stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
יעקב פרנק
הערות שוליים

↑  וכך כותב עגנון בספרו 'עיר ומלואה', עמוד 221: "...שהתועב הזה (הכוונה לפרנק) מביטשאטש היה ובביטאטש נולד ברחוב קולורובקה, ולפי שיש עיר אחת קטנה קורולובקה שמה טעו כמה מכותבי הקורות לייחס לידתו של פרנק לעיר קורולובקה".
↑  מכון מורשת אשכנז, משיחי השקר ומתנגדיהם
↑  פאבל מצ'ייקו, ערב רב: פנים וחוץ בוויכוח הפרנקיסטי. מרכז זלמן שזר, ירושלים, 2016, עמ' 35–54.
↑  פאבל מצ'ייקו, ערב רב: פנים וחוץ בוויכוח הפרנקיסטי. מרכז זלמן שזר, ירושלים, 2016, עמ' 236-237.
↑  פאבל מצ'ייקו, ערב רב: פנים וחוץ בוויכוח הפרנקיסטי. מרכז זלמן שזר, ירושלים, 2016: עמ' 260.
↑  פאבל מצ'ייקו, ערב רב: פנים וחוץ בוויכוח הפרנקיסטי. מרכז זלמן שזר, ירושלים, 2016, עמ' 261–262. מצ'ייקו סבור שהדבר קרה בשנים 1786/7, כלומר בסמוך לעזיבתו של פרנק את ברין, אך מציין שעל פי כמה דיווחים הדבר קרה רק בשנת 1789.
1 2 3 4 5 6  יונתן מאיר, "התנצלות - אחרית דבר לתרגום העברי" ב"ספרי יעקב מאת אולגה טוקרצ'וק, תרגום לעברית מרים בורנשטיין, הוצאת כרמל, 2020
↑   רוני ויינשטיין, יעקב פרנק, הפושטק היהודי הראשון, באתר הארץ, 3 בפברואר 2025
↑  מאמר ביקורת:  משה סלוחובסקי, יעקב פרנק - המשיח של קזנובה, באתר הארץ, 31 באוגוסט 2016
↑  מאמר ביקורת: יותם פלדמן, הגולגולת של יעקב פרנק, באתר "הזמן הזה", כתב העת של מכון ון ליר, 2020
| זרמים ביהדות |
| --- | --- | --- |
| אורתודוקסים | חרדים (חסידים • ליטאים • חרדים ספרדים) • דתיים לאומיים (חרדים לאומיים) • אורתודוקסים מודרניים • נאו-אורתודוקסים |  |
| ליברלים | רפורמים • קונסרבטיבים (נאולוגים) • רקונסטרוקציוניסטים • התחדשות יהודית • חילונים-הומניסטים |  |
| תקופת בית שני | פרושים • צדוקים • איסיים • בייתוסים • תרפויטים • נצרות קדומה |  |
| ימי הביניים והעת החדשה המוקדמת | רבניים • קראים • שבתאים • פרנקיסטים |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007261095105171  PLWABN: 9810608634705606  BIBSYS: 1523345888717  BNE: XX6469399  BnF: cb11947278v (data)  GND: 118702882  ISNI: 0000 0001 0890 6139  LCCN: n79007205  NKC: zmp2017944701  NTA: 085909793  SELIBR: 231975  SUDOC: 027429490  VIAF: 40172889   WorldCat (עם VIAF): 40172889 
העיר לנצקורונה ובית המדרש
ציור המתאר את מותו של פרנק
אווה פרנק בתו של יעקב
מירנדה רייסון

| --- | --- |

מירנדה רייסון, 2013
 לידה:  18 בנובמבר 1977 (בת 47) בורנהאם ת'ורפ, הממלכה המאוחדת 
 מדינה:  הממלכה המאוחדת, צרפת 
 תקופת הפעילות:  מ-1999 
 מקום לימודים:  בית הספר סטואו  האקדמיה של וובר דאגלס למשחק דרמטי  בית ספר גרשם 
 בן או בת זוג:  ראזה ג'אפרי (2007–2009) 
 פרופיל ב-IMDb
 
מירנדה רייסון (באנגלית: Miranda Raison; נולדה ב-18 בנובמבר 1977) היא שחקנית ומדבבת אנגלייה.
ביוגרפיה

