stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מיכאל השמיני, קיסר האימפריה הביזנטית
ביוגרפיה > דיפלומטיה וכיבושים

במילותיו של ג'אנאקלופוס, "עם נפילת קונסטנטינופול, האפיפיורות סבלה לא רק מאובדן יוקרה פוליטית אלא גם מנזק חמור לסמכותה הרוחנית. שכן היוונים חזרו למעשה על זכותם לכנסייה שהתנתקה מרומא. כך זה הפך למשימתו של כל אחד מששת האפיפיורים שכיהנו בתקופת שלטונו של מיכאל להשיג את חזרתם של הסכיזמטיים לחיק הכנסייה הרומית." מיכאל היה מודע להשפעה העצומה שהייתה לאפיפיורות במערב, ולכן שלח מיד משלחת לאפיפיור אורבנוס הרביעי המורכבת משני שליחים; כשהגיעו לאיטליה, השליחים נתפסו ואחד נלכד בחיים, בעוד שהשני הצליח להימלט בחזרה לשטחים ידידותיים יותר.
מיכאל פנה גם למנפרד, מלך סיציליה כדי להשיג הסכם כלשהו. בקיץ 1262, מיכאל הציע להתגרש מאשתו תאודורה ולהתחתן עם אחותו של מנפרד אנה. הצעה זו נכשלה באופן מרהיב: לא רק שאנה דחתה את הצעתו, תאודורה פנתה לעזרתו של הפטריארך ארסניוס. הפטריארך התעמת עם הקיסר ולחץ עליו לנטוש את תוכניותיו. מיכאל נכנע ושלח את אנה בחזרה לאחיה עם מתנות. מחווה זו עזרה להבטיח את שחרורו של הגנרל שלו אלכסיוס סטרטגופולוס.
בערך בזמן הזה הוצגה בפני מיכאל הסחת דעת מסוכנת: עז א-דין קאיקאוס, שהודח כסולטן הטורקים הסלג'וקים על ידי קואליציה בראשות הפרוואן מועין א-דין סולימאן, הגיע לעזרת חברו הוותיק. אבל כפי שמציין קלוד קאהן, הוא "היה אמור להתאכזב באכזריות". מיכאל העדיף את המונגולים של פרס, שתמכו באויבו של עז א-דין הפרוואן, מול אלו של רוסיה. יתר על כן, הוא לא יכול היה להסתכן במלחמה על גבול אסיה שלו בעוד מערב אירופה, שהייתה מסוכנת לאין שיעור, התנגדה לו. קאהן סבור שאו שעז א-דין הפך למבוכה, או שאולי הסולטן לשעבר "התמסר לביקורת פתוחה מדי"; בכל מקרה, עז א-דין נכלא. כוחות מונגולים מרוסיה שחררו אותו בסופו של דבר ונשאו אותו לחצי האי קרים שם חי את שארית חייו.
סדרה של כישלונות צבאיים אירעו לאחר מכן. בשנת 1263 שלח מיכאל 15,000 איש, כולל 5,000 שכיריחרב סלג'וקים, למוראה במטרה לכבוש את נסיכות אכאיה, אך משלחת זו נכשלה בניתוק מפתיע בפריניצה. מאוחר יותר באותה שנה הובס צי מעורב של 48 ספינות אימפריאליות וג'נובה על ידי כוח ונציאני קטן יותר בקרב סטפוצי. בשנה שלאחר מכן שוב הובסו הכוחות האימפריאליים במוראה במקריפלגי לאחר ששכירי החרב הסלג'וקים, שלא קיבלו תשלום, החליפו צד. השפל של אסונותיו של מיכאל הגיע באביב 1265, כאשר צבא של טטרים ובולגרים בפיקודו של נוגאי חאן שהרס את תראקיה ארב למיכאל פלאיולוגוס כשחזר לקונסטנטינופול מלווה בחיילים בודדים בלבד. נטוש אפילו על ידי הקצינים שלו, שברחו כדי להציל את חייהם, מיכאל הצליח להימלט על ידי חציית הרי גאנוס והגיע לחוף מרמורה, שם הוא נתקל בשתי ספינות לטיניות. הוא עלה במהירות על כלי השיט, וכעבור יומיים הגיע בשלום לקונסטנטינופול. "כך שרד מיכאל את אחת מהבריחות הדחוקות בקריירה שלו", מציין ג'יאנקופלוס.
היתרונות הצבאיים שמיכאל נהנה מהם לאחר כיבוש קונסטנטינופול התאדו, אך הוא הפגין את כישוריו הדיפלומטיים כדי להתאושש בהצלחה מהחסרונות הללו. אחרי סטפוצי, מיכאל השמיני פיטר את 60 הגליאות הגנואזיות ששכר קודם לכן והחל להתקרב לוונציה. מיכאל ניהל משא ומתן בסתר על הסכם עם הוונציאנים להענקת תנאים דומים לאלו במקרה של נימפאום, אך הדוג'ה רניירו צנו לא הצליח לאשר את ההסכם. הוא גם חתם על הסכם בשנת 1263 עם הסולטן הממלוכי המצרי ביברס וברקה, החאן המונגולי של חאנות קיפצ'ק.
ביוגרפיה > ערבית סיציליאנית

