stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מאחורי הצלילים
מאחורי הצלילים 1984 > רשימת השירים

המוזיקה לשירים הולחנה על ידי שלמה גרוניך ומתי כספי (למעט היכן שמצוין אחרת).
| מס' | שם | מילים | לחן | משך |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | אל נא תלך  | שלמה גרוניך על פי רבינדרנת טאגור | שלמה גרוניך על פי פרלוד מס' 1 של באך | 2:55 |
| 2. | מאחורי הגדר הלבנה  | שלמה גרוניך |   | 3:12 |
| 3. | כשאלוהים אמר בפעם הראשונה  | נתן זך | מתי כספי | 4:36 |
| 4. | מקום לדאגה  | יהונתן גפן | מתי כספי | 4:36 |
| 5. | אפשר לחיות בת"א  | מאיר ויזלטיר | שלמה גרוניך | 3:37 |
| 6. | ציור  | אילן גרוניך |   | 4:20 |
| 7. | שיר אהבה טרי  | שלמה גרוניך | שלמה גרוניך | 5:20 |
| 8. | יש לי סימפטיה  | מאיר ויזלטיר | שלמה גרוניך | 4:23 |
| 9. | מות אבי (אבי)  | יהודי עמיחי |   | 5:45 |
| 10. | ק.ג.ב.  | מתי כספי | מתי כספי | 2:37 |
| 11. | בן-גוריון  | גרוניך, כספי |   | 3:49 |
| משך כולל: | משך כולל: | משך כולל: | משך כולל: | 49:15 |
מאחורי הצלילים 1984 > קרדיטים

עיבודים: שלמה גרוניך, מתי כספי
שלמה גרוניך ניגן בפסנתר CP80 ובסינטיסייזר DX7.
מתי כספי ניגן בגיטרה ובמנדולינה.
מפיק ההקלטה: עודד פנחסי
מיקס: מתי כספי
צילום העטיפה: ציפי מנשה
עיצוב: מיכל לויט
מפיק אחראי: זאב אולמן
מפיק: דודו אלהרר
מאחורי הצלילים 1990

ב-1990 התאחדו כספי וגרוניך בשלישית לסיבוב הופעות "מאחורי הצלילים 90" שלא הוקלט לאלבום.
למופע זה כתבו שני שירים חדשים ועיבדו אותם עם הגיטריסט חיים רומנו:
"הגיהנום המאושר" – מילים: לאה גולדברג, לחן: כספי וגרוניך
"עד מתי" – מילים ולחן: שלמה גרוניך
השיר "הגיהנום המאושר" הופץ כסינגל אך מעולם לא יצא בתקליטור; השיר "עד מתי" הוקלט בהופעת סולו של גרוניך שתועדה באלבום "נטו LIVE" (יצא ב-1991).
מאחורי הצלילים 2002

בנובמבר 2001, לאחר עשור שבו לא היו בקשר, נפגשו כספי וגרוניך מאחורי הקלעים במופע לציון 7 שנות פעילות למועדון הקמלוט. בסוף המופע הם החליטו לעלות לבמה באופן ספונטני וביצעו יחד את "ציור" לקול תשואות הקהל. החיבור המחודש הוליד סיבוב הופעות נוסף שהחל בינואר 2002 ונמשך לאורך השנה, בסופה תועד גם באלבום כפול שיצא באופן עצמאי. במופע זה שילבו כספי וגרוניך את נשותיהם – רחל כספי בשירה ומיכל אדלר גרוניך במפוחית פה.
המופע, כמו המקורי מ-1973, התחיל ב"אלוהים מרחם על ילדי הגן" והסתיים ב"בן-גוריון". הפתיח של ההקלטה המקורית נוגן בתחילת המופע, לפני שכספי וגרוניך עלו לבמה, ולאחר כמה שניות הם תפסו את מקומם, התחברו לכלי הנגינה והמשיכו את השיר בהופעה חיה. בסוף המופע נעשתה הפעולה ההפוכה – כספי וגרוניך עצרו בהפסקה לקראת סוף "בן-גוריון", ותוך שהם יורדים מהבמה הושמעה ההקלטה המקורית (ניתן לשמוע זאת גם באלבום מ-1984).
במהלך שלושים השנים שחלפו מאז המופע המקורי התבגרו האמנים במראם ובקולם, צברו ניסיון בימתי, רפרטואר עשיר ואף התחתנו עם מוזיקאיות. ההתבגרות הקולית השפיעה על המנעד והקשתה עליהם להגיע לטונים הגבוהים מהעבר; סולם השיר "רוצה שנית" שונה, והוא בוצע טרצה מתחת לסולם המקורי. הניסיון הבימתי הניב ביצועים ארוכים ומגוונים יותר, עם קטעי אלתור, לעיתים גם בשיתוף הקהל; כמו כן השניים נפתחו וסיפרו לקהל על המפגש ביניהם, על העבודה המשותפת ועוד. חלק מקטעי הקישור נכללו באלבום, למשל שיר 4 שבו הדגימו את האלתור של גרוניך ב"פנקס הקטן" שעמד בבסיס הפגישה הראשונית שלהם. הרפרטואר העשיר הביא למופע שירים מוכרים ואהובים שיצרו בקריירת הסולו שלהם בביצועים חדשים ומרעננים (למשל "עכשיו זה שנינו" שבו ניגנו שניהם באקורדיונים) ואף שני שירים חדשים ("את האישה שלי" של כספי ו"ילדה שנותרה על החוף" שהלחינו יחד במהלך החזרות למופע) וגרם לכך שלראשונה יצא למופע אלבום כפול. הנשים הגדילו את מגוון הכלים והקולות במופע הזוגי המקורי והכניסו גוונים חדשים. לדוגמה: רחל כספי, ילידת ברזיל, שרה את "שומקום" בעיבוד חדש שהותאם עבורה למקצב בוסה נובה (במקום מקצב הסמבה המקורי). מיכל אדלר גרוניך, סולנית שלישיית אדלר הוסיפה לשיר אלתורי מפוחית; כמו כן ניגנה סולו ב"סימפתיה" שזכה כולו לעיבוד חדש בהשתתפות הרביעייה. בשיר "ילדה שנותרה על החוף" שרו הארבעה בהרמוניות קוליות.
מאחורי הצלילים 2002 > רשימת השירים

