stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משפט זקנדורף
עוקב פיבונאצ'י

עוקב פיבונאצ'י היא פעולה אונרית המוגדרת על מספרים לפי הצגת זקנדורף שלהם. העוקב פיבונאצ'י של n מוגדר כמספר שהצגת זקנדורף שלו מתקבלת מלקיחת מספר הפיבונאצ'י העוקב לכל מספר פיבונאצ'י בהצגת זקנדורף של n. כלומר אם  \ n=\sum _{i=1}^{k}F_{c_{i}} היא הצגת זקנדורף של n, אז העוקב מוגדר  \sigma (n)=\sum _{i=1}^{k}F_{c_{i}+1}. למשל  \sigma (100)=\sigma (89)+\sigma (8)+\sigma (3)=144+13+5=162.
קל לראות שמספר הוא עוקב פיבונאצ'י של מספר אחר אם ורק אם הוא "זוגי פיבונאצ'י", כלומר  F_{2}=1 לא מופיע בהצגת זקנדורף שלו.
הסדרה עם תנאי ההתחלה  a_{2}=1 שכל  2<n מקיימת  a_{n+1}=\sigma (a_{n}) היא סדרת פיבונאצ'י. באופן כללי כל סדרה שכזו עם תנאי התחלה כלשהו מקיימת את יחס הנסיגה של סדרת פיבונאצ'י.
לעוקב פיבונאצ'י קשר הדוק לטבלת וייטהוף (Wythoff array), שמציגה תכונות מעניינות רבות של סדרות דמויות פיבונאצ'י.
מכפלת פיבונאצ'י

מכפלת פיבונאצ'י היא פעולה בינארית בין מספרים טבעיים המוגדרת בעזרת הצגת זקנדורף. את הפעולה הגדיר דונלד קנות' שגם הוכיח שהיא אסוציאטיבית.
בהינתן הצגות זקנדורף  \ a=\sum _{i=1}^{k}F_{c_{i}} ו- \ b=\sum _{j=1}^{l}F_{d_{j}} של  \ a ו- \ b, מכפלת פיבונאצ'י  \ a\circ b מוגדרת:  \ a\circ b=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{l}F_{c_{i}+d_{j}}.
למשל:
 \ 4\circ 6=(F_{2}+F_{4})\circ (F_{2}+F_{5})=F_{2+2}+F_{2+5}+F_{4+2}+F_{4+5}=3+13+8+34=58.
הכללות

את משפט זקנדורף ניתן להכליל למספרי פיבונאצ'י מסדר שלילי. מספרים אלו מוגדרים  \ F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n} (ו- \ F_{0}=0). כך הם ממשיכים לקיים את נוסחת הנסיגה ואת תנאי ההתחלה של סדרת פיבונאצ'י. לכל מספר שלם, חיובי או שלילי (או אפס), קיימת הצגה יחידה כסכום של מספרי פיבונאצ'י מסדר שלילי. למשל:
24 =  F-1 + F-4 + F-6 + F-9 = 1 + (-3) + (-8) + 34
-43 = F-2 + F-7 + F-10 = (-1) + 13 + (-55)
ואילו 0 הוא הסכום הריק.
ניתן להגדיר הצגת זקנדורף שלילית וקוד פיבונאצ'י שלילי באופן דומה למקרה החיובי. בניגוד לאנלוג החיובי, ההצגה והקוד השליליים מסוגלים לתאר כל מספר שלם, ולא רק חיוביים.
משפט זקנדורף תקף גם לסדרות k-בונאצ'י  \ F_{n}^{(k)}. אלו הן סדרות המוגדרות על ידי נוסחת הנסיגה  \ F_{n+k}^{(k)}=F_{n+k-1}^{(k)}+\ldots +F_{n+1}^{(k)}+F_{n}^{(k)} (מספר k-בונאצ'י הוא סכום k מספרי k-בונאצ'י הקודמים) ותנאי ההתחלה  \ F_{1}^{(k)}=\ldots =F_{k-2}^{(k)}=0,F_{k-1}^{(k)}=F_{k}^{(k)}=1 (הסדרה מתחילה ב-k−2 אפסים ואחריהם שני 1). המקרה k=2 הוא סדרת פיבונאצ'י הרגילה. לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה כסכום של מספרי k-בונאצ'י שאין ביניהם k מספרי k-בונאצ'י עוקבים.
משפט קרונקר-ובר

