stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ג'ולי ניקסון אייזנהאואר
ביוגרפיה > החיים אחרי הבית הלבן

ג'ולי ודייוויד התיישבו בברווין, פנסילבניה, שם כתבה מספר ספרים, כולל "פט ניקסון: הסיפור שלא סופר" ו-Going Home to Glory; A Moir of Life with Dwight D. Eisenhower, שנכתב עם בעלה דייוויד אייזנהאואר. יש לה רקורד נרחב של שירות קהילתי ועניין מיוחד בנוער בסיכון. במשך למעלה מעשרים שנה היא כיהנה במועצת המנהלים של Jobs for America's Graduates, ארגון לאומי המסייע לצעירים לסיים את התיכון ולעבור לעבודה ראשונה. היא זכתה בתואר הבת המכובדת של פנסילבניה על תרומתה האזרחית. היא פעילה בקרן ריצ'רד ניקסון, יושבת במועצת המנהלים שלה. משנת 2002 עד 2006 היא הייתה יו"ר ועדת הנשיא למלגות הבית הלבן, תוכנית המטפחת מנהיגות בקרב הצעירים היוצאים מן הכלל במדינה.
יחד עם אחותה ואביה, היא הייתה עם אמה כשנפטרה מסרטן ריאות ב-22 ביוני 1993. ארבעה ימים לאחר מכן, ב-26 ביוני 1993, היא השתתפה בטקס הלוויה של אמה בשטח ספריית ריצ'רד ניקסון ביורבה לינדה, קליפורניה. עשרה חודשים לאחר מכן, היא הייתה ליד מיטת אביה עם אחותה כאשר הוא מת. ג'ולי השתתפה בהלוויה ב-27 באפריל 1994. מותו של אביה הותיר אותה ואת אחותה עם רישומי יומנו, קלסרים וקלטות בין היתר.
היא הביעה סלידה מכמה עיבודים לנשיאות, ותייגה אותם כמעניקים לצופים צעירים "תחושה מעוותת של היסטוריה". זה התרחב לסרטו של אוליבר סטון ניקסון, עיבוד של הנשיאות של אביה. בתו של וולט דיסני, דיאן דיסני מילר, כתבה מכתב לג'ולי ולאחותה ואמרה כי סטון "ביצעה שירות רע למשפחתך, לנשיאות ולהיסטוריה האמריקאית".
ב-14 באפריל 1999, משרד ההגנה האמריקני עבר למנוע ממנה להופיע כדי להעיד במהלך מאבק משפטי בשאלה האם הממשלה הפדרלית תשלם לעיזבונו של אביה מיליונים המיועדים לספרייה והמוזיאון הנשיאותי של ריצ'רד ניקסון כפיצוי על מסמכים וקלטות שנתפסו כאשר התפטר.
בשנת 2001, היא הביעה עניין בהוצאת גופתו של צ'קרס, כלב שיוחס לקריירה של אביה כאשר פעל להיבחר כסגן הנשיא, שמת ב-1964. רצונה היה להעביר את השרידים לספרייה ולמוזיאון הנשיאותי של ניקסון.
היא ואחותה נקלעו למאבק משפטי על סכום מוערך של 19 מיליון דולר, שהשאיר בבה ריבוזו עבור קרן ספריית ריצ'רד ניקסון ו-Birthplace Foundation. בניגוד לרצונה של טרישה שהכסף יהיה בשליטת קבוצה המזוהה עם משפחתם, ג'ולי רצתה שהוא יהיה בשליטת מועצת המנהלים של הספרייה. על מתח היחסים שחוו השתיים במהלך הסכסוך, ג'ולי אמרה "אני חושבת שזה מאוד עצוב" והצהירה, "זה מאוד קורע לב כי אני מאוד אוהבת את אחותי". בסופו של דבר, התביעה הוכרעה לשביעות רצונם של שני הצדדים.
אחת משאיפותיה החמות ביותר של ג'ולי הייתה שספריית ניקסון תצטרף למערכת המנוהלת על ידי הארכיון הלאומי של הספריות הנשיאותיות:
זה לא בסדר, נאבקים על הכסף. אבא שלי צריך להיות במערכת. כל עוד הוא בחוץ, היסטוריונים ימשיכו להסתכל עליו, אני מרגישה, באור שלילי יותר. תמיד תהיה שליליות, אבל הוא חייב להיות חלק מהרצף של הנשיאים.
במידה רבה בשל התמיכה של ג'ולי אייזנהאואר, ספריית ניקסון הפכה לחלק ממערכת הארכיונים והרשומות הלאומי ביולי 2007.
למרות ההיסטוריה של משפחתה של תמיכה ברפובליקנים, ג'ולי תרמה 2,300 דולר לברק אובמה במרוץ הפריימריז הדמוקרטי נגד הילרי קלינטון ב-2008. היא תמכה במיט רומני ב-2012, המועמד הרפובליקני נגד הנשיא אובמה, ובדונלד טראמפ ב-2016 וב-2020.
ב-16 במרץ 2012, היא ואחותה הגיעו ליורבה לינדה, קליפורניה, כדי לחגוג את יום הולדתה ה-100 של אמם. ב-23 בנובמבר 2013, אייזנהאואר ובעלה פתחו תערוכת חג עבור ספריית ניקסון, שנשארה שם עד 5 בינואר 2014.
SM U-24

