stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
פלך ורשה

| --- | --- |
סמל פלך ורשהסמל פלך ורשה

 מדינה:  האימפריה הרוסית האימפריה הרוסית
 בירת החבל ההיסטורי:  ורשה
 תאריך ייסוד:  1844
 שטח:  14,562 קמ"ר
 תאריך נטישה:  1916 
 אוכלוסייה:  ‏
  ‑ בחבל ההיסטורי:  1,983,689 (1897)
 קואורדינטות:  52°14′00″N 21°01′00″E﻿ / ﻿52.2333°N 21.0167°E﻿ / 52.2333; 21.0167 
  מפת מיקום  מפה מפורטת     מפה היסטורית של פלך ורשה  he tabBackground:;tabBorder:#aaa;defaultTab:0;
 
פלך ורשה היה גוברניה של האימפריה הרוסית, שבירתו ורשה. שטח הפלך היה 14,562 קמ"ר, ואוכלוסייתו מנתה 1,983,689 תושבים בזמן מפקד האוכלוסין ב-1897. הוא גבל בממלכת פרוסיה (בהמשך הקיסרות הגרמנית בצפון-מערב, בפלך פלוצק ופלך לומז'ה בצפון, בפלך לובלין במזרח, בפלך פטרוקוב ופלך ראדום בדרום, בפלך קאליש בדרום-מערב. מבחינה מנהלתית פלך ורשה היה מחולק ל־12 אוייזדים.
הפלך נוסד למעשה בשנת 1837, תחת השם "פלך מזוביה". בשנת 1844 שונה שמו לפלך ורשה וצורף אליו שטחו של פלך קאליש, אשר פורק. בשנת 1867 נמסרו חלק משטחו של פלך ורשה לפלך קאליש, שהוקם מחדש ולפלך פיוטרוקוב החדש. פלך ורשה התקיים באופן רשמי עד לסופה של האימפריה הרוסית ב־1917. בפועל, הוא הפסיק להתקיים משנת 1915, בעקבות כיבושו על ידי הצבא הגרמני במהלך מלחמת העולם הראשונה. בתום מלחמת העולם הראשונה נכלל שטחו של הפלך בתחומי הרפובליקה הפולנית השנייה.
אוכלוסייה

חלוקת אוכלוסיית הפלך לפי שפת אם ב-1897:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| שפה | מספר תושבים | % מהתושבים |
| פולנית | 1,420,436 | 73.5 |
| יידיש | 317,169 | 16.4 |
| רוסית | 87,850 | 4.5 |
| גרמנית | 77,160 | 4.0 |
| אוקראינית | 15,930 | 0.8 |
| שפות אחרות | 13,322 | 0.8 |
חלוקת אוכלוסייתה הפלך לפי דת ב-1897:
| --- | --- |
דת: % מהתושבים
נצרות קתולית: 71.5
יהדות: 18.2
נצרות אורתודוקסית: 5.3
לותרניזם: 4.6
דתות אחרות: 0.4
ערים מרכזיות בפלך

ורשה (בירת הפלך)
ולוצלאווק
פולטוסק
קוטנו
סקרנביץ
לוביץ'
הערות שוליים

↑  מפקד האוכלוסין של האימפריה הרוסית ב-1897.
↑  מפקד האוכלוסין של האימפריה הרוסית ב-1897.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  PLWABN: 9810688457805606  VIAF: 8899156133241658430001   WorldCat (עם VIAF): 8899156133241658430001
עולמו המופלא של דיסני

| --- | --- |

פתיח הסדרה
 סוגה:  סדרת אנתולוגיה 
 יוצרים:  וולט דיסני
 בימוי:  המילטון לוסק, וילפרד ג'קסון 
 מנחים:  וולט דיסני 
 שחקנים:  וולט דיסני (מנחה, 1954–1966) (ללא מנחה, 1967-1985) מייקל אייזנר (מנחה, 1986–2005) (ללא מנחה, 2006-2008)
 ארץ מקור:  ארצות הברית ארצות הברית
 שפות:  אנגלית 
 מספר עונות:  54
 מספר פרקים:  1,224
 הפקה
 חברת הפקה:  סרטי וולט דיסני 
 הפצה:  חברת וולט דיסני 
 טכניקת צילום:  מערך מרובה מצלמות 
 אורך פרק:  60-180 דקות
 שידור
 רשת שידור:  ABC (בשנים 1954–1961, 1983-1988, 1997-2008) NBC (בשנים 1961–1981, 1988-1990) CBS (בשנים 1981–1983) ערוץ דיסני (בשנים 1990–1996)
 רשת שידור בישראל:  ערוץ 1, ערוץ 2
 תקופת שידור מקורית:  27 באוקטובר 1954 – 24 בדצמבר 2008
 קישורים חיצוניים
 אתר רשמי
 דף התוכנית ב-IMDb
 
עולמו המופלא של דיסני (באנגלית: The Wonderful World of Disney, לפעמים נקראה בישראל גם עולמו של וולט דיסני, עולמו הנפלא של דיסני ועולמו המופלא של וולט דיסני) היא סדרת טלוויזיה אמריקאית לילדים שהופקה בין השנים 1954 ל-2008 לערוצים ABC, NBC, CBS וערוץ דיסני.
התוכנית כללה אוסף של סרטים בנושאים שונים החל מסרטוני הנפשה וכלה בסרטי הרפתקאות, סרטים תיעודיים וסרטי טבע. חלק מהסרטונים התיעודיים ששודרו בתוכנית התמקדו באמנות ובטכנולוגיה שמאחורי ההנפשות עצמן.
על אף שהמטרה המקורית של התוכנית הייתה ליצור מודעות בקרב קהל הצופים לפארק השעשועים דיסנילנד, הושם בתוכנית גם דגש רב על הפן הבידורי של התוכנית. כמו כן, בהמשך שימשה התוכנית גם לקידום סרטים חדשים של דיסני לפני יציאתם לאקרנים.
את התוכנית הנחה וולט דיסני עצמו בין השנים 1954 ועד מותו בדצמבר 1966. בשנים 1986–2005 הנחה את התוכנית מנכ"ל חברת וולט דיסני מייקל אייזנר.
בישראל, שודרה הסדרה (עם כתוביות תרגום) בשנות השבעים, בשנות השמונים ובשנות התשעים תחילה בטלוויזיה הישראלית ומאוחר יותר בערוץ 2 הניסיוני וכן בערוץ 2 המסחרי.
הגהות אשרי

|  מידע כללי |
| --- | --- |
 מאת:  ישראל מקרמס 
 שפת המקור:  עברית 
 סוגה:  ספרות הלכתית 
 
הגהות אשרי הוא תוספות ל"פסקי הרא"ש". החיבור נכתב במאה ה-14 על ידי רבי ישראל מקרֶמס.
חיבור הספר והשפעתו

הגהות אשרי לוקט בידי רבי ישראל מקרמס, סבו-זקנו של רבי ישראל איסרלן מחבר הספר "תרומת הדשן".
החיבור מכיל ליקוט של פסקי הלכה מראשוני אשכנז, בעיקר מן הספר אור זרוע של ר' יצחק מווינה (בחתימה 'מא"ז') ופסקי מהרי"ח של ר' יחזקיה ממגדבורג (בחתימה 'פר"י מהרי"ח') ועוד, המשלימים את דבריו של הרא"ש.
הגהות אשרי הנמצא בידינו מכיל את רוב מסכתות הש"ס, והייתה לו השפעה רבה על פסיקת ההלכה במשך הדורות, בעיקר כיוון שהספרים המובאים בו לא באו בדפוס עד העת האחרונה (האור זרוע נדפס במאה ה-19 ומהרי"ח לא נדפס בשלמות עד היום).
הערות שוליים

↑  ספר "פסקי הרא״ש"  שכתב רבנו אשר מכונה "ספר האשרי" על שם מחברם, ולכן ההערות על ספר זה מכונות "הגהות אשרי"
↑  פרישת ר' יחיזקיה מורינו הרב יחיזקיה (חתימה כפולה)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007587354205171  VIAF: 5797147270381635700008   WorldCat (עם VIAF): 5797147270381635700008 
ערך זה הוא קצרמרבנושא ספרות תורנית. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
היסטוריה של תורת ההסתברות

ההיסטוריה של תורת ההסתברות כתורה מדעית נחקרת, החלה במאות ה-16 וה-17, כשחישובי ההסתברות נעשו באופן נאיבי ואינטואיטיבי. היא החלה לקבל ביסוס מתמטי במאות ה-19 וה-20, בהן הפכה לתורה מתמטית העומדת על בסיס אקסיומטי איתן.
משחר ההיסטוריה האנושית עסקו בני-אדם בתרבויות שונות בפעילויות הנקבעות באופן אקראי, כמו הימורים ומשחקי מזל. במקרים רבים גרסה האמונה כי הגורל נקבע על ידי האלים, וכי הסתמכות על רכיב הכרעה אקראי היא התגרות באלים ומעשה שטן. האקראיות נותרה עלומה בתפיסתם של בני האדם בתרבויות השונות, עד אמצע המאה ה-16 בה מתמטיקאים החלו בתהליך שהוביל להתפתחותה של תורת ההסתברות התאורטית המטפלת באקראיות בכלים מתמטיים.
לכל אורך ההיסטוריה של תורת ההסתברות היא הייתה בעלת השפעה גדולה על ענפי מדע שונים. בתחילה היא השפיעה על ענפים כמו דמוגרפיה, אפידמיולוגיה ואסטרונומיה, ובהמשך התרחבה השפעתה גם על מתמטיקה וסטטיסטיקה, ובמידה ניכרת גם על אלגוריתמיקה ומדעי המחשב, וכן על ענפי מדעי הטבע, כמו פיזיקה ובפרט פיזיקה סטטיסטית ומכניקת הקוונטים. להתפתחות תורת ההסתברות הייתה השפעה מכריעה על התפתחותם של תחומים יסודיים בתוך כל ענפי המדע הללו, ותמצית השפעתה הייתה המסגרת הפורמלית שהיא סיפקה כדי לכמת גדלים שאינם ידועים; גדלים נצפים, גדלים חישוביים וגדלים תאורטיים. במקרים רבים גם לענפי המדע הללו הייתה השפעה על התפתחותה של תורת ההסתברות.
המחקר על אודות ההיסטוריה של תורת ההסתברות ידוע עוד מאמצע המאה ה-19. בשנת 1865 פרסם המתמטיקאי וההיסטוריון של המתמטיקה אייזיק טודהאנטר את הספר "היסטוריה של התאוריה המתמטית של הסתברות מזמנו של פסקל ועד זמנו של לפלס".
הולדת הקומבינטוריקה ותורת ההסתברות הנאיבית > המקדם הבינומי

תוצאה שקרדנו הציג השייכת לתחום הקומבינטוריקה והתפרסמה מחוץ לספרו האמור, עוסקת במספר תתי הקבוצות בגודל  k איברים מתוך קבוצה בגודל  n איברים. קרדנו פתר את הבעיה באופן הבא: קבוצה טיפוסית מגודל  k מורכבת מאיבר ראשון, עבורו יש  n אפשרויות בחירה, מאיבר שני, עבורו יש  n-1 אפשרויות בחירה, וכן הלאה, עד האיבר ה- k, עבורו יש  n-k+1 אפשרויות בחירה. ובסך הכל ישנן  n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1) אפשרויות לבנות תת-קבוצה בגודל  k. עם זאת, במקרה בו סדר האיברים בתת-הקבוצה אינו משנה יש להקפיד לא לספור פעמיים קבוצות זהות המתקבלות זו מזו על ידי שינוי סדר. מספר המיקומים הפנימיים השונים של  k איברים כלשהם בתוך קבוצה בגודל  k הם:  k מיקומים לאיבר הראשון,  k-1 מיקומים לאיבר לשני, וכן הלאה, עד האיבר ה- k שמיקומו יחיד,  k-k+1=1. בסיכום, מספר האפשרויות לבנות תת-קבוצה כמבוקש שבה הסדר הפנימי אינו חשוב, הוא הנוסחה המפורסמת:
 {\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot 1}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}
תוצאה זו, קומבינטורית באופיה, חיונית לחישובים הסתברותיים בסיסיים. היא התגלתה עוד קודם לכן על ידי לוי בן גרשון (המכונה הרלב"ג), במאה ה-14, אך לא נודעה ברבים בזמנה, והקרדיט עבור הגילוי ניתן למתמטיקאי הצרפתי בלז פסקל שהציג אותה בצורה הפופולרית ביותר — משולש פסקל:
1 שורה 0
1 1 שורה 1
1 2 1 שורה 2
1 3 3 1 שורה 3
1 4 6 4 1 שורה 4
............... .........
ערך כל איבר במשולש הוא סכום שני אילו שמעליו. האיבר ה- k, כאשר  k=0,1,2,..., בשורה ה- n, נותן את הפתרון. למשל, ישנן 6 אפשרויות — האיבר השני (השמאלי ביותר הוא כזכור האיבר ה-0) בשורה הרביעית — לקחת שני עצמים מתוך ארבעה. בנוסף לכך, פסקל הוכיח כ-20 טענות שונות בקשר למשולש זה.
בשנים 1636–1637 מצא מרן מרסן הכללה לנוסחה עבור מקרה בו הסדר הפנימי דווקא משנה. מרסן תיאר את מספר האפשרויות ללקיחת  k_{1} עצמים מסוג אחד,  k_{2} עצמים מסוג שני עד  k_{j} מסוג  j, מתוך  n עצמים, כאשר הסדר הפנימי בתוך כל תת-קבוצה אינו משנה:
 {\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdot \dots \cdot k_{j}!}}
ב-1678 טבע תומאס סטרוד (Strode) את המושג פרמוטציה (בעברית: תמורה) ויישם את נוסחת מרסן לחישוב הסתברות. תחילה חישב סטרוד את מספר הצורות לחלק קבוצה בת  n איברים ל- j תת-קבוצות בגדלים  k_{1},k_{2},...,k_{j} כך שמתקיים  k_{1}+k_{2}+...+k_{j}=n, ולפי נוסחת מרסן מצא כי מספר זה הוא:
באמצעות תוצאה קומבינטורית זו פתר סטרוד את הבעיה הבאה: בהינתן  j קוביות הוגנות כך שהקוביה ה- i היא בעלת  k_{i} פאות (ממוספרות  1,2,...,k_{i}), מהי ההסתברות שבהטלה של כולן יחד, סכום המספרים יהיה  n.
הולדת הקומבינטוריקה ותורת ההסתברות הנאיבית > הויגנס

הצעדים הבאים נעשו על ידי כריסטיאן הויגנס, שפרסם ב-1657 את חיבורו "על חישובים במשחקי מזל". חיבור זה היה הפרסום הפומבי הראשון בענייני הסתברות (ספרו של קרדנו יצא לאור כאמור רק ב-1663). בחיבור זה ישנם כללים שאת כולם הציג הויגנס ברקורסיה, ועל ידי דוגמאות מספריות מסוימות ולא בצורה כללית. חיבורו של הויגנס היווה אבן יסוד בנושא ההסתברות והביא להתעניינות בתחום מצד מתמטיקאים חשובים, לא מעט גם בגלל השעשוע שבפתרון הבעיות שהוצגו בו, כמו יאקוב ברנולי. בנוסף, הוא הקנה לתחום גישה מסודרת ואנליטית.
בנפרד מהבעיות ההסתברותיות בהן דן הויגנס, הוא התייחס לטבלאות חיים — טבלאות בהן מוצגים נתונים על ילודים. כל טבלה מתחילה מגיל אפס ועם השנים חלקם מתים, עד שכולם מסיימים את חייהם. הויגנס התייחס לטבלה כזאת כמין הגרלה בה כל משתתף (ילוד) מגריל כרטיס ובו מספר השנים שנועדו לו, ובכך הציג לראשונה את הקשר העמוק בין סטטיסטיקה לבין תורת ההסתברות.
כמו פרמה ופסקל, גם הויגנס נגע במושג התלות, אך לא הגדיר אותו באופן כללי ומדויק דיו.
הויגנס הציג הכללה של מושג התוחלת, אותה גם הגדיר לראשונה: אם נמצאים במצב בו ישנם שני מאורעות אפשריים, נאמר מאורע  A (למשל זכייה בהגרלה) שערכו הוא  a (למשל מספר שלם וחיובי של מטבעות), ומספר האפשרויות בהן מתרחש המאורע  A הוא  p, וכמו כן מאורע  B (למשל הפסד בהגרלה) שערכו הוא  b (למשל מספר שלם ושלילי של מטבעות), ומספר האפשרויות בהן מתרחש המאורע  B הוא  q, אז התוחלת של המצב בו אנו נמצאים היא:
 {\frac {p\cdot a+q\cdot b}{p+q}}
בהמשך דן הויגנס בווריאציות שונות של בעיית הניקוד עם שניים או שלושה שחקנים, וכן בווריאציות שונות של אפשרויות במשחקי קובייה. הכלל האחרון שהוצג בחיבורו, ייחודי בכך שמדובר במשחק בו אין מגבלה לאורכו, ובמסגרתו פיתח הויגנס שיטת אנליזה הקרויה על שמו: שחקן  A זוכה אם בהטלת שתי קוביות סכום התוצאות הוא  7, שחקן  B, שגם זורק ראשון, צריך להשיג בהטלה של שתי קוביות סכום תוצאות של  6. הויגנס סימן את ההסתברות ש- A יזכה על ידי  x, אם תורו של שחקן  B, והוא סימן אותה ב- y, אם תורו של  A. כעת הוא השתמש בבנייה הבאה כדי למצוא במפורש את  x,y. תחילה יש לשים לב כי ההסתברות ל- 7 בזריקה אחת של שתי קוביות היא  {\frac {6}{36}}, וההסתברות ל- 6 בזריקה אחת של שתי קוביות היא  {\frac {5}{36}}. כעת, בניתוח של תור בודד, נניח של שחקן  B, ההסתברות ששחקן זה יזכה היא  {\frac {5}{36}}, וההסתברות שלא יזכה היא  1-{\frac {5}{36}}={\frac {31}{36}}, ואז ההסתברות לניצחון של  A היא  y. אם כך, ההסתברות ש- A יזכה אם כעת תורו של  B היא  y\cdot {\frac {31}{36}}=x. כעת נניח שתורו של  A לשחק. ההסתברות שיזכה מיד היא  {\frac {6}{36}} וההסתברות שלא יזכה מיד היא  1-{\frac {6}{36}}={\frac {30}{36}}. ההסתברות ש- A ינצח אם כעת תורו היא לפיכך  x\cdot {\frac {30}{36}}+{\frac {6}{36}}=y. התקבלו אם כך שתי משוואות בשני הנעלמים  x,y.
בעיה נוספת שהויגנס מציג דומה לבעיה הקודמת, אלא שבה  B זורק ראשון,  A זורק פעמיים,  B פעמיים וכן הלאה. בעיה אחרת היא משחק בו שלושה שחקנים מוציאים ומחזירים מיד כדור מתוך כד בו יש ארבעה כדורים אדומים ועוד שמונה כדורים כחולים, והמנצח הוא מי שמוציא כדור אדום ראשון. בעיה נוספת היא מצב בו יש 40 קלפים, 10 מכל סוג, וצריך להוציא ארבעה, כל אחד מסוג אחר וללא החזרה של הקלפים.
המשך התפתחותה של תורת ההסתברות > דה-מואבר

המתמטיקאי הצרפתי אברהם דה-מואבר הרחיב את עבודתם של הויגנס וברנולי, וספרו "תורת הסיכויים: מתודה לחישוב הסתברויות של מאורעות במשחק", הוא הספר השני המשמעותי אודות תורת ההסתברות לאחר ספרו של ברנולי. ספר זה פורסם בארבע מהדורות; הראשונה בלטינית בשנת 1711, ושלוש מהדורות נוספות באנגלית בשנים 1718, 1738 ו-1756. תרומתו הכוללת של דה-מואבר לתורת ההסתברות הייתה כה חשובה, עד שבמאה ה-19 כתב עליו ההיסטוריון של המתמטיקה אייזיק טודהאנטר כי "תורת ההסתברות חייבת את רובה לדה-מואבר, עם יוצא דופן אחד והוא לפלס". אמירה זו כבר אינה תקפה באשר לתורת ההסתברות בימינו אנו, אך שיקפה את מצבה של תורת ההסתברות במאה ה-19.
במהדורה משנת 1738 הגדיר דה-מואבר את המושג היסודי של תלות בין מאורעות, וניסח במפורש את התובנה שההסתברות להתרחשות זוג מאורעות תלויים אינה מכפלת ההסתברויות להתרחשות כל אחד מהמאורעות. עם זאת הוא לא כתב במפורש את הנוסחה הידועה  \mathbb {P} \left(A\mid B\right)\cdot \mathbb {P} \left(B\right)=\mathbb {P} \left(A~{\text{and}}~B\right).
במהדורות המאוחרות של ספרו כלל דה-מואבר תוצאה שגילה בשנת 1733, לפיה ההתנהגות האסימפטוטית של ההתפלגות הבינומית מקורבת על ידי מה שכונה מאוחר יותר התפלגות נורמלית או התפלגות גאוסיאנית, כלומר גרסה של משפט הגבול המרכזי עבור ההתפלגות הבינומית. דה-מואבר גילה זאת על ידי כך שמצא כי אם מבצעים סדרות גדולות של הטלות מטבע פעמים רבות בזו אחר זו, מספר ה"עצים" שמתקבל על ידי סדרות ההטלות מתואר על ידי גרף הפעמון המפורסם של ההתפלגות הנורמלית. הייתה זו הפעם הראשונה בה שגיאת קירוב תוארה במונחים של התפלגות, ונעשה ניתוח של השגיאה באמצעים הסתברותיים. דה-מואבר עשה צעד נוסף לעבר גילוי ההתפלגות הנורמלית, בכך שפרסם ניתוח סטטיסטי של טבלאות של התפלגות התמותה של בני אדם לפי גיל, ששימשו ליישומים אקטואריים. יש שייחסו לפיכך לדה-מואבר את גילוי ההתפלגות הנורמלית, אך עם זאת ברור כי דה-מואבר לא הבין את חשיבותה של ההתפלגות הנורמלית כשלעצמה וגם לא ידע כיצד לתאר אותה במונחים של פונקציית צפיפות, אלא ראה בה רק קירוב אסימפטוטי של ההתפלגות הבינומית.
דה-מואבר הכליל את נוסחת הבינום של אייזק ניוטון, והציג את נוסחת המולטינום. כמו כן בשנת 1733 גילה דה-מואבר נוסחה לחישוב מקורב של פונקציית העצרת, דבר ששימש רבות בחישובים הסתברותיים. הקירוב שהציג דה-מואבר היה  n!\approx c\cdot n^{n+1/2}\cdot e^{-n} כאשר  c היה קבוע שדה-מואבר ידע רק לקרב. מאוחר יותר גילה ג'יימס סטירלינג כי  c={\sqrt {2\pi }}, ומכאן השם "נוסחת סטירלינג".
הישג מוקדם נוסף של דה-מואבר היו כמה תוצאות אודות התפלגות פואסון, עד שהיו שטענו שההתפלגות צריכה לשאת את שמו של דה-מואבר. עם זאת המתמטיקאי הצרפתי סימאון דני פואסון הוא זה שפרסם לראשונה תיאור מלא של ההתפלגות, בשנת 1837 בספרו "מחקר על תורת ההסתברות של פסקי-דין פליליים ואזרחיים". בספרו זה תיאר פואסון באופן מלא את התפלגות פואסון, המתארת את ההסתברות למאורעות נדירים ובלתי-תלויים המתרחשים בממוצע בקצב קבוע. פואסון השתמש בהתפלגות זו כדי לתאר את "תהליך פואסון", שהוא תהליך מקרי בו התפלגות מספר המאורעות בפרק זמן נתון היא התפלגות פואסון. בנוסף, פואסון פרסם בספרו זה גרסה של החוק החלש של המספרים הגדולים.
המשך התפתחותה של תורת ההסתברות > גאוס

בשנת 1807 פרסם המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס את ספרו "תאוריית התנועה של גופים שמימיים בחתכים חרוטיים סביב השמש", ובו תיאר לראשונה באופן מלא את ההתפלגות הנורמלית. גאוס בספרו תיאר את שיטת הריבועים הפחותים ואת שיטת אמידת נראות מרבית, שתיהן שיטות יסודיות ביותר המשמשת רבות בסטטיסטיקה, ועשה בהן שימוש על מנת לנתח נתוני מדידות אסטרונומיות שלעיתים סתרו זו את זו.
כדי לאמוד את השגיאה של המדידות, גאוס בחר להניח כי הממוצע החשבוני הוא הערך שממזער את שגיאת המדידה. כלומר, המדידה שמרחקה מן הממוצע החשבוני הוא המזערי, היא בהסתברות גבוהה הקרובה ביותר לערכים האמיתיים. תחת הנחה זו הוא חישב ומצא כי ההתפלגות הנורמלית מתארת את שגיאת המדידה, וסיפק נוסחה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
המשך התפתחותה של תורת ההסתברות > לפלס

בשנת 1812 פרסם המתמטיקאי הצרפתי פייר-סימון לפלס את ספרו "התאוריה האנליטית של ההסתברות", שנכתב בעיקר כדי לבסס את "תורת השגיאות" — התפלגות שגיאות המדידה אותה חקר גאוס. אף על פי שגאוס תיאר לראשונה את התפלגות שגיאות המדידה כהתפלגות נורמלית, הוא לא סיפק תיאור מלא של התפלגות זו. לפלס היה זה שחישב לראשונה את הנוסחה המלאה לפונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות הנורמלית, על ידי חישוב האינטגרל  \int e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }} שסיפק את הקבוע החשוב של ההתפלגות הנורמלית. בבואו לחקור את התפלגות השגיאות, גישתו של לפלס הייתה הפוכה מזו של גאוס, בייסיאנית במהותה: לפלס בחר להניח כי לשגיאות המדידה ישנה התפלגות משותפת מסוימת, התפלגות אפריורית, וטען כי גם כאשר התפלגות זו אינה ההתפלגות הנורמלית — היא בכל אופן מתכנסת להתפלגות הנורמלית, כפי שקובע משפט הגבול המרכזי. לפלס לא סיפק ניסוח מלא והוכחה של משפט הגבול המרכזי, אך הוא הציג גרסה ראשונה שלו עבור התפלגות בינומית, כפי שכבר חזה דה-מואבר, ובשנים 1810–1811 הוא פיתח את התורה של פונקציות אופייניות שסיפקה הוכחה לגרסה זו. בכך תרם לפלס לביסוס חשיבותה התאורטית העליונה של ההתפלגות הנורמלית.
בשנת 1814 לפלס אף ניסה לתאר באופן אקסיומטי את תורת ההסתברות, כפי שיפורט בפרק על הנושא, אולם היה זה ניסיון בוסרי שלא היה פורמלי דיו במונחים מודרניים.
הערכות מוקדמות העניקו ללפלס מקום של כבוד, וכך במאה ה-19 כתב ההיסטוריון של המתמטיקה אייזיק טודהאנטר כי "תורת ההסתברות חייבת את רובה לדה-מואבר, עם יוצא דופן אחד והוא לפלס". הסטטיסטיקאי הנודע רונלד פישר טען כי השקפותיו של לפלס על הסתברות היו ברובן "שטויות חסרות בסיס", מתוך עמדה המתנגדת לסטטיסטיקה בייסיאנית. אולם מנגד — ואולי אף מבלי לסתור זאת — חוקרים חשובים אחרים תיארו את עבודותיו המוקדמות של לפלס כחשובות כל-כך, עד כי הסטטיסטיקה המודרנית היא "סדרת הערות שוליים ללפלס".
המשך התפתחותה של תורת ההסתברות > צ'בישב

בחלקה השני של המאה ה-19 חלה התפתחות עצומה בחקר תורת ההסתברות, בעיקר ברוסיה. התפתחות זו תרמה לגיבושו הפורמלי של חוק המספרים הגדולים על שלל גרסאותיו, ועד לגולת הכותרת של תורת ההסתברות אז — הוכחת משפט הגבול המרכזי. התפתחות זו השפיעה רבות על המחקר בתורת ההסתברות במאה ה-20.
בשנת 1863 ניסח המתמטיקאי הצרפתי אירנה-ז'ול ביינאמה (בְּיָאנְאֶמֶה) (Irénée-Jules Bienaymé) לראשונה את מה שמכונה היום אי-שוויון צ'בישב, לפיו עבור משתנה מקרי  X בעל שונות  0<\sigma <\infty  ובעל תוחלת סופית, לכל  C>0 מתקיים כי ההסתברות למאורע  \left\{\left|X\right|>C\right\} חסומה מלעיל על ידי  {\frac {\mathbf {E} \left[X^{2}\right]}{C^{2}}}. תוצאה זו מהווה תוצאה בעל חשיבות יסודית, והיא נקראת לעיתים גם על שמו של ביינאמה.
בשנת 1867 סיפק המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה לאי-שוויון זה, ועל בסיסו הוא הצליח להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים בגרסתו עבור סדרת משתנים מקריים בלתי-תלויים בעלי שונות סופית, החסומה במידה שווה.
עשרים שנה לאחר מכן, פרסם צ'בישב מאמר בשם "על אודות שני משפטים בנוגע להסתברות", שהיווה צעד ראשון בדרך להוכחת משפט הגבול המרכזי. לצ'בישב היו תוצאות חשובות נוספות בתורת ההסתברות, כדוגמת חקירתה של פונקציית בטא החשובה להתפלגות בטא, ולעבודתו הפורמלית נודעה חשיבות בפיתוחה של תורת ההסתברות. כך למשל כתב אודותיו אנדריי קולמוגורוב, כי ”העיקרון המרכזי בעבודתו של צ'בישב התמקד בכך שהוא ניסה להעריך במדויק את תקפותם של אי-שוויונים תחת בדיקות רבות על מנת לאמוד את השגיאה מהחסם. יתרה מזאת, צ'בישב היה הראשון שהגדיר במדויק והשתמש ברעיונות יסוד כמו "אי-שוויון מקרי" וה"תוחלת" שלו.”
המשך התפתחותה של תורת ההסתברות > ליאפונוב

בשנת 1901 סיפק המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר ליאפונוב, תלמידו של צ'בישב ועמיתו של מרקוב, נוסח כללי של משפט הגבול המרכזי, והוכיח אותו באמצעות פונקציות אופייניות. אמנם גרסה ראשונית של משפט הגבול המרכזי עבור ההתפלגות הבינומית כבר ניסח דה-מואבר, ולפלס הוכיח אותה באמצעות פונקציות אופייניות, אך עם זאת תוצאה זו נשכחה וחשיבותה לא הובנה עד לעבודתו של ליאפונוב, שסיפק נוסח כללי למשפט יסודי זה. הנוסח של ליאפונוב עסק בסדרה  \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty } של משתנים מקריים בלתי-תלויים, שלמשתנה המקרי  X_{i} תוחלת סופית  \mu _{i} ושונות  \sigma _{i}^{2}, והם מקיימים את מה שמכונה תנאי ליאפונוב: כלומר, נסמן  s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}, וקיים איזשהו  \delta >0 שעבורו קיים הגבול הבא:
בתנאי זה, קובע משפט הגבול המרכזי בגרסת ליאפונוב, מתקיימת ההתכנסות בהתפלגות הבאה:
 {\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,\;1)
למרות חשיבותו העליונה של משפט הגבול המרכזי, שאר עבודתו המתמטית של ליאפונוב התמקדה בפיזיקה מתמטית ופחות בתורת ההסתברות. גרסאות נוספות של משפט הגבול המרכזי סיפקו בהמשך המתמטיקאי הפיני יַארְל וַלְדֵמַר לִינְדֵבֶּרְג (אנ') והמתמטיקאי הצרפתי פול לוי. כמו כן הושגה גם הכללה של המשפט למשתנים מקריים רב-ממדיים, שם ההתכנסות היא להתפלגות רב-נורמלית.
התפתחות במאה ה-20 > מרקוב

פיתוחה של תורת ההסתברות במהלך המאה ה-20 התרחש בעקבות דחיפה עצומה שחלה במחקר בחלקה השני של המאה ה-19. כך בשנת 1907 הצליח המתמטיקאי הרוסי אנדריי מרקוב להכליל את התוצאה של צ'בישב מ-1867, ולקבוע כי חוק המספרים הגדולים תקף גם במקרה בו השונות אינה סופית, תחת תנאי חלש יותר לפיו  \mathbf {E} \left[X_{i}-\mathbf {E} \left[X_{i}\right]\right]^{1+\delta }<L לאיזה  \delta >0 עבור קבוע  L>0. הוא עשה זאת באמצעות פיתוח התורה של שרשראות מרקוב, ועבודתו הכללית על הוכחת חוק המספרים הגדולים היא אבן יסוד בתורה של תהליכים מקריים, שתרמה רבות גם לתורה הארגודית. בשנת 1929 הכליל המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר חינצ'ין את התוצאה של צ'בישב בכיוון אחר, והראה כי חוק המספרים הגדולים בגרסתו החלשה תקף בכל מקרה בו התוחלת סופית, בתנאי שהמשתנים המקריים הם גם שווי-התפלגות.
התפתחות במאה ה-20 > קולמוגורוב ועמיתיו

המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב תרם רבות לכלים היסודיים ביותר בחקר תורת ההסתברות. תרומתו הבסיסית ביותר היא ביסוס המערכת האקסיומטית של תורת ההסתברות (ראו להלן), אך גם משפטים יסודיים ביותר המשמשים בתורה זו הם פרי עבודתו, כדוגמת אי-שוויון קולמוגורוב, חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, משפט שני הטורים ומשפט שלושת הטורים. עוד היו לו תרומות כלליות אותן ניתן להחשיבן כחלק מתורת המידה, כדוגמת משפט האן-קולמוגורוב. לקולמוגורוב תרומה גם לתורה של תהליכים סטוכסטיים, כדוגמת משפט ההרחבה ומשפט הרציפות, שני משפטים שיחדיו מספקים את אחת הדרכים לבנות תנועה בראונית.
בסוף שנות ה-30 הקימו מספר מתמטיקאים חשובים מאוניברסיטת מוסקבה, בהם ישראל גלפנד, אלכסנדר חינצ'ין ופאבל אלכסנדרוב, קבוצת מחקר להסתברות ולסטטיסטיקה במכון סטקלוב למתמטיקה של האקדמיה הרוסית למדעים. בראש קבוצת מחקר זו הועמד קולמוגורוב. במסגרת זו נחקרו תופעות פיזיקליות כדוגמת תנועתם של כוכבי לכת וזרימה טורבולנטית של אוויר ממנוע סילון, ובשנת 1941 פורסמו שני מאמרים יסודיים בנושאים אלה, המטפלים בהם מנקודת מבט הסתברותית של מערכות דינמיות. מחקר זה יצר השפעה עמוקה של תורת ההסתברות על תחום הפיזיקה.
השפעה זו המשיכה בשנות ה-50, אז פורסמו עבודות של קולמוגורוב המטפלות גם במכניקה המילטוניאנית מנקודת מבט של מערכות דינמיות, שבהמשך התפתחו לכדי תורת "KAM" הקרויה על שם קולמוגורוב-ארנולד-מוזר.