רייסון נולדה בבורנהם ת'ורפ כפר קטן במחוז נורפוק באנגליה. אביה ניק רייסון הוא פסנתרן ג'אז ואמה קריינית חדשות בטלוויזיה. יש לה שני אחים ושתי אחיות: אד, רוזי, סם ומיי. הוריה נפרדו כשהייתה בת ארבע, והיא גדלה בעיקר אצל אמה. רייסון למדה בבתי הספר למשחק Webber Douglas Academy of Dramatic Art.
תפקידה הידוע ביותר הוא כג'ו פורטמן בסדרת הטלוויזיה "ספוקס" בה השתתפה משנת 2005 ועד 2010.
ב-2005 השתתפה ב-" Deep Trouble" סדרה קומית ברדיו 4 של ה-BBC. ב-2007 הופיעה בשני פרקים בסדרת המדע בדיוני "דוקטור הו". בפרקים "דאלקים במנהטן" ו"התפתחות הדאלקים" היא גילמה את דמותה של טלולה, רקדנית במועדון ניו-יורקי. בקטע הפתיחה היא רוקדת ושרה על הבמה כאשר אביה ניק רייסון מנגן בתזמורת המלווה אותה. היא שיחקה בתפקיד אורח בסדרת הספין אוף לילדים של "דוקטור הו" "Totally Doctor Who". היא השתתפה גם בשתי תוכניות אודיו שנעשו על פי "דוקטור הו".
ב-2007 הופיעה בסדרה Comedy Showcase של ערוץ 4 הבריטי יחד עם דנקן ג'יימס, רורי קיניר ונייג'ל הרמן. ב-2010 שיחקה בדרמה-קומית "נשוי רווק אחר" של רשת ITV . היא הופיעה בתיאטרון הגלוב בתפקיד הראשי במחזה "אן בולין" מאת הווארד ברנטון. הופעת הבכורה הייתה ב-24 ביולי 2010 וזכתה לשבחים רבים.
בקולנוע הופיעה רייסון בסרטו של וודי אלן "נקודת מפגש" ב-2005, ובסרט "Land of the Blind" ב-2006.
בשנת 2013 הצטרפה רייסון לצוות המדבבים בסדרת ההנפשה הממוחשבת של "תומס הקטר וחברים" ומדבבת את דמותה של מילי, שהופיעה לראשונה בספיישל "מלך מסילת הרכבת".
בשנת 2017 שיחקה לצד ג'וני דפ בסרט הפשע הבלשי של קנת בראנה "רצח באוריינט אקספרס" שמבוסס על ספר באותו שם מאת אגאתה כריסטי. באותה שנה שיחקה בסרט "לנשום".
בשנת 2018 גילמה את טסיה בסדרת המדע בדיוני והאימה "נייטפלייר" ברשת SyFy.
חיים אישיים

בספטמבר 2007 נישאה רייסון לשחקן ראזה ג'אפרי שותפה לסדרה "ספוקס". הם התחתנו זמן קצר לאחר שהוא עזב את הסדרה. ביולי 2009 הם נפרדו והודיעו שהם מתגרשים.
הערות שוליים

↑  מאתר IMDb
| --- | --- |
בקרת זהויות :  BnF: cb16966118k (data)  GND: 1209069849  ISNI: 0000 0003 7200 939X  LCCN: no2010103339  MusicBrainz: 5f4216e9-6872-462f-b13b-437ff1213c93  VIAF: 122314794   WorldCat (עם VIAF): 122314794
משפחת איפסילנטי

| --- | --- |

 
 מדינה:  האימפריה העות'מאנית, יוון
 תארים:  וויוודים, נסיכי ולאכיה, נסיכי מולדובה
 אתניות:  יוונים
משפחת איפסילנטי (ביוונית: Υψηλάντης; ברומנית: Ipsilanti) הייתה משפחת אצולה יוונית פנרית, שקנתה לעצמה השפעה וכוח ניכרים באימפריה העותמ'אנית במהלך המאות ה-18 וה-19. חלק מבניה שלטו על נסיכויות הדנובה בחסות הטורקים, וחלק מחבריה היו ממנהיגי הכוחות היוונים במהלך מלחמת העצמאות היוונית.
מוצא המשפחה היה בחוף הדרומי של הים השחור, מקרב צאצאי הקומנים. במאה ה-18 המשפחה התגוררה בפנר (Fener, Φανάρι המודרנית), הרובע היווני העיקרי של קונסטנטינופול, וחלק מחבריה שימשו כדרגומנים ושירתו בפקידות השלטונית העות'מאנית.
בשנת 1774, התמנה אחד מבני המשפחה, אלכסנדר איפסילנטי, למשרת הדרגומן הראשי של האימפריה. בהמשך אותה שנה, הוענק לו הכס של ולאכיה, תפקיד שהוא החזיק עד 1782. ב-1786 הוא הוכתר כנסיך של מולדובה, ובאוגוסט 1796 הוכתר בשנית לנסיך ולאכיה.
בנו של אלכסנדר, קונסטנטין איפסילנטי, שימש גם הוא במשרת הדרגומן הראשי, וכיהן כשליט מולדובה בין השנים 1799–1801, וכנסיך ולאכיה בין 1802–1806. קונסטנטין שאף לחידוש עצמאות יוון, ובמהלך תקופות שלטונו בוולאכיה הוא הנהיג מדיניות פרו-רוסית, מה שהביא לאובדן האמון של השלטונות העות'מאנים בנאמנותו: הוא הודח מכיסאו ונמלט לסנקט פטרבורג. עריקתו לרוסים מוטטה את מעמדה של משפחת איפסילנטי באימפריה העות'מאנית: הסולטאן הטורקי אסר את אבי המשפחה אלכסנדר, החרים את רכושו ולבסוף הוציאו להורג.
בניו של קונסטנטין, אלכסנדר ודימיטריוס, התגייסו למשמר הקיסרי של הצאר הרוסי, ולקחו חלק בעימותים צבאיים שונים. אלכסנדר, הבכור, אף קודם לדרגת קולונל ומונה להיות המזכיר הצבאי של הצאר אלכסנדר הראשון. ב-1820 אלכסנדר קיבל את ההנהגה של אגודת האחווה פיליקי אטריה, ארגון לאומני מחתרתי שפעל בדרום-מזרח אירופה, במטרה להפיל את השלטון העות'מאני ביוון ולייסד מדינה יוונית עצמאית.
אלכסנדר יזם את הפעולות הראשונות של מלחמת העצמאות היוונית: בעזרתו של אחיו דימטריוס הוא גייס כוח צבאי קטן בבסרביה ופלש למולדובה, במטרה להמריד את כלל האוכלוסייה הנוצרית של האימפריה העות'מאנית, ובכך לקדם את שחרורה של יוון. הניסיון הזה נכשל, הטורקים הביסו את צבאו, ואלכסנדר נמלט לאוסטריה, שם הוא נאסר על ידי השלטונות המקומיים.
לאחר כישלונו של אחיו, דימיטריוס עבר ליוון גופא, לחצי האי הפלופונס, והצטרף לכוחות המורדים המקומיים. הוא שימש כאחד ממפקדי המורדים, ונלחם בקרב דרבנכיה. ב-1821 הוא נבחר לאספה הלאומית הזמנית, ובשנת 1822 הוא נבחר לנשיא המועצה המחוקקת, אך נאלץ לפרוש מתפקידו שנה לאחר מכן. בשנת 1828 דימיטריוס מונה על ידי יואניס קפודיסטריאס למפקד הכוחות היוונים במזרח יוון, וארגן אותם מחדש כצבא סדיר. תחת פיקודו, היוונים ניצחו את הטורקים בקרב פטרה, הקרב האחרון שנערך במסגרת מלחמת העצמאות היוונית.
בני משפחה בולטים

