stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מספר שלם
פעולות חשבון בסיסיות במספרים שלמים > חיבור וחיסור

ניתן להרחיב את פעולת החיבור במספרים טבעיים למספרים שלמים באופן הבא:
חיבור של שני מספרים חיוביים שווה לפעולת החיבור הרגילה במספרים טבעיים.
חיבור של שני מספרים שליליים שווה לנגדי של חיבור הערכים המוחלטים של המספרים,  (-a)+(-b)=-(a+b).
חיבור של מספר חיובי ומספר שלילי שווה להפרש בין הערכים המוחלטים של המספרים וסימנו שווה לסימן המספר שהערך המוחלט שלו הוא הגדול מבין השניים,  a+(-b)=a-b כאשר  a>b, ו- a+(-b)=-(b+(-a))=-(b-a) כאשר  a<b.
פעולת החיבור סגורה בתוך המספרים השלמים, כלומר חיבור של שני מספרים שלמים הוא גם מספר שלם. ניתן להגדיר את הפעולה של חיסור מספר  a כחיבור של המספר הנגדי לו  -a. בשונה מהמספרים הטבעיים, פעולת החיסור סגורה אף היא במספרים השלמים, כלומר חיסור של שני מספרים שלמים הוא מספר שלם.
הטבלה הבאה מציגה את התכונות הבסיסיות של חיבור:
| תכונה |  | דוגמה |
| --- | --- | --- |
| סגירות |  a+b הוא מספר שלם |  |
| חילופיות |  a+b=b+a |  10=7+3=3+7=10 |
| אסוציאטיביות |  (a+b)+c=a+(b+c) |  1=2+(4+(-5))=(2+4)+(-5)=1 |
| קיום איבר יחידה |  a+0=a |  1+0=1 |
| קיום איבר הופכי |  a+(-a)=0 |  2+(-2)=0 |
פעולות חשבון בסיסיות במספרים שלמים > כפל וחילוק

פעולת הכפל במספרים טבעיים היא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 2 כפול 3 הוא הסכום  2+2+2=6. הרחבה של פעולת הכפל למספרים שלמים מתבצעת כך:
כפל מספר חיובי במספר חיובי היא פעולת הכפל הרגילה במספרים טבעיים.
כפל מספר שלילי במספר שלילי הוא מספר חיובי ששווה למכפלת הערכים המוחלטים של המספרים  (-a)\times (-b)=a\times b (כלומר משמיטים את סימן המינוס).
כפל מספר חיובי במספר שלילי הוא הנגדי של מכפלת הערכים המוחלטים של המספרים  a\times (-b)=(-a)\times b=-(a\times b) (כלומר אפשר להוציא את סימן המינוס מחוץ למכפלה).
הטבלה הבאה מציגה את התכונות הבסיסיות של הכפל:
| תכונה |  | דוגמה |
| --- | --- | --- |
| סגירות |  a\times b הוא מספר שלם |  |
| חילופיות |  a\times b=b\times a |  21=7\times 3=3\times 7=21 |
| אסוציאטיביות |  (a\times b)\times c=a\times (b\times c) |  -40=2\times (4\times (-5))=(2\times 4)\times (-5)=-40 |
| קיום איבר יחידה |  a\times 1=a |  2\times 1=2 |
| חוק הפילוג |  a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c) |  6=2\times ((-2)+5)=(2\times (-2))+(2\times 5)=6 |
| ללא מחלקי אפס | אם  a\times b=0 אז  a=0 או  b=0 (או שניהם) |  |
במספרים שלמים,  b מחלק את  c אם קיים מספר טבעי  a כך שמתקיים  a\times b=c. למשל, 6 מחלק את 18 משום ש- 3\times 6=18. כדי לציין ש- b מחלק את  c משתמשים בסימון  b|c, וכדי לציין ש- b לא מחלק את  c משתמשים בסימון  b\nmid c. פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 10 ב-3, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם.
פעולות חשבון בסיסיות במספרים שלמים > חזקה

בפעולת החזקה בצורתה הבסיסית, המעריך הוא מספר טבעי והיא מהווה קיצור של פעולת הכפל. כלומר -  a בחזקת  b היא המכפלה של  b גורמים השווים כולם לבסיס  a:  a^{b}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b}. כדי להרחיב את פעולת החזקה למספרים שלמים יש לשמור על חוקי החזקות הבסיסיים ובפרט:
וכן:
לכן נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 תמיד (ראו מכפלה ריקה) וחזקה שלילית בתור ההופכי לחזקה החיובית הנגדית. יוצא מן הכלל הוא הביטוי אפס בחזקת אפס שלרוב אינו מוגדר, או מוגדר כשווה ל-1. בנוסף, חזקות שליליות של 0 אינן מוגדרות, כי לא ניתן לחלק באפס. אולם, בשונה מהמספרים הטבעיים, המספרים השלמים אינם סגורים תחת פעולת החזקה (כיוון שתוצאת החזקה יכולה להיות שבר כאשר המעריך הוא מספר שלילי).
תכונות אלגבריות

