stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
רעידת האדמה בכרתים (1856)
השפעות > מלטה

באיים המלטזיים, רעידת האדמה הורגשה בעוצמה. הרעידה נמשכה בין 22 ל-60 שניות. סדקים גדולים נפערו בבתים בולטה ואזור גוזו. כיפת קתדרלת פאולוס הקדוש (מדינה) קרסה מבפנים, מה שגרם לנזקים של כ-1,000 ליש"ט. כנסייה אחרת, הכנסייה הכרמלית, נפגעה גם היא.
רעידת האדמה הקריסה את מגדל ג'אגן חאדיד.
השפעות > מצרים

הרעידה גרמה לנזק בקהיר. שלוש רעידות הורגשו בין דקה לשתיים. 20 בתים קרסו וכ־200 בני אדם נפגעו. לפחות עשרה בני אדם מתו בקהיר. בעקבות התוצאות, במשך מספר ימים ניצולים רבים ישנו מחוץ לבתיהם מחשש להתמוטטות במהלך הלילה.
באלכסנדריה, רק חלק מהבנייה הישנה נפלה, אך לא היו השלכות משמעותיות על העיר. שני בני אדם נהרגו וכמה נפצעו.
סביב דלתת הנילוס, קריסות בתים וצריחים הרגו מספר נשים בעיירות טנטה ודמנהור. מלחים מול החופים דיווחו שחשו את רעידת האדמה החזקה.
השפעות > מקומות נוספים

רעד הורגש גם בסירקיוז ובפוזאלו (אנ'), סיציליה, איטליה, שם נגרם נזק קל. הזעזוע גרם גם לנזק גם למקומות כמו סוריה וישראל. עדי ראייה לאורך חופי חיפה ולבנון דיווחו על גל "צונאמי" קטן. השפעות רעידת האדמה הורגשו בכל אזור הים האדריאטי וקפריסין.
בתרבות

בספר "חיי יום-יום בארץ-ישראל" (Domestic Life in Palestine) תיארה הסופרת מרי אליזה רוג'רס את חוויותיה מרעידת האדמה שהורגשה בחיפה ואת הנזקים שגרמה הרעידה ביישובים בחופי הגליל ולבנון. אבל היא תארכה את האירוע בצורה לא נכונה, ללילה שבין 10 ל-11 באוקטובר.
הערות שוליים

↑  "Seismicity Catalog (550 B.C. - 2010)". Seismological Station. Aristotle University of Thessaloniki. נבדק ב-4 בינואר 2021. {{cite web}}:  (עזרה)
1 2  G. A. PAPADOPOULOS, E. DASKALAKI, A. FOKAEFS and N. GIRALEAS. "TSUNAMI HAZARD IN THE EASTERN MEDITERRANEAN SEA: STRONG EARTHQUAKES AND TSUNAMIS IN THE WEST HELLENIC ARC AND TRENCH SYSTEM" (PDF). Journal of Earthquake and Tsunami. אורכב מ-המקור (PDF) ב-2016-03-04. נבדק ב-2021-01-04.{{cite journal}}:  תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)
1 2  Zohar, M. (2017). "A newly discovered historical earthquake or merely a chronological mistake? Report of Mary Eliza Rogers from October 10, 1856". Journal of Seismology. 21 (5): 1285–1290. Bibcode:2017JSeis..21.1285Z. doi:10.1007/s10950-017-9686-9.
↑  Grech, Herman (2009). "We cannot be complacent about earthquakes - expert". Times of Malta. נבדק ב-6 בינואר 2021. {{cite news}}:  (עזרה)
1 2  Galea, Pauline (2007). "Seismic history of the Maltese islands and considerations on seismic risk". Annals of Geophysics. 50 (6).
↑  Iannucci, R., Martino, S., Paciello, A. (2020). "Investigation of cliff instability at Għajn Ħadid Tower (Selmun Promontory, Malta) by integrated passive seismic techniques". Journal of Seismology. 24 (4): 897–916. Bibcode:2020JSeis..24..897I. doi:10.1007/s10950-019-09898-z. נבדק ב-16 באפריל 2021. {{cite journal}}:  (עזרה)תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)
1 2  Badawy, A., Korrat, I., El-Hadidy, M. (2017). "Update earthquake risk assessment in Cairo, Egypt". J Seismol. 21 (4): 571–589. Bibcode:2017JSeis..21..571B. doi:10.1007/s10950-016-9621-5.{{cite journal}}:  תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)
↑  "Earthquakes in Malta". Maltese History & Heritage. 25 בינואר 2013. נבדק ב-4 בינואר 2021. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Simon Jusseret and Manuel Sintubin (2013). "The Origins of an Old Myth: Sir Arthur Evans, Claude Schaeffer and the Seismic Destruction of Late Bronze Age Eastern Mediterranean Civilizations". Seismological Research Letters. 84 (1): 94–100. doi:10.1785/0220120098.
↑  The Seismicity of Egypt, Arabia and the Red Sea: A Historical Review. Cambridge University Press. 1994. ISBN 9780521020251.
↑  N. N. Ambraseys, C. P. Melville, R. D. Adams (1994). The Seismicity of Egypt, Arabia and the Red Sea: A Historical Review. London: Cambridge University Press. pp. 69–70. doi:10.1017/CBO9780511524912. ISBN 9780511524912.{{cite book}}:  תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)
↑  עדותה נדונה במחקרו של מוטי זוהר מאוניברסיטת חיפה, "תגלית חדשה או טעות בתאריך? דו"ח של מרי אליזה רוג'רס מיום 10 באוקטובר 1856 על רעידת אדמה בחיפה" (2017) (באנגלית)
הריסות מגדל ג'אגן חאדיד (אנ') לאחר רעידת האדמה.
בריל ביינברידג'

