stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
אלי פישר
משפחתו

ד"ר פישר היה נשוי לדבורה לבית ביטקובר, בוגרת מדעי הרוח מהאוניברסיטה העברית בירושלים וכימיה ומיקרוביולוגיה מאוניברסיטת קליפורניה בסן פרנסיסקו, שהייתה שותפתו ביסוד ובניהול מפעלי "ד"ר פישר" (נפטרה בשנת 2006).
לאלי ודבורה פישר שלוש בנות: ד"ר דפנה מוריה - מטפלת באמנויות, מחברת הספר "טיפול באמנויות בבתי הספר", נשואה לד"ר נצר מוריה, מדען ויזם היי-טק, מחבר הספר "תעתועי עניבה"; סיגל בר-און, הנשואה לאיש העסקים דן בר-און; וד"ר נורית הראל, הנשואה לאיש העסקים יוסי הראל. שתיים מבנותיו וחתניו של ד"ר פישר הם בעלי תפקידי מפתח בתשלובת "ד"ר פישר" וחלקם עבדו בה בעבר.
ספרו

ד"ר אלי פישר, ד"ר פישר בלי מקדם הגנה, צבעונים הוצאה לאור בע"מ, 2005
פיליפינית - המסע משדות האורז (יחד עם לני סמסון) צבעונים הוצאה לאור, 2021
שייט בחסקה תמורת דינמיט (סיפורים), צבעונים הוצאה לאור, 2023
הערות שוליים

↑  סבון חדש מיוצר בארץ, חרות, 5 במרץ 1964
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007303741405171  BnF: cb15557740m (data)  GND: 131746316  ISNI: 0000 0000 7850 017X  LCCN: no2005119672  VIAF: 74166652   WorldCat (עם VIAF): 74166652
האסון האווירי באיברלינגן

| --- | --- |

הדמיה ממוחשבת של טיסה 2937 העומדת להתנגש בטיסה 611
 תאריך:  1 ביולי 2002
 מיקום:  איברלינגן, גרמניה
 גורם:  טעות אנוש
 קואורדינטות:  47°46′42″N 9°10′26″E﻿ / ﻿47.778333333333°N 9.1738888888889°E﻿ / 47.778333333333; 9.1738888888889
 הרוגים:  71
 פצועים:  0 
 ניצולים:  0 
 המעורבים באסון

כלי טיס 1
 כלי טיס:  טופולב 154
 מספר זנב:  RA-85816
 מוצא:  מוסקבה, רוסיה
 יעד:  ברצלונה, ספרד
 מפעיל:  בשקיריאן איירליינס
 נוסעים:  60
 אנשי צוות:  9
 הרוגים:  69

כלי טיס 2
 כלי טיס:  בואינג 757
 מספר זנב:  A9C-DHL
 מוצא:  נמל התעופה הבינלאומי בחריין
 יעד:  בריסל, בלגיה
 חניות ביניים:  ברגמו, איטליה
 מפעיל:  DHL תעופה
 נוסעים:  0
 אנשי צוות:  2
 הרוגים:  2
  (למפת גרמניה מוגדלת) שטוטגרט מינכן ברלין קלן ברמן המבורג פרנקפורט הנובר דיסלדורף לייפציג דרזדן נירנברג קיל בון מגדבורג ארפורט רוסטוק מיינץ פרייבורג שוורין לוקס. הולנד בלגיה צרפת דנמרק צ'כיה פולין אוסטריה שווייץ הים הבלטי הים הצפונימיקום ההתרסקות(למפת גרמניה רגילה) שטוטגרט מינכן ברלין קלן ברמן המבורג פרנקפורט הנובר דיסלדורף לייפציג דרזדן נירנברג קיל בון מגדבורג ארפורט רוסטוק מיינץ פרייבורג שוורין לוקס. הולנד בלגיה צרפת דנמרק צ'כיה פולין אוסטריה שווייץ הים הבלטי הים הצפונימיקום ההתרסקות(למפת באדן-וירטמברג רגילה) שטוטגרט מנהיים קרלסרוהה פרייבורג היידלברג היילברון אולם פפורצהיים רויטלינגן בוואריה צרפת שווייץ ריינלנד פפאלץ  הסןמיקום ההתרסקות(למפת באדן-וירטמברג מוגדלת) שטוטגרט מנהיים קרלסרוהה פרייבורג היידלברג היילברון אולם פפורצהיים רויטלינגן בוואריה צרפת שווייץ ריינלנד פפאלץ  הסןמיקום ההתרסקות מקום התאונה מעל איברלינגן בדרום גרמניה, על גבול מרחבי הפיקוח העילי של ציריך ושל קארלסרוהה/מינכן
 
