stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
פאי
חישוב פאי

חישוב ערך מדויק יותר ויותר של  \pi  היווה אתגר במשך מאות שנים.
קירובים ל- \pi  היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את  \pi  בכל רמת דיוק שתידרש (שיטת המיצוי). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של  \pi . ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה (המופיעה בספר על המדידה של המעגל):
3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}
בתחילת המאה ה-15 חישב ג'אמשיד אל-קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את  2\pi  בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.
המתמטיקאי ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את  \pi  באמצעות השבר  {\frac {355}{113}}.
בשנת 1596 השתמש המתמטיקאי ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את  \pi  בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם המתמטיקאים הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־ \pi  בשם מספר לודולף.
התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של  \pi . שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של  \pi  כסכום של טור אינסופי.
טכניקה לא שגרתית לחישובו של  \pi  היא "שיטת מונטה־קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא  \pi /4.
הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־ 2/\pi . ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של  \pi . הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.
בשנת 1789 חישב המתמטיקאי הסלובני יורי וגה (Jurij Vega) את 140 הספרות הראשונות של  \pi  (רק 127 מתוכן היו נכונות).
המתמטיקאי ההודי רמנוג'ן מצא נוסחאות רבות לפאי הנובעות מחישוב ערכים של פונקציות מודולריות, כגון  {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!}{n!^{4}}}{\frac {26390n+1103}{396^{4n}}}, שהקירוב שהיא נותנת משתפר בכשמונה ספרות עשרוניות עם כל מחובר.
השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של  \pi  מאפשרים דיוק של מספר רב של ספרות. האלגוריתם המוביל הוא אלגוריתם צ'ודנובסקי. סיבוכיות האלגוריתם כדי לחשב  n ספרות היא  O(n\log ^{3}n). בנוסף נעזרים לבדיקת התוצאות באלגוריתמים המאפשרים חישוב ספרה מסוימת ללא צורך בפיתוח כל הספרות (נוסחת BBP). השיא העולמי בחישוב הספרות של  \pi  היה במרץ 2019 היה למעלה מ- 31.4\times 10^{12} ספרות. באוגוסט 2021 חושבו למעלה מ- 62.8\times 10^{12} ספרות. תוצאות כאלו מפגינות את יעילותם של האלגוריתמים ושל מערכות המחשוב.
קירובים של פאי

קירוב מקובל של  \pi  כמספר עשרוני הוא 3.14. צורת שבר פשוטה המקרבת את  \pi , היא  {\frac {22}{7}} או  3{\frac {1}{7}}. קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של  \pi  בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.
ההצגה של  \pi  כשבר משולב פותחת ב־ \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ].
הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:
{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {1043835}{332263}},...
(כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר ל- \pi  הוא  {\frac {22}{7}}; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר ל- \pi  הוא  {\frac {333}{106}}; וכן הלאה.)
רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר ל- \pi :‏  \ {\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}. קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של  \pi  רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא  {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}, השווה בערך ל-3.146. קירוב זה סוטה מערך  \pi  רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא  {\sqrt {10}}-{\frac {1}{49}} השווה בערך ל-3.1418. קירוב זה סוטה מערך  \pi  רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.
קירוב נוסף הוא  {\sqrt[{3}]{31}}, השווה בערך ל-3.1413. קירוב זה סוטה מערך  \pi  רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.
נוסחאות הקשורות בפאי

\pi  מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעיתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.
נוסחאות הקשורות בפאי > גאומטריה

|  |
| --- | --- |
היקף מעגל:  C=2\pi r\,\!
שטח עיגול:  A=\pi r^{2}\,\!
שטח אליפסה:  A=\pi ab\,\!
נפח כדור:  V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}\,\!
שטח פנים של כדור:  A=4\pi r^{2}\,\!
נפח גליל:  V=\pi r^{2}h\,\!
שטח פנים של גליל:  A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!
נפח חרוט:  V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}\,\!
שטח פנים של חרוט:  A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!
נוסחאות הקשורות בפאי > אנליזה מתמטית

