stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
הלוח העברי
החודש

החודש העברי מבוסס על מחזור שינוי מופע הירח, ממולד הירח, עבור במילואו, וכלה במולד הבא. האופן שבו נראה הירח לצופה מכדור הארץ תלוי במיקומו של הירח ביחס לשמש, במיקומו ביחס לכדור הארץ ובמיקום שניהם ביחס לשמש. משך הזמן בין מולד ירח אחד למשנהו נקרא "החודש הסינודי", ומשכו נובע הן מסיבוב הירח סביב כדור הארץ, והן מסיבוב כדור הארץ סביב השמש. משך החודש הסינודי אינו קבוע, ובזמננו אורכו הממוצע הוא 29.5305888531 ימים (29 ימים, 12 שעות, 44 דקות, ו-2.9 שניות בקירוב).
חודש סינודי מסוים עשוי להיות ארוך מהממוצע ב-7 שעות ו-12 דקות לכל היותר או קצר מהממוצע ב-6 שעות ורבע לכל היותר (אורכו בין 29.27 ימים ל-29.83 ימים), וזאת משום שמסלוליהם של כדור הארץ סביב השמש ושל הירח סביב כדור הארץ אינם מעגליים, אלא אליפטיים, ועל כן, בהתאם לחוקי קפלר, מהירות התנועה שלהם אינה קבועה. בטווח שנים גדול, האורך הממוצע של החודש הסינודי כשהוא נמדד ביממות ארציות מתקצר בשברירי שניות, היות שאורך יממה על פני כדור הארץ מתארך כתוצאה מפעולת כוחות הגאות והשפל. בזמן קביעת הלוח (שנת ד'קי"ט – 359) היה החודש הסינודי הממוצע 29.5305934241163 (לפי חישוב התארכות היממה של יאן מיאוס).
כיוון שמספר הימים בחודש חייב להיות שלם, נקבע שהחודש העברי יכיל 29 ימים או 30 ימים. חודש שאורכו 29 ימים נקרא "חודש חסר", וחודש שאורכו 30 ימים נקרא "חודש מלא". אופן הקביעה האם חודש הוא חסר או מלא שונה בלוח העברי שעל פי הראייה מאשר בלוח העברי הקבוע הנהוג בימינו. בלוח על פי הראייה, אורך החודש היה נקבע בסופו של החודש על פי השאלה האם בלילה של היום השלושים לחודש – בתום היום ה-29 לחודש – כבר נראה הירח של החודש הבא, והגיעו עדים על כך. בלוח הקבוע, לעומת זאת, נקבע אורך החודש על פי תבנית שנקבעה מראש, חודש מלא וחודש חסר לסירוגין. שני חודשים יוצאי דופן הם חשוון וכסלו, חודשים אלו הם בעלי אורך משתנה, לעיתים שניהם מלאים, לעיתים שניהם חסרים ולעיתים חשוון חסר וכסלו מלא. אורכם נקבע לפי אורך השנה, שנקבע על פי זמן המולד הממוצע של חודש תשרי הקודם וזה שאחריו. בשנה מעוברת, מוסיפים את חודש אדר א' כחודש מלא בן 30 ימים ואילו חודש אדר ב' מקביל לאדר הרגיל, שהוא בן 29 ימים בכל שנה.
| החודש | אורכו בימים |
| --- | --- |
תשרי: 30
חשוון: 29 / 30
כסלו: 30 / 29
טבת: 29
שבט: 30
אדר א': 30
אדר ב'/אדר של שנה רגילה: 29
ניסן: 30
אייר: 29
סיוון: 30
תמוז: 29
אב: 30
אלול: 29
הסיבות להשתנות אורכי חשוון וכסלו הן:
דחיית לא אד"ו ראש, הגורמת להוספת יום בשנה שעברה לחודש חשוון כנגד גריעתו בשנה הנוכחית או הבאה מחודש כסלו.
אורך החודש הממוצע הגדול מעט מ-29.5 יום, דבר הגורם להופעת שנים ארוכות יותר מהסדר הרגיל, שהוא 354 יום לשנה פשוטה ו-384 יום לשנה מעוברת. את התוספת המצטברת מוסיפים לחודש חשוון.
שילוב שתי הסיבות גורם לכך שהסדר הרגיל מיושם רק בכ-29.6% מכלל השנים (כ-38.5% מהפשוטות וכ-14.3% מהמעוברות).
החודש > שמות חודשי השנה

