תרמודינמיקה סופית בזמן
עבודתם של סלמון וברי

כאמור, ההישג המרכזי של עבודתם של סלמון וברי הוא מציאת חסם לזמינות האנרגיה במערכת, וכך לייעל את עבודת מהנדסי המנועים במציאת הדרך שמחזירה את העבודה המקסימלית.
עבודתם התבססה על צורת תולמן פיין של החוק השני של התרמודינמיקה, כך שעבור תהליך כללי שנמשך מזמן  t_{i} עד ל  t_{f}, העבודה המתקבלת ממנו היא:
W=-\triangle A-T_{0}\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\dot {S}}_{tot}dt
כאשר:
{\dot {S}}_{tot} הוא גודל אי-שלילי המתאר את השינוי בזמן של האנטרופיה של המנוע והסביבה ביחד.
T_{0} היא טמפרטורת המערכת.
כך ש  \triangle A היא זמינות האנרגיה הסופית בזמן, ומוגדרת כך:  \triangle A\equiv A|_{t_{f}}-A|_{t_{i}}
כך ש  A זו זמינות האנרגיה הקלאסית, ומוגדרת כך:  A\equiv U-T_{0}S+P_{0}V-\sum _{j}\mu _{0_{j}}N_{j}
נשים לב שעבור תהליך הפיך, מתקיים  {\dot {S}}_{tot}=0 ולכן כצפוי מתקבל  W=-\triangle A.
מכיוון שאנו מעוניינים בעבודה המקסימלית שהמנוע מסוגל לספק, נדרוש:
{\displaystyle W_{max}=\max\{-\triangle A-T_{0}\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\dot {S}}_{tot}dt}\}
בדרך כלל, כאשר מתכננים מנוע, מקבעים את  -\triangle A להיות ערך קבוע, ואז, בעזרת שיקולים הנדסיים מבצעים מינימניזציה ל  {\dot {S}}_{tot} (למשל על ידי הארכת זמני התהליכים, שיפור תנאי הבידוד של מאגרי החום מהסביבה, ועוד).
לפיכך, נבין כי עדיף לבחור ב  -\triangle A מקסימלי.
באופן קלאסי, ניתן לחסום את  -\triangle A מלרע על ידי 0 (שהרי עבור תהליך הפיך העבודה השימושית שמייצר המנוע היא תמיד אי שלילית).
בעזרת שימוש בעבודתו של ווינהולד, הצליחו סלמון וברי למצוא חסם תחתון גבוה יותר לזמינות האנרגיה.
מטריצת ווינהולד מוגדרת באופן הבא:
M_{U_{ij}}\equiv {\frac {\partial ^{2}U}{\partial X_{i}\partial X_{j}}}
כאשר  X היא קבוצת כל המשתנים האקסטנסיביים של המערכת, ו -  U=U(X_{1},...,X_{n}) היא האנרגיה של המערכת, התלויה רק במשתנים האקסטנסיביים.
ווינהולד הצליח להראות כי המטריצה הזו מקיימת את כל התכונות המאפיינות מטריקה, ולפיכך המטריצה מהווה מרחב מטרי, ולכן היא מהווה הצגה שקולה לכל חוקי התרמודינמיקה.
כך למשל, עבור גז אידיאלי:
U(S,V)=\psi V^{-{\frac {k}{C_{v}}}}e^{\frac {S}{C_{v}}}
מתקיים:
M_{U}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial ^{2}S}}&{\frac {\partial ^{2}U}{\partial S\partial V}}\\{\frac {\partial ^{2}U}{\partial V\partial S}}&{\frac {\partial ^{2}U}{\partial ^{2}V}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {T}{C_{V}}}&-{\frac {P}{C_{V}}}\\-{\frac {P}{C_{V}}}&(1+{\frac {k}{C_{v}}}){\frac {P}{V}}\end{pmatrix}}
בעזרת המטריקה של ווינהולד, ניתן לחשב גודל בשם "האורך התרמודינמי" (Thermodynamic length), כך:
L\equiv \int _{\gamma }(\sum _{ij}M_{U_{ij}}dX_{i}dX_{j})^{\frac {1}{2}}=\int _{\xi _{i}}^{\xi _{f}}({\frac {d\mathbf {X} ^{t}}{d\xi }}\mathbf {M_{U}} {\frac {d\mathbf {X} }{d\xi }})^{\frac {1}{2}}d\xi
כך ש  \gamma  הוא מסלול במרחב התרמודינמי, ו-  \xi  הוא פרמטר פיזיקלי רציף במרחב התרמודינמי (למשל הזמן).
במאמרם, הצליחו סלמון וברי להראות כי:
-\triangle A=\int _{t_{i}}^{t_{f}}({\frac {d\mathbf {X} ^{t}}{dt}}\mathbf {M_{U}} {\frac {d\mathbf {X} }{dt}}\varepsilon )dt
כך ש  \varepsilon  הוא זמן הפיגור (Lag time) של המערכת.
כעת, בעזרת אי שוויון קושי שוורץ לאינטגרלים:
-\triangle A={\bar {\varepsilon }}\int _{t_{i}}^{t_{f}}({\dot {\mathbf {X} }}^{t}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {X} }})dt\geq {\bar {\varepsilon }}{\frac {(\int _{t_{i}}^{t_{f}}({\dot {\mathbf {X} }}^{t}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {X} }})^{\frac {1}{2}}dt)^{2}}{t_{f}-t_{i}}}={\bar {\varepsilon }}{\frac {L^{2}}{t_{f}-t_{i}}}
כך ש  {\bar {\varepsilon }} הוא זמן הפיגור הממוצע (Mean lag time).
לבסוף:  -\triangle A\geq {\bar {\varepsilon }}{\frac {L^{2}}{t_{f}-t_{i}}}
לסיכום, עבור כל תהליך תרמודינמי ניתן לחשב שלושה גדלים - האורך התרמודינמי, זמן הפיגור הממוצע, וכן משך זמן התהליך, וכך למצוא חסם תחתון לנצילות האנרגיה הסופית בזמן.