stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
יריעה אלגברית
מחלקות של יריעות והעתקות > תכונות טופולוגיות

טופולוגית זריצקי על יריעה אלגברית איננה משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה. למשל, היא כמעט לעולם אינה האוסדורפית ותמיד (קוואזי-) קומפקטית. לכן רוב המושגים מטופולוגיה (ובפרט מטופולוגיה אלגברית) לא יהיו רלוונטיים עבור יריעות אלגבריות, ובדרך כלל יהיה צורך להגדיר אנלוגים שלהם באמצעות שאר המבנה על יריעה אלגברית. עם זאת יש מספר מושגים בסיסיים שניתן להגדיר על ידי הטופולוגיה בלבד.
יריעה אלגברית נקראת אי-פריקה (irreducible) אם היא אי-פריקה כמרחב טופולוגי, זאת-אומרת שלא ניתן להציגה כאיחוד של שתי קבוצות סגורות שאינן היריעה כולה.
יריעה אלגברית נקראת קשירה אם היא קשירה כמרחב טופולוגי (ביחס לטופולוגיית זריצקי). בפרט כל ירעה קשירה היא בלתי פריקה.
הממד של יריעה הוא ממד קרול שלה כמרחב טופולוגי, זאת-אומרת האורך המקסימלי של שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות אי-פריקות שאינן היריעה כולה.
מחלקות של יריעות והעתקות > תכונות גלובליות

שתי מחלקות בסיסיות של יריעות אלגברית הן יריעות פרידות ויריעות שלמות.
יריעה  X נקראת פרידה אם האלכסון  \Delta X=\{(x,x)|x\in X\} הוא קבוצה סגורה (זריצקי) ב  X\times X. מושג זה אנלוגי להאוסדורפיות. כל יריעה אפינית היא פרידה.
יריעה  X נקראת שלמה אם לכל יריעה  Y ההטלה  p:X\times Y\to Y היא העתקה סגורה (זאת-אומרת שהיא מעבירה קבוצה סגורה לקבוצה סגורה). מושג זה אנלוגי לקומפקטיות. יריעה קואזי-פרויקטיבית היא פרידה אם"ם היא פרויקטיבית.
הערה: אם נחזור על הגדרות אלה עבור מרחבים טופולוגיים, נקבל הגדרות שקולות להאוסדורפיות וקומפקטיות. אולם מושגים אלה אינם שקולים להאוסדורפיות וקומפקטיות (לפי טופולגית זריצקי) מכיוון שטופולגיית המכפלה על  X\times Y שונה מהטופולגיה על  X\times Y.
בנוסף יש עוד תכונות גלובליות רבות הנחקרות בגאמטריה אלגברית, למשל תכונות המבוססות על מושג השקילות הבירציונלית (כמו רציונליות) ותכונות המבוססות על אלומות קוהרנטיות (כמו Fano ו Calabi-Yau)
מחלקות של יריעות והעתקות > תכונות מקומיות

התכונה המקומית הבסיסית של יריעות אלגבריות היא חלקות. יריעה אלגברית  X נקראת חלקה בנקודה  x\in X אם ממד המרחב המשיק  T_{x}X ל- X בנקודה  x שווה לממד היריעה  X בנקודה  x. יריעות אלגבריות חלקות דומות מאוד למרחב אפיני באופן מקומי, אף על פי שאין איזומורפיזם בין סביבת זריצקי של נקודה חלקה לקבוצה פתוחה במרחב אפיני. לכן כאשר חוקרים את המבנה המקומי של יריעה אלגברית מתעניינים בדרך כלל ביריעות סינגולריות (זאת-אומרת לא חלקות) ומחקר זה נקרא תורת הסינגולריות. בין התכונות השונות של סינגולריות אפשר למנות: נורמליות, כהן-מקולי, גורנשטין, חיתוך מלא, מחלק עם חיתוך נורמלי, סינגולריות רציונלית, סינגולריות (לוג) קנונית, סינגולריות (לוג) טרמינאלית, סינגולריות סימפלקטית ועוד.
מחלקות של יריעות והעתקות > העתקות ומשפחות של יריעות

אחת הדרכים לחשוב על העתקה בין יריעות אלגבריות  \phi :X\to Y היא בתור משפחה של יריעות אלגבריות, כאשר הפרמטר של המשפחה היא נקודה שנעה ב- X, ולכל נקודה  x\in X אנו מתאימים את היריעה  \phi ^{-1}(x). לפי הגישה היחסית של גרותנדיק אפשר לנסות להכליל כל מושג שהוגדר עבור יריעות אלגבריות, גם עבור משפחה של יריעות אלגבריות או במילים אחרות - העתקות.
בצורה זאת ניתן להגדיר את המושגים הבאים:
העתקה אפינית
העתקה פרויקטיבית
העתקה פרידה
העתקה נאותה (הגרסה היחסית של יריעה שלמה)
העתקה חלקה (גרסה יחסית של יריעה חלקה; המושג בגאומטריה אלגברית המקביל לסובמרסיה מטופולוגיה דיפרנציאלית)
תכונות אלו הן בעצם תכונות של משפחות של יריעות יותר משהן תכונות של העתקות. תכונות כאלה תמיד מקומיות (על פי הטווח). יש גם תכונות מקומיות שאין להן גרסה מובהקת עבור יריעה, למשל, העתקה סופית, העתקה קוואזי-סופית, העתקת אטל, העתקה שטוחה ושקילות בירציונלית (על שלוש הדוגמאות הראשונות אפשר לחשוב כעל גרסאות יחסיות שונות של יריעות סופיות).
מערכות מונחים שונות

מבחינה היסטורית נלמדו תחילה יריעות אפיניות אז יריעות פרויקטיביות אחריהן יריעות קוואזי-פרויקטיביות ולבסוף יריעות כללית, שהוגדרו זמן קצר לפני סכמות שהן הכללה מרחיקת לכת של יריעות. לפני שנוסחה ההגדרה המודרנית של יריעה, המילה יריעה התייחסה רק ליריעות קוואזי-פרויקטיביות, עד היום ישנם ספרים שמשתמשים בשם יריעות רק עבור יריעות קוואזי-פרויקטיביות ודנים בשאר היריעות במסגרת דיון כללי יותר על סכמות. רוב המקורות משתמשים במילה יריעות במובן רחב יתר אך לפעמים מוסיפים מגבלות מסוימות. במקרים רבים דורשים מיריעה להיות פרידה ולעיתים גם בלתי פריקה.
מאידך לעיתים המושג יריעות אלגבריות כולל גם יריעות מעל שדות לא סגורים אלגברית. במקרה כזה ההגדרה למעלה לא תקפה כיוון שיש מערכות משוואות פולינומיות ללא פתרונות מעל שדה לא סגור אלגברית  k שהיריעה שהם מגדירים אינה ריקה. לדוגמה המשוואה  x^{2}+1=0 מגדירה יריעה לא ריקה מעל  \mathbb {R}  אולם אין לה פתרונות מעל  \mathbb {R} . יש מספר הגדרות אלטרנטיביות שתקפות לשדות לא סגורים אלגברית (ראה להלן) אך בדרך כלל מטפלים במקרה זה במסגרת כללית יתר של סכמות.
מערכות מונחים שונות > מונחים בשפות שונות

באנגלית יריעה אלגברית נקראת "algebraic variety". בעברית וגם ברוסית, המילה "יריעה" משמשת גם לתיאור יריעה טופולוגית ובפרט יריעה חלקה, שבאנגלית נקראת "manifold". במקרים רבים יריעה אלגברית היא גם יריעה חלקה, אך מדובר בשתי קטגוריות שונות זו מזו.
נקודות של יריעה

לפי ההגדרה שמופיעה למעלה יריעה אלגברית היא קבוצה עם מספר מבנים נוספים (טופולוגיה ואלומת פונקציות). לקבוצה זאת קוראים לעיתים קבוצת ה- k-נקודות של היריעה, כאשר  k הוא השדה מעליו מוגדרת היריעה. מסמנים קבוצה זאת  X(k).
הצורך להפריד בין יריעה  X לקבוצה  X(k) מגיע מהמקרה של יריעות המוגדרות מעל שדות לא סגורים אלגברית (או באופן כללי יתר סכמות), במקרה זה ההגדרה של יריעה אלגברית שונה, והקשר בין היריעה לקבוצת הנקודות שלה חלש יותר. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה  x^{2}+1=0 לא ריקה אך קבוצת ה- \mathbb {R} -נקודות שלה ריקה.
בנוסף, הפרדה זאת מאפשרת להגדיר מבנים נוספים על הקבוצה  X(k) שאינם מתואמים עם המבנים על היריעה  X (הטופולוגיה ואלומת הפונקציות). למשל, אם השדה  k הוא שדה טופולוגי אז ניתן להגדיר טופולוגיה מתאימה על קבוצת ה- k-נקודות של היריעה. טופולוגיה זאת תהיה בדרך כלל חזקה יותר מהטופולגיה של זריצקי. במקרה שהיריעה היא אפינית טופולוגיה זאת מוגדרת להיות הטופולוגיה המושרית מ- k^{n} (קל לראות שהטופולוגיה לא תלויה בצורה שאנו מציגים את היריעה בתור קבוצה סגורה זריצקי ב- k^{n}). ליריעה כללית  X קבוצה  V\subset X(k) נקראת פתוחה אם לכל קבוצה פתוחה אפינית  U\subset X הקבוצה  U(k)\cap V פתוחה ב  U(k).
ניתן גם להגדיר באופן דומה את הקבוצה  X(R) של  R נקודות כאשר  R הוא  k-אלגברה (קמוטטיבית עם יחידה) כלשהי.
קשר עם יריעות אנליטיות וחלקות

