stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
יוהאן יאקוב באכהופן
ביבליוגרפיה

De legis actionibus de formulis et de condictione. Dissertation Basel. Dieterich, Göttingen 1840.
Das Naturrecht und das geschichtliche Recht in ihren Gegensätzen. Basel 1841. reprint: Off. Librorum, Lauterbach 1995, ISBN 3-928406-19-1
Römisches Pfandrecht. Schweighauser, Basel 1847. reprint: Keip, Goldbach 1997, ISBN 3-8051-0688-2
Ausgewählte Lehren des römischen Civilrechts. Leipzig 1848. reprint: Keip, Goldbach 1997, ISBN 3-8051-0689-0
Versuch über die Gräbersymbolik der Alten. Basel 1859
Oknos der Seilflechter : ein Grabbild : Erlösungsgedanken antiker Gräbersymbolik. Basel 1859. reprint: Beck, München 1923
Das Mutterrecht: eine Untersuchung über die Gynaikokratie der alten Welt nach ihrer religiösen und rechtlichen Natur . Stuttgart: Verlag von Krais und Hoffmann, 1861 ( Internet Archive link)
abbreviated edition, ed. Hans-Jürgen Heinrichs. (Suhrkamp Taschenbücher Wissenschaft; Nr.135.) Frankfurt am Main: Suhrkamp, 1975 ISBN 3-518-27735-9
excerpts edited as Mutterrecht und Urreligion: eine Auswahl, ed. Rudolf Marx. (Kröners Taschenausgabe; Band 52) Leipzig: A. Kröner, 1927; Stuttgart, 1954; 6th ed. 1984 ISBN 978-3-520-05206-3.
Antiquarische Briefe vornemlich zur Kenntniss der ältesten Verwandtschaftsbegriffe. 2 vols. Trübner, Strassburg 1880 & 1886.
Römische Grablampen nebst einigen andern Grabdenkmälern vorzugsweise eigener Sammlung. Basel 1890
Gesammelte Werke (collected works) ed. Karl Meuli. Basel: B. Schwabe, 1943–1967, in 8 volumes (I-IV, VI-VIII and X)
I. Antrittsrede; politische Betrachtungen
II. Das Mutterecht, erste Hälfte
III. Das Mutterecht, zweite Hälfte
IV. Die Sage von Tanaquil
VII. Die Unsterblichkeitslehre der orphanischen Theologie: Römische Grablampen
VIII. Antiquarische Briefe
X. Briefe
Myth, Religion and Mother Right Princeton University Press, translated by Ralph Manheim, 1967 ISBN 978-0-691-01797-6
An English Translation of Bachofen's Mutterrecht (Mother Right) (1861): A Study of the Religious and Juridical Aspects of Gynecocracy in the Ancient World Volumes 1-5:
Vol 1. "Lycia," "Crete," and "Athens" Lewiston, NY: Edwin Mellen, translated by David Partenheimer, 30 January 2008 ISBN 9780773451865
Vol 2. "Lemnos" and "Egypt" Lewiston, NY: Edwin Mellen, translated by David Partenheimer, 1 April 2007 ISBN 9780773454798
Vol 3. Orchomenus And the Minyan's And India And Central Asia Lewiston, NY: Edwin Mellen, translated by David Partenheimer, 30 June 2006 ISBN 9780975995389
Vol 4. "Elis", "The Epizephyrian Locrians", and "Lesbos" Lewiston, NY: Edwin Mellen, translated by David Partenheimer, 1 June 2005, ISBN 9780773462984 ISBN 978-0779919031
Vol 5. Mantinea; Pythagoreanism and Subsequent Doctrines; The Cantabri; Lewiston, NY: Edwin Mellen, translated by David Partenheimer, 1 January 2003 ISBN 978-0779919048
ראו גם

