stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משפט גרונוולד-ואנג
משפט גרונוולד-ואנג

נסמן  \zeta _{s} את שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר  2^{s}. לכל  s\geq 2, השדה הציקלוטומי מסדר  2^{s} הוא השדה  \mathbb {Q} [\zeta _{s}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},\zeta _{s}+\zeta _{s}^{-1}]. נאמר ששדה הוא  s-מיוחד, אם הוא כולל את  \zeta _{s}+\zeta _{s}^{-1}, אבל אינו כולל אף אחד מהמספרים  {\sqrt {-1}},\zeta _{s+1}+\zeta _{s+1}^{-1},{\sqrt {-1}}(\zeta _{s+1}+\zeta _{s+1}^{-1}).
יהי  K שדה מספרים, עם קבוצה סופית של ראשוניים  S, ויהי  n מספר שלם. משפט גרונוולד-ואנג קובע שכל מספר שהוא חזקה  n-ית בכל השלמה  K_{\mathfrak {p}} עבור  {\mathfrak {p}}\notin S, פרט למקרה המיוחד שבו מתקיימים התנאים המצטברים הבאים: קיים  s עבורו 
 2^{s+1}|n,  K הוא  s-מיוחד, ו- S כולל את כל "הראשוניים המיוחדים", שהם הראשוניים  {\mathfrak {p}} שעבורם  K_{\mathfrak {p}} הוא  s-מיוחד (ראשוניים אלה הם בהכרח 2-אדיים, ולכן מספרם סופי). אפילו במקרה המיוחד, העיקרון הלוקאלי-גלובלי נכשל רק באופן סופי: חבורת המנה של חזקות- n-מקומיות מודולו חזקות- n היא מסדר 2.
לדוגמה, נתבונן שנית בדוגמה הנגדית של ואנג. שדה המספרים הרציונליים הוא 2-מיוחד, מכיוון שהוא מכיל את  \zeta _{2}+\zeta _{2}^{-1}=0, אבל לא אף אחד מהמספרים  {\sqrt {-1}},\zeta _{3}+\zeta _{3}^{-1}={\sqrt {2}},{\sqrt {-1}}(\zeta _{3}+\zeta _{3}^{-1})={\sqrt {-2}}. הראשוני המיוחד היחיד הוא 2. לכן, מעל הרציונליים, המקרה המיוחד מתרחש רק אם  n מתחלק ב-8 ו- S כולל את הראשוני 2. משום כך ייתכנו מספרים שהם חזקת-8 בכל השלמה אי-זוגית, ואינם כאלה מעל השדה עצמו. אפשר לתקן את הטענה גם כך: כל מספר שהוא חזקה  n-ית *בכל* השלמה (לרבות ה-2-אדית), הוא חזקת- n רציונלית.
מן הדוגמה הנגדית של ואנג נובע שלא קיימת הרחבה ציקלית  K מממד 8 של הרציונליים, שבה 2 הוא "אינרטי לחלוטין" (כלומר  K_{2}/\mathbb {Q} _{2} מממד 8).
מלחמת דוד בעמלק

מלחמת דוד בעמלק הוא אירוע המופיע בספר שמואל א', בו מסופר על מרדף בפיקודו של דוד אחרי עמלקים, לאחר שאלו שרפו את עירו צקלג ושבו את כל אנשי העיר.
רקע

לאחר ששאול ואנשיו רדפו אחר דוד להורגו, דוד ברח לאכיש מלך גת, יחד עם גדודו שכלל 600 איש ושתי נשותיו, אחינועם היזרעאלית ואביגיל. דוד ביקש מאכיש שייתן לו עיר אחת בה יישבו הוא וחייליו, וזה נתן לו את צקלג.
בזמן שהותו בצקלג, הכה דוד ערים רבות ואת כל תושביהם, ולקח מהם את כל רכושם, אותו הביא לאכיש. בזכות זאת, האמין אכיש בדוד, וצירף את אנשיו לצבאות הפלשתים להילחם בישראל. כשצבאות פלשתים האחרים ראו את דוד וצבאו, הם כעסו על אכיש על שהביא את דוד למלחמה, וטענו שהוא יבגוד בהם בקרב על מנת "לקנות" את מחילתו של שאול. אכיש הסכים להחזיר את דוד, אף על פי שעדיין האמין בו, ובבוקר שלמחרת דוד חזר לארץ פלשתים.
שרפת העיר

בזמן שדוד ואנשיו לא היו בצקלג, הגיע עמלק, פרץ לצקלג ושרף אותה באש. בנוסף, הוא לקח את כל אנשי העיר בשבי, ביניהם שתי נשותיו של דוד.
כשדוד ואנשיו הגיעו לצקלג וראו את האסון, הם בכו זמן מרובה, עד שאזל כוחם לבכות. פרשנות אפשרית לבכייתם המרובה מביא משה וינשטוק: לא רק שנחרבה עירם, אלא קשה למצוא את המחריבים, משום שצקלג נמצאת במדבר, בו מרובים מקומות המסתור.
המלחמה > שאלת דוד בה'

