stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
עקרון האיסור של פאולי

עקרון האיסור של פאולי הוא עיקרון פיזיקלי בתורת הקוונטים הקובע ששני פרמיונים לא יכולים להימצא באותו מצב קוונטי, באותה מערכת קוונטית, בו-זמנית. העיקרון נוסח על ידי וולפגנג פאולי בשנת 1925.
כיוון שהאלקטרונים הסובבים את גרעין האטום הם פרמיונים, עקרון האיסור של פאולי חל עליהם, ובכך הוא עוזר להבין את מבנה קליפות האלקטרונים באטום. קליפות אלה קובעות בין היתר חלק מתכונות היסודות הכימיים ואת מבנה הטבלה המחזורית. העיקרון חל גם על הנוקליאונים ומשפיע על מבנה הגרעין.
עקרון האיסור של פאולי הוא גם הבסיס לדחייה בין אטומים ומולקולות במרחקים קצרים, שמונעת מהם להתקרב זה לזה יתר על המידה. בקירוב ניתן לתאר זאת כך: כאשר מסלולים מלאים של אלקטרונים בקליפות החיצוניות של אטומים שכנים מתקרבים זה לזה, על האלקטרונים באחד המסלולים לעבור למסלול אחר, בשל עקרון האיסור של פאולי. בדרך כלל מסלול זה יהיה בעל אנרגיה גבוהה יותר, כיוון שהמסלולים בעלי האנרגיה הנמוכה יותר (או שווי האנרגיה) תפוסים כבר בידי אלקטרונים אחרים. לפיכך, התקרבות מעבר למידה מסוימת עולה באנרגיה.
כמו כן מגדיר העיקרון את המושג של לחץ פרמי, כוח דחייה בין פרמיונים שמונע מהם להגיע לאותו מצב קוונטי, ובכך הוא מסייע להבין את המבנה ואת התכונות של ננסים לבנים ושל כוכבי נייטרונים.
עקרון האיסור ומשמעותו > מערכת רבת חלקיקים ועקרון הסימטריה

בפיזיקה קלאסית ניתן לעקוב אחרי חלקיקים לאורך כל תנועתם, לכן אם בשלב ראשוני מתייגים את החלקיקים בתגיות ׳חלקיק 1׳ ו׳חלקיק 2׳, ניתן להגיד בכל נקודת זמן מה המצב הפיזיקלי של כל אחד מהם בנפרד. במכניקה קוונטית, המצב הפיזיקלי של חלקיק הוא אוסף מלא של גדלים קומיוטטיבים ניתנים לצפייה (לדוגמה רמת האנרגיה וכיוון הספין של האלקטרון באטום המימן). לכן אי אפשר לתייג את החלקיקים בשמות ׳חלקיק 1׳ ו׳חלקיק 2׳. מאחר שכל מדידה של מיקום החלקיק משפיעה על המערכת, אי אפשר לעקוב אחרי מסלול החלקיקים באופן רציף. חלקיקים קוונטיים הם בלתי ניתנים להבחנה באופן מהותי.
עובדה זו גורמת לכך שבמערכת עם מספר חלקיקים, גם אם ניתן לדעת את המצב העצמי המדויק של כל אחד מרכיבי המערכת (לדוגמה על ידי מדידת המיקום והספין של כל החלקיקים באותו זמן), המצב המלא של המערכת לא ידוע. הוא סופרפוזיציה של מצבים בהם המדידות של חלקיק בודד נמצא באחד מערכי המדידות. לדוגמה, אם נמדדו שני חלקיקים, ובוצעו שתי מדידות שגילו את המצבים  |\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle  אין דרך לדעת האם המערכת שכוללת את שני החלקיקים נמצאת במצב  |\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle , במצב  |\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle  או במצב הכללי  \alpha |\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle +{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}e^{i\phi }|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle . ניתן להניח באופן כללי שהסיכוי לסידור הראשון והשני שווה, אולם הנחה זו עדיין לא פותרת את בעיית הפאזה. המצב הכללי של המערכת תחת הנחה כזו יהיה  {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle +e^{i\phi }|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle \right) כשאין שום דרך אפריורית לדעת מה הערך של  \phi . את המצבים האלה ניתן להרחיב למספר גדול יותר של חלקיקים.
עקרון האיסור ומשמעותו > ניסוח העיקרון

