stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
בעיית הלוגריתם הבדיד
עקום אליפטי

חבורה אחרת שבה ההשערה היא שבעיית הלוגריתם הבדיד קשה היא אוסף הנקודות על עקום אליפטי. היתרון שלו הוא שבניגוד לחבורה כפלית לא ידוע על אלגוריתם שמסוגל לפתור את בעיית הלוגריתם הבדיד בזמן ריצה תת-מעריכי בחבורת העקום האליפטי. בקצרה, יהי  p\geq 5 מספר ראשוני ונתונה משוואה ממעלה שלישית  E בשני נעלמים  x ו- y מהצורה:
כאשר  A,B\in \mathbb {Z} _{p} הם קבועים המקיימים את התנאי  4A^{3}+27B^{2}\not \equiv 0{\text{ (mod }}p) (תנאי זה הכרחי כדי להבטיח שלא יהיו בעקום קצוות חדים) נניח ש- {\hat {E}}(\mathbb {Z} _{p}) מייצג את כל הזוגות  (x,y)\in \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p} המקיימים את המשוואה האמורה, אז העקום האליפטי הוא  E(\mathbb {Z} _{p})={\hat {E}}(\mathbb {Z} _{p})\cup \{{\mathcal {O}}\}. במילים, אוסף כל הנקודות המקיימות את המשוואה האמורה עם נקודה מיוחדת הנקראת "הנקודה באין סוף" המסומנת ב- {\mathcal {O}}. קיים כלל חיבור מסובך שמאפשר לחבר שתי נקודות בעקום כדי לקבל נקודה שלישית שגם היא בעקום;  R=P+Q או חיבור נקודה בעצמה  Q=P+P=2P. למרבה ההפתעה אפשר להוכיח שקבוצת הנקודות בעקום  E יחד עם כלל החיבור יוצרים חבורה אבלית. שהיא חבורה סגורה תחת כלל החיבור כשהנקודה באין סוף משמשת כאיבר יחידה. לכל נקודה יש נקודה הופכית וכן חוקי האסוציאטיביות והקומוטטיביות מתקיימים בה.
בעיית הלוגריתם הבדיד בעקום אליפטי היא כדלקמן. נתון עקום אליפטי  E(\mathbb {Z} _{p}) ונתונה נקודה כלשהי  P\in E(\mathbb {Z} _{p}) הנקראת נקודת הבסיס וכן הנקודה  Q\in \langle P\rangle  מצא שלם  l המקיים  Q=lP. השלם  l נקרא הלוגריתם הבדיד של הנקודה  Q בבסיס הנקודה  P או בקיצור  l=\log _{P}Q. הקבוצה  \langle P\rangle  היא תת-חבורה ציקלית המכילה את אוסף כל הנקודות שהן כפולות של  P כלומר  \{P,2P,3P,4P,...\} עד שמגיעים לנקודה באין סוף (נניח שנמצא שלם  t כך שמתקיים  tP={\mathcal {O}}) הנקודה  Q נמצאת אי שם בחבורה זו כאשר השלם  l<t מייצג את מספר הפעמים שהיה צריך לחבר את הנקודה  P כדי להגיע ל- Q:
האלגוריתם הטוב ביותר הידוע כיום לפתרון בעיית הלוגריתם הבדיד בעקום אליפטי (אם לא מביאים בחשבון אלגוריתם קוונטי) היא גרסה מקבילית של אלגוריתם רו של פולרד ללוגריתמים.
אלגוריתמים

