stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
פרשת מלט נגד אירלנד
פסק הדין > התגובות להחלטה

המקרה עורר מחדש את סוגיית ההפלות באירלנד וגרר תגובות חלוקות מצד גופים וארגונים איריים ובינלאומיים כאחד. ארגונים איריים שמרניים קבעו כי מדובר בהחלטה מצערת שאינה תואמת את אופייה ודרכה של אירלנד. לטענתם, האו"ם חטא בתפקידו כאשר אפשר פגיעה בתינוקות החולים, תוך פגיעה במסורת המפוארת של אירלנד המבוססת על דאגה וטיפול באמהות ותינוקות. עוד טענו כי ההחלטה מכשירה את הממשלה לנהוג באופן ברברי ולא אנושי כלפי תינוקות. גורמים דתיים, וביניהם הארכיבישוף, טענו כי סוגיית ההפלות היא עניינה של אירלנד בלבד ולא של אף גורם ציבורי אחר.
לצד תגובות הנגד, התעוררו גם תגובות רבות המברכות את ההחלטה. קמפיין הנוגע לזכויות הפלה הכריז כי ההחלטה היא בגדר "אבן דרך" בהיסטוריה של אירלנד בפרט ושל העולם המודרני בכלל. בהקשר זה יש לציין את דעתם של גורמים משפטיים, שקבעו שעל אף הפיצויים הגבוהים לכאורה והחלטת האו"ם שהטיבה עם אמנדה, לא נוצר תקדים משפטי שניתן להתבסס עליו בבתי המשפט האיריים.
מקרים נוספים

בשנת 2017 ניתנה החלטה במקרה דומה, שעסקה בבקשתה של סיבאן וולאן לביצוע הפלה. בינואר 2010 בישרו הרופאים לוולאן כי היא סובלת מאנומליה רחמית קטלנית, וכי העובר עלול למות ברחם או זמן קצר לאחר הלידה. לאחר ששמעה את הבשורה, סיבאן וולאן החליטה כי איננה מעוניינת להמשיך עם ההיריון. החוק האירי האוסר על הפלות, פרט למצב בו חיי האישה נמצאים בסכנה. מאחר שולאן לא הייתה נתונה במצב של סכנה כפי שמגדיר החוק, הרופאים הודיעו לה כי האופציה היחידה שעומדת לפנייה היא להמשיך בהיריון תוך הבהרה ברורה כי אין בידה כל אפשרות לבצע הפלה. כתוצאה מכך, וולאן נסעה מחוץ לאירלנד על חשבונה לבית חולים בבריטניה, שם ביצעה הפלה. באפריל 2014 הגישה סיבאן וולאן תלונה פרטנית לועדת האו"ם לזכויות אדם. וולאן טענה כי בהתאם לפרוטוקול האופציונלי לאמנה הבינלאומית בדבר זכויות אזרחיות ומדיניות, האיסור בחוק האירי פוגע בזכויותיה לפי סעיפים 7, 17 ו26.
ביוני 2017 קבעה וועדת האו"ם לזכויות האדם, בפעם השנייה מאז פרשיית אמנדה מלט, כי איסור על הפלות, מהווה הפרה בוטה של זכויות האדם הבסיסיות של נשים.
הערות שוליים

1 2 3 4  Pat Leahy, Government will not give UN commitment to change abortion laws, The Irish Times (באנגלית)
1 2  Press release: UN Human Rights Committee says Ireland’s prohibition on abortion violates human rights, Abortion Rights Campaign, ‏09.06.2016
1 2  Isaac Stanleyl, How an Irish-American woman’s legal case helped spur Ireland’s abortion referendum, Washington Post (באנגלית)
↑  Kathy Sheridan, Stories of abortion, The Irish Times (באנגלית)
↑  Ireland’s ban on abortion violates human rights – ground-breaking UN ruling, www.amnesty.org, ‏09.06.2016
↑  Jamey Keaten, UN: Ireland's abortion ban is cruel, discriminatory to women, web.archive.org, ‏04.08.2016
↑  Marko Milanovic, EJIL: Talk! – UN Human Rights Committee Finds that Ireland’s Abortion Ban Violates the ICCPR, ‏13.06.2016
1 2  correspondent, Henry McDonald Ireland (2016-11-30). "Ireland compensates woman forced to travel to Britain for an abortion". The Guardian (באנגלית בריטית). ISSN 0261-3077. נבדק ב-2019-12-30.
↑  הצהרתה של אמנדה מלט
↑  Pat Leahy, Fatal foetal abnormality: More State payouts likely, The Irish Times
↑  RTE, Irish abortion laws caused inhuman treatment - UN, 09.06.2016
↑  Whelan v. Ireland (2017), Unite for Reproductive Rights (באנגלית)
↑  Whelan v Ireland decision factsheet, OURs - The Observatory of the Universality of Rights (באנגלית)
פולימרים ואינטגרלים מסלוליים

