stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ממלכת איטליה במלחמת העולם הראשונה
המערכה המלחמתית בחזית איטליה > קרב אסיאגו

ב-15 במאי 1916 פתחו האוסטרו-הונגרים בהפגזה ארטלירית גדולה ומיד לאחריה החלה הסתערות של חיל הרגלים לאורך חזית של 50 ק"מ. האיטלקים הופתעו מהסתערות זו. ב-29 במאי 1916 כבשו האוסטרו-הונגרים את אסיאגו והתקרבו לעיירת המחוז ויצ'נצה, כעת כל הצבא האיטלקי עמד לפני כיתור.
קאדורנה התעשת ברגע האחרון, והודות למערכת מסילות ברזל טובה, הצליח לשנע כוחות מחזית איזונצו לחזית טרנטינו ולעצור את התקדמות האוסטרו-הונגרים. ב-4 ביוני 1916 פתחה האימפריה הרוסית בהתקפה בגליציה, והצנדורף נאלץ להפסיק את המתקפה באיטליה ולהעביר כוחות נגד הרוסים. ב-10 ביוני 1916 נסתיים קרב אסיאגו והאיטלקים הצליחו להחזיר את החזית לגבולות שלפני הקרב.
לאוסטרו-הונגרים היו בקרב 15,000 הרוגים, 75,000 פצועים ו-15,000 שבויים ונעדרים. לאיטלקים היו 12,000 הרוגים, 80,000 פצועים ו-50,000 שבויים.
אולם בעקבות המתקפה האוסטרית המוצלחת אולצה ממשלתו של סלנדרה להגיש את התפטרותה למלך איטליה, ויטוריו אמנואלה השלישי ובמקומו נכנס לתפקיד פאולו בוזלי.
המערכה המלחמתית בחזית איטליה > קרב קפורטו

הקרב האחד עשר על האיזונצו הסתיים ב-12 בספטמבר 1917 ללא הישג משמעותי, עם 20,000 הרוגים איטלקים ו-30,000 חיילים אוסטרו-הונגרים. החיילים האיטלקים היו מותשים והמשמעת הצבאית התקיימה על פי הוראותיו החמורות של קאדורנה שכללו הדחות מפקדים והוצאות להורג של מאות חיילים שנאשמו בעריקה.
לאחר הקרב האחד-עשר על האיזונצו החליטו הגרמנים להתערב ולהביא לשינוי בחזית זו. כוחות גדולים הובלו מהחזית המזרחית, שם נחלו הצלחה בכיבוש ריגה בעזרת הטקטיקה שפותחה על ידי גנרל אוסקר פון הוטייה שעיקרה: חדירה מהירה של יחידות קטנות ומהירות מצוידות בלהביורים, רימונים ונשק קל, פגיעה במפקדות ובסוללות התותחים תוך גרימת בהלה אצל האויב ולאחר מכן כניסת הדרג השני והשלישי שמשלימים את המלאכה.
על הכוחות האוסטרו-גרמניים מונה הגנרל הגרמני אוטו פון בלוב שהשתתף קודם לכן בקרבות בפרוסיה ובמקדוניה. לקאדורנה נודע על הכוח הגרמני באזור על ידי סיורי אוויר וחקירת עריקים. הוא הזהיר את המפקד האיטלקי באזור, גנרל לואיג'י קאפלו, והורה לו לנקוט בפעולות הגנתיות נגד המתקפה הקרבה אך הוא התעלם מכך.
הקרב החל ב-24 באוקטובר 1917 בשעה 02:00 בהפגזה ארטילרית מלווה בהתקפת גזים ומסך עשן. החיילים האיטלקים הופתעו כשמתוך הערפל הגיחו עליהם יחידות המחץ הגרמניות מצוידות בלהביורים ורימוני יד. במהרה נבקעו פרצות גדולות בחזית האיטלקית. הפריצה הגדולה הייתה באזור קפורטו. הכוחות האיטלקים הצליחו לעמוד בפני התקפות האוסטרים משני צדיו של פון בלוב, אבל תוך זמן קצר החלה מנוסת בהלה של הצבא האיטלקי. קאדורנה לא ראה היטב את תמונת הקרב ואסר על קאפלו לסגת. רק ב-30 באוקטובר 1917 נתן קאדורנה רשות לסגת, אבל היה זה מאוחר מדי. הצבא האיטלקי התמוטט. בגלל התארכות קווי האספקה של האוסטרו-גרמנים הואטה ההתקדמות שלהם וקאדורנה ניצל זאת כדי לבנות במהירות קו הגנה לאורך הנהר פיאווה כ-30 ק"מ מצפון לוונציה לאחר נסיגה של יותר מ-100 ק"מ.
אבדות האיטלקים בקרב היו קשות, 11,000 הרוגים, 20,000 פצועים ו-265,000 שבויים. כן נלקחו שלל כמויות עצומות של נשק ותחמושת.
עקב המפלה נאלץ ראש הממשלה פאולו בוזלי להתפטר ותחתיו התמנה ויטוריו אמנואלה אורלנדו.
המערכה המלחמתית בחזית איטליה > ההתאוששות האיטלקית

