משפט ניוטון על מסלולים סובבים
הקשר היסטורי

התנועה של גרמי השמיים נחקרה בשיטתיות וקפדנות במשך אלפי שנים. התצפיות הראשונות ביותר הראו שהכוכבים סובבים באחידות, ותמיד משמרים את אותם מיקומים יחסיים אחד לשני. אף על פי כן, גופים אחרים שנצפו נדמו כנודדים למול הרקע הנצחי של הכוכבים הקבועים; רוב הגופים האלו נקראו פלנטות על שם המילה היוונית "πλανήτοι" ("נודדים"). אף על פי שבדרך כלל הם נעים באותו הכיוון במסלול לאורך השמיים (מישור המילקה), כוכבי לכת אינדיבידואלים לפעמים משנים לקצרה את כיוון התנועה שלהם, ומפגינים תנועה אחורית (retrograde motion).
כדי לתאר את התנועה קדימה-ואחורה הזו, אפולוניוס מפרגה (262 לפנה"ס - 190 לפנה"ס), פיתח את המושג של אפיציקלים ו- deferents, שלפיו כוכבי הלכת נישאים על מעגלים מושלמים מסתחררים אשר הם עצמם נישאים על מעגלים מסתחררים אחרים, וכך הלאה. כל מסלול ניתן לתיאור על ידי בחירה שקולה של מספיק אפיציקלים – גישה הזאת שקולה לטרנספורם פורייה המודרני. בערך 350 שנה מאוחר יותר, תלמי פרסם את ספרו אלמגסט, בו הוא פיתח את המערכת הזאת כך שתתאים לתצפיות האסטרונומיות המדויקות ביותר של העידן שלו. כדי להסביר את האפיציקלים, תלמי אימץ את המודל הגאוצנטרי של אריסטו, לפיו כוכבי הלכת היו מקובעים בתנועתם לכדורים מושלמים וקונצנטריים שמסתובבים. מודל זה של היקום היה המודל השלט במשך 1500 שנה.
ההבנה המודרנית של התנועה הפלנטרית נוצרה בעקבות מאמציהם המשולבים של האסטרונום טיכו ברהה והפיזיקאי יוהאנס קפלר במאה ה-16. לטיכו נזקף הקרדיט על תצפיות מדויקות במיוחד של התנועות הפלנטריות, ומהם קפלר היה מסוגל להסיק את החוקים שלו על תנועת כוכבי הלכת. לפי החוקים האלו, כוכבי הלכת נעים באליפסות (לא אפיציקלים) מסביב לשמש (לא כדור הארץ). החוק השני והחוק השלישי של קפלר מנבאים תחזיות כמותיות ספציפיות: כוכבי הלכת מכסים שטחים שווים בזמנים שווים (כלומר הרדיוס ווקטור), והריבוע של זמן המחזור המסלולי שלהם שווה לקבוע מסוים כפול החזקה השלישית של חצי הציר הראשי של המסלול האליפטי שלהם. תצפיות מאוחרות יותר על מסלולי כוכבי הלכת הראו שהציר הארוך של האליפסה (הנקרא גם קו האפסיד) גם מסתובב בהדרגה בזמן; הסיבוב הזה ידוע גם כפרצסיה אפסידית. האפסידים של מסלול הם הנקודות בהם הגוף הסובב הוא קרוב ביותר או רחוק ביותר ממרכז הכוח המושך; בעבור כוכבי לכת שמקיפים את השמש, האפסידים תואמים לפריהליון (הנקודה הקרובה ביותר) והאפהליון (הנקודה הרחוקה ביותר).
עם הפרסום של הפרינקיפיה שלו בערך שמונים שנה מאוחר יותר (1687), אייזק ניוטון סיפק תאוריה פיזיקלית שנתנה הסבר לכל שלושת חוקי קפלר, תאוריה שהתבססה על חוקי התנועה של ניוטון וחוק הכבידה העולמי שלו. ניוטון הציע שהכוח הכבידתי בין כל שני גופים הוא כוח מרכזי שמשתנה לפי היפוך הריבוע של המרחק r ביניהם. בהתבסס על חוקי התנועה שלו, ניוטון הראה כי המסלול של כל חלקיק שפועל עליו כוח כזה הוא תמיד חתך חרוט, גם כאשר האליפסה לא נמשכת לאינסוף. אף על פי כן, המסקנה הזאת תופסת רק כאשר שני גופים קיימים (הבעיה הדו-גופית); התנועה של שלושה גופים או יותר תחת ההשפעה הכבידתית ההדדית שלהם (בעיית n הגופים) נשארה לא פתורה במשך מאות שנים אחרי ניוטון, אף על פי שפתרונות למספר מקרים מיוחדים נתגלו. ניוטון הציע כי המסלולים של כוכבי הלכת מסביב לשמש הם בעיקרם אליפטיים מכיוון שהכבידה של השמש היא דומיננטית; כקירוב ראשון, הנוכחות של כוכבי הלכת האחרים ניתנת להזנחה. באנלוגיה לכך, המסלול האליפטי של הירח מסביב לכדור הארץ נשלט על ידי הכבידה של כדור הארץ; בקירוב ראשון, הכבידה של השמש וזאת של גופים אחרים במערכת השמש ניתנת להזנחה. למרות זאת, ניוטון טען שהפרצסיה האפסידית ההדרגתית של מסלולי כוכבי הלכת ומסלול הירח היא אודות לאפקט של האינטראקציות הכבידתיות הזניחות האלו; באופן ספציפי הוא טען שהפרצסיה של מסלול הירח היא אודות לאפקטים הפרטורבציוניים של האינטראקציות הכבידתיות עם השמש.
משפט ניוטון על מסלולים סובבים היה הניסיון הראשון שלו להבין את הפרצסיה האפסידית באופן כמותי. לפי משפט זה, ההוספה של סוג מסוים של כוח מרכזי - כוח היפוך מעוקב - יכולה להפיק מסלול מסתובב; המהירות הזוויתית מוכפלת בפקטור k, בעוד התנועה הרדיאלית נותרת ללא שינוי. אף על פי כן, המשפט הזה מוגבל לסוג מסוים של כוח שעשוי לא להיות רלוונטי; נדמה כי ההשפעה של מספר אינטראקציות כבידתיות היפוך ריבועיות (כמו אלו של כוכבי לכת אחרים) לא מסתכמת במדויק לכוח היפוך מעוקב. כדי להפוך את המשפט שלו לבר-יישום לסוגים אחרים של כוח, ניוטון מצא את הקירוב הטוב ביותר של כוח מרכזי שרירותי (F(r שצריך להוסיף לכוח היפוך מעוקב בגבול של מסלולים קרובים למעגליים, כלומר מסלולים עם אקסצנטריות נמוכה, קירוב הנכון למרבית המסלולים הפלנטריים במערכת השמש. כדי למצוא את הקירוב הזה, ניוטון פיתח טור אינסופי שניתן לראות אותו כמבשר של השיטה של טור טיילור. קירוב זה אפשר לניוטון להעריך את קצב הפרצסיה בעבור חוקי כוח שרירותיים. ניוטון יישם את הקירוב שלו כדי לבחון מודלים שונים של הכוח שגורם לפרצסיה האפסידית של מסלול הירח. עם הזאת, הבעיה של תנועת הירח היא מורכבת ביותר, וניוטון מעולם לא פרסם מודל גרביטציוני מדויק של הפרצסיה האפסידית של הירח. אחרי מודל מדויק יותר של קלרו ב-1747, מודלים אנליטיים של תנועת הירח פותחו בשלהי המאה ה-19 על ידי Hill, Brown ו- Delaunay.
המשפט של ניוטון הוא יותר כללי מאשר משפט שרק מסביר את תופעת הפרצסיה האפסידית. הוא מתאר את האפקטים של הוספת כוח היפוך מעוקב לכל כוח מרכזי (F(r, לא רק לכוחות היפוך ריבועיים כמו אלו שבחוק הכבידה העולמי של ניוטון או בחוק קולון. המשפט של ניוטון מפשט בעיות מסלוליות במכניקה קלאסית בכך שהוא מביא תוצאה מיידית לאפקט של כוחות היפוך מעוקבים. בערך 230 שנים אחרי פרסום הפרינקיפיה של ניוטון, אלברט איינשטיין נעזר במשפט ניוטון על מסלולים סובבים כדי להסביר את הפרצסיה של מסלול כוכב הלכת חמה. במקרה זה, איינשטיין הראה כי האפקטים היחסותיים שפועלים על מסלול כוכב הלכת חמה שקולים מתמטית לתוספת של כוח מרכזי שמשתנה לפי היפוך החזקה הרביעית של המרחק r מהשמש - F = C/r4, כלומר תוספת של כוח מרכזי כזה נוסף על הכוח ההיפוך ריבועי הניוטוני. עקרונות תורת היחסות הכללית שלו אפשרו לו לחשב במדויק את ערך הקבוע C, והוא לאחר מכן נעזר במשפט של ניוטון כדי לחשב את קצב הפרצסיה הצפוי של מסלול חמה, והראה שהניבוי של התאוריה תואם את התצפיות. זהו היה אחד האישושים הראשונים של תורת הכבידה החדשה של איינשטיין, והוא הדגים את הכוח של המשפט של ניוטון, גם בבעיות שלא נחשבות חלק מהמכניקה הקלאסית.