קטגוריות של תורות
דוגמאות

ניקח שפה עם סימן השוויון  = ושלושה סימני קבועים  c_{1},c_{2},c_{3}. ניקח תורה עם האקסיומות הבאות: 
  \exists x_{1}\,\exists x_{2}\,\exists x_{3}\,\neg (x_{1}=x_{2})\wedge \neg (x_{1}=x_{3})\wedge \neg (x_{2}=x_{3})\wedge \forall y\,(y=x_{1}\vee y=x_{2}\vee y=x_{3}) 
  \neg (c_{1}=c_{2})\wedge \neg (c_{1}=c_{2})\wedge \neg (c_{2}=c_{3}) 
 זו תורה קטגורית, כי בכל מודל  M שלה יש שלושה איברים בדיוק (מהאקסיומה הראשונה), והם פירושי הקבועים  c_{1}^{M},c_{2}^{M},c_{3}^{M}, ששונים זה מזה (מהאקסיומה השנייה).
אם בדוגמה הקודמת היינו מוותרים על האקסיומה השנייה, אז התורה לא הייתה קטגורית, כי קיים מודל בו כל סימני הקבועים מתאימים לאותו איבר, למשל (כלומר  c_{1}^{M}=c_{2}^{M}=c_{3}^{M}).
ניקח הפעם שפה עם סימן השוויון  =, ועם סימני קבועים  c_{1},c_{2},c_{3},\dots . ניקח את התורה הבאה: 
  T=\{\neg (c_{i}=c_{j})\mid i\neq j\}. אז כל מודל  M של  T אינסופי, כי יש בו אינסוף איברים שונים שהם פירושי הקבועים  c_{i}^{M}. נבחין כי  T לא  \aleph _{0}-קטגורית: הרי נוכל לקחת מודל  M שלה המכיל את פירושי הקבועים בלבד, ומודל  M' המכיל איבר נוסף, ואז אין איזומורפיזם ביניהם (כי איזומורפיזם שומר על קבועים). אמנם, נבחין ש- T היא  \kappa -קטגורית לכל  \kappa >\aleph _{0}: בהינתן שני מודלים מעוצמה  \kappa , נוכל להתאים את פירושי הקבועים זה לזה (כלומר להתאים  c_{i}^{M}\mapsto c_{i}^{M'}), ואת יתר  \kappa  האיברים להתאים על ידי איזומורפיזם של קבוצות, שמתאים גם כאיזומורפיזם של מודלים כי אין יחסים עליהם יש לשמור ביחס אליהם. מהמשפט לעיל נקבל כי  T שלמה.
נעיין בתורת המספרים עם פונקציית העוקב בלבד. נטען שהיא שלמה, ונראה זאת בעזרת המשפט שלעיל. אכן, כל מודל שלה אינסופי, שכן הוא מכיל עותק של  \mathbb {N} , וכן מספר עותקים כלשהו של  \mathbb {Z} . ברור שהיא לא  \aleph _{0}-קטגורית, כי יש לה מודל המכיל עותק של  \mathbb {N}  בלבד, ומודל אחר שמכיל בנוסף עותק של  \mathbb {Z} , ומודלים אלו לא איזומורפיים. אבל היא כן  \kappa -קטגורית לכל  \kappa >\aleph _{0}, כי בהינתן שני מודלים מעוצמה  \kappa , נוכל להתאים בין העותקים של  \mathbb {N}  שבהם, וכן בין  \kappa  העותקים של  \mathbb {Z}  שיש בכל אחד מהם. מכאן שזו תורה שלמה.
תורת הסדר המלא הצפוף בלי קצוות היא שלמה, שכן כל מודל שלה אינסופי, וניתן להראות שהיא  \aleph _{0}-קטגורית, על ידי בניית התאמה בין שני סדרים צפופים בני-מנייה.
תורת המרחבים הווקטוריים מעל שדה  \mathbb {F}  כלשהו בן מנייה היא שלמה. היא לא  \aleph _{0}-קטגורית כי למשל  \mathbb {F} ,\mathbb {F} ^{2} לא איזומורפיים, כי הם לא מאותו מימד מעל  \mathbb {F} : הראשון ממימד  1 ואילו השני ממימד  2. אמנם, לכל  \kappa >\aleph _{0} התורה כן  \kappa -קטגורית. מכיוון שאיבר כללי במרחב הוא צירוף ליניארי סופי של איברי בסיס, נובע שכל מרחב וקטורי מעוצמה  \kappa  הוא ממימד  \kappa  מעל  \mathbb {F} , ולכן יש איזומורפיזם בין כל שני מרחבים וקטוריים מעוצמה  \kappa .
תורת השדות הסגורים אלגברית ממציין כלשהו היא שלמה. זאת כי כל שדה סגור אלגברית הוא אינסופי (הרי בהינתן שדה  \mathbb {F} =\{a_{1},\dots ,a_{n}\} סופי, הפולינום  p(x)=1+\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i}) מקיים  p(a_{i})=1 לכל  1\leq i\leq n ואזי אין לו שורש בשדה, ומכאן ש- \mathbb {F}  לא סגור אלגברית). בנוסף, לפי משפט, בהינתן עוצמה  \kappa >\aleph _{0} ומאפיין כלשהו, יש רק שדה סגור אלגברי אחד מעוצמה וממאפיין אלו עד כדי איזומורפיזם. לכן התורה היא  \kappa -קטגורית לכל  \kappa >\aleph _{0}, ונובע כי היא שלמה.
ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "קטגוריות של תורות".