stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מטריצה לכסינה
מוטיבציה ושימושים

המוטיבציה ללכסון מטריצות היא הנוחות הרבה שבעבודה עם מטריצות אלכסוניות: הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה ברורים מאוד ואין קושי במציאתם, וקל מאוד להעלות אותה בחזקה: די בהעלאת כל איבר ואיבר שלה באותה חזקה. דבר זה חשוב במיוחד לצורך העלאה בחזקה של מטריצות שאינן אלכסוניות, אך הן לכסינות. למשל, תהי  A המטריצה הלכסינה,  D המטריצה האלכסונית הדומה לה ו- P המטריצה המלכסנת:  D=P^{-1}AP, או באופן שקול:  A=PDP^{-1}. נעלה את  A בחזקה:
A^{n}=(PDP^{-1})^{n}=(PDP^{-1})(PDP^{-1})...(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D...(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^{n}P^{-1}
כלומר, לשם העלאת מטריצה לכסינה בחזקה  n אין צורך לבצע כפל מטריצות  n-1 פעמים, אלא די בשתי פעולות כפל מטריצות, שכן העלאת מטריצה אלכסונית בחזקה היא כאמור טריוויאלית.
ככלל, מעל לשדה המספרים המרוכבים, קיים סיכוי רב יותר שמטריצה אקראית תהיה לכסינה. הדבר אינו נכון לגבי המספרים הממשיים: הסיכוי שמטריצה אקראית מעל למספרים הממשיים תהיה לכסינה הולך ופוחת ככל שסדר המטריצה גדל.
משפט חשוב אומר שכל מטריצה הרמיטית (ובהמשך נראה שגם כל מטריצה נורמלית) ניתנת ללכסון אוניטרי. במקרה הפרטי שבו מדובר במטריצה סימטרית ממשית, זה אומר שהיא ניתנת ללכסון והמטריצה המלכסנת היא מטריצה אורתוגונלית.
בנוסף, ללכסון מטריצות חשיבות מכרעת בפיזיקה, בין היתר לשם מציאת אופני תנודה עצמיים של מערכת וכן לפתרון משוואת שרדינגר.
אלגוריתם ללכסון מטריצות

תהי  A מטריצה ריבועית לכסינה מסדר  n.
נפתור את הפולינום האופייני  p(\lambda )=\det \left(\lambda I-A\right)=0 למציאת הערכים העצמיים של המטריצה.
המטריצה האלכסונית היא  D={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right) כאשר  \lambda _{1},...,\lambda _{n} הם שורשי הפולינום האופייני.
נמצא את הריבוי הגאומטרי, כלומר:  \dim \ker(\lambda I-A) עבור כל ערך עצמי  \lambda .
נמצא את המרחב העצמי של כל ערך עצמי, המרחב המכיל את הווקטורים העצמיים לכל ערך עצמי  \lambda , כלומר: נמצא את הווקטורים השונים מאפס המאפסים את המטריצה  (A-\ \lambda I). בדרך כלל נהוג לנרמל אותם כך ש- {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle =1.
נסמן ב- P את המטריצה שעמודותיה הם ווקטורים עצמיים בלתי תלויים ליניארית (זוהי המטריצה המלכסנת). אזי  D=P^{-1}AP.
אפיון בעזרת הפולינום המינימלי

למטריצה אלכסונית, שאלכסונה כולל את המספרים  \ a_{1},\dots ,a_{n}, יש פולינום אופייני  \ f_{D}(t)=(t-a_{1})\cdots (t-a_{n}), ופולינום מינימלי השווה למכפלת הגורמים  \ (t-a_{i}) עבור הערכים השונים זה מזה. אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותו פולינום אופייני ופולינום מינימלי.
באופן כללי, מטריצה היא לכסינה אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לזה של הריבוי הגאומטרי. מכיוון שהריבוי הגאומטרי לעולם קטן או שווה מן הריבוי האלגברי, התנאי האחרון שקול לתנאי הבא: סכום הריבויים הגאומטריים של כל הערכים העצמיים שווה למימד המטריצה.
אם המטריצה  A ניתנת ללכסון, אפשר להרכיב מטריצה מלכסנת  P על ידי איסוף בסיס של וקטורים עצמיים כעמודות במטריצה. במקרה כזה האלכסון הראשי של המטריצה האלכסונית  \ P^{-1}AP הם הערכים העצמיים של  A, כאשר כל ערך מופיע בה מספר פעמים ששווה לריבוי האלגברי שלו.
לכסון אוניטרי

לכסון אוניטרי הוא לכסון של מטריצה בעזרת מטריצה אוניטרית.
כאשר המרחב הוא מעל שדה הממשיים ( F=\mathbb {R} ) הלכסון נקרא גם לכסון אורתוגונלי.
לכסון אוניטרי > הגדרה

