stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מגנוס החמישי, מלך נורווגיה
מלחמת האזרחים

מלחמת האזרחים הנורווגית לא הגיעה לסיומה עם ניצחונו של סבר על מגנוס. לאחר מותו של מגנוס, טענו זיגורד, אינגה וארלינג להיותם בניו ותבעו לעצמם את הכתר. מלחמת האזרחים התמשכה על פני 110 שנים. היא החלה לאחר מותו של זיגורד הראשון ב-1130 והסתיימה עם מותו של הדוכס סקול ברדסון ב-1240.
במהלך תקופה זו התנהלו מספר עימותים מוגבלים רמות שונות של עצימות. הרקע לעימותים אלו היה סדר הירושה הנורווגי שהיה לא ברור, המצב החברתי והמאבק בין המלך לבין הכנסייה. בתחילה היו שתי סיעות שנאבקו אלה באלה. בתחילה הם לא כונו בשם כל שהוא, אך בסופו של דבר הם כונו ה"בגלר" וה"בירקביינר". כל אחת מהסיעות הללו התקבצה סביב בן משפחת המלוכה או טוען לכתר ששימש כמנהיג בובה.
טריפה תחרותית

זאבים מנסים לטרוף גורי דוב גריזלי באלסקה. הדובים הם יריבים לזאבים והריגתם מצמצמת את התחרות מולם, נוסף לציד.
דהול שנטרף בידי נמר הודי.
מאבק קטלני בין עקרב לעכשוב. אצל פרוקי רגליים רבים התחרות מסתיימת בטריפה של המפסיד.
טריפה תחרותית (באנגלית: Intraguild predation או בקיצור IGP) הא יחס גומלין הדדי בין מינים קרניבורים הנמצאים בתחרות על מזון שבסופה המפסיד ייטרף בידי יריבו. תחרות זו יכולה להיות חד-צדדית או הדדית כששני מינים עשויים להיטרף בידי יריבם (למשל בהבדלי גילאים בולטים או בלהקות מספיק גדולות). הטריפה מספקת לטורף גם מזון כמו טרף רגיל אך גם מורידה לחץ תחרותי מיריבו. תחרות זו יכולה להשפיע על הקהילה בחברה אקולוגית קיימת, בעיקר במאפייני טורפי-העל הממלאים גומחה אקולוגית חופפת. לעיתים היא מתרחשת גם בתנאי שבי.
תחרות זו קיימת במספר רב של בעלי חיים טורפים ואף בטפילים והיא נפוצה בעיקר באזורים תחרותיים. הדבר גם תלוי ביחס בין טורפי-על במערכת, כשטורפי-על יתמקדו בטרף של מתחרים אחרים בעיקר כשהתחרות גדולה. למשל היחסים בין אריות לצבועים מנומרים מלווים בתחרותיות גבוהה ביותר ושני הצדדים נטרפים בידי יריביהם, לרוב ביתרון של להקה גדולה מול היריב. תחרות יכולה להיווצר גם באזורים שבהם טורף-העל נעלם וטורף בינוני תופס את מקומו, כמו בילוסטון ששם הקויוטים תפסו את מקומם של הזאבים שחיו באזור, אך כשהוחזרו הזאבים לפארק, נוצרה תחרות רבה בינם ובין הקויוטים, וחלק מהקויוטים נטרפו. הקויוטים עצמם צדים טורפי-ביניים כמו שועלים ושונר בובקט מאותה סיבה ואריות יתקפו חתוליים קטנים מהם כמו נמרים, תנים וברדלסים כדי למנוע תחרות.
התחרות נפוצה אף יותר אצל פרוקי רגליים, למשל נמלים וצרעות, אך גם אצל מינים המתבססים על טרף דומה, למשל חיפושיות ממשפחת המושיתיים שטורפות כנימות, ומתחרות על הכנימות עם מרושתי כנף וכמה פשפשאים – תחרות גבוהה מביאה את הזחלים לצוד את יריביהם במקום כנימות. אצל מספר חרקים, מרבי רגליים ועכבישאים הטורף נאלץ להיאבק בטרף והמפסיד בתקרית של שני טורפים בגודל דומה מסתיימת בטריפה.
באוקיינוסים ישנם טריפה תחרותית אצל מספר כרישים ולווייתני שיניים אך גם בין דגי גרם. הטורפים הגדולים כמו עמלץ לבן, כריש טיגרי או תנין ים יטרפו כרישים קטנים יותר או אף לווייתנים כמו דולפינים ופוקניים.
גם יחסי קניבליות נוצרת לעיתים קרובות מסיבות דומות, למשל אצל מינים הניזונים מאחיהם או מיריבים טריטוריאליים שלהם. לעיתים פרטים בוגרים יטרפו צעירים (למשל אצל דוב הקוטב) הן למאכל והן כדי למנוע מהם להפוך ליריבים בעתיד.
ראו גם

