stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
גומבוץ (מתמטיקה)
הערות שוליים

↑  אחרת אפשר יהיה להניח מחדש את העקומה על נקודה סמוכה באופן אינפיניטסימלי ולקבל שמרכז המסה הוזח אנכית מרחק ששווה לפחות להבדל בין רדיוסי העקמומיות, שהוא גם אורך קשת האוולוט בין שני מרכזי העקמומיות.
1 2  Domokos, Gábor, My Lunch with Arnold, The Mathematical Intelligencer 28, 2008, עמ' 31-33
↑  Varkonyi, P.L.; Domokos, G. (2006). "Mono-monostatic bodies: the answer to Arnold's question" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 28 (4): 34–38. doi:10.1007/bf02984701. S2CID 15720880.
↑  Freiberger, Marianne, The Story of the Gömböc, Plus magazine, 2009
↑  Can't Knock It Down, ‏2007-04-05 (באנגלית אמריקאית)
כאשר צעצוע הנחום תקום מוטה הצידה, מרכז המסה "מטפס" מהמפלס הירוק למפלס הכתום הגבוה יותר, וכמו כן אינו נמצא יותר בדיוק מעל נקודת המגע עם הקרקע.
עבדוללה אוריפוב

עבדוללה ניגמטוביץ' אוריפוב (באוזבקית: Abdulla Nigʻmatovich Oripov; ברוסית: Абдулла Нигматович Арипов; נולד ב-24 במאי 1961) הוא פוליטיקאי אוזבקי המכהן כראש ממשלת אוזבקיסטן מאז 14 בדצמבר 2016.
ביוגרפיה

אוריפוב נולד בטשקנט, ברית המועצות.
ב-30 במאי 2002, מונה אוריפוב לתפקיד סגן ראש ממשלת אוזבקיסטן, ראש המטה לענייני טכנולוגיות מידע וטלקומוניקציה וכן מנכ"ל סוכנות התקשורת והמידע של אוזבקיסטן. החל מאוקטובר 2009 מונה אוריפוב לתפקיד האחראי על התחום החברתי, מדע, חינוך, בריאות, תרבות ואחראי על קשרים עם שותפי חבר העמים. באוגוסט 2012 עזב את תפקיד סגן ראש הממשלה ומונה שוב לראש המטה לענייני טכנולוגיות מידע וטלקומוניקציה. בספטמבר 2016 חזר אוריפוב לתפקיד סגן ראש הממשלה.
ב-12 בדצמבר 2016, הוא מונה כמועמדה של מפלגת השלטון להקים ממשלה. ב-14 בדצמבר, מונה לראש הממשלה על ידי הפרלמנט. חבר במפלגה הליברלית דמוקרטית (אנ').
נשוי ואב לחמש בנות.
ראו גם

ראש ממשלת אוזבקיסטן
לארי דייוויד

| --- | --- |

דייוויד בפסטיבל הסרטים טרייבקה 2009
 לידה:  2 ביולי 1947 (בן 77) ארצות הברית ניו יורק, ניו יורק, ארצות הברית
 שם לידה:  Lawrence Gene David 
 מדינה:  ארצות הברית 
 תקופת הפעילות:  מ-1980
 עיסוק:  שחקן, תסריטאי, מפיק, קומיקאי
 מקום לימודים:  אוניברסיטת מרילנד (1970)  סטודיו ויליאם אספר  בית הספר התיכון של שיפסד ביי 
 יצירות בולטות:  "סיינפלד", "תרגיע"
 בן או בת זוג:  לאורי דוד (1993–2007)  אשלי אנדרווד (2020–?) 
 צאצאים:  קאזי דייוויד, רומי דייוויד 
 פרסים והוקרה:  פרס לורל על כתיבה לטלוויזיה (2010)  פרס גילדת התסריטאים לטלוויזיה: סדרה קומית (2006)  פרס אמי לסדרת הקומדיה הטובה ביותר (1993)  פרס אמי לתסריט לסדרה קומית (1993)  פרס גילדת התסריטאים לטלוויזיה: סדרה בהמשכים (1995) 
 פרופיל ב-IMDb
 
לורנס ג'ין "לארי" דייוויד (באנגלית: Lawrence Gene "Larry" David; נולד ב-2 ביולי 1947) הוא יוצר סדרות, תסריטאי, במאי טלוויזיה ושחקן קולנוע וטלוויזיה יהודי-אמריקאי. יחד עם ג'רי סיינפלד יצר בשנת 1989 את הסיטקום "סיינפלד", שנחשב לאחת מקומדיות המצבים הפופולריות והמוערכות ביותר אי פעם. בשנת 2000 החלה להופיע הסדרה הקומית-סטירית "תרגיע", שהופיעה בהמשכים במשך 12 עונות (2024). שתי הסדרות מאופיינות בדיאלוגים ובמצבים אבסורדיים, עוסקות באתיקה של הסוציולוגיה המודרנית תוך התייחסות נרחבת למצבים חברתיים שכיחים. דייוויד נמנה גם עם צוות הכותבים של התוכנית המצליחה "סאטרדיי נייט לייב" בשנים 1984–1985.
ביוגרפיה

