stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משפט ההרחבה של טיצה
הוכחה

כדי להוכיח את המשפט, נוכיח קודם כל את הלמה:
למה: יהיו  X מרחב נורמלי,  K תת-קבוצה סגורה שלו ו- f:K\rightarrow \left[-M,M\right] (עבור  M>0) רציפה. אז קיימת פונקציה רציפה  g:X\rightarrow \left[-{\frac {M}{3}},{\frac {M}{3}}\right] המקיימת  \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \leq {\frac {2M}{3}} לכל  x\in K.
הוכחת הלמה: נסמן  A=f^{-1}\left(\left[-M,-{\frac {M}{3}}\right]\right),B=f^{-1}\left(\left[{\frac {M}{3}},M\right]\right). לפי הרציפות של  f, הקבוצות  A,B סגורות ב- K. אבל  K סגורה ב- Xלכן  A,B סגורות ב- X. הן זרות זו לזו לכן לפי הלמה של אוריסון בשינויים המתבקשים, קיימת פונקציה רציפה  g:X\rightarrow \left[-{\frac {M}{3}},{\frac {M}{3}}\right] כך ש- g(A)=\left\{-{\frac {M}{3}}\right\},g(B)=\left\{{\frac {M}{3}}\right\}.
לכל  x\in K, נפצל לשלושה מקרים:
1) אם  x\in A אז  -M\leq f(x)\leq -{\frac {M}{3}} וגם  g(x)=-{\frac {M}{3}} לכן  \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \leq {\frac {2M}{3}}
2) אם  x\in B אז  {\frac {M}{3}}\leq f(x)\leq M וגם  g(x)={\frac {M}{3}} לכן  \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \leq {\frac {2M}{3}}
3) אם  x\notin A\cup B אז  \left\vert f(x)\right\vert <{\frac {M}{3}} וגם \left\vert g(x)\right\vert \leq {\frac {M}{3}} לכן  \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \leq {\frac {2M}{3}}
לכן  g מקיימת את הלמה.
כעת נוכל להוכיח את המשפט.
כיוון אחד: נניח ש- X מרחב טופולוגי כך שלכל  K\subseteq X סגורה ולכל פונקציה רציפה  f:K\rightarrow \left[0,1\right] יש הרחבה רציפה למרחב. יהיו  A,B קבוצות סגורות זרות ב- X. נגדיר  f:A\cup B\rightarrow \left[0,1\right] כך ש- f(x)=0 לכל  x\in A ו- f(x)=1 לכל  x\in B. מכך ש- A,B סגורות וזרות נובע ש- f רציפה כפונקציה מתת-המרחב  A\cup B. לפי ההנחה, ניתן להרחיב את  f לפונקציה רציפה מ- X ל- \left[0,1\right]. אז קיימת פונקציה רציפה  \ F:X\to [0,1]כך ש- F(x)=0 לכל  x\in A ו- F(x)=1 לכל  x\in B. נסמן U=F^{-1}\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right)\right),V=F^{-1}\left(\left({\frac {1}{2}},1\right]\right). אז  U,V קבוצות פתוחות (לפי רציפות  F) וזרות המקיימות  A\subseteq U,B\subseteq V. מכאן הנורמליות של  X.
כיוון שני: נוכיח גרסה שקולה של המשפט שבה הטווח של  f הוא  \left[-1,1\right]. יהיו  X מרחב נורמלי,  K תת-קבוצה סגורה שלו ו- f:K\rightarrow \left[-1,1\right] רציפה. עתה נשתמש בלמה שהוכחנו לעיל כדי לבנות באינדוקציה סדרת פונקציות רציפות  g_{n}:X\rightarrow \left[-{\frac {2^{n-1}}{3^{n}}},{\frac {2^{n-1}}{3^{n}}}\right] כך שייתקיים  \left\vert f(x)-\sum _{k=0}^{n}{g_{k}(x)}\right\vert \leq {\frac {2^{n}}{3^{n}}} לכל  x\in K:
עבור  n=0 נגדיר  g_{0}(x)\equiv 0.
כעת נניח ש- g_{0},...,g_{n} פונקציות המקיימות  \left\vert f(x)-\sum _{k=0}^{n}{g_{k}(x)}\right\vert \leq {\frac {2^{n}}{3^{n}}} לכל  x\in K. נשתמש בלמה שהוכחנו עבור הפונקציה  f-\sum _{k=0}^{n}{g_{k}} ונקבל פונקציה  g_{n+1}:X\rightarrow \left[-{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}},{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}\right] כך ש- \left\vert f(x)-\sum _{k=0}^{n+1}{g_{k}(x)}\right\vert \leq {\frac {2^{n+1}}{3^{n+1}}} לכל  x\in K.
לכל  x\in X ולכל  n\geq 0 שלם מתקיים  \left\vert g_{n}(x)\right\vert \leq {\frac {2^{n-1}}{3^{n}}} ולכן טור הפונקציות  \sum _{n=0}^{\infty }g_{n} מתכנס לפונקציה רציפה ב- X. נסמן את הפונקציה הזו ב- F. לפי האי-שוויון  \left\vert f(x)-\sum _{k=0}^{n}{g_{k}(x)}\right\vert \leq {\frac {2^{n}}{3^{n}}}, הפונקציה  F היא הרחבה של  f, וההוכחה הושלמה.
נחום המדי

