stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ישו כוכב עליון (סרט)
הסרט

העלילה מבוססת על סיפור השבוע האחרון בחיי ישו על פי המסופר ב"ספרי הבשורה" (האוונגליונים), הכלולים בברית החדשה, בתוספת פרשנות מקורית ו"השלמות" פרי דמיונם של המחברים. העלילה משלבת מוטיבים קומיים ואספקטים מודרניסטיים. הסרט זכה להצלחה קופתית לא רק בזכות הפסקול המקורי שלו, אלא גם הודות לרוח "ילדי הפרחים" המנשבת בו, האלמנטים הקומיים-פארודיים, והשחקנים המשתתפים בו. חלקם זכו לתהילה עוד קודם לכן כשחקנים הראשיים הן בהפקה הבימתית והן באלבום האולפן מ-1970.
בסרט מוטיבים אנכרוניסטיים מכוונים. כך למשל נעשה שימוש בכלי נשק מודרניים כטנקים ומסוקי קרב לצד חניתות ומגינים, מטוסים לצד אתר ארכאולוגי מימי הורדוס וכן פרטי לבוש, מיקרופונים, ואף ראיונות עיתונאיים.
הסרט צולם בישראל ב-1973, באתרים עבדת, בית שאן, בית גוברין - מראשה והרודיון.
נימות גזעניות

בסצנה המתבססת על הבשורה על-פי מתי כ"ז ויוחנן י"ט, מתכנס האספסוף היהודי מול חצר לשכתו של הנציב הרומי פונטיוס פילטוס ותובע בתקיפות: "צלוב אותו!". הם אף מאיימים על פילטוס שאם לא יעשה כן, הם ידווחו לרומא כי הוא אינו נאמן לקיסר ולכן יודח. במילים אחרות, פילטוס מוצג (כמסופר בברית החדשה) כמי שנכפה עליו לצלוב את ישו בגלל שנאה עיוורת של אספסוף יהודי, ולא משום שישו נתפס כמורד במלכות. אם לא די בכך, שתי דמויות שנויות במחלוקת אינן מגולמות על ידי שחקנים לבנים: מרים המגדלית המוצגת כזונה מגולמת על ידי איבון אלימן (Yvonne Elliman), ילידת הוואי, ויהודה איש קריות הבוגד מגולם על ידי שחקן שחור. ישו לעומת זאת, המגולם על ידי טד נילי, הוא בעל תווי פנים צפון אירופיים - עורו לבן ושיערו בהיר.
ראו גם

ישו כוכב עליון - אלבום מוזיקה ומחזמר
הערות שוליים

↑  גם הכושים זועמים על הסרט "ישו כוכב עליון", מעריב, 9 באוגוסט 1973
| --- | --- |
בקרת זהויות :  LCCN: no98038129  MusicBrainz release group: 4dcde40f-63e1-3fa6-87ed-8ef10c3157df   WorldCat (עם LCCN): no98-038129
ל' באדר א'

ל' באדר א' הוא היום השלושים בחודש אדר א', אשר נוסף ללוח העברי רק בשנה מעוברת. ל' באדר א' לעולם לא יחול, בלוח העברי הקבוע, בימים שני, רביעי ושבת, ועל כן הוא משתייך לקבוצת הימים הנקראת "לא בדז".
בשנה פשוטה אין תאריך ל' באדר, והאירועים שאירעו בל' באדר א', מצוינים, על פי רוב השיטות, בתאריך א' בניסן.
חגים ומועדים

א' דראש חודש אדר ב'
אירועים היסטוריים

ה'תקנ"ט – נפוליאון כובש את יפו
ה'תש"ח – 12 הרוגים בפיצוץ מכונית תופת בבית המוסדות הלאומיים בירושלים
ה'תשמ"ד – העיתון "חדשות" יוצא לאור לראשונה
ה'תשס"ח – 8 הרוגים בפיגוע ירי בישיבת מרכז הרב בירושלים.
נפטרו

ה'תש"ח – אריה לייב יפה, משורר ומנהיג ציוני (נולד ב-ה'תרל"ה)
כ"ט באדר – א' באדר – (א' בניסן)
אדר א'
אריה לייב יפה
כתיבה יוצרת

כתיבה יוצרת היא כתיבה שמטרתה אמנותית. תוצאת הכתיבה היוצרת היא טקסט, אשר בדרך כלל, לא ניתן לסווגו כאחת מסוגות הטקסט הנפוצות: טקסט ענייני, טקסט עיוני, רשימה, טקסט מדריך ומפעיל, פרסומת, מכתב או חוזה.
צורות הכתיבה היוצרת הנפוצות הן סיפורת (פרוזה), שירה, מחזה או הגיגים. כתיבה יוצרת היא למעשה תהליך של יצירת טקסט ספרותי.
יסודות הכתיבה היוצרת

