קרל פרידריך גאוס
ביוגרפיה > שנות הביניים

בעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799, "הוכחה חדשה לכך שכל פולינום במשתנה אחד ניתן לפרק כמכפלה של גורמים ממשיים מן המעלה הראשונה והשנייה", סיפק גאוס הוכחה מבריקה של המשפט היסודי של האלגברה, משפט חשוב שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים מרוכבים. עבודת הדוקטורט שלו הכילה ביקורת וסקירה מקיפה של ניסיונות הוכחה קודמים של המשפט, שנעשו על ידי אוילר, לגראנז' וד'אלמבר, והיא הייתה העבודה הראשונה שהצביעה על הפגם הבסיסי בהוכחות קודמות אלו של משפט זה. ההוכחה שלו הכילה טיעון מקורי, טופולוגי במהותו, והגישה הכללית שנקט בהוכחה הייתה מקורית. באופן אירוני, גם ההוכחה של גאוס לא הייתה שלמה, והיה בה פער לוגי, בשל שימוש "מובלע" במשפט העקום של ז'ורדן, ולפיכך היא אינה קבילה בסטנדרטים מודרניים. גאוס זיהה את החלל בהוכחתו, ובמרוצת חייו סיפק עוד שלוש הוכחות שונות של תוצאה זו; שתיים נוספות ב-1816 (האחת אלגברית באופיה והשנייה אנליטית), והאחרונה שבהן ב-1849, הנחשבת לדקדקנית ביותר מביניהן, לפי הסטנדרטים של היום. מאמציו להוכיח את המשפט היסודי הסירו לחלוטין את הספקות לגבי תקפותם של המספרים המרוכבים.
ב-1801 פרסם גאוס את יצירת המופת הגדולה ביותר שלו: "מחקרים אריתמטיים" (Disquisitiones Arithmeticae), שאת כתיבתה השלים עוד ב-1798, אך החליט לפרסמה רק שלוש שנים מאוחר יותר. ביצירה זו הציג גאוס לראשונה כלי חדש לתיאור בעיות בתורת המספרים - אריתמטיקה מודולרית, הוכיח לראשונה את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות, ויצר תאוריה של בנייה בסרגל ובמחוגה (שעל פיה הוכיח כי המצולע המשוכלל בן 17 צלעות ניתן לבנייה). הניתוח שגאוס נתן בספרו לתורת התבניות הריבועיות היה מעמיק במיוחד, ומלא ברעיונות ובמושגים חדשים. האופן שבו ניתח בעיות והקונספציה החדשה שהציג בספר היוו מקור השראה למתמטיקאים במשך דורות רבים אחרי פרסומו. כך, למשל, ניתוחו של גאוס את בעיות הבנייה בסרגל ומחוגה הכיל חלק מהאלמנטים הרעיוניים של תורת גלואה, וספר זה היווה מקור השראה לגלואה.
באותה שנה גילה האסטרונום האיטלקי ג'וזפה פיאצי את האסטרואיד קרס. אולם פיאצי היה יכול לעקוב אחריו רק למשך מספר חודשים בלבד, וחלק מסלולו שבו הצליח לצפות היווה רק 3 מעלות בשמי הלילה. לאחר מכן נעלם קרס באופן זמני מאחורי ההילה של השמש. מספר חודשים מאוחר יותר, כאשר קרס היה אמור להופיע שוב, לא היה פיאצי מסוגל לאתר אותו מחדש: הכלים המתמטיים של התקופה לא היו מסוגלים לבצע חיזוי של מיקום האסטרואיד על פי מידע כל-כך זעום, שכן 3 מעלות מהווים פחות מ-1% ממסלולו של האסטרואיד.
