stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מתמטיקה
היסטוריה

את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה הולכת וגדלה של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים. ההפשטה הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה, כי לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה משותפת, היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית.
בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם הפרהיסטוריים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים, כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים. משם נבעה באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
על-מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה לשמירת מידע מספרי. שיטות ספירה רבות ומגוונות הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר הידועים כיום נרשמו על ידי המצרים כ-4,000 שנה לפני זמננו בטקסטים כגון פפירוס רינד.
התחומים המרכזיים במתמטיקה נוצרו מתוך הצורך בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים, בחישובים לצורכי מס ומסחר, ובחיזוי אירועים שמימיים. מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, שינוי ומרחב.
חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל ומצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות.
מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים. תגליות מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות להתגלות עד היום. התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס. בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה. במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון אינפיניטסימלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים. פיתוח הגאומטריה הלא-אוקלידית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית. בסוף המאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות המתמטיקה. במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט. תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב.
למרות כל ההישגים הללו, הידע המתמטי שלנו רחוק מלהיות שלם: מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים. לשם הדגמה, בבסיס הנתונים של כתב העת Mathematical Review, שנוסד ב-1940, יש, נכון ל-2017, מעל שני מיליון מאמרים וספרים. רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם.
תחומי עיסוק

כאמור לעיל, התחומים העיקריים במתמטיקה הופיעו כתוצאה מהצורך לבצע חישובים במסחר, להבין את היחסים בין מספרים, למדוד אדמה ולחזות אירועים אסטרונומיים. ארבעת הצרכים הראשוניים האלו מחלקים באופן גס את המתמטיקה לחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי (אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה ואנליזה, בהתאמה). בנוסף לתחומים אלו, ישנן חלוקות-משנה המיועדות לחקר יסודות המתמטיקה (לוגיקה מתמטית ותורת הקבוצות), לשימושים של המתמטיקה במדעים השונים, ולאחרונה למחקר הריגורוזי באי-ודאות.
תחומי עיסוק > כמות

חקר הכמות מתחיל עם מספרים: ראשית, המספרים הטבעיים והשלמים והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע עליהם, אשר מאופיינות באמצעות האריתמטיקה. בהמשך, תכונות מורכבות יותר של המספרים השלמים  כגון המשפט האחרון של פרמה נלמדות בתורת המספרים.
לאחר פיתוח נוסף של מערכת המספרים, ניתן לראות כי המספרים השלמים הם תת-קבוצה של המספרים הרציונלים ("שברים"). אלה, בתורם, מהווים חלק מקבוצת המספרים הממשיים, המשמשים לייצוג כמויות רציפות. את המספרים הממשיים ניתן להכליל למספרים מרוכבים, וזהו צעד ראשון בהיררכיה של מספרים אשר ניתן להמשיך אותה עם קווטרניונים ואוקטוניונים. עיון במספרים הטבעיים מניב גם את הסודרים האינסופיים, שנותנים תוקף למושג של ספירה לאינסוף. תחום מחקר נוסף הוא גודל, אשר מוביל לעוצמות ולתפיסה אחרת של האינסוף: מספרי "אָלֶף", המאפשרים השוואה בעלת משמעות בין הגדלים של קבוצות אינסופיות.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  1,2,3\,\! |  -2,-1,0,1,2\,\! |  -2,{\frac {2}{3}},1.21\,\! |  -e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\! |  2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\! |
| מספרים טבעיים | מספרים שלמים | מספרים רציונליים | מספרים ממשיים | מספרים מרוכבים |
תחומי עיסוק > מבנה

