stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
אורתורקסיה נרבוזה

אורתורקסיה נרבוזה (המוכרת גם בשם אורתורקסיה) היא קטגוריה אבחנתית מוצעת להפרעת אכילה, המאופיינת בעיסוק אובססיבי באכילה של מזון בריא.[ רופא אמריקאי בשם סטיבן בְּרטמן הטביע את המונח, בשנת 1997. הוא הציע שאנשים מסוימים מקבלים על עצמם מגבלות תזונתיות, המיועדות לקידום הבריאות, ועלולות באופן פרדוקסלי להוביל לתוצאות שאינן בריאות, כגון בידוד חברתי, חרדה, אובדן היכולת לאכול באופן טבעי ואינטואיטיבי, הפחתת העניין בטווח רחב של פעילויות אנושיות בריאות אחרות, ובמקרים נדירים, תת-תזונה חריפה או אפילו מוות.
בשנת 2009, תיארה אורסולה פילפּוֹט, יו"ר ארגון התזונה הבריטי ומרצה בכירה באוניברסיטה "לידס מטרופוליטן", אנשים עם אורתורקסיה נרבוזה כ"אנשים המודאגים אך ורק מאיכות המזון שהם מכניסים לגופם, מטהרים ומגבילים את התזונה שלהם בהתאם לאמונתם ביחס למזונות שהם 'טהורים' באמת." הפרעה זו נבדלת מהפרעות אכילה אחרות, כמו אנורקסיה נרבוזה ובולימיה נרבוזה, בהן המתמודדים מתמקדים בכמות המזון שנאכל.
אורתורקסיה נרבוזה נבדלת מאנורקסיה נרבוזה גם בכך שהיא אינה משפיעה באופן לא פרופורציונלי על מין אחד. מחקרים מצביעים על כך שאורתורקסיה נרבוזה מופיעה בשכיחות זהה בגברים ובנשים ללא כל העדפה מובהקת על רקע הבדל מגדרי. יתר על כן, במחקר נמצא מתאם חיובי מובהק בין אורתורקסיה נרבוזה לבין נרקיסיזם ופרפקציוניזם, אך לא נמצא מתאם מובהק בין אורתורקסיה נרבוזה והערכה עצמית. ממצאים אלו מדגישים כי המתמודדים עם אורתורקסיה נרבוזה לרוב גאים בהרגלי האכילה שלהם מתוך אמונתם שהרגלים אלו בריאים יותר משל אחרים, אמונה זו היא הכוח המניע מאחורי האורתורקסיה שלהם, בניגוד לעיוות בדימוי הגוף שהוא הכוח המניע באנורקסיה.
האיגוד האמריקאי לפסיכיאטריה אינו מכיר באורתורקסיה נרבוזה כהפרעת אכילה, ומכאן, היא אינה מצוינת כאבחנה רשמית ב-DSM, ספר האבחנות הפסיכיאטריות האמריקאי, שנמצא בשימוש נרחב.
סימנים וסימפטומים

הסימפטומים של אורתורקסיה נרבוזה כוללים "עיסוק אובססיבי בבחירת מזון, בתכנון, ברכישה, בהכנה ובאכילה; תפיסת המזון כמקור לבריאות ולא כמקור להנאה; חרדה או גועל בעת קרבה למזונות אסורים; אמונה מוגזמת בכך שהכללה או הסרה של סוגי מזון מסוימים מתוך התפריט היומי יכולה למנוע או לרפא מחלות או להוביל לרווחה גופנית, נפשית וחברתית; תנודות תקופתיות באמונות התזונתיות בעוד שתהליכים אחרים ממשיכים להתקיים ללא שינוי; שיפוט מוסרי של אחרים על בסיס בחירותיהם התזונתיות; עיוות בדימוי הגוף סביב תחושה של "טומאה" גופנית ולא סביב משקל; אמונה עיקשת שהעיסוקים התזונתיים תורמים לקידום הבריאות, חרף הוכחות לתת-תזונה."
גורם

טרם נבחן קיומו של גורם ביולוגי ספציפי המוביל להתפתחותה של אורתורקסיה נרבוזה. ניתן לראות בהפרעה זו מופע ממוקד במזון של הפרעה טורדנית-כפייתית, שנמצאת בקשר עם הצורך בשליטה.
אבחון

