stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
טנקמאר
ביוגרפיה

טנקמאר נולד בשנת 908 להיינריך הראשון, מלך גרמניה ואשתו הראשונה, התבורג פון מרזבורג. אמו הייתה נשואה ואלמנה בעבר, ולאחר מכן נכנסה למנזר. מכיוון שעזבה את המנזר כדי להתחתן עם היינריך, נישואיה השניים נחשבו פסולים והזוג נפרד. הלגיטימיות של טנקמאר הייתה אפוא בסימן שאלה.
בשנת 929 דאג היינריך הראשון לירושתו ותיקן את ההסדר על ידי אספה בארפורט, ממש לפני מותו. לאחר מותו חולקו אדמותיו ועושרו בין ארבעת בניו: טנקמאר, אוטו, היינריך וברונו. אוטו, לעומת זאת, יועד על ידי אביו לקבל את הכתר. סכסוך הירושה היחיד היה בין אוטו לאחיו המלא הצעיר היינריך, שהוחזק במעצר בית בבוואריה במהלך הכתרתו של אוטו.
לאחר מות בן דודו, זיגפריד, רוזן מרזבורג, בשנת 937, טען טנקמאר לזכותו על מרזבורג. אוטו, לעומת זאת, מינה את גרו, אחיו של זיגפריד. במהלך סכסוך זה מרדו אברהרד מפרנקוניה וויכמן האב נגד אוטו וטנקמאר הצטרף אליהם. מאוחר יותר כותר טנקמאר בארזבורג. הוא נהרג מפגיעת חנית שהושלכה דרך חלון כנסיית פטרוס הקדוש, בזמן שחיפש מקלט בפנים.
הערות שוליים

↑  Bernhardt, 3.
↑  Reuter, 149, based on Flodoard and Widukind of Corvey.
1 2  Bernhardt, 18.
↑  Ernest F. Henderson, History of Germany in the Middle Ages, G. Bell & Sons, London, 1894, p.125.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 138794502  VIAF: 95420068   WorldCat (עם VIAF): 95420068
חריץ סטרומבוסי

סטרומבוס פרסי Conomurex persicus
חריץ סטרומבוסי
חריץ סטרומבוסי הוא מאפיין אנטומי הנראה כשקע או חריץ בשולי פתח הקונכייה של מינים בוגרים ממשפחת הסטרומבוסיים.
לחלזונות ימיים ממשפחת סטרומבוסיים יש חריץ בקצה פתח הקונכייה לא רחוק מהתעלה הסיפונלית. שקע זה נקרא חריץ סטרומבוסי. תפקידו לאפשר לבעלי החיים להאריך את אחד ממשושיו ולהציץ החוצה החוצה דרך החריץ מבלי לחשוף את כל הפתח הקונכייה ולסכן את גופו. לכל מין צורת חריץ אופיינית, לעיתים החריץ עמוק ולעיתים נראה כמו שקע רחב. החריץ ניכר בעיקר בקונכיות בוגרות ולעיתים חסר לחלוטין אצל צעירים.
הערות שוליים

↑  Kenneth R. Wye, The Encyclopedia of Shells, London, 2004, p. 70.
טיג'אני בבאנגידה

טיג'אני בבאנגידה (באנגלית: Tijani Babangida; נולד ב-25 בספטמבר 1973 בקדונה) הוא כדורגלן עבר ניגרי ששיחק בעמדת הקיצוני הימני.
בבאנגידה החל את הקריירה המקצועית בהולנד, שם שיחק במדיהן של רודה, פנלו, אייאקס וויטסה ארנהם. כמו כן, רשם קדנציות קצרות בליגות הבכירות בטורקיה ובערב הסעודית, ובליגת המשנה הסינית. עם נבחרת ניגריה זכה בבאנגידה במדליית זהב אולימפית במסגרת טורניר הכדורגל באולימפיאדת אטלנטה (1996), וכן ייצג את הנבחרת במונדיאל 1998 ובשני טורנירי גביע אפריקה לאומות. לזכותו חמישה שערים ב-36 הופעות במדי הנבחרת.
קריירת משחק > תחילת הקריירה בהולנד

