stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
שמואל מאיר הולנדר
ביוגרפיה

נולד במשאנה דולנה שבגליציה, שם כיהן אביו הרב נתן דוד הולנדר כרב ואב בית דין. גם סבו רבי יוסף הולנדר היה מחשובי חסידי האדמו"ר בעל ה'דברי חיים' מצאנז ובנו בעל ה'דברי יחזקאל' משינאווא, כיהן כאב בית דין אמסנא. למד בישיבת עץ חיים אצל האדמו"ר רבי שלמה הלברשטאם מבאבוב.
לאחר נישואיו כיהן כרב באמסנא. בשנת 1913 התמנה כרב ואב"ד בצ'רנוביץ וכיהן בתפקידו כשלושים שנה. הִרבה להתכתב בהלכה ובחסידות עם גדולי דורו ועם רבני אירופה. ברשותו נשמרו עשרות מכתבים תורניים שנשלחו אליו על ידי חשובי הרבנים באירופה, ובהם רבי חיים מרדכי רולר אב"ד ניאמץ, רבי יוסף לייב סופר אב"ד פאקש, רבי דוד יהודה זילברשטיין אב"ד וויצן, רבי בצלאל זאב שפרן אב"ד באקו ואחרים.
בזמן מלחמת העולם השנייה המשיך לשמש כרב בצ'רנוביץ וניצל מגירוש לטרנסניסטריה. לאחר המלחמה שימש כאב"ד דארבאני. בשנת 1947 שימש כרב בית הכנסת "שלום על ישראל" בבוקרשט.
בתקופת מלחמת העולם השנייה רכש כתבי יד של רבי שמואל קעלין בעל מחצית השקל שכללו חידושים על מסכתות בבא בתרא ועבודה זרה. בשנת 1958 הוציאם לאור, בתוספת הקדמה.
בשנת 1948 עלה לישראל ושימש כרב שכונת נווה צדק בתל אביב ובית הכנסת "קהל חסידים" בשכונה. ב-1955 היה ממובילי ההתנגדות מקרב רבני תל אביב לבחירת גולדה מאיר לראשות העיר. הוא כתב מכתב לראש העיר חיים לבנון, ובו פירט את הנימוקים ההלכתיים כנגד בחירת אישה לתפקיד.
דברים רבים הובאו בשמו בסדרת ספרי "מגדולי התורה והחסידות".
מאמריו פורסמו בכתבי העת דאס יודישע ווארט, אוצר החיים בית ועד לחכמים, קבוצי אפרים, תל תלפיות
נפטר בשנת 1964 ונקבר בבית הקברות נחלת יצחק, סמוך לחותנו בזיווג שני הרב שלום הגר.
משפחתו

הרב הולנדר היה כהן מיוחס מגזע משפחת רפופורט. האדמו"ר רבי אהרן מבעלזא אמר לחסידיו שייקחו אותו לפדיון הבן.
בזיווג ראשון נשא אישה ממשפחת פרנקל תאומים, ממנה נולדה בתם רייזל (יכט). האם נפטרה זמן קצר לאחר לידתה. רייזל יכט נישאה לרב יצחק משולם לייפר אב בית דין (אב"ד) דארבאני שברומניה.
בזיווג שני נשא את בתו של האדמו"ר רבי שלום הגר מסטרוז'ניץ, ממנה נולדו שתי בנות: שרה אסתר וחיה רייצא. שרה אסתר נישאה לדוד המאירי וחיה רייצא נישאה לד"ר צבי שפסר.
בזיווג שלישי נשא את רינא (רינה) בת ר' ישכר דב כהנא מפעסט, ממנה נולדו שני בנים: זאב יהודה ונתן דוד.
אחותו של הרב הולנדר הייתה אשת האדמו"ר רבי יצחק אייזיק רוזנבוים מזוטשקא.
ספריו

שו"ת ש"ם הכהן, ירושלים, תשי"ב
מהרש"מ הכהן, תל אביב, תשט"ז
לקריאה נוספת

מאיר וונדר, אנציקלופדיה לחכמי גליציה, חלק ב, עמ' 96- 99
הערות שוליים

↑  כיצד גולדה מאיר כמעט ונהייתה ראש עיריית תל אביב, אתר תל אביב שלי
↑  מאיר וונדר, אנציקלופדיה לחכמי גליציה, עמ' 98, ירושלים: תשמ"ב, באתר אוצר החכמה (צפייה חופשית – מותנית ברישום)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007311542505171  LCCN: nr97005109  VIAF: 299286131   WorldCat (עם VIAF): 299286131
אפרים פורת

.
אין תמונה חופשית
אפרים פורת (איינהוֹרְן) (י"ג בניסן תרמ"ז, 7 באפריל 1887 – כ"ח באדר ב' תשי"ט, 7 באפריל 1959, ירושלים) היה מורה ובלשן עברי.
קורות חיים

