stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
גוטפריד וילהלם לייבניץ
מתמטיקה

במסגרת הפיתוח של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, לייבניץ הניח גם חלק מהיסודות המתמטיים המשמשים בפתרון שלל הבעיות שצצות מרגע שלוקחים בחשבון תהליכים גבוליים; תרומותיו אלו כוללות פישוט כללי גזירה, שיטות אינטגרציה, פתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות מסדר ראשון וכן כמה פתרונות בסיסיים של בעיות הנכללות כיום בענף חשבון הווריאציות. הוא הציג את כלל לייבניץ המוכלל, המבטא את האנלוגיה בין גזירה חוזרת של מכפלת פונקציות לבינום של ניוטון. במכתב ללופיטל מ-1694 הוא פתר לראשונה משוואות דיפרנציאליות באמצעות הכפלתן בגורם אינטגרציה. כן היה בין הפותרים נכונה של בעיית הברכיסטוכרון ובעיית קו השרשרת. ב-1702 פיתח את השיטה של אינטגרציה בעזרת פירוק לשברים חלקיים.
נוסף על תרומתו לאנליזה, תרם לייבניץ תרומות חשובות גם לענפים מתמטיים אחרים: קומבינטוריקה, אלגברה, גאומטריה, ותורת המספרים. באלגברה, הוא היה הראשון שהשתמש ברעיון של דטרמיננטה של מערכת משוואות ליניאריות, וגילה כמה מעקרונות היסוד של תורת הדטרמיננטים, כגון התוצאות הידועות בשם נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות וכלל קרמר (האחרון התגלה על ידו ב-1684). בשנים 1681 – 1679 טבע את המונח המתמטי "רזולטנט" של זוג פולינומים וגילה תוצאות חשובות הקשורות בו. מאמציו של לייבניץ לבסס את תורת הדטרמיננטים למעשה כוננו את התאוריה שלהן באירופה (המושג הומצא במקביל ובאופן בלתי תלוי בלייבניץ על ידי המתמטיקאי היפני Seki Takakazu). הוא חקר רבות גם את התכונות של פולינומים סימטריים; מאמציו אלו היו קשורים באופן הדוק לניסיונו לפתור את המשוואה ממעלה חמש ומעלה בצורה אלגוריתמית, ובמסגרתם הגיע לממצאים חשובים – בהם "המשפט היסודי של פונקציות סימטריות" ומספר הדגמות שלו (תוצאות אליהן הגיע קודם אייזק ניוטון). תרומות אלו שלו לאלגברה מפוזרות על פני למעלה מ-100 כתבי יד בלתי מפורסמים, ורבות מהן הקדימו את הולדת האלגברה הליניארית בלמעלה ממאה שנים. בגאומטריה הניח ב-1686 את היסודות לתאוריה של contiguity of curves, וביחד עם הויגנס פיתח את התאוריה של מעטפות של משפחת עקומים (בשנים 1692–1694).
בתורת המספרים, הוכיח לייבניץ לראשונה תוצאה יסודית חשובה בתורת המספרים: המשפט הקטן של פרמה, ומאוחר יותר גילה גם את משפט וילסון, אך כתבי היד האלה נותרו לא מפורסמים, כך שלאונרד אוילר וז'וזף לואי לגראנז' הוכיחו את התוצאות האלה באופן בלתי תלוי. בקומבינטוריקה, היה לייבניץ הראשון שחקר והגיע למספר תוצאות על חלוקות של מספרים, בהם: הנוסחה הרקורסיבית של אוילר לחלוקה של מספר n ל-k חלקים, ומספר מקרים פרטיים של הנוסחה הכללית לחלוקות שהתגלתה על ידי Stern ב-1840. כמו כן גילה את מספרי סטירלינג ואת התכונות הקומבינטוריות שלהם. לייבניץ ניסה לבסס את היסודות הלוגיים של החשבון האינפיניטסימלי, חקר את ההתכנסות של סכומים אינסופיים, והגדיר קריטריון להתכנסות טורים שנקרא כיום בשם מבחן לייבניץ. הוא טבע מונחים מתמטיים רבים, בהם: "דיפרנציאל", "פונקציה", "קואורדינטה", "אבסקיצה (abscissa)", "עקומים אלגבריים וטרנסצנדנטיים", ו"אלגוריתם". לייבניץ היה גם הראשון שגילה, באמצעות מניפולציות מתמטיות חדשניות לזמנו, את הזהות הבאה לקבוע המתמטי פאי (טור לייבניץ-גרגורי):
\ {\frac {\pi }{4}}\ =1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots .
לייבניץ בנה את המחשב המכני הראשון שהיה מסוגל להכפיל ולחלק מספרים אלה באלה, ועמל על פיתוח מחשב מכני שיוכל לחשב שורש ריבועי. הוא גם פיתח את הצורה המודרנית של השיטה הבינארית, שבה משתמשים מחשבים דיגיטליים בני ימינו.
מתמטיקה > חשבון אינפיניטסימלי

