stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
טור ההופכיים של המספרים הראשוניים
הוכחות > ההוכחה של ארדש

המתמטיקאי פאול ארדש הציג הוכחה אלמנטרית ברובה להתבדרות הטור. ההוכחה מסתמכת ישירות על תכונות הראשוניים, ולא על מניפולציות אנליטיות.
נניח בשלילה כי טור ההופכיים מתכנס. כלומר החל מראשוני מסוים זנב הטור קטן כרצוננו.

נבחר מספר שלם  k כך שמתקיים  \sum _{i\,=\,k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}, ובפרט לכל  N טבעי  \sum _{i\,=\,k+1}^{\infty }{\frac {N}{p_{i}}}<{\frac {N}{2}}. בזאת מסתיים החלק האנליטי בהוכחה.
נכנה את המספרים  p_{1},\ldots ,p_{k} ראשוניים קטנים, ואת המספרים  p_{k+1},p_{k+2},\ldots  ראשוניים גדולים.

יהי  N_{s} מספר המספרים  1\leq n\leq N המתחלקים רק בראשוניים קטנים, ויהי  N_{b} מספר המספרים  1\leq n\leq N המתחלקים בראשוניים גדולים.

ברור כי  N_{s}+N_{b}=N. נגיע לסתירה בכך שנראה כי ל- N גדול מספיק שוויון זה לא מתקיים.
נטפל ב- N_{s}. כל  1\leq n\leq N בעל מחלקים ראשוניים קטנים בלבד נרשום בצורה  n=r\cdot m^{2}, כאשר  r חופשי מריבועים (אינו מתחלק באף מספר ריבועי מלבד 1).
נטפל ב- N_{b}.  p_{i} מחלק בדיוק  \left\lfloor {\frac {N}{p_{i}}}\right\rfloor  מספרים (לפשר הסימון ראו פונקציית הערך השלם) בטווח  1\leq n\leq N. לכן:
כל מה שהושג עד כה תקף לכל  N. נבחר  N=2^{2k+2} ונקבל  N_{s}\leq 2^{k}{\sqrt {N}}=2^{2k+1}={\frac {N}{2}}. מכאן נובעת הסתירה:
ולכן הטור לא יכול להתכנס ובהכרח מתבדר.
הוכחות > חסם תחתון לסכומים החלקיים – הוכחה ראשונה

נמצא חסם תחתון על קצב הגידול של הטור. ראשית נבחן את המכפלה הסופית  \prod _{p\,\leq \,n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right). אם נפתח סוגריים נקבל סכום של כל המספרים מהצורה  {\frac {1}{p_{1}\cdots p_{r}}} כאשר  p_{1},\ldots ,p_{r} מספרים ראשוניים שונים כלשהם הקטנים או שווים ל- n. כלומר סכום ההופכיים של המספרים חסרי ריבועים שגורמיהם הראשוניים קטנים מ- n. אם נכפיל את ביטוי זה ב- \ \sum _{k\,=\,1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}} נקבל את סכום כל המכפלות האפשריות של חסרי ריבועים, עם גורמים ראשוניים קטנים מ-n, עם ריבועים שקטנים או שווים ל- n^{2}. בפרט בסכום יופיעו כל המספרים הקטנים או שווים ל- n (כל מספר הוא מכפלה של חסר ריבועים בריבוע). קיבלנו את האי-שוויון:
נשתמש בחסם התחתון הידוע של הטור ההרמוני:
כמו כן נציב את פתרון בעיית בזל  \sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}, ונקבל:
נשתמש בחסם הידוע  1+x<\exp(x) לכל  x>0 (נובע מההגדרה של פונקציית האקספוננט כטור) ובחוקי חזקות:
נפעיל את הלוגריתם הטבעי על שני האגפים ונעביר אגף:
ההתבדרות של אגף שמאל גוררת את ההתבדרות של אגף ימין ולכן זוהי הוכחה נוספת להתבדרות הטור. כמו כן זהו חסם הדוק למדי. למעשה מתקיים:
M נקרא קבוע מייזל-מרטנס והוא שווה  M=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]\approx 0.261497\ldots , כאשר  \gamma  קבוע אוילר-מסקרוני.
הוכחות > חסם תחתון לסכומים החלקיים – הוכחה שנייה

נמצא חסם תחתון על קצב הגידול של הטור, אם כי בדרך שונה מזו הקודמת. זוהי גם גרסה ריגורוזית להוכחתו של אוילר לעיל.
ראשית נבחן את המכפלה הסופית  \prod _{p\,\leq \,n}\left(\sum _{i\,=\,0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\right). כל אחד מן הגורמים הוא טור הנדסי אינסופי של מספרים חיוביים. לכן ניתן לרשום מכפלה זו כטור חיובי אינסופי. אם נפתח סוגריים נקבל סכום של כל המספרים מהצורה  {\frac {1}{p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{r}^{i_{r}}}} כאשר  p_{1},\ldots ,p_{r} מספרים ראשוניים שונים כלשהם הקטנים או שווים ל- n ו- i_{1},\ldots ,i_{r} שלמים אי-שליליים. על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה, נקבל את כל המספרים הקטנים או שווים ל- n. בכך קיבלנו את האי-שוויון:
נשתמש בחסם  \sum _{j\,=\,1}^{n}{\frac {1}{j}}>\ln(n+1) (כמו בהוכחה הקודמת), ונקבל:
נשתמש בחסם הידוע  1+x<\exp(x) לכל  x>0 (כמו בהוכחה הקודמת), ובחוקי חזקות:
נפעיל את הלוגריתם הטבעי על שני האגפים ונקבל:
ולאחר העברת אגפים:
הוכחות > הוכחה באמצעות סדרה הנדסית אינסופית והסדרה ההרמונית

נניח בשלילה כי טור ההופכיים מתכנס. נבחר  k כך שמתקיים  0<x=\sum _{n\,=\,k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}<1.
כעת נתבונן בטור ההנדסי המתכנס  \sum _{n\,=\,0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}. זה מכיל את טור ההופכיים של כל השלמים החיוביים בעלי גורמים ראשוניים מהקבוצה  \{p_{k+1},p_{k+2},\ldots \} בלבד.
נתבונן בטור  \sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{1+n(p_{1}\cdots p_{k})}}. זהו תת-טור של הטור ההנדסי, מפני שהמספר  1+n(p_{1}\cdots p_{k}) לא מתחלק באף  p_{j} עבור  1\leq j\leq k.
לעומת זאת, על פי מבחן ההשוואה הגבולי, הטור האחרון מתבדר על פי השוואה לטור ההרמוני. אכן מתקיים
כלומר מצאנו תת-טור מתבדר של טור מתכנס. סתירה.
בעיות קשורות

ממשפט דיריכלה נובע שהטור מתבדר אפילו אם סוכמים רק את ההופכיים של ראשוניים בסדרה חשבונית כלשהי (בהנחה שיש בסדרה ראשוניים, כלומר האיבר הראשון והפרש הסדרה זרים זה לזה).
משפט ברון קובע כי, בניגוד לטור ההופכיים של הראשוניים, טור ההופכיים של הראשוניים התאומים בלבד כן מתכנס. סכומו נקרא קבוע ברון. לא ידוע אם ישנם אינסוף ראשוניים תאומים (זוהי השערת המספרים הראשוניים התאומים), ולכן לא ידוע אם טור זה סופי או אינסופי.
ראו גם

משפט גולדבך-אוילר
טמקו בוקרו

טמקו T-35 בוקרו (באנגלית: Temco T-35 Buckaroo, בוקר) היה מטוס אימון שתוכנן בארצות הברית בסוף שנות ה-40 של המאה ה-20 על ידי חברת טמקו איירקראפט, במטרה לייצר מטוס אימונים זול במיוחד עבור השוק האזרחי או הצבאי. החברה נכשלה בניסיונה להבטיח לעצמה חוזה עם חיל האוויר של ארצות הברית, ולכן נאלצה לפנות לממשלות זרות כדי לזכות בהזמנות, אולם זכתה בהזמנות בודדות בלבד.
תכנון ופיתוח

