stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
חבורת סימטריות מרחבית
חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של סריג

על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות מרחבית פועלת בנאמנות על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח לחבורת הסימטריות המלאה של אותו סריג (הכוללת את כל הפעולות האפשריות). לדוגמה, במקרה החד-ממדי, חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של הסריג  \ \mathbb {Z}  כוללת את השיקוף ואת כל ההזזות במספר שלם. עם זאת, גם החבורה המורכבת משיקוף ומהזזות במספרים זוגיים, ואפילו זו המורכבת מהזזות זוגיות בלבד, נקראת חבורת סימטריות מרחבית.
כל סריג במרחב האוקלידי  \ \mathbb {R} ^{n} הוא אוסף של נקודות  \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}, כאשר L היא מטריצה ריבועית ממשית קבועה, ו-  \ \mathbb {Z} ^{n} הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים.
חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומהרכבות של אלו. הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה. סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת כפל (משמאל) במטריצה אורתוגונלית. החבורה של כל הסימטריות השומרות על נקודת הראשית היא החיתוך  \ S_{0}(\Lambda )=O_{n}(\mathbb {R} )\cap L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}, שהוא חבורה סופית (לפרטים ראו חבורת סימטריות נקודתית). באותו אופן, העתקה אפינית  \ x\mapsto v_{0}+Ax היא סימטריה של הסריג, בדיוק כאשר  \ v_{0}\in \Lambda  ו-  \ A\in S_{0}(\Lambda ). ההעתקות הטהורות  \ x\mapsto x+v_{0} מהוות תת-חבורה נורמלית של חבורת הסימטריות המרחבית (המלאה) של הסריג, וחבורת המנה היא חבורת הסימטריות הנקודתית (המלאה). את המכפלה הישרה למחצה המתקבלת, אפשר להציג באופן מפורש כחבורה של מטריצות:  \ S(\Lambda )=\left({\begin{array}{cc}{S_{0}(\Lambda )}&{\Lambda }\\{0}&{1}\end{array}}\right).
כל תת-חבורה של החבורה הזו קרויה "חבורת סימטריות מרחבית" (מממד n). מכיוון שהסריג דיסקרטי במרחב, גם החבורה המרחבית היא תת-חבורה דיסקרטית של חבורת הסימטריות המתאימה,  \ O_{n}(\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{n}. שלא כמו חבורת הסימטריות המלאה, חבורת סימטריות מרחבית G אינה חייבת להתפרק כמכפלה ישרה למחצה. עם זאת, תת-החבורה J של ההעתקות היא תת-חבורה נורמלית, והמנה G/J היא חבורת הסימטריות הנקודתיות המתאימה ל-G.
חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של סריג > מיון לטיפוסים אפיניים

שתי חבורות סימטריה מרחביות הן בעלות אותו "טיפוס קריסטלוגרפי", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית שומרת כיוון של המרחב (לאלו יש הצורה  \,x\mapsto b+Ax עם דטרמיננטה  \ \det(A)=1). הטיפוס הקריסטלוגרפי הוא הקובע את האופן שבו החבורה פועלת על סריג, והוא המיון העדין ביותר שיש בו טעם. באופן כללי יותר, לשתי חבורות יש אותו "טיפוס אפיני", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית כלשהי. כל טיפוס אפיני מורכב מטיפוס קריסטלוגרפי אחד או שניים; אם חבורה אחת מתקבלת מאחרת על ידי שיקוף של המרחב, אז הן בעלות אותו טיפוס אפיני, אבל לא בהכרח אותו טיפוס קריסטלוגרפי.
בממדים 1 ו-2, אין הבדל בין "טיפוס אפיני" ו"טיפוס קריסלוגרפי", משום שתמונת הראי של סיבוב היא סיבוב בכיוון ההפוך. לעומת זאת, בממד 3, תמונת הראי של סיבוב בורג ימני היא סיבוב בורג שמאלי (ואילו הפעולה ההפוכה לסיבוב בורג ימני היא סיבוב של אותו בורג ימני, עם העתקה בכיוון ההפוך).
משפט ביברבך קובע שבכל ממד, אם שתי חבורות מרחביות הן איזומורפיות זו לזו, אז יש להן אותו טיפוס אפיני. משום כך, לעיתים משתמשים במושג "חבורת סימטריות מרחבית" גם כדי לתאר את טיפוס החבורה, בלי הצגה מפורשת כחבורה אפינית. כשמדובר בקשרים בין חבורה לתת-חבורות, יש להבחין בין הטיפוס לחבורה עצמה; גם חבורת המנה של זוג כזה תלויה בדרך כלל בתת-החבורה עצמה, ולא רק בטיפוס שלה.
פעולות על סריגים תלת-ממדיים

