stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מסד נתונים
סוגים שונים של מסדי נתונים > חלוקה לפי סוג

מסדי נתונים אקטיביים (Active Databases).
מסדי נתונים עתיים (Temporal Databases).
מסדי נתונים שיתופיים (Cooperative/Federated Databases).
מסדי נתונים מבוזרים (Distributed Databases).
מסדי נתונים הסתברותיים (Probabilistic Databases).
מרכיבי מסד הנתונים

יחידת הנתונים הקטנה ביותר במסד הנתונים היא השדה (field). בנתוני אזרח במרשם התושבים, למשל, מספר הזהות, השם הפרטי, ושם המשפחה הם שדות בטבלה. שדה חייב להיות מסוג מסוים, שמגביל את הזנת הערכים לו לאותו סוג נתונים. כך, למשל, שדה שהוגדר כמספר לא יוכל להכיל תווי אותיות.
אוסף כל השדות המתארים את האזרח הוא הרשומה (record) של אותו אזרח. לכל רשומה יש מפתח ראשי (primary key), המשמש לזיהוי חד-משמעי שלה. מפתחות משניים משמשים לאיתור מהיר של רשומות ולקישור בין רשומות. ברשומת האזרח, מספר הזהות משמש כמפתח ראשי, ושם המשפחה והשם הפרטי משמשים כמפתח משני. מפתח המורכב משילוב של כמה שדות קרוי מפתח מורכב.
מסד נתונים מכיל בדרך כלל רשומות רבות, המקושרות באמצעות מפתחות. לתרשים שמבטא את כל הקשרים בין הרשומות השונות קוראים דיאגרמה. היחסים בין רשומות יכולים להיות מכמה סוגים. הנפוצים ביותר הם יחס של אחד לרבים, שבו לכל רשומה יכולות להיות מקושרות מספר רשומות אחרות, ויחס של אחד לאחד, שבו לכל רשומה יכולה להיות רק רשומה אחת שמקושרת אליה. דוגמה: במרשם התושבים, לאם אחת מקושרים ילדים אחדים (יחס של אחד לרבים), אך לא יותר מבן-זוג אחד (יחס של אחד לאחד). במסד הנתונים יש מנגנון בקרה מיוחד האוכף את התנאים הללו ושמו מנגנון אימות היחוסים שמכונה גם מנגנון בקרת יתומים ואלמנות, מכיוון שאינו מאפשר ליצור או להותיר רשומות "יתומות".
מפתח או אינדקס הוא שדה שמוגדר ככזה. כמעט כל שדה יכול להיות מוגדר כשדה מפתח (למעט שדה בינארי ושדה מזכר), אבל רק שדה אחד בכל טבלה יכול להיות מוגדר כמפתח ראשי, שאר המפתחות יהיו מוגדרים כמפתחות זרים או מפתחות משניים. שדה מפתח הוא שדה שהתוכנה יוצרת בעבורו מפתח פנימי ממוין של כל הערכים באותו שדה. תפקידיו של המפתח הם: להאיץ את העבודה עם הרשומה, במיון, בחיפוש ובשליפה של ערכים, וכן למנוע הזנת ערכים זהים במפתח שהוגדר ללא כפילות. כאשר אין שדה שניתן לייחס לו זיהוי חד-ערכי לרשומה, נוהגים להוסיף לרשומה שדה מלאכותי שיכיל מספר חד-ערכי רנדומלי.
מסדי נתונים נפוצים > מודל רשתי

ADABAS
מסדי נתונים נפוצים > מודל היררכי

IMS/DB
מסדי נתונים נפוצים > מודל טבלאי

MySQL
Microsoft SQL Server
אורקל
Access
DB2
PostgreSQL
אינפורמיקס
Sybase Database
SQLite
Firebird
Teradata
מסדי נתונים נפוצים > מודל העצמים

PostgreSQL
מסדי נתונים נפוצים > NoSQL

MongoDB
אפאצ'י קסנדרה
RavenDB
ראו גם

אינדקס
תוכנה - מונחים
מסד נתונים גרפי
CAP theorem
לקריאה נוספת

רז הייפרמן, בסיסי נתונים טבלאיים ושפת SQL, הוצאת הוד-עמי.
מבוא למאגרי נתונים – רם קדם
Database System Concepts, Avi Silberschatz Henry F. Korth S. Sudarshan, McGraw-Hill
מרחב אחיד

במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, מרחב אחיד הוא קבוצת נקודות עם מבנה שמגדיר עליה טופולוגיה ובנוסף דרך להשוות קירבה בין נקודות באזורים שונים של המרחב. במרחבים אחידים ניתן להשוות קירבה בין נקודות שונות במרחב מבלי להגדיר באופן מספרי מרחק בין נקודות. הדבר מאפשר להגדיר מושגים כגון רציפות במידה שווה ושלמות באופן מופשט.
המושג נהגה לראשונה על-ידי המתמטיקאי אנדרה וייל בשנת 1937.
מבוא ומוטיבציה

