stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מתקפת אפס ימים
סוגי מתקפות

מתקפות יום-אפס לרוב נסמכות על פגיעות תוכנה לא מוכרת, כלומר, באג או תכנון לקוי של המערכת או הגדרותיה, אשר מאפשר לתוקף לבצע שלב כלשהו בתקיפתו.
לרוב מחלקים פגיעויות אלו לשני סוגים:
פגיעויות אפס ימים פרטיות (Private Zero-day Vulnerabilities) פגיעות תוכנה אשר מוכרת רק לגורם שמצא את אותן הפגיעות, ולגורמים אשר אליהם העביר את המידע. מכיוון שמדובר באיום אבטחתי חמור, פגיעויות כאלו עשויות להגיע למחירים גבוהים מאוד בשוק השחור של עולם אבטחת המידע. פגיעויות אלו אינן מהוות לרוב איום רחב, כיוון שאינן מוכרות לרבים. ואילו במידה וינוצלו באופן רחב, לרוב יתגלו על ידי אנשי אבטחת מידע ויאבדו את מעמדן כ"פרטיות". עם זאת, התקפות מסוג זה עשויות להוות איום משמעותי עבור קורבנות המתקפה, שכן לרוב קשה מאוד לגלות אותן ולהתגונן מפניהן.
פגיעות אפס ימים ציבוריות (Public Zero-day Vulnerabilities) פגיעויות תוכנה אשר פורסמו באופן גלוי באינטרנט. פגיעויות מסוג זה מהוות סכנה חמורה ורחבה, אך גופים בעלי תוכנית התמגנות יעילה, עשויים להגן על עצמם מהן.
שימוש על ידי האקרים

קבוצת האקרים בשם "The Shadow Brokers" פרסמה מספר כלי אקספלויט שנגנבו מה-NSA, ביניהם כלים למתקפת אפס ימים.
באפריל 2017 פרסמה הקבוצה כלים מסוג זה המסוגלים לפרוץ למערכות Microsoft Windows ולמערכות האגודה העולמית לתקשורת פיננסית בין-בנקאית (SWIFT), המסלקה הבינלאומית הראשית של הבנקים בעולם. הקבוצה הציגה הוכחת יכולת של הכלים שהדליפה באתר הטכנולוגיה "Ars Technica".
הסרט "Zero Days"

הסרט "Zero Days" (אנ') הוא סרט תיעודי משנת 2016 המתעד לכאורה את מבצע משחקים אולימפיים, מבצע חשאי שניסה לחבל בתוכנית הגרעין האיראנית באמצעות סדרה של מתקפות אפס ימים.
ראו גם

לוחמה קיברנטית
אקספלויט
אבטחת מערכות מידע
מתקפת בודפשט

מתקפת בודפשט הייתה ההתקפה הכללית של צבאות ברית המועצות ורומניה נגד הונגריה וגרמניה הנאצית. המתקפה נמשכה מ-29 באוקטובר 1944 ועד לנפילת בודפשט ב-13 בפברואר 1945. זו הייתה אחת ההתקפות הקשות והמסובכות ביותר שערך הצבא הסובייטי במרכז אירופה. זה הביא לניצחון מכריע עבור ברית המועצות, שכן הוא זירז מאוד את סיומה של מלחמת העולם השנייה באירופה.
רקע

לאחר שכבשו את רומניה במתקפת יאסי-קישינב במהלך הקיץ, המשיכו הכוחות הסובייטיים במתקפה שלהם בבלקן. הצבא האדום כבש את בוקרשט ב-31 באוגוסט, ואז התקדם מערבה על פני הרי הקרפטים לתוך הונגריה ודרומה לתוך בולגריה, עם חלקים שהצטרפו לפרטיזנים היוגוסלבים במהלך מבצע בלגרד. תוך כדי כך, כוחות הצבא האדום משכו את העתודות הגרמניות מהציר המרכזי ורשה - ברלין, כיתרו והשמידו את הארמייה השישית (בפעם השנייה) ואילצו את הארמייה השמינית המרוסקת של קבוצת ארמיות דרום אוקראינה לסגת מערבה לתוך הונגריה.
המתקפה