מקורו של ה-T-35 במטוס אחר, גלוב סוויפט. מטוס זה היה מטוס קל בעל שני מושבים, שיוצר על ידי חברת גלוב איירקראפט קומפני בשנת 1946, לאחר מלחמת העולם השנייה. גלוב הגיעה לחדלות פרעון בתוך כשנה, לאחר שייצרה יותר מטוסים ממספר ההזמנות שהיו בידיה. חברת "טמקו", שהייתה הנושה העיקרי של "גלוב", רכשה את רישיון הייצור של המטוס, את קווי הייצור, את המטוסים המוכנים ואת החלקים, בתקווה לכסות את הפסדיה על ידי ייצור מטוסים חדשים.
בתחילת 1948 פנתה ממשלת הפיליפינים לנשיא חברת טמקו, וגילתה עניין ברכישת גרסת אימון של הסוויפט. כמענה לכך בנתה החברה את דגם TE-1A, שהיה מטוס סוויפט GC-1B שבו שונתה צורת הישיבה במטוס - במקום ישיבה זה בצד זה ישבו הטייסים בתצורת טנדם, זה מאחורי זה. בשל שינוי זה היו למטוס החדש מגן רוח צר, חופה ארוכה יותר שהייתה מחולקת לשני חלקים, כשהחלק האחורי בנוי בתצורת בועה. נבנה מטוס יחיד מדגם זה, שיוצר בעבודת יד (ולא במתכונת של ייצור המוני) על פי תוכניות כלליות בלבד. מטוס זה הונע על ידי מנוע קונטיננטל בעל 125 כוחות סוס, שהוחלף לאחר טיסות הניסוי הראשונות למנוע בעל 145 כוחות סוס.
בתחילת 1949 נודע לראשי החברה כי חיל האוויר של ארצות הברית מתכוון להכריז על תחרות לתכנון מטוס לאימון ראשוני ובסיסי. לצורך התחרות בנתה החברה שני אבות טיפוס נוספים, שבהם שילבה כמה שינויים קטנים בלבד, בשל לחץ הזמן. שלושת המטוסים (המטוס שנבנה עבור הפיליפינים ושני אבות הטיפוס הנוספים) סומלו YT-25 על ידי חיל האוויר לצורך בחינתם. שתי חברות נוספות הגישו הצעות: פיירצ'ילד וביצ'קראפט. ב-24 בפברואר 1949 בחר חיל האוויר בדגם של ביצ'קראפט, T-34 מנטור; הדגם של טמקו היה במקום השלישי. עם זאת, בשל אילוצי תקציב בוטלה התוכנית בהמשך השנה.
למרות הכישלון בתחרות של חיל האוויר גבר העניין במטוס מצד ממשלות זרות, ובפרט ממשלת הפיליפינים (כאמור לעיל). לאחר בחינת תוצאות התחרות החליטה טמקו להמשיך בתוכנית להשבחת המטוס. התוכנית כללה, בין השאר, את הארכת גוף המטוס ב-7.6 ס"מ ושינוי חתך הרוחב של המטוס כך שיתאים יותר לתצורת טנדם. מייצב הגובה הוגבה בכ-23 ס"מ, נוספו חיפויים אווירודינמיים בכנפיים ובגוף, כן הנסע שופר ומיקומו שונה מעט לצורך שיפור תכונות ההסעה על הקרקע, הכנפיים חוזקו כדי שיעמדו בעומסים של 9 ג'י, ונעשו שינויים בציוד האלקטרוני ובהתקנתו במטוס; בין השאר הוחלפה המערכת החשמלית ממתח 12 וולט למתח 24 וולט. במקביל לעריכת שיפורים אלה החליטה טמקו לבנות עשרה אבות טיפוס, שיונעו במנועים בעלי 145 כוחות סוס. המטוס המשופר היה למעשה מטוס חדש, שאמנם דמה בקוויו הכלליים לסוויפט ולדגם הראשון, אך למעשה תוכנן לגמרי מחדש.
בתחילת 1950 שב חיל האוויר של ארצות הברית וחידש את התחרות לבחירת מטוס אימון ראשוני ובסיסי. שלושה אבות טיפוס, מדגם TE-1A סומלו מחדש על ידי חיל האוויר YT-35 לצורך התחרות. טמקו החליטה לשנות את המנועים למנועים משופרים בעלי 165 כוחות סוס, בהסכמת חיל האוויר. המטוס המשופר סומל TE-1B, וניתן להם השם "בוקרו". פיתוח שני הדגמים נמשך במקביל, כאשר דגם TE-1A יועד לייצוא ודגם TE-B יועד לחיל האוויר של ארצות הברית. שלושת אבות הטיפוס המשופרים סופקו לחיל האוויר של ארצות הברית לצורך התחרות ביולי 1950, ולאחר בחינה שהתארכה בשל פרוץ מלחמת קוריאה הושבו למפעל ביולי 1951 לשיפוץ לאחר הניסויים המקיפים. חיל האוויר החליט לבחור במטוס אחר, ושלושת המטוסים שיועדו לניסויים נמכרו כציוד עודף.
שירות מבצעי

רוב המטוסים מדגם TE-1B נמכרו לסעודיה במסגרת תוכנית הסיוע להגנה משותפת של ארצות הברית עם בעלות בריתה. חברת טמקו סיפקה לחיל האוויר הסעודי עשרה מטוסים מדגם זה וחלקי חילוף רבים. המטוסים שסופקו לסעודיה חומשו בשני מקלעים 30 מ"מ ועשר רקטות בקוטר 2.75 אינץ' (6.985 ס"מ), חמש בכל כנף.
חיל האוויר היווני רכש מטוס אחד, וכך גם חיל האוויר האיטלקי. חיל האוויר הישראלי חיפש מטוס אימון בתחילת שנות ה-50 של המאה ה-20. הבוקרו היה אחד מהארבעה, שכללו גם את הפוקר S-11 אינסטרוקטור, הדה הבילנד DHC-1 צ'יפמנק והבואינג-סטירמן. טייסי ומהנדסי החיל שבחנו את המטוס התרשמו מביצועי המטוס אך החליטו לבסוף שלא לרכשו בשל מורכבותו, במיוחד זו של כני הנסע ושל המנועים. מטוס אחד אשר נרכש לצורך הבחינה שימש במשך זמן קצר לטיסות קישור, עד שהוצא מן השירות.
נכון ל-2016 מוצג מטוס בוקרו אחד בריאד, בסעודיה. שני מטוסים אותרו במגרש גרוטאות בסעודיה. אלה שוקמו ומופעלים כיום על ידי "אגודת סוויפט הבינלאומית", באתונה טנסי), טנסי, ארצות הברית. נכון ל-2016 רשומים חמישה מטוסי בוקרו בארצות הברית.
דגמים

TE-1A
TE-1B
מפעילות

איטליה איטליה
ארצות הברית ארצות הברית
יוון יוון
ישראל ישראל
ערב הסעודית ערב הסעודית
נתונים כלליים > מאפיינים כלליים

צוות: 2 (מדריך וחניך)
אורך: 6.61 מטר
מוטת כנפיים: 8.94 מטר
גובה: 1.87 מטר
שטח כנף: 12.44 מ"ר
משקל ריק: 1,300 ליברות (591 ק"ג)
משקל ההמראה מקסימלי: 1,920 ליברות (873 ק"ג)
הנעה: מנוע בוכנה פרנקלין 6A4-165-B3 מקורר אוויר בעל שישה צילינדרים, 165 כוח סוס
נתונים כלליים > ביצועים

מהירות מקסימלית: 136 קשר (250 קמ"ש) בגובה פני הים
טווח: 882 ק"מ
תקרת שירות: 17,000 רגל (5,185 מטרים)
קצב טיפוס: 1,000 רגל לדקה (5.1 מטר בשנייה)
עומס כנף: 70.2 ק"ג למ"ר
יחס דחף-משקל: 0.086 כוח סוס לליברה
נתונים כלליים > חימוש

תותחים: שני מקלעים בקליבר 30.
רקטות: עשר רקטות בקוטר 2.75 אינץ' (6,985 ס"מ), חמש בכל כנף
לקריאה נוספת

דני שלום: מטוסי חיל האוויר, מהטייגר מות' עד הסופה. באוויר - פרסומי תעופה וחלל, ראשון לציון. תשס"ו, 2005
הערות שוליים

1 2 3 4  דני שלום, עמ' 67
↑  על פי אתר airbum.com ואתר all-aero.com.‏
↑  דני שלום, עמ' 65
↑  על פי אתר חיל האוויר נרכש המטוס כבר ב-1948 והוצא מן השירות ב-1949. ראו: טמקו TE-1A בקרו, באתר חיל האוויר הישראלי.
↑  מידע, באתר Society for Aviation History
| מטוסי הדרכה ואימון של חיל האוויר הישראלי |
| --- | --- | --- |
על פי שנת הכניסה לשירות
| 1948–1950 | דה הבילנד טייגר מות' • פייפר סופר-קאב • נורת' אמריקן AT-6 (הרווארד) • טמקו בוקרו • נורד נורקרין • וולטי BT-13 וליאנט • אוורו אנסון • בואינג-סטירמן |  |
| 1950–1959 | איירספיד אוקספורד/איירספיד AS-65 קונסול • פוקר S-11 אינסטרוקטור • דה הבילנד DHC-1 צ'יפמנק • פוגה מגיסטר |  |
| 1960–1969 | פיאג'יו P.149 |  |
| 1980–1989 | התעשייה האווירית לישראל צוקית • דאגלס A-4 סקייהוק עיט |  |
| 2000–2010 | גרוב G-120 סנונית • ביצ'קראפט T-6 טקסאן II עפרוני • אלניה איירמאקי M-346 מאסטר לביא |  |
טרבור פרנסיס

טרבור ג'ון פרנסיס (באנגלית: Trevor John Francis;‏ 19 באפריל 1954 – 24 ביולי 2023) היה כדורגלן ומאמן אנגלי ששיחק בעמדת החלוץ.
פרנסיס היה לכדורגלן האנגלי הראשון שנמכר במיליון ליש"ט, כשעבר מקבוצת נעוריו ברמינגהאם סיטי לנוטינגהאם פורסט ב-1979. עם האחרונה זכה פרנסיס פעמיים ברציפות בגביע אירופה לאלופות, ואף כבש את השער היחיד בגמר גביע אירופה לאלופות 1979. בנוסף למספר מועדונים באנגליה, שיחק פרנסיס גם בקבוצות מארצות הברית, איטליה, סקוטלנד ואוסטרליה. לפרנסיס 52 הופעות במדי נבחרת אנגליה, בהן כבש 12 שערים. בין היתר ייצג את נבחרתו במונדיאל 1982, אותו סיים עם שני שערים.
עוד במהלך קריירת המשחק פנה פרנסיס לקריירת אימון. הוא שימש כמאמן-שחקן בשני מועדונים שונים, והמשיך לאמן גם לאחר פרישתו ממשחק. בשנת 2014 נכנס פרנסיס להיכל התהילה של הכדורגל האנגלי.
קריירת משחק > ברמינגהאם סיטי

