stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
קהילת יהודי פלויישט
הקהילה היהודית בזמן השואה > השפעת המאורעות על מצב היהודים

מפקד המשטרה קוז'קארו פתח מיד בהחרמת עסקים יהודיים ובמאסר סוחרים ואנשי ציבור: ב-1940 הודבקו על חניות יהודים שלטים אשר קראו לנוצרים להחרים את סחורות היהודים, ב-10 בנובמבר 1940 נאסרה קבוצה של 30 יהודים לערך, בתואנה שנתועדו לאספה קומוניסטית, והם עונו במאסר למעלה משבועיים. בליל 27/28 בנובמבר, הוצאו 11 מהם להורג, ובכללם הרב דוד פרידמן, אדמו"ר פלויישט. באותו הלילה נעצר גם רבה הראשי של העיר, ד"ר מנחם שפרן. ורק הודות להתערבות מיוחדת היה ניתן להצילו ברגע האחרון, וגם זאת לאחר שעבר עינויים קשים. מתוך עדותו של הרב שפרן (בתרגום מרומנית):
מיד לאחר רצח הרב פרידמן, נלקחתי על ידי הליגינרים באחד בלילה, והובאתי לחדר התשאול. כל הלילה נחקרתי עם אקדחים על הרקות והלב, תוך איומים שאהרג במקום בתור "אחראי על הקומוניסטים והיהודים"...
כל הלילה עינו אותי ואוימתי על חיי, וכשראו את התנגדותי לדרישותיהם החליטו להוציאני להורג מחר בשעה עשר. רעייתי שהתלוותה אלי לחקריה, לא רצתה להפרד ממני, ונזרקה לחצר במרתף. בשעה שמונה בבוקר הועברתי לחדרון, להמתין להוצאה להורג בשעה עשר. בינתיים נעשו מאמצים עילאיים להצלתי, מאמצים אלה נשאו פרי ושוחררתי.
ב-17 בנובמבר 1940, הרסו אנשי "משמר הברזל" את ההיכל הראשי, את "בית הכנסת הרב", את ההיכל הספרדי, ואת בית הספר "לוקא מויסה". כמה ספרי תורה נשרפו. פלוגות עבודה יהודיות שגויסו לעבודות כפייה, נאלצו לעשות מלאכה זו. הריהוט הועבר לכנסיות, מנזרים ובתי ספר רומניים. בהמשך, כל היהודים ללא הבדל גיל ומקצוע חויבו להתייצב לסיוע פינו הריסות בניינים אלה. ממשרדי הקהילה נגנבו כספים ובגדים, והוחרמו חמישים קרונות מלאים בעצים, שנועדו לעניים. בית הספר ובית המרחץ הוחרמו והותקנו לבתי חולים, בית העלמין הישן שבקרבת בית הספר - נהרס.
בשנת 1941 נשלחו 21 יהודים למחנה אוראוויצא ובהמשך הועברו למחנה טארגו ז'יו בתואנה שהם אזרחים רומניים. ביולי של אותה שנה, נאסרו ונכלאו בניין בית הכנסת שברחוב באסאראב 49 יהודים מראשי העדה והקהילה כבני ערובה, נאמר הם כי על כל הפרת הוראות הכי קטנה יוצאו כולם להורג. עם המתקפה הגרמנית על ברית-המועצות, הועברו גברים יהודים בני 18–60 למחנה הריכוז טייש, בני 13–17 נלקחו לעבודות-כפייה. בינואר 1942 הותר לגברים בני 50 ומעלה לחזור לבתיהם, שאר המגורשים פוזרו לערים אחרות וכעבור זמן נלקחו לעבודות-כפייה בסרביה ובמולדובה.
ניתן לראות כי הקהילה היהודית עברה בתקופה זאת טלטלות רבות, וקשיי פרנסה גדולים. היעדרותם של הגברים, וכמו כן סגירת עסקים יהודים הכבידה על יכולת הפרנסה והכנסות הקהילה.
הקהילה היהודית לאחר שואה

בתום המלחמה חזרו רוב היהודים, כ-3,000 איש, לפלויישט. הקהילה חידשה את פעולותיה כקודם. ב-1950 ירד מספרם לאלפיים.
ב-1969 נותרו בעיר כ-120 משפחות יהודיות ובית-כנסת אחד.
הערות שוליים

1 2  קהילת יהודי פלויישט, באתר בית בתפוצות, ‏21/02/2020
1 2  תיאודור לביא, פנקס הקהילות: רומניה, כרך ראשון, הוצאת יד ושם, ירושלים, תש"ל
הרב דוד פרידמן, אדמו"ר פלויישט. נרצח בשואה בשנת תש"א.
משפחת הרב דוד פרידמן, אדמו"ר פלויישט. שורה ראשונה מימין, הרב דוד, ולידו ביתו ציפורה פייגא. שורה שנייה, שנייה מימין, אשתו הרבנית בת-שבע
בית הכנסת בפלויישט כיום. בית-הכנסת הוקם בשנת 1901 ועבר חידוש בשנת 2007.
קוריאק (מחוז)

