כוח ואן דר ואלס
מודלים פיזיקליים כמותיים בסיסיים > כוחות קיסום מתוך שיקולי מכניקה סטטיסטית

הפיתוח מתייחס לתווך עם פרמביליות מקרוסקופית  \varepsilon  ובטמפרטורה גדולה מאפס. בתווך שכזה למולקולות דיפול בגודל קבוע שנובע משיקולים פיזיקליים קוונטים בחישוב מדויק.
הדיפול משנה את האוריינטציה המרחבית שלו כתוצאה מפלקטואציות תרמיות (התנגשות עם חלקיקים אחרים בתווך) ונוצר כוח ממוצע אפקטיבי בין שתי מולקולות הדיפול שיפותח להלן.
הנחות הפיתוח בחלק זה:
הפיתוח יעשה בקירוב בו הדיפול  נקודתי, כלומר המרחק בין שני הדיפולים גדול יחסית לאורך קיסום (ראו התייחסות בהמשך).
המערכת בשיווי משקל תרמי. בטמפרטורה גדולה מ-0 קלווין.
ניתן לתאר את האינטראקציה בהגיון אשר מזכיר Mean Field - כלומר הפיתוח יתאר שני דיפולים בחומר עם גודל פרמטיביות מאקרוסקופי ממוצע מכל שאר הדיפולים במערכת בתווך המסומן באות  \varepsilon . הנחה זו אינה טריוויאלית כלל כיוון שכוחות ואן דר ואלס אינם אדיטיביים (ראו מאפיינים פיזיקליים של הכוחות).
כמתואר באיור 3 (איור המערכת) הפרמטרים הגאומטריה המתארים את הדינמיקה של שתי מולקולות כאלו הם בהתאמה:  R,{\theta _{1}},{\theta _{2}},{\phi _{1}},{\phi _{2}},{\vec {u_{1}}},{\vec {u_{2}}}- וקטורי הדיפול 1 ו-2, זוויות הקורדינאטות הכדוריות סביב מרכז דיפולי 1 ו-2, R הוא המרחק על ציר z המחבר בין מרכזי שתי המולקולות בהתאמה הפוכה.
וקטורי הדיפול באופן אפקטיבי בלבד לפי הגדרה מקיימים:  {\vec {u_{1}}}=q{\vec {r_{1}}},{\vec {u_{2}}}=q{\vec {r_{2}}} כאשר q הוא גודל המטען שבקצוות הדיפול.
עבור מערכת כזו הפוטנציאל מקיים באופן דומה לפיתוח עבור כוחות לונדון:
{V({\vec {R}})={u_{1,i}u_{2,j} \over \varepsilon |{\vec {R}}|^{3}}}(\delta _{i,j}-3{R_{1,i}R_{2,j} \over |{\vec {R}}|^{2}})
רק שכעת תרומת התווך הפרמבילי ניכרת כפרמטר שמשפיע באופן מקרוסקופי על האינטראקציה האלקטרוסטטית של שאר הדיפולים במרחב על זוג הדיפולים שבבוחן.
הערך המוחלט של וקטור הדיפול יסומן כך:  u_{1}=|{\vec {u_{1}}}|,u_{2}=|{\vec {u_{2}}}|
נפתח את הביטוי בקואורדינטות כדוריות ביחס לציר z עבור שתי המולקולות.
לשם כך נרשום את וקטורי הדיפול בקואורדינטות כדוריות תחילה:
{\vec {u_{1}}}=u_{1}(\sin(\theta _{1})\cos(\phi _{1}),\sin(\theta _{1})\sin(\phi _{1}),\cos(\theta _{1}))
{\vec {u_{2}}}=u_{2}(\sin(\theta _{2})\cos(\phi _{2}),\sin(\theta _{2})\sin(\phi _{2}),\cos(\theta _{2}))
מהצבה בנוסחת הפוטנציאל נקבל כי:
{V({\vec {R}})={u_{1}u_{2} \over \varepsilon |{\vec {R}}|^{3}}}(\sin(\theta _{1}))\sin(\theta _{2})cos(\phi _{1}-\phi _{2})-2\cos(\theta _{2})\cos(\theta _{1}))
ברור מהתבוננות בכוח הנ"ל כי למשיכה הנ"ל יש נטייה לסדר את הדיפולים בכיוונים מסוימים ביחס לציר המחבר בין מרכזם- תכונה האופיינית לכוחות ואן דר-ואלס.
נמצא את המרחק הגבולי בין הדיפולים בו האנרגיה הפוטנציאלית בין הדיפולים נהיית משמעותית ביחס לאנרגיה הקינטית הממוצעת של כל דיפול.