אלכסנדר איפסילנטי (הסבא) (1725 - 1805): נסיך ולאכיה ומולדובה.
קונסטנטין איפסילנטי (?-1816): בנו של הנ"ל, נסיך ולאכיה ומולדובה.
אלכסנדר איפסילנטי (הנכד) (1792 - 1828): בנו של קונסטנטין, ממנהיגי המורדים היוונים במלחמת העצמאות היוונית.
דימיטריוס איפסילנטי (1793-1832): בנו של קונסטנטין ואחיו של אלכסנדר, הפילדמרשל הראשון של יוון המודרנית.
הערות שוליים

1 2 3 4 5  "איפסילנטי", האנציקלופדיה העברית (כרך ג' עמ' 61–62), חברה להוצאת אנציקלופדיות, ירושלים - תל אביב.
↑  דרגומנים היו מתורגמנים ומתרגמים שתפסו מקום חשוב ביחסי החוץ, המנהל ובפוליטיקה של האימפריה העות'מאנית, כאשר הדרגומן הראשי של השער הנשגב היה למעשה הממונה על יחסי החוץ של האימפריה. רוב הדרגומנים בימי האימפריה העות'מאנית היו בעלי מוצא אתני יווני (פנרים).
↑  כריסטופר מונטגיו וודהאוז, "יוון, היסטוריה חדשה", האנציקלופדיה העברית (כרך יט' עמ' 480), חברה להוצאת אנציקלופדיות, ירושלים - תל אביב.
מנחם בן שלמה

ערך זה עוסק בחכם איטלקי בן המאה ה-12. אם התכוונתם לרבי מנחם בן שלמה המאירי, חכם פרובנסלי בן המאה ה-13, ראו .
| --- | --- |
 לידה:  בסביבות 1100 בסביבות ד'תת"ס רומא, מדינת האפיפיור
 מדינה:  מדינת האפיפיור
 תחומי עיסוק:  דקדוק, הלכה, פרשנות המקרא
 רבותיו:  רבי שלמה ב"ר יצחק
 בני דורו:  רבי אברהם אבן עזרא, בנימין מטודלה, רבי שלמה ברבי אברהם ברבי יחיאל.
 חיבוריו:  מדרש שכל טוב, אבן בחן
 אב:  רבי שלמה ב"ר יצחק
 
רבי מנחם ברבי שלמה היה פרשן מקרא, מדקדק וראש ישיבה שפעל ברומא שבאיטליה במאה ה-12. חיבר את מדרש שכל טוב שהוא פירוש על התורה בדרך הדרש והדקדוק ומשולבים בו פסקי הלכה. בנוסף, חיבר ספר בשם "אבן בחן" על ענייני דקדוק ולשון.
קורות חייו

נולד לאביו רבי שלמה ב"ר יצחק בעיר רומא בערך בשנת 1100.
רבי מנחם למד תורה מפי אביו וכן מפי עוד כמה חכמים אחרים ששמם לא ידוע אך פעמים רבות בספריו הוא מביא דברים בשמם תחת הכינויים "רבותיי" ו"מוריי". כשגדל רבי מנחם החל לשמש כראש הישיבה בעירו.
רבי אברהם אבן עזרא שביקר ברומא בשנת 1145, התיידד עם רבי מנחם ואף כתב כמה שירים לכבודו.
רבי בנימין מטודלה שביקר ברומא בשנות ה-70 של המאה השתים עשרה, מזכיר את "ר' מנחם ראש הישיבה" כאחד מראשי קהילת רומא שעימם נפגש במהלך ביקורו.
רבי מנחם שאל כמה שאלות הלכתיות את רבי שלמה ברבי אברהם ברבי יחיאל (אחיינו של ר' נתן ב"ר יחיאל בעל הערוך).
לרבי מנחם היו 3 בנים- שאלתיאל ידידיה ויצחק והוא מזכירם בהקדמת ספרו אבן בוחן.
לא ידועה שנת פטירתו של רבי מנחם.
חיבוריו > שכל טוב