בעקבות הכישלון בקרב קפורטו הודח הגנרל קאדורנה ובמקומו מונה גנרל ארמנדו דיאז. עקב התערבות הגרמנים החליטו בריטניה וצרפת לשלוח כוחות לעזרת האיטלקים. האנגלים שלחו חמש דיוויזיות חיל רגלים והצרפתים - שש. ביחד עם האיטלקים הם בנו קו ביצורים חזק על הנהר פיאווה שהצליח להדוף התקפה נוספת של האוסטרו-גרמנים בין ה-15 ל-23 ביוני 1918 (קרב הנהר פיאווה, שנודע באיטליה בשם  Battaglia del Solstizi - "קרב נקודת היפוך). מודיעין צבאי טוב ומדויק ומערך אספקה קרבי מצאו את האיטלקים ערוכים ומוכנים להתקפה האוסטרית וקידמו אותה בהרעשת-נגד ארטילרית. למרות שהאוסטרים הצליחו לחצות את הנהר במספר נקודות, נהדפו עד כי ב-23 ביוני נתן קרל הראשון, קיסר אוסטריה (שמינה את עצמו למפקד המתקפה) פקודת נסיגה.
הקרב, שהיה המתקפה הגדולה האחרונה של הצבא האוסטרו-הונגרי במלחמה, סימן את תחילת התפוררות צבא זה. ארנסט המינגוויי שימש בקרב זה כנהג אמבולנס מתנדב וכתב עליו בספרו "הקץ לנשק".
בין ה-23 באוקטובר ל-3 בנובמבר 1918 התחולל הקרב האחרון בחזית האיטלקית. אל נהר הפיאווה התקבצו כוחות עזר אמריקאים וצ'כוסלובקים, שהבינו שככל הנראה די יהיה במתקפה אחת אחרונה כדי למוטט כליל את האימפריה האוסטרו-הונגרית. דיאז בחר את מועד ההתקפה ל-24 באוקטובר 1918, תאריך סמלי - בדיוק שנה לתבוסה הקשה בקרב קפורטו.
האיטלקים הצליחו וחצות את הנהר פיאווה ולהתקדם צפונה. ב-28 באוקטובר 1918 הכריזה צ'כוסלובקיה על עצמאות וב-29 באוקטובר 1918 הכריזו הסלבים על עצמאות. ב-31 באוקטובר 1918 הכריזה הונגריה על ניתוקה מאוסטרו-הונגריה. הצבא האוסטרו-הונגרי התפורר.
ב-29 באוקטובר 1918 כבש הצבא האיטלקי את העיר ונטו והתקדם לעבר טרנטו. טריאסט נכבשה ב-3 בנובמבר 1918. ב-29 באוקטובר 1918 ביקשו האוסטרים שביתת נשק. ההסכם נחתם ב-3 בנובמבר 1918 ונכנס לתוקף כעבור 24 שעות, בשעה 15.00.
הלחימה ההררית

במקביל ללחימה הסטטית בעמקים, התחוללו קרבות בראשי הרכסים האלפיניים בהם בלמו כוחות לוחמה הררית איטלקיים ניסיונות פלישה אוסטרו-הונגריים. בין הקרבות ההרריים החשובים בגזרה זו, קרב הר אורטיגרה ביוני 1916, קרב מונטה גראפה הראשון, שהיה חלק מהמאמץ של קרב קפורטו וקרבות מונטה גראפה השני והשלישי בסוף המלחמה. כמו כן התקיים ב-13 באוגוסט 1918 קרב סן מתאו, שהיה קרב חסר חשיבות, פרט לכך שהיה הקרב שניטש במקום הגבוה ביותר בהיסטוריה הצבאית עד לקרב קארגיל בין הודו ופקיסטן בהרי ההימליה במחוז קשמיר ב-1999.
הלוחמה הימית

במהלך המלחמה החזיק הצי המלכותי האיטלקי (ה"רג'ה מרינה") שש אוניות מערכה מטיפוס "דרדנוט" ("דנטה אליגיירי" כאב-טיפוס, "ג'וליו צ'זארה", "קונטה די קאבור" ו"לאונרדו דה וינצ'י" מסוג "קאבור", "אנדריאה דוריה" ו"קאיו דואיליו" מסוג "דוריה"), אך הן לא השתתפו בקרבות ימיים גדולים במלחמה.
רוב שנות המלחמה השתדלו הציים האיטלקי והאוסטרי להימנע מעימות, אם כי שניהם יזמו פעולות אחדות. האוסטרים חיבלו באוניות המערכה "בנדטו ברין" (Benedetto Brin) בברינדיזי ב-27 בספטמבר 1915 ו"לאונרדו דה וינצ'י" (Leonardo da Vinci) בטאראנטו ב-2 באוגוסט 1916 והטביעו אותן. הרג'ה מרינה תקף בכלי נשק תת-מימיים: ספינות הטורפדו MAS 21 ו-MAS 15 הטביעו את אוניית המערכה ההונגרית "סנט אישטבן" (Szent István) בים האדריאטי ב-10 ביוני 1918; אחד מראשוני הטורפדות המאוישים, "מיניאטה" (Mignatta), חדר לנמל פולה (Pula) והטביע את אוניית הדגל האוסטרו-הונגרית "ויריבוס יוניטיס" (Viribus Unitis) ב-1 בנובמבר 1918. אוניית המערכה "טגטהוף" (Tegetthoff), אחותן של השתיים הקודמות, הועברה לאיטליה כשלל מלחמה ב-1919.
החזית המקדונית

