stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
אנדרה וטטיאנה בוצ'י
באושוויץ

המגורשים הובלו לכיכר, שם סודרו. הסבתא הופנתה לשורה השמאלית, הועמסה עם יהודים אחרים על משאית ונרצחה באותו ערב. חוקי אושוויץ קבעו: מוות בעת ההגעה, לנשים עם ילדים ולגילאי שישים ומעלה וחמש עשרה ומטה. באותו לילה הופרדו האם והבנות. הנערות זוהו בטעות ככל הנראה כתאומות, מכיוון שהן זהות כמעט, למרות גילן השונה ועם בן דודן הן נשלחו ל"קינדרבלוק", צריף הילדים המיועד לניסויים של ד"ר יוזף מנגלה. האם והדודה נשלחו לצריף לא רחוק מצריף הילדים וצורפו לזונדרקומנדו של מחנה הריכוז.
במהלך תקופת שהותן באושוויץ הצליחה מירה לראות את בנותיה כמה פעמים. בכל פעם שכזו היא חזרה על דרישתה, שלא לשכוח את שמותיהן. שתי הילדות אכן זכרו כמצוות האם ולאחר שהמחנה שוחרר הן היו מסוגלות להצטרף מחדש למשפחותיהן.
עם זאת, במהלך אותה תקופה החלו אנדרה וטטיאנה לדחות את האם יותר ויותר. האישה הרזה, המגולחת והסובלת לא תאמה יותר את זיכרון הדימוי שהיה להן של אמן.
האחיות הגנו זו על זו מאימת המחנה, תוך שהן מתחילות להבין את משמעות העובדה שהן במחנה ריכוז. גם אם בצורה מבולבלת, הן התרגלו למוות. הן לא בכו מול ערימות הגוויות של אנשים כמוהן ואפילו לא בכו כשאמן הפסיקה לבקרן וקיבלו את האפשרות שגם היא יכולה להיות בין הגופות האלה.
"[...] אושוויץ היא מעל לכל ארובה. אני לא יודעת מתי, אבל בשלב מסוים ידעתי שאני נמצאת באותו מקום שנקרא אושוויץ ומבחינתי השם הזה נקשר לארובה. [...] העובדה היא שידעתי שאנשים נשרפים שם. להבות גם יצאו, לא רק עשן אפור. הבזקי להבות, שמהם ירד גשם כמו ערפל אפור שהתיישב בכל מקום ותמיד יכולת להריח את הריח הזה. לא הבנתי מה זה. מאוחר יותר נודע לי שזה בשר שרוף." נזכרה טטיאנה.
אחותה הצעירה אנדרה זוכרת גם היא רגעים מחייהן במחנה:
"אם אני עוצמת עיניים אני רואה את צריף הילדים. אני, אחותי וסרג'יו מסתובבים ומחזיקים ידיים. [...] אנחנו מסתובבים לבד, קר לנו, אנו לובשים מעילים ונעליים ללא גרביים, שמחליקות מרגלינו."
שתי האחיות ובן דודן, בימים הראשונים במחנה, דיברו ביניהם איטלקית. עם זאת, עד מהרה הם שכחו את שפתם, החלו להבין גרמנית ומאוחר יותר לדבר בה. שתי הילדות לא חלו במחלות זיהומיות והרסניות כמו טיפוס, ודיזנטריה. מבלי דעת הן עוררו רגישות וחמלה אצל מבוגרים מסוימים, שהביאו במעשים קטנים להישרדות השניים. כמה אסירים הגישו להם לחם, קופסת ביסקוויטים ושוקולד ואפילו לקחו סיכונים עבורן. מכריעה לביטחונן הייתה בלוקובה, השומרת על בקתת הילדים והנשים, שהאחיות אינן זוכרות את שמה, שטיפלה במיוחד בטטיאנה ושהעניקה לה סוודרים חמים לחלוק עם אחותה הקטנה. זה איפשר לשתי הילדות לשרוד את אכזריות המחנה.
יום אחד בנובמבר בלוקובה לקחה את אנדרה וטטיאנה הצידה ואמרה להן:
"גברים יבואו. הם יאספו את כל הילדים ויגידו: מי שרוצה לראות את אמא שלו ולחזור איתה, יעשה צעד קדימה. אתן צריכות לעמוד במקום ולא לענות על שום דבר."
שתי האחיות אמרו זאת גם לסרג'יו, כדי שיציל את עצמו יחד איתן, אולם כאשר ד"ר מנגלה הופיע בצריף, עם אנשיו וביקש מהילדים להתקדם אם הם רוצים לבקר את אמם, סרג'יו עשה את הצעד קדימה ונלקח יחד עם עוד 19 ילדים למחנה הריכוז נוינגמה, שם עבר ניסויים מחרידים ובסופו של דבר מת. הנערות, לעומת זאת, בזכות הקשר שלהן זו לזו ועוצמתן, נותרו דוממות, לא ביקשו לראות את אמן וניצלו.
אחרי השחרור