בשנת ד'תתצ"ט (1139) חיבר רבי מנחם את ספרו "מדרש שכל טוב" שהוא פירוש על חמישה חומשי תורה. החיבור נקרא כך על שם הכתוב בתחילת ספר משלי: ”שֵׂכֶל טוֹב יִתֶּן חֵן, וְדֶרֶךְ בֹּגְדִים אֵיתָן"”.
חלק מהפרושים במדרש לקוחים מהגמרא וממדרשי חז"ל, ורבי מנחם עיבד, קיצר ופירש אותם כדי שיהיו מובנים ומסודרים על סדר הפסוקים. פירושים רבים אחרים מבוססים על חוכמת הדקדוק. בתוך הפירושים על סדר הפסוקים, שילב רבי מנחם גם נושאים שלמים של פסקי הלכה שקשורים לפרשה. בראש כל פרשה כתב רבי מנחם מהלך שבו הסביר את הקשר בין סוף הפרשה הקודמת לתחילת הפרשה הזאת.
למרות שבמקורו נכתב הפירוש על כל חמישה חומשי תורה חלק מכתבי היד אבדו ושרד רק הפירוש על חומש בראשית, חלק מחומש שמות (עד פרשת יתרו) וכמה עמודים בודדים מתחילת פרשת ויקרא. בשנים ה'תר"ס-ה'תרס"א (1900-1901), הספר הודפס לראשונה על ידי שלמה בובר בעיר ברלין.
חיבוריו > אבן בחן

בכ"ג בטבת ד'תתק"ג (1143) סיים רבי מנחם את כתיבת ספרו אבן בחן. לפי עדותו, כתיבת הספר ארכה חמישה חודשים. הספר עוסק בדקדוק עברי ובשלוש עשרה מידות שהתורה נדרשת בהן.
בהקדמתו הוא כותב שמטרת כתיבת הספר הייתה להכין את בניו ידידיה, שאלתיאל ויצחק ללימוד התנ"ך.
הספר מחולק לחמישים שערים.
השער הראשון מכונה על ידי המחבר "חלק היסודות" והוא מילון שבו כינס רבי מנחם את השורשים של השפה העברית על פי שיטתו של מנחם בן סרוק ומבאר את משמעותם. הערכים מסודרים על פי סדר הא-ב ובתוך כל אות מחולקים לארבע קבוצות המכונות "מעלות", במעלה הראשונה- שורשים בני אות אחת, במעלה השנייה-שורשים בני 2 אותיות, במעלה השלישית- שורשים בני 3 אותיות, ובמעלה הרביעית- שורשים בני 4 אותיות ומעלה.
בשערים 2–37 מבאר רבי מנחם כללי דקדוק שונים.
ובשערים 38–50 עוסק רבי מנחם בביאורם של י"ג המידות שהתורה נדרשת בהן.
הספר שרד בכתב יד יחיד שהועתק בשנת ה'שי"ב (1552). בסוף השער החמישי דילג המעתיק לאמצע שער ארבעים ותשע, כך שחלק גדול מהספר אינו בידינו כיום אך אפשר לעמוד באופן כללי על תוכנו בגלל שהמחבר כלל בהקדמתו תוכן עניינים ובו כתב במה יעסוק בכל שער מספרו.
הערות שוליים

↑  שנת לידתו היא על פי השערת שלמה בובר בהקדמתו למדרש שכל טוב על ספר בראשית
↑  מסעות של ר' בנימין ז"ל
↑  שאלות רבי מנחם ותשובות רבי שלמה מופיעות בספר שיבולי הלקט חלק ב סימן נו
↑  ספר משלי, פרק יג, פסוק טו
↑  רבי מנחם נוהג לכנות במילה "יסוד" את מה שאנחנו קוראים היום שורש
↑  חלוקה זו נובעת מכך שרבי מנחם הלך לפי שיטתו הדקדוקית של מנחם בן סרוק שנקט שיכולים להיות גם שורשים בני אות אחת או שתיים, אך היום מקובלת שיטתו של רבי יהודה חיוג' שכל השורשים הם בני שלוש אותיות
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007265379105171  GND: 1055408401  ISNI: 0000 0000 5203 4115  LCCN: nr91005086  SELIBR: 76487  VIAF: 78766818   WorldCat (עם VIAF): 78766818
קבוצת מנדלברוט

קבוצת מַנְדֶלְבְּרוֹט היא קבוצה של מספרים מרוכבים שמוגדרת באמצעות כללים פשוטים, אך הקבוצה כולה היא בעלת מורכבות גדולה. תנאי השייכות לקבוצה עדין ביותר, ובקרבת שפתה מופיעה התנהגות פרקטלית בה התמונה נשארת מורכבת בכל קנה מידה. ויזואליזציה של הקבוצה הופיע לראשונה במאמר של ברוקס ומטלסקי שנכתב ב 1978. זמן קצר לאחר מכן ובאופן בלתי תלוי, החל בנואה מנדלברוט לחקור אותה. עבודותיו של מנדלברוט זכו לפרסום רב והקבוצה נקראה על שמו. קבוצת מנדלברוט מהווה אובייקט מחקר בסיסי בתחום הפרקטלים, ובעזרתה חוקרים תופעות במערכות דינמיות מרוכבות.
היסטוריה

קבוצת מנדלברוט היא אחד הנושאים הנחקרים בתחום הפרקטלים, שהחל לתפוס תאוצה בתחילת המאה ה-20, כשבין אבותיו נמנים פייר פאטו וגסטון ז'וליה. איור  של קבוצת מנדלברוט, ברזולוציה נמוכה מאוד, הופיע לראשונה במאמר של מתמטיקאים רוברט ברוקס ופטר מטלסקי  בשנת 1978. בשנת 1980 גילה בנואה מנדלברוט את הקבוצה תוך ביצוע אנימציות של קבוצת ז'וליה במחשב, וכתב מאמר ראשוני בו היא נכללה. בשנת 1985 פרסמו שני מתמטיקאים נוספים מאמר נרחב על קבוצה זו, וקראו לה על שם מנדלברוט. בהמשך, הפכה קבוצת מנדלברוט לאובייקט מחקר בסיסי בתורת המערכות הדינמיות המרוכבות.
החל משנת 1985 הפך עניין שרטוט קבוצת מנדלברוט למושא עניינם של רבים, וגם פורסמו אלגוריתמים לשרטוט הקבוצה ותמונות צבעוניות שלה.
הגדרה

קבוצת מנדלברוט מוגדרת באופן הבא:

לכל מספר מרוכב  c, אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון  a_{0}(c)=0, והמשכה מחושב על-פי הכלל  a_{n+1}(c)=a_{n}(c)^{2}+c. הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של  c. קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים  c\in \mathbb {C}  שעבורם הסדרה  a_{n}(c) חסומה.
מנקודת מבט שונה במקצת, לכל  c, מוגדרת קבוצת ז'וליה  J_{c} כשפה של קבוצת הנקודות  z\in \mathbb {C}  שעבורן הסדרה  f_{c}^{n}(z) חסומה (כאשר  f_{c}(z)=z^{2}+c). ז'וליה ופאטו הוכיחו שאם הסדרה  f_{c}^{n}(0) חסומה (כלומר  c שייכת לקבוצת מנדלברוט) אז  J_{c} קשירה, ואם היא אינה חסומה, אז  J_{c} בלתי קשירה לחלוטין. משפט זה מוביל להגדרה שקולה נוספת של הקבוצה: זהו המקום הגאומטרי הקשיר(אנ') של משפחת הפולינומים  f_{c}(z)=z^{2}+c, כלומר אוסף הנקודות עבורן קבוצת ז'וליה המתאימה היא קשירה.
המערכת הדינמית  z\mapsto f_{c}(z)=z^{2}+c

השאלה האם מספר  c נמצא בקבוצת מנדלברוט ומקומו בקבוצה זאת מספקת מידע רב על המערכת הדינמית המוגדרת על ידי הפונקציה  f_{c}(z):=z^{2}+c. זאת אחת המערכות הדינמיות הפשוטות ביותר המוגדרות על ידי פונקציה לא הפיכה: מדובר בפולינום ממעלה שנייה במשתנה מְרוּכַּב אחד. מערכות דינמיות המוגדרות על ידי פונקציות ליניאריות הן פשוטת מאוד. כל מערכת דינמית המוגדרת על ידי פולינום ממעלה שנייה ממשתנה מרוכב אחד שקולה למערכת המוגדרת על ידי הפונקציה  f_{c}. כך שניתן לחשוב על דוגמה זאת כעל "הדוגמה הלא טריוויאלית הראשונה". קבוצת מנדלברוט מאפשרת טיפול סימולטני בכל המערכות הדינמיות האלה לכל  c.
למרות פשטותה היחסית של מערכת זו היא מדגימה התנהגויות מורכבות מאוד כפי שניתן לראות מהמורכבות של קבוצת מנדלברוט. ישנן שאלות פתוחות רבות לגבי התנהגויות אלה אך גם תוצאות רבות שכבר הוכחו.
המערכת הדינמית  z\mapsto f_{c}(z)=z^{2}+c > שאלות כלליות בחקר מערכות דינמיות