הזכות על המצאת החשבון האינפיניטסימלי מיוחסת בדרך כלל ללייבניץ יחד עם אייזק ניוטון, בשנות ה-70 של המאה ה-17. לפי רשימותיו, פריצת דרך משמעותית בעבודתו אירעה ב-11 בנובמבר 1675, כאשר הציג את החשבון האינטגרלי בפעם הראשונה כשחישב את השטח שתחת הפונקציה y=x. הוא הנהיג לראשונה כמה מהסימנים המוסכמים במתמטיקה עד היום, לדוגמה: סימן האינטגרל, המסמל S לטינית מוארכת, מהמילה "summa" (סכום, תמצית), וה-d המשמשת לדיפרנציאל מהמילה הלטינית "differentia" (הפרש). הסימון הזה נחשב למוצלח מאוד עד ימינו. אולם עד שנת 1684, לא פרסם לייבניץ דבר בנושא החשבון האינפיניטסימלי. הכלל של גזירת מכפלה של פונקציות בחשבון אינפיניטסימלי עדיין נקרא "כלל לייבניץ". בנוסף, המשפט הקובע כיצד ומתי לבצע גזירה תחת סימן האינטגרל נקרא כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל.
ככל הנראה, לייבניץ, היה הראשון שחשב לחשב התכנסות של אינטגרל, באופן שסכומים חיוביים יתקזזו עם סכומים שליליים (מה שהוליד בהמשך את המונח "התכנסות בתנאי"), וניתן לשער שרעיון זה הוא תולדה של "תורת המונאדות" שפיתח בתחום הפילוסופי.
לייבניץ ניצל את תכונות האינפיניטסימלים, וערך עליהם מניפולציות באופן שהציע שיש להם תכונות אלגבריות פרדוקסליות. ג'ורג' ברקלי, בחיבור שנקרא "האנליסט" וגם בחיבורו De Motu, ביקר את התוצאות האלו. מחקר עכשווי טען שהקלקולוס של לייבניץ היה חופשי מסתירות פנימיות, ושהיה מבוסס יותר מהביקורות האמפיריות של ברקלי.
מ-1711 עד מותו היה לייבניץ מעורב במחלוקת קדימות עם ג'ון קייל, ניוטון ואחרים לגבי האם לייבניץ גילה את הקלקולוס באופן בלתי תלוי בניוטון. תיאור מפורט של המחלוקת מופיע בערך מחלוקת לייבניץ – ניוטון.
השימוש באינפיניטסימלים במתמטיקה ספג ביקורת עזה על ידי ממשיכיו של קארל ויירשטראס, אך שרד במדע ובהנדסה, ואפילו במתמטיקה ריגורוזית, דרך האמצעי החישובי היסודי הידוע כדיפרנציאל. החל מ-1960, אברהם רובינזון עבד על בסיס ריגורוזי לאינפיניטסימלים של לייבניץ, באמצעות תורת המודלים, ובהקשר של hyperreal numbers. האנליזה הלא סטנדרטית הנבנית בדרך זו ניתנת לראייה כהצדקה מאוחרת של צורת ההסקה המתמטית של לייבניץ. עקרון המעבר של רובינזון ניתן להבנה כמימוש של חוק הרציפות ההיוריסטי של לייבניץ, בעוד שפונקציית החלק הסטנדרטי מממשת את חוק ההומוגניות הטרסצנדנטי של לייבניץ.
מתמטיקה > Analysis situs – טופולוגיה

לייבניץ היה הראשון שהשתמש במונח analysis situs, אשר מאוחר יותר במאה ה-19 השתמשו בו כדי להתייחס למה שכיום נקרא טופולוגיה. ישנן שתי עמדות לגבי המידה בה לייבניץ חזה את התחום. עמדה אחת מבוטאת על ידי החוקר Mates בצטטו מאמר בגרמנית מ-1954 של יאקוב פרוידנטל, שטוען:
על אף שעבור לייבניץ המצב של סדרה של נקודות נקבע לחלוטין לפי המרחק ביניהן ומוחלף אם המרחק ביניהם מוחלף, תומכו אוילר, במאמרו המפורסם מ-1736 המציג את הפתרון לבעיית הגשרים של קניגסברג והכללותיה, השתמש במונח geometria situs כדי להתייחס לתכונה שהמצב של הנקודות לא משתנה תחת דפורמציות טופולוגיות. הוא, באופן מוטעה, זוקף לזכות לייבניץ את הצגת המונח... זה לעתים קרובות לא ברור שלייבניץ השתמש במונח במובן שונה לחלוטין ולכן לא ניתן לייחס לו תרומה ראשונית לייסוד הענף.
מאידך, Hideaki Hirano טוען אחרת, ומצטט את מנדלברוט:
לחקור את עבודותיו המדעיות של לייבניץ זוהי חוויה מפכחת. מלבד החשבון האינפיניטסימלי, ומחשבות אחרות שלו שהובאו לידי שלמות, המספר והמגוון של תגליות מזהירות בכתביו הוא מדהים. ניתן למצוא דוגמאות ב-"אריזות" שהוא תיאר... שגעון לייבניץ שלי מתחזק שוב לנוכח העובדה שהגיבור שלו ייחס משמעות רבה לסקלה גאומטרית. בעבודתו "Euclidis Prota"..., שהיא נסיון לחזק את האקסיומות של אוקלידס, הוא קובע...:"יש לי מגוון הגדרות לקו הישר. הקו הישר הוא עקום, שכל חלק שלו דומה לכללותו, ולו בלבד יש את התכונה הזו, לא רק בין עקומים אלא גם בין קבוצות". את הטיעון הזה ניתן להוכיח בימינו אנו.
הגאומטריה הפרקטלית שקידם מנדלברוט התבססה על רעיון הדמיון-העצמי של לייבניץ ועל עקרון הרציפות שלו – "Natura non facit saltus". ניתן לראות שכאשר לייבניץ כתב, בנימה מטאפיזית: "הקו הישר הוא עקום, אשר כל חלק שלו דומה לשלם", הוא הקדים את זמנו בשתי מאות, וניבא במידת מה את הטופולוגיה המודרנית. בנוגע ל-"אריזות", לייבניץ כתב לחברו ועמיתו Des Bosses לדמיין מעגל, ואז לחסום בו שלושה מעגלים זהים עם רדיוס מקסימלי; לאחר מכן את הרווחים בין המעגלים הקטנים יותר ניתן למלא בשלושה מעגלים קטנים עוד יותר באמצעות אותו תהליך. את התהליך הזה ניתן להמשיך עד לאינסוף, וממנו ניתן לקבל רעיון טוב לגבי מהו דמיון-עצמי. השיפור של לייבניץ את האקסיומה של אוקלידס מכיל את אותו הרעיון.
מדע והנדסה

