stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ניקולאי רובינשטיין

| --- | --- |

 לידה:  2 ביוני 1835 (יוליאני) לוח שנה לא מוגדר, ככל הנראה יוליאני מוסקבה, האימפריה הרוסית 
 פטירה:  11 במרץ 1881 (יוליאני) לוח שנה לא מוגדר, ככל הנראה יוליאני פריז, צרפת 
 מקום קבורה:  מנזר דנילוב 
 מוקד פעילות:  האימפריה הרוסית 
 מקום לימודים:  האוניברסיטה המלכותית של מוסקבה, הפקולטה למשפטים 
 סוגה:  מוזיקה קלאסית 
 שפה מועדפת:  רוסית 
 כלי נגינה:  פסנתר 
 
ניקולאי גריגורייביץ' רובינשטיין (ברוסית: Никола́й Григо́рьевич Рубинште́йн ‏ 14 ביוני - 1835 – 23 במרץ 1881) היה פסנתרן, מנצח ומלחין רוסי ממוצא יהודי. ניקולאי היה אחיו הצעיר של אנטון רובינשטיין וידיד קרוב של פיוטר איליץ' צ'ייקובסקי.
חייו

רובינשטיין נולד למשפחה יהודית במוסקבה, זמן קצר אחרי שאביו פתח שם מפעל קטן. הוריו היו ממוצא יהודי, ובאו מן העיירה אורפטינצי (כיום במולדובה) שעל גדות נהר הדניסטר, כמאה וחמישים קילומטרים צפון-מערב לאודסה. עוד בטרם נולד, סבו מצד אביו דרש מכל בני משפחת רובינשטיין להמיר דתם מיהדות לנצרות האורתודוקסית.
רובינשטיין, שגדל כנוצרי, חי בבית שבו דיברו שלוש שפות - יידיש, רוסית וגרמנית. בגיל צעיר גילה כישרון לנגינה בפסנתר. מורתו הראשונה לנגינה הייתה אמו, וכשהמשפחה התגוררה בברלין מ-1844 עד 1846, למד פסנתר אצל תיאודור קולאק והרמוניה וקונטרפונקט אצל זיגפריד דן; בתקופה זו עוררו הוא ואחיו אנטון את תשומת לבם של פליקס מנדלסון וג'אקומו מאיירבר, שגילו בהם עניין ועודדו את התפתחותם המוזיקלית. כשהמשפחה שבה למוסקבה, למד ניקולאי אצל אלכסנדר וילואינג ואף יצא עמו לסיור קונצרטים. כדי להימנע מגיוס לצבא למד רפואה וסיים את אוניברסיטת מוסקבה בשנת 1855.
כתוצאה מנגינתו, התקבל רובינשטיין במאור פנים בכל בתי האצולה האופנתית במוסקבה. הוא ייסד את הסניף המוסקבאי של "האגודה המוזיקלית של רוסיה" בשנת 1859 ואת הקונסרבטוריון של מוסקבה ב-1866, שם כיהן כמנהל עד מותו ב-1881. הוא שכר את צ'ייקובסקי, בוגר טרי של קונסרבטוריון סנקט פטרבורג, ללמד הרמוניה בקונסרבטוריון של מוסקבה ועודד באופן פעיל את נסיונותיו היצירתיים של צ'ייקובסקי, בין השאר בביצוע יצירותיו. סכסוך, שזכה לפרסום רב, התגלע בין השניים בנושא הקונצ'רטו הראשון לפסנתר של צ'ייקובסקי, אך לאחר זמן שינה רובינשטיין את דעתו מן הקצה אל הקצה והיה לתומך נלהב ביצירה. רובינשטיין ניצח על הצגת הבכורה של האופרה יבגני אונייגין מאת צ'ייקובסקי בשנת 1879. את שלישיית הפסנתר בלה מינור שלו כתב צ'ייקובסקי לזכר ניקולאי רובינשטיין אחרי מותו במחלת השחפת בפריז.
רובינשטיין גם ניצח וביצע מוזיקה של חברי קבוצת החמישה הלאומנית הרבה יותר מאחיו, אנטון. ב-1869, כשמנהיג הקבוצה, מילי באלאקירב, אולץ להתפטר מתפקידו כמנצח הסניף הפטרבורגי של האגודה המוזיקלית של רוסיה, תמך בו רובינשטיין בנגינה בקונצרטים של "בית הספר החופשי למוזיקה" כאורחו של באלאקירב. כמו כן ניגן בביצוע בכורה את יצירתו של באלאקירב "אסלאמי: פנטזיה אוריינטלית", יצירתו הנודעת ביותר של באלאקירב כיום.
פסנתרנות