אם  X היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים המרוכבים  \mathbb {C}  אז ניתן להגדיר על קבוצת הנקודות שלה,  X(\mathbb {C} ), מבנה של יריעה חלקה באופן הבא: במקרה ש- X\subset \mathbb {A} ^{n} היא יריעה אפינית חלקה אז קל לראות ש  X(\mathbb {C} )\subset \mathbb {C} ^{n} היא תת-יריעה חלקה של  \mathbb {C} ^{n}. במקרה הכללי בוחרים כיסוי פתוח של  X על ידי יריעות אפיניות, והוא מגדיר אטלס חלק.
באופן דומה, אם  X היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל  \mathbb {C}  אז ניתן להגדיר על  X(\mathbb {C} ), מבנה של יריעה אנליטית.
בניות דומות קימות גם לשדות לא סגורים אלגברית. בפרט אם  X היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים הממשיים  \mathbb {R}  אז ניתן להגדיר על  X(\mathbb {R} ) מבנה של יריעה חלקה. כמו כן אם  X היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל שדה מקומי  F אז ניתן להגדיר על  X(F) מבנה של יריעה אנליטית מעל  F.
אגדים

בדומה למרחבים טופולוגיים ויריעות דיפרנציאבילות, המושג אגד קיים גם על יריעות אלגבריות. ניתן להגדיר אגד על יריעה אלגברית  X בתור יריעה אלגברית  E, יחד עם מורפיזם  p:X\to E ומבנה של מרחב וקטורי על הסיב  p^{-1}(x) של כל נקודה  x\in X כך שמקומית (בטופולוגיית זריצקי) מבנה זה איזומורפי ל  X\times V\to X כאשר  V הוא מרחב ליניארי.
לאגדים בגאומטריה אלגברית יש אותם תפקידים כמו לאגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית. בפרט, עבור יריעה אלגברית חלקה ניתן להגדיר את האגד המשיק ואגדים קשורים אליו (אגד קו-משיק, אגד התבניות הדיפרנציאליות, ועוד). ישנם מספר אגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית שאין אגד על יריעות אלגבריות המהווה מושג מקביל להם, למשל אגד האוריינטציות ואגד הצפיפויות. זאת משום שהגדרה של אגדים אלה מתבססת על יחס הסדר ב- \mathbb {R} . בנוסף, בגאומטריה אלגברית יש חשיבות מיוחדת לאגדים חד־ממדיים. אלה נקראים אגדים קווים, ונחקרים בעיקר במונחים של אלומות קוהרנטיות (ראו להלן).
אלומות על יריעות

אחד הכלים המרכזיים לחקר יריעות אלגבריות הוא חקר של סוגים שונים של אלומות עליהן. בין היתר, אלומות משמשות למטרות הבאות:
חקר תכונות של פונקציות רציונליות (זאת אומרת פונקציה שהיא מנה של שתי פונקציות רגולריות) על יריעות. למשל במשפט רימן רוך.
חקר משפחות של מרחבים ליניאריים הקשורים ליריעה, כמו המרחב המשיק.
בנייה של יריעות חדשות, כמו האגד המשיק.
חקר תכונות מקומיות או גלובליות של היריעה. למשל סינגולריות.
חקר יחסים בין יריעות ותכונות של העתקות, למשל שטיחות.
חקר אינווריאנטים אלגבריים של יריעות הדומים לאינווריאנטים הנחקרים בטופולוגיה אלגברית. למשל הומולוגיות  \ell -אדיות, הדומות להומולוגיה סינגולרית.
בניית מרחבים ליניאריים בעלי מבנה מעניין. כמו במשפט בורל-וייל-בוט או באינדוקצית דלין-לוסטיג.
ספירת נקודות על יריעה מעל שדה סופי. במילים אחרות ספירת הפתרונות של מערכת משוואות פולינומיות כאשר המשתנים רצים בשדה סופי. דוגמה מרכזית לשימוש זה הוא בהוכחת השערות וייל
בנייה וחקר פונקציות על יריעות. למשל אלומות הקרקטרים של לוסטיג מאפשרות לחקור קרקטרים של הצגות בלתי פריקות של חבורות סופיות.
אלומות על יריעות > אלומות קוהרנטיות וקוואזי-קוהרנטיות