פולימר מורכב משרשראות ענק מולקולריות הבנויות ממולקולות קטנות - מונומרים
שרשראות פולימר ליניאריות אמיתיות איך שנצפו ע" מיקרוסקופ כוח אטומי
פולימרים הם מולקולות ענק המורכבות מיחידות חוזרות הקשורות ביניהן, הנפוצים הן בעולם החי כלו למשל ב-DNA והן בתעשייה כמו למשל בפלסטיק. פולימרים שמקורם מהטבע מכונים פולימרים טבעיים. בנוסף להם קיימת קבוצה גדולה נוספת של פולימרים מלאכותיים או חצי מלאכותיים שנקראים פולימרים סינתטיים או חצי-סינתטיים בהתאמה. המבנה המיוחד והארוך של פולימרים מעניק להם תכונות פיזיקליות מיוחדות, כמו קשיות, קשיחות, ויסקו-אלסטיות, ונטייה ליצור מבנים זכוכיתיים וקריסטליים למחצה. הפולימרים נחקרים בכל מיני ענפים, והחקר הפיזיקלי שלהם בפיזיקה של חומר מעובה מתעניין בפלוקטואציות התרמיות שלהם, בתכונות המכניות, ובקיניטיקה של התגובות הכוללות תהליכי פירוק הפולימרים למונומרים או פילמור המונומרים אל פולימרים.
משום שהפולימרים הם מולקולות גדולות, תכונותיהם הפיזיקליות בדרך כלל הן מסובכות בשיטות ניתוח דטרמיניסטיות. על כן, הגישה הסטטיסטית בדרך כלל היא היעילה במקרה שלהם, במיוחד אם מדובר בסקלה גדולה. הסיבה העקרונית להצלחה של תיאורם בגישה זו היא גודלם הגדול, תכונה המאפשרת את תקפות הגבול התרמודינמי, אף על פי שמדובר במולקולות סופיות.
הפלוקטואציות התרמיות משפיעות באופן רציף על הצורה של הפולימרים בתמיסות. כדי למדל את התופעה משתמשים בעקרונות של מכניקה סטטיסטית ודינמיקה. גישת האינטגרל המסלולי היא גישה יעילה לטיפול בבעיות כאלו ומציעה דרך נוחה לחשב ממוצעים סטטיסטיים. האינטגרל המסלולי בעולם הפולימרים מתחשב בכל התצורות המרחביות האפשריות לפולימר, ממשקל אותן סטטיסטית, גם בנוכחות שדה חיצוני (ובצימוד לאמבט חום תרמי שקובע את הטמפרטורה של המערכת). הרבה בעיות שלא נפתרו קודם לגישה זו נפתרו כבר באמצעותה בצורה מוצלחת, כמו הנפח האסור, שזירה, חיבורים (links) וקשרים (knots), וכו'. מדענים בולטים תרמו לפיתוח תחום זה כוללים פייר ז'יל דה-ז'ן, מאסאו דוי, פרידריך וויגל וקלינרט האגן.
הקדמה לגישת האינטגרל המסלולי

שיטת אינטגרלי המסלול (לא לבלבל עם אינטגרלים קווים) היא תיאור של מכניקת הקוונטים שעל פיה, למשל, ניתן להציג את הסתברות המעבר של חלקיק מנקודה אחת לאחרת כסכום (אינטגרל) על כל המסלולים האפשריים בהם החלקיק יכול לעבור בין שתי הנקודות. שיטה זו פותחה על ידי הפיזיקאי חתן פרס נובל ריצ'רד פיינמן ב-1948. גישה זו מצטרפת לאלו של שרדינגר והייזנברג כתיאור נוסף של מכניקת הקוונטים. היא מדגישה את השוני בין המכניקה הקוונטית והמכניקה הקלאסית, כיוון שבזו האחרונה, מעבר חלקיק בין שתי נקודות נתונות מתבצע לאורך מסלול אחד ויחיד. אינטגרלי מסלול הוכיחו את עצמם כיעילים מאוד לצורך פיתוח התמונה הפיזיקלית, ופתרון של בעיות רבות בתורת הקוונטים, וההכללה שלהם לתורת שדות היא כיום השפה המקובלת של הפיזיקה התאורטית, במיוחד כאשר רוצים לדבר על חישובים הפרעתיים.
כאמור, אינטגרלים מסוג זה הומצאו מתוך ניסיון להבנה עמוקה יותר של מכניקת הקוונטים והם שונים בתכלית מאינטגרלי המסלול במתמטיקה. במתמטיקה אינטגרלי מסלול (או אינטגרלים מסילתיים) מתייחסים לאינטגרלים של פונקציות (סקלריות או וקטוריות) לאורך מסילות במרחב. לעומת זאת כאן האינטגרציה היא של פונקציונלים והמסילות במרחב הן למעשה משתני האינטגרציה. כשם שחשבון וריאציות הוא הכללה של פעולת הנגזרת עבור פונקציונלים, אינטגרלי מסלול, בהקשר בו נדון כאן, מהווים הכללה של פעולת האינטגרציה.
אז בפורמליזם זה דנים באינטגרציה פונקציונלית, כאשר מספר המשתנים שמבצעים עליהם אינטגרציה הוא אינסוף רציף. אנחנו נראה את זה פה גם- בחקר הפולימרים באמצעות פורמליזם זה. במקרה שלנו, הפונקציה שמתבצע עליה האינטגרל הפונקציונלי (שהיא האינסוף הרציף שעליו מבצעים אינטגרציה) תהיה הצורה (או יותר מדויק הקונפרמציה) של הפולימר.
מודל הפולימר עם הקשר המעופף אקראית

