stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מתנד הרמוני

מַתְנֵד הרמוני (או אוסצילטור הרמוני, מאנגלית: Harmonic oscillator) הוא מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח מתכונתי (יחסי) להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו:  {\vec {F}}=-K{\vec {\Delta x}}, כאשר  {\vec {F}} הוא הכוח,  K>0 הוא קבוע המתנד ו- {\vec {\Delta x}} הוא ההעתק. כוח זה נקרא גם כוח מחזיר שמשמעותו היא כוח שתמיד פועל לכיוון נקודת שיווי המשקל.
באנלוגיה, כל מערכת פיזיקלית שמאופיינת מתמטית בצורה דומה נקראת אף היא "מתנד הרמוני". חשיבותו של מודל המתנד ההרמוני נובעת מכך שתופעות פיזיקליות רבות מתוארות על ידי מערכות שמתנהגות, ברמות קירוב שונות, כמתנד הרמוני. לדוגמה, מסה התלויה על קפיץ, מעגלים חשמליים מסוימים, גלים בחומר, מיתרי גיטרה או כלי פריטה אחר, ואפילו גלי אור במובן מסוים.
במובן זה המתנד ההרמוני הוא מודל פיזיקלי המתאים בקירוב למקרים מגוונים רבים.
מתנד הרמוני, בפרט מתנד הרמוני פשוט, הוא אחת המערכות הפשוטות והבסיסיות ביותר בפיזיקה. זוהי מערכת פתירה באופן אנליטי כמעט בכל תורה פיזיקלית (מכניקה קלאסית, תרמודינמיקה, מכניקת הקוונטים, תורת היחסות ועוד) המשמשת ככלי עזר חשוב בלימוד התאוריות השונות והבנתן. יתרה מכך, מסתבר שניתן לקרב מערכות רבות ומורכבות - שאינן פתירות באופן אנליטי או פשוט - על ידי מתנדים הרמוניים, ובכך להגיע להבנה רבה ואף לפתרון מקורב לבעיה.
כאן נסקור את בעיית המתנד ההרמוני במכניקה הקלאסית. בנוגע לטיפול במתנד הרמוני מאולץ, כלומר מתנד שפועל עליו כוח חיצוני המשתנה בתדירות שונה משל המתנד, ראו: תהודה.
בנוגע לטיפול במתנד הרמוני לפי מכניקת הקוונטים ראו: מתנד הרמוני קוונטי.
מתנד הרמוני פשוט

מתנד הרמוני פשוט, הוא מערכת בה פועל כוח מחזיר בלבד, שכן כשמו הוא מנסה להחזיר את המערכת לנקודת שיווי המשקל שלה, לאחר שזו סטתה ממנו. באופן כללי משוואת המתנד ההרמוני היא משוואה דיפרנציאלית מהצורה  {\ddot {\xi }}+\omega ^{2}\xi =0 כאשר  \xi  הוא הגודל המחזורי, ו- {\ddot {\xi }} הוא הנגזרת השנייה בזמן של הגודל המחזורי.
במכניקה הקלאסית, כוח מחזיר, הוא כוח מהצורה  F=-kx כאשר  k הוא קבוע המאפיין את המערכת כמו קבוע הקפיץ בחוק הוק, ו- x הוא העתק המסה מנקודת שיווי המשקל.
ניתן לרשום את החוק השני של ניוטון עבור המערכת הבנויה ממסה המחוברת לקפיץ, תוך כדי כתיבת התאוצה בדרך מעט שונה  a={\ddot {x}}:
-kx=m{\ddot {x}}. נשים לב, כי המסה תסומן באות  m. מקובל לחלק את שני אגפי המשוואה ב- m ולהגדיר  \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}, כך שלאחר העברת אגפים מתקבלת המשוואה  {\ddot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0.
לגודל  {\omega _{0}} יש יחידות של תדירות, והוא מקיים את התכונות הבאות:
הוא ממשי ומוגדר היטב, היות שהמסה וקבוע הקפיץ תמיד חיוביים;
הוא גודל קבוע, היות שהמסה או קבוע הקפיץ אינם משתנים, לפי הגדרת המערכת (אם המסה הייתה יכולה להשתנות, משוואת הכוחות שממנה פותחה המשוואה הדיפרנציאלית אינה מתאימה, והמשוואה הדיפרנציאלית תהיה שונה).
משוואה זו היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית מסדר שני, שניתן לפתור באמצעות הפולינום האופייני של המערכת:  \lambda ^{2}+\omega _{0}^{2}, אשר שורשיו הם הצמד  \lambda =\pm \omega _{0}i, כאשר  i הוא היחידה המדומה. בדרך כלל, כאשר משתמשים בפולינום האופייני לפתרון משוואה דיפרנציאלית, הפתרון יהיה מהצורה  x(t)=\alpha e^{\lambda _{1}t}+\beta e^{\lambda _{2}t}. עם זאת, על ידי הצבת הפתרונות של הפולינום האופייני, מתקבל במשוואה זו הפתרון  x(t)=\alpha e^{\omega _{0}it}+\beta e^{-\omega _{0}it}, שהוא פונקציה מרוכבת – כלומר, אינו פונקציה ממשית, בעוד ההעתק הוא גודל ממשי.
הבעיה נפתרת אם דורשים כי  \alpha =\beta ^{*}, כלומר, ששני המספרים הם צמודים זה לזה. למשל, אם  \alpha ={\frac {A}{2}}e^{i\phi }, אז  \beta ={\frac {A}{2}}e^{-i\phi }, ואז לפי נוסחת אוילר,
 {\begin{aligned}x(t)&=\alpha e^{\lambda _{1}t}+\beta e^{\lambda _{2}t}\\&={\frac {A}{2}}e^{i(\omega _{0}t+\phi )}+{\frac {A}{2}}e^{-i(\omega _{0}t+\phi )}\\&=\left[{\frac {A}{2}}\cos(\omega _{0}t+\phi )+{\cancel {i{\frac {A}{2}}\sin(\omega _{0}t+\phi )}}\right]+\left[{\frac {A}{2}}\cos(\omega _{0}t+\phi )-{\cancel {i{\frac {A}{2}}\sin(\omega _{0}t+\phi )}}\right]\\&=A\cos(\omega _{0}t+\phi )\end{aligned}}
מתנד הרמוני פשוט > פירוש פיזיקלי של הפתרון

