stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ג'יימס גיילס
הערות שוליים

1 2  Stephen, Leslie, ed. (1890). "Giles, James". Dictionary of National Biography. Vol. 21. London: Smith, Elder & Co. p. 348.
↑  "James William Giles, R.S.A. (1801-1870)". Christie's. 2013. Re
↑  Ferguson, O. (2001). Aspects of Landscape – A Bicentenary Celebration of James Giles RSA, Aberdeen Art Gallery.
↑  James Giles, Doric Columns, ‏2017-12-20 (באנגלית)
↑  Aspects of Landscape, A Bicentenary Celebration of James Giles RSA (Aberdeen City Council, 2001), p. 1.
↑  Miscellania Manitobiana No 6 by Astrid Hess 2007 accessed 19 sep 2020
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007499157105171  AAG: 2393  AGSA: 3249  BnF: cb14974727n (data)  ISNI: 0000 0001 0837 2747  LCCN: nr2001029573  RKD: 31653  Trove: 1079469  ULAN: 500017958  VIAF: 17497677   WorldCat (עם VIAF): 17497677
גאי רוג'רס

| --- | --- |

גאי רוג'רס
 לידה:  1 בספטמבר 1935 פילדלפיה שבפנסילבניה
 פטירה:  19 בפברואר 2001 (בגיל 65) לוס אנג'לס, ארצות הברית 
 עמדה:  רכז
 גובה:  1.83 מטר
 מכללה:  אוניברסיטת טמפל
 דראפט:  בחירה טריטוריאלית, 1958 פילדלפיה ווריורס
 היכל התהילה:  נבחר כשחקן בשנת 2014
 קבוצות כשחקן
 1958–1966   1966–1967   1967–1968   1968–1970:  פילדלפיה/סן פרנסיסקו ווריורס   שיקגו בולס   סינסינטי רויאלס   מילווקי באקס
 הישגים כשחקן
 4 השתתפויות במשחק האולסטאר (1963, 1964, 1966, 1967)
 
גאי ויליאם רוג'רס (באנגלית: Guy William Rodgers;‏ 1 בספטמבר 1935 – 19 בפברואר 2001) היה כדורסלן אמריקאי ששיחק בעמדת הרכז במשך 12 עונות בליגת ה-NBA.
רוג'רס, שנחשב לאחד מטובי הרכזים בשנות ה-60, היה פעמיים מלך האסיסטים של ה-NBA, והחזיק בשיא האסיסטים למשחק יחיד במשך כ-15 שנה. הוא נבחר ארבע פעמים למשחק האולסטאר של ה-NBA, ובשנת 2014 נבחר להיכל התהילה של הכדורסל.
קורות חייו

רוג'רס נולד וגדל בפילדלפיה שבפנסילבניה ובנערותו הרבה להתרועע עם ביל קוסבי. כבר מגיל צעיר החל רוג'רס לגלות כישרון לכדורסל, שהיה ענף הספורט הפופולרי ביותר בפילדלפיה. הוא למד בתיכון "נורת'איסט" בעיר, ושיחק במדי קבוצת הכדורסל של בית הספר. כשהיה בן 17 כבר התנשא לגובה של 1.83 מטרים, וחדל לצמוח.
לקראת שנתו האחרונה בתיכון סיים ג'ו בלמונט, הקלעי המצטיין של הקבוצה, את לימודיו והלך לשחק בליגת המכללות. מאמנו של רוג'רס ביקש ממנו לקחת עליו את האחריות ולהתמקד בקליעת הנקודות. רוג'רס גמל לו באותה השנה עם 35 נקודות בממוצע ונבחר לשחקן המצטיין של הליגה הציבורית ("Philadelphia Public League"). במהלך אותה השנה נפטרה אימו מהתקף לב ורוג'רס נשלח לגור עם סבו.
קורות חייו > קריירת מכללות

