stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מכירת ארץ מצרים לפרעה
הערות שוליים

↑  בראשית פרק מז
1 2  על פי רש"י
↑  דף ס עמוד ב
| ספר בראשית |
| --- | --- | --- |
| פרשת בראשית | בריאת העולם • תוהו ובוהו • רקיע • המים העליונים • בריאת אדם וחוה • אדם וחוה • פרייה ורבייה • גן עדן • נחש הקדמוני • חטא עץ הדעת • קללת האדם והאשה • עץ החיים • קין והבל • שירת למך • מעשה בני האלוהים |  |
| פרשת נח | תיבת נח • המבול • ברית הקשת • שבע מצוות בני נח • שכרות נח • תולדות בני נח • מגדל בבל |  |
| פרשת לך לך | מסע אברהם לארץ כנען • ירידת אברהם למצרים • פרידת אברהם ולוט • מלחמת ארבעת המלכים את החמישה • מלכי-צדק • ברית בין הבתרים • בריחת הגר ולידת ישמעאל • ברית המילה |  |
| פרשת וירא | ביקור המלאכים באוהל אברהם • מהפכת סדום ועמורה • לוט ובנותיו • ירידת אברהם לגרר • גירוש הגר וישמעאל • ברית אברהם ואבימלך • עקדת יצחק |  |
| פרשת חיי שרה | רכישת מערת המכפלה • מציאת אישה ליצחק • נישואי אברהם וקטורה • תולדות ישמעאל |  |
| פרשת תולדות | לידת יעקב ועשו • מכירת הבכורה • ירידת יצחק לגרר • הריב על הבארות • ברית יצחק ואבימלך • גנבת הברכות • בריחת יעקב מעשו |  |
| פרשת ויצא | חלום יעקב • נישואי יעקב עם רחל ולאה • לידת בני יעקב • מעשה הדודאים • בריחת יעקב מלבן • ברית יעקב ולבן |  |
| פרשת וישלח | מפגש יעקב ועשו • מאבק יעקב והמלאך • מעשה שכם ודינה • מעשה שמעון ולוי • קיום הנדר בבית אל • מות רחל וקבורתה • מעשה ראובן ובלהה • פרשת שמונת מלכי אדום |  |
| פרשת וישב | מכירת יוסף • מעשה יהודה ותמר • לידת פרץ וזרח • יוסף ואשת פוטיפר • חלומות שר המשקים ושר האופים |  |
| פרשת מקץ | חלומות פרעה • ירידת אחי יוסף למצרים |  |
| פרשת ויגש | התוודעות יוסף לאחיו • ירידת יעקב למצרים • מכירת ארץ מצרים לפרעה |  |
| פרשת ויחי | שבועת יוסף ליעקב • ברכת אפרים ומנשה • ברכת יעקב לבניו • מות יעקב וקבורתו |  |
| דמויות מרכזיות | אדם וחוה • קין והבל • נח • אברהם ושרה • לוט • הגר וישמעאל • יצחק ורבקה • עשו • יעקב רחל ולאה • בלהה וזלפה • ראובן • שמעון • לוי • יהודה • תמר • יששכר • זבולון • דן • נפתלי • גד • אשר • יוסף • בנימין |  |
ספר בראשית • ספר שמות • ספר ויקרא • ספר במדבר • ספר דברים
מעבר רוטאנג

| --- | --- |
המעבר בחורף
המעבר בחורף
 מידע כללי
 גובה:  3,979 מטר
 מדינה:  הודו 
 מיקום:  הודו הימאצ'ל פרדש, הודו
 רכס הרים:  הימלאיה
 מחבר בין:  מנאלי לעמק ספיטי
 קואורדינטות:  32°22′N 77°14′E﻿ / ﻿32.367°N 77.233°E﻿ / 32.367; 77.233
  (למפת הודו מוגדלת) ניו דלהי מומבאי קולקטה היידראבאד בנגלור אחמדאבאד צ'נאי סוראט פונה ג'איפור לאקנאו קאנפור נאגפור פטנה לודהיאנה טריוונדרום פורט בלייר פקיסטן אפגנ. הרפובליקה העממית של סין  נפאל בהו. בנג. מיאנמר ת. ס"ל מפרץ בנגל  הים הערבי  האוקיינוס ההודימעבר רוטאנג(למפת הודו רגילה) ניו דלהי מומבאי קולקטה היידראבאד בנגלור אחמדאבאד צ'נאי סוראט פונה ג'איפור לאקנאו קאנפור נאגפור פטנה לודהיאנה טריוונדרום פורט בלייר פקיסטן אפגנ. הרפובליקה העממית של סין  נפאל בהו. בנג. מיאנמר ת. ס"ל מפרץ בנגל  הים הערבי  האוקיינוס ההודימעבר רוטאנג
 