לורנס ג'ין דייוויד נולד בשכונת שיפסהד ביי (אנ'), בברוקלין, ניו יורק שבארצות הברית למשפחה יהודית. בנה של רוז (נולדה בשם רגינה ברנדס) ומורטימור ג'וליוס "מורטי" דייוויד, שהיה יצרן בגדי גברים. משפחת אביו הגיעה לארצות הברית מגרמניה במאה ה-19, בעוד אמו נולדה בטרנופול שבאימפריה האוסטרו-הונגרית (כיום באוקראינה). הוא למד בבית הספר התיכון של שיפסד ביי (אנ'), ולאחר מכן באוניברסיטת מרילנד, וסיים עם תואר ראשון בהיסטוריה. אחרי הקולג', הוא התגייס לשירות המילואים של צבא ארצות הברית (אנ').
קריירה > "סיינפלד"

דייוויד חבר לג'רי סיינפלד והם יצרו ב-1989 פיילוט ל־NBC בשם "The Seinfeld Chronicles" ממנו התפתחה קומדיית המצבים "סיינפלד", מהסדרות המצליחות אי פעם. דייוויד כתב 62 מפרקי הסדרה, בהם הפרק ההתערבות שעבורו זכה בפרס אמי על כתיבת הפרק. אחד מן הביטויים בו נעשה שימוש בפרק, "master of my domain", הפך לביטוי שגור בתרבות הפופולרית. הוא זכה באמי נוסף עבור הסדרה והיה מועמד 19 פעמים סך הכל. הוא עזב את הסדרה אחרי שבע עונות, אולם חזר כדי לכתוב את פרק הסיום בעונה התשיעית והאחרונה. דמותו של ג'ורג' קוסטנזה ב"סיינפלד" מבוססת על אישיותו של לארי דייוויד.
נוסף לכתיבה וליצירה דייוויד גילם מספר דמויות משנה, בהן את קולו של ג'ורג' סטיינברנר, הבוס של ג'ורג' קוסטנזה שנראה מאחור בלבד, מוכר עיתונים, פעיל גרינפיס, עורך דינו של פרנק קוסטנזה העוטה גלימה ועוד.
עבור זכויות השידור לסדרת קומדיית המצבים "סיינפלד" קיבל לארי דייוויד סכום של 200 מיליון דולר[דרוש מקור].
קריירה > לאחר "סיינפלד"

במשך השנים דייוויד נענה להזמנות לגלם את עצמו במספר סדרות: "הפמליה", "האנה מונטנה", "הליגה", ועוד.
הוא גילם מספר תפקידים קטנים בסרטיו של וודי אלן, כמו בסרט סיפורי ניו יורק (1989) שהובילו בשנת 2009 להשתתפותו כדמות ראשית בסרט "מה שעובד" לצד אוון רייצ'ל ווד.
ב-2015 יצר והופיע בתיאטרון עם ההצגה "Fish In The Dark".
קריירה > "תרגיע"

בשנת 2000, עלתה ברשת HBO סדרה קומית חדשה בכיכובו של דייוויד, "תרגיע". סגנון הסדרה שעוסקת בעצם ב"כלום" נשמר. זוהי סדרה בעלת מאפיינים אוטוביוגרפים של דייוויד, והוא מגלם גרסה בדיונית של עצמו. כאשר היא עוסקת בחיי נישואיו, יחסיו עם חבריו ויחסיו עם האנשים העובדים איתו. אל הסדרה מגיעים שחקני קולנוע וטלוויזיה רבים להופעות אורח, לרוב בתור עצמם. בין המתארחים ניתן למצוא את בן סטילר, דייוויד שווימר, ונדה סייקס, מרטין סקורסזה, דסטין הופמן, סטיבן קולבר, ריקי ג'רווייס, רוזי אודונל, מל ברוקס ועוד. לאורך הסדרה מופיע השחקן ריצ'רד לואיס כחברו הטוב ביותר של לארי. גם הוא משחק בסדרה את עצמו. העונה השביעית היוותה איחוד של "סיינפלד". במהלכה התארחו כל ארבעת השחקנים הראשיים ב"סיינפלד", וכן דמויות משניות רבות. העלילה סבבה סביב צילום פרק איחוד ל"סיינפלד".
הסדרה, בת שתים עשרה עונות, השיגה פופולריות רבה בארצות הברית וזכתה בפרסים רבים דוגמת פרס גלובוס הזהב 2003 לסדרה הקומית הטובה ביותר. הסדרה הגיעה לסופה ב-2024, בפרק סיום הדומה מאוד לפרק הסיום של 'סיינפלד', בהשתתפותו של ג'רי סיינפלד.
ב-2015 וב-2016 הופיע דייוויד בתפקיד אורח קבוע ב"סאטרדיי נייט לייב" בה חיקה את המועמד לנשיאות ברני סנדרס, בפינה שכללה מחוות קבועות ל"תרגיע". הוא אף הנחה תוכנית אחת ב-2016.
חיים אישיים

