מספרים גדולים
במדעי הטבע

בתחומים שונים במדעי הטבע מופיעים מספרים גדולים ביחס לטווח האנושי היום-יומי במספר הקשרים. דוגמה אחת היא כמויות של עצמים המרכיבים את העולם שסביבנו. ביקום יש כ-‎1011‎ גלקסיות שבהן יש כ-‎5×1022‎ כוכבים, כאשר השמש "שלנו" היא כוכב אחד כזה בגלקסיית שביל החלב. כדור הארץ מתאפיין בעושר ביולוגי רב וכך, לדוגמה, מספר החרקים בעולם מוערך בכ-‎1019‎‏. ברמה המיקרוסקופית, כל עצם מקרוסקופי מורכב ממספר רב של אטומים וכך, למשל, מספר האטומים בגופו של גבר ממוצע מוערך בכ-‎7×1027‎‏. מספר החלקיקים היסודיים ביקום מעורך בסביבות ה-‎1080‎ חלקיקים.
מספרם של עצמים הוא גודל חסר ממד. לעומת כך, ייצוגם המספרי של גדלים כמו אורך, זמן או מסה תלוי במערכת היחידות הרלוונטית, כאשר מערכות יחידות שונות משמשות במדע ובהנדסה בהקשרים המתאימים. מערכת היחידות הבין-לאומית SI היא שימושית במיוחד לתיאור גדלים מחיי היום יום, בהם אנו פוגשים תדיר עצמים בעלי מסה מסדר גודל של קילוגרמים או מעט יותר או פחות, ובדומה אורכים מסדר גודל של מטר וזמנים מסדר גודל של שנייה. עם זאת, מספרים גדולים או קטנים צצים כאשר משתמשים במערכות יחידות לתיאור גדלים פיזיקליים שלא מסדרי הגודל האופייניים להן. 

האם כמות האנרגיה הדרושה כדי להרים ספה במסה של 100 kg למרפסת בגובה 15m מעל הרצפה היא "גדולה"? במערכת SI התוצאה היא 14kJ בערך, מספר בן חמש ספרות. לעומת כך, אם נציג תוצאה זו ביחידות שימושיות בפיזיקה אטומית, הרי שמדובר ב-‎1023 eV‎ – זהו כבר מספר "גדול" בן עשרים וארבע ספרות. מאידך, המרחק לפרוקסימה קנטאורי, הכוכב הקרוב ביותר לארץ אחרי השמש, הוא ‎4×1016 m‎ ביחידות SI או ‎4×1031 fm‎, כאשר פרמי היא יחידה שימושית ב-בפיזיקה גרעינית ובפיזיקת חלקיקים. ביחידות אלו המספרים הם גדולים, אבל ביחידה שימושית מתחום האסטרונומיה, הפרסק, אורך זה הוא מסדר גודל של יחידה. באופן כללי, ערכים אופייניים רבים מתחומי האסטרונומיה והקוסמולוגיה הם "גדולים" באמות המידה של יום-יום, בעוד שגדלים מתחומי הפיזיקה העוסקים במולקולות ובעצמים קטנים יותר צפויים להיות קטנים במונחים יום-יום.
פיזיקה סטטיסטית עוסקת במערכות שבהן כמות החלקיקים היא מספר גדול, מסדר גודל של מספר אבוגדרו, שהיא כמות החלקיקים במול חומר. כך, לדוגמה, בכוס מים בנפח 250ml יש כ-‎8×1024‎ מולקולות. גודלן של מערכות הנידונות בפיזיקה הסטטיסטית מצריך שימוש בכלים מתמטיים מתאימים, כמו אלו שתוארו בחלקיו הקודמים של ערך זה. כך, למשל, חוק המספרים הגדולים הוא שימושי מאוד במסגרת הפיזיקה הסטטיסטית משום שהוא מאפשר להניח שבמערכות פיזיקליות מרובות גופים מאפיינים סטטיסטיים של המערכת, כמו טמפרטורה למשל, יהיו קרובים לערכי התוחלת שלהם. בהקשרים מסוימים משמש חוק זה כהצדקה לקירוב שבו מתעלמים מכך שתכונה סטטיסטית של מערכת מסוימת יכולה לקבל ערכים שונים ועורכים חישוב עם ערך התוחלת של אותו התכונה באותה המערכת. כך, למשל, מודל דרודה לתיאור מוליכות חשמלית של מתכות מניח שלכל אלקטרון ישנה אנרגיה של  \ {\frac {3}{2}}k_{B}T משום שזו האנרגיה הממוצעת לפי חוק החלוקה השווה, אף על פי שלכל אלקטרון יש, בפועל, אנרגיה אחרת.