נוסחה של פרנסואה וייט, 1593:
נוסחת גרגורי-לייבניץ, הקרויה על שם ג'יימס גרגורי (1638–1675) ווילהלם לייבניץ. את הנוסחה גילה גרגורי ב־1672. היא מופיעה גם בספר Ganita-Yukti-Bhasa שכתב המתמטיקאי ההודי Jyesthadeva במחצית המאה ה־16, והמציג מחקרים שנערכו במרכז המחקר Madhava בקרלה שבהודו. הנוסחה קובעת כי
מכפלת ואליס:
נוסחת האינטגרל של גאוסיאן (התפלגות נורמלית):
בעיית בזל נפתרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר (ראו גם פונקציית זטא של רימן):
פונקציית גמא (המהווה הכללה של פונקציית העצרת) בנקודה 1/2:
נוסחת סטירלינג המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים:
זהות אוילר המתבססת על נוסחת אוילר (שנקראה על ידי ריצ'רד פיינמן "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים):
שטחו של רבע מעיגול היחידה:
אינטגרל לא אמיתי נוסף:
הופעתו של פאי כערך של פונקציות טריגונומטריות מוליד ייצוגים שונים של המספר כטור אינסופי. למשל,
 \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {18}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {8\cdot 2^{n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\cdot 4^{n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=\pi ^{2}., הנובעים כולם מהפיתוח לטור טיילור של  \arcsin ^{2}(x).
נוסחאות הקשורות בפאי > אנליזה מרוכבת

יישום של משפט השאריות:
נוסחאות הקשורות בפאי > פיזיקה

ניתן לקבל את ערכו של  \pi  באמצעות מערך ניסוי שכולל משטח נטול חיכוך, קיר ושתי מאסות שיחס המסות ביניהן הוא חזקה שלמה של 100, כשכל התנגשויות אלסטיות לחלוטין. במערך הניסוי הגוף בעל המסה הקטנה ניצב במנוחה בין המסה הגדולה והקיר. המסה הגדולה מחליקה במהירות קבועה כלפי המסה הקטנה. בעת ההתנגשות (האלסטית לחלוטין) של הגוף המסיבי בגוף הפחות מסיבי נהדף האחרון כלפי הקיר, פוגע בו ומוחזר כלפי הגוף המסיבי, וחוזר חלילה עד שהגוף המסיבי מאבד את כל המהירות בכיוון הקיר ומתרחק במהירות שווה או גדולה למהירות הגוף הפחות-מסיבי הלאה מהקיר. מספר ההתנגשויות בין המסה קטנה לבין הקיר והגוף המסיבי נותן את ספרות  \pi , וככל שהחזקה ב-100 בחזקת יחס המסות גבוהה יותר יתקבלו עוד ספרות של  \pi .
זמן המחזור של מטוטלת מתמטית הוא  {\mbox{Time}}=2\pi {\sqrt {\frac {\mbox{length}}{\mbox{gravity}}}}
קבוע פלאנק h הוא קבוע פיזיקלי שהוצג על ידי מקס פלאנק ומאפיין את העולם הקוונטי. בפועל, מקובל יותר השימוש בקבוע דיראק (קבוע פלאנק המצומצם) שמוגדר להיות  \hbar ={\frac {h}{2\pi }} (מבוטא "h-באר").
נוסחאות הקשורות בפאי > שברים משולבים

אפשר להציג את  \pi  באמצעות שברים משולבים רבים, בהם:
{\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+{\cfrac {11^{2}}{2+{\cfrac {13^{2}}{2+{\cfrac {15^{2}}{2+{\cfrac {17^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}
נוסחאות הקשורות בפאי > תורת המספרים

בתורת המספרים יש קשר בין  \pi  לבין מספר תוצאות:
ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים זה לזה היא  \ 6/\pi ^{2}.
ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא  \ 6/\pi ^{2}.
מספר הדרכים הממוצע שבהן ניתן לכתוב מספר טבעי כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא  \ \pi /4.
כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף לאינסוף.
בעיות פתוחות

בחקר מאפייניו של  \pi  ישנן בעיות פתוחות אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם  \pi  הוא מספר נורמלי – מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של  \pi  כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו דייוויד ביילי וריצ'רד קרנדל ששאלת הנורמליות של  \pi  בבסיס בינארי שקולה להשערה ידועה בתורת הכאוס.
בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה  \,\{\pi ,e\} תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים.
ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה  \{\pi ,e^{\pi },\Gamma ({\tfrac {1}{4}})\} היא בלתי תלויה אלגברית מעל  \,\mathbb {Q} .
הצעות לסימון חלופי

