מודל דביי
פיתוח המודל

הרעיון שעומד בבסיס הפיתוח של המודל הוא התייחסות לתנודות המולקולות שבמוצק כאל גלים עם אנרגיה מקוונטטת - פונונים. לגלים אלו יש שלוש דרגות חופש: שתי דרגות חופש של תנודות רוחביות ודרגת חופש אחת של תנודות אורכיות.
האנרגיה שתורמים כלל הפונונים בעלי תדירות  \omega _{\rm {s}} היא:  \varepsilon _{\rm {s}}=\hbar \omega _{\rm {s}}{\bigg (}n_{\rm {s}}(\omega _{\rm {s}},\beta )+{\frac {1}{2}}{\bigg )} כאשר  n_{\rm {s}}(\omega _{\rm {s}},\beta )={\frac {1}{e^{\hbar \beta \omega _{\rm {s}}}-1}} הוא פונקציית האכלוס של פלאנק, המתאר את מספר הפונונים בעלי תדירות  \omega _{\rm {s}} ו- \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}} . אם כן, האנרגיה הכוללת במוצק היא:  U=\sum _{\rm {s}}\varepsilon _{\rm {s}}=\sum _{\rm {s}}\hbar \omega _{\rm {s}}{\bigg (}n_{\rm {s}}(\omega _{\rm {s}},\beta )+{\frac {1}{2}}{\bigg )} כאשר s מייצג את המצבים המיקרוסקופיים השונים האפשריים במוצק.
הנחות המודל:
יחס נפיצה ליניארי:  \omega =v_{\rm {sound}}|{\vec {k}}| כאשר מניחים שמהירות הקול בחומר  v_{\rm {sound}} אינה תלויה אם מדובר בתנודות אורכיות או רוחביות, בקיטוב בכיוון התקדמות הגל או בגודל של וקטור הגל  |{\vec {k}}|.
מספר המצבים האפשריים:
עבור מוצק עם  N מולקולות יש  3N מצבים אפשריים מאחר שלכל פונון יש שלוש דרגות חופש (שתיים של התנודות הרוחביות ואחת של תנודה אורכית).
מציאת תדירות הקטעון - תדירות דביי:
תדירות הקיטעון היא התדירות המקסימלית האפשרית במוצק נתון. תדירות זו מתקבלת מתוך ההנחה שיש מספר סופי של תנודות אפשריות מאחר שלמוצק יש מימד סופי ולכן מספר סופי של מולקולות. ניתן לחשב ולמצוא את תדירות הקטעון באופן הבא:
מניחים כי תנאי השפה של הבעיה לא משפיעים הרבה על פתרון הבעיה ולכן ניתן להניח כי המוצק הוא קובייה בעל נפח  V ואורך כל אחת מצלעותיו  L כך ש-  V=L^{3}. פתרון משוואת הגלים עם תנאי שפה של קובייה תלת־ממדית ( - פונקציית הגל צריכה להתאפס על צלעות הקוביה) נותנת את מספרי הגל  k_{\rm {n}}={\frac {\pi n}{L}} כאשר n הוא מספר טבעי.
מספר המצבים האפשריים =  \sum _{\rm {s}}1=3\sum _{\rm {n}}1=3N כאשר הפקטור 3 נובע משלוש דרגות החופש שיש לתנודות בחומר.
מניחים כי ניתן לקרב את הסכום על  n לאינטגרל תלת־ממדי על  n באופן הבא:  3N=3\sum _{\rm {n}}1\approx {\frac {3}{8}}\int _{0}^{n_{\rm {max}}}\,{4\pi n^{2}}\,dn={\frac {1}{2}}\pi n_{\rm {max}}^{3}. (האינטגרל הוא אינטגרל בקואורדינטות כדוריות כאשר התחום הרלוונטי הוא האזור בו x>0 ,y>0 ,z>0. כלומר, מתעניינים רק בשמינית מהמרחב ולכן החלוקה ב-8).