האופי ההסתברותי של הפיזיקה הסטטיסטית מחייב ביצוע של חישובים קומבינטוריים (למשל, כדי למצוא את גודל מרחב המדגם של מערכת נתונה) עם מערכות שיש בהן מספר עצמים רב. כפי שתואר בפרק הדן בנושא, בקומבינטוריקה נוטים להופיע מספרים גדולים באופן טבעי, וכאשר המערכת גדולה נטייה זו היא חזקה אף יותר. קירובים ושיטות חישוב האופייניים לעיסוק במספרים גדולים בתחום הקומבינטוריקה הם לכן שימושיים מאוד בהקשר של פיזיקה סטטיסטית.
קירובים שונים האופייניים לעיסוק במספרים גדולים הם שימושיים מאוד בפיזיקה סטטיסטית. לדוגמה, מושג האנטרופיה, שהוא מושג בסיסי מאוד בפיזיקה סטטיסטית, מתואר מבחינה מתמטית על ידי הנוסחה  \ S=k_{\!B}\ln \Omega 
כאשר kB הוא קבוע בולצמן ו- \ \Omega  היא גודל קומבינטורי שמאפיין כמות מצבים של מערכת פיזיקלית מסוימת. חישובו של  \ \Omega  כולל פעמים רבות פונקציית עצרת (שמופיעה בנוסחאות קומבינטוריות רבות) ולכן הלוגריתם בנוסחה זו מקורב פעמים רבות על ידי קירוב סטירלינג.
חוק המספרים הגדולים באמת מסביר מדוע מתרחשים בטבע גם אירועים שהסתברותם נמוכה. כך, למשל, בצבר גדול מספיק של אטומים בשיווי משקל תרמודינמי ימצאו בוודאות גבוהה גם אטומים שמהירותם רחוקה מאוד מהממוצעת. כדוגמה נוספת, אם באטום או מולקולה רמת האנרגיה הראשונה היא כזו שהדעיכה ממנה אל מצב היסוד אסורה, כלומר – הסתברותה נמוכה מאוד, אטום ברמה זו ידעך בסופו של דבר אל רמת היסוד אם נחכה "מספיק זמן".
בשנת 1937 שם לב הפיזיקאי הבריטי פול דיראק לצירוף מקרים בלתי מוסבר. יחסים בין קבועים פיזיקליים מסדר גודל של ‎1042‎ שלכאורה אינם קשורים היו מאוד קרובים זה לזה. דיראק העלה השערה הנקראת "השערת המספרים הגדולים של דיראק" המסתמכת על צירוף המקרים ונותנת תוצאות חדשות בפיזיקה. אולם להשערה לא נמצאו תימוכין נוספים, וכדי לקיים אותה נזקק דיראק להשתנותם בזמן של קבועים בסיסיים (כגון קבוע הכבידה) ולכן היא אינה נחשבת רלוונטית. צירוף המקרים מוסבר בכך שיש גמישות רבה במשחק עם יחסים וקבועים שונים ולכן סביר להיתקל במקרים כאלה לעיתים. צירופי מקרים דומים נמצאו גם לסדרי הגודל ‎1060‎ ו-‎10120‎.
בתורת המיתרים יש מספר רב של ממדים ופרמטרים אשר מאפשרים מספר רב מאוד של צירופים פיזיקליים אפשריים, כ-‎10500‎. כל צירוף אפשרי כזה נקרא "ואקום", כמו הוואקום של תורת השדות הקוונטית, שמכיל את כל השדות הקיימים וממנו כל החלקיקים נוצרים. ואקום כזה הוא מינימום של ה"פעולה" של תורת המיתרים והוא סט של חוקים פיזיקליים אפשריים, ומתוכם היקום שלנו הוא אולי אחד. אם מתייחסים לתאוריה הזו בצורתה הכללית ביותר, בעיה מרכזית היא כיצד ולמה הטבע בחר דווקא את האחד הזה מכל המינימה האפשריים.