מרחב-זמן
הערות שוליים

↑  בספרות המדעית העברית מכונה לעיתים גם "חלל-זמן".
↑  עמוס הרפז, מושגים בתורת היחסות, הוצאת ספריית פועלים והוצאת הקיבוץ המאוחד, פרק ה', עמ' 51
↑  Allen Catherine J., "When Utensils Revolt: Mind, Matter, and Modes of Being in the Pre-Columbian", 'Anthropology and Aesthetics journal', 1998, issue 33, pages 18–27
↑  Joseph Louis Lagrange, "Theory of Analytic Functions" (1797, 1813)
↑  "נאמר שלזמן יש ממד אחד בלבד ולמרחב שלושה ממדים... הקווטרניון המתמטי מערב את שני האלמנטים; אם משתמשים במונחים טכניים ניתן לכנות זאת 'זמן ומרחב', או 'מרחב וזמן': ובמובן זה לקווטרניון יש ארבעה ממדים, או שהוא לפחות מתייחס לארבעה-ממדים. כמו גם לצורה בה הממד האחד של הזמן והשלושה של המרחב, עשויים להיות חגורים בשרשרת הסימנים." מדברי המילטון, ראו: Geometric methods and applications: for computer science and" engineering",Jean H. Gallier, 2001, Chapter 8, page 249.
↑  יובל נאמן, הפיזיקה של המאה העשרים, הוצאת משרד הביטחון, סדרת האוניברסיטה המשודרת, 1984, עמ' 29, הערה 9
↑  journal, Minkowski,"Raum und Zeit", Physikalische Zeitschrift, volume 10, pages 75–88
↑  שקולות - כבמקרה של צירי האורך, רוחב וגובה הפורשים את המרחב התלת-ממדי הקרטזיאני.
↑  ראו: סטיבן הוקינג, עמודים 36–38
↑  Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 17 באתר Bartleby.com
↑  סטיבן הוקינג, קיצור תולדות הזמן, ספריית מעריב, עמוד 28-32
↑  כהגדרה, מרחב שטוח הוא מרחב שניתן לתארו באמצעות מערכת קרטזית יישרת זווית, שמספר ציריה זהה למספר ממדי המרחב.
↑  בהתקיים תכונה זו, לבחירה של ראשית הצירים וכיוונם אין משמעות מעבר לנוחות.
↑  או יחידות cti כבמרחב מינקובסקי המקורי. ראו הסבר בהמשך, בהתייחסות לריבוע האינטרוול.
↑  אחד הפוסטולטים המונחים בבסיס תורת היחסות הפרטית הוא פוסטולט 'אינוואריאנטיות מהירות האור', הקובע כי מהירות האור היא גודל גבולי וקבוע בכל מערכות הייחוס. את חוק הטבע הזה ביטאה התאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול שנוסחה במאה ה-19, והוא הוכח מאוחר יותר בניסוי מייכלסון-מורלי. ראו, עמוס הרפז, עמ' 54.
↑  הדיאגרמה מתארת תנועה על ציר מרחבי יחיד, תנועה חד-ממדית, ללא שינוי בצירי y ו-z, אך התיאור שהיא מציגה נותר כללי עבור כל תנועה מרחבית בקו ישר. ראו, עמוס הרפז 51
↑  ראו, יובל נאמן, עמ' 24
↑  מערכת ייחוס שבה מתקיימים שלושת חוקי התנועה של ניוטון, או בהגדרה אחרת, מערכת ייחוס שאינה מאיצה יחסית למערכת אינרציאלית אחרת
↑  "אינווריאנטיות של תכונות גאומטריות של וקטורים מייצגת אינווריאנטיות של תכונות פיזיקליות של עצמים שאותן מייצגים הווקטורים". ראו, עמוס הרפז, עמ' 26
↑  r הוא המרחק המרחבי המשוקלל.
↑  במרחב מינקובסקי המקורי נעשה שימוש בציר זמן שיחידותיו הן  \ cti, כך שריבוע האורך של וקטור במרחב-זמן זה מייצג באופן טבעי את ריבוע האינטרוול.  i הוא היחידה המדומה, דהיינו מספר מדומה שהוא השורש של 1-.