לאחר שבכו, ביקש דוד מאביתר הכהן את האפוד כדי לשאול את ה' האם לרדוף ולהכות את עמלק. ה' אמר לדוד שירדוף, ושהוא יצליח במשימתו וינצח את עמלק.
המלחמה > מרדף דוד

לאחר שה' אישר לו לצאת למלחמה, דוד התחיל לרדוף אחר עמלק, יחד עם 600 חייליו. כשהגיע דוד לנחל הבשור, השאיר דוד בנחל 200 איש שלא עמדו בקצב והיו בעלי יכולות צבאית נמוכה יותר, שישמרו על חפצם, והמשיך לרדוף יחד עם 400 החיילים שנשארו.
במהלך רדיפתם, פגש גדודו של דוד איש מצרי בשדה. החיילים לקחו אותו לדוד, ולאחר מכן השקו אותו והאכילו אותו, לאחר שלושה ימים שלא אכל. אחרי שאכל, סיפר האיש כי הוא נער מצרי, שהיה עבד לעמלקי, ולאחר שחלה, השאיר אותו אדונו שם. לאחר ששמע זאת, ביקש דוד מהנער שיראה לו איפה נמצא הגדוד הזה, והנער הסכים והורידו לגדוד.
המלחמה > הריגת עמלק והחזרת השבויים

כשהגיעו הנער ודוד, הם ראו את העמלקים יושבים להם בשטח, וחוגגים וסועדים מן השלל שלקחו מערי יהודה, ביניהן צקלג. בבוקר למחרת, תקף אותם דוד וצבאו, עד הערב, והכה את כל העמלקים מלבד מ-400 נערים שברחו עם גמליהם. לאחר ההתקפה, דוד שחרר את כל השבויים, ביניהם נשותיו, ואת כל הרכוש החזירו לבעליו.
לאחר המלחמה > טענות התוקפים כנגד הנשארים בנחל

כשחזר דוד עם צבאו מההתקפה לנחל הבשור, טענו מספר אנשים מן הלוחמים שתקפו את הגדוד, שרק התוקפים ראויים לקבל מן השלל, אך מי ששמר על הכלים יקבל רק את רכושו שהיה שייך לו לפני ההתקפה, ואת משפחתו. דוד ענה כנגדם, שכולם לקחו חלק במלחמה, ולכן כולם יקבלו מן שלל עמלק: ”וַיֹּאמֶר דָּוִד, לֹא-תַעֲשׂוּ כֵן אֶחָי:  אֵת אֲשֶׁר-נָתַן יְהוָה לָנוּ, וַיִּשְׁמֹר אֹתָנוּ, וַיִּתֵּן אֶת-הַגְּדוּד הַבָּא עָלֵינוּ, בְּיָדֵנוּ. וּמִי יִשְׁמַע לָכֶם, לַדָּבָר הַזֶּה:  כִּי כְּחֵלֶק הַיֹּרֵד בַּמִּלְחָמָה, וּכְחֵלֶק הַיֹּשֵׁב עַל-הַכֵּלִים--יַחְדָּו יַחֲלֹקוּ.” (ספר שמואל א', פרק ל', פסוקים כ"ג–כ"ד) על חוק זה נכתב: ”וַיְהִי, מֵהַיּוֹם הַהוּא וָמָעְלָה; וַיְשִׂמֶהָ לְחֹק וּלְמִשְׁפָּט, לְיִשְׂרָאֵל, עַד, הַיּוֹם הַזֶּה.” (ספר שמואל א', פרק ל', פסוק כ"ה).
לאחר המלחמה > חלוקת שלל עמלק

במהלך שובו של דוד לצקלג, חילק דוד מן השלל שלקח מהעמלק לזקני יהודה בכל הערים בהן עבר בדרכו לעירו.
הערות שוליים

