כוח ואן דר ואלס
מודלים פיזיקליים כמותיים בסיסיים > כוחות לונדון מתוך אינטראקציית דיפול מימן-מימן קוונטית

הפיתוח מתייחס לאטומי מימן, שאינם בעלי מומנט דיפול חשמלי קבוע, ועל כן מתייחס לכוחות לונדון (הסוג השלישי). מבחינת התלות במרחק של הכוחות בין המולקולות התוצאה נשארת איכותית עם מגמה זהה.
הפיתוח הפשוט ביותר שניתן לעשות הממחיש את המקור לכוחות ואן דר ואלס באופן פיזיקלי הוא מתוך המערכת של שני אטומי מימן (מה ששקול למערכת פיזיקלית של שני אטומי מימן בודדים או מערכת בעלת מספר אטומי מימן בטמפרטורה אפס קלווין). מערכת זו מתוארת באיור 1.
למערכת כזו ההמילטוניאן של המערכת מקיים (תחת הקירוב שבו הפרוטונים כבדים ביחס לאלקטרונים):
{H}=-{\hbar |{\overrightarrow {p_{e,1}}}|^{2} \over 2m_{e}}-{\hbar |{\overrightarrow {p_{e,2}}}|^{2} \over 2m_{e}}-{e^{2} \over r_{1}}-{e^{2} \over r_{2}}+{H_{interaction}}
\hbar ,m_{e},e,H_{int},r_{i},R הם המרחק בין פרוטונים בגרעין, מרחק האלקטרון מהגרעין ה-i, המילטוניאן האינטראקציה, מטען האלקטרון, מסת האלקטרון וקבוע פלאנק בהתאמה.
כאשר החלק הראשון הוא ההמילטוניאן החופשי עבור אינטראקציית פרוטון-אלקטרון באטום המימן בהזנחת האנרגיה הקינטית של הפרוטונים. מתקיים עבור המילטוניאן האינטראקציה:
{H_{interaction}={e^{2} \over |{\vec {R}}|}-{e^{2} \over |{\vec {R}}+{\vec {r_{2}}}|}-{e^{2} \over |{\vec {R}}-{\vec {r_{1}}}|}+{e^{2} \over |{\vec {R}}-{\vec {r_{2}}}+{\vec {r_{1}}}|}}
הרכיבים בחלק זה של ההמילטוניאן (תחת ההנחה שמדובר במערכת שבאיור המצורף) הם כוחות קולומב בין הפרוטון לפרוטון, בין הפרוטון של אטום אחד לאלקטרון של האטום השני, בין הפרוטון של אטום שני לאלקטרון של האטום הראשון, ובין שני האלקטרונים של שני האטומים.
נשתמש בקירוב טיילור תחת ההנחה שהמרחק בין האלקטרון לפרוטון קטן מהמרחק בין שני הפרוטונים משמעותית, כלומר  {|{\vec {R}}|>>|{\vec {r_{2}}}|,|{\vec {r_{1}}}|} ונקבל לאחר פיתוח אלגברי כי:
{H_{interaction}={e^{2}r_{1,i}r_{2,j} \over |{\vec {R}}|^{3}}}(\delta _{i,j}-3{R_{1,i}R_{2,j} \over |{\vec {R}}|^{2}})
R_{1,i},r_{1,i},\delta _{i,j} הם היטל המרחק בין הפרוטונים על הקורדינאטה ה-i, היטל מרחק האלקטרון מהגרעין בקורדינאטה ה-i והדלתא של כרוניקר בהתאמה.
נרצה להבין כמה האינטראקציה הזו השפיעה על אנרגיית היסוד והאם היא משיכה או דחייה. לשם כך נשתמש בתיקון מתורת ההפרעות לאנרגיית מצב היסוד.
נניח ששני האטומים מופרדים במרחק R ביניהם על ציר z. נקבל כי במקרה הנ"ל מהצבה בנוסחה הקודמת:
H_{interaction}={e^{2} \over |{\vec {R}}|^{3}}(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-2z_{1}z_{2})
x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2} הם קואורדינטות מרחק האלקטרון הראשון מהגרעין הראשון והאלקטרון השני מהגרעין השני.
פונקציות הגל של האלקטרון באטום המימן שמתקבלות כתוצאה ממשוואת שרדינגר הרלוונטית מקיימות את המשוואה:
\psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )
a_{0},n,l,m,r,\theta ,\phi ,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi ),L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right) הם פולינום לאגר, פונקציה הרמונית ספרית, קורדינאטות כדוריות של חיגת האלקטרון סביב הגרעין, המספרים הקוונטים של הבעיה ורדיוס בוהר בהתאמה הפוכה.
פונקציית הגל הכוללת של המערכת ללא ההפרעה היא מכפלת פונקציות הגל של שתי המערכות בנפרד:
\psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=\psi _{n1,\ell 1,m1}(r_{1},\theta _{1},\phi _{1})\psi _{n2,\ell 2,m2}(r_{2},\theta _{2},\phi _{2})
על כן אנרגיית היסוד שלה ללא הפרעה היא חיבור בין אנרגיות היסוד של שתי המערכות בנפרד:
E_{1}^{(0)}=E_{1,first-atom}^{(0)}+E_{1,second-atom}^{(0)}={-e^{2} \over 2a_{0}}({1 \over (n_{1}=1)^{2}}+{1 \over (n_{2}=1)^{2}})=-{e^{2} \over a_{0}}
נחשב את התוספת לאנרגיה כתוצאה מהמילטוניאן האינטראקציה ביניהם, בסדר ראשון ובסדר שני של תורת ההפרעות.
בסדר ראשון:
E_{0}^{(1)}=\langle \psi _{100,tot}(r,\theta ,\phi )|{H_{interaction}}|\psi _{100,tot}(r,\theta ,\phi )\rangle {}=0
ניתן להראות זאת מסימטריה של הבעיה בקואורדינטה הרדיאלית לאחר פיתוחים אלגבריים.
התיקון השני לאנרגיה בתורת ההפרעות:  {\begin{aligned}E_{0}^{(2)}&=\sum _{n_{1},l_{1},n_{2},l_{2},m_{1},m_{2}}{\frac {|\langle \psi _{nlm,tot}(r,\theta ,\phi )|{H_{interaction}}|\psi _{100,tot}(r,\theta ,\phi )\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}}\\&=\sum _{n_{1},l_{1},n_{2},l_{2},m_{1},m_{2}}{\frac {1}{{\frac {-e^{2}}{a_{0}}}+{\frac {e^{2}}{2a_{0}}}({\frac {1}{n1^{2}}}+{\frac {1}{n2^{2}}})}}\left[{\iint dr_{1}^{3}dr_{2}^{3}\psi _{n_{1}l_{1}m_{1}}(r_{1},\theta _{1},\phi _{1})\psi _{n_{2}l_{2}m_{2}}(r_{2},\theta _{2},\phi _{2}){e^{2} \over |{\vec {R}}|^{3}}(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-2z_{1}z_{2})\psi _{100}(r_{1},\theta _{1},\phi _{1})\psi _{100}(r_{2},\theta _{2},\phi _{2})}\right]^{2}\end{aligned}} כאשר מתקיים:
d

