בקר PID
כִּיוונוּן הבקר > כוונון בקר בהינתן מודל מתמטי של המערכת

קיומו של מודל מתמטי של המערכת אותה מעוניינים לבקר פותח אפשרויות המשתמשות בכלים מתמטיים על מנת לתכנן את חוג הבקרה של המערכת. כלים אלו נכללים בתחום תורת הבקרה, ומטרתם למצוא את ערכי הבקר האופטימלים הממלאים את הדרישות. באופן כללי, ניתן לחלק את שיטות הכוונון המבוססות על מודל מתמטי לשתי קבוצות שונות:
כוונון ידני/אנליטי : משמעות הדבר היא שאנו מנתחים את המודל המתמטי בעזרת עקרונות תורת הבקרה, ומתכננים את הבקר בהתאם. ישנן שיטות רבות לעשות זאת, אולם ניתן להזכיר מספר שיטות נפוצות:
אופן הצגת קטבי מערכת במישור לפלס (מישור מרוכב המשמש לייצוג התמרות לפלס). קטבי המערכת מסומנים ב-X והאפסים שלה ב-O.מיקום קטבים: אחת הדרכים הנפוצות לתיאור מערכת בקרה היא פונקציית תמסורת. פונקציית תמסורת היא משוואה מתמטית המתקבלת על ידי ביצוע התמרת לפלס על המשוואות הדיפרנציאליות המתארות את התנהגות המערכת בזמן, והיא מתארת את הקשר בין הכניסה למערכת ליציאתה (כאשר שתי האחרונות נתונות במישור לפלס גם כן). אחד היתרונות המשמעותיים בשימוש בפונקציות תמסורת לתיאור מערכת הוא העובדה שנגזרת במישור הזמן הופכות למכפלות במישור לפלס, דבר ההופך משוואות דיפרנציאליות לפולינומים, הקלים בהרבה לניתוח מתמטי. פונקציית תמסורת כללית ניתנת לתיאור באופן הבא: 



G
(
s
)
=




N

G


(
s
)



D

G


(
s
)





