משפט קריין-סמוליאן
הוכחה

סימונים: נסמן ב- B_{r}^{*} את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב- B_{r} הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב- \mathbb {K}  את שדה הבסיס.
ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו  B_{r}^{*} הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם  0<s<r אז  A_{s}=A_{r}\cap B_{s}^{*}. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל-2'. באותו אופן ברור ש-(1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא  (2)\Rightarrow (1).
טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם  A+\phi ,\lambda A(\lambda >0,\phi \in X^{*}) מקיימות את (2).
הוכחה:
ניפוח: לכל  \lambda ,r>0 מתקיים ש- (\lambda A)_{r}=\lambda A_{r/\lambda }. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.
הזזה: נקבע  r>0,\phi \in X^{*}. תהי  \{\psi _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset (A+\phi )_{r} רשת המתכנסת w* לאיבר  \psi \in X^{*}. נראה ש- \psi \in (A+\phi )_{r}. מכיוון ש- B_{r}^{*} w* סגורה, מספיק להוכיח ש- \psi \in A+\phi . מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש- ||\psi _{\lambda }-\phi ||\leq ||\phi ||+||\psi _{\lambda }||\leq ||\phi ||+r לכן  \{\psi _{\lambda }-\phi \}_{\lambda \in \Lambda }\subset (A)_{r+||\phi ||} רשת המתכנסת ל- \psi -\phi . מההנחה נקבל ש- \psi -\phi \in A\Rightarrow \psi \in A+\phi  וסיימנו.
טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.
הוכחה:
תהי  \phi _{n}\to \phi ,\phi _{n}\in A. בפרט יש  r>0 כך ש- \phi _{n}\in A_{r}. מההנחה  \phi _{n}\to \phi  ולכן  \phi _{n}{\overset {\mathrm {w} }{\to }}\phi  ומההנחה  \phi \in A_{r}\subset A.
המשך הוכחת המשפט:
יהי  \phi \in X^{*}\setminus A רוצים למצוא סביבה חלשה  V של  \phi  כך ש- A\cap V=\emptyset . על ידי טענה 1 ניתן להניח ש- \phi =0. נשתמש בלמה הבאה:
למה: נניח ש- 0\not \in A אז יש סדרה  x_{n}\in X המקיימת:
1)  x_{n}\to 0
2) לכל  \phi \in A יש n כך ש- |\phi (x_{n})|>1.
הוכחת הלמה:
בהינתן קבוצה  M\subset X נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת  P(M)=\{\phi \in X^{*}:|\phi (x)|\leq 1\forall x\in M\}. כיוון ש-A סגורה בנורמה, יש  \rho >0 כך שלכל x ב-A,  ||x||\geq \rho . על ידי ניפוח ניתן להניח ש- \rho >1 ולכן  A_{1}=\emptyset . נקבע  F_{0}=\{0\} ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות  F_{n}\subset X המקיימות לכל  n\geq 1:
א.  F_{n}\subset B_{1/n}.
ב.  A_{n}\cap (\cap _{i=0}^{n-1}P(F_{i}))=\emptyset .
כיוון ש- A_{1}=\emptyset , רואים ש- F_{0} מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו  \{F_{i}\}_{i=0}^{N-1} נמצא את  F_{N}. נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה  K=A_{N+1}\cap (\cap _{i=0}^{N-1}P(F_{i}))\subset B_{N+1}^{*} היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית  G\subset B_{1/N} מתקיים  K\cap P(G)\not =\emptyset . מקומפקטיות נקבל ש- \cap _{G\subset B_{1/N},|G|<\infty }(K\cap P(G))\not =\emptyset . יהי  \phi  בחיתוך הנ"ל. אז  \phi \in K. כמו כן לכל  x\in X,||x||<1/N מתקיים ש- |\phi (x)|\leq 1. מכך נקבל ש- ||\phi ||\leq N ואז  \phi \in K\cap B_{N}^{*}=A_{N}\cap (\cap _{i=0}^{N-1}P(F_{i})) בסתירה להנחה שבחרנו על  \{F_{i}\}_{i=0}^{N-1}. לכן אפשר להמשיך את הבנייה.
כיוון ש- \{F_{i}\}_{i=0}^{\infty } סופיות אז  \cup _{i=0}^{\infty }F_{i} בן מנייה ויהי  \{x_{n}\} מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי  \phi \in A. נקבע  N כך  ||\phi ||\leq N+1. מתנאי ב נקבל שיש  j\leq N כך ש- \phi \not \in P(F_{j}) ולכן יש  x_{n}\in F_{j} כך ש- |\phi (x_{n})|>1 וקיבלנו את (2).
הוכחת המשפט: נקבע סדרה  x_{n}\in X כמו בלמה. מ-(1) יש  r>0 כך שמתקיים  ||x_{n}||\leq r. נתבונן באופרטור  T:X^{*}\to \mathbb {K} ^{\mathbb {N} },T(\phi )=\{\phi (x_{n})\}_{n=1}^{\infty }. ברור ש-T ליניארי ומ-(1) נקבל כי  Range(T)\subset c_{0}. כמו כן ברור ש-T רציף כיוון ש- ||T(\phi )_{n}||=||\phi (x_{n})||\leq ||\phi ||||x_{n}||\leq ||\phi ||r. מקמירות A נקבל ש- T(A) קמורה. תהי  B=\{b\in c_{0}:||b||_{\infty }<1\}. אז B סגורה ומ-(2) נקבל ש- T(A)\cap B=\emptyset . ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל  \eta \in (c_{0})^{*} וכן  \alpha \in \mathbb {R}  כך ש- \Re (\eta (a))\geq \alpha >\Re (\eta (b)),\forall a\in T(A),b\in B. אם נציב b=0 נקבל ש- \alpha >0. כיוון ש- (c_{0})^{*}\cong l_{1} נקבל שיש סדרה  t=(t_{n})\in l_{1} כך ש- \eta (y)=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}y_{i}. מתקיים  ||t_{n}x_{n}||=|t_{n}|||x_{n}||\leq |t_{n}|r\Rightarrow \sum _{i=1}^{\infty }||t_{n}x_{n}||\leq r\sum _{i=1}^{\infty }|t_{n}|<\infty  וכיוון ש-X מרחב בנך מקבלים שיש  x=\sum _{i=1}^{\infty }t_{n}x_{n}. לכל  \phi \in X^{*} מתקיים:  \eta (T(\phi ))=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}T(\phi )_{n}=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\phi (x_{n})=\phi (x). לכן נקבל עבור  \phi \in Aש  \Re (\phi (x))\geq \alpha . לכן אם נבחר את הסביבה  V=\{\phi \in X^{*}|\Re (\phi )<\alpha \} אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.