ניקולאי רובינשטיין נחשב, בראש ובראשונה, לאחד מגדולי הפסנתרנים בזמנו, אם כי כיום מעיב עליו צל גדולתו של אחיו אנטון. סגנונו הפסנתרני היה שונה מן הקצה אל הקצה מסגנונו חוצב הלהבות של אחיו. ניקולאי רובינשטיין בחר בסגנון קלאסי מאופק, ברוח ערכיה המוזיקליים של קלרה שומאן, לאו דווקא אלה של פרנץ ליסט. אדוארד גארדן כותב ב"מילון גרוב החדש למוזיקה ומוזיקאים" (2001), "ביצועיו שמו דגש על פרטים בולטים במבנה היצירה ושיוו להם משנה צלילות."
לדברי הרולד ק. שנברג, אמר אנטון רובינשטיין, כי "לו היה ניקולאי עובד על כך באמת ובתמים, היה יכול להיות הפסנתרן הטוב בשנינו". אחד מתלמידיו של ניקולאי, אמיל פון זאואר, כתב ב-1895 השוואה בין סגנונות הנגינה של שני האחים:
"קשה לקבועי מי היה הפסנתרן הטוב ביניהם. ממש כשם שהשניים היו שונים איש מאחיו במראה חיצוני - האחד כהה, כמעט שחור; השני בהיר מאד - כך היו נבדלים בנגינתם. נגינתו של ניקולאי דמתה יותר לזו של קרל טאוסיג, אם כי חמה ואימפולסיבית יותר. ייתכן שבנגינתו של אנטון רובינשטיין הייתה השראה רבה יותר, אבל הוא לא היה אחיד. ניקולאי לא השתנה מעולם; נגינתו, אם בחדרי חדרים ואם בציבור, הייתה תמיד שווה והיה לו תקן של מצוינות, שממנו לא סר לעולם...
"
תלמידיו

תלמידי הפסנתר הנודעים ביותר של ניקולאי רובינשטיין היו סרגיי טאנייב, אמיל פון זאואר ואלכסנדר זילוטי. זאואר וזילוטי המשיכו בלימודיהם אצל פרנץ ליסט.
רובינשטיין כמלחין

רובינשטיין עשה לו שם גם כמלחין, אף כי גארדן מבטל את המוזיקה שלו כ"חסרת חשיבות". בין יצירות הפופולריות ביותר ה"טרנטלה" בסול מינור ו"פנטזיה על נושא של רוברט שומאן", שתיהן לפסנתר סולו. כשנשאל מדוע איננו מלחין יותר, ענה, שאחיו אנטון "חיבר די הצורך לשלושה".
לקריאה נוספת

Garden, Edward, ed. Stanley Sadie, New Grove Dictionary of Music and Musicians, Second Edition (London: Macmilian, 2001), 29 vols. ISBN 0-333-60800-3.
Maes, Francis, tr. Arnold J. Pomerans and Erica Pomerans, A History of Russian Music: From Kamarinskaya to Babi Yar (Berkeley, Los Angeles and London: University of California Press, 2002). ISBN 0-520-21815-9.
Schonberg, Harold C., The Great Pianists (New York: Simon & Schuster, 1987, 1963). ISBN 0-671-64200-6.
Note regarding dedication of Tchaikovsky's 1st Symphony to Rubinstein
L.A Philharmonic reference to Rubinstein and Tchaikovsky's String quartet No. 1
Article about Rubinstein's role in founding The Moscow State Conservatory
גארדן, אדוארד, עורך סטנלי סיידי, מילון גרוב החדש למוזיקה ומוזיקאים, הוצאה שנייה, לונדון, מקמילן 2001
מייס, פרנסיס, תרגום ארנולד ואריקה פומרנס, "תולדות המוזיקה הרוסית מקאמארינסקאיה לבאבי יאר", ברקלי, לוס אנג'לס ולונדון: הוצאת אוניברסיטת קליפורניה, 2002)
שנברג, הרולד, "גדולי הפסנתרנים" (ניו יורק: סיימון ושוסטר, 1987, 1963)
הערה בנושא הקדשת הסימפוניה הראשונה של צ'ייקובסקי לרובינשטיין
התייחסות של הפילהרמונית של לוס אנג'לס לרובינשטיין ורביעיית המיתרים מס' 1 של צ'ייקובסקי
מאמר על תפקידו של רובינשטיין בייסוד הקונסרבטוריון הממלכתי של מוסקבה
הערות שוליים