פורת נולד בשם אפרים איינהורן באביב 1887 בדִינוֹבּוּז שבפולין, בן למשפחה מסורתית, נצר לר' אברהם מטריסק, מייסד חסידות טריסק. אביו יוסף שלכטר היה סוחר ומורה.
התחנך כרגיל ב"חדר". בשנת 1909 הגיע לארץ ישראל ולמד בבית המדרש למורים העברי בירושלים. עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה ב-1914 שב לאירופה, משנת 1916 למד באוניברסיטאות פראג, ברלין ולבסוף באוניברסיטת גיסן, שם היה תלמידו הבולט של פרופ' פאול קאלה, ובשנת 1919 קיבל תואר דוקטור בשפות שמיות. הדיסרטציה הייתה בנושא "היווצרותן של צורות פאסיביות של שורשים בשפות שמיות". (חלקים מעבודתו פורסמו לימים כמאמר בירחון להיסטוריה ומדעי היהדות, Monatsschrift für Geschichte und Wissenschaft des Judentums.)
משנת 1920 ועד 1934 כיהן כמורה ומנהל בית המדרש למורים ביאסי שברומניה, וכן מורה בגימנסיה "תרבות" בסורוקי שבבסראביה ובצ'רנוביץ שבבוקובינה.
בשנת 1935 עלה לארץ ישראל והתיישב בירושלים. היה חבר ועד הלשון העברית משנת תרצ"ה.
עיקר עבודתו הבלשנית הייתה במהדורה מדעית של פירושי אברהם אבן עזרא למקרא, שממנה ראו אור רק דפים אחדים לדוגמה.
בשנת 1938 יצא ספרו "לשון חכמים לפי מסורות בבליות שבכתבי יד ישנים״. בספרו ניתח מסורות בבליות בכתבי יד שונים. פרסם מחקרים נוספים, ובהם: "מדרכי חז"ל בפרשנות המקרא" ו"פירושי אבן עזרא לנביאים וכתובים".
בכ"ה בכסלו תשט"ו נבחר לחבר-יועץ של האקדמיה ללשון העברית.
אפרים פורת נפטר בסוף שנת 1959. נקבר בהר המנוחות.
פרסומיו

לשון חכמים לפי מסורות בבליות שבכתבי יד ישנים, ירושלים: מוסד ביאליק על ידי ועד הלשון העברית בא"י (סדרת 'מחקרים לשוניים' בעריכת נ"ה טורטשינר), תרצ"ח.
'Die Passivbildung des Grundstammes im Semitischen,' Monatsschrift für Geschichte und Wissenschaft des Judentums 70, 3 (1926), 180-193(הקישור אינו פעיל); 4, 250-260(הקישור אינו פעיל).
'Zur Pluralbildung im Hebräischen,' Monatsschrift für Geschichte und Wissenschaft des Judentums 74, 4 (1930), 259-265(הקישור אינו פעיל).
'Zu den Dialekten des Talmudisch-Hebräischen,' Monatsschrift für Geschichte und Wissenschaft des Judentums 78, 2 (1934), 305-308(הקישור אינו פעיל).
תרגום:
הרב שמשון רפאל הירש, אגרות צפון: תשע עשרה אגרות על היהדות; תורגם מגרמנית על ידי אפרים פורת; עם מבוא מאת יצחק היינמן, ירושלים: מוסד הרב קוק, תש"ט. (הדפסה ב מתוקנת: תשי"ב.)
לקריאה נוספת

'פורת (איינהורן), אפרים', בתוך: דוד קלעי (עורך), ספר האישים: לכסיקון ארצישראלי, תל אביב: מסדה, תרצ"ז 1936, עמ' 1975. (הספר בקטלוג ULI)
'אפרים פורת', ארשת: ספר שנה לחקר הספר העברי 3 (תשכ"א 1961), 91.
הערות שוליים

↑  ראו הנרי וסרמן (Henry Wassermann, False Start: Jewish Studies at German Universities during the Weimar Republic, Amherst, NY: Humanity, 2003), עמ' 212 וכן עמ' 229 הערה 33.
↑  אפרים פורת באתר GRAVEZ
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007462752105171  GND: 125636148  ISNI: 0000 0003 8567 900X  LCCN: no96065407  NTA: 273502484  SUDOC: 166686255  VIAF: 244070006   WorldCat (עם VIAF): 244070006
אחמד אבו לבן

| --- | --- |

 לידה:  1946 יפו, פלשתינה (א"י) 
 פטירה:  1 בפברואר 2007 (בגיל 61 בערך) קופנהגן, דנמרק 
 מדינה:  ממלכת דנמרק, מדינה פלסטינית 
 השקפה דתית:  אסלאם, ערבים-מוסלמים 
 
