stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
בלייז ומכוניות הענק
פרקים > עונה 8

| מספר הפרק בסדרה | מספר הפרק בעונה | שם הפרק באנגלית | שם הפרק בעברית | תאריך שידור מקורי ארצות הברית | תאריך שידור בישראל ישראל |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 153 | 1 | The Pirate Grand Prix | מרוץ הפיראטים הגדול | 4 באפריל 2024 | 16 באוקטובר 2024 |
| 154 | 2 | Video Game Land: A Monster Machine Super Special | ארץ משחק הווידאו: ספיישל מיוחד של מכוניות הענק - חלק 1 | 24 ביוני 2024 | 17 באוקטובר 2024 |
| 155 | 3 | Video Game Land: A Monster Machine Super Special | ארץ משחק הווידאו: ספיישל מיוחד של מכוניות הענק - חלק 2 | 24 ביוני 2024 | 17 באוקטובר 2024 |
| 156 | 4 | The Garbage Truck Challenge | אתגר משאיות הזבל | 25 ביוני 2024 | 20 באוקטובר 2024 |
| 157 | 5 | Monster Machine Rescue Team | צוות רכבי ההצלה | 26 ביוני 2024 | 21 באוקטובר 2024 |
| 158 | 6 | Tire Trouble | צרות צמיגים | 22 באוקטובר 2024 | 22 באוקטובר 2024 |
| 159 | 7 | Tool Truck Blaze | משאית הכלים ברק | 23 באוקטובר 2024 | 23 באוקטובר 2024 |
| 160 | 8 | The Snow, Sea, Sky, Race | מרוץ השלג, הים והשמיים | 3 בפברואר 2025 | 19 בינואר 2025 |
| 161 | 9 | Blaze's First Race | המרוץ הראשון של ברק | 24 באוקטובר 2024 | 20 בינואר 2025 |
| 162 | 10 | Trick Or Treat Treasure | אוצר הממתקים וברדקים | 21 באוקטובר 2024 | 21 בינואר 2025 |
| 163 | 11 | The Super Snowman Contest | יפורסם בהמשך | 4 בפברואר 2025 | יפורסם בהמשך |
| 164 | 12 | !Get the Letters to Santa | להביא את המכתבים לסנטה | 2 בדצמבר 2024 | 22 בינואר 2025 |
| 165 | 13 | Space Mission Blaze | יפורסם בהמשך | 5 בפברואר 2025 | יפורסם בהמשך |
פרקים > עונה 9

| מספר הפרק בסדרה | מספר הפרק בעונה | שם הפרק באנגלית | שם הפרק בעברית | תאריך שידור מקורי ארצות הברית | תאריך שידור בישראל ישראל |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 166 | 1 | Dino Smash | יפורסם בהמשך | 6 בפברואר 2025 | יפורסם בהמשך |
| 167 | 2 | The Great Train Race | יפורסם בהמשך | יפורסם בהמשך | יפורסם בהמשך |
הערות שוליים

↑  הפרק הזה עלה לראשונה ב-24 בפברואר 2019 לאפליקציית ניק ג'וניור ולערוץ ניק ג'וניור
תורת ההפרעות

ערך זה עוסק בשיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות. אם התכוונתם למקרה פרטי לשימוש בשיטה זו עבור בעיות במכניקת הקוונטים, ראו .
תורת ההפרעות היא שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות. בפיזיקה משתמשים בה במידה מרובה, בגלל מיעוט הבעיות שניתן לפתור בצורה מדויקת. שיטה זו משמשת כאשר ידוע פתרון מדויק למשוואות, ורוצים למצוא פתרון אחר, קרוב אליו. הפרעה היא הסטייה מהפתרון המדויק. במובן מסוים השיטה הזו היא הכללה של פיתוח לטור טיילור.
דוגמה פשוטה היא תיאור מצבם של פני המים בשלולית: המים בשלולית יכולים להיות במצב נייח, בו פני המים אחידים. זהו פתרון מדויק למשוואות המתארות את מצבם. אך פני המים יכולים גם לנוע, אם נוצרים בהם גלים. אם הגלים קטנים יחסית, אפשר להתייחס אליהם כהפרעות, כלומר סטיות קטנות מהמצב בו פני המים אחידים. בצורה כזו קל יחסית לדעת כיצד יתקדמו הגלים במים, כלומר פתרון המשוואות אינו קשה במקרה זה, וניתן לקבל קירוב טוב (כלומר, תיאור מדויק יחסית) למצבם של פני המים.
הרעיון העומד מאחורי תורת ההפרעות הוא שאף על פי שישנן בעיות מתמטיות שקשה מאוד או אי אפשר לפתור אותן במדויק, בכל זאת ניתן למצוא מידע חשוב אודות פתרון הבעיה על ידי שימוש בהנחות מפשטות, ואז לחקור סטייה מהנחות אלו על ידי חקירת הפרעה קטנה בפתרון.
דוגמה מתמטית לשימוש בתורת ההפרעות