מעבר רוטאנג (בטיבטית: Rohtang La, תרגום מילולי: "ערמה של גופות") הוא מעבר הרים
בגובה 3,979 מטרים ברכס פיר פנג'אל של הרי ההימלאיה, בצפון הודו. המעבר ממוקם כ-50 ק"מ צפונית לעיר מנאלי ומחבר בין עמק קולו (Kullu) בדרום לעמקים להאול (Lahaul) וספיטי (Spiti) בצפון.
גאוגרפיה

המעבר משמש כחוצץ מבחינה גאוגרפית וגם מבחינה תרבותית כי הוא מפריד בין האוכלוסייה ההינדית ברובה בדרום, לבין התושבים הבודהיסטים בצפון. בהיותו המעבר העיקרי באזור הוא שימש כחלק מנתיב תחבורה ומסחר היסטורי.
מעבר רוטאנג פתוח לתנועה בין החודשים מאי ונובמבר, וחסום לתנועה בשאר השנה בגלל שלגים (התאריכים משתנים משנה לשנה בהתאם לירידת והפשרת השלג). המעבר נודע לשמצה בשל התאונות הרבות שקרו בו, ובשל תנאי מזג אוויר בלתי צפויים ומצב הדרך הצרה, העמוסה והמשובשת ברובה, הוא זכה למוניטין של אחת מהדרכים המסוכנות בעולם.
בשנת 2002 החלה ממשלת הודו בפרויקט של כריית מנהרת אטאל במטרה לקצר את הדרך ממנאלי צפונה ולאפשר תנועה בכל ימות השנה ובכל מזג אוויר. המנהרה נפתחה ב-2020.
בשנת 2010 הפיק ערוץ ההיסטוריה סידרה בשם "מובילים להימלאיה: דרך המוות" ("Deadliest Roads"), שעוקבת אחרי נהגי משאיות שמנסים לחצות את המעבר.
גלריה

מראה פנורמי של פסגות ההימליה מהמעבר.
ההרים הסמוכים למעבר רוטאנג-לה.
רכבי טיילים במעבר
מראה הנשקף מהמעבר
שיירה במעבר
מייקל ריצ'רדסון

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  22 ביוני 1995 (בן 29) דבלין, אירלנד 
 תקופת הפעילות:  מ-2013
 פרופיל ב-IMDb
 
מייקל ריצ'רד אנטוניו ריצ'רדסון (באנגלית; Micheál Richard Antonio Richardson; נולד ב-22 ביוני 1995) הוא שחקן קולנוע אירי.
ביוגרפיה

ריצ'רדסון נולד בדבלין, אירלנד ב-22 ביוני 1995. הוא מגיע ממשפחה של שחקנים. הוריו הם השחקנים ליאם ניסן ונטשה ריצ'רדסון. הוא הוטבל בשם מייקל ניסן, אך שינה את שם משפחתו בשנת 2018, בברכת אביו, כדי לכבד את אמו המנוחה שנהרגה בתאונת סקי.  דרך אמו הוא בן למשפחת השחקנים רדגרייב. הוא הנכד של השחקנית ונסה רדגרייב ויוצר הקולנוע טוני ריצ'רדסון, האחיין של השחקנית ג'ואלי ריצ'רדסון ובן דודתה של השחקנית דייזי ביוואן (אנ').
קריירה

לאחר שהופיע לצד נטלי פורטמן בשנת 2018 בסרט הדרמה המוזיקלי "ווקס לוקס" (אנ'),  ריצ'רדסון התעקש להיבחן לתפקיד בסרט "מרדף קר" משנת 2019, סרט בו כיכב אביו ליאם ניסן, גרסה מחודשת של מותחן הפשע הנורווגי משנת 2014 "In Order of Disappearance". ריצ'רדסון נבחן וזכה בתפקיד בנו של דמותו של ניסן.
בשנת 2015 לוהק ריצ'רדסון לתפקיד המהפכן האירי מייקל קולינס בסרט "The Rising: 1916" על מרידת חג הפסחא בשנת 1916 באירלנד. גם אביו גילם את אותה הדמות בסרטו של ניל ג'ורדן, "מייקל קולינס" משנת 1996.
בשנת 2020 ריצ'רדסון שיחק גם בסרט "תוצרת איטליה", סרט על צער ויחסים משפחתיים, שוב לצד אביו. את התסריט כתב השחקן והתסריטאי ג'יימס ד'ארסי.
פילמוגרפיה > קולנוע

| שנה | סרט | תפקיד | הערות |
| --- | --- | --- | --- |
| 2013 | חדשות בהפרעה | כתב ערוץ ההיסטוריה |  |
| 2018 | ווקס לוקס (אנ') | המוזיקאי |  |
| 2019 | מרדף קר (אנ') | קייל קוקסמן |  |
| 2020 | הבית באיטליה | ג'ייק |  |
| 2021 | On Our Way | הנרי ריצ'רדסון |  |
| 2024 | Somewhere Quiet | ג'ו |  |
| TBA | The Rising: 1916 | מייקל קולינס |  |
פילמוגרפיה > טלוויזיה

| שנה | סדרה | תפקיד | הערות |
| --- | --- | --- | --- |
| 2020 | Big Dogs | רני | תפקיד ראשי; 8 פרקים |
| 2022 | סיפורי הג'דיי | קווי-גון ג'ין הצעיר | דיבוב; פרק: "Justice" |
הערות שוליים

