stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
אלגברה ליניארית
מושגי יסוד > טנזורים

בהינתן שני מרחבים וקטוריים  V ו־ W ניתן להגדיר מרחב וקטורי  V\otimes W כך שאוסף התבניות הבי-ליניאריות  V\times W\to F יהיה איזומורפי קנונית לאוסף הפונקציונלים על  V\otimes W. באופן כללי יותר, עבור כל מרחב וקטורי  L אוסף ההעתקות הביליניאריות  V\times W\to L איזומורפי קנונית לאוסף ההעתקות הליניאריות  V\otimes W\to L.
המרחב  V\otimes W נקרא המכפלה הטנזורית של  V ו־ W. במקרה ש־ V ו־ W מממד סופי ניתן להגדיר את  V\otimes W בתור המרחב הדואלי של מרחב התבניות הביליניאריות  V\times W\to F.
בהינתן איבר  v\in V ואיבר  w\in W, ניתן להגדיר איבר מתאים ב־ V\otimes W. איבר זה מסומן ב־ v\otimes w ונקרא המכפלה הטנזורית של איבר  v ואיבר  w.
איברים במכפלה הטנזורית נקראים טנזורים. בדרך כלל המלה טנזור מיתיחסת לאיברים במרחב
 V^{\otimes k}\otimes (V^{*})^{\otimes l}:=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{{\text{ םימעפ }}k}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{{\text{ םימעפ }}l}.מספר ההופעות של  V נקרא הקונטרה-וריאנטיות של הטנזור ומספר ההופעות של  V^{*} נקרא הקו-וריאנטיות שלו. הסכום של שני מספרים אלה נקרא דרגת הטנזור.
בהינתן שני טנזורים  t_{1}\in V^{\otimes k_{1}}\otimes (V^{*})^{\otimes l_{1}} ו־ t_{2}\in V^{\otimes k_{2}}\otimes (V^{*})^{\otimes l_{2}}, ניתן להכפיל אותם טנזורית ולקבל טנזור:
בדומה להעתקות ליניאריות, גם טנזורים ניתן ליצג על ידי טבלאות של מספרים, אך בשונה מהעתקות ליניארית טבלאות אלה יהיו רב ממדיות (הממד הוא כמעלת הטנזור). בהקשרים מסוימים (בעיקר בפיזיקה ומדעי הנתונים) המלה טנזור מתייחסת לטבלאות אלה. הקשר בין מושג זה של טנזור והמושג שהוצג מעלה הוא כמו הקשר בין מטריצה לבין העתקה ליניארית.
בדומה לתבניות, גם טנזורים יכולים להיות סימטריים ואנטי-סימטריים. תכונת הסימטריה והאנטי-סימטריה של הטנזור יכולה להתייחס לחילוף של כל זוג קומפוננטות של הטנזור מאותה וריאנטיות. אוסף כל הטנזורים הסימטריים (לכל חילוף) הקונטרה וריאנטיים מדרגה  k על מרחב  V נקרא החזקה הסימטרית ה־ k של  V ומסומן ב־ Sym^{k}(V). אוסף כל הטנזורים האנטי-סימטריים (לכל חילוף) הקונטרה וריאנטיים מדרגה  k על מרחב  V נקרא החזקה החיצונית ה־ k של  V ומסומן ב־ \Lambda ^{k}(V). קיימות גרסאות של מכפלה טנזורית של טנזורים עבור טנסורים סימטריים ואנטי-סימטריים. הן נקראות מכפלה סימטרית ומכפלה חיצונית בהתאמה.
תוצאות מרכזיות > תורת הממד

לכל מערכת משוואות ליניאריות הומוגניות עם פחות משוואות מנעלמים יש פתרון לא טריוויאלי (לא כל הנעלמים אפסים). זוהי למה בסיסית באלגברה ליניארית, שניתן להוכיח למשל על ידי דירוג. משפטים רבים באלגברה ליניארית מתבססים על למה זאת.
במרחב ליניארי, גודל קבוצת וקטורים בלתי תלויה (אנ') לעולם לא יעלה על גודלה של קבוצת וקטורים פורשת. קל להסיק טענה זאת מהטענה הקודמת.
כל שני בסיסים במרחב ליניארי הם באותו הגודל. קל להסיק טענה זאת מהטענה הקודמת.
לכל מרחב ליניארי יש בסיס. אם למרחב הליניארי יש קבוצה פורסת סופית אז הוא נקרא מרחב מממד סופי וטענה זאת קלה להוכחה. אחרת ההוכחה יותר מסובכת והוכחתה משתמשת באקסיומת הבחירה.
שתי הטענות האחרונות גוררות שהמושג של ממד של מרחב ליניארי מוגדר היטב.
מיון של מרחבים ליניארים עד כדי איזומורפיזם: כל מרחב ליניארי מממד n מעל שדה  F איזומורפי ל- F^{n}. משפט זה מנוסח בדרך כלל עבור מרחבים ממד סופי אך תקף (בהנחת אקסיומת הבחירה) גם למרחבים מממד אינסופי.
תכונות של ממד:
מונוטוניות:  W\subset V\Rightarrow \dim W\leq \dim V.
אדיטיביות:  \dim V=\dim W+\dim(V/W).
משפט הממדים שהוזכר מעלה.
תוצאות מרכזיות > העתקות ומטריצות

