בור פוטנציאל סופי
חלקיק בבור חד-ממדי סימטרי > מציאת פונקציות הגל עבור המצב הקשור

פתרונות משוואת שרדינגר חייבים להיות רציפים וגזירים. דרישות אלו מקנות תנאי שפה על המשוואות דיפרנציאליות שנגזרו מקודם, כלומר תנאי התאמה בין הפתרונות מחוץ לבור ובתוכה המאפשרים לנו "לתפור" את חלקי הפתרון זה לזה כך שהוא יהיה רציף. במקרה זה, בור הפוטנציאל הוא סימטרי, כך שניתן לנצל את הסימטריה הזאת על מנת לצמצם את מספר המשוואות הדרושות.
נסכם את התוצאות עד כה:
כאשר  \psi _{1},  \psi _{2} ו- \psi _{3}\,\! הן:
ניתן לראות שכאשר  x שואף ל- -\infty , איבר ה- F שואף לאינסוף. בדומה לכך, כאשר  x שואף ל- +\infty , איבר ה- I שואף לאינסוף. כדי שפונקציית הגל תהיה אינטגרבילית בריבוע, חייב להתקיים התנאי  F=I=0, וכך מקבלים
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  \psi _{1}=Ge^{\alpha x}\,\! | וגם |  \psi _{3}=He^{-\alpha x}\,\! |
הפונקציה  \psi \,\! חייבת להיות רציפה וגזירה. במילים אחרות, הערכים של הפונקציות והנגזרות שלהן חייבים להיות תואמים בנקודות ההפרדה בין התחומים:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\! |  |  \psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)\,\! |
|  {\frac {d\psi _{1}}{dx}}(-L/2)={\frac {d\psi _{2}}{dx}}(-L/2)\,\! |  |  {\frac {d\psi _{2}}{dx}}(L/2)={\frac {d\psi _{3}}{dx}}(L/2)\,\! |
כיוון שהפוטנציאל זוגי, למשוואות אלו יש שני סוגי פתרונות: סימטריים, שבהם  A=0 ו- G=H; ואנטי-סימטריים, שבהם  B=0 ו- G=-H. עבור המקרה הסימטרי מתקבל:
כך שאם נחלק את המשוואות זו בזו נקבל
בדומה לכך עבור המקרה האנטי-סימטרי מקבלים
נזכיר ש־ \alpha  ו־ k תלויים באנרגיה. את הממצאים הללו ניתן לפרש פיזיקלית: תנאי הרציפות לא יכולים להתקיים עבור ערכים שרירותיים של האנרגיה, ובמקום זאת, רק רמות אנרגיה מסוימות, המתאימות לפתרונות של המשוואות לעיל, מותרות. לפיכך רמות האנרגיה של המערכת שנמצאות מתחת ל- V_{0} הן בדידות; הפונקציות העצמיות המתאימות להן הן מצבים קשורים של בור הפוטנציאל (בניגוד לכך, רמות האנרגיה מעל  V_{0} הן רציפות).
לא ניתן לפתור את משוואות האנרגיה באופן אנליטי. עם זאת, ניתן לראות שבמקרה הסימטרי תמיד קיים לפחות מצב קשור אחד, גם אם הבור מאוד רדוד. ניתן להפיק פתרונות גרפיים או נומריים באמצעות הגדרת מספר משתנים חסרי ממדים:  u=\alpha L/2 ו- v=kL/2, ולהבחין בכך שמההגדרות של  \alpha  ו- k נובע  u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}, כאשר  u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}, והמשוואות השלטות הן:
בגרף שמשמאל, עבור  u_{0}^{2}=20, קיימים פתרונות כאשר חצי המעגל הכחול חותך את הענפים הסגולים או האפורים ( v\tan v ו-  -v\cot v; הענפים הסגולים מייצגים פתרונות גל סימטריים והאפורים מייצגים פתרונות אנטי-סימטריים). כל עקום סגול או אפור מייצג פתרון אפשרי,  v_{i} בטווח  {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i. המספר הכולל של פתרונות,  N (כלומר מספר הענפים שנחתכים על ידי חצי המעגל הכחול), ניתן לקביעה מחלוקת רדיוס המעגל הכחול,  u_{0}, בטווח של כל פתרון  \pi /2. כלומר:
במקרה זה ישנם בדיוק שלושה פתרונות, כיוון ש- N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3.
v_{1}=1.28,v_{2}=2.54 and  v_{3}=3.73, והאנרגיות המתאימות,
ניתן גם לחזור כעת אחורה ולמצוא את הערכים של הקבועים  A,B,G,H במשוואות (יש להכפיף אותן גם לתנאי הנרמול של פונקציית הגל). משמאל ניתן לראות את רמות האנרגיה ואת פונקציות הגל במקרה זה (כאשר  x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}).
גם עבור ערכים קטנים של  u_{0} (בור רדוד או צר), תמיד ישנו לפחות מצב קשור אחד. שני מקרים פרטיים הם חשובים במיוחד וראויים לציון. כאשר גובה הפוטנציאל הולך וגדל, V_{0}\to \infty , רדיוס חצי המעגל הופך גדול מאוד והשורשים הולכים ומתקרבים לערכים  v_{n}=n\pi /2 - והרי אלו בדיוק הערכים של רמות האנרגיה של בור פוטנציאל אינסופי.
המקרה האחר הוא זה של בור צר מאוד ועמוק מאוד - ספציפית המקרה בו  V_{0}\to \infty  וגם  L\to 0 באופן כזה ש- V_{0}L עומד על ערך קבוע. כיוון ש-  u_{0}\propto V_{0}L^{2}, נקבל שהוא ישאף לאפס, וכך יהיה רק מצב קשור אחד. הפתרון המקורב המתקבל הוא  v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}, והאנרגיה תשאף ל- E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}. אבל זוהי בדיוק האנרגיה של המצב הקשור של פוטנציאל דלתא בחוזק  V_{0}L!