מתמטיקאים ומדענים שונים סברו שבמקום להשתמש ב-  \pi  כקבוע המעגל היסודי, יש להעדיף למטרה זו את  2\pi  כדי לפשט ביטויים מתמטיים ואת השימוש ברדיאנים. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן נהג לכתוב משוואות בהן  2\pi  משמש כסמל אחד. בשנת 2001 המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן  \pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi  לייצוג סיבוב אחד. תחת זאת, בשנת 2010 הציע הפיזיקאי מייקל הארטל את האות היוונית  \tau  (לציון Turn)‏. וראו גם סרטון של וי הארט בנושא.
פאי בתרבות

קיימים משפטים שונים המשתמשים כעזרי זיכרון עבור ערכו של  \pi , בכך שמספר האותיות בכל מילה שלהם שווה לספרה המתאימה של  \pi , למשל זה של המדען האנגלי ג'יימס ג'ינס:
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על מכניקת קוונטים).
בעברית קיימים משפטים דומים כגון ""ילד א' וילד ב' מהחוג לביולוגיה הם תאומים שלמדו יחד דברים מעניינים בביולוגיה" (3.141592653589).
יש החוגגים את 14 במרץ (שנרשם בצורת כתיבת התאריכים הנהוגה בארצות הברית כ־3.14) כ"יום פאי", ואחרים חוגגים ביום קירוב  \pi  ב-22 ביולי (מכיוון שתוצאת החילוק של 22 ב-7 היא בקירוב 3.1429, מעט קרובה יותר ל- \pi  מאשר 3.14). מהדרי החג חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159).
ביום פאי בשנת 2004, קבע הגאון האוטיסט דניאל טאמט שיא אירופי בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה־22,514 שלו. שיא גינס בדקלום  \pi  שייך לרג'וויר מינה מהודו שב-21 במרץ 2015 דקלם ללא שגיאה 70,000 ספרות במשך 9 שעות ו-27 דקות.
חמשירים אחדים חוברו לכבודו של  \pi , להלן אחד מהם:
'Tis a favorite project of mine

A new value of pi to assign.

I would fix it at 3;

For it's simpler, you see,

Than 3 point 1 4 1 5 9 !
ב־1998 הופק סרט בשם "Pi", שגיבורו הוא מתמטיקאי.
דונלד קנות, מדען המחשב הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת TeX כך שילכו ויתקרבו ל־ \pi : גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.14159265.
"נקודת פיינמן" הוא כינוי למקומות מספר 763 עד 768 בפיתוח העשרוני של  \pi . כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים ש- \pi  הוא מספר נורמלי (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, שישה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299. השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, לזכור בעל־פה את הפיתוח העשרוני של  \pi  עד לשלב שבו יוכל לומר "תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה", ובכך לרמוז באופן היתולי ש- \pi  הוא מספר רציונלי.
האזכור הראשון לרצף זה מופיע בספרו של דאגלס הופשטטר "Metamagical Themas" שם סיפר הופשטטר כי כ"נער משוגע בתיכון", כלשונו, שינן 380 ספרות בפיתוח העשרוני של  \pi  מתוך כוונה להגיע לרצף המופעים הרצופים של הספרה 9.
הזמרת קייט בוש הוציאה שיר בשם " \pi " כחלק מהתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה־137, אך מדלגת על הספרות במקומות 79–100.
בספר הבדיוני "מגע" שכתב קרל סייגן מוזכרת עובדה בדויה שבבסיס 11, הספרות של  \pi  (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות מעגל גדול הנתפס כמסר מבורא העולם.
באוקטובר 2014 פורסם סרטון בערוץ יוטיוב "Numberphile" עם שבירת שיא העולם בהדפסת ספרותיו של  \pi  על נייר באורך 1,688 מטרים (שקול בערך למייל אחד). כמות הספרות עמדה על 1,000,000 ספרות שהודפסו בעזרת 8 מיליליטר של דיו בלבד ושתי ספרות נוספות שנכתבו בעט.
ב-21 באוקטובר 2015 שארמה סורש קומאר דיקלם 70,030 ספרות של π ושבר שיא עולם.
ערכי פאי במקורות יהודיים

