stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מודל צבא העם

חיילים בחטיבת הנח"ל
מודל צבא העם הוא סוג מסוים של גיוס כוח אדם לצבא. בשיטה זו, נהוג להחיל גיוס חובה על כל האוכלוסייה עם יוצאים מעטים מהכלל. השיטה הייתה נפוצה בעת העתיקה, בה הצבא הורכב בדרך כלל ממגויסי אד-הוק למשימה מסוימת או למלחמה ספציפית. עם הזמן, הלך הצבא והתמקצע ובמקומות רבים זנחו את הגיוס ההמוני ופנו לצבא המבוסס על חיילים אשר רואים בשירותם הצבאי קריירה לחיים ולא משימה זמנית.
מודל זה חזר לאופנה באירופה עם המהפכה הצרפתית בשלהי המאה ה-18. הפרלמנט המהפכני הכריז על גיוס חירום לצבא שהוטל על כל הצרפתים כדי להדוף את ההתקפות של שכנותיה אשר ביקשו לחנוק את המהפכה ולהחזיר את בית בורבון לשלטון בצרפת. לאחר ניצחונות צרפתיים והגידול המשמעותי בכוח האדם המשרת בצבאם פנו אימצו מדינות אירופאיות רבות את המודל גם עבורן.
עם התמעטות סכסוכים מזוינים שכוללים צבאות גדולים בתום מלחמת העולם השנייה, זנחו מדינות רבות את מודל צבא העם ועברו לגיוס על בסיס התנדבותי.
צבא העם ברומא העתיקה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
צבא העם בצרפת

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
צבא העם בישראל > הגיוס לצה"ל

ראשיתו של מודל זה ככל הנראה עוד בטרם הקמת המדינה, בעיקרון "צבא האומה" שקבע יהושע גלוברמן מפקד החי"ש בשנות ה-40, ושנועד להגשים שני יעדים: גיוס מירב המשאבים הלאומיים בעיתות מלחמה ויצירת אינטגרציה חברתית-תרבותית. ב-1948, לאחר הקמת צה"ל, התווה דוד בן-גוריון, בהתאם לתפיסת הממלכתיות שלו, עקרונות אלה: על העם מגן צבא העם; הגיוס חייב לחול על הכל; לצבא נועדו תפקידים חברתיים וחינוכיים והוא שותף מרכזי בתהליך של בניין האומה.
בישראל ייעדה הממשלה לצבא משימות נוספות, בנוסף למשימתו הצבאית. כך נדרש הצבא לשמש כלי ליישום מדיניות כור ההיתוך, באמצעות שילובם של כל מגזרי החברה הישראלית ביחידותיו. ומשימות נוספות כגון חינוך על ידי מורות חיילות, אשר אינן משרתות בבסיס צבאי, אלא עוסקות בחינוך בני נוער ובקליטת עלייה. פרויקט מקא"ם הוא דוגמה נוספת לשימוש לא צבאי בצה"ל. במסגרת הפרויקט משולבים בצה"ל נערים מרקע סוציואקונומי קשה, לעיתים תוך השלמת השכלה והכשרה מקצועית.
השירות בצה"ל, וטיבו – הן של פרטים והן של קבוצות אוכלוסייה – הוא חלק מכריע בהגדרת הזהות הישראלית. ישנה זיקה בין ישראליות לבין שירות בצה"ל, דבר שמתבטא במוטיבציה לשירות ובהשפעה שיש לצה"ל על החברה הישראלית. תהליך זה נובע במידה רבה ממודל צבא העם. כמו כן, התהליך מחזק את מודל צבא העם, שכן פרטים וקבוצות מעוניינים לשרת כחלק מגיבוש זהותם. זאת כחלק ממאפייניה הייחודיים של המשוואה הרפובליקנית בישראל.
צבא העם בישראל > שחיקת המודל בישראל

