אנליזה מתמטית - מונחים

במונחון זה מופיעות לרבים מהמונחים הגדרות אינטואיטיביות. הגדרה פורמלית מופיעה בערך המתאים.
חדו"א: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, Calculus, הענף המתמטי העוסק בתורת הגבולות, בפונקציות ממשיות ובחקירת התכונות של נגזרות ואינטגרלים.
סדרה: קבוצה בת מנייה של איברים שמסודרים בסדר מסוים, כך שלכל איבר יש איבר הבא מיד אחריו.
תת סדרה: סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת.
סדרת קושי: סדרה שהמרחק המקסימלי בין איבריה הולך וקטן כאשר מתעלמים ממספר גדל והולך של איברים בראשיתה.
טור: סכום של איברי סדרה כלשהי.
גבול: אינטואיטיבית - מספר כלשהו הוא גבול של הסדרה אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים ("שואפים") אל המספר הזה.
משפט בולצאנו-ויירשטראס: מכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול.
אינפיניטסימל: מספר הקטן עד כדי אינסוף, גודל שהוא בעל סתירה עצמית אך כלי מאוד יעיל לביצוע חישובים.
פונקציה: כלל שמתאים לכל איבר מקבוצה אחת איבר יחיד מקבוצה אחרת.
פונקציה ממשית : פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים הממשיים.
פונקציה קעורה: פונקציה קעורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מעל לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
פונקציה קמורה: פונקציה קמורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מתחת לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
פונקציה ליניארית: פונקציה שמתוארת על ידי קו ישר.
פונקציה מונוטונית: פונקציה השומרת על מגמת עלייה או ירידה.
פונקציה אנליטית: פונקציה נקראת אנליטית בנקודה Z, אם היא גזירה בנקודה Z וגם גזירה בסביבה כלשהי שלה (אפילו תחום קטן מאוד) ונקראת אנליטית בתחום D, אם היא אנליטית בכל הנקודות שבתחום D.  במקרה שהתחום הוא אינסופי או אין תחום- היא אינה אנליטית.
פונקציה מרוכבת: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים המרוכבים.
פונקציה רציפה: אינטואיטיבית - פונקציה שניתן לצייר את הגרף שלה בלי להרים את העיפרון מהדף.
רציפות במידה שווה: תכונה של פונקציה, שבאופן אינטואיטיבי פירושה שקצב ההשתנות של הפונקציה בקטע שבו היא רציפה במידה שווה הוא חסום.
משפטים העוסקים ברציפות:
משפט ערך הביניים: אינטואיטיבית - פונקציה רציפה לא "מדלגת" על ערכים. כלומר, אם הפונקציה מקבלת שני ערכים שונים בשתי נקודות שונות, היא תקבל גם כל ערך שבין שני ערכים אלה בקטע שקצותיו הם נקודות אלה.
משפט ויירשטראס הראשון - פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו.
משפט ויירשטראס השני - פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו ערך מקסימלי וערך מינימלי.
משפט קנטור - פונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה.
נגזרת: פונקציה שמתקבלת מפונקציה אחרת, ומתארת את קצב ההשתנות של אותה פונקציה. נגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת שווה לשיפוע של המשיק לפונקציה באותה נקודה.
משפטים העוסקים בנגזרות:
משפט פרמה - אם לפונקציה גזירה יש נקודת קיצון בנקודה מסוימת, נגזרתה מתאפסת באותה נקודה.
משפט רול - אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, נגזרתה מתאפסת באחת מנקודות הקטע.
משפט הערך הממוצע של לגראנז' - הכללה של משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה.
משפט הערך הממוצע של קושי - הכללה של משפט לגראנז'.
משפט דארבו - אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע.
כלל לופיטל - כלל יעיל לחישוב גבול של מנה של שתי פונקציות השואפות שתיהן לאפס או אינסוף, על ידי חישוב גבול מנת הנגזרות שלהן.
אינטגרל :
אינטגרל מסוים: הכללה של מושג הסכום. אינטגרל של פונקציה ממשית חיובית שווה לשטח הכלוא בין הגרף שלה לציר ה \ x.
אינטגרל לא מסוים: אוסף הפונקציות הקדומות של פונקציה כלשהי.
אינטגרל התלוי בפרמטר: אינטגרל שערכו מותנה בפרמטר הניתן לו - כלומר, הוא פונקציה של הפרמטר.
אינטגרל כפול: אינטגרל על פונקציה בעלת שני משתנים, שמוגדרת על תחום במישור.
משפטים העוסקים באינטגרלים:
המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי - המשפט הקושר את מושגי הנגזרת, האינטגרל המסוים והאינטגרל הלא מסוים.
טור טיילור: קירוב לפונקציה על ידי פולינום סופי, שמקדמיו תלויים בערכי נגזרת הפונקציה בנקודה מסוימת. כמו כן ניתן להעריך את הקירוב המושג על ידי הפולינום (השארית).
שיטת ניוטון-רפסון: שיטת קירוב איטרטיבית למציאת שורשים של פונקציה באמצעות הנגזרת שלה.
| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- | --- | --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |  |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |  |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |  |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |  |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |  |
אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה