stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מקדם בינומי

המקדמים הבינומים מהווים את הערכים של משולש פסקל
בקומבינטוריקה, מקדם בינומי  {\tbinom {n}{k}} הוא מספר תת-הקבוצות בגודל  k שניתן לבחור מתוך קבוצה בגודל  n. מכיוון שמדובר בתת-קבוצות, הבחירה מתבצעת ללא חזרות וללא חשיבות לסדר. לדוגמה, אם שלושה שחקנים מקבוצת כדורגל יצאו עם כרטיס אדום, אז  {\tbinom {11}{3}} הוא מספר האפשרויות לבחור שלושה שחקנים (ללא חשיבות לסדר בו הם יצאו מהמשחק).
במחשבון פעולה זו מסומנת בדרך כלל בצורות  n{\rm {C}}r או  {\rm {C}}(n,r)). האות  n מייצגת את גודל הקבוצה, האות  r את גודל התת-קבוצה והאות  {\rm {C}} את הקומבינציה.
למקדמי הבינום שימושים רבים בקומבינטוריקה והסתברות. קיימות שלוש גישות בעת העבודה עם מקדמים בינומיים, והן מוצגות כדלהלן.
הגדרה מתמטית

לכל  0\leq k\leq n המקדם הבינומי של  n מעל  k הוא  {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}} כאשר  n! הוא ערך העצרת של  n.
ניתן להבין את ההגדרה באופן הבא: אם מקבוצה בגודל  n נרצה לבחור תת-קבוצה בגודל  k ללא חשיבות לסדר, אז יש  n אפשרויות לבחור את האיבר הראשון בתת-הקבוצה,  n-1 אפשרויות לבחור את השני, וכן הלאה עד ל- n-k+1 אפשרויות לבחור את האחרון. סך הכל נקבל שמספר תת-הקבוצות הוא  n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}. כל תת-קבוצה מופיעה  k! פעמים, כמספר התמורות האפשריות שלה. לכן נחלק ב- k! ונקבל את ההגדרה המבוקשת.
מההגדרה נובעת הזהות החשובה הבאה:  {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}, כלומר מתקיימת סימטריה בין מקדמי הבינום.
כמו כן,
נוסחה זו מאפשרת חישוב קצר ונוח יותר של המקדם הבינומי עבור ערכים קטנים של k. למשל:
משולש פסקל

משולש פסקל מספק נוסחת נסיגה אשר מאפשרת לחשב את מקדמי הבינום ומתבטאת בזהות הבאה: 

 {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}} עם תנאי ההתחלה  {\binom {0}{0}}=1,\quad {\binom {n}{n+1}}={\binom {n}{-1}}=0
הבינום של ניוטון

הבינום של ניוטון הוא נוסחה לפיתוח סכום של שני איברים, כאשר הוא מועלה בחזקה שלמה כלשהי. הנוסחה בצורתה הבסיסית היא:
מקרה פרטי של הנוסחה הוא:  2^{n}=(1+1)^{n}=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}

אשר מבטא את מספר התת-קבוצות בגודל כלשהו מתוך קבוצה בגודל  n. באגף שמאל,  2^{n} אומר שלכל איבר יש שתי אפשרויות, או להיות בתת-קבוצה או שלא. באגף ימין,  \sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}} אומר שנסכום את מספר התת-קבוצות עם אפס איברים, איבר אחד, שני איברים,  k איברים וכן הלאה.
זהויות עם מקדמים בינומיים

זהויות בינומיות, כלומר זהויות המערבות מקדמים בינומיים, מוכיחים פעמים רבות באמצעות טכניקת הוכחה הנקראת ספירה כפולה (Double counting), בה מראים ששני ביטויים מתמטיים הם שקולים באמצעות הדגמה כיצד הם למעשה שתי דרכים שונות למדוד את הגודל של אותה קבוצה. להלן מוצגות כמה זהויות בינומיות חשובות יחד עם ההוכחה הקומבינטורית שלהן:
{2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n \choose n-k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2} (במעבר האחרון נעזרנו בזהות הראשונה:  {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}).
זהות זו היא מקרה פרטי של זהות ונדרמונד הכללית יותר:  \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{k}}, שניתן להסיק אותה באופן זהה לגמרי - במקרה הכללי מחלקים קבוצה בעלת n איברים לשתי תת-קבוצות של m ו-n - m איברים. מספר התת-קבוצות עם k איברים (אגף ימין) שווה לסכום באגף שמאל (j ו-k - j הם מספר האיברים שנבחרים מכל תת-קבוצה, בהתאמה).
הכללה