באוגוסט 1916 שלחו האיטלקים לחזית המקדונית את אוגדת הרגלים ה-35 בפיקודו של קרלו פטיטי די רורטו, ואליה הצטרפו בהמשך יחידות מטה, הנדסה ורפואה. בשיאו פעל הכוח האיטלקי במתכונת של קורפוס (גיס) שמנה כ-55,000 חיילים. במהלך חודש מאי נקרא הגנרל די רורטו לרומא ומונה למפקד ארמייה בחזית האיטלקית הצפונית ובמקומו מונה הגנרל ג'וזפה פנלה אשר הוחלף לאחר זמן קצר בגנרל ג'ובאני בטיסטה. ב-2 ביולי מונה ארנסטו מומבלי לפקד על הגיס האיטלקי והוא נותר בתפקידו עד לסיום המלחמה.
ממועד הגעתו ועד לפתיחת מתקפת הווארדאר, שסיימה את הלוחמה בחזית זו, הוצב הכח האיטלקי בגזרת אגם דויראן. במתקפת הווארדאר הצטרפו האיטלקים לכוח התקיפה הסרבו-צרפתי בגזרת אגם אוחריד, ובהמשך השתתפו בכיבוש העיר קומאנובו.
המלחמה באפריקה

בראשית המלחמה הצליחה ממלכת איטליה להשיג שליטה על שטחים בקירנאיקה (מזרח לוב) ובטריפוליטניה, תוך הסגת כוחות האימפריה העות'מאנית, אולם ההישגים האיטלקיים באזור נותרו מוגבלים עד 1922.
המלחמה בחזיתות אלבניה ויוון

מאוקטובר ועד דצמבר 1914 כבשו כוחות איטלקיים את עיר הנמל ולורה (Vlorë) שבאלבניה ומספר איים בסביבתה, שחלקם נשלטו על ידי יוון (כחלק מצפון אפירוס). שטחים אלה הוחזקו על ידי איטליה עד כיבושם בידי האלבנים ב-1920.
ממלכת איטליה השתלטה על האיים הדודקאנסיים כבר בזמן המלחמה האיטלקית-עות'מאנית (1912) ובעת מלחמת העולם הראשונה שימשו חלק מאיים אלה כבסיס לכוחות בריטניה וצרפת בעת מערכת גליפולי, בתמיכה איטלקית. איטליה המשיכה לשלוט על איים אלה, כולל רודוס, עד לאחר מלחמת העולם השנייה.
הישגי איטליה במלחמה ותוצאותיה

נציג איטליה לועידת השלום בפריז עם תום המלחמה היה ויטוריו אמנואלה אורלנדו. בתחילת הוועידה נחשב לאחד מ"ארבעת הגדולים", יחד עם ראש ממשלת צרפת, ז'ורז' קלמנסו, ראש ממשלת בריטניה, דייוויד לויד ג'ורג' ונשיא ארצות הברית, וודרו וילסון. אולם לאחר שנתקל בסירובן של בעלות-בריתו לקיים כלשונן את ברית לונדון ולהעניק לאיטליה את חלקי האימפריה האוסטרו-הונגרית שנקבעו בהסכם, נטש את הוועידה בזעם. ההישגים הטריטוריאליים שנפלו בחלקה של איטליה היו זעומים ביחס למחיר הדמים ששילמה.
התחושה המרה ששררה לאחר הסכם ורסאי הובילה לשנתיים של חוסר יציבות, שאחריהן עלה לשלטון בניטו מוסוליני.
ב-4 בנובמבר מצוין באופן מסורתי "יום הצבא" ונחגגות חגיגות הניצחון במלחמת העולם הראשונה.
הערות שוליים

↑  הצבא האיטלקי בחזית המקדונית, באתר bulgarianartillery.it (באנגלית).
↑  וילארי לואיג'י, החזית המקדונית במלחמת העולם הראשונה, באתר ebooksread.com (באנגלית).
↑  " דיווח הנספח הצבאי היווני ללונדון על מתקפת הווארדאר", באתר  firstworldwar.com (באנגלית).
| מדינות במלחמת העולם הראשונה |
| --- | --- | --- |
| מדינות ההסכמה | איטליה • ארצות הברית • בלגיה • האימפריה הבריטית (אוסטרליה • אירלנד • דרום אפריקה • ניו זילנד • קנדה) • יוון • האימפריה היפנית • ליבריה • מונטנגרו • סין • סרביה • פורטוגל • צרפת • רומניה • האימפריה הרוסית • לוקסמבורג |  |
| מעצמות המרכז | האימפריה האוסטרו-הונגרית (הונגריה) • בולגריה • הקיסרות הגרמנית • האימפריה העות'מאנית |  |
גלויה לחייל האיטלקי בחזית, 1915
הרמטכ"ל האיטלקי (עד 24 באוקטובר) 1917, לואיג'י קאדורנה
הרמטכ"ל האיטלקי בסוף המלחמה, ארמנדו דיאז
חיילים איטלקים באלפים
נהר פיאווה
ויטוריו אמנואלה אורלנדו (מימין) יחד עם ראש ממשלת צרפת ז'ורז' קלמנסו וראש ממשלת בריטניה דייוויד לויד ג'ורג' בוורסאי 1919
משלוח מיוחד

