אינטגרל לבג
מבוא

אינטגרציה היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כחישוב השטח הכלוא בין העקומה לבין ציר ה־ x. ארכימדס הצליח לבצע אינטגרציה במקרים מסוימים אחדים, אך לא פיתח שיטה כללית לאינטגרציה. במאה ה-17 פיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (כל אחד בנפרד) שיטה לביצוע אינטגרציה, המבוססת על כך שאינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. את תוצאתם ניסחו במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, המתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת, ונותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות. שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על הגאומטריה, אלא על חשבון אינפיניטסימלי - תחום שבתקופתם לא היה מבוסס מבחינה לוגית. כך, ההוכחות שכתבו לא היו ריגורוזיות והכילו סתירות (ראו גם: אינפיניטסימל).
במאה ה-19 פיתח אוגוסטן לואי קושי תורה ריגורוזית של גבולות והעניק בסיס מוצק לחשבון אינפיניטסימלי. ברנהרד רימן לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן ריגורוזי, הגדרה שנודעה כאינטגרל רימן. רימן חילק את השטח שמתחת לעקומה למלבנים קטנים, שרוחבם קטן באופן שרירותי וגובהם תלוי בערכה של הפונקציה בתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן. אינטגרל רימן הוא גבול סכום שטח המלבנים כאשר רוחב המלבן שואף לאפס. כלומר:
עם זאת, רימן גילה שקיימות פונקציות שעבורן לא קיים גבול של סדרת שטחי המלבנים. על כן, לא היה ניתן לחשב עבורן אינטגרל רימן. לפונקציות כאלה קראו פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי רימן. בעקבות תגלית זו נקטו מתמטיקאים כמה גישות לטיפול בבעיה:
אפיון כל הפונקציות שעבורן קיים אינטגרל רימן (מחלקה זו של פונקציות נקראות פונקציות אינטגרביליות רימן).
הגדרת אינטגרלים לא-אמיתיים (Improper Integral) באמצעות גבולות.
ניסיון להכליל את האינטגרל של רימן עבור פונקציות "בעייתיות" יותר.
לבג נקט בגישה השלישית, אך גם סיפק אפיון מלא לפונקציות שהן אינטגרביליות רימן: פונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם היא חסומה וקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס. כלומר, כאשר יש לפונקציה "יותר מדי" נקודות אי-רציפות, לא ניתן לחלק את תחום הפונקציה למלבנים בהם התמונה אחידה יחסית, ואז אינטגרל רימן לא מוגדר.
לבג החליט להכליל את אינטגרל רימן. ראשית, חקר לבג בתורת המידה והגדיר את מידת לבג על הישר הממשי (אותה נסמן באות m). מידת לבג היא הכללה של מושג האורך ומאפשרת למדוד אורך של קבוצות שהן לאו דווקא איחוד סופי של קטעים (אורך של קטע קל לחישוב: אם קצות הקטע  I הם  a ו- b אזי אורך הקטע הוא  m(I)=|b-a|). אחרי שהכליל את מושג האורך באמצעות פונקציית מידה פנה לבג להגדיר את האינטגרל.
בחישוב אינטגרל לבג מופיעה סכימה שונה מזו המופיעה באינטגרל רימן. באינטגרל רימן מותאם לכל קטע הגובה שלו (שהוא ערך שמקבלת הפונקציה בו). לעומת זאת, באינטגרל לבג מתייחסים דווקא לטווח הערכים של הפונקציה. לכל ערך שהפונקציה מקבלת מתאימים את המידה של קבוצת הנקודות בתחום המקבלת ערך זה. כלומר:
 J_{\mbox{Lebesgue}}\approx \sum _{i}{a_{i}\cdot m\left(f^{-1}(a_{i})\right)}
באופן פורמלי, ראשית מקרבים את הפונקציה  f על ידי סדרה של פונקציות פשוטות (פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר סכום של פונקציות מדרגה). הסדרה נבנית כך שהקירוב של  f הולך ומשתפר. אינטגרל לבג של פונקציה פשוטה הוא סכום סופי והוא קל לחישוב. האינטגרל של  f ייקבע כגבול של האינטגרלים של הפונקציות הפשוטות, כאשר הוא קיים. את תהליך הבנייה נפרט להלן.
כלומר, כל פונקציה חסומה ואינטגרבילית רימן היא אינטגרבילית לפי הגדרת לבג. למעשה, אינטגרל לבג קיים לכל הפונקציות המדידות. זו אומנם מחלקה רחבה יותר מהפונקציות שהן אינטגרביליות רימן, אך קיימות פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי לבג. לפונקציות אינטגרבילית הן לפי רימן והן לפי לבג ישנו ערך זהה לשני סוגי האינטגרלים. כמו כן, ערכו של אינטגרל לבג זהה לערך אינטגרל רימן גם ברוב המקרים של אינטגרלים לא אמיתיים אך לא בכולם - למשל באינטגרלים שאינם מתכנסים בהחלט כמו אינטגרל דיריכלה. אינטגרל הנסטוק הוא כללי יותר משני סוגי האינטגרלים, וממנו אפשר להסיק גם את אינטגרל רימן וגם את אינטגרל לבג.