עצמות נפייר
מציאת שורש ריבועי

מציאת השורש הריבועי עושה שימוש בעצם נוספת שנראית מעט שונה מהיתר שכן היא מכילה 3 עמודות. העמודה הראשונה בעלת 9 ריבועים  1, 4, 9, ... 64, 81,  העמודה השנייה מכילה מספרים זוגיים 2 עד 18 והעמודה האחרונה מכילה מספרים מ 1 עד 9.
|  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | √ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0/1 | 0/2 | 0/3 | 0/4 | 0/5 | 0/6 | 0/7 | 0/8 | 0/9 | 0/1     2   1 |
| 2 | 0/2 | 0/4 | 0/6 | 0/8 | 1/0 | 1/2 | 1/4 | 1/6 | 1/8 | 0/4     4   2 |
| 3 | 0/3 | 0/6 | 0/9 | 1/2 | 1/5 | 1/8 | 2/1 | 2/4 | 2/7 | 0/9     6   3 |
| 4 | 0/4 | 0/8 | 1/2 | 1/6 | 2/0 | 2/4 | 2/8 | 3/2 | 3/6 | 1/6     8   4 |
| 5 | 0/5 | 1/0 | 1/5 | 2/0 | 2/5 | 3/0 | 3/5 | 4/0 | 4/5 | 2/5   10   5 |
| 6 | 0/6 | 1/2 | 1/8 | 2/4 | 3/0 | 3/6 | 4/2 | 4/8 | 5/4 | 3/6   12   6 |
| 7 | 0/7 | 1/4 | 2/1 | 2/8 | 3/5 | 4/2 | 4/9 | 5/6 | 6/3 | 4/9   14   7 |
| 8 | 0/8 | 1/6 | 2/4 | 3/2 | 4/0 | 4/8 | 5/6 | 6/4 | 7/2 | 6/4   16   8 |
| 9 | 0/9 | 1/8 | 2/7 | 3/6 | 4/5 | 5/4 | 6/3 | 7/2 | 8/1 | 8/1   18   9 |
נמצא כעת את השורש הריבועי של 46,785,399 בעזרת העצמות. ראשית, נקבץ את הספרות בזוגות החל מימין כך שנקבל: 99 53 78 46.
לאחר מכן יש לקחת את הזוג השמאלי ביותר 46. יש לבחור את הריבוע הגדול ביותר על עצם השורש הריבועי אשר עדיין קטן מ-46. זהו המספר 36 מהשורה השישית.
מאחר שהשורה השישית נבחרה, הספרה הראשונה בפתרון היא 6. קריאת העמודה השנייה מהשורה השישית על עצם השורש הריבועי גוררת הצבת 12 על הלוח. כעת יש להפחית את הערך 36 בעמודה הראשונה מ-46. לזה נצרף את הזוג הבא של הספרות שהוא המספר 78. כך תתקבל השארית 1,078. בסוף שלב זה, הלוח וחישובי הביניים יראו כך:
כעת יש לקרוא את המספר בכל שורה (תוך התעלמות מהעמודות השנייה והשלישית בעצם השורש הריבועי). למשל, את השורה השישית יש לקרוא כך:
כעת יש למצוא את המספר הגדול ביותר הקטן מהשארית הנוכחית 1,078. ניתן להיווכח ש-1,024 מהשורה השמינית הוא הערך הגדול ביותר שעדיין קטן מ-1,078.
כמו קודם, יש לצרף 8 כדי לקבל את הספרה הבאה של השורש הריבועי, ולהחסיר את הערך 1,024 של השורה השמינית מהשארית הנוכחית 1,078 כדי לקבל 54. יש לקרוא את העמודה השנייה של השורה השמינית, 16, ולמקם מספר על הלוח על פי ההנחיות הבאות. המספר הנוכחי על הלוח הוא 12. יש להוסיף לו את הספרה הראשונה של 16 ולצרף את הספרה השנייה של 16 לתוצאה. לכן יש למקם על הלוח: 12 + 1 = 13 → צרף 6 → 136
הלוח וחישובי הביניים נראים כעת כך.