מחוז קוריאק (ברוסית: Коря́кский о́круг, בתעתיק: קּוֹרְיַאקְסְקִי אוֹקְרוּג) או קוריאקיה (ברוסית: Корякия) הוא יחידה מנהלית בעלת מעמד מיוחד בחבל המנהלי קמצ'טקה ברוסיה. הוא היה סובייקט פדרלי של רוסיה (אוקרוג אוטונומי של מחוז קמצ'טקה) מ-1931 ועד 1 ביולי 2007, אז התמזג עם מחוז קמצ'טקה. לפני המיזוג הוא נקרא האוקרוג האוטונומי קוריאק (Коря́кский автоно́мный о́круг).
הוא גובל בצפון עם האוקרוג האוטונומי צ'וקוטקה ומחוז מגדן. המרכז האדמיניסטרטיבי שלו הוא היישוב העירוני פלנה. אוכלוסיית המחוז: 15,781 (2021); 18,759 (מפקד 2010); 25,157 (מפקד 2002); 39,363 (מפקד 1989).
היסטוריה

ב-10 בדצמבר 1930, הוקם האוקרוג הלאומי קוריאק (גר').
ב-22 ביולי 1934 החליט הוועד הפועל המרכזי הכל-רוסי לכלול את המחוזות הלאומיים צ'וקוטקה וקוריאק במחוז קמצ'טקה.
בהיותו סובייקט עצמאי של הפדרציה הרוסית, האוקרוג האוטונומי קוריאק היה חלק מהאזור הפדרלי של המזרח הרחוק הרוסי וממחוז קמצ'טקה.
ב-23 באוקטובר 2005 נערך משאל עם על איחוד האוקרוג האוטונומי קוריאק עם אזור קמצ'טקה. האוכלוסייה תמכה באיחוד האזורים.
ב-1 ביולי 2007, לאחר איחוד מחוז קמצ'טקה והאוקרוג האוטונומי קוריאק לחבל המנהלי קמצ'טקה הוא הפך למחוז קוריאק.
על פי החוק החוקתי הפדרלי של הפדרציה הרוסית ואמנת חבל קמצ'טקה, זוהי "יחידה מנהלית-טריטוריאלית בעלת מעמד מיוחד".
מיקום גאוגרפי

מחוז קוריאק ממוקם בחלק הצפוני של חצי האי קמצ'טקה, כשהוא תופס 60% משטחו, החלק הסמוך של היבשת והאי קרגינסקי (אנ'). הוא גובל ממזרח בים ברינג של האוקיינוס השקט (אורך החוף הוא יותר מ-1,500 קילומטרים), וממערב על ידי ים אוחוצק (אורך החוף הוא כ-1,500 קילומטרים).
המרחק מהמרכז האדמיניסטרטיבי של פלנה למוסקבה הוא 6,280 קילומטרים, לפטרופבלובסק-קמצ'טסקי - 851 קילומטרים (בקו אווירי).
אוכלוסייה

המחוז הוא אחד האזורים הדלילים והמרוחקים ביותר של רוסיה. העמים הילידים של סיביר (קוריאקים, צ'וקצ'ים, איטלמנים (אנ') ואוונסים (אנ')) היוו כ-40% מהאוכלוסייה באזור זה. בסביבות 55% היו סלאבים (רוסים, אוקראינים ובלארוסים). היו גם מספר קוריאנים, טטרים ומורדווינים (אנ') בעידן הסובייטי, אך הם היגרו כמעט לחלוטין בינתיים.
| קבוצה  אתנית | מפקד 1939> מספר | מפקד 1939>  % | מפקד 1959> מספר | מפקד 1959>  % | מפקד 1970> מספר | מפקד 1970>  % | מפקד 1979> מספר | מפקד 1979>  % | מפקד 1989> מספר | מפקד 1989>  % | מפקד 2002> מספר | מפקד 2002>  % | מפקד 2010> מספר | מפקד 2010>  % |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| קוריאקים | 6,855 | 27.2% | 5,010 | 18.2% | 5,893 | 19.1% | 5,660 | 16.2% | 6,572 | 16.5% | 6,710 | 26.7% | 5,676 | 30.3% |
| צ'וקצ'ים | 1,267 | 5.0% | 1,062 | 3.9% | 1,164 | 3.8% | 1,222 | 3.5% | 1,460 | 3.7% | 1,412 | 5.6% | 1,327 | 7.1% |
| איטלמנים | 801 | 3.2% | 900 | 3.3% | 970 | 3.1% | 1,002 | 2.9% | 1,179 | 3.0% | 1,181 | 4.7% | 948 | 5.1% |
| אוונסים | 714 | 2.8% | 520 | 1.9% | 613 | 2.0% | 476 | 1.4% | 713 | 1.8% | 751 | 3.0% | 743 | 4.0% |
| רוסים | 13,794 | 54.8% | 16,674 | 60.6% | 19,522 | 63.1% | 22,493 | 64.5% | 24,773 | 62.0% | 12,719 | 50.6% | 8,669 | 46.2% |
| אוקראינים | 847 | 3.4% | 1,310 | 4.8% | 1,186 | 3.8% | 1,999 | 5.7% | 2,896 | 7.3% | 1,029 | 4.1% | 474 | 2.5% |
| אחרים | 882 | 3.5% | 2,049 | 7.4% | 1,569 | 5.1% | 1,999 | 5.7% | 2,347 | 5.9% | 1,355 | 5.4% |  |  |
| סך הכל | 25,160 | 25,160 | 27,525 | 27,525 | 30,917 | 30,917 | 34,850 | 34,850 | 39,940 | 39,940 | 25,157 | 25,157 | 18,759 | 18,759 |
גאוגרפיה