במקרא בספר מלכים א' (פרק ז', פסוק כ"ג) (מתוארך למאה השישית לפנה"ס) יש התייחסות (לא מדויקת) להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, ”ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה (קרי: וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב”. ההסבר הרווח לאי-הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של  \pi  בזמנם, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר ים הנחושת היה אליפטי.[דרוש מקור]
יש שציינו שהיחס בין הקבוע  \pi  ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נרמז בקרי וכתיב של המילה שנכתבת קוה ונקראת קו; היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב 1.04716, שנותן תוצאה נכונה עד כדי ארבע ספרות אחר הנקודה. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי לכתוב את המספר המלא של הקבוע  \pi , לצורך נוחות הקריאה נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות אחרות.
במשנה במסכת עירובין (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3= \pi ). כלל זה בא לידי ביטוי גם במסכת סוכה (דף ז'-ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם התוספות במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל  \pi  כשווה ל-3. באופן זה במסכת בבא בתרא (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת ל- \pi  כשווה ל-3. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה- \pi  כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, והסבירו כי דברי חכמים מכוונים להלכות מעשיות, ולכן הביאו מידת קירוב לשימוש האדם ביום יום - וכי לא הייתה כוונתם כלל לעסוק בדיוק החשבוני
בעלי התוספות, ראב"ע וראשונים נוספים מפנים לברייתא של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל- \pi . בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)". הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל- \pi , לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.
הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביא, בפירושו למשנה, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב". בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־ \pi  הוא מספר אי־רציונלי. דברים דומים נאמרו גם על ידי כמה מתמטיקאים מוסלמים קודמים לרמב"ם, כגון אל-חוואריזמי ואל-בירוני.
ראו גם

הצעת חוק פאי
יום פאי
קבוע הפרבולה האוניברסלי
e (קבוע מתמטי)
טרנסצנדנטיות של פאי
לקריאה נוספת

Petr Beckmann, A History of Pi, St. Martin's Press, 1976
J.L. Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi: A Source Book, Springer, 2004
J. Borwein and P. Borwein, 1987. Pi and the AGM (במיוחד פרק 11)
על  \pi  במקורות היהדות
הערך "היקף", באנציקלופדיה תלמודית, כרך י.
ראו במאמרים הבאים (מכתבי עת תורניים):
צבי שפטלר, ה"פאי" החז"לי, תחומין י"ט, תשנ"ט, עמ' 456-466 (מידע בקטלוג רמב"י)
בעז צבן, על היחס שבין היקף עיגול לקוטרו, סיני קי"ז, כסלו-טבת תשנ"ו, עמ' קפו-קצא (מידע בקטלוג רמב"י)
שמעון בולג, הערות לסוגיית הערך המספרי של pi בספרות התלמודית והפרשנית, הגיון ג', תשנ"ו, עמ' 92-102 (מידע בקטלוג רמב"י)
בעז צבן, כל שיש בהיקפו, הגיון ג', תשנ"ו, עמ' 103-131 (מידע בקטלוג רמב"י)
אביגדור אמיתי, תירוץ חדש לקושיה עתיקה בעניין יחס היקף המעגל אל רוחבו
רבי שמעון בן צמח דוראן (1361 − 1444), שו"ת תשב"ץ, חלק א' סימן קס"ה (מהדורת למברג, תרנ"א 1891, דפים ס"א − ס"ג))
ירון ידען, ידיעת חכמים בערך הפאי באתר דעת אמת, אדר א, תש"ס
הערות שוליים

