stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מנחת יהודה שונא הנשים
הפרשנויות > שוברת מוסכמות חברתיות > חולשה

הגבר, ולא האישה, הוא שמוצג בצורה שלילית וחסרת תקומה. לעומתו, האישה, בינות השורות, מהוללת וזוכה לשירי שבח ותהילה. ביצירה הגבר נתפש כשוטה קל דעת הנוטה לעיוורון בכל פעם בו עומדת אישה לפניו, הרגש הוא שמושל בו, היצר מניע אותו ללא הרף ולא הרציונל, על כן הוא זה שמצווה לפנינו "הער שכלך / פן יהיה דבר עם לבבך בלייעל" (שורה 194). דוידזון טוען כי בחיבור אומנם ישנה אזהרה מפני נישואים פזיזים, אך בד בבד יחד עמה ישנה התקפה כלפי שונאי הנשים, הגברים, המוצגים בצורה נגטיבית. האב, בהמשך צוואתו אומר "בני אל תיתן לנשים חילך" (שורה 224). אך הגבר כה חסר דעה עד אשר: "כי יחזו גבר בים סוער / טבע ויבא אחריו רעו (251).
הגברים מתוארים בשלילה יתירה, כחסרי אופי וחלשים, סכלים הרצים לטבוע לאחר שצפו בחברם טובע. הרי ללא הרף ראו המה את שלהבות התאווה "כמה גיבורים השפילו / כמה יגונות הנחילו / כמה גיבורים כשלום" (256), ועדיין לא למדו מוסר ולא השכילו עצה, ותאוותם שולטת עליהם ולא רוחם, עדיין חומדים הם את יופי הנשים. הרי הם נוטים אחר תשוקותיהם "ימסו אסוריו כי יצר לב האדם רע מנעוריו". בראותו אישה, מסיר הוא את כל איסוריו החלים עליו ושוכח הוא להתגבר על יצרו.
הפרשנויות > שוברת מוסכמות חברתיות > רוע

"יצר לב האדם" הרע מנעוריו, על פי קריאה זו, זהו לבו של הגבר, מלא היצר, ולא לב האישה. ואם תראה אישה נכלולית נואפת, שקרנית ומלאת רמייה הרי זה כי הגבר שליבו רע מנעוריו הפכה לכזה. הגבר האמיתי שיצרו רע מנעוריו מיוצג על ידי שקר בן חפר, שכנראה הסית את אשתו אל הרע. הגבר, רום המעלה, לכאורה, נתפס במקאמה כנכלולי וחסר עורמה שתמיד חורש רע, צבוע, הרודף אחר ההבל.
הפרשנויות > שוברת מוסכמות חברתיות > כסילות

"מנוול ורשע נקי וצדיק יכונה ידמה טהור לב ודובר שלום... ותרדוף אחר ההבל" (552-561).

דמות הגבר הסכל ושטוף התאווה, הצבוע, מתקיים בזרח, שונא הנשים ומחרימן, שבסופו של דבר פותה על ידי "זוהר הלחיים ואודם השפתיים" (591).
כאשר כזבי לא מצליחה לפתות את זרח לישא אישה, היא מחליטה להציע לו שוחד בדמות של עשרה גמלים טעונים כסף אך הוא דוחה אותה בבוז:
"כי בעושר יכחש בעמיתו / לבעליו לרעתו" (581).
תפיסה זו לא מחזיקה זמן רב. כאשר הוא רואה לפניו את דמותה של איילה שלוחה, נבקעים סדקי ראייתו והוא דורש "הרבו מוהר ומתן עליי". ואין זו מעידה חד-פעמית של רוח שטות שבעבירתו על דעתו, אלא חוזרת בנוסף עוד שלוש פעמים.
בקומו לאור הבוקר "והנה היא לאה", זרח יושב ומקונן לא על מזלו, כי אם על אשר:

הכסף אזל ונשאר הדופי / אין זוהר ואין יופי (751)

אנו שבים ורואים זאת שוב כאשר שלושת רעיו מייעצים לו לרכוב אל ארץ פלשתים, אך הצעתם נדחית על ידי זרח הצועק, כאחד הריקים והכסילים:

"בעליהם לאסירי ברזל נמשלו / בכסף ייגאלו" (886-887)
בפעם האחרונה שזרח עושה זאת היא בגרשו את אשתו לפני כל העיר, הרי שהוא עושה זאת בשם אלוקי הכסף:

והנה הכסף בידי / ושהדי עמדי / על דבר האמת ואל תפחדהו ואל תרהו / כי המשפט לאלקים הוא (893- 894)
הפרשנויות > מנחת יהודה כפרודיה

סאטירות על מנהגים וטקסים נוצריים הוקראו בקהיליות יהודיות בחג הפורים, ואחת ההשערות שהועלתה על ידי אליוט הורוביץ, רואה בסיפור ככזה שנועד להקראה בפורים ואולי אף כסאטירה פורימית על הנצרות.
הפרשנויות > מנחת יהודה כפרודיה > פרודיה על ההתגלויות המקראיות

בסצנת ההתגלות, ישנו מראה של עיצוב סגנוני פרודי על ההתגלויות המקראיות, שעניינה לעורר תמיהה וצחוק בקרב השומעים. ניסיון הגושפנקא לשוות רצינות לאמיתות דבריו ושליחותו, מרמזת כי אין להתייחס לדבריו ברצינות, שכן ידעו שספרות דידקטית אין בה שום נטילת תוקף של אמת על ידי התגלויות נבואיות. באמצעות פרודיה מקראית אנו מכוונים לדברי חז"ל כי "הנבואה ניתנה לשוטים" וכך יש להתייחס אל יצירתו, דברי צחוק ולעג. קריאה נוספת תאפשר לראות בכך לעג ואזהרה מנביאי שקר.
הפרשנויות > מנחת יהודה כפרודיה > פרודיה על צוואות

על פי גישה זו, צוואתו של תחכמוני, היא פרודיה על נוסח הצוואות שהיה קיים באותם ימים. הצוואות, נכתבו במסרים על הדרך הנכונה שיש ללכת בה, והיו מלאים בריבוי החזרה על המילה, בני. החזרות הרבות על המילה בני בצוואתו של תחכמוני, "ועתה בני שמע בקולי", "שמע בני וקח אמרי" יש בה כדי להעיד אל הקונוטציות הקימות בספר משלי. ספר משלי כתוב כפניה מוסרית של אב אל בנו, כמעין צוואה של אב לפני מותו. רושם המסר היוצא מן הצוואה הוא מוסרי, "החזק במוסר אל תרף ידך", אך המסר של תחכמוני לבנו נוגד את ערכי העולם המוסרי בו הוא קיים.
הפרשנויות > מנחת יהודה כפרודיה > פרודיה על הכתובה

הכתובה הנקראת בחתונתם של זרח ואיילה שלוחה, שמה ללעג וקלס את הסגנון הרשמי של הכתובה, המסמך המפרט את התחייבות הבעל כלפי אשתו בימי נישואיהם. כמוהר, נותן זרח מאה ערלות, ומעניק לה מחלות ומארות לרוב. המקאמה מאופיינת ככזו הכתובה לפורים. השעשוע הרב שבה, שהופיע והותר אך ורק בימי הפורים, ממדי ההומור הרבים והפרודיות הקיימות הופכות את המקאמה לכזו שנכתבה במיוחד עבור חג הפורים. האלגוריה הבין דתית, גם היא, שאושרה להיכתב רק עבור חג הפורים מוכיחה, כנראה, כי המקאמה נכתבה עבור חג זה. כאשר זרח בוער באש תאוותו ודוחק לנישואין מידיים, טקס הנישואין המזורז של זרח מלא החשק, נערך בי"ג באדר, ערב פורים. עובדה זו מבליטה את סממניה הקרנבליים של היצירה ככזו שנכתבה עבור פורים.
לקריאה נוספת

רחל אליאור, אסונות לשמחות, מה עוד מסתתר מאחרי קריאת המגילה במרחבי ההיסטוריה? 277-288 ספר מיכאל, מחווה למיכאל בהט, ירושלים, כתר
דן אלמגור, סאטירה חברתית בספרות המקאמות העבריות, עלי שיח, 1979, כרך 7 – 8, עמ' 132 - 158
יהודית דישון, אישה טובה אישה רעה, ירושלים: כרמל, תשס"ט
יהודית דישון, האשה הבוגדנית ומאהבה, בקורת ופרשנות, 1994, כרך 30, עמ' 175 - 195
יהודית דישון, לחקר דברי האלה והנידוי ליהודה אבן שבתי, ביקורת ופרשנות, תשל"ד, כרך 4–5, עמ' 48 - 53
מתי הוס, מנחת יהודה, עזרת הנשים ועין משפט : מהדורות מדעיות בלווית מבוא, חילופי גרסאות, מקורות ופירושים, ירושלים, האוניברסיטה העברית, תשנ"ב 1991
מתי הוס, הבדיון ומעמדו במקאמה העברית, תרביץ, תשנ"ח, כרך ס"ז, עמ' 351 - 378
מנחם קלנר, שנאת נשים פילוסופית הימי הביניים: הרלב"ג לעומת הרמב"ם, מרומי לירושלים: ספר זיכרון לי"ב סרמוניטה תשנ"ח
טובה רוזן, ציד הצבייה: קריאה מגדרית בספרות יה"ב, תל אביב, אוניברסיטת תל – אביב, 2006
Davidson, Israel, Parody in Jewish literature.N ew York : AMS Press, 1966
Horwiz Elliott, The Rite to be Reckless: On the Perpetration and I interpretation Of Purim Violence, Poetics Today (Spring, 1994 Duke University Press
Horowitz, M. C. "Aristotle and Women." Journal for the History of Biology, 9, (1976): 183-213
הערות שוליים

