שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים
אינטגרלים של פונקציות רציונליות > חילוק פולינומים

שיטה זו יעילה במקרים בהם  n\geq m,כלומר כאשר הפולינום במכנה מסדר נמוך יותר או שווה לפולינום במונה (או בצורה פשוטה יותר: כשבמונה מופיעה חזקה גבוהה יותר (או שווה) מאשר במונה). בשיטה זו, נרצה לחלק את הפולינום  P_{n}(x) בפולינום  Q_{m}(x) ולמצוא את השארית של החלוקה, ובכך להציג את המנה של הפולינומים כמכפלה של מספר גורמים, ועוד ביטוי כלשהו, שהוא שארית החלוקה. למעשה, אם בשיטה של הפירוק לשברים חלקיים אנחנו טוענים כי הפולינום במכנה מסדר גבוה יותר ולכן ניתן לפרק את הביטוי לשברים פשוטים יותר שבכל אחד מהם המכנה מסדר גבוה יותר, בשיטה של חילוק פולינומים אנחנו טוענים את ההפך. כלומר, היות שהפולינום במונה מסדר גבוה יותר אפשר לחלק אותו בפולינום מהמכנה (לצמצם אותם אחד בשני), ולקבל ביטוי פשוט. לדוגמה:
{\frac {x^{2}-1}{x+1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x+1}}=x-1.
לא תמיד הסדר של הפולינום יהיה נמוך עד כדי כך שנוכל לפרק אותו בקלות על ידי הנוסחאות לכפל מקוצר של אותה החזקה, ולכן נשתמש בטכניקה של חילוק פולינומים.
אז במקרה הכללי נרצה להביא ביטוי מהצורה  {\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}}={\frac {\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}}{\sum _{i=0}^{m}\beta _{i}x^{i}}}={\frac {\alpha _{0}x^{0}+\alpha _{1}x^{1}+\alpha _{2}x^{2}+...+\alpha _{n}x^{n}}{\beta _{0}x^{0}+\beta _{1}x^{1}+\beta _{2}x^{2}+...+\beta _{m}x^{m}}} כאשר  n\geq m והמטרה היא למצוא סכום של גורמים  R_{k}(x)={\frac {\sum _{i=0}^{j}\delta _{i}x^{i}}{\sum _{i=0}^{l}\epsilon _{i}x^{i}}}+\sum _{i=0}^{k}\gamma _{i}x^{i}={\frac {\delta _{0}x^{0}+\delta _{1}x^{1}+...+\delta _{j}x^{j}}{\epsilon _{0}x^{0}+\epsilon _{1}x^{1}+...\epsilon _{l}x^{l}}}+\gamma _{0}x^{0}+\gamma _{1}x^{1}+\gamma _{2}x^{2}+...+\gamma _{k}x^{k} שבעת החלוקה של שני הפולינומים לעיל, הוא מתקבל.
הערות:
כמובן שמתקיים גם  P_{n}(x)=Q_{m}(x)R_{k}(x).
חשוב לציין כי  l>j ועל כן, היות שהביטוי  {\frac {\sum _{i=0}^{j}\delta _{i}x^{i}}{\sum _{i=0}^{l}\epsilon _{i}x^{i}}} הוא מנה של פולינומים, הוא ניתן לפירוק על ידי השיטה של שברים חלקיים. כמו כן, האיבר הזה נקרא שארית החלוקה, והוא האיבר שנשאר בסוף החלוקה של שני הפולינומים  {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}} כאשר לא ניתן לצמצם אותם עוד.
\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon \in \mathbb {R} הם מספרים קבועים.
הטכניקה (האלגוריתם) זהה בדיוק לזו של חילוק ארוך. נרצה למצוא את המנה  {\begin{matrix}\alpha _{n}x^{n}+...+\alpha _{1}x^{1}+\alpha _{0}x^{0}&\urcorner &\beta _{m}x^{m}+...+\beta _{1}x^{1}+\beta _{0}x^{0}\end{matrix}}. נפעל לפי הסדר של מספר שלבים:
נחלק את האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר מהפולינום אותו אנחנו רוצים לחלק (בשלב הראשון זה  \alpha _{n}x^{n}+...+\alpha _{1}x^{1}+\alpha _{0}x^{0}) ב  \beta _{m}x^{m} ונמצא את תוצאת החלוקה, זהו יהיה האיבר הראשון של הפולינום שמהווה את המנה של שני הפולינומים שברצונינו לחלק.
נכפול את תוצאת החלוקה בפולינום בו אנחנו רוצים לחלק.
נחסיר מהפולינום אותו אנחנו רוצים לחלק את המכפלה שמצאנו בשלב 2.
אחרי החיסור, נקבל בעצם מעין פולינום חדש. רק אם בפולינום  \alpha _{n}x^{n}+...+\alpha _{1}x^{1}+\alpha _{0}x^{0} יש איבר עם 'החזקה הבאה שחסרה' בפולינום החדש שהתקבל, נוסיף את האיבר עם החזקה הזו לפולינום החדש.
