stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
נקודת יובקוב
הערות שוליים

↑  גאזט השמות האנטארקטיים הרשמי של בולגריה
1 2 3 4 5 6 7 8  מידע גאוגרפי והיסטורי
| איי שטלנד הדרומיים |
| --- | --- | --- |
| איים עיקריים | אי הפיל (אלפנט) • המלך ג'ורג' • גריניץ' • דספשן • לואו • ליווינגסטון • נלסון • סמית' • סנואו • קלרנס • רוברט |  |
| איים קטנים | אלפאוס • אסטור • בארלו • האף מון • איי זד (האי אספרנטו • האי לסידרן • האי פאנאגוריה • האי קושאבה) • ראגד |  |
| איונים | סלע גרייס • סלע פולגר • סלעי ראגד |  |
| מצרי ים | איגליקה • מצר אוסמר • מצר אינגליש • מצר בויד • מצר ברנספילד • מצר מורטון • מצר מקפארליין • מצר סמולנסק |  |
| שוניות והר מצולה  (הרים תת-ימיים) | הר ורדי |  |
| רכסי הרים | רכס אימאון • רמת דוספיי • רמת וידין • רכס ולקה |  |
| הרים ומצוקים | אבלוגי • אונגל • אורגנה • אירווינג • אנטים • דרינוב • הלמט • כריסטי • מאטוצ'ינה • מומצ'יל • מזק • מיזייה • נאופיט • נייפייר • סבלייבסקי • סלאטינה • סלאבייקוב • סן סטפנו • פוסטר • פלאנה • פסגה • רוז • ריגס • שארפ • שופן |  |
| אוכפים | ויטושה • ורשץ • מאדאן • נסבר • פופובו • קוסטנץ |  |
| נונאטאקים | וילן • באחו |  |
| גבעות | אדינבורו • באטנברג • דולו • דרונג • לזלי • נגרו • סילר • פנקה • צ'סטר • רזן |  |
| חצאי אי ולשונות יבשה | נקודת אדוארדס • גבעת אדינבורו • נקודת איוואן אסן • נקודת אלין פלין • נקודת אמאדוק • נקודת אסקס • חצי האי ארצ'ר • נקודת באטאק • חצי האי בורגס • נקודת באטאק • נקודת בטוליה • נקודת בוטב • חצי האי ביירז • נקודת בנסון • נקודת ברון • נקודת גארמן • כף ג'יימס • נקודת גרגורי • נקודת דבליאנוב • נקודת דומטה • נקודת דופניצה • נקודת דליאן • נקודת האמר • נקודת הרמוני • נקודת ואראדרו • חצי האי וארנה • נקודת וונד • נקודת וילאגרה • נקודת וליקאן • נקודת זהרי • נקודת יאנה • נקודת יובקוב • נקודת יירצ'ק • נקודת לאקאטניק • נקודת לברנוב • ליונז ראמפ • נקודת ליסטה • נקודת מדובנה • נקודת מקין • נקודת מקרוני • ראש מרטינז • נקודת מרקלי • נקודת נגרה • נקודת ניואל • נקודת ניקופול • נקודת סאדאלה • נקודת סבאר • נקודת סומוביט • נקודת סידינס • נקודת סמירננסקי • כף סמית' • נקודת סנאה קרוז • נקודת סקלינה • נקודת סרדץ • נקודת פרליק • נקודת קובאדין • נקודת קוטיס • חצי האי קופרמיין • נקודת קיצ'ן • נקודת קתרינה • נקודת ראדב • נקודת רוברט • נקודת רוס • נקודת רזדל • חצי האי ריי • נקודת רילה • נקודת ריש • נקודת רנייר • כף שירף |  |
| מפרצים | אדמירליטי • איוואן אסן • באבה טונקה • ברשליאן • גארניה • המלך ג'ורג' • הירו • ודנה • זאפאלניה • חיסריה • יארביצה • יונדולה • לגרו • לינבו • מון • מיטשל • מיקאלבי • נבסטינו • ניקולוב • פאקושה • צפינה • קרוני • קרלוטה |  |
| אגמים | אגם לימנופולאר • אגם מידג' |  |
| קרחונים | קרחוני איי שטלנד הדרומיים בחלוקה לפי איים |  |
| מבנים | כנסיית השילוש הקדוש |  |
| אזורים אנטארקטיים מוגנים במיוחד | חצי האי ביירז • נקודת הרמוני • ליונז ראמפ • מפרץ אדמירליטי • כף שירף |  |
| אזורי ציפורים בעלי חשיבות | מפרץ אדמירליטי • נקודת בארנארד (נקודת ברנרד) • חצי האי ביירז • נקודת הרמוני • האי טרטר • ליונז ראמפ • חצי האי פוטר • כף שירף |  |
נמל התעופה בילבאו

נמל התעופה בילבאו הוא נמל תעופה בינלאומי המשרת את העיר בילבאו בחבל הבסקים שבספרד. הוא נמל התעופה הגדול ביותר בצפון המדינה. הוא ידוע בשל בניין הטרמינל שלו, שתוכנן על ידי האדריכל סנטיאגו קלטרווה.
מתקנים