↑  Tchaikovsky Reasearch.net
↑  הביוגרפיה של ניקולאי רובינשטיין.
↑  Maes, 45.
↑  Garden, New Grove (2001), 21:850.
↑  Schonberg, 279.
↑  As quoted in Schonberg, 279.
↑  Schonberg, 317, 323—324.
↑  As quoted in Garden, New Grove (2001), 21:850.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007457758605171  PLWABN: 9810636133405606  BIBSYS: 13061433  BNE: XX1769440  BnF: cb17752504m (data)  CiNii: DA16294829  GND: 120131730  ICCU: CUBV137727  ISNI: 0000 0001 1026 864X  LCCN: n85385224  LNB: 000282999  MusicBrainz: 56a5de93-d69d-411d-9168-7feb8fbe507a  NKC: xx0057677  NTA: 163708827  SNAC: w6n01jb6  SUDOC: 161927912  VIAF: 52512631   WorldCat (עם VIAF): 52512631 
Brothers Rubinstein:ניקולאי ואנטון רובינשטיין
קבר של ניקולאי רובינשטיין בבית הקברות נובודוויצ'י במוסקבה.
סכיר-הר

סכּיר־הר (תורגם כ"שכר של הר (יישות)" או גם: "שכר־אל" שכן המילים "הר" ו"אל" נכתבות באותה הצורה בהירוגליפים) היה פרעה חיקסוסי אלמוני שהוצע כי היה מבין שלושת מלכי החיקסוס הראשונים של השושלת ה־15 במהלך המאה ה־16 לפנה"ס. הוצע כי מלך לאחריו השליט החיקסוסי החזק, חיאן, אך טענה זאת איננה מבוססת דיה מכיוון שאין אינדיקציה איפה בדיוק למקם את סכיר־הר בתוך השושלת ה־15.
העדות היחידה שנתגלתה לקיומו היא משקוף דלת מתל אל־דבע שנתגלה בחפירות במהלך שנות ה־90 של המאה ה־20 על ידי המשלחת של מנפרד ביטק שהכיל שם מלכותי שהורכב מהכינויים הבאים: "נבטי (סמל המלכות על מצרים התחתונה ומצרים העליונה יחדיו) הורוס מוזהב ושם נרדף למלך". כיום מופיע המשקוף במוזיאון בקהיר תחת שם המיצג: Cairo TD-8316.
לפי האגיפטולוג הדני קים ריולט המשקוף מכיל את הטקסט הבא: "[הורוס ש...] האוחז בוודג'ת ונחבת אוריאוס שהכניעו את תשע הקשתות. חורוס המוזהב שביסס את גבולו. חוקק ארץ הגבעות, סכיר־הר".
הערות שוליים

↑  Ryholt, pp.127-128
↑  Jürgen von Beckerath, Handbuch der ägyptischen Königsnamen (= Münchner ägyptologische Studien, vol 46), Mainz am Rhein: Verlag Philipp von Zabern, 1999. ISBN 3-8053-2310-7, pp.116-17. Jump up
↑  Kim Ryholt, The Political Situation in Egypt during the Second Intermediate Period c.1800-1550 B.C., Museum Tuscalanum Press, 1997. p.120 Jump up
↑  Ryholt, p.123
↑  Charlotte Booth, The Hyksos period in Egypt, A Shire Egyptology Book, 2005. p.31
משפט ההדדיות הריבועית

