stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משפט דיריכלה
ההוכחות למשפט > קרקטר דיריכלה

מכפלת אוילר נותנת מידע על התפלגות כל הראשוניים, בעוד שעבור משפט דיריכלה יש צורך במידע על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית. לא ניתן להתאים את מכפלת אוילר באופן ישיר כדי שהיא תערב רק מספרים בתת-קבוצה מסוימת, אולם לעיתים ניתן להתאים את מכפלת אוילר כדי שהיא תערב את כל המספרים עם משקלים מסוימים. עבור פונקציה חסומה  a:\mathbb {N} \to \mathbb {C}  אפשר להגדיר גרסה ממושקלת של פונקציית זטא של רימן באופן הבא:
 .L(s,a):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}
טור כזה נקרא באופן כללי טור דיריכלה. עבור בחירות מסוימות של  a יהיו לפונקציה זו חלק מהתכונות הטובות של פונקציית זטא של רימן, לרבות מכפלת אוילר. מקרה אחד כזה הוא כאשר הפונקציה  a היא קרקטר דיריכלה.
לטורי דיריכלה עם פונקציית משקל שהיא קרקטר דיריכלה קוראים פונקציות  L של דיריכלה. עבור פונקציות אלה מתקימת נוסחת המכפלה של אוילר:
 L(s,\chi )=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}
כיוון שקרקטר דיריכלה הוא פונקציה מחזורית (תנאי 1) ניתן לראות בו פונקציה על החוג הסופי  \mathbb {Z} |_{m}:=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} . כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא הפיכים בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על חבורת האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זו נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב- \mathbb {Z} |_{m}^{\times }. מנקדת מבט זו קרקטר דיריכלה הוא קרקטר כפלי של החבורה  \mathbb {Z} |_{m}^{\times }. קרי הומומורפיזם מחבורה זו לחבורה  \mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\}. אוסף כל הקרקטרים של חבורה  G נקרא החבורה הדואלית של  G ומסומן ב- {\widehat {G}}. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה  m מסומן ב- {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}}.
ההוכחות למשפט > התמרת פורייה דיסקרטית כפלית

אנו מעוניינים בראשוניים בסדרה החשבונית  a+m\mathbb {N} . באופן עקרוני ניתן לבודד ראשוניים אלה על ידי שימוש בפונקציית משקל שתהיה הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית. אולם פונקציה זו איננה קרקטר, ולכן מכפלת אוילר לא תקפה עבורה. דיריכלה התמודד עם קושי זה בכך שהוא הציג את הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית בתור צירוף ליניארי של קרקטרים. באופן ספציפי, הוא הוכיח את הטענה הבאה:
טענה זו היא מקרה פרטי של התמרת פורייה על חבורות אבליות סופיות:
למשפט זה יש הכללה לחבורת אבליות טופולוגיות קומפקטיות מקומית ואף לחבורת לא אבליות.
ניתן להוכיח את המשפט על ידי ליכסון משותף של אופרטורים ממרחב הפונקציות  \{f:G\to \mathbb {C} \} לעצמו המתקבלים מהזזה באיברי  G. אך יש למשפט גם הוכחות אלמנטריות יותר. שלא משתמשות באלגברה ליניארית. למשל הוא נובע בקלות יחסית מהלמה הבאה:
עובדה זו (הנכונה בנוסח המוכלל  \sum _{\chi \in {\hat {G}}}\dim(\chi )\chi (x)=0 לכל חבורה סופית) נובעת מ"יחס שור השני" על טבלת הקרקטרים. ניתן להסיק אותה גם מן הלמה הבאה:
למה זו נובעת בקלות ממשפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית המראה ש-x שייך למחובר ישר ציקלי; אך ניתן גם להוכיח אותה ישירות על ידי הרחבה הדרגתית של קרקטר מתת-חבורה לכל החבורה. כמו כן, במקרה שרלוונטי למשפט דיריכלה  G=\mathbb {Z} |_{m}^{\times } ניתן גם להוכיח אותה באמצעות ניתוח המבנה של החבורה  \mathbb {Z} |_{m}^{\times } המבוסס על משפט השאריות הסיני.
ההוכחות למשפט > רדוקציה להתכנסות ואי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה

עבור פונקציה חסומה  f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}  נסמן  P(s,f)=\sum _{p}{\frac {f(p)}{p^{s}}}
משפט דיריכלה נובע מהטענה הבאה:
 .P(1,\Phi _{a,m})=\infty 
כאשר  \Phi _{a,m} היא הפונקציה המציינת שהוגדרה למעלה.
מאידך  .P(s,\Phi _{a,m})={\frac {1}{\varphi (m)}}\sum _{\chi \in {\hat {\mathbb {Z} }}|_{m}^{\times }}{\overline {\chi (a)}}P(s,\chi )
באופן דומה להסבר למעלה, מכאן, ניתן להסיק ש:
 .P(s,\Phi _{a,m})={\frac {1}{\varphi (m)}}\sum _{\chi \in {\hat {\mathbb {Z} }}|_{m}^{\times }}{\overline {\chi (a)}}\ln(L(s,\chi ))+g(s)
כאשר  g(s) היא פונקציה חסומה בקרן  (1,\infty ).
אם  \chi  הוא הקרקטר הטריוויאלי אז  L(s,\chi ) דומה מאוד לפונקציית זטא של רימן, ובפרט  L(1,\chi )=\infty . לכן  \ln(L(1,\chi ))=\infty . כך שכדי להוכיח ש  P(1,\Phi _{a,m})=\infty  די להוכיח ש  \ln(L(s,\chi )) חסום בסביבת  s=1 עבור  \chi  לא טריוויאלי. במילים אחרות, די להוכיח ש:  L(1,\chi )\neq 0,\infty
הערה: לשוויונים למעלה יש משמעות ריגורוזית רק כאשר  s>1. כמו כן, פונקציית הלוגריתם איננה מוגדרת ביחידות, כך שהטיעון שהוצג איננו ריגורוזי. ניתן לקבל טיעון ריגורוזי בהתבסס על הלמה הפשוטה הבאה:
ההוכחות למשפט > התכנסות של פונקציית L של דיריכלה

נקבע קרקטר לא טריוויאלי  \chi  בעל מחזור  m.
ההתכנסות (בתנאי) של הטור  L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n}}=\lim _{s\to 1}L(s,\chi ). היא טענה פשוטה למדי. היא נובעת בקלות ממבחן דיריכלה להתכנסות טורים ומהלמה הפשוטה הבאה:
למעשה קל להסיק מלמה זו גם חסם יעיל על קצב ההתכנסות של הטור.
לפיכך, כדי להוכיח את המשפט דיריכלה, די להוכיח את המשפט הבא:
משפט זה לא פשוט כלל, ולמעשה מהווה את עיקר הקושי בהוכחת משפט דיריכלה, אולם, יש הבדל עקרוני משמעותי בינו לבין משפט דיריכלה:
בעוד שגם עבור סידרה חשבונית נתונה, משפט דיריכלה אינו טריוויאלי כלל, משפט זה קל לבדיקה לכל קרקטר דיריכלה נתון: כדי להוכיח את המשפט לקרקטר נותון די לחשב את הסכום החלקי  \sum _{n=1}^{N}{\frac {\chi (n)}{n}} עד ל  N גדול מספיק כך שהערכה לשגיאה בחישוב הטור תהיה קטנה מערך הסכום החלקי. אומנם בהיעדר חסם מלרע לערך של פונקציית  L ב-1, אין דרך לדעת כמה זמן יערוך חישוב כזה, אך (בהנחה שהמשפט מתקיים; מה שאנו יודעים בדיעבד) החישוב בהכרח יוכיח אותו בזמן סופי עבור הקרקטר הנתון.
כיוון שיש מספר סופי של קרקטרי דיריכלה עם מנחה (conductor) נתון, טיעון זה מאפשר להוכיח את משפט דיריכלה עבור כל סידרה חשבונית נתונה באמצעות חישוב סופי. במחשב מודרני, קל לבצע את החישוב עד ערכי  m גדולים למדי (אלפים). גם באמצעות חישוב ידני אפשר להוכיח את המשפט לערכי  m שעבורם הוא לא היה ידוע בטרם דיריכלה פיתח שיטה זו.
מההתכנסות של  L(1,\chi ) יחד עם הנוסחה למעלה, קל להסיק שההתבדרות של  P(1,\Phi _{1,m}) גוררת את ההתבדרות של  P(1,\Phi _{a,m}) לכל  a זר ל-  m. במילים אחרות מקבלים רדוקציה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה למקרה בו  a=1. עם זאת רדוקציה זו לא תקפה לגרסה הרגילה של משפט דיריכלה. כך שההוכחה האלגברית שהוסברה למעלה למשפט דיריכלה למקרה  a=1 איננה מספיקה כדי לסיים את ההוכחה. אולם ניתן להתאים את ההוכחה הזאת לכדי הוכחה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה ובכך לסיים את ההוכחה. ראו פרוט למטה.
ההוכחות למשפט > המקרה הלא ממשי