המוזיקה לשירים הולחנה על ידי שלמה גרוניך ומתי כספי (למעט היכן שמצוין אחרת).
| דיסק 1> מס' | דיסק 1> שם | דיסק 1> מילים | דיסק 1> לחן | דיסק 1> משך | דיסק 1>  | דיסק 1>  | דיסק 1>  | דיסק 1>  | דיסק 1>  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | אלוהים מרחם  | יהודה עמיחי |   | 5:40 |  |  |  |  |  |
| 2. | כשאלוהים אמר בפעם הראשונה  | נתן זך | מתי כספי | 5:06 |  |  |  |  |  |
| 3. | אל נא תלך  | שלמה גרוניך על פי רבינדרנת טאגור | שלמה גרוניך על פי פרלוד מס' 1 של באך | 3:59 |  |  |  |  |  |
| 4. | קטע מעבר (פנקס הקטן)  | דן אלמגור | מתי כספי | 1:16 |  |  |  |  |  |
| 5. | מאחורי הגדר הלבנה  | שלמה גרוניך |   | 3:16 |  |  |  |  |  |
| 6. | רוצה לראות אותך (רוצה שנית)  | משה שכביץ |   | 4:46 |  |  |  |  |  |
| 7. | שיר אהבה טרי (בואי ילדה)  | שלמה גרוניך | שלמה גרוניך | 4:22 |  |  |  |  |  |
| 8. | שירים פשוטים  | שלמה גרוניך | שלמה גרוניך | 5:04 |  |  |  |  |  |
| 9. | הזמן עובר  | שלמה גרוניך | שלמה גרוניך | 4:40 |  |  |  |  |  |
| 10. | את האישה שלי  | מתי כספי | מתי כספי | 4:26 |  |  |  |  |  |
| 11. | סליחה  | אהוד מנור |   | 4:23 |  |  |  |  |  |
| משך כולל: | משך כולל: | משך כולל: | משך כולל: | 46:58 |  |  |  |  |  |
| דיסק 2> מס' | דיסק 2> שם | דיסק 2> מילים | דיסק 2> לחן | דיסק 2> משך | דיסק 2>  | דיסק 2>  | דיסק 2>  | דיסק 2>  | דיסק 2>  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 12. | שום מקום  | שלמה גרוניך | שלמה גרוניך | 5:52 |  |  |  |  |  |
| 13. | ילדה שנותרה על החוף  | חנן עדי גרינהאוס |   | 3:27 |  |  |  |  |  |
| 14. | סימפתיה  | מאיר ויזלטיר | שלמה גרוניך | 6:59 |  |  |  |  |  |
| 15. | היא חזרה בתשובה  | יענקל'ה רוטבליט | מתי כספי | 5:16 |  |  |  |  |  |
| 16. | נואבה  | נירית ירון | שלמה גרוניך | 6:09 |  |  |  |  |  |
| 17. | אחרי שנסעת (ואותך)  | שלמה גרוניך | מתי כספי | 3:25 |  |  |  |  |  |
| 18. | ק.ג.ב.  | מתי כספי | מתי כספי | 2:17 |  |  |  |  |  |
| 19. | בן-גוריון  | שלמה גרוניך ומתי כספי |   | 3:51 |  |  |  |  |  |
| 20. | עכשיו זה שנינו  | נירית ירון ושלמה גרוניך |   | 4:29 |  |  |  |  |  |
| 21. | ציור  | אילן גרוניך |   | 4:58 |  |  |  |  |  |
| משך כולל: | משך כולל: | משך כולל: | משך כולל: | 46:43 |  |  |  |  |  |
מאחורי הצלילים 2002 > קרדיטים

