קרל פרידריך גאוס
הישגיו של גאוס > טופולוגיה

אחד ההיבטים הידועים פחות של עבודתו של גאוס הוא שהוא היה גם חלוץ מוקדם של ענף הטופולוגיה, או כפי שנקראה בזמנו, Geometria situs. ההוכחה הראשונה שלו את המשפט היסודי של האלגברה ב-1799 כללה טיעון טופולוגי במהותו; חמישים שנה מאוחר יותר, הוא שב ופיתח את הטיעון הטופולוגי בהוכחה האחרונה שלו למשפט זה (מ-1849). אחד המסמכים משנותיו המוקדמות ביותר מתאר רשימה של קשרים אותה הכין ב-1794.
ב-1804, בהקשר של חקירותיו באסטרונומיה, עסק גאוס לכאורה בשאלה פרקטית - קביעת התחום השמיימי שבו שביטים ואסטרואידים עשויים להופיע - אותו הוא מכנה "Zodiacus". בפתרון הבעיה גאוס הצביע על 3 מקרים אפשריים: כאשר המרחק המינימלי של השביט גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, ההפך, והמקרה השלישי הוא כאשר מסלול כדור הארץ ומסלול השביט שזורים זה בזה. במקרים הראשון והשני חישב גאוס את ה-zodiacus, ואילו במקרה השלישי הוא כותב כי מסיבות טופולוגיות התחום השמיימי הוא הספירה כולה. ב-1848 גאוס שב לבעיית ה-zodiacus ופרסם מאמר קצרצר על התחום השמיימי שבו עשוי להופיע האסטרואיד החדש שנתגלה, אייריס; במאמר הוא מרחיב את הדיון האיכותי בחישוב ה-zodiacus.
מאוחר יותר, חקירותיו על גאומטריה דיפרנציאלית ויסודות הגאומטריה "תדלקו" מחדש את העניין שלו בטופולוגיה: ניסיונותיו להגדיר "שטח מכוון" (oriented area) הובילו אותו לגרסה ראשונית של מושג האוריינטציה של משטחים. נושא האוריינטציה מופיע שוב בהתכתבויותיו מ-1846, שם במסגרת דיון על הכיווניות של ברגים עולה הנושא של הבחנה בין מערכות צירים ימניות לשמאליות. ממכתביו של גאוס בשנים 1820-1830 עולה שהוא השקיע מחשבה רבה על נושאים בעלי זיקה ל-Geometria situs, ושהוא נעשה מודע בהדרגה לקשיים סמנטיים בתחום זה; במכתב לשומאכר מ-1825 שבו דיווח על ניסיונותיו להכליל את חקירותיו על משטחים עקומים לכיוונים חדשים, הוא כתב: "...(בחקירות הללו) יש להתחקות אחר כל השורשים של העץ עד קצותיהם, וכמה מהניסיונות הללו לקחו לי שבועות של חשיבה מאומצת. חלק ניכר מהחקירות הללו הוא בעל זיקה ל-Geometria situs, תחום כמעט לא מעובד עד עכשיו".
קטעים בכתביו מאותה תקופה מגלים שהוא ניסה לסווג tract figures, שהן עקומות מישוריות סגורות בעלות מספר סופי של נקודות כפולות. כדי לעשות זאת הוא פיתח סכמה סימבולית, המכונה קוד גאוס, שבמובן מסוים מקודדת את התכונות של עקומה נתונה. בעזרת שיטת סימון זו הוא הכין באותן שנים רשימה של מילות גאוס עבור עקומות עם מספר צמתים שאינו עולה על חמש. ב-1844 הוא ניסח השערה מסוימת על מילות גאוס המייצגות גרפים מישוריים, אשר הוכחה רק בתחילת המאה ה-20 - בין היתר על ידי הטופולוגיסט הנודע מקס דן, שפיתח אלגוריתם לזיהוי מילות גאוס מישוריות. הערותיו ותוצאותיו של גאוס בנושא קובצו ברשימה קצרה יחסית בכרך השמיני של הנכלאס שלו.
גאוס הרים תרומה יוצאת מן הכלל לתורת הקשרים, כאשר ב-1833, בהקשר של חקירותיו באלקטרומגנטיות, הגדיר את אינדקס השזירה (linking number) של שני עקומים סגורים במרחב ופיתח נוסחה לחשבו בעזרת אינטגרל כפול מתאים (Gauss's linking integral):
link(\gamma _{1},\gamma _{2})={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})
לא ידוע מה הוביל אותו לכתוב את נוסחת האינטגרל שלו, ומשערים שהבעיה הספציפית אותה פתר עסקה בחישוב העבודה הדרושה כדי להזיז מונופול מגנטי בחוזק מסוים לאורך מסלול סגור בשדה המגנטי המופק על ידי לולאת זרם מסוימת; פתרונה הראה שערכה הוא למעשה אינווריאנט טופולוגי, מדד לדרגת השזירה של מסלול המונופול ולולאת הזרם. בכך גאוס סיפק לראשונה תיאור אנליטי לתופעה טופולוגית. באותה הערה קצרה גאוס גם מלין על ההתקדמות המעטה שנעשתה בתחום: "על ה-geometria sytus, שלייבניץ הרחיק לראות, ואשר רק צמד גאומטרנים (אוילר וונדרמונד) זכו למבט חטוף בו, אנו יודעים, כעבור מאה וחמישים שנים, כמעט דבר. בעיה מרכזית של ה-geometria sytus תהיה למנות את מספר הליפופים של שני עקומים סגורים או אינסופיים אחד מסביב לשני". מחברותיו של גאוס מאותה תקופה מכילות מספר רישומים מעניינים, שמעידים שהוא היה בין הראשונים שחקרו גם תופעות טופולוגיות בעלות זיקה לקשרים כמו צמות (braids), לגביהן ניסה לפתח שיטת סימון המבוססת על קואורדינטות מרוכבות, או מארג (tangle) שפשרו עדיין לא מובן היטב.
בשנותיו האחרונות הוא נטה להערכה רבה של תחום הטופולוגיה ההולך ומתגבש והאמין כי התחום טומן בחובו התפתחויות עתידיות משמעותיות, אך השפעתו הייתה בעיקר במתן גירוי ראשוני בעל פה למביוס, ליסטינג ורימן לפתח את התחום. למשל, מביוס התייחס במפורש להרצאה בעל פה שניתנה על ידי גאוס בה הוא הדגים תכונות של משטח לו הוא קרא "טבעת כפולה": על פי הפרשנות המתמטית המודרנית, בהרצאתו רמז גאוס למביוס שהמשטח שהדגים היה שקול טופולוגית לטורוס מנוקב, ושהטורוס המנוקב אינו פשוט קשר. דיווח זה של מביוס עקבי עם קטע מכתביו של גאוס, המתוארך ל-1840, אשר תיאר בקווים כלליים תיאוריה של דרגת הקשירות המסילתית של משטחים.