stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משפט קרוקו

באווירודינמיקה, משפט קרוקו הוא משפט המקשר בין מהירות הזרימה, ערבוליות ולחץ סטגנציה (או אנטרופיה) של זרימה פוטנציאלית. כלומר, המשפט מקשר בין התרמודינמיקה לבין הקינמטיקה של הזורם.
המשפט נוסח לראשונה על ידי אלכסנדר פרידמן, עבור המקרה הספציפי של גז אידיאלי, ופורסם בשנת 1922:
עם זאת, לרוב המשפט מקושר לשמו של לואיג'י קורוקו, מדען איטלקי ובנו של ג'אטנו קרוקו.
עבור אלמנט של זורם בשדה זרימה רוטציונית, ירידת לחץ סטגנציה והיווצרות אנטרופיה למעשה שקולים ולכן ניתן לבטא את משפט קרוקו בשלוש דרכים עיקריות:
לחץ סטגנציה:
 \mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}=v\nabla p_{0}
אנטרופיה (צורה זו נכונה עבור זרימה דו־ממדית ותמידית):
 T{\frac {ds}{dn}}={\frac {dh_{0}}{dn}}+u\omega
מומנטום:
  {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {u^{2}}{2}}+h\right)=\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}+T\nabla s+\mathbf {g} ,
במשוואות לעיל,  \mathbf {u}  הוא וקטור מהירות הזרימה,  \omega  זה ערבוליות,  v זה נפח סגולי,  p_{0} זה לחץ סטגנציה,  T זה טמפרטורה,  s זה אנטרופיה סגולית,  h זה אנתלפיה סגולית,  \mathbf {g}  זה כוחות גוף, ו  n זה הנורמל לקווי הזרם בגודל יחידה.
הערות שוליים

↑  Friedmann A. An essay on hydrodynamics of compressible fluid (Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости), Petrograd, 1922, 516 p., reprinted (אורכב 03.03.2016 בארכיון Wayback Machine) in 1934 under the editorship of Nikolai Kochin (see the first formula on page 198 of the reprint).
↑  Crocco L. Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation. ZAMM, Vol. 17, Issue 1, pp. 1–7, 1937. DOI: 10.1002/zamm.19370170103. Crocco writes the theorem in the form  \scriptstyle \mathrm {rot} \,\mathbf {u} \times \mathbf {u} =T\mathrm {grad} \,S for perfect gas (the last formula on page 2).
ביטול ברוב

בהלכה, ביטול ברוב הוא כלל שמסתעף מדין רוב בהלכה, ואומר שתערובת איסור בהיתר, אנו נפסוק את דין תערובת זו על פי הרוב, כלומר המיעוט שהתערב עם הרוב יתבטל אל הרוב. ודין כל התערובת יהיה כדין הרוב.
הסתייגויות

כלל זה נוגע לאיסור והיתר במאכלות ואף בשאר איסורים. אך במאכלות אסורים לא חל למעשה דין זה, אלא בחתיכות נפרדות שנתערבו. אך אם התבשלו יחד או התחברו ממש, אסור הכול אלא אם כן ההיתר הוא פי 60 מהאיסור (בטל בשישים). זאת על פי הדין ההלכתי של טעם כעיקר.
וכן בבשר בחלב לא קיים כלל של ביטול ברוב, כי תמיד ההתערבות היא ממשית (לח בלח. ובמקרה שלא נוצרה התערבות כזאת לא קיימת בעיה הלכתית בכלל ולכן צריך יחס פי 60 כדי להתיר).
מכאן נובעת הבחנה בסיסית בין תערובת "יבש ביבש" (פירות, חתיכות בשר, או בקבוקי משקה) לתערובת "לח בלח" (חיבור החומרים כמו שני משקים, או דברים שהתבשלו, נכבשו יחד).
בנוסף קיימת שיטה בתנאים ובאמוראים ובעקבותיהם מעט מהראשונים, שמין במינו לא בטל כלל. דהיינו היתר מאותו סוג של האיסור אפילו שיהיה פי אלף ויותר ממנו לא יבטל אותו. אך שיטה זו לא נפסקה להלכה.
מקור הדין

