stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
עוגת ספוג
עוגות ספוג במטבחי העולם > פנדישפאן

פנדישפאן (בבולגרית: пандишпан, רומנית: pandişpan, בטורקית: pandispanya, ביוונית: Παντεσπάνι, מאיטלקית: pan di Spagna = לחם מספרד) היא עוגה עשויה מקמח, ביצים, סוכר, חומרים ארומטיים, בעלת מרקם רך ואוורירי וצבע צהוב.
לפי סברה אחת – מקור השם "פנדישפאן" ככל הנראה באותה עוגת ספוג הקרויה "פאן ד'אספאניה" (לחם ספרדי) שנאפתה בתחילת המאה ה-18 בחצר המלך הספרדי פרננדו השביעי על ידי אופה וקונדיטור איטלקי בשם ג'ובאני בטיסטה קבונה שליווה את פמליית השגריר של הרפובליקה של ג'נובה, דומניקו די פלאביצ'יני למדריד. במקור היא הייתה גרסה עם בצק רך יותר של הביסקוויטים מסבויה.
עוגת הפנדישפאן מוגשת עם שילוב של פירות (תפוזים, חמוציות, דובדבנים מתוקים או חמוצים, משמשים וכו'), ריבות פירות, קרם קרמל, קקאו או אגוזים, קרם גבינה וכו'.
גרסאות יהודיות

עוגת ספוג פשוטה, המכילה רק ביצים, סוכר וקמח, בתוספת גרידת לימון או תפוז, שמקורה בספרד, נפוצה בקרב כל קהילות יהדות ספרד, ונקראה בלדינו פאן ד'אספניה (מילולית: לחם ספרדי). אצל יהודי מרוקו אותה עוגה נקראה פֶּאלֶבֶּה. לאירועים חגיגיים הרכיבו את הפאלבה בשכבות שהורטבו במיץ פירות או סירופ סוכר וביניהן מליות כגון פירות, קצפת, קרמים משוקולד, וניל, קוקוס וכדומה.
בוקה די דמה (מפורטוגזית: "פיה של עלמה"), עוגת ספוג עם שקדים, במקורה מפורטוגל, נפוצה בקרב יהודי ליבורנו וכלל יהודי איטליה ויהודי לוב, שנהגו להכינה בפסח עקב אי-הצורך בקמח, וכמו כן בקרב הגראנה – יוצאי ליבורנו בתוניסיה, אליהם הגיעה הודות הקרבה וההשפעה של המדינות שהוצגו לעיל. נהגו להגישה עם סיומו של צום יום הכיפורים.[דרוש מקור]
ליהודי אשכנז עוגת ספוג דומה מאוד לפאן ד'אספניה, ומשערים כי זהו מקורה. בקרב יהדות בריטניה נקראה פֲּלַאוַוה. עוגה זו הייתה קינוח תמידי ומשפחות רבות אפו אותה מדי שבוע לשעת התה או לקינוח ארוחת הערב.
כיום יש בין האשכנזים (למשל אצל חלק מיהודי אשכנז בישראל ובארצות הברית) שימוש במונח לֶקַח (או לייקח) לתיאור עוגת ספוג או עוגת ספוג עם דבש. אולם במקור, עוגת לקח אינה עוגת ספוג. היא עוגת דבש, פירות יבשים ותבלינים של יהודי אשכנז, המוזכרת בכתובים החל מהמאה ה-12 ומכילה בין השאר שמן. זאת, בשונה מעוגת ספוג בסיסית, בה אין כלל שומן (כגון שמן או חמאה).
ידועה העוגה בקהילות החסידים כלייקח המובא לבית הכנסת לקידושים ואזכרות (יאר צייט), וכן לקהילות הירושלמים הניתנת בבריתות.
בחסידות גור זו העוגה היחידה שלפי התקנון מותר להביא לשמחות ואזכרות הניתנות בבית הכנסת (שטיבל).
כיוון שעוגות ספוג אינן מכילות שמרים הן קינוח מתאים לפסח, כאשר קמח החיטה מוחלף בקמח מצה. למשפחות יהודיות רבות מתכון העובר מדור לדור של עוגת ספוג כשרה לפסח. בארצות הברית, חברות מזון כשר כגון "מנישביץ'" אף משווקות תערובת מוכנה לאפיית עוגת ספוג מקמח מצה. המילויים המקובלים כוללים שקדים, לימון, פרג, תפוחים ושוקולד.
לקריאה נוספת

קלאודיה רודן, "ספר הבישול היהודי מזרח ומערב", מודן הוצאה לאור, 1998.
1998 Elio Casati, Giorgio Ortona Dolce Liguria. Da Ventimiglia a Sarzana. Pasticceria di ieri e di oggi
ראו גם

עוגת דבש
הערות שוליים

↑  Child, Lydia Maria, The American Frugal Housewife, 12th ed., Boston: Carter, Hendee &co, 1832 (עותק הספר בגרסת פרויקט גוטנברג)
↑  על פי קלודיה רודן
↑  Lekach (Honey Cake for Rosh Hashana), BigOven.com (באנגלית)
↑  קלודיה רודן, עוגת לקח (דבש) - מתוך "ספר הבישול היהודי - מזרח ומערב", באתר ynet
| רשימת עוגות |
| --- | --- | --- |
| עוגות חמאה | עוגת מזון השטן • עוגת חמאה דביקה • עוגת פאונד |  |
| עוגות גבינה | אוסטקהקה |  |
| עוגות שוקולד | עוגת היער השחור • עוגת צ'נטילי • עוגת שוקולד ללא קמח • עוגת פאדג' • עוגת גאראש • עוגת שוקולד גרמנית • עוגת ג'ופרה • קלאדקהקה • עוגת שוקולד מותך • זאכרטורטה • טורטה קפרזה • טורטה סטבלי • פיטיבייה • אקלר |  |
| עוגות פירות | לחמנייה שחורה • בולו ריי • עוגת גזר • עוגת גנואה • עוגת דובדבנים • עוגת דאנדי • טארט טאטן • עוגת ירח • פנפורטה • שטרודל • עוגת תפוחים יהודית • עוגת תות |  |
| עוגות שכבות | עוגת מזון מלאכים • באקויט גאטאו • דאקוויז • דובוש • טורט אסטרהאזי • עוגת חלב חם • עוגת קייב • עוגת מריה לואיז • קרמשניט • עוגת הנסיכה • פרינצרגנטנטורטה • עוגת קשת בענן • קק לאפיס סראוואק • ספקקואק • טורט |  |
| עוגות חלולות | באומקוכן • קורטוש • סקאז • ספטטאקהקה • טרדלניק |  |
| עוגות ספוג | באן בו • עוגת באטנברג • בוסטון קרים פאי • שארלוט • עוגת שיפון • דונאוולה • קארנץ • פרנץ' פנסי • עוגת צפרדע • עוגת למינגטון • מדריה • מנטאקאדס • עוגת שיש • עוגת אופרה • עוגת פנדן • עוגה עטופה בנייר • עוגת קטיפה אדומה • עוגת ראם • שורטקייק • עוגת תבלינים • טרס לצ'ס • עוגה הפוכה • עוגת אגוזים וקפה • עוגת דבש |  |
| עוגות בצק עלים | טארט טאטן • סנט אונורה • פיטיבייה • שטרודל |  |
| עוגות קצף | עוגת מזון מלאכים • קסטלה • ז'נואז • בישקוט • עוגיית מדלן • מקצפת • רולדה |  |
| עוגות שמרים | עוגת אקלס • באבקה • לחם בננה • עוגת בנבורי • דובשנית • עוגת וולש • עוגת עקיצת הדבורה • פאנדורו • צ'ורליי • עוגת קברות זבובים • ראם באבה • שטראוסקלוצ'ן • עוגת תמר מצוי ואגוזים |  |
| עוגות אחרות | עוגת יום הולדת • עוגת חתונה • עוגת ליל כל הקדושים • ברמברק |  |
עוגת ז'נואז בשכבות, בציפוי קרם חמאה
עוגת ספוג "ויקטוריה"
"פאנדיספאניה" בגרסה טורקית
עוגת תפוזים גרמנית
עוגת פאונד

| --- | --- |
עוגת פאונד עם שקדים
עוגת פאונד עם שקדים
 
 מאכלים
 סוג:  עוגת חמאה 
 אופן הגשה:  קינוח
 מרכיבים עיקריים:  קמח, חמאה, ביצה, סוכר 
 
עוגת פאונד היא עוגה שבה משתמשים בפאונד (בקירוב 0.45 קילוגרם) עבור כל אחד מרכיביה: קמח, חמאה, סוכר וביצים. למעשה, כל עוגה שבה מתקיים יחס של 1:1:1:1 בין כמות הקמח, הסוכר, הביצים והחמאה שבה יכולה להיחשב לעוגת פאונד, מאחר שהתוצאה תהיה זהה בטעמה. עוגות פאונד לרוב יוכנו בתבניות לחם או בתבניות שיצרו עוגה בעלת צורה טבעתית, ויוגשו עם אבקת סוכר או ציפוי קל כלשהו.
היסטוריה

סבורים שמקורה של העוגה הוא מצפון אירופה ושהחלו להכין אותה משנת 1700 לערך. במהלך השנים, רכיבי העוגה שונו וכל אחד החל להוסיף מרכיבים אחרים כראות עיניו. למשל, אליזה לסלי שהוציאה ספר בישול בשנת 1851, השתמשה בעשר ביצים, הקציפה אותן היטב וערבבה אותן עם פאונד של קמח ולאחר מכן הוסיפה מיץ של שני לימונים או שלושה תפוזים גדולים, מה ששינה את טעמה ומרקמה של עוגת הפאונד הרגילה.
מגוון

