stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
הגאון מווילנה
משנתו > יחסו ללימודי חול ולפילוסופיה

הגר"א תמך בלימודי חול שכללו חלק מהמדעים, בעיקר המדעים הריאליים, ואף כתב ספר על מתמטיקה, אסטרונומיה וגאומטריה בשם "איל משולש". בהקדמה ל"ספר אוקלידוס" (בתרגום לעברית שנעשה על ידי הרב ברוך בן יעקב שיק משקלוב, האג תק"ם – 1780), מובא בשמו:
כפי מה שיחסר לאדם ידיעות משארי החכמות – לעומת זה יחסר לו מאה ידות בחכמת התורה... וציוה לי (=הגאון) להעתיק מה שאפשר ללשוננו הקדוש מחכמות כדי להוציא בולעם מפיהם וישוטטו רבים ותרבה הדעת בין עמינו ישראל.
דבריו של הרב ברוך שיק מקבלים חיזוק מתרגום שכתב בנו של הגר"א, רבי אברהם וילנר, לחלקים מתוך ה"היסטוריה של הטבע" של החוקר הצרפתי הרדיקלי, בופון.
על פי עדות של תלמידיו ועל פי הספרים שנכתבו מפיו, היה הגר"א בעל ידע במתמטיקה, בהנדסה, בביולוגיה, באסטרונומיה, בגאוגרפיה, בבלשנות ובמוזיקה, אך נמנע מלעסוק ברוקחות לפי הוראת אביו.
הוא החכים גם בהגות האנושית, ועם זאת התנגד ללימודי מדעי הרוח הכלליים, משום שלא ראה בהם תועלת אמיתית לחיי האדם היהודי. הגר"א נהג להבדיל בין לימודי מדעי הרוח לבין לימודי מדעי הטבע שבהם ראה "רקחות וטבחות" המסייעות להבנת התורה.
וכך סיפר על הגר"א רבי ישראל משקלוב:
כה אמר, כל החכמות נצרכים לתורתנו… וכלולים בה, וידעם כולם לתכליתם והזכירם: חכמת אלגעברע ומשולשים והנדסה וחכמת מוזיקא… וביאר איכות כל החכמות ואמר שהשיגם לתכליתם, רק חכמת הרפואה ידע חכמת הניתוח והשייך אליה, אך מעשה הסמים ומלאכתן למעשה רצה ללמדם מרופאי הזמן וגזר עליו אביו הצדיק שלא ילמדנה, כדי שלא יבטל מתורתו כשיצטרך ללכת להציל נפשות כשידע לגמרה. וכן חכמת הכישוף… וידעה, רק היה חסר לו מעשה העשבין וכל גמר מעשיה, מפני שהם ביד הגויים הכופרים לא היה יכול ללמוד גמר מעשיה מרוב מפנקותו.
בניגוד ליחסו למדעי הטבע, יצא בחריפות נגד הפילוסופיה ולומדיה, כמובא בספר אבן שלמה (שהוא ליקוט מכתביו) פרק י"א סימן ד'. וכך אמר:
בזכות שמתרחקים מאותן העוסקים בלימוד פילוסופיא אלהית, לימודית וטבעיות. יזכו לעתיד לבא לאור ד' (ישעיה ב' ו').[דרושה הבהרה]
ושם מובא עוד בהערת שוליים, על פסקה זו:
עיין יורה דעה סימן קע"ט, סימן קטן י"ג. שכתב גם כן לגנות את הפילוסופיא הכוזבה ועיין בספר עליות אליהו י"ז, ב'. ודלא כיש אומרים שמה שכתב ביורה דעה בסימן הנ"ל אינו מהגר"א. כי שמעתי מאיש אמונים שכן נמצא בכתב יד קדשו ממש וכמו שמוכח כאן. ועיין יורה דעה סימן רמ"ו, סימן קטן י"ח.
בביאור הגר"א לספר ישעיה פרק ב' פסוק ו', כתב:
"כי נטשת עמך" וגו', פירוש, בשביל הזכות שנטשת עמך, כמו שכתוב: "ושכחי עמך ובית אביך, ויתאָו המלך יָפְיֵךְ". "כי מלאו מקדם" וגו', פירוש, בשביל שעמך מלאו מקדם לכן נטשת עמך וזכית לאור ה'. ואמר "מקדם, ועֹננים [כפלשתים] ובילדי נכרים" – המה פלסופיא אלהות ולמודית וטבעית. ו"מקדם" הוא אלהית כמו שכתוב: "מעֹנה אלֹהי קדם". "ועֹננים" היינו יודעי לכוון השעות כמו "הֹבְרֵי שָׁמַיִם". "וילדי נכרים" הוא טבעיות.
ביאור הגר"א על יורה דעה סימן קע"ט, סעיף ו', סעיף קטן י"ג:
הרמב"ם... נמשך אחר הפלוסופיא ולכן כתב שכשפים ושמות ולחשים ושדים וקמיעות הכל הוא שקר אבל כבר הכו אותן על קדקדו שהרי מצינו הרבה מעשיות בגמרא על פי שמות וכשפים... והפלסופיא הטתו ברוב לקחה לפרש הגמרא הכל בדרך הלציי ולעקור אותם מפשטן וח"ו איני מאמין בהם ולא מהם ולא מהמונם אלא כל הדברים הם כפשטן אלא שיש בהם פנימיות לא פנימיות של בעלי הפלוסופיא שהם חצוניות אלא של בעלי האמת.
היו שראו ביחסו האוהד כלפי לימודי חול את הסיבה להתפשטות תנועת ההשכלה בליטא יותר מבפולין החסידית. טענה זו הופרכה במחקרים מאוחרים יותר.
ניסיון עלייתו לארץ ישראל