עקרון האיסור של פאולי קובע שיש זן מסוים של חלקיקים, הנקראים פרמיונים, שמקיימים את הכלל הבא:
ניסוח חלש - שני פרמיונים לא יכולים להימצא באותו מצב קוונטי.
ניסוח חזק - מערכת מרובת חלקיקים היא אנטיסימטרית להחלפה בין כל זוג פרמיונים זהים במערכת.
הניסוח החלש נובע מתוך הניסוח החזק, עבור שני פרמיונים שנמצאים באותו מצב קוונטי המצב היחיד האנטיסימטרי להחלפה הוא:
|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle -|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle \right)
אך אם שני הפרמיונים נמצאים באותו מצב קוונטי, הרי ש:
|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle
ולכן:
|\psi \rangle =0
חלקיקים שלא מקיימים את עקרון האיסור מצייתים לכלל לפיו המערכת היא סימטרית להחלפה בין כל זוג חלקיקים זהים. חלקיקים אלה נקראים בוזונים, ושני בוזונים כן יכולים להימצא באותו מצב קוונטי.
עקרון האיסור ומשמעותו > מצבים אנטיסימטריים

המצב שמייצג מערכת של פרמיונים הוא מצב אנטיסימטרי. לכל מספר של חלקיקים, קיים רק מצב אנטיסימטרי אחד, שניתן להיבנות באופן פשוט מהמצבים הבודדים של כל אחד מחלקי המערכת. אם סט המצבים שמתאר את כל אחד מחלקי המערכת הוא:
|n_{1}\rangle ,|n_{2}\rangle ,...,|n_{N}\rangle
כך ש- |n_{1},n_{2},...,n_{N}\rangle  היא מכפלה של מצבים של חלקיקים בודדים בסדר מסוים. עבור פרמוטציה מסוימת  \ pשל סדרת המספרים הקוונטיים  \ n_{i}. אופרטור השחלוף של אותה פרמוטציה  {\hat {P}}_{p} פועל על המצב באופן הבא:
{\hat {P}}_{p}|n_{1},n_{2},...,n_{N}\rangle =|n_{p_{1}},n_{p_{2}},...,n_{p_{N}}\rangle
אופרטור האנטיסימטריזציה כולל סיכום על כל הפרמוטציות האפשריות ומוגדר באופן הבא:
{\hat {A}}={1 \over {\sqrt {N}}!}\sum _{p\in S_{N}}\operatorname {sgn}(p){\hat {P}}_{p}
זהו אופרטור הרמיטי. המצב אנטיסימטרי של המערכת יקיים:
{\hat {A}}|n_{1},n_{2},...,n_{N}\rangle .
עקרון האיסור ומשמעותו > הסינגלט והטריפלט

עניין מיוחד קיים במערכות בהן יש שני חלקיקים שיכולים להיות רק בשני מצבים  |\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle . במקרה כזה, קיים רק מצב אנטיסימטרי אחד שיכול לתאר את המערכת הכוללת: הסינגלט -  |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle -|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle \right). לעומת זאת, קיימים שלוש מצבים סימטריים אפשריים: הטריפלט -  |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle +|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle \right),|\psi _{2}\rangle |\psi _{2}\rangle ,|\psi _{1}\rangle |\psi _{1}\rangle . אם למצבים  |\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle  יש רמות אנרגיה שונות, נקבל שבמקרה של הסינגלט יש רק אנרגיה אחת למערכת, ולעומת זאת למערכת הטריפלט קיימים שלושה ערכי אנרגיה אפשריים.
היסטוריה

