stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
פונקציית קנטור
הגדרה

ההגדרה הנפוצה ביותר של פונקציית קנטור היא באמצעות קבוצת קנטור. קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת מן התהליך הבא: לוקחים את קטע היחידה  [0,1] ומסירים ממנו את השליש האמצעי  ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}). כעת חוזרים על הפעולה עם שני החלקים שנשארו  [0,{\tfrac {1}{3}}] ו- [{\tfrac {2}{3}},1] ומסירים מכל אחד מהם את השליש האמצעי. ממשיכים וחוזרים על הפעולה הזו עד אינסוף. קבוצת הנקודות בקטע היחידה שלא מוסרות ממנו באף אחד מן השלבים היא קבוצת קנטור המסומנת  C. תיאור נוסף ושימושי של קבוצת קנטור הוא כקבוצת כל המספרים בקטע שבהצגה שלהם בבסיס טרינארי (בסיס 3) לא מופיעה הספרה 1 (אם למספר יש שתי הצגות טרינאריות, כמו  0.1_{3}=0.0222..._{3}, תמיד בוחרים בהצגה שלא מופיע בה 1, אם ישנה כזו).
נגדיר את פונקציית קנטור  f לכל x בקבוצת קנטור באופן הבא: נציג את x בבסיס טרינארי. את כל מופע של הספרה 2 נחליף בספרה 1. נקרא את הביטוי שקיבלנו כמספר בבסיס בינארי (בסיס 2) והמספר שנקבל יהיה  f(x). בסימונים: אם  x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}, אז  f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{2^{n}}}.
נחשב למשל את  f({\tfrac {1}{4}}). בבסיס טרינארי  {\tfrac {1}{4}}=0.02020202\ldots _{3}, ולכן  f({\tfrac {1}{4}})=0.01010101\ldots _{2}={\tfrac {1}{3}}.
כעת נרחיב את  f לנקודות שאינן בקבוצת קנטור. אם נקודה x אינה בקבוצת קנטור, אז היא הוסרה מקטע היחידה באחד מהשלבים של בניית הקבוצה. נניח למשל שהיא נמצאת בקטע הראשון שמוסר,  ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}). נחשב את הערך של פונקציית קנטור בקצוות הקטע.  {\tfrac {1}{3}}=0.1_{3}=0.02222\ldots _{3} ו- {\tfrac {2}{3}}=0.2_{3}. לכן:
קיבלנו ש- f מקבלת ערכים זהים בקצוות הקטע שהוסר. הדבר מתרחש בכל קטע שמוסר במהלך בניית קבוצת קנטור, כי לקצוות הקטע הצגה טרינארית זהה מלבד הספרה האחרונה שהיא 1 בראשית הקטע ו-2 בסופו. על כן לכל נקודה x שאינה בקבוצת קנטור נוכל להגדיר את  f(x) כערך של פונקציית קנטור בקצוות הקטע שהוסר ומכיל את x. פורמלית נוכל להגדיר לכל  x\in [0,1]\setminus C את  f(x) בתור  f(x)=\sup\{f(t):t\in C,t\leq x\}.
נוכל לסכם זאת באופן הבא:
לכל x בקטע  f(x) יוגדר באופן הבא:
מציגים את x בבסיס טרינארי.
אם 1 מופיע בהצגה הטרינארית של x, מחליפים את כל הספרות אחרי ה-1 הראשון ב-0.
מחליפים כל 2 ב-1 וקוראים את הביטוי כמספר בבסיס בינארי.
המספר שקיבלנו הוא  f(x).
תכונות