פרנסיס נולד בפלימות'. החל את הקריירה הבוגרת בקבוצת ברמינגהאם סיטי בעונת 1970/1971, עוד בטרם מלאו לו 17. על אף גילו הצעיר, השתלב פרנסיס במהרה בחלק הקדמי של הקבוצה, ואת שער הבכורה שלו כבש כבר במחזור השישי, בשוויון 1–1 הביתי מול אוקספורד יונייטד. בחציה השני של העונה נכנס לכושר כיבוש מרשים, כאשר עוד בטרם חגג 17 יצר רצף של 15 שערים ב-13 הופעות, כולל שמונה משחקי ליגה רצופים בהם כבש שער אחד לפחות. לשיאו הגיע בניצחון 0–4 על בולטון וונדררס בפברואר 1971, בו כבש את כל ארבעת שעריה של קבוצתו. ברמינגהאם סיימה את העונה במקום השמיני בלבד, אך פרנסיס נהנה מעונת בכורה מרשימה בה כבש 16 שערי ליגה ב-22 הופעות.
עונה לאחר מכן היה פרנסיס לשחקן הרכב קבוע. עם 12 שערי ליגה ב-39 הופעות, סייע פרנסיס לקבוצתו לעלות לליגה הבכירה מהמקום השני בטבלה. על אף שנותר שחקן הרכב, התקשה פרנסיס בעונותיו הראשונות בליגה הבכירה, ובשתי עונות תרם 12 שערי ליגה בלבד ב-68 הופעות. אלא שאז חזר פרנסיס לכבוש בכמויות דו-ספרתיות בכל אחת מארבע העונות הבאות, ולשיאו הגיע בעונת 1977/1978, אז קבע שיא קריירה אישי של 25 שערי ליגה ב-42 הופעות.
בסיום העונה עבר פרנסיס בהשאלה לדטרויט אקספרס מה-NASL, שם רשם עונה מרשימה עם 22 שערי ליגה ב-19 הופעות בלבד. יכולתו הגבוהה זיכתה אותו במקום בנבחרת העונה, לצד שחקנים בכירים ובהם ג'ורג'ו קינאליה האיטלקי, פרנץ בקנבאואר הגרמני וקרלוס אלברטו הברזילאי. הוא שב לברמינגהאם ותרם שלושה שערים בתשע הופעות, אך בפברואר 1979 זכה פרנסיס להצעה גבוהה מהאלופה המכהנת נוטינגהאם פורסט, ונפרד מהמועדון עם 119 שערי ליגה ב-280 הופעות.
קריירת משחק > נוטינגהאם פורסט

פרנסיס נמכר לאלופה נוטינגהאם פורסט, ומאמנה בריאן קלאף, תמורת כמיליון ליש"ט, ובכך הפך לכדורגלן הראשון שנמכר בכדורגל האנגלי בסכום בן שבע ספרות, בעוד השיא עד אז עמד על כמחצית מהסכום. הסכום הסופי הוערך בכ-1,150,000 ליש"ט, כולל עמלה בת 15 אחוזים לליגה, אך בספרו האוטוביוגרפי חשף המאמן קלאף כי הסכום הנקוב היה 999,999 ליש"ט – וזאת על מנת למנוע מפרנסיס את ההתמודדות עם התגית של שחקן מיליון הליש"ט הראשון.
זמן קצר לאחר שעבר לקבוצה, זכתה נוטינגהאם בגביע הפוטבול ליג, אם כי פרנסיס לא יכול היה להירשם למפעל. במקביל, התקדמה הקבוצה בטורניר גביע אירופה לאלופות, וכאשר העפילה לחצי הגמר יכלה לרשום את פרנסיס, על פי חוקי ההשתתפות של אופ"א. עם זאת, הוא לא שותף בצמד המשחקים מול פ.צ. קלן, מהם העפילה הקבוצה לגמר. פרנסיס זכה להופעת בכורה במפעל כשעלה בהרכב למשחק הגמר מול מאלמה. בדקת הסיום של המחצית, ג'ון רוברטסון, הקיצוני השמאלי של נוטינגהאם, עבר שני שחקני הגנה והגביה לתיבת החמש. פרנסיס האיץ לכיוון הכדור, ותוך כדי נפילה נגח אותו לרשת הגבוהה. השער, שהיה היחיד במשחק, הביא לפורסט את גביע אירופה הראשון בתולדותיה, והפך לרגע סמלי בתולדות המועדון והכדורגל האנגלי בכלל. השער השתלב בכתוביות הפתיחה של מגזין הכדורגל האנגלי הנצפה "משחק היום", ותמונת ענק של פרנסיס פוגש את הכדור בראשו עדיין מתנוססת בכניסה הראשית לאצטדיון סיטי גראונד, אצטדיונה הביתי של הקבוצה.
לאחר משחק הגמר תמה עונת הכדורגל באנגליה, אך פרנסיס המשיך את העונה בהשאלה נוספת לדטרויט אקספרס, שם כבש 14 שערים ב-14 הופעות. על אף ששיחק רק כמחצית מהעונה, זכה למקום בהרכב העונה פעם נוספת, בין היתר לצדם של קינאליה של יוהאן קרויף. בסך הכול לזכותו 36 שערים ו-18 בישולים ב-33 הופעות בלבד במדי דטרויט, שהציבו אותו בראש טבלת מלך השערים של הליגה בכל הזמנים עם שני שערים מעל פלה, על אף שהברזילאי שיחק 23 משחקים יותר ממנו.
פרנסיס שב לנוטינגהאם, שם התקשה להגשים את מלוא הפוטנציאל, בין היתר בגלל הצבתו בקישור הימני על ידי המאמן קלאף, במקום בעמדה המועדפת עליו במרכז ההתקפה. את עונת 1979/1980 פתחו פרנסיס וקבוצתו עם זכייה בסופר קאפ האירופי על חשבונה של ברצלונה. בהמשך תרם פרנסיס 14 שערי ליגה בשלושים הופעות, והעפיל עם הקבוצה לגמר גביע הליגה שם נוצחה נוטינגהאם על ידי וולברהמפטון וונדררס. בגביע אירופה תרם פרנסיס שלושה שערים, בהם צמד לרשתה של דינמו ברלין ברבע הגמר ושער לרשתה של אייאקס אמסטרדם בחצי הגמר, אך החמיץ את משחק הגמר מול המבורג עקב פציעה בגיד אכילס, וראה מהצד את קבוצתו מניפה את הגביע פעם שנייה ברציפות.
לאחר שהחמיץ את יורו 1980 עקב פציעה, שב פרנסיס לקבוצתו והתקשה לשוב לכושר משחק מלא. לאחר שנעדר כחצי שנה מהמגרשים, רשם פרנסיס עונה קשה עם שישה שערים ב-18 הופעות בלבד. על אף שפתח את עונת 1981/1982 עם שני שערים בשתי הופעות ליגה, נמכר פרנסיס בספטמבר 1981 למנצ'סטר סיטי תמורת כ-1.2 מיליון ליש"ט. בסך הכול לזכותו 28 שערי ליגה בשבעים הופעות במדי הפורסט.
קריירת משחק > מנצ'סטר סיטי

