אוריינטציה (מתמטיקה)
הערות שוליים

↑  זאת אומרת, תבניות שאינן מתאפסות באף נקודה.
↑  אם חבורה זו טריוויאלית אז היריעה איננה אוריינטבילית
↑  אינדקס חיתוך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית).
↑  נגד כיוון השעון
1 2  שדה וקטורי נורמלי למשטח הוא התאמה של וקטור באורך יחידה לכל נקודה במשטח המאונך למשטח בנקודה זאת.
↑  בחירת בסיס מזהה את המרחב עם  \mathbb {R} ^{3} שבו המכפלה הווקטורית מגדרת.
↑  מטריצת המעבר בין שני בסיסים ארתונורמלים היא אורתוגונלית, ולכן הדטרמיננטה שלה היא ±1
↑  אם להחליף את המספר 1 במספר חיובי כלשהו היא תהייה תקפה למרחבים ליניאריים
↑  באופן דומה מושג היריעה החלקה מבוסס על המושג (הפשוט יותר) של העתקה חלקה מ  \mathbb {R} ^{n} לעצמו.
↑  במקרה הטריוויאלי נדון בהמשך
↑  למעשה המרחבים הפיזיקאלים האלו אינם מרחבים ווקטוריים, אלא מרחבים אפיניים. זאת אמרת, שעל מנת להגדיר עליהם מבנה של מרחב ווקטורי יש לבחור את ראשית הצירים. אולם אין הדבר משנה לצורך הגדרת אוריינטציה.
↑  לעיתים מכנים תבנית דיפרנציאליות הפיכות "תבנית נפח". כינוי זה עלול לבלבל כי לעיתים הוא מתייחס לאגד הצפיפויות
↑  הסיבה לכך היא שלהבדיל ממחלקת שקילות של תבניות, מחלקת שקילות של בסיסים אינה קמורה, (ואף אינה כוויצה)
↑  אטלס חלק על יריעה חלקה הוא אוסף של דיפאומורפיזמים  \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n} מתתי-קבוצות פתוחות של  M
↑   \varphi _{\alpha \beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}|_{\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }).
↑  כאן אנו משתמשים בכך שמחלקת שקילות של תבניות קמורה.
↑  השם נורמלי עלול להטעות, מכיוון שהמרחב הנורמלי  Norm_{N,x}^{M} אינו תת-מרחב במרחב המשיק  T_{x}M ולכן לא יכול להיות מאונך ל- T_{x}N. אבל בהינתן מטריקה רימנית על  M ניתן לזהות את המרחב הנורמלי עם האנך ל- T_{x}N בתוך  .T_{x}M
↑  חצי-מרחב משיק ליריעה עם שפה  M בנקודה  x על השפה, הוא חצי-מרחב בתוך המרחב המשיק  T_{x}M המכיל את הכיוונים המפנים לתוך  M
↑  כל תבנית דיפרנציאלית על  \mathbb {R} ^{n} אפשר לרשום בתור מכפלה של פונקציה והתבנית הסטנדרטית (התבנית היחידה המקיימת  ,\omega (e_{1},\dots ,e_{n})=1 כאשר  \langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle  הוא הבסיס הסטנדרטי)
↑  הגדרה זאת מניחה ש  M היא יריעה בלי שפה (או לפחות ש  x לא נמצאת על השפה של  M). לצורך הגדרת מושג האוריינטציה ניתן להתעלם מהשפה.