שלמה גרוניך: פסנתר, מלודיקה, אקורדיון, שירה וקולות
מתי כספי: גיטרה, פסנתר, אקורדיון, שירה וקולות
מיכל אדלר-גרוניך: מפוחית פה וקולות
רחל כספי: סולו שירה, קולות ושייקר
הארבעה גם עיצבו את עטיפת הדיסק
משה עציוני: הקלטת המופע
זוהר זלץ: עריכה ומסטרינג באולפני אשל ת"א
אילן בשור: צילומי עטיפה
אילן בשור, חנוך גרזיצקי, מאיר ארד ודרור אדלר: צילומי פנים
ג'ימי סרוע: גרפיקה ממוחשבת
CDI: ייצור והדפסת הדיסק
האוזן השלישית: הפצה
כיום

מאז סיבוב ההופעות המצליח של 2002 חזרו כספי וגרוניך להופעות משותפות מדי פעם, אך ללא נשותיהם.

נכון לשנת 2011 הם מופיעים יחד מעת לעת במופעי "מאחורי הצלילים" או מארחים זה את זה בהופעות סולו שלהם.
הערות שוליים

↑  האתר של מתי כספי(הקישור אינו פעיל, 9.8.2019)
↑  http://www.matticaspi.co.il/albums/behind2.shtml, וגם ע"פ ראיון שערך יואב קוטנר עם גרוניך בגלי צה"ל. על עטיפת האלבום המקורי הקרדיט מופיע לשלמה גרוניך(הקישור אינו פעיל, 9.8.2019)
| מתי כספי |
| --- | --- | --- |
| אלבומי אולפן | מתי כספי (1974) • מתי כספי (הפעמון) (1976) • צד א' צד ב' (1980) • צד נוסף (1980) • סוף היום (1981) • מתי כספי שר סשה ארגוב (1982) • מתתיהו ואלכסנדר (1984) • ילדותי השנייה (1985) • צד ג' צד ד' (1987) • אחד לאחד (1988) • שירים במיץ עגבניות (1989) • בובה מתי (1992) • מתי (1993) • עולם אחר (1998) • דואטים (2000) • את האישה שלי (2005) • נפש תאומה (2010) • כמו בריקוד (2017) |  |
| אלבומי אוסף | כולם שרים את מתי כספי (1975) • בפעם הראשונה (1992) • מתי כספי ואהוד מנור: השירים הגדולים (1994) • חלומות שמורים (1995) • האוסף (1999) • בלדות (2003) • משירי מתי כספי (2003) • המיטב (2004) |  |
| שיתופי פעולה | לא אכפת להם (1970) • ארץ טרופית יפה (1977) • מאחורי הצלילים (1973) • קווים (1981) • שיר אהבה רחוק (1983) • מאחורי הצלילים 1984 (1984) • מאחורי הצלילים 2002 (2002) |  |
| תוכניות והופעות | שירי הבלקן (1980) • עמק הנהר האדום (1981) • ארץ טרופית משגעת (1987) • הופעה חיה בערד (1997) • מה זאת אהבה (2012) |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  MusicBrainz release group: edb2425f-17b8-43af-bda7-c49a528dd3f3
פלימפטון 322