בתחילת המאה ה-20 התפתחה תורת הקוונטים, מודל האטום של בוהר הסביר למה לאטום המימן יש קווי פליטה שמקבלים ערכים בדידים. מודל זומרפלד שהוצג ב-1913 הראה שלרמות האנרגיה המעורערות של אטום המימן יהיה תנע זוויתי שונה מאפס. בסוף המאה ה-19 פיטר זימן ביצע מדידות של ספקטרום אטום המימן בנוכחות שדה מגנטי. הוא גילה שקווי הפליטה מתפצלים בנוכחות שדה מגנטי התיאוריה הסבירה היטב את אפקט זימן באטום המימן, אולם עבור אטומים אחרים כמו אבץ ונתרן, קווי הפליטה פוצלו לשש או לארבע רמות, כאשר מודל זומרפלד חזה פיצול לשלוש רמות. האפקט הלא מוסבר זכה לשם אפקט זימן האנומלי, והסבר שלו היה אתגר משמעותי בתיאוריה הקוונטית בשנות ה-20 של המאה ה-20. מבחינה כימית, התגלה בראשית המאה ה-20 שיסודות עם כמות זוגית של אלקטרונים יציבים יותר מבחינה כימית, בפרט נוצר צורך להסביר את ה׳אדישות׳ הכימית של הגזים האצילים שזוהו בסוף המאה ה-19, ושמספר האלקטרונים בהם התנהג לפי סדרה מוגדרת.
ב-1925, הציע פאולי את עקרון האיסור ביחס לאלקטרונים באטום. הוא טען שהמצבים שכל אלקטרון בנפרד יכול לקבל מסביב לאטום דומים לפתרונות של אטום המימן. לכן בכל רמת אנרגיה יש  n^{2} מצבים אפשריים. פאולי שיער שלאלקטרונים יש עוד מצב עצמי חופשי פנימי שיכול לקבל שני ערכים שונים, וששני אלקטרונים לא יכולים להיות באותו מצב מלא כולל המצב הפנימי הזה. לכן לפי התיאור של פאולי בכל רמת אנרגיה יש  2n^{2} מצבים אפשריים. פאולי הראה איך תיאור זה מסביר את קווי הפליטה של אטומים שונים, ואת מבנה הטבלה המחזורית. המצב הפנימי החופשי התגלה כספין של החלקיק, וב-1927 פאולי הראה שיש לו מבנה של תנע-זוויתי קוונטי.
ב-1926 הייזנברג ודיראק הציגו את המבנה האנטיסימטרי של פונקציית הגל - כלומר ניסחו את הניסוח החזק של עקרון האיסור. הם הראו שהניסוח החלש נובע מיידית מהניסוח החזק. באותה שנה פרמי הציג את התפלגות פרמי-דיראק שמתארת את מצבי האנרגיה המתקבלים של חלקיקים המקיימים את עקרון האיסור וצמודים לאמבט טמפרטורות. חלקיקים שמקיימים את העיקרון נקראו פרמיונים על שמו של פרמי. מודלים אלו שימשו לתיאור האסטרופיזיקלי של ננסים לבנים, ולהסבר מדוע הם לא מוסיפים לקרוס, למרות הטמפרטורה הנמוכה בה הם נמצאים.
ב-1931 הרחיבו ארנפסט ואופנהיימר את העיקרון והחילו אותו גם על חלקיקים מורכבים שמכילים מספר אי זוגי של אלקטרונים ופרוטונים. עם גילוי הנייטרון ב-1932 הייזנברג הראה שאפשר לתאר את הגרעין כמורכב מנייטרונים ופרוטונים שמתנהגים כמו אותו חלקיק, למעט ערך קוונטי נוסף שהייזנברג קרא לו אייזוטרופיק ספין. החלקיקים בגרעין מקיימים את עקרון האיסור.
ב-1939 וב-1940 פאולי הציג יחד עם תלמידו את משפט ספין-סטטיסטיקה, וטען שכל חלקיק עם ספין חצי שלם הוא פרמיון שמציית לעקרון האיסור, בעוד חלקיקים עם ספין שלם הם בוזונים שלא מקיימים את עקרון האיסור. המשפט והוכחתו נחשבים עד היום למסובכים להבנה, והתמונה שהם מספקים לא שלימה. הוכחות עוקבות סובלות מהנחות לא מוצדקות, או שהן אף קשות יותר להבנה ולהצדקה.
ב-1945 קיבל פאולי את פרס נובל לפיזיקה על ״גילוי עקרון האיסור הקרוי גם עקרון פאולי״.
תוצאות ותופעות קשורות > משפט ספין-סטטיסטיקה