↑  Dwyer, Michael. "Are you right there, Michael?". The Irish Times.
↑  Miller, Julie. "Micheál Richardson Pays Sweet Homage to Late Mother, Natasha, in First Leading Film Role | Vanity Fair". www.vanityfair.com.
↑  Lodge, Guy (4 בספטמבר 2018). "Film Review: Natalie Portman in 'Vox Lux'". {{cite web}}:  (עזרה)
↑  Beresford, Jack. "Liam Neeson opens up about working with his son on action thriller Cold Pursuit". The Irish Post.
↑  Jr, Mike Fleming (2015-07-02). "Michael Neeson Debuts As Michael Collins In 'The Rising,' Playing The Role His Dad Made Famous". Deadline (באנגלית אמריקאית). נבדק ב-2021-05-28.
↑  Billen, Andrew. "Micheál Richardson: How my dad Liam Neeson and I made a film about grief".
↑  by Patricia Danaher, Jilly Beattie; 21:28, 2 Aug 2020 (2 באוגוסט 2020). "Liam Neeson's son Michael on life, loss and how he's still looking for love". BelfastLive. {{cite web}}:  (עזרה)תחזוקה - ציטוט: numeric names: authors list (link)
מייקל רליס

| --- | --- |

מוס, אפריל 2018
 לידה:  11 באוקטובר 1989 (בן 35) אדינה, מינסוטה, ארצות הברית
 שם במה:  דיג ראוליס מייקל קרטר מייק ראוליס רידיק מוס מאדקאפ מוס
 משקל:  111 ק"ג
 גובה:  1.91 מטר
 לאום:  אמריקאי
 קריירה מקצוענית:  18 בדצמבר 2014 – הווה (9 שנים)
 מאמנים:  WWE Performance Center
 ליגות:  WWE
 מידע אישי
 בן או בת זוג:  טניל דאשווד (2022–?) 
 
מייקל רליס (באנגלית: Michael Rallis; נולד ב-11 באוקטובר 1989), הידוע יותר בשם הבמה שלו, מאדקאפ מוס הוא מתאבק אמריקאי, המופיע בארגון ההיאבקות WWE, בתוכנית סמאקדאון.
החיים שלפני

רליס נכח באוניברסיטת מינסוטה, שבה שיחק בקבוצת הפוטבול של המדינה בין השנים 2008 ל-2012. לאחר שסיים את הקולג', הוא היה במחנה האימונים של קבוצת המיאמי דולפינס, אך לבסוף לא הוחתם לחוזה בקבוצה. באוקטובר 2013 רליס היה במבחני קבלה של ארגון ההיאבקות, ה-WWE.
קריירת היאבקות מקצועית > WWE > NXT ואלוף 24/7 (2014–2020)