הסוגים הבסיסיים של אלומות על יריעות אלגבריות הם אלומות קוהרנטיות וקוואזי-קוהרנטיות. על יריעה אפינית  X ניתן להגדיר אלומות קוואזי-קוהרנטיות באופן הבא: בהינתן מודול  M מעל  O(X) נגדיר אלומה  {\mathcal {F}}_{M} על ידי  {\mathcal {F}}(U):=M\otimes _{O(X)}O(U). אלומות שמתקבלות באופן זה נקראות קוואזי-קוהרנטיות.
אם  M נוצר סופית אז האלומה תקרא קוהרנטית. קטגוריית האלומות הקוואזי-קוהרנטיות על יריעה אפינית שקולה לקטגוריית המודולים מעל חוג הפוניקציות הגלובליות על היריעה. באופן דומה קטגוריית האלומות הקוהרנטיות על יריעה אפינית שקולה לקטגוריית המודולים נוצרים סופית מעל חוג הפונקציות הגלובליות על היריעה.
ממשפט סר נובע שתכונת ה (קוואזי-)קוהרנטיות היא מקומית. זאת אומרת שאם  X=\bigcup U_{i} הוא כיסוי פתוח אפיני של יריעה אפינית אז אלומה  {\mathcal {F}} על  X היא (קוואזי-)קוהרנטית אם  {\mathcal {F}}_{U_{i}} היא (קוואזי-)קוהרנטית. עבור יריעה לא אפינית, אלומה (קוואזי-)קוהרנטית מוגדרת להיות אלומה שהיא (קוואזי-)קוהרנטית באופן מקומי.
במקור השתמשו באלומות קוהרנטיות כדי לחקור אפסים וקטבים של פונקציות רציונליות.

מחקר זה הוביל למשפט רימן-רוך, מחקר ההומולוגיה של אלומות קוהרנטיות ודואליות סר.
אלומות על יריעות > אלומות קוהרנטיות וקוואזי-קוהרנטיות > קשר לאגדים

אלומות קוהרנטיות משמשות גם למחקר של משפחות מרחבים ליניאריים בעלות פרמטר שנע ביריעה אלגברית. בהינתן אלומה קוהרנטית  {\mathcal {F}} על יריעה אלגברית  X ניתן להגדיר את הסיב  {\mathcal {F}}|_{x} של  {\mathcal {F}} בנקודה  x\in X על ידי
כאשר  U\subset X היא סביבה פתוחה אפינית של  x, ו  {\mathfrak {m}}_{x}\subset O_{X}(U) הוא האידיאל המקסימלי שמתאים לנקודה  x\in U.
אם האלומה  {\mathcal {F}} היא חופשית מקומית, זאת אומרת שקיים כיסוי אפיני פתוח  X=\bigcup U_{i} כך ש  {\mathcal {F}}(U_{i}) הוא מודול חופשי מעל  O_{X}(U_{i}), אז על מערכת המרחבים  \{{\mathcal {F}}|_{x}|x\in X\} יש מבנה טבעי של אגד. זאת אומרת שקיים אגד  E_{\mathcal {F}} כך שהסיבים שלו איוזומורפיים קנונית לסיבי האלומה  {\mathcal {F}}. יתר על כן ההתאמה  {\mathcal {F}}\mapsto E_{\mathcal {F}} מגדירה שקילות קטגורית בין קטגוריית האלומות החופשיות על  X מקומית וקטגוריית האגדים על  X.
לאור האמור למעלה, לעיתים מגדירים אגד וקטורי על יריעה אלגברית בתור אלומה קוהרנטית חופשית מקומית. כמו כן ניתן לחשוב על אלומות קוהרנטיות בתור הכללת המושג אגד. הכללה זאת מאפשרת להגדיר גרסאות של האגדים הסטנדרטיים מטופולוגיה דיפרנציאלית גם עבור יריעות לא חלקות. לדוגמה, אף על פי שעל יריעה אלגברית לא חלקה לא ניתן להגדיר את האגד הקו-משיק (זאת אומרת אגד שסיביו הם המרחבים הקו משיקים), ניתן להגדיר את האלומה הקו-משיקה (אלומה שסיביה הם המרחבים הקו משיקים).
אלומות על יריעות > אלומות קוהרנטיות וקוואזי-קוהרנטיות > קטגורית האלומות הקוהרנטיות