עקרון האיסור של פאולי חל רק על חלק מהחלקיקים הקוונטיים. משפט ספין-סטטיסטיקה קובע שהעיקרון חל על כל חלקיק בעל ספין חצי שלם, כלומר כל חלקיק כזה הוא פרמיון. לעומת זאת, המשפט לא חל על חלקיקים בעלי ספין שלם. המשפט הוכח לראשונה על ידי פאולי ב-1940, והוא בעל חשיבות רבה בפיזיקה קוונטית ופיזיקה סטטיטית. הלפטונים (כולל האלקטרון), הקווראקים הבאריונים והנייטרינו הם כולם חלקיקים בעלי ספין חצי, ולכן כולם יתנהגו לפי עקרון האיסור של פאולי. פוטונים הם בוזונים. חלקיקים לא יסודיים שמורכבים ממספר חלקיקים יסודיים יתנהגו בהתאם לספין הכולל של החלקיק. לכן הליום 3 יתנהג כמו פרמיון ועקרון האיסור יחול עליו, והליום 4 יתנהג כמו בוזון.
תוצאות ותופעות קשורות > סידור האלקטרונים באטום

האלקטרונים הם פרמיונים ועקרון האיסור חל עליהם. בכל רמת אנרגיה  n יש  m=n אפשרויות לערך התנע-הזוויתי הכולל של האלקטרון (מסביב לגרעין), בכל רמה כזו יש  2m-1 אפשרויות לערך התנע-הזוויתי ביחס לציר ה-z. בסה"כ לכל רמת אנרגיה באטום יש  n^{2} מצבים עצמיים של פונקציית הגל של מיקום האלקטרון מסביב לאטום. בכל מצב עצמי כזה יכולים להיות שני אלקטרונים בלבד, אחד בעל ספין למעלה והשני בעל ספין למטה. מתוצאה זו מתקבל שמספר האלקטרונים ברמות האנרגיה השונות מסביב לאטום הוא 2,8,18,32 וכן הלאה. ההגבלה של מספר האלקטרונים בכל רמה, ובכל מצב תנע-זוויתי (אורביטל) קובעת את הסידור של האלקטרונים מסביב לגרעין, ובכך עיקרון האיסור משפיע על התכונות הכימיות של יסודות שונים.
תוצאות ותופעות קשורות > מבנה הגרעין

| --- | --- |
 :  ראו גם –  נוסחת המסה של ויצאקר
לעקרון האיסור של פאולי חשיבות רבה גם במבנה הגרעין. בגרעינים הפרוטונים והניטרונים מוחזקים יחד בזכות הכוח הגרעיני החזק קצר הטווח, אך פרוטונים דוחים זה את זה דחייה חשמלית. האנרגיה המתקבלת מן הכוח הגרעיני החזק מספיקה כדי שפרוטונים יוכלו להפוך לנייטרונים (תוך פליטת פוזיטרון ונייטרינו), אך למרות הדחייה החשמלית בין הפרוטונים, יש עלות אנרגטית בהפיכתם לניטרונים מעבר למספר מסוים, כיוון שבין הניטרונים (כמו גם בין הפרוטונים) מתקיים עקרון האיסור של פאולי, כך שמעבר למספר מסוים (המשתנה מגרעין לגרעין) ניטרונים נוספים צריכים להיות במסלולים בעלי אנרגיה גבוהה יותר מאשר ניטרונים קיימים. לכן החלפה של פרוטון בנייטרון בתוך הגרעין מעלה את האנרגיה הכוללת של הגרעין, ולכן היא לא מתקיימת באופן ספונטני.
תוצאות ותופעות קשורות > ננסים לבנים וכוכבי נייטרונים

באסטרופיזיקה, עיקרון האיסור מקבל חשיבות רבה בתהליך מותם של כוכבים בעלי מסה גבוהה. במהלך חייו של כוכב, האנרגיה של התגובה הגרעינית שמניעה אותו שומרת על הכוכב מקריסה תחת כוח הכבידה שהוא מפעיל על עצמו. כאשר הדלק הגרעיני של הכוכב אוזל, הכבידה מתחילה להקריס את הכוכב כלפי פנים. אם מסתו של הכוכב לא גדולה מדי, בשלב מסוים של הקריסה עיקרון האיסור של פאולי שאוסר על האלקטרונים בכוכב להיות באותו מצב קוונטי ייכנס לפעולה וימנע מהכוכב להמשיך לקרוס. במצב זה השאריות של הכוכב ייצרו ננס לבן. אם המסה של הכוכב גדולה ממסת צ'נדראסקאר אז הדחייה הקוונטית בין האלקטרונים לא תהיה חזקה מספיק כדי למנוע את קריסתו של הכוכב. במצב זה, האלקטרון יילכדו בפרוטונים של גרעיני האטום, ויהפכו לנייטרונים תוך כדי פליטה של ניוטרינו. תהליך זה יאפשר לכוכב להידחס עוד יותר תחת הכבידה העצמית שלו. עבור כוכבים עם מסה גדולה ממסת צ'נדראסקאר אבל קטנה ממסת טולמן-אופנהיימר-וולקוף, הקריסה תיעצר כאשר עקרון האיסור יימנע מהנייטרונים להתקרב אחד לשני. במצב כזה הכוכב יסיים את חייו ככוכב נייטרונים. כאשר מסת הכוכב גדלה אף מגבול זה, הכוכב יקרוס לחור שחור, ולאחר הקריסה לסינגולריות נראה שעקרון האיסור מופר. עם זאת, יש לזכור שאירועים שמתרחשים מעבר לאופק האירועים של חור שחור אינם משפיעים על צופה חיצוני, ולכן אין משמעות פיזיקלית לשאלה האם החומר בתוכו מקיים את עקרון האיסור או לא.
תוצאות ותופעות קשורות > כוחות חילוף