שמות החודשים המשמשים בימינו מקורם בשמות בבליים, שאומצו בתקופת גלות בבל בתקופות מוקדמות יותר ניתנו לחודשים העבריים שמות מספריים, כשניסן הוא החודש הראשון, ואדר הוא החודש השנים עשר.
במקרא, החודש בו יצאו בני ישראל ממצרים (החודש שנקרא כעת ניסן) הוא החודש הראשון:
הַחֹ֧דֶשׁ הַזֶּ֛ה לָכֶ֖ם רֹ֣אשׁ חֳדָשִׁ֑ים
רִאשׁ֥וֹן הוּא֙ לָכֶ֔ם לְחָדְשֵׁ֖י הַשָּׁנָֽה
הבבלים קראו לחודשיהם (המתחילים גם הם בניסן): נִיסַנֻ, אַרֻ, סִמַנֻ, דֻּמֻזֻ, אַבֻּ, אֻלֻלֻ, תִּשְׁרִתֻּם, סַמְנֻ, כִּסְלִמֻ, טֶבֶּתֻּם, שַׁבַּטֻ, אַדַּרֻ וחודש נוסף בשנה מעוברת, מַכַּרֻשַׁ אַדַּרֻ.
הגרסאות העבריות של השמות הבבליים, המקובלים גם היום, מופיעות במגילת אסתר ובספר זכריה לצד מספור החודשים מניסן, ובספר עזרא ונחמיה ללא מספור:
וַתִּלָּקַח אֶסְתֵּר אֶל הַמֶּלֶךְ אֲחַשְׁוֵרוֹשׁ אֶל בֵּית מַלְכוּתוֹ בַּחֹדֶשׁ הָעֲשִׂירִי הוּא חֹדֶשׁ טֵבֵת בִּשְׁנַת שֶׁבַע לְמַלְכוּתוֹ.
בְּיוֹם עֶשְׂרִים וְאַרְבָּעָה לְעַשְׁתֵּי עָשָׂר חֹדֶשׁ הוּא חֹדֶשׁ שְׁבָט בִּשְׁנַת שְׁתַּיִם לְדָרְיָוֶשׁ הָיָה דְבַר ה' אֶל זְכַרְיָה בֶּן בֶּרֶכְיָהוּ בֶּן עִדּוֹא הַנָּבִיא לֵאמֹר.
בַּחֹדֶשׁ הָרִאשׁוֹן הוּא חֹדֶשׁ נִיסָן בִּשְׁנַת שְׁתֵּים עֶשְׂרֵה לַמֶּלֶךְ אֲחַשְׁוֵרוֹשׁ הִפִּיל פּוּר הוּא הַגּוֹרָל לִפְנֵי הָמָן מִיּוֹם לְיוֹם וּמֵחֹדֶשׁ לְחֹדֶשׁ שְׁנֵים עָשָׂר הוּא חֹדֶשׁ אֲדָר.
וַיִּקָּרְאוּ סֹפְרֵי הַמֶּלֶךְ בָּעֵת הַהִיא בַּחֹדֶשׁ הַשְּׁלִישִׁי הוּא חֹדֶשׁ סִיוָן בִּשְׁלוֹשָׁה וְעֶשְׂרִים בּוֹ וַיִּכָּתֵב כְּכָל אֲשֶׁר צִוָּה מָרְדֳּכַי אֶל הַיְּהוּדִים.
וַיְהִי בִּשְׁנַת אַרְבַּע לְדָרְיָוֶשׁ הַמֶּלֶךְ הָיָה דְבַר ה' אֶל זְכַרְיָה בְּאַרְבָּעָה לַחֹדֶשׁ הַתְּשִׁעִי בְּכִסְלֵו.
דִּבְרֵי נְחֶמְיָה בֶּן-חֲכַלְיָה וַיְהִי בְחֹדֶשׁ כִּסְלֵו שְׁנַת עֶשְׂרִים וַאֲנִי הָיִיתִי בְּשׁוּשַׁן הַבִּירָה.
וְשֵׁיצִיא בַּיְתָה דְנָה עַד יוֹם תְּלָתָה לִירַח אֲדָר
וַיְהִי בְּחֹדֶשׁ נִיסָן שְׁנַת עֶשְׂרִים לְאַרְתַּחְשַׁסְתְּא הַמֶּלֶךְ יַיִן לְפָנָיו וָאֶשָּׂא אֶת הַיַּיִן וָאֶתְּנָה לַמֶּלֶךְ וְלֹא הָיִיתִי רַע לְפָנָיו.
וַתִּשְׁלַם הַחוֹמָה בְּעֶשְׂרִים וַחֲמִשָּׁה לֶאֱלוּל לַחֲמִשִּׁים וּשְׁנַיִם יוֹם,
בספר מלכים, בפרקים המתארים את בניית המקדש מצוינים שמות לא בבליים לכמה מהחודשים: "ירח האיתנים" לתשרי, "ירח בול" לחשוון ו"חודש זיו" לאייר. שניים מהשמות האלה מופיעים גם בכתובות פיניקיות: "ירח אתנים" או "ירח אתנם" ו"ירח בל" (וייתכן שאף "ירח זיו", אך לא בוודאות). הופעת שמות אלה במקרא נובעת מהשפעת הבנאים הפיניקים שהובילו את בניית בית המקדש, והשפיעו על המונחים שנכנסו לפרקים המתארים את הבנייה. חז"ל ציינו משמעות לשמות אלה בהקשר לזמנם כגון שירח האיתנים הוא על שם אבות האומה שהם איתני העולם שנולדו בו. ירח בול על שם המבול שהחל בחודש מרחשוון ושבו מתחילים הגשמים ויורדים לרוב. פירוש אחר משום שבזמן זה העשב בלה בשדה ובוללין (מערבבים המספוא) לבהמה בבית. ויש אומרים משהוא מלשון יבול בשל תקופת החרישה והזריעה.
בלוח גזר נמצאו רשומים שמונה חודשים. יש המשערים שכאשר נרשם "ירחו" במקום "ירח", הכוונה לחודשיים. אחרים חושבים שמדובר ברשימה חלקית, או בלוח שחלקו נהרס עם הזמן. הדעות חלוקות גם על מילה נוספת בסיום הלוח: "אבי". לפי השערת ה"חודשיים", החודשים הם:
סדר החודשים בלוח גזר הוא לפי השנה החקלאית שמתחילה בתשרי וכך גם תחילת השנה העברית כיום. בעבר נהגו כמה ראשי שנים במקביל.
החודש > השפעות לשוניות בשמות

