הקיטוב של הריק
תיאור מתמטי

הרנורמליציה של האלקטרודינמיקה הקוונטית יכולה להתקבל משינוי של השדה הפרמיוני, המסה, שדה הכיול והאינטרקאציה ביניהם. כלומר את הלאגראנג׳יאן המקורי כותבים על ידי המשתנים ה״ערומים״ (bare variables)
{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{0})^{2}+{\bar {\psi }}_{0}(i\partial \!\!\!/-m_{0})\psi _{0}-e_{0}{\bar {\psi }}_{0}\gamma ^{\mu }\psi _{0}A_{0\mu }
כאשר  m_{0} ו- e_{0} יכולים לכלול איברים מתבדרים.
אופרטורי השדה בתיאור הזה הם אופורטורים שנוצרים מאופרטורי הריסה ובנייה על הריק של התיאוריה בלי האינטראקציה. כאשר אופרטורי השדה הללו פועלים על הריק של התיאוריה המלאה הכוללת אינטראקציה, הם מייצרים ״חלקיקים״ פיזיקליים בעלי מסה  m כמו גם מצבים מסובכים שכוללים יותר מחלקיק אחד. את אמפליטודת הסיכוי של אופרטור שדה לייצר חלקיק אחד בעל תנע  p מגדירים כ- {\sqrt {Z_{i}}}. בשלב זה אפשר לבצע את שינויי הסקלה לשדות  A_{0}=Z_{3}^{1/2}A;\ \psi _{0}=Z_{2}^{1/2}\psi  ולסמן את חוזק האינטראקציה בין השדות האלה בתיאוריה החדשה ב- e. סימונים אלה מביאים את הלגראנז׳יאן לצורה:
{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu })^{2}+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }-{\frac {\delta _{3}}{4}}(F_{\mu \nu })^{2}+{\bar {\psi }}(i\delta _{2}\partial \!\!\!/-\delta _{m}m)\psi -e{\bar {\psi }}\delta _{1}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }
כאשר החלק השמאלי הוא בעל אותה צורה של הלגרנז׳יאן המקורי בשדות החדשים שמייצרים חלקיק אחד בסיכוי כשהם פועלים על מצב עצמי בעל תנע  p של הלגראנז׳יאן המלא. והחלק הימני הוא איברי נגד, כשהגדרנו  \delta _{i}=Z_{i}-1 ו- \delta _{m}=Z_{2}m_{0}-m. המסה  m והאינטראקציה החשמלית  e הם המסה והאינטראקציה שתמדד בניסויים שמבוצעים באנרגיה נמוכה ואיברי הנגד יקבלו ערכים אינסופיים כדי לאזן את ההתבדרות האינסופית של הלגראנז׳יאן המקורי בכל אנרגיה. כלומר הערכים של  \delta  ושל  Z נקבעים מהאופי של התיאוריה, ולא מקבלים סתם ערכים חופשיים.
קל לראות שאת איבר האינטראקציה בלגראנז׳יאן המקורי ניתן לכתוב גם כ- e_{0}Z_{2}Z_{3}^{1/2}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu } וגם כ- eZ_{1}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }. שתי הכתיבות של איבר האינטראקציה חייבות להיות שקולות ולכן מתקבל: e={\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}Z_{3}^{1/2}e_{0}. חישוב של איברי הנרמול, ושימוש בזהות וורד מראה ש- Z_{2}=Z_{1}, ולכן  e=Z_{3}^{1/2}e_{0} ולכן רק הנרמול של הפוטון משפיע על הנרמול של המטען.
כעת נגדיר את הפרופגטור של השדה (המנורמל  A) שכולל את כל הדיאגרמות שאי אפשר לחלק לשתי דיאגרמות באמצעות חלוקה של קו אחד שנמצא בין צמתים להיות  i\Pi ^{\mu \nu }(q). מההגדרה ומזהות וורד נובע ש- \Pi ^{\mu \nu }(q)=\Pi (q^{2})(q^{2}g^{\mu \nu }-q^{\mu }q^{\nu }). הפרופגטור הכללי שכולל גם דיאגרמות שניתנות לחלוקה הוא:  {\frac {-i}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))}}\left(g^{\mu \nu }-{\frac {q^{\mu }q^{\nu }}{q^{2}}}\right)+{\frac {-i}{q^{2}}}{\frac {q^{\mu }q^{\nu }}{q^{2}}}. באמצעות קביעה נכונה של הערך של איבר הנגד  \delta _{3}={\frac {\Pi (0)}{1-\Pi (0)}}. ניתן לקבל שבתיאוריה שכוללת את איברי הנגד מתקיים   {\hat {\Pi }}(q^{2}\to 0)=0. מטען האלקטרון בסקלה החדשה מקיים:  e_{0}^{2}={\frac {e^{2}}{1-[\Pi (q^{2})-\Pi (0)]}}.
הסדר הראשון של התיקון לפרופוגטור מוצג בדיאגרמה משמאל וחישובה לאחר רגולזציה מרחבית ואיזון נותן:
\Pi _{2}^{\mu \nu }(q)=(q^{2}g^{\mu \nu }-q^{\mu }q^{\nu })\Pi _{2}(q^{2}) כאשר  \Pi _{2}(q^{2})=-{\frac {8e^{2}}{(4\pi )^{d/2}}}\int _{0}^{1}dx{\frac {\Gamma (2/d)x(1-x)}{(m^{2}-x(1-x)q^{2})^{2-d/2}}}. כאשר מחשבים את האינטגרל הזה בגבול  d=4-\epsilon ;\epsilon \to 0 מתקבל איבר שתלוי ב- \epsilon .  אולם כאשר קובעים את תנאי הרנורמליזציה מתקיים  \Pi _{2}(q^{2})-\Pi _{2}(0)=-{\frac {2\alpha }{\pi }}\int _{0}^{1}dxx(1-x)\log \left({\frac {m^{2}}{m^{2}-x(1-x)q^{2}}}\right). תוצאה שלא תלויה ב- \epsilon . בסדר זה, התיקון למטען האלקטרון הוא:  e_{0}^{2}=e^{2}(1+[\Pi (q^{2})-\Pi (0)]).