stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
קיי-פופ הוט 100

לוגו מגזין הבילבורד
קיי-פופ הוט 100 (באנגלית: K-pop Hot 100) היה מצעד שירים בקוריאה הדרומית שפעל מאז 25 באוגוסט 2011. המצעד הוא המצעד הגדול השני שפעל באסיה, אחרי יפן הוט 100. דירוג המצעד התבסס על נתוני השמעות ברדיו ובטלוויזיה ועל נתוני מכירות שנאספו על ידי Hanteo Chart ו-Naver VIBE.‏ המצעד פורסם על ידי מגזין בילבורד, בשיתוף פעולה עם בילבורד קוריאה (בקוריאנית: '빌보드코리아)‏, מדי יום שלישי.
סילביו פיטרולוונגו, מנהל מצעדי המוזיקה של בילבורד, אמר כי ההשקה היא "אבן דרך", מפני שהיא "תספק לשוק המוזיקה הקוריאני את מה שאנו מאמינים שהוא דירוג השירים המדויק והרלוונטי ביותר של קוריאה". כמו כן, הוא אמר כי: "[בילבורד] נרגש להרחיב את זיכיון מצעדי המוזיקה של בילבורד המוכר בעולם של בילבורד הוט 100 למדינה זו, ומצפים לשפר את טבלת המצעד בעתיד הקרוב עם נתונים נוספים, כמו כן לייצור מצעדי מוזיקה חדשים המציגים את כלל המוזיקה הקוריאנית". מאחר שלשוק הקוריאני יש הפצה פעילה יותר של מוזיקה דיגיטלית בהשוואה למכירת אלבומים פיזית, הדירוג הראשוני שיקף אך ורק מכירות דיגיטליות מאתרי מוזיקה גדולים, בשקלול הורדות מאתרי שירות סלולרי. המצעד פורסם גם בגיליון האמריקאי ובגיליון הקוריאני. השיר הראשון שהופיע במקום הראשון במצעד היה "So Cool" של סיסטאר (אנ'), בגיליון מיום 3 בספטמבר 2011. בילבורד הפסיקה לפרסם את המצעד בארצות הברית החל מהגיליון של 17 במאי 2014, אם כי הופסק למעשה ב-21 ביוני. פרסום המצעד בקוריאה הדרומית הופסק בגיליון של 16 ביולי.
ב-20 בדצמבר 2017, בילבורד הודיעה רשמית על ההפעלה מחדש של המצעד, ועל ההשקה מחדש של אתר בילבורד קוריאה, ופרסום מחדש באתר האינטרנט של בילבורד. הגיליון הראשון של המצעד שהוקם מחדש היה בשבוע של 29 במאי–4 ביוני 2017. בילבורד השעתה את הגרסה הקוריאנית של המצעד ללא הודעה מוקדמת בשנת 2022, החל מהגיליון של 23 באפריל. המהדורה האמריקאית של המצעד הופסקה לאחר מכן, החל מהגיליון של 30 באפריל. השיר "Love Dive" של אייב היה השיר האחרון שדורג במקום הראשון במצעד.
השירים שהגיעו למקום הראשון

ערך מורחב: רשימת השירים שהגיעו למקום הראשון בקיי-פופ הוט 100 (אנ')
הישגים של אמנים > האמנים עם הכי הרבה שירים במקום הראשון

| אמן | כמות שבועות | שירים |
| --- | --- | --- |
| IU (אנ') | 18 שירים | "You & I" (אנ') "Every End of the Day" "The Red Shoes" "Friday" "Not Spring, Love or Cherry Blossoms" (עם High4 (אנ')) "My Old Story" "Love Story" (עם אפיק היי (אנ')) "SoulMate" (עם זיקו (אנ')) "Bbibbi" (אנ') "Love Poem" (אנ') "Blueming" (אנ') "Eight" (אנ') (עם שוגה) "Celebrity" (אנ') "Lilac" (אנ') "Nakka" (עם AKMU (אנ')) "Strawberry Moon" (אנ') "Winter Sleep" "Ganadara" (אנ') (עם ג'יי פארק (אנ')) |
| BTS | 8 שירים | "DNA" "Fake Love" "Idol" "Boy with Luv" (עם הלסי) "On" "Dynamite" "Butter" "Permission to Dance" |
| טווייס | 6 שירים | "Signal" (אנ') "Likey" (אנ') "Heart Shaker" (אנ') "What Is Love?" (אנ') "Dance the Night Away" (אנ') "Feel Special" (אנ') |
| אקסו | 5 שירים | "Ko Ko Bop" (אנ') "Power" (אנ') "Universe" (אנ') "Tempo" (אנ') "Love Shot" (אנ') |
| סיסטאר (אנ') | 4 שירים | "So Cool" "Alone" (אנ') "Loving U" "Give It To Me" (אנ') |
| בסקר בסקר (אנ') | 4 שירים | "Tokyo Girl" "Cherry Blossom Ending" (אנ') "If You Really Love Me" "Love, At First" |
| K.Will (אנ') | 4 שירים | "Please Don't" "Love Blossom" "You Don't Know Love" "Like a Star" |
הישגים של אמנים > האמנים שהיו הכי הרבה שבועות במקום הראשון