מקור הדין הוא מן הפסוק ”אַחֲרֵי רַבִּים לְהַטֹּת” שממנו לומדים את דין רוב הכללי, ולפי רבים, אף את דין "ביטול ברוב" ספציפית.
נחלקו האחרונים בביאור עניין הכלל: לפי שיטת כמה אחרונים כמו שלומדים דין רוב עצמו, נלמד דין ביטול ברוב. המקור לדין רוב בהלכה הוא כאמור מן הפסוק הדן בהלכות בית דין העברי ואומר ”אַחֲרֵי רַבִּים לְהַטֹּת” כי יש להכריע על פי החלטת הרוב. מפסוק זה, מסבירים האחרונים הללו, אנו למדים שני דינים: האחד, כי הרוב מכריע את הספק, ויש להכריע לפי החלטת הרוב. הכלל השני הוא, שהמיעוט נתהפך לרוב והרי הוא כאילו גם הוא חלק מהרוב, שלולי כן לא היה יכול בית הדין לפסוק את ההלכה, שהרי בסנהדרין צריך להיות מספר קצוב של דיינים, שבעים ואחת (סנהדרין גדולה) עשרים ושלושה (סנהדרין קטנה) או שלושה (בית דין רגיל), ובחלק מן הדינים הכרעת בית דין היא מחילה את עצם הדין ולא רק מגלה את ההלכה, למשל בדיני קנסות, ואם המיעוט לא יצטרף לפסק ההלכה לא יהיה לפסק תוקף, ומכיוון שאנו רואים שהתורה אמרה להכריע על פי רוב הדיינים ואז הדין שריר וקיים, אנו למדים שדעת המיעוט התבטלה כמי שאיננה ואף הצטרפה לדעת הרוב לחזקו, וממילא אנו למדים מכך גם לשאר דיני התורה שניתן להכריע את המיעוט להתהפך כדין הרוב.
אחרונים אחרים מסבירים את העניין באופן שונה. מדין "אחרי רבים להטות" אנו רואים כלל אחד: שהמיעוט אינו יכול להשפיע על הרוב, ובכל מקום בו ישנן שתי אפשרויות; השפעת המיעוט על הרוב או השפעת הרוב על המעוט אנו מעדיפים את השפעת הרוב על המיעוט. אם כן, כאשר מתערבות חתיכות בשר אסורות בחתיכות בשר מותרות, ועומדות בפנינו שתי ברירות; לאסור את כל הקערה מכוח המיעוט האסור או להתיר את כולה, אנו נאלצים להתיר את כולה כדי שהמיעוט האסור לא ישפיע על הרוב המותר.
שני הסברים אלו באים לידי ביטוי הלכתי בנידון האם יש מקום להחמיר ולא לאכול דבר שנתבטל ברוב. על פי ההסבר הראשון, האיסור נהפך להיתר לגמרי ואם כן אין כל מקום להחמיר, אך על פי ההסבר השני האיסור עדיין קיים ולכן ניתן להחמיר ולהימנע מאכילת התערובת.
מקור הדין > היתר נהפך לאיסור

עוד נידון הלכתי נתלה בעניין זה, האם היתר שנפל לרוב איסור יהפך לאיסור או לא. על פי ההסבר הראשון ניתן לומר שאכן יהפך גם ההיתר לאיסור, אך על פי ההסבר השני מכיוון שאף אם לא יתבטל ההיתר באיסור לא ישפיע הדבר על דין התערובת כולה משום שהיא תישאר אסורה מדין ספק, אין צורך בהכרעת הרוב על המיעוט והמיעוט יכול להישאר בהיתרו.
גדר הכלל

נחלקו האחרונים בגדר הכלל האם מדובר בדין וודאי או בדין ספק. השאלה היא האם האיסור נתהפך להיתר על ידי דין ביטול ברוב וממילא מותר לאכול את כל התערובת למרות שבאופן זה ברור שגם האיסור עצמו יאכל, או שמא האיסור עצמו לא נהפך להיתר, ומותר בדין שחל רק מחמת ספק ומכיוון שאיננו יודעים האם אנו אוכלים איסור או היתר מותר לנו להסתמך מספק על דין הרוב האומר כי יש להניח שחתיכת בשר שהוצאה מתוך קערה ובה הרבה חתיכות בשר, היא מהרוב המותר ולא מהרוב האסור.
גדר הכלל > אין מבטלין איסור לכתחילה

ההלכה היא שאסור לכתחילה לגרום לאיסור להתבטל ברוב. אך ישנם הבדלים בתחולת כלל זה בין איסור דאורייתא לאיסור דרבנן.
דברים שאינם מתבטלים

מן התורה כמעט כל דבר בטל בכל רוב שהוא, אפילו אחד בשניים. אך מדרבנן יש כמה דברים שאינם מתבטלים:
דברים שאינם מתבטלים > חמץ בפסח

חמץ שהתערב במאכל היתר בחג הפסח אינו בטל אפילו החמץ בשיעור קטן ביותר, בין במינו ובין בשאינו מינו. לדעת התוספות, זה מפני 'חומר החמץ', משום שיש בו עונש כרת. לדעת הרמב"ם, חמץ אינו בטל משום שהוא דבר שיש לו מתירין.
דברים שאינם מתבטלים > בריה