יש 32 חבורות סימטריה נקודתיות, המתאימות ל-14 מחלקות בראבה, השייכות בתורן לשבע מערכות גביש. החבורה הנקודתית משאירה נקודה קבועה במקומה, ופועלת בדרך של שיקוף, סיבוב או הרכבה של פעולות אלה. חבורת כל הסימטריות של סריג מורכבת, כאמור, מן החבורה הנקודתית, ומסימטריות ההזזה של הסריג; סימטריות אלה אינן תלויות במפורש במבנה המדויק של הסריג, אלא רק במחלקת בראבה שאליה הסריג שייך. חבורת הסימטריות המרחבית עשויה לכלול גם פעולות משולבות כמו סיבוב בורג, או החלקה ושיקוף במישור, כפי שיוסבר להלן. מכל הפעולות האלה אפשר לקבל בדיוק 230 חבורות סימטריה מרחביות שונות.
פעולות על סריגים תלת-ממדיים > החלקה במישור וסיבוב בורג

כאמור לעיל, חבורת סימטריות מלאה של סריג n ממדי נוצרת על ידי n הזזות בצירים שונים של הסריג, ועל ידי הסיבובים השומרים על נקודת הראשית קבועה. כאשר מדובר בחבורת סימטריה מרחבית הכוללת רק חלק מן הסימטריות של הסריג, לא תמיד אפשר ליצור אותה על ידי פעולות פשוטות, ויש צורך לאפשר גם פעולות כמו "החלקה במישור" ו"סיבוב בורג", המערבות סיבוב והעתקה.
החלקה במישור היא שיקוף הסריג ביחס למישור קבוע, ואחריו החלקה במקביל לאותו מישור. מקובל לסמן פעולה כזו ב- a, b או c, בהתאם לכיוון ההחלקה (אם זהו אחד מן הכיוונים היסודיים של הסריג). לפעמים ההחלקה אינה בווקטור סריג שלם, אלא בחצי-האלכסון של פאה של תא היחידה ("החלקת-n") או ברבע האלכסון של פאה של התא ("החלקת-d"). להחלקת-d קוראים גם "החלקת יהלום", משום שהיא מופיעה בסריג של היהלום.
סיבוב בורג הוא סיבוב של הסריג ביחס לציר, ואחריו העתקה בכיוון אותו ציר. מסמנים את הפעולה במספר, n, המתאר את הסדר של פעולת הסיבוב (לדוגמה, '3' הוא שליש סיבוב). מידת ההעתקה, ביחידות של וקטור הסריג באותו כיוון, נוספת כאינדקס לסדר הסיבוב.
פעולות על סריגים תלת-ממדיים > סימון

יש כמה שיטות שונות לסימון חבורות מרחביות. האיגוד הבינלאומי לקריסטלוגרפיה מפרסם כרך של טבלאות המתארות את כל החבורות המרחביות, ומתאים לכל אחת מהן מספר ייחודי. פרט למספור המקובל הזה, יש שתי שיטות אחרות: סימון הרמן-מוגן וסימון שנפליס.
סימון הרמן-מוגן (הנקרא גם "הסימון הבינלאומי") הוא הסימון המקובל בתחום, והוא מורכב מארבעה תווים ראשיים. הראשון מתאר את אופי המרכוז של סריג בראבה המתאים לחבורה: P, A, B, C, I, R או F. שלושת הבאים מתארים את פעולות הסימטריה הבולטות ביותר, כאשר מטילים בכיוון הסימטריה העיקרי של הסריג. הסמלים זהים לאלו המשמשים בחבורות נקודתיות, בתוספת האפשרות להחלקה במישור ולסיבובי בורג, שתוארו לעיל. לדוגמה, החבורה המרחבית של הקוורץ היא  \,P3_{1}21, ופירושו של דבר שהיא נוצרת על ידי מרכוז פרימיטיבי של תא היחידה (P), עם שליש סיבוב (והחלקה) בכיוון אחד, מחצית הסיבוב בכיוון אחר, וסיבוב מלא בכיוון שלישי. מן הסימון לא ניתן לקרוא את המערכת הגבישית, אם כי זו נקבעת באופן יחיד לכל חבורה מרחבית (המערכת היא טריגונלית במקרה של הקוורץ).
בשיטת סימון זו, הסימן הראשון ( 3_{1} בדוגמה) קובע את פעולת החבורה בכיוון של הציר הראשי (הציר c במקרה של סריגים טריגונליים), השני מתאר את הפעולה בכיוון השני בגודלו (a ו-b במקרה זה), והשלישי הוא פעולת הסימטריה בכיוון אחר, אם יש כזו. לסריגים טריגונליים יש חבורת סימטריה מרחבית נוספת -  \,P3_{1}12, שבה פעולת מחצית הסיבוב אינה בכיוון הצירים המשניים a ו-b, אלא בכיוון אחר, הנמצא בזווית  \,30^{\circ } מהם.
מיון בממדים נמוכים

