stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
דאי (מטבע מבוזר)
אופן פעולה

הנפקת המטבע נעשית בידי חוזים חכמים המרכיבים יישום מבוזר שמתוכנת לנהל שירותי לקיחת הלוואות והחזרת תשלומים. משתמשים המפקידים מטבעות מבוזרים המקובלים על שני הצדדים כמשכון, לרוב בדמות אתריום, יכולים להלוות דאי בשווי השקול לביטחון שסיפקו. יחס הערבות הנדרש לקבלת הלוואה כנגד הפקדה של אתריום, לדוגמה, הוא 150 אחוז. כלומר, משתמש יצטרך להפקיד אתריום בשווי 150 דולר כדי לקבל מאה מטבעות דאי השווים בערך ל־100 דולר.
אם ערך הערבות שניתנה נופל מתחת ליחס שנקבע מההתחלה, ההלוואה שנלקחה תעבור הנזלה בידי היישום. מצד שני, אם ערכה יעלה על פני היחס הזה, יוכל המשתמש להלוות עוד מטבעות דאי בהתאם או לשלם את חובו עם הרווח שעשה.
תשלום ההלוואה והריבית שנצברו מוביל לשריפת מטבעות הדאי שהושבו והשבת הערבות שסופקה. בדרך זו ניתן לומר שערך הדולר הצמוד למטבע מגובה על ידי שווי הדולר של הערבות המוחזקת בידי מייקרדאו. שליטתם של חברי מייקרדאו בסוגי הערבויות המתקבלות, ביחסי ההחלפה, ובשיעורי הריבית הנגבית בגין הלוואת או אחסנת מטבעות דאי מאפשרת להם לשלוט בכמות היחידות הנמצאות בסירקולציה ולשמור על ערכו ויציבותו של המטבע.
הכוח להציע וליישם החלטות חדשות הנוגעות למכלול הפעולות של המערכת מותנה באמצעות קוד למחזיקי מטבע מייקר. בעלי השליטה בו יכולים להשתתף בהצבעה על הצעות לשינויים ותיקונים ומשקל קולם נקבע לפי כמות המטבעות שהם מחזיקים. כמו כן משמש דאי להשקעה במייקר; הריבית המתקבלת מידי החייבים מועברת לרכישת מטבעות מייקר נוספים לשם שריפתם, זאת על מנת לגרום לדפלציה ולהעלות את ערכו של הנכס.
היסטוריה

ארגון מייקרדאו נוסד על ידי היזם הדני רון כריסטנסן בשנת 2014. כעבור שלוש שנים עלה לאוויר מטבע הדאי יחד עם החוזים החכמים המפעילים אותו על גבי הבלוקצ'יין של אתריום. מחירו של המטבע הצליח להיצמד בקירוב לערכו של הדולר האמריקאי במהלך שנתו הראשונה, אף על פי שמחיר האתריום, שבאותה העת היה המשכון היחיד שניתן היה להפקיד תמורת הלוואתו, צנח ביותר מ־80 אחוז.
בספטמבר 2018 השקיעה קרן הון הסיכון אנדריסן הורוביץ כ־15 מיליון דולר בקבוצת מייקרדאו ורכשה כ־6 אחוז מכלל מטבעות המייקר.
בנובמבר אותה שנה הקימה מייקרדאו את קרן מייקר, ארגון המבוסס בדנמרק הנועד לסייע לאקוסיסטם בסיפוק שירותים מקצועיים כגון הנדסת תוכנה או קידוד הנדרשים לשם המשך קיומה של הפלטפורמה והסתגלותה למצב השוק.
ב־2019 התקיימה מחלוקת פנימית בין חברי ארגון מייקרדאו בנוגע להשתלבותם בכלכלה הממוסדת וניהול יחסיהם מול בנקים ורשויות מדיניות. כריסטנסן רצה לקדם ציות רגולטורי ניכר יותר במטרה להציע למשתמשי הפלטפורמה את האפשרות להפקיד נכסים שאינם בהכרח מטבעות מבוזרים כערבות לקבלת הלוואות דאי. המחלוקת הובילה לעזיבתו של המנהל הטכני הראשי.
בראשית מגפת הקורונה חווה שוק הקריפטו תנודתיות לא רגילה ותחת השפעתה נסק מטבע הדאי לתוך מערבולת דפלציה שבשיאה הגיע ערכו לשווי של 1.1 דולר לפני שחזר למצבו הטבעי של דולר אחד.
הערות שוליים