לאחר סיום לימודיו התיכוניים קיבל רוג'רס הצעות לקבלת מלגות כספורטאי מצטיין מ-16 אוניברסיטאות, אולם הוא החליט להישאר בפילדלפיה והחל ללמוד באוניברסיטת טמפל, משום שהבטיח לאימו שיישאר קרוב לבית.
במהלך עונת הפרשמן, בה לא יכול היה לשחק במדי האוניברסיטה, נפטר סבו של רוג'רס, והשאיר אחריו מכתב בו ביקש מנכדו להתגבר ולהתנהג כגבר. רוג'רס סיפר כי למכתב זה הייתה השפעה רבה על הקריירה שלו, והוא גרם לו לפתח מנהיגות על המגרש.
בעונת הסופומור חבר רוג'רס להאל ליר, לאחר הקווים האחוריים הטובים בליגת בכדורסל המכללות של אותם השנים. הוא קלע באותה העונה 18.5 נקודות בממוצע, וסייע לטמפל לסיים עם 27 ניצחונות מול ארבעה הפסדים בלבד. בטורניר ה-NCAA הגיעה טמפל עד לחצי הגמר, בו הפסידה לאוניברסיטת אייווה. במשחק על המקום השלישי, שהתקיים באותן השנים, חילק רוג'רס 20 אסיסטים, מרביתם לליר, שסיים עם 48 נקודות, וסייע לקבוצתו לנצח.
לקראת העונה הבאה, עונת 1956/1957, עזב ליר את הקבוצה לאחר שסיים את לימודיו. ללא ליר ניצחה טמפל 20 משחקים בלבד, ולא הצליח להעפיל אל טורניר אליפות המכללות. רוג'רס רשם לאורך העונה 20.4 נקודות בממוצע, ורשם שיא אוניברסיטה של 185 אסיסטים בעונה, ונבחר לחמישיית העונה השנייה בליגת המכללות. בטורניר ההזמנה הלאומית (NIT), הטורניר השני בחשיבותו בליגת המכללות, הפסידה טמפל בחצי הגמר, וניצחה במשחק על המקום השלישי.
בעונת הסיניור רשם רוג'רס ממוצעים של 20.1 נקודות למשחק, וקבע שיא אוניברסיטה כשמסר 15 אסיסטים במשחק מול אוניברסיטת מנהטן. הוא הוביל את קבוצתו פעם נוספת עד לפיינל פור טורניר אליפות המכללות, בו הפסידה בחצי הגמר בנקודה לאוניברסיטת קנטאקי, ונבחר לחמישייה המצטיינת של ליגת המכללות.
קריירת ה-NBA

לאחר ארבע שנים בליגת המכללות, נבחר רוג'רס כבחירה טריטוריאלית בדראפט ה-NBA על ידי פילדלפיה ווריורס. במשחק הבכורה שלו בליגת ה-NBA התמודדה פילדלפיה מול בוסטון סלטיקס. רוג'רס רשם באותו המשחק 24 נקודות ותשעה אסיסטים מול בוב קוזי, כוכבה של הסלטיקס, שנחשב לרכז הטוב בליגה באותן השנים. רוג'רס החמיץ משחקים רבים בעונת הרוקי שלו בעקבות גיוס לצבא ארצות הברית, אך על אף שלקח חלק ב-45 משחקים בלבד, סיים שני בקבוצתו עם 261 אסיסטים בעונה. פילדלפיה ניצחה לאורך העונה 32 משחקים מול 40 הפסדים וסיימה במקום הרביעי והאחרון במזרח.
לקראת העונה הבאה הוחלף אל סרבי מאמן הקבוצה בניל ג'ונסטון, שחקן הקבוצה שהיה מלך הסלים של ה-NBA שלוש פעמים ונאלץ לפרוש עקב בעיות בברכיו. בדראפט נבחר וילט צ'מברלין, ופילדלפיה הפכה לאחת הקבוצות החזקות בליגה. בין צ'מברלין לרוג'רס התפתח שיתוף פעולה מצוין, כשרוג'רס מוסר אסיסטים רבים לצ'מברלין. רוג'רס סיים את העונה עם 7.1 אסיסטים למשחק, שני רק לקוזי, וצ'מברלין היה למלך הסלים של הליגה. פילדלפיה סיימה את העונה עם 49 ניצחונות מול 26 הפסדים בלבד, שנייה בליגה רק לסלטיקס. במשחקי הפלייאוף גברה פילדלפיה בשלושה משחקים על סירקיוז נשיונלס בסיבוב הראשון 1-2, ופגשה בגמר המזרח את בוסטון סלטיקס שהעפילה אוטומטית לסדרה. אל המשחק החמישי בסדרה הגיעה פילדלפיה בפיגור של 3-1. ברגעי הסיום, כשפילדלפיה בפיגור של 117-115, ביצע קוזי עבירה על רוג'רס ושלח אותו לקו העונשין. רוג'רס לא הצליח להשוות את התוצאה כשהחטיא את שתי הזריקות ופילדלפיה הפסידה בסדרה 4-1.
בעונה הבאה, עונת 1960/1961, חתם בקבוצה אל אטלס, שהיה שותפו של רוג'רס לחדר במסעותיהם למשחקי החוץ, והפך לידיד קרוב שעם השנים עבר להתגורר עם רוג'רס ומשפחתו. רוג'רס שיפר את מספריו האישיים באותה העונה ומסר 8.7 אסיסטים למשחק, שני רק לאוסקר רוברטסון. פילדלפיה הייתה לאחת משלוש קבוצות בלבד באותה השנה שסיימו במאזן ניצחונות חיובי, אולם בסיבוב הראשון של משחקי הפלייאוף הובסו בסוויפ של 0-3 מול סירקיוז.
ביאורים