חלק משמות החודשים של הלוח הגרגוריאני בשפה הערבית מתאימים לשמות חודשי השנה העבריים, וחלקם השתרשו גם לטורקית:
| שמות החודשים כסדרם בשנה> עברית | שמות החודשים כסדרם בשנה> ערבית | שמות החודשים כסדרם בשנה> טורקית | שמות החודשים כסדרם בשנה> לטינית |
| --- | --- | --- | --- |
| תשרי | "תשרין (א)לאול" (تشرين اﻷول) | "אקים" (Ekim) | אוקטובר |
| תשרי | "תשרין (אל)ת'אני" (تشرين الثاني) | "קאסום" (Kasım) | נובמבר |
| שבט | "שבאט" (شباط) | "שובאט" (Şubat) | פברואר |
| אדר | "אד'אר" (أذار) | "מארט" (Mart) | מרץ |
| ניסן | "ניסאן" (نيسان) | "ניסאן" (Nisan) | אפריל |
| אייר | "איאר" (أيار) | "מאיוס" (Mayıs) | מאי |
| תמוז | "תמוז" (تموز) | "טמוז" (Temmuz) | יולי |
| אב | "אאב" (آب) | "אאוסטוס" (Ağustos) | אוגוסט |
| אלול | "אילול" (أيلول) | "אייליל" (Eylül) | ספטמבר |
עיבור השנה

השנה העברית כוללת חודשי לבנה שלמים, אך צריכה להיות תואמת את שנת החמה, ושחודש ניסן בה יצא באביב על פי האמור בתורה מספר פעמים, לדוגמה:
לשם כך מוסיפים חודש נוסף, הנקרא אדר א' כך שבשנה עברית זו, יש 13 חודשים.
עיבור השנה נעשה בכל פעם שהפער בין תחילת חודש ניסן לתחילת האביב מצטבר לכדי מחזור ירח שלם, ובכך חודש ניסן "שב" לאביב האסטרונומי.
"שנת חמה" היא משך הזמן שאורכת הקפה שלמה של כדור הארץ את השמש, והיא מכונה גם שנה טרופית. אורכה של שנת החמה הוא כ-365.242189 ימים. בשנת חמה, לפיכך, לא נכנסים מספר חודשי לבנה שלמים, וגם לא מספר יממות שלם. בשנה נדרש תנאי של אורך במספר ימים שלמים, ובשנה העברית – גם של חודשי לבנה שלמים, ומכאן – הצורך בלוח שנה בו אורך השנה אינו קבוע.
בשנה העברית הרגילה יש 12 חודשים (שנה פשוטה), אך אחת לשנתיים–שלוש (שבע שנים במחזור בן 19 שנה) חלה שנה מעוברת – שנה בת 13 חודשים. הכינוי "שנה מעוברת" הוא מטפורה לאישה מעוברת, כלומר אישה בהיריון. קביעת השנים המעוברות מכונה "עיבור השנה". העיבור הוא, למעשה, הכפלתו של חודש אדר לאדר א' ואדר ב'.
עיבור השנה נעשה משום ששנת החמה ארוכה בכ-11 ימים מ-12 חודשי לבנה שלמים. אילו כללה השנה העברית 12 מחזורי ירח בלבד, כמו בלוח השנה השרעי (האסלאמי), היה חג הפסח "נודד" מהאביב לעבר החורף, ומהחורף לכיוון הסתיו וכן הלאה. הסיבה לכך היא כי מועד עונות השנה תלוי במיקומו של כדור הארץ יחסית לשמש – כלומר בשנת החמה בלבד.
מניין השנים

מניין השנים בלוח העברי המודרני הוא חישוב מספר השנים שעברו על פי המסורת היהודית מבריאת העולם. מניין זה מכונה בראשונים מניין יצירה. יום בריאת אדם הראשון, על-פי המסורת היהודית, הוא א' בתשרי – 26 בספטמבר 3760 לפנה"ס. מניין זה מתבסס, בעיקרון, על החיבור המכונה סדר עולם, או "סדר עולם רבה" המתאר את ההיסטוריה של העולם מאדם הראשון ועד תקופת הקיסר אדריאנוס, על פי פרשנותו לתנ"ך ומסורות שונות. חיבור זה נזכר בתלמוד ומיוחס שם לתנא רבי יוסי בן חלפתא.
השימוש הקדום ביותר במניין השנים מאדם הראשון הידוע לנו הוא מהמאה הרביעית לספירה, ומניין זה היה מוכר בבבל לפחות עד המאה ה-13 לספירה. מהמאה השמינית התחילו להשתמש בארץ ישראל במניין לבריאת העולם (שנה יותר ממניין השנים לאדם הראשון), ומניין זה נפוץ עם הזמן ברחבי העולם עד שהפך לבלעדי.
את השנה נהוג לסמן בספרות עבריות, למשל שנת ה'תשפ"ה: ה' – 5,000, ת' – 400, ש' – 300, פ' – 80, ה' – 5 = 5,785; יש המציינים את אותה שנה בצורת ה"ן פ"ה: ה' – 5,000, ן' – 700, פ' – 80, ה' – 5 = 5,785. פעמים רבות נהוג להשמיט את מניין האלפים, שהרי ברור, לפי ההקשר, באיזה אלף מדובר. שנת ה'תשפ"ה נרשמת תשפ"ה. במקרה זה יש המוסיפים את ראשי התיבות לפ"ק – לפרט קטן, כלומר ללא ציון האלפים. במקרים אחרים יש המוסיפים את ראשי התיבות לפ"ג – לפרט גדול, כאשר מציינים את השנה במלואה, כולל האלפים.
בזמנים קדומים נהגו למנות את השנים לפי שנות השליט, השופטים והמלכים בתקופת המקרא, והמלכים והקיסרים בתקופת בית שני. בימי המרד הגדול ומרד בר כוכבא מנו את השנים "לחירות ישראל" או "לחרות ירושלים". לאחר חורבן בית שני היו שהשתמשו במניין לחורבן הבית. מניין השטרות היה המניין הכללי הראשון בדברי ימי ישראל ובעולם כולו. על אף שעם השנים הוא נדחק הצידה על ידי המניין לבריאת העולם, השימוש בו המשיך בחלק מן הקהילות למשך שנים רבות, במיוחד אצל יהודי תימן אשר נוהגים להשתמש במניין השטרות גם בימינו.
השנה הנוכחית היא שנת 5,785 לבריאת העולם, שנת 2,336 לשטרות, ושנת 1,956 לחורבן הבית.
שמיטה ויובל

כל 7 שנים – שנת שמיטה (בשנה השביעית), וכל 7 שמיטות – שנת יובל (בשנה החמישים).
כיום נהוג החישוב ששנת שמיטה היא שנה שמספרה מתחלק ב-7 (שנת השמיטה האחרונה הייתה שנת ה'תשפ"ב והבאה תהיה שנת ה'תשפ"ט).
היובל לא נהוג כיום. אבל לדעת הרבה מהראשונים חשבון היובלות עדיין קיים. שנת היובל לפי חשבון זה היא שנה ששארית חלוקתה ב-49 שווה 29 (שנת היובל האחרונה הייתה שנת ה'תשס"ב והבאה תהיה שנת ה'תתי"א).
מועדים בלוח העברי

למעט השבת, הקבועה על פי ימי השבוע ללא קשר ללוח, רוב המועדים בלוח העברי נקבעים על פי התאריך בלוח העברי (כלומר: היום בחודש); יוצא דופן הוא חג השבועות, אשר נקבע בספירה של 50 יום מחג הפסח, ועל כן לפני הלוח הקבוע, כאשר היו עדיין מקדשים את החודש על עדוּת-ראייה, שבועות יכול היה לחול בין ה' בסיוון לז' בסיוון; עם המעבר ללוח הקבוע, אשר קבע את אורכי החודשים ניסן ואייר, נקבע גם מועד חג השבועות לו' בסיוון בלבד.
מועדים אשר אינם קבועים מן התורה וקשורים לפעילויות האסורות בשבת, או ימי תענית האסורה אף היא בשבת, נדחים או מוקדמים אם הם חלים בשבת. ישנם כמה יוצאים מן הכלל כמו תענית שריפת התלמוד, או שבת הגדול שנקבעה בשבת שלפני פסח ולא בי' בניסן.
הלוח שנקבע לפי עֵדוּת-רְאִיָּה