לפולימרים הגמישים ישנו מספר עצום של תצורות (או קונפיגורציות) שנובעות מדרגות החופש של כיווני הקשרים הכימיים. צורת הפולימרים אפוא ניתנת לתיאור ביעילות על ידי פיזיקה סטטיסטית וממוצעים תרמודינמיים. נתאר בחלק זה את החקר של תכונות סטטיסטיות של פולימר אחד במצב שיווי משקל תרמודינמי.
מודל הפולימר עם הקשר המעופף אקראית > השרשרת האידיאלית

כדי לחקור פולימרים גמישים, מתחילים עם מודל פשטני שבו אנחנו מניחים  N קשרים, כל אחד באורך קבוע  l, וזווית מרחבית מקרית בהתפלגות אחידה, וכל הקשרים בלתי תלויים (הסתברותית). מודל זה נקראה שרשרת פולימר אידיאלית.
הקונפורמציה של פולימר כזה, על כן, מתוארת על ידי  N+1 וקטורי מקום  {\left\{{\mathbf {R} }_{n}\right\}}_{n=0}^{N}, או, באופן שקול, על ידי וקטורי הקשר  {\left\{{\mathbf {r} }_{n}\right\}}_{n=1}^{N}, כאשר  {\mathbf {r} }_{n}={\mathbf {R} }_{n}-{\mathbf {R} }_{n-1} (ו- {\mathbf {R} }_{0} אינו חשוב). נסמן ב- \psi \left({\mathbf {r} }_{n}\right) את פונקציית צפיפות ההסתברות של וקטור הקשר  {\mathbf {r} }_{n}, ובמקרה שלנו הפונקציה הזו היא
(מתקיים הנרמול  \int {d^{3}r\ \psi \left(\mathbf {r} \right)}=1). לכן, צפיפות ההסתברות של קונפורמציה מסוימת היא (מאי-תלות נוכל לכפול)
כדי לאפיין את גודל הפולימר נגדיר את וקטור הקצה-קצה של הפולימר להיות  \mathbf {R} ={\mathbf {R} }_{N}-{\mathbf {R} }_{0}=\sum _{n=1}^{N}{{\mathbf {r} }_{n}}, ואז ברור כי  \left\langle \mathbf {R} \right\rangle =0, והאורך הטיפוסי והאופייני של השרשרת מוגדר על ידי  {\overline {R}}={\sqrt {\left\langle {\mathbf {R} }^{2}\right\rangle }}, שבמקרה שלנו הוא:
מודל הפולימר עם הקשר המעופף אקראית > השרשרת המסתובבת חופשית

נראה פה מודל אחר שבו גם נקבל  {\overline {R}}\propto {\sqrt {N}}. במודל זה, הקשר ה- n מהווה זווית  \theta  קבועה עם הקשר הקודם (הקשר ה- n-1), והזווית האזימוטלית מתפלגת אחיד (ועדיין האורך הוא קבוע- l). מודל זה נקרא  שרשרת מסתובבת חופשית.
במקרה כזה,  {\mathbf {r} }_{n} הוא מרקובי, ובהינתן  {\mathbf {r} }_{n-1}, התוחלת של  {\mathbf {r} }_{n} היא:
ולכן, מיד מבינים (ממשפט ההחלקה) כי
ואז עבור  N\gg 1:
כלומר יצא לנו:
כאשר  l_{eff}\equiv {\frac {\overline {R}}{\sqrt {N}}}=l{\sqrt {\frac {1+{cos\theta \ }}{1-{cos\theta \ }}}}.
והנה פירוט לחישוב:
כאשר בשלב מסוים לקחנו  N\gg 1.
מודל הפולימר עם הקשר המעופף אקראית > שרשרת עם קשר מעופף אקראית

