לאורך הפיתוח התייחסנו רק לתנועת מולקולות בכיוון  {\hat {x}}, כעת נשלב גם את תרומת תנועת המולקולות בשני הכיוונים הנותרים  {\hat {y}},{\hat {z}}.
הקשר בין רכיבי הכיוונים השונים של מהירות ה- RMS ניתן לביטוי ע"י:
{\bar {v}}^{2}={\bar {v}}_{x}^{2}+{\bar {v}}_{y}^{2}+{\bar {v}}_{z}^{2}
כאשר בקירוב גודל שלושת הרכיבים הוא שווה -  {\bar {v}}_{x}^{2}={\bar {v}}_{y}^{2}={\bar {v}}_{z}^{2}, לכן נקבל כי  {\bar {v}}^{2}=3{\bar {v}}_{x}^{2}.
כאשר נחליף את  {\bar {v}}_{x}^{2} ב- {\bar {v}}^{2} בביטוי ללחץ נקבל כי הלחץ הוא:
P={\frac {Nm{\bar {v}}^{2}}{3V}}
חישוב אנרגיית הגז האידיאלי
האנרגיה הקינטית הנתונה מהמכניקה הקלאסית היא:
E_{k}={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}
האנרגיה הקינטית עבור גז מונואטומי הידועה ממכניקה סטטיסטית נתונה על יד:
E_{k}={\frac {3}{2}}k_{B}T
כאשר  k_{B} הוא קבוע בולצמן ו-  T טמפרטורת הגז.
השוואת שני הביטויים לעיל מניבה את הקשר בין מהירות ה-RMS לטמפרטורה:
3k_{B}T=m{\bar {v}}^{2}
מציאת משוואת הגז האידיאלי
על ידי שילוב שני הקשרים שנמצאו בשלבים הקודמים, ניתן להגיע לביטוי הרצוי של משוואת הגז האידיאלי:
P={\frac {Nm{\bar {v}}^{2}}{3V}}={\frac {3Nk_{B}T}{3V}}
\Rightarrow PV={Nk_{B}T}
בנוסף, מהביטוי שהתקבל ניתן לנסח את מהירות ה- RMS כמשוואה המכילה גדלים מדידים:
{\bar {v}}^{2}={\frac {3PV}{mN}}
\Rightarrow v_{rms}={\bar {v}}={\sqrt {\frac {3PV}{M}}}={\sqrt {\frac {3nRT}{M}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M_{w}}}}
כאשר  M_{w} היא המסה המולקולרית של הגז האידיאלי.