stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מגדלי האנוי
חוקי המשחק

המשחק כולל:
שלושה מוטות אנכיים ("המגדלים"), בעלי אורך זהה.
מספר דיסקיות בגדלים שונים שניתן להשחיל על המוטות, כאשר:
כל דיסקית – בגודל שונה (אין אף שתי דיסקיות בעלות אותו הקוטר).
סכום עוביין של כל הדיסקיות – קטן מגובה "המגדלים".
בתחילת המשחק, הדיסקיות מסודרות על פי גודלן מהגדולה לקטנה על אחד המוטות, כשהגדולה ביותר למטה והקטנה ביותר למעלה. מטרת המשחק היא להעביר את כל הדיסקיות ממוט זה אל אחד משני המוטות הנותרים, בכפוף לשני חוקים:
מותר להזיז רק דיסקית אחת בכל פעם – מראש מוט אחד לראש מוט אחר (אפשר להזיז רק את הדסקית העליונה בכל עמוד).
אסור להניח דיסקית אחת על דיסקית שקטנה ממנה.
היתכנות פתרון המשחק - הוכחה באינדוקציה

שאלה בסיסית עבור החידה היא האם ניתן לפתור אותה עבור כל מספר שהוא של דיסקיות. בפרט, במקרה של האגדה של לוקאס, האם ניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל 64 דיסקיות, ובכך להביא לסוף העולם? ניתן להוכיח שאכן ניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל כל מספר שהוא של דיסקיות, וההוכחה היא באינדוקציה.
על מנת להוכיח שניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל n דיסקיות, יש להראות קודם שניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל דיסקית אחת - וזה טריוויאלי, ולאחר מכן יש להוכיח את שלב האינדוקציה - כלומר שאם ניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל n דיסקיות אזי ניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל n+1 דיסקיות. הדרך להעביר מגדל בעל n+1 דיסקיות מהמגדל הראשון לשני, מבוססת על העברה של n הדיסקיות העליונות מהמגדל הראשון לשלישי - דבר שאפשרי על פי הנחת האינדוקציה, לאחר מכן העברה של הדיסקית התחתונה מהמגדל הראשון לשני, ולבסוף העברה של n הדיסקיות שנמצאות על המגדל השלישי אל המגדל השני, דבר ששוב אפשרי על פי הנחת האינדוקציה.
פתרון החידה המתקבל באופן זה הוא גם הפתרון היעיל ביותר - וניתן להיווכח על בסיס אותה ההוכחה. בכל פתרון שהוא הדיסקית הגדולה ביותר חייבת לזוז לפחות פעם אחת - ובפתרון שהוצג היא זזה רק פעם אחת. על מנת להזיז את הדיסקית הגדולה יש צורך ששאר הדיסקיות יהיו כולן במגדל השלישי, ולאחר הזזת הדיסקית הגדולה יש להעביר אותן מהמגדל השלישי אל המגדל השני. על פי הנחת האינדוקציה הפתרון המוצע מבצע את שני השלבים האלו במינימום הצעדים הנדרש.
פתרון החידה ברקורסיה (הפתרון הנסיגתי)

ההוכחה המופיעה בפסקה הבאה משרטטת גם שיטה לפתרון המשחק - שיטה רקורסיבית. כבכל רקורסיה, הפתרון כולל שני מרכיבים עיקריים: תנאי עצירה, שמבטיח שהתהליך יסתיים בסופו של דבר, ועיקרון שמבטיח שאם תנאי העצירה טרם הושג, הפתרון יופעל מחדש על בעיה קטנה יותר.
נסמן את המוטות בתור א', ב', ג'. הגדרת הקלט לרקורסיה פשוטה: היא מקבלת מוט אחד שממנו עליה להעביר את כל הדיסקיות, מוט אחר שאליו היא צריכה להעביר את הדיסקיות, ומוט שלישי שבו היא תשתמש כמוט ביניים.
אם אנו רוצים להעביר רק דיסקית אחת, מותר לנו לעשות זאת על פי חוקי המשחק, ועל כן זו הפעולה היחידה שמבצעת הרקורסיה - ולכן זהו תנאי העצירה.
לעומת זאת, אם אנחנו צריכים להעביר כמה דיסקיות, אי אפשר להעביר את כולן ביחד. על כן נעביר על ידי הפעלה נוספת של הרקורסיה את כל הדיסקיות פרט לתחתונה למוט הביניים, נעביר את התחתונה למוט היעד, ונעביר את שאר הדיסקיות ממוט הביניים למוט היעד. בצורה זו הפעלנו את הרקורסיה שוב על בעיה קטנה יותר - שכן להעביר את כל הדיסקיות על המוט פרט לאחת פשוט יותר מלהעביר את כל הדיסקיות.
בצורה פורמלית, האלגוריתם יוגדר כך:
העבר-דיסקיות (קלט: מספר-דיסקיות, מוט-מקור, מוט-ביניים, מוט-יעד)
אם מספר-דיסקיות=1 העבר את הדיסקית ממוט-מקור למוט-יעד.
אחרת, בצע:
העבר-דיסקיות (מספר-דיסקיות פחות אחת, מוט-מקור, מוט-יעד, מוט-ביניים): מעביר את כל הדיסקיות פרט לתחתונה למוט הביניים.
העבר-דיסקיות (1, מוט-מקור, מוט-ביניים, מוט-יעד) : מעביר את הדיסקית התחתונה למוט היעד.
העבר-דיסקיות (מספר דיסקיות פחות אחת, מוט-ביניים, מוט-מקור, מוט-יעד): מעביר את כל הדיסקיות שעל מוט הביניים למוט היעד.
לפתרון הרקורסיבי יש יתרון בכך שהוא פשוט מאוד ליישום על ידי מחשב, ואכן משמש תרגיל פופולרי בקורסים וספרים המלמדים תכנות. מנגד פתרון זה קשה ליישום בחישוב אנושי, משום שהמוח האנושי מתקשה יחסית בביצוע הליך לוגי מעין זה.
דוגמה לפתרון רקורסיבי בשפת התכנות פייתון:
A = [3, 2, 1]
B = []
C = []

def move(n, source, target, auxiliary):
    if n > 0:
        # Move n - 1 disks from source to auxiliary, so they are out of the way
        move(n - 1, source, auxiliary, target)

        # Move the nth disk from source to target
        target.append(source.pop())

        # Display our progress
        print(A, B, C, '##############', sep='\n')

        # Move the n - 1 disks that we left on auxiliary onto target
        move(n - 1, auxiliary, target, source)

# Initiate call from source A to target C with auxiliary B
move(3, A, C, B)
מספר הצעדים הנחוצים לפתרון

שאלה בסיסית אחרת הנוגעת למשחק ולפתרון שלו היא כמה זמן לוקח הפתרון, ובהקשר של האגדה של לוקאס, כמה זמן נותר עד לסוף העולם?
אם נסמן את מספר הצעדים הדרושים להעביר מגדל בעל n דיסקיות ב- \ H(n) אזי מכיוון שהפתרון מורכב משלושה שלבים - העברת מגדל בעל n-1 דיסקיות, העברת הדיסקית התחתונה, ושוב העברת מגדל בעל n-1 דיסקיות, אזי מתקבלת נוסחת הנסיגה הבאה:
 \ H(n)=2\times H(n-1)+1
מכיוון ש- \ H(1)=1 (לוקח מהלך אחד להעביר מגדל בעל דיסקית אחת), אזי ניתן להשתמש בנוסחאת הנסיגה בשביל לחשב את הסדרה:  \ H(n)=1,3,7,15,31,.... סדרה זאת נקראת מספרי מרסן, והיא כוללת מספרים השווים לחזקה של 2 פחות אחת, כלומר  \ H(n)=2^{n}-1. את השוויון האחרון ניתן שוב להוכיח באמצעות אינדוקציה שכן:
 H(n+1)=2\times H(n)+1=2\times (2^{n}-1)+1=2^{n+1}-1
מכאן ניתן לפתור את החידה ב- \ 2^{n}-1 צעדים. כאמור לעיל, פתרון זה הוא גם היעיל ביותר - לא ניתן לפתור את החידה במספר קטן יותר של צעדים. במונחים של מדעי המחשב, מספר ההעברות המינימלי להעברת n דיסקיות הוא  \ 2^{n}-1, כלומר הגדלת אורך הקלט ב-1 מביאה להכפלת הזמן הנחוץ לפתרון הבעיה, ולכן זהו אלגוריתם בעל סיבוכיות זמן מעריכית  \ O(2^{n}) - לבעיה אין פתרון "יעיל".
בהקשר של האגדה של לוקאס, מספר הצעדים שלוקח להעביר מגדל בעל 64 דיסקיות הוא  \ 2^{64}-1=18,446,744,073,709,551,615, ומכאן שאפילו אם הנזירים יכולים להעביר דיסקיות בקצב של אחת לשנייה (מבלי להתבלבל), הזמן שיידרש להם להעביר את כל המגדל הוא כ-580 מיליארד שנים - פי 42 מגילו המוערך של היקום.
הפתרון האיטרטיבי (הלולאתי)

הפתרון הרקורסיבי מבוסס על רעיון טבעי, אך קשה מאוד לביצוע באמצעות חישוב אנושי. ישנה שיטה נוספת, המובילה לאותו רצף של פעולות כמו הפתרון הרקורסיבי, אך קלה לחישוב אנושי. השיטה מתבצעת באופן הבא:
במהלכים אי זוגיים: העבר את הדיסקית הקטנה ביותר למוט הבא, עם כיוון השעון אם מספר הדיסקיות הכולל זוגי ונגד כיוון השעון אם מספר הדיסקיות הכולל אי-זוגי (אחרת המגדל יופיע בסוף התהליך בעמוד השני ולא בשלישי כרצוי).
במהלכים זוגיים: בצע את ההעברה היחידה האפשרית שאינה כוללת את הדיסקית הקטנה ביותר.
בפעם הראשונה שבה לא יהיה ניתן לבצע את צעד 2, יהיה זה סימן שהמשחק נפתר. נשים לב שהפעולה בצעד 2 מוגדרת היטב: ההעברה המתוארת בו לא יכולה להיות העברה של דיסקית אל המוט שעליו נמצאת הדיסקית הקטנה ביותר, שכן לא ניתן לשים שום דיסקית על הדיסקית הקטנה ביותר, ולכן ההעברה חייבת להיות בין שני המוטות האחרים. אם אחד מהם ריק, ההעברה היחידה האפשרית היא מהמוט עם הדיסקיות למוט הריק. אם על שניהם יש דיסקיות, אז אחת הדיסקיות גדולה מהשנייה, ולא ניתן להעביר אותה למוט השני. בכל מקרה, תמיד יש לכל היותר העברה אחת אפשרית שאינה כוללת את הדיסקית הקטנה ביותר.
חשוב לשים לב שבפתרון הזה יועברו כל הדיסקיות ממוט אחד לאחר, אבל השאלה לאיזה מוט תלויה במספר הדיסקיות; אם הוא זוגי יש להעביר את הדיסקית למוט הביניים. ואם הוא אי-זוגי, אזי יש להעבירה אל מוט היעד. העניין מתבסס על כך שעל דיסקית המונחת במקום הסידורי יונח "מיני מגדל" (מגדל שלא כולל את כל הדיסקיות) המתבסס עליה, אם יש מספר דיסקיות אי זוגי אז ה"מיני מגדל" יהיה לבסוף מגדל שלם. אך אם מדובר במספר דיסקיות זוגי אז ה"מיני מגדל" יהיה חסר בדיסקית אחת, הגדולה ביותר, והדיסקית הזו תוכל להיות מועברת אל מוט היעד. ובעקבותיה - שאר הדיסקיות.
גישה נוספת להסתכלות על הפתרון האיטרטיבי היא זו: צבע את כל הדיסקיות בשחור ולבן לסירוגין, וגם את ה"רצפה" שמתחת למוטות (שוב, לסירוגין). עכשיו, שחק כרגיל בתוספת חוק אחד: לשמור על הסירוג בצבעים. כלומר, אסור לשים שחור על שחור או לבן על לבן.
פתרון בעזרת מספרים בינאריים

אם נכתוב את סדרת המספרים הטבעיים בבסיס בינארי: 1, 10, 11, 100, 101, 110, ... אזי הספרה הראשונה שאיננה 0 מייצגת את מספר הדיסקית (כשהדיסקיות ממוספרות מהקטנה לגדולה) שיש להזיז באותו מהלך. לדוגמה במהלך הרביעי יש להזיז את הדיסקית השלישית, מכיוון שבייצוג הבינארי של המספר 4 שהוא 100, הספרה הראשונה שאיננה 0 היא הספרה השלישית.
ייצוג גרפי של הפתרון

את כל הצעדים החוקיים לפתרון חידת מגדלי האנוי ניתן לייצג בגרף בלתי מכוון, שבו הצמתים מייצגים פיזור של הדיסקיות והקשתות מייצגות צעדים.
למגדל שבו דיסקית אחת בלבד, הגרף הוא משולש, המייצג את שלושת הצעדים האפשריים:
למגדל של שתי דיסקיות הגרף כולל שלושה משולשים, המחוברים ביניהם ליצירת משולש גדול יותר:
הצמתים שבקודקודי המשולש הגדול מייצגים מצבים שבהם כל הדיסקיות נמצאות על אותו מגדל.
ליצירת גרף עבור h + 1 דיסקיות יש לקחת את הגרף ל-h דיסקיות ולהחליף בו כל משולש קטן במשולש לשתי דיסקיות.
למגדל של שלוש דיסקיות הגרף הוא:
הצלעות של המשולש הגדול מייצגות את הדרך הקצרה ביותר להעברת הדיסקיות ממגדל אחד לאחר. הצומת שבמרכז הצלע של המשולש הגדול מייצג העברה של הדיסקית הגדולה ביותר.
באופן כללי, חידה של  \ n דיסקיות מיוצגת על ידי גרף שבו  3^{n} צמתים. לכל צומת מחוברות שלוש קשתות, מלבד הצמתים שבקודקודי המשולש הגדול, שלהן מחוברות רק שתי קשתות. הגרף עבור n + 1 דיסקיות נוצר באמצעות לקיחת שלושה עותקים של הגרף ל-n דיסקיות וחיבורם זה לזה באמצעות שלוש קשתות המחברות את קודקודי המשולשים, המייצגות את שלוש אפשרויות ההעברה של הדיסקית הגדולה ביותר. בגרף שנוצר יש  3^{n+1} צמתים.
הגרף שנוצר בדרך זו, ככל שמוסיפים עוד דיסקיות, הוא משולש שרפינסקי. משולש שרפינסקי הוא פרקטל בצורת משולש, המכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו, וכל אחד מאלה מכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו, וכך הלאה. את הקשר בין מגדלי האנוי לבין משולש שרפינסקי קל להבין: נסתכל על משחק בעל n+1 דיסקיות, את הגרף של המשחק ניתן לחלק לשלושה חלקים על פי מיקום הדיסקית הגדולה ביותר. עבור כל אחד מהחלקים הגרף המתאר את המצבים שלו הוא הגרף של המשחק עם n דיסקיות, ולכן כמו במשולש שרפינסקי הגרף מכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו.
את המסלול הארוך ביותר להשגת הפתרון (בלי להגיע פעמיים לאותו צומת) ניתן להציג באמצעות מחיקת הקשתות המיותרות. דוגמה למסלול כזה במגדל של 3 דיסקיות:
מסלול זה מושג כאשר נמנעים מהעברה ממגדל a ישירות למגדל c.
מעגל המילטוני לגרף של 3 דיסקיות מוצג בגרף הבא:
הגרפים מלמדים כי:
מכל פיזור חוקי של דיסקיות יש מסלול יחיד שהוא הקצר ביותר להעברת דיסקיות אלה למגדל יחיד.
בין כל זוג של פיזורים חוקיים של דיסקיות יש מסלול יחיד או שני מסלולים שהם הקצרים ביותר.
מכל פיזור חוקי של דיסקיות יש יש מסלול יחיד או שני מסלולים (בלי להגיע פעמיים לאותו צומת) שהם הארוכים ביותר.
בין כל זוג של פיזורים חוקיים של דיסקיות יש מסלול יחיד או שני מסלולים (בלי להגיע פעמיים לאותו צומת) שהם הארוכים ביותר.
נסמן ב-N h את מספר המסלולים (בלי להגיע פעמיים לאותו צומת) להעברה של h דיסקיות ממגדל אחד לאחר, ונקבל:
N1 = 2
Nh+1 = (Nh)2 + (Nh)3
וריאציות של המשחק > הכללה של המשימה

החידה הבסיסית של מגדלי האנוי דורשת להעביר את הדיסקיות ממגדל אחד למגדל אחר תוך שימוש במגדל עזר. הכללה של משימה זו דורשת פתרון למעבר מסידור חוקי כלשהו, מתוך  3^{n} הסידורים האפשריים של דיסקיות על פני שלושת המגדלים, לסידור חוקי אחר על פני שלושת המגדלים. ניתן להראות שמכל סידור חוקי ניתן להגדיר מסלול של  3^{n} צעדים, שעובר על כל אחד מהסידורים האפשריים פעם אחת בדיוק, וחוזר לסידור ההתחלתי. עוד ניתן להראות שניתן לפתור את החידה הבסיסית של מגדלי האנוי בכל מספר של  \ m צעדים, כאשר  2^{n}-1\leq m\leq 3^{n}-1.
וריאציות של המשחק > הכללה של מספר המגדלים

בחידה הבסיסית של מגדלי האנוי ישנם שלושה מגדלים. בשנת 1907 החידונאי הנרי ארנסט דודני הציג בספרו "The Canterbury Puzzles" את החידה כאשר בה ארבעה מגדלים, וביקש לדעת מה מספר הצעדים המזערי הנדרש כאשר יש 8, 10 או 21 דיסקיות. דודני כתב שהתשובה היא 33, 49 או 321 צעדים, בהתאמה, אך לא נתן הוכחה לכך. הוא הוסיף נוסחה למספר הצעדים הנחוץ כאשר מספר הדיסקיות הוא מספר משולשי.
בשנת 1939 פרסם B. M. Stewart הכללה של החידה למספר כלשהו של מגדלים, והפתרונות פורסמו בשנת 1941, ללא הוכחה שהם הפתרונות האופטימליים. בשנת 2014 ניתן פתרון אופטימלי לחידה עם ארבעה מגדלים.
וריאציות של המשחק > מגדלי האנוי בשני צבעים

