stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ראובן אהרונוביץ'
משפחתו

אביו יצחק אהרונוביץ' היה בנם של שמואל ורחל אהרונוביץ' והם גרו באוזורקוב שבפולין. יצחק אביו עלה לארץ יחד עם אשתו לאה פראדל בת עזריאל שטרנפלד. נולדו להם תשעה ילדים והוא נפטר בשנת תרצ"ט. פערל (פנינה) אשתו של ראובן הייתה בת הגביר יהודה אריה לייב פרושינובסקי, בן יעקב קלמן פרושינובסקי, כולם חסידי גור.
בשנת ה'תרצ"ד (1934) עלה לישראל לאחר קבלת ברכתו של האדמו"ר רבי אברהם מרדכי אלתר מגור
עיסוקו

אהרונוביץ כיהן כמנהל בנק אגודת ישראל באוזורקוב, ומרכז הפעילות של היהדות החרדית בעיר
בשנת 1937 עם הפיכת בני ברק למועצה מקומית נתמנה ראובן אהרונוביץ לאחד מ-11 חברי הנהלתה כנציג פועלי אגודת ישראל. לקראת הבחירות הראשונות למועצה הוא היה ליו"ר ועדת הבחירות והתמודד בראשות הרשימה המשותפת של אגודת ישראל ופועלי אגודת ישראל
בשנת 1947 היה רשם לשכת העבודה של הפועלים מטעם פועלי אגודת ישראל. במשך שנים רבות כיהן במועצה, היה סגנו של ראש העיר וממונה על תיק הסעד. בשנת 1953 החליטה מועצת העירייה על שדרוגו לסגן בשכר דבר שהביא למתיחות בינו לבין ראש העיר גרשטנקורן. לאחר התפטרות יצחק גרשטנקורן מראשות העיר במאי 1954, הוסכם על רוטציה על תפקיד ראש העיר בינו ובין נציג הפועל המזרחי ולאחר כהונה של חצי שנה בראשות העיר העביר משה בגנו את התפקיד לאהרונוביץ'.
לאחר הבחירות של 1955 המשיך לכהן כראש העיר, אך התפטר בספטמבר 1957 כדי לפנות את התפקיד שוב לבגנו, בהתאם להסכם רוטציה ביניהם. לאחר הבחירות ב-1959 התחזקה הרשימה המשותפת של אגודת ישראל ופועלי אגודת ישראל ואהרונוביץ כיהן כראש העיר לכל אורך הקדנציה. לאחר בחירות 1965, בהן נחלשה המפד"ל וירדה מארבעה לשלושה מנדטים חתם אהרונוביץ' הסכם קואליציוני עם המערך והותיר את המפד"ל באופוזיציה. באוגוסט 1966 התפטר אהרונוביץ מתפקיד ראש העיר והעביר את התפקיד לידי שמואל וינברג.
כתביו

ראובן אהרונוביץ כתב שני ספרי זיכרונות אוטוביוגרפיים: "יומן פולין" ו"יומן ארץ ישראל", בהם הוא מספר על קורות משפחתו ועל החיים הפוליטיים שלו החל מגיל צעיר. ספרי הזכרונות יצאו לאור בשנת 2023 על ידי נינו הסופר נפתלי פרום בספר אחד ושמו "ראובן אהרונוביץ' חייו ופועלו".
בשנת תשמ"ו - 1986 כתב ר' אברהם טננבוים ספר בן 71 עמודים ושמו "הקברניט הנאמן" אודות ר' ראובן אהרונוביץ' ובו קורות חייו האישיים. (נמצא באתר אוצר החכמה)
לאחר מותו נקרא על שמו קטע מרחוב השומר בבני ברק.
ב-2023 יצא לאור הספר "ראובן אהרונוביץ': חייו ופועלו", על ידי נינו נפתלי פרום, ספר זה הוא למעשה יומניו של ראובן אהרונוביץ'.
לקריאה נוספת

הרב יצחק מאיר, על חומותיך בני ברק, כרך ראשון ה'תשמ"ח, כרך שני ה'תשנ"ג
נפתלי פרום, ראובן אהרונוביץ' - חייו ופועלו. הוצאת נפתלי, 2023
הערות שוליים

↑  אברהם טננבוים, הקברניט הנאמן, עמ' 17
↑  אוזרקוב, מגילת פולין, ספר זיכרון לקהילת אוזרקוב, עמוד 72
↑  1אברהם טננבוים, הקברניט הנאמן, עמ' 11=
↑  ישיבה ראשונה למועצת בני ברק, דבר, 22 באוקטובר 1937
↑  הערה הרב יצחק מאיר, על חומותייך בני ברק, חלק שני, ה'תשנ"ג, עמוד 58
↑  ישעיהו אביעם,'"`UNIQ--nowiki-00000007-QINU`"'ה"טריאמוויראט" החולש על בני ברק, מעריב, 19 בינואר 1960
↑  גרשטקורן:לא אסבול קופה ריקה, מעריב, 1 בפברואר 1954
↑  י. פלד,'"`UNIQ--nowiki-0000000A-QINU`"'ירושלים הקטנה - בני ברק, מעריב, 29 באפריל 1955
↑  חלופים בראשות בני ברק, מעריב, 2 בספטמבר 1957
↑  ישעיהו אביעם,'"`UNIQ--nowiki-0000000D-QINU`"'ראש עירית בני ברק שבע רצון מהבחירות - ומשותפיו עד כה, מעריב, 9 בנובמבר 1965
↑  ישעיהו אביעם,'"`UNIQ--nowiki-0000000F-QINU`"'סערת רוחות ב"ישיבה החגיגית" בה נבחר ראש עירית בני ברק, מעריב, 30 בנובמבר 1965
↑  ביום חמישי ייבחר ש. וינברג כראש עירית בני ברק, מעריב, 7 באוגוסט 1966
↑  ראובן אהרונוביץ': חייו ופועלו באתר הספרייה הלאומית
| דגל העיר ראשי מועצת ועיריית בני ברק |
| --- | --- | --- |
| ראשי ועד המושבה | יצחק גרשטנקורן 1924–1934 • רב העיר הרב נחמן שמואל יעקב מיודסר 1937–1934 |  |
| ראשי מועצה מקומית | יעקב פרבשטין 1939–1937 • יצחק גרשטנקורן 1949–1954 |  |
| ראשי עירייה | יצחק גרשטנקורן 1949–1954 • משה בגנו 1954 • ראובן אהרונוביץ' 1957–1954 • משה בגנו 1957–1959 • ראובן אהרונוביץ' 1959–1966 • שמואל וינברג 1966–1968 • שמעון סירוקה 1968–1969 • ישראל גוטליב 1969–1974 • יצחק מאיר 1974–1976 • ישראל גוטליב 1976–1978 • שמואל וינברג 1978–1983 • משה אירנשטיין 1983–1991 • ירחמיאל בויאר 1991–1993 • משה אירנשטיין 1993–1995 • עמוס מר-חיים (יו"ר ועדה קרואה) 1995–1998 • מרדכי קרליץ 1998–2003 • ישכר פרנקנטהל 2003–2008 • יעקב אשר 2008–2013 • אברהם רובינשטיין (מ"מ) 2013 • חנוך זייברט 2013–2018 • אברהם רובינשטיין 2018–2024 • חנוך זייברט 2024–מכהן |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987012195971305171  VIAF: 2089167565600298750007   WorldCat (עם VIAF): 2089167565600298750007
אדריכלות מודחאר באראגון

מגדל כנסיית אוטבו
אדריכלות מודחאר באראגון (בספרדית: Arquitectura mudéjar de Aragón) היא מגמה אסתטית בסגנון מודחאר, שמרכזה באראגון (ספרד) והוכרה בכמה מבנים מייצגים כאתר מורשת עולמית על ידי אונסק"ו.
התקופה של בנייה בסגנון מודחאר באראגון משתרעת מהמאה ה-12 עד המאה ה-17 וכוללת יותר ממאה מונומנטים אדריכליים השוכנים בעיקר בעמקי הנהרות אברו, חילוקה (ספ') וחאלון (ספ').
לביטויים הראשונים של סגנון מודחאר באראגון יש שני מקורות: מצד אחד, אדריכלות של ארמונות המקושרת למלוכה, שהוסיפה והרחיבה למשל את ארמון אלחפריה תוך שמירה על מסורת העיטורים האסלאמית, ומצד שני, מסורת של התפתחות האדריכלות הרומנסקית תוך שימוש בבנייה בלבנים במקום בנייה באבן ושימוש לעיתים קרובות במסורת תחרת חלונות ספרדית מושרשת. דוגמאות לסוג האחרון של אדריכלות מודחאר ניתן לראות בכנסיות בעיירה דרוקה (ספ'), שנבנו במקור באבן והושלמו במאה ה-13 עם חיפויי לבנים של מודחאר.
מבחינת הבנייה, מאמצת אדריכלות מודחאר באראגון סכמות פונקציונליות של אדריכלות גותית ציסטרציאנית (אנ'), אך עם כמה הבדלים. בדרך כלל אין שימוש בתומכות, במיוחד באפסיסים אשר בדרך כלל מתאפיינים במבנה מתומן עם קירות עבים שיכולים לעמוד בעומס של הגג ומפנים בכך מקום להדגשת קישוטים באמצעות לבנים. מצד שני, תומכות הן לעיתים קרובות מאפיין של ספינות, כשלעיתים יהיו בנויים עליהן צריחים, כמו בסגנון הבזיליקה של גבירתנו של העמוד (ספ') בסרגוסה. במבנה ייתכנו קפלות צד שאינן בולטות מבחוץ. בכנסיות בשכונות (כמו סן פבלו בסרגוסה) או בעיירות קטנות אין בדרך כלל ספינות משנה, אך יש מקומות למזבחות נוספים בקפלות בין התומכות של הספינות. מקובל שבקפלות הצדדיות הללו יש גלריה עם חלונות המשקיפים אל מחוץ למבנה ולתוכו. מבנה זה מכונה מבצר-כנסייה (iglesias-fortaleza), והאבטיפוס שלו יכול להיות הכנסייה במונטאלבאן (ספ').
בדרך כלל מראים מגדלי הפעמונים התפתחות יוצאת דופן של העיטורים, כשהמבנה יורש סגנון מהמינרט האסלאמי: מרובע שהליבה המרכזית שלו הם גרמי המדרגות עם קמרונות, כמו במינרטים של האל-מוואחידון. על מבנה זה ניצב המגדל, בדרך כלל מצולע. יש גם דוגמאות למגדלים מתומנים.
אתר מורשת עולמית

בשנת 1986 הכריזה אונסקו על מכלול מודחאר של טרואל כאתר מורשת עולמית, אשר הורחב בשנת 2001 כך שיכלול מונומנטים מודחארים נוספים של אראגון:
| קוד | שם | מקום | שנה |
| --- | --- | --- | --- |
| 378-001 | המגדל, גג וכיפה של קתדרלת סנטה מריה דה מדיאוויה | טרואל | 1986 |
| 378-002 | המגדל והכנסייה של סן פדרו | טרואל | 1986 |
| 378-003 | מגדל סן מרטין | טרואל | 1986 |
| 378-004 | מגדל כנסיית סלבדור | טרואל | 1986 |
| 378-005 | האפסיס, קלויסטר והמגדל של קולחיאטה דה סנטה מריה | קלטיוד | 2001 |
| 378-006 | כנסיית הקהילה של סנטה טקלה | סרברה דה לה קניאדה | 2001 |
| 378-007 | כנסיית סנטה מריה | טובד | 2001 |
| 378-008 | השרידים המודחארים של ארמון אלחפריה | סרגוסה | 2001 |
| 378-009 | המגדל והכנסייה הקהילתית של סן פבלו | סרגוסה | 2001 |
| 378-010 | האפסיס והכיפה של קתדרלת סלבדור | סרגוסה | 2001 |
בהסבר להכרזת אתר המורשת העולמית נכתב:
ההתפתחות באמנות המודחאר של המאה השתים-עשרה באראגון היא תוצאה של התנאים הפוליטיים, החברתיים והתרבותיים ששררו בספרד לאחר הרקונקיסטה. אמנות זו, המושפעת מהמסורת האסלאמית, משקפת גם סגנונות אירופיים שונים בני אותה תקופה, במיוחד גותיים. קיימת עד ראשית המאה השבע-עשרה, מאופיינת בשימוש מעודן ביותר ורב תושייה בלבנים ואריחים מזוגגים באדריכלות, במיוחד במגדלי הפעמונים בכנסיות.
ההצדקה להכרזה זו מתבססת על קריטריון מספר 4 של הארגון:
האתר הוא דוגמה יוצאת דופן לסוג בנייה, אדריכלות, טכנולוגיה והנוף המדגים שלבים משמעותיים בתיזמור (ensemble) הכולל שלהם בשלבים משמעותיים בהיסטוריה של האנושות.
הערות שוליים

1 2  Mudejar Architecture of Aragon Website of UNESCO World Heritage Centre
מודול שטוח

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, מודול שטוח מעל חוג  R הוא מודול  M מעל  R, שעבורו פונקטור המכפלה הטנזורית ב- M הוא מדויק.
מרחבים וקטורים מעל שדה הם מודולים שטוחים. באופן כללי יותר, מודולים חופשיים, ואף מודולים פרויקטיבים הם מודולים שטוחים. מאידך, כל מודול שטוח הוא חסר פיתול. חוג הוא פון-נוימן רגולרי אם ורק אם כל המודולים מעליו שטוחים (משפט Harada-Auslander), ומושלם (אנ') אם ורק אם כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי.
מודולים שטוחים הוגדרו לראשונה על ידי ז'ן-פייר סר (Serre) במאמרו המפורסם "Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique", אשר יצא לאור בשנת 1956.
מבוא והגדרה

