stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
AfriForum
קמפיינים, מדיניות ופרויקטים > קמפיין כנגד גזענות ונאומי שנאה

באפריל 2011, אפריפורום תבע את הפוליטקאי יוליוס מלמה, ראש מפלגת לוחמי חירות כלכלי, בבית המשפט לשוויון לאחר ששר את השיר "dubul 'ibhunu", שמתורגמת כ"הרוג את הבור", בהתכנסויות של ליגת הנוער של ההקונגרס הלאומי האפריקני. בית המשפט קבע כי השיר מהווה דברי שנאה ומערער את כבודם של האפריקאנרים, והוא מפלה ומזיק. בשנת 2012, הארגון והקונגרס הלאומי האפריקני הגיעו לפשרה לפני שהפרשה אמורה להגיע לדיון בבית המשפט העליון לערעורים בבלומפונטיין.
אפריפורום הגיש אישומים פליליים נגד אישים פוליטיים אחרים ומשתמשי מדיה חברתית שלדעתם מסיתים לאלימות וגזענות, ביוני אותה שנה הארגון פרסם כי הם מתכננים להגיש כתב אישום פלילי נגד 100 משתמשים ברשתות החברתיות על הסתה לאלימות. הארגון גם יצר יחידה נגד גזענות ודברי שטנה. הארגון גם התייחס לתקריות גזעניות בהן היו מעורבים לבנים כמו דן רוט, וארגון הקומנדרקורפ ואמר שיתבע אותם גם. בנוסף הארגון הצהיר כי היא רואה בשימוש בקאפר הפרת גסה של זכויות האדם של האוכלוסייה השחורה.
קמפיינים, מדיניות ופרויקטים > זכויות מיעוט

אפריפורום הופיע בפני האומות המאוחדות בנושאי זכויות מיעוט, ומתח ביקורת על מפלגת השלטון בדרום אפריקה על מה שלטענתו הוא שלילת זכויות המיעוט במדינה. עם זאת, העיתונאי אדריאן בסון האשים את הארגון בתגובה מוגזמת למצב הנוגע לזכויות מיעוט בדרום אפריקה. בסון הצהיר במכתב גלוי למנכ"ל אפריפורום, קלי קריאל, כי הנחת היסוד של הקמפיינים של אפריפורום היא של קורבנות.
קמפיינים, מדיניות ופרויקטים > שדלנות בינלאומית

אפריפורום טען שבזכות כך שלקח עיתונאי אוסטרלי לסיור בדרום אפריקה, עשרות מאמרים המפרטים התקפות אלימות על חוות הופיעו לאחר מכן בתקשורת האוסטרלית.
אנשי הארגון ערכו גם סיור בארצות הברית שכלל פגישות עם ג'ון בולטון והסנטור טד קרוז וגם נתנו ראיון ב-Fox News. אנשי הארגון גם בקרו באוסטרליה באוקטובר 2018 כדי להעלות את המודעות להתקפות חווה. איאן קמרון מאפריפורום התראיין בתוכנית Outsiders של סקיי ניוז אוסטרליה. אנשי הארגון גם פגשו את חבר הפרלמנט האוסטרלי אנדרו האסטי והעבירו מצגת בפני הפרלמנט של מערב אוסטרליה.
הארגון התנגד לנוכחות של רוברט מוגאבה בהשבעתו של יעקוב זומה בשנת 2009. הארגון היה מעורב גם במאמץ למנוע את מסירתם של מסוקי קרב לצבא זימבבואה.
בשנת 2010 צוות משפטי של אפריפורום המייצג חקלאים בזימבבואה זכה בבית משפט בדרום אפריקה לתבוע את ממשלת זימבבואה על הפקעה האכזרית והנקמנית של חוות בבעלות דרום אפריקאיות בזימבבואה. בשנת 2008 קבע בית דין האזורי כי רפורמת הקרקעות בזימבבווה אינה חוקית וגזענית, וכי מי שסבל מאפליה על ידי הפקעת חוות המשק שלהם יש לו זכות לפיצוי.
קמפיינים, מדיניות ופרויקטים > ממשל מקומי

אפריפורום מעודד קהילות להיות עצמאיות. הארגון מבצע קמפיינים לתיקון כבישים על ידי הקהילות . על פי הארגון, יוזמות מסוג זה הן חלק מהאסטרטגיה שלו להחזיק את הממשלה באחריות לאספקת שירותים, ולעיתים נתמכות על ידי עיריות מקומיות.
כדי לחזק את הרשויות המקומיות הארגון מנסה ליצור שותפויות עם עיריות. הארגון מציע שלל פרויקטים והעיריות הופכות אותן לתוכניות פעולה לטיפול בבעיות. אבל אף על פי שארגון מבקש לעבוד עם הרשויות המקומיות הוא גם מסייע משפטית לקהילות כנגד רשויות מקומיות.
דוגמה לסיוע משפטי כנגד רשות מקומית הוא הצו הדחוף שהוענק לארגון נגד עיריית מחוז וומבה על ידי בית המשפט הגבוה בפרטוריה, ואילץ את העירייה לספק מים לתושבי מקאדו. במקרה דומה בשנת 2013, בית המשפט העליון בצפון חאוטנג בפרטוריה העניק לאפריפורום צו המונע מעיריית מדיבנג לקצץ את אספקת החשמל להרטבספורט.
המעורבות של הארגון בממשל המקומי תוארה בחיוב, אפילו על ידי אלו המבקרים את אפריפורום.
קמפיינים, מדיניות ופרויקטים > קמפיינים ועמדות אחרות