↑  ראו הוכחות בערך Proof that π is irrational בוויקיפדיה האנגלית
↑  Mayer, Steve. "The Transcendence of π". אורכב מ-המקור ב-2000-09-29. נבדק ב-4 בנובמבר 2007. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  תוכנה להמחשה מיידית של שיטתו של ארכימדס מופיעה באתר Archimedes and the Computation of Pi
↑  המאמר עם הערות אודות חשיבותו
↑  Borwein and Borwein, Pi and the AGM, formula (5.5.23)
↑  BBP Formula
↑  ynet, פאי ושיא: 62,831,853,071,796 ספרות אחרי הנקודה, באתר ynet, 18 באוגוסט 2021
↑  The world of Pi - Central binomial series, www.pi314.net
↑  PLAYING POOL WITH π, G. GALPERINDepartment of Mathematics&ComputerSciences, Eastern Illinois University,
↑  R. Palais, 2001: Pi is Wrong, "The Mathematical Intelligencer", Volume 23, Number 3, pp. 7–8
↑  Michael Hartl, The Tau Manifesto, 28/6/2010
↑  Vi Hart, 2011: Pi is (still) Wrong, YouTube
↑  Most Pi places memorised, באתר ספר השיאים של גינס
↑  Douglas Hofstadter, Metamagical Themas
↑  Brady Haran, Mile of pi, Numberphile channel, YouTube website
↑  On Pi Day, all hail the Pi master of Earth: Suresh Kumar Sharma, Futurism באתר: 'FUTURISM']
↑  דוד גרבר ובועז צבאן, סוכה עגולה, מגל י', תשנ"ד, עמ' 134-117
בועז צבאן ודוד גרבר, ערכים מדויקים של פאי במקורות היהדות
↑  מרדכי הלפרין, סוכה העשויה ככבשן, דייני דקיסרי, רבי יוחנן ואמוראי בבל, המעין
↑  שמעון בולג, הערות לסוגיית הערך המספרי של  \pi  בספרות התלמודית והפרשנית, 'הגיון' מחקרים בדרכי חשיבה של חז"ל ג', הוצאת אלומה, ירושלים, תשנ"ו, עמ' 92-102
↑  פירוש המשנה לרמב"ם, מסכת עירובין, א, ה
↑  Natan Slifkin, Pi and Rambam, www.rationalistjudaism.com (באנגלית)
| מספרים אי-רציונליים נודעים |
| --- | --- | --- |
| מספרים אלגבריים | 2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δAg •  היחס הפלסטי 𝜌 |  |
| מספרים טרנסצנדנטיים | בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל |  |
| מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הם אלגבריים או טרנסצנדנטיים | קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין |  |
| טריגונומטריה | קבועים טריגונומטריים מדויקים |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007546007205171  BNE: XX536170  GND: 4174646-6  LCCN: sh85101712  NDL: 00562015  NKC: ph117728 
באמצעות שיטת המיצוי של ארכימדס ניתן לחשב את ערכו של  \pi  בכל רמת דיוק רצויה, באמצעות מצולעים משוכללים החוסמים ונחסמים על ידי מעגל. בתמונה מוצג מעגל שבתוכו חסום משושה משוכלל, והוא חסום במשושה משוכלל אחר
מערך ניסוי המניב את ספרות פיי. 
אנימציה של הניסוי וניתוח מתמטי בערוץ של היוטיובר (3Blue1Brown):
אופרן

| --- | --- |

 נתונים כלליים
 סוג:  חברה פרטית
 מייסדים:  שמעון דנאי ואופיר דנאי
 תקופת הפעילות:  1990–הווה (כ־35 שנים)
 מיקום המטה:  תל אביב-יפו
 קואורדינטות:  32°05′44″N 34°49′21″E﻿ / ﻿32.0954555°N 34.8225534°E﻿ / 32.0954555; 34.8225534 
 ענפי תעשייה:  תיירות, השכרת רכב בחו"ל
 מנכ"ל:  אופיר דנאי
 עובדים:  40 (2025)
  
 http://www.ofran.co.il
 he
 
אופרן (באנגלית: Ofran) היא חברה ישראלית להשכרת רכב בחו"ל, המספקת שירותי השכרת רכב באמצעות שיתופי פעולה עם חברות להשכרת רכב בכ-60 מדינות ברחבי העולם.
היסטוריה

חברת אופרן הוקמה בשנת 1990 על ידי שמעון דנאי, לאחר שעזב את תפקידו כמנכ"ל אוויס ישראל, בשיתוף עם בנו, אופיר דנאי, אשר סיים באותה השנה את לימודיו האקדמיים. החברת מנוהלת כיום על ידי אופיר דנאי.
אופרן היא חברה פרטית, המספקת שירותי השכרת רכב בחו"ל עבור לקוחות ישראליים והיא כיום החברה הגדולה בישראל להשכרת רכב בחו"ל המציעה השכרת רכב בעולם במעל ל-60 מדינות ובפריסה של מעל 6,000 תחנות השכרה.
חברת אופרן עובדת מול מאות משרדי נסיעות בישראל ומשרתת חברות רבות, בהן אלביט מערכות, רפאל, התעשייה האווירית, צ'ק פוינט, אמדוקס, מיקרוסופט ועוד.
החברה פועלת מול חברות השכרה בינלאומיות מוכרות. ביניהן, Alamo ,Europcar ,National ,Budget ,Hertz, Enterprise ועוד.
החברה מפעילה סניפים נוספים בשוודיה ודרום אפריקה, ומשתפת פעולה עם סוכנים רבים ברחבי אירופה, לרבות צ'כיה, הונגריה, רומניה, בולגריה, יוון וקפריסין.
אופרן היא גם הנציגה הבלעדית של רשת מלונות מריוט בישראל, יוון וקפריסין.
חברת WTC - המרכז לתיירות בינלאומית היא בבעלות משותפת של אופרן וארקיע ומספקת מוצרי תיירות יוקרה; בעיקר ביוון, איי יוון ואגן הים התיכון. החברה מספקת פתרונות לינה במלונות יוקרה, חבילות נופש, קבוצות מאורגנות, סיורים מאורגנים וסיורי תרבות ומוזיקה יוונית.
אילהאן עומאר