| --- | --- |

 תיאור כללי
 סוג אונייה:  הצוללות הגרמניות במלחמות העולם הראשונה והשנייה 
 צי:  הצי הקיסרי הגרמני 
 ציוני דרך עיקריים
 מספנה:  גרמניה ורפט 
 הוזמנה:  18 במרץ 1911
 תחילת הבנייה:  5 בפברואר 1912
 הושקה:  24 במאי 1913
 תקופת הפעילות:  6 בדצמבר 1913 – 1922 (כ־8 שנים)
 אחריתה:  נגרטה
 מלחמות וקרבות:  מלחמת העולם הראשונה
 מידות
 אורך:  64.7 מטר
 רוחב:  6.32 מטר
 שוקע:  3.45 מטר
 נתונים טכניים
 מהירות:  16.7 קשרים בציפה, 10.3 קשרים בצלילה
 עומק צלילה:  50 מטר
 אמצעי לחימה
 חימוש:  4 צינורות טורפדו בגודל 50 ס"מ עם 6 טורפדו, תותח 88 מ"מ
 
SM U-24 הייתה אחת מ-329 צוללות ששירתו בצי הגרמני הקיסרי במלחמת העולם הראשונה. היא הייתה עסוקה בלוחמת מסחר במהלך הקרב הראשון על האוקיינוס האטלנטי.
היסטוריה

הצוללת הוזמנה ב-18 במרץ 1911, ובנייתה החלה ב-5 בפברואר 1912. היא הושקה ב-24 במאי 1913, ונכנסה לשירות ב-6 בדצמבר 1913.
בשבעה סיורים, U-24 הטביעה בסך הכל 33 ספינות סוחר וספינת עזר אחת בהיקף כולל של 106,122 BRT וספינת מלחמה אחת בהדחק של 15,000 טון, גרמה נזק לשלוש ספינות סוחר בהדחק של 14,318 BRT, ולכדה ספינת סוחר אחת כשלל בהדחק של 1,925 BRT.
החיסול השני שלה היה המשמעותי ביותר. הקורבן הייתה אה"מ פורמידבל, שטורפדה 30 מיל ימי (56 קילומטרים; 35 מיל) דרומית לליים רג'יס, ב־50°13′ צפון 03°04′ מערב. היא נפגעה בחדר הדוודים מספר אחת בצד השמאלי. מתוך צוות של כ-711 איש, 547 מתו כתוצאה מכך. זו הייתה אחת האוניות הגדולות ביותר שהוטבעו על ידי צוללת במהלך המלחמה.
בשנת 1915, U-24 תבעה קורבן ידוע נוסף, ספינת הקיטור Arabic, וגרמה ל-44 הרוגים, כולל שלושה אמריקאים. Arabic טבעה תוך 10 דקות. זה הסלים את החשש מצוללות בארצות הברית וגרם לתקרית דיפלומטית שהביאה להשעיית טירפוד ספינות שאינן צבאיות ללא הודעה מוקדמת.
עם סיום המלחמה בנובמבר 1918 נכנעה הצוללת לכוחות מדינות ההסכמה, ובמהלך 1922 היא נגרטה.
הערות שוליים

↑  Helgason, Guðmundur. "3. Escalation - The U-boat War in World War One". German and Austrian U-Boats of World War I - Kaiserliche Marine - Uboat.net. נבדק ב-4 בנובמבר 2012. {{cite web}}:  (עזרה)
טור (מתמטיקה)

