תאוריית הגלים של איירי
גזירת פונקציית הפוטנציאל > ניסוח משוואות הזרימה

הגלים מתקדמים בכיוון האופקי, שנזהה אותו עם הקואורדינטה x, ותחום הזורם חסום מלמעלה על ידי משטח חופשי (z = η(x,t, כאשר z היא הקואורדינטה האנכית (שהיא חיובית בכיוון למעלה) ו-t הוא הזמן. המפלס z = 0 מתאים לגובה הממוצע של פני הזורם. הקרקעית שמתחת לשכבת הזורם היא בגובה z = -h. בנוסף, נניח כי הזרימה היא אי-דחיסה (צפיפות הזורם קבועה) ואי-רוטציונית - קירוב טוב של הזרימה בתחום הזורם בעבור גלים על משטח נוזלי - ועל כן ניתן להשתמש בזרימה פוטנציאלית כדי לתאר את המהירות. פוטנציאל המהירות (Φ(x,z,t קשור לרכיבים של מהירות הזרימה ux ו-uz בכיוון האופקי (x) והאנכי (z) על ידי:
u_{x}\,=\,{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad u_{z}\,=\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}.
אודות למשוואת הרציפות בעבור זרימה אי-דחיסה, הפוטנציאל Φ חייב לקיים את משוואת לפלס:
(1)\qquad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\,=\,0.
כעת, נדרשים תנאי שפה על הקרקעית ועל פני המים כדי לסגור את מערכת המשוואות. לצורך ניסוח בעיית הזרימה במסגרת התאוריה הליניארית, הכרחי להגדיר את הבסיס של הזרימה. בסיס זה מסופק על ידי ההנחה שמהירות הזרימה האנכית uz מתאפסת על הקרקעית, שכן סמוך לקרקעית לא יכולה להיות תנועה אנכית. הקרקעית היא בגובה z = -h, מה שמוביל לתנאי השפה הקינמטי על הקרקעית:
(2)\qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0\quad {\text{ at }}z\,=\,-h.
תנאי קינמטי נוסף, על הזרימה בסמוך לפני המים, נובע מכך שאלמנט זורם שהיה בתחילה בסמוך לפני המים נשאר סמוך לפני המים, ובפרט, אלמנט זורם שהיה על השפה נשאר על השפה. הנחה זו היא מסקנה ישירה מההנחה שהזרימה נטולת-ערבוליות, שכן אילו היו "חילופי מקומות" בין אלמנט זורם שפתי לאלמנט זורם פנימי, אז התמונה ההידרודינמית הייתה שקולה למצב בו נוצרים תאי ערבול בתחום הזורם - מצב לא סביר מבחינה פיזיקלית שכן תאי ערבול יאבדו מהר את האנרגיה שלהם עקב השפעות הצמיגות. על מנת שאלמנט זורם יישאר על השפה, התנאי הבא צריך להתקיים:
u_{z}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}\ +u_{x}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}
כיוון שההנחה המרכזית של התאוריה היא שהגלים הם בעלי יחס נמוך של האמפליטודה לאורך הגל, ולפיכך בעלי שיפוע נמוך, האיבר השני של אגף ימין זניח, ולפיכך התנועה האנכית של הזורם חייבת להיות שווה למהירות האנכית של המשטח החופשי. זה מוביל לתנאי השפה הקינמטי על פני המים:
(3)\qquad {\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,=\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\quad {\text{ at }}z\,=\,\eta (x,t).
אם פני המשטח (η(x,t היו פונקציה ידועה, זה היה מספיק כדי לפתור את בעיית הזרימה. אולם, פני המשטח הם פונקציה לא ידועה (הצורה שלהן ידועה, אולם קצב ההתקדמות שלה בזמן אינו ידוע), ולכן נחוץ תנאי שפה נוסף. את זה מספקת משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה. מניחים כי הלחץ מעל פני המים קבוע ושווה ללחץ האטמוספירי; הלחץ הקבוע הזה נלקח כשווה לאפס, מכיוון שגודל הלחץ הקבוע הזה לא משפיע על הזרימה. מכאן נקבל:
\qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\,+{\frac {1}{2}}(u_{x}^{2}+u_{z}^{2})+\,g\,\eta \,=\,0\quad {\text{ at }}z\,=\,\eta (x,t)..
במשוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה מופיעים איבר האנרגיה הפוטנציאלית  g\eta , איבר האנרגיה הקינטית (ריבוע המהירות) והנגזרת הזמנית של פונקציית הפוטנציאל. כיוון שאלמנטי הזורם על השפה נעים בתנועה מעגלית במהירות קבועה, הגודל  {\frac {1}{2}}(u_{x}^{2}+u_{z}^{2}) גם הוא קבוע (הצדקה מפורטת יותר להזנחת איבר ריבוע המהירות מופיעה משמאל), לכן מקבלים את התנאי הרביעי:
(4)\qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\,+\,g\,\eta \,=\,0\quad {\text{ at }}z\,=\,\eta (x,t).
כדי לתאר את תנועת הזורם מתחת לגל מספיק לפתור את ארבע המשוואות הדיפרנציאליות האלה.