משפט קרונקר-ובר הוא אחד המשפטים המרכזיים בתורת המספרים האלגברית. המשפט קובע שכל הרחבת גלואה אבלית סופית של שדה המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי, כלומר שדה מהצורה  \ \mathbb {Q} [\zeta _{n}] כאשר  \ \zeta _{n} הוא שורש יחידה מסדר n.
לאופולד קרונקר הציע את הרעיונות המרכזיים של ההוכחה בשנת 1853, אבל את המשפט הוכיח בסופו של דבר היינריך ובר בשנת 1886.
עובדה בסיסית בתורת גלואה קובעת כי חבורת גלואה של הרחבה מן הדגם  \ \mathbb {Q} [\zeta _{n}] איזומורפית לחבורת אוילר המתאימה לְ־n ומכאן שהיא אבלית. כך, אפשר לראות את משפט קרונקר-ובר כתשובה - חיובית - לשאלה ההפוכה (האם כל הרחבה אבלית מוכלת בהרחבה ציקלוטומית) בתיאור שהוא מעניק להרחבה האבלית המקסימלית של הרציונליים.
נעיר שכל חבורה אבלית סופית ניתנת למימוש כחבורת גלואה של הרחבת גלואה של הרציונליים. הדבר נעשה באמצעות בחירת שדה שבת מתאים של הרחבות ציקלוטומיות ודרך עיון בתורת המבנה של חבורות אוילר. 
משפט קרונקר-ובר מבטיח, אם כן, שהדרך היחידה לממש אותן היא אכן בתור חבורות גלואה של הרחבות שמוכלות בהרחבות ציקלוטומיות.
באמיתות המשפט במקרה של הרחבות ריבועיות ניתן להשתכנע באופן הבא: כל הרחבה ריבועית של הרציונליים באה מסיפוח שורש של מספר שלם חופשי מריבועים, ולכן מספיק לדון במקרה של סיפוח שורש של ראשוני (אי־זוגי). 
כאמור, כל הרחבה p־ציקלוטומית היא אבלית (מממד זוגי) ולכן מכילה הרחבה ריבועית יחידה (היא שדה השבת המתאים לתת־החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הציקלית מסדר p-1). הדיסקרימיננטה של הרחבה p־ציקלוטומיות היא חזקה של p, ולכן כך גם הדיסקרימיננטה של הרחבת הביניים הריבועית; אבל באמצעות חישוב הדיסקרימיננטה להרחבות ריבועיות (עבור  \ \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}] הדיסקרימיננטה היא d אם d שקול לְ־1 מודולו 4 וְ־4d אחרת) מקבלים כי d מוכרח להיות - עד כדי סימן - הראשוני שסיפחנו שורש של היחידה מן הסדר שלו (את הסימן ניתן 'לתקן' בעזרת סיפוח  \ {\sqrt {-}}1) . מכאן שכל הרחבה ריבועית מוכלת בהרחבה ציקלוטומית.
ניסוח הטענה בלשון חבורת גלואה האבסולוטית

כשקובעים ראשוני p ושורש היחידה  \ \zeta _{q} באשר q חזקה של p ניתן להתאים לכל אוטומורפיזם בחבורת גלואה האבסולוטית סדרה שבה במקום ה־n־י כתובה החזקה של  \ \zeta _{q} שאליה שולח אותו האוטומורפיזם.
כשנותנים למעריך של p לשאוף לאינסוף מתקבל אבר בחבורה הכפלית של חוג השלמים ה־p־אדיים, וההומומורפיזם המושרה משליחת כל אוטומורפיזם לסדרה המתאימה לו נקרא הקרקטר ה־p־אדי ציקלוטומי.
כעת ניתן 'להדביק' את כל הקרקטרים הללו ביחד ולקבל (באמצעות מכפלה ישרה של הקרקטרים) הומומורפיזם מן החבורה האבסולוטית למכפלת החבורות הכפליות של חוגי השלמים ה־p־אדיים, שאיזומורפית בתורה - כמעין הכללה למשפט השאריות הסיני - לחבורה הכפלית של החבורה הפרו־ציקלית (הגבול ההפוך של מערכת החבורות הציקליות הסופיות).
כעת, כדי להבין טוב יותר את ההרחבה האבלית המקסימלית של הרציונליים, עוברים לנסות לתאר את חבורת הגלואה שלהם. היא נתונה באמצעות האבליניזציה של חבורת הגלואה האבסולוטית של הרציונליים, כלומר המנה של החבורה האבסולוטית בתת-החבורה הסגורה הנורמלית הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים (כאשר הטופולוגיה היא הטופולוגיה הפרו־סופית הרגילה).
אכן, מאחר שתמונת ההומומורפיזם שהוגדר קודם (דרך מכפלת הקרקטרים) אבלית, הוא מוגדר כהומומורפיזם מן האבליניזציה, היא חבורת גלואה של ההרחבה האבלית המקסימלית. משפט קרונקר־ובר קובע אפוא שההומומורפיזם המושרה מן האבליניזציה הוא למעשה איזומורפיזם.
כך, התנהגות החלק האבלי של ההרחבות האלגבריות של הרציונליים נקבעת אך ורק על־פי ההתנהגות של ההרחבות ה־p־ציקלוטומיות ומכאן ניסוחו השני של המשפט: כל הרחבת גלואה אבלית סופית של שדה המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי.
המקרה המקומי