אילהאן עומאר (באנגלית: Ilhan Omar; בסומלית: Ilhaan Cumar; נולדה ב-4 באוקטובר 1982 במוגדישו, סומליה) היא פוליטיקאית אמריקאית ממוצא סומלי, חברת המפלגה הדמוקרטית. בנובמבר 2018 נבחרה לבית הנבחרים של ארצות הברית מטעם המחוז החמישי של מדינת מינסוטה. כאשר נכנסה לתפקיד בינואר 2019, הפכה לחברת בית הנבחרים המוסלמית הראשונה, יחד עם רשידה טליב.
היא נחשבת לחלק מ"הסקווד", קבוצה של חברי קונגרס פרוגרסיבים הכוללת אותה ואת אלכסנדריה אוקסיו-קורטז, רשידה טליב, סאמר לי, אייאנה פרסלי, דליה רמירז וגרג קסר.
בצעירותה

עומאר נולדה ב-4 באוקטובר 1982, במוגדישו שבסומליה. היא הבת הצעירה מתוך שבעה ילדים. אמה (פאדהומה אבוקאר חאג'י חוסיין) מתה כשאילהאן הייתה בת שנתיים, ואביה וסבה הם שגידלו אותה. אביה (נור עומאר מוחמד) היה קולונל בצבא סומלי בפיקודו של סיאד בארה, שירת בהצטיינות במלחמת אוגדן בין סומליה לאתיופיה בשנים 1977-1978, וכן עבד כמלמד מורים. וסבה, אקבאר, היה מנהל התחבורה הימית של סומליה. במסגרת תפקידו הוא היה אחראי על הקמת רשת מגדלורים לאורך קו החוף. המצב הכלכלי של המשפחה אפשר לעומאר לקבל חינוך פורמלי עוד מגיל צעיר. במהלך מלחמת האזרחים בסומליה ב-1991, ברחה משפחתה מסומליה ושהתה במחנה פליטים בקניה במשך ארבע שנים.
בשנת 1995 הצליחה המשפחה להגר לארצות הברית, והם השתקעו במחוז ארלינגטון שבווירג'יניה, ולאחר מכן במיניאפוליס. שם עבד אביה תחילה כנהג מונית ובהמשך בסניף הדואר. בגיל 14 היא ליוותה את סבה לפגישות הוועידה ושימשה בתור המתורגמנית שלו. היא דיברה על בריונות בבית הספר שספגה בתקופתה בווירג'יניה ועל תגובתו של אביה לתקריות הללו: "הם עושים לך משהו כי הם מרגישים מאוימים בדרך כלשהי מהקיום שלך".
עומאר הפכה לאזרח אמריקאי בשנת 2000 כשהייתה בת 17. עומאר סיימה תואר ראשון במדעי החברה ויחסים בינלאומיים ב-2011 מאוניברסיטת המדינה של צפון דקוטה.
עומאר הייתה עמיתת מדיניות במכון האמפרי למדיניות ציבורית באוניברסיטת מינסוטה.
קריירה מוקדמת

בין השנים 2006–2009 עומאר עבדה כמחנכת לתזונה בקהילה (community nutrition educator) באוניברסיטת מינסוטה. ב-2012 ניהלה את מסע הבחירות של קרי דז'ג'יק (Kari Dziedzic) לסנאט של מדינת מינסוטה.
בין השנים 2012–2013 היא עבדה כמנהלת לחינוך לתזונה נכונה של ילדים במחלקת החינוך של מדינת מינסוטה. בשנת 2013, היא נהלה את מסע הבחירות של אנדרו ג'ונסון למועצת העיר מיניאפוליס, ולאחר בחירתו, שימשה כיועצת פוליטית בכירה. בפברואר 2014, במהלך פגישת בחירות עם קהל שנעשתה סוערת, עומאר הותקפה על ידי חמישה אנשים ונפצעה.
פעילות פוליטית > בבית הנבחרים של מדינת מינסוטה

