stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ת"ס אליוט
מאפייני שירתו

שיריו של אליוט נחשבו כקשים לקריאה ולפיצוח, עקב שפע המטפורות הדקות, ההפניות והרמזים לספרות הקלאסית הרחבה, שאותן כתב אליוט מתוך הנחה שהקורא המשכיל יזהה את המובאות ואת משמעויותיהן. הוא השתמש בשירתו ביסודות צעקניים והמוניים לצד נושאים שיריים מסורתיים מן המסורת האירופית, היהודית-נוצרית או ההודית, במעברים בין שיחת חולין בנלית לרטוריקה מקיפה, בהפסקות ברצף הסיפורים על ידי גיחות פתאומיות אל העבר כמו בטכניקות קולנועיות.
במקביל לפעילותו כמשורר ועורך בכיר (הוצאת פייבר את פייבר) העלה אליוט כמה מחזות חדשניים בתיאטרון האנגלי - כגון "רצח בקתדרלה", "האיחוד המשפחתי", מסיבת הקוקטייל" ועוד.
חידושים ביקורתיים

אליוט אחראי ליישום המונח שטבע בשנת 1919 - "קורלטיב אובייקטיבי" (Objective Correlative) בניתוחו את "המלט" לשייקספיר. דרך שימושו במונח זה הגדיר אליוט מערך של חפצים, אירועים ומצבים שמתחברים על-מנת ליצור רגש מסוים אצל הקורא. במאמרו זה, שנקרא "המלט ובעיותיו" מגדיר אליוט את המחזה המפורסם כ"כישלון ספרותי".
שאלת יחסו ליהודים

ב-1934 הצהיר אליוט שנוכחות מספר גדול של יהודים "חופשיים במחשבתם" (לא-אורתודוקסים) היא גורם המערער ומסכן את האחדות החברתית והתרבותית בבריטניה ובארצות אחרות, וקרא לארגן הגירה שלהם. ב-1952 הסביר לישעיה ברלין שלא התכוון מעולם לקרוא לאלימות או לגירוש כפוי, אך התעקש על צדקתו. לדברי אליוט, בעוד שבעבר יכלו יהודים להיטמע על ידי התנצרות, העידן המודרני הפך את המרת הדת למעשה חסר משמעות, וגזר על יהודים כאלו לחיות כמיעוט מנוכר בחברה שנותרה נוצרית במובן העמוק, ללא יכולת להיקלט, ועשה אותם מועדים לדעות רדיקליות כמו קומוניזם. לדעת אליוט, נותרו ליהודים רק שתי אפשרויות בנות-קיימא: להיצמד למסורתם (הוא הצהיר כי איננו מתנגד בשום אופן לקהילות יהודיות דתיות במערב) או להגר.
גם סוגיית היחס ליהודים ביצירתו של אליוט מעוררת פולמוס עז. כך למשל הם פני הדברים בנוגע לשיר שכתב ב-1919, בעת בה פרחה האנטישמיות באירופה, ואשר נקרא אז "בליישטיין עם סיגר" (לאחר מכן שינה אליוט את שמו של השיר ל"בֶּרְבַּנְק עם הבֶּדֶקֶר"). בשיר זה תיאר אליוט אדם בשם בליישטיין - שם יהודי - בתיאורים חריפים המעוררים סלידה מהדמות. עם זאת כיום רווחת יותר במחקר הספרות הגישה שאינה מייחסת אנטישמיות לאליוט, בפרט על ידי הבלטת הפן הסאטירי ביצירתו, וטענה שאין זו אלא ביקורת על העם היהודי כשם שקיימת ביצירתו גם ביקורת על העם האירי ועל אחרים; היו גם שטענו שהשם 'בליישטיין', שמו של אותו אדם המתואר בצורה כה מסלידה, אינו יהודי במובהק. אמנם, על גישה זו נמתחה ביקורת, שכן גם בשירים אחרים נמצאים אצלו אזכורים אנטישמיים מפורשים, המזכירים את היהודים, וכי ההבדל בין סאטירה לבין אנטישמיות הוא בולט לעין כך, למשל, מתאר אליוט בשיר Gerontion, אחד משיריו הנודעים, את בעל הבית היהודי:
בֵּיתִי הוּא בַּיִת מָט לִפֹּל