מכיוון שפונקציית הקוסינוס (בערך מוחלט) לא עולה מעבר ל־ 1, הגודל שסימנו באות  A מאפיין את נקודות ההתרחקות המקסימלית של המערכת מנקודת שיווי המשקל. גודל זה יקרא משרעת (אמפליטודה) ולרוב יחושב מתנאי ההתחלה. למשל, אם ידוע שקפיץ נמתח באורך מסוים, אורך זה יהיה המשרעת.
המופע (פאזה) שסומן באות  \phi , יילקח גם הוא מתנאי ההתחלה. גודל זה מאפיין את ההזזה של פונקציית הקוסינוס. מבחינה פיזיקלית, המופע שונה מאפס, אם מדידת הזמן החלה לא בדיוק ברגע בו שוחררה המסה ממנוחה.
לשם הפשטות, ניתן לבחון מקרה פשוט יותר של המתנד, בו אין מופע ( \phi =0). במקרה כזה, העתק המסה נתון על ידי המשוואה  x(t)=A\cos(\omega _{0}t). היות שהפונקציה המתארת את העתק המסה היא פונקציה טריגונומטרית, ניתן להסיק כי התנועה מחזורית. אם כך, קיים זמן  T מינימלי הדרוש כדי שהמערכת תשלים מחזור אחד (תבצע תנועה אחת שלמה) ותחזור לאותה הנקודה בה התחילה. המחזור של פונקציית הקוסינוס הוא  2\pi , ולכן נדרוש שכאשר נציב את  T לתוך הפונקציה, הארגומנט של הפונקציה, יהיה שווה ל־ 2\pi . כלומר, נדרוש שיתקיים  2\pi =\omega _{0}T.
הזמן  T נקרא זמן המחזור של התנועה:  T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}, והתדירות של המערכת, לפי הגדרתה  f={\frac {1}{T}} מקיימת  f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}. בגלל הקשר המיוחד בין התדירות לגודל  \omega _{0}, מקובל לקרוא ל- \omega _{0} תדירות זוויתית. התדירות הזוויתית – וממילא גם התדירות "הרגילה" – נקבעות אך ורק על ידי מאפייני המערכת, ואינן תלויות בזמן או בגדלים משתנים אחרים.
לאחר שהתקבל פתרון המתאר את תנועת המסה במרחב, מתקבלת המהירות כפונקציה של הזמן מתוך גזירת משוואת התנועה; ועל ידי גזירה פעם נוספת, תתקבל התאוצה. כלומר, שלוש המשוואות אשר יתארו את התנועה הן:
{\begin{aligned}&\ x(t)=A\cos(\omega _{0}t+\phi )\\v(t)=&\ {\dot {x}}(t)=-A\omega _{0}\sin(\omega _{0}t+\phi )\\a(t)=&\ {\ddot {x}}(t)=-A\omega _{0}^{2}\cos(\omega _{0}t+\phi )\end{aligned}}
מתנד הרמוני פשוט > אנרגיה

