גאומטריה ביוון העתיקה
סקירה היסטורית > פיתגורס - 572-497 לפנה"ס

במהלך חייו של פיתגורס - שחי בשנים 572-497 לפנה"ס - נאספו סביבו תלמידים שנקראו "הפיתגוראים". הפיתגוראים נחשבו לקבוצה דתית אשר יצרה אסכולה פילוסופית והאמינה כי המספרים הם הבסיס לכל. בנוסף, האמינו הפיתגוראים כי לכל אובייקט ביקום יש מספר ייחודי המתאר אותו. מכיוון שהפיתגוראים האמינו שהמספרים הם הבסיס ליקום, הם האמינו כי ניתן למדוד הכול, כולל אורכים. כדי למדוד אורכים, נדרשת מידה מסוימת. לכן, הפיתגוראים הגדירו "מידה" שבעזרתה ניתן למדוד הכל כיחידה אשר אינה ניתנת לחלוקה.
הפיתגוראים הניחו כי ניתן למצוא מידה משותפת לצלע הריבוע ולאלכסון הריבוע. כלומר שצריכה להיות יחידת אורך (מספר טבעי) הנכנסת  n פעמים באלכסון ו m פעמים בצלע. הפיתגוראים גילו שהטענה שגויה, והסיקו כי צלע ואלכסון הריבוע הם גדלים חסרי מידה משותפת (incommensurable magnitude). בשפה המודרנית, התוצאה שקולה לכך ש- {\sqrt {2}} הוא מספר אי רציונלי. בכתיבה מתמטית, אם נתבונן במשולש שווה-שוקיים וישר-זווית שאורך השוק שלו הוא  a, נקבל ממשפט פיתגורס  {a}^{2}+{a}^{2}={c}^{2} כלומר  c={\sqrt {2}}a והמשמעות היא שאין מספרים טבעיים  n,k,m כך ש  a=nk וגם  c=mk.
בנוסף, איננו יודעים כיצד הפיתגוראים גילו תגלית זו, אך לפי אריסטו אנו יודעים כי הפיתגוראים פעלו בשיטה הבאה: "כך, למשל, מוכיחים את אי קיומה של מידה משותפת בין הצלע לאלכסון, על ידי כך שמניחים את המידה המשותפת ומוכיחים שהמספרים האי-זוגיים הופכים לזוגיים".
ההוכחה המקובלת כיום היא להניח בשלילה כי  {\sqrt {2}} הוא מספר רציונלי ולהגיע לסתירה. ההוכחה מתחילה בהנחה שהשורש של 2 הוא רציונלי, ולכן ניתן לכתוב  {\frac {p}{q}}={\sqrt {2}} כאשר ל- p,q אין גורמים משותפים. מכאן מסיקים ש- p={\sqrt {2}}q ומקבלים ש- p^{2}=2q^{2}, לכן  p^{2} הוא זוגי ו- p הוא זוגי, משמע  p=2k. מכאן  4k^{2}=2q^{2} ולכן  2k^{2}=q^{2} ולכן  q^{2} זוגי ולכן גם  q זוגי וגם  p זוגי בסתירה לכך ש ל- p,q אין גורמים משותפים.
ישנם היסטוריונים שטוענים כי זה אכן מה שהפיתגוראים עשו, אולם בבחינה ביקורתית היסטורית עולות שתי בעיות. הבעיה הראשונה היא שאין סימוכין טקסטואליים לכך – אין טקסט במתמטיקה היוונית המראה כי זו אכן הייתה דרך ההוכחה. הבעיה השנייה היא שסגנון ההוכחה הזה לא מקובל במתמטיקה היוונית. במתמטיקה היוונית לא היו משוואות, לא הייתה העברת אגפים, ולא היה מקובל לסמן משתנים באותיות.
כתוצאה מהבעיות הוצעה אינטרפרטציה חלופית להוכחה, שמתאימה לסוג המתמטיקה שבו השתמשו היוונים, אולם אין סימוכין טקסטואליים המראים שזו אכן הייתה דרך ההוכחה. ההוכחה מתחילה בהנחה ש- DH ו- BD הם גדלים בעלי מידה משותפת, ולכן השטח של  AGFE הוא פעמיים השטח של  DBHI, ומכאן ש- AGFE הוא מספר זוגי. כמו כן, מתקיים ש- AG=DH. צלע זו מייצגת מספר זוגי ולכן הריבוע  AGFE הוא כפולה של 4. אבל  DBHI שטחו חצי מריבוע  AGFE, אז שטחו הוא כפולה של 2 ולכן  DBHI זוגי. מכאן הצלע  BD חייבת להיות זוגית. אבל זו סתירה להנחת היסוד ש- DH או  BD אי זוגי ולכן שני הישרים חסרי מידה משותפת.
קורט פון פריץ, היסטוריון גרמני בן המאה ה-20, נתן השערה לדרך שבה הפיתגוראים גילו את הגדלים חסרי מידה משותפת. ההשערה מסתמכת על אלגוריתם אוקלידס כדי למצוא את המכנה המשותף הגדול ביותר בין שני גדלים  A,B ומניחה שהאלגוריתם תמיד עובד עבור מספרים טבעיים. כמו כן, ההשערה מסתמכת על "חתך הזהב" - בהינתן גודל מסוים, ניתן לחתוך את הגודל כך שהגודל יהיה הממוצע הגאומטרי בין  B ל- A+B כלומר  (A+B):A::A:B, השקול ל- {\frac {A+B}{A}}={\frac {A}{B}}\longrightarrow A={\sqrt {(A+B)B}}. פון פריץ טען כי סביר שהמתמטיקאים היוונים הניחו שהיחס בין צלע מחומש לבין אלכסון המחומש הוא גודל בעל מידה משותפת. לכן, בהינתן מחומש ניתן להראות את הדברים הבאים:  CB הוא חתך הזהב של  AB. כמו כן,  BC=BD, ומכאן מסיקים ש- AD הוא חתך זהב של  AE ואז  DE הוא חתך הזהב של  DF. כלומר מביצוע של תהליך אינסופי כזה ניתן להסיק שאין מידה משותפת בין צלע המחומש לאלכסון שלו.