טופולוגיה
הקדמה אלמנטרית

מרחבים טופולוגיים מופיעים כמעט בכל ענפי המתמטיקה, ומכאן חשיבותה הרבה של הטופולוגיה.
התובנה שסיפקה תמריץ להתפתחות הטופולוגיה היא שכמה בעיות גאומטריות תלויות לא במבנה המדויק של העצמים המעורבים, אלא בדרך שבה הם מקובצים יחדיו. לדוגמה, לריבוע ולמעגל יש תכונות רבות במשותף (מנקודת מבט טופולוגית): שניהם עצמים חד-ממדיים ושניהם מחלקים את המישור לשני חלקים - בתוכם ומחוץ להם.
אחת הבעיות הראשונות בטופולוגיה הייתה שאלת הגשרים של קניגסברג, שנפתרה בידי לאונרד אוילר, במסגרתה נקבע כי בלתי אפשרי למצוא מסלול שעובר דרך העיר קניגסברג שיחצה כל אחד משבעת הגשרים שלה בדיוק פעם אחת. תוצאה זו לא התבססה על אורך הגשרים, וגם לא על מרחקם אחד מהשני, אלא על תכונות הקשירות שלהם: אילו גשרים מחוברים לאילו איים או גדות נהר. בעיה זו, שבעת הגשרים של קניגסברג, היא כעת בעיה מפורסמת המוצגת רבות בהקדמות לקורסים במתמטיקה, והיא הוליכה לענף המתמטיקה הקרוי תורת הגרפים.
באופן דומה, משפט הכדור השעיר בטופולוגיה אלגברית טוען כי "לא ניתן לסרק את השיער שעל פני כדור כך שהשיער לא יבלוט, מבלי להשאיר קרחת". טענה זו מתקבלת על ידי רוב האנשים באופן אינטואיטיבי, אף על פי שהם עשויים לא לזהות את הניסוח המתמטי המדויק של המשפט, שאין שדה וקטורים משיקים רציף על הספירה שאינו מתאפס בנקודה אחת לפחות. כמו במקרה של הגשרים של קניגסברג, התוצאה לא מתבססת על גודלה המדויק של הספירה, היא נכונה גם עבור אגסים ולמעשה כל סוג של צורה חלקה, כל עוד אין לה חורים.
במטרה לעסוק בבעיות הללו שאינן מסתמכות על הצורה המדויקת של העצמים, נדרש להבהיר על אילו תכונות הבעיות הללו כן מסתמכות. מצורך זה נוצר המושג של הומיאומורפיזם. אי האפשרות לחצות כל גשר פעם אחת בדיוק מתקיים בכל סידור של הגשרים שהומיאומורפי לזה שבקניגסברג, ואת משפט הכדור השעיר ניתן ליישם לכל מרחב שהומיאומורפי לספירה.
באופן אינטואיטיבי, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם ניתן לעוות אחד מהשנים לצורה של השני מבלי לחתוך אותו או להדביק חלקים מנוגדים יחדיו. בדיחה ידועה מספרת כי טופולוגיסט אינו מבדיל בין ספל קפה לדונאט (טורוס), ומכיוון שטורוס גמיש מספיק ניתן לעיוות לצורתו של ספל קפה (כפי שנראה באנימציה), באמצעות יצירת גומה והרחבה מתמשכת שלו, שבמהלכה מכווצים את החור לידית.
הומיאומורפיזם יכול להיחשב לשקילות הטופולוגית הבסיסית ביותר. שקילות טופולוגית אחרת היא שקילות הומוטופיה. קשה יותר לתאר את המושג הזה מבלי להיכנס לפרטים הטכניים, אך התנאי ההכרחי הוא ששני עצמים "X" ו-"Y" הם שקולים הומוטופית אם קיים עצם נוסף "Z" כך ש-"Z" מכיל גם את "X" וגם את "Y" והוא ניתן לכיווץ בדרכים שונות ל-X ו-Y. מקרה חלקי ופשוט הוא כאשר אנו לוקחים את Z כאחד מ-X ו-Y, נניח X. במקרה זה, Y מוכל ב-X ו-X ניתן לכיווץ ל-Y.
ענף נוסף של הטופולוגיה, הנקרא "טופולוגיה קבוצתית" עוסק בחקירת מרחבים טופולוגיים באמצעות אוסף הקבוצות הפתוחות שלהם. למעשה, אוסף הקבוצות הפתוחות של מרחב מסוים הוא מה שמגדיר את הטופולוגיה של אותו מרחב. הטופולוגיה הקבוצתית החלה כהכללה של האנליזה על הישר הממשי, בה הקבוצות הפתוחות מוגדרות כקבוצות המכילות סביבות פתוחות לכל נקודה בקבוצה. הסביבות הבסיסיות הן "הכדורים הפתוחים"  B(a,\varepsilon )=\{x\in \mathbb {R} \ :\ |x-a|<\varepsilon \}. ההכללה הראשונה של הישר הממשי היא מרחב מטרי, כלומר: מרחב המצויד במטריקה המודדת מרחק בין כל שתי נקודות. בשלב הבא נחקרו מרחבים טופולוגיים שהם לא בהכרח מטריים. במרחבים אלה הטופולוגיה הוגדרה באמצעות קבוצות פתוחות, וכך גם רציפות של פונקציה בין מרחבים טופולוגיים. נושא מרכזי במרחבים אלה הם אקסיומות ההפרדה: באיזו מידה ניתן להפריד נקודות או קבוצות זרות באמצעות עטיפתן בקבוצות פתוחות זרות. מרחבים בהם ניתן להפריד שתי נקודות נקראים מרחבי האוסדורף. תוצאות חשובות בנושא זה הם הלמה של אוריסון ומשפט טיטצה. מבחינה זו, המרחב שבו תכונות ההפרדה הן החזקות ביותר הוא המרחב המטרי. נושא נוסף של מחקר בטופולוגיה קבוצתית הוא קומפקטיות. בישר הממשי קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא קבוצה סגורה וחסומה. הטופולוגיה הקבוצתית מכלילה מושג זה למרחב טופולוגי כלשהו באמצעות שימוש במושג כיסוי פתוח - כלומר: כיסוי הקבוצה באוסף של קבוצות פתוחות - באופן הבא: קבוצה קומפקטית במרחב טופולוגי היא קבוצה שלכל כיסוי פתוח שלה יש תת-כיסוי סופי (כלומר ניתן לכסות אותה במספר סופי של קבוצות מתוך הכיסוי הפתוח הנתון). נושא מחקר נוסף הוא קשירות של מרחבים טופולוגיים. דוגמה לקבוצה מעניינת שנחקרה במסגרת הטופולוגיה הקבוצתית היא קבוצת קנטור.