בשנים 1993–2007 היה נשוי לאקטיביסטית איכות הסביבה האמריקאית-יהודייה לורי לנארד (אנ'), מפיקה שהפיקה בין היתר את הסרט "ענבים חמוצים" אותו כתב וביים דייוויד. לזוג נולדו שתי בנות והם התגוררו באזור לוס אנג'לס.
ב-7 באוקטובר 2020 נישא דייוויד לאשלי אנדרווד, אותה הכיר במסיבת יום הולדתו של סשה ברון כהן בשנת 2017.
דייוויד מגדיר עצמו כאתאיסט.
פרסים ומועמדויות

| שנה | פרס | קטגוריה | עבור | תוצאה | מקור |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1991 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | הכתיבה הטובה ביותר בסדרה קומית | סיינפלד | מועמדות |  |
| 1992 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | ההישג האישי הטוב ביותר בתסריט בסדרה קומית | סיינפלד | מועמדות |  |
| 1993 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | ההישג האישי הטוב ביותר בתסריט בסדרה קומית | סיינפלד | זכייה |  |
| 1993 | פרסי גילדת המפיקים של אמריקה | המפיק המבטיח ביותר בטלוויזיה | סיינפלד | זכייה |  |
| 1994 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | הכתיבה הטובה ביותר בסדרה קומית | סיינפלד | מועמדות |  |
| 2003 | פרס גלובוס הזהב | השחקן הטוב ביותר בסדרת קומדיה או סדרה מוזיקלית | תרגיע | מועמדות |  |
| 2003 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרת קומדיה | תרגיע | מועמדות |  |
| 2004 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרת קומדיה | תרגיע | מועמדות |  |
| 2005 | פרס גלובוס הזהב | השחקן הטוב ביותר בסדרת קומדיה או סדרה מוזיקלית | תרגיע | מועמדות |  |
| 2006 | פרס גלובוס הזהב | השחקן הטוב ביותר בסדרת קומדיה או סדרה מוזיקלית | תרגיע | מועמדות |  |
| 2006 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרת קומדיה | תרגיע | מועמדות |  |
| 2010 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרת קומדיה | תרגיע | מועמדות |  |
| 2012 | פרסי בחירת מבקרי הטלוויזיה | השחקן הטוב ביותר בסדרת קומדיה | תרגיע | מועמדות |  |
| 2012 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרת קומדיה | תרגיע | מועמדות |  |
| 2016 | פרסי בחירת מבקרי הטלוויזיה | השחקן אורח הטוב ביותר - קומדיה | סאטרדיי נייט לייב | מועמדות |  |
| 2018 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרת קומדיה | תרגיע | מועמדות |  |
| 2024 | פרס אמי לבידור בפריים טיים | השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרת קומדיה | תרגיע | מועמדות |  |
הערות שוליים

↑  Aurelie Corinthios and Elizabeth Leonard, Larry David Marries Girlfriend Ashley Underwood, פיפל, ‏8 באוקטובר 2020 (באנגלית)
↑  Dolan, Deirdre (2006). Curb Your Enthusiasm: The Book. Gotham Books. p. Front Matter.
↑  Jordan Moreau, Emmy Awards 2024 Winners List: ‘Shogun’ Dominates With 18 Wins, and ‘The Bear’ Cooks Up 11, Variety, ‏2024-09-16 (באנגלית אמריקאית)
| סיינפלד |
| --- | --- | --- |
| יוצרים | לארי דייוויד • ג'רי סיינפלד |  |
| שחקנים ראשיים | ג'רי סיינפלד • ג'וליה לואי-דרייפוס • מייקל ריצ'רדס • ג'ייסון אלכסנדר |  |
| דמויות | ג'רי סיינפלד • איליין בניס • קוזמו קריימר • ג'ורג' קוסטנזה • דמויות משנה |  |
| פרקים בולטים | ההתערבות • השומרוני הטוב |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007260373005171  PLWABN: 9810700762505606  BIBSYS: 9072600  BNE: XX4700303  BnF: cb14091120q (data)  CANTIC: a11903740  CiNii: DA17635197  GND: 136686842  ISNI: 0000 0001 1634 9678  LCCN: n98023789  MusicBrainz: 834904db-35ff-48af-b786-8b922e0c2947  NKC: xx0150453  NTA: 202411311  SUDOC: 089828720  VIAF: 46967336   WorldCat (עם VIAF): 46967336
ויקטוריה קלארק

