stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מלאדן קרסטאיץ'
תארים כשחקן

עם פרטיזן בלגרד:
אליפויות (5): 1995/96, 1996/97, 1998/99, 2009/10, 2010/11
הגביע הסרבי (2): 1997/98, 2010/11
עם ורדר ברמן:
אליפות הבונדסליגה: 2003/2004
הגביע הגרמני: 2003/04
עם שאלקה 04:
גביע הליגה הגרמנית: 2005
תארים אישיים:
נבחרת העונה של ליגת העל הסרבית: 2009/10
הערות שוליים

↑  יניב טוכמן‏, מלאדן קרסטאיץ' מונה למאמן מכבי תל אביב, באתר וואלה, 9 בדצמבר 2021
↑  מלאדן קרסטאיץ' מונה למאמן מכבי תל אביב, באתר מכבי תל אביב, ‏9 בדצמבר 2021
↑  יניב טוכמן‏, הג'וב החדש של מלאדן קרסטאיץ': מונה למאמן נבחרת בולגריה, באתר וואלה, 21 ביולי 2022
| נבחרת סרביה ומונטנגרו – מונדיאל 2006 |
| --- | --- | --- |
|  1 יבריץ' •  2 ארגיץ' •  3 דראגוטינוביץ' •  4 דולאיי •  5 וידיץ' •  6 גברנצ'יץ' •  7 קורומאן •  8 קז'מן •  9 מילושביץ' •  10 סטנקוביץ' •   11 פ. דורדביץ' •  12 קובאצ'ביץ' • 13 באסטה •  14 נ. דורדביץ' • 15 דודיץ' • 16 ד. פטקוביץ' • 17 נאד • 18 וקיץ' • 19 ז'יגיץ' • 20 קרסטאיץ' • 21 לובויה • 22 איליץ' • 23 סטויקוביץ' • מאמן: סרביה ומונטנגרו א. פטקוביץ' |  1 יבריץ' •  2 ארגיץ' •  3 דראגוטינוביץ' •  4 דולאיי •  5 וידיץ' •  6 גברנצ'יץ' •  7 קורומאן •  8 קז'מן •  9 מילושביץ' •  10 סטנקוביץ' •   11 פ. דורדביץ' •  12 קובאצ'ביץ' • 13 באסטה •  14 נ. דורדביץ' • 15 דודיץ' • 16 ד. פטקוביץ' • 17 נאד • 18 וקיץ' • 19 ז'יגיץ' • 20 קרסטאיץ' • 21 לובויה • 22 איליץ' • 23 סטויקוביץ' • מאמן: סרביה ומונטנגרו א. פטקוביץ' | סרביה ומונטנגרו |
| נבחרת סרביה – מונדיאל 2018 |
| --- | --- | --- |
|  1 סטויקוביץ' •  2 רוקאבינה •  3 טושיץ' •  4 מיליבוייביץ' •  5 ספאיץ' •  6 איוואנוביץ' •  7 ז'יבקוביץ' •  8 פריוביץ' •  9 מיטרוביץ' •  10 טאדיץ' •   11 קולארוב •  12 ראיקוביץ' • 13 ולקוביץ' •  14 רודיץ' • 15 מילנקוביץ' • 16 גרוייץ' • 17 קוסטיץ' • 18 רדוניץ' • 19 יוביץ' • 20 מילינקוביץ'-סאביץ' • 21 מאטיץ' • 22 לייאיץ' • 23 דמיטרוביץ' • מאמן: קרסטאיץ' |  1 סטויקוביץ' •  2 רוקאבינה •  3 טושיץ' •  4 מיליבוייביץ' •  5 ספאיץ' •  6 איוואנוביץ' •  7 ז'יבקוביץ' •  8 פריוביץ' •  9 מיטרוביץ' •  10 טאדיץ' •   11 קולארוב •  12 ראיקוביץ' • 13 ולקוביץ' •  14 רודיץ' • 15 מילנקוביץ' • 16 גרוייץ' • 17 קוסטיץ' • 18 רדוניץ' • 19 יוביץ' • 20 מילינקוביץ'-סאביץ' • 21 מאטיץ' • 22 לייאיץ' • 23 דמיטרוביץ' • מאמן: קרסטאיץ' | סרביה |
קרסטין קוק

| --- | --- |

 לידה:  15 באפריל 1989 (בת 35) Kriens, שווייץ 
 מדינה:  שווייץ 
 פרסים והוקרה:  מיס שווייץ 
 
קרסטין קוק (Kerstin Cook; נולדה ב-15 באפריל 1989) היא דוגמנית אנגלייה-שווייצרית.
ביוגרפיה

קוק נולדה בקנטון לוצרן לזוג הורים אנגלים, בגיל ארבע עשרה החלה לעסוק בדוגמנות, היא למדה מדעי הסביבה וגם הייתה פעילה בארגון בעלי החיים "STS".
זכתה בתחרות מיס שווייץ 2010 ובנוסף גם בפרס הפוטוגניות בתחרות. בהצשך ייצגה את שווייץ במיס תבל 2011.
ב-2013 הופיעה ב-"Mercedes-Benz Fashion Days", אירוע אופנה הנערך מדי שנה בציריך, ב-2015 הופיעה בקמפיין פרסום לתכשיטים עבור "MUAU".
ראש ההגנה (דנמרק)

