stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מרחב-זמן

איור הממחיש כיצד המסה מעקמת את המרחב-זמן. בשרטוט, המרחב-זמן מתואר כסריג דו-ממדי הנמצא בעל-מרחב תלת-ממדי.
בפיזיקה, מרחב-זמן או רצף מרחב-זמן, הוא המרחב הארבַּע-ממדי, שנהוג לייצגו על ידי מערכת של קואורדינטות מרחביות וקואורדינטת זמן, שכל נקודה בה מציינת אירוע המתרחש במקום ובזמן מסוימים. לעיתים נקרא גם מרחב מינקובסקי, על שם המתמטיקאי הרמן מינקובסקי, שהציע ב-1907 את הרעיון והמודל המתמטי הראשון של מרחב-זמן.
מרחב-זמן הוא אחד הביטויים הבולטים להבדל בין תפיסת המכניקה הקלאסית, הרואה בזמן ובמרחב ממדים נפרדים ובלתי תלויים, לבין התפיסה היחסותית, הרואה בזמן ובמרחב גדלים הקשורים זה בזה, ותלויים בתנועה היחסית של הצופה והאובייקט הנצפה, ובהשפעת שדות כבידה.
השימוש במודל מרחב-זמן איפשר את המעבר מהייצוג הסטטי והרגעי של אירועים, המאפיין את המרחב התלת-ממדי, לייצוג משוכלל יותר, המאפשר תיאור רציף ושלם של היקום המתפתח. מעבר לכך, הגאומטריה והמטריקה של המרחב-זמן היוו כלי מרכזי להבנתם, הפשטתם והעברתם של רעיונות יסוד בתורת היחסות הפרטית והכללית, וכן לפיתוחם של הללו ושל תאוריות אחרות העוסקות ברמת המיקרו והמקרו של היקום. רעיון המרחב-זמן לא רק הצליח להמחיש את קביעותיה של תורת היחסות, ובייחוד את ההשקפה שמרחב וזמן הם שתי פנים של ישות אחת, אלא גם שינה את ההשקפה על היקום בהעניקו לזירת האירועים עצמה גוף ו'חיים'. תפיסה זו עולה מן המחקרים המוקדמים של המרחב-זמן, אך ביתר שאת ממודל המרחב-זמן הכבידתי שהציגה תורת היחסות הכללית. תחת מרחב סטטי, שהוא המקום בו דברים נמצאים ואשר 'אינו עושה כלום', נעשה מעבר לזירה דינמית יותר: מרחב-זמן המנחה את תנועת החומר והאנרגיה, שתצורתו נקבעת על ידי החומר והאנרגיה, ושלפי הקוסמולוגיה בת ימינו נוצר במפץ הגדול.
במהלך המאה העשרים, עם השתרשות תורת היחסות, חדר מושג המרחב-זמן לתחומים שונים של הפיזיקה, ואף החל לשמש כשם כללי למארג היקום או ה'עולם שלנו'.
הופעת המושג