פלימפטון 322
פלימפטון 322 (באנגלית: Plimpton 322) הוא לוח חרס שמקורו בבבל, המתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס (תיארוך מדויק יותר מייחס אותו לשנים 1822–1784 לפנה"ס). בלוח, הכתוב בכתב יתדות, ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים בספרות בבליות, כך שהמספרים בשתיים מן העמודות שייכים לשלשות פיתגוריות. זהו ככל הנראה המפורסם שבין הלוחות המתמטיים הבבליים שנמצאו ונותחו.
מהות המספרים שבו העסיקה את החוקרים - היסטוריונים ומתמטיקאים - שנים רבות. הפרשנות הראשונה שניתנה היא שהלוח שימש להצגה של שלשות פיתגוריות שיוצרו על פי נוסחה. פרשנות מאוחרת יותר היא שהלוח שימש לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית. בניגוד לפרשנויות אלה, לפיהן הלוח מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו, הוצגה פרשנות לפיה הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו.
שמו של הלוח נובע מכך שהוא פריט מספר 322 באוסף של ג'ורג' ארתור פלימפטון. מקורו בעיר העתיקה לרסה שבעיראק של ימינו, והוא התגלה בעת חפירות ארכאולוגיות לא חוקיות, יחד עם עוד אלפי לוחות מסוגו, בתחילת שנות ה-20 של המאה ה-20. פלימפטון קנה את הלוח, בערך בשנת 1922, ככל הנראה מבלי שהוא או המוכר יבחינו בייחוד שבו, ובאמצע שנות ה-30 תרם אותו יחד עם האוסף שלו לאוניברסיטת קולומביה, שם הוא שמור עד היום. בתיאור הקטלוגי שלו תואר פלימפטון 322 כמכיל "רישום עסקה מסחרית".
רקע: ספרות בבליות

בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה השומרים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בין השנים 2300 ל-2100 לפנה"ס שלטו באזור זה האכדים, שהשפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר בתור החשבונייה. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה.
שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצורך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה).
תיאור הלוח

הלוח הוא ברוחב 13 ס"מ, בגובה 9 ס"מ ובעובי 2 ס"מ.
הלוח מכיל ארבע עמודות של מספרים. העמודה הימנית ביותר, שניתן לתרגם את כותרתה בתור "השם שלו" מכילה על פי סדר את המספרים מ-1 ועד 15. בשל פגמים בלוח, המספרים 5, 6 ו-15 לא מופיעים בבירור בו, אך ניתן לשער את קיומם. המספרים בעמודה זו כתובים בסגנון שונה מזה של המספרים בשאר הלוח (לדוגמה, 4 כתוב כריבוע של ארבע יתדות שמסמלות יחידה, בזמן שבמופע של 4 בעמודה אחרת, הוא מופיע כשלוש יתדות ועוד אחת מתחתיהן). הסגנון השונה נובע כנראה מכך שאין משמעות מתמטית למספרים אלו, והם משמשים רק למספור השורות.
כותרת העמודה השלישית משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע האלכסון" (במקור מכילה הכותרת את המילה "ריבוע", אך כנראה שהכוונה במילה זו היא לאורך צלע), ואילו כותרת העמודה השנייה משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע הרוחב". בין שתי עמודות אלו מתקיים הקשר הבא: אם  \ a הוא מספר מהעמודה השנייה משמאל, ו- \ c הוא המספר המתאים מאותה שורה בעמודה השלישית משמאל, אז בכל המקרים פרט לארבעה מתקיים ש- \ c^{2}-a^{2} הוא ריבוע של מספר טבעי - כלומר, ש- \ a יכול לשמש כאורך של ניצב ו- \ c יכול לשמש כאורך היתר במשולש ישר-זווית שבו כל הצלעות הן בעלות אורכים שלמים. קשר זה נובע ממשפט פיתגורס. פירוש הדבר הוא ששתי העמודות הללו מתארות (בצורה לא ישירה) שלשות פיתגוריות. המספר השלישי בשלשה, שערכו נתון על ידי  \ b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}, אינו מופיע על גבי הלוח.
העמודה הראשונה משמאל היא הבעייתית מבין כל העמודות. בשל פגמים בלוח, הכותרת שלה אינה ברורה. כמו כן, כיוון שהלוח ככל הנראה נשבר לאורך קצה העמודה, לא ברור האם השקעים שמופיעים בתחילת כל שורה נובעים מהקו המפריד בין השורות, או שמדובר בסימון של המספר 1 בתחילת כל אחד מהמספרים בעמודה זו.
המספרים שבעמודה הראשונה מסודרים בסדר יורד. אם מסתכלים על המספרים כמייצגים שברים בבסיס סקסגסימלי (בסיס 60) שבו השתמשו הבבלים, הרי שניתן לתת לשורה זו אחת משתי פרשנויות: אם אכן מופיע 1 בתחילת כל איבר בשורה, השורה מתארת את היחס  \ \left({\frac {c}{b}}\right)^{2}. אם לעומת זאת לא מופיע 1, היא מתארת את  \ \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}. חלקים מהעמודה השמאלית חסרים, אך ניתן לשער את ערכם על פי הכלל המנחה שנראה כי שימש ליצירת שאר המספרים בעמודה זו.
תוכן הלוח