נקח כדוגמה את המשוואה הבאה:
במקרה הקיצון,  \varepsilon =0, המשוואה מתנוונת למשוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, אותה ניתן לפתור בפשטות.
זהו הפתרון של בעיית הקיצון. ברוב המקרים הפתרון של בעיית קיצון אינו פיזיקלי. לדוגמה, אם בדוגמה זו  \varepsilon  מייצג את מספר ריינולדס, הוא יכול להיות מספר מאוד קטן אך אינו יכול להשתוות לאפס. היות שכך, יש צורך לחקור את המקרה בו  \varepsilon  קטן מאוד אך אינו אפס.
נגדיר, אם כן:
תנאי השפה המתאים הוא:
הצבת הביטוי עבור  f במשוואה לעיל נותן:
ניתן עתה להפריד בין הסדרים השונים של המשוואה כדהלן:
סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון. חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר  \varepsilon  וסדר  \varepsilon ^{2}, בהתאמה.
ניתן לפתור בהדרגה את המערכת הנזכרת למעלה, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. פתרון המשוואה הראשונה הוא:  f_{0}=2e^{-x}+O(\varepsilon ), כלומר שגיאת הקיטוע היא מסדר  \varepsilon . הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר  \varepsilon  יתן  f_{1}=4e^{-x}-4e^{-2x}+O(\varepsilon ^{2}), וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.
דוגמה פיזיקלית – יציבות מודית בבעיית חום

בעזרת תורת ההפרעות ניתן לבצע אנליזה לבעיית חום חד־ממדית פשוטה בתחום  0<x<l:
כאשר T מייצג את הטמפרטורה ו־c מייצג קבוע דיפוזיה של חום.
תנאי השפה וההתחלה הם:
במקרה זה, הפתרון של המשוואה פשוט ביותר:  T=1, כלומר שהטמפרטורה נותרת קבועה בכל המישור ואין שינוי בטמפרטורה עם הזמן.
עתה ניתן לחקור מה יקרה אם תתווסף הפרעה קטנה לבעיה. לדוגמה: אם ההפרעה היא מהצורה  T'=\sin \left(\pi {\frac {nx}{l}}\right)e^{-\sigma t}, כאשר  \sigma  מייצג את קצב הדעיכה של ההפרעה.
ניתן להגדיר כי הפתרון יהיה מהצורה:
כאשר הפתרון של הבעיה ללא ההפרעה יסומן ב־ T_{0}=1, ו־ \varepsilon  הוא מספר קטן מאוד מאחד, על מנת לשמור על הפרעה קטנה.
אם מציבים את הפתרון הזה בבעיית החום, מתקבל:
מכיוון ש־ T_{0} קבוע, הנגזרות שלו מתאפסות ונותר רק:
ועל ידי צמצום וחלוקה ב־c ניתן לחלץ את פרמטר הדעיכה:
למעשה ניתן להסיק מסוג ההפרעה שנכנסת את זמן הדעיכה האופייני שלה, כתלות בפרמטרים של הבעיה.
ראו גם

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן
תורת ההפרעות התלויה בזמן
תבניות בטבע

תבניות טבעיות שנוצרות כאשר הרוח סוחפת חול במדבר נמיב. צורת חצי-הסהר של הדיונות ותבנית האדוות על פני השטח שלהן נוצרות תחת התנאים המתאימים.
התבניות על עורה של הזיקית התימנית (שם מדעי: Chamaeleo calyptratus) התפתחו לצורכי הסוואה, וכדי להעיד על מצב ויכולת רבייה.
תבניות בטבע הן תופעות של סדירות צורנית אשר מופיעות בטבע. התבניות האלו ניכרות בהקשרים שונים, ולעיתים ניתן למדל אותן באופן מתמטי. בין התבניות הטבעיות נכללות סימטריות, עצים, ספירלות, נפתולים, גלים, קצפים, ריצופים, סדקים ופסים. הפילוסופיה היוונית הקדומה עסקה בחקר תבניות: אפלטון, פיתגורס ואמפדוקלס ניסו להסביר את קיומו של סדר בטבע. ההבנה המודרנית של התבניות האלו התפתחה בהדרגה לאורך זמן.
במאה ה-19 חקר הפיזיקאי הבלגי ז'וזף פלאטו קרומי סבון, ובעקבות כך ניסח את רעיון המשטח המינימלי. הביולוג והאמן הגרמני אֶרְנְסְט הֶקֶל צייר מאות אורגניזמים ימיים על מנת להדגיש את הסימטריה שלהם. הביולוג הסקוטי דארסי וונטוורת תומפסון החל את המחקר של דפוסי צמיחה, בצמחים כמו גם בבעלי חיים, והראה כי ניתן להסביר צמיחה ספירלית באמצעות משוואות פשוטות. במאה ה-20 חזה המתמטיקאי הבריטי אלן טיורינג את קיומם של מנגנוני מורפוגנזה היוצרים תבניות של חברבורות ופסים. הביולוג ההונגרי אריסטיד לינדנמאייר, ביחד עם המתמטיקאי הצרפתי-אמריקאי בֶּנוּאָה מנדֶלבּרוֹט, הראו כיצד המתמטיקה של פרקטלים מסוגלת לייצר דפוסי גדילה המופיעים בעולם הצומח.
המתמטיקה, הפיזיקה והכימיה מסבירות תבניות בטבע ברמות שונות. תבניות בעולם החי והצומח מוסברות באמצעות התהליכים הביולוגיים של ברירה טבעית וברירה זוויגית. מחקרים העוסקים בהיווצרות תבניות משתמשים במודלים ממוחשבים כדי ליצור הדמיות של מגוון רחב של תבניות.
סוגי תבניות > סימטריה