אחמד אבו לבן (בערבית: أحمد أبو لبن; 1946 – 1 בפברואר 2007) היה המנהיג של ארגון בשם החוג האסלאמי בדנמרק ודמות מפתח בפרשת קריקטורות מוחמד שפורסמו בעיתון הדני "יילנדס פוסטן".
ביוגרפיה

נולד ביפו, בשנת 1946. ב-1948 משפחתו היגרה למצרים, שם גדל והתחנך. ב-1969 הוא סיים את לימודיו כמהנדס מכונות. ב-1974 התחתן עם בת-דודתו אינם, ולהם שבעה ילדים. הוא למד לימודי אסלאם במדינות מוסלמיות שונות. בשנים 1970–1982 הוא עבד במפרץ הפרסי בתעשיית הנפט, ובשנים 1982–1984 המשיך בניגריה. היא תרם למספר פרויקטים מוסלמים בחינוך במדינות שונות בניגריה.
ב-1984 הוא היגר לדנמרק, שם נשאר לשארית חייו. ב-19 בינואר 2007 הודיע החוג האסלאמי בדנמרק שאבו לבן חולה בסרטן, כנראה סרטן הריאות. הוא מת ב-1 בפברואר 2007, בגיל 60.
ביוגרפיה > תפקידים

אבו לבן היה יועץ לענייני דת בחוג האסלאמי שבדנמרק. על פי אתר הארגון, הוא היה חבר במועצה המתאמת של אימאמים באירופה.
מחלוקת

אבו לבן היה אישיות בלתי רצויה באיחוד האמירויות הערביות ובמצרים עקב דעותיו האסלאמיסטיות הוא היה ידוע בתקשורת הדנית עקב הצהרותיו הרדיקליות לגבי אסלאם ושילוב מהגרים בחברה הדנית.
החוקר מסרי-לנקה, רוהן גונרטנה, שכתב את הספר בתוך אל-קאעידה אמר שאבו לבן הוא מוסלמי קיצוני. גונרטנה האשים את אבו לבן בתמיכה פוליטית וכלכלית באל-ג'מעיה אל-אסלמיה, ארגון מצרי קיצוני ששייך לרשת של אוסאמה בין לאדן.
ב-5 באפריל 2002, אבו לבן קרא לקהילה שלו להקריב את חייהם בג'יהאד למען הפלסטינים.
פרשת קריקטורות מוחמד

אבו לבן היה מעורב במשבר התקשורתי שנוצר בדנמרק אחרי פרשת קריקטורות מוחמד. בנובמבר, 2005 הוא היה אחד מהמנהיגים של משלחת שנסעה למזרח התיכון לבקש תמיכה דיפלומטית, אחת מהסיבות לכעס הרב שנותר באזור בתחילת 2006. יחד עם אחמד אקרי הוא הכין תיק של 43 עמודים בו השתמשו בסיור.
שלוש תמונות נוספות - שנטען שנשלחו לאבו לבן אך אף פעם לא פורסמו - נוספו בתיק לרשימת התמונות שאכן פורסמו. אחמד אקרי הסביר ששלוש התמונות מסבירות "עד כמה האווירה כלפי מוסלמים עוינת בדנמרק".
דעות אחרות השנויות במחלוקת

ב-21 באוגוסט 1994 אבו לבן התראיין ביילנדס פוסטן עקב טבח שערך הארגון הטרוריסט האלג'יראי GIA ושבו נהרגו שבעה נזירים נוצרים ומספר תיירים. כאשר נשאל אם הוא מגנה את הטבח הוא ענה "אולי התיירים מפיצים איידס באלג'יריה כפי שהיהודים מפיצים איידס במצרים".
בדרשת יום השישי שלו לאחר פיגועי 11 בספטמבר הוא אמר שהוא מתאבל על הקרבנות ב"דמעות יבשות".
לאחר הרצח של הבמאי והסופר ההולנדי תאו ואן גוך, הוא ביקר את הרצח בפומבי, אך בשיחות עם הקהילה המוסלמית הוא ציין לשבח את מותו. זמן קצר לאחר מכן, הוא מתח ביקורת על חופש הדיבור האירופאית בעניין הסרט כניעה של במאי הסרטים ההולנדי.
כשאמינה לאוואל מניגריה נשפטה להוצאה למוות בסקילה, הוא סירב לגנות את גזר הדין באומרו שאינו שופט.
לאחר רצח כנופיות בקופנהגן, הוא הציע לשלם כופר בשווי 100 גמלים כדי למנוע נקמות דם.
בראיון בטלוויזיה הדנית הוא נשאל אם הוא מכבד את אוסאמה בין לאדן וענה: "אוסאמה בין לאדן הוא איש עסקים ולוחם חופש".
הוא אמר לגבי הפוליטיקאי הדני-ליברלי נאסר ח'דר "אני קורא לאנשים כאלה חולדות בחורים".
ב-5 באפריל 2002, אבו לבן קרא לקהילתו בדרשת יום השישי להקריב את חייהם בג'יהאד למען הפלסטינים. מחוץ למסגד חיכו אוטובוסים לקחת את המתפללים להפגנה בכיכר פרלמנט שבלונדון, שם הם החזיקו שלטים שהשוו בין יהדות ונאציזם, נופפו באקדח ושרפו את דגל ישראל.
הערות שוליים