באופן כללי מערכת דינמית בדידה היא זוג, המורכב מקבוצה  X ופונקציה  f מ- X לעצמה. במקרה שלנו  X היא המישור המרוכב  \mathbb {C}  ו- f היא הפונקציה  f_{c} עבור פרמטר c\in \mathbb {C} .
השאלה הבסיסית בחקר מערכות דינמיות היא זו: בהינתן נקודה  x_{0}\in X, איך מתנהגת הסדרה  f^{n}(x_{0}) שמתקבלת מהפעלת הפונקציה על  x_{0} ואז על תוצאת ההפעלה וכך הלאה עד אינסוף. סדרות כאלה נקראות מסלולים.
המערכת הדינמית  z\mapsto f_{c}(z)=z^{2}+c > שאלות כלליות בחקר מערכות דינמיות > יציבות של נקודות שבת ומסלולים מחזוריים

התנהגות אפשרית אחת היא התכנסות לנקודת שֶבת. נקודת שֶבֶת היא נקודה  x\in X המקיימת  f(x)=x. נקודת שבת  x\in X נקראת יציבה אם בהינתן נקודה  x_{0}\in X הקרובה מספיק ל  x, אז הסדרה  f^{n}(x_{0}) מתכנסת ל x.
בהינתן נקודת שבת יציבה יש מסלולים רבים שמתכנסים אליה. משימת איתור נקודות שבת שקולה לפתרון משוואה, ולכן קלה יחסית. בדרך כלל ניתן לבדוק האם נקודת שבת היא יציבה על ידי ניתוח הנגזרת של הפונקציה בנקודת השבת, ולכן גם זו משימה לא קשה.
מיון נקודות השבת של מערכת דינמית היא השלב הראשון בחקירתה.
התנהגות אפשרית אחת היא היתכנות למסלול מחזורי. מסלול מחזורי הוא מסלול  f^{n}(x) המקיים  f^{n+k}(x)=f^{n}(x) עבור  k מסוים וכל  n. מסלול שבו במקום מסוים מופיעה הנקודה המקורית. אומרים שמסלול מתכנס למסלול מחזורי אם החל ממקום מסוים הוא קרוב כרצוננו למסלול מחזורי. מסלול מחזורי נקרא יציב אם בהינתן נקודה  x_{0} קרובה מספיק לאחת מנקודות המסלול, הסדרה  f^{n}(x_{0}) מתכנסת למסלול המחזורי.
ניתוח המסלולים המחזוריים ממחזור נתון  k ויציבותם שקול לניתוח נקודות השבת של  f^{k}. מכאן שעבור  k ספציפי מדובר במשימה פשוטה למדי. אולם ניתוח כל המסלולים המחזוריים ויצובותם הוא משימה מסובכת בהרבה.
המערכת הדינמית  z\mapsto f_{c}(z)=z^{2}+c > שאלות כלליות בחקר מערכות דינמיות > קבוצות ז'וליה ופאטו

קל יותר לנתח מערכות דינמיות כאשר הקבוצה  X היא קומפקטית. המישור המרוכב אינו קומפקטי. ניתן להחליף אותו בספירה של רימן (כלומר להוסיף לו נקודה באינסוף) ואז נקבל מרחב קומפקטי. קל לראות שהפונקציה  f_{c} מתרחבת ברציפות לספירה של רימן (על ידי כך שקובעים את האינסוף להיות נקודת שבת שלה). מכאן ניתוח המערכת הדינמית שלנו שקול לניתוח המערכת הדינמית שמתקבלת על הספירה של רימן.
בהינתן מערכת דינמית על קבוצה קומפקטית  X ניתן לחלק את  X לשתי קבוצות:
קבוצת פאטו - אוסף הנקודות  x_{0} כך ששינוי קטן בהן מוביל לשינוי קטן בסדרה  f^{n}(x_{0})
קבוצת ז'וליה - אוסף הנקודות  x_{0} כך ששינוי קטן בהן מוביל לשינוי גדול בסדרה  f^{n}(x_{0})
המערכת הדינמית  z\mapsto f_{c}(z)=z^{2}+c > תכונות ייחודיות למערכת הדינמית  z\mapsto f_{c}(z)=z^{2}+c

עבור המערכת הדינמית המוגדרת על ידי הפונקציה  f_{c}(z) מתקימות התכונות הבאות:
עבור כל  x_{0} המקיים  |x_{0}|>2 הסדרה  f_{c}^{n}(x_{0}) שואפת לאינסוף. זה מאפשר לקבוע בקלות יחסית שנקודה מסוימת לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט.
למערכת יש לא יותר ממסלול מחזורי אחד.
למערכת יש מסלול מחזורי אם ורק אם המסלול המתחיל ב-0 מתכנס למסלול מחזורי.
קבוצת ז'וליה של המערכת קשירה אם ורק אם  c נמצאת בקבוצת מנדלברוט.
אם  c לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט אז קבוצת ז'וליה של המערכת הומיאומורפית לקבוצת קנטור ובפרט בלתי קשירה לחלוטין.
אם למערכת יש נקודת שבת יציבה אז קבוצת ז'וליה של המערכת היא עקום פשוט (רציף ובדרך כלל לא חלק) סגור. בהתאם לפי משפט העקום של ז'ורדן, לקבוצת פאטו של המערכת יש בדיוק שני רכיבי קשירות (האחד תחום על ידי קבוצת ז'וליה והאחר מחוצה לה).
אם למערכת יש מסלול מחזורי יציב (שאינו נקודת שבת) אז לקבוצת פאטו של המערכת יש אינסוף רכיבי קשירות.
המבנה של קבוצת מנדלברוט

במבט חטוף על קבוצת מנדלברוט ניתן לראות שהיא מורכבת מ"חלקים" המהווים צורת גאומטריות פשוטת יחסית (לא פרקטלים). ניתן להגדיר באופן ריגורוזי חלקים אלה בתור רכיבי קשירות של הפנים של קבוצת מנדלברוט. משערים שפנים זה צפוף בקבוצת מנדלברוט.
המבנה של קבוצת מנדלברוט > הקרדיואידה הראשית

הגדול והבולט בין רכיבים אלו נקרא הקרדיואידה הראשית.
צורתה הגאומטרית היא קרדיואידה. ניתן להגדיר אותה כאוסף כל הנקודות  c עבורם למערכת  z\mapsto f_{c}(z):=z^{2}+c יש נקודת שבת יציבה. קל לראות שקבוצה זאת מתוארת על ידי התנאי  \exists z{\text{ s.t. }}f(z)=z{\text{ and }}|f'(z)|<1.
קל לראות שתנאי זה מתקיים אם ורק אם קיים  \mu  בעיגול היחידה כך ש:
 c={\frac {\mu }{2}}\left(1-{\frac {\mu }{2}}\right)
מכאן שהשפה של הקבוצה הזאת מתוארת על ידי המשוואה הפרמטרית:
 c(t)={\frac {e^{it}}{2}}\left(1-{\frac {e^{it}}{2}}\right)
המבנה של קבוצת מנדלברוט > רכיבים היפרבוליים

רכיב נקרא רכיב היפרבולי אם עבור כל נקודה בו למערכת יש מסלול מחזורי יציב. מחזור המסלול במקרה זה הוא קבוע ונקרא המחזור של הרכיב. משערים שכל רכיבי הקשירות של הפנים של קבוצת מנדלברוט הם היפרבוליים.
עבור  n נתון, תיאור כל הרכיבים ההיפרבוליים ממחזור  n היא משימה הניתנת לביצוע באמצעות חישוב: התנאי לכך שנקודה נמצאת ברכיב היפרבולי ממחזור  n הוא  \exists z{\text{ s.t. }}f^{n}(z)=z{\text{ and }}|(f^{n})'(z)|<1. זהו תנאי אלגברי-למחצה ולכן על פי משפט זינדנברג-טרסקי (שיש לו הוכחות קנסטרוקטיביות) ניתן לשכתב תנאי זה ללא כמתים אלא רק עם אי-שוויונים פולינומיים על החלק הממשי והמרוכב של  c. לאחר מכן ניתן לחשב את מספר רכיבי הקשירות ואת האי-שוויון שמתאר כל אחד מהם. אולם כאשר  n גדל חישוב ישיר נהיה לא מעשי מהר מאוד.
עבור נקודה  c הנמצאת ברכיב היפרבולי ממחזור  n לקבוצת פאטו של המערכת הנתונה יש אינסוף רכיבי קשירות.  n הנקודות של המסלול המחזורי נמצאים ב- n רכיבים שונים של קבוצת פאטו. הסגורים של רכיבים אלה נוגעים בנקודה אחת. ניתן להגדיר סדר ציקלי על רכיבים אלה לפי הסדר שבו הם נוגעים זה בזה (נגד כיוון השעון). סדר זה נותן סדר ציקלי על נקודות המסלול המחזורי. ניתן להראות שהפונקציה  f_{c} מבצעת הזזה בקבוע של נקודות המסלול המחזורי לפי הסדר הציקלי הנ"ל. גודל הזזה  k זר ל-
 n. מכאן שאנו מקבלים שבר מצומצם  {\frac {k}{n}}. מספר אינו תלוי בנקודה  c ברכיב ההיפרבולי ובכך מהווה אינבריאנט של הרכיב ההיפרבולי.
המבנה של קבוצת מנדלברוט > רכיבים היפרבוליים ראשיים

ניתן למיין ולתאר במפורש את כל הרכיבים המשיקים לקרדאוידה הראשית. רכיבים אלה נקראים רכיבים היפרבוליים ראשיים. הם כולם בצורת עיגול. לכל מספר רציונלי  r בקטע  [0,1] קיים ויחיד רכיב היפרבולי ראשי שהאינבריאנט הרציונלי שהוגדר מעלה עבורו הוא  r. רכיב זה משיק לקרדיאוד הראשי בנקודה  c(t)={\frac {e^{ir}}{2}}\left(1-{\frac {e^{ir}}{2}}\right)
המבנה של קבוצת מנדלברוט > אנטנות

בסמוך לכל רכיב היפרבולי ראשי, ניתן לזהות חלק של קבוצת מנדלברוט הנראה כמעין קו (מאוד לא חלק ומכיל לאורכו רכיבים נוספים) שמתפצל למספר קווים הנראים גם הם כך. חלקים אלה של קבוצת מנדלברוט נקראים לעיתים "אנטנות". ניתן להראות שהמספר הכולל של האנטנות בהתפצלות הראשונה בסמוך לרכיב הפרבולי ראשי שווה למחזור של רכיב זה.
הצגת הקבוצה כפרקטל