וְהַיְּהוּדִי גּוֹהֵר-רוֹבֵץ עַל אֶדֶן הַחַלּוֹן, בַּעַל-הַבַּיִת

שׁוֹרֵץ בְּאֵיזֶה בֵּית-מַרְזֵחַ בְּאַנְטְוֶרְפֶּן,

מִתְפּוֹרֵר בִּבְרִיסֶל, נִקְלָף וּמְטֻלָּא בְּלוֹנְדוֹן.
וכך כותב מבקר הספרות גדעון סתר ("נתיב", ספטמבר 2002) על שיר זה:
מערכת הסמלים בשיר מעלה את היהודי (ושמא נֹאמר, מורידה) הרחק מעבר לעוד תיאור אנטישמי ונדוש של בעל-בית רודף בצע הסוחט את דייריו חסרי-האונים ומסרב לשפץ את בתיו המטים לנפול. המשמעות היא אוניברסלית. המשפט הטעון "ביתי הוא בית מט לִפֹּל" (My house is a decayed house) חורג מעבר למשמעות המיידית, ומקבל בשיר זה, הנושא מסר אוניברסלי ומתיימר להיות תיאור לציוויליזציה מתפוררת, משמעות הדומה למושג הטעון בעברית "חורבן הבית". הנה כי-כן, היהודי, הדמות האנושית האחת והיחידה המופיעה בשיר לצד כוחות הטבע, גזרת גורל, שטן, עכביש, רשע ושאר מזיקים, מקבל מימד דמוני של אנטיכריסט, כיאה לשירתו הספוגה רליגיוזיות של אליוט
על כן, גורס סתר, שהמוטיב האנטישמי בשירתו של אליוט אינו ניתן לערעור. הוא קושר זאת בסביבה התרבותית באותם זמנים, שעודדה אנטישמיות, ואף בהשפעה אפשרית של "מיטיבו ומדריכו הרוחני", עזרא פאונד.
ספרי שירה ופואמות

The Love Song of J Alfred Prufrock, 1915 ("שיר האהבה של ג' אלפרד פרופרוק").
המשורר הישראלי דוד אבידן התכתב עם היצירה בשירו "בעניין אהבתו האומללה של ג' אלפרד פרופרוק".
The Waste Land, 1922 (תורגם, בין השאר, תחת השמות "ארץ הישימון" ו"ארץ השממה").
The Hollow Men, 1925 ("האנשים החלולים").
Old Possum's Book of Practical Cats, 1939 ("ספרו של פוסום הזקן על חתולים שימושיים") - ספר שירה לילדים ששימש בסיס למחזמר הנודע "קאטס" (Cats) של אנדרו לויד ובר.
Four Quartets, 1943 ("ארבעה קוורטטים").
מחזות

1925 Sweeney Agonistes - סוויני אגוניסטס
1934 The rock - הסלע
Murder in the Cathedral 1935 - רצח בקתדרלה
1939 The Family Reunion
1949 The Cocktail Party - מסיבת הקוקטייל
1953 The Confidential Clerk
1958 The Elder Statesman
יצירותיו שתורגמו לעברית