בשנת 2016, פרסמו תום דון וסטיבן ברטמן שני קריטריונים רשמיים לאבחון אורתורקסיה, בכתב העת Eating Behaviors:
הקריטריון הראשון: עיסוק אובססיבי באכילה "בריאה", על בסיס תיאוריה תזונתית או מערכת אמונות שעקרונותיה עשויים להשתנות; העיסוק מתבטא במצוקה נפשית מוגזמת הקשורה לאכילת מזון שנתפס כלא-בריא; עלולה להתרחש ירידה במשקל, אך ירידת המשקל מומשגת כתוצר לוואי של השאיפה לבריאות אידיאלית ולא כמטרה ראשונית. עדויות לכך:
התנהגות קומפולסיבית או עיסוק-יתר בהגבלות תזונתיות שהאדם מאמין שמקדמות אותו לבריאות אופטימלית. (הערות לקריטריון זה, יש להוסיף: העיסוק התזונתי עשוי לכלול צריכת "תוספי מזון" מרוכזים. ביצוע אימון גופני או מבנה גוף חטוב שעשוי להיתפס כאספקט או אינדיקטור של בריאות.)
הפרת החוקים התזונתיים שהאדם כפה על עצמו מעוררת פחד מוגזם מפני תחלואה, תחושה של טומאה או תחושות גופניות שליליות, המלוות בחרדה ובבושה.
המגבלות התזונתיות מחריפות עם הזמן, עד כדי הימנעות מקבוצות מזון שלמות וכוללות בהדרגה "ניקויים" (צומות חלקיים) בשכיחות או בדרגת חומרה עולה. "ניקויים" אלו נתפסים כמטהרים או כמנקים מרעלים. החרפה זו מובילה בדרך כלל לירידה במשקל, אך הרצון לרדת במשקל אינו קיים, סמוי או משני לחשיבה על מזון בריא.
הקריטריון השני: ההתנהגות הקומפולסיבית ועיסוק-היתר המחשבתי מובילים לפגיעה קלינית כתוצאה מכל אחד מהבאים:
תת-תזונה, איבוד משקל חמור או סיבוכים רפואיים אחרים הנובעים מההגבלות התזונתיות.
מצוקה נפשית או ליקוי בתפקוד החברתי, האקדמי או המקצועי, משניים לאמונות או התנהגויות הקשורות לתזונה בריאה.
דימוי גוף חיובי, תחושת ערך עצמי, זהות חיובית או תחושת שביעות רצון תלויים באופן מוגזם בעמידה בכללים של אכילה "בריאה", כפי שהגדיר האדם.
לצורך אבחון המתמודדים עם אורתורקסיה, פותח שאלון שמכונה 15-ORTO, בדומה לשאלונים אבחוניים המיועדים להפרעות אכילה אחרות.  דון וברטמן מתחו ביקורת על שימוש בשאלון זה ככלי סקר, מאחר שלדעתם הוא חסר תוקף פנימי וחיצוני מתאים.
אורתורקסיה והפרעות אחרות

אורתורקסיה נבדלת מאנורקסיה ומבולימיה ביחסה למזון. במקום להתמקד בכמות המזון הנצרך, מתוך ניסיון לצמצם באכילה ולרדת במשקל, אורתורקסיה היא "אובססיה ביחס לאיכות המזון הנצרך" והיא מונעת מתוך תחושות של שלמות וטהרה המושגות כאשר צורכים רק מזונות "בריאים".
התנהגויות אורתורקסיות עלולות להוביל לעיתים קרובות לתת-תזונה ולאיבוד משקל, והן מקושרות לרוב עם אנורקסיה נרבוזה. עוד הראו מחקרים, כי נטיות אובססיביות-קומפולסיביות קשורות להתפתחות של אורתורקסיה, ומספר חוקרים הציעו כי יש לאבחן אורתורקסיה כהפרעה טורדנית-כפייתית, מאחר שהיא מונעת מאובססיה להשגת תזונה מושלמת.
ראו גם

כימופוביה
אוכל מנחם
הפרעה נפשית
דיאטה
אכילה רגשית
פירמידת מזון
הערות שוליים

1 2  Hill A, Healthy food obsession sparks rise in new eating disorder, The Guardian, 2009
↑  Bratman S, ?What is Orthorexia, orthorexia.com, ‏2014 ,23 January
↑  Rochman B, ?Orthorexia: Can Healthy Eating Be a Disorder, Time, 2010
↑  Bratman S, Knight D, Health Food Junkies: Overcoming the Obsession with Healthful Eating, New York: Broadway Books, 2000
↑  Ursula Philpot, Supersize vs Superskinny, www.channel4.com, ‏April 7, 2011
↑  Oberle CD, Samaghabadi RO, Hughes EM, Orthorexia nervosa: Assessment and correlates with gender, BMI, and personality, Appetite 108, 2017
1 2 3  Dunn TM, Bratman S, On orthorexia nervosa: A review of the literature and proposed diagnostic criteria, Eating Behaviors 21, 2016, עמ' 11-7
↑  Getz L, Orthorexia: When eating healthy becomes an unhealthy obsession, Today's Dietitian, 2009
↑  Donini LM, Marsili D, Graziani MP, Imbriale M, Cannella C, Orthorexia nervosa: validation of a diagnosis questionnaire, Eating and Weight Disorders 10(2), 2005, עמ' e28-32
1 2  Brytek-Matera A, Orthorexia Nervosa – an Eating Disorder, Obsessive-Compulsive Disorder, or Disturbed Eating Habit?, Psychiatry and Psychotherapy, 2012, עמ' 55–60
↑  GM, Díaz Gutiérrez MC, Flores Galicia I, Ruiz-Shuayre A, When clean eating isn't as faultless: the dangerous obsession with healthy eating and the relationship between Orthorexia nervosa and eating disorders in Mexican University students, Journal of Eating Disorders 8(1), 2020
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 1097785653
אות קלון

אות קלון הוא ניב שנוצר בעברית החדשה (אף ששני רכיביו מקורם בלשון המקרא), הבא לבטא את החומרה של מושא הביטוי, פעמים רבות תוך ייחוס לחומרה השפעה לזמן רב, לעיתים כזה שאינו ניתן לכפרה, או להיקף רחב יותר מהמושא המצומצם.
דוגמאות

חומרה: הגנרל וולטר בדל-סמית הגיב להאשמות על טיפול לקוי בניצולי שואה: "האשמות אלו הן אות קלון להנהלת המחנה" ובכך ביקש להבהיר את החומרה בה הוא רואה את ההאשמות אם תתאמתנה.
זמן: מזכיר הסתדרות המורים אמר שבית ספר שאינו מודרג אינו טובע אות קלון בילדים ובכך הביע את עמדתו שחלוקת ילדים להקבצות על פי רמות אינה נוגעת רק להווה, אלא עלולה להטביע על הילד תדמית שלילית לשנים רבות.
העדר כפרה: על טבח ליל ברתולומאוס הקדוש כותב בעל מאמר בהמליץ: "הוא אות קלון עולמי וכתם נצחי להיכנסייה הקתולית בספר דברי הימים, ואף אם תרבה לה בורית ותכבס בנתר נכתם עונה זה על לוחות התולדה".
היקף:
בהתייחס להזנחה בבית הקברות הר המנוחות בירושלים הביעה אשה שהתלוננה את עמדתה "כי המצב הקיים הוא אות קלון לירושלים" ובכך העבירה את המסר שהמצב אינו נוגע רק לאותו בית קברות אלא פוגע קשות בתדמית של העיר ירושלים כולה.
ראשי המפלגה הליברלית גינו את הספר הלבן באומרם שהוא "אות קלון על שמה הטוב של בריטניה".
עלבון:
התאחדות עולמות של צעירים עבריים הביעה את החומרה שהיא רואה בנומרוס קלאוזוס בכותבה: "הנומרוס קלוזוס ... השולל מאת אחינו המתלמדים את האפשרות להשתלם בלימודים ולהשתתף בעבודת המדע הנעלה, והמטיל עליהם אות-קלון מעליב".
מקור הביטוי

מקור הביטוי באותות קלון שהוכרחו אנשים ללבוש כדי לביישם, כמו אות הקלון שהוכרחו היהודים בימי הביניים לשאת על בגדיהם (טלאי צהוב על הבגד), וכן אות הקלון (הטלאי הצהוב) על בגדי היהודים בשנות שלטון הנאצים.
ע"פ ספר בראשית, אות הקלון הראשון הוטל ברוצח הראשון, בקין, ונקרא "אות קין".
בימי הביניים באירופה נהגו להטיל אות קלון בפושעים מורשעים על ידי הטבעה בעורם של דוגמה קבועה באמצעות מכוות אש. בנוסף לכך, אל עמוד הקלון, קשרו עבריינים, כדי לבייש אותם בציבור. אות קלון מסוג זה מוזכר בספר שלושת המוסקטרים, כך מגלה ד'ארטניאן שאהובתו באותו זמן היא פושעת נמלטת. כאן המקום להזכיר גם את הספר אות השני מאת נתנאל הותורן. באות השני מסומנת נערה שהרתה מחוץ לנישואין.
ראו גם

כובע היהודים
הטלאי הצהוב
אות קין (מקרא)
הערות שוליים

↑  סכנת מגיפות צפויה לפליטינו, דבר, 6 בדצמבר 1945
↑  ש. לוין: בי"ס שאינו מודרג אינו טובע אות קלון בילדים, דבר, 4 בינואר 1967
↑  וו.ש., פשעי ספרד, המליץ, 29 ביוני 1898.
↑  מתי יושם קץ לחילול כבוד המתים?, מעריב, 10 בנובמבר 1950
↑  הספר הלבן הוא אות קלון על בריטניה, דבר, 21 במאי 1939
↑  התאחדות עולמות של צעירים עבריים, שבוע למלחמה בנומרוס קלוזוס, דואר היום, 23 בפברואר 1927
↑  היהודים בפרס, חבצלת, 22 באוקטובר 1897
↑  ספר בראשית, פרק ד', פסוק ט"ו
איבונה טוביס

איבונה טוביס-לאונוב (נולדה ב-5 בפברואר 1948) היא שחיינית עבר, אלופת ישראל ושיאנית ישראל בשחייה שהשתתפה באולימפיאדת מקסיקו במדי נבחרת ישראל, בעלת שתי מדליות ממשחקי אסיה.
ביוגרפיה