תחרות
קניבליזם
אבולוציה הדדית
חומצה פיטית

| --- | --- |

 
 כתיב כימי:  C₆H₁₈O₂₄P₆ 
 מספר CAS:  83-86-3
 
חומצה פיטית (באנגלית: Phytic acid) היא תרכובת מחזורית שמהווה את צורת האחסון והאגירה הנפוצה ביותר של זרחן בזרעים. תרכובת זו נוצרת על ידי זרחון הדרגתי של מיו-אינוזיטול (אנ'), שמתרחש בציטוזול של תאי זרעים שונים. החומצה ידועה בתור היותה אנטי-נוטריינט שכן היא מעכבת ופוגעת בספיגת יסודות חשובים במערכת העיכול כמו אבץ, ומגנזיום.
ייצור חומצה פיטית בטבע

חומצה פיטית התגלתה בשנת 1903, והיא מצויה באופן טבעי במגוון צמחים עשירים בסיבים כגון דגנים, קטניות ואגוזים, בהם היא משמשת כמאגר זרחן. ירקות עליים ופירות לרוב יכילו כמות מזערית, אם בכלל, של חומצה פיטית.
חומצה פיטית לרוב מיוצרת ונאגרת בצמח כחלק משלב התפתחותו. החומצה מיוצרת בציטוזול של תאי הצמח, בשני מסלולים מטבוליים אפשריים: במסלול תלוי ליפידים (חומצות שומן), שמתקיים בנוכחות של הליפידים פוספטידילאינוזיטול ופוספואינוזיטידים, ובמסלול שאינו תלוי ליפידים, במהלכו נדרשת נוכחות של אינוסיטול פוספטים מסיסים (soluble inositol phosphate).
חומצה פיטית בתזונת האדם

דגנים, קטניות, אגוזים ושמנים המופקים מזרעים הם המקור העיקרי לצריכת חומצה פיטית ממקור טבעי בתזונת האדם.
חומצה פיטית אחראית בין היתר על מרקם של מוצרי מזון שונים. חומצה פיטית גורמת להאטת התגבשות החלבונים בטופו, לשימור מוצרי מאפה ולייצוב חלבונים מסיסים בחלב סויה. מאז שנת 1997, בה הוכרה החומצה הפיטית כתוסף בטוח באופן כללי, חומצה פיטית מוספת באופן נרחב לבשר, ממרחי דגים, מאכלי ים משומרים, פירות, ירקות, גבינות, אטריות, רוטב סויה, מיצים, לחמים ומשקאות אלכוהוליים, על מנת למנוע איבוד צבע ובכך תורמת להארכת חיי המדף.
בתהליך המיצוי של חלבון מן הצומח החומצה הפיטית שנמצאת בחומר הגלם הטבעי גם כן עוברת מיצוי. ישנה התייחסות בתעשיית המזון על שמירת רמות נמוכות של חומצה פיטית ברכיבים של חלבון מן הצומח על מנת לצמצם השלכות בריאותיות.
חומצה פיטית בתזונת האדם > חומצה פיטית כחומר אנטימיקרוביאלי

חיידקים פתוגניים, מחוללי מחלות, שמקורם במזון משפיעים בכל שנה על כשליש מאוכלוסיית העולם. בין היתר, חיידקים אלו מסוגלים לרוב לייצר ביופילם על גבי מוצרי מזון ועשויים בשל כך לשרוד לזמן רב יותר בסביבת עיבוד וייצור המזון. אף על פי שישנם כימיקלים שמשמשים לפתרון בעיה זו ברמה תעשייתית, ישנם מחקרים שמצאו השפעה שלילית של חומרים אלו. גם שימוש בתחליפים טבעיים אחרים לחומרים אלו כמו חומצה ציטרית לא מומלץ שכן הוא אינו מצליח לגרום לחיטוי מוצרי המזון. חומצה פיטית נחשבת בטוחה לשימוש ובעלת אפקט הרסני לביופילם, ולכן נעשה בה שימוש יחד עם נתרן כלוריד כחומר מחטא לטובת פירוק ביופילם בסביבת עיבוד מזון.
חומצה פיטית בתזונת האדם > השפעות עיבוד מזון על זמינות החומצה