ג'יימס ג'ורג' פרייזר
רוברט גרייבס
מרגרט מארי
הערות שוליים

↑  Eller, Cynthia (2011). Gentlemen and Amazons: The Myth of Matriarchal Prehistory, 1861–1900. University of California Press. p. 38.
↑  Yôsef Malî Mythistory: The Making of a Modern Historiography
↑  Engels, Friedrich (2010). The Origin of the Family, Private Property and the State. Penguin UK. p. 49.
↑  Durkheim, Emile (2013). The Elementary Forms of Religious Life. Neeland Media LLC. ISBN 9781420947731. OCLC 1028943316.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007258037805171  PLWABN: 9810545748505606  BIBSYS: 90287752  BNE: XX834721  BnF: cb11889806s (data)  CiNii: DA02101406  GND: 118505645  HDS: 011480  ICCU: CFIV019281  ISNI: 0000 0000 8142 8375  LCCN: n50019400  NDL: 00462616  NKC: ola2002150821  NLA: 35761767  NLG: 107276  NLK: KAC201332707  NTA: 070245584  RKD: 212357  SELIBR: 176447  SNAC: w6w743fw  SUDOC: 026699885  Trove: 1075666  VcBA: 495/124083  VIAF: 64001159   WorldCat (עם VIAF): 64001159
יאן וילם דה פרינד

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  31 ביולי 1962 (בן 62) ליידן, ממלכת ארצות השפלה 
 מוקד פעילות:  ממלכת ארצות השפלה 
 מקום לימודים:  הקונסרבטוריון של אמסטרדם, הקונסרבטוריון המלכותי של האג
 עיסוק:  מנצח, כנר
 כלי נגינה:  כינור 
 https://www.janwillemdevriend.com/
 
יאן וילם דה פרינד (בהולנדית: Jan Willem de Vriend; נולד ב-31 ביולי 1962 בליידן) הוא מנצח וכנר הולנדי.
קריירה

דה פרינד למד נגינה בכינור בקונסרבטוריון של אמסטרדם ובקונסרבטוריון המלכותי של האג. במהלך לימודיו הוביל הופעות של "העטלף" מאת יוהאן שטראוס ואגם הכסף מאת קורט וייל.
ב-1982 הקים דה פרינד את אנסמבל "קומבאטימנטו קונסרט אמסטרדם", שמתמחה במוזיקה של המאה ה-17 וה-18. כמנהל אמנותי, כנר ראשי ומנצח, הוא נתן קונצרטים והפקות אופרה רבות בהולנד ומחוצה לה עם האנסמבל. הוא גם עשה הקלטות דיסקים רבות עם "קומבאטימנטו קונסרט אמסטרדם". מעונת 2013–2014, דה פרינד התמקד כולו בפעילותו כמנצח.
הוא הופיע בקביעות עם תזמורת הקונצרטחבאו המלכותית, תזמורת הרזידנטי, תזמורת הרדיו הקאמרית, התזמורת הקאמרית ההולנדית, התזמורת הסימפונית של לימבורג, תזמורת בראבנט, תזמורת גלדרס ותזמורת צפון הולנד. בחו"ל הוא היה מנצח אורח עם התזמורת הצעירה RIAS, הפילהרמונית הקאמרית הגרמנית, האנסמבל השוודי, אנסמבל מוזיקה ויטה, תזמורת רדיו צפון גרמניה, תזמורת המוצרטיאום של זלצבורג, תזמורת SWR בשטוטגרט, התזמורת הקאמרית של ברלין ואגודת הקונצרטים של וינה. משנת 2006 ועד להחלפתו על ידי אד ספאנחארד ב-2017, הוא מנצח ראשי ומנהל אמנותי של תזמורת המזרח באנסחדה. במרץ 2014, תזמורת הרזידנטי הודיעה כי דה פרינד מונה למנצח קבוע החל מ-1 באוגוסט 2015 לתקופה של ארבע עונות.
האופרות של דה פרינד כוללות את ארמיניו מאת היינריך פון ביבר, רודלינדה, אלצ'ינה, אגריפינה ואורלנדו מאת גאורג פרידריך הנדל, הכתרת פופיאה ואוריפאוס מאת קלאודיו מונטוורדי, המלך ארתור ודידו ואינאס מאת הנרי פרסל עם האופרה הלאומית ההולנדית. כמו כן ניצח על "חליל הקסם" של מוצרט באופרה הלאומית דו ריין בשטרסבורג, על אוריפאוס של מונטוורדי באופרה של לוצרן, על אבן החכמים (מאת מוצרט ואחרים) בבימויה של אווה בוכמן ועל "העטלף" מאת יוהאן שטראוס. בפסטיבל שווצינגר ניצח על האופרה רוזמונדה מאת המלחין אנטון שווייצר, בבימויו של ארנסט דניאל הרצוג.
בשנת 2023 נבחר להיות המנצח הראשי של התזמורת הקאמרית של וינה.
יוהאן זרקו