את קבוצת מנדלברוט מתארים במישור המרוכב שבו הצירים מייצגים את החלק הממשי והמדומה של כל מספר. הנקודות השייכות לקבוצה (כלומר, הערכים של c שעבורם הסדרה  a_{n}(c) חסומה) נצבעות בשחור, וכל נקודה אחרת מקבלת צבע התלוי במספר האיברים בסדרה שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים – 2 בדרך כלל.
הדגמה

בהדגמה שלהלן מתבצע שינוי קנה המידה. כל תמונה היא הגדלה של אזור מסוים בתמונה הקודמת. ההגדלה הכוללת מהתמונה הראשונה לאחרונה מגיעה עד כדי 60 מיליארד.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| התחלה | שלב 1 | שלב 2 | שלב 3 | שלב 4 |
| שלב 5 | שלב 6 | שלב 7 | שלב 8 | שלב 9 |
| שלב 10 | שלב 11 | שלב 12 | שלב 13 | שלב 14 |
הכללה

את קבוצת מנדלברוט ניתן להכליל באופן הבא: במקום להביט בפונקציה  f_{c}(z)=z^{2}+c ולהציב בה ערכים, מביטים בפונקציה הכללית  f_{c.d}(z)=z^{d}+c, עבור  d ממשי כלשהו. כאשר  d מספר שלם, המשפט אודות הקשר בין הגדרה זו להגדרה בעזרת קבוצת ז'וליה נשאר תקף.
כאשר  d משתנה, ניתן לשרטט את הקבוצה ולקבל תמונה שונה בכל פעם. כך למשל, כאשר  d נמצא בין 0 ל-5 (כמו בתמונה המצורפת), ניתן לראות את קבוצת מנדלברוט "נולדת" מכלום ומתפתחת.
קירוב לפאי בעזרת קבוצת מנדלברוט

שימוש נוסף של קבוצת מנדלברוט הוא האפשרות לקרב את פאי בעזרת מונחים וכלים מנושא זה. כידוע, המספר  c={\frac {1}{4}} הוא המספר הממשי הגדול ביותר בקבוצת מנדלברוט; עוד ידוע כי כל פעם שהסדרה  a_{n}(c) חסומה, אז היא קטנה מ-2 בהכרח. כעת, לכל מספר ממשי  c>{\frac {1}{4}}, מסמנים ב- N_{c} את מספר הפעמים שיש לבצע את האיטרציה עד שעוברים את 2, כלומר המספר הראשון כך ש- a_{N_{c}}(c)>2.
מסתבר שהסדרה  n\cdot N_{{\frac {1}{4}}+1/n^{2}} מתכנסת ל- \pi .
נקודות נוספות בקבוצת מנדלברוט אשר מאפשרות לקרב את פאי כוללות נקודות הנמצאות על התפר בין הצורות של הקבוצה. עבור נקודות כאלו, המסלול אשר בעזרתו שואפים אל הנקודה משתנה ולרוב איננו כולל מספרים ממשיים.
קירוב לפאי בעזרת קבוצת מנדלברוט > הסבר אינטואיטיבי אודות הקשר בין קבוצת מנדלברוט לפאי

עבור הפונקציה הממשית  f(x)=x^{2}+{\frac {1}{4}}, הישר  y=x משיק לפונקציה; לכן, בעת הפעלת התהליך של סדרת מנדלברוט, נוצרת מעין פונקציית מדרגה תחומה בין הפרבולה לבין הישר, אשר שואפת בגובהה אל  {\frac {1}{2}} אך לא מגיעה. לעומת זאת, בפונקציה  f(x)=x^{2}+{\frac {1}{4}}+\epsilon , הישר  y=x לא משיק לפרבולה, ולכן נוצרת ביניהם פונקציית מדרגה. במובן מסוים, פאי הוא ה"זמן" שלוקח לאותה פונקציית מדרגה לעבור את  {\frac {1}{2}}.
הסבר נוסף כלהלן: כאמור לעיל, הפונקציה הממשית  f(x)=x^{2}+{\frac {1}{4}}+\epsilon  עוברת את  {\frac {1}{2}}. צורת הגרף סביב ערך זה (בטווח) מתקרבת לצורה של פונקציית הטנגנס ככל שאפסילון קטן יותר. הקשר של פונקציה זו לפאי מעולם הטריגונומטריה ברור.
הערות שוליים

1 2  מאמר הדן בשאלה מי גלה את הקבוצה?
↑  אם  k הוא המספר המזערי שמקיים תנאי זה, הוא נקרא המחזור של המסלול. אחרת המחזור של המסלול יכול להיות מחלק של  k
↑  למעשה נקודת שבת של  f^{k} מתאימה למסלול של   fממחזור שמחלק את  k
↑  אם אחרי מספר מסוים של הפעלות של  f_{c} על  0 הנקודה עוזבת את העיגול  |x|\leq 2 אז  c לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט.
↑  לפי משפט של Douady ו-Hubbard קבוצת מנדלברוט עצמה היא קשירה. אולם כפי שיוסבר להלן לפנים שלה יש אינסוף רכיבי קשירות
קבוצת מנדלברוט המוכללת עבור  0\leq d\leq 5