↑  עד שנת 1971 לא הורשו שחקני השנה הראשונה באוניברסיטה לשחק במדי קבוצת הכדורסל בליגת המכללות. בליגת ה-NCAA לקחו חלק רק שחקני הנבחרת הבוגרת, שהורכבה מתלמידי השנה השנייה עד הרביעית.
↑  בשנת 1960 העפילו לפלייאוף שש קבוצות בלבד, שלוש מהמזרח ושלוש מהמערב. הקבוצה בעלת המאזן הטוב ביותר בכל אזור העפילה אוטומטית לגמר האזורי, שהתקיים בשיטת "הטוב מ-7" ואילו שתי הקבוצות הנותרות התחרו על הכרטיס לגמר האזורי בסדרת "הטוב מ-3".
הערות שוליים

↑  Robert Cherry, Wilt:Larger than life p.19
↑  ממוצעי קריירת המכללות
↑  טורניר NIT: ניצחון להוואי, הפסד לסנט לואיס, במדור "פנאי פלוס" באתר ynet‏, 20 במרץ 2003
↑  Wilt:Larger than life p.89-90
↑  1959-60 NBA Season Summary
| --- | --- |
בקרת זהויות :  LCCN: n2004118603  VIAF: 53548604   WorldCat (עם VIAF): 53548604
ברידג'יט מנדלר

| --- | --- |

מנדלר ב-2013.
 לידה:  18 בדצמבר 1992 (בת 31) וושינגטון די. סי., ארצות הברית
 שם לידה:  Bridgit Claire Mendler 
 סוגה מועדפת:  מוזיקת פופ, מוזיקת נשמה, R&B עכשווי, פאנק 
 מדינה:  ארצות הברית 
 תקופת הפעילות:  מ-2004
 מקום לימודים:  אוניברסיטת דרום קליפורניה (2016)  המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (2020)  בית הספר למשפטים בהרווארד (2024) 
 בן או בת זוג:  Griffin Cleverly (17 באוקטובר 2019–?) 
 http://bridgitmendlermusic.com/
 פרופיל ב-IMDb
 
ברידג'יט מנדלר (באנגלית: Bridgit Mendler; נולדה ב-18 בדצמבר 1992) היא שחקנית וזמרת אמריקאית. היא ידועה בעיקר בשל תפקידה בתור טדי דאנקן בסדרת הטלוויזיה "גוד לאק צ'ארלי".
ביוגרפיה

מנדלר נולדה בוושינגטון די. סי. שבארצות הברית, בתם של סנדרה פורד-מנדלר וצ'ארלס מנדלר, ויש לה אח צעיר בשם ניקולס. בגיל שמונה היא עברה עם משפחתה להתגורר בעיר מיל ואלי, קליפורניה, שם היא הביעה לראשונה עניין במשחק והחלה לשחק במחזות. כשהייתה בת שמונה, החלה מנדלר לקחת חלק בתפקידים מקומיים בתיאטרון דרמטי ומוזיקלי כאחד, והפכה למבצעת הצעירה ביותר בפסטיבל הפרינג' בסן פרנסיסקו. כשהייתה בת 11, היא שכרה סוכן שיעזור לה להשיג עבודות משחק. מנדלר היא אחייניתה של הפסיכולוגית כריסטין פורד.
מנדלר היא בוגרת תואר ראשון באנתרופולוגיה מאוניברסיטת דרום קליפורניה (USC) בלוס אנג'לס, קליפורניה; עם התמחות בתרבות חזותית של ימי הביניים ואנתרופולוגיה רפואית. היא סיימה את לימודיה בשנת 2016, ואמרה כי יש לה תוכניות ללימודי דוקטורט, בהשראת אמה, דוקטור למדיניות ציבורית.
במאי 2018, החלה ללמוד לתואר שני במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT) עם התמקדות בשיפור המדיה החברתית: "כבדרנית, במשך שנים נאבקתי במדיה החברתית והרגשתי שיש דרך אוהבת ואנושית יותר להתחבר למעריצים." בשנת 2020, היא השלימה את התואר השני שלה ב-MIT והחלה לעבוד על הדוקטורט שלה עם קבוצת המרכז לתקשורת קונסטרוקטיבית של MIT.
קריירה

