בניית המספרים הממשיים
בנייה > סדרות קושי של מספרים רציונליים

בנייה זו של קנטור מסתמכת על העובדה האינטואיטיבית לפיה גם ללא הגדרה של מספרים ממשיים, מתקיים שכל מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים רציונליים. נוכל אם כן להגדיר את המספר להיות סדרה זו. מכיוון שיש כמה סדרות המתכנסות למספר הממשי, נגדיר את המספר להיות קבוצת הסדרות המתכנסות אליו. נגדיר לשם כך יחס שקילות על קבוצת הסדרות שיש להם פוטנציאל להתכנס (אף שאינן מתכנסות, שכן בשדה הרציונלי יש "חורים"), הלוא הם סדרות קושי.
תהי  R קבוצת כל סדרות קושי ב- \mathbb {Q} , כלומר קבוצת כל הסדרות של מספרים רציונליים  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty } כך שלכל  \varepsilon >0 (רציונלי) קיים  N טבעי כך שלכל זוג טבעיים  m,n>N מתקיים  |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon .
נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty } ו- \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty } שקולות אם ורק אם לכל  \varepsilon >0 (רציונלי) קיים  N טבעי כך שלכל  n>N טבעי מתקיים  |x_{n}-y_{n}|<\varepsilon .


נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה יחס שקילות:
רפלקסיביות: לכל סדרה  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }, לכל  \varepsilon >0 ולכל  n, מתקיים  |x_{n}-x_{n}|=0<\varepsilon .
סימטריות:  |x_{n}-y_{n}|=|y_{n}-x_{n}| ולכן אם האחד קטן מ- \varepsilon  גם השני קטן ממנו.
טרנזיטיביות: יהי  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }, ו-  \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }. יהי  \varepsilon >0 קיימים  N_{1},N_{2} כך שלכל  n>N_{1} מתקיים  |x_{n}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}} ולכל  n>N_{2} מתקיים  |y_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}. נבחר  N=\max\{N_{1},N_{2}\} ונקבל לכל  n>N:  |x_{n}-z_{n}|=|x_{n}-y_{n}+y_{n}-z_{n}|\leq |x_{n}-y_{n}|+|y_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon  (על פי אי-שוויון המשולש), לכן  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }.
קבוצת המנה (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן  \mathbb {R}  - זהו שדה המספרים הממשיים.
את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי  q מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה  \{q\}_{n=1}^{\infty }.
את פעולות החיבור והכפל נגדיר איבר איבר, באופן הבא:


 [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]


 [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]


נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים:
יהו  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{w_{n}\}_{n=1}^{\infty }. יש להוכיח כי  \{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}+w_{n}\}_{n=1}^{\infty }, ו-  \{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\cdot w_{n}\}_{n=1}^{\infty }.
חיבור: יהי  \varepsilon >0. קיימים  N_{1},N_{2} כך שלכל  n>N_{1} מתקיים  |x_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}} ולכל  n>N_{2} מתקיים  |y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}. נבחר  N=\max\{N_{1},N_{2}\} ונקבל לכל  n>N:
כפל: כל סדרת קושי היא חסומה, לכן יהי  A המקסימום בין החסמים של  \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }, כלומר לכל  n מתקיים  |y_{n}|<A וכן  |z_{n}|<A. קיימים  N_{1},N_{2} כך שלכל  n>N_{1} מתקיים  |x_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}} ולכל  n>N_{2} מתקיים  |y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}. נבחר  N=\max\{N_{1},N_{2}\} ונקבל לכל  n>N:
נראה כי תחת הפעולות הנ"ל, הקבוצה  \mathbb {R}  היא שדה:
תכונות החיבור:
סגירות: יהי  \varepsilon >0. קיימים  N_{1},N_{2} כך שלכל  n_{1},n_{2}>N_{1} מתקיים  |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}, ולכל  n_{1},n_{2}>N_{2} מתקיים  |y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}. נבחר  N=\max\{N_{1},N_{2}\} ונקבל לכל  n_{1},n_{2}>N:  |(x_{n_{1}}+y_{n_{1}})-(x_{n_{2}}+y_{n_{2}})|\leq |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|+|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס וקיום האיבר הנגדי נובעות מידית מתכונות אלו בשדה  \mathbb {Q} , כאשר מגדירים  0=[\{0\}_{n=1}^{\infty }], וכן  -[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }].
תכונות הכפל:
סגירות: יהי  \varepsilon >0. נשתמש שוב בכך שכל סדרת קושי היא חסומה ונסמן ב A את המקסימום מבין החסמים של הסדרות. קיימים  N_{1},N_{2} כך שלכל  n_{1},n_{2}>N_{1} מתקיים  |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2A}} ולכל  n_{1},n_{2}>N_{2} מתקיים  |y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}. נסמן  N=\max\{N_{1},N_{2}\} ונקבל לכל  n_{1},n_{2}>N:  |x_{n_{1}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{2}}|=|x_{n_{1}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{1}}+x_{n_{2}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{2}}|\leq |y_{n_{1}}||x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|+|x_{n_{2}}||y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon .
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מתכונות אלו בשדה  \mathbb {Q} , כאשר מגדירים  1=[\{1\}_{n=1}^{\infty }].
קיום איבר הופכי: נראה קודם כל כי אם ב \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty } יש אינסוף אפסים, אז היא שקולה לאיבר האפס: מכיוון שיש אינסוף אפסים, אז לכל  N קיים  n>N כך ש x_{n}=0. יהי  \varepsilon >0. קיים  N כך שלכל  n_{1},n_{2}>N מתקיים  |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<\varepsilon . יהי  n_{0}>N כך ש- x_{n_{0}}=0. לכל  n>N מתקיים  |x_{n}-0|=|x_{n}-x_{n_{0}}|<\varepsilon , לכן  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim 0. כלומר יש להוכיח את קיום האיבר ההופכי רק עבור סדרות שאין בהם אינסוף אפסים. מכיוון שאין אינסוף אפסים, אז יהי  N כך שלכל  n>N מתקיים  x_{n}\not =0. נסמן ב \{x_{n}'\}_{n=1}^{\infty } את הסדרה המוגדרת על פי  x'_{n}={\begin{cases}x_{n}&&n>N\\1&&n\leq N\end{cases}}. ברור ש- \{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }, וכן שכל איברי הסדרה  \{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty } שונים מאפס, לכן ניתן להניח כי  x_{n}\neq 0 לכל  n\in \mathbb {N} . נגדיר  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]^{-1}=[\{x_{n}^{-1}\}_{n=1}^{\infty }]. נרצה להראות כי זוהי סדרת קושי: נניח בשלילה שלכל  B>0 ולכל  N\in \mathbb {N}  קיים  n>N כך ש- |x_{n}|<B. אז בהינתן  \varepsilon >0, קיים  N כך שלכל  n_{1},n_{2}>N מתקיים  |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}. בנוסף מההנחה קיים  n_{0}>N כך ש |x_{n_{0}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}. לכן, לכל  n>N מתקיים  |x_{n}-0|\leq |x_{n}-x_{n_{0}}|+|x_{n_{0}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon , כלומר  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim 0, בניגוד לכך ש- [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\neq 0. לכן קיימים  B>0,N\in \mathbb {N}  כך ש |x_{n}|>B לכל  n>N. נגדיר  A=\min\{|x_{1}|,|x_{2}|,...,|x_{N}|,B\} ונקבל  A>0 (כי מתקיים  x_{n}\neq 0\Rightarrow |x_{n}|>0, וכן  B>0), וכן  |x_{n}|>A לכל  n\in \mathbb {N} . כעת יהי  \varepsilon >0. קיים  N\in \mathbb {N}  כך שלכל  n_{1},n_{2}>N מתקיים  |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<A^{2}\varepsilon , לכן לכל  n_{1},n_{2}>N מתקיים  |x_{n_{1}}^{-1}-x_{n_{2}}^{-1}|={\frac {|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|}{|x_{n_{1}}||x_{n_{2}}|}}<{\frac {A^{2}\varepsilon }{A\cdot A}}=\varepsilon . כלומר  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]^{-1} היא סדרת קושי, וקל לראות  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]^{-1}\cdot [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=1.