איבונה טוביס נולדה בברטיסלאבה, צ'כוסלובקיה. בגיל 5 החלה ללמוד לשחות ובגיל 8 כבר השתתפה בתחרויות שחייה. לישראל היא הגיעה בשנת 1965 עם משפחתה, אבא דזידר רופא אף אוזן גרון ואחיה ולדו שחיין גם הוא. בצ'כוסלובקיה היא החזיקה בשיאי נערות ובוגרות ב-100 מטר חופשי (1:04.5 דקות), 200 מטר חופשי (2:24 דקות), 100 מטר גב (1:11.2 דקות) וב-200 מטר גב (2:39.4 דקות). היא הגיעה לחיפה ושם התאמנה בקבוצת השחייה של הפועל חיפה בהדרכתו של יוסף טלקי.
חודשים ספורים אחרי עלייתה השתתפה טוביס במכביה ה-7 שנערכה בבריכת גלית ביד אליהו בתל אביב בשנת 1965 וזכתה בשתי מדליות, זהב וכסף. מדליית זהב, במשחה ל-400 מטר מעורב אישי בשיא ישראלי חדש של 5:49.6 דקות ומדליית כסף, במשחה ל-100 מטר פרפר.
במשחקי אסיה שנערכו בבנגקוק, תאילנד בדצמבר 1966 זכתה טוביס במדליית כסף במשחה ל-200 מטר מעורב אישי בשיא ישראלי חדש של 2:38.8 דקות (שיאה הקודם עמד על 2:42.5 דקות) ומדליית ארד במשחה ל-100 מטר חופשי בתוצאה של 1:05.5 דקות.
באליפות ישראל בשחייה שנערכה בבריכת השחייה בבת גלים בחיפה באוקטובר 1967 זכתה טוביס במדליית זהב במשחה ל-200 מטר גב, בשלב המוקדמות היא קבעה שיא ישראלי חדש של 2:42.2 דקות ובמדליית כסף במשחה ל-200 מטר חופשי בתוצאה של 2:25.9 דקות, טוב משיאה הישראלי הקודם, אך אחרי דורית זלץ שניצחה אותה בשיא ישראלי חדש של 2:21.0 דקות.
באליפות ישראל בשחייה שנערכה בבריכת השחייה "בת גלים" בחיפה בספטמבר 1968 זכתה טוביס ב-9 מדליות זהב ואחת מארד, הישג חסר תקדים בשחייה הישראלית. הייתה זו תחרות הכנה מצוינת לשחיינית לקראת המשחקים האולימפיים. במשחה ל-100 מטר חופשי (1:06.3 דקות), במשחה ל-400 מטר חופשי (5:02.8 דקות), במשחה ל-800 מטר חופשי בשיא ישראלי חדש של 10:35.5 דקות, במשחה ל-100 מטר גב (1:14.4 דקות), במשחה ל-100 מטר פרפר (1:11.6 דקות) ובמשחה שליחות 4x100 מטר מעורב בשיא ישראלי חדש לאגודות של 5:21.2 דקות.
ביוגרפיה > אולימפיאדת מקסיקו 1968

באולימפיאדת מקסיקו סיטי (1968) סיימה טוביס במקום ה-19 במשחה ל-100 מטר פרפר בתוצאה של 1:12.0 דקות, במקום ה-20 במשחה ל-200 מטר מעורב אישי בתוצאה של 2:41.0 דקות ובמקום ה-21 במשחה ל-400 מטר מעורב אישי בתוצאה של 5:53.8 דקות.
בתחרויות השחייה של המכביה ה-8 שנערכו בבריכת השחייה "גלי גיל" ברמת גן בתחילת אוגוסט 1969 זכתה טוביס ב-5 מדליות, 4 זהב ו-1 כסף. מדליות זהב, במשחה ל-100 מטר גב בשיא ישראלי ומכביה חדש של 1:12.8 דקות, במשחה ל-200 מטר גב בשיא ישראלי חדש של 2:41.1 דקות, במשחה ל-200 מטר מעורב אישי בתוצאה של 2:38.3 דקות ובמשחה שליחות 4x100 מטר מעורב ביחד עם אסנת שוהם, שלומית ניר ודורית זלץ לראשונה בתולדות המכביה, בשיא ישראלי ומכביה חדש של 4:55.1 דקות
שנה לאחר המשחקים האולימפיים בגיל 20, החלה טוביס ללמוד באוניברסיטה לתואר ד"ר לרפואת שיניים.
ביוגרפיה > השגים בתחרויות שחייה למסטרס

בשנים האחרונות משתתפת טוביס בתחרויות שחייה למסטרס ומחזיקה בשיאי ישראל לגילאים שונים.
בשנת 2005 היא דורגה במקום ה-6 בכל הזמנים באירופה במשחה ל-100 מטר גב לגילאי 55-59 בתוצאה של 1:23.75 דקות, במקום ה-7 במשחה ל-50 מטר גב לגילאי 55-59 בתוצאה של 37.73 שניות ובמקום ה-9 במשחה ל-200 מטר גב לגילאי 55-59 בתוצאה של 3:06.93 דקות.
בשנת 2007 היא דורגה במקום ה-6 בכל הזמנים באירופה במשחה ל-50 מטר פרפר לגילאי 55-59 בתוצאה של 35.13 שניות.
בשנת 2008 היא דורגה במקום הרביעי באירופה במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 6:19.05 דקות לגילאי 60-64.
תארים והישגים

באירוע הצדעה לנשים בספורט, שהתקיים במסגרת הפסטיבל הבינלאומי "פמינה 2001" זכתה טוביס לכבוד.
ראו גם

