גאומטריה אלגברית
יריעות אפיניות

נניח כי k הוא שדה. בגאומטריה אלגברית קלאסית הניחו כי השדה הוא  \mathbb {C}  – שדה המספרים המרוכבים, אך רוב התוצאות נשארות נכונות גם אם k הוא שדה סגור אלגברית כלשהו.
נסמן ב \,\mathbf {A} ^{n}(k) (או בקיצור  \,\mathbf {A} ^{n} אם ברור מיהו k) את הקבוצה  \,k^{n}, ונקרא לה המרחב האפיני ה-n ממדי מעל k.
המטרה של ההגדרה ה"לכאורה מלאכותית" הזאת היא להדגיש את העובדה ש- \,\mathbf {A} ^{n} הוא בסך הכול אוסף נקודות, ושאנו "שוכחים" מהמבנה של  \,k^{n} כמרחב וקטורי.
פונקציה  \,f:\mathbf {A} ^{n}\rightarrow \mathbf {A} ^{1} נקראת רגולרית אם היא ניתנת לכתיבה בתור פולינום. כלומר, אם קיים פולינום  \,p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}] כך שלכל נקודה  \,(t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbf {A} ^{n} מתקיים  \,f(t_{1},\dots ,t_{n})=p(t_{1},\dots ,t_{n}).
פונקציות רגולריות על המרחב האפיני ה-n ממדי הן, אם כן, בדיוק פולינומים ב-n משתנים מעל k. את אוסף הפונקציות הרגולריות על  \,\mathbf {A} ^{n} נסמן ב- \,k[\mathbf {A} ^{n}].
נניח כי S היא קבוצה של פולינומים ב- \,k[\mathbf {A} ^{n}]. קבוצת ההתאפסות של S, המסומנת ב-(V(S (ישנם ספרים בהם קיים גם הסימון (Z(S), מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות במרחב האפיני שבהן כל הפולינומים ב-S מתאפסים. במילים אחרות,
V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbf {A} ^{n}:\forall p\in S,p(t_{1},\dots ,t_{n})=0\}.
תת קבוצה  \,A\subseteq \mathbf {A} ^{n} נקראת קבוצה אלגברית אם קיימת קבוצה  S\subseteq k[\mathbf {A} ^{n}] כך ש- \,A=V(S).
שאלה טבעית לשאול בשלב זה היא השאלה הבאה: בהינתן תת-קבוצה  \,U\subseteq \mathbf {A} ^{n}, האם ניתן לשחזר את קבוצת הפולינומים המתאפסים על U?
אם U היא תת-קבוצה כלשהי של  \,\mathbf {A} ^{n}, נגדיר את  \,I(U) להיות אוסף כל הפונקציות הרגולריות המתאפסות על כל U. במילים אחרות,
 \,I(U)=\{p\in k[\mathbf {A} ^{n}]:\forall (t_{1},\dots ,t_{n})\in U,p(t_{1},\dots ,t_{n})=0\}.
נשים לב כי אם f ו-g מתאפסות בכל נקודה ב-U אז כך גם f+g, וכן אם f מתאפסת בכל נקודה ב-U ואם h היא פונקציה רגולרית כלשהי, אז גם  h\cdot f מתאפסת בכל נקודה ב-U. לפיכך, לכל תת-קבוצה U של  \,\mathbf {A} ^{n}, הקבוצה  \,I(U) היא אידיאל בחוג  \,k[\mathbf {A} ^{n}].
כעת עולות שתי שאלות טבעיות:
בהינתן תת-קבוצה U של  \,\mathbf {A} ^{n}, האם מתקיים  \,U=V(I(U))?
בהינתן קבוצת פולינומים S, האם מתקיים  \,S=I(V(S))?
על מנת להשיב על השאלה הראשונה מגדירים את טופולוגית זריצקי (על שם אוסקר זריצקי). זוהי טופולוגיה על  \,\mathbf {A} ^{n} המשקפת ישירות את המבנה האלגברי של  \,k[\mathbf {A} ^{n}]. ההגדרה של טופולוגית זריצקי היא שתת-קבוצה  A\subseteq \mathbf {A} ^{n} היא קבוצה סגורה אם ורק אם A היא קבוצה אלגברית. ניתן להראות ש- \,U=V(I(U)) אם רק אם U היא סגורה בטופולוגית זריצקי.
התשובה לשאלה השנייה ניתנת על ידי משפט האפסים של הילברט. אחת הדרכים לנסח את משפט האפסים היא ש \,I(V(S)) שווה לרדיקל האידיאל הנוצר על ידי S. הרדיקל של אידיאל I (מסומן ב- \,{\sqrt {I}}) מוגדר להיות אוסף כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם נמצאת ב-I, כלומר
 \,{\sqrt {I}}=\{f\in k[\mathbf {A} ^{n}]:\exists m\in \mathbb {N} ,f^{m}\in I\}.
האינטואיציה ללקיחת הרדיקל של האידיאל היא כדי לבודד את הגורמים המאפסים את הקבוצה האלגברית בכפליות של 1, כי אם פולינום בחזקה כלשהי מתאפס על קבוצה של ערכים אז גם הפולינום עצמו יתאפס על אותה הקבוצה.
לעיתים נוח יותר לעבוד עם תתי קבוצות של האידיאל היוצר את U, ועל פי משפט הבסיס של הילברט כל אידיאל ב \,k[\mathbf {A} ^{n}] הוא נוצר סופית.
קבוצה סגורה במרחב טופולוגי נקראת אי פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי תתי קבוצות סגורות המוכלות בה ממש. קבוצה אלגברית אי פריקה נקראת יריעה אלגברית. ניתן להראות שקבוצה אלגברית היא יריעה אלגברית אם ורק אם קבוצת הפולינומים שמאפסים אותה היא אידיאל ראשוני.