משפט פון נוימן-מורגנשטרן
הוכחה

טענת עזר. אם יחס ההעדפות של שחקן מקיים את אקסיומות הרציפות והמונוטוניות, ואם  A\succsim _{i}B\succsim _{i}C ו-  A\succ _{i}C, אזי הגודל  \,\theta _{i} המוגדר באקסיומת הרציפות יחיד.
הוכחת המשפט. יהי  \succsim _{i} יחס העדפות המקיים את תנאי המשפט. נטפל במקרה שבו  A_{K}\succ _{i}A_{1}.
שלב ראשון: 
הגדרת פונקציה  \,u_{i} על קבוצת ההגרלות.
לפי טענת עזר, לכל  k\in \{1,\ldots ,K\} קיים מספר ממשי יחיד  \theta _{i}^{k}\in [0,1] המקיים:
A_{k}\approx _{i}[\theta _{i}^{k}(A_{K}),(1-\theta _{i}^{k})(A_{1})]\
כעת נגדיר פונקציה  \,u_{i} על קבוצת ההגרלות המורכבות  {\hat {\mathcal {L}}}(O). תהי נתונה הגרלה מורכבת  {\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})], שבה  {\vec {q}}\in \Delta ^{J}, ו- L_{1},\ldots ,L_{J} הן הגרלות פשוטות הנתונות על ידי  L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,p_{K}^{j}(A_{K})].
לכל  k\in \{1,\ldots ,K\} נגדיר:
r_{k}=q_{1}p_{k}^{1}+q_{2}p_{k}^{2}+\ldots +q_{J}p_{k}^{J}
זוהי ההסתברות שתוצאת ההגרלה תהיה  \,A_{k}. נגדיר פונקציה  \,u_{i} על קבוצת ההגרלות המורכבות באופן הבא:
u_{i}({\hat {L}})=r_{1}\theta _{i}^{1}+r_{2}\theta _{i}^{2}+\ldots +r_{K}\theta _{i}^{K}
מכאן נובע בפרט שלכל הגרלה פשוטה  L=[p_{1}(A_{1}),\ldots ,p_{K}(A_{K})] מתקיים:
u_{i}(L)=\sum \limits _{k=1}^{K}{p_{k}\theta _{i}^{k}}
שלב שני:
 u_{i}(A_{k})=\theta _{i}^{k} לכל  k\in \{1,\ldots ,K\}.
הפרס  \,A_{k} שקול להגרלה  \,L=[1(A_{k})], השקולה להגרלה המורכבת 
 {\hat {L}}=[1(L)]. תוצאת ההגרלה  {\hat {L}} היא  \,A_{k} בהסתברות  \,1, ולכן במקרה זה:
r_{l}=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}1\quad \quad \quad l=k\\0\quad \quad \quad l\neq k\\\end{array}}\right.
מכאן נקבל כי:
u_{i}(A_{k})=\theta _{i}^{k}\quad \forall k\in \{1,\ldots ,K\}
מכיוון ש- \theta _{i}^{1}=0 ו- \theta _{i}^{K}=1, נקבל כי  \,u_{i}(A_{1})=0 ו- \,u_{i}(A_{K})=1.
שלב שלישי:
 \,u_{i} ליניארית.
כדי להראות ש- \,u_{i} ליניארית, נראה כי לכל הגרלה פשוטה  L=[p_{1}(A_{1}),\ldots ,p_{K}(A_{K})] מתקיים:
u_{i}(L)=\sum \limits _{k=1}^{K}{p_{k}u_{i}(A_{k})}
אך משוואה זו מתקיימת, שכן משלב ראשון אגף שמאל שווה ל- \sum \nolimits _{k=1}^{K}{p_{k}\theta _{i}^{k}}, ומשלב שני אגף ימין שווה אף הוא לגודל זה.
שלב רביעי:
 \,u_{i} היא פונקציית תועלת.
כדי להראות כי  \,u_{i} היא פונקציית תועלת המייצגת את יחס ההעדפות  \succsim _{i} יש להראות כי לכל שתי הגרלות מורכבות  {\hat {L}} ו- {\hat {L}}' מתקיים:
{\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'\quad \iff \quad u_{i}({\hat {L}})\geq u_{i}({\hat {L}}')
תהיינה, אם כן,  {\hat {L}} ו- {\hat {L}}' שתי הגרלות מורכבות. נסמן:
{\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]\quad ,\quad {\hat {L}}'=[q'_{1}(L'_{1}),\ldots ,q'_{J'}(L'_{J'})]
כאשר
L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,p_{K}^{j}(A_{K})]\quad ,\quad L'_{j}=[{p'}_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,{p'}_{K}^{j}(A_{K})]
לכל  k\in \{1,\ldots ,K\} נסמן:
r_{k}=\sum \limits _{j=1}^{J}{q_{j}p_{k}^{j}}\quad ,\quad r'_{k}=\sum \limits _{j=1}^{J'}{q'_{j}{p'}_{k}^{j}}
אלו ההסתברויות לקבלת התוצאה  \,A_{k} בשתי ההגרלות המורכבות  {\hat {L}} ו- {\hat {L}}'. מהגדרת פונקציית התועלת,
u_{i}({\hat {L}})=\sum \limits _{k=1}^{K}{r_{k}\theta _{i}^{k}}\quad ,\quad u_{i}({\hat {L}}')=\sum \limits _{k=1}^{K}{r'_{k}\theta _{i}^{k}}
לכן,
u_{i}({\hat {L}})\geq u_{i}({\hat {L}}')\quad \iff \quad \sum \limits _{k=1}^{K}{r_{k}\theta _{i}^{k}}\geq \sum \limits _{k=1}^{K}{r'_{k}\theta _{i}^{k}}
מצד שני, מאקסיומת הפישוט,
{\hat {L}}\approx _{i}[r_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),\ldots ,r_{K}(A_{K})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),\ldots ,r'_{K}(A_{K})]
נסמן  L_{k}=[\theta _{i}^{k}(A_{K}),(1-\theta _{i}^{k})(A_{1})]. אזי על פי הגדרת  \theta _{i}^{k} מתקיים  A_{k}\approx _{i}L_{k} לכל  k\in \{1,\ldots ,K\}. מאקסיומת ההצבה המופעלת  \,K פעמים, הן עבור  {\hat {L}} והן עבור  {\hat {L}}', מתקיים:
{\hat {L}}\approx _{i}[r_{1}(L_{1}),r_{2}(L_{2}),\ldots ,r_{K}(L_{K})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'_{1}(L_{1}),r'_{2}(L_{2}),\ldots ,r'_{K}(L_{K})]
כיוון שכל ההגרלות  \,L_{k} הן הגרלות על  \,A_{1},A_{K} ההגרלות באגף ימין של שתי המשוואות לעיל אף הן על שתי תוצאות אלו בלבד. לכן אם נסמן ב- \,r ו- \,r' את ההסתברות הכוללת של  \,A_{K} בהגרלות  {\hat {L}} ו- {\hat {L}}' בהתאמה, אזי
r=\sum \limits _{k=1}^{K}{r_{k}\theta _{i}^{k}}\quad ,\quad r'=\sum \limits _{k=1}^{K}{r'_{k}\theta _{i}^{k}}
ומאקסיומת הפישוט, נובע:
{\hat {L}}\approx _{i}[r(A_{K}),(1-r)(A_{1})]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}[r'(A_{K}),(1-r')(A_{1})]
מאקסיומת המונוטוניות,
{\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'\quad \iff \quad r\geq r'.
לכן, בסה"כ,
{\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'\quad \iff \quad u_{i}({\hat {L}})\geq u_{i}({\hat {L}}').
כנדרש.