כאשר הייתה בת שלוש עשרה, החלה לעבוד בלוס אנג'לס ושיחקה באופרת הסבון "בית חולים כללי". בשנת 2008, שיחקה מנדלר בתפקיד ראשי בסרט The Clique. בשנת 2009, השתתפה מנדלר כאורחת בסדרה "ג'ונאס" בתור מושא אהבתו של ניק ג'ונאס. באותה שנה שיחקה בסרטים "לידה כואבת" ו"אלווין והצ'יפמאנקס 2" והייתה שחקנית אורחת בעשרה פרקים של הסדרה "המכשפים מוויברלי פלייס" מבית ערוץ דיסני בתור ג'ולייט הערפדית שבה ג'סטין רוסו מתאהב. בשנים 2010 עד 2014 היא כיכבה בתפקיד הראשי בסדרה "גוד לאק צ'ארלי". בשנת 2011, היא שיחקה תפקיד ראשי בסרט הטלוויזיה המוזיקלי "לימונד מאות'" בתור אוליביה.
ביצועיה כזמרת כוללים את שיר הנושא של גוד לאק צ'ארלי, תחת הכותרת: "Hang In There, Baby". היא שרה את "This is My Paradise" בסרט הצ'יוואווה מבוורלי הילס 2. היא הקליטה גם את שיר הנושא של הסרט "טינקרבל והסוד הקסום", שנקרא "איך להאמין", אשר לקח חלק באלבום האוסף "Disney Fairies: Faith, Trust, and Pixie Dust" שיצא בשנת 2012. ב-31 במרץ 2011, חתמה מנדלר בהוליווד רקורדס.
ב-22 באוקטובר 2012 הוציאה מנדלר את אלבום הבכורה שלה, "...Hello My Name Is", שדורג בשיאו במקום ה-30 במצעד האלבומים האמריקאי. הסינגל הראשון מתוך האלבום, "Ready or Not", זכה להצלחה כשהגיע למעמד של סינגל פלטינה בקנדה (מקום 43 במצעד ומכירה של כ-80,000 עותקים), סינגל זהב בארצות הברית (מקום 49 במצעד ומכירת כ-500,000 עותקים) ומקום שביעי במצעד הסינגלים הבריטי.
בשנת 2013 הוציאה את השיר "Hurricane".
בשנת 2015 השתתפה בעונה השנייה של הסדרה "הלוזרים" שמשודרת ב־NBC בתור קנדיס. ב-9 במרץ 2015 ברידג'יט הוציאה קליפ לסדרה. הקליפ זכה לאהדה רבה בקרב הצופים.
בנוסף היא דגמנה לחברת הביגוד American rag.
בשנת 2019, לאחר מספר שנים של הפסקה מתעשיית הבידור, שבה ברידג'יט לשחק בסדרה "חג שמח וכל זה" בנטפליקס לצדם של אשלי טיסדייל ודניס קוויד.
קריירה > 2016: "Nemesis"

במהלך אוגוסט 2016 הודיעה הזמרת באמצעות חשבון הטויטר שלה על יציאתו של מיני אלבום חדש בשם "Nemesis". באלבום ישנם ארבעה שירים כשמתוכם השיר "Atlantis" יצא כסינגל בספטמבר 2016. האלבום הופץ בתאריך 4 בנובמבר 2016.
חיים אישיים

במרץ 2011 החלה מנדלר לצאת עם השחקן והזמר שיין הרפר, אשר שיחק לצדה ב"גוד לאק צ'ארלי". בנובמבר 2015 מנדלר הודיעה באופן רשמי שהיחסים שלה ושל שיין הסתיימו. באוקטובר 2019 הודיעה מנדלר בחשבון האינסטגרם שלה שהיא נישאה לבן זוגה בשנים האחרונות - גריפין קליברלי.
דיסקוגרפיה > אלבומי אולפן

2012: Hello My Name Is...
דיסקוגרפיה > מיני-אלבומים

2013: Live in London
2016: Nemesis
פילמוגרפיה > קולנוע

| שנה | סרט | תפקיד | הערות |
| --- | --- | --- | --- |
| 2004 | The Legend of Buddha | לוסי | דיבוב |
| 2007 | Alice Upside Down | פמלה ג'ונס |  |
| 2008 | הקליקה | קריסטן גרגורי |  |
| 2009 | אלווין והצ'יפמאנקס 2 | בקה קינגסטון |  |
| 2009 | לידה כואבת | אמה קלייהיל |  |
| 2011 | הצ'יוואווה מבוורלי הילס 2 | אפוליין | דיבוב |
| 2012 | הלקחנים – עולמה הסודי של ארייטי | אריאטי | דיבוב |
| 2014 | החבובות - מבוקשות | מיני |  |
| 2018 | אב השנה | מרדית' |  |
פילמוגרפיה > טלוויזיה

| שנה | סדרה | תפקיד | הערות |
| --- | --- | --- | --- |
| 2006 | ג'נרל הוספיטל | הבת החלומית של לולו | פרק: "#1.11129" |
| 2009 | ג'ונאס | פני קן | פרק: "Wrong Song" |
| 2009–2012 | המכשפים מוויברלי פלייס | ג'ולייט ואן האוזן | 10 פרקים |
| 2010–2014 | גוד לאק צ'ארלי | טדי דנקן | תפקיד ראשי (4 עונות); 97 פרקים |
| 2011 | גוד לאק צ'ארלי, הסרט: יוצאים לחופשה | טדי דנקן | סרט טלוויזיה מקורי של ערוץ דיסני |
| 2011 | לימונד מאות' | אוליביה וייט | סרט טלוויזיה מקורי של ערוץ דיסני |
| 2012 | האוס | קאלי רוג'רס | פרק: "Runaways" |
| 2013 | ויולטה | עצמה | פרק: "A Celebrity, a Song" |
| 2013 | ג'סי | טדי דנקן | פרק: "Good Luck Jessie: NYC Christmas" |
| 2015–2016 | הלוזרים | קנדיס | תפקיד ראשי (עונות 2–3); 23 פרקים |
| 2017 | נאשוויל | אשלי ווילרמן | פרק: "Let's Put It Back Together Again" |
| 2019 | חג שמח וכל זה | איימי קווין | תפקיד ראשי; 8 פרקים |
ברווז קיטור

| ברווז קיטור |
| --- | --- |

מיון מדעי
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: עופות
סדרה:: אווזאים
תת־סדרה:: תרופודה
משפחה:: ברווזיים
תת־משפחה:: ברווזי צדפות
סוג:: ברווז קיטור
שם מדעי
 Tachyeres ‏אוון, 1875