כתביו של לייבניץ נידונים בימינו, ובמיוחד בעשורים האחרונים, לא רק בשל החיזויים שלהם ותגליות אפשריות שעדיין לא זוהו, אלא גם כדרכים לקדם את הידע הנוכחי. רבים מכתביו על פיזיקה נכללים בספרו של גרהרדט "Mathematical Writings".
מדע והנדסה > מדעי טבע אחרים

לייבניץ הציע כי לכדור הארץ יש ליבה מותכת, טענה שהוכחה מאוחר יותר כנכונה בגאולוגיה המודרנית. באמבריולוגיה הציע שאורגניזמים הם שילוב אינסופי של מבנים פנימיים. במדעי החיים ובפלאונטולוגיה הוא ביצע מחקר על אנטומיה השוואתית ומאובנים. בזכות גישתו החלוצית בחקר מאובנים כפי שהופיעה באחת העבודות המרכזיות שלו בנושא, "Protogaea", נחשב לייבניץ לאחד מאבות הפלאונטולוגיה והספלאולוגיה (חקר המערות). "Protogaea" היא ניסיון שאפתני לתאר את התהליכים שעיצבו את כדור הארץ, ולייבניץ קיבץ בה תצפיות והשערות רבות על היווצרות כדור הארץ ותוואי הקרקע, על פעולת האש והמים, היווצרות סלעים ומינרלים, מקורם של מלחים, היווצרות של מאובנים וזיהויים כשאריות של יצורים חיים. "Protogaea" מילאה תפקיד חשוב בהתפתחות מדעי כדור הארץ במאה ה-18, אולם אף על פי שאתגרה חלק מהתפיסות המדעיות הישנות בנוגע להיסטוריה של כדור הארץ, היא נעדרת לוח זמנים גאולוגי עבור התהליכים המתוארים בה, ולכן נתפסת כיום רק כחלק מהפרהיסטוריה של מדע הגאולוגיה (בשונה מפריצות הדרך המשמעותיות יותר של ג'יימס האטון בשלהי המאה ה-18).
ברפואה, הוא האיץ בפיזיולוגים של התקופה – באמצעות מספר תוצאות – לבסס את התאוריות שלהם על תצפיות השוואתיות מפורטות ועל ניסויים, ולהבדיל בין אמיתות מדעיות רפואיות מבוססת היטב לנקודות מבט מטאפיזיות. בהקשר זה ידועה הבחנתו החדה בין גופים הבנויים מחומר אורגני – או בשפתו שלו מכונות של הטבע (machines of nature – divine machines), ומכונות מלאכותיות (artificial machines), הבחנה שהיא פילוסופית במהותה, אך שיש בה לחזות התפתחויות ותגליות רבות בביולוגיה ובחקר מבנה האורגניזם. למשל, לייבניץ כתב כי הגוף הטבעי הוא אוטומט שברא אלוהים ושהוא שונה מכל מכונה שיצר האדם, וזאת בכך שלכל חלק זעיר בגוף האנושי יכולת עצמית משלו, מורכבת לאין שעור ואינו מהווה חלק מוגבל במכונה גדולה. לטענתו, כל חלק זעיר בגוף מכיל את המרשם של הגוף השלם – הבחנה שניתן לראות אותה כחיזוי של גילוי הדנ"א, המצוי בכל תא ומכיל את המידע על הגוף כולו. גם התאוריה שלו על אינדיבידואליות מקוננת (באנגלית: Nested Individuality) רלוונטית לביולוגיה, והיא רלוונטית אף יותר לתחום הפסיכולוגיה.
מדע והנדסה > מדעי החברה