על פי הערכות חוקרי מוזיאון אושוויץ, לפחות 230,000 ילדים יהודים מכל מדינות אירופה הכבושה גורשו למחנה אושוויץ-בירקנאו. הישרדותם קשורה תמיד לנסיבות ותנאים יוצאי דופן לחלוטין. ככלל, הילדים נשלחו מיד לתאי הגזים ונהרגו, מלבד תאומים או ילדים שנחשבו מעניינים לניסויים רפואיים או חובות מיוחדות אחרות במחנה. מתוך 776 ילדים איטלקים מתחת לגיל 14 שגורשו לאושוויץ, רק 25 שרדו. ב-27 בינואר 1945, כאשר הגיעו הסובייטים לאושוויץ, היו בחיים רק 650 ילדים בני לאומים שונים, מתוכם פחות מ-50 מתחת לגיל 10. בין הניצולים הללו היו אנדרה וטטיאנה.
בפברואר 1945, לאחר השחרור, הועברו אנדרה וטטיאנה, שאיבדו קשר עם אמן, שלדעתן מתה, יחד עם ילדים אחרים, לבית יתומים ליד פראג, שם למדו לדבר צ'כית. הן נשארו במקום עד מרץ 1946. אז הועלו למטוס עם ילדים אחרים והועברו לאנגליה, לאחוזתו של סר בנג'מין דרייג', לינגפילד, ששימשה מרכז לקבלת ילדים יתומים שניצלו מאכזריות מחנות הריכוז.
שם, אנדרה וטטיאנה הרגישו לראשונה מוגנות ואהובות, תודות גם לפסיכולוג ולמחנכים שדאגו להן. התקופה האנגלית, בה למדו שפה חדשה, זכורה בשמחה רבה על ידי האחיות. שם, לראשונה אחרי זוועות אושוויץ הן מצאו אהבה שוב ויכלו אף להשתעשע. עבור אנדרה וטטיאנה הנשים שטיפלו בהן היו כמעט כמו אמהות.
בינתיים, האם, ששרדה גם היא, ניסתה בכל האמצעים האפשריים לקבל חדשות על הבנות. הוועד לפליטים יהודים בלונדון, יחד עם הצלב האדום הבינלאומי חיפש אותן, בעיקר לפי המספרים המקועקעים על זרועות הבנות, שאמן הצליחה לזכור. יום אחד הגיע מכתב ללינגפילד, מנאפולי ובו משפחות בוצ'י ודה סימון ביקשו לקבל מידע על ילדיהן. המכון הצליח לאשר את קיום הבנות. לא היו לו ידיעות על סרג'יו. במכתב הבא מירה צירפה תמונה שלה עם בעלה ואנדרה וטטיאנה זיהו אותם. בגלל הביורוקרטיה המסובכת והחשש מטעויות, לקח קצת זמן עד שהבנות התאחדו עם הוריהן.
בדצמבר 1946 התלוותה לשתי האחיות הקטנות, לרומא הגברת הצעירה שטיפלה בהן במשך חודשים. שם הן אכן מצאו את אמן. זו הייתה פגישה כמעט מביכה, שכן הבנות נצמדו לבת לווייתן, במקום ללכת לאמא שחיכתה להן. לקח קצת זמן לבנות מחדש את הקשר המשפחתי.
שום עיתון איטלקי לא דיווח על החדשות על חזרתן לאיטליה של שתי האחיות שגורשו לאושוויץ שנתיים קודם לכן, אך גיליון שהודפס באנגלית לבעלות הברית שהוצבו בטריאסטה הקדיש מאמר בעמוד הראשון לאירוע תוך הדגשת הסוף המאושר.
החזרה לשגרה

