בניית המספרים הממשיים
בנייה > קוואזי-הומומורפיזמים של חוג השלמים

כל מספר ממשי  \alpha \in \mathbb {R}  ניתן לייצג על ידי קירוב רציונלי על פי  \lim _{n\to \infty }{\frac {\lfloor n\alpha \rfloor }{n}}=\alpha . מספיק לדבר על הפונקציה  f(n)=\lfloor n\alpha \rfloor . תכונה מעניינת של פונקציה זו היא שמתקיים  f(n+m)\approx f(n)+f(m), במובן שיתואר להלן. אם נדבר על אוסף כל הפונקציות המקיימות תכונה זו, נראה שניתן לייצג כל מספר ממשי באמצעות כמה פונקציות כאלו.
בניה זו מדלגת על הרציונלים, ומגדירה את הממשיים הישר מתוך חוג המספרים השלמים.
נאמר כי פונקציה  f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}  היא קוואזי-הומומורפיזם, אם קיים  k\in \mathbb {N}  כך שלכל  n,m\in \mathbb {Z}  מתקיים  |f(m+n)-f(m)-f(n)|\leq k. הקבוע  k יכונה קבוע-האדיטיביות של  f.
ניתן להוכיח באינדוקציה כי מתקיים  |f(mn)-mf(n)|\leq (|m|+1)k, ולכן גם  |mf(n)-nf(m)|\leq (|m|+|n|+2)k (מתכונה זו נובע כי  \left\{{\frac {f(n)}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty } היא סדרת קושי, המתכנסת ל \alpha . ניתן לראות כאן דמיון לבנייה של קנטור).
את קבוצת כל הקוואזי-הימומורפיזמים בחוג השלמים נסמן  \mathrm {qh} (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} ). נגדיר יחס שקילות על  \mathrm {qh} (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} ):  f(n)\sim g(n) אם ורק אם קיים  k\in \mathbb {N}  כך ש |f(n)-g(n)|\leq k לכל  n\in \mathbb {Z}  (למעשה, אם נחזור לדבר על סדרות הקושי, המשמעות היא ש \left\{{\frac {f(n)}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\sim \left\{{\frac {g(n)}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty } במובן שתואר בבנייה של קנטור).
נראה כי זהו אכן יחס שקילות:
רפלקסיביות:  \forall n\in \mathbb {Z} ,|f(n)-f(n)|=0\leq 0
סימטריה:  \forall n\in \mathbb {Z} ,|f(n)-g(n)|\leq k\Rightarrow \forall n\in \mathbb {Z} ,|g(n)-f(n)|\leq k
טרנזיטיביות:  \forall n\in \mathbb {Z} ,|f(n)-g(n)|\leq k_{1}\land |g(n)-h(n)|\leq k_{2}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {Z} ,|f(n)-h(n)|\leq |f(n)-g(n)|+|g(n)-h(n)|\leq k_{1}+k_{2}
את קבוצת המנה  \mathrm {qu} (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )/\sim  נסמן  \mathbb {R}  - יצרנו את קבוצת הממשיים.
לכל מספר רציונלי q אפשר להתאים את המחלקה של הפונקציה  \,f_{q}(n)=\lfloor qn\rfloor ; זהו אכן קוואזי-הומומורפיזם. במקרה של מספר שלם מתקבלת הפונקציה  f_{m}(n)=mn.
נגדיר פעולות על הקבוצה:
חיבור: החיבור הרגיל של פונקציות, כלומר  (f+g)(n)=f(n)+g(n). נחבר מחלקות שקילות באמצעות חיבור נציגים.
כפל: הרכבת פונקציית, כלומר  (f\cdot g)(n)=(f\circ g)(n)=f(g(n)). נכפול מחלקות שקילות באמצעות כפל נציגים.
נראה כי ההגדרות לא תלויות בנציגים: יהו  f\sim h,g\sim p כאשר  k_{1} מקיים  |f(n)-h(n)|\leq k_{1}, ו k_{2} מקיים את התכונה לגבי  g,p.