יוהאן זרקו (בצרפתית: Johann Zarco, נולד ב-16 ביולי 1990) הוא רוכב מרוצי אופנועים צרפתי המתחרה באליפות ה-MotoGP עבור קבוצת דוקאטי אנטיביה . זכה פעמיים באליפות ה-Moto2  ‏ (2015, 2016).
קריירה

זרקו נולד בקאן. בשנת 2004 החל להתחרות באליפות המינימוטו. שנה לאחר מכן סיים במקום השני באליפות אירופה בקטגוריה. בשנת 2006 סיים במקום השני באליפות אירופה הפתוחה. במקביל התחרה באליפות איטליה קטגוריית 125 סמ"ק, בה סיים במקום ה-12.
בשנת 2007 לקח חלק בתחרויות גביע הרוקי'ס של רד בול. הוא ניצח בארבעה מרוצים וזכה בתואר. בעקבות כך התקבל לאקדמיה של רד בול. בשנת 2008 מיעט להתחרות וערך הופעות בודדות באליפות איטליה.
קריירה > 125 סמ"ק

את הבכורה במרוצי גרנד פרי ערך בגרנד פרי קטר בפתיחת עונת 2009. המרוץ קוצר בעקבות הגשם העז שירד על המסלול וזרקו שסיים במקום ה-15 קיבל רק מחצית הנקודה. במהלך העונה צבר נקודות בשבעה מרוצים נוספים, את העונה סיים במקום ה-20 בדירוג הנהגים הכולל. בשמונת המרוצים הראשונים של עונת 2010 צבר נקודות. בגרנד פרי של צ'כיה, המרוץ התשיעי של העונה, קבע לראשונה את זמן ההקפה המהירה, אך לבסוף סיים את המרוץ במקום ה-19, מחוץ לטווח הנקודות. למרות שלא הצליח לסיים את שלושת המרוצים האחרונים של העונה, דורג בסיומה במקום ה-11.
בעונתו השלישית בקטגוריה עבר להתחרות עבור קבוצת AJO. בגרנד פרי של ספרד, המרוץ השני בעונה, סיים במקום השלישי ועלה לראשונה על הפודיום. עד לסיום העונה השיג עשרה פודיומים נוספים, כולל ניצחון בכורה בגרנד פרי היפני. את העונה סיים במקום השני.
קריירה > Moto2

לקראת עונת 2012 עבר להתחרות בקטגוריית ה-Moto2 ורכב עבור קובצת JIR. את עונת הבכורה בקטגוריה סיים כרוקי העונה. בעונתו השנייה עבר לרכב על אופנועי סוטר (Suter) ואת העונה סיים במקום התשיעי, שיפור של מקום לעומת העונה הקודמת. בעונת 2014 הצטרף לקבוצת קטרהאם שהוקמה באותה השנה. מגמת השיפור נמשכה ואת העונה סיים במקום השישי. הוא המשיך לעבור בין קבוצות ובעונת 2015 הצטרף לקבוצת AJO, עבורה התחרה בקטגוריית ה-125 סמ"ק. 14 פודיומים, מתוכם 8 ניצחונות הקנו לו את תואר האליפות בפער של כ-120 נקודות מאלכס רינס שסיים במקום השני. הוא שב וזכה בתואר בעונת 2016 והיה לראשון בקטגוריה שזוכה באליפות שנתיים ברציפות.
קריירה > MotoGP