מטריצה היא לכסינה אוניטרית, אם קיים בסיס אורתונורמלי של  V=F^{n} (כאשר  V מעל שדה  F), שבו המטריצה מיוצגת כמטריצה אלכסונית, כך:
כאשר  A היא המטריצה אותה אנחנו רוצים ללכסן,  Q היא המטריצה המלכסנת, שעמודותיה מורכבות מבסיס אורתונורמלי ו- D היא מטריצה אלכסונית.
מטריצה מעל  \mathbb {C}  ניתנת לליכסון אוניטרי אם ורק אם היא נורמלית.
מטריצה ניתנת לשילוש

מטריצה ריבועית  A ניתנת לשילוש (או שלישה) אם היא דומה למטריצה משולשית עליונה, כלומר, אם יש מטריצה הפיכה  P כך ש- D=P^{-1}AP משולשית עליונה. מטריצה  A ניתנת לשילוש (מעל שדה  \mathbb {F} ) אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל אותו שדה. בפרט, כל מטריצה מעל שדה המספרים המרוכבים  \mathbb {C}  ניתנת לשילוש שם.
מטריצה ניתנת לשילוש אוניטרי (כלומר ניתנת לשילוש על ידי מטריצה  P כך ש- P היא מטריצה אוניטרית) אם ורק אם היא ניתנת לשילוש.
ראו גם

מטריצה אלכסונית
מטריצת ז'ורדן – הכללה של מטריצה אלכסונית
מצדה

ערך זה עוסק באתר היסטורי. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
מצדה, ציור מאת אדוארד ליר, 1858
מבט אל מצדה מהמחנה הרומאי מספר 6
המצוק הצפון-מערבי של מצדה וברקע נחל מצדה
הארמון הצפוני במצדה, מבט ממעוף הציפור. 2007
מצדה, מבט על שביל הסוללה
הרכבל בדרך למצדה, 2009
הרכבל במורד מצדה, 2015
מבט על הפסגה – מדרום לצפון
סרט וידאו בן דקה המציג את הנופים ממצדה
זריחה ממצדה
מבט על הארמונות הצפוניים וסוללת המצור הרומאית
שלט הסבר על מצדה
מְצָדָה (מַסָּדָה בכתיב מיושן) הוא מבצר עתיק על פסגתו של צוק מבודד, בשוליו המזרחיים של מדבר יהודה, המתנשא לגובה של 63 מטרים מעל פני הים, וכ-480 מטרים מעל ים המלח שלמרגלותיו.
הצוק נבחר על ידי המלך הורדוס לשמש כמקום מפלט ומצודה מלכותית ועל פסגתו השטוחה נבנו ארמונות מפוארים, מבני ציבור ותענוגות. ביצורים הקיפו את המצוק ומערכות לאיסוף ואגירת מים הבטיחו אספקה שוטפת לכל אורך השנה. האירועים ההיסטוריים הדרמטיים שאירעו במצדה בתקופת המרד הגדול מתוארים בפירוט רב בספרו של יוסף בן מתתיהו – "מלחמת היהודים". על פי יוסף בן מתתיהו, כבר לפני חורבן בית שני, תפסו מורדים יהודים מכת הסיקריים את מצדה וממנה יצאו לגיחות שוד אל יישובים באזור ים המלח. בשנת 73 נתמנה פלביוס סילבה לנציב יהודה והוא יצא עם הלגיון העשירי הרומאי להילחם במצדה, וצר עליה עם שמונה מחנות מצור. לאחר קרבות נואשים על חומות המבצר ומשאפסה תקוות המורדים להסיר את המצור הם בחרו להתאבד ולא לסיים את חייהם כעבדים, זה קרה ב-15 בניסן, ערב חג הפסח.
לאחר כיבוש מצדה בשנת 73 שקע ההר אל תהומות השכחה עד שנתגלה מחדש על ידי חוקרים בני המאה ה-19. חפירות ארכאולוגיות אינטנסיביות נערכו במצדה ובמידה פחותה במערכת המצור הרומאית שלרגליה החל משנות ה-60 של המאה ה-20, אז נחפר ונחקר רובו המכריע של האתר כולו.
בעוד המסורת הרבנית כמעט ולא עסקה בסיפור ההתאבדות ההמונית על מצדה במשך מאות שנים, אימצה התנועה הציונית את סיפור מצדה כסמל וכמיתוס לשאיפה וחתירה עד מוות לחירות, התחדשות לאומית וריבונות. בשנות ה-30 של המאה ה-20 מצדה הפכה לאתר עלייה לרגל של מטיילים ומסעות של תנועות הנוער ולאחר הקמת מדינת ישראל כאתר השבעה של טירונים בצה"ל מחילות שונים הנשבעים שנית מצדה לא תיפול – מטבע לשון הלקוחה מן הפואמה מסדה של יצחק למדן. בסוף המאה ה-20 חל כרסום במעמדה של מצדה כמיתוס ציוני ויש הנרתעים מהמסר המשתקף מהקנאות הקיצונית של הסיקריים ומבחירתם להתאבד על פסגת מצדה. בעשור השני של המאה ה-21 התחדשה מסורת המסעות אצל תנועות הנוער.
בשנת 1968 הוכרזה מצדה כגן לאומי בשטח של 3,400 דונם, ובשנת 2001 הכריז עליה ארגון אונסק"ו כאתר מורשת עולמית. מדי שנה פוקדים את האתר כ-750,000 מבקרים והוא נחשב לאחד מאתרי התיירות הפופולריים בישראל.
גאולוגיה וגאוגרפיה