קל לראות ש- f(0)=0 ו- f(1)=1. התמונה של קבוצת קנטור תחת  f היא הקטע  [0,1] כולו, שכן כל מספר x בקטע ניתן להציג בצורה בינארית ולהחליף את כל המופעים של 1 ב-2 ולקבל (בהצגה טרינארית) איבר של קבוצת קנטור שתמונתו x.
פונקציית קנטור עולה במובן החלש (לא יורדת). מספיק להראות שהטענה נכונה לאיברי קבוצת קנטור, כי נקודות שאינן בקבוצת קנטור מוכלות בקטע בו הפונקציה קבועה וקצוותיו בקבוצת קנטור. ואכן אם  x<y בקבוצת קנטור, אז הספרה הראשונה בהצגה טרינארית בה x ו-y לא מתלכדים מופיע 2 בהצגה של y ו-0 בהצגה של x, ולכן יופיע 1 בהצגה הבינארית של  f(y) ו-0 בהצגה הבינארית של  f(x) ומכאן ש- f(x)\leq f(y).
פונקציית קנטור רציפה. זה נובע מיידית מהעובדה שהיא עולה מ-0 ל-1 והיא על הקטע  [0,1] (כי נקודת אי-רציפות של פונקציה מונוטונית היא תמיד מסוג קפיצה). ניתן גם להראות זאת ישירות. יהי  0<\epsilon . נבחר n גדול מספיק כך ש- 2^{-n}<\epsilon . נגדיר  \delta =3^{-n}. לכל  x,y\in C אם  |y-x|<\delta  אז x ו-y מתלכדים ב-n הספרות הטרינאריות הראשונות ולכן  f(x) ו- f(y) מתלכדים ב-n הספרות הבינאריות הראשונות, ועל כן:  |f(y)-f(x)|<2^{-n}<\epsilon . מכאן שהפונקציה רציפה במידה שווה בקבוצת קנטור, ומכיוון שהיא קבועה בין נקודות קבוצת קנטור, אז היא רציפה במידה שווה בכל הקטע.
קבוצת קנטור  C היא קבוצה ממידה אפס (במהלך הבנייה שלה הסרנו קטעים שאורכם הכולל הוא 1 ולכן ה"אורך" שלה הוא 0). מכיוון ש- f(C)=[0,1] אנו מקבלים דוגמה למקרה בו תמונה רציפה של קבוצה ממידה אפס היא קבוצה ממידה חיובית (קטע באורך 1).
כל נקודה שאינה בקבוצת קנטור מוכלת בקטע פתוח שבו  f קבועה, ולכן הנגזרת של  f בנקודה היא אפס. מכיוון שקבוצת קנטור היא ממידה אפס, נקבל שהנגזרת של  f היא 0 כמעט בכל מקום. זאת על אף שמדובר בפונקציה עולה. מסקנה מיידית היא שפונקציית קנטור אינה מקיימת את נוסחת ניוטון לייבניץ, היא אינה שווה לאינטגרל (לבג) לא מסוים של הנגזרת שלה (אין זה משנה מה הנגזרת בקבוצת קנטור, מכיוון שאינטגרל אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס):
זאת מכיוון שפונקציית קנטור אמנם רציפה במידה שווה, אך אינה רציפה בהחלט בקטע.
ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה אם ורק אם היא רציפה בהחלט. כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציית קנטור אינה אינטגרל לא מסוים של אף פונקציה.
התפלגות קנטור מוגדרת כהתפלגות שפונקציית קנטור היא פונקציית ההצטברות שלה. לפי האמור לעיל, זו דוגמה להתפלגות רציפה שאין לה פונקציית צפיפות.
מאי-שוויון המשולש נובע שהאורך של גרף של פונקציה לא יורדת החסומה בריבוע היחידה, חסום על ידי 2. קל למצוא פונקציה כזו שאורך הגרף שלה קרוב כרצוננו ל-2, אבל לא קל למצוא פונקציה כזו שאורך הגרף שלה הוא 2 בדיוק. פונקציית קנטור היא דוגמה לפונקציה כזו, שכן ניתן לקרב אותה על ידי סדרת פונקציות פוליגוניות שהולכות ומתקרבות למדרגות.
פונקציית קנטור מחלקת את ריבוע היחידה לשני חלקים חופפים, ולכן  \int _{0}^{1}f(x)dx={\tfrac {1}{2}}.
שימושים > בנייה של קבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל

נשתמש בפונקציית קנטור כדי לבנות קבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל. נגדיר פונקציה  g(x)={\tfrac {1}{2}}(f(x)+x). זוהי פונקציה רציפה (כסכום של פונקציות רציפות) שעולה חזק מ-0 ל-1 ( f(x) עולה חלש ו- x עולה חזק, ולכן מחצית סכומן עולה חזק). מכאן שזוהי פונקציה חד-חד-ערכית ועל (והפיכה) מקטע היחידה לעצמו. מכיוון ש- g רציפה ועולה לכל קטע  I=(a,b) מתקיים  g(I)=(g(a),g(b)). בכל קטע  I=(a,b) שמוסר בעת בניית קבוצת קנטור הפונקציה  f קבועה ולכן האורך של  g(I) הוא:  g(b)-g(a)={\tfrac {1}{2}}(b-a). סכום אורכי הקטעים שהוסרו ביצירת קבוצת קנטור הוא 1, ולכן סכום אורכיהם לאחר הפעלת  g הוא חצי (סיגמא-אדיטיביות של האורך). מכאן שהקבוצה המשלימה לתמונת איחוד הקטעים, הלא היא תמונת קבוצת קנטור, היא ממידה  1-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}.
מצאנו ש- g(C) היא קבוצה ממידה חיובית. לכן לפי משפט ויטלי קיימת קבוצה  E\subset g(C) שאינה מדידה לבג (ובפרט אינה קבוצת בורל). נסמן  P=g^{-1}(E). כמובן  P\subseteq C ולכן P ממידה אפס כתת-קבוצה של קבוצה מדידה אפס, ובפרט היא מדידה לבג. נוכיח כי P אינה קבוצת בורל.  g^{-1} רציפה, ולכן מדידה בורל. מכאן שהמקור של קבוצת בורל לפי  g^{-1} היא קבוצת בורל. אבל המקור של P היא E שאינה קבוצת בורל, ולכן P אינה קבוצת בורל.
במהלך ההוכחה קיבלנו ש- g היא הומאומורפיזם בין  C לקבוצה ממידה חיובית  g(C).  g(C) נקראת "קבוצת קנטור שמנה".
שימושים > בנייה של עקומת פאנו