בתחילת שנת 2014 רליס חתם על חוזה פיתוח עם ה-WWE והחל להתאמן במתחם האימונים של הארגון. את הופעת הבכורה שלו בזירה ערך בקרב שלא שודר לטלוויזיה ב-18 בדצמבר תחת השם דיג ראוליס. את הבכורה הטלוויזיונית שלו ערך ב-27 במאי 2015 במסגרת התוכנית NXT בקרב זוגות לצד אליאס סמסון בהפסדם לבלייק ומרפי. לאחר מכן ראוליס ערך מספר קרבות בשארית שנת 2015, שבהם הפסיד למתאבקים כמו ההייפ ברוס (זאק ריידר ומוג'ו ראולי) וסמואה ג'ו. בחודש אוגוסט באותה השנה החל להתחרות תחת השם רידיק מוס, כמחווה לשחקן ה-NFL, רנדי מוס.
באוקטובר 2016 מוס חבר למתאבק טינו סבטלי, שביחד כינו את עצמם "אתלטים שאלוהים ברא", כשהשניים מתחרים בטורניר הזוגות לזכר דאסטי רודס, שם הודחו כבר בסיבוב הראשון על ידי הזוג TM-61 בפרק של NXT, שהתקיים ב-12 באוקטובר. מוס וסבטלי הפסידו בקרב נוסף ב-4 בינואר 2017, הפעם לריבייבל (דאש ויילדר וסקוט דוסון). חמישה חודשים לאחר מכן הפסידו לזוג DIY (ג'וני גרגאנו ותומאסו צ'אמפה). את ניצחון הבכורה שלהם השיגו ב-25 באוקטובר, כשגברו על אוני לורקאן ודני בורץ'. בתחילת שנת 2018 מוס וסבטלי השתתפו בטורניר הזוגות לזכר דאסטי רודס, כשהם מפסידים ומודחים בסיבוב הראשון לקבוצת SAnitY (אלכסנדר וולף ואריק יאנג). ב-25 באפריל במהלך קרב הזוגות נגד ה-Heavy Machinery (אוטיס וטאקר נייט) מוס בא לתת יד לסבטלי כדי שיחליף אותו בקרב, אך סבטלי התחמק והשאיר את מוס לבד בזירה מול דוזוביץ' ונייט אשר ניצחו בקרב. התחמקות זו של סבטלי סיימה למעשה את החברות בין השניים והפכה את דמותו של סבטלי לדמות הילית (דמות רעה השנואה על הקהל). במאי 2018, הוא קרע את גיד אכילס. חזרתו מפציעה הגיעה ב-30 בנובמבר במהלך מופע חי, כאשר הוא נחל הפסד למאט רידל. במרץ 2019, הוא החל להיות מלווה על ידי רוברט שטראוס במהלך מופעים חיים של NXT. ב-8 במאי 2019, מוס הפסיד לראול מנדוזה בקרב הטלוויזיוני הראשון שלו מאז החזרה מפציעה.
ב-27 בינואר 2020 בפרק של התוכנית Raw, מוס ערך את הבכורה שלו ברוסטר הראשי, כשהחל ללוות לזירה את מוג'ו ראולי במהלך הקרב על אליפות 24/7 נגד נו ויי חוסה. ראולי הפסיד את התואר ל-R-טרות' מיד לאחר ניצחונו על חוסה. לעומת זאת, מוס סייע לראולי להשיב אליו את חגורת האליפות שניות ספורות לאחר מכן. ב-10 בפברואר בפרק של התוכנית Raw, לאחר הפסדם בקרב זוגות לסטריט פרופיטס (אנג'לו דוקינס ומונטז פורד); לאחר הקרב, מוס הצמיד במפתיע את ראולי לניצחון וכתוצאה מכך הפך לאלוף 24/7 החדש. שבוע לאחר מכן, מוס רשם הגנה מוצלחת על התואר במסגרת קרב משולש נגד ראולי ו-R-טרות'. ב-2 וב-9 במרץ, מוס הגן בהצלחה על אליפות 24/7 בקרבות יחידים נגד ריקושט וסדריק אלכסנדר, בהתאמה. ב-22 במרץ, מוס הפסיד ל-R-טרות' וכתוצאה מכך איבד את תוארו; הפסד זה קטע תקופת כהונה של 41 ימים כאלוף. באוקטובר, מוס סבל מקרע ברצועה הצולבת הקדמית.
קריירת היאבקות מקצועית > WWE > הציוות להאפי קורבין (2021–2022)

לאחר שנעדר מפעילות במשך קרוב לשנה, מוס חזר להתאבק ב-17 בספטמבר 2021 בפרק של התוכנית סמאקדאון וניצח את אודיסי ג'ונס במסגרת קרב חושך (קרב שאינו שודר בטלוויזיה). שבוע לאחר מכן בתוכנית, הוא רשם את חזרתו הטלוויזיונית, כשתקף את קווין אואנס תוך כדי שהוא חבר להאפי קורבין. ב-1 באוקטובר בתוכנית, שם הבמה שלו שונה למאדקאפ מוס. מאוחר יותר, קורבין ניצח את אואנס בקרב יחידים ולאחר מכן השניים נקלעו לפיוד עם המלך נקאמורה וריק בוגז.
לאחר פיוד זה, מוס וקורבין נכנסו לפיוד עם דרו מקינטייר, לאחר שהשניים צחקו על מקינטייר שהוא לא ניצח בקרב הבאטל רויאל אשר קבע את הטוען לכתר לאליפות האוניברסלית. במשך שבועות, הם המשיכו להטיח עלבונות במקינטייר ואף סיפרו בדיחות על חשבונו. דבר זה הוביל לקיום קרב בין השניים באירוע Day 1, שנערך ב-1 בינואר 2022, שבו מוס הפסיד. באירוע הרויאל ראמבל, שנערך ב-29 בינואר, מוס התחרה בקרב הרויאל ראמבל המסורתי הראשון שלו, כשנכנס כמספר ה-19, הספיק לשהות בקרב כארבע וחצי דקות ולהדיח את AJ סטיילס, אך הודח על ידי דרו מקינטייר, הדחה שהמשיכה את הפיוד. באירוע תא ההדחות, שנערך ב-19 בפברואר, מוס הפסיד למקינטייר בקרב ספירות בכל מקום. ב-1 באפריל בפרק של התוכנית סמאקדאון, מוס ניצח בקרב הבאטל רויאל לזכרו של אנדרה הענק לאחר שהדיח אחרון את פין באלור.
בלילה הראשון של האירוע רסלמניה 38, שנערך ב-2 באפריל, הוא ליווה את קורבין לקרב שלו מול מקינטייר. קורבין הפסיד בקרב זה וכשמוס ניסה לתקוף את מקינטייר לאחר הקרב, מקינטייר השתמש בחרב שלו וקרע את שני חבלי הזירה העליונים שהיו בסמוך למוס. ב-8 באפריל בפרק של התוכנית סמאקדאון, האפי קורבין האשים את מוס על הפסדו ברסלמניה למקינטייר. קורבין ומוס נקלעו לתיגרה ביניהם, כשהאחרון הפך בפעם הראשונה לדמות הטובה מאז שנת 2015. צעד שהוביל לפרידה.
קריירת היאבקות מקצועית > WWE > תחרות יחידנית (2022–היום)