מיון של העתקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים: לאחר שבוחרים בסיס בשני המרחבים, אוסף ההעתקות האלה מזדהה עם אוסף המטריצות מהגודל המתאים.
נוסחת החלפת בסיס: בהינתן שני מרחבים  V ו־ W, הזיהוי הנ"ל תלוי בבחירת הבסיסים של  V ו־ W. שינוי בסיס באחד המרחבים יגרום לכך שהמטריצה שמייצגת את האופרטור תוכפל מאחד הצדדים (בהתאם למרחב בו אנו משנים את הבסיס) במטריצה הנקראת מטריצת מעבר בין הבסיסים.
מיון של העתקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים עד כדי שינוי בסיס בכל אחד מהמרחבים. מיון זה מאפשר להבין את המבנה הפנימי של ההעתקות השונות. קל להסיק מיון זה מדירוג מטריצות. המבנה של ההעתקה במובן זה נקבע על ידי הדרגה שלה, זאת אומרת מממד התמונה שלה. במילים אחרות: שתי העתקות בעלות אותה דרגה מתקבלות זו מזו על ידי הכפלת הבסיס בתחום ובטווח.
תכונות של דרגה:
סב-אדיטיביות:  rk(A+B)\leq rk(A)+rk(B). הסימון  rk מסמן דרגה.
rk(A)=rk(A^{t})
משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות שהוזכר למעלה.
מיון של העתוקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים עד כדי שינוי בסיס באחד מהמרחבים. מיון זה נובע בקלות מדירוג. המיון מאפשר להבין את אוסף תתי המרחבים של מרחב נתון.
פירוק מטריצה למטריצות אלמנטריות: כל מטריצה (ריבועית) הפיכה ניתן לכתוב כמכפלה של מטריצות אלמנטריות (ריבועיות). באופן כללי יותר, כל מטריצה ניתן לכתוב כמכפלה של מטריצות אלמנטריות מטריצה מהצורה
\left({\begin{matrix}Id_{n\times n}&0_{n\times k}\\0_{l\times n}&0_{l\times k}\end{matrix}}\right)
תכונות של דטרמיננטה:
התנהגות תחת פעולות שורה: הוספה של שורה אחת לאחרת לא משנה את הערך של הדטרמינטה. כפל של שורה בסקלר מכפילה את הדטרמיננטה באותו סקלר. תכונה זאת (יחד עם הזהות  \det(Id)=1) מגדירה את הדטרמיננטה ביחידות.
כפליות:  \det(AB)=\det(A)\det(B)
\det(A)=\det(A^{t})
התנהגות תחת פעולת עמודות אנלוגית לחלוטין להתנהגות תחת פעולת שורות.
קריטריון הפיכות: מטריצה הפיכה אם"ם הדטרמינטה שלה לא מתאפסת.
תוצאות מרכזיות > צורות קנוניות

מיון של ההעתקות הליניאריות ממרחב ליניארי (מממד סופי) לעצמו, עד כדי שינוי בסיס. מיון זה מאפשר להבין את המבנה הפנימי של ההעתקות השונות. כאשר מחליפים בסיס במרחב ליניארי המטריצה של אופרטור ליניארי מהמרחב לעצמו עוברת הצמדה, קרי כפל במטריצה מימין ובהופכית שלה משמאל. מעל שדה סגור אלגברית מיון זה נתון על ידי צורת ז'ורדן. במקרה הכללי הוא נתון על ידי הצורה הרציונלית הקנונית.
פירוק ז'ורדן-שבלה (אנ') : מעל שדה מושלם, כל אופרטור ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שני אופרטורים מתחלפים, כאשר האחד פשוט למחצה (זאת אומרת הוא ניתן לליכסון מעל הסגור האלגברי של השדה) והשני נילפוטנטי.
פירוק ז'ורדן-שבלה הכפלי: מעל שדה מושלם, כל אופרטור הפיך ניתן להציג באופן יחיד כמכפלה של שני אופרטורים מתחלפים, כאשר האחד פשוט למחצה והשני אוניפוטנטי (אנ') (זאת אומרת אופרטור הזהות פלוס אופרטור נילפוטנטי).
משפט קיילי-המילטון: המשפט מראה שהפולינום האופייני של מטריצה מאפס אותה. מכאן שהפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. למשפט זה שימושים רבים באלגברה. ניתן להסיק אותו בקלות מהצורה הקנונית של המטריצה וגם יש לו מספר הוכחות ישירות.
תוצאות מרכזיות > מרחבי מכפלה פנימית