| --- | --- |

בריל ביינברידג', בסביבות שנת 2000
 לידה:  21 בנובמבר 1932 ליברפול, הממלכה המאוחדת
 פטירה:  2 ביולי 2010 (בגיל 77) לונדון, הממלכה המאוחדת
 מדינה:  הממלכה המאוחדת 
 לאום:  בריטית
 מקום קבורה:  בית הקברות הייגייט 
 עיסוק:  סופרת
 מקום לימודים:  בית הספר טרינג פארק לאמנויות הבמה, Merchant Taylors' Girls' School 
 שפות היצירה:  אנגלית
 תחום כתיבה:  סיפורת
 סוגה:  רומן
 נושאי כתיבה:  מעמד הפועלים
 תקופת הפעילות:  מ-1967 
 מספר צאצאים:  3 
 פרסים והוקרה:  גבירה מפקדת במסדר האימפריה הבריטית (2000)  עמית החברה המלכותית לספרות (1978)  פרס לזכר ג'יימס טיט בלק (1998)  פרס דייוויד כהן (2003) 
 
בריל מרגרט ביינברידג' (באנגלית: Beryl Bainbridge;‏ 21 בנובמבר 1932, ליברפול, הממלכה המאוחדת – 2 ביולי 2010, לונדון, הממלכה המאוחדת) הייתה סופרת אנגלית, שזכתה להצלחה עם סדרת רומנים פסיכולוגיים שחיברה, רובם מתרחשים בחוגי מעמד הפועלים. ביינברידג' זכתה בפרס ויטברד בקטגוריית הרומן בשנת 1977 ושוב בשנת 1996. ספרים שלה היו מועמדים חמש פעמים לפרס בוקר. בשנת 2008, נכללה ברשימת "50 הסופרים הבריטים הגדולים ביותר מאז 1945", שפרסם הטיימס.
ביוגרפיה

ביינברידג' נולדה בליברפול וגדלה בפורמבי הסמוכה. הוריה היו וויניפרד ביינס וריצ'רד ביינברידג'. על אף שהצהירה על תאריך לידתה כ-21 בנובמבר 1934, נולדה ב-1932. כששבוי המלחמה הגרמני הארי ארנו פראנץ כתב לה בחודש נובמבר 1947, הזכיר את יום הולדתה ה-15.
ביינברידג' נהנתה מכתיבה, ובגיל 10 ניהלה יומן. היא סולקה מבית הספר לבנות מרצ'נט טיילורז משום שנתפסה עם "חרוז גס" בכיסה (כך סיפרה), שחובר על ידי תלמידה אחרת. היא עברה ללמוד בבית הספר קון-ריפמן בטרינג, הרטפורדשייר, שם הצטיינה בהיסטוריה, ספרות, ואמנות. בקיץ אחרי שנת הלימודים האחרונה שלה, התאהבה בשבוי מלחמה גרמני שהמתין להחזרתו לגרמניה. במשך שש שנים קיימו חליפת מכתבים, וניסו להשיג רשות להחזרתו של הגרמני לאנגליה כדי שיוכלו להינשא. מאמציהם העלו חרס, ויחסיהם נותקו בשנת 1953.
בשנת 1954, נישאה ביינברידג' לאמן בשם אוסטין דייוויז. השניים התגרשו אחרי זמן קצר, וביינברידג' נותרה אם חד-הורית לשני ילדים. ביינברידג' הרתה שוב, לסופר הסקוטי אלן שארפ, וילדה את רות עמנואלה דיוויז, שלימים הפכה שחקנית תחת השם רודי דייוויז. בשנת 1958, ניסתה ביינברידג' להתאבד באמצעות הכנסת ראשה לתנור גז.
בשנת 2003, החל נכדה של ביינברידג', צ'ארלי ראסל, לצלם סרט תיעודי על חיי סבתו, בשם Beryl's Last Year. הסרט מספר על ילדותה של ביינברידג' ועל מאמציה לחבר רומן המבוסס על מסע שערכה בארצות הברית בשנת 1968, והוא עוסק באשה המסתורית שנקשרה לפרשת ההתנקשות ברוברט קנדי. הרומן נקרא The Girl in the Polka Dot dress, והוא יצא לאור בשנת 2011, לאחר מותה. הסרט שודר באנגליה בערוץ 4 של ה-BBC בשנת 2007.
בשנת 2009, תרמה ביינברידג' את הסיפור הקצר Goodnight Children, Everywhere למיזם Ox-Tales של ארגון אוקספאם.
ביינברידג' מתה ב-2 ביולי 2010, בגיל 77, בבית חולים בלונדון, לאחר שהסרטן תקף אותה מחדש.
קריירה