בניית נמל התעופה החלה ב-1927 אך הוא נפתח רק בשנת 1948. מתקניו התרחבו עם השנים. ב-1950 נפתח בו הטרמינל המקורי ובמהלך שנות השמונים נפתח גם טרמינל למטענים. ב-1999 נחנך בו מגדל פיקוח חדש ושנה אחר כך נחנך הטרמינל החדש בתכנונו של קלטרווה בשטח של 32,000 מטר רבוע ובקיבולת של 4.5 מיליון נוסעים בשנה. המבנה, הבנוי מבטון לבן וזכוכית, הוא דו קומתי וכולל אלמנט מחודד במרכזו שמשני צידיו מעין כנפיים. בשל כך זכה לכינוי "היונה". בשנת 2009 הוכרז על כוונה להגדיל את הטרמינל, אך הדבר טרם נעשה.[דרוש מקור]
בנמל התעופה שני מסלולי טיסה ושישה גשרי עלייה למטוס.
פעילות

מאז שנת 2000 הלך וגדל מספר הנוסעים השנתי העוברים בנמל, אם כי לא באופן עקבי. ב-2000 היה מספרם 2.55 מיליון, ב-2004 - 3.395 מיליון, ב-2007 - 4.286 מיליון. לאחר שחצה את רף ה-4 מיליון ב-2011 ירד מספר הנוסעים ב-2013 עד ל-3.8 מיליון, ולאחר מכן שב ועלה עד ל-5.469 מיליון ב-2018. מספר תנועות המטוסים עלה מ-45,506 בשנת 2000 עד לשיא של 63,076 ב-2007. לאחר מכן ירד לשפל של 42,590 ב-2013 ועלה עד ל-49,966 ב-2018.
הנמל משרת למעלה מעשרים חברות תעופה, שהבולטות בהן מבחינת מספר הנוסעים הן וולינג איירליינס, לופטהנזה, איבריה, אייר אירופה ואיזיג'ט. הן פועלות בקווים ליעדים רבים בספרד ובמערב אירופה, לרבות צ'כיה, אוסטריה, נורווגיה ושוודיה, וכן לטורקיה ולישראל.
בשנת 2018 היו הקווים העמוסים ביותר לנמל וממנו למדריד (811 אלף נוסעים) וברצלונה (632 אלף), ואחריהם למינכן (302 אלף), סביליה (261 אלף), פרנקפורט (233 אלף) ואמסטרדם (232 אלף).
ב-19 בפברואר 1985 התרסק המטוס שנשא את טיסת איבריה 610 בדרכו לנמל על הר Oiz בצפון ספרד. כל 148 יושביו נספו בהם שר הכלכלה והחוץ לשעבר בממשלת פרנקו גרגוריו לופס בראו ושר העבודה הבוליביאני גונזאל אס אגס.
הערות שוליים

↑  רחל פרק, המטוס התנגש בהר, התפוצץ והתרסק לתהום, חדשות, 20 בפברואר 1985
| --- | --- |
בקרת זהויות :  VIAF: 172155775   WorldCat (עם VIAF): 172155775
סטנקיל, מלך שוודיה

סטנקיל (בנורדית עתיקה: Steinkell, בשוודית: Stenkil ;‏ 1030 – 1066) היה מלך שוודיה משנת 1060 לערך ועד מותו. הוא ירש על כס המלכות את אמונד הזקן והיה לראשון מלכי בית סטנקיל. מוצאו של סטנקיל ככל הנראה מוסטרייטלנד וקשר המשפחה שלו לשושלת המלכים הקודמת הייתה באמצעות נישואיו לבתו של אמונד הזקן.
סטנקיל תמך בתהליך התנצרותה של שוודיה ושיתף פעולה עם הארכיבישופות של המבורג-ברמן. אף על פי כן, כאשר רצה הבישוף אדלוורד הצעיר להרוס את המקדש הנורדי באופסלה, מנע סטנקיל בעדו, שכן הוא חשש ממרידה של הפגנים. החששות היו מוצדקות ככל הנראה. על פי הסאגה של הרוורר, בנו של סטנקיל, אינגה הזקן, הודח והוגלה על רצונו לבטל את פולחן הקרבת הקורבנות במקדש.
סטנקיל התגורר בעיקר בוסטרייטלנד, שם זכרו אותו במשך שנים כמלך "שאהבתו לתושבי המחוז עלתה על אהבתו לשאר נתיניו", והוא זכה לשבחים כקשת מעולה.
המסורת שעל פיה נערץ סטנקיל על ידי הגותים קיבלה חיזוק במחזור העולם של סנורי סטורלוסון. בנאום שנשא תורביד "שומר החוק" מוסטרייטלנד לפני הקרב נגד האראלד השלישי, מלך נורווגיה, הוא ביטא את נאמנותם של הגותים לסטנקיל:
השופט של העם הגותי, תורביד, ישב על סוס, והרסן היה מהודק ליתד שהייתה נעוצה בבוץ. הוא פתח בדברים האלה: "האל יודע שיש לו ברנשים אמיצים ונחמדים פה, ועלינו לגרום למלך סטנקיל לשמוע שעמדנו לצדו של הרוזן הטוב בגבורה. אני בטוח בדבר אחד: עלינו לנהוג באבירות כנגד האנשים הללו מהצפון, אם הם יתקפו אותנו. אך אם אנשינו הצעירים יכנעו, אנו לא נתקדם מעבר לזרם. אך אם הם יכנעו, דבר שאני בטוח שהם לא יעשו, לא נתקדם יותר מאשר מעבר לגבעה הזאת"
על פי האגדה, נקבר סטנקיל בגבעה המלכותית ליד לוודן שוסטרייטלנד. שני בניו, אלסטן ואינגה הזקן, מלכו אחריו.
נמל התעופה אנגלסי