עצמים מתמטיים רבים, כגון קבוצות של מספרים ושל פונקציות, הם בעלי מבנה פנימי. את תכונות המבנה שלהם חוקרים באמצעות התבוננות בחבורות, חוגים, שדות ומבנים מופשטים נוספים, שהם עצמים מתמטיים בפני עצמם. זהו תחום האלגברה המופשטת. מושג חשוב בתחום זה הוא וקטורים, אשר ניתן להכלילם למרחב וקטורי וללמוד אותם במסגרת האלגברה הליניארית. מושג הווקטור משלב בתוכו שלושה מהתחומים היסודיים במתמטיקה: כמות, מבנה ומרחב. אנליזה וקטורית מוסיפה את התחום היסודי הרביעי, שינוי. באמצעות חשבון טנזורים נחקרות סימטריות והתנהגותם של וקטורים תחת סיבובים. מספר שאלות עתיקות על בנייה בסרגל ומחוגה נפתרו לבסוף בתורת גלואה.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |

| תורת המספרים | אלגברה מופשטת | תורת החבורות | תורת הסדר |
תחומי עיסוק > מרחב

לימוד המרחב התחיל בגאומטריה - בפרט, גאומטריה אוקלידית. טריגונומטריה משלבת מרחב ומספרים. המחקר המודרני במרחב מכליל את הרעיונות האלה לגאומטריה מרובת-ממדים, גאומטריות לא-אוקלידיות (שלהן תפקיד מרכזי בתורת היחסות הכללית) וטופולוגיה. כמות ומרחב משתלבים באמצעות גאומטריה אנליטית, גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית. בתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית, אשר שמה דגש על מערכות צירים, חלקות וכיוון, נמצא את המושגים של אגד סיבים ואנליזה על יריעות. בגאומטריה אלגברית מתוארים העצמים הגאומטריים כקבוצת הפתרונות של משוואות פולינומיות, ובכך משתלבים מושגי הכמות והמרחב, וכן נחקרות חבורות טופולוגיות, אשר משלבות מבנה ומרחב. חבורות לי משמשות לחקר מרחב, מבנה ושינוי. טופולוגיה, על תתי-הענפים שלה, התפתחה במאה ה-20, וכוללת את השערת פואנקרה ואת משפט ארבעת הצבעים, שהוכח בעזרת מחשב ונכונותו לא אומתה בידי אדם.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |

| גאומטריה | טריגונומטריה | גאומטריה דיפרנציאלית | טופולוגיה | גאומטריה פרקטלית |
תחומי עיסוק > שינוי

תיאור והבנת שינוי הוא צורך נפוץ במדעי הטבע, וחשבון אינפיניטסימלי פותח ככלי רב-עוצמה לחקירתו. המושג העיקרי המשמש לתיאור מנה משתנית הוא הפונקציה. המחקר הריגורוזי במספרים הממשיים ובפונקציות המקבלות ערכים ממשיים נקרא אנליזה ממשית, והתחום המקביל החוקר פונקציות של מספרים מרוכבים נקרא אנליזה מרוכבת. השערת רימן, אחת מהשאלות הפתוחות היסודיות ביותר במתמטיקה, היא השערה על מספרים ראשוניים אבל מנוסחת באמצעות פונקציות מרוכבות. אנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי פונקציות, בדרך כלל בעלי אינסוף ממדים. אחד מהשימושים הרבים של האנליזה הפונקציונלית הוא במכניקת הקוונטים. בפתרון בעיות רבות ניתן להיעזר בקשרים בין כמות לבין קצב השינוי שלה, וקשרים אלה נלמדים בתחום המשוואות הדיפרנציאליות. תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור באמצעות מערכות דינמיות; תורת הכאוס חוקרת בצורה מדויקת את הצורה שבה רבות ממערכות אלה פועלות בצורה בלתי ניתנת לחיזוי אך עדיין דטרמיניסטית. אנליזה נומרית חוקרת שיטות חישוב שונות לפתרון יעיל של קשת רחבה של בעיות חישוביות שאין להן פתרון אנליטי; היא כוללת את המחקר בשגיאות עיגול ומקורות אחרים לשגיאות בחישוב.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |

| חשבון אינפיניטסימלי | אנליזה וקטורית | משוואות דיפרנציאליות | מערכות דינמיות |

| תורת הכאוס | אנליזה נומרית | פיזיקה מתמטית | מכניקת הזורמים |
תחומי עיסוק > יסודות ופילוסופיה