מאוקטובר 1944, החזיתות האוקראיניות השנייה, השלישית והרביעית התקדמו לתוך הונגריה. לאחר בידוד עיר הבירה ההונגרית בסוף דצמבר, הסובייטים כיתרו ותקפו את בודפשט. ב-13 בפברואר 1945 נפלה העיר.
על פי המסמכים ההיסטוריים, ניתן לחלק את מתקפת בודפשט לחמישה שלבים:
השלב הראשון (29 באוקטובר 1944 - 3 בנובמבר 1944) והשלב השני (7 בנובמבר 1944 - 24 בנובמבר 1944) סומנו על ידי שתי ההתקפות הגדולות של החזית האוקראינית השנייה, בראשות רודיון מלינובסקי. הקרבות בשני השלבים הללו היו עקובים מדם ועזים במיוחד, שכן הגרמנים התנגדו בעוז נגד המתקפה הסובייטית. למרות שהצבא האדום הצליח להשיג שטחים ניכרים, הם לא הצליחו לכבוש את בודפשט, בגלל ההתנגדות הגרמנית העזה וחוסר הכוח ההתקפי שלהם.
בשלב השלישי (3 בדצמבר 1944 - 26 בדצמבר 1944), החזית האוקראינית השלישית של פיודור טולבוחין הגיעה לנהר הדנובה לאחר שחרור בלגרד, וכך חיזקה מאוד את כוח ההתקפה הסובייטי בהונגריה. כעת עם כוחות נאותים, פתחו החזיתות הסובייטיות במתקפה דו-כיוונית מצפון ומדרום לבודפשט, ולבסוף כיתרו את העיר ולכדו כ-79,000 חיילים גרמנים והונגרים בתוך כיס בודפשט.
השלב הרביעי (1 בינואר 1945 - 26 בינואר 1945) התאפיין בשורה של מתקפות נגד חזקות שפתחו תגבורות גרמניות בניסיון להקל על המצור על בודפשט. כמה יחידות גרמניות הצליחו לחדור עמוק לפאתי העיר, כשהמוצלחות ביותר הגיעו למרחק של רק 25 ק"מ מהבירה ההונגרית. אולם הסובייטים הצליחו לעמוד בכל ההתקפות הגרמניות ולשמור על כיתור העיר.
לבסוף, בשלב החמישי (27 בינואר 1945 – 13 בפברואר 1945), גייסו הסובייטים את כוחותיהם כדי לחסל את המגינים הנצורים בעיר. הכוחות הגרמנים לחמו כחצי חודש נוסף לפני שנכנעו ב-13 בפברואר 1945, ובכך סיים ארבעה חודשים של לחימה עקובה מדם באזור בודפשט. מתוך 79,000 המגינים המוערכים, פחות מ-1,000 הצליחו להימנע ממוות או שבי.
לאחר מתקפת בודפשט, הכוחות העיקריים של קבוצת ארמיות דרום קרסו למעשה. הדרך לווינה, לצ'כוסלובקיה ולגבול הדרומי של גרמניה הייתה פתוחה לרווחה עבור הסובייטים ובני בריתם.
על פי הטענות הסובייטיות, הגרמנים וההונגרים בבודפשט איבדו 49,000 חיילים הרוגים, כאשר 110,000 נשבו ו-269 טנקים הושמדו.
לאחר מכן

מכיוון שרוב הכוחות הגרמניים באזור הושמדו, הוזנקו כוחות מהחזית המערבית, ובמרץ פתחו הגרמנים במבצע "התעוררות אביבית" (Unternehmen Frühlingserwachen) הכושל באזור אגם בלטון. המטרות הנרחבות של מבצע זה היו להגן על אחד מאזורי הנפט האחרונים שעמדו לרשות הציר ולהשתלט מחדש על בודפשט. אף אחת מהמטרות לא הושגה.
בתעמולה הסובייטית, מתקפה זו (יחד עם מתקפת בלגרד ומתקפת הקרפטים המזרחיים) נרשמה כאחת מעשר המכות של סטלין.
הערות שוליים

↑  Glantz, David M., and Jonathan House. When Titans Clashed: How the Red Army Stopped Hitler. (Lawrence, Kansas: University Press of Kansas, 1995. ISBN 0-7006-0899-0)  p. 298
↑  Krivosheev, G. F. Soviet casualties and combat losses in the Twentieth Century. (London: Greenhill Books, 1997. ISBN 1-85367-280-7) p. 152
↑  "Наша Победа. День за днем - проект РИА Новости". אורכב מ-המקור ב-2011-07-27. נבדק ב-2010-06-20.
מתקפת בודפשט
משפט קריין-סמוליאן

באנליזה פונקציונלית, משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מארק קריין וויטולד סמוליאן.
ניסוח המשפט

תהי  A\subset X^{*}קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר  A_{r}=A\cap B_{r}^{*} כאשר  B_{r}^{*} הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:
1) A סגורה w*.
2)  A_{r} סגורה w* לכל  r>0.
2') קיימת סדרה  r_{n}\to \infty  כך שלכל n,  A_{r_{n}} סגורה w*.
שימושים

מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.
מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.
ראו גם

משפט בנך אלאוגלו
טופולוגיה חלשה
לקריאה נוספת

בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.
Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience.
Whitley, R.J. (1967), "An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem", Mathematische Annalen, 172 (2): 116–118, doi:10.1007/BF01350091.
ניקולה די בארי

| --- | --- |

ניקולה די בארי, אוגוסט 1973
 לידה:  29 בספטמבר 1940 (בן 84) זאפונטה, איטליה 
 שם לידה:  מיקלה סקומניה
 שם במה:  Nicola Di Bari 
 מוקד פעילות:  איטליה 
 תקופת הפעילות:  מ-1959 
 סוגה:  מוזיקת פופ 
 שפה מועדפת:  איטלקית 
 חברת תקליטים:  קרוסלו, RCA Italiana, RCA Camden, Jolly 
 פרסים והוקרה:  פסטיבל סן רמו 
 www.nicoladibari.it
 פרופיל ב-IMDb
 
ניקולה די בארי ונאדה חוגגים את זכייתם בפסטיבל סן רמו בשנת 1971
ניקולה די בארי (באיטלקית: Nicola Di Bari; נולד בשם מיקלה סקומניה, ב-29 בספטמבר 1940) הוא זמר-יוצר ושחקן איטלקי.
ביוגרפיה

די בארי נולד בזפונטה שבמחוז פוליה בדרום איטליה, למשפחה בת עשרה ילדים. הוא ויתר על לימודי חשבונאות כדי לעבוד ברומא, ולאחר זמן מה ברומא עבר לגור במילאנו. ב-1962 זכה בתחרות שירים שנערכה בקולונו מונזסה בשיר שכתב בשם "Piano pianino". ב-1964 זכה להצלחה מסחרית עם השיר "Amore ritorna a casa".
בשנים 1965 עד 1967 השתתף שלוש פעמים בפסטיבל סן רמו, לצדו של הזמר ג'ין פיטני.
ב-1970 זכה די בארי בהצלחה מסחרית גדולה יותר עם השיר "La prima cosa bella" שהגיע למקום השני בפסטיבל סן רמו והגיע לראש מצעדי הפזמונים באיטליה.
ב-1971 זכה די בארי בתחרויות השירים פסטיבל סן רמו ו-Canzonissima עם השירים "Il cuore è uno zingaro" ("הלב הוא צועני") ו-"Chitarra suona più piano".
ב-1972 זכה שוב בפסטיבל סן רמו, וייצג את איטליה באירוויזיון 1972 עם השיר "I giorni dell'arcobaleno" ("ימים של קשת בענן"), והגיע למקום השישי.
בשנים שאחרי כן עלתה הפופולריות הבינלאומית של די בארי בעיקר באמריקה הלטינית, שם הקליט אלבומים אחדים בספרדית, ומיקד בה את הקריירה שלו.
דיסקוגרפיה > אלבומים

1965 Nicola Di Bari (Jolly records, LPJ 5041)
1970 Nicola Di Bari (RCA, PSL 10464)
1971 Nicola Di Bari (RCA, PSL 10494)
1971 Nicola di Bari canta Luigi Tenco (RCA, PSL 10520)
1972 I giorni dell'arcobaleno (RCA, PSL 10533)
1973 Paese (RCA, PSL 10571)
1973 Un altro Sud (RCA, DPSL 10597)
1973 La colomba di carta (RCA, TPL1-1043)
1974 Ti fa bella l'amore (RCA, TPL1-1104)
1977 Nicola Di Bari (Carosello, CLN 25068)
1981 Passo dopo passo (WEA, T 58327)
1982 L'amore è... (Carosello, CLN 25096)
1985 Innamorarsi (CBS, 57047)
1987 Encanto (CBS DIL, 11350)
דיסקוגרפיה > סינגלים