יהי  M מודול (שמאלי) מעל החוג  R. לכל מודול (ימני)  N אפשר לבנות את המכפלה הטנזורית  M\otimes _{R}N, שהיא החבורה האבלית הנוצרת על ידי הסמלים הפורמליים  m\otimes n (כאשר  m\in M,\,n\in N), המקיימים כמה חוקים טבעיים. אם  N\subseteq N', מוגדרת העתקה  M\otimes _{R}N\rightarrow M\otimes _{R}N' הרואה כל סמל  m\otimes n כאילו הוא חי ב- M\otimes _{R}N'.
התהליך הזה עלול להיות הרסני: למשל, מעל חוג השלמים  \mathbb {Z} , אם  M=\mathbb {Z} /a\mathbb {Z} , אז המכפלה  M\otimes N שווה למודול המנה  N/aN. אם נתבונן בהכלה  N=\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} =N', נגלה שהמנה  N/aN היא חבורה בת  a איברים, בעוד שהמנה  N'/aN' שווה לאפס, כך שאין הכלה  M\otimes N\subseteq M\otimes N'. היכולת הזו להרוס הכלות משתקפת במבנה של המודול  M, ובמקרה זה היא באה לידי ביטוי בכך שהוא מפותל. במקרים אחרים (למשל, אם  M חופשי) מובטח שהמכפלה הטנזורית ב- M תשמור על הכלה. בגלל חשיבותה של התכונה הזו, הציע סר מונח מיוחד למודולים  M שעבורם
אם  N\subseteq N', אז ההעתקה  M\otimes _{R}N\rightarrow M\otimes _{R}N' היא שיכון (לכל  N ולכל  N'):
מודול  M המקיים תכונה זו נקרא מודול שטוח.
מבוא והגדרה > תכונות יסודיות

כדי שהמודול  M יהיה שטוח מעל  R, די בכך שההעתקה  M\otimes _{R}N\rightarrow M\otimes _{R}N' היא שיכון לכל  N\subseteq N' שהם אידיאלים שמאליים נוצרים סופית של  R. כל תת-המודולים של  M הם שטוחים אם ורק אם כל תת-המודולים הנוצרים סופית הם שטוחים.
מבוא והגדרה > הגדרה קטגורית

יהי  R חוג קומוטטיבי, ויהי  M מודול מעל  R. נגדיר פונקטור מהקטגוריה של מודולים מעל  R לעצמה על ידי  F(N)=M\otimes _{R}N.
אפשר להראות כי הפונקטור  F הוא מדויק מימין. כלומר, בהינתן סדרה מדויקת של  R-מודולים  0\to N_{1}\to N_{2}\to N_{3}\to 0, הפעלת  F על הסדרה תיתן סדרה מדויקת  M\otimes _{R}N_{1}\to M\otimes _{R}N_{2}\to M\otimes _{R}N_{3}\to 0. עם זאת, ההעתקה  M\otimes _{R}N_{1}\to M\otimes _{R}N_{2} אינה מוכרחה להיות חד חד ערכית.
אם הפונקטור  F הוא מדויק, נאמר כי  M הוא  R-מודול שטוח. לאור הדיון לעיל,  M הוא שטוח אם ורק אם לכל העתקה חד חד ערכית  N_{1}\to N_{2} של  R-מודולים, ההעתקה המתקבלת על ידי מכפלה טנזורית עם  M,  M\otimes _{R}N_{1}\to M\otimes _{R}N_{2} היא חד-חד-ערכית. מן ההגדרה נובע שמעל חוג חלופי, מכפלה טנזורית של מודולים שטוחים היא שטוחה
במקרה הכללי, כש- R אינו בהכרח חילופי, הפונקטור  F דלעיל עדיין מוגדר על מודולים ומחזיר חבורות אבליות. למרות זאת, ההגדרה נשארת זהה - מודול  M נקרא שטוח אם הפונקטור  F כפונקטור מהקטגוריה של  R-מודולים לקטגוריה של חבורות אבליות הוא פונקטור מדויק.
מבוא והגדרה > מתי כל המודולים שטוחים

חוג  R הוא רגולרי פון-נוימן אם ורק אם כל מודול שמאלי או ימני הוא שטוח, אם ורק אם לכל  a, המודול  R/Ra הוא שטוח.
כאשר החוג קומוטטיבי, כל המודולים שטוחים אם ורק אם החוג הוא מצומצם (אין בו איברים נילפוטנטיים) וסריג תת-המודולים של כל מודול הוא דיסטריבוטיבי. גם ללא הנחת הקומוטטיביות, אם החוג מצומצם וכל אידיאל חד-צדדי הוא דו-צדדי, אז כל המודולים שטוחים אם ורק אם סריג תת-המודולים של כל מודול הוא דיסטריבוטיבי.
הקשר לפרויקטיביות