↑  אבו לבן חולה בסרטן, דנית
↑  אבו לבן נפטר, דנית
↑  לבן באתר החוג האסלאמי בדנמרק, דנית
↑  Abu Laban taler med to tunger, דנית
↑  The Stephen Roth Institute for the study of contemporary Antisemitism and racism, 2002-3
↑  Jyllands-Posten 21 August 1994. "Like the Jews." Abu Laban interviewed, דנית
↑  Islamic Extremists and Their Western Allies on the Offensive against Free Speech in Denmark, דנית
↑  Abu Laban's dry tears after 9/11
↑  Imam proposal for blood-money appals
↑  Imam Abu Laban on Osama bin Laden
↑  Abu Laban in his Friday sermon, February 11 2006, דנית
↑  Antisemitism and Racism, Denmark
אינטגרל קווי

המחשת אינטגרל קווי
במתמטיקה, אינטגרל קווי (לעיתים גם אינטגרל לאורך עקום, אינטגרל מסלולי או אינטגרל מסילתי) הוא אינטגרל המחושב לאורך מסילה במרחב, ולאו דווקא לאורך קטע ממשי. כמו האינטגרל הרגיל, האינטגרל הקווי מסכם ערכים של פונקציה נתונה ומשקלל אותם לפי אורך המסילה, באופן המכליל סיכום של מספר סופי של ערכים. הפונקציה שאת האינטגרל שלה מחשבים עשויה לקבל ערכים ממשיים, או ערכים וקטוריים בכל מרחב בנך (ובכלל זה המרחב האוקלידי).
האינטגרל נקרא לפעמים מסוג ראשון כאשר הוא מסכם פונקציה סקלרית (ממשית או מרוכבת), או מסוג שני כאשר הוא מסכם פונקציה וקטורית. האינטגרל מהסוג השני הוא למעשה סכום של רכיבים של וקטור, שרכיביו הם בעצמם אינטגרלים מהסוג הראשון. לשני הסוגים ישנן משמעויות פיזיקליות שונות, ולכן לעיתים דרך הטיפול בהם שונה.
הצורך באינטגרל קווי עולה בעת ניתוח גדלים הקשורים בתנועה במסלול שאינו ישר, או בתכונות פיזיקליות של גוף עקום, כגון חוט דק. בדרך זו, ניתן לחשב גדלים כדוגמת אורך, מסה, או מטען חשמלי. האינטגרל הקווי מחשב כוח הפועל על גוף המיוצג על ידי עקום, או עבודה של כוח המניע מסה לאורכו, כמו גם התנהגות של שדות פיזיקליים (למשל, שדה חשמלי) על פני מסלולים.
לאינטגרלים קוויים של פונקציות אנליטיות או הרמוניות ישנן תכונות מתמטיות הקושרות אותם לערכי הפונקציה במשטח שאותו סוגר העקום. בקשרים אלה עוסקים כמה משפטים באנליזה מרוכבת, באנליזה וקטורית ובאנליזה הרמונית.
נהוג לסמן אינטגרל קווי לאורך מסלול  C בסימן  \ \int _{C}. אם  C הוא מסלול סגור, מסמנים אותו לעיתים  \ \oint _{C}. לעיתים מסמנים אינטגרל קווי באופן זהה לזה של אינטגרל לא מסוים או בדומה לאינטגרל מסוים, כאשר בתחתית ה-S הארוכה מציינים את נקודת התחלת המסלול ובראשה את נקודת סיומו, בשני המקרים תוך ציון מילולי כי האינטגרציה נעשית לאורך העקום.
מבוא