דיריכלה מצא טיעון פשוט ואלגנטי להוכיח ש  L(1,\chi )\neq 0 כאשר לא כל ערכי  \chi  ממשיים. לא כל ההוכחות למשפט דיריכלה משתמשות בטיעון זה. זאת כיוון שאת רוב ההוכחות לאי־התאפסות  L(1,\chi ) במקרה שערכי  \chi  ממשיים ניתן להתאים גם למקרה הכללי. עם זאת, התאמות אלה בדרך כלל מכבידות על ההוכחה. לכן, הרבה מקורות מציגים את הטיעון של דיריכלה למקרה הלא ממשי בנפרד, ובכך מפשטים את שאר ההוכחה. כך גם נראתה ההוכחה המקורית של דיריכלה.
אפשר לראות בטיעון זה של דיריכלה כטעון דיכוטומיה: או ש L(1,\chi ) לא מתאפס, או שהוא מתאפס באופן מובהק מספיק שיגרור מסקנות לא הגיונית על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית שיובילו לסתירה. באופן פורמלי יותר, הטיעון מבוסס על הלמה הבאה:
הרעיון בהוכחת הלמה מבוסס על ניתוח צפיפות דיריכלה של הראשוניים בסדרה החשבונית  1+m\mathbb {N} : כאמור למעלה צפיפות זו נתונה על ידי הנוסחה
 P(s,\Phi _{1,m})={\frac {1}{\varphi (m)}}\sum _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}}}\ln(L(s,\chi ))+g(s).
כאשר  g(s) היא פונקציה חסומה בקרן  (1,\infty ).
נסמן ב  \chi _{0}\in {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}} את הקרקטר הטריוויאלי.
באופן לא ריגורוזי, אם מניחים בשלילה ש- L(1,\chi _{1})=L(1,\chi _{2})=0 ומציבים  s=1 לנוסחה מקבלים:
 {\begin{aligned}P(1,\Phi _{1,m})=&{\frac {1}{\varphi (m)}}\left(\ln L(1,\chi _{0})+\ln L(1,\chi _{1})+\ln L(1,\chi _{2})+\sum _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}};\chi \neq \chi _{0},\chi _{1},\chi _{2}}\ln(L(s,\chi ))\right)+g(s)\\=&{\frac {1}{\varphi (m)}}\left(\infty -\infty -\infty +\sum _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}};\chi \neq \chi _{0},\chi _{1},\chi _{2}}\ln(L(s,\chi ))\right)+g(s)=-\infty .\end{aligned}}
מה שלא ייתכן כי  P(1,\Phi _{1,m})\geq 0.
אמנם אין כל משמעות ריגורוזית לחיבור וחיסור של ערכים אינסופיים, אבל ניתן להפוך טיעון זה לריגורוזי:
מלמה זו קל להסיק אי־התאפסות של פונקציית  L לקרקטר לא ממשי:
מטענה זו ומהנוסחה למעלה קל להסיק את משפט דיריכלה (בגרסה הכמותית) עבור  a שאינו ריבוע מודולו אף מחלק גדול מ-2 של  m.
כמו כן, בשיטה דומה, אפשר לקבל רדוקציה של משפט דיריכלה לטענה הבאה:

 P(1,\Phi _{sq,m})=\infty 
כאשר  \Phi _{sq,m} היא הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים שהם ריבוע מודולו  m.
מהלמה למעלה קל גם להסיק את הטענה הבאה:
קיים  m_{0} כך שמשפט דיריכלה נכון לכל  m שאינו מחלק את  m_{0}. כמו כן, על ידי חישוב של מספר סופי של פונקצוית L, ניתן לחסום מלרע את הערך של  m_{0} על ידי חסם גבוהה כרצוננו.
ההוכחות למשפט > רדוקציה להתבדרות פונקציית זטא של דדקינד

נקבע קרקטר דיריכלה ממשי  \chi . נגדיר
 \zeta _{\chi }(s):=L(s,\chi )\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{(1-p^{-s})(1-\chi (p)p^{-s})}}=\prod _{p;\,\chi (p)=1}{\frac {1}{(1-p^{-s})^{2}}}\prod _{p;\,\chi (p)\neq 1}{\frac {1}{(1-p^{-2s})}}
על ידי פתיחת סוגריים קל להראות כי זהו טור דיריכלה עם מקדמים חיוביים. למעשה (עד כדי מודיפיקציה קלה) זוהי פונקציית זטא של דדקינד עבור הרחבה ריבועית מסוימת של שדה המספרים הרציונליים.
השלב הבא ברוב ההוכחות של משפט דיריכלה הוא להראות שהתבדרות של טור זה ב -  s=1 גוררת ש -  L(1,\chi )\neq 0. באופן אינטואיטיבי אפשר להסביר זאת בכך שאם  \zeta _{\chi }(1)=\infty  אז
 L(1,\chi )={\frac {\zeta _{\chi }(1)}{\zeta (1)}}={\frac {\infty }{\infty }}\neq 0.
קל להפוך טיעון זה לריגורוזי, באופן דומה להוכחת הלמה למעלה
קל לראות ש:
 \prod _{p;\,\chi (p)\neq 1}{\frac {1}{(1-p^{-2s})}}
מתכנס כש  s=1 לכן התבדרות  \zeta _{\chi }(1) שקולה למעשה להתבדרות
 \prod _{p;\,\chi (p)=1}{\frac {1}{(1-p^{-1})^{2}}}
השקולה להתבדרות
 \prod _{p;\,\chi (p)=1}{\frac {1}{(1-p^{-1})}}
זו בתורה שקולה להתבדרות הטור
 \sum _{p;\,\chi (p)=1}{\frac {1}{p}}
ההתבדרות האחרונה היא למעשה מקרה פרטי של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה. ואכן למקרה זה יש הוכחות אלגבריות כמעט לחלוטין שלא עושות שימוש בכל הארגומנטים לעליל, כך שאפשר לראות בכל ההוכחה עד כאן בתור רדוקציה למקרה זה. אולם יש גם הוכחות אנליטיות למקרה זה אשר משתמשות בטיעונים לעליל וספציפית בפירוק
 \zeta _{\chi }(s)=L(s,\chi )\zeta (s)
שאותו לא ניתן לראות סתם מחקר של קבוצת הראשוניים המקיימים  \chi (p)=1.
ההוכחות למשפט > רדוקציה להתבדרות פונקציית זטא של דדקינד > המקרה של קרקטר לא ממשי