ב-15 באפריל בפרק של התוכנית סמאקדאון, מוס חזר לתחרות יחידנית, כשגבר על הומברטו, חצי מהצמד לוס לות'ריוס. שבוע לאחר מכן בתוכנית, מוס ניצח את החצי האחר, אנג'ל. לאחר הקרב, מוס הותקף על ידי האפי קורבין לאחר שמוס סירב לחזור אליו. כמו כן, קורבין גנב את הגביע לזכר אנדרה הענק של מוס. ב-29 באפריל בפרק של התוכנית סמאקדאון, מוס הפריע לתוכנית האירוח "Happy Talk" של קורבין לאחר שהסווה את עצמו כצלם, הסוואה שאיפשרה לו לתקוף את קורבין ולהשיב אליו את הגביע. שבוע לאחר מכן בתוכנית, מוס הפריע שוב לתוכנית האירוח של קורבין, כשסיפר בדיחות על האפי קורבין. באירוע רסלמניה באקלאש, שנערך ב-8 במאי, ובאירוע גיהנום בכלוב, שנערך ב-5 ביוני, מוס גבר על האפי קורבין בקרבות יחידים, כאשר האחרון היה תחת חוקי קרב ללא חוקים. ב-17 ביוני, מוס ניצח פעם נוספת את קורבין בקרב שלמעשה סגר את הפיוד בין השניים. במופע המקדים לאירוע Clash at the Castle, שנערך ב-3 בספטמבר, מוס והסטריט פרופיטס (אנג'לו דוקינס ומונטז פורד) ניצחו את אוסטין ת'יאורי ואקדמיית אלפא (צ'אד גייבל ואוטיס). ב-16 בספטמבר, מוס כשל בניסיונו לזכותו באליפות צפון אמריקה של NXT לאחר שהפסיד לאלוף, סולו סיקואה. ב-28 באוקטובר וב-18 בנובמבר, מוס הפסיד לקאריון קרוס בקרבות יחידים. ב-17 בפברואר 2023, מוס כשל בניסיונו לזכות באליפות הבין יבשתית לאחר שהפסיד לגונתר. ב-14 באפריל, מוס הפסיד לשינסקה נקאמורה.
אליפויות והישגים

הישגים במגזין ההיאבקות Pro Wrestling Illustrated - PWI
PWI דירג אותו במקום ה-373 מתוך 500 המתאבקים הטובים ביותר לשנת 2020
הישגים בארגון ההיאבקות World Wrestling Entertainment - WWE
אליפות 24/7 של ה-WWE‏ (פעם אחת)
הגביע לזכר אנדרה הענק (2022)
מספר אור

במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעיתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורווגי אייסטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190.
לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:
ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא:
גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור.
מספרי אור ומספרים מושלמים

אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו  M, מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל- M עצמו. מכאן נובע ש- M הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את  M.
אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, נשים לב שסכום כל המחלקים של מספר מושלם  M הוא בדיוק  2M. לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא  2M \over d(M), כאשר  d(M)‎ הוא מספר המחלקים של  M. לכל  M,  d(M) הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם  M הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק  m של  M, מחלק שונה ממנו -  M \over m. אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה  q^{\alpha }, כאשר  \alpha \equiv 1{\pmod {4}}. לכן, עבור מספר מושלם כלשהו  M,  d(M) הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא  {\frac {2M}{d(M)}}. לכן,  M הוא מספר אור-הרמוני.
אור שִׁיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.
חסמים וחיפושים באמצעות מחשב

W. H. Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-107, ו-Graeme L. Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.
Cohen,‏ Takeshi Goto ואחרים, כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×109, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.
תכונות

אם  M הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי, אז  M=1 או  M=6.
אם  M הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז  M הוא לא אור-הרמוני.
אם  M הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז  M הוא מספר מושלם זוגי.
ראו גם

שבר יסודי
הערות שוליים

↑  אם  d הוא מספר המחלקים והסכום עובר על כל המחלקים  m של  M, אז  {\frac {d}{\sum {\frac {1}{m}}}}\cdot {\frac {\sum m}{d}}=\sum m\cdot {\frac {M}{\sum {\frac {M}{m}}}}=\sum m\cdot {\frac {M}{\sum m}}=M
↑  אך לא פרסם. Muskat, Joseph B. (1966). "On Divisors of Odd Perfect Numbers". Mathematics of Computation 20 (93): 141–144. doi:10.2307/2004277
↑  Ore, Øystein (1948). "On the averages of the divisors of a number". American Mathematical Monthly 55: 615–619
↑  M. Garcia, "On numbers with integral harmonic mean". American Mathematical Monthly 61 (1954), 89-96
↑  C. Pomerance, Abstract 709-A5, Notices American Mathematical Monthly 20 (1913) A-648.
מכירי כהונה

מכירי כהונה הוא כינוי תלמודי להסכם בלתי רשמי, שלפיו תושבי עיר מסוימת או משפחה מסוימת נוהגים לתת את יבולם של מתנות כהונה אך ורק לכהן מסוים.
במונח ההלכה, הסכם מכירי כהונה הוא שטר מכר שעליו חותם כהן שהוא מוכר את זכות כל בני שבטו הכהנים לקבלת מתנות הכהונה של זרוע, לחיים וקיבה בעד סכום כספי.  לפי הרגיל, ההסכם נחתם בחודש ניסן ועומדת בתוקפה למשך השנה עד חודש ניסן הבא.
מקורות הביטוי במקרא

חז"ל, על הפסוק ”וְגַם עִירָא הַיָּאִרִי הָיָה כֹהֵן לְדָוִד” (שמואל ב כ כו) דרשו שדוד המלך היה נוהג להעביר מתנותיו (תרומות ומעשרות בכלל) אל עירא היאירי הכהן בלבד -דהיינו שעירא היאירי היה הכהן ה"מוכר" של דוד המלך.
מקור נוסף מופיע במילים שאמר יואש (מלך יהודה) אל הכהנים ”וַיֹּאמֶר יְהוֹאָשׁ אֶל הַכֹּהֲנִים..יִקְחוּ לָהֶם הַכֹּהֲנִים אִישׁ מֵאֵת מַכָּרוֹ וְהֵם יְחַזְּקוּ אֶת בֶּדֶק הַבַּיִת לְכֹל אֲשֶׁר יִמָּצֵא שָׁם בָּדֶק ” (מלכים ב יב ו).
מקורות הביטוי במקרא > במשנה ותלמוד

במשנה, מופיע מקרה שאיש ישראל הלווה לכהן מעות על תנאי שהמתנות הניתנות ממנו (איש הישראלי) בדרך כלל אליו (לכהן) יימכר כהתשלום שהכהן חייב להאיש הישראלי.
בתלמוד מוסבר שהאיש הישראלי קיים מצוותו של נתינת המתנות על אף שלא הגיע עצם המתנות אל יד הכהן הואיל שמדובר במקרה של "מכירי כהונה" (שאינו רגיל ליתן אלא לכהן זה).  דעת עולא בגמרא היא שעצם העניין שכאן קבעו חז"ל כאילו המתן התקבל ליד כהן ובאמת לא בא לידו, הוא כולו תקנת חכמים כדי שיימצא לכהן מעות ללוות אם יצטרך לכך.
כמו כן, בתלמוד בבלי מובא מקרים מסוימים שלפיהם כהן שהוא גם תלמיד חכם, גם עני, וגם "מוכר בכהונה" בשכונתו רשאי לזכות את מתנותיו לאחר על אף שלא הגיע לידו כלל
היסטוריית הסכם מכירי כהונה בארץ ישראל

בימי כהונת הרב לוי בן חביב כרבה של ירושלים הפעיל הסכם עם הכהנים להמיר מתנת הזרוע, לחיים וקיבה בעד מתנת דמים.
הרב צבי פסח פרנק, כרבה של ירושלים, הפעיל מנהג זו בשינוי שלא להעביר כסף המותן לכל הכהנים (כמנהג הרב בן חביב) -אלא בוחרים כהן אחד מבין שבט הכהנים והוא חותם על ההסכם עבור אחיו הכהנים.
הרב פרנק הפעיל הנהגה זו כלכתחילה בנימוקו שנתינת המתנות יגרום הפסדים גדולים לבעלי האטליזים,  הואיל ועל ידי קיום המצווה כפשוטה יתייקר מחיר הבשר הכשר בארץ וייתכן שעל ידי הפרזת המחירים יבואו העם לידי מכשולות.
היסטוריית הסכם מכירי כהונה בארץ ישראל > המאזן השנתי של מועצת הדת