1 2  יהודית דישון, למקורותיה של המחברת מנחת יהודה ליהודה אבן שבתי והשפעתה על מקאמת הנישואין ליהודה אלחריזי, אוצר יהודי ספרד יא-יב, ירושלים 1969-1970, אחווה.
↑  חיים שירמן, השירה העברית בספרד ובפרובאנס, הוצאת ביאליק ודביר, תל אביב, תשכ"א עמ' 67 - 70
↑  חיים שירמן, תולדות השירה העברית בספרד הנוצרית ובדרום צרפת, מאגנס, ירושלים, תשנ"ז, עמ' 93-100
↑  דן פגיס, חידוש ומסורת בשירת החול העברית, כתר, ירושלים, עמוד 199
↑  מתי הוס, "מנחת יהודה", "עזרת הנשים" ו"עין משפט" חלק א': מהדורות מדעיות, ירושלים, האוניברסיטה העברית, תשנ"ב חלק א עמודים 23-30.
↑  תלמוד בבלי, מסכת בבא בתרא, דף ט"ו, עמוד ב'
↑  מתי הוס, "מנחת יהודה", "עזרת הנשים" ו"עין משפט" חלק ב' : מהדורות מדעיות, ירושלים, האוניברסיטה העברית, תשנ"ב חלק ב עמוד 58.
↑  חיים שירמן, השירה העברית בספרד ובפרובאנס, הוצאת ביאליק ודביר, תל אביב, תשכ"א עמוד 69.
↑  מתי הוס, "מנחת יהודה", "עזרת הנשים" ו"עין משפט" חלק א' : מהדורות מדעיות, ירושלים, האוניברסיטה העברית, תשנ"ב חלק א עמוד 67.
1 2  טובה רוזן, ציד הצביה, אוניברסיטת תל אביב, תשס"ו, עמוד 171.
↑  חיים שירמן, תולדות השירה העברית בספרד הנוצרית ובדרום צרפת, מאגנס, ירושלים, תשנ"ז, עמ' 93-100.
↑  מתי הוס, "מנחת יהודה", "עזרת הנשים" ו"עין משפט" חלק א' : מהדורות מדעיות, ירושלים, האוניברסיטה העברית, תשנ"ב חלק א עמוד 69.
↑  יהודית דישון, אשה טובה אשה רעה, כרמל, ירושלים, תשס"ט, 21.
↑  בראשית ג, כד.
↑  מתי הוס, "מנחת יהודה", "עזרת הנשים" ו"עין משפט" חלק א' : מהדורות מדעיות, ירושלים, האוניברסיטה העברית, תשנ"ב חלק א עמוד 72-73.
↑  רוזן טובה, ציד הצבייה: קריאה מגדרית בספרות יה"ב, תל אביב, אוניברסיטת תל – אביב, 2006, עמוד 311 הערה 34 .
↑  Davidson, Israel, Parody in Jewish literature.N ew York : AMS Press, 1966 1-4
Horwiz Elliott, The Rite to be Reckless: On the Perpetration and I interpretation Of Purim Violence, Poetics Today (Spring, 1994 Duke University Press.,
↑  מתי הוס, "מנחת יהודה", "עזרת הנשים" ו"עין משפט" : מהדורות מדעיות, ירושלים, האוניברסיטה העברית, תשנ"ב חלק א עמוד 67,
.
↑  רוזן טובה, ציד הצבייה: קריאה מגדרית בספרות יה"ב, תל אביב, אוניברסיטת תל – אביב, 2006, עמוד165
משפט אוילר על חלוקת מצולעים

משפט אוילר על חלוקת מצולעים (באנגלית: Euler’s Theorem of Polygon Division) הוא מונח בקומבינטוריקה ועוסק במספר הטריאנגולציות של מצולע קמור, כלומר מספר החלוקות האפשרי שלו למשולשים באמצעות העברת אלכסונים שלו כך שלא יחתכו אחד את השני. אוילר מצא ביטוי מתמטי כללי הפותר את הבעיה, ולמעשה גילה את הדוגמה הראשונה לסדרת המספרים הידועה כמספרי קטלן. לבעיה ישנה מספר וריאציות, והערך הזה עוסק בווריאנט בו יש לחלק את הקודקודים של המצולע לזוגות באמצעות קווים שאינם חותכים אחד את השני. אם נסמן ב- E_{2n} את מספר החלוקות של מצולע בעל 2n קודקודים, במקרה זה התוצאה של אוילר קובעת כי:  E_{2n}=C_{n}, כאשר  C_{n} הוא מספר קטלן ה-nי.
תיאור הבעיה; רקע היסטורי

את הבעיה הציע המתמטיקאי לאונרד אוילר לחברו כריסטיאן גולדבך במכתב משנת 1751. את הבעיה ניתן לתאר כך: בכמה דרכים שונות ניתן לחלק מצולע קמור בעל n קודקודים לזוגות (כאשר n חייב להיות זוגי), כך שהקווים שמחברים כל זוג נקודות לא יחתכו אחד את השני. במקרה של מצולע בעל ארבעה קודקודים הפתרון פשוט והוא שתי חלוקות. אוילר שיער במכתבו את הביטוי הכללי לסדרת הערכים, ונתן ביטוי לפונקציה היוצרת של סדרת המספרים. אולם, אוילר התוודא לאחר קבלת הביטוי כי: "תהליך האינדוקציה שהפעיל לפתרון הבעיה היה מאוד מפרך, ושהוא אינו מטיל ספק שניתן להגיע לאותה תוצאה בקלות רבה יותר". גולדבך השיב שהפונקציה היוצרת של אוילר מקיימת את המשוואה הפונקציונלית  1+xC(x)=C(x)^{\frac {1}{2}}. אוילר בתגובה השיב במכתב משלו, ונתן פרטים נוספים לגבי הגזירה של הפונקציה היוצרת, אך הוא עדיין לא השלים את ההוכחה. מאוחר יותר, אוילר שיתף את המתמטיקאי יוהאן אנדראס זגנר בבעיה שהעסיקה אותו ואת גולדבך, וזה פרסם בתגובה מאמר ב-1758 עם הוכחה ליחס הנסיגה שמקיימים הערכים בסדרה. אוילר זיהה שהקשר הרקורסיבי שהוא עצמו "החמיץ" הוא בדיוק החלק החסר בהוכחה שלו, ובסיום 1758 אוילר, גולדבך ו-Segner הרכיבו הוכחה שמספר הטריאנגולציות של מצולע קמור עם n + 2 צלעות הוא:  C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}.
פתרון הבעיה > קבלת הנוסחה הרקורסיבית

ראשית נראה כי שני קודקודים של המצולע ניתנים לחיבור אם ורק אם ביניהם מספר זוגי של קודקודים. ההסבר לכך פשוט: כיוון שאסור שקווים יחתכו אחד את השני, אם נחבר שני קודקודים שביניהם מספר אי זוגי של קודקודים אזי נקבל קודקוד אחד עודף, ולכן על מנת לזווג קודקוד זה עם קודקוד נוסף ניאלץ בהכרח לחצות את הקו שכבר שרטטנו עם הקו הנוסף. תכונה זו נובעת ישירות מקמירות המצולע. לכן, אם נבחר זוג קודקודים שעונה לתנאי הזה ונחבר אותם על ידי קו, מעתה ואילך כל החלוקות יהיו פנימיות בשני המצולעים הקמורים שיצרנו (הקו שחיבר את הקודקודים חצה את המצולע המקורי לשני מצולעים). עבור כל חצייה ראשונית של המצולע, מספר אפשרויות החלוקה הפוטנציאלי שהיא מאפשרת שווה למכפלת מספר האפשרויות לחלק את המצולע הראשון כפול מספר האפשרויות לחלק את המצולע השני. לפיכך  E_{2n} הוא סכום של מכפלות מהצורה  E_{r}E_{2n-2-r}, כאשר r עובר על כל המספרים הזוגיים (כולל 0). לפיכך מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית הבאה לחישוב 
 E_{2n}:
E_{2n}=E_{0}E_{2n-2}+E_{2}E_{2n-4}+...+E_{r}E_{2n-2-r}+...+E_{2n-2}E_{0}.
בדרך זו מתקבלים בקלות 5 הערכים הלא טריוויאליים הראשונים בסדרה:
E_{4}=2,E_{6}=5,E_{8}=14,E_{10}=42,E_{12}=132
פתרון הבעיה > קבלת הביטוי הכללי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו.
מספר הטריאנגולציות של משושה קמור. הבעיה אליה מתייחס האיור מתייחסת לוריאנט של המשפט שעוסק במספר הטריאנגולציות של מצולעים קמורים, ולא במספר הזיווגים של קודקודי המצולע. במקרה זה של הבעיה מתקיים:  E_{n}=C_{n-2}, בפרט  E_{6}=C_{4} ואכן למשושה באיור יש 14 טריאנגולציות.
משפט אוסטרובסקי

במתמטיקה, משפט אוסטרובסקי הוא שמם המשותף של שני משפטים על ערכים מוחלטים של שדות. את המשפטים הוכיח אלכסנדר אוסטרובסקי ב-1918.
המשפט הראשון מסווג את כל הערכים המוחלטים הלא-ארכימדיים של שדה המספרים הרציונלים  \ \mathbb {Q} , עד כדי שקילות. על פי המשפט, כל ערך מוחלט לא ארכימדי על  \ \mathbb {Q}  שקול לערך מוחלט p-אדי, עבור מספר ראשוני p.
המשפט השני מסווג את הערכים המוחלטים הארכימדיים, וקובע שיש רק שני שדות שלמים ביחס לערכים מוחלטים כאלה: שדה המספרים הממשיים (עם הערך המוחלט הרגיל), ושדה המספרים המרוכבים (כנ"ל)
.
יחדיו, שני המשפטים עומדים ביסודה של תורת המספרים האלגברית, שכן ניתן להסיק מהם את כל הערכים המוחלטים של כל שדה מספרים. מהמשפטים נובע כי הדרכים היחידות לשכן את שדה הרציונליים באופן צפוף בשדה קומפקטי מקומית הן לתוך שדה הממשיים, או לתוך אחד מן השדות ה-p-אדיים.
ערכים מוחלטים

