קרל פרידריך גאוס
הישגיו של גאוס > אנליזה מתמטית > פונקציות אליפטיות, טורים היפרגאומטריים, תבניות מודולריות

אחד הגילויים העצמאים הראשונים של גאוס היה מושג הממוצע האריתמטי-גאומטרי (AGM) של שני מספרים ממשיים חיוביים; המחקר השיטתי שערך על הממוצע הזה הוביל אותו לגלות עולם מתמטי עשיר אשר (במילותיו של גאוס עצמו) "כמות האמיתות שניתן לגלות בו גדולה לאין שיעור מאשר זו שהפונקציות הרגילות אוצרות בחובן". הוא גילה את הקשר שלו לאינטגרלים אליפטיים בשנים 1798–1799, דרך הטרנספורמציה שגילה באופן עצמאי הנקראת טרנספורמציית לנדן (אנ'), ובהערה מיומנו גילה את הקשר שלו ליחס המכונה כיום "קבוע גאוס", תוצאה שהוא התנבא שהיא "בוודאות תפתח תחום חדש לגמרי של אנליזה". כתביו על אנליזה מתמטית מכילים עושר אדיר של תגליות מתמטיות, ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות מרחיקות הראות ביותר של גאוס, אשר הייתה להן השפעה לא מבוטלת על התפתחות המתמטיקה בשלהי המאה ה-19, כאשר מתמטיקאים אחרים נתוודעו להישגיו דרך הפרסום ההדרגתי של כתביו הלא מפורסמים.
כתבים אלו הראו שעוד לפני סיום העשור הראשון של המאה ה-19, גאוס הכיר רבות מהתוצאות שהופיעו לראשונה בחיבורו המהפכני של קרל גוסטב יעקב יעקובי מ-1829 "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum". חקירתו השיטתית את עקומת הלמניסקטה הובילה אותו לגילוי של פונקציות אליפטיות, אשר תכונתן היסודית היא שהן מהוות פונקציות בעלות שני מחזורים בלתי תלויים  \omega _{1},\omega _{2} מעל R. בהקשר זה, הוא רשם גם את הדוגמאות הראשונות לטורי אייזנשטיין, שלהם קשר טבעי לפונקציות אליפטיות. במסגרת תוצאה אחרת שלו מאותן שנים, הוא גילה את ההצגה המפורסמת של ויירשטראס של משתנה האינטגרציה x שבאינטגרלים אליפטיים מגנוס 1 כמנה של שתי הפונקציות השלמות שכונו על ידי ויירשטראס  Al_{1}(u),Al_{0}(u) (כאשר u הוא ערך האינטגרל האליפטי). משפט המספרים המחומשים של אוילר, יחד עם חקירותיו האחרות שהוזכרו, הובילו אותו לגילוי של תוצאות רבות על פונקציות תטא, וב-1808 ל"רגע שיא" שבו גילה והוכיח את זהות המכפלה המשולשת של יעקובי - שכוללת את המשפט של אוילר כמקרה פרטי ושממנה נובעות תוצאות רבות על פונקציות תטא. כמו כן, בכתביו מ-1808 מופיעות המשוואות המתארות טרנספורמציות מודולריות מסדר 3,5,7 של פונקציות אליפטיות.
כמה קטעים מתמטיים בכתבים אלה מעידים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של פליקס קליין ו-Robert Fricke על פונקציות מודולריות. אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאוד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב. למשל, קליין מציין בספרו על התפתחות המתמטיקה במאה ה-19 כי האינווריאנט j של עקומים אליפטיים (הקבוע האבסולוטי של קליין; זוהי תבנית מודולרית ממשקל אפס), מן המושגים המרכזיים בתאוריה של תבניות אלו, הוצג לראשונה על ידי גאוס, אשר כינה אותו "Summatorische Function". גאוס הציגו בהקשר של מחקרו על הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג מספרים מרוכבים – נושא שגאוס החשיבו כדרך הטבעית ביותר להתוודע ל"תמונה המודולרית" – ושבמסגרתו ביסס תוצאה עמוקה ביותר על היצירה של אינסוף הערכים השונים של הממוצע משני ערכים "פשוטים ביותר" שלו. כתביו מכילים אף מספר איורים שמראים כי הוא היה מודע לצד הגאומטרי של התאוריה; אחת התוצאות המשמעותיות שלו, שמתקשרת גם לעבודתם של מתמטיקאים מאוחרים יותר על מודלים של גאומטריה לא אוקלידית, היא הגילוי של ריצוף של מודל הדיסק של פואנקרה על ידי משולשים "שווי צלעות" עם זוויות שכולן שוות  \pi /4.
