stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
היסטוריה של תורת ההסתברות
התפתחות במאה ה-20 > תורת התהליכים המקריים

עבודותיהם של מרקוב וקולמוגורוב על התורה של תהליכים מקריים פתחה ענף חדש בתורת ההסתברות. בהמשך לעבודות אלה, תרומה חשובה לתורת ההסתברות פורסמה על ידי המתמטיקאי ההונגרי ג'ורג' פוליה. פוליה הראה בשנת 1921 תוצאה מפתיעה לגבי הילוך מקרי פשוט על הסריג  \mathbb {Z} ^{d}, לפיה ההילוך נשנה (היינו, יש הסתברות 1 לחזור לנקודת המקור) אם  d=1 או  d=2, וחולף (היינו, יש הסתברות שאינה 1 לחזור לנקודת המקור) עבור כל  d שלם חיובי אחר. כלומר, אם מתחילים בנקודה אקראית על הסריג  \mathbb {Z} ^{d} ומבצעים בכל שלב צעד אחד בכיוון כלשהו בהתפלגות אחידה, אז בהסתברות  1 נחזור לנקודת ההתחלה אינסוף פעמים אם ורק אם  d=1 או  d=2. תרומה נוספת של פוליה הייתה בתחום של פונקציות אופייניות, שם הראה את הקשר לתורה של התמרת פורייה של מידות הסתברות.
התהליך המקרי הרציף המכונה תנועה בראונית היה מפורסם עוד מראשית המאה ה-19. ב"שנת הפלאות" של הפיזיקאי זוכה פרס נובל אלברט איינשטיין, באחד מארבעת מאמריו הנודעים עשה איינשטיין שימוש בתנועה בראונית במחקרו על מכניקה סטטיסטית, במקביל לעבודתו של הפיזיקאי הפולני מריאן סמולוכובסקי (אנ'). בהמשך לעבודות אלה, הפיזיקאי הצרפתי ז'אן-בטיסט פרן, גם הוא זוכה פרס נובל, עשה שימוש בתנועה בראונית כדי לחשב את מספר אבוגדרו. השלכות אלה על תחום הפיזיקה חיזקו את העניין המתמטי בתנועה בראונית שבתקופה זו טרם הייתה מוגדרת במסגרת אקסיומטית מוצקה, ובשנת 1923 סיפק המתמטיקאי האמריקאי נורברט וינר ביסוס מתמטי למושג מורכב זה, עד שבהקשר של תורת התהליכים המקריים תהליך זה מכונה "תהליך וינר". לפי תיאור זה, משפחה של משתנים מקריים  \left\{W_{t}\right\}_{t\in \mathbb {R} _{+}} היא "תהליך וינר", אם היא מקיימת את כל התנאים הבאים:
W_{0}=0 כמעט תמיד.
עבור כל  u>0, ‏ W_{t+u}-W_{t} הוא משתנה מקרי בלתי-תלוי ב- \left\{W_{s}\right\}_{s\in \left[0,t\right]}.
עבור כל  u>0, ‏ W_{t+u}-W_{t} הוא משתנה מקרי בעל התפלגות נורמלית מהצורה  N\left(0,u\right).
\left\{W_{t}\right\}_{t\in \mathbb {R} _{+}} רציף במשתנה  t בהסתברות  1.
ההוכחה שאכן קיימת סדרה משתנים מקריים שהיא תהליך וינר לא הייתה מובנת מאליה בזמנו.
בהמשך המאה ה-20 בלט המחקר בתורה של תהליכים מקריים. לפיתוח תחום זה תרם רבות המתמטיקאי הצרפתי פול לוי, בפרט לתורה של תהליכים אדיטיביים, והספר החשוב הראשון בתורה זו הוא ספרו משנת 1948, "תהליכים סטוכסטיים ותנועה בראונית". תורם מרכזי נוסף לתורה של תהליכים מקריים היה המתמטיקאי האמריקאי ג'וזף דוב, שפיתח בשנות ה-50 את יסודות התורה של מרטינגלים. תורה זו עסקה בהילוכים מקריים המתארים משחק הוגן, בהם התוחלת של הרווח בכל שלב נקבעת על ידי השלב הקודם. התפתחות מושג התנועה הבראונית קודם לכן הולידה גם את חקר המרטינגלים בזמן רציף, וכך למשל אחת מתרומותיו הבולטות של קודמו של דוב, לוי, היה מה שכונה "קריטריון לוי", לפיו משפחת משתנים מקריים  \left\{W_{t}\right\}_{t\in \mathbb {R} _{+}} היא תהליך וינר אם ורק אם היא מרטינגל רציף כמעט תמיד עם התנאי  W_{0}=0, המקיים כי  \left\{W_{t}^{2}-t\right\}_{t\in \mathbb {R} _{+}} גם הוא מרטינגל. עבודתו של לוי עסקה גם בתורה של חוקי גבול כלליים יותר, וכך למשל אחת הגרסאות הנודעות של משפט הגבול המרכזי פותחה על ידי לוי.
בשנות ה-50 פיתח המתמטיקאי היפני קיושי איטו את האנליזה הסטוכסטית, תוך שימוש בתנועה בראונית. תחום זה איפשר לבצע חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי עבור תהליכים מקריים, ולפיכך גם פתרון משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות. לתחום זה יישומים חשובים בעיקר במתמטיקה פיננסית, למשל במודל בלק-שולס.
הביסוס האקסיומטי והמושָׂגִי של תורת ההסתברות > אקסיומות לפלס

בשנת 1814 פרסם לפלס את חיבורו "מסה פילוסופית על ההסתברות", ובחיבור זה הציג לפלס לראשונה ניסיון להגדיר באופן מתמטי מהי הסתברות. עקרונות אלה של לפלס היו ניסיון ראשון לתאר את תורת ההסתברות בצורה אקסיומטית, אך הם לא היו מספיק חמורים במונחים מודרניים.
ספרו של לפלס נפתח בסדרת העקרונות הבאים:
הסתברות היא היחס בין מאורע המטרה לבין כל המאורעות האפשריים.
הנחת היסוד הראשונה היא שיש הסתברות שווה לכל המאורעות. כאשר זה לא מתקיים, עלינו להגדיר הסתברויות לכל המאורעות, ואז ההסתברות של כל המאורעות האפשריים היא סכום ההסתברויות של כל המאורעות.
עבור מאורעות בלתי-תלויים, ההסתברות של התרחשות של כולם היא מכפלת ההסתברויות של כולם.
עבור מאורעות תלויים, ההסתברות שמאורע  B יתרחש לאחר המאורע  A, היא ההסתברות שיתרחש מאורע  A כפול ההסתברות שיתרחש המאורע  A~{\text{and}}~B.
ההסתברות שיתרחש מאורע  A בהינתן שהתרחש מאורע  B, היא ההסתברות שיתרחש המאורע  A~{\text{and}}~B לחלק להסתברות שיתרחש המאורע  B.
אם  A_{i} הוא מאורע אחד מתוך המאורעות  A_{1},A_{2},...,A_{n}, והוא ממצה את רשימת כל האפשרויות שיתרחש מאורע  B, וגם ההסתברות להתרחשות המאורע  B שווה להסתברות להתרחשות המאורעות  A_{1},A_{2},...,A_{n}, אז מתקיימת הנוסחה:
\Pr(A_{i}\mid B)=\Pr(A_{i}){\frac {\Pr(B\mid A_{i})}{\sum _{j}\Pr(A_{j})\Pr(B\mid A_{j})}}
עקרון שביעי שמופיע בספרו של לפלס הוא "כלל העקיבה", הקובע כך: אם בניסוי כלשהו יש רק שתי תוצאות אפשריות המסומנות ב- s וב- f, תחת ההנחה כי לא ידוע דבר אפריורי על ההסתברויות של תוצאות אלה, אז ההסתברות ל- s בצעד הבא (הצעד ה-n+1) היא  {\frac {s(n)+1}{n+2}}, כאשר  s(n) היא מספר ה- s-ים שהופיעו עד הצעד ה- n.
הביסוס האקסיומטי והמושָׂגִי של תורת ההסתברות > ניסיונות מוקדמים

הצורך בגיבוש בסיס אקסיומטי מוצק לתורת ההסתברות גבר בסוף המאה ה-19. כך בשנת 1889 פרסם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן, בספרו "חשבון ההסתברות", את הפרדוקס שמאוחר יותר קיבל את שמו "הפרדוקס של ברטראן". הפרדוקס עסק בשאלה הבאה: ”בהינתן מעגל במישור ומשולש שווה-צלעות החסום בו, מהי ההסתברות שמיתר אקראי יהיה ארוך יותר מצלעו של המשולש?” ברטרנד תיאר כמה צורות שונות לחשב הסתברות זאת, והגיע לתוצאות שונות. הפתרון לפרדוקס נבע מכך שמרחב ההסתברות בפרדוקס אינו מוגדר היטב, היות שלא ברור האם מה ש"אקראי" הוא נקודות הקצה של המיתר, נקודת האמצע שלו או הרדיוס. כוונתו של ברטאן הייתה לערער על האפשרות להעמיד את תורת ההסתברות על יסודות אקסיומטיים, מתוך תפיסה שרכיב האקראיות סותר את העקרונות המדעיים המקובלים, וכך הוא כתב בספרו זה: ”כיצד נעז לדבר על אודות חוקי ההסתברות? האם "הסתברות" אינה האנטיתזה לכל חוק?!” למרות כוונתו של ברטראן, הפרדוקס שהציג השפיע על הבנת הצורך בהגדרה מדויקת של ההתפלגות האחידה, וממנה על הבנת החשיבות של בניית מערכת אקסיומות עקבית לתורת ההסתברות.
ניסיון לטפל בצורה אקסיומטית בתורת ההסתברות בוצע בעשור השני של המאה ה-20 על ידי המתמטיקאי האיטלקי פרנצ'סקו פאולו קנטלי. קנטלי יצר מסגרת אקסיומטית כדי לטפל בחוקי גבול, אך המסגרת שהציע הייתה חלקית בלבד ולא טיפלה במושגים יסודיים כמו משתנה מקרי. עם זאת היא הייתה טובה דיה כדי להוכיח תוצאות עקרוניות, וכך למשל אחת התוצאות היסודיות בתורה של חוקי גבול העוסקת בהתכנסות בהסתברות היא הלמה של בורל-קנטלי.
ניסיון נוסף לתאר אקסיומטית את תורת ההסתברות נעשה על ידי ריכרד פון מיזס בשנת 1919. ניסיון זה לא צלח, אך קולמוגורוב העיד כי הוא שאב מניסיון זה השראה. באותה השנה, המתמטיקאי הצרפתי פול לוי מסר שלוש הרצאות מפורסמות באקול פוליטקניק על אודות המושגים היסודיים של תורת ההסתברות, וכן על התפלגות השגיאות לפי עבודתו של גאוס. לעבודתו של לוי הייתה תרומה גדולה לגיבוש תורת ההסתברות לכדי תורה מתמטית, בפרט בספרו "תורת החשבון של הסתברות", שפורסם בשנת 1925.
הביסוס האקסיומטי והמושָׂגִי של תורת ההסתברות > השפעת תורת המידה