אינטגרציה היא שיטה לחישוב גדלים על ידי סכימת אלמנטים קטנים, שגודלם שואף לאפס ומספרם שואף לאינסוף. האינטגרל המסוים של פונקציה בקטע נתון מחושב על ידי חלוקת הקטע לתת-קטעים קטנים, וסיכום כל המכפלות של ערכי הפונקציה ב"נקודה יציגה" שנבחרת בכל תת-קטע באורכי תת-הקטעים המתאימים. סכום כזה נקרא "סכום רימן", על שמו של המתמטיקאי ברנהרד רימן. לעיתים קרובות מתברר שאם מעדנים את החלוקה כך שתת-הקטעים נעשים קטנים יותר ויותר, סכומי רימן הולכים ומתקרבים לערך קבוע, ללא תלות באופן החלוקה ובנקודות שנבחרו בתת-הקטעים. במקרה כזה נקרא הערך המתקבל - "אינטגרל רימן" של הפונקציה בקטע. האינטגרל מחשב שטח: אם הפונקציה חיובית, האינטגרל שלה שווה לשטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין הציר של המשתנה שעל פיו מחושב האינטגרל.
באופן דומה, ניתן להגדיר אינטגרלים שבהם המכפלות המחושבות הן שונות. בפרט, ניתן להגדיר אינטגרלים שבהם המכפלות הנסכמות הן מכפלות של ערכי פונקציה מסוימת באורכי חלקים קטנים של עקום נתון, או בהיטליהם על הצירים. בחישוב אינטגרלים מסוג זה מתעורר קושי בחישוב אורכו של עקום, או חלק ממנו (ללא כלים של חשבון אינפיניטסימלי), משום שהגאומטריה הקלאסית אינה מספקת כלים לחישוב אורך עקום כלשהו במקרה הכללי.
לצורך ניתוח בעיית חישוב האורך, מבוצע על עקום רציף (כלומר – בשפה פשוטה – עקום שניתן לציירו "מבלי להרים את העיפרון מהדף") ההליך הבא: על העקום מוקצות מספר נקודות וכל שתי נקודות סמוכות מחוברות זו לזו על ידי מיתרים (ראו איור שני מלמעלה). כך, מתקבל קו שבור שמהווה קירוב לעקום. ככל שהחלוקה היא לנקודות צפופות יותר ויותר, כך מתקבל קו שבור אשר מקורב לעקום בצורה טובה יותר. כשאורך המיתר הארוך ביותר שואף לאפס, מתקבל קו שבור המקרב את העקומה בצורה מיטבית. ניתן להשתמש בקירוב זה של העקום על מנת לחשב אינטגרל עבור ערכים של פונקציה המוגדרת לאורך העקום.
מבחינת הנדסית, כשם שבבניית האינטגרל המסוים מחושב השטח המכוון שבין גרף הפונקציה לציר ה- x, כך המשמעות ההנדסית של האינטגרל הקווי היא השטח שבין גרף הפונקציה לעקום, כשאת תפקידו של ציר ה- x ממלא בבנייה זו הקו העקום.
הגדרות ונוסחאות > אינטגרל קווי מסוג ראשון

סימון:  \ {\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n}) – זהו וקטור המקום המציג את שיעוריה של נקודה כלשהי במרחב. הפונקציה  \rho ({\vec {x}})\in \mathbb {R}  היא שדה סקלרי במרחב בעל מספר ממדים כלשהו, המוגדר וחסום בתחום האינטגרציה. על פונקציה זו מתבצעת האינטגרציה. לעיתים נקראת פונקציה זו "פונקציית הצפיפות" שכן עבור שימושים רבים של האינטגרל הקווי מסוג זה, היא מבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי מסוים. העקומה עליה תתבצע האינטגרציה תסומן באות C. על עקומה זו להיות חלקה למקוטעין, כלומר - מספר הנקודות בו נגזרת הפונקציה המתארת את המסילה איננה קיימת – נקודות בהן גרף הפונקציה "מחודד" – הוא סופי. ראו איור שלישי מלמעלה להמחשה.
המסילה מתוארת על ידי פרמטריזציה
כאשר  \ [a,b] מבטא את קטע המסילה C עליו אנו מבצעים את האינטגרציה. כלומר, העקום מתואר על ידי משוואה פרמטרית המתאימה ערכים של הפרמטר  \ t לשיעורי נקודות על העקום.
משמעות היותה של C "חלקה למקוטעין" היא שבקטע  \ [a,b] הפונקציה המתארת את העקום רציפה וגזירה ברציפות בתחום האינטגרציה, למעט במספר סופי של נקודות. על הפרמטריזציה של העקומה להיות חד-חד ערכית ובעלת נורמה (בהקשר זה "גודל") שונה מאפס. במקרה זה, משמעות הפרמטריזציה היא התאמה בין ערכי הפרמטר  \ t לבין נקודות על העקום. כלומר, לכל ערך של  \ t בתחום האינטגרציה  \ [a,b] מתאימה נקודה על העקום ולהפך - לכל נקודה על העקום מתאים ערך של  \ t בתחום  \ [a,b]. כך, ישנה התאמה בין כל הערכים של  \ t בתחום  \ [a,b] לבין כל הנקודות של העקום. בשפה פשוטה, העקום מתואר בשלמותו על ידי ערכים של  \ t בתחום  \ [a,b].
הגדרות ונוסחאות > אינטגרל קווי מסוג ראשון > הגדרה