אומנם הראינו איך ניתן לטפל במקרה של קרקטר לא ממשי למעלה, אבל ניתן לטפל גם בו באמצעות פונקציית זטא של דדקינד מתאימה. זוהי הפונקציה
 \zeta _{m}(s):=\prod _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}}}L(s,\chi ).
והיא למעשה פונקציית זטא של דדקינד עבור השדה הציקלוטומי  \mathbb {Q} ({\sqrt[{d}]{1}}) (עד כדי מודיפיקציה קלה).
גם במקרה זה קל להראות שהתבדרות פונקציה זו ב  s=1 גוררת  L(1,\chi )\neq 0 עבור כל  \chi \in {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}} ושקול להתבדרות הטור
 \sum _{p;\,p=1\mod m}{\frac {1}{p}}. גם במקרה זה, ניתן להוכיח זאת הן בגישה אלגברית והן בגישה אנליטית, אך הוכחות אלה מסובכות יתר מההוכחות למקרה הממשי.
ההוכחות למשפט > הוכחות אנליטיות

ההוכחות האנליתיות מתבססות על תופעת הדיכוטומיה הבאה: אם  L(1,\chi )=0 אז לא רק שטור הדיריכלה  \zeta _{\chi }(s) מתכנס ב  s=1 אלא הוא גם מתכנס עבור כל  s חיובי. זה מוביל לסתירה מכיוון שקל לראות שהטור  \zeta _{\chi }\left({\frac {1}{2}}\right) מתבדר.
באופן מפורט יותר, תחילה כותבים את הפונקציה  \zeta _{\chi }(s) כטור דיריכלה:  \zeta _{\chi }(s)=\sum c_{n}n^{-s} ומוכיחים את הלמה הפשוטה הבאה:
מכאן יש 2 גישות:
הוכחה המשתמשת באנליזה מרוכבת (ספציפית בלמה של לנדאו)
הוכחה אלמנטרית, אך קשה יותר טכנית
ההוכחות למשפט > הוכחות אנליטיות > הוכחה המשתמשת באנליזה מרוכבת

תחילה מוכיחים (באמצעות מבחן דיריכלה) שהטור  L(s,\chi ) מתכנס (בתנאי) כאשר  \Re (s)>0. לאחר מכן שמים לב כי עבור  \Re (s)>1 מתקיים:
 \zeta (s)=\zeta (s)-\int _{1}^{\infty }t^{-s}dt+\int _{1}^{\infty }t^{-s}dt=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-\int _{n}^{n+1}t^{-s}dt\right)+{\frac {1}{s-1}}
מכאן מסיקים כי אם  L(1,\chi )=0 אז למכפלה  \zeta _{\chi }(s):=\zeta (s)L(s,\chi ) יש המשכה אנליטית לחצי המישור  \Re (s)>0. לכן מכיוון שמקדמי הטור  \zeta _{\chi }(s) הם חיוביים, הלמה של לנדאו גוררת שטור זה מתכנס כאשר  \Re (s)>0. זה מוביל לסתירה כי:
 \zeta _{\chi }(1/2)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-{\frac {1}{2}}}\geq \sum _{k=1}^{\infty }c_{k^{2}}(k^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\geq \sum _{k=1}^{\infty }k^{-1}=\infty 
הוכחה זאת היא אחת מהוכחותיו של לנדאו.
ההוכחות למשפט > הוכחות אנליטיות > הוכחה אלמנטרית

ההוכחה האלמנטרית מתבססת על שיערוך הטור
 \sum _{n=1}^{x}c_{n}n^{-1/2},
כאשר  x גדול.
ראשית מקבלים חסם מלרע:
 \sum _{n=1}^{x}c_{n}n^{-1/2}\geq \sum _{n=1}^{\sqrt {x}}n^{-1}={\frac {\ln(x)}{2}}+O(1)
לאחר מכן משתמשים בפירוק
 \sum _{n=1}^{x}c_{n}n^{-1/2}=\sum _{kl<x}k^{-1/2}\chi (l)l^{-1/2} המבוסס על הפירוק
 \zeta _{\chi }(s)=\zeta (s)L(s,\chi )
ובשיטת ההיפרבולה של דיריכלה כדי לקבל שיערוך אסימפטוטי של הסכום
 .\sum _{n=1}^{x}c_{n}n^{-1/2} לשם כך יש לקבל את השיערוכים האסימפטוטיים הבאים:
 \sum _{n=1}^{x}\chi (n)n^{-1}=L(1,\chi )+O(1/x)
 \sum _{n=a}^{b}\chi (n)n^{-s}=O(a^{-s})
 \sum _{n=1}^{x}n^{-1/2}=2{\sqrt {x}}+\alpha +O\left({\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)
כאשר  \alpha  קבוע מתאים.
כל אלה נותנים את השיערוך
 \sum _{n=1}^{x}c_{n}n^{-1/2}=2{\sqrt {x}}L(1,\chi )+O(1)
כך שאם  L(1,\chi )=0 זה מוביל לסתירה עם החסם מלרע.
הוכחה זאת היא אחת מהוכחותיו של מרטנס.
ההוכחות למשפט > הוכחות אנליטיות > המקרה הלא ממשי