מצדה ממוקמת בצוק מבודד בשוליו המזרחיים של מדבר יהודה, בין סדום לעין גדי. צוק מצדה הוא הורסט שהתרומם והתנתק ממצוק ההעתקים, ומוקף על ידי נחל בן יאיר ממערב ונחל מצדה מדרום וממזרח. ממזרח למצדה נמצא מישור חוואר החרוץ בערוצים רבים שנוצרו על ידי משקעי ימת הלשון הקדומה. מדרונותיו התלולים והזקופים של המצוק מתנשאים לגובה של יותר מ-450 מטרים מעל פני ים המלח בצד המזרחי, ובצד המערבי, המחובר באוכף אל ההרים שמולו, מתנשא ראשו מעל לאוכף ב-100 מטר ויותר. השילוב של צוקים ומתלולים באזור מדברי העניק למקום מערך הגנה טבעי; דרכי הגישה הטבעיות לראש המצוק קשות ומורכבות.
ראשו של המצוק הוא רמה מישורית טרפזית שמידותיה בערך 600 על 300 מטר. בראש ההר משתרע משטח כמעט אופקי, שצורתו כמעוין. אורך צירו הארוך, מן המצודה שבדרום החומה ועד למרפסת הקומה העליונה של ארמון הורדוס שבצפון, הוא 645 מטר. בנקודה הרחבה ביותר ממערב למזרח, נמתח בקו החוצה את בניין 11 ואורכו 315 מטר. שטח ראש ההר הוא 80 דונם. הנקודה הרמה ביותר נמצאת מדרום למחסנים, ברום של 63 מטר מעל פני הים התיכון (היינו, כ-460 מטר מעל פני ים המלח).
ההר בנוי כולו סלעי משקע ממוצא ימי של חבורת יהודה, מתקופת קרטיקון עליון (שהתקיימה מלפני 97 מיליוני שנים עד לפני 65 מיליוני שנים). בראש ההר משתרעים סלעי דולומיט וגיר קשה מתצורת נצר, ואלה מרכיבים גם את הצוק העליון שבדפנות ההר ואת המדרגות שעליהן נבנה ארמון הורדוס. מתחת לשכבה זו נמצאים סלעי דולומיט וגיר מתצורת שבטה, ובהם אופקים חוואריים בודדים; באחד מהם חצובים בורות מערכת המים של נחל מצדה (השורה העליונה). בורות מערכת המים של נחל הארמון (השורה התחתונה) חצובים בשכבה שמתחתיה, תצורת דרורים, הבנויה דולומיט חווארי. מתחתיה נוחת הצוק העיקרי של מצדה, הבנוי מדולומיט מאסיבי של תצורת חצבה (פרט תמר).
מצדה שוכנת בגבול בין שני אזורים גאוגרפיים: מדבר יהודה ובקעת ים המלח. היא מנותקת מסביבתה על ידי גיאיות עמוקים ותהומות המקיפים אותה מכל עבריה. צורתו של ההר, בידודו, תלילות קירותיו ומבנה סלעיו הם תוצאה של הגורמים הגאולוגיים שעיצבו את האזורים השכנים. הרבה מתכונות מצדה כמבצר יחיד במינו עוצבו כתוצאה ממיקומה המיוחד בתוך סביבתה, והיותה רחוקה מדרכים נוחות למעבר של צבא כבד ומסורבל. תנאיו המיוחדים של המקום קשורים אף הם באופיה של הסביבה: העדר בסיסים יישוביים גדולים בקרבת מקום, דבר הגורם למגינים ולתוקפים כאחד להזדקק לנתיבי-אספקה ארוכים; חוסר במים – בעיה חמורה במיוחד לגבי התוקפים, אחרי שנפתרה לגבי המגינים, ובכך היא מגבירה בעקיפין את חוסנו של המבצר; והאוויר היבש, שאפשר אף לממצא הארכאולוגי השברירי ביותר, כגון מזון ופפירוסים, להשתמר למשך שנים רבות.
גאולוגיה וגאוגרפיה > דרכי גישה > ימי קדם