על מנת להסביר את יסודות המתמטיקה פותחו תחומי הלוגיקה המתמטית ותורת הקבוצות, וכן תורת הקטגוריות שעדיין בשלבי פיתוח. "משבר היסודות" הוא הכינוי שניתן בתחילת המאה ה-20 לחיפוש אחר יסודות מתאימים למתמטיקה, הוא תופעה מתמשכת, המומחשת על ידי מספר מחלוקות כגון המחלוקת על תורת קנטור, מחלוקת בראואר-הילברט ומחלוקת בישופ-קייסלר.
לוגיקה מתמטית מתייחסת לקביעת המתמטיקה על מסגרת אקסיומטית קשיחה, וחקר התוצאות של מסגרת כזו. ניתן למצוא בה את משפט האי-שלמות השני של גדל, אולי התוצאה המפורסמת ביותר בלוגיקה, שלפיה כל מערכת פורמלית המכילה אריתמטיקה בסיסית, אם היא חזקה מספיק (כלומר, כל המשפטים שניתן להוכיחם הם נכונים) אזי היא בהכרח בלתי שלמה (כלומר, ישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיחם במסגרת אותה מערכת). גדל הראה כיצד לבנות, בהינתן אוסף של אקסיומות בתורת המספרים, טענה פורמלית שהיא נכונה במספרים הטבעיים, אך אינה נובעת מהאקסיומות הנתונות. מכאן, שום מערכת פורמלית אינה אקסיומטיזציה אמיתית של תורת המספרים במלואה. לוגיקה מודרנית מחולקת לתורת הרקורסיה, תורת המודלים ותורת ההוכחות, והיא בעלת יחסים הדוקים עם מדעי המחשב התאורטיים.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
 p\Rightarrow q\,: 
| לוגיקה מתמטית | תורת הקבוצות | תורת הקטגוריות |  |
תחומי עיסוק > מתמטיקה דיסקרטית

מתמטיקה דיסקרטית (או מתמטיקה בדידה) היא תחום העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים, כלומר בני־מנייה. זאת להבדיל מהאנליזה המתמטית, המרבה לעסוק במבנים מתמטיים רציפים, שאינם בני מנייה.
מתמטיקה בדידה זוכה לפופולריות גוברת מאז החצי השני של המאה העשרים, בזכות שימושיה במדעי המחשב: מחשב ספרתי (להבדיל ממחשב אנלוגי) פועל בצורה בדידה, צעד אחר צעד ובעזרת יחידות בדידות, ולכן למתמטיקה בדידה רלוונטיות גבוהה ליסודות התאורטיים של אופן פעולתו.
ענפים עיקריים הנכללים במסגרת הרחבה של המתמטיקה הבדידה הם: קומבינטוריקה, תורת הגרפים, אלגוריתמיקה ואלגברה בוליאנית.
| --- | --- |
 {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}: 
קומבינטוריקה: תורת הגרפים
תחומי עיסוק > מדעי המחשב

מדעי המחשב התאורטיים כוללים תחומים מתמטיים אחדים בעלי רלוונטיות גבוהה להבנת מהותם ואופן פעולתם של מחשבים, ובהם תורת החישוביות, תורת הסיבוכיות החישובית ותורת האינפורמציה. תורת החישוביות חוקרת את גבולותיהם של מודלים תאורטיים שונים של המחשב, ובכלל זה המודל העוצמתי ביותר הידוע כיום - מכונת טיורינג. תורת הסיבוכיות חוקרת את המשאבים הנחוצים לפתרון בעיות; חלק מהבעיות, אף על פי שתאורטית ניתן לפתור אותן באמצעות מחשב, דורשות זמן ריצה וזיכרון כה רבים, שפתרונן עתיד להישאר בלתי-ישים, אפילו בהתחשב בהתקדמות המהירה של פיתוח החומרה. לבסוף, תורת האינפורמציה עוסקת בכמות הנתונים שניתן לאחסן על אמצעי-אחסון מסוים, ובמושגים כגון דחיסת נתונים ואנטרופיה.
כתחום חדש יחסית, במדעי המחשב קיימות בעיות פתוחות מהותיות רבות. המפורסמת מתוכן היא האם P=NP.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |

| תורת החישוביות | תורת הסיבוכיות | קריפטוגרפיה |
תחומי עיסוק > בסיס תאורטי למחקר במדעי החברה והניהול ובמדעי החיים

