stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ברטראנד ראסל
תרומתו לפילוסופיה > אטומיזם לוגי

בהשראת תורת התיאורים המיידעים, ראסל הציג את תורת האטומיזם הלוגי, שלפיה הלוגיקה משמשת לאנליזה שמטרתה לסלק יישים מיותרים, ברוח התער של אוקהם. יש לנסות להחליף כל מושג במשפט בקונסטרוקציות לוגיות המתבססות על מושגים פשוטים יותר – המורים על יישים פשוטים ובלתי תלויים בהכרה האנושית. יש להפריד את הסדר והתכונות מהיישים עצמם ולהמירם במבנים לוגיים, כך למשל מספר מונה איננו יש, אלא התאמה חד-חד ערכית בין קבוצות.
סילוק היישים המיותרים נעזר בהיותה של הלוגיקה לשון אידיאלית, בניגוד ללשון היום-יומית. משפט אטומי, שאינו כולל דבר מלבד שם ופרדיקט כמו "דני נמוך", הוא משפט המורה על עובדה פשוטה. העובדות קודמות למשפטים המתארים אותן.
תרומתו לפילוסופיה > תורת הידיעה של ראסל

תורתו של ראסל מעניקה קדימות לאובייקטים שעמם ניתן ליצור היכרות ישירה, חושית, ולכן הטענות היסודיות ביותר בשפה מורכבות רק מאובייקטים כאלה ומכוללים. ראסל, כמו רוב הפילוסופים בעת החדשה, עסק בשאלת הקשר בין ההכרה ובין העולם החיצון לה (ראו גם סוליפסיזם). בתחילה פנה ראסל לבניית העולם החיצוני על סמך ההיכרויות שיש לנו ול"צופים אפשריים" כמותנו, ברוח הפנומנולוגיה, ואולם המימד הפסיכולוגיסטי בגישה זו הביא אותו לקבל, בסופו של דבר, שיש לבסס את ידיעת העולם החיצון לנו על בסיס משפטים וטענות שאינם מתבססים רק על מבנים לוגיים ואובייקטים שניתן להכירם באופן ישיר אלא גם על טענות שלא ניתנות לביסוס מסדני, כמו טענות אינדוקטיביות וסיבתיות, מתוך ההנחה שהעולם סדור ואינו אקראי.
ראסל ציין שעבור מי שמחזיק בגישה אמפריציסטית זוהי מסקנה קשה לעיכול ואולם הקושי נובע מפירוש לא נכון של מושג הידיעה. ראסל טען שמקורו של מושג הידיעה הוא בחיים המדעיים והפרגמטיים של טרם הפילוסופיה; ולדוגמה ידיעה שפרי מסוים הוא בשל בזכות הצבע שלו היא ידיעה אמיתית גם אם לא ניתן להצדיק אותה על סמך הניסיון בלבד (מכיוון שהיא תלויה באינדוקציה).
תרומתו לפילוסופיה > אתיקה

ראסל טען בתקיפות שהאתיקה אינה חלק מתחום הפילוסופיה, ועמדותיו המוסריות אינן חלק ממשנתו הפילוסופית. עם זאת, לעיתים קרובות הביע דעות בנושאים אתיים. עמדותיו בתחום זה הושפעו רבות מעמדותיו של ג. א. מור. ראסל האמין שהטוב והרע הם אבסולוטיים, אבל ניתן לקבוע מה הם רק באמצעות אינטואיציה (ראו גם: כשל נטורליסטי).
עמדותיו > פוליטיקה ומדינות

ראסל היה פציפיסט מצעירותו, אולם מלחמת העולם השנייה הובילה אותו למיתון עמדתו. הוא טען שיש מקרים קיצוניים שבהם מלחמה מונעת רעה גדולה יותר. לכל אורך חייו התנגד לנשק גרעיני, פעל לפירוק הנשק הגרעיני ועמד בראש התנועה לפירוק נשק גרעיני. בהקשר זה ידועה אמרתו (המבוססת על משחק מילים באנגלית): " War is not about who is right, but who is left". התנגד למלחמת וייטנאם, ויזם את הקמת ועדת ראסל לחקירת מעורבותה של ארצות הברית בפשעי מלחמה.
בצעירותו תמך בקומוניזם, אולם ביקורו בברית המועצות בשנת 1920 אכזב אותו מאוד, ושינה את דעתו. בעקבות זאת כתב ראסל חיבור חשוב בשם "התאוריה והפרקטיקה של הבולשביזם", שהשפיע מאוד על דעת הקהל במערב.
ראסל היה תומך נלהב בדמוקרטיה עולמית, וכתב על כך מאמרים רבים.
לאורך מרבית חייו תמך בשוויון זכויות מלא לכל בני האדם. הוא תמך בפומבי בזכות בחירה לנשים כבר בצעירותו. עם זאת, בחלק מכתביו המוקדמים ניתן למצוא שרידי גזענות כלפי שחורים.
ב-31 בינואר 1970 פרסם ראסל הודעה המגנה את "התוקפנות הישראלית במזרח התיכון", המתייחסת להפצצות הישראליות בעורף המצרי בזמן מלחמת ההתשה. הוא קרא לנסיגה ישראלית לגבולות הקו הירוק ותמך בזכות השיבה לפלסטינים. זו הייתה ההצהרה הפוליטית האחרונה של ראסל, והיא הוקראה בכנס פרלמנטרי בינלאומי בקהיר ב-3 בפברואר 1970, יום לאחר מותו.
עמדותיו > דת ואלוהים