קל למדי להתאים את ההוכחה שמשתמשת באנליזה מרוכבת לכל קרקטר  \chi . ההוכחה האלמנטרית נהיית מסורבלת בהרבה אם מנסים להתאימה לקרקטר כללי, כך שהדבר לא נעשה מכיוון שהוא מיותר.
ההוכחות למשפט > הוכחות אלגבריות

כאמור, אין הוכחות אלגבריות לחלוטין למשפט דיריכלה. אולם ישנן הוכחות הדומות באופיין להוכחות האלגבריות למעלה להתבדרות  \zeta _{\chi }(1), או באופן שקול לעובדה שיש הרבה ראשוניים המקיימים  \chi (p)=1. היתרונות בהוכחות האלגבריות הוא שהן מפורשות יותר ונותנות נוסחה מפורשת לערך  L(1,\chi ) כאשר  \chi  הוא קרקטר ממשי. נוסחה זו נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.
ההוכחות למשפט > הוכחות אלגבריות > גישה אלמנטרית

הרעיון הוא למצוא פולינום כך שחלק ניכר מהמחלקים הראשוניים של ערכיו (בנקודות שלמות) יקיימו  \chi (p)=1. אולם הפעם לא די בכך, מכיוון שאנו צריכים שלפולינום יהיו די ערכים כדי לגרור את התבדרות הטור המתאים. לכן זה צריך להיות פולינום במספר משתנים, מכיוון שקבוצת הערכים של פולינום לא ליניארי ממשתנה אחד דלילה מידי.
מתברר שהפולינום המתאים הוא  f(k,l)=k^{2}+dl^{2} כאשר  d מספר שלם מסוים התלוי ב- \chi  (עד כדי כפל בסימן וב-2 זה המנחה של  \chi ). הנקודה המרכזית בחלק זה של ההוכחה היא הלמה הבאה:
למה זו איננה פשוטה כלל, והוכחתה משתמשת בהדדיות ריבועית. עם זאת ניתן להוכיח אותה בצורה אלמנטרית ואלגברית לחלוטין.
כדי להשלים את ההוכחה, די להראות כי יש אחוז חיובי של מספרים מהצורה  k^{2}+dl^{2} עד גודל  N מסוים. אינטואיטיבית הדבר די ברור. הרי אם  k,l הם בטווח  [-x,x] אז מספר האפשרוית ל  k^{2}+dl^{2} הוא כ- 4x^{2} והם כולם קטנים (בערכם המוחלט) מ-  O(x^{2}). אולם מכיוון שהפולינום  f איננו פונקציה חח"ע זו אינה הוכחה. כדי לקבל הוכחה יש לחסום את מספר הזוגות השונים שנותנים את אותו הערך בהצבה ל- f. בפרט יש להבין את פתרונות המשוואה
 .k^{2}+dl^{2}=1
כאשר  d חיובי זו משימה קלה מאוד. כאשר  d שלילי, משוואה זו נקראת משוואת פל וניתוחה מצריך עבודה מסוימת.
ניתן להביא טיעון זה לידי הוכחה ריגורוזית, אך הדבר קשה מבחינה טכנית. הוכחתו המקורית של דיריכלה הייתה לאורך קווים אלו. דדקינד פיתח שיטה אלגנטית ופשוטה להציג טיעון זה באמצעות כלים מתקדמים יותר מתורת המספרים האלגברית.
ההוכחות למשפט > הוכחות אלגבריות > המקרה הלא ממשי