אנדרה וטטיאנה חזרו לשגרה מהר מאוד והעמידו פנים שמה שעבר עליהן בבירקנאו לא קרה. לעיתים קרובות הן שוחחו עם אמן על לינגפילד, אך מעולם לא על בירקנאו. האחיות הקטנות כיבדו את שתיקת אמן בקשר לחוויה שלה והיא עשתה זאת עם ילדיה.
רק לאחר שנים רבות החלו אנדרה וטטיאנה לדבר על כך. הן חזרו לראשונה לבירקנאו עם מרצ'לו פזטי, היסטוריון איטלקי, אחד מחוקרי השואה האיטלקיים המובילים, לאחר שהעיד במרכז לתיעוד יהודי עכשווי (CDEC). זה היה מוזר מבחינתן לראות את בירקנאו שונה לחלוטין ממה שזכרו. היה חם והיה עשב גבוה עם חינניות פראית וההתרשמות שלהן הייתה של להיות במחנה פליטים, ולא במה שהיה מחנה השמדה. הצריפים נראו מטופחים והמראה הכללי של המקום לא היה נורא כמו שזכרו אותו. לכן, למרות הכאב שחשו בחזרתן למקום בו בילו את ילדותן בסבל מרעב וקור, זו לא הייתה חזרה טראגית.
גרוע יותר היה הטיול שארגן מחוז טוסקנה, לציון שישים שנה מאז השחרור, בשנת 2005. אנדרה וטטיאנה חזרו אז, לבירקנאו. היה חורף והיה שלג ובאותו רגע משהו חזק מאוד וכואב התפרץ בתוכן, בפעם הראשונה הן ראו את המקום הזה שוב כפי שהיו רגילות לראותו כילדות והזיכרון חזר להן.
אחת לשנתיים האחיות עוזבות עם רכבת הזיכרון, ומשדרות לצעירים את זכר ילדותן. בשנת 2011 הן ביקרו לראשונה במוזיאון אושוויץ.
בשנת 2015 סיפורן נכלל בתערוכה הפתוחה במתחם אנדרטת ויטוריו אמנואלה השני ברומא, תערוכה שהוקדשה ל"שחרור המחנות הנאציים".
כיום האחיות בוצ'י הן בין העדות החשובות ביותר להשמדת היהודים. הן מעניקות ראיונות רבים באיטליה ובעולם. בין אלה גם לטיטי מארון, שהחליט לכתוב ספר, "עדיף שלא לדעת", בו אנדרה, טטיאנה ומריולינו דה סימון, בת הדודה ג'יזלה, ילידת נאפולי מספרות את סיפור משפחתן.
בנוסף, התקיימו מספר מפגשים שאורגנו על ידי ממשלת טוסקנה ביום הזיכרון הבינלאומי לשואה ובהם השתתפו שתי האחיות. לדעתן זה נכון שאנשים בימינו, במיוחד צעירים שקוראים את ההיסטוריה של השואה רק בספרים, ישמעו עליה גם בקולם החי של הניצולים. אסור שזכרם של מיליוני אנשים שמתו במחנות הריכוז וההשמדה, בשל טירוף אנושי, יימחק.
ב-24 בינואר 2020, במהלך טקס פתיחת השנה האקדמית 2019/2020 בנוכחות השר לפיתוח כלכלי סטפנו פטואנלי, קיבלו אנדרה וטטיאנה תואר שני 
של כבוד, בדיפלומטיה ושיתוף פעולה בינלאומי, מאוניברסיטת טריאסטה.
בתרבות הפופולרית

סרט ההנפשה "הכוכב של אנדרה וטאטי", שהקרנת הבכורה שלו התרחשה בפסטיבל Cartoons on the Bay ב-13 באפריל 2018, מוקדש לגירוש האחיות בוצ'י לאושוויץ, כאשר הוא נחשב לסרט ההנפשה האירופאי הראשון על השואה. הסרט שהופק לרגל יום השנה ה-80 לחוקי הגזע באיטליה, הופק על ידי Rai Fiction ו-Larcadarte בשיתוף משרד החינוך, האוניברסיטה והמחקר האיטלקי.. כיועץ מדעי שימש ההיסטוריון האיטלקי מרצ'לו פזטי, מנהל מוזיאון הקרן לשואה ברומא, אחד החוקרים המובילים של השואה וחוקי הגז הפשיסטים. מטרת הסרט הייתה לגרום לילדים להיות מודעים לשואה. לרגל הפסטיבל, שתי האחיות התראיינו על ידי כתבים מטעם Rai News והביעו את הערכתן לסרט.
ראו גם

שואת יהודי איטליה
אושוויץ
ילדים בשואה
לקריאה נוספת

אנדרה וטטיאנה בוצ'י, Marcello Pezzetti & Umberto Gentiloni Silveri (ע), Noi, bambine ad Auschwitz - La nostra storia di sopravvissute alla Shoah, מילאנו: Mondadori, 2019, ISBN 978-88-047-0825-4. (באיטלקית)
Maria Pia Bernicchia, Chi vuole vedere la mamma faccia un passo avanti... I 20 bambini di Bullenhuser Damm una carezza per la memoria, מילאנו: Proedi, 2014, ISBN 978-88-9735-025-5. (באיטלקית)
Bruno Maida (2013). La Shoah dei bambini. טורינו: Einaudi. ISBN 978-8806213855.
Titti Marrone (2003). Meglio non sapere. Laterza.
הערות שוליים