כל סכום ישר של מודולים שטוחים הוא שטוח, וכל מחובר ישר במודול שטוח הוא שטוח בעצמו.
כל מודול פרויקטיבי הוא שטוח. בפרט, כל מודול חופשי הוא שטוח. מאידך מודול שטוח עם הצגה סופית הוא פרויקטיבי, ולכן עבור מודולים נוצרים סופית מעל חוג נתרי, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא פרויקטיבי. המספרים הרציונליים, כמודול מעל השלמים, הם דוגמה למודול שטוח שאינו פרויקטיבי. אם  R הוא חוג חילופי נתרי מקומי, אז כל מודול שטוח נוצר סופית מעל  R הוא מודול חופשי.
מודול שיש לו כיסוי פרויקטיבי (היינו, הוא מנה של מודול פרויקטיבי ביחס לגרעין קטן) הוא שטוח אם ורק אם הוא פרויקטיבי בעצמו. כל המודולים השטוחים מעל חוג הם פרויקטיביים, אם ורק אם החוג מושלם (מחלקה זו כוללת כל תת-חוג (עם יחידה) של חוג פשוט למחצה, וכל מקומי למחצה  R עם הרמת אידמפוטנטים מ- R/J(R)).
התכונה "כל מודול שטוח נוצר סופית הוא פרויקטיבי" חלשה בהרבה; למשל, היא כוללת את כל תחומי השלמות, ואת כל החוגים המקומיים-למחצה הקומוטטיביים (מעל חוג קומוטטיבי, תכונה זו שקולה לכך שכל מודול ציקלי שטוח הוא פרויקטיבי).
הקשר לפרויקטיביות > אינג'קטיביות

המודול  M מעל  R הוא שטוח אם ורק אם  \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ) אינג'קטיבי מעל  R. כל מודול שמאלי שטוח הוא אינג'קטיבי אם ורק אם כל מודול ימני שטוח הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג ארטיני ואינג'קטיבי.
הקשר לפיתול

כל מודול שטוח הוא חסר פיתול.
מעל חוג השלמים  \mathbb {Z} , מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חסר פיתול. לתחום שלמות יש התכונה הזו (שכל מודול חסר פיתול הוא שטוח) אם ורק אם הוא תחום פרופר (היינו תחום שלמות שבו כל האידיאלים הנוצרים סופית הם הפיכים).
מודול שמאלי  M נקרא חסר-פיתול לפי האטורי (Hattori torsion-free, להלן חפ"ה) אם כל אימת ש- am=0 (עבור  m במודול וסקלר  a) אפשר לכתוב  m=a_{1}m_{1}+\cdots +a_{n}m_{n} כאשר  aa_{1}=\cdots =aa_{n}=0. כל מודול כזה הוא חסר פיתול. את הפיתול לפי האטורי אפשר לאבחן בעזרת אידיאלים ראשיים: מודול הוא חפ"ה, אם ורק אם לכל  a בחוג, ההעתקה הטבעית  Ra\otimes M\rightarrow aM היא איזומורפיזם. בפרט, כל מודול שטוח הוא חפ"ה. לכן מחלקת המודולים חסרי הפיתול לפי האטורי היא מחלקת ביניים, הכוללת את כל המודולים השטוחים, ומוכלת בזו של המודולים חסרי הפיתול. מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חפ"ה ומתקיים  (B\cap B')M=BM\cap B'M לכל שני אידיאלים (נוצרים סופית) ימניים  B,B'\leq _{r}R.
מעל חוג המקיים את תכונת בזו מימין (כל אידיאל נוצר סופית הוא ראשי), מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חפ"ה; ומעל חוג ללא מחלקי אפס המקיים את תכונת בזו מימין, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חסר פיתול.
מיקום, גבולות, מכפלות ישרות, פולינומים

מעל חוגים נתריים שטיחות היא תכונה מקומית, כלומר מודול  M מעל חוג חילופי  R הוא שטוח אם ורק אם לכל אידיאל ראשוני  p\in SpecR, המיקום  M_{p} שטוח מעל  R_{p}.
מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא מתקבל כגבול ישר של מודולים חופשיים נוצרים סופית. אין בכך מגבלה על גודלו של מודול שטוח, שכן כל מודול הוא גבול ישר של אוסף כל תת-המודולים הנוצרים סופית שלו.
כל מכפלה ישרה של מודולים (שמאליים) שטוחים היא מודול שטוח, אם ורק אם כל מכפלה ישרה של עותקים של החוג היא שטוחה, אם ורק אם החוג הוא קוהרנטי משמאל. כל תת-מודול (שמאלי) של כל מכפלה ישרה של עותקים של החוג הוא שטוח, אם ורק אם כל אידיאל ימני נוצר סופית הוא פרויקטיבי.
יהי  R חוג קומוטטיבי. חוג המנה (הקומוטטיבי)  R[x_{1},\dots ,x_{n}]/\langle f\rangle  שטוח כמודול מעל  R, אם ורק אם האידיאל של  R הנוצר על ידי המקדמים של  f הוא מחובר ישר ב- R.
רזולוציות שטוחות ומכפלה טנזורית נגזרת

בהינתן מודול  M, רזולוציה שטוחה שלו היא קומפלקס מדויק  P אשר מורכב ממודולים שטוחים, המרוכז בדרגות שליליות, ביחד עם קוואזיאיזומורפיזם  P\to M.
בעזרת רזולציות שטוחות ניתן להגדיר את הפונקטור הנגזר משמאל של פונקטור המכפלה הטנזורית: לכל מודול  M נבחר רזולוציה שטוחה  \,P_{M}. בהינתן זוג מודולים  M,N מעל חוג חילופי  R, המכפלה הטנזורית הנגזרת שלהם מוגדרת להיות  M\otimes _{R}^{L}N=P_{M}\otimes _{R}N. בניה זו תלויה לכאורה בבחירת הרזולוציה השטוחה, אך ניתן להראות כי בחירת רזולוציה אחרת תוביל לקומפלקס קוואזיאיזומורפי. ההומולוגיות של המכפלה הטנזורית הנגזרת שוות לפונקטור Tor.
קומפלקסים K-שטוחים