ניתן להתאים את ההוכחות האלגבריות למקרה הלא ממשי. את מקומה של ההרחבה הריבועית  k, תתפוס ההרחבה הציקלוטומית  \mathbb {Q} \langle {\sqrt[{m}]{1}}\rangle . פונקציית זטא של דדקינד של הרחבה זו נותנת (לאחר מודיפיקציה קלה) את הפונקציה  \zeta _{m}(s) שהוגדרה מעלה, שהיא מכפלת כל פונקציות ה- L של דיריכלה עם קרקטרים בעלי מנחה  m. טענה זו נובעת מפריקות יחידה לאידיאלים ראשוניים בחוג דדקינד, בדומה לטענות למעלה. במובן מסוים טענה זו פשוטה יותר מכיוון שאיננה משתמשת בהדדיות ריבועית. דבר זה אינו מפתיע, מכיוון שאחת ההוכחות של ההדדיות הריבועית משתמשת בסכום גאוס המראה שניתן לשכן כל הרחבה ריבועית בהרחבה ציקלוטומית, כך שאם מלכתחילה אנו עובדים עם הרחבה ציקלוטומית חלק זה נחסך מאיתנו.
כדי להשלים את ההוכחה בגישה זו, נותר להראות שפונקציית זטא של דדקינד של הרחבה ציקלוטומית מתבדרת ב- s=1. למעשה פונקציית זטא של דדקינד של כל שדה מספרים מתבדרת ב- s=1. ההוכחה של טענה זו דומה להוכחה למקרה של הרחבה ריבועית, אך מסובכת יותר, מכיוון שבמקום ניתוח משוואת פל יש לנתח את חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים בשדה מספרים כללי. ניתוח זה מהווה את משפט היחידות של דיריכלה.
גם כאן ניתן לקבל מידע מדויק יותר לגבי האסימפטוטיקה של פונקציית זטא של דדקינד ב- s=1. ספציפית עבור כל שדה מספרים  k אפשר להביע את הגבול  \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{k}(s) באמצעות מספר המחלקה של  k ואינווריאנטים נומריים נוספים של  k. קשר זה נקרא נוסחת מספר המחלקה של דדקינד. בשונה מהמקרה הריבועי, הגבול  \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{k}(s) איננו ערך של פונקציית  L מסוימת. אולם אם  k הרחבה ציקלוטומית אז גבול זה שווה (עד כדי מודיפיקציה קלה) למכפלה
 \prod _{\chi \in {\widehat {\mathbb {Z} |_{m}^{\times }}}\smallsetminus 1}L(1,\chi ).
באופן מפורש יותר אפשר לסכם את הגישה הזאת באמצעות הלמה הבאה:
הפולינום  f הוא למעשה נורמת גלואה בחוג השלמים של הרחבה ציקלוטומית. זה פולינום מסובך למדי אך מפורש לחלוטין.
מלמה זו קל להסיק את הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה עבור הסדרה החשבונית  1+m\mathbb {N} . כאמור גרסה זו גוררת את משפט דיריכלה באופן כללי.
נשים לב כי הפולינום  f מההוכחה האלגברית האלמנטרית למעלה הוא צימצום של הפולימום  f כאן, לישר. כך שההוכחה כאן היא למעשה הרחבה של הארגומנט האלמנטרי עבור משפט דיריכלה לסדרה החשבונית  1+m\mathbb {N}  כך שיתן גם חסם כמותי יעיל על צפיפות דיריכלה של הראשוניים על סידרה זו.
ההוכחות למשפט > תיאור סכמתי של ההוכחות השונות

ניתן לתאר את רוב ההוכחות השונות לפי הסכמה ההבאה:
ההוכחות מתבססת על ניתוח הטור  \sum _{p;\,p=a\mod m}{\frac {1}{p^{s}}} בנקודה  s=1.
באמצעות התמרת פוריה דיסקרטית על החבורה  (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times } מפרקים טור זה לטורים מהסוג  \sum _{p}{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}
באמצעות מכפלת אוילר מקרבים טורים אלה עם הלוגריתם של פונקציית L של דיריכלה.
מכאן קל לבצע רדוקציה של משפט דיריכלה להתכנסות ואי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה בנקודה 1.
ההתכנסות של פונקציית L של דיריכלה קלה יחסית, כך שדי להוכיח את אי־ההתאפסות.
ניתן להראות את אי־ההתאפסות עבור קרקטרים לא ממשיים על ידי טיעון דיכוטומיה אנליטי, שלפיו אם פונקציית L כזאת מתאפסת בנקודה 1, אז גם פונקציית L נוספת צריכה להתאפס, ומכאן "שיש  -\infty  ראשוניים בסדרה החשבונית  p=1\mod m". שלב זה אינו הכרחי. אפשר להתאים את השלבים הבאים כך שלא יהיה צורך בשלב זה. אולם הדבר יסבך את ההוכחה, בדרך כלל.
אי־ההתאפסות של פונקציית L בנקודה 1, שקולה להתבדרות של פונקציית זטא של דדקינד מתאימה. חלק מההוכחות משתמשות בשקילות זו וחלק לא. מדובר בהבדל שהוא אקספוזיציוני בעיקרו.
מכאן יש שתי גישות:
הגישה האלגברית: ניתן להעריך את קצב ההתבדרות של פונקציית זטא של דדקינד בנקודה 1 באמצעים אלגבריים, על ידי בנייות אלגבריות של מספרים ראשוניים שמקיימים תנאי קונגרואנציה מתאים. ניתן לבצע הערכה כזאת בשפה קלאסית (בעזרת תבניות ריבועיות), או בשפה מודרנית יותר (בעזרת שדות מספרים). שיטה זו מספקת נוסחאות לערכי פונקציית L ב-1: נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה ונוסחת מספר המחלקה של דדקינד.
הגישה האנליטית: משתמשים בטיעון דיכוטומיה אנליטי שמראה שאם פונקציית זטא של דדקינד מתכנסת בנקודה 1 אז יש לה תכונות אנליטיות "טובות" נוספות, למשל התכנסות בנקודה 1/2. זה עומד בסתירה להתבדרות הטור ההרמוני. ניתן לממש גישה זו באמצעות אנליזה מרוכבת, או אם מעט יותר מאמץ על ידי כלים אנליטיים אלמנטריים.
ראו גם > הכללות