אפריפורום מתנגד לסדיקה הידראולית בקארו, לציד לא חוקי וגם ניהל קמפיין נגד אגרה בכבישים אלקטרוניים בחאוטנג.
אפריפורום התקבל כ-amicus curae (ידיד בית המשפט) במהלך מספר תיקים בבית משפט. מקרים שבהם הארגון פעל כ-amicus curae, כללו את התביעה לאפשר לבוחרים מעבר לים להצביע בבחירות בדרום אפריקה, בהגנה על זכויות מינרלים מהפקעה, לאפשר לבתי ספר ציבוריים לקדם אמונה דתית בשיעורי דת. הארגון שימש גם כ-amicus curae בתיק שנערך בשנת 2017 נגד שר הספורט והנופש, והוועד האולימפי, והתנגד למכסות הגזע בספורט לאחר שהתגלה כי מכסות הגזע מוחלות בתהליך בחירת נבחרת הכדורגל הלאומית.
נוער אפריפורום

אגף הנוער של אפריפורום (באפריקאנס: AfriForum Jeug) פועל כארגון סטודנטים עם סניפים באוניברסיטאות דרום אפריקה. אגף הנוער מתמקד בנושאי חינוך, כולל חינוך לשפות אם, התערבות פוליטית בענייני סטודנטים ואפליה מתקנת באוניברסיטאות. מטרת ליבה של אגף הנוער היא שהנוער בדרום אפריקה יהיה פטור מאפליה מתקנת.
הפעילויות הלא-אוניברסיטאיות של הקבוצה כוללות ארגון מחנות לתלמידי בית הספר וגיוס תרומות לבתי ילדים. אגף הנוער טוען כי אחת ממטרותיהם הגדולות ביותר היא לקדם את "המסגרת הדמוקרטית הנוצרית". אגף הנוער טוען כי הם מתמקדים יותר באינטרסים של "אפריקאנס" במקום באינטרסים "אפריקאנריים".
בשנת 2010 נעצרו שלושה חברי אגף הנוער לאחר שהפרו חוק עזר לפרסום חוץ כדי למחות על שינוי השם המוצע של פרטוריה.
בשנת 2012, במהלך קמפיין נגד מכסות גזע בהשכלה הגבוהה ראה שחברי אגף הנוער צבעו את עצמם בשחור כדי למחות על האפליה נגד 30 סטודנטים שנדחו מאוניברסיטת פרטוריה.
בפברואר 2012 הצטרף אגף הנוער לארגון האזרחי הפרוגרסיבי הדרום אפריקני (South African Progressive Civic Organisation), ארגון של קהילות הבושמנים, במחאה על פגיעה בזכויות הקרקע של הקבוצה הילידית, כאשר שתי קבוצות המיעוטים מרגישות שאין להן נציגות בממשלה הנוכחית.
בפברואר 2013 ארגון הנוער הגיש תלונה על נאום שנאה כנגד ג'ייסון מפוסי, מנהיג קונגרס הסטודנטים בדרום אפריקה, על פרסום שלו ברשתות החברתיות: "סבא שלי אומר 'n good boer is' n dooie boer '("בור טוב הוא בור מת"). לאחר הליך גישור, על פי בקשת נציבות זכויות האדם (HRC) של האוניברסיטה, מפוסי נאלצו להגיש התנצלות בכתב בפני הקהילה האפריקאנרית.
באפריל 2013, ארגון הנוער הריץ קמפיין נגד מכסות הגזע בדרום אפריקה כאשר הבדלי הגזעים מושווים למחירים שונים עבור כוס קפה, כאשר סטודנטים לבנים משלמים 5 ראנד לכוס, צבעוניים והודים 3 ראנד ושחורים ראנד אחד.
אסף זמיר

אסף זמיר (נולד ב-31 באוגוסט 1980, י"ט באלול ה'תש"מ) הוא פוליטיקאי ואיש ציבור ישראלי, המשמש ממלא-מקום וסגנו של ראש עיריית תל אביב. כיהן כקונסול ישראל בניו יורק, כחבר הכנסת בסיעת "כחול לבן" וכשר התיירות; היה ממייסדי סיעת "רוב העיר" במועצת העיר תל אביב, ועמד בראשה.
ביוגרפיה

