stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מוחמד מורסי
הערות שוליים

↑   יצחק לאור, במצרים יורים בשם הנאורות, באתר הארץ, 19 באוגוסט 2013
↑  ניר יהב‏, הגברת הראשונה של מצרים היא בכלל "אום-אחמד", באתר וואלה, 25 ביוני 2012
↑  רועי קייס, מצרים: שר ההשקיה יהיה ראש הממשלה הבא, באתר ynet, 24 ביולי 2012
↑  מורסי החליט: שר המים קנדיל יכהן כראש ממשלת מצרים, באתר וואלה, 24 ביולי 2012
↑  רועי קייס, נשיא מצרים פיטר את שר ההגנה והרמטכ"ל, באתר ynet, 12 באוגוסט 2012
↑  ניר יהב‏, מצרים: אלפים הפגינו נגד מורסי, מתחם הארמון נפרץ, באתר וואלה, 11 בדצמבר 2012
↑  רועי קייס, צבא מצרים: למורסי יש 48 שעות לפתור המשבר, באתר ynet, 1 ביולי 2013
↑  רועי קייס ואליאור לוי, הצבא הודיע למורסי: אינך עוד נשיא מצרים, באתר ynet, 3 ביולי 2013
↑  מצרים: הנשיא המודח מורסי יואשם ברצח ובקנוניה עם חמאס, "חדשות 2", 26 ביולי 2013
רועי קייס, מורסי יואשם בהרג חיילים וניהל קשר עם חמאס, באתר ynet, 26 ביולי 2013
↑  ג'קי חורי, מורסי סירב ללבוש מדי עציר בפתיחת משפטו; השופט דחה את המשך הדיונים, באתר הארץ, 4 בנובמבר 2013
↑  נשיא מצרים המודח מורסי נידון ל-20 שנות מאסר, באתר וואלה, 21 באפריל 2015
↑  אתר חדשות ערוץ 2, ‏מצרים: עונש מוות נגזר על הנשיא המודח מורסי, באתר גלובס, 16 במאי 2015
↑  רועי קייס, נשיא מצרים המודח מורסי נידון ל-40 שנים בפרשת הריגול לקטאר, באתר ynet, 18 ביוני 2016
↑  רועי קייס, מצרים: בוטל עונש המוות לנשיא המודח מורסי, באתר ynet, 15 בנובמבר 2016
↑  מצרים: הנשיא המודח מוחמד מורסי מת בבית המשפט, באתר ynet, 17 ביוני 2019
↑  שחר קליימן, דיווח: מורסי נקבר בחשאי במזרח קהיר, באתר ישראל היום, 18 ביוני 2019
↑  מוחמד מורסי: "מוצא הציונים מהקופים והחזירים", באתר nrg‏, 5 בינואר 2013
↑  רימון מרג'ייה, אריק בנדר ואלי ברדנשטיין, אחרי ההכחשה, בישראל מבהירים:האגרת ממורסי אותנטית, באתר nrg‏, 31 ביולי 2012
↑  שושי חתוקה, ‏מורסי שלח איגרת לנשיא פרס, באתר ‏מאקו‏, 31 ביולי 2012
| שליטי מצרים המודרנית |
| --- | --- | --- |
| שושלת מוחמד עלי | מוחמד עלי (1805–1848) • אבראהים פאשא (1848) • עבאס חלמי הראשון (1848–1854) • מוחמד סעיד פאשא (1854–1863) • אסמאעיל פאשא (1863–1879) • תאופיק פאשא (1879–1892) • עבאס חלמי השני (1892–1914) • חוסיין כאמל (1914–1917) • פואד הראשון (1917–1936) • פארוק (1936–1952) • פואד השני (1952–1953) |  |
| נשיאי מצרים המודרנית | מוחמד נגיב (1952–1954) • גמאל עבד אל נאצר (1954–1970) • אנואר סאדאת (1970–1981) • חוסני מובארכ (1981–2011) • מוחמד חוסיין טנטאווי (שליט בפועל, 2011–2012) • מוחמד מורסי (2012–2013) • עדלי מנסור (נשיא זמני, 2013–2014) • עבד אל-פתאח א-סיסי (2014 ואילך) |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007525161505171  PLWABN: 9810807482305606  BIBSYS: 1542227318057  GND: 1061094073  ISNI: 0000 0003 9923 9582  LCCN: no2012160631  LNB: 000276676  NTA: 370471016  VIAF: 292625617   WorldCat (עם VIAF): 292625617
דטרמיננטה