↑  אם  X הוא יריעה אז הקומפלקס המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת בממד היריעה
↑  זאת אומרת בסיסים שבהם מטריצת התבנית הריבועית היא סטנדרטית
| אוריינטציה |
| --- | --- | --- |
| אוריינטציה על: | מרחב ליניארי • אגד • יריעה חלקה • יריעה טופולוגית • העתקה בין יריעות • גרף |  |
| אינווריאנטים המבוססים על אוריינטציה | אוריינטביליות • כיסוי האוריינטציות • קרקטר האוריינטציות • אגד האוריינטציות • אלומת האוריינטציות |  |
| יריעות לא אוריינטביליות ידועות | טבעת מביוס • בקבוק קליין • מישור  פרויקטיבי • מרחב פרויקטיבי (מממד זוגי) |  |
| טופולוגיה גאומטרית ודיפרנציאלית |
| --- | --- | --- |
| יריעות | אטלס, מפה, פונקציית מעבר, יריעה עם שפה, אגד וקטורי, מרחב כיסוי |  |
| יריעות טופולוגיות | סכום קשיר, המחלקה היסודית, דואליות פואנקרה, מעלה של העתקה, אינדקס חיתוך, אוריינטציה, קובורדיזם, השערת פואנקרה |  |
| יריעות חלקות | יריעות חלקות |  |
| אובייקטים על יריעות חלקות | שדה וקטורי, שדה קווקטורי, שדה פסבדו-וקטורי, תבנית דיפרנציאלית, מטריקה רימנית, תבנית סימפלקטית, מבנה מרוכב, מבנה כמעט-מרוכב, טנזור, צפיפות |  |
| אגדים | האגד ה(קו-)משיק, האגד ה(קו-)נורמלי, קשורית, עקמומיות, מערכת מקומית |  |
| טופולוגיה דיפרנציאלית | דיפרנציאל, דיפאומורפיזם, אימרסיה, סובמרסיה, אינדקס  של שדה וקטורי, נקודה רגולרית, ערך רגולרי, הלמה של סארד, טרנסוורסליות, תורת מורס, קומפלקס דה-ראם, משפט עטיה זינגר, מבנים חלקים אקזוטיים |  |
| גאומטריה רימנית | יריעה רימנית,  קו גאודזי, עקמומיות, משפט גאוס-בונה, פסאודוספירה, יריעה היפרבולית, משפט הודג' |  |
| גאומטריה סימפלקטית ומרוכבת | יריעה סימפלקטית, המילטוניאן, שדה המילטוניאני, תת-יריעה לגרנז'ית, תת-יריעה קואיזוטרופית, תת-יריעה איזוטרופית,  השערות ארנולד, משפט אי-הדחיסות של גרומוב, תורת פלויר,  יריעת קלר, עקום פסבדו-הולומורפי, האינווריאנטים של גרומוב וויטן, הומולוגיה קוונטית,  תורת הודג' |  |
| טופולוגית ממד נמוך | טופולוגית ממד נמוך |  |
| תורת הקשרים | קשר, שזר, צמה, סבך |  |
| משטחים | גנוס, משטח רימן, זוג מכנסיים, תורת השדה הטופולוגית, תורת השדה הקונפורמית |  |
|  ק  |  ק  |  |
| דוגמאות | ספירה, טורוס, טבעת מביוס, בקבוק קליין, מרחב פרויקטיבי .K3, ספירות אקזוטיות |  |
 נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית  נושאים בגאומטריה:  גאומטריה אוקלידית • גאומטריה דיפרנציאלית וטופולוגיה גאומטרית • גאומטריה אלגברית 
שתי האוריינטציות על המעגל
בחירת שדה נורמלי למשטח או במילים אחרות "בחירת צד", מגדירה אוריינטציה על המשטח
כלל יד ימין. לכלל זה יש משמעות רק במרחב עליו נקבעה אוריינטציה
דרך נוספת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא, לכתוב על פיסת בד מילה. אם אחרי הפעלת ההעתקה הכתב הופך לכתב ראי אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. אם הוא נשאר כתב "רגיל" (עשוי להיות מסובב או מעוות) ההעתקה שומרת אוריינטציה.
אוריינטציה מתאימה על שני משולשים.
הסדר הציקלי (Cyclic order) על קודקודי המשולש הראשון הוא ABC ועל השני הוא CBD. על הצלע BC אנו מקבלים שני סדרים מנוגדים
האוריינטציה הסטנדרטית על העיגול משרה, בעזרת הנורמל החיצוני, אוריינטציה על המעגל. הזוג המורכב מהנורמל החיצוני בנקודה על המעגל ומוקטור משיק בכיוון האוריינטציה על המעגל מהווה בסיס חיובי במישור
נורמל למשטח מגדיר אוריינטציה על המשטח, אותה ניתן להמחיש על ידי כיוון סיבוב על המשטח. אוריינטציה על המשטח מגדירה אוריינטציה על השפה שלו.
כיסוי האוריינטציות של משטח  M במרחב: נדמיין שהמשטח עשוי מנייר דו-שכבתי, ונפריד את השכבות. היריעה שתתקבל תהיה המרחב המכסה  \operatorname {orient} _{M}. העתקת הכיסוי  \,p:\operatorname {orient} _{M}\to M היא ההדבקה של שתי השכבות בחזרה.
במקרה ש  M היא טבעת מביוס (זאת אומרת טבעת עם חצי פיתול) היריעה המתקבלת לאחר הפרדת השכבות היא טבעת עם פיתול שלם. יריעה זאת דיפאומורפית לטבעת רגילה, ובפרט היא אוריינטבילית