| --- | --- |
 לידה:  המאה ה־1 נציבין, טורקיה 
 
נחום הַמָּדִי היה תנא שעלה ממדי לארץ ישראל, ופעל בה, בשלהי תקופת בית המקדש השני ולאחר חורבנו במאה ה-1.
מספר חוקרים (כגון שמואל ספראי) מזהים את נחום המדי, כ"נחום איש גמזו" המופיע בספרות התנאים כמה פעמים.
תפקידו

לדעת התנא רבי נתן היה נחום המדי חבר בצוות של שלושה חכמים בירושלים, שכונו דייני גזירות. הם קבעו תקנות שונות בדיני ממונות, אך מסורת זו אינה מוסכמת, והדעה המקובלת היא שהצוות כלל שני חכמים בלבד, בלעדי נחום המדי.
דעותיו בהלכה וויכוחיו עם חכמי דורו

במשנה מובא שלדעתו של נחום המדי אפשר להתיר נדר גם על סמך טעות בהערכת המציאות העתידית, בעוד שלדעת חכמים אין להתיר נדר אלא אם כן הטעות הייתה בהערכת המציאות הקיימת, וכך מובא במשנה:
וזו טעות טעה נחום המדי, כשעלו נזירין מן הגולה ומצאו בית המקדש חרב, אמר להם נחום המדי: אלו הייתם יודעים שבית המקדש חרב הייתם נוזרים? אמרו לו: לא. והתירן נחום המדי. וכשבא הדבר אצל חכמים אמרו לו: כל שנזר עד שלא חרב בית המקדש - נזיר; ומשחרב בית המקדש - אינו נזיר
באחת מסוגייות התלמוד במסכת עבודה זרה, רוכזו מספר הלכות שאמר, ועל כולן הגיבו חכמי דורו בחריפות וביטלו את דבריו: "נשתקע הדבר ולא נאמר"; ותמה על כך האמורא רב אחא בר מניומי: "”גברא רבה אתא מאתרין, כל מילתא דאמר, אמרי ליה: נשתקע הדבר ולא נאמר!" (עברית: אדם גדול הגיע ממקומנו, כל דבר שאמר, אומרים לו: נשתקע הדבר ולא נאמר")” (תלמוד בבלי, מסכת עבודה זרה, דף ז', עמוד ב'.)
בין ההלכות שקבע: בגולה (בבל, כנראה) איסור המסחר עם גויים לפני ימי חגיהם נוהג במשך יום אחד בלבד, ולא שלושה ימים כבארץ ישראל. והטעם לכך, שהגויים בחוץ לארץ מתכוננים לחג במשך יום אחד בלבד.
במסכת בבא בתרא הובאה דעתו לעניין דיני ממונות, לפיה ”המוכר את החמור, לא מכר כליו. נחום המדי אומר, מכר כליו” זאת אומרת שהמוכר חפץ מתכוון למכור גם את האביזרים הנלווים לו, אלא אם כן הוכח אחרת.
אזכור נוסף שלו במשנה מובא לעניין השמנים הכשרים להדלקת נרות שבת, וכך מובא בפרק במה מדליקין, במסכת שבת: ”במה מדליקין ובמה אין מדליקין? אין מדליקין לא בלכש, ולא בחוסן... ולא בחלב. נחום המדי אומר, מדליקין בחלב מבושל.”
הכינוי "נחום הזקן"

בברייתא הוזכר חכם בשם "נחום הזקן", ויש משערים כי הכוונה לנחום המדי, כיוון ש"סתם נחום - נחום המדי".
נואל אירווין

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  1892 מוטיארי, הודו הבריטית הודו הבריטית 
 פטירה:  1972 (בגיל 80 בערך) הולפורד, סאמרסט, הממלכה המאוחדת הממלכה המאוחדת 
 מדינה:  הממלכה המאוחדת, הממלכה המאוחדת של בריטניה הגדולה ואירלנד 
 השכלה:  המכללה הצבאית המלכותית בסנדהרסט  מרלבורו קולג' 
 השתייכות:  הצבא הבריטי הצבא הבריטי
 תקופת הפעילות:  1911–1948 (כ־37 שנים)
 דרגה:   לוטננט גנרל
 תפקידים בשירות
 מפקד הדיוויזיה ה-2 מפקד הדיוויזיה ה-38 מפקד הקורפוס ה-11 מפקד הקורפוס ה-4 מפקד פיקוד המזרח ההודי מפקד פיקוד מערב אפריקה
 פעולות ומבצעים
 מלחמת העולם הראשונה מלחמת העולם השנייה
 עיטורים
 הצלב הצבאי  חבר במסדר האמבט  אות השירות המצוין 
 