יחודה של הכתיבה היוצרת הוא בשימוש הנרחב באמצעים אמנותיים ספרותיים, כגון אמצעים פיגורטיביים, לשוניים, דקדוקיים וטכניקות ספרותיות אחרות. היוצר משתמש באמצעים אמנותיים אלה כדי להעביר בטקסט יותר מאשר מידע יבש. השימוש בהם הוא ההופך את הכתיבה היוצרת לאמנות.
מאז המצאת הכתב החלו אנשים לעסוק בכתיבה יוצרת, כגון סופרים, משוררים ומחזאים. כתיבה יוצרת היא כתיבה חופשית המהווה דרך ליצירתיות, לביטוי עצמי, לחשיבה לא שגרתית ולהעברת מחשבות ורגשות ההופכים למילים. בתקופתנו העיסוק בכתיבה יוצרת הפסיק להיות בהכרח עיסוקו של אדם עם עצמו, ונהוגות בכל העולם סדנאות כתיבה מרובות משתתפים עם מנחים המכוונים את הכתיבה.
כתיבה היא צורך אנושי. הסופר יוצר טקסט המשתמש בכתב ובדקדוק לשם האמנות. סופר מוכשר משתמש בכלים של השפה על מנת ליצור סגנון כתיבה המאפיין אותו. סגנון הכתיבה האישי של היוצר נבנה, בין השאר, מחשיפה לקשת רחבה של סגנונות אחרים. לדעת אנשים רבים, בלתי אפשרי לכתוב טוב בלי לקרוא. בדיוק כשם שכל מי שלומד אמנות פלסטית לומד גם תולדות האמנות ואמנות מודרנית, כך כל מי שרוצה לכתוב צריך להכיר גם את תולדות הספרות, את הספרות הקלאסית ואת הספרות העכשווית. מבחינה זו הכתיבה היוצרת אינה שונה משאר האמנויות. למעשה, הקריאה ורכישת מיומנות הכתיבה שלובים זה בזה.
בניגוד לשאר האמנויות, כתיבה היא אמנות שכל אדם יכול לעסוק בה, בין אם יש לו את הכישרון הנחוץ ובין אם לא. הכתיבה נחשבת לאמנות מאוד אישית, שדי בה אם היא מספקת את יוצרה בלבד. כאשר רוצה היוצר לפרסם את יצירתו, עוברת היצירה בידיו של העורך, המחליט האם וכיצד לפרסמה.
לקריאה נוספת

אורי פרץ-שרון, איך כותבים סיפור - מדריך לכתיבת  פרוזה, הוצאת כתיבה נוצרת, 2014
ארנה קזין, לטפס על ההר, או איך לכתוב, אחוזת בית, 2015
קולום מק'קאן, מכתבים אל סופר צעיר: עצות מעשיות ופילוסופיות, הוצאת עם עובד, 2018.
הגר ינאי, לכתוב ולהוציא לאור - מדריך עכשווי לכתיבת פרוזה ולפרסום ספרים, עם עובד, 2022.
הערות שוליים

↑   מתן חרמוני, האם כדאי לקרוא ספרי הדרכה לכתיבה יוצרת, באתר הארץ, 26 בדצמבר 2014
↑   בני מר, להכיר את הא"ב של הכתיבה, באתר הארץ, 16 בפברואר 2015
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007531260705171  BnF: cb12227916r (data)  GND: 4165550-3  LCCN: sh85033847  LNB: 000082435  NKC: ph126817
ישו המלך

ישו המלך, בתמונת המזבח של גנט של יאן ואן אייק, קתדרלת באוו הקדוש.
בנצרות, ישו המלך הוא כינוי לישו, המתאר אותו כמלך היושב בממלכת האל מימין לאלוהים.
שליחותו כמלך היא אחת משלושת השליחויות המיוחסות לישו: נביא, כומר ומלך.
מוסדות נוצריים רבים משתמשים בכינוי זה בשמותיהם, בהם כנסיות, בתי ספר, בתי חולים ומוסדות דת.
בנצרות הקתולית, מרים, אם ישו, מכונה "מלכת השמיים".
משיחת ישו למלוכה בברית החדשה

בברית החדשה מתואר במספר מקומות כיצד ישו נמשח למלוכה ביציקת שמן המשחה על ראשו.
בבשורה על-פי לוקאס, המלאך גבריאל מודיע למרים, אם ישו: ”והנך הרה וילדת בן וקראת את-שמו ישוע. והוא גדול יהיה ובן-עליון יקרא ויהוה אלהים יתן-לו את-כסא דוד אביו, ומלך על-בית יעקב לעולם ועד ולמלכותו אין קץ.”
באיגרת הראשונה אל טימותיוס מכונה ישו "מלך המלכים ואדוני האדונים", בדומה לביטוי העברי "מלך מלכי המלכים" שהוא כינוי לאלוהים. כינוי זה מופיע גם בחזון יוחנן, בו שה האלוהים מכונה "אדוני האדונים ומלך המלכים".
התייחסות לישו כמלך בנצרות המאוחרת