↑  ספר שמואל א', פרק כ"ז, פסוקים א'–ו'
↑  ספר שמואל א', פרק כ"ז, פסוקים ז'–י"ב
↑  ספר שמואל א', פרק כ"ט
↑  ספר שמואל א', פרק ל', פסוקים א'–ה'
↑  ספר שמואל א', פרק ל', פסוק ו'
↑  משה וינשטוק, מות שאול והכאת דוד בעמלק
↑  ספר שמואל א', פרק ל', פסוקים ז'–ח'
↑  ספר שמואל א', פרק ל', פסוקים ט'–י'
↑  ספר שמואל א', פרק ל', פסוקים י"א–ט"ו
↑  תלמוד בבלי, מסכת ברכות, דף ג', עמוד ב'
↑  ספר שמואל א', פרק ל', פסוקים ט"ז–כ'
↑  ספר שמואל א', פרק ל', פסוקים כ"א–כ"ה
↑  ספר שמואל א', פרק ל', פסוקים כ"ו–ל"א
| ספר שמואל |
| --- | --- | --- |
| תקופת עלי הכהן | הולדת שמואל • תפילת חנה • נבואת בית עלי • מלחמת אבן העזר הראשונה • החזרת ארון הברית לישראל והעלאתו לירושלים |  |
| תקופת שמואל הנביא | ארון הברית בשדה פלשתים • קרב מצפה • בקשת המלך • משפט המלך • תוכחת שמואל לעם |  |
| תקופת שאול המלך לפני משיחת דוד | משיחת שאול למלך • מלחמת שאול ונחש העמוני • מלחמת מכמש • יהונתן ויערת הדבש • מלחמת שאול בעמלק |  |
| תקופת שאול המלך לאחר משיחת דוד | משיחת דוד למלך • דוד וגוליית • ניסיונות שאול להמית את דוד • מבחן ראש החודש • בריחת דוד אל אכיש • הטבח בנוב עיר הכהנים • מרדף שאול אחר דוד במדבר יהודה • מפגש דוד ושאול במדבר עין גדי • סיפור נבל הכרמלי • מפגש דוד ושאול בגבעת החכילה • בעלת האוב מעין דור • מלחמת דוד בעמלק • המלחמה בגלבוע |  |
| תקופת דוד המלך בחברון | פילוג ממלכת שאול: בשורת הנער העמלקי • קינת דוד • מלחמת אבנר ויואב • רצח אבנר •  קינת דוד על אבנר • רצח איש בושת |  |
| תקופת דוד המלך בירושלים | כיבוש ירושלים בידי דוד • הקרב בעמק רפאים • העלאת ארון הברית • נבואת נתן • מפיבושת • מלחמת דוד בעמון וארם • מעשה דוד ובת שבע • משל כבשת הרש • מעשה אמנון ותמר • רצח אמנון • האישה החכמה מתקוע • מרד אבשלום • מרד שבע בן בכרי • האישה החכמה מאבל בית מעכה • סיפור רצפה בת איה • שירת דוד • דברי דוד האחרונים • המגפה בימי דוד |  |
| דמויות בולטות | עלי הכהן • אלקנה • חנה • שמואל הנביא • שאול המלך • יהונתן בן שאול • מיכל • דוד המלך • אחימלך בן אחיטוב • אבנר בן נר • נבל הכרמלי • אביגיל • יואב בן צרויה • אבישי בן צרויה • איש בושת • אבשלום • אמנון • תמר • מפיבושת |  |
משה בן זאב

משה בן זאב (12 באוגוסט 1911 – 25 ביוני 1995) היה משפטן ושופט מחוזי, שכיהן כיועץ המשפטי לממשלה בין השנים 1963–1968.
קורות חייו > שנים מוקדמות

נולד לזאב וולף ושרה בודנקין למשפחה בת ארבעה ילדים בלוניניץ שבפולין (כיום בבלארוס). למד משפטים בווילנה. הוא היה חבר בתנועות השומר הצעיר והחלוץ הצעיר ועם תום לימודיו בשנת 1935 עלה לארץ ישראל. בשנת 1938 הוא קיבל תעודת עורך דין זר ובשנת 1940 קיבל רישיון קבוע והחל לעבוד כעורך דין בחיפה. במקביל לעבודתו היה פעיל באגודת עורכי הדין היהודיים בחיפה. במלחמת העצמאות שירת בדרגת רב-סרן כתובע צבאי ולאחר מכן כשופט צבאי. לאחר המלחמה המשיך לעבוד כעורך דין במשרד משותף עם זלמן יהודאי. במקביל לעבודתו הוא היה פעיל ציבור ובין השאר כיהן בוועד תיאטרון חיפה ויו"ר ועדת הבחירות בחיפה. בנובמבר 1956 הוא נפצע קל בתאונת דרכים. באפריל 1958 מונה לשופט בית המשפט המחוזי חיפה, בה שמע בעיקר תביעות נזיקין, אך גם משפטים פליליים. בין השאר ישב בהרכב שדן את עליזה פאנו למאסר עולם על רצח פולה אליעז. בשנת 1963 מונה ליועץ משפטי לממשלה ולצורך כך לקח חופשה מתפקידו כשופט ללא שהתפטר, על מנת שיוכל לשוב לכהונתו כשופט, במקרה שיעזוב את משרת היועץ המשפטי.
קורות חייו > יועץ משפטי לממשלה

במהלך כהונתו כיועץ המשפטי לממשלה התמודד עם מספר פרשיות. ב-1964 שלח לו דוד בן-גוריון את כל הידוע לו לגבי "העסק הביש" (פרשת לבון), בתקווה שבן זאב יחליט להקים ועדת חקירה משפטית שתחקור את האירועים ותצביע על פנחס לבון כעל האחראי ל"פרשה", ולא על בנימין גיבלי ואמ"ן. בן-גוריון ביקש לבחון, אם "ועדת השבעה" חקרה את הפרשה כראוי ולא הייתה מוטה פוליטית. בן זאב המליץ על הקמת ועדת חקירה, אבל כזו שתבחן את "העסק הביש" עצמו ולא את פעילות "ועדת השבעה". לוי אשכול, שהחליף את בן-גוריון בראשות הממשלה, דחה את ההמלצה.
פרשה אחרת שעסק בה במהלך כהונתו הייתה שחיתות כביכול בה היה מעורב השופט אליעזר מלחי; השעייתו של הלה ומשפטו. בן זאב דרש בשם הממשלה (ומשרד המשפטים) לאסור על העלאת המחזה "זעקת השתיקה" שכתב יגאל לב, בטענה כי עלילת המחזה עוברת על הסוביודיצה. הוא ייצג את הממשלה מול בית הדין הגבוה לצדק בין היתר לגבי ניסיונה לאסור על איסר הראל לפרסם את ספרו "הבית ברחוב גריבלדי"; ועתירה שהגישה תנועת אל ארד.
קורות חייו > לאחר פרישתו