בתחום של בריאות ציבורית, הוא תמך בהקמת רשות רפואית אדמיניסטרטיבית עם אחיזה באפידמיולוגיה ורפואה וטרינרית. הוא עמל רבות כדי לקדם תוכנית אימון רפואית עם אוריינטציה על בריאות ציבורית ואמצעי מניעת מחלות. בכלכלה, הוא הציע רפורמות מס וסכמת ביטוח לאומי ודן באיזון המסחר (Balance of Trade). הוא היה אחד החלוצים המוקדמים במדע אקטוארי, וחישב את מחיר הרכישה של קצבאות חיים ואת הנזילות של חוב כספי של מדינה. הוא אף תיאר בכתביו משהו שמזכיר את תורת המשחקים. בסוציולוגיה הוא הניח את היסודות לתורת התקשורת.
מדע והנדסה > ספרנות

במהלך שירותו כספרן בספריות הדוכסות שבהנובר ובוולפנבוטל, לייבניץ הפך לאחד המייסדים של מדעי המידע. הספרייה שבוולפנבוטל הייתה עצומה יחסית לתקופתה, שכן היא הכילה יותר מ-100,000 כרכים, ולייבניץ עזר לתכנן בניין חדש עבורה, אשר מאמינים כי הוא הבניין החדש שתוכנן במפורש להיות ספרייה. הוא גם תכנן מערכת סידורית (indexing system) חדשה לספריות, לכאורה ללא שידע על קיומה של מערכת אחרת כזאת בספרייה הבודליינית שבאוקספורד. הוא גם קרא למוציאים לאור לערוך תקצירים של כל הכותרים החדשים שהם הפיקו בכל שנה בצורה סטנדרטית מסוימת שתקל על מלאכת הסידור. הוא קיווה שפרויקט התקצור הזה יכלול בסופו של דבר כל מה שהודפס מתקופתו של גוטנברג ועד לימיו שלו. אף אחת מההצעות שלו לא השיגה הצלחה בתקופתו, אך משהו דומה להן הפך לפרקטיקה סטנדרטית בקרב מוציאים לאור בשפה האנגלית במהלך המאה ה-20, תחת חסותן של ספריית הקונגרס והספרייה הבריטית.
הוא קרא לייסוד של בסיס נתונים אמפירי כדרך לקדם את כל המדעים. רעיונות שלו כמו השפה האוניברסלית, הקלקולוס רציוסינטור, ו-"קהילת התודעות" – נועדו, בין היתר, להביא אחדות פוליטית ודתית לאירופה. ניתן לראות בהם גם חיזוי לא מכוון של שפות מלאכותיות (כמו אספרנטו והמתחרות שלה), לוגיקה סימבולית, ואף הרשת הכלל עולמית.
מדע והנדסה > קידום חברות מדעיות

לייבניץ הדגיש שמחקר הוא משימה שיתופית. לכן הוא תמך בהתלהבות בהקמה של חברות מדעיות לאומיות לפי קווים דומים לזה של החברה המלכותית הבריטית והאקדמיה הצרפתית המלכותית למדעים. באופן יותר ספציפי, בהתכתבויותיו ומסעותיו הוא דחף להקמת חברות כאלה בדרזדן, סנט פטרסבורג, וינה וברלין. רק פרויקט אחד מבין אלה הגיע לשלב המעשה: ב-1700, האקדמיה למדעים בברלין הוקמה. לייבניץ היה אחראי על הקמת האקדמיה, ושירת כנשיא שלה במשך שארית חייו. אקדמיה זו הפכה מאוחר יותר לאקדמיה הגרמנית למדעים, המוציאה לאור של המהדורה הקריטית של כתביו.
משפטים ומוסר