הדרך הטבעית להגדיר מרחקים בין נקודות במרחב כלשהו הוא על-ידי שימוש במטריקה. כך, עבור מרחב  X כלשהו אפשר להגדיר פונקציית מרחק  d\colon X\times X\to \mathbb {R}  שמקיימת את התכונות המצופות ממרחק (מרחק 0 אם ורק אם הנקודות זהות, סימטריות ואי-שוויון המשולש).
עם זאת, ישנו צורך לנתח את הגאומטריה של מרחבים מסוימים ללא התייחסות למרחקים בין נקודות. כדי לענות על צורך זה מגדירים על המרחב טופולוגיה המורכבת מקבוצת הקבוצות הפתוחות על המרחב. אוסף קבוצות פתוחות אלו מספיק כדי לדון במושגים כמו התכנסות ורציפות שלא באופן הקלאסי על-ידי חישוב גבולות. כך ניתן לתאר מבנים גאומטריים כדוגמת הספירה, טבעת מביוס, הטורוס ובקבוק קליין ללא צורך בהגדרת מרחק כלל.
על אף שבמקרים רבים המבנה הטופולוגי מספיק כדי לתאר באופן מלא את המרחב, הטופולוגיה אינה מסוגלת לספק השוואה בין קרבה של נקודות כלשהן. כך למשל, הטופולוגיה מספיקה כדי לתאר שסדרה כלשהי  \left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty } מתכנסת ל- x, אך היא לא מסוגלת לתאר שהסדרה הנ"ל מתכנסת מהר יותר מאשר סדרה אחרת  \left\{y_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }.
כדי לענות על הצורך הזה יש להגדיר על המרחב מבנה אחידות. מבנה זה מסוגל לנסח מתמטית טענות כגון "הנקודה  x_{1} קרובה לנקודה  y_{1} באותו סדר גודל כפי ש- x_{2} קרובה ל- y_{2}", זאת מבלי להגדיר מרחק כלל.
מטריקה על מרחב מגדירה מבנה אחיד עליו. מבנה אחיד על מרחב מגדיר טופולוגיה עליו. באופן דומה, העתקה בין מרחבים מטריים ששומרת את המטריקה (העתקות כאלה נקראות איזומטריות) גם שומרת את המבנה האחיד (העתקות כאלה נקראות העתקות רציפות במידה שווה). כך גם העתקה ששומרת את המבנה האחיד שומרת גם את הטופולוגיה (העתקות כאלה נקראות העתקות רציפות).
סימונים

בהינתן קבוצה כלשהי  X נסמן ב- {\mathcal {P}}(X) את קבוצת תתי-הקבוצות של  X.
כמו כן, עבור יחסים  U,V\subseteq X\times X נסמן:
U\circ V:=\left\{(x,z)\mid \exists y\in X:(x,y)\in U\land (y,z)\in V\right\}
U^{-1}:=\left\{(x,y)\mid (y,x)\in U\right\}
כמו כן, נסמן ב- \Delta _{X}\subseteq X\times X את יחס הזהות על  X (נקרא גם האלכסון של  X), כלומר:
\Delta _{X}:=\left\{(x,x)\mid x\in X\right\}
הגדרה מתמטית

בהינתן קבוצה כלשהי  X הקבוצה  {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X\times X) תקרא מבנה אחידות על  X אם ורק אם היא מקיימת את כל האקסיומות הבאות:
{\mathfrak {A}} איננה ריקה, כלומר  {\mathfrak {A}}\neq \emptyset .
לכל  U\in {\mathfrak {A}} מתקיים ש- \Delta _{X}\subseteq U
לכל  U,V\in {\mathfrak {A}} מתקיים ש- U\cap V\in {\mathfrak {A}}
לכל  U\in {\mathfrak {A}} ולכל  U\subseteq V\subseteq X\times X מתקיים ש- V\in {\mathfrak {A}}
לכל  U\in {\mathfrak {A}} מתקיים ש- U^{-1}\in {\mathfrak {A}}
אקסיומת החציה: לכל  U\in {\mathfrak {A}} קיים  V\in {\mathfrak {A}} כך ש- V\circ V\subseteq U
קבוצה  U\in {\mathfrak {A}} כלשהי תקרא פמליה. במקרה זה, אם  (x,y)\in U מגדירים כי  x ו- y הן  U-קרובות. הזוג הסדור  (X,{\mathfrak {A}}) יקרא מרחב אחיד או מרחב אחידות.
ניתן לראות כי מבנה האחידות  {\mathfrak {A}} הוא אוסף של יחסים. האקסיומה הראשונה קובעת כי מבנה האחידות איננו ריק. האקסיומה השנייה קובעת כי תחת כל פמליה, כל נקודה קרובה לעצמה. האקסיומות השלישית והרביעית הופכות את  {\mathfrak {A}} למסנן לפי יחס ההכלה  \subseteq , ובתוך כך מגדירות שחיתוך סופי של פמליות הוא פמליה בעצמו ושכל יחס על  X שמכיל פמליה הוא פמליה בעצמו. האקסיומה החמישית מוודאת כי אם  x קרובה ל- y תחת פמליה כלשהי, אז ישנה פמליה אחרת שבה  y קרובה ל- x. האקסיומה השישית והאחרונה קובעת כי לכל פמליה יש פמליה שהיא "לכל היותר חצי ממנה".
פמליה  U\in {\mathfrak {A}} תקרא פמליה סימטרית אם ורק אם  U=U^{-1}. ניתן לראות כי מבנה האחידות לא מבטיח שכל הפמליות סימטריות.
מבנה אחיד מושרה על תת-קבוצה