בשנת תשכ"ז, הדפיס הרב ברוך ישר ספר בשם תורת הכהן והלוי בימינו, בה העתיק נוסח שטר ההסכם עם הכרה להרב שמואל הכהן וינגרטן שמסר לו המאזן השנתי של המועצה דתית, ובו סעיף מיוחד אודות המתנות:
היות שמכל שור ושה השחוטים כשר חייבים בעליהם במתנות, כהונה "הזרוע, הלחיים, והקיבה".  אך הואיל וטריחא טובא לכהנים להופיע מדי פעם בבית המטבחיים או באטליזים לקבל חלקם, בעיקר כשהמתנות-כהונה הנם כממון שאין להם תובעים, כיון שטובת הנאה היא של הבעלים ונותנים למי שרוצים, ולפיכך הכהנים הצנועים מושכין את ידיהם ואינם שואילין כלל.
לפיכך הונהג מקדמת דנא פעיה"ק תו"ב שהבעלים מוסרים את זכותם לחלוקת מתנות-כהונה ליד הבד"צ שע"י מחלקת השחיטה, והבד"צ או בא-כחו יחלקו את המתנות-כהונה למי שירצו, וכהנים אלה מוכרים את המתנות-כהונה תמורת סכום קצוב לבד"צ ולבא כחו, כדי שלא יצטרכו הכהנים לטלטל ולטרוח, לקחת, לחשב, ולמכור.
לשם כך הנני הח"מ מאשר בזה כי קבלתי מהמועה"ד סך.... ל"י על ידי שיק מספר ........ כהלואה, ומעתה כל חלק ממתנות כהונה שברצונכם יהיה לתת לי במשך שנת ניסן תש.. - ניסן תש... () מכור יהיה לכם מיד לעשות בו כרצונכם - תמורת כספי ההלואה הנ"ז.
להסכם זה קמו מתנגדים בטענה כי אין לכהן פרטי סמכות לוותר על מתנת כלל הכהנים ו"למכור" את המצווה. בנוסף קיים חשש שהמכירה איננה נעשית בשווי האמיתי של הבשר, וגם איננה נעשית תוך הסכמה אמיתית ומלאה של הכהן, וכמו כן מונעת מהכהן האפשרות לאכול את המתנות "בצלי ובחרדל" כדרשת התלמוד.
הערות שוליים

↑  אמנם, הנהגה זו הביא על העם עונש מן השמים, לכן אמרו חז"ל שאין מן הנכון לעשות כן אלא טוב לבעלים לחלקם למספר של כהנים (בתנאי שלכל כהן יגיע חתיכה מכובדת לידו) -ראה פירש"י ורד"ק על הפסוק "עירא היארי היה כהן לדוד" -שמואל ב כ:כו
↑  גיטין ג ז
↑  פירוש המלאכת שלמה מביא מספר מקרים שחז"ל קבעו זכות קנייה למי שבדרך כלל אין לו סמכות של קנייה: "עני המנקף בראש הזית", "מצודות חיות ועופות", "מציאת חרש", "כל שחליפיו ביד כהן פטור מן המתנות", "השוכר את הפועל ילקט בנו אחריו"
↑  תלמוד בבלי, מסכת  חולין, דף קל"ג, עמוד א'
↑  בסך של "חצי מטבע כסף" לכל גדי הנשחט, מטבע כסף שלם לשה הנשחטת, ושני מטבעות כסף לפרה -שו"ת אבקת רוכל תשובה י.  עקב שכיהן הרלב"ח בזמן האימפריה העות'מאנית ותחת ממשלת המלך סלים הראשון, מסתבר לומר שמטבעת הכסף הייתה מטבעת ה"silver akce" שמשקלה בין 0.4 ל 0.7 גרם כסף נקי
↑  המכשולות שאליו התכוון הרב לא הוסבר בין כתביו
↑  תורת הכהן והלוי בימינו", דף עט
↑  יושב ראש המועצה"ד בירושלים
↑  פרי חדש ליורה דעה סא, טז ("הוא מנהג משובש וראוי לבטלו"); וכן בתשובת מהר"י קורקוס שהאריך בסיבות אלו (התשובה מופיעה בשולי הדף במהדורת פרנקל לפרק ט מהלכות ביכורים ומתנות כהונה לרמב"ם)
מספר אי-רציונלי

מספרים אי-רציונליים
מספר אי-רציונלי הוא מספר ממשי שאינו מספר רציונלי, כלומר שלא ניתן להציגו כמנה של שני מספרים שלמים. כל מספר ממשי הוא רציונלי או אי-רציונלי (אך לא שניהם גם יחד). לעיתים קשה לקבוע לאיזו משתי הקבוצות משתייך מספר מסוים (ראו, למשל, קבוע אוילר).
בהצגה של מספר אי-רציונלי כשבר עשרוני יש מימין לנקודה מספר אינסופי של ספרות, ללא מחזוריות כלשהי, ולכן ביכולתנו לרשום רק מספר סופי של הספרות הראשונות שמימין לנקודה (ברמת הדיוק הרצויה לנו), ואת ההמשך לסמן בשלוש נקודות (למשל:  \ \pi =3.141592...).
גילוי המספרים האי-רציונליים

