stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
1531

שנת 1531 היא השנה ה-31 במאה ה-16. זוהי שנה רגילה, שאורכה 365 ימים. באותה תקופה הלוח הגרגוריאני עוד לא היה קיים, ולכן שנה זו קיימת בלוח היוליאני בלבד.
כל התאריכים שלהלן הם לפי הלוח היוליאני.
אירועים

26 בינואר – ליסבון נחרבת ברעידת אדמה
27 בפברואר – נכרתת ברית שמלקלדן, ברית הנסיכים הפרוטסטנטיים בגרמניה
23 בנובמבר – סוף מלחמת קאפל השנייה שם קץ לברית הפרוטסטנטית בשווייץ
נפטרו

16 בפברואר – יוהנס שטפלר, אסטרונום גרמני, מתמטיקאי, אסטרולוג וכומר (נולד ב-1452)
22 בספטמבר – לואיזה, נסיכת סבויה (נולדה ב-1476)
11 באוקטובר – אולריך צווינגלי, כומר נוצרי שווייצרי, מראשוני הרפורמטורים באירופה (נולד ב-1484)
ראו גם

ילידי 1531‎
נפטרים ב-1531‎
26 באוגוסט – שביט היילי מגיע לפריהליון
0.999...

במתמטיקה, הסימון 0.999... מציין את הפיתוח העשרוני האינסופי, שבו כל הספרות שאחרי הנקודה העשרונית הן 9. על-פי ההגדרה המקובלת לפיתוח העשרוני, המספר שווה ל־1. השוויון 0.999…=1 אינו ייחודי; כל מספר ממשי בעל שבר עשרוני סופי אפשר לייצג גם באמצעות שבר עשרוני המסתיים בסדרה אינסופית של תשיעיות. כך למשל, המספר 13.412 ניתן לייצוג גם בתור המספר 13.411999…. תכונה זו בעצמה אינה ייחודית לכתיב העשרוני: לכל בסיס b, אפשר לייצג כל שבר סופי גם בעזרת רצף אינסופי שבו חוזרת הספרה b-1.
אף על פי שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המדעית, הגדרת הפיתוח העשרוני מסתמכת על המושג "טור מתכנס" מתחום האנליזה המתמטית. ישנם אנשים שאינם מכירים, אינם מבינים או אינם מקבלים רעיונות אלה, מתנגדים לשוויון ומנסים ליצור גישות אלטרנטיביות בהן הוא לא יתקיים. קיימות מערכות מספרים ושיטות כתיבה אחרות בהן לביטוי 0.999… אין משמעות או יש משמעות שונה מ-1, אולם בכל דרך עקבית להציג את המספרים הממשיים באמצעות שברים עשרוניים שוויון זה יתקיים.
העוסקים בחינוך מתמטי מכירים את הקושי שבקבלת השוויון של המספר שבכותרת ל-1. גם בקבוצת הדיון sci.math, נערכו דיונים רבים בנושא השוויון, ואלו הביאו בסופו של דבר להכללת הסברים עבורו בקובץ השאלות והתשובות של הקבוצה.
קיימת הוכחה פשוטה לשוויון 0.999... = 1, המבוססת על ההנחות הבאות:
לשבר עשרוני אינסופי יש ערך מוגדר היטב ויחיד.
כפל של שבר עשרוני אינסופי בעשר שווה לשבר המתקבל מהזזת הנקודה העשרונית מקום אחד ימינה.
אפשר לחסר שברים עשרוניים אינסופיים.
שלבי ההוכחה הם:
| --- | --- |
יהי:   a=0.999999.... 
לכן,:   10a=9.99999999....=9+a 
ניתן לחסר מ־ 10a את  a ומתקבל::   10a-a=(9+a)-a=9 
כלומר,:   10a-a=9 
כלומר,:   9a=9 
ולפיכך::   a=1 
מבחינה מתמטית אין עניין מיוחד בשוויון 0.999... = 1. הוא מסקנה מיידית מהגדרת הפיתוח העשרוני של מספר ממשי. אולם השוויון מושך תשומת לב רבה בהוראת המתמטיקה כיוון שהוא מקרה מבחן להבנת מושגים רבים, וביניהם: מספר ממשי, טור, סדרה, גבול, פיתוח עשרוני אינסופי ועוד. אמנם מושגים אלה יסודיים מאוד במתמטיקה המודרנית, אך הם עמוקים וקשים להבנה. בהתאם, בבית הספר הם נלמדים באופן שטחי בלבד, ולמידה מעמיקה שלהם מתבצעת רק במסגרת לימודים אקדמיים במתמטיקה.
פיתוח עשרוני