ב-22 בפברואר 1281 נבחר אפיפיור חדש, האפיפיור מרטינוס הרביעי, צרפתי שג'אנאקלופוס מתאר כ"כפוף בצורה עיוורת" לשארל מאנז'ו. שוב, לשארל לא היה בלם ברור בשאיפותיו לכבוש את קונסטנטינופול, והוא עבר במהירות להתכונן למתקפה החדשה הזו. צעד מוקדם אחד ננקט על ידי האפיפיור מרטינוס, אשר ב-10 באפריל 1281, נידה את מיכאל ללא כל אזהרה או פרובוקציה, ובכך שיבש את האיחוד של ליון.
שארל הכין כוח צבאי גדול בהרבה ממה שמיכאל יכול היה לגייס. לפי מרינו סאנודו, לשארל היו 100 ספינות בסיציליה, ועוד 300 בנאפולי, פרובאנס ובשטחים היווניים שלו, שהיו אמורים לשאת לא פחות מ-8,000 פרשים. ג'יאנקופלוס מצטט מסמכים ששרדו המעידים על האספקה ששארל צבר. כתב כתיבה אחד של אנגווין, מתאריך 28 באוקטובר 1281, מפרט אוסף של כלים שייאסוף למשלחת, הכולל "אלפיים מטלי ברזל, שלושת אלפים יתדות ברזל, מזחלות לניפוץ סלעים, חבלים, אתי ברזל, גרזנים וקומקומים להרתחת זפת." אחר מורה על מסירת "ארבעת אלפים יתדות ברזל שנמצאות בבנייה בוונציה". שלישית מורכבת מהוראות לסוחר פיזאני עבור 2,500 מגנים בגדלים שונים, כולם עטורים בסמל המלכותי של חבצלות. בעלות הברית של שארל כללו רשימה ארוכה של כוחות. מלבד קשרי קרבה עם מלכי צרפת והונגריה, שליטי הסרבים והבולגרים היו בעלי בריתו, כמו גם שליטי אפירוס ומתנגדים של האימפריה הביזנטית, והמעצמה הימית המובילה של אירופה, ונציה.
ברור שמיכאל חיפש בעלי ברית נגד שארל מאנז'ו, אבל הם היו מעטים. דונלד ניקול מפרט את הסולטן הממלוכי של מצרים, ש"ישאיל לו ספינות", ואת הטטרים של אורדת הזהב בדרום רוסיה ש"יכלו לפקוח עין על הבולגרים". שגריריו ביקרו בחצרו של רודולף הראשון, מלך גרמניה הרומאי-גרמני, אך הוא התרחק. המלך פדרו השלישי, מלך אראגון הוכיח שהוא מסביר פנים, כי היו לו סיבות משלו לשנוא את שארל. לפי ג'יאנקופלוס, אשתו של פדרו קונסטנס הייתה בתו של מנפרד, ומסיבה זו ראה פדרו את שארל כגזלן ואת סיציליה כנחלתה החוקית של קונסטנס. פדרו קיבל את פני הפליטים מסיציליה, ובעיקר את יוחנן מפרוצ'ידה, שאותו הפך למזכיר המשרד המלכותי. אולם אראגון הייתה בקצה השני של הים התיכון, רחוקה ממיכאל.
אולם לפני ששארל מאנז'ו יכול היה להתחיל בכיבוש קונסטנטינופול, מרד הווספרים הסיציליאנים התרחש ב-30 במרץ 1282. שארל שלח ארבע ספינות לטפל במרד, אך כאשר המורדים השתלטו על מסינה, הוא הורה לחיילים ולציוד שנאספו לשימוש נגד מיכאל לצור על העיר ההיא; בינתיים הושמדו שבעים ספינות אנגוויניות בארסנל מסינה. בסופו של דבר הסיר שארל את המצור, ופדרו מאראגון נחת בסיציליה כדי להחזיר את האי לאשתו. החל מהשור של האפיפיור מרטינוס מה-18 בנובמבר 1282, שבו הוא נידה שוב את מיכאל - כמו גם את פדרו מאראגון, יוחנן מפרוצ'ידה ושליחו של מיכאל בנדטו זקריה - כמצית אש המרד הסיציליאני. ג'יאנקופלוס, בעודו מודה שמיכאל היה בקשר עם מנהיגי המרד לפני כן, טוען "שלמיכאל פלאיולוגוס, מצידו, לא היה שום קשר לתקרית בכנסיית סנטו ספיריטו, אין ספק".
יתרה מזאת, מיכאל השמיני סייע לעורר מרידות בכרתים נגד הוונציאנים, את המפורסמת שבהן הובילו האחים הורטאצוי גאורגיוס ותיאודור ממסי ברתימנון, במשך שש שנים, מה שגרם לנזק משמעותי ביותר לכובשים הוונציאנים ולאינטרסים הכלכליים של ונציה. מיכאל השמיני התכוון להביא בסופו של דבר את ונציה, בעלת בריתו של שארל מאנז'ו, לשולחן המשא ומתן, כפי שעשה, בחצרו בקונסטנטינופול.
ביוגרפיה > מותו ומורשת

