לוטו
סיכויי הזכייה

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו לוויקיפדיה . ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הסיבה היא: ניסוח בעייתי, בעיקר של הפאוורבול.
ההסתברות לזכות בפרס הראשון בהגרלת הלוטו נקבעת בעיקר על ידי מספר גורמים: סך המספרים האפשריים, סך המספרים המוגרלים, חשיבות סדר המספרים, ואם המספרים המוגרלים מוחזרים להגרלה מאוחרת יותר.
במשחק לוטו טיפוסי, הנהוג בישראל, שבו כדי לזכות בפרס הראשון יש לנחש בהצלחה 6 מספרים מתוך 37, ללא חזרות (כלומר כל מספר מבין 6 המספרים עולה בגורל לכל היותר פעם אחת), ללא חשיבות לסדר שבו המספרים עולים בגורל, ובנוסף מספר חזק נוסף מ-1 עד 7, ההסתברות לזכות בפרס הראשון היא בקירוב 1 ל-16 מיליון (16,273,488 ליתר דיוק) (לאופן החישוב ראו קומבינטוריקה).
במדינות שונות כולל בישראל יש אפשרות לקנות טפסים מיוחדים עם אפשרות לנחש יותר מספרים מאשר מספר הכדורים שעולים בגורל, טפסים אלו יקרים יותר מכיוון שסיכויי הזכייה בהם גבוהים יותר.
באופן כללי ההסתברות לנחש נכונה בדיוק p מספרים כאשר בהגרלה ישנם F כדורים, מהם עולים בגורל n כדורים, בטופס בו ניתן לנחש M מספרים (ללא חשיבות לסדר שבו המספרים עולים בגורל וללא חזרות) היא:
{{M \choose p}{F-M \choose n-p} \over {F \choose n}}
(למידע נוסף ראו התפלגות היפרגאומטרית).
כדי להמחיש עד כמה קלושים הסיכויים לזכות נביט במקרה התאורטי הבא:
נניח שאדם קונה כרטיס לוטו פעם בשבוע, וסימן רק טבלה בודדת (הסתברות אחת) וכך כל שבוע ולא יחזור על אותה הסתברות במשך 16,273,488 שבועות שהם בערך 312,952 שנים. כשליש מיליון שנים של השתתפות במשחק, האדם צפוי לזכות בפרס הראשון פעם אחת בלבד.
סיכויי הזכייה בכל משחק לוטו יכולים להשתנות בהתאם לגרסת הלוטו. "פאוורבול" הוא משחק לוטו בינלאומי, אשר פופולרי מאוד בארצות הברית וסכומי הזכייה בו גדלים משמעותית מהגרלה להגרלה. מאפיין מושך זה מתקיים משום שהמשחק מתוכנן כך שיהיה מאוד קשה לזכות בו: סיכוי של 1 מתוך 146,107,962 (הסיכוי נמוך פי עשרה מאשר בדוגמה הקודמת). המשתתפים בהגרלת הפאוורבול צריכים לנחש שישה מספרים, אבל משתמשים בשני "סלי-הגרלה" שונים. חמשת המספרים הראשונים מוגרלים מסל שמכיל את המספרים 1 עד 55. המספר השישי – מספר הפאוורבול – מוגרל מהסל השני, שמכיל את המספרים 1 עד 42. כדי לזכות בפרס הראשון בפאוורבול, חמשת המספרים הראשונים של השחקן צריכים להיות זהים לאלה שיצאו מהסל הראשון, ומספר הפאוורבול חייב להתאים למספר שיצא מהסל השני. במילים אחרות, לא טוב מספיק ששחקן בוחר במספרים 10,18,25,42,33 ו-7, אם המספרים שעלו בהגרלה הם 7,10,25,33,42 ו-18. אף על פי שהשחקן בחר בכל המספרים הנכונים, "המספר החזק" בסוף הכרטיס אינו מתאים למספר החזק שהוגרל, כך שהכרטיס יזקוף לזכותו רק ארבעה מספרים (10,25,33,42). כלומר, ישנה חשיבות לסדר המספרים המוגרלים.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