בשנים 1965 וְ־1966 הוכיחו ג'ונתן לובין וג'ון טייט מעין גרסה של משפט קרונקר-ובר לשדות מקומיים, לפיה כל הרחבה אבלית של שדה מקומי מוכלת בהרחבה הנוצרת דרך הרחבות ציקלוטומיות ודרך הרחבות לובין-טייט (שהן הרחבות של שדות מקומיים המתקבלות מפולינומי אייזנשטיין באופן מסוים; להרחבות כאלה חבורת גלואה שהיא מנה קנונית של חבורת היחידות של חוג השלמים של השדה המקומי).
מאידך, בעזרת למת הנזל ניתן להוכיח שכל הרחבה לא מסועפת של ההשלמה ה־p־אדית של  \ \mathbb {Q}  מתקבלת באמצעות סיפוח שורש היחידה מתאים.
מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)

מצבים מיקרוסקופיים ומאקרוסקופיים של הטלת מטבע פעמיים. כל המצבים המיקרוסקופיים סבירים באותה מידה, אך המצב המאקרוסקופי (H, T) הוא סביר כפליים מאשר המצבים (H, H) ו-(T, T).
במכניקה סטטיסטית, מצב מיקרוסקופי של מערכת הוא תצורה מיקרוסקופית מסוימת של מערכת תרמודינמית, שהמערכת יכולה לעבור אליו בהסתברות מסוימת במהלך התנודות התרמיות שלה. מצב מיקרוסקופי של מערכת תרמודינמית ניתן לאפיון על ידי המיקום והתנע של כל חלקיקי המערכת, מעין צילום רגעי של כל המידע של כל אחד מחלקיקי המערכת.
לעומת זאת, מצב מאקרוסקופי של מערכת מתייחס למשתנים המדידים של המערכת כגון: טמפרטורה, לחץ, נפח וצפיפות. ניתן להגדיר מצב מאקרוסקופי של מערכת גם על ידי הערכים של הפרמטרים  N מספר החלקיקים,  V נפח ו- E אנרגיה. עבור מערכת מבודדת, האנרגיה הכוללת שווה לסכום האנרגיות של  N החלקיקים,  E=\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}. קיימות אפשרויות רבות לערכי האנרגיה של כל חלקיק,  \varepsilon _{i}, כאשר הסכום הכולל הוא  E. כלומר יש מספר רב של אפשרויות בהן האנרגיה  E יכולה להתחלק בין  N החלקיקים של המערכת. כל אפשרות כזו מגדירה מצב מיקרוסקופי של המערכת.
מצב מאקרוסקופי מאופיין בהתפלגות של מצבים אפשריים על פני צבר מסוים של כל המצבים המיקרוסקופיים. התפלגות זו מתארת את ההסתברות למצוא את המערכת במצב מיקרוסקופי מסוים. בגבול התרמודינמי, המצבים המיקרוסקופיים בהם מבקרת מערכת מאקרוסקופית במהלך התנודות שלה, כולם בעלי אותם מאפיינים מאקרוסקופיים.
הסבר אינטואיטיבי

ניתן לתאר את המצב בו מערכת תרמודינמית נמצאת בשתי דרכים:
תיאור על ידי מצבים מאקרוסקופיים - תיאור גס יותר. מתאר מה שקורה במערכת ב"מבט על".
תיאור על ידי מצבים מיקרוסקופיים - תיאור שכולל את כל המידע: המיקום, מהירות ואנרגיה של כל חלקיק במערכת.
נדגים על ידי מערכת של שני מטבעות כאשר כל אחד מהם הוטל על אחד משני צדדיו (ניתן גם לחשוב על שני חלקיקים עם ספין up או ספין down). כל מטבע יכול להמצא בשני מצבים: עץ או פלי.
התיאור המיקרוסקופי מציין באיזה מצב נמצא המטבע הראשון ובאיזה מצב נמצא השני. בסך הכל קיימים ארבעה מצבים כמתואר באיור.
התיאור המאקרוסקופי מתאר את התמונה הגדולה: מספר המטבעות שהוטלו על צד הפלי (או מספר המטבעות שהוטלו על צד העץ). אין חשיבות לתוצאת הטלת מטבע מסוים. בסך הכל יש שלוש אפשרויות - 0 פלי (2 עץ), 1 פלי (1 עץ), 2 פלי (0 עץ), כמתואר באיור.
נשים לב שבמצב המאקרוסקופי מאבדים מידע, אבל הרבה פעמים לא נתעניין בכל מטבע (או חלקיק) באופן פרטני ונסתפק בתמונה הגדולה. לכל מצב מאקרוסקופי מתאימים מספר מצבים מיקרוסקופיים. המצב המיקרוסקופי משתנה כל יחידת זמן אינפיניטסימלית. לעומתו המצב המאקרוסקופי יכול להישאר קבוע לאורך זמן. במערכות רב חלקיקיות, כאשר יש הרבה דרגות חופש, התיאור המאקרוסקופי הרבה יותר שימושי.
לסיכום, ההבדלים העיקריים בין מצבים מיקרוסקופיים ומאקרוסקופיים:
המצבים המיקרוסקופיים מכילים את כל המידע על מצב מסוים. הם מכילים בדרך כלל יותר מידע מהמצב המאקרוסקופי.
ברוב המקרים יש יותר ממצב מיקרוסקופי אחד שמזוהה עם כל מצב מאקרוסקופי.
שיווי משקל תרמודינמי