ישראל במשחקי אסיה
הערות שוליים

↑  שלמה מוזר, השחיינית טוביס משתלטת על ענף השחייה לנשים, דבר, 2 בספטמבר 1965
↑  דב עצמון, השחייה הישראלית זכתה בשתי מדליות כסף, טוביס ושפע איבדו זהב במטרים האחרונים, דבר, 18 בדצמבר 1966
↑  דב עצמון, איבונה טוביס בעקבות מרכוס; זכתה במדליית ארד בשחייה, דבר, 14 בדצמבר 1966
↑  שלמה מוזר, שלל שיאים בפתיחת אליפות השחייה, דבר, 20 באוקטובר 1967
↑  שלמה מוזר, איבונה טוביס צברה תשע מדליות זהב, דבר, 22 בספטמבר 1968
↑  משפחת ספיץ השתלטה על "גלי גיל" במשחה המהיר ביותר בישראל, דבר, 31 ביולי 1969
↑  בתום היום השלישי של תחרויות השחייה ... "ילדי המים" של טלקי הציבו 4 שיאים, דבר, 1 באוגוסט 1969
↑  ספיץ שרף את מימי "גלי גיל" במשחה המהיר ביותר בישראל, מעריב, 30 ביולי 1969
↑  שפיץ חתר 100 מטר ב-52.9 ש' בשליחים, דבר, 3 באוגוסט 1969
↑  יעקב ברוש, ביום האחרון של תחרויות השחייה הושג רק שיא לרומי... ברזילאי, מעריב, 4 באוגוסט 1969
↑  אורי טלשיר, רופאים ללא גבולות, באתר הארץ, 15 בספטמבר 2009
↑  חיפה מצדיעה לנשים בספורט, באתר עיריית חיפה
|  משלחת ישראל לאולימפיאדת מקסיקו סיטי (1968)  |
| --- | --- | --- |
|  אתלטיקה | שאול לדני • חנה שזיפי |  |
|  כדורגל | נבחרת ישראל בכדורגל (יצחק אנגלנדר, ג'ורג' בורבה, מנחם בלו, שרגא בר, ציון דגמי, יצחק דרוקר, רחמים טלבי, ראובן יאנג, חיים לוין, שמואל מליקה, שייע פייגנבוים, נחמן קסטרו, דוד קרקו, צבי רוזן, שמואל רוזנטל, ישעיהו שווגר, יצחק שום, גיורא שפיגל, מרדכי שפיגלר) |  |
|  קליעה | הנרי הרשקוביץ • מיכאל מרטון • נחמיה סירקיס • זליג שטרוך |  |
|  שחייה | איבונה טוביס • אברהם מלמד • שלומית ניר • יואל קנדה • אמנון קראוס • גרשון שפע |  |
אופני תנודה עצמיים

מספר אופני תנודה בסריג חד-ממדי
אופני תנודה עצמיים (מלשון אֹפֶן ולא אוֹפַן, באנגלית: Normal Modes) במערכת מתנודדת (בדרך כלל אוסף של מתנדים (אוסצילטורים) הרמוניים מצומדים) הם מצבים מיוחדים בהם כל רכיבי המערכת מתנודדים באותה תדירות (הנקראת "תדירות עצמית" או "תדירות מותרת").
כל צורה אחרת של תנודות במערכת מתקבלת על ידי סופרפוזיציה של אופני תנודה, כלומר, אופני תנודה עצמיים מהווים בסיס לתנועות מורכבות יותר של המערכת. למושג אופן תנודה חשיבות רבה בתחומים שונים בפיזיקה, דוגמת תורת הגלים, אופטיקה ומכניקת הקוונטים, וכן בתחומי הנדסה, דוגמת הנדסת חשמל.
מציאת אופני תנודה מנצלת את כוחה של האלגברה הליניארית המיושמת לגבי מערכת ליניארית של משוואות דיפרנציאליות מצומדות. את המערכת אפשר לייצג בצורת וקטורים ומטריצה ואז ללכסן אותה, כלומר: לחפש את הווקטורים העצמיים שלה. וקטורים עצמיים אלה הם אופני התנודה של המערכת, והתדירויות העצמיות הן הערכים העצמיים המתאימים.
דוגמה - אופני תנודה של מתנדים מצומדים