לעוגת הפאונד ישנן גרסאות שונות ורבות, כאשר למדינות ולאזורים שונים יש סגנון שונה להכנת העוגה. ביניהם ניתן לכלול הוספת חומרי טעם (תמצית וניל או תמצית שקדים), פירות מיובשים (דוגמת צימוקים או חמוציות), וכן שינויים נוספים שמשנים את מרקם העוגה ואת טעמה הסופי. למשל, אבקת אפייה או סודה לשתייה יכולים לעזור להתפיח את העוגה, וכך תיווצר עוגה יותר קלה ופחות דחוסה. שמן בישול (לרוב שמן צמחי) משמש לעיתים תחליף לחמאה ובא להעניק לעוגה לחות. "עוגת פאונד שמנת חמוצה" היא וריאציה פופולרית של העוגה בארצות הברית, בה נעשה שימוש בשמנת חמוצה במקום החמאה, ושוב באה להעניק לעוגה לחות וטעם מעט חמצמץ. חלק מהמתכונים השונים יוצרים עוגות פאונד בעלות מרקם וטעם שונה לחלוטין מזה של העוגה המקורית, אך הן עדיין נחשבות לעוגות פאונד.
מגוון > סגנון אמריקאי דרומי

זוהי עוגת הפאונד המקורית והבסיסית בה מערבבים פאונד של קמח, עם פאונד של ביצים, חמאה וסוכר. המתכון פופולרי מאוד בקרב מדינות דרום ארצות הברית.
מגוון > סגנון בריטי

עוגת הפאונד מוכרת יותר בבריטניה כעוגת ספוג. לרוב מכינים אותה מחמאה, אבקת סוכר, קמח תופח וביצים ביחסים שווים ביניהם. ניתן להוסיף לעוגה תמצית וניל על מנת להעשיר את טעמה.
מגוון > סגנון צרפתי

בצרפת העוגה מוכרת מאוד. שם העוגה בצרפתית "קוואטרה-קווארטס" פירושו ארבעה רבעים, כלומר משקל שווה של כל אחד מארבעת מרכיבי העוגה. בצרפת לא מוסיפים לעוגה שום תוספת, מלבד מושבות צרפת מעבר לים שם נוהגים להוסיף לעוגה רום או בננות מעוכות על מנת להגביר את לחות העוגה. לעיתים, הצרפתים נוהגים להכין את העוגה רק באמצעות חלבוני ביצים ולא באמצעות ביצים שלמות על מנת ליצור בלילה קלה יותר. במתכונים אחרים מוסיפים שוקולד או מיץ לימון.
מגוון > סגנון מקסיקני

במקסיקו, עוגת הפאונד נקראת "פאנקה". המתכון של הפאנקה המקסיקנית דומה מאוד למתכון של עוגת הפאונד האמריקאית. השוני הוא שבמקסיקו נוטים להוסיף לעוגה אגוזי מלך או צימוקים.
מגוון > סגנון ונצואלי וקולומביאני

"פונקה" היא הגרסה הוונצואלית והקולומביאנית של עוגת הפאונד. המילה פונקה היא שיבוש של המילה בספרדית לעוגת פאונד. הפונקה היא עוגת פאונד המכילה יין וקרם או ציפוי סוכר, והיא פופולרית מאוד בימי הולדת, חתונות ובחגיגות אחרות.
מגוון > סגנון גרמני

בגרמניה קיים קינוח בשם "Eischwerkuchen" ("במשקל ביצה", כל הרכיבים שוקלים כמו משקל הביצים) שהמתכון שלו דומה מאוד למתכון של עוגת הפאונד המקורית.
משפט קנטור

ערך זה עוסק במשפט בתורת הקבוצות. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
גאורג קנטור
משפט קנטור הוא משפט מתמטי בתורת הקבוצות, הקובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת החזקה שלה. בפרט, לכל קבוצה, גם אם היא אינסופית, יש קבוצה גדולה ממנה (במובן מדויק שיוגדר בהמשך). מזה נובע כי אין אינסוף גדול ביותר, ולכן יש אינסוף גדלים אינסופיים השונים זה מזה.
את המשפט הוכיח אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, בשנת 1891. טיעון האלכסון אותו המציא כדי להוכיח את המשפט ותוצאות דומות, מנצל את הסתירות שביסוד פרדוקס הספר ופרדוקס השקרן, ומשמש בתחומים רבים החורגים מתורת הקבוצות.
מושגים

קבוצה היא עצם יסודי במתמטיקה שניתן לתארו כאוסף כלשהו של איברים. לגבי כל איבר וכל קבוצה ייתכנו שתי אפשרויות: האיבר שייך לקבוצה או שאינו שייך לקבוצה.
מושגים > פונקציות