ארץ השממה וגם הגברים החלולים, תרגום, הערות ואחרית דבר: ערן צלגוב, אשמורת, 2024.
ארבעה קוורטטים, תרגום והערות: אסתר כספי, סוף דבר: שמעון זנדבנק, המעורר, תל אביב, 1999
ארבעה קוורטטים, תרגום: מאיה בז'רנו, קשב, תל אביב, 2008
"פרלודים", תרגום: נוית בראל. בתוך: כתב העת "עמדה" גיליון 16. 2007
ארץ השממה, תרגום: נח שטרן, ספר, תל אביב, 1940
ארץ הישימון, תרגום: מנחם בראון, קלנת ברוקס: "ארץ הישימון" - ניתוח, אל"ף, תל אביב, 1967
משירי ט.ס. אליוט, תרגום: דליה גלבר, מבוא: ריצ’ארד שרוין, עקד, תל אביב, 1981
ספרו של פוסום הזקן על חתולים שימושיים, תרגום: יהודית קופנהגן, הקיבוץ המאוחד, 1986
על השירה, זמורה ביתן, תל אביב, 1976
רצח בקתדרלה, תרגום: יהודה ויזן, אורית גת, הוצאת עכשיו, תל אביב, 2009
סוויני אגוניסטס, תרגום: יהודה ויזן, הוצאת עכשיו, תל אביב, 2009
כל שירי ת.ס. אליוט, תרגום: אורי ברנשטיין, הוצאת הקיבוץ המאוחד, 2010
אֲנָשִׁים חֲלוּלִים, תרגום: אברהם רמון (1942), באתר הארץ, 17 בפברואר 2021
ת.ס אליוט (עברית: יהודה ויזן), ‏המלט ובעיותיו, דחק א', יוני 2011, עמ' 335–341.
אילדרופ ואפלפלקס (סיפור קצר), מאנגלית: אביעד שטיר, בתוך דחק, כרך י"ג, 2021.
ת.ס אליוט (מאנגלית: ערן הדס), ‏השיעור של בודלר, דחק ג', מרץ 2013, עמ' 195–196.
סוויני אגוניסטס, הטקסט המלא בשני חלקים בנ.ר.ג בתרגום יהודה ויזן
הִיסְטֶרְיָה, בתוך הליקון (תרגמו אירית סלע וזהר איתן)
שיר לשמעון, בתוך הליקון בתרגום דוד ויינפלד
שיר האהבה של ג'יי אלפרד פרופרוק
שיר האהבה של ג'יי. אלפרד פרופרוק בתרגום אלי אליהו
שיר האהבה של ג'יי אלפרד פרופרוק בתרגום עופרה עופר
רונן סוניס, קו המשווה | מיהו היצור האנושי ששר את שיר האהבה הזה?, באתר הארץ, 4 בינואר 2023
רצח בקתדרלה, בתרגום יהודה ויזן, אורית גת בתוך הבלוג של אלי אשד באתר "רשימות"
ברנט נורטון, הפרק הראשון מתוך הקוורטט הראשון ב'ארבעה קוורטטים', בתרגום ה. בנימין ובתרגום אוֹרי ברנשטיין, באתר הספריה החדשה
ת.ס. אליוט, אילו שדיים יש לבחורה הגבוהה, באתר הארץ, 10 בנובמבר 2016
אֲנַחְנוּ הָאֲנָשִׁים הַחֲלוּלִים, באתר "הַמּוּסָךְ - מוסף לספרות" של הספרייה הלאומית, 20 באפריל 2017
רונן סוניס, קו המשווה | הכנסייה זוללת גם מתוך שנתה, תודה לאל, באתר הארץ, 17 במאי 2023
פרסים ועיטורים

1948 מסדר ההצטיינות, הממלכה המאוחדת
1948 פרס נובל לספרות
1951 אות לגיון הכבוד, צרפת
1954 פרס גתה של ההאנזה
1959 מדליית אמרסון
1959 הפרס על-שם תורו
1964 מדליית החירות הנשיאותית, ארצות הברית
לקריאה נוספת

ת.ס. אליוט והשירה העברית, מאמר מאת שמעון זנדבנק, נדפס ב"סימן קריאה", 5, 1976
זמן הווה וזמן עבר, מאמר מאת גל אורן, מוסף שבת, מקור ראשון, עמודים 20–21, 4 בפברואר 2011
דבר לא יחזור (פתיחת השירה "יום רביעי של האפר" - מקור ושישה תרגומים), ליקט ערך והקדים: גל אורן, מוסף שבת, מקור ראשון, עמוד 11, 4 בפברואר 2011
פתיחת 'ארבעה קוורטטים', מקור וחמישה תרגומים, ליקט ערך והקדים: גל אורן, עיתון 77, גיליון 351, דצמבר 2010 - ינואר 2011.
גל אורן, בריחה מן האישיות (בין ת.ס. אליוט לח.נ. ביאליק), עתון 77, גיליון 353, מאי 2011
גל אורן, שברים במראה: שבר ומשבר בספרות האירופית המודרנית, הוצאת הקיבוץ המאוחד, 2014 (״ת.ס. אליוט - מסורת: זמן הווה וזמן עבר״, עמודים 26–36).
Harold Bloom - The Waste Land, Chelsea House, Infobase Publishing 2007,
Michael Grant T.S. Eliot:The Critical Heritage vol. 1 Routledge, London and NY, 2006,
הערות שוליים