↑  "U.S. bitcoin ATM operator to add Dai stablecoin, launch remittance service", Reuters, Gertrude Chavez Dreyfuss, June 26, 2019
1 2  "Digital Assets and Blockchain Technology", Edward Elgar Publishing, Stabile Daniel T., Kimberly A., Andrew M. Hinkes, P. 263, ISBN 9781789907445; Archived From The Original On May 28, 2001.
↑  "r/MakerDAO", Reddit, Rune Christensen, January 26, 2017
1 2 3 4  "Crypto Rebels Trip Over Each Other en Route to Financial Utopia", Bloomberg, Alastair Marsh, October 5, 2019
↑  "MakerDAO bug could’ve let hackers steal Ethereum powering its DAI stablecoin", The Next Web, October 3, 2019
1 2 3  "The Ledger: Why Crypto’s Newest Venture Capitalist Bet Millions on an Ethereum ‘Stablecoin’", Fortune, Jeff John Roberts, Jen Wieczner, Robert Hackett, October 1, 2018
↑  "Crypto backed by crypto: Dai seeks to change 'stablecoin' game", Reuters, Tom Wilson, November 18, 2019
↑  "Stablecoins 2.0: Economic Foundations and Risk-based Models", Acm Digital Library, Andreea Minca, Ariah Klages Mundt, Dominik Harz, Jun You Liu, Lewis Gudgeon
דיוויזיית השריון השמינית (בריטניה)

| --- | --- |

 פרטים
 מדינה:  הממלכה המאוחדת הממלכה המאוחדת
 שיוך:  הצבא הבריטי הצבא הבריטי
 סוג:  דיוויזיה
 אירועים ותאריכים
 תקופת הפעילות:  4 בנובמבר 1940 – 1 בינואר 1943 (שנתיים)
 מלחמות:  מלחמת העולם השנייה
 פיקוד
 דרגת המפקד:   מייג'ור גנרל
דיוויזיית השריון השמינית של הצבא הבריטי היא דיוויזיית שריון בריטית שהוקמה במהלך מלחמת העולם השנייה. הדיוויזיה נפרסה במצרים ביוני 1942 אך מעולם לא פעלה כמערך שלם ופורקה בינואר בשנה שלאחר מכן.
היסטוריה

הדיוויזיה הוקמה ב-4 בנובמבר 1940, וביוני 1942 נשלחה לצפון אפריקה אך מעולם לא לחמה כמערך שלם. מאחר שלא ניתן היה לספק לדיוויזיה חטיבת חי"ר עם משאיות, היא פורקה לבסוף במצרים ב-1 בינואר 1943.
בעקבות קרב אל-עלמיין השני הועלתה תוכנית להשתמש בשרידי הדיוויזיה ככוח מרדף עצמאי כדי לזנק קדימה אל העורף הגרמני-איטלקי עד טוברוק, אולם התוכנית להשתמש בדיוויזיה נגנזה ובמקום זאת נעשה שימוש ביחידות באזור הקדמי. לאחר מכן שימשה שם הדיוויזיה לצורך הטעיה צבאית.
הערות שוליים

↑  Playfair, P. 7
↑  Joslen, p. 22
↑  Playfair, pp. 81–82
↑  Thaddeus Holt. The Deceivers: Allied Military Deception in the Second World War. Phoenix. 2005. ISBN 0-7538-1917-1
מכונית משוריינת של רגימנט הטנקים המלכותי ה-40 (המלך), דיוויזיית השריון ה-8, במחנה וורן, קראובורו בסאסקס, 22 בדצמבר 1941. הגדוד עמד לצאת למזרח התיכון, ומכאן ההסוואה המדברית
דיוויזיית השריון השמינית (ארצות הברית)

| --- | --- |

תג הכתף של הדיוויזיה
 פרטים
 כינוי:  "נחש ברזל"
 מדינה:  ארצות הברית ארצות הברית
 שיוך:   צבא ארצות הברית
 סוג:  דיוויזיית שריון
 אירועים ותאריכים
 תקופת הפעילות:  1942–1945 (כ־3 שנים)
 מלחמות:  מלחמת העולם השנייה
 נתוני היחידה
 ציוד עיקרי:  טנקים
 פיקוד
 מפקדים
דיוויזיית השריון ה-8 של צבא ארצות הברית (באנגלית: 8th Armored Division) הייתה דיוויזיית שריון אמריקאית אשר לחמה במלחמת העולם השנייה בחזית המערבית.
היסטוריה