פונקציה מקבוצה  A לקבוצה  B מתאימה לכל איבר ב- A איבר יחיד ב- B. ייתכן שלכמה איברים ב- A מותאם אותו איבר ב- B, וייתכן שיש איברים של  B שאף איבר של  A אינו מותאם להם.
על פונקציה מ- A ל- B נאמר שהיא חד-חד-ערכית, אם לכל שני איברים שונים ב- A מותאמים איברים שונים ב- B. נאמר שהפונקציה היא על  B אם לכל איבר ב- B יש איבר ב- A שהותאם לו. פונקציה ששתי התכונות מתקיימות בה יחדיו נקראת חד-חד-ערכית ועל. פונקציה חד-חד-ערכית ועל מתאימה את שתי הקבוצות זו לזו, כך שלכל איבר באחת מן הקבוצות יש בן זוג יחיד בקבוצה השנייה.
מושגים > השוואת גודלן של קבוצות

קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה סופית  A לקבוצה  B מראה שלשתי הקבוצות יש אותו מספר איברים, משום שלכל איבר מכל אחת מן הקבוצות יש בן זוג יחיד שהותאם לו מהקבוצה השנייה. אפשר לספור את איברי שתי הקבוצות יחד. קנטור הבין שניתן להשתמש ברעיון הזה כדי להשוות גם בקבוצות אינסופיות בגודלן. נניח כי  A,B הן קבוצות כלשהן (אולי אינסופיות). אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ- A ל- B נאמר שהקבוצות האלה שקולות, ונסמן  A\sim B. השקילות בין הקבוצות מבטאת, על-פי קנטור, את הרעיון שיש להן אותו מספר של איברים. אם שתי קבוצות  A,B הן שקולות, מסמנים  |A|=|B|. על הסימן  |A| חושבים כאילו הוא מסמן את מספר האיברים בקבוצה  A, שיכול להיות אינסופי. זוהי העוצמה של  A.
מן המקרה של קבוצות סופיות ידוע לנו שהעוצמה של קבוצה אחת יכולה להיות גדולה מן העוצמה של קבוצה אחרת. למשל, בקבוצה עם ארבעה איברים יש יותר איברים מאשר בקבוצה עם איבר אחד. רעיון זה מתבטא בעובדה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על מהקבוצה השנייה לראשונה. באופן כללי לכל שתי קבוצות  A,B נאמר כי  |A|\leq |B|, אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית (שאינה בהכרח על) מ- A ל- B. כלומר  B גדולה (או שווה) מ- A אם אפשר להתאים לכל איבר ב- A בן זוג יחיד ב- B, גם אם נשארים איברים של  B שלא הותאם להם בן זוג. אם מתקיים  |A|\leq |B| וגם  |A|\neq |B|, אז נאמר כי  |A|<|B|. משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע שאם  |A|\leq |B| וגם  |A|\geq |B|, אז  |A|=|B| (המשפט הזה אינו מובן מאליו: הוא טוען שאם יש פונקציה חד-חד-ערכית מ- A ל- B, ופונקציה חד-חד-ערכית מ- B ל- A, אז יש גם פונקציה שהיא בו-זמנית חד-חד-ערכית ועל).
מושגים > סימונים

קבוצה  C תקרא תת-קבוצה של  A, אם כל איבר של  C הוא גם איבר של  A. קבוצת כל התת-קבוצות של  A נקראת קבוצת החזקה של  A, אשר לה ניתן הסימון  {\mathcal {P}}(A) (אם כי לפעמים משתמשים גם בסימון  2^{A}).
קבוצה מסמנים על פי רוב באות לטינית גדולה. אם רוצים לפרט את איברי הקבוצה כותבים אותם בתוך סוגריים מסולסלים, כשהם מופרדים בפסיקים. למשל  \{a,b,c\} היא קבוצה שאיבריה הם  a,b,c. דרך נוספת לציון קבוצה היא ציון תנאי שאיברי הקבוצה מקיימים. למשל  \{x:1<x<3\} היא קבוצת המספרים שבין 1 ל-3, ואילו  \{p^{2}:p{\text{ is prime}}\} היא קבוצת המספרים שהם ריבועים של המספרים הראשוניים.
אם  a הוא איבר של הקבוצה  A מסמנים זאת  a\in A, ואם הוא אינו איבר של  A מסמנים זאת  a\notin A.
פונקציה מ- A ל- B מסמנים  f:A\to B. את האיבר ב- B שהפונקציה מתאימה לאיבר  a ב- A מסמנים  f(a). למשל הפונקציה  f שמתאימה לכל מספר טבעי את העוקב שלו מוגדרת לפי החוק  f(n)=n+1, אבל ישנן פונקציות מסובכות, שלא ניתן לכתוב להן חוקים מסוג זה.
אם  C תת-קבוצה של  A, כלומר כל איבר של  C הוא גם איבר של  A, מסמנים  C\subseteq A.
הקבוצה הריקה היא קבוצה שאין בה אף איבר והיא מסומנת כך  \emptyset =\{\ \}. לכל קבוצה שהיא A מתקיים  \emptyset \subseteq A.
לפי הסימונים שהצגנו עתה, ניתן להגדיר את קבוצת החזקה של  A כך:  {\mathcal {P}}(A)=\{C:C\subseteq A\}.
נוסח המשפט