מיכאל השמיני מת בכפר פאצ'ומיוס, תראקיה ב-11 בדצמבר 1282. הוא נדחה לקבורה בקונסטנטינופול עקב רדיפתו של הכנסייה בתמיכה באיחוד עם רומא, ולכן הובא למנוחות במנזר בשם Nea Mone באזור Rhaidestos (טקירדא המודרנית). שלוש שנים לאחר מכן, בשנת 1285, שרידיו הועברו למנזר ישו בסלימבריה, שם בשנת 1260 קבר מחדש את גופתו של בסיליוס השני.
בכינון מחדש של האימפריה הביזנטית שיקם מיכאל השמיני את הממשל הישן מבלי להתאמץ לתקן את כשליו. בשיקום קונסטנטינופול ובהשקעה בהגנה על מחוזותיו האירופיים, החל מיכאל השמיני להחליש את הגבול האנטולי של נחלותיו ונאלץ להוריד את שכר חייליו או לבטל את הפטורים ממס. מדיניות זו הובילה להתמוטטות הדרגתית של הגבול, אליו חדרו כנופיות טורקיות עוד לפני מותו. השושלת הפלאיולוגית שהקים שלטה באימפריה הביזנטית במשך כמעט מאתיים שנה, יותר מכל אחת אחרת בהיסטוריה הביזנטית. כמו כן, בתקופת שלטונו הייתה תחייה ימית זמנית שבה הצי הביזנטי כלל 80 ספינות.
משפחתו

בשנת 1253, מיכאל השמיני פלאיולוגוס התחתן עם תאודורה פלאיולוגינה, אחייניתו של יוחנן השלישי דוקס וטאציס, קיסר ניקאה. יתומה בילדותה, היא גודלה על ידי דוד רבא שלה יוחנן השלישי, שנאמר כי "אהב אותה כמו בת", ואשר סידר את נישואיה למיכאל. ילדיהם היו:
מנואל פלאיולוגוס (בערך 1255–לפני 1259)
אירנה פלאיולוגינה (בערך 1256–לפני 1328), שנישאה לאיוואן אסן השלישי, קיסר בולגריה
אנדרוניקוס השני פלאיולוגוס (1259–1332), קיסר ביזנטי
אנה פלאיולוגינה (בערך 1260–1299/1300), שנישאה לדמטריוס/מיכאל קומננוס דוקאס, בנו השלישי של מיכאל השני מאפירוס
קונסטנטינוס פלאיולוגוס (1261–1306), שנישא לאירנה ראולינה בת דודתו השנייה
תאודורה פלאיולוגינה, שנישאה למלך דוד השישי מגאורגיה
יודוקיה פלאיולוגינה, שנישאה לקיסר יוחנן השני מטרפזונטס
תאודורוס פלאיולוגוס (בערך 1263 - לאחר 1310)
מפילגשו, דיפלובאטצינה, למיכאל השמיני היו גם שתי בנות לא חוקיות:
אופרוסינה פלאיולוגינה, שנישאה לנוגאי חאן מאורדת הזהב
מריה פלאיולוגינה, שנישאה לאבאקה חאן מפרס
הערות שוליים

1 2  Bartusis, Mark C. (1997). The Late Byzantine Army. University of Pennsylvania Press. ISBN 978-0-8122-1620-2.
1 2 3 4 5  Geanakoplos, Deno John. "Michael VIII Palaeologus". Encyclopedia Britannica. אורכב מ-המקור ב-22 ביולי 2018. נבדק ב-22 ביולי 2018. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Geanakoplos, Deno John (1953). "Greco-Latin Relations on the Eve of the Byzantine Restoration: The Battle of Pelagonia – 1259". Dumbarton Oaks Papers. 7: 99–141. doi:10.2307/1291057. ISSN 0070-7546. JSTOR 1291057.
↑  Cahen, Claude (2004). Pre-Ottoman Turkey: A General Survey of the Material and Spiritual Culture and History. תורגם ע"י J. Jones-Willian. New York: American Council of Learned Societies. p. 279.
1 2  Vryonis, Speros (1971). The Decline of Medieval Hellenism in Asia Minor and the Process of Islamization from the Eleventh through the Fifteenth Century. Berkeley: University of California Press. pp. 136–137f, 250f. ISBN 978-0-52-001597-5.
↑  D'Amato, Raffaelle (20 בספטמבר 2016). Byzantine Naval Forces 1261–1461. Osprey Publishing. p. 9. ISBN 978-1472807281. {{cite book}}:  (עזרה)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007509736205171  PLWABN: 9810571991905606  BNE: XX5673059  GND: 11878370X  ICCU: MILV237714  ISNI: 0000 0001 2143 0032  LCCN: no2008017705  NKC: js2007409810  NLG: 102473  NTA: 120899094  ULAN: 500241697  VcBA: 495/118611  VIAF: 89403998   WorldCat (עם VIAF): 89403998 
מיניאטורה של מיכאל השמיני מהמאה ה-15, הספרייה הלאומית של רוסיה.
נשר קיסרי במיסטרס. בשנת 1263 ויתרו הלטינים על מיסטראס ככופר עבור גיום השני וילארדואן, ומיכאל השמיני פלאיולוגוס הפך את העיר למקום מושבו של דספוט מוראה החדש, שנשלט על ידי קרוביו.
האימפריה הביזנטית המשוחזרת בשנת 1265 (William R. Shepherd, Historical Atlas, 1911)
מטבע של מיכאל השמיני, המתאר את מריה הבתולה העולה מעל חומות קונסטנטינופול, לזכר כיבוש העיר על הלטיניים.
היפרפירון זהב של מיכאל השמיני, מוצג (משמאל למטה) כורע לפני ישו (מימין), תחת ציוויו של המלאך מיכאל (משמאל למעלה)
רפרודוקציה של מיניאטורה ביזנטית אבודה במנזר פריבלפטוס, מיסטרס, המציגה את מיכאל השמיני לצד תיאודורה וקונסטנטינוס.
מריה דה ואלדס

מריה דה ואלדס אלבארס (בספרדית: María de Valdés Álvarez; נולדה ב-19 באוקטובר 1998) היא שחיינית ספרדייה, סגנית אלופת עולם (דוחה 2024) בשחייה במים פתוחים במשחה ל-10 ק"מ חופשי וסגנית אלופת אירופה (רומא 2022) בשחייה במים פתוחים במשחה ל-5 ק"מ חופשי.
ביוגרפיה > 2017

באליפות העולם שנערכה ביולי בבודפשט שבהונגריה סיימה דה ואלדס במקום ה-30 בשחייה במים פתוחים משחה ל-10 ק"מ חופשי בתוצאה של 2:04:54.40 שעות.
ביוגרפיה > 2018

באליפות אירופה שנערכה באוגוסט בלוך לומונד שבסקוטלנד סיימה דה ואלדס במקום ה-22 בשחייה במים פתוחים במשחה ל-10 ק"מ חופשי בתוצאה של 2:02:42.90 שעות. במשחה הקבוצתי המעורב ל-5 ק"מ סיימה במקום השביעי יחד עם פאולה רואיס, גיים פוז'ול בלמונטה וראול סנטיאגו בטאנקור בתוצאה של54:23.80 דקות.
ביוגרפיה > 2019

באליפות העולם שנערכה ביולי בקוואנגג'ו שבקוריאה הדרומית סיימה דה ואלדס במקום ה-14 בשחייה במים פתוחים במשחה ל-5 ק"מ חופשי בתוצאה של 58:12.00 דקות. במשחה הקבוצתי המעורב ל-5 ק"מ סיימה במקום ה-12 יחד עם רואיס, בלמונטה ובטאנקור בתוצאה של55:31.50 דקות.
ביוגרפיה > 2021

באליפות אירופה שנערכה במאי בבודפשט שבהונגריה סיימה דה ואלדס במקום השמיני במשחה ל-800 מטר חופשי בתוצאה של 8:33.90	דקות ובמקום החמישי במשחה ל-1500 מטר חופשי בתוצאה של 16:14.77 דקות.
באליפות העולם (בריכת 25 מטר) שנערכה בבדצמבר באבו דאבי שבאיחוד האמירויות הערביות סיימה דה ואלדס במקום ה-15 במשחה ל-800 מטר חופשי בתוצאה של 8:28.94 דקות ובמקום ה-29 במשחה ל-400 מטר חופשי בתוצאה של 4:12.86 דקות.
ביוגרפיה > 2022

באליפות העולם שנערכה ביוני בבודפשט שבהונגריה סיימה דה ואלדס במקום החמישי בשחייה במים פתוחים במשחה ל-5 ק"מ חופשי בתוצאה של 57:59.00 דקות ובמקום העשירי במשחה ל-10 ק"מ חופשי בתוצאה של 2:02:42.80 שעות.
ביוגרפיה > 2022 > סגנית אלופת אירופה במשחה ל-5 ק"מ חופשי