במתמטיקה מושג הטור מציין את סכומה של סדרה, שיכולה להיות סדרת מספרים, וגם סדרה של פונקציות. למשל,  1+2+3 הוא טור שסכומו 6. נהוג להבדיל בין שני סוגי טורים עיקריים: טור סופי וטור אינסופי. כבר המתמטיקאי היווני הקדום ארכימדס (נפטר ב-212 לפני הספירה) חישב סכום של טור אינסופי.
תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי הוא שהאיבר הכללי ישאף לאפס.
טורים סופיים

טורים סופיים אינם אלא דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של איברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הסכום  a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n} הוא באמצעות האות היוונית סיגמא, בסימון זה:  \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{k} כאשר  n הוא מספר האיברים, ו- k הוא אינדקס העובר על הערכים  1,2,\ldots ,n.
ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת:
טורים סופיים > טור חשבוני

טור חשבוני הוא סכומה של סדרה חשבונית. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון:  \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{k}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}) (ראו בעניין זה "אנקדוטה על אודות קרל פרידריך גאוס").
טורים סופיים > טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור בו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה המקלה על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור
שבו האיבר ה- k הוא  {\frac {1}{k(k+1)}}. מכיוון ש- {\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}={\frac {k+1-k}{k\cdot (k+1)}}={\frac {1}{k\cdot (k+1)}}, סכום  n האיברים הראשונים הוא
שינוי סדר הפעולות מראה שהסכום הזה שווה
(ראו גם "חישוב סכום של טור טלסקופי אינסופי")
טורים סופיים > טור הנדסי

טור הנדסי (או טור מעריכי או גאומטרי) הוא סכום איבריה של סדרה הנדסית. למשל, הטור  1+2+4+8+\cdots +2^{n-1} הוא טור של איברי סדרה הנדסית המתחילה ב-1, והמנה שלה היא 2.
טורים סופיים > טור הנדסי > סכום טור הנדסי סופי

סכום סופי של סדרה הנדסית כלשהי הוא:  S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}},

כאשר  q\neq 1 מנת הסדרה,  a_{1} האיבר הראשון בסדרה ומספר האיברים בה הוא  n.
הוכחת הנוסחה:
טורים סופיים > טור הנדסי > סכום טור הנדסי אינסופי

כאשר הסכום הוא אינסופי ו־ |q|<1 הטור מתכנס ומאחר ש- \lim _{n\to \infty }q^{n}=0 נקבל כי
 S_{\infty }=a_{1}\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}-1}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}} (אם  |q|\geq 1 הטור מתבדר).
טורים סופיים > זהויות אלגבריות של טורים סופיים

ניתן לחלק זהויות של טורים סופיים לכאלה שנובעות ממניפולציות על אינדקסים וכאלה שמבוססות על אקסיומות המבנה האלגברי שאת איבריו סוכם הטור. כך למשל, הזהות של הזזת אינדקסים  \sum _{n\,=\,s}^{t}a_{n}=\sum _{n\,=\,s+p}^{t+p}a_{n-p} שומרת על סדר הסכימה ולכן לא תלויה באקסיומות של המבנה האלגברי מעליו היא נעשית. לעומת זאת, הזהות  \sum _{k\,=\,1}^{n}C\cdot a_{n}=C\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{n} מבוססת על חוק הפילוג. יותר מכך, הזהות האחרונה היא הכללה של חוק הפילוג, כיוון שזה מתקבל עבור  n=2.
לשם הוכחת הזהויות משתמשים בדרך כלל באינדוקציה מתמטית. כך לדוגמה, הזהות  \sum _{k\,=\,1}^{n}C\cdot a_{n}=C\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{n} מתקיימת בכל שדה עבור  n=2 לפי חוק הפילוג, ואם מניחים שהשוויון מתקיים עבור  n כלשהו אז על ידי שימוש בהנחת האינדוקציה ובחוק הפילוג נקבל
מכאן נסיק שהשוויון נכון עבור כל  n טבעי (עבור  n=1 השוויון טריוויאלי).
הוכחות זהויות שמשנות את סדר סכימת האיברים הן לרוב יותר מורכבות. לשם ההוכחה של זהויות כאלה ניתן להשתמש בלמה לפיה במבנה אלגברי עם תכונות האסוציאטיביות והקומוטטיבית סכום של קבוצה סופית של איברים לא תלוי בסדר הסכימה.
להלן ריכוז זהויות הנכונות מעל שדות (למשל שדה המספרים הממשיים) על פי האקסיומת מהן הן נובעות:
טורים סופיים > זהויות אלגבריות של טורים סופיים > אסוציאטיביות וקומוטטיביות

