משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)
שימושים באווירודינמיקה

אחד השימושים של משוואות אוילר הוא בהכנת דגמים של כלי תחבורה באווירודינמיקה עבור מנהרות רוח. משוואות אוילר משמשות לקביעת הגדלים הפיזיים של המודלים שבעזרתם ניתן להבין את התנהגות הכלי בגודלו האמיתי.
נניח שברצוננו לבנות מודל של כנף של מטוס עבור מנהרת רוח, כך שכל חלק באורך  x בכנף מתורגם לחלק בגודל  x\prime =\alpha x במודל. כך למשל אם  \textstyle \alpha ={\frac {1}{5}}, המודל יהיה בדיוק באורך ובגבוה שהם  \textstyle {\frac {1}{5}} מאורך וגובה הכנף, בהתאמה.  x' מגדיר את סקאלת האורך במערכת מנהרת הרוח. מכאן שגם סקאלת המהירות תשתנה, ומתקיים:
{\begin{aligned}v\prime ={\frac {dx\prime }{dt}}=\alpha {\frac {dx}{dt}}=\alpha v\end{aligned}}
על מנת שניתן יהיה לבחון את התנהגות המודל ולהסיק ממנה מסקנות על התנהגות הכנף, יש לדרוש ששניהם יקיימו את אותה משוואת תנועה. לשם נוחות בלבד, נניח שאנו מעוניינים בתנועה חד־ממדית של הכנף בלבד. במקרה זה, משוואת התנועה עבור הכנף בגודל האמיתי היא
{\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}\end{aligned}}
ומשוואת התנועה עבור המודל (בסקאלת האורך של המודל) היא
{\begin{aligned}{\frac {\partial v\prime }{\partial t}}+v\prime {\frac {\partial v\prime }{\partial x\prime }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x\prime }}\end{aligned}}
כאשר מציבים את  x\prime ,v\prime  מתברר שמשוואת התנועה בסקאלה של המודל היא שונה מזו של הכנף. על מנת ששתי המשוואות יהיו זהות, יש לשנות גם את סקאלת הזמן במודל שלנו, ולהגדיר  t\prime =\alpha t. המשמעות של השוויון היא שאם המודל מצליח לרחף במנהרת הרוח במשך שנייה, נסיק כי הכנף תצליח לרחף במשך  \textstyle t={\frac {1}{\alpha }} שניות. כעת, משוואת התנועה בסקאלה של המודל היא:
{\begin{aligned}{\frac {\partial v\prime }{\partial t\prime }}+v\prime {\frac {\partial v\prime }{\partial x\prime }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x\prime }}\end{aligned}}
נותר להראות שהמשוואה האחרונה זהה למשוואת התנועה עבור הכנף (כלומר, למשוואת התנועה בסקאלת  x,t). הפעם מתקיים
{\begin{aligned}v\prime ={\frac {dx\prime }{dt\prime }}={\frac {dx}{dt}}=v\end{aligned}}
ולכן:
{\begin{aligned}{\frac {\partial v\prime }{\partial t\prime }}+v\prime {\frac {\partial v\prime }{\partial x\prime }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x\prime }}\\{\frac {\partial v}{\partial \left(\alpha t\right)}}+v{\frac {\partial v}{\partial \left(\alpha x\right)}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial \left(\alpha x\right)}}\\{\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial v}{\partial t}}+{\frac {1}{\alpha }}v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {1}{\alpha }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}\end{aligned}}
ומכאן נובע:
{\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}\end{aligned}}
וכעת ניתן לראות שמשוואת התנועה בסקאלה של  x\prime ,t\prime  זהה לזו בסקאלה של  x,t, ולכן משוואות התנועה של הכנף והמודל יהיו זהות. מכאן שעל ידי מעברי הסקאלה  x\prime =\alpha x,\;\;t\prime =\alpha t ניתן להשתמש במודל על מנת להבין את תנועת הכנף מבלי הצורך לבנות מנהרות רוח מספיק גדולות עבור הכנף בגודלה האמיתי.
אף על פי ששינויי הסקאלה כאן היו פשוטים, בפועל יש לבצע שינויים מורכבים יותר. זאת מכיוון שבמשוואות אוילר אנו מזניחים את צמיגות הנוזל, בעוד שבמנהרות רוח לרוב הזנחה זו איננה מוצדקת. לכן יש לבנות את מנהרת האוויר כך שבשינוי הסקאלה, משוואת נאוויה־סטוקס, המרחיבה את משוואת התנועה למקרה של נוזל צמיג, היא המשוואה שאיננה משתנה בעקבות שינויי הסקאלה.