דיסטריבוטיביות: נובע מהדיסטריבוטיביות ב- \mathbb {Q} .
בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב- \mathbb {Q}  נגדיר כך:  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }] אם ורק אם קיים  r>0 וקיים  N טבעי כך שלכל  n>N טבעי מתקיים  x_{n}<y_{n}-r.
נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים:
נניח ש- \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{w_{n}\}_{n=1}^{\infty } וכן שקיימים  r>0(r\in \mathbb {Q} ),N\in \mathbb {N}  כך שלכל  n>N מתקיים  x_{n}<y_{n}-r. במקרה זה קיימים  N_{1},N_{2} כך שלכל  n>N_{1} מתקיים  |x_{n}-z_{n}|<{\frac {r}{2}} (או בנוסח אחר:  x_{n}-{\frac {r}{2}}<z_{n}<x_{n}+{\frac {r}{2}}), ולכל  n>N_{2} מתקיים  |y_{n}-w_{n}|<{\frac {r}{4}} (או בנוסח אחר:  w_{n}-{\frac {r}{4}}<y_{n}<w_{n}+{\frac {r}{4}}). נבחר  N'=\max\{N_{1},N_{2}\} ונקבל לכל  n>N':  z_{n}<x_{n}+{\frac {r}{2}}<y_{n}-r+{\frac {r}{2}}=y_{n}-{\frac {r}{2}}<w_{n}-{\frac {r}{2}}+{\frac {r}{4}}=w_{n}-{\frac {r}{4}}.
נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:
אנטי-רפלקסיביות: לכל  r>0 ולכל  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }, מתקיים  x_{n}-r<x_{n} ולכן לא מתקיים  x_{n}<x_{n}-r, כלומר  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }].
טרנזיטיביות: יהיו  r_{1},r_{2}>0, וכן  N_{1},N_{2} כך שלכל  n>N_{1} מתקיים  x_{n}<y_{n}-r_{1}, ולכל  n>N_{2} מתקיים  y_{n}<z_{n}-r_{2}. אז נבחר  N=\max\{N_{1},N_{2}\},r=r_{1}+r_{2} ונקבל לכל  n>N:  x_{n}<y_{n}-r_{1}<z_{n}-r_{1}-r_{2}=z_{n}-(r_{1}+r_{2})=z_{n}-r.
השוואה: נניח שמתקיים  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\land [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]. אז לכל  r>0 ולכל  N, קיים  n>N כך ש- x_{n}\geq y_{n}-r וכן  y_{n}\geq x_{n}-r. בנוסח אחר נאמר כי  |x_{n}-y_{n}|\leq r. יהי  \varepsilon >0. קיימים  N_{1},N_{1} כך שלכל  n_{1},n_{2}>N_{1} מתקיים  |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{3}}, ולכל  n_{1},n_{2}>N_{2} מתקיים  |y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{3}}. נסמן  N=\max\{N_{1},N_{2}\}. קיים  n_{0}>N כך שמתקיים  |x_{n_{0}}-y_{n_{0}}|\leq {\frac {\varepsilon }{3}}. לכל  n>N מתקיים  |x_{n_{0}}-y_{n}|\leq |x_{n_{0}}-y_{n_{0}}|+|y_{n_{0}}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}={\frac {2\varepsilon }{3}}. לכן לכל  n>N מתקיים  |x_{n}-y_{n}|\leq |x_{n}-x_{n_{0}}|+|x_{n_{0}}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {2\varepsilon }{3}}=\varepsilon , ולכן  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }].
נראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה לשדה סדור:
נניח כי  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:
לכל  n>N מתקיים  x_{n}<y_{n}-r ולכן גם  x_{n}+z_{n}<y_{n}+z_{n}-r ובסה"כ  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }].
נניח בנוסף כי  [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]>0 (כזכור, 0 הוא מחלקת השקילות  [\{0\}_{n=1}^{\infty }]). לכל  n>N_{1}, מתקיים  z_{n}-r_{1}>0\Rightarrow z_{n}>r_{1}\Rightarrow -z_{n}<-r_{1} (ובפרט  z_{n}>0), ולכל  n>N_{2} מתקיים  x_{n}<y_{n}-r. נבחר  N=\max\{N_{1},N_{2}\} ונקבל לכל  n>N:  x_{n}z_{n}<(y_{n}-r_{2})z_{n}=y_{n}z_{n}-r_{2}z_{n}<y_{n}z_{n}-r_{1}r_{2}. לכן  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }].
העובדה היחידה החסרה לנו היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים סופרמום (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:תהי  S תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי  u. נגדיר  u_{1} כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ- u (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש- S אינה ריקה, קיים מספר רציונלי  l_{1} שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי  S. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם  a_{n}={\frac {u_{n}+l_{n}}{2}} חסם מלעיל אז  u_{n+1}=a_{n} ו- l_{n+1}=l_{n}, אם הוא אינו חסם מלעיל אז  l_{n+1}=a_{n} ו- u_{n+1}=u_{n}.

קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב- r. קל להראות באינדוקציה כי לכל  n טבעי  u_{n} חסם מלעיל ל- S בעוד ש- l_{n} לא, מעובדה זו נובע כי  r חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי  t מקיים  t<r, אז קיים  n_{0} טבעי עבורו  t<l_{n_{0}}, ומכיוון ש- \{l_{n}\}_{n=1}^{\infty } מונוטונית עולה נקבל כי לכל  n\geq n_{0} גם מתקיים  t<l_{n}, אך ראינו כבר ש- l_{n} אינו חסם מלעיל ולכן  t שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.