ביולי 1988 הוצגו באליפות צרפת השנייה למשחקים מתמטיים ולוגיים וריאציות אחדות לחידת מגדלי האנוי, שבהן יש שני סטים של דיסקיות, האחד שחור והשני לבן, כך שבכל גודל של דיסקיות יש אחת שחורה ואחת לבנה.
חידת הפרדת הצבעים: במצב ההתחלתי הדיסקיות מונחות זו על זו בשני מגדלים, כשצבעי הדיסקיות הם לסירוגין שחור ולבן, בסדר יורד של גודלי הדיסקיות. המטרה היא להפריד את הדיסקיות לשני מגדלים חדגוניים, באמצעות מגדל עזר, תוך שמירה על שני כללים:
בכל צעד זזה דיסקית אחת.
אין לשים דיסקית מעל דיסקית קטנה ממנה; מותר לשים דיסקית על דיסקית זהה לה בגודלה.
לחידה זו שתי תת-וריאציות: באחת שתי הדיסקיות הגדולות ביותר מתחלפות ביניהן במקומותיהן, ובאחרת, הקלה יותר, הן נשארות במקומן.
חידת מיזוג: במצב ההתחלתי הדיסקיות מונחות זו על זו בשני מגדלים, האחד שחור והשני לבן. יש למזג את שני המגדלים למגדל אחד, שבו הדיסקיות מונחות מהגדולה לקטנה, ובכל שתי דיסקיות בנות אותו גודל, הדיסקית הלבנה היא מעל לדיסקית השחורה.
חידת פיצול: במצב ההתחלתי הדיסקיות מונחות זו על זו במגדל אחד, מהגדולה לקטנה, ובכל שתי דיסקיות בנות אותו גודל, הדיסקית הלבנה היא מעל לדיסקית השחורה. יש לפצל את המגדל, באמצעות מגדל עזר, לשני מגדלים חדגוניים, שבהם נשמר הכלל שאין לשים דיסקית מעל דיסקית קטנה ממנה.
וריאציות של המשחק > מגדלי האנוי מגנטיים

וריאציה נוספת, מגדלי האנוי מגנטיים (אנ') פותחה על ידי ד"ר אורי לוי ממכון ויצמן למדע. בווריאציה זו לכל דיסקית יש שני צבעים, למשל כחול ואדום (או שני קטבים מגנטיים). במצב ההתחלתי הדיסקיות מונחות זו על זו באחד מהמגדלים, כך שאין מגע בין שני צבעים זהים (כלומר צדה הכחול של דיסקית מופנה אל צדה האדום של הדיסקית שמתחתיה). המשימה היא להעביר את כל הדיסקיות ממגדל זה אל אחד משני המגדלים האחרים, לפי הכללים הבאים:
מותר להזיז רק דיסקית אחת בכל פעם - מראש מגדל אחד לראש מגדל אחר.
אסור להניח דיסקית על דיסקית שקטנה ממנה.
בעת הרמת דיסקית היא מתהפכת, כך שצבעה העליון וצבעה התחתון מתחלפים.
אסור לאפשר מגע בין שני צבעים זהים.
המגבלה שנוספה בווריאציה זו מגדילה את מספר הצעדים המזערי הנחוץ לפתרון בהשוואה לחידה הבסיסית. במגדל של שלוש דיסקיות נחוצים 11 צעדים (לעומת 7 בגרסה הבסיסית) ובמגדל של ארבע דיסקיות נחוצים 30 צעדים (לעומת 15 בגרסה הבסיסית).
ראו גם

קלונדייק - משחק הפועל על אותו עיקרון מתמטי.
בעיית סידור הפנקייקים של גודמן - בעיה מתמטית העוסקת בסידור ערימת פנקייקים כך שהפנקייק הגדול ביותר יהיה למטה והקטן ביותר למעלה באמצעות היפוך החלק העליון שלה מספר פעמים. בניגוד למגדלי האנוי הפנקייקים נמצאים כל הזמן באותה ערימה ואין הגבלה על כך שפנקייק קטן יהיה מתחת פנקייק גדול ממנו תוך כדי הסידור.
לקריאה נוספת

Andreas M. Hinz, Sandi Klavžar, Uroš Milutinović, and Ciril Petr, The Tower of Hanoi – Myths and Maths, Birkhäuser, 2013; 2nd edition, 2018. (אנ')
הערות שוליים