נואל מקינטוש סטיוארט אירווין (באנגלית: Noel Mackintosh Stuart Irwin;‏ 24 בדצמבר 1892 – 21 בדצמבר 1972) היה קצין בכיר בצבא הבריטי, שמילא תפקיד בולט בצבא הבריטי לאחר פינוי דונקירק, ובמערכת בורמה במלחמת העולם השנייה. הוא גם היה אחראי לכמה רפורמות באימוניהם וציודם של חיילים בריטים לאחר התבוסה בצרפת בשנת 1940, שנועדו לעמוד בדרישות הלוחמה המודרנית.
ביוגרפיה > ראשית חייו

נואל אירווין נולד ב-24 בדצמבר 1892 במוטיארי, ביהאר ואוריסה, הודו הבריטית, והיה בנם הבכור של ויליאם סטיוארט ארווין. הוא התחנך במכללת מרלבורו, לפני כניסתו למכללה הצבאית המלכותית, סנדהרסט.
הוא היה נשוי פעמיים; תחילה בשנת 1918 למרגרט מוד בוין שנפטרה בשנת 1963, ובשנת 1966 לגברת אליזבת קולייר (במקור פרהליך). נולד לו בן אחד מאשתו הראשונה.
אירווין סיים את לימודיו בסנדהרסט בשנת 1912 והוסמך כלוטננט משנה ברגימנט אסקס. הוא הועמד לגדוד ה-2 של הרגימנט, איתו הוא נשאר עד פרוץ מלחמת העולם הראשונה כמעט שנתיים לאחר מכן, באוגוסט 1914.
ביוגרפיה > מלחמת העולם הראשונה

תיעוד השירות של ארווין במהלך המלחמה היה יוצא מן הכלל. הוא לחם בחזית המערבית לאורך כל המלחמה, בתחילה שירת עם הגדוד שלו, אז חלק מהחטיבה ה-12 של הדיוויזיה ה-4, ברוב הקרבות הגדולים של 1914 ו-1915, לפני ששירת בשנתיים האחרונות כמפקד של הגדודים הראשון והשני ברגימנט לינקולנשייר והגדוד השמיני ברגימנט לסטרשייר . אירווין שהיה עדיין לוטננט משנה עם פרוץ המלחמה, התקדם במהירות בדרגתו, והועלה לדרגת לוטננט ב־24 בספטמבר 1914, קפטן ב-7 בנובמבר 1915, מייג'ור ב-10 במרץ 1917, ולוטננט קולונל ב-6 באפריל 1918.
הוענק לו הצלב הצבאי ב-3 ביולי 1915, צו השירות (DSO) ב-1 בינואר 1918 ואוזכר בשדרים ארבע פעמים, בנוסף לצלב המלחמה הצרפתי בנובמבר 1918.
ביוגרפיה > בין המלחמות

לאחר תום המלחמה, הועלה אירווין לדרגת מייג'ור קבועה ב-3 ביוני 1919. בהמשך השתתף במכללה לפיקוד ומטה, קימברלי כסטודנט בין השנים 1924–1925, ועם חבריו נמנו אלפרד ריד גודווין אוסטן, גווילם אייבור תומאס, דאגלס גרהאם, נואל ברספורד-פייר, האמפרי גייל, ארצ'יבלד ניי, וילוובי נורי, דאריל ווטסון, תומאס רידל-וובסטר ואוטו לונד. בעקבות זאת, שירת במטה ארמיית הריין הבריטית. בין 1920 ל-1932 שירת בתפקידי מטה, ובשנת 1927 הועבר לרגימנט הגבול.
בשנת 1933 מונה למדריך הראשי במכללה הצבאית המלכותית, סנדהרסט, במשך שלוש שנים. בשנת 1937 שימש כקצין מטה של הכוחות בריטים שהוצבו בסין.
ביוגרפיה > מלחמת העולם השנייה

