משפט הפירוק הספקטרלי
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים חסומים צמודים עצמית > אופרטור נורמלי חסום על מרחב הילברט ותחשיב פונקציונלי

נצמצם כעת את כל התאוריה הכללית לעיל למקרה של אופרטור נורמלי יחיד  T על מרחב הילברט  {\mathcal {H}}. במקרה זה, תהי  {\mathcal {A}}_{T} האלגברה הנוצרת על ידי  T,T^{*} ו- I. זוהי אלגברת סי כוכב קומוטטיבית ולא מנוונת (הקומוטטיביות נובעת מהנורמליות של  T) וניתן להפעיל עליה את המשפטים הקודמים. יתרה מזאת, תורת גלפנד אומרת שבמקרה זה ניתן לזהות את הספקטרום של  {\mathcal {A}}_{T} עם  \sigma \left(T\right)\subset \mathbb {C}  (הספקטרום של האופרטור  T) כך שהתמרת גלפנד של  T מזוהה עם הפונקציה  \iota \left(\lambda \right)=\lambda  על  \sigma \left(T\right). לכן קיימת מידה הטלתית  P_{T} על  \sigma \left(T\right) כך ש- T=\int _{\sigma \left(T\right)}\lambda \,dP_{T}\left(\lambda \right).
התכונות הסטנדרטיות של מידות הטלתיות (ובפרט אינטגרציה ביחס להן) הופכות הצגה זו של האופרטור לנוחה במיוחד. למשל, היא מאפשרת לזהות בקלות את הערכים העצמיים של האופרטור T: אם  \lambda _{0}\in \sigma \left(T\right) אז התמונה של ההטלה  P_{T}\left(\left\{\lambda _{0}\right\}\right) שווה לגרעין של המרחב העצמי המתאים ל- \lambda _{0}, כלומר ל- \ker \left(T-\lambda _{0}I\right). לכן  \lambda _{0} הוא ערך עצמי של  T אם ורק אם תמונת ההטלה  P_{T}\left(\left\{\lambda _{0}\right\}\right) היא שונה ממרחב האפס. בפרט, ל- T אין ספקטרום נקודתי (כלומר, אין לו ערכים עצמיים) אם ורק אם המידה  P_{T} היא לא אטומית.
אם  p\left(\lambda \right) הוא פולינום מרוכב ב- \lambda  ו- {\overline {\lambda }}, ההצבה הפורמלית של  T בפולינום (במקום המשתנה  \lambda ) שווה לאופרטור  \int _{\sigma \left(T\right)}p\left(\lambda \right)\,dP_{T}\left(\lambda \right). מסיבה זו טבעי להגדיר את האופרטור  f\left(T\right) (עבור  f\in B\left(\sigma \left(T\right)\right) שרירותית) באופן הבא:
בצורה זו מתקבל תחשיב בורל פונקציונלי עבור האופרטור  T. שימוש טיפוסי בתחשיב זה הוא לצורך הגדרת שורש של אופרטור חיובי חסום. קל להראות שהספקטרום של אופרטור חיובי מכיל רק מספרים ממשיים אי-שליליים ולכן ניתן להגדיר את  {\sqrt {T}} לפי הנוסחה הנ"ל.
לפני הצגת התכונות של התחשיב הפונקציונלי, נגדיר מושג של התכנסות אשר מופיע באופן שכיח בהקשר זה. אם  f_{1},f_{2},\dots  היא סדרה של פונקציות מרוכבות על קבוצה כלשהי  S, נאמר ש- f_{n}\to f נקודתית ובחסימות אם  f_{n}(s)\to f(s) לכל  s\in S ו- \sup \left\{\left|f_{n}\left(s\right)\right|:s\in S,\,n\geq 1\right\}<\infty .
משפט (תחשיב בורל פונקציונלי לאופרטורים נורמליים חסומים): יהי  T\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) אופרטור נורמלי. אזי קיים הומומורפיזם יחיד של אלגבראות כוכב  f\mapsto f(T) מ- B\left(\sigma \left(T\right)\right) ל- {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) עם התכונות הבאות:
אם  f(\lambda )=\lambda  לכל  \lambda \in \sigma (T), אז  f(T)=T.
אם  f_{n}\to f נקודתית ובחסימות, אז  f_{n}\left(T\right)\to f\left(T\right) בטופולוגיה האופרטורית החזקה.
והוא מוגדר כנזכר לעיל. בנוסף יש לו את התכונות הבאות:
אם  {\mathcal {A}} היא תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של  {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) המכילה את  T,  {\widehat {T}} היא התמרת גלפנד של  T ביחס לאלגברה  {\mathcal {A}}, ו- P_{\mathcal {A}} היא המידה הספקטרלית המתאימה ל- {\mathcal {A}}, אז  f\left(T\right)=\int _{\sigma \left({\mathcal {A}}\right)}f\circ {\widehat {T}}\,dP_{\mathcal {A}}.
אם  S\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) מתחלף עם  T, אז  S\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right) מתחלף עם  f\left(T\right), לכל  f\in B\left(\sigma \left(T\right)\right).
נדגים את התחשיב הפונקציונלי עבור אופרטור הכפלה. יהי  \left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right) מרחב מידה ויהי  {\mathcal {H}}=L^{2}\left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right). נניח ש- T הוא אופרטור של הכפלה בפונקציה  \phi \in L^{\infty }\left(\mu \right) (כלומר  Tf=\phi f לכל  f\in L^{2}\left(\mu \right)). אז קל להראות שהספקטרום של  T הוא הטווח העיקרי של  \phi , כלומר קבוצת הנקודות  \lambda \in \mathbb {C}  עבורן הקבוצה  \left\{\omega :\left|\phi \left(\omega \right)-\lambda \right|<\varepsilon \right\} היא ממידה חיובית לכל בחירה של  \varepsilon >0. מכאן נובע ש- \phi \left(\omega \right)\in \sigma \left(T\right) לכמעט כל  \omega \in \Omega  (ביחס למידה  \mu ). מאחר ש- L^{\infty }\left(\mu \right) הוא מרחב של מחלקות שקילות (אנו מזהים פונקציות אשר שוות זו לזו  \mu -כב"מ), ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות ש- {\mbox{Im}}\left(\phi \right)\subseteq \sigma \left(T\right). אז ניתן להראות ש- f\left(T\right) הוא אופרטור הכפלה ב- f\circ \phi  עבור כל בחירה של  f\in B\left(\sigma \left(T\right)\right).