כלומר:  n_{\rm {max}}={\bigg (}{\frac {6N}{\pi }}{\bigg )}^{\frac {1}{3}}.
מיחס הנפיצה מקבלים את תדירות הקיטעון:  \omega _{\rm {max}}=v_{\rm {sound}}k_{\rm {max}}=v_{\rm {sound}}{\frac {\pi n_{\rm {max}}}{L}}=v_{\rm {sound}}{\bigg (}6{\pi }^{2}{\frac {N}{V}}{\bigg )}^{\frac {1}{3}}\equiv \omega _{\rm {D}}.
חישוב קיבול החום מתוך האנרגיה הכוללת:
כפי שצוין בתחילת הפיתוח, האנגיה הכוללת ניתנת לחישוב באופן הבא: U=\sum _{\rm {s}}\varepsilon _{\rm {s}}=\sum _{\rm {s}}\hbar \omega _{\rm {s}}{\bigg (}n_{\rm {s}}(\omega _{\rm {s}},\beta )+{\frac {1}{2}}{\bigg )}=3\sum _{\rm {n}}\hbar \omega (k_{\rm {n}}){\bigg (}{\frac {1}{e^{\hbar \beta \omega (k_{\rm {n}})}-1}}+{\frac {1}{2}}{\bigg )} כאשר הסכום הומר מלהיות סכום על המצבים המיקרוסקופיים s ללהיות סכום על n.
מאחר שמתעניינים בחישוב קיבול החום ניתן להתעלם מהתרומה של האיבר  {\frac {1}{2}} לסכום מאחר שאיבר זה אינו תלוי בטמפרטורה. בנוסף, מקרבים את הסכום על  n לאינטגרל באותו אופן שנעשה לחישוב תדירות הקיטעון ומקבלים:  U=3\sum _{\rm {n}}{\frac {\hbar \omega (k_{\rm {n}})}{e^{\hbar \beta \omega (k_{\rm {n}})}-1}}=3\sum _{\rm {n}}{\frac {\hbar k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}{e^{\hbar \beta k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}-1}}\approx {\frac {3}{8}}\int _{0}^{n_{\rm {max}}}\,{4\pi k^{2}{\frac {\hbar k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}{e^{\hbar \beta k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}-1}}}\,dn .
מחליפים את משתנה האינטגרציה למשתנה חסר ממדים (חסר יחידות) -  x={\frac {\pi \hbar v_{\rm {sound}}}{Lk_{\rm {B}}T}}n, ומקבלים:  U\approx {\frac {3}{8}}\int _{0}^{n_{\rm {max}}}\,{4\pi k^{2}{\frac {\hbar k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}{e^{\hbar \beta k_{\rm {n}}v_{\rm {sound}}}-1}}}\,dn={\frac {3{\pi }^{2}\hbar v_{\rm {sound}}}{2L}}{\bigg (}{\frac {Lk_{\rm {B}}T}{\pi \hbar v_{\rm {sound}}}}{\bigg )}^{4}\int _{0}^{x_{\rm {D}}}\,{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {3V(k_{\rm {B}}T)^{4}}{2{\pi }^{2}{\hbar }^{3}{v_{\rm {sound}}}^{3}}}\int _{0}^{x_{\rm {D}}}\,{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx
כאשר  x_{\rm {D}}={\frac {\pi \hbar v_{\rm {sound}}n_{\rm {max}}}{Lk_{\rm {B}}T}}={\frac {\hbar v_{\rm {sound}}}{k_{\rm {B}}T}}{\bigg (}6{\pi }^{2}{\frac {N}{V}}{\bigg )}^{\frac {1}{3}}.
מהאנרגיה הכוללת ניתן לחשב את קיבול החום על ידי ביצוע נגזרת חלקית לפי הטמפרטורה:  \ C_{V}=\left.{\frac {\partial U}{\partial T}}\right|_{V}.