עם פרוץ מלחמת העולם השנייה, בספטמבר 1939, אירווין שהועלה לדרגת בריגדיר ב-15 במרץ 1939, מונה למפקד חטיבת הרגלים ה-6, שהייתה חלק מהדיוויזיה ה-2. ב-20 במאי 1940 הועלה לדרגת מייג'ור גנרל ובמהלך הנסיגה לדנקירק מונה למפקד הדיוויזיה ה-2, ופיקד עליה במהלך קרב צרפת.
לאחר פינוי דנקירק במאי 1940, נעשה ארווין עמית מסדר האמבט ב-11 ביולי 1940. ב-28 באוקטובר הוא מונה למפקד הדיוויזיה ה-38 (וולשית) בבריטניה. ב-7 בנובמבר 1941, אירווין הועלה לדרגת לוטננט גנרל, ומונה למפקד הקורפוס ה-11, שבסיסו במזרח אנגליה והיה לו אחריות משמעותית להגנת בריטניה במקרה של פלישה גרמנית.
הוא הועבר למזרח התיכון בשנת 1942, לפיקוד על הקורפוס ה-4 בעיראק. מטה הקורפוס הועבר להודו לאחר כיבוש בורמה על ידי היפנים. אירווין מונה למפקד הראשי של המזרח, הודו ביולי 1942. לצבא המזרח היה אחריות רחבה להגנה על הגבול המזרחי של הודו מפני היפנים, ולשמירה על הביטחון באזורים נרחבים בהודו.
לקראת המתקפה בארקאן בשלהי 1942 עקפו ארצות הברית והמפקדה של הצבא המזרחי את מפקדת הקורפוס ה-15 לאחר חילוקי דעות עם המפקד המקומי, ביל סלים, והשתלטו על המבצע. ההתקפה נכשלה, עם השפעות חמורות על המורל והיוקרה של בעלות הברית. ב-6 באפריל 1943 נתן אירווין מסיבת עיתונאים בה הוא מתח ביקורת על ציוד, אימונים ומוטיבציה של צבאות בעלות הברית בהודו.  אף שהתוודעו כי הדברים היו נכונים במידה רבה, סירובו של אירווין להודות בכל טענה שהייתה קשורה לעצמו ולאנשי צוותו גרמה לפיטוריו, והוא חזר לבריטניה בחופשת מחלה.
בשנת 1944 מונה למפקד על מחוז סקוטלנד המזרחי ונשאר בתפקיד זה עד תום המלחמה.
ביוגרפיה > לאחר המלחמה

לאחר מכן שימש שלוש שנים כמפקד הכוחות הבריטי בפיקוד מערב אפריקה, שבמהלכן הועלה לדרגת קבע של לוטננט גנרל, ובשנת 1948 פרש לחיים פרטיים. ב-21 בדצמבר 1972 הוא מת בביתו בהולפורד, סאמרסט.
הערות שוליים

1 2  "British Army officer histories". Unit Histories. נבדק ב-2017-09-06.
1 2  Smart, p. 169
1 2 3 4 5 6  Liddell Hart Centre for Military Archives
↑  Christoper Bayly and Tim Harper, Forgotten Armies, Penguin Books (2005), ISBN 0-14-029331-0, pp.274–275
↑  Mead, p. 222.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  ISNI: 0000 0000 3030 9878  LCCN: n95079980  VIAF: 11557638   WorldCat (עם VIAF): 11557638
ניקולה מילוטינוב

ניקולה מילוטינוב (בסרבית: Никола Милутинов; נולד ב-30 בדצמבר 1994) הוא כדורסלן סרבי המשחק בקבוצת אולימפיאקוס.
קריירה

מילוטינוב שיחק בעונת 2011/2012 בקבוצת המופארם ורשאץ הסרבית. ב-2012 עבר לפרטיזן בלגרד. הוא זכה עמה באליפות ב-2013 וב-2014 ובאליפות הליגה האדריאטית ב-2013. כמו כן השתתף במשחקי היורוליג והיורוקאפ. בעונת 2014/2015 רשם במשחקי פרטיזן בכל המסגרות, ממוצע של 9.94 נקודות ו-7.6 ריבאונדים למשחק.
ביולי 2015 עבר לאולימפיאקוס מליגת העל היוונית וזכה עמה באליפות. הוא רשם במהלך העונה ממוצע של 3.7 נקודות ו-3 ריבאונדים למשחק.
ב-2 ביוני 2020 חתם בצסק"א מוסקבה על חוזה לשלוש עונות.
מילוטינוב היה חבר בסגל נבחרת סרביה עד גיל 16 שהשתתפה באליפות אירופה ב-2010. ב-2013 זכה עם נבחרת סרביה במקום השני באליפות העולם עד גיל 19 שהתקיימה בפראג. הוא רשם באליפות ממוצע של 10.7 נקודות ו-5.9 ריבאונדים למשחק. במאי 2015 זומן לסגל של נבחרת סרביה בכדורסל לקראת אליפות אירופה. באליפות עצמה זכה לדקות משחק מועטות.
הערות שוליים

↑  אליפות אירופה 2010 עד גיל 16
↑  אליפות העולם בכדורסל עד גיל 19
↑  SERBIA RELY ON WORLD CUP CORE, אתר פיב"א, 26 במאי 2015
↑  פרופיל באתר האליפות
מתאו מוריי

מתאו ז'אומה מוריי באוסה (בספרדית: Mateu Jaume Morey Bauzà; נולד ב-2 במרץ 2000 בפטרה שבספרד) הוא כדורגלן ספרדי המשחק בעמדת המגן הימני בקבוצת מיורקה מהלה ליגה.
קריירת מועדונים

