שדה המספרים הרציונליים
בנייה פורמלית

נגדיר יחס שקילות על  \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}) כך:  (a,b)\sim (c,d) אם ורק אם  ad=bc. נראה שזהו אכן יחס שקילות:
רפלקסיביות:  ab=ba ולכן  (a,b)\sim (a,b)
סימטריה: נניח ש ad=bc. מכיוון ששוויון הוא סימטרי וכפל הוא חילופי, נקבל  cb=da, כלומר  (c,d)\sim (a,b)
טרנזיטיביות: נניח ש ad=bc וכן ש cf=de. נכפול את המשוואות ונקבל  adcf=bcde. נצמצם ב cd ונקבל  af=be, כלומר  (a,b)\sim (e,f)
קבוצת המנה של יחס שקילות זה תסומן  \mathbb {Q}  – קבוצת המספרים הרציונליים. את מחלקת השקילות  [(a,b)] נסמן  {\frac {a}{b}}. את מחלקת השקילות  [(a,1)] נזהה עם המספר השלם  a. כך קיבלנו שקבוצת המספרים השלמים חלקית לרציונליים.
נגדיר פעולות חיבור וכפל:
[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]
[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]
נראה שההגדרות לא תלויות בנציגים, כלומר אם  (a,b)\sim (a',b') וכן  (c,d)\sim (c',d'), אז  (ad+bc,bd)\sim (a'd'+b'c',b'd') וכן  (ac,bd)\sim (a'c',b'd').
חיבור: צריך להוכיח כי  (ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd, כלומר כי  adb'd'+bcb'd'=a'd'bd+b'c'bd. מתקיים  ab'=a'b. נכפול ב dd' ונקבל  adb'd'=a'd'bd. מתקיים  cd'=c'd. נכפול ב bb' ונקבל  bcb'd'=b'c'bd. נחבר את המשוואות ונקבל בדיוק את השוויון הדרוש
כפל: צריך להוכיח כי  acb'd'=bda'c'. מתקיים  ab'=ba' וכן  cd'=c'd. נכפול את המשוואות ונקבל את השוויון הדרוש.
נראה כי הפעולות מקיימות את אקסיומות השדה:
אסוציאטיביות:
חיבור:  [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]
כפל:  [(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce,df)]=[(ace,bdf)]=[(ac,bd)]\cdot [(e,f)]=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]
קומוטטיביות:
חיבור:  [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]
כפל:  [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]=[(ca,db)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]
איבר האפס:  [(a,b)]+0=[(a,b)]+[(0,1)]=[(a\cdot 1+b\cdot 0,b\cdot 1)]=[(a,b)]
איבר היחידה:  [(a,b)]\cdot 1=[(a,b)]\cdot [(1,1)[=[(a\cdot 1,b\cdot 1)]=[(a,b)]
איבר נגדי:  [(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ba,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0
איבר הופכי:  [(a,b)]\cdot [(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1
דיסטריבוטיביות:  {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(cf+de,df)]=[(acf+ade,bdf)]=[(acbf+adbe,bdbf)]=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]\\&=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}
את הסדר על  \mathbb {Q}  נגדיר כך:  \forall b,d>0,[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow ad<bc. כלומר יש להציג את המספר כבעל מכנה חיובי, ואז ניתן להשוות. נראה כי ההגדרה אינה תלויה בנציגים:
נניח כי  b,d,b',d'>0, וכן כי  ad<bc. נכפול בשוויון  cd'=c'd ונקבל  ad'cd<bc'cd. נצמצם ב cd ונקבל  ad'<bc'. נכפול בשוויון  a'b=ab' ונקבל  a'd'ab<b'c'ab. נצמצם ב ab ונקבל  a'd'<b'c'.
נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:
אנטי-רפלקסיביות: לא מתקיים  ab<ab ולכן גם לא  [(a,b)]<[(a,b)]
טרנזיטיביות: נניח כי  ad<bc\land cf<de. נכפול את שני אי השוויונות ונקבל  adcf<bcde. נצמצם ב cd ונקבל  af<be, כלומר  [(a,b)]<[(e,f)]
השוואה: נשתמש בכך שהסדר על השלמים הוא משווה, ונקבל שלכל  a,b,c,d מתקיים  ad=bc\lor ad<bc\lor ad>bc, כלומר  [(a,b)]=[(c,d)]\lor [(a,b)]<[(c,d)]\lor [(c,d)]<[(a,b)]
נראה כי ההגדרה הופכת את השדה לשדה סדור: נניח כי  [(a,b)]<[(c,d)], וכן  f>0:
צריך להוכיח כי  [(a,b)]+[(e,f)]<[(c,d)]+[(e,f)], כלומר  afdf+bedf<cfbf+debf. מתקיים  ad<bc. נכפול ב f^{2}>0 ונקבל  afdf<cfbf. נוסיף לשני האגפים  bedf ונקבל את אי השוויון הרצוי.
נניח בנוסף כי  [(e,f)]>0=[(0,1)] (כלומר  e>0 לאחר שהנחנו  f>0). צריך להוכיח  [(a,b)]\cdot [(e,f)]<[(c,d)]\cdot [(e,f)], כלומר כי  aedf<bfce. מתקיים  ad<bc. נכפול ב ef>0 ונקבל את אי השוויון הרצוי.