תורת שדה ממוצע
ניסוח פורמלי

הבסיס הפורמלי של תורת השדה הממוצע הוא אי שוויון בוגוליובוב. על פי משפט זה, בהינתן מערכת עם המילטוניאן המטרה אותו נרצה לחקור:
{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}
כאשר פירקנו את ההמילטוניאן להמילטוניאן  {\mathcal {H}}_{0} פשוט ותוספת  \Delta {\mathcal {H}} שיכולה לכלול אינטראקציות בין זוגות חלקיקים או תרומות לא ליניאריות אחרות. במקרה זה ניתן לשים חסם עליון על האנרגיה החופשית:
F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}
כאשר 




S

0




{\textstyle S_{0}}

 היא האנטרופיה של המערכת והממוצע נלקח על צבר של המערכת בשיווי משקל תרמודינמי תחת ההמילטוניאן  {\mathcal {H}}_{0}. במקרה הפרטי בו 






H



0




{\textstyle {\mathcal {H}}_{0}}

 מתאר מערכת ללא אינטראקציות של דרגות חופש פנימיות, נוכל לכתוב:
{\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)
כאשר 




(

ξ

i


)



{\textstyle \left(\xi _{i}\right)}

  מסמל את רשימת כל דרגות החופש של חלקיק יחיד (מיקום, תנע, תנ"ז, ספין וכו'), והאינדקס 



i


{\textstyle i}

 רץ על כל החלקיקים במערכת, עד למספר החלקיקים 



N


{\textstyle N}

. במקרה זה נוכל להביא למינימום את הצד הימני של אי השוויון. למעשה מערכת היחוס 






H



0




{\textstyle {\mathcal {H}}_{0}}

 היא הקירוב הטוב ביותר למערכת בהזנחת קורלציה בין דרגות החופש של המערכת, והיא ידועה כקירוב השדה הממוצע.

במקרה הנפוץ בו המילטוניאן המטרה מכיל רק אינטראקציות דו-חלקיקיות, כלומר:
{\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)
כאשר 





P




{\textstyle {\mathcal {P}}}

 היא קבוצת כל זוגות החלקיקים שבאים באינטראקציה, ניתן לבצע את המינימיזציה הנ"ל באופן פורמלי.

לצורך העניין, נוכל לבצע מינימיזציה על האנרגיה החופשית:
F_{0}={\rm {Tr}}_{1,2,..,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})+kT\,{\rm {Tr}}_{1,2,..,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})
כאשר 




P

0


(
N
)


(

ξ

1


,

ξ

2


,
.
.
.
,

ξ

N


)


{\textstyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})}

 היא ההסתברות למצוא את מערכת היחוס 



(



H



0


)


{\textstyle ({\mathcal {H}}_{0})}

 במצב המיקרוסקופי המתואר על ידי המשתנים



(

ξ

1


,

ξ

2


,
.
.
.
,

ξ

N


)
.


{\textstyle (\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N}).}

.  הסתברות זו ניתן לתאר בטמפרטורה 



T


{\textstyle T}

 באמצעות התפלגות בולצמן:
P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})}=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}\left(\xi _{i}\right)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})
כאשר 




Z

0




{\textstyle Z_{0}}

 היא פונקציית החלוקה, 



β
=


1


K

B


T





{\textstyle \beta ={\frac {1}{K_{B}T}}}

 ו-  K_{B} הוא קבוע בולצמן. לכן נוכל להציב בביטוי עבור האנרגיה החופשית:
F

0


=

∑

(
i
,
j
)
∈


P







T
r



i
,
j



V

i
,
j



(


ξ

i


,

ξ

j



)


P

0


(
i
)


(

ξ

i


)

P

0


(
j
)


(

ξ

j


)
+
k
T

∑

i
=
1


N





T
r



i



P

0


(
i
)


(

ξ

i


)
log
⁡

P

0


(
i
)


(

ξ

i


)


{\textstyle F_{0}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}{\rm {Tr}}_{i,j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})+kT\sum _{i=1}^{N}{\rm {Tr}}_{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i})}
נוכל כעת לבצע מינימיזציה של הביטוי לאנרגיה החופשית כדי למצוא את התפלגות השדה הממוצע הסבירה ביותר. על מנת לעשות זאת יש לגזור את הביטוי ביחס להסתברויות החד-חלקיקיות 




P

0


(
i
)




{\textstyle P_{0}^{(i)}}

 ולאלץ נורמליזציה של ההתפלגות באמצעות כופל לגראנז'. התוצאה המתקבלת בתהליך זה היא מערכת משוואות בעלת התייחסות עצמית עקבית (לכן הפיתוח מכונה "עקבי-עצמי"):
P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})}\qquad i=1,2,..,N
כאשר השדה הממוצע נתון על ידי
h_{i}^{MF}(\xi _{i})=\sum _{\{j|(i,j)\in {\mathcal {P}}\}}{\rm {Tr}}_{j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(j)}(\xi _{j})