בהתאם לניסוח החזק של עקרון האיסור, פונקציית הגל המלאה של פרמיונים היא אנטיסימטרית. המסלול והספין של החלקיקים הם קומוטטיבים, ולכן פונקציית גל אנטיסימטרית תהיה מכפלה של פונקציית גל סימטרית מרחבית באנטיסימטרית במרחב הספין, או להפך.
ערך התצפית של המרחק בין שני חלקיקים מושפעת רק מהחלק המרחבי של פונקציית הגל. חישוב של ערך התצפית עבור מצב מרחבי סימטרי או אנטיסימטרי  |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\psi _{a}\rangle \pm |\psi _{b}\rangle \right) יתן  \langle \psi |(x_{1}-x_{2})^{2}|\psi \rangle =\langle \psi _{a}|x^{2}|\psi _{a}\rangle +\langle \psi _{b}|x^{2}|\psi _{b}\rangle -2\langle \psi _{a}|x|\psi _{a}\rangle \langle \psi _{b}|x|\psi _{b}\rangle \mp 2\langle \psi _{b}|x|\psi _{a}\rangle \langle \psi _{a}|x|\psi _{b}\rangle . אם ההימילטוניאן תלוי במרחק בין שני החלקיקים, למצב המרחבי האנטיסימטרי ולמצב המרחבי הסימטרי יש אנרגיות שונות.
במודלים כמו אטום ההליום, בו האלקטרונים דוחים אחד את השני, מתקבל שהמצב המרחבי הסימטרי מקבל אנרגיות גבוהות יותר מהמצב המרחבי האנטיסימטרי. במצב כזה, המערכת תעדיף להיות במצב המרחבי האנטיסימטרי, כלומר במצב הספין הסימטרי, על אף שההמילטוניאן לא תלוי ישירות במצב הספין. מצבי הספין מתקבלים מהאופרטור  {\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {4}{\hbar ^{2}}}\mathbf {S} _{1}\cdot \mathbf {S} _{2}\right) שמקבל ערך עצמי 1 למצבים סימטריים ומינוס אחד למצב האנטי סימטרי. לכן יתקבל שהאנרגיה תלויה בפרמטר שמתכונתי ל- \mathbf {S} _{1}\cdot \mathbf {S} _{2}. האינטראקציה הזו נקראת אינטראקציית חילוף, והכוחות שמתקבלים בין החלקיקים כתוצאה ממנה נקראים כוחות החילוף והם פועל יוצא של עקרון האיסור. בעזרת כוחות אלו ניתן למשל להבין את תופעת הפרומגנטיזם (מודל אייזינג).
ראו גם

התפלגות פרמי-דיראק
התפלגות בוז-איינשטיין
סימון דיראק
משפט הספין סטטיסטיקה
מודל אייזינג
אנרגיית פרמי
כללי הונד
הערות שוליים