ידוע כי הגאון ניסה בעצמו לעלות לארץ ישראל, ואף כתב לבני משפחתו איגרת מהדרך בהגיעו לקניגסברג, שהתפרסמה אחר כך בשם "עלים לתרופה", ובה כתב בין היתר שהוא הולך ל"ארץ חמדת ישראל וחמדת ה', שכל עליונים ותחתונים תשוקתם אליה". עם זאת, ניסיונו זה לא צלח, הוא החליט לחזור לביתו באומרו שאין לו רשות משמיים לעלות לארץ ישראל.
קיימת אי-הסכמה לגבי השנה שבה ניסה הגר"א לעלות לארץ ישראל. דב אליאך, בספרו "הגאון", מנסה להוכיח מדקדוקים בלשון האיגרת, כי ניסיון זה היה כאשר הגאון היה בסביבות גיל ארבעים, לדבריו כנראה בחורף תק"כ (1759–1760). בספר 'קול התור' מופיע כי הוא ניסה לעלות לארץ ישראל בשנת תקמ"ב (1782). לעומתם, ד"ר אריה מורגנשטרן טוען כי הניסיון היה בסביבות שנת תקל"ח (1778), על פי מסמכים של הקהילה היהודית בהולנד המזכירים אדם בשם "ר' אליהו מווילנא", אולם לא ברור האם הכוונה במסמכים אלה לגאון. אלי אליאך הציע כי מדובר בקיץ של שנת תקכ"ז (1767).
כפי המסופר ב'קול התור', הוא ביקש לחדש את היישוב היהודי בארץ ישראל, להפריח את שממותיה של ארץ ישראל, וליצור בה זן של אנשים חכמים ומוסריים שקרא לו "אנשי אמנה", ולסלול בזאת את בואו של המשיח שהאמין כי אמור להופיע בשנת הת"ר (1840), כאשר הוא הכריז "קול התור נשמע בארצנו" (על פי שיר השירים ב יב).
בעקבותיו וביוזמת תלמידו רבי חיים מוולוז'ין עלו רבים מתלמידיו לארץ ישראל החל משנת תקס"ח (1808), בעלייה הידועה כ"עליית תלמידי הגר"א" בראשות תלמידו רבי מנחם מנדל משקלוב. תחילה התיישבו בצפת והקימו בה את קהילת ה"פרושים". החל משנת תקע"ו (1816) עברו חלקם והתיישבו גם בירושלים, והקימו בה מחדש את הקהילה האשכנזית.
מאבקו בתנועת החסידות

הגר"א התנגד לתנועת החסידות בשל עיוותים שונים שראה בה, שגרמו לו לסווגה כמינות וכתנועה שיונקת מהטומאה. כבר בשנת ה'תקל"ב (1772) מופיעה חתימתו של הגר"א על חרם קהילת וילנה נגד החסידות. בשנת ה'תקמ"א (1781) הטיל עליה שוב חרם. סירב לפגוש את האדמו"ר המייסד של חסידות חב"ד, רבי שניאור זלמן מלאדי, והורה לשרוף בפומבי את הספר "צוואת הריב"ש".
יש דעות שונות לגבי העיוותים שהגר"א ראה בחסידות. שמעון דובנוב טען שהיא איימה על התשתית הקהילתית של דת הספר הרבנית בהעמידה את הרגש לפני השכל, בנוסף לחשש שמדובר בתנועה משיחית פרנקיסטית חדשה שקמה על היהדות (ראו להלן). אחרים טענו שהיא נתפסה כתנועה ליצנית שזלזלה בתלמידי חכמים שהתנגדו לה, בצירוף מעשים שנתפסים כקלות ראש, כגון זלזול בזמני התפילות, עמידה על הראש ועוד. הרב יוסף דוב הלוי סולובייצ'יק מבוסטון מוסיף כי הגר"א ראה כי החסידות מתפשטת במהירות רבה, וזה גרם לו לחשוש שמדובר ב"מעשה שטן", כי קדושה כובשת ומתפשטת לאט.
יש הטוענים שההתנגדות נבעה בשל כך שהגר"א סבר כי בחסידות יש מאפיינים אשר שונים מהאמונה היהודית כפי שהייתה מקובלת עד אז. באיגרת מפורשת של הגר"א עצמו[דרושה הבהרה], הוא מכנה את החסידות כעבודת עץ ואבן, התבטאות המלמדת על הפן התאולוגי של התנגדותו לחסידות, המזהה אותה כסוטה מעיקרי האמונה היהודית. ייתכן שהתכוון לוולגריזציה פשטנית של רעיונות קבליים מורכבים, כמו נוכחותו של האל בעולם הפיזי, והימצאותם של "ניצוצות קדושה" בעולם, גם בדברים פשוטים כמו עצים ואבנים, לצורך "בירור הניצוצות", שהוא אחד המרכיבים היסודיים בהגות החסידית. ייתכן שיש כאן רמז לחשדותיו כי החסידות ממשיכה או דומה למגמות אפיקורסיות ואנטינומיות מסוכנות, כפי שנתגלעו בתנועות השבתאות והפרנקיזם.
גם באיגרת של רבי שניאור זלמן מלאדי לחסידיו בווילנה, הוא מציין כי התנגדותו של הגר"א כלפיו נובעת ממחלוקת על הגדרת נוכחות האל בעולם הפיזי.
מתלמידיו