סימטריה קיימת באופן נרחב בעולם החי והצומח. אצל בעלי חיים ישנה בעיקר סימטריה דו-צדדית (סימטריית מראה), כמו גם אצל עלים של צמחים, ופרחים מסוימים דוגמת סחלבים. אצל צמחים מופיעה לעיתים קרובות סימטריה רדיאלית או סיבובית, כמו אצל פרחים רבים וקבוצות מסוימות של בעלי חיים כגון שושנות ים. ניתן לראות סימטריה מחומשת אצל פרטים מסוימים ממערכת קווצי העור, הכוללת כוכבי ים, קיפודי ים, וחבצלות ים.
מחוץ לעולם החי, סימטריה משושה מרשימה במיוחד מצויה בפתיתי שלג: כל פתית הוא ייחודי, ומבנהו מגלם מעין תיעוד של התנאים המשתנים במהלך התגבשותו, כאשר תבנית הצמיחה היא כמעט זהה בין שש הזרועות. לגבישים יש מגוון רחב של סוגי סימטריה וצורת גביש; הם עשויים להיות קובייתיים או אוֹקטָהדרליים, אך גבישים אמיתיים אינם יכולים להפגין סימטריה מחומשת (שלא כמו גבישים כמו-מחזוריים, או קווזיפריודיים). ניתן לראות סימטריה סיבובית בקני מידה שונים בעצמים דוממים, כמו תבנית ההתזה דמוית-הכתר הנוצרת כאשר טיפה נופלת לתוך אגם, או בצורה הספרואידית של פלנטה כגון שבתאי, כמו גם בצורת הטבעות שסביבה.
ישנם מגוון גורמים היוצרים סימטריה. סימטריה רדיאלית מתאימה לאורגניזמים כמו שושנות ים, שצורתם הבוגרת נייחת: מזון ואיומים עשויים להגיע מכל כיוון. אולם אצל בעלי חיים שנעים בכיוון מסוים, ישנם בהכרח צד עליון וצד תחתון, כמו גם קדמי ואחורי, ושמאלי וימני. הראש מתמחה באברי חישה ופה (צֶפָליזציה (אנ')), והגוף מקבל סימטריית מראה (אף שהדבר אינו הכרחי באיברים הפנימיים). תמוה יותר מאלו הוא הגורם לסימטריה המחומשת המופיעה אצל קווצי העור. קווצי עור קדומים היו בעלי סימטריית מראה, דבר הניכר עדיין בזחליהם. סומראל וריי (Sumrall and Wray) טוענים כי ישנם גורמים התפתחותיים ואקולוגיים באובדן הסימטריה הקודמת.
חיות רבות, כגון הטיגריס הזה, מפגינות סימטריית מראה.
לקווצי העור, כגון כוכב-הים הזה, יש סימטריה מחומשת.
לפתיתי שלג יש סימטריה משושה.
כל פתית שלג הוא ייחודי, אך סימטרי.
צורת גביש קובייתית בפלואוריט
תבנית ההתזה של מים היא קירוב של סימטריה רדיאלית.
צורת גביש דודקהדרונית בגארנט
מושבה כדורית של וולווקס (volvox (אנ')) מפגינה סימטריה כדורית.
לשושנות ים יש סימטריה סיבובית.
סוגי תבניות > עצים, פרקטלים

פרקטלים הם מבנים מתמטיים איטֶרָטיביים בעלי דמיון עצמי (אנ') אינסופי וממד פרקטלי. חזרה-עצמית אינסופית אינה אפשרית בטבע, כך שכל המבנים הפרקטליים הם למעשה קירובים בלבד. לדוגמה, עליהם של שרכים או סוככיים הם בעלי דמיון עצמי (מנוצים (אנ')) רק 2, 3 או 4 פעמים. דגמי צמיחה שרכיים מתרחשים אצל צמחים ובעלי חיים, ביניהם חיטחבים, אלמוגים, הידרתים כגון שרך האוויר (Sertularia argentea (אנ')), ובתופעות כמו פריקה חשמלית (אנ'). באמצעות פרקטלים של מערכות-L ניתן למדל תבניות שונות של צמיחת עצים באמצעות שינויים במספר פרמטרים קטן, כגון זווית הסתעפות, המרחק (אורך גבעול) בין צמתים או נקודות הסתעפות, ומספר ההסתעפויות מכל נקודה כזו.
תבניות דמויות-פרקטל מופיעות באופן נרחב בטבע בתופעות כגון עננים, מערכות נהרות, קווי שבר גאולוגיים, הרים, קווי חוף, צבעי בעלי חיים, פתיתי שלג, גבישים, סיעוף כלי דם, וגלי מים.
עלה של סיָיגית היערות (Anthriscus sylvestris), מנוצה 2 או 3 פעמים, לא באופן אינסופי
ספירלות פרקטליות: כרובית אלמוגים מפגינה דמיון עצמי בצורתה
תפרחת אנג'ליקה (Angelica), צורה כדורית שמורכבת מצורות כדוריות (דמיון עצמי)
עצים: צורות ליכטנברג (אנ'): התפלגות דיאלקטרית במתח גבוה בגוש פולימר אקרילי
עצים: גבישי נחושת דנדריטיים (אנ') (במיקרוסקופ)
תבניות הפשרה פרקטליות על מאדים
סוגי תבניות > ספירלות