לאחר שפרש ממשרת היועץ המשפטי לממשלה, פתח משרד עורכי דין פרטי עם אריה קמר. ב-1980 עמד בראש ועדת בן זאב, שחקרה מקרים של התנכלויות לעובדי מדינה שחשפו שחיתות במקום עבודתם. עמד גם בראש ועדת חקירה לאסון טביעת ה"מצדה".
כן הביע בן זאב את דעתו בנושאים שונים שעמדו על הפרק. לאחר התאבדותו של השר אברהם עופר הביע תמיכה בעמדתו של היועץ המשפטי לממשלה אהרן ברק שסגר את התיק ולא נענה לבקשת משפחת השר למיצוי החקירה כדי שתוכח חפותו של עופר. בן זאב טען ש"זכותו של השר המנוח היא, כי הקריאה האחרונה שתהדהד באוזנינו תהיה קריאתו הוא, שהוא חף מפשע". לאחר טבח סברה ושתילה מתח ביקורת נוקבת על היועץ המשפטי לממשלה דאז, יצחק זמיר על שבישיבת הממשלה שדנה בהכנסת הפלנגות למחנות הפליטים לא התריע כנגד הבעייתיות בכך, למרות אזהרות הרמטכ"ל רפאל איתן והשר דוד לוי מפני תאוות נקם של הפלנגות.
בן זאב היה נשוי לציפורה לבית קופל (אחותו של פנחס קופל, מפכ"ל משטרת ישראל). לשניים נולדו ארבעה ילדים.
משה בן זאב נפטר בירושלים ב-1995 ונטמן בהר המנוחות.
לקריאה נוספת

דינה זילבר, בשם החוק: היועץ המשפטי לממשלה והפרשות שטלטלו את המדינה, פרק 5, הוצאת דביר, 2012
הערות שוליים

↑  https://www.geni.com/people/Moshe-Ben-Zeev/6000000039956491577
↑  עמוס כרמל, לקסיקון הפוליטיקה הישראלית, הוצאת דביר, 2001, עמוד 155
↑  חיפה - הועד של אגודת עורכי הדין היהודיים, דבר, 23 ביוני 1946
↑  עירית חיפה מתנגדת להרכב, דבר, 30 בנובמבר 1954
↑  עשרה נפצעו בתאונות דרכים, דבר, 23 בנובמבר 1956
↑  מונו שמונה שופטים חדשים, מעריב, 14 באפריל 1958
↑  השופט בן זאב מחיפה מונה יועץ משפטי לממשלה, דבר, 4 בפברואר 1963
↑  אורי טננבוים, "הקצין הבכיר" לקח את הסוד אל הקבר, וואלה, 22 באוגוסט 2008
↑  יחיאל גוטמן, היועץ המשפטי נגד הממשלה, ידיעות אחרונות, 1981, עמוד 317
↑  יוסי דר, צדק של פלנגות
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987012449456905171  BnF: cb15562491p (data)  ISNI: 0000 0000 0261 0284  VIAF: 71709370   WorldCat (עם VIAF): 71709370
מעבר דספשן (אלברטה)

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 מידע כללי
 סוג:  מעבר הרים 
 מיקום
 מיקום:  אלברטה 
 קואורדינטות:  51°29′49″N 116°03′40″W﻿ / ﻿51.497°N 116.061°W﻿ / 51.497; -116.061
  (למפת אלברטה מוגדלת) אדמונטון קלגרי רד דיר לת'ברידג' מדיסין הט גרנד פריירי קולומביה הבריטית הטריטוריות הצפון-מערביות ססקצ'ואן ארצות הבריתמעבר דספשן(למפת אלברטה רגילה) אדמונטון קלגרי רד דיר לת'ברידג' מדיסין הט גרנד פריירי קולומביה הבריטית הטריטוריות הצפון-מערביות ססקצ'ואן ארצות הבריתמעבר דספשן
 
מעבר דספשן (באנגלית: Deception Pass) הוא מסלול הליכה בפארק הלאומי באנף בפרובינציית אלברטה, שבקנדה. הוא נקרא כך מכיוון שהוא מטעה (באנגלית: "deception" – הטעיה) בכך שהוא נראה קטן אך לעולם לא נראה סופו לעין. הוא משמש לגישה לעמק סקוקי, לאגמי רד דיר ("הצבי האדום"), להר סקוקי ולהרבה אגמים אלפיניים קטנים ויפים יותר. המעבר מהווה אתגר עבור אורחי בקתת הסקי סקוקי (Skoki Ski Lodge). הוא ממוקם בין הר פוסיל לפסגת פטרמיגן.
הערות שוליים