לגר"א לא היו תלמידים במובן הרגיל של המילה והוא לא כיהן בראשות ישיבה. עם זאת בחורף ה'תקכ"ח (1767) הוא הקים בית מדרש צמוד לביתו, ובו מסר לעיתים שיעורים, בעיקר בצעירותו, ולמדו שם תלמידי חכמים מובחרים, שהיו מביאים לפניו את קושיותיהם וספיקותיהם. תלמידיו חשו את הפער העצום בינם לבינו ולא אבו להיקרא "תלמידיו".
בני הגר"א בהקדמת ביאור הגר"א לשולחן ערוך ערכו רשימה של כמה מבחירי תלמידיו:
הרב חיים מוולוז'ין – נחשב לגדול תלמידיו, הקים את ישיבת וולוז'ין, שהייתה הישיבה המרכזית באירופה, וכתב את הספר נפש החיים בין היתר כפולמוס העומד מול תנועת החסידות
רבי שלמה אב"ד וילקומיר
רבי שלמה זלמן מוולוז'ין – אחיו של רבי חיים
רבי שלמה מטולוצין – מראשוני תלמידיו שעלו לארץ ישראל עוד בחיי הגר"א
רבי סעדיה – גיסו של רבי שלמה זלמן מוולוז'ין, מראשי עליית תלמידי הגר"א. שימש את הגר"א, וכתב את הנהגותיו שנדפסו לימים בספר מעשה רב, וכן היה שליחו במאבק נגד תנועת החסידות.
רבי משה שלמה מטולטשין – מגיד בקהילת וילנא, תלמיד מובהק של הגר"א בקבלה, וערך חלק מכתביו.
רבי צבי הירש מסמיאטיץ
רבי שלמה ממוהילוב
רבי בנימין ריבלין
בני הגר"א כותבים שבסוף ימיו התקרבו אל הגר"א שני האחים בני שקלוב, רבי בונים ואחיו רבי מנחם מנדל:
רבי מנחם מנדל משקלוב שימש את הגר"א בשתי שנותיו האחרונות, והיה מראשי עליית תלמידי הגר"א לארץ ישראל, ומייסד היישוב האשכנזי בירושלים.
רבי מנשה מאיליה – מחבר ספר "אלפי מנשה". נודע בעיסוקו במדעים ובתפיסותיו המקוריות.
רבי יעקב כהנא – חתנו של רבי יששכר בער אחי הגר"א.
רבי פנחס מפלאצק – מגיד מישרים, מחבר מספר ספרים
רבי מנחם מנדל – מחבר הספר "תמים יחדיו" מגיד מישרים בקהילת פוניבז'.
רבי ישראל משקלוב – ששימש את הגר"א בחצי שנה האחרונה לחייו, מראשי עליית תלמידי הגר"א, מחבר הספר פאת השלחן ופירוש למסכת שקלים, ועורך כמה מספרי הגר"א.
רבי הלל ריבלין משקלוב בן רבי בנימין – מהעולים בעליית תלמידי הגר"א בשנת ה'תקצ"ב. ספר קול התור מיוחס אליו. עם זאת, יש הטוענים שאינו תלמידו של הגר"א.
רבי יהודה ליב הלוי עד"ל מסלונים – מומחה לדקדוק עברי ועזר לגר"א בכתיבת ספריו.
רבי יחיאל מיכל ממינסק
כתביו