ראסל התקשה לקבוע האם עליו להגדיר את עמדתו הפילוסופית כלפי הדת כאגנוסטית או שמא כאתאיסטית. בתחום זה הציג את המשל "קנקן התה של ראסל", המדבר על קנקן תה שאיש אינו יכול להוכיח את קיומו. ראסל התנגד לדתות, ובפרט לנצרות.
עמדותיו > מין ויחסים

ראסל היה מאוד ליברלי בתחום המין ביחס לתקופתו. הוא קרא תיגר על תפישת הנישואים הוויקטוריאנית שהייתה מקובלת בארצות הברית ובבריטניה באותה תקופה. הוא הביע תמיכה במין מחוץ לנישואין, והציע מודל של "נישואים לניסיון" שאינם מחייבים לנאמנות. ראסל הציג את עמדותיו בנושא הנישואים בספרו "נישואים ומוסר".
דעות אלה הובילו לפיטוריו מאוניברסיטה בניו יורק, ולסקנדל תקשורתי גדול בעת שהותו בארצות הברית.
ראסל היה גם מראשוני התומכים בנישואים חד-מיניים ובחינוך מיני.
כתביו > מתורגמים לעברית

בעיות הפילוסופיה, תרגום: מ. שטרנברג, עריכה: ח"י רות, הוצאת מאגנס, תשכ"ז
ברטרנד ראסל היקר...: מבחר מתוך חליפת המכתבים שלו עם הקהל הרחב 1950-1968, מבוא ועריכה: בארי פיינברג ורונלד קסרילס, תרגום: אריה שור, ירושלים: י. מרכוס, 1971
כיבוש האושר; תרגום: חדוה רותם, עריכה: מ. בנארי, תל אביב: אחיאסף, 1970
עקרונות השיקום החברתי, תרגום: א. רובינשטיין, 1975
שלטון: ניתוח חברתי חדש, תל אביב: עם עובד, תשי"ג
בשבח הבטלה ומסות אחרות ; תרגום ועריכה: יורם רוזלר, ירושלים: א’ רובינשטין, 1975
ניצחון ולא בנשק, תרגום: בועז עברון, הבאה לדפוס: עמיקם גורביץ, תל אביב: עמיקם, תשכ"ד
הנשואין והמוסר; תרגום: י’ בן-אמיתי, עריכה: ראובן גרוסמאן, תל אביב: מצפה, תר"ץ
הסמכות והיחיד; תרגום: ש’ שיחור, תל אביב: דגה, תשכ"ז
כתביו > לא תורגמו לעברית

דת ומדע, 1935
תולדות הפילוסופיה המערבית, 1945
לקריאה נוספת

ריי מונק, ראסל, הוצאת ידיעות אחרונות, 2001.(הספר בקטלוג ULI)
דינה פורת, "מדינת היהודים של [ברטרנד] ראסל", עת־מול ו', תשמ"א 1981
גשר הונג קונג-ג'והאי-מקאו

| --- | --- |

החלק המערבי של הגשר
 מידע כללי
 סוג:  bridge–tunnel, מגה פרויקט תחבורתי 
 שימוש:  כלי רכב
 כתובת:  האיים החיצוניים, גונגביי, Macau New Urban Zone 
 מיקום:  מפרץ נהר הפנינה
 מדינה:  הרפובליקה העממית של סין 
 הקמה ובנייה
 תקופת הבנייה:  דצמבר 2009 – פברואר 2018 (כ־8 שנים)
 תאריך פתיחה רשמי:  24 באוקטובר 2018 
 שיטת בנייה:  גשר מעוגן כבלים, מנהרה תת-ימית, איים מלאכותיים
 עלות:  18.8 מיליארד דולר אמריקאי
 אדריכל:  ארופ 
 מידות
 אורך:  55,000 מטר
 רוחב:  42 מ' 
 גובה:  42 מטר
 מידע טכני
 מִפְתָּח מרבי:  460 מ' 
 מסלולים:  2
 נתיבים:  3 בכל כיוון
 מידע נוסף:  הגשר הארוך ביותר בעולם  אשר נמצא מעל מאגר מים
 
 קואורדינטות:  22°16′57″N 113°46′30″E﻿ / ﻿22.2824°N 113.775°E﻿ / 22.2824; 113.775
 www.hzmb.gov.hk
 מסלול הגשר
 
אחד מהאיים המלאכותיים בבניה
מחלף היציאה מהונג קונג
גשר על יד ג'והאי
אוטובוס השאטלים
גשר הונג קונג-ג'והאי-מקאו (בסינית: 港珠澳大橋, פיניין: Gǎng zhū ào dàqiáo) או בקיצור HZMB, היא מערכת תחבורתית באורך של כ-55 קילומטרים, הכוללת שלושה גשרים, מנהרה תת-ימית וארבעה איים מלאכותיים, ומחברת בין ערי המדינה הונג קונג ומקאו, וכמו כן העיר ג'והאי (אנ') שבסין.
זהו למעשה הגשר הארוך ביותר בעולם נכון לשנת 2019 אשר נמצא מעל מאגר מים כלשהו (ים או אגם). על פי התכנון, הגשר אמור להחזיק לפחות 120 שנים, ועלה סכום אדיר של כ-127 מיליארד יואן, או 18.8 מיליארד דולר אמריקאי.
העבודה על הגשר החלה בדצמבר 2009, והוא תוכנן להיפתח לציבור בסוף 2016. לאחר מספר עיכובים, הגשר נחנך בפברואר 2018 על ידי נשיא סין שי ג'ינפינג ובכירי הפוליטביורו של המפלגה הקומוניסטית.
תכנון ובנייה