כאמור, מצדה שוכנת באזור נידח ומבודד הרחוק מדרכים ראשיות. גם הדרכים המשניות, כמו הדרכים היורדות ממצד זוהר אל חוף ים המלח ומשם עולות אל הרי מואב עברו רחוק ממצדה. רק שבילים צרים הוליכו למצדה מגב-ההר, ואלה נבנו במיוחד כדי להגיע למצדה. הצבא הרומי שצר על המבצר סלל דרכים רחבות אל בסיסי האספקה שלו: אל עין ענבה בצפון וכנראה גם אל חוף ים המלח במזרח.
להר עצמו עלו שני שבילים עיקריים, שנסללו במדרונות תלולים באמצעות קירות תמך. השביל המזרחי נקרא שביל הנחש. שביל זה שמור יפה ומשמש כנתיב עליה למצדה עד היום. השביל המערבי המקורי כוסה בחלקו על ידי סוללת המצור של הרומאים, אך דמה ברובו למסלול העולה היום למצדה ממערב. שביל שלישי, סלול היטב, מקשר בין רגלי שביל המערב לבין המחנה הרומי הקרוי מחנה ד' שמצפון למצדה. שביל רביעי הוא שביל המים, שעלה מבורות המים אל צפונה של מצדה, והתקשר בתחתיתו בסעיפים אופקיים הן לשביל הנחש והן לשביל המערב. כל השבילים האלה הותקנו למעבר בהמות-משא. שביל שהיה כשיר רק למעבר אדם, עלה למצדה ממערב לעבר פינתה הדרומית, מכיוון מחנה ז' אל שער הדרום.
גאולוגיה וגאוגרפיה > דרכי גישה > בעת החדשה

אל אתר מצדה מובילות שתי דרכים, המגיעות לאתר מכיוונים מנוגדים וללא קשר ביניהן:
הדרך הראשית אל האתר היא ממזרח לו. כביש הגישה מוליך מכביש 90 אל הרכבל ואל שביל הנחש, שביל נוח ורחב אך תלול, המטפס 350 מטרים.
כביש 3199 מגיע מערד אל צדה המערבי של מצדה ומסתיים בחניון המערבי. כאן מתקיים החיזיון האור-קולי ומכאן אפשר לעלות לפסגה דרך סוללת המצור המתונה יחסית.
בשנת 2023 נחנך שביל גישה חדש, זה מסלול אתגרי על שפת המצוק.
היסטוריה > מקורות מידע

המקור ההיסטורי המשמעותי היחיד המספר על מצדה מתקופת בית שני הוא יוסף בן מתתיהו (יוספוס פלביוס), שמתאר בקצרה את ההיסטוריה והמבנה של מצדה, וכן את מהלך האירועים בזמן המרד הגדול. בתקופת המצור הרומאי על מצדה כבר שהה פלביוס ברומא, וידיעותיו על מהלכו יכלו לבוא רק מכלי שני, דרך דיווחיהם של החיילים הרומים ששבו מהמצור (מצדה נזכרת בחטף גם בכתבי סטראבון ופליניוס הזקן).
המידע ההיסטורי על מצדה שאוב מכתבי יוסף בן מתתיהו, ולא משום מקור יהודי אחר. אין לה אזכור במשנה ובמקורות המקבילים, וגם לא בתלמוד הבבלי או בתלמוד הירושלמי. גרסה של הסיפור מופיעה בספר יוסיפון, עם כמה שינויים (שמו של מנהיג המרד שונה, וכן גם סיפור ההתאבדות). סיפור מצדה אינו מופיע גם כאשר ישנה התייחסות בדיון הלכתי למצב שבו אדם שוקל להתאבד כדי לא ליפול בידי אויביו; הדוגמה המובאת בהלכה (בשולחן ערוך, חלק יורה דעה, סימן שמ"ה) היא של שאול המלך בהר הגלבוע (ספר שמואל א', ל"א) ולא הדוגמה של מצדה. הסיבה לכך אינה ברורה, וקיימות כמה השערות: יש המשערים שהסיבה לכך היא שהסיקריים היו מזרם שחלק על הפרושים, ששלטו לאחר חורבן בית שני, ולפיכך לא נחשבו כמושא ללימוד או לדיון. היו גם ששיערו שהפרושים רצו למנוע מרידות הרסניות נוספות כדוגמת מרד בר כוכבא, ולכן הוצנעו אירועים שעלולים היו להביא להתעוררות לאומית.
מנגד למקורות ההיסטוריים עומד הממצא הארכאולוגי – הכולל מעט דברי כתב שהשאירו אחריהם דיירי המצודה בדורות השונים, וכן ממצא "אילם" רב.
היסטוריה > התקופות הקדומות