מתורתו של הגר"א נדפסו ספרים העוסקים בחלקים רבים של התורה, ובהם ביאורים לתורה, לנביאים, למגילות, לספר דברי הימים, למשניות זרעים וטהרות, פירושים לתלמוד ירושלמי, לתוספתא, למסכתות קטנות, לתורת כהנים ועוד. בחכמת הקבלה נדפסו מתורתו פירושים לחלקי הזוהר, ספרא דצניעותא, היכלות, לספר יצירה ועוד. גם את אגדות חז"ל הגר"א מבאר פעמים רבות על דרך הקבלה.
בעקבות דברי רבי ישראל משקלוב, מקובל כי כתב בעצמו רק עד גיל 40 (למעט ההגהות על כל ספרות חז"ל), ואחר כך הרצה לתלמידיו שלמדו ממנו, או הכתיב להם.
הביבליוגרף ישעיהו וינוגרד ערך ספר שלם אוצר ספרי הגר"א שבו אסף את כל ספרי הגר"א למהדורותיהם, כפי שנדפסו עד שנת ה'תשנ"ח. חלק מספריו נערכו בשנים האחרונות בצורה מוארת ומוערת על ידי הרב שלמה ברעוודה.
תלמידו רבי חיים מוולוז'ין כותב כי "אף גם אם יזכו הדור שיתפשטו כל חיבוריו הקדושים, אפס, מקצת מן המקצת מקצה תורתו וחכמתו תראו, וכולם לא תראו ולא תוכלו לשערו, אך תדעו ותאמינו כי אין חקר לתבונתו וחכמתו ודעתו הרחבה מני ים, וכערך טיפה נגד הים הגדול, כך ערך חיבוריו נגד חכמתו המרובה".
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| ” | בשעה שסיים פירושו על שיר השירים והוה בדיחא דעתיה ושמח בשמחת תורתו הק' [...] וצוה לסגור חדרו והחלונות סוגרו ביום והדליקו נרות הרבה. וכאשר סיים פירושו נשא עיניו למרום בדבקות עצומה בברכה והודאה לשמו הגדול ית"ש שזיכהו להשגת אור כל התורה בפנימיותיה וחוצותיה [...] אח"כ אמר כי ב"ה כל התורה כולה שניתנה בסיני ידעה לתכליתה, וכל הנביאים וכתובים והמשניות ותורה שבע"פ היאך גנוזים בה, ולא נשאר לו שום ספק באיזה הלכה וסוגיא בכל התורה לעת זקנותו, וידע כל תושבע"פ וכל הפוסקים עד האחרונים שעל הש"ע [השולחן ערוך] ובררם והגיה אורות מאופל השיבושים ועשאן כסולת נקייה מהפסולת, ובנסתרות כל אשר יש בידינו הזוהרים ות"ז [ותיקוני זוהר] ומ"י וכתבי האר"י ז"ל והפרד"ס גמרם וידעם לתכליתם [...] רק שני דברים חמורים בסתרי תורה שבזהר היו מוקשים אצלו ואמר לפניו איה מקומם, ואילו הוה ידע מי שיודעם היה הולך ברגליו אליו וממתין בזה על משיח צדקינו, ובזה סיים. | “ |

|  – ספר פאת השולחן, לר' ישראל משקלוב, הקדמה |  – ספר פאת השולחן, לר' ישראל משקלוב, הקדמה |  |
".
משפחתו

הגר"א היה הבכור והיו לו ארבעה אחים:
רבי משה, מגיד מישרים ומו"ץ בעיירה פודזלובה שליד וילקומיר
רבי אברהם, מחבר "מעלות התורה", מגיד מישרים בשקלוב ורב ברוגולה, נפטר בד' בניסן ה'תקס"ד
רבי יששכר בער, מחשובי חכמי וילנה, כתב מספר ספרים, נפטר בט' באלול ה'תקס"ו. חתנו היה רבי יעקב כהנא תלמיד הגר"א
רבי מאיר, מקהילת יאנישוק, הגר"א כינהו "אור המאיר"
כל שמונת ילדיו של הגאון מווילנה נולדו מאשתו הראשונה, חנה:
בת (שמה לא ידוע) (1741–1756), נפטרה בנעוריה
חינה (1748–1806), נישאה לרבי זלמן זליג חיניץ מפינסק ואחרי מותו לרבי משה מפינסק, שהדפיס כמה מספרי חותנו
פסיה בתיה (נולדה ב-1750), נישאה לצבי הירש דונחין מדיסנה
בת (שמה לא ידוע) (נולדה ב-1752), נישאה ליחזקאל הלוי
שלמה זלמן וילנר (1759–1780)
יהודה לייב וילנר (1764–1816)
רבי אברהם וילנר (1765–1808)
טאובה (1768–1812), נישאה לרבי אורי שרגא פייבוש מדוברובנו
בין צאצאיו הבולטים בעת האחרונה ניתן למנות את אליהו לנדא.
הנצחה