בהינתן מרחב אחיד  X ותת-קבוצה  Y\subset X אפשר להגדיר מבנה אחיד על  Y שנקרא המבנה המושרה מ-  X באופן הבא: נסמן ב-  {\mathfrak {U}}_{X} את המבנה האחיד על  X. לכל פמליה  U\in {\mathfrak {U}}_{X} מגדירים  U_{Y}:=U\cap Y\times Y. אוסף היחסים על  Y שמתקבלים כך הם הפמליות ב- Y. באופן פורמלי, המבנה האחיד המושרה על  Y מוגדר על ידי:
 {\mathfrak {U}}_{Y}:=\{U_{Y}|U\in {\mathfrak {U}}_{X}\}
בסיס

מאחר ש- {\mathfrak {A}} הוא מסנן, ניתן למצוא עבורו בסיס. קבוצה  {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {A}} תקרא בסיס של  {\mathfrak {A}} אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
לכל  U,V\in {\mathfrak {B}} מתקיים ש- U\cap V\in {\mathfrak {B}}
לכל  U\in {\mathfrak {A}} קיים  V\in {\mathfrak {B}} כך ש- V\subseteq U
מאחר שלכל מסנן כללי יש בסיס, גם למבנה אחידות יש בסיס.
קבוצה  {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {A}} תקרא בסיס סימטרי של  {\mathfrak {A}} אם כל הפמליות בה סימטריות. ניתן להוכיח כי לכל מרחב אחיד לא רק שיש בסיס, אלא קיים בסיס סימטרי. זאת נעשה על-ידי לקיחת בסיס כלשהו  {\mathfrak {B}} לכל פמליה  U\in {\mathfrak {B}} ידוע כי  U^{-1}\in {\mathfrak {A}} ולכן גם  U\cap U^{-1}\in {\mathfrak {A}}. ניתן להיווכח כי  U\cap U^{-1} היא פמליה סימטרית. מגדירים את הקבוצה:
{\mathfrak {B}}':=\left\{U\cap U^{-1}\mid U\in {\mathfrak {B}}\right\}
ניתן להוכיח כי הקבוצה  {\mathfrak {B}}' היא בסיס, ולכן בסיס סימטרי.
קשר למרחבים טופולוגים > טופולוגיה מושרית

בהינתן מרחב אחיד  (X,{\mathfrak {A}}), פמליה  U\in {\mathfrak {A}} ואיבר  x\in X כלשהו, מגדירים:
U[x]:=\left\{y\in X\mid (x,y)\in U\right\}
מגדירים כי קבוצה  A\subseteq X היא פתוחה לפי מבנה האחידות  {\mathfrak {A}} אם ורק אם לכל  x\in A קיימת פמליה  U\in {\mathfrak {A}} כך ש- U[x]\subseteq A.
מגדירים  \tau :=\left\{U\subseteq X\mid U{\text{ is open according to }}{\mathfrak {A}}\right\}. כלומר,  \tau  היא קבוצת כל הקבוצות הפתוחות לפי  {\mathfrak {A}}. על כן, ניתן להוכיח כי  \tau  היא טופולוגיה, וטופולוגיה זו נקראת הטופולוגיה המושרית של  {\mathfrak {A}}.
יש להדגיש כי באופן כללי הקבוצות מהצורה  U[x] כאשר  x היא נקודה ב- X ו- U פמליה אינן קבוצות פתוחות בהכרח לפי הטופולוגיה המושרית. עם זאת, ניתן להוכיח כי כל  U[x] מכילה קבוצה פתוחה שמכילה את  x. בכך  U[x] למעשה סביבה של  x לפי הטופולוגיה המושרית.
יתרה מכך, ניתן להוכיח כי  {\mathcal {N}}(x)=\left\{U[x]\mid U\in {\mathcal {A}}\right\}, כאשר  {\mathcal {N}}(x) היא מערכת הסביבות של  x לפי הטופולוגיה המושרית.
קשר למרחבים טופולוגים > מרחב בר-אחידות