הטבע מגוון: רכסי הרים בגובה בינוני עם קרחונים, גבעות בחוף, מרחבים עצומים של טונדרה וטייגה, במקומות מסוימים קפאת-עד. אלפי נהרות ואגמים עשירים בדגים (אלתית צ'אם וטרוטה); עשרות מינים שונים של בעלי חיים (דובים, איילים, כבשים גדולי קרניים, ארנבות, שועלים ארקטי, דלק סיבירי וכו'), מאות מיני עצים ועופות מים. איילים רועים בשטחי מרעה בטונדרה.
הנהרות העיקריים הם: פנז'ינה (אורך 713 קילומטרים), טאלובקה (458 קילומטרים), ויונקה (395 קילומטרים), פאחאצ'ה (293 קילומטרים), אפוקה (296 קילומטרים), אוקליאט (288 קילומטרים). אגמים: טלובסקו (44 קילומטרים רבועים), פלאנסקו (28 קילומטרים רבועים).
רכסי הרים: סרדיני, וטווייסקי, פנז'ינסקי, פחצ'ינסקי, אוליטורסקי ועוד. פסגות: חובחויטון (2,613 מטרים), לדיאניה (2,562 מטרים), שארפ (2,552 מטרים). שישל (2531 מטרים), גבעת טיילה (2,234 מטרים).
שמורות: שמורת קוריאקסקי, כולל כף גוונה, מפרץ לברוב ופארפולסקי דול (32,700 קילומטרים רבועים); שמורות טבע - האי קרגינסקי (19,300 קילומטרים רבועים), נהר מורושצ'ניה (15,000 קילומטרים רבועים), נהר בלאיה (9,000 קילומטרים רבועים), אגם פלנסקויה (8,800 קילומטרים רבועים), לגונת קזארוק (1,700 קילומטרים רבועים), אוטחולוק (5,000 קילומטרים רבועים).
מונומנטים טבעיים: מעיינות גאותרמיים פלנה, מפרץ אנסטסיה, יער ארזית מנצ'ורי, האמטיסטים של נהר השמאנקה ועוד.
גאוגרפיה > אקלים

האקלים קשה, תת-ארקטי, בחופים – אקלים ימי, בפנים – אקלים יבשתי. החורף ארוך, מושלג וקפוא, הטמפרטורה הממוצעת בינואר היא 24- מעלות צלזיוס...26- מעלות צלזיוס. הקיץ קצר, קריר וגשום, הטמפרטורה הממוצעת ביולי היא 12+ מעלות צלזיוס...14+ מעלות צלזיוס. כמות המשקעים הממוצעת היא 300 עד 700 מילימטרים בשנה.
משאבים טבעיים

מחצבים: נפט, גז טבעי, פחם, מרבצי עפרות של מתכות לא ברזליות (נחושת, ניקל, בדיל, כספית); מרבצים של פלטינה וזהב.
כלכלה

ענפים עיקריים: תעשיית דיג (עיבוד של דגים ופירות ים), חקלאות, גידול איילים, כריית פחם ומתכות לא ברזליות, תעשיית חשמל, תחבורה ותיירות.
הערות שוליים

↑  Федеральный конституционный закон №2-ФКЗ от 12 июля 2006 года "Об образовании в составе Российской Федерации нового субъекта Российской Федерации в результате объединения Камчатской области и Корякского автономного округа". Статья 5. (Federal Constitutional Law #2-FKZ of July 12, 2006 On Creation of a New Federal Subject Within the Russian Federation as a Result of the Merger of Kamchatka Oblast and Koryak Autonomous Okrug. Article 5)
↑  Таблица 5. Численность населения России, федеральных округов, субъектов Российской Федерации, городских округов, муниципальных районов, муниципальных округов, городских и сельских поселений, городских населенных пунктов, сельских населенных пунктов с населением 3000 человек и более
ג'רמי סמפטר

| --- | --- |

סמפטר, 2014
 לידה:  5 בפברואר 1989 (בן 36) כרמל ליד הים, ארצות הברית 
 מדינה:  ארצות הברית 
 תקופת הפעילות:  מ-2001 
 http://www.jeremysumpter.com/
 פרופיל ב-IMDb
 
