מדרש בית זלכה
הקמתו

בתקופה שלאחר נישואיו, בין לימוד תורה למשנהו, החל הרב עבדאללה סומך לעסוק במסחר כשותף עם הסוחר הבגדאדי רבי משה כבאזה. כשראה כי החינוך ולימוד התורה מתחיל להתמעט בקרב הצעירים בבגדאד, החליט לעזוב את עסקי המסחר כדי להתמסר לדור הצעיר. הוא אסף עשרה אברכים, אותם לימד במשך ימות השבוע ללא תמורה. כשראה זאת הגביר הבגדאדי יחזקאל ראובן, החליט להקים בית מדרש בו יוכלו התלמידים ללמוד באופן מסודר. בשנת 1840 (ה'ת"ר) רכש הגביר חצר ובנה בשטחה מבנה בית מדרש לו קרא "מדרש אבו מנשי", והקדישו ללימוד בידי הרב ותלמידיו, כשהוא מקציב לתלמידים משכורות חודשיות.
מקור השם "מדרש אבו מנשי" הוא בכינויו של הגביר יחזקאל, שכונה "אבו מנשי" על שם בנו בכורו מנשה. השם "מנשה" מתחלף בדיאלקט הבבלי ל"מנשי".
בתקופה זו היה בבגדאד תלמוד תורה גדול שנקרא "מדרש תלמוד תורה", ושימש כמוסד לימודים למשפחות מעוטות יכולת. רוב התלמידים בו היו יתומים או עניים, והרב עבדאללה העביר לבית המדרש החדש את התלמידים שסיימו את לימודים בתלמוד תורה, והיה מלמדם תלמוד ופוסקים, כשכל צורכיהם מומנו על ידי הגביר יחזקאל ראובן. בעקבות השתייכותו למשפחה אמידה, הרב עבדאללה עצמו לא נצרך למשכורת, ועשה את כל עבודתו בישיבה ללא תמורה.
עם השנים, מאמציו של הרב עבדאללה נשאו פרי, והתלמידים מבית המדרש התבגרו, קיבלו הסמכה לרבנות על-ידו, ואף נשארו ללמד בעצמם את הדור הבא בבית המדרש. בשנת 1847 היו בישיבה כ-60 תלמידים שהיו מחונכים ומוכנים לשמש כמורי הוראה.
הנוסע בנימין השני שביקר בבגדאד בשנת 1848, תיאר את רשמיו מבית המדרש:
"סדרי הלימודים בענייני הדת והאמונה בין אחינו בית ישראל יושבי העיר הזאת טובים מאוד...
בית המדרש ההוא עומד תחת השגחת הרב החכם כהר"ר עבדאללה בן אברהם סומך הי"ו, אשר העמיס העבודה עליו חינם אין כסף. הוא איש עשיר מאוד, אחד מהסוחרים היותר נכבדים בעיר בעת היותי שמה, אשר עזב כל ענייני מסחרו בידי עוזרי ידו, והוא בעצמו הקדיש כל עתו אל הדבר הטוב והנכבד ההוא..."
עם פטירתו של הגביר יחזקאל ראובן ב-14 ביולי 1851 (י"ד בתמוז ה'תרי"א) העלו בניו הגבירים מנשה וששון את סכום המשכורות לאברכי בית המדרש.
בשנת 1854 (ה'תרי"ד) סגר הגביר מנשה את בית המדרש אבו מנשי, ורכש שלושה בתים בסמוך: בית דאלי, בית הגביר עזרא זלכה וביתו של חכם עבדאללה כצ'יר. בשטח זה בנה בית כנסת שנקרא "מדרש אבו מנשי" ולידו בנה מבנה בית מדרש גדול ובעל שתי קומות, שנקרא "מדרש בית זלכה", על שם הגביר עזרא זלכה, בעל הבית הקודם. לבית המדרש החדש שהקים, רכש באותה שנה הגביר מנשה ספרי קודש רבים לשימוש הלומדים.
בבית המדרש החדש הוקם גם בית דין עירוני, ובחדר ששימש את הרב עבדאללה, ישבו כ-15 חכמים והרב עבדאללה בראשם. תפקידם היה ליישב ולסדר סוגיות ופסקים שלא התיישבו בבית הדין.
בית המדרש התפרסם אט אט, והפך מוכר לכל יהודי המזרח, ושמעו הגיע גם ליהודי אירופה. תלמידי חכמים נהרו אליו מכל ערי עיראק וסביבותיה, איראן, כורדיסטן, הודו, אסיה התיכונה ועוד, כדי ללמוד תורה מפי הרב עבדאללה. בבית המדרש הוסמכו רבנים מפורסמים, ששימשו לאחר מכן במשרות רבנית בעיראק, באיראן, בהודו, בלבנט, במצרים ועוד.
הנוסע רבי יחיאל פישל שהגיע לבגדאד בי"ד סיון ה'תר"ך (1860) כתב:
"ותהלה לאל יתברך, בבבל יש ישיבות וחכמים הרבה שיושבים רק על התורה ועבודה ובפרט ישיבה ומדרש הנקראת על שם הגביר מנשה, אשר הוא מחזיקה בכל צרכיה וסיפוקה ומוציא עליה בכל שבוע לערך 50 אדומים ואפשר יותר כי כך צוה לו אביו והניח לו ממון בשבילה"
בשנת 1863 למדו בבית המדרש באופן קבוע כשלושים תלמידי חכמים, ששימשו כמורי הוראה וכל עיסוקם היה לימוד תורה. הישיבה הייתה מחולקת לחבורות, שבראש כל אחת מהן עמד חכם אחד משלושים החכמים הנ"ל. בשנת 1869 היו בבית המדרש עשר חבורות מהסוג הנ״ל.
כחלק מפועלו בישיבה היה ראש הישיבה, הרב עבדאללה, עסוק בהשבת תשובות על שאלות שנשלחו אליו ממדינות שונות. השאלות עסקו בעיקר בהלכות גיטין, קידושין, התרת עגונות, איסור והיתר ודיני ממונות. התשובות נכתבו בדרך כלל בעברית או בארמית, אך לעיתים גם בערבית, בפרסית ובטורקית, ולשם כך סופרי בית המדרש היו בקיאים במספר שפות.