בשנת 2016, עומאר רצה כמועמדת לבית הנבחרים של מינסוטה (אנ') כנציגה של מפלגת העבודה-הדמוקרטים-חוואים של מינסוטה (DFL)(אנ'). היא ניצחה בבחירות המוקדמות את פיליס קאן ומוחמד נור. בבחירות הכלליות, היא נצחה את המועמד הרפובליקני האמריקני-סומלי עבד-אלמליכ אסכר, והפכה למחוקקת הראשונה בארצות הברית ממוצא אמריקני-סומלי.
פעילות פוליטית > בבית הנבחרים של ארצות הברית

ביוני 2018, עומאר הכריזה על רצונה לייצג את המחוז ה-5 של מדינת מינסוטה בבית הנבחרים של ארצות הברית. היא ייצגה את מפלגת העבודה-הדמוקרטים-חוואים של מינסוטה וזכתה בבחירות המוקדמות באוגוסט 2018. בבחירות הכלליות בנובמבר 2018 היא ניצחה ונעשתה לנציגה בבית הנבחרים של ארצות הברית מטעם מדינת מינסוטה. עם כניסתה לתפקיד בינואר 2019, היא נעשתה לחברת בית הנבחרים המוסלמית הראשונה, יחד עם רשידה טליב.
ב-2 בפברואר 2023, הצביע בית הנבחרים על הסרתה מוועדות החוץ בעקבות התבטאויות אנטישמיות ודיבוריה נגד ישראל[דרוש מקור].
עמדות פוליטיות > חינוך

עומאר תומכה בגישה רחבה יותר לתוכניות מחילה על הלוואות לסטודנטים, כמו גם לימודים חינם לסטודנטים שהכנסת המשפחה שלהם נמוכה מ-125,000 דולר. עומאר תומכת בתוכניתו של ברני סנדרס לבטל את כל חובות הסטודנטים הניצבים בסך 1.6 טריליון דולר שימומנו על ידי מס של 0.5% על עסקאות מניות ומס של 0.1% על עסקאות באג"ח; היא הציגה הצעת חוק נלווית בבית הנבחרים. ביוני 2019, עומאר והסנאטורית טינה סמית' הציגו את חוק "אין בושה בבית הספר", אשר ימנע את סימון והענישה עבור תלמידים עם חוב ארוחות בית ספר .
עמדות פוליטיות > שירותי בריאות

עומאר תומכת בחוק הרפואה המורחב והמשופר לכל.
ב-19 ביולי 2022, לאחר שבית המשפט העליון פסל את רו נגד ווייד, עומאר ו-17 חברי קונגרס נוספים נעצרו במעשה של אי ציות אזרחי בגלל שסירבו לפנות רחוב במהלך מחאה למען זכויות מחוץ לבניין בית המשפט העליון.
עמדות פוליטיות > תמיכה בזכויות אדם

כחברת קונגרס מתחה ביקורת חריפה על הפרת זכויות אדם על ידי ערב הסעודית הן כלפי אזרחיה, (כולל טענות בנוגע למעורבות הממשל ברצח ג'מאל ח'אשוקג'י), והן כלפי המלחמה בתימן. בנוסף, מחתה על היחס של סין למיעוט האויגורי, אותו הגדירה כרצח עם. כמו כן הביעה תמיכה במורדים נגד השלטון הדיקטטורי של בשאר אל-אסד בסוריה.
במאי 2019, אחרי שברוניי חוקקה חוק שמאמץ את חוקי השריעה ומאפשר בין השאר הטלת עונש מוות על יחסי מין הומוסקסואליים וניאוף, הגישה הצעת חוק שתאפשר הטלת סנקציות על אנשי ממשל ברוניים שהשתתפו ביישום החוק.
עמדות פוליטיות > ביטחון

עומאר מתחה ביקורת על רשימת החיסול של אובמה (אנ'), מטרת הרשימה הייתה לאסוף ולכנס רשימה של אויבים שלטענת ממשל אובמה "היו אויבי האומה האמריקאית", למצוא אותם ולאחר מכן לחסל או להעלים אותם וטענה כי מטרתה האמיתית של הרשימה היא "להטביע מדינות ברחבי העולם.