ג'רמי רוברט מיירון סמפטר (באנגלית: Jeremy Robert Myron Sumpter; נולד ב-5 בפברואר 1989) הוא שחקן קולנוע וטלוויזיה אמריקאי. התפרסם עקב גילומו של פיטר פן בסרט "פיטר פן" משנת 2003, את ג'ייקוב הודג'ס בסרט "בתוך הסופה" משנת 2014 ובשל תפקידו כג'יי.די מק'קוי בסדרת הדרמה "אורות ליל שישי" של רשת NBC.
ביוגרפיה

סמפטר הוא יליד פברואר 1989 והוא נולד בעיר כרמל שבקליפורניה לסנדי וגארי סמפטר. יש לו אחות תאומה - ג'סיקה ועוד שני אחים. המשפחה עברה לגור בעיר הולדתה של אמו, מאונט סטרלינג שבקנטאקי כשהיה בן עשרה חודשים.
בגיל 11 התקבל למסלול הדוגמנות "International Modeling and Talent Association" והחל לדגמן בקנטאקי ואף זכה בפרס "דוגמן השנה הצעיר". בהמשך עבר ללוס אנג'לס עם משפחתו כדי להופיע בקרבתה.
בדצמבר 2015 הודיעו סמפטר ולורן פאצ'קו על אירוסיהם, אך האירוסין בוטלו באוקטובר 2016.
ב-1 באוקטובר 2022, התחתן בשנית עם אליזבת טרדוואי, בכנסייה בקולומביה, טנסי. בתם המשותפת נולדה באפריל 2023.
קריירה

סרטו הראשון היה סרט האימה סדוק של ביל פקסטון (אשר גם מופיע בתפקיד הראשי) משנת 2001, בו גילם את אדם הצעיר. על התפקיד קיבל מועמדות של פרס סאטורן לביצוע הטוב ביותר של שחקן צעיר". הוא השתתף באותה שנה גם בסדרה "Raising Dad" ובסרט "Murphy's Dozen". בשנה לאחריה שיחק בסרט "Local Boys" בתור סקיטר דודסון וב-"Just a Dream" לצד דני גלובר. על תפקידו זכה ב"פרס האמן הצעיר לשחקן הראשי הטוב ביותר בסרט באורך מלא".
ביולי 2002 נבחר לשחק בתפקיד הראשי את פיטר פן בעיבוד מחודש שיצא ב-2003. הוא אמר שלצורך הסרט התאמן על פעלולים, הנפת חרבות, אימוני התעמלות והרמת משקולות, כאשר הוא עבד מעל 5 שעות ביום. כמו כן עבד בצמוד ונקשר לשחקנית רייצ'ל הארד ווד (אנ'), אשר גילמה לצידו בתפקיד ראשי את וונדי.
על תפקידו בסרט זה זכה ב"פרס סאטורן" וכן את "פרס האמן הצעיר".
בשנת 2006 הופיע בסרט "Cyber Seduction: His Secret Life", בתור ג'סטין פטרסן. על תפקידו בסרט הועמד לפרס האמן הצעיר, אך לא זכה.
שנה לאחר מכן שיחק בסרט הפשע פשע באמריקה בתור קוי הובארד.
ב-2010 שיחק בסרט "Death and Cremation" בתור העבריין ג'רוד לירי, הנכנס לעסקים עם סטן (בראד דוריף), מפעיל קרמטוריום נכלולי. שנה לאחר מכן שיחק בסרט גולשת בנשמה בכיכובן של אנה-סופיה רוב והלן האנט.
בשנת 2014 שיחק בסרט האימה "Animal" לצד אליזבת גיליס. באותה שנה שיחק בסרט "בתוך הסופה" של סטיבן קוואלה בתפקיד ג'ייקוב הודג'ס.
בשנת 2016 שיחק בסרט "בית ספר במצור" בתור קייל הרטמן.
נוסף להופעות בקולנוע שיחק במספר סדרות טלוויזיה, ביניהם: ER‏, CSI: מיאמי, רפואה שלמה, "Clubhouse", אורות ליל שישי - בה שיחק את ג. ד. מקוי ובסדרה "Stitchers".
פילמוגרפיה > קולנוע

| שנה | סרט | תפקיד | הערות |
| --- | --- | --- | --- |
| 2001 | סדוק | אדם מייקס הצעיר |  |
| 2002 | Local Boys | סקיטר דובסון |  |
| 2003 | פיטר פן | פיטר פן |  |
| 2006 | המצוד אחר יצור הפרא | גווין גור |  |
| 2007 | פשע באמריקה | קוי הוברד |  |
| 2009 | קלווין מארשל | קאסלי |  |
| 2010 | Death and Cremation | ג'רוד לארי |  |
| 2011 | גולשת בנשמה | ביירון בלאנשרד |  |
| 2012 | חתכים | אדם |  |
| 2012 | Hiding | בראט |  |
| 2014 | Animal | מאט |  |
| 2014 | בתוך הסופה | ג'ייקוב הודג'ס |  |
| 2015 | The Culling | טיילר |  |
| 2015 | The Squeeze | אוגי |  |
| 2016 | בית ספר במצור | קייל הרטמן |  |
| 2019 | The Legend of 5 Mile Cave | שוטר גרין |  |
| 2019 | Stakeout | ריי בריי |  |
| 2022 | הרמוניה לחג | ג'רמי |  |
| 2024 | Chapel | כהן בלאק |  |
| TBA | Blood | ברנדון ביילי |  |
| TBA | The UnBroken | קולט |  |
פילמוגרפיה > טלוויזיה