מרחק זה מתקבל מהשוואת "עוצמת הפוטנציאל" (ללא התחשבות בזוויות המרחביות) לאנרגיה הקינטית הממוצעת:
{u_{1}u_{2} \over \varepsilon l^{3}}=k_{b}T
k_{b} הוא קבוע בולצמן ו-T היא הטמפרטורה בקלווין, יתבצע שימוש גם ב- \beta ={1 \over k_{b}T}.
מהשוואה זו מתקבל אורך קיסום:
l=({u_{1}u_{2} \over {\varepsilon k_{b}T}})^{1 \over 3}
נבחן מה קורה כאשר אינטראקציות קיסום חלשות יחסית. כלומר כאשר  {|{\vec {R}}|>>l}.
כדי להסתכל על המערכת משיקולי מכניקה סטטיסטית תחת תנאי זה, נחשב את פונקציית החלוקה (המערכת היא בשיווי משקל תרמי):
Z=<exp(-\beta V(R))>\backsimeq 1-<\beta V(R)>+{1 \over 2}<(\beta V(R))^{2}>{\overset {(1)}{=}}+{1 \over 2}<(\beta V(R))^{2}>
כאשר המיצוע הוא על כלל מרחב המצבים הזוויתי של שני הדיפולים. ניתן להראות משיקולי סימטריה זוויתית את השוויון (1) או מפתרון אינטגרל המיצוע הזוויתי שהרכיב שלינארי בפוטנציאל מתאפס.
באמצעות הקשר בין אנרגיה חופשית של המערכת לפונקציית החלוקה  F=-k_{b}Tlog(Z) ושימוש בהנחה שהאנרגיה הפוטנציאלית קטנה ביחס לאנרגיה הקינטית הממוצעת, מתקבל:
Z\backsimeq 1+\beta F
לכן מתקבל כי מתקיים בקירוב:  F=-{1 \over 2}\beta <V(R)^{2}>
נרשום מפורשות את הממוצע על הרכיב הריבועי בפוטנציאל:  <V(R)^{2}>={u_{1}^{2}u_{2}^{2} \over \varepsilon ^{2}|{\vec {R}}|^{6}}}({1 \over 4\pi })^{2}\textstyle \int \limits _{0}^{2\pi }\textstyle \int \limits _{0}^{2\pi }d\phi _{1}\displaystyle d\phi _{2}\textstyle \int \limits _{0}^{\pi }\displaystyle d\theta _{1}\sin(\theta _{1})\textstyle \int \limits _{0}^{\pi }\displaystyle d\theta _{2}\sin(\theta _{2})[\sin(\theta _{2})cos(\phi _{1}-\phi _{2})-2\cos(\theta _{2})\cos(\theta _{1}{))]^{2}
לאחר פתרון מפורש של האינטגרל הנ"ל מתקבל כי:  <V(R)^{2}>={2u_{1}^{2}u_{2}^{2} \over 3\varepsilon ^{2}|{\vec {R}}|^{6}}.
ולכן האנרגיה החופשית היא:  F=-{u_{1}^{2}u_{2}^{2} \over 3\varepsilon ^{2}|{\vec {R}}|^{6}k_{b}T}
נבחין כי אם הטמפרטורה נמוכה מספיק, האינטראקציה מתחזקת ויכולה להוביל לסידור המערכת בצורה של דיפולים שמכוונים לאותו הכיוון.
נבחין כי אם נציב את פרמטרי הבעיה תחת פרמטר הפולרזביליות  {u_{1}^{2} \over 3k_{b}T}=\alpha , תוצאת האנרגיה החופשית תתכנס בדיוק לכוחות דבאיי.
תוצאה זו איננה מקרית כיוון שגם למולקולה בלי דיפול קבוע (כשם שאחת המולקולות בכוחות דבאי היא) יש דיפול זמני. מכוחות לונדון לאטום המימן ניתן לראות כי לאנרגיית האינטראקציה של דיפול זמני עם דיפול זמני ישנה תלות דומה במרחק בין המולקולות ( 1 \over R^{6}) ועל כן סביר שחוק חזקה ישמר גם עבור כוחות דבאיי.
בפיתוח זה בדומה לפיתוח של כוחות לונדון התקבלה תלות דומה במרחק בין הדיפולים ובסימן, דהיינו כוח משיכה.
כמובן שפיתוח זה תקף רק בהנחות המצוינות ועל כן תוצאות פיתוח זה לא משקפות מצבים ריאלסטיים מורכבים כגון:
מקרה בו לגאומטריית המולקולה מבנה מרחבי לא נקודתי.
מרחק הדיפולים קטן ביחס לאורך קיסום.