על שמו של הגר"א הוקמו בתי כנסת, בפרט בשכונת שערי חסד בירושלים. כמו כן הוקמה על שמו ישיבת הגר"א (כיום כולל אברכים) בחיפה, ישיבת אדרת אליהו וקהילת אדרת אליהו בעיר העתיקה בירושלים, השואפת ללכת על פי דרכו.
תמונות דיוקן של הגאון מווילנה החלו להתפרסם כהדפסי אבן בין השנים 1821–1825. הצייר המקורי היה ראש המחלקה הליטוגרפית באוניברסיטת וילנה, הצייר הליטאי-פולני ג'וסף הילרי גלובצקי.
בשנת תשנ"ט ביקשה ממשלת ישראל להעלות את עצמותיו של הגאון ארצה, אך סורבה על ידי ממשלת ליטא, בין השאר משום התנגדות הקהילה היהודית שם.
שנת 2020 שבה מלאו 300 שנים להולדת הגאון, הוכרזה על ידי הפרלמנט הליטאי כשנת הגאון מווילנה וכשנת ההיסטוריה היהודית. באותה שנה נקרא על שמו המוזיאון להיסטוריה יהודית של ליטא.
הנצחה > מכון הגר"א לההדרת כתביו

בשנות ה-90 של המאה ה-20 הוקם בבני ברק (ישראל) ובניו יורק (ארצות הברית) מכון הגר"א העולמי להדפסת ספריו וכתביו עם חידושים וביאורים בתורתו וכן ההדרת ספרי תלמידי הגר"א ובית מדרשם על ידי בני רבי ירוחם פישל פפר, האחים הרב נחמיה פפר והרב שמואל יעקב פפר.
לקריאה נוספת

אלעזר הורביץ (עורך), מוסד היסוד – תולדות ראשית היישוב בירושלים על ידי תלמידי הגר"א, הוצאת ועד כללי כנסת ישראל, מהדורה ראשונה: ה'תשי"ח; מהדורה שנייה מורחבת: ה'תש"ס
בצלאל לנדוי, הגאון החסיד מווילנה, ה'תשכ"ה
יוסף אביב"י, קבלת הגר"א, ה'תשנ"ג
עמנואל אטקס, יחיד בדורו: הגאון מווילנה – דמות ודימוי, ירושלים: הוצאת מרכז זלמן שזר לתולדות ישראל, ה'תשנ"ח
אריה מורגנשטרן, מיסטיקה ומשיחיות, מעליית הרמח"ל עד הגאון מווילנא, ה'תשנ"ט
דב אליאך, הגאון – חייו ומשנתו של הגר"א, א'-ג', הוצאת מכון "מורשת הישיבות", ה'תשס"ב – ספר זה הוחרם בציבור החסידי כיוון שכלל התקפות קשות נגד החסידות, אולם הוא מקובל בציבור הליטאי.
אסופת מחקרים, הגר"א ובית מדרשו, הוצאת אונברסיטת בר-אילן, ה'תשס"ג.
הרב יהודה לייב מיימון (עורך), ספר הגר"א, ירושלים: מוסד הרב קוק, תשי"ד.
אריה מורגנשטרן, השיבה לירושלים, חידוש היישוב היהודי בארץ-ישראל בראשית המאה ה-19, ה'תשס"ז
רפאל ב' שוח"ט, עולם נסתר בממדי הזמן – תורת הגאולה של הגר"א מווילנה, מקורותיה והשפעתה לדורות, הוצאת אוניברסיטת בר-אילן, מאי 2008
דוד קמינצקי, תורת הגר"א, מכון פרקי אליעזר, ירושלים: ה'תשע"ח
משה צוריאל, אוצרות הגר"א – לקט על דרכיו ותורתו של הגר"א
ישראל א' שפירא, 'אסכולות חלוקת בשאלת תורה ומדעים בבית מדרשו של הגר"א', בד"ד 13, הוצאת אוניברסיטת בר-אילן, 2003.
פונקציית זטא של רימן

גרף של פונקציית זטא עבור  s>1 ממשי
פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת הקרויה על שמו של המתמטיקאי ברנהרד רימן, ונודעת לה חשיבות רבה בתורת המספרים, בשל הקשר שלה להתפלגותם של המספרים הראשוניים. לפונקציה שימושים גם בפיזיקה, בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה. באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן, שהיא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה. הראשון שחקר את הפונקציה היה לאונרד אוילר במאה ה-18.
פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת המוגדרת עבור מספרים מרוכבים  s בעלי חלק ממשי גדול מ-1 על ידי  \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}. לטור דיריכלה זה קיימת המשכה אנליטית יחידה לכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט בנקודה  \,s=1. פונקציה זו היא הדוגמה המוכרת ביותר למשפחה של פונקציות הקרויות כולן פונקציות זטא.
ניתן לחשב באופן אנליטי את הערכים של פונקציית זטא בנקודות ממשיות שלמות זוגיות, באמצעות שוויון פרסבל.  \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}כאשר n מספר טבעי ו B_{2n} הוא המספר ברנולי ה 2n. מכאן מתקיים \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}} \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}=\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}
באפסים של פונקציה זו, שהם הערכים שהצבתם בפונקציה תיתן אפס, עוסקת השערת רימן: ההשערה קובעת שכל האפסים ה"לא טריויאליים", כלומר האפסים שאינם מהצורה  -2m כאשר  m טבעי, נמצאים על הישר  \Re (s)={\frac {1}{2}}. השערה זו היא אחת הבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה.
הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים נובע מנוסחת המכפלה של אוילר:  \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}, כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים.
המשכה אנליטית והמשוואה הפונקציונלית