↑  ראו W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays - מהדורת 1905 של הספר, עמ' 91–93
↑ דוגמאות:
דוד הראל, אלגוריתמיקה: יסודות מדעי המחשב, האוניברסיטה הפתוחה, 1994, עמ' 113–117.
Douglas Hofstadter, Metamagical Themas, Basic Books, pp. 423-430
↑  Paul K. Stockmeyer, The Tower of Hanoi: A Bibliography, September 12, 2005
↑  Paul Cull and E. F. Ecklund, Jr., Towers of Hanoi and Analysis of Algorithms, American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 6, June-July 1985, pp. 407-420, in JSTOR
↑  Sheldon S. Myers, An Application of Mathematical Induction to the Tower of Hanoi Puzzle, The Mathematics Teacher, Vol. 45, No. 7, November 1952, pp. 522-523, in JSTOR
↑  הצגה ראשונה של גרף כזה ניתנה במאמר
R. S. Scorer, P. M. Grundy and C. A. B. Smith, Some Binary Games, The Mathematical Gazette, Vol. 28, No. 280, July 1944, pp. 96-103, in JSTOR
↑  E Staples, The tower of Hanoi problem with arbitrary start and end positions, ACM SIGACT News, Volume 18 Issue 3, April 1987, pp. 61–64
↑  Dejan Živković, Hamiltonianicity of the Towers of Hanoi problem, Publikacije Elektrotehničkog fakulteta. Serija Matematika, No. 17, 2006, pp. 31-37, in JSTOR
↑  Henry Ernest Dudeney, The Canterbury Puzzles, 1907, הפרק The Reve's Puzzle, בפרויקט גוטנברג
↑  B. M. Stewart, Advanced Problem 3918, American Mathematical Monthly, Vol. 46, No. 6, June-July 1939, p. 363, in JSTOR
↑  J. S. Frame, B. M. Stewart, Solution to Advanced Problem 3918, American Mathematical Monthly, Vol. 48, No. 3, March 1941, pp. 216-219, in JSTOR
↑  Stockmeyer, Paul (1994). "Variations on the Four-Post Tower of Hanoi Puzzle" (Postscript). Congressus Numerantium. 102: 3–12.
Paul Isihara and Doeke Buursma, Multi-Peg Tower of Hanoi, The College Mathematics Journal, Vol. 44, No. 2, March 2013, pp. 110-116, in JSTOR
↑  Bousch, T. (2014). "La quatrieme tour de Hanoi" (PDF). Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 21: 895–912. doi:10.36045/bbms/1420071861. אורכב מ-המקור (PDF) ב-2017-09-21.
↑  Prasad Vithal Chaugule (2015). "A Recursive Solution to Bicolor Towers of Hanoi Problem" (PDF). Recreational Mathematics Magazine (4): 37–48. ISSN 2182-1976.
↑  מגדלי האנוי מגנטיים, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי
↑  Uri Levy, The Magnetic Tower of Hanoi, arXiv, 9 March 2010
| --- | --- |
ערך מומלץ: 
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NKC: ph1060364 
אנימציה של פתרון איטרטיבי למגדל בן 6 דיסקיות



משולש שרפינסקי שמקביל לגרף של 7 דיסקיות


מצב התחלתי של מגדלי האנוי בשני צבעים (n=4)
מצב הסיום של מגדלי האנוי בשני צבעים (n=4)
מצב התחלתי של מגדלי האנוי מגנטיים
מצב סיום של מגדלי האנוי מגנטיים
הימין האלטרנטיבי

משתתפי עצרת איחוד הימין האמריקאי בשארלוטסוויל, אוגוסט 2017
בפוליטיקה של ארצות הברית, הימין האלטרנטיבי (באנגלית: Alternative Right), הידוע בכינוי המקוצר אלט-רייט (Alt-right), היא תנועה אידאולוגית ימנית רדיקלית הדוחה את תפיסות הזרם השמרני המרכזי ותומכת בלאומנות לבנה, גזענות ואנטישמיות. פעילות התנועה מאופיינת בשימוש רב במדיה חברתית.
באוגוסט 2017, התנועה הייתה מעורבת בעצרת איחוד הימין בשארלוטסוויל.
רקע היסטורי

תנועת הימין האלטרנטיבי אינה קבוצה אחידה ומאורגנת ולא ניתן להצביע על מנהיג או מייסד מסוים[דרוש מקור]. אולם, בעיני רבים ג'ארד טיילור, המייסד של האתר הגזעני "אמריקן רנסאנס" (American Renaissance), ומחבר הספר "זהות לבנה: מודעות גזע במאה ה-21" נחשב לאב האידאולוגי של תנועת האלט-רייט. הוגה המושג "אלט-רייט" הוא ריצ'רד ספנסר, הוגה דעות המזוהה עם ארגוני עליונות לבנה, שנחשב בעיני רבים למייסד של תנועת ה"אלט-רייט" בזמן שערך את מגזין 'טאקי' (Taki Magazine) ולמנהיג הבולט שלה. ב-2010 ייסד ספנסר את האתר AlternativeRight.com, שהפך לשופר מרכזי של התנועה. התנועה הורכבה אז מאסופה של קבוצות שהתנגדו בצורה זו או אחרת לקונצנזוס הפוליטי בארצות הברית, הן הרפובליקני והן הדמוקרטי. בהמשך הצטרפו קבוצות נוספות שנטייתן העיקרית הייתה אנטי-פמיניזם, התנגדות לנאו-שמרנות, אנטי גלובליזציה, ריאקציונריות חדשה ועמדות פרו-רוסיות.
התמיכה בטראמפ