| --- | --- |

קלארק ב-2011
 לידה:  10 באוקטובר 1959 (בת 65) ארצות הברית דאלאס, טקסס
 סוגה מועדפת:  מוזיקת פופ מסורתית 
 מדינה:  ארצות הברית 
 תקופת הפעילות:  מ-1975
 עיסוק:  שחקנית, זמרת, במאית
 מקום לימודים:  אוניברסיטת ייל אוניברסיטת ניו יורק
 בן זוג:  תומאס ריידי (2015–הווה)
 מספר צאצאים:  1
 פרסים והוקרה:  פרס טוני לשחקנית הטובה ביותר במחזמר (2005)  Lucille Lortel Award for Outstanding Lead Performer in a Musical (2022) 
 https://www.victoriaclarkonline.com/
 פרופיל ב-IMDb
 
ויקטוריה קלארק (באנגלית: Victoria Clark; נולדה ב-10 באוקטובר 1959) היא שחקנית, זמרת ובמאית אמריקאית זוכת פרס טוני.
ביוגרפיה

קלארק נולדה וגדלה בדאלאס, טקסס. היא למדה פסנתר בילדותה. מאוחר יותר היא סיימה את לימודיה באוניברסיטת ייל ב-1982, שם השתתפה במספר הפקות של גילברט וסאליבן וביימה הפקה של "Ruddigore" עבור "אגודת ייל לגילברט וסאליבן".
לאחר לימודיה בקולג', למדה קלארק בתוכנית לתואר שני בתיאטרון מוזיקלי של אוניברסיטת ניו יורק כבמאית תיאטרון. בזמן שהיא ממשיכה לביים, המוקד העיקרי שלה עבר לשירה ומשחק. תפקידי הבמה הבולטים של קלארק כוללים הופעות במחזות זמר שונים בברודוויי כמו "ברנשים וחתיכות", "טיטאניק", "קברט" ו"איך להצליח בעסקים מבלי להתאמץ", כמו גם במספר רב של הפקות אוף-ברודוויי, סיבובי הופעות לאומיים והפקות תיאטרון אזוריות.
בשנת 2005, קלארק זכתה לשבחי המבקרים וזכתה במספר פרסים, כולל פרס טוני, על גילומה של מרגרט ג'ונסון במחזמר "האור בפיאצה". היא גם הופיעה בהפקות כמו "Follies",‏ "Prayer for My Enemy" ו-"סינדרלה", וזכתה במועמדויות נוספות לפרס הטוני.
מלבד עבודתה בתיאטרון, קלארק הופיעה בסרטים, דיבבה סרטי אנימציה ושיחקה בפרקי טלוויזיה שונים. היא השתתפה בכמה אלבומי מחזמר והוציאה אלבום סולו משלה, "Fifteen Seconds of Grace", ב-2008.
בחייה האישיים, קלארק נישאה לתומס ריידי ב-2015 ויש לה בן בשם טי. אל. מנישואים קודמים.
קלארק גילמה את קימברלי אקימבו בהפקת המחזמר "קימברלי אקימבו" באוף ברודוויי. מאוחר יותר ההפקה עשתה את הופעת הבכורה שלה בברודוויי ב-2022, מה שהביא לזכייה השנייה של קלארק בפרס הטוני.
פילמוגרפיה נבחרת > סרטים

1996: הגיבן מנוטרדאם – מקהלה, דיבוב
1997: היפה והחיה 2: חורף קסום – מקהלה, דיבוב
1997: אנסטסיה – אנסמבל, דיבוב
פילמוגרפיה נבחרת > טלוויזיה

1998: חוק וסדר – בלשית, פרק אחד
2003: חוק וסדר: מדור מיוחד – מרגרט מליה, פרק אחד
2001: סוויני טוד: הספר השטן מרחוב פליט – קבצנית, סרט טלוויזיה
2014: הומלנד – אלן מתיסון, פרק אחד
2016: האישה הטובה – שאנון ג'אנדרמן, פרק אחד
2021: פוזה – ונסה, פרק אחד
2021: הרשימה השחורה – גברת פרנץ', 2 פרקים
הפקות תיאטרון נבחרות

1987: עלובי החיים – מאדאם ת'נרדייה
1992: ברנשים וחתיכות – מרת'ה
1995: איך להצליח בעסקים מבלי להתאמץ – סמית'י
1999: קברט – העלמה קוסט, פריצי
2004: האור בפיאצה – מרגרט ג'ונסון
2021: קימברלי אקימבו – קימברלי לבאקו
הערות שוליים