בהינתן מרחב טופולוגי  (X,\tau ), אומרים כי המרחב בר-אחידות אם ורק אם קיים מבנה אחידות  {\mathfrak {A}} על  X כך ש- \tau  היא הטופולוגיה המושרית ממנו. בעוד שלכל מבנה אחידות יש טופולוגיה מושרית אחת, לכל טופולוגיה ייתכנו מספרת מבני אחידות מותאמים.
עבור מרחב טופולוגי  (X,\tau ) בר-אחידות, התכונות הבאות שקולות:
המרחב הוא מרחב קולמוגורוב
המרחב הוא מרחב האוסדורף
המרחב הוא מרחב טיכונוף
עבור כל מבנה אחידות מותאם  {\mathfrak {A}}, החיתוך של כל הפמליות ב- {\mathfrak {A}} הוא יחס הזהות  \Delta _{X}
עבור התנאי השקול מספר 4, חשוב להדגיש כי העובדה שחיתוך על הפמליות במבנה האחידות הוא יחס הזהות  \Delta _{X} אינו מעיד על כך שיחס הזהות הוא איבר במבנה האחידות, זאת מכיוון שמבנה האחידות הוא סגור לחיתוך סופי של פמליות, אך יכול להכיל (ולרוב אף מכיל) מספר אינסופי של פמליות. במילים אחרות, המסנן  {\mathfrak {A}} אינו בהכרח מסנן ראשי.
כיסוי אחיד

בהינתן קבוצה  X, כיסוי שלה  {\mathcal {C}} וקבוצה כלשהי  A\subseteq X מגדירים את הכוכב של  A לפי  {\mathcal {C}} באופן הבא:
\operatorname {st} (A,{\mathcal {C}}):=\bigcup {\left\{U\in {\mathcal {C}}\mid A\cap U\neq \emptyset \right\}}
כלומר, הכוכב של  A הוא איחוד כל האיברים בכיסוי שנחתכים עם  A.
בהינתן שני כיסויים שונים של  X,  {\mathcal {C}}_{1} ו- {\mathcal {C}}_{2}, מגדירים כי  {\mathcal {C}}_{2} הוא עידון-כוכב של  {\mathcal {C}}_{1} אם ורק אם לכל  U\in {\mathcal {C}}_{2} קיים  V\in {\mathcal {C}}_{1} כך ש- \operatorname {st} (U,{\mathcal {C}}_{2})\subseteq V, ומסמנים  {\mathcal {C}}_{2}<^{*}{\mathcal {C}}_{1}. המשמעות של עידון-כוכב היא שעבור כל קבוצה ב- {\mathcal {C}}_{2}, כל הקבוצות ב- {\mathcal {C}}_{2} שנחתכות איתה מוכלות כולן בתוך קבוצה יחידה מתוך  {\mathcal {C}}_{1}. מכאן נובע כי עידון כוכב הוא למעשה גרסה חזקה יותר של עידון סטנדרטי, ועל כן כל עידון-כוכב הוא גם עידון.
בהינתן קבוצה כלשהי  X ואוסף של כיסויים  {\mathfrak {C}}\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X)), הקבוצה  {\mathfrak {C}} תקרא כיסוי אחיד של  X אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
הכיסוי הטריוויאלי נמצא ב- {\mathfrak {C}}, כלומר  \left\{X\right\}\in {\mathfrak {C}}
לכל כיסוי  {\mathcal {C}}_{1}\in {\mathfrak {C}} קיים כיסוי  {\mathcal {C}}_{2}\in {\mathfrak {C}} כך ש- {\mathcal {C}}_{2}<^{*}{\mathcal {C}}_{1}
לכל זוג כיסויים  {\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2}\in {\mathfrak {C}} קיים כיסוי  {\mathcal {C}}_{3}\in {\mathfrak {C}} כך ש- {\mathcal {C}}_{3}<^{*}{\mathcal {C}}_{1} ו- {\mathcal {C}}_{3}<^{*}{\mathcal {C}}_{2}.
תנאים 2 ו-3 הופכים כל כיסוי אחיד למסנן ביחס ליחס הסדר החלקי  \leq ^{*} (כאשר  {\mathcal {C}}_{2}\leq ^{*}{\mathcal {C}}_{1} משמעו ש- {\mathcal {C}}_{2}<^{*}{\mathcal {C}}_{1} או  {\mathcal {C}}_{2}={\mathcal {C}}_{1})
ישנה התאמה בין כיסויים אחידים של קבוצה כלשהי  X ומבני אחידות של  X. כלומר, מכל מבנה אחידות ניתן ליצור כיסוי אחיד ולהפך. על כן, ניתן להשתמש בכיסוי אחיד כהגדרה אלטרנטיבית למרחב אחיד.
כיסוי אחיד > בניית מבנה אחידות מכיסוי אחיד

בהינתן קבוצה  X וכיסוי אחיד  {\mathfrak {C}}, לכל כיסוי  {\mathcal {C}}\in {\mathfrak {C}} מגדירים את הפמליה הבאה:
U_{\mathcal {C}}:=\left\{(x,y)\in X\times X\mid \exists U\in {\mathcal {C}}\colon x\in U\land y\in U\right\}
מגדירים את הקבוצה  {\mathfrak {B}}:=\left\{U_{\mathcal {C}}\mid {\mathcal {C}}\in {\mathfrak {C}}\right\} ומשתמשים בה כבסיס לבניית מסנן  {\mathfrak {A}}. ניתן להוכיח כי  {\mathfrak {A}} הוא מבנה אחידות. יש להדגיש כי אקסיומת החציה של  {\mathfrak {A}} (אקסיומה 6 לעיל) מתקיימת בזכות העובדה שלכל כיסוי ב- {\mathfrak {C}} יש עידון-כוכבי. העידון הכוכבי בעצם מאפשר לחצות את הפמליה.
כיסוי אחיד > בניית כיסוי אחיד ממבנה אחידות