ביינברידג' החלה לכתוב, בעיקר על בסיס חוויות מילדותה, כדי להעביר את הזמן. הרומן הראשון פרי עטה, Harriet Said..., נדחה על ידי כמה מוציאים לאור, ואחד מהם העיר שהדמויות הראשיות "דוחות בצורה שלא תיאמן". לאחר שהצליחה לפרסם את הרומן השני והשלישי שחיברה, בשנת 1967–1968, שהתקבלו בחיוב על ידי הביקורת, הצליחה לפרסם את הרומן הראשון, בשנת 1972. ביינברידג' פרסמה שבעה רומנים נוספים בשנות השבעים, ועל הרומן Injury Time זכתה בשנת 1977 בפרס וויטברד לרומן הטוב ביותר. בשלהי שנות השבעים, עיבדה את הרומן שלה Sweet William לתסריט, והסרט שהופק על בסיסו יצא לאקרנים בשנת 1980.
בשנות השמונים פרסמה ביינברידג' שמונה רומנים. הרומן An Awfully Big Adventure משנת 1989 עובד לסרט בשנת 1995 בכיכוב אלן ריקמן ויו גרנט. בשנות התשעים, שימשה ביינברידג' מבקרת תיאטרון בירחון The Oldie. במקביל, חיברה באותו עשור רומנים היסטוריים. הללו זכו לביקורות אוהדות וגם להצלחה במכירות. ביניהם הרומן Every Man for Himself, על אסון הטיטאניק, ועליו זכתה ביינברידג' שנית בפרס וויטברד, לשנת 1996, והרומן Master Georgie המתרחש על רקע מלחמת קרים, ועליו זכתה בפרס לזכר ג'יימס טייט בלאק. הרומן האחרון שזכתה להוציא בחייה, According to Queeney, הוא עיבוד בדיוני לשנות חייו האחרונות של סמואל ג'ונסון מנקודת מבטה של קוויני ת'רייל, בתם הבכורה של הנרי ת'רייל והסטר ת'רייל, ידידתו של ג'ונסון. האובזרבר כינה את הספר "רומן אינטליגנטי ביותר, מתוחכם ומהנה".
הוקרה

בשנת 2000, הוכרזה ביינברידג' גבירה מפקדת של מסדר האימפריה הבריטית (DBE). ביוני 2001 הוענק לה דוקטורט לשם כבוד מהאוניברסיטה הפתוחה. בשנת 2003 זכתה, יחד עם תום גאן, בפרס דייוויד כהן לספרות. בשנת 2005, הספרייה הבריטית רכשה את מכתביה ויומניה. בשנת 2011, לאחר מותה, הוענק לה כיבוד מיוחד מטעם ועדת פרס בוקר. המוזיקאי מארק נופלר (בעבר, מייסד ומנהיג להקת דייר סטרייטס) הקדיש שיר בשם "בריל" לה ולפרס המאוחר, באלבומו משנת 2015, "Tracker".
הערות שוליים