עבור מספרים ממשיים, המקדם ניתן להגדרה ללא פעולת העצרת על ידי:
באופן דומה, הגדרה זו מאפשרת להגדיר את הבינום של ניוטון כאשר המעריך אינו מספר טבעי
{\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{r}{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}
הכללה נוספת היא: אם מסתכלים על מספר הדרכים לחלק n פריטים ל-k קבוצות, שבהן יש n1,...,nk ערכים (כאשר n1+...+nk=n) אז מספר הדרכים לעשות זאת הוא:
מספר זה נקרא מקדם מולטינומי. (מקדם בינומי הוא כאשר k=2; במקרה זה נותנים רק את n1, מאחר ש-n2=n-n1).
ראו גם

הבינום של ניוטון
משולש פסקל
מספר קטלן
מתאו דגרומל

מתאו דגרומל (בצרפתית: Matéo Degrumelle; נולד ב-22 באוגוסט 2003) הוא כדורגלן טהיטי המשחק בעמדת המגן הימני בלה האבר מליגת העל הצרפתית.
קריירה

דגרומל התחיל לשחק בקבוצות כדורגל מקומיות בעיר הולדתו רואן ובגיל 15 הצטרף למחלקת הנוער של אמיין. בעונת 2021/2022 הצטרף לקבוצת המילואים של המועדון וב-31 בינואר 2023 ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת בניצחון 1-3 נגד ניור במסגרת משחק בליגה השנייה.
ב-14 באוגוסט 2023 חתם בלה האבר והצטרף לקבוצת המילואים של המועדון.
בשנת 2022 זומן לראשונה לסגל נבחרת טהיטי בה נולדה אימו. ב-21 בנובמבר 2023 ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת בתיקו 0-0 נגד פיג'י. 3 ימים לאחר מכן הבקיע את שער הבכורה שלו בנבחרת בניצחון 0-5 נגד איי מריאנה הצפוניים.
נחום הלבלר

| --- | --- |
 מקום מגורים:  ירושלים
 פטירה:  המאה ה-1
 תקופת הפעילות:  דור ראשון תנאים
 רבותיו:  רבי מיאשא
 בני דורו:  רבן גמליאל הזקן, רבי שמעון איש המצפה
 
נחום הלבלר היה תנא בדור הראשון לתקופת התנאים. תלמידו של רבי מיאשא.
היה בין חברי הסנהדרין שישבו בלשכת הגזית, ושימש במקצועו כלבלר.
בפתיחה לספר תגין נכתב שנחום הלבלר היה חלק משלשלת הקבלה של הספר. הוא קיבל את הספר מרבי מיאשא, והעביר אותו לרבי.
אזכוריו במשניות

נחום הלבלר מוזכר במשנה רק פעם אחת - במסכת פאה. שם מסופר, שרבי שמעון איש המצפה זרע בשדהו שני מיני חיטין, והסתפק האם הוא צריך להפריש פאה לכל מין בנפרד, או לשני המינים ביחד. הוא ורבן גמליאל עלו ללשכת הגזית ושאלו את הסנהדרין מה הדין. נחום הלבלר העיד, שהוא קיבל מרבי מיאשא, שקיבל מאבא, שקיבל מהזוגות שקיבלו מהנביאים, הלכה למשה מסיני, שמספר הפאות שצריך להפריש במקרה זה, תלוי בצורת איסוף התבואה: ”אם עשאן גורן אחת, נותן פאה אחת. שתי גרנות - נותן שתי פאות”.
בברייתא הוזכר חכם בשם "נחום הזקן", וייתכן שהכוונה לנחום הלבלר. אמנם "סתם נחום - נחום המדי", ולכן יותר מסתבר שנחום הזקן הוא נחום המדי, ולא נחום הלבלר.
מרץ 2-4-0

| --- | --- |

March 2-4-0
 מאפיינים כלליים
 יצרן:  "March Engineering" (אנ')
 שנות ייצור:  1976
 הרכבה:  בריטניה בריטניה
 מפרט טכני
 מנוע:  V8 צילינדר המפיק 2,993 סמ"ק (מנוע פורד מסוג "Ford Cosworth DFV")
מרץ 2-4-0 (באנגלית: March 2-4-0) היא מכונית מרוץ נסיונית שיוצרה על ידי יצרנית מכוניות המירוץ הבריטית March Engineering (אנ') אשר הוצגה בשנת 1976 ונבחנה בשנת  1977
הדגם יוצר עבור סבב מרוצי מכוניות פורמולה 1 והורכבו בו 6 גלגלים.
תמונות

"מרץ 2-4-0"
"מרץ 2-4-0"
"מרץ 2-4-0"
"מרץ 2-4-0"
"מרץ 2-4-0"
"מרץ 2-4-0"
"מרץ 2-4-0"
ראו גם

מרוץ מכוניות
Tyrrell P34
הערות שוליים

↑  "מרץ 2-4-0" forix.com/8w/sixwheelers
↑  "מרץ 2-4-0" archive.org/web/20101102142205
↑  "מרץ 2-4-0" carmrades-blog.com/all-articles
↑  "מרץ 2-4-0" louwmanmuseum.nl/Ontdekken/Ontdek-de-collectie/march-240-771-formula-1
נון-קונפורמיזם

נוֹן-קוֹנְפוֹרְמִיזְם (על פי האקדמיה ללשון העברית: אִי-תַּלְמָנוּת) היא התנהגות המנוגדת להתנהגות הקונפורמית, שבה אדם מתאים את עצמו ואת עמדותיו לנורמות מוסכמות בחברה מסוימת. כלומר, נון-קונפורמיזם היא התנהגות שבה אדם "הולך נגד הזרם" ולא מוכן להיכנע ללחץ חברתי או לנורמות ומסורות חברתיות.
לנוֹן-קוֹנְפוֹרְמִיזְם תפקיד חשוב במניעת התבססות שלטון סמכותני (פשיסטי, מיליטריסטי) או יחידני (רודני, דיקטטורי). הנאציזם, לדוגמה, בנה את כוחו על בסיס הקונפורמיזם בקרב העם, בעוד הנון-קונפורמיזם היווה התנגדות לאותו משטר. דוגמה נוספת להתנגדות למשטר מסוים היה בברית המועצות, שבה היו אמנים נון-קונפורמיסטיים שייצרו אומנות אסורה באותה תקופה, כאשר הפרהסיה של עולם האומנות אז, נשלטה על ידי הריאליזם סוציאליסטי.
דוגמאות לנון-קונפורמיזם בחיי היומיום: לבוש שונה מהסביבה, מהנורמות המגדריות או מהאופנה. הצבעה בבחירות למפלגות או דמויות ציבוריות בשונה מהנהוג בסביבה הקרובה או בקרב כלל המצביעים.
לצד התנהגות נון-קונפורמיסטית יש גם התנהגות אנטי-קונפורמיסטית. נון-קונפורמיזם, כמו אנטי-קונפורמיזם, היא גישה שבה היחיד מתנגד להיכנע ללחץ חברתי מצד הקבוצה. אך לשתי הגישות סיבות שונות להתנגדותם לדעת הקבוצה:
האנטי-קונפורמיסט מתנגד לדעת הקבוצה בשל רצונו להיות שונה ממנה באופן עקרוני וטבעי.
הנון-קונפורמיסט מתנגד לדעת הקבוצה בשל נאמנותו לדעתו ולהשקפותיו. בשל התנהגות זו עשוי הנון קונפורמיסט להשפיע על דעת הקבוצה ולגרום לחלק מחבריה ללכת בעקבותיו.
השפעת הנון-קונפורמיזם

קיימים כמה מצבים שבהם ישפיע הנון-קונפורמיסט על הקבוצה:
כאשר הקבוצה מייחסת לו סיבה פנימית, כלומר, כאשר הקבוצה מאמינה שהדעה של המיעוט נובעת מסיבה פנימית אמיתית.
כאשר האדם נשען על עצמו ויש לו ביטחון עצמי, ביטחונו העצמי עשוי לעשות רושם על הרוב ובכך לגרור אותם אחריו.
כאשר מתקיים "עקרון ההגברה", כאשר הוא מביע אנטי, אף על פי שהוא יכול להפסיד הרבה, סימן שיש אמת והיגיון בתפיסתו.
חברה בנויה וחיה על פי מערכת עקרונות וחוקים של אומה. כאשר באופן כללי, פרטים בחברה מתנהגים בתיאום ובהלימה עם המערכת הכללית, כשלעיתים אפילו במקרים שנורמות אלה מנוגדות לאינטרס העצמי שלהם, לרגשות האמפתיות הספונטניות שלהם או לתפיסות המוסריות שלהם. על מנת לקיים חברה בריאה ומשותפת, הפרטים בחברה חייבים לפעול ולחיות לפי מערכת זו. ועם זאת, בתוך המערכת הכללית, קיימות וחיות תתי-מערכות או תתי-אומות, אשר גם להן עקרונות וכללים, כאשר בהן לפרט בחברה תוכל להיות השפעה משמעותית וישירה יותר. יתר על כן, לתתי-אומות אלה תוכל להיות השפעה על המערכת הכללית בעקבות שכנוע וכוח מפסיק. כלומר תנועה נון-קונפורמיסטית תכוון לשכנע ולשנות תתי-אומות או תתי-מערכות, ובכך לעצב, לשנות ולפתח את החברה על פי העקרונות והערכים שאותם התנועה באה להנחיל. הפרדוקס המעניין, ואולי המשעשע, באשר לתנועה נון-קונפורמיסטית היא שכאשר התנועה מצליחה ומשנה את החברה, היא הופכת לתנועה קונפורמיסטית שלא מתנגדת לדעת קבוצה, או חברה.
נון-קונפורמיזם מייצר מקוריות, ומקוריות מתחילה ביצירתיות. במקום לשנן, להתאמן ולציית לכללים של דבר מסוים ובכך להצטיין בו (למשל השתתפות באולימפיאדה), כדאי לייצר ולהמציא דבר חדש, מקורי, מועיל וסוחף. כלומר, אימון ושינון יוצר שלמות, אך לא יוצר חידוש. נון-קונפורמיזם מייצר מקוריות ומלמד שיעור חשוב: מקוריות איננה מאפיין קבוע, היא בחירה חופשית.
ראו גם

סרבנות (אי ציות)
קונפורמיות
אל-הורות
הערות שוליים

↑  אִי־תַּלְמָנוּת, באתר האקדמיה ללשון העברית
↑  דנה אריאלי-הורוביץ, מ'ריאליזם סוציאליסטי' ל'נון-קונפורמיזם':  אמנות בין גיוס למחתרת בברה"מ, בצלאל 10 - ימין, שמאל ורוח הקודש: אמנות, דת ופוליטיקה, 2008
↑  Patrick Colm Hogan, Dissenting Identities, or: The Radical Conformist's Guide to Non-Conformism, The Monist 88, 2005, עמ' 270–291
↑  מקוריים: כיצד נון-קונפורמיסטים מניעים את העולם, באתר פורטל מס"ע
ערך זה הוא קצרמרבנושא סוציולוגיה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
מרצ'ין מרוז'ינסקי

| --- | --- |

מרצ'ין מרוז'ינסקי 2011
 לידה:  26 בספטמבר 1985 (בן 39) אינוברוצלב, רפובליקת פולין 
 שם לידה:  מרצ'ין מרוז'ינסקי
 שם במה:  Martin Fitch 
 מוקד פעילות:  פולין אינוברוצלב, פולין
 תקופת הפעילות:  מ-2002 
 עיסוק:  זמר, מנחה טלוויזיה
 סוגה:  מוזיקת פופ 
 שפה מועדפת:  פולנית 
 martinfitch.com
 פרופיל ב-IMDb
 
מרצ'ין מרוז'ינסקי (בפולנית: Marcin Mroziński; נולד ב-26 בספטמבר 1985 באינוברוצלב, פולין) הוא שחקן, זמר ומנחה טלוויזיה פולני.
ביוגרפיה

מרוז'ינסקי החל את קריירת המוזיקה שלו בגיל 8, כאשר הוא השתתף בתוכנית ילדים בה התחרה בשירה. בשנת 1997 הוא ניצח בתחרות שירים צרפתית שנערכה ברדז'יוב. כמו כן, הוא ייצג את אירלנד בפסטיבל הבינלאומי "Singing Mask", בו הוא סיים במקום השני, וכן הוא הגיע לשלב חצי הגמר בתוכנית כישרונות בפולין.
מאז 1998 הוא החל להנחות תוכניות טלוויזיה בפולין, וב-2010 הוא הנחה את השעשועון "Staraoke" שצולם בלונדון. מרוז'ינסקי דבב מספר פעמים בערוץ דיסני בגרסה הפולנית. בין היתר הוא דבב ב"הנסיכה והצפרדע", "ג'ונאס", "סקובי-דו", "בובספוג מכנסמרובע", "גארפילד" ו"פוקימון".
תיאטרון

מרוז'ינסקי למד במשך שלוש שנים בבית ספר תיכון באינוברוצלב. בשנת 2004, לאחר שסיים את לימודיו בתיכון, הוא נרשם לבית ספר למשחק של האקדמיה לתיאטרון על-שם אלכסנדר זלורביץ' בוורשה.
מרוז'ינסקי שיחק בשני מחזות. הופעת הבכורה שלו הייתה כאשר שיחק את התפקיד הראשי ב"פנטום האופרה". הוא שיחק גם במחזמר "Boyband", שם גילם את הדמות הראשית, שון, סולן להקת "Freedom". באביב 2010 הוא לוהק לתפקיד מריוס במחזמר "עלובי החיים" בתיאטרון "רומא".
אירוויזיון

ב-14 בפברואר 2010 השתתף מרוז'ינסקי בקדם האירוויזיון הפולני כדי לנסות לייצג את פולין באירוויזיון. 10 זמרים השתתפו באותו ערב, אולם בסוף הערב הוא ניצח בהפרש ניכר על-פני שאר המתמודדים, כאשר הוא קיבל כ-34% מסך הקולות המצביעים, בעוד המקום השני קיבל כ-15% מסך קולות המצביעים.
ב-25 במאי 2010 הוא הופיע באירוויזיון 2010 שנערך באוסלו, עם השיר "Legenda" ("אגדה") איתו הוא הגיע רק למקום ה-13 בשלב חצי הגמר, דבר שלא העניק לו כרטיס עלייה לשלב הגמר.
הערות שוליים

