stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
בעיית הטנק הגרמני
ניתוח בייסיאני

הגישה הבייסיאנית לבעיית הטנק הגרמני היא לבחון את ההסתברות של  \scriptstyle (N=n\mid M=m,K=k) כך שמספר הטנקים של האויב N שווה ל־n, מספר הטנקים שנצפו K שווה ל־k והמספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה M הוא m. לשם הקיצור נשתמש ב־ \scriptstyle (n\mid m,k) לציון  \scriptstyle (N=n\mid M=m,K=k).
מכללים של הסתברות מותנת מקבלים:  (n\mid m,k)=(m\mid n,k){\frac {(n\mid k)}{(m\mid k)}}
הנוסחה  \scriptstyle (m\mid n,k)=(M=m\mid N=n,K=k) היא ההסתברות המותנית שהמספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה הוא  \scriptstyle m כאשר ידוע שמספר הטנקים של האויב הוא  \scriptstyle n ו־ \scriptstyle k טנקים נצפו:
 (m\mid n,k)={\begin{cases}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}&{\text{if }}k\leq m\leq n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}
כאשר המקדם הבינומי  \scriptstyle {\binom {n}{k}} הוא מספר הקבוצות של דוגמאות בגודל  \scriptstyle k מאוכלוסייה של  \scriptstyle n.
הביטוי  \scriptstyle (m\mid k)=(M=m\mid K=k) הוא ההסתברות שהמספר הסידורי המרבי הוא m כאשר k טנקים נצפו, אך לפני שנצפו המספרים הסידוריים. את  \scriptstyle (m\mid k) ניתן לכתוב מחדש במונחים של יתר הנתונים באמצעות סכימה באמצעות האפשרויות השונות של  \scriptstyle n:
 (m\mid k)=(m\mid k)\cdot 1=(m\mid k){\sum _{n=0}^{\infty }(n\mid m,k)}=(m\mid k){\sum _{n=0}^{\infty }(m\mid n,k){\frac {(n\mid k)}{(m\mid k)}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(m\mid n,k)(n\mid k)
הביטוי  \scriptstyle (n\mid k)=(N=n\mid K=k) מתאר את ההסתברות לכך שמספר הטנקים הכולל הוא n כאשר k טנקים נצפו אך לפני צפייה במספרים הסידוריים. בהנחה שההתפלגות היא התפלגות אחידה (בדידה):
 (n\mid k)={\begin{cases}{\frac {1}{\Omega -k}}&{\text{if }}k\leq n<\Omega \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}
החסם העליון  \Omega  חייב להיות סופי כיוון שהפונקציה:  f(n)=\lim _{\Omega \rightarrow \infty }{\begin{cases}{\frac {1}{\Omega -k}}&{\text{if }}k\leq n<\Omega \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}} תקבל  \scriptstyle f(n)=0 ואינה פונקציית הסתברות. לכן:
 (n\mid m,k)={\begin{cases}{\frac {(m\mid n,k)}{\sum _{n=m}^{\Omega -1}(m\mid n,k)}}&{\text{if }}m\leq n<\Omega \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}
אם  \scriptstyle \sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)<\infty  אז המשתנה  \scriptstyle \Omega  מוסר מהנוסחה.
(n\mid m,k)={\begin{cases}0&{\text{if }}n<m\\{\frac {(m\mid n,k)}{\sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}
עבור  k\geq 1 השכיח של ההתפלגות של מספר הטנקים של האויב הוא m.
עבור  k\geq 2 ההסתברות שמספר הטנקים שווה ל־n היא:  (N=n\mid M=m\geq k,K=k\geq 2)={\begin{cases}0&{\text{if }}n<m\\{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}
וההסתברות שמספר הטנקים של האויב,  \scriptstyle N, הוא גדול מ־ \scriptstyle n, היא:  (N>n\mid M=m\geq k,K=k\geq 2)={\begin{cases}1&{\text{if }}n<m\\{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k-1}}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}
עבור  k\geq 3, מספר הטנקים  N הוא בעל ערך תוחלת סופי:  {\frac {(m-1)(k-1)}{k-2}}
עבור  k\geq 4, מספר הטנקים  \scriptstyle N הוא בעל סטיית תקן סופית של:  {\sqrt {\frac {(m-1)(k-1)(m+1-k)}{(k-2)^{2}(k-3)}}}
נוסחאות אלו מפותחות להלן.
ניתוח בייסיאני > נוסחת סכום

הזהות הבאה של המקדם הבינומי תשמש להלן לפישוט סדרות הקשורות לבעיית הטנק הגרמני:
סכום זה אנלוגי במידת מה לאינטגרל הבאה:
נוסחאות אלו תקפות עבור  k>1.
ניתוח בייסיאני > טנק יחיד