↑  ת.ס. אליוט, המלט ובעיותיו באתר Bartleby (באנגלית)
1 2 3  גדעון סתר, ‏אנטישמיות מפויטת, נתיב 87–88, ספטמבר 2002
↑  עמנואל בן גריון, עם קריאה ראשונה, דבר, 26 באוגוסט 1940
↑  משה דור, "ארץ הישימון" - תרגום חדש, מעריב, 1 בספטמבר 1967
↑   רונן סוניס, איך לקרוא לחתול בעברית, באתר הארץ, 11 באוקטובר 2023
| זוכי פרס נובל לספרות |
| --- | --- | --- |
| 1901–1925 | פרידום (1901) • מומזן (1902) • ביירנסון (1903) • אצ'גראי, מיסטרל (1904) • סנקביץ' (1905) • קרדוצ'י (1906) • קיפלינג (1907) • אויקן (1908) • לגרלף (1909) • הייזה (1910) • מטרלינק (1911) • האופטמן (1912) • טאגור (1913) • לא חולק (1914) • רולן (1915) • היידנסטם (1916) • גילרופ, ה. פונטופידן (1917) • לא חולק (1918) • שפיטלר (1919) • האמסון (1920) • פרנס (1921) • בנאבנטה (1922) • ייטס (1923) • ריימונט (1924) • שו (1925) |  |
| 1926–1950 | דלדה (1926) • ברגסון (1927) • אונדסט (1928) • מאן (1929) • לואיס (1930) • קרלפלט (1931) • גולסוורתי (1932) • בונין (1933) • פיראנדלו (1934) • לא חולק (1935) • או'ניל (1936) • גאר (1937) • בק (1938) • סילנפא (1939) • לא חולק (1940–1943) • ינסן (1944) • מיסטרל (1945) • הסה (1946) • ז'יד (1947) • אליוט (1948) • פוקנר (1949) • ראסל (1950) |  |
| 1951–1975 | לגרקוויסט (1951) • מוריאק (1952) • צ'רצ'יל (1953) • המינגוויי (1954) • לכסנס (1955) • חימנס (1956) • קאמי (1957) • פסטרנק (1958) • קווזימודו (1959) • פרס (1960) • אנדריץ' (1961) • סטיינבק (1962) • ספריס (1963) • סארטר (1964) • שולוחוב (1965) • עגנון, זק"ש (1966) • אסטוריאס (1967) • קאוובטה (1968) • בקט (1969) • סולז'ניצין (1970) • נרודה (1971) • בל (1972) • וייט (1973) • יונסון, מרטינסון (1974) • מונטאלה (1975) |  |
| 1976–2000 | בלו (1976) • אליכסנדרה (1977) • בשביס-זינגר (1978) • אליטיס (1979) • מילוש (1980) • קנטי (1981) • גארסיה מארקס (1982) • גולדינג (1983) • סייפרט (1984) • סימון (1985) • סויינקה (1986) • ברודסקי (1987) • מחפוז (1988) • סלה (1989) • פס (1990) • גורדימר (1991) • וואלקוט (1992) • מוריסון (1993) • אואה (1994) • היני (1995) • שימבורסקה (1996) • פו (1997) • סאראמאגו (1998) • גראס (1999) • שינג'יאן (2000) |  |
| 2001 ואילך | נייפול (2001) • קרטס (2002) • קוטזי (2003) • ילינק (2004) • פינטר (2005) • פאמוק (2006) • לסינג (2007) • לה קלזיו (2008) • מילר (2009) • ורגס יוסה (2010) • טראנסטרמר (2011) • מו (2012) • מונרו (2013) • מודיאנו (2014) • אלכסייביץ' (2015) • דילן (2016) • אישיגורו (2017) • טוקרצ'וק (2018) • הנדקה (2019) • גליק (2020) • גורנה (2021) • ארנו (2022) • פוסה (2023) • האן (2024) |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007275442405171  PLWABN: 9810646540905606  BIBSYS: 90052479  BNC: 000068521  BNE: XX837336  BnF: cb11901665b (data)  CANTIC: a10463045  CiNii: DA00354626  GND: 118529854  ICCU: CFIV000958  ISNI: 0000 0001 2133 9888  LCCN: n79006870  LNB: 000036711  MusicBrainz: ae90c453-e8ed-4fb7-9d27-35b81fd0fdac  NARA: 10580371  NDL: 00438797  NKC: jn19990002039  NLA: 36143450  NLG: 64672  NLK: KAC199608019  NSK: 000097684  NTA: 068469918  RERO: 02-A003214137  SELIBR: 184982  SNAC: w6c64cmf  SUDOC: 027288595  TePapa: 16010  Trove: 1219579  ULAN: 500218769  VcBA: 495/5643  VIAF: 56609282   WorldCat (עם VIAF): 56609282
סינוס (טריגונומטריה)