זמיר נולד בבאר יעקב. אמו היא האמנית והשחקנית גליה גופר, ואביו שמואל "מוקי" זמיר (במקור נַכְטִיגָל). דודו הוא פרופסור יצחק זמיר, היועץ המשפטי לממשלה ולימים שופט בית המשפט העליון.
בילדותו שהה עם משפחתו חמש שנים בפלורידה, ובשובו לישראל למד בבית הספר א.ד. גורדון ובתיכון עירוני ד', והיה פעיל ומדריך בתנועת הצופים בתל אביב ובתנועת הנוער העובד והלומד. בנעוריו שיחק בסדרת הילדים "ג'ינג'י" בתפקיד יורם.
את שירותו בצה"ל עשה ביחידת השליטה המרכזית של חיל האוויר. הוא בוגר הפקולטה למשפטים באוניברסיטת תל אביב, התמחה במשרד עורכי דין נשיץ ברנדס אמיר ושות', והוא עורך דין מוסמך. בנוסף, הוא בוגר תואר בתרבות צרפת מטעם אוניברסיטת סורבון.
לקראת סיום התמחותו כעורך דין, החל זמיר לגבש תנועה מוניציפלית המרכזת את רשימת הצעירים בעיר תל אביב-יפו. בבחירות לכנסת השבע עשרה ב-2006 נבחר למקום ה-66 והלא-ריאלי ברשימת "קדימה" לכנסת. בשנת 2008 זכתה תנועת "רוב העיר" לשלושה מנדטים בבחירות למועצת העיר תל אביב-יפו. בשנת 2013 זכתה תנועת "רוב העיר" לארבעה מנדטים בבחירות למועצת העיר תל אביב, ולאחריהן חברה תנועת "דרום העיר" לתנועת "רוב העיר". בהיבחרו בגיל 28 היה זמיר סגן ראש העירייה הצעיר בהיסטוריה של תל אביב.
בקדנציה הראשונה לכהונתו כסגן ראש העיר פעל זמיר בנושאים שונים. בהם, דיור בר השגה בדרום העיר ובצפונה, טיפול והקמת מרכזים לאוכלוסיית הצעירים, תחבורה אלטרנטיבית, פתיחה והרחבה של מרכזי נוער שכונתיים, חיזוק הקשר בין העירייה ויזמי חיי הלילה,, פיתוח התיירות, ופעל למיתוגה של תל אביב יפו כ"עיר עולם". זמיר פעל בנושאי קהילת הלהט"ב והתיירות הגאה בעיר, ובתחום הספורט בעיר, יחד עם חבריו לתנועה במועצת העיר, אלון סולר ויניב ויצמן.
זמיר פעל כדי להקל על בעלי הרכב הפרטי בעיר ולעודד את השימוש בו. ביוזמתו בוטלו אזורי החנייה, והותר לכל תושב לחנות בכל רחבי העיר בחינם במשך היום. כן הוענקה הנחה של 75% בחניה בחניונים עירוניים, לכל התושבים, ונוספו 7,000 מקומות חנייה בחניונים עירוניים. זמיר אף עודד מדיניות שאפשרה חנייה על המדרכה בשעות הערב ועד תשע בבוקר, ובסופי שבוע.
בקיץ 2011, בתקופת מחאת האוהלים, הקים זמיר עם קבוצת חברים ועמיתים מכל הקשת הפוליטית בישראל את ארגון מתפקדים. מטרת הארגון הייתה להגדיל את מספר המתפקדים הצעירים למפלגות בישראל, ולהגביר את המודעת הציבורית לחשיבות המעורבות הפוליטית של האזרחים, להוות בית פוליטי מאגד לצעירים, ולייצר פלטפורמה נגישה לפעילות חברי הכנסת.
בקדנציה השנייה לכהונתו כסגן ראש העיר וממלא מקומו, מונה זמיר לאחראי על תחום החינוך ועסק בבניית מוסדות חינוך בעיר, לרבות גני ילדים ובתי ספר יסודיים ותיכוניים. כמו כן פעל להקמת מסגרות חינוכיות משותפות של דתיים וחילוניים ושל יהודים וערבים.
בבחירות לראשות העיר בשנת 2018 התמודד על ראשות העיר אך הפסיד לראש העיר חולדאי לאחר שזכה ל-33.9% מהקולות לעומת 46% לחולדאי. סיעתו, "רוב העיר", התחזקה במועצת העיר מ-4 מנדטים ל-6 מנדטים, ובכך הפכה לסיעה השנייה בגודלה במועצה.
ביוגרפיה > בפוליטיקה הארצית