1963 "Piano... pianino.../Perché te ne vai" (Jolly, J 20217)
1964 "Amore ritorna a casa/Senza motivo" (Jolly, J 20229)
1964 "Non farmi piangere più/Ti tendo le braccia" (Jolly, J 20255)
1965 "Tu non potrai capire/Una cosa di nessuna importanza" (Jolly, J 20280)
1965 "Amici miei/Amo te, solo te" (Jolly, J 20282)
1965 "Piangerò/Il rimpianto" (Jolly, J 20294)
1965 "Un amore vero/Non sai come ti amo" (Jolly, J 20331)
1966 "Lei mi aspetta/Ridi con me" (Jolly, J 20346)
1967 "Guardati alle spalle/Judy" (Jolly, J 20406)
1968 "Se mai ti parlassero di me/Giramondo" (RCA, PM 3416)
1968 "Il mondo è grigio, il mondo è blu/Solo ciao" (RCA, PM 3448)
1969 "Eternamente/La vita e l'amore" (RCA, PM 3488)
1970 "La prima cosa bella/...e lavorare" (RCA, PM 3510)
1970 "Vagabondo/La mia donna" (RCA, PM 3531)
1970 "Una ragazzina come te/Zapponeta" (RCA, PM 3554)
1971 "Il cuore è uno zingaro/Agnese" (RCA, PM 3575)
1971 "Anima/Pioverà pioverà" (RCA, Pl 1)
1971 "Un uomo molte cose non le sa/Sogno di primavera" (RCA, PM 3611)
1971 "Chitarra suona più piano/Lontano, lontano" (RCA, PM 3627)
1972 "I giorni dell'arcobaleno/Era di primavera" (RCA, PM 3639)
1972 "Occhi chiari/Un minuto... una vita" (RCA, PM 3673)
1972 "Paese/Qualche cosa di più" (RCA, PM 3693)
1974 "Sai che bevo, sai che fumo/Libertà" (RCA, TPBO 1121)
1975 "Beniamino/Tema di Beniamino" (RCA, TPBO 1150)
1976 "La più bella del mondo/Anna, perché" (Carosello, Cl 20415)
1976 "E ti amavo/Momento" (Carosello, Cl 20435)
1977 "Lei, mia/Favole" (Carosello, Cl 20450)
1979 "Chiara/Partire perché" (VIP, 10205)
1982 "Innamorati noi/Solamente una vez" (Carosello, Cl 20510)
1983 "Vorrei/Sono triste" (Polydor, 815 409-7)
דיסקוגרפיה > תקליטורים

1995 Il meglio di Nicola Di Bari ("The Best of Nicola di Bari"), (DV More Records, DV 5874)
1999 I più grandi successi ("The Greatest Hits"), (Duck Records)
פילמוגרפיה נבחרת > משחק

I ragazzi dell'Hully Gully ("הילדים מהולי גולי"), ביים מרצ'לו ג'אניני (1964)
Questi pazzi, pazzi italiani ("האיטלקים המשוגעים, המשוגעים האלה"), ביים טוליו פיאצ'נטיני (1965)
Viale della canzone ("שדרת השיר"), ביים טוליו פיאצ'נטיני (1965)
Altissima pressione ("לחץ גבוה"), ביים אנצו טראפאני (1965)
L'immensità (La ragazza del Paip's), ביים אוסקר דה פינה 1967
La ragazza del prete ("נערתו של המטיף"), ביים דומניקו פאוללה 1970
Torino nera ("טורינו השחורה"), ביים קרלו ליצאני (1972)
פילמוגרפיה נבחרת > מלחין פסקולים

Preparati la bara! ("תכין את הארון"), ביים פרדיננדו בלדי (1968)
Torino nera ("טורינו השחורה"), ביים קרלו ליצאני (1972)
הערות שוליים