לאורך השנים נשחק מודל צבא העם, בשני היבטים. ראשית, הביאה לכך הירידה בשיעורי הגיוס. לירידה זו מספר גורמים, ובהם העלייה בשיעור תלמידי הישיבות שתורתם אומנותם (מ-400 בשנה בראשית ימי המדינה לכ-7,000 בשנה בשנת 2010). העלייה בשיעורם באוכלוסייה של בני המגזר הערבי הפטורים מגיוס וכן מגמה של ניצול גובר של הסעיף בחוק שירות ביטחון המאפשר לבנות לקבל פטור מטעמי הכרה דתית על סמך הצהרתן. וירידת המוטיבציה להתגייס במגזר הכללי. הירידה המתמשכת בשיעורי הגיוס הביאה לכך שבשנת 2010, רק כמחצית מבני הנוער מתגייסים לצה"ל. ראש אכ"א, אבי זמיר, העלה בראשית 2011 חשש שהמשך המגמה יוביל לקריסתו של מודל "צבא העם" עד 2020.
גורם נוסף לשחיקה במודל צבא העם הוא הרחבתם של מסלולי שירות המיועדים למגזרים מסוימים: גדוד חרב, המיועד לחיילים דרוזים הוקם כבר במהלך מלחמת העצמאות. במהלך אותה מלחמה נענה דוד בן-גוריון לבקשתן של תנועות הנוער, ואפשר את הקמתו של מסלול הנח"ל, שאפשר לגרעיני ההכשרה שלהן לשרת יחדיו כקבוצה, אם כי ברבות השנים הפכו מסלולי השירות בנח"ל להטרוגניים יותר. מסלול ישיבות ההסדר נפתח במהלך שנות ה-50 והתרחב בהדרגה, גדוד הסיור המדברי המיועד לחיילים בדואים הוקם ב-1987, גדוד נצח יהודה המיועד לחיילים חרדים הוקם ב-2002 ומאז 2007 הוקמו מסלולים ייעודיים נוספים לחרדים, מסלולי שח"ר. מתוך תפיסת מודל צבא העם צה"ל אינו שׂשׂ לפתיחת מסגרות ייעודיות, אך ההכרה כי אלמלא מסלולים אלה, ייתכן והחיילים המשרתים בהם לא יתגייסו כלל, הביאה גם אותו לפותחם.
בעקבות שחיקת המודל, ובעקבות הביקורת על "מודל צבא העם" בשיח הציבורי בישראל הועלה "מודל הצבא המקצועי", כלומר הגישה שהגיוס לצה"ל לא צריך להיות חובה אלא התנדבותי ומרצון חופשי (ברוב המקרים), ותפקידו של צה"ל מסתכם בהגנה על ביטחונה של המדינה, בניגוד לגישות אחרות המציבות לצה"ל מטרות נוספות (כגון כלי ליישום מדיניות כור ההיתוך, ואיחוד העם). הדוגלים בגישה זו טוענים כי לצבא מקצועי יתרונות בולטים ורבים על פני מודל צבא העם.
ראו גם

צבא מקצועי
הערות שוליים

1 2  ברוך נבו ויעל שור, כל העם צבא? שירות המילואים בישראל (בהוצאת המכון הישראלי לדמוקרטיה, 2002), עמ' 10
↑  האגף ליחסי צבור - משרד הבטחון, כל העם כולו במבחן, דבר, 15 באוקטובר 1950
האגף ליחסי צבור - משרד הבטחון, שלב ב - נשים, דבר, 25 בנובמבר 1951
↑  דו"ח הביניים של הצוות לבחינת יישום חוק טל 
המספר הכולל של תלמידי הישיבות שקיבלו מעמד "תורתו אומנותו" הגיע ב-2012 לכ-60 אלף (ראו פסקה 60 לפסק דינה של דורית ביניש בבג"ץ 6298/07 רסלר ואח' נ' כנסת ישראל ואח')
↑  דברי ההסבר ל הצעת חוק שירות ביטחון (תיקון מס' 19 והוראת שעה), התש"ע-2010
↑  דו"ח הביניים של הצוות לבחינת יישום חוק טל, עמ' 13
↑  יובל אזולאי, ‏ראש אכ"א: "צבא העם" יקרוס עד 2020 אם לא ייעשו צעדים, באתר גלובס, 30 בדצמבר 2010
↑  דו"ח הביניים של הצוות לבחינת יישום חוק טל, עמ' 17
מידה סינגולרית

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, שתי מידות על מרחב מדיד כלשהו תיקראנה זוג מידות סינגולריות אם ניתן לפרק את המרחב כך שהאחת מתאפסת בקבוצה מדידה כלשהי והשניה בקבוצה המשלימה לה. במקרה כזה, כל אחת מהמידות תקרא סינגולרית ביחס לשנייה.
חשיבותן של מידות סינגולריות בתורת המידה היא בהיותן דרך טבעית לפרק פונקציית מידה לזוג פונקציות על תתי-מרחבים מדידים. בשל כך, משפטים רבים מתייחסים לפירוק של מידות לזוג מידות סינגולריות כגון משפט הפירוק של ז'ורדן ומשפט הפירוק של לבג.
הגדרה מתמטית