הלוח מכיל את המספרים הבאים (בסוגריים נתונים תיקונים שמקובלים בספרות המודרנית, אך לא מופיעים בלוח המקורי):
במקור כל המספרים מופיעים בבסיס 60, אך בטבלה שלפנינו מובא הייצוג שלהם כמספרים עשרוניים. כמו כן, בעמודה השמאלית, ה-1 שלפני הנקודה בכל אחד מהמספרים שבעמודה הוא כאמור אופציונלי, וייתכן שלא היה חלק מהלוח.
תוכן הלוח > הסבר לגבי התיקונים

כאמור, פרט לשורות 2, 9, 13, 15, בכל השורות מתקיים ש- \ c^{2}-a^{2} הוא ריבוע של מספר טבעי. עבור ארבע השורות ה"בעייתיות", נתון בסוגריים ערך שיבטיח שתכונה זו תתקיים גם באותה השורה. ניתן להסביר חלק מהתיקונים:
התיקון בשורה 9 מתבסס על כך ש-481 נכתב בתור (8,1) בבסיס סקסגסימלי, בעוד ש-541 נכתב בתור (9,1), כך שייתכן שהייתה כאן שגיאה של חוסר תשומת לב.
התיקון בשורה 13 מתבסס על כך ש-161 הוא השורש של 25921.
התיקון בשורה 15 מתבסס על כך ש-53 הוא חצי מ-106 (תיקון אפשרי אחר: להפוך את 56 ל-28).
התיקון שבשורה 2 הוא הבעייתי ביותר, ולא ניתן לו הסבר משכנע לחלוטין.
הפרשנויות השונות לאופן יצירת הלוח > שלשות פיתגוריות

האזכורים המרכזיים הראשונים של הלוח היו בספריו של אוטו נויגבאואר (Otto Neugebauer), ראשית בספר Mathematical Cuneiform Texts ולאחר מכן בספר The Exact Sciences in Antiquity. הטיפול שהוענק ללוח בספר השני תרם לפרסומו של הלוח, והפך להיות הסטנדרט המקובל בספרים העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה, שרובם תיארו את הפרשנות שהציע נויגבאואר.
על פי פרשנות זו, הלוח שימש ליצירת שלשות פיתגוריות באמצעות שימוש בטכניקה אלגברית מתקדמת יחסית, שמעידה על רמה מתמטית מפותחת של יוצר הטבלה. הטכניקה משמשת ליצירה של שלשות פיתגוריות פרימיטיביות - שלשות פיתגוריות שבהן אין מחלק משותף לשלושת אברי השלשה. כל שלשה פיתגורית יכולה להתקבל באמצעות כפל שלשה פיתגורית פרימיטיבית במספר טבעי, כך שהשלשות הללו הן "אבני בנייה" לשלשות הפיתגוריות. בין השלשות שנמצאות בפלימפטון 322, רק שתיים אינן פרימיטיביות: אלו שבשורות 11 ו-15.
הטכניקה ליצירת השלשות היא כדלהלן: ידוע כי בהינתן מספרים חיוביים  \ s,t כך שהם זרים, בעלי זוגיות שונה ו- \ s>t, ניתן ליצור מהם שלשה פיתגורית פרימיטיבית על ידי הנוסחאות  \ a=2st,b=s^{2}-t^{2},c=s^{2}+t^{2}. יתר על כן, כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית ניתנת ליצירה בצורה הזו.
הטבלה שלהלן מסכמת את השלשות שבלוח ואת המספרים שיוצרים אותן. עבור השורות 11 ו-15 מובאים המספרים שיוצרים את השלשות הפרימיטיבית שמהן ניתן להגיע לשלשות שבשורות אלו.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| מספר השורה | a | b | c | s | t |
| 1 | 120 | 119 | 169 | 12 | 5 |
| 2 | 3456 | 3367 | 4825 | 64 | 27 |
| 3 | 4800 | 4601 | 6649 | 75 | 32 |
| 4 | 13500 | 12709 | 18541 | 125 | 54 |
| 5 | 72 | 65 | 97 | 9 | 4 |
| 6 | 360 | 319 | 481 | 20 | 9 |
| 7 | 2700 | 2291 | 3541 | 54 | 25 |
| 8 | 960 | 799 | 1249 | 32 | 15 |
| 9 | 600 | 481 | 769 | 25 | 12 |
| 10 | 6480 | 4961 | 8161 | 81 | 40 |
| 11 | 60 | 45 | 75 | 2 | 1 |
| 12 | 2400 | 1679 | 2929 | 48 | 25 |
| 13 | 240 | 161 | 289 | 15 | 8 |
| 14 | 2700 | 1771 | 3229 | 50 | 27 |
| 15 | 90 | 56 | 106 | 9 | 5 |
מהטבלה ניתן לראות כי כל המספרים s,t שנבחרו לצורך יצירת השלשות הם מספרים רגולריים ביחס לבסיס 60: הפיתוח של ההופכיים שלהם לשבר סקסגסימלי (טור חזקות שליליות של 60, בדומה לשבר עשרוני בבסיס 10) הוא סופי. תכונת הרגולריות בבסיס 60 מתקבלת כאשר המחלקים הראשוניים של המספר הם 2, 3 ו-5 בלבד. הסבר אפשרי אחד לבחירה של מספרים רגולריים נעוץ בכך שאם העמודה  \ \left({\frac {c}{b}}\right)^{2} חושבה לאחר חישוב ערכי העמודות של a,c, אז כדי לבצע את החילוק היה צורך ש-b יהיה מספר רגולרי: הבבלים ביצעו חלוקה באמצעות כפל בהופכי. נויגבאואר ציין כי כל המספרים s,t שבטבלה כבר היו ידועים לבבלים ונמצאו בטבלאות הבסיסיות של מספרים רגולריים וההופכיים שלהם, פרט למספרים שיוצרים את שורה 4, אשר נמצאו בהרחבות מיידיות לטבלאות אלו.
הפרשנויות השונות לאופן יצירת הלוח > טבלה טריגונומטרית