מראשית ימיה שימשה המתמטיקה לפתרון בעיות בעולם הממשי, במקביל להתפתחותה העיונית, כמדע העומד בפני עצמו. לאורך הדורות בלט השימוש במתמטיקה לפתרון בעיות בפיזיקה. בעת החדשה, ובפרט במאה העשרים התפתחו ענפי מתמטיקה אחדים המספקים ביסוס מתמטי לפעילויות שההיבטים המעשיים שלהם נחקרים במסגרת מדעי החברה (כלכלה, ניהול) ומדעי החיים (ביולוגיה, רפואה). סטטיסטיקה עושה שימוש בכלים של תורת ההסתברות ומאפשרת תיאור, ניתוח וחיזוי של תופעות שבהן המקרה משחק תפקיד. רוב הניסויים, הסקרים והתצפיות דורשים שימוש מושכל בסטטיסטיקה. למרות זאת, רבים מהסטטיסטיקאים אינם מחשיבים את עצמם כמתמטיקאים, אלא כחלק מקבוצה נפרדת העושה שימוש במתמטיקה. חקר ביצועים הוא תחום יישומי נוסף של המתמטיקה המאפשר מציאת פתרונות אופטימליים לבעיות עם משאבים מוגבלים, או החלטות מיטביות בהתאם למידע הקיים. תורת המשחקים משמשת לניתוח מצבי תחרות ועימות.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |

| אופטימיזציה | תורת ההסתברות | סטטיסטיקה | מתמטיקה פיננסית | תורת המשחקים |
מתמטיקאי

מתמטיקאי הוא אדם העוסק במתמטיקה. בניגוד למדענים אחרים, שעוסקים בתיאור העולם הגשמי, המתמטיקאי עוסק בהסקת טענות חדשות, הנקראות "משפטים", מתוך טענות אחרות אשר הוכחו כבר, או מתוך משפטים יסודיים הנקראים אקסיומות. הוכחת הטענות מתבצעת בחשיבה לוגית בלבד, ללא צורך למצוא להן תימוכין ניסיוניים. התוצר העיקרי של מתמטיקאי העוסק במחקר הוא הוכחות, המתפרסמות בצורת מאמרים בכתבי-עת מתמטיים. לעיתים מסתפק המתמטיקאי, מחוסר הוכחות, בהעלאת השערה, ומותיר לעמיתיו את מלאכת ההוכחה של השערה זו.
מתמטיקאים פעילים בעיקר באוניברסיטאות, בהוראה ובמחקר בענפי המתמטיקה הרבים. עם זאת, מתמטיקאים פעילים גם בתעשיית ההיי-טק והפיננסים, בעיקר בפיתוח של אלגוריתמים מתקדמים ובניית מודלים מתמטיים שיתארו בעיה מהמציאות ויספקו תובנות כיצד לפתור אותה בצורה המיטבית.
השראה ואסתטיקה

המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי. בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן המציא את ניסוח אינטגרלי המסלול של מכניקת הקוונטים באמצעות שילוב של טיעונים מתמטיים ותובנה פיזיקלית; כיום תורת המיתרים, תאוריה מדעית שעודה בתהליכי פיתוח ואשר מנסה לאחד את ארבעת כוחות היסוד של הטבע, מהווה השראה לפיתוח מתמטיקה חדשה (אדוארד ויטן, פיזיקאי שהוא מאבות תורת המיתרים, זכה במדליית פילדס, שהיא הפרס החשוב ביותר במתמטיקה).
רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעיתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים. העובדה הלא-רגילה כי לעיתים קרובות ניתן למצוא שימושים מעשיים אף לרעיונות שהכי שייכים למתמטיקה העיונית היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960.
כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי. רוב המתמטיקאים בוחרים, לעיתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה עיונית או מתמטיקה שימושית. מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב.
עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל. מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה. פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים. לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה. גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה עיונית, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים. מתמטיקאים שואפים לעיתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו". הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות.
מקומה של המתמטיקה בין המדעים

