מגבר אופטי
סוגי מגברים > מגבר EDFA (מגבר סיב מאולח ארביום) > משוואות קצב ונוסחאות הגבר

נסמן ב-s את הפרמטרים הקשורים לאות, וב-p את הפרמטרים השייכים לשאיבה.  {\textstyle }\Phi  מייצג את שטף הפוטונים,  {\textstyle }\sigma  את חתך הפעולה,  {\textstyle }N_{i} את מספר האלקטרונים ברמה  {\textstyle }i, והפרמטר  {\textstyle }A_{ij} את קצב המעבר מרמה  {\textstyle }i לרמה  {\textstyle }j (יחס הפוך לזמן החיים ברמה), ונקבל מערכת משוואות דיפרנציאליות:
כדי למצוא את היפוך האוכלוסין,  {\textstyle }\Delta =N_{2}-N_{1}, נציב את התנאי למצב יציב:  {\frac {dN_{i}}{dt}}=0, ונזניח את  {\textstyle }N_{3} (זמן החיים ברמה 3 הוא קצר מאוד). מספר האלקטרונים הכולל יהיה:  {\textstyle }N=N_{1}+N_{2}, ובסופו של דבר נקבל:
\Delta ={\frac {\sigma _{p}\Phi _{p}-A_{21}}{2\sigma _{s}\Phi _{s}+\sigma _{p}\Phi _{p}+A_{21}}}\cdot N
נגדיר את שטף הסף של השאיבה הדרוש להגבר:  \Phi _{th}={\frac {A_{21}}{\sigma _{p}}}={\frac {1}{\sigma _{p}\cdot \tau _{21}}}. עבור ארביום, זמן החיים ברמה 2 הוא:  {\textstyle }\tau _{21}=10_{[sec]}^{-2}, וחתך הפעולה הוא:  \sigma _{p}=2\cdot 10_{[cm^{2}]}^{-21}, ולכן נקבל:  \Phi _{th}=5\cdot 10_{[cm^{-2}sec^{-1}]}^{22}
כאשר הגל השואב מתקדם בתוך המגבר, הפוטונים נבלעים ומעלים את האלקטרונים לרמה גבוהה יותר, כך שככל שמתקדמים לאורך המגבר יש פחות ופחות פוטונים, ולכן גם אלקטרונים ברמה גבוהה, עד שלאחר מרחק מסוים לא יהיו יותר אלקטרונים ברמה העליונה כלל. כאשר האות מתקדם בתוך המגבר, בתחילה הוא יגרום לאלקטרונים ברמה הגבוהה לרדת לרמת היסוד תוך פליטת פוטון (פליטה מאולצת), אולם כאשר האות יגיע לאזור בו אין אלקטרונים ברמה העליונה, פוטונים של האות ייבלעו והאות ילך וידעך עם המרחק. כדי לא להגיע למצב של איבוד עוצמה של האות צריך לבחור את אורך הסיב האופטימלי, כלומר לדאוג שלכל אורך הסיב יתקיים:  \textstyle \Phi _{p}>\Phi _{th}, ואת זאת עושים בעזרת פתרון (נומרי) של משוואות ההגבר:
מתוך המשוואה השנייה ניתן לראות שעוצמת השאיבה תמיד דועכת עם המרחק (כפי שציפינו).
נכתוב מחדש את המשוואה הראשונה:
{\frac {d\Phi _{z}}{dz}}={\frac {1}{1+{\frac {2\sigma _{s}\Phi _{s}}{\sigma _{p}\Phi _{p}+A_{21}}}}}\cdot {\frac {\sigma _{p}\Phi _{p}-A_{21}}{\sigma _{p}\Phi _{p}+A_{21}}}\cdot N\sigma _{s}\Phi _{s}={\frac {1}{1+{\frac {\Phi _{s}}{\Phi _{sat}}}}}\cdot g(z)\Phi _{s}
כאשר  g(z)={\frac {\sigma _{p}\Phi _{p}-A_{21}}{\sigma _{p}\Phi _{p}+A_{21}}}\cdot N\sigma _{s}={\frac {\Phi _{p}/\Phi _{th}-1}{\Phi _{p}/\Phi _{th}+1}}\cdot N\cdot \sigma _{s} הוא ההגבר, ושטף הרוויה הוא:  \Phi _{sat}={\frac {\sigma _{p}\Phi _{p}+A_{21}}{2\sigma _{s}}}.
עבור סיגנל חלש,  \textstyle \Phi _{s}<<\Phi _{sat},ובהנחה שהשאיבה חזקה מספיק כך שגם לאחר מרחק גדול יחסית עדיין מתקיים  \textstyle \Phi _{p}>>\Phi _{th} (כך שההגבר g אינו תלוי במיקום) המשוואה תקבל את הצורה:  {\frac {d\Phi _{s}}{dz}}=g\cdot \Phi _{s}, ופתרון המשוואה הוא הגבר אקספוננציאלי:  \Phi _{s}(z)=\Phi _{s}(0)\cdot e^{g\cdot z}.
עבור סיגנל חזק,  \textstyle \Phi _{s}>>\Phi _{sat}, המשוואה תהיה:  {\frac {d\Phi _{s}}{dz}}={\frac {\Phi _{sat}}{\Phi _{s}}}\cdot g(z)\Phi _{s}=\Phi _{sat}\cdot g(z), וההגבר יהיה ליניארי:  \Phi _{s}(z)=z\cdot \Phi _{sat}\cdot g(z)+\Phi _{s}(0).
אם נעבור ממשוואות עבור השטף למשוואות עבור ההספק אשר נתון על ידי:  P_{s}=\Phi _{s}{\frac {hc}{\lambda _{s}}}\cdot A_{eff}, כאשר h הוא קבוע פלאנק, c - מהירות האור ו-Aeff הוא השטח האפקטיבי של האלומה העוברת בתוך ליבת הסיב (את קוטר האלומה ניתן לחשב בעזרת התדירות המנורמלת (V-number), וקוטר ליבת הסיב הוא בדרך כלל 3–4 מיקרומטר), נקבל בסופו של דבר (לאחר העברת אגפים ואינטגרציה על אורך הסיב) משוואה טרנסצנדנטית המתארת את הגברת המגבר:
{\frac {P_{out}}{P_{in}}}=G=G_{0}\cdot \exp \left[-{\frac {G-1}{G}}\cdot {\frac {P_{out}}{P_{sat}}}\right]=G_{0}\cdot \exp \left[(1-G)\cdot {\frac {P_{in}}{P_{sat}}}\right]
כאשר  \textstyle {P_{in}} ו-  \textstyle {P_{out}} הם ההספקים של האות בכניסה וביציאה מהמגבר, ואילו  \textstyle {P_{sat}} ו-  \textstyle {G_{0}} הם פרמטרים המאפיינים את המגבר. בהינתן מגבר, ניתן בעזרת 2 מדידות (כלומר להכניס סיגנלים בעוצמות ידועות ולמדוד את העוצמות ביציאה) למצוא את הפרמטרים ובעזרתם לחשב את הספק היציאה עבור כל הספק כניסה.