stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
פונקציית L של דיריכלה
רקע > טור דיריכלה

טור דיריכלה הוא טור מהצורה
 L(s,a):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}. כאשר  a:\mathbb {N} \to \mathbb {C}  היא סדרת מקדמים ו -  s הוא משתנה מרוכב.
אם סדרת המקדמים לא גדלה מהר מידי, אז טור זה מתכנס בהחלט בקבוצה מהצורה  \{s|\Re (s)>\sigma \} כאשר  \sigma  הוא מספר ממשי. המספר   \sigma  (ולעיתים גם הישר  \{s|\Re (s)=\sigma \}) נקראים אבסיסת ההתכנסות (Abscissa of convergence) של הטור.
רקע > פונקציית זטא של רימן

הדוגמה הבסיסית ביותר לטור דיריכלה היא פונקציית זטא של רימן. במקרה זה כל המקדמים  a(n) שווים ל - 1. לפונקציית זטא של רימן יש תכונות רבות שאין לרוב טורי דיריכלה. בראש תכונות אלה נמצאות מכפלת אוילר והמשכה אנליטית לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב.
רקע > מכפלת אוילר

אחת התכונות הבסיסיות ביותר של פונקציית זטא של רימן היא מכפלת אוילר. מכפלת אוילר נותנת את הביטוי הבא לפונקציית זטא של רימן (בתחום ההתכנסות שלה):
 \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}
כאן  \zeta  מסמנת את פונקציית זטא של רימן והמכפלה היא על כל הראשוניים.
קל להסיק את נוסחת המכפלה הזאת מהמשפט היסודי של האריתמטיקה.
רקע > פונקציית L

אין הגדרה מוסכמת אחת למושג הכללי של פונקציית L, אבל באופן כללי פונקציית L היא טור דיריכלה שמקיים תכונות הדומות לאלה של פונקציית זטא של רימן, ובראשן מכפלת אוילר והמשכה אנליטית.
רקע > קרקטר דיריכלה

דיריכלה הבין שאם סדרת המקדמים היא כפלית אז לטור דיריכלה המתאים יהיה אפשר לכתוב מכפלת אוילר. זה נותן את המוטיבציה להגדרה הבאה:
קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor)  m הוא פונקציה  \chi :\mathbb {N} \to \mathbb {C}  המקיימת:
לכל  n\in \mathbb {N}  מתקיים:  \chi (n+m)=\chi (n)
לכל  n שאינו זר ל- m מתקיים:  \chi (n)=0
לכל  n,k\in \mathbb {N}  מתקיים:  \chi (nk)=\chi (n)\chi (k)
\chi (1)=1
הגדרה

פונקציית L של דיריכלה היא טור דיריכלה שסדרת מקדמיו היא קרקטר דיריכלה. באופן מפורש פונקציית L של דיריכלה מוגדרת על ידי הטור  L(s,\chi ):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}, כאשר  \chi :\mathbb {N} \to \mathbb {C}  הוא קרקטר דיריכלה. טור זה מתכנס בהחלט בחצי המישור  \{s|\Re (s)>1\}.
הגדרה > הערה על הטרמינולוגיה

השם פונקציית L של דיריכלה יכול להתייחס, בהתאם להקשר, הן לטור כביטוי, הן לערכו של טור זה כפונקציה מחצי המישור  \{s|\Re (s)>1\} ל -  \mathbb {C}  והן להמשכה האנליטית של פונקציה זו (ראו להלן). השימוש האחרון הוא הנפוץ ביותר.
תכונות