↑  Gioia, Michael (31 באוקטובר 2014). "Victoria Clark's Full-Circle Moment Directing Light in the Piazza at Pace University". Playbill. נבדק ב-18 במאי 2022. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Victoria Clark". Playbill. נבדק ב-18 במאי 2022. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Grode, Eric (18 באפריל 2005). "The Light in the Piazza". Broadway.com. אורכב מ-המקור ב-20 במאי 2005. {{cite web}}:  (עזרה)
| פרס טוני לשחקנית הראשית הטובה ביותר במחזמר |
| --- | --- | --- |
| 1947–1975 | גרייס הרטמן (1948) • ננט פאברי (1949) • מרי מרטין (1950) • אתל מרמן (1951) • גרטרוד לורנס (1952) • רוזלינד ראסל (1953) • דולורס גריי (1954) • מרי מרטין (1955) • גוון ורדון (1956) • ג'ודי הולידיי (1957) • תלמה ריטר / גוון ורדון (1958) • גוון ורדון (1959) • מרי מרטין (1960) • אליזבת סיל (1961) • אנה מריה אלברגטי / דיאן קארול (1962) • ויוויאן לי (1963) • קרול צ'אנינג (1964) • לייזה מינלי (1965) • אנג'לה לאנסברי (1966) • ברברה האריס (1967) • פטרישה ראוטלדג' / לזלי אגאמס (1968) • אנג'לה לאנסברי (1969) • לורן באקול (1970) • הלן גלאגר (1971) • אלכסיס סמית' (1972) • גליניס ג'ונס (1973) • וירג'יניה קאפרס (1974) • אנג'לה לאנסברי (1975) |  |
| 1976–2000 | דונה מקצ'ני (1976) • דורותי לודון (1977) • לייזה מינלי (1978) • אנג'לה לאנסברי (1979) • פטי לופון (1980) • לורן באקול (1981) • ג'ניפר הולידיי (1982) • נטליה מאקארובה (1983) • צ'יטה ריברה (1984) • ברנדט פיטרס (1986) • מריאן פלנקט (1987) • ג'ואנה גליסון (1988) • רות בראון (1989) • טיין דיילי (1990) • ליאה סלונגה (1991) • פיית' פרינס (1992) • צ'יטה ריברה (1993) • דונה מרפי (1994) • גלן קלוז (1995) • דונה מרפי (1996) • ביבי ניווירת' (1997) • נטשה ריצ'רדסון (1998) • ברנדט פיטרס (1999) • הת'ר הדלי (2000) |  |
| 2001–הווה | קריסטין אברסולה (2001) • סאטון פוסטר (2002) • מריסה ג'ארט וינוקור (2003) • אידינה מנזל (2004) • ויקטוריה קלארק (2005) • לה־שאנז (2006) • קריסטין אברסולה (2007) • פטי לופון (2008) • אליס ריפלי (2009) • קתרין זיטה-ג'ונס (2010) • סאטון פוסטר (2011) • אודרה מקדונלד (2012) • פטינה מילר (2013) • ג'סי מולר (2014) • קלי אוהרה (2015) • סינתיה אריבו (2016) • בט מידלר (2017) • קתרינה לנק (2018) • סטפני ג'יי בלוק (2019) • אדריאן וורן (2021) • חואקינה קלוקנגו (2022) • ויקטוריה קלארק (2023) • מליאה ג'וי מון (2024) |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007305964305171  PLWABN: 9810582276105606  BnF: cb14522881h (data)  GND: 134802934  ISNI: 0000 0001 1596 2278  LCCN: no2007154956  LNB: 000034489  MusicBrainz: 0f9d6e91-7fc5-41d6-98b3-1a77c229dbe5  NKC: jx20100128011  NLA: 49783184  NTA: 203988132  SUDOC: 131955519  VIAF: 12103503   WorldCat (עם VIAF): 12103503
קבוצה (מתמטיקה)

קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה. בגישה הנאיבית לתורת הקבוצות, קבוצה היא אוסף כלשהו של איברים (ללא חשיבות לסדר). בתורת הקבוצות האקסיומטית מושג הקבוצה אינו מוגדר, ותכונותיו מתקבלות מרשימת האקסיומות.
נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה (למשל {כלב, חתול, צרצר}), או על ידי תיאור לשוני של כלל המגדיר את איברי הקבוצה (למשל {x :x אזרח סין}). לעיתים מוצגת הקבוצה באמצעות רשימה של חלק מאיבריה שבסופם '...' (שלוש נקודות), מתוך הנחה שהקורא יסיק מהחלק הנתון את יתר איברי הקבוצה.
עצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה. בין האיברים לא חייב להיות קשר כלשהו מעבר לכך. כאשר עצם כלשהו הוא איבר בקבוצה נאמר שהוא שייך לקבוצה, על כל עצם אחר נאמר שהוא לא שייך לקבוצה זו. אפשר שגם עצם השייך לקבוצה הוא קבוצה בעצמו.
הגדרה