ב-13 בפברואר 2019 הצטרף זמיר למפלגתו של בני גנץ, חוסן לישראל, והוצב במקום ה-11 ברשימת המפלגה לכנסת. לאחר איחוד המפלגה עם יש עתיד, הוצב במקום ה-19 ברשימת כחול לבן לכנסת ה-21. הרשימה קיבלה 35 מנדטים, וזמיר נבחר לחבר הכנסת העשרים ואחת. גם בבחירות לכנסת ה-22 ובבחירות לכנסת ה-23, הוצב במקום ה-19 ברשימת כחול לבן, אשר קיבלה 33 מנדטים בשתי הפעמים.
ב-17 במאי 2020 מונה, במסגרת ממשלת ישראל השלושים וחמש, לשר התיירות. עם אישור "החוק הנורווגי" התפטר מהכנסת, וכהונתו בה נפסקה ב-19 ביוני 2020. ב-2 באוקטובר 2020 הכריז על התפטרותו מהממשלה תוך העברת ביקורת נוקבת על התנהלות ראש הממשלה, בנימין נתניהו. זמיר שב לכהן כחבר הכנסת בהתאם לחוק הנורווגי עם כניסת התפטרותו לתוקף כעבור יומיים.
ב-27 בדצמבר 2020 הודיע זמיר על החלטת גנץ שלא לכלול אותו ברשימת כחול לבן בבחירות לכנסת ה-24 בשל הצבעתו נגד הממשלה. כשבועיים לאחר מכן, הודיע כי לא יתמודד בבחירות לכנסת. ב-2021 מונה זמיר על ידי שר החוץ יאיר לפיד לקונסול ישראל בניו יורק. ב-26 במרץ 2023 הודיע על התפטרותו בשל קידום החקיקה ברפורמה המשפטית בישראל, ולאחר ארבעה ימים, שר החוץ אלי כהן הודיע על פיטוריו, לאחר שלא הגיש בקשת התפטרות רשמית.
ביוגרפיה > חזרה לזירה המקומית

באוגוסט 2023 הודיע על חבירה לחולדאי והתמודדות כמספר 2 ברשימתו בבחירות לרשויות המקומיות שעתידות היו להתקיים זמן קצר אחר כך. עם הקמת הקואליציה במועצת העיר, מונה לממלא-מקום וסגן ראש העיר.
זמיר מכהן משנת 2010 כחבר ועד קרן יהושע רבינוביץ לאמנויות ובדצמבר 2011 מונה ליו"ר הקרן.
זמיר נשוי לשחקנית מאיה ורטהיימר. השניים הורים לבת ולבן. מתגוררים בתל אביב.
הערות שוליים

1 2  בנצי רובין, ‏בעקבות הציוץ: השר אלי כהן פיטר את אסף זמיר, באתר "סרוגים", 30 במרץ 2023, התפטר בטוויטר אך ניסה להמשיך בתפקידו - רשמית: השר כהן פיטר את אסף זמיר באתר 0404
↑  אורית מרלין-רוזנצוויג, גליה זמיר, אמו של אסף, היא תמר מחסמב"ה: "לא אהבתי את הזרקור על היופי שלי", באתר ynet, 15 באוקטובר 2021
↑  אסף זמיר, חניכים יקרים, באתר הנהגת צופי תל-אביב-יפו, ‏2015
↑  רשימת קדימה לכנסת השבע עשרה, מאתר המכון הישראלי לדמוקרטיה
↑  הרכב מועצת העיר תל אביב-יפו באתר עיריית תל אביב-יפו
↑  נועם דבירו ואילן ליאור, עיריית ת"א תפרסם בתוך שבועיים מכרז לדיור בר השגה בשכונת שפירא, באתר הארץ, 7 באוגוסט 2011
↑  נועה קושרק, מועצת העיר ת"א אישרה הצעה לבניית דירות קטנות לסטודנטים וצעירים בצפון מערב ת"א, באתר הארץ, 19 באוקטובר 2009
↑  אילן ליאור, עיריית תל אביב תקים מרכז צעירים מכובד, באתר הארץ, 3 בפברואר 2011
↑  דן מס. 405: קו לילה חדש עבור בלייני תל אביב, באתר ynet, 22 ביוני 2010
↑  איילה חננאל‏, חולדאי: "חיי הלילה של תל אביב חשובים לי", באתר וואלה, 8 באוגוסט 2010
↑  אלינור פוקס, ‏מה עומד מאחורי הכתבה של "60 דקות" על תל אביב שהסעירה את המדינה?, באתר ‏מאקו‏, 23 במאי 2012
↑  עיר עולם, באתר עיריית תל אביב-יפו
↑   מירב מורן, מותה של המדרכה התל-אביבית, באתר TheMarker‏, 9 במאי 2019
↑   מירב מורן, תודה לסדאם חוסיין ואסף זמיר: מתי ואיך החלו נהגים בת"א לשדוד את המדרכה, באתר TheMarker‏, 3 בספטמבר 2019
↑  איתי בלומנטל וקורין אלבז-אלוש, דרמה פוליטית בת"א: אסף זמיר יתמודד לראשות העיר, באתר ynet, 9 ביולי 2018
↑  טל שניידר, ‏מעיריית תל אביב לכנסת? אסף זמיר מצטרף לבני גנץ, באתר גלובס, 13 בפברואר 2019
↑  יובל קרני, פורסמה רשימת מפלגתו של בני גנץ לכנסת, באתר ynet, 19 בפברואר 2019
↑  טל שניידר, ‏שרים מכחול לבן התפטרו, ו-5 ח"כים חדשים ייכנסו לכנסת ה-23, באתר גלובס, 17 ביוני 2020
↑  יערה שפירא ורד פלמן ומיכאל שמש, שר התיירות אסף זמיר הודיע על התפטרותו מהממשלה, באתר כאן – תאגיד השידור הישראלי, 2 באוקטובר 2020
↑  שר התיירות אסף זמיר הגיש את התפטרותו: "חרד למדינה", באתר גלובס, 2 באוקטובר 2020
↑  אסף זמיר לא ייכלל ברשימת כחול לבן בבחירות הקרובות,  באתר כיפה, 27 בדצמבר 2020
↑  מורן אזולאי, ח"כ אסף זמיר: לא אתמודד בבחירות הקרובות, באתר ynet, 12 בינואר 2021
↑  אסף זמיר החל רשמית את כהונתו כקונסול הכללי של ישראל בניו יורק, באתר ynet, 13 בדצמבר 2021
↑  ברק רביד‏, לאחר פיטורי גלנט: קונסול ישראל בניו יורק אסף זמיר התפטר מתפקידו, באתר וואלה, 26 במרץ 2023
↑  הדר כהן‏, אסף זמיר הודיע על חבירה לרון חולדאי: "חוזר לתל אביב ולחיים הציבוריים", באתר וואלה, 28 באוגוסט 2023
↑  קרן יהושע רבינוביץ לאמנויות, תל אביב - מסמכים ודיווחים, באתר www.guidestar.org.il
↑  בר זגה, אסף זמיר ומאיה ורטהיימר נישאו באופן רשמי, במדור "פנאי פלוס" באתר ynet‏, 10 ביוני 2023
↑  אפרת וכטל, חתונת האלפיון: מאיה ורטהיימר ואסף זמיר נישאו, באתר ynet, 7 במאי 2017
↑  בת בכורה נולדה לאסף זמיר ומאיה ורטהיימר, באתר ‏מאקו‏, 26 בינואר 2020
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007298445305171  VIAF: 298883712   WorldCat (עם VIAF): 298883712
חוג אוקלידי