בריה משמעותה דבר שנשאר כברייתו ולא התרסק או השתנה, ולכן הוא יותר חשוב משאר דברים ואינו מתבטל.
דברים שאינם מתבטלים > חתיכה הראויה להתכבד

חתיכה הראויה להתכבד (חהר"ל או חר"ל) היא הגדרה לחתיכת מאכל שמקובל באותו מקום להגישה לפני האורחים בתור מנה חשובה, למשל שניצל או רבע עוף על פי המקובל בישראל, ומחמת חשיבותה אינה בטלה.
דברים שאינם מתבטלים > דבר שיש לו מתירין

דבר שיש לו מתירין (דשיל"מ) זהו דבר שבהמשך הזמן יהיה מותר מעצמו, (לדוגמה: ביצה שנולדה ביום טוב) ולכן לא רצו חכמים להשתמש בהיתר ביטול ברוב כי ממילא זה יהיה מותר בהמשך. ישנם פירושים נוספים בראשונים לדין זה. הגישה הפשטנית בתלמוד היא שכלל זה תקף רק בספק מהתורה אך לפי דעת רב אשי הכלל תקף גם בספק מדרבנן וכן נפסקת ההלכה אם כי יש שחולקים על פסיקה זו.
לפעמים גם דבר שיש לו מתירין בטל, כאשר האיסור אינו בעין. מסיבה זו פוסק רב מתנה שעצים שנשרו מהדקל בשבת מרבה עליהם עצים מוכנים ומבטלן, כי למרות שלרב אשי דבר שיש לו מתירין אינו בטל אפילו באיסור מדרבנן של מוקצה, כאן האיסור אינו בעין שכבר החל להשרף ולהשתנות ממראהו הראשון.
בנוסף, הדין שדבר שיש לו מתירין אינו אלא במינו; בתערובת מין בשאינו מינו, הוא בטל בששים כמו שאר איסורי התורה.
דברים שאינם מתבטלים > דבר חשוב

דבר חשוב – ישנה קבוצה של דברים המנויים במשנה שהיו בזמנם חשובים מאוד ולכן לא מתבטלים במינם. הרשימה כוללת: אגוזי פרך, רימוני באדן, חביות סתומות, חלפות תרדין, קלחי כרוב, דלעת יונית, ככרות של בעל הבית ובעלי חיים. בשולחן ערוך נפסק שבכל מקום בו אם יש דברים אחרים שיגיעו לחשיבותם של אותם דברים, לא יתבטלו.
דברים שאינם מתבטלים > דבר שבמנין

דבר שבמנין זהו דבר שרגילים למכרו במספר של יחידות ולא במשקל או על פי נפח. בתלמוד הובאו מספר דעות בגדר זה. לדעת ריש לקיש "כל שדרכו לימנות שנינו" כל דבר שדרכו לימנות ולמכר לפי מניין נחשב כדבר חשוב, גם אם לפעמים מוכרים אותו במשקל (כמו למשל ביצים בזמן חז"ל), ואילו לדעת רבי יוחנן "את דרכו לימנות", רק דבר שתמיד נמכר במניין ולא במשקל נחשב לדבר חשוב שאינו מתבטל ברוב. לדעת חכמים יש רשימה מוגבלת של שישה דברים שאינם בטלים, ורבי עקיבא מוסיף דבר שביעי- ככרות לחם של בעל הבית. להלכה נחלקו הפוסקים: לדעת הרמב"ם והשולחן ערוך רק שבעה דברים אינם מתבטלים, ואילו לדעת הרמ"א יש להחמיר גם בדברים אחרים שנמכרים במנין שאינם בטלים.
דברים שאינם מתבטלים > דבר דעביד לטעמא

איסור שנותן טעם בתערובת למרות שיש פי שישים כמות של היתר כנגדו, אינו בטל.
דברים שאינם מתבטלים > יין נסך

חלק מסוגי היין נסך אינם בטלים כלל.
שיטת הרמב"ם

הרמב"ם סובר, שחמץ בפסח שהתערב בדבר שאינו חמץ, אמנם מותר באכילה אך אם יש בו כזית עוברים עליו באיסור בל יראה.
ההסבר בדבר הוא, משום שלשיטתו אין האיסור המתבטל נהפך להיתר, ולכן אם כל הכזית ביחד נמצא בבית, ממילא לא שייך לגביו ביטול שהרי יש בבית זה כזית חמץ. מה שאין כן לעניין אכילה, לעולם אין יכולים לאכול הכול ביחד ממש.
ביטול לח בלח