| אמן | כמות השבועות |
| --- | --- |
IU (אנ'): 53 שבועות
BTS: 49 שבועות
סוקודומו (אנ'): 12 שבועות
Zion.T (אנ'): 12 שבועות
וונשטיין (אנ'): 12 שבועות
AKMU (אנ'): 10 שבועות
טווייס: 9 שבועות
הישגים של אמנים > האמנים עם הכי הרבה שירים שהגיעו הישר למקום הראשון

| אמן | כמות שירים | שירים |
| --- | --- | --- |
| IU (אנ') | 5 שירים | "Every End of the Day" "Friday" "Celebrity" (אנ') "Lilac" (אנ') "Ganadara" (אנ') (עם ג'יי פארק (אנ')) |
| טווייס | 4 שירים | "Heart Shaker" (אנ') "What Is Love?" (אנ') "Dance the Night Away" (אנ') "Feel Special" (אנ') |
| BTS | 4 שירים | "Idol" "Boy with Luv" "Butter" "Permission to Dance" |
| בסקר בסקר (אנ') | 3 שירים | "Cherry Blossom Ending" (אנ') "If You Really Love Me" "Love, at First" |
| היולין | 3 שירים | "Crazy of You" "One Way Love" "Goodbye" |
| אקסו | 3 שירים | "Universe" (אנ') "Tempo" (אנ') "Love Shot" (אנ') |
| לי סונג-גי (אנ') | 2 שירים | "Era of Love" "Return" |
| סיסטאר (אנ') | 2 שירים | "Alone" "Loving U" |
| K.Will (אנ') | 2 שירים | "Love Blossom" "Like a Star" |
| וונה ואן (אנ') | 2 שירים | "Boomerang" (אנ') "Spring Breeze" |
| זיקו (אנ') | 2 שירים | "Soulmate" "Any Song" (אנ') |
| רד ולווט | 2 שירים | "Power Up" (אנ') "Umpah Umpah" (אנ') |
הישגים של שירים > השירים שהיו הכי הרבה שבועות במקום הראשון

| שיר | אמן | מספר השבועות | שנה |
| --- | --- | --- | --- |
| "Dynamite" | BTS | 22 | 2020–2021 |
| "Merry-Go-Round" | סוקודומו (אנ') בהשתתפות Zion.T (אנ') ווונשטיין (אנ') | 12 | 2021–2022 |
| "Traffic Light" (אנ') | לי מו-ג'ין (אנ') | 8 | 2021 |
| "Boy with Luv" | BTS בהשתתפות הלסי | 7 | 2019 |
| "Celebrity" (אנ') | IU (אנ') | 7 | 2021 |
| "Return" | לי סונג-גי (אנ') | 6 | 2012–2013 |
| "Some" (אנ') | סויו (אנ') x יונגגיגו (אנ') | 6 | 2014 |
| "Love Scenario" (אנ') | iKon (אנ') | 6 | 2018 |
| "Any Song" (אנ') | זיקו (אנ') | 6 | 2020 |
| "Eight" (אנ') | IU בהשתתפות שוגה | 6 | 2020 |
| "Rollin'" (אנ') | ברייב גירלז (אנ') | 6 | 2021 |
הישגים של שירים > השירים שהיו הכי הרבה שבועות בעשרת הגדולים (2011–2014)

| שיר | אמן | מספר שבועות | שנה |
| --- | --- | --- | --- |
| "Gangnam Style" | סיי | 14 | 2012 |
| "Some" (אנ') | סויו (אנ') x יונגגיגו (אנ') | 13 | 2014 |
| "Loving U" | סיסטאר (אנ') | 10 | 2012 |
| "Return" | לי סונג-גי (אנ') | 10 | 2012–2013 |
| "I Miss You" | נואל (אנ') | 9 | 2011–2012 |
| "Cry Cry" | טי-ארה (אנ') | 9 | 2011–2012 |
| "You & I" | IU (אנ') | 9 | 2011–2012 |
| "Trouble Maker" | טרבל מייקר (אנ') | 9 | 2011–2012 |
| "Fantastic Baby" | ביג באנג | 9 | 2012 |
| "Officially Missing You, Too" | גיקס (אנ') וסויו | 9 | 2012–2013 |
| "My Love" | לי סונג-צ'ול (אנ') | 9 | 2013 |
| "Don't Say Goodbye" | אולאלה סשן (אנ') | 8 | 2011 |
| "Be My Baby" | וונדר גירלז (אנ') | 8 | 2011–2012 |
| "To Turn Back Hands of Time" | Lyn (אנ') | 8 | 2012 |
| "Alone" (אנ') | סיסטאר | 8 | 2012 |
| "My Love" | לי ג'ונג-היון (אנ') | 8 | 2012 |
| "Turtle" | דביצ'י (אנ') | 8 | 2013 |
| "What's Your Name?" | 4Minute | 8 | 2013 |
| "Touch Love" | יון מי-רה (אנ') | 8 | 2013 |
מצעדי סוף שנה