שני ערכים מוחלטים | | ו-*| | על שדה F הם שקולים אם קיים מספר ממשי  \,i>0 כך שלכל  \,x\in F מתקיים  \,|x|^{*}=|x|^{i}.
הערך המוחלט הטריוויאלי על שדה F מוגדר על ידי  |x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\1,&{\mbox{if }}x\neq 0.\end{cases}}.
הערך המוחלט הממשי על  \ \mathbb {Q}  הוא הערך המוחלט הרגיל שמוגדר על המספרים הממשיים, כלומר  |x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}.
בהינתן מספר ראשוני p, הערך המוחלט הp-אדי על  \ \mathbb {Q}  מוגדר בדרך הבאה: כל מספר רציונלי  \ x\neq 0 ניתן לכתוב (בצורה יחידה) כשבר  \,x=p^{n}\cdot {\frac {a}{b}}, שבו a ו-b מספרים שלמים הזרים לp, כאשר n מספר שלם. הערך המוחלט הp-אדי מוגדר אז על ידי
המשפט הראשון קובע, אם כן, כי כל ערך מוחלט לא טריוויאלי על  \ \mathbb {Q}  שקול ל- \,|\cdot |_{\infty } או ל- \,|\cdot |_{p} עבור p ראשוני כלשהו.
מן ההגדרות נובע שהמספרים הרצונליים מקיימים את תכונת ההיפוך: לכל מספר רציונלי  \ x\neq 0, רק מספר סופי מבין הערכים המוחלטים  \ |x|_{p} שונה מ-1, והמכפלה תמיד  \ |x|_{\infty }\cdot \prod _{p}|x|_{p}=1.
לקריאה נוספת

Gerald J. Janusz (1996–1997). Algebraic Number Fields (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
Nathan Jacobson (1989). Basic algebra II (2nd ed.). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
Edwin Weiss (1998). Algebraic Number Theory (dover ed.). Dover. ISBN 0-486-40189-8.
הערות שוליים

↑  Algebraic Number Theory, E. Weiss, משפט 1-8-3
משפט אוילר (גאומטריה דיפרנציאלית)

משפט אוילר הוא מונח בגאומטריה דיפרנציאלית והוא התוצאה על העקמומיות של עקומים על משטח. המשפט מראה כי קיימים כיוונים ראשיים (principle directions) בהם המשטח מתעקל במידה מרבית ובמידה מזערית, וקובע את הקשר המתמטי בין ערכי העקמומיות הראשיים (principle curvatures) - אותם ערכים מקסימליים ומינימליים של העקמומיות - לעקמומיות של המשטח בכיוון שרירותי. המשפט נקרא על שם לאונרד אוילר שהוכיח אותו ב-1760.
בניסוח מתמטי, יהי M משטח במרחב אוקלידי תלת־ממדי, ותהי p נקודה על M. מישור נורמלי דרך הנקודה p הוא מישור העובר דרך p ומכיל את הווקטור הנורמל למשטח M בנקודה. דרך כל ווקטור יחידה משיק ל-M ב- p עובר מישור נורמלי PX אשר חותך עקום מ-M. לעקום הזה יש עקמומיות מסוימת κX כאשר מסתכלים עליו כעקום במישור PX. בהינתן שלא כל ה-κX שווים, יש ווקטור יחידה מסוים X1 עבורו k1 = κX1 הוא מרבי, ויש ווקטור יחידה מסוים X2 עבורו k2 = κX2 הוא מזערי. משפט אוילר מאשר שהכיוונים X1 ו-X2 ניצבים זה לזה, ויותר מכך, שאם X הוא כיוון אחר על המישור המשיק למשטח, שיוצר זווית θ עם X1, אז:
\kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta .\,,
בפרט, כאשר מציבים  \theta =0,\pi /2 מקבלים את ערכי העקמומיות הראשיים; כלומר הם אכן ניצבים זה לזה.
אינטואיציה והוכחת המשפט

