stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
יובל אשרוב
עמדותיו והביקורת עליו

עם התגברות פרסומו הציבורי, הצביעו רופאים ועמותות על העובדה שעמדותיו של אשרוב נעדרות בסיס מדעי. כך, לדוגמה, ציינה ד"ר מעין ברנע-זהר כי קביעותיו הפסקניות שלפיהן חיידקים אינם מחוללים מחלות, ריחות רעים שנפלטים מהגוף נוצרים מרעלים, כל שיעול מרפא את גוף האדם, ועוד, מלמדות על כריזמה המחפה על חוסר הבנה וידע רפואי דל.
אשרוב מטיף נגד חיסונים, אולם לפי כתבה של אושרת קוטלר ב"המגזין" ילדיו חוסנו מפני חצבת. בנוסף, הוא מתנגד לטיפול כימותרפי במחלת הסרטן ונטילת אנטיביוטיקה. שימוש באינהלציה לדבריו – מלבד במקרי חרום – הוא "דבר מזיק מאוד". מתנגד גם לנטילת ויטמינים. לטיפול בסוכרת נעורים הוא ממליץ על "מנוחה, צום והרפיה". קרני אלדד ציינה כי במהלך עריכת ריאיון עמו לעיתון מקור ראשון "עלו עוד ועוד סיפורים על מטופלים של הרב שהגיעו לסכנת חיים ולאשפוז של חודשים בעקבות תורתו התזונתית, והתנגדותו הגורפת לתרופות". חלק מהעדויות פורסם. יהודה יפרח, שבעקבות עצותיו של אשרוב הגיע לסכנת חיים, כינה את הדרכת אשרוב להימנע מטיפול רפואי "שרלטנות".
עמדותיו והביקורת עליו > מגפת הקורונה והחיסון לקורונה

במהלך התפרצות מגפת הקורונה בישראל, התבטא כי "הקורונה היא סוג של שפעת... 35,000 איש נדבקו בישראל, ואחוז אחד מהם נפטר". בניגוד לדבריו, ממחלת השפעת נפטרים בכל שנה בישראל כמה עשרות חולים[דרושה הבהרה]. עוד טען כי במהלך הקיץ קטן שיעור התמותה מן הקורונה "כי הנקבוביות פתוחות והרעלים יוצאים". גם דבריו אלה מנוגדים לנתוני התמותה מן המחלה, שהתגברה גם בשיא החום בישראל ובעולם. לדבריו, הטיפול בקורונה צריך לכלול רק שתיית מים וצום. באוקטובר 2020 חזר על עמדתו. לדבריו הקורונה אינה מגפה, והמתים "הם ברוטינה הרגילה שיש לנו כל שנה". גם דבריו אלה שגויים. הוא המליץ לשומעי לקחו לבחון בעצמם אם אנשים מתים באמצע הרחוב.
בשלהי דצמבר 2020 הזהיר את שומעי לקחו שלא לקבל את החיסון לקורונה, ובין השאר מתח ביקורת על היועץ הרפואי אלימלך פירר, שבעידודו הורו רבני הציבור החרדי על קבלת החיסון. טענותיו נגד החיסון – כגון שקבלתו עלולה להוביל לעקרות ולמחלות – נדחו בפירוט בידי מומחים ובכלי התקשורת. חרף זאת סירב אשרוב לחזור בו.
בפברואר 2021 פעלו משרד הבריאות ומשרד המשפטים להסיר מן הרשת את סרטוני אשרוב הנוגעים לחיסון לקורונה. סמוך לאחר מכן הודיע אשרוב לתומכיו שיחדול מלדבר על נושאים אלה ברבים. ב-14 בפברואר פרסם משרד הבריאות הודעה לפיה אשרוב "מטעה ומסכן באופן בלתי אחראי את שומעיו" ו"מתעלם מהידע המקצועי המתעדכן תדיר בכל העולם", ריבוי מקרי המוות, מאבק צוותי הרפואה בנגיף, סיכון אפשרי בנזק לטווח ארוך, דרגות סיכון שונות ועוד. את טענותיו של אשרוב, שלפיהן "הגוף יודע לרפא כל דבר בעצמו בלי התערבות חיצונית", "קורונה לא עושה מחלה, מה שהורג זה הרעילות" ועוד, כינה משרד הבריאות "אמירות מטעות ומסוכנות".
יוז'ף פרנק

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  12 במרץ 1875 באיה, הונגריה 
 פטירה:  24 במרץ 1929 (בגיל 54) סגד, הונגריה 
 מדינה:  הונגריה 
 השכלה:  Piarist grammar school Dugonics András (1894) 
 
יוז'ף פרנק (בהונגרית: Frank József;‏ באיה, 12 במרץ 1875 – סגד, 24 במרץ 1929) היה עיתונאי ועורך עיתון יהודי-הונגרי בולט, מוכשר ביותר ויוצא דופן שריכז בעיתונים שונים שערך צוות עיתונאים מהטובים בהונגריה.
ביוגרפיה > עד תום מלחמת העולם הראשונה