| דרוג> 2012 | שיר> 2012 | אמן> 2012 |
| --- | --- | --- |
| 1 | "Gangnam Style" | סיי |
| 2 | "To Turn Back Hands of Time" | Lyn (אנ') |
| 3 | "Loving U" | סיסטאר (אנ') |
| 4 | "Lovey-Dovey" (אנ') | טי-ארה (אנ') |
| 5 | "Alone" (אנ') | סיסטאר |
| 6 | "My Love" (אנ') | לי ג'ונג-היון (אנ') |
| 7 | "Cherry Blossom Ending" (אנ') | בסקר בסקר (אנ') |
| 8 | "All for You" | סהו יין-גוק (אנ') ויונג אונ-ג'י (אנ') |
| 9 | "Fantastic Baby" (אנ') | ביג באנג |
| 10 | "I Love You" (אנ') | 2NE1 |
2013
| 1 | "Gone Not Around Any Longer" | סיסטאר19 (אנ') |
| 2 | "Bounce" | צ'ו יונג-פיל (אנ') |
| 3 | "My Love" | לי סונג-צ'ול (אנ') |
| 4 | "Shower Of Tears" | באיצ'יג'י (אנ') בהשתתפות איילי (זמרת) (אנ') |
| 5 | "Turtle" | דביצ'י (אנ') |
| 6 | "What's Your Name?" | 4minute |
| 7 | "Bom Bom Bom" | רוי קים (אנ') |
| 8 | "Give It To Me" | סיסטאר |
| 9 | "Bar Bar Bar" (אנ') | קרייון פופ (אנ') |
| 10 | "Monodrama" | הא גאק (אנ') עם יו סונג-וו (אנ') |
ביאורים

1 2  השירים מופיעים מהישן ביותר לחדש ביותר.
1 2  עדכון המצעד האחרון שפורסם על ידי בילבורד בארצות הברית היה הגיליון מ-21 ביוני 2014. בילבורד קוריאה פרסמה עוד שני גיליונות מצעדים לאחר תאריך זה, ולאחר מכן גם היא הפסיקה.
↑  בילבורד חידשה את הקיי-פופ הוט 100 בשנת 2017 עם הגיליון שפורסם ב-30 בדצמבר. כל 100 השירים סומנו בדירוג כ"חדשים", ככל הנראה כדי לציין את ההתחלה מחדש של המצעד, ולא כדי לציין  שהשירים הגיעו למקום זה מיד לאחר פרסומם, מאחר שרבים מהשירים הרשומים שוחררו והשתתפו במצעדים עוד לפני תאריך זה. כדי למנוע כל בלבול אפשרי עבור הקוראים, גיליון מצעד בילבורד קוריאה הכליל גם את "Heart Shaker" כשיר שהגיע הישר למקום הראשון למרות שהשיר פורסם כשבועיים קודם לכן.
הערות שוליים

1 2  "K-Pop Gets Billboard Top 100 Chart". The Chosun Ilbo. 26 באוגוסט 2011. ארכיון מ-12 בספטמבר 2011. נבדק ב-1 ביוני 2021. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Lee, Min-hyung (22 בספטמבר 2020). 리뉴얼 마친 '빌보드 K-POP 100' 차트, 오늘부터 매주 빌보드코리아 통해 선공개 [Renewed 'Billboard K-POP 100' chart will be pre-released through Billboard Korea every week from today]. Billboard Korea (בקוריאנית). ארכיון מ-14 באוגוסט 2021. נבדק ב-13 באוגוסט 2021. {{cite web}}:  (עזרה)
1 2  Chung, Ah-young (26 באוגוסט 2011). "Billboard opens K-pop chart". The Korea Times. ארכיון מ-13 באוגוסט 2021. נבדק ב-13 באוגוסט 2021. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Billboard K-Pop Hot 100 Launches; Sistar Is No. 1 on New Korea Chart". Billboard. 26 באוגוסט 2011. ארכיון מ-2013-03-27. נבדק ב-26 באוגוסט 2011. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Korea K-Pop Hot 100 (The Week of June 21, 2014)". Billboard. אורכב מ-המקור ב-16 בנובמבר 2017. נבדק ב-7 ביוני 2021. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "2014/07/16 K-Pop Hot 100". Billboard Korea. אורכב מ-המקור ב-15 באוגוסט 2014. נבדק ב-1 במאי 2016. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Billboard Relaunches in Korea With Focus on K-Pop". Billboard. 20 בדצמבר 2017. ארכיון מ-23 בדצמבר 2021. נבדק ב-1 ביוני 2021. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Kpop Hot 100 (The week of May 29, 2017 ~ June 4)". Billboard Korea (בקוריאנית). אורכב מ-המקור ב-5 בדצמבר 2017. נבדק ב-5 בדצמבר 2017. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Billboard K-pop 100 Chart Dated 2022.4.23". Billboard Korea (בקוריאנית). ארכיון מ-19 באפריל 2022. נבדק ב-25 במאי 2022. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Billboard K-pop 100 (Week of April 30, 2022)". Billboard. ארכיון מ-27 באפריל 2022. נבדק ב-28 באפריל 2022. {{cite web}}:  (עזרה)
קיבדו