המסורת הנוצרית מתייחסת לישו כאל מלך. אוסביוס מקיסריה נשא בשנת 314 נאום בו תיאר את ישו כמלך. נאומים דומים נישאו לאחר מכן במהלך המאה ה-4. בכתבים עתיקים רבים, בהם כתביו של קירילוס האלכסנדרוני, מתואר ישו כמלך ממלכת השמיים.
במאי 1899 פרסם האפיפיור לאו השלושה-עשר אנציקליקה אפיפיורית בה התייחס לישו כמלך וציין את אדיקותו בכינוי "הלב הקדוש".
בדצמבר 1922, לאחר תום מלחמת העולם הראשונה, פרסם האפיפיור פיוס האחד עשר אנציקליקה אפיפיורית בה כתב ששלום אמיתי ישרור בעולם רק תחת מלכותו של ישו כ"נסיך השלום".
חג ישו המלך

בדצמבר 1925 פרסם האפיפיור פיוס האחד עשר אנציקליקה נוספת בשם "Quas primas" ("בראשית") בה ציין שמלכותו של ישו ניתנה לו על ידי האל בזכות אדיקותו, ולא הושגה באמצעות אלימות או גזל. באנציקליקה זו ייסד האפיפיור את הסקרמנט "חג ישו המלך", באמצעותו ביקש למתן את ההשפעות הגוברות של מגמות החילון והלאומיות החילונית בעולם. לאומיות זו באה לידי ביטוי גם בחילוקי הדעות בין ממלכת איטליה לבין הכס הקדוש, ואלה נפתרו רק עם חתימת ההסכמים הלטראניים בשנת 1929.
חג ישו המלך מצוין ביום ראשון האחרון לפני האדוונט. האפיפיור פיוס האחד עשר קבע את החג ליום ראשון שלפני חג כל הקדושים, אך מאוחר יותר שינה האפיפיור פאולוס השישי את מועד החג, למועדו הנוכחי.
מוסדות נוצריים הקרויים על שם ישו המלך

בשנת 1926 קיבלה הקהילה הקתולית ברובע מאונט לוקאאוט בסינסינטי אישור מראשי הכנסייה הקתולית להיקרא "כנסיית ישו המלך". במאי 1927 נבנתה עבור הקהילה כנסייה, במבנה המדמה מבנים דתיים בנצרות הקדומה.
לאחר מכן נקראו מוסדות נוצריים רבים על שם ישו המלך, בהם כנסיות, קתדרלות, בתי ספר, בתי חולים ומוסדות דת. פסלים הנקראים בשם זה נבנו בפורטוגל (אנ') ובפולין (אנ').
הערות שוליים

↑  הברית החדשה: הבשורה הקדושה על-פי לוקס, פרק א'
↑  הַבְּרִית הַחֲדָשָׁה: אִגֶּרֶת פּוֹלוֹס הָרִאשׁוֹנָה אֶל־טִימוֹתִיּוֹס, פֶּרֶק ו'
↑  הַבְּרִית הַחֲדָשָׁה: חֲזוֹן יוֹחָנָן, פֶּרֶק י"ז
לאורה ווטילאיינן

| --- | --- |

 לידה:  17 במאי 1975 (בת 49) ייבסקילה, פינלנד 
 שם לידה:  Sanna Laura Voutilainen 
 שם במה:  Laura Voutilainen 
 מוקד פעילות:  פינלנד 
 תקופת הפעילות:  מ-1993 
 סוגה:  מוזיקת פופ 
 חברת תקליטים:  וורנר מיוזיק גרופ 
 www.lauravoutilainen.fi
 פרופיל ב-IMDb
 
סאנה לאורה ווטילאיינן (בפינית: Sanna Laura Voutilainen; נולדה ב-17 במאי 1975) היא זמרת פינית.
ביוגרפיה

לאורה נולדה בייבסקילה. הסינגל הראשון שהוציאה נקרא "Muuttanut oon maailman", וב-1993 הוציאה את השיר "Kerran", אשר נחל הצלחה. ב-1994 הוציאה את אלבומה הראשון. ב-1994 וב-1996 זכתה בפרס המוזיקה אמה ("Emma Award"), בקטגוריית הזמרת הטובה ביותר.
ווטילאיינן השתתפה בתחרות הגמר הלאומית לייצוג פינלנד באירוויזיון 2002 עם השיר "מכורה לך" (מילים של ינינה פריי), וזכתה במקום הראשון. בתחרות האירוויזיון הגיעה למקום העשרים מתוך עשרים וארבעה משתתפים, למרות הפרסום הרב לו זכה השיר.
ב-2007 ניסתה פעם נוספת לייצג את פינלנד באירוויזיון, כאשר פינלנד שימשה כמדינה המארחת של התחרות, אך לא זכתה בתחרות הלאומית.
ביוגרפיה > דיבוב

לקחה חלק במספר הפקות דיבוב במדינתה. דובבה בין היתר את מגארה בסרט הרקולס, את גלוריה במדגסקר ואת ונסה בכוורת בסרט.
חוג ויט

באלגברה מופשטת, חוג ויט (Witt Ring) של שדה F הוא החוג WF שאיבריו הם המרחבים הריבועיים מעל השדה, עד כדי שקילות ויט, יחד עם הפעולות המושרות על ידי הסכום הישר והמכפלה הטנזורית. חוג ויט ממיין את המרחבים הריבועיים האנאיזוטרופיים (מממד סופי) מעל השדה.
לאידיאל הראשי IF של חוג ויט WF, הכולל את התבניות מממד זוגי, והחזקות שלו, חשיבות רבה בתורת המבנה. השערת מילנור מקשרת את המנות  \ I^{n}F/I^{n+1}F לתורת K. תורת השדות הסדורים מספקת מידע על אידיאל הפיתול של חוג ויט.
המונח נקרא על שמו של המתמטיקאי ארנסט ויט, שעסק רבות בתורת התבניות הריבועיות.
תבניות ריבועיות

אם לא נאמר אחרת במפורש,  F הוא שדה ממאפיין שונה מ-2.
תבנית ריבועית מעל  F היא הפונקציה  \ q(x)=b(x,x), כאשר  \ b:V\times V\rightarrow F היא תבנית ביליניארית על מרחב (מממד סופי) V. מרחב וקטורי יחד עם תבנית ריבועית נקרא מרחב ריבועי  (V,q). מרחב ריבועי נקרא אנאיזוטרופי, אם  q(x)=0 רק ל- x=0. בחירת בסיס למרחב V מאפשרת להציג את התבנית כפולינום הומוגני מדרגה 2. יתרה מזאת, במאפיין שונה מ-2 ניתן לבחור הצגה אלכסונית -  q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+...+a_{n}x_{n}^{2}, ואז מסמנים  q=\langle a_{1},...,a_{n}\rangle .
המרחב הריבועי הדו־ממדי  q=\langle 1,-1\rangle  נקרא מישור היפרבולי, ומסומן  \mathbb {H} . סכומים של עותקים שלו נקראים מרחב היפרבולי. לפי משפט, כל מרחב ריבועי  (V,q) אפשר להציג בצורה -  V=0\perp \mathbb {H} ^{m}\perp V' - חלק רדיקלי, חלק היפרבולי וחלק אנאיזוטרופי (לפרטים המלאים ראו בערך תבנית ריבועית).
משפט הצמצום של ויט קובע כי אם  V\perp \mathbb {H} ^{m}\cong V'\perp \mathbb {H} ^{m} אז  V\cong V', ולכן החלק האנאיזוטרופי של מרחב מוגדר היטב.
הגדרה

שני מרחבים ריבועיים  V,V' נקראים שקולים לפי ויט אם יש להם אותו חלק אנאיזוטרופי, כלומר אם יש  n\geq 0 כך ש- \mathbb {H} ^{n}\perp V\cong V'. מחלקת השקילות של כל מרחב אנאיזוטרופי V היא  [V]=\{V\perp \mathbb {H} ^{n},n\geq 0\}.
חוג ויט של השדה, המסומן  W(F), הוא החוג בו:
האיברים הם מחלקות השקילות של היחס הנ"ל.
החיבור הוא סכום ישר של מרחבים. מפורשות -  [\langle a_{1},...,a_{n}\rangle ]\perp [\langle b_{1},...,b_{m}\rangle ]=[\langle a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{m}\rangle ]. איבר האפס הוא המחלקה של מישור היפרבולי.
הכפל הוא מכפלה טנזורית של מרחבים ריבועיים. מפורשות,  [\langle a_{1},...,a_{n}\rangle ]\otimes [\langle b_{1},...,b_{m}\rangle ]=[\langle ...a_{i}b_{j}...\rangle ]. איבר היחידה הוא  [\langle 1\rangle ].
פעולות אלו מוגדרות היטב, והופכות את  W(F) לחוג קומוטיבי.
כחבורה חיבורית, חוג ויט נוצר על ידי האיברים מהצורה  \langle a\rangle . שתי תבניות כאלה הן שקולות אם ורק אם הסקלרים המגדירים אותן שקולים עד כדי ריבועים, כלומר שייכות לאותה מחלקה ב- F^{\times }/F^{{\times }^{2}}.
דוגמאות

חוג ויט של שדה סגור אלגברית הוא  \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} , זאת משום ש- \langle 1\rangle \cong \langle -1\rangle , כלומר  \langle 1,1\rangle =0. בפרט,  W(\mathbb {C} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .
חוג ויט של שדה סגור ממשית הוא  \mathbb {Z} .  ניתן לבנות איזומורפיזם מפורש, על ידי סימן סילבסטר (ראו בפירוט בהמשך). בפרט,  W(\mathbb {R} )=\mathbb {Z} .
לשדה סופי מסדר  q (כאמור ממאפיין שונה מ-2) חוג ויט התלוי בהתחלקות הסדר ב-4:
אם  q\equiv 3{\pmod {4}} אז  W(F)=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} .
אם  q\equiv 1{\pmod {4}} אז  W(F)=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[t]/(t-1)^{2}
העתקת הצמצום