על העקומה  \ C מבוצע ההליך של חלוקה למספר כלשהו של קטעים על ידי בחירה שרירותית של נקודות ומתיחת קווים ישרים ביניהן. הצורה המתקבלת היא קו שבור המורכב ממיתרים ומקרב את העקום. בכל חלק של הקו השבור נבחרת באופן שרירותי נקודה אשר תסומן  \ {\vec {\xi _{i}}}. זוהי "נקודה מייצגת". הערך שמקבלת הפונקציה באותה נקודה הוא  \ \rho ({\vec {\xi _{i}}}). זהו "ערך מייצג" של הפונקציה באותו הקטע. קירוב "סכום הערכים" שמקבלת הפונקציה בכל קטע נתון על ידי המכפלה  \ \rho ({\vec {\xi _{i}}})\Delta \ell _{i} כאשר  \ \Delta \ell _{i} הוא אורך הקטע המקרב את הקשת עליה הוא נשען. סכימת כל המכפלות באותו הקטע,  \sum _{i}\rho ({\vec {\xi _{i}}})\Delta \ell _{i}, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של הפונקציה על העקום המקורי. את החלוקה מעדנים יותר ויותר על ידי בחירת נקודות נוספות ובנייה מחודשת של קטעים על פי כל הנקודות שנבחרות על העקום. ככל שהליך זה נמשך, עולה רמת הדיוק של קירוב הקשת על ידי אוסף מיתרים. עתה, מפעילים גבול במצב שבו אורך כל קטע ישר המקרב את העקום שואף לאפס:  \lim _{\max \Delta \ell _{i}\rightarrow 0}\sum _{i}\rho ({\vec {\xi _{i}}})\Delta \ell _{i}. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור  \int _{C}\rho ({\vec {x}})\,\mathrm {d} \ell  ונקרא "אינטגרל קווי מסוג ראשון".
הגדרות ונוסחאות > אינטגרל קווי מסוג ראשון > נוסחה לחישוב

חישובו של סכום זה ישירות איננו מעשי מפאת מורכבותו ולכן מקרבים אותו על ידי סכום אחר אשר חישובו ידוע, זהו הסכום האינטגרלי של רימן המגדיר את האינטגרל המסוים, אותו קל יותר לחשב בעזרת נוסחת ניוטון לייבניץ או בעזרת שיטות נומריות שונות.
בעזרת הפרמטריזציה הנתונה של הישר, ניתן להציג את הפונקציה בצורה  \rho (x_{1}(t),\cdots ,x_{n}(t)). אורך הקטע המקרב את הקשת  \ \Delta \ell _{i} מחושב ידי הכללה של משפט פיתגורס בצורה
כאשר  \ \Delta x_{i} הוא שינוי קטן של אחד ממשתני הפרמטריזציה המגדירים את הקשת. לאחר כפל וחילוק של כל שינוי כזה ב-  \ \Delta t ולאחר ארגון מחדש מתקבל
בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר  \ t. כמו כן, הערך  \ |\Delta t| מוחלף בדיפרנציאל, המבטא שינוי קטן בערכו של  \ t. כך, מתקבל
הערך של  \Delta \ell _{i} שהתקבל הוא אמנם קירוב, אך ניתן להוכיח כי הגבול המתקבל עבור הערך המקורב והמקורי זהים, ולכן לצורך חישובים מעשיים ניתן להחליף את הערך המקורי בערך המקורב. באופן זה, אם בקצוות תחום האינטגרציה מקבל הפרמטר  t את הערכים  a ו-  b, ניתן לחשב את האינטגרל הקווי על ידי הנוסחה הבאה:
\int _{C}\rho ({\vec {x}})\,\mathrm {d} l=\int _{a}^{b}\rho (x_{1}(t),\cdots ,x_{n}(t)){\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\mathrm {d} x_{n}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}\rho ({\vec {x}}(t))\|{\vec {x}}'(t)\|\,\mathrm {d} t.
ניתן להראות כי ערך האינטגרל הקווי מסוג ראשון אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה.
הגדרות ונוסחאות > אינטגרל קווי מסוג שני

אינטגרל קווי מסוג שני מתבצע על שדה וקטורי. סימון:  {\vec {F}}({\vec {x}})\in \mathbb {R} ^{n} – זוהי פונקציה במרחב בעל n ממדים עליה מבוצעת האינטגרציה. ניתן לחשוב על פונקציה זו כעל אוסף של n פונקציות סקלריות. תחת ההנחה כי פונקציה זו רציפה, כאמור לעיל, נניח כי המסילה  \ C היא מסילה חלקה למקוטעין המוגדרת בקטע  \ [a,b]. כיוון הסכימה חיובי מוגדר מ-  \ a עד  \ b.
הגדרות ונוסחאות > אינטגרל קווי מסוג שני > הגדרה