↑  "Skoki Lodge: Getting to Skoki".
ערך זה הוא קצרמרבנושא גאוגרפיה של קנדה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
מרדכי עזראן

| --- | --- |

 לידה:  1848 מרוקו מרקש
 פטירה:  19 במרץ 1938 (בגיל 90 בערך) ישראל ישראל
 מקום קבורה:  בית הקברות היהודי בהר הזיתים 
 מקום פעילות:  מרוקו מרוקו  ישראל ישראל
 תקופת הפעילות:  ? – 19 במרץ 1938 
 תפקידים נוספים:  דיין בבית הדין הספרדי ביפו, משיב ור''ם בישיבת פורת יוסף
 רבותיו:  חכמי מרקש, בעיקר רבי מרדכי צרפתי
 חיבוריו:  עם מרדכי
 
הרב מרדכי עזראן (1848, ה'תר"ח - 1938, ט"ז באדר ה'תרצ"ח) היה חבר בבית הדין הספרדי ביפו נמנה בין נכבדי רבני העדה המערבית בארץ ישראל בתקופתו. נמנה בין חכמי בית המדרש של ישיבת פורת יוסף כמעט מראשיתה.
ביוגרפיה

נולד במרקש שבמרוקו. בצעירותו למד אצל חכמי מרקש, ובעיקר אצל הרב מרדכי הצרפתי. כשבגר התפרסם בעירו כתלמיד חכם וכדרשן מבוקש.
לפרנסתו עסק במסחר, וייסד במרקש בית מדרש הקיים עד היום. בביתו היו מתארחים שד"רים שבאו מארץ ישראל. כן רבי יעקב אבוחצירא היה מרבה להתארח בביתו.
בשנת ה'תרס"ז (1907) כשהיה בן 59 עלה לארץ ישראל יחד עם משפחתו, כדי להתיישב בטבריה ככל הנראה משום שעל פי המדרש עתיד המשיח להגיע מטבריה[דרוש מקור], בדרכו עבר ביפו, שם קיבלה את פניו הקהילה הספרדית שהכירה אותו ושכנעה אותו לא להמשיך לטבריה, ככל הנראה בגלל אפידמיה או שיטפונות שהיו בה באותה העת. ביפו מונה לכהן כדיין בבית הדין של העדה הספרדית לצד הרב יוסף ארוואץ והרב שבתי בחבוט.
בשנת ה'תרע"ד (1914) ירד עם משפחתו לאלכסנדריה שבמצרים, בעקבות מצב היישוב היהודי בארץ ישראל בימי מלחמת העולם הראשונה, ובשל היותו נתין צרפת. בתום המלחמה חזר לארץ ישראל ליפו. בשנת ה'תרפ"א (1921) עבר עם משפחתו לגור בתל אביב עקב מאורעות תרפ"א.
בשנת ה'תרפ"ו (1926) עברה המשפחה לעיר העתיקה בירושלים, שם החל ללמוד בחברותא בישיבת פורת יוסף עם רבי בן ציון אטון (אביו של רבי שבתי אטון). כן התמנה לר"ם בישיבה[דרוש מקור], ובד בבד החל להשיב לשאלות הלכתיות עד ימיו האחרונים.
בספר משה האי"ש שכתב הראשון לציון הרב חיים משה אלישר מובא קונטרס של שאלה הלכתית שנשאל הרב עזראן בשנת התרע"ד (1914) על ידי ראש העדה במרקש, ותשובה הלכתית שהשיב הרב עזראן על כך. את תשובה זו שלח לעיונם של הרב אלישר והרב בן ציון חי עוזיאל ותשובתם מצורפת אף היא שם.
בשנת ה'תרצ"ג, 1933 יצא לאור חיבורו "עם מרדכי" ובו דרשות, הספדים בהם הספד לרב שמואל סלנט ופסק דין שכתב ב-ה'תרס"ט עם שני חברי בית הדין הספרדי של יפו בעניין היתר עגונה, עקב אירוע משנת התרס"ו שם. לצד תכתובת הלכתית בנושא זה עם הראשון לציון הרב אליהו משה פאניז'יל.
נפטר בט"ז באדר ה'תרצ"ח ונקבר בבית הקברות שבהר הזיתים על מצבתו נכתב: ""מק' השקדן בתורה רה"ג מרדכי עזראן נלבע ט"ז אדר ב ש'(נת) עזרא בצרות לפ"ק..."
נכדו, הרב נסים דוד עזראן, הקים בירושלים את ישיבת "בית שמואל ואוהל מרדכי" לזכרו ולזכר בנו.
משפחתו

לרב היו ארבע נשים במהלך חייו, אך רק שתים מהן ילדו לו ילדים. אישה אחת נפטרה בגיל צעיר מהפלה או קשיי לידה ואישה נוספת הייתה נשואה לו כעקרה עד פטירתה בה'תרצ"ב (1932).
בנו, הרב שמואל עזראן היה אב"ד לעדת המערבים בירושלים, בנותיו - פרחה, חנה, ג'וג'ט וחיה.
נכדו, הרב נסים דוד עזראן, היה ראש ישיבת בית שמואל ואוהל מרדכי.
נינתו הרבנית צביה נישאה לראשון לציון הרב מרדכי אליהו.
נינתו דינה פלפל פרופסור אמריטה במחלקה לאפידמיולוגיה באוניברסיטת בן-גוריון בנגב.
לקריאה נוספת