↑  לדוגמה עבור שלושה חלקיקים  {\frac {1}{\sqrt {6}}}\left(|\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle |\psi _{3}\rangle +e^{i\phi }|\psi _{1}\rangle |\psi _{3}\rangle |\psi _{2}\rangle +e^{i\phi }|\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle |\psi _{3}\rangle +e^{2i\phi }|\psi _{2}\rangle |\psi _{3}\rangle |\psi _{1}\rangle +e^{2i\phi }|\psi _{3}\rangle |\psi _{1}\rangle |\psi _{2}\rangle +e^{3i\phi }|\psi _{3}\rangle |\psi _{2}\rangle |\psi _{1}\rangle \right)
↑  כלומר הפאזה מקיימת  \phi =\pi
↑  עד כדי פאזה
↑  Ilya Kaplan, Pauli Exclusion Principle and its theoretical foundation. https://arxiv.org/pdf/1902.00499.pdf
↑  להרחבה בנושא ראו: Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory) by Landau & Lifshitz (vol.3) 3rd Ed. QC174.12L3513 1976 530.12 page 228 section 62
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007529554105171  BnF: cb177015270 (data)  GND: 4173571-7  LCCN: sh85098815
גאומטריית חילה

גאומטריית חילה היא תחום בגאומטריה שבו חוקרים מבנים גאומטריים כלליים בגישה קומבינטורית-מופשטת. את מקומן של הנקודות והישרים, המשחקים בדרך כלל תפקיד מרכזי בגאומטריה, תופס בגאומטריית החילה היחס בין נקודות וישרים הקובע איזו נקודה נמצאת על איזה ישר.
מושגי היסוד

קדם-גאומטריה היא קבוצת איברים שלכל אחד מהם טיפוס מוגדר (כגון: "נקודות", "ישרים" ו"מישורים"), עם יחס חילה שהוא יחס רפלקסיבי וסימטרי המוגדר כך שעצמים שונים מאותו טיפוס אינם חלים זה בזה. קבוצה של עצמים החלים זה בזה נקראת דגל; לדוגמה, דגל עשוי להיות מורכב ממישור, ישר במישור ונקודה על הישר; או ממישור ונקודה עליו; וכדומה. דגל שיש בו נציג לכל טיפוס נקרא חדר (chamber). מספר הטיפוסים הוא הדרגה של הקדם-גאומטריה. קדם-גאומטריה היא גאומטריה אם אפשר להשלים כל דגל לחדר. גאומטריה קבוצתית היא גאומטריה עם הטיפוסים  0,1,\dots ,d-1 (איברים מטיפוס 0 נקראים "נקודות"), שבה איברים A,a חלים זה בזה אם הטיפוס של a קטן משל A וכל נקודה החלה ב-a חלה גם ב-A. בגאומטריה כזו אפשר לראות כל אובייקט כאילו הוא מורכב מקבוצת הנקודות החלות בו, וכך להמיר את יחס החילה בהכלה בין הקבוצות.
גאומטריה אפינית ופרויקטיבית > מישורים

המישור האפיני והמישור הפרויקטיבי הם מן הדוגמאות הבסיסיות בגאומטריה. הגישה האקסיומטית של גאומטריית חילה מטפלת במקרים אלו באופן הבא. במקום לומר על נקודה וישר שהם "מקיימים את יחס החילה", אומרים שהנקודה נמצאת על הישר, והישר עובר דרך הנקודה.
גאומטריה עם הטיפוסים "נקודה" ו"ישר" נקראת מרחב ליניארי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. קבוצת נקודות במרחב ליניארי היא תת-מרחב אם לכל שתי נקודות x,y בקבוצה, כל הנקודות על הישר xy נמצאות בה. חיתוך כל תת-המרחבים המכילים קבוצת נקודות S הוא תת-המרחב הנוצר על ידי S. תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא מישור. מרחב ליניארי נקרא מישור פרויקטיבי אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, וכל שני ישרים נפגשים בנקודה. כל מישור פרויקטיבי הוא מישור. מרחב ליניארי המקיים את אקסיומת המקבילים (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא מישור אפיני. אם יש במישור האפיני A ישר בן שלוש נקודות, אז הוא מישור. המישור האפיני היחיד שאינו מישור הוא בן 4 נקודות.
סילוק ישר אחד ממישור פרויקטיבי מניב מישור אפיני, ולהפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרויקטיבי על ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה.
גאומטריה אפינית ופרויקטיבית > מרחבים פרויקטיביים