כפי שהיא מוגדרת בדרך כלל, על ידי הסכום  \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}, הפונקציה מתכנסת רק לערכים מימין לישר  \Re (s)=1. כדי להגדיר את הפונקציה על כל המישור, יש לבצע המשכה אנליטית: נשים לב תחילה ש-

 \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\sum _{n=1}^{\infty }s\int _{n}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t^{s+1}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {[t]}{t^{s+1}}}\,\mathrm {d} t={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {t-[t]}{t^{s+1}}}\,\mathrm {d} t. 
האינטגרל בביטוי האחרון מתכנס מימין לישר  \Re (s)=0, ואפשר להשתמש בשוויון הזה כדי להגדיר את הפונקציה בתחום הרחב יותר.
אם מגדירים  \Lambda (s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\zeta (s), כאשר  \Gamma  היא פונקציית גמא, אז מתקיים השוויון  \Lambda (s)=\Lambda (1-s) לכל  s מרוכב שאינו שלם. משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר  \Re (s)=1/2, היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו, ושל פונקציות זטא בכלל. אפשר להוכיח אותה מן הזהות  \theta (i/t)=t^{1/2}\theta (it) שמקיימת פונקציית תטא  \theta (z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}z}. לפונקציית זטא של רימן יש גם גרסה סימטרית, שהיא פונקציית קסי של רימן, המוגדרת  \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s).
קורטוב של דבש (סרט)

| --- | --- |
כרזת הסרט קורטוב של דבש
כרזת הסרט קורטוב של דבש
 מבוסס על:  מחזה של שילה דלייני
 בימוי:  טוני ריצ'רדסון 
 הופק בידי:  טוני ריצ'רדסון 
 תסריט:  טוני ריצ'רדסון, שילה דלייני 
 עריכה:  אנטוני גיבס 
 שחקנים ראשיים:  ריטה טאשינגהם דורה בריאן רוברט סטיבנס מארי מלוין פול דנקואה
 מוזיקה:  ג'ון אדיסון 
 צילום:  וולטר לסלי 
 מדינה:  הממלכה המאוחדת 
 חברת הפקה:  Woodfall Film Productions 
 חברה מפיצה:  British Lion Films
 שיטת הפצה:  וידאו על פי דרישה, הוצאה ביתית, הפצה לאולמות הקולנוע, שידורים 
 הקרנת בכורה:  15 בספטמבר 1961
 משך הקרנה:  100 דק' 
 שפת הסרט:  אנגלית 
 סוגה:  סרט דרמה, סרט להט"בי 
 מקום התרחשות:  מנצ'סטר, בלקפול, סטוקפורט, סלפורד, אנגליה 
 תקציב:  £121,602
 פרסים:  מועצת ביקורת הקולנוע האמריקנית: עשרת הסרטים הטובים ביותר 
 דף הסרט ב־IMDb
 
קורטוב של דבש (באנגלית: A Taste of Honey) הוא סרט דרמה רומנטית בריטי משנת 1961 בבימויו והפקתו של טוני ריצ'רדסון עם ריטה טאשינגהם בתפקיד הראשי.
התסריט נכתב על ידי שילה דילייני (אנ') וטוני ריצ'רדסון הוא מבוסס על מחזה מוצלח בשם זה של דילייני שהועלה לראשונה ב-1958 בגיל 19. המחזה תורגם לשפות רבות והוצג ברחבי העולם כולל בישראל בתרגומה של תרצה אתר בשם "טעם הדבש".
הסרט היה ממייצגי הגל החדש הבריטי - סרטים ריאליסטים בשחור-לבן שכונו גם "סרטי כיור המטבח" וחשפו את הצד הפחות מושך של המעמד החברתי הנמוך בבריטניה.
השיר A Taste of Honey זכה לגרסת כיסוי של החיפושיות, הלחן הוא מההפקה של ההצגה בברודוויי ב-1960. השיר מופיע באלבום הראשון שלהם, Please Please Me משנת 1963.
צילומי החוץ נערכו בשכונות העוני של סלפורד במחוז מנצ'סטר, שם גדלה שילה דילייני. את הרקע "מקשטים" בתי חרושת עם ארובות רבות.
תקציר העלילה

