השערת פואנקרה
הערות שוליים

↑  Poincaré Conjecture, באתר מכון קליי למתמטיקה, הסבר קצר עם איור, וקישורים למידע מפורט יותר (באנגלית)
↑  Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture a Awarded to Dr. Grigoriy Perelman, Clay Mathematics Institute, March 18, 2010
↑  עמ' 4 ב-Structure theory of manifolds
↑  ראו נספח D ב-A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces
↑  זהו תיאור מודרני של מושג ההומולוגיה של מרחב טופולוגי. אצל פואנקרה המושג היה מעט שונה
↑  ראו A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces
↑  ראו On the History of Differentiable Manifolds
↑  algebraic topology עמ' 130-131
↑  L’émergence de la notion de groupe d’homologie
↑  A (Brief) History of Homotopy Theory
↑  ראו on the homotopy type of manifolds
↑  A Brief History of Morse Homology
↑  Whitehead, J. H. C. (1934), "Certain theorems about three-dimensional manifolds (I)", Quarterly Journal of Mathematics, 5 (1):
↑  Whitehead, J. H. C. (1935), "A certain open manifold whose group is unity"
↑  Newman, William (2010). "14. Max Newman - Mathematician, Codebreaker, and Computer Pioneer". In Copeland, B. Jack (ed.). Colossus The Secrets of Bletchley Park's Codebreaking Computers
↑  Szpiro, George (July 29, 2008). Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Plume. ISBN 978-0-452-28964-2.
↑  Bing, R. H. (1958). "Necessary and sufficient conditions that a 3-manifold be S3". Annals of Mathematics. Second Series. 68
↑  Moise, Edwin E. (1952), "Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung", Annals of Mathematics, Second Series, 56: 96–114, doi:10.2307/1969769, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969769, MR 0048805
↑  פורסם ב-1971 - משפט 9 ב- Some Theorems on Topological Manifolds
↑  René Thom, Quelques propriétés globales des variétés différentiables, Comment. Math. Helv. 28, (1954).
1 2 3 4 5 6  רשימת זוכי מדליית פילדס
↑  Generalized Poincare's Conjecture in Dimensions Greater Than Four
↑  סטלינג הוכיח לממד גדול מ-6:  Stallings, John (1960). "Polyhedral homotopy spheres". Bulletin of the American Mathematical Society. 66: 485–488. doi:10.1090/S0002-9904-1960-10511-3. זימן הרחיב את ההוכחה לממדים גדולים מ 4: Zeeman, Erik Christopher (1962). "The Poincaré conjecture for n greater than or equal to 5". Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961). Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall: 198–204. MR 0140113.
↑  Newman, M. H. A. (1966). "The Engulfing Theorem for Topological Manifolds". Annals of Mathematics. (2). 84 (3): 555–571. doi:10.2307/1970460. MR 0203708.
↑  David A. Edwards, "The Structure of Superspace", in "Studies in Topology", Academic Press, 1975, pdf
↑  A. Tuzhilin, "Who Invented the Gromov–Hausdorff Distance? (2016)", arXiv
↑  Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes, Textes Mathématiques [Mathematical Texts], vol. 1, Paris: CEDIC, ISBN 2-7124-0714-8, MR 0682063
↑  כך על פי מורו של פרלמן בתיכון סרגי רוקשין כאן
↑  כך על פי הכתבות כאן וכאן
↑  הודעה לתקשורת של מכון קליי המבשרת על זכיית פרלמן בפרס וסוקרת את הבעיה ופתרונה
↑  למשל מכון קליי
↑  כתבה על פרלמן בה מראינים חבריו
↑  A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow
↑  Manifold Destiny
↑  מכתב איום בתביעה שכתב יאו לניו-ירקר
↑  רשימת מכתבי התמיחה באתר של יאו
↑  Hamilton-Perelman’s Proof of the Poincar´e Conjecture and the Geometrization Conjecture
↑  ההודעה לתקשורת על זכיתו של פרלמן במדליית פילדס
↑  ראו כאן
↑  Perelman Turns Down Millennium Prize | Not Even Wrong (באנגלית אמריקאית)
↑  למשל כאן
↑  למשל כאן
↑  למשל  ו-
↑  ראו דוגמה דיון בנושא בספר "על תורת היחסות הפרטית והכללית"  של אלברט איינשטיין
| בעיות המילניום של מכון קליי |
| --- | --- | --- |
| הבעיות | השערת בירץ' וסווינרטון-דייר • השערת רימן • השערת פואנקרה (נפתרה) • השערת הודג' • משוואות נאוויה-סטוקס • P=NP • תורות יאנג-מילס |  |
| פותרים | גריגורי פרלמן (השערת פואנקרה) |  |
23 הבעיות של הילברט • בעיות לנדאו
| טופולוגיה גאומטרית ודיפרנציאלית |
| --- | --- | --- |
| יריעות | אטלס, מפה, פונקציית מעבר, יריעה עם שפה, אגד וקטורי, מרחב כיסוי |  |
| יריעות טופולוגיות | סכום קשיר, המחלקה היסודית, דואליות פואנקרה, מעלה של העתקה, אינדקס חיתוך, אוריינטציה, קובורדיזם, השערת פואנקרה |  |
| יריעות חלקות | יריעות חלקות |  |
| אובייקטים על יריעות חלקות | שדה וקטורי, שדה קווקטורי, שדה פסבדו-וקטורי, תבנית דיפרנציאלית, מטריקה רימנית, תבנית סימפלקטית, מבנה מרוכב, מבנה כמעט-מרוכב, טנזור, צפיפות |  |
| אגדים | האגד ה(קו-)משיק, האגד ה(קו-)נורמלי, קשורית, עקמומיות, מערכת מקומית |  |
| טופולוגיה דיפרנציאלית | דיפרנציאל, דיפאומורפיזם, אימרסיה, סובמרסיה, אינדקס  של שדה וקטורי, נקודה רגולרית, ערך רגולרי, הלמה של סארד, טרנסוורסליות, תורת מורס, קומפלקס דה-ראם, משפט עטיה זינגר, מבנים חלקים אקזוטיים |  |
| גאומטריה רימנית | יריעה רימנית,  קו גאודזי, עקמומיות, משפט גאוס-בונה, פסאודוספירה, יריעה היפרבולית, משפט הודג' |  |
| גאומטריה סימפלקטית ומרוכבת | יריעה סימפלקטית, המילטוניאן, שדה המילטוניאני, תת-יריעה לגרנז'ית, תת-יריעה קואיזוטרופית, תת-יריעה איזוטרופית,  השערות ארנולד, משפט אי-הדחיסות של גרומוב, תורת פלויר,  יריעת קלר, עקום פסבדו-הולומורפי, האינווריאנטים של גרומוב וויטן, הומולוגיה קוונטית,  תורת הודג' |  |
| טופולוגית ממד נמוך | טופולוגית ממד נמוך |  |
| תורת הקשרים | קשר, שזר, צמה, סבך |  |
| משטחים | גנוס, משטח רימן, זוג מכנסיים, תורת השדה הטופולוגית, תורת השדה הקונפורמית |  |
|  ק  |  ק  |  |
| דוגמאות | ספירה, טורוס, טבעת מביוס, בקבוק קליין, מרחב פרויקטיבי .K3, ספירות אקזוטיות |  |
 נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית  נושאים בגאומטריה:  גאומטריה אוקלידית • גאומטריה דיפרנציאלית וטופולוגיה גאומטרית • גאומטריה אלגברית 
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007559245005171  LCCN: sh2007003945  NDL: 01115553 
אנרי פואנקרה - מאבות הטופולוגיה האלגברית, ניסח את ההשערה בתחילת המאה ה-20
מודל תלת־ממדי של עשרימון משוכלל. אחת ההגדרות של ספירת פואנקרה היא "אוסף כל העשרימונים משוכללים בעלי אותו מרכז וקוטר במרחב". ספירת פואנקרה היא דוגמה נגדית לגרסה מוקדמת של ההשערה, והיא זאת שהובילה את פואנקרה לניסוח השערה בגרסתה הנוכחית.
פליקס האוסדורף - הגדיר את המושג המודרני של מרחב טופולוגי בעשור השני של המאה ה-20. הגדיר גם את מרחק האוסדורף שהיה, לאחר שנים, הבסיס של אחד הכלים בהוכחת השערת פואנקרה
מרסטון מורס - הניח ב-1929 את היסודות לתורת מורס. תורה זאת מהווה כלי מרכזי במחקר של יריעות חלקות. רוב ההוכחות של הגרסאות השונות של השערת פואנקרה התבססו על תורת מורס בצורה זו או אחרת.
אלכסנדר אלכסנדרוב - הגדיר ב-1948 את מרחבי אלכסנדרוב שבדיעבד התבררו כבעלי תפקיד מכריע בהוכחת השערת פואנקרה
איור המדגים את ההתחלה של בנית יריעת וייטהד.
אדוין מויס - הוכיח, ב-1952, שעל יריעה טופולוגית תלת־ממדית יש מבנה חלק יחיד. מכאן (שבממד 3) אין הבדל בין השערת פואנקרה ליריעות חלקות וליריעות טופולוגיות. ההוכחה של השערת פואנקרה השתמשה במשפט זה
דוגמה לקו-בורדיזם בין שני עקומים: משמאל איחוד זר של 2 מעגלים, מימין מעגל 1. קו-בורדיזם זה נקרא זוג מכנסיים
רנה תום, מאבות תורת הקו-בורדיזם. מיין, בשנת 1954, את כל היריעות עד כדי קו-בורדיזם
ג'ון מילנור, גילה, ב-1956, את הספירות האקזוטיות בעת שניסה להכריע את ההשערה
סטפן סמייל, הוכיח, בשנת 1961, את ההשערה עבור ממדים הגבוהים מ-4
מייקל פרידמן, הוכיח, בשנת 1982, את ההשערה עבור ממד 4
מיכאיל גרומוב, מגדולי הגאומטריקאים בתקופתו. בין היתר, חקר את המרחב המטרי של המרחבים המטריים. הוכיח בשנת 1981 את משפט הקומפקטיות של גרומוב. בדיעבד התברר כי למשפט זה תפקיד חשוב בהוכחת השערת פואנקרה
ויליאם ת'ורסטון, ניסח בשנת 1982, את השערת הגאומטריזציה ממנה נובעת השערת פואנקרה
ריצ'רד המילטון, פיתח את זרימת המילטון-ריצ'י בשנות ה-80 והגה אסטרטגיה להוכחת השערת פואנקרה, המבוססת על זרימה זו.
איור המדגים איך זרימת המילטון-ריצ'י הופכת מטריקה רימנית לא סימטרית על הספירה למטריקה הרימנית הסטנדרטית (והסימטרית) על הספירה
גריגורי פרלמן, הוכיח את ההשערה בתחילת המאה ה-21

מדליית פילדס, אחד הפרסים היוקרתיים במתמטיקה. מספר מתמטיקאים זכו במדליה זאת על התקדמותם לעבר הוכחת השערת פואנקרה. בשנת 2006 זכה פרלמן בפרס זה על הוכחתו אולם סירב לקבלו.
קטגוריות של אובייקטים מתחומים שונים בגאומטריה ופונקטורים שוכחים ביניהם
סקיצה דו־ממדית של מרחב-זמן 4-ממדי. לפי מודלים פשטניים, מרחב-זמן דומה לחרוט 4-ממדי שבסיסו הוא ספירה תלת-ממדית.