"משלוח מיוחד" הוא אלבום האולפן השני והאחרון של צמד הראפ פלד ואורטגה. את האלבום הוציאה לאור ב-4 בדצמבר 2010 חברת התקליטים היי פייבר הפקות בפורמט תקליטור בלבד. באלבום נכללו אחד-עשר רצועות, כולן מושרות בשפה העברית. הוא כולל קו מוזיקלי המשלב בין סוגות הראפ וההיפ הופ.
רשימת רצועות

| מס' | שם | משך |
| --- | --- | --- |
| 1. | משלוח מיוחד (בהשתתפות נועה פארן)   | 2:25 |
| 2. | קונג פו  | 2:54 |
| 3. | בכיוון החץ  | 2:23 |
| 4. | כל המשקאות בבר (בהשתתפות מיקו הנסיך)   | 3:15 |
| 5. | בוידעם  | 2:54 |
| 6. | פלה פלה (בהשתתפות פלד בלבד)   | 2:46 |
| 7. | מכור  | 2:40 |
| 8. | לא חייב לכם שיט (בהשתתפות וולקן)   | 1:59 |
| 9. | מיקרופון פתוח (בהשתתפות אקסטרה ג'י, אורי שוחט, סגול 59)   | 5:12 |
| 10. | עט החפירה  | 2:40 |
| 11. | זה הדיבור (בהשתתפות כהן@מושון)   | 2:47 |
הערות שוליים

↑  פלד* ו אורטגה – משלוח מיוחד, דיסקוגס
מרחב אורכים

בטופולוגיה, מרחב מטרי נקרא מרחב אורכים אם אפשר לקרב בו את המרחקים על ידי מסילות. מרחב אורכים נקרא גם מרחב מטרי פנימי (intrinsic).
מרחב אורכים שבו כל מרחק מתקבל על ידי מסילה נקרא מרחב גאודזי, או מרחב מטרי פנימי בחזקה (strongly intrinsic).
אפיון פנימי

מרחב מטרי (X,d) הוא מרחב אורכים אם ורק אם לכל a,b ולכל  \epsilon >0 יש מסילה מ-a ל-b שארכה קטן מ- d(a,b)+\epsilon .
נקודה x המקיימת  |d(a,x)-d(x,b)|\leq \epsilon  נקראת נקודת  \epsilon -אמצע של a,b; ונקודת-אמצע אם  d(a,x)=d(x,b). מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת אמצע לכל a,b, הוא גאודזי. מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת  \epsilon -אמצע לכל  \epsilon >0 ולכל a,b הוא מרחב אורכים.
משפט Hopf-Rinow קובע כי מרחב אורכים קומפקטי מקומית שלם הוא קומפקטי בחסימות (כלומר, כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית). מרחב אורכים קומפקטי מקומית וקומפקטי בחסימות הוא מרחב גאודזי.
מרחב האורכים של מרחב מטרי

בכל מרחב מטרי קשיר מסילתית אפשר להגדיר מטריקת אורכים, בתור האינפימום של אורכי כל המסילות בין הנקודות. המרחב המתקבל הוא מרחב אורכים, שהמרחקים שלו חסומים מלמטה על ידי המטריקה המקורית. בניה זו היא אידמפוטנטית: מטריקת האורכים של מטריקת אורכים שווה לעצמה.
ראו גם