משפט קנטור. לכל קבוצה  A (סופית או אינסופית), מתקיים  |A|<|{\mathcal {P}}(A)|.
לבו של המשפט בטענה שהקבוצות  A ו- P(A) אינן שקולות זו לזו, אפילו כאשר  A אינסופית. הוא מראה שלא כל הקבוצות האינסופיות הן שוות עוצמה, ושלמעשה לכל קבוצה אינסופית ניתן למצוא קבוצה עם עוצמה גדולה יותר.
הוכחת המשפט

הוספה נאיבית של איברים לקבוצה אינסופית  A אינה משנה את העוצמה גם אם ניקח שתי קבוצות אינסופיות מעוצמה זהה, ונאחד אותן, עוצמת האיחוד תהיה שווה לעוצמה של כל אחת מהקבוצות בנפרד. אפילו עוצמתה של קבוצת המספרים הרציונלים (הכוללת את כל השברים) זהה לעוצמת קבוצת המספרים הטבעיים לבדם (להוכחה ראו כאן וכאן). עם זאת, טוען המשפט, קבוצת החזקה היא בעלת עוצמה גדולה יותר.
תהי  A קבוצה כלשהי. הפונקציה  g(a)=\{a\} לכל  a\in A היא פונקציה חד-חד-ערכית מ- A ל- {\mathcal {P}}(A), ולכן  |A|\leq |{\mathcal {P}}(A)|.
נותר אם כך להוכיח כי  |A|\neq |{\mathcal {P}}(A)|. נניח בשלילה כלומר כי  |A|=|{\mathcal {P}}(A)|, ונראה כי הדבר מוביל לסתירה.
אם  |A|=|{\mathcal {P}}(A)|, הרי שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל  f:A\to {\mathcal {P}}(A) (למעשה אין צורך בהנחה שהפונקציה חד-חד-ערכית; ההוכחה מראה שאפילו פונקציה על בלבד אינה אפשרית).  f מתאימה לכל  a\in A תת-קבוצה של  A, ומכסה באופן הזה את כל התת-קבוצות. לכן לכל  a\in A ייתכנו שתי אפשרויות: או שהוא איבר של התת-קבוצה המתאימה לו, או שלא.
נגדיר קבוצה  D={\bigl \{}a\in A:a\notin f(a){\bigr \}}, המורכבת מכל אותם איברי  A שאינם איברי התת-קבוצה המתאימה להם. מכאן  D\subseteq A. לפי ההנחה קיים  d\in A עבורו  f(d)=D.
עתה נשאלת השאלה האם  d\in f(d)=D? אם נניח  d\in D אז  d איבר בקבוצה שהותאמה לו, ולכן  d\notin D. אם נניח  d\notin D אז  d אינו איבר בקבוצה שהותאמה לו, ולכן  d\in D.
בשני המקרים הגענו לסתירה, ולכן ההנחה הראשית שלנו חייבת להיות שגויה. מכאן  |A|\neq |{\mathcal {P}}(A)| ולכן  |A|<|{\mathcal {P}}(A)|.
הוכחת המשפט > הסבר אינטואיטיבי

הפילוסוף והחידונאי ריימונד סמוליאן, בספרו "מה שמו של ספר זה?", מציג גרסה אינטואיטיבית להוכחה. הגרסה המופיעה כאן מבוססת על גרסה זו. כל קבוצה אפשרית של תושבים ביקום (שגודלו עשוי להיות אינסופי) יוצרת לה מועדון (התושבים הם איברי  A, והמועדונים הם איברי  {\mathcal {P}}(A)). נניח שכל מועדון נקרא על שם אחד התושבים (זוהי ההנחה שקיימת פונקציה על בין הקבוצות). נקים את המועדון שחבריו הם כל התושבים שאינם חברים במועדון הקרוי על שמם. מועדון זה, ככל מועדון אחר, חייב להיקרא על שם אחד התושבים – למשל גראוצ'ו. אם גראוצ'ו חבר במועדון, הרי שהוא חבר במועדון הנקרא על שמו, בסתירה להגדרת המועדון; אבל אם הוא לא חבר במועדון, הרי שהוא מקיים את תנאי הקבלה היחיד למועדון, ונעשה בו חבר באופן אוטומטי. סתירה זו מעידה כי ההנחה שאפשר לקרוא כל מועדון על שם תושב, מוטעית. האינסוף של המועדונים גדול יותר מן האינסוף של התושבים.
נוסח שקול

