מטריצה
מטריצה כייצוג של העתקה ליניארית

אחד השימושים העיקריים למטריצות הוא ייצוג של העתקות ליניאריות בין מרחבים מממד סופי: אם קובעים בסיסים סדורים לשני מרחבים V ו-W, ניתן להתאים לכל העתקה ליניארית מ-V ל-W מטריצה יחידה, וכל מטריצה מייצגת טרנספורמציה ליניארית יחידה. התאמה חשובה זו היא איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות הליניאריות למרחב המטריצות מהגודל המתאים.
כדי לתאר העתקה ליניארית באופן מלא, מספיק לדעת לאן היא מעתיקה וקטורי בסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הליניאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן מועתק כל וקטור, כפי שנדגים מיד.
נניח כי  \,T היא העתקה ליניארית  \ T:V\rightarrow W, ונניח גם שנתונים  \ B=\{{\vec {v_{1}}},...,{\vec {v_{n}}}\} בסיס ל- \ V, ו- \ C=\{{\vec {w_{1}}},...,{\vec {w_{m}}}\} בסיס ל- \ W (ממדי המרחבים הם  \,n ו- \,m בהתאמה).
עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס  \ {\vec {v_{i}}}. משמע, אנו יודעים לייצג כל וקטור  \ {\vec {Tv_{i}}}\in W על פי הבסיס  \ C. נכתוב זאת במפורש:
\ {\vec {Tv_{1}}}=c_{1,1}{\vec {w_{1}}}+c_{2,1}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,1}{\vec {w_{m}}}
\ {\vec {Tv_{2}}}=c_{1,2}{\vec {w_{1}}}+c_{2,2}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,2}{\vec {w_{m}}}
\ {\vec {Tv_{3}}}=c_{1,3}{\vec {w_{1}}}+c_{2,3}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,3}{\vec {w_{m}}}
וכך הלאה עד
\ {\vec {Tv_{n}}}=c_{1,n}{\vec {w_{1}}}+c_{2,n}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,n}{\vec {w_{m}}}
עבור  c_{i,j} איברי המטריצה  [T]_{C}^{B} המתוארת בהמשך.
בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל  \ {\vec {v}}\in V את  \ {\vec {Tv}} על ידי שימוש בליניאריות. ניקח וקטור כלשהו  \ {\vec {v}}\in V, שייצוגו לפי הבסיס  \ B הוא
\ {\vec {v}}=b_{1}{\vec {v_{1}}}+b_{2}{\vec {v_{2}}}+...+b_{n}{\vec {v_{n}}}, נשתמש בליניאריות כדי לקבל
\ {\vec {Tv}}=T(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\vec {v_{i}}})=\sum _{i=1}^{n}b_{i}T({\vec {v_{i}}})
אך כפי שאמרנו, אנו יודעים בדיוק למה שווה כל  \ T({\vec {v_{i}}}), ולכן נציב ונקבל
\ {\vec {Tv}}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(c_{1,i}{\vec {w_{1}}}+c_{2,i}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,i}{\vec {w_{m}}})=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(\sum _{j=1}^{m}c_{j,i}{\vec {w_{j}}}).
נקבץ את המקדמים של כל  \ {\vec {w_{j}}}, ונקבל
\ {\vec {Tv}}=(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{1,i}){\vec {w_{1}}}+(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{2,i}){\vec {w_{2}}}+...+(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{m,i}){\vec {w_{m}}}
בכתיבה פשוטה יותר, וקטור הקואורדינטות של  \ {\vec {Tv}} לפי הבסיס  \ C הוא
\ [{\vec {Tv}}]_{C}=(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{1,i},\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{2,i},...,\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{m,i})
הסימון  \ [{\vec {Tv}}]_{C} משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור  \ {\vec {Tv}} לפי הבסיס  \ C.
כך אנו יודעים כיצד פועלת ההעתקה על וקטור כלשהו  \ {\vec {v}}. נשים לב כי לאחר שבחרנו בסיסים, מספיק לדעת את המקדמים  \ c_{i,j} כדי להגדיר את ההעתקה ואין צורך ברצף המשוואות המסורבל המופיע למעלה, בתנאי שמסכימים מראש על הסדר. המוסכמה המקובלת היא כי המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי הבסיסים הנתונים היא
[T]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3}&...&c_{1,n}\\c_{2,1}&c_{2,2}&c_{2,3}&...&c_{2,n}\\c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3}&...&c_{3,n}\\:&:&:&\ddots &:\\c_{m,1}&c_{m,2}&c_{m,3}&...&c_{m,n}\\\end{bmatrix}}
הסימון  \ [T]_{C}^{B} משמעו: המטריצה המייצגת את ההעתקה  \ T:V\rightarrow W לפי הבסיס  \,B בתחום  \,V והבסיס  \,C בטווח  \,W.
המקדמים במטריצה הם בדיוק המקדמים המופיעים ברצף המשוואות מתחילת הפסקה, בשינוי סדר קל. העמודה ה- \,i במטריצה מורכבת מהמקדמים מהשורה ה- \,i ברצף המשוואות. משמע, העמודה ה- \,i היא ייצוגו של וקטור הבסיס ה- \,i של התחום, לפי הבסיס של הטווח.
במפורש: האיבר ה- \ a_{i,j} במטריצה הוא המקדם ה- \,i בווקטור הקואורדינטות של התמונה של הווקטור ה- \,j בבסיס  \,B, בייצוג על פי הבסיס  \,C. מטריצה מסדר  \ m\times n מייצגת העתקה ממרחב  \,n-ממדי למרחב  \,m-ממדי.
מציאת התמונה של וקטור כלשהו, הופכת עתה לפעולה פשוטה של כפל מטריצות. אם ניקח וקטור כלשהו  \ {\vec {v}}\in V, שייצוגו על פי  \,B הוא
\ {\vec {v}}=b_{1}{\vec {v_{1}}}+b_{2}{\vec {v_{2}}}+...+b_{n}{\vec {v_{n}}},
על מנת למצוא את תמונתו נצטרך פשוט לבצע את כפל המטריצות
[{\vec {T(v)}}]_{C}=[T]_{C}^{B}\cdot [{\vec {v}}]_{B}={\begin{bmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3}&...&c_{1,n}\\c_{2,1}&c_{2,2}&c_{2,3}&...&c_{2,n}\\c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3}&...&c_{3,n}\\:&:&:&\ddots &:\\c_{m,1}&c_{m,2}&c_{m,3}&...&c_{m,n}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\:\\b_{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1,1}b_{1}+c_{1,2}b_{2}+c_{1,3}b_{3}+...c_{1,n}b_{n}\\c_{2,1}b_{1}+c_{2,2}b_{2}+c_{2,3}b_{3}+...c_{2,n}b_{n}\\c_{3,1}b_{1}+c_{3,2}b_{2}+c_{3,3}b_{3}+...c_{3,n}b_{n}\\:\\c_{m,1}b_{1}+c_{m,2}b_{2}+c_{m,3}b_{3}+...c_{m,n}b_{n}\\\end{bmatrix}}
הסימון  \ [{\vec {v}}]_{B} משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור  \ {\vec {v}} לפי הבסיס  \ B.