איור הממחיש את ביטוי נפחו של מקבילון תלת־ממדי בעזרת דטרמיננטה
באלגברה ליניארית, הדֵּטֶרְמִינַנְטָה של מטריצה ריבועית, היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס אם ורק אם המטריצה אינה הפיכה. יתרה מזו, כאשר הדטרמיננטה של מקדמי מערכת משוואות ליניאריות שונה מאפס, נוסחת קרמר מחשבת ממנה ומהדטרמיננטה של מטריצה קרובה, את הפתרון היחיד של המערכת. את הדטרמיננטה מסמנים  |A| או  \det(A).
הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית (כלומר,  \det(AB)=\det(A)\det(B)), ובעלת משמעות גאומטרית: אם  A היא מטריצה ריבועית בעלת מקדמים ממשיים, אז הדטרמיננטה שלה שווה לנפחו (המכוון) של המקבילון (במרחב האוקלידי ה- n-ממדי), שקודקודיו הם עמודות המטריצה (בתמונה).
היסטוריה

הדטרמיננטות מופיעות, בצורה לא מפורשת, כבר בלוחות חרס בבליים מן המאה השנייה לפני הספירה ואף לפני-כן, שם נעשה בהן שימוש לפתרון מערכות של שתי משוואות ליניאריות.
במאה ה-16 ניסח ג'ירולמו קרדאנו בעזרת דטרמיננטות את הפתרון למערכת של שתי משוואות בשני נעלמים; קרדנו הציג גרסה מוקדמת ולא מלאה של נוסחת קרמר, עבור מטריצות בגודל  2\times 2.
הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצות גדולות יותר הופיעה באירופה וביפן בו זמנית, ב-1683. ביפן פרסם טאקאקזו סקי קווה (אנ') (1642-1708) הסבר על חישוב הדטרמיננטה של מטריצות מספריות מסדר המגיע עד  5\times 5, לצורך פתרון של משוואות שונות. באותה שנה, הציג לייבניץ את הנוסחה הכללית לחישוב דטרמיננטה מסדר  3\times 3, במכתב למרקיז דה לופיטל.
נוסחת קרמר הופיעה לראשונה, עבור מטריצות בגודל  3\times 3, בספר שפורסם ב-1748, כשנתיים לאחר מות המחבר קולין מקלורן. שנתיים אחר-כך פרסם גבריאל קרמר מאמר שבו תיאר בנספח, ללא הוכחה, את הכלל הקרוי על-שמו עבור מטריצות בגודל כלשהו.
לגראנז' הציג את הפירוש של דטרמיננטה (מסדר  3\times 3) כאלמנט נפח, במאמר מ-1773 שעסק במכניקה. המונח דטרמיננטה מוצג לראשונה בספרו של גאוס על תורת המספרים; גאוס קרא לה כך משום שהיא קובעת (determines) את התכונות של התבניות הריבועיות שאותן חקר. עם זאת, הדטרמיננטה של גאוס אינה זהה להגדרה המקובלת היום. זו הופיעה בשם זה רק ב-1812, בעבודתו של קושי, שהוכיח לראשונה את הכלל החשוב  \det(AB)=\det(A)\det(B).
הנושא הבשיל בשלושה מאמרים שפרסם יעקובי ב- 1841, בהם הוא הגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצה כללית ובאופן אלגוריתמי, שסייע לתפוצה הרחבה של הרעיון. את הסימון  |A| עבור הדטרמיננטה של  A הציע ארתור קיילי באותה שנה.
ב-1896 מיין פרדיננד פרובניוס את ההעתקות הליניאריות  T\,{:}\,\operatorname {M} _{n}(F)\rightarrow \operatorname {M} _{n}(F) השומרות על הדטרמיננטה (במובן ש- \det(T(X))=\det(X) לכל מטריצה  X), והראה שכולן מהצורה  T(X)=AXB או  T(X)=AX^{\top }B.
הגדרה "אקסיומטית", של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי-ליניארית, אנטי-סימטרית ומנורמלת התגלתה על ידי קארל ויירשטראס, והתפרסמה ב-1903, לאחר מותו.
הגדרה