פרט למקרים החריגים של מרקוס אורליוס וניקולו מקיאוולי, קרוב לוודאי שלאף פילוסוף אחר לא היה ניסיון מעשי בעניינים הקשורים למדיניות ולפוליטיקה כמו ללייבניץ. כתביו של לייבניץ על משפטים, אתיקה ופוליטיקה לא זכו תקופה ארוכה לתשומת לבם של מלומדים דוברי אנגלית, אך מצב זה השתנה לאחרונה.
לייבניץ לא תמך במונרכיה אבסולוטית כמו שהובס תמך בה, או בעריצות בכל צורה שהיא. הוא גם לא דגל בהשקפותיו של בן תקופתו ג'ון לוק בנושאים פוליטיים וחוקתיים, שתמך בדמוקרטיה באמריקה של המאה ה-18 ומאוחר יותר בכל מקום אחר. קטע ממכתב מ-1695 לפיליפ, בנו של הברון בוינבורג, מבטא את השקפתו הפוליטית של לייבניץ:
"ולגבי ... השאלה הגדולה בעניין כוחם של שליטים והצייתנות הנדרשת מעמם, אני בדרך כלל מצדד בכך שיש לשכנע את השליטים שלעם ישנה זכות להתנגד להם, ומאידך יש לשכנע את העם לציית לשלטון באופן פסיבי. למרות זאת, אני תומך בדעתו של גרוטיוס, שאדם ככלל צריך לציית לשלטון, ושהרע במהפכה גדול באופן ניכר מהעוולות שמהם נגרמת המהפכה (כלומר מהרע שנובע מעוולות השלטון). עדיין אני מכיר בכך ששליט יכול לעבור סף ולהגזים בעוולות שלטונו, ובכך להציב את המדינה בסכנה כזאת שתחייב את העם לעצור אותו. מצב זה הוא אומנם נדיר מאוד, אך תאולוגים שמתירים התנגדות אלימה בסיטואציה כזאת חייבים להישמר מאיבוד שליטה ומאיבוד הסדר הציבורי. הפעלה של כוח התנגדות בעוצמה חריגה מסוכנת הרבה יותר מאי פעולה."
ב-1677, קרא לייבניץ להקמתה של קונפדרציה אירופית, שתנוהל בידי מועצה או סנאט, שחבריו ייצגו אומות שלמות ויהיו חופשיים להצביע על-פי מצפונם. קריאה זו נחשבת לעיתים לחיזוי של האיחוד האירופי. לייבניץ האמין שאירופה תאמץ דת אחידה. הוא חזר על הצעות אלה ב-1715.
אך בה בעת הוא הציע להתחיל פרויקט בין-דתי ורב-תרבותי ליצירת מערכת אוניברסלית של ערכי צדק ומוסר, הצעה שדרשה ממנו הסתכלות אינטרדיסציפלינרית רחבה. כדי לגבש הצעה זו, הוא שילב בין רעיונות בלשניים, פילוסופיה של המוסר, פילוסופיה של המשפט, כלכלה ופוליטיקה.
משפטים ומוסר > אקומניזם

לייבניץ השקיע מאמץ אינטלקטואלי ודיפלומטי רב במה שנקרא שליחות אקומניסטית – ניסיון לקרב בין כתות או זרמים שונים בנצרות במטרה להביא את הנצרות לאחדות. במסגרת שליחות זו לייבניץ ניסה תחילה ליישב את המחלוקות בין הכנסייה הקתולית והכנסייה הלותרנית, ומאוחר יותר לקרב בין הכנסייה הלותרנית והרפורמית. מבחינה זו, הוא המשיך את דרכם של הפטרונים הראשונים שלו, הברון פון בוינבורג וג'ון פרדריק – שניהם לותרנים מעריסתם שהמירו דתם לקתולית כמבוגרים – ושעשו מה שיכלו כדי לאחד מחדש את שתי האמונות, ושבירכו על שליחויות כאלה מצד אחרים (בית ברונסוויק נשאר לותרני מפני שילדיו של הדוכס לא המירו דתם כמו אביהם). המאמצים האלו כללו תיאום פעולה עם הבישוף הצרפתי ז'אק-בנין בוסואה, ועירבו את לייבניץ במחלוקת תאולוגית מסוימת. קרוב מאוד לוודאי שלייבניץ סבר שיישום יסודי של ההגיון למחלוקות תאולוגיות יוכל לרפא את הפילוג שנוצר ברפורמציה.
פילוסופיה

המחשבה וההגות הפילוסופית של לייבניץ נראית מקוטעת, וזאת מכיוון שהכתבים הפילוסופיים שלו מורכבים בעיקר מהמוני מאמרים קצרים: מאמרים בכתבי עת, כתבי יד שפורסמו זמן רב לאחר מותו, ומכתבים רבים לנמענים רבים. הוא כתב רק שני חיבורים פילוסופיים באורך של ספר, שמהם רק התאודיציה מ-1710 פורסמה במהלך חייו.
לייבניץ תארך את ראשית דרכו כפילוסוף לפרסום חיבורו "מאמר על מטאפיזיקה", אשר הוא חיבר ב-1686 כפרשנות לנושא סביבו הייתה מחלוקת בין מלברנש וארנו. פרסום זה הוביל לתכתובת ענפה ורבת ערך עם ארנו; היא וחיבורו מאמר על המטאפיזיקה לא פורסמו עד המאה ה-19. ב-1695, לייבניץ עשה את כניסתו הציבורית לעולם הפילוסופיה האירופי עם מאמר בכתב עת שכותרתו – "מערכת חדשה של הטבע ותקשורת של אלמנטים פשוטים". בין 1695 ו-1705, הוא חיבר את "מאמרים חדשים על התבונה האנושית", פרשנות ארוכה לחיבורו של ג'ון לוק מ-1690 "מסה על שכל האדם", אבל לאחר ששמע על מותו של לוק ב-1704, הוא איבד את התשוקה לפרסמו, כך שהחיבור פורסם רק ב-1765. ה-"מונאדולוגיה", שחובר ב-1714 ופורסם לאחר מותו, מורכב מ-90 אפוריזמים.
לייבניץ פגש את שפינוזה ב-1676, קרא כמה ממאמריו הלא מפורסמים, ומאז העריך מאוד את רעיונותיו של שפינוזה. אף שלייבניץ העריך את האינטלקט העוצמתי של שפינוזה, הוא גם מאוד התאכזב מכמה ממסקנותיו של שפינוזה, במיוחד כשאלו היו לא עקביות עם האורתודוקסיות הנוצרית.
שלא כמו דקארט ושפינוזה, לייבניץ רכש ידע מקיף ויסודי בפילוסופיה באוניברסיטה. הוא הושפע מהפרופסור לפילוסופיה בלייפציג יאקוב תומאסיוס, אשר גם הנחה אותו בכתיבת תזת ה-BA שלו בפילוסופיה. הוא גם קרא בלהט את פרנסיסקו סוארץ, ישועי ספרדי שזכה לכבוד רב באוניברסיטאות לותרניות. לייבניץ גילה עניין רב בשיטות והמסקנות החדשות של דקארט, הויגנס, ניוטון, ובויל, אבל ראה את עבודתם דרך עדשות סכולסטיות כבדות, כלומר בצורת ראייה כבדה המערבת רעיונות פילוסופיים וסכולסטיים רבים, ולא בצורת ראייה מתמטית גרידא. עם זאת, השיטות ותחומי העניין של לייבניץ לעיתים קרובות חוזות את הלוגיקה, והפילוסופיה האנליטית והלינגוויסטית של המאה ה-20.
בספריו הוא היה הראשון שהשתמש במונח קומפוסיביליות.
פילוסופיה > העקרונות