אחרי שביצענו את ארבעת שלבים אלו, אנחנו קיבלנו פולינום חדש, וכעת, אותו אנחנו רוצים לחלק. נחזור על ארבעת השלבים שלעיל עוד ועוד עד שנקבל פולינום  A_{a}(x) מסדר נמוך יותר מהפולינום בו אנחנו מחלקים, והחלוקה  {\frac {\displaystyle A_{a}(x)}{\displaystyle Q_{m}(x)}} תהיה שארית החלוקה שתפורק בעזרת הטכניקה לשברים חלקיים.
בעצם, קיבלנו בסוף החלוקה פולינום שאת האינטגרל שלו קל לחשב, ועוד פונקציה רציונלית שהאינטגרל שלה יחושב בקלות אחרי פירוקה על ידי הטכניקה של שברים חלקיים.
דוגמה:
{\frac {2x^{7}+5x^{6}-21x^{5}-38x^{4}+30x^{3}-24x^{2}-65x+19}{(x+1)^{2}(x^{3}-11x+6)}}. תחילה נבין כי אם נפתח סוגריים במכנה החזקה הגבוהה ביותר שתופיע היא 5, ואילו במונה החזקה הגבוהה ביותר היא 7, ולכן תחילה נשתמש בטכניקה של חילוק פולינומים. תחילה, נפתח את הסוגריים במכנה ונקבל  x^{5}+2x^{4}-10x^{3}-16x^{2}+x+6. כעת נצטרך לחלק את שני הפולינומים. החלוקה תוצג בטבלה כדי שיהיה קל יותר לעקוב אחר המתרחש.
| מספר השלב | הסבר מילולי לפעולה | הפעולה עצמה |
| --- | --- | --- |
| 1 | זיהינו כי האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר בפולינום אותו אנחנו רוצים לחלק הוא  2x^{7}, ובפולינום בו אנחנו נחלק  x^{5}. |  {\frac {2x^{7}}{x^{5}}}=2x^{2} |
| 2 | נכפול את תוצאת החלוקה בפולינום בו אנחנו מחלקים |  2x^{2}(x^{5}+2x^{4}-10x^{3}-16x^{2}+x+6)=2x^{7}+4x^{6}-20x^{5}-32x^{4}+2x^{3}+12x^{2} |
| 3 | נחסר את המכפלה שקיבלנו בשלב הקודם מהפולינום אותו אנחנו מחלקים |  2x^{7}+5x^{6}-21x^{5}-38x^{4}+30x^{3}-24x^{2}-65x+19-(2x^{7}+4x^{6}-20x^{5}-32x^{4}+2x^{3}+12x^{2})=x^{6}-x^{5}-6x^{4}+28x^{3}-36x^{2}-65x+19 |
| 1 | זיהינו כי האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר בפולינום אותו אנחנו רוצים לחלק עכשיו הוא  x^{6}, ובפולינום בו אנחנו נחלק  x^{5}. |  {\frac {x^{6}}{x^{5}}}=x |
| 2 | נכפול את תוצאת החלוקה בפולינום בו אנחנו מחלקים |  x({\displaystyle x^{5}+2x^{4}-10x^{3}-16x^{2}+x+6})={\displaystyle x^{6}+2x^{5}-10x^{4}-16x^{3}+x^{2}+6x} |
| 3 | נחסר את המכפלה שקיבלנו בשלב הקודם מהפולינום אותו אנחנו מחלקים |  x^{6}-x^{5}-6x^{4}+28x^{3}-36x^{2}-65x+19-(x^{6}+2x^{5}-10x^{4}-16x^{3}+x^{2}+6x)=-3x^{5}+4x^{4}+44x^{3}-37x^{2}-71x+19 |
| 1 | זיהינו כי האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר בפולינום אותו אנחנו רוצים לחלק הוא  -3x^{5}, ובפולינום בו אנחנו נחלק  x^{5}. |  {\frac {-3x^{5}}{x^{5}}}=-3 |
| 2 | נכפול את תוצאת החלוקה בפולינום בו אנחנו מחלקים |  -3({\displaystyle x^{5}+2x^{4}-10x^{3}-16x^{2}+x+6})=-3x^{5}-6x^{4}+30x^{3}+48x^{2}-3x-18 |
| 3 | נחסר את המכפלה שקיבלנו בשלב הקודם מהפולינום אותו אנחנו מחלקים |  -3x^{5}+4x^{4}+44x^{3}-37x^{2}-71x+19-(-3x^{5}-6x^{4}+30x^{3}+48x^{2}-3x-18)=10x^{4}+14x^{3}-85x^{2}-68x+37 |
| 5 | הפולינום שהתקבל בשלב הקודם, מסדר נמוך יותר מהפולינום בו היינו מחלקים, לכן נפסיק את החלוקה. מצאנו את המנה של שני הפולינומים שרצינו לחלק, אך לצערנו נותרה שארית חלוקה. |  {\frac {2x^{7}+5x^{6}-21x^{5}-38x^{4}+30x^{3}-24x^{2}-65x+19}{\displaystyle x^{5}+2x^{4}-10x^{3}-16x^{2}+x+6}}=2x^{2}+x-3+{\frac {10x^{4}+14x^{3}-85x^{2}-68x+37}{\displaystyle x^{5}+2x^{4}-10x^{3}-16x^{2}+x+6}} |