פונקציית קנטור משמשת בהוכחת משפט פאנו הקובע שקיימת מסילה רציפה שממלאת את כל ריבוע היחידה (עקומת פאנו). פונקציית קנטור היא פונקציה רציפה מקבוצת קנטור על קטע היחידה. לכן הפונקציה  f_{2}:C^{2}\to [0,1]^{2} המוגדרת לפי  f_{2}(x,y)=(f(x),f(y)) היא פונקציה רציפה על ריבוע היחידה.
נקח את הקבוצה  \{0,1\} עם הטופולוגיה הדיסקרטית. הפונקציה  (a_{1},a_{2},\ldots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}} היא הומאומורפיזם בין מרחב המכפלה  \{0,1\}^{\mathbb {N} } ל- C. מקיבוציות המכפלה נובע ש- \{0,1\}^{\mathbb {N} } הומאומורפי ל- \{0,1\}^{\mathbb {N} }\times \{0,1\}^{\mathbb {N} } ולכן  C הומאומורפי ל- C^{2}. משמע קיימת פונקציה  h:C\to C^{2} שהיא רציפה ועל.
ההרכבה  F=f_{2}\circ h היא פונקציה רציפה מ- C על ריבוע היחידה. נשלים את F לקטעים שאינם בקבוצת קנטור באופן ליניארי לפי הערכים שמתקבלים בקצוות שלהם. F שקיבלנו היא עקומת פאנו.
שימושים > בתורת ההסתברות

בגלל שפונקציית קנטור היא פונקציה מונוטונית עולה מ-0 ל-1, ניתן להתייחס אליה כאל פונקציית התפלגות. ככזו, ניתן לבנות מידת הסתברות  \mu  המתאימה להתפלגות זו.  \mu  תהיה מוגדרת באופן הבא:
לכל  n\in \mathbb {N}  מגדירים משתנה מקרי  X_{n} המקבל את הערכים 0 או 2 בהסתברות שווה (0.5 לכל אחד), כך שכל ה- X_{n} בלתי תלויים זה בזה.
מגדירים משתנה מקרי חדש  X:=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {X_{n}}{3^{n}}}. את המידה  \mu  מגדירים להיות מידת ההסתברות המתאימה למשתנה המקרי  X (כלומר, המידה  \mu (B) עבור קבוצה מדידה כלשהי  B תהיה שווה להסתברות ש- X בקבוצה זו). אם מגדירים את פונקציית ההתפלגות  f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}  כך ש- f(x):=P(X\leq x) מקבלים ש- f היא פונקציית קנטור.
לפי ההגדרה של  X מתקבל שהוא יכול לקבל אך ורק ערכים מקבוצת קנטור, כלומר  \mu (C)=1 כאשר  C היא קבוצת קנטור. מאחר ש- C היא קבוצה ממידה אפס על-פי מידת לבג, מתקבל ש- \mu  היא מידה סינגולרית (ובפרט מידה סינגולרית רציפה) ביחס למידת לבג.
התהליך הסטוכסטי  \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty } נקרא תהליך ברנולי עם  p={\frac {1}{2}}.
הכללות

פונקציית קנטור היא הדוגמה הסטנדרטית לפונקציה סינגולרית - פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה ולא קבועה שנגזרתה מתאפסת כמעט בכל מקום.
פונקציית קנטור מראה שקטע היחידה הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור. זהו מקרה פרטי של משפט בסיסי בטופולוגיה הקובע שכל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור. ההוכחה מבוססת על בניית פונקציית קנטור מוכללת. הבנייה מנצלת את העובדה שמרחב מטרי קומפקטי הוא חסום כליל. תחילה מכסים את המרחב בכדורים סגורים ברדיוס חצי, אחר כך מכסים כל כדור בכדורים סגורים ברדיוס רבע, ובאופן כללי בשלב ה-n מכסים את הכדורים ברדיוס  2^{-n} באמצעות כדורים סגורים ברדיוס  2^{-(n+1)} וכך ממשיכים עד אינסוף. כעת לכל כדור מתאימים סדרה סופית של ספרות 0 ו-2 כך שכל רישא שלה הותאמה לכדור המכיל אותו. לכל  x\in C מגדירים את  f(x) בתור האיבר הנמצא בכל הכדורים המתאימים לרישא של  x כסדרה של ספרות טרינאריות. מרחב מטרי קומפקטי הוא שלם ולכן (מכיוון שרדיוס הכדורים הולך וקטן) לפי הלמה של קנטור  f(x) קיים ויחיד. הפונקציה על כי הכדורים מכסים את המרחב כולו והיא רציפה כי איברי קבוצת קנטור קרובים מספיק יתחילו באותו רצף ספרות ולכן יכללו יחד באותו כדור קטן.
פונקציית קנטור מתקבלת מההוכחה במקרה בו המרחב המטרי הקומפקטי הוא קטע היחידה ובכל פעם מכסים כל כדור (שהוא קטע סגור) באמצעות שני כדורים.
ראו גם