משפט הצפיפות של צ'בוטרב
משפט פרובניוס
ראו גם > פונקציות קשורות

פונקציית L של דיריכלה
נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה
פונקציית זטא של רימן
פונקציית זטא של דדקינד
נוסחת מספר המחלקה של דדקינד
ראו גם > שונות

טור ההופכיים של המספרים הראשוניים
תורת המספרים האנליטית
תורת המספרים האלגברית
התמרת פורייה דיסקרטית
יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה
ביאורים

↑  עבור סידרה חשבונית מהצורה  a+mk (כאשר  a  ו -  m קבועים ו -  k רץ על הטבעיים)  a נקרא בסיס הסדרה ו -  m  נקרא הפרש הסדרה.
1 2  למעשה מספיקה כל קבוצת ראשוניים בעלת צפיפות 1.
↑  כאן אנו משתמשים במוסכמה שהערך של מכפלה ריקה הוא 1.
↑  זאת כי  \ln(\zeta (1))=\ln(\infty )=\infty  מתבדר.
↑  המושג קרקטר דיריכלה הוגדר על ידי דדקינד. בהוכחה של דיריכלה, במקום לדבר על קרקטרים של חבורת אוילר, דיריכלה בחר יוצרים בלתי תלויים של חבורה זאת והתאים פונקציית L לכל בחירה של שורשי יחידה מתאימים עבור כל יוצר. (Narkiewicz 2000, פרק 2.1, סעיף 2)
הרכבת הקלה בבאר שבע

|  מידע כללי |
| --- | --- |
 מדינה:  ישראל ישראל
 עיר:   באר שבע
 מידע על ההקמה
 עלות:  8 מיליארד שקל
 חברה בונה:  נתיבי ישראל
 פתיחת המערכת:  2033 (משוער)
 מידע על המערכת
 סוג המערכת:  נוסעים
 
הרכבת הקלה בבאר שבע היא מערך תחבורה ציבורית עתידי להסעת המונים בבאר שבע באמצעות רכבת קלה.
היסטוריה

תוכנית להקמת רכבת קלה בבאר שבע עלתה לראשונה בסוף שנות ה-90 של המאה ה-20, במסגרת תוכנית המתאר החדשה של העיר, שהייתה מיועדת להפוך אותה ל"מטרופולין הרביעי של ישראל". ב-13 בינואר 1998, חתמו שר התחבורה, יצחק לוי, שגריר הולנד בישראל, ואן הלנבירג-הובר וראש עיריית באר שבע, דוד בונפלד, על הסכם לתכנון רכבת קלה בבאר שבע על ידי חברת התכנון ההולנדית לוג'יטק. ביוני 1999, הודיע ראש עיריית באר שבע, יעקב טרנר, כי הרכבת הקלה בבאר שבע תחל לפעול בשנת 2003. בין השאר נבדקה האפשרות לבצע את הפרויקט במימון של משקיעים פרטיים. בדיקה נוספת שנערכה אז, העלתה כי אין כדאיות כלכלית לפרויקט נוכח נפח הנוסעים הקטן יחסית באותם ימים בתחבורה הציבורית ולכן התוכנית הוקפאה.
במאי 2008 הודיעו משרדי האוצר והתחבורה כי הם שוב בוחנים הקמת רכבת קלה בבאר שבע.
ב-12 בינואר 2016 הכריזו שר התחבורה, ישראל כ"ץ, וראש עיריית באר שבע, רוביק דנילוביץ', על הכוונה להתחיל בתכנון רכבת קלה שתשרת את תושבי באר שבע והיישובים הסמוכים לה. כמו כן, הכריז כ"ץ כי הרכבת תיקרא בשם "רכבת דנילוביץ'", על שם יוזם הרעיון, רוביק דנילוביץ'. עלות ההקמה תהיה בין 3 ל-5 מיליארד שקלים.
ב-29 בינואר 2018 החלו עבודות התכנון, בשיתוף עיריית באר שבע, משרדי האוצר והתחבורה, וחברת נתיבי איילון.
בדצמבר 2020 התפרסם כי משרד האוצר אישר תקציב של 30 מיליון ש"ח לתכנון הרכבת הקלה.
בפברואר 2021 פורסם כי משרד התחבורה החל לקדם את התוכנית, באמצעות חברת נתיבי ישראל, לאחר שהושגו הסכמות בין המשרד למשרד הביטחון בנוגע למערך התחבורתי שישרת את החיילים בקריית המודיעין שתקום בליקית. במסגרת זו מתוכנן להקים קו שיחבר בין קריית המודיעין שתקום בליקית לבין באר שבע, ויעבור במסלול סיבובי בעיר.
ב-6 באוקטובר 2021 פורסם כי התקיימה ישיבה ההתנעה הראשונה של הפרויקט בוועדה לתשתיות לאומיות. תוואי הקו הראשון של הרכבת הקלה יהיה באורך של כ-25 קילומטרים והקמתו צפויה להסתיים בתוך כעשור.
ב-14 באוגוסט 2023 פורסם כי הוועדה לתשתיות לאומיות החליטה לקדם את תוואי הרכבת הקלה שתנוע בין באר שבע, קריית המודיעין בליקית ולמעבר מיתר.
תוואי הרכבת