תצפית בטנק יחיד באקראי מתוך אוכלוסייה של n טנקים, ולו מספר סידורי m בהסתברות של  {\frac {1}{n}} עבור  m\leq n ובהסתברות של אפס עבור  m>n. 
. באמצעות שימוש בסוגרי אייברסון ניתן לכתוב זאת:
זו פונקציית הסתברות מותנית של \scriptstyle m.
כאשר מתייחסים לכך כפונקציה n עבור מספר קבוע m זו פונקציית נראות: {\mathcal {L}}(n)={\frac {[n\geq m]}{n}}
האומד נראות מקסימלית למספר הטנקים הכולל הוא  N_{0}=m.
הנראות הכוללת היא אין סוף כזנב של הסדרה ההרמונית: \sum _{n}{\mathcal {L}}(n)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty
אבל, כאשר  H_{n} הוא מספר הרמוני:
פונקציית ההסתברות אשר תלויה בהגבלה  \scriptstyle \Omega  הניתנת כידע מוקדם:
התוחלת של  \scriptstyle N היא:
ניתוח בייסיאני > שני טנקים

אם נצפים שני טנקים, אז ההסתברות שזה עם המספר הסידורי הגדול יותר שווה ל־m, היא
כאשר מתייחסים לכך כפונקציה של n עבור m קבוע זו פונקציית נראות:
הנראות הכוללת היא:
ופונקציית ההסתברות של מספר הטנקים הכולל N כתלות בתצפית במספר הסידורי הגדול m ובצפייה בשני טנקים היא:
החציון  \scriptstyle {\tilde {N}} מקיים:  \sum _{n}[n\geq {\tilde {N}}](n\mid m)={\frac {1}{2}}
ולכן:  {\frac {m-1}{{\tilde {N}}-1}}={\frac {1}{2}}. מכאן שערך החציון הוא:  {\tilde {N}}=2m-1
אך התוחלת של N היא אינסופית:  \mu =\sum _{n}n\cdot (n\mid m)={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}=\infty
ניתוח בייסיאני > טנקים רבים

ההסתברות המותנית שהערך הגדול מבין k תצפיות של מספרים סידוריים {1,...,n}, שווה ל־m, היא:
פונקציית הנראות של n היא:
הנראות הכוללת היא סופית עבור  k\geq 2:
פונקציית ההסתברות של מספר הטנקים הכולל N כתלות בתצפית עם הערך הגדול ביותר m מ-k תצפיות היא:
התפלגות הזנב (המשלים לפונקציית הצטברות) עבור  N>x:
פונקציית ההצטברות עבור  N\leq x:
דוגמה

נניח כי קצין מודיעין צפה בארבעה טנקים בעלי מספרים סידוריים 2, 6, 7 ו-14. נסמן את מספר הטנקים בהם צפה ב- k=4 ואת המספר הסידורי המרבי שנצפה ב- m=14. מספר הטנקים של האויב, שאותו נסמן ב- N, אינו ידוע ואותו רוצים להעריך על פי תצפיות אלו.
הערכה למספר הטנקים של האויב על פי הגישה השכיחותית:
לעומת זאת הערכה בייסיאנית של מספר הטנקים:
ועל פי ההערכה זו נוכל לאמוד את מספר הטנקים כך:
להתפלגות זו צידוד חיובי, הקשור לכך שמספר הטנקים אינו קטן מ-14.
לקריאה נוספת

Johnson, R. W. (Summer 1994). "Estimating the Size of a Population". Teaching Statistics. 16 (2): 50–52. doi:10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x.
הערות שוליים

↑  "Gavyn Davies does the maths". The Guardian (באנגלית). 2006-07-19. ISSN 0261-3077. נבדק ב-2016-04-22.
↑  German tanks in WW2, Statistical Consulting Centre
↑  Johnson 1994.
דוכסות פרארה

דוכסות פרארה (באיטלקית: Ducato di Ferrara) הייתה דוכסות בצפון איטליה שהתקיימה בין השנים 1471–1597. שטחי הדוכסות היו כ-1,100 קמ"ר מדרום לנהר הפו ובמרכזם העיר פרארה. שטחים אלה נשלטו על ידי בית אסטה עוד מ-1146. בתקופת הרנסאנס הייתה חצר הדוכסות מרכז מוזיקלי חשוב באירופה.
רקע

כבר ב-757 מוזכרת "דוכסות פרארה" (ducatus ferrariae) כחלק מאדמות האימפריה הביזנטית בחצי האי האפניני, שמרכזן בראוונה. ב-984 רכש טדאלד מבית קאנוסה את האזור וצירף אותו למרקיזות טוסקנה. בשנת 1115, עם פטירתה של מטילדה, מרקיזת טוסקנה, הפכה פרארה לעיר חופשית ובא הקץ ל"דוכסות" העתיקה. העיר והאזור סביבה נפלו לידי אצו מאסטה, חבר מפלגת הגואלפים, כחלק מן המאבק בין הגואלפים והגיבלינים והאזור סופח לאזורי השליטה של מודנה ורג'ו. עם זאת, שטחי פרארה נותרו תחת שלטון מדינת האפיפיור, בעוד שטחי מודנה ורג'ו היו חלק מן האימפריה הרומית הקדושה. שליטי בית אסטה קיימו יחסים טובים הן עם חצר הקיסר והן עם חצר האפיפיור. לאחר שמודנה ורג'ו הועלו לדרגת דוכסות ב-1452, השיג בורסו ד'אסטה את הסכמתו של האפיפיור פאולוס השני להעלות גם את פרארה לדרגת דוכסות, זמן קצר לפני מותו ב-1471.
היסטוריה