ראש ההגנה (בדנית: Forsvarschefen או בקיצור FC) הוא הדרג הפיקודי העליון בכוחות המזוינים של דנמרק. באופן רשמי הוא כפוף למלכת דנמרק, אולם בפועל הוא כפוף לשר ההגנה והוא היועץ הצבאי הישיר של ממשלת דנמרק. מקביל לתפקיד הרמטכ"ל בצה"ל.
ראש ההגנה הוא הקצין היחיד בצבא בדרגת גנרל (ארבעה כוכבים) או אדמירל. המפקד העליון הנוכחי הוא פלמינג לנטפר שנכנס לתפקידו ב-1 בדצמבר 2020.
לראש ההגנה כפופים מפקדי הצבא המלכותי הדני, חיל האוויר המלכותי הדני, והצי המלכותי הדני. בעיתות שלום משמר המולדת הדני ושירות הביון הדני כפופים ישירות למשרד ההגנה, אולם בזמני מלחמה מוכפפים גם גופים אלו לראש ההגנה.
מאז ייסוד התפקיד הועבר באופן מחזורי בין גנרלים מהצבא, מחיל האוויר ומהצבא. החל משנת 2012 בוטל הנוהג וראש ההגנה נבחר באופן ישיר בלי קשר להשתייכותו.
רשימת ראשי ההגנה

| דיוקן | שם | זרוע | תחילת כהונה | סיום כהונה |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | ארהרד קביסטגארד |  הצי המלכותי הדני | 1 באוקטובר 1950 | 30 בספטמבר 1962 |
|  | קורט רמברג |  חיל האוויר המלכותי הדני | 30 בספטמבר 1962 | 30 בנובמבר 1972 |
|  | אוטו בליקסנקרונה-מלר |  הצבא המלכותי הדני | 30 בנובמבר 1972 | 30 באפריל 1977 |
|  | קנוד ירנסן |  חיל האוויר המלכותי הדני | 30 באפריל 1977 | 30 בספטמבר 1984 |
|  | אוטו לינד |  הצבא המלכותי הדני | 30 בספטמבר 1984 | 30 בנובמבר 1985 |
|  | סוון טאיידה |  הצי המלכותי הדני | 30 בנובמבר 1985 | 31 באוקטובר 1989 |
|  | יורגן לינג |  הצבא המלכותי הדני | 31 באוקטובר 1989 | 31 במרץ 1996 |
|  | הנס יורגן גארד |  הצי המלכותי הדני | 31 במרץ 1996 | 3 באוגוסט 1996 |
|  | כריסטיאן חווידט |  חיל האוויר המלכותי הדני | 3 באוגוסט 1996 | 30 בספטמבר 2002 |
|  | הנס הלסו |  הצבא המלכותי הדני | 30 בספטמבר 2002 | 31 ביולי 2008 |
|  | טים ירנסן |  הצי המלכותי הדני | 31 ביולי 2008 | 4 באוקטובר 2009 |
|  | ביורן ביסרופ |  הצבא המלכותי הדני | 4 באוקטובר 2009 | 15 בנובמבר 2009 |
|  | קנוד ברטלס |  הצבא המלכותי הדני | 15 בנובמבר 2009 | 2 בנובמבר 2012 |
|  | ביורן ביסרופ |  הצבא המלכותי הדני | 2 בנובמבר 2012 | 20 במרץ 2012 |
|  | פיטר ברטרם |  הצבא המלכותי הדני | 20 במרץ 2012 | 10 בינואר 2017 |
|  | ביורן ביסרופ |  הצבא המלכותי הדני | 10 בינואר 2017 | 1 בדצמבר 2020 |
|  | פלמינג לנטפר |  חיל האוויר המלכותי הדני | 1 בדצמבר 2020 | מכהן |
קבוצת קנטור

