בניית המספרים הממשיים
שקילות > הוכחה

נקדים במעט תכונות הנכונות לכל מודל  (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq ) של המערכת:
בהינתן  A,B\subseteq \mathbb {R} , נגדיר  A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}. אז מתקיים  \sup(A+B)=\sup A+\sup B: נסמן  s_{A}=\sup A,s_{B}=\sup B. אז לכל  x\in A,y\in B מתקיים  x\leq s_{A},y\leq s_{B}, לכן  x+y\leq s_{A}+s_{B}, כלומר  s_{A}+s_{B} חסם מלעיל של  A+B. כעת נראה כי הוא החסם מלעיל הקטן ביותר: נניח בשלילה ש M<s_{A}+s_{B} הוא חסם מלעיל. נגדיר  \varepsilon =s_{A}+s_{B}-M>0. אז  M=s_{A}+s_{B}-\varepsilon . מתקיים  s_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}}<s_{A}, לכן  s_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}} אינו חסם מלעיל של  A, כלומר קיים  x\in A כך ש s_{A}-{\frac {\varepsilon }{2}}<x. באותה דרך קיים  y\in B כך ש s_{B}-{\frac {\varepsilon }{2}}<y. לכן  x+y>s_{A}+s_{B}-\varepsilon =M, בסתירה לכך ש M חסם מלעיל של  A+B. לכן  \sup(A+B)=s_{A}+s_{B}=\sup A+\sup B.
השדה  \mathbb {R}  הוא ארכימדי, כלומר לכל  x\in \mathbb {R}  קיים  n\in \mathbb {N}  כך ש  n>x. נראה זאת: נניח בשלילה שקיים  X\in \mathbb {R}  כך שלכל  n\in \mathbb {N}  מתקיים  n\leq X. אז הקבוצה  \mathbb {N}  חסומה מלעיל על ידי  X, ולכן על פי תכונת השלמות (האקסיומה האחרונה) יש לה סופרמום, שיסומן  s. לכן לכל  n\in \mathbb {N}  מתקיים  n\leq s ומכך ש n+1\in \mathbb {N}  נקבל גם  n+1\leq s, כלומר  n\leq s-1. כלומר  s-1 הוא חסם מלעיל של  \mathbb {N} . מהגדרת הסופרמום כחסם מלעיל הקטן ביותר נקבל  s\leq s-1. מתכונות הסדר נוכל לחסר  s ולקבל  0\leq -1. לכן ניתן לכפול ב -1 מבלי לשנות את הסדר (כפל במספר חיובי הוא שומר סדר, ראו באקסיומות), ונקבל  0=0\cdot -1\leq -1\cdot -1=1, ואם נחסר  1 משני אגפי המשוואה נקבל  -1\leq 0. היחס  \leq  הוא יחס סדר חזק, לכן  0=-1, ולכן  1=0, בסתירה לכך שבהגדרת השדה דורשים  0\neq 1.
כעת נגדיר את פונקציית הערך השלם על  \mathbb {R} . למעשה ניתן להגדיר באותה דרך על כל שדה ארכימדי  (\mathbb {A} ,+,\cdot ,\leq ): יהי  x\in \mathbb {A} . מתכונות הארכימדיות נובע כי קיים  n\in \mathbb {N}  כך ש |x|<n (כאשר  |x|=\max\{x,-x\}), כלומר  -n<x<n. לכן הקבוצה  \{m\in \mathbb {Z} |-n\leq m\leq x\} חסומה מלעיל על ידי  n ומלרע על ידי  -n, וכקבוצה חסומה של מספרים שלמים, היא סופית. לכן יש לה מקסימום, שיסומן  \lfloor x\rfloor . זהו המספר השלם המקסימלי שאינו גדול מx. (כי כל איבר בקבוצה  \{m\in \mathbb {Z} |m\leq x\} הוא בקבוצה  \{m\in \mathbb {Z} |-n\leq m\leq x\}, או קטן מ -n, ובשני המקרים מתקיים  n\leq \lfloor x\rfloor ). נשים לב שמתקיים  \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1 (החלק השמאלי נובע ממהגדרה, והימני מכך שאם  \lfloor x\rfloor +1\leq x, אז  \lfloor x\rfloor +1\in \{n\in \mathbb {Z} |n\leq x\}, ולכן  \lfloor x\rfloor +1\leq \lfloor x\rfloor ).
כעת נראה כי  \mathbb {Q}  צפופה ב \mathbb {R} . גם תכונה זו נכונה לכל שדה ארכימדי  \mathbb {A} : יהו  x,y\in \mathbb {A} ,x<y. אז מתקיים  y-x>0. מהארכימדיות קיים  n\in \mathbb {N}  כך ש {\frac {1}{y-x}}<n, כלומר  ny-nx>1, או במילים אחרות  nx+1<ny. נגדיר  m=\lfloor nx\rfloor +1. אז מתקיים  m>nx, וכן  m=\lfloor nx\rfloor +1\leq nx+1<ny, כלומר  nx<m<ny, ולכן  x<{\frac {m}{n}}<y.
לכל מודל  (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq ) ולכל תת-קבוצה חסומה ולא ריקה  \emptyset \neq S\subseteq \mathbb {R} , נסמן ב \sup _{\mathbb {R} }S את הסופרמום של  S ב \mathbb {R}  (שקיים על פי אקסיומת השלמות). בנוסף, לכל  x\in \mathbb {R}  נסמן  C_{x}=\{q\in \mathbb {Q} |q<x\}. נשים לב שקבוצה זו תמיד חסומה (על ידי x) ולא ריקה.
כעת ניגש להוכיח את השקילות בין שני מודלים  (\mathbb {R} _{1},+_{1},\cdot _{1},\leq _{1}),(\mathbb {R} _{2},+_{2},\cdot _{2},\leq _{2}): נגדיר  f:\mathbb {R} _{1}\to \mathbb {R} _{2} על פי  f(x)=\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}. נראה כי זו פונקציה חד-חד-ערכית ועל: נגדיר  g:\mathbb {R} _{2}\to \mathbb {R} _{1} על פי  g(x)=\sup _{\mathbb {R} _{1}}C_{x}. נראה שמתקיים  g\circ f=I_{\mathbb {R} _{1}},f\circ g=I_{\mathbb {R} _{2}}: לכל  x\in \mathbb {R} _{1} מתקיים  g(f(x))=\sup _{\mathbb {R} _{1}}C_{f(x)}=\sup _{\mathbb {R} _{1}}C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}. לכל  q\in C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}} מתקיים  q<_{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}, כלומר  q אינו חסם מלעיל של  C_{x}, ולכן קיים  p\in C_{x} כך ש q<p. מההגדרה של  C_{x} נקבל  p<_{1}x, ולכן  q<_{1}p<_{1}x, כלומר  q<_{1}x. לכן  x חסם מלעיל של  C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}. כעת נראה שהוא חסם עליון: נניח בשלילה כי  y<_{1}x הוא חסם של
 C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}. אז מהצפיפות של  \mathbb {Q}  ב \mathbb {R} _{1} נקבל שקיים  q\in \mathbb {Q}  כך ש y<_{1}q<_{1}x. מכך ש q<_{1}x נקבל  q\in C_{x}, לכן  q<_{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}, כלומר  q\in C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}, ומכיוון ש y הוא חסם מלעיל של  C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}, נקבל  q\leq _{1}y, בסתירה לכך ש y<_{1}q. לכן  x=\sup _{\mathbb {R} _{1}}C_{\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}}=g(f(x)). באותה דרך מתקיים  f(g(x))=x לכל  x\in \mathbb {R} _{2}. לכן  g\circ f=I_{\mathbb {R} _{1}},f\circ g=I_{\mathbb {R} _{2}}, כלומר  g=f^{-1}, ובפרט  f פונקציה הפיכה, ולכן חד-חד-ערכית ועל.
כדי להראות כי  f(x+_{1}y)=f(x)+_{2}f(y), נוכיח קודם כל כי בכל מודל  \mathbb {R}  מתקיים  C_{x+y}=C_{x}+C_{y}:=\{p+q|p\in C_{x}\land q\in C_{y}\}: יהי  p+q\in C_{x}+C_{y}. אז  p<x,q<y. לכן  p+q<x+y, כלומר  p+q\in C_{x+y}. יהי  q\in C_{x+y}. אז  x+y-q>0, ומצפיפות הרציונליים בממשיים נקבל שקיים  p\in \mathbb {Q}  כך ש- 0<p<x+y-q. בפרט  p>0, כלומר  x-p<x, לכן קיים  r\in \mathbb {Q}  כך ש- x-p<r<x. נגדיר  s=q-r. אז  s=q-r<q+p-x<q+(x+y-q)-x=y, וכן  q=q-r+r=s+r, לכן  q\in C_{x}+C_{y}. לכן מתקיים  f(x+_{1}y)=\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x+_{1}y}=\sup _{\mathbb {R} _{2}}(C_{x}+C_{y})=\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{x}+_{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{y}=f(x)+_{2}f(y).
כעת נראה כי  f(x\cdot _{1}y)=f(x)\cdot _{2}f(y): לכל מודל  \mathbb {R}  ולכל  x\geq 0, נסמן  P_{x}=C_{x}\setminus C_{0}. קל לראות כי  \sup P_{x}=\sup C_{x}. כעת לכל  x,y\geq 0, נראה כי מתקיים  P_{xy}=P_{x}P_{y}:=\{pq|p\in P_{x}\land q\in P_{y}\}. אם  pq\in P_{x}P_{y}, אז  0\leq p<x,0\leq q<y, לכן  0\leq pq<xy. כלומר  P_{x}P_{y}\subseteq P_{xy}. אם  0\leq p<xy, אז  0\leq p<xy, לכן  {\frac {p}{y}}<x, ומצפיפות הרציונלים נקבל שקיים  q\in \mathbb {Q}  כך ש {\frac {p}{y}}<q<x. נגדיר  r={\frac {p}{q}}. אז  r<{\frac {p}{p/y}}=y, וכן  q<x, וגם  p=q{\frac {p}{q}}=qr, לכן  p\in P_{x}P_{y}. כלומר  P_{xy}=P_{x}P_{y}. יהי  pq\in P_{xy}. אז  p\in P_{x},q\in P_{y}, לכן  p\leq _{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}P_{x}=f(x),q\leq _{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}P_{y}=f(y), כלומר  pq\leq _{2}f(x)\cdot _{2}f(y). לכן  f(x)\cdot _{2}f(y) חסם מלעיל של  P_{xy}. כעת יהי  0\leq _{2}s<_{2}f(x)\cdot _{2}f(y). אז  {\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{s}}>_{2}1, לכן  s':={\sqrt {\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{2}}}>_{2}1, כלומר  {\frac {f(x)}{s'}}<_{2}f(x),{\frac {f(y)}{s'}}<_{2}f(y), לכן  {\frac {f(x)}{s'}},{\frac {f(y)}{s'}} שניהם אינם חסמים מלעיל של  P_{x},P_{y} בהתאמה, לכן קיימים  p\in P_{x},q\in P_{y} כך ש {\frac {f(x)}{s'}}<_{2}p<_{2}f(x),{\frac {f(y)}{s'}}<_{2}q<_{2}f(y), לכן  s={\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{s}}}={\frac {f(x)\cdot _{2}f(y)}{s'\cdot _{2}s'}}={\frac {f(x)}{s'}}\cdot _{2}{\frac {f(y)}{s'}}<pq, כלומר  s אינו חסם עליון של  P_{xy} (כי  pq\in P_{x}P_{y}=P_{xy}), לכן  f(x)\cdot _{2}f(y) הוא החסם מלעיל הקטן ביותר של  P_{xy}, כלומר  f(x)\cdot _{2}f(y)=\sup _{\mathbb {R} _{2}}P_{xy}=f(x\cdot _{1}y). אם  x,y<0, אז מתכונות בסיסיות של הומומורפיזמים של חבורות, נקבל  f(-x)=-f(x), לכן  f(x\cdot _{1}y)=f(-x\cdot _{1}-y)=f(-x)\cdot _{2}f(-y)=f(x)\cdot _{2}f(y). אם  x<0,y\geq 0 (או ההפך, באותה דרך), נקבל  f(x\cdot _{1}y)=f(-(-x)\cdot _{1}y)=-f(-x\cdot _{1}y)=-f(-x)\cdot _{2}f(y)=f(x)\cdot _{2}f(y).
כעת נראה כי מתקיים  x\leq _{1}y\Leftrightarrow f(x)\leq _{2}f(y): מתכונת החד-חד-ערכית נקבל כי  x=y\Leftrightarrow f(x)=f(y), לכן מספיק להוכיח כי  x<_{1}y\Leftrightarrow f(x)<_{2}f(y). נניח כי  x<_{1}y. אז מהצפיפות נקבל שקיים  q\in \mathbb {Q}  כך ש x<_{1}q<_{1}y. לכן  q\in C_{y}\setminus C_{x}. כלומר  q<_{2}\sup _{\mathbb {R} _{2}}C_{y}=f(y). כעת נניח בשלילה  q<_{2}f(x). אז  q אינו חסם מלעיל של  C_{x}, כלומר קיים  p<_{1}x כך ש q<p. לכן  q<_{1}x, בסתירה להגדרת  q. לכן  f(x)\leq _{2}q<_{2}f(y). כעת נניח כי  f(x)<_{2}f(y). נניח בשלילה  x\geq _{1}y. אז מתקיימת אחת מהאפשרויות  x=y\ \ ,\ \ x>_{1}y, כלומר  f(x)=f(y)\ \ ,\ \ f(x)>_{2}f(y), בסתירה לכך ש f(x)<_{2}f(y). לכן  x<_{1}y.
למעשה, בהינתן שדה ארכימדי  \mathbb {A} , הפונקציה  f(x)=\sup _{\mathbb {R} }C_{x} היא שיכון של  \mathbb {A}  לתוך  \mathbb {R} .