תהי  K/F הרחבת שדות. כל תבנית ריבועית מעל  F היא גם תבנית מעל  K.
פורמלית, העתקת הצמצום (restriction map) היא ההעתקה  res_{K/F}:W(F)\rightarrow W(K) המוגדרת על ידי  res_{K/F}[(V,q)]=[(V\otimes K,q_{K})], כאשר  q_{K}(v\otimes a)=a^{2}q(v). נסמן בקיצור  q_{K}=res_{K/F}(q); זהו הומומורפיזם של חוגים. כלומר, שיכון של שדות עובר להומומורפיזם של חוגים, ההופך בשפה קטגורית את  ההתאמה של שדה לחוג ויט שלו לפונקטור בין קטגוריית השדות לקטגוריית החוגים הקומוטטיביים.
העתקת הצמצום יכולה להעביר תבנית אנאיזוטרופית לתבנית איזוטרופית ואף לתבנית היפרבולית. כעת נראה מהן תכונות ההעתקה.
כל הרחבת שדות ניתן לפרק ל מרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי מהצורה  F\subseteq F_{1}\subseteq K. בנוגע לחלק הטרנסצנדנטי מתקיים:
משפט: אם  F_{1}/F הרחבה טרנסצנדנטית, אז  res_{F_{1}/F} מהווה שיכון חוגים (כלומר, היא חד-חד-ערכית).
בנוגע לחלק האלגברי, התאוריה מעט מסובכת יותר ותלויה בזוגיות ממד ההרחבה.
משפט: הגרעין של העתקת הצמצום של הרחבה ריבועית  K=F_{1}[\delta ] הוא האידיאל הנוצר על ידי  \langle \langle \delta ^{2}\rangle \rangle =\langle 1,-\delta ^{2}\rangle , כאשר  \langle \langle \cdot \rangle \rangle  היא תבנית פיסטר.
כלומר, מתקבלת סדרה מדויקת:  W(F_{1}){\overset {\_\cdot \langle \langle \delta ^{2}\rangle \rangle }{\longrightarrow }}W(F_{1}){\overset {res_{K/F_{1}}}{\longrightarrow }}W(K). כדי להשלים את הסדרה וכך ללמוד על תמונת העתקת הצמצום, מגדירים את העתקת הטרנספר - נגדיר  s:K\rightarrow F_{1} על ידי  s(1)=0,s(\delta )=1, ונגדיר  s_{*}:W(K)\rightarrow W(F_{1}) על ידי  s_{*}(q)(x)=s(q(x)). מתקבלת הסדרה המדויקת: 
 W(F_{1}){\overset {\_\cdot \langle \langle \delta ^{2}\rangle \rangle }{\longrightarrow }}W(F_{1}){\overset {res_{K/F_{1}}}{\longrightarrow }}W(K){\overset {s_{*}}{\longrightarrow }}W(F_{1}), ולכן התבנית  [q]\in W(K) היא צמצום של תבנית מ- W(F_{1}) אם ורק אם  s(q) היפרבולית.
בממד אי זוגי מתקיים:
משפט שפרינגר: אם  F_{1}/F הרחבה ממד אי זוגי, אז אם התבנית  q אנאיזוטרופית מעל  F, כך גם  q_{K}. בפרט,  res_{K/F_{1}} חד-חד-ערכית.
האינווריאנטים הראשונים

אחת השאלת המרכזיות על חוג ויט היא מחקר החזקות של האידיאל היסודי, הכולל את התבניות מממד זוגי.
פורמלית, אם  dim:W(F)\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}  מתאימה לכל מרחב ריבועי את זוגיות הממד שלו, מסמנים  I(F)=ker(dim). כלומר,  I(F) הוא אוסף מחלקות השקילות של תבניות מסדר זוגי. זוגיות הממד מודולו 2 מוגדרת היטב, משום שכל מישור היפרבולי הוא מממד זוגי. האידיאל  I(F) נוצר על ידי כל התבניות מהצורה  <a,b>, או מהצורה  \langle 1,{\frac {b}{a}}\rangle =\langle 1,-c\rangle =\langle \langle c\rangle \rangle , כאשר  \langle \langle \cdot \rangle \rangle  היא תבנית פיסטר.
כעת, מגדירים  \forall n\geq 2:I^{n}(F)=I^{n-1}(F)\cdot I. הם נוצרים על ידי מכפלת  n תבניות פיסטר דו-ממדיות, כלומר מהצורה  \langle \langle c_{1},...,c_{n}\rangle \rangle :=\langle \langle c_{1}\rangle \rangle \otimes ...\otimes \langle \langle c_{n}\rangle \rangle .
אנו מתעניינים בשרשרת האידיאלים  W({F})\supseteq I(F)\supseteq {I}^{2}(F)\supseteq ... והמנות שלהם. נסקור את מבנה המנות  I^{n}(F)/I^{n+1}(F) עבור  n קטן, ונציג את האינווריאנטים הראשונים. בתת-הנושא הבא נראה את התורה הכללית.
האינווריאנטים הראשונים > האינווריאנט האפס

כאמור לעיל, ההעתקה  dim:W(F)\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}  הממפה מרחב אל זוגיות הממד שלו מוגדרת היטב, מהווה הומומורפיזם ובעלת גרעין  I(F), ולכן לפי משפט נתר הראשון מתקיים  W(F)/I(F)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} . אפשר גם להוכיח כי  \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}  מתקבלת כמנה של חוג ויט רק על ידי  I(F).
המנות הראשוניות של חוג ויט הן כולן ציקליות (כלומר מנות של חוג השלמים).
האינווריאנטים הראשונים > האינווריאנט הראשון

כעת נרצה להבין מהי המנה  I(F)/I^{2}(F).
הדטרמיננטה  של מרחב ריבועי היא הדרמיננטה של המטריצה המייצגת שלו, המוגדרת עד כדי ריבועים, כלומר במרחב  F^{\times }/F^{\times ^{2}}. עם זאת, היא לא מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט, כי  det(\mathbb {H} )=-1. לכן, מגדירים את הדיסקרימיננטה -  disc:I(F)\rightarrow F^{\times }/F^{\times ^{2}}, המוגדרת היטב ובעלת גרעין  I^{2}(F), ולכן מהווה איזומורפיזם
 {\overline {disc}}:I(F)/I^{2}(F){\xrightarrow {_{\sim }}}F^{\times }/F^{\times ^{2}}.
מבנה המנה  F^{\times }/F^{\times ^{2}} מעיד גם על היותו של חוג ויט נותרי -  W(F) נותרי אם ורק אם המנה  F^{\times }/F^{\times ^{2}} סופית.
האינווריאנטים הראשונים > האינווריאנט השני

המנה  I^{2}(F)/I^{3}(F) והאינווריאנט השני מעט מסובכים יותר.
ניזכר כי אלגברת קליפורד של מרחב ריבועי היא  C(V,q)=F[v_{1},...,v_{n}|v_{i}v_{j}=-v_{j}v_{i},v_{i}^{2}=q(v)] (ובקיצור  C(q))כאשר הממד זוגי היא מהווה אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה הבסיס, ולכן משרה מחלקת שקילות בחבורת בראואר. במילים אחרות, מקבלים העתקה  \gamma :I(F)\rightarrow Br(F), הנתונה על ידי  [q]\mapsto [C(q)]. ההעתקה מוגדרת היטב, משום שלכל תבנית ממד זוגי מתקיימת הזהות  C(q\perp q')\cong C(q)\otimes C(\langle \langle disc(q)\rangle \rangle \cdot q'), ובפרט  C(q\perp \mathbb {H} )\cong C(q). כעת, כאמור לעיל,  disc אדישה לתבניות מ- I^{2}(F), ולכן צמצום ההעתקה  \gamma :I^{2}(F)\rightarrow Br(F) מהווה הומומורפיזם. אפשר להוכיח כי היא משרה איזומורפיזם 
 {\overline {\gamma }}:I^{2}(F)/I^{3}(F){\xrightarrow {_{\sim }}}_{2}Br(F), כאשר  _{2}Br(F) היא חבורת בראואר מפיתול 2.
האינווריאנטים הגבוהים ותורת K

כעת נציג את התורה הכללית ואת מבנה המנות  I^{n}(F)/I^{n+1}(F) הקשורה לתורת K.
לכל חוג  R מותאמת חבורה אבלית  K_{n}(R), הנקראת חבורת  K ה- nית של מילנור. זוהי החבורה האבלית החופשית בסמלים  \{a_{1},...,a_{n}\}, יחד עם היחסים:
(a_{1},...,a_{i}a_{i'},...a_{n})=(a_{1},...,a_{i},...a_{n})+(a_{1},...,a_{i'},...a_{n})
(...a,..,1-a,...)=0.
נסמן  k_{n}(F)\cong K_{n}(F)/2K_{n}(F).
כעת, השערת מילנור טוענת כי  I^{n}(F)/I^{n+1}(F)\cong k_{n}(F). העתקת האיזומורפיזם היא
 f_{n}:k_{n}(F)\rightarrow I^{n}(F)/I^{n+1}(F), הנתונה על ידי  f_{n}(a_{1},...,a_{n})=\langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle , כאשר  \langle \langle \cdot \rangle \rangle  היא תבנית פיסטר.
קל לראות את קיום הטענה ל n=0,1:
 K_{0}(F) היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל הריק  (), ולכן היא בדיוק  K_{0}(F)=\mathbb {Z} .
 K_{1}(F) היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל  \{a\}, עם היחס  {aa'}={a}+{a'}, והיא בדיוק  K_{1}(F)=F^{\times }.
טיעונים יותר מסובכים מראים כי גם במקרה  n=2 ההגדרות מסתדרות (ראו בקריאה נוספת לפרטים מדויקים).
חוג ויט ושדות סדורים