בהגותו הפילוסופית, הפעיל לייבניץ אחד או יותר משבעת העקרונות הפילוסופיים היסודיים הבאים:
זהות/סתירה (Identity/contradiction) – אם טענה נכונה, אזי שלילתה שגויה, ולהפך.
זהות הבלתי ניתנים להבחנה (Identity of indiscernibles) – לא ייתכן שכל תכונותיהם של שני דברים המוגדרים כשונים יהיו משותפות. אם כל תכונה שנושא X היא גם תכונה של Y, וההפך, אזי X ו-Y זהים. ההנחה ששני דברים הם בלתי ניתנים להבחנה, היא כמו לכנות בשני שמות שונים את אותו הדבר. עיקרון זה מופעל לעיתים קרובות בלוגיקה מודרנית ובפילוסופיה, ונקרא לעיתים "חוק לייבניץ". הוא משך הכי הרבה מחלוקת וביקורת, במיוחד מכיוון תאוריית החלקיקים ותורת הקוונטים.
הטעם המספיק (Sufficient reason) – "חייב להיות טעם מספיק לכל דבר להתקיים, לכל אירוע להתרחש, ולכל אמת להתקבל". עיקרון זה היה מוכר קודם לכן אך ניסוחו של לייבניץ השפיע עמוקות על הפילוסופיה המערבית כנקודת מוצא עבור קאנט ובעבודת הדוקטורט של שופנהאואר, כמו כן העיקרון מהווה נדבך ואף ניסוח לטיעון הקוסמולוגי.
הרמוניה קבועה מראש (Pre-established harmony) – "טבעו הבסיסי של כל אלמנט פשוט הוא כזה שמה שקורה לאחד תואם את מה שקורה לכל האחרים מסוגו, וזאת מבלי הפעולה הישירה שלהם אחד על השני" (מאמר על מטאפיזיקה, פסקה 14). זכוכית שנופלת לקרקע מתנפצת מפני שהיא "יודעת" שהיא פגעה בקרקע, ולא מפני שהפגיעה בקרקע "מאלצת" את הזכוכית להתנפץ.
חוק הרציפות (Law of Continuity) – בניסוחו של לייבניץ: Natura non facit saltus ("הטבע לא עושה קפיצות").
אופטימיות (Optimism) – "האל בהחלט תמיד בוחר את הטוב ביותר".
שפע (Plenitude) – לייבניץ האמין שהטוב בכל העולמות האפשריים יממש כל אפשרות בת-קיום, וטען בתאודיציה שהעולם שהוא הטוב מבין כל העולמות האפשריים יכיל את כל האפשרויות, כאשר תפיסתנו המוגבלת את מושג הנצח אינה מספקת סיבה כלשהי לפקפק בשלמותו של הטבע.
פילוסופיה > בחירה חופשית

כמו שפינוזה ופילוסופים נוספים רבים בתקופתו, לייבניץ הציע פתרון משלו לשאלת הבחירה החופשית. למעשה, תורת המונאדות שלו העירה מחדש את הבעיה כאשר נטען כי כל מונאדה מקיימת את כל התכונות, ובניהן כל רצף-ההתרחשות, שאלוהים ייעד לה. משתמע מכך שלא קיימת בחירה חופשית, שהרי אלוהים קבע מראש את גורלו של כל אשר קיים, ומצד שני לייבניץ, כמו רוב ההוגים הנוצריים בתקופתו, טען לקיומה של בחירה חופשית.
לפי לייבניץ, בכלל לא קיים שום מושג שנוכל לומר שהוא עונה על תואר הבחירה החופשית, מלבד פעולה אשר נעשית ללא השפעה חיצונית. כך, למעשה, טען שכל מונאדה פועלת באופן חופשי מעצם העובדה ששום מונאדה אחרת לא יכולה להשפיע עליה, אלא היא מקיימת את הקיום ורצף ההתרחשויות שאלוהים ייעד לה מראש. זה, לדעתו של לייבניץ, מהות הבחירה החופשית: פעולה מתוך ייעודך האלוהי הפנימי ללא כל השפעה חיצונית. לא נוכל למצוא שום הגדרה אחרת לבחירה חופשית שתהיה בעלת משמעות.
פילוסופיה > זמן

