העתקה פרויקטיבית
מקומה של ההעתקה הפרויקטיבית בהיררכיית ההעתקות במישור

| שם המשפחה | מס' דרגות חפש | שמורות | יצוג מטריציוני בקואורדינטות הומוגניות | המחשת ההעתקה על ריבוע במישור |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| אוקלידיות | 3 | אורך, זווית, שטח |  {\begin{pmatrix}\cos \theta \ &-\sin \theta \ &t_{x}\\\sin \theta \ &\cos \theta \ &t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}} |  |
| דמיון | 4 | זווית, יחס בין אורכים, יחס בין שטחים |  {\begin{pmatrix}K\cos \theta \ &-K\sin \theta \ &t_{x}\\K\sin \theta \ &K\cos \theta \ &t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}} |  |
| אפיניות | 6 | מַקְבִּילִיוּת, יחס שטחים |  {\begin{pmatrix}a&b&t_{x}\\c&d&t_{y}\\0&0&1\end{pmatrix}} |  |
| פרויקטיביות | 8 | יחס כפול |  {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}, עד כדי כפל בקבוע. |  |
ניתן לסדר את ההעתקות הפועלות על ריבוע במישור לפי מספר דרגות החופש שלהן.
בהינתן מערכת צירים כלשהי, העתקה בעלת דרגת חופש יחידה יכולה להיות, למשל, הזזה של נקודה בכיוון מסוים. העתקה כזו נתונה לפי  \ f(x,y)=(x,y)+t(x_{0},y_{0}), עבור וקטור כיוון  \ (x_{0},y_{0}) קבוע, ופרמטר  \ t.
העתקה אחרת תהא סיבוב הנקודה בזווית  \ \theta \  כלשהי עם כוון השעון. העתקה כזו נתונה לפי  \ f(x,y)=(x\cdot \cos \theta \ -y\cdot \sin \theta ,x\cdot \sin \theta \ +y\cdot \cos \theta \ )
.
שתי ההעתקות האלה משמרות בין היתר אורכים (של קטעים), שטחים זוויות בין קטעים.
החבורה הנוצרת על ידי שתי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 3 דרגות חופש (מקדמי ההזזה בכל אחד מהצירים וזווית הסבוב).  ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות אוקלידיות או איזומטריות.
יש המוסיפים להעתקות האוקלידיות גם שיקוף סביב ציר מסוים, אך לא מוסיפים דרגות חופש מכיוון שאיבר זה מגדיל את החבורה רק פי 2.
העתקה אחרת בעלת דרגת חופש יחידה היא סילום (scaling) של נקודה ביחס לראשית הצירים. העתקה כזו נתונה לפי  \ f(x,y)=(kx,ky), עבור פרמטר  \ k.
החבורה של כל צירופי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 4 דרגות חופש (דרגת חופש נוספת עבור מקדם הסילום). העתקות אלו אינן משמרות אורכי קטעים ושטחים אולם עודן משמרות זוויות, יחסי אורכים ויחסי שטחים. ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות דמיון (העתקות סילום), והן נחשבות כהעתקות הכלליות ביותר המשמרות "צורה" של מצולע.
הוספת שתי דרגות חופש תוביל אל המשפחה הבאה בהיררכיה.
דרגת חופש ראשונה תווסף על ידי הכפלת כל אחד מהצירים במקדם שונה  \ f(x,y)=(ax,by). בין היתר נתן לקבל מהעתקה זו שיקוף סביב אחד הצירים, למשל על ידי  \ f(x,y)=(-x,y).
דרגת חופש שנייה היא על ידי פעולה הגזירה (shear), ומשמעה הוספת גורמים מהקואורדינטה האחת לקואורדינטה האחרת  \ f(x,y)=(x+ay,y).
הרכבה של סיבוב ב-90 מעלות ושל שיקוף תניב העתקה המחליפה בין הקואורדינטות  \ f(x,y)=(y,x). לכן, הרחבת חבורת העתקות הדמיון בשתי דרגות החופש הנ"ל, תאפשר גם העתקה מהסוג  \ f(x,y)=(x,y+ax).
כך מתקבלת חבורת ההעתקות האפיניות. ההעתקות בחבורה זו משמרות מקביליות של ישרים (מעתיקות ריבוע למקבילית) ויחס בין שטחים. העתקה ליניארית היא מקרה פרטי של העתקה אפינית, ובה כאשר מקדמי ההזזה מאופסים. לכן, יצוג מטריציוני של העתקה אפינית בקואורדינטות הומוגניות מכיל מטריצה מסדר 2x2 ווקטור הזזה. בדומה להעתקות ליניאריות, שטח המקבילית המתקבלת מהעתקה אפינית על ריבוע שוה לשטח הריבוע המוכפל בדטרמיננטה של המטריצה.
חבורת ההעתקות הפרויקטיביות היא בעלת שמונה דרגות חופש (כל המטריצות מסדר 3x3 עד כדי קבוע). היא אינה משמרת זוויות ואף לא יחס בין אורכים. היא מעתיקה ישרים לישרים ונקודות לנקודות, ומשמרת חילה של ישרים בנקודות. גודל נוסף הנשמר על ידי ההעתקה הוא יחס כפול, שהוא למעשה יחס בין יחסים של אורכים.
כל הגדלים הנשמרים על ידי העתקה מסוימת נשמרים גם על ידי כל ההעתקות במשפחות הפשוטות ממנה המופיעות בטבלה.
ההיררכיה זהה נתן ליצור גם עבור ההעתקות במרחב.
העתקה פרויקטיבית