1 2 3  Enrico Deregibus. Dizionario completo della Canzone Italiana. Giunti Editore, 2010. pp. 161–162. ISBN 8809756258.
1 2 3  B & N, Volume 32, Edizioni 7–12. Società Gestione Editoriali, 1971. p. 90.
1 2 3 4 5  Eddy Anselmi. Festival di Sanremo: almanacco illustrato della canzone italiana. Panini Comics, 2009. p. 679. ISBN 8863462291.
↑  Dario Salvatori. Storia dell'Hit Parade. Gramese, 1989. ISBN 8876054391.
| איטליה איטליה באירוויזיון |
| --- | --- | --- |
פסטיבל סן רמו • Canzonissima
| השתתפויות | 1956 • 1957 • 1958 • 1959 • 1960 • 1961 • 1962 • 1963 • 1964 • 1965 • 1966 • 1967 • 1968 • 1969 • 1970 • 1971 • 1972 • 1973 • 1974 • 1975 • 1976 • 1977 • 1978 • 1979 • 1980 • 1983 • 1984 • 1985 • 1987 • 1988 • 1989 • 1990 • 1991 • 1992 • 1993 • 1997 • 2011 • 2012 • 2013 • 2014 • 2015 • 2016 • 2017 • 2018 • 2019 • 2020 • 2021 • 2022 • 2023 • 2024 |  |
| נציגי המדינה | פרנקה ריימונדי & טונינה טוריאלי • נונציו גאלו • דומניקו מודוניו • דומניקו מודוניו • רנאטו רשל • בטי קרטיס • קלאודיו וילה • אמיליו פריקולי • ג'יליולה צ'ינקווטי • בובי סולו • דומניקו מודוניו • קלאודיו וילה • סרג'ו אנדריגו • איווה זניצ'י • ג'אני מורנדי • מאסימו ראניירי • ניקולה די בארי • מאסימו ראניירי • ג'יליולה צ'ינקווטי • ווס ודורי גצי • אל באנו ורומינה פאוור • מיה מרטיני • ריקי אה פוברי • מתיה בזאר • אלון סורנטי • ריקרדו פולי • אליס ופרנקו בטיאטו • אל באנו ורומינה פאוור • אומברטו טוצי וראף • לוקה ברברוסה • אנה אוקסה ופאוסטו ליאלי • טוטו קוטוניו • פפינו די קאפרי • מיה מרטיני • אנריקו רוג'רי • ג'ליסה רפאל גואלאצי • נינה זילי • מרקו מנגוני • אמה מרונה • איל וולו • פרנצ'סקה מיקיילין • פרנצ'סקו גבאני • ארמאל מטה ופבריציו מורו • מחמוד • דיודאטו • מונסקין • מחמוד ובלאנקו • מרקו מנגוני • אנג'לינה מנגו |  |
| שירי המדינה | "Aprite le finestre" & "Amami se vuoi" • "Corde della mia chitarra" • "Nel blu dipinto di blu" • "Piove (Ciao, ciao, bambina)‎‎" • "Romantica" • "Al di là" • "Addio, addio" • "Uno per tutte" • "Non ho l'età" • "Se piangi, se ridi" • "Dio, come ti amo" • "Non andare più lontano" • "Marianne" • "Due grosse lacrime bianche" • "Occhi di ragazza" • "L'amore è un attimo" • "I giorni dell'arcobaleno" • "Chi sarà" • "Sì" • "Era" • "We'll Live It All Again" • "Libera" • "Questo amore" • "Raggio di luna" • "Non so che darei" • "Per Lucia" • "I treni di Tozeur" • "Magic Oh Magic" • "Gente di marel" • "Vivo (Ti scrivo)" • "Avrei voluto" • "Insieme: 1992" • "Comme è ddoce 'o mare" • "Rapsodia" • "Sole d'Europa" • "Fiumi di parole" • "Madness of love" • "L'amore è femmina (Out of Love)" • "L’essenziale" • "La mia città" • "Grande amore" • "No Degree of Separation" • "Occidentali's Karma" • "Non mi avete fatto niente" • "Soldi" • "Fai rumore" • "Zitti e buoni" • "Brividi" • "Due vite" • "La noia" |  |
| ערכים קשורים | אירוויזיון 1965 • אירוויזיון 1991 • אירוויזיון 2022 • RAI |  |
בשנים שלא מופיעות ברשימה נעדרה איטליה מהתחרות.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  BNE: XX868787  BnF: cb14171590r (data)  GND: 134358538  ICCU: UBOV514812  ISNI: 0000 0000 6303 8269  LCCN: no00089983  MusicBrainz: 674e1c13-1cf8-4080-b18d-59e76fc8ef26  NLA: 40542793  NLK: KAC201951203  VIAF: 38926735   WorldCat (עם VIAF): 38926735
משפט וילסון

משפט וילסון הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שאם  p מספר ראשוני אזי הוא מחלק את  (p-1)!+1 (ראו עצרת למשמעות הסימון "!").
המשפט נקרא על שם ג'ון וילסון, אף על פי שלגראנז' היה הראשון להוכיח את המשפט, בשנת 1773.
הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שאם  n\neq 4 ואינו ראשוני אז הוא מחלק את  (n-1)!.
היסטוריה

הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ההודי Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען הערבי איבן אל-היית'ם שחי בתקופת ימי הביניים, בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט נקרא על שמו של וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של אדוארד וארינג, שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 אף על פי שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו, ולגראנז', ב־1773, היה הראשון שסיפק לו הוכחה. ישנן ראיות שלייבניץ היה מודע לכך כ-90 שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם זאת.
הוכחה

יהי  p ראשוני. לכל  1\leq a\leq p-1 קיים  1\leq b\leq p-1 יחיד עבורו  ab\equiv 1\!\!\!{\pmod {p}} (זהו ההפכי של  a בחבורת אוילר  U_{p}).

אם  a הפוך לעצמו אז  p\mid (a-1)(a+1), ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם  1,p-1.