בסוף המאה ה-19 התפתחה תורת המידה — תורה מתמטית שנועדה לטפל במושגים כמו אורך, שטח ונפח, מנקודת מבט גאומטרית. אחד ממניחי היסודות של תורה זו, המתמטיקאי הצרפתי אמיל בורל, הציע עוד בסוף המאה ה-19 לבחון את תורת ההסתברות מנקודת מבט זו של תורת המידה, אם כי הוא לא טיפל במקרה הכללי של מרחב הסתברות אלא במרחב הסתברות של קטע ממשי. הסתכלות זאת התבררה כמוצלחת במיוחד, ובהמשך הפכה לגישה השלטת בתורת ההסתברות. בראשית שנות ה-20 של המאה ה-20, הרחיב המתמטיקאי האמריקאי נורברט וינר גישה זו, והגדיר מידה על מרחב המסילות הרציפות על-מנת לתאר את תנועתם של חלקיקים הצפים בנוזל, מה שמכונה כיום תנועה בראונית. גישה זו סיפקה פרספקטיבה חדשה לחלוטין הן על תורת המידה הן על תורת ההסתברות; מעתה תורת המידה הכללית לא טיפלה רק בגודל של קבוצות במובן הגאומטרי, אלא אפשרה מדידה של קבוצות במגוון הקשרים — כדוגמת הסתברות של מאורע. לפי גישה זו, מאורע הוא תת-קבוצה של מרחב המדגם, והסתברותו של המאורע היא מידת הגודל היחסי של תת-קבוצה זו. פרספקטיבה זו הפכה למסגרת האקסיומטית המקובלת עד ימינו, כפי שהתגבשה על ידי קולמוגורוב.
עוד קודם לקולמוגורוב, בשנת 1923, סיפק המתמטיקאי הפולני הוגו שטיינהאוס לראשונה תיאור פורמלי של מרחב ההסתברות של הטלות מטבע, שהושפע מתיאורו המוקדם של בורל. בנוסף, שטיינהאוס גם היה הראשון שסיפק תיאור פורמלי של ההתפלגות האחידה הרציפה, וכן למושג התלות בין שני משתנים מקריים.
הביסוס האקסיומטי והמושָׂגִי של תורת ההסתברות > אקסיומות קולמוגורוב

