stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)
פיתוח של משוואות אוילר > משוואת הרצף

בהינתן צינור ארוך בעל שטח חתך  A אשר זורם בו נוזל בכיוון החיובי של ציר ה־ x, החידוש של אוילר היה בחלוקת הצינור לתאים בגודל אינפיניטסימלי ושימוש בכלים של החשבון אינפיניטסימלי כדי לחשב את התנועה של כל החומר הזורם באמצעות זרימה נקודתית. על כן, נחלק את הצינור לתאים אינפיניטסימליים באורך  \Delta x ונתבונן בתא מסוים במיקום  x_{0}. נסמן את הצפיפות והמהירות של הנוזל בו ב־ \rho _{0}\left(t\right),  v_{0}\left(t\right) בהתאמה. בדומה, נסמן את הצפיפות והמהירות של הנוזל בתא משמאלו ב־ \rho _{-}\left(t\right) , v_{-}\left(t\right) בהתאמה (ראה איור משמאל).
נתבונן במערכת בזמן  t=0, ונקדם אותה בזמן  \Delta t כלשהו. על מנת לפתח את משוואת הרצף, נמצא שני ביטויים שונים לשינוי במסה בתא ב־ x_{0} כתוצאה מהקידום בזמן ונשווה ביניהם.
ראשית, כתוצאה מהקידום בזמן הנוזל בתא השמאלי יתקדם מרחק של  v_{-}\Delta t, ולכן סך כל המסה הנכנסת לתא ב־ x_{0} היא  \rho _{-}\cdot \left(Av_{-}\Delta t\right). באותו האופן, סך כל המסה היוצאת מהתא ב־ x_{0} לתא מימנו היא  \rho _{0}\cdot \left(Av_{0}\Delta t\right). מכאן שהשינוי במסה בתא ב־ x_{0} הוא ההפרש בין שני הביטויים. כעת, את השינוי במסה נוכל לרשום גם במפורש בתור ההפרש  \Delta m=m\left(t+\Delta t\right)-m\left(t\right), כאשר  m\left(t\right)=\rho _{0}\left(t\right)\cdot A\Delta x היא המסה בתא ב־ x_{0} בזמן  t.
נשווה בין שני הביטויים שמצאנו ונקבל:
\rho _{0}\left(t+\Delta t\right)\cdot A\Delta x-\rho _{0}\left(t\right)\cdot A\Delta x=\rho _{-}\left(t\right)\cdot Av_{-}\Delta t-\rho _{0}\left(t\right)\cdot Av_{0}\Delta t
נחלק ב־ \Delta x וב־ \Delta t ונקבל:
{\frac {\rho _{0}\left(t+\Delta t\right)-\rho _{0}\left(t\right)}{\Delta t}}={\frac {\rho _{-}\left(t\right)v_{-}-\rho _{0}\left(t\right)v_{0}}{\Delta x}}
ועל ידי לקיחת הגבולות  \Delta x,\Delta t\rightarrow 0 נקבל מהגדרת הנגזרת את משוואת הרצף:
{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}
ומהפיתוח מסיקים שמשוואה זו אכן מבטאת שימור מסה.
פיתוח של משוואות אוילר > משוואת שימור תנע