בתורת החוגים, חוג אוקלידי (שנקרא לעיתים גם תחום אוקלידי) הוא חוג שבו אפשר לבצע חילוק עם שארית, וכך לממש את האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי. הדוגמאות המוכרות ביותר לחוג כזה הן חוג המספרים השלמים וחוג פולינומים מעל שדה, וההגדרה מכלילה ואורגת את התכונות המשותפות לשתיהן.
לתכונת האוקלידיות יש גם השלכות חישוביות, בפרט בתורת המספרים האלגברית, וגם לבעיות הקשורות ביצירה של חבורות אלגבריות. כל חוג אוקלידי הוא תחום אידיאלים ראשיים.
הגדרה

תחום שלמות  D הוא חוג אוקלידי, אם קיימת פונקציה המחזירה מספרים שלמים אי-שליליים,  d\colon D\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N} \cup \{0\} (המכונה לעיתים פונקציית דרגה), המקיימת את שתי הדרישות הבאות:
d(a)\leq d(ab) לכל  a,b\neq 0.
לכל  a\in D ולכל  0\neq b\in D, קיימים  q,r\in D כך ש-  a=qb+r, כאשר  r=0 או  d(r)<d(b).
במילים אחרות, אם  b אינו מחלק את  a באופן מדויק, אז אפשר לחלק עם שארית, כאשר "דרגת" השארית (הערך של הפונקציה  d עבורה) קטנה מדרגת המחלק  b. תכונה זו היא היסוד להוכחות באינדוקציה על הדרגה, והיא מאפשרת לבחור בקבוצה (לא ריקה) נתונה איבר שדרגתו הקטנה ביותר.
למעשה הדרישה  d(a)\leq d(ab) אינה הכרחית, מכיוון שבהינתן פונקציה  d המקיימת את הדרישה השנייה בלבד, אפשר להגדיר פונקציה חדשה  \delta (x)=\min _{y\in D\setminus \{0\}}d(xy), והיא תקיים את שתי הדרישות גם יחד.
כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת גם באיבר האפס של  D, יש הקובעים  d(0)=0 (כאשר מובן שדרגתם של כל האיברים האחרים היא 1 לפחות).
דוגמאות

חוג המספרים השלמים  \mathbb {Z}  הוא אוקלידי, עם הפונקציה  d(x)=|x| המחזירה עבור כל מספר את הערך המוחלט שלו.
חוג השלמים של גאוס,  \mathbb {Z} [i]=\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\sqrt {-1}}, עם הנורמה  d(x+iy)=x^{2}+y^{2}.
חוג הפולינומים בעלי מקדמים בשדה, עם פונקציית המעלה המקובלת:  d(a_{0}+\dots +a_{n}x^{n})=n כל אימת שהמקדם המוביל  a_{n}\neq 0.
תכונות של חוג אוקלידי

הפונקציה האוקלידית  d מאפשרת לזהות את האיברים ההפיכים של החוג ( u הוא איבר הפיך אם קיים  v כך ש- uv=1). ראשית, הדרגה של 1 היא הדרגה הקטנה ביותר האפשרית (שהרי  d(1)\leq d(1b)=d(b) לכל  b). מתברר שהאברים ההפיכים בחוג הם בדיוק אלה שדרגתם שווה לדרגה של 1.
משפט. כל חוג אוקלידי  D הוא ראשי (כלומר, כל אידיאל שלו הוא מן הצורה  Da=\{ba:b\in D\}).
הוכחה. אם  I אידיאל שאינו אפס, אז קיים בו איבר  a שדרגתו הקטנה ביותר מבין כל אברי  I (כמובן,  a אינו האיבר היחיד בעל תכונה זו). מיד נובע ש-  Da\subseteq I. נניח שקיים ב- I איבר, למשל  c, שאיננו מתחלק ב- a; חילוק עם שארית יתן  c=qa+r כאשר  d(r)<d(a). אולם  r=c-qa\in I הוא איבר של האידיאל, וזה סותר את בחירת  a כאיבר בעל דרגה מינימלית שם.