בהתבסס על חוק החילוף, זהויות אלו מאפשרות את שינוי סדר הסכימה:
קומוטטיביות יחד עם מניפולציות על אינדקסים:
טורים אינסופיים

טורים אינסופיים הם הכללה של טורים סופיים, שמאפשרת סכימה של אינסוף איברים. באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על סכימה של טור אינסופי כסדרה של צעדים, כשבכל שלב מוספים לסכום מהשלב הקודם איבר נוסף. אם הסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי אומרים שהטור מתכנס וסכומו הוא הערך אליו הוא מתקרב. אחרת, הטור מתבדר (לא נהוג לדבר על התכנסות לאינסוף בהקשר של טורים). לדוגמה, הטור  \sum _{k\,=\,1}^{\infty }a_{k} סוכם את איברי הסדרה  (a_{k}) החל מהאיבר הראשון  a_{1}. טור אינסופי מוגדר באמצעות סדרה של סכומים חלקיים  (S_{n}), כאשר כל סכום חלקי הוא סכום  n האיברים הראשונים של הטור, כלומר  S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}. אם סדרת הסכומים החלקיים  \left\{S_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } מתכנסת, אומרים שהטור מתכנס וסכומו מוגדר להיות גבול הסדרה. בניסוח אחר, טור  \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} מתכנס אם ורק אם קיים  L\in \mathbb {R}  כך ש-  \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}=L, ובמקרה זה  \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=L.
ההגדרה של טור באמצעות סדרת סכומיו החלקיים מאפשרת להשתמש באריתמטיקה של גבולות לחישוב גבולות של טורים מתכנסים. לדוגמה, ניתן להכליל את חוק הפילוג אותו הוכחנו עבור טורים סופיים לטורים אינסופיים: אם  \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} מתכנס, אז  \sum _{k=1}^{\infty }c\cdot a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}c\cdot a_{k}=\lim _{n\to \infty }c\cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}=c\cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}=c\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}. לעומת זאת, לפי משפט רימן תכונת הקומוטטיביות לא מתקיימת עבור כל טור מתכנס, וכך גם תכונת האסוציאטיביות.
בניגוד לטורים הנדסיים, חשבוניים וטלסקופים עבורם קיימת נוסחה מפורשת לסדרת הסכומים החלקיים, עבור רוב הטורים קשה להגיע לנוסחה כזו אם הדבר בכלל אפשרי (לדוגמה, טור שהאיבר הכללי שלו הוא הספרה ה-n-ית אחרי הנקודה של פאי). יחד עם זאת, ישנם מבחני התכנסות שבעזרתם אפשר לבדוק אם טור מסוים מתכנס. בדרך כלל מבחנים אלה לא מספקים תשובה מספרית לסכומו של הטור, אבל לאחר שמצאנו שטור מתכנס נוכל לקבל קירוב טוב שלו באמצעות טכניקות של אנליזה נומרית, המסכמות את האיברים הראשונים של הטור, עד שתוספת של איברים נוספים לסכום אינו משנה מהותית את הסכום הכולל. חישוב כזה נעשה בדרך כלל על ידי מחשב, אבל באופן עקרוני ניתן לעשות אותו גם באופן ידני. חישוב נומרי מבוסס על כך שאכן שאר האיברים של הטור אינם משנים את הסכום הכולל, כלומר שהטור מתכנס. אם הנחה זאת אינה נכונה, והטור מתבדר, הסכום שימצא באנליזה נומרית הוא חסר משמעות.
"התנאי ההכרחי" מספק דרך פשוטה יחסית לשלילת התכנסות של טור. לפי תנאי זה טור מתכנס רק אם האיבר הכללי שלו שואף לאפס. כלומר, על מנת להראות שטור מתבדר מספיק להראות שהאיבר הכללי שלו מתכנס למספר שונה מאפס או מתבדר. תנאי זה אינו תנאי מספיק, ויש טורים מתבדרים שהאיבר הכללי שלהם שואף לאפס (לדוגמה, הטור ההרמוני). עבור טורים כאלה יש צורך להשתמש במבחנים מורכבים יותר. הוכחת התנאי ההכרחי מבוססת על אפיון התכנסות לפי קושי לטורים. לפי אפיון זה טור  \sum _{k=1}^{\infty }a_{n} מתכנס אם ורק אם לכל  \varepsilon >0 קיים  N טבעי, כך שלכל  n>N ו- l\geq 1 מתקיים:  \left|\sum _{k=n+1}^{n+l}a_{k}\right|<\varepsilon . נשים לב שעבור  l=1 מתקיים  \sum _{k=n+1}^{n+l}a_{k}=a_{n+1}, ולכן אם  \sum _{k=1}^{\infty }a_{n} מתכנס אז כמעט לכל n טבעי  \left|a_{n+1}\right|<\varepsilon , ולכן  \left|a_{n}\right| סדרה אפסה.
טורים אינסופיים > דוגמאות