רציפות בהחלט
הערות שוליים

↑  פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה המקיימת שלכל  0<\epsilon  קיים  0<\delta  כך שלכל אוסף סופי של קטעים זרים בזוגות בתחום  (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}) המקיימים  \sum _{i=1}^{n}|y_{i}-x_{i}|<\delta  מתקיים  \sum _{i=1}^{n}|f(y_{i})-f(x_{i})|<\epsilon .
הגרף של פונקציית קנטור. לא משנה עד כמה מתקרבים לגרף הפונקציה הוא תמיד ייראה כגרם מדרגות משונן.
קטע היחידה [0,1] כולו מקבל את המידה 1; שני הקטעים [0,1/3] ו-[2/3,1] מקבלים את המידה 1/2; כל אחד מארבעת הקטעים [0,1/9], [2/9,1/3], [2/3,7/9] ו-[8/9,1] מקבל את המידה 1/4; וכו'.
מוסקאדל

| --- | --- |

 
 
מוסקאדל (בצרפתית: Muscadelle) הוא זן ענבי יין לבן. יש לו ארומה פשוטה של מיץ ענבים וצימוקים כמו ענבים ממשפחת הענבים מוסקט, אבל הם לא קשורים.
ניתוח DNA הצביע על כך שמוסקאדל הוא הכלאה בין גואה בלאן לזן ענבים לא מזוהה.
אזורי יין > צרפת

בצרפת, הזן מוסקאדל מהווה מרכיב מינורי ביינות היבשים והמתוקים של בורדו, כגון סוטרן. לעיתים רחוקות הוא מהווה יותר מ-10% מהתערובת, אשר נשלטת על ידי סמיון וסוביניון בלאן. לאורך שנות ה-90 של המאה ה-20 ותחילת המאה ה-21 ירדו נטיעות הענבים של הזן. לעומת זאת, כמה יינות מתוקים ממונבזילאק (Monbazillac) יכולים להיות בעלי שיעור גבוה יותר של מוסקאדל.
אזורי יין > אוסטרליה

באוסטרליה משתמשים בעינב הזה לייצור יין מחוזק, הידוע כיום בשם טופאק (לשעבר טוקאי עד שנאסר השימוש בשם זה מחוץ להונגריה). אלה המיוצרים באזור Rutherglen מקבלים בדרך כלל התיישנות ניכרת במרתפים חמים, מה שמוביל לאופי מיוצר של חמצון-חיזור. כמה אזורי יין אוסטרליים אחרים, כולל עמק בארוסה, מייצרים יינות דומים. כמה יקבים אוסטרליים אחרים משתמשים במוסקאדל לייצור יינות שולחניים באופן דומה ליקבים צרפתיים. בהתאם להסכם שהושג עם האיחוד האירופי, היצרנים האוסטרלים פסקו בהדרגה מהשימוש שלהם במונח Tokay עד 2020, רובם בחרו במקום זאת בשם Topaque לייצג את הסגנון הזה.
אזורי יין > הונגריה

השם, טוקאי, שכנע כמה יצרנים אוסטרלים שהעינב הוא פינו גרי (שבעבר נקרא טוקאי על ידי היצרנים באלזס). אחרים חשבו שהעינב עשוי להיות מזן Hárslevelű, אחד המרכיבים של היין המתוק ההונגרי המפורסם Tokaji (יינות טוקאי). עם זאת, הוכח שהטוקאי האוסטרלי הוא מוסקאדל.
הערות שוליים

↑  "Homepage".
יבול נוכרי

היישוב הפלסטיני חוסאן. ברקע נראים שדות חקלאיים.
יבול נכרי הוא יבול שצמח בשדותיהם של חקלאים לא יהודיים בארץ ישראל. המושג נזכר בעיקר בקשר להלכות שנת השמיטה. לפי התורה, בשנת השמיטה אסור לעבד את האדמה - אסור לחרוש, לזרוע, לקצור ולמכור את הפירות. אולם לפי רוב הדעות, המצווה חלה רק על יהודים ולא על נכרים. כיוון שלנכרים מותר לגדל פירות בשביעית, מותר גם לקנות מהם פירות.
בציבור החרדי מקובל לקנות בשנת השמיטה פירות וירקות מנכרים: מערביי ישראל, מרצועת עזה, ממצרים, ועוד. אולם בציבור הדתי לאומי קיימת התנגדות לכך מסיבות הלכתיות ולאומיות.
דיונים הלכתיים > איסור ספיחין

