stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
צרעת
שכיחות

לבד מבני אדם, אף חיות אחרות חשופות לחיידק המחלה, ביניהן, סנאיים, ארמדילו, קופים, ארנבות ועכברים. בהתאם לנתונים עדכניים שפרסם ארגון הבריאות העולמי, בין השנים 2003 ל-2004 הייתה ירידה של 21% (107,000 מקרים) במקרי המחלה שאובחנו בעולם. זוהי ירידה עקבית בשנים אלו. בשנת 2004 אובחנו 407,791 מקרי מחלה חדשים בעולם. בשנת 1999 אובחנו 640,000 מקרים, מתוכם 108 מקרים בארצות הברית. בשנת 2000 פרסם ארגון הבריאות העולמי רשימה של 91 מדינות בהן קיימים מקרים של מחלת הנסן, 70% מחולי המחלה היו בהודו, מיאנמר, ונפאל. ההערכה היא כי היום (השנים הראשונות של המאה העשרים ואחת) יש בין מיליון לשני מיליון איש הסובלים נכויות עקב המחלה. אולם חולים שקיבלו טיפול תרופתי יעיל, אינם נושאים עוד את החיידק.
בשנת 2020 החל גידול בשכיחותה של הצרעת בארצות הברית, במיוחד במדינת פלורידה. באוגוסט 2023 דווח על עלייה נוספת במקרי הצרעת בפלורידה.
קבוצות סיכון

בקבוצת הסיכון להידבקות במחלה נמנים אלה הבאים במגע עם חולים שאינם מטופלים, שבהם מחלה פעילה, מסוג צרעת לפרומטוזואית, ואנשים החיים במדינות שבהן שכיחות המחלה גבוהה ביותר. מחקרים הצביעו על נטייה גנטית להידבק במחלה.
מושבת מצורעים

בהודו ובפיליפינים קיימות מושבות מצורעים עד ימינו אלה. ארגונים הומניטריים במערב שולחים באופן קבוע חבילות סיוע למושבות מצורעים אלה, בהן אף תחבושות מיוחדות, עשויות כותנה, לחבישת פצעיהם. בשנת 2001 התפרסמה מושבת מצורעים ביפן, כאשר בית משפט מחוזי קבע כי ממשלת יפן לא התייחסה כראוי לחולים אלה והוענקו להם פיצויים.
בפקיסטן, שבה היו 19,398 חולים בשנת 1980, הודברה המחלה, בעיקר הודות לפעולותיה של הנזירה-הרופאה, רות פפאו, שהשקיעה חמישים וחמש שנים מחייה להדברת המחלה במדינה. על מאמציה ופעולותיה קיבלה פקיסטן בשנת 1996 הכרה על ידי ארגון הבריאות העולמי, כאחת המדינות הראשונות באסיה שהצליחו להדביר את מחלת הצרעת.
אישים ידועים שחלו במחלה

בלדווין הרביעי, מלך ירושלים (1161–1185) חלה ונפטר מהמחלה.
פרנציסקוס מאסיזי, מייסד מסדר הפרנציסקנים. הוכרז כקדוש על ידי הכנסייה בגלל פצעי הסטיגמטה שהיו על גופו. לפי אחת הסברות פצעיו היו תוצאה של מחלת הצרעת (1182–1226).
היינריך השביעי, מלך סיציליה ומלך גרמניה (1211–1242).
האב דמיין (אנ), מיסיונר קתולי שסייע לחולים באי מולוקאי שבהוואי ומת מן המחלה (1840–1889).
הארמדיל כעזר נגד צרעת

בשנים האחרונות נמצא שחיידק הצרעת מעדיף טמפרטורות נמוכות במקצת, ומכאן פגיעות האיברים הבולטים בגוף – גפיים ואף. טמפרטורת גופו של הארמדיל נמוכה מטמפרטורת האדם, ויש התולים תקווה בשימוש בארמדיל כחיית מעבדה, שניתן להדביקה בקלות יחסית בצרעת האדם, ואז לנסות עליה תרופות חדשות. זה יאפשר לנסות יותר תרופות מאשר אם ניסויי התרופות יהיו רק על בני אדם חולים. מאמר על כך פורסם ב"סיינטיפיק אמריקן".
לאחרונה דווח שחלק ניכר מהארמדילו גם בטבע וגם בגני חיות ופינות חי אכן נגוע בחיידק צרעת האדם. לכן אכילתו או מגע בו עלולים להדביק אדם בצרעת.
ראו גם

