עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע
תוכן הספר > ספר 1, על התנועה של גופים

הספר הראשון, שכותרתו על התנועה של גופים עוסק בתנועה של גופים בהיעדר תווך בעל התנגדות. כמבוא קצרצר לספר הראשון של הפרינקיפיה מביא ניוטון סדרה של חמישה טיעונים תחת הכותרת "תכונות, סיבות, ותוצאות של תנועה", בהם עשה הבחנה בין מרחב, זמן ותנועה יחסיים למוחלטים. "טיעון הדלי" המפורסם מובא כטיעון האחרון במבוא זה.
הספר פותח בתיאור מתמטי של גרסה גאומטרית לחשבון האינפיניטסימלי, הבאה בעקביות יחד עם הגדרות בדינמיקה בסיסית וההיסקים הראשוניים המבוססים עליהם.
חלקו השני של הספר מבסס את הקשר בין כוחות צנטריפטליים לחוק השטחים, הידוע כחוק השני של קפלר (טענות 1–3), מקשר בין מהירות תנועה מעגלית ורדיוס עקמומיות לכוח רדיאלי (טענה 4), ומקשר בין כוחות צנטריפטליים המשתנים לפי היפוך ריבועו של המרחק מהמרכז למסלולים בעלי צורה של חתכי חרוט (גזירת חוקי קפלר, טענות 5–10).
החלקים השלישי עד השישי של הספר כוללים את טענות 11–31, המבססות תכונות של תנועה במסלולים בצורה של חתכי חרוט אקסצנטריים (כולל אליפסות) ואת הקשר שלהם לכוחות היפוך ריבועיים המכוונים למוקד, וכוללות (בחלק השישי) את משפט ניוטון על עקומים סגורים (למה 28). חלקים 4 ו-5 הם בעלי עניין מתמטי נטו, ואין להם תפקיד מרכזי בהמשך הפרינקיפיה. בחלקים אלו ניוטון מציג כמה מתגליותיו הגאומטריות על חתכי חרוט וטרנספורמציות פרויקטיביות, ומציג את פתרונו הסינתטי לבעיית פאפוס העתיקה. כדי לפתור את הבעיה ניוטון פיתח אלמנטים של גאומטריה פרויקטיבית, ובחלק 5 הוא מראה כיצד לבנות חתך חרוט שעובר דרך  n נקודות נתונות ומשיק ל- 5-n ישרים נתונים (כאשר n בין 0 ל-5).
טענות 43–45 כוללות הדגמה של התכונה שבמסלול אקסצנטרי תחת כוח מרכזי בו האפסיד עשוי לנוע, אוריינטציה יציבה ולא נעה של קו האפסיד הוא אינדיקציה נוספת לחוק משיכה היפוך-ריבועי. טענות אלה כוללות את משפט ניוטון על מסלולים סובבים (Newton's theorem of revolving orbits), אותה הוכיח ניוטון בניסיון להסביר את נקיפת האפסיד של הירח.
החלק העשירי סוטה מעט מהקו המרכזי של הפרינקיפיה (אין לתוצאותיו תפקיד בהמשך הפרינקיפיה), וניוטון עוסק בו בהכללת התוצאות של הויגנס על האיזוכרוניות (אי תלות זמן המחזור במשרעת) של מטוטלות ציקלואידיות, ובבעיה של תנועה מאולצת – תיאור התנועה של חלקיק על משטחים עקומים בהשפעת כוח מרכזי המכוון למוקד שאינו בהכרח במישור התנועה הרגעי של החלקיק. בין היתר ניוטון מכליל בטענה 55 בחלק זה את החוק השני של קפלר לתנועות בהן מרכז הכוח נמצא מחוץ למישור התנועה של החלקיק (מצב שמתאפשר עקב הקיבוע למשטח העקום). בעיה חשובה זו נחקרה מאוחר יותר על ידי כמה מבני משפחת ברנולי ואוילר.
הספר הראשון מכיל כמה הוכחות עם קשר חלש לדינמיקה של העולם האמיתי, אך יש בו גם מספר חלקים שלהם יש ישימות מרחיקת לכת למערכת השמש והיקום:
טענות 57–69 דנות בתנועה של מספר גופים הנתונים להשפעת כוחות המשיכה ההדדיים שלהם. טענות אלה הן בעלות חשיבות ראשונה במעלה לחקר בעיות הנוגעות לדינמיקה של מערכת השמש, וכוללות את טענה 66 ואת 22 התוצאות הנגזרות ממנה, שהייתה תרומה חשובה מוקדמת לתורת הפרטורבציות האסטרונומיות. בטענה זו ניוטון תיאר בצורה כמותית את האפקט הפרטורבציוני שיש לכבידה שמפעילה השמש על מסלול הירח סביב כדור הארץ (שהיה מהווה חתך חרוט אלמלא אפקט זה היה קיים). בטענות אלה ניוטון עשה את הצעדים הראשונים בהגדרת ומחקר הבעיה של תנועת שלושה גופים מסיביים הנתונים להשפעת כוחות המשיכה ההדדיים שלהם, בעיה שזכתה לתהילה (בגלל הקושי הרב שלה) כבעיית שלושת הגופים.
הטענות האחרונות בספר זה, טענות 70–84, דנות בכוחות המשיכה שיוצרים גופים כדוריים. טענות אלה כוללות את ההוכחה מבוססת האינטגרציה של ניוטון לטענה שגופים כדוריים מושלמים מפעילים משיכה כאילו כל המסה שלהם נמצאת במרכזם. תוצאה יסודית זאת, הידועה כמשפט הקליפה (shell theorem), מאפשרת לחוק היפוך הריבוע של הכבידה להיות מיושם למערכת השמש האמיתית בדרגה גבוהה מאוד של קירוב.
בחלק ה־13 של הספר ניוטון עוסק בכוחות המשיכה שיוצרים גופים לא-כדוריים, והוא מציג את הפתרון למשיכה שיוצר ספרואיד בצורה של טור אינסופי. בנוסחה שלו לחישוב הווריאציה של הכבידה על ספרואיד הוא עשה שימוש בספר השלישי במסגרת חישוב האליפטיות של כדור הארץ.