באליפות אירופה שנערכה באוגוסט ברומא שבאיטליה זכתה דה ואלדס במדליית כסף בשחייה במים פתוחים במשחה ל-5 ק"מ חופשי בתוצאה של 57:00.20 דקות, אחרי שרון ון רוונדאל מהולנד (56:58.7 דקות) ולפני ג'וליה גבריאלסקי מאיטליה (57:00.3 דקות). בנוסף, סיימה במקום ה-11 בשחייה במים פתוחים משחה ל-10 ק"מ חופשי בתוצאה של 2:03:25.9 שעות, ובמקום הרביעי במשחה הקבוצתי המעורב ל-5 ק"מ יחד עם אנחלה מרטינס, קרלוס גאראץ' וגיים פוז'ול בלמונטה בתוצאה של 1:00:24.6 שעות.
ביוגרפיה > 2024 > סגנית אלופת עולם במשחה ל-10 ק"מ חופשי

באליפות העולם שנערכה בפברואר בדוחה שבקטר זכתה דה ואלדס במדליית כסף בשחייה במים פתוחים במשחה ל-10 ק"מ חופשי בתוצאה של 1:57:26.9 שעות, אחרי ון רוונדאל (1:57:26.8 שעות) ולפני אנז'ליקה אנדרה מפורטוגל (1:57:28.2 שעות). נוסף לכך, היא סיימה במקום שישי במשחה ל-5 ק"מ בתוצאה של 57:39.5 דקות.
שיאים אישיים > בריכה אולימפית

50 מטר חופשי: 29.44 שניות (2023)
100 מטר חופשי: 1:00.76 דקות (2021)
200 מטר חופשי: 2:03.75 דקות (2022)
400 מטר חופשי: 4:10.47 דקות (2022)
800 מטר חופשי: 8:33.90 דקות (2021)
1500 מטר חופשי: 16:14.77 דקות (2021)
50 מטר פרפר: 30.50 שניות (2021)
100 מטר פרפר: 1:05.16 דקות (2021)
400 מטר מעורב אישי: 4:50.62 דקות (2021)
שיאים אישיים > בריכת 25 מטר

50 מטר חופשי: 29.41 שניות (2021)
100 מטר חופשי: 1:00.71 דקות (2021)
200 מטר חופשי: 2:02.07 דקות (2018)
400 מטר חופשי: 4:05.93 דקות (2018)
1500 מטר חופשי: 16:58.07 דקות (2014)
400 מטר מעורב אישי: 4:45.97 דקות (2017)
משטח ישרים

בגאומטריה, משטח ישרים (באנגלית: Ruled surface) הוא משטח שבו דרך כל נקודה, עובר ישר השוכן על המשטח. מלבד המישור עצמו, גם הגליל, והחרוט הם משטחי ישרים. לעומת זאת, פני הכדור אינם משטח ישרים.
קל להסביר משטח ישרים כאשר חושבים על יצירתו באמצעות משיכה של קו ישר. לדוגמה:
מישור ניתן ליצור על ידי הזזה של קו ישר לאורך קו ישר אחר.
גליל ניתן ליצור על ידי הזזה של קו ישר, תוך שהוא שומר על מרחק קבוע מישר מקביל אליו.
חרוט ניתן ליצור על ידי הזזה של קו ישר שנקודה אחת שלו (קודקוד החרוט) מקובעת ואילו נקודה אחרת שלו נעה במעגל.
משטחי ישרים נוספים הם הפרבולואיד ההיפרבולי, הקונואיד, המשטח הבורגי. טבעת מביוס ניתנת לשיכון במשטח ישרים, למרות שהיא אינה כזו בעצמה. האליפסואיד, וכמוהו כל משטח קומפקטי, אינו משטח ישרים. הפרבולואידים, למעט הפרבולואיד ההיפרבולי, אינם משטחי ישרים.
ישנם משטחי ישרים בהם על כל נקודה ניתן להעביר שני ישרים שונים ששוכנים עליו ולא רק ישר אחד. משטחים אלו מכונים באנגלית "doubly ruled". המשטח היחיד בו ניתן על כל נקודה למצוא יותר משני ישרים ששוכנים עליו (למעשה אינסוף) הוא המישור.
משטחי ישרים ומשטחים פריסים > ההצגה הפרמטרית של משטח ישרים