בשיטה העשרונית, שבה אנו משתמשים בחיי היום-יום והיא גם שיטת הספירה המקובלת במתמטיקה, מבטאים כל מספר שלם כסכום של חזקות של 10, המוכפלות בספרות 0 עד 9. בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי רק את המספרים השווים למנת החילוק של מספר טבעי a בחזקה שלמה של 10,  \textstyle {\frac {a}{10^{n}}}. מספרים רבים, ובהם מספרים רציונליים רבים, כגון  \textstyle {\frac {1}{3}}, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש-3 אינו מחלק אף חזקה של 10). מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x; אבל עובדה זו אינה מובנת מאליה, ואף אינה דרושה כאן.
פיתוח עשרוני > פיתוח עשרוני אינסופי

בדיוק כפי שרצף ספרות סופי  \ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n} מובן כסכום  \textstyle {\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{100}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}, שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי  \ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots  כסכום אינסופי,  \textstyle {\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{100}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+\dots . סכום כזה נקרא "טור עשרוני", המתאים לשבר העשרוני האינסופי  \ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots .
בגישה זו (שהיא התפיסה המקובלת במתמטיקה, ללא עוררין), יש שתי בעיות.
ראשית, מהי המשמעות של סכום אינסופי? מרגע שהוגדר הסכום של שני מספרים, אפשר להגדיר את הסכום של כל קבוצה סופית של מספרים באינדוקציה; אולם, הגדרה זו אינה מעניקה מובן לסכום של קבוצה אינסופית, ומושג זה דורש הגדרה חדשה. במהלך הטיפול במושג החדש מתברר עד מהרה שקל יותר לטפל בסכום של קבוצה שאיבריה ממוספרים על ידי מספרים טבעיים (1,2,3,…), במקום בסכום של קבוצה כללית. קבוצות כאלה נקראות סדרות. לסדרה שאותה מבקשים לסכם, קוראים במתמטיקה טור; בסוגיית הסיכום של טורים עוסק החשבון האינפיניטסימלי (ראו גם גבול של סדרה). בכל הגדרה מקובלת לסכום של טור, יש טורים שקיים להם סכום (אלו נקראים "טורים מתכנסים"), וטורים שלא קיים להם סכום (אלו נקראים "טורים מתבדרים"). כל הטורים העשרוניים מתכנסים.
כאן מתעוררת הבעיה השנייה - היכן מחשבים את הסכום? כל טור עשרוני מתכנס למספר ממשי, אבל מספרים אלה בדרך-כלל אינם רציונליים. במילים אחרות, יש טורים עשרוניים שאינם מתכנסים למספר רציונלי. עובדה זו ניתן לבטא בשתי דרכים: מנקודת המבט של המספרים הרציונליים, לטור כזה אין סכום; ומנקודת המבט של המספרים הממשיים, יש לו סכום, שאינו רציונלי.
לכן כדי לתת משמעות לשבר עשרוני יש לקבוע תחילה איזה סוג מספר הוא מתאר ובאיזה מושג של התכנסות משתמשים כדי לפרש אותו. בהקשרים מסוימים יש יותר ממשמעות אחת למושג ההתכנסות. קביעת משמעות למושג ההתכנסות נעשית בדרך כלל על ידי קביעת טופולוגיה. מקובל לתאר באמצעות שברים עשרוניים אינסופיים מספרים ממשיים. על אוסף המספרים הממשיים יש טופולוגיה מקובלת אחת, לפי טופולוגיה זאת סכום של טור חיובי הוא המספר הקטן ביותר אשר גדול מכל הסכומים הסופיים של איברי הטור.
יש דרך קלה להבחין בין הטורים העשרוניים שסכומם רציונלי, לאלו שסכומם אינו כזה. בשבר עשרוני מחזורי יש קבוצת ספרות החוזרת שוב ושוב ממקום מסוים והלאה. בשבר כזה מקובל לסמן את הקבוצה החוזרת בקו עילי או בנקודות עיליות, או להמשיך את השבר בשלוש נקודות, כאשר הקבוצה החוזרת מובנת מן ההקשר. כך למשל  0.59{\overline {09}}=0.5{\overline {90}}=0.59090\dots  מסמן את השבר שבו, לאחר הספרה 5, באות הספרות 90 שוב ושוב. באופן דומה, בפיתוח העשרוני  0.333\dots , שלוש הנקודות מציינות שהפיתוח אינו מסתיים, והספרה 3 מופיעה בו בכל מקום משם והלאה. מספר זה שונה, מן השבר הסופי 0.333. מתברר שלכל טור עשרוני מחזורי יש סכום רציונלי, ולכל טור עשרוני שאינו מחזורי יש סכום שאינו רציונלי.
פיתוח עשרוני > סיכום של שברים עשרוניים