יוז'ף פרנק נולד במשפחה יהודית כבנם של רואה החשבון מיקשה פרנק ושל יוליאנה קֶלֶמֶן. הוא השלים את לימודיו התיכוניים בבית הספר התיכון הפיאריסטי בסגד בין השנים 1885–1894, אך נשר מהכיתה האחרונה (יב) מסיבה כלשהי. יחד עם זה בסוף שנת הלימודים 1893/94 ניגש לבחינת הבגרות. ב-1894 נרשם לפקולטה לרפואה של אוניברסיטה בודפשט (כיום שמה אוניברסיטת אטווש לוראנד), אך עם הזמן הפסיק את לימודי הרפואה ועבר לפקולטה למדעי הרוח. כבוגר מדעי הרוח, הברון גרודל ומשפחתו הזמינו אותו לגגינגן (אנ') שבגרמניה כמחנך של אחד מבניהם.
באמצע העשור הראשון של המאה ה-20 חזר לסגד, ובתחילת 1906 הצטרף למערכת של העיתון היומי הטוב ביותר אז בסגד, "יומן סגד" (Szegedi Napló). היומן נערך אז על ידי גזה ואש ואנטל בקפי עם צוות מצוין של עמיתים, פרנץ מורה, אישטוואן טמרקן ועוד. עם זאת, יוז'ף פרנק לא נשאר שם זמן רב, הוא עבר למערכת של "חדשות סגד" (Szegedi Híradó) ולאחר מכן בשנת 1908 היה כבר במערכת של "סגד והסביבה" (Szeged és Vidéke). אנחנו יכולים למצוא אותו בעיתון היומי הזה, בו עבד עד 1918, שם הפך מעמית מערכת לעורך הראשי של העיתון. סגד והסביבה היה עיתון רב תפוצה שתמך ברדיקלים הבורגניים, מתומכיו של אוסקר יאסי עד אמצע העשור השני של המאה ה-20, בעיתון הזה החלו את הקריירה העיתונאית דיולה יוהאס, מיהאי באביץ', דז'ה קוסטולאני וגזה צ'אט. בשנת 1910 כתב בעיתון זה גם זולטאן שומיו.
במהלך מלחמת העולם הראשונה, הבסיס הפיננסי של "סגד והסביבה" נעשה צר יותר ויותר, והוא הושפע גם מהצנזורה בזמן המלחמה. היו בו מעט עיתונאים, ואלה שנשארו קיבלו שכר מועט על ידי ארמין בלשה, הבעלים והמו"ל. בשל כך היה ליוז'ף פרנק דין ודברים קשה עם ארמין בלשה בתחילת 1918, שמאז בלשה לא נכנס יותר למערכת. שלושה אנשים הכינו את העיתון, ביניהם פרנק והם לא קיבלו את העלאת השכר שביקשו. ב-11 במאי 1918, פרנק וחברו פתחו בשביתה, ודיולה יוהאס היה סולידרי איתם. גם לשביתה הזו לא היו תוצאות ואז פרנק ויוהאס עברו למערכת של "דרום הונגריה" (Délmagyarország). איכויותיו של יוז'ף פרנק כעיתונאי וכעורך הוכיחו את עצמן עד מהרה גם בעיתון זה, הוא היה האדם השני במערכת לצד העורך הראשי והבעלים, יוז'ף פסטור.
ביוגרפיה > לאחר מלחמת העולם הראשונה

במהלך המהפכות של 1918–1919 (מהפכת החרציות והרפובליקה הסובייטית ההונגרית) ולאחר מכן בתקופת מהפכת הנגד (הטרור הלבן) מספר העיתונאים בסגד פחת מאוד, גם יוז'ף פרנק פחד, אבל נשאר בתפקידו לכל אורך התקופה, דיולה יוהאס והעיתונאי הטירון שאנדור שרלו עבדו איתו. הוא ערך את "דרום הונגריה" עד ה-30 במאי 1920, כאשר העיתון חדל להתקיים. במקום זאת, צזאר סילאשי וארנה ורמש הקימו את העיתון היומי "סגד". יוז'ף פרנק לא הצטרף לעיתון הימני המתון הזה. בשנת 1923, הוא ערך את העיתון "ידיעות טריות" במשך כמה חודשים, ולאחר מכן בנובמבר 1923 אנו מוצאים אותו ביומון "סגד" ששינה כיוון לשמאלני. מאז ועד לאיסור הופעת העיתון ב-4 באפריל 1925, נהנה היומון "סגד" מימי הזוהר שלו בעריכתו המעולה של פרנק. יוז'ף פסטור הפך למנהל של חברת Szeged - Délmagyarország Rt, ופרנק הפך לעורך האחראי והראשי של העיתון היומי סגד. צוות מוכשר גדול התכנס סביב פרנק של עיתונאים ותיקים וגם צעירים רבים, ביניהם מבקרים חריפים של המשטר. בעיתון זה פורסם שירו של המשורר הגדול אטילה יוז'ף, "בלב טהור", שעליו נכתבו שבע ביקורות במהלך חייו של המשורר.
האיסור על הופעת היומון "סגד" עורר זעם רב בקרב העיתונאים והמדפיסים. גם עיתונאים הונגריים טרנסילבניים השמיעו את קולם, ולבסוף ממשלתו של אישטוואן בתלן אפשרה את ההשקה מחדש של העיתון, אך היה צורך לשנות את שם העיתון. העיתונאים נענו לבקשה, ושינו את השם "סגד" ל"דרום הונגריה" (Délmagyarország). ב-17 במאי 1925 הושק מחדש העיתון הישן-חדש, כשיוז'ף פרנק היה העורך האחראי והראשי שלו. הסגל נשאר זהה, רק דז'ה סאבו לא, שכן הוא עזב את סגד לבודפשט. פרנק פתח מחדש את העיתון בצורה מקצועית, אבל זה הכל, מכיוון שבאמצע אפריל 1926 חלה במחלה קשה (שטף דם במוח ושיתוק). הוא לא יכול היה לעבוד יותר, ולאחר מחלה ממושכת נפטר ב-24 במרץ 1929. בבית הלוויות הספידו אותו יוז'ף פסטור והרב הראשי של סגד הרב עמנואל לעף, וליד הקבר נשא נאום פרידה דיולה טלדיאש בשם עמיתיו העיתונאים. פרנק הובא למנוחות בבית הקברות היהודי בסגד.
לקריאה נוספת