ג'ו (ג'וזפין) (ריטה טאשינגהם) היא נערה בת 17 בבית ספר תיכון לבנות בסלפורד. היא גרה ביחד עם אמה הלן (דורה בריאן). הלן היא אלכוהוליסטית בשנות ה-40 לחייה, החיה על רווחי גברים שבדרך כלל צעירים ממנה ולעיתים שרה במועדונים. ביחד עם ג'ו היא בורחת מדירה לדירה כדי להתחמק מתשלום שכר הדירה.
לאחרונה היא יוצאת עם פיטר סמית' (רוברט סטיבנס) הצעיר ממנה ורוצה להתחתן איתה. הוא מתעב את ג'ו המפריעה לו בקשר עם אמה. ג'ו המרגישה דחוייה מסתובבת בנמל העיר ופוגשת בג'ים (פול דנקואה), צעיר שחור וסימפתי המתייחס אליה בהבנה ובחיבה. היחס ביניהם מתהדק והם מקיימים יחסים אך ג'ים שעובד כטבח על ספינה נאלץ להיפרד ממנה.
הלן מתחתנת עם פיטר וג'ו מוצאת עבודה כזבנית בחנות נעליים ושוכרת דירה. באחד הימים מגיע לחנות בחור בשם ג'פרי אינגהם (מארי מלוין) ומתפתחת ידידות בינו לבין ג'ו. הוא מגלה לה שהוא סטודנט לאמנות וכי בעלת הבית שלו גרשה אותו לאחר שגילתה שהוא הומוסקסואל.
ג'פרי מטפל בג'ו ההריונית, משפץ את הדירה ודואג לכל מחסורה. היא מרגישה שהיא טועמת דבש אך התקופה הזאת קצרה ונקטעת מהר. לאחר שפיטר זורק את הלן, היא חוזרת ומשתכנת בדירתם של ג'ו וג'פרי. היא שונאת את ג'פרי ומעליבה אותו והוא בוחר לעזוב את המקום. ג'ו נשארת עם הלן האלכוהוליסטית, היא הספיקה לטעום רק קורטוב של דבש.
פרסים

הסרט נבחר על ידי מכון הסרטים הבריטי בשנת 1999 במקום ה-56 ברשימת הסרטים הבריטיים הטובים ביותר.
ריטה טאשינגהם זכתה בפרס גלובוס הזהב לשחקנית חדשה מבטיחה ביותר. היא זכתה בפרס השחקנית הטובה ביותר בפסטיבל הקולנוע בקאן ביחד עם מארי מלוין שזבה בפרס השחקן הטוב ביותר.
הסרט זכה בארבע פרסי באפט"א:
שילה דילייני וטוני ריצ'רדסון - על התסריט הטוב ביותר
טוני ריצ'רדסון - על הסרט הטוב ביותר
דורה בריאן - השחקנית הטובה ביותר
ריטה טאשינגהם - השחקנית החדשה המבטיחה ביותר.
חטיפתם של בטי ובארני היל

סיפור חטיפתם של בטי ובארני היל הוא אירוע חטיפה נודע שהתרחש לכאורה בליל 19-20 בספטמבר 1961 באזור ההרים הלבנים(אנ') שבניו המפשייר כאשר במהלכו, לטענתם של בני הזוג האמריקנים בטי ובארני היל, הם נחטפו על ידי חוצנים בעת שנסעו במכוניתם.
סיפור החטיפה היה הסיפור הראשון מסוגו שהתפרסם בהרחבה באמצעי התקשורת בעולם. מקרה זה היה גם בין הראשונים מסוגו שבו נעשה שימוש בהיפנוזה על מנת לדלות פרטים נוספים לגביו. הסיפור עודנו מהווה אחד ממקרי החטיפה על ידי עב"ם (עצם בלתי מזוהה) המפורסמים ביותר בהיסטוריה של חקר העב"מים, וממשיך להיות שנוי במחלוקת.
המיקום במדינת ניו המפשייר שבו התבצעה לכאורה החטיפה
בשנת 1966 פורסם הספר "The Interrupted Journey", אותו כתב הסופר ג'ון פולר בשיתוף הפעולה עם בני הזוג היל וד"ר סיימון, אשר הפך במהרה לרב מכר. הספר כלל בין היתר עותק של סקיצת "מפת הכוכבים" אותה יצרה בטי. כמו כן, הופק גם בשנת 1975 סרט טלוויזיוני העוסק במקרה בשם "The UFO Incident" בו כיכבו אסטל פרסונס וג'יימס ארל ג'ונס.
באוניברסיטת ניו המפשייר, בה למדה בטי היל, קיים אוסף גדול של 87 תיקיות המכילות בין היתר כתבי יד וקלטות שמע עם העדויות של בטי ובארני היל, בנוסף לגזרי עיתונים, תמונות, שקופיות וסרטים הקשורים לאירוע. ביולי 2011, לרגל 50 שנה לאירוע החטיפה לכאורה של בטי ובארני היל, הציבה מדינת ניו המפשיר שלט היסטורי במקום שבו התקיים לכאורה המפגש בין בני הזוג היל לחוצנים.
רקע

