מכניקה לגראנז'ית
רקע

בשנת 1687, פרסם אייזק ניוטון את ספרו פרינקיפיה, והציג את היסודות של המכניקה הקלאסית. לפי התיאוריה הניוטונית, על גופים במערכת מכנית פועלים כוחות, והתאוצה של הגופים השונים פרופרציונלית לכוחות אלו. ניוטון אף הראה שהכוח הגרביטציוני הפועל בין שני גופים פרופורציונלי לאחד חלקי ריבוע המרחק. בסוף המאה ה-17 ותחילת המאה ה-18, התיאוריה של ניוטון התפשטה ברחבי אירופה ומדענים רבים החלו לפתור באמצעותה בעיות מכניות. ב-1736 פרסם אוילר את ספרו מכניקה שהציג את חוקי התנועה של ניוטון כמשוואות דיפרנציאליות, והרחיב את חוקי התנועה כדי לתאר את תנועתם של גופים קשיחים. בשנים האלו, פתרון בעיות במכניקה התמקד בכתיבת התאוצה כפונקציה של המיקום של הגופים במערכת וניסיון לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת לתנועת הגופים. הבעיה שעלתה בגישה זו היא שבמקרים מסוימים מציאת הכוחות הפועלים על הגוף היא בעיה כשלעצמה. סוג מיוחד של בעיות כאלו הן בעיות בהן קיים אילוץ על המערכת, לדוגמה בעיות בהן הגוף מוגבל לתנועה על משטח מסוים. בבעיות כאלה, הכוח שהמשטח יפעיל על החלקיק, יהיה כזה שיחייב את החלקיק להמשיך לנוע על המשטח. אולם משוואות התנועה של ניוטון לא מספקות דרך סדורה למצוא את הכוח הזה.
המכניקה הלגראנז'ית פותחה כדי לספק דרך לפתור בעיות בהן קיימים אילוצים, וזאת באחת משתי דרכים - הצגת דרך סדורה למציאת הכוחות אותם מפעילים האילוצים או מציאת דרך לכתיבת משוואות התנועה של המערכת בלי למצוא באופן ישיר את הכוחות האלה. את בסיסו של הפורמליזם הלגראנז'י ניתן לראות בעקרון העבודה הווירטואלית שנוסח מתמטית על ידי יוהאן ברנולי בשנת 1725, ובהרחבתו לעקרון ד'אלמבר שהוצג על ידי ד'אלמבר ב-1743. עיקרון זה עוסק בהעתקות וירטואליות - הזזה של מיקום הגופים במערכת באופן אינפיניטסימלי ומיידי. העיקרון מצביע על כך שבמקרים רבים הכוחות אותם מפעילים האילוצים לא מבצעים עבודה וירטואלית על המערכת, כלומר ההטלה של הכוח על ההעתקה הווירטואלית היא אפס. לכן, הכוחות הללו שונים מהכוחות הרגילים במערכת, שמפעילים עבודה וירטואלית המתאזנת עם ההטלה של הנגזרת הזמנית של התנע על ההעתקה הווירטואלית. את ההבחנה הזו פיתח לגראנז', ובאמצעות שימוש בקואורודינטות מוכללות, הפך אותה למשוואות תנועה שניתנות לפתרון באופן סדור.
בין הכלים המתמטיים שפותחו בראשית המאה ה-18 כדי לפתור בעיות במכניקה, התפתח התחום של חשבון וריאציות. תחום זה עוסק במציאת נקודות קיצון עבור פונקציונלים. כדוגמה לבעיה בחשבון וריאציות ניתן להסתכל על בעיית הברכיסטוכרון, המחפשת את צורת העקומה שלאורכה חרוז המחליק בהשפעת כוח הכבידה וללא חיכוך יגיע באופן המהיר ביותר מנקודה מסוימת לנקודה אחרת. ב-1662, הציג פרמה את העיקרון העומד מאחורי תנועתם של קרני אור אופטיות. לפי עקרון פרמה, קרניים כאלה יטיילו מנקודה לנקודה לאורך המסלול בו זמן התנועה יהיה הקצר ביותר. פרמה השתמש בעיקרון זה כדי להסביר את חוקי השבירה של סנל. ב-1744 מופרטווי שאל מדוע האור יעדיף את המסלול בעל הזמן הקצר ביותר, ולא את המסלול בעל הדרך הקצרה ביותר. הוא המשיך והראה שאם בוחרים את המסלול בו הדרך קצרה ביותר, כאשר משקללים את המרחק לפי המהירות, מתקבל חוק סנל. עוד באותה שנה, אוילר טען שתנועה של חלקיקים במערכת מכנית היא במסלול בו תנועת החלקיקים עוברת את הדרך הקצרה ביותר לפי שקלול הכולל את התנע שלהם. חוק זה מתקבל במצב בו כל הכוחות במערכת הם כוחות משמרים. ב-1746 מופרטווי התייחס לעבודתו של אוילר, ואמר שאוילר השתמש בעקרון שהוא הציג למערכות מכניות; על אף שמופרטווי הציג את העיקרון כעקרון אופטי ולא מכני, העיקרון הזה נקרא על שמו של מופרטווי. בספרו מכניקה אנליטית משנת 1788, הראה לגראנז' כיצד עקרון מופרטווי נובע מעקרון ד'לאמבר. ויליאם רואן המילטון הרחיב את העיקרון למערכות בהן הכוחות לא משמרים, אבל ניתנים להצגה באמצעות פונקציית לגראנז'יאן. העיקרון הזה נקרא עקרון המילטון או עקרון הפעולה הסטציונרית. לפי עיקרון זה הפעולה של המערכת, המוגדרת כאינטגרל של פונקציית הלגראנז'יאן לפי הזמן לאורך המסלול, מקבלת ערך מינימום במסלול בו החלקיק ינוע. את משוואות התנועה שלגראנז' הציג, ניתן לפתח ישירות מעקרון ד'אלמבר, או מחשבון וריאציות בניסיון למצוא את המסלול שנותן לפעולה ערך סטציונרי לפי עקרון המילטון.