קטגורית האלומות ה (קוואזי-)קוהרנטיות היא קטגוריה אבלית. שתי הקטגוריות כמו גם הקטגוריות הנגזרות שלהן הן אינווריאנטים חשובים של יריעה אלגברית. חקר היחסים בין קטגורית אלה עבור יריעות שונות מתואר בספר Residues and duality. חקר זה מכיל בין היתר את דואליות גרותנדיק שהיא הכללה של דואליות סר.
אלומות על יריעות > סוגי אלומות נוספים > אלומות קונסטרקטביליות

טופולוגית זריצקי היא טופולוגיה חלשה מאוד. היא אומנם מספיקה למחקר בסיסי של יריעות אלגבריות אך איננה משקפת את המבנה של היריעה מנקודת מבט של טופולוגיה אלגברית. לכן קשה לחקור את הגאומטריה של היריעה על ידי אלומות בטופולוגית זריצקי. אם יריעה  X מוגדרת מעל שדה המרוכבים אז על  X(\mathbb {C} ) יש טופולוגיה המושרית מהטופולוגיה של  \mathbb {C} . קטגוריית האלומות בטופולגיה זאת משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה טוב יותר. חשיבות מיוחדת ניתנת לאלומות קבועות מקומית בטופולוגיה זאת. קטגוריית האלומות הקבועות מקומית אינה נשמרת תחת פעולות בסיסיות עם אלומות (כגון דחיפה ומשיכה). אלומות קונסטרקטביליות (ניתנות לבנייה) מוגדרות בתור כל האלומות שמתקבלות מדחיפה ומשיכה של אלומות קבועות מקומית, תחת העתקות אלגבריות.
אלומות על יריעות > סוגי אלומות נוספים > אלומות אטל

הטופולוגיה הנ"ל על  X(\mathbb {C} ) איננה מוגדרת במונחים של גאומטריה אלגברית, ובפרט אינה ניתנת להכללה לשדות סגורים אלגברית כלליים. בשנות החמישים והשישים גרותנדיק פיתח מספר אנלוגים לטופולוגיה זאת המוגדרים במונחים של גאומטריה אלגברית ותקפים מעל שדה כלשהו. האנלוג הנפוץ ביותר הוא טופולוגיית אטל. טופולוגיית אטל איננה טופולוגיה במובן הרגיל של המילה, אלא במובן כללי יותר שנקרא טופולוגיית גרותנדיק. המושג טופולוגיית גרותנדיק תוכנן כך שיהיה אפשר להגדיר את המושג אלומה על מרחב המצויד בטופולוגיית גרותנדיק. אלומות על יריעה אלגברית ביחס לטופולוגיית אטל נקראות אלומות אטל. טופולגיית אטל לא מהווה תחליף מושלם לטופולוגיה על  X(\mathbb {C} ). בעוד שאלומות של קבוצות (וחבורות) סופיות בטופולוגיית אטל דומות מאוד לאלומות עלֹ  X(\mathbb {C} ) (למשל קטגורית האלומות הקבועות מקומית של קבוצות סופיות בטופולוגעיית אטל על  X, שקולה קטגורית האלומות הקבועות מקומית בעלות גבעולים סופיים על  X(\mathbb {C} )) אלומות של קבוצות (וחבורות) אין-סופיות בטופולוגיית אטל לא דומות כלל לאלומות עלֹ  X(\mathbb {C} ) ועניות הרבה יותר.
באנלוגיה עם המקרה המרוכב, ניתן להגדיר עבור כל שדה  F וכל יריעה  X המוגדרת מעל  F את המושג אלומות אטל קונסטרוקטביליות מעל  X. בפרט, עבור חוג סופי  A נתן להגדיר את המושג אלומות אטל קונסטרוקטביליות של  A-מודולים מעל  X. מקרה פרטי חשוב הוא כאשר החוג הסופי הוא  \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z}  עבור מספר ראשוני  l הזר למציין השדה  F. בדרך כלל הביטוי אלומות אטל מתייחס למקרה זה.
אלומות על יריעות > סוגי אלומות נוספים > אלומת  l-אדיות