עסקת העברתו של פרנסיס לסיטי הביאה לשבר בין ההנהלה למאמן ג'ון בונד, לאחר שהאחרון הציב אולטימטום להחתמתו של פרנסיס כאשר העסקה נתקלה בקשיים כלכליים. פתיחת העונה של פרנסיס הייתה מבטיחה, עם צמד לרשתה של סטוק סיטי כבר בהופעת הבכורה, אך פרנסיס נטה להיפצע פעמים רבות במהלך העונה והתקשה לשמור על יציבות. עם זאת, הוא הצליח לכבוש 12 שערי ליגה ב-26 הופעות, שאף זיכו אותו במקום בסגל הנבחרת למונדיאל 1982.
הקריירה של פרנסיס במדי הסיטי נגדעה בתום עונה אחת בלבד, כאשר הקבוצה התקשתה לשלם את משכורתו של פרנסיס, במיוחד על רקע פציעותיו הרבות, מה שהביא למכירתו של פרנסיס לסמפדוריה מהסרייה א'.
קריירת משחק > המעבר לאיטליה

פרנסיס, שעזב לראשונה את אנגליה כשחקן, הצטרף לסמפדוריה בעונת הבכורה שלה מאז ששבה לליגה הבכירה מהסרייה ב'. פרנסיס היה לאחד משני הזרים היחידים של סמפדוריה בסגל, לצידו של ליאם בריידי, וכבש את שער הבכורה שלו כבר במחזור השני, בניצחון החוץ 1–2 על אינטר מילאנו. עם זאת, במהלך העונה הוא התקשה לבוא לידי ביטוי, וכבש שבעה שערי ליגה בלבד ב-14 הופעות. בעונת 1984/1985 זכה פרנסיס עם קבוצתו בקופה איטליה, זכייתה הראשונה של הקבוצה בתואר זה, לאחר ניצחון בגמר כפול על מילאן. בעונת 1985/1986 חווה פרנסיס עונה קשה עם שער ליגה בודד ב-14 הופעות, במה שהייתה לעונתו האחרונה במועדון. בסך הכול בארבע עונות במדי הקבוצה תרם פרנסיס 17 שערי ליגה בלבד ב-68 הופעות.
לקראת עונת 1986/1987, ולאחר עונה קשה בסמפדוריה, עבר פרנסיס לאטאלנטה תמורת כ-800 אלף ליש"ט. גם במדיה חווה עונה קשה, אישית וקבוצתית. בפעם השנייה ברציפות כבש פרנסיס שער ליגה אחד בלבד, ב-21 הופעות ליגה בלבד, ובסיום העונה נשרה אטלנטה לסרייה ב'. פרנסיס לא המשיך בקבוצה, ולמעשה סיים את דרכו בכדורגל האיטלקי.
קריירת משחק > השיבה לבריטניה ושלהי הקריירה