ארקולה הראשון, אחיו-למחצה של בורס, ירש אותו והיה דוכס פרארה בין 1471 ל-1505 היה פטרון אמנות והקים בה חצר אליה הוזמנו מוזיקאים, ציירים, סופרים ואדריכלים. בנו, אלפונסו הראשון נשא ב-1502 את לוקרציה בורג'ה. בתקופת שלטונו, היה מעורב במלחמת ליגת קמברה כאשר נלחם בין 1508 ל-1510 עם מדינת האפיפיור ונגד הרפובליקה של ונציה. ב-1513 החליף צד. ונלחם לצד צרפת וונציה נגד "הליגה הקדושה" שכללה את מדינת האפיפיור, האימפריה הרומית הקדושה, ספרד ועוד. כך ניצב ב-1516 עם הצד המנצח. בנו, ארקולה השני, נשא לאשה את רנה, נסיכת צרפת, בתו של לואי השנים עשר, מלך צרפת.
בנו אלפונסו השני נשא לאשה את לוקרציה, בתו של קוזימו הראשון דה מדיצ'י, הדוכס הגדול של טוסקנה. לאחר מותה ב-1561 נשא לאשה את ברברה, אחותו של מקסימיליאן השני, קיסר האימפריה הרומית הקדושה ולאחר מותה ב-1572 נשא לאשה את מרגריטה גונזגה, בתו של גוליאלמו גונזגה, דוכס מנטובה. בתקופתו הגיעה דוכסות פרארה לשיאה והוא היה פטרונם של משוררים, בהם טורקוואטו טאסו ומלחינים כלוצאסקו לוצאסקי, קרלו ג'זואלדו וג'ירולאמו פרסקובלדי.
ב-1570 נפגע האזור קשות ברעידת אדמה.
לאחר מותו של אלפונסו השני ב-1597 ללא יורש חוקי, עברו אדמות דוכסות פרארה לידי צ'זארה ד'אסטה, דוכס מודנה, שצירפן לדוכסות מודנה ורג'ו.
פטרונות אמנות ומדעים

ארקולה הראשון החליט להקים בחצרו חצר רנסאנסית שוחרת מוזיקה ואמנות, שתתחרה בחצר בית מדיצ'י בפירנצה והאפיפיור יוליוס השני ברומא. מוזיקאים רבים, הן איטלקים כמו צ'יפריאנו דה רורה, לוצאסקו לוצאסקי וקרלו ג'זואלדו והן פרנקו-פלמים כמו גיום דופאי, ז'וסקן דה פרה וז'אק דה ורט עבדו בחצרות הדוכסים מבית אסטה כממונים על המוזיקה. אלפוזו הראשון היה פטרונו של המחזאי לודוביקו אריוסטו. ארקולה השני החזיק בחצרו, כמוהו כאצילים רבים באירופה של אותה תקופה, תזמורת ומקהלה, ושכר מוזיקאים ידועי-שם לעמוד בראשן. קרלו ג'זואלדו, שנשא לאישה את אחייניתו של הדוכס אלפונסו השני, כתב בפרארה ארבעה ספרי מדריגלים. ג'ירולאמו פרסקובלדי נולד בפרארה והיה תלמידו של ג'זואלדו.
על בוגריה המפורסמים של אוניברסיטת פרארה נמנים אמטוס לוזיטנוס, ניקולאוס קופרניקוס, פאראצלסוס ורבים אחרים.
גומיה (צבא צרפת)

גומיה (בצרפתית: Goumier) היה כינוי לחייל מוסלמי מקומי, ששירת ביחידות עזר (שנקראו "גום" (goum)) במסגרת הצבא הצרפתי במרוקו בין השנים 1908–1956, בימי השליטה הצרפתית במדינה. לעיתים נעשה שימוש במונח גם לתיאור החיילים המקומיים ששירתו בצבא הצרפתי בסודאן הצרפתית ובוולטה עילית בתקופת השלטון הצרפתי.
תיאורם

מוצא המילה (قم) הוא בשפה המאגרב ערבית. qum פירושו "עמוד דום" (stand up). בהמשך נקבע כי יחידה של 200 חיילים ממוצא מקומי תקרא goum. שלושה או ארבעה "גואום" היו "תבור (מרוקאי)". ההקבצה הgroupe תכלול שלושה תבורים.
כל תבור היה מורכב מבני שבטים שונים. בין השאר מה Chaouia שבאזורים הבאים: Sidi Boubaker, Ouled Said, Settat, Kasbeth Ben Ahmed, Dar Bouazza, Sidi Slimane
בראשית המאה ה-20 הצרפתים ביקשו להיעזר בחיילים מוסלמים מקומיים, תחת פיקוד לא-צרפתי למטרות שיטור. החיילים זכו בתשלום כספי ותנאים נוספים אשר עודדו את הצטרפותם. בהמשך הוחלט על צירופם לצבא הצרפתי ביחידות מיוחדות תחת פיקוד צרפתי.
המערכות שבהם שירתו ה"גומיה"