גאוס, שהיה אז בן 23, שמע על הבעיה והחליט לנסות ולחזות את מיקומו של האסטרואיד. לאחר שלושה חודשים של עבודה מאומצת, הצליח גאוס לחזות את הזמן (דצמבר 1801) ואת המקום שבו יופיע האסטרואיד קרס שוב. ואכן, שנה לאחר שנראה בפעם הראשונה, הופיע קרס מחדש בזמן ובמקום שגאוס חזה. התחזית למיקום התבררה כמדויקת בדרגה של חצי-מעלה כאשר האסטרואיד נצפה על ידי הברון פרנץ פון זאך ב-31 בדצמבר 1801 בעיר גותה, ויממה מאוחר יותר על ידי היינריך אולברס בברמן. ההישג הביא לגאוס תהילה והכרה מיידית גדולה, והוביל לכך שהוצעה לו משרה כפרופסור לאסטרונומיה וכמנהל מצפה הכוכבים של אוניברסיטת גטינגן. העובדה שהחיזוי היה כה מדויק, חרף מגבלות הכלים המתמטיים בני אותו זמן, זעזעה את הקהילה המדעית באותה תקופה. זאך כתב כי "בלעדי העבודה האינטליגנטית והחישובים של גאוס ייתכן כי לעולם לא היינו מוצאים מחדש את קרס שוב". בשלב זה בחייו עדיין נתמך גאוס במלגה שניתנה לו מטעם הדוכס מבראונשווייג ולא נזקק לעבודה. אולם עם מותו של הדוכס ב-1807, החליט לקבל את המשרה שהוצעה לו והחזיק בה עד יום מותו.
השיטה של גאוס הייתה כרוכה בקביעת חתך חרוט במרחב בהינתן המוקד שלו (השמש), וחיתוך החרוט עם 3 ישרים נתונים (קווי ראייה מכדור הארץ לקרס, כשכדור הארץ עצמו נע במסלול אליפטי), ובהינתן הזמן שנדרש לקרס לעבור את הקשתות המותוות בין ישרים אלו (אשר מהם ניתן לחשב את אורך הקשתות באמצעות החוק השני של קפלר). בעיה זו מובילה למשוואה ממעלה שמינית, שפתרון אחד שלה, מסלול כדור הארץ, ידוע. הפתרון שמחפשים מופרד אז מ-6 האחרים בהתבסס על התנאים הפיזיקליים. בעבודה זו גאוס השתמש בשיטות קירוב מעמיקות שיצר במיוחד לצורך מטרה זו.
שיטה אחת כזו הייתה טרנספורם פוריה מהיר (Fast Fourier Transform). בעוד שיטה זו מיוחסת בדרך כלל למאמר משנת 1965 של המתמטיקאים ג'יימס קולי וג'ון טוקי, גאוס פיתח אותה כשיטת אינטרפולציה טריגונומטרית. המאמר שלו, Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata, פורסם רק לאחר מותו בכרך השלישי של אוסף העבודות שלו. עבודה זו אף חוזה את ההצגה הראשונה של ז'וזף פורייה על הנושא בשנת 1807.
גילוי האסטרואיד קרס על ידי פיאצי הוביל את גאוס לעבודתו המונומנטלית על התאוריה של תנועת אסטרואידים המושפעים מגופים גדולים, אותה פרסם בשנת 1809 בשם "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש". בעבודה זו הוא כיסה, איחד וייעל את המתמטיקה של חיזוי המסלולים של המאה ה-18 עד כדי כך שהיא נחשבת לאבן פינה בתולדות האסטרונומיה החישובית. החיבור הציג את קבוע הכבידה הגאוסי, והכיל יישום מעמיק וממצה של שיטת הריבועים הפחותים אותה המציא, שיטה אשר משתמשים בה בכל ענפי המדעים המדויקים כדי להקטין למינימום את ההשפעה של שגיאות המדידה. באמצעות הגדרת ההתפלגות הנורמלית של שגיאות, הוכיח גאוס בחיבורו את שיטתו שלו (ראו גם: סטטיסטיקת גאוס-מרקוב). ההתפלגות הנורמלית, שנחשבת להתפלגות החשובה ביותר בסטטיסטיקה ומיושמת בתחומי חיים רבים ובכל תחומי המדע, נקראת מאז בשם "פעמון גאוס" או "גאוסיאן". שיטה זו תוארה קודם לכן על ידי לז'נדר ב-1805 אך גאוס טען כי הוא השתמש בה כבר ב-1795.