{\textstyle G(s)={\frac {N_{G}(s)}{D_{G}(s)}}}

. שורשי פולינום המונה נקראים שורשים (שכן הם גורמים לאיפוס פונקציית התמסורת), ושורשי פולינום המכנה נקראים קטבים (משום שאיפוס המונה גורם לערך פונקציית התמסורת לשאוף לאינסוף). ערכיהם של האפסים והשורשים נתונים על ידי מספרים מרוכבים, והם אלו הקובעים כיצד תתנהג המערכת – האם היא תגיב מהר לשינויים בכניסות, האם היא תתנוד, האם היא תהיה יציבה ועוד. יש לציין שקשרים בין כניסות שונות ליציאות שונות באותה המערכת נתונים על ידי פונקציות תמסורת שונות, כלומר – הקשר בין הפרעה ליציאת המערכת לא יהיה זהה לקשר שבין אות הייחוס ליציאתה, והוא יתואר על ידי פונקציית תמסורת שונה. מכיוון שהבקר הוא בעל פונקציית תמסורת משלו, הכנסתו לחוג הסגור משפיעה על פונקציות התמסורת השונות של המערכת. מכיוון שכך, ניתן להשפיע על מיקום הקטבים והאפסים של המערכת על ידי שינוי ערכי הבקר, ובכך להשיג ביצועים רצויים. החיסרון בשיטה זו הוא שהיא דורשת הבנה טובה של העקרונות המתמטיים הקושרים בין מיקום הקטבים והאפסים במישור המרוכב לבין התנהגות המערכת, ולכן היא פחות אינטואיטיבית וקלה ליישום עבור משתמשים שאינם בקיאים בקשרים אלו.
מציאת עודפי יציבות בעזרת דיאגרמת בודה. דרים נפוצות נוספת לבדיקת עודפי יציבות החוג הסגור היא עקומת נייקוויסט ועקומת ניקולס.עיצוב חוג: אחת השיטות הנפוצות לתכנון מערכת בקרה היא שימוש בתכונות החוג הפתוח (שאינו כולל משוב) על מנת להבין ולצפות כיצד יתנהג החוג הסגור. שיטות אלו פותחו בשל העובדה שפעמים רבות קל יותר לנתח מתמטית את התנהגות החוג הפתוח ומשם להבין כיצד תתנהג המערכת בהינתן חוג סגור, כאשר הדבר היה משמעותי עוד יותר כאשר יכולות המחשוב לא היו מתקדמות כפי שהן היום, והגישה למחשבים הייתה מוגבלת בהרבה. כלים אלו מאפשרים בדיקה מהירה של עודפי היציבות של המערכת (הקובעים, באופן עקרוני, עד כמה המערכת יציבה) ועוד. הכלים בהם ניתן להשתמש לעיצוב החוג רבים, כאשר הבולטים שבהם הם עקומת בודה, עקומת נייקוויסט ועקומת ניקולס. בנוסף לאלו ניתן להזכיר גם את קריטריון ראוט-הורוביץ ליציבות מערכות ואת השימוש במג"ש (מיקום גאומטרי שורשים) המתאר את השתנות מיקום קטבי החוג הסגור כתלות בהגבר הבקר.
שיטות היוריסטיות: שיטות אלו מציעות "מתכון" לכוונון של בקר PID (או בקר PID חלקי) על בסיס התנהגות המערכת. משמעות הדבר היא שמתבצע ניסוי על המודל לקביעת ערכים מסוימים המאפיינים את המערכת, ולאחר מכן, בהינתן הערכים שהתקבלו, ניתן לקבוע את קבועי הענפים השונים של הבקר על פיהם. היתרון בשיטות אלו הוא קלות הכוונון, אולם מכיוון שהן לא תוכננו עבור מערכת מסוימת, על מתכנן מערכת הבקרה לוודא שהתוצאות המתקבלות על ידיהן עונות על דרישותיו הספציפיות. שתיים מהשיטות הידועות ביותר בתחום זה הן שיטת זיגלר-ניקולס (Ziegler-Nichols method) ושיטת כהן קון (Cohen-Coon method).
כוונון אוטומטי: כוונון זה נעשה על ידי שימוש בתוכנה ייעודית, המקבלת את המודל המתמטי של המערכת ומתארת את התנהגות המערכת כתלות בערכי הבקר השונים. במקרים רבים, האגלוריתם העומד בבסיס התוכנה מבוסס על שיטות הכוונון הידני, אולם שימוש בתוכנה מאפשר לתכנן את חוג הבקרה באופן אינטואיטיבי ונוח בהרבה לשימוש. לדוגמה – בשימוש בתוכנות כוונון, ניתן לאפיין את הדרישות מהמערכת במישור הזמן (כגון מאפיינים של תגובת המדרגה), ולקבל בחזרה את ערכי הבקר הדרושים על מנת להשיג דרישות אלו.
אחד היתרונות הגדולים בעבודה עם מודל מתמטי של מערכת בקרה הוא העובדה שביצוע סימולציות ממוחשבות של התנהגות המערכות קלות בהרבה לביצוע מאשר ביצוע ניסויים בפועל – מבחינה מעשית הן נעשות ללא עלות, הן אינן נושאות סיכון, אין צורך בחומרה יקרה שפעמים רבות לא ניתנת לשחזור לאחר ניסוי, ויכולות לתאר תהליכים ארוכים בזמן קצר מאוד. עם זאת, כמו בכל תחום הנדסי, כמעט אף פעם לא ניתן לבסס מערכת על סימולציות בלבד. דבר זה נובע מגורמים רבים, אולם העיקרי שבהם הוא היכולת המוגבלת לתאר את המציאות האמיתית בשלמותה בעזרת מודלים מתמטיים, מורכבים ככל שיהיו. לכן, גם לאחר כוונון ידני או אוטומטי, כל חוג בקרה יצטרך להיבחן על המערכת האמיתית, כאשר פעמים רבות יתברר שיש צורך בשינויים בערכי הבקר שנקבעו על סמך המודל.