נגע הצרעת
צרעת הבתים
צרעת מרים
פרשת מצורע
פרשת תזריע
בית הנסן
לקריאה נוספת

בטי מרטין, "בית המנודים"
ויקטוריה היסלופ, ״האי של סופיה״
ג׳ף טלריגו, ״דולת הפנינים״
אברהם מורגנשטרן, "צרעת ומצורעים בירושלים במאות ה-19 וה-20", אור עקיבא: איתי בחור – הוצאה לאור, 2019.
הערות שוליים

↑  משרד הבריאות הורה להשתמש בישראל בשם "מחלת הנסן" ולא צרעת בגלל הקונוטציה השלילית לשם צרעת המשמש בעברית במובנים שונים. (ראו מכתב פליקס זגהר)
↑  זהר עמר, מהו השחין בלשון חז"ל, אסיא יט, ג–ד, תשנ"ה, עמ' 65–69
↑  leprosy Novartis (נבדק בתאריך 2021-04-14)
↑  Leprosy, www.who.int (באנגלית)
↑  Neglected tropical diseases, WHO | World Health Organization
↑  Neglected tropical diseases, Uniting to Combat NTDs (באנגלית)
↑  Case Report of Leprosy in Central Florida, USA, 2022, Emerging Infectious Diseases journal, ‏אוגוסט 2023 (באנגלית).
↑  דרור בר-ניר, צרעת בפלורידה, ‏2 באוגוסט 2023.
↑  פלורידה הופכת למוקד של מחלה תנ"כית עתיקת יומין, באתר Hebrewnews, ‏31 ביולי 2023.
↑  Loughry WJ, Truman RW, McDonough CM, Tilak MK, Garnier S, et al.
(2009)
"Is leprosy spreading among nine-banded armadillos in the southeastern United States?" J Wildl Dis 45: 144–152.
↑  Han, Xiang Y.; Silva, Francisco J.; Baker, Stephen (בפברואר 2014). "On the Age of Leprosy". PLOS Neglected Tropical Diseases. 8 (2): e2544. doi:10.1371/journal.pntd.0002544. PMC 3923669. PMID 24551248. {{cite journal}}:  (עזרה)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007563027805171  BnF: cb11938286h (data)  GND: 4035392-8  HDS: 007983  LCCN: sh85076084  NARA: 10664110  NDL: 00569249  NKC: ph122239 
הבהרה: המידע בוויקיפדיה נועד להעשרה בלבד ואינו מהווה ייעוץ רפואי.
חיידקי Mycobacterium leprae בצביעה מיקרוסקופית בשיטת ציל נילסן
מחלת הנסן – נגעי עור על הירך
מצורעים בירושלים בשנת 1906
אוריינטציה (מתמטיקה)