נמל התעופה אנגלסי (באנגלית: Anglesey Airport, בוולשית: Maes Awyr Ynys Môn) הוא נמל תעופה קטן השוכן בתוך בסיס חיל האוויר המלכותי ואלי (באנגלית: RAF Valley, בוולשית: Llu Awyr Brenhinol Y Fali), באי אנגלסי שבצפון-מערב ויילס.
נמל התעופה משרת כיום קו טיסה בודד המקשר את צפון ויילס עם העיר קארדיף בדרום, כאשר נכון ל-2018 עברו בנמל 14,629 נוסעים. בסיס ואלי שמרכיב את הנמל משמש בעיקר יחידות אימון והכשרה של חיל האוויר המלכותי לצד כוח חילוץ מוסק המשמש את אזור סנודוניה והים האירי.
היסטוריה

בסיס ואלי הוקם ב-1941 במהלך מלחמת העולם השנייה, במטרה להעניק הגנה אווירית לאזורים המתועשים של צפון אנגליה. ב-1943 מסלולי הנחיתה וההמראה הורחבו והבסיס הפך גם לתחנת מעבר של טיסות מארצות הברית כחלק מהמאמץ המלחמתי המשותף של בעלות הברית, ביום אחד בספטמבר 1944 נחתו בבסיס 99 מפציצים של חיל האוויר האמריקאי בדרכם לאירופה. לאחר סיום המלחמה כ-2,600 מפציצים אמריקאים עברו בבסיס בדרכם חזרה מזירות הלחימה לארצות הברית. במהלך 1950 הבסיס עבר שיפוצים נרחבים ובאפריל 1951 טייסת 202 הוקמה מחדש בבסיס כיחידת הכשרה ואימון למטוסי קרב סילוניים. מאז משמש בסיס ואלי כמרכז אימון והכשרה לטייסי חיל האוויר המלכותי, לצידו מספר יחידות חילוץ והצלה האמונות על הים האירי סביב חופי ויילס והשטחים ההרריים בצפון ויילס, בהם הרי סנודוניה.
בשנת 2006 הפרלמנט הוולשי (אז האספה הלאומית הוולשית) החליט על הקמת נמל תעופה לאומי שיחלוק בתשתיות בסיס ואלי, לאחר עבודות הקמה והרחבת תשתיות, נמל התעופה אנגלסי נפתח במאי 2007 עם שתי טיסות שבועיות בינו לבין נמל התעופה קארדיף. נמל התעופה כלל טרמינל בודד במבנה קרקע, דלפק צ'ק-אין, אולם נוסעים יוצאים ואזור ניהול כבודה, הוא נבנה בעזרת תקציב הפרלמנט הוולשי בעלות של כמיליון ליש"ט. בעלי השליטה בנמל התעופה הם בסיס חיל האוויר ואלי, הפרלמנט הוולשי, מועצת מחוז אנגלסי, ונמל התעופה קארדיף.
תחבורה

נמל התעופה אנגלסי שוכן כ-2.5 קילומטר דרומית לכביש המהיר של צפון ויילס ה-A55 שמחבר אותו מזרחה לבנגור, אזור קונווי, צ'סטר והמרכזים העירוניים באזור המרזי בהם ליברפול ומנצ'סטר.
לנמל ולבסיס גישה לרשת הרכבות של בריטניה דרך תחנת הרכבת ואלי (שבעיירה ואלי) מצפון-מערב או דרך תחנת רוסנייגר הקטנה יותר ממזרח.
בסיס חיל האוויר המלכותי ואלי

בסיס חיל האוויר ואלי משמש כיום מספר יחידות אימון והכשרה של חיל האוויר המלכותי, בנוסף לכוח חילוץ ימי והררי מוסק המופעל מהבסיס.
להק 22 (אימון והכשרה)
בית ספר אימון טיסה 4
טייסת 4 (BAE סיסטמס הוק)
טייסת 25 (BAE סיסטמס הוק)
טייסת 72 (T-6 טקסאן II)
בית ספר אימון טיסה 1
טייסת 202 (איירבוס H145)
להק 38 (סיוע)
שירות החילוץ ההררי של חיל האוויר המלכותי
נרצ'ינסק