מכפלת אוילר: באופן דומה למכפלת אוילר הקלאסית קל להראות שפונקציית L של דיריכלה מקיימת את נוסחת המכפלה הבאה:
L(s,\chi )=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}
המשכה אנליטית: לפונקציית L של דיריכלה יש המשכה אנליטית לכל המישור מלבד הנקודה s=1 .
אם הקרקטר  \chi  לא טריוויאלי (זאת אומרת שהוא מקבל גם ערכים שאינם 0 או 1) אז המשכה זו אנליטית גם בנקודה  s=1. אחרת לפונקציית L יש קוטב פשוט בנקודה זו (במקרה זה פונקציית L של דיריכלה שווה לפונקציית זטא עד כדי כופל פשוט).
משוואה פונקציונלית: פונקציית L של דיריכלה מקיימת משוואה פונקציונלית הקושרת את ערכה בנקודה  s לערכה בנקודה  1-s. משוואה זו דומה למשוואה הפונקציונלית של פונקציית זטא של רימן.
אי־התאפסות ב - 1: דיריכלה הוכיח שעבור קרקטר דיריכלה לא טריוויאלי פונקציית L לא מתאפסת בנקודה  s=1. משפט זה מהווה חלק מרכזי בהוכחת משפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות.
אי־התאפסות על אבסיסת ההתכנסות: אדמר ודה לה ואלה פוסן הוכיחו שפונקציית L לא מתאפסת כאשר  \Re (s)=1. הם הוכיחו אי־התאפסות זו בסמוך להוכחתם של משפט המספרים הראשוניים. ההוכחה משלבת בין הוכחתו של דיריכלה לאי־ההתאפסות בנקודה 1 והוכחתם לאי־התאפסות של פונקציית זטא על אבסיסת ההתכנסות שלה (המהווה חלק מרכזי בהוכחת משפט המספרים הראשוניים). אי־התאפסות זו גוררת גרסה של משפט דיריכלה המשלבת בין משפט דיריכלה למשפט המספרם הראשוניים. גרסה זו נוגעת לצפיפות הטבעית של מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית.
אי־התאפסויות נוספות: במרוצת השנים הוכיחו מתמטיקאים רבים אי־התאפסות של פונקציית L בתחומים נוספים. אי־התאפסויות אלה גוררות טענות נוספות על התפלגויות של מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות. הכללה אולטימטיבית של אי־התאפסויות אלה היא ההשערה שפונקציית L לא מתאפסת בחצי המישור  \{s|\Re (s)>{\frac {1}{2}}\}. השערה זו היא מקרה פרטי של השערת רימן המוכללת והיא גוררת מידע מדויק למדי על התפלגויות של מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.
נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה: עבור קרקטר דיריכלה ממשי  \chi , דיריכלה פיתח נוסחה שקושרת בין הערך  L(1,\chi ) לבין מספר מחלקה של מספר שלם המתקבל מהמנחה של  \chi . מנוסחה זו ניתן להסיק מידית את אי־ההתאפסות של  L(1,\chi ). דיריכלה גם פיתח נוסחה נוספת, מפורשת יותר, לערך  L(1,\chi ) אך לא ניתן להסיק ממנה ישירות את אי־ההתאפסות של  L(1,\chi ).
נוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור שדות ציקלוטומיים: מנוסחה זו קל להסיק קשר בין מכפלת הערכים  L(1,\chi ) עבור קרקטרים (לא טריוויאליים) בעלי אותו המנחה ובין מספר המחלקה של ההרחבה הציקלוטומית המתאימה. מכאן קל להסיק את אי־ההתאפסות של  L(1,\chi ). זאת לא הייתה ההוכחה המקורית של דיריכלה לאי־התאפסות זו. דיריכלה הוכיח את אי־ההתאפסות עבור קרקטר ממשי על ידי נוסחת מספר המחלקה שלו, והשתמש בשיטה פשוטה יותר כדי להראות את אי־ההתאפסות עבור קרקטר שאינו ממשי.
ראו גם

פונקציית L
פונקציית זטא
פונקציית זטא של רימן
פונקציית זטא של דדקינד
פונקציית L של ארטין
קרקטר דיריכלה
משפט דיריכלה
נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה
נוסחת מספר המחלקה של דדקינד
לקריאה נוספת

The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood מאת Władysław Narkiewicz.
הערות שוליים

↑  The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood מאת Władysław Narkiewicz.
| פונקציות L וזטא |
| --- | --- | --- |
| פונקציות זטא בתורת המספרים | פונקציית זטא של רימן • פונקציית זטא של דדקינד • פונקציית זטא של הסה-וויל • פונקציית זטא אריתמטית • פונקציית זטא של איגוסה |  |
|  פונקציות L (נוספות) בתורת המספרים | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית L של ארטין • פונקציית L של הקה  • פונקציית L של תבנית אוטומורפית  • פונקציית L מוטיבית |  |
| תוצאות חשובות | המשכה אנליטית ומשוואה פונקציאונלית עבור פונקציית זטא של רימן • משפט המספרים הראשוניים • הנוסחה המפורשת של רימן מנגולד • משפט דיריכלה • משפט הצפיפות של צ'בוטרב •  משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • השערות וויל • נוסחת מספר המחלקה (של דיריכלה ושל דדקינד) |  |
| השערות חשובות | השערת רימן (המוכללת) • השערת לנגלנדס  • השערת לינדולף • השערת ארטין |  |
| פונקציות L וזטא נוספות | פונקציית זטא של חבורה • פונקציית זטא הצגתית של חבורה • פונקציית זטא של סלברג |  |
| מושגים קשורים נוספים | תורת המספרים האנליטית • תורת המספרים האלגברית • המשכה אנליטית • טור דיריכלה |  |
| נוסחת מספר המחלקה |
| --- | --- | --- |
| נוסחאות | נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה • נוסחת מספר המחלקה של דדקינד |  |
| מספרי מחלקה | מספר מחלקה (תבניות ריבועיות) • מספר מחלקה (תורת המספרים) |  |
| פונקציות L וזטא | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית זטא של דדקינד |  |
| שימושים | משפט דיריכלה • משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • משפט הצפיפות של צ'בוטרב |  |
| מושגים קשורים נוספים | תבנית ריבועית בינארית • שדה מספרים • חוג השלמים האלגבריים • חבורת מחלקות האידיאלים |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 4403093-9
מוטי מלכה