אחרי צמד הזכיות באליפות עבר להתחרות בקטגוריה הבכירה והצטרף לקבוצת טק 3 ימאהה. במרוץ פתיחת העונה הפתיע רבים, כשלקח את ההובלה מיד בתחילת המרוץ. הוא הספיק לקבוע את זמן ההקפה המהירה והוביל בפער של 2 שניות לפני שהתרסק במהלך ההקפה השישית ונאלץ לפרוש מהמרוץ. בגרנד פרי הצרפתי סיים במקום השני והשיג את הפודיום הראשון עבורו בקטגוריה. את עונת הבכורה סיים במקום השישי, מיקום בו דורג גם בסיום עונת 2018. במהלך העונה חתם על חוזה לשנתיים בקבוצת KTM, החל מעונת 2019
זרקו התקשה להגיע להישגים עם KTM ובמהלך חודש אוגוסט שוחרר מהקבוצה, כשנותרוווווו עוד שישה מרוצים לסיום העונה. בשלושת המרוצים האחרונים של העונה רכב כמחליף בקבוצת הלווין של הונדה. לקראת עונת 2020 חתם בקבוצת דוקאטי אנטיביה.
הערות שוליים

↑  Red Bull MotoGP Academy 2008 line-up announced, MotoGP.com, 19  December 2007
↑  גרנד פרי קטר 2009
↑  CARDION AB GRAND PRIX CESKÉ REPUBLIKY, MotoGP.com, 15 August 2010
↑  Triumphant Johann Zarco lifts Moto2™ world title, MotoGP.com, 9 October 2015
↑  Zarco set to move to MotoGP™ with Tech3, MotoGP.com, 14 July 2016
↑  Zarco joins KTM for 2019 and 2020 seasons, MotoGP.com, 3 May 2018
↑  Johann Zarco's 2020 move to Avintia MotoGP finally announced, Autosport, 19 December 2019
זהויות טריגונומטריות

במתמטיקה, זהויות טריגונומטריות הן זהויות בין ביטויים המכילים פונקציות טריגונומטריות אשר מתקיימים עבור כל ערך אפשרי שיציבו במשתנים. הזהויות שימושיות במקרים רבים כדי לפשט ביטויים המכילים פונקציות טריגונומטריות.
ערכי סינוס וקוסינוס סביב מעגל היחידה
קשרים בסיסיים

| --- | --- |
הזהות הטריגונומטרית הפיתגוראית:  \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,
זהות היחס:  \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}
מתוך שתי הזהויות הללו ניתן להסיק את הטבלה הבאה שמבטאת כל פונקציה טריגונומטרית בעזרת פונקציה טריגונומטרית אחרת.
| פונקציה | sin | cos | tan | csc | sec | cot |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  =\sin \theta  |  \sin \theta \  |  \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }} |  \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} |  {\frac {1}{\csc \theta }} |  \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }} |  \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}} |
|  =\cos \theta  |  \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} |  \cos \theta \  |  \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} |  \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }} |  {\frac {1}{\sec \theta }} |  \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}} |
|  =\tan \theta  |  \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}} |  \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }} |  \tan \theta \  |  \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}} |  \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}} |  {\frac {1}{\cot \theta }} |
|  =\csc \theta  |  {1 \over \sin \theta } |  \pm {1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} |  \pm {{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta } |  \csc \theta \  |  \pm {\sec \theta  \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}} |  \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} |
|  =\sec \theta  |  \pm {1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}} |  {1 \over \cos \theta } |  \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} |  \pm {\csc \theta  \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}} |  \sec \theta \  |  \pm {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta } |
|  =\cot \theta  |  \pm {{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta } |  \pm {\cos \theta  \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} |  {1 \over \tan \theta } |  \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}} |  \pm {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}} |  \cot \theta \  |
סימטריה, הזזה ומחזוריות

על ידי בחינת מעגל היחידה, ניתן להסיק את התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות שיבואו להלן.
סימטריה, הזזה ומחזוריות > סימטריה