לייבניץ הוא מדוגלי הגישה הסובייקטיבית למושג הזמן. על פי גישה זו, הזמן הוא נגזרת של התודעה ולא להפך, כלומר – הזמן הוא ביטוי של יכולת התודעה להבחין בשינויים ולחוות אותם, ואין לו משמעות בזכות עצמו. כאשר הכל קפוא ואין שום שינוי – הזמן אינו עובר. לכן גם אין משמעות לתאוריות אודות מסע לאחור בזמן.
גישה זו מבטלת את מושג הזמן כמושג מוחלט, ורואה בזמן עיקרון יחסי ליכולת התפיסה האנושית. יחידות הזמן, על-פי גישה זו, אינן קבועות בפועל (אף על פי שהגדרתן קבועה).
דוגמה: פרק הזמן הכלול ביממה הוא תחושת הזמן הסובייקטיבית של כל אדם, בה הוא חש כי כדור הארץ השלים מחזור שלם. אם האדם חש כי עבר זמן רב (דוגמה: בעקבות יום מלא בהתרחשויות נפשיות), אזי היממה הייתה ארוכה יותר מאשר אילו חלף זמן מועט יותר.
פילוסופיה > תאודיציה ואופטימליות

ה"תאודיציה" מנסה להצדיק את חוסר השלמות-לכאורה של העולם, כשהיא טוענת כי העולם הוא הטוב והאופטימלי מבין כל העולמות האפשריים. העולם חייב להיות העולם הטוב ביותר והמאוזן ביותר שבאפשר, מכיוון שהוא נוצר על ידי אל כל יכול ויודע כל, אשר לא היה בוחר ליצור עולם לא מושלם אם עולם טוב יותר בר-קיום היה ידוע לו. למעשה, פגמים הניתנים לזיהוי בעולם היו חייבים להתקיים בכל עולם אפשרי אחר, שאחרת האל היה בוחר ליצור את העולם ללא פגמים אלו. הקטע הבא, הלקוח מתוך חיבור משנת 1714 של לייבניץ, מתאר היטב את השקפתו האופטימית:
מתוך שלמותו העליונה של האל מתחייב שבבראו את העולם בחר בתוכנית הטובה ביותר (האופטימלית) שאפשר. …השטח, המקום והזמן ערוכים באופן הטוב ביותר. היצורים יש בהם המידה הגדולה ביותר של יכולת, ידיעה, אושר וטוב שהעולם היה יכול להכיל. העולם כמו שהוא בפועל הוא השלם ביותר שבאפשר.
הקביעה "אנחנו חיים בעולם המושלם ביותר" נחשבה כמגוחכת אצל בני זמנו של לייבניץ, ובמיוחד אצל וולטר שמצא את הקביעה כה אבסורדית עד שהוא כתב עליה פרודיה בספרו הסאטירי "קנדיד", שם לייבניץ מופיע כ"ד"ר פנגלוס". פרודיה זו היא המקור למונח "פנגלוסיאניזם", שמתייחס לאנשים שחושבים כי אנו חיים בעולם הטוב ביותר האפשרי. עם זאת, אין להבין את אמירתו של לייבניץ כי אנו חיים בטוב בכל העולמות האפשריים בצורה פשטנית, שכן קריאה מעמיקה יותר בכתביו מגלה שלייבניץ לא טען כך במובן הפשטני.
לייבניץ טען שהאמיתות של התאולוגיה (הדת) והפילוסופיה אינן יכולות לסתור אלו את אלו, מכיוון שהגיון ואמונה שניהם "מתנות אל", כך שקונפליקט ביניהן משול לאל הנאבק נגד עצמו. "תאודיציה" היא ניסיונו של לייבניץ ליישב את המערכת הפילוסופית האישית שלו עם הפרשנות שלו לעקרונות האמונה הנוצרית. הפרויקט הונע בחלקו מאמונתו של לייבניץ, שבה נקטו גם פילוסופים ותאולוגים שמרנים רבים בתקופת הנאורות, בטבעה הרציונלי וההגיוני של הדת הנוצרית בהשוואה לדתות הלא-מערביות הפחות מתקדמות לכאורה. הוא גם עוצב על ידי אמונתו של לייבניץ בשלמותו של הטבע האנושי (אם האנושות הייתה נסמכת על הפילוסופיה והדת הנכונה כמדריך), ועל ידי אמונתו שלהכרח מטאפיזי חייב להיות בסיס רציונלי או לוגי, גם אם הסיבתיות המטאפיזית נראית בלתי ניתנת להסבר במונחים של הכרח פיזי (כלומר של חוקי הטבע שהתגלו על ידי המדע).
כיוון שהיגיון ואמונה חייבים להיות מיושבים כליל ונטולי סתירות, כל עיקרון אמוני שלא יכול להיות מוסבר על ידי ההיגיון חייב להידחות. לאורך קו מחשבה זה הגיע לייבניץ לאחת הביקורות המרכזיות של התאיזם הנוצרי: אם אלוהים הוא טוב אינסופי, ידע אינסופי, וכוח אינסופי, כיצד בא הרוע לעולם? התשובה היא (לפי לייבניץ), שבעוד שהאל אינו מוגבל בחוכמתו ובכוחו, ברואיו האנושיים, יצירי כפיו, אינם מושלמים, והם מוגבלים הן במידת חוכמתם והן בכוח הרצון שלהם (כוחם לפעול). אי שלמות זאת היא שמטה מראש בני אדם לאמונות שגויות, להחלטות לא נכונות, ולעשיית פעולות לא אפקטיביות, כל זאת תוך שימוש בבחירה החופשית שלהם. האל אינו ממטיר כאב וסבל על בני האדם באופן שרירותי; אלא הוא מתיר הן רוע מוסרי (חטא) והן רוע פיזי (כאב וסבל) כתולדות הכרחיות של הרוע המטאפיזי (חוסר השלמות), וזאת כאמצעי שבעזרתו בני האדם יוכלו לזהות ולתקן את ההחלטות השגויות שלהם, וכניגוד לטוב האמיתי.
יתרה מכך, אף שפעולות בני האדם נובעות מסיבות ראשוניות שמקורן באל עצמו ולפיכך הן ידועות לאל, השימוש שהאדם עושה בבחירה חופשית במסגרת חוקי הטבע, שבהם רק לעיתים אכן נדרשת בחירה, ההחלטה לבחור מספקת לבני האדם סיכוי מסוים להימלט מגורלה הקשה של הגזירה הקדומה.
פילוסופיה > לוגיקה פורמלית