הדיוויזיה הוקמה ב-1 באפריל 1942 בפורט נוקס, מתוך אלמנטים "עודפים" של דיוויזיות השריון ה-4 שאורגנה מחדש, וכמפקדה הראשון מונה ויליאם גריימס. לאחר מכן עברה הדיוויזיה למחנה פולק, לואיזיאנה, ובהמשך השתתפה בתמרוני לואיזיאנה.
בנובמבר 1944 הגיעה הדיוויזיה לאנגליה, וב-5 בינואר 1945 נחתה בחופי לה האבר ורואן, צרפת. באמצע ינואר לחמה הדיוויזיה כחלק מהארמייה השלישית לצד הדיוויזיה ה-94 באזור הסאר והמוזל, ובפברואר הועברה הדיוויזיה להולנד תחת הארמייה התשיעית, עימה לחמה במהלך מבצע רימון. לאחר מכן חצתה הדיוויזיה את הריין במסגרת מבצע בזק, ובהמשך השתתפה בכיתור כיס הרוהר ובקרבות בגרמניה, ואף השתתפה בשחרור תת-מחנה של מחנה בוכנוואלד.
הדיוויזיה הושבתה עם שובה לארצות הברית בספטמבר אותה שנה, ופורקה בניו יורק ב-13 בנובמבר 1945.
מפקדים

ויליאם גריימס (1942–1944)
ג'ון דיווין (1944–1945)
דוריף

דוריף (בצרפתית: Durif) הוא זן ענבים אדומים המשמש לייצור יין, ומכונה גם פטיט סירה (Petite Sirah או Petite Syrah). מגודל בעיקר בארצות הברית, באוסטרליה, בצרפת ובישראל. הזן הוא הכלאה בין הזנים שיראז ופלורסין.
יינות המיוצרים מענבי דוריף ניכרים בטעם חריף ושזיפי, ולעיתים קשה להבדיל ביניהם ובין יינות שיראז או פלורסין, במיוחד כשמדובר ביינות ישנים. הם מצטיינים בעפיצות ניכרת ובטאנין חזק, ולפיכך מתיישנים היטב, גם בביקבוק המתמשך יותר מעשרים שנים. על פי רוב מדובר ביין כהה מאוד (כהה יותר מאשר שיראז ובעל גוונים סגולים יותר), חומצי במקצת, ובעל גוף חזק ומודגש. בניחוחו ניכרים תווים של עשבי תיבול ופלפל שחור.
בישראל גודל הדוריף בעיקר כזן לתמהיל, שהוסף ליינות נחותים יותר כדי להוסיף להם גוף. בשנות התשעים החל היינן יאיר מרגלית (מיקב מרגלית), שלמד בקליפורניה, לשלבם ביינות קברנה סוביניון. במהרה השיקו יקבים נוספים, כמו רקנאטי, יינות ממסכים ("יינות בלנד") שכללו גם דוריף. יקבים אחרים, כמו כרמל, סוסון ים וויתקין, הפיקו, לצד יינות מעורבים, גם יינות זניים על טהרת הפטיט סירה.
גן תענוגות

האגם בגני טיבולי
גן תענוגות הוא בדרך כלל גן נוי הפתוח לציבור לצורכי פנאי. גן תענוגות שונה מגנים ציבוריים אחרים בכך שיש בו מתקני בידור בנוסף לצמחייה, כגון אולמות קונצרטים, מתקני שעשועים, גן חיות וכדומה.
גני תענוגות ציבוריים קיימים זמן רב. בתקופת רומא העתיקה הקים ההיסטוריון סאלוסטיוס את הגנים הקרויים על שמו, ומאוחר יותר הוא מכר אותם לקיסר טיבריוס שייעד אותם לשימוש ציבורי. הגנים הכילו ביתנים רבים, מקדש לוונוס, ופסלים מונומנטליים. הם היו פתוחים במשך שנים רבות.
במאה ה-18 ובמאה ה-19 נפתחו גני תענוגות רבים בלונדון. חלקם הכילו אולמות קונצרטים, או אירחו קונצרטים חופשיים (Promenade Concerts); אחדים מתוכם כללו סדקית או הרמונות. סוג נוסף של גן תענוגות הוא גן תה, שהמבקרים בו יכלו לשתות תה ולטייל.
הגרסאות המודרניות של גני תענוגות עשויות להכיל פארק שעשועים, כגון גני טיבולי בקופנהגן או הלוסטגארטן בברלין.
דיוויזיית השריון התשיעית (ארצות הברית)