בסוף תקופת בית שני נקבעו ראשי החודשים בהכרזה של בית הדין, לפי ראיית הירח ממש (בניגוד למצב בימינו, שבו הלוח מבוסס על חישוב מולד הירח הממוצע, חישוב שאינו חוזה את המולד האסטרונומי במדויק). בסוף החודש העברי, הירח חשוך ואינו גלוי לעין, שכן חלקו המואר של הירח הוא צידו המרוחק מכדור הארץ. (המצב הפוך לירח מלא.) הירח החדש, הנראה כסהר דקיק, שוקע זמן קצר לאחר שקיעת השמש, ומציין את ראשיתו של החודש החדש. אם במהלך היום ה-30 בחודש התקבלה על ידי בית הדין הגדול עדות על ראיית סהר הירח של החודש החדש בסוף יום האתמול, נקבע היום ה-30 כראש החודש הבא. אם לא, נדחה ראש החודש למחרת, ללא תלות בראיית הירח החדש, והחודש יהיה בן 30 ימים. בכל מקרה, לא יהיה חודש שאורכו פחות מ-29 או יותר מ-30 יום.
במסכת ראש השנה מובאים תאורים של הלכות ומנהגים שנועדו לעודד את הציבור להגיע לבית הדין ולהעיד על ראיית הירח החדש, בעדות שנקראה "עדות החודש". ההלכה קובעת שתיקון הלוח הוא מספיק חשוב כדי להתיר לעדים לחלל שבת על מנת להגיע לבית הדין ולהעיד לצורך קידוש החודש. בית הדין היה בוחן את העדים בדרכים המקובלות של וידוא שאין סתירות בין עדויות העדים, כדי לבדוק את אמינותן, ובנוסף נעזרו חברי בית הדין בידע האסטרונומי שלהם, באמצעותו חישבו באיזה כיוון ובאיזו צורה ייראה הסהר החדש, כדי לאמת את עדויות הראייה של העדים. כלל ברזל נקבע, כנראה על מנת למנוע פיצול בלוח, שההחלטה הסופית לגבי תאריך ראש החודש מסורה בלעדית בידי בית הדין הגדול, וכל קביעה שלו, אפילו התברר בדיעבד כי הייתה שגויה בעליל, ואפילו מוטעית בזדון, היא הקובעת לכל דבר ועניין.
ישנן דעות שבית הדין לא היה כובל עצמו אך ורק לעדות הראייה, אלא היה משתדל למנוע מחגים מסוימים לחול בימים מסוימים (ערב שבת, שבת, יום ראשון) על ידי פסילת העדים או אי קבלתם ובכך לגרום לעיבור החודש.
לאחר קביעת מועד ראש החודש, בית הדין היה מודיע ליהודים בכל רחבי ארץ ישראל וגם מחוצה לה, על מועד ראש החודש. שיטה אחת להעברת הודעות הייתה הדלקת משואות שציינו את קביעת החודש החדש. אך לאחר שהיו ניסיונות של כותים להעביר מידע שגוי, הועבר המידע באמצעות שליחים.
בנוסף לקביעת אורכי החודשים, בית הדין היה מתכנס כדי להחליט האם לעבר את השנה ולהוסיף בסוף השנה, בין חודש שבט לחודש אדר, חודש נוסף. בית הדין היה מחליט לפי מספר שיקולים שכללו את החשבון האסטרונומי (מועד יום השוויון האביבי) והמצב החקלאי: מידת הבשלת השעורה בארץ, מצב פירות האילן.
לפי דעות מסוימות (כך דעת רס"ג, ורבנו חננאל) מאז ומעולם קבעו חודשים אך ורק על פי החשבון, וכל עניין עדות העדים וראיית הירח התחדשו בתקופת בית שני לאימות החשבון המקובל, וזאת כנגד טענות הבייתוסים ודומיהם. רוב ההיסטוריונים גורסים כי שיטת התצפית והעדות ושיטת החישוב המתמטי-אסטרונומי שימשו זו בצד זו עד לימי הלל נשיאה.
גיבוש הלוח העברי המחושב