לייבניץ הוא אחד הלוגיקנים החשובים ביותר מתקופתו של אריסטו עד שנת 1847, השנה בה ג'ורג' בול ואוגוסטוס דה מורגן פרסמו ספרים שהחלו את הלוגיקה הפורמלית המודרנית. לייבניץ ביטא לראשונה את התכונות המרכזיות של הפעולות הלוגיות שכעת אנו מכנים חיתוך (conjunction), איחוד (disjunction), שלילה (negation), זהות (identity), כלילה בקבוצה (set inclusion) והקבוצה הריקה (empty set).
את העקרונות של הלוגיקה של לייבניץ, ולפיכך של כל הפילוסופיה שלו, ניתן לצמצם לשניים:
כל הרעיונות שלנו מורכבים ממספר קטן מאוד של רעיונות פשוטים, שמרכיבים את האלפבית של המחשבה האנושית.
רעיונות מורכבים מגיעים מרעיונות פשוטים אלה על ידי הרכבה סימטרית ואחידה, שהיא אנלוגית להכפלה חשבונית.
לגבי העיקרון הראשון, מספר הרעיונות הפשוטים גדול בהרבה ממה שלייבניץ חשב; ולגבי העיקרון השני, הלוגיקה הפורמלית היום מתייחסת לשלוש פעולות לוגיות – שידועות כהכפלה לוגית, חיבור לוגי, והנגדה – ולא רק לאחת.
רוב רעיונותיו החלוציים על לוגיקה גובשו בשנים 1670–1690, והמחקר המודרני סיווג את רעיונותיו כמתייחסים לארבעה תחומים: סילוגיזם, הקלקולוס האוניברסלי, תחשיב הפסוקים ולוגיקה מודלית.
לייבניץ לא פרסם דבר על לוגיקה פורמלית במהלך חייו; רוב מה שהוא כתב על הנושא מורכב מטיוטות עבודה. בספרו תולדות הפילוסופיה המערבית, ברטראנד ראסל טען שלייבניץ פיתח את הלוגיקה בכתביו הלא מפורסמים עד לרמה שהושגה 200 שנה מאוחר יותר.
אחת מהתזות המרכזיות של ראסל על הפילוסופיה של לייבניץ גורסת כי רבים מהרעיונות והטיעונים הפילוסופיים המפתיעים ביותר של לייבניץ (למשל, שכל אחת מהמונאדות היסודיות משקפת את היקום כולו) קשורים בקשר הדוק עם הלוגיקה הפורמלית שפיתח, ונובעים לוגית ישירות מהחלטתו המודעת של לייבניץ לדחות יחסים בין דברים כבלתי אמיתיים. הוא החשיב יחסים כאלה כ"איכויות אינהרנטיות" של דברים (לייבניץ השתמש בנשואים אונריים בלבד): בעבורו המשפט "מארי היא אמו של ג'ון" מתאר איכויות נפרדות של מארי וג'ון. השקפתו זאת עומדת בניגוד ללוגיקה היחסית של דה מורגן, פרס, שרדר וראסל עצמו. לייבניץ הצהיר שטבעם הבסיסי של המרחב והזמן הוא יחסי.