תבואה וירקות חד-שנתיים שגדלו בשנה השביעית אסורים מדרבנן באכילה, בין אם נזרעו בשביעית באיסור ובין אם גדלו מאליהם. איסור זה נקרא איסור ספיחין, ומטרתו למנוע תמריץ לזריעה אסורה בסתר. אולם האיסור אינו חל על נכרי שקנה קרקע בארץ ישראל:
עכו"ם שקנה קרקע בארץ ישראל, וזרעה בשביעית - פירותיה מותרין, שלא גזרו על הספיחין אלא מפני עוברי עבירה, והעכו"ם אינן מצווין על השביעית כדי שנגזור עליהם.
זהו מקור מפורש לכך שיבול נכרי מותר באכילה בשביעית. מקור נוסף לכך נמצא בגמרא. אחרי שגביהא בן פסיסא ניצח את צאצאי הכנענים בוויכוח על ארץ ישראל, מסופר שהם ברחו והשאירו את שדותיהם זרועים וכרמיהם נטועים, "ואותה שנה - שביעית היתה, וסמכו ישראל עליהם", כלומר, אכלו את הירקות שצמחו בשדות נכרים. אמנם יש שטענו שהשדות והכרמים היו בחו"ל, סמוך לגבולות ארץ ישראל.
דיונים הלכתיים > קדושת הפירות - קניין גוי בארץ ישראל

חכמי התלמוד נחלקו בשאלה אם "יש קניין לגוי בארץ ישראל להפקיע מידי מעשר", כלומר, האם קניית קרקע בארץ ישראל על-ידי גוי, מפקיעה מהקרקע את החיוב להפריש תרומות ומעשרות. הרמב"ם פסק שלא:
עכו"ם שקנה קרקע בארץ ישראל - לא הפקיעה מן המצוות, אלא הרי היא בקדושתה...
פירות העכו"ם שגדלו בקרקע שקנה בארץ ישראל: אם נגמרה מלאכתם ביד עכו"ם ומרחן העכו"ם - פטורין מכלום... ואם לקחן ישראל אחר שנתלשו, קודם שתגמר מלאכתן, וגמרן ישראל - חייבין בכל מן התורה.
כלומר: באופן עקרוני, גם יבול שצמח בקרקע של נכרי חייב בתרומות ומעשרות, בתנאי שהשלב הסופי של עיבוד היבול ("גמר מלאכתו") נעשה ביד ישראל. בתלמוד ובראשונים נדונה שאלה זו בהקשר של תרומות ומעשרות בלבד. האחרונים דנו בשאלה זו גם לגבי שביעית, ובפרט, האם דיני קדושת שביעית חלים על יבול נכרי. בשאלה זו הייתה מחלוקת גדולה בין חכמי צפת:
לפי הרב משה מטראני (המבי"ט), כיוון שהפירות גדלו בקרקע של ארץ ישראל, ויש בה קדושה - חלה קדושת שביעית על הפירות.
לפי הרב יוסף קארו (השו"ע), כיוון שהפירות והקרקע שייכים לנכרי, אין בהם קדושת שביעית.
מחלוקת זו משליכה גם על השאלה אם יש להפריש תרומות ומעשרות מיבול נכרי בשביעית (כאשר גמר המלאכה נעשה בידי יהודי):
לפי המבי"ט (וכ"ה בספר חרדים, השל"ה) כיוון שהפירות קדושים בקדושת שביעית, הם הפקר ואינם חייבים בתרומות ומעשרות.
לפי השו"ע, כיוון שהפירות פטורים מדין שביעית, הם חייבים בתרומות ומעשרות כרגיל. כך פסק גם הרמ"א. המנהג הוא להפריש ללא ברכה.
המחלוקת קיימת גם בימינו:
החזון איש והרב משה שטנרבוך פסקו כדעת המבי"ט, וכן נוהגים בבבני-ברק;
הרב ישראל משקלוב, הרב קוק ושאר חכמי ירושלים פסקו כדעת השו"ע, וכן המנהג בירושלים וברוב ארץ ישראל.
דיונים הלכתיים > איסור מסחר

בתוספתא נאמר ”אין מוכרין ואין לוקחין מן הגוי ומן הכותי פירות שביעית” (תוספתא/שביעית/ו#הלכה יב). לפי דעה זו, מה שכתב הרמב"ם "פירותיה מותרין", הכוונה כשהגוי נותן לו במתנה, או כשהוא מחליף אוכל תמורת אוכל. אכל לקנות תמורת כסף אסור. והסיבה, שהכסף הניתן תמורת פירות שביעית גם הוא קדוש בקדושת שביעית, ויש חשש שיגיע ליהודי שלא יאכל אותו בקדושת שביעית.
אמנם, לפי רוב הדעות, תוספתא זו לא נפסקה להלכה, ומותר לקנות יבול נכרי.
דיונים הלכתיים > עבודת נכרי בקרקע של נכרי