לפונקציה  f\colon A\to \{0,1\} (כלומר פונקציה שמתאימה לכל איבר ב- A את המספר 0 או 1) קוראים פונקציה מציינת. מקובל לסמן את קבוצת כל הפונקציות מ- A ל- B בסימון  B^{A}. על כן קבוצת הפונקציות המציינות של קבוצה  A היא  \{0,1\}^{A}.
נשים לב כי  \{0,1\}^{A}\sim {\mathcal {P}}(A). זאת משום שלכל פונקציה מציינת ניתן להתאים את התת-קבוצה של  A שהפונקציה המציינת מתאימה לאיבריה (ורק לאיבריה) את המספר 1, ולשאר האיברים היא מתאימה 0. לכן משפט קנטור קובע כי  |A|<|\{0,1\}^{A}| (למעשה זהו הנוסח של קנטור במקור).
מגדירים את פעולת החזקה בין עוצמות באופן הבא:  |B|^{|A|}=|B^{A}|. הגדרה זו מכלילה את ההגדרה הרגילה לחזקה בין מספרים טבעיים, ומתלכדת עימה כאשר היא מופעלת על טבעיים (ראו חזקה: קבוצות ועצמות). בהתאם להגדרה זו:  |\{0,1\}^{A}|=|\{0,1\}|^{|A|}=2^{|A|}.
על כן נוכל לנסח את משפט קנטור גם באופן הבא: לכל עוצמה  |A| מתקיים:  |A|<2^{|A|}.
מקרים פרטיים > קבוצות סופיות

אם  A היא קבוצה סופית בעלת  n איברים ( |A|=n), אז  |{\mathcal {P}}(A)|=2^{n}. תוצאה זו מתקבלת משיקול קומבינטורי פשוט: בהינתן תת-קבוצה שרירותית של  A, לגבי כל איבר ב- A יש שתי אפשרויות: או שהוא איבר של התת-קבוצה או שהוא לא. מעקרון הכפל מקבלים שיש:  2\cdot 2\cdots 2=2^{n} אפשרויות לכל  n האיברים יחדיו, ולכן זהו מספר התת-קבוצות (כאמור בפרק הקודם, תוצאה זו נכונה אפילו לעוצמות אינסופיות).
לכן משפט קנטור לקבוצות סופיות קובע את האי-שוויון הידוע  \ n<2^{n}, לכל  n טבעי. אי-שוויון זה ניתן להוכחה בפשטות באינדוקציה, ולכן עיקר העניין במשפט קנטור הוא בהשלכותיו לגבי קבוצות אינסופיות.
מקרים פרטיים > קבוצת המספרים הטבעיים והאלכסון של קנטור

ישנו עניין מיוחד במשפט קנטור כאשר הוא מופעל על קבוצת המספרים הטבעיים,  \{0,1,2,3,\ldots \}. הסימון לקבוצת המספרים הטבעיים הוא  \mathbb {N} . קנטור בחר לסמן את העוצמה של  \mathbb {N} , שהיא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר, בסימון אָלֶף אֶפֶס:  |\mathbb {N} |=\aleph _{0}. משפט קנטור מראה כי  |\mathbb {N} |<|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|, או באופן שקול:  \aleph _{0}<2^{\aleph _{0}}.
במקרה הזה ניתן להציג את הוכחת משפט קנטור באופן מוחשי יותר, שממנו גם ברור השם "לכסון". הוכחת המשפט נפתחת בהנחה שקיימת פונקציה חד חד ערכית ועל  f\colon \mathbb {N} \to {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ). ניתן להציג פונקציה שכזו כסדרה אינסופית של איברי  {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ), כך:  A_{0},A_{1},A_{2},\ldots . כאשר מוסכם ש- f(n)=A_{n} (למעשה זוהי ההגדרה הפורמלית של סדרה). כעת מגדירים את הקבוצה הבעייתית  D=\{n\in \mathbb {N} \mid n\not \in A_{n}\}. לפי ההנחה קיים  m כך ש- A_{m}=D, אך זה לא ייתכן, כי כזכור, נובע מכך שמתקיים בו זמנית  m\in A_{m} ו- m\not \in A_{m}.
את הטיעון הנ"ל ניתן גם להציג כך: נציג כל  A שהוא איבר של  {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ) כסדרה אינסופית של ספרות באופן הבא: הספרה ה- n בסדרה (החל מ-0) תהיה 1 אם  n\in A, ואילו אם  n\not \in A היא תהיה 0. למשל הקבוצה  \{0,1,2,4,8,\ldots \} תוצג בצורה:  1\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ 0\ 0\ 1\ldots .
את הסדרה  A_{0},A_{1},A_{2},\ldots  ניתן להציג כרשימה אינסופית של הייצוגים של כל אחד מאיברי הסדרה כסדרת ספרות. למשל את:
נציג בצורה:
כעת נשים לב כיצד נבנה  D. לפי ההגדרה, אם  n\not \in A_{n}, אז הספרה ה- n בייצוג של  D היא 1. ואילו אם  n\in A_{n} אז הספרה ה- n בייצוג של  D היא אפס. במילים אחרות, הספרה ה- n של  D היא בדיוק ההפך מהספרה ה- n של  A_{n}. במסגרת הדוגמה שלנו נוכל להמחיש זאת כך:
לא ייתכן כי קיים  A_{m} כך ש- A_{m}=D, כי  D בהכרח נבדל מ- A_{m} בספרה ה- m בייצוג שלו.
טיעון האלכסון שהוצג זה עתה קרוי האלכסון של קנטור. הוא הוצג על ידי קנטור באותו מאמר בו הציג את משפט קנטור, וחשיבותו חורגת מהיותו מקרה פרטי של משפט קנטור. זאת משום שהסדרות של הספרות המייצגות כאן תת-קבוצות של  \mathbb {N} , יכולות באותה מידה לייצג מספרים ממשיים בין 0 ל-1, שסדרת הספרות היא הכתיב הבינארי (אחרי הנקודה) שלהם (למשל  10000\ldots  מייצג את 0.1 שהוא חצי בכתיב בינארי). כאשר מציגים את האלכסון של קנטור כהוכחה לאי-שקילות קבוצת המספרים הטבעיים  \mathbb {N}  לקבוצת המספרים הממשיים  \mathbb {R}  (עובדה שיכולה להפתיע, שכן  \mathbb {N}  שקולה ל- \mathbb {Q} , שהיא קבוצת המספרים הרציונליים) נהוג, לשם הנוחות, להשתמש בהצגה של המספרים בבסיס עשרוני (מבחינה היסטורית, קנטור הוכיח לראשונה את האי-שקילות של הטבעיים והממשיים 17 שנה קודם, בשיטה מוכרת פחות).
עוצמת המספרים הממשיים (השווה גם לעוצמת הממשיים שבין 0 ל-1 בלבד) קרויה עוצמת הרצף, ומקובל לסמנה  \aleph . העובדה שהן את הממשיים והן את התת-קבוצות של  \mathbb {N}  ניתן לבטא כרצפי ספרות אינסופיים, מעידה כי  \mathbb {R}  ו- {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ) שקולות. לכן  2^{\aleph _{0}}=\aleph .
מקרים פרטיים > קבוצת כל הקבוצות

