משפט יאנג
הוכחה

תחילה נראה כי פתרון  המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה והשוליות מקיים גם את עקרון שחקן האפס.
אכן, יהי  \varphi  מושג פתרון המקיים יעילות, סימטריה ושוליות.
יהי  \left(N;v\right) משחק ויהי i שחקן אפס במשחק זה.
יהי  \left(N;z\right) משחק האפס: z(S)= 0 לכל קואליציה S. 
במשחק  \left(N;z\right) כל השחקנים סימטריים
ולכן מיעילות וסימטריה נובע כי:
\varphi _{j}\left(N;z\right)=0  \forall {j}\in {N}, .
מכאן התרומה השולית של i לכל קואליציה הן ב v והן ב z היא 0, ולכן מעיקרון השוליות   \varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{i}\left(N;z\right)=0.
כעת, נראה כי כל פתרון  \varphi  המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה והשוליות הוא ערך שפלי, כלומר שמתקיים  \varphi =Sh .
לכל משחק  \left(N;v\right)  נסמן     
 I\left(N;v\right)=\left\{S\subseteq N:\ \exists T\subseteq S,v\left(T\right)\ \neq 0\right\}.
לכל קואליציה S נגדיר משחק   \left(N;\ v^{s}\right) באופן הבא:
 \ v^{s}\left(T\right)=v\left(S\cap T\right),\forall {T}\subseteq {N}
.
ניתן לראות כי כל השחקנים שאינם ב S הם שחקני אפס ב  \left(N;\ v^{s}\right), לכן עבור i שאינו ב S מתקיים  \ Sh_{i}\left(N;\ v^{s}\right)=0=\varphi _{i}\left(N;v^{s}\right).
נשים לב כי  I\left(N;v-v^{s}\right)\subset I\left(N;v\right) לכל קואליציה  S\in I\left(N;v\right).
אכן,  I\left(N;v-v^{s}\right)\subseteq I\left(N;v\right) :
תהי  T\in I\left(N;v-v^{s}\right), אז יש  R\subseteq T תת-קואליציה שמקיימת  \left(v-v^{s}\right)\left(R\right)\neq 0.
לכן בהכרח   v\left(R\right)\neq 0 או  v^{s}\left(R\right)=v\left(R\cap S\right)\neq 0. אך מכאן שיש ל T תת-קואליציה שערכה אינו 0 ונקבל ש  T\in I\left(N;v\right), כנדרש.
כמו כן  S\not \in I\left(N;v-v^{s}\right): לכל תת-קואליציה  T\subseteq S,    \left(v-v^{s}\right)\left(T\right)=v\left(T\right)-v^{s}\left(T\right)=v\left(T\right)-v\left(T\right)=0
ולכן  S\not \in I\left(N;v-v^{s}\right).
הוכחת המשפט תעשה באינדוקציה על מספר האיברים ב  I\left(N;v\right).
אם   \left|I\left(N;v\right)\right|=0,   אז    v\left(S\right)=0\  לכל S. מכיוון שגם  \varphi  וגם Sh מקיימים את עקרון שחקן האפס,  \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right)=0 לכל i.
נניח באינדוקציה ש  \varphi \left(N;v\right)=Sh\left(N;v\right) לכל משחק  \left(N;v\right) שעבורו  \left|I\left(N;v\right)\right|<k  
ויהי  \left(N;v\right) משחק שבו  \left|I\left(N;v\right)\right|=k.
תהי  S\in I\left(N;v\right) ויהי  i\not \in S, נראה כי  \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right):
ראינו ש   \left|I\left(N;v-v^{s}\right)\right|<\left|I\left(N;v\right)\right|=k ולכן מהנחת האינדוקציה \varphi _{i}\left(N;v-v^{s}\right)=Sh_{i}\left(N;v-v^{s}\right),\forall {i}\in {N}.
לכל קואליציה  { i }\ T\subseteq N\ :
\left(v-v^{s}\right)\left(T\cup \ i\right)=v\left(T\cup \ i\right)-v\left(S\cap \left(T\cup \ i\right)\right)=v\left(T\cup \ i\right)-v^{s}\left(T\right)
לכן התרומה השולית של i במשחק  v-v^{s} היא:
\left(v-v^{s}\right)\left(T\cup \ i\right)-\left(v-v^{s}\right)\left(T\right)=v\left(T\cup \ i\right)-v^{s}\left(T\right)-v\left(T\right)+v^{s}\left(T\right)=v\left(T\cup \ i\right)-v\left(T\right)
כלומר התרומה השולית של שחקן i ב   v-v^{s} שווה לתרומה השולית שלו ב  v.
נתון ש  \varphi  מקיים את עקרון השוליות. בנוסף ידוע כי גם ערך שפלי מקיים עיקרון זה, לכן -
\varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{i}\left(N;v-v^{s}\right)
ו-  Sh_{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v-v^{s}\right)    לכל שחקן  i\not \in S.
ונקבל (מהנחת האינדוקציה) כי  \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right) לכל שחקן   i\not \in S.
יהי i שחקן שנמצא בכל הקואליציות ב  I\left(N;v\right), נראה כי  \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right):
נסמן ב *S את חיתוך כל הקואליציות ב  I\left(N;v\right) ונניח כי *S אינה ריקה (אחרת המסקנה מתקיימת באופן ריק).
נבחין כי לכל קואליציה T שאינה מכילה את *S מתקיים   v\left(T\right)=0 (כי
אם   v\left(T\right)\neq 0, אז  T\in I\left(N;v\right)  
ובפרט מכילה את *S).
כמו כן כל שני שחקנים i, j ב *S הם סימטריים כי לכל קואליציה R שאינה מכילה את i ו- j הקואליציות  R\cup j ו-  R\cup i אינן מכילות את *S ולכן v שלהן הוא 0.
מכיוון ש \varphi  ו- Sh מקיימים את עקרון הסימטריה:
\varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{j}\left(N;v\right),    Sh_{i}\left(N;v\right)=Sh_{j}\left(N;v\right)             לכל i,j שאינם ב *S.
מכיוון ש \varphi  ו- Sh מקיימים את עקרון היעילות וראינו ש 
 \varphi _{i}\left(N;v\right)=Sh_{i}\left(N;v\right) לכל שחקן i שאינו ב *S,
\sum _{i\in {S^{*}}}\varphi _{i}\left(N;v\right)=v\left(N\right)-\sum _{i\not \in {S^{*}}}\varphi _{i}\left(N;v\right)=v\left(N\right)-\sum _{i\not \in {S^{*}}}Sh_{i}(N;v)=\sum _{i\in {S^{*}}}Sh_{i}(N;v)
מכאן, שלכל שחקן j ב *S:
\varphi _{j}\left(N;v\right)={\frac {1}{|S^{*}|}}\sum _{i\in {S^{*}}}\varphi _{i}\left(N;v\right)={\frac {1}{|S^{*}|}}\sum _{i\in {S^{*}}}Sh_{i}(N;v)=Sh_{j}\left(N;v\right)
וסה"כ   \varphi =Sh  כנדרש.    \blacksquare