ביום השבת מותר ואף מקובל להיעזר בגוי של שבת לביצוע מלאכות האסורות לישראל, כיוון שמצוות השבת ניתנה לישראל בלבד. אולם מצוות שמיטת הקרקעות היא שונה, שכן ישנם הטוענים כי היא מוטלת לא רק על בני ישראל אלא גם על הארץ, ”וְשָׁבְתָה הָאָרֶץ שַׁבָּת לה'” (ספר ויקרא, פרק כ"ה, פסוק ב') חובתו של עם ישראל לוודא שהארץ שובתת.
אמנם, בתקופת המשנה והתלמוד, כשחלק גדול מארץ ישראל היה ביד נכרים, לא הייתה אפשרות מעשית לוודא שהארץ שובתת, ולכן כדי לשמור על השלום התירו לשתף פעולה עם נכרים המעבדים את שדותיהם בשביעית:
חוכרין נירין מן הנכרים בשביעית, אבל לא מישראל. ומחזיקין ידי נכרים בשביעית, אבל לא ידי ישראל. ושואלין בשלומן, מפני דרכי שלום.
כלומר, מותר לחכור מנכרים שדה חרוש, אף על פי שהדבר עלול לגרום להם בעקיפין לחרוש קרקעות נוספות.
בתלמוד הירושלמי נחלקו בפירוש "מחזיקים ידי נכרים": לפי דעה אחת הביטוי מתייחס לאמירה הכללית "יישר כוחך" מתוך נימוס ושמירה על יחסי שלום. דעה נוספת היא שמותר אף ללהתייחס במישרין לעבודת הקרקע, תוך סיכום על קניית הקרקע במוצאי השמיטה. הרמב"ם פסק כדעה הראשונה:
מחזיקין ידי עכו"ם בשביעית בדברים בלבד, כגון שראהו חורש או זורע אומר לו 'תתחזק' או 'תצליח' וכיוצא בדברים אלו, מפני שאינם מצווין על שביתת הארץ.
מכאן ניתן להסיק גם לגבי קניית יבול שביעית מנכרים בארץ ישראל: אם נכרי מגדל יבול מעצמו, מותר לקנות ממנו, ומותר גם לברך אותו שיצליח במעשיו. אולם אסור לסכם מראש עם נכרי שיגדל יותר יבול כדי שנוכל לקנות ממנו. וכן כתב בימינו הרב משה שטרנבוך: "המנהג פשוט שמסכמים עם גוי בשישית שיקנו ממנו בשביעית סכום מסוים של פירות וירקות, ועל סמך זה הגוי חורש וזורע ומוכר. ותמוה, דבמסכת בבא מציעא (צ, א) אמרינן שאם אומר לגוי לעבוד בשדה שלו, אסור, כיוון שעובד בשביל ישראל. וכאן נמי, כיוון דחורש וזורע בשלו, מכל מקום עושה זאת עבור ישראל, ואסור. והדבר מפורש בתוספות שם, שפירשו שאסור לומר לגוי לחרוש בשביעית בשדה של הגוי משום איסור דאמירה לגוי שבות... ולכולי עלמא אסור לחרוש בשביעית בקרקע של נכרי, שהארץ כולה בקדושתה עומדת... וצריך ביאור".
דיונים הלכתיים > עבודת יהודי בקרקע של נכרי

המושג "יבול נכרי" מציין יבול שצמח בקרקע השייכת לנכרי, גם כאשר החקלאי שעיבד את הקרקע בפועל הוא יהודי. הדבר מעורר שאלה, האם מותר ליהודי לעבוד בקרקע השייכת לנכרי בארץ ישראל?
בתלמוד נאמר בפירוש: ”אין עודרין עם הגוי בשביעית” (גיטין סב א), אולם ממקורות אחרים נראה, שהיו יהודים שעבדו בקרקעות של נכרים. המפרשים הסבירו את הדברים בכמה דרכים:
באופן עקרוני אסור ליהודי לעבוד בשדה של גוי בשביעית, שהרי אין קניין לגוי להפקיע את ארץ ישראל מקדושתה, ויש מצוות עשה של "ושבתה הארץ". המחלוקת של חכמי צפת שנזכרה למעלה היא "רק לעניין קדושת הפירות. אבל חרישה וזריעה ושאר עבודות, לכולי עלמא אין חילוק בין עובד בקרקע ישראל לעובד בקרקע נכרי, בין עושה מלאכה דאורייתא או דרבנן, דקדושת הארץ לכולי עלמא לא פקע".
כאשר השלטון מחייב את החקלאי לשלם מס קבוע (ארנונא) שאם לא ישלמו יהיה בסכנת חיים, מותר לו לעבוד על-מנת לשלם את המס בלבד. אבל במקרים אחרים אסור.
האיסור לעדור עם גוי מתייחס רק לשדה של יהודי או שדה בבעלות משותפת של יהודי וגוי.
האיסור נהג רק כשהשמיטה נהגה מן התורה, אבל הוא הוקל לאחר החורבן, כאשר השמיטה נוהגת מדרבנן בלבד, כיוון שרוב השדות בארץ ישראל היו ביד נכרים: "כשכבדו המיסים והארנוניות, ועזבו את הארץ, ונחרב היישוב שבארץ ישראל, הפסיקו לנהוג כעין דאורייתא, ונהגו שיש קניין לגוי בקרקע. ולפי זה כיום, שיש ב"ה יישוב גדול בארץ ישראל כעין זמן הש"ס, אם כן ראוי לכולי עלמא לנהוג כעין דאורייתא".
באופן עקרוני מותר ליהודי לעבוד בשדה של גוי בשביעית, אולם חז"ל אסרו לעשות זאת כתקנה משום מראית עין, שלא יחשבו שהוא עובד בשדה שלו.
דיונים הלכתיים > נכרי השוכר קרקע מיהודי

