הנחיית Q
חישוב מטריצת Q במקרה הכללי (של שדה היפוך ריבועי) > פיתוח מתמטי

בחלק זה נציע אלגוריתם לחישוב איברי מטריצת Q במקרה הכללי של שדה היפוך ריבועי (Inverse square law).
נסמן את שתי שמורות התנועה (האנרגיה הכוללת והתנע הזוויתי) ב-E ו-L. מתקיים:
 E_{k}(R)=E+GMm/R. כמו כן מתקיים בנקודות של המרחק המרבי והמינימלי מהמוקד:  p(R)^{2}/2m=L^{2}/2mR^{2}=E_{k}(R) . כך נקבל משוואה ריבועית שפתרונותיה הם המרחק המרבי  R_{1} והמרחק הקטן ביותר  R_{2} מהמוקד:
. ER^{2}+GMmR-L^{2}/2m=0 
פתרונות המשוואה הם:
האקסצנטריות היא :  \epsilon ={\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}={\sqrt {1+4EL^{2}/2m(GMm)^{2}}} .
והלטוס רקטום (Latus Rectum) הוא:  l=a(1-\epsilon ^{2})=1/2(R_{1}+R_{2})(1-\epsilon ^{2})={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}
חישוב שטח גזרה אליפטית:
משוואת אליפסה בקואורדינאטות פולריות היא:  r(\theta )={\frac {l}{1-\epsilon \cos \theta }}. לכן שטח גזרה אליפטית הוא (פתרון האינטגרל מסובך למדי ונציג כאן רק תשובה סופית):
{\frac {l^{2}}{2}}\int {\frac {1}{(1-\epsilon \cos \theta )^{2}}}d\theta  =  {\frac {l^{2}}{2}} ( {\frac {\epsilon \sin \theta }{(\epsilon ^{2}-1)(\epsilon \cos \theta -1)}} +  2\tanh ^{-1})){\frac {(\epsilon +1)(\tan \theta /2)}{\sqrt {\epsilon ^{2}-1}}})/(\epsilon ^{2}-1)^{3/2}.
תיאור האלגוריתם:
E ו-L במיקום הנתון של הטיל (עבורו יש לחשב את מטריצת Q)  r_{0}, מגדירים באופן חד חד ערכי את וקטור מהירות הטיל המתאים (גודלו וכיוונו). שני התנאים שהמסלול האליפטי חייב לעבור דרך מיקום המטרה  r_{T}, וזאת כעבור זמן  t_{f}, מאפשרים לבנות מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים E ו-L, אותם אפשר למצוא ובכך להגדיר את מהירות הטיל המתאימה  v_{C} בהתאם לכללים הבאים:  (v_{r},v_{\theta })=({\sqrt {2(E/m+GM/R)-(L/mR)^{2}}},L/mR)
ממשוואת האליפסה בקואורדינטות פולריות ניתן לחלץ את  cos\theta _{0}, כאשר  \theta _{0} הוא הזווית עם הציר הראשי של האליפסה של וקטור מיקום הטיל, כך (שכן המרחק למוקד שהוא מרכז כדור הארץ ידוע):  cos\theta _{0}=1/\epsilon (1-l/R).
הזווית בין וקטור מיקום הטיל  r_{0} לוקטור מיקום המטרה  r_{T} נתונה ונסמנה  \vartriangle \theta , ולכן ניתן להביע את  cos(\theta _{0}+\vartriangle \theta ) בהתאם לזהות הטריגונומטרית:  cos(\theta _{0}+\vartriangle \theta )=\cos \theta _{0}cos\vartriangle \theta -\sin \theta _{0}\sin \vartriangle \theta . הצבת  \epsilon  ו-l בביטויים ל- cos\theta _{0} ו- sin\theta _{0} ושימוש בעובדה ש- R_{T}=R_{E} (מרחק המטרה מהמוקד הוא רדיוס כדור הארץ) ובביטוי לאליפסה בקואורדינטות פולריות מאפשר להרכיב משוואה אחת עם E ו-L, ולחלץ ממנה את L כתלות ב-E. לאחר מכן ניתן להיעזר בתנאי השני על זמן המעוף  t_{f} כדי למצוא את E ולאחר מכן למצוא את L, ובכך למצוא את וקטור המהירות המתאים  v_{C}=(v_{r},v_{\theta }).
לא נפרט כאן את האלגברה, אך בתום תהליך אלגברי ארוך הביטוי המתקבל ל-E כתלות ב-L מהתנאי הראשון הוא:
E={\frac {(GM)^{2}m^{3}}{2L^{2}}}(\cos \vartriangle \theta -1+L^{2}/GMm^{2}(1/R_{E}-\cos \vartriangle \theta /R)+(1-L^{2}/GMm^{2}R)^{2})/((sin\vartriangle \theta )^{2}-1).
זהו למעשה התנאי לקשר בין E ו-L הדרוש כדי שמסלול פלנטרי בהשפעת כבידה (אליפטי) יעבור דרך שתי נקודות נתונות (כשהמוקד נתון).