בדומה למספרים הטבעיים, המספרים השלמים סגורים תחת פעולות החיבור והכפל. כלומר, חיבור של מספרים שלמים הוא מספר שלם וכפל של מספרים שלמים גם הוא מספר שלם. אבל, בעקבות הקיום של אפס והמספרים השליליים המספרים השלמים סגורים גם תחת פעולת החיסור בשונה מהמספרים הטבעיים.
המספרים השלמים אינם סגורים תחת פעולת החילוק שכן רק ל- 1 ו- -1 קיים מספר הופכי שלם ביחס לכפל והמספרים ההופכיים של שאר המספרים השלמים הם שברים (חוץ מאפס שלו לא קיים מספר הופכי ביחס לכפל).
הטבלה הבאה מסכמת את התכונות של פעולות החיבור והכפל במספרים שלמים:
|  | חיבור | כפל |
| --- | --- | --- |
| סגירות |  a+b הוא מספר שלם |  a\times b הוא מספר שלם |
| אסוציאטיביות |  a+(b+c)=(a+b)+c |  a\times (b\times c)=(a\times b)\times c |
| חילופיות |  a+b=b+a |  a\times b=b\times a |
| קיום איבר יחידה |  a+0=a |  a\times 1=a |
| קיום איבר הופכי |  a+(-a)=0 | האיברים ההפיכים היחידים הם  1 ו- -1 |
חוק הפילוג:  a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c) וגם  (a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)
| ללא מחלקי אפס |  | אם  a\times b=0 אז  a=0 או  b=0 (או שניהם) |
במונחים של אלגברה מופשטת ניתן לומר שקבוצת המספרים השלמים  \mathbb {Z}  יחד עם פעולת החיבור מהווים חבורה אבלית ציקלית, כיוון שכל מספר שונה מאפס ניתן לכתוב כסכום  1+1+1+\dots  או כ- -1-1-1-\dots . למעשה, קבוצת המספרים השלמים מהווה את החבורה הציקלית האינסופית היחידה – כל חבורה ציקלית אינסופית איזומורפית אליה.
מארבע התכונות הראשונות בטבלה למעלה נקבל שקבוצת המספרים השלמים  \mathbb {Z}  עם פעולת הכפל מהווה מונואיד חילופי (אבלי), וכיוון שלא לכל מספר שלם קיים מספר הופכי שלם נקבל שהמספרים השלמים תחת פעולת הכפל אינם חבורה.
מצירוף כל התכונות שצוינו בטבלה (מלבד התכונה האחרונה) נקבל שקבוצת המספרים השלמים  \mathbb {Z}  תחת פעולות החיבור והכפל מהווה חוג חילופי עם איבר יחידה – חוג המספרים השלמים. מבחינות רבות, המושג חוג הוא הפשטה אלגברית של המספרים השלמים.
מהתכונה שלא קיימים מחלקי אפס נקבל שחוג המספרים השלמים  \mathbb {Z}  הוא תחום שלמות. ומכך שלא קיימים איברים הפיכים ביחס לכפל – המספרים השלמים לא סגורים תחת חילוק, נקבל שחוג המספרים השלמים איננו שדה. השדה הקטן ביותר שמכיל את המספרים השלמים כתת-חוג הוא שדה המספרים הרציונליים. תהליך הבנייה של שדה המספרים הרציונליים מתוך חוג המספרים השלמים ניתן לחיקוי לכל תחום שלמות כדי ליצור את שדה השברים שלו. ובכיוון ההפוך, משדה מספרים  K ניתן לקבל את חוג השלמים של השדה  \ {\mathcal {O}}_{K}, שיחסו ל- K דומה לזה שבין חוג המספרים השלמים  \mathbb {Z}  לשדה המספרים הרציונליים  \mathbb {Q}  (ואמנם  ({\mathcal {O}})_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z} ).
אף על פי שהמספרים השלמים אינם סגורים תחת חילוק, ניתן לבצע בהם חלוקה עם שארית. כלומר, לכל  a\in \mathbb {Z}  ולכל  0\neq b\in \mathbb {Z} , קיימים  q,r\in \mathbb {Z}  כך ש- a=q\times b+r ו- 0\leq r<|b| (כאשר  |b| היא פונקציית הערך המוחלט). ולכן חוג המספרים השלמים  \mathbb {Z}  הוא חוג אוקלידי, וכיוון שכל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי נובע שגם קבוצת המספרים השלמים מהווה חוג שכזה, ומכיוון שכל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה נקבל שלכל מספר שלם קיים פירוק יחיד לגורמים שלמים אי-פריקים (במספרים השלמים הגדרת האי-פריקות והגדרת הראשוניות מתלכדות ולכן ניתן גם לומר שלכל מספר קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים).
בנייה פורמלית של המספרים השלמים

המספרים השלמים הם מערכת מספרים, שאותה ניתן לבנות מתוך המספרים הטבעיים בדרכים שונות, אחת מהן היא באמצעות שימוש בזוגות סדורים.
לאחר שנבנתה המערכת של המספרים הטבעיים עם פעולות החיבור והכפל שלהם, אפשר לחשוב על מספר שלם כאילו היה הפרש של שני מספרים טבעיים. באופן פורמלי יותר, מגדירים יחס שקילות על קבוצת הזוגות הסדורים  \mathbb {N} \times \mathbb {N} , כך:  (a,b)\sim (c,d) אם ורק אם  a+d=b+c. באופן לא פורמלי מחלקת השקילות של הזוג  (a,b), אותה מסמנים ב- [(a,b)], תייצג את ההפרש  a-b (ובכל מחלקה נמצאים כל הזוגות שההפרש ביניהם שווה).
נראה כי זהו באמת יחס שקילות:
רפלקסיביות:  a+b=b+a (כי חיבור במספרים טבעיים הוא חילופי ולכן  (a,b)\sim (a,b)).
סימטריות: אם  a+d=b+c אז  b+c=a+d (כי שוויון הוא סימטרי) ולכן אם  (a,b)\sim (c,d) אז  (c,d)\sim (a,b).
טרנזיטיביות: נניח כי  (a,b)\sim (c,d),(c,d)\sim (e,f) אז  a+d=b+c,c+f=d+e. נחבר את השוויונות ונקבל  a+d+c+f=b+c+d+e. נצמצם איברים זהים משני אגפי המשוואה, ונקבל  a+f=b+e, כלומר  (a,b)\sim (e,f).
כעת נגדיר את קבוצת המספרים השלמים  \mathbb {Z}  בתור קבוצת המנה של יחס השקילות. כלומר: כל מספר שלם הוא אוסף הזוגות הסדורים שמקיימים  (a,b)\sim (c,d) זה עם זה.
על קבוצה זו נגדיר פעולות של כפל וחיבור, תוך הסתמכות על הגדרתם בקבוצת המספרים הטבעיים:
ניתן להראות כי החיבור והכפל שהגדרנו נותרים מוגדרים היטב גם על קבוצת המנה - כלומר, שניתן לכפול ולחבר מחלקות שקילות באמצעות נציגים בלי חשיבות לבחירת הנציג.
כל מחלקת שקילות מכילה איבר מהצורה  (n,0) או מהצורה  (0,n) (כאשר  n\in \mathbb {N} ), את מחלקת השקילות  [(n,0)] נסמן ב- n, ואת מחלקת השקילות  [(0,n)] נסמן ב- -n, ואלו יהוו את המספרים השלמים (חוץ מאפס שיוגדר פעם אחת בלבד כ- [(0,0)], מכיוון ש- -0=0).
וכעת, בשונה מהמספרים הטבעיים, לכל מספר שלם קיים הופכי לחיבור, ההופכי לחיבור של  n הוא  -n (זאת מכיוון שמתקיים  n+(-n)=[(n,0)]+[(0,n)]=[(n,n)]\sim [(0,0)]=0).
וניתן להגדיר חיסור על ידי חיבור של ההופכי לחיבור, כלומר:
 a-b=a+(-b)=[(a,0)]+[(0,b)]=[(a,b)]=c (כאשר  c הוא הנציג של מחלקת השקילות  [(a,b)]), ולכן המספרים השלמים סגורים תחת חיסור בשונה מהמספרים הטבעיים.
סדר

קבוצת המספרים השלמים היא קבוצה סדורה ליניארית ללא חסם מלעיל או מלרע. הסדר של המספרים השלמים נתון על ידי  \dots -2<-1<0<1<2<3\dots , מספר יקרא חיובי אם הוא גדול ממש מאפס ושלילי אם הוא קטן ממש מאפס, אפס הוא המספר היחיד שאינו חיובי ואינו שלילי.
נגדיר את הסדר של המספרים כך שיכבד את פעולות החיבור והכפל כך:
אם  a<b וגם  c<d אז  a+c<b+d.
אם  a<b וגם  0<c אז  ac<bc.
מכאן שקבוצת המספרים השלמים עם הסדר שהוגדר לעיל היא שדה סדור.
המספרים השלמים הם החבורה האבלית היחידה הלא טריוויאלית (כלומר חבורה שמכילה לפחות שני איברים) בעלת סדר ליניארי שסדר האיברים החיוביים שלה הוא סדר טוב.
באמצעות הסדר ניתן להגדיר פונקציות חשובות:
פונקציית הסימן  \operatorname {sgn}(x) - מחזירה לכל מספר ממשי ערך המתאים לסימן שלו.
פונקציית הערך המוחלט  \operatorname {abs} (x), מסומנת גם ב- \left|x\right| - מחזירה לכל מספר את המרחק בינו לבין נקודת האפס על ציר המספרים. כלומר, אם המספר חיובי, הערך המוחלט שלו הוא הערך של המספר עצמו, ואם המספר שלילי ערכו המוחלט יהיה הערך של המספר הנגדי לו. ערכו המוחלט של 0 הוא 0.
הפונקציות משלימות אחת את השנייה, יחדיו הן מפרקות כל מספר  x לשני חלקים  x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|.
עוצמה