ההסבר של נויגבאואר אינו מפרש מדוע העמודה השמאלית ביותר מכילה את ריבוע היחס בין צלעות המשולשים. המתמטיקאי קרייטון באק הציע הסבר לפיו עמודה זו משמשת לחישוב פונקציה טריגונומטרית, שיכולה להיות  \ \sec ^{2}(x) או  \ \tan ^{2}(x), בהתאם לתשובה לשאלה האם מופיע 1 מצד שמאל של כל המספרים בעמודה זו או לא. בדיקה של הזוויות שייתנו את התוצאות שבטבלה מעלה כי הן נעות מזווית של 45 מעלות בערך ועד זווית של 31 מעלות בערך, כאשר כל שורה יורדת בערך במעלה. הדבר מאפשר להעלות סברה כי פלימפטון 322 היה חלק מאוסף גדול יותר של טבלאות, ששימשו גם לחישוב הזווית מ-30 ועד 16, ומ-15 ועד 1.
בטבלה הבאה מסוכמות הזוויות עבור כל אחת מהשורות:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| מספר השורה |  \ x |  \ \sec ^{2}(x) |
| 1 | 44.76 | 1.9834 |
| 2 | 44.25 | 1.94916 |
| 3 | 43.79 | 1.9188 |
| 4 | 43.27 | 1.88625 |
| 5 | 42.08 | 1.81501 |
| 6 | 41.54 | 1.78519 |
| 7 | 40.32 | 1.71998 |
| 8 | 39.77 | 1.6928 |
| 9 | 38.72 | 1.64267 |
| 10 | 37.44 | 1.58612 |
| 11 | 36.87 | 1.5625 |
| 12 | 34.98 | 1.48942 |
| 13 | 33.86 | 1.45002 |
| 14 | 33.26 | 1.43024 |
| 15 | 31.89 | 1.38716 |
הפרשנויות השונות לאופן יצירת הלוח > השוואת הפרשנויות השונות

