פיתוח לפלס למולטיפולים אלקטרוסטטיים
המומנטים הראשונים בפיתוח המולטיפולי > הקוואדרופול

הקוואדרופול הוא המומנט השלישי בפיתוח למולטיפולים, והוא יכול להיות מיוצג בשני סוגים של אופנים- חד־ממדי (כמו הצגת הדיפול) הנקרא קוואדרופול ליניארי, או דו־ממדי שהוא קוואדרופול קלסי, כמתואר באיור. עבור שתי תצורות אלו ייווצר, הרחק מהן, פוטנציאל חשמלי שבו הסדר המוביל הוא המולטיפול השלישי. יחידות מומנט הקוואדרופול הן 
 \left[C\cdot {{m}^{2}}\right].
בקואורדינטות פולריות ניתן לבטא את הפוטנציאל החשמלי הנוצר (בנקודה רחוקה) למשל כתוצאה מאלמנט קוואדרופול ליניארי על ידי-
 {{V}_{L.quad}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {q{{L}^{2}}\left(3{{\cos }^{2}}\theta -1\right)}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}
ואפשר לראות שהפוטנציאל דועך כמו 
 {\frac {1}{{r}^{3}}},
לעומת 
 {\frac {1}{{r}^{2}}}
בדיפול ו- 
 {\frac {1}{r}}
במונופול.
גם כאן ניתן להכליל למקרה של מערך רציף (בעל אופי של קוואדרופול) עם התפלגות מטען 
 \rho \left({\vec {r'}}\right),
כך שתיאור הפוטנציאל החשמלי המרחבי במערכת צירים כדורית יהיה-
 {{V}_{qua}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}\iiint {\left(3{{\cos }^{2}}\theta -1\right)}{{{r}'}^{2}}\rho d{V}'
כך שאם נציב 
 {\begin{matrix}{{{r}'}^{2}}=x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}},&z'=\\\end{matrix}}{r}'\cos \theta 
מיד יתקבל הביטוי- 
 {{V}_{qua}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}\iiint {\left(3z{{'}^{2}}-\left(x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}}\right)\right)}\rho d{V}'={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}\left(3{{q}_{zz}}-tr\left(\mathbf {q} \right)\right)={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}\left(2{{q}_{zz}}-\left({{q}_{xx}}+{{q}_{yy}}\right)\right)
כאשר 
 \mathbf {q} =\left({\begin{matrix}{{q}_{xx}}&{{q}_{xy}}&{{q}_{xz}}\\{{q}_{xy}}&{{q}_{yy}}&{{q}_{yz}}\\{{q}_{xz}}&{{q}_{yz}}&{{q}_{zz}}\\\end{matrix}}\right)
ו- 
 {{q}_{xy}}=\iiint _{{V}'}{x'y'}\rho \left({\vec {r'}}\right)d{V}'.
לעיתים מתייחסים למומנט הקוואדרופול כגודל הסקלרי
 2{{q}_{zz}}-\left({{q}_{xx}}+{{q}_{yy}}\right)
המאפיין אותו, על אף שאין זה ייצוגו המדויק. כיוון שהקוואדרופול הוא טנזור מסדר שני, ניתן לתאר אותו בעזרת מטריצה דו־ממדית של 
 3\times 3
שמתוך 
 9
מרכיביה 
 6
הם בלתי תלויים, אך כמובן ניתן להצגה גם בכתיב טנזורי כאשר:
\left\{{\begin{aligned}&{\vec {r'}}\cdot {\hat {r}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{r{{'}_{i}}{{\hat {r}}_{i}}}\\&{\vec {r'}}\cdot {\vec {r'}}=r{{'}^{2}}\\\end{aligned}}\right.
ואז פוטנציאל מומנט הקוואדרופול יראה כך-
{\begin{aligned}&{{V}_{qua}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}\iiint {\left(3{{\left({\vec {r'}}\cdot {\hat {r}}\right)}^{2}}-r{{'}^{2}}\right)\rho \left({\vec {r'}}\right)d{V}'}\\&{\begin{matrix}{}&{}&{}&{}&={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}\\\end{matrix}}\iiint {\left(3\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{r{{'}_{i}}{{\hat {r}}_{i}}}\right)\left(\sum \limits _{j=1}^{3}{r{{'}_{j}}{{\hat {r}}_{j}}}\right)-r{{'}^{2}}\right)\rho \left({\vec {r'}}\right)d{V}'}\\&{\begin{matrix}{}&{}&{}&{}&={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}\\\end{matrix}}\sum \limits _{i,j=1}^{3}{{{\hat {r}}_{i}}{{\hat {r}}_{j}}\iiint {\left(3{{r}_{i}}'r{{'}_{j}}-r{{'}^{2}}{{\delta }_{ij}}\right)\rho \left({\vec {r'}}\right)d{V}'}}\\&\Rightarrow {{V}_{qua}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}}\sum \limits _{i,j=1}^{3}{{{\hat {r}}_{i}}{{\hat {r}}_{j}}}\iiint {{{\mathbf {Q} }_{ij}}\rho \left({\vec {r'}}\right)d{V}'}\\\end{aligned}}
כאשר 
 {\mathbf {Q} }=\left({\begin{matrix}2x{{'}^{2}}-y{{'}^{2}}-z{{'}^{2}}&3x'y'&3x'z'\\3x'y'&2y{{'}^{2}}-x{{'}^{2}}-z{{'}^{2}}&3y'z'\\3x'z'&3y'z'&2z{{'}^{2}}-x{{'}^{2}}-y{{'}^{2}}\\\end{matrix}}\right)
היא מטריצה חסרת עכבה המאפיינת את מומנט הקוואדרופול ולה 
 5 
רכיבים בלתי תלויים מתוך 
 9.
ממילא ניתן לראות כי כאשר נחשב את מינוס הגרדיאנט של הביטוי הנ"ל, נקבל את שלושת רכיביו של השדה החשמלי, בכיוונים 
 {\hat {r}}, 
 {\hat {\theta }}
ו- 
 {\hat {\varphi }}.