ארכימדס
מתמטיקה

נוסף לפרסומו כמתכנן של מכשירים מכניים, נודע ארכימדס גם בזכות הישגיו במתמטיקה. הישגים אלה מעידים על יצירתיות וחזון. פלוטרכוס כתב עליו: "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים".
ארכימדס היה הראשון שהשתמש בגדלים אינפיניטסימליים. באמצעות חלוקת קבוצה לאינסוף תת־קבוצות השואפות בגודלן לאפס, הוא הגיע לדיוק המרבי האפשרי לגבי גודל הקבוצה. שיטה זו ידועה בשם "שיטת המיצוי", והיא מהווה צעד ראשון לקראת החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ארכימדס נעזר בשיטה זו כדי לחשב את שטחו של עיגול, בכך גילה את הנוסחה המפורסמת לשטח מעגל המיוחסת לו  S=\pi \cdot R^{2} כאשר
S הוא שטח המעגל,  \pi  הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו ו־R הוא רדיוס המעגל. הוא אף הציג שיטה לחישוב  \pi  בכל דיוק רצוי, וחישב את ערכו בין הסכום  3+1/7 לסכום  3+10/71. ב"על הכדור והגליל", ארכימדס קובע שכל גודל כאשר הוא מתווסף לעצמו מספיק פעמים יעבור כל גודל נתון. זה ידוע כתכונה הארכימדית של המספרים הממשיים.
ארכימדס לא הסתפק בחישוב שטחו של עיגול. הוא נעזר שוב בשיטת המיצוי והמציא שיטות לחישוב שטחים ונפחים, חישב שטחים החסומים בפרבולות ובספירלות, נפחי גלילים, פרבולואידים ומקטעים כדוריים. הוא מצא את מרכזי הכובד של ההמיספירה (חצי ספירה), ושל טריז גלילי, ובכך חזה שוב את החשבון האינטגרלי. הוא הוכיח ששטחו ונפחו של כדור הם ביחס של  2:3 לשטחו ונפחו של גליל החוסם כדור זה. כיוון שנוסחאות לחישוב שטח ונפח של גליל היו ידועות, הוכחתו של ארכימדס סיפקה לראשונה נוסחאות לחישוב שטח ונפח של כדור.
ארכימדס היה הראשון, ואולי אף היחיד, מבין המתמטיקאים היוונים שעסק בעקומים מכניים (כאלה שנוצרים על ידי נקודה נעה), בראותו עקומים אלה כנושא ראוי לחקירה, בניגוד לדבקותם של המתמטיקאים היוונים בבנייה בסרגל ובמחוגה בלבד. במסגרת חקירתו זו השתמש בספירלת ארכימדס לשם תרבוע העיגול, ולשם שילוש הזווית (בחיבורו "על ספירלות"). ב"על ספירלות" ארכימדס גם פיתח טכניקות למציאת משיקים לספירלות, ובכך היה הראשון שמצא דרך למציאת משיק לעקומה שאינה מעגל.
למרות שעיקר הישגיו היו בגאומטריה ומכניקה, ארכימדס עשה גם התקדמויות משמעותיות בחישוב נומרי; בחיבורו "המדידה של המעגל", מצא ארכימדס את השורש הריבועי של 3 כגדול מ־ {\frac {265}{153}} וקטן מ־ {\frac {1351}{780}}. לפי אומדן זה הספרות הראשונות של שורש 3 בשבר עשרוני הן 1.7320508, ולכן אומדן זה מדויק מאוד. ככל הנראה הוא הגיע להערכה זאת באמצעות שיטות חדשות למציאת שורשים שפיתח, אך הוא לא תיאר ולא הסביר את שיטותיו. מנקודת מבט מתמטית מודרנית, החסמים שנתן הם ערכי ביניים בפיתוח לשבר משולב של  {\sqrt {3}}, מה שהוביל לספקולציות רבות לגבי התקדמויות מסוימות בתורת המספרים שייתכן שעשה.
בחיבורו "תרבוע הפרבולה", הוכיח ארכימדס שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל־4/3 כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים. במהלך הפתרון הוא סיכם לראשונה את הטור הגאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4:
\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}\;..
ב"מחשב החול", ניסה ארכימדס לחשב את מספר גרגירי החול שהיקום עשוי להכיל. במטרה להראות שמספר גרגירי החול ביקום אמנם גדול מאוד אבל סופי. כדי לספור את גרגירי החול, ארכימדס המציא שיטה חדשה שהתבססה על הסמל היווני לרבבה (10,000) לרישום מספרים גדולים עד  10^{8\cdot 10^{16}}.
כתבים חדשים שנכתבו על ידי ארכימדס ונתגלו בזמננו חשפו במידה מסוימת את הרקע הרעיוני לכתיבת חיבוריו, שהתבסס על הבנה עמוקה של האינסוף. נתגלו בהם תובנות של המושגים של אינסוף וקבוצה בת־מנייה, תובנות אשר לא הושגו עד לזמנו של גאורג קנטור, שחי כ־2,000 שנה אחרי ארכימדס (ארכימדס התחבט בגרסה של פרדוקס גלילאו). בכתבים הללו, ובמיוחד בספר "השיטה" של ארכימדס, מופיעות שיטות אחרות לקבלת התוצאות של ארכימדס שהופיעו בכתבים אחרים שלו. רעיונות ייחודיים לחיבור זה הם שימוש בגרסה מוקדמת של סכומי רימן ואינטגרציית רימן, כמו גם חישובי נפחים של צורות אחדות אשר לא מופיעים בשום מקום אחר בכתביו. כמו כן, בעקבות עבודות שחזור ומחקר שנעשו על הפלימפססט של ארכימדס הועלתה ההשערה, שארכימדס עסק בשאלות קומבינטוריות, יותר מאלפיים שנה לפני המצאת מדע הקומבינטוריקה.