r

1


3


=

r

1


2


sin
⁡
(

θ

1


)
d

r

1



d

θ

1




d

ϕ

1





{\textstyle dr_{1}^{3}=r_{1}^{2}\sin(\theta _{1})dr_{1}{d\theta _{1}}{d\phi _{1}}}
dr_{2}^{3}=r_{2}^{2}\sin(\theta _{2})dr_{2}{d\theta _{2}}{d\phi _{2}}
לאחר פתרון האינטגרל בצורה מלאה מתקבל הקשר האיכותי הבא:
E_{0}^{(2)}=-C{\frac {e^{2}a_{0}^{5}}{R^{6}}}
כאשר ישנו קבוע פרופורציה מספרי חיובי C,  a_{0} הוא רדיוס בוהר, e מטען האלקטרון ו-R הוא המרחק בין הגרעינים של האטומים.
באופן מדויק נקבל שתיקון זה שווה בדיוק ל:
E_{0}^{(2)}=-{\frac {\alpha _{0}^{2}I}{\varepsilon _{0}^{2}R^{6}}}
כאשר  \varepsilon _{0},I,\alpha _{0} הם המקדם הדיאלקטרי של הריק, אנרגיית היוניזצייה הראשונה והפולריזיביליות של אטום המימן.
משמעות פוטנציאל היוניזציה הוא שכדי להפוך את אטום המימן ליון יש להעניק לאלקטרון את מנת אנרגיה זו כדי להופכו לאלקטרון חופשי (לצאת מבור הפוטנציאל של הגרעין). פוטנציאל זה מקיים  I=h\nu  כאשר  h,\nu  הם קבוע פלאנק המצומצם ותדירות החיגה של האלקטרון סביב הגרעין בהתאמה. עבור אטומים ומולקולות מורכבים ישנם מספר פוטנציאלי יוניזציה - כיוון שלכל אלקטרון באטום או במולקולה יש מנת אנרגיה שונה על מנת לחלצו מבור הפוטנציאל של הגרעין. על כן, לכל אלקטרון יש תדירות חיגה שונה סביב הגרעין - התייחסות נוספת לכך במודלים פיזיקליים מתקדמים בהמשך.
מהפיתוח שאנרגיית כוח ואן דר ואלס פרופורציונית עד כדי קבוע לאחד חלקי מרחק בין הגרעינים של האטומים בחזקת 6, כלומר אינטראקציה חלשה יחסית.
כמו כן יש המינוס בסימן פירושו שכוחות ואן דר ואלס יוצרים אנרגיית משיכה בין האטומים. תוצאה זו רלוונטית תחת הקירובים שצוינו ועל כן אין פיתוח זה מבטיח שהאנרגיה תהיה מושכת גם למרחק קצר בין האטומים מהפיתוח הנ"ל.