משפט הפירוק הספקטרלי
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים חסומים צמודים עצמית

כעת נדון במקרה של אופרטור חסום וצמוד עצמית  A על מרחב הילברט כלשהו  {\mathcal {H}}. במקרה זה, הנוסח המקורי של משפט הפירוק הספקטרלי (במקרה הסוף-ממדי או במקרה של אופרטור קומפטי) אינו בהכרח מתקיים. למשל, אופרטור ההכפלה  \left(Tf\right)\left(x\right)=xf\left(x\right) על  L^{2}\left(0,1\right) הוא חסום וצמוד עצמית אבל כלל אין לו ערכים עצמיים. הפתרון לבעיה זו הוא להחליף את קבוצת הערכים העצמיים בספקטרום של  A (אשר בניגוד לקבוצת הערכים העצמיים, מובטח לנו שהוא תמיד אינו ריק). בצורה זו ניתן לקבל הכללות לנוסחים האחרים של המשפט הספקטרלי. במקרה זה, האופרטור לא יתפרק לסכום בן מניה של הטלות, אלא לאינטגרל ביחס למעין מידה על הספקטרום של האופרטור. גם הנוסח השני של המשפט ניתן להכללה בהקשר זה: האופרטור יהיה דומה אוניטרית לאופרטור הכפלה על  L^{2}\left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right) (עבור מרחב מידה מתאים  \left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right)).
כמו במקרים הקודמים, גם כאן המשפט ניתן להכללה לאופרטורים נורמליים. כמו כן, אם  {\mathcal {T}} היא משפחה של אופרטורים חסומים ונורמליים אשר מתחלפים בכפל זה עם זה, ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף לכל משפחת האופרטורים. במקרה זה אלגברת האופרטורים הנוצרת על ידי  {\mathcal {T}} היא אלגברת סי כוכב קומוטטיבית והדבר מאפשר שימוש בטכניקות החזקות של תורת גלפנד כדי לקבל הוכחה קצרה לגרסה כללית זו של המשפט הספקטרלי. לפני הצגת גרסה זו של המשפט, אנו צריכים מספר מושגים מקדימים. למען הפשטות, נניח ש- {\mathcal {H}} הוא מרחב הילברט מעל שדה המספרים המרוכבים.
תהי  {\mathcal {A}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של  {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) (אוסף האופרטורים הליניאריים החסומים על  {\mathcal {H}}).
{\mathcal {A}} נקראת לא מנוונת אם היא מפרידה נקודות ב- {\mathcal {H}}. כלומר, אם  Tv=0 לכל  T\in {\mathcal {A}} אז  v הוא וקטור האפס ב- {\mathcal {H}}. דרישה זו מתקיימת למשל אם אופרטור היחידה  I שייך ל- {\mathcal {A}}.
הספקטרום של  {\mathcal {A}}, אשר מסומן ב- \Sigma :=\sigma \left({\mathcal {A}}\right), הוא אוסף כל הפונקציונלים הליניאריים הכפליים על  {\mathcal {A}}. כלומר, איבר ב- \sigma \left({\mathcal {A}}\right) הוא הומומורפיזם של אלגבראות בנך מ- {\mathcal {A}} ל- \mathbb {C}  אשר אינו הומומורפיזם האפס. ניתן לצייד את הספקטרום בטופולוגיה החלשה-* וכאשר האלגברה  {\mathcal {A}} היא לא מנוונת, מתקבל מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.
אם  T\in {\mathcal {A}},  {\widehat {T}} מסמן את התמרת גלפנד (נקרא גם טרנספורם גלפנד) של  T. זוהי פונקציה מרוכבת רציפה המוגדרת על הספקטרום של  {\mathcal {A}} באופן הבא:  {\widehat {T}}\left(h\right)=h\left(T\right). משפט גלפנד-נאימרק אומר שההעתקה  T\mapsto {\widehat {T}} היא איזומורפיזם של אלגבראות סי כוכב מ- {\mathcal {A}} ל- C_{0}\left(\Sigma \right) (הסימון האחרון מתייחס לאוסף הפונקציות המרוכבות הרציפות על  \Sigma  המתאפסות באינסוף). לכן התמרת גלפנד ההפוכה  f\mapsto T_{f} (המוגדרת להיות פשוט ההעתקה ההפוכה להעתקה  T\mapsto {\widehat {T}}) היא מוגדרת היטב.
B\left(\Sigma \right) הוא אוסף כל הפונקציות המרוכבות על  \Sigma  אשר חסומות ומדידות בורל. גם זו היא אלגברת סי כוכב ביחס לפעולות האלגבריות הנקודתיות, הצמדה קומפלקסית ונורמת הסופרמום.
נוסח המשפט משתמש במושג של מידה  {\mathcal {H}}-הטלתית, שהיא העתקה על מרחב מדיד אשר מחזירה הטלות אורתוגונליות על מרחב ההילברט  {\mathcal {H}} ומקיימת אקסיומות דומות לאלה של מידה חיובית. ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת חסומה ביחס לכל מידה הטלתית. לפרטים, ראו את הערך על מידות הטלתיות.
כעת אנו יכולים לנסח את המשפט הספקטרלי בהקשר הנוכחי.
משפט: תהי  {\mathcal {A}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של  {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) ונניח שהיא לא מנוונת. נסמן ב- \Sigma  את הספקטרום שלה. אזי קיימת מידה  {\mathcal {H}}-הטלתית רגולרית יחידה  P על  \Sigma  כך שמתקיים  T=\int _{\Sigma }{\widehat {T}}\,dP לכל  T\in {\mathcal {A}}. בנוסף, אם  S\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) הוא אופרטור חסום כלשהו, התנאים הבאים שקולים:
S מתחלף עם כל  T\in {\mathcal {A}}.