חילות העזר שירתו במערכות הבאות:
מרוקו: 1908-1934
מלחמת העולם הראשונה: בחזית המערבית.
מלחמת העולם השנייה: 1942–1945 הפלישה לאיטליה.
צפון אפריקה: 1940–1942.
תוניס: 1942–1943
מערכה העיקרית איטליה: 1943–1945 (ראו הפרק הבא)
קורסיקה: 1943.
אלבה: 1944.
צרפת: 1944.
גרמניה: 1945.
הודו סין: 1948 -1956
בשנת 1956 הצטרפו לצבא העצמאי של מרוקו.
המערכה באיטליה 1945-1943

ה"גום" (Goums) - חיילות עזר צרפתיים - (Corps Expéditionnaire Français en Italie ) - או בראשי תיבות CEF בראשות הגנרל אלפונס ז'ואן (Alphonse Juin). היו אלה יחידות לא סדירות מהמושבות הצרפתיות אשר חלק מהן היו ה"גום המרוקאיים" (Goums Marocains). מכלול היחידות "גום" הגיעו לסדר גודל של יחידה צבאית בסדר גודל של דויזיה, אך לא כללו את כל המרכיבים הארגוניים המקובלים ליחידה בעלת סדר גודל כזה. יחידות ה"גום המרוקאיים" השתתף בלחימה נגד הגרמנים במסגרת חיילות העזר - CEF - יחד עם ארבע יחידות נוספות :
יחידת הרגלים השנייה המרוקאית ( 2ième Division Infanterie Marocaine).
יחידת הרגלים השלישית האלגיראית (3ème Division Infanterie ).
היחידה ההררית הרביעית המרוקאית (4ème division Marocaine de Montagne).
היחידה הראשונה של צרפת החופשית (1ére Division Française Libre) . על ה"גום המרוקאי" פיקד הגנרל אוגוסטן גיום (Augustin Guillaume).
נטען כי הם השתתפו במעשי האונס בלאציו (1944). עוד נטען כי בהמשך המלחמה, נעשו מעשי אונס נוספים על ידי כוחות אלו בעיר הגרמנית פרוידנשטאט (Freudenstadt) ובשטוטגרט. מפקדי בעלות הברית נקטו אמצעי משמעת חמורים נגד היחידה, כולל הוצאה להורג. ברם, הפעולות הברוטליות נגד האוכלוסייה האזרחית באו לקצן רק עם תום המלחמה והחזרת חיל המשלוח המרוקאי לבסיסיו.
ראו גם

האונס בלאציו (1944)
לקריאה נוספת

Bimberg, Edward L. The Moroccan Goums: Tribal Warriors in a Modern War. Westport, CT: Greenwood Press (1999).
Gaujac, Paul. L'Armée de la Victoire (Volume 3). Paris: Charles Lavauzelle (1985).
Martins, Ralph A. "Goumier Flanked U.S. Troops in Sicily." Cavalry Journal, 52 (Sep-Oct 1943): pp. 30-31
U.S. Intelligence Bulletin, "Moroccan Goums." (June 1946)
: a "Drama" French language film presenting the story of four goums. Awarded the 2006 Cannes Film Festival#Winners|Prix d'interprétation masculine du Festival de Cannes at the 2006 Cannes Film Festival.
דוכסות סקסוניה-קובורג-זאלפלד

| --- | --- |
סמל

 
 ממשל
 משטר:  מונרכיה
 שפה נפוצה:  גרמנית
 עיר בירה:  זאלפלד, קובורג
 גאוגרפיה
 יבשת:  אירופה
 היסטוריה
 הקמה:  איחוד דוכסות סקסוניה-קובורג עם דוכסות סקסוניה-זאלפלד
 תאריך:  1699
 פירוק:  שינויים במדינות תורינגיה
 תאריך:  1826
 ישות קודמת:   דוכסות סקסוניה-קובורג    דוכסות סקסוניה-זאלפלד
 ישות יורשת:   דוכסות סקסוניה-קובורג-גותה    דוכסות סקסוניה-מיינינגן
 
דוכסות סקסוניה-קובורג-זאלפלד
דוכסות סקסוניה-קובורג-זאלפלד (בגרמנית: Sachsen-Coburg-Saalfeld; נהגה "זקסן-קובורג-זאלפלד") הוא שמה של דוכסות גרמנית קטנה, שנוצרה על ידי איחוד דוכסות סקסוניה-קובורג עם דוכסות סקסוניה-זאלפלד ב-1699 והתקיימה עד 1826.
היסטוריה > הקמת הדוכסות