ספירלות נפוצות בקרב צמחים ובעלי חיים מסוימים, בעיקר רכיכות. לדוגמה, אצל הנאוטילוס (שייטניים), רכיכה ממחלקת הסִילוֹנִיּוֹת, כל תא בקונכייה הוא העתק מקורב של התא שאחריו, בשינוי קנה מידה קבוע, והתאים מסודרים בספירלה לוגריתמית. בעקבות ההבנה המודרנית של פרקטלים, ניתן לראות את ספירלת הגדילה כמקרה מיוחד של דמיון עצמי.
ניתן לראות ספירלות אצל צמחים בפילוטקסיס שלהם, סידור העלים על הגבעול, וכן בסידור של חלקים אחרים דוגמת מבני פרחים או זרעים מרוכבים, כגון החמנית, מבני פרי כגון האננס וסלאק (דקל פרי הנחש), או בתבנית הקשקשים המופיעה על איצטרובלים, שבה כמה ספירלות אשר הולכות עם ונגד כיוון השעון. ניתן להסביר את הסידורים האלו בכמה רמות – מתמטיקה, פיזיקה, כימיה וביולוגיה. ניתן לייצר מתמטית ספירלות פילוטקסיות באמצעות יחסי פיבונאצ'י: רצף פיבונאצ'י מתחיל במספרים 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... (כאשר כל מספר הוא סכום המספרים לפניו). לדוגמה, כאשר צד העלה מתחלף לאורך גבעול, סיבוב אחד של הספירלה נוגע בשני עלים, כך שיחס התבנית הוא 1/2. בלוּז היחס הוא 1/3; במשמש הוא 2/5; באגס הוא 3/8; בשקד הוא 5/13. בפילוטקסיס עגול (דִיסקוּס), כמו אצל החמנית וחרצית הבר, הפרחים הקטנים מסודרים בספירלת פֶרְמָה (אנ') (או ספירלה פרבולית) עם מספור פיבונאצ'י, לפחות כאשר הפרח בוגר וכל הרכיבים זהים בגודלם. יחסי פיבונאצ'י הם קירוב לזווית הזהב, °137.508, המגדירה את הקימור של ספירלת פרמה.
מנקודת מבט פיזיקלית, ספירלות הן סידור ברמת האנרגיה הנמוכה ביותר אשר נובעות באופן ספונטני מתהליכי סידור-עצמי במערכות דינמיות. מנקודת מבט כימית, ניתן לייצר ספירלה באמצעות תהליך ריאקציה-דיפוזיה (אנ') המערב הן הפעלה והן עיכוב. הפילוטקסיס מבוקר על ידי חלבונים אשר שולטים בריכוז של ההורמון הצמחי אוקסין, שמפעיל את הגדילה של רקמה יוצרת (meristem), נוסף על מנגנונים נוספים לשליטה בזווית היחסית של הניצנים סביב הגבעול. מנקודת מבט ביולוגית, ישנה העדפה של ברירה טבעית לסידור של עלים כך שיהיו רחוקים ככל הניתן זה מזה בכל שטח נתון, משום שסידור כזה מגדיל את הגישה למשאבים, בייחוד אור שמש לפוטוסינתזה.
ספירלת פיבונאצ'י
כבש גדול-קרניים (כבש הרים) (Ovis canadensis)
ספירלות: פילוטקסיס של אלווי רב-עלים (Aloe polyphylla)
ספירלת הגדילה הלוגריתמית של קונכיית הנאוטילוס
ספירלת פרמה: מבנה זרעים של חמנית מצויה (Helianthus annuus)
ספירלות פיבונאצ'י מרובות בחתך רוחבי של כרוב אדום
קונכייה של הרכיכה הקונכיתנית (חילזון) Trochoidea liebetruti, בה ניתן לראות כיצד הפתח נע החוצה וכלפי מטה עם גדילת הקונכייה.
קונכייה של שבלול רומי, בה ניתן לראות את המבנה הספירלי-בורגי מכמה זוויות.
סוגי תבניות > כאוס, זרימה ונפתולים

