ציפה (פיזיקה)
כוחות ושיווי משקל

זוהי המשוואה לחישוב שיווי משקל הלחצים הזורם. המשוואה הבאה היא משוואת שיווי המשקל:

 f+\nabla \sigma =0

כאשר  f הוא כוח כתוצאה מצפיפות שמתרחש כתגובה לשדה חיצוני הפועל על הזורם, ו- \sigma  הוא טנזור המאמצים של קאוצ'י. במקרה הזה הטנזור פרופורציונלי לטנזור היחידה:

 \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}

כאשר כאן,  \delta _{ij} הוא הדלתא של קרונקר. בהצבת ערכים אלו במשוואה הקודמת, מקבלים:

 f=\nabla p

בהנחה שהשדה החיצוני הוא משמר, ניתן לבטא את הכוח בתור מינוס גרדיאנט של פונקציה סקלרית כלשהי:

 f=-\nabla \Phi 

לכן, הצורה של משטח פתוח של גוף שווה לפוטנציאל של השדה המשמר החיצוני. בהנחה שהשדה הוא שדה גרביטציה, ציר ה- z מצביע מטה, ולכן  \Phi =\rho _{f}gz, כאשר  g הוא תאוצת הגרביטציה,  \rho _{f} הוא צפיפות הזורם. בהצבת הלחץ כאפס כאשר  z=0, הקבוע יהיה אפס, ולכן הלחץ בתוך הזורם בהשפעת גרביטציה יהיה:

 p=\rho _{f}gz

הלחץ גדל ביחד עם העומק מתחת למשטח הייחוס, כאשר  z תורם את המרחק ממשטח זה. כל גוף בעל עומק אנכי לא אפסי מרגיש הפרש לחצים בין הלחץ העליון ללחץ התחתון, כאשר הלחץ התחתון גדול יותר. הפרש הלחצים הזה גורם לכוח הציפה כלפי מעלה.

כעת אפשר לחשב את כוח הציפה בצורה פשוטה, מפני שהלחץ על פני הגוף ידוע במלואו. אפשר למצוא כוח זה על ידי אינטגרציה של טנזור המאמצים על משטח הגוף שנמצא במגע עם הזורם (מפני שהזורם אינו מפעיל כוח על חלק הגוף שלא בא איתו במגע).

 B=\oint \sigma dA

האינטגרל המשטחי יכול להפוך לאינטגרל נפחי בעזרת משפט גאוס:

 B=\int div\sigma dV=-\int fdV=-\rho _{f}g\int dV=-\rho _{f}gdV

כאשר  V הוא גודל הנפח שמוחלף על ידי הגוף.

יהיה קל יותר להעריך את כוח הציפה לאחר הדיון הבא. ניקח חפץ כלשהו בעל צורה שרירותית ונפח  V מוקף בזורם. הכוח שהזורם מפעיל על החפץ שנמצא בתוך הזורם, שווה למשקל הזורם בעל אותו נפח  V. הכוח שמופעל בכיוון הפוך לכוח הגרביטציה, וגודלו:

 B=\rho _{f}V_{disp}g

כאשר  \rho _{f} הוא צפיפות הנוזל,  V_{disp} הוא הנפח המוחלף על ידי החפץ, ו- g הוא התאוצה הגרביטציונית.

אם נפח הנוזל מוחלף בגוף מוצק בעל אותה צורה בדיוק, הכוח שהזורם מפעיל עליו צריך להיות שווה לאותו כוח כמו הקודם. במילים אחרות, "כוח ציפה" על גוף מכוון בכיוון הפוך לכוח הגרביטציוני וגודלו:

 B=\rho _{f}V_{g}

במצב הסטטי הכוח הכולל על הגוף צריך להיות אפס, ובמצב כזה חוק ארכימדס מתאים.

 F_{net}=0=mg-\rho _{f}V_{disp}g

אם כוח הציפה של גוף גדול מהמשקל שלו, הגוף נוטה לעלות. גוף שמשקלו גדול מכוח הציפה נוטה לשקוע. חישוב כוח ציפה על גוף בתאוצה לא יכול להיעשות בעזרת חוק ארכימדס לבדו. צריך להתייחס לדינמיקה של הגוף, הכוללת כוח ציפה. ברגע שהחפץ שקע לקרקעית או צף לפני השטח, חוק ארכימדס מתאים לבדו לחישוב. בשביל גוף צף, צריך להתייחס רק לנפח שנמצא בתוך הזורם. בשביל גוף שקוע מתייחסים לכל נפח הגוף, ואם הגוף נמצא בקרקעית צריך להתייחס לתגובה עם הקרקעית.

בשביל להשתמש בחוק ארכימדס לבדו, הגוף צריך להיות בשיווי משקל, כלומר:

 mg=\rho _{f}V_{disp}g

ולכן:

 m=\rho _{f}V_{disp}

נראה שהעומק אליו גוף ישקע, ונפח המים שהוא מחליף, לא תלויים בשדה הגרביטציה או מיקום גאוגרפי (הערה: אם הנוזל הוא מי ים, הצפיפות משתנה ממקום למקום, ולכן לאניות מציגים קו טעינה).

קיים מקרה כאשר כוחות שונים מכוח גרביטציה וציפה משפיעים. מקרה כזה קורה אם הגוף נלחץ או שוקע על קרקעית מוצקה. הכוח הנוסף יכול להיות מתיחות בקפיץ למדידת המשקל הגוף בתוך הזורם, וכך משקל מדומה נמדד.

אם הגוף נוטה לצוף, כוח המתיחות יהיה:

 T=\rho _{f}Vg-mg

אם הגוף נוטה לשקוע, הגוף יחווה כוח נורמלי:

 N=mg-\rho _{f}V_{g}

נהוג להגדיר מסת ציפה  m_{b} שמבטאת את המסה האפקטיבית של גוף שיכולה להימדד בתוך זורם בעזרת שיטה גרביטציונית. אם גוף שנוטה לשקוע בזורם מסוים, מאוזן על ידי קפיץ כלשהו שיוכל למדוד את המסה השקועה שלו, נוכל לקבל:

 m_{b}=m_{0}\cdot (1-{\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}})

כאשר  m_{0} הוא מסת הגוף שנמדדת בריק, ו \rho _{f},\rho _{0} הם צפיפות הזורם והצפיפות הממוצעת של החפץ, בהתאמה. לכן, אם  \rho _{f}=\rho _{0}, החפץ הוא כביכול חסר משקל, ונקרא נייטרלי מבחינת ציפה. אם צפיפות הזורם גדולה מהצפיפות הממוצעת בחפץ, החפץ יצוף; אם היא קטנה, החפץ ישקע.

משוואה נוספת שמתאימה לחישוב ציפה של חפץ היא מציאת המשקל המדומה של חפץ מסוים באוויר (מחושבת בניוטונים), ומציאת המשקל המדומה של החפץ בזורם (בניוטונים). על מנת למצוא את כוח הציפה שפועל על חפץ כשהוא באוויר, בשימוש במידע ספציפי, הנוסחה:

משקל מדומה בנוזל - משקל חפץ בריק = כוח צפיפות

צפיפות האוויר נמוכה מאוד ביחס לרוב הנוזלים והמוצקים, לכן משקל החפץ באוויר הוא בקירוב טוב משקלו בריק, כאשר נוצרת שגיאה זניחה.