תורת השדות הסדורים קשורה הדוקות לחוג ויט.
שדה סדור הוא שדה בו ניתן להציב קבוצת חיוביים  P הסגורה לחיבור וכפל, ו- F^{\times }=P\cup -P. כל שדה סדור הוא ממאפיין אפס. שדה סדור הוא אוקלידי אם כל איבר חיובי בו הוא ריבוע של איבר אחר. שדה הוא סגור ממשית אם הוא אוקלידי ולכל פולינום ממעלה אי זוגית בו יש שורש.
שדה נקרא ניתן לסידור אם ניתן להגדיר עליו סדר. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה ניתן לסידור אם ורק אם  -1 איננו סכום של ריבועים, ולכל איבר  a שאינו סכום של ריבועים יש סדר בו  a<0. שדה הוא פיתגורי אם כל ריבוע איבר בו הוא סכום של שני ריבועים.
חוג ויט ושדות סדורים > סימן סילבסטר

כעת, יהי  F שדה סדור עם סדר  \alpha . ההעתקה  sign_{\alpha }:W(F)\rightarrow \mathbb {Z} , הנקראת סימן סילבסטר, היא ההעתקה הממפה תבנית  q=\langle a_{1},...,a_{n}\rangle  למספר האיברים החיוביים פחות השליליים בה. ההעתקה מוגדרת היטב לפי משפט ההתמדה של סילבסטר, ומהווה אפימורפיזם חוגים. אם השדה אוקלידי (ובפרט שדה סגור ממשית) ההעתקה מהווה איזומורפיזם חוגים.
חוג ויט ושדות סדורים > בשדות פיתגוריים

בשדות פיתגוריים מקבלים תורת מבנה מפורשת, המתחלקת לשדה סדור ושדה לא סדור:
משפט: התכונות הבאות שקולות עבור שדה  F:
F פיתגורי ולא ניתן לסידור.
F סגור לריבועים.
W(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .
בפרט אפשר לשים לב שיש 2-פיתול בחוג ויט.
משפט: התכונות הבאות שקולות עבור שדה  F:
F פיתגורי וניתן לסידור.
W(F) חסר פיתול.
W(F) חסר 2-פיתול.
חוג ויט ושדות סדורים > מרחב הסידורים

מרחב הסידורים של השדה הוא אוסף כל הסידורים שלו, המסומן  \mathbb {O} _{F}. מתקיימת ההתאמה הבאה:
משפט: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין סידורים של שדה לאידיאלים ראשוניים של חוג ויט הלא מכילים את 2.
מפורשות, בהינתן אידיאל כנ"ל, נגדיר קבוצת חיוביים:  Pos=\{a\in F:\langle \langle a\rangle \rangle \in P\}. בכיוון ההפוך, בהינתן קבוצת חיוביים  Pos\subseteq F^{\times }, מגדירים את  P להיות האידיאל הנוצר על ידי תבניות פיסטר של איברים מ- Pos.
את מרחב הסידורים ניתן לאפיין כך:  \mathbb {O} _{F}=\{f:F^{\times }\rightarrow \{\pm 1\}:kerf\quad is\quad closed\quad under\quad +\}. הוא משוכן באופן טבעי במרחב  \{\pm 1\}^{F^{\times }}, עליו מוגדרת טופולוגיה - מכפלת טיכונוף, כאשר על  \{\pm 1\} טופולוגיה דיסקרטית.  \mathbb {O} _{F} מקבל את טפולוגיית תת-המרחב. מתקבל כך מרחב בוליאני, כלומר מרחב האוסדורף, בלתי קשיר לחלוטין וקומפקטי לפי משפט טיכונוף.
ל- \mathbb {O} _{F} יש את תת הבסיס המורכב מהקבוצות הפתוחות והסגורות  H_{a}=\{f:F^{\times }\rightarrow \{\pm 1\}:f(a)=1\}.
כעת, מגדירים את הסימן הגלובלי כפונקציה  c:W(F)\rightarrow Maps(\mathbb {O} _{F},\mathbb {Z} ), על ידי  c([q])=\{\alpha \mapsto sign_{\alpha }(q)\}. ניתן להוכיח כי תמונת המיפוי מוכלת באוסף הפונקציות הרציפות, כלומר  c:W(F)\rightarrow C(\mathbb {O} _{F},\mathbb {Z} ). ההעתקה מהווה הומומורפיזם, עם גרעין  _{2^{\infty }}W(F) - הוא קבוצת ה- 2^{\infty }-פיתול של  W(F), 
ובעלת קו-גרעין המהווה אף הוא קבוצה בעלת 2-פיתול.
ייצוגים על ידי יוצרים ויחסים