הימין האלטרנטיבי החל לקבל תשומת לב רבה מצד התקשורת במהלך הקמפיין של דונלד טראמפ ב-2015-2016. טראמפ קיבל תמיכה רבה מפעילי טוויטר, פייסבוק ויוצרי ממים שהציפו את הרשתות החברתיות בשיח חיובי אודותיו. הפעילים אלו החלו לזהות את עצמם כאלט-רייט, אך לא תמיד קישרו את עצמם לתנועה של ריצ'רד ספנסר. מילו יאנפולוס למשל, עיתונאי הומוסקסואל קתולי, ששימש עורך של אתר החדשות ברייטברט, טען שהוא תומך במטרות רבות של התנועה והגדיר אותה כתנועה של אנשים צעירים שנעים להיות איתם, ממגוון של רקעים אתניים, שמשתמשים בהומור כדי להעביר מסרים נגד הממסד. הוא גינה את החלקים הגזעניים של התנועה ואמר שהם מיעוט בה ושהתנועה איננה בעד 'עליונות לבנה', אלא בעד 'עליונות מערבית'. לטענתו, תנועת האלט-רייט כינסה בתוכה קבוצות מגוונות: כאלו שהתנגדו להגירה בלתי חוקית לארצות הברית, מתנגדי האסלאם הקיצוני, אנשי מסיבת התה, תומכי ישראל, מתנגדי הצנזורה בקמפוסים בארצות הברית, ליברטריאניים וליברלים קלאסיים. החל מ-2016 הסמל האינטרנטי המרכזי של התנועה הוא 'פפה הצפרדע' (Pepe the frog) שבמקור לא היה קשור לתנועה.
ביקורת כנגד בבחירות 2016

בתקופת הבחירות הכלליות ב-2016 בארצות הברית, האלט-רייט הואשם על ידי רבים בגזענות ותמיכה בעליונות לבנה. הילרי קלינטון, המועמדת הדמוקרטית שהתמודדה מול טראמפ, ביקרה את טראמפ על שניהל קמפיין גזעני: "אנו חיים באווירה פוליטית טעונה. באופן גס וכללי, אנחנו יכולים לשים חצי מתומכי טראמפ במה שאני מכנה: 'סלסלת הנתעבים' (Basket of deplorables): הגזענים, הסקסיסטיים, ההומפוביים, שונאי הזרים, איסלאמפוביים, מה שתרצו. ולצערנו, יש אנשים כאלו, והוא רומם אותם". הזיהוי של מחצית מתומכי טראמפ עם גורמים גזעניים, הוביל גורמים בתקשורת האמריקאית לזהות את תנועת האלט-רייט שתמכה בטראמפ כתנועה גזענית. אתר החדשות ברייטבארט הואשם בכך שהוא מקדם את האג'נדה של פעילי נאו-נאציזם ועליונות לבנה וסטיב באנון, עורכו הראשי, הואשם שהוא "הברון" של תנועת האלט-רייט ובעל נטיות אנטישמיות. לאחר שהפך למנהל הקמפיין של טראמפ, אמרה הילרי קלינטון: "האיחוד דה פקטו בין ברייטבארט לקמפיין של טראמפ מייצג הישג יוצא דופן אלט רייט". חיזוק נוסף לתחושות אלו התקבל כאשר חשבון הטוויטר של מילו יאנופולוס, עורך וכתב באתר, הושעה לצמיתות לאחר שהואשם על ידי מנהלי האתר בעידוד הסתה נגד שחקנית הקולנוע האפרו-אמריקאית, לזלי ג'ונס.
על ביקורת זו הגיבו עורכים ברייטבארט בדחייה. ג'ואל פולאק ומילו יאנפולוס, הגנו על באנון ועל יחסו ליהודים והאשימו את המבקרים ברדיפה ממניעים פוליטיים וציניים. יאנפולוס עצמו אמר: "בעיתונות מאשימים את האלט-רייט כתנועה הומפובית וגזענית, אך מתעקשים להכתיר אותי, יהודי הומוסקסואל שלא סותם את הפה לגבי בני הזוג השחורים שלו, כמנהיג של התנועה. משהו לא ממש מסתדר כאן".
לאחר הבחירות לנשיאות ב-2016

לאחר הבחירות בארצות הברית נוצר פיצול בתנועת האלט-רייט, כאשר התנערו ממנה ומהתיוג שלה גורמים שראו את עצמם כחלק ממנה בעבר. פול ג'וזף ווטסון (Paul Joseph Watson), יוטיובר, שדרן רדיו ודמות מרכזית שתמכה בטראמפ בתקופת הבחירות בטוויטר, התנער מהקשר לאלט-רייט ומהאלמנטים הגזעניים שנקשרו לתנועה וטען שיש להפריד בין הימין החדש לאלט-רייט. לטענתו, הימין החדש הוא שעזר לטראמפ לנצח בבחירות ולא החלקים הגזעניים של אלט-רייט. באופן דומה, מיילו ינופולוס, כתב אחרי הבחירות שהתנועה 'מתה' ושכל מה שנותר בה הם כעת ניאו נאציים. הוא האשים את התקשורת, שלטענתו מיתגה את התנועה כתנועה גזענית וגרמה בכך לנהירה בפועל של גזענים לתוכה. לגבי הסמל 'פפה הצפרדע', יאנפולוס טען שהסמל הצליח להימלט מההגדרה המחודשת של האלט-רייט ועדיין נשמר כסמל למרדנות והתנגדות חיובית כלפי השמאל הפרוגרסיבי.
ראו גם