באופן כללי נתונה חבורה הציקלית  \mathbb {G}  עם היוצר  g והאיבר  y\in \langle g\rangle  הבעיה היא מציאת השלם  x המקיים  g^{x}=y (בתת-החבורה הנוצרת על ידי  g או בחבורה  \mathbb {G}  אם  g הוא יוצר שלה), המסומנת בקיצור  \log _{g}y מודולו הסדר של  g שנקרא לעיתים הבסיס. אותה אפשר לפתור בכמה דרכים. הפתרון הנאיבי ביותר הוא שיטת כוח גס, כלומר אפשר לחשב את כל החזקות של  g לפי סדר  g^{1},g^{2},g^{3},... עד שמתקבל  y. סיבוכיות הפתרון היא מסדר גודל  O(q). קיימים מספר אלגוריתמים שלהם סיבוכיות טובה יותר והם מתחלקים לשתי קטגוריות. אלגוריתם גנרי שפועל על כל חבורה ואלגוריתם שפועל רק על חבורה ספציפית. לצורך הדיון אפשר להתעלם מהחבורה  \mathbb {G}  ולהתייחס ישירות לתת-החבורה  \langle g\rangle  שהיא מסדר  q שההנחה היא שהוא מספר ראשוני ידוע. להלן רשימת האלגוריתמים הידועים לפתרון בעיית הלוגריתם הבדיד וכן בעיית דיפי-הלמן.
אלגוריתם צעד-קטן צעד-גדול של דויד שנקס שמסוגל למצוא לוגריתם בדיד בזמן ריצה של  O({\sqrt {q}}\times {\text{polylog}}(q)) ובסיבוכיות מקום בסדר גודל  O({\sqrt {q}}).
אלגוריתם פוליג-הלמן הוא אלגוריתם ספציפי המתאים במקרה שהגורמים הראשוניים של סדר החבורה  q ידועים. במיוחד, אם לסדר החבורה יש גורמים קטנים, אלגוריתם זה מאפשר לצמצם את הבעיה לשתי בעיות לוגריתם בדיד מסדר קטן יותר (לפי גודלם של הגורמים הראשוניים) והפתרונות שלהם ניתנים לשילוב כדי לקבל פתרון לבעיה המקורית בסיבוכיות זמן זהה לבעיות הקטנות.
אלגוריתם רו של פולרד ללוגריתמים שזמן ריצתו הוא  O({\sqrt {q}}) בדומה לאלגוריתם צעד-קטן צעד-גדול אך ללא סיבוכיות מקום.
אלגוריתם תחשיב אינדקסים שרץ בזמן ריצה תת-מעריכי ונחשב לאלגוריתם החזק ביותר הידוע כיום לפתרון בעיית הלוגריתם הבדיד בחבורות מסדר גדול מאוד כמו  \mathbb {Z} _{n}^{*} עבור  n\geq 500 פריק. גרסה אחת שלו הנקראת אלגוריתם Coppersmith מסוגלת להגיע לזמן ריצה של  \textstyle L_{2^{m}}\left[{\frac {1}{3}},c\right] עבור קבוע כלשהו  c<1.587.
כאשר מחשבים קוונטיים יהיו מעשיים אפשר יהיה לפתור את בעיית הלוגריתם הבדיד בזמן פולינומי עם אלגוריתם שור.
אלגוריתמים > אלגוריתם צעד-קטן צעד-גדול

אלגוריתם צעד-קטן/צעד-גדול של דויד שנקס הוא אלגוריתם כוח גס רקורסיבי שעושה שימוש בזיכרון כדי לפתור את בעיית הלוגריתם הבדיד בחבורה ציקלית מסדר  q בזמן ריצה של  O({\sqrt {q}}\cdot {\text{polylog}}(q)). הרעיון הוא פשוט. בהינתן תת-חבורה ציקלית  \langle g\rangle  ואיבר  y\in \langle g\rangle , אפשר לדמיין את החבורה כמעגל של האיברים  1=g^{0},g^{1},g^{2},...,g^{q-2},g^{q-1},g^{q}=1.
ידוע ש- y=g^{x} חייב להיות היכן שהוא בתוך המעגל, במקום לחשב ולאחסן בזיכרון את כל האיברים של המעגל עד שנמצא  x שזה אינו מעשי, "מסמנים" נקודות במעגל במרווחים קבועים (או מדלגים במרחק קבוע) לפי  t=\lfloor {\sqrt {q}}\rfloor . במילים אחרות מחשבים ומאחסנים בטבלה ממוינת בזיכרון את האיברים:
שלב זה נקרא "צעד-גדול". כעת היות ש- y=g^{x} נמצא באחד מהמרווחים, מובטח שאחד מ- t האיברים
יהיה שווה לאחת מהנקודות שאוחסנו בטבלה בזיכרון, שלב זה נקרא "צעד-קטן". נניח ש- y\cdot g^{i}=g^{k\cdot t} עבור  i ו- k כלשהם, אפשר בקלות לפתור את הלוגריתם על ידי  y=g^{kt-i} או  \log _{g}y=(kt-i){\text{ mod }}q.
האלגוריתם דורש  O({\sqrt {q}}) העלאות בחזקה בחבורה  \mathbb {G} , כל פעולה כזו מתבצעת בזמן של  O({\text{polylog}}(q)) פעולות בסיסיות, אם משתמשים באלגוריתם יעיל לחישוב חזקות בחבורה. אך יש צורך לאחסן בזיכרון  {\sqrt {q}} איברים בערך. למעשה ברקורסיה, למעט האיבר הראשון לחישוב כל איבר נדרשת פעולת כפל אחת:  g_{i}=g_{i-1}\cdot g_{1} באופן דומה כל  y_{i} ניתן לחישוב כ- y_{i}=y_{i-1}\cdot g. מיון ניתן לביצוע בזמן של  O({\sqrt {q}}\log q) וחיפוש בינארי מתבצע בזמן של  O(\log q).
אלגוריתמים > אלגוריתם צעד-קטן צעד-גדול > פירוט מהלכי האלגוריתם

קלט: תת-חבורה  g\in \mathbb {G} , האיבר  y\in \langle g\rangle  וסדר החבורה  q.
פלט:  \log _{g}y.
מחשבים את  t=\lfloor {\sqrt {q}}\rfloor .
עבור i=0 עד \lfloor q/t\rfloor מבצעים כדלהלן:
מחשבים את  g_{i}=g^{i\cdot t}.
ממיינים את כל הזוגות ( i,g_{i}) לפי הערך השני.
עבור i=0 עד t מבצעים:
מחשבים את  y_{i}=y\cdot g^{i} ובודקים
אם  y_{i}=g_{k} עבור  k כלשהו מחזירים את  (kt-i) מודולו  q.
אלגוריתמים > אלגוריתם צעד-קטן צעד-גדול > דוגמה במספרים קטנים