ביסוס אקסיומטי סופי לתורת ההסתברות ניתן בשנת 1933 על ידי המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב, בספרו "יסודות תורת ההסתברות". ספר זה מהווה ציון דרך בתולדות תורת ההסתברות, והוא נחשב לספר החשוב ביותר בהתפתחותה. האקסיומות שהציג קולמוגורוב מכונות "אקסיומות קולמוגורוב" או "אקסיומות ההסתברות", והן מהוות תיאור כללי למרחב הסתברות עד ימינו — תיאור המעמיד את תורת ההסתברות בהקשר של תורת המידה, בהמשך לעבודתו פורצת הדרך של בורל. המתמטיקאי הצרפתי מוריס פרוכטה, בנאומו בסמינר הבינלאומי של אוניברסיטת ז'נבה בשנת 1937, תיאר את עבודתם של בורל וקולמוגורוב לגיבוש אקסיומות תורת ההסתברות:
היה זה הרגע בו מר בורל הציג את המושג החדש של אדיטיביות בהקשר של תורת ההסתברות בשנת 1909, בו ניתן לומר שכל האלמנטים שנדרשו לנסח במפורש יחד את כל מסד האקסיומות של תורת ההסתברות (הקלאסית-מודרנית) הובנו יחד.
אין זה מספיק לדעת את כל הרעיונות, ולזכור אותם אז ועכשיו; על מישהו לוודא כי הן ממצות ומספיקות, לנסח אותם יחד במפורש, ולקחת את האחריות לומר שלא נדרשות יותר אקסיומות כדי לבנות את התאוריה. זה מה שמר קולמוגורוב עשה. זהו ההישג שלו.
בנוסף לאקסיומות, קולמוגורוב סיפק בספרו הגדרות פורמליות למונחים החשובים והיסודיים ביותר של תורת ההסתברות: סיגמא-אלגברת בורל, תלות והסתברות מותנית, משתנה מקרי, תוחלת ותוחלת מותנית.
קולמוגורוב מציג תחילה תיאור כללי של אקסיומות מרחב הסתברות בעל אוסף מאורעות סופי, באופן הבא:
תהי  E אוסף של אלמנטים  \xi ,\eta ,\zeta ,\dots , להם נקרא מאורעות בסיסיים, ותהי  {\mathfrak {F}} קבוצה של תת-קבוצות של  E; האיברים של הקבוצה  {\mathfrak {F}} יכונו מאורעות מקריים.
{\mathfrak {F}} היא שדה של קבוצות.
{\mathfrak {F}} מכילה את הקבוצה  E.
לכל קבוצה  A ב- {\mathfrak {F}}, מתאים מספר ממשי אי-שלילי  {\mathtt {P}}\left(A\right). מספר זה נקרא ההסתברות של המאורע  A.
{\mathtt {P}}\left(E\right) שווה ל- 1.
אם ל- A ול- B אין איברים משותפים, אז  {\mathtt {P}}\left(A+B\right)={\mathtt {P}}\left(A\right)+{\mathtt {P}}\left(B\right).
מערכת של קבוצות,  {\mathfrak {F}}, בצירוף הגדרה של מספרים  {\mathtt {P}}\left(A\right), המקיימת את אקסיומות 1–5, נקראת שדה הסתברות.
בהמשך ספרו קולמוגורוב מציג מערכת אקסיומות מוכללת עבור מרחב הסתברות בעל מספר מאורעות אינסופי, שהיא הבסיס של ראיית תורת ההסתברות בתוך ההקשר הרחב יותר של תורת המידה. במערכת זו,  {\mathfrak {F}} היא סיגמא-אלגברה, כלומר סגורה גם לאיחוד בן-מנייה, וכן אקסיומה 5 מוחלפת באקסיומה המתאימה עבור איחוד בן-מנייה. כלומר, מתקיים עבור מאורעות  A_{1},A_{2},A_{3},\dots  זרים בזוגות, כי:
 {\mathtt {P}}\left(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \dots \right)={\mathtt {P}}\left(A_{1}\right)+{\mathtt {P}}\left(A_{2}\right)+{\mathtt {P}}\left(A_{3}\right)+\dots
הביסוס האקסיומטי והמושָׂגִי של תורת ההסתברות > אקסיומות קוקס

תיאור פורמלי אחר לתורת ההסתברות ניתן בשנת 1946 על ידי הפיזיקאי האמריקאי ריצ'רד קוקס. המשפט של קוקס קבע כי ניתן לקבל מרחב הסתברות במובן של אקסיומות קולמוגורוב, מתוך כל מערכת המקיימת את שלוש הדרישות הבאות:
התחלקות והשוואתיות — ההסתברות של קביעה היא מספר ממשי התלוי במידע המיוחס לקביעה עצמה.
שכל ישר — ההסתברויות המיוחסות לקביעות משתנות בהתאם לסבירות של הקביעה במודל.
עקביות — אם ניתן לחשב את ההסתברויות בצורות שונות, כל התוצאות צריכות להיות שוות.
כפי שניכר מתיאור זה, הדרישות שתיאר קוקס לא היו פורמליות דיין מבחינה מתמטית, אולם בהמשך נעשו עבודות שאפשרו להפוך אותן לפורמליות.
תיאור זה זניח יותר ומשמש פחות במחקר, אך עם זאת משפט קוקס נתפס כאחד הצידוקים הפורמליים לשימוש בהסתברות בייסיאנית, לפיו מרחב הסתברות מתפרש כתורה לוגית. ישנם דיונים שונים בנוגע למשמעות הפילוסופית של גישה אקסיומטית שונה זו.
השפעות על התפתחות ענפי מדע אחרים

להתפתחותה של תורת ההסתברות נודעה חשיבות רבה בתחומי מדע רבים; הן באופן ישיר הן באמצעות השפעתה על התפתחותה של הסטטיסטיקה. באופן כללי, תורת ההסתברות אפשרה לבצע פעולה יסודית ביותר בכל תחומי המדע: כימות של גדלים לא ידועים. לפעולה זו שימוש בכל תחומי המדע כולם ולכל סוגי הגדלים: הן גדלים נצפים, הן גדלים חישוביים והן גדלים תאורטיים.
השפעות על התפתחות ענפי מדע אחרים > סטטיסטיקה ומתמטיקה סטטיסטית