| --- | --- |

תג הכתף של הדיוויזיה
 פרטים
 כינוי:  "דיוויזיית פנטום"
 מדינה:  ארצות הברית ארצות הברית
 שיוך:   צבא ארצות הברית
 סוג:  דיוויזיית שריון
 אירועים ותאריכים
 תקופת הפעילות:  15 ביולי 1942 – 13 באוקטובר 1945 (3 שנים)
 מלחמות:  מלחמת העולם השנייה
 נתוני היחידה
 ציוד עיקרי:  טנקים
 פיקוד
 מפקדים
צילום קבוצתי אחרון של חיילי הדיוויזיה עם השלט מגשר לודנדורף
דיוויזיית השריון ה-9 של צבא ארצות הברית (באנגלית: 9th Armored Division) הייתה דיוויזיית שריון אמריקאית אשר לחמה במלחמת העולם השנייה בחזית המערבית.
היסטוריה

הדיוויזיה הוקמה ב-15 ביולי 1942 לאחר הצטרפותה של ארצות הברית למלחמת העולם השנייה. כמפקדה הראשון מונה ג'פרי קיז, אשר בספטמבר של אותה שנה הוחלף בידי ג'ון לאונרד. הדיוויזיה הוצבה בפורט ריילי, קנזס והעבירה למעלה משנתיים באימונים. הדיוויזיה השתתפה במבצע פורטיטיוד - מבצע דגל כוזב שנועד לשטות בגרמנים ולגרום להם להאמין שבעלות הברית מתכננות נחיתה בפה-דה-קאלה, בעוד שהנחיתה האמיתית התבצע בנורמנדי. הדיוויזיה הייתה אחת הדיוויזיות האמתיות היחידות שהשתתפו במבצע - רובן היו מומצאות. בספטמבר 1944 נשלחה הדיוויזיה לבריטניה ואז נחתה בנורמנדי, לאחר שהנחיתות העיקריות כבר הסתיימו. הדיוויזיה נכללה במסגרת הקורפוס ה-8 של טרוי מידלטון, אשר היה חלק מהארמייה הראשונה של קורטני הודג'ס. הדיוויזיה שימשה בתחילה ככוח סיור בגבול גרמניה-לוקסמבורג, וכאשר בדצמבר 1944 פתחו הגרמנים במתקפת הארדנים, מצאו עצמם חייליו של לאונרד חסרי כל ניסיון קרבי. הדיוויזיה לחמה באומץ במהלך המצור על בסטון וקרב סן וית. לאחר מכן השתתפה הדיוויזיה בפלישת בעלות הברית המערביות לגרמניה.
ב-7 במרץ גילו אנשיו כי למרות הניסיונות לפוצץ אותו בידי הגרמנים (בין היתר באמצעות V-2), גשר לודנדורף על הריין באזור רמאגן עדיין עומד על תלו. הגשר אפשר לבעלות הברית לחצות את הריין אל תוך גרמניה עצמה במהירות. בעיני בעלות הברית, המאורע הזה נקרא "הנס של רמאגן". גנרל דווייט אייזנהאואר אמר על הגשר כי "הוא שווה את משקלו בזהב". שלט גדול נתלה על אחד ממגדלי האבן ונכתב בו "חצה את נהר הריין ברגליים יבשות באדיבות הדיוויזיה המשוריינת ה-9". היטלר זעם על המחדל שאפשר את לכידת הגשר, דן להורג חמישה קצינים והחליף את גרד פון רונדשטט באלברט קסלרינג בתפקיד האוברבפסלהאבר ווסט (המפקד העליון במערב). ב-15 במרץ התמוטט הגשר לפתע, אך עד אז כבר הפעילו האמריקנים על הנהר מספר גשרים צפים, וראש גשר מעבר לו. הדיוויזיה השתתפה בהצטיינות בקרב רמאגן, ועל חלקה בו קיבלו כל יחידותיה עיטור גבורה נשיאותי (Presidential Unit Citation). לאחר מכן הדיוויזיה נעה דרומה ומזרחה בתוך גרמניה מעבר לנהר לאהן, כבשה את לימבורג, לייפציג ופרנקפורט וסייעה בכיבוש כיס הרוהר. הדיוויזיה הוסטה לכיוון צ'כוסלובקיה כשהמלחמה הסתיימה ב-8 במאי 1945.
עם סיום המלחמה הוחזרה הדיוויזיה לארצות הברית. ב-13 באוקטובר 1945 פורקה הדיוויזיה. באותו היום הצטלמו חיילי הדיוויזיה עם השלט המקורי שהוצב על גשר לודנדורף.  השלט נמצא כיום בתצוגה במוזיאון פטון לחיל השריון והפרשים בפורט נוקס, קנטקי, מעל טנק M26 פרשינג.
מפקדים