ברווז קיטור (שם מדעי: Tachyeres) הוא סוג של עופות מים מאמריקה הדרומית השייכים למשפחת הברווזיים ולתת-משפחת ברווזי צדפות.
ברווזים אלה חיים רק באמריקה הדרומית במדינות צ'ילה וארגנטינה והם חסרי יכולת תעופה, למעט המין Tachyeres patachonicus.
הברווזים בינוניים בגודלם ובעלי ראש גדול, מקור צהוב או כתום וכתם לבן מסביב לעיניהם. גופם אפור או חום והם מצויים בעיקר סביב החופים. הברווזים ניזונים בשחייה ושכשוך של מקורם במים, בחיפוש צמחייה מימית, חרקים או רכיכות מימיים.
מינים

Tachyeres patachonicus
ברווז קיטור מגלני (Tachyeres pteneres)
Tachyeres leucocephalus
Tachyeres brachypterus
ג'יימס גילספי גרהם

| --- | --- |

קתדרלת סנט אנדרס, גלאזגו
 לידה:  1776 דאנבליין, הממלכה המאוחדת 
 פטירה:  1855 (בגיל 79 בערך) אדינבורו, הממלכה המאוחדת של בריטניה הגדולה ואירלנד 
 יצירות ידועות:  קתדרלת אנדרו הקדוש 
 
ג'יימס גילספי גרהם (באנגלית: James Gillespie Graham;‏ 11 ביוני 1776 – 11 במרץ 1855) היה אדריכל סקוטי, בולט בתחילת המאה ה-19.
ביוגרפיה

גרהם נולד בדנבליין ב-11 ביוני 1776. הוא היה בנו של מלקולם גילספי, עורך דין.
הוא בולט בעיקר בעבודתו בסגנון הברוניאלי הסקוטי, כמו בטירת אייטון, והוא עבד גם בסגנון התחייה הגותית, בו הושפע מאוד מיצירתו של אוגוסטוס פוגין. עם זאת, הוא גם עבד בהצלחה בסגנון הנאו-קלאסי כפי שהודגם בעיצובו של בית בלית'סווד ברנפרו, עשרה קילומטר במורד נהר קלייד מגלאזגו.
גרהם עיצב בעיקר בתים כפריים וכנסיות. הוא ידוע גם בעיצוב הפנים של בתים וארמונות, עבודתו הטובה ביותר היא זו בטירת טיימות.
כמה מהכנסיות שלו כוללות את קתדרלת סנט אנדרו בגלאזגו, ואת הקתדרלה הרומית-קתולית סנט מרי וכנסיית היילנד טולבות' באדינבורו.
הוא היה אחראי על תכנון אחוזת מוריי בעיר החדשה של אדינבורו, ועל עיצוב כיכר המילטון והרחובות הסמוכים בעיר החדשה של בירקנהד, אנגליה. על פי פרנק ארנייל ווקר, ייתכן שהוא היה אחראי לשיפוץ טירת ג'ונסטון, רנפרושייר.  הוא תכנן ובנה בית ברחוב אלבני 34 בעיר החדשה של אדינבורו עבורו ועבור אשתו וחי שם מ-1817 עד 1833.
בשנת 1815 הוא התחתן עם מרגרט אן גרהם, בתו של בעל אדמות עשיר, ויליאם גרהם מאורצ'יל (נפטר 1825) בפרתשייר. נולדו להם שתי בנות. בשנת 1825, עם מות אביה של אשתו, ירשו בני הזוג את אחוזתו הכפרית הגדולה, וג'יימס נודע לאחר מכן בשם ג'יימס גילספי גרהם.
אשתו מתה ב-1826, והוא נישא שוב, לאליזבת קמפבל, בתו של מייג'ור ג'ון קמפבל מגדוד ה-76.
הוא מת באדינבורו ב-11 במרץ 1855 לאחר מחלה של ארבע שנים.
גלריה

הבית של גרהם באדינבורו
כנסיית טולבות, אדינבורו
מצודת טורסדל
הערות שוליים

1 2  Goold, David. "James Gillespie Graham". www.scottisharchitects.org.uk.
↑  Walker, Frank Arneil (1986) The South Clyde Estuary, RIAS
↑  Number 34 - Information on residents". Albany Street Edinburgh in the 19th century
| --- | --- |
בקרת זהויות :  ULAN: 500023795  VIAF: 95827947   WorldCat (עם VIAF): 95827947
בסיס גרייבר