כעת, נרצה לדבר על האנרגיה של המערכת. עבור מסה המחוברת לקפיץ, סך האנרגיה נתון על ידי סכום של אנרגיה קינטית של המסה כפונקציה של הזמן, ואנרגיה פוטנציאלית אלסטית כפונקציה של הזמן. על ידי הצבת הגדלים שמצאנו למשוואת האנרגיה, מתקבל:
{\begin{aligned}E(t)&={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}\\&={\frac {1}{2}}m(-A\omega _{0}\sin(\omega _{0}t+\phi ))^{2}+{\frac {1}{2}}k(A\cos(\omega _{0}t+\phi ))^{2}\\&={\frac {1}{2}}mA^{2}\omega _{0}^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )+{\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )\\&={\frac {1}{2}}A^{2}m{\frac {k}{m}}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )+{\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )\\&={\frac {1}{2}}kA^{2}(\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )+\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi ))\\&={\frac {1}{2}}kA^{2}\end{aligned}}
כלומר, התלות בזמן מתבטלת, והאנרגיה זהה בכל זמן. במילים אחרות, האנרגיה במערכת נשמרת.
במערכת שנותחה עד כאן, הגורם לתנודות היה הקפיץ. אך קיימות מערכות נוספות, ללא קפיץ, בהן יכולות להיות תנודות. גם במקרים כאלה האנרגיה נשמרת, מכיוון שכוח מחזיר הוא כוח משמר. כלומר, העבודה שלו אינה תלויה במסלול, והרוטור של כוח זה, שווה לאפס. ניתן להוכיח זאת עבור כל כוח מחזיר.
מתוך משוואות שימור האנרגיה, ניתן לראות שכאשר כל האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת, האנרגיה הקינטית מקסימלית. למעשה, הנקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת, היא בדיוק נקודת שיווי המשקל (באנלוגיה של הקפיץ, האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת כאשר הקפיץ רפוי). לכן, המהירות מקסימלית, בנקודת שיווי המשקל.
במכניקה הקלאסית, משוואת המתנד ההרמוני יכולה להיות משוואת מומנטים (היא מתקבלת על ידי בחירת נקודה קריטית במערכת לא נקודתית לרוב וכתיבת כל מומנטי הכוח הפועלים ממנה, תוך כדי מתן תשומת לב לכיוון המומנט. בדרך משוואת מומנטים תוביל אותנו למשוואת מתנד על זווית כלשהי במערכת כפונקציה של הזמן), משוואת כוחות (היא מתקבלת בדרך כלל על ידי כתיבת החוק השני של ניוטון על מערכת של נקודה אחת לרוב) או משוואת אנרגיה גזורה (היא מתקבלת על ידי גזירת המשוואה המתארת את האנרגיה של המערכת והשוואתה לאפס. ניתן לעשות זאת, בגלל שימור האנרגיה. היות שהאנרגיה נשמרת, היא שווה לקבוע כלשהו שנעלם בעת הגזירה).
מתנד הרמוני מרוסן

בתיאור הקודם, הנחנו כי אין חיכוך במערכת. נראה איך מתנהג המתנד במקרה בו יש חיכוך.
חיכוך הוא כוח מרסן נפוץ בטבע - חיכוך עם האוויר או עם נוזל, התנגדות של מעגל חשמלי, ועוד. כוח משכך זה תלוי ביחס ישר במהירות (נקרא גם כוח סטוקס). נניח לדוגמה כי כוח החיכוך נגרם על ידי בוכנת אוויר, כבאיור, ונניח כי הכוח מתכונתי למהירות הגוף ונתון על ידי  F_{friction}=-bv=-b{\dot {x}}, כאשר  b הוא מקדם הפרופורציה.
כעת משוואת הכוחות נראית כך:  F=-kx-b{\dot {x}}=m{\ddot {x}}. על ידי סידור אלגברי מקבלים  m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0 או
{\ddot {x}}+{\frac {b}{m}}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0, כאשר  \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}, כמקודם.
מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי של מתנד הרמוני מרוסן, בו  b=0.
בהנחה שהחיכוך קטן מספיק, הפתרון הכללי למשוואה זו הוא:
x(t)=X_{0}e^{-t/\tau }\cos(\omega t+\phi ),
כאשר:
\tau ={\frac {2m}{b}}, הוא הזמן האופייני של המערכת. זהו הזמן בו משרעת התנודה דועכת בפקטור e.
\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\frac {1}{\tau ^{2}}}}}, היא תדירות התנועה המרוסנת.
הביטוי  X_{0}e^{-{\frac {t}{\tau }}}, הוא משרעת התנודה, הדועכת באופן מעריכי עם הזמן.
פתרון מפורט מופיע בהמשך הערך. זוהי תנודה הרמונית, המתבצעת בתדירות נמוכה מעט מהתדירות הטבעית (תמיד מתקיים  \omega _{0}>\omega ). במערכת זו, בניגוד לתנודה ההרמונית הפשוטה, יש איבוד אנרגיה מתמיד לחיכוך.
אם החיכוך גדול מדי, התנועה תדעך מהר מאוד, באופן מעריכי, כך שלא יסתיים אפילו מחזור תנודה יחיד. קיים ערך מקסימלי של שיכוך (ריסון), שבערכי שיכוך גדולים ממנו לא יתרחשו כלל תנודות. ערך זה נקרא השיכוך הקריטי, והוא נתון על ידי  b_{critical}=2{\sqrt {km}}.
מתנד הרמוני מרוסן > פתרון המשוואות