מוריי הצטרף אל מחלקת הנוער של ברצלונה מהלה ליגה בשנת 2015, לאחר שעבר אליה ממחלקת הנוער של מיורקה. יחד עם קבוצת הנוער של ברצלונה הוא זכה בליגת האלופות לנוער לעונת 2017/18, כשערך חמש הופעות בטורניר.
ב-1 ביולי 2019 חתם מוריי על חוזה לחמש עונות בבורוסיה דורטמונד מהבונדסליגה. תחילה שיחק בקבוצת המילואים של המועדון, אך ב-31 במאי 2020 ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הראשונה של המועדון, כשהחליף את אשרף חכימי בניצחון 6-1 על פאדרבורן 07 במסגרת המחזור ה-29 בליגה לעונת 2019/20. בסך הכל ערך מוריי בעונה זו חמש הופעות ליגה.
בעונת 2020/21 ערך מוריי 13 הופעות ליגה, והוסיף שבע הופעות בליגת האלופות. בעונה זו זכה עם קבוצתו גם בגביע הגרמני. ב-1 במאי 2021 ספג פציעה קשה בברך שגרמה לו להיעדר מכל עונת 2020/21 ועונת 2021/22.
ב-5 ביולי 2024 חתם במיורקה לעונה אחת.
תארים

ליגת האלופות לנוער: 2017/18
הגביע הגרמני: 2020/21
הערות שוליים

↑  El Barça se apunta a la ‘moda balear’ y ficha un trío de cadetes באתר Fútbol Balear, ‏ 5 ביוני 2015 (בספרדית)
↑  Mateu Morey: Who is Borussia Dortmund's latest Spanish acquisition from Barcelona? באתר הרשמי של הבונדסליגה, 1 ביולי 2019 (באנגלית)
↑  Borussia Dortmund sign Mateu Morey from Barcelona באתר אס, 1 ביולי 2019 (באנגלית)
↑  "Mateu Morey, primer fichaje de la temporada 24-25" [Mateu Morey, first signing of the 24-25 season] (בספרדית). RCD Mallorca. 5 ביולי 2024. נבדק ב-5 ביולי 2024. {{cite web}}:  (עזרה)
ניקולה יאנקוביץ'

ניקולה יאנקוביץ' (בסרבית: Никола Јанковић; נולד ב-13 בפברואר 1994) הוא כדורסלן סרבי המשחק בקבוצת FMP בלגרד.
ביוגרפיה

יאנקוביץ' החל לשחק כדורסל במועדון נוער בעיר הולדתו וראניה. לאחר מכן עבר לקבוצות הנוער של ז'לזניק בלגרד והכוכב האדום בלגרד. ב-2012 עבר לשחק בספירו שרלרואה מליגת העל הבלגית וב-2013 עבר לפפניסטר הבלגית. בעונת 2013/2014 רשם ממוצע של 11.3 נקודות ו-5.6 ריבאונדים למשחק ובעונת 2014/2015 ממוצע של 16.1 נקודות (שמיני בליגה) ו-6.2 ריבאונדים למשחק. בספטמבר 2015 הצטרף לקבוצת מגה לקס הסרבית. באוגוסט 2016 עבר לקבוצת אולימפיה ליובליאנה, הוא זכה עמה בגביע הסלובני ונבחר ל-MVP של הליגה האדריאטית לאחר שהשיג ממוצע של 16.6 נקודות ו-7.3 ריבאונדים, והוביל את הליגה עם מדד יעילות של 19.24. ביולי 2017 עבר לסקריה מהליגה הטורקית. ביולי 2018 הצטרף לאסטודיאנטס מדריד מליגת העל הספרדית, ובדצמבר 2018 עבר לפרטיזן בלגרד.
משנת 2010 הוא חבר בנבחרות הלאומיות של סרביה. באליפות אירופה עד גיל 16 שהתקיימה ב-2010 רשם ממוצע של 14.4 נקודות (שישי בטורניר) ו-8.8 ריבאונדים (שני בטורניר) למשחק. באליפות העולם באותה שנה לנבחרות עד גיל 17 סיים עם נבחרת סרביה במקום החמישי. ב-2011 זכה עם נבחרת סרביה במקום השני באליפות אירופה עד גיל 18. הוא רשם באליפות ממוצע של 7.2 נקודות ו-6.6 ריבאונדים. באליפות אירופה עד גיל 18 שהתקיימה ב-2012 זכה עם הנבחרת במקום השלישי ונבחר לחמישיית הטורניר. הוא רשם באליפות ממוצע של 14 נקודות ו-8.2 ריבאונדים למשחק. ב-2013 זכה עם סרביה במקום השני באליפות העולם עד גיל 19. בחצי הגמר הוביל את הנבחרת לניצחון על אוסטרליה כשהוא קולע 20 נקודות ולוקח 16 ריבאונדים. סך הכל רשם בטורניר ממוצע של 11.2 נקודות ו-7.1 ריבאונדים למשחק. ב-2014 זכה עם סרביה במקום השלישי באליפות אירופה עד גיל 20 ונבחר לחמישיית הטורניר. הוא השיג בטורניר ממוצע של 15.5 נקודות (חמישי בטורניר) ו-9.4 ריבאונדים (שני בטורניר).
הערות שוליים