בין השנים 1812 ל-1818, השנים הראשונות לאחר חזרתו לגטינגן, היה לגאוס פרץ נוסף של רעיונות יצירתיים בתחומים שונים במתמטיקה, ובעקבותיו פרסם מספר רב של מאמרים בולטים, בהם מאמרו משנת 1813 בו מצא באופן אנליטי טהור את המשיכה שיוצר אליפסואיד בכל נקודה במרחב, מאמרו "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" שפתח את העידן הריגורוזי של האנליזה המתמטית והיה הדיון השיטתי הראשון על טורים היפרגאומטריים וההצגה של הפונקציה ההיפרגאומטרית, מאמרו "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב" - חיבור על שיטה חדשה לאינטגרציה נומרית, מאמרו "קביעת הדיוק של תצפיות" ובו דיון באמדים סטטיסטיים, וכן מאמרו פורץ הדרך באסטרונומיה תאורטית משנת 1818 בו הוכיח שהפרטורבציה המסלולית הנגרמת על ידי גוף מסיבי לגוף קטן שקולה לפרטורבציה אשר הייתה נגרמת על ידי טבעת מסה אליפטית שצפיפותה בכל נקודה פרופורציונלית למסת הכוכב ויחסית הפוך למהירותו באותה נקודה (עבודתו על הפרטורבציות במסלולו של פאלאס הובילה אותו למשפט זה).
ב-1818 החליט גאוס לנצל את יכולותיו החישוביות לשימוש מעשי והוביל סקר גאודזי של ממלכת הנובר, וקישר לסקרים דניים מקבילים. כדי לקדם את הסקר המציא גאוס את ההליוטרופ, מכשיר העושה שימוש במראה כדי להחזיר את אור השמש על פני מרחקים גדולים במטרה לסמן ולמדוד מרחקים של עמדות. מחקריו בגאודזיה העמידו יסודות חדשים למדע הגאודזיה, ותרמו לנושאים רבים: יישומים מתמטיים כגון התאוריה המתמטית של קווים גאודטיים על משטח עקום, תיאור הצורה של כדור הארץ (בין היתר טבע את המונח "גאואיד") והסבר לאי רגולציות שלה, הכנת מפות מדויקות יותר של אזורים שונים, שיטות אינטרפולציה טריגונומטרית ועוד.
הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ובעקומות. בין השאר יצר בתחום זה מושג מרכזי המתאר עקמומיות של משטחים, וקרוי על שמו עקמומיות גאוס. ב-1827, גאוס גילה וניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה (Theorema Egregium), המקשר בין הרעיון של עקמומיות משטח לגאומטריה של הצורות המתקיימות עליו, כלומר לזוויות ולמרחקים הנמדדים על פני המשטח ולהבדל בין תוצאות המדידות על פני המשטח לבין אלו הנקבעות בגאומטריה אוקלידית. המשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית. הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "חקירות כלליות על משטחים עקומים", שהוא יצירתו המרכזית בתחום זה. גאוס ניסח והוכיח גם את המשפט הידוע כמשפט גאוס-בונה, המקשר בין הגאומטריה של משטח לטופולוגיה שלו, משפט בעל חשיבות בהנחת יסודות הטופולוגיה.
ב-1820 החל מתמטיקאי הונגרי בשם יאנוש בויאי, בנו של פרקש בויאי שהיה חבר טוב של גאוס, ליצור את התאוריה שלו לגבי גאומטריה לא-אוקלידית, ופרסם תוצאות לגביה ב-1832. תוצאות אלו הביאו לשינוי פרדיגמה משמעותי בהבנה של תחום הגאומטריה, שכן הן שחררו מתמטיקאים מהאמונה המוטעית שרק באמצעות מערכת האקסיומות של אוקלידס ניתן לבנות גאומטריה עקבית ונטולת סתירות פנימיות. מאוחר יותר טען גאוס שהוא הגיע בעצמו לתוצאות שפרסם בויאי לפניו אבל לא פרסמן מעולם; הוא כתב לפרקש בויאי: "לשבח עבודה זו יהיה זה למעשה לשבח את עצמי. שכן כל תכולת העבודה... מתלכד כמעט במדויק עם ההרהורים המתמטיים שלי עצמי אשר העסיקו אותי במהלך שלושים או שלושים וחמש השנים האחרונות". הוא אכן הגיע לתוצאות אלו, כפי שניתן ללמוד ממכתבו לפרנץ אדולף טאורינוס בשנת 1824, אך סירב לפרסמן מחשש לזעם ההמונים ("מוג לב במקצת" כינה אותו בשל כך מדען המחשב אדסחר דייקסטרה).