המדען והמתמטיקאי, קרל פרידריך גאוס כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים".
במקור הלטיני Regina Scientiarum, וגם בגרמנית (שפתו של גאוס) Königin der Wissenschaften, המילה המציינת "מדע" פירושה "תחום ידע", ואין ספק שמבחינה זו, המתמטיקה היא אכן מדע. אם נצמצם את הגדרתו של מדע כמתייחס לחקר העולם החומרי בלבד (שבו עוסקים מדעי הטבע), אז מתמטיקה - או לפחות מתמטיקה עיונית - אינה מדע.
פילוסופים רבים מאמינים כי המתמטיקה איננה ניתנת להפרכה, ולכן איננה תואמת את הגדרתו של קרל פופר למדע. פופר עצמו לעומת זאת טען כי "רוב התאוריות המתמטיות הן, כמו אלו של הפיזיקה והביולוגיה, מבוססות על השערות ודדוקציה; לכן, מתברר כי המתמטיקה העיונית קרובה הרבה יותר משנדמה לנו למדעי הטבע, אשר השערותיהם מבוססות על ניחושים". באוניברסיטאות רבות ניתן למצוא פקולטה בשם "מדעי הטבע ומתמטיקה", שם שמרמז ששני התחומים קשורים אך אינם חופפים.
השקפה אחרת גורסת כי תחומים מדעיים מסוימים (כגון פיזיקה תאורטית) הם למעשה מתמטיקה עם אקסיומות שמטרתן להתאים אותה למציאות. הפיזיקאי התאורטי ג'ון זימן הציע כי המדע הוא "ידע ציבורי", ולכן המתמטיקה נכללת בתוכו.
על כל פנים, למתמטיקה יש הרבה במשותף עם תחומים במדעים המדויקים. תפיסת המתמטיקה כשפת הפיזיקה, ואפילו כשפתו של אלוהים, היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה הפיתגוראית) ובתקופת הרנסאנס. גלילאו גליליי אמר:
הפילוסופיה - הרי היא כתובה בספר הגדול הפרוש מאז ומעולם לנגד עינינו - כוונתי ליקום - אך איננו יכולים להבין אם איננו לומדים את השפה ותופסים את הסמלים שבהם היא כתובה. שפה זו היא המתמטיקה.
מתמטיקה ניסיונית היא תחום שחשיבותו הולכת וגדלה, וחישובים והדמיות נעשים כלים חשובים יותר ויותר הן במדעים והן במתמטיקה, מה שמחליש מעט, ביחס לענף זה של המתמטיקה, את הטענה כי המתמטיקה אינה משתמשת בשיטה המדעית. בספרו A New Kind of Science (2002)‎ טוען סטיבן וולפרם כי מתמטיקה נסיונית ראויה למחקר אמפירי כתחום מדעי בפני עצמו.
דעותיהם של המתמטיקאים בעניין זה הן מגוונות. יש הסוברים כי סיווג המתמטיקה כמדע היא המעטה בערכה של האסתטיקה שלה ושל ההיסטוריה שלה כאחת משבע האמנויות החופשיות; אחרים טוענים כי התעלמות מהקשר של המתמטיקה למדעים היא התעלמות מהעובדה כי שימושי המתמטיקה במדע ובהנדסה גרמו להתקדמות רבה במתמטיקה עצמה.
בבתי ספר תיכוניים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה לזה של הלטינית במאה ה-19. מקצוע זה נחשב לאחד המקצועות הקשים, ולאחד מהשנואים על חלק התלמידים. למרות זאת, שליטה במתמטיקה חשובה לכל הלומדים תחומים "ריאליים", שכן היא מהווה את אחד הכלים הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו. פרק החשיבה הכמותית בבחינה הפסיכומטרית בוחן מיומנות מתמטית, ומחזק את חשיבותם של לימודי המתמטיקה לכל הרוצה להמשיך בלימודים באוניברסיטה. חשיבותה של המתמטיקה, הן לעולם המדעי והן למשק, תורמת גם לפופולריות הגוברת של המקצוע באקדמיה הישראלית, והיא נכללה בין המקצועות המבוקשים ביותר בקרב סטודנטים בישראל בשנת תשפ"א ובשנת תשפ"ב. כמו כן, חלה עלייה ברצונם של הורים כי ילדיהם ילמדו את מקצוע המתמטיקה באקדמיה. מבדיקת זרוע העבודה במשרד העבודה והרווחה, מקצוע המתמטיקה נכלל בין חמשת המקצועות הבולטים מבחינת דרישה לעובדים ורמות שכר, בין הסיבות לעלייה בביקוש לעובדים בענף זה הן צמיחת תעשיית ההייטק ופרישתם של עובדים ותיקים יותר בענף.
שעשועי מתמטיקה