לפי תנאי הכרחי להתכנסות טורים, טור שהאבר הכללי שלו אינו שואף לאפס, אינו יכול להתכנס.
גם הטור ההרמוני,  \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}} מתבדר (או מתכנס לאינסוף) על אף שהסדרה ההרמונית -  {\frac {1}{n}} שואפת ל-0. דוגמה לכך שהתנאי ההכרחי אינו מספיק להתכנסות הטור.
טור הנדסי אינסופי מתכנס כאשר היחס הקבוע בין איבריו הוא בין אחד למינוס אחד:  |q|<1. במקרה זה, סכומו הוא  {\frac {a_{1}}{1-q}}. עבור יחס שגדול או שווה בערכו המוחלט ל-1 הטור מתבדר.
כאשר בטור הנדסי היחס הקבוע בין אבריו שווה למינוס אחד, מתקבל טור "מתחלף", לדוגמה  1-1+1-1+1-1+\dots  הוא טור שכזה. בניגוד לדוגמאות שהוצגו לעיל, לא ניתן לומר על טור זה אפילו שהוא מתכנס לאינסוף, כי סכומו אינו מתקרב לאינסוף אלא מתחלף ללא הרף בין 0 ובין 1.
טורים אינסופיים > טורים חיוביים

טור חיובי הוא טור שהאיבר הכללי שלו חיובי לכל  n טבעי. קל להראות שסדרת הסכומים החלקיים  (S_{n}) של טור חיובי  \sum _{n=1}^{\infty }a_{n} עולה, ולכן היא מתכנסת אם ורק אם יש לה חסם מלעיל. כלומר, טור חיובי מתכנס אם"ם קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים שלו. הטענה האחרונה היא בסיס למבחן ההשוואה הראשון ולמבחני ההשוואה לטורים חיוביים שבאים בעקבותיו, שכן אם  \sum _{n=1}^{\infty }a_{n} ו- \sum _{n=1}^{\infty }b_{n} טורים חיוביים כך שלכל  n טבעי מתקיים  0\leq a_{n}\leq b_{n}, אז  \sum _{n=1}^{\infty }b_{n} מתכנס אמ"ם קיים  M ממשי כך שלכל  n טבעי מתקיים  \sum _{k=1}^{n}b_{k}\leq M ומכאן לכל  n מתקיים  0\leq \sum _{k=1}^{n}a_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}b_{k}\leq M. כלומר  \sum _{n=1}^{\infty }a_{n} חסום מלעיל ולפי הטענה מתכנס.
טורים אינסופיים > התכנסות בהחלט

הטור  \sum {a_{n}} מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים  \sum {|a_{n}|} מתכנס. לפי אפיון קושי לטורים, אם  \sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}} מתכנס בהחלט אז לכל  \varepsilon >0 קיים  N טבעי, כך שלכל  n>N ו- l\geq 1 מתקיים:  \left|\sum _{k=n+1}^{n+l}\left|a_{k}\right|\right|<\varepsilon , ולכן לפי אי שוויון המשולש  \left|\sum _{k=n+1}^{n+l}a_{k}\right|\leq \sum _{k=n+1}^{n+l}\left|a_{k}\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{n+l}\left|a_{k}\right|\right|<\varepsilon . מכאן, שוב לפי אפיון קושי  \sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}} מתכנס. כלומר, טור מתכנס בהחלט הוא בעצמו טור מתכנס.
טור מתכנס שאינו מתכנס בהחלט, נקרא טור מתכנס בתנאי. לטור המתכנס בתנאי יש תכונה מעניינת: לכל מספר  L, אפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שהטור יתכנס וסכומו יהיה  L. תוצאה זו נקראת משפט רימן. לעומת זאת, בטור מתכנס בהחלט אפשר לשנות את סדר האיברים, ותמיד יתקבל אותו סכום.
טורים אינסופיים > הכנסת סוגריים