מחלק משותף גדול ביותר: ניקח שני איברים  a,b בתחום האוקלידי,  (a),(b) הם האידיאליים שהם יוצרים. הסכום שלהם -  (a,b), הוא כמובן אידיאל, ומשום שתחום אוקלידי הוא תחום ראשי, הוא אידיאל ראשי, ולכן יש לו יוצר. היוצר הזה הוא מחלק המשותף הגדול ביותר. עם זאת, הוא איננו בהכרח המחלק המשותף היחיד, ייתכנו עוד כאלו, אבל אם  x,y שניים כאלו, אז קיים  u הפיך כך ש- x=uy, כלומר, הם נבדלים רק במכפלה בהפיך.
אוקלידיות בתורת המספרים האלגברית

בחוגי מספרים, היינו תת-חוגים של שדה המספרים האלגבריים, מוגדרת באופן טבעי נורמה  N, שהיא פונקציה כפלית מן החוג אל המספרים השלמים. בספרים שעיקר עניינם בתורת המספרים, אוקלידיות של חוגים כאלה מוגדרת על-פי הדרישה שדווקא פונקציה זו תקיים את דרישות החילוק עם שארית שהובאו לעיל.
בין השדות הריבועיים  \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}], כאשר  D מספר שלם חיובי, חוג השלמים הוא אוקלידי ביחס לנורמה רק עבור  D=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73. הדרישה שהחוג יהיה אוקלידי דווקא ביחס לנורמה הכפלית חזקה יותר מאוקלידיות סתם, והדוגמה הבולטת ביותר לכך היא החוג  \mathbb {Z} [{\sqrt {14}}], שאינו אוקלידי ביחס לפונקציית הנורמה, וב-2004 הוברר שהוא אוקלידי 

(ביחס לפונקציה אחרת, מסובכת בהרבה). עדיין לא ידוע מיון שלם של החוגים האוקלידיים ממשפחה זו.
את חוגי השלמים של שדות מספרים אפשר לסדר לפי הדרגה של חבורת היחידות שלהם, שהיא סופית על-פי משפט היחידות של דיריכלה. חבורת יחידות סופית, בעלת דרגה 0, יש רק לחוגי השלמים של השדות הריבועיים  \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}], כאשר  D מספר שלם שלילי. במקרה זה ידוע שיש תשעה חוגי שלמים ראשיים:  D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163, שמהם רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים (הראשון ברשימה הוא חוג השלמים של גאוס), וכל אלה אוקלידיים על-פי הנורמה.
על-פי ההשערה, בכל מקרה אחר (כלומר, כאשר חבורת היחידות מדרגה חיובית), החוג אוקלידי כל אימת שהוא ראשי. השערה זו נובעת מהשערת רימן המוכללת, והיא נכונה גם ללא הנחה חזקה זו כאשר דרגת החבורה היא לפחות 4.
קריטריונים לאוקלידיות

את התוצאה שהוזכרה לעיל על חוגי השלמים בשדות ריבועיים מרוכבים הוכיח Motzkin בעזרת הקריטריון הבא. מגדירים בחוג  R קבוצות  R_{n}, כאשר  R_{0}=\{0\}, ואילו  R_{n} היא קבוצת כל האיברים  a, שעבורם לכל מחלקה בחוג המנה  R/Ra יש נציג מן הקבוצה  R_{n-1}. בפרט,  R_{1}-\{0\} היא קבוצת האיברים ההפיכים של החוג. לפי Motzkin, חוג הוא אוקלידי אם ורק אם כל איבר שלו שייך לאחת הקבוצות בסדרה זו.
בדיקת האוקלידיות כאשר  d פונקציה כפלית היא קלה יותר, ואף מספקת במקרים מסוימים אלגוריתם לחישוב השארית. תחום שלמות  R הוא אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית  d אם ורק אם שדה השברים  F של  R מכוסה כולו על ידי ה"כדורים"  B(a)=\{x\in F\mid d(x-a)<1\} שמרכזיהם בנקודות ה"שלמות"  a\in R. מקריטריון זה נובע שאם  R אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית, אז כל תת-חוג  R\subseteq R'\subseteq F גם הוא אוקלידי.
הערות שוליים

