כוח ואן דר ואלס
מודלים פיזיקליים כמותיים בסיסיים > כוחות דבאיי מתוך שיקולי אלקטרוסטטיקה ושילוב עקיף של מכניקה סטטיסטית

במערכת בה יש שני סוגי מולקולות שונות שבבוחן, מולקולה שאיננה עם פולריזציה קבועה (סוג א') ומולקולה שיש לה פולריזציה קבועה (סוג ב') מתקבל פיתוח אחר.
הנחות הפיתוח בחלק זה:
העניין בפיתוח הוא למצוא רק את אנרגיית ההשפעה של הפולרזיציה הקבועה של מולקולה מסוג ב' על מולקולה מסוג א'.
אין עניין במציאת ההשפעה של מולקולה מסוג א' על מולקולה מסוג ב' במובן של תוספת של עוד רכיב לאנרגיית האינטראקציה ביניהן (ההנחה הסמויה כאן היא שהשפעה זו כבר מתבטאת בגודל הדיפול הנתון).
הפרוטונים של מולקולה א' כבדים ביחס לאלקטרונים ועל כן השפעתם על אנרגיית האינטראקציה בין המולקולות זניחה.
המרחק בין מולקולת הבוחן מסוג ב' למולקולת הבוחן מסוג א' גדול מאוד ביחס למרחק הדיפול של מולקולת הבוחן מסוג ב'.
המערכת בשיווי משקל תרמי. בטמפרטורה גדולה מ־0 קלווין.
ניתן לתאר את האינטראקציה בהגיון אשר מזכיר Mean Field, כלומר הפיתוח יתאר דיפול בחומר עם גודל פרמטיביות מאקרוסקופי ממוצע מכל שאר הדיפולים במערכת בתווך המסומן באות  \varepsilon . הנחה זו אינה טריוויאלית כלל כיוון שכוחות ואן דר ואלס אינם אדיטיביים (ראו מאפיינים פיזיקליים של הכוחות).
כמתואר באיור 2 (איור המערכת) הפרמטרים הגאומטריה המתארים את הדינמיקה של שתי מולקולות כאלו הם בהתאמה:  R,{\theta _{1}},{\phi _{1}},{\vec {u_{1}}},AB,AC - וקטורי הדיפול, זוויות הקורדינאטות הכדוריות סביב מרכז הדיפול, R הוא המרחק על ציר z המחבר בין מרכזי שתי המולקולות, המרחק AB הוא גודל המרחק בין המטען הנקודתי למטען בראש הדיפול והמרחק AC הוא גודל המרחק בין המטען הנקודתי למטען בתחתית הדיפול.
נחשב את האינטראקציה האלקטרוסטטית בין דיפול למטען על ידי חישוב השדות החשמליים המושרים על המטען Q:
{\Phi _{tot}}=\Phi _{ind,+q}+\Phi _{ind,-q}={-q \over \varepsilon }[{1 \over AB}-{1 \over AC}]
כאשר q הוא גודל המטען שבאחת הקצוות של הדיפול והפרמביליות של התווך  \varepsilon . נזכור כי הדיפול מוגדר להיות:
{\vec {u}}=q{\vec {l}},u=ql
כאשר u בלי סימון וקטורי הוא גודל הדיפול בערך מוחלט ו־l הוא אורכו בערך מוחלט.
נחשב את אורכי הקטעים AB ו-AC תחת הקירוב של  {|{\vec {R}}|>>l}:
AB=[(R-{1 \over 2}l\cos(\theta ))^{2}+({1 \over 2}l\sin(\theta ))^{2}]^{1 \over 2}\backsimeq R-{1 \over 2}l\cos(\theta )
AC=[(R+{1 \over 2}l\cos(\theta ))^{2}+({1 \over 2}l\sin(\theta ))^{2}]^{1 \over 2}\backsimeq R+{1 \over 2}l\cos(\theta )
מהצבת אורכים אלו בפוטנציאל וחישובים אלגבריים נלווים, נקבל את הפוטנציאל הכולל הפועל על המטען Q בנקודה A:
\Phi ={-ql\cos \theta  \over \varepsilon r^{2}}
נמצא את השדה החשמלי הכולל מגזירת הפוטנציאל (לפי  {\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi }) בקואורדינטות כדוריות ונקבל:
E=|{\vec {E}}|=(E_{\theta }^{2}+E_{r}^{2})^{1/2}={u(1+3\cos(\theta )^{2})^{1/2} \over \varepsilon r^{3}}
צפיפות האנרגיה החשמלית של דיפול בכלל המרחב על פי הגדרה היא:
U(r,\theta ,\phi )=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}
כיוון ש"כל המרחב" שבעניין במקרה הנ"ל הוא נפח המולקולה במרחק  r=R ובזוויות יחסיות  \theta =\theta ',\phi =\phi 'שעליה מופעל הדיפול המושרה (מסוג א'), מה שנדרש לעשות כדי למצוא את האנרגיה כולה שפועלת על המולקולה זה:
U(total;R,\theta ',\phi ')=\int \limits _{molecule}U(r,\theta ,\phi )dV'=-\alpha |E(R,\theta ',\phi ')|^{2}
זה נובע מהגדרת פרמטר הפולרזביליות  \alpha .