באופן כללי, אם מדובר בתעופה אקראית מרקובית, אז פונקציית הדפורמציה ניתנת לרישום כך:
 {\mathit {\Psi }}\left({\left\{{\mathbf {r} }_{n}\right\}}_{n=1}^{N}\right)={\psi }_{0}\left({\mathbf {r} }_{1}\right)\prod _{n=2}^{N}{\psi \left({\mathbf {r} }_{n}|{\mathbf {r} }_{n-1}\right)}
וניתן לראות שעבור  N\gg 1 גם מקבלים  {\overline {R}}\propto {\sqrt {N}}. אפשר גם בקלות להראות שזה עדיין יתקיים עם תנאי יותר חלש: סמי מרקובית- בהינתן התפלגות עד מספר שכנים קבוע מלפני, כבר השאר לא חשוב (אי תלות הסתברותית). כאשר מסמנים  {\overline {R}}\cong {\sqrt {N}}l_{eff}, קבוע הפרופורציה  l_{eff} נקרא האורך האפקטיבי של הקשר. הקבוע  C_{\infty }={\frac {l_{eff}^{2}}{l^{2}}} מייצג את הקשיחות של השרשרת.
מודל הפולימר עם הקשר המעופף אקראית > הפילוג של וקטור הקצה-קצה

בחזרה לשרשרת האידיאלית, פונקציית צפיפות הפילוג של וקטור הקצה-קצה ניתנת ע"י
כאשר השתמשנו בהצגת פורייה של הדלתא של דיראק, וגם בכך שעבור  N\gg 1,  {\left({\frac {sinkl\ }{kl}}\right)}^{N} נהיה מאוד קטן אלא אם כן  kl הוא מאוד קטן, ואז תקף הקירוב  {\left({\frac {sinkl\ }{kl}}\right)}^{N}\cong \ {\left(1-{\frac {{\left(kl\right)}^{2}}{6}}\right)}^{N}\cong e^{-{\frac {Nl^{2}k^{2}}{6}}}, וגם השתמשנו באינטגרל הגאוסי בסוף. קיבלנו אפוא שהפילוג הוא גאוסי. פילוג זה תמיד יתקבל עבור שרשרת עם קשר מעופף רנדומית אם
 N הוא מספיק גדול, כאשר השונות תהיה פרופורציונלית ל-
 N.
השרשרת הגאוסיאנית > לפני גבול הרצף

ראינו שבפילוג של וקטור הקצה-קצה, המבנה הלוקאלי של הקשר מתבטא רק דרך האורך האפקטיבי של הקשר  l_{eff}, וזה נכון באופן כללי: המבנה הלוקאלי משנה רק את האורך האפקטיבי, ולא מתבטא בצורות אחרות. לכן, כדי לחקור תכונות גלובאליות של פולימרים, נוכל להתחיל רק מהמודל הפשוט שקיים לנו.
נחשוב על שרשרת שוקטור הקשר הבסיסי שלה מתפלג גאוסית (בתלת מימד):
כאשר  \left\langle {\mathbf {r} }^{2}\right\rangle =l^{2}. פונקציית צפיפות ההסתברות של הקונפורמציה עכשיו היא
וזה נקרא שרשרת גאוסית, והיא מתארת נכונה לא את המבנה הלוקאלי של הפולימר, אלא את התכונות שלו בסקלה גדולה. היתרון בשרשרת הגאוסית הוא שהיא מודל שהוא הרבה יותר קל לטיפול מתמטי מאשר המודלים הקודמים.
תכונה חשובה למשל לשרשרת הגאוסית היא שהפילוג של  {\mathbf {R} }_{n}-{\mathbf {R} }_{m} הוא גם כן גאוסי (תלת־ממדי), אך עם שונות  \left\langle {\left({\mathbf {R} }_{n}-{\mathbf {R} }_{m}\right)}^{2}\right\rangle =\left|n-m\right|l^{2}, כלומר
השרשרת הגאוסיאנית > גבול הרצף

כאשר לוקחים את גבול הרצף מקבלים שפונקציית צפיפות ההסתברות של הקונפורמציה היא
עכשיו  n (שהיה מספר המונומרים או מספר הצעדים) הוא משתנה פרמטריזציה לאורך הפולימר.
קונפורמציית השרשרת תחת שדה חיצוני ואינטגרלים מסלוליים > פונקציית המשקל הסטטיסטי או פונקציית גרין