↑  ניקולה יאנקוביץ' באתר אליפות אירופה 2010
↑  אליפות אירופה 2011
↑  אליפות אירופה 2012
↑  אליפות העולם 2013
↑  אליפות אירופה 2014
נוקול

| --- | --- |

 
 מאכלים
 סוג:  Turkish breads, לחם מתוק 
 מוצא:  טורקיה 
 מרכיבים עיקריים:  אגוזי מלך, אגוז לוז, צימוק 
 
נוקול
נוקול או לוקום (בטורקית: Nokul או Lokum) הוא סוג של בצק עלים מהמטבח הטורקי.
מאפיינים

הנוקול נפוץ באזור הים השחור המרכזי של טורקיה ובאזורי המיעוטים הטורקים של בולגריה עם וריאציות. נוקול מוגש לפעמים חם כמתאבן במקום לחם. הוא מורכב מדף מגולגל של בצק שמרים שעליו מפזרים גבינה לבנה בסגנון פטה, אגוזי מלך או פרג על שכבה דקה של חמאה. לאחר מכן מגלגלים את הבצק, חותכים למנות אישיות ואופים.
וריאציות

נוקול עם פייניר (Peynirli nokul)
נוקול עם בשר בקר (Etli nokul)
נוקול עם טחינה (Tahinli nokul)
נוקול עם אגוזי מלך (Cevizli nokul)
נוקול עם פרג (Haşhaşlı nokul)
נוקול עם אגוזי לוז (Fındıklı nokul)
סגנונות נוקול אזוריים

Samsun nokulu
Isparta nokulu
Bursa walnut lokum
Sinop nokulu
לקריאה נוספת

גליל פרג (אנ')
קאנטיק (אנ')
צוריקי (אנ')
נאזוק (אנ')
גליל אגוזים (אנ')
ראו גם

בייגלי
קוזונאק
לוקמס
פוגאצ'ה
הערות שוליים

↑  "Cevizli lokum Bursa'nın". blog.milliyet.com.tr.
↑  "Peynirli Nokul". www.bizimanadolu.com. 11 באוקטובר 2017. נבדק ב-2021-04-05. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Kolaylezzet. "KIYMALI NOKUL (Gerze, Sinop)". www.kolaylezzet.com (בטורקית). נבדק ב-2021-04-05.
↑  "Tahinli Nokul". Nefis Yemek Tarifleri (בטורקית). 2017-06-20. נבדק ב-2021-04-05.
↑  "Cevizli Nokul". Nefis Yemek Tarifleri (בטורקית). 2016-02-26. נבדק ב-2021-04-05.
↑  "Haşhaşlı Afyon Nokulu (Tam Ölçülü)". Nefis Yemek Tarifleri (בטורקית). 2016-05-31. נבדק ב-2021-04-05.
↑  DHA. "Öğretmenler okulda nokul yapıyor, hem gelir üretiyor hem usta yetiştiriyor". www.hurriyet.com.tr (בטורקית). נבדק ב-2021-04-04.
↑  "'Sizin Oraların Nesi Meşhur?' Samsun'da". Milliyet (בטורקית). נבדק ב-2021-04-04.
↑  Bomba32. "Turgay Başyayla İle Lezzet Yolculuğu Isparta'da". www.bomba32.com (בטורקית). נבדק ב-2021-04-04.
↑  AA. "Bursa'ya özgü 6 damak tadı coğrafi işaretle tescillenecek". www.hurriyet.com.tr (בטורקית). נבדק ב-2021-04-04.
↑  İHA. "Tescilli Sinop nokulu kenti ziyaret eden turistlerin gözdesi oldu". www.hurriyet.com.tr (בטורקית). נבדק ב-2021-04-04.
משפט ההרחבה של קולמוגורוב

ערך זה עוסק במשפט של קולמוגורוב על אודות תהליכים מקריים. אם התכוונתם למשפט של קולמוגורוב על אודות קדם-מידה, ראו .
בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים המקריים, משפט ההרחבה של קולמוגורוב או משפט הקיום של קולמוגורוב או משפט העקביות של קולמוגורוב הוא משפט המאפשר הרחבה של משפחת התפלגויות סוף-ממדיות המקיימות תכונות עקביוּת מסוימות לכדי התפלגות של תהליך מקרי. חשיבותו של המשפט היא בכך שלא ניתן כמעט אף פעם לתאר במפורש התפלגות של תהליך מקרי, אך קל יחסית לתאר התפלגויות על פני מרחבים סוף-ממדיים. למשפט קשר הדוק עם משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, ולמעשה ניתן להסיק אותו מהמשפט האחרון.
המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב, שתיאר אותו בהקשר של תהליכים מקריים. גרסה אחרת של המשפט התגלתה במקביל על ידי המתמטיקאי הבריטי פרסי ג'ון דניאל, בהקשר של תורת האינטגרציה.
המשפט בגרסתו לתהליכים מקריים מוצגת עבור תהליך מקרי המקבל ערכים במרחב האוקלידי  \mathbb {R} ^{n}. קיימת גרסה כללית יותר עבור כל מרחב.
נוסח פורמלי