טורוס - יריעה אוריינטבילית. לטורוס שני צדדים - הפנימי (אינו נראה לצופה) והחיצוני (נראה לצופה), ובהתאם שתי אוריינטציות
טבעת מביוס - יריעה לא אוריינטבילית
במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, אוריינטציה היא מבנה שניתן (לעיתים), להגדיר על אובייקט גאומטרי. בדרך כלל, מגדירים את המבנה על יריעה, אך לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר
אוריינטציה נקראת אוריינטבילית. על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב- o אז את השנייה מסמנים ב- -o. יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).
המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיוון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.
באופן פורמלי, ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על מרחב ליניארי ממשי בתור מחלקת שקילות של בסיסים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהם היא חיובית.
אוריינטציה על יריעה חלקה היא אוריינטציה על המרחב המשיק לכל נקודה "התלויה באופן רציף" בנקודה.
באופן פורמלי, על יריעה חלקה  n ממדית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות ממעלה  n תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.
על יריעה טופולוגית  n-ממדית קשירה  X וסגורה (Closed manifold) בחירת אוריינטציה שקולה לבחירת יוצר של חבורת ההומולוגיה העליונה  H_{n}(X;\mathbb {Z} ). יוצר זה נקרא המחלקה היסודית של היריעה.
על יריעה טופולוגית  n-ממדית  X כללית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור התאמה "רציפה" של יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית  H_{n}(X,X-\{x\};\mathbb {Z} ) עבור כל  x\in X.
בניות רבות בגאומטריה בכלל וטופולוגיה דיפרנציאלית בפרט, מתבססת על בחירת אוריינטציה. למשל, מכפלה וקטורית במרחב אוקלידי (תלת־ממדי), אינטגרציה של תבנית דיפרנציאלית על יריעה, מעלה של העתקה (Degree of a continuous mapping) בין שתי יריעות (מאותו ממד), אינדקס חיתוך של שתי תת-יריעות (מממדים משלימים), דואליות פואנקרה (Poincaré duality), וקובורדיזם (Cobordism). כמו כן, ניתן להגדיר כמה אינווריאנטים של יריעות באמצעות מושג האוריינטציה. למשל, אוריינטביליות וכיסוי האוריינטציות.
בניות המתבססות על מושג האוריינטציה תלוית בדרך כלל ב"מוסכמות סימן", כגון כלל יד ימין, מושג הכיוון החיובי וכדומה. בערך זה נשתמש במוסכמות המקובלות ביותר, אך ישנן גם מוסכמות אחרות הנמצאות בשימוש.
מבוא אינטואיטיבי

מושג האוריינטציה הוא מופשט, וקשה באופן כללי לתיאור אינטואיטיבי, אולם במקרים פרטיים הדבר אפשרי.
מבוא אינטואיטיבי > אוריינטציה על עקום

בחירת אוריינטציה על עקום שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. באופן גרפי מקובל לעשות זאת על ידי סימון חץ על העקום. אם העקום אינו קשיר, יש לשים חץ על כל רכיב קשירות.
מכאן אנו רואים שמספר האוריינטציות על עקום עם  n רכיבי קשירות הוא  2^{n}. עובדה זו נכונה גם בממדים גבוהים יותר.
אם העקום נמצא במישור אז בחירת כיוון התקדמות לאורך העקום שקולה לבחירת צד של העקום באופן הבא: אנו מתאימים לכיוון התקדמות מסוים את הצד שנמצא לימיננו כאשר אנו מתקדמים לאורך העקום בכיוון הנבחר.
מבוא אינטואיטיבי > אוריינטציה על משטח במרחב

אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד למשטח הנמצא במרחב,
בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת שדה וקטורי נורמלי למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר. הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק למשטחי-על (Hypersurface), זאת אומרת ליריעות  k ממדיות ב \mathbb {R} ^{k+1}.
בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות כלל יד ימין, כיוון סיבוב במשטח. בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח.
מבוא אינטואיטיבי > אוריינטציה על מרחב אוקלידי ומכפלה וקטורית

כדי להמחיש את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי תלת-ממדי נשתמש במושג המכפלה הווקטורית. נשים לב כי מושג המכפלה הווקטורית מוגדר רק עבור מרחבים אוקלידיים ספציפיים, למשל  \mathbb {R} ^{3} או המרחב הפיזי הסובב אותנו. לא ניתן להגדיר מכפלה וקטורית על מרחב אוקלידי תלת-ממדי מופשט. הסיבה לכך היא שלכלל יד ימין אין משמעות במרחב אוקלידי מופשט. ניתן להתייחס אל מושג האוריינטציה בתור המבנה שנדרש כדי שלכלל יד ימין תהיה משמעות.
על כל מרחב אוקלידי תלת-ממדי ניתן להגדיר מכפלה וקטורית (ולתת משמעות לכלל יד ימין) על ידי בחירת בסיס אורתונורמלי (סדור) למרחב. אולם בסיסים שונים עלולים לתת תוצאות מנוגדות. ניתן להראות שאם דטרמיננטת מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא 1 אז הם יובילו לאותה תוצאה. אולם אם דטרמיננטה זו היא 1- אז התוצאות תהיינה מנוגדות. לאור אבחנה זו, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי בתור מחלקת שקילות של בסיסים אורתונורמליים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים אורתונורמלים שקולים אם דטרמיננטת מטריצת המעבר ביניהן היא 1. הגדרה זו תקפה לממדים גבוהים יותר, אולם מוגבלת למרחבים אוקלידיים.
מבוא אינטואיטיבי > העתקות שומרות אוריינטציה