במתמטיקה שימושית, בסיסי גרייבר (Graver bases) מאפשרים פתרונות איטרטיביים של בעיות תכנות בשלמים ליניאריות ולא ליניאריות שונות בזמן פולינומי. הם הוגדרו לראשונה על ידי ג'ק גרייבר. ברנד שטורמפלס תיאר את הקשר שלהם לתורת בסיסי גרובנר. התיאוריה האלגוריתמית של בסיסי גרייבר ויישומה לתכנות בשלמים מתוארת על ידי שמואל און.
הגדרה רשמית

בסיס הגרייבר של מטריצה  m\times n בשלמים  A היא הקבוצה הסופית  G(A) של אלמנטים מינימליים בקבוצה
תחת סדר חלקי על  \mathbb {Z} ^{n} המוגדר על ידי  x\sqsubseteq y כאשר  x_{i}y_{i}\geq 0 ו-  |x_{i}|\leq |y_{i}| לכל i. לדוגמה, בסיס גרייבר של  A=(1,2,1) מורכב מהווקטורים (1−,1,0), (1,0−,2), (2 ,1−,0), (1,1−,1) ושליליותיהם.
פתרון תכנות בשלמים באמצעות בסיסי גרייבר

תכנות בשלמים היא הבעיה של אופטימיזציה של פונקציית מטרה ליניארית או לא ליניארית על פני קבוצה של נקודות שלמות המקימות מערכת של אי שוויונות ליניאריים. באופן רשמי ניתן לרשום את הבעיה בצורה סטנדרטית באופן הבא:
זוהי אחת מבעיות האופטימיזציה הבדידות הבסיסיות ביותר ובעלת כוח ביטוי רחב מאוד ויישומים רבים במגוון תחומים, אך לרוב היא קשה מאוד חישובית כאמור להלן. עם זאת, בהינתן בסיס הגרייבר  G(A) של  A, ניתן לפתור את הבעיה עם פונקציות מטרה ליניאריות ולא ליניאריות שונות בזמן פולינומי כפי שיוסבר בהמשך.
פתרון תכנות בשלמים באמצעות בסיסי גרייבר > תכנות ליניארי בשלמים

המקרה הנחקר ביותר, הוא של תכנות ליניארי בשלמים,
ניתן להניח כי כל המשתנים חסומים מלמטה ומלמעלה: חסמים כאלה מופיעים באופן טבעי ביישומים רבים, או שניתן לאכוף אותם מבלי לאבד פתרונות מיטביים. אולם, גם בפונקציות מטרה ליניאריות הבעיה היא NP-קשה ומכאן שבדרך כלל לא ניתן לפתור אותה בזמן פולינומי.
עם זאת, בהינתן בסיס הגרייבר  G(A) של  A ניתן לפתור אותה בזמן פולינומי באמצעות האלגוריתם האיטרטיבי הפשוט הבא. נניח תחילה כי ניתנת איזו נקודה  x אפשרית ראשונית. כל עוד הדבר אפשרי, חזור על האיטרציה הבאה: מצא מספר שלם חיובי  q ואלמנט  g ב- G(A) כך ש- x+qg אינו מפר את החסמים ומעניק שיפור מיטבי; עדכן  x:=x+qg והמשך לאיטרציה הבאה. הנקודה האחרונה  x היא אופטימלית ומספר האיטרציות הוא פולינומי. כדי למצוא נקודה אפשרית ראשונית ניתן להגדיר ולפתור בעיית עזר מתאימה בה יש נקודה ראשונית טריביאלית ולפתור אותה באופן דומה.
פתרון תכנות בשלמים באמצעות בסיסי גרייבר > תכנות לא ליניארי בשלמים

עבור פונקציות מטרה כלליות  f, אם המשתנים אינם חסומים אז הבעיה עלולה להיות בלתי ניתנת לחישוב: מהפתרון של הבעיה העשירית של הילברט עולה כי אין אלגוריתם אשר בהינתן פולינום  f עם מקדמים שלמים מדרגה 8 ב־58 משתנים, מחליט אם הערך המינימלי של  f על כל הווקטורים השלמים ממימד 58 הוא 0. לעומת זאת, כאשר המשתנים חסומים, הבעיה
ניתנת לפתרון באמצעות בסיס גרייבר  G(A) בזמן פולינומי למספר פונקציות מטרה לא ליניאריות, כולל:
פונקציות קמורות פריקות מהצורה  f(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}) ;
בפרט ה- p-norm  f(x)=\|x\|_{p} עבור כל מספר שלם חיובי  p ;
פונקציות מורכבות קעורות  f(x)=g(Wx), כאשר  W היא מטריצה  d\times n בשלמים,  d קבוע, ו- g פונקציה קעורה של  d משתנים;
מחלקות מסוימות של פונקציות ריבועיות ופולינומיות מדרגות גבוהות יותר.
מספר יישומים > טבלאות רב ממדיות