מרדכי (מוטי) מלכה (נולד ב-10 באוגוסט 1953) היה ראש עיריית קריית מלאכי (2003–2012).
התפטר מתפקידו לאחר שהורשע בעבירות מין בעובדות תחתיו.
ביוגרפיה

מלכה נולד בקזבלנקה שבמרוקו. בשנת 1956, בגיל 3, עלה עם משפחתו לישראל והתיישבו במושב תירוש שליד בית שמש. למד בבית הספר היסודי במושב ולאחר מכן למד בבית הספר התיכון "אבן העזר".
בשנת 1971 התגייס לצה"ל, שירת בחטיבת הצנחנים ועבר שם קורס פיקוד. לאחר זמן מה עבר לחיל השריון ושירת כקצין לוגיסטי ולאחר מכן חתם קבע בחטיבת גבעתי. בשנת 1997 השתחרר מצה"ל בדרגת אלוף-משנה.
את דרכו הפוליטית החל כחבר במועצת העיר קריית מלאכי. ב-28 באוקטובר 2003 הוא ניצח בבחירות את ראש העירייה המכהן ליאור קצב ונבחר לראש עיריית קריית מלאכי מטעם הליכוד.
לאחר הקמת מפלגת קדימה בראשות אריק שרון הצטרף מלכה למפלגה. בנובמבר 2008 הקים רשימה עצמאית שהתמודדה בבחירות לעירייה. מלכה נבחר לראשות העירייה והרשימה זכתה בארבעה מושבים במועצת העיר.
ב-9 במאי 2012 נעצר מלכה יחד גברים נוספים, בחשד שאנס עובדת בעירייה. כמו כן, העלתה המשטרה חשדות נגדו בנוגע לקבלת שוחד, מרמה והפרת אמונים. הוא הושעה מעבודתו על ידי משרד הפנים, וממלא מקומו בעירייה, חיים שטיינר, מונה על ידי מועצת העיר לכהן כראש העירייה עד ינואר 2013. לאחר כשבועיים ממועד מעצרו, שוחרר מלכה למעצר בית במושב חצב הסמוך לקריית מלאכי. במהלך מעצרו נולד לו בן מאשתו השנייה. בינואר 2013 חתם על הסדר טיעון, לפיו הודה והורשע בהטרדה מינית של שתי נשים ועבירות על חוק התכנון והבנייה, וייענש בעבודות שירות, פיצוי למתלוננות והתחייבות שלא יתמודד על ראשות העירייה בבחירות שנערכו באוקטובר 2013. במרץ 2013 הורשע.
במאי 2013 החליפו יוסי חדאד כראש העירייה.
באותה שנה הוגשה נגד מלכה תביעת דיבה על דברים שאמר ב-2008 בתחנת הרדיו 100FM בגנות שלמה וידר, מינהלן בבית ספר תיכון. ב-2015 הושגה פשרה בתיק ומלכה הסכים להתנצל ולשלם 17 אלף ש"ח כפיצוי.
ביוני 2018 הודיע מלכה על כוונתו להתמודד בבחירות המוניציפליות הקרובות. כחודשיים לפני הבחירות הסיר מועמדותו.
הערות שוליים

1 2  אורי בינדר, ראש עיריית קריית מלאכי הורשע בהטרדה מינית, באתר nrg‏, 21 במרץ 2013
↑  אלי סניור, החשוד באונס העובדת: ראש העיר קריית מלאכי, באתר ynet, 9 במאי 2012
↑  איציק סבן ונצחיה יעקב, "יש עוד קורבנות", באתר ישראל היום, 11 במאי 2012
↑  איתמר לוין, מלכה לא יוכל להיכנס לבניין העירייה, באתר News1 מחלקה ראשונה, 1 באוגוסט 2012
↑  אלי ג'אן, חיים שטיינר יחליף את מוטי מלכה עד ינואר 2013, באתר mynet (כפי שנשמר בארכיון האינטרנט), 29 ביולי 2012
↑  הסדר עם מוטי מלכה: יודה, יורשע, יפרוש מראשות העירייה, אך לא יכנס לכלא, באתר nana10‏, 24 בינואר 2013
↑  אמר וישלם, "המקור", 21 ביוני 2015
↑  אלמוג בן זכרי, ראש העיר קרית מלאכי לשעבר, שהורשע בהטרדות מיניות, יתמודד שוב על התפקיד, באתר הארץ, 21 ביוני 2018
| ראשי עיריית קריית מלאכי |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  חיים גושן  |  עבודי דוד-אלבג  |  משה קצב  |  יוסף ונונו  |  משה שמעון  |  ליאור קצב  |  מוטי מלכה  |  יוסי חדד  |  אליהו זוהר  |  |
|  1959–1960  |  1960–1969, 1970–1974  |  1969–1970, 1974–1981  |  1981–1993  |  1993–1998  |  1998–2003  |  2003–2013  |  2013  |  2013 ואילך  |  |
יחסי החוץ של אוסטרליה

