ברנהרד רימן
עבודתו המתמטית > אנליזה מרוכבת

בעבודת הדוקטורט שלו ביסס רימן תשתית גאומטרית לאנליזה מרוכבת דרך משטחי רימן, שבאמצעותם פונקציות רב-ערכיות כמו הלוגריתם המרוכב או השורש הריבועי יהפכו לפונקציות חד-חד ערכיות. פונקציות מרוכבות הן פונקציות הרמוניות (כלומר, הן מקיימות את משוואת לפלס ולכן גם את משוואות קושי-רימן) על המשטחים הללו והן מתוארות על ידי מיקום נקודות הסינגולריות והטופולוגיה של המשטחים. ה"גנוס" הטופולוגי של משטחי רימן הוא  g=w/2-n+1, כאשר למשטח יש  n ענפים (leaves) ו- w נקודות הסתעפות (branch points). בעבור  g>1 למשטח רימן יש  (3g-3) פרמטרים. בנייה זאת אפשרה לראשונה להעניק מסגרת קונספטואלית מאוחדת לאינספור התוצאות על פונקציות מרוכבות (משפט אינטגרל קושי, תוצאות רבות על אינטגרלים אליפטיים ופונקציות אליפטיות, וכו') שנצברו בעשורים הקודמים על ידי מתמטיקאים רבים. כך למשל, המקום הגאומטרי "הטבעי" לחקר פונקציות אליפטיות כפולות-מחזור במישור המרוכב הוא משטח רימן המתאים שלהן, שהוא הטורוס.
תרומותיו בהקשר זה רבות מספור. משפט ההעתקה של רימן, אותו הוכיח בעבודת הדוקטורט שלו (מ-1851), עומד בליבה של התאוריה הגאומטרית המודרנית של העתקות קונפורמיות. משפט זה קובע שכל תחום פשוט קשר במישור המרוכב שאינו  \mathbb {C}  שקול קונפורמית לעיגול היחידה הפתוח. ההכללה של המשפט למשטחי רימן שרירותיים היא משפט היוניפורמיזציה, שהוכח בשלהי המאה ה-19 על ידי אנרי פואנקרה ופליקס קליין. עם זאת, הוכחות ריגורוזיות ראשונות למשפט ניתנו רק אחרי הפיתוח של ארסנל כלים מתמטי עשיר יותר (במקרה זה, כלים מתחום הטופולוגיה). כדי להוכיח את הקיום של פונקציות על משטחי רימן הוא השתמש בתנאי מינימום מסוים, לו הוא קרא עקרון דיריכלה. קרל ויירשטראס מצא חלל בהוכחה: רימן לא הבחין שהנחת העבודה שלו (שהמינימום קיים) עשויה לא לעבוד; מרחב הפונקציות עשוי לא להיות שלם, ולפיכך הקיום של המינימום אינו מובטח. דרך עבודתו של דויד הילברט בחשבון הווריאציות, עקרון דיריכלה בוסס לבסוף.
עם זאת, ויירשטראס התרשם עמוקות מרימן, במיוחד מעבודתו על התאוריה של פונקציות אבליות. כאשר עבודתו של רימן הופיעה, תוך זמן קצר ויירשטראס השליך את מאמרו והחליט לא לפרסמו במגזין המתמטי Crelle. הייתה להם הבנה טובה כאשר רימן ביקר אותו בברלין ב-1859. ויירשטראס עודד את תלמידו הרמן אמדאוס שוורץ למצוא חלופות לעקרון דיריכלה באנליזה מרוכבת, משימה בה הוא הצליח במידה רבה - במהלך העשורים הקרובים שוורץ הדגים בניות מפורשות רבות של העתקות קונפורמיות מתחומים שונים לעיגול היחידה, ובכך אישש את נכונות הטענה של רימן.
בחיבורו משנת 1857 "התאוריה של פונקציות אבליות" (Theorie der Abelschen Functionen), שנחשב לאחד הפרסומים החשובים ביותר בגאומטריה אלגברית, רימן פיתח את הקונספט של משטחי רימן ואת התכונות הטופולוגיות שלהן מעבר לעבודת הדוקטורט שלו משנת 1851, הוכיח משפט אינדקס על הגנוס (הניסוח המקורי של נוסחת רימן-הורוויץ), הוכיח את אי שוויון רימן על הממד של מרחב פונקציות מרומורפיות עם קטבים (הניסוח המקורי של משפט רימן-רוך), דן בטרנספורמציות בירציונליות של עקום נתון ובממד של מרחב המודולו המתאים של עקומים לא שקולים בעלי גנוס נתון, ופתר בעיות אינוורסיה כלליות יותר מאלו שנחקרו על ידי אבל ויעקובי. אנדרה וייל כתב כי החיבור הזה "הוא אחת היצירות המתמטיות הדגולות ביותר שנכתבו אי פעם, אין אפילו משפט אחד בו שלא הוביל בעקבותיו להתפתחות מעמיקה חדשה".
נקודות חשובות אחרות כוללות את עבודתו על פונקציות אבליות ופונקציות תטא על משטחי רימן. רימן היה נתון בתחרות עם ויירשטראס (החל מ-1857) לפתור את בעיית האינוורסיה לאינטגרלים אבליים, שהם הכללה של אינטגרלים אליפטיים. רימן נעזר בפונקציות תטא במספר משתנים והראה שניתן לצמצם את בעיית האינוורסיה לבעיה של קביעת האפסים של פונקציות תטא הללו. רימן חקר גם מטריצות מחזורים ואפיין אותן דרך "יחסי מחזורים רימניים" (Riemannian period relations). לפי פרדיננד גאורג פרובניוס ושלמה ליפשיץ התקפות של הקשר הזה שקולה לשיכון של  \mathbb {C} ^{n}/\Omega  (כאשר  \Omega  הוא הסריג של מטריצת המחזורים) במרחב הפרויקטיבי באמצעים של פונקציות תטא. בעבור ערכים מסוימים של  n, זו ה-Jacobian variety של משטח רימן, דוגמה ליריעה אבלית. רימן הראה גם כיצד התאוריה של פונקציות מרוכבות מאירה את התאוריה של משטחים מינימליים (משטח מינימלי הוא המשטח בעל השטח המינימלי עם שפה נתונה; כמו הצורה שלובשות רצועות סבון).
מתמטיקאים רבים כגון אלפרד קלבש חידדו את עבודתו של רימן על עקומים אלגבריים. התאוריות הללו תלויות בתכונות של הפונקציות המוגדרות על משטחי רימן. למשל, משפט רימן-רוך (רוך היה תלמיד של רימן) מספק מידע על מספר הדיפרנציאלים הבלתי תלויים ליניארית של משתנים על משטח רימן (עם תנאים ידועים על האפסים והקטבים).
לפי Detlef Laugwitz, תבניות אוטומורפיות הופיעו בפעם הראשונה בחיבור שעסק במשוואת לפלס על גלילים טעונים חשמלית. אף על פי כן, רימן נעזר בפונקציות כאלו לצורך מיפויים קונפורמיים (כגון מיפוי משולשים טופולוגיים למעגל) בהרצאתו מ-1859 על פונקציות היפרגאומטריות או בחיבורו על משטחים מינימליים.