במתמטיקה, קבוצת קנטור היא קבוצה של מספרים, שמקיימת את התנאי הבא: מתחילים מקטע ישר; מסירים מהקטע את השליש המרכזי שלו, ומקבלים שני קטעים קטנים יותר; על כל אחד מהם, מבצעים את אותה פעולה (הסרת השליש האמצעי); מבצעים את אותה פעולה על ארבעת הקטעים שנותרו, וכך הלאה עד אינסוף. קבוצת קנטור היא קבוצת המספרים שלא יוסרו באף אחד משלבי הבניה.
קבוצה זו התגלתה בשנת 1874 בידי המתמטיקאי הנרי ג'ון סמית ותוארה בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1883. חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, שסותרות את האינטואיציה ומדגימות את מורכבותו של האינסוף. תופעות כגון אלה עודדו את קנטור לפתח את תורת הקבוצות.
קבוצת קנטור מחדדת את משמעותם של מושגי העוצמה והמידה, מושגים שהם הכללות מתמטיות למושגים "כמות איברים" ו"אורך" (בהתאמה), שהם שני מאפיינים המהווים מדד לגודלה של קבוצה. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שככל שקבוצה ארוכה יותר יהיו בה יותר איברים, ובפרט, שבקבוצה שאורכה 0 יהיו פחות איברים מאשר בקבוצה שאורכה 1 - אך אין הדבר כך. קבוצת קנטור היא בעלת מידה (אורך) אפס, אך מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בקטע המקורי כולו (ובפרט, יש בשתיהן כל-כך הרבה איברים עד שלא ניתן לסדרם בסדרה, כלומר לא ניתן לצמצמה למספרים טבעיים).
מבחינה טופולוגית, קבוצת קנטור מאופיינת בכך שהיא המרחב המטרי הקומפקטי המושלם היחיד (עד כדי הומיאומורפיזם) שהוא לא קשיר לחלוטין. אחת התכונות הטופולוגיות החשובות של קבוצה זו היא שכל מרחב מטרי קומפקטי מהווה תמונה רציפה שלה.
איור המציג את שבעת השלבים הראשונים בבניית קבוצת קנטור
בניית קבוצת קנטור > בנייה איטרטיבית

באופן פורמלי, בנייה של קבוצת קנטור נעשית בצורה איטרטיבית:
מתחילים עם הקטע הסגור  [0,1];
בשלב הראשון, מסירים מהקטע  [0,1] את השליש האמצעי שלו, שהוא הקטע הפתוח  (1/3,2/3). נותרים שני קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא  1/3;
בשלב השני, מסירים מכל אחד משני הקטעים שנותרו (כלומר מהקטעים  [0,1/3] ו- [2/3,1]) את השליש האמצעי שלו (כלומר את הקטעים  (1/9,2/9) ו- (7/9,8/9)). נותרים 4 קטעים סגורים שאורך כל אחד מהם הוא  (1/3)^{2}=1/9;
באופן כללי, בשלב n (כאשר  n מספר טבעי), מסירים מכל קטע סגור שנוצר בשלב הקודם את השליש האמצעי שלו. לאחר ההסרה, נותרים  2^{n} קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא  (1/3)^{n}.
תהי  A_{n} הקבוצה שהתקבלה בשלב  n. קבוצת קנטור היא החיתוך של כל הקבוצות הללו: \ C=\bigcap _{n=1}^{\infty }{A_{n}}במילים אחרות, קבוצת קנטור היא אוסף כל המספרים בקטע  [0,1] שלא הוסרו באף שלב של התהליך המתואר לעיל.
בניית קבוצת קנטור > בנייה לפי בסיס 3

אפשר לקבל את קבוצת קנטור אם אוספים את כל המספרים בקטע  [0,1] שאפשר לכתוב אותם בבסיס 3 בלי להשתמש בספרה  1.
בשביל להיווכח שכך מתקבלת קבוצת קנטור, נשים לב שבבסיס 3 המספר  1/3 נכתב כ- 0.1 ואילו  2/3 כ- 0.2. כלומר בשלב הראשון באלגוריתם האיטרטיבי המוזכר למעלה אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה  0.1xxxxxx..., מלבד אלה שבהם כל הספרות שאחרי ה- 1 הן  0 (כלומר  0.1) או כל הספרות שאחרי ה- 1 הן  2 (כלומר  0.1222...=0.2), ונשארים רק עם מספרים מהצורה  0.0xxxxxx... או  0.2xxxxxx....
יש לשים לב שגם את  1 אפשר לכתוב כ-  0.222... ואת  0.1 אפשר לכתוב כ  0.0222..., וכך לא להשתמש בספרה  1, ולכן שני מספרים אלה שייכים לקבוצת קנטור.
בשלב הבא מחלקים את הקטעים  [0,0.1] ו- [0.2,1] לשלישים; בקטע הראשון אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה  0.01xxxxx... (חוץ מאלה בהם כל הספרות שאחרי ה- 1 זהות, כלומר שתי הקצוות) ונשארים עם מספרים מהצורה  0.00xxxxx... או  0.02xxxxx..., ומהקטע השני את כל המספרים מהצורה  0.21xxxxx..., ונשארים עם מספרים מהצורה  0.20xxxxx... או  0.22xxxxx....
אם כן, האיטרציה מספר  n באלגוריתם האיטרטיבי, מטפלת במספרים בהם הספרה  1 הראשונה מופיעה במקום ה- n אחרי הנקודה (לפי בסיס  3).
בניית קבוצת קנטור > בנייה רקורסיבית

אפשר לתת גם הגדרה רקורסיבית: "קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת משיבוץ עותק מוקטן של קבוצת קנטור בשליש הראשון והשליש האחרון של הקטע  [0,1]". זוהי אמנם הגדרה מעגלית, אבל קל 'לתקן' אותה להגדרה מדויקת: קבוצת קנטור היא תת-הקבוצה הגדולה ביותר (ביחס להכלה) של הקטע  [0,1], השווה לאיחוד של עותק מוקטן שלה בשליש הראשון, עם עותק מוקטן שלה בשליש האחרון.
על מנת לקבל את קבוצת קנטור האמיתית, צריך להשתמש ברקורסיה אינסופית כאמור למעלה. אבל לכל שימוש גרפי מעשי, צריך לקבוע תנאי קצה בו אחרי קבוצת קנטור בעומק מסוים של הרקורסיה, תצויר כקו עליה היא נבנית (או כשני המספרים בקצהו).
תכונות

