23 הבעיות של הילברט
רשימת הבעיות

להלן כל 23 השאלות שהציג הילברט ומצבן העדכני:
|  |  | תיאורה | מצבה העדכני |
| --- | --- | --- | --- |
|  | בעיה 1 | השערת הרצף, האומרת כי לא קיימת קבוצה מעוצמה גדולה מזו של הטבעיים וקטנה מזו של הממשיים | נפתרה על ידי גדל וכהן שהוכיחו כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות. |
|  | בעיה 2 | להוכיח שמערכת האקסיומות של האריתמטיקה היא עקבית | משפט האי-שלמות השני של גדל מראה שהמשימה בלתי אפשרית מתוך האריתמטיקה עצמה; גרהרד גנצן הוכיח את עקביות האריתמטיקה בהתבסס על מערכת אקסיומות שונה, אך ההוכחה אינה פיניטיסטית (דהיינו הוכחה שכוללת רק הליכים שמתייחסים למספר סופי של תכונות של נוסחאות, ורק למספר סופי של פעולות עם הנוסחאות) ולכן לא עומדת בקריטריונים של הילברט להוכחה מוחלטת של עקביות. |
|  | בעיה 3 | בהינתן שני ארבעונים מנפח זהה, האם בהכרח אפשר לחתוך אחד לכמות סופית של פאונים ולהרכיבם מחדש בצורת השני? | מקס דן הראה שהתשובה שלילית, עוד באותה שנה שהוצגה הבעיה (1900). |
|  | בעיה 4 | למצוא גאומטריות שבהן האקסיומות קרובות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, תוך שמירה על אקסיומות החילה, החלשת אקסיומות הסדר, וויתור על אקסיומת המקבילים | ניסוחה מעורפל מכדי לקבוע אם נפתרה או לא. |
|  | בעיה 5 | האם חבורות רציפות הן בהכרח גזירות? | נפתרה חלקית, על ידי אנדרו גליסון, בתחילת שנות ה-50. |
|  | בעיה 6 | ניסוח אקסיומטי של כל החוקים הפיזיקליים | פתוחה. |
|  | בעיה 7 | האם  a^{b} טרנסצנדנטי, כאשר a ≠ 0,1 אלגברי ו-b אלגברי אי-רציונלי? | תשובה חיובית: משפט גלפונד-שניידר. |
|  | בעיה 8 | השערת רימן ובעיות נוספות העוסקות בתורת המספרים, ביניהן השערת גולדבך והשערת הראשוניים התאומים | כל הבעיות פתוחות. |
|  | בעיה 9 | הכללת חוק ההדדיות הריבועי לכל שדה מספרים | נפתרה חלקית, עבור הרחבות אבליות, על ידי אמיל ארטין. |
|  | בעיה 10 | למצוא אלגוריתם שייקבע, בהינתן משוואה דיופנטית, האם היא פתירה | תשובה שלילית: לא קיים אלגוריתם שכזה. |
|  | בעיה 11 | פתרון של משוואות ריבועיות במספר משתנים עם מקדמים אלגבריים | נפתרה חלקית. |
|  | בעיה 12 | הכללת משפט קרונקר-ובר על ההרחבות האבליות של המספרים הרציונליים לשדה מספרים כלשהו. | נפתרה חלקית. |
|  | בעיה 13 | פתרון משוואות ממעלה שביעית באמצעות פונקציות אלגבריות (גרסה אחרת: רציפות) בשני משתנים | הגרסה הרציפה נפתרה על ידי ולדימיר ארנולד בהתבסס על עבודותיו של אנדריי קולמוגורוב, אבל הגרסה האלגברית עודנה פתוחה. |
|  | בעיה 14 | האם מערכות שלמות מסוימות של פונקציות הן סופיות? | נפתרה על ידי מסיושי נגטה ב-1958. |
|  | בעיה 15 | ביסוס מסודר של תחשיב שוברט | נפתרה (לא ברור אם חלקית או לחלוטין). |
|  | בעיה 16 | מציאה ופיתוח טופולוגיה של עקומות ומשטחים אלגבריים ממשיים. | פתוחה. |
|  | בעיה 17 | הצגת פונקציה רציונלית חיובית כסכום ריבועים של פונקציות רציונליות | נפתרה. לחיוב על ידי אמיל ארטין ב-1927. |
|  | בעיה 18 | האם יש פאון קמור לא רגולרי שממלא את המרחב? מהו הסידור הטוב ביותר של כדורים במרחב? (השערת קפלר) | השערת קפלר נפתרה על ידי היילס בשנת 1998 ופורסמה ב-2005. |
|  | בעיה 19 | האם הפתרונות של לגראנז'יאן הם תמיד אנליטיים? | נפתרה על ידי אניו דה ג'יורג'י וכן בנפרד ובמתודולוגיה שונה על ידי ג'ון נאש ב-1957. |
|  | בעיה 20 | האם לכל הבעיות בחשבון וריאציות עם תנאי שפה מסוימים, יש פתרונות? | נפתרה. |
|  | בעיה 21 | הוכחת קיום של משוואה דיפרנציאלית ליניארית עם חבורת מונודרומיה נתונה | נפתרה. |
|  | בעיה 22 | האחדה של יחסים אנליטיים באמצעות פונקציות אוטומורפיות | נפתרה. |
|  | בעיה 23 | התפתחות נוספת בתחום חשבון הווריאציות | ניסוחה מעורפל מכדי לקבוע אם נפתרה או לא. |