כאשר הקרקע שייכת ליהודי, והחקלאי הנכרי מחזיק אותה רק בשכירות, לכל הדעות אין זה קניין המפקיע את הארץ מקדושתה, אסור ליהודי לעבד את הקרקע, והפירות הגדלים שם עדיין קדושים בקדושת שביעית. אולם אין שם איסור ספיחין.
בימינו, רוב הקרקעות בארץ ישראל שייכות רשמית למדינת ישראל, והנכרים המחזיקים בהן באופן חוקי עושים זאת כחוכרים מהמדינה. לכן לכאורה דיני שביעית (פרט לאיסור ספיחין) עדיין חלים שם.
דיונים הלכתיים > נכרי המחזיק בקרקע ללא קניין

כל המקורות לעיל מתייחסים רק לנכרי שקנה קרקע בארץ ישראל באופן חוקי. ברם, יש שדקדקו מתוך תשובת רש"י במידה והקרקע הגיעה לידי הנכרי שלא בדרך קניין אלא בדרך גזל וכיבוש, הקרקע עדיין בחזקת ישראל: ”גויים שהחזיקו בארץ ישראל - אין להם חזקה, דקיימא לן: קרקע אינה נגזלת ואינה נחמסת לעולם. וארץ ישראל בחזקתנו עומדת לעולם.” ואולם, דברי רש"י הללו לא נאמרו כלל לגבי הלכות שביעית אלא לשם הצדקת המנהג לפיו נהגו לכתוב בכל השטרות כאילו לבעל השטר יש קרקע גם במידה ואין לו. אך דברי רש"י אלו נאמרו רק לשם הצדקת המנהג שהיה בתקופתו בכתיבת השטרות, ולא לגבי הלכות שביעית. לעניין שביעית אנו מניחים כי גם קרקעות שלא נקנו באופן סדיר על ידי הנכרי, נחשבים בבעלותו לעניין שביעית ואכן ה'חזון איש' פקפק ביכולת להסיק מסקנה בהלכות שביעית מכח דברים אלו של רש"י (חזון איש שביעית סימן כא אות ה ד"ה ומהרש"ס). ופוסקים אחרים כתבו להדיא שאין נוהגים כדברי תשובה זו (ספר שלום ירושלים, דיני שביעית עמ' נא אות יב).
ואולם יש שהחמירו והבינו כי דברי רש"י נוכנים גם לגבי הלכות שביעית, וכיוון שארץ ישראל הייתה תחת כיבוש ערבי במשך דורות רבים, חלק גדול מהקרקעות הנמצאות בחזקת נכרים עשויות להיות קרקעות שנגזלו באופן עקיף מיהודים, ולכן כל דיני שביעית נוהגים בהן.
פיקוח הלכתי

צריכת יבול נכרי נפוצה במיוחד במגזר החרדי. כדי לפקח על העניין מוקמות ועדות שמיטה, המורכבות מרבנים ופוסקי-הלכה.
הפיקוח מתחיל עוד לפני השמיטה: כל סוחר המעוניין בקבלת תעודת כשרות מבד"ץ חרדי, צריך להכין רשימה של החקלאים שמהם הוא מקבל פירות וירקות. ועדת השמיטה בודקת את הרשימה ומוודאת שכל המגדלים אכן "נכרים למהדרין". כמו כן היא מבצעת "אימות קושאנים" כדי לוודא שהבעלות על הקרקע היא אכן של המגדלים הנכרים. משגיחי בד"ץ שארית ישראל מעידים כי "בשמיטה הקודמת [ה'תשנ"ד] גילו כי מטעי הדרים, שגדלים בהם פירות של "ערבים", שייכים בעצם ליהודים, והערבים רק מטפלים בהם באריסות, ועל כן נאסר כל פרי ההדר שהגיע מאזור זה".
לפי הנחיית הרב יוסף שלום אלישיב, הסוחרים חותמים עם החקלאים הנכרים על הסכמים כתובים (ולא רק בעל פה) לאספקת סחורה בכמות מסוימת וקבועה מראש. זאת על מנת שלא ייווצרו מחסני סחורה הפוגעים בקדושת השביעית.
בעבר היו ירקות נדירים, כגון חזרת, שהחקלאים היחידים שידעו לגדלם היו יהודים. כדי להתכונן לשמיטה, חקלאי יהודי היה מדריך חקלאי ערבי מהכפר הסמוך באופן הגידול, על מנת שיוכל לגדל בשדותיו כ"יבול נכרי".
הפיקוח נמשך גם בשנת השמיטה, כדי למנוע הונאות. בין ההונאות שדווחו בעבר: חקלאים ערבים, שהתבואה בשדותיהם הייתה נמוכה, קנו תבואה מעמיתיהם היהודים, ופיזרו אותה בשדה במהלך הלילה, כדי שיוכלו ללקט אותה בבוקר ולמכרה כ"יבול נכרי". בשנת ה'תשנ"ד הוצב במעבר ארז משגיח כשרות, שתפקידו היה לבדוק את הסחורה החקלאית הנכנסת לרצועת עזה והיוצאת ממנה, ולמנוע מכירת תוצרת יהודית במסוה של יבול נכרי מהרצועה. מערכת הכשרות אף דרשה להסריט את מהלך הקטיף, האריזה וההובלה עד למחסום.
ביקורת