השרידים הקדומים ביותר שהתגלו במצדה הושארו בידי אנשי התקופה הכלקוליתית, שעשו שימוש במערות בגוף המצוק הדרום-מזרחי של ההר. חרסים אחדים מתקופת הברזל בארץ ישראל נמצאו מפוזרים ברחבי ההר, אולם לא התגלה כל סימן לבנייה בתקופה זו.
היסטוריה > התקופה ההלניסטית

על פי יוסף בן מתתיהו, הראשון לבנות במצדה היה "הכהן הגדול יונתן". ייתכן שהכוונה ליונתן הוופסי או לאלכסנדר ינאי, ואילו במקום אחר הוא כותב כי המצודה נבנתה בידי "מלכים מימים עברו". במקומות שונים על גבי ההר נמצאו מספר חרסים בני התקופה החשמונאית וכן תריסר מטבעות תלמיים, ועשרות מטבעות של אלכסנדר ינאי. מהבנייה על ההר בתקופה זו לא נותר דבר, מלבד שני בורות מים שייתכן שנחצבו בתקופה זו.
היסטוריה > התקופה ההרודיאנית

ההיסטוריה של מצדה מתחילה, הלכה למעשה, עם ההיסטוריה של הורדוס הגדול. הורדוס, תוך ניצול ציני של המערבולת הפוליטית באימפריה הרומית אחרי רציחתו של יוליוס קיסר, ומאבקי הכוח בין הטוענים לכתר מבני בית חשמונאי הפך לדמות מפתח בפוליטיקה של ארץ ישראל וזכה לתמיכת השליטים ברומא כמלך המיועד של פרובינקיית יהודה. עם זאת, מעמדו של הורדוס ודרכו לשלטון ידעו עליות ומורדות.
בשנת 40 לפנה"ס פלשו הפרתים ליהודה, והושיבו על כס המלכות בירושלים את מתתיהו אנטיגונוס השני. הורדוס, שהתבצר בירושלים, הצליח לחמוק בלילה ביחד עם מרים ארוסתו, אמהּ אלכסנדרה וקבוצת שומרי ראשו. הנמלטים שמו פניהם למצדה, שם נותרו מרים ופמלייתה וכוח של 800 חיילים. הורדוס הצליח להימלט אל ממלכת הנבטים ומשם אל ברונדיסיום (ברינדיזי) ועל פי החלטת הסנאט הומלך למלך בשנת 40 לפנה"ס ברומא. בהיעדרו מצדה הושמה במצור על ידי אויבי הורדוס, הנצורים ניצלו רק בזכות גשמי פתע שמילאו את בורות המים, תוך שהם מצליחים לנהל מלחמת התשה מול הצרים. בשנת 39 לפנה"ס חזר הורדוס לארץ ישראל, שחרר את משפחתו מהמצור במצדה ובסדרת קרבות הצליח בשנת 37 לפנה"ס להשתלט על הארץ, ובחסותו של מרקוס אנטוניוס, מושלו הרומאי של המזרח, הכריז על עצמו כמלך.
ההיכרות של הורדוס עם מצדה והחשש שלו שכסאו בסכנה, הן מצד בני שושלת החשמונאים הן מצד נתיניו בני העם היהודי והן מצד קלאופטרה השביעית, מלכת מצרים וממשיכי דרכה, שראו ביהודה או בחלקים ממנה חלק ממצרים, הביאו אותו להשקיע בבניה של מפלט מבוצר במצדה.
היסטוריה > המרד הגדול

בשנת 66 לספירה, בתחילת המרד היהודי נגד הרומאים, כבשה קבוצת מורדים יהודים שנקראו הסיקריים את מצדה מידי חיל המצב הרומי שהוצב שם. בשנת 70 הצטרפו אליהם סיקריים נוספים ובני משפחותיהם שגורשו מירושלים מעט לפני חורבן בית שני. במשך השנתיים הבאות השתמשו הסיקריים במצדה כבסיס לפשיטות והתנכלויות ליישובים רומיים ויהודיים כאחד, כאשר בראשם מנהיגם אלעזר בן יאיר.
היסטוריה > המרד הגדול > המצור על פי יוסף בן מתתיהו