שימוש נאיבי בסטטיסטיקה ידוע עוד אפילו מהמאה ה-9, אולם הסטטיסטיקה החלה את התפתחותה הפורמלית במהלך המאה ה-18, והשתכללה לכדי תורה פורמלית ומבוססת מבחינה מתמטית רק על בסיסה של תורת ההסתברות, כפי שתיאר המתמטיקאי הצרפתי אמיל בורל: ”...אנו יכולים לנסח מהי בעיה כללית במתמטיקה סטטיסטית באופן הבא: הגדר מערכת של דגימות מתוך מצבור בעל ערבוב קבוע, כך שהתוצאה של סדרת דגימות, המתפרשת בעזרת קבועים הנבחרים לצורך הפשטות, מובילה בהסתברות (ההדגשה אינה במקור) מאוד טובה לטבלה זהה לטבלה של התצפיות.”
בראשית המאה ה-18, אברהם דה-מואבר פרסם ספר בשם "קצבאות לנפשות", ובו ניתוח של טבלאות תמותה וחישובים כיצד לחלק קצבאות מחיה, ענף של הסטטיסטיקה המכונה כיום אקטואריה. בהמשך אותה מאה, לפלס היה הראשון שביצע קישור ישיר בין מתודולוגיה מתורת ההסתברות לבין סטטיסטיקה, ועבודותיו של לפלס, יחד עם עבודותיו של גאוס, הביאו לקשר ראשוני ויסודי בין תורת ההסתברות לסטטיסטיקה על ידי ניתוח הנתונים שהגיעו מאסטרונומיה, לשם כך הם פיתחו את שיטת הריבועים הפחותים ואמידת נראות מרבית, והשתמשו בהתפלגות הנורמלית כדי לאמוד את השגיאות של המדידות. לפלס פרסם עוד עבודות סטטיסטיות רבות שעשו שימוש בתורת ההסתברות, כדוגמת אמידת גודלה של אוכלוסיית צרפת על בסיס טבלאות לידה ומידע דמוגרפי מוקדם.
עבודות רבות בסטטיסטיקה נעשו על בסיס תורת ההסתברות הנאיבית בחלקה הראשון של המאה ה-19, כדוגמת עבודותיה של פלורנס נייטינגייל באפידמיולוגיה. בתקופה זו גם הוקם הגוף הראשון העוסק במחקר סטטיסטי, האגודה הסטטיסטית המלכותית. אולם רק בחציה השני של המאה ה-19, פרנסיס גלטון וממשיכו קרל פירסון הפכו את הסטטיסטיקה לתורה העושה שימוש בכלים מתמטיים, ופיתחו את התאוריה הסטטיסטית המבוססת על תורת ההסתברות. גלטון התעניין בניתוח נתונים גנטיים, ובמסגרת זאת הוא פיתח מושגים סטטיסטיים יסודיים כמו מתאם ורגרסיה ליניארית, ובאמצעותם ביצע הסקה סטטיסטית פורמלית. גלטון הקים קתדרה בקולג' האוניברסיטאי של לונדון שם מונה קרל פירסון שהמשיך את מחקריו, והעמיד את הסטטיסטיקה על יסודות המתמטיקה הסטטיסטית. גלטון ופירסון, יחד עם רפאל וולדון, ייסדו את כתב העת "Biometrika" (ביומטריקה (כתב עת)), שהיה כתב העת המדעי הראשון שעסק במתמטיקה סטטיסטית. פירסון גם הוא פיתח מושגים חשובים כדוגמת סטיית תקן, מקדם המתאם וערך-p, כמו גם מתודולוגיות סטטיסטיות חשובות כדוגמת שיטת המומנטים ובדיקת השערות. בשנת 1911 הוא הקים את המחלקה לסטטיסטיקה הראשונה בעולם, בקולג' האוניברסיטאי של לונדון.
ממשיכו הבולט של פירסון היה רונלד פישר שפעל בשנות ה-20 וה-30, ונחשב למייסד הסטטיסטיקה המודרנית וזה שהפך אותה לכלי שימושי בכל תחומי המדע כולם, בכך שפיתח את הענף של תכנון ניסויים. הוא פיתח מתודולוגיות כמו שיטת נראות מרבית, והיה אחראי לגילוי של התפלגויות סטטיסטיות חשובות כמו התפלגות F והתפלגות t, בהן נעשה שימוש יסודי בבדיקת השערות. מתקופתו של פישר והלאה הסטטיסטיקה הפכה לענף מדעי עצמאי. מאז, בנוסף למחלקה לסטטיסטיקה של הקולג' האוניברסיטאי של לונדון, באוניברסיטאות רבות בעולם המחלקות לסטטיסטיקה ולמתמטיקה הן נפרדות.
השפעות על התפתחות ענפי מדע אחרים > מתמטיקה טהורה