בחבורה  \mathbb {Z} _{29}^{*} מסדר  q=28, אם  g=2 ו- y=17 כדי לחשב את הלוגריתם הבדיד של 17 בבסיס 2 תחילה מחשבים את  t=5 ואז מכינים טבלה עם זוגות הערכים הבאים (מודולו 29) ממוינת לפי הערך השני:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  0,2^{0}=1 |  5,2^{5}=3 |  10,2^{10}=9 |  25,2^{25}=11 |  20,2^{20}=23 |  15,2^{15}=27 |
ואז מחשבים את הערכים הבאים עם המונה  i=0,1,2,...:
בחיפוש מהיר מסתבר שהערך האחרון שהתקבל זהה למעשה לכניסה הרביעית בטבלה לכן  \log _{2}17=25-4=21 מודולו 29.
לוגריתם בדיד בקריפטוגרפיה

בלוגריתם בדיד, בדומה לפירוק לגורמים, ישנן שתי פעולות הופכיות שאינן סימטריות בכוח החישוב הדרוש לביצוען. לדוגמה, כפל ופירוק לגורמים הם פעולות הפוכות, בעוד שכפל היא פעולה קלה במונחי מחשוב, הרי שפירוק לגורמים קשה הרבה יותר ממנה. כן הדבר בלוגריתמים, העלאה בחזקה מודולרית (מודולו שלם  n) קלה הרבה יותר ממציאת החזקה מודולו  n. חוסר הסימטריה הזה נקרא פונקציה חד-כיוונית, והיא מנוצלת היטב בעיקר בהצפנה אסימטרית. דוגמאות הן: פרוטוקול דיפי-הלמן להעברת מפתח, צופן אל-גמאל, חתימה דיגיטלית של אל-גמאל ואלגוריתם חתימה דיגיטלית DSA.
כדי להתמודד עם האיום של האלגוריתמים המנויים לעיל, ההנחה היא כיום שראשוני  p בגודל 2048 סיביות מספק מרווח ביטחון סביר. תקן DSA מגדיר למשל מספר רמות אבטחה לאלגוריתם חתימה דיגיטלית כשהמרבית היא, p ראשוני בסדר גודל של 3072 סיביות.
החבורות שיש בהן עניין מבחינה קריפטוגרפית הן; החבורה הכפלית  \ \mathbb {Z} _{p}^{*} מעל שדה ראשוני גדול, החבורה הכפלית  \ \mathbb {F} _{q}^{*} מעל שדה סופי מורחב  \ \mathbb {F} _{q} כאשר  \ q=p^{k} ו- \ k\geq 1 וכן החבורה הכפלית  \ \mathbb {F} _{2^{m}}^{*} מעל שדה בינארי  \ \mathbb {F} _{2^{m}} עם מציין 2. כן יש עניין מיוחד בחבורה  \ \mathbb {Z} _{n}^{*} כאשר  \ n שלם פריק, קבוצת הנקודות בעקום אליפטי המוגדר מעל שדה סופי ועקום היפר-אליפטי מעל שדה סופי.
ראו גם

בעיית RSA
אלגוריתם רו של פולרד ללוגריתם הבדיד
הערות שוליים

↑  Introduction to Modern Cryptography (2nd edition), Jonathan Katz and Yehuda Lindell
↑  Shor, Peter (1997). "Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer". SIAM Journal on Computing
המחשה של אלגוריתם צעד-קטן צעד-גדול
גומייסה

| --- | --- |
   
 מיקומו של גומייסה בקבוצת הכוכבים כלב קטן
 נתוני תצפית
 קבוצת כוכבים:  כלב קטן
 שמות נוספים:  β בכלב קטן, HD 58715
 סוג:  כוכב הסדרה הראשית כחול
 בהירות נראית:  2.89
 סיווג ספקטרלי:  B8 Ve
 עלייה ישרה:  07ʰ 27ᵐ 09.04ˢ מילי-שניות קשת בשנה
 נטייה:  ‏21.54″ ‏17′ ‏08°‏+ מילי-שניות קשת בשנה
 מאפיינים פיזיים
 בהירות מוחלטת:  0.59-
 מרחק:  162  שנות אור 49.67  פארסק
 רדיוס:  4.2-2.8 רדיוסי שמש
 מסה:  3.5 מסות שמש
 עוצמת הארה:  פי 150 מהשמש
 טמפרטורה:  13,740 K
 מהירות סיבוב:  270 ק"מ/שנייה
 מהירות רדיאלית:  22 קילומטר בשנייה
 היסט:  20.3535±1.222 אלפיות של שניות קשת
גוֹמֵייסָה (מערבית الغميصاء - "אל-גמיסה" טרוטת העיניים), נקרא גם β בכלב קטן, הוא הכוכב השני בבהירותו בקבוצת הכוכבים כלב קטן עם בהירות מדרגה 2.89. במקור השם ניתן לפרוקיון, שייצג בחורה הבוכה על כך שנעזבה על ידי שתי אחיותיה, סיריוס וקאנופוס. כאשר התקבע השם פרוקיון, עבר השם גומייסה לכוכב הסמוך. כ-3 מעלות מדרום לגומייסה נמצא כוכב לויטן, אחד הכוכבים הקרובים ביותר למערכת השמש, אך למרות שהם נראים קרובים, גומייסה נמצא למעשה במרחק גדול בהרבה - כ-162 שנות אור ממערכת השמש, כלומר המרחק בינו ובין כוכב לויטן הוא כ-150 שנות אור.
תכונות