נראה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים השלמים לקבוצת המספרים הטבעיים, ולכן קבוצת המספרים השלמים היא בת מנייה, ועוצמתה שווה ל- \aleph _{0} (אָלֶף אֶפֶס).
את הפונקציה אנו יכולים להגדיר בשני אופנים, כיוון שאפשר להניח כי אפס הוא מספר טבעי או להניח שלא.
אם אפס נחשב למספר טבעי, אזי הפונקציה היא:
ואם לא, הפונקציה היא:
אלו הן פונקציות חד-חד ערכיות ועל בין קבוצת המספרים השלמים לקבוצת המספרים הטבעיים ולכן נקבל שקבוצת המספרים השלמים היא בת מנייה.
עוצמה > טיפוס סדר

מכיוון שטיפוס הסדר של קבוצת השלמים החיוביים (המספרים הטבעיים) הוא  \omega  ומכיוון שקבוצת השלמים השליליים דואלית (אנ') לקבוצת השלמים החיוביים (אם נתאים לכל מספר חיובי את הנגדי שלו, יחס הסדר מתהפך כלומר אם  x\geq y אז  -x\leq -y) נובע שטיפוס הסדר של קבוצת השלמים השליליים הוא  \omega ^{*} (יש המסמנים אותו ב- ^{*}\omega ), ולכן טיפוס הסדר של קבוצת המספרים השלמים הוא  \omega +\omega ^{*}.
שימושים

מספרים שלמים נמצאים בשימוש נרחב בחקר של אובייקטים שמטבעם אינם ניתנים לחלוקה או שתכונות הבעיה מונעות חלוקה של האובייקטים (לדוגמה, בעיות שעוסקות באנשים, בניינים או ספינות). ניתן להשתמש במספרים שליליים גם בבעיות כאלו - למשל, כאשר מתכננים עסקאות סחר, אפשר לציין מכירות עם מספרים חיוביים ורכישות עם מספרים שליליים. דוגמה נוספת, מספר קוונטי מגנטי בפיזיקה מבדיל בין האורביטלים האפשריים בתוך תת-קליפה אלקטרונית, ומשמש לחישוב הרכיב הזוויתי של וקטור האורביטל במרחב וערכו יכול לנוע במרווחים שלמים בטווח שבין  \{-\ell ..\ell \} כולל הערך אפס (כאשר  m_{\ell } הוא המספר הקוונטי הזוויתי).
על מנת לפתור בעיות שכאלו פותחו שיטות מתמטיות מיוחדות. בפרט, הפתרונות של משוואות אלגבריות נחקרים במסגרת משוואות דיופנטיות, ופתרונות בדידים/שלמים לבעיות אופטימיזציה נחקרים במסגרת תכנון ליניארי בשלמים ואופטימיזציה קומבינטורית.
עיגול לשלמים

ישנן בעיות מעשיות בהן יש צורך לעגל ערך ממשי למספר שלם, כלומר להחליף אותו במספר השלם קרוב ביותר (בכיוון זה או אחר). ישנן כמה דרכים שבהן ניתן לעגל ערך ממשי למספר שלם:
\lfloor x\rfloor  - פונקציית הערך השלם או פונקציית הרצפה (floor), מחזירה לכל מספר ממשי  x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- x,  \lfloor x\rfloor :=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\} (מעגלת כלפי מטה). לדוגמה  \lfloor 3.4\rfloor =3 ו- \lfloor -2.5\rfloor =-3.
\lceil x\rceil  - פונקציית התקרה (ceiling), מחזירה לכל מספר ממשי  x את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל- x,  \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\} (מעגלת כלפי מעלה). לדוגמה  \lceil 3.4\rceil =4 ו- \lceil -2.5\rceil =-2.
\operatorname {int} (x) - פונקציית קיטום, מחזירה לכל מספר ממשי  x את החלק השלם שלו לאחר קיטום של החלק השברי שלו. מתנהגת כמו פונקציית הרצפה עבור מספרים חיוביים, וכפונקציית התקרה בעבור מספרים שליליים. לדוגמה  \operatorname {int} (3.4)=3 ו- \operatorname {int} (-2.5)=-2.
\operatorname {nint} (x) - פונקציית השלם הקרוב ביותר, לעיתים רחוקות מסומנת גם ב- \lfloor x\rceil  או ב- [x] - מחזירה לכל מספר ממשי את המספר השלם הקרוב ביותר אליו, כאשר כל מספר שהחלק השברי שלו הוא חצי מעוגל למספר הזוגי הקרוב ביותר. לדוגמה  \operatorname {nint} (2.5)=2 ו- \operatorname {nint} (3.8)=4.
במדעי המחשב

מספר שלם הוא אחד מטיפוסי הנתונים הפרימיטיביים בשפות תכנות. הוא נתמך מבחינות רבות ישירות על ידי המעבד, על ידי פעולות חיבור, הוספת אחד, הכפלה ב-2 או חלוקה ב-2 ועל פי רוב גם כפל וחילוק של שני מספרים שלמים כלשהם. בשל כך הפעולות על משתנים מטיפוס זה הן יעילות ביותר.
מכיוון שגודל הזיכרון במחשב מוגבל, בכל ייצוג שנבחר לא נוכל להציג את כל המספרים השלמים, ולכן בזמן תכנון השפה או כתיבת מימוש לשפה (מהדר או מפרש) צריך להחליט מהו טווח הערכים הרצוי. ישנן כמה שיטות לבחירת הטווח שנבדלות זו מזו במהירות החישובים ובגודל הזיכרון הנדרש.
הבחירה הטבעית ביותר היא להשתמש בטווח המקסימלי הניתן לייצוג על ידי מילה במעבד הספציפי שבו מורצת התוכנית. בחירה כזאת משלבת תחום מספרים נרחב למדי יחד עם יעילות חישוב מקסימלית. עם זאת, הטווח עדיין מוגבל, וקיימת בעיה שהוא נעשה תלוי-מכונה - כלומר, תוכניות עלולות להתנהג שונה בהרצה על מחשבים שונים. אפשרות אחרת היא להגדיר מספר טיפוסים עבור מספר תחומים שונים, ולהשתמש בהם בהתאם לצורך. הגדרה זו עשויה לבוא יחד עם התאמה למכונה (כמו בשפות C או ++C) או על ידי הגדרה חד משמעית של הטווח עבור כל טיפוס (כמו בשפת ג'אווה). אפשרות שלישית היא להגדיר טיפוס יחיד בעל טווח לא חסום, ולייצג אותו בצורה האופטימלית ביותר על פי הערך הנוכחי שלו (כמו בשפת פייתון החל מגרסה 3.0).
מספרים טבעיים מיוצגים בזיכרון המחשב בייצוג בינארי פשוט. מספרים שליליים, לעומת זאת, מיוצגים בשיטת המשלים ל-2 או שיטת המשלים ל-1, ועקב כך החלוקה של המספרים השלמים במחשב היא בדרך כלל למספרים שליליים ומספרים א-שליליים בלבד, בשונה מהחלוקה ה"רגילה" של המספרים השלמים למספרים חיוביים, שליליים ואפס (למרות זאת, מחשב מסוגל לחשב האם מספר הוא חיובי ממש).
| גודל הזיכרון | גודל טווח הערכים |
| --- | --- |
1 בתים (8 סיביות): 127- עד 128
2 בתים (16 סיביות): 32,768- עד 32,767
4 בתים (32 סיביות): 2,147,483,648- עד 2,147,483,647
ראו גם

חוג המספרים השלמים
מערכות מספרים
מספרים חיוביים ושליליים
ארבע פעולות החשבון
לקריאה נוספת

Mendelson, Elliott, Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Publications, 1973, Dover Books on Mathematics, ISBN 978-0-486-45792-5
Warner, Seth, Modern Algebra, Dover Publications, 2012, Dover Books on Mathematics, ISBN 978-0-486-13709-4
מרה (הר)

| --- | --- |

מראה ההר מרה מהעיירה אוברוויל בזימנטל
 מידע כללי
 גובה:  2,087 מטר
 מדינה:  שווייץ 
 מיקום:  שווייץ שווייץ, גבול הקנטונים ברן ופריבורג
 רכס הרים:  האלפים הברניים
 אורך הרכס:  100 קילומטר
 קואורדינטות:  46°40′29.9″N 7°22′35.5″E﻿ / ﻿46.674972°N 7.376528°E﻿ / 46.674972; 7.376528
  (למפת שווייץ מוגדלת) ברן בזל ז'נבה ציריך לוגאנו לוזאן לוצרן סנט גאלן כור צרפת גרמניה איטליה אוסטריה ליכ.מרה(למפת שווייץ רגילה) ברן בזל ז'נבה ציריך לוגאנו לוזאן לוצרן סנט גאלן כור צרפת גרמניה איטליה אוסטריה ליכ.מרה
 
מרה (Märe) הוא הר ברכס האלפים הברניים המתנשא לגובה של 2,087 מטר, וממוקם בגבול הקנטונים ברן ופריבורג.
משמעות השם מרה בגרמנית הוא סוסה.
גאוגרפיה