סדר העמודות: בלוחות דומים לפלימפטון 322, סדר העמודות הוא משמאל לימין - כלומר, העמודות שנמצאות בצד ימין מתבססות על אלו שבצד שמאל. על פי פרשנות השלשות הפיתגוריות ופרשנות הטבלה הטריגונומטרית מתקבל דווקא המקרה ההפוך: עמודה מספר 1, השמאלית ביותר, מתבססת על העמודות שמימינה. לעומת זאת, פרשנות המספרים ההופכיים מציעה תיאור שבו יצירת העמודה הראשונה היא שלב מקדים לייצור שתי העמודות שמימינה.
השגיאות: בניגוד לשתי הפרשנויות האחרות, פרשנות המספרים ההופכיים נותנת הסבר לדרך שבה נוצרו השגיאות, ובפרט מסבירה את השגיאה שבשורה 2.
ראיות היסטוריות: פלימפטון 322 הוא אחד הלוחות הבודדים המצביעים על אפשרות שהבבלים הכירו את נוסחת היצירה של שלשות פיתגוריות (MS3971 ו-MS3052 הן שתי דוגמאות נוספות), בעוד שלוחות מתמטיים אחרים (למשל, רשימות של מספרים הופכיים) התגלו במספר עותקים. גם הפרשנות הטריגונומטרית אינה נתמכת בראיות היסטוריות נוספות, ובפרט לא ברור כלל עד כמה היה מושג הזווית ידוע בקרב הבבלים, אם בכלל. בבעיות שעסקו במעגלים נהגו הבבלים להסתכל על המעגל לא כעל רדיוס המבצע סיבוב, אלא כעל שטח התחום בידי עקומה (למשל, נוסחת שטח העיגול שהייתה ידועה לבבלים אינה מסתמכת על אורך הרדיוס כמו הנוסחה  \ \pi r^{2} של ימינו, אלא על היקף המעגל -  \ c^{2}/4\pi  כאשר  \ c הוא ההיקף).
לעומתן, הפרשנות של המספרים ההופכיים מגובה בממצאים שמעידים כי מספרים הופכיים היו מוכרים לבבלים, כמו גם השיטה של השלמה לריבוע.
מטרת הלוח: בעוד שהפרשנות הטריגונומטרית ופרשנות השלשות הפיתגוריות מספקות הסבר ברור לייעודו של הלוח, פרשנות המספרים ההופכיים נתקלת בקשיים. אף שניתן לתאר את הלוח ככלי עזר ששימש בהוראת תרגיל חשבון, בהתבסס על כך שאופן יצירתו מזכיר דרכי פתרון שנמצאו על לוחות אחרים, אין בכך כדי להסביר מה הייעוד שמילאו העמודות השנייה והשלישית, שהכילו את השלשות עצמן.
ראו גם

| --- | --- |
פורטל ארכאולוגיה של המזרח הקרוב:  לפורטל ארכאולוגיה של המזרח הקרוב
היסטוריה של המתמטיקה
לקריאה נוספת

O. Neugebauer, The exact sciences in antiquity, Dover, 1969
הערות שוליים

↑  Robson, Eleanor, Words and pictures: New light on Plimpton 322, American Mathematical Monthly, Feb 2002, p. 111
↑  Robson, Eleanor, Words and pictures: New light on Plimpton 322, American Mathematical Monthly, Feb 2002, p. 109
↑  Cuneiform Tablet, Columbia University Libraries
↑  R. Creighton Buck, Sherlock Holmes in Babylon, American Mathematical Monthly, 1980
↑  Robson, Eleanor, Words and pictures: New light on Plimpton 322, American Mathematical Monthly, February 2002
↑  MathFest 2003 Prizes and Awards - Lester R. Ford Awards
הספרות הבבליות – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים
תהליך ההשלמה לריבוע: מחלקים את המלבן A לריבוע B והמלבן של ההפרש C, חותכים את C לשני חלקים ומזיזים אחד מהם כדי לקבל צורה דמוית L שמושלמת לריבוע גדול בידי הריבוע הקטן D
יששכר

ערך זה עוסק בדמות מקראית, בנם של יעקב ולאה. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
| --- | --- |

 לידה:  פדן ארם
 פטירה:  מצרים העתיקה
 אב:  יעקב 
 אם:  לאה 
 בן או בת זוג:  חזקה 
 צאצאים:  תולע, ישוב, פוה, שמרון 
 מספר צאצאים:  4
 
יִשָּׂשכָר, (מבוטא יִשָּׂכָר) הוא בנו התשיעי של יעקב מלאה, שלה הוא הבן החמישי. יששכר הוא אבי שבט יששכר שזכו בנחלה בישראל באזור עמק יזרעאל.
מדרש שמו

שמו מוסבר בספר בראשית:
וַיִּשְׁמַע אֱלֹהִים אֶל לֵאָה וַתַּהַר וַתֵּלֶד לְיַעֲקֹב בֵּן חֲמִישִׁי. וַתֹּאמֶר לֵאָה: נָתַן אֱלֹהִים שְׂכָרִי אֲשֶׁר נָתַתִּי שִׁפְחָתִי לְאִישִׁי, וַתִּקְרָא שְׁמוֹ יִשָּׂשכָר.
בשם יששכר מופיעה המילה 'שכר'. על פי לאה זהו שכרה על כך שנתנה ליעקב את שפחתה.
על פי מדרש תדשא פרק ח' נולד יששכר בי' באב ונפטר בגיל 122.
את שמו "יששכר" יש לקרוא לפי אהרן בן אשר כ"ישכר" (וכך היא הקריאה המקובלת ברוב העדות בקריאת התורה) ואילו לפי משה בן נפתלי יש לקרוא "יששכר".
צאצאיו

