תורת שדה ממוצע
דוגמאות > גביש נוזלי

גביש נוזלי הוא תיאור לאוסף של מצבי צבירה בין נוזל למוצק שמתרחשים בצבירים של מולקולות מוארכות. ניתן לתאר את מעבר הפאזה מנוזל איזוטרופי - בו כל המולקולות מצביעות בכיוונים אקראיים, לגביש נוזלי נמטי - בו המולקולות מצביעות לכיוון אחיד, באמצעות תורת לנדאו ובחירת פרמטר הסדר כשדה ממוצע. לשם הדוגמה נציג מודל של אלפרד זָאוּפֶּה ווילהלם מָאיֶר לתיאור מעבר הפאזה איזוטרופי-נמטי, בו מניחים אינטראקציות בין המולקולות שפרופורציונליות לחתך הפעולה של שתי המולקולות, ומזניחים את אפקט הדחיה הסטרית התלוי בטמפרטורה.
נתבונן על סידור מולקולה אחת במרחב שמרכז המסה שלה ממוקם ב- 






r
→



=




R
→




C
M




{\textstyle {\vec {r}}={\vec {R}}_{CM}}

. נשתמש בקואורדינטות 



(
θ
,
ϕ
)


{\textstyle (\theta ,\phi )}

 כאשר נבחר 






z
^



=



n
^





{\textstyle {\hat {z}}={\hat {n}}}

, הכיוון הממוצע בו יסתדרו המולקולות בפאזה הנמטית (באמצעותו נבנה את השדה הממוצע).
נסמן ב- 



f
(
θ
,
ϕ
;



r
→



)


{\textstyle f(\theta ,\phi ;{\vec {r}})}

 את התפלגות הזוויות 



(
θ
,
ϕ
)


{\textstyle (\theta ,\phi )}

 בנקודה 






r
→





{\textstyle {\vec {r}}}

 בצבר. אנו נניח את הסימטריות הבאות, שיהיו תקפות לשתי הפאזות:
סימטריה לטרנזלציה - ההתפלגות אינה תלויה במיקום  {\vec {r}}, ולכן 



f
(
θ
,
ϕ
;



r
→



)
=
f
(
θ
,
ϕ
)


{\textstyle f(\theta ,\phi ;{\vec {r}})=f(\theta ,\phi )}
סימטריה גלילית - כלומר 



f
(
θ
,
ϕ
)
=
f
(
θ
)


{\textstyle f(\theta ,\phi )=f(\theta )}
סימטריית ראש-זנב - המולקולות סימטריות, אין הבדל בין ראש לזנב, ולכן 



f
(
θ
)
=
f
(
π
−
θ
)


{\textstyle f(\theta )=f(\pi -\theta )}
נניח כמובן כי 



f


{\textstyle f}

 מנורמלת במשתנה האקראי 



θ


{\textstyle \theta }

.
כעת ננסה לבנות פרמטר סדר 



S


{\textstyle S}

, שיתאר את הנטייה של המולקולות להצביע לכיוון יחיד. נרצה שפרמטר הסדר יקבל ערך 



S
=
0


{\textstyle S=0}

 בפאזה האיזוטרופית, ו- 



S
=
1


{\textstyle S=1}

 בפאזה הנמאטית.
בחירה טבעית לפרמטר סדר כזה היא פונקציית הקומולנט השני:
S={\frac {1}{2}}<3\cos ^{2}(\theta )-1>={\frac {1}{2}}\int f(\theta )[3\cos ^{2}(\theta )-1]d\theta
במצב האיזוטרופי 



f
=


1

4
π





{\textstyle f={\frac {1}{4\pi }}}

 (התפלגות אחידה), ואכן ניתן לוודא ש-  S=0. במצב זה האנטרופיה תהיה:
S_{iso}=-K_{B}T\int f(\theta )lnf(\theta )d\theta =K_{b}Tln(4\pi )
במצב הנמטי יהיו ל-  f שני "פיקים" סביב 



θ
=
0
,
π


{\textstyle \theta =0,\pi }

 (כי הנחנו מלכתחילה 






z
^



=



n
^





{\textstyle {\hat {z}}={\hat {n}}}

), ונוכל להעריך את האינטגרל בקירוב טוב בנקודות אלו. אכן מתקבל 



S
=
1


{\textstyle S=1}

. במצב זה האנטרופיה תהיה:
S_{nem}=-K_{B}T\int f(\theta )lnf(\theta )d\theta
כלומר הפרש האנטרופיות:
\delta S=S_{nem}-S_{iso}=-K_{B}T\int f(\theta )ln(4\pi f(\theta ))d\theta
הפוטנציאל שעלינו לעשות לו מינימיזציה הוא האנתלפיה:
G(p,T)=G_{iso}(p,T)+k_{B}T\int f(\theta )log(4\pi f(\theta ))d\Omega -{\frac {1}{2}}U(p)S^{2}
האיבר הראשון הוא איבר איזוטרופי שלא תלוי ב-  S ולכן יעלם במינימיזציה ולא ישפיע. האיבר השני הוא הפרש האנטרופיות שחישבנו. האיבר השלישי הוא האנרגיה שעולה סטיה מן הממוצע, שנוצר כתוצאה מאינטראקציות בין-מולקולריות. אנרגיה זו נתונה בפיתוח עד לסדר שני בפרמטר הסדר (הסדר הראשון מתאפס מטעמי סימטריה). הנחה נוספת שנעשה כאן היא כי המקדם 



U


{\textstyle U}

 של האינטראקציה אינו תלוי בטמפרטורה. כפי שצוין קודם, למעשה ישנה דחייה סטרית בין המולקולות שניתן לפרשה כהימנעות מחדירת מולקולה אחת לנפח האחרת שאכן תלויה בטמפרטורה, אך זו מוזנחת בפיתוח זה. ניתן להתחשב גם בה במסגרת תורת שדה ממוצע, כפי שנעשה במודל אונסאנגר, ולקבל מעבר פאזה איזוטרופי-נמטי בעל מאפיינים קצת שונים.

לאחר מינימיזציה של האנתלפיה נקבל את ההתפלגות:
f(\theta )={\frac {1}{4\pi Z}}e^{{\frac {3US}{2k_{B}T}}cos^{2}(\theta )}
כאשר  Z=\int _{0}^{1}e^{{\frac {3US}{2k_{B}T}}x^{2}}dx הוא פרמטר נרמול של ההתפלגות.
כעת נוכל לדרוש עקביות-עצמית ולהציב את ההתפלגות בהגדרת פרמטר הסדר, וכך למצוא את מעבר הפאזה.