מערכות תרמודינמיות מגנטיות
מעבר פאזה פרומגנט פאראמגנט - מודל פשטני

קירוב השדה הממוצע למערכת פרומגנט - פאראמגנט הוא מודל פשטני למעבר הפאזות. במודל זה מניחים כי החומר בנוי מאוסף אתרי ספין חסרי אינטראקציה (מלבד השדה המגנטי הממוצע), היכולים לקבל את הערך  +1/2 או  -1/2. המומנט הדיפול המגנטי פר חלקיק יהיה  \mu =g\mu _{B}S, כאשר  \mu _{B} הוא המגנטון של בוהר,  g הוא ה-g פקטור ו-  S הוא הספין. עבור אלקטרונים  g=2, לכן המומנט הדיפול המגנטי פר חלקיק יכול להיות סך הכל  \mu =+\mu _{B} או  \mu =-\mu _{B}. האנרגיה של דיפול כזה בשדה מגנטי  {\vec {B}} יהיה אז  U=-{\vec {B}}\cdot {\vec {\mu }}. הנחה מקלה שניתן לעשות היא להניח שהדה המגנטי בכיוון מומנטי הדיפול, ולכן האנרגיה פר חלקיק יכולה להיות  U=+{B}{\mu _{B}} או  U=-{B}{\mu _{B}}. אז נקבל שבאנסבל הקנוני, פונקציית החלוקה החד חלקיקית תהיה:
Z_{1}=e^{\frac {-\mu _{B}B}{k_{B}T}}+e^{\frac {\mu _{B}B}{k_{B}T}}
ההסתברות שחלקיק אחד בודד יהיה לו אנרגיה  {B}{\mu _{B}} היא:
P(\epsilon =+\mu _{B}B)={\frac {e^{\frac {\mu _{B}B}{k_{B}T}}}{Z_{1}}}={\frac {e^{\frac {\mu _{B}B}{k_{B}T}}}{e^{\frac {-\mu _{B}B}{k_{B}T}}+e^{\frac {\mu _{B}B}{k_{B}T}}}}
כאשר  \epsilon  מסמן אנרגיה של החלקיק הבודד. באופן דומה ההסתברות שלחלקיק יהיה אנרגיה  -{B}{\mu _{B}} היא:
P(\epsilon =-\mu _{B}B)={\frac {e^{\frac {-\mu _{B}B}{k_{B}T}}}{Z_{1}}}={\frac {e^{\frac {-\mu _{B}B}{k_{B}T}}}{e^{\frac {-\mu _{B}B}{k_{B}T}}+e^{\frac {\mu _{B}B}{k_{B}T}}}}
כדי לחשב את המומנט הדיפול הממוצע של החלקיק  \langle {\mu }\rangle , נחשב את התוחלת:
\langle {\mu }\rangle ={\mu _{B}}P(\epsilon =\mu _{B}B)-{\mu _{B}}P(\epsilon =-\mu _{B}B)={\frac {\mu _{B}e^{\frac {\mu _{B}B}{k_{B}T}}-\mu _{B}e^{\frac {-\mu _{B}B}{k_{B}T}}}{e^{\frac {-\mu _{B}B}{k_{B}T}}+e^{\frac {\mu _{B}B}{k_{B}T}}}}=\mu _{B}\tanh {\biggl (}{\frac {{\mu _{B}}B}{k_{B}T}}{\biggr )}
\tanh  היא הפונקציה היפרבולית טנגנס היפרבולי. המגנטיזציה הכוללת פר נפח של המערכת  \langle {M}\rangle  תהיה:
\langle {M}\rangle ={\frac {N}{V}}\langle {\mu }\rangle =n\mu _{B}\tanh {\biggl (}{\frac {\mu _{B}B}{k_{B}T}}{\biggr )}
כאשר סימנו  n={\frac {N}{V}} צפיפות החלקיקים פר נפח. כעת נבצע את קירוב השדה הממוצע: נניח כי השדה הפועל על החלקיק (שנוצר מהשדות של כל שאר החלקיקים) הוא אחיד (בעצם זה סוג של ממוצע על השפעתם של כל החלקיקים), כלומר:
B=\lambda {M}
השדה הוא שדה שנובע מכל הספינים והוא פרופורציוני ל-  {M}, המגנטיזציה של החלקיקים. קבוע הפרופורציה בין השדה למגנטיזציה נסמנו ב-  \lambda . נציב קשר זה בתוך הביטוי ל-  \langle {M}\rangle , שמעכשיו נסמנו ב-  {M} למען הנוחות. נקבל:
{M}=n\mu _{B}\tanh {\biggl (}{\frac {\mu _{B}\lambda {M}}{k_{B}T}}{\biggr )}
נגדיר את הגודל  m={\frac {M}{n\mu _{B}}}, ונסדר את הביטוי:
{m}=\tanh {\biggl (}{\frac {n{\mu _{B}}^{2}\lambda {m}}{k_{B}T}}{\biggr )}
נגדיר גודל נוסף  t={\frac {k_{B}T}{n{\mu _{B}}^{2}\lambda {}}} ונציב בבטיו:
{m}=\tanh {\biggl (}{\frac {m}{t}}{\biggr )}
למשוואה כזו אין פתרון אנליטי אבל ישנם כמה דרכים למצוא פתרון נומרי עבור  m, וכך למצוא את המגנטיזציה וגם את השדה המגנטי. באמצעות ניתוח גרפי של משוואה זו אפשר להסיק כי עבור  t>1 למשוואה אין פתרון (פרט לפטרון הטריוויאלי  {m}=0), ועבור  t<1 תמיד קיים פתרון לא טריוויאלי:
עבור  t>1 נראה כי אין חיתוך בין שתי העקומות  \tanh {\biggl (}{\frac {m}{t}}{\biggr )} ו-  {m} (מלבד לפתרון הטריוויאלי):
עבור  t<1 כן יהיה חיתוך בין העקומות:
מכאן מסיקים כי  t=1, או לחלופין  T=T_{c}:={\frac {n\mu _{B}\lambda }{k_{B}}} היא טמפרטורה הקריטית המאפיינת את המעבר בין שני מצבים (או יותר נכון, שני פאזות): עבור  T>T_{c} אין מגנטיזציה ספונטנית והמערכת היא בפאזה פאראמגנטי, ועבור  T<T_{c} ישנה מגנטיזציה ספונטנית והמערכת היא בפאזה פרומגנטי.