נרצ'ינסק (ברוסית: Нерчинск; בסינית: 尼布楚) היא עיר בחבל עבר הבאיקל, השוכנת על הגדה השמאלית של נהר הנרצ'ה (אנ'). נרצ'ינסק היא עיר ראשית של נפת נרצ'ינסקי משנת 1937. אוכלוסייתה מונה 14,959 תושבים נכון ל-2010.
נרצ'ינסק היא אחת מהערים הרוסיות העתיקות בעבר הבאיקל. קוזאק רוסי פיטר בקטוב בנה את המצודה הראשונה בנרצ'ינסק בשנת 1654. הסכם נרצ'ינסק בין רוסיה לבין סין נחתם בעיר זו ונרצ'ינסק הפכה לעיר מרכזית באזור ענק. בעיר נמצאו מכרות כסף ועופרת ואסירים רבים מאירופה נשלחו לכאן כעובדי מכרות רבות. אזורה של נרצ'ינסק הפך לבית סוהר ענק בהיסטוריה של האימפריה הרוסית שהיה קיים עד שנת 1917. בסוף המאה ה-19 הרכבת הטרנס-סיבירית פסחה על העיר וזה גרם לירידתה של נרצ'ינסק מכל הבחינות.
משפט ניוטון על מסלולים סובבים

איור 1: כוח משיכה (F(r גורם לכוכב הלכת הכחול לנוע על מעגל בצבע ציאן. כוכב הלכת הירוק נע 3 פעמים מהר יותר ולכן מצריך כוח צנטריפטלי חזק יותר, שמסופק על ידי הוספה של כוח משיכה היפוך מעוקב. כוכב הלכת האדום נייח; הכוח (F(r מאוזן בדיוק על ידי כוח דחייה היפוך מעוקב.
משפט ניוטון על מסלולים סובבים (באנגלית: Newton's theorem of revolving orbits) במכניקה קלאסית מזהה את סוג הכוח המרכזי הדרוש כדי להכפיל את המהירות הזוויתית של חלקיק בתנועה מסלולית בפקטור k מבלי להשפיע על התנועה הרדיאלית שלו (איורים 1 ו-2). ניוטון יישם את המשפט הזה כדי להשיג הבנה של הרוטציה הכוללת של מסלולים (פרצסיה אפסידית, איור 3) שנצפית אצל תנועת הירח וכוכבי הלכת. המונח "תנועה רדיאלית" מתייחס לתנועה פנימה או החוצה ממרכז הכוח, בעוד התנועה הזוויתית היא מאונכת לתנועה הרדיאלית.
אייזק ניוטון גזר את המשפט הזה בטענות 43–45 של הספר הראשון של עבודתו "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע", שפורסמה ב-1687. בטענה 43, הוא הראה שהכוח שצריך להוסיף חייב להיות כוח מרכזי, כלומר כוח שגודלו תלוי אך ורק במרחק r בין החלקיק ונקודה קבועה במרחב (מרכז הכוח). בטענה 44, הוא גזר את הנוסחה לכוח, והראה שזהו כוח היפוך-מעוקב, היינו כוח שמשתנה כמו ההופכי לחזקה השלישית של r. בטענה 45, ניוטון הרחיב את המשפט שלו לחוקי כוח שרירותיים תחת ההנחה של מסלולים קרובים למעגליים (בעלי אקסצנטריות נמוכה).
כפי שהאסטרופיזיקאי סוברהמניאן צ'נדראסקאר הבחין בסיכום שכתב ב-1995 על הפרינקיפיה של ניוטון, המשפט הזה נותר לא ידוע למרבית הקהילה המדעית ולא מפותח במשך יותר משלוש מאות שנה. מאז 1997, המשפט נלמד על ידי דונלד לינדן בל ושותפיו למחקר, וההכללה המדויקת הראשונה שלו ניתנה בשנת 2000 בעבודתם של Mahomed ו- Vawda.
ניסוח מתמטי

נתייחס לחלקיק הנע בהשפעת כוח מרכזי שרירותי (F1(r אשר גודלו תלוי רק במרחק r בין החלקיק ונקודה קבועה. כיוון שהתנועה של החלקיק תחת הכוח המרכזי נחה במישור, המיקום של החלקיק ניתן לתיאור על ידי קואורדינטות פולריות (r, θ1), הרדיוס והזווית של החלקיק יחסית למרכז הכוח. שתי הקואורדינטות האלו, (r(t ו-(θ1(t, משתנות בזמן t כאשר החלקיק נע.
נדמיין כעת חלקיק שני עם אותה המסה m ועם אותה התנועה הרדיאלית (r(t, אבל שהמהירות הזוויתית שלו היא k פעמים מהירה יותר מזה של החלקיק הראשון. במילים אחרות, הזוויות האזימוטליות של שני החלקיקים קשורות זו לזו בקשר המתמטי (θ2(t) = k θ1(t. ניוטון הראה כי ניתן ליצור את התנועה של החלקיק השני על ידי הוספת כוח היפוך - מעוקב לכל כוח (F1(r שפועל על החלקיק הראשון:
F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)
כאשר L1 הוא הגודל של התנע הזוויתי של החלקיק הראשון, שהוא קבוע תנועה (גודל שמור) בעבור כוחות מרכזיים. ניוטון הראה לפיכך כי הכוח ההיפוך המעוקב הוא המפתח להבנת בעיות הקשורות בפרצסיה של מסלולים. התוצאה הזו נובעת ישירות מהתייחסות אל הכוח הצנטריפוגלי (בתנועה מעגלית, הכוח הצנטריפוגלי שווה בגודלו והפוך בכיוונו מהכוח הצנטריפטלי, כלומר הוא מכוון החוצה ממרכז המעגל) ככוח דחייה "אפקטיבי" שמשתנה לפי היפוך החזקה השלישית של המרחק ממוקד הכוח (ראו גם גזירת המשפט בסוף הערך).
אם k2 גדול יותר מאחד, F2  −  F1 הוא מספר שלילי; לכן, הכוח ההיפוך מעוקב שמתווסף צריך להיות כוח משיכה, כפי שניתן לראות בתנועת הכוכב הירוק באיורים 4 - 1 ו-9. בניגוד לכך, אם k2 קטן מאחד, F2 − F1 הוא מספר חיובי; הכוח ההיפוך מעוקב שצריך להוסיף הוא כוח דחייה, כפי שניתן לראות בתנועת הכוכב הירוק באיורים 5 ו-10, וזו של הכוכב האדום באיורים 4 ו-5.
ניסוח מתמטי > שינוי של מסלול החלקיק

