משפט פרובניוס (תורת החבורות)
הוכחה

נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:
כל איבר מסדר  nm, כאשר  n,m זרים, אפשר לפרק בצורה  x=yz כאשר  zy=yz=x,o(y)=n,o(z)=m (למעשה אפשר לבחור את  y,z להיות חזקות של  x).
נעזר גם בלמה הבאה:
למה: לכל n אם  A_{n} לא ריקה אז  \phi (n)\mid |A_{n}| כאשר  \phi  היא פונקציית אוילר. בנוסף אם  d\mid |G| מהצורה  d=p^{\alpha }s כאשר  p^{\alpha +1}\mid |G|,(p,s)=1 ואם  A=A_{dp}\setminus A_{d} אז  A ריקה או ש  \phi (p^{\alpha +1})\mid |A|.
הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא:  x\equiv y\iff \langle x\rangle =\langle y\rangle , כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים  x\equiv x^{t}\iff (t,o(x))=1. לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא  \phi (o(x)). מקבלים ש  A_{n} איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש  \phi (n)\mid |A_{n}|. נרשום את A בצורה הבאה:  A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s_{1},\,s_{1}\mid s\}. אם A אינה ריקה נקבל ש A=\bigcup _{s_{1}\mid s}\bigcup _{o(x_{i})=p^{\alpha +1}s_{1}}[x] כאשר  [x] מסמן את המחלקה של  x. כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב  \phi (p^{\alpha +1}s_{1})=\phi (p^{\alpha +1})\phi (s_{1}). ונקבל את הדרוש.
הוכחת המשפט:
יהו  d\mid n:=|G|. ההוכחה באינדוקציה כפולה על  n,d. מקרה הבסיס  n=1 או  d=n טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי  p\mid {\tfrac {|G|}{d}},d=p^{\alpha }s,(s,p)=1. תהי  A=A_{dp}\setminus A_{d}. מתקיים  |A_{d}|=|A_{dp}|-|A|.
מאינדוקציה נקבל כי  dp\mid |A_{dp}| ולכן מספיק להראות ש  d\mid |A|. אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה  p^{\alpha }(p-1)=\phi (p^{\alpha +1})\mid |A| ולכן מספיק להראות ש  s\mid |A|. נרשום A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s_{1},s1\mid s\} ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש  x=yz=zy,o(y)=p^{\alpha +1},z^{s}=e. נסמן ב  C(a)=C(\langle a\rangle ) את המרכז של a וב  \operatorname {conj} (a) את מחלקת הצמידות של  a. עבור  a ב  G נגדיר  S_{a}=\{ab\mid b^{s}=e,b\in C(a)\},S_{\operatorname {conj} (a)}=\bigcup _{x\in \operatorname {conj} (a)}S_{x}. מקבלים ש  A=\bigcup _{o(a)=p^{\alpha +1}}S_{a}. נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו  o(a)=o(a_{1})=p^{\alpha +1},ab=ba=b_{1}a_{1}=a_{1}b_{1},b^{s}=b_{1}^{s}=1. נקבל ש  a^{s}=a^{s}b^{s}=(ab)^{s}=(a_{1}b_{1})^{s}=a_{1}^{s}b_{1}^{s}=a_{1}^{s}. כיוון ש o(a)=o(a_{1})=p^{\alpha +1} וכן  (s,p)=1נקבל ש  a=a_{1} והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש  s\mid |S_{\operatorname {conj} (a)}| לכל a מסדר  p^{\alpha +1}. נשים לב שהעתקה  \Phi \colon S_{a}\to S_{x^{-1}ax},ab\to x^{-1}axx^{-1}bx היא התאמה חח"ע ועל ולכן  |S_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S_{a}|. יהי  k=|C(a)/\langle a\rangle |,m=(s,k). ההתאמה  ab\to b\langle a\rangle  היא התאמה חח"ע ועל מ  S_{a} ל  \{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{s}=e\}=\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}. כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש  m\mid |\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}|=|S_{a}| ולכן  |S_{a}|=cm. ממשפט מסלול מייצב נקבל ש  |\operatorname {conj} (a)|={\tfrac {|G|}{|C(a)|}} ולכן  |S_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S_{a}|={\tfrac {|G||S_{a}|}{|C(a)|}}={\tfrac {ncm}{kp^{\alpha +1}}}. כיוון שגם  k וגם  s מחלקים את  n נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם  \operatorname {lcm} (k,s)={\tfrac {ks}{m}} מחלקת את  n. לכן  s מחלק את  {\tfrac {ncm}{k}}. מכיוון ש  (s,p)=1 נקבל ש  s\mid |S_{\operatorname {conj} (a)}| וסיימנו.