בניין משרד החוץ האוסטרלי על שם ריצ'רד קייסי, ברון קייסי בטריטוריית הבירה האוסטרלית
יחסי החוץ של אוסטרליה (באנגלית: Foreign relations of Australia) מושפעים ממעמדה של אוסטרליה כאומה מובילה בתחום המסחר ובתרומה משמעותית בסיוע הומניטרי ובכל הנוגע לזכויות האדם. מדיניות החוץ של אוסטרליה מונחית על ידי מחויבות לרב-צדדיות (גישה האומרת שיחסים כלכליים בינלאומיים צריכים להתקיים על בסיס יחס שווה לכל העמים) ולרגיונליזם כלכלי וכן ליחסים בילטראליים חזקים עם בעלות בריתה. העניינים העיקריים כוללים סחר חופשי, לוחמה בטרור, פליטים, שיתוף פעולה כלכלי עם אסיה ויציבות אסיה פסיפיק. אוסטרליה פעילה באומות המאוחדות ובחבר העמים הבריטי. תחילה הממלכה המאוחדת ניהלה את יחסי החוץ של אוסטרליה שהייתה מדינה חסרת השפעה באזור אוקיאניה, וכיום אוסטרליה היא מדינה בעלת השפעה רבה בעולם במגוון תחומים.
יבוא של כלי הנשק הכבדים באוסטרליה גדל ב-65% בין היבוא בשנים 2005–2009 לבין היבוא בשנים 14–2010, מה שהפך את אוסטרליה ליבואנית השישית בגודלה בעולם, על פי המכון הבינלאומי לחקר השלום בסטוקהולם (SIPRI).
לאוסטרליה ברית איתנה עם ניו זילנד, שראשיתם בתחילת 1900, וכללה שיתוף פעולה של גיסות הצבא האוסטרליים והניו זילנדיים. אוסטרליה כרתה ברית עם ארצות הברית במהלך המלחמה הקרה, ואף שיתפה עמה פעולה במלחמת קוריאה ובמלחמת וייטנאם, ועוד. עם הצמיחה המהירה ביחסי הסחר עם הרפובליקה העממית של סין, אוסטרליה מתלבטת האם לשים את הדגש ביחסי החוץ שלה במדינות אסיה, או להמשיך ביחסיה המסורתיים עם ארצות הברית והממלכה המאוחדת. כיום מתנהל ויכוח גדול באוסטרליה בנוגע למספר הגדול של פליטים הזורמים לאוסטרליה.
היסטוריה

לפני מלחמת העולם השנייה טיפלה ממשלת בריטניה ברוב מדיניות החוץ של אוסטרליה. ההחלטה הקריטית במהלך המלחמה הייתה לקרב את המדיניות הדיפלומטית ואת צבא אוסטרליה לארצות הברית. דיפלומט רשמי אוסטרלי ראשון שנשלח למדינה זרה היה ב. ג. קייסי שמונה בינואר 1940. מאז 1941, ארצות הברית הייתה בעלת הברית החשובה ביותר ושותפת הסחר הגדולה ביותר של אוסטרליה. בשנת 1944 חתמה אוסטרליה על הסכם עם ניו זילנד העוסק בביטחון לאומי, רווחה וקידום של תושבי הטריטוריות העצמאיות של האוקיינוס השקט (הסכם ANZAC). לאחר המלחמה מילאה אוסטרליה תפקיד מרכזי בוועדת המזרח הרחוק שהתכנסה ביפן ותמכה בעצמאותה של אינדונזיה במהלך מרד המדינה נגד הולנד ששלטה אז באינדונזיה (1945-1949).
אוסטרליה נמנתה בין מקימי האו"ם והוועדה הפסיפית של דרום האוקיינוס השקט (הארגון המדעי והטכני העיקרי באזור האוקיינוס השקט) ב-1947, ובשנת 1950 היא הציעה את תוכנית קולומבו שנועדה לסייע למדינות מתפתחות באסיה. בנוסף לתרומתה לכוחות האו"ם במלחמת קוריאה - אוסטרליה הייתה המדינה הראשונה שהודיעה כי תתרום מצבאה לכוחות האו"ם לאחר ארצות הברית, אוסטרליה שלחה כוחות צבאיים כדי לסייע במיגור המרד הקומוניסטי במלזיה בשנים 60–1948, ולאחר מכן שלחה כוחות צבאיים להילחם בפלישה שנתמכה על ידי אינדונזיה לסראוואק בשנים 1963-65.
כבעלת ברית צבאית של ארצות הברית, אוסטרליה נאלצה לחדש את גיוס החובה בלחץ אמריקני, ונדרשה לשלוח חיילים וציוד צבאי לצבא דרום וייטנאם במהלך מלחמת וייטנאם. השתתפותה של אוסטרליה במלחמת המפרץ הראשונה ב-1991 הייתה הפעם הראשונה שכוחות ההגנה של אוסטרליה השתתפו במלחמה מאז הקמת פיקוד הכוחות המזוינים. אף על פי שספינות מלחמה ויחידות קומנדו ימי שהוצבו במפרץ הפרסי לא השתתפו בקרבות, הצבתם שם הייתה מבחן ליכולות של הכוחות המזוינים ולשרשרת הפיקוד המשותפת. לאחר המלחמה הוצבה באופן קבוע פריגטה של הצי כדי לכפות את הסגר הימי על עיראק.
אוסטרליה חתומה על הסדרים רצופים עם בריטניה וניו זילנד, כדי להבטיח את ביטחונן של סינגפור ומלזיה.
בשנת 1999 התערבו כוחות שמירת השלום האוסטרליים במזרח טימור לאחר שהוחלט להפריד את מזרח טימור מאינדונזיה. ב-2006 שלחה אוסטרליה משלחת של כוחות אוסטרליים למדינה כדי לסייע למשבר במזרח טימור 2006.
אוסטרליה בארגונים בינלאומיים