בשנות ה-80, הציע המהנדס ההונג-קונגי גורדון וו (Gordon Wu) מחברת Hopewell Holdings קונספט של בניית גשר-מנהרה בין הונג קונג, מקאו וסין. הוא לקח את הרעיון מגשר-המנהרה של מפרץ צ'ספיק בארצות הברית, אשר מחבר בין חצי האי דלמרבה (אנ') (השייך למדינות מרילנד ודלאוור) עם מדינת וירג'יניה. וו הציע את הקונספט לבכירים סיניים ב-1988, אך בשל אירועי כיכר טיין-אן-מן כשנה לאחר מכן, שגרמו לאי-יציבות ולנפילה במחירי המניות בבורסה ההונג קונגית, תוכניות הגשר נגנזו.
לאחר שבריטניה החזירה את הונג קונג לידי סין ב-1997 כחלק מאזור מנהלי מיוחד (אנ'), חזרה הממשלה הסינית להתעניין בפרויקט. בו בזמן, העיתונות בהונג-קונג החלה לבקר את התהליך, בשל נזקים אפשריים לסביבה, זיהום אוויר ופקקי תנועה שיגרמו כתוצאה מהקמת הגשר. בדצמבר 2001 העבירה המועצה המחוקקת של הונג קונג פקודה בה יש להתחיל ולפתח מרכז לוגיסטי, כהכנה לבניית הגשר. בשנת 2003 התגבש צוות משלושת הצדדים כדי לפתור בעיות הנדסיות, שאלות של ביקורת גבולות ומימון הפרויקט, שהיה צפוי לעלות סכומים אדירים.
באוגוסט 2008, ממשלת סין, ממשלת מחוז גואנגדונג, וממשלות הונג קונג ומקאו הסכימו לממן 42 אחוזים מהפרויקט, כך ששאר 58 האחוזים ילוו מידי בנק סין. במרץ 2009, מספר חודשים לפני תחילת הבינייה, הוסכם על חלוקה שונה, של כ-%22 מול %78. העבודות החלו בצד הסיני (בעיר ג'והאי על יד מקאו) בדצמבר 2009 לאחר טקס בנוכחות לי קצ'יאנג. העבודות בצד של הונג קונג החלו שנתיים לאחר מכן, בדצמבר 2011, לאחר שנפתרו הבעיות הסביבתיות שהגשר היה יכול לגרום. החלק האחרון של הגשר נבנה ביוני 2016, ואילו החלק האחרון של המנהרה התת-ימית נבנה ביולי 2016. לאחר תיקונים שונים, הגשר נחנך ב-16 בפברואר 2018. לפי תיעוד הרשויות השונות, כ-19 עובדים נהרגו במהלך העבודות, אך ככל הנראה המספר גבוה בהרבה.
חלקי הגשר

אורכה הכולל של המערכת התחבורתית HZMB היא של כ-55 קילומטרים, כאשר היא מבוססת על שלושה גשרים גדולים:
הגשר המרכזי (The Main Bridge):
האורך הכולל של הקטע הוא של 29.6 ק"מ, ונמצא בלב מפרץ נהר הפנינה. הוא נבנה על ידי הרשויות הסיניות וכולל גשר מעוגן כבלים באורך 22.9 ק"מ, מנהרה תת-ימית בארוך 6.7 ק"מ ושני איים מלאכותיים שתומכים בגשר.
הגשר נע בגובה של 280–460 מטר. המנהרה התת-ימית שנבנתה בין שני האיים המלאכותיים, מאפשרת לספינות לעבור מעליה לעבר סין ובחזרה לים סין הדרומי.
גשר הקישור להונג קונג (Hong Kong Link Road):
האורך הכולל של הקטע הוא של 12 ק"מ, ונמצא במזרח מפרץ נהר הפנינה ומתחבר לעיר הונג קונג. עבודות בוצעו על ידי מחלקת התחבורה של הונג-קונג (אנ').
הקטע כולל גשר באורך 9.4 ק"מ, מנהרה באורך קילומטר אחד וכביש מהיר המחבר לנמל התעופה הבינלאומי של הונג קונג.
גשר הקישור לג'והאי (Zhuhai Link Road):
האורך הכולל של הקטע הוא של 13.4 ק"מ, ונמצא במערב מפרץ נהר הפנינה ומתחבר לעיר ג'והאי בסין, הקרובה למקאו. העבודות החלו ביצירת אי מלאכותי בגבול הימי של מקאו וג'והאי.
אתגר כיוון התנועה

בניית הגשר לוותה באתגר של כיוון תנועה, מאחר שבהונג קונג ובמקאו נוהגים בצד שמאל של הכביש, ואילו בסין נוהגים בצד ימין.
הממשלה הסינית החליטה שהנהיגה על הגשר תהיה בצד ימין, ולפיכך הורתה על בניית שני מחלפים למעבר נהיגה בצד שמאל לצד ימין, ולהפך.
תעבורה

