קרל פרידריך גאוס
הישגיו של גאוס > אלגברה > מערכות אלגבריות מורחבות

גאוס תרם גם תרומה מסוימת לתאוריה של מבנים אלגבריים מתקדמים, וייתכן כי גילה בשנת 1819 את אלגברת הקווטרניונים, המיוחסת בדרך כלל לויליאם רואן המילטון (אשר גילה אותה ב-1843). באותה שנה הציג גאוס במאמר קצר בשם "סיבובי המרחב" את הסיבוב הכללי (של קו ישר דרך הראשית במרחב תלת-ממדי) בעזרת המטריצה האורתוגונלית:
{\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}.
כאשר a,b,c,d הם רביעיית מספרים שמקיימים  a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1. בדרך זו בנה גאוס שיטה לייצוג אלגברי של גאומטריית סיבובים תלת-ממדית. בהמשך המאמר ציין גאוס כי ההרכבה של שתי פעולות סיבוב כאלו (הכפלת המטריצות) מיוצגת על ידי מטריצה מאותו סוג, עם מקדמים  (a,b,c,d)\cdot (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(A,B,C,D) כאשר A,B,C,D הם ביטויים ביליניאריים מסוימים באותיות האחרות. הביטוי להכפלה של שתי רביעיות מספרים שקול למעשה לכלל הכפל של הקווטרניונים. גאוס ציין בהמשך המאמר את תכונת האי-קומוטטיביות של כפל קווטרניונים, בחן תכונות אריתמטיות שלהם, ודן בקשר בין קווטרניונים למשולשים ספיריים. במקום אחר בכתביו הוא הבחין בהתנהגות "קווטרניונית" בזוגות סדורים של מספרים מרוכבים, האנלוגית להתנהגות "המרוכבת" של זוגות מספרים ממשיים כפי שבאה לביטוי בזהות דיופנטוס (בכך הקדים במידה מסוימת את בניית קיילי-דיקסון). הוא הראה שחוקי הכפל של הקווטרניונים צומחים מתוך חוקי הכפל של מספרים מרוכבים באמצעות הזהות הבאה: (|u_{1}|^{2}+|v_{1}|^{2})\cdot (|u_{2}|^{2}+|v_{2}|^{2})=(|u_{1}u_{2}-v_{1}{\bar {v}}_{2}|)^{2}+(|u_{1}v_{2}+v_{1}{\bar {u}}_{2}|)^{2}, כאשר  u_{1},u_{2},v_{1},v_{2} הם מספרים מרוכבים, והקו העליון מסמל את הצמוד המרוכב.
אלו היו רעיונות מהפכניים הן מבחינה קונספטואלית והן מבחינה גאומטרית-אינטואיטיבית, שכן אף על פי שכללי הכפל של הקווטרניונים היו מובלעים כבר בזהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר מ-1748, גאוס הדגים את השימושיות שלהם בכך שעשה את הקישור הלא טריוויאלי בין אלגברה ארבע-ממדית לסיבובים תלת-ממדיים – זאת באמצעות פרמטריזציה של סיבובים דרך פונקציות טריגונומטריות של חצאי-זוויות הסיבוב (פרמטרי רודריגס). ייתכן כי גאוס התוודע בהדרגה לתיאור האלגברי של סיבובים מרחביים דרך עבודתו הנרחבת על טריגונומטריה כדורית ויישומיה באסטרונומיה, במסגרתה נאלץ לטפל בבעיות רבות המערבות סיבובים מרחביים. מבחינה קונספטואלית, מחקרים אלו, שלא התפרסמו בזמנו, מייצגים את ההתבוננות המעמיקה הראשונה בנושא העקביות של מערכות אלגבריות מורחבות.
גאוס הבין את חשיבותם של ממצאים אלה, וכתב במאמרו על הרחבת האריתמטיקה למספרים מרוכבים (מ-1831) כי "המחבר שמר לעצמו... את התשובה לשאלה מדוע היחסים בין הקואורדינטות שמציינות מרחבים מממד גבוה משניים לא ניתנים לטיפול כמותי במסגרת של אריתמטיקה אוניברסלית", והבטיח תשובה לשאלה במאמר עתידי, אך זה מעולם לא הופיע. במילים אחרות גאוס טען שלא תיתכן אלגברה (מעל הממשיים) של ווקטורים תלת-ממדיים במובן השגור של המושג "אלגברה". הרמן הנקל (Hermann Hankel) הוכיח לראשונה ב-1867 שכל מערכת מספרים היפר-מרוכבים לא יכולה לקיים את כל חוקי האלגברה, ובך אישש את הטענה של גאוס, שהוא עצמו מעולם לא סיפק לה הוכחה. בשל האופן המעורפל שבו ניסח גאוס את טענתו, היא הייתה נתונה לפרשנויות שונות מידי מתמטיקאים שבאו אחריו; מן ההקשר בו כתב הערה זאת - הרחבה שיטתית של האריתמטיקה ותכונותיה הבסיסיות אל המרוכבים - סבר ויירשטראס שתובנת המפתח של גאוס הייתה שכל מערכת מספרים תלת-ממדית (מספרים מהצורה  x+yi+zj) צריכה לכלול גם מחלקי אפס ולכן לא יכולה לקיים את כל חוקי האלגברה. לעומתו הציע ריכרד דדקינד השערה מעט מורכבת יותר, לפיה הטיעון של גאוס התבסס על עבודתו הקודמת על חלוקת המעגל. עם כל זאת, הייחוס של גילוי הקווטרניונים לגאוס שנוי במחלוקת כי לא ברור עד כמה בשלות מבחינה מתמטית פורמלית היו תוצאות אלו שלו; הוא מעולם לא טען כי גילה את הקווטרניונים, ובוודאי הוא לא פיתח את הנושא והפיץ אותו באופן אפקטיבי כמו המילטון בספרו הארוך "קווטרניונים" (1863).