ההוספה של כוח היפוך מעוקב גם משנה את המסלול שהחלקיק מבצע. כשמדברים על המסלול שהחלקיק מתווה לא מתייחסים לתלות בזמן של התנועות הרדיאליות והזוויתיות, כמו (r(t ו- (θ1(t; בשונה מכך, המסלול מקשר את משתני הרדיוס והזווית אחד לשני. למטרה זו, משתנה הזווית הוא לא מוגבל ויכול לגדול באופן שרירותי כשהחלקיק מסתובב מסביב לנקודה המרכזית מספר פעמים. לדוגמה, אם החלקיק מסתובב פעמיים מסביב לנקודה המרכזית וחוזר למיקום ההתחלתי שלו, הזווית הסופית שלו היא לא כמו הזווית ההתחלתית שלו; היא גודלת ב-2×360° = 720°. באופן פורמלי, משתנה הזווית מוגדר כאינטגרל של המהירות הזוויתית:
\theta _{1}\equiv \int \omega _{1}(t)\,dt.
הגדרה דומה תופסת גם ל-θ2, הזווית של החלקיק השני.
אם המסלול של החלקיק הראשון מתואר בצורה (r = g(θ1, המסלול של החלקיק השני ניתן על ידי הפונקציה 
(r = g(θ2/k, כיוון ש- θ2 = k θ1. לדוגמה, נניח שהמסלול של החלקיק הראשון הוא אליפסה:
כאשר A ו-B הם קבועים; אז המסלול של החלקיק השני ניתן על ידי:
{\frac {1}{r}}=A+B\cos \left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)..
במקרה של החלקיק השני, המסלול שיתואר על ידו אינו בהכרח מסלול סגור, אלא דווקא מסלול דמוי-שושנה - מסלול שמבצע פרצסיה.
פרצסיה מסלולית

אם k קרוב, אבל לא שווה, לאחד, המסלול השני דומה מאוד לראשון, אבל סובב בהדרגה מסביב למרכז הכוח; תכונה זו נקראת פרצסיה מסלולית (איור 3). אם k גדול יותר מאחד, המסלול מבצע פרצסיה באותו כיוון כמו כיוון התנועה של הכוכב (איור 3); אם k קטן מאחד, המסלול יבצע פרצסיה במגמה הפוכה למגמת הסיבוב של הכוכב.
אף על פי שהמסלול באיור 3 נראה כאילו הוא סובב במהירות אחידה, כלומר במהירות זוויתית קבועה, תנועה אחידה כזאת נכונה רק למסלולים מעגליים. אם המסלול סובב במהירות זוויתית Ω, המהירות הזוויתית של החלקיק השני מהירה יותר או נמוכה יותר מזה של החלקיק הראשון ב-Ω; במילים אחרות, המהירויות הזוויתיות יקיימו את הקשר:  \omega _{2}=\omega _{1}+\Omega . בנוסף, משפט ניוטון על מסלולים סובבים קובע שהמהירויות הזוויתיות קשורות זו לזו על ידי יחס ההכפלה: \omega _{2}=k\omega _{1}, כאשר k הוא קבוע. שילוב שתי המשוואות האלו מניב את התוצאה שהמהירות הזוויתית של הפרצסיה שווה ל-:  \Omega =(k-1)\omega _{1}. מכך נובע גם ש-Ω קבוע רק אם  \omega _{1} קבוע. לפי חוק שימור התנע הזוויתי  \omega _{1} משתנה עם הרדיוס r לפי:
\omega _{1}={\frac {L_{1}}{mr^{2}}};
כאשר m ו-L1 הם המסה והתנע הזוויתי של החלקיק הראשון, בהתאמה, ושניהם קבועים. מכך נובע איפוא, ש-ω1 הוא קבוע אם ורק אם הרדיוסr, כלומר כאשר המסלול הוא מעגל. במקרה זה, המסלול לא משתנה כאשר הוא מבצע פרצסיה.
דוגמה להמחשה: ספירלות קוטס