גאוס פרסם את ההוכחה הראשונה והשנייה של חוק ההדדיות הריבועית במאמרים 125-146 ומאמר 262 של ספרו מחקרים אריתמטיים מ-1801.
בתורת המספרים, משפט ההדדיות הריבועית הוא משפט בחשבון מודולרי המספק תנאים לפתירות של משוואות ריבועיות מודולו מספרים ראשוניים. המשפט למעשה מקשר בין היכולת לפתור שתי משוואות מודולריות ריבועיות. הוא נוסח לראשונה בידי אוילר ולז'נדר (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה גאוס שהוכיח אותו במלואו לראשונה, בשנת 1796. למשפט יש ניסוחים רבים, אך הקביעה הסטנדרטית ביותר שלו היא כדלהלן:
יהיו  p,q שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים שונים, אז נגדיר את סימן לז'נדר כך:
אז מתקיים
חוק זה מאפשר חישוב ישיר של סימן לז'נדר, ומאפשר לקבוע האם ישנו פתרון טבעי למשוואה מודולרית מהצורה  x^{2}\equiv a\!\!\!{\pmod {p}} בעבור  p ראשוני אי-זוגי; כלומר, במילים אחרות, לקבוע את "הריבועים המושלמים" מודולו  p. בקריפטוגרפיה, המשפט מאפשר גם להכריע בשאלה האם מספר ראשוני נתון  p הוא שארית ריבועית מודולו מספר ראשוני גדול בהרבה  q במהירות רבה יותר: בעוד שבדיקה נאיבית של כל הריבועים מודולו  q עשויה לצרוך זמן חישוב רב, המשפט מאפשר לקצר משמעותית את הבדיקה באמצעות בדיקה של  q מודולו  p (כך שיש לבדוק רק  p ריבועים). אף על פי כן, המשפט הוא תוצאה לא-קונסטרוקטיבית: הוא לא מצביע על שיטה יעילה למציאה של פתרון כזה.
המשפט נחשב לנקודת ציון בתורת המספרים הקלאסית ולתוצאה מפתיעה מאוד; בעוד שבעבור קונגרואנציות ליניאריות משפט השאריות הסיני אומר לנו שההתנהגות של דברים מודולו מספר ראשוני מסוים  p היא בלתי תלויה בהתנהגות שלהם מודולו מספר ראשוני אחר q, חוק ההדדיות הריבועית קובע התנהגות שונה עבור קונגרואנציות ריבועיות, ומראה שישנה תלות הדדית מסוימת בין ההתנהגויות –  \left({\tfrac {p}{q}}\right) מגביל את  \left({\tfrac {q}{p}}\right). בכך הוא מרמז על מבנה אריתמטי נסתר ועמוק יותר, ומבחינה היסטורית גילויו, הוכחתו והניסיונות להכלילו היו בין הזרזים העיקריים להתפתחות תורת המספרים המודרנית.
מאז גאוס, הכללת חוק ההדדיות הייתה לבעיה מובילה במתמטיקה, ששיחקה תפקיד מרכזי בהתפתחות רבים מהכלים הטכניים של האלגברה, תורת המספרים, והגאומטריה האלגברית המודרנית, כשתהליך זה הגיע לשיאו בניסוח חוק ההדדיות של ארטין, תורת שדות המחלקה ותוכנית לנגלנדס. בנוסף, מחקר מתמטי של המאה ה-20 העיד על יותר ויותר קשרים מעניינים של המשפט עם תאוריות מתמטיות שונות מתחומי הגאומטריה והטופולוגיה – למשל, בתורת הקשרים, שם מושג הקשר הראשוני אנלוגי למספר ראשוני באריתמטיקה, ואת תפקיד ההדדיות הריבועית ממלא המשפט שקובע שאינדקס השזירה סימטרי ביחס להחלפה של שני קשרים ראשוניים.
היסטוריה

בראייה היסטורית, המשפט הוא אחד הסימנים המובהקים להפיכתה של תורת המספרים למדע מגובש, שכן בעוד שתרבויות רבות הגיעו למידה מסוימת של ידע ותובנה על תבניות ריבועיות (עוד בימי הביניים), לא ניתן למצוא עדויות לרמה מתמטית שמתקרבת למשפט עד שלהי המאה ה-18. יוצא אחד מן הכלל הזה הוא  פייר דה-פרמה, אשר ניתן לראות כמה מטענותיו על הצגה של מספר ראשוני על ידי תבניות ריבועיות מסוימות כמרכיבות יחדיו את הטענה המכונה "משפט ההדדיות הריבועית". עם זאת, פרמה עצמו מעולם לא ניסח את המשפט במפורש. משפט ההדדיות הריבועית נוסח לראשונה במפורש בידי אוילר ולז'נדר (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה גאוס שהוכיח אותו במלואו לראשונה, בשנת 1796. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", וניתן לראות עדות לחיבה שרחש לו בכך שכתב לו שמונה הוכחות שונות במהלך חייו (שתיים מהן פורסמו לאחר מותו).
ההוכחה הראשונה שלו, ממאמרים 125-146 של ספרו "מחקרים אריתמטיים", הייתה אינדוקטיבית באופיה. ההוכחה השנייה שלו, ממאמר 262 של ספרו זה, עשתה שימוש בתאוריית הגנוס של תבניות ריבועיות. ההוכחות הראשונות של גאוס היו טכניות באופן יחסי ולא שפכו אור על התשובה לשאלה: מדוע בעצם חוק ההדדיות הריבועית נכון? המצב הזה השתנה כאשר גאוס עשה שימוש בסכומי גאוס ריבועיים כדי להראות ששדות ריבועיים הם תת-שדות של שדות ציקלוטומיים, והסיק באופן לא מפורש את ההדדיות הריבועית ממשפט הדדיות עבור שדות ציקלוטומיים. הוכחה זאת שימשה כמעין מנשר (בוסרי ביותר) של תורת שדות המחלקה, תורה שניתן לראות אותה כהכללה מרחיקת לכת של ההדדיות הריבועית.
מאז פורסמו הוכחות רבות נוספות; בשנת 2000 פורסם ספר שהכיל רשימה של לא פחות מ-196 הוכחות שונות. מאז פרסום זה עובד המחבר על חלקים נוספים לספרו ומספר ההוכחות המעודכן עומד בדצמבר 2009 על 233..
מוטיבציה וניסוח בסיסי