רבנים רבים, בעיקר בציבור הדתי-לאומי, מתנגדים לשימוש ביבול נכרי מכמה סיבות:
רוב השדות המוחזקים בידי נכרים למעשה שייכים לעם ישראל ולמדינת ישראל, ולא נקנו כדין.
אמירה לנכרים שיזרעו עבורנו היא אסורה ופוגעת בשביתת הארץ (ראו מקורות למעלה).
קניה מוגברת של ירקות ופירות מערביי ישראל מחזקת את אחיזתם בארץ ישראל. הם רוכשים שדות נוספים, וזה איסור של "לא תחנם" ושל ”לא ישבו בארצך” (ספר שמות, פרק כ"ג, פסוק ל"ג). מעבר לכך, "כל מי שקונה מאויבינו, עליו לדעת שהוא שותף לשפיכות דמים של חיילים ואזרחים ר"ל... הבעיה איננה אכילת יבול נכרי, אלא אכילה מיבול אויבינו. אפשר לקנות מאירופה, מדרום אמריקה, מאפריקה ועוד".
קנייה מנכרים פוגעת בחקלאים יהודים הזקוקים לצורך פרנסתם להשתמש עדיין בהיתר מכירה. דרך זו מנוגדת להעדפת הקניה מיהודים דווקא כדי לקיים את הציווי ”וחי אחיך עמך” (ספר ויקרא, פרק כ"ה, פסוק ל"ו).
בעבר היו מקרים רבים בהם סוחרים שאינם יהודים סיפקו תוצרת יהודית במסווה של תוצרת ערבית. כמו כן, "רבים ממיני הירקות אינם נזרעים אלא נשתלים, השתילים מוכנים בדרך-כלל במשתלות של יהודים, המכינים אותם גם בשנת השמיטה."
יבול נכרי גורם לנו להיות תלויים בערבים: "נוצר מצב שיהודי מתפלל ומקווה שחס ושלום לא יקטן מספר הערבים בארץ, שהם ימשיכו לגדל ולעבד. על זה הוא בונה לא רק את כלכלתו... אלא גם את היראת שמים שלו".
טליה שניידר מציגה את שני צדדי המחלוקת בנושא זה:
"מקור שפע זה [יבול נכרי] עשוי להישמע כמו דרך להתחמק מכל הרעיון של שנת השמיטה. האם האדמה שלהם לא צריכה שמיטה?!... אבל דווקא כאן יש גדלות והכרה ב'תושב' שחי כאן, וזה ביתו, אך אינו מחויב במצוות... הרי זה ממש לא מעשי לתבוע מהערבים בארץ לשמור שמיטה... ברור שהיינו רוצים שכל חבל הארץ יהיה במנוחה למשך השנה הזאת, אבל שמיטה היא מצווה מהתורה שאפילו ליהודים קשה מאוד לקיים אותה. אז זה בכל זאת מקור שפע אפשרי... הפתרון של קניית תוצרת חקלאית מערבים לא מתקבל על לפחות מחצית משומרי המצוות בארץ (אבל על החצי השני הוא כן מקובל, כלומר הדעות חלוקות וטוב שכך, טוב שיש מגוון). אישית, אני מסתייגת מן הפתרון הזה לעניות הבנתי, מפני שעדיין הוא גורם לעיבוד האדמה, וגם מפני שקשה לדעת אם תומכים באוהב או באויב... ובכל זאת, זוהי אפשרות שהתורה מציעה לנו. לכן הייתי רוצה לקחת גם אותה כאופציה למקרה של חוסר גדול... להשתמש באפשרות הזאת כדי לייצר הזדמנות לקשרים עם חקלאים ערביים שוחרי שלום."