אוטובוס שאטלים:
מערך האוטובוסים עובד 7\24 (אנ'), כאשר בשעות העומס יוצא אוטובוס כל חמש דקות. הגישה לתחנות מהן יוצאים השאטלים היא בעזרת מוניות, רכבת תחתית או עשרות קווי האוטובוסים השונים בהונג קונג, מקאו וג'והאי.
כלי רכב פרטיים:
נכון לשנת 2019, ישנם רק כ-10,000 כלי רכב פרטיים אשר מורשים לנהיגה בגשר. מספר זה גם מפוקח במכסה יומית מצומצמת. התהליך להשגת אישור כזה, הוא בירוקרטי מאוד ודורש מספר רב של אישורים וביטוחים.
ביקורת ומחלוקות

איחורים וחריגות מהתקציב:
כתוצאה מסחף שהיה עלול לערער על היסודות, הוחלט על דחייה בבניית האיים המלאכותיים. היה חשש שחלקים מהמנהרה התת-ימית זזו באופן משמעותי (תזוזה של עד 20 מטרים), דבר שיכול לגרום להתמוטטותה.
זאת ועוד הפרויקט חרג בכ-10 מיליארד יואן (או 1.4 מיליארד דולר אמריקאי) כתוצאה מכוח עבודה גדול יותר והוצאות נלוות על חומרי בנייה, כמו כן שינויים שונים בעיצוב ובתכנון שנעשו ברגע האחרון.
פציעות ומוות של עובדים:
בחלק ההונג קונגי של הפרויקט, יצא דוח על העבודות, שציין כי עשרה עובדים מתו ובערך ארבע מאות נפצעו במהלך הבניה. באפריל 2017 מספר מפלגות קטנות מהמועצה המחוקקת של הונג קונג, דרשו מהממשלה לקחת צעדים בתחום.
לעומת זאת, בצד הסיני מידע על הרוגים ופצועים נמצא תחת מחסה חשאיות, ולא הותר לפרסום. לפי הערכותיו של חבר המועצה המחוקקת של הונג קונג, פרננדו צ'אנג (אנ'), מספר ההרוגים בצד הסיני יכול להגיע עד למאה איש, ושזהו גשר של "דם ודמעות".
בדיקות ביטחון מזויפות:
ב-2017, עצרה "הנציבות העצמאית נגד שחיתות" (אנ') כ-21 עובדים מחברת Jacobs China Limited, על זיוף תוצאות בבדיקות של הבטון ממנו בונים את הגשר, ובכך לגרום לסיכון השימוש הציבורי בגשר. חלקם הגדול של העובדים נשלח לכלא.
הגנה על האיים המלאכותיים:
באפריל 2018, עלו שאלות בנוגע לשוברי הגלים (אנ') שאמורים להגן על האיים המלאכותיים. לאחר שצילומים נלקחו מקוודקופטר, היה נראה שחלק משוברי הגלים התפרקו ונשטפו על ידי הגלים, ושהדבר נבע מתכנון לקוי.
ירידה במספר הדולפינים:
פעילים מהסניף ההונג קונגי של הקרן העולמית לשימור חיות הבר, מצאו כי מספר הדולפינים הלבנים ירד משמעותית בעקבות הבנייה. הפעילים העריכו את הירידה במספרם בכ-60 אחוזים.
הכוהנת (קלף טארוט)

קלף "הכוהנת"
הכוהנת, הוא קלף מספר 2 בארקנה הגדולה של קלפי הטארוט. בקלפי הטארוט של מרסיי (אנ') עוטה הדמות שבקלף כתר אפיפיורי, והקלף נקרא "האפיפיורית", והיא קושרה לאגדה על "האפיפיורית יוהנה". כשנוצרה חפיסת קלפי הטארוט ריידר-ווייט (אנ'), שונה הכתר האפיפיורי לכתר הדומה לזה שעוטה דמותה של חתחור, הדמות שבקלף צוירה יושבת בין העמודים יכין ובועז, ושמה שונה ל"הכוהנת".
ארתור אדוארד וייט, שהיה שותף ביצירת חפיסת הריידר ווייט, גרס כי הקלף נקשר לעשתרת. בחבילת "השחר המוזהב" הכוהנת עומדת מעל המים, עוטה הינומה עם סהרון עליו ואוחזת בגביע המלא בדעת.
משמעות הקלף