ההמחשה הפשוטה ביותר למשפט של ניוטון מתרחשת כאשר אין כוח מרכזי התחלתי, כלומר כאשר F1(r) = 0. במקרה זה החלקיק הראשון נמצא במנוחה או נע בקו ישר. אם הוא נע בקו ישר שלא עובר דרך ראשית הצירים (מרכז הכוח), המשוואה של ישר כזה ניתנת לכתיבה בקואורדינטות פולריות (r, θ1) כך:
{\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ (\theta _{1}-\theta _{0})
כאשר θ0 היא הזווית בה המרחק ממרכז הכוח מגיע למינימום. המרחק r מתחיל באינסוף 
(כאשר θ1 – θ0 = −90°) ויורד בהדרגה עד ש-θ1 – θ0 = 0°, כאשר המרחק מגיע למינימום, ואז גדל בהדרגה שוב לאינסוף כאשר θ1 – θ0 = 90°. המרחק המינימלי נקרא פרמטר פגיעה (Impact parameter), שמוגדר גם כאורך האנך המורד מהמרכז הקבוע לקו של התנועה. ניתן להפיק את אותה התנועה הרדיאלית כאשר מוסיפים כוח היפוך מעוקב.
לכוח היפוך מעוקב (F2(r יש את הצורה:
F_{2}(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}
כאשר המונה μ עשוי להיות חיובי (כוח דחייה) או שלילי (כוח משיכה). אם כזה כוח היפוך מעוקב מוסף, המשפט של ניוטון קובע שלפתרונות המתאימים תהיה צורה שנקראת ספירלת קוטס (כלומר הפתרון למסלול שמתקבל כאשר פועל על חלקיק אך ורק כוח היפוך מעוקב הוא ספירלת קוטס). ספירלות אלו הם עקומים המוגדרים על ידי המשוואה:
{\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ \left({\frac {\theta _{2}-\theta _{0}}{k}}\right)
כאשר הקבוע k שווה:
k^{2}=1-{\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}.
כאשר החלק הימני באגף ימין של המשוואה האחרונה הוא מספר חיובי, הפתרון שמתארת המשוואה נקרא אפיספירלה. כאשר הארגומנט θ1 – θ0 שווה ±90°×k, הקוסינוס שואף לאפס והרדיוס שואף לאינסוף. לכן, כאשר k הוא פחות מאחד, הטווח של זוויות אפשריות הוא קטן והכוח הוא דחייתי (העקום האדום שבצד ימין באיור 7). מצד שני, כאשר k גדול יותר מאחד, טווח הזוויות האפשריות גדל, ומתאים לכוח משיכה (העקום הירוק, ציאן וכחול שבצד שמאל באיור 7); המסלול יכול להקיף את המרכז מספר פעמים. הערכים האפשריים של הפרמטר k נעים בין אפס לאינסוף, והם מתאימים לערכים של μ שנעים מאינסוף שלילי עד לגבול החיובי העליון, שהוא L12/m. לכן, לכל הכוחות ההיפוך מעוקבים המשיכתיים (μ שלילי), יש אפיספירלה מתאימה, כמו גם לכמה כוחות דחייתיים (μ < L12/m), כמומחש באיור 7. כוחות דחייתיים חזקים יותר מתבטאים בתנועה ליניארית מהירה יותר.
אחד מהסוגים האחרים של הפתרונות ניתן במונחים של קוסינוס היפרבולי:
{\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cosh \ \left({\frac {\theta _{0}-\theta _{2}}{\lambda }}\right)
כאשר הקבוע λ מקיים:
\lambda ^{2}={\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}-1.
צורה זאת של ספירלות קוטס מתאימה לאחת משתי ספירלות פוינסוט (איור 8). הערכים האפשריים של λ נעים בין אפס לאינסוף, מה שמתאים לערכים של μ הגדולים יותר מהמספר החיובי L12/m. לכן, תנועה דמוית ספירלת פוינסוט מתרחשת במקרה של כוחות היפוך מעוקבים דחייתיים, ונכונה במקרה ש-L לא גדול מדי לערך נתון של μ.
אם ניקח את הגבול של k או λ כאפס נקבל כפתרון את הצורה השלישית של ספירלת קוטס, זו הנקראת ספירלה הופכית או ספירלה היפרבולית:
{\frac {1}{r}}=A\theta _{2}+\varepsilon
כאשר A ו-ε הם קבועים שרירותיים. עקומים כאלה נוצרים כאשר החוזק μ של כוח הדחייה מאזן במדויק את איבר התנע זוויתי - מסה:
\mu ={\frac {L_{1}^{2}}{m}}.
מסלולים סגורים וכוחות מרכזיים היפוך מעוקבים