קבוצת קנטור היא בעלת עוצמת הרצף, אבל אינה מכילה אף קטע פתוח, ומידת לבג שלה היא אפס. כחיתוך (בן מניה) של איחודים סופיים של קטעים סגורים, היא מהווה קבוצה סגורה. ומאחר והיא חסומה, היא גם קומפקטית. בנוסף, הפונקציה האופיינית של קבוצת קנטור אינטגרבילית רימן והאינטגרל רימן שלה שווה לאפס.
תכונות > מבוא אינטואיטיבי

אם נסכם את אורכי הקטעים שהסרנו בזמן הבנייה, נקבל {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{3^{n}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1כלומר - הסרנו קטעים באורך כולל של  1. מכאן שה"אורך" של הקבוצה הנותרת הוא אפס. למרות זאת, לא רק שנותרים מספרים - "כמות" המספרים שנשארו שווה לכמות המספרים בקטע שממנו התחלנו. (באופן פורמלי, קבוצת קנטור היא "שוות עוצמה" בקטע  [0,1]).
קבוצת קנטור היא הדוגמה הנפוצה ביותר לקבוצה שאינה בת מנייה שמידת לבג שלה היא מידה אפס. זהו מצב מפתיע.
תכונות > מידתה של קבוצת קנטור

קבוצת קנטור מכילה בכל שלב איטרטיבי  n, 2^{n} קטעים שאורך כל קטע כזה הוא  (1/3)^{n}. ולכן בכל שלב ניתן לכסות אותה על ידי אורך קטעים כנ"ל. בשלב  n של הבניה האיטרטיבית אנו מכסים את קבוצת קנטור בקטעים שסכום האורכים שלהם שווה ל- \left(2/3\right)^{n}. מכיוון שסדרה זו שואפת לאפס, המידה של קבוצת קנטור היא אפס.
תכונות > קבוצת קנטור היא פרקטל

קבוצת קנטור היא אבטיפוס של פרקטל. היא בעלת דמיון-עצמי מכיוון שהיא מהווה איחוד של שני עותקים של עצמה, כאשר כל עותק מכווץ בגורם שליש (כלומר: קטן פי 3) ומוזז. ממד האוסדורף של הקבוצה הוא  \ {\frac {\ln(2)}{\ln(3)}}=\log _{3}2\approx 0.63. אפשר להשוות את המספר המתקבל לממד האוסדורף של קבוצה סופית (שהוא תמיד אפס) מחד, ולממד של קטע (קטן ככל שיהיה), שהוא תמיד  1, מאידך (ראו פירוט על ממד פרקטלי בערך ממד האוסדורף).
תכונות > תכונות טופולוגיות

קבוצת קנטור יורשת את המטריקה הרגילה של הישר הממשי, וכך היא מהווה מרחב מטרי. הקבוצה סגורה בטופולוגיה המטרית של הישר הממשי, מכיוון שהמשלים שלה בקטע  [0,1] הוא איחוד של קטעים פתוחים. מאחר שהקבוצה חסומה, משפט היינה בורל מבטיח שהיא קבוצה קומפקטית. מכאן נובע גם שהיא שלמה.
אם קטע פתוח מכיל מספר בקבוצת קנטור, אז הוא מכיל אינסוף איברים שלה. לכן, כל נקודה בקבוצת קנטור היא נקודת הצטברות. קבוצה כזאת נקראת בטופולוגיה "קבוצה מושלמת".
קבוצת קנטור היא קבוצה דלילה (nowhere dense) שכן הפנים שלה ריק. היא לא קשירה לחלוטין כי היא לא מכילה אף קטע לא טריוויאלי (קטעים הם הקבוצות הקשירות היחידות בישר). תכונות אלה מאפיינות את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב מטרי טופולוגי מושלם שהוא לא קשיר לחלוטין, שקול מבחינה טופולוגית (כלומר, הומיאומורפי) לקבוצת קנטור. יתרה מזו, כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (וראו גם פונקציית קנטור: הכללות).
משפט של בראואר מאפיין את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב האוסדורף קומפקטי בלתי קשיר לחלוטין ללא מספרים מבודדים הומיאומורפי לקבוצת קנטור. כל מכפלה בת-מניה של קבוצות סופיות (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) הומיאומורפי לקבוצת קנטור. על פי משפט אלכסנדרוף-האוסדורף קבוצת קנטור היא המרחב המטרי הקומפקטי האוניברסלי (היינו, יש פונקציה רציפה מקבוצת קנטור על כל מרחב מטרי קומפקטי). הוכחת המשפט מתבססת על הכללה של פונקציית קנטור. עובדה זו מייצרת למשל את עקום פאנו.
וריאציות > קבוצת סמית-וולטרה-קנטור