↑  "The 50 greatest British writers since 1945", באתר הטיימס, 5 בינואר 2008.
↑  סריקה של גיליון רישום הלידות מחודש מרץ 1933.
1 2 3 4 5  כריס הייסטינגס, "Beryl Bainbridge, a German prisoner of war and a secret love affair", באתר הדיילי טלגרף, 11 בדצמבר 2005.
1 2 3 4  ג'ון פרסטון, "Every story tells a picture", באתר הדיילי טלגרף, 24 באוקטובר 2005.
↑  פול לוי, רשימה על מותה של ביינברידג' (אנגלית), 3 ביולי 2010, באתר האינדיפנדנט.
↑  שרלוט היגינס, "Bainbridge is seen through a grandson's eyes", ‏ 25 במאי 2007, באתר הגרדיאן
↑    Lorna Bradbury, ‏Beryl Bainbridge: last masterpiece of an obsessive, The Telegraph, 6 May 2011
↑  רשימה על מותה (אנגלית), 15 ביולי 2010, באתר האקונומיסט.
↑  קרייג בראון, "Beryl Bainbridge: an ideal writer's childhood", הטיימס, 4 בנובמבר 1978, עמ' 14.
↑  וינסנט קאנבי, רשימת ביקורת על הסרט (אנגלית), בניו יורק טיימס, 18 ביוני 1982.
↑  "Madness and the mistress", האובזרבר, 26 באוגוסט 2001.
↑  רשימת מקבלי דוקטורטים לשם כבוד (אנגלית) באתר האוניברסיטה הפתוחה באנגליה.
↑  Winners, David Cohen Prize for Literature (באנגלית)
↑  הודעה על הוצאת השיר (אנגלית), 18 בינואר 2015, באתר NME.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007579466005171  PLWABN: 9810568624005606  BIBSYS: 90072885  BNE: XX1721226  BnF: cb11889916c (data)  CANTIC: a11113418  CiNii: DA07599610  GND: 119110555  ISNI: 0000 0001 1558 5740  LCCN: n79145714  LNB: 000027210  NKC: jo20010090063  NLA: 35443158  NLG: 74629  NLK: KAC202000280  NTA: 068361769  RERO: 02-A002961405  SELIBR: 176603  SNAC: w68d0jx5  SUDOC: 026701383  Trove: 954608  VIAF: 4142979   WorldCat (עם VIAF): 4142979
קטר חשמלי

קטר חשמלי של רכבת Voralpen Express (Pre-Alpine Express) בתחנת הרכבת בלוצרן, שווייץ, 2006
קטר חשמלי הוא קטר רכבת בעל הנעה חשמלית. אספקת החשמל לקטר יכולה להיות באמצעות קווים עיליים, מסילה שלישית או אחסון אנרגיה בקטר או ברכבת, באמצעים כגון סוללה או תא דלק. כמו כן קיימים קטרים אשר פועלים באמצעות דלק, דיזל או גז, אשר מפיקים חשמל באמצעות גנרטור שנמצא ברכבת, וחשמל זה מזין מנוע חשמלי אשר יוצר את תנועת הרכבת. השימוש בקטר חשמלי מפחית את פליטת העשן מהקטר ומנצל את היעילות הגבוהה של מנועים חשמליים.
היסטוריה

הקטר החשמלי הידוע הראשון נבנה בשנת 1837 על ידי הכימאי רוברט דייווידסון של אברדין, והיה מופעל על ידי תאים גלווניים (סוללות). מאוחר יותר בנה דוידסון קטר גדול יותר בשם גלוואני, שהוצג בתערוכת החברה המלכותית לאמנות סקוואית בשנת 1841. קטר זה שקל שבע טון וכלל שני מנועים, עם אלקטרומגנטים קבועים הפועלים על מוטות ברזל המחוברים לצילינדר עץ על כל סרן, וקומוטטורים פשוטים. הוא גרר מטען של שישה טון בארבע מייל לשעה (6 קמ"ש) למרחק של מייל וחצי (2.4 ק"מ). בספטמבר שלאחר מכן הקטר נבדק ברכבת של אדינבורו וגלאזגו, אבל מגבלת הכוח של הקטר, שנבעה מקיבולת הסוללות, התבררה כחסרון שלא מצדיק שימוש נרחב בקטר. הוא נהרס על ידי עובדי הרכבת, שראו בו איום על ביטחונם התעסוקתי.
קטרים חשמליים בשירות רכבת ישראל

כחלק מפרויקט חשמול מסילות הרכבת בישראל, ב-5 באוגוסט 2015 זכתה חברת בומברדייה טרנספורטישן במכרז להספקת 62 (עם אופציה להספקת 32 נוספים) קטרים חשמליים לרכבת ישראל בשווי כ-1.3 מיליארד שקל. דגם הקטר הוא P160 AC3 מסדרת בומברדייה טראקס. ב-30 באוגוסט 2017 הקטר החשמלי הראשון מס' 3003 הגיע לישראל ונפרק בנמל חיפה. לקטרים אלו הספק חשמלי רציף של עד 6 מגה-וואט (8,000 כוח סוס) והספק מרבי של 6.4 מגה-וואט (8,600 כוח סוס).
הפועל אזור

הפועל אזור היא קבוצת כדורגל ישראלית המשתייכת למועצה המקומית אזור. צבעי התלבושת של הקבוצה הם אדום, לבן ושחור. נכון ל-2025 מתמודדת הקבוצה בליגה א'.
היסטוריה