בבאנגידה החל את הקריירה בקבוצת הנוער של ניגר טורנדוס בארצו, וכשהיה בן 17 השתתף במשחקי אפריקה 1991 עם נבחרתו, ושם הרשים את ראשי קבוצת רודה מליגת העל ההולנדית. הוא חתם בקבוצה, ומיד הושאל לפנלו, אף היא מהליגה הבכירה בהולנד, ושם למעשה החל את קריירת המשחק הבוגרת שלו. עד לתום עונת הבכורה שלו כבש בבאנגידה שלושה שערי ליגה בשש הופעות בלבד, ולא הצליח לסייע לקבוצתו לשרוד בליגה הבכירה. בבאנגידה המשיך לעונת השאלה נוספת בקבוצה בליגת המשנה, ושם הפך לשחקן הרכב משמעותי, וכבש 16 שערי ליגה ב-28 הופעות בדרך לזכייה באליפות ליגת המשנה וחזרה מהירה לליגה הבכירה.
בבאנגידה חזר לרודה תחת המאמן הוב סטיבנס, ובעונת 1993/1994, עונת הבכורה שלו בקבוצה, כבר הפך לשחקן הרכב עם 11 שערי ליגה ב-29 הופעות. בבאנגידה סייע לרודה לסיים את עונת 1994/1995 בליגת העל ההולנדית במקום השני בטבלה, ובעונה לאחר מכן הוביל את טבלת כובשי הליגה של הקבוצה עם עשרה שערים, ואף רשם את הופעת הבכורה שלו במפעלים האירופיים, כאשר כבש שער בניצחון על אולימפיה ליובליאנה.
בסך הכול בשלוש עונות מלאות במדי רודה, כבש בבאנגידה 26 שערי ליגה ב-78 הופעות, ואף זכה להופעות ראשונות במדי נבחרת ניגריה.
קריירת משחק > אייאקס

בקיץ 1996 חתם בבאנגידה בשורות מועדון הפאר אייאקס תמורת כחמישה מיליון דולר, כאשר המאמן לואי ואן חאל חיפש מחליף לבן ארצו של בבאנגידה, פינידי ג'ורג', שעזב באותו הקיץ לריאל בטיס. בעונת הבכורה שלו במועדון כבש בבאנגידה ארבעה שערי ליגה ב-25 הופעות, והוסיף שלושה שערים בקמפיין המוצלח של אייאקס בליגת האלופות. בין היתר, כבש בבאנגידה בשלב הבתים מול אוסר, ורגע השיא שלו באותו העונה היה ברבע הגמר המפעל, במשחק הגומלין מול אתלטיקו מדריד באצטדיון ויסנטה קלדרון. בדקה ה-119, דקה לסיום ההארכה, הקפיץ בבאנגידה מעל שוער היריבה וקבע 2–3 לאייאקס, שער שהבטיח את העפלתה לחצי הגמר (שם נעצרה על ידי יובנטוס).
בעונת 1997/1998 שיחק בבאנגידה תפקיד משמעותי בזכייתה של אייאקס בדאבל המקומי. הוא כבש 13 שערי ליגה באותה העונה, וסיים שלישי בטבלת מלך שערי הקבוצה אחרי שותא ארבלדזה ו[[[יארי ליטמאנן]], וכן כבש את שערה הראשון של אייאקס בגמר הגביע ההולנדי, בדרך לניצחון 0–5 על פ.ס.וו. איינדהובן.
העונה הבאה הייתה מאכזבת עבור בבאנגידה בפרט, ועבור אייאקס בפרט. הקבוצה איבדה את תואר האליפות וסיימה שישית בלבד בליגה, כאשר בבאנגידה עצמו החמיץ את פתיחת העונה לאחר שחלה במלריה. הוא סיים את העונה עם 18 הופעות ליגה, מתוכן שבע בלבד בהרכב הפותח, וכבש רק פעמיים. אייאקס נכשלה גם בליגת האלופות כאשר סיימה אחרונה בשלב הבתים. בבאנגידה לא שותף בניצחונה של אייאקס בגמר הגביע ההולנדי על פורטונה סיטארד. זמן המשחק של בבאנגידה נפגע עוד יותר בעונה הבאה, כאשר שותף בשמונה משחקי ליגה בלבד.
קריירת משחק > שלהי הקריירה