כדי להעניק משמעות לכל שבר עשרוני (מחזורי או שאינו מחזורי) יש להקדים ולפתח באופן מסודר את שדה המספרים הממשיים (באחת משתי השיטות המקובלות, סדרות קושי או חתכי דדקינד, או בדרך אחרת). לאחר מכן, ההגדרה המקובלת, והמתבקשת מאליה, תתאים לביטוי הפורמלי
 \ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots 
את המספר הממשי היחיד שהוא סכומו של הטור
 \ {\tfrac {a_{1}}{10}}+{\tfrac {a_{2}}{100}}+\dots +{\tfrac {a_{n}}{10^{n}}}+\dots .
בגישה זו יש להוכיח שהטור מתכנס (במרחב של המספרים הממשיים).
אף-על-פי-כן, אם מעוניינים לסכם רק שברים עשרוניים מחזוריים
(כגון השבר 0.999…), אין בכך צורך: סכומו של הטור ההנדסי
 1+{\tfrac {1}{10^{m}}}+{\tfrac {1}{10^{2m}}}+\dots 
הוא
 {\tfrac {1}{1-{\frac {1}{10^{m}}}}}={\tfrac {10^{m}}{10^{m}-1}},
ולכן אפשר לקבל, כהגדרה, שהשבר המחזורי
 0.a_{1}a_{2}\dots a_{k}{\overline {a_{k+1}\dots a_{k+m}}}
מסתכם למספר הרציונלי
 {\tfrac {a_{1}}{10}}+\dots +{\tfrac {a_{k}}{10^{k}}}+{\tfrac {10^{m-1}a_{k+1}+10^{m-2}a_{k+2}+\dots +a_{k+m}}{10^{m}-1}}
לחלופין, אפשר להוכיח את נכונותה של נוסחה זו, אם מניחים שתי הנחות:
הביטוי (המחזורי)  0.a_{1}a_{2}\dots  מייצג מספר בשדה כלשהו.
ביטויים מסוג זה מקיימים את החוק  10\cdot 0.a_{1}a_{2}\dots \displaystyle =a_{1}+0.a_{2}a_{3}\dots .
משתי הנחות אלה נובע, למשל, כי  10\cdot 0.999\dots \displaystyle =9+0.999\dots , ולכן  0.999\dots ={\frac {9}{9}}=1.
0.999… בהגדרות שונות של שדה המספרים הממשיים

יש מספר דרכים שקולות להגדיר את המושג של מספר ממשי.
0.999… בהגדרות שונות של שדה המספרים הממשיים > מספרים ממשיים בתור מחלקות שקילות של ביטויים עשרוניים

אחת הדרכים האלמנטריות לעשות זאת היא להגדיר מספר ממשי בתור ביטוי עשרוני (זאת אומרת רצף מהצורה  a_{1}\cdots a_{n}.b_{1}\cdots b_{k}\cdots  כאשר  a_{i} ו- b_{i} הם ספרות) עד כדי יחס השקילות הבא:
 a_{1}\cdots a_{n}.b_{1}\cdots (b_{k}+1)00\cdots 0\cdots 
שקול ל
 a_{1}\cdots a_{n}.b_{1}\cdots b_{k}99\cdots 9\cdots ובאופן דומה:
 a_{1}\cdots (a_{k}+1)0\cdots 0.0\cdots 0\cdots 
שקול ל
 a_{1}\cdots a_{k}9\cdots 9.9\cdots 9\cdots
בגישה זאת השוויון  1=0.999\dots  נובע ישירות מההגדרה, מכיוון שעל-פי יחס השקילות שהוגדר מעלה שני ייצוגים אלה שקולים. לזכותה של הגדרה זאת ניתן לומר שהיא מפורשת ואלמנטרית. עם זאת, הקשר בינה לבין ההגדרה המקובלת למספרים ממשיים אינו מובן מאליו, וקשה גם להגדיר את פעולות החשבון הבסיסיות מתוך הגדרה זאת.
0.999… בהגדרות שונות של שדה המספרים הממשיים > גישה אקסיומטית למספרים ממשיים