| שנה | סדרה | תפקיד | הערות |
| --- | --- | --- | --- |
| 2001 | Raising Dad | הנרי | פרק: "The New Room" |
| 2001 | Murphy's Dozen | שון | סרט טלוויזיה |
| 2002 | ER | ניית'ן | פרק: "I'll Be Home for Christmas" |
| 2002 | רפואה שלמה | רנדי | פרק: "Discharged" |
| 2002 | Just a Dream | הנרי סטארבאק | סרט טלוויזיה |
| 2005-2004 | Clubhouse | פיט יאנג | תפקיד ראשי; 11 פרקים |
| 2005 | Cyber Seduction: His Secret Life | ג'סטין פטרסון | סרט טלוויזיה של Lifetime |
| 2007 | CSI: מיאמי | זאק גריפית' | פרק: "Broken Home" |
| 2010-2008 | אורות ליל שישי | ג'יי.די מק'קוי | תפקיד חוזר; עונות 3–4 (20 פרקים) |
| 2010 | You're So Cupid | קונור מילר | סרט טלוויזיה |
| 2012 | הגליידס | דיין ווסטינג | פרק: "Endless Summer" |
| 2015 | Stitchers | דבון / גווין לנדרי | פרק: " When Darkness Falls" |
| 2017 | Sisters of the Groom | ג'ייסון קווין | סרט טלוויזיה |
רדיקל ג'ייקובסון

נתן ג'ייקובסון
רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא אידיאל השווה לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של החוג. ההגדרות השקולות הרבות הופכות את רדיקל ג'ייקובסון לרדיקל החשוב ביותר בתורת החוגים. כמו ברדיקלים אחרים, תפקידו של רדיקל ג'ייקובסון לתפוס את כל האיברים ה"קרובים" לאיבר האפס. לדוגמה, בחוג קומוטטיבי, כל האיברים הנילפוטנטים שייכים לרדיקל, ואם החוג גם נוצר סופית, הרדיקל עצמו נילפוטנטי.
חוג שרדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס נקרא פרימיטיבי למחצה, והמנה ביחס לרדיקל היא תמיד כזו. כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה.
נקרא על שם המתמטיקאי האמריקאי נתן ג'ייקובסון.
הגדרה > הגדרה באמצעות מאפסים של מודולים פשוטים

מודול  M מעל חוג  R הוא פשוט אם אין לו תת-מודולים אמיתיים. המאפס של  M (מסומן ב- \operatorname {ann} (M)) הוא אוסף האיברים ב- R המאפסים את  M, כלומר  \operatorname {ann} (M)=\{x\in R:xM=0\}; המאפס של כל מודול הוא אידיאל שמאלי.
רדיקל ג'ייקובסון של  R (המסומן ב- J(R), ולפעמים ב- \operatorname {rad} (R)) שווה לחיתוך המאפסים של המודולים הפשוטים מעל  R. במילים אחרות, לרדיקל שייכים האיברים של  R המאפסים את כל המודולים הפשוטים.
הגדרה > הגדרה באמצעות אידיאלים שמאליים מקסימליים

כל מודול פשוט  M מעל חוג  R הוא מהצורה  R/m כאשר  m הוא אידיאל שמאלי מקסימלי, וגם ההפך נכון. המאפס של מודול מהצורה  R/m שווה ל- m, ולכן קבוצת המאפסים של כל המודולים הפשוטים מעל חוג  R שווה בדיוק לאוסף כל האידיאלים המקסימלים השמאליים בחוג. לכן הרדיקל שהוגדר לעיל שווה גם לחיתוך כל האידיאלים המקסימלים השמאליים בחוג.
יתרונה של ההגדרה הזו בכך שהיא "פנימית": היא תלויה רק במבנה של  R עצמו, ואינה דורשת בניה של מודולים מעל  R. בנוסף, על אף שההגדרה אינה סימטרית, בכך שהיא מתמקדת באידיאלים מקסימליים שמאליים ולא ימניים, ניתן להוכיח כי שחיתוך האידיאלים השמאליים המקסימלים שווה לחיתוך האידיאלים הימניים המקסימלים. בפרט, רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא תמיד אידיאל דו-צדדי.
ההגדרה שניתנה לעיל כוחה יפה כאשר יש בחוג איבר יחידה (ואפילו יחידה מימין). בחוג בלי יחידה יש לתקן את ההגדרה: הרדיקל שווה לחיתוך האידיאלים השמאליים המודולריים המקסימליים, כאשר אידיאל שמאלי הוא מודולרי אם קיים איבר u כך שהאידיאל מכיל את כל ההפרשים r-ru.
הגדרה > הגדרה באמצעות אידיאלים פרימיטיביים