שיטות עיבוד מזון מסורתיות כמו השרייה, הנבטה, בישול והתססה, בין אם לבד או משולבות בטכניקות נוספות, משפיעות על אחוז החומצה הפיטית במזון.
השרייה של דגנים ושעועית יכולה להפחית את החומצה הפיטית (כמו גם אנטי-נוטריינטים נוספים). מאחר שחומצה פיטית מסיסה במים, כמות משמעותית ממנה תימצא במי ההשרייה לאחר מספיק זמן, ובכך הזמינות הביולוגית של המינרלים במזונות אלו יכולה לעלות. הנבטה נמצאה אף היא כמפחיתה את אחוז החומצה הפיטית בקטניות וזרעי דגנים, למעט בשיפון, בחיטה ובשעורה.
בתהליך הבישול, חשיפה של חומצה פיטית ממקור צמחי לטמפרטורה גבוהה במשך זמן רב גורמת לירידה בכמות החומצה במזון. תהליך משולב של השרייה ולאחריה בישול נמצא כיעיל יותר בהפחתת חומצה פיטית, מאשר השרייה בלבד.
התפחת והתססת לחמים באמצעות שמרים יכולים לעזור לשבירת חומצה פיטית. בנוסף, חומצות מסוימות שמיוצרות בתהליך התססת הלחם עשויות לשפר את הספיגה של מינרלים מסוימים על ידי פירוק חומצה פיטית. אחת מהדרכים להארכת חיי המדף במזון הוא החמצה על ידי התססה, כאשר דגנים וקטניות משמשים באופן נרחב בהכנת מגוון רחב של מזונות מותססים. תסיסה לקטית היא השיטה המועדפת להתססת קטניות, דגנים, סויה ותירס. בתהליך זה מיוצרות חומצות שונות, ערך ה-pH הכללי של המוצר יורד, וגורם לפירוק טבעי של חומצה פיטית.
השפעות בריאותיות

מאז שנת 1920 חומצה פיטית נחשבת כאנטינוטריינט. תכונה זו נחקרה רבות לאורך השנים ונמצא כי חומצה פיטית מעכבת את הספיגה של יסודות הכרחיים לגוף האדם כמו מגנזיום ואבץ (הנחשבים למיקרו-מינרלים) במערכת העיכול ובמעי הדק. חומצה פיטית מסוגלת לקשור מינרלים שונים בתהליך כלציה ובכך לעכב ואף למנוע את הספיגה שלהם במעי הדק בעת תהליך העיכול. בנוסף, החומצה הפיטית מעכבת פעילות ביולוגית של חלבונים ושל אנזימי עיכול על ידי יצירת קומפלקס עם יוני סידן וחלבון, ובכך מקטינה את המסיסות של החלבון. כתוצאה מכך עלולות להיווצר בעיות עיכול בבע"ח שלא מפרקים את החומצה ועיקר תזונתם מסתמכת על צמחים.
ככלל, בני אדם ובעלי חיים שאינם מעלי גירה לא מפרקים את החומצה, אולם בעלי חיים מעלי גירה כן מסוגלים לכך בשל נוכחת האנזים פיטאז שמבצע הידרוליזה לחומצה פיטית. מקור האנזים הוא במיקרואורגניזמים שמאכלסים את מערכת העיכול של מעלי הגירה.
לבד מההשפעות השליליות של חומצה פיטית כאנטי-נוטריינט, יותר ויותר מחקרים מכירים בפעילותה נוגדת החמצון. בנוסף, החומצה הפיטית משתתפת בתהליך בקרת רמת הסוכר בדם וכן רמת הכולסטרול בגוף. עקב פעילות נוגדת החמצון של החומצה הפיטית, משוער כי היא מסוגלת לתרום במניעה של סוגי סרטן שונים, בעלת פוטנציאל לעזור על חולי אלצהיימר, פרקינסון, מחלות לב ומחלות אחרות. השפעות אלו טרם הוכחו באופן נרחב מספיק ועדיין לא קיים טיפול תרופתי המתבסס על מולקולה זו. כמו כן, מחקרים ראשוניים מצאו כי ניתן להיעזר בחומצה פיטית על מנת להוביל לירידה ברמות הסוכר בדם בקרב עכברים חולי סכרת. משערים כי מנגנון הפעילות הביולוגית של חומצה פיטית וסכרת קשור להאטה בעיכול ובפירוק עמילן במערכת העיכול באופן שמונע עלייה חדה ברמות הסוכר בדם לאחר צריכת מזונות פחמימתיים. בנוסף, נמצא כי חומצה פיטית מסייעת במניעת היווצרות אבנים בכליות. אבנים בכליות הן משקעים קטנים וקשים של מינרלים וחומצה על פני השטח הפנימיים של הכליות, שהיווצרותם גורמת לעיכוב במתן שתן. נוכחות חומצה פיטית במזון גורמת להשפעה היפוכולסטרולמית אשר מסייעת במניעת היווצרות אבנים בכליות.
מקובל כי צמצום ומניעה אקטיבית של צריכת חומצה פיטית אינם הכרחיים, למעט במקרים בהם יש פוטנציאל למחסור מינרלים בתזונה. בנוסף, על אף שדגנים מלאים וקטניות נחשבים לעשירים יחסית בחומצה פיטית, היתרונות הבריאותיים בצריכתם עולים על החסרונות של צריכת חומצה פיטית, בטח כשמדובר בתזונה מערבית.
מגררת