חוק ההדדיות הריבועית נוסח בעקבות הצורך לקבוע את הפתירות של משוואות ריבועיות בחשבון מודולרי, כלומר לענות על השאלה האם עבור מספר ראשוני נתון p קיים מספר טבעי  x כך שכאשר מציבים אותו במשוואה ריבועית מסוימת התוצאה תתחלק ב- p. בשונה מקונגרואנציות ממעלה ראשונה, בהן ניתן להיעזר במשפטים אריתמטיים בסיסיים כמו משפט השאריות הסיני, לא קיים תהליך מתמטי פשוט אשר מאפשר לבדוק את הפתירות של קונגרואנציה ממעלה שנייה.
חוק ההדדיות הריבועית קובע כי מספר ראשוני  q הוא שארית ריבועית מודולו מספר ראשוני  p בהתניה בתוצאת הקונגרואנציה ההפוכה; בניסוחו הבסיסי, המשפט מקשר בין היכולת לפתור את שתי המשוואות הבאות: אם  p,q הם שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים, אז המשוואות הן:
כלומר, השאלה היא מתי כל אחד מהמספרים הוא ריבוע מודולו המספר השני.
על פי המשפט, התשובה לשאלה זו תלויה בשארית של  p,q בחלוקה ב-4. אם השארית של שניהם בחלוקה ב-4 היא 3, קיים פתרון לאחת מהמשוואות אם ורק אם לא קיים פתרון לשנייה. לעומת זאת, אם השארית בחלוקה ב-4 של לפחות אחד משני הראשוניים היא 1, הרי שקיים פתרון לאחת מהמשוואת אם ורק אם קיים פתרון לשנייה, ומכאן נובע שם החוק "חוק ההדדיות הריבועית" – כלומר חייבת להיות הדדיות בפתירות הקונגרואנציות הריבועיות (במקרה השני).
מוטיבציה וניסוח בסיסי > דוגמה

אם  p=13,q=17 (עבור שניהם השארית בחלוקה ב-4 היא 1), קיימים פתרונות לשתי המשוואות:
לעומת זאת, אם  p=5,q=13 (גם כאן, השארית בחלוקה ב-4 היא 1 עבור שניהם) לא קיים פתרון לאף אחת מהמשוואת (ניתן להיווכח בכך על ידי בדיקה ישירה).
כעת, אם  p=7,q=19 אז השארית בחלוקה ב-4 של שני המספרים היא במקרה זה 3, וניתן לראות כי קיים פתרון למשוואה הראשונה:
אך בדיקה ישירה מעלה כי לא קיים פתרון למשוואה השנייה.
נשים לב כי לא ניתנת שיטה נוחה למציאת הפתרונות, אלא רק מוצבע על הקשר בין קיומם.
מוטיבציה וניסוח בסיסי > משפטי עזר

בנוסף למשפט המרכזי, ישנם שני משפטי עזר המתלווים אליו, ומאפשרים להשתמש בו בצורה כללית יותר.
המשפט הראשון אומר כי אם  p הוא ראשוני אי-זוגי, אז למשוואה
קיים פתרון אם ורק אם  p משאיר שארית 1 בחלוקה ב-4. לדוגמה, עבור  p=29 קיים הפתרון:
אך עבור  p=7 לא קיים פתרון.
המשפט השני עוסק במשוואה
ועל פיו יש למשוואה פתרון אם ורק אם  p משאיר שארית של 1 או 7 בחלוקה ב-8.
ניסוח בעזרת סימן לז'נדר

ניתן לנסח את המשפט בצורה קומפקטית יותר באמצעות סימן לז'נדר, המוגדר בצורה הבאה עבור  p ראשוני אי זוגי ו- a שלם כלשהו:
בסימונים אלו, משפט ההדדיות הריבועית ומשפטי העזר יכולים להיות מנוסחים בצורה הבאה:
אם  p,q ראשוניים אי-זוגיים, אז:
הוכחה

ההוכחה המתוארת כאן, היא ההוכחה השלישית של קרל פרידריך גאוס למשפט ההדדיות הריבועית.
למה 1: (הלמה של גאוס) יהי  p מספר ראשוני אי-זוגי, ויהי  a מספר זר ל- p.

אם  n מספר המספרים בקבוצה  S=\left\{a,2a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a\right\} בעלי שארית גדולה מ- {\frac {p}{2}} בחלוקה ל- p, אזי  \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n}, כאשר אגף שמאל הוא סימן לז'נדר.
למה 2: (הלמה של אייזנשטיין) יהי  p מספר ראשוני אי-זוגי, ויהי  a מספר שלם אי-זוגי זר ל- p.
אזי:
הוכחה > הוכחת משפט ההדדיות הריבועית

נתבונן בשתי הקבוצות הבאות:
מספר הזוגות  (m,n) – כאשר  m\in M,n\in N – שווה לפי עקרון כפל האפשרויות ל- {\tfrac {p-1}{2}}{\tfrac {q-1}{2}}.

נחלק את קבוצת הזוגות לשלוש קבוצות: האחת אשר הזוגות בה מקיימים  {\tfrac {m}{n}}<{\tfrac {p}{q}}, השנייה  {\tfrac {m}{n}}={\tfrac {p}{q}}, השלישית  {\tfrac {m}{n}}>{\tfrac {p}{q}}.

אם  {\tfrac {m}{n}}={\tfrac {p}{q}} אז נקבל  np=mq, אך  p,q זרים ולכן נקבל כי  q מחלק את  n, בסתירה. כלומר אין זוגות כאלה.

לכל  m, מספר המספרים הטבעיים  n המקיימים את התנאי בקבוצה הראשונה הוא בדיוק  \left\lfloor m{\tfrac {q}{p}}\right\rfloor .

לכל  n, מספר המספרים הטבעיים  m המקיימים את התנאי בקבוצה השלישית הוא בדיוק  \left\lfloor n{\tfrac {p}{q}}\right\rfloor .

סך כל הזוגות הסדורים  (m,n) שווה לסכום הזוגות המשתייכים לקבוצה הראשונה ולקבוצה השלישית, ונקבל:
אך לפי למה 2 מתקיים  \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{S_{p}},\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{S_{q}}, ולכן
ובכך נשלמה הוכחת משפט ההדדיות הריבועית.
הוכחה > הכללה לסימן יעקובי

בהינתן מספר שלם אי-זוגי  b מגדירים את סימן יעקובי באמצעות סימן לז'נדר בצורה הבאה:
אם  b=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}} הוא פירוק לגורמים של  b, אזי סימן יעקובי מוגדר כך לכל  a שלם:
תחת הכללה זו ניתן לנסח את משפט ההדדיות הריבועית בצורה דומה עבור סימן יעקובי: אם  a,b שלמים אי-זוגיים חיוביים וזרים, אזי:
דוגמה לשימוש

3 הוא שארית ריבועית מודולו  p אם ורק אם  p\equiv \pm 1\!\!\!{\pmod {12}}.
נניח כי רוצים לדעת האם קיים פתרון למשוואה:
נראה כיצד לעשות זאת תוך שימוש במשפט ההדדיות הריבועית ובשתי תכונות בסיסיות של סימן לז'נדר:
\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)
אם a\equiv b\!\!\!{\pmod {p}} אז  \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right).
בעזרת המשפט ושתי תכונות אלה נקבל:
כאשר המעבר האחרון נובע מכך ש-17 מתחלק ב-8 עם שארית 1 ולכן  \left({\frac {2}{17}}\right)=1.
כעת, נמשיך בצורה דומה:
ושוב נבצע אותו הדבר בדיוק:
וקיבלנו שאין למשוואה פתרון. המעבר האחרון נובע מכך כי  \left({\frac {1}{p}}\right)=1 לכל  p (למעשה,  \left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=1 לכל  p ראשוני ולכל  a, על פי הגדרה).
הכללות

קיימות הכללות של המשפט לסדרים גבוהים יותר - למשל, לחזקה שלישית ורביעית. עם זאת, מכיוון שחלק משורשי היחידה של 1 מסדר שהוא גבוה מ-2 אינם ממשיים, משפטים אלו מתבססים על אריתמטיקה שמערבת את המספרים המרוכבים ואינה תלויה אך ורק במספרים רציונליים, ולכן שייכים יותר לתורת המספרים האלגברית.
ראו גם

שארית ריבועית
הלמה של גאוס
הערות שוליים

↑  Gauss' Quadratic Reciprocity Law
↑  Gauss linking integral and quadratic reciprocity
↑  Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Franz Lemmermeyer, Springer, 2000.
↑  Proofs of the Quadratic Reciprocity Law
סטניסלאב דסקאלוב

סטניסלאב פֶּנְקוֹב דסקאלוב (בבולגרית: Станислав Пенков Даскалов; נולד ב-4 באפריל 1952, בז'אנובו, מחוז לובץ', הרפובליקה העממית של בולגריה) הוא פוליטיקאי, כלכלן ודיפלומט בולגרי, אשר בין השנים 1993–1994 כיהן כשר החוץ של בולגריה בממשלתו של ליובן ברוב.
קורות חייו

סטניסלאב דסקאלוב נולד בכפר בז'אנובו. הוא רכש השכלה אקדמית באוניברסיטה לכלכלה לאומית ועולמית, ובהמשך למד יחסים כלכליים בינלאומיים במכון הממלכתי ליחסים בינלאומיים של מוסקבה והתמחה בשפות סיניות. מ-1981 הועסק במשרד לסחר חוץ וכיהן כמזכיר ראשון במשלחת הבולגרית לאו"ם. ב-1991 מונה לסגן השר לסחר חוץ ושליח בולגריה למשא ומתן עם "הקהילות האירופיות" (ארגון שקדם לאיחוד האירופי).
ב-1993 מונה לשר החוץ בממשלתו של ליובן ברוב, וכיהן גם כיושב ראש ועדת שרי החוץ במועצת אירופה. ב-1999 חבר לניקולאי מלאדנוב בהקמת "המכון האירופי". ב-2001 מונה לשגריר בולגריה ל"קהילות האירופיות" וניהל את המשא ומתן על בקשת בולגריה להצטרפות לאיחוד האירופי. מינואר ועד אוקטובר 2007 כיהן כשגריר קבוע של בולגריה לאיחוד האירופי. בהמשך מונה לשגריר מיוחד מטעם משרד החוץ הבולגרי.
הערות שוליים

↑  מנהיגי בולגריה, באתר zarate.eu (באנגלית).
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| הקודם: ליובן ברוב | שר החוץ של בולגריה  23 ביוני 1993 – 17 באוקטובר 1994 | הבא: איוואן סטאנצ'וב |
סטניסלאב פוניאטובסקי

סטניסלאב אוגוסט פוניאטובסקי (בפולנית: Stanisław August Poniatowski;‏ 17 בינואר 1732 - 12 בפברואר 1798) היה מלך פולין ודוכס של הדוכסות הגדולה של ליטא האחרון בין השנים 1764–1795.
ביוגרפיה > ראשית חייו

סטניסלאב פוניאטובסקי נולד לסטניסלאב פוניאטובסקי שהיה מושל קרקוב ולקונסטנציה צ'ארטורייסקה ממשפחת צ'ארטורייסקי הידועה בפולין, באחוזה משפחתית בוולצ'ין (כיום מחוז ברסט של בלארוס). בשנת 1752 נבחר לסיים ובלט שם כנואם מוצלח. בבסיס קידום הקריירה שלו היו קשרים משפחתיים. בשנת 1755 הוא נשלח לסנקט פטרבורג כעוזר של שגריר אנגליה. כבר באותה שנה, בתמיכת יליזבטה, קיסרית רוסיה ושר החוץ שלה אלכסיי בסטוז'ב-ריומין הוא קיבל תפקיד של שגריר סקסוניה. בחצר הקיסרית הוא פגש את הנסיכה יקטרינה והם התאהבו, ומקשר זה נולדה להם ילדה.
באוקטובר 1763 מת אוגוסט השלישי, מלך פולין, ובתמיכת הכוחות הרוסים, ב-7 בספטמבר 1764 הוא נבחר למלך של האיחוד הפולני-ליטאי.
ביוגרפיה > תקופת השלטון

ההכתרה הרשמית התקיימה בוורשה ב-25 בנובמבר 1764. כבר בתחילת שלטונו הוא נתמך על ידי מפלגה שהתבססה על חברי משפחתו, ובתמיכתם הוא הצליח להעביר בסיים מספר רפורמות שלטוניות. התלות ברוסים הייתה חזקה מאוד. בלחץ השגריר הרוסי ניקולאי רפנין הוא נאלץ להעביר מספר חוקים. כתוצאה מכך החל מאבק מזוין בין תומכיו למתנגדיו. פוניאטובסקי נתמך על ידי צבא של האימפריה הרוסית. בשנת 1770 מתנגדיו כבשו את ורשה וסטניסלאב פוניאטובסקי נעצר על ידם. הרוסים סכמו על ברית סודית עם פרוסיה ואוסטריה והמשיכו במלחמה. בסופו של דבר, מדינות שלחמו בפולין הצליחו להכריע את המערכה שהסתיימה בשנת 1772 בחלוקת פולין הראשונה. מחוסר ברירה פוניאטובסקי נאלץ לאסוף את הסיים ולאשר את ההסכם.
בשנת 1783 הוא התחתן. היו לו 8 ילדים מ-3 נשים שונות. צאצאיהם טוענים כיום לכתר של האיחוד הפולני-ליטאי.
בשנת 1788 נבחר סיים חדש עם רוב ברור למפלגה הפטריוטית שדגלה בשחרור התלות מהאימפריה הרוסית. בשנת 1791 אושרה חוקה חדשה שפוניאטובסקי תמך בה. מיד לאחר אישור החוקה החלה מלחמה פנימית חדשה באיחוד. מתנגדיו נקשרו ליקטרינה הגדולה וכוחותיה פלשו לתחום הממלכה. לאחר מספר קרבות והצטרפות פרוסיה ללחימה תומכי החוקה הובסו וסוכם על החלוקה השנייה של פולין.
בשנת 1794 פרץ מרד קושצ'ושקו. בשנת 1795 המרד הסתיים בקריסה מוחלטת של המדינה. היא חולקה בפעם השלישית, וב-25 בנובמבר 1795 פוניאטובסקי נאלץ להתפטר. הוא נלקח לסנקט פטרבורג והתגורר שם על חשבון מלגה שקיבל מיקטרינה הגדולה.
עם פטירתו הוא נטמן בכנסייה הקתולית בעיר סנקט פטרבורג. בשנת 1938 גופתו הועברה למקום הולדתו. בהמשך שטח זה הועבר לברית המועצות וקברו נשדד. בשנת 1988 השרידים המעטים שנותרו הועברו לפולין, ובשנת 1995 הוא הוטמנו מחדש בקתדרלת יוחנן הקדוש בוורשה.
סם ג'ייקובס

| --- | --- |
 מדינה:  ארצות הברית ארצות הברית
 השכלה:  אוניברסיטת הרווארד 
 מעסיק:  טיים מגזין, רויטרס, ניוזוויק, הדיילי ביסט 
 קישורים חיצוניים
 טוויטר:  sampjacobs
 samuelpjacobs.com
 
סמיואל (סם) פוסין ג'ייקובס (באנגלית: Samuel Posin Jacobs) הוא עיתונאי אמריקאי. העורך הראשי של מגזין "טיים". עם מינויו לתפקיד העורך הראשי של ה"טיים" באפריל 2023 היה לאדם הצעיר ביותר ששימש בתפקיד, מאז הנרי לוס, מייסד המגזין.
ביוגרפיה

ב-2009  סיים את לימודיו באוניברסיטת הרווארד, שם למד היסטוריה. התזה שלו עסקה ב"וולטר וייל והתודעה הפרוגרסיבית: ההבטחה והבעיות של הדמוקרטיה החדשה" (Progressive Mind: The Promise and Problems of the New Democracy). בהרווארד שימש עורך שותף של ה"הרווארד קרימסון".
לפני שהצטרף לסגל "טיים" ב-2013, סיקר ג'ייקובס פוליטיקה עבור "הדיילי ביסט" (אנ'), ועבד גם עבור ניוזוויק, ורויטרס.
ג'ייקובס היה עורך בכיר ב"טיים", ב-2016 מונה לתפקיד העורך הראשי של הגרסה הדיגיטלית, "טיים דיגיטל". ומאז 2019 הוא מכהן כסגן העורך הראשי של "טיים". באפריל 2023 התמנה למשרת העורך הראשי.
סורגלמטוש

סורגלמטוש (בהונגרית: Szorgalmatos) הוא כפר בנפת טיסוושווארי, במחוז סבולץ'-סטמאר-ברג שבצפון מזרח הונגריה.
הכפר הוקם בשנת 2002 לאחר שנפרד מהעיר טיסוושווארי.
במהלך מפקד האוכלוסין בשנת 2011 הצהירו 72.8 אחוזים מהאוכלוסייה שהם הונגרים וחצי אחוז הצהירו כי הם אוקראינים (27.2% לא הצהירו), החלוקה הדתית הייתה: רומים קתולים 8.3%, רפורמים 26%, יוונים קתולים 2.4%, לותרנים 0.4%, לא דתיים 24.3% (37.3% לא השיבו)