בהינתן מרחב אחיד  (X,{\mathfrak {A}}), לכל פמליה  U\in {\mathfrak {A}} מגדירים את הכיסוי הבא:
{\mathcal {C}}_{U}:=\left\{U[x]\mid x\in X\right\}
מגדירים את הקבוצה  {\mathfrak {C}}:=\left\{{\mathcal {C}}_{U}\mid U\in {\mathfrak {A}}\right\}. ניתן להוכיח כי  {\mathfrak {C}} הוא כיסוי אחיד של  X.
רציפות במידה שווה

בהינתן שני מרחבים אחידים  (X,{\mathfrak {A}}) ו- (Y,{\mathfrak {B}}), פונקציה  f\colon X\to Y תקרא פונקציה רציפה במידה שווה אם ורק אם לכל פמליה  V\in {\mathfrak {B}} קיימת פמליה  U\in {\mathfrak {A}} כך שלכל  (x,y)\in U מתקיים ש- (f(x),f(y))\in V.
כל פונקציה רציפה במידה שווה בין מרחבים אחידים היא פונקציה רציפה ביחס לטופולוגיות המושרות שלהם.
במקרה שבו שני המרחבים הם מרחבים מטריים ומבני האחידות נגזרים מתוך המטריקות (ראו פרק דוגמאות), הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה של פונקציה רציפה במידה שווה של מרחבים מטריים.
אם  f היא פונקציה הפיכה כך שגם  f וגם  f^{-1} הן רצפות רציפה במידה שווה, אז  f היא איזומרפיזם של מרחבים אחידים איזומרפיזם מ- X ל- Y. במקרה כזה אומרים ש- X ו- Y הם מרחבים אחידים איזומרפיים.
 f תקרא שיכון אחיד של  X ב- Y. אם היא איזומרפיזם לתמונה שלה (כשהמבנה האחיד על התמונה הוא המבנה האחיד המושרה מ-  Y).
שלמות

אחד השימושים המרכזיים של מרחבים אחידים הוא כדי להרחיב את מונח השלמות של מרחבים מטריים. בתוך כך, המרחב האחיד מאפשר להרחיב את המונח סדרת קושי בשתי דרכים: על-ידי רשת קושי ועל-ידי מסנן קושי.
שלמות > רשת קושי

בהינתן מרחב אחיד  (X,{\mathfrak {A}}) ורשת כלשהי  f:D\to X (כאשר  D היא קבוצה מכוונת), הרשת  f תקרא רשת קושי לפי  {\mathfrak {A}} אם ורק אם לכל פמליה  U\in {\mathfrak {A}} קיים  a\in D כך שלכל  b,c>a מתקיים ש- (f(b),f(c))\in U.
באופן דומה, בהינתן רשת כלשהי  f:D\to X (לאו דווקא קושי) ונקודה כלשהי  x\in A, נאמר כי הרשת  f מתכנסת ל- x לפי  {\mathfrak {A}} לכל פמליה  U\in {\mathfrak {A}} קיים  a\in D כך שלכל  b>a מתקיים ש- (f(b),x)\in U. ניתן להוכיח כי אם  (X,{\mathfrak {A}}) הוא מרחב האוסדורף לפי הטופולוגיה המושרית, אז כל רשת מתכנסת לכל היותר לנקודה אחת בלבד.
שלמות > מסנן קושי

בהינתן מרחב אחיד  (X,{\mathfrak {A}}) ומסנן  {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X) (לפי יחס ההכלה  \subseteq ), המסנן  {\mathcal {F}} ייקרא מסנן קושי לפי  {\mathfrak {A}} אם ורק אם לכל פמליה  U\in {\mathfrak {A}} קיימת קבוצה  F\in {\mathcal {F}} כך ש- F\times F\subseteq U.
באופן דומה, בהינתן מסנן כלשהו  {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X) (לאו דווקא קושי) ונקודה  x\in X, מגדירים שהמסנן  {\mathcal {F}} מתכנס ל- x לפי  {\mathfrak {A}} אם ורק אם לכל פמליה  U\in {\mathfrak {A}} מתקיים ש- U[x]\in {\mathcal {F}}. ניתן להוכיח כי אם  (X,{\mathfrak {A}}) הוא מרחב האוסדורף לפי הטופולוגיה המושרית, אז כל מסנן מתכנס לכל היותר לנקודה אחת בלבד.
שלמות > הגדרת מרחב אחיד שלם