גומייסה הוא כוכב הסדרה הראשית כחול מסוג ספקטרלי B8 Ve, עם מסה של כ-3.5 מסות שמש ורדיוס של כ-2.8 רדיוסי שמש בקטבים ולמעלה מ-4 רדיוסי שמש בקו המשווה, זאת בשל מהירות סיבוב גבוהה מאוד שעומדת על לפחות 270 קילומטר בשנייה, קרוב לגבול שמעליו הכוכב מתפרק. בשל השוני ברדיוס גם טמפרטורת פני הכוכב אינה אחידה והיא גבוהה יותר בקטבים ומגיעה שם ל-13,700 קלווין לעומת כ-8,000 קלווין סביב קו המשווה. עוצמת ההארה של הכוכב היא בערך פי 150 מעוצמת ההארה של השמש באור נראה ובערך פי 185 בצירוף הקרינה העל-סגולה. בשל מהירות הסיבוב הגבוהה הכוכב מעיף חומר מפניו ויוצר דיסקת אבק המקיפה אותו ומגיעה למרחק של פי 35 מרדיוס הכוכב (כ-140 רדיוסי שמש). הקרינה העל-סגולה הנפלטת מהכוכב מייננת את החומר בדיסקה וגורמת לספקטרום פליטה של מימן, ובשל כך התוספת e לסוג הספקטרלי. בעבר דווח שבהירותו של גומייסה משתנה והוא סווג כמשתנה γ בקסיופאה, אך מדידות עדכניות יותר לא זיהו שינויים בבהירותו. לעומת זה זוהו פעימות לא רדיאליות שגורמות לשינויים מזעריים של כאלפית דרגת בהירות בתדירות של 7-8 שעות, תופעה שמוכרת בכוכבים נוספים מסוג זה. בשנת 2017 דווח על שינויים מחזוריים קטנים במהירות הרדיאלית של הכוכב שמצביעים על אפשרות לקיומו של בן זוג עמום עם מסה נמוכה של פחות מחצי מסת שמש, שמקיף את גומייסה בזמן מחזור של כ-170 ימים, אך לא נמצאו עדויות ישירות לקיומו של בן זוג כזה. ייתכן שבן הזוג הוא ננס לבן עמום מכדי להראות וייתכן שמדובר בכוכב שהיה בעבר המסיבי מבין השניים וכאשר עזב את הסדרה הראשית, התנפח והפך לענק אדום, איבד את רוב מסתו לטובת בן זוגו. עם זאת, ייתכן שהשינויים שנמדדו נובעים משינויים בכוכב עצמו ולמעשה אין לו כלל בן זוג.
הערות שוליים

1 2 3 4  SIMBAD: Gomeisa
1 2 3 4 5 6  R. Klement, A. C. Carciofi, T. Rivinius, D. Panoglou, R. G. Vieira, J. E. Bjorkman, S. Štefl, C. Tycner, D. M. Faes, D. Korčáková, A. Müller, R. T. Zavala & M. Curé: Multitechnique testing of the viscous decretion disk model. I. The stable and tenuous disk of the late-type Be star β CMi, Astronomy & Astrophysics, Vol. 584, id. A85, p. 8 (2015)
↑  W. M. Smart: On a suspected variation in the light of β Canis Minoris, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 96, p. 258 (1936)
↑  General Catalogue of Variable Stars: β Canis Minoris
↑  H. Bozic, M. Muminovic, K. Pavlovski, M. Stupar, P. Harmanec, J. Horn & P. Koubsky: No Rapid Variability Observed for the Be Stars HD 58050 and β CMi, Information Bulletin on Variable Stars, No. 2123, #1 (1982)
↑  H. Saio, C. Cameron, R. Kuschnig, G. A. H. Walker, J. M. Matthews, J. F. Rowe, U. Lee, D. Huber, W. W. Weiss, D. B. Guenther, A. F. J. Moffat, S. M. Rucinski & D. Sasselov: MOST Detects g-Modes in the Late-Type Be Star β Canis Minoris (B8 Ve), The Astrophysical Journal, Vol. 654, Iss. 1, p. 544 (2007)
↑  N. Dulaney, N. D. Richardson, C. J. Gerhartz, J. E. Bjorkman, K. S. Bjorkman, A. C. Carciofi, R. Klement, L. Wang, N. D. Morrison, A. D. Bratcher, J. J. Greco, K. K. Hardegree-Ullman, L. Lembryk, W. L. Oswald & J. L. Trucks: A Spectroscopic Orbit for the late-type Be star β CMi, The Astrophysical Journal, Vol. 836, Iss. 1, article id. 112 (2017)
דוכסות קלדקארי