מכאן שבמכפלה  (p-1)!, כל המספרים פרט ל- 1,p-1 ניתנים לסידור בזוגות שמכפלתם מודולו  p היא 1, ולכן
אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת האיברים מסדר 2 בחבורה.
יישומים

אם  p ראשוני אי-זוגי, אזי לפי משפט וילסון
המשפט ההפוך

נוכיח גרסה חזקה של המשפט ההפוך למשפט וילסון. במקרה  n=4 מתקיים כי  (4-1)!+1=7 אינו מתחלק ב-4.

נראה כי אם  n>4 מספר פריק, אז  n מחלק את  (n-1)!. נבחר מחלק אמיתי  1<a<n. אם  a השורש הריבועי של  n, אז  a>2 (כי  n>4), ומכאן  2a<a^{2}=n. מאחר ש- a<2a<n הם כלולים במכפלה  (n-1)!, ובפרט מכפלה זו מתחלקת במכפלתם  2a^{2}=2n, ולכן  n מחלק את  (n-1)!. אם  a אינו שורש של  n, אז הוא שונה מ- {\frac {n}{a}}<n, ולכן מכפלתם  n מחלקת את  (n-1)!.
הכללה

קרל פרידריך גאוס הוכיח את ההכללה הבאה למשפט: לכל  n>2 מתקיים
כאשר  p ראשוני אי-זוגי ו- m>0 שלם. משפט וילסון מתקבל כאשר  n ראשוני.
המכפלה האחרונה היא למעשה מכפלת האיברים בחבורת אוילר  U_{n}. את הטענה ניתן להכליל לכל חבורה אבלית סופית: מכפלת האיברים בחבורה כזו היא תמיד איבר היחידה, אלא אם כן קיים איבר יחיד מסדר 2, ואז המכפלה שווה אליו. גאוס הוכיח שבמקרים  n=4,p^{m},2p^{m} חבורת אוילר היא חבורה ציקלית מסדר זוגי (הזוגיות נובעת מתכונות פונקציית אוילר) ולכן  -1 הוא אכן האיבר היחיד בה שסדרו 2.
ראו גם

הלמה של גאוס
משפט בוהר-מולרופ

באנליזה מתמטית, משפט בוהר מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא באמצעות משוואה פונקציונלית. המשפט קרוי על שם הארלד בוהר ויוהאנס מולרופ (אנ') שהוכיחו אותו.
לפי המשפט, פונקציית גמא היא הפונקציה הלוג-קמורה היחידה שמקיימת  f(x+1)=xf(x) לכל x>0 וכן מקיימת  f(1)=1.
הוכחה

ראשית נבחין שמתקיים  \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1. כמו כן מאינטגרציה בחלקים נקבל כי  \Gamma (x+1)=x\Gamma (x) .
על מנת להראות שפונקציית גאמא היא לוג קמורה נקבע קבועים  0<\delta <\Delta . מאי שוויון קושי שוורץ נקבל:
{(\int _{\delta }^{\Delta }{t^{{x+y-2} \over {2}}e^{-t}dt})}^{2}={(\int _{\delta }^{\Delta }{(t^{{x-1} \over {2}}e^{{-t} \over {2}})(t^{{y-1} \over {2}}e^{{-t} \over {2}})dt})}^{2}\leq {\int _{\delta }^{\Delta }{t^{x-1}e^{-t}dt}\int _{\delta }^{\Delta }{t^{y-1}e^{-t}dt}}
כאשר נשאיף בנוסחה  \delta \rightarrow 0,\Delta \rightarrow \infty נקבל  \Gamma ^{2}({{x+y} \over {2}})\leq \Gamma (x)\Gamma (y).
נוציא לוג ונקבל כי  \ln(\Gamma ({{x+y} \over {2}}))\leq {{1} \over {2}}\ln(\Gamma (x))+{{1} \over {2}}\ln(\Gamma (y)) וקיבלנו בסה"כ שפונקציית גאמא היא לוג קמורה.
בכיוון השני, תהי f פונקציה המקיימת את הדרישות של המשפט. נוכיח שהיא יחידה.
מהדרישה  f(x+1)=xf(x) נקבל באינדוקציה כי  f(x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x). בפרט לכל n טבעי נקבל  f(n)=(n-1)! (כי נתון ש- f(1)=1).
נסמן ב  S(x,y)את שיפוע הקו המחבר בין הנקודות  (x,\ln(f(x))),(y,\ln(f(y))). לפי ההנחה f לוג קמורה, ולכן S היא עולה בכל אחד משני המשתנים עבור x<y. לכן לכל  0<x\leq 1 ולכל n מס טבעי נקבל:
S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1).
{\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n-1))}{n-(n-1)}}\leq {\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n+x))}{n-(n+x)}}\leq {\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n+1))}{n-(n+1)}}
נציב את הערך של f למספרים טבעיים:
{\frac {\ln((n-1)!)-\ln((n-2)!)}{1}}\leq {\frac {\ln(f(n+x))-\ln((n-1)!)}{x}}\leq {\frac {\ln((n)!)-\ln((n-1)!)}{1}}
לאחר חישוב מקבלים:
\ln {({(n-1)}^{x}(n-1)!)}\leq \ln {(f(n+x))}\leq \ln {({n}^{x}(n-1)!)}
ln היא פונקציה עולה לכן נוכל לבצע אקספוננט ולקבל:
{(n-1)}^{x}(n-1)!\leq f(n+x)\leq {n}^{x}(n-1)!
נציב את הביטוי שקיבלנו עבור  f(n+x)ונקבל:
{(n-1)}^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)\leq {n}^{x}(n-1)!
{\frac {{(n-1)}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}
{\frac {{(n-1)}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}({\frac {x+n}{n}})
נשים לב כעת ששני האי שוויונים נכונים לכל ערך של n. בפרט הם נכונים גם עבור n+1 לכן אם נחליף באי שוויון השמאלי את n ב n+1 האי שוויונות יישארו נכונים ונקבל:
{\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}({\frac {x+n}{n}})
נשאיף את n לאינסוף. מתקיים  {\frac {x+n}{n}}\rightarrow 1ולכן הגבול של  {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}} חסום משני הצדדים על ידי סדרה ששואפת ל  f(x) וממשפט הסנדוויץ' מתכנס אליו.
הואיל והגבול הוא יחיד, f מוגדרת ביחידות לכל  0<x\leq 1. אבל מהדרישה  f(x+1)=xf(x)רואים שאפשר להרחיב את f באופן יחיד לכל x>1. לכן יש f יחידה כזאת ונסיים.
תוצאות נוספות

