תורת הקבוצות - מונחים

תורת הקבוצות : ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.
קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
תת קבוצה: קבוצה  B היא תת קבוצה של הקבוצה  A אם כל איבר של  B שייך גם ל- A. נסמן זאת בצורה:  B\subseteq A.
הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן  \emptyset  (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
פעולות על קבוצות :
איחוד : פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: A\cup B .
הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
חיתוך : פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: A\cap B .
הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר  A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) ו- A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)
הפרש : ההפרש בין A ל־ B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־ A ולא שייכים ל־ B .
פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
הפרש סימטרי : ההפרש הסימטרי של הקבוצות A ו- B הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי A שלא שייכים ל- B וכל איברי B שלא שייכים ל־ A - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
מכפלה קרטזית : המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A,B היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל- A והשני שייך ל- B . ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
בחירה
קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
עוצמה : מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה A תסומן \left|A\right| .
\aleph _{0} (אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
\aleph  או  {\mathfrak {c}}: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.
השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין  \aleph _{0} ו- \aleph , זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).
קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס).
קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה  A תסומן  {\mathcal {P}}(A).
יחס (בינארי) : קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - A , והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - B (לא בהכרח שונה מ- A ). בכתיב פורמלי: קבוצה R תיקרא יחס מ- A ל- B אם \!\,R\subseteq A\times B .
פונקציה : יחס בו לכל איבר של A קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה  \!\,f:X\rightarrow Y תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל  y בטווח  Y קיים לכל היותר  x אחד בתחום  X המקיים  \!\,f(x)=y.
פונקציה על: פונקציה  \!\,f:X\rightarrow Y תקרא על אם לכל  y בטווח  Y קיים לפחות  x אחד בתחום  X המקיים  \!\,f(x)=y.
פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל  y קיים  x יחיד כך ש- f(x)=y (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה  A המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
סדר חלקי : יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
סדר מלא : סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
קבוצת כל הפונקציות מקבוצה  A לקבוצה  B: קבוצה המסומנת  B^{A} והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה  A אל תוך הקבוצה  B.
הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.
ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
משפטים:
משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה  A לקבוצה  B, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה  B לקבוצה  A, אז שתי הקבוצות שקולות.