נתבונן בבעיית האופטימיזציה הבאה על טבלאות תלת־ממדיות עם סכומי קוים נתונים,
כאשר  a_{j,k},  b_{i,k},  c_{i,j} מספרים שלמים אי-שליליים (שערכם המרבי חוסם באופן מרומז את כל המשתנים מלמעלה). נסמן ב- A את המטריצה  (lmn)\times (lm+ln+mn) המגדירה מערכת זו. שים לב שמטריצה זו בדרך כלל "אינה" מודולרית לחלוטין . עם זאת, הוכח ב- כי לכל  l ו- m קבועים, בסיס הגרייבר  G(A) ניתן לחישוב בזמן שהוא פולינום ב-  n. לכן התוצאות שהוזכרו לעיל מאפשרות לפתור בעיה זו בזמן פולינומי עבור  l ו- m קבועים ו- n משתנה. נעיר שאם רק צד אחד  l של הטבלה הוא קבוע (אפילו עם  l=3) בעוד ש- m ו- n משתנים, הבעיה קשה ב-NP. באופן כללי יותר, תוצאות חיוביות דומות תקפות בבעיות טבלאות מממדים גבוהים יותר: עבור כל  d ו- m_{1},\dots ,m_{d} קבועים, אופטימיזציה (לא) ליניארית מעל טבלאות  m_{1}\times \cdots \times m_{d}\times n עם  n משתנה ושוליים נתונים ניתנת לבצוע בזמן פולינומי. לבעיות אלה יש בפרט יישומים לבעיות אבטחה ופרטיות במסדי נתונים סטטיסטיים.
מספר יישומים > זרימה מרובת סחורות

נתבונן בבעיית הזרימה מרובת הסחורות בשלמים, של ניתוב  k סוגי סחורות בדידות מ- m ספקים ל- n צרכנים בכפוף לאילוצי היצע, צריכה, וקיבולת, כדי למזער את סכום העלויות הליניאריות או הקמורות התלויות בגודש בקשתות. עבור כל  k ו- m קבועים, ניתן לחשב את בסיס הגרייבר של המערכת המגדירה, וניתן למזער את העלות, שהיא פונקציה קמורה ופריקה, בזמן שהוא פולינום במספר המשתנה  n של הצרכנים ובשאר הנתונים.
מספר יישומים > יישומים אחרים

היישומים הרבים של התאוריה האלגוריתמית של בסיסי גרייבר כוללים גם תכנות בשלמים סטוכסטי, תכנות N-fold בשלמים, אישכול, ושחרור מבוקר במסדי נתונים סטטיסטיים. בחלק מהיישומים הללו לא ניתן לחשב את בסיס הגרייבר הרלוונטי בזמן פולינומי, אך ניתן לגשת אליו באופן עקיף המאפשר להשתמש בו בזמן פולינומי.
אוניברסליות ופרמטריזציה

כל בעיית תכנות בשלמים (חסומה) שקולה בדיוק לבעיית טבלאות  3\times m\times n שנדונה לעיל עבור   m ו- n וסכומי קוים כלשהם. לפיכך, בעיות טבלאות אלה הן אוניברסליות עבור תכנות בשלמים. יתר על כן, עבור כל  m קבוע, ניתן לפתור את המחלקה המתקבלת של בעיות תכנות בשלמים בזמן פולינומי כמתואר לעיל. לפיכך רוחב הטבלה  m מספק פרמטריזציה של כל בעיות התכנות בשלמים.
סיבוכיות פרמטרית: מסיבוכיות זמן פולינומית לסיבוכיות זמן מעוקבת

סיבוכיות הזמן של פתרון חלק מהיישומים שנדונו לעיל, כמו בעיות הטבלאות הרב ממדיות, בעיות הזרימה מרובות הסחורות ובעיות תכנות N-fold בשלמים, נשלטת על ידי מספר האיברים בבסיס הגרייבר הרלוונטי, שהוא פולינום  O\left(n^{g}\right) מדרגה גדולה בדרך כלל, הנקראת מורכבות הגרייבר  g של המערכת. אולם, קיים אלגוריתם מהיר בהרבה, שמוצא בכל איטרציה את השיפור הטוב ביותר  x+qg כאשר  q שלם חיובי ו-  g אלמנט ב- G(A) מבלי לבנות במפורש את בסיס הגרייבר, בזמן מעוקב  O\left(n^{3}\right) ללא קשר למערכת. במונחים של סיבוכיות פרמטרית, תוצאה זו מראה שכל הבעיות הללו עם פרמטריזציה מתאימה, ובפרט בעיות בטבלאות תלת־ממדיות  l\times m\times n כאשר  l ו- m פרמטרים, הן fixed parameter tractable.
הערות שוליים