שלמה זלמן מיארה - מראקש וחכמיה כרך א', עמ' 229
משה חיים סויסה - עטרת אבות כרך א' עמ' 39.
רפאל הלפרין - אטלס עץ חיים כרך י"ג - רבי מרדכי עזראן, ערך 2727.
הערות שוליים

↑  החרות ירושלים 17 בספטמבר 1913, על קול הקורא השלישי החתום על ידי הרב מרדכי עזראן (לאחר דבריהם של הראשון לציון הרב נחמן בטיטו ושל ראב"ד עדת המערבים ביפו הרב יוסף ארווץ) שם נכתב כהקדמה: "תעודת הרב המופלא בכתם פז לא יסולא וכתר שם טוב עולה מר דיינא כמוהר"ר מרדכי עזראן יצ"ו מורה צדק, בעיה"ק יפו ת"ו".
↑  מראקש וחכמיה עמ' 229.
↑  בספרו של הרב חיים משה אלישר, "משה האי"ש", חלק אבן העזר, סימן י"ח-כ', עמ' 267-274, קנ'-קנד'..
↑  פסק דין בעניין עיגונא לאשת הנעדר יעקב שמחון מ-יפו, ע"ם מרדכי עמ' 91.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007636690005171  VIAF: 122024287   WorldCat (עם VIAF): 122024287
מעבר הביניים

סחר משולש המשלב סחורות, עבדים וחומרי גלם בנתיב שנקרא "מעבר הביניים"
מעבר הביניים היה תהליך בו מיליוני אנשים מאפריקה נלקחו אל העולם החדש, במסגרת סחר העבדים האטלנטי. תהליך זה התרחש כחלק מסחר ימי משולש, בנתיב שחיבר בין היבשות: אפריקה, האמריקות (הצפונית והדרומית) ואירופה. המונח "מעבר הביניים" עצמו מתייחס לאחת משלוש צלעותיו של המשולש, דהיינו מהעמסת העבדים באפריקה ועד לפריקתם ביבשת אמריקה.
התהליך החל בספינות שעזבו את נמלי אירופה כשהן עמוסות בסחורות המיועדות לאפריקה. סחורות אלו הוחלפו בעבדים אפריקאיים, אשר הועמסו על הספינות ונשלחו דרך האוקיינוס האטלנטי לאמריקה. העבדים שנמכרו באמריקה, הוחלפו בחומרי גלם, אשר הוחזרו באותן ספינות לאירופה ושימשו לייצור הסחורות המיועדות לאפריקה. סחורות אלו אכן נשלחו לאפריקה, הוחלפו בעבדים, וחוזר חלילה.
מסעות אלו שהיו כרוכים בהוצאה כספית גדולה, לא נערכו על ידי יחידים, אלא על ידי חברות וקבוצות משקיעים.
הסוחרים שהשתתפו בתהליך הגיעו ממעצמות אירופה כגון: פורטוגל, אנגליה, ספרד, צרפת, הולנד, דנמרק, שוודיה, וברנדנבורג, כמו מצפון אמריקה, וברזיל. העבדים הגיעו מ-8 אזורים באפריקה: סנגמביה, גינאה העליונה, חוף השנהב, חוף הזהב, מפרץ בנין, מפרץ ביאפרה, מרכז אפריקה ומזרח אפריקה. העבדים נמכרו באמריקה הצפונית והדרומית ובקריביים.
תהליך מעבר-הביניים גבה מחיר יקר של חיי אדם, וההערכה היא שבתהליך זה בלבד, מתו כ-2 מיליון אפריקאים. כ- 15% ממקרי המוות אירעו עקב תנאי השייט בלב ים, ואילו השאר אירעו עוד על אדמת אפריקה, במהלך לכידת העבדים והעברתם אל הספינות.
ראו גם

סחר העבדים האטלנטי
משפט גומורי

במתמטיקה, משפט גומורי הוא המשפט שלפיו אם נסיר מלוח שחמט שתי משבצות בצבעים שונים, עדיין יהיה ניתן לרצף את הלוח באמצעות אבני דומינו בגודל 2×1. המשפט הוכח על ידי רלף גומורי.
הרקע למשפט

משפט גומורי מבוסס על חידת שחמט ידועה: האם ניתן לרצף באמצעות אבני דומינו לוח שחמט שהוסרו ממנו שתי משבצות פינתיות נגדיות. התשובה לחידה היא שלילית, משום ששתי משבצות פינתיות נגדיות בלוח שחמט הן תמיד באותו צבע, כך שלאחר ההסרה יהיו יותר משבצות מצבע אחד, מאשר משבצות מהצבע השני. ברור שכל אבן דומינו תכסה בהכרח משבצת אחת לבנה ומשבצת אחת שחורה, ולכן לא ניתן לרצף לוח באבני דומינו אם אין עליו מספר שווה של משבצות לבנות ומשבצות שחורות.
בפתרון חידה זו, אנו מוכיחים למעשה, שאם הסרנו שתי משבצות מלוח שחמט, היותן בצבעים שונים הוא תנאי הכרחי לכך שיהיה ניתן לרצף את המשבצות שנותרו באבני דומינו. משפט גומורי מוכיח שתנאי זה הוא גם תנאי מספיק.
הוכחת המשפט