כאשר מערכת נמצאת בשיוויי משקל תרמודינמי המצבים המאקרוסקופיים שלה קבועים בזמן. המצבים המאקרוסקופיים מוגדרים היטב רק כאשר המערכת נמצאת במצב שיווי משקל. לכן, כדי להגדיר את המצבים המאקרוסקופיים בתהליך תרמודינמי מוגדר באופן תאורטי תהליך קוואזי סטטי, תהליך שנמצא כמעט בשיווי משקל בכל צעד.
בניגוד לכך, את המצבים המיקרוסקופיים תמיד ניתן להגדיר, גם כאשר המערכת לא מצויה בשיווי משקל. יתרה מזאת, המצבים המיקרוסקופיים משתנים גם כאשר המערכת נמצאת בשיווי משקל תרמודינמי. לכן בתרמודינמיקה עוסקים יותר במצבים המאקרוסקופיים של מערכת תרמודינמית.
מצבים חד חלקיקיים > מצב חד חלקיקי

מצב חד חלקיקי הוא מצבו של חלקיק בודד במערכת הנתון על ידי משוואת התנועה שלו.
מצבים חד חלקיקיים > מצב חד חלקיקי זמין

מצב חד חלקיקי זמין של מערכת תרמודינמית הוא אחד מן המצבים המיקרוסקופיים האפשריים המקיימים את כל המאפיינים של המערכת ואת מגבולותיה. בהינתן הקשר בין פרמטרי הבעיה למשתנים המאקרוסקופיים שלה ניתן להגביל את מרחב האפשרויות של המצבים המיקרוסקופיים ובכך להגדיר את המצבים החד חלקיקיים הזמינים.
ההנחה היסודית של פיזיקה סטטיסטית

בפיזיקה סטטיסטית, ההנחה היסודית היא כי כל המצבים המיקרוסקופיים הזמינים של מערכת סגורה הם שווי הסתברות. ניסוח שקול הוא שבזמן סופי בו מתבצעת מדידה במצב שיווי משקל, המערכת מספיקה לעבור דרך כל המצבים המיקרוסקופיים שלה ושוהה בהם במשך פרקי זמן שווים. פרקי זמן אלו הם למעשה אפסיים כי קיים מספר שואף לאינסוף של מצבים מיקרוסקופיים שכאלה.
הנחה נוספת בה משתמשים בפיזיקה סטטיסטית היא כי קיים מצב שיווי משקל תרמודינמי. כלומר קיים מצב מאקרוסקופי יחיד שעבורו מספר המצבים המיקרוסקופיים של המערכת גדול מאוד ביחס למספר המצבים המיקרוסקופיים המתאימים לכל אחד מהמצבים המאקרוסקופיים האחרים.
אינטרפטציה מיקרוסקופית למושגים תרמודינמיים

מכניקה סטטיסטית קושרת את המשתנים התרמודינמיים האמפיריים של מערכת להתפלגות סטטיסטית של צבר מצבים מיקרוסקופיים. ניתן לחשב את כל המאפיינים התרמודינמיים המיקרוסקופיים של המערכת באמצעות פונקציית החלוקה שסוכמת את האנרגיה של כל המצבים המיקרוסקופיים.
בכל רגע נתון, המערכת מתפלגת על פני צבר של  N מצבים מיקרוסקופיים, כל אחד מסומן ב- i, ובעל הסתברות  p_{i}, ואנרגיה  E_{i}. אם המצבים המיקרסוקופיים בעלי אופי קוונטי, אז הם יוצרים סט בדיד כפי שמוגדר במכניקת הקוונטים ו- E_{i} היא רמה אנרגטית של המערכת.
אינטרפטציה מיקרוסקופית למושגים תרמודינמיים > אנרגיה פנימית