בהינתן מרחב אחיד  (X,{\mathfrak {A}}), נאמר כי  X הוא מרחב שלם אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:
כל רשת קושי מתכנסת.
כל מסנן קושי מתכנס.
הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה של שלמות במובן של מרחבים מטריים כאשר המרחב האחיד נבנה מהמטריקה (ראו פרק דוגמאות).
ניתן להוכיח כי בהינתן מרחב אחיד כלשהו  (X,{\mathfrak {A}}), קבוצה צפופה (לפי המטריקה המושרית מן האחידות)  D\subseteq X ומרחב אחיד שלם  (Y,{\mathfrak {B}}), לכל שיכון אחיד  f:D\to Y קיימת הרחבה  f':X\to Y כך ש- f' היא פונקציה רציפה במידה שווה ולכל  x\in D מתקיים ש- f'(x)=f(x).
דוגמאות > מרחבים טריוויאלים

בהינתן קבוצה כלשהי  X עם מבנה האחידות  \left\{X\times X\right\}, מתקבל מרחב אחיד שבו כל הנקודות הן באותה פמליה. מרחב זה שקול למרחב הטופולוגי עם הטופולוגיה הטריוויאלית  \left\{\emptyset ,X\right\}.
דוגמאות > מרחב מטרי

בהינתן מרחב מטרי  (X,d), לכל מספר ממשי חיובי  r>0 מגדירים את הפמליה:
U_{r}:=\left\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<r\right\}
משתמשים בבסיס  \left\{U_{r}\right\}_{r>0} כדי להגדיר מבנה אחידות  {\mathfrak {A}}. מבנה אחידות זה הוא מבנה האחידות המושרה מהמטריקה. ניתן להוכיח כי מושגים כגון שלמות ורציפות במידה שווה כפי שהוגדרו למרחבים אחידים מתלכדים עם ההגדרות למרחבים מטרים כאשר משתמשים במבנה האחידות המושרה מהמטריקה.
דוגמאות > חבורה טופולוגית

בהינתן חבורה טופולוגית  (G,\tau ), לכל סביבה של איבר היחידה  U מגדירים את הפמליה  \left\{(x,y)\in G\times G\mid xy^{-1}\in U\right\}. ניתן להוכיח כי קבוצת כל פמליות אלו היא מבנה אחידות. מבנה אחידות זה נקרא מבנה האחידות הימני, זאת מכיוון שהפונקציה  x\mapsto xa, כאשר  a\in G קבוע, היא פונקציה רציפה במידה שווה מהמרחב  G לעצמו לפי מבנה אחידות זה. ניתן להוכיח כי מבנה האחידות הימני הוא מבנה האחידות המותאם ל- \tau  היחיד שבו תכונה זו מתקיימת.
באופן דומה מגדירים את מבנה האחידות השמאלי.
עבור חבורות כלליות, מבנה האחידות הימנית ומבנה האחידות השמאלית אינם בהכרח זהים. עם זאת, הטופולוגיה המושרית משניהם היא הטופולוגיה המקורית  \tau . ניתן להוכיח כי שני מבני האחידות זהים אם ורק אם החבורה היא חבורה אבלית.
דוגמאות > מרחב וקטורי טופולוגי

בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי  (V,\tau ) הוא בהכרח חבורה טופולוגית ביחס לפעולת החיבור שלו, ולכן ניתן להגדיר עליו מבנה אחידות כפי שהוגדר לעיל. מבנה זה איננו ימני או שמאלי מכיוון שפעולת החיבור קומוטטיבית.
למבנה האחידות על מרחבים וקטורים טופולוגים חשיבות רבה. כך למשל מגדירים את מרחב פרשה להיות מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית, מטריזבילי ושלם ביחס למבנה האחידות הנ"ל. למרחבי פרשה חשיבות רבה מכיוון שהם מהווים הכללה למרחבי בנך.
ראו גם

מרחב מטרי שלם
רציפות במידה שווה
הערות שוליים

↑  Uniform space - Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org
↑  uniform space, planetmath.org
↑  uniform space in nLab, ncatlab.org (באנגלית)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NDL: 00564317
ברמכים

