יסודות (ספר)
תוכן החיבור

ששת הספרים הראשונים עוסקים, כאמור, בגאומטריה. ארבעת הראשונים עוסקים בגאומטריית המישור. הראשון והשני מסכמים כנראה את עבודתו של פיתגורס, בעוד שהשלישי והרביעי מייצגים את עבודתו של היפוקרטס מכיוס.
הספר הראשון סוקר עובדות יסוד בגאומטריה: שוויון בין אורכים, זוויות ושטחים, ישרים מקבילים, סכום הזוויות במשולש, וכמה מקרים של חפיפת משולשים. שלושת המשפטים הראשונים מתארים בניות יסוד במחוגה ובסרגל. המשפטים האחרונים בספר, שמספרם 47 ו-48, הם משפט פיתגורס, והיפוכו (הקובע שמשולש שבו ריבוע צלע אחת שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות, הוא משולש ישר-זווית).
בספר השני יש רק 14 טענות, המהוות ניסוח גאומטרי של טענות אלגבריות, למשל דיסטריבוטיביות:  \ a(b+c)=ab+ac. התיאור נאמן לגישה באותה תקופה, שלפיה כל כמות מספרית היא אורכו של קטע. טענות 12 ו-13 הן משפט הקוסינוסים (למשולשים חדי זווית וקהי זווית, בהתאמה).
בספר השלישי 37 טענות על מעגלים. האחרונה היא המשפט הידוע, שלפיו אם נקודה P נמצאת מחוץ למעגל ו-L הוא ישר היוצא מ-P וחותך את המעגל, אז מכפלת המרחקים של P מנקודות החיתוך שווה תמיד לריבוע האורך של המשיק למעגל.
הספר הרביעי עוסק במשולשים ובריבועים החוסמים מעגל או חסומים במעגל.
הספר החמישי עוסק ביחסים בין אורכים, ובהשוואת אורכים זה לזה. ישנה ב"יסודות" העדפה ברורה לשוויון של שטחים, כדוגמת ab=cd, במקום שוויון של יחסים a:d=c:b, שנחשבו כנראה למושג פחות טבעי. כאן מביא אוקלידס מעבודתו של אאודוקסוס. ההגדרה הרביעית בספר קובעת את עקרון ארכימדס: מספר גדול מספיק של עותקים מקטע נתון יכולים לכסות כל קטע אחר. כמו הספר השני, גם ספר זה מתאר בעיקר עובדות שהיום נחשבות לאלגברה בסיסית.
הספר השישי ממשיך את הדיון מהספר החמישי, ומיישם את מושג היחס לעיסוק בדמיון משולשים ודמיון של צורות אחרות. הספר כולל את משפט תלס.
ארבעת הספרים הבאים עוסקים בתורת המספרים:
הספר השביעי נפתח ב-22 הגדרות לתכונות של מספר (זוגי ואי-זוגי, ראשוני, פריק, משוכלל, מחלק משותף מקסימלי). הגישה, כמקובל, גאומטרית - כל מספר מיוצג על ידי קטע באורך מתאים. העובדה שמספר a (המרחק AB) מחלק את המספר b (המרחק CD), מנוסחת אצל אוקלידס "הקטע CD ניתן להימדד על ידי AB". המשפטים הראשונים בספר מתארים את אלגוריתם החילוק של אוקלידס. משפט 24 קובע שאם a ו-b זרים למספר c, אז כך גם מכפלתם. משפט 30 הוא הלמה של אוקלידס.
הספר השמיני מביא תכונות פשוטות יחסית של מספרים בסדרה גאומטרית.
הספר התשיעי מעמיק בתורת המספרים. משפט 20 הוא משפטו המפורסם של אוקלידס שלפיו יש אינסוף מספרים ראשוניים. ההוכחה היא בדרך השלילה: אם יש רק מספר סופי של ראשוניים ומכפלתם מסומנת ב-P, הרי ש־P+1 אינו יכול להתחלק באף אחד מן המספרים ש־P הוא מכפלתם. אם כך או ש־P+1 הוא מספר ראשוני, או שיש לו גורם ראשוני שגדול מכל המספרים ש־P הוא מכפלתם. משפט 35 מביא את נוסחת סכום האיברים בסדרה גאומטרית. הספר כולל גם את "נוסחת אוקלידס" המתארת מספרים משוכללים (היום ידוע שכל המספרים המשוכללים הזוגיים הם בעלי צורה זו).
הספר העשירי עוסק בקטעים ללא מידה משותפת - דרכם של הקדמונים לומר שיחס בין קטעים הוא מספר אי רציונלי. הספר עוסק במספרים המתקבלים באופן טבעי בבנייה של מלבנים: מספרים מהצורה  \ a+{\sqrt {b}} או  \ {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}. בספר מופיעה ההוכחה המפורסמת שהשורש הריבועי של 2 אינו רציונלי. יש בו 115 טענות (יותר מבכל ספר אחר), אולי מפני שכל טענה מנוסחת בנפרד עבור כל בחירה אפשרית של הסימנים. הספר עוסק, בין השאר, בשאלה מתי הפתרונות למשוואה ריבועית מהצורה  \ ax-x^{2}=b^{2} הם רציונליים.
שלושת הספרים האחרונים עוסקים בגאומטריית המרחב.
בספר האחד-עשר 39 טענות, הכוללות את יסודות גאומטריית המרחב ואת הנוסחה לנפח של מקבילונים. ספר זה מגדיר בין השאר את הגופים האפלטוניים.
בספר השנים-עשר נידונה שיטת המיצוי, קודמתה של האינטגרציה, לחישוב נפחים. הספר כולל את הנוסחאות לנפח של פירמידה, של חרוט, של גליל ושל כדור. השיטה, ששוכללה מאוחר יותר על ידי ארכימדס, הגיעה לאלכסנדריה בתיווכו של אאודוקסוס.
הספר השלושה-עשר עוסק כולו בתכונות של חמשת הגופים האפלטוניים. מעתיקים יווניים בני התקופה מייחסים את הספר ברובו לתאיטטוס. ספר זה חותם את היצירה בדיון על היחס שבין צלעו של גוף אפלטוני לרדיוס המעגל החוסם אותו (באיקוסהדרון היחס הוא  \ {\sqrt {(5-{\sqrt {5}})/10}}), וביחס שבין הנפח של הגופים האפלטוניים לנפח של כדור החוסם אותם. טענה 18 מראה שאין גופים משוכללים מלבד החמישה הידועים. עובדה זו השפיעה על החשיבה המיסטית שניסתה להתאים לגופים האפלטוניים יסודות כימיים וכוכבים. קפלר הושפע מכך עד כדי כך שניסה לבסס את הקוסמולוגיה על ההתאמה בין גופים אפלטוניים לבין כוכבי הלכת.