מיון של מרחבי מכפלה פנימית (מעל  \mathbb {R}  או  \mathbb {C} ) עד כדי איזומורפיזם: לכל מרחבי מכפלה פנימית יש בסיס אורתונורמלי. מכאן שכל שני מרחבי מכפלה פנימית מאותו ממד איזומורפיים. האלגוריתם למציאת בסיס אורתונורמלי נקרא תהליך גרם-שמידט.
המשפט הספקטרלי להעתקות נורמליות: במרחב מכפלה פנימית מממד סופי כל אופרטור נורמלי ניתן לליכסון על ידי מטריצה אורתגונלית/אוניטרית. למשפט יש גרסאות כלליות יותר באנליזה פונקציאנלית.
תוצאות מרכזיות > תבנית ביליניאריות

מיון של תבניות ריבועיות (או באופן שקול תבניות ביליניאריות סימטריות) עד כדי חפיפה: שתי תבניות נקראות חופפות אם אפשר לעבור מאחת לשנייה על ידי החלפת בסיס. במילים אחרות, אם יש איזומורפיזם שמעביר תבנית אחת לשנייה. מעל \mathbb {R} משפט סילבסטר נותן מיון כזה. למשפט גם גרסאות לשדה כללי.
מיון של תבניות הרמיטיות: מיון זה אנלוגי למיון של תבנית ריבועיות.
מיון של תבניות אנטיסימטריות עד כדי חפיפה: מעל כל שדה דרגה, של תבנות אנטיסימטרית חיבת להיות זוגית. כל שתי תבניות אנטיסימטריות בעלות אותה דרגה חופפות, וכל מספר זוגי הקטן מממד המרחב יכול להית דרגה של תבנית על מרחב זה.
תוצאות מרכזיות > פירוקי מטריצות

מלבד הפירוקים שהוזכרו מעלה, יש עוד מספר פירוקים חשובים ושימושיים של מטריצות למכפלת מטריצות מצורה מסוימת. רובם מתייחסים למטריצות ריבועיות אך לחלקם יש גרסאות גם למטריצות מלבניות.
פירוק ברוהה (Bruhat) – כל מטריצה הפיכה אפשר לכתוב כמכפלה של מטריצה משולשית עליונה, מטריצת תמורה ומטריצה משולשית עליונה. פירוק זה הוא מקרה פרטי של פירוק בעל אותו שם התקף כאשר מחליפים את חבורת המטריצות ההפיכות בכל חבורה רדוקטיבית.
פירוק LU – מפירוק ברוהה קל להסיק שכמעט כל מטריצה נתנת להצגה כמכפלה של מטריצה משולשית תחתונה ומטריצה משולשית עליונה. בהקשר זה הביטוי "כמעט כל" אומר "עבור קבוצה זריצקי פתוחה וצפופה של מטריצות". אם שדה הבסיס הוא שדה מקומי (לדוגמה  \mathbb {R} ,  \mathbb {C}  או  \mathbb {Q} _{p}) אז מכאן נובע שהטענה מתקיימת עבור קבוצה פתוחה צפופה של מטריצות בטופולגיה "הרגילה" (ז"א בטופולוגיה המושרית מהשדה).
פירוק QR – כל מטריצה מרוכבת (או ממשית) ניתן להציג כמכפלה של מטריצה משולשית ומטריצה אוניטרית (או אורתוגונלית, במקרה הממשי). קל להסיק את פירוק זה מתהליך גרם-שמידט – לפירוק זה הכללות עבור חבורת רדוקטיביות מעל שדות מקומיים, הנקראות פירוק איווסווה ופירוק קרטן.
פירוק לערכים סינגולריים – כל מטריצה ממשית אפשר לפרק למכפלה של מטריצה אורתוגונלית, מטריצה אלכסונית שעברי האלכסון בה עולים, ושוב מטריצה אורתוגונלית. לפירוק זה גם אנלוג למקרה המרוכב בעל אותו שם. הפירוק נקרה לעיתים בקיצור פירוק SVD (ראשי תיבות של השם באנגלית: Singular Value Decomposition). לפירוק גם גרסה כללית התקפה לחבורה רדוקטיבית מעל שדה מקומי, הנקראת פירוק קרטן.
פירוק פולרי – כל מטריצה ממשית ניתן לפרק באופן יחיד למכפלה של מטריצה אורתוגונלית ומטריצה סימטרית חיובית לחלוטין. לפירוק גם גרסה למטריצות מרוכבות. ניתן לראות בפירוק זה הכללה של קואורדינטות קוטביות במישור המרוכב. קל להסיק את קיומו של פירוק SVD מפירוק זה.
פירוק פולרי למטריצות נורמליות – אם המטריצה היא נורמלית אז הפירוק הוא לשתי מטריצות מתחלפות.
תוצאות מרכזיות > תכונות של מכפלה טנזורית