בתיאור נאיבי קבוצה היא אוסף של עצמים. כל עצם בעולם, או שהוא שייך לקבוצה (ואז הוא נקרא איבר של הקבוצה) או שאינו שייך לה. לא ניתן להיות איבר של קבוצה יותר מפעם אחת. שתי קבוצות הן שוות כאשר יש להן בדיוק אותם האיברים.
כאשר רוצים לבסס את תורת הקבוצות באופן ריגורוזי נחוצה הגדרה קשוחה יותר שאינה מסתמכת על תאורים עמומים. ההגדרה המקובלת ביותר לקבוצה היא באמצעות אקסיומות ZF הכתובות בשפה מסדר ראשון. האקסיומות מגדירות יקום שלאיבריו אנו קוראים קבוצות ומוגדר עליהן יחס של שייכות. ביקום יש רק קבוצות ולכן איבריה של קבוצה הם תמיד קבוצות בעצמם. האקסיומות מטילות מספר מגבלות על מה ראוי להיקרא קבוצה (למשל קבוצה לא יכולה להיות שייכת לעצמה) כדי למנוע סתירות דוגמת הפרדוקס של ראסל.
כמעט כל עצם במתמטיקה ניתן להגדיר כקבוצה, ולכן ניתן לומר שהיקום שנוצר על ידי אקסיומות ZF הוא זירת המשחקים לכמעט כל המתמטיקה.
דוגמאות לקבוצות

{כלב, חתול, צרצר}: זוהי קבוצה סופית בעלת שלושה איברים.
{א, ב, ג, ... ש, ת}: בקבוצה זו 27 איברים, שהם כל אותיות האלף-בית העברי (כולל אותיות סופיות) ואולי רק 22 איברים – אותיות האלף-בית העברי ללא אותיות סופיות (זו, אם כן, הצגה עמומה במקצת).
{כלב, ג, ירושלים, אברהם}: זו קבוצה בת ארבעה איברים.
{8,6,4,2, ...}: זו קבוצה אינסופית, הכוללת את כל המספרים הזוגיים החיוביים.
{כל המספרים השלמים שמתחלקים בשלוש ללא שארית}: גם זו קבוצה אינסופית.
{x :x אזרח סין} (קריאה: קבוצת כל ה-x-ים שמקיימים: x הוא אזרח סין): זו קבוצה סופית, שהרי יש מספר סופי של אזרחים בסין גם אם מספרם גדול מאוד והם אינם ידועים לנו במלואם.
\ \{(x,y):y=x^{2};-1\leq x\leq 1\} בדוגמה זו הכלל, לפיו נקבעים איברי הקבוצה, נכתב בנוסחה. זו קבוצת כל הנקודות  \ (x,y) שמקיימות את המשוואה  \ y=x^{2} לגבי  \ x שבקטע  \ [-1,1] (קבוצה אינסופית זו היא פרבולה).
{קבוצת כל הקבוצות המכילות רק את המספרים 1, 2, 3 (כולם או חלקם)}: זו קבוצה שאיבריה הם קבוצות.
{Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }: זו הצגה מפורשת של הקבוצה הקודמת, שבה 8 איברים. משמעות הסימון Ø הוא "הקבוצה הריקה", קבוצה שלא מכילה אף איבר ומוכלת בכל הקבוצות האחרות, לכן מוכלת גם בקבוצת שלושת באיברים שלנו {1,2,3}.
גם {1} וגם {1,1,1} מסמנים את אותה קבוצה, שאברה היחיד הוא המספר 1; זאת משום שאי אפשר להשתייך לקבוצה יותר מפעם אחת.
דוגמאות לקבוצות > דוגמה נוספת

{אדום, צהוב, כחול}
{אדום, אדום, כחול, צהוב, כחול, כחול, אדום, כחול}
{X :X הוא צבע יסוד}
כל שלוש הקבוצות הללו זהות, אף על פי שהן נוצרו באמצעות הגדרות שונות: ציון כל איברי הקבוצה (הכי יעיל במקרה של קבוצות בעלות מספר קטן של איברים); או על ידי ציון כל אברי הקבוצה, גם אם הם מופיעים יותר מפעם אחת (סדר ההופעה ומספר המופעים אינו חשוב ואינו משפיע על הגדרת הקבוצה); או על ידי הגדרה חד ערכית של אברי הקבוצה (יעיל במקרה של מספר רב של איברים), שניתן להגדיר עבורם חוק או הגדרה.
סימונים והגדרות