הניתוח המובא פה הוא למקרה המתואר למעלה: מסה  m מחוברת לקפיץ בעל קבוע  K, עם מקדם חיכוך  b (כאמור, מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי שבו מתקיים  b=0) . המשוואה המתארת את המצב היא:
{\ddot {x}}+{\frac {b}{m}}{\dot {x}}+{\frac {K}{m}}x=0
זוהי משוואה דיפרנציאלית הומוגנית וליניארית, מסדר שני. במשוואות מסוג זה, מרחב הפונקציות המקיימות את המשוואה הוא מרחב וקטורי מממד 2. לכן מספיק למצוא שתי פונקציות (בלתי תלויות) שמקיימות את המשוואה - הן יהיו בסיס שלם למרחב כל הפתרונות האפשריים. מנחשים פתרון מהסוג  x(t)=Ae^{\lambda t}, (המקדם  \lambda  יכול להיות מרוכב). כאשר מציבים את הפונקציה הזו במשוואה, ולפי תכונת האקספוננט,  {\frac {d}{dt}}e^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t}, מתקבל פולינום ממעלה שנייה שפתרונו פשוט:
 \lambda ^{2}+{\frac {b}{m}}\lambda +{\frac {K}{m}}=0.
זוהי משוואה ריבועית שפתרונותיה הם
 \lambda _{1,2}=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}. כאן  \omega _{0}={\sqrt {\frac {K}{m}}},\ \alpha ={\frac {b}{2m}}. מכיוון שהפתרונות יכולים להיות מרוכבים, יש תמיד פתרון למשוואה. אם אין חיכוך,  b=0 ואז  \lambda =\pm i\omega _{0}.
כעת ישנם שלושה מקרים מובחנים:
אם  \alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}=0, ישנו פתרון ממשי שלילי עבור  \lambda . הפתרון למקרה הכללי הוא חיבור של שתי פונקציות אקספוננציאליות דועכות:
אם  \alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}>0, ישנם שני פתרונות ממשיים שליליים עבור  \lambda . הפתרון למקרה הכללי הוא חיבור של שני פונקציות אקספוננציאליות דועכות:
אם  \alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}<0, מתקבלים שני פתרונות מרוכבים צמודים. זהו המקרה השכיח יותר, וממילא גם המעניין יותר, שבו השיכוך קטן ולכן מתרחשות תנודות הרמוניות דועכות. בהצבת פתרונות המשוואה הריבועית, ושימוש בנוסחת אוילר, מקבלים את שני הפתרונות למשוואה הדיפרנציאלית:
כאשר אין חיכוך,  \ b=0 ולכן  \alpha =0 ומקבלים את הביטוי המוכר של תנודה הרמונית פשוטה:  \ y(t)=A_{0}\sin(\omega _{0}t+\phi ).
דוגמאות נוספות למערכות שמקיימות תנודות הרמוניות > מטוטלת

מטוטלת מתמטית פשוטה היא מערכת שמקיימת תנועה הרמונית רק בקירוב. תנועתה המלאה היא מחזורית וסוטה במקצת מתנועה הרמונית, אך בקירוב זוויות קטנות אפשר להתייחס לתנועתה כתנועה הרמונית.
נניח שמסת המטוטלת היא  m והיא מחוברת לתקרה בחוט אידיאלי חסר משקל באורך  l בתוך שדה כבידה אחיד  g. נסמן ב-  \theta  את הזווית בין המטוטלת לאנך.
הכוח המחזיר יהיה הרכיב של כוח הכובד בכיוון המשיק לתנועה הרדיאלית של המטוטלת, כלומר:  F=-mg\sin {(\theta )}. לכן, משוואת התנועה תהיה:
m{\ddot {l\theta }}=-mg\sin \theta
בקירוב של זוויות קטנות  \sin {\theta }\approx \theta , ומאחר ש- l נשאר קבוע, מקבלים את משוואת התנועה:
זוהי תנועה הרמונית רק בקירוב, שכן משוואת התנועה הייתה רק קירוב למשוואת התנועה המדויקת. במקרה של מטוטלת אפשר לפתור באופן אנליטי גם את המשוואה הלא-ליניארית; הפתרון הוא אינטגרל אליפטי. גם מטוטלת שאינה מורכבת ממסה נקודתית מקיימת תנודה הרמונית בקירוב. למעשה, כל גוף בעל מסה התלוי מנקודה אחת מהווה מתנד הרמוני. מטוטלת כזו נקראת מטוטלת פיזיקלית.
דוגמאות נוספות למערכות שמקיימות תנודות הרמוניות > מעגל LC

