תורת הקבוצות האקסיומטית
האקסיומות של תורת הקבוצות

לתורת הקבוצות האקסיומטית ישנן גרסאות רבות השונות זו מזו באופן מהותי, אך המפורסמות שבהן הן שתיים: מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF) – המכונה לעיתים מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל-סקולם (ZFS), ומערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתוספת אקסיומת הבחירה (ZFC). ארנסט צרמלו, מתמטיקאי גרמני, היה היוזם העיקרי של המערכת האקסיומטית המקורית ההיסטורית של תורת הקבוצות (מערכת זו מסומנת כרגיל באות Z, האות הראשונה בשם-משפחתו); אברהם הַלֵוִי פרנקל, מתמטיקאי גרמני–ישראלי, (שהאות הראשונה של שם-משפחתו מיוצגת בשמה של המערכת המעודכנת יותר: ZF), הסיר מהמערכת המקורית של צרמלו את אקסיומת הבחירה (השנויה במחלוקת בשל אי היותה קונסטרוקטיבית) ואחר כך גם דאג לכך שאקסיומה אחרת של המערכת המקורית – אקסיומת ההפרדה – תוּמַר באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת ההפרדה): אקסיומת ההחלפה; בעוד אשר תוראלף סקולם דאג לכך שלמערכת תתווסף אקסיומת היסוד (אם כי גם כיום היא לעיתים מושמטת – בהיותה מגבילה וכמעט-בלתי שימושית במקום להיות יצרנית כשאר האקסיומות).
פרט לשתי המערכות האלו של אקסיומות, ידועה גם המערכת האקסיומטית המחליפה את אקסיומת הבחירה באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת הבחירה): אקסיומת הרצף המוכללת, וכן ידועה מערכת אקסיומטית אחרת המחליפה את אקסיומת הרצף המוכללת באקסיומה חזקה עוד יותר (הגוררת את אקסיומת הרצף המוכללת ואת אקסיומת היסוד): אקסיומת הבנייה. כל המערכות האלו מבוססות (בצורה זו או אחרת) על המערכת Z, והן מתאפיינות בשני מאפיינים חשובים: כל אובייקט המטופל בהן – והאוסף לתוכו אובייקטים – הוא קבוצה, ושום אובייקט המטופל בהן אינו יכול לאסוף לתוכו את כל הקבוצות. בכך שונות המערכות הללו ממערכות אחרות, כמו מערכת NBG של ג'ון פון נוימן שהיא ייחודית בכך שלא כל אובייקט המטופל בה – והאוסף לתוכו אובייקטים – הוא קבוצה (תכונה זו של המערכת מאפשרת למשל שאובייקט שאוסף לתוכו את כל הקבוצות יהיה קיים בה) או מערכות NF ו-ML שפותחו על ידי וילארד ואן אורמאן קוויין (שהן ייחודיות בכך שהן מאפשרות למשל את קבוצת כל הקבוצות).
כמעט כל המערכות הידועות – להוציא את המערכת המקורית ההיסטורית Z של צרמלו – מתאפיינות בכך שכל איבר בקבוצה הוא בעצמו קבוצה. במערכות אלו, גם עצמים מתמטיים מוכּרים – כמו מספרים – נדרשים להיות מוגדרים בתור קבוצות.
להלן נדון בעיקר במערכת ZFC, בהיותה השימושית ביותר (והמקובלת ביותר) במתמטיקה.
שבע האקסיומות של ZFC רשומות להלן. במקורן נוסחו האקסיומות כמחרוזות של סמלים לוגיים בשפה לוגית נוקשה; להלן הן תוצגנה לפי משמעותן האינטואיטיבית בשפה בעברית. אקסיומת ההחלפה (כמו גם הגרסה המוחלשת שלה: אקסיומת ההפרדה) היא למעשה סכימה של אקסיומות, הכוללות אקסיומה לכל הצהרה.
אקסיומת ההיקפיות: שתי קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים.
אקסיומת האיחוד: לכל קבוצה קיים האיחוד שלה. כלומר, לכל קבוצה  x קיימת קבוצה  y אשר האיברים שלה הם בדיוק האיברים של איברי  x.
אקסיומת האינסוף: קיימת קבוצה אינסופית. פורמלית: קיימת קבוצה  x, שאינה ריקה, וכך שלכל אבר  y ששייך אליה, גם הקבוצה { y} שייכת אליה.
אקסיומת ההחלפה: לכל קבוצה  z, קבוצה  A והצהרה ‎ P\left(x,y,a\right)  אם כשמציבים  a=A ההצהרה מגדירה פונקציה  f על  z, (זאת אומרת שעבור כל  x\in z קימת ויחידה קבוצה  y  כך שההצהרה  P(x,y,A) תתקיים) אז קיימת קבוצה שהאיברים בה הם בדיוק תמונות האיברים של הקבוצה  z תחת  f.
אקסיומת קבוצת החזקה: לכל קבוצה קיימת קבוצת החזקה שלה. כלומר, לכל קבוצה  x קיימת קבוצה  y כך שאיברי  y הם בדיוק כל תת הקבוצות של  x.
אקסיומת היסוד: כל קבוצה  x שאינה ריקה מכילה איבר  y כך ש- y ו- x הן קבוצות זרות.
אקסיומת הבחירה: בהינתן קבוצה  x של קבוצות זרות הדדית שאינן ריקות, קיימת קבוצה  y אשר מכילה בדיוק איבר אחד מתוך כל אחד מאיברי  x.
במקור, צרמלו הוסיף שלוש אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות:
אקסיומת ההפרדה: לכל קבוצה והצהרה  P\left(x\right)‎ קיימת תת-קבוצה של הקבוצה המקורית אשר מכילה בדיוק אותם האיברים  x בקבוצה המקורית המקיימים  P\left(x\right)‎.
אקסיומת הזוג הלא סדור: אם  x ו- y הן קבוצות, אז גם  \left\{x,y\right\}, היא קבוצה, אשר המכילה את  x ואת  y בלבד.
אקסיומת הקבוצה הריקה: קיימת קבוצה ללא איברים. קבוצה זו מסומנת  \left\{\right\} או  \emptyset .
אם מוסיפים למערכת ZFC את שלוש האקסיומות האחרונות הנ"ל של צרמלו, וממה שמתקבל מסירים את אקסיומת היסוד ואת אקסיומת ההחלפה (וכן מרשים שלא כל איבר שבקבוצה יהיה בעצמו קבוצה), אז מתקבלת המערכת המקורית ההיסטורית (Z) של צרמלו.
הערות:
הניסוח למעלה הוא אחד מבין מספר ניסוחים שקולים למערכת ZFC.
לעיתים משתמשים בגרסה חזקה יותר של אקסיומת ההחלפה, ולא דורשים שההצהרה  P תגדיר פונקציה על כל  z אלא רק על חלק מהאיברים שלה (עבור היתר לא תהיה קבוצה  y שתקיים את ההצהרה). מערכת האקסיומות בה אקסיומת ההחלפה מנוסחת בגרסה חזקה זו שקולה ל ZFC.
לעיתים משתמשים בגרסה חלשה יותר של אקסיומת ההחלפה, הדורשת רק שתהיה קבוצה שמכילה את התמונה של  f.  במקרה זה יש צורך להוסיף את אקסיומת ההפרדה כדי לקבל מערכת שקולה ל-ZFC.
אקסיומת הקבוצה הריקה נובעת מהצירוף של אקסיומת האינסוף עם אקסיומת ההפרדה (למשל על ידי הפרדת כל איברי הקבוצה האינסופית ששונים מעצמם).