מספר פרמה

בתורת המספרים, מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה  F_{n}=2^{\left(2^{n}\right)}+1, כאשר  \,n הוא מספר שלם לא שלילי. המספרים קרויים על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שחקר אותם לראשונה.
ניתן להוכיח שכאשר  \,{2^{n}}+1 הוא מספר ראשוני,  \,n חייב להיות חזקה של 2. מכאן: כל מספר ראשוני מהצורה  \,{2^{n}}+1 הוא מספר פרמה, ומספר ראשוני כזה קרוי ראשוני פרמה. פרמה הבחין שחמשת המספרים הראשונים בסדרה,
הם ראשוניים, וקבע (בסביבות 1640) שכל המספרים בסדרה הם ראשוניים. כמאה שנים אחר-כך גילה לאונרד אוילר שהמספר הבא בסדרה אינו ראשוני:  \ F_{5}=2^{2^{5}}+1=4294967297=641\cdot 6700417. יתרה מזו, אוילר הראה שכל גורם ראשוני של  \ F_{n} מוכרח להיות מהצורה  \ 2^{n+1}k+1 (הוכחה: אם  \ 2^{2^{n}}+1\equiv 0{\pmod {p}} אז הסדר של 2 בחבורת אוילר של p הוא  \ 2^{n+1}, ולכן מספר זה מחלק את סדר החבורה שהוא p-1). הגורם 641 הוא הראשוני החמישי בלבד מהצורה  \ 64k+1. 
מאז התגלו גורמים ראשוניים של מספרי פרמה רבים, כגון:  \ F_{6}=2^{2^{6}}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721, ולא נמצא אף ראשוני פרמה נוסף.
אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם לבעיות של ימי קדם. גאוס הוכיח שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה מצולע משוכלל בן  \,p צלעות, כאשר  \,p ראשוני, אם ורק אם  \,p הוא ראשוני פרמה. ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן  \,n צלעות (כאשר  \,n>2 ) אם ורק אם n הוא מכפלה של ראשוניי פרמה שונים זה מזה וחזקה כלשהי של 2.
מספר בעיות פתוחות בתורת המספרים עוסקות במספרי פרמה:
האם  \,F_{n} הוא מספר פריק לכל  \,n>4 ?
האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה?
האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?
עד כה פורקו פירוק מלא לגורמים 12 מספרי פרמה הראשונים; המספר הראשון שטבעו (ראשוני או פריק) אינו ידוע הוא  \ F_{33}=2^{2^{33}}+1; ונמצאו עוד כ-250 מספרי פרמה שהוכחו כפריקים.
הפירוק המלא של 12 מספרי פרמה הראשונים הוא:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| F0 | = | 21 | + | 1 | = | 3 ראשוני |  |
| F1 | = | 22 | + | 1 | = | 5 ראשוני |  |
| F2 | = | 24 | + | 1 | = | 17 ראשוני |  |
| F3 | = | 28 | + | 1 | = | 257 ראשוני |  |
| F4 | = | 216 | + | 1 | = | 65,537 מספר פרמה הראשוני המוּכָּר הגדול ביותר |  |
| F5 | = | 232 | + | 1 | = | 4,294,967,297 |  |
|  |  |  |  |  | = | 641 × 6,700,417 (פורק באופן מלא בשנת 1732) |  |
| F6 | = | 264 | + | 1 | = | 18,446,744,073,709,551,617 (20 ספרות) |  |
|  |  |  |  |  | = | 274,177 × 67,280,421,310,721 (14 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1855) |  |
| F7 | = | 2128 | + | 1 | = | 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 ספרות) |  |
|  |  |  |  |  | = | 59,649,589,127,497,217 (17 ספרות) × 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1970) |  |
| F8 | = | 2256 | + | 1 | = | 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129, 639,937 (78 ספרות) |  |
|  |  |  |  |  | = | 1,238,926,361,552,897 (16 ספרות) ×  93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1980) |  |
| F9 | = | 2512 | + | 1 | = | 13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0 30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6 49,006,084,097 (155 ספרות) |  |
|  |  |  |  |  | = | 2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 ספרות) ×  741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759, 504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1990) |  |
| F10 | = | 21024 | + | 1 | = | 179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309 ספרות) |  |
|  |  |  |  |  | = | 45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 ספרות) ×  130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (252 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1995) |  |
| F11 | = | 22048 | + | 1 | = | 32,317,006,071,311,007,300,714,8...193,555,853,611,059,596,230,657 (617 ספרות) |  |
|  |  |  |  |  | = | 319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21 ספרות) × 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 ספרות) ×  173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (564 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1988) |  |