במקום להוריד מכל קטע את השליש האמצעי שלו, אפשר להוריד חלק בכל גודל אחר מאמצע הקטע. אם גודל הקטע קטן משליש, אפשר לבנות קבוצה הומיאומורפית לקבוצת קנטור שמידת לבג שלה היא מספר חיובי (אך היא עדיין דלילה). הקבוצה בה מורידים מכל קטע את הרבע שלו נקראת "קבוצת סמית-וולטרה-קנטור" על שם הנרי סמית וויטו וולטרה.
וריאציות > אבק קנטור

אבק קנטור הוא הכללה רב-ממדית של קבוצת קנטור. ניתן להגדיר אותו כמכפלה הקרטזית של קבוצת קנטור בעצמה. כמו קבוצת קנטור, גם אבק קנטור הוא ממידה אפס.
אבק קנטור (דו-ממדי)
אבק קנטור (תלת-ממדי)
הכללה דו-ממדית אחרת של קבוצת קנטור היא שטיח שרפינסקי, בו מתחילים עם ריבוע ומורידים ממנו את החלק האמצעי ( 1/9 ממנו), משמונת הריבועים שנותרו מורידים גם כן את האמצע, וכך עד אינסוף. הכללה דומה עבור תלת-ממד בה מורידים מכל קובייה את האמצע מכונה ספוג מנגר.
שטיח שרפינסקי
ספוג מנגר
ראו גם

תורת המידה (מידת לבג)
אנליזה מתמטית
טופולוגיה ומרחב טופולוגי
פרקטל
ממד האוסדורף
פונקציית קנטור
לקריאה נוספת

Stephen Willard, General Topology, Chapter 30, 1970.
הערות שוליים

↑  Henry J.S. Smith (1874) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
↑  Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V", Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
↑  Applications of the Universal Surjectivity of the Cantor Set
| --- | --- |
ערך מומלץ: 
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 4288370-2 
קבוצת סמית-וולטרה-קנטור (בלבן)
קרסטין פייזרק

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  19 בפברואר 1963 (בת 61) וילהלמסהאפן, הרפובליקה הפדרלית של גרמניה 
 מדינה:  גרמניה 
 
קרסטין פייזרק (בגרמנית: Kerstin Paeserack; נולדה ב-19 בפברואר 1963) היא דוגמנית גרמנייה. מיס גרמניה לשנת 1982.
ביוגרפיה

פייזרק נולדה בוילהלמסהאפן.
כמיס סקסוניה התחתונה היא השתתפה בתחרות מיס גרמניה לשנת 1982 וזכתה במקום הראשון.
בתחרות מיס תבל 1982 בלימה עלתה לשלב שתים עשרה המתמודדות הסופיות.
היא גם ייצגה את גרמניה בתחרות של מיס עולם באותה שנה שנערכה בלונדון, שם הייתה המועמדת המועדפת על צלמי התחרות, לאחר שלא עלתה לגמר התחרות אמרה על ארגון התחרות "הם עלולים לשנות את שם התחרות ל"מיס בתולת העולם", כל מה שהם רוצים זה בתולה קטנה שתתרוצץ בבתי חולים עבורם".
היא פרסמה את המשקה הגרמני יגרמייסטר, היא לקחה חלק במסע פרסום של המשקה ברחבי ארצות הברית, במהלכו צילם אותה צלם בלוס אנג'לס ושלח את תמונתה לסוכנות פורד מודלס, בעקבות זאת קריירת הדוגמנות שלה קודמה, במהלכה היא הופיעה במגוון תצוגות אופנה ומגזינים.
בנוסף היא גם עבדה כדוגמנית בפריז.
היא לקחה חלק בהפקה של רשת השידור הציבורית הגרמנית "Südwestrundfunk" שעסקה בתחרויות יופי.
היא ניהלה מערכת יחסים עם זמר הפופ ברנד קלובר.
הערות שוליים

↑  Kiddo, THE AQUA GREEN DIARIES
↑  Nordwest-Zeitung, MISS GERMANY OLDENBURG: Vom Laufsteg zur Schamanin, www.nwzonline.de, ‏5 בפברואר 2002 (בגרמנית)
מספר שופע