במקום להגדיר את אוסף המספרים הממשיים מתוך "הוראות הרכבה", ניתן להגדיר אותם באמצעות רשימת תכונות שנדרשות מהם. תכונות אלה נקראות אקסיומות, ויש מספר מערכות של אקסיומות המתארות את המספרים הממשיים ביחידות עד כדי איזומורפיזם. זאת אומרת שלא יכולות להיות שתי דוגמאות שונות לקבוצות עם פעולות שיקיימו את מערכת האקסיומות. אלא אם דוגמאות אלה יהיו שקולות במובן שתהיה העתקה חח"ע ועל בין הקבוצות ששומרת על הפעולות.
אחת ממערכות האקסיומות המגדירות את המספרים הממשיים היא מערכת האקסיומות של שדה סדור שלם. בשדה סדור שלם הגבול של סדרה עולה שווה לסופרמום שלה. זאת אומרת למספר הקטן ביותר שגדול או שווה לכל איברי הסדרה. על פי גישה זאת, על מנת להוכיח את השוויון  0.999\cdots =1 יש להסיק אותו מהאקסיומות. להלן דוגמה להוכחה כזאת:
נסמן  a_{n}=0.9\cdots 9 כאשר הספרה 9 חוזרת על עצמה  n פעמים.
תחילה מוכיחים באינדוקציה ש  a_{n}=1-{\frac {1}{10^{n}}}
לכן הסדרה  a_{n} עולה וחסומה מלעיל.
לכן, לפי אקסיומת השלמות, לסדרה יש גבול
לפי ההגדרה גבול זה הוא הערך של השבר העשרוני  0.999\dots .
כעת קל להסיק ש  0.999\dots =1 כפי שהוסבר מעלה.
היתרון הגדול של הגישה האקסיומטית היא האוניברסליות שלה. כל בנייה של המספרים הממשיים תקיים את האקסיומות וכל קבוצה עם פעולות שמקיימת את האקסיומות יכולה להיקרא קבוצת המספרים הממשיים. כמו כן האקסיומות עצמן אינטואיטיביות למדי, ומתיישבות עם הניסיון היום יומי שלנו עם מושג המספרים הממשיים. מה שלא ברור אינטואיטיבית הוא שהאקסיומות
מספיקות כדי לתאר את המספרים הממשיים, ושכל עובדה שנכונה עבור המספרים הממשיים תהיה נכונה עבור כל קבוצה המקיימת את האקסיומות. טענה זאת נובעת מהיחידות (עד כדי איזומורפיזם) של קבוצת המספרים הממשיים. יחידות זאת קל יחסית להוכיח פורמלית (בהסתמך על האקסיומות של תורת הקבוצות).
החיסרון של הגישה האקסיומתית הוא שהגישה לא מספקת בנייה מפורשת לקבוצת המספרים הממשיים. היא לא נותנת באופן ישיר את התשובה לשאלה "מהוא מספר ממשי?". כמו כן היא לא מוכיחה שקימת קבוצה המקיימת את כל האקסיומות. לכן כדאי להשלים גישה זאת על ידי בנייה מפורשת של המספרים הממשיים והוכחה שהאקסיומת מתקיימות עבור בנייה זאת. בנייה מפורשת כזאת תספק גם הוכחה שמערכת האקסיומות של המספרים הממשיים היא עקבית, בהינתן העקביות של תורת הקבוצות.
ניתן להוכיח שהבנייה שמופיעה מעלה מקיימת את האקסיומות, אולם ההוכחה מסורבלת, לכן בדרך כלל מעדיפים בניות אחרות.
0.999… בהגדרות שונות של שדה המספרים הממשיים > בניות נוספות של המספרים ממשיים

שתי הבניות המקובלות לשדה המספרים הממשיים הן חתכי דדקינד ומחלקות שקילות של סדרות קושי. שתי הבניות מתבססות על אותו רעיון כללי:
תחילה מניחים שהמושג "מספר ממשי" כבר קיים.
לאחר מכן מוצאים דרך לתאר ביחידות מספר ממשי  x על ידי מספרים רציונליים. במילים אחרות למצוא לו מעין תעודת זהות המורכבת ממספרים רציונליים. במקרה של חתכי דדקינד, "תעודת הזהות" היא קבוצת המספרים הרציונליים הקטנים מ -  x. במקרה של סדרות קושי "תעודת הזהות" היא קבוצת הסדורת של מספרים הרציונליים המתכנסות ל -  x.
לבסוף מאפינם מה יכול להוות תעודת זהות של מספר ממשי (לפי הגישה שניבחרה) ואז מגדירים מספר ממשי להיות "תעודת הזהות" שלו.
רעיון זה עלול להראות קונטרא-אינטואיטיבי כי נדמה שמה שאנחנו מגדירים זה לא המספר עצמו אלה משהוא שמיצג אותו. למעשה רעיון זה שימושי מאוד בכל המתמטיקה, כיוון שבמתמטיקה בדרך כלל אין משמעות למהות האובייקטים עצמם אלה רק לאוסף האובייקטים הרלוונטיים והאינטראקציות ביניהם. כך אפשר לראות, הן חתך דדקינד והן במחלקת שקילות של סדרות קושי בתור שמות שונים לאותו מספר ממשי.
כדי להוכיח את השוויון  0.999...=1 (או כל טענה אחרת) בבנייה מפורשת מסוימת, די להוכיח שהאקסיומות של המספרים הממשיים מתקיימות בבנייה זאת. העובדה שהשוויון נובע מהאקסיומות הוסברה לעליל. ניתן גם להסיק שוויון זה ישירות מכל אחת מהבניות האלה.
קשיים שמעלה הביטוי ...0.999 בהוראת המתמטיקה