בני הזוג היל התגוררו בעיירה פורטסמות' שבניו המפשייר. בארני עבד בסניף הדואר המקומי. בטי עבדה כעובדת סוציאלית. הזוג היו נוצרים יוניטריאלים וחברים באיגוד הלאומי לקידום אנשים צבעוניים (NAACP).
הזוג היל היה זוג מעורב, בתקופה שבה נחשב דבר זה לנדיר וחריג. בארני היה אפרו-אמריקאי ובטי - לבנה.
סיפורם של הזוג

סיפורם של הזוג מתחיל בליל 19 בספטמבר 1961 עת חזרתם מחופשה במונטריאול שבקנדה. בני הזוג נסעו דרומה ברכבם לעבר ביתם לאורך כביש מספר 3. בסביבות השעה 22:30 בהגיעם לאזור ההרים הלבנים שבניו המפשייר השניים טענו כי הם הבחינו לראשונה באור בהיר ומשונה שנע בשמיים. תחילה האמינו כי הם חוזים במטאור אך האור נע מעלה במקום מטה, ונעצר ליד הירח. בטי שחשבה כי מדובר בלוויין תקשורת, הפצירה בבארני לעצור את הרכב על מנת לחזות בעצם בצורה טובה יותר. בארני נענה לבקשתה, עצר את הרכב, ובטי מיד הוציאה משקפת ובעזרתה החלה לעקוב בדריכות אחרי האור המוזר, שהחל לשנות צבעים ולנוע לאורך הירח. בארני, שהאמין כי האור הוא מטוס רגיל, לא היה שותף לסקרנותה.
בני הזוג המשיכו בנסיעה לאורך הכביש השומם והמבודד כאשר להפתעתם האובייקט הבהיר החל להנמיך ולהתקרב לכיוונם. הזוג היל תיארו את תנועתו של האור כנע בהתאם לטופוגרפיית הארץ, עד אשר הגיע לפסגות של הר שם הם טענו כי הוא החל להנמיך באיטיות, ולפעמים אף נראה היה כאילו הוא נוחת. פעמים רבות, הם טענו, האור התקרב לעברם במהירות ואז נסוג.
בשלב מסוים האור התקרב לעבר מכוניתם של בני הזוג במהירות כה רבה עד שבארני נאלץ לעצור את הרכב באמצע הכביש. הוא יצא מהרכב כשהוא לוקח איתו את אקדחו האישי ואת המשקפת. האובייקט הבהיר החל בינתיים לרחף במרחק של כ-250 מטרים מהרכב ומילא את האזור באור בוהק. בארני התקרב לעבר האור על מנת לחוקרו, והבחין כי הוא נע בצורה הדומה למטוטלת. בעזרת המשקפת, הצליח בארני להבחין כי מדובר בכלי טיס בצורת דיסק בקוטר של כ-20 מטר, המוקף בטבעת אור, בעל שתי שורות של חלונות, אשר ריחף בגובה 80 עד 100 מטרים מעל לפני הקרקע. לטענתו של בארני הוא הבחין ב-8 עד 11 דמויות המסתכלות לעברו מתוך החלונות של כלי הטיס. ברגע מסוים כל הדמויות מלבד אחת פנו אל עבר מה שנראה כלוח מחוונים, ונראה היה כי בכוונתם לבצע פעולה חשובה כלשהי. הדמות היחידה שנשארה במקומה המשיכה להסתכל על בארני, ולטענתו שידרה לו בטלפתיה את המשפט "הישאר במקומך והמשך להסתכל". באותו הרגע, כנפיים החלו להיפרס מצדי העב"ם ומבנה מוזר, דמוי סולם, החל לצאת מגחונו. בעקבות כך בארני נכנס במהירות לרכב תוך שהוא צועק לבטי "הם עומדים לתפוס אותנו". בני הזוג המבוהלים ניסו להימלט מהמקום ברכבם. בארני ביקש שבטי תבדוק אם היא מבחינה בעב"ם, ובטי בתגובה הוציאה את ראשה מהחלון, הביטה מעלה ולא ראתה דבר מלבד אפלה.
בתוך זמן קצר, החל להישמע צפצוף אלקטרוני מוזר מחלקו האחורי של הרכב. הצפצוף היה כה חזק, לטענתם, עד כי הרכב רעד, וכאשר בטי נגעה בדלת היא הרגישה אותה רוטטת. הזוג סיפר כי הבחין בשלב זה במה שנראה כמו חבורה של אנשים, או לפחות דמויי אנוש, שהופיעו על הכביש עליו נסעו, ובו בעת החלו הזוג להרגיש בעקצוצים מוזרים שהחלו לעבור בגופם, ולאחר מכן מצאו עצמם בקהות חושים. בפעם הבאה שהזוג היל שמעו את הצפצופים המוזרים הם מצאו את עצמם כ-60 ק"מ ממקומם המקורי. השניים לא הצליחו לזכור כיצד הגיעו למקום או את הדרך שעברו. זמן קצר לאחר מכן הצפצופים נעלמו ולא חזרו עוד.