בחציה הראשון של עונת 2000/2001 בבאנגידה לא שותף כלל במדי אייאקס בליגה, מה שהוביל להשאלתו במחציתה השנייה של העונה לקבוצת גנצ'לרבירלי מהליגה הטורקית. בטורקיה כבש בבאנגידה פעמיים ב-12 הופעות, ואף זכה עם הקבוצה בגביע הטורקי, אך לא שותף בניצחון על פנרבחצ'ה במשחק הגמר. המועדון הטורקי לא רצה להמשיך את ההתקשרות עמו בתום העונה, והוא שב אוטומטית לאייאקס.
בבאנגידה שקל לעזוב את הולנד והיה על סף סיכום באוסר הצרפתית, אך לבסוף הסכים להצעה מהמאמן רונאלד קומאן לעבור בהשאלה לוויטסה ארנהם לקראת עונת 2001/2002. תחת קומאן זכה בבאנגידה לדקות משחק לא מועטות, על אף שלא הצליח להרשים במיוחד. עזיבתו של קומאן לאייאקס במהלך העונה הוציאה את בבאנגידה מתמונת ההרכב, ומאז עזיבתו של קומאן ערך הופעה נוספת אחת בלבד במדי הקבוצה. את העונה המאכזבת סיים עם שער ליגה בודד ב-14 הופעות.
לקראת עונת 2002/2003 עבר בבאנגידה בהשאלה לחצי עונה לאל-איתיחאד מליגת העל הסעודית, אך כבר בנובמבר עזב את הקבוצה לאור חילוקי דעות עם המאמן. הוא חזר לאמסטרדם בניסיון להתיר את חוזהו באייאקס, וב-30 באפריל 2003 הודיע המועדון על שחרורו של בבאנגידה.
בקיץ 2003 עבר בבאנגידה תקופת מבחן מוצלחת בטיינג'ין טדה מליגת העל הסינית, אך מעברו לקבוצה בוטל בעקבות התפרצות נגיף הסארס במדינה. זמן קצר לאחר מכן חתם בבאנגידה בקבוצת צ'אנגצ'ון יאטאי מליגת המשנה. הוא ערך במדיה 29 הופעות, בהן כבש שמונה שערים, ופרש ממשחק בשנת 2004, בגיל 31.
קריירת משחק > נבחרת ניגריה

בבאנגידה ערך את הופעת הבכורה שלו במדי נבחרת ניגריה ב-25 במאי 1994, תחת המאמן קלמנס וסטרהוף, במשחק ידידות מול רומניה במסגרת ההכנות לטורניר מונדיאל 1994, בו הפסידה ניגריה 0–2. כשלושה שבועות אחר כך שותף גם בניצחון 1–5 על גאורגיה, אך לבסוף לא הצליח לתפוס מקום בסגל הסופי של ניגריה למונדיאל.
בבאנגידה נכלל בסגל של המאמן ז'ו בונפרר לטורניר הכדורגל באולימפיאדת אטלנטה (1996), והיה שם לשחקן מפתח בנבחרת הניגרית, שהפתיעה בדרך לזכייה במדליית הזהב. בבאנגידה פתח בכל ששת משחקיה של ניגריה בטורניר, כולל בניצחונות 3–4 בהארכה בחצי הגמר על ברזיל, בה שיחקו בין היתר דידה, רוברטו קרלוס, בבטו, רונאלדו וריבאלדו, ובניצחון 2–3 בגמר על ארגנטינה, בה שיחקו בין היתר הרנן קרספו, דייגו סימאונה, קלאודיו לופס ואריאל אורטגה.
לאחר שנתיים וחצי מחוץ לסגל הנבחרת הבוגרת, שב בבאנגידה לסגל הנבחרת, שותף בשני משחקים במסגרת מוקדמות מונדיאל 1998, ואף זומן על ידי בורה מילוטינוביץ' לסגל הנבחרת לקראת מונדיאל 1998 בצרפת. בבאנגידה שותף בדקות הסיום בניצחון המפתיע 2–3 על ספרד, שהודחה בתום שלב הבתים. הוא שוב שותף לדקות ספורות כמחליף בניצחון 0–1 על בולגריה, ופתח בהרכב בהפסד 1–3 לפרגוואי, בה קיבלו מספר שחקני מפתח מנוחה לאחר הבטחת ההעפלה משלב הבתים. ניגריה העפילה לשלב הבא מהמקום הראשון בבית. בשמינית הגמר נעצרה ניגריה כאשר הובסה 1–4 מול דנמרק. בבאנגידה, שעלה כמחליף בדקה ה-73, כבש כעבור ארבע דקות את השער המצמק של נבחרתו, שהיה לשערו הראשון במדי ניגריה.
בבאנגידה זומן על ידי בונפרר לסגל הנבחרת לגביע אפריקה לאומות 2000, שהיה לטורניר אליפות אפריקה הראשון של הנבחרת לאחר שני טורנירים רצופים בהם לא השתתפה. הופעתו הטובה ביותר בטורניר הייתה בחצי הגמר מול דרום אפריקה, אז כבש צמד בניצחון 0–2 שהעלה את נבחרתו לגמר הטורניר. במשחק הגמר מול קמרון עלה בבאנגידה מהספסל בדקה השבעים. המשחק הסתיים בשוויון 2-2 והוכרע בדו-קרב בעיטות עונשין, בו הפסידה ניגריה. בבאנגידה לא נטל חלק בדו-קרב.
את שעריו האחרונים בנבחרת כבש בבאנגידה במסגרת מוקדמות מונדיאל 2002, כאשר השלים צמד בניצחון 0–3 על גאנה והעלה את מאזנו לחמישה שערים. על אף העפלתה של ניגריה לטורניר הגמר, בבאנגידה לא מצא את מקומו בסגל הסופי והודח בצוותא עם שחקנים ותיקים נוספים, בהם סאנדיי אוליסה ופינידי ג'ורג'. את הופעותיו האחרונות במדי הנבחרת ערך באליפות אפריקה 2002, אז היה שותף בכל משחקי נבחרתו, שסיימה את הטורניר במקום השלישי.
הוא זומן לנבחרת פעם נוספת ב-2004, אך לא שותף עוד במדיה, ובסך הכול סיים את הקריירה הבינלאומית עם חמישה שערים ב-36 הופעות.
חיים אישיים