הכוהנת מייצגת את האם הרוחנית, המכשפה, האוראקל. דמות רוחנית ומאגית, שומרת הסודות, בעלת יכולות מיסטיות חזקות מאוד ויכולת הסתרה ושמירת חשאיות וידע עמוק. העמודים בשחור ולבן מסמלים דואליות. הקלף מדבר על סגירות, סודות והסתרה או על עולם המיסטיקה והרוחניות. בהיבט רומנטי יכול לסמל זוגיות שנשמרים בה סודות. הקלף מציע לאדם להתחבר אל התת-מודע והאינטואיציה, להיפתח ולשתף את רגשותיו, ולהימנע מלהיות סגור.
אולם, אדם שבוחר לפרוס קלפים ולהתייחס גם להיפוך הקלף, יכול להתייחס לקלף הכוהנת כאל מסר המדבר על אינטואיציה מודחקת, מניעים נסתרים, שטחיות, בלבול ואף דיסוננס קוגניטיבי.
יש הגורסים כי קלף הכוהנת מייצג אינטואיציה, עצמאות, קלף שמייצג את האמון העצמי. השער למסתורין לתת מודע לחיים וליקום. עוד נטען כי קלף הכוהנת מסמל תהליכי חניכה וגדילה, תהליך של גילוי עצמי שנועד לשרש מנשמתו של האדם דימוי עצמי שגוי, חוסר אהבה עצמית, וחוסר הערכה. אחרים מאמינים כי הקלף מסמל אינטואיציה, ידע מקודש, נשיות אלוהית, ואת הלא-מודע. כמו כן, אחרים גורסים כי הקלף מייצג בין היתר חושניות.
הערות שוליים

↑  Arcana | PDF | Consumer Goods | Divination, Scribd (באנגלית)
↑  אורי רז, קלף הכהנת הגדולה, באתר הטארוט של אורי רז
↑  Waite, Arthur Edward, The Great Symbols of the Tarot, 1926
↑  הילה טארוט, פשוטארוט
↑  הכהנת, באתר מודרן טארוט - מיסטיקה במאה ה-21
↑  High Priestess Tarot Card Meanings, Biddy Tarot (באנגלית)
↑  The High Priestess Tarot Card Meaning, thetarotguide (באנגלית)
| קלפי טארוט |
| --- | --- | --- |
| הארקנה הגדולה | השוטה, הקוסם, הכוהנת, הקיסרית, הקיסר, הכהן הגדול, הנאהבים, המרכבה, הצדק, הנזיר, גלגל המזל, כוח, התלוי, המוות, המיזוג, השטן, המגדל, הכוכב, הירח, השמש, יום הדין, העולם |  |
RSA

ערך זה עוסק בשיטת הצפנה. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
RSA היא מערכת הצפנת מפתח ציבורי דטרמיניסטית מעשית הראשונה שהומצאה והיא עדיין בשימוש נרחב במערכות אבטחת מידע מודרניות, תקשורת מחשבים ומסחר אלקטרוני. ב־RSA, כבכל מערכת מפתח ציבורי, מפתח ההצפנה אינו סודי והוא שונה ממפתח הפענוח שנשמר בסוד, על כן היא נקראת אסימטרית. האסימטריה ב־RSA נובעת מהקושי המעשי שבפירוק לגורמים של מספר פריק שהוא כפולה של שני ראשוניים גדולים, שהיא בעיה פתוחה בתורת המספרים. השם RSA נובע מראשי התיבות של שמות המשפחה של הממציאים, רון ריבסט, עדי שמיר ולאונרד אדלמן, שפרסמו את האלגוריתם לראשונה ב־1977. ישנן עדויות שהאלגוריתם היה ידוע עוד קודם לכן לשירותי המודיעין של ארצות הברית והממלכה המאוחדת ונשמר בסוד מטעמים של ביטחון לאומי.
ב-RSA השולח משתמש במפתח ההצפנה הציבורי של הנמען כדי להצפין עבורו מסר כך שרק הנמען מסוגל לפענחו באמצעות המפתח הפרטי המתאים שברשותו. המפתח הציבורי כולל שלם  e יחד עם השלם הפריק  n שהוא כפולה של שני ראשוניים גדולים שווים באורכם בקירוב, הנקרא מודולוס. הצפנה היא העלאת המסר בחזקת  e מודולו  n ואילו פענוח נעשה על ידי הפעולה ההפוכה אותה הנמען מבצע על ידי העלאת הטקסט המוצפן בחזקת ההופכי הכפלי של  e שהוא המפתח הסודי  d (שאותו אפשר לכתוב גם:  e^{-1}) במילים אחרות פענוח שקול להוצאת שורש ממעלה  e מודולו  n.
בידיעת הגורמים הראשוניים חישוב המפתח הסודי  d מתוך המפתח הציבורי  e הוא מלאכה קלה, כפי שיתואר בהמשך ואילו ללא ידיעת הגורמים הראשוניים לא ידועה דרך יעילה לחישובו בזמן סביר. לכן "הקושי" נמדד במספר הפעולות האלמנטריות הנדרש כדי לפרק את המודולוס לגורמים. ההבדל בפקטור העבודה בין העלאה בחזקה מודולרית לבין חישוב שורש מודולרי שהן פעולות הופכיות, הוא המקור לפונקציה החד־כיוונית שבבסיס RSA. שבירת מערכת ההצפנה, דהיינו פענוח המידע ללא ידיעת הגורמים הראשוניים של  n נקרא בעיית RSA. היא נחשבת לבעיה קשה אם כי אין הוכחה שהיא קשה לפחות כפירוק לגורמים. אלגוריתם RSA נחשב איטי יחסית ועל כן אינו מתאים להצפנה ישירה של מידע בכמות גדולה. במקום זאת, במערכת הצפנה היברידית, RSA משמש לשיתוף והעברה של מפתח להצפנה סימטרית, אשר בתורו משמש להצפנת המידע עצמו עם אלגוריתם מועדף כמו AES.
RSA שאבה השראה מרעיון המפתח הציבורי שנהגה כשנה קודם לכן על ידי ויטפילד דיפי ומרטין הלמן והוא האלגוריתם האסימטרי הראשון ששימש גם להצפנה וגם לחתימה דיגיטלית. RSA היה לפורץ דרך בתולדות ההצפנה המודרנית והמצאתו העלתה את בעיית פירוק לגורמים לחזית המחקר בתורת המספרים היישומית, שכן ביטחונו מסתמך על כך שלא ניתן לפתור בעיה זו בפרק זמן סביר. אלגוריתם RSA אינו פוסט־קוונטי, כלומר עם המצאת מחשב קוונטי מעשי בקנה מידה גדול, צופן RSA לא יהיה בטוח יותר לשימוש משום שבעיית פירוק לגורמים תהיה קלה לפתרון באמצעות אלגוריתם שור.
היסטוריה