קיבדו (בספרדית: Quibdó) היא בירת מחוז צ'וקו שבמערב קולומביה, בסמוך לנהר אטרטו. שטחה של העיר הוא 3,337.5 קילומטרים רבועים ואוכלוסייתה מונה 97,714 תושבים, רובם אפרו-קולומביאנים ובני הקפוזו.
היסטוריה

בזמנים פרה-היסטוריים יער הגשם צ'וקו שימש כמחסום עיקרי בין מסו-אמריקה לבין תושבי האנדים, וכן הלחות הגבוה באזור הרחיקה גם את המתיישבים הספרדים. אינדיאנים בני שבט האמברה העניקו את השטח למסדר הפרנציסקנים בשנת 1648, שבטים אויבים תקפו את השטח כדי למנוע את ההתיישבות, אך הם נסוגו בתום שש שנות לחימה.
במאה ה-19 רצו למצוא נתיב שיט שמחבר בין האוקיינוס השקט לאוקיינוס האטלנטי, מלבד מצר מגלן. אז התגלתה התעניינות באזור צ'וקו מצד הקולוניאליזם האירופאי, שכן אלכסנדר פון הומבולדט הציע לחצות את יבשת דרום אמריקה דרך נהר אטרטו. הרעיון נגנז ונתיב השיט החדש הרצוי הושג על ידי הקמת תעלת פנמה. באותה התקופה חקרו את אזור צ'וקו, זהב ופלטינה נמצאו בקרבת נהר אטרטו, והדבר הבטיח את צמיחתה של העיר קיבדו ואת מעמדה כבירת המחוז.
אקלים

בקיבדו אקלים טרופי של יערות גשם (לפי שיטת קפן) לח ומעונן במיוחד בו כמעט ולא ניכר שינוי בין העונות השונות. זוהי העיר הגשומה ביותר בדרום אמריקה, וכן העיר הגשומה ביותר מבין הערים בעלות שטח זהה או גדול ממנה - למשל, מונרוביה בירת ליבריה, סופגת 3 מטרים פחות של גשמים בשנה לעומת קיבדו. מקורה של כמות הגשמים הנכבדת בעיר בהרי האנדים שממזרח לעיר, החוסמים את הרוחות המגיעות ממערב, אזור ההתכנסות הבין-טרופי, וכך במהלך השנה הודות גם לזרם הומבולדט, הרוחות מצטברות בצפון היבשת בקו האורך בו נמצאת העיר. התוצאה היא שהאוויר הלא-היציב והמתרומם המגיע מאזור ההתכנסות הבין-טרופי, נאלץ לעבור מעל למישור צ'וקו וכשהוא מתקרר נותרת בו לחות רבה.
ממטרי גשם מלווים בסופות ברקים יורדים על העיר מדי יום, ופרקי הזמן בהם ניתן לראות את השמש נמשכים לעיתים רחוקות מספר שעות לאחר הזריחה.
| אקלים בקיבדו> חודש.טמפרטורה יומית מרבית ממוצעת (C°).טמפרטורה יומית מזערית ממוצעת (C°).משקעים ממוצעים (מ"מ) | אקלים בקיבדו> ינואר.30.1.23.0.579.3 | אקלים בקיבדו> פברואר.30.2.23.1.505.4 | אקלים בקיבדו> מרץ.30.4.23.2.526.1 | אקלים בקיבדו> אפריל.30.8.23.4.654.6 | אקלים בקיבדו> מאי.31.0.23.2.776.2 | אקלים בקיבדו> יוני.31.2.23.0.761.6 | אקלים בקיבדו> יולי.31.1.22.8.802.6 | אקלים בקיבדו> אוגוסט.31.0.22.9.851.7 | אקלים בקיבדו> ספטמבר.30.7.22.8.702.4 | אקלים בקיבדו> אוקטובר.30.4.22.7.654.0 | אקלים בקיבדו> נובמבר.30.2.22.8.728.1 | אקלים בקיבדו> דצמבר.29.6.23.0.588.5 | אקלים בקיבדו> שנה.30.56.22.9.8,130.5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
מקור:
הערות שוליים