שיטת חלוקת הפרסים בלוטו הישראלי
| פרס | מספרים זוכים | ≈הקצאה  מכלל ההכנסות | הסתברות   ≈1 ל- | הסתברות ממוזגת  ≈1 ל- | הסתברות  החל מרמת פרס זו ומעלה  ≈1 ל- | כמות הצירופים האפשריים (מתוך 16,273,488) |
| ראשון | 6 + המספר החזק | 22%-32% | 16,273,488 | 2,324,784 | 16,273,488 | 1 |
| שני | 6 בלי המספר החזק | 2.75% לפחות | 2,712,248 | 2,324,784 | 2,324,784 | 6 |
| שלישי | 5 + המספר החזק | 1.8% | 87,492 | 12,499 | 84,319 | 186 |
| רביעי | 5 בלי המספר החזק | 1.14% | 14,582 | 12,499 | 12,432 | 1,116 |
| חמישי | 4 + המספר החזק | 1.98% | 2,333 | 333 | 1,964 | 6,975 |
| שישי | 4 בלי המספר החזק | 4.2% | 389 | 333 | 325 | 41,850 |
| שביעי | 3 + המספר החזק | 6.84% | 181 | 26 | 116 | 89,900 |
| שמיני | 3 בלי המספר החזק | 14.29% בממוצע | 30 | 26 | 24 | 539,400 |
| סה״כ: |  | 55%-65% (60% בממוצע) | 24 |  |  | 679,434 |
| סיכויי הזכייה בטופס מינימלי (2טבלאות) גבוהים פי 2 | סיכויי הזכייה בטופס מינימלי (2טבלאות) גבוהים פי 2 | סיכויי הזכייה בטופס מינימלי (2טבלאות) גבוהים פי 2 | סיכויי הזכייה בטופס מינימלי (2טבלאות) גבוהים פי 2 | סיכוי הזכייה בפרס כלשהו ≈ 1 ל-24 | סיכוי הזכייה בפרס כלשהו ≈ 1 ל-24 | סיכוי הזכייה בפרס כלשהו ≈ 1 ל-24 |
כמה ממשחקי הלוטו מעניקים פרסים קטנים יותר עבור ניחוש חלק מהמספרים הזוכים. משחק הפאוורבול שמתואר לעיל הוא דוגמה קיצונית, שמעניק סכום קטן של 3 דולר, אפילו אם השחקן מנחש רק את מספר הפאוורבול בסוף הכרטיס. ככל שמנחשים יותר מספרים, הפרס עולה. אף על פי שאף אחד מהפרסים הנוספים הללו אינם משפיעים על סיכוי הזכייה בפרס הראשון, הם משפרים את תוחלת הזכייה, ולכן מוסיפים מעט לערך של הכרטיס.
בישראל משתמשים בשיטת הפאוורבול עם בחירת 6 מספרים מתוך 37 (2,324,784 אפשרויות שונות), ובנוסף מספר חזק - בחירת מספר בין 1 ל-7 (7 אפשרויות) - סה"כ 16,273,488 אפשרויות בחירה.
בישראל, בניגוד לפאוורבול האמריקאי, קיימים למעשה 8 פרסים. בשביל שטופס יזכה בסכום כלשהו צריך לנחש נכונה לפחות שלושה מספרים מתוך השישה וסכום הזכייה המינימלי הוא 10 ש"ח. לכלל הפרסים מוקצים בממוצע כ-60% מכלל הכנסות הלוטו, (בתוספת הפרסים המצטברים מרמות הפרס הראשונה והשנייה ובתוספת/הפחתת הסכום המצטבר מקרן האיזון של רמת הפרס האחרונה) שמחולקים באופן הבא (ראו טבלה), כאשר למספר פרסים כמו הפרס הראשון יש סכום מינימלי לזכייה.