בניית המספרים הממשיים
בנייה > חתכי דדקינד

בנייה זו של ריכרד דדקינד מסתמכת על תכונה אחרת אף שקולה: כל מספר ממשי הוא סופרמום של קבוצה של רציונלים, לכן נגדיר אותו להיות קבוצה זו.
חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה  A המקיימת:
\emptyset \subset A\subset \mathbb {Q}
לכל  x\in A וגם  y<x, מתקיים  y\in A
ל A אין מקסימום: לא קיים  x\in A כך שלכל  y\in A מתקיים  y\leq x.
לכל מספר רציונלי  q, החתך  \{x:x<q\} הוא החתך המייצג את  q.
עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור  {\sqrt {2}} יתאים החתך  \{x:x<0\lor x^{2}<2\}, ועבור  e=2.71... (מספר אוילר) יתאים החתך  \left\{x:\exists n\in \mathbb {N} ,x<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\}.
את קבוצת חתכי דדקינד נסמן  \mathbb {R}  - שדה המספרים הממשיים.
נגדיר יחס סדר על השדה:  A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B.
נגדיר פעולות על השדה:
חיבור:  A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}.
את הכפל נגדיר מאוחר יותר, לאחר שנראה את תכונות החיבור:
סגירות:  A,B\not =\emptyset \Rightarrow \exists x\in A,y\in B\Rightarrow \exists z=x+y\in A+B\Rightarrow A+B\not =\emptyset . יהי  M_{1},M_{2}\in \mathbb {Q}  כך שלכל  x\in A,y\in B מתקיים  x<M_{1},y<M_{2}. נגדיר  M=M_{1}+M_{2} ולכן לכל  z\in A+B מתקיים  z=x+y<M_{1}+M_{2}=M, לכן  A+B\not =\mathbb {Q} . יהי  x\in A+B,y<x. אז קיימים  a\in A,b\in B כך ש- x=a+b. נקבל  w:=x-y=a+b-y>0. מכך שA,B הם חתכים נקבל ש- \alpha :=a-{\frac {w}{2}}\in A\land \beta :=b-{\frac {w}{2}}\in B. אז מתקיים  y=x-w=\alpha +\beta \in A+B. לכל  x\in A קיים  a\in A כך ש- x<a, וכן לגבי  B. יהי  z=x+y\in A+B. אז קיימים  a>x,b>y בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים  c:=a+b\in A+B, וכן  c>z, לכן ל A+B אין מקסימום. לכן  A+B הוא חתך.
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר האפס נובעות מידית מתכונות אלו בשדה  \mathbb {Q} , כאשר מגדירים  0=\{q\in \mathbb {Q} |q<0\}.
קיום איבר נגדי: נגדיר את  -A=\{x-y|x<0\land y\in A^{c}\}. נראה שמתקיים  A+(-A)=0: יהי  a\in A+(-A). אז קיימים  x\in A,y<0,z\in A^{c} כך ש- x+y-z=a. מתקיים  z>x, ולכן  a=x+y-z<x+y-x=y<0. לכן  A+(-A)\subseteq 0. יהי  a\in 0, אז מתקיים  a<0. הקבוצה  A היא חתך ולכן חסומה מלעיל. יהי  M\in \mathbb {Q} ,M>0 כך שלכל  x\in A מתקיים  x<M. יהי  x<-M,x\in A ונגדיר  z=-x>M, כלומר  y\in A^{c}, וכן נגדיר  y=a<0. מתקיים  x+y-z=2x+y<-2M+y<y=a. קיבלנו ייצוג של a כ-  a=x+y-z\land x\in A\land y<0\land z\in A^{c}, לכן  a\in A+(-A). בסה"כ קיבלנו  A+(-A)=0.
כעת נגדיר את הכפל:
עבור  A,B\geq 0, נגדיר  A\cdot B=\{x\cdot y|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0. אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר  A\cdot B=-(A\cdot -B)=-(-A\cdot B)=-A\cdot -B.