סטיב באנון
חדשות ברייטברט
מיילו ינופולוס
הדיילי סטורמר
הערות שוליים

↑  Jason Wilson, 'The races are not equal': meet the alt-right leader in Clinton's campaign ad, the Guardian, ‏2016-08-26 (באנגלית)
Gray, Rosie (2017-08-13). "The Alt-Right's Rebranding Effort Has Failed". The Atlantic (באנגלית אמריקאית). נבדק ב-2018-06-17.
חסידי עליונות הגזע הלבן בארה"ב מתגייסים למען טראמפ, באתר גלובס, 12 בינואר 2016
↑  ADL, Richard Spencer: Five Things to Know
1 2  An Establishment Conservative’s Guide To The Alt-Right, Breitbart
↑  NYmag, How Internet Trolls Won the 2016 Presidential Election
↑  The New Yorker, How Alt-Right “Fellow-Traveller” Milo Yiannopoulos Cracked Up the Right
1 2 3  Milo yiannopoulos, Dangerous, Dangerous Books, 2017, עמ' 47-49
1 2  ריאיון בערוץ 4, Milo Yiannopoulos' fiery interview with Channel 4 News, ‏18.11.2016
1 2 3  ריאיון ב-CNBC, Milo Yiannopoulos: What The ‘Alt-Right’ Is Really About
↑  vox, Pepe the Frog was killed by his creator. But his alt-right legacy lives on.
↑  "Pepe the Frog branded a 'hate symbol'". BBC News (באנגלית בריטית). 2016-09-28. נבדק ב-2017-09-13.
↑  CNN, Clinton: Trump supporters in 'basket of deplorables...
↑  ADL, Stephen Bannon: Five Things to Know
↑  What is the alt-right? A refresher course on Steve Bannon's fringe brand of conservatism, LA times
↑  The Independent, Steve Bannon: the alt-right media baron who has the ear of the President-elect
↑  cnn, Trump aide's ex-wife claims he made anti-Semitic remarks
↑  Bloomberg, Milo Yiannopoulos Is the Pretty, Monstrous Face of the Alt - Right
↑  CNN, Joel Pollak: "Defamatory" To Call Breitbart A "White Nationalist Website"
↑  Pearce, Matt (2016-11-29). "The 'alt-right' splinters as supporters and critics agree it was white supremacy all along". Los Angeles Times (באנגלית אמריקאית). ISSN 0458-3035. נבדק ב-2017-09-14.
ניתוח עלות-תועלת

ניתוח עלות-תועלת (המכונה לעיתים ניתוח תועלת-עלות) הוא תהליך שיטתי להערכה כלכלית של יתרונות וחסרונות המאפיינים אלטרנטיבות שונות, המאפשר לבחון את סך העלויות הצפויות, סך ההכנסות הצפויות ומספר גורמים אחרים (כמו השפעות חיצוניות), כדי לבחור את האפשרות הכדאית ביותר.
בניתוח עלות-תועלת לרוב מדובר בשיקולים כספיים. לדוגמה, מנהל מכירות יכול להשוות את הוצאות הייצור והשיווק למכירות הצפויות עבור מוצר מסוים, ולהחליט לייצר מוצר זה אם ההכנסות הצפויות ישלמו חזרה את העלויות, כולל עלויות המימון. כך, ניתן להעריך את הכדאיות הכלכלית של המוצר. בנוסף, כאשר יש מספר אלטרנטיבות השיטה מאפשרת לבחור באלטרנטיבה הכדאית ביותר מביניהן.
ניתן להשתמש בערכים כספיים אחרים, פחות מוחשיים, כגון סיכון, אובדן מוניטין והיערכות אסטרטגית ארוכת טווח, במהלך ניתוח עלות-תועלת. לעיתים גורם מסוג זה יכול לעורר מחלוקות, כגון שיקולים של חיי אדם, איכות הסביבה וכו' המהווים נדבך משמעותי, למשל כאשר בוחנים תרופה חדשה או כביש חדש. לדוגמה, נוהל פר"ת להערכת פרויקטים תחבורתיים מתחשב בכדאיות ההקמה של פרויקט תחבורתי יבשתי בשיקולים של חיסכון בזמן הנוסעים, בטיחות המשתמשים ובהשפעה על זיהום האוויר.
הניתוח מתחשב גם בנוסחת ערך הזמן של כסף. לרוב מדובר בהיוון של הכנסות והוצאות צפויות לערך הנוכחי.
ראו גם

יעילות קלדור-היקס
יעילות פארטו
ערך נוכחי נקי
ניתוח סיכון-תועלת