גאוס בחייו פרסם כמעט מאום ממה שהשיג על תורת הפונקציות האליפטיות, אולם הוא כן פרסם מאמר שחשף מעט מהרעיונות שלו בנוגע לעצם מתמטי קשור – הפונקציה ההיפרגאומטרית. במאמר "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" מ-1813, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בפונקציה ההיפרגאומטרית  F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x) הכללית, והראה שרבות מהפונקציות המוכרות באותה עת, כדוגמת הפונקציות האלמנטריות ופונקציות מיוחדות מסוימות, הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית. בכך הוא המשיך את התוכנית האנליטית השיטתית של אוילר ויוהאן פרידריך פף, שפרסמו לפניו מחקרים (מצומצמים למדי) שעסקו בטור ההיפרגאומטרי. המאמר קושר גם בין שברים משולבים עם ערכים מרוכבים למנות של פונקציות היפרגאומטריות, ומכיל תוצאות על פונקציות טרנסצנדנטיות כמו פונקציית גמא ופונקציית הדיגמא; אחת התוצאות העמוקות ביותר בו, שלה גם הקשרים אריתמטיים מעניינים, היא "משפט הדיגמא של גאוס", המאפשר לבטא את פונקציית הדיגמא עבור כל הארגומנטים הרציונליים  \psi (p/q) באמצעות קבוע אוילר-מסקרוני ופונקציות אלמנטריות בלבד. מלבד התגליות שבחיבור, הייתה לו חשיבות רבה גם להתפתחות המתמטיקה הריגורוזית, שכן תואר בו מעיין מודל לחקר התכנסות של טורים. בחלקו השני הלא מפורסם של המאמר - "קביעה של הטור המייצג משוואה דיפרנציאלית מסוימת מסדר שני", גאוס הרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה ההיפרגאומטרית, ודן בהתנהגות שלה בכל המישור המרוכב. כדי לעשות זאת הוא נקט בגישה שונה, וחקר פונקציות היפרגאומטריות לא באמצעות הצבת ערכי פרמטרים שונים בטור ההיפרגאומטרי שמייצג אותן, אלא דרך אפיונן כפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהן מקיימות:
z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.
מיד לאחר ההצגה של המשוואה הדיפרנציאלית, גאוס בוחן את המבנה האנליטי המורכב של הפונקציה ומפתח ישירות מהמשוואה תכונות של הפונקציה כגון ערכיה בנקודות מיוחדות מסוימות וטרנספורמציות שונות שלה; אף על פי שלא זיהה במפורש את המושג של נקודת סינגולריות רגולרית של משוואה דיפרנציאלית, הוא מצא פיתוחים לטורים של שני הפתרונות הבלתי תלויים של המשוואה ההיפרגאומטרית בסביבת כל אחת משלוש נקודות הסינגולריות שלה (הממוקמות ב- z=0,1,\infty ). בעקבות ניתוח של תכונה פרדוקסלית של טרנספורמציה ממעלה שנייה של הפונקציה ההיפרגאומטרית אותה גילה, גאוס מעלה לראשונה את בעיית המונודרומיה (monodromy) - הנוגעת להתנהגות הרב-ערכית של הפונקציה ההיפרגאומטרית כאשר ממשיכים אותה אנליטית. ארנסט קומר גילה ב-1836 את מרבית התוצאות שבחלק זה, מה שבמובנים רבים ייתר אותו.
החקירות האנליטיות של גאוס על הפונקציה ההיפרגאומטרית החלו במובנים רבים את פריחת תת-ענף הספרות המתמטית ששמות בולטים מהעשורים הבאים כמו ארנסט קומר, ברנהרד רימן, הרמן שוורץ ולזרוס פוקס היו כה מעורבים בפיתוחו. סוד ההשפעה שלהן טמון בכך שהן רמזו על קשר אינטימי בין תורת החבורות לתאוריה האיכותית של משוואות דיפרנציאליות במישור המרוכב; כיוון שגאוס הראה שניתן לקבל פתרון אחד של המשוואה ההיפרגאומטרית מפתרון אחר באמצעות הפעלת טרנספורמציה מתאימה על  F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x), הדבר רמז על כך שהיחסים הפנימיים בין כל הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית ניתנים לקידוד בעזרת פעולת חבורה של טרנספורמציות. במאמרו המפורסם מ-1857, רימן תיאר את ההתנהגות ה"גלובלית" של הפונקציה דרך הבנייה של מטריצת המונודרומיה שלה והצגת הטרנספורמציות הליניאריות הקשורות בה; הגישה הקונספטואלית של רימן הביאה לבשלות את הנושא, ואפשרה לגזור את כל התכונות הידועות של הפונקציה ההיפרגאומטרית בעזרת כמות מועטה בהרבה של חישובים אלגבריים, תוך התייחסות גם למקרה הכללי יותר של מיקום שרירותי של נקודות הסינגולריות. מושא החקירות הללו הוכנס בסופו של דבר למסגרת עם ניסוח הבעיה ה-21 של הילברט (בעיית רימן-הילברט), שדורשת להוכיח קיום של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם חבורת מונודרומיה נתונה.