בקוסמולוגיה של בני האינקה ושל ילידי האנדים שהושפעו מבני האינקה, הזמן והמרחב נתפסים כישות אחת המכונה פאצ'ה (בשפת קצ'ואה ושפת איימרה), כאשר המושג משמש הן להתייחסות ליקום כולו, הנתפס כמערכת מאוחדת אחת, והן להתייחסות לרגע במציאות – 'אירוע עולמי'. ביהדות, המוקדמת יותר, אחדות הזמנים בהוויה אחת, היא יסוד המבואר בשם המפורש י-ה-ו-ה - היה הווה ויהיה – אל אחד, חוק אחד שליט ההוויה[דרוש מקור][דרושה הבהרה]. ככל הידוע אלו התפיסות הרעיוניות המוקדמות ביותר של המרחב והזמן כאחדות. אזכורים מוכרים של רעיונות משיקים, בתרבות המערב, החלו להופיע רק החל מהמאה ה-18, כאשר המוקדמים שבהם נעשו במסגרת מדעית. בכתבים פילוסופיים ובדיוניים מערביים קיימות כמה התייחסויות לרעיון זה, מן המאה ה-19, שהרקע להן הוא העיסוק בסובייקטיביות אל מול ממשות, בגבולי ההכרה ומעמדן המעורער של קטגוריות התבונה האופייני לתקופה. ההתייחסות המוכרת הראשונה מופיעה במאמר של הפילוסוף הגרמני ארתור שופנהאואר מ-1813 בשם "על השורש הארבע-ראשי של עקרון הטעם המספיק". מאמרו של שופנהאואר מהווה מעין המשך לוויכוח הפילוסופי המוכר שהתנהל בין גוטפריד וילהלם לייבניץ לסמואל קלארק לגבי מוחלטות המרחב והזמן, אף שמסקנותיו שונות. במאמר טוען שופנהאואר כי יש לשלב את מושגי הזמן והמרחב, כדי לייצג באופן שלם את העולם: "לא ניתן לייצג את הקיום המאוחד רק באמצעות הזמן; מאחר שבזמן לבדו כלל הדברים עוקבים, ובמרחב לבדו כלל הדברים מצויים זה לצד זה; מכך נגזר כי רק משילוב הזמן והמרחב עולה האפשרות לייצוג הקיום המאוחד". התייחסות מוקדמת אחרת לרעיון המרחב-זמן הופיעה בשנת 1848 במאמר "אאורקה" של אדגר אלן פו העוסק בקוסמולוגיה. במאמר טוען פו לאחדות המרחב והזמן, בקבעו כי "מרחב ומשך חד הם".
ההתייחסות המוקדמת ביותר לרעיונות דומים, במסגרת הספרות הבדיונית, הופיעה בשנת 1895, בספר המדע הבדיוני של הרברט ג'ורג' ולס, מכונת הזמן: "אין כל הבדל בין הזמן וכל אחד משלושת ממדי המרחב, למעט זאת שההכרה שלנו נעה לאורכו" קובע הנוסע בזמן בספרו של ולס, ומוסיף "לכל גוף ממשי חייבת להיות הרחבה בארבעה כיוונים: חייב להיות לו אורך, רוחב, עובי, ומשך".
במהלך המאה העשרים, עם הפיתוח הפיזיקלי והמתמטי של המרחב-זמן (ראו סקירה להלן), נפוצו בשדה הפילוסופיה והאומנות, יותר ויותר התייחסויות למושג זה ולהשלכותיו, כאשר אלו תואמים יותר ויותר את המהפכה בתפיסה המדעית אשר הולידה אותו.
הופעת המושג > מרחב-זמן כמושג מתמטי ופיזיקלי

בשלהי המאה התשע עשרה ובתחילת המאה העשרים, החלה להתערער התפיסה הפיזיקלית הקלאסית-מודרנית של הזמן והמרחב כשני גדלים נפרדים, ומושגי המרחב והזמן החלו לאבד את מוחלטותם. תורת היחסות, תאוריית הדגל של מהפכה מדעית זו, לא רק הצביעה על כך שגדלים אלה אינם מוחלטים, תלויים בצופה המודד אותם ומשתנים ממערכת ייחוס אחת לאחרת, אלא גם על כך שהם שרוגים ותלויים זה בזה. המרחב-זמן כמושג, רעיון וכלי מתמטי-מדעי, פותח במסגרת חקירתה וגיבושה של תפיסה מדעית זו, אך להופעתו בזירה המדעית קדמו כמה מחקרים ואירועים מקדימים. ההתייחסות הראשונה לרעיון המרחב-זמן כמושג מתמטי הופיעה בשנת 1754, בערך "ממד" מן האנציקלופדיה הגדולה, שנכתב על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר. התייחסות מוקדמת אחרת נמצאת בכתבים של ז'וזף-לואי לגראנז' העוסקים במכניקה אנליטית ומציגים את הרעיון כי "ניתן להתבונן במכניקה כבגאומטריה של ארבעה ממדים, ובמכניקה אנליטית כבהרחבה של גאומטריה אנליטית". את הקווטרניונים, מערכות המספרים שהמציא ויליאם רואן המילטון בשנת 1843, ראה המילטון ממציאם כיישויות המאופיינות בממדים מעורבים של מרחב וזמן. אלגברת הקווטרניונים של המילטון, שמאפייניה האלגבריים מספיקים לבניית מודל מרחב-זמן ולאפיון הסימטריה שלו, הופיעה בזירה המדעית כמחצית המאה לפני הניסוח הפורמלי של תורת היחסות, ופיתוחים שלה משמשים עד היום בתחשיבים ותיאורים מדעיים שונים. עם זאת, בתקופתו של המילטון, נותרו הקווטרניונים בגדר כלי פיזיקלי-מתמטי שנוי במחלוקת שמשמעותו לא הובנה לעומקה. תקדים חשוב אחר לשילוב ממדי המרחב והזמן מופיע במחקר של ג'יימס קלרק מקסוול, משלהי המאה ה-19, העושה שימוש במשוואות דיפרנציאליות חלקיות לפיתוח אלקטרודינמיקה המתייחסת לארבעת הממדים. הישגיו של מקסוול בתחום היוו השראה להתפתחויות המדעיות הבאות ולהתגבשותה המואצת של תפיסה חדשה של המרחב והזמן, ולידת מושג המרחב-זמן המוכר לנו.
כהמשך לעבודתו של מקסוול, גילה הנדריק לורנץ מספר אינווריאנטים (גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות) של משוואות מקסוול, שלימים הפכו לבסיס תורת היחסות הפרטית של איינשטיין. עבודתם של לורנץ ושל אנרי פואנקרה ממשיכו, הייתה קרובה מאוד לגילוי תורת היחסות הפרטית, אך הקושי שלהם לקבל את יחסיות הזמן (לוותר על הבו-זמניות במערכות ייחוס), מנע מהם את פיתוחה. תורת היחסות הפרטית הוצעה בסופו של דבר ב-1905 על ידי אלברט איינשטיין, אך על אף שהמרחב-זמן מצטייר לא-פעם כחלק ממנה, הוא למעשה תולדה מעט מאוחרת שלה.
הופעת המושג > מרחב-זמן יחסותי

מודל המרחב-זמן היחסותי הוצע במפורש רק ב-1908, במאמר המפתח ומרחיב את עבודתו של איינשטיין, שנכתב על ידי מורו, המתמטיקאי הרמן מינקובסקי. המודל המתמטי שהציע ובחן מינקובסקי ב-1908 הוא המחקר המפורש המוקדם ביותר העוסק בממדי המרחב והזמן כאספקטים של שלם אחדותי. את המודל הציע מינקובסקי בתחילה כניסוח מחודש למשוואות מקסוול ומאוחר יותר מתוך התייחסות לתורת היחסות הפרטית.
המודל המתמטי-גאומטרי של מינקובסקי מבטא את הקישוריות בין ממדי המרחב והזמן בשלבו אותם למערכת אחת. זהו מרחב מתמטי הנפרש על ידי קואורדינטות שקולות של מרחב וזמן כאחת, בו כל נקודה מייצגת אירוע מרחבי-זמני מסוים, וכל קו מייצג השתלשלות אירועים אפשרית. מאחר שקל ויעיל לאפיין אירוע פיזיקלי במונחים של מקום וזמן, זהו כלי נוח להצגה וחקירה של אירועים, וכן של מרחב האירועים עצמו. באמצעות דיאגרמות שונות של מרחב-זמן הצליח מינקובסקי לבחון ולהמחיש אספקטים יחסותיים שונים. הרעיון של מינקובסקי הוביל בעצם לתפיסת תורת היחסות הפרטית בצורה גאומטרית יותר, ובכך העניק מובן גאומטרי לממצאים אמפיריים ותאורטיים שונים, כגון טרנספורמציות לורנץ, והשפיע לא מעט על התפתחות המדע. למעשה, ניתן לומר כי גאומטריית המרחב-זמן שהציע מינקובסקי תרמה משמעותית לפיתוח תורת היחסות הכללית, מאחר שאת התיאור המדויק של השפעת הגרביטציה על המרחב ועל הזמן - נושא המחקר המרכזי של תורת היחסות הכללית - פשוט יותר להמחיש ולהציג כ'עיקום' או כ'עיוות' במארג הגאומטרי של המרחב-זמן. ככלל, ניתן לראות בתורת היחסות הכללית מחקר מעמיק של המרחב-זמן. מודל המרחב-זמן שהציגה תורת היחסות הכללית מהווה שכלול של מרחב-זמן מינקובסקי; זהו מרחב לא-שטוח ודינמי, המתאפיין בעקמומיות ועיוותים שהם תוצא של פיזור המסה והאנרגיה בו. מודל מתמטי זה מעמיד 'עולם' בו הממדים ארוגים זה בזה לרצף יחיד, ובו לא רק הממדים מהווים רצף, אלא גם עולם התופעות הפיזיקליות עצמו מהווה רצף. זוהי יריעה דינמית, רציפה ושלמה של אירועים, בלא 'חורים', שבה כל אירוע מוקף באופן מלא באירועים 'שכנים', ממומשים או לפחות אפשריים – מארג עולם אחד, שבמובן מסוים ארבעת הממדים אינם אלא היטלים שלו.
מושגי יסוד