הפועל אזור הוקמה בשנת 1954 והחלה את דרכה בליגה ג'. בשנת 1959 עלתה הקבוצה לליגה ב' לראשונה בתולדותיה. שם הם נשארו עד 1965/1966 אז ירדה חזרה לליגה ג'. בעונת 1981/1982 עלתה הקבוצה עד לליגה א'. בעונת 1986/1987 רשמה הקבוצה את הישג השיא שלה בליגה א' כשסיימה במקום השלישי, אולם בשנת 1988 ירדה הקבוצה חזרה לליגה ב', עד שבתום עונת 2011/2012 עלתה שוב לליגה א', אחרי 24 שנים, אחרי שניצחה את מכבי עירוני נתיבות בפלייאוף העלייה בתוצאה 1-0.
בעונת החזרה לליגה א', 2012/2013, סיימה הקבוצה במקום הרביעי והעפילה לפלייאוף העלייה לליגה השנייה, שם ניצחה בסיבוב הראשונה את עירוני בת ים אך הפסידה בסיבוב השני לבית"ר כפר סבא. בעונה שלאחר מכן שחזרה הקבוצה את הישגה מ-1987 וסיימה במקום השלישי, והעפילה פעם נוספת לפלייאוף העלייה ללאומית, שם ניצחו את הפועל מרמורק ואת בית"ר כפר סבא, אולם הפסידו בדו-קרב פנדלים מול אלופת ליגה א' צפון עירוני טבריה ונשארה בליגה א'.
בסיום עונת 2021/22 נשרה הפועל אזור לליגה ב' אחרי 10 שנים רצופות בהן שיחקה בליגה א'
בסיום עונת 23/24 הפועל אזור חזרה לליגה א' לאחר שעירוני נס ציונה ירדה לליגה ב' עקב עונש בית משפט.
הערות שוליים

↑  מי ומי בליגה ב'?, מדור ספורט, עיתון חרות 20 בספטמבר 1959
↑  קבוצה ביום: הפועל אזור, אתר דאבל פס, 17 ביולי 2012
↑  הפועל אזור ירדה לליגה ב
מסנן (תורת הקבוצות)

ערך זה עוסק במסננים על תתי-קבוצות לפי יחס ההכלה. אם התכוונתם למסננים כללים לפי יחס סדר חלקי כלשהו, ראו .
בתורת הקבוצות, מסנן מעל קבוצה X הוא: משפחה לא ריקה של תת-קבוצות של X, הסגורה להגדלה ולחיתוך סופי, ואינה כוללת את הקבוצה הריקה. למסננים שימושים רבים בתורת הקבוצות המודרנית, לרבות לוגיקה מתמטית ואלגברה בוליאנית, ובטופולוגיה (דרך קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך).
מבוא > הגדרות

תהי  X קבוצה. משפחה  \ {\mathcal {F}}\subset P(X), שאינה ריקה ואינה כוללת את הקבוצה הריקה, נקראת מסנן, כאשר לכל  \ A\in {\mathcal {F}} כל B המקיים  \ A\subset B\in P(X) מקיים גם  \ B\in {\mathcal {F}}, ולכל  \ A_{1},A_{2}\in {\mathcal {F}} מתקיים  \ A_{1}\cap A_{2}\in {\mathcal {F}}.
דוגמאות.
הדרך הקלה ביותר לבנות מסנן היא לקחת את כל הקבוצות המכילות קבוצה קבועה. מסנן כזה נקרא מסנן ראשי. במובנים רבים המסננים הראשיים הם טריוויאליים.
אוסף הסביבות של נקודה במרחב טופולוגי הוא מסנן.
כאשר   X קבוצה אינסופית, אוסף הקבוצות שהמשלים להן סופי הוא המסנן הקו-סופי או מסנן פרשה (על-שם מוריס פרשה, אחד ממייסדי הטופולוגיה). באופן כללי יותר אפשר להגדיר את המסנן הקו- \lambda , לכל עוצמה  \ \lambda <|X|.
כל אוסף תת-קבוצות  S המקיים את תכונת החיתוך הסופי יוצר מסנן: אברי המסנן הם הקבוצות המכילות חיתוך סופי כלשהו מ- S.
מבוא > על-מסננים

מסנן מקסימלי, כלומר, כזה שאינו מוכל באף מסנן גדול יותר, נקרא על-מסנן (ultrafilter). עבור כל קבוצה  \ A\subset X, על-מסנן מוכרח להכיל את A או את המשלים  \ X-A. על-מסנן המכיל קבוצה סופית מכיל גם יחידון, ולכן הוא ראשי. על-מסנן שאינו ראשי מוכרח להכיל את המסנן הקו-סופי.
מסנן שחיתוך כל הקבוצות בו הוא ריק, נקרא מסנן חופשי; לדוגמה, המסנן הקו-סופי הוא כזה. מסנן חופשי אינו יכול להיות ראשי. מסנן הסביבות של נקודה במרחב T1 קשיר אינו חופשי, וגם אינו ראשי. לעומת זאת, על-מסנן הוא חופשי אם ורק אם אינו ראשי.
האיחוד של שרשרת עולה של מסננים הוא מסנן. לפי הלמה של צורן, נובע מכך שכל מסנן מוכל בעל-מסנן. תוצאה זו נקראת משפט העל-מסנן, ובעזרת מסנן פרשה נובע ממנה שיש על-מסננים לא ראשיים.
מבוא > ניסוח במונחי אלגברה בוליאנית