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו.
אוילר גילה את המשפט שלו דרך התבוננות "מושכלת" בקירובים של ההתנהגות המקומית של משטחים  z=f(x,y). ראשית יש להבחין שערכי העקמומיות לא תלויים בבחירת מערכת הקואורדינטות, לכן נציב את הראשית שלה בנקודה (x,y) ונמקם אותה כך שמישור xy יתלכד עם המישור המשיק למשטח בנקודה (x,y). קיבלנו משטח שמתאפס ב-(0,0) ושכל נגזרותיו הראשונות מתאפסות גם הן באותה נקודה. כיוון שעקמומיות היא גודל מסדר שני, הגיוני לנסות לקרב את המשטח באמצעות משטחים ממעלה שנייה; המבנה המקומי של משטח יכול להיות אליפטי, פרבולואידי, או היפרבולי. המקרה הפרבולואידי מתרחש על פני כדור (העקמומיות בכל כיוון זהה), האליפטי באליפסואיד וההיפרבולי כאשר מדובר במשטח בסביבת נקודת אוכף שלו. אם נחתוך מהמשטח עקומים על ידי העברת מישורים מקבילים למישור xy שקרובים לו באופן אינפיניטסימלי (מישורים מהצורה  z=h), נקבל אליפסה, מעגל או שני ענפים היפרבוליים (במקרה ההיפרבולי העקום אינו סגור משום שבנקודת אוכף חלקים שונים של המשטח נמצאים בצדדים שונים של המישור המשיק).
דרך פורמלית לראות את כל האמור לעיל, היא דרך פיתוח טיילור לסדר שני של הפונקציה:  z=h=f(x,y)={\frac {1}{2!}}f_{xx}x^{2}+f_{xy}xy+{\frac {1}{2!}}f_{yy}y^{2}. קיבלנו ביטוי מהצורה  h=ax^{2}+bxy+cy^{2} (תבנית ריבועית) שאותו ניתן להביא לצורתו הקנונית המוכרת  \alpha x'^{2}+\beta y'^{2} באמצעות הצבות ליניאריות מתאימות  x'=\alpha _{1}x+\beta _{1}y,y'=\alpha _{2}x+\beta _{2}y. הכיוונים הראשיים של המשטח, אותם כיוונים בהם ערך העקמומיות מקסימלי ומינימלי, הם למעשה כיווני הצירים של חתך החרוט (הבאה לצורה הקנונית שקולה למיקום ציר ה-x וציר ה-y על הכיוונים הראשיים של המשטח). הערך המרבי של העקמומיות הוא בכיוון הציר המשני שלו ואילו הערך המזערי בכיוון הציר הראשי. כעת יש לזהות את המקדמים בצורה הקנונית כערכי העקמומיות הראשיות  k_{1} ו- k_{2} - המקדמים הללו הם הנגזרות הכיווניות מסדר שני בכל אחד מהכיוונים הראשיים. השלב האחרון בהוכחה הוא קבלת השוויון:  h={\frac {1}{2}}k_{X}(x^{2}+y^{2})={\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}+{\frac {1}{2}}k_{2}y^{2}, כאשר  k_{X} הוא העקמומיות בכיוון שרירותי. כאשר מבחינים כי  cos^{2}\theta =x^{2}/(x^{2}+y^{2}) (כנ"ל לגבי סינוס הזווית) מקבלים את התוצאה של אוילר:  \kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta \,.
הפרוצדורות בהן אוילר השתמש לקבלת המשפט שקולות לפרוצדורות המודרניות הנעזרות במטריצת ההסיאן.
דוגמאות

על פני כדור, הצורה הריבועית של הנוסחה של אוילר עקבית עם העובדה שהעקמומיות בכל כיוון זהה ושווה לעקמומיות של מעגל גדול. מתקיים  k_{1}=k_{2}={\frac {1}{R}} ואכן:  k_{n}=k_{1}cos^{2}\theta +k_{2}sin^{2}\theta =k_{1}\cdot (cos^{2}\theta +sin^{2}\theta )=k_{1}={\frac {1}{R}}.
על פני גליל העקמומיות בכיוון אחד היא  k_{1}={\frac {1}{r}} (כאשר r רדיוס הבסיס) והעקמומיות בכיוון הניצב היא 0, לכן העקמומיות בכיוון שרירותי מקיימת:  k_{n}=k_{1}cos^{2}\theta .
הערות שוליים

↑  Recherches sur la courbure des surfaces (אוילר, 1760).
ערכי העקמומיות הראשיים של משטח בסביבת נקודת אוכף שלו. באיור מוצגים המישור המשיק ושני מישורים נורמלים המתאימים לכיוונים הראשיים של המשטח בנקודת האוכף.
ניר פלד

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לאום:  ישראלי
 לימודי רפואה:  הפקולטה לרפואה בטכניון
 התמחות:  אונקולוגיה, מומחה לסרטן ריאה
 תואר:  פרופסור
 תפקידים:  ניהל את המרכז לחקר גידולי בית החזה, במרכז רפואי שיבא, תל השומר  ניהל את היחידה לגידולי בית חזה במרכז דוידוף לסרטן בבית החולים בילינסון  פרופסור בחוג לאונקולוגיה, בית הספר לרפואה, אוניברסיטת תל אביב  מנהל המערך האונקולוגי בסורוקה  פרופסור לאונקולוגיה בבית הספר לרפואה - אוניברסיטת בן-גוריון
 מחלקות ובתי חולים:  מחלקה אונקולוגית - תל השומר  מחלקה אונקולוגית - בילינסון  מחלקה אונקולוגית - סורוקה
ניר פלד הוא רופא, מומחה לרפואה פנימית, למחלות ריאה ולאונקולוגיה, פרופסור לאונקולוגיה. מנהל המכון האונקולוגי בבית החולים שערי צדק בירושלים.
בין עיסוקיו, פלד מתמקד קלינית ומחקרית באונקולוגית ריאות.
ביוגרפיה