נניח שני גופים, כל אחד בעל מסה M, מחוברים זה לזה באמצעות קפיץ בעל קבוע-קפיץ K. חיבורים מתואר באיור הבא:
כאשר נקודות הקצה מקובעות ואינן יכולות לזוז. אנו נציין ב -  \ x_{1}(t) את ההעתק של המסה השמאלית ממצב שיווי המשקל, וב  \ x_{2}(t) נציין את ההעתק של המסה הימנית.
אם נציין את הנגזרת השנייה של ההעתק  \ x(t) לפי הזמן בסימון  \ {\ddot {x}} אזי משוואות התנועה הן:
מאחר שאנו מצפים לפתרון מתנודד ננחש פתרון שהוא אופן תנודה ובו שתי המסות מתנודדות באותה תדירות:
בהצבתן במשוואות נקבל:
מאחר שאיבר האקספוננט (ה"פאזה" של המערכת) שונה מאפס ומשותף לכולם, נצמצם בו. נפשט את המשוואות ונקבל:
ובייצוג מטריצי:
כדי שיהיה קיים למערכת זו פתרון לא-טריוויאלי (במשתנים A1 ו-A2), על הדטרמיננטה להתאפס. כלומר:
נפתור עבור  \omega , ונקבל:
אלו הן התדירויות העצמיות, כעת נחפש את הווקטורים העצמיים המתאימים.
אם נציב  \omega _{1} במטריצה ונפתור עבור ( A_{1},A_{2}), נקבל את הווקטור (1, 1). אם נציב  \omega _{2}, נקבל את הווקטור (1, 1-).
אופן התנודה הראשון הוא
אופן התנודה השני הוא
הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של אופני התנודה כאשר c1, c2, φ1, ו φ2, נקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה (במקרה שלנו, ההעתק והמהירות ההתחלתית של כל מסה).
התהליך שהודגם כאן גם ניתן להכללה, לניסוח ולביצוע גם בפורמליזם הלגראנז'י וההמילטוני (כלומר: מכניקה אנליטית עם לגראנז'יאן או המילטוניאן).
גלים עומדים

גל עומד הוא צורה רציפה של אופן תנודה. בגל עומד כל האלמנטים המרחביים (מיוצגים על ידי הקואורדינטות x,y,z) מתנודדים באותה תדירות ובאותה פאזה (מגיעים ביחד לנקודת שיווי המשקל), אך לכל אלמנט מרחבי אמפליטודה משלו.
המשוואה הכללית המתארת גל עומד היא
כאשר  \ f(x,y,z) מייצגת את "גל המעטפת", התלות של האמפליטודה במיקום במרחב, ואילו רכיבי הסינוס והקוסינוס מייצגים את התנודות בזמן.
מבחינה פיזיקלית, גלים עומדים נוצרים על ידי התאבכות: סופרפוזיציה של גלים (נוסעים) וההחזרות שלהם. חשוב לציין שאפשר לתאר זו גם להפך: גל נוסע הוא סופרפוזיציה של גלים עומדים. הצורה הגאומטרית של התווך בו מתרחשים התנודות קובעת את תבנית ההתאבכות, כלומר את צורת גל המעטפת  \ f(x,y,z). פתרון רציף כזה נקרא אופן תנודה.
בדרך כלל, בבעיות עם תלות רציפה בקואורדינטות x,y,z אין מספר סופי של אופני תנודה, אלא יש מספר אינסופי של אופני תנודה אפשריים. אם הבעיה חסומה (כלומר: מוגדרת על קטע סופי וקומפקטי של המרחב) אז יש מספר בן מנייה (אינסוף בדיד) של אופני תנודה (בדרך כלל מסדרים אותה בסדרה לפי הערכים העצמיים). אם הבעיה איננה חסומה יש ספקטרום רציף של אינסוף אופני תנודה.
התדירויות המותרות תלויות באופני התנודה, וכן בקבועים הפיזיקליים של הבעיה (צפיפות התווך, מתיחות התווך, לחץ וכדומה) שקובעות את מהירות הפאזה של הגל. אוסף כל התדירויות המותרות נקרא ספקטרום התדירות של הבעיה. בדרך כלל, כל תדירות מדוגמת באמפליטודה (של אופן התנודה המתאים) או באנרגיה שהיא נושאת, ואז נוצר גרף של ספקטרום אנרגיה של התנודות.
במוזיקה, אופני תנודה של כלים רוטטים (כלי מיתר, חלילים וכלי נשיפה, תופים ועוד) נקראות הרמוניות או צלילים עיליים.
אופני תנודה במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים, מצב של מערכת מתואר על ידי פונקציית גל  \ |\psi \rangle  של (x, t) שפותרת את משוואת שרדינגר. הריבוע של הערך המוחלט של המשרעת  \ |\psi \rangle , כלומר
היא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום x בזמן t.
בדרך כלל, כאשר יש פוטנציאל בבעיה, פונקציית הגל מפורקת לסופרפוזיציה של מצבים עצמיים של ההמילטוניאן (מצבים עצמיים של האנרגיה), שכל אחד מהם "מתנודד" בתדירות  \omega =E_{n}/\hbar . לכן, אפשר לכתוב
כאן, למצב העצמי יש משמעות פיזיקלית נוספת. כאשר האנרגיה של המערכת נמדדת, פונקציית הגל קורסת לאחד המצבים העצמיים ונשארת שם. כלומר, אחרי המדידה: פונקציית הגל מתוארת על ידי מצב עצמי טהור שמתאים לאנרגיה שנמדדה.
ראו גם

יישומים בפיזיקה
גלים
אופטיקה
אוסצילטור הרמוני
מכניקה קוונטית
הרמוניה (מוזיקה)
תהודה
כלים מתמטיים:
אלגברה ליניארית
ערך עצמי
משוואות דיפרנציאליות
תורת שטורם-ליוביל
התמרת פורייה
בעיית תנאי שפה
אברהם קפלן (מוזיקאי)

| --- | --- |

 לידה:  5 במאי 1931 תל-אביב, פלשתינה (א"י) 
 פטירה:  6 בספטמבר 2023 (בגיל 92) תל אביב-יפו, ישראל 
 מדינה:  ארצות הברית 
 השכלה:  בית הספר ג'וליארד 
 מעסיק:  אוניברסיטת וושינגטון, בית הספר ג'וליארד 
 www.abrahamkaplan.com
 
אברהם קפלן (5 במאי 1931 – 6 בספטמבר 2023) היה מנצח מקהלות ומלחין ישראלי-אמריקאי.
ביוגרפיה

קפלן נולד בישראל, בן ונכד למנצחי מקהלות – סבו היה חזן ומנצח מקהלה באימפריה הרוסית. אביו, שלמה קפלן, הניח את התשתית לתרבות שירת המקהלה בישראל והיה למנצח המקהלות המוביל באמצע המאה ה-20. ניסיונו הראשון של אברהם בתחום זה היה בעת שירותו הצבאי, כאשר ניצח על מקהלה ביחידה שלו.
אחרי השחרור החל בלימודי מוזיקה (ניצוח על מקהלות) באקדמיה למוזיקה בירושלים והתמנה למנצח המקהלות של הקונסרבטוריון ושל קול ישראל.
בשנת 1954 יצא קפלן לניו יורק, להמשיך בלימודי המוזיקה בג'וליארד. כעבור שלוש שנים, מצויד בשתי דיפלומות ואחרי תקופת עבודה כעוזר מנצח, חזר לישראל וניצח על מקהלת האקדמיה למוזיקה ולמחול בירושלים. בשנת 1961 חזר לארצות הברית, התמנה לראש מחלקת ניצוח מקהלות בג'וליארד. במקביל שימש מנצח או מנהל מוזיקלי במקומות שונים, הופיע בתוכניות טלוויזיה והקליט עם התזמורת הפילהרמונית של ניו יורק. על תלמידיו בג'וליארד נמנה המנצח ג'ון נלסון.
בשנת 1954 היה שותף להכנות לביצוע הבכורה העולמי של האופרה "דוד" מאת דריוס מיו בירושלים. ב-1963 הכין את המקהלה לביצוע הבכורה העולמי של הסימפוניה השלישית של ברנשטיין, "קדיש", בתל אביב.
ליאונרד ברנשטיין הביע את התפעלותו מן המוזיקליות והרבגוניות של תזמורת הקאמרטה הסימפונית בניצוחו של "מאסטרו אברהם קפלן, שנשלח לה ממרומים". קפלן ניצח על תזמורת זו בשנים 1968–1977.
בשנת 1977 הופיע בבית הלבן בקונצרט חגיגי לכבוד נשיא פינלנד, אורהו קקונן. הוא הוזמן לנצח בקונצרט לכבוד אליזבת השנייה, מלכת הממלכה המאוחדת ובעלה הדוכס מאדינבורו בביקורם בארצות הברית בשנת 1983.
ב-1977 הצטרף אברהם קפלן לסגל המרצים של אוניברסיטת וושינגטון כמנהל לימודי המקהלה.
נוסף לניצוח והוראה, כתב קפלן ב-1985 את ספר הלימוד "Choral Conducting", בנושא "ניצוח מקהלות". הספר, הנפוץ מאוד בשימוש, יצא במהדורה שלישית.
בתחילת 2020 עבר לבלטימור במטרה להיות סמוך לבנו ונכדיו.
לעת זקנה, הוא החליט לחזור ולחיות בעיר ילדותו תל אביב, לצד אחיותיו.
אברהם נפטר ב-6 בספטמבר 2023.
איוואן איוואנוביץ' טולסטוי

| --- | --- |
איוואן איוואנוביץ' טולסטוי
איוואן איוואנוביץ' טולסטוי
 לידה:  18 במאי 1858 (יוליאני) האימפריה הרוסית 
 פטירה:  20 במאי 1916 (יוליאני) (בגיל 58) טאבריה, האימפריה הרוסית 
 מדינה:  האימפריה הרוסית 
 מקום קבורה:  בית הקברות ניקולסקויה של הלאוורה אלכסנדר נבסקי בסנקט פטרבורג 
 תפקיד:  חבר המועצה המדינית של האימפריה הרוסית 
 
איוואן איוואנוביץ' טולסטוי (ברוסית: Ива́н Ива́нович Толсто́й; ‏1858 – 20 במאי 1916) היה מדינאי ופוליטיקאי ברוסיה הקיסרית. שר החינוך של האימפריה הרוסית (1905–1906) וראש עיריית סנקט פטרבורג (1912–1916).
איוואן טולסטוי נולד בעיירה לוגה, ליד סנקט פטרבורג למשפחה אצילה. אביו היה שר הדואר ונכד של מיכאיל קוטוזוב. בשנת 1880 איוואן טולסטוי סיים לימודי משפטים באוניברסיטת סנקט פטרבורג והחל לעבוד במשרד הפנים.
בשנת 1905 מונה לשר החינוך. בהיותו בתפקיד הוא קידם הסרת מגבולות לקבלת יהודים ללימודים במוסדות להשכלה גבוה. הצעותיו אושרו במועצת השרים אך לא קיבלו אישור סופי של הצאר. יחד עם זאת, טולסטוי קידם ביטול מספר מגבלות שהיו בתחום משרדו. בשנת 1907, כאשר כבר לא היה בתפקיד השר הוא פרסם ספר שושא מצב היהודים ברוסיה שכתב ביחד עם יולי גסן.
טולסטוי מומחה בנומיסמטיקה ופרסם מספר עבודות בנושא. לאחר הקמת "ארגון ללימוד חיי היהודים" בתחילת מלחמת העולם הראשונה, מונה ליושב ראש הארגון. מטרת הקמת הארגון הייתה פעילות נגד אנטישמיות ברוסיה.
בשנת 1916 הוא התפטר מכל תפקידיו לאו מצבו הבריאותי. הוא נפטר תוך זמן קצר ונטמן במנזר אלכסנדר נבסקי בסנקט פטרבורג.
בנו היה איוואן איוואנוביץ' טולסטוי (רו') חוקר העולם הקלאסי וחבר באקדמיה למדעים של ברית המועצות.
אטורה בוגאטי

| --- | --- |

 לידה:  15 בספטמבר 1881 מילאנו, ממלכת איטליה 
 פטירה:  21 באוגוסט 1947 (בגיל 65) פריז, צרפת 
 שם לידה:  Ettore Arco Isidoro Bugatti 
 מדינה:  איטליה, ממלכת איטליה, צרפת 
 מקום קבורה:  דורלישיים 
 תקופת הפעילות:  1898–1947 (כ־49 שנים) 
 פרסים והוקרה:  אביר בלגיון הכבוד 
 
אטורה ארקו איסידורו בוגאטי (באיטלקית: Ettore Arco Isidoro Bugatti;‏ 15 בספטמבר 1881 – 21 באוגוסט 1947), יצרן ומתכנן מכוניות איטלקי, ייסד והיה הבעלים של חברת ייצור המכוניות בוגאטי.
ביוגרפיה

נולד במילאנו למשפחה אמנותית ידועה אשר שורשיה בעיר. בנם של תרזה לוריולי ובעלה קרלו בוגאטי, מעצב מפורסם של רהיטים ותכשיטים בסגנון אר נובו. אחיו הצעיר היה פסל חיות מפורסם, רמברנט בוגאטי, דודתו, לואיגיה בוגאטי, הייתה אשתו של הצייר ג'ובאני סגנטיני וסבו, ג'ובאני לואיג'י בוגאטי היה אדריכל ופסל.
לפני ייסוד חברת מכוניות משלו, תכנן אטורה מספר מנועים וכלי רכב עבור אחרים. פרינטי וסטצ'י ייצרו את בוגאטי סוג 1 שאותו תכנן ב-1898. משנת 1902 ועד 1904, דיטריך בנה את הדגמים בוגאטי סוג 3, 4, 5, 6 ו-7 תחת המותג דיטריך-בוגאטי. בשנת 1907, עבר בוגאטי לעבוד עבור דויץ גסמוטורן פבריק, כדי לתכנן ולעצב את הדגמים בוגאטי 8 ו-9.
בזמנו הפרטי, בוגאטי פיתח את בוגאטי סוג 2 (בין השנים 1900 ו-1901), ובשנת 1903 את הדגם בוגאטי סוג 5. כאשר עבד בדויץ, בנה בוגאטי את דגמי הבוגאטי 10 ו-13 במרתף ביתו. בשנת 1913, בוגאטי תכנן מכונית קטנה עבור פיז'ו, הפיז'ו בבה סוג 19.
אף על פי שנולד באיטליה, חברת המכונית בוגאטי הוקמה במולצהיים במחוז אלזס, כיום חלק מצרפת. החברה נודעה בשל ההנדסה המתקדמת, האיכות הגבוהה והצלחתה במרוצי הגרנד פרי הראשונים. בוגאטי הייתה הזוכה הראשונה של גרנד פרי מונקו.
בנוסף בוגאטי תכנן גם קרון רכבת ממונע מצליח, ה-"אאוטורייל" ומטוס כנף קבועה, אשר מעולם לא טס. בנו ג'אן בוגאטי, נהרג ב-11 באוגוסט 1939 בגיל 30, בעת בדיקת בוגאטי סוג 57 ליד המפעל מולשיים. מיד לאחר האירוע מזלו של המפעל לא שיחק לו כבעבר. במלחמת העולם השנייה נהרס המפעל במולשיים והחברה איבדה את שליטתה על הרכוש. במהלך המלחמה, בוגאטי תכנן מפעל חדש בלבלוייס אשר בפריז וכן גם סדרה של מכוניות חדשות.
אטורה בוגאטי נקבר במתחם משפחת בוגאטי בבית הקברות האזורי בדורלישיים ליד מולשיים שבאלזס.
ראו גם

בוגאטי
בוגאטי סוג 18
בוגאטי סוג 64
בוגאטי סוג 59 גרנד פרי
אברהם אסולין

חתימת רבי אברהם אסולין
הרב אברהם אסולין (סביב ה'תקכ"ה, 1765 - טבת ה'תקצ"ב, 1832) היה מקובל, פוסק הלכה, אב בית הדין ורבה של מרקש בראשית המאה התשע עשרה.