מידה הטלתית
המבנה של מידות הטלתיות

אם  \left(\Omega ,{\mathcal {M}}\right) הוא מרחב מדיד,  P_{1} היא מידה  {\mathcal {H}}_{1}-הטלתית על  \left(\Omega ,{\mathcal {M}}\right) ו- P_{2} היא מידה  {\mathcal {H}}_{2}-הטלתית על אותו מרחב מדיד, אז אומרים ש- P_{1} ו- P_{2} הן דומות אוניטרית אם קיימת העתקה אוניטרית  S:{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2} כך ש- SP_{1}\left(A\right)S^{-1}=P_{2}\left(A\right) לכל  A\in {\mathcal {M}}.
תורת המבנה של מידות הטלתיות שואפת לייחס קבוצת אינווריאנטות לכל מידה הטלתית אשר מאפיינת אותה לחלוטין עד כדי דמיון אוניטרי. המוטיבציה למציאת אינווריאנטות שכאלה נובעת מהתפקיד שמידות הטלתיות משחקות בתורה הספקטרלית, בה מייצגים אופרטורים נורמליים כאופרטורי אינטגרציה ביחס למידה הטלתית. אפיון של מחלקת המידות ההטלתיות עד כדי דמיון אוניטרי נותן כלי לבדיקה אם שני אופרטורים נורמליים על מרחב הילברט הם דומים אוניטרית (לפרטים נוספים, ראו משפט הפירוק הספקטרלי).
האפיון המדובר ניתן על ידי משפט האן-הלינגר, הקרוי על שמם של האנס האן וארנסט הלינגר. למשפט יש שני נוסחים ונציג את שניהם. כדי להימנע מקשיים טכניים, נציג את המשפט במקרה בו המידה ההטלתית פועלת על מרחב הילברט מרוכב וספרבילי. נשתמש בסימון  \mu \ll \nu , כאשר  \mu  ו- \nu  הן מידות חיוביות על אותו מרחב מדיד, אם  \mu  היא רציפה בהחלט ביחס ל- \nu , כלומר אם  \nu \left(E\right)=0\Rightarrow \mu \left(E\right)=0 לכל קבוצה מדידה  E. אם מתקיים  \mu \ll \nu  וגם  \nu \ll \mu , נאמר ש- \mu  ו- \nu  הן מידות שקולות ונסמן  \mu \sim \nu . פירוש הדבר הוא של- \mu  ו- \nu  יש את אותן קבוצות ממידה אפס. זהו יחס שקילות ומחלקת השקילות של  \mu  ביחס זה תסומן  \left[\mu \right].
משפט האן-הלינגר (נוסח ראשון): תהי  P מידה  {\mathcal {H}}-הטלתית על מרחב מדיד  \left(\Omega ,{\mathcal {M}}\right) ונניח ש- {\mathcal {H}} הוא מרחב הילברט מרוכב ספרבילי. אזי קיימת סדרה של מידות חיוביות סופיות  \mu _{1}\gg \mu _{2}\gg \mu _{3}\gg \cdots  על  \left(\Omega ,{\mathcal {M}}\right) והעתקה אוניטרית  S:{\mathcal {H}}\to \sum _{n=1}^{\infty }L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu _{n}\right) כך ש- SP\left(A\right)S^{-1}f=\chi _{A}f לכל  A\in {\mathcal {M}} ולכל  f\in \sum _{n=1}^{\infty }L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu _{n}\right).
אם  \nu _{1}\gg \nu _{2}\gg \nu _{3}\gg \cdots  היא סדרה נוספת של מידות חיוביות סופיות עם התכונה לעיל (כלומר, קיימת עבורה העתקה אוניטרית  S_{1}:{\mathcal {H}}\to \sum _{n=1}^{\infty }L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\nu _{n}\right) כך ש- S_{1}P\left(A\right)S_{1}^{-1}f=\chi _{A}f לכל  A\in {\mathcal {B}} ולכל  f\in \sum _{n=1}^{\infty }L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\nu _{n}\right)), אז לכל  n\geq 1, המידות  \mu _{n} ו- \nu _{n} הן שקולות.
מהוכחת המשפט גם נובע שהמחלקה  \left[\mu _{1}\right] המתאימה למידה  P היא טיפוס ספקטרלי מקסימלי עבור  P. בכך לומר ש- \mu _{1}=P_{v,v} עבור איזשהו  v\in {\mathcal {H}} ומתקיים  P\left(B\right)=0\iff \mu _{1}\left(B\right)=0 לכל  B\in {\mathcal {M}}.
לצורך הצגת הנוסח השני של משפט האן-הלינגר, נגדיר קודם מספר מושגים:
שתי מידות חיוביות  \mu ,\nu  על אותו מרחב מדיד נקראות סינגולריות הדדית אם קיימות תתי-קבוצות זרות ומדידות  A,B של המרחב כולו כך ש- \mu (A)=0 ו- \nu (B)=0. במילים אחרות,  \mu  ו- \nu  "חיות" בחלקים שונים של המרחב.
עבור מידה  \mu  ומספר טבעי  n\geq 1,  nL^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right) מסמן את הסכום הישר של  n עותקים של המרחב  L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right). ניתן לחשוב על מרחב זה גם כעל המרחב  L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu ,\mathbb {C} ^{n}\right) של כל הפונקציות המדידות  f:X\to \mathbb {C} ^{n} שאינטגרביליות בריבוע, כלומר שעבורן  \int _{X}\left\Vert f\left(x\right)\right\Vert ^{2}d\mu \left(x\right)<\infty  (כאן  \left\Vert \cdot \right\Vert  מסמן נורמה כלשהי על  \mathbb {C} ^{n}). הפעולות האלגבריות והמכפלה הפנימית על מרחב זה מוגדרות באופן הטריוויאלי.
באופן כללי, נגדיר את המרחב  L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu ,\ell ^{2}\right) להיות הסכום הישר של מספר בן-מניה אינסופי של עותקים של  L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right). לחלופין, ניתן לחשוב על מרחב זה כעל אוסף הפונקציות המדידות  f:X\to \ell ^{2} כך ש- \int _{X}\left\Vert f\right\Vert _{2}^{2}d\mu \left(x\right)<\infty . למידע נוסף, ראו מרחב Lp.
משפט האן-הלינגר (נוסח שני): תהי  P מידה  {\mathcal {H}}-הטלתית על מרחב מדיד  \left(\Omega ,{\mathcal {M}}\right) ונניח ש- {\mathcal {H}} הוא מרחב הילברט מרוכב ספרבילי. אזי קיימת סדרה של מידות חיוביות סופיות סינגולריות הדדית  \mu _{\infty },\mu _{1},\mu _{2},\dots  על  \left(\Omega ,{\mathcal {M}}\right) והעתקה אוניטרית  S:{\mathcal {H}}\to L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu _{\infty },\ell ^{2}\right)\oplus \bigoplus _{n=1}^{\infty }nL^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu _{n}\right) כך ש- SP\left(A\right)S^{-1}f=\chi _{A}f לכל  A\in {\mathcal {M}} ולכל  f\in L^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu _{\infty },\ell ^{2}\right)\oplus \bigoplus _{n=1}^{\infty }nL^{2}\left(X,{\mathcal {M}},\mu _{n}\right).
אם  \nu _{\infty },\nu _{1},\nu _{2},\dots  היא סדרה נוספת של מידות חיוביות סופיות סינגולריות הדדית עם התכונה לעיל, אז  \mu _{n}\sim \nu _{n} לכל  1\leq n\leq \infty .
אם כן, סדרת המחלקות  \left[\mu _{\infty }\right],\left[\mu _{1}\right],\left[\mu _{2}\right],\dots  המיוחסת ל- P במשפט האן-הלינגר היא אינווריאנטה של  P המאפיינת אותה לחלוטין עד כדי דמיון אוניטרי. בתורה הספקטרלית נעשה שימוש במושגים הבאים באופן שכיח:
אומרים של- P יש כפליות (או ריבוי)  \aleph _{0} אם  \left[\mu _{\infty }\right]\neq \left[0\right] (כלומר  \mu _{\infty } אינה שקולה למידת האפס).
אומרים של- P יש כפליות  n (עבור  1\leq n<\infty ) אם  \left[\mu _{n}\right]\neq \left[0\right] ו- \left[\mu _{k}\right]=\left[0\right] לכל  k\geq n+1.
אומרים של- P יש כפליות יוניפורמית  n (עבור  1\leq n\leq \infty ) אם  \left[\mu _{n}\right]\neq \left[0\right] ו- \left[\mu _{k}\right]=\left[0\right] לכל  k\neq n.