כדי לחקור את התכונות הסטטיסטיות של פולימר תחת שדה חיצוני, צריך לדעת מהו המשקל הסטטיסטי של כל קונפורמציה או צורה של הפולימר, ואז לחשב את פונקציית החלוקה, את פונקציית האנרגיה החופשית של הלמהולץ, ואז לחשב כל מיני גדלים תרמודינמיים.
אם ישנו פוטנציאל חיצוני  U\left(\mathbf {r} \right) שפועל על כל מקטע, הפילוג בשיווי משקל תרמודינמי מתוקן על ידי פקטור בולצמן
פונקציית המשקל הסטטיסטי, אפוא, היא
כאשר זה משמעותו שאנחנו בוחנים (או לוקחים בחשבון) את כל הקונפורמציות שמתחילות ב-  {\mathbf {R} }_{0}={\mathbf {R} }^{'}. בנוכחות פוטנציאל חיצוני,  P_{N}\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'}\right) מייצגת את המשקל הסטטיסטי של השרשרת שמתחילה ב-  {\mathbf {R} }_{0}={\mathbf {R} }^{'} ומסתיימת ב-  {\mathbf {R} }_{N}=\mathbf {R} . נשים לב שהמכנה אינו תלוי לא ב-  \mathbf {R}  ולא ב- {\mathbf {R} }^{'}.
מסיבות שיתבררו בחלק הבא, נקרא לפונקציה זו גם פונקציית גרין, ונסמן אותה ב- G\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'};N\right):
בהיעדר כוח חיצוני ( U\left(\mathbf {r} \right)=0),  G\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'};N\right) תהיה פשוט הפילוג הגאוסי:
פונקציית החלוקה (המתחשבת בכל הקונפורמציות האפשריות) היא פשוט:
קונפורמציית השרשרת תחת שדה חיצוני ואינטגרלים מסלוליים > המשוואה הדיפרנציאלית שפונקציית גרין מקיימת

אף על פי שלפונקציית המשקל הסטטיסטי הקודמת  P_{N}\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'}\right)\equiv G\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'};N\right) יש משמעות פיזיקלית, נגדיר אותה גם עבור  N שלילי להיות אפס, ואז, נסיק כי היא מקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:
ולכן קראנו לה פונקציית גרין. עכשיו נראה את זה.
קודם כל, בהיעזר בהתמרת פורייה של  G_{0}\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'};N\right) (כאשר זו היא פונקציית הדלתא של דיראק),
נוכל בקלות לוודא כי
וכדי לגזור את המשוואה בנוכחות פוטנציאל חיצוני  U, נשים לב שמתוך הגדרת  G\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'};N\right), מתקיים:
לכל  0<n<N. פיזיקלית, הפקטור  G\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{''};N-n\right)G\left({\mathbf {R} }^{''},{\mathbf {R} }^{'};n\right) מייצג את המשקל הסטטיסטי לשרשרת שמתחילה ב- {\mathbf {R} }^{'}, עוברת דרך  {\mathbf {R} }^{''} אחרי  n "צעדים" (או יותר מדויק: אחרי ריצת  n של משתנה הפרמטריזציה גבול הרצף), ומסתיימת ב- \mathbf {R}  אחרי  N "צעדים" בסה"כ. סכימה (או אינטגרציה במקרה זה) על כל ה- {\mathbf {R} }^{''} תיתן את המשקל הסטטיסטי לשרשרת שמתחילה ב- {\mathbf {R} }^{'} ומסתיימת ב- \mathbf {R}  אחרי  N "צעדים".
נשתמש בתכונה זו עבור  \mathrm {\Delta } N קטן:
בטווח ה- n-ים שבין  N ו- N+\mathrm {\Delta } N, בסדר הראשון ב- \mathrm {\Delta } N נקבל:
ולכן:
ואז:
ועבור  \mathrm {\Delta } N קטן, ל- G_{0}\left(\mathbf {R} -{\mathbf {R} }^{''};\mathrm {\Delta } N\right) ישנו פיק חד ב- \mathbf {R} ={\mathbf {R} }^{'}, ולכן, נוכל לפתח סביב  \mathbf {r} \mathrm {=} \mathbf {R} -{\mathbf {R} }^{''}:
ולכן, אם נרשום את הכל עד הסדר הראשון ב- \mathrm {\Delta } N, נקבל:
כלומר
וזה רוב מה שרצינו להוכיח. זה היה נכון עבור כל  N>0. כדי לראות מה קורה באפס, נסתכל על  N-ים קטנים:
(הסברנו את זה לפני). ומכאן מגיע ה- \delta \left(\mathbf {R} -{\mathbf {R} }^{'}\right)\delta \left(N\right) ולסיכום, הוכחנו את מה שרצינו להוכיח:
וכך ברור למה קראנו לפונקציית המשקל הסטטיסטי בשם פונקציית גרין.
קונפורמציית השרשרת תחת שדה חיצוני ואינטגרלים מסלוליים > אנלוגיה עם תורת הקוונטים