מרחב גאודזי
לקריאה נוספת

A Course in Metric Geometry, Burago, Burago and Ivanov, 2001.
מערבולת קוונטית

מערבולת קוונטית מייצגת זרימת שטף מכומתת של גודל פיזיקלי כלשהו. תכופות מערבולות קוונטיות הן ליקוי ""טופולוגי"" המתרחש בנוזל על ומוליכי-על. קיומם של מערבולות קוונטיות ניבא לראשונה על ידי לארס אוסנג'ר בשנת 1949 בקשר עם נוזל על של הליום-4. אוסנג'ר הסביר כי זו היא תוצאה ישירה של קיום פרמטר סדר (ראה פרמטר הסדר) של נוזל על, כפונקציית גל מרחבית, אוסנג'ר ציין כי מערבולות קוונטיות מתארות את זרימתם של נוזלי - על ושכיח לשער כי ההתרגשות שלהם אחראית למעברים פאזיים של נוזלי על. רעיונות אלו היו נחוצים לפיתוח ההבנה של פרמטר הסדר ומעברים פאזיים של נוזלי על, הם אף פותחו על ידי ריצ'רד פיינמן ב-1955, יתרה מזאת, הועילו ויושמו לתיאור דיאגרמת השלבים המגנטיים של מוליכי-על מסוג II מאת אלכסיי אלכסייביץ 'אבריקוסוב ( על שמו נקרא מערבולת אבריקסוב, ישנו פירוט נוסף עליה בהמשך). בשנת 1935 פרץ פריץ לונדון יצירה קרובה מאוד בנושא כימות שטף מגנטי במוליכי-על. ניתן להחשיב את השטף של לונדון כמערבולת קוונטית.
מערבולות קוונטיות נצפות בניסוי במוליכי-על מסוג II (מערבולת אבריקוסוב), הליום נוזלי וגזים אטומיים [5] (ראו עיבוי בוז-איינשטיין), כמו גם בשדות פוטון (מערבולת אופטית) ובנוזל-על אקסיטון-פולריטון.
בנוזל על, מערבולת קוונטית "נושאת" תנופה זוויתית מכוונת מכופלת, ובכך מאפשרת לסובב הנוזלים להסתובב; במוליך-על, המערבולת נושאת שטף מגנטי כמותי.
המונח "מערבולת קוונטית" משמש גם במחקר על מעט בעיות גוף. תחת תאוריית דה ברוגלי - בוהם (בה מכניקת הקוונטים היא תאוריה "דטרמיניסטית"), ניתן להפיק "שדה מהירות" מפונקציית הגלים. בהקשר זה מערבולות קוונטיות הן אפסים בפונקציית הגלים, שסביבם יש לשדה המהירות הזה צורה סולנואית, דומה לזו של המערבולת הלא-מוגדרת על זרמים פוטנציאליים של דינמיקת נוזלים מסורתית.
מערבולות נוספות

מערבולת אבריקסוב היא מערבולות קוונטית, שנחזתה תאורטית על ידי אבריקסוב ב-1957, נצפתה לראשונה במוליכי על מסוג II, והיא פלקסון (שטף אלקטרומגנטי קוונטי),  [2] מערבולות אבריקוסוב מתרחשות בתורת המוליכות העל של גינצבורג – לנדאו (ראו תורת לנדאו), ויש להם אף פירוש במסגרת מתמטית ישירה כמערבולות בצרורות קו מורכבים על סעפת רימנית.
מערבולות ספונטניות

מערבולות קוונטיות יכולות להיווצר באמצעות מנגנון קיבל-צורק אשר מייצג את הדינמיקה הלא מאוזנת, ואת הפגמים הטופולוגיים (כגון מערבולות) העלולים להתהוות במעבר שלב (כמעבר פאזה) בקצב סופי.
ראו גם

מערבולת
תורת לנדאו
נוזל על
שטף
מכניקת הקוונטים
עיבוי בוז-איינשטיין
הידרודינמיקה
משה ארנד

אין תמונה חופשית
משה אָרֶנְד (Moshé Max Ahrend;‏  26 ביולי 1926 - 17 בנובמבר 2008) היה חוקר ומרצה לחינוך היהודי ומחשבת ישראל, פרופסור לחינוך ובעל הקתדרה לחקר דרכי ההוראה של לימודי הקודש ע"ש הרב ד"ר דוד אוקס באוניברסיטת בר-אילן.
קורות חיים

ארנד נולד בשנת 1926 בעיר פרנקפורט שבגרמניה. הוא למד בבית ספר Realschule אותו יסד הרב שמשון רפאל הירש. לאחר עליית הנאצים לשלטון ובעקבות ליל הבדולח, בהיותו בן 12, נשלח על ידי אמו לצרפת (אביו יצחק ארנד נפטר כ- 3 שנים לפני כן), שם התקבל על ידי משפחה יהודית בשטרסבורג. בתחילת מלחמת העולם השנייה, בספטמבר 1939, הוא נאלץ לעזוב את שטרסבורג כשאר התושבים היהודים, ונדד עם המשפחה המאמצת שלו מעיר לעיר, עד שהגיע למוסד של האוז"ה ב-Broût-Vernet. במאי 1943, בליל שבת פרשת "קדושים", הוא עבר את הגבול לשווייץ, שהה אצל משפחה יהודית בציריך עד לאחר סוף המלחמה.
ארנד עלה לישראל ב-1945 ופנה ללימודים אקדמיים (תלמוד, עברית וחינוך) ולשירות צבאי. הוא למד באוניברסיטה העברית אצל פרופ' שמחה אסף, רא"מ ליפשיץ ופרופ' יחזקאל קוטשר.
בתום שרותו הצבאי, יצא בשליחות מטעם הסוכנות היהודית לצרפת, בין השנים 1949 ל-1951.
עם חזרתו לישראל, פנה להוראה. בשנת 1960 קיבל תואר שני במדעי הרוח מהאוניברסיטה העברית.
הוא יצא בשנית לשליחות בחו"ל, בין השנים 1965 ו- 1968,  ושימש בין היתר מורה לעברית בבית ספר יבנה בפריס.
לאחר חזרתו מן השליחות השנייה, פנה לאקדמיה. הוא היה תלמיד של פרופ' נחמה ליבוביץ'.
ארנד מילא תפקידים בכירים בחינוך היהודי. תחילה לימד בבית הספר חורב בירושלים, שם שימש גם מנהל. בהמשך הרצה במכון גולד לתלמידי חו"ל, באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטת בר-אילן (שם גם שימש כראש בית הספר לחינוך במשך ארבע שנים), במכללת הרצוג ובמכון לנדר (מיסודו של טורו-קולג'), שם שימש דקאן בבית הספר ליהדות. פרסם ספרים ומאמרים על יסודות החינוך היהודי ותולדותיו, מתודות בהוראת התנ"ך והתורה שבעל-פה, ופרשנות המקרא.
בשליחות הראשונה לחו"ל הכיר את ברטה לבית גודמן, ונשא אותה לאישה. ד"ר אהרן ארנד הוא בנו.
הוא התגורר בשכונת בית וגן בירושלים, ושם נפטר בשנת 2008, בגיל 82, ונקבר בהר המנוחות. אלמנתו ברטה נפטרה ב-2016.
מפרסומיו