החיסרון העיקרי בצפנים סימטריים הוא שהמפתח הסודי נדרש הן להצפנה והן לפענוח ולכן יש צורך להעבירו לידי השולח בדרך כלשהי ובכך לסכנו בחשיפה. ב־1976 פרסמו ויטפילד דיפי ומרטין הלמן מאמר המתאר את התפיסה של ההצפנה האסימטרית, שבה הנמען מפרסם מפתח הצפנה פומבי בעזרתו מבוצעת הצפנת מסרים הנשלחים אליו, ואילו הפענוח מתבצע אך ורק באמצעות המפתח הפרטי שברשותו, שמעולם לא נחשף. כשנה לאחר מכן ב־1977, רונלד ריבסט, עדי שמיר ולאונרד אדלמן מ־MIT פרסמו לראשונה במגזין סיינטיפיק אמריקן את RSA, שיישם לראשונה את המודל של דיפי והלמן באופן מעשי. אלגוריתם RSA זיכה את ממציאיו בפרס טיורינג לשנת 2002.
היסטוריה > זכויות יוצרים

RSA נרשם כפטנט בארצות הברית בשנת 1983 ותוקפו פג בספטמבר 2000. בדצמבר 1997 פרסם מטה התקשורת של המודיעין הבריטי GCHQ מסמך בו נטען כי רעיון המפתח הפומבי היה ידוע להם כעשור לפני שהתפרסם. הם גילו לטענתם גם את RSA וגם את דיפי־הלמן, אך שמרו את הדבר בסוד. גם ה־NSA טען שגילה את RSA הרבה לפני שנודע לציבור, אולם התגלית סווגה כסוד לאומי. המתמטיקאי הבריטי קליפורד קוקס שעבד בסוכנות הביון הבריטית, פרסם מסמך בו נטען כי ב־1973 המציא אלגוריתם הצפנה דומה ל־RSA. ייתכן שבקהיליית המודיעין המצאות אלו היו ידועות שנים רבות לפני שהציבור התוודע להן. בכל מקרה ספק אם לממצאים אלו הייתה תועלת מעשית כלשהי באותה עת.
הכנה

בגרסת RSA הבסיסית, תחילה להכנה:
בוחרים שני מספרים ראשוניים גדולים  \ p ו־ \ q
מחשבים את  \ n=pq
מחשבים את  \ \phi (n)=(p-1)(q-1). הפונקציה  \phi  נקראת פונקציית אוילר המייצגת את סדר החבורה.
בוחרים שלם  1<e<\phi (n) שהוא זר ל־ \phi (n) (בעבר היה נהוג לבחור e=3, אך התגלו בו פרצות אבטחה. היום נהוג לבחור e=65537)
מחשבים  \ d המקיים את הקונגרואנציה:  de\equiv 1\ ({\mbox{mod }}\phi (n)). כלומר מקיים את:  de\ {mod}\ \phi (n)=1.
הכנה > פירוט הפרמטרים

\ p ו־ \ q בשלב 1 צריכים להיות ראשוניים גדולים כדי להקשות על פירוק לגורמים ואקראיים כדי להקשות על ניחושם. האסטרטגיה המומלצת היא להגריל מספר אקראי אי־זוגי באורך הרצוי באמצעות מחולל פסאודו-אקראי ובדיקת ראשוניותו באמצעות אלגוריתם לבדיקת ראשוניות. אפשר להסתפק באלגוריתם הסתברותי כגון מילר־רבין אם הפרמטרים נבחרו כראוי. משפט המספרים הראשוניים מבטיח שתוך מספר קטן יחסית של הגרלות (בערך כמספר הספרות של המספר), נתקלים בראשוני.
n נקרא מודולוס. החישובים מתבצעים בחוג  \ \mathbb {Z} _{n} שבו מחושבת השארית של כל פעולה אריתמטית במספר n (ראו חשבון מודולרי).  n משמש כמפתח פומבי ונדרש להצפנה ופענוח.
e הוא מפתח פומבי המשמש להצפנה ויכול להיות כל שלם טבעי הנמוך מ־ n ובלבד שיהיה זר ל־ \ \phi (n) כלומר שאין לו מחלק משותף עם  \phi (n) מלבד 1. מסמנים זאת:  {\mbox{gcd}}(\phi (n),e)=1 (הפונקציה gcd מציינת מחלק משותף מרבי). זאת כדי להבטיח כי ההצפנה תהיה תמורה ייחודית (כלומר עבור כל מסר מוצפן  \ c יהיה מסר מפוענח יחיד  \ m המתאים לו). רצוי לבחור  \ e קטן ככל האפשר כדי להקל על תהליך ההצפנה.
d הוא מפתח פרטי המשמש לפענוח וצריך להישמר בסוד.  d הוא הופכי כפלי מודולרי של  e (מודולו  \phi (n)) וניתן לסמנו:  e^{-1}. להכנת  \ d אפשר להיעזר באלגוריתם אוקלידס המורחב (להלן)
הראשוניים  p ו־ q לא נחוצים לתהליך ההצפנה והפענוח על כן רצוי להשמידם.
הכנה > פרמטרים מתקדמים