מפה המציגה את השטחים שהיו בשליטת בית עבאס
הבַּרְמַכּים, בערבית אל-בַּרַאמִכַּה (البرامكة), היו משפחת וזירים גדולים שהשיגה השפעה רבה בתקופתם של כמה ח'ליפים עבאסיים. המשפחה הייתה במקור משפחה של כהני דת בודהיסטים מאזור נאוובהאר ממערב לבלח' באפגניסטן. השם "בראמכה" הוא הגרסה הערבית למילה Parmukh בסנסקריט (प्रमुख) שמשמעותה "כהן דת".
הברמכים היו מראשוני התומכים במרד העבאסי באומיים בראשות א-ספאח. הדבר העניק לראש המשפחה, ח'אלד בן ברמכ, השפעה ניכרת בחצר, ובנו יחיא היה הווזיר הגדול של הח'ליף אל-מהדי (775-785) והחונך של הארון א-רשיד (786-809). יחיא נפטר בשנת 809, ובניו אל-פצ'ל (קרי: אל-פדל) וג'עפר (חי בין 767–803) מילאו שניהם תפקידים רמי דרג בחצרו של הארון א-רשיד.
הברמכים היו פטרוני המדע והאמנויות וסייעו להפצת המדעים ההודיים ומאקדמיית גונדישפור הפרסית ברחבי העולם הערבי. הם היו הפטרונים של מלומדים כגון גביר (Gebir) וג'בריל אבן בוח'טישו. הם היו המייסדים של מפעל הנייר הראשון בבגדאד. הברמכים תרגמו בעיקר ספרות רפואית ובכך טמנו את הזרעים למפעל "בית החוכמה" שהוקם בימי אל-מאמון. כוחם הרב והשפעתם בחצר מתבטאים בסיפורי "אלף לילה ולילה", בהם מככב הוזיר הגדול ג'עפר. מתוך אחד הסיפורים הכלולים בקובץ זה נגזר הביטוי "ארוחה ברמכית" (באנגלית: Barmecide feast).
בשנת 803 סר חינם של הברמכים בעיני הארון א-רשיד, והוא אסר רבים מאנשיהם. על נפילתם של הברמכים מסופרות גרסאות רבות. לפי אחת מהן היו רעיו הקרובים ביותר של הארון א-רשיד אחותו עבאסה והווזיר ג'עפר. על מנת שיוכל לבלות זמן רב יותר במחיצתם, הוסכם כי יינשאו בנישואים פורמליים בלבד ונאסר עליהם להתראות שלא במחיצתו של א-רשיד כדי שלא יעמידו צאצאים. לאחר שעבאסה ילדה תאומים, א-רשיד הוציא את ג'עפר להורג. א-רשיד גם אסר והחרים את רכושם של כל בני המשפחה להוציא את מוחמד אחיו של יחיא. ייתכן כי הנקמנות המופלגת שבה נהג א-רשיד בברמכים נבעה מרמיזות של אנשי חצר שהוא היה אך ורק כלי שרת בידי הברמכים.
סיבות אחרות לנפילתם הציעו א-טברי ואבן ח'לדון. בין היתר הוזכר ההדר והפאר שבו הם חיו ואשר הטיל צל על יוקרתו של הח'ליף. הברמכים הקימו בבגדאד צבא בן 20 אלף תומכים תחת השם "גיס הכַרְנַבִיַה" והם זכו לתמיכת 30 אלף לוחמים אחרים. בהסתת השר אל-פצ'ל בן רביע הושם מעקב אחרי בני המשפחה ונתגלתה מזימה לחולל מרד בדילאם שבפרס בתמיכתם. הברמכים הואשמו גם בהתססת המוני עם בח'וראסאן. בשל האיום שהציבו על יציבות כסאו, הסיר אותם א-רשיד מעל פניו וכוחם היה לנחלת ההיסטוריה.
ריצ'רד אשקרפט

ערך זה עוסק בסופר וחוקר בתחום מדעי המדינה. אם התכוונתם לזמר ומשורר אנגלי, ראו .
| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  26 בספטמבר 1938 קליפורניה, ארצות הברית
 פטירה:  1 בנובמבר 1995  (בגיל 57)
 השקפה דתית:  אתאיזם
 מקום לימודים:  אוניברסיטת הרווארד, אוניברסיטת קליפורניה בברקלי
 מוסדות:  אוניברסיטת קליפורניה בברקלי
 זרם:  ליברליזם
 תחומי עניין:  פוליטיקה, פילוסופיה, רוק אנד רול
 עיסוק:  מחקר
 הושפע מ:  ג'ון לוק
 השפיע על:  ג'ון דאן
 מדינה:  ארצות הברית
 
צ'ארלס ריצ'רד אשקרפט (באנגלית: Richard Ashcraft;‏ 26 בספטמבר 1938 - 1 בנובמבר 1995) היה אנלטיקאי וחוקר אמריקאי בתחום היסטורית מדע המדינה והפילוסופיה. הוא שימש כפרופסור למדעי המדינה באוניברסיטת קליפורניה בברקלי.
ביוגרפיה