Hom(V,Hom(W,L))\cong Hom(V\otimes W,L).
יש שיכון קנוני V^{*}\otimes W\hookrightarrow Hom(V,W) .
אם  V ו־ W מממד סופי אז שיכון זה הוא איזומורפיזם.
באופן כללי יותר, התמונה של שיכון זה הוא אוסף האפרטורים מדרגה סופית (זאת אומרת שהתמונה שלהם מממד סופי).
שימושים

אלגברה ליניארית היא תחום בסיסי ביותר במתמטיקה. חלק ניכר מהמתמטיקה מתבסס על אלגברה ליניארית באופן כלשהו. האלגברה הליניארית לצידה של החדו"א הם התחומים המתמטיים השימושיים ביתר מחוץ למתמטיקה.
הסיבה המרכזית לשימושיות של האלגברה הליניארית היא הבסיסיות שלה. בעוד שכמעט אין בעיות במתמטיקה ומחוצה לה שנפתרות באופן בלעדי על ידי כלים מאלגברה ליניארית, במגוון עצום של בעיות האלגברה הליניארית היא השלב הראשון לעבר הפתרון.
שימושים > באלגברה

אלגברה ליניארית משמשת דוגמה בסיסית לתחומים רבים באלגברה. ההתנהגות של מרחבים ליניאריים, פשוטה בהרבה מההתנהגות של אובייקטים אלגבריים אחרים, והיא מהווה צעד ראשון להבנתם. לדוגמה מודולים מעל חוג הם הכללה של מרחבים ליניאריים מעל שדה. חלק גדול מחקר מודולים מנסה לענות על השאלה "עד כמה הם שונים ממרחבים ליניאריים?". מאידך ניתן לחקור מודולים על ידי בניית מרחבים ליניאריים מהם (בדרך כלל על ידי הכפלה טנזורית שלהם עם שדה מעל חוג ההגדרה).
רובה של תורת ההצגות מהווה חקר של הפעולה של אובייקטים אלגבריים על מרחבים ליניאריים.
שימושים > באלגברה > בתורת החבורות

ניתן לתאר חבורת רבות באמצעות האלגברה הליניארית. החבורה הבסיסית ביותר שניתן לתאר כך היא החבורה הליניארית הכללית  \mathrm {GL} _{n}. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מרחב ליניארי  n־ממדי. באופן שקול אפשר להגדיר חבורה זו בתור חבורת המטריצות ההפיכות  n\times n. חבורות רבות ניתנות לשיכון בתוך  \mathrm {GL} _{n}. חבורה שניתנת לשיכון לתוך  \mathrm {GL} _{n} נקראת חבורה ליניארית. מספר ענפים בתורת החבורות עוסקים בחקר החבורות הליניאריות מנקודות מבט שונות. מספר חבורות ליניאריות חשובות ניתנות לתיאור בתור תתי החבורות של  \mathrm {GL} _{n} ששומרות על מבנה מסוים על המרחב הווקטורי. להלן הדוגמאות המרכזיות לחבורת אלה:
\mathrm {SL} _{n} – החבורה הליניארית המיוחדת – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית נפח. באופן שקול חבורת המטריצות עם דטרמינטה 1.
\mathrm {O} _{n} – החבורה האורתוגונלית – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על הנורמה האוקלידית, שהיא תבנית ריבועית. באופן כללי יותר אפשר להגדיר את החבורה האורתוגונלית לכל תבנית ריבועית לא מנוונת.
\mathrm {SO} _{n} – החבורה האורתוגונלית המיוחדת – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית ריבועית ועל תבנית נפח. באופן שקול חבורת המטריצות האורתוגונליות עם דטרמיננטה 1. זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 ב־ \mathrm {O} _{n}.
\mathrm {Sp} _{n} – החבורה הסימפלקטית – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית אנטי-סימטרית (לא מנוונת). החבורה הסימפלקטית קיימת רק במרחבים מממד זוגי מכיוון שתבניות אנטי-סימטרית (לא מנוונת) יש רק בממד זוגי. אם היא קיימת אז היא יחידה (בהינתן שדה וממד).
\mathrm {U} _{n} – החבורה האוניטרית – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית הרמיטית (לא מנוונת). בדומה לחבורות אורתוגונליות יש למעשה מספר חבורות כאלה.
\mathrm {SU} _{n} – החבורה האוניטרית המיוחדת – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית הרמיטית (לא מנוונת) ועל תבנית נפח.
חבורות אלו נקראות חבורת ליניאריות קלאסיות (או סתם חבורות קלאסיות) אם עובדים מעל שדה סופי החבורת המתקבלות הן סופיות. בדרך כלל החבורת שמתקבלות כך אינן פשוטות אך קרובות מאוד ללהיות פשוטות. ניתן לקבל מחבורת אלו חבורות הפשוטות הנקראת חבורת פשוטות קלאסיות, והן מהוות את חלק הארי של החבורת הפשוטות הסופיות.
שימושים > בגאומטריה

