הקוניקה (ספר)
כרכים > הכרך החמישי

הכרך החמישי, המוכר רק מתרגום ערבי, מכיל 77 טענות - המספר הגדול ביותר מכלל הספרים. מתוכן 50 טענות עוסקות באליפסה, 22 בפרבולה ו-28 בהיפרבולה. הנושא הכללי של הכרך, כפי שמוצג בהקדמות הראשונה והחמישית, הוא "קווים מקסימליים ומינימליים". יצוין כי מונחים אלו אינם מוסברים ובניגוד לספר הראשון, הספר החמישי אינו מכיל הגדרות והסברים.
העמימות שימשה אבן שואבת למפרשיו של אפולוניוס, הנדרשים לפרשנות כשאינם יודעים בבטחה מה משמעותם של המונחים המרכזיים המופיעים בספר. עד לאחרונה רווחה השקפתו של ההיסטוריון הבריטי תומאס הית'. לפיה יש להתייחס לקווים כאל "נורמליים" לחתכים. "נורמלי" במקרה זה - הניצב לעקומה בנקודת השקה. אם קטע משורטט לפי מערכת הקואורדינטות של אפולוניוס, כשהקוטר על ציר x והקודקוד בראשית, ניסוח הטענות מצביע על כך שהמינימום/מקסימום נמצאים בין החתך לציר. הית' מתבונן בנקודה קבועה p על החתך כמשמשת הן כנקודת משיק והן כקצה אחד של הקו. המרחק המינימלי בין p לנקודה כלשהי בציר חייב להיות הנורמל לחתך ב-p.
במתמטיקה מודרנית, מרכז העקמומיות של עקומה בנקודה נמצא על הנורמל לעקומה בנקודה, במרחק שנקרא רדיוס העקמומיות. עבור עקומות מעגליות זהו מרכז המעגל, ועקומות שאינן מעגליות ניתן לקרב כקשת של מעגל סביב נקודה. רדיוס העקמומיות של עקומות לא מעגליות, למשל חתכי חרוט (שאינם מעגל), משתנה לאורך החתך. המיקומים של מרכזי העקמומיות כשנעים לאורך החתך נקראים האבולוט של החתך. הית' האמין שבספר החמישי אנו רואים את אפולוניוס מייסד את הבסיס הלוגי של תיאוריה המתארת נורמלים, אבולוטים ומושגים נוספים כמו מעטפות.
הפירוש של הית' לספר החמישי זכה לתמיכה רחבה במאה ה-20. עם זאת, בשנת 2001 חוקרי אפולוניוס מיכאל פריד (אנ') ושבתאי אונגורו ערערו על האותנטיות ההיסטוריות של ניתוחו של הית' את הספר החמישי. בין היתר, הם טוענים כי אין אזכור של קווים מינימליים/מקסימליים כנורמלים כשלעצמם, לא בהקדמה ולא בספרים. מתוך 50 טענות שהית' מתייחס אליהן כעוסקות בנורמלים, רק שבע (V: 27–33) מציינות או מרמזות על קווים מקסימליים/מינימליים שמאונכים למשיקים. פריד מסווג את שבע טענות אלה כ"מבודדות" ואינן קשורות לטענות המרכזיות של הספר. לטענתו הן אינן מרמזות באופן כללי על נורמלים והוא אף מראה כי הדבר אינו אפשרי עבור טענות אחרות.
בכך, פריד ואונגורו מציגים את אפולוניוס כממשיך של העבר ולא כצופה את העתיד. מחקרם הפילולוגי המקיף של כל ההתייחסויות לקווים מינימליים ומקסימליים מעיד על ניסוחים וטרמינולוגיה סטנדרטיים. ניתן לסווג התייחסויות אלה לשלוש קבוצות של 20–25 טענות כל אחת. הקבוצה הראשונה מכילה את הביטוי "מנקודה על הציר אל החתך", בניגוד לניסוח "מנקודה על החתך אל הציר". הראשון אינו בהכרח נורמלי לאף אחד, למרות שהוא עשוי להיות. בהינתן נקודה קבועה על הציר, מבין כל הקווים המחברים אותה לכל נקודות החתך, אחד יהיה הארוך ביותר (מקסימום) ואחד הקצר ביותר (מינימום).
בראייתם של פריד ואונגורו, הנושא של הכרך החמישי הוא בדיוק מה שאפולוניוס אומר שהוא, קווים מקסימליים ומינימליים. אלו אינן מילות קוד למושגים עתידיים, אלא מתייחסות למושגים עתיקים שהיו בשימוש אז. המחברים מצטטים את הספר השלישי בעבודתו של אוקלידס, "יסודות", העוסק במעגלים ובמרחקים מקסימליים ומינימליים מנקודות פנימיות להיקף. הם ידועים גם בחידוש המונח "דמוי-נוסיס". בניית נוסיס (Neusis construction (אנ')) הייתה שיטה להתאים קטע נתון בין שתי עקומות נתונות: נתונה נקודה P וסרגל עם הקטע מסומן עליו. ניתן לסובב את הסרגל סביב P כך שהוא חותך את שתי העקומות, עד שהקטע מותאם ביניהן. בכרך החמישי, P היא הנקודה על הציר. ניתן לסובב סביבה סרגל ולגלות את המרחקים לקטע, וכך להבחין במינימום ובמקסימום. הטכניקה לא מיושמת בפועל, כך שזה לא נוסיס. המחברים משתמשים ב"דמוי-נויסיס" ורואים דמיון ארכיטיפי לשיטה העתיקה.