משוואת שרדינגר
רקע היסטורי

בשנת 1909 הראה ארנסט רתרפורד באמצעות ניסוי פיזור של חלקיקי אלפא על עלה דק של זהב שהמטען החיובי באטום מרוכז באזור קטן מאוד במרחב, הידוע היום בשם 'גרעין האטום'. בעקבות הניסוי הציג רתרפורד מודל של האטום הקרוי המודל הפלנטרי שלפיו האלקטרונים הם חלקיקים קטנים הנעים סביב גרעין האטום באופן דומה לאופן שבו כוכבי הלכת מקיפים את השמש.
בשנת 1913 נילס בוהר פיתח מודל זה, והציג תאוריה הקרויה היום מודל בוהר שממנה משתמע שהאלקטרונים מתנהגים כמו גלים ונעים סביב גרעין האטום באופן הדומה לגלים עומדים. בבסיס המודל הזה היא ההנחה שהתנע הזוויתי של האלקטרונים, בתנועתם סביב הגרעין, יכול להיות רק כפולות שלמות של קבוע פלנק, ושפליטת אור או פוטון מתרחשת כאשר האלקטרונים עוברים למסלולים עם אנרגיה נמוכה יותר. מודל זה הראה התאמה מושלמת לספקטרום האנרגיה של אטום המימן וכן הסביר את זמני החיים הארוכים של האטומים (שכן על פי תורת החשמל הקלאסית, אלקטרונים החגים סביב גרעין אמורים לפלוט קרינה שתגרום להם לצנוח לעבר הגרעין). מודל בוהר שלפיו חלקיקים מתנהגים כמו גלים, יחד עם ההסבר של מקס פלאנק לקרינת גוף שחור (משנת 1900) וההסבר של איינשטיין לאפקט הפוטואלקטרי (משנת 1905) - שלפיהם גלי האור מתנהגים כמו חלקיקים בעלי מנות אנרגיה בדידות (הנקראים פוטונים), מהווים את הבסיס למה שקרוי היום 'תורת הקוונטים הישנה'.
למרות ההצלחות בפיענוח ספקטרום אטום המימן, המודל של בוהר השאיר שאלות רבות פתוחות. המודל לא נתן הסבר לספקטרום של אטומים ומולקולות מורכבים יותר מהמימן, הוא הראה שהחלקיקים מתנהגים כמו גלים, אך לא הסביר מה בדיוק מתודד ומהי משוואת הגלים של הטבע. מתן תשובה לשאלות הללו הפך לנושא מחקר מרכזי עבור הקהילה הפיזיקלית, ובפרט עבור קבוצה של תלמידים ומדענים שהובלו על ידי בוהר וכללו אנשים כמו ורנר הייזנברג, מקס בורן ווולפגנג פאולי.
צעד חשוב בדרך למציאת משוואת הגלים הגיע בשנת 1924 כאשר לואי דה ברויי הציג את השערת דה ברויי, לפיה כל חלקיקי החומר בעלי תכונות של גל, ולא רק קרינה אלקטרומגנטית (מושג זה נקרא כיום דואליות הגל-חלקיק):
כאשר  \lambda \; הוא אורך הגל,  h\; הוא קבוע פלאנק ו- p\; הוא תנע החלקיק.
דה ברויי הראה כי השערתו מתאימה למשוואתו של פלאנק ופיתוחו של איינשטיין, וכן לתורת היחסות הפרטית. כעת המשוואה של פלאנק התאימה לכל החלקיקים, ולא רק לקרינה האלקטרומגנטית.
צעד נוסף היה בשילוב של רעיונות תורת הקוונטים הישנה עם הפיזיקה הסטטיסטית, שהוחל ביוני 1924 כאשר הפיזיקאי ההודי סאת'ינדרה נאת' בוז (Satyendra Nath Bose) שלח מאמר לאיינשטיין ובו הוכחה חדשה למשוואה של פלאנק. הוא התייחס לפוטונים כאל מולקולות של גז והשתמש בהוכחה בשיטות מן המכניקה הסטטיסטית. בניגוד למכניקה הסטטיסטית הקלאסית של לודוויג בולצמן וג'יימס קלרק מקסוול, בה לכל מולקולה יש ייחוד והחלפה בין שתי מולקולות יוצרת מצב חדש, בוז הניח כי ההחלפה בין שני קוונטים של אור אינה יוצרת מצב חדש.
בין השנים 1924–1925 פרסם איינשטיין שלושה מאמרים בהם יישם את רעיונותיו של בוז לגז אידיאלי של מולקולות בהן אטום אחד. המאמרים תמכו ברעיונותיו של בוז בקשר לאופי הגלי של המולקולות וקישרו רעיונות אלו להשערת דה ברויי.
שנת 1926 הייתה שנת המפתח לפיתוחה של תורת הקוונטים עת התפרסמו שתי גרסאות למשוואת הגלים של החלקיקים. גרסה אחת שהוצגה על ידי ורנר הייזנברג וקרויה היום על שמו משוואת הייזנברג - הניחה שגדלים פיזיקליים (כמו מיקום, תנע ואנרגיה) נקבעים על ידי אופרטורים ואלו מתפתחים עם הזמן - על פי משוואת הגלים שהוא הציג. לעומתו, במקביל להייזנברג פעל ארווין שרדינגר לחיפוש משוואת הגלים באופן שונה.
בשלהי 1925, כתב שרדינגר מאמר שכותרתו הייתה "על התאוריה של גז איינשטיין", שעסק בגז של חלקיקים קוונטים ובוסס על השערת דה ברויי, כמו גם גישתו של איינשטיין לרעיון.
ב-1926 פרסם שרדינגר מאמר נוסף שעסק הפעם באטום המימן. בגז החלקיקים הקוונטים אפשר היה להניח כי על חלקיקי הגז הקוונטי לא פועל כוח, ולהזניחו, אך באטום המימן לא היה יכול שרדינגר להתעלם מן הכוח שבין הגרעין לאלקטרון.
שרדינגר פיתח משוואה דיפרנציאלית שקשרה בין השינוי בגל כתלות במקום ובין השינוי בו כתלות בזמן, אולם התוצאה לא התאימה לאטום המימן. הוא ניסה שוב, הפעם באמצעות משוואה יחסותית שתיצור הקבלה בין משוואה מן המכניקה המתייחסת לאלקטרון כחלקיק, ובין משוואה המתארת אותו כגל, וגם הפעם נכשל. בפעם השלישית ניסה והצליח לתאר הקשר בביטוי לא יחסותי.
עם פיתוח משוואת הגלים על ידי שרדינגר החלה תקופה קצרה שבה נעשה ניסיון לענות אילו משתי התאוריות השונות היא הנכונה (זו של שרדינגר או זו של הייזנברג). תקופה זו נגמרה כאשר שרדינגר הצליח להראות ששתי הגישות השונות שקולות.