↑  ‏M. Harper,  \mathbb {Z} [{\sqrt {14}}] is Euclidean, Canad. J. Math. 56(1), 55-70, (2004).
↑  ‏P.J. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers, Analytic Number Theory, pp. 321-332, Amer. Math. Soc, 1973.
↑  ‏M. Harper and M. Ram Murty, Euclidean Rings of Algebraic Integers, Canad. J. Math. 56(1), 71-76, (2004).
↑  ‏T.S. Motzkin, The Euclidean Algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146 (1949).
תחום בזו

בתורת החוגים, תחום בֶּזוּ הוא תחום שלמות שהוא חוג בזו, כלומר, כל אידיאל נוצר סופית שלו הוא אידיאל ראשי. תחום שלמות הוא חוג ראשי אם ורק אם הוא חוג בזו נתרי. החוגים נקראים כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי Étienne Bézout ‏(1730-1783).
את ההגדרה אפשר לנסח גם כך: תחום שלמות הוא חוג בזו, אם לכל שני איברים יש מחלק משותף מקסימלי שניתן להציג כצירוף ליניארי של שני האיברים. בפרט, כל תחום בזו הוא תחום gcd.
מבוא

בתחילת דרכה של תורת החוגים, המושג "חוג" התייחס לקבוצות מיוחדות של מספרים אלגבריים, והאידיאלים כונו "מספרים אידיאליים". במונחים המודרניים, אותן קבוצות של מספרים הן תחומי שלמות, וההתאמה בין אידיאלים ומספרים היא התאמה מושלמת רק בסוג מיוחד של תחומי שלמות: חוגים ראשיים. באלו, כל אידיאל נוצר על ידי איבר של החוג, דהיינו, עבור a מתאים, האידיאל כולל בדיוק את הכפולות של a.
את התכונה הזו של חוגים ראשיים אפשר לפרק לשניים (בדומה לפירוק של תכונת הקומפקטיות לקומפקטיות מנייתית ותכונת לינדלוף): ראשית, נדרוש שכל אידיאל יהיה נוצר סופית; ושנית, שכל אידיאל נוצר סופית יהיה נוצר על ידי איבר אחד. התכונה הראשונה נקראת "תכונת נתר", והשנייה - תכונת בזו. כלומר, תחום שלמות הוא ראשי בדיוק כאשר הוא נותרי ומקיים את תכונת בזו.
באינדוקציה אפשר להוכיח שתחום שלמות  R הוא תחום בזו, אם לכל  a,b\in R קיים  d\in R כך ש-  Ra+Rb=Rd.
תכונות של חוגי בזו > מחלק משותף מקסימלי

בתחום שלמות, אומרים שאיבר  d הוא "מחלק משותף מקסימלי" של זוג איברים  a,b אם איבר x של החוג מחלק את  a ואת  b אם ורק אם הוא מחלק את  d. תחום שבו יש לכל שני איברים מחלק משותף מקסימלי נקרא "תחום gcd"; בתחום כזה יש לכל שני איברים גם "כפולה משותפת מינימלית" (איבר  m שתכונתו היא שאיבר  y מתחלק ב- a וב- b אם ורק אם הוא מתחלק ב- m).
כל תחום בזו הוא תחום gcd, משום שאם  Ra+Rb=Rd, אז  d הוא מחלק משותף מקסימלי של  a ו- b (ו- {\frac {ab}{d}} הוא כפולה משותפת מינימלית שלהם). בתחום בזו, הכפולה המשותפת המינימלית של  a ו- b היא היוצר של האידיאל  Ra\cap Rb. מאידך, חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה,  F[x,y], הוא חוג gcd שאינו חוג בזו.
כל חוג  R שהוא חוג gcd ניתן ל"שיכון בעל אינרציה" בחוג בזו  B(R). שיכון הוא בעל אינרציה, אם אין בו פירוקים חדשים, דהיינו, אם  a=a_{1}a_{2}\in R עבור  a_{1},a_{2}\in B(R), אז הגורמים  a_{1},a_{2}\in R.
תכונות של חוגי בזו > הקשר לשדה השברים

אם  R תחום בזו ו- F שדה השברים שלו, אז כל חוג-ביניים  \ R\subseteq T\subseteq F הוא חוג בזו; יתרה מזו, כל חוג כזה הוא מיקום של  R, מהצורה  \ S^{-1}R עבור מונואיד  S של איברים ב- R.
תחום בזו (כמו כל תחום gcd) הוא תחום שלם אלגברית, או "תחום נורמלי" - כל איבר של  F שהוא שלם אלגברי מעל  R, שייך ל- R.
תכונות של חוגי בזו > תחומי בזו מקומיים

תחום שלמות הוא תחום הערכה אם ורק אם הוא חוג בזו מקומי.
תכונות של חוגי בזו > חוגי פרופר

כל תחום בזו הוא תחום פרופר (Prüfer domain); זוהי הכללה של תחומי דדקינד, ולמעשה תחום דדקינד אינו אלא תחום פרופר נתרי. בדומה לזה תחום בזו אינו אלא תחום פרופר שהוא גם חוג gcd. מאידך, תחום שלמות הוא ראשי אם ורק אם הוא תחום בזו נתרי (או לחלופין תחום פריקות יחידה שהוא גם חוג דדקינד (ולכן נתרי)).
דוגמאות