עקב קשיים בפרסום מועדי ראשי החודשים, קבע בשנת 359 לספירה רבי הלל נשיאה (המכונה "הלל השני"), מצאצאי רבי יהודה הנשיא, את חשבונות לוח השנה העברי כפי שהוא מקובל עד לימינו. מאז אין נוהגים לקדש ראשי חדשים לפי ראיית הירח אלא לפי חשבונותיו של רבי הלל. כמו כן בוטל עיבור השנה לפי מציאת האביב בארץ ישראל והחלו לעבר שנים לפי מחזור של 19 שנים.
אין עדות ישירה על תקנתו של הלל נשיאה, ולמדים עליה רק ממקורות מאוחרים: החיבור "ספר העיבור", מאת ר' אברהם בר חייא הנשיא, שנכתב במאה ה-12, ומאזכור בחיבורו של הרמב"ן "ספר הזכות". מקורות אלה מתארכים את התקנה לשנת 670 לשטרות, שהיא שנת ד'קי"ט לבריאת העולם, המקבילה לשנת 358/9 לספירה. אולם לאור העובדה שאין אזכורים מוקדמים יותר לתקנה, נראה שכללי הלוח היו ידועים רק לקבוצה מצומצמת של חכמים. מניתוח של מסמכים שהתגלו בגניזת קהיר נראה שהכללים שקבע הלל שונו מספר פעמים ורק בסוף תקופת הגאונים התקבעו הכללים הנהוגים כיום. בשנת 2016 פורסם קטע עם כללי לוח מגניזת קהיר המעיד על כך שבתחילת תקופת הגאונים עדיין היה חל ראש השנה ביום ראשון וכן כללי מילוי וחיסור החודשים חשוון וכסלו היו שונים. בשנת 2018 פורסם מסמך נוסף שעל פיו נטען שכבר בשנת ד'ת"ק היו קיימים כל כללי הלוח הנוכחיים.
מכמה מקורות בתלמוד נראה שכבר בתחילת תקופת האמוראים עברו לקביעה על פי חשבון וכבר בתקופת התנאים היו תקופות שלא קבעו על פי הראיה.
חיזוק להנחה שהלל נשיאה הוא שהנהיג את חשבונות הלוח באמצע המאה ה-4 לספירה, עולה מכך שבתקופה זו נוצרה עילה לקביעת החשבונות עקב התחזקות הנצרות. בוועידת ניקיאה, שהתכנסה בשנת 325, נקבעה ופורסמה השיטה לחישוב מועד חג הפסחא הנוצרי. על פי המסורת הנוצרית נצלב ישו ומת ביום שישי שחל בערב פסח, וקם לתחייה ביום ראשון שאחריו. הנוצרים הראשונים הקפידו להתאבל על ישו ביום שישי שבחול המועד, ולחגוג את תחייתו ביום ראשון שאחריו. בוועידת ניקיאה הוחלט לבטל סופית את הקשר ליהדות שהתבטא בצורך לברר את מועד חג הפסח בקרב היהודים, ונקבע שחג הפסחא ייחגג ביום ראשון בשבוע שחל אחרי מילואו של הירח שנראה אחרי 21 במרץ, הוא יום השוויון בין היום והלילה (לפי הלוח הרומי שהיה נהוג אז, וגם לפי הלוח הגרגוריאני היום).
חשבונות הלוח העברי מתאמים למעשה בין שלושה מחזורי זמן: מחזור הירח החודשי שמקביל להשתנות צורת הירח ומסלולו עד לחזרתו לצורה ולמסלול המקורי, מחזור השמש השנתי שמקביל להשתנות אורכי היום והלילה, כלומר לארבע עונות השנה, ומחזור השבוע – שישה ימי עבודה ויום מנוחה. כיוון שמחזורים אלו אינם חופפים, השילוב ביניהם מורכב למדי.
הפעלת הכללים לחישוב לוח השנה מאפשרת לראש השנה לחול סמוך לזמן שבו אפשרית ראיית הירח, בין שלושה ימים לפניה ליום אחד אחריה (כמעט תמיד חל ביום הראייה או עד שני ימים לפניו). מצד שני, מועדו של ראש השנה יחול תמיד זמן קצר לפני או אחרי מועד שוויון היום והלילה בסתיו (בספטמבר או בשבוע הראשון של אוקטובר לפי הלוח הגרגוריאני). מצד שלישי מועדו של ראש השנה לא יחול לעולם בימים א', ד', ו' (כך נמנע מיום הכיפורים למשל לחול סמוך לשבת). יתרון נוסף של חשבונו של הלל הוא ביכולת לחזות את מועדי הלוח העברי שנים רבות מראש.
חלק מחכמי ישראל במהלך הדורות (ובהם הרמב"ם) הצדיקו את המעבר ללוח העברי הקבוע בכך שהכול הלכה למשה מסיני. כלומר, גם קידוש החודשים לפי תצפית ועדות, וגם קידוש החודשים לפי חשבון (בזמן שאין סנהדרין, או בזמן שיש סנהדרין, כשנוצר צורך, למשל כאשר השמיים מעוננים למשך כמה ראשי חודשים ברציפות), הם מן ההלכות שניתנו למשה בסיני.
הלוח המחושב

הלוח המחושב מבוסס על מספר עקרונות:
השנים המעוברות נקבעות מראש על פי המחזור המטוני. היינו 7 שנים מעוברות בכל מחזור של 19 שנים.
אורכי החודשים, למעט חשוון וכסלו, קבועים.
מספר הימים בשנה פשוטה הוא בין 353–355 ובשנה מעוברת בין 383–385. ההבדל מתבטא באורכי החודשים חשוון וכסלו, כלומר קיומם או אי קיומם של ל' בחשוון ול' בכסלו.
היום בשבוע בו חל ראש השנה נקבע על פי המולד הממוצע של חודש תשרי של אותה השנה, בהתחשב בכללי דחייה שונים (ראו בהמשך)
אורך השנה, וממילא אורכי החודשים חשוון וכסלו, נקבע על סמך מספר הימים בין ראש השנה של השנה הנוכחית לראש השנה של השנה הבאה.
הלוח המחושב > קביעת שנה מעוברת