מושגים אלו ניתנים להכללה לממד גבוה. מרחב פרויקטיבי מוגדר כמרחב ליניארי המקיים את אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. אם U הוא תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי שיש בו לפחות שני ישרים, אז U מרחב פרויקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז איחוד הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. מרחב ליניארי הוא מרחב פרויקטיבי אם ורק אם כל מישור שלו הוא מישור פרויקטיבי.
בדומה להגדרות באלגברה ליניארית, המבנה האקסיומטי שתואר עד כה מאפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את הלמה של צורן). הבסיסים של מרחב פרויקטיבי P מקיימים את למת ההחלפה של שטייניץ, וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, הממד של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים  \operatorname {dim} (\langle U,U'\rangle )=\operatorname {dim} (U)+\operatorname {dim} (U')-\operatorname {dim} (U\cap U').
בגאומטריה הפרויקטיבית (מממד d) שהוגדרה לעיל יש רק שני טיפוסים: נקודה וישר. מושג הממד מאפשר לספח לה אובייקטים נוספים, מממדים שונים: אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב להיות הממד שלו, אז אוסף כל תת-המרחבים של P מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה d.
לכל חוג עם חילוק D ולכל מרחב וקטורי שמאלי V מעל D, אפשר לבנות את המרחב הפרויקטיבי  \ \mathbb {P} V באמצעות קואורדינטות הומוגניות, כאשר הנקודות הן המרחבים החד-ממדיים  \ Dv והישרים הם המרחבים הדו-ממדיים  \ Dv+Dv'. באופן כללי יותר, תת-מרחבים מממד i במובן של גאומטריה פרויקטיבית מתאימים לתת-מרחבים של V מממד i+1 במובן של אלגברה ליניארית. כל מרחב פרויקטיבי שנבנה באופן כזה מקיים את משפט דזרג.
גאומטריה אפינית ופרויקטיבית > מרחבים אפיניים

יחס הקבלה הוא יחס שקילות על הישרים של מרחב ליניארי, כך שלכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g. במרחב ליניארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא סגור להקבלה אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U. תת-מרחב של L נקרא תת-מרחב אפיני אם הוא סגור להקבלה. החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה.
מרחב אפיני הוא מרחב ליניארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).
תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת הוא יוצר את המרחב כולו) נקרא על-מישור. אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרויקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני L ממד. בדומה למקרה הפרויקטיבי, אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב אפיני להיות הממד שלו, אוסף כל תת-המרחבים של L מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה השווה לממד של L.
כמו במקרה הפרויקטיבי, מרחב ליניארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).
גאומטריה אפינית ופרויקטיבית > מורפיזמים

העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי לקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי נקראת קולינאציה אם היא משרה העתקה (חד-חד-ערכית ועל) בין קבוצות הישרים. קולינאציה מעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת גם על הקבלה, על תת-מרחבים אפיניים, על בסיסים וממדים. מרחבים פרויקטיביים או אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים. קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על ידי הסרת על-מישור, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.
אם p נקודת שבת של קולינאציה a, אז a מהווה קולינאציה של הגאומטריה השאריתית ב-p. קולינאציה a ממרחב פרויקטיבי לעצמו היא מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a; במקרה זה הקולינאציה של הגאומטריה השאריתית היא טריוויאלית). תכונה זו שקולה לקיומו של ציר (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות).  מבדילים בין שני טיפוסי קולינאציות, לפי שייכותה או אי-שייכותה של נקודת המרכז לציר. אוסף הקולינאציות  \ G(p,H) עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה חבורה. קולינאציה ב- \ G(p,H) נקבעת על ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב- \ H\cup \{p\}; אם המרחב דסרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל- \ H\cup \{p\} של כל ישר דרך p. 
(ראה מישור פרויקטיבי לדיון בקולינאציות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי).
גאומטריה פולרית

מרחב פולרי הוא מבנה גאומטרי המשלב תת-מרחבים פרויקטיביים באופן שבין כל שני תת-מרחבים מקסימליים מחברת שרשרת של מרחבים מאותו סוג, וכך שהחיתוך בין כל שני תת-מרחבים מקסימליים הוא בעל קו-ממד 1. לדוגמה, אוסף הנקודות במרחב פרויקטיבי המאפסות תבנית ריבועית הומוגנית, עם הישרים המאפסים את התבנית, מהווה מרחב פולרי. יש שלושה טיפוסים ידועים של מרחבים פולריים, וכל מרחב פולרי שייך לאחד הטיפוסים.
גאומטריה שאריתית