ג'פרי קיז (יולי 1942 – ספטמבר 1942)
ג'ון לאונרד (ספטמבר 1942 – אוגוסט 1945)
תומאס לאונרד הרולד (אוגוסט 1945 – אוקטובר 1945)
דיולה (שפה)

ערך זה עוסק בשפה מקומית המדוברת על ידי בני עם הדיולה במאלי, חוף השנהב, בורקינה פאסו, גינאה, וגאנה.. אם התכוונתם לשפה ממשפחת שפות ניז'ר קונגו, המדוברת בסנגל, גמביה, וגינאה ביסאו, ראו .
| --- | --- |
 מדינות:   מאלי מאלי  חוף השנהב חוף השנהב  בורקינה פאסו בורקינה פאסו  גינאה גינאה  גאנה גאנה 
 אזורים:  מחוז אוט בסינס, Mouhoun, Kossi Province, Houet Province, חוף השנהב 
 דוברים:  20 מיליון
 כתב:  אלפבית לטיני, אלפבית ערבי, אלפבית אנקו
 קוד ISO 639-2:  dyu 
 קוד ISO 639-3:  dyu 
 ראו גם:  שפה • כתב • רשימת שפות
 
דִּיוֹלָה, היא שפה מקומית אפריקנית, ממשפחת שפות מאנדה, המדוברת על ידי כ-20 מיליון בני הדיולה במדינות בורקינה פאסו, חוף השנהב ומאלי, שבמערב אפריקה.
גרעין דיריכלה

באנליזה מתמטית, גרעין דיריכלה (באנגלית: Dirichlet kernel), הנקרא על שם המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה, הוא שמן המשותף של קבוצת פונקציות המוגדרות באופן הבא:
כאשר n מספר שלם אי-שלילי. פונקציות הגרעין הן מחזוריות עם מחזור  2\pi .
גרפים של גרעיני דיריכלה הראשונים המראים את התכנסותם לפונקציית דלתא של דיראק.
חשיבותו של גרעין דיריכלה נובעת מהקשר שלו לטורי פורייה. הקונבולוציה של גרעין דיריכלה ה-n עם כל פונקציה f בעלת מחזור  2\pi  היא קירוב פורייה ה-n של f, דהיינו:
(D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},
כאשר
{\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx
הוא מקדם פורייה ה-k של f. מעובדות אלו עולה כי כדי לחקור התכנסות של טורי פורייה מספיק לחקור תכונות של גרעין דיריכלה.
גרף של גרעיני דיריכלה הראשונים.
משפט פורייה

דיריכלה הציג את הסכומים הטריגונומטריים הללו במאמר מ-1829 שעסק בביסוס התאוריה העוסקת בהתכנסותם של טורי פורייה, ובמסגרתו הוא עשה שימוש בגרעין זה כדי להוכיח את משפט פורייה על התכנסות נקודתית של טורי פורייה. הניסוח המודרני של משפט פורייה הוא כדלקמן:
"תהי f פונקציה רציפה למקוטעין מחזורית בעלת מחזור  2\pi  ותהי  x_{0} נקודה שבה קיימות הנגזרות החד-צדדיות של f. אז טור פורייה של f בנקודה  x_{0} מתכנס ל-:  {\frac {f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-})}{2}}."
כאשר  f(x_{0}^{+}),f(x_{0}^{-}) הם הגבולות החד-צדדיים של f מימין ומשמאל לנקודה  x_{0}.
משפט פורייה > הוכחת משפט פורייה