האסון האווירי באיברלינגן אירע ביום 1 ביולי 2002 מעל העיר איברלינגן בדרום גרמניה, כאשר מטוס טופולב 154 של חברת בשקיריאן איירליינס, שהיה בטיסה 2937 ממוסקבה-דומודדובו לנמל התעופה של ברצלונה, התנגש במטוס מטען מדגם בואינג 757 של חברת DHL, שהיה בדרכו משדה התעופה בברגמו ליד מילאנו לבריסל. שני המטוסים התנגשו זה בזה בגובה של כ-35,000 רגל, וכל נוסעיהם, 71 במספר, נספו.
הלשכה הפדרלית הגרמנית לחקירת תאונות אוויריות (Bundesstelle für Flugunfalluntersuchung או BFU) קבעה ב-19 במאי 2004, שהתאונה נגרמה בשל כשל בפיקוח האווירי ובשל הוראות שהתקבלו מהמערכת למניעת התנגשות באוויר (Traffic Collision Avoidance System), אשר סתרו את הנחיות הבקרה האווירית. ב-24 בפברואר 2004 דקר ויטלי קאלוייב, אזרח רוסי שאיבד את אשתו ואת שני ילדיו בתאונה האווירית, את הדני פטר נילסן שהיה פקח הטיסה בעת האירוע. נילסן מת מפצעיו.
רקע

טיסה 2937 הייתה טיסת שכר של חברת בשקיריאן במטוס טופולב 154 שעשתה את דרכה ממוסקבה לברצלונה. על סיפון המטוס היו 60 נוסעים ותשעה אנשי צוות. 45 מהנוסעים היו תלמידי בית ספר מהעיר אופה בבשקיריה, שהיו בדרכם לנופש בקוסטה דאורדה, פרס שהוענק להם על ידי ועדה מקומית של אונסק"ו. תשעה ילדים היו מתחת לגיל 12, והיתר בין הגילאים 12 ל-18. הילדים לא היו אמורים לטוס כלל בטיסה זו, אך איחרו את טיסתם שיצאה יום קודם לכן מנמל התעופה הבינלאומי שרמייטיבו במוסקבה, בשל איחור ברכבת ובשל כך שהתייצבו בשדה תעופה אחר. הם הועלו לטיסת בשקיריאן שיצאה מנמל התעופה הבינלאומי דומודודבו. מרביתם של הורי הילדים בטיסה היו בכירים רמי-דרג בבשקיריה.
טיסה 611 של חברת DHL תעופה הייתה טיסת מטען במטוס בואינג 757, ועשתה את דרכה מנמל התעופה הבינלאומי בבחריין לנמל התעופה הבינלאומי בבריסל בבלגיה, לאחר עצירת ביניים בנמל התעופה הבינלאומי אוריו אל סריו בברגמו שבאיטליה. במטוס היו שני טייסים.
התאונה

