משפט ההעתקה של רימן
הוכחה

נוכיח את הניסוח הבא של המשפט: יהי  \Omega \neq \mathbb {C}  תחום פשוט קשר. יהי  a\in \Omega . אז קיימת פונקציה אנליטית וחח"ע ב  \Omega  יחידה כך ש  f(\Omega )=D,f(a)=0,f'(a)>0. לצורך ההוכחה נסמן ב-F את קבוצת כל הפונקציות האנליטיות המעתיקות באופן חח"ע את  \Omega  ל-D (לא בהכרח על). נוכיח את המשפט בשלבים:
שלב ראשון - נוכיח ש  F\neq \emptyset :
יהי  z_{0}\not \in \Omega הפונקציה  z-z_{0}לא מתאפסת ב  \Omega ולכן יש לה שורש אנליטי g שהוא בבירור חח"ע. נטען ש  g(\Omega )\cap -g(\Omega )=\emptyset . אחרת יש  z_{1},z_{2} כך ש  g(z_{1})=-g(z_{2}) לכן  z_{1}-z_{0}=z_{2}-z_{0}ולכן  z_{1}=z_{2} אבל אז  g(z_{1})=g(z_{2})=-g(z_{1})בסתירה לכך ש g לא מתאפסת ב  \Omega .נבחר  z'\in -g(\Omega ). לפי משפט העתקה הפתוחה,  -g(\Omega ) קבוצה פתוחה. לכן קיים r>0 כך ש  B(z',r)\subseteq \Omega . תהי  \psi (z)={\tfrac {r}{z-z'}}. אז היא מעבירה באופן חח"ע את  B(z',r)^{\complement }לתוך D וכיוון ש  g(\Omega )\subseteq (-g(Omega))^{\complement }\subseteq B(z',r)^{\complement }נקבל ש  \psi (g)\in F.
שלב שני - נמצא את f:
כל  g\in F אנליטית וחח"ע ב  \Omega  ולכן הנגזרת שלה לא מתאפסת שם. לכן  \eta =\sup _{g\in F}g'(a)>0. מנוסחת האינטגרל של קושי נקבל כי  g'(a)={\tfrac {1}{2i\pi }}\int _{|\xi -a|=r}{\tfrac {g(\xi )}{(\xi -a)^{2}}} ולכן מאי שוויון המשולש האינטגרלי,
|g'(a)|={\tfrac {1}{2\pi }}|\int _{|\xi -a|=r}{\tfrac {g(\xi )}{(\xi -a)^{2}}}|\leq {\tfrac {1}{2\pi }}\int _{|\xi -a|=r}{\tfrac {|g(\xi )|}{(\xi -a)^{2}}}\leq {\tfrac {1}{r}} ולכן  \eta <\infty . לפי הגדרת הסופרימום, קיימת סדרה  f_{n}\in F כך ש  \lim _{n\to \infty }|f_{n}'(a)|=\eta . מתקיים  |f_{n}|\leq 1 ולכן הסדרה חסומה וממשפט מונטל קיימת תת-סדרה  f_{n_{j}} המתכנסת לפונקציה אנליטית f. בה"כ  f'(a)=\eta . נשאר להוכיח ש f מתעתיקה את  \Omega ל D באופן חח"ע ועל, ש f מתאפסת ב-a וכן יחידות.
שלב שלישי - נראה ש  f\in F:
יהו  x\neq y. נניח ש  y\not \in B(x,r)\subset \Omega . נגדיר ב  B(x,r)סדרה  \phi _{n_{j}}(z)=f_{n_{j}}(z)-f_{n_{j}}(y). כיוון ש  f_{n_{j}} חח"ע נקבל ש  \phi _{n_{j}} לא מתאפסות ב  \Omega . ממשפט מונטל נקבל ש  \lim _{j\to \infty }\phi _{n_{j}}(z)=f(z)-f(y) במ"ש על כל תת-קבוצה קומפקטית. ממשפט הורוביץ, נקבל ש  f(z)-f(y)לא מתאפסת או שווה זהותית ל-0. אבל אם היא 0 אז f קבועה ולכן  f'(a)=0<\eta בסתירה להגדרת f. לכן f חח"ע. כיוון ש  f_{n_{j}}:\Omega \rightarrow Dנקבל ש  f:\Omega \rightarrow {\overline {D}}אבל ממשפט העתקה הפתוחה  f(\Omega ) קבוצה פתוחה ולכן  f:\Omega \rightarrow D.
שלב רביעי - נוכיח ש f(a)=0,f(\Omega )=D:
נסמן  \alpha =f(a)ונניח בשלילה ש  \alpha \neq 0. נגדיר  \phi _{\alpha }(z)={\tfrac {z-\alpha }{1-{\overline {\alpha }}z}}נתבונן בפונקציה  g(z)=\phi _{\alpha }(f(z))שנמצאת ב-F. מחישוב נקבל ש  g'(a)={\tfrac {\eta }{1-|\alpha |^{2}}}>\eta  סתירה. כעת נראה ש  {\ce {f(\Omega) = D}}: נניח שלא אז יש  b\in D\setminus f(\Omega ). הפונקציה  \phi _{b}(f(z))לא מתאפסת ב  \Omega  ולכן יש לה שורש אנליטי שם,  \psi (z)^{2}=\phi _{b}(f(z). ברור ש  \psi \in Fומחישוב נקבל ש  \psi '(a)=\eta {\tfrac {1-|b|^{2}}{\sqrt {|b|}}}. נגדיר  \nu (z)=\phi _{\psi (a)}(\psi (z)) . אזי  \nu \in Fומחישוב נקבל ש  \nu '(a)=\eta {\tfrac {1+|b|}{2{\sqrt {|b|}}}}>\eta סתירה.
שלב חמישי - נוכיח יחידות:
נניח ש f,g מקיימות את התכונות. נגדיר  S:D\rightarrow D,S(z)=f(g^{-1}(z))אז S אז  S(0)=0 ומלמת שוורץ נקבל שיש קבוע c,  |c|=1 כך שמתקיים  S(z)=cz. מקבלים ש  c=S'(0)={\tfrac {f'(a)}{g'(a)}}>0לכן c ממשי ולכן c=1 ונקבל את הדרוש.