↑  Jack E. Graver: On the foundations of linear and linear integer programming, Mathematical Programming 9:207–226, 1975
↑  Bernd Sturmfels, "Gröbner Bases and Convex Polytopes", American Mathematical Society, xii+162 pp., 1996
1 2  Shmuel onn: "Nonlinear Discrete Optimization", European Mathematical Society, x+137 pp., 2010
↑  Shmuel Onn: Linear and nonlinear integer optimization, Online Video Lecture Series, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, 2010
↑  Alexander Schrijver: "Theory of Linear and Integer Programming", Wiley, xii+471 pp., 1986
1 2  Raymond Hemmecke, Shmuel Onn, Robert Weismantel: A polynomial oracle-time
algorithm for convex integer minimization, Mathematical Programming
126:97–117, 2011
↑  Yuri V. Matiyasevich: "Hilbert's Tenth Problem", MIT Press, xxiv+264 pp., 1993
↑  Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke, Shmuel Onn, Robert Weismantel: "N"-fold integer programming, Discrete
Optimization, 5:231–241, 2008
↑  Jesús A. De Loera, Shmuel Onn: The complexity of
three-way statistical tables, SIAM Journal on Computing, 33:819–836, 2004
↑  Theodore S. Motzkin: The multi-index transportation
problem, Bulletin of the American Mathematical Society 58:494, 1952
↑  Raymond Hemmecke, Matthias Köppe, Robert Weismantel: A polynomial-time algorithm for optimizing over "N"-fold 4-block decomposable integer programs, IPCO 14, 2010
↑  Jesus A. De Loera, Shmuel Onn: All
linear and integer programs are slim 3-way transportation programs, SIAM Journal on Optimization, 17:806–821, 2006
↑  Raymond Hemmecke, Shmuel Onn, Lyubov Romanchuk: "N"-fold integer programming in cubic time, Mathematical Programming, 137:325–341, 2013
בסיס בינארי

מערכת ספירה על בסיס בינארי מייצגת ערכים מספריים באמצעות שני סמלים, בדרך כלל 0 ו-1.
במתמטיקה ובמדעי המחשב מערכת ספירה על בָּסִיס בִּינָארִי, או מערכת ספירה על בסיס 2 (על פי הצעת האקדמיה ללשון העברית: בָּסִיס שְׁנִיּוֹנִי), מייצגת ערכים מספריים באמצעות שני סמלים, בדרך כלל 0 ו-1. בפרט, שיטת הספירה הבינארית הנפוצה היא סימון לפי מקום עם בסיס 2. מספרים המיוצגים בשיטה זו נקראים לרוב מספרים בינאריים.
בגלל פשטות המימוש של אלקטרוניקה ספרתית בעלת שתי רמות מתח בלבד, נוח להשתמש במערכות דיגיטליות בבסיס בינארי. למעשה כל המערכות הדיגיטליות הנפוצות, מחשבים, טלפונים סלולריים, מערכות משובצות מחשב וכדומה עושים שימוש בבסיס בינארי.
היסטוריה

המשכיל ההודי פינגלה (אנ') פיתח עקרונות מתמטיים לתיאור משקל בשירה ובזאת למעשה הציג את התיאור הראשון למערכת ספירה בינארית. הוא עשה שימוש בסמלים לייצוג הברות, וחילק בין הברות קצרות וארוכות. שני הסמלים ששימשו אותו לא היו 0 ו-1 אלא קו קצר וקו ארוך השווה באורכו לשני קווים קצרים, בצורה הדומה לקוד מורס. הוא יצר טבלאות על מנת לתת לכל רצף ערך ייחודי. דוגמה לטבלה שכזו: (ההצגה הזו היא בכיוון ההפוך מהשיטה המודרנית)
הבגואה הם שמונה שלשות בשימוש הקוסמולוגיה של הטאואיזם לייצוג העקרונות היסודיים של המציאות. שלשה מורכבת משלושה קווים, כאשר כל קו הוא "שבור" או "לא שבור", לייצוג יין ויאנג בהתאמה. המבנה הזה אנלוגי למספרים בינאריים תלת ספרתיים. המבנה היה בשימוש לכל הפחות מתקופת שושלת ג'ואו, שכן הוא מופיע בספר אי צ'ינג. הספר מחולק לשישים וארבעה פרקים המיוצגים על ידי סדרה של שישיות של קווים, מה שמקביל למספרים בינאריים בעלי שש ספרות.
שיטת הספירה הבינארית המודרנית פותחה על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ בשנת 1679. השיטה של לייבניץ עושה שימוש ב-0 ו-1, כמו בשיטה המודרנית. כחובב התרבות הסינית, לייבניץ הכיר את האי צ'ינג וציין בהתפעלות את ההתאמה בין השישיות והמספרים הבינאריים בעלי שש ספרות.
בשנת 1854 פרסם המתמטיקאי הבריטי ג'ורג' בול את ספרו העיקרי בתורת ההיגיון, "חקירה של חוקי החשיבה" ובו הציג את האלגברה הבוליאנית. האלגברה הבוליאנית מהווה בסיס ללוגיקה בוליאנית- ענף העוסק בפסוקים אלגבריים שערכי איבריהם אמת או שקר בלבד. הערכים מיוצגים על ידי הסימונים '1'\ ו- '0'\ בהתאמה. לענף זה שימוש רב בתחשיב פסוקים, באלקטרוניקה ובמדעי המחשב.