פירוש רש"י לתורה: עיונים בשיטתו (עם נחמה ליבוביץ'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1990.
יסודות בהוראת המקרא, הוצאת אוניברסיטת בר-אילן, 1993.
חינוך יהודי בחברה פתוחה א', הוצאת אוניברסיטת בר-אילן, 1995.
דרכים במקרא ובהוראתו, הוצאת אוניברסיטת בר-אילן, 1997.
חינוך יהודי בחברה פתוחה ב', הוצאת אוניברסיטת בר-אילן, 2000.
פרקי חינוך והוראה, קובץ מאמרים, הוצאת "מאירים", מכללת ליפשיץ, 2001.
פרשנות המקרא והוראתו, קובץ מאמרים, הוצאת "מאירים", מכללת ליפשיץ, 2006.
הערות שוליים

↑  הוענקו תוארים אקדמאים על-ידי אוניברסיטת ירושלים, תואר מוסמך במדעי הרוח, חרות, 3 ביולי 1960
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007257539705171  BnF: cb12956075c (data)  GND: 1261893867  ISNI: 0000 0000 8003 7161  LCCN: n79120407  NTA: 068768486  RERO: 02-A005857897  SUDOC: 195821440  VIAF: 76446653   WorldCat (עם VIAF): 76446653
מרחב יהודה

תחנת משטרת מעלה אדומים
תחנת חברון
מרחב יהודה הוא אחד משני המרחבים של מחוז ש"י של משטרת ישראל. בתחומי המרחב 115 יישובים פלסטינים (כמיליון תושבים) ו-44 יישובים ישראלים (כ-150,000 תושבים). מרחב יהודה חולש על שטח של כ-2,000 קילומטרים רבועים. המרחב פועל לצד צה"ל, שהוא הריבון בשטח באמצעות שתי חטיבות מרחביות: חטיבת יהודה וחטיבת עציון. מטה המרחב ממוקם בקריית ארבע.
תחנות המרחב

| תחנה | כתובת | גבולות גזרה |
| --- | --- | --- |
| חברון | גבעת האבות 1, קריית ארבע | בצפון – צומת העוקפים (ציר 35, תחנת עציון) במערב – מחסום תרקומיה, מרחב לכיש (תחנת קריית גת) במזרח – מדבר יהודה בדרום – מרחב נגב, תחנת עיירות (מחסום ביתר ומחסום ערד) |
| מעלה אדומים | אגן הסהר 1, מעלה אדומים | בצפון – מרחב שומרון (תחנת בנימין) במערב – מרחב קדם במזרח – ים המלח בדרום – מרחב נגב (תחנת ערד) |
| עציון | רחוב אוהל שרה 5, מתחם הביטחון, ביתר עילית | בצפון – מחוז ירושלים במערב – תחנת מטה יהודה (מחסום ביתר) במזרח – מדבר יהודה בדרום – צומת העוקפים (תחנת חברון) |
הערות שוליים

↑  מרחבים ותחנות במחוז יהודה ושומרון, באתר משטרת ישראל, 22 באוקטובר 2020
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007509220005171
מרחב אולטרה-מטרי