נסמן ב- S_{n}(f;x_{0}) את קירוב פורייה מסדר n של f בנקודה  x_{0}; נראה ש-:
לשם כך נבסס תחילה שתי תכונות חשובות של גרעין דיריכלה  D_{n}(u):
D_{n}(u) היא פונקציה זוגית - נובע מיידית מהזוגיות של הקוסינוסים.
\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du=2\int _{0}^{\pi }D_{n}(u)du=1 - נובע מכך שרק האיבר הקבוע  {\frac {1}{2\pi }} תורם לערך האינטגרל, שכן הממוצע של כל אחד מהקוסינוסים בגרעין דיריכלה על פני הקטע  [-\pi ,\pi ] הוא אפס.
לפיכך, אם ניעזר בעובדה שהקונבולוציה של (x)f עם גרעין דיריכלה ה-n נותנת את  S_{n}(f;x_{0}), נוכל לרשום מחדש את הגבול אותו ניסינו לחשב כ-:
כעת, נוכיח שכל אחד מהאינטגרלים המחוברים שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף. תחילה נרשום את המחובר השני (ההוכחה עבור המחובר הראשון זהה) בעזרת הצורה הסופית של גרעין דיריכלה:
על פי למת רימן-לבג, לכל פונקציה רציפה למקוטעין (g(u מקדמי פורייה שלה שואפים לאפס כאשר n שואף לאינסוף, ולכן מספיק שנוכיח כי
רציפה למקוטעין בקטע  [-\pi ,\pi ]. ברור שלכל  u\neq 0 המכנה של (g(u שונה מאפס ולכן הגבולות החד-צדדיים שלה קיימים (תחת ההנחה של המשפט ש-f סופית בכל מקום). הנקודה "הבעייתית" היחידה היא  x_{0} עצמה, כלומר כאשר u שווה לאפס. לשם חישוב הגבול של g כאשר u שואף לאפס, נסתייע בגבול הידוע  \lim _{u\to 0}{\frac {\mathbb {sin} (u)}{u}}=1 ונקבל:
על פי הנחות המשפט הנגזרת החד-צדדית קיימת, ולכן הוכחנו את מה שנדרש.
נורמת L1 של הגרעין

בעלת חשיבות רבה היא העובדה שנורמת L1 של Dn בקטע  [0,2\pi ] מתבדרת לאינסוף כאשר n שואף לאינסוף. ניתן להראות (ראו למטה) ש-:
\|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).
באמצעות טיעון מדויק יותר העושה שימוש בסכומי רימן כדי להעריך את תרומת הסביבה הגדולה ביותר של אפס שבה  D_{n} חיובי, ושימוש באי שוויון ינסן כדי להעריך את התרומה של שאר הקטע לנורמה, ניתן להראות גם ש-:
\|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatorname {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n.
כאשר  \operatorname {Si}  היא הפונקציה הקדומה של sinc. היעדרות זו של אינטגרביליות אחידה עומדת מאחורי תופעות מתמטיות רבות הקשורות להתבדרותם של טורי פורייה.
הוכחה מדויקת של התוצאה הראשונה שהוזכרה, ש- \|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n), היא:
{\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin[(2n+1)x]|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin(s)|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(s)}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}
כאשר נעזרנו בגבול ידוע כדי להניח ש- 2/x\leq 1/|\sin(x/2)|, ואילו  H_{n} הוא המספר ההרמוני ה-n.
הקשר לפונקציית דלתא מחזורית

ניקח את מסרק דיראק, שאמנם אינו פונקציה במובן המקובל אלא סוג של "פונקציה מוכללת" המכונה גם "התפלגות", ונכפיל אותו ב- 2\pi . כך מקבלים את איבר הזהות עבור קונבולוציות עם פונקציות בעלות מחזור  2\pi . במילים אחרות:
f*(2\pi \delta )=f
בעבור כל פונקציה f בעלת מחזור  2\pi . הצגת פורייה של פונקציית דיראק מחזורית זאת היא:
2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).
הוכחת הזהות הטריגונומטרית

הזהות הטריגונומטרית
\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}
ניתנת לקבלה בקלות אם עושים שימוש בהצגה המרוכבת של טור הקוסינוסים, זאת שכן ההצגה המרוכבת היא למעשה טור הנדסי סופי עם מנה  e^{ix}. לפיכך, מכיוון שהסיכום של טור הנדסי סופי הוא
\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.
ובפרט, מתקיים
\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.
אז לאחר הכפלת המונה והמכנה ב- r^{-1/2}, נקבל:
{\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.
במקרה זה  r=e^{ix} ולכן:
\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}
כנדרש.
הערות שוליים

↑  PGL Dirichlet, "On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between given limits" J. für Math., 4 (1829) pp. 157–169
גרייפסוואלד

גרייפסוואלד (בגרמנית: Greifswald) היא בירת מחוז מערב פומרניה-גרייפסוואלד שבמדינת מקלנבורג-מערב פומרניה שבגרמניה. היא שוכנת לחוף הים הבלטי, וחוצה אותה נהר קטן, נהר ריק (Ryck). כמו כן העיר שוכנת בקרבת שני האיים הגדולים ביותר בגרמניה ריגן ואוזדום (Usedom), ובקרבת שלושה מבין ארבעה-עשר הפארקים הלאומיים של גרמניה. כעיר שעד לרפורמה שבוצעה בשנת 2011 הייתה ללא כפיפות למחוז, היא כיום בירת המחוז בו היא שוכנת.
יחד עם העיר השכנה, שטרלזונד, היא יוצרת את אחד מארבעת האזורים האורבניים הגדולים במדינת מקלנבורג-מערב פומרניה. כמעט שליש מתושבי העיר הם סטודנטים או אנשי סגל האוניברסיטה המקומית שיצא לה שם עולמי.
גאוגרפיה