במתמטיקה, מערכת דינמית היא כאוטית אם היא רגישה (מאוד) לתנאי התחלה (מה שמכונה "אפקט הפרפר"), ומציגה את התכונות המתמטיות של ערבוב טופולוגי ומסלולים מחזוריים צפופים.
כמו פרקטלים, תורת הכאוס משפיעה באופן גורף על תבניות בטבע. ישנו קשר בין כאוס ופרקטלים – ישנו ממד פרקטלי למושכים מוזרים במערכות כאוטיות. לאוטומטים תאיים מסוימים – מערכות פשוטות של חוקים מתמטיים אשר מייצרים תבניות – יש התנהגות כאוטית, דוגמת חוק 30 של סטיבן וולפרם.
שדרות ערבולים הן תבניות מזגזגות של מערבולות אשר נוצרות כתוצאה מהפרדת זרימה של זורם כגון מים או אוויר שחולף על פני גוף חוסם. בזרימה שכבתית (למינרית) ההפרעות מתחילות כאשר גודל הגוף החוסם או מהירות הזרימה גדלים מספיק ביחס לצמיגות של הזורם.
נפתולים הם עיקולים מפותלים בנהרות או ערוצים אחרים, אשר נוצרים כאשר זורם כלשהו – לרוב מים – זורמים מסביב לעיקול. מרגע שהמסלול מתעקם אפילו במעט, הגודל והעקמומיות של כל לולאה יגדלו, משום שזרימה הליקלית סוחפת חומרים כגון חול וחצץ לאורך הנהר לצד הפנימי של העיקול. הצד החיצוני של העיקול נותר נקי ולא מוגן, כך שהסחיפה מתגברת, ובתורה מגבירה עוד יותר את הנפתוליות בלולאת פידבק חיובי מתמדת.
כאוס: קונכייה של הרכיכה הקונכייתית חרוטון הטקסטיל, אשר דומה לאוטומט התאי חוק 30.
כאוס: שדרת ערבול של עננים
נפתולים: צלקות נפתולים מרשימות ואגמים דמויי סהר במישור ההצפה של הריו נגרו, כפי שנצפה מהחלל
נפתולים: המסלול המתפתל של נהר הקאוטו בקובה
נפתולים: זחילת נחש מתפתלת
נפתולים: אלמוג מוח סימטרי
סוגי תבניות > גלים, דיונות

גל הוא הפרעה אשר נושאת עמה אנרגיה. גלים מכניים נעים בתווך – אוויר או מים – וגורמים לתנודות בתווך כאשר הם עוברים בו. גלי רוח הם גלים בפני השטח של ים, אשר יוצרים את התבנית הכאוטית האופיינית לכל גוף מים גדול, אף שניתן לחזות את ההתנהגות הסטטיסטית שלהם באמצעות מודלים של גלי רוח. כאשר גלי מים או אוויר חולפים מעל חול, הם יוצרים תבניות אַדְוָה. כשרוחות נושבות מעל גופי חול גדולים, הן יוצרות דיונות, לפעמים בשדות דיונות גדולים כמו אלו המופיעים במדבר טקלה מקאן בסין. דיונות נוצרות במגוון תבניות, ביניהן חרמשים, קווים ישרים ארוכים מאוד, כוכבים, כיפות, פרבולות, וצורות 'סיף' (חרב) אורכיות.
דיונות ברחן (סהר) נוצרות בהשפעת רוח על חול מדברי; שתי קרני הסהר ומשטח ההחלקה (slip face) פונים עם כיוון הרוח. חול נושב על המשטח שפונה כנגד הרוח, אשר יוצר זווית של כ-°15 עם המשטח האופקי, ונופל על משטח ההחלקה, היכן שהוא מצטבר עד כדי זווית השיפוע הטבעי של החול, שהיא כ-°35. כאשר משטח ההחלקה עובר את זווית השיפוע הטבעי, החול מתמוטט ונוצרת מפולת, שהיא התנהגות לא-ליניארית: התוספת המצטברת של כמויות קטנות של חול לא משפיעה בהתחלה, ואז כמות קטנה נוספת של חול לפתע גורמת להתמוטטות של כמות גדולה. מלבד אי-ליניאריות זו, דיונות ברחן מתנהגות באופן דומה למדי לגל סוליטון.
גלים: גל נשבר בשובל של ספינה
דיונות: דיונות חול במדבר טקלה מקאן, כפי שנצפה מהחלל
דיונות: דיונת ברחן (סהר)
אדוות רוח עם נקעים (דיסלוקציות) בסיסטן, אפגניסטן
סוגי תבניות > בועות, קצף

