מהירות הקול
פיתוח הנוסחה למהירות הקול בתווך גזי

ההנחות על תכונות התווך הגזי לגביו המושג של "מהירות הקול" תקף הן: המושג של מהירות הקול בתווך אלסטי כלשהו תקף כל עוד אורך הגל של הקול גדול באופן משמעותי מהמהלך החופשי הממוצע של חלקיקי הגז הנושא את גל הקול. אחרת, רעידות (תנודות בלחץ ובצפיפות של הגז) בתווך הגזי לא יצליחו להתקדם בתוכו באופן אפקטיבי, שכן חלקיקי הגז ינועו בקו ישר במהלך זמן מחזור אחד של הגל, בגלל המהלך החופשי הארוך של החלקיקים, שמונע העברת תנע בין חלקיקי הגז ולכן מונע התקדמות במרחב של הפרמטרים המאפיינים את הגל.
כיוון שקול הוא למעשה גל דחיסה בתווך (אלמנטי הגז נעים במהירויות שונות וכך דוחסים אחד את השני), חוסר יכולת של אלמנטי הגז להעביר תנע אחד לשני מונע התקדמות של הגל בתווך, והופך לפעפוע בלבד כאשר התנאי הזה לא מתקיים. לפיכך המושג של מהירות הקול מאבד מישימותו עבור תדרים גבוהים במיוחד של גל הקול או לחלופין בתנאים של תווך דליל במיוחד, כמו זה שמתקיים באטמוספירה העליונה.
מסתבר שתחת טווח שינוי לחצים קטן בהשוואה ללחץ המקומי של הגז, הגז כולו מתפקד כתווך אלסטי עם מקדם קפיצי קבוע מסוים. ניתן לדמות את הגז בו מתקדם הגל כמורכב מתאים זהים שביניהם מחיצות המקיימים אינטראקציה אחד עם השני - לכל תא יש מסה מסוימת, ואודות ללחץ הגז יש לו גם מקדם אלסטי מסוים. דימוי זה של התקדמות הגל מרמז כי מהירות הקול תלויה במסת כל אחד מהתאים, כלומר בצפיפות הגז  \rho , ובמקדם האלסטי k של כל תא, כלומר בלחץ שלו  P. כיוון שכך, מספיק לחשב את מהירות ההתקדמות של הפרעה טורית במערכת קפיצים ומסות עם מסה m וקבוע קפיץ k, ולאחר מכן נותר להעריך את מקדם הקפיציות של הגז מהפרמטרים שמאפיינים אותו (כלומר משיקולים תרמודינמיים). אם האורך הרפוי של כל קפיץ הוא L, אז מקבלים את משוואות התנועה הבאות עבור המסות:
m{\ddot {x_{n}(t)}}=k((x_{n+1}-x_{n}-L)-(x_{n}-x_{n-1}-L))=k((x_{n+1}-x_{n})-(x_{n}-x_{n-1}))
הביטוי  (x_{n+1}-x_{n})-(x_{n}-x_{n-1}) הוא גרסה מבוססת שינויים סופיים של הביטוי הבא (המנוסח בשפת החשבון האינפיניטסימלי):
 L^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t), כאשר  \psi (x,t) הוא למעשה ההפרש בין  x_{n}(t) ל-
 x_{n}(0). לפיכך המשוואה שנתקבלה היא למעשה המשוואה הבאה:  {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)=(k/m)\cdot L^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t).
משוואה זו היא למעשה משוואת הגלים, ולפיכך מקבלים שמהירות ההתקדמות של הפרעות טוריות במערכת הקפיצים והמסות היא:  v={\sqrt {\frac {L^{2}*k}{m}}}=L\cdot {\sqrt {\frac {k}{m}}}.
כדי להשתמש בתוצאה זאת על מנת להסיק משהו לגבי מהירות הקול בגז, יש להעריך את מקדם הקפיציות של תא גזי בצורת תיבה בעלת שטח חתך S ואורך L. ההנחה שנניח כעת היא שהגז בתיבה נדחס ומתפשט אדיאבטית. הנחה זאת מוצדקת משום שהתהליכים המתרחשים במעבר קול מהירים ולא מאפשרים מעבר חום בדרכים סטנדרטיות כמו הולכה והסעה, כך שאין מעבר חום מהתא החוצה, וזה בהגדרה תהליך אדיאבטי. המשוואה הקושרת את הלחץ והנפח בתהליך אדיאבטי היא  PV^{\gamma }=const, או, בגרסה דיפרנציאלית:
 {\frac {dP}{P}}=-\gamma {\frac {dV}{V}} שזה למעשה:  {\frac {dP}{dV}}=-\gamma {\frac {P}{V}}=-\gamma {\frac {P}{LS}}. הקשר בין מקדם הקפיציות k ל- {\frac {dP}{dV}} הוא לפי הגדרת k למעשה  k={\frac {dP}{dV}}\cdot S^{2} מסת התא הגזי היא  m=\rho \cdot LS. התוצאה שמתקבלת למהירות הקול היא:
c_{s}={\sqrt {\frac {L^{2}\cdot k}{m}}}={\sqrt {\frac {L^{2}\cdot \gamma {\frac {P}{LS}}\cdot S^{2}}{\rho \cdot LS}}}={\sqrt {\frac {\gamma P}{\rho }}}.
הערה: ההנחה בפיתוח לחישוב מהירות ההתקדמות של הפרעות טוריות שהביטוי בצורה של שינויים סופיים שווה לביטוי המנוסח בשפת החשבון האינפיניטסימלי נכונה בקירוב רק כאשר אורכי הגל גדולים בהרבה (כמה סדרי גודל) מהמרחק L בין שתי מסות, הגם שבמקרה של גז הנחה זאת חייבת להתקיים כדי שתהיה לו אלסטיות מסוימת. במוצקים המצב שונה, שכן אודות למבנה המסודר של האטומים גם גלים עם אורכי גל מסדר גודל של המרחק בין האטומים יכולים להתקדם באופן אפקטיבי, אך יש להם יחס נפיצה לא ליניארי. להסבר מורחב ראו יחס נפיצה של פונונים.