בתורת הקבוצות הנאיבית ניתן להגדיר את "קבוצת כל הקבוצות"  U שכל קבוצה שהיא היא איבר שלה (כולל היא עצמה). באמצעות משפט קנטור ניתן להראות שהגדרה זו מובילה לפרדוקסים. כדי לפתור את הפרדוקסים פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית שבמסגרתה בלתי אפשרי להגדיר קבוצות בעייתיות כגון  U.
שני הפרדוקסים הידועים ביותר הם:
הפרדוקס של קנטור, שהתגלה על ידי קנטור עצמו מעט לאחר שפרסם את משפט קנטור. הפרדוקס נוצר מניסיון להפעיל את משפט קנטור על  U.
הקבוצה  {\mathcal {P}}(U) היא קבוצה שכל איבריה הם קבוצות. בפרט היא תת-קבוצה של  U. לכן הפונקציה החד-חד-ערכית  f:{\mathcal {P}}(U)\to U המוגדרת  f(A)=A קיימת ומוגדרת היטב. מכאן ש- |P(U)|\leq |U|. מצד שני, לפי משפט קנטור מתקיים להפך  |P(U)|>|U|.
הפרדוקס של ראסל, שהוצג על ידי המתמטיקאי ברטראנד ראסל בשנת 1901 ושואב השראה מהוכחת משפט קנטור. ואכן, ניתן לראות בפרדוקס של ראסל מקרה פרטי של הוכחת משפט קנטור לגבי הקבוצה  U. כאמור, הפונקציה  f(A)=A היא פונקציה חד-חד-ערכית מ- {\mathcal {P}}(U) ל- U. אולם מעקב אחרי שלבי הוכחת קנטור יוביל אותנו למסקנה שפונקציה שכזו לא תיתכן. נגדיר את  D=\{a\in U\mid a\not \in f(a)\}=\{a\mid a\not \in a\}. כעת נקבל שאם  D\in D אז  D\not \in D, ואילו אם  D\not \in D אז  D\in D.
מסקנות והשלכות > שימושים

מעבר לשימוש בתורת הקבוצות כתחום מחקר בפני עצמו, משפט קנטור משמש גם בתחומים אחרים של המתמטיקה. נביא דוגמה ממדעי המחשב ודוגמה מאנליזה מתמטית.
מסקנות והשלכות > שימושים > בעיות הכרעה