בבאנגידה נולד למשפחה גדולה בת עשרה אחים, ושניים מאחיו, איברהים והרונה, גם הם כדורגלנים מקצוענים. לאחר פרישתו שימש כסוכן שחקנים.
תארים

אליפות הולנד: 1997/1998
הגביע ההולנדי (2): 1997/1998, 1998/1999
הגביע הטורקי: 2000/2001
מדליית זהב אולימפית: 1996
סטטיסטיקות > מועדונים

| עונה | קבוצה | ליגה | בליגה> הופעות | בליגה> שערים |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1991/1992 | פנלו | הולנד ליגת העל ההולנדית | 6 | 3 |
| 1992/1993 | פנלו | הולנדליגת המשנה ההולנדית | 28 | 16 |
| 1993/1994 | רודה | הולנד ליגת העל ההולנדית | 29 | 11 |
| 1994/1995 | רודה | הולנד ליגת העל ההולנדית | 20 | 5 |
| 1995/1996 | רודה | הולנד ליגת העל ההולנדית | 29 | 10 |
| 1996/1997 | אייאקס | הולנד ליגת העל ההולנדית | 25 | 4 |
| 1997/1998 | אייאקס | הולנד ליגת העל ההולנדית | 26 | 13 |
| 1998/1999 | אייאקס | הולנד ליגת העל ההולנדית | 18 | 2 |
| 1999/2000 | אייאקס | הולנד ליגת העל ההולנדית | 8 | 1 |
| 2000/2001 | אייאקס | הולנד ליגת העל ההולנדית | 0 | 0 |
| 2000/2001 | גנצ'לרבירלי | טורקיה ליגת העל הטורקית | 12 | 2 |
| 2001/2002 | ויטסה ארנהם | הולנד ליגת העל ההולנדית | 14 | 1 |
| 2002/2003 | אל-איתיחאד | ערב הסעודית ליגת העל הסעודית | 5 | 0 |
| 2003 | צ'אנגצ'ון יאטאי | הרפובליקה העממית של סין ליגת המשנה הסינית | 9 | 4 |
| 2004 | צ'אנגצ'ון יאטאי | הרפובליקה העממית של סין ליגת המשנה הסינית | 20 | 4 |
| סך הכל קריירה | סך הכל קריירה | סך הכל קריירה | 249 | 76 |
סטטיסטיקות > נבחרת לאומית

| נבחרת ניגריה> שנה | נבחרת ניגריה> הופעות | נבחרת ניגריה> שערים |
| --- | --- | --- |
| 1994 | 2 | 0 |
1995: 0
1996: 0
| 1997 | 2 | 0 |
| 1998 | 7 | 1 |
| 1999 | 4 | 0 |
| 2000 | 9 | 2 |
| 2001 | 7 | 2 |
| 2002 | 5 | 0 |
| סה"כ | 36 | 5 |
טרטנמולר

| --- | --- |

 לידה:  16 באוקטובר 1972 (בן 51) וורדינגבורג, דנמרק 
 שם לידה:  Anders Trentemøller Andersen 
 שם במה:  Trentemøller 
 מוקד פעילות:  קופנהגן 
 תקופת הפעילות:  מ-1997 
 סוגה:  מוזיקה אלקטרונית 
 כלי נגינה:  כלי נגינה אלקטרוניים, גיטרה, גיטרה בס חשמלית 
 www.trentemoller.com
 
אנדרס טרנטמולר (בדנית: Anders Trentemøller; ‏נולד ב-16 באוקטובר 1974), המוכר בשם הבמה טרטנמולר (Trentemøller), הוא יוצר ומפיק מוזיקה אלקטרונית והאוס דני שחי בקופנהגן.
חייו

נולד בוורדינגבורג שבדנמרק. עבר לקופנהגן בתחילת שנות ה-90 של המאה ה-20, שם ייסד להקת רוק. ב-1997 ייסד יחד עם ה-DJ Tom Von Rosen את להקת "Trigbag" הפופולרית שהופיעה בין היתר בפסטיבל היוקרתי רוסקילדה. הלהקה פורקה בשנת 2000. בשנת 2003 חזר טרנטמולר עם האלבום "Trentemller EP" ובשנת 2004 זכה בפרס "Danish DJ Awards" עבור אחד הטראקים שלו (“Le Champagne”).
בשנת 2005 קיבל את פרס "מפיק השנה" ונבחר על ידי קוראי מגזין Groove כיוצר החדש הטוב ביותר של 2005. כמו כן נבחר "Polar Shift" שלו כאחד הטראקים הטובים ביותר של השנה, ו"Du What U Du" כאחד הרמיקסים הטובים ביותר של השנה.
נכון ל-2011, האלבום האחרון שלו "The Last resort" (המפלט האחרון) המשלב מוזיקה אלקטרונית עם רוק ושונה בהרבה מהסגנון המוזיקלי הקודם שלו, זכה בפרסים יוקרתיים בגרמניה ואנגליה בעיקר הודות לאיכות הסאונד, הייחודית והמקוריות. ה-"Essential Mix" שלו נבחר באוקטובר 2006 על ידי המאזינים של רדיו BBC1 ל-Essential MIX הטוב ביותר של השנה.
Trentemøller הוא אמן שהצליח לקנות לעצמו במהרה שם ומוניטין בזירת הטכנו ברחבי העולם הודות לסאונד הייחודי ביצירותיו. מירב האמנים בסצנה האלקטרונית רואים בו חלק מהגל של האוס מינימלי, שמאופיין אצלו באפקטים קוליים מעובדים מאוד המשולבים עם החמימות והעומק של קלידים אנלוגיים. אולם הוא עצמו אינו מגדיר כך את סגנונו. אם המיקסים שלו מתאימים מאוד לריקודים, האלבומים שלו הרבה יותר אינטימיים ונוטים לצדדי הקצב של אלקטרו-ג'אז, וקרובים לפעמים לסגנונו של אמון טובין, אולם מכילים גם את הצד והאמביינט של הגל החדש.
דיסקוגרפיה

2003: Trentemøller EP (Naked)
2004: Beta Boy (Out Of Orbit)
2004: Physical Fraction (Audiomatique)
2005: Kink (3rd Floor)
2005: Polar Shift (Audiomatique)
2005: Serenetti (Tic Tac Toe)
2005: Sunstroke (Poker Flat)
2006: Nam Nam EP (Poker Flat)
2006: Rykketid (Audiomatique)
2006: Always something better (Poker Flat)
2006: The Last Resort CD/LP (Poker Flat)
2006: Trendsetta
2006: African People (Nam Nam)
2007: Moan (Poker Flat)
2007: Moan (Dub & Instrumental) (Poker Flat)
2007: Take Me Into Your Skin (Nudisco Edit) (Poker Flat)
2007: An Evening with Bobi Bros
2007: The Trentemøller Chronicles (Audiomatique)
2008: Miss You (Audiomatique)
2008: Live In Concert EP (Roskilde Festival 2007) (Poker Flat)
2008: Vamp / Miss You Remixes (Poker Flat)
2009: Harbour Boat Trips - Copenhagen by Trentemøller (hfn music)
2010: Sycamore Feeling (In My Room)
2010: Into The Great Wide Yonder (In My Room)
2010: Silver Surfer, Ghost Rider Go!!! (In My Room)
אנדרס טרנטמולר, 2006
חשבון וריאציות

חשבון וריאציות הוא תחום במתמטיקה אשר עוסק במציאת נקודות קיצון של פונקציונלים, בניגוד לחשבון דיפרנציאלי רגיל אשר עוסק בפונקציות. פונקציונל הוא בדרך כלל מיפוי מקבוצה של פונקציות לשדה המספרים הממשיים. פונקציונלים לרוב מבוטאים כאינטגרלים מסוימים של פונקציות בלתי ידועות ונגזרותיהן. המטרה היא מציאת פונקציות אשר יביאו את הפונקציונל למקסימום או למינימום.
השיטה פותחה בשלהי המאה ה-17 על ידי ניוטון, האחים יוהאן ויאקוב ברנולי, לייבניץ, ומאוחר יותר על ידי לופיטל, אוילר, לגראנז' ואחרים.
הדוגמה הפשוטה ביותר לבעיה כזו היא מציאת העקום בעל האורך המינימלי בין שתי נקודות, אשר נקרא גאודיזה. במרחב אוקלידי הפתרון הוא קו ישר, אבל אם יש מגבלות על הפתרון, למשל שהקו יימצא על משטח כלשהו, הפתרון פחות ברור מאליו. בעיה קשורה היא עיקרון פרמה באופטיקה: האור עובר במסלולים בעלי מסלול אופטי מינימלי בין שתי נקודות (המסלול האופטי תלוי בתווך). עיקרון קשור במכניקה הוא עקרון הפעולה המינימלית.
בעיות חשובות רבות עוסקות בפונקציות בעלות משתנים מרובים. פתרון בעיות עם תנאי שפה למשוואת לפלס מקיימות את עיקרון דיריכלה. בעיית פלטיאו דורשת מציאת משטח בעל שטח מינימלי אשר עובר במתאר נתון במרחב. הפתרון לבעיה זו קשור לאופן היווצרות בועות סבון בעת טבילת מסגרת ברזל במי סבון. אף על פי שניסויים כאלו הם קלים לביצוע, התיאור המתמטי שלהם לעיתים סבוך: ישנם כמה פתרונות אפשריים ויכולה להיות להם טופולוגיה לא טריוויאלית.
היסטוריה

פיתוח חשבון הווריאציות החל כאשר בעיית הברכיסטוכרון (המילה "ברכיסטוכרון" היא הלחם שמקורו יוונית (βράχιστος χρόνος), ומשמעותו "הזמן הקצר ביותר") הגיעה אל המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי. אחיו, יוהאן ברנולי, גם הוא מתמטיקאי שווייצרי, השתמש בבעיית הטאוטוכרון (אותו זמן) לפתרון הבעיה, שנחשב לאלגנטי וקצר יותר מפתרונו של יאקוב. יאקוב, שהיה איתו בתחרות מתמדת, ניסח את בעיית הברכיסטוכרון בגרסה שונה ומורכבת יותר, ופתרונו לבעיה זו הביא אותו לפתח שיטות אנליטיות חדשות. שיטות אלה לוטשו מאוחר יותר על ידי לאונרד אוילר והפכו למה שנקרא חשבון וריאציות.
אופי הבעיה

נביא את הבעיה המתמטית לצורה הבאה:
מטרתנו היא למצוא את הפונקציה  y(x) אשר תביא את הפונקציונל לאקסטרמום.
על פי חשבון הווריאציות, הפונקציה המבוקשת מתקבלת על ידי פתרון משוואת אוילר-לגראנז':
חישוב

נניח שקיים אקסטרמום לפונקציונל ושהפונקציה אשר מביאה אליו היא  y_{0}(x).
נוכל לבטא כל פונקציה בצורה  y(x)=y_{0}(x)+\epsilon \cdot \eta (x), כאשר  \eta (x) פונקציה כלשהי ובעלת תנאי השפה  \eta (x_{1})=\eta (x_{2})=0, כך ש־ y(x) מקיימת את תנאי השפה ו־ \epsilon  מספר ממשי כלשהו.
נשים לב שתחת הנחותינו מתקיים:  S=S{\bigl (}\eta (x),\eta '(x),\epsilon {\bigr )} ויותר מכך, מתקיים:  {\frac {dS}{d\epsilon }}{\Bigg |}_{\epsilon =0}=0
נפתח את הביטוי למקסימה של הפונקציונל:
מכיוון שגבולות האינטגרל בפונקציונל אינם תלויים ב־ \epsilon  נוכל להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה. לאחר מכן נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל:
נזכור כי  \eta  מתאפסת בנקודות הקצה ולכן האבר האחרון מתאפס. נקבל:
 {\frac {dS}{d\epsilon }}{\Bigg |}_{\epsilon =0}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial y_{0}'}}\right]\right)\eta \,dx=0
מכיוון ש־ \eta  פונקציה שרירותית, נקבל לפי הלמה היסודית של חשבון וריאציות כי:
חישוב > הכללות

ניתן לקבל בקלות את משוואת אוילר-לגראנז' באותה שיטה גם למקרים הבאים:
פונקציונל של N פונקציות  q_{i}(t)
{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{i}'}}\right]=0
זהו קבוצת N משוואות, המתקיימות לכל הפונקציות  q_{i}(t)
פונקציונל של פונקציות הפועלות על מרחב וקטורי  F({\vec {r}}) {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\bigl (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigr )}}}\right]+{\frac {d}{dy}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\bigl (}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\bigr )}}}\right]+{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\bigl (}{\frac {\partial F}{\partial z}}{\bigr )}}}\right]-{\frac {\partial L}{\partial F}}=0
פונקציונל של לגרנז'יאן שתלוי גם בנגזרות גבוהות של  y(x) כך  L(y,y',y'',...,{y}^{(N)},x) (למשוואה זאת קוראים גם כן Euler–Poisson equation)
זהות בלטראמי

זהות בלטראמי היא צורה חלופית לניסוח משוואת אוילר-לגראנז'; פתרון משוואת אוילר-לגראנז' באמצעות זהות בלטראמי לרוב יהיה יותר פשוט.
זהות בלטראמי עובדת רק בתנאי ש-  {\frac {\partial L}{\partial x}}=0 (תנאי הקובע ש-  L אסור להיות תלוי ישירות ב- x, הוא יכול להיות תלוי ב- x רק בצורה עקיפה דרך  y(x) ו- y'(x),  x לא מופיע בנפרד). בעזרת תנאי זה ניתן לפשט את משוואת אוילר-לגראנז' לזהות בלטראמי. L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=const
זהות בלטראמי > פיתוח זהות בלטראמי

תחילה נגזור את  L לפי  x בעזרת כלל השרשרת.
{dL \over dx}={\partial L \over \partial y}{dy \over dx}+{\partial L \over \partial y'}{dy' \over dx}+{\partial L \over \partial x}
לפי התנאי  {\frac {\partial L}{\partial x}}=0
{dL \over dx}={\partial L \over \partial y}{dy \over dx}+{\partial L \over \partial y'}{dy' \over dx}
נפשט את הביטוי:
{dL \over dx}={\partial L \over \partial y}{dy \over dx}+{\partial L \over \partial y'}{dy' \over dx}={\partial L \over \partial y}y'+{d \over dx}{\Bigl (}y'{\partial L \over \partial y'}{\Bigr )}-{d \over dx}{\Bigl (}{\partial L \over \partial y'}{\Bigr )}y'=y'{\biggl (}{\partial L \over \partial y}-{d \over dx}{\Bigl (}{\partial L \over \partial y'}{\Bigr )}{\biggl )}+{d \over dx}{\Bigl (}y'{\partial L \over \partial y'}{\Bigl )}
לפי משוואת אוילר-לגראנז':
{\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial y'}}\right]=0
לכן הביטוי הוא:
{dL \over dx}={d \over dx}{\Bigl (}y'{\partial L \over \partial y'}{\Bigl )}
ולכן:
{d \over dx}{\Bigl (}L-y'{\partial L \over \partial y'}{\Bigl )}=0
נבצע אינטגרל בשני צידי המשוואה ונקבל את זהות בלטראמי:
L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=const
דוגמאות

דוגמה פשוטה לפונקציונל, מתחום האופטיקה, היא הזמן שאורך לקרן לעבור בין שתי נקודות דרך מסלול כלשהו במרחב. המסלול במקרה זה מיוצג על ידי  {\vec {f}}(s)={\bigl (}x(s),y(s),z(s){\bigr )} כאשר  (x,y,z) הן קואורדינטות ו־ s פרמטר כלשהו המגדיר את המיקום לאורך המסלול, למשל אורך הקשת או הקואורדינטה לאורך אחד הצירים. לכן אם מהירות הגל בנקודה  {\vec {r}}=(x,y,z) במרחב היא  c({\vec {r}}) ו־ s מיצג את אורך הקשת, אזי זמן המעבר  T בין שתי הנקודות נתון בביטוי:
מכאן ברור שכל מסלול של הקרן נותן, בדרך כלל, ערך שונה של זמן המעבר  T, וחשבון הווריאציות מאפשר לנו לחשב מהו המסלול עבורו זמן המעבר מינימלי (או באופן מדויק יותר אקסטרמלי), כשם שפעולת הנגזרת מאפשרת למצוא את נקודות האקסטרמום של הפונקציה. לפי עקרון פרמה המסלולים בהם הקרן אמנם עוברת הם המסלולים עבורם  T מינימלי, ולכן חשבון הווריאציות הוא הדרך לחישוב המסלולים של קרן אור בתווך כלשהו.
דוגמה נוספת, אשר הייתה אחד הזרזים להתפתחות התחום, היא בעיית הברכיסטוכרון ("הזמן הקצר ביותר"):
כיוון שהקואורדינטה  y מציינת את גובה החלקיק, אזי שימור האנרגיה קובע שמהירותו היא  v={\sqrt {-2gy}}. לכן פונקציונל הזמן במקרה זה הוא:
טולהמרין