גרייפסוואלד שוכנת בצפון-מזרח גרמניה, בקרבת שני האיים הגדולים ביותר במדינה, ריגן ואוזדום. העיר ממוקמת בקצהו הדרומי של מפרץ גרייפסוואלד, והמרכז ההיסטורי שלה נמצא במרחק של 5 ק"מ במעלה נהר הריק שחוצה את העיר. האזור הסובב את גרייפסוואלד הוא מישורי ברובו, וגובהו המקסימלי הוא 20 מטרים מעל פני הים. שני איים, קוס (Koos) וריימס (Riems) הם גם חלק משטחה של העיר. שלושה מבין ארבעה-עשר הפארקים הלאומיים של גרמניה נמצאים במרחק של עד שעת נסיעה מהעיר. גרייפסוואלד נמצאת במרחק שווה בין שתי הערים הגדולות ביותר בגרמניה, ברלין (במרחק 240 ק"מ) והמבורג (במרחק 260 ק"מ). הערים הגדולות הסמוכות הן שטרלזונד ורוסטוק.
האזור החופי של גרייפסוואלד, על שפך הריק, הנקרא גרייפסוואלד-ויק (Greifswald-Wieck), התפתח מכפר דייגים. כיום פועלים בו חוף רחצה ומרינה והנמל הראשי של העיר.
היסטוריה

גרייפסוולד נוסדה ב-1199 כאשר נזירים ציסטרציאנים הקימו את מנזר אלדנה (Kloster Eldena). ב-1250 העניק ורטיסלב השלישי (Wartislaw III), דוכס פומרניה, זכויות עיר לגרייפסוואלד.
היסטוריה > ימי הביניים ותקופת הרפורמציה

בימי הביניים היה האזור בו שוכנת גרייפסוואלד אזור מיוער ולא מיושב שהיווה את אזור החיץ בין הנסיכות הדנית של ריגן לבין הרוזנות הפומרנית של גוצקוב (Gützkow), שבאותה תקופה הייתה גם היא בשליטה דנית. ב-1199, התיר יארומר הראשון (Jaromar I), נסיך ריגן לנזירים הציסטרסיאניים לבנות את המנזר על שפך נהר הרייק. אחד השטחים שהוענקו לנזירים היה בריכת אידוי למלח במרחק קצר במעלה הנהר, שטח שגם נחצה על ידי נתיב הסחר החשוב ויה רגיה (Via Regia). המקום נקרא גרייפסוואלד (Gryp(he)swold(e)), שמה הקודם של העיר בגרמנית תחתית. יחד עם זאת, קיימת אגדה על פיה הנזירים קיבלו את ההשראה לאיתור המיקום הטוב ביותר ליישוב על ידי גריפון שחי בתוך עץ שניצב על מה שמאוחר יותר היה הרחוב העתיק ביותר בעיר. בניית העיר נעשתה על פי רשת שתי וערב של רחובות ובמקומות מרכזיים נבנו כנסייה ושוק. רוב התושבים היו גרמנים שהגיעו למקום במסגרת תנועה של התיישבות מזרחה, אך גם מתיישבים מקרב עמים אחרים וכן ונדים מקרבת מקום הגיעו גם הם להתיישב בעיר.
הסחר במלח סייע למנזר להפוך למרכז דתי בעל השפעה וגרייפסוואלד נעשתה לעיירת שוק ידועה. כאשר מסרו הדנים לפומרנים את השטחים שמדרום לרייק לאחר תבוסתם בקרב בורנהובד (Bornhöved) ב-1227, החלו דוכסי פומרניה לגלות בעיר עניין. ב-1241 העניקו לגרייפסוואלד, ויטסלב הראשון (Wizlaw I), נסיך ריגן וורטיסלב השלישי (Wartislaw III), דוכס פומרניה, זכויות להקמת שוק. ב-1250 העניק זה האחרון לגרייפסוואלד את התואר עיר.
כאשר הוקם בתחומי העיר מנזר פרנציסקני, איבד מנזר אלדנה הרבה מהשפעתו על התפתחותה של העיר. באותה תקופה החל להתפתח מחוץ לחומות גרייפסוואלד פרבר עצמאי בשם נוישטט (Neustadt) שהופרד ממנה על ידי חפיר. בשנת 1264 אוחדו היישובים והחפיר מולא בעפר.
עם קצב גידול יציב באוכלוסייתה, הגיעה גרייפסוואלד בסוף המאה ה-13 להיות אחת מהחברות הראשונות בברית ערי הנזה, מה שהגדיל את היקף הסחר שלה ואת עושרה. לאחר 1296 לא היו תושבי העיר מחויבים עוד לשירות בצבא פומרניה ודוכסי פומרניה לא יכלו עוד להתגורר בעיר.
ב-1456 הניח היינריך רובנאו, ראש העיר, את היסודות לאוניברסיטה המקומית, שהיא אחת הוותיקות בעולם ושהייתה אחת הראשונות בגרמניה.
בתקופת הרפורמציה הפרוטסטנטית הפסיק מנזר אלדנה לתפקד. נכסיו עברו לידיהם של דוכסי פומרניה והתושבים המקומיים השתמשו בלבנים של המבנה שנבנה בסגנון גותי לבניית בתים. המנזר איבד את מעמדו העצמאי וסופח לעיר. כל המבנים הדתיים שבתחום העיר הוסבו לשימוש חילוני. המבנים של המנזר הדומיניקני הועברו לרשות האוניברסיטה ועד היום משמשים מבנים אלה כחלק מהקמפוס של הפקולטה לרפואה. המנזר הפרנציסקני משמש כיום כמוזיאון של פומרניה.
בין השנים 1627–1631, במהלך מלחמת שלושים השנים, הייתה גרייפסוואלד כבושה בידי כוחות הקיסרות ולאחר מכן על ידי כוחות שוודים.
היסטוריה > השלטון השוודי