מגררת
מִגרֶרֶת (נקראת גם: מַגְרֶדֶת, פֻּמְפִּיָּה) היא כלי מטבח שמטרתו גירור מוצרי מזון לרצועות או ריסוקם לרסק. המגררת עשויה לרוב נירוסטה (אף שישנן מגררות פלסטיק) ועל דפנותיה בליטות ששפתיהן חדות המשמשות לחיתוך, ובצמוד להן נקבים שדרכם עוברות פיסות המזון החתוך. המגררת מיוצרת בגדלים שונים: המגררות הגדולות משמשות להכנת המזון, והקטנות משמשות בעיקר בעת הגשת המזון, כגון מגררת לגירור גבינה מעל פסטה.
מגררות משמשות לגירור גבינות וירקות לצורך הכנת פשטידות, לביבות וסלטים (כמו סלט גזר או סלט קולסלאו); לגירור קליפת לימון, תפוז או אגוז מוסקט על מנת לאפשר שימוש במעטפת החיצונית של הקליפה לצורכי תיבול; לגירור שבבי שוקולד המיועדים לקישוט קינוחים, וכן לריסוק עגבניות (המשמש לתיבולו או לאכילה כתוספת למלאווח).
כיום מעבד המזון החשמלי מחליף את המגררת ברבים מתפקידי הקיצוץ, בעיקר כשנדרש עיבוד של כמות מזון גדולה. יש המעדיפים את המגררת על פניו כשנדרש מרקם מדויק, כדי להימנע מקיצוץ יתר.
ראו גם

מגרדה
שימוש במגררת על מנת לרסק גזר לסלט.
טלמרק (סגנון סקי)

גלישה במורד בסגנון טלמרק
טלמרק (Telemark skiing) הוא סגנון סקי ממשפחת הסקי הנורדי. סגנון זה מאפשר לקחת פניות מדויקות ואלגנטיות כאשר גולשים במורד הר, גם כאשר מדובר בתנאים קשים ובמסלול מאולתר. כמו כן ניתן לנוע במישור עם ציוד הטלמרק.
בדומה לסקי למרחקים (קרוס קאנטרי) החיבור בין המגף למגלשי הסקי הוא רק בחלק הקדמי של כף הרגל בעוד שהחלק האחורי חופשי. התצורה הזאת מאפשרת שימוש מסוים בסגנונות של הסקי למרחקים מה שמאפשר התניידות כמעט בכל תנאי שטח, כולל עליות.
הסקי הזה פופולרי הן כספורט עממי והן כספורט תחרותי בייחוד בצפון אמריקה וסקנדינביה.
החל מתחילת שנות התשעים מתקיימות תחרויות רשמיות בסגנון הטלמרק המאורגנות על ידי פדרציית הסקי הבינלאומית.
היסטוריה