1 2 3  Marcin Mroziński reprezentantem Polski באתר gazeta.pl,‏ 14 בפברואר 2010 (בפולנית)
1 2  About Marcin Mroziński באתר eurovision.tv
1 2  Marcin Mroziński באתר teatrroma.pl
↑  Marcin Mroziński to Eurovision for Poland! באתר eurovision.tv,‏ 14 בפברואר 2010
| --- | --- |
בקרת זהויות :  PLWABN: 9810713367305606  ISNI: 0000 0004 0822 9125  MusicBrainz: c202ca00-c078-40cb-abce-345529114bef  VIAF: 300743142   WorldCat (עם VIAF): 300743142 
ערך זה הוא קצרמרבנושא אישים. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
מתאו דאמס

מתאו דאמס (בהולנדית: Matteo Dams; נולד ב-9 במרץ 2004 בברסחאט שבבלגיה) הוא כדורגלן בלגי המשחק בעמדת הבלם בקבוצת פ.ס.וו. איינדהובן מליגת העל ההולנדית.
קריירת מועדונים

דאמס נולד בבלגיה וגדל במחלקת הנוער של פ.ס.וו. איינדהובן בהולנד. בשנת 2022 החל לשחק בקבוצת המילואים של המועדון. ב-4 באוגוסט 2024 ערך דאמס את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הראשונה של המועדון, בהפסד לפיינורד במסגרת מגן יוהאן קרויף. ב-10 באוגוסט ערך את הופעת הבכורה שלו בליגת העל ההולנדית, בניצחון 5-1 על ואלבייק במסגרת המחזור הראשון לעונת 2024/2025. ב-17 בספטמבר ערך את הופעת הבכורה שלו בליגת האלופות, בהפסד 3-1 ליובנטוס במסגרת המחזור הראשון בשלב הבתים לעונת 2024/2025.
הערות שוליים

↑  Jong PSV 3-0 Excelsior (21 Jan, 2022) Final Score - ESPN (UK), ESPN (באנגלית)
↑  PSV vs. Feyenoord - 4 August 2024 - Soccerway, int.soccerway.com
↑  PSV vs. RKC Waalwijk - 10 August 2024 - Soccerway, int.soccerway.com
↑  Juventus vs. PSV - 17 September 2024 - Soccerway, int.soccerway.com
משפט ההתכנסות המונוטונית

בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט על האינטגרל של סדרה עולה של פונקציות מדידות ואי-שליליות. לפי המשפט, במקרה זה האינטגרל של הגבול שווה לגבול האינטגרלים. זהו משפט יסודי וחשוב בתורת המידה, ויש לו השלכות רבות, כדוגמת הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות הנשלטת. המתמטיקאי האיטלקי בפו לוי תרם רבות לפיתוח משפט זה.
ניסוח

יהי  \left(X,{\mathcal {F}},\mu \right) מרחב מידה. תהי  \ f_{1},f_{2},\dots  סדרה של פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, המקיימות  0\leq f_{n}\leq f_{n+1} עבור כל  n=1,2,\dots  כמעט בכל מקום. נכתוב  f=\lim _{n\to \infty }f_{n} (נשים לב שממונוטוניות גבול זה קיים, גם אם אולי אינסופי). אז מתקיים  \ \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu =\int _{X}fd\mu .
הוכחה

ראשית יש לשים לב כי הגבול  f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }{{f}_{n}(x)} קיים בכל נקודה (סופי או אינסופי), כי הסדרה מונוטונית.
הכיוון  \geq  ברור, כי  f\geq f_{n} לכל  n, ולכן ממונוטוניות האינטגרל  \int {f}\geq \int {{f}_{n}}, ולכן גם  \int {f}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }{\int {f_{n}}}.
לצורך הכיוון  \leq , מספיק להראות (לפי הגדרת אינטגרל לבג) כי לכל פונקציה פשוטה  \phi \leq f ולכל  0<a<1 מתקיים  \int {a\phi }\leq \lim _{n\rightarrow \infty }{\int {{f}_{n}}} (כי אז נשאיף  a\rightarrow 1^{-}).
יהי  {A}_{n}={({f}_{n}-a\phi )}^{-1}([0,\infty ]), קבוצה מדידה. גם  A_{n}\subseteq A_{n+1} ממונוטוניות, ו- \bigcup _{n=1}^{\infty }{{A}_{n}}=X - אכן, אם  x\in X,\phi (x)=0 אז  x\in A_{1}; אחרת  f(x)>a\phi (x) ומהשאיפה  f_{n}\rightarrow f נובע שקיים  n כך ש- f_{n}(x)>a\phi (x), כלומר  x\in A_{n}.
לכן,  \int _{X}{\phi }=\lim _{n\rightarrow \infty }{\int _{{A}_{n}}{\phi }}. כעת,  \int _{X}{{f}_{n}}\geq \int _{{A}_{n}}{{f}_{n}}\geq \int _{{A}_{n}}{a\phi } וביחד מקבלים  \lim _{n\rightarrow \infty }{\int _{X}{{f}_{n}}}\geq \int _{X}{a\phi } כדרוש.
ראו גם