באופן כללי המרחב-זמן הוא המרחב הארבע-ממדי, המהווה את זירת ההתרחשות של אירועים פיזיקליים. בדומה לתפיסת קו כאוסף כל הנקודות המאורגנות ברצף פורמלי מסוים ליצירתו, ניתן לראות במרחב-זמן כאוסף כל האירועים הפיזיקליים, ממשיים או אפשריים, המאורגן בצורה פורמלית ליריעה אחת - מרחב שלם ורציף, שכל נקודה בו מציינת אירוע מרחבי-זמני מסוים, ואשר ברמות מקומיות ניתן לתארו באמצעות מערכת קואורדינטות.
המרחב-זמן עצמו אינו תלוי בנקודת המבט של הצופה, אך ייצוגו נתון לבחירתו. לכן, לשם ייצוג או חקירה של התרחשות פיזיקלית, נוכל לבחור במודל המרחב-זמן הנוח לנו – מודל המיוצג על ידי מערכת הקואורדינטות המרחבית-זמנית הנוחה לנו, ואשר מייצג את מערכת הייחוס הנוחה לנו.
הגאומטריה של המרחב-זמן משתנה בנוכחות מסה ותחת השפעת תאוצה וסיבוב, לכן, כדי להבין את מבנהו ותכונותיו של המרחב-זמן, מוטב תחילה להתייחס למרחב-זמן שנהוג לראותו כמרחב תורת היחסות הפרטית – המרחב-זמן המצטייר מתוך התייחסות למערכות אינרציאליות בלבד (תנועות במהירויות קבועות). רכיבי המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית קבועים בכל מערכת ייחוס; אין זה מרחב אוקלידי, אך ציריו נותרים ישרים, ועל כן הוא מהווה מרחב שטוח, הומוגני ואיזוטרופי (כל הכיוונים בו שווי ערך). נהוג לכנות מרחב זה בשם מרחב פסאודו-אוקלידי או מרחב מינקובסקי. כדי להמחיש את תכונותיו של המרחב-זמן הארבע-ממדי, נהוג להשתמש בתרשימים בהם צירי המרחב מיוצגים על ידי שני צירים או ציר יחיד. דיאגרמות מעין אלו שימשו את מינקובסקי במחקרו, והן מכונות דיאגרמות מינקובסקי או דיאגרמות מרחב-זמן.
מושגי יסוד > מערכת קואורדינטות ארבע-ממדית

בניית מודל גאומטרי ארבע-ממדי של מרחב-זמן, באמצעות מערכת קואורדינטות קרטזיות (ניתן לבחור במערכת קואורדינטות אחרת), נעשית על ידי הוספה של ציר זמן לשלושת הצירים המרחביים. כדי שהיחס בין הצירים השונים יהיה פשוט וסימטרי (מרחק זהה על כל ציר ייצג גודל זהה) וכך גם הגדלים במרחב, מוטב לבחור בקואורדינטות בעלות אותם ממדים. אם בחרנו ביחידות אורך (הבחירה הפשוטה יותר), נאחד את כלל הצירים על ידי שימוש באותה יחידת מרחק, גם בציר הזמן.
ההמרה של יחידות זמן למרחק נעשית על ידי הכפלה של יחידות הזמן במהירות; מאחר שמהירות האור היא גודל קבוע בכל מערכת, משתמשים בה להמרה, ומציגים את יחידות הציר הרביעי (ציר הזמן) כיחידות ct, כאשר c היא מהירות האור בריק. כעת, להשלמת ההאחדה, נותר רק להתאים ספציפית את יחידות ct ליחידת המרחק המסוימת בה בחרנו. לדוגמה, אם בחרנו ביחידת מרחק שהיא קילומטר, כל יחידת ct תייצג גם היא קילומטר, כאשר כיחידת זמן (t) ישמש הזמן שהאור עובר מרחק של קילומטר. במצב זה, יחידות ציר ct עשויות עדיין להיקרא יחידות זמן, מאחר שניתן להתבונן בהן כיחידות זמן שהוכפלו בסקלר. עם זאת, במרחב-זמן ניתן למצוא גם קריאה רעיונית להסתפק ביחידת מידה אחת, של מרחק או של זמן, ולבטא מרחקים וזמנים באמצעות הגודל המשותף לכלל הצופים, הוא מהירות האור בריק.
מושגי יסוד > מערכת קואורדינטות ארבע-ממדית > ישויות גאומטריות

נקודת עולם – נקודה במרחב-זמן – היא סט מסוים של קואורדינטות (x, y, z, ct) אשר מייצג אירוע רגעי מסוים, מרחבי וזמני. זהו גודל פיזיקלי בעל כיוון – וקטור ארבע-ממדי (4-וקטור), המכונה וקטור המקום או וקטור המאורע. לשם נוחות, ניתן לאגד את הקואורדינטות המרחביות לגודל אחד –  {\vec {r}} – הוא וקטור המקום התלת-ממדי, ולציין נקודת עולם באמצעות ( {\vec {r}},ct).
קו עולם או מסלול עולמי – קו במרחב-זמן – התקדמות מנקודה אחת לשנייה – מייצג באופן כללי אוסף מאורעות. כאשר מדובר במאורעות המתייחסים לגוף יחיד, קו עולם יציין מאורעות עוקבים, ובעצם את ההיסטוריה של הגוף - המסלול העולמי שלו. אופי הקו מעיד על אופי ההתרחשות:
גופים מורכבים – במרחב-זמן ייצוג גופים מורכבים (אלומות אור או גופים המורכבים מחלקיקים בעלי מסה) יכול להיעשות באמצעות אוסף קווי העולם של רכיביהם האלמנטריים. אולם פיזיקאים מעדיפים להתייחס לגופים שכאלו כאל חלקיקים, או שדות, ולשרטט את מסלולם העולמי מתוך התייחסות למרכז המסה שלהם. אוסף אירועים, או קווי עולם, המהווים משטח דו-ממדי, מכונים יריעת עולם.
מושגי יסוד > מרחב-זמן ומערכות ייחוס

לפי עקרון היחסות כלל מערכות הייחוס שוות ערך, ולשם תיאור העולם אנו יכולים לבחור במערכת הנוחה לנו. המערכת של צופה אינרציאלי, זו הנעה איתו, תיקרא מערכת המנוחה של הצופה. מדידת הזמן והנתונים המרחביים המאפיינים אירוע מסוים, ממערכות אינרציאליות שונות, תניב תוצאות שונות, להוציא מדידה של מהירות האור. הקשר בין הגדלים שימדדו צופים שונים הוא תוצא של המהירות היחסית של המערכות האינרציאליות ומבוטא במשוואות הטרנספורמציה של לורנץ, הקושרות בין הזמן והמרחב. תופעה דומה מתקיימת גם לגבי המרחב-זמן: המרחב-זמן ייראה שונה בכל מערכת ייחוס אינרציאלית; עבור כל צופה צירי המערכת יראו שונים, וכך גם רכיבי המסלול העולמי של אותו גוף.
אם ניקח לדוגמה מסלול קרן אור העובר דרך ראשית הצירים, כמוצג בתרשים משמאל, נוכל לראות כיצד צירי מערכת הצופה הראשונה (המערכת שציריה הם ct ו-x) נבדלים מאלו של מערכת הצופה השנייה (המערכת שציריה הם 'ct ו-'x), על אף שמהירות הקרן זהה בשתי המערכות. דיאגרמה זו ממחישה את הקשר בין מערכות ייחוס אינרציאליות ומעניקה לו משמעות גאומטרית; במובן זה, האפקטים המוכרים של תורת היחסות, התכווצות האורך והתארכות הזמן, הם שינויים גאומטריים במרחב-זמן.
הניסוח המתמטי של פוסטולט האינוואריאנטיות של מהירות האור עבור תנועה חד-ממדית הוא:
ולכן בהתייחס למסלול קרן אור נקבל עבור מערכת הצופה הראשונה והשנייה כי:
שקילות זו מצביעה על כך שצירי המרחב-זמן (x ו-ct במקרה זה) הם סימטריים ביחס למסלול האור בכל מערכת אינרציאלית. משקילות זו נגזר גם היחס הגאומטרי בין צירי המרחב-זמן במערכות אינרציאליות (כמתבטא בדיאגרמה משמאל): צירי המרחב של מערכת אחת יוטו בזווית מסוימת ביחס לצירי המרחב התואמים של המערכת השנייה ('x בתרשים). כאשר, ציר ct במערכת האחת יוטה באותה הזווית, ביחס לציר ct של המערכת השנייה, אך בכיוון הפוך (צירי ct ו-'ct בתרשים משמאל).
הטיה מסוג זה מכונה 'פסדו סיבוב', וניתן להציג או להסביר באמצעותה את התכווצות האורך והתארכות הזמן. זווית ההטיה מבטאת את יחס המהירויות בין המערכות -  \tan(\alpha )={\frac {v}{c}} -, כאשר צירי כל מערכת, לא משנה מה מהירותה, תמיד תואמים קטרים מצומדים של זוג היפרבולות. לתופעה זו חשיבות רבה בייצוג המטריקה של המרחב-זמן.
מושגי יסוד > האינטרוול

במרחב אוקלידי תלת-ממדי, המיוצג על ידי קואורדינטות קרטזיות מרחביות, חישוב האורך של וקטור או המרחק בין שתי נקודות נעשה לפי משפט פיתגורס:
כהכללה, וקטור האורך הזה, שהוא גודל אינווריאנטי, מייצג את המטריקה של המרחב התלת-ממדי. ניתן לבצע חישוב של המרחק בין שתי נקודות במרחב-זמן בצורה דומה, אך גודל זה אינו מבטא המטריקה של המרחב-זמן, ולמעשה נעדר משמעות פיזיקלית כללית. לכן ישנה התייחסות למשוואה שונה, מאותה צורה, המבטאת כמה וכמה הנחות ואפקטים מתורת היחסות, היא 'ריבוע האינטרוול' (או בקצרה, 'האינטרוול'):
ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי לורנץ, כלומר, נשמר בכל מערכת ייחוס אינרציאלית ומכאן חשיבותו. ביטוי זה מתקבל מהצגת הניסוח המתמטי של פוסטולט 'האינוואריאנטיות של מהירות האור' ( {\frac {\Delta r}{\Delta t}}={\frac {\Delta r'}{\Delta t'}}=c) כמשוואת ריבועי מרחקים עבור תנועת אור:
כאשר,  \ c\Delta t הוא מרווח הזמן בין שני מאורעות לאורך מסלול קרן האור ו-  \Delta z,  \Delta y,  \ \Delta x הם המרווחים המרחביים בין אותם שני מאורעות.
ריבוע האינטרוול עשוי גם להופיע בתצורה הבאה:  {\Delta S^{2}}={\Delta x^{2}}+{\Delta y^{2}}+{\Delta z^{2}}-{c^{2}\Delta t^{2}}. הבחירה בין התצורות היא עניין של מוסכמה בלבד, שכן שתי התצורות שקולות מבחינת משמעותן.
ריבוע האינטרוול מתאפס עבור חלקיק הנע במהירות האור - בשל השקילות בין ct למרווח המרחבי - אך עשוי לקבל ערכים שונים, חיובים או שליליים, עבור תנועה שאינה במהירות האור. באמצעות טרנספורמציות לורנץ המאפשרות מעבר ממערכת ייחוס אחת למשנה, ניתן להוכיח כי ביטוי האינטרוול עבור  c\Delta t',  \ \Delta z',  \ \Delta y',  \ \Delta x' שווה לביטוי האינטרוול עבור  \ c\Delta t,  \ \Delta z,  \ \Delta y,  \ \Delta x, ובכך להראות כי הוא נשמר בכל מערכת ייחוס, עבור כל גוף - כלומר, גם כשערכו שונה מאפס.
עבור ריבוע אינטרוול שערכו אפס, המרחק  \Delta S הוא קו ישר; עבור ערך שונה מאפס,  \Delta S מהווה היפרבולה. מכיוון שהמרחקים במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית אינם בהכרח חיוביים, מרחב זה לא מקיים את התכונה הראשונה מתוך שלוש התכונות המשמשות להגדרת מטריקה, ועל כן המטריקה שלו מהווה הרחבה של מושג המטריקה הפורמלי ומוגדרת כפסדו-מטריקה.
מביטוי ריבוע האינטרוול ניתן ללמוד על אופי המרחב: אם בביטוי מופיעות מכפלות מעורבות של קואורדינטות, משמעות הדבר היא שבמערכת קיים קשר של תלות (פונקציה) בין הקואורדינטות, שיבוא לידי ביטוי בתיאור האירועים בה. מכפלות שכאלה מעידות על עקמומיות המרחב (תורת היחסות הכללית מתייחסת גם למקרים אלה). במקרה ההפוך, בו אין בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות של קואורדינטות, הקואורדינטות במערכת הן בלתי תלויות; קואורדינטה בלתי תלויה - שאינה מופיעה במכפלות מעורבות בביטוי ריבוע האינטרוול, ומכאן שאין קשר מובנה בינה לבין הקואורדינטות האחרות - מכונה 'קואורדינטה גאוסית' והיא ניצבת לקואורדינטות האחרות. במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית לא מופיעים בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות, ומכאן שכלל הקואורדינטות ניצבות זו לזו והמרחב שטוח.
מאחר שערכו של ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי, תכונותיו אף הן אינוואריאנטיות ונשמרות בכל מערכות הייחוס; סוג האינטרוול גם הוא מהווה מאפיין הנשמר בכל מערכת ייחוס. נהוג למיין את האינטרוולים לשלושה סוגים, המאפיינים אירועים מסוגים שונים ומתאפיינים בתכונות שונות: 'אינטרוול דמוי-אור', 'אינטרוול דמוי-זמן' ו'אינטרוול דמוי-מרחב'.
מושגי יסוד > האינטרוול > אינטרוול דמוי-זמן

אינטרוול דמוי זמן הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם גדול מן המרווח המרחבי - כלומר, אינטרוול חיובי. מאחר שגוף חומרי (בעל מסת מנוחה) אינו יכול לנוע במהירות גדולה ממהירות האור, המרווח הזמני בין שני מאורעות שאינם על מסלול קרן אור יהיה תמיד גדול מן המרווח המרחבי ביניהם. אינטרוול דמוי זמן יאפיין על כן אירועים הנמצאים על מסלול תנועתו של גוף חומרי.
שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-זמן, עשויים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), וניתן להעביר ביניהם מידע. תכונות אלו נגזרות מכך שצליחת המרווח המרחבי ביניהם היא בגדר האפשר, זאת אומרת, אינה נדרשת למהירות גבוהה ממהירות האור.
קווי עולם ששיפועם גדול מ-1, או קטן מ-1-, יתאפיינו באינטרוול דמוי-זמן ונקראים 'קווים דמויי-זמן'.
מושגי יסוד > האינטרוול > אינטרוול דמוי-מרחב

אינטרוול דמוי-מרחב הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם קטן מן המרווח המרחבי - אינטרוול שלילי. מאחר שלא ניתן לעבור את מהירות האור, את המרווח המרחבי בין שני מאורעות שהאינטרוול ביניהם דמוי-מרחב לא תוכל לצלוח קרן אור, כל שכן גוף חומרי. על כן, שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-מרחב אינם יכולים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), ולא ניתן להעביר ביניהם מידע. קווי עולם ששיפועם גדול מ-1- וקטן מ-1 יתאפיינו באינטרוול דמוי-מרחב ונקראים 'קווים דמויי-מרחב'.
מושגי יסוד > האינטרוול > אינטרוול דמוי אור

\ {c^{2}\Delta t^{2}}={\Delta r^{2}}
אינטרוול דמוי-אור, המכונה גם בשם 'אינטרוול האפס', הוא האינטרוול בין שני מאורעות שהמרווח המרחבי ביניהם שווה למרווח הזמנים ביניהם - כלומר, אינטרוול שערכו הוא אפס. אינטרוול דמוי-אור מתאר אירועים המתרחשים לאורך מסלול קרן אור ומכאן שמו.
קווי עולם ששיפועם 1 יתאפיינו באינטרוול דמוי-אור ונקראים קווים דמויי-אור. קווי עולם שכאלה יכולים לתאר את תנועתו של גוף הנע במהירות האור - פולס אור.
מושגי יסוד > דיאגרמת חרוטי האור

עבור אירוע מוצא המשמש כראשית, אוסף כל האירועים שהאינטרוול בינם לבין אירוע המוצא הוא דמוי-אור מגדיר שני חרוטים במרחב-זמן: כלל האירועים המאוחרים לאירוע המוצא מהווים את פני השטח של חרוט האור העתידי - אלו הם מסלולי ההתפשטות האפשריים של הבזק אור מנקודת המוצא (הראשית); וכלל האירועים שקדמו לאירוע המוצא פורשים את פני השטח של חרוט העבר - אלו הם המקורות האפשריים לאירוע המוצא.
חרוטים אלו נקראים 'חרוטי האור', או 'חרוטי האפס', ומשמשים להמחשת הקשרים האפשריים בין מאורעות במרחב-זמן: כלל המסלולים העולמיים האפשריים של גופים חומריים, הקשורים בראשית, הם דמויי-זמן ונמצאים בתוך חרוטי האור. חרוט העבר מכיל את כלל האירועים שעשויים היו להשפיע על האירוע המתרחש בראשית, וחרוט העתיד מכיל את כלל האירועים שעשויים להתרחש בהשפעת האירוע הראשיתי.
מסלולים המצויים מחוץ לחרוטי האור, הם דמויי-מרחב, ועל כן אינם יכולים לייצג מסלולים סיבתיים, לא של השפעה חומרית וגם לא של אנרגיית אור.
מושגי יסוד > הטנזור המטרי

ריבוע האינטרוול  \Delta S^{2} הוא גודל אינוואריאנטי המאפיין ומייצג את המטריקה של המרחב-זמן. בשונה מריבוע האורך במרחב אוקלידי שטוח, החיובי תמיד, אינוואריאנט זה יכול להתאפס וגם לקבל ערכים חיובים או שליליים. ערכו של ריבוע אינטרוול מסוים נשמר בכל מערכות הייחוס, אך ביטויו משתנה ממערכת למערכת. עם זאת, ניתן לבנות באמצעותו את הכלי המתמטי המכונה הטנזור המטרי, אשר משמש לתרגום מערכי גדלים ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת, ולהגדרת המכפלה הסקלרית של וקטורים ארבע-ממדיים במרחב-זמן עליו הוא מתייחס. בניית הטנזור המטרי נעשית על ידי ביטוי רכיבי ריבוע האינטרוול בצורה כללית, בה משמשים המקדמים המשתנים (התלויים) ואיבר הבסיס המשותף, בו הללו מוכפלים - הוא הטנזור המטרי. מטבעו, הטנזור המטרי הוא מאפיין כללי של מערכת הקואורדינטות אליה הוא משויך, וקשור באופן מהותי לתכונות המרחב שזו מייצגת (מטריקה מגדירה עקמומיות). הטנזור המטרי של מרחבים שטוחים אינו תלוי במערכת הייחוס או בתכונות לוקליות. תכונות אלו תקפות גם לגבי טנזור המטרי של המרחב-זמן השטוח של תורת היחסות הפרטית (מרחב מינקובסקי), שהוא המטריצה:
האלמנט האלכסוני הראשי בטנזור, (1 1- 1- 1-), שערכו שונה מאפס, הוא המשמעותי ביותר - האלמנט האלכסוני הראשי מבטא את היחס בין צירי המערכת, ועל כן מהווה את חותמת המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית. מכך שכל רכיבי האלכסון הראשי בטנזור הם קבועים וכל היתר הם אפסים, ניתן להסיק כי המערכת שהטנזור מייצג היא שטוחה.
ניסוח ריבוע האינטרוול כמכפלה סקלרית עצמית של ווקטור המרחק  dR בטנזור הוא:  \Delta S^{2}=A\times dR\times dR
באופן דומה ניתן לבטא מכלול של גדלים פיזיקליים רלוונטיים. השימוש בפורמליזם הארבע-ממדי ובטנזור המטרי של המרחב-זמן הופכים את כל החישובים בתורת היחסות - הן של הדינמיקה (תנועת גופים) והן של האלקטרודינמיקה - לפשוטים יותר.
מרחב-זמן בתורת היחסות הכללית

מאחר שבטבע גופים נעים בתנועה משתנה, מסתובבים, מאיצים ומאטים ונתונים להשפעת כוחות כבידה, ניתן לראות במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית מרחב תאורטי, שאינו מתאר את המרחב-זמן הכללי בו אנו חיים, ויעיל רק למקרים בהם השפעת גורמים אלו זניחה. מרחב-זמן המתייחס לגורמים השונים הללו הוא מורכב ושונה ממרחב-הזמן של תורת היחסות הפרטית. למעשה, עד לפיתוח תורת היחסות הכללית נדמה היה כי בכל הנוגע לתאוצות ולסיבובים, עקרון היחסות אינו תקף. החיפוש אחר הכללה של עקרון היחסות, לכל סוגי התנועה, הוא שהוביל את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית. תורה זו איגדה תופעות הקשורות בגרביטציה, במערכות ייחוס מואצות, ובתיאור גאומטרי של מרחבים עקומים, וניתן לראותה כתורה שבמרכזה עומד התיאור של שינוי הגאומטריה של המרחב-זמן בהשפעת כבידה ותאוצה, כמו גם של השפעת שינויים גאומטריים אלו על התנהגותם של גופים במרחב-זמן.
המרחב-זמן של תורת היחסות הכללית הוא מרחב אירועים שמבנהו מוגבל ומעוצב על ידי תנועת הגופים והכוחות הפועלים בו, ובה בעת מכפיף או כופה אילוצים על תנועתם. מרחב זה אינו אוקלידי, ואף לא פסוודו-אוקלידי; מבנהו נקבע על ידי פיזור המסה והאנרגיה בו, ולכן עקמומיותו עשויה להשתנות מאזור לאזור באופן משמעותי. בשונה מהמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית, שאופיו הכללי נותר מוגדר וקבוע, המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית עשוי להיות לא-שטוח - ציריו אינם בהכרח ישרים, או ניצבים זה לזה, ועשויים להתעקם. כמו כן, מרחב זה אינו בהכרח הומוגני ואיזוטרופי, שכן תכונותיו עשויות להיות שונות, בנקודות שונות, ואף להשתנות במשך הזמן, כתלות במתרחש בו.
המרחב-זמן הכללי (המבנה הגאומטרי של היקום) מהווה על כן, לפי תורת היחסות, יריעת אירועים דינמית, אך שלמה ורציפה, ששינויים אזוריים בתכונותיה מהווים כעין 'עיקום' או 'מתיחה' במארגה, המתפלגים מנקודה לנקודה בצורה חלקה ורציפה. מבנה מרחב כללי זה נקבע על ידי כלל החומר והאנרגיה ביקום.
מרחב-זמן בתורת היחסות הכללית > עיקום המרחב-זמן במערכות מואצות

כאמור, קודם לניסוח תורת היחסות הכללית, בכל הנוגע לתאוצה וכבידה, נדמה היה כי עקרון היחסות אינו פועל, ואת השינויים במרחב ובזמן המופיעים במערכות הנעות בתאוצה, או הנתונות להשפעת שדות כבידה, לא ניתן היה להסביר במסגרת תורת היחסות הפרטית. אם בהתייחס למערכות הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה, נמצא כי אופיו של המרחב-זמן אינו משתנה, למעט זאת שצירי המערכת האחת מוטים ביחס לצירי המערכת השנייה בפסדו-סיבוב, בהתבוננות במערכות הנעות בתאוצה נמצא כי המרחב-זמן אינו משמר את אופיו, והמערכת המואצת אינה נוהגת כמערכת אחידה, אלא מתגלים בתוכה הבדלים בתפיסת המרחב והזמן. תופעות אלו הן שהובילו לשינוי תפיסת המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית. כדי להבין את השינויים המתחוללים במרחב-זמן בהשפעת תאוצה, ניתן להתבונן במקרה מבחן של מערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה בגודלה.