אנדראש לנדייל : יוז'ף פרנק. סגד ג. מגזין 1989/6. ס.; ua ראו גם ב-אנדראש לנדייל: "חיילים פשוטים של העט" : שרטוטים לתולדות העיתונות של סגד. סגד : Bába és Társai Kft., 1999. מסת"ב 963 9144 42 8
ראו גם

פנים מתולדות העיתונות של סגד, יוז'ף פרנק, sulinet.hu
יוז'ף פרנק, PIM
ירון פורמוזה

| --- | --- |

פורמוזה, 2021
 לידה:  4 בפברואר 1972 (בן 52)
 מדינה:  ישראל 
 השתייכות:   צבא הגנה לישראל
 דרגה:    אלוף-משנה
 תפקידים בשירות
 מפקד גדוד 402  מפקד עוצבת אדירים  מפקד עוצבת גולן  מפקד התותחנים של פיקוד הצפון
 פעולות ומבצעים
   מלחמת לבנון השנייה צוק איתן
 
ירון פורמוזה (נולד ב-1972) הוא קצין צה"ל בדרגת אלוף-משנה במילואים, שימש נספח היבשה בארצות הברית ומפקד התותחנים של פיקוד הצפון.
ביוגרפיה

פורמוזה החל את שירותו הצבאי באגד ארטילרי 215 של חיל התותחנים, שירת כקצין בגדוד 402 והתקדם עד לפיקוד על הגדוד. בהמשך שירת כראש ענף מפקדים בבית הספר לתותחנות שדה ושימש ראש זירת צפון בחטיבת המבצעים. כאלוף-משנה פיקד על עוצבת אדירים ושימש מפקד סיוע האש של עוצבת הגליל. ב-2010 מונה למפקד עוצבת גולן וב-2013 מונה למפקד התותחנים הפיקודי (מת"פ) של פיקוד הצפון. ב-2015 מונה לנספח היבשה בארצות הברית. שימש בתפקיד עד 2019.
פורמוזה בוגר המכללה הבין-זרועית לפיקוד ולמטה, בעל תואר ראשון בניהול ובמשאבי אנוש, תואר שני במנהל עסקים ובכלכלה באוניברסיטת בן-גוריון ותואר שני נוסף בביטחון לאומי.
החל מ-2019 ירון פורמוזה מנהל התפעול בחברת City Transformer.
יוז'ף קלאובר

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  29 באוגוסט 1894 סולנוק, האימפריה האוסטרו-הונגרית 
 נהרג:  15 ביולי 1937 (בגיל 42) ספרד 
 מדינה:  הונגריה 
 
יוז'ף קלאובר (בהונגרית: Klauber József; סולנוק, 29 באוגוסט 1894 – ספרד, 15 ביולי 1937) היה קומוניסט יהודי-הונגרי, השתתף ונפל במלחמת האזרחים בספרד.
ביוגרפיה

יוז'ף קלאובר נולד במשפחה יהודית כבנם של רודולף קלאובר ושל בטי גֶלדמן. הוא סיים רק 8 כיתות בבית הספר. הוא התחיל לעבוד כמתלמד לאופה והצטרף למפלגה הסוציאל-דמוקרטית ההונגרית וגם לאיגוד המקצועי בשנת 1913. הוא נכלא בשל התססה ותעמולה אנטי-מלחמתית במהלך מלחמת העולם הראשונה. הוא הצטרף למפלגת הקומוניסטים של הונגריה ב-1919, בתקופת הרפובליקה הסובייטית ההונגרית היה מפקד גדוד של הצבא האדום ההונגרי. הוא נתפס לאחר נפילת הרפובליקה ונידון ל-13 שנות מאסר. במסגרת חילופי השבויים ההונגרי-סובייטי הוא שוחרר למעבר לברית המועצות בשנת 1924, שם עבד עבור "הסיוע האדום הבינלאומי" עד 1927, כאשר הוא עבר לאודסה. שם שימש כמזכיר המפלגה. במהלך תקופה זו סיים את לימודיו באקדמיה חקלאית ולאחר מכן היה מנהל חווה ממלכתית. הוא יצא בהתנדבות להילחם במלחמת האזרחים בספרד לצד הרפובליקנים נהרג ליד וילפרנקה דל קסטיו (Villafranca del Castillo).
ראו גם