כאשר מבצעים שיקוף של הפונקציות הטריגונומטריות דרך ערכים מסוימים של  \theta , התוצאה תהיה פעמים רבות אחת מהפונקציות הטריגונומטריות האחרות. מצב זה מוביל לזהויות הבאות:
| שיקוף דרך  \theta =0 | שיקוף דרך  \theta =\pi /4 | שיקוף דרך  \theta =\pi /2 |
| --- | --- | --- |
|  {\begin{aligned}\sin(0-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(0-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(0-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(0-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(0-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(0-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}} |
סימטריה, הזזה ומחזוריות > הזזה ומחזוריות

על ידי הזזה של הפונקציות בזוויות מסוימות, ניתן לעיתים למצוא פונקציות טריגונומטריות אחרות אשר יכולות לבטא את הנדרש בצורה פשוטה יותר. מספר דוגמאות לכך ניתן לקבל על ידי הזזת הפונקציות ב־ {\tfrac {\pi }{2}},
 \pi  או
 2\pi  רדיאנים (90°, 180° ו-360° בהתאמה). מאחר שהמחזור של הפונקציות הללו הוא תמיד  \pi  או  2\pi , במקרים מסוימים הפונקציה החדשה תהיה זהה לחלוטין לפונקציה הישנה לפני ההזזה.
| הזזה ב־ {\tfrac {\pi }{2}} | הזזה ב־ \pi    (המחזור של tan ו־cot) | הזזה ב־ 2\pi    (המחזור של sin, cos, csc ו־sec) |
| --- | --- | --- |
|  {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}} |  {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}} |
זהויות של סכום והפרש זוויות

הדרך המהירה ביותר להוכיח זהויות אלה היא באמצעות נוסחת אוילר.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| סינוס |  \sin(\theta \pm \varphi )=\sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi \, | הערה לשימוש בסימן "פלוס־מינוס" (± ו־∓):  כאשר מופיע הסימן ± בשני צידי המשוואה, יש לקרוא: אם פלוס בצד שמאל אז פלוס בצד ימין, ואם מינוס בצד שמאל אז מינוס בצד ימין.  כאשר מופיע הסימן ± בצד שמאל ו־∓ בצד ימין של המשוואה, יש לקרוא: אם פלוס בצד שמאל אז מינוס בצד ימין, ואם מינוס בצד שמאל אז פלוס בצד ימין.  למשל:  \ a\pm b\mp c פירושו  \ a+b-c או  \ a-b+c. |
| קוסינוס |  \cos(\theta \pm \varphi )=\cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi \, | הערה לשימוש בסימן "פלוס־מינוס" (± ו־∓):  כאשר מופיע הסימן ± בשני צידי המשוואה, יש לקרוא: אם פלוס בצד שמאל אז פלוס בצד ימין, ואם מינוס בצד שמאל אז מינוס בצד ימין.  כאשר מופיע הסימן ± בצד שמאל ו־∓ בצד ימין של המשוואה, יש לקרוא: אם פלוס בצד שמאל אז מינוס בצד ימין, ואם מינוס בצד שמאל אז פלוס בצד ימין.  למשל:  \ a\pm b\mp c פירושו  \ a+b-c או  \ a-b+c. |
| טנגנס |  \tan(\theta \pm \varphi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \varphi }{1\mp \tan \theta \tan \varphi }} | הערה לשימוש בסימן "פלוס־מינוס" (± ו־∓):  כאשר מופיע הסימן ± בשני צידי המשוואה, יש לקרוא: אם פלוס בצד שמאל אז פלוס בצד ימין, ואם מינוס בצד שמאל אז מינוס בצד ימין.  כאשר מופיע הסימן ± בצד שמאל ו־∓ בצד ימין של המשוואה, יש לקרוא: אם פלוס בצד שמאל אז מינוס בצד ימין, ואם מינוס בצד שמאל אז פלוס בצד ימין.  למשל:  \ a\pm b\mp c פירושו  \ a+b-c או  \ a-b+c. |
זהויות הנוגעות לכפולות של זווית