כאשר נכנסו כוחות צבא שוודיה לדוכסות פומרניה ב-1630 וכתוצאה מכך התפנו משם הכוחות של האימפריה הרומית הקדושה, הפכה גרייפסוואלד למעוז האחרון של האימפריה בפומרניה. ב-12 ביוני 1631 הטילו השוודים מצור על העיר ולאחר ארבעה ימים היא נכנעה. גוסטב השני אדולף, מלך שוודיה אף חזר מברנדנבורג כדי לפקח אישית על המצור ועם הגעתו הוא קיבל את הוקרתה של האוניברסיטה על שחרור העיר. לאחר מלחמת שלושים השנים (1618-1648) הפכו גרייפסוואלד וסביבתה רשמית לחלק ממלכת שוודיה. פומרניה השוודית, כפי שהיא נקראה אז, נותרה חלק מהממלכה השוודית עד 1815 כאשר היא נהייתה לחלק מפרוסיה.
מלחמת שלושים השנים גרמה לרעב בכל רחבי גרמניה וב-1630 הצטמצם מספר תושבי גרייפסוואלד בשני שלישים. בניינים רבים נותרו ריקים והוזנחו. בהמשך התחוללו מלחמות נוספות, בין שוודיה לבין פומרניה ובין שוודיה לבין ברנדנבורג ובשתיהן הייתה גרייפסוואלד מעורבת. ב-1659 וב-1678 הפגיזו כוחות של ברנדנבורג את העיר. ההפגזה הראשונה פגעה בעיקר בצפון-מזרח העיר ו-16 בתים עלו באש. ההפגזה השנייה החריבה 30 בתים וגרמה נזק למאות בכל רחבי העיר. את פגזי התותחים מההפגזה השנייה ניתן עדיין לראות על קירות כנסיית מריה עד היום.
במהלך המלחמה הצפונית הגדולה (1700-1721), בה הייתה העיר מעורבת בין השנים 1711–1713, גרייפסוואלד נאלצה לשכן בתוכה חיילים, שבזזו כמה בתים. בעוד מתנהל מצור על שטרלזונד הסמוכה, חתמו הצאר הרוסי פיוטר הגדול וג'ורג' הראשון, מלך בריטניה על הסכם גרייפסוואלד. ב-1713 הועלו באש בניין העירייה והאורוות. ב-1736 החריבה שרפה אף גדולה יותר 26 בתים וגרמה לנזק לבתים נוספים. בשנים 1669 ו-1689 חוקקה שוודיה חוק הפוטר ממס כל מי שבונה מחדש בתים. ב-1763 הוקמו הגנים הבוטניים של העיר.