למעשה קיבלנו את השדה בנקודה שבה ממוקמות המולקולה בריבוע כפול  \alpha .(שלמעשה "מתקן" את היחידות מצפיפות אנרגיה לאנרגיה כוללת עבור מולקולות מסוג מסוים), זאת מתוך הבנה שנפח המולקולה הוא מאוד קטן ביחס להשתנות השדה במרחב של הדיפול המשרה.
ניתן להוכיח שחצי מהאנרגיה הזו עבור מולקולות מסוג א' הולכת להשריית הדיפול האפקטיבי בהן וחצי מהאנרגיה הוא אנרגיית המשיכה בין המולקולות בין סוג א' לסוג ב' לאחר ההשריה. על כן בפועל מתקיים:
U(total;R,\theta ',\phi ')=-{1 \over 2}\alpha |E(R,\theta ',\phi ')|^{2}
האנרגיה החשמלית  של הדיפול המושרה בעקבות השיש בו דיפולים היא:
U(total;R,\theta ',\phi ')=-{1 \over 2}\alpha |{\vec {E_{tot}}}|^{2}=-{1 \over 2}\alpha {u^{2}(1+3\cos(\theta ')^{2}) \over \varepsilon ^{2}R^{6}}
כאשר  \alpha היא פרמטר הפולזרביליות של התווך.
באופן ניסויי ברוב המערכות ניתן לראות כי אין האינטראקציה הזו מספיק חזקה כדי לסדר את הדיפולים לאותו הכיוון ולכן בגלל פלקטואציות תרמיות, הדיפולים זזים סביב מרכזם.
לכן כדי לקבל את האינטראקציה הממוצעת בין הדיפול למולקולה מסוג א' למולקולה מסוג ב' נעשה אינטגרל זוויתי סביב מרכז הדיפול מסוג ב' (אנלוגי לתזוזת השני):
U={1 \over 4\pi }\textstyle \int \limits _{0}^{2\pi }\displaystyle d\phi \textstyle \int \limits _{0}^{\pi }\displaystyle U(\theta ,\phi )\sin(\theta )d\theta ={{1 \over 2}\alpha \centerdot {-1 \over 4\pi }\textstyle \int \limits _{0}^{2\pi }\displaystyle d\phi \textstyle \int \limits _{0}^{\pi }d\theta \sin(\theta ){u^{2}(1+3\cos(\theta )^{2}) \over \varepsilon ^{2}R^{6}}}=-{u^{2}\alpha  \over \varepsilon ^{2}R^{6}}
נבחין שבפתרון בשיטה הזו אין התייחסות מפורשת לטמפרטורה או לאינטראקציה הקוונטית בין המולקולות, אך אין זה אומר שפרמטרים אלו לא משחקים תפקיד בפיזיקה של הבעיה - הם מובלעים פשוט בפרמטר הפולרזביליות.
גם בפיתוח זה בדומה לפיתוח של כוחות לונדון התקבלה תלות דומה במרחק בין הדיפולים ובסימן, דהיינו כוח משיכה. פיתוח זה תקף רק בהנחות המצוינות ועל כן תוצאות פיתוח זה לא משקפות מצבים ריאלסטיים מורכבים כגון מקרה בו לגאומטריית המולקולה מבנה מרחבי לא נקודתי וגודל הדיפול אינו קטן ביחס למרחק לאלקטרון של מולקולות סוג א'.