ניתן להכליל את מושג המודול השטוח למקרה של קומפלקס שאינו חסום. לכל זוג קומפלקסים  M ו- N מעל חוג  R, מוגדרת המכפלה הטנזורית  M\otimes _{R}N. אם הפונקטור  F(N)=M\otimes _{R}N הוא מדויק, אומרים כי  M הוא קומפלקס  K-שטוח. אם  M קומפלקס חסום מלמעלה אז הוא  K-שטוח אם ורק אם כל אחד מהמודולים המרכיבים אותו הוא שטוח. באופן כללי, אם  M קומפלקס  K-שטוח כלשהו אז הוא קוואזי-איזומורפי לקומפלקס שכל המודולים המרכיבים אותו הם שטוחים, אך ההפך אינו נכון באופן כללי, כלומר ייתכן שקומפלקס שאינו חסום מלמעלה יהיה מורכב ממודולים שטוחים, אך הקומפלקס לא יהיה  K-שטוח.
מעל חוג נתון, לכל קומפלקס קיימת רזולוציה  K-שטוחה, כלומר קיים קומפלקס  K-שטוח שהוא קוואזי-איזומורפי לו. בעזרת רזולציות אלו אפשר להרחיב את פונקטור המכפלה הטנזורית הנגזרת לכל הקטגוריה הנגזרת של קטגורית המודולים מעל חוג נתון, ללא הגבלת חסימות.
העתקות שטוחות

הומומורפיזם של חוגים  f:R\to S נקרא שטוח אם הוא הופך את  S למודול חופשי מעל  R. גרותנדיק הוכיח שכל העתקה חלקה פורמלית בין חוגים נתריים היא שטוחה. בפרט, כל העתקה אטל-פורמלית (Formally étale) (העתקת כיסוי אלגברית) היא שטוחה.
בפרט, לוקליזציה והשלמה הן העתקות שטוחות.
הנחת הנתריות הכרחית בהוכחת השטיחות להעתקות חלקות פורמלית. לדוגמה, יהי  k שדה, ויהי  k[\{t^{q}\}] חוג הפולינומים בחזקות רציונליות חיוביות של  t. ניתן להראות כי ההעתקה  k[\{t^{q}\}]\to k השולחת את  t ל-0 היא העתקה אטל-פורמלית, אך היא אינה העתקה שטוחה. דוגמה זו אינה סותרת את משפטו של גרותנדיק, משום שהחוג  k[\{t^{q}\}] איננו חוג נתרי.
הערות שוליים

↑  זה מראה שאפילו מעל תחום שלמות, שטיחות היא תכונה יציבה יותר מחוסר-פיתול: מכפלה טנזורית של מודולים שטוחים היא תמיד שטוחה, אבל מכפלה טנזורית של מודולים חסרי פיתול היא חסרת פיתול אם ורק אם D הוא חוג פרופר.
↑  D. Lazard, Autour de la platitude, Bull. Soc. Math. France 97 (1969), p.81--128
↑  המאמרים [www.mscand.dk/article/download/10979/9000] ‏ S. Jondrup, "On Finitely Generated Flat Modules", Math Scand 26 (1970), 233--240‏ ו- ‏ (Puninski-Rothmaler, 2004) עוסקים בשאלה מהן התכונות של חוג שכל מודול נוצר סופית שטוח מעליו הוא פרויקטיבי.
↑  M. Nagata: Flatness of an Extension of a Commutative Ring, J. Math Kyoto U, 1969.
מחלקות של מודולים. חץ כחול מתאר מחלקה של חוגים (למשל חוג הוא מושלם אם ורק אם כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי); חץ מקווקו מתקיים מעל המחלקה הנתונה (למשל מעל חוג מושלם למחצה, כל מודול שטוח נוצר סופית הוא פרויקטיבי)
יוסף שורץ

ערך זה עוסק בפרופסור באוניברסיטת תל אביב. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
| --- | --- |

יוסף שורץ
 לידה:  12 בינואר 1965 (בן 60) 
 מוסדות:  אוניברסיטת תל אביב 
 תחומי עניין:  מדע הדתות, פילוסופיה יהודית, פילוסופיה, חקר ימי הביניים, היסטוריה 
 עיסוק:  פעיל חברתי, היסטוריון של ימי הביניים, חוקר דתות, פרופסור, פילוסוף 
 מדינה:  ישראל 
 