חיבור:  |f(n)+g(n)-h(n)-p(n)|\leq k_{1}+k_{2}, לכן  f+g\sim h+p.
כפל:  f(g(n))-h(p(n))=f(g(n)-p(n)+p(n))-h(p(n)). מתקיים  g(n)-p(n)\leq k_{2}, לכן הביטוי  f(g(n)-p(n)+p(n)) חסום בסביבה כלשהי של  f(p(n)), כלומר קיימים  k',k'' כך ש f(p(n))+k'\leq f(g(n)-p(n)+p(n))\leq f(p(n))+k''. לכן  k_{2}+k'\leq f(g(n)-p(n)+p(n))-f(p(n))+f(p(n))-h(p(n))=f(g(n))-h(p(n))\leq k_{2}+k''. כלומר  |f(g(n))-h(p(n))|\leq K עבור  K\in \mathbb {Z}  כלשהו.
נראה כי הפעולות הפוכות את הקבוצה לשדה:
תכונות החיבור:
סגירות:  |f(n+m)-f(n)-f(m)|\leq k_{1}\land |g(n+m)-g(n)-g(m)|\leq k_{2}\Rightarrow |(f+g)(n+m)-(f+g)(n)-(f+g)(m)|\leq k_{1}+k_{2}.
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס והאיבר הנגדי נובעות מידית מקיום תכונות אלו בחוג  \mathbb {Z} , כאשר מגדירים  0(n)=0 ו- 0=[0], וכן  (-f)(n)=-f(n) ו- -[f]=[-f].
תכונות הכפל:
סגירות: נגדיר  d_{f}(m,n)=f(m+n)-f(m)-f(n). כעת מתקיים  {\begin{aligned}f(g(m+n))-f(g(m))-f(g(n))&=f(g(m)+g(n)+d_{g}(m,n))-f(g(m))-f(g(n))\\&=f(g(n)+d_{g}(m,n))+d_{f}(g(m),g(n)+d_{g}(m,n))-f(g(n))\\&=f(d_{g}(m,n))+d_{f}(g(n),d_{g}(m,n))+d_{f}(g(m),g(n)+d_{g}(m,n))\end{aligned}}. מכיוון ש d_{f},d_{g} הם פונקציות חסומות, והפונקציה  f חסומה על קבוצה סופית (כי תמונת קבוצה סופית היא סופית, ובפרט חסומה), הביטוי כולו חסום.
תכונות האסוציאטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו לכל קבוצה של פונקציות, כאשר מגדירים  1=[I] ( I היא פונקציית הזהות ב \mathbb {Z} )
קומוטטיביות: אם נציב  m=g(n) באי-שוויון  |nf(m)-mf(n)|\leq (|m|+|n|+2)k, נקבל  |n(fg)(n)-f(n)g(n)|\leq (|n|+|g(n)|+2)k_{1}, ולכן גם  |n(gf)(n)-f(n)g(n)|\leq (|n|+|f(n)|+2)k. לכן מתקיים  |n|\cdot |(fg)(n)-(gf)(n)|\leq (2|n|+|f(n)|+|g(n)|+4)k כאשר  k=\max\{k_{1},k_{2}\}. נשים לב שמתקיים  |f(n)|\leq |f(n\cdot 1)-n\cdot f(1)|+|n||f(1)|\leq (|n|+1)k+|n||f(1)|\leq |n|(2k+|f(1)|):=k'|n|, לכן  |n|\cdot |(fg)(n)-(gf)(n)|\leq (2|n|+|n|k'+|n|k'+4)k\leq |n|(6+2k')k:=k''|n|, לכן  |(fg)(n)-(gf)(n)|\leq k''. בכל זאת הנחנו כי  4\leq 4|n|, מה שמתקיים רק עבור  n\not =0. לכן נגדיר  K=\max\{k'',|(fg)(0)-(gf)(0)|\}, ונקבל  |(fg)(n)-(gf)(n)|\leq K. קיבלנו  fg\sim gf, כלומר  [f][g]=[g][f].