↑  אתר העיר
↑  History of Quibdó
↑
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007567056905171  GND: 16076838-X  LCCN: n83226322  MusicBrainz: d13af704-11d8-4d40-b739-12f87c58b701  NARA: 10037951  VIAF: 154813623   WorldCat (עם VIAF): 154813623
קווטרניונים וסיבובים מרחביים

קווטרניוני יחידה, שידועים גם בשם ורסורים, מספקים סימון מתמטי נוח לייצוג אוריינטציות וסיבובים של גופים במרחב תלת-ממדי. בהשוואה לזוויות אוילר הם פשוטים יותר להרכבה ומאפשרים להימנע מהבעיה של סינגולריות במצבים מסוימים. בהשוואה למטריצות סיבוב הם קומפקטיים יותר, יותר יציבים נומרית, ויותר יעילים. לקווטרניונים יש יישומים בגרפיקה ממוחשבת, ראייה ממוחשבת, רובוטיקה, ניווט, דינמיקה מולקולרית, בקרת טיסה, מכניקה מסלולית של לוויינים ועוד.
כאשר הם משמשים כדי לייצג סיבובים, קווטרניוני יחידה נקראים גם קווטרניוני סיבוב שכן הם מייצגים את חבורת הסיבוב (3)SO, באמצעות ההטלה מחבורת קווטרניוני היחידה על חבורת הסיבוב המוגדרת על ידי פעולת ההצמדה של הקווטרניונים על המרחב התלת-ממדי של קווטרניונים טהורים (גרעין ההטלה הוא מסדר 2). כאשר הם משמשים כדי לייצג אוריינטציה (מנח מרחבי בהשוואה למערכת ייחוס של קואורדינטות) הם מכונים קווטרניוני אוריינטציה.
שימוש בקווטרניונים כדי לממש סיבובים תלת-ממדיים

במרחב תלת-ממדי, לפי משפט הסיבובים של אוילר, כל סיבוב או סדרת סיבובים של גוף קשיח או מערכת קואורדינטות דרך נקודה קבועה, שקול לסיבוב יחיד בזווית  \theta  ביחס לציר סיבוב כלשהו (המכונה "ציר אוילר"). ציר אוילר מיוצג על ידי וקטור יחידה  {\vec {u}}. לפיכך, כל סיבוב תלת-ממדי ניתן לייצוג באמצעות צירוף של וקטור  {\vec {u}} וסקלר  \theta . הקווטרניונים מספקים דרך נוחה לקודד את הצגת הציר-זווית הזאת ברביעיית מספרים, ומאפשרים לממש את הסיבוב המתאים על וקטור מיקום התחלתי נתון (המייצג נקודה ב- R^{3}).
וקטור אוקלידי כמו  (2,3,4) או  (a_{x},a_{y},a_{z}) ניתן לכתיבה כ- 2i+3j+4k או  a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k כאשר
 i,j,k מייצגים הן וקטורי יחידה במערכת קואורדינטות קרטזית והן קווטרניונים. סיבוב בזווית  \theta  מסביב לציר המוגדר על ידי וקטור היחידה
ניתן לייצוג כקווטרניון. הצגה כזו ניתנת להגדרה על ידי הרחבה של נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת:
ניתן להראות שניתן להפעיל את הסיבוב הרצוי על וקטור נתון  \mathbf {p} =(p_{x},p_{y},p_{z})=p_{x}\mathbf {i} +p_{y}\mathbf {j} +p_{z}\mathbf {k}  במרחב תלת-ממדי, שאליו מתייחסים כאל קווטרניון אוריינטציה "טהור" עם חלק ממשי אפס, על ידי הצמדה של p על ידי q
באמצעות מכפלת המילטון, כאשר  \mathbf {p'} =(p'_{x},p'_{y},p'_{z}) הוא וקטור המיקום החדש של הנקודה לאחר הסיבוב. במימוש תוכניתי, ניתן להפעיל סיבוב רצוי על וקטור נתון באמצעות הגדרת קווטרניון שחלקו הווקטורי הוא p וחלקו הממשי הוא אפס ואז הכפלת הקווטרניונים. החלק הווקטורי של קווטרניון התוצאה מייצג את כיוון הווקטור החדש p′.
מתמטית, פעולה זאת מעתיקה את אוסף כל הקווטרניונים ה"טהורים" p (אלו שעם חלק ממשי אפס) - אשר מרכיבים מרחב תלת-ממדי בין הקווטרניונים- אל עצמו, באמצעות הסיבוב הרצוי מסביב לציר u, בזווית θ.
באופן כללי יותר, פעולת ההרכבה של שני סיבובים לכדי סיבוב יחיד והפעלתו על וקטור נתון מתקבלת על ידי הצמדת הווקטור במכפלה של הקווטרניונים המייצגים את שני הסיבובים, וניתן להראות שפעולה זאת שקולה להצמדת הווקטור בקווטרניון הראשון ולאחר מכן בקווטרניון השני:
הרכיב הסקלרי (ממשי) של התוצאה הוא בהכרח אפס.
הקווטרניון ההופכי של סיבוב נתון הוא קווטרניון המייצג את הסיבוב הנגדי, מכיוון ש- \mathbf {q} ^{-1}(\mathbf {q} {\vec {v}}\mathbf {q} ^{-1})\mathbf {q} ={\vec {v}}. העלאה בריבוע של קווטרניון נתון מייצגת סיבוב בזווית כפולה ביחס לאותו ציר.
שימוש בקווטרניונים כדי לממש סיבובים תלת-ממדיים > דוגמה חישובית