יריעה דיפרנציאבילית תיקרא משטח ישרים אם היא מהווה איחוד של משפחה בת-פרמטר אחד של קווים ישרים. הישרים במשפחה הזאת הם היוצרים של משטח הישרים.
משטח ישרים ניתן לתיאור על ידי הצגה פרמטרית מהצורה
(CR)  \quad \mathbf {x} (u,v)={\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {blue}\mathbf {r} (u)}\ ,\ v\in \mathbb {R} \ ,.
כל עקומה  \;v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)\; עם פרמטר קבוע  u=u_{0} היא יוצר, בעוד שהעקום  \;u\mapsto \mathbf {c} (u)\; הוא עקום מכוון (directrix) של ההצגה. הווקטורים  \;\mathbf {r} (u)\neq {\bf {0\;}} מתארים את הכיוונים של היוצרים.
לעיתים, אחד העקומים המכוונים עשוי לקרוס לנקודה (למשל, במקרה של חרוט).
באופן חלופי, משטח הישרים (CR) ניתן לתיאור גם כ-
(CD)  \quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;{\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {green}\mathbf {d} (u)}\ .
כאשר העקום המכוון השני הוא  \;\mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)\;.
משטחי ישרים ומשטחים פריסים > משטחי ישרים המהווים משטחים פריסים

כל המשטחים הפריסים הם משטחי ישרים; עם זאת, הטענה ההפוכה אינה נכונה, ובחלק זה נאפיין את משטחי הישרים המהווים גם משטחים פריסים.
בעבור הקביעה של הווקטור הנורמל למשטח הישרים בנקודה נתונה נזדקק לנגזרות החלקיות של ההצגה  \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u):
ולפיכך הווקטור הנורמל הוא
\mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} )\ .
מכיוון ש-  \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0 (מכפלה מעורבת שמכילה שני וקטורים זהים היא תמיד 0), הווקטור   \mathbf {r} (u_{0}) הוא וקטור משיק בכל נקודה  \mathbf {x} (u_{0},v). המישורים המשיקים למשטח בכל הנקודות על הישר הזה יהיו זהים אם  \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r}  יהיה כפולה של  \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} . זה אפשרי רק כאשר שלושת הווקטורים  \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \  נחים במישור (כלומר פורשים מישור ולא מרחב תלת-ממדי), כלומר כאשר הם תלויים ליניארית. התלות הליניארית של שלושת הווקטורים הללו ניתנת לבדיקה באמצעות חישוב הדטרמיננטה של שלושת הווקטורים הללו:
המישורים המשיקים לאורך הישר  \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\;\mathbf {r} (u_{0}) יהיו זהים, אם
החשיבות של קריטריון הדטרמיננטה הזה באה לידי ביטוי בטענה הבאה:
משטח ישרים  \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u) הוא פריס למישור, אם בכל נקודה עקמומיות גאוס מתאפסת. זה קורה בדיוק כאשר
בכל נקודה.
את השקילות בין התאפסות עקמומיות גאוס לאי-השתנות של המישור המשיק כאשר נעים לאורך ישר יוצר ניתן להבין על ידי מיפוי גאוס - אודות לאי-השתנות הווקטור הניצב למישור המשיק, התמונה של אלמנט שטח של משטח הישרים (תחת מיפוי גאוס) על ספירת היחידה היא בהכרח עקומה חד-ממדית בעלת שטח אפס. מכיוון שעקמומיות גאוס היא גם היחס בין שטח התמונה לשטח המקור, נקבל שאי-השתנות המישור המשיק גוררת עקמומיות גאוס אפס.
המסקנה המתבקשת מתנאי הדטרמיננטה היא שמשטח ישרים אשר בו הווקטורים  \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \  פורשים מרחב תלת-ממדי יהיה משטח בלתי פריס. באופן שקול, ניתן לתאר זאת במונחי  \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {d}} \;,\;\mathbf {r} \  (הנגזרות של c ו-d הן הווקטורים המשיקים לשני עקומי ההכוונה של משטח הישרים) היות ש-:
 \mathbf {\dot {d}} \;=\;\mathbf {\dot {c}} \;+\;\mathbf {\dot {r}} \ .
את ההבדל בין משטח ישרים שאינו משטח פריס למשטח ישרים שהוא גם משטח פריס כפי שבא לידי ביטוי בתנאי הדטרמיננטה ניתן להמחיש ביתר בהירות באמצעות ההשוואה בין שני משטחי ישרים: גליל (או חרוט) והיפרבולואיד.
הגליל הוא משטח ישרים שבו  \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {d}} \; הם וקטורים זהים, ולפיכך יחד עם היוצר  \mathbf {r}  הם פורשים בכל רגע מישור. לעומת זאת, ההיפרבולואיד הוא משטח ישרים הנוצר על ידי זיהוי וחיבור בקו ישר של שתי נקודות שונות במעגל העליון והתחתון (מוראה באיור השמאלי עבור חיבור כל שתי נקודות הנבדלות זו מזו בחצי-זווית מרכזית  \varphi =63^{\circ }), ולפיכך הווקטורים המשיקים המתאימים  \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {d}} \; פורשים לבדם מישור, ויחד עם הקו היוצר  \mathbf {r}  פורשים מרחב תלת-ממדי. יש לציין שהמקרה של חצי-זווית מרכזית  \varphi =90^{\circ } הוא מקרה מנוון של היפרבולואיד שהופך לחרוט כפול, ולפיכך הוא כן פריס.
איורים של משטחי ישרים