אוסטרליה, שהייתה אחת ממנסחות מגילת האומות המאוחדות, נותנת תמיכה תקיפה לאו"ם ולסוכנויות המיוחדות שלו. היא הייתה חברה במועצת הביטחון בשנים 1986–1987, חברה במועצה הכלכלית חברתית בשנים 1986-1986 וחברה בוועדת האו"ם לזכויות אדם בשנים 1994–1996. אוסטרליה לוקחת חלק נכבד בפעילויות רבות אחרות של האו"ם, כולל שמירת השלום, משא ומתן לפירוק נשק כימי ושליטה בסמים.
אוסטרליה פעילה גם בפגישות ראשי ממשלות חבר העמים הבריטי ובפורום איי האוקיינוס השקט (Pacific Islands Forum) ומובילה בקבוצת קאירנס - קבוצה של מדינות הדוחקות לרפורמה במסחר החקלאי במסגרת סיבוב אורוגוואי, סבב דיונים שהתנהל בין השנים 1986 ל-1994, במטרה להגיע לנוסח חדש להסכם GATT לסחר רב-צדדי ובפורום APEC. בספטמבר 1999, בהנהגתה של מועצת הביטחון של האו"ם, הובילה אוסטרליה קואליציה בינלאומית להשבת הסדר במזרח טימור עם נסיגתה של אינדונזיה מאזור זה.
אוסטרליה הקדישה תשומת לב מיוחדת ליחסים בין מדינות מפותחות ומתפתחות, עם דגש על מדינות איגוד מדינות דרום-מזרח אסיה - אינדונזיה, סינגפור, מלזיה, תאילנד, הפיליפינים וברוניי ומדינות האי בדרום האוקיינוס השקט. אוסטרליה היא משתתפת פעילה בפורום אזורי (ASEAN Regional Forum, או ARF) הכולל מדינות רבות ששותפות לדיאלוג עם הארגון בנושאים שונים, בעיקר בענייני ביטחון כלל-אסייתים. אוסטרליה השתתפה בפסגת ASEAN הראשונה במזרח אסיה בשנת 2005. מקומה של אוסטרליה בפסגה אובטח לאחר שלא נענתה להצטרף להסכם ASEAN של ידידות ושיתוף פעולה בדרום מזרח אסיה. אוסטרליה לא רצתה לחתום על האמנה מתוך חששות לגבי האופן שבו היא תשפיע על מחויבותה לפי הסדרים אחרים של האמנה, כולל ANZUS.
פפואה גינאה החדשה (PNG), טריטוריה אוסטרלית לשעבר, היא המדינה שמקבלת הכי הרבה סיוע אוסטרלי. החל בשנים 1997–1999 תרמה אוסטרליה לתוכנית קרן המטבע הבינלאומית לתאילנד וסייעה לאינדונזיה ולפפואה גינאה החדשה במשבר סביבתי אזורי ומאמצי מניעת הבצורת.
יחסי מסחר עם מדינות

שותפות המסחר הגדולות של אוסטרליה הן ארצות הברית, קוריאה, יפן, סין העממית והממלכה המאוחדת. לאוסטרליה יש כיום הסכמי סחר חופשי עם ניו זילנד, ארצות הברית, תאילנד וסינגפור החל משנת 2007. נוסף על כך, אוסטרליה נמצאת בתהליך של חתימת הסכמי סחר חופשי עם מדינות עם ASEAN, סין, צ'ילה, הודו, אינדונזיה ומלזיה.
מדיניות צבאית בינלאומית

כדי לחזק את מדיניות החוץ שלה, אוסטרליה מחמשת מאוד את כוחות ההגנה שלה. על פי SIPRI, אוסטרליה היא היבואנית השישית בגודלה של כלי נשק עיקריים בעולם. 68% אחוז מכלל ייבוא כלי הנשק של אוסטרליה מגיע מארצות הברית ו-19% מספרד. אוסטרליה דואגת לשמור על מודרניזציה בקרב כוחות ההגנה שלה, והיא רוכשת נשק המגדיל באופן משמעותי את יכולותיה ארוכות הטווח.
נציגויות דיפלומטיות