לכל קבוצה X, קבוצת החזקה  \ P(X) היא אלגברה בוליאנית; זהו חוג קומוטטיבי, ביחס לפעולות ההפרש הסימטרי כחיבור, והחיתוך ככפל. באלגברה הזו, אידיאל הוא משפחה של תת-קבוצות, הסגורה להקטנה ולאיחוד סופי. מכאן ש \ {\mathcal {F}}\subset P(X) הוא מסנן, אם ורק אם אוסף המשלימים  \ {\mathcal {F}}^{c}=\{A^{c}:A\in {\mathcal {F}}\} הוא אידיאל. המסנן ראשי אם ורק אם האידיאל המתאים לו ראשי, והוא על-מסנן אם ורק אם האידיאל המתאים לו הוא אידיאל מקסימלי.
מבוא > בסיס

קבוצה  \ B\subset P(X) תיקרא בסיס למסנן  \ {\mathcal {F}} אם היא סגורה לחיתוכים סופיים ולכל   \ f\in {\mathcal {F}}  יש  \ b\in B כך ש- \ b\subset f. (מסנן כזה, אם קיים, הוא יחיד) באופן שקול,  \ {\mathcal {F}} הוא המסנן הקטן ביותר שמכיל את B.
קבוצה B יכולה להיות בסיס למסנן אם ורק אם היא לא ריקה, לא מכילה את הקבוצה הריקה ולכל  \ b1,b2\in B יש  \ b\in B כך ש- \ b\subset b1\cap b2.
מסננים מיוחדים

תורת הקבוצות המודרנית עוסקת רבות במסננים על קבוצת המספרים הטבעיים. לצורך ההגדרות בהמשך, מסמנים (עבור קבוצות של מספרים טבעיים)  A\subseteq ^{*}B אם ההפרש B-A סופי, ו- A=^{*}B אם  A\subseteq ^{*}B\subseteq ^{*}A. מסנן  {\mathcal {F}} המקיים את התכונות השקולות הבאות נקרא נקודת-P:
כל שרשרת יורדת ב- {\mathcal {F}} (לגבי היחס  \subseteq ^{*}), חסומה מלרע שם (לגבי אותו יחס).
לכל פירוק  \mathbb {N} =P_{1}\cup P_{2}\cup \cdots  לקבוצות אינסופיות, או שאחד החלקים  P_{i} שייך למסנן, או שיש במסנן קבוצה X שהחיתוך שלה עם כל חלק הוא סופי.
לכל פירוק  \mathbb {N} =P_{1}\cup P_{2}\cup \cdots  לקבוצות אינסופיות, המסנן  {\mathcal {F}} אינו מכיל את המסנן  {\mathcal {F}}(P) (שהוא, לפי ההגדרה, המסנן הנוצר על ידי הקבוצות  \bigcup _{i>n}(P_{i}-\{0,1,\dots ,f(i)\}), כאשר n מספר כלשהו ו-f פונקציה כלשהי.
מהשערת הרצף, או אפילו מההנחה החלשה יותר  {\mathfrak {b}}={\mathfrak {c}}, נובע שיש נקודות-P.
הגדרה זו מוליכה ל"היררכיית-P" בת  \omega _{1} שכבות (שיש גם מסננים מעליה). המסננים הראשיים שייכים לשכבה הראשונה  {\mathcal {P}}_{1}, ואלו שהם נקודות-P לשכבה  {\mathcal {P}}_{2}. ידוע שאם יש מסננים בשכבה כלשהי של ההיררכיה (מעבר לשכבת המסננים הראשיים; למשל, אם יש נקודות-P), אז יש מסננים בכל שכבה של ההיררכיה.
על-מכפלות