הקבוצה הריקה: זו קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן  \emptyset  (שמקורו באות הנורווגית "Ø") או באמצעות סוגריים מסולסלים ריקים {}.
שייכות לקבוצה מסמנים בסימון  \ \in . כאשר איבר  \ x שייך לקבוצה  \ A, נסמן זאת בצורה  x\in A. אם אינו שייך נסמן זאת  x\not \in A.
קבוצה A מכילה או שווה לקבוצה B (או קבוצה B חלקית ל-A, או B היא תת קבוצה של A) אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה:  B\subseteq A. אם כל איבר של B שייך גם ל-A אך ב-A נמצאים איברים נוספים נאמר ש B חלקית ממש ל-A ונסמן זאת בצורה:  B\subset A. כדי לסמן שקבוצה אינה חלקית לקבוצה אחרת (כלומר, היא מכילה איברים שאינם נמצאים בקבוצה השנייה) נכתוב  A\nsubseteq B.
שתי קבוצות A ו-B נקראות קבוצות זהות או שוות אם כל איברי A נמצאים ב-B וגם כל איברי B נמצאים ב-A. נסמן שוויון באמצעות  \ A=B. דרך נוספת להראות שוויון בין קבוצות היא להראות שכל אחת מהן חלקית לשנייה. כלומר,  B\subseteq A וגם  A\subseteq B.
גודל של קבוצה נקרא עוצמה. העוצמה מוגדרת באמצעות מספר האיברים הייחודיים בקבוצה ומסומנת באמצעות הסימן |. לדוגמה, עוצמתה של הקבוצה הסופית {אדום, צהוב, ירוק} היא 3 ומסומנת |{אדום, צהוב, ירוק}|=3. עוצמתה של הקבוצה הריקה היא 0 ומסומנת |∅|=0. עוצמתה של קבוצה אינסופית היא סוגיה מרכזית בתורת הקבוצות.
הפרדוקס של ראסל הבהיר שההגדרה האינטואיטיבית של קבוצה, איתה התחלנו ערך זה, מובילה לסתירה פנימית (אנטינומיה). בעקבות זאת ניתן לתורת הקבוצות, שהיא ענף המתמטיקה העוסק בחקר הקבוצות, ביסוס אקסיומטי, לשם היחלצות מסתירה זו.
קבוצת החזקה של קבוצה A היא הקבוצה שאבריה הם תת-הקבוצות של A, ומסמנים אותה ב- {\mathcal {P}}(A).
סימונים והגדרות > איחוד וחיתוך של קבוצות

החיתוך של אוסף של קבוצות הוא קבוצה שמורכבת מהאיברים ששייכים לכל הקבוצות הנחתכות. החיתוך של שתי קבוצות A,B מסומן ב- \ A\cap B. חיתוך של משפחה
 \ {\mathcal {A}}=\{A_{i}\mid i\in \Lambda \} מסומן ב- \ \bigcap _{i\in \Lambda }A_{i}. ולפעמים בקיצור  \ \bigcap {\mathcal {A}}.
האיחוד של אוסף של קבוצות הוא קבוצה שמורכבת מהאיברים ששייכים ללפחות אחת מבין הקבוצות המאוחדות. האיחוד מסומן בדומה לחיתוך, פרט לזה שאת הסימנים  \ \cap ,\bigcap  מחליפים  \ \cup ,\bigcup .
הפרש של שתי קבוצות A,B הוא קבוצת האיברים של A שאינם שייכים ל-B, ומסמנים אותו ב- \ A\setminus B או  \ A-B. ההפרש מאפשר להגדיר גם את ההפרש הסימטרי.
ראו גם

מונחים בתורת הקבוצות
הערות שוליים

↑  Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic
| נושאים בתורת הקבוצות |
| --- | --- | --- |
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה |  |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף |  |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית |  |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף |  |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב |  |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור |  |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי |  |
| סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר |  |
| שונות | הפרדוקס של ראסל |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 4038613-2  NKC: ph122926 
דוגמה לקבוצה של אנשים
סימנים והגדרות
השקמה

| --- | --- |

 סוג:  מקומון
 תדירות:  שבועון
 מייסד:  שאול הרשטט
 בעלים:  רשת העיר ע.ג.ר בע״מ
 עורך ראשי:  אייל יצחקי
 מנכ"ל:  אבי סולומון
 תאריכי הופעה:  1985–הווה (כ־39 שנים)
 שפה:  עברית, רוסית
 תפוצה:  251,400 עותקים
 מדינה:  ישראל ישראל
 אתר השקמה חולון  אתר השקמה בת-ים  אתר השקמה ראשון לציון
 
השקמה היא רשת של מקומונים שבועיים היוצאים כיום לאור מדי יום רביעי בערים חולון, בת ים, ראשון לציון ונס ציונה. בעבר יצאו מהדורות מודפסות גם ביישובי בקעת אונו, באר יעקב, וכן מהדורות לציבור החרדי ולציבור דוברי הרוסית. סך כל המהדורות יצאו יחדיו בתפוצה כוללת של רבע מיליון עותקים.
היסטוריה