נתייחס לסיבוב f מסביב לציר  {\vec {v}}=\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} , עם זווית סיבוב של 120°, או  2\pi /3 רדיאנים:
האורך של  {\vec {v}} הוא  {\sqrt {3}}, וחצי זווית הסיבוב היא 60°. לפיכך אנו עוסקים בהצמדה על ידי קווטרניון היחידה:
אם f היא פונקציית הסיבוב, אז
ניתן להוכיח בקלות שההופכי של קווטרניון יחידה מתקבל מהפיכת הסימן של החלקים המדומים שלו. כתוצאה,
ו-
את ביטוי זה ניתן לפשט באמצעות הכללים הרגילים לאריתמטיקה של קווטרניונים ל-:
כצפוי, הסיבוב מייצג קובייה המקובעת בנקודה אחת ושמסתובבת ב-120° ביחס לאלכסון הראשי העובר דרך הנקודה הנתונה (שים לב כיצד שלושת הצירים i,j,k עוברים תמורה מעגלית).
מטריצת הסיבוב הנגזרת מן הקווטרניונים

ניתן להמיר את פעולת הסיבוב המיוצגת על ידי הצמדה בקווטרניון סיבוב  \mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1} (כאשר  \mathbf {q} =q_{r}+q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} ) למטריצת סיבוב תלת-ממדית המקיימת  \mathbf {p'} =\mathbf {Rp} , כאשר  \mathbf {R}  היא מטריצה בעלת הצורה:
כאן  s=||q||^{-2}, כך שאילו q הוא קווטרניון יחידה אז  s=1^{-2}=1.
ניתן להגיע אל המטריצה הזאת בעזרת חשבון וקטורי ואלגברה ליניארית אם מבטאים את  \mathbf {p}  ו- \mathbf {q}  באמצעות החלק הסקלרי והווקטורי שלהם ואז עושים שימוש בתהליך המתאר את פעולת קווטרניון הסיבוב  \mathbf {q}  על קווטרניון האוריינטציה p, שניתן בנוסחה:  \mathbf {p'} =\mathbf {q} \mathbf {p} \mathbf {q} ^{-1}. אם נכתוב את  \mathbf {p}  כ- (0,\ \mathbf {p} ), את  \mathbf {p} ' כ- (0,\ \mathbf {p} ') ואת  \mathbf {q}  כ- (q_{r},\ \mathbf {v} ), כאשר  \mathbf {v} =(q_{i},q_{j},q_{k}), אז משוואת ההצמדה הופכת ל-:  (0,\ \mathbf {p} ')=(q_{r},\ \mathbf {v} )(0,\ \mathbf {p} )s(q_{r},\ -\mathbf {v} ). באמצעות שימוש בנוסחה המתארת כפל קווטרניונים שמיוצגים בעזרת החלק הסקלרי והווקטורי שלהם,
(כאשר  \cdot  היא מכפלה סקלרית ו- \times  היא מכפלה וקטורית), מקבלים שמשוואה זו ניתנת לכתיבה מחדש כ-:
כאשר  \otimes  היא סוג של מכפלה בין וקטורים הנקראת מכפלת החיצון (אנ'),  \mathbf {I}  היא מטריצת היחידה ו- [\mathbf {v} ]_{\times } היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה אשר הפעלתה על הווקטור  \mathbf {u}  נותנת את תוצאת המכפלה הווקטורית  \mathbf {v} \times \mathbf {u} .
מכיוון ש- \mathbf {p} '=\mathbf {R} \mathbf {p} , ניתן לזהות את  \mathbf {R}  כביטוי  s(\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +q_{r}^{2}\mathbf {I} +2q_{r}[\mathbf {v} ]_{\times }+[\mathbf {v} ]_{\times }^{2}), אשר תחת פיתוח מניב את התוצאה הרשומה בצורה מטריציונית לעיל.
קווטרניונים וגאומטריה כדורית