כאמור, אם  A אינו חוג סופי, אז אלומות אטל של  A-מודולים אינן משקפות את הגאומטריה של  X. לכן לא ניתן להגדיר אלומות אטל של  \mathbb {C} -מודולים. תחת זאת משתמשים בבנייה הבאה:
משאיפים את  n לאינסוף ומקבלים קטגוריה שנקראת "קטגוריית האלומות הקונסטרוקטביליות של  \mathbb {Z} _{l}-מודולים" או בקצרה "קטגוריית האלמות ה- l-אדיות". למרות שמה, האובייקטים בקטגוריה זאת אינם אלומות כלל. בפרט הן אינן אלומות של  \mathbb {Z} _{l}-מודולים בטופולוגיית אטל. מקטגוריה זאת ניתן לבנות קטגוריוה הנקראת "קטגוריית האלומות הקונסטרוקטביליות של  \mathbb {Q} _{l}-מודולים". באופן דומה עבור כל הרכבה  F של  \mathbb {Q} _{l} ניתן להגדיר אלמות הקונסטרוקטביליות של  O_{F}-מודולים ו- F-מודולים. על ידי מעבר לגבול, מקבלים את הקטגוריות של האלומות הקונסטרוקטביליות של  {\bar {\mathbb {Q} }}_{l}-מודולים ו- O_{{\bar {\mathbb {Q} }}_{l}}-מודולים. כל סוגי האלומות האלה נקראות לעיתים "אלמות  l-אדיות".
מכיוון ש- {\bar {\mathbb {Q} }}_{l} איזומורפי ל- \mathbb {C}  אפשר להגדיר כך (באופן לא קנוני) אלומות מרוכבות ליריעה אלגברית מעל שדה כלשהו. מכאן אפשר להגדיר הומולוגיות עם מקדמים ב- \mathbb {C}  ומספרי בטי ליריעה אלגברית מעל שדה כלשהו. בנייה זאת מראה בפרט שאם  X היא יריעה אלגברית מרוכבת ו- X' היא יריעה המתקבלת מ- X על ידי הפעלת אוטומורפיזם על שדה המרוכבים אז מספרי בטי של  X(\mathbb {C} ) ו X'(\mathbb {C} ) שווים. טענה זאת עלולה להפתיע מכיוון שהחבורות היסודית של  X(\mathbb {C} ) ו- X'(\mathbb {C} ) שונות במקרים מסוימים.

כאשר  k הוא שדה סופי, פייר דלין הגדיר גרסה מעט שונה לאלומה  l-אדית הנקראת אלומת וייל.
אלומות  l-אדיות ואלומות וייל משחקות תפקיד מרכזי בהוכחה של השערות וייל.
אלומות על יריעות > סוגי אלומות נוספים > D-מודולים

משתמשים באלומת גם כדי לחקור מערכות משוואות דיפרנציאליות על יריעות אלגבריות.
כמו שבשביל לחקור משוואות פולינומיות בתורת גלואה משתמשים בסדרות, וכדי לחקור מערכות משוואות פולינומיות משתמשים באלגבראות, כך גם כדי לחקור מערכות משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות משתמשים במודולים מעלֹ חוג האופרטורים הדיפרנציאליים ב- n משתנים. אם רוצים לחקור משוואות דיפרנציאליות חלקיות על יריעה אלגברית אפינית חלקה אז יש להחליף את חוג האופרטורים הדיפרנציאליים ב- n משתנים בחוג האופרטורים הדיפרנציאליים על היריעה. אם היריעה אינה אפינית אז ייתכן שחוג האופרטורים הדיפרנציאליים יהיה קטן מדי (כמו שחוג הפונקציות הרגולרית על יריעה לא אפינית קטן מדי). לכן יש לחקור אלומות מודולים מעל אלומת החוגים של האופרטורים הדיפרנציאליים. גם לאלומות אלו אפשר להגדיר את תכונת הקוהרנטיות והקוואזי-קוהרנטיות. אלומות קוהרנטיות (ולעיתים גם קוואזי-קוהרנטיות) של מודולים מעל אלומת החוגים של האופרטורים הדיפרנציאליים נקראות D-מודולים. ניתן גם להגדיר את קטגוריית ה- D-מודולים ליריעות לא חלקות, אם כי בצורה שונה.
כאמור אפשר לחשוב על  D-מודול  M על יריעה  X כעל מערכת משוואות דיפרנציאליות. אם  k=\mathbb {C}  אז אפשר להגדיר מתי פונקציה אנליטית על  X(\mathbb {C} ) היא פתרון של  M. אוסף הפתרונות של  M מהווה אלומה קונסטרוקטבילית עלֹ  X(\mathbb {C} ). בנייה זאת מגדירה פונקטור מקטגורית ה- D-מודולים על  X לקטגורית האלומות על  X(\mathbb {C} ). פונקטור זה משרה שקילות מתת קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של  D-מודולים לקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות. שקילות זאת שנקראת שקילות רימן-הילברט הוכחה על ידי מאסאקי קשיברו בהתבסס על עבודתו של פייר דלין.
אלומות על יריעות > סוגי אלומות נוספים > אלומות סוטות