מעגל LC אידיאלי (ללא התנגדות) הוא מעגל המכיל קבל ומשרן, בו האנרגיה האלקטרומגנטית עוברת בין הקבל למשרן באופן מחזורי הרמוני.
מכך שהמתח הכללי על המעגל הוא אפס (על פי חוקי קירכהוף) ניתן להסיק כי:
כאשר:
q הוא המטען שאגור בקבל;
C הוא הקיבול של הקבל;
I הוא הזרם במעגל;
L הוא ההשראות של הסליל.
ומאחר ש־ I={\frac {dq}{dt}}, נובע כי:
L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {q}{C}}=0, ולכן  {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{q \over LC}=0
וכאן תדירות התנועה היא  \omega ={\sqrt {1 \over LC}}.
דוגמאות נוספות למערכות שמקיימות תנודות הרמוניות > מעגל RLC

מעגל RLC, הוא מעגל זהה למעגל LC, בתוספת נגד. מעגל שכזה הוא מתנד הרמוני מרוסן, כיוון שהוא מקיים את המשוואה:
L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+R{\frac {dq}{dt}}+{\frac {q}{c}}=0.
מבחינה מתמטית, מעגל RLC שקול למתנד הרמוני מרוסן הבנוי ממסה המחוברת לקפיץ עם שיכוך תלוי מהירות, כמו זה שהוצג למעלה. האנלוגיה למתנד מכני היא:
| --- | --- |
מתנד מכני: מתנד חשמלי
מסה ( m): השראות הסליל ( L)
קבוע הקפיץ ( k): 1 חלקי הקיבול ( {\frac {1}{C}})
העתק ( x): מטען חשמלי ( q)
מהירות ( v): זרם ( I)
שיכוך ( b): התנגדות ( R)
 \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}:  \omega _{0}={\sqrt {\frac {1}{LC}}}
 \tau ={\frac {2m}{b}}:  \tau ={\frac {2L}{R}}
הכללות של מתנד הרמוני

המתנד ההרמוני מצטיין בתכונה הבסיסית שזמן המחזור של חלקיק שתונד הרמונית אינו תלוי במשרעת. לא משנה כמה רחוק החלקיק ישוחרר ממרכז הכוח של המתנד, הוא תמיד ישלים תנודה באותו זמן. תכונה זו אינה נכונה כאשר דנים בחוקי כוח אחרים בהם הכוח לא יחסי למרחק  r מהמרכז - משפט ידוע קובע שאם התלות של זמן המחזור במשרעת היא מהצורה  T=CA^{n} (כאשר  A היא המשרעת ו- C הוא קבוע פרופורציה) אז הכוח המרכזי הוא מצורה  F=kr^{1-2n}. למשל אם  n=0 (זמן המחזור לא תלוי במשרעת) נקבל:  F=kr, כלומר נקבל מתנד הרמוני. יותר מכך, אם נציב  n=3/2 נקבל  F=kr^{-2}, כלומר נקבל כוח היפוך-ריבוע - במקרה פרטי זה קיבלנו את החוק השלישי של קפלר. חישוב קבוע הפרופורציה  C בביטוי לזמן המחזור לפי המשרעת לרוב כרוך בחישוב אינטגרל מסובך ולעיתים אין לו פתרון אנליטי.
ראו גם

תהודה
תורת התנודות
אנליזת פורייה: טור פורייה והתמרת פורייה
מתנד הרמוני קוונטי
אופני תנודה עצמיים

העתק, מהירות ותאוצה בתנועה הרמונית פשוטה. בדוגמה זו, זווית המופע  (\phi ) היא  \pi /2. למשל, לאחר רבע זמן מחזור ההעתק הוא מקסימלי וחיובי, התאוצה מקסימלית ושלילית, והמהירות מתאפסת. לאחר חצי זמן מחזור ההעתק והתאוצה מתאפסים, והמהירות מקסימלית ושלילית.
מערכת של מסה, קפיץ ובוכנה המפעילה כוח חיכוך מתכונתי למהירות התנועה
מזאמה אפורה

| מזאמה אפורה |
| --- | --- |

מצב שימור
 conservation status: least concern ללא חשש (LC)‏
מיון מדעי
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: יונקים
סדרה:: מכפילי פרסה
משפחה:: אייליים
תת־משפחה:: איילי העולם החדש
סוג:: מזאמה
מין:: מזאמה אפורה
שם מדעי
 Mazama gouazoubira ‏ולדהיים, 1814
תחום תפוצה