כדי להכניס את זמן המעוף  t_{f} למשוואות יש לחלק את שטח הגזרה האליפטית בקצב כיסוי השטח של הרדיוס וקטור (שכן לפי החוק השני של קפלר הרדיוס וקטור מכסה שטחים בקצב קבוע). קצב כיסוי השטח הוא  v_{\theta }r/2=L/2m. לפיכך מתקיים:  2Sm/L=t_{f}.
במקרה של טילים בליסטיים ניתן להניח בקירוב טוב  R=R_{E} (החלק הממונע של מעוף הטיל מתרחש ברובו כשהטיל עדיין קרוב מאוד לפני הקרקע), ובכך מתקבל  \cos(\theta _{0}+\vartriangle \theta )=\cos \theta _{0} לכן:  \theta _{0}+\vartriangle \theta =-\theta _{0}=\vartriangle \theta /2 (שכן האליפסה סימטרית מסביב לציר הראשי שלה). לכן במקרה של טילים בליסטיים הביטוי לאינטגרל בין הגבולות  \theta _{0} ו- \theta _{0}+\vartriangle \theta  מתפשט ל-:
{\frac {l^{2}}{2}}({\frac {2\epsilon \sin \vartriangle \theta /2}{(\epsilon ^{2}-1)(\epsilon \cos \vartriangle \theta /2-1)}}+4\tanh ^{-1})){\frac {(\epsilon +1)(tan\vartriangle \theta /4)}{\sqrt {\epsilon ^{2}-1}}})/(\epsilon ^{2}-1)^{3/2})
הדרך למצוא את איברי מטריצת Q היא נומרית. הניסיון מראה שמטריצת Q משתנה לאט מאוד, כך שרק מספר ערכים שלה המתאימים לחלקים שונים של שלב המעוף הממונע צריכים להישמר במחשב הטיל. דרך אחת היא להציב ערכים של L בביטוי לעיל ולקבל כך זוגות (E,L) מהם מפתחים את האקצנטריות ואת שאר הקבועים שבתנאי לזמן המעוף, ולאחר מכן מציבים את הקבועים ומוצאים את זמן המעוף. L צריך להיבחר כך 
שיתקיים שהוא מסדר גודל של:  R_{E}\vartriangle \theta =v_{\theta }t_{f}=L/(mR_{E})t_{f},L=m(R_{E})^{2}\vartriangle \theta /t_{f} (כלומר שהטיל יעבור את המרחק בין שתי הנקודות על כדור הארץ בזמן  t_{f}, בהנחה שהוא נע בעקום גאודזי ביניהם). ניתן להציב כפולות רציונליות גדולות מ-1 של הגודל של L שמופיע לעיל (מונה המספרים הרציונליים נבחר לפי דרגת הקרבה הרצויה של זמן המעוף ל- t_{f}) ולבחור את הכפולה עבורה מתקבל זמן מעוף קרוב ביותר ל- t_{f}. לאחר מכן יש לבצע אותו תהליך לגבי מיקום מעט שונה של הטיל, ולמצוא את 9 הנגזרות החלקיות המתאימות. הדרך המעניינת והמאתגרת יותר, מבוססת על פיתוח אלגוריתמים יעילים להערכת הביטוי לזמן המעוף. אלגוריתמים כאלה צריכים למצוא קיצורי דרך אלגבריים בביטויים המתקבלים באמצעות הצבות מתאימות, ולהיעזר בשיטות איטרטיביות להערכת הביטוי לזמן המעוף. פיתוח כזה דורש ידע רב במתמטיקה טהורה. בימים הראשונים של הטילים הבליסטיים, כאשר המחשבים היו אנלוגיים, האתגר שעמד בפני המדענים שפיתחו את מערכת ההנחיה Q היה בפיתוח תהליך מתמטי יעיל להערכת הביטויים המתקבלים, כאלה שלא יעמיסו יותר מידי על מחשבי הטיל ויצריכו כח מחשובי רב מידי.
הערה - טיל בליסטי מתחיל את מעופו (מכן השיגור) כשהוא נע אנכית לפני הקרקע. הזווית המדויקת באזימוט אליה יש לפנות לאחר מכן, כמו גם ה- \vartriangle \theta  (הזווית המרכזית במעגל הגדול המתאים) שמופיע במשוואות לעיל, ניתנים לחישוב מטריגונומטריה ספירית לגבי מיקום נקודות השיגור והמטרה (כשנתונים קווי האורך והרוחב המדויקים שלהם). אם נתונים מיקומיהם בקווי אורך ורוחב של כן שיגור הטיל הבליסטי והמטרה כ- (\theta _{1},\phi _{1}) ו- (\theta _{2},\phi _{2}) אז כדי לחשב את  \vartriangle \theta =\alpha  נעזרים בנוסחה הבאה:  cos\alpha =cos\phi _{1}cos\phi _{2}cos(\theta _{2}-\theta _{1})+sin\phi _{1}sin\phi _{2}. כדי לחשב את הזווית (האזימוט) נעזרים בנוסחה הבאה:  cos\beta ={\frac {sin(\phi _{2}-\phi _{1})}{2tan(\alpha /2)}}+sin({\frac {\alpha }{2}})sin({\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{2}}). תוצאה זאת מתקבלת ממציאת ההיטלים של הקשתות במשולש הקשתי המתקבל על מישור קודקודי המשולש ולאחר מכן הפעלת משפט פיתגורס בטריגונומטריה ספירית פעמיים.