בהתבסס על עבודה של מרק גורצקי ורוברט מקפרסון תיארו יוסף ברנשטיין, אלכסנדר בילינסון ופייר דלין את התת-קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות המתאימה ל- D-מודולים תחת שקילות רימן-הילברט. קטגוריה זאת של אלומות נקראת קטגורית האלומות הסוטות. האובייקטים בקטגוריה זאת אינן אלומות אלא קומפלקסים מסוימים של אלומות. ברנשטין, בילינסון ודלין הגדירו גם אנלוגים של קטגוריה זאת עבור אלומות  l-אדיות ואלומות וייל. לא ניתן לתאר אנלוגים אלו בעזרת  D-מודולים מכיוון ששקילות רימן הילברט לא תקפה כאשר  k\neq \mathbb {C} .
לעיתים קרובות, אלומות סוטות מתנהגות טוב יותר תחת ששת הפנקטורים של גרותנדיק (הפעולות הסטנדרטיות עם אלומות: דחיפה, משיכה וכדומה) מאשר אלומות קונסטרוקטביליות (למשל במשפט הפירוק
(Decomposition theorem)). כמו כן לקטגורית האלומות הסוטת יש תכונות טובות יותר בתור קטגוריה אבלית מאשר לקטגורית האלומות קונסטרוקטביליות. למשל כל אלומה סוטה היא מאורך סופי. יתרון מובהק נוסף של האלומות הסוטות היא בנייה הנקראת הרחבה סוטה. בנייה זאת מבוססת על העובדה שלכל אלומה סוטה בלתי-פריקה על תת-יריעה  Y\subset X קיימת ויחידה אלומה סוטה בלתי-פריקה המרחיבה אותה על  {\bar {Y}}. בנייה זאת משמשת לבניית אלומות סוטות מעיניניות רבות, למשל אלומות קרקטרים של לוסטיג.
הגדרות אלטרנטיביות

בספרות קיימות מספר דרכים נוספות להגדיר יריעה אלגברית.
הגדרות אלטרנטיביות > אטלסים ומפות

ניתן להגדיר יריעה אלגברית בצורה דומה לזו המקובלת בטופולוגיה דיפרנציאלית עבור יריעות חלקות. גם בצורה זאת יריעה תהיה מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף, רק שמבנה זה יהיה אטלס במקום אלומת פונקציות.
כל מפה באטלס תתאים לקבוצה פתוחה אפינית.
דרך זאת מעלה מספר קשיים מכיוון שחיתוך של שתי קבוצות אפיניות איננה בהכרח אפיניות, פונקציות המעבר הן בין קבוצות לא אפיניות. לכן יש צורך להגדיר מורפיזמים של קבוצות קוואזי-אפיניות לפני שמגדירים יריעה כללית. מסיבה זאת ומסיבות היסטוריות דרך הגדרה זאת איננה פופולרית.
הגדרות אלטרנטיביות > כמקרה פרטי של סכמות

מנקודת מבט מודרנית ניתן לראות ביריעות אלגבריות מקרה פרטי של סכמות. נקודת מבט זאת מולידה הגדרה אלטרנטיבית של יריעות אלגבריות: יריעה אלגברית היא סכמה המקיימת תכונות מסוימות (מצומצמת ומטיפוס סופי מעל  k). מצב זה עלול ליצור בלבול, מכיוון שההגדרה המקובלת של סכמה גם כן מבוססת על מושג המרחב הטופולוגי: סכמה היא מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף. אולם המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה  X שונה מהמרחב הטופולוגי המתאים ל- X כאשר חושבים עליה כעל סכמה. לדוגמה אם  X איננה מממד  0 אז המרחב הטופולוגי המתאים אליה כסכמה אינו מקיים את אקסיומת ההפרדה  T_{1}.
בלבול זה גורם בתורו לבלבול בהגדרת מושג הספקטרום. עבור כל k-אלגברה קומוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים  A קיימת ויחידה (עד כדי איזומורפיזם קנוני) יריעה אלגברית אפינית כך ש:  A\cong k[X]. יריעה זאת נקראת  spec(A). כאמור המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה זאת תלוי בשאלה האם אנו חושבים עליה כעל יריעה או סכמה. לכן כדי למנוע בלבול זה, אם רוצים לחשוב עליה כעל יריעה מסמנים את המרחב הטופולוגי המתאים ב  specm(A) ואם רוצים לחשוב עליה כעל סכמה מסמנים  specp(A). האות  m באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של  specm(A) לאידיאלים מקסימליים ב- A והאות  p באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של  specp(A) לאידיאלים ראשוניים ב- A. בדרך כלל הסימון  spec מסמן את  specp.
הגדרות אלטרנטיביות > כפונקטורים מיוצגים

עבור יריעה אלגברית  X מעל  k, ו- k-אלגברה קמוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים  A, ניתן להגדיר את קבוצת הנקודות של  X מעל  A על ידי  X(A):=Mor(spec(A),X), כאשר  Mor מסמן את קבוצת המורפיזמים בין שתי יריעות. כאשר  X יריעה אפינית אז  X(A) היא קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות המגדירה את  X כאשר המשתנים רצים ב- A^{n} במקום ב- k^{n}.
הפונקטור  A\mapsto X(A) נקרא פונקטור הנקודות של  X. ניתן לשחזר את היריעה  X מפונקטור הנקודות שלה. טענה זאת היא מעין גרסה חזקה של הלמה של יונדה (Nobuo Yoneda). לכן נתן להגדיר יריעה אלגברית בתור פונקטור מקטגורית ה- k-אלגבראות קמוטטיביות עם יחידה הנוצרות סופית וללא נילפוטנטים לקבוצות המקיימים תנאים מסוימים.
גישה זאת אבסטרקטית למדי ולכן אינה פופולרית עבור יריעות אלגבריות, אך היא משמשת לעיתים כדי להגדיר סכמות, והיא הגישה המקובלת כדי להגדיר הכללות של מושג הסכמה כמו מרחב אלגברי וסטקים אלגבריים.
הכללות > עבור שדות לא סגורים אלגברית

ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל שדה  k גם כאשר  k אינו סגור אלגברית.
הכללות > עבור שדות לא סגורים אלגברית > עבור שדות מושלמים

באופן כללי, כאשר  k שדה מושלם אחת הדרכים לחשוב על אובייקטים מעל  k היא בתור אובייקטים מעלֹ הסגור האלגברי  {\bar {k}} ביחד עם פעולה של חבורת גלואה  Gal({\bar {k}}/k) שאינה שומרת בדיוק על המבנה של האובייקט מעל  {\bar {k}} אך משנה אותו בצורה המושרת מהפעולה של  Gal({\bar {k}}/k) על  {\bar {k}}.
באופן מפורש כאשר  k שדה מושלם ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל  k בתור יריעה  X מעל  {\bar {k}} יחד עם פעולה  \rho  של  Gal({\bar {k}}/k) על  X({\bar {k}}) כך שעבור כל  \gamma \in Gal({\bar {k}}/k) ההעתקה  \rho (\gamma ):X({\bar {k}})\to X({\bar {k}}) מקיימת:
\rho (\gamma ) רציפה על פי טופולוגית זריצקי.
לכל קבוצה פתוחה  U\subset X({\bar {k}}) ולכול פונקציה רגולרית  f\in {\bar {k}}[U] הפונקציה המוגדרת על ידי  g(x)=\gamma ^{-1}(f(\rho (\gamma )(x))) היא פונקציה רגולרית על  \rho (\gamma )^{-1}(U).
הכללות > עבור שדות לא סגורים אלגברית > עבור שדות כלליים

כאשר  k אינו מושלם הגדרה זאת איננה מספקת. לדוגמה אם  k סגור ספרבילית אז  Gal({\bar {k}}/k) טריוויאלית, אך אין זה הגיוני להגדיר יריעה אלגברית מעל  k כמושג המתלכד עם יריעה אלגברית מעל  {\bar {k}}. יש מספר דרכים להגדיר יריעה אלגברית גם במקרה זה. אולם בדרך כלל נהוג לטפל במקרה זה כמקרה פרטי של סכמות.