וְלִבְנֵי יִשָׂשכָר תּוֹלָע וּפוּאָה יָשׁוּב וְשִׁמְרוֹן – אַרְבָּעָה. וּבְנֵי תוֹלָע עֻזִּי וּרְפָיָה וִירִיאֵל וְיַחְמַי וְיִבְשָׂם וּשְׁמוּאֵל, רָאשִׁים לְבֵית אֲבוֹתָם לְתוֹלָע, גִּבּוֹרֵי חַיִל לְתֹלְדוֹתָם, מִסְפָּרָם בִּימֵי דָוִיד – עֶשְׂרִים וּשְׁנַיִם אֶלֶף וְשֵׁשׁ מֵאוֹת. וּבְנֵי עֻזִּי יִזְרַחְיָה, וּבְנֵי יִזְרַחְיָה מִיכָאֵל וְעֹבַדְיָה וְיוֹאֵל יִשִּׁיָּה – חֲמִשָּׁה רָאשִׁים כֻּלָּם. וַעֲלֵיהֶם לְתֹלְדוֹתָם לְבֵית אֲבוֹתָם גְּדוּדֵי צְבָא מִלְחָמָה – שְׁלֹשִׁים וְשִׁשָּׁה אָלֶף, כִּי הִרְבּוּ נָשִׁים וּבָנִים. וַאֲחֵיהֶם לְכֹל מִשְׁפְּחוֹת יִשָׂשכָר גִּבּוֹרֵי חֲיָלִים – שְׁמוֹנִים וְשִׁבְעָה אֶלֶף, הִתְיַחְשָׂם לַכֹּל.
ברכת יעקב ליששכר

ברכת יעקב ליששכר מופיעה בבראשית, מ"ט, י"ד–ט"ו:
יִשָּׂשכָר חֲמֹר גָּרֶם, רֹבֵץ בֵּין הַמִּשְׁפְּתָיִם. וַיַּרְא מְנֻחָה כִּי טוֹב וְאֶת הָאָרֶץ כִּי נָעֵמָה וַיֵּט שִׁכְמוֹ לִסְבֹּל וַיְהִי לְמַס עֹבֵד.
ברכת יעקב מתארת את יששכר כעובד אדמה. יששכר גם יהיה משועבד לשכניו בעבודות כפייה. ברכתו של יששכר הוא החמור אשר בתרבויות מסופוטמיה, להבדיל מהתרבויות האירופאיות, היה נחשב לחיה בעלת כוח סיבולת וחוסן נפשי. זאב ויסמן חוקר המקרא רואה יסוד אירוני בין המעמסה, שהיא מנת חלקו של החמור אשר באה בניגוד למנוחה המתוארת בחלק השני של הברכה. לשיטתו בברכה זו טמון יסוד סאטירי למעמדו הפוליטי של שבט יששכר. אם ברכת יעקב הציגה את מלאכת המשא של יששכר, באה ברכתו של משה, והציגה אותו כיושב אהלים: ”שְׂמַח זְבוּלֻן בְּצֵאתֶךָ וְיִשָּׂשכָר בְּאֹהָלֶיךָ.”
עץ משפחה

עץ משפחה המציג את הדורות הקודמים:
קברו

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
בספר הישר מסופר:
ויקברו את ארונות מטות אבותיהם... איש בנחלת בניו... ואת עצמות יששכר וזבולון קברו אותם בצידון בחלק אשר נפל לבניהם.
ובסדר הדורות מביא בשם "גלילות ארץ ישראל":
ועצמות יששכר וזבולן בצידון הוא צידון רבה בשפת ים הגדול, וחוץ לעיר קבר זבולן בכיפה ובית הכנסת שם.
בספר צוואות השבטים נאמר כי יששכר נקבר בחברון, בדומה לאמור בו לגבי שאר השבטים.
החוקר זאב "ז'אבו" ארליך הציע לזהות מסורת על קבורת יששכר במסגד בצפון-מזרח העיר העתיקה בשכם בשם "ג'מעה אל-אנבייה". לדבריו מצבה עתיקה במבנה הזכירה שם הדומה ליששכר, יחד עם שמות אחרים הדומים לזבולון ואשר.
ראו גם

עץ משפחה של דמויות מקראיות - מתרח ועד שלמה
הסכם יששכר וזבולון
לקריאה נוספת

השם יששכר והגייתו אתר האקדמיה ללשון העברית.