בועת סבון יוצרת ספֵירה, שטח עם גודל מינימלי – פני השטח הקטנים ביותר האפשריים לנפח שהם מקיפים. שתי בועות יחדיו יוצרות צורה מורכבת יותר: פני השטח החיצוניים של שתי הבועות הם כדוריים; ביניהם מחבר משטח כדורי קטן יותר, שכן הבועה הקטנה יותר מתבלטת מעט לתוך הגדולה.
קצף הוא מסה של בועות; קצפים מחומרים שונים קיימים בטבע. קצפים המורכבים מקרומי סבון מצייתים לחוקי פלאטו, אשר מגדירים כי שלושה קרומי סבון ייפגשו בכל קצה ב-°120, וארבעה קצוות ייפגשו בכל קודקוד בזווית הארבעונית (טטרהדרונית) של כ-°109.5. חוקי פלאטו דורשים כי קרומי הסבון יהיו חלקים ורציפים, ובעלי עקמומיות ממוצעת קבועה בכל נקודה. לדוגמה, קרום יכול להיוותר שטוח כמעט לחלוטין בממוצע, על ידי עיקומו למעלה בכיוון אחד (למשל שמאל-ימין) ועיקומו למטה בכיוון אחר (למשל קדימה-אחורה). ניתן להשתמש במבני גודל מינימלי כאוהלים. ב-1887, לורד קלווין זיהה את הבעיה של הדרך היעילה ביותר לדחוס תאים בעלי נפח דומה כקצף; הפתרון שהוא הציע השתמש רק במוצק אחד, התמניון הקטום הריבועי (Bitruncated cubic honeycomb), עם פני שטח בעלי עקמומיות נמוכה מאוד כדי להתאים לחוקי פלאטו. פתרון טוב יותר נמצא רק ב-1993, כאשר דניס ווירה ורוברט פלן הציעו את מבנה ווירה-פלן; מרכז ענפי ספורט המים הלאומי בבייג'ינג אימץ את המבנה הזה בבניית הקיר החיצוני שלו באולימפיאדת הקיץ של 2008.
בקנה המידה של תאים חיים, תבניות קצף הן נפוצות למדי; קרנוניות, ספיקולות (Spicule) בשלדים של ספוגיים, שלדים חיצוניים של סיליקופלגלטיים (Silicoflagellates) והשלד הקלציטי של קיפוד הים Cidaris rugosa, כולם מזכירים יציקות מינרליות של גבולות קצף המגלמים את חוקי פלאטו. שלד הקרנונית Aulonia hexagona, שאוירה על ידי הקל, נראית כצורה כדורית אשר מורכבת רק ממשושים, אולם צורה כזו אינה אפשרית מתמטית. מאפיין אוילר מגדיר כי לכל פֵּאוֹן (פוליהדרון) קמור, מספר הפאות ועוד מספר הקודקודים שווה למספר הקצוות ועוד שתיים. כתוצאה מנוסחה זו, כל פאון סגור המורכב ממשושים חייב לכלול בדיוק 12 מחומשים, בדומה לכדור כדורגל, הכיפה הגיאודזית של באקמינסטר פולר, או מולקולת פולרן. ניתן לדמיין זאת בעזרת כך שיריעת משושים היא שטוחה, אולם כל מחומש נוסף מכריח את היריעה להתכופף (יש פחות פינות, כך שהיריעה נמשכת פנימה).
קצף בועות סבון: 4 קצוות נפגשים בכל קודקוד, בזוויות קרובות ל-109.5, כמו בשני קשרי C-H במתאן.
הקרנוניות שצייר הקל ב"צורות האומנות של הטבע" (Kunstformen der Natur 1904)
ה-Spumellaria (סדרה של קרנוניות) של הקל; השלדים שלהם הם בעלי צורה קצפית.
מולקולת באקמינסטרפולרן (C60): ריצ'רד סמולי סנתז את מולקולת הפולרן יחד עם קולגות שלו ב-1985.
ברוכוזומים – מיקרו-חלקיקים המופרשים על ידי פרטים ממשפחת הציקדיתיים (Cicadellidae) – אשר תכופות מזכירים בצורתם גאומטריית פולרן.
אוהלי קרקס מקורבים בצורתם לרעיון השטח המינימלי.
למרכז ענפי ספורט המים הלאומי בבייג'ינג שנבנה לקראת אולימפיאדת הקיץ של 2008 יש משטח ווירה-פלן.
ספירות שוות (בועות גז) בקצף פני שטח.
סוגי תבניות > ריצוף

ריצופים או פסיפסים הם תבניות שנוצרות על ידי כיסויו המוחלט של משטח שטוח באריחים החוזרים על עצמם. ישנן 17 חבורות טפט מישוריות (wallpaper groups) של ריצוף. בעוד שאלו נפוצות בעולמות האומנות והעיצוב, בעולם החי קשה למצוא אריחים החוזרים על עצמם בדיוק. בין הדוגמאות המוכרות ישנם התאים בכוורות הנייר של צרעות חברתיות, כמו גם תאי השעווה בחלות הדבש שבונות דבורים. ישנם גם בעלי חיים כגון דגי גרם, זוחלים, והפנגולין, ופירות כמו הסלאק, אשר מוגנים על ידי קשקשים חופפים או אוסטאודרמים: אלו יוצרים יחידות זהות פחות-או-יותר, אף שהקשקשים למעשה משתנים בגודלם באופן רציף. בצמחים ישנו פרח ראש הנחש (Fritillaria meleagris), שעל עלי הכותבת שלו יש דוגמה מרוצפת של משבצות. במבנים של מינרלים שונים יש דוגמאות מוצלחות למערכים תלת־ממדיים החוזרים על עצמם. למרות המספר האדיר של מינרלים מוכרים, ישנן למעשה מעט צורות אפשריות של סידור אטומים בגביש, המוגדרות על ידי מבנה הגביש, המערכת הגבישית, וחבורות סימטריה נקודתיות; לדוגמה, ישנן בדיוק 14 סריגי בְּרָאבֶה ל-7 מערכות הסריגים במרחב התלת-ממדי.
גבישים: גבישים קובייתיים של הליט (מלח בישול); המערכת הגבישית הקובייתית, סימטריה גבישית איזומטרית הקסאוקטהדרלית.
מערכים: חלת הדבש מציגה תופעת ריצוף טבעית
ביסמוט: ניתן לראות את צורת המדרגה של הגביש
ריצוף: המראה הפסיפסי של פרח ראש הנחש, Fritillaria meleagris
ריצוף: קשקשים חופפים של הליבקית המצויה Rutilus rutilus
ריצוף: קשקשים חופפים של פרי הסלאק Salacca zalacca
ריצוף: תצורת סלעים נדירה (Tessellated pavement) בחצי האי טסמן, טסמניה
סוגי תבניות > סדקים

סדקים הם פתחים ישרים הנוצרים בחומר כדי להקל על עומס. כשחומר אלסטי נמתח או מתכווץ בצורה לא-שווה, הוא מגיע בסופו של דבר לגבול חוזק המתיחה שלו ונכנע בבת אחת לכל הכיוונים, כשבתהליך נוצרים סדקים עם מפרקים של °120, כך ששלושה סדקים נפגשים בכל מפרק. לחלופין, כשחומר לא-אלסטי נכנע, נוצרים סדקים ישרים כדי להקל על העומס. עומס נוסף על אותו הכיוון פשוט יגדיל את הסדקים הקיימים; עומס בזוויות ישרה לקודמים יכול ליצור סדקים חדשים. מכאן שתבנית הסדקים מעידה על מידת האלסטיות של החומר. בחומר סיבי קשוח כמו קליפת עץ אלון, סדקים נוצרים כרגיל כדי להקל על עומס, אך הם אינם גדלים לאורך משום שגדילתם מוגבלת על ידי מקבצים של חומר סיבי חזק ואלסטי. מאחר שלכל סוג עץ יש מבנה תאי ומולקולרי ייחודי, לכל אחד יש תבנית היסדקות שונה בקליפתו.
זיגוג לבן על פני חרס ישן המכיל סדקים של בעיקר °90.
בוץ לא-אלסטי מתייבש במדבר ראן של קוטש (ערבת מלח בגוג'ראט, הודו) עם סדקים של בעיקר °90.
גברו עם סדקים של °90, באי סקאי
בוץ אלסטי מתייבש בסיציליה עם סדקים של בעיקר °120
בזלת מקוררת ב"סוללת הענק", אירלנד. סדקים אנכיים, בעיקר של °120, היוצרים עמודים משושים.
גזע דקל עם סדקים אנכיים מסתעפים (וצלקות עלים אופקיות)
סוגי תבניות > פסים, חברבורות

לנמרים יש חברבורות ולמושית השבע ("פרת משה רבנו") יש נקודות; הפסון המגוון והזברה הם מפוספסים. לתבניות האלו יש הסבר אבולוציוני: יש להן תפקיד בהגברת סיכויי ההישרדות, ודרך כך הרבייה, של צאצאי המין. מטרה אחת של תבניות על בעלי חיים היא הסוואה; למשל, נמר שקשה לראותו צד יותר טרף. מטרה נוספת היא איתות – למשל, למושית השבע יש סיכוי גדול יותר להתחמק מציפורים שצדות בעזרת חוש הראייה, אם יש לה צבעי אזהרה בולטים, והיא גם מרה בטעמה או רעילה, או שהיא מחקה חרקים אחרים שאינם טובים למאכל. ציפור צעירה עשויה לנסות לאכול חרק בעל תבנית אזהרה, אולם היא תנסה זאת רק פעם אחת; מושיות השבע האחרות באזור יוותרו לא מופרעות. הנמרים והחיפושיות הצעירים אשר יורשים גנים שיוצרים נקודות או חברבורות, ישרדו. אולם אף שהטיעונים התכליתיים והאבולוציוניים האלו מסבירים מדוע בעלי חיים אלו זקוקים לתבניות המעטרות אותם, הם אינם מסבירים כיצד התבניות האלו נוצרות.
פרפר Colobura dirce
זברת גרבי, Equus grevyi
דג פסון מגוון, Pygoplites diacanthus
נמר, Panthera pardus pardus
מערך של מושיתיים, תרשים של ג.ג. ג'ייקובסן
תבנית רבייה של דיונון, Sepia officinalis
סוגי תבניות > היווצרות תבניות