בהינתן מרחב מדיד  (\Omega ,\Sigma ) וזוג מידות על מרחב זה  \mu ,\nu , מידות אלה תיקראנה מידות סינגולריות (או בנוסח אחר,  \mu  סינגולרית ביחס ל- \nu ), אם ורק אם קיימת קבוצה מדידה  A\in \Sigma  כך ש:
\mu (A)=0
\nu (\Omega \backslash A)=0
ומסמנים  \mu \perp \nu . עבור המרחב  \mathbb {R} ^{n} עם סיגמא-אלגברת בורל, מידה על  \mu  על  \mathbb {R} ^{n} תקרא מידה סינגולרית אם היא סינגולרית ביחס למידת לבג.
תכונות

בגלל המונוטוניות והחיוביות של פונקציית המידה, אם מידה מתאפסת על קבוצה כלשהי היא בהכרח מתאפסת על כל תת-הקבוצות שלה. על כן, על-פי ההגדרה של מידות סינגולריות,  \mu  ו- \nu  מתאפסות על כל תת-קבוצה של  A ו- \Omega \backslash A בהתאמה.
סינגולריות היא יחס סימטרי: אם  \mu  סינגולרית ביחס ל- \nu  אז בהכרח  \nu  סינגולרית ביחס ל- \mu .
על פי משפט הפירוק של ז'ורדן, כל מידה מסומנת ניתנת להצגה כהפרש של זוג מידות חיוביות סינגולריות זו ביחס לזו.
על פי משפט הפירוק של לבג, בהינתן זוג מידות  \mu ,\nu  על מרחב מדיד כלשהו, ניתן לפרק את  \mu  ל- \mu =\mu _{\text{cont}}+\mu _{\text{singular}} כך ש- \mu _{\text{cont}} רציפה בהחלט ביחס ל- \nu  ו- \mu _{\text{singular}} סינגולרית ביחס ל- \nu .
מידה סינגולרית רציפה

בהינתן מרחב  \mathbb {R} ^{n} עם סיגמא-אלגברת בורל ומידה  \mu , המידה  \mu  תקרא מידה סינגולרית רציפה אם ורק אם היא סינגולרית ביחס למידת לבג ה- n ממדית ואין לה אטומים.
חשיבותן של מידות סינגולריות רציפות בא לידי ביטוי במשפט הפירוק של לבג עבור מידות על סיגמא-אלגברת בורל, אשר טוען כי כל מידה  \mu  כלשהי על מרחב  \mathbb {R} ^{n} וסיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק  \mu =\mu _{\text{ac}}+\mu _{cs}+\mu _{a} כך ש:
\mu _{\text{ac}},\mu _{cs},\mu _{a} סינגולריות אחת ביחס לשנייה
\mu _{\text{ac}} רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג)
\mu _{cs} סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג)
\mu _{a} מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות)
הכללה למידות מסומנות ומרוכבות

ניתן להכליל את ההגדרה של מידות סינגולריות למידות מסומנות ומידות מרוכבות באופן הבא:
בהינתן מרחב מדיד  (\Omega ,\Sigma ) וזוג מידות מסומנות (מרוכבות) על מרחב זה  \mu ,\nu , מידות אלה יקראו מידות סינגולריות אם ורק אם קיימת קבוצה מדידה  A\in \Sigma  כך ש:
\mu (B)=0 לכל  \Sigma \ni B\subseteq A
\nu (B)=0 לכל  \Sigma \ni B\subseteq \Omega \backslash A
יש לשים לב כי עבור מידות מסומנות (מרוכבות) יש לדרוש התאפסות על כל תת-קבוצה מדידה של  A ו- \Omega \backslash A ולא רק עליהן בעצמן, זאת מכיוון שמידות מסומנות אינן בהכרח מונוטוניות.
דוגמאות