↑   {\Delta S^{2}} יכול לקבל סימן פלוס או מינוס ולתאר אותה מערכת פיזיקלית בדיוק, כל עוד משתמשים באותה תוצרת סימון באופן עקבי. בחירת הסימון קובעת את סימני האינטרוולים דמויי המרחב והזמן - ראו, התייחסות בסעיפים הבאים.
↑  עמוס הרפז, עמוד 48
↑  ראו, עמוס הרפז (1988), עמוד 56
↑  הטנזור המטרי מעניק למרחקים ולגדלים הפיזיקליים משמעות. הוא אשר קובע את יחסי המרחק במרחב עליו הוא מתייחס ומגדירו כמרחב מטרי. ראו, שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גליליאו 56, אפריל 2003
↑  עמוס הרפז, עמוד 60
↑  יובל נאמן, עמודים 9–28
↑  עמוס הרפז, עמוד 68
↑  קבוצת האיברים  \ ({\Delta r^{2}}+r^{2}{\Delta \theta ^{2}}+{\Delta z^{2}}) מזוהה עם ריבוע המרחק במערכת גלילית תלת־ממדית, ועל כן הרכיב שציינו הוא אשר מבטא את תוספת השינוי הזוויתי ביחס לזמן
↑  מסלול זה נקרא גיאודזיה, ראו הסבר בהמשך
↑  באופן דומה, האורך של גופים המונחים על פני הדיסקה ישתנה ביחס למערכת החיצונית, כתלות במיקומו. לדוגמה, אורכו של גוף המונח על פני הדיסקה במקביל לכיוון התנועה יתכווץ ביחס לאורכו במערכת החיצונית, כתלות במיקומו (זאת מאחר שמהירות זוויתית משמעה מהירות שונה לכל רדיוס); בעוד אורכו של גוף המונח בכיוון רדיאלי לתנועה יוותר זהה.
↑  אם נתייחס לכך שמהירות קווית במערכת הדיסקה, ניתנת לביטוי כמכפלת המהירות הזוויתית במרחק ( v=\omega r), נמצא כי:  (1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2})=1-v^{2}/c^{2}=1/\gamma ^{2}; כאשר  \gamma  הוא פקטור לורנץ אך במקרה זה אינו מהווה קבוע.
↑  תוספת רכיבים מחוץ לאלכסון הראשי, משמעה שצירי המערכת אינם תמיד ניצבים זה לזה.
↑  עמוס הרפז, עמודים 5–63
↑  עמוס הרפז, עמוד 110
↑  יובל נאמן, עמודים 30–31
↑  שדה מעין זה קיים בקירוב באזורים קטנים במרחב; במובן זה, עקרון השקילות הוא עקרון מקומי.
↑  לפני ניסוח תורת היחסות הכללית, ניסח ארנסט מאך טענה דומה בגרסו כי הכוחות האינרציאלים וכוחות הכבידה הם שניהם סוג של אינטראקציות בין מסות.
↑  בהתאם לעקרון השקילות, כוחות הכבידה של מסות והכוחות הפועלים על גוף הנמצא במערכת מואצת, מהווים בתורת היחסות הכללית כוחות כבידה כלליים - שהם ביטוי לעקמומיות המרחב-זמן
↑  הוקינג, עמוד 40
↑  עמוס הרפז, עמוד 93
↑  מעבר זה משימוש בקואורדינטות ברות החלפה, להתייחסות לגאומטריה הכללית (מכלול היחסים בין נקודות במרחב), מהווה צורה של יישום עקרון הקווריאנטיות.