שני המטוסים טסו בגובה של כ-36,000 רגל מעל פני הים. מטוס בשקיראין עשה את דרכו לכיוון מערב מהאזור העיר קמפטן בדרום גרמניה, וקרב לימת קונסטנץ מכיוון מזרח, בעוד שמטוס DHL טס לכיוון צפון מעל אדמת שווייץ וקרב אל הימה מדרום. כל מרחב הפיקוח העילי מעל ימת קונסטנץ, כולל חופיה השייכים לגרמניה ולאוסטריה שוכן באחריותו של אזור הבקרה המרחבית של שווייץ, המנוהל מהערים ציריך וז'נבה. קו הגבול בין אזור הבקרה המרחבית השווייצרי לאזור הבקרה המרחבית של קארלסרוהה/מינכן האחראי על דרום גרמניה, עובר מצפון וממזרח לחופה הצפוני של הימה. מטוס בשקיריאן חצה את קו הגבול בין שני האזורים ונכנס לאחריות שווייצרית כ-30 ק"מ מזרחית לאיברלינגן, ואילו מטוס DHL קרב לגבולו הצפוני של האזור השווייצרי, בזווית ישרה לנתיב המטוס הרוסי. הבקרה המרחבית בשווייץ נוהלה אותה עת מציריך על ידי חברת "סקאיגייד" (Skyguide), חברה שווייצרית פרטית לפיקוח טיסה.
פטר נילסן, פקח הטיסה בציריך, הופקד על שתי עמדות בו זמנית ולא הבחין בסכנה שאורבת לשני המטוסים עד לפחות מדקה לפני התאונה. ברגע זה הוא יצר קשר עם טיסה 2937, והורה לטייס לצלול אלף רגל כדי להימנע מהתנגשות עם טיסה 611. עם זאת, שניות לאחר שהצוות הרוסי החל בצלילה, המערכת למניעת תאונות אוויר הורתה לו לנסוק, בעוד שבאותו זמן המערכת בטיסה 611 הורתה לצוותו לצלול. לו שני המטוסים היו פועלים לפי הנחיות מערכות המניעה, סביר להניח שההתנגשות הייתה נמנעת.
טייסי טיסה 611 פעלו לפי הוראות המערכת האוטומטית והחלו בצלילה, אולם לא יכלו ליצור קשר עם פקח הטיסה ששוחח בקשר עם טיסה 2937. כשמונה שניות לפני ההתנגשות, קצב הצלילה של טיסה 611 היה בערך 2,400 רגל בדקה, איטי יותר מהמלצת המערכת האוטומטית: 2,500-3,000 רגל לדקה. הטייסים הרוסים התעלמו מהנחיות המערכת האוטומטית לנסוק, ובמקום זאת המשיכו לצלול, כפי שהורה להם פקח הטיסה.
נילסן, שלא היה מודע להנחיות המערכות האוטומטיות, המשיך בקריאותיו לטיסה 2937 לצלול ובכך נתן לצוות הטופולב מידע מוטעה על מצבו של המטוס האחר. בזמן התאונה בוצעה עבודת תחזוקה במערכת המכ"ם הראשית של מגדל הפיקוח, דבר שהאיט את קצב פעולת המערכת. צוות טיסה 2937 ניסה לאתר את טיסה 611 בחשיכה, ואיבד זמן תגובה.
המטוסים התנגשו זה בזה בגובה של 34,890 רגל, בזווית ישרה זה לזה, וזנבו של מטוס הבואינג חתך את גוף מטוס הטופולב מעט לפני חיבור הכנפיים לגוף. מטוס הטופולב התפוצץ והתפרק למספר חתיכות, ושבריו התפזרו על פני שטח נרחב. טייסי מטוס הבואינג הפגוע, שאיבד כ-80 אחוז מהמייצב האנכי שלו, נאבקו על השליטה בו לאורך נתיב של שבעה קילומטרים נוספים לפני שהמטוס התרסק באזור מיוער מצפון לכפר אובינגן (Owingen) השוכן צפונית לאיברלינגן. המטוס פגע בקרקע בזווית של 70 מעלות, זנבו נקרע ממנו על ידי עצים ממש לפני הפגיעה בקרקע, וגוף המטוס ומנועיו התפזרו בשטח. כל 69 האנשים שהיו על מטוס הטופולב, ושני הטייסים במטוס הבואינג, נהרגו.
גורמים נוספים לתאונה

מרחב הפיקוח העילי בו טסו המטוסים, נוהל אותה עת בידי פקח טיסה בודד, והפקח הנוסף שהיה במשמרת במגדל הפיקוח, נח בחדר אחר במהלך הלילה. דבר זה עמד בניגוד לתקנות, אבל נהג בחברת סקאיגייד כעניין שבשגרה, והיה ידוע להנהלה. בשל עבודות תחזוקה, עמדו לרשותו של נילסן פקח טיסה נוסף ומנהל מערכת, שניתן היה להזעיקם, אך נילסן לא היה מודע לכך או שבחר לא לקרוא להם כדי שדעתו לא תוסח ממסכי המעקב.
בנוסף, מערכת התרעה אופטית נגד התנגשות שממוקמת על הקרקע, כובתה לצורך עבודות התחזוקה, ונילסן לא היה מודע גם לכך. למגדל הפיקוח הייתה מערכת אזעקה שמתריעה על התנגשויות, והיא שלחה אותות לעמדת כוננות בשעה 21:35:00 (32 שניות לפני ההתנגשות), אך אזעקה זו לא נשמעה על ידי איש מהנוכחים בעמדה. למרות שלא נמצאה תקלה במערכת זו בביקורת טכנית לאחר המקרה; לא ניתן לדעת אם ההתראה הקולית הייתה כבויה אם לאו. גם אם נילסן היה שומע את האזעקה, ייתכן והיה מפרש אותה כאזעקת שווא עד לעדכון המכ"ם שהגיע רק 12 שניות לאחר מכן, או עד שהיה ניתן להבחין בצלילת טיסה 611. בשלב זה, 20 שניות לפני ההתנגשות, יכולתו של פקח הטיסה למצוא פתרון למצב הייתה נמוכה או בלתי אפשרית.
קווי הטלפון הראשיים בחברת סקאיגייד היו גם הם משותקים בשל עבודות תחזוקה, וקווי הגיבוי היו פגומים. עובדה זו מנעה מפקחי הטיסה השכנים שצפו במתרחש בקארלסרוהה את היכולת ליצור קשר עם ציריך ולהתריע על האסון.
בדקות שלפני התאונה, היה נילסן עסוק בפיקוח על מטוס איירבוס של חברת אירו לויד שקרב לשדה התעופה בפרידריכסהאפן. בעודו אחראי על שתי עמדות פיקוח בו זמנית, נאלץ נילסן להיאבק גם במערכת הטלפוניה הפגומה, שבאמצעותה ניסה ליצור קשר עם נמל התעופה בפרידריכסהאפן כדי להודיע על הגעתה של טיסת אירו לויד. בשל הסחות אלו הוא לא הבחין בסכנה המתקרבת עד לכדקה לפני ההתנגשות. לו היה מורה למטוס הרוסי לצלול מוקדם יותר, היו המטוסים מופנים לנתיבים אוויריים נפרדים, הם לא היו נכנסים לנתיב התנגשות ומערכות ההתרעה האוטומטיות שלהם לא היו נותנות להם הוראות לצלול או לנסוק. כאשר הבין נילסן את חומרת המצב, כבר היה מאוחר מדי מכדי להזעיק עזרה.
התייחסות המדינות המעורבות