מרחב אולטרה-מטרי הוא מרחב שמוגדרת עליו מטריקה המקיימת את האקסיומה  \ d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\} (פונקציה כזו נקראת אולטרה-מטריקה). מטריקה היא אולטרה-מטריקה אם ורק אם כל משולש בה הוא שווה-שוקיים. הדוגמה המרכזית של מרחבים כאלה מתקבלת מהערכות לא ארכימדיות של שדות. אכן, כל מרחב אולטרה-מטרי ניתן לשיכון איזומטרי בשדה עם הערכה.
במרחב אולטרה-מטרי כל נקודה בכדור היא מרכז של הכדור. כל כדור הוא פתוח וסגור. אם שני כדורים אינם זרים, אז אחד מהם מוכל בשני. קבוצת המרחקים בהשלמה של מרחב אולטרה-מטרי שווה לקבוצת המרחקים במרחב המקורי (זאת בניגוד לסתם מרחב מטרי, שבו נוצרים בהשלמה בדרך כלל מרחקים חדשים).
מרחב טופולוגי שהטופולוגיה שלו מושרית על ידי אולטרה-מטריקה הוא מרחב אולטרה-מטריזבילי. מרחב טופולוגי הוא לא ארכימדי אם הוא האוסדורף ויש לו בסיס שבו כל שתי קבוצות שאינן מוכלות זו בזו הן זרות. מרחב הוא אולטרה-מטריזבילי אם ורק אם הוא מטריזבילי ולא ארכימדי. כל מכפלה בת-מניה של מרחבים אולטרה-מטריזביליים היא אולטרה-מטריזבילית.
קבוצת הכדורים מהווה בסיס של המרחב, ומכיוון שהכדורים במרחב אולטרה-מטרי הם פתוחים-וסגורים, המרחב בלתי קשיר לחלוטין (מאידך, מרחב מטרי שלם ובלתי קשיר לחלוטין אינו בהכרח אולטרה-מטריזבילי). מרחב טופולוגי הוא אולטרה-מטריזבילי וספרבילי אם ורק אם הוא האוסדורף, מקיים את תכונת המניה השנייה ויש לו בסיס של קבוצות פתוחות-וסגורות.
מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם וספרבילי. כל חלוקה של מרחב כזה לקבוצות פתוחות-וסגורות מוכרחה להיות סופית. מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי מקומית הוא איחוד של כדורים קומפקטיים. מרחב אולטרה-מטרי הוא ספרבילי אם ורק אם קבוצת הכדורים שלו בת מניה.
דוגמאות

שדה המספרים ה-p-אדיים הוא אולטרה-מטרי.
בגרף לא מכוון עם משקלות חיוביים, משקל המסלול המיני-מקס (המסלול בעל משקל קשת מקסימלי הקטן ביותר) מגדיר אולטרה-מטריקה.
דוגמאות > שלמות ספירית

מרחב מטרי הוא שלם אם החיתוך של סדרה מקוננת של כדורים שרדיוסם שואף לאפס אינו ריק. מרחב מטרי נקרא שלם-ספירית אם החיתוך של כל סדרה מקוננת של כדורים אינו ריק. כל מרחב שלם-ספירית הוא שלם. ההפך נכון אם 0 היא נקודת ההצטברות היחידה של ערכי המטריקה. מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם-ספירית.
אחת התכונות החשובות ביותר של מרחבים מטריים שלמים היא משפט הכיווצים של בנך: לכל פונקציה דוחסת (כזו המקיימת  \ d(f(x),f(y))<c\cdot d(x,y) לכל  \ x\neq y, כאשר  c<1) יש נקודת שבת יחידה. בדומה לזה, במרחב שלם-ספירית, אפילו לכל פונקציה מכווצת (כזו המקיימת  \ d(f(x),f(y))<d(x,y) לכל  \ x\neq y) יש נקודת שבת יחידה.
לקריאה נוספת

Summary on non-Archimedean valued fields, Angel Barria Comicheo and Khodr Shamseddine, Contemporary Mathematics 704, (2018). .
הערות שוליים

↑  W. H. Schikhof, Isometrical embeddings of ultrametric spaces into non-Archimedean valued fields, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 46 (1984), no. 1, 51–53. MR748978
מרחב אוקלידי

נקודה במרחב האוקלידי התלת-ממדי מוגדרת בעזרת שלוש קואורדינטות.
במתמטיקה, מרחב אוקלידי הוא הכללה לממד כללי של המישור וגם של המרחב התלת-ממדי, שהם הבסיס של הגאומטריה האוקלידית. מרחבים אוקלידיים נבדלים מן המרחבים העקומים של הגאומטריה הלא אוקלידית. המונח אוקלידי נגזר משמו של המתמטיקאי היווני אוקלידס.
בגאומטריה היוונית הקלאסית, המישור האוקלידי והמרחב האוקלידי התלת-ממדי הוגדרו באמצעות מספר אקסיומות, וכל שאר תכונותיהם נבעו מהן כמשפטים. במתמטיקה המודרנית מקובל יותר להגדיר מישור אוקלידי באמצעות מערכת הצירים הקרטזית ובאמצעות הרעיונות של  הגאומטריה האנליטית. הגישה הזאת מאפשרת להשתמש בכלים של האלגברה ושל החשבון האינפיניטסימלי גם בגאומטריה, ויתרונה בקלות החלתה על מישורים אוקלידיים רב-ממדיים.
מנקודת המבט המודרנית, יש למעשה רק מרחב אוקלידי אחד בכל ממד: הישר הממשי הוא המרחב האוקלידי החד-ממדי, המישור הוא המרחב האוקלידי הדו-ממדי, ובדומה, בממדים הגבוהים יותר, יהיה זה מרחב עם מספר גדול יותר של קואורדינטות ממשיות. כך, נקודה במרחב אוקלידי n ממדי היא n-יה סדורה של מספרים ממשיים, ואת המרחק בין נקודות מחשבים בעזרת נוסחת המרחק האוקלידי. בדרך כלל מסמנים המתמטיקאים את המרחב האוקלידי ה-n-ממדי ב- \mathbb {R} ^{n}. לפעמים מסמנים אותו ב- \mathbb {E} ^{n} כדי להדגיש את אופיו האוקלידי. הממד של מרחבים אוקלידיים הוא סופי.
מבוא ואינטואיציות