בסוף המאה ה-19 וראשית המאה ה-20, עבודתם של מתמטיקאים כמו אמיל בורל ואנרי לבג הביאה לכדי פיתוח תורת המידה. כפי שנכתב לעיל, המודל המתמטי של תורת ההסתברות הוא במסגרת תורת המידה, לאחר התפתחות תורת המידה כתורה עצמאית. כאמור, היה זה בורל הראשון שקישר בין תורת המידה לתורת ההסתברות, ושהתובנה הראשונה שלו גובשה על ידי קולמוגורוב לתובנה בימינו כי תורת ההסתברות עוסקת במרחבי מידה מהצורה  \left(X,{\mathcal {F}},\mu \right) כאשר פשוט מתקיים כי  \mu \left(X\right)=1 (בתורת המידה, מרחב מידה כללי יכול גם לקיים  \mu \left(X\right)=\infty ). כך למשל יש היגיון להתבונן בישר הממשי כמרחב בו מידתו של כל קטע  \left(a,b\right) היא  b-a, והמידה היחידה המקיימת תכונה זאת לכל קטע, מידת לבג (או בגרסתה המצומצמת, מידת בורל), אינה יכולה לתת מידה סופית לישר הממשי כולו. ראייתה המחודשת של תורת ההסתברות בהקשר הכללי יותר של תורת המידה הביאה לכדי תורת אינטגרציה חדשה וכללית לחלוטין, והשפעתה ניכרה בתחומים רבים במחקר המתמטי שנדמו כרחוקים מתורת ההסתברות, כדוגמת פיתוח של גישות הסתברותיות במחקר של גאומטריה ותורת המספרים. מאידך, התפתחויות מתמטיות בתורת המידה, כדוגמת משפט ההתכנסות המונוטונית ומשפט ההתכנסות הנשלטת, הביאו לתובנות חשובות בתורת ההסתברות.
השפעה בכיוון אחר ומפתיע שהייתה לתורת ההסתברות על המחקר המתמטי, הייתה פיתוח התורה של גרפים מקריים. מתוך תורה זו צמחה מתודה לפתרון בעיות בקומבינטוריקה ובתורת הגרפים שכונתה "השיטה ההסתברותית", שאת פיתוחה הוביל המתמטיקאי ההונגרי פאול ארדש בשנות ה-50. באופן כללי השיטה מראה אפשרות של קיום גרפים בעלי תכונות מסוימות, על ידי כך שמגדירים מידת הסתברות על אוסף כלשהו של גרפים, ומראים כי ההסתברות של אוסף הגרפים המקיימים תכונות מסוימות היא חיובית. דוגמה יסודית לבנייה כזאת שהציג פאול ארדש יחד עם אלפרד רניי, היא של גרף רדו: זהו גרף המבוסס על מספר בן מנייה ולא סופי של קודקודים, שבו כל זוג קודקודים מחובר בהסתברות  1/2 (ולמעשה ניתן לבחור כל הסתברות  0<p<1). מתברר כי תהליך זה מוביל בהסתברות  1 לאותו גרף, עד כדי איזומורפיזם. לגרף זה תכונות אוניברסליות חשובות, וכך למשל כל גרף בן מנייה משתכן בו.
השפעות על התפתחות ענפי מדע אחרים > אלגוריתמיקה ומדעי המחשב

במהלך המאה ה-20, במקביל להתפתחותם של מדעי המחשב, הוכנסו לשימוש אלגוריתמים אקראיים וכן ניתוח הסתברותי של אלגוריתמים (אנ'). במהלך מלחמת העולם השנייה הזמין המתמטיקאי האמריקאי ג'ון פון נוימן את חברו המתמטיקאי הפולני סטניסלב אולם להשתתף בפרויקט סודי בניו מקסיקו. אולם הצטרף לתוכנית מנהטן במעבדה הלאומית לוס אלמוס, ובמסגרת עבודתו הציע להשתמש בשיטת מונטה קרלו להערכה של אינטגרלים סבוכים המופיעים בתורה של תגובות שרשרת גרעיניות. הצעתו זו הביאה לפיתוח שיטתי יותר של שיטת מונטה קרלו על ידי פון נוימן, ניקולס מטרופוליס ואחרים. שיטת מונטה קרלו הייתה מרכיב חשוב בסימולציות שנערכו במסגרת תוכנית הגרעין. עוד קודם לכן, באופן בלתי-תלוי, הפיזיקאי האיטלקי אנריקו פרמי עשה שימוש בשיטות אקראיות לביצוע חישובים. כך בשנת 1930 השתמש פרמי בשיטה כזו לחישוב תכונותיו של הנייטרון, שהתגלה באותה עת. עם זאת, המצאת המחשב, שאיפשרה ביצוע סימולציות בקלות רבה, נתנה דחיפה עיקרית לחקירתן של שיטות אלה ולהתפתחותן.
במהלך שנות ה-70 של המאה ה-20 פותחו אלגוריתמים אקראיים כדי לפתור ביעילות רבה בעיות שימושיות. ב-1976 הציג המתמטיקאי הישראלי מיכאל רבין אלגוריתם אקראי לפתרון בעיה מתחום הגאומטריה החישובית, בעיית זוג הנקודות הקרובות ביותר (אנ'). אחת הבעיות הראשונות שבהן הודגמו חוזקם של אלגוריתמים הסתברותיים והייתה זרז לפיתוח האלגוריתמים האקראיים הייתה בעיית בדיקת ראשוניות. באותה עת לא הייתה ידועה דרך יעילה לבדוק האם מספר הוא ראשוני בזמן ריצה פולינומי (כיום ידוע בשם מבחן AKS לראשוניות). אלגוריתם הסתברותי יעיל לפתרון בעיה זו הוצג ב-1977 על ידי המתמטיקאי האמריקאי רוברט סולוביי והמתמטיקאי הגרמני פולקר שטרסן, ושנודע בעקבות ממציאיו בשם מבחן סולוביי-שטרסן. ב-1980 פורסם על ידי מיכאל רבין אלגוריתם חזק יותר לבדיקת ראשוניות, אלגוריתם מילר-רבין . לאלגוריתמים אלו לבדיקת ראשוניות הייתה חשיבות רבה במדעי המחשב, שכן הם היוו את הבסיס לפיתוחן של שיטות הצפנה נפוצות כדוגמת RSA.
ב-1977 פרסם המתמטיקאי האמריקאי ג'ון גיל את מודל מכונת טיורינג הסתברותית, ובכך הניח את היסודות לניתוח אלגוריתמים הסתברותיים במסגרת תורת הסיבוכיות.
השפעות על התפתחות ענפי מדע אחרים > תורת האינפורמציה