לכל המדינות המעורבות בתאונה ניתנה האפשרות להוסיף את התייחסותן לדו"ח הרשמי. ממלכת בחריין, שווייץ והפדרציה הרוסית אכן הוסיפו טיעונים שפורסמו בדו"ח הרשמי, ואילו ארצות הברית נמנעה מכך. ההערות פורסמו כנספח לדו"ח, ולא זכו להתייחסות מצוות החוקרים הגרמני.
בחריין, ארץ המוצא של טיסה 611, הסכימה עם רוב ממצאי הדו"ח, אך טענה כי על הדו"ח היה להדגיש פחות את פעולותיהם של הטייסים ושל פקח הטיסה, ולהתמקד בבעיות הקשורות להנהלת חברת הפיקוח. עוד טענה בחריין כי הצוות הרוסי במטוס הטופולב לא היה כשיר דיו, והיווה גורם בתאונה.
רוסיה טענה שטייסי הטופולב לא היו יכולים לציית להוראות המערכת האוטומטית לנסוק. הוראה זו ניתנה כאשר המטוס היה בגובה של 35,500 רגל בעוד שפקח הטיסה הטעה את צוות המטוס וציין שהייתה תנועת מטוסים מעליהם בגובה של 36,000 רגל. בנוסף, פקח הטיסה טעה בציון מיקומה של טיסה 611, כאשר מסר למטוס הרוסי כי היא נמצאת בשעה 2 בעוד שלמעשה הייתה בשעה 10. רוסיה אף טענה ש"האחריות האמיתית" להימנע מהתנגשות הייתה בידיו של צוות טיסה 611, מאחר שהוא היה יכול לשמוע את התשדורת בין הצוות הרוסי לפקח הטיסה.
שווייץ ציינה כי מטוס הטופולב טס בגובה הנמוך בכ-100 רגל מהוראות פקח הטיסה, והמשיך לצלול בקצב של 1,900 רגל לדקה. טענה זו סותרת את הכתוב בדו"ח הרשמי, שמניח שהטייסים הרוסים פירשו את השיחה עם הפקח לא כהוראה "רגילה" לשמור על גובה שיוט, אלא כשיחת חירום שבאה להתריע על מטוס שחג מעליהם. הדו"ח של חוקר התאונות התייחס אל תגובת הטייסים הרוסים כאל תגובה נורמלית ולא כגורם לתאונה. עוד טענה שווייץ כי למרות המידע השגוי שניתן על ידי פקח הטיסה למטוס הטופולב, הנחיות המערכות האוטומטיות היו יכולות להועיל לו היו הטייסים נשמעים להן באופן מיידי.
כישלון בהפקת לקחים מתקרית קודמת

הארגון הבינלאומי לתעופה אזרחית לא הפיק את הלקחים הנדרשים מתקרית שהתרחשה כשנה לפני האסון האווירי באיברלינגן. בשנת 2001, כמעט והתנגשו שני מטוסים של חברת ג'פאן איירליינס בשטח האווירי של יפן. האסון נמנע הודות לאחד הטייסים שביצע תימרוני התחמקות בהתבססו על קשר עין, ו-677 חיי אדם ניצלו. המטוסים חלפו זה לצד זה במרחק של פחות מ-100 מטר, והתמרון הפתאומי ההכרחי שנועד למנוע את האסון הותיר כ-100 פצועים באחד המטוסים, חלקם במצב קשה. הרשויות היפניות קראו לתקינת תקנות שימנעו מתקריות כאלה להישנות, אבל הארגון הבינלאומי לתעופה אזרחית לא חקר את התקרית לעומק, עד לאסון המטוסים בגרמניה. בנוסף, אירעו באירופה ארבעה מקרים שכמעט והסתיימו בהתנגשות באוויר לפני האסון בגרמניה, כאשר צמד טייסים ציית להוראות פקח הטיסה במקום למערכות האוטומטיות של המטוס.
השלכות