כדי לפתח את משוואת שימור התנע משתמשים ברעיונות וכלים דומים. נקדם את המערכת בזמן  \Delta t, ונחפש שני ביטויים לשינוי בתנע של התא ב־ x_{0}.
ראשית, כמות התנע הנכנס לתא האינפיניטסימלי ב־ x_{0} מהתא משמאלו הוא מכפלת מסת החומר הנכנס במהירותו, כלומר:  \left(Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\right)v_{-}. בדומה, כמות התנע העוזבת את התא אל התא מימינו היא  \left(Av_{0}\Delta t\cdot \rho _{0}\right)v_{0}. השינוי בתנע הוא ההפרש ביניהם.
מצד שני, אפשר לכתוב במפורש את השינוי בתנע בתור ההפרש  \Delta p=p\left(t+\Delta t\right)-p\left(t\right), כאשר  p\left(t\right)=A\Delta x\rho \left(t\right)\cdot v\left(t\right) הוא התנע בתא בזמן t.
בנוסף על כך, בעקבות הקידום בזמן פועל מתקף על הנוזל. נסמן ב־ P את הלחץ. התא השמאלי מפעיל מתקף  P_{-}A\Delta t על החומר הנכנס לתא, והתא ב־ x_{0} מפעיל מתקף  P_{0}A\Delta t על החומר היוצא מהתא. מכאן שהמתקף הכולל שפעל על החומר בתא ב־ x_{0} הוא  \left(P_{1}-P_{0}\right)A\Delta t.
על ידי השוואה בין שני הביטויים לשינו בתנע, מתקבלת המשוואה:
A\Delta x\rho \left(t+\Delta t\right)\cdot v\left(t+\Delta t\right)-A\Delta x\rho \left(t\right)\cdot v\left(t\right)=\left(Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\right)v_{-}-\left(Av_{0}\Delta t\cdot \rho _{0}\right)v_{0}+\left(P_{1}-P_{0}\right)A\Delta t
נחלק ב־ \Delta x וב־ \Delta t ונקבל:
{\frac {\rho \left(t+\Delta t\right)\cdot v\left(t+\Delta t\right)-\rho \left(t\right)\cdot v\left(t\right)}{\Delta t}}={\frac {\rho _{-}v_{-}^{2}-\rho _{0}v_{0}^{2}}{\Delta x}}-{\frac {P_{0}-P_{-}}{\Delta x}}
על ידי לקיחת הגבולות  \Delta x,\Delta t\rightarrow 0 נקבל מהגדרת הנגזרת את משוואת התנועה:
{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho v^{2}\right)}{\partial x}}=-{\frac {\partial P}{\partial x}}
על מנת לקבל את המשוואה בצורתה המוכרת, נשתמש בעובדה כי  {\frac {\partial \left(\rho v^{2}\right)}{\partial x}}=v{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}+\rho v{\frac {\partial v}{\partial x}} ונוכל לכתוב:
\rho {\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+v{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}+\rho v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial P}{\partial x}}
כעת, נשתמש במשוואת הרצף על מנת לכתוב  {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}=0, ונקבל:
\rho {\frac {\partial v}{\partial t}}+\rho v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial P}{\partial x}}
ומהפיתוח מסיקים כי משוואה זו אכן מבטאת שימור תנע.
פיתוח של משוואות אוילר > משוואת שימור האנרגיה