המתמטיקאי Wielandt הוכיח כי פונקציית גאמא היא הפונקציה ההולומורפית בחצי המישור הימני היחידה שמקיימת את הדרישות לעיל כאשר במקום הלוג-קמירות דורשים חסימות ברצועה  1\leq \Re (z)<2.
הערות שוליים

↑  Reinhold Remmert, Wielandt's Theorem About the Γ-Function, The American Mathematical Monthly
Vol. 103, No. 3 (Mar., 1996), pp. 214-220 (7 pages)
נאדאם

נאדאם (Наадам) הוא החג הלאומי של מונגוליה, הנערך מה־11 עד ל־13 ביולי, ומקושר מאז 1921 למהפכה העממית במונגוליה. פירוש המילה נאדאם במונגולית הוא "משחק", "שעשוע", "חגיגה", ואכן נערכות בחג זה תחרויות ב־3 ענפי ספורט מסורתיים המסמלים את רוחה של מונגוליה: היאבקות, קליעה בקשת, ומרוצי סוסים. התחרויות נערכות ברחבי המדינה שבוע לפני הנאדאם, על מנת שאלופי כל מחוז יוכלו להתחרות בגמר בעיר הבירה אולן בטור. מלבד התחרויות, נוהגים המונגולים לערוך תהלוכות ססגוניות ברחבי הערים.
היאבקות מונגולית

חוקי ההיאבקות המונגולית פשוטים: המתחרה רשאי לעשות הכול, ובלבד שאף חלק מגופו, פרט לגפיים, לא ייגע באדמה. מספר המשתתפים בתחרות משתנה משנה לשנה, והגיע לשיאים של 1000 משתתפים ב־1929 ו־1024 ב־1934, אך בשנים האחרונות הוא עומד על ממוצע של כ־512 משתתפים. רק אלופי המחוזות רשאים להתקבל לתחרות הגמר, הנערכת באולן בטור ב־10 וב־11 ביולי. עם זאת, אין בענף ספורט זה הגבלות של משקל וגיל.
התארים הבסיסיים בנאדאם הם בז, פיל, אריה וענק, וככל שמתאבק צובר ניצחונות הוא צובר עוד ועוד תארים. אלוף היאבקות נאדאם הגדול בכל הזמנים, חורלוגין באיינמונח (נולד ב־1944) צבר לזכותו למעלה מ־20 תארים, המתאפיינים בשמות ססגוניים כמו "הטוב מבין עשרת אלפים", "בעל הכוח הבלתי מנוצח", "הטיטאן הקדוש", "גיבור העובדים המונגולי", "החזק והנאמן" וכן הלאה.
קליעה בקשת