לאחר מותו של ארנסט הראשון, דוכס סקסוניה-גותה בשנת 1675 שלטו בניו בדוכסות במשותף, ובשנת 1680 פוצלה הדוכסות בין שבעת בניו; פרידריך הראשון, דוכס סקסוניה-גותה-אלטנבורג, אלברכט החמישי, דוכס סקסוניה-קובורג, ברנהרד הראשון, דוכס סקסוניה-מיינינגן, היינריך, דוכס סקסוניה-רמהילד, כריסטיאן, דוכס סקסוניה-אייזנברג, ארנסט השלישי, דוכס סקסוניה-הילדבורגהאוזן, ויוהאן ארנסט, דוכס סקסוניה-זאלפלד.
בשנת 1699 מת אלברכט החמישי, דוכס סקסוניה-קובורג, והתעוררה מחלוקת ירושה שהתקיימה עד לשנת 1735, אך לבסוף הוחלט לצרף חלק ניכר מאדמותיו ליוהאן ארנסט, דוכס סקסוניה-זאלפלד, והנחלה נקראה מעתה דוכסות סקסוניה-קובורג-זאלפלד.
היסטוריה > דוכסות סקסוניה-קובורג-זאלפלד

לאחר מותו של יוהאן ארנסט הרביעי בשנת 1729, שלטו בניו כריסטיאן ארנסט השני ופרנץ יוזיאס במשותף; כריסטיאן ארנסט ישב בזאלפלד, ופרנץ יוזיאס ישב בקובורג.
בשנת 1745 מת כריסטיאן ארנסט, ופרנץ יוזיאס שלט לבדו על הדוכסות. בשנת 1747 העביר פרנץ יוזיאס את חוק העדפת הבן הבכור, ובכך שמר על אחדות הדוכסות. בשנת 1764 מת פרנץ יוזיאס, ובמקומו עלה לשלטון בנו הבכור ארנסט פרידריך, דוכס סקסוניה-קובורג-זאלפלד. בנו הצעיר של פרנץ יוזיאס, יוזיאס, נסיך סקסוניה-קובורג-זאלפלד, היה גנרל-פלדמרשל בצבא האימפריה הרומית הקדושה, והשתתף במלחמות נגד האימפריה העות'מאנית, ובמלחמת הקואליציה הראשונה נגד צרפת המהפכנית.
בשנת 1800 מת ארנסט פרידריך, דוכס סקסוניה-קובורג-זאלפלד, ובנו פרנץ, דוכס סקסוניה-קובורג-זאלפלד עלה במקומו לשלטון.
בשנת 1803 חלה פרנץ באורח אנוש, ובנו ארנסט מילא את מקומו. בשנת 1806 מת פרנץ, ובנו ארנסט עלה במקומו לשלטון. אולם, ארנסט לא היה יכול לתפוס את השליטה בפועל בדוכסות, מכיוון שהיא הייתה כבושה על ידי צבא צרפת. לאחר שלום טילזיט הוחזרה לארנסט השליטה בדוכסות, בעקבות לחץ רוסי שנעשה עקב נישואי אחותו של ארנסט יוליאנה, נסיכת סקסוניה-קובורג-זאלפלד לקונסטנטין פאבלוביץ', הנסיך הגדול של רוסיה אחיו של אלכסנדר הראשון, קיסר רוסיה.
ארנסט היה גנרל בצבא הפרוסי, ולחם נגד נפוליאון בקרב ליצן ובקרב לייפציג. בקונגרס וינה קיבל ארנסט את נסיכות ליכטנברג, שאותה מכר לפרוסיה בשנת 1834.
היסטוריה > פירוק הדוכסות

לאחר מותו של פרידריך הרביעי, דוכס סקסוניה-גותה-אלטנבורג ללא יורשים, התעוררה מחלוקת ירושה בין הדוכסויות השונות בתורינגיה: ארנסט השלישי, דוכס סקסוניה-קובורג-זאלפלד, היה זכאי לרשת את הדוכסות מכוח נישואיו לאחייניתו של הדוכס האחרון, אך כיוון שהיה בהליכי גירושין ממנה, התנגדה המשפחה להעברת דוכסות גותה לחזקתו. ב-1826 התקבלה פשרה שלפיה יחולקו מחדש הדוכסויות; ארנסט ויתר על זאלפלד שהייתה ברשותו קודם לכן והועברה לדוכסות סקסוניה-מיינינגן, וקיבל את גותה בלבד, ללא אלטנבורג, שהועברה לפרידריך, דוכס סקסוניה-הילדבורגהאוזן, שנאלץ להעביר את נחלותיו לדוכסות סקסוניה-מיינינגן.
שליטי סקסוניה-קובורג-זאלפלד

יוהאן ארנסט הרביעי (1699 - 1729)
כריסטיאן ארנסט השני (1729 - 1745)
פרנץ יוזיאס (1745 - 1764)
ארנסט פרידריך (1764 - 1800)
פרנץ (1800 - 1806)
ארנסט השלישי (1806 - 1826)
ארמון זאלפלד, מקום מושבם של דוכסי סקסוניה-קובורג-זאלפלד
גמר גביע המדינה בכדורגל 2009