מרחב ליניארי (בדרך כלל מממד סופי מעל  \mathbb {R} ) הוא אחד האובייקטים הגאומטריים הבסיסיים ביותר. אובייקטיים גאומטריים רבים נחקרים באמצעות מרחבים ליניאריים, למשל על ידי שיכונם לתוך מרחבים ליניאריים או הדבקתם ממרחבים ליניאריים.
ניתן לראות באלגברה הליניארית "גאומטריה אלגברית ממעלה 1": בעוד שהגאומטריה האלגברית עוסקת בקבוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיות, האלגברה הליניארית עוסקת בקבוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיות ממעלה 1, זאת אומרת מערכות משוואות ליניאריות. מנקודת מבט זאת, האלגברה הליניארית היא צעד ראשון לקראת הגאומטריה האלגברית. למעשה חלקים באלגברה הליניארית עוסקים גם בפולינומים ממעלה יותר גבוהה. למשל תבניות ריבועיות הן פולינומים ממעלה שנייה, ולכן מיון של תבניות ריבועיות הוא חלק חשוב במיון השנייוניות.
אובייקטים גאומטריים רבים נראים בקרוב כמרחבים ליניאריים בסביבה של נקודה נתונה, כך ניתן לחקור בעיות גאומטריות באמצאות בעיות מאלגברה ליניארית שמקרבות אותם מקומית.
דרך נוספת לחקור אובייקטים גאומטריים באמצאות אלגברה ליניארית, היא באמצאות מרחב הפונקציות על אובייקט גאומטרי נתון  X. גם אם  X רחוק מאוד מלהית מרחב ליניארי, מרחב הפונקציות מ־ X לשדה (למשל  \mathbb {R} ) הוא תמיד מרחב ליניארי. במקרים רבים ניתן לתרגם בעיות גאומטריות על  X לבעיות הקשורות לאלגברה הליניארית של מרחבי פונקציות על  X (זאת אומרת מרחבי פונקציות מ־ X לשדה).
לדרך חקר זאת יש מחיר. המרחבים הליניאריים המתקבלים בדרך זאת מ־ X גדולים בהרבה מ- X. כך לדוגמה, גם אם  X סופית, מרחב הפונקציות עליו אינסופי. ואם  X איסופית מרחב הפונקציות עליו אינסוף ממדי, גם אם  X מממד סופי.
שימושים > באנליזה

אחד הרעיונות המכוננים באנליזה הוא הקירוב של פונקציה כללית על ידי פונקציה ליניארית. במקרה של פונקציות במשתנה אחד, פונקציה ליניארית מאופיינת על ידי השיפוע שלה, ולכן קירוב זה מוביל למושג הנגזרת. אולם במקרה של משתנים רבים (וערכים רבים), פונקציות ליניאריות הן מרכבות יותר ולא ניתן לגלם אותן על ידי מספר אחד. חקר של פונקציות ליניאריות עם מספר ערכים במספר משתנים הוא למעשה האלגבה הליניארית.
שימוש נוסף של האלגברה הליניארית באנליזה הוא האנליזה הפונקציונלית. האנליזה הפונקציונלית חוקרת מרחבי פונקציות במקום להתמקד בפונקציה בודדת. מרחבי הפונקציות בהם עסקת האנליזה הפונקציונלית הם בדרך כלל מרחבים וקטוריים טופולוגיים אינסוף ממדיים. בכך אפשר לראות באנליזה פונקציאונלית הרחבה של האלגברה הליניארית העוסקת במרחבים וקטוריים שעליהם נתונה גם טופולוגיה.
שימושים > בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה

אחד ממושאי המחקר הבסיסיים בתורת ההסתברות הוא משתנים מקריים והתפלגויתהם. משתנה מקרי הוא פונקציה על מרחב ההסתברות. בהתאם, אוסף כל המשתנים המקריים (עם ערכים בשדה או במרחב ליניארי) הוא מרחב ליניארי.
יתר על כן, ההתפלגות של משתנה מקרי היא פונקציה ממרחב הערכים של המשתנה ל־ \mathbb {R} . כך שאוסף ההתפלגויות הוא תמיד מרחב ליניארי. חלק מהפעולות בתורת ההסתברות (כמו למשל התוחלת) הן ליניאריות. רבות אחרות (כמו שונות), אינן ליניאריות, אך קשורות לאלגברה הליניארית.
שימושים אלה בהסתברות מתורגמים לשימושים בסטטיסטיקה.
שימושים > במדעי המחשב התאורטיים

שאלות אלגוריתמיות רבות במדעי המחשב מתמקדות בבעיות חישוביות באלגברה ליניארית. דוגמה נפוצה לבעיות אלה היא ביצוע יעיל ומדיוק של פירוקי המטריצות השונים שהוזכרו מעלה. התחום העוסק בשאלות אלה נקרא אלגברה ליניארית חישובית שהוא חלק מתחום האלגוריתמים המהווה את אחד מהתחומים המרכזיים במדעי המחשב התאורטיים.
אלגברה ליניארית מעל שדה סופי שימושית בקריפטוגרפיה, מכיוון שאפשר להציג כל מידע בתור וקטור במרחב ליניארי מעל שדה סופי, ופעולות כמו הצפנה או קידוד הופכות להעתקות בין מרחבים ליניאריים מעל שדה סופי. אמנם לא תמיד די בהעתקות ליניאריות, אך אלה מהוות נקודת התחלה טובה.
שימושים > במדעי המחשב התאורטיים > בחישוב קוונטי

בחישוב קוונטי, את תפקיד הסיביות מוחליפות סיביות קוונטיות. מצבה של סיבית קוונטית מתואר על-ידי וקטור ב־ \mathbb {R} ^{2}. מצבן של  n סיביות קוונטיות מתואר על-ידי וקטור המכפלה הטנזורית של  n העתקים של  \mathbb {R} ^{2}. כל הפעולות שמחשב קוונטי יכול לבצע (מלבד המדידה שקוטעת את החלק הקוונטי של החישוב), הן למעשה אופרטורים ליניאריים על מרחבים וקטוריים אלה.
שימושים > במתמטיקה שימושית

באופן פשטני, אפשר לתאר חלק ניכר מהמתמטיקה השימושית כך: יש לנו מידע עקיף על אובייקט מסוים ואנחנו רוצים לקבל מידע ישיר עליו. מידע על אובייקטים רבים נתן לתאר על ידי רשימת מספרים. את הקשר בין המידע העקיף לישיר אפשר לתאר בתור פונקציה. כך שבמקרים רבים הבעיה לובשת את הצורה הבאה: נתונה פונקציה  f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{k} יש לנו ידע על  f({\vec {x}}) ואנו מעוניינים לבמידע לגבי  {\vec {x}}. במילים אחרות, אנו מעוניינים בפתרון המשוואה  f({\vec {x}})={\vec {y}}. אם הפוקנציה  f היא אופרטור ליניארי אז הבעיה הופכת למערכת משוואות ליניאריות שזאת אחת הבעיות המכוננות של האלגברה הליניארית. באופן מעשי, נדירות הן הבעיות שבהן זה המצב. עם זאת, פונקציות רבות ניתנות לקירוב מקומי על ידי פונקציות ליניאריות, וחקר מערכת משוואות ליניאריות הוא כמעט תמיד צעד ראשון בחקר הפתרונות של כל משוואה.
שימושים > במתמטיקה שימושית > במדע הנתונים

מדע הנתונים עוסק במציאת תבניות (אנ') על נתונים. בדרך כלל ניתן להתאים לכל נתון ערך מספרי (למשל אחוז הסוכר בדמו של חולה). בדרך כלל הנתונים מאוגדים לרשומות מתאימות (למשל, אם אנו מעוניינים לנתח תוצאות בדיקות רבות של חולים רבים, ניתן לאגד את כל הבדיקות שנעשו עבור חולה נתון ברשומה אחת). כל רשומה מתאימה לוקטור ב־ \mathbb {R} ^{n}. וסך כל הנתונים מתאימים לקבוצת נקודות ב־ \mathbb {R} ^{n}. כך שמנקודת מבת זאת ניתן לנסח את הבעיה המכוננת של מדעי הנתונים בתור מציאת תבניות בקבוצות נקודות ב־ \mathbb {R} ^{n}.
אחת התבניות הפשוטות ביותר שניתן לדמין היא קשר ליניארי בין הנקודות. לדוגמה כל הנקודות נמצאות באותו תת-מרחב ליניארי של  \mathbb {R} ^{n}. במציאות, קשר כזה כמעט לעולם לא מתקיים. אולם תבניות רבות אחרות מבוססות על קשר ליניארי באופן זה או אחר.
שימושים > במתמטיקה שימושית > בלמידת מכונה