גם ענף זה פותח לראשונה על ידי סנדרה נורהיים הנורווגי. לראשונה נורהיים השתמש בסגנון בתחרויות קפיצות סקי כאשר לאחר הנחיתה הוא נהג לבצע פניה בסגנון טלמרק. ב-1868 נסע נורהיים עם קבוצת גולשים לאוסלו (אז נקראה "כריסטיאניה") לתחרות שנתית של גלישה במורד. נורהיים וחבריו הדהימו את הנוכחים בצורה הקלילה בה הם מבצעים פניות אלגנטיות תוך כדי גלישה במורד. בתקופה ההיא פניות כאלו היו קשות מאוד לביצוע ומרבית הגולשים העדיפו לגלוש בקו ישר. נורהיים וחבריו הציגו את הסגנון בו הם מבצעים פניה על ידי כיפוף הרגל הפנימית והשארת הרגל החיצונית ישרה. הסגנון התקבל בנורווגיה ומשם הופץ לאירופה הקונטיננטלית, אולם ב-1910 מתיאס זדרסקי האוסטרי הציג את סגנון ה"סטם" שמאפשר ביצוע פניות מדויקות ומהירות כאשר המגף נעול כולו על מגלש הסקי. הסגנון החדש התאים יותר לגלישה תחרותית ולמורדות התלולים של הרי האלפים, הוא היה קל יותר ללימוד ועד מהרה סגנון הטלמרק נזנח. 
בשנות השישים של המאה העשרים חזר סגנון הטלמרק לתודעה עם עליה בפופולריות של טיולי חורף בחיק הטבע, בעיקר בארצות הברית. סגנון הטלמרק שמאפשר תנועה גם בתנאים קשים ועם טופוגרפיה משתנה התאים לצורך העניין והענף הנשכח חזר לפתע לתודעה, אם כי רק כספורט עממי. רק בתחילת שנות התשעים פדרציית הסקי הבינלאומית החלה לארגן תחרויות מקצועיות בסגנון הטלמרק.
ציוד

מגלשי הסקי של הטלמרק דומים בצורתם למגלשי סקי אלפיני, אולם החיבור דומה לחיבור המקובל בסקי למרחקים כאשר רק החלק הקדמי של הרגל מחובר ואילו העקב חופשי. המגפיים עשויים לרוב מפלסטיק קשיח ומתחברים למגלשיים בשלושה פינים או בכבל הנפוץ יותר היום. אורך המקלות הוא בהתאם לתצורת המסלול; בירידות משתמשים במקלות קצרים כמו בסקי אלפיני, במישורים ועליות משתמשים במקלות ארוכים כמו בסקי למרחקים. הגולשים העממיים בדרך כלל משתמשים במקלות מתכווננים.
הטלמרק כספורט תחרותי

כאמור התחרויות מאורגנות מאז תחילת שנות התשעים על ידי פדרציית הסקי הבינלאומית (FIS). קיימים שלושה סוגים רשמיים של תחרויות:
סללום ענק (Telemark Giant slalum)
תוואי המסלול דומה לזה של הסלאלום הענק בסקי אלפיני אלא שבטלמרק יש בנוסף גם קפיצה בה על הגולש להשיג מרחק מסוים, ועליו לנחות בצורת טלמרק כאשר רגל אחת מקופלת. ביצוע לא טוב של אחד משני האלמנטים הללו מוסיף שנייה לזמנו של הגולש, כך שהגולש יכול להיענש בשתי שניות סך הכול על קפיצה רעה. כמו כן פניות ללא טלמרק במהלך הסלאלום מוסיפות שנייה לזמנו של הגולש (שנייה לכל פניה).
טלמרק קלאסי
גם ענף זה מתחיל בסלאלום ענק אלא שמתווספים לו אלמנטים נוספים: סיבוב של 360 מעלות (לעיתים שני סיבובים), בדרך כלל בסוף הסלאלום ולאחר מכן קטע של סקי למרחקים בסגנון חופשי, במישור או בעליה. גם כאן פניה ללא טלמרק במהלך הסלאלום מוסיפה שנייה לזמנו של הגולש, ובקפיצה גולש יכול להיענש בתוספת של עד 7 שניות לזמנו. גם לקיחה לא טובה של סיבוב ה-360 מעלות תוסיף שנייה לזמנו של הגולש.
ספרינט קלאסי
דומה מאוד לטלמרק קלאסי, רק קצר יותר. האלמנטים של הניקוד דומים, השוני העיקרי הוא בגלישה במורד שמהירה יותר, טכנית פחות וקצרה יותר.
שונות