גמר גביע המדינה בכדורגל 2009 התקיים באצטדיון רמת גן ברמת גן ב-26 במאי 2009, ובו נקבע כי מחזיקת גביע המדינה בכדורגל 2008/2009 היא בית"ר ירושלים, שניצחה במשחק את מכבי חיפה בתוצאה 2–1. הייתה זו המהדורה ה-71 של גביע המדינה, וה-56 מאז קום המדינה.
בית"ר ירושלים, זכתה בגביע המדינה ה-7 בתולדותיה, לאחר 5 משחקים במפעל ו-5 ניצחונות ב-90 דקות, ומאזן שערים של 12–6, ממוצע של 2.4 שער למשחק. בית״ר חזרה למעמד הגמר בפעם העשירית, ובפעם השנייה ברציפות לאחר זכייתה בעונה שעברה, אז ניצחה את הפועל תל אביב 5–4 בדו-קרב פנדלים, והשלימה דאבל לראשונה בתולדותיה.
מנגד, מכבי חיפה העפילה לגמר ה-13 בתולדותיה (מאז קום המדינה), וחזרה למעמד זה לראשונה מאז הגמר בעונת 2001/2002 אז הפסידה למכבי תל אביב 4-5 בדו-קרב פנדלים, ואחרי שלא זכתה בתואר מאז עונת 1997/1998, אז ניצחה את הפועל ירושלים 2–0 בהארכה.
הדרך אל הגמר

| בית"ר ירושלים> יריבה | בית"ר ירושלים> תוצאה | סיבוב | מכבי חיפה> תוצאה | מכבי חיפה> יריבה |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| עירוני קריית שמונה | 4–3 | 32 האחרונות | 1–0 (ה) | הפועל רמת-גן |
| הפועל עכו | 2–0 | שמינית הגמר | 1–1 (2–1 פ) | הפועל תל אביב |
| הפועל כפר סבא | 2–1 | רבע הגמר | 4–0 | מכבי אחי נצרת |
| הכח עמידר רמת גן | 2–1 | חצי הגמר | 1–1 (5–4 פ) | מכבי נתניה |
סיכום מהלכי המשחק > מחצית ראשונה

בדקה ה-8, שחקן מכבי חיפה יניב קטן פרץ ממרכז המגרש והעביר כדור שמאלה לליאור רפאלוב, שניסה לעבור ובעט לרשת החיצונית של שוער בית"ר טברטקו קאלה.
בדקה ה-11 שחקן בית"ר, עמית בן שושן בעט כדור למרכז השער, שוער חיפה ניר דוידוביץ' הדף, והכדור עבר ליד הקורה ויצא לקרן.
בדקה ה-19 שחקן בית"ר עידן טל הקשית כדור למגן הימני של בית"ר כריסטיאן אלברס, שמשמונה מטרים נגח מדויק לקורה ופנימה, וקבע 1–0 לזכות בית"ר.
בדקה ה-25 חיפה איבדה כדור קרוב לרחבה שלה, וחלוץ בית"ר ברק יצחקי ניסה לבעוט מ-15 מטרים, והשוער דוידוביץ' קלט.
בדקה ה-34 הרים ליאור רפאלוב קרן, הגנת בית"ר לא הצליחה להרחיק את הכדור, שהגיע לבירם כיאל שבעט חלש, בדרך הכדור פגע באייל גולסה אבל שוער בית"ר קאלה קלט את הכדור.
בדקה ה-38 נקבעה בעיטה חופשית לבית"ר, ברק יצחקי בעט את הכדור מכ-25 מטרים, הכדור היה חזק ודוידוביץ' הדף קרוב אליו, שחקן בית"ר אבירם ברוכיאן השתלט על הריבאונד ובעט חלש אבל מדויק, הכדור התגלגל ונכנס לרשת, ובית"ר עלתה ל־2–0 במשחק.
בדקה ה-39 יניב קטן הרים כדור קצר לרחבה, ואייל גולסה נגח מכ-7 מטרים החוצה.
בדקה ה-43 מגן בית"ר אלירן דנין הוציא כדור רוחב, עמית בן שושן השתלט על הכדור ומסר לברק יצחקי, שמכ-4 מטרים בעט לא טוב, והכדור עבר ליד הקורה והחוצה.
סיכום מהלכי המשחק > מחצית שנייה