↑  "[היריעה] היא אוסף מסודר של נקודות אך ללא מידת מרחק פנימית. המשמעות היא שניתן לומר על נקודה א' שהיא משמאל לנקודה ב', אבל אין אפשרות למדוד את המרחק ביניהן. כדי לקבל מרחב בעל משמעות פיזיקלית יש להוסיף ליריעה מידע על יחסי המרחק בין הנקודות. המבנה המתמטי הנושא מידע זה נקרא המטריקה או הטנסור המטרי." שחר דולב, על כבידה וקוונטים, גלילאו 56, אפריל 2003
↑  תצורה זו אינה מכילה את הקבוע הקוסמולוגי,  \Lambda , שאינו תלוי בחומר אלא במרחב בלבד. התצורה המכילה את הקבוע היא:  R_{uv}-{\frac {1}{2}}g_{uv}R+g_{uv}\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{uv}
↑  לפיתוח המשוואה נעזר איינשטיין בתורת המשטחים של גאוס ובעבודתו של רימן בתחום. כלל משוואות תורת היחסות עושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות
↑  דו הסיטריות של המשוואה ואופיה מייצרים אי ליניאריות, שכן שינוי באגף האחד עשוי להתבטא בשינוי גדול באגף השני. למעשה המשוואה תקפה לתיאור מכלול של אפשרויות ושל מעבר ביניהן.
↑  עמוס הרפז, עמוד 116
↑  סטיבן הוקינג, 'קיצור תולדות הזמן', עמוד 37.
↑  ניתן להתבונן בהשפעת הכבידה כבעיקום של ממש במרחב-על חמישה-ממדי, או רק כבשינוי יחסי הנקודות במרחב הארבעה-ממדי.
↑  עמוס הרפז, עמודים 91–93
↑  ראו Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory (1920), chapter 32 באתר bartleby.com
↑  עמוס הרפז, עמוד 147
↑  יובל נאמן, עמוד 34
↑  יובל נאמן, עמוד 36
↑  עמוס הרפז, עמודים 153, 156
↑  סטיבן הוקינג, עמוד 53
↑  האפשרות כי המרחב והזמן עשויים להיות סופיים ובה בעת חסרי גבולות, נשענת על מיזוג תורת היחסות הכללית ועקרון האי-ודאות של הייזנברג (מעקרונות תורת הקוונטים). סטיבן הוקינג, עמוד 52
↑  בהקשר זה, ראו למשל חומר אפל
↑  סטיבן הוקינג, עמודים 49–52
↑  כגון, חורים שחורים- המהווים מופע של סינגולריות מקומית -, ושל היקום זמן קצר אחר המפץ הגדול, בעת שממדיו היו זעירים ביותר – מופע של סינגולריות גלובלית.
↑  טנזור רימן, עקמומיות ומסה אינסופית הם הגדלים ההופכים בעייתיים במקרה של נקודות סינגולריות, בייצרן גדלים אינסופיים. ראו, שחר דולב, 'גלילאו' 56, אפריל 2003; אליהו זערור (עורך), 'הפיזיקה של המילניום', עמוד 169.
↑  אליהו עוזרר, עמוד 171
1 2  שחר דולב, "על כבידה וקוונטים", גלילאו 56, אפריל 2003
1 2  Carlo Rovelli Quantum spacetime: what do we know, 1999, p. 8
1 2  לי סמולין, אטומים של מרחב וזמן, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל
| --- | --- |
ערך מומלץ: 
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007563383905171  BNE: XX527285  BnF: cb13319358m (data)  GND: 4302626-6  LCCN: sh85125911  NDL: 00574722  NKC: ph128086  SUDOC: 028669657 
קווי עולם בתרשים מרחב-זמן מצומצם. מסלול L1 מתאר גוף הנמצא במנוחה; מסלול L2 מתאר גוף הנע במהירות קבועה; מסלול L3 מתאר גוף במנוחה המתחיל בנקודת זמן מסוימת לנוע בתאוצה.
דיאגרמת מרחב-זמן המציגה את היחס בין שתי מערכות ייחוס. הקו S0 מציין את המסלול העולמי של קרן אור העוברת דרך ראשית הצירים.
חרוטי העבר והעתיד - מסלולי עולם של גוף חומרי העובר דרך הראשית ימצאו בתוך הקונוסים. הקונוסים מפרידים בין סוגי קווי העולם.
הצגה גרפית של השינוי הרגעי בתמונת המרחב-זמן המצטיירת מנקודת מבטו של צופה (מערכת ייחוס) שתנועתו משתנה. עם שינוי אופי המהירות תמונת המרחב-זמן כולה סובבת ומתפתלת, והוא מצטייר כעקום. מסלולו העולמי של הצופה - הקו המנוקד - אף הוא מתעקם ומתכווץ או נמתח. הנקודות בתרשים מייצגות אירועים שונים במרחב.