כאמור לעיל, חוזרים על הליך חלוקת העקום למיתרים, כך שכל נקודה מייצגת מסומנת  \ {\vec {\xi _{i}}}. עבור כל היטל של השדה הווקטורי על הצירים, כופלים את ערכה של הפונקציה הווקטורית בנקודה המייצגת באורך ההיטל. עבור ההיטל של הרכיב ה-  \ k ( \ k=1\cdots n) של הפונקציה הווקטורית ועבור הציר ה-  \ k, מתקבל  \ F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}. סכימת כל החלקים,  \ \sum _{i}F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של היטלי הרכיב ה-  \ k של הפונקציה  \ {\vec {F}}({\vec {x}}) באותו הקטע. באופן דומה, לאחר הטלת כל רכיבי הפונקציה על כל הצירים וסכימת הערכים המתקבלים, מתקבל  \sum _{k=1}^{n}\sum _{i}F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}. בהשאפת אורך החלק המוטל הגדול ביותר לאפס, מתקבל  \lim _{\max \Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}\sum _{i}F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}. לפי הגדרת המכפלה הסקלרית, סכום זה לזהה לביטוי
 \lim _{\max \Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum _{i}{\vec {F}}({\vec {x}})_{i}\cdot \Delta x_{i}. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור  \int _{C}{\vec {F}}({\vec {x}})\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}, כאשר  \mathrm {d} {l}=(\mathrm {d} x_{1},\cdots ,\mathrm {d} x_{n}) הוא אלמנט אורך וקטורי. סכום זה נקרא "אינטגרל קווי מסוג שני".
הגם שהפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה היא וקטורית, התוצאה היא סקלרית, שכן החישוב מתבצע על ידי סכימת המכפלות לעיל בכל אחד מהיטליה של הפונקציה הווקטורית, שהוא סקלר. כאמור, ניתן להציג הסכומים האינטגרליים על ידי מכפלה סקלרית, אשר תוצאתה סקלר.
הגדרות ונוסחאות > אינטגרל קווי מסוג שני > נוסחה לחישוב

על מנת לחשב סכום זה, ננקטת גישה דומה לזו אשר יושמה בעת חישוב האינטגרל הקווי מהסוג הראשון. על ידי שימוש בפרמטריזציה הנתונה של הישר, מבוטא כל רכיב של אלמנט האורך בצורה  {\frac {\Delta x_{i}}{\Delta t}}{\Delta t}. השדה הווקטורי מיוצג באופן  {\vec {F}}({\vec {x}}(t)). הסכום ייכתב עתה  \sum _{i}{\vec {F}}({\vec {x}})_{i}\cdot {\frac {\Delta x_{i}}{\Delta t}}{\Delta t}. בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר  \ t. כמו כן, את  \ \Delta t ניתן להחליף בדיפרנציאל. כך, מתקבל אלמנט האורך הווקטורי
והנוסחה לחישוב מקבלת את הצורה
\int _{C}{\vec {F}}({\vec {x}})\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=\int _{a}^{b}{\vec {F}}(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))\cdot \left(\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}(t)}{\mathrm {d} t}}\right),\cdots ,\left({\frac {\mathrm {d} x_{n}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)\right)\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\vec {F}}({\vec {x}}(t))\cdot {\vec {x}}'(t)\,\mathrm {d} t.
גם כאן, ניתן להראות כי ערך האינטגרל הקווי מסוג שני אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה.
הגדרות ונוסחאות > אינטגרל קווי מסוג שני > הקפה

ההקפה (בלעז, סירקולציה) של שדה וקטורי  {\vec {F}}, המסומנת לרוב באות  \ \Gamma , מוגדרת בתור
קרי: אינטגרל קווי של השדה על פני מסלול סגור. להקפה שימושים רבים בפיזיקה, ובפרט היא מופיעה בניסוח האינטגרלי של משוואות מקסוול. ראו הרחבה בנושא בהמשך, בפרק הדן בשימושים הפיזיקליים של האינטגרל הקווי.
דוגמאות > אינטגרל קווי מסוג ראשון

יש לחשב את האינטגרל  \ \int _{C}z^{2}\,\mathrm {d} \ell  כאשר המסלול  \ C מתואר על ידי  C:\left\{{\begin{matrix}x=\cos \left(t\right)\\y=\sin \left(t\right)\\z=e^{t}\end{matrix}}\right.,t\in [0,{\frac {\pi }{2}}]. לפי הנוסחה לחישוב מפורש, ניתן לחשב אינטגרל זה על ידי חישוב האינטגרל המסוים  \ \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(e^{t}\right)^{2}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} \cos \left(t\right)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} \sin \left(t\right)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} e^{t}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{2t}{\sqrt {e^{2t}+1}}\,\mathrm {d} t. התקבל אינטגרל מסוים אשר ניתן לחשב על ידי החלפת  \ e^{2t} במשתנה אחר. התוצאה המתקבלת היא  \ 38.5942.
דוגמאות > אינטגרל קווי מסוג שני

