לאונרד אוילר
פועלו של אוילר > אנליזה

פיתוח החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה היה משאת נפשם של מתמטיקאים בני המאה ה-18. בתחום זה אולי השפיע אוילר יותר מכול, ורעיונותיו הובילו להתקדמויות אדירות. אוילר הביא לעולם את רעיון ההצגה של טור חזקות אינסופי ופיתוחו, כמו התגלית:
 e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).
ב-1735 פתר אוילר את בעיית בזל והוכיח ש-
פתרון בעיית בזל זיכה את אוילר בתהילה אדירה, מאחר שבעיה זו ניצבה ללא פתרון במשך זמן רב, חרף ניסיונותיהם של המתמטיקאים הדגולים שקדמו לאוילר, בהם בני משפחת ברנולי וגוטפריד וילהלם לייבניץ. במסגרת מחקרו על פונקציית זטא הכליל אוילר את הבעיה והצליח, בהישג נדיר של האנליזה המתמטית של המאה ה-18, למצוא ביטוי המתאר את הערכים של פונקציית זטא לכל מספר טבעי זוגי  \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}\!. בהמשך חייו אוילר חקר רבות את פונקציית זטא, וכשניסה ללא הצלחה למצוא צורות מתמטיות סגורות לערכים המדויקים של  \zeta (2n+1), הוא הגדיר פונקציות הנקראות כיום פונקציות זטא מכופלות (multiple zeta functions), וגילה מספר זהויות יפות הקושרות אותן לפונקציית זטא, למשל:  \zeta (2,1)=\zeta (3).
אוילר גם שיער, במה שמהווה הישג אנליטי מזהיר נוסף שלו, את המשוואה הפונקציונלית שמקיימת פונקציית זטא:
 \zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}cos({\frac {\pi s}{2}})\Gamma (s)\zeta (s). משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר  \ Re(s)=1/2, היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו. קשר זה הוכח לראשונה על ידי ברנהרד רימן במאמרו המכונן על תורת המספרים האנליטית.
אוילר נחשב לאחד מאבות תורת הסומביליות בזכות גישתו החדשנית שניתן לתת ערך מספרי (סופי) בר-משמעות לטור מתבדר. למשל, באמצעות מניפולציות אנליטיות מבריקות, הוא הראה במאמר מ-1760 ש-: 0!-1!+2!-3!+4!-\cdots +(-1)^{k}k!+\cdots \approx 0.596347. אוילר כינה את טור העצרת המתחלף הזה "טור מתבדר פר אקסלנס", והטכניקות שאפשרו לו לסכום את הטור הזה קרובות מבחינה רעיונית לסיכום בורל שפיתח אמיל בורל ב-1899.
אוילר הציג ופיתח את השימוש של פונקציה מעריכית ושל לוגריתמים בהוכחות אנליטיות. הוא גילה דרכים לתאר מגוון פונקציות לוגריתמיות כטורים אינסופיים, ובאחת מעבודותיו החשובות הצליח לשלב בין לוגריתמים לבין תורת המספרים המרוכבים. הוא הגדיר את הפונקציה המעריכית עבור מספרים מרוכבים, וגילה את הקשר בינה לבין פונקציות טריגונומטריות, המובא בנוסחה הבאה: לכל מספר ממשי  \ \theta , נוסחת אוילר קובעת כי:  \!\,e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }.
מקרה פרטי של נוסחה זו נקרא זהות אוילר, הקושרת חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים מעולמות שונים:  \!\,e^{i\pi }+1=0. לזהות זו קרא לימים הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן "הזהות הפלאית ביותר במתמטיקה".
אוילר קידם את התורה של פונקציות טרנסצנדנטיות גבוהות על ידי ההצגה של פונקציית בטא ושל פונקציית גמא, המהווה הרחבה של פונקציית העצרת אל שדה המספרים המרוכבים. הוא גם מצא שיטה חדשה לפתרון משוואות ממעלה רביעית. הוא מצא שיטה לחשב אינטגרל עם גבולות מרוכבים, ובכך הביא את בשורת האנליזה המרוכבת. הוא פיתח את חשבון הווריאציות יחד עם ז'וזף לואי לגראנז'. התוצאה המפורסמת הנובעת משיתוף פעולה זו ידועה כמשוואות אוילר-לגראנז'.
אוילר הוביל את השימוש בשיטות אנליטיות כדי לפתור בעיות בתורת המספרים. בעשותו זאת הניח את היסודות של תורת המספרים האנליטית. בתחום זה, אוילר יצר את התורה של טורים היפרגאומטריים, סדרת q, פונקציות היפרבוליות ושברים משולבים. לדוגמה, הוא תרם תרומה מכרעת לפתרון משוואת פל באמצעות שברים משולבים, הוכיח באופן מקורי באמצעות הטור ההרמוני כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים, ואף השתמש בשיטות אנליטיות כדי להגיע להבנה מסוימת של התפלגות המספרים הראשוניים. עבודתו של אוילר בתחום זה הובילה למשפט המספרים הראשוניים.