בתקן PKCS (גרסה 2), שונה מעט תהליך הכנת המפתחות. במקום לחשב את  \ \phi (n)=(p-1)(q-1) מחשבים את  \ \lambda (n)={\mbox{LCM}}(q-1,p-1), שהוא האקספוננט של חבורת אוילר  \ U_{n} (הפונקציה  \ {\mbox{LCM}} היא הכפולה המשותפת המינימלית). במקרה זה  \ d צריך לקיים את יחס השקילות  \ ed\equiv 1\ ({\mbox{mod }}\lambda \left(n\right)).
תקן PKCS תומך בגרסה מתקדמת הנקראת RSA-CRT בה מנצלים את משפט השאריות הסיני כדי לחלק את מפתח הפענוח הסודי לשני מפתחות קטנים. מחשבים את  \ d_{P} כך שמתקיים  \ e\cdot d_{P}\equiv 1\ ({\mbox{mod }}(p-1)) ו־ \ d_{Q} כאשר  \ e\cdot d_{Q}\equiv 1\ ({\mbox{mod }}(q-1)) ובאופן דומה מחשבים את מקדם CRT שהוא ההופכי הכפלי של  \ q מודולו  \ p המסומן בקיצור  \ q^{-1}. הראשוניים ומקדם ה־CRT נדרשים להצפנה ופענוח ועל כן יש לשומרם בסוד. כמו כן תהליך הפענוח שונה במעט (להלן).
התקן תומך גם בגרסת "Multi-prime" שבה מספר הגורמים הראשוניים של המודולוס  \ n גדול משניים. במקרה זה, עבור הראשוניים  \ r_{1},r_{2},...,r_{u} כאשר  \ u\geq 3 מחשבים את המעריכים  \ d_{i} כך שמתקיים  \ e\cdot d_{i}\equiv 1\ ({\mbox{mod }}(r_{i}-1)) וכן  \ t_{i} הנקראים מקדמי  \ {\mbox{CRT}} כך שמתקיים  \ R_{i}\cdot t_{i}\equiv 1\ ({\mbox{mod }}r_{i}) כאשר  \ R_{i} הוא כפולה של כל הראשוניים למעט  \ r_{i}. בשיטה זו יש לשמור את כל השלישיות  \ r_{i},d_{i},t_{i}. וכן תהליך הפענוח שונה בהתאם (להלן).
הצפנה ופענוח

אליס משדרת לבוב את מפתחות ההצפנה ( \ e,n) ושומרת בסוד את המפתח  \ d. אם בוב מעוניין לשלוח את המסר  \ m לאליס תחילה עליו להפוך את  \ m לערך מספרי הנמוך מ־ \ n בדרך מוסכמת כלשהי.
הצפנה ופענוח > הצפנה

להצפנה בוב פשוט מעלה את  m בחזקת  e ונוטל את השארית מחילוק ב־ n. את הטקסט המוצפן  c הוא יוכל לשדר לאליס בערוץ פתוח ונגיש לכל.
הצפנה ופענוח > פענוח

לפענוח אליס משחזרת את המסר  m מתוך הטקסט המוצפן  c בעזרת המפתח הסודי  d בדרך זו:
הצפנה ופענוח > גרסאות מתקדמות > RSA-CRT

בגרסת CRT המופיעה בתקן, תהליך ההצפנה נותר זהה אך תהליך הפענוח שונה והוא מורכב משלושה שלבים:
משתמשים במפתחות הפענוח מתהליך ההכנה לעיל, כדי לחשב את  \ m_{1}=c^{d_{P}}{\mbox{ mod }}p וכן  \ m_{2}=c^{d_{Q}}{\mbox{ mod }}q.
מחשבים את  \ h=(m_{1}-m_{2})\cdot q^{-1}\ {\mbox{mod }}p כאשר  \ q^{-1} הוא הופכי כפלי מודולרי של  \ q מודולו  \ p
התוצאה תהיה  \ m=m_{2}+q\cdot h
היות שפעולת העלאה בחזקה מודולרית היא הפעולה הארוכה והאיטית ביותר בכל התהליך. היתרון בשיטה זו כאמור שהיא נעשית מודולו  p ו־ q כל אחד בנפרד. היות שהם קטנים מהמודולוס בחצי מושג שיפור בפקטור של 2 בקירוב.
הצפנה ופענוח > גרסאות מתקדמות > RSA Multi-primes