בשנת 1948 פרסם המתמטיקאי האמריקאי קלוד שאנון את מאמרו "תאוריה מתמטית של תקשורת", בו הוא הציג מודל מתמטי של מערכת תקשורת. במאמר זה הגדיר שאנון את הסיבית כיחידת מידע ואת האנטרופיה של מקור מידע, אותה ניתן לתאר ככמות הביטים המינימלית הנדרשת כדי לקודד מסר שיוצר מקור המידע. כמו כן סיפק שאנון הגדרה מתמטית כללית של ערוץ תקשורת כקשר סטטיסטי, ותיאר את המעבר של מידע דרך ערוץ "רועש", כלומר שיש בו הפרעות אקראיות שאת התפלגותן ניתן לנתח ובכך לנסות לשחזר את המידע המקורי. מתוך עבודה זו צמחה תורת האינפורמציה שנחקרת עד ימינו בתחומים מדעיים שונים.
מאמרו של שאנון הוא אחד המאמרים המשפיעים ביותר על המדע במאה ה-20, ונכון ל-2016 הוא מצוטט מעל 100 אלף פעמים. בעקבותיו פותחו שיטות לחישוב קיבול של ערוצי תקשורת תאורטיים ומעשיים שונים, וחסמים על קצבי שגיאות בשיטות קידוד ופענוח שונות. לעבודתו של שאנון יש גם השלכות תאורטיות, וכך למשל מושג האנטרופיה הסטטיסטית שפיתח שאנון השפיע על תחומים מתמטיים אחרים, כדוגמת מערכות דינמיות והתורה הארגודית.
השפעות על התפתחות ענפי מדע אחרים > מודל בלק-שולס לתמחור אופציות

שיטות הסתברותיות שימשו גם במתמטיקה פיננסית, שהדוגמה הבולטת ביותר היא מודל בלק-שולס לתמחור נגזרים. בעיה זו של תמחור טופלה כבר בשנת 1900 על ידי המתמטיקאי הצרפתי לואי בשלייה במאמרו "תאוריית הספקולציה", בו הוא ניסה לנתח התנהגות של מחירי אופציות בבורסת פריז באמצעות תנועה בראונית. העבודה של בשליה לא השפיעה רבות, אולם היא הייתה רמז ראשון להשפעות של תורת ההסתברות על מתמטיקה פיננסית.
בראשית שנות ה-70 החלו הכלכלנים מיירון שולס ופישר בלק מאוניברסיטת שיקגו לעבוד על פיתוח מודל שייתן פתרון לבעיה של תמחור מניות, שהפכה רלוונטית יותר ככל שהתפתחו שוקי ההון. בשנת 1973 הם פרסמו את המאמר "תמחור אופציות והתחייבויות תאגידיות", כאשר עמיתם הכלכלן האמריקאי רוברט קרהרט מרטון פרסם בסמוך מאמר אחר, "התאוריה של תמחור רציונלי של אופציות", ובו התייחס למאמרם של השניים ופיתח את המודל. מודל זה נשען בצורה מהותית על תורת ההסתברות, בכך שהוא מבוסס על ההנחה כי השינויים בשער הם תנועה בראונית גאומטרית המתוארת על ידי התפלגות לוג-נורמלית. מרטון הוא שנתן לנוסחה את שמה "בלק-שולס", על אף שגם הוא תרם למודל. עבודה זו היוותה פריצת דרך חשובה בתחום המתמטיקה הפיננסית, ושולס ומרטון זכו עבורה בפרס נובל לכלכלה בשנת 1997 (בלק נפטר קודם לכן).
לקריאה נוספת

Anders Hald, A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930, New York: Wiley, 1998
Anders Hald, A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750, New York: Springer, 2003
Ian Hacking, The Emergence of Probability, New York: Cambridge University Press, 2006
M. G. Kendall, Studies in the History of Probability and Statistics. XIII Isaac Todhunter's History of the Mathematical Theory of Probability, in: Biometrika, Vol. 50, No. 1/2 (Jun., 1963), pages 204-205
טקס פרסי גלובוס הזהב ה-72