אם מתעלמים מן ההסטה שיש בכל פעולה בחבורה, מתקבלת חבורת המנה ביחס לחבורת ההסטות, שהיא חבורת סימטריות נקודתית. מנקודת המבט הזו, הנקודתית, סיבוב בורג שקול לסיבוב הטהור באותה זווית, והחלקת מישור שקולה לשיקוף באותו מישור. באמצעות ניוון מתאים של יוצרי החבורה, אפשר להתאים כל חבורת סימטריות מרחבית לחבורת הסימטריות הנקודתית שלה.
בממד 1 יש רק שני טיפוסים אפיניים: החבורה הדיהדרלית האינסופית, שיש בה סימטריית שיקוף, והחבורה הציקלית האינסופית, המורכבת מהזזות בלבד.
בממד 2 יש 17 חבורות סימטריה מרחביות, הידועות גם כ"חבורות ריצוף" של המישור, או "חבורות סימטריה מישוריות".
בממד 3 יש 230 חבורות סימטריה מרחביות (היינו, 230 טיפוסים קריסטלוגרפיים), השייכות ל-219 טיפוסים אפיניים, מכיוון שכמה חבורות שונות מתמונת המראה שלהן (לדוגמה,  P3_{1}12 ו- P3_{2}12). החבורות האלה מתמיינות ל-32 "מחלקות סריגיות" (crystal classes), על-פי החבורה הנקודתית.
בממד 4 יש 4,895 חבורות סימטריה מרחביות, השייכות ל-4,783 טיפוסים אפיניים
.
להמשך הסדרה לממדים גבוהים יותר, ראו סדרות A004029 ו- A006227 באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים.
מיון בממדים נמוכים > שילוב החבורה הנקודתית והסריג

בחבורת סימטריות מרחבית אפשר לאתר, כאמור, חבורת סימטריות נקודתית, ואחד מסריגי בראבה. עם זאת, ישנם צירופים שעבורם יש כמה חבורות מרחביות שונות, וצירופים אחרים אינם אפשריים כלל.
את 230 החבורות המרחביות אפשר לחלק לשתי קטגוריות:
73 טיפוסי חבורות מרחביות "סימורפיות": אפשר לתאר את כל הסימטריות בחבורה במונחים של צירי סיבוב ומישורי שיקוף ביחס לאותה נקודה, בלי סיבובי בורג והחלקת מישור. אלו החבורות שהן מכפלה ישרה למחצה של חבורת הסימטריות הנקודתית עם חבורת ההזזות השייכות לאותה חבורה.
157 חבורות מרחביות אחרות.
מיון בממדים נמוכים > חבורות פריקות ואי-פריקות

ג'ון קונוויי וויליאם ת'רסטון הציעו חלוקה לחבורות פריקות ואי-פריקות. החבורות המרחביות הפריקות מתאימות ל-17 המחלקות של חבורות ריצופי המישור, ואת שאר 35 החבורות המרחביות יש למיין בנפרד.
חבורות כפולות והיפוך הזמן

בנוסף לחבורות הסימטריה המרחביות, לומדים גם "חבורות מרחביות מגנטיות" ו"חבורות כפולות", המתאימות למבנים סריגיים, שבהם לכל נקודת סריג יש תכונות נוספות. לדוגמה, בחומרים פרומגנטיים, פרימגנטיים או אנטיפרומגנטיים יש חלקיקים בעלי ספין מגנטי. על הסריגים האלה פועלים, בנוסף לסימטריות הרגילות, גם איבר "היפוך זמן", ההופך את הספין המגנטי ואינו משפיע על מבנה הסריג. אם מביאים בחשבון את איבר היפוך הזמן, יש 1,651 "חבורות מרחביות מגנטיות" בשלושה ממדים.
ראו גם

לאונרד זונקה - יוצר התורה של חבורות סימטריה מרחביות
יבגראף פיודורוב – מתמטיקאי וקריסטלוגרף רוסי שגילה את כל 230 חבורות הסימטריה המרחביות.
ארתור מוריץ שנפליס – מתמטיקאי יהודי גרמני שגילה את כל 230 חבורות הסימטריה המרחביות במקביל לפיודורוב.
לקריאה נוספת

International Tables for Crystallography, Volume A, edited by Th. Hahn. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston, 1996.
Conway, John H.; Delgado Friedrichs, Olaf;  Huson, Daniel H.; Thurston, William P. On three-dimensional space groups. Beiträge Algebra Geom. 42 (2001), no. 2, 475--507. From the summary: "An entirely new and independent enumeration of the crystallographic space groups is given, based on obtaining the groups as fibrations over the plane crystallographic groups, when this is possible."
הערות שוליים

