מתמטיקה של קיפולי נייר
אקסיומות הוזיטה-האטורי

בבסיס החקר המתמטי של האוריגמי עומדות שבע אקסיומות המגדירות את הפעולות הגאומטריות האפשריות בתהליך הקיפול. שש האקסיומות הראשונות פורסמו ב-1992 על ידי המתמטיקאי היפני-איטלקי, הומיאקי הוזיטה. אקסיומה שביעית המשלימה את שש האקסיומות של הוזיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי קושירו האטורי. בניסוח האקסיומות, כל שני אובייקטים מוגדרים להיות שונים (כלומר אם נאמר "בהינתן שתי נקודות", יש לקרוא זאת כ"בהינתן שתי נקודות שונות זו מזו"):
בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, קיים קפל יחיד המחבר ביניהן.
בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, קיים קפל יחיד הממקם את P1 על גבי P2.
בהינתן שני קווים L1 ו-L2, קיים קפל הממקם את L1 על גבי L2.
בהינתן נקודה P וקו L, קיים קפל יחיד המאונך ל-L שעובר דרך P.
בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2 וקו L, כך שמרחקה של P2 מ-L אינו עולה על מרחקה מ-P1, ניתן ליצור קפל העובר דרך P2 שימקם את P1 על גבי L.
בהינתן שתי נקודות, P1 ו-P2, ושני קווים, L1 ו-L2, ניתן ליצור (בתנאים מסוימים) קפל שימקם בו-זמנית את נקודה P1 על גבי L1 ואת נקודה P2 על גבי L2.
בהינתן נקודה P1 ושני קווים L1 ו-L2, ניתן ליצור קפל מאונך ל-L2 שימקם את P1 על גבי L1.
שבע האקסיומות מאפשרות ניתוח של כל קפלי האוריגמי האפשריים תחת הנחה של קפלים ישרים בלבד המבוצעים על מישור כאשר בכל שלב מבוצע קיפול אחד בלבד. ככל הנראה חסרות אקסיומות נוספות כדי לנתח את כל קפלי האוריגמי האפשריים אם מאפשרים ביצוע סימולטני של מספר קפלים.
רוברט ג. לאנג (Robert J. Lang) הראה דרך לחלוקת זווית לחמישה חלקים שווים באמצעות קיפולים החורגים מאקסיומות הוזיטה-האטורי. בשיטת הקיפול בה השתמש לאנג יוצרים שני קפלים סימולטנית, ומכאן רואים שהאקסיומות אינן מתארות את כל האפשרויות של דגמי אוריגמי במישור (דגמים במרחב מלכתחילה אינם כלולים). את האקסיומה החסרה שלאנג מדגים, ניתן לנסח כך: בהינתן 3 נקודות P2, P1 ו-P3 ושני קווים L1 ו-L2 ניתן ליצור שני קפלים L3 ו-L4 כך ש-L3 עובר דרך P3 ו-L4 ממקם את P1 על L1 ואת P2 על L3 כך ש-P2 נמצאת במרחק שווה מ-L2 ומ-L4.
בסיס תאורטי זה מאפשר תכנון של דגמי אוריגמי מורכבים על גבי מחשב, פתרון משוואות ובעיות גאומטריות בעזרת אוריגמי ועוד. לדוגמה, כך אפשר למצוא את השורש השלישי של מספר  \ a באמצעות קיפולי נייר: ציירו מערכת צירים מאונכת על הדף; סמנו את הנקודות  \ (0,2) ו- \ (a,1). כעת הפעילו את האקסיומה השישית כדי למקם את הנקודה הראשונה על ציר ה-x, ואת הנקודה השנייה על הישר  \ x=-a. שיקוף כזה (דרך הקו המקווקו באיור משמאל) מעתיק את הנקודה  \ (0,2) לנקודה שמרחקה מראשית הצירים בדיוק  \ 2{\sqrt[{3}]{a}}.
הפעולות המתוארות באקסיומות 1–5 ו-7 ניתנות לביצוע גם באמצעות מחוגה וסרגל: הן מתארות, בקירוב, העברת קו בין שתי נקודות (1), העברת אנך אמצעי (2), העברת חוצה זווית (3), הורדת אנך (4), העברת משיק לפרבולה דרך נקודה נתונה (5), והעברת ישר מקביל (7). האקסיומה הנותרת, 6, מאפשרת למצוא משיק משותף לשתי פרבולות, פעולה השקולה לפתרון משוואה ממעלה שלישית (ולכן גם רביעית); לעומת זאת, במחוגה וסרגל אפשר לפתור רק משוואות ריבועיות.
כמה מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם, למשל שילוש זווית (חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים) או בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, הוכחו כבלתי-פתירות באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד, אבל ניתן לפותרן באמצעות מספר קיפולי נייר.
כתוצאה ממחקר אוריגמי באמצעות יישום של עקרונות גאומטריים, שיטות, כדוגמת משפט האגה, אפשרו למקפלי נייר לקפל צלע של ריבוע לשליש, חמישית, שביעית ותשיעית מאורכה. כמה משפטים ושיטות אפשרו למקפלי נייר לקבל מריבוע צורות אחרות כדוגמת משולשים שווי צלעות, מחומשים, משושים, ומלבנים מיוחדים כדוגמת מלבן הזהב ומלבן הכסף.
לבעיית ה"אוריגמי הקשיח", שבה מתייחסים אל הקפלים כאל צירים המחברים שני משטחים קשיחים שטוחים כדוגמת לוחות מתכת, יש חשיבות מעשית גדולה. לדוגמה, "קיפול המפה של מיורה" (Miura map fold) הוא קיפול קשיח שנעשה בו שימוש לפרישת לוחות סולריים גדולים עבור לוויינים.
קיפול מחדש של מודל שנפרש לחלוטין רק על סמך תבנית הקפלים (בעיית הקיפול השטוח) הוכח על ידי מרשל ברן (Marshall Bern) וברי הייז (Barry Hayes) כבעיה NP שלמה, CiteSeerX, citeseer.ist.psu.edu (באנגלית). מידע נוסף ניתן למצוא בספר " Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra".