התמרת לז'נדר
התמרת לז'נדר בפיזיקה > שימוש בתרמודינמיקה

במערכת סגורה ומבודדת מהסביבה (עם קירות אדיאבטיים – אינם מעבירים חום), התנאי לשיווי משקל במערכת הוא שהאנטרופיה מגיעה לערכה המקסימלי האפשרי בתנאי שהאנרגיה והנפח לא משתנים (החוק השני של התרמודינמיקה). בתנאים אלו, ומתוך התנאי לשיווי משקל, הטמפרטורה במערכת ניתנת על ידי  \beta =\left({\partial S \over \partial E}\right)_{V} (כאשר  \beta ={1 \over {k_{B}}T}) והיא חייבת להיות זהה בכל חלקי המערכת.
לעומת זאת, מערכת שבה קובעים את הטמפרטורה של המערכת ולא את האנרגיה הכוללת שלה היא קלה הרבה יותר למימוש בניסויים ולכן עולה הצורך למצוא את התנאי לשיווי משקל עבור מערכת כזו. אפשר לדמיין מערכת כזו כמערכת סגורה אך מצומדת לאמבט חום (בעזרת קירות דיאתרמיים – מעבירים חום) שמחייב אותה להגיע לטמפרטורה של האמבט (לדוגמה כוס תה מכוסה העומדת באוויר). באמבט הכוונה למערכת גדולה מאוד יחסית למערכת A כך שהחלפת אנרגיה עם המערכת A לא יכולה לגרום לשינוי טמפרטורה באמבט. המערכת הכוללת (אמבט + מערכת) היא מערכת סגורה ובמערכת כזו, מתוך הדרישה לשיווי משקל – מקסימום אנטרופיה (כוללת), חייב להתקיים שהטמפרטורה בכל המערכת שווה, לכן יתבצע מעבר חום בין המערכת לאמבט עד אשר הטמפרטורה תשתווה לזו של האמבט (וכוס התה תתקרר).
השאלה הנשאלת היא – במערכת כזו בה ידועה הטמפרטורה, כיצד נוכל לדעת למה שווים הפרמטרים האחרים של המערכת כאשר היא מגיעה לשיווי משקל? בצורה מדויקת השאלה היא זו: ידוע כיצד לנסח את התנאי לשיווי משקל עבור המערכת הכוללת כי ידוע שהאנטרופיה הכוללת (של המערכת המבודדת A+Bath) צריכה להגיע לערך מקסימלי, אבל היינו רוצים לנסח תנאי לשיווי משקל הכולל פרמטרים ידועים של המערכת בלבד (במקרה הזה הנפח והטמפרטורה) במערכת הלא מבודדת A.
באמצעות הקשר בין תנאי שיווי משקל לטרנספורם לז'נדר אפשר להראות שהתנאי של מקסימום האנטרופיה של המערכת הכוללת גורר את התנאי שהפונקציה  {\tilde {F}}\left(\beta ,V\right) של המערכת  \ A מגיעה למינימום, כאשר  {\tilde {F}} היא:  {\tilde {F}}(\beta ,V)=\beta E-{\tilde {S}}
יש לציין שנעשה כאן שימוש באנטרופיה חסרת יחידות  {\tilde {S}}={S \over k_{B}} כיוון שכך הסימטריה בין הפונקציות להתמרות לז'נדר שלהן נראית באופן ברור. נראה שעבור פונקציה זו בדיוק מתקיים  E=\left({\partial {\tilde {F}} \over \partial \beta }\right)_{V}, באופן זהה למה שהפונקציות  \ U ו־ \ V קיימו במקרה של חלקיק יחיד.
הוכחה:
מצד אחד הדיפרנציאל השלם של המערכת הוא
d{\tilde {F}}(\beta ,V)=\beta dE+Ed\beta -d{\tilde {S}}=\beta (TdS-PdV)+Ed\beta -d{\tilde {S}}=dS/k_{B}-\beta PdV+Ed\beta -d{\tilde {S}}=-\beta PdV+Ed\beta
מצד שני, על פי הגדרת הדיפרנציאל השלם של פונקציה מרובת משתנים:
d{\tilde {F}}(\beta ,V)=\left({\partial {\tilde {F}} \over \partial \beta }\right)_{V}d\beta +\left({\partial {\tilde {F}} \over \partial V}\right)_{\beta }dV
מהשוואת מקדמים ניתן לראות כי
\left({\partial {\tilde {F}} \over \partial \beta }\right)_{V}=E
לכן  {\tilde {F}} היא אכן הפונקציה, שבמערכת עם  \ \beta ,V קבועים הנגזרת החלקית שלה ביחס ל־ \ \beta  נותנת את האנרגיה. זו בדיוק התכונה שצריכה לקיים הפונקציה שהיא התמרת לז'נדר של  \ S(E,V) ביחס למשתנה  \ E, ואכן, על פי הגדרת הטרנספורם,
{\tilde {F}}(\beta ,V)=E\left({\partial {\tilde {S}} \over \partial E}\right)_{V}-{\tilde {S}}(E\beta ,V),V)=E\beta -{\tilde {S}}
(כאשר הזהות  \beta (E)=\left({\partial S \over \partial E}\right)_{V} ידועה מהניתוח של מערכת מבודדת).
יש לציין שבתרמודינמיקה נהוג להשתמש בגודל בעל היחידות של אנרגיה  \ F={\tilde {F}}(\beta ,V)/\beta  והוא נקרא האנרגיה החופשית של הלמהולץ (גם נחזיר את היחידות של  \ S):
 \ F(T,V)=E(T,V)-TS(T,V)
כאשר מעוניינים להציג את תנאי שיווי המשקל במערכת עם לחץ  \ P וטמפרטורה  \ T קבועים, ניתן לבצע התמרת לז'נדר של  \ S גם ביחס ל־ \ V:
{\tilde {G}}(T,P)=V\left({\partial {\tilde {S}} \over \partial V}\right)_{E}+E\left({\partial {\tilde {S}} \over \partial E}\right)_{V}-{\tilde {S}}(E(\beta ,P),V(\beta ,P))=V{1 \over k_{B}T}P+E{1 \over k_{B}T}-{\tilde {S}}
\Rightarrow G=k_{B}T{\tilde {G}}=E-TS+PV
זו נקראת האנרגיה החופשית של גיבס.
כדי לקבל את פונקציית שיווי המשקל כתלות ב־ \ S ו־ \ P יש להתייחס ל־ \ S כפרמטר בלתי תלוי ולכן יש לבצע את ההתמרה על  \ E(S,V) (במקום  \ S(E,V) שממנה התחלנו קודם). נבצע טרנספורם של  \ E(S,V) ביחס ל־ \ V:
h(S,P)=V\left({\partial {\tilde {E}} \over \partial V}\right)_{S}-E(S,V(S,P))=-PV-E
הגודל הנקרא אנתלפיה הוא
\ H=-h=E+PV