שעשועי מתמטיקה הם משחקים, חידות, וקסמים המבוססים על מתמטיקה, וכן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע. תחום שעשועי המתמטיקה זכה לדחיפה גדולה במאה ה-19 בזכות פעילותם של החידונאים הגדולים סם לויד והנרי ארנסט דודני. במאה ה-20 התקדם ענף שעשועי המתמטיקה המודרני במידה רבה בזכות פרסום טור בשם "Mathematical Games" (משחקים מתמטיים) על ידי מרטין גרדנר בירחון סיינטיפיק אמריקן. הטור כלל כתבות על נושאים רחבים שעד אז לא נחשבו כמתמטיים, כגון יצירותיו האמנותיות של מ. ק. אשר, פלקסגונים (צורות הנוצרות מקיפולי נייר), קסמים מתמטיים ועוד.
ספרות שעשועי המתמטיקה עוסקת היום במגוון רחב של נושאים הכוללים:
חידות מתחומים שונים: חידות מספרים, חידות גאומטריות, חידות לוגיות, משחקי לוח מבוססי מחשבה.
נושאים הקושרים מתמטיקה לאמנות כגון: ריצופים, חידות חיתוך והרכבה, אוריגמי מודולרי.
נושאים הקושרים מתמטיקה למדעי המחשב כגון: פרקטלים, חידות הקשורות להצפנה, ואוטומטים תאיים.
פרסים ידועים במתמטיקה

פרסים אחדים משמשים למתן הוקרה למתמטיקאים, על הישגיהם המתמטיים. בחלק מהמקרים אלה פרסים ייחודיים למתמטיקאים, ובאחרים הפרס במתמטיקה נכלל במסגרת פרסים הכוללים ענפי מדע רבים. פרסים בינלאומיים עיקריים הם:
מדליית פילדס, שנוסדה בשנת 1936 ומחולקת בכל 4 שנים, היא אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם פרס אבל), המדליה מוענקת למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל ארבעים על פריצות דרך משמעותיות במתמטיקה.
פרס אבל, שנוסד בשנת 2003, נחשב מקביל לפרס נובל (שאינו כולל קטגוריית מתמטיקה), אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם מדליית פילדס), מוענק למתמטיקאים על הישגיהם המצטברים לאורך השנים.
פרס נבנלינה, שנוסד בשנת 1981 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור תרומה יוצאת דופן לאספקטים המתמטיים של תחומים כמו מדעי המחשב, סיבוכיות חישובית, אנליזה נומרית, אלגוריתמיקה, אינטליגנציה מלאכותית וקריפטוגרפיה, הפרס מוענק למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל 40. נחשב לפרס המקביל במדעי המחשב למדליית פילדס.
פרס גאוס, שנוסד בשנת 2002 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור "תרומות יוצאות מן הכלל במתמטיקה אשר נמצאו כבעלות יישום משמעותי מחוץ לתחום המתמטיקה".
בנוסף ישנם פרסים שניתנים בעבור תרומות בתחומים מסוימים במתמטיקה כגון:
פרס נורברט וינר למתמטיקה יישומית שנוסד בשנת 1967, מוענק עבור תרומה יוצאת מן הכלל ל"מתמטיקה יישומית במובן הגבוה והרחב ביותר".
פרס קול שנוסד בשנת 1928 מוענק בעבור תרומה יוצאת דופן בתחום האלגברה או בתחום תורת המספרים.
פרס פוליה שנוסד בשנת 1969, מוענק בעבור תרומה משמעותית ליישום של תורת הקומבינטוריקה או תרומה משמעותית בתחום עניין אחר של ג'ורג' פוליה, לדוגמה בתורת הקירובים, אנליזה מרוכבת ותורת המספרים.
בנוסף לפרסים אלה, הניתנים על הישגים כלליים במחקר המתמטי, מוכרזים לעיתים פרסים לפותר של בעיה פתוחה מסוימת:
פרסים אחדים הוצעו למי שיוכיח את המשפט האחרון של פרמה.
במסגרת קידום מכירות של הרומן "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", הכריזו המו"ל של הגרסה האמריקאית והמו"ל של הגרסה הבריטית על פרס של מיליון דולר לראשון שיוכיח את השערת גולדבך במהלך שנתיים שהסתיימו, ללא זוכה, ב-15 במרץ 2002.
לרשימה של שבע בעיות המילניום של מכון קליי, הוכרז בשנת 2000 פרס כספי של מיליון דולר לכל הפותר אחת מהן.
לקריאה נוספת