תכונה מועילה של פורמליזם הקווטרניונים היא שבעזרתו ניתן לזהות בקלות את הסיבוב השקול הנגזר מהרכבת שני סיבובים מרחביים המיוצגים על ידי קווטרניוני סיבוב RB ו-RA, זאת שכן לאחר הכפלת הקווטרניונים ניתן לזהות מיידית את ציר הסיבוב השקול ואת זווית הסיבוב השקולה (מתקיים RC = RBRA).
נניח שהקווטרניון המקושר לסיבוב מרחבי R נבנה על סמך ציר הסיבוב שלו S וזווית הסיבוב  \varphi . הקווטרניון ניתן על ידי  S=\cos {\frac {\varphi }{2}}+\sin {\frac {\varphi }{2}}\mathbf {S}  .
והרכבת הסיבוב RB  עם RA היא הסיבוב RC = RBRA עם ציר סיבוב וזווית המוגדרת על ידי מכפלת הקווטרניונים  A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,
שהיא  C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).
ואם נפתח מכפלה זאת נקבל
\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).
נוסחה זאת מתארת את ציר הסיבוב השקול, שנתון בחלק הווקטורי של מכפלת הקווטרניונים, ואת זווית הסיבוב השקולה, שנתונה בחלק הממשי של מכפלת הקווטרניונים. השוויון בין החלקים הממשיים של שני אגפי המשוואה האחרונה,  \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,,
מבטא את הקשר הידוע כמשפט הקוסינוסים בגאומטריה כדורית.
קווטרניונים וגאומטריה כדורית > הקשר למשולשים כדוריים

קיים קשר אלגנטי בין פעולת חבורת הסיבובים התלת-ממדיים על ספירת היחידה לבין המשולש הכדורי הנוצר על ידי הרכבת שני סיבובים מרחביים; אם נסמן ב- P,P' את נקודת החיתוך של שני צירי סיבוב עם ספירת היחידה וב- \lambda ,\lambda ' את זוויות הסיבוב המתאימות, בעוד שאת נקודת החיתוך של ציר הסיבוב השקול להרכבת שני הסיבובים עם ספירת היחידה נסמן ב- P'' ואת זווית הסיבוב השקולה ב- \lambda '', אז הזוויות של המשולש הכדורי המוגדר על ידי שלושת הנקודות  P,P',P'' הן בדיוק  {\frac {\lambda }{2}},{\frac {\lambda '}{2}},{\frac {\lambda ''}{2}}.
ראו גם

אלגברת קווטרניונים (ובפרט אלגברת הקווטרניונים של המילטון)
הערות שוליים

↑  כפי שגאוס זיהה בכתב יד לא מפורסם קצר מ-1819 המציג בקווים כלליים את תכונות אלגברת הקווטרניונים.
ויזואליזציה של סיבוב באמצעות ציר וזווית סיבוב.
סיבוב של 120 מעלות ביחס לאלכסון הראשי של הקוביה מחליף באופן ציקלי בין i,j,k.
קסבה

הקסבה בעיר סוסה בתוניסיה
הקסבה באיית בן חדו במרוקו
קסבה (בערבית: قصبة) היא מצודה האופיינית לערי צפון אפריקה אשר שימשה למגורי השליט המקומי וכמעוז הגנתי. לעיתים נבנו הקסבות במקום הגבוה בעיר, והן הוקפו בחומות, בדרך כלל ללא חלונות. למילה הספרדית "אלקסאבה" (Alcazaba) שמקורה במושג הערבי "אל-קסבה" (القصبة), היינו "הקסבה", משמעות זהה בערי אנדלוסיה. מקורו של המושג במילה הערבית לקנה מצוי, ששימש בעבר כחומר בידוד נפוץ בבניינים ברחבי צפון אפריקה.
משמעויות אחרות

בעברית, ולמעשה גם בערבית, נעשה לעיתים שימוש במושג על מנת לתאר את כל הרובע העתיק בעיר מוסלמית, בין אם הוא מוקף חומה ובין אם לאו, ואז משמעותו זהה לזו של המושג "רובע המדינה". הדוגמה הידועה ביותר לשימוש במילה "קסבה" במובן זה היא לתיאור מרכז העיר של אלג'יר. במחזמר "קזבלן" בשיר "כל הכבוד"  מופיעה השורה "בקסבה בחצי היום, כשהשוק פתוח..." כדי לתאר את מרכז יפו הפעיל והשוקק חיים.
בעקבות האינתיפאדה השנייה ומלחמת לבנון השנייה גדל השימוש במונח זה לתיאור החלק העתיק בעיר מוסלמית ולאפיין אותו כמקום צפוף, סבוך ומסוכן עם מבוך של סמטאות צרות ולעיתים גם מנהרות תת-קרקעיות (למשל: הקסבה של שכם). הקסבה נחשבת למקום מסוכן וקשה לכיבוש בגלל המבנה שלה, ולעיתים מעדיפים כוחות צבא להימנע מלחימת חיל רגלים בקסבה אלא להרוס אותה בכלים כבדים, חומרי נפץ או הפצצות מהאוויר.
בטורקית המילה "קסאבה" (Kasaba) מתארת בדרך כלל עיירה קטנה.
במרוקו נעשה לעיתים שימוש במושג כדי לתאר מצודות השוכנות מחוץ לערים, בדרך כלל בהרי האטלס, והמשמשות כמקום מגורים לברברים. במובן זה דומה ה"קסבה" ל"קסר" (רבים "קסור"). דוגמה לשימוש זה ניתן לראות בכפר איית בן חדו במרוקו.
ראו גם