השוויון  0.999\cdots =1 מעלה מספר קשיים אצל תלמידים רבים:
המושג מספר ממשי, ובהתאם לכך המושגים גבול ופיתוח עשרוני אינסופי, הם מושגים מסובכים. לראיה, אף על פי שבאופן אינטואיטיבי המושג מוכר לאנושות כבר אלפי שנים, הגדרה פורמלית שלו הופיעה רק במאה ה-19.
האגף השמאלי של השוויון הוא ביטוי אינסופי. שום "קטימה" (clipping), כלומר ביטוי סופי שלו, לא שווה בדיוק ל-1. למעשה, גם הסדרה שמתקבלת מהקטימות השונות שלו איננה המספר 1, אלא רק סידרה (אחת מני רבות) שמתכנסת למספר 1. המוסכמה ששבר עשרוני אינסופי מייצג את הגבול של הסדרה שמתקבלת מהקטימות השונות שלו - מסובכת להבנה.
בעוד שהביטוי באגף שמאל מסובך מאוד, הביטוי באגף ימין פשוט ביותר.
השוויון מהווה שתי דרכים שונות לכתוב את אותו המספר. בפני עצמו הדבר לא אמור להעלות קושי. גם השוויון  2+3=5 הוא כזה. אולם  2+3 איננה דרך "תיקנית" לכתוב את  5, אלא ביטוי חשבוני שנותן את  5. דוגמאות דומות יותר הן השוויונים:  {\frac {2}{2}}=1 ו-  0=-0, שגם הם מעלים קשיים מסוימים (אם כי קטנים בהרבה). אחד הדברים שמקל על ההבנה של השוויון  {\frac {2}{2}}=1 הוא העובדה שלסימן השבר, מלבד היותו חלק מהסימון של מספרים רציונליים, יש גם משמעות של חילוק, לכן אפשר להבין גם אותו כתוצאה של פעולת חילוק, ולא רק כשתי דרכים שונות לכתוב את 1 כשבר. כמובן, שאר הקשיים שצוינו מעלה אינם קיימים בעבור השוויון  {\frac {2}{2}}=1. הסיטואציה עם  0=-0 דומה.
קשיים אלה מושכים תשומת לב רבה לנושא., ולא פעם ניסו אנשים להגדיר את המספרים הממשיים באופן שבו השוויון לא יתקיים. בנוסף לעובדה שהגדרות אלה נוטות להיות בלתי-עקביות ולא מנוסחות היטב, הרי שהן נידונו לכישלון – אלא אם כן מוכנים לוותר על חלק מהתכונות הבסיסיות של המספרים הממשים ושל הפיתוח העשרוני שלהם.
עם זאת, כמו כל טענה מתמטית, שוויון זה תלוי בהגדרות שלפיהן מפרשים את שני אגפי השוויון. לדוגמה, אם מפרשים את אגף שמאל כפיתוח בבסיס גדול מ-10, אז השוויון לא נכון. גם אם מפרשים את שני האגפים כביטויים עשרוניים ולא כערכים המספריים שלהם, אז הם כמובן שונים.
תופעת היצוג כפול על ידי שבר עשרוני במתמטיקה > אוסף הביטויים העשרוניים

אם נסמן ב- \mathrm {Dec}  את אוסף כל הביטויים מהצורה  a_{1}\cdots a_{n}.b_{1}\cdots b_{k}\cdots  כך ש- a_{i} ו- b_{i} הם ספרות עשרוניות לכל  i, אז ניתן להתייחס לייצוג עשרוני של מספר בתור העתקה  d:\mathrm {Dec} \to \mathbb {R} . העובדה שלמספרים ממשיים מסוימים יש יותר מייצוג עשרוני אחד אומרת שההעתקה הזאת איננה חד-חד ערכית. העובדה שלכל מספר ממשי יש ייצוג עשרוני אומרת שהעתקה זאת היא על. לא ניתן להגדיר מבנה של שדה על  \mathrm {Dec}  שיתאים למבנה השדה על  \mathbb {R} . אולם ניתן להגדיר טופולוגיה על  \mathrm {Dec}  שתתאים לטופולוגיה על  \mathbb {R} . זאת אומרת להגדיר על  \mathrm {Dec}  טופולוגיה כך ש  d תהיה פונקציה רציפה ופונקציה פתוחה. במילים אחרות הטופולוגיה על  \mathbb {R}  תתקבל כטופולוגיית מנה של  \mathrm {Dec} . כך שכל מה "שחסר" כדי ש  d תהיה הומיאומורפיזם זה ש  d תהיה חד-חד ערכית. מאידך, הטופולוגייות על  \mathrm {Dec}  ועל  \mathbb {R}  מאוד שונות. למשל, בעוד ש- \mathbb {R}  מרחב קשיר, הרי ש-  \mathrm {Dec}  אינו קשיר לחלוטין.
אם מתמקדים בקטע הסגור  [0,1]\subset \mathbb {R}  אז העתקה  d הופכת להיות  \{0.\dots ,9\}^{\omega }\to [0,1] כאשר הטופולוגיה על  \{0.\dots ,9\}^{\omega } היא טופולוגיית המכפלה. המרחב  \{0.\dots ,9\}^{\omega } הומיאומורפי לקבוצת קנטור.
ניתן להחליף את בסיס הספירה  10 בכל בסיס ספירה אחר והתוצאה תהיה דומה.
תופעת היצוג כפול על ידי שבר עשרוני במתמטיקה > אוסף הביטויים העשרוניים > תופעת היצוג הכפול בחישוב עוצמת הממשיים