Munkásmozgalom-történeti lexikon.
HU BFL - VII.102.a - אסיר - 1923 - 3026
לקריאה נוספת

Magyar életrajzi lexikon II. (L – Z) (לקסיקון ביוגרפי הונגרי. עורכת ראשית אגנש קניירש 1969)
HU BFL - VII.102.a - אסיר - 1923 - 3026 רישום השבוי של יוז'ף קלאובר)
חוג פולינומים

בתורת החוגים, חוג הפולינומים מעל חוג נתון, הוא חוג המרחיב את החוג הנתון על ידי הוספת משתנה חופשי (בדרך כלל מתחלף) בלתי תלוי. בחוג זה נמצאים כל הפולינומים מכל הדרגות שמקדמיהם הם איברים של החוג הנתון. בהינתן חוג  R, בדרך כלל מסמנים את חוג הפולינומים שלו ב- R[x]. בין חוג לחוג הפולינומים שלו יש קשר הדוק, המהווה נושא בסיסי באלגברה מופשטת ובתורת החוגים.
חוג הפולינומים הוא כלי בסיסי בנושאים רבים במתמטיקה, בפרט באלגברה קומוטטיבית, גאומטריה אלגברית, תורת המספרים האלגברית ועוד.
הגדרה

יהי  R חוג  חילופי נתון. ניתן להגדיר את חוג הפולינומים  R[x] בשתי הגדרות שקולות:
הגדרה > פולינומים

ההגדרה הטבעית והישירה לחוג זה היא הקבוצה שמכילה את כל הפולינומים במשתנה בלתי תלוי x:
 R[x]=\left\{{a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}|n\in N;{a}_{0},..,{a}_{n}\in R\right\}.
פעולת החיבור מוגדרת רכיב-רכיב, כלומר אם  m\leq n אזי  \sum _{i=0}^{n}{{a}_{i}{x}^{i}}+\sum _{i=0}^{m}{{b}_{i}{x}^{i}}=\sum _{i=0}^{m}{{({a}_{i}+b}_{i}){x}^{i}}+\sum _{i=m+1}^{n}{{a}_{i}{x}^{i}}.
כך למשל   ({x}^{3}+2{x}^{2}+1)+({x}^{4}+3{x}^{2}+6)={x}^{4}+{x}^{3}+5{x}^{2}+7.
פעולת הכפל מוגדרת על ידי היחסים  ({a}_{i}{x}^{i})({b}_{j}{x}^{j})=({a}_{i}{b}_{j}){x}^{i+j} וחוק הפילוג.
כך למשל  (x+2)\cdot (2{x}^{2}+9)=2{x}^{3}+4{x}^{2}+9x+18.
איבר האפס הוא הפולינום בו כל המקדמים הם האפס של החוג.
אם לחוג המקורי יש איבר יחידה, אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה, והיא אותו הפולינום עבורו  {a}_{0}=1,{a}_{1}={a}_{2}=...=0.
הגדרה > סדרות עם תומך סופי

דרך הגדרה נוספת על ידי סדרות אינסופיות עם תומך סופי, של איברים מהחוג המקורי:
 R[x]=\left\{({a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n},0,0,....)|n\in N;{a}_{0},{a}_{1},...{a}_{n}\in R\right\}.
פעולת החיבור - מתבצעת רכיב רכיב, כלומר:  ({a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n},0,0,....)+({b}_{o},{b}_{1},...,{b}_{m},0,0,....)=({a}_{o}+{b}_{o},...)
פעולת הכפל - נובעת מחוקי קונבולוציה, כלומר האיבר ה- i במכפלה  ({a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n},0,0,....)\cdot ({b}_{o},{b}_{1},...,{b}_{m},0,0,....) הוא  \sum _{j=0}^{i}{{{a}_{j}b}_{i-j}}.
איבר האפס הוא סדרת אפסים, כלומר  (0,0,...).
אם לחוג המקורי יש איבר יחידה, אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה -  (1,0,0...).
בהינתן הגדרות אלו, ניתן להוכיח כי כל אחת מהקבוצות הנ"ל עם הפעולות המתאימות היא חוג.
הגדרה > שקילות ההגדרות

ניתן להראות כי שתי ההגדרות הנ"ל שקולות, על ידי איזומורפיזם בין שני המבנים, הנתון על ידי 
 ({a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n},0,0,....)\mapsto {a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}.
דרגה

בהינתן ההגדרות הנ"ל, נגדיר פונקציה מחוג הפולינומים לתוך המספרים הטבעיים, שתתאים לכל פולינום  p(x)={a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n} את המספר הטבעי המקסימלי עבורו  {a}_{n}\neq 0, שיקרא הדרגה או המעלה של הפולינום, ונסמנו  \deg(p(x)). לעיתים מבחינים את המקרה של פולינום האפס, ומגדירים  \deg(0)=-\infty .
הדרגה מקיימת  \deg(p(x)\cdot q(x))\leq \deg(p(x))+\deg(q(x)) לכל שני פולינומים שאינם אפס, ושוויון מתקיים בתחום שלמות.
תכונות יסודיות

כעת נציג את הקשר בין חוג נתון לחוג הפולינומים שלו.
אם  S תת חוג של  R,  אזי גם  S[x] תת-חוג של  R[x].
חוג הוא תחום שלמות אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום שלמות.
R[x] איננו שדה באף מקרה, שכן  x אינו הפיך.
חבורת ההפיכים של  R[x] מכילה את חבורת ההפיכים של  R, ושווה לו במקרה ש- R תחום (עם זאת, בחוג  \mathbb {Z} _{4}[x] האיבר  1+2x הופכי לעצמו).
כמסקנה מהלמה של גאוס, חוג הוא תחום פריקות יחידה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום פריקות יחידה.
אם  R הוא חוג חילופי עם איבר יחידה,  R הוא שדה אם ורק אם  R[x] תחום ראשי ואם ורק אם  R[x] הוא תחום אוקלידי.
לפי משפט הבסיס של הילברט, חוג הוא נתרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו נתרי.
חלק מהתוצאות ניתן להכליל לחוגים במספר משתנים (ראו בהמשך).
פריקות פולינומים

נאמר כי פולינום  p(x) הוא פריק אם קיימים פולינומים  a(x),b(x) לא הפיכים כך ש- p(x)=a(x)b(x). אחרת, נאמר כי הפולינום הוא אי-פריק. פריקות פולינומים היא מנושאי היסוד של תורת החוגים ונושא זה בפרט. נציין מספר תכונות:
בתחום שלמות, הפירוק היחיד האפשרי לפולינום מהצורה  {x}^{n} הוא מהצורה  {x}^{n}=(a{x}^{t})\cdot (b{x}^{s}) כאשר  ab=1 וכן  s+t=n.
פולינום פרימיטיבי הוא פריק מעל תחום פריקות יחידה אם ורק אם הוא פריק מעל שדה השברים שלו.
קריטריון אייזנשטיין מספק מבחן לפריקות של פולינום  p(x)={a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}- אם  R תחום שלמות ו- I אידיאל ראשוני, אזי אם  {a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n-1}\in I,{a}_{o}\notin {I}^{2},{a}_{n}\notin I, אז הפולינום אי-פריק.
בתחום שלמות, פולינום  p(x) הוא אי-פריק ב- R[x], אם ורק אם חוג המנה  R[x]/\langle p(x)\rangle  הוא שדה.
שורשים של פולינומים

בהינתן פולינום  p(x)={a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}  מתוך חוג פולינומים, נאמר כי איבר  r\in R הוא שורש של הפולינום, אם  p(r)=0. איבר  r\in R הוא שורש של פולינום אם ורק אם הפולינום  x-r מחלק את  p(x). בפרט, במקרה זה הפולינום הוא ודאי פריק. נובע כי פולינום מדרגה 2 או 3 הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש.
טענה שימושית בדבר קיומו של שורש לפולינום מעל חוג המספרים השלמים ושדה שברים שלו (המספרים הרציונליים) היא כלהלן - אם  {\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q}  שורש של פולינום, אזי  a|{a}_{0},b|{a}_{n}.בפרט, כל שורש שלם של פולינום מתוקן מחלק את המקדם החופשי שלו.
הרחבות

ניתן להרחיב חוג פולינום, ולקבל מבנה עשיר יותר בכמה דרכים.
הרחבות > חוגי פולינומים במספר משתנים

בהינתן חוג כלשהו, כבר ראינו איך מוסיפים לו משתנה אחד. לחוג החדש שהתקבל, אפשר להוסיף עוד משתנה, וחוזר חלילה. כלומר, ניתן ליצור חוגים בכמה משתנים בלתי תלויים. מספר המשתנים יכול להיות סופי ואינסופי. למשל, חוג פולינומים בשני משתנים מסומנים בדרך כלל ב- R[x,y]:=R[x][y].
נקודה מעניינת היא הישמרות התכונות מהחוג המקורי ועד לכל חוג פולינום במספר משתנים. מהתכונות לעיל, ניתן להסיק כי חוג הוא תחום שלמות/תחום פריקות יחידה/נותרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים בלתי תלויים הוא מקיים את התכונה בהתאמה.
עם זאת, חוג פולינומים ביותר משני משתנים לעולם לא חוג אוקלידי ולא תחום ראשי, שכן חוג הפולינומים במשתנה אחד פחות (כלומר לפחות במשתנה אחד) איננו שדה.
הרחבות > חוג טורי החזקות

בהגדרה השנייה של חוג פולינומים דובר על סדרות עם תומך סופי, כלומר הפולינומים הם סופיים בלבד. אם נשמיט דרישה זו, נקבל את חוג טורי החזקות מעל חוג נתון, שמסומן בדרך כלל על ידי:
R[[x]]=\left\{\sum _{i=0}^{\infty }{{a}_{i}{x}^{i}}|{a}_{i}\in R\right\}
בחוג זה ישנו עולם עשיר יותר של איברים הפיכים - כך למשל  1-x הפיך וההפכי שלו הוא  \sum _{i=0}^{\infty }{{x}^{i}}. באופן כללי, כל איבר בעל מקדם חופשי הפיך הוא הפיך.
בפרט, אם  R=\mathbb {F}  שדה, כל איבר עם מקדם חופשי הוא הפיך, ולכן האידיאלים של החוג  \mathbb {F} [[x]] הם  \forall k\in \mathbb {N} :\langle x^{k}\rangle  בלבד, ובפרט הוא תחום ראשי.
הרחבות > חוג טורי לורן

חוג זה מכליל אף את חוגי טורי טיילור שהוצג לעיל, ומאפשר לכלול טורים עם חזקות שליליות, כלומר מהצורה  \sum _{i=-n}^{\infty }{{a}_{i}{x}^{i}}. נהוג לסמן חוג זה על ידי:
R((x))=\left\{\sum _{i=-n}^{\infty }{{a}_{i}{x}^{i}}|n\in \mathbb {N} ,\ {a}_{i}\in R\right\}
במבנה זה ניתן להגדיר פונקציה דומה לפונקציה הדרגה שהוגדרה לעיל, על ידי  {\widetilde {\deg }}\left(\sum _{i=-n}^{\infty }{{a}_{i}{x}^{i}}\right)=-n, כלומר זהו האיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר שעבורו המקדם אינו אפס. פונקציה זו מקיימת תכונות דומות לאלו של הדרגה.
התכונה החשובה של חוג זה היא, שבהינתן שדה  \mathbb {F} , אזי  \mathbb {F} ((x)) אף הוא שדה. כלומר, זהו שדה שמכיל את חוג הפולינומים.
שדה השברים

בהינתן תחום שלמות  R, גם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים הוא תחום שלמות. לכן, בהתאם לבנייה של שדה שברים של תחום שלמות, שדה השברים של חוג הפולינומים הוא
R({x}_{1},...,{x}_{n})=\left\{{\frac {p({x}_{1},...,{x}_{n})}{q({x}_{1},...,{x}_{n})}}:p,q\in R[{x}_{1},...,{x}_{n}],q(x)\neq 0\right\}
לשדה זה קוראים שדה הפונקציות הרציונליות ב- n משתנים.
חוגי מנה

לחוגי מנה של חוגי פולינומים יש חשיבות רבה.
במשתנה אחד, כאמור, תחום שלמות הוא שדה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום ראשי. במקרה זה, כל חוג מנה מקבל את הצורה  R[x]/\langle p(x)\rangle . חוג זה הוא שדה אם ורק אם הפולינום  p היוצר את האידיאל הוא אי-פריק. כך אפשר לייצר את השדות סופיים מכל סדר (שהוא חזקת ראשוני) -- אם בוחרים  R=\mathbb {Z} _{p}   שדה השאריות מודולו p, מספיק למצוא פולינום אי-פריק מסדר מסוים k, ואז חוג המנה יהיה שדה מסדר  p^{k}. פולינום כזה אכן קיים לכל ראשוני ולכל סדר שהוא.
בנוסף, חוגי מנה כנ"ל מהווים הרחבת שדות בה לפולינום יש שורש, והוא  x+\langle f(x)\rangle .
באופן כללי יותר, חוגי פולינומים במספר סופי של משתנים מעל חוג נתון הם אלגבראות.
יותר מכך, חוגי המנה שלהם כוללים את אוסף כל האלגבראות האפיניות -- בהינתן אלגברה אפינית  R[a_{1},..,a_{n}], ההעתקה q שנתונה על ידי  x_{i}\mapsto a_{i} היא אפימורפיזם מחוג הפולינומים ב-n משתנים לאלגברה, ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון
 R[x_{1},..,x_{n}]/\ker(q)\cong R[a_{1},..,a_{n}].
מבנה כאלגברה