הלמה של פאטו
משפט ההתכנסות הנשלטת
משפט ההתכנסות של ויטלי
מעורבות ארצות הברית בשינויי משטר באמריקה הלטינית

מעורבות ארצות הברית בשינויי משטר באמריקה הלטינית באה לידי ביטוי בדרך כלל בתמיכה אמריקאית בהפיכה במדינה בה שולטת מפלגת שמאל פוליטי, ואת מקומה תופסת ממשלת בובות, המונהגת על ידי איש צבא המשליט במדינה משטר סמכותני. הפיכות אלה היו נפוצות בעיקר בתקופת המלחמה הקרה, בהתאם לדוקטרינת טרומן. לעיתים קרובות ההפיכות התרחשו ברפובליקות בננות, מדינות חסרות יציבות פוליטית וכלכלית, על מנת לקדם את מטרותיה העסקיות של ארצות הברית במדינה.
מעורבות ארצות הברית בשינויי משטר באמריקה הלטינית התרחשה בעיקר במהלך המאה ה-20, אך לאורך ההיסטוריה נרשמו מקרים של מעורבות ארצות הברית בשינויי משטר (אנ') במדינות רבות בעולם.
היסטוריה > אורוגוואי

ארצות הברית תמכה בהפיכה הצבאית באורוגוואי בשנת 1973 וברודן חואן מריה בורדברי (אנ') ששימש כנשיא עד שנת 1984. השלטון הצבאי הוציא אל מחוץ לחוק איגודי עובדים ומפלגות פוליטיות. בשנת 1984 פרצה שביתה כללית במשק שאילצה את הצבא לסגת מהשלטון ולערוך בחירות דמוקרטיות.
היסטוריה > אל סלוודור

במהלך המאה ה-20 התערבה ארצות הברית מספר פעמים במערכות בחירות באל סלוודור, מתוך דאגה לאינטרסים העסקיים של חברת הפירות המאוחדת, שייצאה לארצות הברית בננות ואננס (מכאן הכינוי "רפובליקת בננות"). הנשיאים שהוצבו במדינה מטעם ארצות הברית עוררו עליהם את זעם האיכרים, ונתקלו בהתנגדות אלימה שגרמה למלחמת אזרחים במדינה.
היסטוריה > ארגנטינה

בארגנטינה בוצעה בשנת 1976 הפיכה צבאית בה הודחה נשיאת ארגנטינה, איסבל פרון, שנבחרה באופן דמוקרטי. את מקומה תפסה חונטה צבאית שהנהיגה במדינה שלטון דיקטטורי בראשותו של הגנרל חורחה רפאל וידלה. תחת משטר זה נרצחו כ-30,000 בני אדם בהיעלמות כפויה. המשטר ביצע הפרות רבות של זכויות אדם, בהן מעצרים חוץ-משפטיים, הוצאות להורג המוניות, עינויים, אונס, היעלמות אסירים פוליטיים ומתנגדי המשטר וחטיפת תינוקות.
ההפיכה והמשטר הצבאי זכו לתמיכת ממשלת ארצות הברית. שר החוץ האמריקאי הנרי קיסינג'ר ערך כמה ביקורים רשמיים בארגנטינה במהלך השלטון הצבאי.
היסטוריה > בוליביה

ממשלת ארצות הברית תמכה בהפיכה בבוליביה בשנת 1971 בראשות הגנרל הוגו בנסר (אנ'), שהפילה את הנשיא המכהן חואן חוסה טורס (אנ'). טורס נתפס בעיני ארצות הברית כאיש שמאל, בפרט לאחר שכינס אספה עממית בה היו מיוצגים מגזרי עובדים, בהם כורים, מורים ואיכרים.
בנסר הוביל הפיכה צבאית עקובה מדם, ולאחר שתפס את השלטון קיבל סיוע צבאי ואזרחי מממשלת ארצות הברית. בתקופת שלטונו של בנסר הוא דיכא את חופש הביטוי, פירק איגודי עובדים וסגר אוניברסיטאות. אלפי מתנגדים פוליטיים נכלאו ונחקרו בעינויים, רבים מהם נרצחו או "נעלמו".
טורס, הנשיא המודח, נמלט לבואנוס איירס, שם נחטף ונרצח בשנת 1976 כחלק ממבצע קונדור, במהלכו דיקטטורים בדרום-אמריקה רצחו את יריביהם הפוליטיים בסיוע ארצות הברית.
בשנת 1978 אילץ ממשל קרטר את בנסר להשיב בהדרגה את הדמוקרטיה למדינה ולערוך בחירות חופשיות.
היסטוריה > ברזיל

