רדיקל (תורת החוגים)
רדיקלים של חוגים אסוציאטיביים

כל רדיקל שימושי מקיים את שתי התכונות הבאות: אם  I אידיאל של החוג  R המוכל ברדיקל  \operatorname {rad} (R) אז  \operatorname {rad} (R/I)=\operatorname {rad} (R)/I; ואם  \ \operatorname {rad} (R/I)=0, אז  \operatorname {rad} (R)\subseteq I.
לצד הרדיקל של ג'ייקובסון, יש כמה רדיקלים חשובים אחרים הקיימים בכל חוג (אסוציאטיבי), מן הקטן לגדול:
הרדיקל הנילי התחתון  \operatorname {Nil} _{*}(R) (נקרא גם הרדיקל הראשוני או רדיקל Baer) הוא חיתוך כל האידיאלים הראשוניים של החוג. זהו האידיאל הראשוני למחצה הקטן ביותר של החוג. אפשר לבנות אותו באינדוקציה טרנספיניטית, כסכום כל האידיאלים הנילפוטנטיים בחוג המנה ביחס לצעד הקודם (הסכום  N_{1}(R) של כל האידיאלים הנילפוטנטיים בחוג  R שווה לסכום האידיאלים השמאליים הנילפוטנטים, אבל בדרך-כלל אינו נילפוטנטי בעצמו; בחוגי PI  N_{3}=N_{2}). הרדיקל הזה מתאפס אם ורק אם החוג ראשוני למחצה, כלומר, אין בו אידיאלים נילפוטנטיים. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל הנילי התחתון הוא אוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, היינו הרדיקל של אידיאל האפס. במקרה הכללי, אברי הרדיקל הם האיברים הנילפוטנטים בחזקה ( a הוא נילפוטנטי בחזקה אם כל סדרה  a_{i+1}\in a_{i}Ra_{i} המתחילה ב- a_{1}=a מוכרחה להתאפס). הרדיקל הנילי התחתון של תת-חוג  S\subseteq R מקיים  S\cap \operatorname {Nil} _{*}(R)\subseteq \operatorname {Nil} _{*}(S).
רדיקל לויצקי (על-שם יעקב לויצקי) הוא סכום האידיאלים הנילפוטנטים-מקומית, השווה גם לסכום האידיאלים השמאליים הנילפוטנטיים-מקומית (והוא האידיאל הנילפוטנטי-מקומית הגדול ביותר; אידיאל הוא נילפוטנטי מקומית אם לכל קבוצה סופית של איברים בו, יש n כזה שמכפלת כל n איברים בקבוצה היא אפס).
הרדיקל הנילי העליון של קתה,  \operatorname {N} (R),  \operatorname {Nil} (R) או  \operatorname {Nil} ^{*}(R), הוא סכום האידיאלים הניליים (והוא האידיאל הנילי הגדול ביותר). הרדיקל שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים שבחוג המנה ביחס אליהם אין אידיאלים ניליים. אם  \operatorname {Nil} (R)=0, אז  J(R[\lambda ])=0 (עמיצור).
{\overline {N}}(R) הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (השווה לסכום האידיאלים הימניים הניליים). השערת קתה שואלת האם רדיקל זה שווה לרדיקל הנילי העליון (לא ידועות דוגמאות נגדיות).
רדיקל ג'ייקובסון  J(R) שווה לחיתוך האידיאלים השמאליים המקסימליים, והוא האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר (אידיאל הוא קוואזי-הפיך אם לכל איבר  x שלו,  1-x הפיך).
רדיקל בהרנס (Behrens) של חוג, המסומן  \beta (R), הוא האידיאל הגדול ביותר של החוג, שלא ניתן להעתיקו הומומורפית על חוג עם אידמפוטנט שונה מאפס.
רדיקל בראון-מקוי  \operatorname {BM} (R) הוא חיתוך כל האידיאלים  M כך ש- R/M פשוט עם יחידה (אם ב- R יש יחידה, זה חיתוך האידיאלים המקסימליים).
בין הרדיקלים האלו מתקיים תמיד היחס הבא:  \operatorname {Nil} _{*}(R)\subseteq L(R)\subseteq \operatorname {Nil} (R)\subseteq {\overline {N}}(R)\subseteq J(R)\subseteq \operatorname {BM} (R). בחוגים ארטיניים (ובפרט באלגברות מממד סופי), כולם מתלכדים. בחוגים נותריים ובחוגים עם זהויות,  \operatorname {Nil} _{*}(R)={\overline {N}}(R). בחוג עם זהויות שהוא אפיני מעל חוג נותרי קומוטטיבי,  \operatorname {Nil} _{*}(R)=\operatorname {Jac} (R) (משפט Razmyslov-Kemer-Braun). באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית מעל שדה,  L(R)=\operatorname {Jac} (R) אבל ייתכן ש- \operatorname {Nil} _{*}(R)\subset L(R).
הרדיקלים לעיל מתאפסים, לפי הסדר, אם: אין אידיאלים נילפוטנטיים; אין אידיאלים ניליים מקומית; אין אידיאלים ניליים; אין אידיאל שמאלי נילי; אין אידיאל קוואזי הפיך (החוג פרימיטיבי למחצה); החוג הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פשוטים עם יחידה.