כפל
תכונות של פעולת הכפל > הוכחה > מערכות מספרים אחרות

חוג המספרים השלמים: נשתמש בבנייה פורמלית של המספרים השלמים, כמחלקות שקילות של היחס  (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c על הקבוצה  \mathbb {N} \times \mathbb {N} , כאשר הכפל מוגדר  [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)], והחיבור מוגדר  [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]:
אסוציאטיביות:  {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce+df,cf+de)]\\&=[(ace+adf+bcf+bde,acf+ade+bce+bdf)]\\&=[(ac+bd,ad+bc)]\cdot [(e,f)]=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]\end{aligned}}
קומוטטיביות:  [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]=[(ca+db,da+cb)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]
איבר יחידה:  [(a,b)]\cdot 1=[(a,b)]\cdot [(1,0)]=[(a+0\cdot b,a\cdot 0+b)]=[(a,b)]
חוק הפילוג:  {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(c+e,d+f)]=[(ac+ae+bd+bf,ad+af+bc+be)]\\&=[(ac+bd,ad+bc)]+[(ae+bf,af+be)]=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}
כפל ב-1:  [(a,b)]\cdot [(0,1)]=[(b,a)]=-[(a,b)]
אין הופכי בשלמים.
שדה המספרים הרציונליים: נשתמש בבנייה פורמלית של המספרים הרציונליים, כמחלקות שקילות של היחס  (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc על הקבוצה  \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}), כאשר הכפל מוגדר  [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)] והחיבור מוגדר  [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]:
אסוציאטיביות:  {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce,df)]=[(ace,bdf)]=[(ac,bd)]\cdot [(e,f)]\\&=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]\end{aligned}}
קומוטטיביות:  [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]=[(ca,db)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]
איבר יחידה:  [(a,b)]\cdot [(1,1)]=[(a,b)]
חוק הצמצום: נשתמש בכך שיש הופכי (יוכח בהמשך) ונקבל:  xy=xz\Rightarrow x^{-1}xy=x^{-1}xz\Rightarrow y=z.
חוק הפילוג:  {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(cf+de,df)]=[(acf+ade,bdf)]\\&=[(acbf+adbe,bdbf)]=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}
כפל ב-1:  [(a,b)]\cdot [(-1,1)]=[(-a,b)]=-[(a,b)]
מספר הופכי:  [(a,b)]\cdot [(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1
שדה המספרים הממשיים: נשתמש בבנייה פורמלית של המספרים הממשיים כמחלקות שקילות של היחס  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\exists N,\forall n>N,|x_{n}-y_{n}|<\varepsilon  על סדרות קושי של מספרים רציונליים, כאשר הכפל מוגדר  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }] והחיבור מוגדר  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:
אסוציאטיביות:
{\begin{aligned}&[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot ([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\cdot z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot (y_{n}\cdot z_{n})\}_{n=1}^{\infty }]\\&=[\{(x_{n}\cdot y_{n})\cdot z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=([\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }])\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\end{aligned}}
קומוטטיביות:  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\cdot x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]
איבר יחידה:  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{1\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot 1\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]
חוק הצמצום: באותה דרך כמו ברציונליים
חוג הפילוג:  {\begin{aligned}&[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot ([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}(y_{n}+z_{n})\}_{n=1}^{\infty }]\\&=[\{x_{n}y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\end{aligned}}
כפל ב-1:  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{-1\}_{n=1}^{\infty }]=[\{-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=-[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]
מספר הופכי: נשתמש בכך שאם יש בסדרת קושי אינסוף אפסים, אז היא שקולה לסדרה  0=\{0\}_{n=1}^{\infty }, ולכן לא צריך להיות לה הופכי. לכן נניח שקיים  N כך שלכל  n>N מתקיים  x_{n}\not =0. נגדיר סדרה  x'_{n}={\begin{cases}x_{n}&&n>N\\1&&n\leq N\end{cases}}. ברור שהסדרה החדשה שקולה לסדרה המקורית, וכן שאין בה אפסים. נקבל:  [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot \left[\left\{{\frac {1}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=[\{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot \left[\left\{{\frac {1}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=\left[\left\{{\frac {x'_{n}}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=[\{1\}_{n=1}^{\infty }]=1
שדה המספרים המרוכבים:
אסוציאטיביות:  {\begin{aligned}(a+bi)\cdot ((c+di)\cdot (e+fi))&=(a+bi)\cdot ((ce-df)+(cf+de)i)=\\&=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i\\&=((ac-bd)+(ad+bc)i)\cdot (e+fi)=((a+bi)\cdot (c+di))\cdot (e+fi)\end{aligned}}
קומוטטיביות:  (a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=(ca-db)+(cb+da)i=(c+di)\cdot (a+bi)
איבר יחידה:  (a+bi)\cdot 1=(a+bi)\cdot (1+0i)=(a\cdot 1-0\cdot b)+(a\cdot 0+b\cdot 1)i=a+bi
חוק הצמצום: באותה דרך
חוג הפילוג:  {\begin{aligned}(a+bi)\cdot ((c+di)+(e+fi))&=(a+bi)\cdot ((c+e)+(d+f)i)=\\&=(ac+ae-bd-bf)+(ad+af+bc+be)i=\\&=((ac-bd)+(ad+bc)i)+((ae-bf)+(af+be)i)=\\&=(a+bi)\cdot (c+di)+(a+bi)\cdot (e+fi)\end{aligned}}
כפל ב-1:  (a+bi)\cdot (-1+0i)=(-a-b\cdot 0)+(-b+a\cdot 0)i=(-a)+(-b)i=-(a+bi)
מספר הופכי:  (a+bi)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)=\left({\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {-ab+ba}{a^{2}+b^{2}}}i\right)=1+0i=1
(הערה: בחלק מההוכחות השתמשנו לא רק בתכונות הכפל של המערכת הקודמת, אלא גם בתכונות של החיבור, עליהן ניתן לקרוא כאן)