קליעה בקשת היא הפחות פופולרית מבין שלושת הענפים. מבנה הקשתות לא השתנה בהרבה במאות השנים האחרונות. גילאי המשתתפים נעים בין 40 ל־50, ולרוב משתתפים בתחרות פוליטיקאים, ביניהם ראש הממשלה לשעבר בייאמבסורן.
מרוצי סוסים

בניגוד להיאבקות, מחולקים המתחרים במרוץ הסוסים ל־6 קטגוריות על פי גילו של הסוס. אורך המסלול משתנה בהתאם לקטגוריה, ונע בין 15 ל־30 ק"מ. בקטגוריה הנמוכה ביותר מתחרים ילדים בני גיל 4–7, וזהו לרוב טקס התבגרות בחברה המונגולית. המרוץ בקטגוריות הבוגרות מלווה באמבולנס של הצלב האדום, מכיוון שהוא נחשב לאחד המסוכנים בעולם.[דרוש מקור] הסוסים מאומנים להמשיך לדהור גם כשהרוכב נופל, מכיוון שהזוכה במרוץ הוא הסוס, ולא הרוכב.
היאבקות נאדאם
נבחרת קרואטיה בכדורגל עד גיל 21

נבחרת קרואטיה בכדורגל עד גיל 21 היא נבחרת הכדורגל הצעירה של קרואטיה, המייצגת אותה בתחרויות בינלאומיות לנבחרות צעירות. היא מנוהלת על ידי התאחדות הכדורגל הקרואטית, ומורכבת מכדורגלנים המחזיקים באזרחות קרואטית ושגילם מתחת ל-21 בעת תחילת קמפיין מוקדמות אליפות אירופה לנוער, הנמשך כשנתיים (בפועל גיל השחקנים יכול להגיע ל-23).
הנבחרת משתתפת במשחקי המוקדמות לאליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21, הנערכת מדי שנתיים, ולמשחקים האולימפיים המתקיים כל ארבע שנים.
הנבחרת הוקמה לאחר פירוק הרפובליקה היוגוסלבית ומתן העצמאות לקרואטיה, בשנת 1991. המשחק הראשון של הנבחרת הצעירה נערך ב-13 בפברואר 1992, ובו נפרדו קרואטיה ואיטליה בשוויון 0-0. ביוני 1993 הכירה פיפ"א רשמית בנבחרת הקרואטית, ושנה לאחר מכן החלה קרואטיה הצעירה את טורניר מוקדמות אליפות אירופה לנוער לקראת טורניר הגמר ב-1996. הנבחרת כשלה להעפיל לטורניר, וכן לטורניר הבא אחריו.
קרואטיה הצליחה להעפיל לאליפות אירופה 2000 לראשונה בתולדותיה, אך סיימה אחרונה בשלב הבתים ללא ניצחון. היא שחזרה את ההישג ב-2004, אך שוב כשלה להשיג ניצחון בשלב הבתים וסיימה אחרונה. לאחר שבעה קמפיינים כושלים ולאחר 15 שנים ללא העפלה, הצליחה קרואטיה לצלוח את טורניר המוקדמות ולהעפיל לטורניר הגמר של אליפות אירופה 2019 באיטליה.
אליפות אירופה עד גיל 21

| אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> שנה | אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> שלב | אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> מקום | אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> מספר משחקים | אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> ניצחונות | אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> תיקו | אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> הפסדים | אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> שערי זכות | אליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21> שערי חובה |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
ספרד 1996: לא העפילה
רומניה 1998: לא העפילה
| סלובקיה 2000 | שלב הבתים | 4/4 | 3 | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 |
שווייץ 2002: לא העפילה
| גרמניה 2004 | שלב הבתים | 4/4 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
פורטוגל 2006: לא העפילה
הולנד 2007: לא העפילה
שוודיה 2009: לא העפילה
דנמרק 2011: לא העפילה
ישראל 2013: לא העפילה
צ'כיה 2015: לא העפילה
פולין 2017: לא העפילה
איטליה 2019: העפילה
נלס סמית'

נלס הנסן סמית' (באנגלית: Nels Hansen Smith;‏ 27 באוגוסט 1884 –  5 ביולי 1976) היה פוליטיקאי אמריקאי מווימינג, איש המפלגה הרפובליקנית, שכיהן כמושל ויומינג ה-18 בשנים 1939–1943.
ראשית חייו

נלס סמית' נולד בעיירה גייוויל שבטריטוריית דקוטה למרגרט (לבית לרסן) ופיטר סמית', שניהם מהגרים דנים. ב-1907 עבר סמית' לוויומינג, שם הוא התגורר במחוז קרוק.