בשל רגשות אשם התפטר נילסן מתפקידו כפקח טיסה לאחר התאונה. סקאיגייד, שהאשימה תחילה את צוות המטוס הרוסי באסון, לקחה את חלקה באחריות לאסון ושילמה פיצויים לחלק ממשפחות ההרוגים. הדוח הרשמי קבע שפגמים בהתנהלות ותקלות במערכות התקשורת השונות היו הגורמים העיקריים לאסון, כך שנילסן אינו היחיד הנושא באחריות.
ב-27 ביולי 2006 קבע בית המשפט בעיר קונסטנץ שממשלת גרמניה נושאת באחריות לתאונה, שכן החוק הגרמני אוסר על הפרטת הפיקוח האווירי בשמי גרמניה. ערעור הממשלה עודו מחכה להכרעה.
נגד חברת סקאיגייד נפתחה חקירה פלילית בחודש מאי 2004. ב-7 באוגוסט 2006 הועמדו שמונה מעובדי החברה לדין באשמת גרימת מוות ברשלנות. בית המשפט בווינטרטור פסק את דינם בספטמבר 2007, וארבעה מהם הורשעו. שלושה מהמורשעים נידונו לעונשי מאסר, ועל הרביעי הושת קנס.
בשל אבלו הכבד על אובדן משפחתו[דרוש מקור], פירש[דרוש מקור] ויטאלי קאלוייב את התפטרותו של נילסן כראיה לאחריותו הבלעדית לאירוע. הוא תקף אותו בביתו ליד ציריך ורצח אותו. ב-24 בפברואר 2004, עצרו שוטרים את קאלוייב בבית מלון מקומי זמן קצר לאחר הרצח, והוא הורשע בביצוע המעשה בשנת 2005. הוא שוחרר ממאסר ב-8 בנובמבר 2007 בשל כך שפסק הדין לא התחשב במצבו הנפשי הקשה בעת האירוע. באפריל 2017 יצא לאקרנים המותחן האמריקאי טיסה 112 שמבוסס על האירועים, בכיכובו של ארנולד שוורצנגר המגלם את דמותו של רומן, שמבוסס על ויטלי. בשנת 2018 יצא לאקרנים הסרט הרוסי "בלתי נסלח", המהווה עיבוד קולנועי של האירועים, בכיכובו של דמיטרי נאגייב, בתפקיד ויטלי.
תאונה אווירית זו תועדה בסדרה תעופה בחקירה ששודרה בערוץ נשיונל ג'יאוגרפיק, בשם "התנגשות באוויר" (Mid-air collision).
מפת ימת קונסטנץ. טיסת בשקיריאן בכחול וטיסת DHL באדום. גבול אזורי הבקרה המרחבית בצהוב
מטוסי מטען מדגם בואינג 757 של חברת DHL
מטוס טופולב 154 של בשקיריאן
לוח זיכרון לניספים
התפלגות קושי

| --- | --- |
 פונקציית צפיפות ההסתברות
 
 פונקציית ההסתברות המצטברת
 
 מאפיינים
 פרמטרים:   \ x_{0} החציון,  \ \gamma  סקלה
 תומך:   \ \mathbb {R} 
 פונקציית צפיפות הסתברות (pdf):   {1 \over \pi }\left[{\gamma  \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]
 פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf):   {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}
 תוחלת:  לא מוגדרת
 סטיית תקן:  לא מוגדרת
 חציון:   \ x_{0}
 ערך שכיח:   \ x_{0}
 שונות:  לא מוגדרת
 אנטרופיה:   \ln(4\,\pi \,\gamma )\!
 פונקציה יוצרת מומנטים (mgf):  לא מוגדרת
 פונקציה אופיינית:   \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!
 צידוד:  לא מוגדר
 גבנוניות:  לא מוגדרת
התפלגות קוֹשִי (Cauchy), על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי, היא התפלגות רציפה בעלת חשיבות במתמטיקה ובמספר תחומים בפיזיקה. בקרב פיזיקאים ההתפלגות מכונה לעיתים פילוג לורנץ (Lorentz), פילוג ברייט-ויגנר (Breit-Wigner) או לורנציאן.
הגדרה