מרה הוא ההר השני מדרום לעיר תון, והרביעי מצפון למעבר יאון (Jaun Pass), ברכס הקיצוני בצפון האלפים הברניים באזור המכונה גם טרום האלפים (Pre-Alps). הרכס מתחיל ליד העיר תון בהר גאנטריש (2,175), וממשיך לאורך עמק זימן דרך ההרים מרה, שאפארניש (2,107), וקייזראג (2,185), עד להר שאפברג (2,239) ליד אגם גרוייר (Lake of Gruyère) בשפלה השווייצרית, שם חוצה את הרכס מעבר יאון (המחבר את אזור גרוייר (district of Gruyère) שבשפלה השווייצרית עם עמק זימן (Simmental)), ומצידו הדרומי של המעבר ממשיך הרכס בהרים רודיגנשפיץ (2,124), דאן דה רות (2,236), דאן דה סאוויני (2,252), וניל נואר (2,389), ווניל קארה (2,197), ומסתיים בהרים רושה דה נה (2,042) ודאן דה ז'אמאן (1,879) שעל גדות אגם ז'נבה.
מצדו הצפון מזרחי ממוקם הר גאנטריש ומצידו הדרומי הר שאפארניש צדו המזרחי של ההר מתנשא מעל עמק זימן ולמרגלותיו העיירה אוברוויל בזימנטל (Oberwil im Simmental), צדו המערבי מתמזג אל תוך השפלה השווייצרית.
תיירות

ההר חסר ייחודיות ואינו מפורסם, אך ישנם מספר מסלולי הליכה רגליים העולים אל פסגתו ויורדים ממנה אל עמק זימן.
רוי אוונס

רוי קווינטין אכלין אוונס (באנגלית: 	Roy Quintin Echlin Evans; נולד ב-4 באוקטובר 1948) היה שחקן ליברפול שהתקדם בדרגי האימון במועדון עד למינויו כמאמן ראשי.
ביוגרפיה

אוונס שיחק במדי נבחרת אנגליה ברמת בתי הספר, והיה מגן מחליף בליברפול של שנות ה-60 וה-70. המאמן דאז ביל שאנקלי ראה באוונס משהו שונה, והציע לו לנסות קריירת אימון. אוונס פרש ממשחק הכדורגל בגיל 26, לאחר 11 הופעות בלבד במדי הקבוצה הראשונה, וקיבל את משרת מאמן קבוצת המילואים של ליברפול.
בכך החלה התקדמותו ההדרגתית של אוונס בצוות האימון של ליברפול, כאשר אוונס עבד בתחילה תחת שאנקלי, ואחריו בוב פייזלי וג'ו פייגן שקודמו בעצמם לתפקיד המאמן הראשי מעמדת עוזר המאמן. אוונס המשיך לעבוד כמאמן תחת קני דלגליש וגריים סונס, לפני שקיבל את המשרה בעצמו בשנת 1994, לאחר פרישתו של סונס.
עם אוונס כמאמן ראשי זכתה ליברפול בגביע הליגה ב-1995 כאשר סטיב מקמנמן, הכוכב העולה של אוונס, כבש את שני השערים בניצחון 2–1 מול בולטון וונדררס במשחק הגמר. עם זאת, 4 שנים של הישגים דלים, יחד עם שמועות על חוסר משמעת של השחקנים מחוץ למגרש, הובילו את המועדון למנות את המאמן הצרפתי ז'ראר הוייה כמאמן שני ב-1998. האוהדים והתקשורת כאחד לא התלהבו מהמינוי, ואכן לאחר מספר חודשים התפטר אוונס מתפקידו, אחרי 30 שנה בשורות ליברפול.
בשנים שלאחר פרישתו מליברפול לא עסק אוונס רבות בכדורגל, פרט לתפקידים קצרים בפולהאם וסווינדון טאון. ב-2004, כאשר חלוצה לשעבר של ליברפול, ג'ון טושק, קיבל את עמדת מאמן נבחרת ויילס, הסכים אוונס לשמש כעוזר המאמן תחתיו. אוונס גם חידש את קשריו עם ליברפול, וכיום משמש כפרשן במשחקים המועברים בשידור חי באתר הרשמי של המועדון.
רוי

ערך זה עוסק בסוג רוטב. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
| --- | --- |

 
 מאכלים
 סוג:  רוטב 
 מוצא:  צרפת 
 מרכיבים עיקריים:  שמן זית, פירורי לחם, שום, פלפל קאיין 
 
רוי (בצרפתית: Rouille, חלודה) הוא רוטב מסוג תחליב (אמולסיה) העשוי משמן זית, פירורי לחם, שום, זעפרן ופלפל צ'ילי. נהוג להגיש רוטב זה לליווי מנות דג, ומרקים - בעיקר בויאבז. הרוי אופייני מאוד למטבח הפרובנסיאלי.
ראו גם

איולי
ריקסי מרקוס

נבחרת הנשים של אוסטריה לאליפות העולם של 1937. מרקוס בשורה העליונה משמאל
ריקסי מרקוס (Rixi Markus)‏ (27 ביוני 1910 - 4 באפריל 1992) הייתה שחקנית ברידג' יהודית בריטית. כשחקנית נבחרת אנגליה ריקסי מרקוס זכתה בשבע אליפויות אירופה וארבע אליפויות עולם. היא הייתה אישה הראשונה שזכתה בדרגת רב אמן בינלאומי. לפני מלחמת העולם השנייה זכתה בשתי אליפויות אירופה ובאליפות עולם אחת כשחקנית נבחרת אוסטריה. 
.
ביוגרפיה