עיתון השקמה נוסד ב-1985 על ידי שאול הרשטט, איש עסקים ותושב חולון ויקיר העיר לשנת 2015. בעת הקמתו הופץ העיתון בחולון, ובהמשך הורחבה תפוצתו גם אל בת-ים ואזור השכנות. עם זאת, גם היום מזוהה העיתון במיוחד עם העיר חולון, זאת בין היתר באמצעות שמו אשר קרוי על עץ השקמה שמווה את אחד מסמליה של העיר.
בשנת 1999, חויב העורך שאול הרשטט, הכתב שמעון עשור, ראש עיריית חולון, מוטי ששון, משה רינת ושלמה ארז, לשלם פיצויים של 300 אלף שקל למשה רום, ראש עיריית חולון לשעבר, בגין פרסום לשון הרע. בעקבות כתבות שפורסמו במקומון בחודשים יוני וספטמבר 1993 בהם דברי השמצה נגד רום. ששון ורינת ערערו על פסק הדין לבית המשפט העליון, שקיבל באפריל 2002, בפסק דין תקדימי, את ערעורם. מאחר שרק צטטו מה שפורסם כבר בעיתון.
בשנת 2001 נרכש 'השקמה' על ידי רשת שוקן של קבוצת הארץ ומאז נמצא בבעלותה. במסגרת הרכישה אוחד "השקמה" עם המקומון "שתי ערים" של רשת שוקן שהופץ בחולון ובת–ים. במרץ 2005 אוחדו המערכות של "השקמה" ו-"ערים" ואוחד מותג "השקמה" עם מותג המקומונים "ערים" אשר פעל קודם לכן בראשון לציון, נס ציונה ובאר יעקב. מאז מופץ העיתון גם בערים אלה.
בשנת 2015 הופצו לעיתון מהדורה בשפה הרוסית ומהדורה לציבור החרדי בשם 'השקמה מהדרין'.
בספטמבר 2018, קבע יושב ראש ועדת הבחירות האזורית מרכז-דרום השופט אברהם טל, בעקבות תלונה שהוגשה לוועדה, כי מודעת בחירות מטעם ניסים גוזלן, ראש המועצה המקומית באר יעקב, שהופיעה על שערו של "השקמה באר-יעקב", לא נחזתה לידיעה עיתונאית. ושני ראיונות עם בכירים במועצה שהופיעו באותו מקומון היו פרסומים עיתונאיים לגיטימיים ולא תעמולת בחירות אסורה. זאת על סמך התקדים בה נקבע שהעיתון "ישראל היום" אינו כלי תעמולה של ראש הממשלה בנימין נתניהו.
העיתון כיום

העיתון מופץ חינם מדי יום רביעי בתיבות הדואר של התושבים. הכנסותיו מגיעות מפרסומות של עסקים ומודעות של מכירות.
כל מהדורה נפתחת בכתבות חדשותיות אשר סוקרות את מצב העיר, לאחר מכן מובאים טור על פרשת השבוע, מדורי בידור ורכילות, מדור החוקר הפרטי, מדור הספורט וההורוסקופ.

כיום עיתון 'השקמה' מופץ בשלוש מהדורות:
השקמה חולון-אזור - 68,400 עותקים
השקמה בת- ים - 49,000 עותקים
השקמה ראשונים - 60,000 עותקים
עד שנת 2019 הופצו גם המהדורות:
השקמה ראשון לציון מערב- 25,000 עותקים
השקמה ראשון לציון מרכז ונס ציונה - 44,000 עותקים
השקמה באר יעקב- 10,000 עותקים
עד שנת 2018 הופצו גם המהדורות:
ספוטניק השקמה (מהדורה רוסית) - 40,000 עותקים
השקמה יהדות - (לציבור שומרי תורה) - 15,000 עותקים
השקמה הבקעה- ביישובי בקעת אונו
העיתון כיום > מערכת

עורך השקמה: איציק עזרא
מנכ"ל: לאון סבג
עורך ראשי: אלעד ליפשיץ
מפיקת מערכת: טל חגי
עורך מדורים: דודי טל
עורך דיגיטל: ג'וני סלומון
כתבים: שוקי בן יוסף, דודי טל, בתי לוין ואורן שטרנברג.
כתבים בעבר

יורם לוי (2017-2020)
מור דיעי חנני (2017)
סהר דיין (2018)
אביחי חיים (2018-2019)
יובל פרידמן (2017)
מורן בן זכאי (2018-2020)
דוריס קרונהאוז
שגיא פלדמן
יואב ויכסלפיש
יונתן צדיק
שמעון עשור
עורכים ראשיים בעבר

מיה מנע (2017-2020)