על פי תיאורו של יוסף בן מתתיהו, הטיל הנציב הרומי, פלביוס סילבה, בראש הלגיון העשירי פרטנסיס ויחידות עזר אחרות, מצור על מצדה. הצרים בנו סוללת מצור על הצד המערבי של הרמה. שיא גובהה של הסוללה היה על פי תיאורו של יוסף בן-מתתיהו נמוך מגובה חומת מצדה, ולכן היה צורך בבניית פלטפורמה רחבה שהייתה בנויה מאבנים התואמות היטב זו את זו. מעל פלטפורמת אבן זו נבנה איל ניגוח שאפשר לרומאים לפרוץ את חומת המבצר.
כאשר התמוטטה חומת האבן התגלתה חומת עץ שהקימו המגינים בנקודת הפריצה, הרומאים העלו באש את חומת העץ והידקו את המצור לרגע הפריצה שנקבע למחרת. מנהיג המגינים החליט שאבדה התקווה לשרוד את המצור ולהדוף את הרומאים והחליט שהמוצא היחיד הוא התאבדות של כל הנמצאים על ההר. תיאורו הדרמטי של יוסף בן מתתיהו מגיע לשיאו בנאומו, בשני חלקים, של אלעזר בן יאיר, שבו טען אלעזר בזכות החירות, וטיעונו העיקרי הוא עדיפות החירות על פני החיים. למחרת היום, כשנכנסו הרומאים למבצר, הם גילו שמגיניו, כאלף איש ואישה ובתוכם ילדים זקנים וטף, העלו באש את כל המבנים והתאבדו. גרסה זו של סיפור המצור על מצדה נמסרה, על פי יוסף בן מתתיהו, על ידי שתי נשים שנצלו מההתאבדות כשהתחבאו בבור מים עם חמישה ילדים.
היסטוריה > המרד הגדול > המצור על פי המחקר המודרני

למרות הדיוק היחסי של כתביו של יוסף בן מתתיהו, שתיאוריו תואמים לממצא הארכאולוגי במצדה, הרי שבכל הנוגע לדיוק התיאור של יוסף לגבי המצור וכיבוש מצדה קיימים ספקות בקרב רוב החוקרים העוסקים בהיסטוריה של מצדה. עם סיום החפירות העיקריות, ובהמשך, תוך הסתמכות על ממצאים בחפירות מאוחרות יותר, הועלו מספר תאוריות כיצד השתלשלו האירועים במצדה בעת המרד הגדול.
מקובלת ההנחה, במחקר האקדמי העדכני, כי מגיני מצדה לא ניהלו קרב פנים אל פנים עם הרומאים ולא יצאו לגיחות אל מחוץ למבצר. הסוציולוג נחמן בן יהודה אף קובע כי על מצדה לא התנהל כל קרב. מנגד, חוקרים אחרים כגון מיכה ליבנה, מתארים בצבעים חיים את שגרת הקרבות בעת המצור בין המגינים על החומה לרומאים במחנותיהם, וביתר שאת בעת הפריצה למבצר. מרדכי גיחון מציין במחקרו "נפילת מצדה הכיצד" כי יחסי הכוחות, אותם הוא מעריך ב-1:10 לטובת הרומאים, לא איפשרו למגינים להיכנס לקרב פנים אל פנים מול הרומאים, וכי סביר להניח כי אלעזר בן יאיר בחר להילחם מול הרומאים בעת פריצת החומה, שכן בנקודה צרה זו לא היו הרומאים יכולים להביא את יתרונם המספרי לידי ביטוי.
באפריל 2009 פרסמו הארכאולוגים בני ארובס וחיים גולדפוס, שחפרו את הסוללה במצדה, מאמר בעיתון "הארץ", ובו מתחו ביקורת על התיאור המקובל של הקרב האחרון בנקודת הפריצה במצדה, וטענו כי למעשה המצור לא הושלם כלל והמגינים שעל ההר התאבדו ללא קרב, וכי החומה ההרוסה בסמוך לסוללה היא תוצאה של פעולות בנייה בתקופה הביזנטית. מאידך הועלו השערות כי קרב הפריצה למצדה לא היה האחרון אלא נערך מצור נוסף על הארמון הצפוני שבו התבצרו אחרוני המגינים, בהסתמך על סוללת עפר שקיומה תועד בסמוך לארמון הצפוני ומציאת שרידי שלדים מעטים בתוך הארמון.
הארכאולוג אהוד נצר, שחקר את מצדה בהסתמך על ממצאי חפירותיו של יגאל ידין, ובעקבותיו מרדכי גיחון, פרסמו מחקרים המתמקדים בניתוח תולדות המצור – בהסתמך על הממצאים אך גם בהשוואה לכתבי בן מתתיהו. על פי מחקרים אלו, נבנתה חומת העץ לא כתגובה להרס החומה הקבועה אלא, במהלך הקמת סוללת המצור, כחומה פנימית בתוך הסוגרים של החומה, המטרה הייתה חיזוק מבני של החומה שמלכתחילה לא יכלה לעמוד בפני איל ניגוח, ומתוך תוכנית לעצור את המומנטום של המתקפה הרומאית. במקביל מילאו המגינים את החלל בפסולת בנייה ובכך – על פי החוקרים – שגו הקנאים. מחומת העץ נשללה הגנה מאש, חיבורי החומה התרופפו וגם יכולת עמידת המכשול כנגד מהלומות איל הניגוח. אהוד נצר מרחיק לכת ומשער כי הקנאים הציבו קורות עץ זו על גבי זו לרוחב הסוגר בחומה, כך עברו גלי ההלם של הניגוח לחלק האחורי של החומה וניפצו את חלקה האחורי של החומה. על פי מחקרים אלו, שריפת החומה הביאה לשפיכה של חומר המילוי הרופף וכך הוקל לרומאים לפרוץ פנימה אל תוך המבצר.
היסטוריה > המרד הגדול > מעשה ההתאבדות