מספר שופע הוא מספר שסכום מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) עולה על המספר. למשל המספר 12 הוא מספר שופע, משום שהוא מתחלק ל-1,2,3,4,6. סכומם של המחלקים גדול מ-12: 1+2+3+4+6=16
ההגדרה בשפה מתמטית:
מספר שופע (abundant number) הוא מספר טבעי  n שעבורו מתקיים  \sigma (n)>2n, כאשר  \sigma (n) היא פונקציית המחלקים: סכום כל המחלקים החיוביים של  n, כולל  n עצמו.
חלוקת המספרים ל"שופעים", "חסרים" ומשוכללים מופיעה לראשונה אצל ניקומאכוס, בסביבות שנת 100.
קיימים אינסוף מספרים שופעים. ביתר פירוט, לכל k, קיימים אינסוף מספרים שופעים המתחלקים ב- k, ואינסוף מספרים שופעים הזרים ל- k. הסיבה העקרונית לכך היא שהמכפלה  \prod \left(1+{\frac {1}{p}}\right), על-פני כל הראשוניים, היא אינסופית, ואילו היחס  \sigma (n)/n שווה לפחות ל-  \prod \left(1+{\frac {1}{p}}\right) כאשר המכפלה היא על פני המחלקים הראשוניים של n. על ידי בחירת מספיק גורמים ראשוניים, אפשר לעבור כל יחס רצוי.
בשנת 1998 הראה מארק דלגליש שהצפיפות של המספרים השופעים היא בין 0.2474, ל-0.2480.
מספר שופע שאיננו "דמוי משוכלל"  נקרא "מספר מוזר". בעיה פתוחה עתיקת יומין היא, האם קיים מספר (שופע)  n המקיים  \sigma (n)=2n+1. (מספר כזה נקרא מספר קוואזי משוכלל).
המספר השופע האי-זוגי הקטן ביותר הוא 945.
ראו גם

מספר חסר
ראש ההגנה (נורווגיה)

ראש ההגנה (בנורווגית: Forsvarssjefen; בראשי תיבות: FSJ) הוא הדרג הפיקודי העליון בכוחות המזוינים של נורווגיה. באופן רשמי הוא כפוף למלך נורווגיה, אולם בפועל הוא כפוף לשר ההגנה והוא היועץ הצבאי הישיר של ממשלת נורווגיה. מקביל לתפקיד הרמטכ"ל בצה"ל.
ראש ההגנה הוא הקצין היחיד בצבא בדרגת גנרל (ארבעה כוכבים) או אדמירל, פרט למלך עצמו שמחזיק בדרגת גנרל סמלית. ראש ההגנה הנוכחי הוא אייריק כריסטופרסן שנכנס לתפקידו ב-17 באוגוסט 2020.
לראש ההגנה כפופים מפקדי צבא נורווגיה, חיל האוויר המלכותי הנורווגי, הצי המלכותי הנורווגי, משמר המולדת הנורווגי וכוח הסייבר ההגנתי.
רשימת המפקדים העליונים

| דיוקן | שם | זרוע | תחילת כהונה | סיום כהונה |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | אוטו רוגה |  צבא נורווגיה | 18 במאי 1940 | 9 ביוני 1940 |
|  | קרל גוסטב פליישר |  צבא נורווגיה | 9 ביוני 1940 | 22 בפברואר 1942 |
|  | וילהלם פון טאנגן הנשטיין |  צבא נורווגיה | 22 בפברואר 1942 | 30 ביוני 1944 |
|  | נסיך הכתר אולף |  צבא נורווגיה | 30 ביוני 1944 | 15 ביולי 1945 |
|  | אוטו רוגה |  צבא נורווגיה | 15 ביולי 1945 | 31 בדצמבר 1945 |
|  | אליאס קורנליוסן |  הצי המלכותי הנורווגי | 31 בדצמבר 1945 | 31 במאי 1946 |
|  | האלוור האנסון |  צבא נורווגיה | 31 במאי 1946 | 31 ביולי 1946 |
|  | אולי ברג |  צבא נורווגיה | 31 ביולי 1946 | 31 באוקטובר 1955 |
|  | פין למברכטס |  חיל האוויר המלכותי הנורווגי | 31 באוקטובר 1955 | 8 בדצמבר 1956 |
|  | ביארנה און |  חיל האוויר המלכותי הנורווגי | 8 בדצמבר 1956 | 31 בדצמבר 1963 |
|  | פולק האגר יוהנסן |  הצי המלכותי הנורווגי | 31 בדצמבר 1963 | 31 בדצמבר 1971 |
|  | הרמן פרדריק זיינר-גונדרסן |  צבא נורווגיה | 31 בדצמבר 1971 | 20 במרץ 1977 |
|  | סוור האמר |  צבא נורווגיה | 20 במרץ 1977 | 30 ביוני 1982 |
|  | סוון האוג |  חיל האוויר המלכותי הנורווגי | 30 ביוני 1982 | 30 ביוני 1984 |
|  | פרדריק בול-הנסן |  צבא נורווגיה | 30 ביוני 1984 | 31 באוגוסט 1987 |
|  | ויגלייק איידה |  צבא נורווגיה | 31 באוגוסט 1987 | 5 בספטמבר 1989 |
|  | תורולף ריין |  הצי המלכותי הנורווגי | 5 בספטמבר 1989 | 31 באוקטובר 1994 |
|  | ארנה סולי |  צבא נורווגיה | 31 באוקטובר 1994 | 30 באפריל 1999 |
|  | סיגורד פריסוולד |  צבא נורווגיה | 30 באפריל 1999 | 31 במרץ 2005 |
|  | סוור דיסן |  צבא נורווגיה | 31 במרץ 2005 | 30 בספטמבר 2009 |
|  | הראלד סונד |  צבא נורווגיה | 30 בספטמבר 2009 | 19 בנובמבר 2013 |
|  | האקון ברון-הנסן |  הצי המלכותי הנורווגי | 19 בנובמבר 2013 | 17 באוגוסט 2020 |
|  | אייריק כריסטופרסן |  צבא נורווגיה | 17 באוגוסט 2020 | מכהן |
מספרי אוילר

מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):
ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה:  E_{0}=1,\quad E_{n}=-\sum _{k\,=\,0}^{n\,-\,1}{\binom {n}{k}}E_{k},
ובקירוב:  E_{2n}\approx (-1)^{n}8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}
סקאנט:  \sec(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad :|x|<{\frac {\pi }{2}}
מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:
ראו גם

מספרי ברנולי
קרסטטה

| --- | --- |
סמל קרסטטהסמל קרסטטה

 מדינה:  הונגריה הונגריה
 חבל:  צפון הונגריה
 מחוז:  בורשוד-אבאוי-זמפלן בורשוד-אבאוי-זמפלן
 נפה:  נפת אנץ'
 שטח:  3.97 קמ"ר
 אוכלוסייה:  ‏
  ‑ בכפר:  25 (1 בינואר 2024)
 קואורדינטות:  48°29′53″N 20°56′58″E﻿ / ﻿48.49805°N 20.949511111111°E﻿ / 48.49805; 20.949511111111 
 אזור זמן:  UTC +1
  מפת מיקום  מפה מפורטת   (למפת הונגריה מוגדלת) בודפשט דברצן מישקולץ סגד פץ' גיור נירג'האזה קצ'קמט אוסטריה סלובקיה אוק. רומניה סרביה קרואטיה סל.קרסטטה(למפת הונגריה רגילה) בודפשט דברצן מישקולץ סגד פץ' גיור נירג'האזה קצ'קמט אוסטריה סלובקיה אוק. רומניה סרביה קרואטיה סל.קרסטטה  he tabBackground:;tabBorder:#aaa;defaultTab:0;
 
קרסטטה (בהונגרית: Keresztéte) הוא כפר זעיר במחוז בורשוד-אבאוי-זמפלן שבצפון מזרח הונגריה. כמו כפרים אחרים באירופה גם בקרסטטה חל פיחות משמעותי בכמות האוכלוסייה מ-169 תושבים בשנת 1941, ו-36 בשנת 2015 עד ל-20 תושבים בלבד בשנת 2018.
בקרסטטה חיו לתקופת זמן מוגבלת מעט יהודים
| שנה | כמות יהודים | כלל האוכלוסייה |
| --- | --- | --- |
| 1840 | 8 |  |
| 1880 | 15 | 160 |
| 1910 | 2 |  |
| 1941 | 0 | 169 |
מצעד השבויים הגרמנים ברחובות מוסקבה (1944)

מצעד השבויים הגרמנים ברחובות מוסקבה
בתאריך 17 ביולי 1944 הוצעדו 57,000 שבויי מלחמה גרמנים ברחובות מוסקבה לרגל הניצחון הסובייטי במבצע בגרטיון, שבו שוחררה בלארוס מן הכיבוש הנאצי.
הרקע

שנת 1943 הייתה שנת המפנה בחזית הסובייטית במלחמת העולם השנייה; בפברואר נחל הצבא האדום ניצחון בקרב סטלינגרד, ביולי התחולל קרב קורסק, שהיה הניסיון האחרון של הנאצים להשיב לאחור את גלגל המלחמה ובו נחלו הנאצים תבוסה, ומאז המשיכו כוחות הצבא האדום במתקפה מתמשכת והנאצים נחלו תבוסות בזו אחר זו ונסוגו בהתמדה מערבה.
שנת 1944 הייתה שנת ההכרעה; בינואר הוסר המצור מעל לנינגרד, במרץ נפתחה מתקפת האביב הסובייטית באוקראינה והצבא האדום חצה את הדנייפר, במאי נכבשה סבסטופול ושוחרר חצי האי קרים. שיאה של המתקפה הסובייטית היה במבצע בגרטיון לשחרור בלארוס. במהלך המבצע, שנחשב לאחד המבצעים ההתקפיים המוצלחים ביותר של הצבא האדום במהלך המלחמה, שוחררו כמעט כל שטחי ברית המועצות שנותרו בשליטת גרמניה הנאצית, והצבא הסובייטי חדר עמוק לשטח פולין. קבוצת ארמיות מרכז הגרמנית, שהחזיקה בשטח בלארוס, הושמדה כמעט לחלוטין במה שנחשב לתבוסה הגדולה ביותר של הוורמאכט במלחמת העולם השנייה.
המצעד