בתערובת לחה כגון תבשילים קבעו חכמים שהביטול הוא אחד בשישים, כלומר צריך שיהיה פי שישים כנגד המיעוט כדי שהוא יתבטל.
ביטול ברוב בדיני ממון

דיון רחב התרחש בדור השני והשלישי לאמוראים האם קיים דין ביטול ברוב בדיני ממונות. קיימת הסכמה כללית כי דיני ביטול ברוב אינה יכולה להשפיע על דיני ממונות במשפט העברי, והשאלה היא רק האם יש משמעות לביטול ברוב כהשפעה על איסורים התלויים בשורשם בדיני ממונות.
שאלה כזו נתעוררה בבית מדרש טבריה שבראשותו של רבי יוחנן בין קבוצה מתלמידיו, אודות משנה במסכת ביצה האומרת כי כאשר אישה לווה מחברתה תבלין או מלח לתבשיל אותו בישלה לכבוד החג, דין התבשיל לעניין תחום שבת מתייחס כאילו היה מאכל משותף של המשאילה והשואל יחד, ואסור לטלטל את התבשיל מחוץ לאלפיים אמה מהמקום בו שבתה המשאיל בערב שבת בין השמשות.
ביטול ברוב בדיני ממון > ביטול ברוב בממון לעניין איסורים

השאלה שהתעוררה בבית המדרש היא מדוע לא יועיל דין ביטול ברוב על המלח והעיסה. רבי אבא הגיע באותה תקופה בפעם הראשונה לבית המדרש של רבי יוחנן, והוא הציע את התשובה האומרת שדין ביטול ברוב אינו מועיל כאשר מדובר בדין ממוני, כלומר: מכיוון ששורש האיסור, תלוי בדין הבעלות של המשאילה, וזה אינה בטל ברוב, נותר האיסור על כנו כאילו היה התבשיל של המשאילה. כדוגמה לדבריו הוא הסביר, שכמו שברור שכאשר יתערב קב חיטים בעשרה קבין של אדם אחר לא תתבטל הבעלות המשפטית על החפץ, כך גם כאן למרות שהמלח מעורב בתבשיל והוא מיעוט בתוכו, דין הממון על התבשיל לא יתבטל. בני בית המדרש ששמעו את הסברא ביטלו אותה כלאחר יד.
התקיים דיון בין אמוראי בבל מדוע ביטלו אמוראי ארץ ישראל את דבריו של רבי אבא: רבי אושעיא הסביר, כי לדעתו ברור שגם דין הממון מתבטל כאשר הוא מתערב ברוב. יש מפרשני התלמוד שאמרו כי גם לפי רבי אושעיא לא ייתכן שדין הממון יתבטל לגמרי, ולא ייקח השני כסף על ממונו שהתערב בתוך ממונו של חבירו, אלא השאלה היא רק על גוף החפץ, האם דין הממון על החפץ עצמו נותר של זה שהיה ממונו לפני התערובת, או שמא נותרה לו רק זכות ממונית בתערובת אך לא זכות פיזית על הממון שהתערב. רב ספרא תמה על דבריו.
ביטול ברוב בדיני ממון > ממון שיש לו תובעין ושאין לו

כאן נכנס לתמונה אביי וחילק חילוק חדש, ולדבריו זה ההסבר של שיטת אמוראי ארץ ישראל: קיים חילוק בין "ממון שיש לו תובעין" ממון שיש אדם שתובע אותו ובעליו רוצה לקבלו חזרה לבין "ממון שאין לו תובעין" זכות ממונית שבעליה ויתר עליה שהיא מתבטלת כליל. בעוד שממון שיש לו תובעים אכן אינו מתבטל, הרי שממון ש"אין לו תובעין" כדוגמת מלח שהושאל במטרה שלא להחזירו אלא את תמורתו הכספית, בטל ברוב.
רב ספרא ביטל את החילוק בין "ממון שיש לו תובעים" לבין "ממון שאין לו תובעים". כראיה לדבריו הוא הביא את שיטת רבי יוחנן בן נורי במסכת עירובין האומר כי גם חפצי הפקר קונים שביתה לעניין תחום שבת, כך שמותר לטלטל אותם רק אלפים אמה ממקום מושבם. ומכאן שדיני הממון של חפץ אינו משתנה אם יש לו תובעים או אם אין לו תובעים. על כך השיב לו אביי כי אין להשוות בין סוגיה זו של מסכת עירובין, כי אמנם לממון שאין לו תובעים יש דין ממון בכל מצב, אך כאן אנו רוצים לבטל רק את דין האיסור שחל מחמת הממון, ולא את דין הממון עצמו.
לקריאה נוספת