המידה הטריוויאלית (מידה המתאפסת לכל קבוצה מדידה) סינגולרית ביחס לכל מידה אחרת.
מידת דיראק היא מידה סינגולרית (ביחס למידת לבג).
כל מידה בדידה (סכום בן מניה של פונקציות דלתא של דיראק) היא מידה סינגולרית (ביחס למידת לבג).
ניתן לבנות מידת הסתברות  \mu  על הקטע  [0,1] כך שהמידה של קבוצת קנטור תהיה ממידה 1 ופונקציית ההתפלגות שלה  c(x):=\mu ([0,x]) תהיה פונקציית קנטור. מידה זו נוצרת על-ידי תהליך ברנולי עם  p={\frac {1}{2}}. מאחר שקבוצת קנטור היא ממידה 0 לפי מידת לבג קל להוכיח כי מידה זו סינגולרית רציפה.
אם מסמנים ב- \lambda _{1},\lambda _{2} את מידות לבג על  \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2} בהתאמה ניתן להגדיר את המידה הדו-ממדית  \mu  כך שלכל קבוצה מדידה  B ב- \mathbb {R} ^{2} מתקיים  \mu (B):=\lambda _{1}(\{x\in \mathbb {R} \mid (x,0)\in B\}). כלומר, המידה  \mu  מתאפסת על כל המרחב מלבד על ציר ה- x. זוהי מידה סינגולרית רציפה ביחס ל- \lambda _{2}.
בהינתן פונקציית מידה  \mu  וקבוצה מדידה  A, המידות  \mu _{1}(B):=\mu (B\cap A) ו- \mu _{2}(B):=\mu (B\backslash A) הן מידות סינגולריות אחת ביחס לשנייה, וכמו כן  \mu =\mu _{1}+\mu _{2}.
הערות שוליים

↑  Singular measures - Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org
מיכאיל סקוטי

| --- | --- |

 לידה:  17 באוקטובר 1814 (יוליאני) סנקט פטרבורג, האימפריה הרוסית 
 פטירה:  22 בפברואר 1861 (יוליאני) (בגיל 46) פריז, צרפת 
 מקום קבורה:  בית הקברות של מונמארטר 
 מקום לימודים:  האקדמיה הקיסרית לאמנויות (1835) 
 תחום יצירה:  ציור 
 
מיכאיל סקוטי (ברוסית: Михаил Скотти ‏: 29 באוקטובר 1814 - 11 במרץ 1861) היה צייר היסטוריה ודת רוסי ממוצא איטלקי.
ביוגרפיה

אביו היה הצייר הדקורטיבי, איוואן סקוטי (במקור, ג'ובאני בטיסטה סקוטי), שנולד כנראה בצפון איטליה והובא לרוסיה בגיל עשר על ידי אביו, קרלו, גם הוא צייר, שהוזמן לשם על ידי ג'קומו קברנג'י.
את השכלתו היסודית קיבל בבית הספר הקתולי של סנט קתרין. לאחר מות אביו, הוא אומץ וגודל על ידי האמן, אלכסיי יגורוב, שהיה בעצמו יתום. הוא גם לקח שיעורים באקדמיה האימפריאלית לאמנויות, וזכה במדליית כסף על ציור מהחיים. הוא סיים עם מדליית זהב ב-1835.  במשך זמן מה הוא עבד באחוזת שפלב ליד ארדטוב, ונתן שיעורי רישום וציור אייקונים.
זמן קצר לאחר מכן, הוא נסע לאיטליה, דרך גרמניה עם הרוזן פאבל קוטאיסוב, יו"ר החברה האימפריאלית לעידוד האמנויות, ונשאר שם עד 1844. באותה שנה הוא צייר אייקונים לקפלה הרוסית האורתודוקסית בשגרירות באיסטנבול. בשנת 1845, הוא יצר סדרה נוספת של אייקונים עבור קתדרלת המושיע בנובגורוד, שעליה הוענק לו התואר "אקדמאי".
לאחר 1849, הוא נסע למוסקבה כדי להחליף את פיודור זאביאלוב כמורה ומפקח בבית הספר לציור, פיסול ואדריכלות במוסקבה. תלמידיו שם כללו את קונסטנטין מקובסקי, ניקולאי נברב, וסילי פרוב וסרגיי גריבקוב. הוא גם המשיך לצייר יצירות דתיות רבות; במיוחד בכנסיית הבשורה בסנט פטרסבורג.
ב-1857 החל לנסוע שוב, וביקר באיטליה, ספרד וצרפת.
הוא מת בפריז לאחר מחלה קצרה ופתאומית ונקבר בבית הקברות במונמארטר.
הערות שוליים