הוכחת המשפט מתבססת על העובדה שקיים מסלול מעגלי על לוח שחמט, שעובר מכל משבצת למשבצת סמוכה (בעלת צלע משותפת), ועובר בכל משבצת פעם אחת בלבד. מסלול זה עובר במשבצות שחורות ולבנות לסירוגין. כאשר מסירים שתי משבצות, אחת שחורה ואחת לבנה, מחלקים למעשה את המסלול לשני "שבילים". אורך כל שביל הוא זוגי, מאחר שקצה אחד שלו סמוך למשבצת הלבנה שהסרנו (ולכן הוא שחור) והקצה השני שלו סמוך למשבצת השחורה שהסרנו (ולכן הוא לבן). כדאי גם לשים לב, שאורך אחד השבילים עשוי להיות אפס. כל שביל ניתן לרצף באבני דומינו בקלות, אם מתחילים מאחד הקצוות שלו, ומכסים כל זוג משבצות באבן דומינו.
מסלול מעגלי על לוח שחמט
מכונת טיורינג

הדמיה של מכונת טיורינג
מכונת טיורינג (באנגלית: Turing machine) היא מודל חישובי מתמטי אשר באמצעותו ניתן לתאר באופן מופשט את פעולתו של מחשב (כולל מחשב מודרני).
מכונת טיורינג מתארת בצורה פורמלית-מתמטית, כיצד ניתן לבצע פעולות חישוביות שונות כגון זיהוי מילים השייכות לשפה פורמלית, ביצוע פעולות חיפוש ומיון בקלט ועוד, והיא למעשה האוטומט החזק ביותר לביצוע חישובים, ולמעשה לעיתים המושג "חישוב" מוגדר על סמך פעולות הניתנות לביצוע באמצעות מכונת טיורינג.
מכונת טיורינג מתוארת באופן דמיוני כסרט אינסופי של תאים וראש קריאה בעל זיכרון סופי היכול לקרוא את תוכנו של התא שמעליו הוא ממוקם, לכתוב באותו התא וכן לנוע ימינה או שמאלה על הסרט. המכונה מקבלת את הקלט שלה באמצעות הסרט, עליו היא יכולה גם לכתוב, ולזוז כרצונה לכל נקודה על גביו.
כאמור למרות שהמודל נראה פשטני ודל, התזה של צ'רץ'-טיורינג קובעת שכל חישוב או אלגוריתם בר-ביצוע, ניתן לתרגם למכונת טיורינג. מבחינה זו, מכונת טיורינג שקולה לכל מחשב, ולכן משמשת במדעי המחשב, בעיקר בתורת הסיבוכיות ובתורת החישוביות, כבסיס לחקר יכולותיו ומגבלותיו התאורטיות של המחשב.
את המודל הציע אלן טיורינג בשנת 1936, טרם המצאת המחשב המודרני, כדי ליצור הגדרה מתמטית מדויקת של אלגוריתם, או "תהליך מכני" חישובי.
שלמות טיורינג מוגדרת כיכולת הרצת אלגוריתמים הדומה למכונת טיורינג אוניברסלית (למעט הזיכרון הסופי של התקן החישוב בו הוא שונה ממכונת טיורינג).
רקע

אלן טיורינג פיתח את מכונת טיורינג כניסוי מחשבתי, בניסיון לזהות שאלות מתמטיות, שאינן ניתנות להכרעה ובכך להבדילן משאלות מתמטיות הניתנות להכרעה, שלגביהן משפטי האי-שלמות של גדל אינם תקפים.
למעשה מכונות טיורינג מזהות האם קלט עונה על תבנית מוגדרת מסוימת, או באופן פורמלי יותר, האם מילה שהוזנה למכונה כקלט היא מילה בשפה פורמלית מסוימת. באמצעות המודל החישובי ניתן לראות כי ישנן שפות אשר עבורן ניתן לתאר מכונת טיורינג אשר תמיד תכריע האם מילה נמצאת בשפה או האם היא אינה נמצאת בשפה. שפות אלו מכונות שפות "כריעות". בנוסף, קיימות שפות אשר אינן כריעות אך כן קיימות מכונות טיורינג אשר מזהות כל מילה ששייכת להן, אולם ייתכן שהן לעולם לא יעצרו אם המילה אינה שייכת לשפה. שפות אלו מכונות "ניתנות לזיהוי". ניתן להוכיח כי קיימות שפות, או במילים אחרות קיימות בעיות, אשר אינן ניתנות לחישוב במכונת טיורינג, ולכן לא ניתנות לחישוב באמצעות כל מחשב.
תיאור המרכיבים