חרוט
 גליל
 פרבולואיד היפרבולי
 משטח בורגי
משטח ישרים הנוצר על ידי שני עקומי בז'ייר כעקומים מנחים (באדום וירוק).
גליל וחרוט.
היפרבולואיד.
מלוא לוגמיו

| --- | --- |
 משנה:  משנה, מסכת יומא, פרק ח', משנה ב'
 תלמוד בבלי:  תלמוד בבלי, מסכת יומא, דף פ', עמוד א' תלמוד בבלי, מסכת פסחים, דף ק"ז, עמוד א'
 שולחן ערוך:  שולחן ערוך, אורח חיים, סימן ק"צ, סעיף ג' שולחן ערוך, אורח חיים, סימן רע"א, סעיף י"ד
 
כמלוא לוגמיו (לעיתים 'מלוא לוגמיו') הוא אחד משיעורי תורה, המשמש בהלכה לצורך שיעור שתיית משקים, כגון השותה ביום כיפור אינו מתחייב כרת אלא אם שתה לכל הפחות 'כמלוא לוגמיו', פחות מכאן אף שהוא אסור מדין חצי שיעור אינו ענוש כרת. כמו כן על מנת שתצטרף השתייה לשיעור 'מלוא לוגמיו' יש לשתות שיעור זה בתוך 'כדי אכילת פרס', בפחות מכך אינו מתחייב.
שיעור זה נידון לכל אדם לפי גודלו, באדם בינוני שיעור 'מלוא לוגמיו' הוא 'רוב רביעית'.
מקור

שיעור זה נזכר כבר במשנה לעניין חיוב כרת את השותה ביום כיפור:
האוכל ככותבת הגסה כמוה וכגרעיניתה, והשותה מלא לוגמיו, חייב.
שיעור זה לא נזכר בתורה, אך הוא נאמר 'הלכה למשה מסיני' כשאר השיעורים כגון 'כביצה' 'כזית' ועוד.
בנוסף לכך נזכר שיעור מלוא לוגמיו בתלמוד לעניין כמות השתייה שיש לשתות מיין הקידוש.
הגדרה

בתלמוד במסכת יומא נאמר בשמו של שמואל שאין כוונת המשנה למלוא לוגמיו ממש - שפיו מלא משקים בשתי לחייו, אלא יש לגרוס במשנה 'כמלוא לוגמיו' - שפירשו שיראה כאילו פיו מלא משקים, על ידי מילוי משקה בלחי אחת בלבד. שיעור 'מלוא לוגמיו' הוא כמות הנוזלים שאדם יכול להחזיק בתוך פיו במילוי לחי אחת בלבד.
עוד נאמר בתלמוד שבניגוד לשאר השיעורים - כגון איסור אכילה ששיעורו ב'ככותבת', שהוא שיעור קבוע לכל בני האדם הן גדולים והן קטנים - שיעור 'מלוא לוגמיו' יש לשער לכל אדם לפי גודלו, ולכך עוג מלך הבשן שהיה גדול ביותר, לא יתחייב על שתייה ביום כיפור עד שישתה 'כמלוא לוגמיו' שלו.
שיעור

לדעת התוספות שיעור 'מלא לוגמיו' לאדם בינוני, הוא יותר מרביעית, ושיעור 'כמלוא לוגמיו', שהוא רק שיראה כאילו הוא מלוא לוגמיו, הוא פחות מרביעית. והוסיפו שהשיעור באדם בנוני הוא רוב רביעית.
שיעור רוב רביעית - שהוא כאמור השיעור של 'מלוא לוגמיו' באדם בינוני - במידות הנוהגות כיום, תלוי במחלוקת הפוסקים מהו שיעור רביעית:
לדעת הרב חיים נאה שיעור הרביעית הוא 86.4 מ"ל. לפי זה שיעור מלוא לוגמיו בינוני הוא 45 מ"ל.
לדעת החזון איש שיעור רביעית הוא 149.3 מ"ל. ולפי זה שיעור מלוא לוגמיו בינוני הוא 75 מ"ל.
במשנה ברורה כתב שערך בעצמו בדיקה על מנת לבדוק את השיעור של 'מלוא לוגמיו':
וזה כבר בחנתי ונסיתי בכמה אנשים בינונים המלא לוגמא שלהם משני הצדדים ועלה לכל היותר רק עד שני ביצים בינונים בקליפה שלהם
נמצא שלפי מדידתו ש'כמלא לוגמיו' הוא ביצה אחת שהיא כ-50 סמ"ק. והקשה שם על דעת החזון איש שלפי שיטתו השיעור גדול הרבה יותר. החזון איש בספרו כתב על קושיה זו, שאין לסמוך על מדידה שלנו, שהרי גם אחרי שמילא את פיו מים, יכול להכניס עוד בפיו.
קידוש