ניתן לגשת למושג האוריינטציה דרך המושג של העתקות שומרת אוריינטציה.
נתרכז תחילה במקרה הדו-ממדי. כל יריעה דו-ממדית נראית מקומית כקבוצה פתוחה במישור. ניתן לחשוב על קבוצה כזו כעל פיסת בד גמישה מאוד. נניח את היריעה על המישור ונצבע את צידה העליון של היריעה בשחור ואת התחתון בלבן. העתקה מהיריעה למישור היא תהליך שלוקח כל נקודה ביריעה לנקודה חדשה במישור. העתקה כזאת נקראת רציפה אם היא אינה קורעת את היריעה. ההעתקה נקראת שיכון אם נקודות שנות עוברות לנקודות שנות. שיכון רציף שומר אוריינטציה אם הצד השחור נשאר למעלה.
דרך אחרת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא להחליף את פיסת הבד בפיסה שקופה, לצייר עליה ציור של אדם העונד שעון על ידו השמאלית ולהפעיל את ההעתקה. האדם עלול להסתובב ולהתעוות. אולם אם עדיין השעון נמצא על ידו השמאלית אז ההעתקה שומרת אוריינטציה, אם השעון נראה על ידו הימנית אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. תיאור זה מראה כי סיבובים שומרים אוריינטציה בעוד ששיקופים הופכים אותה.
באופן כללי העתקה ליניארית שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה חיובית. העתקה חלקה שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדיפרנציאל שלה בכל נקודה שומר אוריינטציה. עובדה זו תקפה לממדים גבוהים יותר.
מבוא אינטואיטיבי > אוריינטציה וטריאנגולציה > טריאנגולציה של משטחים

טריאנגולציה היא חלוקה של משטח למשולשים באופן ששני משולשים יכולים לגעת אחד בשני רק לאורך צלע (מלאה) או קודקוד. לאחר שביצענו טריאנגולציה למשטח, ניתן להגדר אוריינטציה על המשטח בתור בחירת אוריינטציה על כל אחד מהמשולשים באופן תואם עבור משולשים שכנים.
אוריינטציה על משולש היא בחירה של סדר ציקלי (Cyclic order) על קודקודי המשולש. זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשון, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו.
שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים. זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B (ראה איור).
לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד. יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה. לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות. אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים. לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו טבעת מביוס או בקבוק קליין.
דוגמאות של אוריינטציה באמצעות טריאנגולציות
מבוא אינטואיטיבי > אוריינטציה וטריאנגולציה > המקרה הרב ממדי

גם על יריעות רב ממדיות ניתן לעיתים להגדיר אוריינטציה בדרך זאת. אולם צריך לבצע מספר שינויים בהגדרה, ויש לשיטה זאת מספר מגבלות:
טריאנגולציה (שילוש) של יריעה רב ממדית היא חלוקה שלה לסימפלקסים במקום למשולשים
אוריינטציה על סימפלקס איננה סדר ציקלי על קודקודיו, אלא מחלקת שקילות של יחסי סדר (מלאים) על קודקודיו תחת יחס השקילות הבא: שני יחסי סדר שקולים אם התמורה המעבירה ביניהם היא תמורה זוגית.
יש לשנות בהתאם את מושג ההתאמה בין אוריינטציות על סימפלקסים שכנים.
החל מממד 4 יש יריעות טופולוגיות שלא ניתן לבצע להם טריאנגולציה. מסיבה זאת, לא ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה באופן כללי באמצעות טריאנגולציה.
אוריינטציה על מרחב ליניארי

יהיה  V מרחב ליניארי ממשי  n ממדי.
אוריינטציה על מרחב ליניארי > הגדרה באמצעות בסיסים

ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על  V כך:
הגדרה:
אוריינטציה על  V היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.
מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא טריוויאלי) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.
אוריינטציה על מרחב ליניארי > הגדרה באמצעות בסיסים > אוריינטציה סטנדרטית

על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי.
אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב  \mathbb {R} ^{n}
האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:
נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.
באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה  \langle v,w,v\times w\rangle  נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית.
כמו כן,
במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה.
אוריינטציה על מרחב ליניארי > הגדרה באמצעות תבניות

ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על  V גם באמצעות  n-תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה
 \omega :{\underset {n{\text{ copies }}}{\underbrace {V\times \dots \times V} }}\to \mathbb {R} 
המקיימת:
\omega  ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב- V
\omega  אנטי-סימטרית ביחס להחלפת כל שני משתנים ב- V.
מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי).
כעת ניתן להגדיר
הגדרה: אוריינטציה על  V היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.
הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס  B=\langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle  ב- V אפשר להתאים תבניות  \omega _{B} באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת  \omega _{B}(e_{1},\dots ,e_{n})=1
הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.
אוריינטציה על מרחב ליניארי > אוריינטציה על נקודה

ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש  n=0. במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.
אוריינטציה על מרחב ליניארי > משיכה ודחיפה של אוריינטציה (תחת איזומורפיזם)

יהי  \pi :V\to W איזומורפיזם של מרחבים ליניאריים. כל תבנית  \omega  על  W מגדירה תבנית  \pi ^{*}(\omega ) על  V באופן הבא:  \pi ^{*}(\omega )(v_{1},\dots ,v_{n})=\omega (\pi (v_{1}),\dots ,\pi (v_{n})).
בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה  \pi ^{*}(o) עבור כל אוריינטציה  o על  W
תהליך זה נקרא משיכה לאחור (Pullback) של אוריינטציה.
ניתן גם להגדיר דחיפה קדימה (Pushforward) של אוריינטציה על ידי  \pi _{*}(o):=(\pi ^{-1})^{*}(o).
אוריינטציה על יריעה חלקה

תהי  M יריעה חלקה מממד  n.
אוריינטציה על יריעה חלקה > הגדרה

אוריינטציה  o על  M היא התאמה של אוריינטציה  o_{x} על המרחב המשיק לכל נקודה  x\in X "התלויה באופן רציף" בנקודה  x.
אוריינטציה על יריעה חלקה > הגדרה > הגדרה באמצעות תבניות

אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת תבניות דיפרנציאליות.
תבנית דיפרנציאלית ממעלה  n (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של  n-תבניות אנטי-סימטריות על המרחב המשיק  T_{x}M עבור כל  x\in M.
תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה.
כעת ניתן להגדיר
הגדרה:  M נקראת אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכה. אוריינטציה על  M היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.
נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן ניתנות למיקבול (Parallelizable manifold) (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה  x\in M שלהן בסיס למרחב המשיק  T_{x}(M) בצורה שתלויה באופן חלק ב- x).
אוריינטציה על יריעה חלקה > הגדרה > הגדרה באמצעות אטלסים ומפות

דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על  M היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה.
הגדרה: תהיינה  U,V\subset \mathbb {R} ^{n} קבוצות פתוחות. דיפאומורפיזם  \phi :U\to V נקרא שומר אוריינטציה אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית). אטלס חלק על  M נקרא אוריינטבילי אם העתקות המעבר שלו הן שומרות אוריינטציה. אוריינטציה על  M היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי.
ניתן להראות בעזרת חלוקת היחידה שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות.
אוריינטציה על יריעה חלקה > אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה

נקבע אוריינטציה  o על  .M
יהי  N\subset M משטח-על (Hypersurface) ב- M (זאת אומרת תת-יריעה (Submanifold)  n-1 ממדית).
שדה טרנסברסלי (transverse)  \xi  על  N\subset M הוא התאמה של ווקטור משיק  \xi _{x}\in T_{x}M ל  M בכל נקודה  x\in N כך ש־
בהינתן שדה טרנסברסלי  \xi  על  N, האוריינטציה  o משרה אוריינטציה  o_{N} על  N באופן הבא: תהי  \omega  תבנית המייצגת את  o. נגדיר תבנית  \eta  על  N על ידי
נגדיר את  o_{N} להיות מחלקת השקילות של  .\eta
במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס. שדה נורמלי הוא חתך חלק של האגד הנורמלי (Normal bundle)  .Norm_{N}^{M}:=(T_{M})|_{N}/T_{N} במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של ווקטור במרחב המנה  Norm_{N,x}^{M}:=T_{x}M/T_{x}N לכל נקודה  .x\in N
שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית.
במקרה שעל  M נתונה מטריקה רימנית בנוסף לאוריינטציה  o, אנו מקבלים התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוריינטציות על  N ושדות נורמלים באורך יחידה על  N.
כיוון שעל  \mathbb {R} ^{n} יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח  N ב- \mathbb {R} ^{n} שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על  ,N בדומה למוסבר במבוא.
אוריינטציה על יריעה חלקה > אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה > יריעה עם שפה

אם  M היא יריעה עם שפה (Manifold with boundary) אז השפה  \partial M של  M היא היפר-משטח ב- M. ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על  .\partial M זאת אומרת שדה טרנסברסלי על  \partial M אשר לא נמצא בחצי-מרחב המשיק ל  M באף נקודה  .x\in \partial M האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת האוריינטציה המושרית על  .\partial M
קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.
הערה: אף על פי שהבניות בפרק זה מוגדרות היטב הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על  \mathbb {R} ^{n}, העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון.
אוריינטציה על יריעה חלקה > אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה > שימושים

בעזרת משפט ז'ורדן (Jordan curve theorem) ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור אוריינטביליות:
טענה: היפר-משטח סגור (Closed Hypersurface) (במרחב ליניארי) תמיד אוריינטבילי.
אוריינטציה על יריעה חלקה > משיכה של אוריינטציה (תחת דיפאומורפיזם מקומי)

העתקה חלקה  \phi :M\to N נקראת דיפאומורפיזם מקומי (או העתקת אטאל (Étale morphism)) אם הדיפרנציאל  d_{x}\phi  שלה בכל  x\in M הוא איזומורפיזם. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל  x\in M קיימת סביבה פתוחה  U\subset M כך ש  \phi (U) היא קבוצה פתוחה והצמצום (Restriction)  \phi |_{U}:U\to \phi (U) הוא דיפאומורפיזם.
בהינתן אוריינטציה  o על  N ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה  \phi ^{*}(o) על ידי  .\phi ^{*}(o)_{x}=(d\phi )^{*}(o_{\phi (x)})
במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית  \omega  המייצגת את  o, ולהגדיר את  \phi ^{*}(o) להיות מחלקת השקילות של  .\phi ^{*}(\omega )
העתקת אטאל  \phi :M\to N בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על  N שווה לאוריינטציה  .M
אוריינטציה על יריעה חלקה > אוריינטציה ואינטגרציה

אחת המוטיבציות להגדרת מושג התבניות הדיפרנציאליות היא האפשרות להגדיר אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית. אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה  .M
נקבע אוריינטציה על  .M
תהי  U\subset M קבוצה פתוחה דיפאומורפית ל  .\mathbb {R} ^{n} ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית  \omega  על  U באופן הבא:
כאן  \phi :\mathbb {R} ^{n}\to U הוא דיפאומורפיזם שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על  \mathbb {R} ^{n} מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות.
הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם  \phi  ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו  \phi  היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה מנוגדת.
ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית  U\subset M על ידי חלוקת היחידה.
כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות.
אם  \omega  תבנית הפיכה על  ,M אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על  .M אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב
 \int _{M}|\omega |.
ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש  M לא אוריינטבילית) ע"י:
 \int _{M}|\omega |:=\int _{U}|\omega |,
כאשר
 U:=\{x\in M|\omega _{x}\neq 0\}
אוריינטציה על יריעה חלקה > כיסוי האוריינטציות