הדטרמיננטה של מטריצה בגודל  n\times n מוגדרת על-פי הנוסחה  \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{2,\sigma (2)}\cdots a_{n,\sigma (n)}, כאשר  A=(a_{ij}).
הסכום בנוסחה הוא על  n! התמורות  \sigma  האפשריות של המספרים  \left\{1,2,\dots ,n\right\}. הסימן  \operatorname {sgn} (\sigma ) מתקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית,  \operatorname {sgn} (\sigma )=1, אם היא אי זוגית,  \operatorname {sgn} (\sigma )=-1. הדטרמיננטה שווה, אם כך, לסכום של כל המכפלות האפשריות לאורך אלכסונים מוכללים של המטריצה, עם סימנים מתחלפים.
לדטרמיננטה יש גם הגדרה אקסיומטית: אפשר לראות את הפונקציה  A\mapsto \det(A) כפונקציה של  n העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא ליניארית בכל המשתנים, מתחלפת (כלומר מחזירה 0 עבור מטריצה שיש בה שתי שורות זהות), ומנורמלת כך ש- \det(I)=1 כאשר  I היא מטריצת היחידה. בלשון מודרנית, הגדרה זו שקולה לכך שפעולתה של טרנספורמציה ליניארית מממד  n על מכפלת היתד  V^{\wedge n} של המרחב  V (שהיא מרחב חד-ממדי) היא כפל בסקלר השווה לדטרמיננטה.
דוגמאות > דטרמיננטיות 2X2

במקרה של מטריצה  2\times 2, נוסחת הדטרמיננטה היא:
בפרט מתקיים:
ולכן מטריצה זו הפיכה.
לעומת זאת המטריצה הבאה איננה הפיכה:
כעת, חישוב הדטרמיננטה ייתן אפס:
דוגמאות > דטרמיננטיות 3X3

במקרה של מטריצה  3\times 3, נוסחת הדטרמיננטה היא:
הנוסחה כוללת 6 מחוברים (מפני שיש 6 תמורות באורך 3), 3 עם סימן חיובי ו-3 עם סימן שלילי.
חישוב הדטרמיננטה > דירוג המטריצה

הפיתוח לפי ההגדרה המפורשת דורש כ-  n\cdot n! פעולות בשדה. לעומת שיטות אלה, שיטת הדירוג של גאוס מאפשרת לחשב את הדטרמיננטה בכ- n^{3} פעולות, על ידי דירוג המטריצה עד שמגיעים למטריצה משולשית: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה.
הדירוג נעשה על ידי הפעלת פעולות אלמנטריות בשרשרת, ואלו משפיעות על הדטרמיננטה באופן הבא:
החלפת מקומן של שתי שורות (או עמודות) במטריצה משנה את סימן הדטרמיננטה: אם  A' התקבלה מהמטריצה  A על ידי החלפת שתי שורות, אז  |A'|=-|A|.
הוספה של כפולה בסקלר של שורה (עמודה) אחת לשורה (עמודה) אחרת אינה משנה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת.
הכפלה של שורה (או עמודה) במטריצה בסקלר מכפילה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה באותו סקלר: אם  A' התקבלה מהמטריצה  A על ידי הכפלת שורה כלשהי בסקלר  \lambda , אז  |A'|=\lambda |A|.
חישוב הדטרמיננטה > פיתוח לפי מינורים

את הדטרמיננטה אפשר לחשב בצורה רקורסיבית, הנקראת פיתוח לפי מינורים. הדטרמיננטה של מטריצה בגודל  1\times 1 הוא האיבר היחיד שלה. כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר  n\times n כאשר  n\geq 2. המינור של איבר במטריצה  A הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו איבר מהמטריצה, כך שמתקבלת מטריצה בגודל  (n-1)\times (n-1) (את הדטרמיננטה הזו, של מטריצה קטנה יותר, אנו כבר יודעים לחשב). נסמן את המינור המתקבל ממחיקת הרכיב  A_{ij} (שהוא הרכיב ה- (i,j) של המטריצה) ב- A^{ij}. הדטרמיננטה ניתנת כעת לחישוב בצורה  \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij} -- זהו פיתוח לפי השורה ה- i. פיתוח לפי העמודה ה- j מתקבל מנוסחה דומה:  \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}.
לדוגמה, הפיתוח לפי השורה הראשונה של מטריצה מסדר  3\times 3 נותן את הנוסחה
 {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{vmatrix}}.
הסיבוכיות בשיטה זו דומה לחישוב הדטרמיננטה על-פי ההגדרה, ולכן אין לה ערך מעשי, אלא אם יש במטריצה שורה או עמודה שכמעט כולה אפסים. עם זאת יש בה תועלת תאורטית לא מבוטלת. לדוגמה, נובע ממנה בקלות (באינדוקציה) שהדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת שווה לזו של המטריצה המקורית.
חישוב הדטרמיננטה > תכונות