האנרגיה הפנימית של מצב מאקרוסקופי היא התוחלת של האנרגיות של המצבים המיקרוסקופיים של המערכת:
אינטרפטציה מיקרוסקופית למושגים תרמודינמיים > אנטרופיה

במקרה הכללי, של הצבר הקנוני, האנטרופיה המוחלטת תלויה בהסתברויות של המצבים המיקרוסקופיים בלבד:
כאשר  k_{B} הוא קבוע בולצמן. עבור הצבר המיקרוקנוני, המכיל רק את המצבים המיקרוסקופיים עם אנרגיה השווה לאנרגיה של המצב המאקרוסקופי נקבל:
כלומר, האנטרופיה מוגדרת כלוגריתם של מספר המצבים המיקרוסקופיים הזמינים למערכת ( W). ביטוי זה מופיע על המצבה של לודוויג בולצמן בווינה.
עבור מערכת סגורה, בתהליך ספונטני אנטרופית המערכת יכולה רק לגדול, ולכן מספר המצבים המיקרוסקופיים הזמינים יכול רק לגדול בהתאמה. ניתן להבין את זה באופן אינטואיטיבי על ידי כך שבתהליך ספונטני מוסרת מגבלה מן המערכת. המגבלה מונעת מהמערכת להמצא במצבים מיקרוסקופיים כלשהם. כעת, מוסרת המגבלה ומספר המצבים המיקרוסקופיים הזמינים יכול רק לגדול.
החוק השני של התרמודינמיקה מתאר איך האנטרופיה של מערכת מבודדת משתנה בזמן. החוק השלישי של התרמודינמיקה קונסיסטנטי עם הגדרה זו, משום שהמשמעות של אנטרופיה אפס היא שלמצב המאקרוסקופי המתאר את המערכת מתאים מצב מיקרוסקופי יחיד.
אינטרפטציה מיקרוסקופית למושגים תרמודינמיים > חום ועבודה

ניתן להבחין בין חום ועבודה אם ניקח בחשבון את האופי הקוונטי הבסיסי של המערכת.
עבור מערכת סגורה (ללא העברות חומר), חום במכניקה סטטיסטית הוא האנרגיה המועברת הקשורה לפעולה מיקרוסקופית לא מסודרת של המערכת, קפיצות במידת האכלוס של רמות האנרגיה הקוונטיות של המערכת, ללא שינוי בערך רמות האנרגיה עצמן.
עבודה היא האנרגיה המועברת הקשורה לפעולה מקרוסקופית מסודרת של המערכת. אם הפעולה מתרחשת בצורה מאוד איטית, התאוריה האדיאבטית של מכניקה הקוונטים טוענת כי לא ייווצרו קפיצות בין רמות האנרגיה של המערכת. במקרה הזה, האנרגיה הפנימית של המערכת משתנה רק כתוצאה משינוי ברמות האנרגיה של המערכת.
התיאור המיקרוסקופי הקוונטי של חום ועבודה הוא כדלקמן:
כך ש:
שתי ההגדרות הנ"ל של חום ועבודה הן בין הביטויים הבודדים במכניקה סטטיסטית בהן לגדלים התרמודינמיים המוגדרים במקרה הקוונטי אין אנלוגיה בגבול הקלאסי. הסיבה היא שמצבים מיקרוסקופיים קלאסיים אינם מוגדרים ביחס למצב מיקרוסקופי קוונטי מתאים במדויק, כלומר, כאשר העבודה משנה את סך האנרגיה הזמינה לחלוקה בין המצבים המיקרוסקופיים של המערכת, רמות האנרגיה של המצבים המיקרוסקופיים לא משתנות בהתאמה.
המצב המיקרוסקופי במרחב פאזה > מרחב הפאזה הקלאסי

ניתן לתאר מערכת קלאסית בעלת  F דרגות החופש במונחים של מרחב הפאזה ממימד  2F שציריו מורכבים מ- F הקואורדינטות המוכללות  q_{i} של המערכת, ומ- F התנעים המוכללים  p_{i}.
המצב המיקרוסקופי של מערכת כזו יתואר על ידי נקודה יחידה במרחב הפאזה. אולם המצב המיקרוסקופי המדויק של מערכת עם מספר רב של דרגות חופש בדרך כלל אינו חשוב. לפיכך ניתן לחלק את מרחב הפאזה לתאים בגודל  h_{0}=\Delta q_{i}\Delta p_{i}, כאשר לכל תא נתייחס כאל מצב מיקרוסקופי. כעת, המצבים המיקרוסקופיים הם בדידים וברי-מניה, ולאנרגיה הפנימית  U כבר אין ערך מדויק אלא היא בין  U ל- U+\delta U, כאשר 



δ
U
≪
U


{\textstyle \delta U\ll U}

.
מספר המצבים המיקרוסקופיים Ω של מערכת סגורה פרופורציונלי לנפח שלהם במרחב הפאזה:  \Omega (U)={\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}\int \ \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)\prod _{i=1}^{\mathcal {F}}dq_{i}dp_{i}
כאשר 





1


δ
U


(
H
(
x
)
−
U
)


{\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}

 היא הפונקציית המציינת ושווה ל-1 אם ההמילטוניאן  H(x) בנקודה  x=(q,p) במרחב הפאזה הוא בין  U ל- U+\delta U ו-0 אחרת. הקבוע 





1

h

0



F







{\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}

 הופך את  \Omega (U) לחסר ממדים. עבור גז אידיאלי  \Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U .
בתיאור זה, החלקיקים מובחנים. אם נחליף את המיקום והתנע של שני חלקיקים, המצב החדש יתואר על ידי נקודה אחרת במרחב הפאזה. במקרה זה, נקודה יחידה תייצג מצב מיקרוסקופי. אם תת-קבוצה של  M חלקיקים הם בלתי מובחנים, אז  M! הפרמוטציות שלהם יחשבו כחלק ממצב מיקרוסקופי יחיד. כאמור לעיל, סט המצבים המיקרוסקופיים הזמינים בא לידי ביטוי באילוצים של המערכת התרמודינמית.
לדוגמה, במקרה של גז עם  N חלקיקים ואנרגיה כוללת  U הנמצא בקופסה בנפח  V, בה לא ניתן להבחין באמצעים ניסיוניים בין חלקיק אחד של הגז לכל חלקיק אחר של הגז, מצב מיקרוסקופי יכיל את כל  N! הנקודות המוזכרות לעיל, במרחב הפאזה, סט המצבים המיקרוסקופיים יוגבל כך שכל קואורדינטות המיקום יפלו בתוך הקופסה, וכל קואורדינטות התנע יפלו על משטח היפרספרי בקואורדינטות התנע ברדיוס  U. אם מצד שני, המערכת מורכבת מתערובת של שני גזים שונים, שניתן להבחין בין החלקיקים שלהם, נסמנם  A ו- B, אזי מספר המצבים המיקרוסקופיים גדל, כיוון ששתי נקודות בהן חלקיקים  A ו- B מוחלפים במרחב הפאזה, כבר אינן חלק מאותו מצב מיקרוסקופי. עם זאת, ניתן להבחין בין שני חלקיקים זהים, למשל על סמך מיקומם. אם הקופסה מכילה חלקיקים זהים, והיא נמצאת בשיווי משקל, ומוחדרת מחיצה המחלקת את הנפח לשניים, ניתן להבחין כעת בחלקיקים בחלק הראשון של הקופסה מאלו שבחלק השני. במרחב הפאזה, ה- N/2 חלקיקים בכל צד של הקופסה מוגבלים כעת לנפח  V/2, והאנרגיה שלהם מוגבלת ל- U/2, ומספר הנקודות המתארות מצב מיקרוסקופי יחיד ישתנה: תיאור מרחב הפאזה אינו זהה.
יש לכך השלכות הן בפרדוקס גיבס והן בספירת בולצמן נכונה. עבור ספירת בולצמן, ריבוי הנקודות במרחב הפאזה הוא שמפחית למעשה את מספר המצבים המיקרוסקופיים והופך את האנטרופיה לאקסטנסיבית. עבור הפרדוקס של גיבס, התוצאה החשובה היא שהגידול במספר המצבים המיקרוסקופיים (ובכך הגידול באנטרופיה) הנובע מהכנסת המחיצה תואם במדויק לירידה במספר המצבים המיקרוסקופיים (ובכך לירידה באנטרופיה) הנובעת מהפחתת הנפח העומד לרשות כל חלקיק, ומניבה שינוי אנטרופיה נטו של אפס.
ראו גם

פיזיקה סטטיסטית
תרמודינמיקה
דרגות חופש (פיזיקה וכימיה)
צבר
שיווי משקל תרמודינמי
פונקציית החלוקה
פונקציית ריבוי
פרדוקס גיבס
חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים
הערות שוליים