כעת שוב, יש למצוא שורה עם הערך הגדול ביותר שעדיין קטן מהשארית 5,453. הפעם, זוהי השורה השלישית המכילה את הערך 4,089.
הספרה הבאה של השורש הריבועי היא 3. יש לחזור על אותם צעדים כמו קודם ולחסר 4,089 מהשארית הנוכחית 5,453 על מנת לקבל 1,364 כשארית הבאה. כאשר מסדרים מחדש את הלוח, יש לשים לב שהעמודה השנייה של השורש הריבועי היא 6, ספרה בודדת. לכן יש לצרף 6 למספר הנוכחי 136 שמצוי על גבי הלוח.
136 → צירוף 6 → 1,366 כך מתקבל המספר 1,366.
יש לחזור על הפעולות פעם נוספת. הערך המקסימלי על הלוח כעת אשר קטן מהשארית הנוכחית של 136,499 הוא 123,021 מהשורה התשיעית.
הלכה למעשה, לרוב אין צורך למצוא את הערך של כל שורה על מנת למצוא תשובה. ניתן לנחש באיזו שורה תהיה התשובה על ידי הסתכלות במספר שנמצא על העצמות הראשונות בלוח והשוואתו עם הספרות הראשונות של התוצאה. אולם בדיאגרמות אלה, מוצגים הערכים של כל השורות למען הבהירות. כדבר שבשיגרה, נצרף 9 לתוצאה ונפחית 123,021 מהשארית הנוכחית.
כעת השתמשנו בכל הספרות של המספר שלנו, אך עדיין קיימת שארית. המשמעות היא שקיבלנו את החלק השלם של השורש אך עדיין יש חלק שברי.
יש להבחין בכך שאם באמת קיבלנו את החלק השלם של השורש, התוצא הנוכחית בריבוע (6,8392 = 46,771,921) חייבת להיות הריבוע הגדול ביותר שעדיין קטן מהמספר 46,785,399.
הרעיון הזה משמש לאחר מכן להבנה כיצד פועלת השיטה, אך לעת עתה נמשיך לייצר ספרות נוספות של השורש.
כעת נחבר שני אפסים לשארית כדי לקבל שארית חדשה של 1,347,800. העמודה השנייה בשורה התשיעית של עצם הריבוע מכילה את הערך 18 והמספר הנוכחי על הלוח הוא 1,366. לכן נחשב : 1,366 + 1 → 1,367 → הוסף 8 → 13,678 ונציב 13,678 על גבי הלוח. הלוח וחישובי הביניים כעת נראים כך :
השורה התשיעית מכילה 1,231,101 וזהו הערך הגבוה ביותר שעדיין קטן מהשארית ולכן הספרה הראשונה של החלק השברי של השורש היא 9.
יש לחסר את הערך של השורה התשיעית מהשארית ולרפד באפסים כדי לקבל שארית חדשה שערכה 11,669,900.  העמודה השנייה בשורה התשיעית מכילה 18 עם הערך 13,678 על גבי הלוח לכן יש לחשב:
ולהציב 136,798 על גבי הלוח.
ניתן להמשיך בצעדים אלה על מנת למצוא מספר ספרות כרצוננו. יש לעצור כאשר הושג הדיוק הרצוי או לחלופין כאשר השארית היא אפס ואז המשמעות היא שהשגנו את השורש הריבועי המדויק. כדי למצוא שורש של מספר שאינו שלם, למשל 54,782.917.  הכול זהה, למעט העובדה שיש להתחיל על ידי קיבוץ כל הספרות משמאל ומימין לנקודה העשרונית בזוגות. כלומר יש לקבץ את  54,782.917  כך: 7 91. 82 47 5, ואז יש למצוא את השורש הריבועי מתוך זוגות אלה.