stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
יחידות מידה לא-תקניות
השיטה הצרפתית > יחידות אורך

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| ליין | 1/12 האינץ' | 2.256 מ"מ |
| אצבע (doigt) | 9 ליינים | 2.03 ס"מ |
| אינץ' (pouce) | 1/12 הרגל | 2.7072 ס"מ |
| טפח (paume) | 3 אינצ'ים = 4 אצבעות | 8.1216 ס"מ |
| זרת (palme) | 55 ליינים | 12.408 ס"מ |
| רגל (pied) | 12 אינצ'ים | 32.4864 ס"מ |
| טואז | 6 רגליים | 1.949 מ' |
| פרש (Persche) | 18 רגליים = 3 טואזים | 5.847 מ' |
| פרסא יבשתית |  | 4.4443 ק"מ |
| פרסא ימית |  | 5.554 ק"מ |
השיטה הצרפתית > יחידות משקל

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| אונקיה (Ounce) |  | 30.59 גרם |
| ליברה או ליטרה | 16 אונקיות | 489.6 גרם |
יחידות נוספות > יחידות אורך

ליגה (League) – יחידת אורך לא תקנית המציינת מהלך שעה של סוס או אדם. היא שווה לכ-5.15 ק"מ.
יוג'אנה (योजन) – יחידת אורך וֵדית, ששמשה בעבר הרחוק בתת-היבשת ההודית. אורכה של היוג'אנה נתון במחלוקת, והוא נאמד בין כ-6 לכ-15 ק"מ.
יחידות מידה בסלנג

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
כדרך הומור, חיסכון במידע, או בחוסר מידע כמותי, הומצאו בשפת היומיום "מידות" המתאימות לתיאור גדלים שונים. כמובן שמידות אלה אינן תקניות, ואפילו אין להן גודל ספציפי וקבוע.
"ארוך כמו הגלות" – הכוונה למשהו ארוך מאוד פיזית, או שארוך בזמן.
"גבוה כמו עמוד" – הכוונה למישהו גבוה ביחס לממוצע.
מלאנטה / מלאנתלפים – בא מהשורש מ.ל.א. + אלפים ומתכוון לכמות מאוד גדולה.
קבוטה / קפוטה / בוכטה – גוש גדול המכיל הרבה פרטים מאותו סוג. מקור המילה הוא מהמילה האנגלית caboodle.
ראו גם

יחידת מידה
היסטוריה של שיטות המדידה
מערכת היחידות הבין-לאומית
מעבר לשיטה המטרית
מערכת היחידות הבריטית
יחידות מידה על שם אישים
מידות, שיעורים ומשקלות בהלכה
רשימת מידות, שיעורים ומשקלות בהלכה
שמות של מספרים לא מוגדרים
לקריאה נוספת

Scales and weights  מאת Bruno Kisch
האפקט הפוטואלקטרי

האפקט הפוטואלקטרי - קרינה אלקטרומגנטית (קווים גליים כחולים) גורמת לפליטת אלקטרונים ממתכת
האפקט הפוטואלקטרי (בעברית: התוצא החשמלורי) הוא תופעה פיזיקלית שבה נפלטים אלקטרונים מפני מתכת כאשר פוגעת בה קרינה אלקטרומגנטית ונבלעת בה. האלקטרונים אשר נפלטים הופכים לענן אלקטרונים או, כאשר התופעה מתרחשת בשפופרת, עוברים מן הקתודה לאנודה.
להבנת האפקט הפוטואלקטרי הייתה חשיבות רבה בהתפתחות הפיזיקה המודרנית ובגיבוש תורת הקוונטים, בהבנת האופי החלקיקי של האור, ובגיבוש מושג הפוטון.
ההסבר שנתן אלברט איינשטיין לאפקט זה בשנת 1905 זיכה אותו בפרס נובל לפיזיקה בשנת 1921.
גילוי האפקט

בשנת 1887 גילה היינריך הרץ כי כאשר מקרינים אור על-סגול על מתכת, האוויר שמסביבה נטען במטען חשמלי שלילי. תופעה זו התגלתה במסגרת מחקר על התפרקות חשמלית בין לוחות מוליכים, שבמהלכו הבחין הרץ שהקרנת המתכת באור אולטרה-סגול גורמת להגדלת ההתפרקות החשמלית.
בהמשך השתמשו חוקרים, ובראשם פיליפ לנארד וג'יי ג'יי תומסון, בשפופרת קתודית על מנת לחקור את האפקט הפוטואלקטרי. הם גילו כי:
מספר האלקטרונים הנפלטים מהמתכת תלוי בעוצמת האור, אך לא כן מהירותם.
מהירות האלקטרונים הנפלטים גדלה ככל שתדירות האור הפוגע גדלה.
לכל מתכת קיימת תדירות סף, אשר אור בעל תדירות נמוכה יותר לא יגרום לפליטת אלקטרונים ממנה, ללא תלות בעוצמת האור.
פליטת האלקטרונים היא מיידית (מרגע תחילת הקרנת האור) ואין השהיה, גם כאשר עוצמת האור נמוכה.
לא היה ניתן להסביר גילויים אלה באמצעות התאוריה הגלית של האור, הנובעת ממשוואות מקסוול, ובמיוחד לא ניתן היה לחשב (או להסביר) את תדירות הסף הנדרשת.
בנוסף, העובדה כי הפליטה אירעה באופן מיידי לא התיישבה עם החישובים התאורטיים שהראו שבקצב העברת האנרגיה על ידי הגל האלקטרומגנטי יעבור זמן רב עד שהאלקטרונים ירכשו את האנרגיה הדרושה להם על מנת להיפלט מהמתכת.
ההסבר של איינשטיין