למידת מכונה מבוססת על ניסיון לבנות מערכת שתתאים למשימה כלשהי או הרבה משימות שונות באופן הבא: המערכת מקבלת קלט, מעבדת אותו ופולטת פלט. צורת העיבוד תלויה בפרמטרים רבים, שאינם חלק מהקלט, אך ניתנים לשינוי. הרעיון הוא שניתן, לפי ביצועי המערכת, לטייב את בחירת הפרמטרים עד לקבלת ביצועיים מיטביים.
בדרך כלל, הן הפרמטרים, הן הקלט והן הפלט מורכבים ממספרים. כך שאפשר לחשוב על כל אחד משלושת אלה כעל וקטור במרחב ליניארי. הקשרים בין השלושה בדרך כלל לא ליניאריים כלל, אולם גם כאן קשר ליניארי הוא אחד הקשרים הפשוטים ביותר שאפשר לדמיין והוא מהווה בסיס לקשרים מורכבים יותר.
שימושים > במתמטיקה שימושית > בלמידת מכונה > ברשתות נוירוניות

דוגמה מרכזית למכונה לומדת היא רשת נוירונים. ברשת נוירונים הפונקציה שמקשרת בין הקלט לפלט בנויה מהרכבה לסירוגין של אופרטורים ליניארים (או ליתר דיווק אפיניים) והעתקות לא ליניאריות פשוטות מאוד שפועלות על כל קואורדינאטה בנפרד. הפרמטרים של רשת נוירונים הם האופרטורים הליניאריים בהרכבה. מכיוון שאוסף האופרטורים הליניאריים בין שני מרחבים וקטוריים מממד סופי מהווה גם הוא מרחב וקטורי מממד סופי, מספר הפרמטרים גם הוא סופי.
במבט ראשון יכול להראות שהפונקציה שמספקת רשת נוירונים דומה לפונקציה ליניארית. "חוסר הליניאריות" היחיד מתבטא בפונקציה קבועה ופשוטה שפועלת על כל קואורדינטה בנפרד. אולם, העובדה שההרכבה מתבצעת לסירוגין, מאפשרת לקבל פונקציות מגוונות בהרבה מאשר סתם פונקציות ליניאריות. ואכן, במאה ה-21 התברר שרשתות נוירוניות עם מספר קטן יחסית של שלבי הרכבה (בדרך כלל פחות מ-20) מצליחות להתמודד עם משימות מורכבות ביותר. מאידך העובדה שרשתות נוירונים מורכבות בעיקרן מהעתקות ליניאריות מקלה על המחקר שלהן באמצעות האלגברה הליניארית.
שימושים > במדעי המחשב הישומיים > בגרפיקה ממוחשבת

אחת המשימות הבסיסיות בגרפיקה ממוחשבת היא הצגת עולם תלת-ממדי בתמונה דו-ממדית. העולם התלת-ממדי מתואר על ידי המרחב  \mathbb {R} ^{3} בעוד שהתמנה הדו-ממדית מתוארת על ידי המרחב  \mathbb {R} ^{2}. כך שהגרפיקה הממוחשבת עוסקת רבות בהעתקות בין  \mathbb {R} ^{3} ל־ \mathbb {R} ^{2}. ולהפך. אומנם העתקות אלה לא תמיד ליניאריות אך הן כמעט תמיד מבוססות על העתקות ליניאריות.
שימושים > במדעי המחשב הישומיים > בעיבוד תמונה ואותות

מנקודת מבט דיגיטלית, תמונה היא רשימת מספרים (עוצמת צבע של כל פיקסל בכל אחד מערוצי הצבע). באופן דומה גם אות הוא רשימת מספרים (עצמת האות בכל רגע שנדגם). לכן אוסף כל התמונות (בגודל נתון) הוא מרחב וקטורי. זה גם המצב עבור אוסף כל האותות. לכן כל פעולת עיבוד תמונה או עיבוד אותות היא למעשה העתקה ממרחב וקטורי אחד למשנהו. חלק גדול מההעתקות החשובות בעיבוד תמונה ועיבוד אותות הן ליניאריות (למשל התמרת פוריה או קונבולוציה עם גרעין נתון). גם ההתמרות הלא ליניאריות מבוססות במקרים רבים על התמרות ליניאריות.
שימושים > בפיזיקה