↑  Statistical and Thermal Physics, A K Peters/CRC Press, 2018-10-08, עמ' 49–62, ISBN 978-1-315-27552-9
1 2 3  Frederick Reif, Fundamentals of statistical and thermal physics, New York: McGraw-Hill, 1965, ISBN 0-07-051800-9
↑  R. K. Pathria, Statistical mechanics, 2nd ed, Oxford: Butterworth-Heinemann, 1996, ISBN 978-0-08-054171-6
↑  "The Statistical Description of Physical Systems".
↑  Theoretische Physik, Berlin, 2015, ISBN 978-3-642-54617-4
ננגה פרבט

| --- | --- |
ננגה פרבט
ננגה פרבט
 מידע כללי
 גובה:  8,125
 מדינה:  פקיסטן 
 מיקום:  קשמיר
 רכס הרים:  הימלאיה
 העפלה ראשונה:  3 ביולי 1953
 קואורדינטות:  35°14′15″N 74°35′21″E﻿ / ﻿35.23750°N 74.58917°E﻿ / 35.23750; 74.58917
  (למפת פקיסטן מוגדלת) אסלאמאבאד רוואלפינדי קראצ'י לאהור פייסלאבאד מולטאן פשאוור היידראבאד כוויתה הודו סין קשמיר אפגניסטן טורקמניסטן איראן הים הערביננגה פרבט(למפת פקיסטן רגילה) אסלאמאבאד רוואלפינדי קראצ'י לאהור פייסלאבאד מולטאן פשאוור היידראבאד כוויתה הודו סין קשמיר אפגניסטן טורקמניסטן איראן הים הערביננגה פרבט
 
ננגה פרבט (באורדו: نانگا پربت, באנגלית: Nanga Parbat) הוא הר בגובה של 8,125 מטר בקצהו המערבי של רכס הרי ההימלאיה, וההר התשיעי בגובהו בעולם. הוא ההר המערבי ביותר מבין ההרים שגובהם מעל 8,000 מטר, והוא שוכן בקשמיר שבפקיסטן, מדרום לנהר האינדוס ולא הרחק מדרום לרכס הקארקוראם.
הננגה פרבט הוא הר מרשים ובולט מעל סביבתו. פירוש שמו של ההר הוא "ההר העירום". המפנה הדרומי שלו, "פני רופל" (Rupal Face) נחשב בעיני רבים כפנים ההרריים הגבוהים בעולם: הוא מתרומם כ-4600 מטרים מעל בסיסו. הצד הצפוני שלו, מדרון הרחיוט (Rakhiot Flank), מתרומם מעמק האינדוס ועד לפסגה, מרחק אנכי של 7000 מטרים, על פני מרחק אופקי של 27 קילומטרים בלבד.
לאורך ההיסטוריה ניסו רבים לטפס על ההר, והוא גבה קורבנות רבים יחסית לשאר ההרים הגבוהים בעולם: במחצית הראשונה של המאה ה-20, עד שהרמן בול טיפס עליו ב-1953, מתו בו 31 מטפסים. מאז שיעור האבדות בקרב המטפסים על ההר ירד, אם כי הוא עדיין נחשב כהר קשה ביותר לטיפוס.
המסנרים על הננגה פרבט

ריינהולד מסנר, שנחשב בעיני רבים מטפס ההרים הגדול של כל הזמנים, יצא ב-1970, יחד עם אחיו גונתר, במסגרת של משלחת אוסטרית-גרמנית, לטפס על הננגה פרבט. שני האחים היו איטיים למדי על ההר. הקור היה קיצוני והם שהו שעות רבות ללא מים ומזון מספיקים, אך הצליחו להגיע לפסגה. גונתר סבל ממחלת גבהים והיה ברור לשניהם שלא יוכל לרדת במסלול שבו עלו, שהיה תלול למדי. לפיכך, הם החליטו לרדת מן הצד השני של ההר, שהוא פחות תלול, אך שוכן בטריטוריה בלתי מוכרת. במהלך הירידה הם נפרדו, כפי הנראה בגלל שריינהולד התקדם מהר מאוד, וגונתר לא עמד בקצב.
ריינהולד מסנר סיפר שהוא לא שם לב שאחיו אינו מאחוריו. כשהבחין בכך לבסוף, הוא חזר לחפש אחריו וקרא בשמו. לבסוף הניח שגונתר נספה, ככל הנראה, במפולת שלגים והמשיך לרדת לבדו. ריינהולד מסנר הגיע למחנה הבסיס במצב קשה לאחר יומיים נוספים. הוא איבד שבע מבהונותיו ושלושה מקצות אצבעותיו כתוצאה מכוויות קור. גופתו של גונתר מסנר נמצאה ב-2005 על ידי מטפסים פקיסטנים, על הקרחון שדרכו ניסו לרדת, כפי שטען מסנר. מסנר ספג ביקורת רבה בגין משלחת זו, ורבים טענו שמתוך הקשיחות הבלתי מתפשרת שלו הוא הפקיר את אחיו למות על ההר. אחרים טענו שרצה בתהילה לבדו והתכוון לרשום את ההישג המדהים של סולו על פסגה הימאלאית בגובה של מעל 8,000 מטרים, ולשם כך היה נכון להקריב את אחיו.
ראו גם