נשים לב כי עבור  N>0, המשוואה על  P_{N}\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'}\right) היא:
וזה מאוד דומה למשוואת שרדינגר:
אז  {\frac {i\hslash }{t}} הפך ל- \mathrm {-} N,  {\frac {{\hslash }^{2}}{2m}} הפך ל- {\frac {l^{2}}{6}}, ו- V\left(\mathbf {R} \right) הפך ל- {\frac {1}{k_{B}T}}U\left(\mathbf {R} \right). לכן, בפולימרים נקבל פתרונות דועכים ולא גליים (כי הזמן מדומה כבר), ומשום שזו עדיין בעיית שטורם ליוביל, עדיין מדובר בפתרונות עם הפרדת משתנים (בין "זמן" ומרחב, בדיוק איך שפותרים את משוואת שרדינגר כאשר ההמילטוניאן ב"ת בזמן), כאשר סט הפתרונות המרחביים הוא פתרון בעיית הערכים העצמיים של ההמילטוניאן (שהוא גם פה אופרטור הרמיטי):
קונפורמציית השרשרת תחת שדה חיצוני ואינטגרלים מסלוליים > דוגמה: שרשרת בקופסה

ניקח פולימר בקופסה בעלת ממדים  L_{x},L_{y},L_{z}. הפוטנציאל הוא אינסופי מחוץ לקופסה, ואפס בתוכה. לכן, וכמו בבעיית חלקיק בקופסה, זה מתבטא בתנאי השפה ש- G\left(\mathbf {R} ,{\mathbf {R} }^{'};N\right)=0 על השפה (ומחוצה לה גם אפס), והיא (פונקציית המשקל הסטטיסטי או פונקציית גרין איך שקראנו לה גם) מקיימת בתוך הקופסה:
והפתרון הוא הפתרון המוכר לבעיית החלקיק בקופסה שמגיע מהפרדת משתנים (ועם החלפת  {\frac {i\hslash }{t}} ב- \mathrm {-} N ו- {\frac {{\hslash }^{2}}{2m}} ב- {\frac {l^{2}}{6}}):
כאשר
ואז פונקציית החלוקה היא:
כאשר
והאנרגיה החופשית של הלמהולץ היא
כך שהלחץ על הדופן המאונכת לציר  i הוא:
נסתכל על זה בשני הגבולות הבאים:
(1) כאשר הפולימר הרבה יותר קטן מהקופסה (כלומר  {\sqrt {N}}\ l\ll L_{x},L_{y},L_{z}):
 Z_{i} הוא בקירוב
ואז
וזאת משוואת המצב של גז אידיאלי, כצפוי.
(2) כאשר הפולימר הרבה יותר גדול מהקופסה (כלומר  {\sqrt {N}}\ l\gg L_{x},L_{y},L_{z}):
 Z_{i} הוא בקירוב
ואז
ועקרונית פה, הלחץ על הדופן בציר מסוים אינו שווה ללחץ על דופן בציר אחר (אלא אם כן ממדי הקופסה שווים בצירים האלה). אנאיזוטרופיות כזו אחראית על כל מיני תכונות מיוחדות לפולימרים.
קונפורמציית השרשרת תחת שדה חיצוני ואינטגרלים מסלוליים > עוד יישומים

השיטה הזו של פונקציית גרין מיושמת בהרבה בעיות שקשורות לפולימרים במצבים לא הומוגניים כגון ספיחה של פולימרים, פולימרים בקרבת מעברי פאזה, פולימרים בתווך נקבובי, ועוד.
אפקט הנפח האסור > הקדמה

במודלים של הפולימרים שהזכרנו עד כה האינטראקציות בין קטעי הפולימר היו רק אינטראקציות בטווח קצר, ולא התחשבנו כלל באינטגרציות לטווח ארוך (קצר וארוך פה מדברות על המרחק לאורך השרשרת לפי משתנה הפרמטריזציה  n, ולא על המרחק המרחבי). בפועל, יש אינטראקציה כזו כאשר חלקים רחוקים על הפולימר הם קרובים מרחבית. אינטראקציה ברורה היא האפקט הסטרי, הרי משום שכל מקטע בפולימר תופס נפח במרחב, מקטעים אחרים לא יכולים לקחת אותו. אינטראקציה זו מנפחת את הפולימרים (ביחס לזה שאם חושבים עליהם בלי האינטראקציה), ואז האורך הטיפוסי של הפולימרים יהיה יותר גדול. גם אם ישנם כוחות משיכה (כמו  ואן דר ואלס), כל עוד שהכוח הדוחה הזה שולט, הפולימרים מתנפחים. אפקט זה נקרא אפקט הנפח האסור.
אפקט זה נחקר בהתחלה על ידי קהן, והייתה לו התקדמות מודרנית שהתחילה עם פלורי. התקבלה התובנה אז שהאינטראקציה ארוכת הטווח משנה את התכונות הסטטיסטיות של הפולימר בצורה משמעותית. למשל, האורך הטיפוסי של הפולימר לא הולך כמו  {\sqrt {N}}, אלא כמו  N^{\nu }, כאשר  \nu  הוא  {\frac {3}{5}} בערך, כך שאפקט הנפח האסור הוא מאוד חשוב עבור שרשראות ארוכות.
כאשר כוללים את האינטראקציה ארוכת הטווח בחשבון, חישוב מדויק נהיה בלתי-אפשרי. ולכן, משתמשים בכל מיני גישות כדי לעסוק בבעיה זו, ואנחנו נדבר פה על הגישה של פונקציית גרין שהגדרנו, כאשר ההגדרה שלה כללה אינטגרלי מסלול כזכור- בעצם זו הגישה כאמור.
אפקט הנפח האסור > מודל השרשרת עם הנפח האסור

בפועל, האינטראקציה ארוכת הטווח היא מסובכת- יש בה אפקטים סטריים, משיכות ואן דר ואלס, וכל מיני אינטראקציות אחרות המועברות על ידי תווך הממס (ומולקולותיו). בכל אופן, כל עוד מדובר בחקר תכונות בסקלה גדולה, הפרטים של האינטראקציה לא כל כך משנים, משום שאפקט הנפח האסור נשלט על ידי האינטראקציה בין חלקים רחוקים של הפולימר.
ניתן אז למדל את האינטראקציה הזו בין המקטע (הנקודתי) ה- n לבין המקטע ה- m על ידי  k_{B}T\ {\tilde {v}}\left({\mathbf {R} }_{n}-{\mathbf {R} }_{m}\right), כאשר  {\tilde {v}} היא פונקציית אינטראקציה קצרת טווח שבדרך כלל מקורבת לפונקציית דלתא  {\tilde {v}}\left({\mathbf {R} }_{n}-{\mathbf {R} }_{m}\right)=v\ \delta \left({\mathbf {R} }_{n}-{\mathbf {R} }_{m}\right) ( v הוא הנפח האסור). פונקציית הדלתא לא תגרום לבעיות, כי גדלים מדידים מערבים במקרה הזה אינטגרלים שמתנהגים כראוי. האנטרופיה אכן מתבדרת, אך הפרש האנטרופיה לא, וזה הדבר המעניין פיזיקלית ובעל משמעות. דבר כזה יש לו הרבה מקרים מקבילים או דומים בתורת השדות הקוונטיים.
אנרגיית האינטראקציה הכוללת אם כן ניתנת לתיאור ע"י
ואם נסמן את הריכוז הלוקאלי של המקטעים ב- c\left(\mathbf {r} \right) (כלומר  c\left(\mathbf {r} \right)=\int _{0}^{N}{dn\ \delta \left(\mathbf {r} -{\mathbf {R} }_{n}\right)}), נרשום את אנרגיית האינטראקציה בצורה הזאת:
כאשר צורה זו של כתיבה מראה שהביטוי שרשמנו לאנרגיה הוא הראשון בפיתוח הויריאלי ביחס לריכוז הלוקאלי  c\left(\mathbf {r} \right). לכן, הפרמטר  v נחשב למקדם הויריאלי בין המקטעים.
עקרונית, הפיתוח הויריאלי יכול להמשיך ולכלול עוד חזקות יותר גבוהות של  c\left(\mathbf {r} \right):
אבל למרות זאת, האיברים הבאים זניחים, כי צפיפות המקטעים קטנה בפולימר, והיא מוערכת להיות:
(כאשר לקחנו
 \nu =0\mathrm {.6} , שמתקבל מחישובים בהסתמך רק על האיבר הראשון), וזה מאוד קטן כאשר  N מאוד גדול. לכן, התכונות העיקריות של אפקט הנפח האסור יכולות להתקבל בצורה מספקת מתוך החישובים שמתחשבים בצורת האנרגיה שרשמנו בהתחלה כדי לתאר את תרומת האפקט הזה:
ואז פונקציית הפילוג של הקונפורמציה  {\mathbf {R} }_{n} (בהתחשב באינטראקציה זו, ובהיעדר פוטנציאל חיצוני) היא:
ולמודל הזה יש רק שני פרמטרים:  l שמייצג את האינטראקציה קצרת הטווח, ו- v שמייצג את האינטראקציה ארוכת הטווח. ההנחה הבסיסית למודל זה היא ההפרדה החדה בין הטווחים של אינטראקציות אלו, ואף על פי שאפשר לדון בתקפות של הנחה זו, בדרך כלל מאמינים שהיא נקודת מוצא נכונה לחקר הבעיה של הנפח האסור.
אפקט הנפח האסור > כיוונים תאורטיים

נדבר פה בקצרה על כמה גישות תאורטיות לטיפול בבעיה (מבחינה פיזיקלית-סטטיסטית), ונסביר יותר על החלק הקשור באינטגרל המסלולי. נגביל את הדיון ל- v>0 (אינטראקציה דוחה). מקרים אחרים גם ניתנים לטיפול.
אפקט הנפח האסור > כיוונים תאורטיים > תורה פשוטה של פלורי ושדרוג לתורת שדה ממוצע

לפלורי היה רעיון פשוט כדי לחשב את הנפח של פולימר: להסתכל על האיזון בין שני האפקטים: האפקט הדוחה של הנפח האסור שגורם לפולימר להתנפח, והאפקט האלסטי שנובע מההתקשרות בין המונומרים לאורך השרשרת שרוצה מהפולימר להתכווץ. אפשר להסתכל על מודל פשוט אז של האנרגיה החופשית של הלמהולץ ולהגיע לצורה הזו:
ואז הנפח הממוצע של הפולימר מוערך להיגזר מ- R שמביא את  F למינימום:
וזה נותן את האקספוננט  \nu  שדיברנו עליו. ואף על פי ש- \nu  שיוצא הוא קרוב לערך האמפירי, אלא שעוד תחזיות של גדלים אחרים מתורה זו לא מספקות. למשל, הביטוי שרשמנו לאנרגיה החופשית אינו עקבי עם צפיפות ההסתברות לווקטור הקצה-קצה שמתקבלת מסימולציות במחשב. גם יש התנהגות מוזרה של האנטרופיה. תורה זו בכל מקרה נחשבת למין תורת שדה ממוצע, אבל לא ממש, כי לא מחשבים בה שום ממוצע לשדה. תורת השדה הממוצע תתואר בהמשך.
אפקט הנפח האסור > כיוונים תאורטיים > חישוב הפרעתי והיעזרות בפונקציית גרין שמוגדרת על ידי אינטגרלים מסלוליים

בהנחה שהנפח האסור  v הוא קטן, פונקציית פילוג הקונפורמציה ניתנת לפיתוח כטור חזקות של  v, ואז נוכל לבצע חישוב הפרעתי של הגודל  \left\langle {\mathbf {R} }^{2}\right\rangle . נראה כעת חישוב מפורט לדוגמה של איך מחשבים את התיקון הראשון.
יהי  {\left\langle \ \cdot \ \right\rangle }_{0} מיצוע לפי הפילוג של השרשרת האידיאלית. אז עבור השרשרת עם הנפח האסור:
כאשר פה (ניקח את  k_{B}T להיות אחד):
ומפיתוח עד הסדר הראשון ב- U_{1}:
ועכשיו נחשב איברים בנפרד:
ואז עד הסדר הראשון ב- v נקבל:
כאשר מגדירים  z\equiv {\left({\frac {3}{2\pi }}\right)}^{\frac {3}{2}}{\frac {v{\sqrt {N}}}{l^{3}}}.
מפיתוח דומה וארוך ניתן למצוא את הסדרים הבאים, ומתקבל בסוף:
נשים לב שבפועל פרמטר הפיתוח הוא  z (ולא  v), ו- z הוא פרופורציונלי ל- {\sqrt {N}}, כך שהפיתוח ההפרעתי נהיה חסר משמעות כאשר  N גדול. המצב הזה שונה ממש מהפיתוח הויריאלי של גז לא מושלם, כאשר שם פרמטר הפיתוח הוא הריכוז הממוצע  {\overline {c}} שפרופורציוני ל- N^{1-3\nu } שהוא קטן בפולימרים. הסיבה להבדל זה הוא שבפולימרים ההתנגשות בין שני מקטעים משפיעה על וקטור הקצה-קצה בצורה משמעותית (אפקט מסדר גודל של 1), כאשר בגזים לא מושלמים האפקט הוא בסדר גודל של  N^{-1}. הפיתוח ההפרעתי במקרה של בעיית הפולימרים מנומק רק כאשר המקטעים של הפולימר אינם סבירים להתנגש זה בזה. ולכן מה שצריך להיות קטן בעצם הוא המספר הממוצע של ההתנגשויות שקורות לאורך כל הפולימר:
וזה בעצם  z (עד כדי קבוע).
אפשר להראות שהטור (ההפרעתי) שרשמנו עבור  {\frac {\left\langle {\mathbf {R} }^{2}\right\rangle }{Nl^{2}}} הוא אסימפטוטי, ושיש עלייה חדה במקדמיו שהולכת כמו  n^{n}. בכל מקרה, על ידי טכניקות סכימה מסוימות ניתן להפיק אינפורמציה מספקת עבור ההתנהגות האסימפטוטית. בפרט, האקספוננט  \nu  מוערך להיות
 \nu =0.588\pm 0.001