ההתייחסות למספרים לא רציונליים כגון שורש 2 הופיעה בתרבויות קדומות שונות כחלק מחקירת צורות גאומטריות, אך גילוי המספרים האי-רציונליים, כלומר זיהוי ייחודיותם, מיוחס לכת הפיתגוראים. נהוג לייחס את הגילוי הראשון של מספר אי-רציונלי, שורש 2, לתלמיד של פיתגורס, היפאסוס. קיומם של המספרים האי-רציונליים היה מכה קשה לפילוסופיה הפיתגוראית שהחזיקה באמונה ביופיים ושלמותם של המספרים ובכך שכל תופעה ניתנת לתיאור באמצעות הרמוניות בין מספרים טבעיים (כלומר, יחסים שהם מספרים רציונליים); היפאסוס נהרג בטביעה, הנחשבת כהוצאה להורג בידי חבריו לכת הפיתגוראית. ברם, בסופו של דבר הגילוי הוביל להגדרה וחקירה של מספרים אי-רציונליים. במסגרת החקירה זיהו היוונים מספר רב של מספרים שאינם רציונליים, גילו מאפיינים שונים שלהם ופיתחו שיטות שונות להתייחסות וטיפול בהם. תיאודורוס מקירנה (אנ') בן המאה הרביעית לפני הספירה, הוכיח (לפי פרוקלוס) שהשורשים של המספרים השלמים מ-2 עד 17 (למעט הריבועים 4, 9 ו־16) אינם רציונליים. אחת התגליות של היוונים הייתה שכל שורש ריבועי של מספר טבעי שאינו מספר שלם הוא מספר אי-רציונלי.
ייסוד תורת המספרים האי-רציונליים מיוחסת לאאודוקסוס מקנידוס. חקירה מעמיקה של יחסים רציונליים ואי-רציונליים הוצגה על ידי אוקלידס, הנודע מבין הגאומטריקנים היוונים, בספר "יסודות", הנחשב לפסגת הישגיו. בין החוקרים המודרניים יש התופסים את "יסודות" כספר שיעדו המרכזי הוא העיסוק בתורת המספרים האי-רציונליים.
דוגמאות

הדוגמה הקלה והמפורסמת ביותר למספר אי-רציונלי היא שורש 2, שהוא מספר ממשי השווה לאורך האלכסון של ריבוע שצלעו יחידה אחת (ראו משפט פיתגורס). ההוכחה שמספר זה אינו רציונלי היא בדרך השלילה:
הוכחה זאת עובדת לכל מספר חופשי מריבועים. כדי להוכיח עבור מספר טבעי שאינו ריבועי אך גם אינו חופשי מריבועים, יש לפרק אותו למכפלה של מספר ריבועי ומספר חופשי מריבועים. מכפלת השורשים של מספרים אלו היא השורש של המספר המקורי; זוהי מכפלה של מספר רציונלי במספר אי-רציונלי, הנותנת מספר אי-רציונלי.
דוגמה נוספת למספרים אי-רציונליים מתייחסת לפונקציית לוג ( \log ): לכל שני מספרים ראשוניים שונים, p ו-q, המספר  \ \log _{q}p={\tfrac {\log(p)}{\log(q)}} אינו רציונלי, משום שאם היחס היה רציונלי, אפשר היה לכתוב  \ {\tfrac {\log(p)}{\log(q)}}={\tfrac {a}{b}} עבור a ו-b שלמים, אבל אז  \ p^{b}=q^{a}, וזה בלתי אפשרי.
דוגמה אחרת למספר אי רציונלי היא המספר π (פאי), שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו. ערכו הוא  \ 3.14159265..., קרוב ל-  \ {\tfrac {355}{113}}=3.14159292..., אך הוכח שאין שני מספרים שלמים שחלוקתם זה בזה תיתן את ערכו המדויק של π.
מספרים אי-רציונליים מפורסמים נוספים הם e ויחס הזהב.
כל מספר טרנסצנדנטי (מספר שאינו אלגברי) הוא אי-רציונלי. ההפך אינו בהכרח נכון. למשל  {\sqrt {2}} ויחס הזהב הם מספרים אלגבריים אי-רציונליים.
אף שמספרים אי-רציונליים נפוצים פחות בחיי היום-יום, ניתן להראות כי כמעט כל המספרים הם אי-רציונליים. זאת משום שעוצמת המספרים הרציונליים היא  \aleph _{0} בעוד עוצמת המספרים האי-רציונליים היא  \!\,\aleph  (ראו האלכסון של קנטור).