נניח ש-F הוא דגל בגאומטריה, וחסרים בו אובייקטים מקבוצת הטיפוסים J (כלומר, יש ב-F אובייקט מכל טיפוס שאינו ב-J). הגאומטריה השאריתית של F כוללת את האובייקטים שהוספתם ל-F יוצרת דגל. לדוגמה, בגאומטריה שיש בה נקודות, ישרים, מישורים ומרחבים, אם F כולל ישר t ומרחב w (המכיל את t), אז הגאומטריה השאריתית שלו כוללת את כל הנקודות המוכלות ב-t והמישורים המכילים את t ומוכלים ב-w. לדוגמה, בגאומטריה פרויקטיבית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא פרויקטיבית d-1-ממדית, וכזו היא גם הגאומטריה השאריתית של כל תת-מרחב מממד d-1. לעומת זאת, בגאומטריה אפינית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא (שוב) פרויקטיבית d-1-ממדית, והגאומטריה השאריתית של תת-מרחב מממד d-1 היא אפינית מממד זה.
חשיבות מיוחדת יש לגאומטריה השאריתית של דגל שחסרים בו רק שני טיפוסים, וזאת משום שאם יש בגאומטריה אובייקטים משלושה טיפוסים או יותר, אפשר לתאר אותה, ולו באופן חלקי, באמצעות המבנה ההדדי של האובייקטים מכל שני טיפוסים בנפרד. נאמר שלטיפוסים i,j יש גאומטריה מסוימת X (בת שני טיפוסים), אם *כל* גאומטריה שאריתית של דגל שחסרים בו בדיוק שני הטיפוסים האלה עונה לקריטריונים המגדירים את X (ייתכן כמובן שהגאומטריה השאריתית של חלק מהדגלים מקיימת אקסיומות מסוימות, ואילו הגאומטריה השאריתית של דגלים עם אותם טיפוסים אינה מקיימת אותן). כאן יש שלוש דוגמאות חשובות: המישור הפרויקטיבי, המישור האפיני, ו"הגאומטריה המלאה" שבה כל אובייקט מטיפוס i חל בכל אובייקט מטיפוס j. למשל, בדוגמה שנתנו קודם לכן הגאומטריה השאריתית של F הייתה מלאה, משום שכל מישור המכיל את הישר t מכיל גם כל נקודה השייכת ל-t.
גאומטריה שאריתית > הדיאגרמה של גאומטריה

באמצעות הגאומטריות השאריתיות המתארות כל שני טיפוסים, אפשר לבנות לגאומטריה מרובת טיפוסים את הדיאגרמה שלה, שהיא גרף שקודקודיו הם הטיפוסים השונים. בדיאגרמה, *אין* מחברים שני טיפוסים i,j בקו, רק כאשר יש להם הגאומטריה המלאה. גאומטריה קווית היא גאומטריה שהדיאגרמה המתאימה לה היא מסלול (כלומר, יש לה טיפוסים 0,1,...,d, ולכל שני טיפוסים שאינם סמוכים יש הגאומטריה המלאה). נניח שבגאומטריה יש הטיפוס "נקודה"; אומרים שהיא מופרדת על ידי נקודות אם לכל שני אובייקטים, יש באחד מהם נקודה שאין בשני, וכאשר האובייקטים אינם חלים זה בזה, יש גם נקודה בשני שאינה בראשון. כל גאומטריה קבוצתית היא קווית, וכל גאומטריה קווית המופרדת על ידי נקודות היא קבוצתית.
למשל, גאומטריה פרויקטיבית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרויקטיבי. גאומטריה אפינית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרויקטיבי, פרט לטיפוסים 0,1 שלהם יש הגאומטריה של המישור האפיני. בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה פרויקטיבית d-ממדית, אז היא כזו. בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות ארבע נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה אפינית d-ממדית, אז היא כזו. (גאומטריה היא קשירה אם כל אובייקט מחובר לכל אובייקט אחר בשרשרת של אובייקטים שבה כל שני איברים סמוכים חלים זה בזה; וקשירה-שאריתית אם כל גאומטריה שאריתית של דגל החסר לפחות שני טיפוסים, היא קשירה).
לקריאה נוספת

J. Ueberberg, Foundations of Incidence Geometry, Springer-Verlag.