מקור ביטול ברוב; יסוד ביטול ברוב; בתוך: אוצר עיונים, ש"ס מתיבתא, חולין, כרך ו, מערכות נג-נד, עמ' א-כו.
הערות שוליים

1 2  ספר שמות, פרק כ"ג, פסוק ב'
↑  רש"י מסכת חולין צח ב ד"ה דמדאורייתא.
↑  תלמוד בבלי, מסכת ביצה, דף ג', עמוד ב' רש"י ד"ה אפילו באלף לא בטיל
↑  רבי חיים סולובייצ'יק חידושי הגר"ח (סטנסיל) על מסכת סנהדרין, רבי שמעון שקאפ ספר שערי ישר חלק א שער ג.
↑  רבי יצחק מאיר אלטר ה"חידושי הרי"מ" מגור, ספר פני אברהם סימן לז.
↑  על פי ספר חתן סופר בפתיחה לשיטת רוב.
↑  על פי ספר פני אברהם שם
↑  בנוגע להלכה בזה נחלקו הפוסקים, ראו הערך "ביטול ברוב", באתר ויקישיבה
↑  תלמוד בבלי, מסכת ביצה, דף ד', עמוד א'. וראו שולחן ערוך, יורה דעה, סימן צ"ט, סעיף ו'.
↑  מהלך כל הסוגיא בתלמוד בבלי, מסכת ביצה, דף ג', עמוד ב'
↑  תלמוד בבלי, מסכת ביצה, דף ד', עמוד א'
↑  משנה תורה לרמב"ם, ספר זמנים, הלכות שביתת יום טוב, פרק א', הלכה כ', משנה תורה לרמב"ם, ספר זמנים, הלכות שביתת יום טוב, פרק ב', הלכה ו', שולחן ערוך, אורח חיים, סימן תקי"ג, סעיף א'
↑  מרדכי השלם, ביצה סימן י'
↑  תלמוד בבלי, מסכת ביצה, דף ד', עמוד ב'
↑  בתערובת מין בשאינו מינו, לדעת השולחן ערוך בטלים בששים כשאר איסורים, ראו שולחן ערוך, יורה דעה, סימן ק"י, סעיף א', ואילו לדעת הש"ך (ס"ק א שם) אינו בטל.
↑  שולחן ערוך, יורה דעה, סימן ק"י, סעיף א'
↑  תלמוד בבלי, מסכת ביצה, דף ג', עמוד ב'
↑  משנה תורה לרמב"ם, ספר קדושה, הלכות מאכלות אסורות, פרק ט"ז, הלכה ג'.
↑  שולחן ערוך, יורה דעה, סימן ק"י, סעיף א'
↑  שולחן ערוך, יורה דעה, סימן ק"י, סעיף א'
↑  פרי מגדים בפתיחה לסימן רמב
↑  תלמוד בבלי, מסכת ביצה, דף ל"ח, עמוד א'
תבנית סטנדרטית המכילה שלושים ביצים. הביצים נחשבות לפי דעה אחת ל"דבר שדרכו לימנות" שאינו מתבטל, אך לפי דעה אחרת, כיוון שהביצים נמכרות לעיתים לפי משקל, אין להן חשיבות מיוחסת והן בטלות ברוב
על בעל חיים שלם כברייתו שהתערב במאכל לא תקף דין "ביטול ברוב" מפני שהוא כברייתו
משוואת שרדינגר ואינטגרלי פיינמן