פלד בוגר הפקולטה לרפואה במסלול MD PhD בפקולטה לרפואה בטכניון במסגרת העתודה האקדמאית.
לאחר שרות בצה"ל כרופא צבאי התמחה פלד ברפואה פנימית, באונקולוגיה וברפואת ריאות.
פלד ניהל את המרכז לחקר גידולי בית החזה, במרכז רפואי שיבא, תל השומר.
בתפקידו האחרון פלד ניהל את היחידה לגידולי בית חזה במרכז דוידוף לסרטן בבית החולים בילינסון בפתח תקווה.
פלד היה ממקימי המרכז לרפואה מותאמת אישית בבית החולים בלינסון.
פלד היה חבר סגל הפקולטה לרפואה באוניברסיטת תל אביב בדרגת פרופסור, ופרופסור לאונקולוגיה בבית הספר לרפואה ע"ש גולדמן, באוניברסיטת בן-גוריון בנגב.
בספטמבר 2017 מונה פלד למנהל המערך האונקולוגי בבית החולים סורוקה בבאר שבע. בדצמבר 2020 מונה למנהל המכון האונקולוגי בבית החולים שערי צדק בירושלים.
פלד מכהן כיושב ראש תחום סרטן הריאה - באיגוד רופאי הריאה האירופי, וכיושב ראש משותף, הוועדה הבינלאומית לאבחון מוקדם של סרטן הריאה.
משפחה

פלד נשוי ואב ל-3 ילדים.
הערות שוליים

↑  ממאמריו של פרופ' ניר פלד cancerinfo-davidoff.co.il/document
↑  סגל הפקולטה לרפואה באוניברסיטת תל אביב - פרופסור ניר פלד med.tau.ac.il/profile/nirp
↑  פרופ' ניר פלד - מנהל המערך האונקולוגי במרכז הרפואי סורוקה hospitals.clalit.co.il/soroka/he/news/Pages/prop-nir-peled-29-10-17
↑  פרופ' ניר פלד, מונה למנהל האגף למחלות הסרטן והמערך האונקולוגי במרכז הרפואי שערי צדק, באתר בית החולים שערי צדק
ישראל חבר, שערי צדק: מרחיבים את ה'אונקולוגית', באתר "כל הזמן", ‏כ"ב כסלו התשפ"א, 8 בדצמבר 2020
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007404475705171  VIAF: 65156130969658311428   WorldCat (עם VIAF): 65156130969658311428
משפט אוילר

ערך זה עוסק במשפט אוילר מתחום תורת המספרים. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
משפט אוילר הוא הכללה של המשפט הקטן של פרמה ממספרים ראשוניים למספרים טבעיים כלשהם. המשפט קרוי על שמו של לאונרד אוילר.
משפט אוילר פורסם לראשונה במאמרו של אוילר "Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes", שפורסם בשנת 1744. במאמר זה הציג אוילר את המושג פונקציונלי, שהוא פונקציה שלוקחת פונקציות אחרות כקלט, והוא השתמש במושג זה כדי לגזור את משוואת אוילר-לגראנג'. המשפט היווה תרומה משמעותית לפיתוח החשבון והייתה לו השפעה מתמשכת על תחום המתמטיקה. למשפט אוילר היו גם יישומים רבים בתחומים שונים, כולל פיזיקה, הנדסה וכלכלה, והוא ממשיך להיות בשימוש נרחב עד היום. אחד היישומים הנודעים של המשפט הוא בשיטת ההצפנה הנפוצה הקרויה RSA.
המשפט

משפט אוילר קובע שאם  \ n מספר טבעי, אז לכל  \ a זר ל- \ n מתקיים  \ a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}, כלומר, n מחלק את ההפרש  \ a^{\phi (n)}-1. לדוגמה עבור a=4 ו-n=15, מכיוון ש-  \ \phi (15)=8, המשפט מנבא ש-15 מחלק את  \ 4^{8}-1=65535.
בנוסחה זו,  \phi \left(n\right) (קרי: "פִי של n") היא פונקציית אוילר של  \ n, השווה למספרם של המספרים הזרים ל- \ n וקטנים ממנו.
משפט אוילר אינו נותן את התוצאה הטובה ביותר האפשרית. לדוגמה, כל מספר זר ל-240 מקיים  \ x^{4}\equiv 1{\pmod {240}}, בעוד ש- \ \phi (240)=64. את החזקה הקטנה ביותר שתבטיח התנהגות כזו מסמנים ב- \ \lambda (n), והיא שווה לאקספוננט של חבורת אוילר ה- \ n-ית. בעוד שפונקציית אוילר של  \ n=p_{1}^{s_{1}}\dots p_{k}^{s_{k}} מתקבלת מהכפלת כל המספרים  \ p_{i}^{s_{i}-1}(p_{i}-1), הפונקציה  \ \lambda  שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל המספרים האלה (לאחר שהגורם  \ 2^{s-1} מוחלף ב- \ 2^{s-2}, אם  \ 2\leq s).
הוכחת המשפט