לתופעת היצוג הכפול על ידי שבר עשרוני יש השפעה (מינורית) על הוכחת העובדה שעוצמת שדה המספרים הממשיים היא  2^{\aleph _{0}}. ההוכחה הסטנדרטית של עובדה זאת מתבססת על ההעתקה  d שהוגדרה מעלה. קל לראות ש  \mathrm {Dec}  היא מעוצמה  2^{\aleph _{0}} (למעשה זה פשוט עוד יותר כשעובדים בבסיס 2) אך מכיוון ש-  d איננה חד-חד ערכית זה לא אומר באופן מיידי שזו גם עוצמת שדה הממשיים. קל להסיק זאת באמצעות משפט קנטור-ברנשטיין אך למעשה גם לא קשה להוכיח זאת ישירות במקרה זה.
תופעת היצוג כפול על ידי שבר עשרוני במתמטיקה > מספרים p-אדיים

המספרים ה-p-אדיים מהווים מערכת מספרים מקבילה למספרים הממשיים. המספרים ה-p-אדיים שונים מאוד בתכונותיהם מהמספרים הממשיים אך באספקטים מסוימים הם אנלוגיים למספרים הממשיים. מספרים p-אדיים ניתן לכתוב כשברים על פי בסיס ספירה ראשוני p. גם שברים אלה אינסופיים אבל באופן שונה: יש להם מספר סופי של ספרות לאחר הנקודה ומספר אינסופי של ספרות לפניה. הסיבה לכך שהמספר p קטן מ-1 בתור מספר p-אדי. הבדל זה גורם לכך שהמספרים ה-p-אדיים מתנהגים מאוד שונה מהמספרים הממשיים הן מבחינה אריתמטית והן מבחינה טופולוגית. תופעת היצוג הכפול לא קיימת בספרים ה-p-אדיים: לכל מספר p-אדי יצוג יחיד על ידי שבר בבסיס ספירה p. זה למעשה ההבדל הטופולוגי בין המספרים ה-p-אדיים לממשיים. הדבר גורם לכך ששדה המספרים ה-p-אדיים דומה בטופולוגיה שלו לקבוצת קנטור. בפרט כדור היחידה ב-p-אדיים (תת קבוצה של מספרים p-אדיים המקבילה לקטע [0,1] בממשיים) הומיאומורפי לקבוצת קנטור.
תופעת היצוג כפול על ידי שבר עשרוני במתמטיקה > אנליזה לא סטנדרטית

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
ראו גם

מערכות מספרים
חתכי דדקינד
אנליזה לא סטנדרטית
הערות שוליים

↑  sci.math
↑   {\frac {{\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}.}{1-{\frac {1}{10}}}}=1
↑  ראו לדוגמה sci.math FAQ: Why is 0.9999...=1?,
גדי אלכסנדרוביץ', ...0.999 שווה 1, באתר "לא מדויק", 7 ביוני 2008
Bella Voce

Bella Voce (בעברית: קוֹל יְפֵיפֶה) הוא אלבום האוסף השישי של הזמרת-יוצרת האנגלייה שרה ברייטמן. אלבום האוסף יצא לאור ב-15 בספטמבר 2009, בהוצאת חברת התקליטים גרין היל. אלבום האוסף הופץ על ידי חברת התקליטים גרין היל בארצות הברית בלבד (חברה בת של EMI).
אלבום האוסף כולל שירים מתוך האלבומים: Eden,‏ La Luna,‏ Classics ו-Harem.
רשימת רצועות

| Bella Voce> מס' | Bella Voce> שם | Bella Voce> משך | Bella Voce>  | Bella Voce>  | Bella Voce>  | Bella Voce>  | Bella Voce>  | Bella Voce>  | Bella Voce>  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | Deliver Me  | 4:00 |  |  |  |  |  |  |  |
| 2. | Scarborough Fair  | 4:12 |  |  |  |  |  |  |  |
| 3. | Time to Say Goodbye  | 4:08 |  |  |  |  |  |  |  |
| 4. | Anytime, Anywhere  | 3:20 |  |  |  |  |  |  |  |
| 5. | Baïlèro  | 3:13 |  |  |  |  |  |  |  |
| 6. | Dust in the Wind  | 3:42 |  |  |  |  |  |  |  |
| 7. | Winter Light  | 3:17 |  |  |  |  |  |  |  |
| 8. | Eden  | 3:59 |  |  |  |  |  |  |  |
| 9. | Pie Jesu  | 3:44 |  |  |  |  |  |  |  |
| 10. | Beautiful  | 4:35 |  |  |  |  |  |  |  |
| 11. | Nessun dorma  | 3:06 |  |  |  |  |  |  |  |
| 12. | Ave Maria  | 3:00 |  |  |  |  |  |  |  |
| משך כולל: | משך כולל: | 45:18 |  |  |  |  |  |  |  |
היסטוריית יציאות לאור

| אזור | תאריך יציאה | חברת תקליטים | מקור |
| --- | --- | --- | --- |
| ארצות הברית | 15 בספטמבר 2009 | גרין היל |  |
407