אוסף כל המצבים של מערכת פיזיקלית מהווה מוקד עניין בפיזיקה. במקרים רבים אוסף זה הוא מרחב ליניארי. לדוגמה, אם אנחנו מתעניינים בשלושה כוכבי לכת הנעים בחלל, מצבו של כל אחד מהם מתואר לצורך העינין על ידי נקודה במרחב (מרכז הכובד שלו). אוסף כל שלוש הנקודות במרחב הוא מרחב ליניארי 9 ממדי (בהנחה שבחרנו ראשית למרחב, אחרת מדובר במרחב אפיני).
גם במקרים שאוסף זה לא מהווה מרחב ליניארי, אפשר לחקור אותו בדרך כלל במונחים של אלגברה ליניארית (כמו בדוגמאות למעלה).
כמו כן, גדלים פיזיקליים רבים, לרבות מהירות, תנע, כוח, מהירות זוויתית, טנזור התמד, מומנט כוח ועוד הם וקטורים במרחבים ליניאריים מתאימים.
שימושים > בפיזיקה > במכניקת הקוונטים

בשונה מפיזקה קלאסית בה אוסף המצבים לא תמיד מהווה מרחב ליניארי ויחסי הגומלין בין גורמים פיזיקליים שונים כמעט לעולם אינם ליניאריים, בפיזיקה קוונטית אוסף המצבים הקוונטיים של מערכת מהווה מרחב הילברט (זהו מרחב ליניארי עם מבנה נוסף) ויחסי הגומלין בין הרכיבים הפיזיקליים השונים כמעט תמיד מתוארים על ידי אלגברה ליניארית. הדבר מתאפשר מכיוון שהמרחבים הליניאריים המדוברים הם בדרך כלל אינסוף ממדיים.
שימושים > ביתר המדעים ובטכנולוגיה

השימושים של האלגברה הליניארית במתמטיקה השימושית הופכים אותה לכלי חשוב במדע ובטכנולוגיה. במאה ה-21, עם שיפור יכולת העיבוד ואיסוף הנתונים הפכו מדעי הנתונים לכלי מרכזי במדע והטכנולוגיה. יחד איתם הפכה האלגברה הליניארית לכלי אפילו חשוב יותר ממה שהייתה קודם.
אלגברה ליניארית משומשת רבות גם בעיבוד קול,משחקי מחשב,וחישוב קוונטי ונחשבת בין הנושאים המתמטים השימושיים ביותר.
לקריאה נוספת

| --- | --- |
: ספר: אלגברה ליניארית
אוסף של ערכים בנושא הזמינים להורדה כקובץ אחד.
אלגברה ליניארית, האוניברסיטה הפתוחה
אלגברה ליניארית 2, האוניברסיטה הפתוחה, תשמ"ב
שמשון עמיצור, אלגברה א', האוניברסיטה העברית, תש"ל
אמנון יקותיאלי, מבוא לאלגברה ליניארית, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
בן ציון קון ואברהם ברמן, אלגברה ליניארית
סיימור ליפשיץ, אלגברה ליניארית
שלמה הבלין ויפית מעין, אלגברה ליניארית - תאוריה ותרגילים, אוניברסיטת בר-אילן
הערות שוליים

↑  Weisstein, Eric. "Linear Algebra". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram. נבדק ב-16 בפברואר 2018. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Axler (2204), עמוד 33
↑  המושג חבורת קלסיות מוגדר באופן שונה בהקשרים שונים כך שלעיתים מדובר במחלקות מעט שונות של חבורות.
| נושאים באלגברה ליניארית |
| --- | --- | --- |
| מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה |  |
| וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשֹת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד |  |
| מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן |  |
| העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית |  |
| מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית  • אורתוגונליות  •  מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה |  |
| תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית •  תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007293931805171  BNE: XX527736  BnF: cb11937509n (data)  GND: 4035811-2  LCCN: sh85003441  LNB: 000082525  NDL: 00570681  NKC: ph122353
יחמור

| יחמור |
| --- | --- |
 יחמור אירופי
מיון מדעי
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: יונקים
סדרה:: מכפילי פרסה
משפחה:: אייליים
סוג:: יחמור
שם מדעי
 Dama ‏Frisch, 1775

צילום של יחמור זכר. ניתן לראות בבירור את הקרניים המסועפות והכבדות.
יחמורים מבויתים בידי האדם שכל פרוותם לבנה
יַחְמוּר (שם מדעי: Dama) הוא סוג של פרסתנים ממשפחת האייליים ותת-משפחת איילי העולם הישן, החיים ביערות של אירואסיה. היחמורים הם איילים בעלי פרווה בצבע חמרה מנוקדת בלבן, ומכאן השם העממי יחמור. את הסוג יחמור ניתן למצוא רק בעולם הישן, המין הפרסי מצוי בכמה אזורים בישראל, לאחר שהובא אליה בעקבות הכחדתו של תת-מין דומה שחי בה בעבר.