| --- | --- |
Tn הוא פולינום צ'בישב ה־n־י.:  \cos n\theta =T_{n}(\cos \theta )\,
Sn הוא פולינום הפרישה ה־n־י.:  \sin ^{2}n\theta =S_{n}(\sin ^{2}\theta )\,
משפט דה־מואבר,  i הוא היחידה המדומה:  \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}\,
(פונקציה זו של x נקראת גרעין דיריכלה)
זהויות הנוגעות לכפולות של זווית > זהויות של זווית כפולה, זווית משולשת וחצי־זווית

ניתן להוכיח זהויות אלו באמצעות הזהויות של סכום והפרש זוויות, או באמצעות זהויות המכפלה שלעיל.
| זווית כפולה |
| --- | --- | --- | --- |
|  {\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}} |  {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}} |  \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\, |  \cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\, |
זווית משולשת
|  \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \, |  \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \, |  \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }} |  \cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }} |
חצי־זווית
|  \sin {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}} |  \cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}} |  {\begin{aligned}\tan {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta  \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}} |  {\begin{aligned}\cot {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta  \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}} |
זהויות הנוגעות לכפולות של זווית > סינוס, קוסינוס וטנגנס של כפולות של זווית

tan nθ יכולה להיכתב כביטוי של tan θ באמצעות היחס הבא:
cot nθ יכולה להיכתב כביטוי של cot θ באמצעות היחס הבא:
זהויות הנוגעות לכפולות של זווית > טנגנס של ממוצע זוויות

על ידי הצבת 0 ב־α או β נקבל את הזהות של חצי־זווית שנזכרה לעיל.
זהויות לצמצום חזקות

זהויות אלה ניתן להוכיח באמצעות הגרסה השנייה והשלישית של זהות הזווית הכפולה של הקוסינוס (ראו לעיל).
| סינוס | קוסינוס | שילובים |
| --- | --- | --- |
|  \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}} |  \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}} |  \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}} |
|  \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}} |  \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}} |  \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}} |
|  \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}} |  \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}} |  \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}} |
|  \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}} |  \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}} |  \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}} |
עבור חזקות שרירותיות כלשהן של  \sin \theta  או  \cos \theta  ניתן להשתמש בזהויות הבאות, אשר נובעות ממשפט דה־מואבר, נוסחת אוילר והבינום של ניוטון.
|  | אם n הוא אי־זוגי | אם n הוא זוגי |
| --- | --- | --- |
| קוסינוס |  \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {(n-2k)\theta } |  \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {(n-2k)\theta } |
| סינוס |  \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{({\frac {n-1}{2}}-k)}{\binom {n}{k}}\sin {(n-2k)\theta } |  \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{({\frac {n}{2}}-k)}{\binom {n}{k}}\cos {(n-2k)\theta } |
זהויות להמרת מכפלה לסכום וסכום למכפלה

זהויות אלה ניתן להוכיח באמצעות הרחבת הצד הימני במשוואה באמצעות הזהויות של סכום והפרש זוויות (ראו לעיל). ראו פעימה (אקוסטיקה) ליישום מעניין של הזהויות שלהלן.
בפרט,
זהויות אלה שימושיות בשיטות אינטגרציה על ריבועי פונקציות טריגונומטריות וניתן להכלילן לחזקות שונות.
זהויות להמרת מכפלה לסכום וסכום למכפלה > זהויות קשורות

אם x, y, ו־z הן שלוש זוויות של משולש כלשהו, כלומר אם  \ =\pi =x+y+z חצי מעגל (180°), אזי

 \tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z).
לחלופין, אם אחת מהזוויות x, y, ו־z היא זווית ישרה (90° או π/2) אזי ניתן להגדיר את שני הצדדים כ־∞ (אינסוף). אין זה ∞+ ("אינסוף חיובי") וגם לא ∞− ("אינסוף שלילי"); הפונקציה tan(θ)‎ שואפת בנקודה 2π ל־∞+ מצד שמאל ול־∞− מצד ימין.
בנוסף, אם  \pi =x+y+z = חצי מעגל (180°), אזי

