משפט הפירוק הספקטרלי
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית

במרחב הילברט כללי, משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית בעיקרו זהה לנוסח הסוף-ממדי של המשפט. המושגים של וקטור עצמי, ערך עצמי, מרחב עצמי ואופרטור צמוד עצמית מוגדרים במקרה האינסוף-ממדי באותו האופן כמו במקרה הסוף-ממדי.
משפט: יהי  A אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט (מרוכב או ממשי)  {\mathcal {H}}. אז קיים בסיס אורתונורמלי של  {\mathcal {H}} המורכב מווקטורים עצמיים של  A וכל ערך עצמי של  A הוא ממשי. קבוצת הערכים העצמיים של  A מורכבת כולה מנקודות מבודדות, פרט אולי ל- 0 (אם הוא בכלל ערך עצמי) והיא בפרט בת מנייה. המרחב העצמי המתאים לכל ערך עצמי שונה מאפס הוא סוף-ממדי.
כמו בהוכחה של המשפט הספקטרלי במקרה הסוף-ממדי, גם כאן הרעיון המרכזי הוא להוכיח את קיומו של לפחות וקטור עצמי אחד של  A. מרגע שעשינו זאת, ניתן לקבל באופן אינדוקטיבי מערכת אורתונורמלית של וקטורים עצמיים של  A ובעזרת הקומפקטיות של  A ניתן להראות שמערכת זו היא בסיס אורתונורמלי למרחב. במקרה כללי זה, לא ניתן להשתמש במשפט היסודי של האלגברה כדי להוכיח את קיומו של וקטור עצמי (שהרי הפולינום האופייני כלל לא מוגדר עבור אופרטורים במרחב הילברט כללי). על ידי שימוש בכופלי לגרנז', ניתן להוכיח שעבור אופרטור הרמיטי  T על מרחב הילברט סוף-ממדי, הערך העצמי הגדול ביותר שלו שווה ל- \sup _{\left\Vert x\right\Vert =1}\left\langle Tx,x\right\rangle . מכאן ניתן לשער שעבור אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט שרירותי, המספר  \sup _{\left\Vert x\right\Vert =1}\left\langle Ax,x\right\rangle  יהיה ערך עצמי שלו גם אם המרחב הוא אינסוף-ממדי. השערה זו מסתברת כנכונה וזוהי תמצית ההוכחה לגרסה זו של המשפט הספקטרלי.
הפירוק הספקטרלי ל- A אשר ניתן על ידי המשפט הוא
כאשר  \varphi _{k} הם וקטורים עצמיים של  A עם ערכים עצמיים מתאימים  \lambda _{k}. הסכום באגף ימין אינו חייב להיות אינסופי (ייתכן של- A יש רק מספר סופי של ערכים עצמיים) אך כאשר הוא אינסופי, מתקיים בהכרח  \lambda _{k}\to 0 כאשר  k\to \infty . במקרה זה, האופרטור שמגדיר אגף ימין בשוויון לעיל לא רק מתכנס נקודתית ל- A אלא גם מתכנס אליו בנורמה האופרטורית.
הצגה אחרת לפירוק הספקטרלי של  A היא כדלקמן:
כאשר  P_{i} היא ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי של  \lambda _{i} וההתכנסות באגף ימין (אם מדובר בסכום אינסופי) היא בנורמה האופרטורית. בנוסף, מתקיים גם  I=\sum _{i}P_{i} ו- P_{i}P_{j}=0 עבור  i\neq j, באופן אנלוגי למשפט הפירוק הספקטרלי הסוף-ממדי.
אם  \left\{\varphi _{b}\right\}_{b\in B} הוא בסיס אורתונורמלי ל- {\mathcal {H}} כפי שמובטח במשפט (כלומר,  \varphi _{b} הוא וקטור עצמי של  A עם ערך עצמי מתאים  \lambda _{b}) אז ניתן להגדיר העתקה אוניטרית  U:{\mathcal {H}}\to \ell _{2}\left(B\right) (ראו מרחב Lp) על ידי  Ux=\left(\left\langle x,\varphi _{b}\right\rangle \right)_{b\in B}. לפי הגדרה,  A דומה אוניטרית לאופרטור  UAU^{-1} על  \ell _{2}\left(B\right) וקל לבדוק שמתקיים  UAU^{-1}\left(\left(x_{b}\right)_{b\in B}\right)=\left(\lambda _{b}x_{b}\right)_{b\in B}. כלומר,  A דומה אוניטרית לאופרטור "אלכסוני" על  \ell _{2}\left(B\right) או "לכסינה". בדרך כלל  {\mathcal {H}} הוא ספרבילי ואז ניתן לזהות את  B עם  \mathbb {N}  ולהציג את האופרטור  UAU^{-1} בתור המטריצה האינסופית  \left(\lambda _{i}\delta _{ij}\right)_{i,j=1}^{\infty }, באנלוגיה מוחלטת למקרה הסוף-ממדי.
נוסחי המשפט לעיל נכונים באופן כללי לאופרטורים נורמליים (אם כי להם יכולים להיות ערכים עצמיים מרוכבים) וכמו במקרה הסוף-ממדי, גם כאן ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף עבור משפחה של אופרטורים קומפקטיים נורמליים מתחלפים בכפל (ההצגות המתקבלות הן דומות לאלה שבמקרה הסוף-ממדי). כמו כן, בהינתן פונקציה מרוכבת חסומה  \phi :\mathbb {C} \to \mathbb {C} , ניתן להגדיר אופרטור קומפקטי נורמלי חדש לפי:
בכך מתקבל תחשיב פונקציונלי עבור משפחת האופרטורים הקומפקטיים הנורמליים, בדומה למקרה הסוף-ממדי.