אידיאל של חוג הוא פרימיטיבי אם חוג המנה פרימיטיבי, כלומר יש לו מודול פשוט נאמן. רדיקל ג'ייקובסון שווה לחיתוך על האידיאלים הפרימיטיביים (ומכאן שאם החוג פרימיטיבי, הרדיקל שלו מתאפס).
הגדרה > הגדרה באמצעות איברים לא-יוצרים

איבר  x של  R הוא לא-יוצר אם אין אידיאל שמאלי אמיתי  L<R כך ש-  L+Rx=R (במילים אחרות,  x יוצר תת-מודול קטן של  R, כמודול מעל עצמו). אוסף האיברים הלא יוצרים (שהוא סכום תת-המודולים הקטנים) שווה לרדיקל ג'ייקובסון של החוג.
הגדרה > הגדרה באמצעות איברים קוואזי-הפיכים

אם  1-z הפיך (משמאל) בחוג, אומרים ש- z קוואזי-הפיך (משמאל). אידיאל קוואזי-הפיך (משמאל) הוא אידיאל שכל האיברים שלו קוואזי-הפיכים (משמאל). אידיאל שמאלי קוואזי-הפיך משמאל הוא קוואזי-הפיך.
רדיקל ג'ייקובסון הוא האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. (הוכחה: אם  y איבר של הרדיקל אז הוא שייך לכל אידיאל שמאלי מקסימלי, ולכן  1-y אינו שייך לאף אידיאל מקסימלי, ומכאן שהוא הפיך משמאל. כלומר, הרדיקל קוואזי-הפיך. מאידך, יהי  L אידיאל שמאלי קוואזי-הפיך, אז הוא מוכל בכל אידיאל שמאלי מקסימלי, משום שאחרת יש  x\in L שאינו ב- m, ואז  1\in m+Rx, כלומר  1-yx\in m עבור  y מתאים, בסתירה לכך ש- 1-yx הפיך משמאל.)
בחוג עם יחידה, האיבר  x הוא קוואזי-הפיך משמאל אם יש איבר  y כך ש- (1-y)(1-x)=1, כלומר  x+y-xy=0. אפשר לאמץ הגדרה זו גם אם בחוג אין יחידה:  x הוא קוואזי-הפיך אם יש איבר  y כך ש- x+y-xy=0. משום כך, גם בחוג שאין בו יחידה, רדיקל ג'ייקובסון מוגדר כאידיאל השמאלי הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. חוג נקרא "רדיקל ג'ייקובסון" אם הוא שווה לרדיקל של עצמו.
דוגמאות

אם  k הוא שדה (או באופן יותר כללי - חוג עם חילוק), אז אין לו אידיאלים שמאליים מקסימליים, ולכן הרדיקל שלו הוא אפס.
בחוג חילופי, כל אידיאל שמאלי הוא אידיאל, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של שווה לחיתוך האידיאלים המקסימלים.
בחוג המספרים השלמים  \mathbb {Z} , האידיאלים המקסימלים הם האידיאלים  p\mathbb {Z} , כאשר  p הוא מספר ראשוני. לכן, מספר שלם שייך לרדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים, אם ורק אם הוא מתחלק בכל מספר ראשוני, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים שווה ל-0.
הרדיקל של חוג הפולינומים מעל תחום שלמות הוא אפס.
אם  R הוא חוג מקומי (חילופי) אז ל- R אידיאל מקסימלי יחיד  m, ולכן  J(R)=m.
אם  e\in R הוא אידמפוטנט, אז  J(eRe)=eRe\cap J(R)=eJ(R)e. בפרט, לכל חוג  R,  J(\operatorname {M} _{n}(R))=\operatorname {M} _{n}(J(R)).
תכונות של הרדיקל

הרדיקל תורשתי: לכל אידיאל  I של חוג  R מתקיים  J(I)=I\cap J(R).
רדיקל ג'ייקובסון מכיל כל אידיאל שמאלי נילי (משום שאיברים ניליים הם קוואזי-הפיכים), ולכן גם את הרדיקל הנילי העליון של החוג. אחת השאלות העיקריות באשר לרדיקל ג'ייקובסון היא מתי הוא בעצמו נילי (וטוב יותר - נילפוטנטי). הרדיקל אינו מוכרח להיות נילי (למשל, הרדיקל של תחום שלמות מקומי שווה לאידיאל המקסימלי שלו, ואין בו מחלקי אפס).
בהקשר זה הוכיח שמשון עמיצור שאם  R הוא אלגברה מעל שדה  k שעוצמתו גדולה מן המימד של  R מעליו, אז הרדיקל נילי, וכן שרדיקל ג'ייקובסון של חוג פולינומים  R[x] הוא תמיד מהצורה  I[x] כאשר  I אידיאל נילי של  R.
רדיקל ג'ייקובסון אינו מכיל אידמפוטנטים (פרט כמובן לאפס). אם  R הוא אלגברה מעל שדה, האיברים האלגבריים ברדיקל הם כולם נילפוטנטים.
אחד השימושים הראשונים לרדיקל היה תנאי הקומוטטיביות של ג'ייקובסון (1945): חוג שבו לכל איבר  a יש  n כך ש- a^{n}=a, הוא קומוטטיבי.
באלגברות מדורגות, רדיקל ג'ייקובסון הוא הומוגני ומדורג-נילי (כלומר, כל אבר הומוגני ברדיקל הוא נילפוטנטי). ההפך אינו נכון: קיימת אלגברה נוצרת סופית, פרימיטיבית למחצה ומדורגת-נילית.
פרימיטיביות למחצה