לפני שניגש להוכיח את תכונת ההפיכות, נגדיר חיוביות של קוואזי-הומומורפיזם:  f חיובית אם"ם קיים  k\in \mathbb {Z}  כך שלכל  n\in \mathbb {N} ,  f(n)\geq k. ברור שאם  f חיובית ו g\sim f, אז  g חיובית (במובן של סדרות קושי, המשמעות היא ש \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}\geq 0, מה שמסתדר מצוין עם העובדה שהסדרה מתכנסת למספר אותו הפונקציה מייצגת). לכן ניתן לדבר על חיוביות של  [f], כחיוביות של  f. נראה כי אם  f לא חיובית, אז  -f חיובית: כל קוואזי-הומומורפיזם שקול לקוואזי-הומומורפיזם המקיים  f(0)=0, לכן מספיק להוכיח רק לגבי אלו המקיימים  f(0)=0: נניח בשלילה שגם f וגם  -f לא חיוביות. אז לכל  k קיים  r\in \mathbb {N}  כך ש f(r)>k, וקיים  s כך ש -f(s)>k, כלומר  f(s)<-k. f קוואזי הומומורפיזם, לכן קיים  k\in \mathbb {N}  כך שלכל  n,m\in \mathbb {Z}  מתקיים  |f(n+m)-f(n)-f(m)|\leq k. יהי  r המספר הטבעי המינימלי שעבורו  f(r)>k, ויהי  s\in \mathbb {N}  המספר הטבעי המינימלי שעבורו  f(s)<-k. בבירור  r,s>0, וכן  r\not =s. אם  r>s, אז  0<r-s<r, ומהמינימליות של r נקבל  f(s-r)\leq k, ולכן  f(r)-f(r-s)-f(s)>k-k+k=k, בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. אם  s>r, אז  0<s-r<s, ומהמינימליות של s נקבל  f(r-s)\geq -k, ולכן  f(s)-f(s-r)-f(r)<-k+k-k=-k, שוב בסתירה לכך שf קוואזי-הומומורפיזם. לכן תמיד אם  f לא חיובית,  -f חיובית.
קיום איבר הופכי: אם  [f]\not =0 חיובית, נגדיר  g(n)=\min\{m\in \mathbb {N} |f(m)\geq n\}. נראה שמתקיים  [f][g]=1:  f(g(n))\geq n, לכן  f(g(n))-n\geq 0. מכיוון שf היא קוואזי-הומומורפיזם, נקבל  f(g(n))-f(g(n)-1)-f(1)\leq k. מכיוון ש f(g(n)-1)>n (על פי ההגדרה), נקבל  f(g(n))-n\leq k+f(1). קיבלנו  0\leq f(g(n))-n\leq k+f(1), לכן קיים  K\in \mathbb {N}  כך ש |f(g(n))-I(n)|\leq K. קיבלנו  fg\sim I. לכן  g=f^{-1}. אם  f לא חיובית, נגדיר  [f]^{-1}=-[-f]^{-1}.
דיסטריבוטיביות:  |f(g(n)+h(n))-f(g(n))-f(h(n))|\leq k, לכן  |(f(g+h))(n)-(fg+fh)(n)|\leq k, כלומר  f(g+h)\sim fg+fh.
נגדיר יחס סדר על השדה:  [f]\leq [g] אם ורק אם  g-f חיובית. נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים: נניח כי  |f(n)-h(n)|\leq k_{1}\ \ ,\ \ |g(n)-p(n)|\leq k_{2}\ \ ,\ \ g(n)-f(n)\geq k_{3}. אז מתקיים  p(n)-h(n)=p(n)-g(n)+g(n)-h(n)\geq -|p(n)-g(n)|+g(n)-f(n)+f(n)-h(n)\geq -k_{2}+k_{3}-|f(n)-h(n)|\geq -k_{2}+k_{3}-k_{1}. מעתה נוכל לדבר פשוט על  f\leq g, במקום  [f]\leq [g].