לאחר חמש עונות באיטליה, שב פרנסיס לאי הבריטי כשחתם בספטמבר 1987 בגלאזגו ריינג'רס הסקוטית. הוא שב לשתף פעולה עם המאמן גריים סונס, שהיה חברו לקבוצה בסמפדוריה כשחקן, כחלק מהצטרפות המסיבית של שחקנים אנגלים לקבוצה. פרנסיס שיתף פעולה עם שמונה אנגלים נוספים בסגל, בהם בכירים כגון טרי בוצ'ר וריי וילקינס, וכן עם אבי כהן הישראלי. פרנסיס סיים עונה ראשונה בקריירה ללא שער ליגה, כאשר כשל למצוא את הרשת ב-18 הופעות, וסיים עם קבוצתו במקום השלישי. ריינג'רס זכתה באותה העונה בגביע הליגה הסקוטית, לאחר ניצחון בהארכה על אברדין, במשחק בו שותף פרנסיס כמחליף.
במרץ 1988, לאחר פחות מעונה במועדון, חזר פרנסיס לליגה האנגלית הבכירה וחתם במדי קווינס פארק ריינג'רס, שם המשיך את בצורת הכיבושים עם תשעה משחקים נוספים ללא שער. את העונה סיימה הקבוצה במקום החמישי בטבלה. בחודשים מאי-יוני 1988 עבר פרנסיס לתקופה קצרה לאוסטרליה, שם כבש שני שערים בשלושה משחקים במדי וולונגונג סיטי, שזכתה לבסוף באליפות אוסטרליה. בנובמבר 1988 התמנה פרנסיס למאמן-שחקן בקבוצה, אך הוחלף לאחר שנה בדיוק על ידי דון האו, לאחר שהתקשה להצעיד את הקבוצה להישגים. שלושה חודשים מאוחר יותר, סיים את דרכו במועדון גם כשחקן, ועבר לשפילד ונסדיי. יחד איתה סיים פרנסיס את העונה בירידה לליגת המשנה, אך תחת המאמן רון אטקינסון, חזרה הקבוצה באופן מיידי לליגה הבכירה, כשפרנסיס רושם 38 הופעות ליגה וכובש ארבעה שערים. במקביל, זכתה הקבוצה באותה העונה בגביע הפוטבול ליג, לאחר ניצחון בגמר 0–1 על מנצ'סטר יונייטד.
בתום אותה העונה עזב אטקינסון לאסטון וילה, ופרנסיס התמנה על חשבונו לתפקיד מאמן-שחקן. הוא הוביל את הקבוצה מהקווים לעונה נפלאה ולמקום השלישי בעונת 1991/1992, תוך שהוא כובש שער ליגה אחד בעשרים הופעות. עונה לאחר מכן שיחק חמש פעמים בלבד, אך הוביל את הקבוצה למקום השביעי בעונת הבכורה של הפרמייר ליג, וכן לגמר גביע ה-FA וגמר גביע הליגה – אך בשניהם נוצחה הקבוצה על ידי ארסנל. הוא פרש רשמית ממשחק עונה לאחר מכן, בה השתתף כשחקן במשחק אחד בלבד, בגיל ארבעים, והמשיך את דרכו כמאמן הקבוצה בלבד.
קריירת משחק > נבחרת אנגליה

פריצתו של פרנסיס במדי ברמינגהאם זיכתה אותו בזימון מוקדם לנבחרת אנגליה, ואת הופעת הבכורה שלו ערך בגיל 23 בלבד, ב-9 בפברואר 1977, תחת המאמן דון ריווי, בהפסד 0–2 להולנד במשחק ידידות. כחודש לאחר מכן ערך בכורה במשחק רשמי, כשאנגליה הביסה 0–5 את לוקסמבורג במסגרת טורניר מוקדמות מונדיאל 1978, ממנו כשלה אנגליה להעפיל. פרנסיס אף כבש את שער הבכורה שלו בנבחרת באותו המשחק.
לאחר שנאלץ להחמיץ את יורו 1980 בעקבות פציעה בגיד אכילס, שב פרנסיס לפעילות בינלאומית ולבסוף הצליח לזכות במקום בסגל של רון גרינווד למונדיאל 1982. בשלב הבתים הראשון שיחק פרנסיס לאורך כל שלושת משחקיה של נבחרתו. אנגליה פתחה עם ניצחון 1–3 על צרפת, ובמשחק השני פגשה את צ'כוסלובקיה. בדקה ה-62, במצב של 0–0, הגביה ריי וילקינס כדור קרן מאגף שמאל. סטניסלב סמאן, שוערה של צ'כוסלובקיה, לא הצליח להשתלט, ופרנסיס קבע מקרוב 0–1 לנבחרתו, בדרך לניצחון 0–2 בסיום. במשחק השלישי פגשה אנגליה את כווית, ובדקה ה-27 כבש פרנסיס שער נאה, שהיה לשער הניצחון של אנגליה. בעיטת שוער ארוכה של פיטר שילטון הוסתה על ידי פרנסיס בראשו אל פול מארינר, שהחזיר לפרנסיס מסירת עקב. פרנסיס עבר בקלות את שומרו, חדר לרחבה, ושלח כדור מדויק לרשת, 0–1 לאנגליה בסיום. אנגליה העפילה מהמקום הראשון בבית אל שלב הבתים השני. פרנסיס פתח בהרכב גם בצמד משחקיה של אנגליה בשלב זה, אך בצוותא עם חבריו לנבחרת, לא הצליח למצוא את הרשת. אנגליה נפרדה פעמיים בשוויון 0–0, מול גרמניה המערבית ומול ספרד, וסיימה את דרכה בטורניר.
פרנסיס המשיך לשחק בשורות הנבחרת כארבע שנים נוספות. משחקו האחרון בנבחרת היה תחת המאמן בובי רובסון ב-23 באפריל 1986, בניצחון 1–2 על סקוטלנד כחודשיים בלבד לפני מונדיאל 1986, אליו לא זומן פרנסיס. בסך הכול לזכותו 12 שערים ב-52 הופעות במדי אנגליה.
קריירת אימון

קריירת האימון של פרנסיס החלה עוד בהיותו שחקן, ועם פרישתו שמר על תפקידו כמאמן שפילד ונסדיי. לאחר שפרש בתום עונת 1993/1994, המשיך פרנסיס לעונה נוספת כמאמן בלבד. בעונה זו הוביל פרנסיס את קבוצתו למקום ה-13 בלבד, ופוטר מתפקידו.
לקראת עונת 1996/1997, ולאחר עונה שלמה מחוץ למגרשים בה שימש כפרשן טלוויזיה, שב פרנסיס למועדון בו גדל, ברמינגהאם סיטי, על תקן מאמן הקבוצה בליגת המשנה. לאחר שתי עונות בהן לא הצליחה להעפיל לפלייאוף, סיימה ברמינגהאם את עונת 1998/1999 במקום הרביעי, והעפילה לחצי גמר הפלייאוף מול ווטפורד. בתום שני משחקים ודו-קרב בעיטות עונשין שארך שמונה בעיטות לכל קבוצה, הודחה ברמינגהאם על ידי יריבתה. עונה לאחר מכן שוב התברגה ברמינגהאם בחצי גמר הפלייאוף, אך שוב סיימה את דרכה בשלב זה עם הפסד לבארנסלי.
בעונת 2000/2001 הוביל פרנסיס את ברמינגהאם עד לגמר גביע הפוטבול ליג, תוך שקבוצתו מדיחה בדרך, בין היתר, את טוטנהאם הוטספר, ניוקאסל יונייטד, שפילד ונסדיי ואיפסוויץ' טאון. במשחק הגמר נכנעה ברמינגהאם לליברפול בדו-קרב פנדלים, לאחר שוויון 1–1 בסיום. בהמשך אותה העונה העפילה הקבוצה בפעם השלישית ברציפות בחצי גמר הפלייאוף, אך שוב סיימה עם מפח נפש בעקבות הפסד בפנדלים לפרסטון נורת' אנד. באוקטובר 2001, כחודשיים לאחר פתיחת עונת 2001/2002, פוטר פרנסיס מתפקידו כשקבוצתו הייתה מדורגת במרכז הטבלה. בסיום אותה העונה העפילה ברמינגהאם בחזרה לפרמייר ליג.
כחודש בלבד לאחר פיטוריו, מצא פרנסיס מועדון חדש בליגת המשנה, כשהחליף את סטיב ברוס בתפקיד מאמן קריסטל פאלאס. עד לתום העונה לא הצליחה הקבוצה להיצמד לקבוצות הצמרת, וסיימה את העונה במקום העשירי. פרנסיס פתח עם הקבוצה את עונת 2002/2003, ואף הוביל אותה לניצחונות מרשימים, ביניהם 0–5 על יריבתה ברייטון אנד הוב אלביון באוקטובר 2002, והדחתה של ליברפול במשחק החוזר במסגרת גביע ה-FA באצטדיון אנפילד. עם זאת, פאלאס חוותה עונה קשה בליגה, לא הצליחה להתקרב לצמרת, ופרנסיס התפטר מתפקידו באפריל 2003.
חיים אישיים

פרנסיס נישא להלן בשנת 1974. ב-2017 נפטרה הלן מסרטן.
ב-2012 לקה בליבו.
נפטר מהתקף לב ב-24 ביולי 2023. הותיר אחריו שני ילדים.
תארים > קבוצתיים כשחקן

גביע אירופה לאלופות (2): 1978/1979, 1979/1980
הסופר קאפ האירופי: 1979
קופה איטליה: 1984/1985
גביע הליגה הסקוטית: 1987/1988
גביע הפוטבול ליג: 1990/1991
תארים > אישיים כמאמן

מאמן החודש בפרמייר ליג: דצמבר 1993