לאוסטרליה נציגים דיפלומטיים ביותר מ-90 מקומות. ברוב המדינות אוסטרליה מחזיקה בשגרירות, אך במדינות החברות בחבר העמים הבריטי, אוסטרליה מחזיקה בנציב עליון. לאוסטרליה יש קונסוליות במדינות רבות שבהן אין לאוסטרליה קשרים ממשלתיים רשמיים, והן משמשות בעיקר כדי לסייע לתיירים ואנשי עסקים אוסטרליים המבקרים במדינות אלו. מספר משלחות דיפלומטיות של קנדה מספקות סיוע קונסולרי לאוסטרלים במדינות אפריקה, שם אוסטרליה אינה מחזיקה בנציגויות דיפלומטיות, בעוד אוסטרליה מספקת שירות דיפלומטי לאזרחים קנדיים במדינות בהן לקנדה אין נציגויות דיפלומטיות. הסדר זה הוא במסגרת הסכם שיתוף השירותים הקונסולריים של קנדה ואוסטרליה.
לאור מעמדה הבינלאומי של טאיוואן הבעייתי, משרד המסחר והתעשייה האוסטרלי מייצג באופן בלתי רשמי את האינטרס הדיפלומטי של אוסטרליה בטאיוואן. משרד התעשייה והמסחר נותן את אותם השירותים שנותנות קונסוליות אוסטרליות אחרות.
אוקיאניה

אוסטרליה חברה בפורום איי פאסיפיק ובארגונים אזוריים אחרים. אוסטרליה שולחת מטעמה נציב עליון לפיג'י, קיריבטי, נאורו, ניו זילנד, פפואה גינאה החדשה, סמואה, איי שלמה, טונגה ולוונואטו. כמו כן, יש לה שגרירות במיקרונזיה. אוסטרליה מספקת סיוע רב למדינות המתפתחות השכנות לה באוקיינוס השקט ועל אחת כמה וכמה לפפואה גינאה החדשה.
גישתה של אוסטרליה בכל הנוגע למדינות האוקיינוס השקט מוגדרת כ"קשת של חוסר יציבות" בין מדינות האיים השכנות. בחודש אוגוסט 2006 הצהיר שר ההגנה האוסטרלי, ברנדן נלסון בפני הפרלמנט האוסטרלי:
”אנחנו לא יכולים להרשות לעצמנו שיהיו מדינות נחשלות באזור שלנו. מה שמכונה "קשת חוסר היציבות", מבוסס בעצם על מזרח טימור ועד מדינות בדרום מערב האוקיינוס השקט, פירושה שלא רק לאוסטרליה יש אחריות בעיכוב סיוע הומניטארי וסיוע לאסונות טבע, אלא גם בכך שאיננו יכולים לאפשר לכל אחת מהמדינות הללו להפוך למקלטי פשע בין-לאומי, ואף לא למקלטי טרור.”
החל משנת 2008, ממשלת אוסטרליה בראשותו של קווין ראד החלה את מה שהיא כינתה "גישה חדשה" ליחסים בין אוסטרליה לבין האוקיינוס השקט; מינוי מזכיר פרלמנטרי לענייני האיים באוקיינוס השקט, דאנקן קר. בחודש פברואר 2008 ביקרו קר ומזכיר הפרלמנט לענייני חוץ, בוב מק'מאלאן בסמואה, טונגה וקיריביטי.
אוקיאניה > פיג'י פיג'י

יחסי פיג'י-אוסטרליה נעשו מתוחים עקב גינוייה של אוסטרליה על ההפיכה צבאית שהפילה את ממשלתו של ראש ממשלת פיג'י לאזניה קאראסה בדצמבר 2006. מנהיג פיג'י לאחר המהפכה, פרנק בינימארמה, האשים את אוסטרליה ב"בריונות" כלפי פיג'י לאחר שאוסטרליה הפעילה סנקציות והתעקשות על חזרה מהירה למשטר דמוקרטי. במרץ 2008 פרסמה ועדת זכויות האדם של פיג'י דו"ח שטען כי ייתכן שאוסטרליה תכננה פלישה חמושה לפיג'י בסוף 2006 כדי להחזיר את המשטר הדמוקרטי למדינה. שר החוץ של אוסטרליה, סטיבן סמית', דחה את הטענות ואמר: "הדבר הטוב ביותר שיכול לקרות לפיג'י הוא לא פרסומים מזויפים על לכאורה פעילות אוסטרלית חמושה בפיג'י אלא על קיום בחירות, החזרת המשטר הדמוקרטי לפיג'י וכיבוד זכויות האדם".
ב-4 בנובמבר 2009, ראש ממשלת פיג'י בינימארמה גירש את הנציב העליון האוסטרלי ג'יימס באטליי (Batley) ואת עמיתו בניו זילנד. בינימארמה אמר כי "אוסטרליה וניו זילנד ניסו לערער את מערכת המשפט של פיג'י ולהחליש את כלכלתה". כתגובה, אוסטרליה גירשה במהירות את הנציב העליון של פיג'י, קמלה קומאר אריה.
אוקיאניה > נאורו נאורו