במכניקת הקוונטים נפוצות כמה שיטות לתיאור ההתפתחות בזמן של מערכת. השתיים ה"קלאסיות", מראשית תורת הקוונטים, הן תמונת הייזנברג ותמונת שרדינגר, אשר מבוססות שתיהן על משוואת שרדינגר. שיטה מאוחרת יותר היא פורמליזם אינטגרלי המסלול שהגה ריצ'רד פיינמן בשנת 1948. בשיטה זו, במקום לתהות איך תשתנה התפלגות המיקום של חלקיק (פונקציית הגל שלו) או איך ישתנו האופרטורים הפועלים עליו, יש לסכום על כל המסלולים האפשריים עבור חלקיק שעבר מנקודה א' לנקודה ב', והסכימה הזו – עם פונקציית משקל מסוימת – נותנת את אמפליטודת ההסתברות שהחלקיק יגיע מנקודה לנקודה. המונח היסודי בפורמליזם זה הוא הפרופגטור, המסומן לרוב ב-K, שמסמן את אמפליטודת ההסתברות למעבר.
כפי שהתמונות המוזכרות לעיל שקולות בתוצרים שהן מייצרות ובניבויים הפיזיקליים שלהן, כך גם פורמליזם אינטגרלי המסלול נותן תוצאות זהות לאלה שתיתן משוואת שרדינגר. בפרט, עבור ניסוי שני הסדקים (שהיווה מוטיבציה ומקור רעיוני לשיטת אינטגרלי המסלול) מתקבלת תוצאה זהה. כוחו המרכזי של פורמליזם אינטגרלי המסלול הוא הפשטות בה ניתן לעבור למערכות רבות חלקיקים בלי שינוי עקרוני במתודות, בעוד שבמשוואת שרדינגר יש צורך לעסוק בקוונטיזציה שנייה. אינטגרלי המסלול הם גם הכללה של עקרון הפעולה המינימלית למכניקה הקוונטית, כפי שיוזכר גם בהמשך. בעזרת הכללות פשוטות יחסית של שיטת אינטגרלי המסלול ניתן לעסוק בחישובים מתחום המכניקה הסטטיסטית ולחשב פונקציית חלוקה באופן קוונטי. מאמר זה מציג את היסוד לפורמליזם זה, באמצעות הצגת הקשר הישיר בין משוואת שרדינגר לבין פורמליזם אינטגרלי המסלול של פיינמן, וזאת באמצעות שימוש בהמילטוניאן לא-רלטביסטי חד-חלקיקי המורכב מאנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית, המקרה הכי בסיסי בו ניתן לעסוק באינטגרלי מסלול. את הפיתוח שמופיע בהמשך ניתן למצוא בספרים ובמקורות רבים, עם הבדלים מועטים, דוגמת Altland & Simons או Lancaster & Blundell.
רקע > משוואת שרדינגר

כאשר משתמשים בסימון דיראק ניתן לכתוב את משוואת שרדינגר כך:
כאשר  {\hat {H}} הוא אופרטור ההמילטוניאן.
את אופרטור ההמילטוניאן אפשר לכתוב כך:
כאשר  V({\hat {q}}) היא אנרגיה פוטנציאלית,  m היא המסה ואנחנו מניחים שיש רק מימד מרחבי אחד,  q.
הפתרון הפורמלי של משוואת שרדינגר בתמונת שרדינגר נתון, באופן כללי, על ידי
ולכן סיכוי המעבר מהמצב ההתחלתי למצב סופי כלשהו  F הוא
רקע > פורמליזם אינטגרלי המסלול

פורמליזם אינטגרלי המסלול טוען שהסתברות המעבר נתונה על ידי אינטגרל על הגודל
על כל המסלולים האפשריים מהמצב ההתחלתי למצב הסופי, כאשר  S מסמל את הפעולה הקלאסית.
הניסוח מחדש הזה עבור סיכוי המעבר, שנהגה במקור על ידי דיראק ושוכלל על ידי פיינמן, מהווה את הבסיס של פורמליזם אינטגרלי המסלול.
ממשוואת שרדינגר לפורמליזם אינטגרלי המסלול

הגזירה שלהלן עושה שימוש בנוסחת המכפלה של טרוטר, שקובעת שעבור כל שני אופרטורים הרמיטיים  A ו- B (המקיימים תנאים מסוימים) מתקיים
אפילו אם  A ו- B אינם מתחלפים.
ניתן לחלק את מרווח הזמן  [T,0] ל- N מקטעים מאורך
ולכן אפשר לכתוב את אמפליטודת המעבר כך:
ניתן להכניס את מטריצת הזהות
N-1 פעמים (בין כל זוג אקספוננטים) ונקבל את השוויון
אף על פי שהאנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית אינן מתחלפות (ולכן, אי אפשר לפרק את האקספוננט של ההמילטוניאן למכפלת אקספוננט של האנרגיה הקינטית ואקספוננט של הפוטנציאלית), נוסחת טרוטר מאפשרת להתעלם מהאי-התחלפות ולכתוב בכל מקטע זמן קטן
ולכן לאחר שימוש בנוסחה נקבל:
עכשיו ניעזר בזהות נוספת למטריצת הזהות:
ולאחר הכנסה של הזהות לתוך האמפליטודה נקבל:
כאשר נעזרנו בעובדה שהפונקציות העצמיות של המקום ושל התנע מקיימות
ניתן לבצע אינטגרציה על התנע  p, מכיוון שזהו אינטגרל גאוסיאני ולכן הוא פתיר ולקבל:
ולכן נקבל שאמפליטודת המעבר עבור כל תקופת הזמן (לאחר הצבה של הנוסחה האחרונה באמפליטודה) היא:
כאשר  N שואף לאינסוף, נקבל שאת הביטוי בסוגריים הקטנים ניתן להחליף בנגזרת של  q לפי הזמן, ולכן נקבל בתוך הסוגריים העגולים הגדולים את הלגרנז'יאן. בגבול הסכום נהפך לאינטגרל, ולכן נקבל
כאשר  S היא הפעולה הקלאסית, שמוגדרת כך:
ו- L הוא הלגראנז'יאן הקלאסי שמוגדר כך:
עבור כל נתיב אפשרי של החלקיק, שמגיע מהמצב ההתחלתי למצב הסופי, מחשבים את התרומה שלו על ידי הגבול שסימנו בסימון הקומפקטי  Dq:
על אף הצורה הקומפקטית שיש למשוואה האחרונה למעלה, בפועל הביטוי הזה הוא הדרך בה מחשבים דברים בשיטת אינטגרלי המסלול – על ידי לקיחת גבול של אינטגרל על מקטעים. המקדם דואג ליחידות, אך אין לו משמעות אמיתית בשימושים פיזיקליים.
הפיתוח הנ"ל מכסה את הפיתוח של פורמליזם אינטגרלי המסלול (החד-חלקיקי) של מכניקת הקוונטים כאשר מתחילים ממשוואת שרדינגר. ניתן להעיר שהפורמליזם מכליל את עקרון הפעולה המינימלית, שכן שיטת הפאזה הסטציונרית גורסת שהתרומה המרכזית לאינטגרל בגבול בו קבוע פלאנק שואף לאפס נובעת מהמצב בו הפעולה מינימלית, ולכן זהו המסלול שיתקבל בסבירות הכי גבוהה.
הערות שוליים