אלן טיורינג, ולאחר מכן הביולוג המתמטיקאי ג'יימס ד. מארי, תיארו מנגנון שיצר שאופן ספונטני תבניות של פסים או נקודות: מערכת הפעלה-עיכוב. לתאים של האורגניזם הצעיר יש גנים שעוברים הפעלה באמצעות אות כימי, מורפוגן, כשהתוצאה היא גדילתו של מבנה מסוג מסוים, למשל כתם של פיגמנט כהה על העור. אם המורפוגן נוכח בכל מקום, התוצאה היא צביעה אחידה, כמו במקרה של פנתר שחור. אבל אם הוא לא מפוזר בצורה שווה, התוצאה עשויה להיות פסים או חברבורות. טיורינג הציע כי קיימת בקרת משוב של ייצור המורפוגן עצמו, דבר שיכול ליצור תנודות מתמידות בכמות המורפוגן כאשר הוא מתפזר ברחבי הגוף. יש צורך במנגנון נוסף על מנת ליצור תבניות גל עומד (כדי ליצור פסים או חברבורות): כימיקל מעכב אשר מכבה את ייצור המורפוגן, ושמתפזר בעצמו ברחבי הגוף מהר יותר מהמורפוגן. תגובת בלוסוב-ז'בוטינסקי היא דוגמה לא-ביולוגית של מערכת כזו - מַתְנֵד כימי.
מחקר מאוחר יותר הוביל ליצירת מודלים משכנעים של תבניות מגוונות כמו פסי זברה, כתמי ג'ירפות, חברבורות יגואר (כתמים כהים למחצה המוקפים בטבעות כהות שבורות) ותבניות של מושיות (מערכים גיאמוטריים שונים של נקודות ופסים, ראה איורים). מודלי ההפעלה-עיכוב של ריצ'רד פּרוּם, שפותחו בעקבות עבודתו של טיורינג, משתמשים בשישה משתנים כדי להסביר את הטווח הנצפה של תשע תבניות פיגמנטציה תוך-נוצתיות בסיסיות, מהפשוטה ביותר, כתם פיגמנט מרכזי, וממשיך לכתמים קונצנטריים, פסים, שברונים, "עיניים", צמד נקודות מרכזיות, שורות של זוגות נקודות, ומערך נקודות. מודלים משוכללים יותר מדמים תבניות נוצה מורכבות אצל הפנינייה, שכל אחת מנוצותיה מציגה מעבר מתבנית פסים בקצה הפנימי למערך נקודות בקצה הדיסטלי. תבנית כזו נובעת מתנודה הנגרמת על ידי שני אותות מעכבים, אשר מגיבים זה לזה ברמה הזמנית והמרחבית.
תבניות יכולות להיווצר מסיבות שונות בתבנית הנופית של צמחייה, למשל "שיחי נמר" (tiger bush) או גלי אשוח. פסים של שיחי נמר מתרחשים במדרונות צחיחים שבהם הצמחייה מוגבלת על ידי ירידת גשמים. כל פס אופקי פחות-או-יותר למעשה מנצל את מי הגשם המצויים ישירות מעליו. גלי אשוח נוצרים ביערות על מדרונות הרים לאחר רוחות חזקות, במהלך ההתחדשות של היער. כאשר העצים נופלים, העצים שזכו להגנתם נחשפים, וסביר יותר שהם יינזקו בעצמם, כך שמרווחים כאלו נוטים להתפשט עם כיוון הרוח. בזמן זה, בצד שפונה נגד כיוון הרוח, עצים צעירים צומחים תחת הגנתם של העצים הגבוהים הנותרים. תבניות טבעיות נוצרות לעיתים על ידי בעלי חיים, כמו בתילי המימה (Mima mounds) בצפון-מערב ארצות הברית וכמה אזורים אחרים, שנראה כי נוצרו בעקבות פעילות נבירה מתמדת וארוכת שנים של חולדי השק.
במקרה של קרקעות קפואות-עד בעלות שכבה עליונה פעילה הנוטה לקיפאון והפשרה שנתיים, תבניות עשויות להיווצר באדמה, ביניהן עיגולים, רשתות, מצולעים מטריזי קרח (ice wedges), מדרגות ופסים. התכווצות חום גורמים להיווצרותם של סדקי התכווצות; בזמן הפשרה, מים ממלאים את הסדקים, מתרחבים לקרח כאשר הם קופאים מחדש, ומרחיבים את הסדקים לצורת טריז. הסדקים האלו יכולים להתחבר על מנת ליצור מצולעים וצורות נוספות.
כדורנון ("אבו נפחא") ענק, Tetraodon mbu
הגדלה של תבנית העור של הכדורנון
תצלום מתוך הדמיה של תגובת בלוסוב-ז'בוטינסקי
נוצות הפנינייה עוברות ממפוספס למנוקד, הן תוך-נוצתית והן לאורך גוף הציפור
מבט אווירי על מישור "שיחי נמר" בניגריה
גלי אשוח ברכס ההרים הלבנים (ניו המפשייר), ניו המפשייר
תבניות אדמה: פינגו (pingo) נמס, מוקף במצולעי טריזי קרח, בקרבת טוקטויאטוק (Tuktoyaktuk), קנדה
לקריאה נוספת

Stewart, Ian, What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature, Weidenfeld & Nicolson, 2001.
Ball, Philip, Nature's Patterns: a tapestry in three parts. 1:Shapes. 2:Flow. 3:Branches, Oxford, 2009.