יהי  \Omega  מרחב מדיד כלשהו. תהי  T קבוצה כלשהי המתארת את ההתפתחות בזמן (עבור זמן בדיד היא יכולה להיות המספרים הטבעיים או המספרים השלמים, ועבור זמן רציף היא יכולה להיות קטע ממשי). נניח כי לכל סדרה סופית של איברים שונים  \left(t_{1},\dots ,t_{k}\right)\subset T קיימת התפלגות  \nu _{t_{1},...,t_{k}} על  \Omega ^{k}, כך שמשפחת כל ההתפלגויות מטיפוס זה מקיימים את שני תנאי העקביות הבאים:
אינווריאנטיות לתמורות: לכל תמורה  \pi  של  \left\{1,...,k\right\} ולכל אוסף קבוצות מדידות  F_{1},...,F_{k}\subset \Omega ,  \nu _{\pi (t_{1}),...,\pi (t_{k})}\left(F_{\pi (1)},...,F_{\pi (k)}\right)=\nu _{t_{1},...,t_{k}}\left(F_{1},...,F_{k}\right)
לכל  m\in \mathbb {N}  ולכל אוסף קבוצות מדידות  F_{1},...,F_{k}\subset \Omega ,  \nu _{t_{1},...,t_{k}}\left(F_{1}\times ...\times F_{k}\right)=\nu _{t_{1},...,t_{k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \left(\Omega \right)^{m}\right)
אזי קיים מרחב הסתברות  \left({\tilde {\Omega }},{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right), ניתן להניח פשוט כי  {\tilde {\Omega }}=\Omega ^{T}, יחד עם תהליך מקרי  \left\{X_{t}\mid t\in T\right\} מהצורה  X_{t}:{\tilde {\Omega }}\to \Omega , כך שמתקיים באופן כללי,
 \nu _{t_{1},\dots ,t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_{1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)
יש לשים לב כי המידה  \mathbb {P}  מוגדרת מעל סיגמא-אלגברת בורל המכפלה של  {\tilde {\Omega }}, שאינה עשירה כמו סיגמא-אלגברת לבג של המרחב.
הכרחיות תְּנָאֵי העקביות

ניתן לראות שכל תהליך מקרי מקיים את שני תנאי העקביות המופיעים במשפט. כך למשל אם נתבונן בתהליך מקרי בדיד המקבל ערכים ממשיים  \left\{X_{n}\right\}_{n}, אז ההסתברות  \mathbb {P} \left(X_{1}>0,X_{2}<0\right) שווה הן ל- \nu _{1,2}\left(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-}\right) והן ל- \nu _{2,1}\left(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+}\right). לכן עבור כל התפלגות סוף-ממדית שהיא עקבית, בהכרח מתקיים  \nu _{1,2}\left(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-}\right)=\nu _{2,1}\left(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+}\right). תנאי העקביות הראשון פשוט מכליל את הדרישה היסודית הזאת.
תנאי העקביות השני, בהמשך לדוגמה זו, אומר כי  \mathbb {P} \left(X_{1}>0\right)=\mathbb {P} \left(X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} \right). גם זו דרישה יסודית שתנאי העקביות השני הוא הכללה שלה.
במילים אחרות, היות שאין אף תהליך מקרי שלא מקיים את שני תנאי העקביות, הרי שהמשפט מבטיח גם את הכיוון השני: כל משפחת התפלגויות סוף-ממדיות עקביות, מתארת תהליך מקרי.
שימושים