תורת החישוביות היא תחום יסודי במדעי המחשב החוקר את היכולות והמגבלות של כל המחשבים באשר הם. בעיית הכרעה היא שאלה, שבהינתן קלט כלשהו, יש לה תשובה של "כן" או "לא" (למשל האם מספר טבעי נתון הוא מספר זוגי). שאלה מרכזית בתורת החישוביות היא האם כל בעיית הכרעה ניתנת לפתרון על ידי תוכנית מחשב כלשהי. בהסתמך על משפט קנטור ניתן להראות שהתשובה שלילית.
כל קלט (סופי) אפשרי הנתון בשפה כלשהי ניתן לקודד (לייצג) כמספר טבעי. קידוד שכזה נקרא מספור גדל ומחשבים מודרניים מיישמים אותו על ידי קידוד בינארי. בהינתן קידוד שכזה, לכל בעיית הכרעה ניתן להגדיר את הקבוצה  A הכוללת את כל המספרים הטבעיים שמקודדים קלטים שלגביהם התשובה לבעיה היא "כן". ולהפך, לכל קבוצה של מספרים טבעיים  A ניתן להגדיר בעיית הכרעה שמשיבה "כן" על כל הקלטים המקודדים על ידי מספר טבעי שנמצא ב- A. במילים אחרות, את קבוצת כל בעיות ההכרעה ניתן לזהות עם קבוצת כל התת-קבוצות של הטבעיים,  {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ).
מצד שני, כל תוכנית מחשב היא רצף סופי של סימנים של שפת תכנות. לכן כל תוכנית מחשב ניתן לקודד כמספר טבעי יחיד (ואכן בפועל כל תוכנית מחשב בשפה מסוימת מתרגמת לקידוד בינארי שונה בשפת מכונה). מכאן שקבוצת כל תוכניות המחשב שקולה ל- \mathbb {N} .
משפט קנטור קובע ש- |\mathbb {N} |<|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|, ולכן יש הרבה יותר בעיות הכרעה מאשר תוכניות מחשב. מכאן שישנן בעיות הכרעה (ולמעשה, כמעט כל בעיות ההכרעה) שאינן ניתנות לפתרון על ידי אף תוכנית מחשב. הדוגמה המוכרת ביותר לבעיית הכרעה שאין תוכנית הפותרת אותה היא בעיית העצירה. אלן טיורינג הוכיח זאת בשנת 1936 בשיטת האלכסון. דוגמאות רבות נוספות מגיעות ממשפט רייס.
טיעון דומה קובע שמרבית המספרים הממשיים אינם ניתנים לחישוב. זאת מכיוון שעוצמת החישובים האפשריים היא  |\mathbb {N} | (שכן כל חישוב יכול להעשות על ידי תוכנית מחשב), ואילו לפי האלכסון של קנטור, עוצמה זו קטנה מעוצמת הממשיים.
מסקנות והשלכות > שימושים > פונקציות רציפות

פונקציה רציפה היא פונקציה ממשית  f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}  (פונקציה מקבוצת המספרים הממשיים לעצמה) שיש לה את התכונה שככל שמתקרבים לנקודה (מספר ממשי) כלשהי  x, ערכי הפונקציה הולכים וקרבים ל- f(x), שהוא ערך הפונקציה בנקודה  x (הגרף של פונקציות רציפות הוא קו רציף, ומכאן שמן). את קבוצת הפונקציות הרציפות מקובל לסמן  C, ואילו קבוצת הפונקציות הממשיות כולן היא  \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }. נראה כי  |C|<|\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|, כלומר כמעט כל הפונקציות הממשיות אינן רציפות.
ראשית נמצא את  |C|. הערכים שפונקציה רציפה מקבלת בכל נקודה בישר הממשי נקבעים על ידי הערכים שהיא מקבלת בנקודות הרציונליות. זאת משום שהמספרים הרציונליים צפופים בישר, ולכן ניתן לקבל את הערך בכל נקודה אי-רציונלית כגבול של סדרת הערכים בנקודות רציונליות המתקרבת לנקודה (פורמלית: לכל  a ממשי, בהינתן סדרת רציונליים  x_{n}\to a, מתקיים  f(a)=\lim _{n\to \infty }f(x_{n})). מכאן שיש פונקציה חד-חד-ערכית מ- C לקבוצת הפונקציות מהרציונליים לממשיים  \mathbb {R} ^{\mathbb {Q} }, ולכן  |C|\leq |\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} }|. קבוצת הרציונליים שקולה לקבוצת הטבעיים, ולכן בעזרת כללי אריתמטיקה של עוצמות (ומהזהות  \aleph _{0}\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0} הנובעת מפונקציית הזיווג של קנטור) נקבל:
מצד שני, לכל מספר ממשי  a ניתן להתאים את הפונקציה הקבועה  f(x)=a שהיא רציפה. מכאן ש- |C|\geq |\mathbb {R} |=\aleph . ממשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין נקבל  |C|=\aleph .
נעבור ל- \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }. קבוצה זו כוללת בין השאר כל פונקציה מציינת של  \mathbb {R} . קבענו כבר כי עוצמת קבוצת הפונקציות המציינות של  \mathbb {R}  היא  2^{|\mathbb {R} |}=2^{\aleph }. לכן  |\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|\geq 2^{\aleph } (למעשה מתקיים  |\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|=2^{\aleph }
,,).
לפי משפט קנטור  \aleph <2^{\aleph }, ולכן  |C|<|\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|.
תוצאה זו תקפה, באותה מידה ומאותם שיקולים, לקבוצת הפונקציות שיש להן לכל היותר מספר בן מנייה של נקודות אי רציפות. שיקולי עוצמות הם גסים מידי מכדי להראות שרוב הפונקציות אינן רציפות באף נקודה. לשם כך דרושים כלים עדינים יותר מתחום הטופולוגיה.