| --- | --- |
: ספר: מתמטיקה
אוסף של ערכים בנושא הזמינים להורדה כקובץ אחד.
דניאלה ליבוביץ, אשנב למתמטיקה, האוניברסיטה הפתוחה
דויד ברגמיני, מתמטיקה, הספרייה המדעית של לייף, ספריית מעריב, 1970
אברהם הלוי פרנקל, מבוא למתמטיקה, מסדה
אליעזר שישא, מתמטיקה ומתמטיקאים, הוצאת מסדה, 1977
טימותי גוורס, מתמטיקה, ידיעות אחרונות, 2007
שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989
בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005, מסת"ב 9657182522. לקריאה מקוונת באתר של מכון מופ"ת
איאן סטיוארט, לאַלף את האינסוף - סיפורה של המתמטיקה, ספרי עליית הגג וידיעות ספרים, 2012
סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2003, מסת"ב 9789654484121
חיים שפירא, אינסוף - המסע שאינו נגמר, כנרת, 2010, מסת"ב 9789655177084
סטפן בויסמן, פלוסים ומינוסים - איך המתמטיקה מקלה את התנהלותנו בעולם, הוצאת מטר, 2022
James R. Newman (ed.), The World of Mathematics, Dover Publications.
Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, The Mathematical Experience, Study Edition, Birkhäuser Boston, 1995.
by A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev, Mathematics: Its Content, Methods and Meaning
ספרדים (עם)
מקורות שם הלאום > Españoles

הספרדים מכנים את עצמם español, (אספניול) ברבים españoles (אספניולס).
כפי שהוכיח הפילולוג השווייצרי פאול אבישר השימוש בשם התואר והאתנונים "אספניול" התחיל במהלך המאה ה-13בפרובאנס בשפה האוקסיטנית במאה ה-12 בכתב (espaignol).
המונח "אספניול" הופיע לראשונה כשם של איש באזור אורטז, אחר כך בטולוז ובאז'ן. מאוחר יותר הופיע כאתנונים בשיר של רמבו דה וקיירס . בכרוניקות בימי הביניים השתמשו במונחים Hispani, Christiani ו Gothi. (היספנים, נוצרים, גותים)
מקור המילה "אספניול" הוא בלטינית , נגזרת של שם הגאוגרפי היספניה - היספניולה. 
השם הרומי "היספניה" (Hispania) התייחס בזמנו לחצי-האי האיברי .  לפי אחת ההשערות, השם הוא שיבוש של השם הפיניקי "אי שפניא" (אי השפנים) שאנשי קרתגו נתנו למושבה שלהם בחצי-האי, אשר פרחה בין המאה השמינית לבין המאה השלישית לפה"ס. משמעות השם הפיניקי היא "אי השפנים",כנראה במובן של ארבנים.  בדומה לעברית.  נמצאו בספרד גם מספר מטבעות רומיים  שעליהן כתוב "Hispania" בלטינית, ומוטבע עליהן דמות ארנבון
באפיגרף לכרוניקה הספרדית הראשונה "Estoria de Espanna" (תולדות ספרד) ב-1282 או 1284 שחוברה מיוזמת המלך אלפונסו העשירי "החכם" , נתיני המלך מכונים "היספניס" ובגרסה הספרדית ,איספאנוס".
Rex, decus Hesperie, tesaurus philosophie, Dogma dat hyspanis; capiant bona, dent loca uanis
El Rey, que es fermosura de Espanna et tesoro de la filosofia, ensannança da a los yspanos; tomen las buenas los buenos, et den las vanas a los vanos
מלך, תהילת הספריה (Hesperia) ואוצר של פילוסופיה, הענק להיספנים את הלימודים, תן לטובים את הדברים הטובים, ואת דברי השוא תן לחסרי הערך
לפי — Primera Crónica General. Estoria de España. Tomo I. — Madrid, Bailly-Bailliere et fils, 1906, p. 2
בשיר של פרנאן גונסאלס וב"ספר על אלכסנדר" במאה ה-13 פוגשים גם את השם "אספניון". הצליינים הצרפתים בדרך לסנטיאגו דה קומפוסטלה קוראים "אספניולס" לתושבים הנוצרים של חצי האי האיברי  אשר, לדברי גונסלו דה ברסאו באו להוקיר את יעקב הקדוש, פטרון ה"אספניולס". כטופונים אנולוגי בשם "לה אספניולה " בחר קולומבוס לקרוא לאי שאותו גילה במסעו הראשון בעולם החדש ב-1492.
בין השימוש בשם הלטיני "אספניה", ספרד של היום, להופעת האתנונים "אספניול" חלף אלף שנים. הרומאים המשכילים קראו לחצי האי האיברי "היספניה" והעם שחי בו ודיבר לטינית היה מבטא "אספניה" .
מקורות שם הלאום > ספרדים