חוג  R נקרא פרימיטיבי למחצה (לפעמים גם " J-פשוט למחצה") אם רדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס. כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה. יש חוגים ראשוניים שאינם פרימיטיביים למחצה (למשל - חוג השלמים ה-p-אדיים), חוגים פרימיטיביים למחצה שאינם ראשוניים (למשל  \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} ), וחוגים ראשוניים ופרימיטיביים למחצה שאינם פרימיטיביים (למשל חוג הפולינומים מעל שדה).
לפי התוצאה של עמיצור שהוזכרה לעיל, אם אין ל- R אידיאלים ניליים חד-צדדיים (למשל, אם  R חוג ראשוני למחצה PI), אז  R[x] פרימיטיבי למחצה.
חוגי הילברט

חוג קומוטטיבי  R נקרא חוג הילברט (או חוג ג'ייקובסון) אם כל אידיאל ראשוני ב- R שווה לחיתוך של קבוצה כלשהי (לא דווקא סופית) של אידיאלים מקסימליים ב- R. במקרה כזה, חיתוך כל האידיאלים המקסימלים בחוג שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים בו. אך חיתוך כל האידיאלים הראשוניים בחוג חילופי שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג הילברט שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים שבו.
למשל, אם  k הוא שדה אז חוג הפולינומים ב- n משתנים מעל  k -  k[x_{1},\dots ,x_{n}] הוא חוג הילברט (במקרה ש- k שדה סגור אלגברית, עובדה זו נובעת ישירות ממשפט האפסים של הילברט, ומשמעותה הגאומטרית היא שיריעה אלגברית אי פריקה שווה לאוסף הנקודות שעליה). לפיכך, כיוון שחוג זה הוא תחום שלמות, הרי ש- rad(k[x_{1},\dots ,x_{n}])=0.
מנה של חוג הילברט היא חוג הילברט, ולפיכך רדיקל ג'ייקובסון של כל אלגברה אפינית (שהיא תחום שלמות) שווה ל-0. חוג קומוטטיבי  R הוא חוג הילברט אם ורק אם כל המנות הראשוניות שלו הן פרימיטיביות למחצה. עובדה זו נובעת ישירות מההתאמה בין אידיאלים מקסימליים בחוג המנה  R/P לאידיאלים מקסימליים ב- R המכילים את  P.
הלמה של נקאימה

ראיה נוספת לעובדת היותם של איברי רדיקל ג'ייקובסון קרובים ל-0 ניתנת על ידי הלמה של נקאימה:
אם  M הוא  R-מודול נוצר סופית ואם  \operatorname {rad} (R)\cdot M=M אז  M=0. יתר על כן, אם  N תת-מודול של  M כך שמתקיים  \operatorname {rad} (R)\cdot M+N=M אז בהכרח  N=M. בניסוח אחר, לכל  R-מודול נוצר סופית  M, תת-המודול  \operatorname {rad} (R)\cdot M הוא תת-מודול קטן.
בעיות פתוחות > השערת קתה

להשערת קתה ניסוחים רבים, מהם הקשורים ברדיקל של ג'ייקובסון. למשל, הבעיה שקולה לכך שחוג הפולינומים מעל חוג נילי יהיה תמיד רדיקל ג'ייקבסון (של עצמו); לכך שאם חוג הפולינומים מעל  R פרימיטיבי למחצה, אז הרדיקל הנילי העליון של  R הוא אפס; ולכך שאם  R נילי, אז  R[x] אינו חוג פרימיטיבי (במובן המתאים לחוגים ללא יחידה).
בעיות פתוחות > השערת ג'ייקובסון

ג'ייקובסון שער שאם  R נתרי שמאלי אז הרדיקל  J=J(R) מקיים  \cap _{n=0}^{\infty }J^{n}=0. לטענה זו, כלשונה, הובאה דוגמה נגדית (הרשטיין, 1965) ולכן השערת ג'ייקובסון מנוסחת עבור חוגים נתריים מימין ומשמאל. ההשערה בנוסח זה הוכחה עבור מחלקות שונות של חוגים, אך היא איננה ידועה באופן כללי.
בעיות פתוחות > רדיקל ג'ייקובסון של אלגברות חבורה