הכנסת סוגריים לטור אינסופי היא פעולה שמגדירה טור חדש, שאיברו הכללי הוא סכום של כמה מאיברי הטור המקורי לפי אותו הסדר.
הטור המתקבל מהכנסת סוגריים בטור מתכנס, מתכנס אף הוא. עם זאת, הכנסת סוגריים יכולה להפוך טור מתבדר לטור מתכנס. כך למשל, הכנסת סוגריים על כל זוג איברים בטור המתבדר  \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}=1-1+1-1+..., תיתן את הטור  \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{2n}+(-1)^{2n+1}=(1-1)+(1-1)+...=0+0+... המתכנס ל-0.
כאמור, גם אם טור שהתקבל מהכנסת סוגריים מתכנס, אין זה אומר שהטור המקורי מתכנס. עם זאת, אם מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים, שני הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד:
הטור המקורי הוא אי-שלילי.
האיבר הכללי בטור שואף ל-0 ומספר האיברים שבכל זוג סוגריים חסום.
האיברים שבתוך כל סוגריים הם שווי-סימן (גם אם הסימן שונה מסוגריים לסוגריים).
בנוסף, אם טור  \sum _{n=1}^{\infty }b_{n} מתקבל מטור מתכנס  \sum _{n=1}^{\infty }a_{n} על ידי הכנסת סוגריים, ו- T_{n} ו- S_{n} הן סדרות הסכומים החלקיים המתאימות לכל אחד מהטורים, אז  T_{n} סדרה חלקית של  S_{n}, ולכן שני הטורים מתכנסים לאותו הגבול, כלומר:  \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.
משפט מרטן קובע כי במכפלת קושי של טורים מתקיימת התכנסות של טור המכפלות שמתקבל מהכנסת סוגריים, על-אף שמספר האיברים אינו בהכרח חסום וסימן האיברים שבסוגריים אינו בהכרח קבוע.
טורים אינסופיים > טורים בני-סיכום ותורת טאובר

מבחינה תאורטית אפשר לחשוב על המושג 'סכום של טור' שהגדרנו להלן, כעל פונקציונל מתת-המרחב של טורים מתכנסים במרחב הטורים  \ \mathbb {R} ^{\mathbb {N} } לשדה המספרים הממשיים  \ \mathbb {R} . בהינתן טור מתכנס, הפונקציונל הזה מחזיר את סכומו של הטור.
מנקודת מבט זו, אפשר להכליל את מושג הסכום, כך שיכסה כל פונקציונל העונה על הדרישות שציינו. היתרון הוא שכעת נוכל 'להרוויח' טורים חדשים, שאינם מתכנסים במובן הרגיל, אבל פונקציונל הסיכום החדש שלנו יודע לטפל בהם בכל זאת. תחום זה של האנליזה נקרא summability (סכימות).
על ידי ניתוח מדויק של פונקציונל הסכימות, ושיטות מאנליזת פורייה, ניתן להציג אותו בצורה אינטגרלית, ולבנות עבורו פונקציה הנקראת "גרעין", ההבדל בין מושגי ההתכנסות השונים, ניתן על ידי שינוי הגרעין המתאים.
השאלה המעניינת בתחום זה היא בהינתן טור כללי, שידוע כי הוא מתכנס בשיטת סכימות כלשהי, האם הוא מתכנס גם באופן רגיל? מתברר כי ניתן לענות על שאלות אלה בעזרת תורת טאובר.
תורת טאובר היא שם כללי למספר משפטי טאובר, שהם משפטים המאפשרים להוכיח התכנסות של טור על סמך התכנסותו בשיטת סכימות ספציפית, יחד עם הנחות נוספות.
הטיפול הכללי ביותר בנושא ניתן במסגרת תורת Weiner-Pitt, המאפיינת לגמרי גרעינים.
טורים אינסופיים > טורים בני-סיכום ותורת טאובר > דוגמאות

אומרים שהטור  \sum _{n}a_{n} מתכנס לערך  S במובן של אבל, אם הגבול של  \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n} כאשר  x שואף ל-1 מלמטה, שווה ל- S. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) מתכנס לאותו ערך גם במובן של אבל; לעומת זאת, הטור  \sum (-1)^{n+1}n אינו מתכנס במובן הרגיל, וסכומו במובן של אבל הוא רבע.
שיטת סיכום אחרת מיוחסת לצ'זרו (Cesàro). נסמן ב-  S_{n} את סדרת הסכומים החלקיים של טור נתון. הטור מתכנס במובן הרגיל אם הסדרה  \ s_{n} מתכנסת. אומרים שהטור "מתכנס במובן של צ'זרו" או שהוא "טור מטיפוס C-1", אם הסדרה
 S_{n}^{(1)}={\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}} מתכנסת. למשל, הטור  \ \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1} אינו מתכנס במובן הרגיל, אבל סכומו במובן צ'זרו הוא חצי. אם טור אינו מתכנס במובן C-1 אבל הממוצעים של  S_{n}^{(1)} כן מתכנסים, אז הטור הוא מטיפוס C-2, וכן הלאה.
ישנן עוד שיטות סיכום, כגון התכנסות למברט שהיא בעלת שימושים בתורת המספרים להוכחת משפט המספרים הראשוניים.
כמו כן ישנה גם שיטת סכימות חשובה שנקראת סכימות בורל.
טורים אינסופיים > טורים בני-סיכום ותורת טאובר > דוגמאות לתורת טאובר