החכמים היהודים בימי הביניים הדביקו לחצי האי האיברי את השם התנ"כי "ספרד". משם זה נגזר גם השם העברי של תושבי ספרד - ספרדים וגם זה של העדה הספרדית, נוסח ספרד ונוסח הספרדים.
המילה ספרד מופיעה בתנ"ך פעם יחידה בספר עובדיה א"כ, שבו מתיחס הנביא עובדיה לעיר או ארץ שאליה הוגלו יהודים. לדבריו גולים אלה ישובו וישלטו לימים בערי הנגב.
מתוך השערות מרובות, חוקרים נטו לזהות את המקום "ספרד" בעיקר עם העיר סרדיס, בירת לידיה.

אם מקור השם הוא סרדיס לא ברור הקשר שלו לחצי האי האיברי. יתכן כבחירת שם זה דומה לבחירת השמות הגאוגרפיים העבריים אשכנז וצרפת.
לפי הירונימוס  היה מדובר באזור ספר של העולם שבו נפוצו תפוצות ישראל.
תרגום יונתן מזהה כבר את ספרד עם חצי האי האיברי.

בעברית וארמית בתקופת התלמוד היה קים גם השם "אספניה" בהמשך "אספמיה".
ראו גם

היספנים
לקריאה נוספת

,Jeffrey Cole, Ethnic Groups of Europe – An Encyclopedia, Greenwood, Publishing Group ABC-CLIO, Santa Barbara, California, 2011
הערות שוליים

↑  "Official Population Figures of Spain. Population on 1 January 2025". INE Instituto Nacional de Estadística. נבדק ב-13 בפברואר 2025. {{cite web}}:  (עזרה)
1 2  המכון הלאומי לסטטיסטיקה של ספרד, 1 בינואר 2015
↑  Paul Aebischer: Estudios de toponimia y lexicografía románicas. Barcelona. C.S.I.C. 1948
↑  Américo Castro: Sobre el nombre y el quién de los españoles. 1985. Pág. 29. ISBN 8472917366
↑  Américo Castro. עמ' 32
↑  באנציקלופדיה הקתולית (1913)
↑  The Encyclopaedia Britannica : a dictionary of arts, sciences, literature and general information
↑  Americo Castro עמ' 32
↑  Americo Castro עמ' 67
↑  https://www.biblicalcyclopedia.com/S/sepharad.html James Strong and John McClintock The Cyclopedia of BiblicalTheological, and Ecclesiastical Literature; Haper and Brothers; NY; 1880.Website HTML, editorial descriptions, and images ©2025 StudyLamp Software LLC]
↑  https://biblehub.com/topical/s/sepharad.htm באתר Biblehub]
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007563202805171  BnF: cb119363749 (data)  LCCN: sh85126210  NARA: 10645799  NDL: 00576057  NKC: ph173226