יחסי קרמרס–קרוניג
פירוש פיזיקלי וצורה נוספת

ניתן ליישם את הפורמליזם של קרמרס-קרוניג לפונקציות היגב ליניאריות. בפיזיקה, פונקציית ההיגב  \chi (t-t') מתארת כיצד תכונה מסוימת  P(t)\! של המערכת הפיזיקלית מגיבה לשינוי חיצוני או "כוח" חיצוני  F(t')\!, כך ש
P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t')F(t')dt'=\int _{-\infty }^{t}\chi (t-t')F(t')dt',
השיויון האחרון נכון מכיוון ש   \chi (t-t')=0\! עבור   t<t'\!. זוהי המשמעות של סיבתיות, הכח   F(t')\! יכול להשפיע רק על העתיד של   P(t)\!.
על ידי שימוש במשפט הקונבולוציה הביטוי יכתב במרחב התדר כ
 P(\omega )=\chi (\omega )F(\omega )\!.
כדוגמה לשימוש בביטוי  P(t)\! יכולה להיות זווית של מטוטלת ו-  \!F(t) הכוח שמפעיל מנוע המניע את המטוטלת וכך פונקציית ההיגב  \chi (t-t') מתאפסת עבור  t<t'\! שכן המטוטלת לא יכולה להגיב לפני שההכח החיצוני פעל עליה. ניתן להראות שמתנאי הסיבתיות, נובע שטרנספורם פורייה של  \chi (\omega )\! הוא אנליטי בחצי מישור העליון.
הוכחה זו ניתן להתחיל מהטיעון הפשוט הבא מכיוון שהפונקציה סיבתית  \chi (\tau <0)=0
הביטוי הבא הוא טריוויאלי : \chi (\tau )=\chi (\tau )\Theta (\tau )
כאשר  \Theta (\tau ) היא פונקציית המדרגה.
כעת ניקח טרנספורם פורייה של שני צידי המשוואה על ידי שימוש במשפט הקונבולוציה ונקבל כי
\chi (\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {\Theta }}(\omega -\omega ')\chi (\omega '){\frac {d\omega '}{2\pi }}
כאשר הגדרנו את  {\tilde {\Theta }}(\omega ) כטרנספורם פורייה של  \Theta (\tau ). על מנת לבצע את הטרנספורם יש להוסיף מקדם אינפיניטסימלי  \epsilon :
{\tilde {\Theta }}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\Theta (\tau )e^{i\omega \tau }d\tau =\int _{0}^{\infty }e^{i\omega \tau -\epsilon \tau }d\tau ={\frac {i}{\omega +i\epsilon }}
נציב את הביטוי ונקבל את יחס קרמרס קרוניג. את האינטגרל עם הקוטב האינפיטיסימלי ניתן לרשום באמצעות הביטוי לאינטגרל לא שלם  {\mathcal {P}}\int . כאשר יש לזכור כי הקוטב נמצא בחצי השלילי של המישור המרוכב.
אם אנו משעבדים את המערכת לכוח מחזורי עם תדירות הגבוהה בהרבה מתדירות התהודה (resonance) הגבוהה ביותר שלה, למערכת לא יהיה זמן להגיב לפני שהאילוץ החליף כיוון, ולכן  \chi (\omega )\! מתאפסת כש-  \omega \! נהיה מאוד גדול. משיקולים פיזיקליים אלה, אנו רואים ש- \chi (\omega )\! מספקת את התנאים עבור קיומם של יחסי קרמרס-קרוניג.
החלק המדומה של פונקציית ההיגב מתאר כיצד המערכת מאבדת אנרגיה, שכן היא לא באותו מופע עם הכוח המאלץ. מיחסי קרמרס-קרוניג נובע שמספיק לדעת את איבוד האנרגיה של המערכת כדי לקבוע את תגובתה שבאותן מופע, ולהפך.
נוסחאות אלה לא שימושיות בשחזור פונקציית ההיגב שכן האינטגרלים נעים מ- -\infty  עד ל- \infty , ובכך מרמזים שאנו יודעים את ההיגב בתדירויות שליליות. ברוב המערכות, התגובה לתדירויות חיוביות קובעת גם את התגובה לתדירויות שליליות שכן  \ \chi (\omega ) היא טרנספורם פורייה של פונקציה ממשית  \ \chi (t-t'), ולכן  \ \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega ). זה אומר ש- \ \chi _{1}(\omega ) היא פונקציה זוגית של התדירות ו- \ \chi _{2}(\omega ) היא פונקציה אי-זוגית של התדירות.
על ידי שימוש בתכונות אלה, אפשר לצמצם את טווח האינטגרציה לקטע  [0,\infty ). באמצעות היחס הראשון שנותן את החלק הממשי  \ \chi _{1}(\omega ) נהפוך את האינטגרל לאינטגרל עם זוגיות מוגדרת על ידי הכפלת המונה והמכנה של האינטגרנד ב- \omega '+\omega  ונפריד
מאחר ש- \ \chi _{2}(\omega ) היא פונקציה אי-זוגית, האינטגרל השני מתאפס ואנו נותרים עם
פיתוח דומה עבור החלק המדומה נותן
אלו הם יחסי קרמרס-קרוניג השימושיים עבור פונקציית היגב פיזיקלית.