כעת נראה שמתקיימות תכונות הכפל בשדה:
סגירות: נראה זאת כאשר  A,B\geq 0. שאר המקרים נובעים ממקרה זה.  0\subseteq A+B\Rightarrow A+B\not =\emptyset . נגדיר את  M_{1},M_{2} כמו קודם, ונשים לב שהם חיוביים. נגדיר  M=M_{1}\cdot M_{2}. לכל  0<z=xy\in AB מתקיים  z=xy<M_{1}M_{2}=M. עבור  z\leq 0 שוב מתקיים  z<M. לכן  AB\not =\mathbb {Q} . נניח כי  0<y<x\in AB. אז קיימים  a\in A\setminus 0,b\in B\setminus 0 כך ש- x=ab. מתקיים  w:={\frac {x}{y}}>1. נגדיר  \alpha ={\frac {a}{w}}<a אז מתקיים  y=\alpha \cdot b\in A\cdot B. לכל  x\in A קיים  a\in A כך ש- x<a, וכן לגבי  B. יהי  z=xy\in AB.אז קיימים  a>x,b>y בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים  c:=ab\in AB וכן  c>z, לכן ל AB אין מקסימום. לכן  AB הוא חתך.
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו בשדה  \mathbb {Q} , כאשר מגדירים  1=\{q\in \mathbb {Q} |q<1\}.
קיום איבר הופכי: נגדיר  \forall A\geq 0:A^{-1}=\left\{{\frac {x}{y}}{\Bigg |}x<1\land y\in A^{c}\right\}.\forall A<0:A^{-1}=-(-A)^{-1}. יהי  x\in A\cdot A^{-1} כאשר  A\geq 0. אז קיימים  a\in A\setminus 0,b<1,c\in A^{c} כך ש x={\frac {ab}{c}}. מכיוון ש a<c, נקבל  x=b\cdot {\frac {a}{c}}<b<1, לכן  x\in 1.
דיסטריבוטיביות: נראה זאת עבור  A\geq 0\land B+C\geq 0: על פי ההגדרה,  A(B+C)=\{x(y+z)|x\in A\setminus 0\land y\in B\land z\in C\land y+z\geq 0\}\cup 0=(\{xy|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0)+(\{xz|x\in A\setminus 0\land z\in C\setminus 0\}\cup 0)=AB+AC.
נראה כי יחס הסדר שהגדרנו על השדה,  A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B, הוא אכן יחס סדר חלש:
מכיוון שהיחס  \subseteq  הוא יחס סדר חלקי חלש על כל אוסף של קבוצות, עלינו להוכיח רק את תכונת ההשוואה: יהו  A,B\in \mathbb {R} , ונניח כי  A\not \subseteq B, כלומר קיים  a\in A כך ש a\not \in B. יהי  x\in B. לא ייתכן כי  x\geq a, כי אז יתקיים  a\in B. לכן  x<a, ומכיוון שA חתך נקבל  x\in A. לכן  B\subseteq A.
נראה כי השדה הוא שדה סדור:
איזוטוניות ביחס לחיבור:  A\leq B\Rightarrow \forall x\in A:x\in B\Rightarrow \forall x\in A\land y\in C:x\in B\land y\in C\Rightarrow \forall z=x+y\in A+C,z\in B+C\Rightarrow A+C\leq B+C.
איזוטוניות ביחס לכפל: יהי  C\geq 0, ונניח כי  0\leq A\leq B. לכן  0\subseteq A\subseteq B\Rightarrow \forall x\in A\setminus 0,x\in B\setminus 0\Rightarrow \forall x\in A\setminus 0\land z\in C\setminus 0,x\in B\setminus 0\land z\in C\setminus 0\Rightarrow \forall z=xy\in AC,z\in BC\Rightarrow AC\leq BC.
נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי  S\subseteq \mathbb {R}  קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר  M=\bigcup _{A\in S}A. נראה כי M הוא מספר ממשי, כלומר חתך של מספרים רציונלים:
S\not =\emptyset \Rightarrow \exists A\in S\Rightarrow A\subseteq M. מכיוון שA לא ריקה, גם M לא ריקה. מכיוון ש S חסומה, קיים  N כך שלכל  A\in S מתקיים  A\leq N, כלומר  A\subseteq N. לכן  M\subseteq N\subset \mathbb {Q} .
יהי  x\in M, ויהי  y<x. אז קיים  A\in S כך ש x\in A. לכן  y\in A, כלומר  y\in M.
יהי  x\in M. אז קיים  A\in S כך ש x\in A. מכיוון שA חתך, קיים  y>x כך ש y\in A. לכן  y\in M.
נראה כי חתך זה הוא הסופרמום של הקבוצה S:  \forall A\in S,A\subseteq \bigcup _{B\in S}B\Rightarrow \forall A\in S,A\leq M. לכן M הוא חסם מלעיל. יהי  N חסם מלעיל של  S. יהי  x\in M. קיים  A\in S כך ש x\in A. מכיוון ש A\subseteq N, נקבל  x\in N. לכן  M\leq N. לכן  M הוא החסם העליון הקטן ביותר של  S.