גרף הפונקציה סינוס
סינוס (מסומן ב- \sin ) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתיאור גל.
הגדרות > הגדרה גאומטרית

בהגדרתה הבסיסית ביותר, הערך של פונקציית הסינוס בזווית נתונה היא היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר במשולש ישר-זווית. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 לבין 90 מעלות (או  {\frac {\pi }{2}} רדיאנים), כלומר לזווית ישרה. משולשים עם זוויות זהות הם משולשים דומים, ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של כל זווית מוגדר היטב.
הגדרות > הרחבה

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס, לכל מספר ממשי: הסינוס של מספר כלשהו  \ \theta  הוא שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה, שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לבין ציר ה-x הוא  \ \theta  (ברדיאנים).
הגדרות > טור טיילור

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור:
ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס, על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות:  \sin x\approx x, וזאת מכיוון שכאשר x קטן, החזקה השלישית שלו וכל החזקות הגבוהות יותר הן זניחות.
הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:
וכן,
הגדרות > הגדרות נוספות

מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.
ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב:
שבר זה מתקבל מטור טיילור שלעיל.
דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית:
מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל.
תכונות

פונקציית הסינוס היא אי-זוגית, דהיינו:  \sin(-x)=-\sin(x).
פונקציית הסינוס הממשית היא מחזורית, בעלת מחזור של  2\pi . זאת משום שבייצוג של מעגל היחידה, סיבוב של  2\pi  מחזיר את הנקודה P לנקודת המוצא.
פונקציית הסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל  x.
לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון מהצורה:  x={\frac {\pi }{2}}+2\pi k (מקסימום) ו- x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi k (מינימום), כאשר  k מספר שלם. הערך בנקודות המקסימום הוא 1, ובנקודות המינימום (-1).
לפונקציה יש אינסוף שורשים מהצורה:  x=\pi k, כאשר  k מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
התמונה של פונקציית הסינוס הממשית היא: [-1,1] .
נובע מכך כי פונקציית הסינוס הממשית חסומה בכל תחום ההגדרה שלה,  \mathbb {R} .
נגזרת

הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס:
נגזרת > הוכחה בעזרת הגבול של sin(x)/x

לפי הגדרתה, הנגזרת בנקודה  x_{0} שווה לגבול:
על פי הזהות הטריגונומטרית:
 \sin \theta -\sin \varphi =2\cos \left({\theta +\varphi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi  \over 2}\right)\; 

נקבל:
נשתמש בגבול הטריוויאלי:  \ \lim _{x\to x_{0}}{x-x_{0} \over 2}=0, בגבול המפורסם:  \lim _{t\to 0}{\frac {\sin(t)}{t}}=1 וברציפות הפונקציות כדי לקבל:
מש"ל.
בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לפונקציית הסינוס עצמה. כך מוצגת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:
פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה  \ f''(x)=-f(x) כאשר  \ f(0)=0 ו- \ f'(0)=1.
הפונקציה הקדומה של הסינוס היא מינוס קוסינוס:  \int \sin x\,dx=-\cos x+C
אפשר גם לגזור את הסינוס באמצעות הנגזרת של הפונקציה ההפוכה ארכסינוס, שהיא שווה ל {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}} על ידי שימוש בכלל לנגזרת פונקציה הפוכה. אמנם את הנגזרת של הארכסינוס מקובל להוכיח בדרך כלל באמצעות הנגזרת של סינוס, ואם רוצים לגזור את הארכסינוס בנפרד צריך להשתמש באינטגרל ובמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
נגזרת > הוכחה בעזרת טורי חזקות

את פונקציות הסינוס והקוסינוס ניתן להגדיר כפתרונות של המשוואות הדיפרנציאליות  y_{1}'=y_{2},y_{2}'=-y_{1} עם תנאי ההתחלה  y_{1}(0)=0,y_{2}(0)=1. הגדרה שכזו מובילה להצגת הפונקציות באמצעות טורי מקלורין:
\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}
\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}
מכיוון שפעולת הגזירה היא אופרטור ליניארי, גזירה של הטור המציג את פונקציית הסינוס תוביל לטור זהה לזה המגדיר את פונקציית הקוסינוס.
(\sin(x))'={\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\Bigr )}'=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(x^{2n+1})'}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\cos(x)
הגדרת הפונקציות והוכחת הנגזרת בצורה כזו, פותרות את המעגליות של השימוש בכלל לופיטל כדי להוכיח את הגבול של sin(x)/x, אך דורשות הוכחה דומה כדי להראות כי הפונקציות האלו יכולות לשמש בחישובי טריגונומטריה.
ערכים

להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:
| x (זווית) | x (זווית) | x (זווית) | sin x | sin x |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| מעלות | רדיאנים | גראדים | במדויק | קירוב עשרוני |
| 0° | 0 | 0g | 0 | 0 |
| 180° |  \pi  | 200g | 0 | 0 |
| 15° |  {\frac {\pi }{12}} | 162/3g |  {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}} | 0.258819045102521 |
| 165° |  {\frac {11\cdot \pi }{12}} | 1831/3g |  {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}} | 0.258819045102521 |
| 30° |  {\frac {\pi }{6}} | 331/3g |  {\frac {1}{2}} | 0.5 |
| 150° |  {\frac {5\cdot \pi }{6}} | 1662/3g |  {\frac {1}{2}} | 0.5 |
| 45° |  {\frac {\pi }{4}} | 50g |  {\sqrt {\frac {1}{2}}} | 0.707106781186548 |
| 135° |  {\frac {3\cdot \pi }{4}} | 150g |  {\sqrt {\frac {1}{2}}} | 0.707106781186548 |
| 60° |  {\frac {\pi }{3}} | 662/3g |  {\frac {\sqrt {3}}{2}} | 0.866025403784439 |
| 120° |  {\frac {2\cdot \pi }{3}} | 1331/3g |  {\frac {\sqrt {3}}{2}} | 0.866025403784439 |
| 75° |  {\frac {5\cdot \pi }{12}} | 831/3g |  {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}} | 0.965925826289068 |
| 105° |  {\frac {7\cdot \pi }{12}} | 1162/3g |  {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}} | 0.965925826289068 |
| 90° |  {\frac {\pi }{2}} | 100g | 1 | 1 |
sup>1
זהויות

פונקציית הסינוס מקיימת:  \ \sin(-\theta )=-\sin \theta  וכן  \ \sin(\pi -\theta )=\sin \theta
בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים):  \cos \theta ={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} ‏,  \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}} ‏,  \cot \theta ={{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta } ‏,  \csc \theta ={1 \over \sin \theta } ‏,  \sec \theta ={1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}
סכום זוויות:  \sin(\theta \pm \varphi )=\sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi
זווית כפולה:  \ \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta  ‏,  \ \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta  ובאופן כללי  \sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)
חצי זווית:  \sin {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}
סכום סינוסים:  \sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right) ‏,  \sin \theta -\sin \varphi =2\cos \left({\theta +\varphi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi  \over 2}\right)\;
הפונקציה ההפוכה

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת ארקסינוס ומסומנת  \ \arcsin  או  \ \sin ^{-1}. הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
 \ [-1,1], וכיוון שפונקציית הסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים  \ [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]. הנגזרת שלה היא  {d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}.
משפט הסינוסים

משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:
כאשר הזוויות  \alpha ,\beta ,\gamma  נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
הערות שוליים

↑  גדי אלכסנדרוביץ', נעים להכיר – סינוס וקוסינוס (גרסת המשוואה הדיפרנציאלית), באתר "לא מדויק", 31 במרץ 2010
| טריגונומטריה |
| --- | --- | --- |
| משפטים בטריגונומטריה | זהויות טריגונומטריות • משפט הסינוסים • משפט הקוסינוסים • משפט הטנגנסים • משפט לז'נדר על משולשים כדוריים • הגבול של sin(x)/x |  |
| פונקציות טריגונומטריות | טנגנס • סינוס • קוסינוס • פונקציות טריגונומטריות הפוכות |  |
במשולש זה, סינוס הזווית A שווה  {\frac {a}{c}}
הגדרת הסינוס של מספר כלשהו  \ \theta
אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה
ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה
גרף פונקציית הארכסינוס
ליגת האלופות לנוער

| --- | --- |
לוגו ליגת האלופות לנוער
 ענף:  כדורגל
 תאריך ייסוד:  2013
 ארגון מפעיל:  אופ"א
 מספר תחרות:  1 
 מספר מתמודדים:  64
 יבשת:  אירופה
 זוכה:  אולימפיאקוס (2024) - זכייה ראשונה
 הכי הרבה זכיות:  ברצלונה ו- צ'לסי (2 זכיות כ"א)
 www.uefa.com
 