| --- | --- |

 תאריך:  11 בינואר 2015
 מיקום:  מלון בוורלי הילטון, בוורלי הילס, קליפורניה, ארצות הברית ארצות הברית
 מנחים:  טינה פיי ואיימי פולר
 מפיק:  דיק קלארק ואיגוד הכתבים הזרים בהוליווד
 רשת שידור:  NBC
 המועמדים והזוכים הבולטים
 סרט דרמה:  התבגרות
 סרט קומדיה/מוזיקלי:  מלון גרנד בודפשט
 סדרת דרמה:  הרומן
 סדרת קומדיה/מוזיקלית:  טרנספרנט
 מיני-סדרה/סרט טלוויזיה:  פארגו
 www.goldenglobes.org
 →71 73← פרס גלובוס הזהב
טקס פרס גלובוס הזהב ה-72 (באנגלית: 72nd Golden Globe Awards) נערך ב-11 בינואר 2015, ובמסגרתו הוענק פרס גלובוס הזהב למיטב סרטי הקולנוע והטלוויזיה של השנה החולפת. הטקס נערך במלון בוורלי הילטון שבבוורלי הילס, קליפורניה ושודר על ידי ערוץ NBC האמריקאי. מנחות הטקס היו טינה פיי ואיימי פולר.
המועמדים לפרס הוכרזו כבר ב-11 בדצמבר 2014, על ידי קייט בקינסייל, פיטר קראוזה, פולה פטון וג'רמי פיבן. הטקס הופק על ידי חברת ההפקות של דיק קלארק בשיתוף פעולה עם איגוד הכתבים הזרים בהוליווד. בטקס נכחו מיטב שחקני הקולנוע של ארצות הברית.
רשימת המועמדים והזוכים > קולנוע > סרטים עם מירב פרסים ומועמדויות

12 הסרטים הבאים קיבלו מספר רב של מועמדויות:
7 מועמדויות: "בירדמן"
5 מועמדויות: "התבגרות", "משחק החיקוי"
4 מועמדויות: "נעלמת", "סלמה", "מלון גרנד בודפשט", "התאוריה של הכול"
3 מועמדויות: "עיניים גדולות", "פוקס-קצ'ר", "אל תוך היער"
2 מועמדויות: "אנני", "וינסנט הקדוש"
3 הסרטים הבאים קיבלו מספר רב של זכיות:
3 פרסים: "התבגרות"
2 פרסים: "בירדמן", "התאוריה של הכול"
רשימת המועמדים והזוכים > טלוויזיה > סדרות טלוויזיה עם מירב פרסים ומועמדויות

15 סדרות הטלוויזיה הבאות קיבלו מספר רב של מועמדויות:
5 מועמדויות: "פארגו"
4 מועמדויות: "בלש אמיתי"
3 מועמדויות: "בית הקלפים", "אוליב קיטרידג'", "כתום זה השחור החדש", "הרומן", "האישה הטובה", "הלב הרגיל"
2 מועמדויות: "אימה אמריקאית", "אחוזת דאונטון", "בנות", "ג'יין הבתולה", "ריי דונובן", "The Missing", "טרנספרנט"
3 סדרות הטלוויזיה הבאות קיבלו מספר רב של זכיות:
2 פרסים: "הרומן", "פארגו", "טרנספרנט"
רשימת המועמדים והזוכים > פרס ססיל ב. דה-מיל

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| פרס ססיל ב. דה-מיל  (מפעל חיים בתעשיית הקולנוע) |  | • ג'ורג' קלוני |
רוקי ובולווינקל

| --- | --- |

כרזת ה-DVD
 סוגה:  מדע בדיוני 
 יוצרים:  ג'יי וורד 
 ארץ מקור:  ארצות הברית 
 מקום התרחשות:  מינסוטה 
 מספר עונות:  5 
 מספר פרקים:  163 
 הפקה
 חברת הפקה:  Jay Ward Productions 
 הפצה:  The Program Exchange 
 שידור
 רשת שידור:  ABC 
 תקופת שידור מקורית:  19 בנובמבר 1959 – 27 ביוני 1964 
 קישורים חיצוניים
 דף התוכנית ב-IMDb
 
רוֹקִי ובּוּלווינְקֶל הוא השם הכולל לשתי סדרות מצוירות אמריקאיות, ששודרו במקור בשנים 1964-1959.
הסדרות, שנוצרו על ידי ג'יי וורד, אלכס אנדרסון וביל סקוט, קרויות על שם הדמויות המככבות בהן, רוקי הסנאי המעופף ובולווינקל המוּס. הן מתאפיינות באיכות אנימציה נמוכה יחסית אך בהומור מתוחכם המופנה גם למבוגרים והמתייחס לענייני דיומא. הן זכו לפופולריות רבה בארצות הברית, וביטויים שהופיעו בהן לראשונה ממשיכים להשפיע על סדרות מצוירות ועל התרבות הפופולרית בארצות הברית עד היום.
פרקים מ"רוקי ובולווינקל" שודרו בערוץ המזרח התיכון. כמו כן הוקרן בישראל הסרט הרפתקאות רוקי ובולווינקל (2001) עם השחקנים רוברט דה נירו וג'ייסון אלכסנדר.
סדרת אתחול בשם "הרפתקאות רוקי ובולווינקל", הכוללת עונה אחת ו-26 פרקים, שודרה לראשונה באמזון וידאו החל מ-11 במאי 2018, ובישראל בדיבוב לעברית בערוץ הילדים ב-27 בינואר 2019.