מזאמה אפורה (שם מדעי: Mazama gouazoubira; נקראת גם מזאמה חומה או שיפוד אפור), היא מין של אייל בינוני בסוג מזאמה שבתת-משפחת איילי העולם החדש, החיה ברחבי אמריקה הדרומית. היא תוארה מדעית לראשונה בשנת 1814 על ידי הזואולוג הרוסי-גרמני גוטהלף פישר פון ולדהיים, והיא השנייה בגודלה בסוג לאחר המזאמה האדומה. מספר מיני מזאמה נחשבו בעבר כתת-מינים שלה כדוגמת מזאמה אמזונית ומזאמה יוקטנית. המזאמה האפורה היא אחת מהמזאמות הנפוצות ביותר בדרום אמריקה.
אטימולוגיה

האטימולוגיה של השם המדעי שלה הוא כדלהלן: "Mazama" - מקורו במילה "מאקאמה" (macame) ששימשה ככינוי לאיילים הללו במקסיקו לפני מאות שנים. "gouazoubira" הוא הכינוי שניתן למין על ידי חוקר הטבע הספרדי פליקס דה אזרה. אזרה שהיה החוקר הראשון אשר סיפק מידע אודות האיילים הקטנים הללו, העניק למזאמה האדומה את השם גוואזופיטה ולמזאמה האפורה את השם גוואזובירה. שמה הרשמי מרמז על הצבע העיקרי של פרוותה חום-אפרפר. השם "שיפוד", נועד לציין את מבנה הקרן הייחודי לסוג.
תיאור > אנטומיה ותכונות פיזיות

המזאמה האפורה היא פרסתנית קטנה למדי, אולם היא הגדולה ביותר בסוגה לאחר המזאמה האדומה. התנוחה של הגב שלה זקופה ומקנה לה מראה דומה יותר לאייל רגיל לעומת חלק מהמינים המזכירים בתנוחה השפופה שלהם מונטיאק או צביון. בעוד שהיא נבדלת מהמזאמה האדומה בפרוותה הבהירה ובהיותה קטנת קומה יותר, ההבחנה בינה לבין המזאמה האמזונית כמעט בלתי אפשרית ומסתכמת בעיקר בטווח התפוצה השונה שלהן. הבדלים מינוריים בין השתיים מתבטאים בכך שהמזאמה האפורה גדולה יותר, יש לה אוזניים מעוגלות יותר עם בולה שמיעתית רחבה, עיניה קטנות יותר והאחוריים שלה כתמתמים. מבנה גופה ארוך ורזה, יש לה צוואר צר ואורך וראש משולש וקטן. הזנב שלה קצר ורחב, והרגליים ארוכות ודקות. אורך ראשה וגופה של המזאמה האפורה הוא 85–105 ס"מ, גובהה בכתפיים כ-65 ס"מ, ומשקלה 11–25 ק"ג.
הזכרים והנקבות זהים לגמרי, והדו-צורתיות הזוויגית מתבטאת בכך שלזכרים יש קרניים. הקרניים הדקות הללו צומחות בזווית אלכסונית מהמצח, ובדרך כלל הן חסרות סיעופים ומסתכמות במחט חדה ופשוטה. כתוצאה מכך, לקרניים יש פוטנציאל לגרום לחתכים עמוקים בעור במאבק בין יריבים. אורך הקרניים הוא 7–10 ס"מ בממוצע.
תיאור > כסות

הפרווה של המזאמה האפורה דקה וקצרה מאוד. צבע הפרווה נע מאפרפר בהיר או כהה לחום-אפרפר, חום כתמתם או אפילו חום כהה. במקרים מסוימים, היא עשויה להיות אדמדמה בדומה לקרובתה המזאמה האדומה. צבע הפרווה עשוי להיות תלוי בבית הגידול: מזאמות המצויות באזורי מרעה, נוטות להיות חומות יותר, בעוד שהמזאמות המצויות ביער נוטות להיות אפורות. ניתן לראות וריאציה משמעותית בצבע מפרט לפרט ומאוכלוסייה אחת לאחרת. הצוואר נוטה להיות אפרפר חיוור הבהיר יותר משאר הגוף, ואזור הכתפיים עשוי להתכהות. על החלק הקדמי של כל רגל יש לעיתים פס שחור. הגחון, החזה והמפשעה בצבע כתמתם בהיר, והאחוריים כתומות במיוחד ומשמשות לזיהויה של המזאמה. הצדדים הפנימיים של הרגליים והגרון בצבע צהבהב קרמי או לבן. צידו העליון של הזנב כתמתם-חום, וצידו התחתון לבן בוהק.
הצבע של הראש הוא אפרפר בהיר בלחיים ובבסיס האוזניים, בעוד שהפנים ססגוניות יותר: החזית שלהם חומה, והחרטום והמצח בולטים היטב בשל הצבע החום-שוקולד כהה שלהם. במרכז המצח הכהה, יש לרוב משטח שיער ארוך בצבע חום בהיר או כתמתם, ואין זה נדיר שאף הוא יהיה כהה לחלוטין. מעל העיניים יש גבות לבנות קטנות בדומה לאייל הפמפס, ולעיתים יהיו משקפיים לבנים במקום זאת. האוזניים אפרפרות בצד החיצוני, ובצד הפנימי הן קריחות לגמרי לבן מקווצת שיער לבנות קטנות. הסנטר והשפה התחתונה לבנים בדרך כלל.
תפוצה ובית גידול