ליגת האלופות לנוער (באנגלית: ״UEFA Youth League", במקור "UEFA U-19 Champions League") היא מפעל כדורגל אירופי המאורגן על ידי אופ"א, המקביל לליגת האלופות. במפעל משתתפות 64 קבוצות נוער מהליגות השונות באירופה. הטורניר החל את דרכו ב-2013, ומשתתפות בו כל קבוצות הנוער שקבוצותיהן הבוגרות משתתפות בליגת האלופות, וקבוצות הנוער שזכו באליפות המקומית של מדינתם, ומדורגים ב-32 הליגות הבכירות של אירופה לפי שיטת הדירוג של אופ"א. במידה וקבוצה אשר המקבילה הבוגרת שלה משתתפת בליגת האלופות זכתה גם בליגה המקומית, הקבוצה מהליגה המדורגת הבאה בתור תשתתף בטורניר. המפעל מוגבל לשחקנים מתחת לגיל 19, אך לכל קבוצה ישנה אפשרות לרשום עד 3 שחקנים עד גיל 20.
היסטוריה

בעונת 2013/2014 נערכה בפעם הראשונה ליגת האלופות לנוער, אשר בה הופיעו 32 קבוצות הנוער שקבוצותיהן הבוגרות השתתפו בליגת האלופות של אותה העונה. הסיבוב הראשון של ליגת האלופות לנוער היה זהה לשל ליגת האלופות, ובו 8 בתים של 4 קבוצות, שהמועדונים שסיימו במקומות 1 ו-2 עלו לשלב הנוקאאוט. בניגוד למקבילה הבוגרת, נערך משחק 1 בלבד בכל שלב, ומשחקי חצאי הגמר והגמר נערכו במגרש נייטרלי. באפריל 2014 נערך הגמר הראשון, בו קבוצת הנוער של ברצלונה גברה על קבוצת הנוער של בנפיקה ליסבון, בגמר אשר נערך בניון שבשווייץ.
לאחר שנתיים שליגת האלופות לנוער הוגדרה במצב של בדיקה וניסיון בלבד, הוחלט באופ"א לקבע את המוסד, אך עם שינויים קלים. החל מעונת 2015/2016 השתתפו במפעל 64 קבוצות, כדי לאפשר לקבוצות אשר זכו באליפות המקומית במדינתם להשתתף גם כן בליגת האלופות.
שיטת המשחקים

64 הקבוצות המשתתפות בטורניר מחולקות ל-2 מסלולים, מסלול ליגת האלופות, ומסלול האלופות המקומיות. לכל מסלול שיטת משחקים משלו בשלב הראשון, ובשלב הפלייאוף המסלולים מתאחדים.
במסלול ליגת האלופות 32 הקבוצות מחולקות ל-8 בתים של 4 קבוצות לפי החלוקה של ליגת האלופות של הבוגרים. לוח הזמנים של המשחקים יהיה זהה לשל הבוגרים. 8 הקבוצות המסיימות במקום הראשון עולות לשלב שמינית הגמר, ו-8 הקבוצות המסיימות במקום השני עולות לשלב הפלייאוף.
במסלול האלופות המקומיות ישחקו 32 הקבוצות שני סיבובים בשיטת בית וחוץ, כאשר 8 הקבוצות שינצחו עולות לשלב הפלייאוף.
בשלב הפלייאוף הקבוצות אשר עלו ממסלול האלופות המקומיות יתמודדו נגד המסיימות במקום השני במסלול ליגת האלופות במשחק בודד בשיטת נוקאאוט, כאשר 8 הקבוצות המנצחות יעלו לשמינית הגמר, המשחק יתקיים במגרש נייטרלי.
בשלב שמינית הגמר ישחקו הקבוצות שסיימו במקום הראשון במסלול ליגת האלופות נגד הקבוצות אשר ניצחו בשלב הפלייאוף משחק בודד בשיטת נוקאאוט, כאשר הקבוצה המארחת תקבע בהגרלה.
בשלב רבע הגמר ישחקו 8 הקבוצות משחק בודד בשיטת נוקאאוט, כאשר הקבוצה המארחת תקבע בהגרלה.
בשלבי חצי הגמר והגמר ישחקו הקבוצות משחק בודד בשיטת נוקאאוט במגרש נייטרלי.
משחקי הגמר

| עונה | אלופה | תוצאה | סגנית |
| --- | --- | --- | --- |
| 2023/2024 | יוון אולימפיאקוס | 3 - 0 | איטליה מילאן |
| 2022/2023 | הולנד א.ז. אלקמאר | 5 - 0 | קרואטיה היידוק ספליט |
| 2021/2022 | פורטוגל בנפיקה ליסבון | 6 - 0 | אוסטריה רד בול זלצבורג |
| 2019/2020 | ספרד ריאל מדריד | 3 - 2 | פורטוגל בנפיקה ליסבון |
| 2018/2019 | פורטוגל פורטו | 3 - 1 | אנגליה צ'לסי |
| 2017/2018 | ספרד ברצלונה | 3 - 0 | אנגליה צ'לסי |
| 2016/2017 | אוסטריה רד בול זלצבורג | 2 - 1  | פורטוגל בנפיקה ליסבון |
| 2015/2016 | אנגליה צ'לסי | 2 - 1  | צרפת פריז סן-ז'רמן |
| 2014/2015 | אנגליה צ'לסי | 3 - 2  | אוקראינה שחטאר דונצק |
| 2013/2014 | ספרד ברצלונה | 3 - 0 | פורטוגל בנפיקה ליסבון |
| 2014/2015 | אנגליה צ'לסי | 3 - 2 | אוקראינה שחטאר דונצק |
| 2015/2016 | אנגליה צ'לסי | 2 - 1 | צרפת פריז סן-ז'רמן |
| 2016/2017 | אוסטריה רד בול זלצבורג | 2 - 1 | פורטוגל בנפיקה ליסבון |
| 2017/2018 | ספרד ברצלונה | 3 - 0 | אנגליה צ'לסי |
| 2018/2019 | פורטוגל פורטו | 3 - 1 | אנגליה צ'לסי |
| 2019/2020 | ספרד ריאל מדריד | 3 - 2 | פורטוגל בנפיקה ליסבון |
2020/2021 (בוטל עקב מגפת הקורונה באירופה): –
| 2021/2022 | פורטוגל בנפיקה ליסבון | 6 - 0 | אוסטריה רד בול זלצבורג |
| 2022/2023 | הולנד א.ז. אלקמאר | 5 - 0 | קרואטיה היידוק ספליט |
| 2023/2024 | יוון אולימפיאקוס | 3 - 0 | איטליה מילאן |
קבוצות ישראליות במפעל

| עונה | קבוצה | סיבת העפלה | הישג | הערות |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2015/2016 | מכבי תל אביב | העפלת הקבוצה הבוגרת לשלב הבתים של ליגת האלופות באותה עונה | מקום רביעי בשלב הבתים |  |
| 2016/2017 | מכבי חיפה | זכייה באליפות ליגת העל לנוער בעונת 2015/16 | שלב הנוקאאוט הראשוני |  |
| 2017/2018 | מכבי חיפה | זכייה באליפות ליגת העל לנוער בעונת 2016/17 | סיבוב ראשון |  |
| 2018/2019 | מכבי תל אביב | זכייה באליפות ליגת העל לנוער בעונת 2017/18 | סיבוב שני |  |
| 2019/2020 | מכבי פתח תקווה | זכייה באליפות ליגת העל לנוער בעונת 2018/19 | סיבוב שני |  |
| 2020/2021 | מכבי חיפה | זכייה באליפות ליגת העל לנוער בעונת 2019/20 |  | בוטל בעקבות נגיף הקורונה |
| 2021/2022 | מכבי חיפה | זכייה באליפות ליגת העל לנוער בעונת 2020/21 | סיבוב שני |  |
| 2022/2023 | מ.ס. אשדוד | זכייה באליפות ליגת העל לנוער בעונת 2021/22 | מסלול אלופות |  |
| 2022/2023 | מכבי חיפה | העפלת הקבוצה הבוגרת לשלב הבתים של ליגת האלופות באותה עונה | מקום רביעי בשלב הבתים |  |
הערות שוליים

↑  רשמי: עונת 2020/21 בליגת האלופות לנוער בוטלה, באתר ONE‏, 17 בפברואר 2021
נחום שרון

נחום שרון (שטרכמן; 1912 – 23 במאי 1976) היה איש ציבור חבר מפ"ם, מאנשי תנועת השומר הצעיר במזרח אירופה וסופר מתעד.