אם הטור  \sum _{n}a_{n} מתכנס לערך  S במובן של אבל, וכן
 na_{n} שואף לאפס, אז הטור מתכנס גם במובן רגיל.
אם הטור  \sum _{n}a_{n} מתכנס לערך  S במובן של צ'זרו, וכן
 na_{n}\geq -C אז הטור מתכנס גם במובן רגיל. זהו משפט לנדאו.
ישנו משפט של הארדי, החלש יותר ממשפט לנדאו, שקובע כי אם הטור מתכנס צ'זרו, ורק  |na_{n}|\leq C, אז הטור מתכנס.
טורי פונקציות

כשם שניתן להגדיר סדרה של מספרים, כך גם ניתן להגדיר סדרה של פונקציות, ולכן ניתן להגדיר גם טור של פונקציות. גם סדרות וטורים אלו יכולים להתכנס - במקרה זה לא למספר קבוע, אלא לפונקציה. עבור טורי פונקציות ישנם סוגים שונים של התכנסות, כמו התכנסות נקודתית, התכנסות בממוצע והתכנסות במידה שווה.
טורי פונקציות משמשים בתחומים רבים של אנליזה מתמטית, למשל בהגדרתן של פונקציות מיוחדות, בקירובים נומריים לערך של פונקציה בנקודה מסוימת, בפתרון של משוואות דיפרנציאליות, ובפיתוח פשוט יותר של נגזרות ואינטגרלים. טורי פונקציות נפוצים הם טורי חזקות, טורי טיילור וטורי פורייה. את העקרונות של בניית טורים אלה, אפשר לנצל כדי לבנות תורה שתאפשר פריסה של פונקציה כללית באמצעות פונקציות עצמיות.
חישוב סכום של טורים אינסופיים

ברוב המקרים חישוב סכום של טור אינסופי איננו עניין פשוט. ובכל זאת, קיימות מספר שיטות:
חישוב סכום של טורים אינסופיים > מניפולציות אנליטיות

נראה כאן כיצד ניתן לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף  \sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}{\frac {1}{k}}. זהו טור מתכנס, בניגוד לטור ההרמוני, ונחשב את סכומו באמצעות תכונות של טורי חזקות.
ראשית נביט בטור ההנדסי  \sum _{k=0}^{\infty }x^{k} שמתכנס עבור  x\in (-1,1). ידוע כי סכום טור זה הוא  {\frac {1}{1-x}}. נציב  x=-y ונקבל:  \sum _{k=0}^{\infty }(-y)^{k}={\frac {1}{1+y}}. מכיוון שזהו טור חזקות בעל רדיוס התכנסות 1 ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולכן נקבל:
 \sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{y}(-1)^{k}t^{k}dt=\int _{0}^{y}{\frac {1}{1+t}}dt, כלומר  \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{k+1}}{k+1}}=\ln(1+y).
קיבלנו כעת טור חדש בעל רדיוס התכנסות זהה לזה של הטור המקורי - 1. אנו יודעים שטור זה מתכנס בנקודה  y=1 (למשל, בעזרת מבחן לייבניץ), ולכן נציב  y=1 ונקבל:  \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k+1}}=\ln(2). והרי  \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k+1}}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}, ולכן הגענו לתוצאה המבוקשת:  \sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}{\frac {1}{k}}=\ln(2).
חישוב סכום של טורים אינסופיים > חישוב סכום של טור טיילור

לעיתים, טור אינסופי מסוים הוא פשוט טור טיילור של פונקציה מסוימת בנקודה מסוימת. למשל, בדוגמה לעיל השתמשנו בטור טיילור של  \ln(1+x) על מנת לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף, השווה ל- \ln(2).
חישוב סכום של טורים אינסופיים > חישוב סכום של טור פורייה

