אלקטרומגנטיות ותורת היחסות הפרטית
טרנספורמציה של השדות בין מערכות ייחוס אינרציאליות > השדה החשמלי והמגנטי > הסבר אינטואיטיבי

ננסה להסביר את מקורם של כל אחד מהאיברים בשתי המשוואות האחרונות. נניח שבמערכת הלא מתויגת נמדד בנקודה מסוימת במרחב-זמן (כלומר, במיקום מסוים וברגע מסוים) שדה חשמלי "רוחבי"
 \mathbf {E} _{\perp }. יכולנו להניח יריעת מטען מישורית אינסופית בסמוך לנקודה הזאת, הטעונה בצפיפות משטחית אחידה  \sigma , באופן כזה שהשדה החשמלי האחיד שהיא תיצור יבטל באופן מושלם את השדה  \mathbf {E} _{\perp }. ברור שאילו לא פועל שום כוח על מטען בוחן נייח במערכת הלא מתויגת שיוצב בנקודה הזאת (שכן השדה החשמלי בה הוא אפס), אז לא יפעל עליו כוח מנקודת המבט של כל מערכת ייחוס אינרציאלית הנעה ביחס אליה (כלומר הוא לא יאיץ אלא יימצא בתנועה קצובה). עובדה זאת מאפשרת להסיק כי גם במערכת הייחוס המתויגת, השדה החשמלי הרוחבי  \mathbf {E} _{\perp }' שנמדד והשדה שיוצרת היריעה, מסתכמים לאפס.
אולם, צופה במערכת המתויגת ייראה את יריעת המטען האינסופית כשהיא מתקצרת בכיוון המהירות היחסית (התקצרות האורך היחסותית) פי  \gamma , כך שצפיפות המטען המשטחית
החדשה תקיים  \sigma '=\gamma \sigma , ולכן תרומת השדה החשמלי הרוחבי במערכת הלא מתויגת  \mathbf {E} _{\perp } לשדה החשמלי הרוחבי במערכת המתויגת  \mathbf {E} _{\perp }' היא  \gamma \mathbf {E} _{\perp }.
עד כאן התמקד הדיון בשדות החשמליים הרוחביים בלבד, ללא השדות המגנטיים הרוחביים. מנקודת המבט של מערכת הייחוס הלא מתויגת, מטען הבוחן (שהוא נייח במערכת הייחוס המתויגת) חווה כוח לורנץ  F=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} , שכן השדה המגנטי מוגדר להיות כזה שמפעיל כוח רק על מטענים נעים. במערכת הייחוס המתויגת, לעומת זאת, מטען הבוחן מצוי במנוחה, ולפיכך יכול לפעול עליו כוח חשמלי בלבד, כך שהכוח המגנטי הנוסף הפועל על מטען הבוחן במערכת הייחוס הלא מתויגת חייב להיות "מותמר" לכוח ושדה חשמלי במערכת המתויגת. לפי תורת היחסות הפרטית, הקשר בין כוחות ניצבים לתנועה במערכות ייחוס שונות הוא  F'=\gamma F (ללא קשר לאופי הכוח), מה שמסביר גם את האיבר השני במשוואה השלישית.
בנוגע לשדה המגנטי הרוחבי  \mathbf {B} _{\perp }' במערכת המותמרת, את האיבר השני במשוואה הרביעית ניתן להסביר באמצעות אותו הניסוי המחשבתי שהסביר את האיבר הראשון במשוואה השלישית. נחזור ליריעת המטען המישורית: כתוצאה מהתנועה הנצפית של היריעה במערכת המתויגת, נוצרת יריעת זרם מישורית בעלת צפיפות זרם אחידה, אשר יוצרת שדה מגנטי בניצב לכיוון התנועה היחסית (בכיוון רוחבי). צפיפות המטען המשטחית במערכת המתויגת היא, לפי חוק גאוס,  \sigma '=2\gamma \epsilon _{0}\mathbf {E} _{\perp }, כך שצפיפות הזרם היא  J=v\sigma '=2\gamma \epsilon _{0}(\mathbf {v} \times \mathbf {E} ). לפי חוק אמפר, השדה המגנטי שיוצרת יריעת זרם כזאת הוא
 \mathbf {B_{\bot }} '={\frac {\mu _{0}J}{2}}=\gamma \epsilon _{0}\mu _{0}(\mathbf {v} \times \mathbf {E} )=\gamma {\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {v} \times \mathbf {E} ).
מקור האיבר הראשון במשוואה הרביעית הוא מורכב יותר, ויש לעשות חישוב אלגברי כדי להסבירו. נניח שבמערכת הלא מתויגת יש יריעת מטען מישורית הנעה במהירות מסוימת  u, כך שיריעת הזרם המתקבלת יוצרת שדה מגנטי רוחבי  \mathbf {B} _{\perp }. נניח שבמקביל לה מוצבת יריעת מטען נייחת בעלת צפיפות מטען משטחית  -\sigma  (כאן  \sigma  היא צפיפות המטען במערכת הלא מתויגת) כך שהשדה החשמלי מתאפס בכל המרחב. במערכת המתויגת, הנעה ביחס למערכת הלא מתויגת במהירות v, יריעת המטען החיובית נעה במהירות  u' המחושבת בעזרת נוסחאות לחיבור (או חיסור) מהירויות יחסותי, בעוד שיריעת המטען השלילית נעה אחורנית במהירות v. צפיפות המטען המשטחית במערכת העצמית של יריעת המטען החיובית היא  \sigma _{0}={\frac {\sigma }{\gamma (u)}}, כך שצפיפות המטען החיובי במערכת המתויגת היא  \sigma '=\sigma _{0}\gamma (u')={\frac {\sigma }{\gamma (u)}}\gamma (u'). ניעזר בנוסחה לחיסור מהירויות יחסותיות:
וכך נקבל:
כאשר  \beta _{1}=u/c,\beta _{2}=v/c. לא נפרט את האלגברה, אולם לאחר פישוט הביטויים מקבלים:
לפיכך, צפיפות הזרם של יריעת המטען החיובית שצופה במערכת המתויגת יראה היא:
בדומה לכך, צפיפות הזרם של יריעת המטען השלילית שצופה במערכת המתויגת יראה תהיה:
ולכן צפיפות הזרם הכוללת שצופה במערכת המתויגת יראה היא:
כאשר J היא צפיפות הזרם שימדוד צופה במערכת הלא המתויגת. מכיוון שהשדה המגנטי של יריעת זרם אינסופית יחסי לצפיפות הזרם, ניתן לראות שעד כדי סימן, האיבר הראשון במשוואה הרביעית מוסבר במלואו.