יחסי נאורו-אוסטרליה קיימים למעלה ממאה שנים. אוסטרליה ניהלה את נאורו כטריטוריה תלויה משנת 1914 עד 1968, ונשארה אחת משותפותיה הכלכליות והמסייעות ביותר של נאורו לאחר מכן.
ב-1989 נקטה נאורו צעד משפטי נגד אוסטרליה בבית הדין הבינלאומי לצדק על פעולותיה של אוסטרליה בעת שליטתה על נאורו, בעיקר בשל מחדלה של אוסטרליה לתיקון הנזק הסביבתי שנוצר ממכרות הזרחה. הפעולה גרמה לאוסטרליה לנסות לטהר את שמה על ידי שיקום אזורי היישוב שמחוץ למכרות של נאורו. מקורות הזרחה ההולכים ופוחתים הובילו לשפל כלכלי בנאורו, מה שגרם לחוסר יציבות פוליטית מאמצע שנות השמונים של המאה הקודמת.
לנאורו אין כוחות צבא חמושים; תחת הסכמה בלתי רשמית, הגנתה היא באחריות אוסטרליה.
אוקיאניה > ניו זילנד ניו זילנד

בשנת 1788 הוקמה באוסטרליה המושבה הבריטית ניו סאות' ויילס, שמבחינת הגדרתה כללה גם את איי ניו זילנד. להגדרה זו לא הייתה השפעה בפועל כיוון שהממשל בניו סאות' ויילס לא גילה עניין ולא התערב בנעשה בניו זילנד. ניו זילנד השתתפה בוועידת החוקה של המושבות האוסטרליות שהתקיימה בסידני ב-1891, שבה נדונה אפשרות להקים פדרציה של כל המושבות הבריטיות באוסטרליה ובניו זילנד, עם זאת ניו זילנד החליטה שלא להצטרף לפדרציה.
היחסים בין אוסטרליה לניו זילנד קרובים באופן יוצא מן הכלל, הן בקנה מידה לאומי והן ברמה הבין-אישית. מערכת יחסים קרובה זו ראשיתה במלחמת העולם הראשונה, ולאחר מכן במלחמת העולם השנייה, שבמהלכה ניו זילנד הידקה את שיתוף הפעולה שלה עם ארצות הברית ואוסטרליה, ובעקבות כך נחתמה בשנת 1951 ברית הגנה אסטרטגית בין שלוש המדינות. ברית זו נקראה ברית ANZUS. ראש ממשלת ניו זילנד לשעבר, מייק מור, הצהיר כי לאוסטרלים ולניו זילנדים יש יותר מן המשותף מלתושבי ניו יורק ולתושבי קליפורניה.
אוקיאניה > פפואה גינאה החדשה פפואה גינאה החדשה

פפואה גינאה החדשה היא שכנתה הקרובה ביותר של אוסטרליה מבחינה גאוגרפית. היחסים בין קנברה לפורט מורסבי קרובים, זאת עקב הסיוע הגדול שאוסטרליה מעניקה למדינה המתפתחת, אם כי בשנים האחרונות היו מתחים שונים ביחסי פפואה גינאה החדשה-אוסטרליה. פפואה גינאה החדשה העדיפה לפתח יחסים קרובים וחמים (בדגש על היחסים הכלכליים בין שתי המדינות) עם אוסטרליה מאשר עם אינדונזיה, המדינה היחידה שאיתה היא חולקת גבול. שתי המדינות הן חברות בחבר העמים הבריטי ופפואה גינאה החדשה נהנית מסיוע כלכלי עבור פתיח כלכלי מאוסטרליה.
תחת ממשלו של ראש ממשלת אוסטרליה ג'ון הווארד, יחסי פפואה גינאה החדשה-אוסטרליה התקררו עקב "פרשת הנעליים". בחודש מרץ 2005 נדרש מייקל סומאר, ראש ממשלת פפואה גינאה החדשה על ידי קציני ביטחון בנמל התעופה בבריזביין שבאוסטרליה להשיל את נעליו במהלך בדיקה ביטחונית שגרתית, דבר שהוביל למכשולים דיפלומטיים ולקירור משמעותי ביחסים הדיפלומטיים בין שתי המדינות.
אוקיאניה > איי שלמה איי שלמה

