תורת שדה ממוצע
דוגמאות > מודל איזינג

מודל איזינג הוא מודל מתחום המחקר של מצב מוצק, המתאר התנהגות של פרומגנט. במודל דרגות חופש ספינוריות (נמדד ביחס לציר ספציפי) המסודרות בסריג קובי d-ממדי, אשר באות באינטראקציה עם שדה מגנטי חיצוני 



h


{\textstyle h}

 ואחת עם השנייה בין שכנים קרובים. ההמילטוניאן של המודל נתון על ידי:
H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i}
כאשר 




s

i


=
±
1


{\textstyle s_{i}=\pm 1}

 הוא הספין של האתר ה-



i


{\textstyle i}

 בסריג, ו- 




∑

⟨
i
,
j
⟩




{\textstyle \sum _{\langle i,j\rangle }}

 מסמן סכימה על כל זוגות השכנים הקרובים.

נניח כעת שדה מגטזיציה ממוצע באתר ה- 



i


{\textstyle i}

, 




m

i




{\textstyle m_{i}}

, כך שנוכל לכתוב את הספין באתר באמצעות הפלקטואציות מהממוצע:
H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i}
כאשר נגדיר 



δ

s

i


≡

s

i


−

m

i




{\textstyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}}

  - הפלקטואציה של הספין באתר ה-  i. אם נפתח את הסוגריים בצד הימני של המשוואה, נקבל איבר אחד שתלוי בממוצעי הספינים בלבד. זהו איבר מסדר אפס, והוא כמובן לא משפיע על התכונות הסטטיסטיות של המערכת. האיבר הבא הוא איבר שכולל מכפלה של הממוצע והפלקטואציה. לבסוף נקבל איבר שכולל מכפלה של שתי פלקטואציות.

קירוב השדה הממוצע למעשה נכנס כאן, בתהליך ליניאריזציה בו מתעלמים מאיברים מסדר שני ומעלה - כלומר זהו הגבול בו הסטיה מהשדה הממוצע היא קטנה ולכן ניתן להזניח את האיבר האחרון בצד הימני של המשוואה (באותו אופן שבו מקבלים את משוואת הגלים במערכת לא ליניארית). ההמילטוניאן שנקבל:
H\approx H^{MF}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}
בממדים נמוכים, הפלקטואציות הופכות למשמעותיות ולכן בלתי ניתנות להזנחה, מה שהופך את קירוב השדה הממוצע לטוב יותר עבור ממדים גבוהים יותר.
כעת נניח כי כל ספין מרגיש את אותו שדה ממוצע (ללא תלות באתר), וכך נוכל לוותר על האינדקסים השונים (אך לא על הסכימה) - זוהי למעשה הכלה של סימטריה (לטרנזלציה) על ההתפלגות שאנו מחפשים. נציב את 



δ

s

i




{\textstyle \delta s_{i}}

 ונסדר מחדש באופן הבא:
H^{MF}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(m^{2}+2m(s_{i}-m)\right)-h\sum _{i}s_{i}
נוכל לכתוב את הסכימה על שכנים כ- 




∑

⟨
i
,
j
⟩


=


1
2



∑

i



∑

j
∈
n
n
(
i
)




{\textstyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}}

  כאשר  nn(i) זו קבוצת כל השכנים הקרובים של אתר 



i


{\textstyle i}

. כדי להימנע מספירה כפולה נוסף פקטור 



1

/

2


{\textstyle 1/2}

. כעת ניתן לספור באופן קומבינטורי ולחשב את הסכומים. נגיע לביטוי הבא:
H^{MF}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\mathrm {eff} }}\sum _{i}s_{i}
כאשר 



z


{\textstyle z}

 הוא מספר השכנים של כל אתר, או מספר קואורדינציה. נשים לב שהגענו לשדה אפקטיבי שפועל על כל ספין המורכב מהשדה החיצוני 



h


{\textstyle h}

 והשדה הממוצע 



m
J
z


{\textstyle mJz}

. כדאי לשים לב לתלות המפורשת של הביטוי במספר השכנים, ולכן במספר הממדים (למשל, עבור סריג קובי 



d


{\textstyle d}

-ממדי, 



z
=
2
d


{\textstyle z=2d}

).

כעת נציב את ההמילטוניאן האפקטיבי שקיבלנו בפונקציית החלוקה:
Z=e^{-\beta Jm^{2}Nz/2}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{B}T}}\right)\right]^{N}
כאשר 



N


{\textstyle N}

 הוא מספר האתרים בסריג ושוב השתמשנו בסימון 



β
=


1


K

B


T





{\textstyle \beta ={\frac {1}{K_{B}T}}}

.
כעת נוכל להסיק את כל הפוטנציאלים התרמודינמיים, ולחשב אקספוננטים קריטיים של מעברי פאזה, באמצעות תורת לנדאו. נוכל למשל לחשב את המגנטיזציה הממוצעת m כפונקציה של הטמפרטורה, ולקבל, בממדים גדולים מ-2, סינגולריות בנגזרת בטמפרטורה 




T

c


=



J
z


k

B






{\textstyle T_{c}={\frac {Jz}{k_{B}}}}

. . מודל זה מתאר למעשה את מעבר הפאזה הפרומגנטי, והטמפרטורה הקריטית היא קירוב לטמפרטורת קירי.