שימוש מיידי למשפט זה הוא הבנייה של מידת מכפלה במערכות דינמיות, ובפרט הזזת ברנולי. אם למשל  \Omega  הוא מרחב מצבים כלשהו, אז ניתן להגדיר התפלגות על  \Omega ^{\mathbb {Z} } באופן הבא: לכל  n\in \mathbb {N}  יש את סיגמא-אלגברת הצילינדרים שהיא מבוססת על קבוצות מהצורה  C\left(\omega _{-n},\dots ,\omega _{n}\right)=\left\{\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} }\mid x_{-n}=\omega _{-n},\dots ,x_{n}=\omega _{n}\right\} עבור כל בחירה של  \omega _{-n},\dots ,\omega _{n}\in \Omega . על סיגמא אלגברה זו ניתן להגדיר התפלגות מתאימה, נאמר כי היא  \nu _{n}. תנאי האינווריאנטיות שבמשפט ההרחבה מיתרגם לכך שלכל  n<m יתקיים כי  \left(\nu _{m}\right)\mid _{n}=\nu _{n}, כלומר שההתפלגויות "יסכימו" זו עם זו. אם אכן מתקיימים תנאים אלה, אז יש התפלגות יחידה  \mu  על כל  \Omega ^{\mathbb {Z} } שמרחיבה את ההתפלגויות  \nu _{n}.
שימוש קשה יותר הוא אחת הבניות של תנועה בראונית. לאחר שמגדירים את ההתפלגויות הסוף-ממדיות להיות התפלגות רב-נורמלית, ניתן להראות כי מתקיימים תנאי העקביות, וההתפלגות המתקבלת היא זו של תנועה בראונית. עם זאת, משפט ההרחבה אינו מבטיח את הרציפות של התהליך המקרי המתקבל. לשם כך ניתן להשתמש במשפט הרציפות של קולמוגורוב, המבטיח כי מתוך התהליך המתקבל ממשפט ההרחבה ניתן לבנות תהליך חדש שהוא אכן רציף.
הערות שוליים

↑  Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.), Berlin: Springer (2003), page 11.
↑  John Aldrich, But you have to remember PJ Daniell of Sheffield, in: Electronic Journal for History of Probability and Statistics, Vol. 3, number 2, 2007
↑  טרנס טאו, An Introduction to Measure Theory, בתוך: Graduate Studies in Mathematics. 126‏ (2011), עמוד 195
נוקטה

נוקטה בקיבוץ רוחמה, 2011
נוקטה (בערבית: نقطة, באנגלית: Nukta) היא נקודה או נקודה מרכזית; וגם נקודת משמר: תחנת נוטרים, או תחנת משטרה בתקופת המנדט הבריטי.
מקור השם - ערבי שמי. על פי ההיסטוריון אריה יצחקי פרוש השם הוא "נקודה". פרוש נוסף: נקודת משטרה, תחנת משמר, תחנת משטרה או תחנת מכס בה ישבו מוכסים. השם היה מקובל בתקופת  השלטון הטורקי ועבר לשימוש גם בתקופת המנדט הבריטי. גם השלטונות של מדינות ערב בסביבות ארץ ישראל השתמשו במושג נוקטה וכך יש נוקטה ירדנית בנהריים, נוקטה מצרית בראס מוחמד שבסיני ועוד. בתקופת המנדט הוחזקו בנוקטות שבישובים כלי הנשק החוקיים.
הסיבות להקמת תחנות המשמר

פריצת המרד הערבי בשנת 1936 וחוסר היכולת של השלטון הבריטי לספק ביטחון ולאבטח את חייהם ושלומם של היישובים העבריים, הביא את שלטונות המנדט למסקנה שיש להקים מערך הגנתי שיבוא מקרב התושבים היהודים, יקבל אימון בסיסי, יצויד בנשק וכלים נוספים כך שיוכל להוות אמצעי שיספק ביטחון והגנה לכל יישוב ולו הקטן ביותר.
בכל יישוב ולו הנידח ביותר הקימו הבריטים תחנת נוטרים. זאת, במסגרת משטרת היישובים העבריים. הנוטרים לבשו מדים, צוידו ברובים ונשבעו אמונים להוד מלכותו מלך בריטניה. בכל תחנה היה יומן נוכחות ופעילות. בכל אזור היה קצין בריטי ממונה שהיה מגיע באופן קבוע לתחנה ולעיתים בצורה מפתיעה ללא התראה.
הארץ חולקה לנפות כאשר לכל נפה היה מפקד משלה. היו מפקדי נפות מטעם ההגנה שהאזור עליו מונו מטעם ארגון ההגנה חפף את היישובים שהיו תחת אחריותם מטעם שלטונות המנדט. כך למשל מונה אבא פוקס מגבעתיים על ידי ארגון ההגנה בשלהי 1943, למפקד נפת הנגב שכללה את שלושת המצפים: בית אשל, רביבים וגבולות, ואת חמשת הקיבוצים שבמבואות עזה: ניר עם, דורות, רוחמה, גברעם ויד מרדכי.
מיקום המבנה

הצורך בנגישות מהירה מכל שטחי היישובים לנשק, הכתיב את מיקום הנוקטות - במרכזי היישובים. דבר זה ניתן לראות בתמונות הנוקטות של קיבוצים, כגון משמר הנגב, בארי, דורות ואחרים. הנוקטה של רוחמה למשל מרוחקת פחות מ-100 מטר מחדר האוכל הראשון (כיום מבנה המועדון לחבר). כך גם למשל הנוקטה של קיבוץ מענית שממוקמת פחות מ-30 מטר מחדר האוכל.