כבר בשנת 1962 נשיא ארצות הברית, ג'ון פ. קנדי, ביקש "למנוע מברזיל להיות דומה לסין או קובה". מדיניות אנטי-קומוניסטית זו נמשכה על ידי יורשו, לינדון ג'ונסון.
בשנת 1964 בוצעה בברזיל הפיכה בתמיכת ממשל ג'ונסון בה הודח נשיא ברזיל הסוציאל-דמוקרט ז'ואאו גולאר. לאחר מכן נשלטה המדינה בידי רודנים במשך שנים רבות.
היסטוריה > גואטמלה

נשיא גואטמלה, חקובו ארבנס גוסמן, שנבחר בבחירות דמוקרטיות וחופשיות, ניסה לבצע רפורמות חברתיות במדינה, אך בשנת 1954 הודח בהפיכה צבאית בתמיכת ה-CIA. הפיכה זו החלה תקופה של שלטון צבאי דיקטטורי במדינה, שנמשך כ-40 שנה וזכה לתמיכה אמריקאית.
אפראין ריוס מונט, אחד הדיקטטורים ששלט במדינה זמן רב, נפגש באופן רשמי עם נשיא ארצות הברית רונלד רייגן, שהעניק תמיכה צבאית וכלכלית למשטרו. מונט הואשם מאוחר יותר בפשעים נגד האנושות.
היסטוריה > הרפובליקה הדומיניקנית

במאי 1961 נרצח שליט הרפובליקה הדומיניקנית, רפאל טרוחיו, בכלי נשק שסופקו על ידי ה-CIA, שסייע למתנגדיו. במקומו הוצב חואן בוש (אנ'), שקיבל מימון מה-CIA, אך הוא הודח בשנת 1963.
היסטוריה > ונצואלה

משנת 2000, בה נבחר הוגו צ'אווס לנשיא ונצואלה והנהיג בה רפורמות סוציאליסטיות, ניסתה ארצות הברית להפילו.
בשנת 2002 היה ניסיון להפיכה צבאית במדינה, והנשיא צ'אווס הודח על ידי חברי האופוזיציה. נציגי ממשל בוש קיימו פגישות עם מנהיגי האופוזיציה במשך חודשים לפני ניסיון ההפיכה, ולאחר הדחת צ'אווס מיהרו להביע תמיכה בשלטון החדש. אולם כעבור יומיים הוחזר צ'אווס לתפקידו, לאחר לחץ של איגודי העובדים במדינה והבעת תמיכה מצד מפקדי הצבא.
בשנת 2013 ירש ניקולאס מדורו את תפקידו של צ'אווס, ומאז נאבק ללא הרף נגד ההשפעה האמריקאית במדינה. במספר הזדמנויות הוא טען שארצות הברית מתכננת הפיכה על מנת להפילו. בשנת 2015 הורתה ארצות הברית להטיל סנקציות על שבעה שרים בממשלת מדורו בגין הפרת זכויות אדם, צעד שהוצג על ידי מדורו כרדיפה פוליטית. לאחר שגם ארגון מדינות אמריקה יצא נגד השלטון הדיקטטורי במדינה, טען מדורו שהארגון משתף פעולה עם ארצות הברית על מנת להפילו.
ב-20 במאי 2018 נבחר מדורו מחדש, אך במערכת הבחירות היה אחוז הצבעה נמוך במיוחד, ותוצאותיה נחשדו כזיוף. כתוצאה מהבחירות נוצר משבר חוקתי בוונצואלה.
לאחר הבחירות הושבע מדורו כנשיא, אך לאחר שבועיים הושבע חואן גואידו כנשיא זמני של ונצואלה, בעקבות הטענה של האופוזיציה בוונצואלה ושל מדינות וארגונים בינלאומיים, שתוצאות הבחירות אינן לגיטימיות. נשיאותו של גואידו מוכרת על ידי 57 מדינות, בהן ארצות הברית וישראל, בעוד ש-21 מדינות תומכות במדורו.
באוגוסט 2019 נודע כי הסוכנות האמריקנית לפיתוח בינלאומי העניקה כ-42 מיליון דולר למפלגתו של גואידו, תקציב שיועד למשכורות, נסיעות ועלויות נלוות. במקביל הטיל ממשל טראמפ סנקציות נוספות על ונצואלה, כחלק מהמאמצים להדיח את מדורו מתפקידו. הממשל הורה להקפיא את כל נכסי ממשלת ונצואלה בארצות הברית ואסרה על עסקאות בינה לבין אזרחים וחברות אמריקאיות.
היסטוריה > ניקרגואה

