תרמודינמיקה יחסותית
ניסוח איינשטיין- פלאנק לתרמודינמיקה יחסותית

ב-1907, איינשטיין פרסם את התיאוריה לתרמודינמיקה יחסותית. הוא הניח שהמערכת K סגורה בקופסה שאטומה לקרינה. הוא טען שמכיוון שהמערכת K במנוחה במערכת הייחוס ’O ונעה במהירות  {\vec {v}}=v{\hat {x}} ביחס למערכת O, הרכיבים הקרטזיים של כוח  {\vec {F}} במערכת עוברים טרנספורמציית לורנץ כך:  F_{x}'=F_{x},F_{y}'={\frac {F_{y}}{\gamma }},F_{z}'={\frac {F_{z}}{\gamma }} . עקב כך, אם הכוח נובע מלחץ, אז:  F_{x}'=p'a_{x}',F_{y}'=p'a_{y}',F_{z}'=p'a_{z}' כאשר  p' הוא הלחץ במערכת הייחוס 'O ו- {\vec {a}}'=(a_{x}',a_{y}',a_{z}') הוא וקטור המאונך למשטח שעליו מופעל הלחץ ומכוון לכיוון פנים הקופסה שסוגרת את המערכת K בתוכה.
הוא לקח שהווקטור  {\vec {a}} עובר טרנספורמציה כמו וקטור הכוח:  a_{x}'=a_{x},a_{y}'={\frac {a_{y}}{\gamma }},a_{z}'={\frac {a_{z}}{\gamma }}. אז הכוח במערכת הייחוס O הוא:  F_{x}=p'a_{x},F_{y}=p'a_{y},F_{z}=p'a_{z}. מכאן, הוא הסיק שהלחץ אינו משתנה במעבר בין מערכות הייחוס, כלומר הוא אינווריאנט לורנץ:  p'=p.
איינשטיין הסכים עם פלאנק שאנטרופיה צריכה להיות בלתי תלויה במערכת הייחוס, כלומר אינווריאנט לורנץ. נימוקו של פלאנק היה הניסוי המחשבתי הבא. תהי מערכת K המונעת על ידי תהליך הפיך אדיאבטי ממנוחה ביחס למערכת הייחוס O, כך שבסוף התהליך היא במנוחה ביחס למערכת ייחוס ’O. מכיוון שהתהליך הפיך, האנטרופיה של המערכת איננה משתנה בעקבותיו, ולכן האנטרופיה בתחילת התהליך צריכה להיות שווה לאנטרופיה בסופו. כלומר, האנטרופיה של המערכת K כשהיא במנוחה ביחס למערכת O והאנטרופיה שלה כשהיא במנוחה ביחס למערכת ’O צריכות להיות שוות. לפיכך, האנטרופיה של המערכת K אינה תלויה במערכת הייחוס והיא אינווריאנט לורנץ, כלומר:  S'=S.
איינשטיין הציע שבמערכת הייחוס ’O, שינוי חום קטן 'dQ ניתן לכתיבה כדיפרנציאל שלם:  dQ'=dE'+p'dV'-{\vec {v}}*d{\vec {G}}' כאשר 'E זוהי האנרגיה הכוללת של המערכת במערכת ייחוס 'O, לא רק האנרגיה הפנימית U כמו בתרמודינמיקה קלאסית, ’p הוא הלחץ, ’V הוא הנפח התלת־ממדי של המערכת,  {\vec {v}} מהירות המערכת הייחוס 'O ביחס למערכת O ו- {\vec {G}}' הוא וקטור התנע.
נשים לב שבמערכת O:  dQ=dE+pdV כי המהירות של מערכת הייחוס O ביחס לעצמה היא אפס. נקודת המוצא של איינשטיין בניסוח שלו לתרמודינמיקה יחסותית היא שאם במערכת המנוחה O שינוי החום הוא dQ, אז במערכת הנעה 'O, ישנה תוספת אנרגיה  dE=\gamma dQ אבל תוספת האנרגיה אינה "חום טהור". במערכת הנעה, המערכת K נעה, ובתורת היחסות, שינוי אנרגיה משמעותו שינוי במסה, לפיכך קיים שינוי בתנע שנובע מהשינוי באנרגיה  dE=\gamma dQ. השינוי הזה בתנע יכול לבצע עבודה ולכן יש להחסיר מהגודל  dE=\gamma dQ את העבודה הנדרשת כדי להאט את הגוף ממהירות v למנוחה, שהוא  dG'*v.
לפי איינשטיין, האנרגיה הכוללת 'E עוברת טרנספורמציית לורנץ כדלקמן:  E'=\gamma [mc^{2}+E+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}pV].
בנוסף, ווקטור התנע 'G במערכת הייחוס ’O קשור לאנרגיה הכוללת E והנפח התלת־ממדי V במערכת O באופן הבא:  G'=\gamma (m+{\frac {E+pV}{c^{2}}}){\vec {v}}.
מתקבלים הדיפרנציאלים הבאים:  dE'=\gamma [dE+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}(pdV+Vdp)] ו-  dG'={\frac {\gamma {\vec {v}}}{c^{2}}}(dE+pdV+Vdp).
בנוסף, ידוע כבר שהלחץ הוא אינווריאנט לורנץ  p'=p והנפח עובר טרנספורמציית לורנץ:  V'={\frac {V}{\gamma }} (האורך בכיוון המהירות  {\vec {v}} מתכווץ בפקטור  \gamma  במערכת הנעה ובכיוונים המאונכים לא משתנה).
הצבה נותנת:  dQ'=\gamma (1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})dE+\gamma {\frac {v^{2}}{c^{2}}}[pdV+Vdp-pdV-Vdp]+p{\frac {dV}{\gamma }}={\frac {dE+pdV}{\gamma }}={\frac {dQ}{\gamma }}.
איינשטיין הניח שהקשר בין מעבר חום לטמפרטורה והאנטרופיה בתהליכים הפיכים dQ=TdS תקף בכל מערכות הייחוס. אך האנטרופיה אינווריאנט לורנץ כך ש- dS’=dS ולכן:  T'dS=T'dS'=dQ'={\frac {dQ}{\gamma }}={\frac {T}{\gamma }}dS.
לפיכך,  T'={\frac {T}{\gamma }} ובמערכת ייחוס שנעה ביחס למערכת K, המערכת K תראה קרה יותר, מאשר במערכת ייחוס שבמנוחה ביחס למערכת K.
טרנספורמציית הטמפרטורה הזו זכתה לתמיכה חזקה מפלאנק והייתה מקובלת בקהילה המדעית במשך 50 שנה.