טור פורייה הוא הצגה של פונקציה כטור אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. באמצעות הצבה בתוך הטור או על ידי שימוש בזהות פרסבל אפשר לחשב באמצעותו טורים שונים, למשל ערכים שונים של פונקציית זטא של רימן. לדוגמה:
טור פורייה של  x בקטע  [-\pi ,\pi ] הוא
f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=
=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )
ומזהות פרסבל
{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\left|(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\right|^{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{x^{2}dx}=2{\frac {\pi ^{2}}{6}}
ולכן הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה  s=2 (הנקרא גם טור אוילר, על שם המתמטיקאי שחישב אותו לראשונה) הוא
\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}
חישוב סכום של טורים אינסופיים > חישוב סכום של טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא טור מהצורה  \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n-1})}(או  \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n+1})}-  a_{1} הראשון ו- a_{n+1} האחרון).
קל לחשב את סכומו שכן
\sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n-1})}=\lim _{n\to \infty }{(a_{n}-a_{0})}
לעיתים, יש טורים שניתן להציגם בצורה זו, (הפעם:  \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n+1})}=\lim _{n\to \infty }{(a_{1}-a_{n+1})}). למשל:
\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)}=1.
חישוב סכום של טורים אינסופיים > חישוב בעזרת שאריות

שיטה שימושית לחישוב הסכום של טורים מבוססת על חישוב שאריות בפונקציות מרוכבות. ממשפט השארית נובעת התוצאה הבאה (כאשר f היא פונקציה אנליטית):
אם קיימים קבועים C ו-  p>1 כך ש-  |f(z)|<{\frac {C}{|z|^{p}}} כאשר  |z| גדול מספיק, והטור  \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n) מתכנס, אז סכומו שווה לסכום השאריות של  -\pi f(z)\cot(\pi z) בכל הקטבים של  f.
ראו גם

גבול (מתמטיקה)
מבחני התכנסות לטורים
טור טיילור
טור פורייה
בעיית בזל
בעיה n-גופית

בפיזיקה, הבעיה ה-n-גופית היא הבעיה של חיזוי תנועה של קבוצת עצמים שמימיים המקיימים אינטראקציית כבידה זה עם זה. המוטיבציה לפתרון הבעיה היה הרצון להבין את תנועות השמש, הירח וכוכבי הלכת והכוכבים. במאה ה-20, הבנת הדינמיקה של מערכות כוכבי צביר כדוריות הפכה לבעיה n-גופית חשובה. הבעיה ה-n-גופית בתורת היחסות הכללית קשה הרבה יותר לפתרון, גם בשל המורכבות המתמטית של התיאוריה וגם עקב גורמים נוספים כמו עיוותי זמן ומרחב.
היסטוריה

באמצעות נתונים של שלושה מיקומים של כוכב לכת במסלולו – מיקומים שקיבל סר אייזק ניוטון מהאסטרונום ג'ון פלמסטיד (אנ') – ניוטון הצליח לנסח משוואה, שחוזה את תנועתו של כוכב לכת; כלומר, נותנת את מאפייני המסלול שלו: מיקום, קוטר מסלול, זמן מחזור ומהירות מסלול. אך במהרה התגלה כי משוואות התנועה הללו לא חזו בדיוק חלק מהמסלולים. ניוטון הבין שחוסר הדיוק נובע מכוחות הכבידה שכוכבי הלכת מפעילים זה על זה.
תובנה זו פוגעת הישר בלב הבעיה ה-n-גופית: כפי שניוטון הבין, לא מספיק לדעת את המיקום והמהירות ההתחלתית או שלוש קוארדינטות על המסלול, כדי למצוא את המסלול של כוכב לכת; יש גם להיות מודעים לכוחות הכבידה שמפעילים עליו כוכבי הלכת האחרים. כך התעוררה, בתחילת המאה ה-17, המודעות ל"בעיה ה-n גופית".
כוחות משיכה כבידה אלה אכן מתאימים לחוקי התנועה של ניוטון ולחוק הכבידה האוניברסלי שלו, אך האינטראקציות המרובות (n גופים) הופכות את הפתרון המדויק לבלתי אפשרי במקרה הכללי.
מציאת הפתרון הכללי של הבעיה ה-n-גופית נחשבה חיונית ועם זאת מאתגרת מאוד. ואכן, בסוף המאה ה-19, מלך שוודיה אוסקר השני, הכריז על פרס למי שיציע פתרון לבעיה.