מעשה ההתאבדות העלה קושיות רבות אצל היסטוריונים. התאבדות מנוגדת להלכה היהודית (ראו פסקאות 'מקורות מידע' ו'במסורת הרבנית'), אך היו מקרים של התאבדות בעת המרד הגדול, כמו ביודפת, כאשר הניצולים מן העיר שהסתתרו במערה החליטו להרוג זה את זה ולא ליפול בידי הרומאים, או בגמלא, כאשר יהודים העדיפו לקפוץ מראש ההר אל מותם ולא ליפול בשבי. קושי נוסף בקבלת תיאור ההתאבדות הוא בהיעדר ראיות ארכאולוגיות מכריעות התומכות בגרסת ההתאבדות ההמונית. ישנן עדויות כי מגיני מצדה העלו באש מבנים במצדה, אך בחפירות נמצאו גופותיהם של כעשרים ושמונה מורדים בלבד, שלושה מהם, גבר צעיר בן 20–22, אישה צעירה בת 17–18 שצמתה נשתמרה להפליא, וילד בן 11–12 נמצאו בארמון הצפוני. עוד כעשרים וחמישה שלדים של מורדים, גברים ונשים בגילאים שונים, נמצאו במערה מתחת לחומה במצוק הדרומי. שרידי שאר הגופות, כתשע-מאות לפי יוסף בן מתתיהו, לא נמצאו.
היסטוריה > המרד הגדול > לאחר המרד

בתום המצור נותר במצדה חיל מצב רומי, חלקו ישב במחנה למרגלות המבצר וחלקו התיישב על הפסגה. מצדה לא שבה לשמש כמבצר, אחת ההשערות היא שמערכת איסוף המים נהרסה על ידי סוללת המצור והרס רומאי מכוון, הרס זה הפך את מצדה למקום שלא יכול לספק צורכי יישוב ומנע את שיקומו.
היסטוריה > התקופה הביזנטית

במאה החמישית הייתה במצדה קהילת נזירים מתבודדים ("לאורה") שפעלה במקום עד לכיבוש הפרסי במהלך המאה השביעית. במקום נבנתה כנסייה גדולה, שבה היה אולם ארוך אחד המסתיים באפסיס גדול. הכנסייה רוצפה בפסיפסים צבעוניים. על שטח ההר הוקמו כמה מערות מגורים. סביר שזהו אותו מנזר המוזכר בכתבים מאותה העת כמנזר "מרדס".
מבנה מצדה

| --- | --- |
 מפת מצדה: 1. שער שביל הנחש 2. בתי מגורים יהודים 3. תאי נזירים בזנטים 4. בור 5. בתי מגורים יהודים 6. מקווה 7. השער הדרומי (שער הבור) 8. בתי מגורים יהודים 9. בר תת-קרקעי 10. המצודה הדרומית 11. בור 12. בית אחוזה 13. קולומבריום דמי 14. בית מלאכה לפסיפסים 15. בית אחוזה 16. בית אחוזה 17. בריכת רחצה  18–21. הארמון המערבי: 18. אזור שירות, 19. אזור מגורים, 20. מחסנים, 21. אזור אדמיניסטרטיבי.  22. מגדל הבורסקאים 23. השער הביזנטי המערבי 24. מגדלי קולומבריום 25. בית כנסת 26. קפלה ביזנטית 27. בית המשמר  28–39. הארמון הצפוני: 28. מגורי המפקד, 29. מחצבה, 30. לשכת המפקד, 31. מגדל שמירה, 32. מבנים אדמיניסטרטיביים, 33. שער, 34. מחסנים, 35. מרחצאות, 36. שער המים, 37–39. ארמון הורדוס: 37. הטראסה העליונה, 38. הטראסה האמצעית, 39. הטראסה התחתונה.  A. סוגר 1109, בו נמצאו קטעים ממגילת בן סירא. B. אולם הכס של הורדוס. C. פסיפס צבעוני. D. הפרצה בחומה דרכה הבקיע הצבא הרומי. E. אוצרות שקלי כסף. F. מקום מגוריהם של עולי רגל. G. מקום מציאת שלושה שלדים.: מצדה וסביבותיה
החפירות שנערכו במצדה מצביעות כי כל המבנים המקוריים על מצדה נבנו על ידי הורדוס, ולא נמצא כל מבנה מתקופות קודמות לתקופה זו. מצדה נבנתה לאורך פרק זמן ארוך ובשלושה שלבים עיקריים – בשלב הראשון הוקם הגרעין של הארמון המערבי, מגורי החיילים ושלושה מבני קולומבריום. בשלב השני הוקם המכלול הצפוני, הכולל ארמון מפואר, בית מרחץ גדול ומערכת מחסנים ענפה. בו-זמנית הורחב הארמון המערבי והושלמה מערכת המים של האתר. בשלב האחרון הוקמה חומת הסוגרים המקיפה את המבצר כולו, והקומפלקס הצפוני נותק לחלוטין משאר חלקי מצדה.
מבנה מצדה > מערכת המים