14 ההרים הגבוהים מ-8000 מטרים
מרתון עזה

| --- | --- |
 ענף:  ריצת מרתון
 תאריך ייסוד:  2011
 תאריך פירוק:  2011
 ארגון מפעיל:  אונר"א
 מדינות משתתפות:  הרשות הפלסטינית הרשות הפלסטינית
 עיר מארחת:  רצועת עזה 
 
 
מרתון עזה הוא מרתון שהתקיים ב-5 במאי 2011 ברצועת עזה ואורגן על ידי ארגון אונר"א במטרה לגייס כספים לתוכנית משחקי הקיץ שמפעיל הארגון עבור ילדים ברצועת עזה. בנוסף לריצת המרתון התקיימו מקצים של חצי מרתון וריצת 10 קילומטר. ילדים רבים[דרוש מקור] רצו במקצים של בין קילומטר אחד לארבעה קילומטר לאורך מסלול המרתון.
על התחרות

האירוע התקיים והשתתפו בו למעלה מ-1,500 רצים, כאשר 50 מתוכם רצו את המרתון המלא, ותשעה סיימו אותו. מבין הרצים היו למעלה מ-1,000 תלמידים שהשתתפו במקצים קצרים. בנוסף, קבוצה של 100 נשים השתתפה במקצה 10 הקילומטרים.
מסלול המרתון השתרע על פני כל רצועת עזה, מבית חאנון, בסמוך לגבול עם ישראל, ועד לצפון-מזרחית לרפיח, סמוך לגבול הדרומי עם מצרים. מבית חנון הוא יצא מערבה לכיוון חוף הים התיכון ולאחר מכן המשיך בכביש המקביל לחוף עד לפנייה אל רפיח. התוואי עבר במחנות פליטים, בנמל דייגים, בשרידי המתחם הנשיאותי של יאסר ערפאת ובסמוך למבנים שנפגעו בתקיפות אוויריות של צה"ל.
מרבית הריצה נערכה באזור מישורי ובתנאים חמים. הכבישים לא נסגרו בשל הריצה, והמשתתפים נאלצו להתמודד עם התנועה הרגילה בכביש.
המארגנים עבדו יחד עם רשויות הביטחון של חמאס, כדי להבטיח את ביטחונם של הרצים וגם כדי לקחת בחשבון רגישויות מקומיות לגבי ספורטאים גברים ונשים הרצים זה לצד זה.
ניסיון המשך

בשנת 2013 תוכנן להיערך מרתון נוסף ב-10 באפריל. אולם האירוע בוטל על ידי המארגנים בעקבות החלטת חמאס, השולט ברצועת עזה, שלא לאפשר לנשים להשתתף. הנימוק לכך היה שהשתתפותן של נשים באירוע נוגדת את עקרונות האסלאם, זאת על אף שבמרתון הקודם לקחו חלק נשים ותלמידות בית ספר. לאירוע נרשמו 150 ילדים ו-800 מבוגרים, בהם 260 פלסטיניות ו-119 אזרחיות זרות.
ראו גם

מרתון פלסטין, תחרות מרתון שנתית המתקיימת בבית לחם.
הערות שוליים

↑  מקצה הארץ ועד קצה הארץ: ברצועת עזה התקיים מרוץ המרתון הראשון, באתר הארץ, 5 במאי 2011
↑  Gaza stages its first marathon עיתון הגרדיאן (באנגלית)
↑  ניאל אל-מוגרבי, רויטרס, מרתון עזה בוטל בשל איסור על השתתפות נשים, באתר הארץ, 5 במרץ 2013
סוכנויות הידיעות, ‏מרתון עזה בוטל - בגלל הנשים, באתר ‏מאקו‏, 5 במרץ 2013
משחקי הכס - עונה 2

| --- | --- |

 מבוסס על:  "עימות המלכים" מאת ג'ורג' ר. ר. מרטין
 סוגה:  פנטזיה דרמה
 פסקול:  Game of Thrones: Season 2 
 ארץ מקור:  ארצות הברית 
 שפות:  אנגלית 
 מספר פרקים:  10 
 שידור
 רשת שידור:  HBO 
 תקופת שידור מקורית:  1 באפריל 2012 – 3 ביוני 2012 
 קישורים חיצוניים
 אתר רשמי
 → משחקי הכס - עונה 1משחקי הכס - עונה 3 ←
 
העונה השנייה של משחקי הכס שודרה במקור בין ה-1 באפריל 2012 ל-3 ביוני 2012. העונה כללה עשרה פרקים, כל אחד באורך של 50-60 דקות. העונה מכסה ברובה את אירועי הספר השני בסדרה, "עימות המלכים".