השם "טלמרק" נקרא על שם אזור טלמרק בנורווגיה בו פותח הסגנון.
בקפיצות סקי הקופצים מחויבים לנחות בתצורת טלמרק, כפי שנהג לנחות סנדרה נורהיים, מה שהביא לפיתוח סגנון הטלמרק.
גולשי "אקסטרים" רבים משתמשים בציוד של טלמרק בירידה מהרים תלולים וקשים במיוחד.
חוג (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, חוג הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המקיימות מספר אקסיומות (שיפורטו להלן), המכלילות כמה תכונות בסיסיות של חוג המספרים השלמים ושל חוג המטריצות מעל שדה.
תורת החוגים, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים באלגברה.
הגדרה ומבנים יסודיים

חוג הוא מבנה הכולל קבוצה  R עם שתי פעולות בינאריות המסומנות " +" ו-" \cdot ", המקיימות מספר אקסיומות:
R היא חבורה אבלית ביחס לחיבור, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי (חילופי), יש איבר אפס, ולכל איבר יש נגדי;
R הוא מונואיד ביחס לכפל, כלומר: הכפל אסוציאטיבי ויש לו איבר יחידה;
הכפל דיסטריבוטיבי ביחס לחיבור (כלומר  x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z וכן  (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z).
אם פעולת הכפל גם היא חילופית (קומוטטיבית), החוג נקרא "חוג חילופי" (או: "קומוטטיבי"). לדוגמה, חוג המספרים השלמים חילופי, אך חוג המטריצות אינו חילופי.
הגדרה ומבנים יסודיים > קיום איבר יחידה

מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של איבר יחידה, נקרא "חוג בלי יחידה". לעיתים משתמשים בטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר  e המקיים  ex=x לכל  x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד. חוג האפס, הכולל רק איבר אחד, הוא חוג בלי יחידה.
הגדרה ומבנים יסודיים > היסטוריה

הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת 1914 על ידי אברהם הלוי פרנקל, בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ לשדות, האסכולה האמריקאית של א.ה. מור, ובעיקר עבודתו תחת קורט הנזל על שדה המספרים ה-p-אדיים. האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("חוג קלאסי"), וכך שלכל שני איברים  a,b יש איברים רגולריים  u,v כך ש- ab=bau=vba. ב-1921 פרסמה אמי נתר מאמר פורץ דרך, ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד לשנות ה־60 של המאה ה־20 הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כאמיל ארטין, מייקל עטיה ואיאן מקדונלד, ניקולא בורבאקי וסרז' לאנג, שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר.
הגדרה ומבנים יסודיים > הומומורפיזמים ואידיאלים

פונקציה  f:A\to B מחוג לחוג היא "הומומורפיזם של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. הגרעין של הומומורפיזם הוא אידיאל של החוג  A, ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי:  A/\ker(f)\cong {\text{Im}}(f).
הגדרה ומבנים יסודיים > תת חוגים

תת קבוצה של חוג  S\subset R שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, חוג המספרים השלמים הוא תת-חוג של שדה המספרים הרציונליים (המהווה שדה שברים שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים.
לדוגמה, המרכז של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים  c\in R המקיימים  c\cdot r=r\cdot c לכל  r\in R, הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר).
בניות של חוגים

תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר:
בניות של חוגים > מכפלה

המכפלה של שני חוגים  R,S, היא מכפלה הקרטזית  R\times S עם הפעולות על הרכיבים. משפט השאריות הסיני קובע כי המנה של חוג נתון מעל מכפלת אידיאלים קו-מקסימליים שלו איזומורפית למכפלת המנות.
ביתר כלליות, ניתן להגדיר מכפלה של כל משפחת חוגים  \{R_{i}\}_{i\in I} כקבוצה  \prod _{i\in I}R_{i} עם פעולות רכיב רכיב. מהמכפלה ניתן להגדיר הטלות  p_{i} לכל אחד מהחוגים המשתתפים בה, אך אי אפשר לשכן אותם באופן טבעי במכפלה – ההעתקה המעבירה איבר לקואורדינטה המתאימה לו איננה הומומורפיזם, שכן איננה שומרת יחידה. המכפלה מקיימת את התכונה האוניברסלית הבאה: אם  S חוג כלשהו, ונתונות העתקות  \{f_{i}:R_{i}\to S\}, אז קיים ויחיד הומומורפיזם  f:\prod _{i\in I}R_{i}\to S המקיים  p_{i}\circ f=f_{i}. כלומר, כל הומומורפיזם מכל החוגים "עובר דרך" המכפלה.
במקרה של מכפלה סופית, יש התאמה מוחלטת בין האידיאלים של החוגים לאידיאלים של המכפלה - כל אידיאל של המכפלה הוא בהכרח מהצורה  I_{1}\times \cdots \times I_{t}, כאשר  I_{i} אידיאל של  R_{i}. במקרה האינסופי אין זה נכון (יש עוד אידיאלים). יש גם התאמה בין הספקטרום של המכפלה הסופית לספקטרום של החוגים - אידיאל במכפלה הוא ראשוני אם ורק אם הוא מהצורה  R_{1}\times \cdots \times R_{j-1}\times I_{j}\times R_{j+1}\times \cdots \times R_{t}, כאשר  I_{j} אידיאל ראשוני של  I_{j}.
בניות של חוגים > פולינומים

לכל חוג  R, אוסף הפולינומים במשתנה בלתי תלוי  x עם מקדמים מ- R הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, המסומן  R[x]. הוא מכיל את  R כתת-חוג. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים- לאו דווקא סופי או בן-מניה, אך הפולינומים סופיים. אם  F הוא שדה, אז  F[x] הוא חוג אוקלידי ותחום ראשי, וגם ההפך נכון.
בניות של חוגים > מנה

בהינתן חוג  R ואידיאל (שמאלי)  I, למנה  R/I יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של חוג פולינומים במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים  \mathbb {Z} .
חוגי מנה הם הבסיס בדרך להבנת משפטי האיזומורפיזם של חוגים, ויש להם תפקיד בסיסי ומרכזי בתאוריה.
בניות של חוגים > מטריצות

חוג מטריצות  {\text{M}}_{n}(R) מורכב מן המטריצות מסדר  n שרכיביהן שייכים ל- R, יחד עם פעולות החיבור רכיב-רכיב וכפל המטריצות, המושרות מפעולות החוג. גם כאן, אפשר לזהות את  R עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם  n=1), איננו חוג עם חילוק ואף בעל נילפוטנטים. יש התאמה מלאה בין האידיאלים של  R לאידיאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר  R חוג פשוט, גם החוג  {\text{M}}_{n}(R) פשוט. אם  D הוא חוג עם חילוק, אז חוג מטריצות מעליו הוא ארטיני ופשוט. ההפך נכון לפי משפט ודרברן-ארטין.
דוגמאות

כל שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
חוג המספרים השלמים  \mathbb {Z}  הוא חוג קומוטטיבי. זהו תחום שלמות אוקלידי. חוג השלמים הוא חוג קומוטטיבי בסיסי ביותר, המהווה דוגמה ומוטיבציה להגדרות רבות בתורת החוגים, כמו בתורת המספרים האלגברית.
חוג השלמים של גאוס מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
אוסף הפונקציות הממשיות, עם חיבור וכפל של פונקציות, מהווה חוג חילופי. איבר בו הוא הפיך אם ורק אם איננו מתאפס (כפונקציה). אוסף הפונקציות הממשיות הרציפות גם הוא חוג, המהווה תת-חוג של אוסף הפונקציות.
אלגברת הקווטרניונים של המילטון היא הדוגמה הבסיסית ביותר לחוג עם חילוק (שאיננו קומוטטיבי). באופן כללי, כל אלגברה עם חילוק מממד 4 מעל שדה כלשהו היא אלגברת קווטרניונים.
תורת המבנה

תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת הרדיקלים) ושנות ה-60 (משפטי גולדי). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים ארטיניים, נתריים, ראשוניים, פרימיטיביים ופשוטים, תחומי שלמות, ועוד רבים אחרים.
ראו גם

מודול
הרחבת חוג
הערות שוליים

↑  Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. reine angew. Math. 145: 139–176.
↑  ליאו קורי, The Origins of the definition of abstract rings
↑  Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen 83: 24–66.
| אלגברה מופשטת |
| --- | --- | --- |
| ענפים | אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות |  |
| מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית |  |
| מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007538867405171  BNE: XX531097  BnF: cb131630283 (data)  GND: 4128084-2  LCCN: sh85114140  NKC: ph126754
טיגינה

טיגינה (ברומנית: Tighina, ברוסית: Бендеры – בֶּנדֶרי) היא עיר במולדובה, במפגש הנהרות דניסטר ובְק (Bâc). ב-1991 הצטרפה לרפובליקת טרנסניסטריה, המדינה הבלתי מוכרת שפרשה ממולדובה. אוכלוסיית העיר מנתה ב-2014 91,900 תושבים. במולדובה נחשבת בנדר (טיגינה) לרשות עירונית.
היסטוריה

טיגינה ידועה מאז המאה ה-13. אז נקראה טיגוּן ושימשה נמל נהר לנסיכי מולדובה. היו לה קשרי מסחר עם ג'נובה ובתקופה מסוימת הייתה שם גם מושבת מסחר ג'נובזית. העיר מצוינת על ידי הנסיך המולדבי אלכסנדרו הטוב ב-1408, כישוב גבול בשם טיאגיאנקצ'ה, במסמך המיועד לסוחרים מלבוב.
ב-1538 נכבשה על ידי צבא הסולטאן העות'מאני סולימאן המפואר ושמה שונה לבנדר.
הנסיך המולדבי אנטיוך קנטמיר פיתח מאוד את העיר בתחילת המאה ה-18. בשנים 1709–1713 שימשה כמקלט למלך שוודיה קרל ה-12, שנמלט מהרוסים אחרי שנוצח בקרב פולטבה.
במהלך מלחמות רוסיה טורקיה בסוף המאה ה-17 ותחילת המאה ה-18 נפלה העיר שלוש פעמים לידי הרוסים, ונכבשה סופית על ידם ב-1812, במלחמת רוסיה-טורקיה.
ב-1918 הייתה בנדרי לחלק מרומניה, וב-1940, בעקבות הסכם ריבנטרופ–מולוטוב, נכבשה על ידי ברית המועצות וצורפה לרפובליקה הסובייטית הסוציאליסטית של מולדובה.
ב-1941 צבא רומניה נכנס בחזרה לבסרביה לפי הסכם ברית עם גרמניה. טיגינה נכבשה על ידי הכוחות הגרמנים והרומנים ב 21 ביולי 1941 . ב 31 באוגוסט 1941 נחתם בעיר הסכם טיגינה בין השלטונות הרומנים ובין השלטונות הגרמנים, שבו סוכמו סמכויות הניהול  בידי הרומנים של "טרנסניסטריה" (השטח שנכבש שבין הנהרות בוג ודניסטר, ושימש את הרומנים כשטח ריכוז אליו יגרשו את יהודי בסרביה ובוקובינה) וסוכמו זכויותיהם של הגרמנים בחבל זה.
ב-1944 לאחר שינוי המגמה במלחמה נכבשה על ידי הצבא הסובייטי וחזרה שוב לברית המועצות במסגרת הרפובליקה הסוציאליסטית הסובייטית של מולדובה.
ב-1991, עם הכרזת עצמאות מולדובה, פרשה עם טירספול וריבניצה מהמדינה החדשה והצטרפה לרפובליקת טרנסניסטריה. בשנת 1992 העיר הייתה במרכז הקרבות בין מולדובה לבין הצבא של טרנסניסטריה. בתמיכה של חיילי הצבא הרוסי שהיו בעיר, הכוח המקומי הצליח להדוף את המתקפה של מולדובנים. עם זאת לעיר נגרם נזק כבר לרכוש, תשתיות עירוניות והיו קורבנות בין תושבי העיר. בהתאם להסכם להפסקת הלחימה העיר נשארה בידי טרנסניסטריה.