פונקציית ריבוי
דוגמאות > מודל פרומגנט - אוסף של ספינים

נניח כי קיימים  N אתרים שונים במערכת כלשהי, המתוארים על ידי אוסף של ספינים במישור. לצורך פשטות, נגדיר שני מצבים נפרדים (מודל בינארי) בלבד לכל ספין באמצעות חיצים:
חץ הפונה למעלה מייצג מומנט מגנטי של  +m, וחץ הפונה למטה מייצג מומנט מגנטי של  -m
על כן, נוכל לייצג את אוסף הספינים בהתאם לייצוג:  \uparrow \uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \cdot \cdot \cdot  עבור  N אתרים, כאשר כל ספין בכל אתר יכול להיות מיוצג על ידי  \uparrow  או  \downarrow
כידוע, אוסף של ספינים מייצג מודל של פרומגנט בהתאם לתכונות החומר.
מספר המצבים המיקרוסקופיים הכולל, בהתאם לחוקי קומבינטוריקה הוא  2^{N}
נמצא כעת את מספר המצבים המקרוסקופיים:
נגדיר את כמות הספינים עם חץ הפונה למעלה בתור:  N_{\uparrow } ואת כמות הספינים עם חץ הפונה למטה בתור:  N_{\downarrow }
מספר האתרים הכולל נתון על ידי:  {\displaystyle N_{\uparrow }}+{\displaystyle N_{\downarrow }}=N
נגדיר מספר  S\in {\mathbb {N} } המייצג את השינוי בספין בכל אתר ועל כן נוכל להגדיר:  N_{\uparrow }={\frac {1}{2}}N+S ו -  N_{\downarrow }={\frac {1}{2}}N-S
נוכל להגיע לביטוי מתמטי עבור הספין על ידי התייחסות למספר המצבים בכל אתר. אם נסתכל על כל אתר בתור מגנט, אז כשנסובב את המגנט המופנה כלפי מעלה לכיוון המנוגד, כלפי מטה, אז השינוי בכמות משתנה פי  2. כלומר, באופן פורמלי נקבל:  N_{\uparrow }+S=>N_{\uparrow }+S-1 ו -  N_{\downarrow }+S=>N_{\downarrow }-S+1 כאשר  S מייצג את הספין של כל אתר.
בהתאם לכך נגדיר את הספין העודף במערכת:  S={\frac {1}{2}}(N_{\uparrow }-N_{\downarrow })
בהתאם לניוון עבור כיוון הספין, נקבל כי כמות המצבים המקרוסקופיים של אוסף הספינים הוא  N+1
כלומר, לכל מצב מקרוסקופי קיימים מספר רב של מצבים מיקרוסקופיים, כיוון ש -  N+1<<2^{N} עבור  N>>1.
כעת נוכל למצוא את פונקציית הריבוי של אוסף ספינים:
נסתכל על המצב של כל אתר בהתאם לכיוון החץ על ידי הביטוי  (\uparrow +\downarrow )^{N} כפי שהוסבר לעיל.
בהתאם לנוסחת הבינום של ניוטון ובהתאם להגדרת הכיוון של הספין לכל האתרים נתאר את מספר המצבים המיקרוסקופיים הכולל:
{\displaystyle (\uparrow +\downarrow )^{N}}=\sum _{s=-{\tfrac {1}{2}}N}^{{\tfrac {1}{2}}N}{\frac {N!}{({\tfrac {1}{2}}N+S)!({\tfrac {1}{2}}N-S)!}}\uparrow ^{{\tfrac {1}{2}}N+S}\downarrow ^{{\tfrac {1}{2}}N-S}
נגדיר את פונקציית הריבוי בהתאם למספר המצבים המיקרוסקופיים הזמינים לאוסף של  N ספינים:  g(N,S)={\frac {N!}{({\tfrac {1}{2}}N+S)!({\tfrac {1}{2}}N-S)!}}={\frac {N!}{N_{\uparrow }!N_{\downarrow }!}}={\binom {N}{N_{\uparrow }}}
בהתאם לכך, הסיכוי להיות במצב עודף ספין מסוים הוא:  P(N,S)={\frac {g(N,S)}{g_{tot(N,S)}}}={\frac {1}{2^{N}}}\cdot {\binom {N}{N_{\uparrow }}}
נוכל לקרב את פונקציית הריבוי אם  N>>1 וגם  |S|<<N בהתאם לנוסחת סטירלינג על ידי שימוש ב -  \log g:
\log g(N,S)=\log N!-\log N_{\uparrow }!-\log N_{\downarrow }!
ובהתאם לקירוב סטירלינג:  \log N!\simeq {\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +(N+{\tfrac {1}{2}})\log N-N
ובאופן דומה:  \log N_{\uparrow }!\simeq {\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +(N_{\uparrow }+{\tfrac {1}{2}})\log N_{\uparrow }-N_{\uparrow },
\log N_{\downarrow }!\simeq {\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +(N_{\downarrow }+{\tfrac {1}{2}})\log N_{\downarrow }-N_{\downarrow }
ועל כן נוכל להציב בנוסחה עבור פונקציית הריבוי ולקבל:
\log g(N,S)={\tfrac {1}{2}}\log(1/2\pi N)-(N_{\uparrow }+{\tfrac {1}{2}})\log(N_{\uparrow }/N)-(N_{\downarrow }+{\tfrac {1}{2}})\log(N_{\downarrow }/N)
נוכל לפשט את הביטוי על ידי פיתוח טור טיילור עבור ביטוי מהצורה  \log(1+x) והצבה בביטוי שהוגדרו עבור  N_{\uparrow } ו -  N_{\downarrow }:
\log(N_{\uparrow }/N)=\log {\tfrac {1}{2}}(1+2S/N)=-\log 2+\log(1+2S/N)\simeq -\log 2+(2S/N)-(2S^{2}/N^{2})
ובצורה דומה:
\log(N_{\downarrow }/N)=\log {\tfrac {1}{2}}(1-2S/N)=-\log 2+\log(1-2S/N)\simeq -\log 2-(2S/N)-(2S^{2}/N^{2})
נציב את הביטויים שהתקבלו בביטוי הלוגריתמי של פונקציית הריבוי ולבסוף נקבל:
\log g(N,S)\simeq {\tfrac {1}{2}}\log(2/\pi N)+N\log 2-2S^{2}/N
ועבור פונקציית הריבוי נקבל:
g(N,S)=g(N,0)e^{-2S^{2}/N} כאשר  g(N,0)=(2/\pi N)^{\tfrac {1}{2}}2^{N}
כאשר זוהי התפלגות גיאוסיאן סביב אפס, בהתאם למשפט הגבול המרכזי.
מספר מאפיינים של התפלגות זו:
הסטייה מערך שיווי המשקל נתונה על ידי:  \Delta S={\sqrt {<S^{2}>-<S>^{2}}} כאשר  <S>^{2}=0 בהתאם לסימטריה של הפונקציה.
<S^{2}>=\sum S^{2}\cdot P(N,S)=N/4
\Delta S={\sqrt {\frac {N}{4}}}
רוחב הגיאוסיאן מתקבל בהתאם לסטיית התקן:  {\frac {\Delta S}{N}}={\frac {\sqrt {N}}{2N}}\sim {\frac {1}{\sqrt {N}}} כאשר עבור  N\longrightarrow \infty  נקבל  {\frac {1}{\sqrt {N}}}=0