בשנה טרופית יש כ-12.368 מחזורי ירח, ובכל 19 שנים טרופיות יש כ-234.997 מחזורי ירח, כלומר מספר כמעט שלם של חודשים סינודיים. בלוח העברי הקבוע נקבע שבכל מחזור של 19 שנים יהיו 235 חודשים, 7 חודשים יותר משיש ב-19 שנים של 12 חודשים. פירוש הדבר, שבכל מחזור של 19 שנים, המכונה "מחזור קטן", יש 7 שנים מעוברות. בלוח הקבוע נקבע שבכל מחזור קטן, השנים המעוברות יהיו: 3, 6, 8, 11, 14, 17, 19. מקובל לסמן את השנים הללו באותיות עבריות: ג', ו', ח', י"א, י"ד, י"ז, י"ט, ובקצרה: גו"ח אדז"ט.
ניתן אם כן, לבדוק האם שנה מסוימת היא שנה מעוברת על ידי מציאת השארית בחלוקת ערך השנה ב-19 ובדיקה האם היא שווה לאחד מהמספרים הבאים: 0, 3, 6, 8, 11, 14, או 17. לדוגמה: שנת ה'תשפ"ה, מספרה 5,785 (ה'=5,000 + ת=400 + ש=300 + פ=80 + ה=5). חלוקת 5785 ב-19 נותנת 304 עם שארית 9. לפיכך, שנת ה'תשפ"ה היא לא שנה מעוברת, והיא השנה ה-9 במחזור של גו"ח אדז"ט.
בזכות העיבור, במחזוריות של 19 שנה תאריכים עבריים וגרגוריאניים נפגשים (למשל ט' באב ה'תשמ"ה חל ב-27 ביולי 1985 וט' באב ה'תשס"ד חל ב-27 ביולי 2004), או נופלים קרוב זה לזה, בסטייה של יום בדרך כלל (למשל ט' באב ה'תשמ"ז חל ב-4 באוגוסט 1987 וט' באב ה'תשס"ו חל ב-3 באוגוסט 2006), או יומיים במקרים נדירים יותר (למשל ט' באב ה'תשי"ח חל ב-26 ביולי 1958 וט' באב ה'תשל"ז חל ב-24 ביולי 1977), ועד 3 ימים במקרים נדירים מאוד.
הלוח המחושב > מספר ימי כל חודש וימי 'ראש חודש' בכל חודש

בלוח העברי הקבוע, מספר הימים בכל חודש קבוע מראש, למעט החודשים חשוון וכסלו שמספר הימים בהם משתנה בהתאם לאורך השנה. הסיבה לבחירתם לביצוע התיקון היא מיקומם בתחילת השנה.
באופן כללי, אורך החודשים הוא 30 ימים ו-29 ימים לסירוגין. שמות החודשים ומספר ימיהם, לפי סדרם המקובל כיום: תשרי (30 ימים), חשוון (29–30 ימים), כסלו (30–29 ימים), טבת (29 ימים), שבט (30 ימים), אדר (29 ימים), ניסן (30 ימים), אייר (29 ימים), סיוון (30 ימים), תמוז (29 ימים), אב (30 ימים), אלול (29 ימים). בשנה מעוברת נוסף חודש אדר א' שבו 30 יום (ואז אדר הרגיל – 29 ימים – נקרא אדר ב').
לאחר חודש בן 29 יום, ראש החודש הבא יהיה בן יום אחד בלבד; לאחר חודש בן 30 יום, ראש החודש הבא יהיה בן יומיים, היום הראשון של ראש חודש זה יהיה ל' של החודש היוצא, ו'יומו השני' של ראש חודש יהיה א' של החודש החדש.
ראש חודש תמיד בן יום אחד: תשרי, שבט, ניסן, סיון, אב
ראש חודש תמיד בן יומיים: חשוון, אדר (שניהם בשנה מעוברת), אייר, תמוז, אלול
תלוי:
כסלו – יום אחד – אם נקבע חשוון ל-29 יום; יומיים – אם חשוון בן 30 יום.
טבת – יום אחד – אם נקבע כסלו ל-29 יום; יומיים – אם כסלו בן 30 יום.
ראש חודש יצא ביום בשבוע שלאחר ראש החודש האחרון (בר"ח שאחרי ר"ח של יומיים הולכים אחר ר"ח השני) לדוגמה אם ראש חודש חשוון הוא בימים שני–שלישי אז ראש חודש כסליו יהיה ביום רביעי (ואם הוא יומיים אז גם יום חמישי).
הלוח המחושב > קביעת יום השבוע של ראש השנה על פי המולד הממוצע > ערך ממוצע של מולד הירח

קבוע אורך החודש הממוצע, של 29 ימים 12 שעות ו-793 חלקים או 29.5305941358 ימים, קרוב מאוד לחודש הסינודי שנמדד בימינו, הוא ארוך ממנו רק בכ-0.456 שניות.
חלק מהשוני נובע לא ממגבלות של החישוב הקדום אלא משינוי אסטרונומי, בעת קביעת הלוח ההפרש היה שולי בהרבה, בערך 0.061 שניות. ההפרש בימינו גורם לתזוזת החודש העברי בכ-1.5679 שעות כל 1,000 שנים, הפרש שאיננו מביא לסטייה ניכרת בין קביעות הלוח העברי למציאות האסטרונומית והאקלימית.
המקור לקבוע הוא הגמרא במסכת ראש השנה:
אמר להם רבן גמליאל: כך מקובלני מבית אבי אבא: אין חידושה של לבנה פחותה מעשרים ותשעה יום, ומחצה, ושני שלישי שעה, ושבעים ושלושה חלקים.
יש רבנים וחוקרים המעריכים שהידע המדויק יחסית על אורך החודש הסינודי שהיה בידי קובעי הלוח העברי מקורו בבבל ויוון, שכן הערך של אורך החודש העברי המשמש את הלוח העברי מופיע בדייקנות מוחלטת אצל האסטרונום הכשדי קידינו (אנ') במאה הרביעית לפני הספירה, ואחריו אצל היפרכוס היווני במאה השנייה לפני הספירה, שניהם מוקדמים יותר מאבי אביו של רבן גמליאל המוזכר בגמרא. שניהם ציינו את הערך כך: 29, 31, 50, 8, 20 בבסיס 60, שהוא ערך זהה לחלוטין לכ"ט י"ב תשצ"ג המופיע בגמרא.
הלוח המחושב > דחיות הלוח > לא אד"ו ראש