נראה כי זהו אכן יחס סדר מלא חלש:
רפלקסיביות:  f(n)-f(n)=0\geq 0, לכן  f\leq f.
אנטי-סימטריה: עלינו להראות כי אם  f-g,g-f חיוביות, אז  f\sim g. מספיק שנראה כי אם  f,-f חיוביות, אז  f\sim 0. נניח כי  f(n)\geq k_{1}\ \ ,\ \ -f(n)\geq k_{2} לכל  n\in \mathbb {N} . אז מתקיים  -k_{2}\leq f(n)\leq k_{1}, ואם נסמן  k'=\max\{|k_{1}|,|k_{2}|\}, נקבל  |f(n)|\leq k לכל  n\in \mathbb {N} . כעת עלינו להראות כי קיים  k'' כך ש |f(-n)|\leq k'' לכל  n\in \mathbb {N} , ואז על ידי סימון  K=\max\{k',k''\} נקבל  |f(n)-0|\leq K לכל  n\in \mathbb {Z} . קיים  k\in \mathbb {Z}  כך ש |f(m+n)-f(m)-f(n)|\leq k, לכן  |f(-n)|\leq |f(-n)+f(n)-f(0)|+|f(n)|+|f(0)|\leq k+k'+|f(0)|:=k''.
טרנזיטיביות: נניח כי  g(n)-f(n)\geq k_{1}\ \ ,\ \ h(n)-g(n)\geq k_{2} לכל  n\in \mathbb {N} . אז לכל  n\in \mathbb {N}  מתקיים  h(n)-f(n)=h(n)-g(n)+g(n)-f(n)\geq k_{1}+k_{2}, לכן  f\leq h.
נראה כי השדה הוא שדה סדור:
איזוטוניות ביחס לחיבור: אם  g-f חיובית, אז גם  (g+h)-(f+h)=g-f חיובית, כלומר  f+h\leq g+h.
איזוטוניות ביחס לכפל: מספיק שנראה כי אם  f,g חיוביות, אז  fg חיובית. נניח כי  f(n)\geq k_{1}\ \ ,\ \ g(n)\geq k_{2} לכל  n\in \mathbb {N} . אם נגדיר  h(n)=g(n)-k_{2} נקבל ש h\sim g, לכן מספיק שנראה כי  fh חיובית. לכל  n\in \mathbb {N}  מתקיים  h(n)=g(n)-k_{2}\geq 0, כלומר  h(n)\in \mathbb {N} , לכן  (fh)(n)=f(h(n))\geq k_{1}.
לפני שנוכיח את שלמות השדה, נוכיח כי ניתן להגדיר את פונקציית הערך השלם על  \mathbb {R} : יהי  [f]\in \mathbb {R}  כאשר קבוע האדיטיביות של f הוא k. מתקיים  |1\cdot f(n)-n\cdot f(1)|\leq 2k, כלומר  |f(n)|\leq 2k+|n||f(1)|\leq (2k+|f(1)|)|n|:=m|n|. קיבלנו כי  -mn\leq f(n)\leq mn לכל  n\in \mathbb {N} , כלומר  -m\leq [f]\leq m (במילים אחרות,  \mathbb {R}  ארכימדי). קיבלנו כי הקבוצה  A:=\{n\in \mathbb {Z} |-m\leq n\leq [f]\} חסומה ולא ריקה, לכן ניתן להגדיר  \lfloor [f]\rfloor =\max A. קל לראות שמתקיימות כל תכונות פונקציית הערך השלם.
כעת נוכיח כי השדה הוא שלם: תהי  S\subseteq \mathbb {R}  תת-קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל על ידי  X. אם ל S יש מקסימום, אז הוא האינפימום שלה. לכן נניח שלכל  x\in S קיים  y\in S כך ש x<y. נגדיר  f(n)={\begin{cases}\max\{\lfloor nx\rfloor |x\in S\}&n\geq 0\\-f(-n)&\mathrm {else} \end{cases}}.