↑  A. Zee (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell, Second Edition. Princeton University. ISBN 978-0-691-14034-6.
↑  Altland, Alexander; Simons, Ben D. (2010). "3.2 – Feynman path integral, Construction of the path integral". Condensed Matter Field Theory (באנגלית) (2 ed.). Cambridge University Press. pp. 97–101. ISBN 978-0-521-76975-4.
↑  Altland, Alexander; Simons, Ben D. (2001). "4 – Feynman Path Integral". Concepts of Theoretical Solid State Physics.
↑  Lancaster, Tom; Blundell, Stephan J. (2014). "23 – Path integrals: I said to him, 'you're crazy'". Quantum Field Theory for the Gifted Amenteur. New York, New York, USA: Oxford. ISBN 978-0-19-969933-9.
↑  Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Edition. Oxford. ISBN 0-19-851208-2.
↑  Brown, Laurie M. (1958). Feynman's Thesis: A New Approach to Quantum Theory. World Scientific. ISBN 981-256-366-0.
↑  See Hall 2015 Section 20.2
עידו גפן

| --- | --- |

 לידה:  1 במרץ 1992 (בן 32) רעננה
 מדינה:  ישראל 
 עיסוק:  סופר
 מקום לימודים:  אוניברסיטת תל אביב, אוניברסיטת קולומביה 
 שפות היצירה:  עברית
 פרסים והוקרה:  פרס סמי רוהר (2023)  פרס שרת התרבות בתחומי היצירה הספרותית (2017)  מלגת פרדס (2019) 
 www.iddogefen.com
 
עידו גפן (נולד ב-1 במרץ 1992) הוא סופר ישראלי.
ביוגרפיה

גפן נולד וגדל ברעננה. בילדותו למד בתיכון מטרו ווסט ברעננה, ולאחר מכן עשה שנת שירות בדרום תל אביב.
את שירותו הצבאי עשה ככתב ועורך מגזין בעיתון במחנה.
גפן השלים תואר שני בפסיכולוגיה קוגניטיבית במסגרת התוכנית הבין-תחומית לתלמידים מצטיינים ע"ש עדי לאוטמן באוניברסיטת תל אביב ומרכז סגול למדעי המוח באיכילוב. בשנת 2023 החל בלימודי דוקטורט לקוגניציה באוניברסיטת קולומביה ומכון צוקרמן בניו ניו-יורק, ועוסק במחקרו בקשר בין זיכרון, קבלת החלטות ונרטיבים.
לגפן יש דיסלקסיה.
גפן מאורס לעיתונאית ערוץ 13, נריה קראוס.
יצירתו

