שמורה פולינומית
המבנה של חוג השמורות

לפי משפט הנורמליזציה של נתר, יש בחוג השמורות קבוצה בלתי-תלויה אלגברית מקסימלית, היוצרת תת-חוג  \ S (איזומורפי בעצמו לחוג הפולינומים ב-m משתנים), שחוג השמורות כולו הוא מודול נוצר סופית מעליו. (אברי הקבוצה הראשונה נקראים שמורות ראשיות, ואברי קבוצה פורשת של מודול השמורות מעל S נקראים שמורות משניות). השאלה המרכזית, היא, אם כך, מהו המבנה של המודול הזה. מתברר שחוג השמורות הוא חוג כהן-מקולי, כלומר, מודול חופשי מעל תת-החוג S (תכונה זו אינה תלויה בבחירה של S). את קבוצת היוצרים של S אפשר לבחור באופן הבא: בוחרים  \ f_{1}\neq 0 ליניארי כלשהו, ולאחר שנבחרו  \ f_{1},\dots ,f_{j} בוחרים  \ f_{j+1} ליניארי שאינו באיחוד של אף תת-מרחב מהצורה  \ \sum _{i=1}^{j}g_{i}f_{i}. הנורמות המצומצמות  \ N(f_{i}), המוגדרות כמכפלת כל הצמודים השונים זה מזה של הפולינום הנתון, מהוות קבוצת יוצרים בלתי-תלויה כדרוש. כל הדרגות  \ d_{1},\dots ,d_{m}המתקבלות באופן זה מחלקות את סדר החבורה G, ומכאן נובע שהמכפלה  \ (1-\lambda ^{|G|})^{m}F_{G}(\lambda ) היא פולינום; מכאן ראיה (נוספת) לכך שסדרת הילברט-פואנקרה היא פונקציה רציונלית. ממשפט מוליין אפשר אז להסיק שחוג השמורות  \ R^{G} נוצר, כמודול מעל S, על ידי שמורות ממעלה  \ \sum (d_{i}-1) לכל היותר.
המבנה המוצלח ביותר שיכול להיות לחוג השמורות הוא שיהיה בעצמו חוג פולינומים (בעל בסיס חופשי, כלומר שווה ל-S). מתברר ש- \ R^{G} הוא חוג פולינומים אם ורק אם G נוצרת על ידי פסאודו-שיקופים, שהם העתקות (של V) שכל הערכים העצמיים שלהן - פרט לאחד בדיוק - שווים ל-1 (פסאודו-שיקוף שהערך העצמי האחרון שלו הוא 1- הוא שיקוף). זהו משפט Shephard-Todd-Chevalley-Serre. במקרה זה  \ |G|=d_{1}\cdots d_{m}, וב-G יש בדיוק  \ \sum (d_{i}-1) פסאודו-שיקופים. (פסאודו-שיקוף צמוד או לחבורה אלכסונית, או למטריצה  \ 1+e_{12}). משפט Kemper-Malle מספק תוצאה אנלוגית במאפיין חיובי.
במקרה הכללי אין לחוג השמורות קבוצת יוצרים בלתי-תלויה אלגברית, ולכן אין מנוס מהבנת הקשרים בין היוצרים. קשרים אלו נקראים syzygy מסדר ראשון (syzygy היא מילה קשה לתרגום שמובנה האסטרונומי הוא התלכדות שלושה גרמי שמיים על קו ישר אחד). הקשרים עצמם הם פולינומים, העשויים להיות תלויים אלגברית - והקשרים ביניהם נקראים syzygy מסדר שני. משפט ה-syzygy של הילברט קובע שתהליך זה מוכרח להסתיים. בלשון מודרנית מציגים את חוג השמורות כחוג מנה של חוג פולינומים  \ A=F[y_{1},\dots ,y_{s}] (כלומר, יש בסיס בן s שמורות הומוגניות, שמהן  \ m\leq s בלתי תלויות, ובין כל קבוצה גדולה יותר של שמורות יש בהכרח תלות אלגברית). מערכת הקשרים והקשרים בין הקשרים וכן הלאה מבוטאת דרך רזולוציה חופשית של  \ R^{G} כמודול מעל A (ומשפט ה-Syzygy פירושו שיש רזולוציה חופשית סופית). למעשה, אם  \,0\rightarrow F_{n}\rightarrow \dots \rightarrow F_{1}\rightarrow F_{0}\rightarrow R^{G}\rightarrow 0 היא רזולוציה שבה ה- \ F_{i} הם A-מודולים חופשיים, אפשר לחשב את סדרת הילברט-פואנקרה לפי הנוסחה  \ F_{G}(\lambda )=\sum ((-1)^{i}\sum \lambda ^{d_{ij}})\prod (1-\lambda ^{d_{i}})^{-1}, כאשר  \ d_{ij} הן הדרגות של היוצרים של  \ F_{i}.
יש רזולוציה יחידה שבה הדרגה של כל  \ F_{i} היא הנמוכה ביותר האפשרית; הדרגות של המודולים המשתתפים בה הם מספרי בטי  \ \beta _{i}(R^{G}). אורכה של רזולוציה זו (שהיא גם הקצרה ביותר האפשרית) הוא s-m (תכונה זו שקולה לכך שחוג השמורות הוא כהן-מקולי). אם המרכיב האחרון ברזולוציה הוא מדרגה 1, אז חוג השמורות הוא חוג גורנשטיין (תכונה זו אינה תלויה בבחירת היוצרים  \ y_{1},\dots ,y_{s}, או אפילו במספרם). חוג השמורות הוא גורנשטיין אם ורק אם  \ \lambda ^{r}\sum \det(1-\lambda g)^{-1}=\sum \det(g)\det(1-\lambda g)^{-1}. בפרט, G מוכלת בחבורה הליניארית המיוחדת של V אם ורק אם r=0 וחוג השמורות הוא גורנשטיין. בכל מקרה מתקיים  \ \beta _{1}(R^{G})\geq s-m; המקרה שבו יש שוויון נקרא חיתוך שלם (גם זו תכונה של חוג השמורות שאינה תלויה בבחירת היוצרים). במקרה זה לרזולוציה המינימלית יש צורה סטנדרטית, המאפשרת גם לחשב בקלות את סדרת הילברט-פואנקרה, וממנה נובעת גם תכונת גורנשטיין. תכונה חזקה עוד יותר היא המקרה שבו  \ \beta _{1}(R^{G})=1, המבטיח גם שהממד ההומולוגי יהיה 1. במקרה זה  \ R^{G} נקרא על-משטח (hypersurface); כל על-משטח הוא חיתוך שלם.