| --- | --- |
 :  ראו גם – פרשת איראן–קונטראס
ארצות הברית כבשה את ניקרגואה במהלך מלחמות הבננה ושלטה בה מ-1912 עד 1933, אך גם לאחר מכן נותרו במדינה כוחות צבא אמריקאיים והיא הייתה נתונה להשפעה ישירה של ארצות הברית.
בבחירות בניקרגואה בשנת 1974 נבחר שוב הרודן אנסטסיו סומוסה דביילה, שזכה לתמיכת ארצות הברית. הוא הודח בידי החזית הסנדיניסטית, ובהמשך נרצח בהתנקשות בחייו בפרגוואי. בניקרגואה התרחשה במשך שנים רבות מלחמת אזרחים בין החזית הסנדיניסטית לקונטראס, שאומנו, מומנו וחומשו על ידי ה-CIA.
היסטוריה > פנמה

מעורבות ארצות הברית שזורה בהיסטוריה של פנמה. פרדיננד דה לספס, שיזם וניהל את פרויקט תעלת סואץ, הקים בשנת 1880 חברה לכריית תעלת פנמה. בשנת 1889, לאחר שהחברה פשטה את הרגל (עקב שערוריית פנמה), ארצות הברית אילצה את קולומביה להעניק עצמאות לפנמה (שהייתה עד אז חלק מקולומביה), ואז רכשה את הנכסים של חברת תעלת פנמה וסיימה את כריית התעלה בשנת 1914.
עם סיום הכרייה, האזור סביב התעלה הושם תחת ריבונות ארצות הברית. רק בשנת 2000 הועברה השליטה בתעלה לידי פנמה.
בשנת 1981 נהרג בתאונת מטוס אומאר טוריחוס (אנ'), ראש החונטה הצבאית ששלטה בפנמה. טוריחוס תמך בקבוצות מורדים אנטי-אמריקאים בניקרגואה, ואת מקומו תפס מנואל נורייגה, שהיה בן ברית של הממשל האמריקאי ושל ה-CIA. על אף זאת, היחסים בין נורייגה לממשלת ארצות הברית התדרדרו וגרמו לפלישה האמריקאית לפנמה, שהסתיימה בהפלתו של נורייגה.
היסטוריה > פרגוואי

ארצות הברית תמכה בשלטון הדיקטטורה של מפלגת "האיגוד הרפובליקני הלאומי" בפרגוואי, שנמשך 65 שנה, ברובן שלט בה אלפרדו סטרסנר. לאחר ההפיכה השלטונית שהפילה את סטרסנר בשנת 1989 תמכה ארצות הברית בשלטון החדש, שאנשיו היו אף הם ממפלגת השלטון.
רק בבחירות בשנת 2008 הודחה מפלגת "האיגוד הרפובליקני הלאומי" מהשלטון, ופרננדו לוגו נבחר לנשיא פרגוואי. ממשלת לוגו ביצעה רפורמות חברתיות רבות, בהן פתרונות דיור לבעלי הכנסה נמוכה, טיפול רפואי חינם בבתי חולים ציבוריים, שיקום השכבות הנמוכות באוכלוסייה וקידום זכויות העמים הילידים.
היסטוריה > פרו

ה-CIA היה מעורב בפוליטיקה של פרו משנת 1962 עד 2004, בתחילה כדי לתמוך בגופים ממשלתיים אנטי-קומוניסטים, ובהמשך ה-CIA הסתייע בגורמי מודיעין פרואניים במהלך המלחמה בסמים. הנשיא אלברטו פוג'ימורי וראש המודיעין הפרואני ולדימירו מונטסינוס (אנ') נתמכו בגלוי על ידי ה-CIA.
היסטוריה > צ'ילה

בשנת 1970 נבחר סלבדור איינדה לנשיא צ'ילה בבחירות דמוקרטיות, והנהיג מדיניות סוציאל-דמוקרטית. בתגובה הורה ריצ'רד ניקסון, נשיא ארצות הברית, לפתוח במלחמת סחר מול צ'ילה. בשנת 1973 בוצעה במדינה הפיכה צבאית במעורבות ה-CIA. בראש ההפיכה עמד אוגוסטו פינושה, שהנהיג במדינה דיקטטורה צבאית בגיבוי ארצות הברית.
המשטר הצבאי בצ'ילה התאפיין בדיכוי שיטתי של מפלגות פוליטיות וברדיפת מתנגדים במידה שהייתה חסרת תקדים בהיסטוריה של צ'ילה. בתקופת השלטון הצבאי נמנו למעלה מ-3,000 הרוגים או נעדרים, עשרות אלפי אסירים שעברו עינויים, וכ-200,000 מתושבי צ'ילה שאולצו להגר מהמדינה. השפעת הדיקטטורה על הפוליטיקה והכלכלה של צ'ילה מורגשת עד היום.