יוסף (יוסי) שוָרץ (נולד ב- 12 בינואר 1965) הוא פרופסור חבר לפילוסופיה של המדעים וראש בית הספר לפילוסופיה, בלשנות ולימודי מדע באוניברסיטת תל אביב. בעבר שימש כמנהל המכון להיסטוריה ופילוסופיה של המדעים והרעיונות ע"ש כהן וכיושב ראש המוקד להגנת הפרט.
חייו ופועלו האקדמי

יוסף שורץ נולד ברמת גן, בנו של משה שורץ, פילוסוף וחוקר פילוסופיה, מקים המחלקה לפילוסופיה באוניברסיטת בר-אילן.
סיים את לימודיו לתואר הראשון במדעי הדתות, היסטוריה ופילוסופיה באוניברסיטה העברית בשנת 1989, תואר שני באוניברסיטת פריבור שבשווייץ בשנת 1993, דוקטורט באוניברסיטה העברית, בהנחייתה של פרופ' אביטל וולמן בשנת 1996. נושא מחקרו היה ההשפעה של התרגום הלטיני של ספר "מורה נבוכים" על כתביו המאוחרים של מייסטר אקהרט.
החל משנת 1994 לימד באוניברסיטה העברית, באוניברסיטת בר-אילן, באוניברסיטה הפתוחה ובמכללת עלמא. בין השנים 2001–1999 ושוב בשנים 2012-2010 היה מרצה אורח במחלקה לימי הביניים באוניברסיטה האירופית המרכזית שבבודפשט, בין 2002–2000 כיהן כפרופסור באוניברסיטת גתה בפרנקפורט שבגרמניה והיה מרצה בסמינר ללימודי היהדות באוניברסיטת היידלברג. משנת 2002 מלמד במכון להיסטוריה ופילוסופיה של המדעים והרעיונות ע"ש כהן שבאוניברסיטת תל אביב. בין השנים 2009–2015 עמד בראש המכון. בשנת 2016 מונה לראשות בית הספר לפילוסופיה, בלשנות ולימודי מדע של אוניברסיטת תל אביב.
בזמן שביתת הסגל האקדמי הזוטר בשנת 2018 שלח פרופ' שורץ מכתב תמיכה פתוח לחברי הסגל הבכיר באוניברסיטת ת"א.
אחיו פרופ' אלי שוורץ הוא רופא ומדען, ממפתחי ומובילי תחום רפואת המטיילים והרפואה הטרופית בישראל ומנהל המרכז לרפואת מטיילים ומחלות טרופיות במרכז הרפואי שיבא.
פעילותו הציבורית

יוסף שורץ הוא ההוגה והמייסד של המוקד להגנת הפרט, אותו הקים בשנת 1988 בהיותו בן עשרים ושלוש והיה מנהלו הראשון. 
כיהן כיועץ לענייני שדלנות של ארגון שתיל, שם יעץ בנושאי חקיקה ועניינים פרלמנטריים. משמש כחבר ההנהלה של המוקד להגנת הפרט (כיהן כיו"ר מאמצע שנות התשעים ועד לשנת 2009[דרוש מקור]), יושב ראש ההנהלה של המרכז לאינפורמציה אלטרנטיבית, חבר בוועדה האקדמית ומרצה במכללת עלמא, יושב ראש הוועדה המדעית של המחקר ופיתוח של כפר קרע, וחבר הנהלת עמותת "מכנף דרום לציון".
מחקרו

מחקרו של שורץ עוסק בהיסטוריה אינטלקטואלית בימי הביניים המאוחרים והעת החדשה המוקדמת. הוא חוקר את קו התפר שבין ההיסטוריה לפילוסופיה, דרך קריאה של רעיונות, תוך בחינת הקשרם החברתי, הפוליטי והפילוסופי.
הוא חוקר וכותב על הקמת האוניברסיטאות באירופה, מפעלי תרגום בימי הביניים, תוך כדי בחינת הסוגיה כיצד מתרגמים ספרות מדעית ופילוסופית משפה אחת לשפה אחרת, מה תוצאות הדבר ואילו השפעות יש לכך.
תחום מרכזי של עיסוקו הוא הבראיזם נוצרי. הבראיזם הוא העיסוק של מלומדים נוצרים בחומרים יהודים, כגון כתבי הרמב"ם ושלמה אבן גבירול וטקסטים קבליים.
שורץ תרגם מלטינית לעברית את ספרו של חואן קאראמואל אי לובקוביץ ואותו ערך, על האתאיזם של הרבנים. בספר זה מנתח קאראמואל חומרים קבליים מתוך ביקורת מאוד חריפה, בטענו שהמקובלים היו אתאיסטים, וזאת הוא מסיק מתוך היכרות מעמיקה עם כתבים קבליים.
בספרו של שורץ "נשף מסכות בעיר האלוהים: פלורליזם וסבלנות בימי הביניים", מוצגת הטענה הלא קונבנציונלית לפיה ימי הביניים היו תקופה הרבה יותר פלורליסטית מאשר המודרנה.
ספרים שכתב