אפשר לחשוב על המישור האוקלידי כעל קבוצה של נקודות המקיימות קשרים מסוימים, שאפשר לבטא אותם במונחים של מרחק וזווית. לדוגמה, יש שתי פעולות בסיסיות במישור. האחת היא העתקה, כלומר הזזה של המישור כך שכל הנקודות בו יזוזו באותו כיוון ולאותו מרחק. האחרת היא סיבוב סביב נקודה קבועה במישור, כך שכל הנקודות במישור יזוזו באותה זווית יחסית לנקודה הקבועה. אחד מיסודות הגאומטריה האוקלידית הוא ששני גופים במישור, כלומר, תת-קבוצות של המישור, נחשבים שקולים (חופפים) אם אפשר לעבור מהאחד אל האחר בדרך של העתקות, סיבובים ושיקופים.
כדי שכל זה יהיה מדויק מתמטית, עלינו להגדיר את המושגים מרחק, זווית, העתקה וסיבוב. הדרך המקובלת לעשות זאת, היא להגדיר את המישור האוקלידי כמרחב וקטורי דו-ממדי מעל שדה המספרים הממשיים, תוך הדגשת העובדה שמרחב זה מצויד במכפלה סקלרית, שבעזרתה אפשר לחשב מרחקים וזוויות במשמעותם המקובלת. ההגדרה הזאת מובילה להתאמות הבאות:
הווקטורים במרחב הווקטורי מתאימים לנקודות במישור האוקלידי,
פעולת החיבור במרחב הווקטורי מתאימה להעתקה,
והמכפלה הפנימית מאפשרת לחשב מרחקים וזוויות ובעזרתם להגדיר גם סיבוב.
עכשיו, משתיארנו את המישור האוקלידי בשפה הזאת, קל להרחיב את הרעיון לכל מספר n של ממדים. ריבוי הממדים כשלעצמו, לא מסבך, בדרך כלל, את אוצר המילים, לא את הנוסחאות, וגם לא את החישובים (אם כי סיבובים הם מעט יותר בעייתיים ברב-ממד, וגם למתמטיקאים מנוסים קשה לדמיין מרחבים רב-ממדיים).
ישנו קושי בהגדרה זו, שכן מרחב אוקלידי איננו מרחב וקטורי, אלא מרחב אפיני שמרחב וקטורי פועל עליו. המשמעות האינטואיטיבית של ההבחנה הזאת היא שבמרחב אוקלידי אין נקודה ידועה ומוסכמת על הכל המשמשת כראשית הצירים של המרחב, כי את המרחב אפשר להעתיק לכל מקום. לצורך פישוט ההגדרות אפשר להתעלם מפרט זה.
המרחב הממשי ה-n-ממדי

נסמן ב- \mathbb {R}  את שדה המספרים הממשיים. לכל מספר טבעי  \ n, קבוצת כל ה-n-יות הסדורות של מספרים ממשיים יוצרת מרחב וקטורי  \ n-ממדי מעל  \mathbb {R}  שנהוג לסמן ב- \mathbb {R} ^{n}. לעיתים הוא נקרא המרחב הממשי ה- \ n-ממדי. איבר ב-  \mathbb {R} ^{n} ייכתב כך:
 ,\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})
כאשר כל  \ x_{i} הוא מספר ממשי.
הפעולות ב- \mathbb {R} ^{n} מוגדרות כך:
,\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})
.a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n})
ל- \mathbb {R} ^{n} יש בסיס סטנדרטי הכולל את וקטורי היחידה:
\ e_{1}=(1,0,\ldots ,0),e_{2}=(0,1,\ldots ,0),\dots ,e_{n}=(0,0,\ldots ,1)
וכל וקטור ב- \mathbb {R} ^{n} יכול להיכתב כך:
 .\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}
 \mathbb {R} ^{n} הוא דוגמה אופיינית למרחב וקטורי ממשי  \ n-ממדי. כל מרחב וקטורי ממשי  \ n-ממדי  \ V הוא איזומורפי ל- \mathbb {R} ^{n}. אבל האיזומורפיזם איננו קנוני. בחירת איזומורפיזם שקולה לבחירה של בסיס ל- \ V (מתוך התמונה של הבסיס הסטנדרטי של  \mathbb {R} ^{n} ב- \ V). לפעמים נוח לעבוד עם מרחב וקטורי שרירותי שאיננו  \mathbb {R} ^{n} כדי לא להתחייב לבסיס מסוים.