מכונת טיורינג מורכבת מהרכיבים הבאים:
סרט אינסופי או סרט עבודה המחולק לתאים הנמצאים זה אחר זה. בכל תא יש סמל יחיד מתוך אלפבית סופי כלשהו. הסרט משמש עבור קלט המשתמש ופלט המכונה. המשתמש מזין את הקלט על הסרט לפני תחילת עבודת המכונה ומציב את ראש המכונה על התו הראשון בקלט. הסרט ניתן להארכה לימין ולשמאל ללא הגבלה, כלומר למכונת טיורינג יש סרט בכל כמות שתזדקק לה. תאים שטרם נכתב בהם דבר נחשבים לכאלה שמכילים את הסמל "ריק".
אלפבית המחולק לאלפבית הקלט ולאלפבית של עבודת המכונה. אלפבית הקלט מוכל ממש באלפבית המכונה המכיל לפחות תו אחד נוסף, "ריק", שאליו מאותחל כל הסרט לפני הזנת הקלט.
ראש קורא כותב שמסוגל לקרוא ולכתוב את תוכנו של תא, ולזוז ימינה או שמאלה לאורך הסרט, צעד אחד בכל פעם.
רשימת מצבים סופית. אחד מהמצבים מסומן כמצב ההתחלתי.
אוגר מצב שבו נשמר מצבה הנוכחי של המכונה. בתחילת פעולת המכונה, מצבה הנוכחי הוא המצב ההתחלתי.
טבלת פעולה שמורה לראש מה לכתוב בתא, לאן לזוז (תא אחד ימינה או תא אחד שמאלה), ולאיזה מצב חדש לעבור, כל זאת בהתאם למצב הנוכחי (כפי שהוא רשום באוגר המצב) ולסמל שנקרא מהתא הנוכחי. אם אין בטבלה התייחסות לצירוף של המצב והסמל הנוכחיים, המכונה עוצרת.
כל מרכיביה של מכונת טיורינג הם סופיים, מלבד הסרט שאינו מוגבל באורכו.
תיאור אופן הפעולה

מכונת טיורינג מתחילה את פעולתה במצב ההתחלתי, כשעל הסרט כתוב מידע כלשהו - הקלט. הקלט הוא תמיד סופי, והאלפבית של האותיות שמרכיבות אותו הוא חלקי ממש לאלפבית של הסימנים שניתן לרשום על הסרט. בפרט הסמל "ריק" לא נחשב לחלק מאלפבית הקלט, כדי שיהיה ברור היכן הקלט נגמר. המכונה יכולה לשנות את מצבו של הסרט ולבסוף עשויה לעצור. נהוג להסתכל על החלק של הסרט שבין תחילת הסרט והמקום שבו הראש נעצר בתור הפלט של המכונה.
בצורת חשיבה זו, ניתן לראות את מכונת טיורינג כפונקציה שהופכת קלט לפלט. המכונה לא בהכרח מסיימת את ריצתה עבור כל קלט, ולכן יכולים להיות ערכים שעבורם הפונקציה לא מוגדרת.
מכונת טיורינג ספציפית, בהתאם לתיאור המופיע לעיל, היא מעין מחשב שנועד לבצע תוכנית מסוימת (כלומר, לחשב פונקציה מסוימת). טיורינג הראה שניתן לבנות מכונה המכוּנה מכונת טיורינג אוניברסלית שמקבלת כקלט תיאור של טבלת הפעולה של מכונת טיורינג ספציפית ואחר כך את הקלט לאותה מכונת טיורינג, כך שמכונת טיורינג אוניברסלית תקרא את טבלת הפעולה, לאחר מכן תקרא את הקלט, ואז תרשום על הסרט את תוצאות פעולתה של מכונת הטיורינג שקיבלה כקלט על הקלט הנתון לאותה מכונה. בצורה זו ניתן באמצעות מכונה אחת לדמות את פעולתן של כל מכונות הטיורינג (בדומה למחשב רגיל, שאינו מיועד לביצוע פעולה ספציפית, אלא מקבל כקלט גם את התוכנה שעליו להריץ).
אחד מסוגי השאלות שניתן להציב בפני מכונת טיורינג הוא שאלות אודות אופן פעולתן של מכונות טיורינג אחרות. רבות משאלות אלה אינן ניתנות להכרעה. דוגמה לשאלה כזאת שבה עסק טיורינג, היא השאלה האם מכונת טיורינג נתונה תגיע לעצירה כאשר היא פועלת על קלט נתון או על קלט כלשהו. בעיה זו ידועה בשם בעיית העצירה, וטיורינג הראה שהיא אינה ניתנת להכרעה.
מכונת טיורינג היא מודל מופשט לחלוטין, והמסקנות הנובעות ממנו אינן דורשות מימוש פיזי של המודל. יחד עם זאת ברור שניתן לממש את מכונת טיורינג על כל מחשב מודרני (מלבד אינסופיות הסרט, שאינה מתיישבת עם סופיות הזיכרון של מחשב ממשי). עם זאת, ניתן לתכנת ישירות במודל מכונת טיורינג, לדוגמה בשפת התכנות Brainfuck.