במהלך מבצע בגרטיון היו לצבא הגרמני אבדות כבדות, במספר כולל, לרבות בשבויים, בהרוגים, בפצועים ובנעדרים היה בין 400,000 ל-500,000. בשבי הסובייטים נמצאו בתום המבצע כמאה אלף שבויים גרמנים שנשבו במבצע, חיילים וקצינים ובהם קצינים בכירים ואף 21 גנרלים. ההנהגה הסובייטית מצאה כי זו העת המתאימה לרומם את רוח העם שסבל כה קשות והקריב כה רבות בשנות המלחמה הראשונות. וגם כדי להפיג ספקות שהתעוררו בעיתונות הבינלאומית האם הניצחון הסובייטי בבלארוס הוא כה גדול וגם כדי לסתור את טענת התעמולה הגרמנית כי הנסיגה מבלארוס הייתה "נסיגה מתוכננת", הוחלט לקיים מצעד של רבבות שבויים ברחובות מוסקבה הבירה. המשימה לארגן את המצעד הוטלה על ה-אנ קה וה דה, ארגון הביון והמשטרה החשאית של ברית המועצות. על דבר קיום המצעד נתבשר העם בבוקרו של ה-17 ביולי 1944, ברדיו ובעמוד הראשון של העיתון פראבדה, ביטאונה הרשמי של המפלגה הקומוניסטית של ברית המועצות.
השבויים חולקו ל-90 מקבצים כשבכל שורה צעדו זה לצד זה 20 שבויים. בראש הובילה שורה של 19 גנרלים על מדיהם הססגוניים שעליהם האותות והסמלים השונים. יתר הצועדים, קצינים וחיילים היו במדי קרב בלואים, מרופטים ומאובקים. אורכו של הטור היה 3 קילומטרים ומשך הזמן בו חלף הטור על פני כל נקודת צפייה, מראשיתו ועד סופו, היה שעה וחצי. מראשית הצעדה ועד לסיומה חלפו 6 שעות. הצועדים חולקו לשתי קבוצות שצעדו במסלולים שונים ברחובותיה הראשיים של מוסקבה ובכביש הטבעת המקיף את העיר. את הצועדים ליוו משני צידי הטור פרשים רכובים על גבי סוסים עם חרבות שלופות, ושומרים נושאי רובים.
בדו"ח על המצעד שהוגש ללברנטי בריה נאמר כי במהלך המצעד קראו הצופים לעבר הצועדים קריאות "מוות היטלר!" ו-"מוות לפאשיזם!'". עם זאת, על פי עדי ראייה, קהל הצופים לא היה בדרך כלל תוקפני כלפי הצועדים והקריאות שהוטחו בהם היו מועטות.
עד ראייה למצעד היה העיתונאי הבריטי אלכסנדר ורט, שכתב לימים:
מצעד 57,000 הגרמנים ברחובות מוסקבה היה מראה בל-יישכח. מרשימות במיוחד היו תגובותיו של הקהל הרוסי שהתקהל משני צידי הרחובות. הצעירים השמיעו לעבר הצועדים קריאות-בוז, שרקו ואפילו הטילו עליהם חפצים שונים, אולם רוסנו עד מהרה על ידי המבוגרים. הגברים השקיפו על המצעד בעצב ושתיקה אך רבות מן הנשים, ובמיוחד הקשישות, לא הסתירו את חמלתן על ה"פריצים" המרופשים, ובעיני אחדות אף עמדו דמעות. נחרטה בזכרוני דמותה של זקנה אחת שמלמלה 'בדיוק כמו הבחורים שלנו...גם הם נגררו אל תוך המלחמה'.
כשהסתיים המצעד עברו על פני הרחובות בהם צעד המצעד מכליות לניקוי רחובות, שבצעד סמלי התיזו מים על המסלול.
לאחר המצעד

בתום המצעד הועמסו השבויים על קרונות רכבת והובלו אל מחנות עבודה בעומק רוסיה  ובסיביר. גורל השבויים הגרמנים שבשבי הרוסים לא היה כה חמור כגורל השבויים הסובייטים שנפלו בשבי הגרמנים. בעוד שהגרמנים נקטו כלפי השבויים הסובייטיים מדיניות של השמדה, לא נקטו הסובייטים במדיניות של השמדה מכוונת של השבויים הגרמנים. אף על פי כן היחס לשבויים היה נוקשה ואכזרי כאשר בלב שומריהם פיעמו רגשי נקם כנגד הפולשים על פשעי המלחמה שביצעו כנגד האוכלוסייה האזרחית של ברית המועצות. גם התנאים במחנות; עבודות הכפייה, הקור העז, הצפיפות והתזונה הלקויה, גרמו למות המוני שבויים. השבויים שוחררו לאחר שנים במספר גלים. הקבוצה הראשונה שוחררה בשנת 1946, הקבוצה השנייה שכללה שבויים שהוחזרו לגרמניה המזרחית שוחררה בשנת 1949. האחרונים הוחזרו בשנת 1956. המספר הסובייטי הרשמי של השבויים שמתו בשבי היה 365,700 מכלל כ-3.3 מיליון השבויים. היסטוריונים מעריכים כי מספרם הגיע למיליון.
לאחר מבצע בגרטיון המשיך הצבא האדום בתנופת התקדמות רצופה עד לכיבוש ברלין וכניעת גרמניה הנאצית. המצעד הבא שעבר ברחובות מוסקבה היה מצעד הניצחון של הצבא האדום במוסקבה ב-24 ביוני 1945.
הערות שוליים

↑  אלכסנדר ורט "רוסיה במלחמה", הוצאת מערכות, 1968, עמ' 566