דוכסות קלדקארי (בגאורגית: კლდეკარის საერისთავო, קלדֶקאריס סאאֶריסתאבוֹ) הייתה דוכסות פאודלית שהתקיימה בגאורגיה בימי הביניים. הדוכסות הונהגה על ידי שושלת אצולה גאורגית בעלת עוצמה, בר'וואשי, והתקיימה בין השנים 876–1103, בדרום מחוז כארתלי תחתית. למרות גודלה הקטן, גרמה הדוכסות לבעיות רציניות למלכים הבגרטיוניים, ששאפו לאחד את כל אדמות גאורגיה לממלכה אחת.
היסטוריה

הדוכסות נוסדה בשנת 876 על ידי ליפריט הראשון מבית בר'וואשי, שגורש על ידי המלכים האבחזים מהאחוזה הפאודלית שלו ארגוותי שבאימרתי עילית. ליפרטי מצא מחסה במחוז ההיסטורי תריאלתי, שם הותר לו, על ידי דוד הראשון קורופלאטס (876–881), מענף כארתלי של בגרטידים האיברים, מלך טאו-קלארג'תי, לבנות מצודה חזקה שנקראה, מצודת קלדקארי, שהפירוש המילולי של שמה הוא "שער מסולע", ולשלוט בדרכים המשמשים קיצור דרך מסולע המחברים את מחוזות מזרח גאורגיה עם המדינות השכנות מדרום והאימפריה הביזנטית. בהיותה בעמדת מפתח, הצליחה משפחת בר'וואשי להגיע למעמד בו היא התמודדה על גבולותיה עם הנסיכויות השכנות. עם היווסדה של הממלכה הגאורגית המאוחדת, על ידי בגרט השלישי, התפרצה היריבות בין שושלת בר'וואשי לשושלת בגרטיוני. במאבק בין המשפחות גבר בגרט על ראטי הראשון, והכריח אותו, בשנת 889, לוותר על השלטון בדוכסות לטובת בנו, ליפריט השני.
האמיר של אמירות טביליסי, ג'עפר (1032–1046), כלא את ליפריט, ולמרות חילוקי הדעות בין בגרט לליפריט, שחרר אותו בגרט. מאוחר יותר, בשנים 1038–1040, הטיל צבא גאורגי משותף, בראשות בגרט וליפריט, מצור על טביליסי, אלא שהמלך נסוג מהמצור עקב חילוקי דעות שנבעו מהאיבה התהומית של הליפריטים לבגרטיונים. כתוצאה מכך הפך ליפריט ליריב מושבע של בגרט.
בשנת 1048, נתפס ליפריט בידי הסלג'וקים במהלך המלחמה הביזנטית-סלג'וקית. בגרט ניצל את המצב והשתלט על העיר אופליסציחה, שבה את משפחתו של ליפריט והשתלט על טביליסי. בשנת 1051, שחררו הסלג'וקים את ליפריט, שחזר לגאורגיה עם כוח ביזנטי חדש והשתלט על מזרח גאורגיה. כשהוא מובס וחושש מהתפוררות ממלכתו, שם בגרט את פעמיו לקונסטנטינופול, וניהל משא ומתן על הסכם שלום. בהיעדרו הפך ליפריט לשליט בפועל על הממלכה בהצהירו על עצמו כעוצר לבנו ויורשו של בגרט הרביעי, גיאורגי. לאחר שלוש שנים של משא ומתן מתיש, הצליח בגרט להבטיח את הנייטרליות של הקיסר הביזנטי וחזר לגאורגיה כדי להחזיר לעצמו את השליטה בממלכתו. בשנת 1058 הכריח בגרט את ליפריט לצאת לגלות. בנו של ליפריט ויורשו, יואנה, הורשה על ידי המלך הגאורגי לרשת את הדוכסות. בשנת 1074, מרד יואנה ביורשו של בגרט, גיאורגי השני, וניסה לקבל את תמיכת הסלג'וקים. למרות זאת, כוח סלג'וקי פלש וכבש באופן זמני את הדוכסות ושבה את השושלת הדוכסית.
דוד הבנאי, יורשו של גיאורגי השני, מהמלכים הגאורגיים המצליחים ביותר, הכריח, בשנת 1093, את משפחת בר'וואשי להגיש את כניעתה למלכות, ובלם את ניסיון המרד שלהם מאוחר יותר. בשנת 1103, ניצל דוד הבנאי את מותו של הדוכס האחרון לבית בר'וואשי, ראטי השלישי, וביטל את הדוכסות כשהוא מעביר את שטח הדוכסות לשליטת לריבונות הממלכה.
| שם הדוכס | שנות שלטון |
| --- | --- |
ליפריט הראשון: 876-?
ליפריט השני: 940-960
ראטי הראשון: 960-988
ליפריט השלישי: 988-1005
ראטי השני: 1005-1021
ליפריט הרביעי: 1021-1059
יואנה: 1059-1074
ליפריט החמישי: 1074-1095
ראטי השלישי: 1095-1102
דוד תדמור