על פי המסורת, דחייה זו נועדה לעקוף מספר בעיות הנובעות מההלכה:
הסיבות להימנעות מיום ד' ומיום ו' : אם קובעים את ראש השנה ביום ד' או ביום ו', יום הכיפורים אשר מתחיל תשעה ימים אחר כך, יהיה ביום שישי, או ביום ראשון, שני ימים הצמודים לשבת (אחת לפני השבת ואחת אחריה). נוצרות שתי בעיות כשיום הכיפורים צמוד לשבת:
לא יוותרו ירקות טריים לאכילה בתום צמד הימים השבת ויום הכיפורים, מפני שהן נלקטו יומיים קודם. (בחגים אחרים הצמודים לשבת, מותר לבשל ביום החג, אך לא ביום הכיפורים).
אדם אשר נפטר ביום הראשון מתוך צמד הימים יום הכיפורים ושבת, לא יוכל להיקבר במשך יומיים, הנחשב 'חילול כבוד המת'.
הסיבה להימנעות מיום א': קיים איסור הלכתי לקיים את מנהג חביטת הערבות כשהושענא רבה חל בשבת, ועל מנת למנוע ביטול של מנהג זה, דאגו שהושענא רבה לא יחול בשבת.
יש הסבורים שגם בזמן שנהגו לקדש את החודש על פי הראייה, בית הדין היה משתדל למנוע מצב בו ראש השנה חל בימים רביעי ושישי, וקביעת הכלל בלוח המחושב רק קיבעה נוהג קדום זה והוסיפה עליו את הדחיה מיום ראשון.
הלוח המחושב > דחיות הלוח > מולד זקן בל תדרוש

ההנחה היא שדחיית מולד זקן נועדה לגשר על ההפרש בין זמן המולד (זמן קיבוץ המאורות, הזמן שבו הירח נמצא הכי קרוב לקו המחבר בין כדור הארץ לשמש) המחושב בלוח הקבוע לבין זמן הראייה הראשונה האפשרית.
הבעיה בעמדה זו היא שישנן פעמים רבות בהן הפער גדול מדי, ודחיית מולד זקן לא תעזור.
יתרה מזאת, מכיוון שהמולד המחושב המשמש בלוח הקבוע הוא המולד הממוצע, ההפרש בין המולד האסטרונומי לזמן אפשרות הראייה יכול להיות אף גדול יותר.
ייתכן, על כן, שדחיית "מולד זקן" נקבעה כזכר ללוח על פי הראייה או מסיבה אחרת לא ידועה.
הקדמה של דחיית מולד זקן ושתי הדחיות הנגררות תביא ליותר מקרים שבהם יראה הירח החדש יום לפני ראש חודש, מה שקורה כיום רק לעיתים נדירות בדחיית גטר"ד. איחור של הדחיות יביא למקרים שבהם יראה הירח הישן בבוקר ראש חודש וכן שמולד שבט וכסלו יחולו במוצאי ראש חודש. אם היו קובעים את החודשים בכל ימות השבוע היה ניתן לקבוע ראש חודש תמיד יום לאחר המולד, כדברי רבי זירא – "צריך שיהא לילה ויום מן החדש", ואז הראייה הראשונה הייתה תמיד בליל ראש חודש או במוצאי ראש חודש ובמקרים נדירים למחרת.
הלוח המחושב > דחיות הלוח > דחיית ב-טו-תקפ"ט ודחיית ג-ט-ר"ד

אם המולד בשנה פשוטה חל ביום שלישי, בשעה תשיעית ו-204 חלקים (או מאוחר יותר), המולד שאחריו יהיה ביום שבת בשעה ה-18 ליממה, ויום א' תשרי ידחה מתוקף כלל "מולד זקן" ליום ראשון ומשם – ליום שני (מתוקף כלל "לא אד"ו ראש"); יוצא שאורך השנה יהיה 356 ימים, דבר שאינו אפשרי לפי הכללים הבסיסיים של אורך השנה הפשוטה (המוגבלת לאורך שבין 353–355 ימים). לכן, נדחה א' תשרי ליום רביעי, ומשם – ליום חמישי, והשנה תתקצר ל-354 ימים – שנה כסדרה.
מאותה סיבה דוחים את מולד בט"ו תקפ"ט שלאחר שנה מעוברת: אם המולד ביום שני, 15 שעות ו-589 חלקים, המולד שקדם לו היה ביום שלישי, 18 שעות בתוך היממה. ושוב, בגלל "מולד זקן" ו"לא אד"ו ראש", נדחה את המולד ליום חמישי, ונותרנו עם שנה מעוברת בת 382 ימים בלבד, שחורג מגבולות אורכי השנה האפשריים (383–385). לכן, נדחה את א' תשרי ליום ג' וממילא "תתארך" השנה לכדי 383 ימים, ותתאים למסגרת.