תהי  M יריעה. אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה  x\in M של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק  T_{x}M (חיובית או שלילית). נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה  x ב- \operatorname {orient} _{M}(x) (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי  \operatorname {orient} _{M}. כיסוי דו-יריעתי זה נקרא כיסוי האוריינטציות.
אפשר להפוך את כיסוי האוריינטציות לאגד (הנקרא אגד האוריינטציות) או לאלומה (הנקראת אלומת האוריינטציות). באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר את "קרקטר האוריינטציות" של החבורה היסודית  \pi _{1}(M). אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריינטבילי עבור יריעה לא אוריינטבילית.
אוריינטציה על יריעה חלקה > אוריינטציה על אגד ואוריינטציה יחסית

יהי  E אגד וקטורי  n-ממדי מעל מרחב טופולוגי  .X
אוריינטציה על  E היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים (Fibers)
 E|_{x} של  E
התלויה באופן רציף בנקודה  x שמעליה הסיב.
בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה  \phi :M\to N בשני מקרים:
\phi  היא אימרסיה (immersion)
\phi  היא סובמרסיה (submersion)
בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:
 orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad {\mathcal {O}}rient_{M/N},\quad \Omega _{M/N}
כל אלה יהיו אובייקטים מעל  .M
אוריינטציה על יריעה טופולוגית

תהי  M יריעה טופולוגית  n-ממדית. על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על  M נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות  p:Orient_{M}\to M. כמו במקרה החלק, אוריינטציה על  M תהיה חתך (Section) של כיסוי האוריינטציות.
אוריינטציה על יריעה טופולוגית > כיסוי האוריינטציות

כמו במקרה החלק, הגדרת כיסוי האוריינטציות מבוססת על מושג האוריינטציה בנקודה.
הגדרה אוריינטציה בנקודה  x\in M
היא יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית  .H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} ) נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה  x ב- orient_{M}(x)
נשים לב שמכיוון ש  .H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} ) איזומורפית ל- \mathbb {Z} , הקבוצה  orient_{M}(x) בת שני איברים.
נגדיר  orient_{M}:=\bigcup _{x\in M}orient_{M}(x), כאשר הטופולוגיה על orient_{M} מוגדרת, דרך המקרה  M=\mathbb {R} ^{n} על ידי הזיהוי  orient_{\mathbb {R} ^{n}}\cong \mathbb {R} ^{n}\times \{1,-1\}.
קל לראות שאם  M יריעה חלקה אז הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה במקרה החלק.
כמו קודם ניתן להגדיר את האגד  Orient_{M} ואת האלומה  {\mathcal {O}}rient_{M} אבל, להבדיל מהמקרה החלק לא ניתן להגדיר את האגדים  \Omega _{M}^{top} או  .D_{M} שאר הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.
אוריינטציה על יריעה טופולוגית > המחלקה היסודית

נניח כי  M יריעה סגורה (זאת אומרת קומפקטית בלי שפה). תהי  o אוריינטציה על  .M ניתן להרכיב ממחלקות ההומולוגיה  o_{x}\in H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} ) מחלקה אחת ב .H_{n}(M;\mathbb {Z} )
משפט: קיימת ויחידה מחלקת הומולוגיה
 [M]:=[M,o]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )
כך ש
 \forall x\in M:\phi _{x}([M])=o_{x}
כאשר  \phi _{x}:H_{n}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} ) היא ההעתקה הטבעית, ו o_{x}\in H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} ) היא המחלקה שמוגדרת על ידי האוריינטציה  .o
מחלקת הומולוגיה  [M] נקראת המחלקה היסודית (Fundamental class). באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על המחלקה היסודית בתור המחלקה המייצגת את "כל היריעה".
אם  M קשירה אז  [M] יוצרת את חבורת ההומולוגיה  H_{n}(M;\mathbb {Z} ) אשר איזומורפית ל- \mathbb {Z} .
במקרה זה ניתן להגדיר אוריינטציה בתור בחירה של מחלקה יסודית (זאת אומרת בתור יוצר של  H_{n}(M;\mathbb {Z} )). אם  M לא אוריינטבילית (אבל קשירה) אז  H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0).