קבוצת קנטור
תכונות > עוצמתה של קבוצת קנטור

עיון בתהליך הבנייה של הקבוצה מראה מיד שהמספרים בקצה של כל קטע שנוצר בתהליך הבנייה, כגון  2/3 ו- 1/3 בצעד הראשון, אינם מוסרים (ולכן הם נכללים בקבוצת קנטור). כיוון שבתהליך יש מספר בן מנייה של צעדים, הרי נובע שעוצמתה של קבוצת קנטור אינה קטנה מעוצמת הטבעיים ( \aleph _{0}, קרי: אָלֶף אֶפֶס). אף שעלול להיווצר הרושם כי רק המספרים הללו שבקצה נכללים בקבוצת קנטור, לא זה המצב - גם המספר  1/4, למשל, שאינו בקצה, נכלל בה: המספר  1/4 נמצא בקטע השמאלי בצעד הראשון, בקטע הימני בצעד השני, בקטע השמאלי בצעד השלישי וכך הלאה, עד אינסוף, הוא לעולם אינו נמצא בשליש האמצעי, שאותו מסירים בתהליך. באופן דומה, גם המספר  1/10. הוא מחלק כל קטע ביחס של  9:1, ולעולם לא יפול בשליש אמצעי של אף קטע. אפשר להוכיח באינדוקציה על האיטרציות, עבור 2 המספרים הנ"ל.
נוכיח שבקבוצת קנטור נשארו  \aleph  איברים (עוצמת הרצף). עוצמה זו זהה לעוצמת המספרים בקטע והיא גדולה מעוצמת הטבעיים (לפי האלכסון של קנטור).
הוכחה אריתמטית: נעשה זאת על ידי כך שנראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לבין קבוצת כל המספרים שבפיתוח הטרינרי (בסיס 3) שלהם לא מופיעה הספרה  1. כידוע, פיתוח בבסיס עשרוני לכל  0\leq x\leq 1 הוא הטור
(פיתוח זה איננו יחיד שכן  1 ואחריו סדרה אינסופית של אפסים, שקול ל- 0 ואחריו סדרה אינסופית של תשיעיות)
באותו אופן אפשר לרשום פיתוח בבסיס  3:
נסתכל על קבוצת כל  0\leq x\leq 1 כך ש  1 לא מופיע בפיתוח הטרינארי שלהם, כלומר, כל המספרים בקטע  [0,1] שמקיימים
לכל נקודה בקבוצת קנטור אפשר להתאים ייצוג טרינארי של מספר בקטע  [0,1].
שלב ראשון: עבור  x בקטע  [0,1] נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם  x בקטע השמאלי יותר - נרשום  0 בספרה הראשונה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום  2.
שלב שני: נסתכל בתת-הקטע שבו  x מוכל. נסתכל על תתי-הקטע שלו המתקבלים מקבוצת קנטור: אם  x בקטע השמאלי יותר - נרשום  0 בספרה השנייה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום  2.
...
שלב  n: נסתכל בתת-הקטע שבו  x מוכל. נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם  x בקטע השמאלי יותר - נרשום  0 בספרה מספר  n בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום  2.
לפי הלמה של קנטור נקבל שחיתוך בן מנייה של כל הקטעים האלה יתכנס לנקודה יחידה  x ובאמצעות הבניה לעיל הראנו את הצגתו בצורה טרינארית.
מתיאור זה ברור גם איך אפשר לשכן כל מספר שבפיתוח הטרינארי שלו מופיעים רק הספרות  0 או  2 בקבוצת קנטור. מכאן, זה ברור מדוע ההתאמה בין שתי הקבצות היא חד-חד-ערכית ועל.
נותר להוכיח שקבוצת כל המספרים בעלי פיתוח טרינארי שלא מופיעה בו הספרה  1 אינה בת מנייה. אכן, ההתאמה \ \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}3^{-n}\mapsto {\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}2^{-n}(פונקציית קנטור) היא התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לקטע  [0,1].
הוכחה קומבינטורית: נראה שיש  2^{\aleph _{0}} מספרים בקבוצת קנטור, על ידי הגדרת פונקציה חד-חד ערכית מהקבוצה \{0,1\}^{\mathbf {N} }=\{(i_{1},i_{2},\dots ):i_{1},i_{2},\dots \in \{0,1\}\}של כל הסדרות האינסופיות של אפסים ואחדים, לתוך קבוצת קנטור  C.
בהינתן סדרה  (i_{1},i_{2},\dots ) של אפסים ואחדים, נתאים לה סדרת קצוות שמאליים של קטעים שהופיעו בבניה של קבוצת קנטור:
נתבונן בשני הקטעים של השלב הראשון בבניה. אם  i_{1}=0, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע השמאלי. ואם לא, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע הימני. נסמן קצה זה  a_{1}.
נתבונן בקטע שבחרנו בשלב הראשון. בשלב השני, הקטע הוחלף בשני קטעים קצרים יותר. אם  i_{2}=0, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע השמאלי מביניהם. ואם לא, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע הימני מביניהם. נסמן קצה זה  a_{2}.
באופן כללי, בשלב  n נתבונן בקטע שבחרנו בשלב  n-1; בשלב הנוכחי, הוחלף קטע זה בשני קטעים קצרים יותר. אם  i_{n}=0, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע השמאלי מביניהם. ואם לא, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע הימני מביניהם. נסמן קצה זה  a_{n}.
קיבלנו סדרה עולה  a_{1}\leq a_{2}\leq \dotsb  של מספרים בקבוצת קנטור. הקבוצה חסומה (למשל, על ידי הקצה הימני של הקטע ממנו התחלנו), ולכן מתכנסת לגבול, שנסמנו  a.
נתאים לסדרה הנתונה  (i_{1},i_{2},\dots ) את המספר  a שהוגדר בצורה הזאת.
ההתאמה היא חד-חד ערכית, כיון שעבור שתי סדרות שונות, ישנו מקום בו הסדרות שונות, ובמקום זה נבחרו קצוות של קטעים שונים. מאידך, ברגע שנבחר קצה של קטע, מעתה ואילך ייבחרו רק קצוות של קטעים המוכלים בו, ולכן גם נקודת הגבול שהגדרנו תהיה שייכת לו.
נקודת הגבול שייכת לקבוצת קנטור מאותה סיבה: לכל שלב בבניה, יש קטע שכל המספרים בסדרה שבחרנו משלב זה ואילך נמצאות בו, ולכן נקודת הגבול שייכת לו. יוצא, שהגבול שייך לכל הקבוצות  A_{n} שהוגדרו בבניית קבוצת קנטור, ולכן שייכת לחיתוכן, שהוא קבוצת קנטור.
זה מסיים את ההוכחה, אבל אפשר להראות גם שהפונקציה שהגדרנו היא על: לכל מספר  a בקבוצת קנטור, בשלב  n של הבניה יש קטע יחיד אליו המספר שייך, וזה אחד משני תת-הקטעים של הקטע מהשלב הקודם אליו המספר היה שייך. אם זה הקטע השמאלי, נגדיר  i_{n}=0, ואם זה הקטע הימני, נגדיר  i_{n}=1. הפונקציה שהגדרנו לעיל ממפה את הסדרה המתקבלת  (i_{1},i_{2},\dots ) למספר  a, כיון שהקצוות השמאליים של הקטעים אליהם המספר שייך מתכנסים אליו (אורך הקטע בשלב  n הוא  (1/3)^{n}, והמרחק בין מספר בקטע לקצה הקטע אינו גדול יותר).