מתנד הרמוני קוונטי
אוסצילטור הרמוני חד־ממדי > ההמילטוניאן והמצבים העצמיים

מקרה פשוט של אוסצילטור הרמוני חד-ממדי הוא חלקיק בעל מסה m, אשר נמצא תחת השפעת פוטנציאל (ליתר דיוק: אנרגיה פוטנציאלית)  \ V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}. לכן, ההמילטוניאן של המערכת הוא
 {\mathcal {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}
כאשר x הוא אופרטור המקום של החלקיק, ו־p הוא אופרטור התנע הצמוד לו (בהצגת המקום,  p=-i\hbar \partial /\partial x). האיבר הראשון (השמאלי יותר) מייצג את האנרגיה הקינטית של החלקיק ואילו האיבר השני מייצג את האנרגיה הפוטנציאלית שלו כתוצאה מכוח חיצוני המופעל עליו.
במכניקת הקוונטים, פתרון של בעיה הוא מציאת המצבים העצמיים של המערכת והדרך בה הם מתפתחים בזמן. כדי לעשות זאת יש לפתור את משוואת שרדינגר ולמצוא את המצבים העצמיים של אופרטור ההמילטוניאן, שנקראים גם המצבים העצמיים של האנרגיה. הפתרון מתקבל באמצעות הפרדת משתנים: אם מציבים במשוואת שרדינגר  \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-i{\mathcal {H}}t/\hbar }\left|\psi \right\rangle , מתקבלת משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן,  {\mathcal {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle .
אפשר לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית בבסיס המקום, תוך שימוש בשיטת פרובניוס (פתרון מד"ר על ידי פיתוח לטור חזקות), ומתקבלת משפחה של פתרונות,
 \left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}{\hbox{exp}}\left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)
הפתרונות מתאימים למספר הקוונטי n, שיכול להיות כל מספר שלם אי־שלילי (0,1,2,3 וכן הלאה)
ששת הפתרונות הראשונים (n=0 עד n=5) מוצגים באיור שמשמאל. אלו הם גרפים של פונקציות הגל. הפונקציות Hn הן פולינומי הרמיט:
בפתרון בשיטת פרוביניוס, הקוונטיזציה של האנרגיות והערכים שלהן נובעים מהתנאי המתמטי שהפתרונות יהיו פולינומים סופיים ולא יתבדרו (השוו עם תנאי השפה של בור פוטנציאל אינסופי).
האנרגיות העצמיות (ראו: ערך עצמי) המתאימות לכל אחד מהפתרונות הן
ספקטרום האנרגיה ממחיש שני מאפיינים נפוצים במערכות קוונטיות:
האנרגיות "מקוונטטות", כלומר: הן יכולות לקבל רק ערכים בדידים ולא משתנות ברציפות. האנרגיות קופצות במנת האנרגיה ("קוונט של אנרגיה") הבסיסית  \hbar \omega  כל פעם, כלומר:  \ E_{n+1}-E_{n}=\hbar \omega . ספקטרום האנרגיות הדיסקרטי הוא מאפיין של מערכות קוונטיות רבות, ולמעשה הוא נובע מכך שהמערכת היא מערכת קשורה ובמובן מסוים חסומה. נקדיש לכך דיון נוסף בפסקה על אופרטורי סולם.
האנרגיה המינימלית של המערכת איננה אפס, אלא  \hbar \omega /2, שנקראת "אנרגיית מצב היסוד" או "אנרגיית נקודת האפס" (באנגלית: "ground state energy" או "zero-point energy"). אף על פי שעובדה זו לא נראית רבת חשיבות, יש לה השלכות חשובות ביותר כאשר מבצעים קוונטיזציה לשדות ומקרבים אותם על ידי אוסצילטורים הרמוניים. בהקשר זה, אנרגיית מצב היסוד נקראת גם אנרגיית הריק, וניתן אף למדוד אותה במעבדה (למשל, באפקט קזימיר).
צפיפות ההסתברות של פונקציית הגל של מצב היסוד מרוכזת בראשית, ומכאן שהחלקיק נמצא רוב הזמן בתחתית בור הפוטנציאל, קרוב לראשית, כפי שניתן לצפות ממצב בעל אנרגיה נמוכה. ככל שהאנרגיה של החלקיק גדלה, צפיפות ההסתברות מתרחקת מן המרכז, ומתרכזת בנקודות המפנה הקלאסיות, בהן האנרגיה העצמית מתלכדת עם האנרגיה הפוטנציאלית. מסקנות אלה עקביות עם התיאור הקלאסי של אוסצילטור הרמוני, בו חלקיק אנרגטי נמצא רוב הזמן בנקודות המפנה, שם מהירותו מתאפסת תוך כדי שהוא משנה כיוון. המסקנה העיקרית מדיון זה הוא שעקרון ההתאמה של נילס בוהר מתקיים, כנדרש.