לשני סוגים של כוחות מרכזיים - אלו שגדלים באופן ליניארי עם המרחק F = Cr, כמו בחוק הוק, וכוחות היפוך ריבועיים F = C/r2, כמו בחוק הכבידה העולמי של ניוטון וחוק קולון, יש תכונה מאוד מיוחדת. חלקיק הנע תחת השפעת כל אחד מהכוחות האלה תמיד חוזר למיקום ההתחלתי שלו עם המהירות ההתחלתית שלו, בתנאי שאין לו מספיק אנרגיה כדי לנוע לאינסוף. במילים אחרות, המסלול של חלקיק הוא תמיד סגור והתנועה שלו חוזרת על עצמה אינסוף פעמים, לא משנה מה המיקום או המהירות ההתחלתית שלו. כפי שמראה משפט ברטרנד, תכונה זאת לא מתקיימת כאשר מניחים סוגים אחרים של כוח; באופן כללי, חלקיק לא יחזור לנקודת ההתחלה שלו עם אותה מהירות.
אף על פי כן, המשפט של ניוטון מראה שניתן להוסיף כוח היפוך מעוקב ניתן לכוח ליניארי או היפוך ריבועי באופן כזה שמסלול החלקיק יישאר סגור, בהינתן ש-k שווה למספר רציונלי (מספר נקרא "רציונלי" אם הוא ניתן לכתיבה כשבר m/n, כאשר m ו-n שניהם מספרים טבעיים). במקרים כאלה, ההוספה של כוח היפוך מעוקב תגרום לחלקיק להשלים m סיבובים בזמן שהוא משלים 
n תנודות רדיאליות. השיטה הזאת להפקת מסלולים סגורים כאלו לא מפרה את משפט ברטרנד, כיוון שהכוח ההיפוך מעוקב שמוסיפים תלוי במהירות ההתחלתית של החלקיק.
מסלולים הרמוניים ותת-הרמוניים הם סוגים מיוחדים של מסלולים סגורים כאלו. מסלול סגור ייקרא מסלול הרמוני אם k הוא מספר טבעי, כלומר כאשר n = 1 בנוסחה 
k = m/n. לדוגמה, אם k = 3 (הכוכב הירוק באיורים 1 ו-4, והמסלול הירוק באיור 9). המסלול שנוצר הוא ההרמוניה השלישית של המסלול המקורי. בשונה מכך, מסלול סגור ייקרא מסלול תת-הרמוני אם k הוא ההופכי של מספר טבעי, כלומר כאשר m = 1 בנוסחה k = m/n. לדוגמה, אם k = 1/3 (הכוכב הירוק באיור 5, והמסלול הירוק באיור 10), המסלול שנוצר הוא התת-הרמוניה השלישית של המסלול המקורי. אף על פי שקרוב לוודאי שמסלולים כאלה לא יופיעו בטבע, הם שימושיים להדגמת המשפט של ניוטון.
גבול של מסלולים כמעט מעגליים

בטענה 45 של הפרינקיפיה, ניוטון מיישם את המשפט שלו על מסלולים סובבים כדי לפתח שיטה כללית למצוא את חוקי הכוח ששולטים בתנועה של כוכבי הלכת. יוהאנס קפלר הבחין שהמסלולים של מרבית כוכבי הלכת ושל הירח הם אליפסות, ושהציר הארוך של האליפסות האלה ניתן לחישוב באופן מדויק מתצפיות אסטרונומיות. הציר הארוך מוגדר כקו שמחבר את המיקומים במסלול בעלי המרחק המינימלי והמקסימלי מהנקודה המרכזית, כלומר הקו שמחבר את שני האפסידים. לצורך ההדגמה, הציר הארוך של מסלול כוכב הלכת חמה מוגדר כקו שמחבר את מיקומי הפריהליון והאפהליון העוקבים שלו. במהלך הזמן, הציר הארוך של מרבית הגופים במסלול סובב בהדרגה, באופן כללי לא יותר מכמה מעלות לסיבוב שלם אחד, וזאת בגלל משיכות כבידתיות מגופים אחרים, פחיסות בגוף המושך, אפקטים יחסותיים, ואפקטים אחרים. השיטה של ניוטון נעזרת בפרצסיה האפסידית הזאת כמבדק רגיש לסוג הכוח שפועל על כוכבי הלכת.
המשפט של ניוטון תיאר עד כה רק את האפקט של הוספת כוח היפוך מעוקב. עם זאת, בטענה 45 ניוטון מרחיב את המשפט שלו לכוחות מרכזיים שרירותיים (F(r באמצעות התמקדות במסלולים שהם כמעט מעגליים, כמו אליפסות עם אקסצנטריות נמוכה (ε ≤ 0.1), תנאי שהוא נכון לשבע מתוך שמונה מסלולי כוכבי הלכת במערכת השמש. ניוטון גם יישם את המשפט שלו למסלול כוכב הלכת חמה, שיש לו אקסצנטריות ε  של בערך 0.21, והציע שהוא עשוי להשפיע על השביט של האלי, אשר למסלולו יש אקסצנטריות של בערך 0.97.
גבול של מסלולים כמעט מעגליים > נוסחה כמותית