דוד (דודי) תדמור (נולד ב-9 באפריל 1960), הוא עורך דין ישראלי, אשר כיהן בתפקיד הממונה על ההגבלים העסקיים בשנים 1997–2001. בעל תואר דוקטור במשפטים.
חייו

דוד תדמור נולד ב-ירושלים לאשורולוג חיים תדמור ולארכאולוגית מרים תדמור. סיים תואר ראשון במשפטים באוניברסיטה העברית בירושלים (1986); בתקופה זו שימש כעוזר הוראה לפרופסור אוריאל פרוקצ'יה בדיני חברות ומימון חברות. התמחה אצל השופט העליון מאיר שמגר וסיים תואר שני במשפטים (1988) ותואר דוקטור במשפטים (1992) בבית הספר למשפטים של אוניברסיטת ניו יורק (NYU). נושא הדוקטורט שלו היה הפרטה ובעלות עובדים במניות מעסיקים. תדמור הוא חבר לשכת עורכי-הדין בישראל ולשכת עורכי הדין במדינת ניו-יורק שבארצות הברית.
בשנים 1988–1993 שימש כעורך דין בתחום דיני חברות במשרד עורכי הדין Wachtell, Lipton, Rosen & Katz בניו יורק.
בשנים 1996–1997 היה חבר בית הדין להגבלים עסקיים, ובשנים 1997–2001 כיהן כממונה על ההגבלים העסקיים. עם פרישתו מתפקיד זה הצטרף כשותף בכיר למשרד עורכי הדין כספי ושות' בראשות רם כספי. במסגרת זו מונה למנהל מורשה זמני של הבנק למסחר, בעקבות קריסתו עקב מעילת הענק של אתי אלון.
ב-1999 היה חבר בוועדת בן בסט לעניין שליטת הבנקים בקופות הגמל.
בשנת 2005 פרש ממשרד כספי ושות', והקים את משרד תדמור ושות' בתל אביב בו היה שותף מנהל. משרדו התמחה ברכישות ומיזוגים, הגבלים עסקיים ודיני תקשורת. במסגרת זו ייצג את בנק הפועלים, בנק לאומי, הבנק הבינלאומי ובנק דיסקונט בהסדר מחדש של החוב והמימון של חברות הכבלים, בהיקף של 4 מיליארד שקל. בשנת 2015, התמזג משרד תדמור ושות' התמזג עם משרד פרופ' יובל לוי ושות'. בעקבות מיזוג זה, שונה שם המשרד לתדמור ושות' פרופ' יובל לוי ושות'. בשנת 2018, כחלק מהליך מיתוג מחדש, שונה שם המשרד לתדמור לוי ושות'. בשנת 2023 התמזג המשרד עם משרד יגאל ארנון ושות', ונקרא כיום ארנון תדמור לוי.
שימש כמורה מן החוץ בפקולטה למשפטים של האוניברסיטה העברית בירושלים (דיני הפרטה, 1993–1995); במרכז הבינתחומי הרצליה (חוק ההגבלים העסקיים, 1998); ובפקולטה למשפטים של אוניברסיטת תל אביב (חוק התקשורת, חוק ההגבלים העסקיים ודיני חברות, 1996–2003). מכהן כיו"ר ועדת התאגידים של לשכת עורכי הדין. יושב בחבר הנאמנים של קרן אבי חי.
כתב את הספר "דיני הגבלים עסקיים".
מגיש את תוכנית הרדיו "חקירה נגדית", התוכנית המשפטית של גלי צה"ל.
מרבה לעסוק בצילום ואף הציג תערוכות מעבודותיו.
הערות שוליים

↑  יואב יצחק, הבנק למסחר התמוטט בעקבות מעילת ענק; עו"ד דוד תדמור מונה למנהל מורשה זמני, באתר News1, ‏26/04/2002 (ארכיון)
↑  חן מענית, ‏משרדי עוה"ד תדמור ושות' ופרופ' יובל לוי ושות' מתמזגים, באתר גלובס, 24 בדצמבר 2014
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007433324905171  VIAF: 70148874368349620634   WorldCat (עם VIAF): 70148874368349620634
ג'נה אלפמן

| --- | --- |

אלפמן בכנס קומיק-קון, 2018
 לידה:  30 בספטמבר 1971 (בת 53) לוס אנג'לס, קליפורניה, ארצות הברית
 שם לידה:  ג'ניפר מארי בוטאלה
 מדינה:  ארצות הברית ארצות הברית
 תקופת הפעילות:  מ-1990 
 מקום לימודים:  אוניברסיטת מדינת קליפורניה  התיכון לאמנויות של מחוז לוס אנג'לס 
 בן או בת זוג:  בודי אלפמן (1995–?) 
 מספר צאצאים:  2 
 http://www.jennaelfman.com
 פרופיל ב-IMDb
 