המזאמה האפורה מצויה בחלק הדרום-מרכזי של אמריקה הדרומית. טווח התפוצה שלה משתרע על פני דרום, מרכז ומזרח ברזיל, דרום ומרכז בוליביה, מרבית פרגוואי ואורוגוואי, וצפון ומרכז ארגנטינה.
הטווח הגאוגרפי שלה הוא לאורך הסוואנות הטרופיות והיבשות של דרום אמריקה, ותפוצה נעצרת ביער האמזונס בצפון, הרי האנדים במערב, המישורים הצחיחים של מרכז הפטגוניה בדרום והאוקיינוס האטלנטי במזרח.
בית הגידול של מזאמה זו נוגד באופן מובהק את קרובותיה האדומה או האמזונית: בעוד שהן נמצאות ביערות טרופיים עבותים, המזאמה האפורה חיה ביערות דלילים, חורשים, ואפילו בסוואנות גבוהות המנוקדות בכתמי עצים. דוגמה בולטת לכך היא הימצאותה באזור הסראדו, הגראן צ'אקו או הקאטינגס שמתאפיינים בעיקר בכיסוי של שיחים ופחות של עצים, וכן באזור הפמפס המתאפיין בסוואנות. עם זאת, לרוב היא לא תהיה נוכחת בבתי גידול פתוחים מדי ההופכים אותה לפגיעה עבור טורפים וציידים.
בתי הגידול שלה נמצאים לרוב באזורים מישוריים, אך היא מצויה גם על המורדות של הרי האנדים. הטמפרטורות בתחומי מחייתה 20–30 מעלות, וכמות המשקעים הממוצעת היא מילימטר לשנה.
אקולוגיה > התנהגות ופעילות

המזאמות האפורות הם לרוב סולטריות, ולעיתים נדירות הן נצפות בקבוצות של 3 פרטים. במשך היום הם מרבים לשהות באזורי סבך צפוף וגבוה המסווה אותם מפני הטורפים, בעוד שבמהלך הלילה הן מבקרות באזורים פתוחים וחשופים. בשבי, המזאמות נוטות להיות מפוחדות אם לא מסופק להן אזור מסתור. המזאמות הן טריטוריאליות, ובשבי נצפו עימותים בהיקף נמוך בין זכרים בתור הגנה על השטח מפני היריב. השטח הביתי של הנקבה חופף לרוב לשטחן של נקבות אחרות ואף זכרים, בעוד ששטחו של הזכר הוא בלעדי עבורו, ורק נקבות יוכלו לשהות בו.
אחת דרכים העיקריות שבהן המזאמה משתמשת לתקשורת עם בני מינה היא התקשורת הכימית באמצעות חוש הריח; המזאמה מפרישה מגוון של ריחות על ידי הטלת שתן וצואה או שפשוף המצח בצמחייה, והריח אשר מגיע לנחיריהן של מזאמות אחרות באזור מלמד אותן על נוכחות באזור של מזאמה ממין זכר או נקבה. יש הבדל בתדירות הפרשת הריחות בין הנקבות לזכרים, ובין זכרים צעירים למבוגרים. נקבות נוטות לסמן את שטח הליבה שלהן, לעומת הזכרים אשר מסמנים אף את הגבולות. בדומה ליונקים רבים, סביר להניח שהתקשורת בין המזאמות נעשית גם באמצעות תקשורת קולית, וכן באמצעות תקשורת חזותית של תנועות גוף. הטורפים העיקריים של המזאמה האפורה הם יגוארים, פומות, אוצלוטים, זאבי רעמה וכן מספר עופות דורסים. כלבי בית עשויים גם הם להרוג מזאמות לעיתים קרובות.
אקולוגיה > תזונה