אחת הבעיות המרכזיות לגבי המבנה של אלגברות חבורה (של חבורות אינסופיות) היא השאלה האם האלגברה פרימיטיבית למחצה. המתמטיקאי הישראלי שמשון עמיצור הראה שהתשובה חיובית אם  k ממאפיין אפס ואינו אלגברי. במקרה ש- k הוא שדה אלגברי מעל הרציונליים, הבעיה עדיין פתוחה. אם השדה ממאפיין  p ואין לחבורה איברים מסדר  p, אז אלגברת החבורה פרימיטיבית למחצה אם השדה אינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני, וגם אם החבורה פתירה.
לקריאה נוספת

T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.
M.F. Atiyah, I.G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra.
N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.
הערות שוליים

↑  A First Course in Noncommutative Rings, Tsi-Yuen Lam, משפט 21.10
קנדה (תואר)

קנדה או קוּנְדוּ או קינדי (בהונגרית: Kende או Kündü) היה תואר כבוד הונגרי בזמן הנסיכות הכפולה, לפני הכיבוש של אגן הקרפטים (התיישבות המדיארים במרכז אירופה), היה הנסיך הראשי וגם המנהיג הדתי.
אנו יודעים על קיומו של משרת שליטה וכבוד מכתביו של הוחמד ג'אהני (אנ'), שהיה ככל הנראה חוקר ומדינאי מבוכרה דובר פרסית, כותב בערבית, שמצטט את אחמד אבן רוסתה. גם גרדיזי (אנ'), (שהיה היסטוריון ופקיד פרסי מהמאה ה-11, בולט בזכות כתיבת "זאין אל אחבאר", אחד מספרי ההיסטוריה המוקדמים ביותר שנכתבו בפרסית החדשה) כתב כמאה שנים מאוחר יותר דבר מה דומה - להונגרים יש שני מלכים, אחד הוא הנקוב, הסמלי, שאותו מכבדים מאוד והוא מכונה "קנדה", השני הוא. הדג'ולה (גיולה), שמחלק את הפקודות, שמוביל את הצבאות ואת קרבות המלחמה והוא זה שממנה את כל בעלי המשרה הצבאיים והמינהליים.
הנסיכות הכפולה של הכוזרים

השיטה הזו של הנסיכות הכפולה, שדומה מאוד לממלכה הכפולה הקדושה של הכוזרים והטורקים (שיטת הממלכה הכפולה המקודשת הייתה המוסד של האימפריות הנוודות הגדולות ביותר בערבות אירואסיה במחצית השנייה של האלף הראשון. לשליט הראשון, הכגן, הייתה הקדושה והכוח הסמלי שמקורו בטנגריזם, אך רק קיומו של שליט מכובד זה נתן את הלגיטימציה לשליט (מלך, נסיך) השני, שפיקד והנהיג מלחמה, שלמעשה שלט). אחמד אבן פדלאן מתאר את הטקס איך הכגן, שתפקידו מתאים ל"קנדה" ההונגרי, מקבל את השליט השותף, השאד (אנ'), שמחלק את הפקודות האמיתיות, אך אין לו את הקדושה הדתית ותפקידו מקביל לגיולה ההונגרי. הכגן מופיע מול העם כל ארבעה חודשים, אבל כשהוא עוזב ברכיבה, אמנם כל צבאו הולך איתו, אבל במרחק של כקילומטר ממנו כדי שאיש לא יראה אותו. אם הכגן אכן פוגש במישהו, הלה נופל על פניו ולא מרים את ראשו עד שהכגן חולף אותו. נכון לתקופה מאוחרת יותר, אל-מסעודי כותב שהכגן אף פעם לא יוצא החוצה ולא פוגש את עמו. במקרה של אחמד אבן פדלאן, אגב, התואר קונדו או קינדי מופיע בקשר עם הכוזרים, כלומר השלישי אחרי הכגן, והפקיד השלישי אחרי השאד. בעל התפקיד הרביעי היה ה""דג'אושיגיר".
הנסיכות הכפולה של ההונגרים

האתנוגרף יהודי-הונגרי גזה רוהיים הניח תחילה שלהונגרים לפני הכיבוש הייתה נסיכות כפולה מקודשת כדוגמת זו של הכוזרים. גם לאחר הכיבוש. הרעיון המקובל הוא שנסיכות כפולה כזו נוצרה תחילה על ידי הכוזרים. חולשתה של התיאוריה היא שבמקום שאנו מכירים דואליות דומה בין שליט קדוש לשליט ממשי כמו: השליטים המרובינגים-מאיורדומוס, המיקאדו (כינוייו של הקיסר של יפן)-שוגון היפני, תמיד התפתחה כתוצאה מתהליך היסטורי. אין נתונים על תהליך דומה אצל ההונגרים. ניתן להסביר את קיומם של שני המנהיגים בצורה משביעת רצון בכך, שאת ההונגרים הכובשים ואת הקאבארים הנהיגו כמה נסיכים בדרגה שווה, שקיבלו תארים שונים של כבוד עוד מהכוזרים. זה גם מסביר את הבעיה של אי היכולת להחליט מי החזיק בתפקיד השלטוני המקודש בזמן הכיבוש.