התפלגות קושי מוגדרת כהתפלגות רציפה בעלת פונקציית צפיפות ההסתברות
כאשר  \ x_{0} הוא פרמטר מיקום, אשר קובע את החציון של ההתפלגות, ואילו  \ \gamma  הוא פרמטר סקלה, אשר קובע את רוחב ההתפלגות ובהתאם את גובה הערכים. בגבול שבו  \gamma \rightarrow 0 נקבל את פונקציית הדלתא של דיראק.
המקרה הפרטי של התפלגות קושי עם פרמטרים  x_{0}=0 ו  \gamma =1 נקרא התפלגות קושי סטנדרטית, עם צפיפות התפלגות
תכונות

תכונה יוצאת דופן של התפלגות קושי היא שהתוחלת והשונות שלה אינם מוגדרים, כמו גם המומנטים מסדר גבוה יותר. לעומת זאת, החציון והשכיח מוגדרים ושניהם שווים  \ x_{0}.
תכונות > סכום של משתנים מקריים המתפלגים קושי

אם  X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n} הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות שנדגמו מהתפלגות קושי סטנדרטית, ממוצע המדגם שלהם  {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i} מתפלג קושי סטנדרטית. בפרט, הממוצע אינו מתכנס לתוחלת, ואכן התפלגות קושי אינה מקיימת את חוק המספרים הגדולים. ההוכחה של תכונה זו אפשרית על ידי אינטגרציה של פונקציית צפיפות ההסתברות או על ידי שימוש בפונקציה האופיינית של התפלגות קושי הסטנדרטית: \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}עבור סכום הדגימות מקבלים  \varphi _{\sum _{i}X_{i}}(t)=e^{-n|t|} כלומר  {\bar {X}} הוא משתנה מקרי בעל התפלגות קושי סטנדרטית.
באופן כללי יותר, אם  X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n} הם משתנים בלתי-תלויים בעלי התפלגות קושי עם פרמטרי מיקום  x_{1},\ldots ,x_{n} ופרמטרי סקלה  \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n} ו  a_{1},\ldots ,a_{n} הם מספרים ממשיים אזי  \sum _{i}a_{i}X_{i} מתפלג קושי עם פרמטר מיקום  \sum _{i}a_{i}x_{i} וסקאלה  \sum _{i}|a_{i}|\gamma _{i}. כלומר חוק המספרים הגדולים אינו מתקיים עבור סכום משוקלל של משתני קושי בלתי תלויים.
תכונות > פונקציה אופיינית

יהי  X משתנה מקרי המתפלג קושי. הפונקציה האופיינית של התפלגות קושי ניתנת על ידי
שאינו אלא טרנספורם פורייה של צפיפות ההסתברות. באופן דומה ניתן להביע את פונקציית צפיפות ההסתברות במונחי הפונקציה האופיינית על ידי טרנספורם פורייה ההפוך
המומנט ה-n של ההתפלגות מתקבל מהצבת  t=0 בנגזרת ה-n של הפונקציה האופיינית. יש לשים לב כי הפונקציה האופיינית אינה גזירה בראשית הצירים. ואכן המומנטים של התפלגות קושי אינם מוגדרים פרט למומנט האפס.
תכונות > דיברגנץ קולבק-לייבלר

ניתן להביא את דיברגנץ קולבק-לייבלר בין שתי התפלגויות קושי עם פרמטרים  x_{0,1},\gamma _{1} ו  x_{0,2},\gamma _{2} כנוסחה סגורה סימטרית:
תכונות > אנטרופיה

האנטרופיה הדיפרנציאלית של התפלגות קושי נתונה על ידי
הנגזרת של פונקציית השברונים של התפלגות קושי היא
ניתן להגדיר את האנטרופיה של התפלגות במונחים של פונקציית השברונים שלה. באופן ספציפי
בניות > דגימה מהתפלגות קושי

אם עומדים מול קו ובועטים כדור לעבר הקו בזווית אקראית המתפלגת באופן אחיד בין 90- ל-90+ מעלות, ההתפלגות של הנקודה שבה פוגע הכדור בקו היא התפלגות קושי.
באופן פורמלי, תהי נקודה  (x_{0},\gamma ) במישור x-y. נבחר קו העובר דרך הנקודה, כך שהזווית שלו ביחס לציר  x נבחרת באופן באופן אחיד (בין 90°- ל-90°+) באקראי. נקודת החיתוך של הישר עם ציר  x הוא מתפלגת קושי עם פרמטר מיקום  x_{0} ופרמטר סקאלה  \gamma .
הגדרה זו נותנת דרך פשוטה לדגום מהתפלגות קושי סטנדרטית. תהי  u דגימה מהתפלגות אחידה רציפה מהקטע  [0,1]. אזי ניתן ליצור דגימה  x מהתפלגות קושי סטנדרטית על ידי
לחלופין, אם  U ו  V הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1 אז המנה  U/V מתפלגת התפלגות קושי סטנדרטית. ובאופן כללי, אם ל- (U,V) סימטריה סיבובית במישור סביב ראשית הצירים, אזי המנה  U/V מתפלגת התפלגות קושי סטנדרטית.
בניות > פונקציית צפיפות התפלגות

פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות קושי היא
כאשר  x_{0} הוא פרמטר המיקום (והשכיח של ההתפלגות) ו  \gamma  הוא פרמטר הסקאלה.  2\gamma  הוא רוחב חצי המקסימום (FWHM) של התפלגות קושי. אוגוסטן לואי קושי השתמש בפונקציית צפיפות כזו עם פרמטר קנה מידה אינפיניטסימלי, והגדיר את מה שמכונה כעת פונקציית דלתא של דיראק.
המקסימום של פונקציית הצפיפות של התפלגות קושי הוא ב- x=x_{0} וערכו  {\frac {1}{\pi \gamma }}.
בניות > פונקציית התפלגות מצטברת

פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות קושי היא
ופונקציית השברונים (הפונקציה ההופכית לה) היא
הרבעון הראשון והשלישי הם  (x_{0}-\gamma ,x_{0}+\gamma ), ומכאן  2\gamma  הוא הטווח הבין-רבעוני של ההתפלגות.
בניות > הקשר להתפלגות t

התפלגות קושי סטנדרטית היא התפלגות t עם דרגת חופש אחת, כך שניתן לבנותה בכל שיטה שבה משתמשים לבניית התפלגות t.
שיערוך פרמטרים

הממוצע והשונות של התפלגות קושי אינם מוגדרים. משום כך, בהינתן מדגם של התפלגות קושי, לא ניתן לשערך את הפרמטרים של ההתפלגות באמצעות ממוצע ושונות המדגם.
ואכן, ניתן לחשב את הממוצע של מדגם של n דוגמאות בלתי-תלויות ושוות-התפלגות מהתפלגות קושי כ
למרות שערכי הדגימות  x_{i} יתרכזו סביב  x_{0}, ממוצע המדגם לא יתכנס כאשר מגדילים את הערך של n. זאת מפני שההסתברות לדגימה  x עם ערך מוחלט גדול, הולכת וגדלה. למעשה, התפלגות ממוצע המדגם תהיה שווה להתפלגות התצפיות עצמן; כלומר, ממוצע המדגם של מדגם גדול אינו טוב יותר (או גרוע יותר) משערוך הערך של  x_{0} מכל תצפית בודדת במדגם. באופן דומה, חישוב שונות המדגם יביא לערכים שיגדלו ככל שיגדל מספר התצפיות.
זו הסיבה שיש צורך בשיטות אחרות לשיערוך פרמטר המיקום  x_{0} ופרמטר קנה המידה  \gamma . שיטה פשוטה אחת היא לקחת את הערך החציוני של המדגם כאומד של  x_{0}, וחצי מהטווח הבין-רבעוני כאומד של  \gamma . פותחו גם שיטות אחרות, מדויקות וחזקות יותר, שלעיתים נותנות תוצאות מדויקות בהרבה, למשל הממוצע המקוטע (אנ') של 24% הדגימות המרכזיות מהמדגם, מייצר אומד של  x_{0} מדויק יותר מחציון המדגם.
ניתן להיעזר בשיטת הנראות המקסימלית כדי לאמוד את הפרמטרים  x_{0} ו  \gamma . עם זאת, זה גישה זו מורכבת, מכיוון שהיא דורשת מציאת השורשים של פולינום מסדר גבוה, ושורשים מרובים ייצגו נקודות מקסימה מקומיות. כמו כן, בעוד שמעריך הנראות המקסימלית יעיל אסימפטוטית, הוא אינו יעיל יחסית עבור מדגמים קטנים. פונקציית הלוג-נראות עבור התפלגות קושי למדגם בגודל  n היא:
גזירה של פונקציית הנראות ביחס ל- x_{0} ול- \gamma  והשוואת הנגזרות לאפס נותנות את המשוואות הבאות:
כאשר נשים לב כי במשוואת הנגזרת ביחס ל- \gamma  הביטוי
היא פונקציה מונוטונית של  \gamma  וכי הפתרון עבור  \gamma  חייב לקיים
הפתרון עבור  x_{0} דורש מציאת השורשים של פולינום מסדר  2n-1. הפתרון עבור  \gamma  דורש מציאת השורשים של פולינום מסדר  2n. לכן בדרך כלל יהיה צורך להיעזר בשיטות נומריות. היתרון של שיערוך נראות מקסימלית הוא יעילות אסימפטוטית גבוהה יותר, שמתרגמת לשונות נמוכה יותר של האומד; הערכת  x_{0} באמצעות חציון המדגם היא רק כ-81% יעילה מבחינה אסימפטוטית ביחס אומדן  x_{0} לפי הסבירות המקסימלית. ממוצע המדגם הקטוע המבוסס על 24% הדגימות המרכזיות יעיל אסימפטוטית בכ-88% יעיל ביחס למשערך הנראות המקסימלית של  x_{0}.
| התפלגויות |
| --- | --- | --- |
| התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון |  |
| התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע • חצי המעגל של ויגנר • התפלגות טרייסי-וידום |  |
| התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא |  |
| התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית |  |
| סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |  |
הערות שוליים