ג'ניפר מארי "ג'נה" אלפמן (באנגלית: Jennifer Mary "Jenna" Elfman‏; נולדה ב-30 בספטמבר 1971) היא שחקנית קולנוע וטלוויזיה אמריקאית. ידועה בעיקר בשל תפקידה בתור דארמה פינקלשטיין בסדרה "דארמה וגרג" (2002-1997); בעבורו זכתה בפרס גלובוס הזהב לשחקנית הטובה ביותר מתוך שלוש מועמדויות ובנוסף קיבלה מועמדות לשלושה פרסי אמי. לאחר מכן התפרסמה בשל תפקידה בתור ג'ון דורי בסדרה "אימת המתים המהלכים" (2018-ואילך).
ביוגרפיה

נולדה בשם ג'ניפר מארי בוטאלה (Jennifer Mary Butala) בלוס אנג'לס שבארצות הברית, למשפחה קתולית. אימה היא סו (גרייס), עקרת בית, ואביה הוא ריצ'רד בוטאלה, מנהל בחברת יוז איירקראפט. למדה בבית ספר תיכון לאמנויות בלוס אנג'לס במגמת ריקוד וסיימה ב-1989.
קריירה

אלפמן החלה כרקדנית אך עברה למשחק בתחילת שנות ה-90. אחד מתפקידיה הראשונים היה תפקיד ראשי בסרט המוזיקלי "בקתה שחורה" מ-1993 בהשתתפות להקת הרוק אנתרקס. בהמשך השתתפה בפרסומות מסחריות רבות ובתפקידי אורח בסדרות כגון "רוזאן", "NYPD" ו"רצח מדרגה ראשונה".
ב-1996 הרשימה את חברת השידור ABC כשהשתתפה בקומדיה "עירוניות" שאמנם לא הצליחה אך סללה את דרכה לתפקיד הנשי הראשי בקומדיית הטלוויזיה "דארמה וגרג" ששודרה במשך חמש עונות בשנים 1997–2002. על תפקידה בסדרה זו זכתה בפרס גלובוס הזהב מתוך שלוש מועמדויות והייתה מועמדת לשלושה פרסי אמי.
ב-2003 התארחה אלפמן בשני פרקים בסדרה "שני גברים וחצי".
ב-2009 קיבלה תפקיד ראשי בקומדיה של CBS "במקרה-בכוונה". ושיחקה בסרט הרומנטי "אהבה כואבת".
בשנת 2018 הצטרפה לעונה הרביעית לצוות השחקנית הראשי של סדרת האימה "אימת המתים המהלכים" המשודרת ברשת AMC; אלפמן מגלמת בסדרה את דמותה של ג'ון "נעמי/לורה" דורי, אחות חביבה ומסתורית שמדיסון נתקלת בה ומתקבלת בברכה בקבוצה של מורגן.
חיים אישיים

בפברואר 1991, אלפמן הכירה את השחקן האמריקאי ממוצא יהודי בודי אלפמן (אנ') (אחיינו של המלחין דני אלפמן), באודישן לפרסומת של "ספרייט"; והשניים התחתנו ב-18 בפברואר 1995.
בשנת 2000, אלפמן ובודי קנו את ביתה של מדונה, בית בשטח של 460 מ"ר משנות ה-20 על מגרש סגור בשטח של שני דונם בשכונת הוליווד הילס בלוס אנג'לס. לאחר ששילמו 4 מיליון דולר, הם מכרו מאוחר יותר את הנכס באפריל 2004 תמורת 4.7 מיליון דולר לשחקנית קייטי סגל.
ב-23 ביולי 2007 נולד בנם הראשון של הזוג, סטורי. ב-2010 נולד לזוג בנם השני, איטון.
היא אמנם גדלה כקתולית, אך המירה את דתה לסיינטולוגיה בעקבות בעלה.
פילמוגרפיה > קולנוע

| שנה | סרט | תפקיד | הערות |
| --- | --- | --- | --- |
| 1997 | מפגש בגרוס פוינט | טניה |  |
| 1998 | דוקטור דוליטל | ינשופה | דיבוב |
| 1998 | לא יכולים להתאפק | המלאך |  |
| 1998 | השבט האבוד | ורוניקה מיצ'לי |  |
| 1999 | החיים בשידור חי | שרי |  |
| 2000 | CyberWorld | פיג | דיבוב |
| 2000 | לשמור אמונים | אנה ריילי |  |
| 2001 | משחקי חברה | אובורן |  |
| 2003 | לוני טונס: חוזרים לאקשן | קייט האוטון |  |
| 2004 | ההרפתקה הגדולה של קליפורד | דורות'י | דיבוב |
| 2005 | Touched | אנג'לה מרטין | גם מפיקה בפועל |
| 2009 | מת על נשים | אופליה |  |
| 2009 | אהבה כואבת | דרלין |  |
| 2011 | ידידים פלוס | אנני |  |
| 2014 | Big Stone Gap | מיס איווה לו ווייד |  |
| 2016 | בארי | קטי באומן |  |
פילמוגרפיה > טלוויזיה