1 2  Kenneth, Michele Scotti, www.rusartnet.com (באנגלית בריטית)
↑  Русские художники. Скотти Михаил Иванович., www.artsait.ru
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 1177720884  VIAF: 881151778201918130006   WorldCat (עם VIAF): 881151778201918130006
מיכאיל סיבאקוב

מיכאיל סרגייביץ' סיבאקוב (בבלארוסית: Міхаі́л Сярге́евіч Сівако́ў; נולד ב-16 בינואר 1988) הוא כדורגלן בלארוסי המשחק באורנבורג מליגת העל הרוסית.
קריירת מועדונים

סיבאקוב החל את הקריירה שלו במחלקת הנוער של סמנה מינסק, בינואר 2013 הצטרף לבאטה בוריסוב בה הוא הבקיע 14 שערים ב-83 משחקים.
ב-31 בינואר 2009, הוא חתם בקליארי ל-4 שנים. ב-8 בנובמבר 2009, הוא ערך את הופעת הבכורה שלו בסרייה א' נגד סמפדוריה. ב-27 בינואר 2010, הוא הושאל לפיאצ'נזה כחלק מעסקת העברתו של ראג'ה נאיינגולאן שעשה את הדרך ההפוכה. ב-28 בינואר 2011 הושאל סיבאקוב לויסלה קרקוב. ב-8 במאי 2011 הוא הבקיע שער מ-51.1 מ' בניצחון 0-3 נגד לכיה גדנסק. בסיום העונה זכה באליפות עם המועדון.
ב-25 באוגוסט 2011, סיבאקוב חתם בזולטה ורכם לארבע שנים. בקיץ 2012 חזר סיבאקוב לבאטה בוריסוב. בתחילת עונת 2013 איבד את מקומו בהרכב ושימש כמחליף.
במרץ 2014 חתם סיבאקוב בהומל.
ב-27 ביוני 2014 עבר סיבאקוב לצ'רנומורץ אודסה. ב-28 בינואר 2015 חתם סיבאקוב לשישה חודשים בגבאלה.
ביוני 2015 עבר לזוריה לוהנסק מליגת העל האוקראינית.
ב-19 בינואר 2017 חתם באורנבורג.
קריירה בינלאומית

בצעירותו סיבאקוב שיחק בכל הנבחרות הצעירות של בלארוס. סיבאקוב השתתף עם הנבחרת הצעירה באליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21 - 2009. שנתיים לאחר מכן היה שותף להישג השיא של הנבחרת הצעירה כאשר הגיע עימה למקום השלישי באליפות אירופה בכדורגל עד גיל 21 לשנת 2011, ואף נכלל בנבחרת הטורניר. המקום השלישי באליפות אירופה נתן לנבחרת השתתפות באולימפיאדת לונדון שנה לאחר מכן. בשני הטורנירים הוא שימש כקפטן. ב-18 במאי 2014 ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת בלארוס בתיקו 0-0 נגד איראן.
תארים

באטה בוריסוב
אליפות בלארוס: 2006, 2007, 2008, 2012, 2013
הגביע הבלארוסי: 2006
הסופר קאפ הבלארוסי: 2013
ויסלה קרקוב
אליפות פולין: 2010/2011
מידה מרוכבת

בתורת המידה, מידה מרוכבת היא  פונקציית מידה שערכיה מרוכבים. פורמלית, מידה מרוכבת על מרחב מדיד  \left(X,{\mathcal {M}}\right) היא פונקציה  \mu :{\mathcal {M}}\to \mathbb {C}  שהיא סיגמא-אדיטיבית, כלומר  \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right) לכל סדרה  E_{1},E_{2},\dots  של קבוצות זרות בזוגות השייכות ל- {\mathcal {M}}. בפרט כל טור  \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right) כזה מתכנס ולמעשה אף מתכנס בהחלט.
לא כל מידה חיובית היא מידה מרוכבת, משום שלמידות חיוביות מרשים לקבל את הערך  \infty , ואילו ממידה מרוכבת דורשים שכל הערכים יהיו מספרים. למעשה, מידה מרוכבת תמיד חסומה (על ידי מידת המרחב כולו).
תכונות של מידה מרוכבת

יהי  \left(X,{\mathcal {M}}\right) מרחב מדיד ותהי  \mu  מידה מרוכבת עליו.
הסיגמא-אדיטיביות גוררת את העובדה הפשוטה  \mu (\varnothing )=0 וזו בתורה גוררת אדיטיביות סופית:   \,\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B) לכל שתי קבוצות זרות  A,B.
כפי שמתקיים עבור מידות חיוביות,  \mu  היא רציפה מלמטה: אם  E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq \cdots  היא סדרה עולה של קבוצות מדידות, אז מתקיים  \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(E_{n}\right). בדומה לזה,  \mu  היא רציפה מלמעלה: אם  E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq \cdots  היא סדרה יורדת של קבוצות מדידות, אז מתקיים  \mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(E_{n}\right).
האיחוד של סדרת קבוצות מדידות (וזרות בזוגות)  E_{1},E_{2},\dots  אינו תלוי בסדר האיברים, ולכן לכל הטורים המתקבלים מ- \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right) על ידי סידור מחדש, יש אותו סכום. משפט סטנדרטי אומר שבמקרה זה הטור מתכנס בהחלט.
מידת ההשתנות הכוללת

תהי  E קבוצה מדידה ונגדיר פונקציה חדשה על  {\mathcal {M}} על ידי  \left|\mu \right|\left(E\right)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }\left|\mu \left(E_{n}\right)\right|, כאשר הסופרמום נלקח על פני כל החלוקות האפשריות של  E לסדרה של קבוצות מדידות  E_{1},E_{2},\dots  (ניתן לקחת את הסופרמום רק על פני כל החלוקות שבהן  E_{n}=\varnothing  לכל  n טבעי פרט למספר סופי של קבוצות בסדרה ולקבל הגדרה שקולה).
ניתן להראות ש- \left|\mu \right| היא מידה חיובית ונהוג לכנות אותה מידת ההשתנות הכוללת (או מידת הערך המוחלט). למידה זו יש מספר תכונות מעניינות. ראשית כל, המידה המרוכבת  \mu  נשלטת על ידי  \left|\mu \right|, כלומר  \left|\mu \left(E\right)\right|\leq \left|\mu \right|\left(E\right) לכל  E מדידה. כמו כן, ברור כי  \left|\mu \right| היא המידה החיובית המינימלית שלה תכונה זו. התכונה המפתיעה ביותר היא ש- \left|\mu \right| היא תמיד מידה סופית, כלומר  \left|\mu \right|\left(X\right)<\infty . מכאן בפרט מקבלים שערכי המידה  \mu  שייכים כולם לעיגול הסגור ב- \mathbb {C}  שמרכזו בראשית ורדיוסו  \left|\mu \right|\left(X\right).
אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת

תהי  \mu  מידה מרוכבת. באמצעות משפט רדון-ניקודים ניתן להוכיח שקיימת פונקציה מרוכבת מדידה  h המקיימת  \left|h\left(x\right)\right|=1 לכל  x\in X כך ש- \mu \left(E\right)=\int _{E}h\,d\left|\mu \right| לכל  E מדידה.  h זו היא הפונקציה היחידה שמקיימת תכונה זו, אם אנו מסכימים שלא להבדיל בין פונקציות שנבדלות בערכיהן רק על קבוצה ממידה  \mu  אפס. במצב זה מסמנים  d\mu =hd\left|\mu \right| ואומרים שזהו פירוק פולרי של המידה  \mu  (באנלוגיה לפירוק הפולרי של מספר מרוכב). כעת בהתבסס על בניית אינטגרל לבג עבור מידות חיוביות ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת מדידה  f ביחס ל- \mu  באופן הבא:  \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fh\,d\left|\mu \right|.
בגישה אחרת, תחילה רושמים  \mu =\mu _{1}+i\mu _{2}, כאשר  \mu _{1} היא החלק הממשי של  \mu  ו- \mu _{2} היא החלק המדומה של  \mu . אז  \mu _{1} ו- \mu _{2} הן מידות מרוכבות המחזירות ערכים ממשיים בלבד. באמצעות פירוק האן-ז'ורדן ניתן לרשום  \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-} ו- \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}, כאשר  \mu _{1}^{+},\mu _{1}^{-},\mu _{2}^{+},\mu _{2}^{-} הן מידות חיוביות סופיות מסוימות. כעת ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה ממשית מדידה  f ביחס ל- \mu  באופן הבא:
כל עוד הביטוי באגף ימין מוגדר היטב, כלומר לא נתקלים בהפרש מהצורה  \infty -\infty . כעת עבור  f מרוכבת מדידה מגדירים באופן טבעי
\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\mathrm {Re} \left(f\right)\,d\mu +i\int _{X}\mathrm {Im} \left(f\right)\,d\mu .
שתי הגדרות אלה ל- \int _{X}f\,d\mu  הן שקולות. האינטגרל ביחס למידה מרוכבת מקיים את כל התכונות הרגילות של אינטגרל לבג, לרבות ליניאריות האינטגרל ומשפטי ההתכנסות הידועים.
רגולריות של מידה מרוכבת