המשפט נובע מיד מן העובדה שקבוצת המספרים הזרים ל- \ n מהווה חבורה (חבורת אוילר של  \ n) ביחס לכפל ולקיחת השארית בחלוקה ל- \ n. הגודל של חבורה זו הוא  \ \phi (n), ולכן כל איבר בחבורה מקיים  \ a^{\phi (n)}=1 (משפט לגראנז').
להלן הוכחה ישירה. על-פי הגדרת הפונקציה,  \ \phi \left(n\right) הוא מספר השאריות הזרות ל- \ n היכולות להתקבל מחילוק ב- \ n. נסמן קבוצה זו כך:  \ \{r_{1},r_{2}...r_{k}\} כעת נכפיל את כל איברי הקבוצה ב- \ a. נקבל את הקבוצה
 \ \{ar_{1},ar_{2}...ar_{k}\}. על פי החשבון המודולרי, בבסיס  \ n, קיבלנו אותה קבוצה. נראה זאת:
כל איבר בקבוצה החדשה הוא שארית בחילוק ל- \ n, מאחר שהוא תוצאה של חישוב מודולרי בבסיס  \ n.
כל איבר בקבוצה החדשה זר ל- \ n, מאחר שהוא מכפלת שני מספרים זרים ל- \ n.
אין בקבוצה החדשה שני איברים שווים. הוכחה: נניח בשלילה  \ ar_{x}=ar_{y}\ ({\mbox{mod}}\ n). מאחר ש- \ a זר ל- \ n, ניתן לחלק את שני צידי המשוואה ב- \ a. כלומר:  \ r_{x}=r_{y}\ ({\mbox{mod}}\ n) - מה שמוביל אותנו לסתירה.
ומאחר ששתי הקבוצות זהות - גם מכפלת איבריהם צריכה להיות שווה:  \ a^{k}(r_{1}r_{2}...r_{k})=r_{1}r_{2}...r_{k}\ ({\mbox{mod}}\ n), ומאחר שהמספר  \ r_{1}r_{2}...r_{k} הוא מכפלת מספרים זרים ל- \ n, וגם הוא זר ל- \ n, ניתן לחלק בו את שני צידי המשוואה. כלומר:  \ a^{k}=1\ ({\mbox{mod}}\ n) ו- \ k, על פי הגדרתו, הוא מספר השאריות הזרות ל- \ n בחילוק ל-
 \ n. כלומר - הוא שווה ל- \ \phi \left(n\right).
הרחבה

משפט אוילר הוא מקרה פרטי של המשפט הבא (ג'יימס אלונסו):
יהיו  \ m,n מספרים טבעיים.  n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}, כאשר  \ p_{1},\ldots ,p_{k} מספרים ראשוניים שונים ו- \ n_{i}>0 עבור  \ i=1,\ldots ,k. נסמן  \ s_{i}={\mbox{gcd}}(m,p_{i}^{n_{i}-1}(p_{i}-1)), כאשר  \ {\mbox{gcd}}(a,b) הוא המחלק המשותף המקסימלי של  \ a ושל  \ b, ו- s=\prod _{i=1}^{k}s_{i}. אזי מספר הפתרונות של המשוואה  x^{m}\equiv 1{\pmod {n}} מחושב באופן הבא:
אם ה- \ p_{i} כולם אי-זוגיים, אזי למשוואה  x^{m}\equiv 1{\pmod {n}} יש בדיוק  \ s פתרונות שונים (מודולו  \ n).
אם אחד ה- \ p_{i} זוגי, נניח  \ p_{1}, ו- \ n_{1}, החזקה שלו בפירוק של  \ n, שווה 1 או 2, מספר הפתרונות גם כן  \ s.
אם אחד ה- \ p_{i} זוגי, נניח \ p_{1} , ו- \ n_{1} , החזקה שלו בפירוק של \ n , היא לפחות 3, מספר הפתרונות של המשוואה x^{m}\equiv 1{\pmod {n}} (מודולו \ n ) מחושב באופן הבא:
אם  \ s_{1}=1 (כלומר  \ m אי זוגי) או ש- \ s_{1}=2^{n_{1}-1}, מספר הפתרונות הוא  \ s.
אם  \ 1<s_{1}<2^{n_{1}-1}, מספר הפתרונות הוא  \ 2s.
ניקול טרוסמן

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  3 ביוני 1998 (בת 26) קריית ים, ישראל 
 מידע כללי
 מדינה:  ישראל 
 ספורט
 ענף ספורט:  טניס שולחן
 
ניקול טרוסמן (נולדה ב-3 ביוני 1998) היא טניסאית שולחן, שזכתה 7 פעמים באליפות ישראל. היא מייצגת את ישראל בתחרויות בינלאומיות וזכתה במספר מדליות באליפויות אירופה.