היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי
לייבניץ וניוטון

ניוטון פיתח את התאוריה שלו בין חורף 1664 לאוקטובר 1666, והפקיד סיכום של עבודתו בידי ג'ון קולינס, יועצו של מזכיר החברה המלכותית הבריטית. לייבניץ החל לעבוד בנושא ב-1673. ניוטון פרסם מעט מאוד משיטותיו בתחום זה עד 1693, ולא סיפק הסבר מלא עד 1704. מאוחר יותר טען ניוטון כי התעכב בפרסום רשימותיו מחשש שילעגו לו. לייבניץ, לעומת זאת, פרסם הסבר מלא של השיטות שלו כבר ב-1684. הרשימות של לייבניץ היו מפורטות ביותר לגבי הפיתוחים שלו לעומת רשימותיו של ניוטון שהציגו פיתוחים סופיים בלבד.
הסימון של ניוטון לנגזרת היה "סימון הנקודה של ניוטון" ואילו לייבניץ הסתמך על "סימון דיפרנציאלי" והאחרון הוא שאומץ בקרב מתמטיקאים רבים יותר. לפי סימונים אלה  {\dot {f}}(t)={\frac {df}{dt}} כאשר אגף ימין הוא הסימון של לייבניץ לנגזרת ואילו אגף שמאל הוא הסימון של ניוטון. אף הסימונים האחרים של לייבניץ בחשבון האינפיניטסימלי נחשבו למקובלים יותר מאשר אלו של ניוטון. בסימוניו של לייבניץ: סימן האינטגרל, המסמל S לטינית מוארכת, מהמילה "סומא" (summa), וה-d המשמשת לדיפרנציאל מהמילה הלטינית "דיפרנטייה" (differentia).
ב-1699 החלו ניוטון ולייבניץ בעימות ארוך שנים לגבי זכות הראשונים על המצאת החדו"א. כל אחד מן השניים טען שהוא זה שגילה את החדו"א והאחר העתיק ממנו, ומכיוון שהאנגלים תמכו בניוטון ואילו המתמטיקאים בשאר מדינות אירופה תמכו בלייבניץ, נוצרה הפרדה בין הפעילות המתמטית באנגליה לזו של שאר אירופה (כתוצאה מכך התעכבה ההתפתחות של החשבון האינפיניטסימלי בממלכה המאוחדת, ורק בתחילת המאה ה-19 אימצו הבריטים את מערכת המושגים והסימונים האירופית).  ניוטון אף גייס את החברה המלכותית, שהוא היה מזכירה, וב-1712 פורסם מסמך מטעמה שטען כי זכויות הגילוי הן של ניוטון וכי לייבניץ הוא רמאי. אמינותו של המסמך הוטלה בספק כאשר התברר מאוחר יותר כי ניוטון עצמו הוא שכתב חלקים ממנו. העימות וההפרדה שנוצרה השפיעו לרעה על התפתחות המתמטיקה באירופה במשך מאה שלמה. חלפו למעלה מ-200 שנה עד שהמצב התברר לאשורו וכיום ניתן הקרדיט על המצאת החדו"א הן לניוטון והן ללייבניץ, והמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי נקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ.
לייבניץ וניוטון ביססו את החדו"א על מושג האינפיניטסימל שהוא מספר "קטן באופן אינסופי", ובאופן יותר מדויק, מספר אינפיניטסימלי הוא מספר שקטן בערכו המוחלט מכל מספר ממשי חיובי. במערכת המספרים הממשיים, האינפיניטסימל היחיד הוא אפס, אך במערכות מספרים אחרות קיימים אינפיניטסימלים רבים. טענה טיפוסית עשויה להתנהל כך:
כדי למצוא את הנגזרת  \ f'(x) של הפונקציה  \ f(x)=x^{2}, יהי  \ dx אינפיניטסימל שאיננו 0. לכן,
{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}\\&={\frac {x^{2}+2x\cdot \mathrm {d} x+\mathrm {d} x^{2}-x^{2}}{\mathrm {d} x}}\\&={\frac {2x\cdot \mathrm {d} x+\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} x}}\\&=2x+\mathrm {d} x\\&=2x\end{aligned}}
כיוון ש- \ dx קטן לאין שיעור. בשפה מודרנית ניתן לומר שהזנחת המספר האינפיניטסימלי בסוף החישוב נובעת מהגדרת הנגזרת כחלק הסטנדרטי של השיפוע שחושב לעיל.
השימוש באינפיניטסימלים הותקף ונטען נגדו שהוא שגוי  על ידי הבישוף ג'ורג' ברקלי בחיבורו "האנליסט". הבעיה הבסיסית, לפי ברקלי, היא שבהתחלה מתייחסים ל- \ dx כמספר שונה מאפס ומחלקים בו, אבל מאוחר יותר מתעלמים ממנו כאילו הוא היה אפס. גם דייוויד יום תקף את היסודות הלוגיים של החשבון האינפיניסטימלי.
ניוטון נעזר בחדו"א כדי לפתור מגוון רחב של בעיות: מציאת שטחים, שיפועי משיקים, אורך של עקומות ומינימום ומקסימום של פונקציה. הוא הפנה את החשבון האינפיניטסימלי לפתרון בעיות פיזיקליות של כמויות משתנות והגיע למגוון תוצאות. הוא ביצע עבודה חלוצית בתחום הטורים אינסופיים כשמצא טורים אינסופיים לביטוי פונקציות שונות ואת שיטת הקירוב של טורים אינסופיים, והוא אף התקרב מאוד למושג הגבול. ניוטון הציג לראשונה את משפט הבינום המוכלל (אשר נקרא על שמו - הבינום של ניוטון), המתאר את טור טיילור של הפונקציה  \ (1+x)^{\alpha } גם כאשר  \ \alpha  אינו שלם. הוא ביצע קירוב של סכומים חלקיים של הסדרה ההרמונית באמצעות לוגריתמים (בכך הקדים את נוסחת הסכום של אוילר) ותרם רבות לתחום של טורי חזקות. כמו כן גילה נוסחה חדשה לחישוב π.