כעת נניח ש- X איננה סתם קבוצה, אלא מרחב טופולוגי, ונניח ש- {\mathcal {M}} היא  הסיגמא-אלגברה של בורל המתאימה ל- X. בדומה למקרה של מידה חיובית, במקרה זה אנו אומרים ש- \mu  היא מידת בורל.  \mu  נקראת מידת בורל רגולרית אם היא מידת בורל והמידה החיובית  \left|\mu \right| היא  רגולרית.
אחד מהשימושים החשובים של מידות מרוכבות מתבטא במשפט ההצגה של ריס ל- C_{0}^{*}\left(X\right). המרחב  C_{0}\left(X\right) מורכב מכל הפונקציות  f:X\to \mathbb {C}  שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל  \varepsilon >0 קיימת תת-קבוצה קומפקטית  K\subseteq X שמחוצה לה ערכי הפונקציה  f קטנים בערכם המוחלט מ- \varepsilon . זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום, קרי  \left\Vert f\right\Vert =\sup _{x\in X}\left|f\left(x\right)\right|.  המרחב הדואלי שלו,  C_{0}^{*}\left(X\right), מורכב מכל הפונקציונלים הליניאריים הרציפים  \Phi :C_{0}\left(X\right)\to \mathbb {C} .
כעת נניח ש- X הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית. בהינתן מידת בורל מרוכבת רגולרית  \mu  על  X, ההעתקה  f\mapsto \int _{X}f\,d\mu  מגדירה פונקציונל ליניארי רציף על  C_{0}\left(X\right). משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה ניתן להצגה בצורה שכזו. באופן יותר פורמלי, הוא אומר שעבור כל פונקציונל ליניארי רציף  \Phi :C_{0}\left(X\right)\to \mathbb {C} , קיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית  \mu  על  X כך ש- \Phi \left(f\right)=\int _{X}f\,d\mu  לכל  f\in C_{0}\left(X\right), כלומר  \Phi  מיוצג כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה המרוכבת  \mu . המידה  \mu  המתאימה ל- \Phi  מקיימת בנוסף את השוויון  \left\Vert \Phi \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right).
מרחב כל המידות המרוכבות

אם  \left(X,{\mathcal {M}}\right) הוא מרחב מדיד, אוסף כל המידות המרוכבות עליו מהווה מרחב וקטורי מעל  \mathbb {C}  תחת פעולות חיבור וכפל בסקלר נקודתיות, כלומר  \left(\mu +\lambda \right)\left(E\right)=\mu \left(E\right)+\lambda \left(E\right) ו- \left(c\mu \right)\left(E\right)=c\mu \left(E\right) לכל שתי מידות מרוכבות  \mu ,\lambda  ולכל סקלר קומפלקסי  c. ההעתקה  \left\Vert \mu \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right) מגדירה נורמה על מרחב זה והופכת אותו למרחב בנך, אשר לעיתים מסומן  \mathbf {M} \left(X\right). אם  X הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית ו- {\mathcal {M}} היא אלגברת בורל שלו, אוסף כל המידות המרוכבות הרגולריות עליו הוא תת-מרחב סגור של  \mathbf {M} \left(X\right) ולמעשה משפט ההצגה של ריס אומר שתת-מרחב זה הוא איזומורפי (במובן של איזומטריה ליניארית) ל- C_{0}^{*}\left(X\right).
ראו גם

מידה חיובית
מידה מסומנת
משפט ההצגה של ריס
מיכל ארמוני

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  7 בדצמבר 1965 (בת 58) 
 ענף מדעי:  הוראת מדעי המחשב (אנ')
 מקום לימודים:  הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל (1989)  הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל (1991)  אוניברסיטת תל אביב (2003)  תיכון שמעון בן צבי 
 מנחה לדוקטורט:  דינה תירוש, יהודית גל-עזר, גדעון צבס 
 מוסדות:  מכון ויצמן למדע (2006) 
 אתר רשמי
 