יש לחשב את האינטגרל  \ \int _{C}\left(x^{3}+y^{3}\right)\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y כאשר  \ C הוא העקום  \ y={\frac {1}{x}} עבור  \ x\in [1,5]. ניתן לכתוב הצגה זו גם בצורה  C:\left\{{\begin{matrix}x=t\\y={\frac {1}{t}}\end{matrix}}\right.,t\in [1,5]. בצורה זו, הפרמטר אשר על פיו מבוצעת האינטגרציה הוא  \ t (באותה המידה, ניתן היה גם לכתוב  \ xבמקומו, או כל אות אחרת – לשמו של משתנה האינטגרציה אין כל משמעות מתמטית). על פי הנוסחה לחישוב ישיר, מתקבל האינטגרל המסוים  \ \int _{1}^{5}\left[\left(t^{3}+\left({\frac {1}{t}}\right)^{3}\right){\frac {\mathrm {d} (x(t))}{\mathrm {d} t}}+\left({\frac {1}{t}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} (y(t))}{\mathrm {d} t}}\right)\right]\,\mathrm {d} t=\int _{1}^{5}\left[t^{3}+{\frac {1}{t^{3}}}-{\frac {1}{t^{3}}}\right]\,\mathrm {d} t. זהו אינטגרל מיידי שלאחר חישובו מתקבל  \ 156.
תכונות

האינטגרל הקווי מקיים תכונות של אדיטיביות וליניאריות כמו האינטגרל המסוים, זאת ניתן לראות מהגדרתו של כסכום. להרחבה ראו ערך אינטגרל.
בהינתן פונקציה חיובית, האינטגרל הקווי מהסוג הראשון איננו תלוי בכיוון ביצוע הסכימה כך שסכימה "מההתחלה אל הסוף" ו"מהסוף אל ההתחלה" תניב תוצאות זהות. ניתן לתת לדבר אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה שאורך או מסה של עקום אינם תלויים בכיוון מהם אנו "מרכיבים" אותם. בנוסחת החישוב המפורשת, הדבר מתבטא בכך שהסכום המופיע בה הוא של שלושה גורמים חיוביים: פונקציה חיובית, שורש ריבועי (חיובי בהכרח כאשר השדה מעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים) והערך המוחלט של  \ \Delta t.
לעומת כך, בהינתן אינטגרל קווי מסוג שני, החלפת סדר הסכימה תגרור החלפת סימן של האינטגרל. לכך ניתן לתת אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה כי עבודה של כוח, למשל, תהיה שלילית אם הוא נע בכיוון הפוך לכיוון המוגדר כ"חיובי". בנוסחה הדבר מתבטא בהחלפת הסימן של  \ \Delta t.
באופן כללי, ערכו של אינטגרל קווי הוא תלוי מסלול, כך שעבור מסלולים שונים יתקבלו ערכי אינטגרל שונים. אינטואיציה פיזיקלית לכך ניתנת, עבור אינטגרל מסוג ראשון, למשל, בדמות העובדה כי עבור צפיפות נתונה, גוף ארוך ישקול יותר מגוף קצר. עבור אינטגרל קווי מסוג שני ניתן לתת אינטואיציה על סמך העובדה, למשל, שעבודתו של כוח החיכוך גדולה יותר בערכה המוחלט ככל שהמסלול ארוך יותר. ייתכן מקרה מיוחד בו ערכו של אינטגרל מסוג שני לא יהיה תלוי בצורת מסלול האינטגרציה אלא בקצוות הקטע בלבד. נושא זה נדון בהרחבה בפרק קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר בהמשך ערך זה.
תכונות > החלפת פרמטריזציה באינטגרל קווי

בהינתן פרמטריזציה מסוימת המתארת את העקום שעל פניו מתבצעת האינטגרציה, ניתן לכתוב את האינטגרל הקווי גם על ידי פרמטריזציה אחרת המתארת גם היא את העקום הנתון, בלא שינוי בתוצאה המתקבלת. באופן מעשי, כאמור, חישוב האינטגרל הקווי מתבצע על ידי החלפתו באינטגרל מסוים. בהינתן שתי פרמטריזציות המתארות את אותו העקום, ניתן להחליף את הפרמטריזציות שעל פי הן נעשה החישוב על ידי הכללים המקובלים להחלפת משתנה בשלב חישוב האינטגרל המסוים. ראו שיטת ההצבה להרחבה.
כיוון שאינטגרל מסילתי מסוג שני הוא תלוי כיוון, ישנה חשיבות לכיוון שבו תתבצע האינטגרציה בעזרת הפרמטריזציה החדשה. פרמטריזציה אשר שומרת על כיוון האינטגרציה המקורי נקראת "פרמטריזציה שומרת כיוון". פרמטריזציה היא שומרת כיוון אם ורק אם מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית עולה. אם הפונקציה מונוטונית יורדת, אזי לאחר ביצוע האינטגרציה תתקבל תוצאה הפוכת סימן. במקרים אחרים, מקובל לחלק את העקומה שעל פיה מתבצעת האינטגרציה למספר חלקים שבכל אחד מהם הפרמטריזציה מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית.