קרל פרידריך גאוס
הישגיו של גאוס > גאומטריה דיפרנציאלית

הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ועקומות. בין השאר, גאוס יצר את המושג של עקמומיות גאוס של משטחים, שהיא המושג המרכזי שהכניס לתחום. ב-1827, גאוס ניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה – "המשפט הנהדר", אשר הראה שעקמומיות גאוס היא שמורה פנימית של משטחים, והמשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "חקירות כלליות אודות משטחים עקומים", שהוא יצירתו המרכזית בתחום זה.
תרומתו של חיבור זה לגאומטריה דיפרנציאלית הייתה מהפכנית משום שאפשרה בראשונה לחקור משטחים עקומים מנקודות מבט פנימית, כלומר מנקודת המבט של ישות דו-ממדית המקובעת לפני המשטח. למעט אולי אוילר ומונז', גאוס היה הראשון שחקר משטחים מנקודת מבט פנימית ולא באמצעות הצגתם האנליטית בלבד. הוא מציג כמה רעיונות מהפכניים שיהפכו למרכזיים בתאוריה של הגאומטריה הפנימית של משטחים - הוא פותח ברעיון של קואורדינטות עקומות ובהצגת התבנית היסודית הראשונה והשנייה. רעיונות אלו אפשרו לו להרחיב את מושג המטריקה לגאומטריות נוספות (לא בהכרח אוקלידיות). בהמשך החיבור גאוס פורס סדרה של הגדרות שקולות לעקמומיות משטח, תחילה בעזרת מיפוי גאוס, ולאחר מכן באמצעות הכפלת העקמומיות הראשיות של המשטח בנקודה, ומוכיח את שקילות ההגדרות בחיבור עצמו. המתודולוגיה של החיבור - תחילה הבעת המידע המטרי באופן ממצה ולאחר מכן היקשים מרחיקי לכת על עקמומיות וגאומטריית המשטח - הייתה כאבן יסוד בפיתוח הגאומטריה הרימנית שביסוד תורת היחסות הכללית בה המושגים של מרחק ועקמומיות מתגלמים במטריקה ובטנזור המטרי, בהתאמה.
אף על פי ש"המשפט הנהדר" הראה שניתן למדוד את העקמומיות ישירות מפנים המשטח, הוא לא הצביע על דרך קונקרטית לחשבה. למטרה זו בדיוק נועד משפט חשוב מאוד נוסף מהחיבור - אותו כינה גאוס "המשפט האלגנטי" - אשר קשר את עקמומיות המשטח לסכום הזוויות של הצורות המתקיימות עליו ולהבדל בין תוצאת הסכום לבין זו הנקבעת בגאומטריה אוקלידית. המשפט קובע בצורה ישירה למדי שהמגרעת הזוויתית של משולש שווה לאינטגרל על עקמומיות המשטח בתחום המשולש. את חלקו האחרון של החיבור מקדיש גאוס למשפטי השוואה בין תכונות מטריות וזוויתיות של משולשים במישור לאלו של משולשים על משטח עקום; גאוס חקר כיצד מתפלגת המגרעת הזוויתית של משולש גיאודזי בין קודקודיו בהשוואה למשולש ייחוס מישורי בעל אותן אורכי צלעות. באמצעות פיתוחים סבוכים לטורים של פונקציות המוגדרות בקואורדינטות גאודזיות פולריות על המשטח, מצא גאוס הכללה של משפט לז'נדר על משולשים כדוריים למשולשים גיאודזיים על משטח שרירותי. חישוביו אלו אפשרו לו להראות שזוויותיו של משולש גיאודזי "קטן מספיק" סוטות מאלו של משולש מישורי בעל אותן צלעות באופן שתלוי רק בערכי עקמומיות המשטח בפינות המשולש.
הכללה זו של משפט לז'נדר היא במובן מסוים תוצאה "מפתיעה" נוספת של גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית, שכן היא מראה שאין זה משנה כיצד משתנה עקמומיות המשטח בפנים המשולש (היא עשויה למשל לקבל ערכים קטנים מאוד בתוכו אך גדולים מאוד בקודקודי המשולש), עבור משטח בעל עקמומיות גאוס רציפה פילוג המגרעת הזוויתית תלוי בסדר ראשון רק בערכי עקמומיות המשטח בקודקודי המשולש. על אף שהיבט זה של עבודתו של גאוס בתחום צמח ככל הנראה מתוך עבודתו המעשית כגאודזיסט, לחישוביו אלו יש משמעות תאורטית רבה מעבר ליישומים גאודזיים מעשיים. היסטוריונים אחדים הראו לאחרונה באופן משכנע שרעיונות ותחשיבים דומים מונחים בלב הצגת מושג העקמומיות של יריעות רימניות מממד כללי, ונטען גם כי רימן הציג מונח זה לאחר שביצע חישובים מפורטים שמטרתם להכליל את הרעיונות של גאוס על "עיוות גאודזי" לממדים גבוהים יותר (המונח "עיוות גיאודזי" מתייחס לסטיות המדידה המתקבלות כשמשווים משולשים גיאודזיים כלליים למשולשים מישוריים).
במהלך התקופה שקדמה לפרסום חיבורו על משטחים עקומים (בשנים 1825–1827), גאוס הכליל בכתבים לא מפורסמים חלק מהתוצאות שבחיבור כדי לכלול גם את המקרה של קווים שאינם ישר בגאומטריה הנתונה, וכך הגדיר את המושג הכללי של עקמומיות גיאודזית. הוא הראה שבדומה לעקמומיות גאוס, גם גודל זה הוא אינווריאנט של המשטח עליו הוא מוגדר; הווה אומר, אם מעוותים את המשטח על ידי טרנספורמציה איזומטרית, העקמומיות הגיאודזית בכל נקודה נשארת זהה - בפרט, עקומים גאודזיים נשארים כאלה לאחר העיוות. במסגרת זו הכליל גאוס את המשפט האלגנטי גם למקרה ששפת המשולש אינה מורכבת מצלעות גיאודזיות בלבד, וניסח והוכיח את המשפט המוכר בכינויו, משפט גאוס-בונה, העומד על הקשר בין הגאומטריה של משטח לבין הטופולוגיה שלו.