אנרי לבג
אינטגרל לבג

הערה: זהו ערך היסטורי ולא מתמטי-טכני. לדיון מלא ומתמטי, ראו את המאמרים הבאים: אנליזה מתמטית, חשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל, פונקציית מידה, מידת לבג ואינטגרל לבג.
אינטגרציה היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כמציאת השטח הכלוא בין עקומה לבין ציר ה-x. ארכימדס הצליח לבצע אינטגרציה עבור מקרים מסוימים, אך לא פיתח שיטה כללית. במאה ה-17 פיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (כל אחד בנפרד) שיטה לביצוע אינטגרציה המבוססת על כך שאינטגרציה היא בעצם הפעולה ההפוכה לגזירה. את תוצאתם הם ניסחו במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שמתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת ואף נותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות. שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על הגאומטריה, אלא על החשבון האינפיניטסימלי - תחום שעוד לא בוסס לוגית בתקופתם וההוכחות שנתנו לטענות אלה היו בלתי ריגורוזיות ומלאות סתירות (ראו עוד על אינפיניטסימל בנושא זה).
במאה ה-19 פיתח אוגוסטן לואי קושי תורה ריגורוזית של גבולות וכתוצאה מכך העניק בסיס מוצק לחשבון האינפיניטסימלי. ברנהרד רימן לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן קפדני, מה שידוע כאינטגרל רימן. מה שרימן עשה היה לחלק את השטח שמתחת לעקומה למלבנים קטנים, שגובהם תלוי בערך של הפונקציה שבתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן. האינטגרל של רימן הוא גבול שטח המלבנים כאשר רוחב המלבנים שואף לאפס.
כלומר:
 \ J_{\mbox{Riemann}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\sum {f(x_{i})}\Delta x}
רימן גילה, לאכזבתו, שקיימות פונקציות שעבורן לא קיים גבול של סדרת שטחי המלבנים, ולכן לא היה להן אינטגרל רימן. לפונקציות כאלה קראו פונקציות לא אינטגרביליות רימן. אחרי תגלית מאכזבת זו נקטו המתמטיקאים מספר גישות לטיפול בבעיה:
אפיון כל הפונקציות שעבורן קיים אינטגרל רימן (מחלקה זו של פונקציות נקראות פונקציות אינטגרביליות רימן).
הגדרת אינטגרלים לא-נאותים באמצעות גבולות, עבור פונקציות שאינן חסומות או בתחומים שאינם חסומים.
ניסיון להכליל את האינטגרל עבור פונקציות "חלקות" פחות ו"בעייתיות" יותר.
לבג נקט בגישה השלישית, וסיפק בעבודתו גם אפיון מלא לפונקציות אינטגרביליות רימן. אפיון זה הוא הבא: "פונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם היא חסומה וקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס."
לבג החליט להכליל את אינטגרל רימן. ראשית, עבד לבג ובנה את תורת המידה ואת מידת לבג על הישר הממשי. מידת לבג היא הכללה של מושג האורך ומאפשרת למדוד אורך של קבוצות מספרים שאינן בהכרח איחוד קטעים (אורך של קטע קל לחשב, אם קצות הקטע I הם a ו-b אזי אורך הקטע הוא  \ |b-a|). לאחר שהכליל את מושג האורך באמצעות מידת לבג, פנה לבג להגדיר את האינטגרל.
הרעיון של אינטגרל לבג הוא להפוך את הסכימה שהייתה באינטגרל של רימן. אם באינטגרל רימן לכל נקודה התאימו את הגובה שלה (הערך של הפונקציה בה) הרי שבאינטגרל לבג מסתכלים דווקא על טווח הערכים של הפונקציה ולכל ערך שהפונקציה מקבלת מתאימים את המידה של קבוצת הנקודות המחזירה ערך זה, ואז סוכמים. כלומר:
באופן יותר פורמלי, קודם כל מקרבים את הפונקציה f על ידי פונקציות פשוטות (אלה פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר: פונקציית מדרגה) ואז לוקחים את הגבול של פונקציות אלה בשביל לקבל את האינטגרל.
מסתבר כי כל פונקציה שהיא אינטגרבילית רימן היא גם אינטגרבילית לבג (אך לא ההפך!) וערכי האינטגרלים זהים. לכן אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן.
אינטגרל לבג קיים לכל הפונקציות המדידות לבג. משפחת פונקציות זו רחבה יותר ממשפחת הפונקציות אינטגרביליות רימן, אך גם לאחר הכללה זו נותרו פונקציות להן לא ניתן לחשב אינטגרל. אינטגרל לבג מזדהה עם אינטגרל רימן ברוב המקרים של אינטגרלים לא-נאותים אך לא בכולם. אינטגרל הנסטוק הוא הכללה חזקה יותר שממנה אפשר להסיק את אינטגרל רימן והן את אינטגרל לבג.