בדקה ה-54 השחקן המחליף גוסטבו בוקולי בעט מכ-17 מטרים, אך הכדור נקלט אצל שוער בית"ר קאלה.
בדקה ה-61 בירם כיאל בעט חזק ושטוח, אולם שוער בית"ר קלט שוב את הכדור בבטחה.
בדקה ה-78, מגן בית"ר אלירן דנין הכשיל את מגן מכבי חיפה אייל משומר, וקיבל את הכרטיס הצהוב השני וכרטיס אדום, ובית"ר נשארה ב-10 שחקנים.
בדקה ה-79 כדור ננגח מתחת למשקוף שערו של קאלה, אולם הוא הצליח להדוף אותו לקרן.
בדקה ה-88 בלם בית"ר שמואל קוזוקין הכשיל ברחבה את מגן חיפה פיטר מסיללה, והשופט הורה על בעיטת עונשין לזכות מכבי חיפה, בירם כיאל בעט את הכדור חזק ומכבי חיפה צימקה את התוצאה ל־2–1.
בדקה ה-90+2 בתוך תוספת הזמן, חלוץ חיפה שלומי ארבייטמן, הוריד כדור באמצעות נגיחה ברחבת בית"ר, אולם אף שחקן חיפה לא הצליח להגיע לכדור שהגיע לשוער קאלה. תוצאת המשחק נקבעה ובית"ר זכתה בגביע השביעי בתולדותיה.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 26 במאי 2009 19:00 | בית"ר ירושלים | 1:2 | מכבי חיפה | אצטדיון רמת גן, רמת גן צופים: 40,000 שיפוט: אלון יפת |
| 26 במאי 2009 19:00 | כריסטיאן אלברס  19'   אבירם ברוכיאן  38' | (סיקור) | בירם כיאל  88' (פ) | אצטדיון רמת גן, רמת גן צופים: 40,000 שיפוט: אלון יפת |
סיכום מהלכי המשחק > הרכבי הקבוצות

| --- | --- |
              בית"ר ירושלים :               מכבי חיפה
הערות שוליים

↑  בית"ר ירושלים ניצחה 1:2 את מכבי חיפה וזכתה בגביע המדינה, באתר וואלה, 26 במאי 2009
דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  17 בינואר 1905 דהאנו, הודו 
 פטירה:  1986 (בגיל 80 בערך) דאולאלי, הודו 
 שם לידה:  दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर 
 ענף מדעי:  תורת המספרים 
 מקום לימודים:  קולג' פרגסון (1929) 
 
דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר (בהינדי: दत्तात्रेय रामचंद्र कापरेकर; ‏17 בינואר 1905 – 1986) היה מתמטיקאי הודי שחקר תכונות של מספרים, גילה את מספרי קפרקר, מספרי הרשאד, מספרים עצמיים וגם את קבוע קפרקר הנקרא על שמו. למרות שהשכלתו לא הייתה רחבה דיה והוא עבד בתור מורה בבית ספר, הוא פרסם מאמרים רבים והתפרסם בחוגים של מתמטיקאים העוסקים בשעשועי מתמטיקה.
ביוגרפיה

קפרקר החל את לימודיו העל-תיכוניים ב"קולג' פרגסון" שבפונה. בשנת 1927 זכה בפרס מחוזי בתחום המתמטיקה בגין פועלו.
הוא למד באוניברסיטת מומביי וסיים את תוארו הראשון בשנת 1929. מאחר שלא המשיך ללימודים גבוהים יותר או ללימודי תארים נוספים לאורך כל הקריירה שלו כמתמטיקאי (1930-1962), הוא עבד בתור מורה בעיר נאשיק. הוא פרסם מאמרים בקצב תדיר שעסקו בשברים מחזוריים, ריבועי קסם ומספרים שלמים ותכונותיהם המיוחדות.
מתמטיקה

תוך כדי למידה וחקירה עצמית בעיקר, קפרקר הצליח להגיע לתוצאות חשובות בתורת המספרים ותיאר תכונות שונות של מספרים. בנוסף לקבוע קפרקר ולמספרי קפרקר שנקראים על שמו, הם גם חקר מספרי הרשאד ומספרים עצמיים. בתחילה פרסומיו ועבודתיו זכו לזלזול מצד מתמטיקאים הודים, והוא פרסם את מאמריו בקרב חוג מצומצם של קוראים ושל חובבי שעשועי מספרים. הוא התפרסם בעולם לאחר שהעיתונאי מרטין גרדנר כתב עליו מאמר בסיינטיפיק אמריקן במרץ 1975. כיום, הוא עודו מתמטיקאי מפורסם ומתמטיקאים אחרים לומדים וחוקרים את שכתב במאמריו.
מתמטיקה > קבוע קפרקר

בשנת 1949, קפרקר גילה תכונה מעניינת של המספר 6174, המספר מכונה "קבוע קפרקר". אם אדם בוחר באופן אקראי ארבע ספרות שונות עליו לסדר את הספרות באופן יורד (משמאל לימין) ובאופן עולה. חיסור של המספר הגדול מן המספר הקטן ייתן מספר ארבע ספרתי נוסף, את הספרה 0 מחשיבים כספרה גם אם ההפרש אינו עולה על אלף. ניתן לחזור על התהליכים מספר פעמים עד שלבסוף מגיעים תמיד להפרש 6174 בין המספרים. משלב זה לא ניתן להמשיך יותר בתהליך המחזורי שכן 7641 פחות 1467 הם 6174. תהליך זה של סידור מספרים מחדש לפני גודל הספרות והחסרתם זה מזה נקרא "שגרת קפרקר".
לצורך המחשה:

 9843-3489=6354

 6543-3456=3087

 8730-0378=8352

 8532-2358=6174
ניתן לחזור על התהליך לכל היותר במשך 7 פעמים.
מתמטיקה > מספר קפרקר

מספר קפרקר הוא מספר שמעלים אותו בריבוע, חוצים את התוצאה שהתקבלה לשני מספרים וסכומם הוא סכום המספר המקורי. למשל 45 בריבוע הם 2025. 20 ועוד 25 הם 45, אזי 45 הוא "מספר קפרקר". ישנה קבוצה גדולה של מספרים המשתייכת לקבוצה זו. חובה שהמספרים שמפוצלים מן העלאת המספר בריבוע יהיו חיוביים ושונים מאפס. כך למשל 100 אינו מספר קפרקר כי החלוקה של הריבוע שלו לשני מספרים נותנת 100 ו-00 (0) שאינו מספר חיובי.
מתמטיקה > מספר עצמי

בשנת 1963 קפרקר תיאר תכונה של מספרים שקיבלו את הכינוי "מספרים עצמיים". מספר עצמי הוא מספר שלא ניתן להציג אותו מבחירת מספר שלם אחר כלשהו וסכום הספרות של אותו מספר. כך למשל המספר 21 לא נחשב למספר עצמי, כי אם נבחר במספר 15 נקבל את הביטוי הבא: 15 + 1 + 5 = 21. לעומת זאת 20 הוא מספר עצמי. מספרים עצמיים קרויים גם בשם "מספרים קולומביאניים".
מתמטיקה > מספר הרשאד

קפרקר הגדיר גם את מספרי הרשאד, כאשר המילה "הרשאד" היא שיבוש של הביטוי "לתת אושר" בסנסקריט. מספר הרשאד הוא מספר שמתחלק ללא שארית בסכום של הספרות המרכיבות אותו. 18 למשל הוא מספר הרשאד שכן 1 + 8 = 9 והמספר 18 מתחלק ב-9 ללא שארית. מספרי הרשאד נחקרו רבות במתמטיקה ויש להן מקום מיוחד בתורת המספרים. המתמטיקאי הקנדי איוון מורטון ניבן נשא הרצאה חשובה בשנת 1977 על מספרים אלה ולכן הם גם מכונים "מספרי ניבן".
מתמטיקה > מספר דמלו

תחום נוסף שמשך את קפרקר הוא יחידות חוזרות. הוא הגה את הרעיון ל"מספר דמלו" בתחנת רכבת בהודו המרוחקת 30 מיילים מבומביי ומכאן שם המספר. מספרי דמלו הם ריבועים של היחידות החוזרות 1, 11, 111 כלומר 1, 121, 12321 ועוד.
הערות שוליים

↑  http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kaprekar.html
↑  https://web.archive.org/web/20071116164833/http://www.4to40.com/legends/index.asp?id=142
↑  https://plus.maths.org/content/os/issue38/features/nishiyama/index
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 133997138  LCCN: nb2014026763  VIAF: 43043421   WorldCat (עם VIAF): 43043421
גומי ערבי

שיטת סנגל (Senegalia senegal). גומי ערבי הוא השרף המופק מקליפת העץ
גומי ערבי או "גאם ערביק" כפי שהוא לעיתים מכונה בישראל, ומשווק גם תחת הכינוי "אקציה גאם", הוא סוג של שרף המופרש מקליפת עץ הסנגליית סנגל. זהו עץ שיטה נשיר קטן שמוצאו באזורים מדבריים למחצה באפריקה שמדרום לסהרה. מכל עץ מופקים 200–300 גרם שרף על ידי חיתוך בקליפה. השרף הוא תערובת של רב-סוכרים וגליקופרוטאינים. גומי ערבי מסיס מאוד במים וניתן להגיע לתמיסה בריכוז משקלי של 55%, בניגוד לשרפים אחרים החומר מסיס גם במים קרים. החומר הגולמי שקוף או צהוב בהיר.
איכות החומר משתנה בין זנים שונים של עצי השיטה ואפילו בין עצים שונים מאותו זן. האיכות תלויה גם בתנאי מזג האוויר, הקרקע ואופן ההפקה.
| מרכיב | ריכוז | הערות |
| --- | --- | --- |
| לחות | 13%-15% | אחוז משקלי |
| חלבון | 1.8%-3% | נקבע לפי תכולת החנקן בשרף |
| סידן | 0.7 גרם ל 100 גרם |  |
| מגנזיום | 0.2 גרם ל 100 גרם |  |
| אשלגן | 0.95 גרם ל 100 גרם |  |
| נתרן | 0.014 גרם ל 100 גרם |  |
| ברזל | 0.001 גרם ל 100 גרם |  |
| זרחן | 0.6 גרם ל 100 גרם |  |
| חומציות | 4-4.4 | בתמיסה של 25% שרף במים. |