למבנה אלגברת הפולינומים יש תפקיד מכריע באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית.
כאמור, כל אלגברה אפינית היא מנה של אלגברת פולינומים. יתר על כן, כל אלגברה אפינית מכילה תת-אלגברת פולינומים מעליה היא מהווה מודול נוצר סופית. אכן, לפי משפט הנורמליזציה של נתר, בכל אלגברה אפינית  R=\mathbb {F} [a_{1},...,a_{n}], ניתן לחלץ איברים  b_{1},...,b_{d},...,b_{n} כך שהאיברים  b_{1},...,b_{d} מהווים בסיס טרנסצנדנטי, ו- R=\mathbb {F} [b_{1},...,b_{n}] שלם מעל  C=\mathbb {F} [b_{1},..,b_{d}], שהיא למעשה אלגברת פולינומים ב- d משתנים.
אם כן, מתכונות של אלגברות פולינומים ניתן להסיק תכונות של אלגברות אפיניות. כך למשל, ניתן להוכיח שכל אידיאל מקסימלי באלגברה אפינית הוא בעל גובה כדרגת הטרנסצנדנטיות  d. ניתן גם להוכיח בעזרת ההבחנה הנ"ל שלכל אלגברה אפינית דרגת הטרנסצנדנטיות שווה לממד קרול שלה. לכן, הממד של יריעה אלגברית אפינית שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות של חוג הקורדינאטות שלה.
מבנה כאלגברה > חבורת האוטומורפיזמים

כל האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל שדה הם אפיניים. חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים בשני משתנים היא מכפלת היתוך של האוטומורפיזמים האפיניים והאוטומורפיזמים השומרים על אחד המשתנים (החבורה נוצרת על ידי אוטומורפיזם ההחלפה, והאוטומורפיזמים השומרים על משתנה מסוים; ההוכחה במאפיין אפס ניתנה על ידי Jung, ומעל שדה כללי על ידי Van der Kulk). חבורת האוטומורפיזמים בשלושה משתנים או יותר כוללת גם אוטומורפיזמים "פרועים" (Anick conjecture).
ראו גם השערת היעקוביאן והשערת דיקסמייר  (ידוע שהשערת דיקסמייר על אלגברת וייל  A_{n} גוררת את השערת היעקוביאן ב-n משתנים, ונובעת מההשערה ב-2n משתנים).
חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים קרובה לזו של האלגברה החופשית באותו מספר של משתנים. בעניין זה הוכיח Dicks שההתאמה x,y-->f,g מגדירה אוטומורפיזם של האלגברה החופשית בשני המשתנים x,y אם ורק אם [f,g] הוא כפולה בסקלר של [x,y].
ראו גם

פולינום
הלמה של גאוס (פולינומים)
משפט הבסיס של הילברט
פירוק ריט על פולינומים ביחס לפעולת ההרכבה.
יחסי יפן–פרו

| יחסי יפן–פרו |
| --- | --- |
יפן: פרו


יפן: פרו
שטח (בקילומטר רבוע)
377,915: 1,285,216
אוכלוסייה
123,588,993: 34,307,937
תמ"ג (במיליוני דולרים)
4,212,945: 267,603
תמ"ג לנפש (בדולרים)
34,088: 7,800
משטר
מונרכיה חוקתית: רפובליקה

שגרירות פרו בטוקיו
יחסי יפן–פרו הם יחסי החוץ בין יפן לפרו.
היסטוריה > מערכת יחסים מוקדמת

המגעים הראשונים בין יפן ופרו התקיימו באמצעות סוחרים ספרדים אשר הסיעו סחורות ליפן ופרו על הגליאון של מנילה ממקסיקו והפיליפינים, וכן באמצעות מיסיונרים ספרדיים. בשנת 1821 הכריזה פרו על עצמאותה מממלכת ספרד, ובאוקטובר 1868 החלה תקופת מייג'י ביפן, שהביאה לכינון יחסים דיפלומטיים עם מדינות רבות לאחר עשרות שנים של בידוד. עוד לפני כינון יחסים דיפלומטיים רשמיים, ביוני 1872, אירע אירוע דיפלומטי בין יפן לפרו, כאשר הספינה הפרואנית "מריה לוז" שהפליגה ממקאו לקייאו, ועליה 232 עובדים סינים שהיו אמורים להישלח אל המטעים הפרואנים, נכנסה לסערה קשה, שגרמה לצורך לעגון בעיר יוקוהמה היפני. בנמל יוקוהמה הצליח פועל סיני לברוח מהספינה בקפיצה לחוף. על החוף התלונן הגבר הסיני ליפנים על ההתעללות וביקש מהם להציל את חבריו שעל הספינה. לאחר שהעובד הסיני השני נמלט מהספינה הפרואנית, עלו פקידים יפנים על מריה לוז וגילו כי הסינים מוחזקים בתנאים לא אנושיים. התברר שסינים רבים נחטפו, ולרובם לא היה מושג לאן הם יגיעו כתוצאה מהמסע. בית משפט ביוקוהמה קבע כי קברניט הספינה ריקרדו הררה ייאלץ לשחרר את האזרחים הסינים. בשנת 1873 כוננו יפן ופרו רשמית יחסים דיפלומטיים על ידי חתימת חוזה הידידות והניווט.
בשנת 1899 הגיעו 790 מהגרים יפנים לפרו על סיפון הספינה סאקוראמארו, רובם הגיעו למדינה כדי לעבוד במטעים. עד שנת 1936 הגיעו 23,000 מהגרים יפנים לפרו. במהלך מלחמת העולם השנייה, בזזו פרואנים ושרפו יותר מ-600 בתים ועסקים יפניים בלימה, הרגו 10 ופצעו עשרות אזרחים יפנים. בינואר 1942 ניתקה פרו את היחסים הדיפלומטיים עם יפן בתגובה למתקפה על פרל הארבור. זמן קצר לאחר מכן, פרו גירשה מעל 1,700 פרואנים יפניים אל ארצות הברית, שם הם הושמו במחנות מעצר, כדי להבטיח את ביטחון המדינה. לאחר תום מלחמת העולם השנייה, הרפובליקה של פרו חידשה את היחסים הדיפלומטיים עם יפן, ובשנת 1959 ערך ראש ממשלת יפן, נובוסוקה קישי, ביקור רשמי בפרו. בשנת 1961, נשיא פרו מנואל פראדו אוגרטצ'ה הפך לראש מדינת פרו הראשון שערך ביקור רשמי ביפן.
היסטוריה > נשיאותו של אלברטו פוג'ימורי