↑  H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52.
↑  p.428 Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals. By Shoon Kyung Kim.1999. Cambridge University. Press.ISBN 0521640628
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007563213205171  GND: 4177070-5  LCCN: sh85125936  NDL: 00565653  NKC: ph139049
חפריתיים

| חפריתיים |
| --- | --- |

מיון מדעי
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: דו-חיים
סדרה:: חסרי זנב
תת־סדרה:: מזובטרכיה
על־משפחה:: חפריתאים
משפחה:: חפריתיים
סוג:: חפרית
שם מדעי
 Pelobatidae ‏בונפרטה, 1850
תחום תפוצה


החַפָּרִיתיים (בלטינית: Pelobatidae) היא משפחה בסדרת חסרי הזנב. במשפחה קיים סוג אחד בלבד: חַפָּרִית (Pelobates). סוג זה מכיל ארבעה מינים. המשפחה נפוצה באירופה, ארצות הים התיכון, צפון-מערב אפריקה ומערב אסיה.
מאפיינים

גודלם של החפריתיים משתנה. צבעם של הפרטים דהוי במידת מה. פרטיו הם חסרי זנב הנוהגים לחפור באדמות חוליות. לשם מטרה זו, יש להם בליטה קשה על כפות הרגליים, המאפשרת להם לחפור בחול מבלי לפגוע ברגליהן העדינות. הם מתחפרים במחילות לתקופה ארוכה, ומגיחים מהן בתקופות הגשם. הם מתרבים בשלוליות, אשר לרוב קיימות באופן זמני בלבד. הראשנים של משפחה זו חיים באופן עצמאי בסביבה מימית.
טקסונומיה

המינים במשפחת החפיריתיים הם:
חפרית מצויה (Pelobates syriacus) נקראה בעבר חפרית עין החתול, הנציגה היחידה של המשפחה בישראל.
Pelobates cultripes
חפרית אירופאית מצויה (Pelobates fuscus)
Pelobates varaldii
הערות שוליים

↑  הַחַפָּרִיתִיִּים במילון בעלי חיים א"י (תשכ"ג), 1963, באתר האקדמיה ללשון העברית
| דו-חיים |
| --- | --- | --- |
| חסרי רגליים | תולעניים • תולעני זנב אסייתיים • תולעני זנב ניאוטרופיים • תולענים אפריקניים • תולעני מים • תולענים הודיים • דרמופידיים • הרפליים • אינדוטיפליים • סיפונופידיים |    |
| בעלי זנב | בעלי זנב |    |
| סלמנדרות ענק | סלמנדרות ענקיות • הינוביים |    |
| סלמנדרות | סלמנדרות חפרפרת • אמפיומיים • דיכמפטודוניים • פלתודוניים • פרוטיאוסיים • סלמנדרות אולימפיות • סלמנדריים |    |
| סירנים | סירניים |    |
| חסרי זנב | חסרי זנב |    |
| ארכאובטרכיה | אסקפיים • בומביניים • עגולשוניים • ליופלמיים |    |
| מזובטרכיה | חפריתאים (מגופריים • חפריתיים • חפריתיים אמריקאים • שקעניתיים) •חסרי לשון (חסרי לשוניים • רינופריניים) |    |
| ניאובטרכיה | אילניתאים (סוגלוסיים • רינודרמטיים • מיובטרכיים • לפטודקטיליים • אלסודיים • בטרצ'יליים • קרפדות מקרינות • קליפוטוספליליים • אילניתיים • המיפרקטיים • אמפיגנטודונטים • הלאופריניים • דנדרובטיים • הילודיים • ארומובטיים • צנטרולניים • קרפדיים • ברכיספליים • אלופריניים • קראוגסטוריים • סטרבומנטליים • קיקלורמפידיים • אלאוטרודקטיים • לימנודינסטיים • אודונטופריניים • תלמטוביים) • מיקרוהילאים (ארטרולפתיים • מיקרוהיליים • ברוויסיפיטיים) • צפרדעים (המיסוטיים • היפרוליים • מנטליים • פטרופדיים • צפרדעיים • רקופוריים • פיקסיספלידיים • צרטובטרצ'ידיים • צפרדעי גוליית • דיקרוגלוסיים • צפרדעים מרקדות • ניקטיבטריכיים • אודונטובטרכיים • פרינוברצ'יים • פטיצ'דניים • רניקסיאלידיים) |    |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007533966205171  NKC: ph241628
טורונטו דומיניון בנק

| --- | --- |


 נתונים כלליים
 בורסה:  הבורסה לניירות ערך בטורונטו (TD)  הבורסה לניירות ערך בטוקיו (20 בדצמבר 2008–8640)  הבורסה לניירות ערך בניו יורק (30 באוגוסט 1996–TD)  הבורסה לניירות ערך בלונדון (0VL8) 
 תקופת הפעילות:  1955–הווה (כ־69 שנים) 
 חברות בנות:  Td Securities  TD Bank (USA)  TD Bank (Canada) 
 מיקום המטה:  מרכז טורונטו דומיניון 
 ענפי תעשייה:  שירותים פיננסיים, מימון 
  
 www.td.com
 
טורונטו דומיניון בנק (באנגלית: Toronto-Dominion Bank; בצרפתית: Banque Toronto-Dominion) היא חברה קנדית רב-לאומית המספקת שירותי בנקאות ופיננסים. הבנק מכונה בדרך כלל "TD" ופועל כ"קבוצת TD בנק" (באנגלית: TD Bank Group; בצרפתית: Groupe Banque TD). הבנק נוסד ב-1 בפברואר 1955, כתוצאה ממיזוג "בנק אוף טורונטו" עם "בנק הדומיניון" שהוקמו בשנת 1855 ו-1969, בהתאמה.
בשנת 2017, על פי מסמך שפרסמו סטנדרד אנד פורס, קבוצת TD בנק הייתה לבנק הגדול ביותר בקנדה לפי סך נכסיו, השני בגודלו לפי שווי השוק שלו, והבנק ה-26 בגודלו בעולם.
הבנק וחברות הבת שלו מעסיקים למעלה מ-89 אלף עובדים, ומשרתים מעל 22 מיליון לקוחות מסביב לעולם.
בקנדה, הבנק פועל באמצעות "TD קנדה טראסט" ומשרת מעל 11 מיליון לקוחות ב-1,091 סניפים.
בארצות הברית הבנק פועל כ-"TD בנק", ונוצר כתוצאה ממיזוג "TD בנקנורת'" וקומרס בנק". הבנק בארצות הברית משרת מעל 6.5 מיליון לקוחות עם רשת של מעל 1,241 סניפים במזרח ארצות הברית.
מטה הבנק שוכן בטורונטו שבפרובינציית אונטריו בקנדה.
הערות שוליים

↑  Mehmood, JahanZaib (11 באפריל 2017). "The world's 100 largest banks". S&P Global. נבדק ב-9 באפריל 2018. {{cite journal}}:  (עזרה)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 4837422-2  ISNI: 0000 0001 0943 6503  LCCN: n87810951  VIAF: 140638307   WorldCat (עם VIAF): 140638307
יוהאן פון אנריקס

| --- | --- |

יוהאן פון אנריקס
 לידה:  16 במאי 1861 ביילובאר, האימפריה האוסטרית האימפריה האוסטרית
 פטירה:  12 בינואר 1924 (בגיל 62) בודפשט, הונגריה הונגריה (1920–1945)
 השתייכות:   הצבא האוסטרו-הונגרי
 תקופת הפעילות:  1881–1918 (כ־37 שנים)
 דרגה:   גנרל חיל הרגלים
 תפקידים בשירות
 מפקד הדיוויזיה ה-17 מפקד הדיוויזיה ה-15 מפקד קורפוס אנריקס מפקד הקורפוס ה-12 מפקד ארמיית האיזונצו ה-2
 פעולות ומבצעים
 מלחמת העולם הראשונה
יוהאן נפומוק ריטר פון אנריקס (בגרמנית: Johann Nepomuk Ritter von Henriquez;‏ 16 במאי 1861 – 12 בינואר 1924) היה גנרל בצבא האוסטרו-הונגרי אשר פיקד על כוחות במלחמת העולם הראשונה.
ביוגרפיה > תחילת דרכו

אנריקס נולד ב-16 במאי 1861 בעיר ביילובאר שהשתייכה אז לאימפריה האוסטרית. העיר נמצאת כיום בתחומי קרואטיה. אביו, גוסטב פון אנריקס, היה גנרל-אוברסט בצבא האוסטרי, ויוהאן הלך בדרכו. מיד לאחר שהוא סיים בית ספר יסודי ותיכון באולומואוץ, הוא נרשם ללימודים באקדמיה הצבאית הטרזיאנית בווינר נוישטאדט. הוא למד שם בין השים 1878-1881, ולאחר מכן התגייס לצבא האוסטרו-הונגרי. ב-1884 הוא עבר קורס קצינים בווינה. בנובמבר 1886 הוענקה לו דרגת לויטננט, והוא הוצב בבריגדה ה-55 בקלגנפורט. במאי 1890 הוא הועלה לדרגת האופטמן. באפריל 1892 הוצב במחלקת המיפוי, ובמאי 1893 הועבר למטה הקורפוס ה-9 בבודפשט. בתחילת 1895 הועבר לבוסניה והרצגובינה, ובמאי 1896 מונה לראש מטה הדיוויזיה ה-34. בפברואר 1897 הוא הועבר למלא את אותו התפקיד בדיוויזיה ה-31. בנובמבר 1896 הוא הועלה לדרגת מיור. בנובמבר 1899 הוא הועלה לדרגת אוברסט, ובין 1900-1902 פיקד על גדודים שונים. באוגוסט 1909 הוא מונה למפקד הבריגדה ה-17, ובמקביל פיקד גם על בית הספר לקצינים בפראג. ב-28 באוקטובר של אותה שנה הוא הועלה לדרגת גנרל מיור. באפריל 1912 הוא מונה למפקד הדיוויזיה ה-17, ובנובמבר של אותה שנה הועלה לדרגת פלדמרשל-לוטננט.
ביוגרפיה > מלחמת העולם הראשונה

עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה באוגוסט 1914 נפרסה הדיוויזיה של אנריקס בחזית הסרבית כחלק מהקורפוס השביעי בפיקודו של אוטו מייקסנר פון זווינשטאם. הדיוויזיה נטלה חלק בתחילת הפלישה הראשונה לממלכת סרביה, אולם עד מהרה הועברה לחזית הרוסית כחלק מהארמייה השנייה בפיקודו של אדוארד פון בהם-ארמולי. הוא לחם עם הדיוויזיה בקרב גליציה, ובנובמבר אותה שנה נאלץ לוותר על התפקיד בשל מחלה. לאחר תום חופשת המחלה  שלו ביולי 1915, הוא קיבל את הפיקוד על הדיוויזיה ה-15. הוא פיקד על הדיוויזיה רק חודש, ולאחר מכן מונה להיות מפקד קורפוס אשר נקרא "קורפוס אנריקס" על שמו. גם בתפקיד זה הוא החזיק מעמד רק חודש לפני שהועבר לפקד על הקורפוס ה-12. ב-6 במאי 1916 הוא הועלה לדרגת גנרל חיל הרגלים. ב-23 באוגוסט 1917 הוא הועבר לחזית האיטלקית ומונה למפקד יחידה מיוחדת שכונתה "ארמיית האיזונצו השנייה". אנשיו לחמו בהצטיינות במהלך קרבות הנהר איזונצו וקרב קפורטו. הוא נותר בתפקיד עד ינואר 1918 עת פורקה היחידה שלו ואוחדה עם יחידות אחרות. עם סיום המלחמה ופיזורו של הצבא הקיסרי לקראת סוף אותה שנה, הוא פרש סופית מהצבא.
לאחר המלחמה התגורר אנריקס בבודפשט עד מותו ב-12 בינואר 1924 בגיל 62.
יוהאן פונלנטן

יוהאן פונלנטן בנאווידס (בספרדית: Johan Vonlanthen Benavídez; נולד ב-1 בפברואר 1986 בסנטה מרתה, קולומביה) הוא כדורגלן שווייצרי המשחק בעמדת הקיצוני הימני. פונלנטן שיחק בקבוצות מובילות מהולנד, אוסטריה ומשווייץ ובנבחרת שווייץ. סבו בעל אזרחות שווייצרית, מה שהקנה לו את הזכאות לייצג דווקא את שווייץ ברמה הבינלאומית במקום קולומביה, מולדתו.
קריירה

פונלנטן עלה ממחלקת הנוער של המועדון המקומי יאנג בויז ברן. בעונת 2001/2002, בהיותו רק בן 16, ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה במסגרת ליגת העל השווייצרית. בקיץ של 2003, הוא עבר למועדון הפאר ההולנדי פ.ס.וו. איינדהובן. תחילה שיחק באופן קבוע בהולנד, אך עד מהרה איבד את מקומו בהרכב והושאל למועדון האיטלקי ברשיה בשנת 2005. אחרי 9 משחקים בלבד באיטליה, הושאל שוב פונלנטן למועדון ההולנדי נאק ברדה עד סוף עונת 2005-2006. בקיץ 2006, אחרי שלוש שנים באיינדהובן, פונלנטן חתם במועדון האוסטרי רד בול זלצבורג, וב-13 ביולי 2009, הושאל למועדון השווייצרי פ.צ. ציריך לעונה אחת.
בקיץ 2011 עבר פונלנטן לאיטאחוי מהליגה הקולומביאנית השנייה.
ב-30 במאי 2012, לאחר עונה בקבוצה הקולומביאנית, כאשר במשך רוב העונה היה פצוע בברך, הודיע פונלנטן על פרישתו ממשחק הכדורגל, בגיל 26, מפני שהוא "לא יכול לעמוד בפני האפשרות לעבור ניתוח בברך".
ב-14 במאי 2013 הודיע על חזרה למשחק פעיל, ולאחר מכן חתם בגראסהופרס ציריך. בינואר 2014 הושאל עד תום העונה לשפהאוזן מליגת המשנה השווייצרית. לקראת עונת 2014/2015 חתם בקבוצת סרבט ז'נבה, גם היא מהליגה השנייה.
קריירה > נבחרת לאומית

פונלנטן ערך את הופעת הבכורה שלו במדי נבחרת שווייץ ב-6 ביוני 2004 נגד ליכטנשטיין, לאחר שנכנס כמחליף בדקה ה-81 של המשחק במקומו של אלכסנדר פריי. בסיום המשחק שווייץ ניצחה 1-0. במהלך טורניר יורו 2004, פונלנטן היה לשחקן השני בצעירותו שמשחק בטורניר, אחרי שנכנס כמחליף במשחק נגד אנגליה. ב-21 ביוני 2004, פונלנטן שבר שיא והפך למבקיע הצעיר ביותר במסגרת היורו, אחרי שהשווה במשחק נגד צרפת, ושבר את השיא בן ארבעת הימים בלבד (שקבע וויין רוני במשחק בין אנגליה לשווייץ) בשלושה חודשים. פונלנטן נחשב מאז לשחקן סגל קבוע בנבחרת, וזומן לשחק במהלך מונדיאל 2006, אמנם לא לקח חלק בטורניר בשל פציעה. כמו כן, הוא נכלל בסגלה של שווייץ במהלך טורניר יורו 2008 ובמונדיאל 2010.
חרס דה לה פרונטרה

חרס דה לה פרונטרה (ובקיצור: חרס; בספרדית: Jerez de la Frontera; בתעתיקים מוקדמים יותר נקראה גם Xerez ו-Xeres) היא עיר במחוז קדיס, בקהילה האוטונומית של אנדלוסיה שבדרום ספרד. בעיר, החמישית בגודל אוכלוסייתה באנדלוסיה, היו בשנת 2015 212,876 תושבים. התואר "דה לה פרונטרה" פירושו "של הגבול", והוא מתייחס לתקופה בה עבר הגבול בין הנוצרים למוסלמים בקרבת העיר במהלך הרקונקיסטה.
העיר היא מקורו של יין השרי (וחומץ השרי) ואחד ממרכזי הפלמנקו המקוריים.
מסלול המרוצים בחרס, 2004
העיר היא גם מקום מושבו של מסלול הספורט המוטורי Circuito de Jerez, ביתה של אליפות אופנועי הגרנד פרי, ואחד מהמקומות החשובים לצוותי פורמולה 1 לאימונים מחוץ לעונה. המסלול שימש למרוצי הגרנד פרי של ספרד בשנים 1986–1991 וכן למרוצי הגרנד פרי האירופאי בשנים 1994 ו-1997.
ערים תאומות

ארגנטינה פוארטו איגואסו, ארגנטינה
חבורת סימטריות נקודתית

בקריסטלוגרפיה, חבורת סימטריות נקודתית היא חבורה של העתקות ליניאריות שומרות זווית, שאיבריה מעבירים את הנקודות על סריג כלשהו לנקודות אחרות של אותו סריג, תוך שמירה על נקודה אחת (לפחות) במקומה הקבוע.
לחבורות של סימטריות נקודתיות יש חשיבות רבה במיון הסריגים, בעיקר במרחב הדו-ממדי ובמרחב התלת-ממדי. גם החבורות עצמן מוכרות היטב, וכל אחת מהן זכתה לסימון מיוחד משלה (בממד 3 יש 32 כאלה). על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות נקודתית פועלת בנאמנות על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח לחבורת הסימטריות המלאה של אותו סריג עם אותה נקודה קבועה. למעשה, ממיינים את חבורות הסימטריות הנקודתיות למשפחות, בדיוק לפי גודלן של חבורות הסימטריה המלאות של הסריגים השונים. מאידך, כל חבורת סימטריות מרחבית (בממד 3 יש 230 כאלה) שייכת לאחת מחבורת הסימטריות הנקודתיות (המייצב של נקודת סריג כלשהי תחת פעולת החבורה); כל החבורות המרחביות השייכות לחבורה נקודתית נתונה מרכיבות יחד "מחלקת סריגים".
בהקשר רחב יותר, עשויים לקרוא לכל חבורה של סימטריות צפידות הקובעות את הראשית חבורת סימטריות נקודתיות, בין אם החבורה פועלת על סריג כלשהו, ובין אם לאו.
חבורות סימטריה נקודתיות והסריגים שלהן

אפשר לתאר סריג במרחב האוקלידי  \ \mathbb {R} ^{n} באמצעות מטריצות. אם  \ \Lambda  הוא סריג, אפשר לכתוב כל נקודה עליו כצירוף שלם של וקטורים  \ v_{1},\dots ,v_{n} (כלומר,  \ \Lambda =\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}:a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z} \}). כעת אפשר לאסוף את הווקטורים  \ v_{1},\dots ,v_{n} לעמודות של מטריצה ריבועית L, והסריג שווה לאוסף הנקודות  \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}, כאשר  \ \mathbb {Z} ^{n} הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים.
חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומהרכבות של אלו. הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה. סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת כפל (משמאל) במטריצה אורתוגונלית, כלומר, מטריצה השייכת לחבורה הקומפקטית  \ O_{n}(\mathbb {R} )=\{A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} ):A^{t}A=I\}. כפל במטריצה A כזו שומר על הסריג  \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}, אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה מעל השלמים,  \ P\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} ), כך ש-  \ AL=LP, דהיינו, אם  \ A\in L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}. מכאן שחבורת סימטריות הסיבובים של  \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n} שווה לחיתוך  \ O_{n}(\mathbb {R} )\cap L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}. החיתוך הזה סופי, משום שהחבורה הראשונה קומפקטית והשנייה דיסקרטית.
כאמור לעיל, "חבורת סימטריות נקודתית" (מממד n) היא תת-חבורה של  \ O_{n}(\mathbb {R} )\cap L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}, עבור מטריצה הפיכה L כלשהי. במילים אחרות, מדובר בתת-חבורות של  \ O_{n}(\mathbb {R} ), המוכלות גם בתת-חבורה צמודה ל-  \ \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} ).
חבורות סימטריה נקודתיות והסריגים שלהן > טיפוסים

בחבורה  \ O_{n}(\mathbb {R} ) יש מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 (השומרות על זוויות וכיוונים) ודטרמיננטה  \ -1 (השומרות על זוויות אבל הופכות יד ימנית לשמאלית). תת-החבורה  \ SO_{n}(\mathbb {R} )=O_{n}(\mathbb {R} )\cap \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {R} ), הכוללת מטריצות מן הסוג הראשון בלבד, נקראת 'החבורה האורתוגונלית המיוחדת'. זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 של  \ O_{n}(\mathbb {R} ).
חבורת סימטריות נקודתיות היא מ"טיפוס ראשון", אם היא מוכלת ב-  \ SO_{n}(\mathbb {R} ), ומ"טיפוס שני" אם לא. אם G חבורת סימטריות מטיפוס שני, אז  \ G\cap SO_{n}(\mathbb {R} ) היא תת-חבורה מאינדקס 2 של G.
כאשר n אי זוגי, מטריצת השיקוף  \ -I אינה שייכת ל-  SO_{n}, ואז  \ O_{n}(\mathbb {R} )=SO_{n}(\mathbb {R} )\cdot \langle -I\rangle  (מכפלה ישרה פנימית). במקרה כזה, אפשר להראות שכל חבורת סימטריות נקודתיות מטיפוס שני, שאינה מכילה את I-, איזומורפית (כחבורה מופשטת) לחבורת סימטריות נקודתית מטיפוס ראשון. מכאן יוצא שבמיון החבורות המופשטות העשויות להופיע כחבורות סימטריה נקודתיות, אפשר להניח שהחבורה היא מטיפוס ראשון בעצמה, או שהיא מן הצורה  \ G_{1}\times \langle -I\rangle , כאשר  \ G_{1} מטיפוס ראשון.
יש להבחין כי שתי חבורות צמודות מוכרחות להיות מאותו טיפוס (משום שפעולת ההצמדה שומרת על הדטרמיננטה). באותו אופן, אם חבורה מכילה את השיקוף  \,-I, אז גם כל חבורה צמודה לה מכילה אותו (משום שזוהי מטריצה סקלרית, המתחלפת עם כל פעולת הצמדה).
חבורות הסימטריה הנקודתיות מממד 2 > סקירה

יש 10 חבורות סימטריה נקודתיות מממד 2: 5 מטיפוס ראשון, ו-5 מטיפוס שני. חבורות אלה איזומורפיות ל-9 חבורות מופשטות: החבורות הציקליות מסדר 1,2,3,4 ו- 6, והחבורות הדיהדרליות שסדרן 4,6,8 ו- 12. מכל אלה, רק החבורה הציקלית מסדר 2 מופיעה בשתי הצגות שונות: סימטריית הסיבוב ב-180 מעלות,  \ \left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}}\right), וסימטריית השיקוף  \ \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right). מאלה, רק ארבע חבורות עשויות להופיע כחבורות סימטריה נקודתיות מלאות של סריג, כפי שיתואר בהמשך.