בימי כהונתו של ג'ון הווארד, יחסי איי שלמה-אוסטרליה נעשו מתוחים. ראש ממשלת איי שלמה, מנשה סוגאברה האשים את אוסטרליה בביצוע נאו קולוניאליזם במדינתו בעת שאוסטרליה שלחה משלחת ביטחונית לאיי שלמה עקב בקשת עזרה שפורסמה מטעמו של המושל הכללי של איי שלמה. ב-1 באוקטובר 2007, פטרוס אוטי, שר החוץ של איי שלמה, פנה לעצרת הכללית של האומות המאוחדות, והאשים את אוסטרליה בכך שהיא מערערת את ריבונות מדינתו.
היחסים השתפרו לאחר מכן, כאשר האוורד וסוגאברה סיימו את כהונתם בדצמבר 2007, ויורשיהם - קווין ראד ודרק סיקואה - החלו מיד לשפר את היחסים בין קנברה להוניארה.
ביולי 2003 פרסם המושל הכללי של איי שלמה בקשה רשמית לעזרה בינלאומית. אוסטרליה וניו זילנד הובילו משלחת ביטחונית בינלאומית שהורכבה מ-2,200 חיילים ושוטרים מ-20 מדינות אחרות באוקיינוס השקט שהגיעה לאיים כחודש לאחר פרסום הבקשה.
אוקיאניה > טונגה טונגה

בעקבות מהומות 2006 בטונגה, שלחה אוסטרליה שוטרים ואנשי ביטחון מטעמה, לבקשת טונגה, כדי לסייע לייצב את המצב הנפיץ בממלכה.
דרום ומזרח אסיה

חלק ניכר מהמדינות בדרום ומזרח אסיה הן מוסלמיות ועניות. לאוסטרליה מגיעים הרבה מהגרים בלתי חוקיים ממדינות אלו. לכן, חשוב לאוסטרליה לשמור על יחסים טובים עם המדינות האלה כדי שהשלטון שם יעזור לה להתמודד עם ההגירה אליה. ההגירה הבלתי חוקית מגיעה דווקא אל אוסטרליה כיוון שהיא אחת משלוש המדינות המערביות היחידות בכל האזור (יחד עם ניו זילנד ויפן).
דרום ומזרח אסיה > מזרח טימור מזרח טימור

מזרח טימור ואוסטרליה שכנות גאוגרפיות ומזרח טימור ממוקמת כ-657 ק"מ צפונית-מזרחית לדרווין שבאוסטרליה. ב-11 בפברואר 2008 התרחש במדינה ניסיון הפיכה אשר לא הצליח. הפרלמנט במזרח טימור הכריז על מצב חירום במדינה למשך עשרה ימים ובעקבות ניסיון ההפיכה אוסטרליה הודיעה כי תשלח חיילים נוספים לחיזוק כוח השלום של האומות המאוחדות הנמצא במדינה.
לאוסטרליה יש שגרירות בדילי ולמזרח טימור יש שגרירות בקנברה וקונסוליה כללית בסידני.
דרום ומזרח אסיה > ברוניי ברוניי

היחסים בין שתי המדינות ראשיתם עוד במלחמת העולם השנייה, כאשר צבא אוסטרליה שיחק תפקיד מכריע בשחרור ברוניי מכיבושה של האימפריה היפנית ב-1945. היחסים בין שתי המדינות כוננו באופן רשמי ב-1984 כאשר אוסטרליה הייתה לאחת המדינות הראשונות שכיננו יחסים דיפלומטיים עם ברוניי, זאת לאחר שברוניי הייתה מדינת חסות של הממלכה המאוחדת. היחסים בין שתי המדינות התהדקו עוד יותר כאשר ברוניי קיבלה אוטונומיה ב-1959.
דרום ומזרח אסיה > קמבודיה קמבודיה

יחסי קמבודיה-אוסטרליה כוננו בשנת 1953. אוסטרליה השתתפה בשיקום קמבודיה בחסות הבינלאומית כאשר בחודשים יולי ואוגוסט 1989 נפגשו בפריז, בחסות מזכ"ל האו"ם, נציגי 18 מדינות וכן ארבע המפלגות הקמבודיות העיקריות, כדי לדון בעתידה של קמבודיה לאחר שחרורה מן הכיבוש הווייטנאמי. מטרתם הייתה ליצור משטר יציב שימנע את שובם של הקמר רוז' ויספק לעם הקמבודי הגדרה עצמית ראויה.
שתי המדינות עובדות בשיתוף פעולה הדוק עם בכל הנוגע להברחת אנשים, סחר בבני אדם, תיירות מין, סחר בסמים וטרור.
דרום ומזרח אסיה > אינדונזיה אינדונזיה

מאז קבלת עצמאותה של אינדונזיה, שומרות שתי המדינות על יחסים דיפלומטיים הדדיים, שיתוף פעולה פורמלי (בעיקר בתחום שימור הדיג, אכיפת החוק הבינלאומי ושיתוף פעולה להשגת צדק), שיתוף פעולה ביטחוני, שמירה והרחבת הסכמי אמנה, חברות בפורומים אזוריים, והשתתפות במספר אמנות רב-צדדיות חשובות.
בשנים האחרונות חלה עלייה בסיוע האוסטרלי לאינדונזיה, ואוסטרליה הפכה למקום פופולרי עבור סטודנטים אינדונזים.
בשנים 09–2008 אינדונזיה הייתה המדינה שקיבלה הכי הרבה סיוע אוסטרלי בשווי של 462 מיליון דולר.