מיכל ארמוני (נולדה ב-7 בדצמבר 1965) היא פרופסור להוראת מדעי המחשב (אנ') במחלקה להוראת המדעים במכון ויצמן למדע. ארמוני פרסמה ספרי לימוד במדעי המחשב, לקחה חלק בפיתוח תוכניות לימוד וביצעה מחקרים על הוראת מדעי המחשב.
קריירה

בשנים 1986 עד 1989 למדה לתואר ראשון במדעי המחשב בטכניון. המשיכה לתואר שני (גם הוא במדעי המחשב בטכניון), אותו סיימה ב-1991.
לאחר השלמת התואר השני, ארמוני החלה לעבוד במכון המחקר של IBM בחיפה, בתור עמיתת מחקר בקבוצת הבדיקות והאימות. ב-1993 עברה לעבוד כמתכנתת במלם מערכות, שם עבדה במשך כשנה (עד 1994).
ב-1994–1995 לימדה מדעי המחשב בכיתות י'-י"ב ביאסא - התיכון הישראלי למדעים ולאמנויות בירושלים. בנוסף עבדה כמרצה במכללה האקדמית הדסה ירושלים וכמרצה זוטרה באוניברסיטה הפתוחה ובאוניברסיטת תל אביב.
ב-1997 עד 2003 למדה לתואר דוקטור מבית הספר לחינוך באוניברסיטת תל אביב. עבודת התזה שלה, סוגיות שונות בנושא הוראת 'מודלים חישוביים' לתלמידי תיכון, בוצעה בהנחיית פרופ' דינה תירוש, פרופ' יהודית גל-עזר ופרופ' גדעון צבס. ב-2005 הייתה עמיתת פוסט-דוקטורט במחלקה לחינוך בטכניון, בהנחית פרופסור אורית חזן.
ב-2006 החלה פוסט-דוקטורט במחלקה להוראת מדעים במכון ויצמן למדע. ב-2009 הפכה למדענית בכירה במחלקה זו, וב-2017 קודמה לדרגת פרופסור חבר.
ב-1995–1998 הייתה ראש הצוות לפיתוח תוכנית הלימוד במודלים חישוביים לתלמידי תיכון, באוניברסיטה הפתוחה. בנוסף פיתחה תוכניות לימוד ליסודות מדעי המחשב באמצעות פרדיגמה מונחית עצמים לתלמידי תיכון, ותוכנית לימוד לקונספטים במדעי המחשב באמצעות Scratch לתמידי חטיבת ביניים. הייתה ראש צוות הכתיבה של ספרי הלימוד מודלים חישוביים (1998) של האוניברסיטה הפתוחה, יסודות מדעי המחשב בשפת Java (2 כרכים, 2007) ויסודות מדעי המחשב בשפת C# (2 כרכים, 2007) לתלמידי תיכון.
מחקר

מחקריה של ארמוני עוסקים במגוון נושאים הקשורים להוראת מדעי המחשב, החל מחטיבת הביניים ועד להשכלה גבוהה. רבים ממחקריה של ארמוני עוסקים בלימוד עקרונות יסוד במדעי המחשב, כגון הפשטה, חשיבה רדוקטיבית, רברסינג, אי-דטרמניסטיות ועוד.
ראוי להבין את מחקריה של ארמוני כחלק מתמונה רחבה יותר של הוראת מדעי המחשב: תוכניות לימוד רבות מתמקדות מובילות לכך שתלמידים אינם מבינים נכון את מהות מדעי המחשב ואת אופי העבודה בתחום. במקרים רבים, תלמידים משייכים את מדעי המחשב לתכנות ולכישורי מחשב. תפיסה שגויה זו מובילה לגישה שלילית כלפיה המקצוע, ולבחירות לימודים וקריירה מוטעות. לעומת זאת, מדעני מחשב רבים רואים את מדעי המחשב כתחום ידע שעוסק בפתרון בעיות חישוביות. בתפיסה זו, המחשב הוא רק כלי. חוקרי הוראת מדעי המחשב, ובהינהם ארמוני, עוסקים בפיתוח תוכניות לימוד שילמדו דפוסי מחשבה הנפוצים בפתרון בעיות חישוביות (כגון שימוש באבסטרקציה וחשיבה חישובית), ושיעסקו גם בבעיות תאורטיות במדעי המחשב, כגון תורת החישוביות, אלגוריתמים, הוכחות פורמליות, תורת המידע ועוד.