נראה כי f היא קוואזי-הומומורפיזם: לכל  n\in \mathbb {N}  קיים  x_{n}\in S כך ש f(n)=\lfloor nx_{n}\rfloor , ואז לכל  x\in S מתקיים  \lfloor nx\rfloor \leq \lfloor nx_{n}\rfloor . יהו  m,n\in \mathbb {N} , ונגדיר  x=\max\{x_{n},x_{m},x_{n+m}\}. מתקיים  \lfloor nx_{n}\rfloor =\lfloor nx\rfloor \ ,\ \lfloor mx_{m}\rfloor =\lfloor mx\rfloor \ ,\ \lfloor (n+m)x_{n+m}\rfloor =\lfloor nx+mx\rfloor , כלומר  f(n+m)-f(n)-f(m)=\lfloor nx+mx\rfloor -\lfloor nx\rfloor -\lfloor mx\rfloor . מתקיים  0\leq nx-\lfloor nx\rfloor <1\ ,\ 0\leq mx-\lfloor mx\rfloor <1, לכן  0\leq nx+mx-\lfloor nx\rfloor -\lfloor mx\rfloor <2. אם נפעיל את פונקציית הערך השלם על אי-השוויון, נקבל  0\leq \lfloor nx+mx\rfloor -\lfloor nx\rfloor -\lfloor mx\rfloor <2, כלומר  0\leq f(n+m)-f(n)-f(m)<2. אם  m,n<0, נקבל  |f(m+n)-f(m)-f(n)|=|f(-m)+f(-n)-f(-m-n)|\leq 2. במקרה השלישי נוכל להניח כי  m\geq 0,n<0. אם  m+n\leq 0, נגדיר  a=m\ ,\ b=-m-n. אם  m+n>0, נגדיר  a=n+m\ ,\ b=-n. בשני המקרים מתקיים  a,b\geq 0, וכן  |f(m+n)-f(m)-f(n)|=|-f(b)-f(a)+f(a+b)|\leq 2 במקרה הראשון, ו |f(m+n)-f(m)-f(n)|=|f(a)-f(a+b)+f(b)|\leq 2.
נגדיר  s=[f]. נוכיח כי s הוא סופרמום: יהי  x\in S. הנחנו כי לקבוצה S אין מקסימום, לכן יהי  x<y\in S. קל להשתכנע ש- \mathbb {Q}  צפופה ב- \mathbb {R} , לכן קיימים  M\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N}  כך ש x<{\frac {M}{N}}<y. לכל n טבעי מתקיים  f(Nn)=\max\{\lfloor Nnx\rfloor |x\in S\}\geq \lfloor Nny\rfloor \geq \lfloor Nn{\frac {M}{N}}\rfloor =\lfloor Mn\rfloor =Mn. נובע מכך בקלות ש sN=[f]N=[n\mapsto f(Nn)]\geq [n\mapsto Mn]=M, לכן  s\geq {\frac {M}{N}}>x, כלומר  s חסם מלעיל של  S.
כעת יהי  y חסם מלעיל, ונניח בשלילה ש y<s: שוב קיימים  M\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N}  כך ש y<{\frac {M}{N}}<s, כלומר  Ny<M<Ns. מתקיים  (sN)(n)=f(Nn), וכן  M(n)=Mn, לכן מכך ש M<sN נקבל שעבור אינסוף ערכי  n טבעיים, מתקיים  f(Nn)>Mn. מצד שני, מתקיים  f(Nn)=\lfloor Nnx\rfloor  עבור  x\in S כלשהו. מכיוון ש Nnx\leq nNy<nM, נקבל  f(nN)=\lfloor Nnx\rfloor \leq \lfloor Mn\rfloor =Nn, בסתירה לכך ש f(Nn)>Mn. לכן  s=\sup S.