פיתוח משוואת שימור האנרגיה נעשה אף הוא בכלים וברעיונות דומים. נציג את השינוי באנרגיה,  \Delta E בתא ב־ x_{0} בשתי דרכים שונות. הדרך הראשונה היא הפשוטה יותר, ובה נתאר את האנרגיה בתא לפני ואחרי ההתקדמות בזמן בצורה מפורשת:  \Delta E=E\left(t+\Delta t\right)-E\left(t\right), כאשר  \textstyle E\left(t\right)=A\Delta x\rho \left(t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t\right)^{2}+\epsilon \left(t\right)\right) מבטאת את סך כל האנרגיה בתא בזמן t.
הדרך השנייה מתחשבת רעיונית באנרגיה שעוזבת ונכנסת לתא בעקבות הקידום בזמן. האנרגיה שנכנסת לתא היא האנרגיה של החומר שנכנס לתא מהתא ב־ x_{-}. סך כל החומר הנכנס לתא הוא בעל מסה של  Au_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}, ולכן האנרגיה שלו היא  \textstyle Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{-}{}^{2}+\epsilon _{-}\right). בדומה, האנרגיה שעוזבת את התא היא  \textstyle Au_{0}\Delta t\cdot \rho _{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{0}{}^{2}+\epsilon _{0}\right).
על מנת להשוות ביניהן, עלינו להתחשב גם בעבודה שמבצע הלחץ בעת המעבר של הנוזל מתא לתא. סך כל העבודה שמבצע התא על החומר היא  \left(P_{-}v_{-}-P_{0}v_{0}\right)A\Delta t. מכאן שמתקבל השוויון הבא:
אגף שמאל -  A\Delta x\rho \left(t+\Delta t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t+\Delta t\right)^{2}+\epsilon \left(t+\Delta t\right)\right)-A\Delta x\rho \left(t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t\right)^{2}+\epsilon \left(t\right)\right)
אגף ימין -  Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{-}{}^{2}+\epsilon _{-}\right)-Au_{0}\Delta t\cdot \rho _{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{0}{}^{2}+\epsilon _{0}\right)+\left(P_{-}v_{-}-P_{0}v_{0}\right)A\Delta t
נחלק ב־ \Delta x וב־ \Delta t ונקבל:
אגף שמאל -  {\frac {\rho \left(t+\Delta t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t+\Delta t\right)^{2}+\epsilon \left(t+\Delta t\right)\right)-\rho \left(t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t\right)^{2}+\epsilon \left(t\right)\right)}{\Delta t}}
אגף ימין -  {\frac {u_{-}\rho _{-}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{-}{}^{2}+\epsilon _{-}\right)-v_{0}\rho _{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{0}{}^{2}+\epsilon _{0}\right)+\left(P_{-}v_{-}-P_{0}v_{0}\right)}{\Delta x}}
ועל ידי לקיחת הגבולות  \Delta x,\Delta t\rightarrow 0 נקבל מהגדרת הנגזרת:
{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \left({\frac {1}{2}}v{}^{2}+\epsilon \right)\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(v\rho \cdot \left({\frac {1}{2}}v{}^{2}+\epsilon +{\frac {P}{\rho }}\right)\right)
נסמן  E={\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho \epsilon  ונקבל
{\frac {\partial }{\partial t}}\left(E\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(v\left(E+P\right)\right)
משוואות אוילר בתיאור לגרנז'י

בתיאור לגרנז'י, את הנגזרות החלקיות לפי הזמן מחליפים בנגזרת החומרית  {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v\cdot \nabla  בתיאור זה, המשוואה עוקבת אחרי אלמנט זורם שניתן לתאר כגוף ניוטוני. בצורה זו, משוואת שימור התנע ומשוואת שימור האנרגיה מקבלות צורה פשוטה יותר, המוכרת ממכניקה ניוטונית ותרמודינמיקה.
משוואות אוילר בתיאור לגרנז'י > משוואת הרצף

נסתכל על אלמנט זורם, בעל נפח  V ומסה  m הנע ביחד עם הזרימה. דפנות האלמנט מתקדמות במהירות  v שאיננה אחידה, וכתוצאה מכך, נפח התא משתנה. קל להתרשם שהשינוי בנפח האלמנט הוא  {\frac {DV}{Dt}}=\oint _{\partial V}u\cdot dA כאשר האינטגרל מתבצע על כל דפנות האלמנט. באמצעות משפט גאוס ניתן לפתח ביטוי זה ולקבל:
{\frac {DV}{Dt}}=\int _{V}(\nabla \cdot v)dV\approx (\nabla \cdot v)\int _{V}dV=V(\nabla \cdot v) כאשר המעבר הראשון התבצע בעזרת משפט גאוס, והמעבר השני אפשרי כיון שבאלמנט זורם קטן גרדיאנט המהירות יכול להילקח כקבוע על פני כל האלמנט. צפיפות הזורם באלמנט היא  \rho =m/V ולכן צפיפות הזורם מקיימת:  {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {D{\frac {m}{V}}}{Dt}}=-{\frac {m}{V^{2}}}{\frac {DV}{Dt}}=-{\frac {m}{V}}\nabla \cdot u=-\rho (\nabla \cdot v) או בצורתה המקובלת:
{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho (\nabla \cdot v)=0
משוואה זו שקולה לתיאור האוילרי.
משוואות אוילר בתיאור לגרנז'י > משוואת שימור התנע

הכוח הכללי שמופעל על אלמנט הזורם הוא:
F=-\oint _{\partial V}pdA
לפי החוק השני של ניוטון מתקיים:
m{\frac {Dv}{Dt}}=F=-\oint _{\partial V}PdA=-\int _{V}\nabla pdV=V\nabla p
כאשר המעבר השלישי התבצע באמצעות משפט גאוס והמעבר הרביעי מסתמך על כך שאלמנט הזורם קטן.
משוואת שימור התנע בצורתה הלגרנז'ית היא:
\rho {\frac {Dv}{Dt}}=-\nabla p
והיא מייצגת את החוק השני של ניוטון.
משוואות אוילר בתיאור לגרנז'י > משוואת שימור האנרגיה

משוואת שימור האנרגיה מסתמכת על ההנחה לפיה השינוי היחיד באנרגיה הפנימית של האלמנט נובע מעבודה שמבוצעת על ידי הלחץ. העבודה הזו היא  -pdV ולכן משוואת שימור האנרגיה היא  m{\frac {D\epsilon }{Dt}}+p{\frac {DV}{Dt}}=0 ולאחר חלוקה במסה:
{\frac {D\epsilon }{Dt}}+p{\frac {D\left({\frac {1}{\rho }}\right)}{Dt}}=0
אם הזורם נמצא באופן מקומי בשיווי משקל תרמודינמי, לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה ניתן לרשום TdS=d\epsilon +pd\left({\frac {1}{\rho }}\right) כאשר  T היא הטמפרטורה, ו- S האנטרופיה ליחידת מסה. לפיכך, בזרימה רציפה לפי משוואות אוילר, מתקיים  {\frac {DS}{Dt}}=0 כלומר האנטרופיה של אלמנט זורם לא משתנה במהלך הזרימה והזרימה היא אדיאבטית.
מסקנות ממשוואות אוילר > משוואת ברנולי

משוואת ברנולי מתארת שימור אנרגיה לאורך קווי זרימה של נוזל. משוואה זו היא פשוטה יותר ממשוואת שימור האנרגיה, ולכן מוכרת יותר ולעיתים שימושית יותר. עם זאת, משוואת ברנולי תקפה אך ורק במקרים של זרימה עמידה (זרימה שאיננה משתנה עם הזמן) ואי דחיסה (זרימה בה הצפיפות קבועה). את משוואת ברנולי ניתן לפתח ישירות ממשוואות אוילר.
נצא ממשוואת שימור האנרגיה:
{\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\overline {v}}\left(E+p\right)\right)=0
הזרימה היא עמידה, ולכן הנגזרת בזמן מתאפסת. מכאן מתקבל
\nabla \cdot \left({\overline {v}}\left(E+p\right)\right)=0\Longrightarrow \nabla \cdot \left({\overline {v}}\left({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho \epsilon +p\right)\right)=0
על ידי שימוש בנוסחא לנגזרת של מכפלה מסיקים
0=\nabla \cdot \left({\overline {v}}\rho \left({\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}\right)\right)=\left({\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}\right)\nabla \cdot \left({\overline {v}}\rho \right)+\rho {\overline {v}}\cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}\right)
ממשוואת הרצף מסיקים כי  \textstyle \nabla \cdot \left({\overline {v}}\rho \right)={\frac {\partial \rho }{\partial t}}. בנוסף, הזרימה היא עמידה, ולכן  \textstyle \nabla \cdot \left({\overline {v}}\rho \right)={\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0. מכאן מתקבל:
\rho {\overline {v}}\cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}\right)=0
על ידי אינטגרציה על קו מסלול (המשיק לוקטור המהירות בכל נקודה) מסיקים כי
{\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}=const
אם למערכת היה מתווסף שדה כבידה, משינויים קלים בפיתוח היינו מסיקים את משוואת ברנולי בצורתה המוכרת:
{\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}+gz=const
מסקנות ממשוואות אוילר > משוואת הגלים ומהירות הקול

משוואות אוילר משמשות גם כדי להבין התפשטות של גלים בנוזל. על מנת לפתח את משוואת הגלים, מניחים שקיימת הפרעה קטנה בנוזל וחוקרים את האופן שבו היא מתקדמת בו.
מכיוון שההפרעה קטנה, משתמשים במושג הליניאריזציה על מנת לפשט את משוואות אוילר. כחלק מהפיתוח, נניח גם לשם הפשטות שהנוזל הלא-מופרע נמצא במנוחה. כתוצאה מההפרעה בנוזל, כל נקודה בנוזל מאופיינת על ידי הפרמטרים הבאים:
{\begin{aligned}\rho \left(x,t\right)=\rho _{0}+\Delta \rho \left(x,t\right),\;\;\;\;P\left(x,t\right)=P_{0}+\Delta P\left(x,t\right),\;\;\;\;v\left(x,t\right)=\Delta v\left(x,t\right)\end{aligned}}
כאשר  \rho _{0},P_{0} הם קבועים, והביטויים  \Delta v,\Delta P,\Delta \rho  מייצגים את ההפרעה.
נחקור את התקדמות ההפרעה עד לסדר ראשון בה, שכן לפי ההנחה מדובר בהפרעה קטנה, ולכן נזניח איברים מהצורה  \textstyle \Delta a\Delta b ואיברים מהצורה  \Delta a{\frac {\partial \left(\Delta b\right)}{\partial x}} (וכאן הנחנו שגם הנגזרת של ההפרעה היא קטנה). תהליך הליניאריזציה הוא הצבת הביטויים ל־  \rho \left(x,t\right),P\left(x,t\right),v\left(x,t\right) שמופיעים למעלה במשוואות אוילר, ואז הזנחת איברים מסדר שני ב־ \Delta . כתוצאה מהלינאריזציה, משוואת הרצף ומשוואת שימור התנע מקבלות את הצורה הבאה:
משוואת הרצף:  {\frac {\partial \left(\Delta \rho \right)}{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial \left(\Delta u\right)}{\partial x}}=0.
משוואת שימור התנע:  \rho _{0}{\frac {\partial \left(\Delta u\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\Delta P\right)}{\partial x}}=0.
כעת, נניח שהתהליך הוא אדיאבטי. הנחה זו מקובלת בפיזיקה כאשר מתכוונים לומר שהתהליך הוא "איטי". לכן ניתן לכתוב  \textstyle \Delta P=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}\Delta \rho , כאשר  S היא האנטרופיה. נסמן  \textstyle c_{s}^{2}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}, ונראה שזוהי מהירות הקול בנוזל.
נגזור את משוואת הרצף בזמן:  {\frac {\partial ^{2}\left(\Delta \rho \right)}{\partial t^{2}}}+\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta u\right)}{\partial x\partial t}}=0.
כעת נגזור את משוואת התנועה במיקום:  \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta u\right)}{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta P\right)}{\partial x^{2}}}=0. נציב את הקשר  \Delta P=c_{s}^{2}\Delta \rho , והמשוואה מקבלת את הצורה:  \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta u\right)}{\partial t\partial x}}+c_{s}^{2}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta \rho \right)}{\partial x^{2}}}=0.
על ידי חיסור שתי המשוואות מתקבלת המשוואה:
{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta \rho \right)}{\partial t^{2}}}-c_{s}^{2}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta \rho \right)}{\partial x^{2}}}=0\end{aligned}}
זוהי משוואת גלים עבור ההפרעה  \Delta \rho . בפרט, מסיקים כי מהירות ההפרעה היא  \textstyle c_{s}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}, ולכן זוהי מהירות הקול בנוזל.
חישוב דומה מראה שגם כאשר הנוזל אינו במנוחה אלא נע, מהירות הקול בו אינה משתנה.
מסקנות ממשוואות אוילר > גלי הלם

מקרה חשוב של מעבר גלים בחומר הוא גל הלם. גל הלם נוצר כאשר ההפרעה בחומר מתקדמת מהר יותר מאשר מהירות הקול בחומר. התוצאה היא שההפרעה מגיעה לחומר לפני שהמידע על קיום ההפרעה מגיע אליו, ולכן חזית הגל יוצרת אי־רציפות בחומר. למשל, ייתכן שלחומר מיד לפני חזית הגל יש צפיפות שונה מאשר לחומר מיד אחרי חזית הגל.
המשוואות המתארות גלי הלם הן משוואות רנקין-הוגוניו. את המשוואת ניתן לפתח בכך שמתחילים ממשוואות אוילר ומסיקים מהן תנאי על הקפיצה בחזית הגל (אנ'). למשל, ניתן להתחיל ממשוואת הרצף ולהסיק תנאי על הקפיצה בצפיפות המסה בחזית הגל. בהתאם לכך, משוואות רנקין-הוגוניו הן שלוש משוואות הקובעות שימור מסה, שימור תנעה ושימור אנרגיה בחזית הגל.
הכללה מעבר לנוזלים קלאסיים > על נוזלים ונוזלים קוונטיים

בעזרת התאמות מסוימות לשפה של תורת הקוונטים, ניתן לפתח סט של משוואות אוילר עבור על נוזלים. על־נוזל הוא פאזה של חומרים מסוימים הבאה לידי ביטוי לרוב בטמפרטורות נמוכות, ומאופיינת בתכונות יוצאות דופן, כגון חוסר בצמיגות. על-נוזל מאופיין בכך שכמות מקרוסקופית של חלקיקים מאכלסים את רמת היסוד. כתוצאה מכך, ניתן להגדיר פונקציית גל המתארת את כל הנוזל, ולא רק חלקיק בודד (כפי שנהוג לרוב בבעיות בתורת הקוונטים). פונקציית הגל היא מהצורה הבאה:  \textstyle \psi \left({\overline {r}},t\right)=\psi _{0}\left({\overline {r}},t\right)e^{iS\left({\overline {r}},t\right)}. במקרה זה, ניתנת משמעות מעט שונה לפונקציית הגל:
הערך המוחלט  \textstyle \left|\psi \right|=\psi _{0} יזוהה עם צפיפות החלקיקים  \textstyle n_{s}={\frac {\rho _{s}}{m}} של העל־נוזל. זוהי אנלוגיה למקרה של חלקיק יחיד, שבו  \left|\psi \right| מזוהה עם צפיפות ההסתברות להימצאות החלקיק במקום מסוים.
הנגזרת של הפאזה  \textstyle arg\left(\psi \right)=S\left({\overline {r}},t\right) תזוהה בתור מהירות העל־נוזל, עד כדי קבוע:  \textstyle \nabla S={\frac {m}{\hbar }}v_{s}. זיהוי זה מקובל לעיתים גם במקרה של פונקציית גל של חלקיק יחיד.
מכאן, ניתן לצאת ממשוואת שרדינגר לפונקציות גל ולפתח שלוש משוואות האנלוגיות למשוואות אוילר:
משוואת הרצף:  \textstyle {\frac {\partial \left|\psi \right|^{2}}{\partial t}}=-\nabla {\overline {J}}_{p}, כאשר  {\overline {J}}_{p} הוא זרם ההסתברות:  \textstyle {\overline {J}}=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi *\nabla \psi -\psi \nabla \psi *\right). משוואה זו היא משוואה מוכרת בתורת הקוונטים, ונהוג להבינה בתור משוואה המתארת שימור הסתברות.
משוואת התנועה:  \textstyle {\frac {\partial {\overline {v_{s}}}}{\partial t}}+{\overline {v_{s}}}\cdot \nabla {\overline {v_{s}}}=-{\frac {1}{m}}\nabla \mu , כאשר  v_{s} הוא מהירות העל־נוזל ו־ \mu  הוא הפוטנציאל הכימי של העל־נוזל. משוואה זו מתקבלת תחת ההנחה שהצפיפות של העל-נוזל משתנה לאט במרחב. בפרט, מכיוון שמשוואת התנועה המתארת את העל־נוזל היא משוואת התנועה של אוילר ולא משוואת נאווייה-סטוקס, ניתן להסיק שהעל־נוזל הוא חסר צמיגות, שכן משוואות אוילר מתארות נוזל שהוא בפרט חסר צמיגות. זוהי תכונה חשובה של העל־נוזל.
משוואת שימור האנרגיה:  \textstyle {\frac {1}{2}}v_{s}^{2}+{\frac {P}{\rho }}-\sigma T=0, זוהי משוואה הדומה למשוואת ברנולי, כאשר  v_{s} היא מהירות העל־נוזל,  P הוא הלחץ,  T הוא הטמפרטורה ו־ \sigma  היא האנטרופיה ליחידת מסה של העל־נוזל.
את המשוואות המתארות את העל־נוזל ניתן להרחיב כך שיכלילו גם את רכיבי הנוזל שאינם בפאזה העל־נוזלית. במקרה זה אכן מתווסף איבר של צמיגות למשוואת התנועה, שכן הנוזל שאיננו בפאזה העל־נוזלית איננו חסר צמיגות.
הכללה מעבר לנוזלים קלאסיים > צמיגות ומשוואות נאוויה-סטוקס

השימוש במשוואות אוילר אפשרי רק תחת ההנחה שהנוזל חסר צמיגות. הנחה זו אינה תמיד נכונה במציאות. מכיוון שצמיגות בנוזלים אנלוגית לחיכוך במצוקים, על מנת לתאר נוזלים צמיגים יש לתקן את משוואת התנועה. משוואת התנועה הכוללת את התיקון לנוזלים צמיגים נקראת משוואת נאוויה-סטוקס, והתיקון הוא הוספת האיבר  \textstyle -{\frac {\eta }{\rho }}\nabla ^{2}{\overline {v}} לאגף ימין של משוואת התנועה של אוילר, כאשר  \eta  הוא מקדם הצמיגות הדינמי. הסימון  \nabla ^{2}{\overline {v}} הוא הפעלת אופרטור הלפלסיאן על כל איבר של הווקטור  {\overline {v}}.
המשמעות של האיבר הנוסף היא מעין דיפוזיה של תנע. משוואת הדיפוזיה היא מהצורה  \textstyle \alpha \nabla ^{2}n={\frac {\partial n}{\partial t}}, ותפקיד תהליך הדיפוזיה הוא למצע את פני גרדיאנטים גדולים בצפיפות הנוזל  n. באנלוגיה למקרה הצפיפות בנוזל ניתן להסיק שהאיבר החדש,  \textstyle -{\frac {\eta }{\rho }}\nabla ^{2}{\overline {v}}, ממצע על פני גרדיאנטים גדולים במהירות בנוזל, וזהו עיקר תהליך הצמיגות.
ראו גם > רקע למשוואות אוילר

זורם
מכניקת זורמים
הידרודינמיקה והידרוסטטיקה
חשבון אינפיניטסימלי
מספר ריינולדס
לאונרד אוילר
ראו גם > מעבר למשוואות אוילר

משוואת ברנולי
משוואת נאוויה-סטוקס
צמיגות
על נוזל
לקריאה נוספת

Landau, L. D. and Lifschitz, E. M., Fluid Mechanics, Second Edition, Pergamon Press, ISBN 978-0750627672
Julián Simón Calero, The Genesis of Fluid Mechanics, 1640–1780, Studies in History and Philosophy of Science 22, 2008, ISBN 978-1-4020-6413-5
Darrigol, Olivier, Worlds of Flow. A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press. chapter 1, ISBN 978-0199559114
הערות שוליים

↑  Julián Simón Calero, "Theoretical Constructions (II): Euler" in "The Genesis of Fluid Mechanics, 1640–1780", Studies in History and Philosophy of Science 22, 2008, ISBN 978-1-4020-6413-5, page 401
↑
Darrigol, Olivier, Worlds of Flow. A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press. pp. 2
↑  Olivier Darrigol and Uriel Frisch, From Newton's mechanics to Euler's equations, Euler Equations: 250 years on
↑  The Euler Archive, E258 -- Principia motus fluidorum
↑  The Euler Archive E225 -- Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides
↑  Leonhard Euler, Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides, pp. 1
↑  The Euler Archive, E226 -- Principes generaux du mouvement des fluides
↑  The Euler Archive, E227 -- Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides
↑  Leonhard Euler, Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides, pp. 1
↑  האתר של פרופסור Thayer Watkins, אוניברסיטת סן־חוזה
↑  Tilley, David R. and Tilley, John., Superfluidity and Superconductivity, Third Edition. IOP Publishing. chapters 3.2-3.3
↑  D. McMahon, Quantum Field Theory, Mc Graw Hill, ISBN 978-0-07-154382-8
| --- | --- |
בקרת זהויות :  BnF: cb12103836j (data)  NKC: ph136486 
גרסה של משוואת התנועה ומשוואת הרצף, כפי שנכתבו על ידי אוילר בשנת 1755. המשוואות בכתיב לא מודרני, טרם היה שימוש בסמל הנגזרת החלקית.
העמוד הראשון במונוגרפיה הראשונה של אוילר על מכניקת זורמים - Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides בהוצאת האקדמיה הפרוסית למדעים בברלין, דו"ח שנתי לשנת 1757
זורם חד־ממדי, הנע ימינה במהירות v, עם הפרמטרים המשומשים בפיתוח
הפרעה בצפיפות הנוזל המתקדמת במרחב. הבוכנה נעה קדימה ואחורה, ובכך משנה את צפיפות הנוזל ויוצרת את ההפרעה. כחול כהה מסמן אזורים עם צפיפות גבוהה, וכחול בהיר מסמן אזורים עם צפיפות נמוכה.
אחת התכונות המרכזיות של על־נוזל הוא היותו חסר צמיגות. תוצאה מעניינת של תכונה זו היא היכולת של על־נוזל "לטפס" על דפנות של כלים.
בית המוסדות הלאומיים

| --- | --- |

 מידע כללי
 סוג:  מבנה מינהל ציבורי 
 כתובת:  רחוב קק"ל פינת המלך ג'ורג' 
 מיקום:  ירושלים 
 מדינה:  ישראל 
 הקמה ובנייה
 תקופת הבנייה:  ? – העשור של 1930
 תאריך פתיחה רשמי:  1936 
 אדריכל:  יוחנן רטנר 
 סגנון אדריכלי:  הסגנון הבינלאומי
 מידות
 גובה מעל פני הים:  805 מ' 
 
 קואורדינטות:  31°46′36″N 35°12′58″E﻿ / ﻿31.776747°N 35.216085°E﻿ / 31.776747; 35.216085
  (למפת ירושלים מוגדלת) בית המוסדות הלאומיים(למפת ירושלים רגילה) בית המוסדות הלאומיים(למפת הרי ירושלים רגילה) בית המוסדות הלאומיים(למפת הרי ירושלים מוגדלת) בית המוסדות הלאומיים
 
הכיכר במרכז הרחבה וחזית אגף קרן היסוד (משמאל)
שלושת הארזים הסמוכים לחצר הבניין ושניטעו בשנת 1931
חזית אגף הקרן הקיימת לישראל
אגף הקרן הקיימת. אלמנטים ארכיטקטוניים המזכירים את חומת ירושלים: חלונות דמויי חרכי ירי וחלקלקה
דלת לשכתו של דוד בן-גוריון ותמונות ראשי הסוכנות היהודית לארץ ישראל
בית המוסדות הלאומיים הוא מבנה שנבנה עבור המוסדות הלאומיים בשכונת רחביה שבירושלים, אשר ממוקם ברחוב המלך ג'ורג' פינת רחוב הקרן הקיימת, והפך לסמל של המדינה היהודית שבדרך עד הקמתה.
הפיגוע שבוצע במבנה ב-11 במרץ 1948 היה אחד מהחמורים בפיגועי מלחמת העצמאות עד לאותה עת, והפך לציון דרך באירועי מלחמת העצמאות. ממרפסת בניין זה הכריזו חברי מועצת העם, אשר שהו בירושלים הנצורה ולא יכלו להגיע להכרזת העצמאות על הקמת מדינת ישראל שהתקיימה בבית דיזנגוף שבתל אביב. במבנה, שבנייתו הושלמה בשנת 1936, נערכו הישיבות הראשונות של הכנסת; נשיא המדינה הראשון חיים ויצמן הושבע בו, ומשרד ראש הממשלה היה בבניין עד שעבר למשכנו הנוכחי בשנת 1962.