באופן כללי, המזאמה האפורה היא יונק אוכל פירות, והדבר בא לידי ביטוי במיוחד בעונת הגשמים הנמשכת מנובמבר עד פברואר. היא נוטה להתמקד בפירות בשרניים מעצים דמויי שיח הנגישים ליונק קטן קומה כמוה. במהלך העונה היבשה, התזונה מתחלפת בפירות מעצים כדוגמת שיזף וקסאלפיניים; העצים הללו מייצרים פירות יבשים וקשים אשר אינם מצויים בעונת הגשמים. באזורים צחיחים כמו הגראן צ'אקו והקטינגס, לחץ המים ניכר במיוחד במהלך העונה היבשה, וכתוצאה מכך, המזאמה אוכלת כמויות משמעותיות של פירות קקטוסים וברומליים העשירים בנוזלים, וכן עלים בשרניים ושורשים במקרה הצורך.
אף על פי שהמזאמה אוכלת פירות בעיקר, היא אינה מתנזרת ממזונות צמחיים אחרים. היא תאכל גם שורשים, ענפים, פרחים, ניצנים, קליפות, דגנים, אגוזים, זרעים, ועלים של עצים ושיחים שונים, חלקם עונתיים וחלקם מצויים לאורך השנה. למזאמה האפורה תפקיד אקולוגי חשוב בהפצת זרעי עצים ושיחים.
אקולוגיה > רבייה ומחזור חיים

למזאמה האפורה אין עונת רבייה קבועה, בהתחשב בכך שעופרים נצפו במשך כל תקופות השנה. גורם נוסף שמאשר זאת, הוא נוכחות של קרניים מלוטשות אצל הזכרים במשך כל השנה. הזכרים משילים את קרניהם כנראה אחת ל-18 חודשים - הרבה יותר מאיילים רגילים. הנקבות מתרבות החל מגיל שנה, והן עשויות בו זמנית להניק עופר ולהיות בהריון. תקופת ההריון היא בסביבות שמונה חודשים, לאחריהם נולד עופר יחיד ולעיתים נדירות תאומים. העופרים נולדים עם פרווה מנוקדת בצפיפות, והם דומים להפליא לעופרי אייל פרדי לבן-זנב. הנקבה מעניקה לעופר טיפול עד הגמילה. בשבועות הראשונים לחייו, הוא שוהה חבוי בצמחייה, עד שיהיה גדול מספיק בשביל לצעוד עם אימו. לא תועד טיפול של הזכר בעופר, אף שהאיילים הללו מונוגמים בדרך כלל. הגמילה מתרחשת בגיל 6 חודשים.
תוחלת החיים של המזאמה האפורה היא כנראה בין 7 ל-12 שנים.
מצב

המזאמה האפורה מסווגת על ידי הרשימה האדומה של IUCN במצב השימור ללא חשש (LC), לאור התפוצה הגדולה יחסית, התרחשות במספר רב של אזורים מוגנים, ואוכלוסיות גדולות ויציבות שאינן נמצאות בירידה גדולה מספיק על מנת להעפיל לקטגוריה מאוימת בשלב זה. מחקרים בשנית האחרונות מראים שאף על פי שאוכלוסיות המזאמה נמצאות בירידה במקומות שיש מגע עם אוכלוסייה אנושית, מכל מקום, הדבר לא יצדיק בעתיד הנראה לעין שום שינוי במצב השימור עקב הטווח הרחב של המין ושפע המספרים שלו, אם כי מגמת האוכלוסייה נמצאת בירידה.
האוכלוסיות של המזאמה בארגנטינה יורדות עקב לחץ ציד ואובדן בית גידול; ישנן משלחות ציד בינלאומיות המגיעות מדי שנה לארגנטינה כדי לצוד את היונקים שלה, והמזאמה אם כן היא אחת מתוך מאות יונקים הסובלים מכך. בבוליביה, מצבה של המזאמה טוב יחסית למרות לחץ טריפה מצד כלבי ציד. בברזיל, המזאמה האפורה היא מין האייל הנפוץ ביותר ברחבי דרום ומרכז המדינה, אולם באזורים מסוימים כמו בריו גרנדה, ריו דה ז'ניירו ודו סול האוכלוסיות של נמצאות בירידה. בפרגוואי, האוכלוסיות יציבות למעט באזורים עירוניים או כאלו עם צפיפות אנושית גבוהה.
המזאמה האפורה מתקיימת בכמה אזורים מוגנים: 5 גנים לאומיים ו-9 עתודות מחוזיות בארגנטינה; כמעט בכל הגנים הלאומיים והשמורות הפרטיות ב-פרגוואי, ב-7 פארקים לאומיים בבוליביה, ובאזורים מוגנים רבים בברזיל. הציד של המזאמה אינו חוקי במקומות רבים (מספר מחוזות בארגנטינה למשל), אולם החוק לא נאכף ברוב המקרים. פעולות השימור המומלצות עבור המדינות הללו, הן שליטה בכלבי ציד משוטטים, הענקת מודעות לתושבי הכפרים לפעול לשימור המזאמה במקום להרוג אותה, ואכיפה של חוקי הציד.