הדטרמיננטה כפלית, כלומר |A\cdot B|=|A|\cdot |B| . לכן גם:
|tA|=t^{n}|A|, כאשר  t סקלר ו- n הוא סדר המטריצה של  A.
|A^{-1}|={\frac {1}{|A|}}, אם  A מטריצה הפיכה.
|A^{k}|=|A|^{k}, כאשר  k\geq 1 טבעי.
|A^{\top }|=|A|, כאשר  A^{\top } היא המטריצה המשוחלפת של  A.
|A|=0 אם ורק אם  A מטריצה שאינה הפיכה.
|\operatorname {adj} (A)|=|A|^{n-1} כאשר  \operatorname {adj} (A) היא המטריצה המצורפת של  A ו- n הוא סדר המטריצה של  A.
משפט סילבסטר קובע שלכל שתי מטריצות  A\in M_{n\times k}(F) ו- B\in M_{k\times n}(F) מתקיים השוויון  \operatorname {det} (I_{n}-AB)=\operatorname {det} (I_{k}-BA).
הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה

ניתן לראות בדטרמיננטה פונקציה של איברי המטריצה שערכה מבטא את פקטור ההגדלה הנפחית של הטרנספורמציה הליניארית המיוצגת על ידי המטריצה.
בצורה פורמלית, אם  A היא מטריצה ממשית מסדר  n\times n, אז כפל המטריצה בוקטורי הבסיס הסטנדרטי של המרחב  \mathbb {R} ^{n} ייתן את ווקטורי העמודה של המטריצה:
פירוש הדבר הוא שהטרנספורמציה המיוצגת על ידי  A מעתיקה את קוביית היחידה ה-n ממדית למקבילון ה- n ממדי שקואורדינטות קודקודיו מיוצגות על ידי ווקטורי העמודה של המטריצה  \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}, ואשר הפנים שלו מוגדר על ידי התחום:  P=\{c_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {a} _{n}\mid 0\leq c_{i}\leq 1\ \forall i\}.. הדטרמיננטה תיתן את הנפח המכוון של המקבילון הזה, כלומר  \det(A)=\pm {\text{vol}}(P) (הסימן מראה האם הטרנספורמציה הליניארית משמרת או הופכת את אוריינטציית המקבילון).
ניתן להיווכח בכך שהדטרמיננטה מקיימת את כל התכונות הנדרשות מפונקציית נפח - שכן פעולות אלמנטריות משנות את הדטרמיננטה באופן זהה לשינוי שהן גורמות לנפח המקבילון. הפעולה האלמנטרית של כפל שורה בסקלר  \lambda  שקולה להארכת אחת מצלעות המקבילון פי אותו פקטור; הפעולה מגדילה את שטח הפאה המכילה את הצלע באותו פקטור, ובאופן רקורסיבי פועלת כמתיחה בפקטור  \lambda  על פנים המקבילון, באנלוגיה להליך חישוב הדטרמיננטה לפי מינורים. הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת ניתנת לייצוג על ידי כפל במטריצה אלמנטרית השקולה להעתקת גזירה, ולכן פועלת כטרנספורמציה אשר משנה את זוויות המקבילון אך אינה משפיעה על נפחו (ככל גזירה).
בדרך זו ניתן גם להבין את מושג ההפיכות של מטריצה בצורה שונה; מטריצה מסדר  n\times n בעלת דטרמיננטה אפס מעתיקה את קוביית היחידה ה- n ממדית למקבילון בעל נפח 0 שאינו יכול להיות  n-ממדי, מה שמעיד על כך שממד התמונה של  A נמוך מ- n. פירוש הדבר הוא ש- A מייצגת טרנספורמציה ליניארית שאינה על ואינה חד-חד ערכית, ולכן אין לה מטריצה הופכית (אין טרנספורמציה הופכית לטרנספורמציה שהיא מייצגת).
הדטרמיננטה באנליזה ווקטורית

בשל הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה שצוין לעיל, אם  S קבוצה כלשהי במרחב הממשי  \mathbb {R} ^{n}, אז הנפח של  A\cdot S שווה לנפח של  S מוכפל בדטרמיננטה של  A (עובדה המסבירה את הופעתו של היעקוביאן בחישובי אינטגרלים מרובים).
באמצעות דטרמיננטה של מטריצה  3\times 3 אפשר לרשום ביטוי שקל לזכור ומקל לחשב את המכפלה הווקטורית ב- \mathbb {R} ^{3} באופן הבא:
 {\vec {A}}\times {\vec {B}}={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\\\end{vmatrix}}=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}){\hat {x}}-(A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x}){\hat {y}}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}){\hat {z}}
הדטרמיננטה כפונקציית נפח

כפי שראינו עבור  A מטריצה ממשית ריבועית מסדר 2, הדטרמיננטה שלה מייצגת את השטח של המקבילית הנפרשת על ידי ווקטורי השורות של A (או עמודותיה). למעשה, הגדירו את הדטרמיננטה של מטריצה כפונקציה שמקבלת מטריצה ומחזירה את "השטח המכוון" של המקבילון הנפרש על ידי השורות (עמודות) שלה. מי אמר שיש פונקציה יחידה כזאת? כפי שנראה, יש רק דרך אחת להגדיר פונקציה נפח וזאת הגדרת הדטרמיננטה שאותה אנו מכירים.
הדטרמיננטה כפונקציית נפח > הגדרה

יהי  F שדה ותהי  V:(F^{n})^{n}\to F. נאמר ש-  V פונקציית נפח אם ורק אם
V ליניארית בכל אחד מהמשתנים (מולטי - ליניאריות).
לכל  a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in F^{n}, אם שניים מהם שווים אז  V(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=0.
V(e_{1},\dots ,e_{n})=1 כאשר  e_{1},\cdots ,e_{n} הם איברי הבסיס הסטנדרטי של  F^{n}.
(מן הליניאריות והתכונה השנייה נובע שאם B מתקבלת מ-A על ידי החלפת שתי שורות, אז  V(B)=-V(A)).
נרשה לעצמנו להסתכל על איברים מ-  M_{n}(F) כאל איברים מ-  (F^{n})^{n} כך שכל מטריצה  A\in M_{n}(F) מיוצגת כאל  n-יה של ווקטורי השורות שלה. כך, נוכל להסתכל על כל פונקציית נפח כאל פונקציה מ-  M_{n}(F) ל-  F באופן שתיארנו.
הדטרמיננטה כפונקציית נפח > הוכחה

נסמן את שורותיה של  A ב-  a_{1},\dots ,a_{n} (בהתאמה) ושל  B ב-  b_{1},\dots ,b_{n} (גם בהתאמה). נניח ש-  B התקבלה מ-  A על ידי החלפת השורה ה-  i עם ה-  j.
V(A)=V(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n})
=V(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n})+0
=^{2}V(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n})+V(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n})
=^{1}V(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j}+a_{i},\dots ,a_{n})
=V(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j}+a_{i},\dots ,a_{n})-0
=^{2}V(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j}+a_{i},\dots ,a_{n})-V(a_{1},\dots ,a_{i}+a_{j},\dots ,a_{j}+a_{i},\dots ,a_{n})
=^{1}V(a_{1},\dots ,-a_{j},\dots ,a_{j}+a_{i},\dots ,a_{n})
=^{1}-V(a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n})-V(a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n})
=^{2}0-V(a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n})
=-V(a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n})
=-V(b_{1},\dots ,b_{i},\dots ,b_{j},\dots ,b_{n})=-V(B)
\blacksquare
כעת בהינתן פונקציית נפח  V ומטריצה ריבועית מסדר  n,  A=(a_{ij})_{n\times n} מעל שדה  F שאת שורותיה נסמן ב-  a_{1},\dots ,a_{n} בהתאמה V(A)=V(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=V(\sum _{x_{1}=1}^{n}a_{x_{1},1}e_{x_{1}},\sum _{x_{2}=1}^{n}a_{x_{2},2}e_{x_{2}},\dots ,\sum _{x_{n}=1}^{n}a_{x_{n},n}e_{x_{n}})=^{1}\sum _{1\leq x_{1},\dots ,x_{n}\leq n}a_{x_{1},1}\cdots a_{x_{n},n}V(e_{x_{1}},\dots ,e_{x_{n}})
ומתכונה 2 של פונקציית הנפח ניתן להיווכח כי מספיק לסכום על אוסף התמורות -  S_{n}
V(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (2),2}V(e_{\sigma (1)},\dots ,e_{\sigma (n)})=^{*}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (2),2}\cdot sgn(\sigma )V(e_{1},\dots ,e_{n})=^{3}\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )a_{\sigma (1),1}\cdots a_{\sigma (2),2}
(*) - מחליפים  k שורות עד שמגיעים לרצף  (e_{1},\dots ,e_{n}) ועם כל החלפה כופלים במינוס 1. מתכונות התמורה  k הוא מספר ההיפוכים של  \sigma  ולכן,  (-1)^{k}=sgn(\sigma )
ובכך הוכח כי פונקציית נפח היא יחידה.
עדיין לא הוכח שבכלל קיימת פונקציית נפח. ההוכחה מסורבלת אבל ניתן להוכיח שלכל  n טבעי קיימת פונקציית נפח יחידה  V_{n}:M_{n}(F)\to F. ואם  2\leq n  לכל  1\leq i\leq n
V_{n}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}V_{n-1}(A_{j,i}^{M}) כאשר  A_{j,i}^{M} היא המטריצה המתקבלת מ-  A על ידי מחיקת השורה ה-  {i} והעמודה ה-  j.
ראו גם

מכפלה מעורבת
מכפלה וקטורית
פרמננטה
ערך עצמי
הערות שוליים

↑  בדיקת ערך הדטרמיננטה של המטריצה של העתקה ליניארית, היא שיטה אלגוריתמית לוודא האם העתקה הפיכה.
↑  שיקופים למשל, בשונה מסיבובים, אינם משמרים אוריינטציה של המקבילון.
| נושאים באלגברה ליניארית |
| --- | --- | --- |
| מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה |  |
| וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד |  |
| מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן |  |
| העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית |  |
| מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית  • אורתוגונליות  •  מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה |  |
| תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית •  תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007550422505171  BnF: cb11975737s (data)  GND: 4138983-9  LCCN: sh85037299  NDL: 00562696  NKC: ph153485 
שטח המקבילית באיור הוא הדטרמיננטה של המטריצה המיוצגת על ידי וקטורי צלעות המקבילית. טרנספורמציות גזירה אינן משנות את גובה המקבילית ולכן גם לא משנות את שטחה; לעומת זאת, כפל שורה בסקלר מגדיל את אחת מצלעות המקבילית ולכן משנה את שטחה.
ההסתדרות הציונית העולמית

| --- | --- |
סמל ההסתדרות הציונית העולמית

בניין ההסתדרות הציונית בתל אביב בשנת 2015
 תחום:  המגזר השלישי 
 מדינה:  ישראל 
 מטה הארגון:  בית המוסדות הלאומיים בירושלים
 מייסדים:  בנימין זאב הרצל, מקס נורדאו 
 יושב ראש:  יעקב חגואל
 מנכ"ל:  יעקב אהרוני
 תקופת הפעילות:  1897–הווה (כ־127 שנים)
 נוצר מתוך:  התנועה הציונית
 www.wzo.org.il
 
בנימין זאב תאודור הרצל, אבי הציונות
המוסדות הציוניים עד מלחמת העולם הראשונה
ההסתדרות הציונית העולמית (באנגלית: World Zionist Organization) היא ארגון של התנועה הציונית שהוקם ביוזמתו של בנימין זאב הרצל ב-3 בספטמבר 1897, בקונגרס הציוני הראשון שהתכנס בבזל שבשווייץ. ההסתדרות הציונית הוקמה כארגון גג, לאיחוד פעולתם של כל הגופים הציוניים בעולם. באותו קונגרס הוטל על היינריך אלחנן יורק-שטיינר להכין את תקנות הארגון.
היסטוריה

ההסתדרות הציונית נמנית עם המוסדות הלאומיים, שפעלו להגשמת מטרתה של התנועה הציונית – הקמת בית לאומי לעם היהודי בארץ ישראל. ההסכמה בין כל חלקי התנועה הציונית להתאחד מאחורי התביעה להקמתה של מדינה יהודית בארץ ישראל התגבשה רק סמוך להקמת מדינת ישראל. בתחילת דרכה ייצגה ההסתדרות הציונית את היישוב היהודי בארץ ישראל אל מול השלטון העות'מאני ואחר כך את כל העם היהודי. בשנת 1929 עברה הפעילות הביצועית של ההסתדרות הציונית לידי הסוכנות היהודית, וההסתדרות הציונית נותרה כגוף קובע מדיניות.
החברות בהסתדרות הציונית הייתה פתוחה בפני כל יהודי שהסכים עם מטרותיה ורכש את "השקל הציוני".
בקונגרס הציוני ה-23, שהתכנס בירושלים בשנת 1951, הוגדרו מחדש מטרותיה של ההסתדרות הציונית, לאחר שמטרתה העיקרית עד אותה עת, הקמת מדינה יהודית, זכתה להגשמה. ההסתדרות הציונית המשיכה בפעילותה ומתמקדת מאז בעידוד העלייה, בהעמקת הקשר בין מדינת ישראל ויהדות התפוצות, בחינוך ציוני,
בקרב יהודי התפוצות ובמאבק באנטישמיות.
מטה ההסתדרות הציונית העולמית נמצא בבית המוסדות הלאומיים ברחוב המלך ג'ורג' 48 בירושלים, בבניין משותף לסוכנות היהודית, להסתדרות הציונית העולמית, לקק"ל ולקרן היסוד.
בעקבות הקמתה של מדינת ישראל הוסדר מעמדן של ההסתדרות הציונית העולמית ושל הסוכנות היהודית במדינה בחוק מעמדן של ההסתדרות הציונית העולמית ושל הסוכנות היהודית לארץ-ישראל.
מוסדות הארגון

לניהול פעילותה ולהגשמת מטרותיה הקימה ההסתדרות הציונית מוסדות אחדים, בתחומי פעילות מגוונים:
הקונגרס הציוני - קובע את חוקת ההסתדרות הציונית
הוועד הפועל הגדול והוועד הפועל המצומצם (ההנהלה הציונית)
המשרד הארצישראלי - הזרוע המבצעת של ההסתדרות הציונית בארץ ישראל. תפקידו העיקרי היה קידום פעילות ההתיישבות בארץ.
הסוכנות היהודית - הזרוע המבצעת של ההסתדרות הציונית שהחליפה את "המשרד הארצישראלי"
המועצה הציונית בישראל - זרוע הפעילות והחינוך
הקרן הקיימת לישראל, שעסקה ברכישת אדמות בארץ ישראל
קרן היסוד - המוסד הכספי המרכזי של ההסתדרות הציונית
חברת "הכשרת היישוב" - עסקה ברכישת קרקעות, גם עבור הקרן הקיימת לישראל
"אוצר התיישבות היהודים" - הזרוע לפעילות פיננסית של ההסתדרות הציונית. חברה בת של גוף זה הייתה "בנק אנגלו-פלשתינה" (שהפך בהמשך לבנק לאומי)
"החטיבה להתיישבות" - זרוע לעניין ההתיישבות בארץ ישראל
קריאה נוספת

מרדכי נאור, הבניין שבו נולדה המדינה, בית המוסדות הלאומיים, ספריית יהודה דקל,2020.
פיליפ קוטלר

| --- | --- |

 לידה:  27 במאי 1931 (בן 93) שיקגו, ארצות הברית 
 ענף מדעי:  שיווק 
 מקום לימודים:  Harvard Business Publishing  אוניברסיטת דהפול  המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס  אוניברסיטת שיקגו  אוניברסיטת הרווארד 
 מוסדות:  אוניברסיטת נורת'ווסטרן 
 פרסים והוקרה:  דוקטור לשם כבוד מבית הספר הגבוה ללימודי תעשייה וניהול בפריז 
 pkotler.org
 תרומות עיקריות
 חתימה:   
 
פיליפ קוטלר (באנגלית: Philip Kotler; נולד ב-27 במאי 1931) הוא פרופסור לשיווק בין-לאומי באוניברסיטת נורת'ווסטרן, נחשב לאבי השיווק המודרני.
חייו

קוטלר נולד בשיקגו. סיים תואר שני בכלכלה באוניברסיטת שיקגו ודוקטורט בכלכלה במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס. ערך עבודת פוסט דוקטורט במתמטיקה, באוניברסיטת הרווארד, ובמדעי ההתנהגות, באוניברסיטת שיקגו.
קוטלר נבחר בשנת 2005 על ידי ה"Financial Times" כ"הגורו המושלם מספר 4" (בשלושת המקומות הראשונים מדורגים פיטר דרוקר, ביל גייטס וג'ק וולש), והוצג כ"מומחה עולמי בפרקטיקה של אסטרטגיות שיווקיות". בשנת 2008 דירג המגזין "וולסטריט" את קוטלר כאדם השישי המשפיע ביותר על עסקים בכלל וחשיבה עסקית בפרט.
קוטלר ייעץ לפירמות גדולות (כגון IBM, הבנק של אמריקה, מוטורולה וג'נרל אלקטריק) בתחומי אסטרטגיה שיווקית, תכנון וארגון ושיווק בין-לאומי.
נוסף לכך, ערך סמינרים בין-לאומיים ההתפתחויות האחרונות בתחום השיווק לחברות גדולות וארגונים נוספים בערים הגדולות ברחבי העולם.
התנהגות צרכנים

פיליפ פיתח מודל כללי להתנהגות קונים הנקרא מודל גירוי-תגובה או בשם נוסף "מודל הקופסה השחורה".
מודל זה מתאר את הצרכן כ"קופסה שחורה" שמגיבה לגירויים שונים. הגירויים מתחלקים לשני קבוצות; גירויי השיווק והסביבה אשר חודשים לתודעת הקונה.
מאפייני הקונה ותהליך ההחלטה שלו מובילים לקניות מסויומת. תפקיד המשווק הוא להבין מה קורה בתודעת הקונה מרגע חדירת הגירויים.
בשנת 2017 הוא כתב ספר Consumer Neuroscience ביחד עם מורן סרף.
הערות שוליים

↑
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007308740405171  PLWABN: 9810659846705606  BIBSYS: 90055421  BNE: XX1141757  BnF: cb11910014r (data)  CANTIC: a12073027  CiNii: DA00233712  GND: 121409600  ICCU: CFIV011705  ISNI: 0000 0001 1871 2151  LCCN: n79105772  LNB: 000016527  MusicBrainz: bfad7394-b7d2-4db6-ba8e-b24dd1fc9efa  NDL: 00446205  NKC: jn20011018131  NLA: 35280801  NLG: 178340  NLK: KAC199634836  NSK: 000009796  NTA: 068025998  ORCID: 0000-0001-6211-0537  RERO: 02-A003470014  SELIBR: 226356  SNAC: w6cg28kr  SUDOC: 026952904  VIAF: 14771959   WorldCat (עם VIAF): 14771959
סול זים

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  17 באוגוסט 1939 (בן 85) ארצות הברית ארצות הברית 
 שם לידה:  Solomon Zimelman 
 מוקד פעילות:  ארצות הברית ארצות הברית
 זרם:  חרדי
 www.solzim.com
 פרופיל ב-IMDb
 
סול זים (באנגלית: Sol Zim; נולד כסולומון זימלמן בב' באלול ה'תרצ"ט, 17 באוגוסט 1939) הוא מלחין, מעבד, מורה לפיתוח קול, מרצה וחזן אמריקאי, אשר ידוע בשיריו היהודיים הקלאסיים.
ביוגרפיה

זים נולד בארצות הברית למשפחת חזנים. אביו של זים, סמואל זימלמן, שימש כחזן של בית הכנסת "הוכשול" בלומאזי, פולין, ושל קהילת שערי תפילה בפורטלנד, מיין.
הוא התפרסם כילד פלא אשר ביצע בצורה מופלאה במיוחד, את הרפרטואר של מורו ורבו החזן משה קוסביצקי. אביו היה אף הוא חזן שאהב לשמוע בביתו בעיקר את החזנים: מרדכי הרשמן, שמואל מלבסקי ואת קוסביצקי. סול התבגר וסיגל לעצמו סגנון מיוחד משלו, סגנון שמשתלב בד בבד עם אישיותו הכריזמטית והרבגונית.
זים למד בישיבת "תורה ודעת" בברוקלין, בבית הספר התיכון של הישיבה יוניברסיטי, בברוקלין קולג', באוניברסיטת ניו יורק וקיבל את הדוקטורט שלו בסמינר התאולוגי היהודי.
זים סיים את לימודיו במכון לחזנות בסמינר התאולוגי היהודי, והוענק לו דוקטור כבוד למוזיקה. זים למד עם מוזיקאים נוספים כמו קורט באום, יוליוס רודל, סמואל וייסר ואחרים.
סול זים ידוע כמלחין פורה, אשר לחניו הרבים נשתרשו עמוק בתוך קהילות רבות בארצות הברית ובעולם. לחנו "לדור ודור" מושר כיום בפי כל בתפילה ובאולמות הקונצרטים, וכך גם יצירתו הגדולה לתפילה לשלום מדינת ישראל.
זים התפרסם בסגנונו המיוחד, המביא למתפללים באמצעות ניגוניו החסידיים ולחניו המקוריים את התוכן המילולי של התפילה. כתלמיד ישיבת "תורה ודעת" הוא מקפיד במיוחד על פירוש המילים בצורה הנכונה והסברתן על ידי לחן מתאים.
בשנת 1964 סול קיבל תפקיד כחזן הראשי במרכז היהודי של הוליס הילס בהוליס הילס, ניו יורק, שם הוא משמש חזן עד היום, כבר מעל ל-60 שנה.