 \sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin(x)\sin(y)\sin(z).
זהויות להמרת מכפלה לסכום וסכום למכפלה > משפט תלמי

אם  \pi =w+x+y+z = חצי מעגל (180°), אזי
{\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)=\sin(w)\sin(y)+\sin(x)\sin(z)\end{aligned}}
ביסודה מהווה זהות זו זה התאמה של משפט תלמי משפת הגאומטריה לשפת הטריגונומטריה.
צירופים ליניאריים

עבור שימושים מסוימים, חשוב לדעת שכל צירוף ליניארי של גלי סינוס בעלי אותו זמן מחזור אך מופע שונה מהווה גל סינוס בפני עצמו, גם הוא בעל אותו זמן מחזור אך מופע שונה. במקרה של צירוף ליניארי של גל סינוס וגל קוסינוס (בעלי הפרש מופע של π/2), נקבל
כאשר
או באופן שקול,
באופן כללי, עבור הפרש מופע כלשהו, נקבל
כאשר
וכן
סכומים נוספים של פונקציות טריגונומטריות

סכומים של סינוסים וקוסינוסים עם ארגומנטים כטורים חשבוניים:
לכל a ו־b:
כאשר arctan(y, x)‎ היא הכללה של arctan(y/x)‎ אשר מכסה את כל היקף המעגל (לעיתים מכונה גם arctan2(y,x)).
אם  \pi =x+y+z = חצי מעגל (180°), אזי
הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות > הרכבה של הפונקציות הטריגונומטריות על הפונקציות ההפוכות

| --- | --- |
 \sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,:  \tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}
 \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}:  \tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}
 \cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}:  \cot[\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}
 \cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,:  \cot[\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}
קשר לפונקציה המעריכית המרוכבת

ומכאן נסיק:
כאשר  i^{2}=-1.
מכפלות אינסופיות

הזהויות הבאות, העוסקות במכפלות אינסופיות, שימושיות עבור פונקציות מיוחדות:
זהויות ללא משתנים

"חוק מורי":
הוא מקרה מיוחד של הזהות הבאה:
כאשר k = 3, x = 20°. את השם טבע הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, אשר למד את הזהות הזו בילדותו מילד בשם מורי, ומאז זכר אותו למשך כל חייו.
זהויות נוספות באותה מתכונת הן:
וכן,
את הזהות הבאה קשה להכליל מיד לזהות הכוללת משתנים (אך קראו בהמשך להסבר):
לאחר עיון בזהות שלהלן, ניתן להגיע למסקנה שמדידה במעלות אינה תמיד מתאימה יותר ממדידה ברדיאנים:
הגורמים 1, 2, 4, 5, 8, 10 נותנים רמז למקורה של הדוגמה הנ"ל: אלה הם המספרים הטבעיים הקטנים מ־21/2 שהם זרים ל־21 (כלומר, אין להם גורם ראשוני משותף עם 21). הדוגמאות האחרונות נובעות מעובדה בסיסית על פולינומים ציקלוטומים: הקוסינוסים מהווים את החלק הממשי של פתרונות הפולינום; סכום הפתרונות הוא פונקציית מביוס אשר מחושבת עבור המספר 21 (בדוגמה האחרונה); רק חצי מהפתרונות מופיעים בדוגמה זו. לשתי הזהויות הקודמות לזהות האחרונה נגיע בצורה דומה, עם 10 או 15 במקום 21 (ולאחר המרה למעלות).
זהויות ללא משתנים > חישוב פאי (π)

דרך יעילה במיוחד לחשב את ערכו של פאי היא שימוש בזהות שלהלן, המיוחסת לאסטרונום ג'ון משין:
זהות נוספת, המיוחסת לאוילר, היא:
זהויות ללא משתנים > ערכים מעניינים נוספים

באמצעות יחס הזהב φ:
ראו בנוסף: קבועים טריגונומטריים מדויקים.