השערת מילנור שנסקרה לעיל מספקת יצוג באמצעות יוצרים ויחסים לכל המנות  \ I^{n}F/I^{n+1}F. עבור ערכים נמוכים של n ידוע יצוג כזה גם לאידיאלים  \ I^{n}F עצמם
חוג ויט  WF נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הביליניאריות החד-ממדיות  \ \langle a\rangle  (לכל a שונה מאפס), עם היחסים  \ \langle 1\rangle +\langle -1\rangle =0,  \ \langle ab^{2}\rangle =\langle a\rangle , ו- \ \langle a\rangle +\langle b\rangle =\langle a+b\rangle +\langle ab(a+b)\rangle  המתארים את החלק האדיטיבי, והיחס  \ \langle a\rangle \langle b\rangle =\langle ab\rangle  המגדיר את פעולת הכפל.
האידיאל היסודי  \ I^{1}F נוצר על ידי תבניות פיסטר  \ \langle \langle a\rangle \rangle  (לכל  \ a\neq 0) עם היחסים  \ \ \langle \langle 1\rangle \rangle =0,  \ \langle \langle ab^{2}\rangle \rangle =\langle \langle a\rangle \rangle  ו- \ \langle \langle a\rangle \rangle +\ \langle \langle b\rangle \rangle =\ \langle \langle a+b\rangle \rangle +\ \langle \langle ab(a+b)\rangle \rangle  כל אימת ש- \ a+b\neq 0.
ריבוע האידיאל היסודי,  \ I^{2}F נוצר כחבורה חיבורית על ידי התבניות  \ \langle \langle a,b\rangle \rangle  (לכל  \ a,b\neq 0) עם היחסים  \ \ \langle \langle 1,1\rangle \rangle =0;  \ \langle \langle a,b\rangle \rangle =\langle \langle c,d\rangle \rangle  אם התבניות איזוטרופיות; ו- \ \langle \langle ab,c\rangle \rangle +\ \langle \langle a,b\rangle \rangle =\ \langle \langle a,bc\rangle \rangle +\ \langle \langle b,c\rangle \rangle .
מודול ויט במאפיין 2

במאפיין שונה מ-2 אפשר לזהות תבניות ריבועיות וביליניאריות. במאפיין 2 הקשר בין שני סוגי התבניות מסובך יותר, ולכן נחזור על ההגדרה של חוג ויט במקרה הכללי, התקף גם במאפיין 2. חוג ויט הוא חוג-גרותנדיק של התבניות ה*ביליניאריות* הסימטריות הלא-מנוונות, מודולו תבניות היפרבוליות. כל תבנית ביליניארית סימטרית אנאיזוטרופית מתאימה לאיבר יחיד בחוג ויט. תבנית ביליניארית שקולה בחוג ויט לאפס, אם ורק אם היא מטאבולית.
המודול של ויט,  \ I_{q}(F), הוא חבורת גרותנדיק של המונויד של התבניות ה*ריבועיות* הלא-מנוונות מממד זוגי, מודולו המרחבים ההיפרבוליים. המודול נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הדו-ממדיות  \ [a,b] (המייצגות את התבניות  \ q(x_{1},x_{2})=ax_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+bx_{2}^{2}). כחבורה אבלית, הוא מוגדר על ידי היחסים  \ [a,b]+[a,c]=[a,b+c],  \ [a,bc^{2}]=[ac^{2},b] ו- \ [a,ac^{2}+c]=0. פעולת הכפל בסקלר מושרית על ידי המכפלה הטנזורית של תבניות, ואפשר להגדיר אותה גם על ידי הפעולה של יוצרים על יוצרים,  \ \langle c\rangle [a,b]=[ca,c^{-1}b]. מודול ויט נוצר, כמודול מעל חוג ויט, על ידי תבניות פיסטר הריבועיות  \ \langle \langle a]]=[1,a].
על המודול של ויט מוגדר אינווריאנט ארף (אנ'), לפי  \ \operatorname {Arf} ([a_{1},b_{1}]\perp \cdots \perp [a_{n},b_{n}])=\sum a_{i}b_{i}\in F/\wp {F}, כאשר  \ \wp {F}=\{c^{2}+c:c\in F\}. הגרעין של אינווריאנט ארף הוא  \ I_{q}^{2}(F)=I(F)\cdot I_{q}(F). ייצוג של  \ I_{q}^{2}F עם היוצרים  \ [[a,b]]=[[a]]\otimes [[ab\rangle \rangle  נתון על ידי היחסים הבאים: הסמל בי-אדיטיבי וסימטרי; 
 \ [[a,1]]=0;
 \ [[a,bc^{2}]]=[[ac^{2},b]];
 \ [[a,ac^{2}]]=[[a,c]]
(הקישור אינו פעיל). באופן כללי מסמנים  \ I_{q}^{n}(F)=I(F)^{n-1}I_{q}(F).
ראו גם

תבנית ריבועית
תבנית פיסטר
תורת האינווריאנטים
תורת K
שדה סדור
לקריאה נוספת

עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.
Pete L. Clark, Quadratic forms over fields II: Structure of the Witt Ring