מדרג BBGKY
הפיתוח המתמטי

ההתפתחות של מערכת בעלת N חלקיקים בהיעדר פלקטואציות קוונטיות נתונות על ידי משוואת ליוביל עבור פונקציית צפיפות ההסתברות  F_{N}=f_{N}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{N},t) במרחב פאזה 6N-ממדי (3 קואורדינטות מרחביות ו-3 קואורדינטות תנע עבור כל חלקיק):
{\partial \!f_{N} \over \partial \!t}+\sum _{i=1}^{N}{{\overrightarrow {p_{i}}} \over \!m}{\partial \!f_{N} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}+\sum _{i=1}^{N}{\overrightarrow {F_{i}}}{\partial \!f_{N} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}=0
כאשר  {\overrightarrow {q_{i}}} הן הקואורדינטות ו- {\overrightarrow {p_{i}}} הם המומנטים של החלקיק ה-i בעל מסה m. סך הכוח הפועל על החלקיק ה-i הוא:
F_{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\partial \!\Phi _{ij} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}-{\partial \!\Phi _{i}^{ext} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}},
כאשר  \Phi _{i}j({\overrightarrow {q}}_{i},{\overrightarrow {p}}_{i}) היא האנרגיה הפוטנציאלית בין זוג חלקיקים, ו- \Phi ^{ext}({\overrightarrow {q}}_{i}) הוא פוטנציאל חיצוני.
על ידי אינטגרציה על חלק מהמשתנים, ניתן להפוך את משוואת ליוביל לשרשרת משוואות שהראשונה שבהן קושרת את ההתפתחות של פונקציית צפיפות ההסתברות של חלקיק בודד לפונקציית צפיפות ההסתברות של שני חלקיקים, המשוואה השנייה קושרת בין פונקציית צפיפות ההסתברות של שני חלקיקים, עם זו של שלושה חלקיקים וכן הלאה.
באופן כללי, המשוואה ה-s קושרת בין פונקציית צפיפות ההסתברות של s חלקיקים - f_{s}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{s},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{s},t)=\int f_{N}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{N},t)\,d{\overrightarrow {q}}_{s+1}...d{\overrightarrow {q}}_{N}d\,{\overrightarrow {p}}_{s+1}...d{\overrightarrow {p}}_{N}
לבין פונקציית צפיפות ההסתברות של (s+1) חלקיקים.
הקשר בין פונקציית צפיפות ההסתברות של s חלקיקים לזו של (s+1) חלקיקים נתון ע"י:
{\partial \!f_{s} \over \partial \!t}+\sum _{i=1}^{s}{{\overrightarrow {p}}_{i} \over \!m}{\partial \!f_{s} \over \partial \!{\overrightarrow {q}}_{i}}-\sum _{i=1}^{s}(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\partial \!\Phi _{ij} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}-{\partial \!\Phi _{i}^{ext} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}){\partial \!f_{s} \over \partial \!{\overrightarrow {p}}_{i}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {{\partial \!\Phi _{i\ s+1} \over \partial \!{\overrightarrow {q}}_{i}}{\partial \!f_{s+1} \over \partial \!{\overrightarrow {p}}_{i}}d{\overrightarrow {q}}_{s+1}d{\overrightarrow {p}}_{s+1}}.
קשר זה עבור פונקציית צפיפות הסתברות של s חלקיקים מתקבל על ידי ביצוע אינטגרציה על משוואת ליוביל על-פי המשתנים  {\overrightarrow {q}}_{s+1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{s+1}...{\overrightarrow {p}}_{N}.
הבעיותיות במשוואה המתארת את הקשר בין פונקציות צפיפות ההסתברות  f_{s} ו- f_{s+1}, היא שהמשוואה איננה סגורה - כדי לפתור את  f_{s} יש לדעת קודם מה היא  f_{s+1}, שבתורה דורשת לדעת מה היא  f_{s+2}, וכן הלאה עד שמקבלים שוב את משוואת ליוביל השלמה.
עם זאת, אם ישנה אפשרות למדל את  f_{s+1}, יהיה ניתן לפתור את  f_{s}. דוגמה למקרה כזה היא משוואת בולצמן עבור הפונקציה  f_{1}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{1},t), שבמסגרתה נעשה מידול ל- f_{2}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {q}}_{2},{\overrightarrow {p}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{2},t) בהתבסס על הנחת הכאוס המולקולרי. למעשה, במשוואת בולצמן  f_{2}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{2},t) התהליך המוגבל של קבלת משוואת בולצמן מתוך משוואות ליוביל מוכר כגבול בולצמן-גראד.