על פי התכנון צפוי לקום בשלב ראשון קו רכבת קלה אחד. הקו באורך של כ-25 קילומטרים יחבר בין קריית המודיעין המוקמת בליקית לבאר שבע. על פי התכנון הקו יעבור בבאר שבע במסלול סיבובי ויחלוף בין השאר בתחנות הרכבת באר שבע מרכז ובאר שבע האוניברסיטה, בבית חולים סורוקה, ובעירייה, ומלבד בסיס המודיעין בליקית יחלוף בסמוך ליישובים עומר, לקייה, מיתר ויסתיים במעבר מיתר.
בהמשך צפויים לקום קווים נוספים שיקשרו בין חלקי העיר באר שבע.
ראו גם

תוכנית הפיתוח של רכבת ישראל – תוכנית לפיתוח תשתית הרכבות בישראל
ראו גם > מערכות להסעת המונים בישראל

הרכבת הקלה בירושלים – מערכת הרכבת הקלה של ירושלים
מערכת להסעת המונים במטרופולין תל אביב
דנקל – מערכת הרכבת הקלה של גוש דן, המחברת את תל אביב–יפו לפרבריה
קווי מטרו – מערכת רכבת תחתית משלימה ל"דנקל", שנועדה לשרת את הפרברים המרוחקים יותר מגוש דן
מערכת להסעת המונים בנפת אשקלון – מערך תחבורה עתידי בנפת אשקלון, המתוכנן גם הוא על ידי נתיבי איילון
הערות שוליים

↑  גדי גולן,'"`UNIQ--nowiki-00000003-QINU`"'‏עיריית ב"ש אישרה תוכנית להגדלת מספר התושבים ב-%50 תוך 20 שנה, באתר גלובס, 13 באוקטובר 1997
↑  דוד חיון, גדי גולן,'"`UNIQ--nowiki-00000005-QINU`"'‏נחתם ההסכם הסופי לתכנון רכבת קלה בבאר שבע, באתר גלובס, 13 בינואר 1998
↑  גדי גולן,'"`UNIQ--nowiki-00000007-QINU`"'‏טרנר: הרכבת הקלה בבאר שבע תפעל ב-2003, באתר גלובס, 21 ביוני 1999
↑  מאת גדי גולן,'"`UNIQ--nowiki-00000009-QINU`"'‏רון לאודר בוחן השקעה ברכבת הפרברים בב"ש, באתר גלובס, 3 באוגוסט 1999
↑  רכבת קלה בבאר שבע?, באתר מיינט באר שבע, ‏26 במאי 2008
↑  אבי בר-אלי,'"`UNIQ--nowiki-0000000C-QINU`"'האוצר ומשרד התחבורה בוחנים הקמת רכבת קלה בבאר שבע, באתר הארץ, 7 במאי 2008
↑  רועי צוקרמן,'"`UNIQ--nowiki-0000000E-QINU`"'שר התחבורה אישר: רכבת קלה גם בבאר-שבע, באתר ynet, 12 בינואר 2016
↑  ליאור גוטמן,'"`UNIQ--nowiki-00000010-QINU`"'לא רק במרכז: תכנון הרכבת הקלה בבאר שבע יוצא לדרך, באתר כלכליסט, 5 ביוני 2017
↑  דני בלר, רכבת קלה תוקם בבאר שבע בעשור הקרוב, באתר "ברנז'ה ניוס", 29 בינואר 2018
↑  בשורה לעיר באר שבע, באתר עיתון שבע - Sheva
↑  '"`UNIQ--nowiki-00000014-QINU`"'אסנת ניר,'"`UNIQ--nowiki-00000015-QINU`"'תוכנית הרכבת הקלה בבאר שבע יוצאת מהמגירה - אחרי 20 שנה, באתר TheMarker‏, 17 בפברואר 2021
1 2  התכנית להקמת הרכבת הקלה בבאר שבע יוצאת לדרך, באתר GOV.IL
↑  יובל שדה,'"`UNIQ--nowiki-00000017-QINU`"'רכבת קלה בבאר שבע או לדרום הר חברון? הקו המוזר שמקדם משרד התחבורה, באתר כלכליסט, 14 באוגוסט 2023
↑  יעקב לוי, עיריית באר שבע מתכננת רכבת קלה שתפעל בעיר בתוך 7 שנים בלבד, באתר mynet‏ באר שבע, 30 בינואר 2018