החוגים  R=F[x,x^{1/2},x^{1/3},\dots ] ו- T=\mathbb {Z} +x\mathbb {Q} [x] הם תחומי בזו שאינם נותריים, ולכן אינם ראשיים. הראשון הוא איחוד של תת-חוגים ראשיים, והשני אינו כזה.
תחומי בזו וטיפוסי חוגים אחרים

תחום בזו הוא תחום ראשי אם ורק אם הוא אטומי.
חוג  R הוא תחום בזו אם ורק אם הוא חוג gcd וגם חוג קדם-בזו (תחום שלמות שבו כל שני איברים זרים הם גם מקסימליים הדדית).
נניח ש- R תחום שלמות ו- R=\cap v_{i} כאשר ה- v_{i} חוגי הערכה המוכלים בשדה השברים של   R. אז כל  v_{i} הוא מהצורה  R_{P} עבור  P\vartriangleleft R ראשוני ו- R הוא תחום בזו. אם, בנוסף, חוגי ההערכה אינם מוכלים זה בזה, אז ה- P-ים הללו הם בדיוק האידיאלים המקסימלים של   R.
יהי  R חוג דדקינד,  K שדה השברים שלו,  L הסגור האלגברי של  K ו- T הסגור השלם של  R ב- L. נניח שבכל הרחבה אלגברית סופית של  K, לחוג השלמים יש חבורת מחלקות מפותלת. אז  T הוא חוג בזו. בפרט (אם בוחרים  \ R=\mathbb {Z} ,K=\mathbb {Q} ,L={\overline {\mathbb {Q} }}), חוג השלמים האלגבריים הוא תחום בזו.
לקריאה נוספת

Fuchs, Laszlo - Modules Over Valuation Domains (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics) 1985
Iirving Kaplansky, Commutative Rings, Allyn and Bacon, Boston, 1970
P.M.Cohn, Bezout rings and their subrings, Proc. Camb. Phil. Soc. (1968), 64, 251
שוברים שתיקה

| --- | --- |


 פעילות:  איסוף ופרסום של עדויות חיילים על התנהלות פסולה לכאורה של צה"ל ביהודה והשומרון וברצועת עזה
 התאגדות:  חברה לתועלת הציבור
 מדינה:  ישראל
 מייסדים:  יהודה שאול
 יושב ראש:  מיקי קרצמן 
 מנכ"ל:  אבנר גבריהו
 תקופת הפעילות:  2004–הווה (כ־21 שנים)
 האתר הרשמי
 
שוברים שתיקה הוא ארגון ישראלי שמטרתו, כעולה מפרסומיו, היא להעלות את המודעות למציאות היומיומית בשטחים וליצור שיח ציבורי על המחיר המוסרי שבשליטה על אוכלוסייה אזרחית, זאת על מנת להביא לסיום הכיבוש. הארגון אוסף ומפרסם עדויות של חיילי צה"ל על התנהלות פסולה שלהם נגד פלסטינים ביהודה ושומרון ורצועת עזה מאז האינתיפאדה השנייה.
הארגון הוקם בשנת 2004 על ידי לוחמי צה"ל משוחררים ששירתו בשטחים, בעיקר בחברון, וחוו לדבריהם חוויות קשות בעת השירות, במיוחד במהלך האינתיפאדה השנייה. הארגון מארגן הרצאות וכנסים בישראל ובעולם, וכן סיורים בחברון וברשות הפלסטינית לישראלים ולתיירים.
הארגון גובה עדויות מחיילים משוחררים ומציג מקרים שבהם לטענתו חיילים או מתנחלים נהגו שלא כשורה, ביצעו עוול או התעללו בפלסטינים, בדרך של ביזה, השחתת רכוש, ירי לא חוקי או פעולות לא מוסריות אחרות. הארגון טוען כי הקצינים הבכירים בצה"ל מודעים לפעולות אלו, ואין מדובר במקרים בודדים אלא בפרקטיקות מקובלות. לגבי חלק מהעדויות - צה"ל טען כי הן אנונימיות ומבוססות על שמועות ועדויות שמיעה.
בדצמבר 2015 אסר שר הביטחון משה יעלון על שיתוף פעולה בין צה"ל לבין הארגון. בשנת 2018 קיבלה הכנסת תיקון לחוק החינוך הממלכתי לפיו ארגונים הפועלים נגד חיילי צה"ל ונגד מטרות החינוך הממלכתי, לא יוכלו להיכנס לתוך שטחי בית הספר ולהיפגש עם התלמידים. אמצעי התקשורת בארץ התייחסו לחוק בשם "חוק שוברים שתיקה" וחלק מהפרשנים פירשו אותו כאילו בעקבותיו תיאסר פעילות הארגון בבתי הספר. בעקבות זאת ארגון שוברים שתיקה טען כי הוא אינו פועל נגד חיילי צה"ל אלא למענם, ולכן החוק לא נוגע לפעילותו.