ביולי 1990 הפך אלברטו פוג'ימורי לאדם היפני הראשון בהיסטוריה שהיה ראש מדינה אחרת מלבד יפן. כמה חודשים לאחר שאלברטו פוג'ימורי נבחר לנשיא המדינה, מספר פרואנים ממוצא יפני הותקפו, נחטפו או נהרגו על ידי קבוצות גרילה פרואניות. בשנת 1992 ערך הנשיא אלברטו פוג'ימורי ביקור רשמי ביפן.
ב-17 בדצמבר 1996, 14 מורדים מהתנועה המהפכנית טופאק אמארו הסתערו על השגרירות היפנית בלימה, כשפקידים בשגרירות חגגו את יום הולדתו ה-63 של הקיסר אקיהיטו מיפן ולקחו יותר מ-400 גורמים דיפלומטיים, ממשלתיים וצבאיים כבני ערובה. המורדים האמינו כי גם הנשיא אלברטו פוג'ימורי יהיה נוכח במסיבה זו. כשגילו שהנשיא לא נכח בשגרירות הם דרשו את שחרורם של 300 אסירים מורדים בבתי הכלא הפרואניים. החזקת החטופים נמשכה עד 22 באפריל 1997, אז הגיעו חיילי הקומנדו הפרואני, ובמהלך הלחימה בשגרירות נהרגו כל 14 המיליטנטים. במהלך הירי נהרג אחד מבני הערובה, שופט בית המשפט העליון של פרו ושני אנשי קומנדו פרואנים. ראש ממשלת יפן, ריוטרו האשימוטו, הודה לממשלת פרו על הצלחת מבצע החילוץ.
בנובמבר 2000 הגיע הנשיא אלברטו פוג'ימורי לברוניי להשתתף בפסגת ה-APEC. לאחר הפסגה טס ליפן, שם קיבל הודעת פקס על התפטרותו מהנשיאות בגלל שערוריית שחיתות בפרו. ביפן, אלברטו פוג'ימורי קיבל אזרחות יפנית בגלל מוצאו. הממשלה הפרואנית תחת הנשיא אלחנדרו טולדו הגישה בקשה ליפן להסגיר את אלברטו פוג'ימורי כשהוא עומד בפני 20 אישומים פליליים. עם זאת, ממשלת יפן סירבה להסגיר את אחד מאזרחיה, מה שפגע ביחסי פרו–יפן. בשנת 2006, אלברטו פוג'ימורי עזב את יפן וטס למקסיקו ומשם לצ'ילה, שם נעצר. הוא ניסה לחזור לפרו כדי להתמודד שוב לנשיאות.
היסטוריה > השנים האחרונות

בשנות ה-90 תיקנה יפן את חוקי ההגירה ואפשרה ליפנים ילידי חו"ל לחזור לביתם. אנשים אלו קיבלו את האפשרות לחזור ליפן ולקבל מקום מגורים קבוע במדינה זו. כ-60,000 פרואנים ממוצא יפני עזבו את המדינה וחזרו ליפן, והפכו לקהילה ההיספנית השנייה בגודלה ביפן (אחרי ברזיל). בשנת 2013 חגגו יפן ופרו 140 שנה מאז כינון יחסים דיפלומטיים.
יחסי סחר

בשנת 2013 הסתכם הסחר בין יפן לפרו ב-3.5 מיליארד דולר. יצוא מפרו ליפן: נחושת, קמח דגים, כסף ואבץ. היצוא של יפן לפרו: מכוניות, חלקי רכב, צמיגים ופלדה. בשנת 2013 ההשקעה הישירה של יפן בפרו הסתכמה ב-238 מיליון דולר. כמה חברות ידועות יפנית פועלות בפרו, כגון Daiso, הונדה, סוני, טושיבה וטויוטה. בשנת 2010 חתמו יפן ופרו על הסכם שותפות כלכלית. שתי המדינות חברות בשותפות הטראנס-פסיפית.
נציגויות דיפלומטיות

יפן מחזיקה בפרו שגרירות בלימה.
פרו מחזיקה ביפן שגרירות בטוקיו ו-4 קונסוליות בקיוטו, נאגויה, נהה וטקיאמה.