S מתחלף עם  P(E) עבור כל קבוצת בורל  E\subseteq \Sigma .
S מתחלף עם  \int _{\Sigma }f\,dP עבור כל  f\in B\left(\Sigma \right).
המידה  P במשפט מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל- {\mathcal {A}}.
ההעתקה  f\mapsto T_{f} מציגה את האלגברה  C_{0}\left(\Sigma \right) כאוסף של אופרטורים חסומים על  {\mathcal {H}} (ספציפית, בתור האלגברה  {\mathcal {A}}). ניתן להרחיב הצגה זו ל- B\left(\Sigma \right) באופן הבא. אם  u,v\in {\mathcal {H}}, ההעתקה  f\mapsto \left\langle T_{f}u,v\right\rangle  היא פונקציונל ליניארי חסום על  C_{0}\left(\Sigma \right) בעל נורמה החסומה מלעיל על ידי  \left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert . ממשפט ההצגה של ריס לפונקציונלים ליניאריים חסומים על  C_{0}(\cdot ) נובע שקיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית יחידה  \mu _{u,v} על  \Sigma  כך ש- \left\langle T_{f}u,v\right\rangle =\int _{\Sigma }f\,d\mu _{u,v} לכל  u,v\in {\mathcal {H}} וכך ש- \left\Vert \mu _{u,v}\right\Vert \leq \left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert .  \mu _{u,v} מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל- u ו- v. כעת בהינתן  f\in B\left(\Sigma \right), מתקיים
לכל  u,v\in {\mathcal {H}}. קל לבדוק שהתבנית  \left(u,v\right)\mapsto \int _{\Sigma }f\,d\mu _{u,v} היא ססקווילינארית ואי-השוויון לעיל מראה שהיא חסומה, לכן לפי משפט ההצגה לתבניות ססקווילינאריות חסומות על מרחב הילברט, קיים אופרטור חסום יחיד  T_{f}\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) כך ש- \left\langle T_{f}u,v\right\rangle =\int _{\Sigma }f\,d\mu _{u,v} לכל  u,v\in {\mathcal {H}} וכך ש- \left\Vert T_{f}\right\Vert \leq \left\Vert f\right\Vert _{\mbox{sup}}. בכך הרחבנו את התמרת גלפנד ההפוכה  f\mapsto T_{f} להצגה של האלגברה  B\left(\Sigma \right) כתת-אלגברת סי כוכב של  {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) (המכילה את  {\mathcal {A}}). זהו המפתח להוכחת נוסח זה של המשפט הספקטרלי, שכן כעת ניתן פשוט להגדיר  P\left(E\right)=T_{\chi _{E}} לכל קבוצת בורל  E\subseteq \Sigma , כאשר  \chi _{E} היא הפונקציה המציינת של  E. בכך מתקבלת מידה  {\mathcal {H}}-הטלתית  P אשר מקיימת את כל התכונות במשפט. לכן  P מקיימת גם את השוויון  T_{f}=\int _{\Sigma }f\,dP לכל  f\in B\left(\Sigma \right).
כעת נציג את ההכללה של הנוסח השני של משפט הפירוק הספקטרלי, אשר מדבר על דמיון אוניטרי של אופרטור (או באופן כללי יותר, אלגברת אופרטורים) לאופרטור הכפלה על  L^{2} (או באופן כללי, אלגברה של אופרטורי הכפלה).
משפט: תהי  {\mathcal {A}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של  {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) ונניח שהיא לא מנוונת. נסמן ב- \Sigma  את הספקטרום שלה. אזי קיים מרחב מידה פריק וסמי-סופי  \left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right), העתקה אוניטרית  U:{\mathcal {H}}\to L^{2}\left(\mu \right) והומומורפיזם איזומטרי של אלגבראות סי כוכב  T\mapsto \phi _{T} מ- {\mathcal {A}} ל- L^{\infty }\left(\mu \right) כך ש- UTU^{-1}\psi =\phi _{T}\psi  לכל  \psi \in L^{2}\left(\mu \right) ולכל  T\in {\mathcal {A}}. ניתן לבחור את  \Omega  להיות איחוד זר של עותקים של תתי-קבוצות מסוימות של  \Sigma  כך ש- \mu  היא סופית על כל קבוצה באיחוד ומתקיים  \phi _{T}={\widehat {T}} על כל קבוצה באיחוד. אם  {\mathcal {H}} הוא ספרבילי, ניתן לבחור את  \mu  להיות מידה סופית.
יש חיסרון מסוים בנוסח זה של המשפט הספקטרלי ביחס לנוסח שניתן קודם לכן - מרחב המידה  \left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right) וההעתקה האוניטרית  U, בניגוד למידה ההטלתית  P, אינם נקבעים באופן יחיד על ידי  {\mathcal {A}}. הדבר מקשה על מציאת קריטריון לדמיון אוניטרי בין שני אופרטורים נורמליים חסומים שרירותיים. עם זאת, המשפט עודנו שימושי בנוסח זה. נעיר שלמרות חוסר היחידות במשפט, קיימת בחירה קנונית של מרחב המידה וההעתקה  U, אשר ניתנת על ידי תורת האן-הלינגר של ריבויים ספקטרליים.