רובע המדינה
קסר
אקרופוליס
רבי יהודה נשיאה השלישי

רבי יהודה נשיאה השלישי היה נשיא בדור השישי לאמוראי ארץ ישראל. דור י"ג להלל הזקן. בזמנו היה רבי ירמיה. אביו רבן גמליאל החמישי, היה תלמידו של רבי אבהו.
קרש כביסה

חברת קיבוץ מכבסת עם קרש כביסה
קרש כביסה הוא כלי המשמש לכביסה ידנית. קרש הכביסה המסורתי הוא לוח עץ מלבני, בעל חריצים או גלים אשר כנגדם שופשפו הבגדים המלוכלכים. עד המאה ה-19 גלי הלוח היו מעץ; מתחילת המאה ה-20 היו גם לוחות עם מסגרת עץ וגלי מתכת, בין השאר פליז. בסוף המאה ה-20 ותחילת המאה ה-21 לחלק מהלוחות גלים העשויים פלדה מגולוונת או זכוכית.
בגלל העלייה בתפוצת מכונות הכביסה ירד השימוש בקרשי כביסה והם אינם בשימוש עוד במדינות מפותחות.
שימושים נוספים

קרש הכביסה יכול לשמש ככלי הקשה, כאשר מעבירים חפץ כלשהו (כמו אצבעונים) על פני הבליטות ניתן לייצר מקצב. מספר סגנונות מוזיקליים שילבו את קרש הכביסה ככלי נגינה (בתחילה מאולתר ולאחר מכן מותאם), בהם סקיפל ולהקות ג'אג (Jug bands) בשנות ה-20 של המאה ה-20 בדרום ארצות הברית. כן שימש קרש הכביסה (בצרפתית frottoir) בסגנון הזיידקו (Zydeco) של הקייג'ון בלואיזיאנה. באוקראינה ובפולין נעשה שימוש בקרש כביסה (Затула זאטולה באוקראינית; Tarka טארקה בפולנית) בשילוב פופולרי של מוזיקת עם וג'אז.
קרש כביסה הופיע על בימת תחרות הזמר של האירוויזיון ב-2014 במסגרת השיר שייצג את פולין My Słowianie באירוויזיון 2014 שהתקיים בקופנהגן.
רבי אפטוריקי

רבי אפטוריקי הוא אמורא המוזכר בתלמוד הבבלי פעמים בודדות בלבד, וקשה לדעת עליו פרטים ביוגרפים מדויקים. נראה שהיה מאמוראי ארץ ישראל ולא מאמוראי בבל, משום שנזכר בתלמוד בתוספת התואר "רבי" המקובל אצל אמוראי ארץ ישראל, ולא "רב" כמקובל אצל אמוראי בבל.
תקופתו

לגבי תקופת חייו ניתן להסיק מן הסוגיא במסכת מנחות דף נ"ה עמוד ב' שהיה אמורא קדום, וייתכן שחי אפילו בדור הראשון, ולכל המאוחר בדור השני, שהרי רב אדא בר אהבה הקשה שם על חידושו של רבי אפטוריקי לגבי כלל ופרט המרוחקים זה מזה, ורב אדא בר אהבה עצמו היה בדור הראשון והשני. אמנם הוכחה זו מושתתת על דעת התוספות במסכת בבא בתרא דף כ"ב עמוד א' שזה שהיה חי בדור החמישי הוא רב אדא בר "אבא" ולא רב אדא בר "אהבה". אבל לדעת ר"י המובאת בתוספות במסכת קידושין דף ע"ב עמוד ב' שזה שהיה חי בדור החמישי היה שמו גם כן רב אדא בר אהבה אלא ששני רב אדא בר אהבה היו, אם כן ייתכן שרב אדא בר אהבה הנזכר במסכת מנחות הוא רב אדא בר אהבה השני, ולפי זה יכול להיות שרבי אפטוריקי חי בתקופה יותר מאוחרת, ואפילו בדור החמישי. וכן לדעת רש"י במסכת קידושין שם שהיה רב אדא בר אהבה אחד אבל האריך ימים מאוד עד הדור הרביעי והחמישי, אין לדעת את דורו של רבי אפטוריקי.