| שנה | סדרה | תפקיד | הערות |
| --- | --- | --- | --- |
| 1992 | רצח במשיכת קולמוס | רקדנית בלט | פרק: "Dance Diabolique" |
| 1992 | Freshman Dorm | טינה | פרק: "The Scarlett Letter" |
| 1993 | Double Deception | ליסה מאיורקי | סרט טלוויזיה של NBC |
| 1994 | המופע של ג'ורג' קרלין | ילדה פסיכדלית | פרק: "George Does A Bad Thing" |
| 1995 | The Monroes | לילי | פרק: "Bottoms, Up" |
| 1995 | רוזאן | גארלנד | פרק: "The Getaway, Almost" |
| 1995 | Pointman | מרי אלן | פרק: "Storm Warning" |
| 1996 | Her Last Chance | לזלי | סרט טלוויזיה של NBC |
| 1996 | Townies | שאנון קאנוטיס | תפקיד ראשי; 15 פרקים |
| 1996 | רצח מדרגה ראשונה | אנג'לה סקאלס | פרק: "Chapter Seventeen" |
| 1996 | Almost Perfect | בקי טול | פרק: "Being Fired Means Never Having to Say You're Sorry" |
| 1996 | NYPD Blue | פאטי שואו | פרק: "The Nutty Confessor" |
| 1997 | הרווק | ג'ורדן | פרק: "Just Friends?" |
| 1997 - 2002 | דארמה וגרג | דארמה פינקלשטיין מונטגומרי | תפקיד ראשי (5 עונות); 119 פרקים |
| 2000 | The Tangerine Bear | לורליי | דיבוב; סרט טלוויזיה של ABC |
| 2002 | Obsessed | אלנה רוברטס | סרט טלוויזיה של Lifetime |
| 2004, 2011 | שני גברים וחצי | פרנקי / דארמה מונטגומרי | 3 פרקים |
| 2006 | Courting Alex | אלכס רוז | תפקיד ראשי; 12 פרקים |
| 2007 | אחים ואחיות | ליזי ג'ונס-בייקר | פרק: "Game Night" |
| 2008 | קוראים לי ארל | קימי הימלר | פרק: "We've Got Spirit" |
| 2009 | סוכן מיוחד אוסו | אמא של מאיה | דיבוב; פרק: "The Boy with the Golden Gift/Birthdays Are Forever" |
| 2009 - 2010 | במקרה בכוונה | בילי צ'ייס | תפקיד ראשי; 18 פרקים |
| 2011 | Matumbo Goldberg | מאטומבה גולדברג | 5 פרקים |
| 2012 | חסרי בושה | ג'יל | פרק: "Fiona Interrupted" |
| 2012 | Damages | נעמי ווילינג | 7 פרקים |
| 2012 - 2013 | 1600 Penn | אמילי נאש גילבריסט | תפקיד ראשי; 13 פרקים |
| 2013 | מינדי | פרסיליה | פרק: "Mindy Lahiri Is a Racist" |
| 2013 | רופא להשכיר | לייסי | פרק: "Open Invitation" |
| 2014 | Growing Up Fisher | ג'ויס פישר | תפקיד ראשי; 13 פרקים |
| 2014 | Gigi: Almost American | יוגי דנדרה | פרק: "Yogi" |
| 2017 | Imaginary Mary | אליס | תפקיד ראשי; 9 פרקים |
| 2018 - הווה | אימת המתים המהלכים | ג'ון "נעמי/לורה" דורי | תפקיד ראשי (עונה 4 ואילך); 64 פרקים |
| 2020 | אזור הדמדומים | ברברה | פרק: "A Human Face" |
| 2024 | וויל טרנט (אנ') | אדי ריינולדס | פרק: "Capt. Duke Wagner's Daughter" |
דוכסות סקסוניה-רמהילד

| --- | --- |
סמל

 
 ממשל
 משטר:  מונרכיה
 שפה נפוצה:  גרמנית
 עיר בירה:  רמהילד
 גאוגרפיה
 יבשת:  אירופה
 היסטוריה
 הקמה:  חלוקת הדוכסות בין יורשי ארנסט הראשון, דוכס סקסוניה-גותה
 תאריך:  1680
 פירוק:  ירושת הנחלות על ידי דוכסות סקסוניה-קובורג-זאלפלד
 תאריך:  1710
 ישות קודמת:   דוכסות סקסוניה-גותה
 ישות יורשת:   דוכסות סקסוניה-קובורג-זאלפלד
 
דוכסות סקסוניה-רמהילד (גרמנית: Sachsen-Römhild, נהגה "זקסן-רמהילד") הוא שמה של דוכסות גרמנית בתורינגיה, שהתקיימה במשך תקופה קצרה, וצורפה לאחר מכן לדוכסות סקסוניה-קובורג-זאלפלד.