כאמור בתלמוד נזכר שיעור 'מלוא לוגמיו' אף לעניין כמות היין שיש לשתות מכוס של קידוש:
אמר רב הונא אמר רב... בהמקדש וטעם מלא לוגמא יצא ואם לאו לא יצא
אמנם דין זה נאמר דווקא לגבי כמות השתייה אותה יש לשתות לאחר הקידוש, אך הכוס עצמה צריך שיהיה בה לפחות שיעור רביעית. כמו כן כתבו באחרונים שלכתחילה מהדרים לשתות את כל היין שבכוס, גם כאשר הכוס גדולה ומכילה הרבה יותר מ'רביעית'.
לדעת רוב האחרונים שיעור זה תקף לגבי כל חיובי השתייה שישנם, ששיעורם הוא כמלא לוגמיו. אולם לדעת הערוך השולחן דין זה נאמר דווקא לגבי כוס של קידוש אך בשאר כוסות של ברכה די בטעימה כלשהו.
ברכה אחרונה

השולחן ערוך פסק, שמאחר שהראשונים נחלקו האם שיעור החיוב בברכה אחרונה במשקים הוא כזית או רביעית, אף שיוצא ידי חובת שתיית כוס של ברכה ב'מלוא לוגמיו', לכתחילה יש לשתות פחות מכזית או יותר מרביעית, כדי להסתלק מן הספק. דעת הט"ז היא ששתיית מלוא לוגמיו, היא השיעור המחייב ברכה אחרונה.
יום כיפור

שיעור השתייה האסורה להתחייב כרת הוא כמלוא לוגמיו. על פחות משיעורים אלו אין עונש כרת, אך עדיין אסור מהתורה לאכול ולשתות אפילו מעט.
הערות שוליים

↑  תלמוד בבלי, מסכת יומא, דף פ', עמוד א'.
↑  תוספות פסחים קז א.
↑  שולחן ערוך, אורח חיים, סימן ק"צ, סעיף ה'.
↑  שולחן ערוך, אורח חיים, סימן ק"צ, סעיף ג'.
| מידות, שיעורים ומשקלות בהלכה |
| --- | --- | --- |
| מידות אורך | אצבע • סיט • טפח • זרת • אמה • ריס • מיל • פרסה |  |
| מידות נפח | כור • לתך • איפה • סאה • הין • עשרון • קב • לוג • מלוא לוגמיו • רביעית • כביצה • ככותבת • כגרוגרת • כזית • משורה • קורטוב • כעדשה |  |
| מידות מטבעות | כיכר של קודש • כיכר של חול • מנה • דינר זהב • סלע • שקל • זוז (דינר כסף) • סלע מדינה (טרפעיק) • מעה • פונדיון • איסר • מסמס • קונטרק • פרוטה |  |
| מידות שטח | בית כור • בית לתך • בית סאה • בית קב • בית רובע |  |
| מידות זמן | חלק • שיתין נשמין • תוך כדי דיבור • כדי אכילת פרס • כדי הילוך • שעה זמנית • מעת לעת |  |
מרקוס זיו

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  2 ביולי 1913 דידסבורי, הממלכה המאוחדת 
 פטירה:  23 בפברואר 2001 (בגיל 87) לונדון, הממלכה המאוחדת 
 מדינה:  הממלכה המאוחדת של בריטניה הגדולה ואירלנד, הממלכה המאוחדת 
 השכלה:  בית הספר העל-עממי מנצ'סטר 
 תפקיד:  חבר בית הלורדים (14 בפברואר 1980–23 בפברואר 2001) 
 בן או בת זוג:  רוזלי פרומסון (1937–?)  Brenda Mary Beith (1956–?)  אלזי פלורנס גוסן (1951–?)  Pauline Lily Spatz (1963–?) 
 פרסים והוקרה:  honorary Fellow of the Royal College of Surgeons (1984)  Knight Bachelor  דוקטור של כבוד מאוניברסיטת סנט אנדרוז  דוקטור לשם כבוד מאוניברסיטת לסטר  קצין במסדר האימפריה הבריטית 
 
הלורד מרקוס ג'וזף זיו (באנגלית: Marcus Joseph Sieff;‏ 2 ביולי 1913 – 23 בפברואר 2001), איש עסקים יהודי-בריטי ופעיל ציוני. יו"ר ונשיא מרקס אנד ספנסר ומכון ויצמן למדע ויועצו הצבאי של דוד בן-גוריון בעת מלחמת העצמאות. בנם של הלורד ישראל ורבקה זיו.