את ההסבר לתופעות אלה נתן בשנת 1905 אלברט איינשטיין. הוא השתמש בהנחה שהציע מקס פלאנק בשנת 1900 על מנת להסביר את אופי הקרינה של גוף שחור, על פיה האור מגיע במנות מסוימות של אנרגיה, כאשר האנרגיה של כל מנה כזו (קוואנט) פרופורציונלית לתדירות  \ f של האור:
(כאשר  \ h מסמן את קבוע פלאנק)
איינשטיין קידם רעיון זה צעד אחד קדימה, והציע שמדובר ביותר מאשר כמויות אנרגיה, ושבכל הנוגע לאפקט הפוטואלקטרי יש להסתכל על האור כעל אוסף חלקיקים (פוטונים), אשר לכל אחד מהם אנרגיה, כאמור בהנחה של פלאנק. השערה זו מניחה שבעת פגיעת פוטון במתכת, נעלם הפוטון וכל האנרגיה שלו מועברת לאחד האלקטרונים במתכת. האנרגיה הדרושה עבור האלקטרון על מנת להיפלט מהמתכת משתנה מאלקטרון אחד לשני, אולם עבור כל מתכת קיימת אנרגיה מינימלית הקרויה "פונקציית עבודה"   \ W/B. לכן, אלקטרונים יכולים להיפלט מהמתכת רק כאשר האנרגיה של כל פוטון גדולה מפונקציית העבודה. במקרה כזה, שארית האנרגיה הופכת לאנרגיה הקינטית של האלקטרון:
בעזרת תאוריה זו הוסברו כל הקשיים שלא היו ניתנים להסבר על ידי הסתכלות על האור כעל גל בלבד:
הגדלת עוצמת האור משנה רק את מספר הפוטונים, אך לא את האנרגיה של כל אחד מהם. לכן היא מגדילה את מספר האלקטרונים הנפלטים, אך אינה משפיעה על האנרגיה הקינטית של כל אחד מהם. או לחלופין, אנרגיית הפוטון (התלויה רק בתדירותו שלא השתנתה) אינה גדולה מספיק על מנת לשחרר אלקטרון, וכך, אף שעוצמת האור הוגדלה, עדיין לא נפלטים אלקטרונים.
כאשר תדירות האור גדלה, האנרגיה של כל אחד מהפוטונים גדלה אף היא, ולכן גדלה האנרגיה הקינטית של האלקטרון הנפלט.
כאשר  \ hf<W, אין לפוטון אנרגיה מספיקה להוצאת אלקטרון מהמתכת. זה המקור לתדירות הסף שנמצאה עבור המתכת.
קצב הפליטה נקבע על ידי האינטראקציה של הפוטון עם האלקטרון. אף שהקצב הממוצע של מעבר האנרגיה למתכת נמוך מאוד, האנרגיה אינה מתחלקת בין כל האלקטרונים, אלא מוענקת רק לחלק קטן מהם, אלה שהפוטונים פוגעים בהם.
רוברט מיליקן מדד בשנת 1916 את ערכו של קבוע פלאנק בעזרת האפקט הפוטואלקטרי, ובכך הראה את נכונות התאוריה של איינשטיין.
ראו גם

האפקט הפוטו-וולטאי
תא פוטו-וולטאי
מספרים גדולים

המונח מספר גדול מתייחס לרוב למספר טבעי הגדול משמעותית ממספרים בהם נתקלים לרוב בחיי היום-יום, ולרוב הכוונה למספרים עם עשרות ספרות ויותר. המונח אינו ניתן להגדרה טובה בצורה ריגורוזית ולכן הוא חסר משמעות מבחינה מתמטית.
מספרים גדולים מופיעים במגוון תחומים מתמטיים ומדעיים ויש להם שימושים מעשיים בקריפטוגרפיה ובהסתברות. אולם בטיפול בהם נתקלים גם בקשיים שונים, כגון הקושי לייצגם ביעילות ובדיוק והקושי בהערכת גודלם המוחלט והיחסי.
היסטוריה

בכתבי הוודות העתיקים של ההינדים מופיעים טקסטים המתוארכים בין המאה ה-13 לפנה"ס למאה ה-6 לפנה"ס, בהם מופיעים שמות בסנסקריט לכל החזקות של עשר עד ‎1062‎.
במאה ה-3 לפנה"ס כתב המתמטיקאי היווני ארכימדס את החיבור מחשב החול (Ο Ψαμμίτης). החיבור כולו עוסק בניסיון לתת חסם למספר גרגרי החול שהיקום מסוגל להכיל. בהסתמך על מודל היקום המקובל בזמנו, הגיע ארכימדס לתוצאה כי מספר הגרגרים הדרושים אינו עולה על ‎1063‎. כדי לדון בסוגיה פיתח ארכימדס שיטה לייצוג מספרים גדולים, שכן שיטות הספירה של היוונים לא היו מסוגלות לכך. השיטה של ארכימדס אפשרה לו לייצג חזקות של עשר עד ל- \ 10^{8\cdot 10^{16}}
בסוטרה של המהאיאנה המתוארכת למאה הראשונה לספירה מתוארת תחרות בין גאוטמה בודהה לבין מתמטיקאי, בה מגלה בודהה כישורים אריתמטיים מרשימים, ומונה את שמות כל החזקות של עשר עד ל-‎10421‎. בדרך מחליף בודהה תשע שיטות ספירה ומסביר שסדרת החזקות היא סדרה הנדסית.
האגדה מספרת שבעקבות המצאת השחמט פנה המלך אל הממציא ושאל איזה פרס הוא רוצה בתמורה להמצאתו הנפלאה. הממציא אמר שהוא מבקש גרגר חיטה במשבצת הראשונה של לוח השחמט, 2 גרגרים בשנייה, 4 גרגרים בשלישית, 8 ברביעית וכן הלאה, בטור הנדסי. המשימה נראתה בעיני המלך כעניין של מה בכך, והוא פקד על משרתיו למלאה, אך מהר מאוד גילה שכל מחסני התבואה בממלכה התרוקנו, בזמן שמילוי משאלתו של הממציא רחוק מלהתגשם (כבר במשבצת ה-32 נדרשו יותר משני מיליארד גרגרים).
בעת העתיקה

בתנ"ך ניתן למצוא את המונחים מאה, אלף, רבבה (רבוא, רבו). כך למשל מסופר בספר יונה (פרק ד', פסוק י"א) כי בנינוה היו שנים-עשר רבו אדם, שהם 120,000 נפש. זו העיר עם מספר האוכלוסין הגדול ביותר הנזכרת במקרא. מתברר שבמקרא נדרשו לבטא מספרים עוד יותר גדולים. כך מופיע הצירוף אלף אלפים (שהם מיליון בלשון ימינו) כדי לציין את מספר הנפשות בכל ישראל (דברי הימים א', כ"א, ה') ואת מספר החיילים בצבא זרח הכושי (דברי הימים ב', י"ד, ח'), או לציין כמות גדולה של ככרות כסף (דברי הימים א', כ"ב, י"ד).
דומה שהמספר הגדול ביותר הנזכר בתנ"ך מופיע בספר דניאל (ז', י'), ככתוב בארמית: "נהר די-נור נגד ונפק מן קדמוהי, אלף אלפים ישמשונה ורבו רבבן קדמוהי יקומון", ובתרגום לעברית: נהר של אש נובע ויוצא מלפניו. אלף אלפים ישמשוהו ורבוא ריבואות לפניו יעמדו. אם אלף אלפים שווי-ערך למיליון בלשוננו, אזי רבוא רבבות שווים למאה מיליון - 100,000,000.
בדומה למאה, אלף ורבבה שבמקורותינו, השתמשו היוונים בשמות הבאים לערכים הגדולים ביותר: הֵקָטוֹן (מאה), וממנו נגזר המונח הקטומבה, המצוי הרבה באפוסים היווניים איליאדה ואודיסיאה, והוא מציין קרבן יוצא דופן בגודלו ובחשיבותו, והוא של מאה פרים; חיליאה (אלף), ממנו נגזר המונח קילו שהוא אלף ו- מיריאה (רבבה).
מספרים גדולים בלתי נמנים: בתנ"ך מופיעים מספר פעמים אזכורים המלמדים שלאדם הייתה תחושה, ואולי אף ידיעה, כי מצויים עצמים המופיעים בכמויות גדולות מאוד שאין ביכולתו לדעת את מספרם. חול הים, העשוי מגרגרים בודדים רבים, סיפק מטפורה מפורסמת לכמות גדולה מאוד, עצומה: "כחול אשר על שפת הים לרוב" (יהושע, י"א, ד'; שמואל א', י"ג, ה'; מלכים א', ה', ט'; שופטים, ז', י"ב; שמואל ב', י"ז, י"א; מלכים א', ד', כ'); " כחול הים אשר לא יספר מרב" (בראשית, ל"ב, י"ב). יש כאן, אולי, ביטוי קדום למושג המתמטי-לוגי המכונה בפינו אינסוף. ודומה שכבר בעת העתיקה נקבע שיש ערכים שהם גדולים מן האינסוף (או לחלופין שזהו אינסוף גדול יותר) כפי שמבטא ספר תהילים: "אספרם, מחול ירבון" (תהילים, קל"ט, י"ח).
ביטוי אחר הוא "צבא השמים" (דברים, ד', י"ט) או "צבא המרום" (ישעיהו, כ"ד, כ"א), וידוע האתגר שהציב האל בפני אברהם אבינו (בראשית, ט"ו, ה') לאמור: "ויוצא אותו החוצה ויאמר, הבט נא השמימה וספר הכוכבים, אם תוכל לספור אותם..". אברהם ככל הנראה לא התחיל במשימה, שנראית מלכתחילה בלתי אפשרית לביצוע. לעומתו, מסופר על יוסף, כי לאחר שעלה לגדולה במצרים, נאמר "ויצבור יוסף בר כחול הים הרבה מאוד עד כי חדל לספור כי אין מספר" (בראשית, מ"א, מ"ט). יש להניח כי מדובר כאן בגרגרי הדגן ממש, שנראים, שעה שהם צבורים לערימות גדולות, כגרגרי חול.
גם הארבה מהווה דוגמה לתופעה שבאה בכמויות עצומות. כאשר מתאר המקרא את נוכחות המדיינים בימי גדעון, נאמר "הם ומקניהם יעלו ואהליהם ובאו כדי ארבה לרב ולהם ולגמליהם אין מספר" (שופטים, ו', ה').
ייצוג

הכתיב העשרוני בו משתמשים בחיי היום-יום, אינו נוח לכתיבת מספרים גדולים, מכיוון שמספר הספרות שלהם גדול ולעיתים הוא אף מספר גדול בעצמו. לכן בעולם המדע מקובל לכתוב מספרים בכתיב מדעי שהוא מהצורה  a\cdot 10^{b} כש-a הוא מספר ממשי כלשהו שקטן בערכו המוחלט מ-10 וגדול או שווה ל-1, ו-b מספר טבעי. לכל מספר קיים ייצוג בדרך זו. למשל  \ 123,000,000,000 ייכתב כ- 1.23\times 10^{11}. כתיב מדעי מקצר משמעותית את אורך הייצוג של המספר, בעיקר אם מעוניינים רק בסדר גודל של המספר ואז ניתן לכתוב בכתיב מדעי קירוב פשוט ברמת העיגול הרצויה.
אולם המספרים הגדולים המופיעים במתמטיקה הם לעיתים קרובות גדולים מדי גם מכדי לייצגם בצורה נוחה בשיטה המדעית. לכן פותחו לשם ייצוג מספרים גדולים במיוחד כמה שיטות.
ייצוג > חזקות וטטרציות

לעיתים נוח להציג מספר גדול כ"מגדל חזקות" מהצורה  a^{b^{.^{.^{.{^{c}}}}}}. לדוגמה מספר פרמה ה-100 הוא  F_{100}=2^{2^{100}}+1.
כשם שכפל הוא חיבור חוזר, פעמים אחדות, של מספר נתון, וחזקה היא כפל חוזר, פעמים אחדות, של מספר נתון; כך ניתן להגדיר פעולה שנקראת טטרציה (Tetration), שהיא הפעלה חוזרת, פעמים אחדות, של חזקה על מספר. או בסימנים:  \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n} - a בחזקת עצמו n פעמים. את הפעולה מסמנים ב- \ {^{n}a}. לדוגמה  \ {^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=65,536. יש לשים לב שחזקה אינה פעולה קיבוצית ולכן חשוב לבצע קודם את החזקות העליונות ביותר כדי לקבל את התוצאה הנכונה.
חסרונה של השיטה היא שיש מספרים בעלי שימוש, הגדולים מדי אף להצגה בשיטה זו.
ייצוג > החץ של קנות'

ניתן להמשיך את סדרת הפעולות "חיבור-כפל-חזקה-טטרציה..." עד אינסוף. הפעולה הבאה היא פנטציה (Pentation) והיא הפעלה חוזרת של טטרציה של מספר על עצמו מספר כלשהו של פעמים. לסימון פעולות אלו הציג דונלד קנות' בשנת 1976 את סימון החץ שלו:  \uparrow . מגדירים:
a\uparrow b=a^{b},
a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b={^{b}a}
ובאופן כללי:
או בהגדרה רקורסיבית:  a\uparrow ^{n}b=a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)), עם תנאי התחלה  a\uparrow ^{1}b=a^{b} וגם  a\uparrow ^{n}0=1
לדוגמה:  3\uparrow ^{3}2=3\uparrow ^{2}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987
ייצוג > החץ של קונוויי

המתמטיקאי ג'ון קונוויי הציג סימון משלו לייצוג מספרים גדולים, ושיטתו קרויה "סימון החץ המשורשר של קונוויי" (Conway chained arrow notation), או בקיצור "שרשרת קונוויי". זו שיטה חזקה במיוחד המסוגלת להציג מספרים גדולים מאוד במחרוזת קצרה, אך חסרונה הוא בכך שהיא אינה אינטואיטיבית וקשה להעריך את הגודל של מספר המיוצג על ידה.
שרשרת קונוויי היא מספר טבעי שנקבע על פי הכללים הבאים כאשר  \ a,b הם מספרים טבעיים ו- \ X היא שרשרת קונוויי:
השרשרת  \ a היא המספר  \ a.
השרשרת  a\to b היא המספר  \ a^{b}.
השרשרת  X\to a\to 1 שקולה לשרשרת  X\to a.
השרשרת  X\to 1\to a שקולה לשרשרת  \ X.
השרשרת  X\to a\to b שקולה לשרשרת  X\to (X\to (a-1)\to b)\to (b-1) (לכל  \ a,b>1).
כדי למצוא את המספר אותו מייצגת שרשרת יש לעשות שימוש חוזר בכלל האחרון, כדי לקבל שרשראות ארוכות יותר שכוללות מספרים קטנים יותר, עד שמתקבלים המקרים הפרטיים הפשוטים המפורטים בשאר הכללים, שניתן למצוא את ערכם בקלות.
ניתן להוכיח באינדוקציה כי במקרה הפרטי של שרשרת עם שלושה מספרים מתקבלת הזהות:  a\to b\to n=a\uparrow ^{n}b ובכך למעשה מהווה החץ של קונוויי הכללה לחץ של קנות'.
דוגמה לשימוש בחץ של קונוויי היא השרשרת הבאה:
 3\to 2\to 2\to 2=3\to 2\to (3\to 2)\to 1=3\to 2\to 9=3\uparrow ^{9}2=3\uparrow ^{8}3
בדוגמה, השוויון הראשון נובע מהכללים החמישי והרביעי, השוויון השני נובע מהכללים השני והשלישי, השוויון השלישי נובע מהזהות בין החץ של קונוויי לחץ של קנות' והשוויון האחרון נובע מהגדרת החץ של קנות'. המספר שמתקבל גדול מדי עבור הצגתו בסימון אחר.
במתמטיקה

תכונת ארכימדס מבטיחה שבמערכות המספרים המקובלות והמוכרות אין מספר גדול ביותר. לכל מספר גדול ככל שיהיה יש אינסוף מספרים גדולים ממנו, ועל כן הגדרה מתמטית של "מספר גדול" תהיה שרירותית וחסרת צידוק מתמטי. בנוסף, היא תגרור תוצאות בלתי רצויות, כגון "המשפט הטיפשי של האריתמטיקה", שבהינתן הגדרה למספר גדול קובע כי כמעט כל המספרים הם מספרים גדולים. לכן במערכות המספרים המקובלות אין מגדירים את המונח "מספר גדול" ולא מתעסקים בו. שדה המספרים המרוכבים בפרט, אינו ניתן לסידור ולכן לא ניתן להשוות בו בין מספרים וליחס להם גודל.
עם זאת, קיימים במתמטיקה מבנים סדורים אחרים, בהם ניתן לתת משמעות מתמטית מדויקת למונח "מספר גדול". בכל קבוצה סדורה בסדר מלא שהיא סופית קיים איבר גדול ביותר. ניתן להוסיף למערכות המספרים השונות, כגון שדה המספרים הממשיים, את אינסוף (אותו מסמנים  \ \infty ) כאיבר של הקבוצה ולהגדיר עליו את פעולות החשבון. במקרה כזה המספר  \ \infty  מקיים את התכונה, שכל מספר אחר בקבוצה קטן ממנו ולכן ניתן להגדירו כמספר גדול. אולם, הוספת אינסוף כאיבר במבנה, גורמת לאיבוד רבות מהתכונות המועילות שלו, ובפרט, היא גורמת שהקבוצה מפסיקה להיות שדה, ולכן לא מרבים להגדיר את אינסוף כאיבר. באנליזה לא סטנדרטית עוסקים במודל דומה למספרים הממשיים, שבו קיים מספר ממשי גדול מכל שאר המספרים הממשיים.
בתורת הקבוצות מוגדרים מספרים מונים ומספרים סודרים כהכללה של המספרים הטבעיים, והם כוללים אינסוף מספרים אינסופיים שכל אחד מהם גדול מהקודמים לו ומכל המספרים הטבעיים. בספרו "On Numbers and Games" תיאר ג'ון קונוויי מבנה, הנקרא שדה המספרים הסוריאליסטיים, והוא שדה סדור המכיל בתוכו את כל השדות האפשריים וגם את כל הסודרים. זהו אוסף כה גדול עד שהוא גדול מדי בשביל להיות קבוצה.
קיימים תחומים במתמטיקה בהם משתמשים ברעיונות דומים לרעיון המספר הגדול, כדי לקבל תוצאות מתמטיות מדויקות. בחשבון אינפיניטסימלי מגדירים גבול ורעיונות מרכזיים נוספים, בעזרת מספרים גדולים וקטנים כרצוננו. לדוגמה, מתקיים  \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty  (הגבול של הפונקציה  \ f(x) כש- \ x שואף ל- \ x_{0} הוא אינסוף) אם ורק אם לכל מספר נבחר גדול כרצוננו קיימת סביבה של  \ x_{0} כך שלכל  \ x בסביבה  \ f(x) גדול יותר מהמספר הנבחר. כשהכוונה ב"מספר גדול כרצוננו" היא שניתן לבחור כל מספר שהוא ללא הגבלה על גודלו, ועדין הסביבה המבוקשת תתקיים.
בתורת הקירובים הדיוק של קירובים רבים הולך וגדל ככל שערך הפונקציה שמקרבים גדול יותר. לדוגמה נוסחת סטירלינג המקרבת את פונקציית העצרת אינה שימושית למספרים קטנים אך למספרים גדולים היא קרובה מאוד לערך האמיתי.
בתורת הסיבוכיות יש צורך לכמת את הזמן הדרוש לפתרון בעיה ולקבוע מתי היא ניתנת לפתרון באופן יעיל. כיוון שאין רוצים להגביל את כלליות התורה כך שתחול רק על גבולות שרירותיים התואמים את כוח המחשוב, במקום להגדיר מספרים גדולים שמהווים גבול יעילות הביצוע של מחשב, מגדירים מושג בשם סיבוכיות זמן. סיבוכיות הזמן של בעיה הוא מספר הצעדים הנחוצים לפתרונה כפונקציה של גודל הקלט שלה. בתור חסם ליעילות קובעים שכל בעיה שהסיבוכיות זמן שלה גדלה בקצב פולינומי או תת-פולינומי ניתנת לפתרון יעיל. לדוגמה, בהינתן קלט בגודל  \ n, בעיה שהזמן הדרוש לפתרונה הוא  \ n^{2} נחשבת לבעלת פתרון יעיל שכן זהו פולינום. לעומת זאת לבעיה שהזמן הדרוש לפתרונה הוא  \ 2^{n} נחשבת לחסרת פתרון יעיל שכן פונקציה מעריכית גדלה מהר מאוד וערכיה הם מספרים גדולים מאוד ביחס ל- \ n.
במתמטיקה > מספרים קטנים

מספר קטן הוא מונח המתייחס לרוב למספרים שהם הופכיים למספרים גדולים. כלומר מספרים חיוביים קרובים מאוד לאפס. כאשר ניוטון ולייבניץ פיתחו את החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-17 הם השתיתו אותו על המושג "אינפיניטסימל" ("זעירון", בעברית) – מספר חיובי שקטן יותר מכל מספר חיובי אחר. הגדרה זו מובילה לסתירות במסגרת מערכת המספרים הממשיים, ולכן כאשר בוסס החשבון האינפיניטסימלי בצורה ריגורוזית על ידי אוגוסטן לואי קושי וקארל ויירשטראס במאה ה-19, הוצא ממנו מושג האינפיניטסימל (ראו היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי). אולם הוא הוחזר לשימוש באופן מדויק במאה ה-20 במסגרת האנליזה הלא-סטנדרטית.
במתמטיקה > בתורת המספרים

בתורת המספרים מופיעים מספרים גדולים כחסמים לקבוצות המקיימות תכונות אריתמטיות כלשהן. לדוגמה, קרל פרידריך גאוס וברנהרד רימן שיערו שלכל x גדול מספיק מתקיים  \ \pi (x)<Li(x), כאשר  \ \pi (x) הוא מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל- \ x ו- \ Li(x) הוא האינטגרל הלוגריתמי ההפוך (ראו משפט המספרים הראשוניים). אולם ליטלווד הוכיח כי האי-שוויון אינו תמיד מתקיים, ובשנת 1933 הוכיח סטנלי סקיוז (בהנחה שהשערת רימן נכונה) כי האי-שוויון מתהפך לפני המספר (שנודע מאז כ"מספר סקיוז")  e^{e^{e^{79}}} (e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי).
מספרים גדולים הם עצמים מרכזיים הנחקרים במסגרת תורת המספרים החישובית. תחום זה עוסק במציאת אלגוריתמים לחקר התכונות האריתמטיות של מספרים. יעילות האלגוריתמים נבחנת לרוב ביכולת שלהם לעסוק במספרים גדולים. למשל, חשיבותו של אלגוריתם מילר-רבין היא בכך שהוא מאפשר לגלות במהירות האם מספרים בני מאות ספרות הם ראשוניים, כלי יעיל מאוד בקריפטוגרפיה. בשנות האלפיים, כוחות מחשוב רבים מופנים לעיסוק במציאת מספרים גדולים בעלי תכונות מסוימות. דוגמה לכך היא המספר הראשוני הגדול ביותר הידוע נכון ל-2013 שהוא  \ 2^{82,589,933}-1, מספר מרסן בן 24,862,048 ספרות, אולם יש אינסוף ראשוניים גדולים ממנו.
במתמטיקה > בקריפטוגרפיה

בקריפטוגרפיה יש חשיבות רבה לפונקציות חד-כיווניות. אלו הן פונקציות שקל לחשב את הפלט שלהן אך קשה מאוד להפוך את פעולתן ולחשב את הקלט המקורי שלהן בעזרת הפלט. פונקציות אלו משמשות להצפנה א-סימטרית, לחתימה דיגיטלית, להוכחה באפס ידע ועוד. ברוב הפונקציות החד-כיווניות, כדי שבאמת יהיה קשה לשחזר את הקלט המקורי, יש לבחר בקלט שהוא מספר גדול. לדוגמה, בשיטת ההצפנה המרכזית RSA נעשה שימוש בשני מספרים ראשוניים גדולים בני מאות ספרות כקלט ומכפלתם היא הפלט. יעילות השיטות מבוססת על כך שקל מאוד לבצע את פעולת הכפל, אך בהינתן התוצאה שלה קשה מאוד לפרק חזרה לגורמים את המספר הגדול. הצפנת רבין מבוססת על מכפלה דומה, ועל העובדה שקשה מאוד להוציא שורש ריבועי מודולו פריק למספר גדול.
ב-1991 הכריזו מעבדות RSA על אתגר נושא פרסים לפירוק לגורמים של מספרים גדולים מתוך רשימה מוגדרת של מספרים שהם מכפלת שני ראשוניים ולהם מספר ספרות שנע בין 100 ל-617. מבין מספרים אלו הגדול ביותר שפורק בהצלחה נכון ל-2010 הוא RSA-768, מספר בן 232 ספרות, שפורק בשנת 2009.
במתמטיקה > בקומבינטוריקה

קומבינטוריקה עוסקת בספירת עצמים, ולכן באופן טבעי נוטים להופיע בה מספרים גדולים. אם ישנה קבוצה סופית של עצמים, כל סידור של העצמים בסדר כלשהו נקרא תמורה. לכל קבוצה בגודל n מספר התמורות השונות הוא מכפלת n בכל המספרים הקטנים ממנו עד ל-1. שמה של הפעולה הוא עצרת ומסמנים אותה  \ n!. עצרת היא פונקציה מרכזית בקומבינטוריקה וערכיה גדלים במהירות. לדוגמה  \ 4!=24, לעומתו  \ 10!=3,628,800 והמספר  \ 52!, השווה למספר הדרכים השונות לסדר חפיסת קלפים, הוא כבר בן 68 ספרות.
תורת רמזי היא תחום קומבינטורי שחוקר את מספר האיברים שצריכים להיות למבנה כדי שיהיו לו תכונות מסוימות. תוצאה טיפוסית בתורה זו היא משפט רמזי שעוסק בקיומם של מספרי רמזי. בשנת 1977 הציג מרטין גרדנר את מספר גרהאם, מספר ששימש את רונלד גרהאם כחסם עליון לפתרון של בעיה מתורת רמזי. מספר גרהאם הוא מספר גדול מידי מכדי להציגו בכתיב עשרוני, כמגדל חזקות או אפילו באופן ישיר על ידי החץ של קנות', גם אם משתמשים בנפח היקום הנראה כולו. עם זאת, ניתן להגדירו בקלות בעזרת נוסחת נסיגה:
אם מגדירים  g_{1}=3\uparrow ^{4}3 ובנוסף מגדירים  g_{n}=3\uparrow ^{g_{n-1}}3 אז מספר גרהאם הוא  \ g_{64}.
מספר גרהאם הוכר במהדורת 1980 של ספר השיאים של גינס בתור המספר הגדול ביותר שאי-פעם נעשה בו שימוש (בהוכחה מתמטית רצינית). אולם מאז הופיעו מספרים גדולים אף יותר בהוכחות מתמטיות אחרות. במסגרת מחקריו של המתמטיקאי הארווי פרידמן הוא הגדיר את הפונקציה  \ TREE(n), הסופרת את האורך המקסימלי של סדרות מסוימות של עצים. הפונקציה גדלה במהירות גדולה כך ש- \ TREE(3) הוא מספר עצום שמספר גרהאם קטן ממנו משמעותית. אם מגדירים  \ B(n)=2\uparrow ^{n-1}n, אז מספר גרהאם הוא מסדר גודל של  \ B^{64}(4). לעומת זאת המספר הענק  \ B^{B(187196)}(1) הוא רק חסם תחתון חלש של  \ TREE(3).
בתורת המשחקים הקומבינטורית מגדירים מושג של "סיבוכיות משחק" המודד את המורכבות של משחק. ישנן כמה דרכים שונות להגדיר סיבוכיות משחק, לדוגמה, מספר המצבים האפשריים בהם הוא יכול להימצא או מספר הדרכים השונות בהן משחק יכול להיות משוחק. בשחמט, למשל, ידוע שמספר המצבים האפשריים של הלוח הוא בין ‎1043‎ ל-‎1047‎. מספר המשחקים השונים שניתן לשחק מוערך בכיותר מ-‎10123‎, מספר הידוע כ"מספר שאנון" על שם קלוד שאנון, שהעריך אותו לראשונה ב-1950 במאמר שהתווה את הדרך לבנייתן של תוכנות שחמט. מורכבות משחק השחמט הסיני גדולה באופן משמעותי.
במתמטיקה > בתורת ההסתברות

חוק המספרים הגדולים הוא משפט בתורת ההסתברות הקובע שכשחוזרים על תהליך אקראי מספר גדול של פעמים התוצאה הממוצעת תהיה בערך הממוצע המשוקלל של כל התוצאות האפשריות. או בניסוח מדויק יותר, כאשר גודל המדגם שואף לאינסוף, הממוצע שואף לתוחלת. לדוגמה, אם נטיל קוביית משחק הוגנת מספר גדול של פעמים, הערך הממוצע של כל ההטלות יהיה קרוב מאוד ל-3.5 (הממוצע של המספרים מ-1 עד 6, שהוא התוחלת של הטלת קובייה) וככל שמספר ההטלות יהיה גדול יותר הקרבה ל-3.5 תלך ותגדל.
משפט הקוף המקליד קובע שבהינתן רצף גדול מספיק של תווים אקראיים, יופיע כל רצף שנחפש בסופו של דבר בתוך הרצף הגדול. לדוגמה, אם נחפש את הרצף 123456789 בפיתוח העשרוני האינסופי של פאי, שנדמה אקראי, אנו צפויים למצוא את הרצף בסופו של דבר (ואכן הרצף מופיע כחצי מיליארד ספרות לאחר הנקודה העשרונית). המשפט קרוי על שם דוגמה פופולרית שלו שניתנה על ידי אמיל בורל, לפיה קוף שמקליד תווים באופן אקראי במשך זמן בלתי מוגבל יקליד בסופו של דבר את כל כתבי שייקספיר. אם ניקח לדוגמה קוף שמקליד באופן אקראי אותיות מתוך האלפבית האנגלי, הוא צפוי לכתוב במקרה את כל הטקסט המלא של המלט ברצף (כ-130,000 תווים ללא פיסוק ורווחים) לאחר שהקליד בממוצע בערך  \ 26^{130,000} אותיות, מספר בן 183,947 ספרות. תוצאה דומה למשפט הקוף המקליד היא חוק המספרים הגדולים באמת, שמבטא את הרעיון שכשיש מספר גדול מאוד של מאורעות, צפוי שיקרו גם דברים מאוד בלתי סבירים.
במתמטיקה > בתחומי מתמטיקה אחרים

גוגול הוא שמו של המספר  \ 10^{100}, כלומר אחד ואחריו מאה אפסים. המספר חסר חשיבות מתמטית אך עושים בו שימוש בהוראת המתמטיקה כדי להבדיל בין מספר גדול מעבר לכל דמיון לבין אינסוף, שקרוב לגוגול בדיוק באותה מידה שהוא קרוב לאחד. המספר גוגולפלקס הוא המספר  \ 10^{10^{100}}, כלומר אחד ואחריו גוגול אפסים. מספר זה כה גדול עד שלא ניתן לכתוב אותו בכתיב עשרוני גם אם עושים שימוש בכל האטומים ביקום כספרות.
משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות, הוא משפט בתורת החבורות, העוסק במיון חבורות פשוטות סופיות לקבוצות. המשפט ממיין את כל אינסוף החבורות הפשוטות הסופיות לשלוש קבוצות עיקריות, אולם קיימת קבוצה יוצאת דופן של 26 חבורות בלבד שאינן נכנסות לאף אחת מן הקבוצות. מבין היוצאות דופן הללו ישנה חבורה אחת גדולה במיוחד שנקראת "המפלצת" וכוללת כ- \ 8\cdot 10^{53} איברים.
בעיית הבקר של ארכימדס היא בעיה יוונית עתיקה המופיעה בשיר, שנטען כי מקורו במכתב ששלח ארכימדס לארטוסתנס (טענה שאמיתותה מוטלת בספק). הבעיה עוסקת במציאת מספר הפרטים בעדר שורי השמש של הליוס. בבעיה מופיעים אילוצים ויחסים שונים שמספר הפרטים צריך לקיים, אותם ניתן לתרגם למערכת של משוואות דיופנטיות. למשוואות נמצא פתרון מקורב רק בשנת 1880, והתוצאה המדויקת חושבה בעזרת מחשב ב-1965. הפתרון המינימלי המתקבל הוא שמספר הפרטים בעדר הוא בקירוב  \ 7.76\cdot 10^{206,544}.
בלוגיקה, מספור גדל היא שיטה להתאים לכל מילה בשפה פורמלית מספר טבעי ייחודי. המספור קרוי על שם קורט גדל שפיתח אותו וביסס עליו את ההוכחה למשפטי האי-שלמות שלו. לכל סימן  \ a_{i} באלפבית של השפה מתאימים מספר טבעי משלו  \ x_{i}, ולמילה  a_{1}a_{2}\dots a_{n} מתאימים את המספר  2^{x_{1}}\cdot 3^{x_{2}}\cdots p_{n}^{x_{n}}, כאשר  \ p_{i} הוא הראשוני ה-i בסדרת הראשוניים. המשפט היסודי של האריתמטיקה מבטיח שכל מספר מייצג מילה אפשרית יחידה. בשיטה זו גם מילים פשוטות וקצרות נוטות להיות מיוצגות על ידי מספרים גדולים.
פונקציית אקרמן היא פונקציה רקורסיבית המסומנת ב- \ A ובעלת שימושים במדעי המחשב. קצב הגידול של ערכיה גדול מאוד, והיא מחזירה מספרים גדולים כבר למספרים קטנים. לדוגמה,  \ A(4,4)={^{7}2}-3={2^{2^{2^{65,536}}}}-3. עם זאת, יש שימושים לפונקציות הגדלות אף מהר יותר מפונקציית אקרמן, למשל,  \ \Sigma (n) מבעיית הבונה העסוק שגדלה מהר יותר מכל פונקציה רקורסיבית שהיא.