שנת 407 היא השנה השביעית במאה ה-5. זוהי שנה רגילה, שאורכה 365 ימים. באותה תקופה הלוח הגרגוריאני עוד לא היה קיים, ולכן שנה זו קיימת בלוח היוליאני בלבד. ספירת הנוצרים, המקובלת כיום, החלה בשנת 525, ולכן המספר הסודר של שנת 407 ניתן לה בדיעבד.
כל התאריכים שלהלן הם לפי הלוח היוליאני.
אירועים

גונדריק הופך מלך הונדלים והאלאנים אחרי מות אביו גודיגיזל
גרטיאנוס נרצח וקונסטנטינוס השלישי נוטל את מקומו כראש חיל המצב המורד בבריטניה
קונסטנטינוס השלישי מוביל את כל יחידות הצבא בבריטניה לגאליה. פעולה זו נחשבת לנסיגה של האימפריה הרומית מבריטניה
נפטרו

יוחנן כריסוסטומוס, ממורי הכנסייה (נולד ב-347).
14 בספטמבר – יוחנן כריסוסטומוס, אחד הבישופים, המטיפים וההוגים הנוצריים הבולטים (נולד ב-349)
ראו גם

ילידי 407‎
נפטרים ב-407‎
406

ערך זה עוסק בשנת 406. אם התכוונתם לכביש עירוני בבאר שבע, הידוע כשדרות רגר ובעבר כשדרות הנשיאים, ראו .
שנת 406 היא השנה השישית במאה ה-5. זוהי שנה רגילה, שאורכה 365 ימים. באותה תקופה הלוח הגרגוריאני עוד לא היה קיים, ולכן שנה זו קיימת בלוח היוליאני בלבד. ספירת הנוצרים, המקובלת כיום, החלה בשנת 525, ולכן המספר הסודר של שנת 406 ניתן לה בדיעבד.
כל התאריכים שלהלן הם לפי הלוח היוליאני.
אירועים

לגיונות של האימפריה הרומית בבריטניה מורדים בקיסר הרומי ובוחרים במרקוס כקיסר החדש. הוא נרצח תוך זמן קצר ומוחלף על–ידי גרטיאנוס
תרגום התנ"ך לשפה הארמנית על ידי מסרוב משדוץ.
31 בדצמבר – ונדלים, אלאנים ושוואבים (אנ') חוצים את נהר הריין ומתחילים בפלישה לגאליה, אירוע שהיה חלק מנדידת העמים
נולדו

אטילה ההוני (תאריך משוער)
ראו גם

ילידי 406‎
נפטרים ב-406‎
408

שנת 408 היא השנה השמינית במאה ה-5. זוהי שנה מעוברת, שאורכה 366 ימים. באותה תקופה הלוח הגרגוריאני עוד לא היה קיים, ולכן שנה זו קיימת בלוח היוליאני בלבד. ספירת הנוצרים, המקובלת כיום, החלה בשנת 525, ולכן המספר הסודר של שנת 408 ניתן לה בדיעבד.
כל התאריכים שלהלן הם לפי הלוח היוליאני.
אירועים

תאודוסיוס השני יורש את אביו ארקדיוס כקיסר המזרח באימפריה הרומית
קיץ - קונסטנטינוס השלישי לוכד את ספרד ומשמיד את נאמני רומא המגינים עליה
ספטמבר - אלאריק מלך הויזיגותים מטיל מצור על רומא
נפטרו

1 במאי – ארקדיוס, קיסר האימפריה הביזנטית (נולד ב־377–378)
22 באוגוסט – סטיליקו, מצביא רומאי (נולד ב-359)
ראו גם

ילידי 408‎
נפטרים ב-408‎
Black Beatles

Black Beatles הוא סינגל של צמד ההיפ הופ האמריקאי ריי סרמרד, בהשתתפות הראפר האמריקאי גוצ'י מיין. השיר יצא לאור ב-13 בספטמבר 2016, כסינגל השלישי מתוך אלבום האולפן השני של הצמד, ScremmLife 2, על ידי חברות התקליטים אירדראמרס ואינטרסקופ רקורדס. השיר הופק על ידי מייק ויל מייד איט.
בעקבות חשיפה ויראלית, בעיקר בגלל תפקידו במגמת הוויראליות של אתגר בובות הראווה, הוא הפך לסינגל הראשון של ריי סרמרד וגוצ'י מיין שהגיע למקום הראשון במצעד הבילבורד הוט 100 ובמצעד המוזיקה הרשמי של ניו זילנד, וכן הופיע השיר בעשירייה הפותחת במדינות כגון אוסטרליה, קנדה ובריטניה.
רקע והרכב