מרקוס נולדה כאריקה שרפשטיין למשפחה יהודית אוסטרית מגורה הומורה (כיום ברומניה).  
בשנת 1916 ברחה מרקוס יחד עם משפחתה לווינה שבאוסטריה עקב התקדמות הכוחות הרוסיים במלחמת העולם הראשונה. בשנת 1916 ברחה משפחתה לווינה בגלל התקדמות הצבא הרוסי.
בגיל 18 התחתנה עם סלומון מרקוס, סנדלר שגילו כפול מגילה. גם בעלה היה שחקן ברידג'.
עם כניסת גרמניה לאוסטריה בשנת 1938 ברחה ללונדון, שם השתקעה. היא ברחה ביחד עם הבת שלה כשהיא מרמה את השלטונות ביחס ליעד הנסיעה שלה. היא נסעה ברכבת דרך גרמניה ובלגיה ללונדון שם השתקעו הוריה בשנת 1936.


מרקוס הייתה ידועה כאחת משחקניות הברידג' הטובות ביותר. היא זכתה חמש פעמים באליפות העולם ומספר פעמים רב באליפות אירופה. היא כתבה ספרים ואף זכתה בתואר מהמלכה אליזבת השנייה על פועלה.
הישגים בברידג'

אלופת העולם לזוגות נשים בשנת 1937, 1962 ו-1974.
אלופת העולם לקבוצות מעורבות 1962
אלופת העולם לקבוצות נשים 1964
אלופת אירופה לנשים בשנים 1935, 1936, 1951, 1952, 1959, 1961, 1963, 1966 ו-1975.
ראו גם

אירינה לויטינה
בניטו גארוצו
גאייר הלגמו
ג'ורג'ו בלדונה
זיא מחמוד
טרנס ריס
פייטרו פורקה
פאול שטרן
לקריאה נוספת

כתבה בניו-יורק טיימס
הערות שוליים

↑  Patrick Jourdain, Rixi Markus, The English Bridge Union
↑  Patrick Jourdain, Rixi Markus, The English Bridge Union
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007274283705171  ISNI: 0000 0000 5603 7620  LCCN: n50040742  NTA: 072460792  VIAF: 62093046   WorldCat (עם VIAF): 62093046
רוי אוון וסט

רוי אוון וסט (באנגלית: Roy Owen West;‏ 27 באוקטובר 1868 –  29 בנובמבר 1958) היה פוליטיקאי אמריקאי, שכיהן כמזכיר הפנים של ארצות הברית בשנים 1928–1929 בממשלו של הנשיא קלווין קולידג'.
ביוגרפיה

רוי וסט נולד בג'ור'טאון, אילינוי, כבנם של הלן אנה יאפ ופליזנט וסט. הוא סיים את לימודיו באוניברסיטת דה פאו, וב-1890 התקבל ללשכת עורכי הדין של אילינוי. וסט שימש כעוזר התובע של מחוז קוק באילינוי, ולאחר מכן כתובע העירוני של שיקגו. ב-1898 הוא נבחר למועצת הביקורת של עיריית שיקגו.
וסט יצר ברית פוליטית הדוקה עם מושל אילינוי לעתיד, צ'ארלס דינין. בשנים 1924–1928 שימש וסט כמזכיר הוועדה הרפובליקנית הלאומית. ב-1928 מינה אותו הנשיא קלווין קולידג' כמזכיר הפנים של ארצות הברית, תפקיד בו הוא כיהן עד תום נשיאותו של קולידג'. לאחר תום כהונתו הוא שב לאילינוי. בשנים 1936–1940 הוא היה חבר מועצת החינוך המתודיסטית הלאומית. במלחמת העולם השנייה שירת וסט כקצין שימוע פדרלי לסרבני מצפון.
רוי וסט נפטר בשיקגו ב-29 בנובמבר 1958. הוא נטמן בבית הקברות רוזהיל שבעיר. על שמו נקראה ספריית רוי א. וסט שבאוניברסיטת דה פאו.
מרדקה 118

| --- | --- |

מרדקה 118 (פברואר 2023)
 מידע כללי
 סוג:  גורד שחקים 
 כתובת:  Kuala Lumpur City Centre 
 מיקום:  קואלה לומפור
 מדינה:  מלזיה מלזיה
 בעלים:  Permodalan Nasional Berhad 
 הקמה ובנייה
 תקופת הבנייה:  יולי 2014 – נובמבר 2022 (כ־8 שנים)
 תאריך פתיחה רשמי:  2023 
 אדריכל:  משרד פנדר קצאלידיס (אנ') בשיתוף עם RSP KL
 מידות
 גובה:  678.9 מטר
 קומות:  118 (כולל 5 מרתפים)
 קואורדינטות:  3°08′30″N 101°42′02″E﻿ / ﻿3.1416666666667°N 101.70055555556°E﻿ / 3.1416666666667; 101.70055555556
 merdeka118.com
  (למפת קואלה לומפור מוגדלת) מרדקה 118(למפת קואלה לומפור רגילה) מרדקה 118
 