הגישה בה ניוטון נעזר כדי לחשב את האפקט של חוקי כוח שרירותיים בגבול של מסלול כמעט מעגליים היא להסתכל על האפקט של תנודות קטנות במרחק הרדיאלי של הכוכב ממרכז הכוח, ולהשוות עם האפקט של כוח היפוך מעוקב על פרצסיית המסלול של הכוכב. כיוון שניוטון הראה שהוספת כוח היפוך מעוקב היא המפתח להבנת הפרצסיה של מסלולים, ושכל פרצסיה ניתנת למידול על ידי הוספת כוח כזה, השוואה בין האפקט של השינוי הקטן בכוח שמפעיל מרכז הכוח (הנגזר מחוק הכוח הכללי) לאפקט של כוח היפוך מעוקב, איפשרה לו לגזור נוסחה כללית להשפעה של חוק כוח כללי על מסלול כוכב הלכת. להלן מובא הפיתוח של ניוטון.
כדי לפשט את המשוואות, ניוטון כותב את הכוח המרכזי (F(r במונחים של פונקציה חדשה (C(r:
F(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}
כאשר R הוא הרדיוס הממוצע של המסלול הכמעט מעגלי. ניוטון מפתח את (C(r בטור שכעת נקרא טור טיילור - הוא מפתח את הפונקציה בטור חזקות של המרחק r סביב הנקודה 
r = R, באחת ההופעות הראשונות של טור כזה. באמצעות השוואת האיבר ההיפוך מעוקב בטור עם האיבר ההיפוך מעוקב שנגזר מהמשפט הקודם שלו (טענה 44), ניוטון גוזר פקטור סקלה זוויתי אקוויוולנטי בעבור מסלולים כמעט מעגליים:
{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}
במילים אחרות, ההפעלה של כוח מרכזי שרירותי (F(r על מסלול אליפטי כמעט מעגלי יכולה להאיץ את התנועה הזוויתית בפקטור k מבלי להשפיע על התנועה הרדיאלית באופן משמעותי. אם מסלול אליפטי הוא סטציונרי, החלקיק מסתובב משביב למרכז הכוח ב-180° כשהוא נע מקצה אחד של הציר הארוך לשני (שני האפסידים). לכן, הזווית האפסידית המתאימה α בעבור כוח מרכזי כללי שווה k×180°, מסקנה אליה מגיעים באמצעות שימוש בחוק הכללי θ2 = k θ1.
גבול של מסלולים כמעט מעגליים > נוסחה כמותית > דוגמאות

דוגמה 1
נניח שהכוח המרכזי (F(r הוא מונום, כלומר ש-(C(r הוא מהצורה:
C(r)=ar^{n}
אז מהנוסחה האחרונה נקבל:
k={\sqrt {\left|{\frac {C(R)}{RC'(R)}}\right|}}={\sqrt {\left|{\frac {aR^{n}}{R(naR^{N-1})}}\right|}}={\sqrt {\left|{\frac {1}{n}}\right|}}
מה שנותן זווית פרצסיה להקפה שלמה ששווה ל-:
\phi =2\pi ({\sqrt {\left|{\frac {1}{n}}\right|}}-1).
הנוסחה מראה בבירור שחוקי חזקה גבוהים יותר גורמים לפרצסיה מסלולית גבוהה יותר.
בפרינקיפיה ניוטון מביא מספר ניבויים ספציפיים של הנוסחה. האחד הוא בעבור כוח היפוך ריבועי, שם מקבלים ש- n = 1 ושזווית הפרצסיה היא אפס, כלומר שמתקבל מסלול סגור, בהתאמה מושלמת עם פתרון בעיית קפלר. השני הוא בקשר למקרה של מתנד הרמוני, שם n = 4 ומקבלים זווית פרצסיה של 180 מעלות בדיוק. במקרה זה המסלול עדיין נשאר סגור.
הניבוי השלישי הוא זה של כוח רדיאלי קבוע, שם n = 3 ומקבלים זווית פרצסיה ששווה ל- 360/{\sqrt {3}} מעלות. ישנן דוגמאות ספציפיות להתנהגות כזאת, הפשוטה שבהן היא הבעיה של חלקיק הנופל במורד חרוט עם ציר אנכי. בבעיה זו החרוט נמצא בשדה כובד אחיד ומוצב כך שצירו מקביל לכיוון שדה הכובד, ומניחים בו חלקיק לו מקנים מהירות התחלתית שונה מאפס בכיוון כלשהו כך שהחלקיק מקובע לחרוט כל משך תנועתו. הדרישות הן שהחלקיק מצד אחד לא יימצא במסלול מעגלי יציב, ומצד שני ינוע עדיין במסלול כמעט מעגלי, אז מקבלים התנהגות מעניינת כזאת של ההיטל של החלקיק על מישור שניצב לציר החרוט.
דוגמה 2
כהדגמה מסכמת ואחרונה, ניוטון מחשיב כעת סכום של שני חוקי חזקות:
C(r)\propto ar^{m}+br^{n}
הנוסחה לחישוב הפרצסיה (שהשתמשנו בה בדוגמה הראשונה) מראה כי כעת המהירות הזוויתית תוכפל ב-:
k={\sqrt {\left|{\frac {a+b}{am+bn}}\right|}}
ניוטון מיישם את שתי הנוסחאות האלו (בעבור חוק החזקה וסכום של שני חוקי חזקה) כדי לבחון את הפרצסיה האפסידית של מסלול הירח.