לאחר השחרור עבד בצומת ספרים והחל במקביל לכתוב את ספרו הראשון, "חוף הים של ירושלים", שיצא לאור בשנת 2017 בהוצאת כנרת זמורה-ביתן דביר. הספר, הבנוי מסיפורים קצרים, זכה בפרסי שר התרבות והספורט בתחום היצירה הספרותית העברית ותורגם למספר שפות, בהן אנגלית, קוריאנית וסינית. התרגום האנגלי, בתרגומה של דניאלה זמיר, היה הספר הראשון שנכתב בעברית וזכה בפרס סמי רוהר על סך 100 אלף דולרים לשנת 2023. הספר היה גם מועמד לפרס הלאומי לספרים יהודיים לשנת 2021. כמה סיפורים מהספר נמכרו כאופציות לחברות הפקה מובילות בהוליווד.
בשנת 2019 קיבל גפן את מלגת פרדס לשנת 2019 לסופרים צעירים מטעם הספרייה הלאומית.
ב-2022 נבחר לרשימת פורבס 30 מתחת ל־30.
ב-2023 הוציא לאור את ספרו השני, "מפעל העננים של גברת לילנבלום", בהוצאת כנרת זמורה-ביתן דביר.
ב-25 בפברואר 2025 פורסם כי סיפורו של גפן "בית החלומות של דבי" מתוך ספרו הראשון "חוף הים של ירושלים" יעובד לסרט הוליוודי על ידי התסריטאי צ'ארלי קאופמן ושלסרט ילוהקו, בין היתר, אדי רדמיין, טסה תומפסון ופטסי פראן.
ספרים

חוף הים של ירושלים, כנרת זמורה-ביתן דביר, 2017
מפעל העננים של גברת לילנבלום, כנרת זמורה-ביתן דביר, 2023
הערות שוליים

1 2   מילד שהתמודד עם דיסלקציה לסופר מצליח: הפריצה של עידו גפן, סרטון בערוץ "כאן 11", באתר יוטיוב
↑  Daphna Shohamy, Ph.D. – Shohamy Lab, Columbia University
↑  מזל טוב! כתבת חדשות 13 נריה קראוס התארסה לבן זוגה, באתר וואלה, 21 בדצמבר 2024
↑  נוי אראל, "הספר קיבל תגובות הרבה יותר טובות ממה שחשבתי", באתר צומת השרון, ‏29.12.2017
↑  משרד התרבות והספורט הכריז על הזוכים בפרס שרת התרבות והספורט בתחומי היצירה הספרותית לשנת תשע"ז, באתר משרד התרבות והספורט, ‏11.12.2017
↑  דודי פטימר, ‏גאווה ישראלית: הישג בינלאומי מרשים לסופר עידו גפן, באתר מעריב אונליין, 2 במאי 2023
↑  2021 Nation­al Jew­ish Book Award Winners, Jew­ish Book Coun­cil, ‏20 בינואר 2022
↑  ריאן גוסלינג יפיק לו סרט | סופר זוכה פרסים שהוא גם חוקר מוח? | למה אנחנו כל כך אוהבים סיפורים? | פופקורן 334, באתר העולם החדש, ‏5 במרץ 2024
↑  הכירו את סופרי העתיד, באתר הספרייה הלאומית, ‏14 באפריל 2019
↑  עידו גפן, באתר Forbes, ‏14 במרץ 2022
↑  שני נחשוני, ראיין גוסלינג יפיק סרט הוליוודי שמבוסס על סיפור מאת הסופר עידו גפן, באתר ישראל היום, 25 בפברואר 2025
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007358124505171  ISNI: 0000 0004 6883 2188  LCCN: no2018008582  NLK: KAC202104455  VIAF: 38150380583713372026   WorldCat (עם VIAF): 38150380583713372026
משוואת ריינולדס

משוואת ריינולדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים. המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז.
המשוואה הכללית

עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא:
 {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}
כאשר:
x,y,z - הן קואורדינטות קרטזיות.
p - לחץ כפונקציה של  x.
h - פרופיל המשטח העליון כפונקציה של  x.
\rho  - צפיפות הנוזל.
\mu  - צמיגות הנוזל.
U_{a} - מהירות בכיוון  x של המשטח התחתון.
U_{b} - מהירות בכיוון  x של המשטח העליון.
w_{a} - מהירות בכיוון ציר  y של המשטח התחתון.
w_{b} - מהירות בכיוון ציר  y של המשטח העליון.
המשוואה הכללית > הנחות המודל

הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות.
אינרציה וכוחות גוף זניחים.
שינויים בלחץ לאורך ציר  z זניחים כלומר  p=p(x,y)
הזרימה היא למינארית. (עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה)
אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים. כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב.
המשוואה הכללית > משמעות איברי המשוואה

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right) - זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ.
{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right) -זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט).
\rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}} - לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון.
\rho \left(w_{a}-w_{b}\right) - לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני.
h{\frac {\partial \rho }{\partial t}} - התפשטות מקומית של הנוזל.