↑  Riley, Ken F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering (3 ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 1333. ISBN 978-0-511-16842-0.
↑  Balakrishnan, N.; Nevrozov, V. B. (2003). A Primer on Statistical Distributions (1 ed.). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc. pp. 305. ISBN 0-471-42798-5.
↑  Frederic, Chyzak; Nielsen, Frank (2019). "A closed-form formula for the Kullback-Leibler divergence between Cauchy distributions". arXiv:1905.10965 [cs.IT].
↑  Vasicek, Oldrich (1976). "A Test for Normality Based on Sample Entropy". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 38 (1): 54–59. doi:10.1111/j.2517-6161.1976.tb01566.x.
↑  N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. New York: Wiley., Chapter 16.
↑  Feller, William (1971). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II (2 ed.). New York: John Wiley & Sons Inc. pp. 704. ISBN 978-0-471-25709-7.
↑  Rui Li, Saralees Nadarajah, A review of Student’s t distribution and its generalizations, Empirical Economics 58, 2020-03-01, עמ' 1461–1490 doi: 10.1007/s00181-018-1570-0
↑  "Illustration of instability of sample means". ארכיון מ-2017-03-24. נבדק ב-2014-11-22.
↑  Cane, Gwenda J. (1974). "Linear Estimation of Parameters of the Cauchy Distribution Based on Sample Quantiles". Journal of the American Statistical Association. 69 (345): 243–245. doi:10.1080/01621459.1974.10480163. JSTOR 2285535.
↑  Zhang, Jin (2010). "A Highly Efficient L-estimator for the Location Parameter of the Cauchy Distribution". Computational Statistics. 25 (1): 97–105. doi:10.1007/s00180-009-0163-y. S2CID 123586208.
1 2 3  Bloch, Daniel (1966). "A note on the estimation of the location parameters of the Cauchy distribution". Journal of the American Statistical Association. 61 (316): 852–855. doi:10.1080/01621459.1966.10480912. JSTOR 2282794.
1 2  Ferguson, Thomas S. (1978). "Maximum Likelihood Estimates of the Parameters of the Cauchy Distribution for Samples of Size 3 and 4". Journal of the American Statistical Association. 73 (361): 211–213. doi:10.1080/01621459.1978.10480031. JSTOR 2286549.
↑  Cohen Freue, Gabriella V. (2007). "The Pitman estimator of the Cauchy location parameter" (PDF). Journal of Statistical Planning and Inference. 137 (6): 1901. doi:10.1016/j.jspi.2006.05.002. אורכב מ-המקור (PDF) ב-2011-08-16.
↑  Wilcox, Rand (2012). Introduction to Robust Estimation & Hypothesis Testing. Elsevier.
↑  Barnett, V. D. (1966). "Order Statistics Estimators of the Location of the Cauchy Distribution". Journal of the American Statistical Association. 61 (316): 1205–1218. doi:10.1080/01621459.1966.10482205. JSTOR 2283210.
Bücherei des Schocken Verlag (ספרוני הוצאת שוקן)

Bücherei des Schocken Verlag (בגרמנית, "ספרוני הוצאת שוקן"), שנקראת לעיתים גם "beliebte Reihe der Schocken-Bücherei" (בגרמנית, "הסדרה האהובה") היא סדרת ספרים שיצאה לאור בהוצאת שוקן בין נובמבר 1933 ל-1939. סדרת הספרים, עם הסגנון המובהק והאחיד שלה נחשבת ל"אחד הביטויים החשובים ביותר של החיים הרוחניים של היהודים בגרמניה" (wichtigsten Erscheinungen des geistigen Lebens) בשנים בה פעלה.