| --- | --- |

 מדינה:  אוסטרליה אוסטרליה
 חבל ארץ:  ויקטוריה (אוסטרליה) ויקטוריה
 עיר אם:  מלבורן
 על שם:  Tullamareena 
 גובה:  96 מטרים
 אוכלוסייה:  ‏
  ‑ בפרוור:  6,733 (10 באוגוסט 2021)
 קואורדינטות:  37°42′36″S 144°52′26″E﻿ / ﻿37.71000°S 144.87389°E﻿ / -37.71000; 144.87389
  מפת מיקום  מפה מפורטת   (למפת אוסטרליה מוגדלת) בריזבן סידני קנברה מלבורן הובארט אדלייד פרת' דרוויןטולהמרין(למפת אוסטרליה רגילה) בריזבן סידני קנברה מלבורן הובארט אדלייד פרת' דרוויןטולהמרין(למפת ויקטוריה רגילה) מלבורן ג'ילונג בלאראט בנדיגו מילדורה שפרטון וורנמבול טרארלגון ניו סאות' ויילס א ו ה ד ר ו מ י ת  הבירה מצר בסטולהמרין(למפת ויקטוריה מוגדלת) מלבורן ג'ילונג בלאראט בנדיגו מילדורה שפרטון וורנמבול טרארלגון ניו סאות' ויילס א ו ה ד ר ו מ י ת  הבירה מצר בסטולהמרין  he tabBackground:;tabBorder:#aaa;defaultTab:0;
 
טולהמרין הוא פרוור בעיר מלבורן, מדינת ויקטוריה, אוסטרליה. הפרוור ממוקם באזור שנקרא City of Hume.
הפרוור ברובו מישור החשוף לרוחות הצפוניות החמות של מלבורן. האתר המפורסם בפרוור הוא נמל התעופה של מלבורן. אזור המגורים של הפרוור נמצא במעין לולאה מעגלית של מפרצון "מוני פונדס" ובגבולו המערבי נמל התעופה של מלבורן, אשר במקור נקרא נמל התעופה של טולהמרין.
הפרוור מכיל את אזור המגורים הקטן ביותר של פארק גלדסטון.
מסילת הברזל בין מלבורן לסידני מפרידה את הפרוור ממערב לנמל התעופה לדרום.
היסטוריה

מקור שם הפרוור מטולהמרינה, חבר צעיר בוורונדג'רי (אשר בשנת 1838 ברח מבית הסוהר הראשון של מלבורן, תוך כדי שריפתו) על פי רווראנד לנגורן, יועץ מפקח הממשלה הראשונה, רוברט הודל.
הכפר טולהמרין היה ברחוב בולה או לאנספילד, אשר נקרא כיום[דרושה הבהרה] דרך מלרוז. מיקומו היה במפגש של שלושה גבולות מוניציפליים (ברומדוז, בולה וקיילור).
בית הספר היסודי היה על אדמת נמל התעופה, ומשרד הדואר היה בסמוך לשמורת טולהמרין. בעבר התרחב הפרוור עד לפארק הלאומי אורגן פייפס ואזור תחום נהר המריבירנונג, מפרץ ג'קסונס ומפרץ דיפ.
כאשר אדמת קהילת טולהמרין חולקה לחוות ב-1842, רק חלקת חווה אחת נמכרה, והשאר נמכרו ב-1850. בית ספר מתודיסטי נפתח בשנת 1855 ושני בתי ספר נוספים ב-1859 ו-1864. בית הספר המתודיסטי פעל עד לפתיחתו של בית הספר היסודי הממשלתי בשנת 1884. בשנת 1865 הוקם בפרוור מלון ואוכלוסיית הפרוור עמדה על 200 נפשות.
בשנות השלושים הוקמה בכפר כנסייה, מועדוני טניס וכדורגל. התעשייה המקומית התבססה על ייצור מספוא ומרעה. במהלך שנות החמישים, הפך הכפר לעיירת מגורים וחקלאות. באותה תקופה בחנה הממשלה הפדרלית את האפשרות להקים נמל תעופה בסמוך. רכישת האדמה לנמל החלה בתחילת שנות השישים. בית הספר הועבר למקומו החדש ב-1961.
בשנת 1955 הדרייב אין של הכפר נפתח עם מסך אחד וקיבולת של 862 מכוניות. הדרייב אין נסגר ב-1984 והאתר הוסב למגורים עם רחובות הנושאים את שמות אולפני הסרטים.
בין 1967 ו-1970 נבנה כביש מהיר אל נמל התעופה. הכביש מחלק את הפרוור לאזוריו המזרחיים, פארק גלדסטון, ואזוריו המערביים, בתי מגורים ומתחמי תעשייה.
כיום

דרך שרפס, אשר עוברת ממזרח למערב בסמוך לגבול הדרומי של טולהמרין, הייתה דרך חד סטרית עד לסוף שנות השמונים. בצידה הדרומי היה קו של עצי אורן גבוהים המסתירים מועדון פוני קטן. כיום[דרושה הבהרה], דרך שרפס היא דרך דו סטרית הומה המספקת נתיב חלופי מדרך הטבעת המערבית אל נמל התעופה של מלבורן.
אוכלוסייה

1891 – 82 נפשות.
1921 – 190 נפשות.
1947 – 204 נפשות.
1955 – 385 נפשות.
1966 – 1666 נפשות.
2005 – 8758 נפשות.