נולד ב-26 בספטמבר 1938 לצ'רלי אשקרפט ורונדה ג'ונקין בסן פרנסיסקו שבארצות הברית, את ילדותו בילה בדרום קליפורניה וכבר בילדותו החל להתעניין בפוליטיקה. הוא גורש מבית הספר התיכון שלו באשמת הדפסת עיתון מחתרתי עם חבר לכיתה, בעיתון הם קראו לאחד את השטחים של אלסקה והוואי לארצות הברית.
בשנת 1956 החל את לימודיו באוניברסיטת הרווארד, שם התעסק רבות בחקר מדע המדינה ובמוזיקת רוק אנד רול. לאחר שסיים את לימודי התואר ראשון בהצטיינות עבר לאוניברסיטת קליפורניה בברקלי, ב-1960 והתחיל גם ללמד שם ב-1965, הוא סיים את הדוקטורט שלו בשנת 1966.
לאחר שעבד לזמן קצר אצל הסנאטור האמריקני הריסון ויליאמס, חזר אשקרפט ללמד באוניברסיטת קליפורניה כפרופסור למדע המדינה והצטרף לתנועת המחאה נגד מלחמת וייטנאם שקמה באותה העת, על תקופה זו הוא התבטא:
כמה ימים אחרי שהתחלתי ללמד את הסטודנטים הראשונים את העקרונות הבסיסיים של הממשל האמריקאי, הממשל הזה - הממשל שלי - הטיל פצצות על צפון וייטנאם..
חוויה זו של הצטרפותו כחלק מתנועה חברתית הקצינה את הגישה הליברלית שלו ועיצבה את מחקריו. במחקריו עסק אשקרפט בעיקר בהבנת התאורטיקנים הפוליטיים מתוך למידת פעילותם הפוליטית המעשית ובכך זכו מחקריו להיות בעלי גישה שונה לכתבים מאשר שאר הגישות בעלות אוריינטציה פילוסופית יותר.
שימש כפרופסור למדעי המדינה באוניברסיטת קליפורניה עד שנת 1992, הוא היה עורך המגזין Political Theory משנת 1989 עד 1994. זמן קצר לפני מותו הוא עבד על מחקר על הפילוסוף הבריטי ג'ון סטיוארט מיל ועל הופעתיה של תנועת הפועלים במאה ה-19.
ביוגרפיה > מותו

ריצ'רד אשקרפט מת ב-1 בנובמבר 1995. לזכרו, בשנת 1996 הפאנל בכנס האגודה למדעי המדינה בסן פרנסיסקו בחן את חייו ויצירתו של אשקראט.
על כתביו של ג'ון לוק

ריצ'רד אשקרפט הושפע רבות מהפילוסוף האנגלי בן המאה השבע עשרה, ג'ון לוק והרבה לחקור את כתביו.
הוא היה מהמפורסמים שבאניליטיקאים שחקרו את החיבור המפורסם של לוק "שתי מסכתות על ממשל מדיני". העובדה ששתי המסכתות הודפסו זמן קצר לאחר המהפכה המהוללת ובפתח דבר מופיעים דברי תמיכה של לוק בשלטון של ויליאם השלישי ומרי השנייה הביאו דורות של פרשנים למסקנה שהחיבור נכתב כהצדקה למהפכה, אך למרות זאת טען ריצ'רד במחקריו שלוק כתב את מרבית הטקסט כעשור לפני המהפכה, במהלך השנים 1679–1681.
ב-1986 ג'ון דאן התבטא עליו:
אשקראפט היה אחד האנליטיקאים היעילים והמעניינים ביותר של הפילוסופיה החברתית והפוליטית של ג'ון לוק במשך כמעט שני עשורים.
על כתביו של ג'ון לוק > פוליטיקה מהפכנית ושתי מסכות הממשל של לוק

בספרו, שפורסם ב-1986 מציע ריצ'רד אשקרפט פרשנות חדשה למחשבתו הפוליטית של ג'ון לוק על ידי התבוננות ברעיונותיו, בייחוד באלה מהספר "שתי מסכתות על ממשל מדיני". הספר מתמקד בין היתר בהקשר של פעילותו הפוליטית של לוק, בקשר בין ההשלכות של התיאוריה הפוליטית שלו לפוליטיקה המעשית שלו, במעורבותו של לוק עם הוויגים הרדיקליים אשר ערערו את הסדר באנגליה משנות ה-70 עד שנות ה-90. מטרה חשובה לא פחות של המחבר היא לספק מקרה בוחן של תנועה מהפכנית הכוללת דיון בארגון, אידאולוגיה, הרכבה החברתי-כלכלי ופעילותה הפוליטית. בהתבסס על בחינה מפורטת של כתבי יד, יומנים, התכתבויות ועיתונים, אשקרפט מציג שפע של עדויות היסטוריות חדשות על החיים הפוליטיים ברסטורציה האנגלית, מחקר זה מייצג דוגמה לגישה לתיאוריה פוליטית תוך מתן חשיבות לכוונות הסופר ולהשפעות הפוליטיות, החברתיות והכלכליות.
בספר זה, אשקרפט מנחה את הקורא דרך בחינה מפורטת של הטקסטים לכדי הבנת רעיונותיו הפוליטיים של לוק ביחס לכתביו על פילוסופיה, חינוך, דת וכלכלה וההשפעה שהייתה לרעיונות אלו על תאורטיקנים פוליטיים בני המאה השמונה עשרה. המחבר מראה כיצד בנה לוק בקפידה את נקודת המבט הפוליטית שלו כהגנה על עקרונות ה"זכויות הטבעיות", שלטון החוק וההתנגדות העממית. הוא מציע פרשנות מקורית לשתי המסכתות, תוך שימת דגש על הדרכים הספציפיות שבהן מטרותיו הפוליטיות של לוק מתבטאות במסכתות.
ספריו

פוליטיקה מהפכנית ושתי מסכתות הממשל של לוק
פילוסופיה, מדע ודת באנגליה, 1640-1700
ג'ון לוק: הערכות ביקורתיות
ג'ון לוק: מאמרים שנקראו בסמינר בספריית קלארק