נקבע מסנן  \ {\mathcal {F}} מעל קבוצה X. נאמר שתת-קבוצה של X היא "גדולה" אם היא שייכת למסנן, ו"קטנה" אחרת. השימוש החשוב ביותר במסננים הוא לבניית על-מכפלות, באופן הבא: אם לכל  \ i\in X יש קבוצה  \ A_{i}, אפשר להגדיר יחס שקילות על המכפלה קרטזית בהתאם למסנן:  \ (a_{i})\sim (b_{i}) אם אוסף האינדקסים שעבורם  \ a_{i}=b_{i} שייך ל- \ {\mathcal {F}}. במילים אחרות, מזהים שני וקטורים, אם הם מסכימים זה עם זה בקבוצת אינדקסים גדולה. מרחב המנה  \ \prod A_{i}/{\mathcal {F}} נקרא "מכפלה מצומצמת". אם  \ {\mathcal {F}} על-מסנן, זוהי העל-מכפלה של הקבוצות  \ A_{i}.
המשפט היסודי של על-מכפלות (J. Los, 1955) קובע שהעל-מכפלה של מבנים של שפה מסדר ראשון L, מקיימת פסוק של השפה, אם ורק אם הוא מתקיים בקבוצת מודלים גדולה. זוהי תוצאה יסודית בתורת המודלים. לדוגמה, לא רק שעל-מכפלה של מספר בן-מניה של שדות היא שדה -- גם אם משתתפים במכפלה מספר סופי של חוגים שאינם שדות, העל-מכפלה (ביחס לעל-מסנן לא-ראשי) היא עדיין שדה. אם בוחרים לכל נקודה  \ i\in X את אותו מודל  \ A_{i}=A, מתקבלת על-חזקה  \ A^{X}/{\mathcal {F}}, והיא שקולה אלמנטרית ל-A.
מן המשפט היסודי מתקבלת בנייה מפורשת עבור משפט הקומפקטיות: אם T תורה ספיקה-סופית בשפה מסדר ראשון L (כלומר, יש מודל לכל תת-קבוצה סופית של פסוקים מתוכה), ו-X קבוצת תת-הקבוצות הסופיות של T עם מודלים  \ M_{i} לכל קבוצה סופית  \ i\in X, אז קיים על-מסנן  \ {\mathcal {F}} על X כך ש-  \ \prod _{i\in X}M_{i}/{\mathcal {F}} הוא מודל לתורה T. ההוכחה אינה קונסטרוקטיבית, משום שהיא נסמכת על הקיום של על-מסננים המכילים את המסנן הקו-סופי, וזו תוצאה של גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה.
ראו גם

מסנן (מתמטיקה)
מערכת סביבות
על-מכפלה
פייר לואי

| --- | --- |

צילום מהשנים 1900-1890
 לידה:  10 בדצמבר 1870 גנט, בלגיה 
 פטירה:  4 ביוני 1925 (בגיל 54) פריז, צרפת (הרפובליקה הצרפתית השלישית) 
 שם לידה:  Pierre Félix Louis 
 מדינה:  צרפת 
 מקום קבורה:  בית הקברות מונפרנאס 
 שם עט:  Pierre Louÿs 
 מקום לימודים:  בית הספר האלזסי 
 שפות היצירה:  צרפתית 
 סוגה:  אסכולת הפארנאס, סימבוליזם 
 יצירות בולטות:  שירי ביליטיס 
 תקופת הפעילות:  מ-1891 
 בן או בת זוג:  Louise de Heredia (1899–1913) 
 פרסים והוקרה:  קצין בלגיון הכבוד (14 בינואר 1922) 
 חתימה:   
 
פייר לואי, בשמו בלידה פייר פליקס לואי (בצרפתית:Pierre Louÿs בהתאמה – Pierre Felix Louis,‏ 10 בדצמבר 1870 – 4 ביוני 1925) היה משורר וסופר צרפתי יליד בלגיה.
קורות חייו

פייר לואי נולד ב-1870 בגנט, בלגיה, כבנו של פייר פיליפ לואי (1812–1889) ושל אשתו השנייה, קלר סלין מלדאן (1832–1879). האם, קלר, הייתה נכדתה של לואיז ז'ונו, אחות של ז'אן-אנדוש ז'ונו
דוכס אברנטס, מרשל של נפוליאון.
ייתכן שלמעשה הסופר היה בן של אחיו למחצה, ז'ורז' לואי (1847–1917) שהיה בנו של פיליפ פייר לואי מנישואיו הראשונים. ושכיהן כנציג דיפלומטי צרפתי במצרים ואחר כך כשגריר צרפת ברוסיה. פייר לואי התכתב בצורה אינטנסיבית עם ז'ורז' לואי עד סוף חייו של האחרון ב-1917.
לואי למד ב"בית הספר האלזסי" המקיף בפריז, בו קשר ידידות אמיצה עם הסופל לעתיד, אנדרה ז'יד.
בגיל 18 ערך את הטקסטים הארוטיים הראשונים שכתב בהתבגרותו וכתב יומן.
החל מ-1890 התחיל לכתוב את שמו בכתיב ארכאי מיוחד Louÿs אך לפי עדויות, מבלי לשנות את היגויו – "לואי". נהג לכעוס כשהיו קוראים לו "לואיס". בשנות ה-1890 התיידד לואי עם הסופר והמחזאי האירי אוסקר ויילד שהקדיש לו את המחזה "שלומית" במקורו הצרפתי.
לואי הסתקרן לגבי המשוררים מ"אסכולת הפארנאס והסימבוליסטית והתוודע לנציגים בולטים של הראשונים – לקונט דה ליל, חוסה מריה דה ארדיה שאת בתו הצעירה, לואיז, לקח לאישה ב-1899. לואי עצמו צעד לכיוון הסימבוליזם, אם כי אנדרה ז'יד סבר ב-1892 שלא היה סימבוליסט בכלל.
קורות חייו > תחילת הקריירה הספרותית