מהמנזר אל האוניברסיטה: בין תאולוגיה לפילוסופיה בימי הביניים, תל אביב: משרד הביטחון – ההוצאה לאור (אוניברסיטה משודרת), תשנ"ט 1999.
לך דומיה: מייסטר אקהרט קורא במורה נבוכים, תל אביב: עם עובד, תשס"ב.
נשף מסכות בעיר האלוהים: פלורליזם וסובלנות בימי הביניים, עריכה: אריאלה שטרום, תל אביב: משרד הביטחון – ההוצאה לאור (אוניברסיטה משודרת), תשס"ו 2006.
ספרים שערך והגיה

אהבת אלוהים: אהבה נוצרית, תאולוגיה ופילוסופיה במשנתו של תומאס אקווינס/ אביטל וולמן; עריכה מדעית: יוסף שורץ ואיילת אבן-עזרא. תל אביב: רסלינג, 2005.
על האתאיזם של הרבנים/ יוהנס קרמואל לובקוביץ; תרגמו מלטינית והוסיפו מבואות: מרסל דיבואה, אביטל וולמן ויוסף שורץ; הוסיף הערות לטקסט: יוסף שורץ. ירושלים: הוצאת הספרים ע"ש י"ל מאגנס, תשס"ה, 2005.
תשובה לאיוב/ קרל גוסטב יונג; תרגום מגרמנית: מרים קראוס וחיים מחלב; עריכה מדעית: יוסף שורץ. תל אביב: רסלינג, 2005.
מיתוס - שפה - התגלות; בעקבות הגותו של משה שורץ/ ירושלים: הוצאת כרמל, 2019
הערות שוליים

↑  בית הספר לפילוסופיה, בלשנות ולימודי מדע באוניברסיטת ת"א.
↑  יוסי שורץ, מכתב פתוח לחברי הסגל הבכיר באוניברסיטת תל אביב בנוגע לשביתת הסגל הזוטר, רשת מדעי הרוח והחברה, 20 באוקטובר 2018
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007301504005171  BIBSYS: 5018770  BnF: cb145058825 (data)  GND: 128913444  ISNI: 0000 0001 0939 5502  LCCN: no99077601  NKC: uk2005305135  NTA: 258650257  ORCID: 0000-0001-5336-990X  RERO: 02-A016854878  SUDOC: 140163794  VIAF: 119991935   WorldCat (עם VIAF): 119991935
הפלייליסט של זואי

| --- | --- |

 סוגה:  מוזיקלי דרמה קומית
 שחקנים:  ג'יין לוי סקיילר אסטין אלכס ניואל ג'ון קלרנס סטיוארט פיטר גלאגר מרי סטינבורגן לורן גרהאם קפיל טלוולקאר אנדרו לידס אליס לי מייקל תומאס גרנט ברנדט פיטרס
 ארץ מקור:  ארצות הברית ארצות הברית
 שפות:  אנגלית 
 מקום התרחשות:  ריצ'מונד 
 מספר עונות:  2
 מספר פרקים:  26
 הפקה
 מפיק:  מנדי מור 
 הפצה:  NBCUniversal הפקות, הולו 
 אורך פרק:  43–44 דקות (עונות 1-2) 99 דקות (סרט)
 שידור
 רשת שידור:  NBC ‏•‏‏ Roku
 רשת שידור בישראל:  yes
 תקופת שידור מקורית:  7 בינואר 2020 – 16 במאי 2021
 קישורים חיצוניים
 אתר רשמי
 דף התוכנית ב-IMDb
 
הפלייליסט של זואי (באנגלית: Zoey's Extraordinary Playlist) הייתה סדרת טלוויזיה דרמה קומית מוזיקלית אמריקאית, שנוצרה על ידי אוסטין וינסברג ועלתה לשידור ב-7 בינואר 2020 ב-NBC. בסדרה מככבת ג'יין לוי בתפקיד זואי קלארק, מתכנתת מחשבים שמגלה שיש לה את היכולת לשמוע את המחשבות הפנימיות ביותר של אנשים בתור שירים. כל פרק כולל ביצועים רבים של שירים וריקודים המפתחים את קו העלילה. בסדרה משחקים גם סקיילר אסטין, אלכס ניואל, ג'ון קלרנס סטיוארט, פיטר גלאגר, מרי סטינבורגן, לורן גרהאם, קפיל טלווקאר, אנדרו לידס, אליס לי, ומייקל תומאס גרנט.
הסדרה בוטלה וירדה משידור ברשת NBC לאחר שתי עונות. בחודש ספטמבר 2021 חברת הסטרימינג רוקו הודיעה שתפיק סרט המשך לסדרה בנושא חג המולד שעלה ב-1 בדצמבר 2021. בנוסף לשירים שבוצעו בסרט, שיר מקורי שני לסדרה – North Star, בוצע על ידי טורי קלי.
בישראל, הסדרה משודרת ב-yes וב-STINGTV.