מרדקה 118 (באנגלית: Merdeka 118) הוא גורד שחקים הממוקם בקואלה לומפור, מלזיה. גובהו 678.9 מטרים והוא בן 118 קומות. בזכות כך, הוא הבניין השני בגובהו בעולם.
שמו של הבניין, Merdeka (שפירושו 'עצמאות'), נוצר בהשראת קרבתו לשני אצטדיונים: אצטדיון מרדקה ואצטדיון נגרה. צריח הבניין הושלם בנובמבר 2021.
בנייתו הסתיימה בנובמבר 2022, והבניין הפך לגבוה ביותר במלזיה ובדרום־מזרח אסיה – עבר בגובהו את מגדל שאנגחאי (בגובה 632 מטרים) והוא הבניין והמבנה השני בגובהו בעולם. עלה גם על 451.9 המטרים של מגדלי פטרונס שהיו הגבוהים במלזיה, ועלה בגובהו על Landmark 81 (בגובה 461 מטרים) והוא הבניין הגבוה ביותר ב-ASEAN. קטף את התואר בזכות הצריח בגובה 160 מטרים שבראשו. הבניין הוא גם הראשון במלזיה שקיבל דירוג פלטינה משולש לפי התקן האמריקאי לבנייה ירוקה LEED.
ראו גם

גורדי השחקים הגבוהים בעולם
מגדל כיכר טריידווינדס
הערות שוליים

↑  Rani, Nur Amirah Abd (3 September 2021). "Merdeka 118 mercu tanda integrasi masa depan" Merdeka 118, landmark of future integration (in Malay). Berita Harian. Retrieved 1 December 2021.
↑  Ngui, Yantoultra (30 November 2021). "Malaysia completes Merdeka Tower cone". Bloomberg News. Retrieved 1 December 2021.
1 2  Rahim, Rahimy (30 November 2021). "PM: Completion of Merdeka 118 tower spire, the world's second-tallest building, a 'proud moment'". The Star. Retrieved 30 November 2021.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 528 מטר | 530 מטר | 530 מטר | 541.3 מטר | 554.5 מטר | 599 מטר | 601 מטר | 632 מטר | 678.9 מטר | 828 מטר |  {\begin{bmatrix}900\\800\\700\\600\\500\\400\\300\\200\\100\\0\end{bmatrix}} |
| צ'יינה זון | מרכז צ'ו טאי פוק בינהאי טיינג'ין | המרכז הפיננסי CTF | מגדל החירות | מגדל העולם לוטה | מרכז פיננסי פינג אן | אבראג' אל-בית | מגדל שנגחאי | מרדקה 118 | בורג' ח'ליפה | שם |
| הרפובליקה העממית של סין בייג'ינג | הרפובליקה העממית של סין טיינג'ין | הרפובליקה העממית של סין גואנגג'ואו | ארצות הברית ניו יורק | קוריאה הדרומית סיאול | הרפובליקה העממית של סין שנג'ן | ערב הסעודית מכה | הרפובליקה העממית של סין שאנגחאי | מלזיה קואלה לומפור | איחוד האמירויות הערביות דובאי | מיקום |
עדכון נתונים: 2023
רוזאריו סלזר

| --- | --- |

רוזאריו סלזר (שלי מוריסון)
 תוכנית טלוויזיה:  "ויל וגרייס"
 הופעה ראשונה:  הפרק "Object of My Rejection", פרק 22, עונה 1
 הופעה אחרונה:  הפרק "The Finale", פרק 23, עונה 8
 מספר הופעות:  64 פרקים
 יוצרים:  דייוויד כהן מקס מוצ'ניק
 גילום הדמות:  שלי מוריסון
 מידע
 כינויים:  רוזי, רו-רו
 מקום לידה:  אל סלוודור אל סלוודור
 מקצוע:  עוזרת בית
 אזרחות:  ארצות הברית אמריקאית
 דמויות קשורות
 משפחה:  ג'ק מק'פרלנד (בעלה לשעבר)
רוזאריו אינז קונסואלו יולנדה סלזר (לשעבר: מק'פרלנד) היא דמות בדיונית מתוך הסיטקום האמריקאי של רשת NBC "ויל וגרייס", בגילומה של השחקנית שלי מוריסון. היא משמשת בתפקיד עוזרת הבית של קארן, ובדרך כלל נראית כשהיא לובשת מעיל עור על גבי המדים של העוזרת שלה. לרוזאריו יש חיבה מיוחדת לכריכים של סאבוויי.
במקור, דמותה אמורה הייתה להופיע בפרק אחד בלבד, אולם בשל הפופולריות הרבה שלה היא המשיכה בהופעות אורח בסדרה, עד שלבסוף הפכה לדמות חצי-קבועה: שלי מוריסון הייתה שחקנית אורחת במהלך שתי העונות הראשונות של הסדרה, אבל החל מהעונה השלישית ועד לסיום הסדרה, היא מופיעה ברשימת צוות השחקנים הראשי של הסדרה (בפרקים שבהם היא מופיעה).