ב-1891 הקים פייר לואי את המגזין הספרותי La Conque בו התפרסמו יצירות של פרנסיאניסטים וסימבוליסטים רבים, ביניהם דמויות מובילות ששימשו כמופת כמו מלרמה, ז'אן מוריאס, לקונט דה ליל או פול ורלן, אבל גם משוררים צעירים עדיין לא ידועים, כגון פול ואלרי, אנדרה ז'יד ולואי עצמו. ב-1891 פרסם לואי על חשבונו את הקובץ הראשון של שירים "Astarté" (עשתרת). אחר כך ב-1893 בהוצאה Arts indépendants פרסם את Chrysis ou la cérémonie matinale, תרגום משירי מלאגרוס. 'Lêda ou la louange des bienheureux ténèbres, ב-1894 את La maison sur le Nil ou les Apparences de la Vertu, תרגום של "סצנות מחיי הקורטיזנות" מאת לוקיאנוס מסאמוסאטה ובאותה שנה
"Les Chansons de Bilitis" שנשאר יצירתו הידועה ביותר וגם דוגמה לתרמית ספרותית. לואי הציג שירים אחרונים אלה כ"תרגום מיוונית" ממשוררת דמיונית בת זמנה של סאפו.
בקובץ שירים קצרים זה בולטת השפעת משוררי אסכולת פרנס המתיוונים ושל הסימבוליזם עם טעם עמוק של חושניות, של פסטורליה (בחלק הראשון) וארוטיזם מהודר. בולטות אלה לצד אלו סצנות טבע וארוטיות קלוד דבוסי שאב מהם השראה בשלושה קטעים, תוך כדי שיתוף פעולה חברי של לואי.
לואי ניהל רומן עם הסופרת מארי דה רנייה.
קורות חייו > הרומנים

הרומן הראשון של לואי "Aphrodite (mœurs antiques)" פורסם ב"מרקור דה פראנס". הוא התאפיין בעידון יוצא דופן, חושניות ודקדנטיזם מאולץ, והוגדר על ידי איב ז'ראר דנטק "דרמה חשוכת מרפא של התבגרות שיצאה לחיפוש אחרי אהבה אמיתית". הספר זכה להצלחה רבה גם בחוגי הספרות וגם בקרב הקהל הרחב, בזכות שבחיו של פרנסואה קופה
עלילת הרומן הבא La Femme et le Pantin (1898) שקיבל השראה מזיכרונותיו של קזנובה התרחשה בתקופה בת זמנו של המחבר. תוך הבלטת היבטים דרמטיים של חושניות, הוא נחשב ליצירת מופת של לואי, לצד "Trois filles de leur mère".
בסגנון מאופק יותר מזה של היצירות הקודמות, הוא שילב בו פסימיות עם אכזריות נפשית בתוך אווירה מורכבת של רגשות מיוסרים. על בסיס הרומן הזה כתבו פייר לואי ופייר פרונדה את המחזה La Femme et le Pantin שהוצג בבכורה בדצמבר 1910. ב-1911 מוריס ווקר וקרלו צנגריני כתבו בעקבותיו מחזמר בשם "קונצ'יטה" על מוזיקה של ריקרדו זנדונאי. באו אחריו גם סרטים La Femme et le Pantin (1929), סרט אילם של ז'אק ברונסלי, עם השחקנית קונצ'יטה מונטנגרו, סרטי הקולנוע באותו נושא – של יוזף פון שטרנברג ( 1935 באנגלית – The Devil is a Woman) עם מרלן דיטריך, "האישה" בבימוי ז'וליין דוביבייה עם בריז'יט בארדו ב-1959, ו-"Cet obscur objet du désir" ("תשוקה אפלה") מאת לואיס בוניואל עם השחקנים פרננדו ריי וקרול בוקה – ב-1977.
יחד עם פרנסואה קופה ואמנים וסופרים אחרים, ביניהם חוזה-מריה דב ארדיהף ז'ול ורן, אדגר דגה, אוגוסט רנואר וונסן ד'אנדי היה הצטרף לואי ל"ליגת המולדת הצרפתית" שהשתייכה ל מחנה נגד דריפוס.

ב-1901 כתב לואי ירומן אירוני עוקצני בשם "Les Aventures du roi Pausole" שעובד מאוחר יותר, ב-1930 לאופרטה על לחן מאת ארתור הונגר.
בהתחלת המילניום החדש היה לואי מוצף במצבי חדק, התקשה לכתוב ולפרסם. כמה קובצי מאמרים ונובלות פורסמו קודם בעיתונים. הנובלות היו בעלות צביון פנטסטי, למשל הקובץ Sanguines שבו אחד מגיבורי העלילה הוא הסופר אונורה דה בלזק המשוחח עם אחת הדמויות שיצר: אסתר גובסק.