בגרסת Multi-Prime שבה מספר הגורמים גדול משניים, שוב ההצפנה זהה לגרסה הבסיסית ואילו הפענוח מתבצע כדלהלן:
תחילה עבור הגורמים  \ r_{1},r_{2},...,r_{u} כאשר  \ u\geq 3 מחשבים את  \ m_{i}=c^{d_{i}}{\mbox{ mod }}r_{i} כאשר  d_{i} הם מפתחות הפענוח שהוכנו קודם (פרמטרים מתקדמים לעיל).
מחשבים את  \ h=(m_{1}-m_{2})\cdot r_{2}^{-1}\ ({\mbox{mod }}r_{1}).
מחשבים את  \ m=m_{2}+r_{2}\cdot h.
מציבים \ R=r_{1} ועבור \ i=3 עד \ u מחשבים את:
\ R=R\cdot r_{i-1} (כפולת כל הראשוניים למעט  \ r_{i})
\ h=(m_{i}-m)\cdot t_{i}\ ({\mbox{mod }}r_{i})
\ m=m+R\cdot h
יש לזכור שכל הפעולות מבוצעות מודולו  \ n.
מכיוון שהפרמטרים ביישום מעשי בדרך כלל גדולים, חישוב חזקות בסדר גודל כזה נעשה בשיטות לחישובים מודולריים מרובי ספרות (ראו חשבון מודולרי).
השיטה הבסיסית המתוארת כאן אינה בטוחה לשימוש לפי מודל ביטחון מחמיר שנקרא עמידות נגד התקפת מוצפן-נבחר לכן במרבית המקרים אין להשתמש בה כך. תחת זאת, התקן מפרט שיטות להכנה בטוחה של המסר להצפנה באופן כזה שההצפנה תהיה בטוחה ולא תדליף מידע שלא במתכוון (ראו ריפוד). בנוסף, כדי למנוע התקפה אקטיבית על המערכת מצד גורם זדוני שיכול לשנות מסרים בדרכם, רצוי להבטיח את שלמות המפתחות ושייכותם לבעליהם. מקובל לרשום את המפתח הציבורי אצל צד שלישי מהימן כמו רשות אישורים (ראו מפתח פומבי).
בסיס מתמטי

ביטחון שיטת RSA מתבסס על בעיית RSA כדלקמן; נתון שלם חיובי  pq, מכפלת שני ראשוניים שונים שווים בגודלם בקירוב, נתון שלם חיובי  e הנמוך מ־ pq המקיים  \ {\mbox{gcd}}((p-1)(q-1),e)=1 (פירושו ש־ e זר ל־ (p-1)(q-1)) ונתון שלם  c כלשהו. מצא את  m המקיים את המשוואה:  m^{e}\equiv c\ ({\mbox{mod }}pq). במילים אחרות הבעיה היא מציאת שורש ממעלה  e של  c (מודולו  pq).
הרעיון מאחורי אלגוריתם הפענוח של RSA מבוסס על משפט אוילר הקובע: עבור כל  \ a ו־ n טבעיים הזרים זה לזה (שאין להם מחלק משותף מלבד 1) מתקיים:
 a^{\phi (n)}\equiv 1\ ({\mbox{mod }}n). הפונקציה  \phi (n) נקראת פונקציית אוילר ומייצגת את מספר הטבעיים הזרים ל־ n וקטנים ממנו. אם מכפילים את שני אגפי השקילות האמורה ב־ a מתקבל:  a^{\phi (n)+1}\equiv a^{\phi (n)}\cdot a\equiv a\ ({\mbox{mod }}n).
בסיס מתמטי > הוכחת נכונות

לפי האלגוריתם מפתח הפענוח  \ d מקיים את השקילות  \ ed\equiv 1\ ({\mbox{mod }}\phi ),
כלומר  ed-1 הוא כפולה כלשהי של  \phi  שהוא בעצם  (p-1)(q-1), בניסוח אחר קיים שלם  \ k המקיים  \ ed=1+k(p-1)(q-1) לכן  c^{d} הוא פתרון של המשוואה  m^{e}\equiv c{\text{ (mod }}pq) כי עבור כל שלם  c הנמוך מ־ pq מתקיים:
| --- | --- |
   (c^{d})^{e}\equiv c^{de}{\text{ (mod }}pq),  \equiv c^{1+k(p-1)(q-1)}{\text{ (mod }}pq),  \equiv c\cdot (c^{(p-1)(q-1)})^{k}{\text{ (mod }}pq),  \equiv c\cdot 1^{k}{\text{ (mod }}pq)  \equiv c{\text{ (mod }}pq) :  לפי חוקי החזקות, היות שמתקיים  de=1+k(p-1)(q-1), חוקי החזקות שוב, נובע ממשפט אוילר ‎
והפתרון הוא יחיד כיוון שאם קיים פתרון אחר נניח  u שגם הוא פתרון של  c\equiv m^{e} אז:
| --- | --- |
   u\ \equiv u^{de-k(p-1)(q-1)}{\text{ (mod }}pq),  \equiv (u^{e})^{d}\cdot (u^{(p-1)(q-1)})^{-k}{\text{ (mod }}pq),  \equiv (u^{e})^{d}\cdot 1^{-k}{\text{ (mod }}pq),  \equiv c^{d}{\text{ (mod }}pq) :  היות ש־ de=1+k(p-1)(q-1), לפי חוקי החזקות לפי משפט אוילר היות ש־ u הוא פתרון של  m^{e}\equiv c{\text{ (mod }}pq).