ניווט מקבילי
קינמטיקה של תרחישים מרחביים

בדוגמה זו נבחן תרחיש מוכלל במרחב תלת־ממדי, שבו T היא מטוס שממוקם, ברגע  t=0, בנקודה  (x_{0},y_{0},z_{0}), ומהירותו היא U בכיוון השלילי של ציר x. M הוא טיל שנמצא בראשית הצירים ומתחיל ניווט מקבילי מהראשית כדי ליירט אותו. המטרה היא למצוא את כיוון המעוף של M (הנקבע על ידי הרכיבים של  v_{M}) ואת הזווית עם קו הראייה  \delta . נפתור זאת בשתי דרכים שונות.
דרך ראשונה: שימוש באלגברה ליניארית.
ראשית נמצא את  \theta , הזווית בין מהירות המטוס ל-MT, באמצעות מכפלה סקלרית. מתקיים:
cos\theta ={\frac {r_{0}\cdot v_{M}}{r_{0}*v_{M}}}={\frac {x_{0}*(-U)}{r_{0}*U}}.
לאחר מכן מוצאים את  \delta  באמצעות התנאי להתנגשות מן הקינמטיקה של תרחישים מישוריים. הצעד הבא הוא למצוא את שלושת הרכיבים של  v_{M}. משוואה  אחת נובעת ישירות מן המכפלה הסקלרית  r_{0}\cdot v_{M}=r_{0}v_{M}cos\delta . שתי המשוואות האחרות נגזרות מן התנאי שהמכפלה הווקטורית בין r ו- {\dot {r}} שווה אפס. לכן:
r\times {\dot {r}}={\begin{vmatrix}l_{x}&x_{0}&-U-v_{M_{x}}\\l_{y}&y_{0}&-v_{M_{y}}\\l_{z}&z_{0}&-v_{M_{z}}\end{vmatrix}}=0
כלומר הדטרמיננטה של המטריצה לעיל היא אפס.
כעת נציג ערכים נומריים לבעיה.  x_{0},y_{0},z_{0} הם 12, 3 ו-4 km בהתאמה, לכן  r_{0}={\sqrt {12^{2}+3^{2}+4^{2}}}=13km. ניקח U = 250m/s ו- v_{M}=500m/s. המשוואה ל- \theta  נותנת:
\theta =arccos{\frac {12*(-250)}{13*250}}=157.4 מעלות. מכאן :
\delta =arcsin{\frac {250sin\theta }{2*250}}=11.1 מעלות. לפיכך המשוואה הראשונה לרכיבי  v_{M} היא:
12v_{M_{x}}+3v_{M_{y}}+4v_{M_{z}}=13*500*cos\delta =6378.7kmm/s.
שתי המשוואות הנוספות נגזרות מן התנאי שהמכפלה הווקטורית היא אפס והן:
{\begin{cases}z_{0}v_{M_{y}}-y_{0}v_{M_{z}}=0,y_{0}v_{M_{x}}-x_{0}v_{M_{y}}=-y_{0}U\end{cases}}.
לפיכך מתקבלת מערכת של שלוש משוואות ליניאריות:
{\begin{cases}12v_{M_{x}}+3v_{M_{y}}+4v_{M_{z}}=6378.7,4v_{M_{y}}-3v_{M_{z}}=0,3v_{M_{x}}-12v_{M_{y}}=-750\end{cases}}
שפתרונה הוא:
v_{M_{x}}=1.664U,v_{M_{y}}=0.666U,v_{M_{z}}=0.888U
דרך שנייה: שימוש בזוויות אוילר.
זה לעיתים נחוץ לבצע את חישובי ההנחיה במערכת צירים קרטזית שבה הווקטור  r_{0} מתלכד עם ציר ה-x ומישור ההנחיה הוא z = 0 כך שלמהירות המטרה  v_{T} יש רק את הרכיבים  v_{T_{x}} ו- v_{T_{y}}, לאורך ולרוחב r בהתאמה. דרך אחת לעשות זאת היא כדלקמן.
ראשית, נסובב את מערכת הצירים המקורית  (x,y,z) בזווית  \phi _{1} מסביב לציר z. אם  \phi _{1} היא  arctan(y/x)=arctan(3/12)=14.04 מעלות, אז הרכיבים של r במערכת צירים החדשה  (x',y',z') יקיימו  y'=0,z'=z. לאחר מכן, נסובב את מערכת הצירים החדשה מסביב לציר  y' בזווית  \theta _{2}; אם הזווית הזאת נבחרת כך שתהיה שווה  -arcsin(z/r)=-arcsin(4/13)=-17.92 מעלות, אז הרכיבים של r במערכת הצירים  (x'',y'',z'') יהיו  (r,0,0)=(13,0,0).
שתי הרוטציות האלו מתוארות על ידי מכפלת מטריצות הסיבוב הבאה:
{\begin{bmatrix}x''\\y''\\z''\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}c\theta _{2}&0&-s\theta _{2}\\0&1&0\\s\theta _{2}&0&c\theta _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c\phi _{1}&s\phi _{1}&0\\-s\phi _{1}&c\phi _{1}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{bmatrix}12\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}13\\0\\0\end{bmatrix}}
כאשר c ו-s מסמלים את פונקציות הקוסינוס והסינוס, בהתאמה.
סיבוב שלישי הוא מסביב לציר  x'', בזווית  \phi _{3}. הווקטור  v_{T} במערכת הצירים הסופית ניתן על ידי המשוואה:
{\begin{bmatrix}v_{T_{x}'''}&v_{T_{y}'''}&v_{T_{z}'''}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c\phi _{3}&s\phi _{3}\\0&-s\phi _{3}&c\phi _{3}\end{pmatrix}}T_{y}(\theta _{2})T_{z}(\phi _{1}){\begin{bmatrix}-U&0&0\end{bmatrix}}
כאשר  T_{y}(\theta _{2}) ו- T_{z}(\phi _{1}) הן העתקות המייצגות את המטריצות מן המשוואה הקודמת. ההעתקה המתקבלת היא:
{\begin{bmatrix}v_{T_{x}'''}&v_{T_{y}'''}&v_{T_{z}'''}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-c\theta _{2}c\phi _{1},&c\phi _{3}s\phi _{1}-s\phi _{3}s\theta _{2}c\phi _{1},&-s\phi _{3}s\phi _{1}-c\phi _{3}s\theta _{2}c\phi _{1}\end{bmatrix}}U
אם  \phi _{3}=-arctan(sin\theta _{2}cot\phi _{1})=50.91 מעלות, אז  v_{T_{z}'''}=0, לכן הזווית שיוצר וקטור מהירות הטיל עם קו הראייה היא: 50.91 מעלות באזימוט, וזווית ההגבהה היא 11.1 מעלות, והיא מחושבת באופן דומה לזה שבדרך הקודמת.