השיר היה לאחת הרצועות האחרונות שהוקלטו עבור האלבום ScremmLife 2 והיה סיבה מרכזית לעיכוב האלבום מיום צאתו המתוכנן ביוני. מבחינה מוזיקלית, "Black Beatles" הוא שיר היפ הופ וטראפ עם הפקה מוזיקלית בסגנון לו-פיי.
ביקורות

אנדרו אונטרברגר מבילבורד הצהיר כי השיר הוא "שיר צעיר חיוני, מהותי, והוא מבורך מאוד בעידן הקרוב של השמרנות החברתית. אף על פי ששני האחים הם כעת בגיל ההצבעה החוקי, הצמד נותר גל חדש בהחלט, חלק מהיבול הפגוש של אטלנטה של שני ראפרים צעירים שדואגים פחות לשלם חיבה להיסטוריה של ההיפ-הופ מאשר לפוצץ את האילוצים הפורמליסטיים של הז'אנר לריגוש שלהם, מטרות אינדיבידואליסטיות". רוב שפילד מרולינג סטון דירג את השיר במקום העשירי ברשימת סיכום השנה שלו ושיבח את השיר ואת הצלחתו. מאוחר יותר, מגזין פיצ'פורק דירג את השיר גם הוא במקום העשירי ברשימת "100 השירים הטובים ביותר לשנת 2016". מגזין הבילבורד בחר בשיר לשיר הפופ הטוב ביותר לשנת 2016.
ביקורות > רשימות כל הזמנים

| ארגון | רשימה | מיקום | מקור |
| --- | --- | --- | --- |
| בילבורד | 500 שירי הפופ של כל הזמנים | 247 |  |
הצלחה מסחרית

השיר הגיע למקום הראשון במצעד הבילבורד הוט 100, והפך לסינגל הראשון של ריי סרמרד ושל גוצ'י מיין שהגיע למקום הראשון במצעד וכן למצליח ביותר בקריירה שלהם, והוריד את להיטם של הצ'יינסמוקרס והלסי, "Closer" מהמקום הראשון, שצעד בו 12 שבועות רצופים. השיר עמד בראש המצעד במשך שבעה שבועות לא רצופים. בגיליון 7 בינואר 2017, הורד מהמקום הראשון על ידי "Starboy" של דה ויקנד בהשתתפות דאפט פאנק, אם כי חזר למקום הראשון בשבוע שלאחר מכן. השיר הגיע למקום הראשון גם באינדונזיה ובניו זילנד. לפני עלייתו לוויראליות של אתגר בובות הראווה, השיר הופיע ב-20 הראשונים במצעד. השיר ירד מהעשירייה הפותחת ב-25 בפבראור 2017, לאחר שבילה שם ארבעה עשר שבועות רצופים. השיר הגיע בשיאו למקום השני בבריטניה ולמקום השלישי באירלנד, קנדה ואוסטרליה, והפך לסינגל המצליח ביותר של ריי סרמד וגוצ'י מיין במדינות אלו.
נכון ל-11 בפברואר 2017, הסינגל מכר 1,888,000 עותקים בארצות הברית. בהסינגל זכה בתואר הפלטינה ×6 מטעם איגוד תעשיית ההקלטות האמריקאי.
במצעד הסינגלים הבריטי, השיר הגיע לראשונה למקום ה-36 בשבוע שהסתיים ב-17 בנובמבר 2016. בשבוע שלאחר מכן, הוא עלה למקום הרביעי, ובילה שלושה שבועות רצופים במקום השני לאחר מכן.
וידאו קליפ

ב-22 בספטמבר 2016 יצא הווידאו קליפ הרשמי של השיר בערוץ ה-Vevo של ריי סרמרד ביוטיוב. הקליפ בוים על ידי מושן פאמילי.
השפעה

ב-26 באוקטובר 2016 הפך אתגר בובות הראווה לוויראלי. האתגר כולל צילומים של קהל העומד קפוא במקום, ולעיתים קרובות משתמש בשיר כמוזיקת רקע.
ב-30 בנובמבר 2016 הוציאו ניקי מינאז' ומפיק השיר מייק ויל מייד איט רמיקס לשיר בשם "Black Barbies". הוא משתמש באינסטרומנטל של השיר ובמילים דומות. גרסה זו הגיע בשיאה למקומות ה-65 בבילבורד הוט 100 וה-78 בקנדה הוט 100.
"Truth Hurts" של ליזו יצא שנה אחרי השיר, וספג ביקורת לאחר שרבים האשימו אותו בגניבת המנגינה של "Black Beatles".