הקושי העיקרי שעמד בפני בוני המבצר היה המחסור במים ובמקורות מים קבועים. על מנת להבטיח אספקת מים נבנתה מערכת מורכבת ובה שלוש מערכות-משנה. מערכת איסוף וניקוז, שהטו את מי השיטפונות והגשמים, מערכת בורות מים בשולי המצוק, ומערכת בורות אגירה בתוככי המצודה.
מערכת הניקוז אספה מי שיטפונות בנחל מצדה מדרום ונחל בן יאיר מצפון באמצעות מערכת סכרים שהוקמו בנתיב זרימת המים בוואדיות. המים הוזרמו בתעלות פתוחות שנבנו בשיפוע מתון, לתוך בורות מים שנחצבו בשתי שורות בחלקו התחתון של המצוק הצפוני-מערבי של מצדה. אמת מים (אַקְוָדוּקְט) שרוחבה 1.4 מטר הובילה את מי השיטפונות מנחל מצדה אל השורה העליונה של בורות המים, אמה זו נקברה ברובה על ידי מחנות המצור הרומאיים אך קטעים ממנה נשתמרו לאורך הוואדי. אמת מים שנייה הובילה מים מנחל בן יאיר לשורה התחתונה של בורות המים.
בורות המים, שצורתם ריבוע, ותכולתם הכוללת כ-40,000 מטרים מעוקבים, נחצבו בסלע המדרון של המבצר בשתי שורות מקבילות – שמונה בורות בשורה העליונה וארבעה בשורה התחתונה. לכל בור היו שני פתחים, פתח תחתון אליו נכנסו מי השיטפון מאמת המים ופתח עליון ממנו נשאבו המים. שביל מתפתל הוביל מהשורה העליונה של הבורות אל שער המים בסמוך לארמון הצפוני והמים הועלו אל המבצר על ידי בהמות משא או סבלים. מערכת נוספת, נפרדת, של בורות מים נחצבה בתוך שטח המבצר, על הפסגה. מים הובאו אל בורות אלו משער המים או שער שביל הנחש ומשם זרמו בתעלות למאגרי המים המרכזיים שבמבצר. מאגרי מים נוספים נחצבו בארמונות ובתים שבמבצר, מערכת נפרדת זו סיפקה מים באופן עצמאי למבנים אלו.
מבנה מצדה > ביצורים > החומה

את מצדה מקיפה מכל צדדיה, למעט אזור הארמון הצפוני, חומת סוגרים שגובהה המקורי היה כחמישה מטרים. החומה נבנתה לא רק בנקודות התורפה אלא גם במקומות שאין כל אפשרות לעלות בהם. אורכה הכולל של החומה היה 1,400 מטר, והיא הייתה בנויה בקירות מקבילים: עובי הקיר החיצוני היה 1.40 מטר ועוביו של הקיר הפנימי היה מטר אחד. הרווח ביניהם, שרוחבו 4 מטרים, נותר פנוי והיה מכוסה כולו בגג; שטחו הכולל של הגג כיסה שטח של קרוב לתשעה דונם. על הגג סבבו השומרים, ובנקודות-התורפה היו מוכנות עליו אבני דרדור כבדות, להדיפת התקפה. קירות ניצבים חילקו את חלל החומה לחדרים-חדרים, כל חדר כזה נקרא סוגר, ולפיכך נקראת חומה מסוג זה חומת סוגרים. אורכו של כל סוגר היה בין חמישה לשלושים וחמישה מטרים. לכל סוגר היה פתח כניסה מן הצד הפנימי, מתוך מצדה. מדי 40 מטרים בערך ניצב בחומה מגדל. החומה הייתה בנויה דולומיט או גיר קשה, חצוב בגושים של 50–200 ק"ג. פני החומה היו מטויחים ומסוידים לבן. המגדלים נבנו במרווחים לא קבועים בחומה על פי תנאי השטח והצרכים הטקטיים. המגדלים נבנו כחלק מהחומה והיו למעשה סוגרים שרוחבם כ-6 מטרים. בחלק מהמגדלים נבנו גרמי מדרגות לאפשר ללוחמים לעלות לעמדות. לכל מגדל הייתה כניסה אחת לפחות, בדרך כלל בקיר החלוקה הצפוני של הסוגר. במגדל הבורסקאים נחשף מתקן לעיבוד עורות בקומה התחתונה. (מספר 16 במפה)