↑  Maida.
↑  Alan Rosen, ed. (2013). Literature of the Holocaust. Cambridge: Cambridge University Press.
↑  Helena Kubica (2000). "Children and Adolescents in Auschwitz". Auschwitz-Birkenau State Museum. Auschwitz. 2: 201–290.
↑  Marcello Pezzetti (2009). Il libro della Shoah italiana. Torino: Einaudi. pp. 331–342.
↑  Maida, עמ' 254 ו-267.
↑  La liberazione dei campi nazisti: catalogo della mostra. Gangemi. 2015.
↑  "Cerimonia inaugurale dell'Anno Accademico 2019/2020 | Università degli studi di Trieste".
↑  "Università, inaugurato l'anno accademico. Il rettore: "Manca un progetto politico serio"" (באיטלקית).
↑  "La Shoah dei bambini adesso diventa un cartone".
↑  "Sopravvissute ad Auschwitz, la storia delle sorelle Bucci in un cartone".
↑  "Il cartoon made in Sicily sulle sorelle sopravvissute".
↑  "Shoah. «La Stella di Andra e Tati», il primo cartoon dentro Auschwitz".
↑  "Auschwitz in cartoni animati".
הכניסה למחנה הריכוז אושוויץ
פנים בקתת הילדים בבירקנאו
אנדרה וטטיאנה בוצ'י במהלך שהותם בוויר קורטני בלינגפילד בסארי.
חוג חבורה

באלגברה, חוג חבורה הוא מודול חופשי מעל חוג  R יחד עם פעולת כפל המתאימה לחבורה  G.
לחוג החבורה חשיבות רבה בתחום תורת ההצגות.
הגדרה

יהא  R חוג ו- G חבורה, אז חוג החבורה  R[G] מוגדר להיות המודול החופשי מעל  R ש- G הוא בסיס שלו, עם הכפל המושרה מ- G.
הגדרה > הגדרה מפורטת

אברי חוג החבורה הם הפונקציות  f מ- G ל- R עם תומך סופי, כלומר  f(g)=0 פרט למספר סופי של  g\in G. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים ע"י
(f_{1}+f_{2})(g)=f_{1}(g)+f_{2}(g)
(\alpha \cdot f)(g)=\alpha (f(g))
כאשר  f_{1},f_{2},f\in R[G] הם איברים בחוג,  g\in G ו- \alpha \in R הוא סקלר.
הכפל של שני איברים  f_{1},f_{2}\in R[G] מוגדר על ידי קונבולוציה
(f_{1}*f_{2})(g)=\sum _{h\in G}f_{1}(h)\cdot f_{2}(h^{-1}g)
מאחר ש- f_{1},f_{2} מתאפסות פרט למספר סופי של  g\in G אז הסכום הנ"ל סופי ולכן מוגדר היטב.
נסמן ב- \chi _{g}\in R[G] את הפונקציה שמקבלת 1 ב- g ואפס אחרת, אז כל איבר  f\in R[G] ניתן לייצוג על ידי:
 f=\sum _{g\in G}f(g)\chi _{g}
כאשר הסכום הנ"ל סופי לפי הגדרת חוג החבורה. מכאן מקבלים שחוג החבורה נפרש כמודול על ידי הקבוצה  \{\chi _{g}\mid g\in G\} וניתן להראות שקבוצה זו מהווה בסיס למודול. הכפל של איברי החוג בייצוג זה מתקבל ע"י:
\left(\sum _{g\in G}\alpha _{g}\chi _{g}\right)\cdot \left(\sum _{h\in G}\beta _{g}\chi _{h}\right)=\sum _{g,h\in G}\alpha _{g}\beta _{h}\chi _{gh}
לעיתים נוהגים לסמן את  \chi _{g} על ידי איבר החבורה  g ואז איברי חוג החבורה הם האיברים מהצורה  \sum \alpha _{g}\cdot g כאשר  \alpha _{g}\in R הם כולם אפס פרט למספר סופי.
תכונות

תת-החוג  \{\alpha \cdot e\mid \alpha \in R\} של חוג החבורה  R[G] (כאשר  e הוא האיבר הנייטרלי של החבורה) איזומורפי לחוג  R.
חבורת האיברים ההפיכים של חוג החבורה  R[G], מכילה תת-חבורה איזומורפית לחבורה  G - זו התת-חבורה  \{1\cdot g\mid g\in G\} (כאשר 1 הוא היחידה של החוג  R).
אם החוג  R והחבורה  G הם קומוטטיביים, אז גם חוג החבורה  R[G] הוא קומוטטיבי.
אם  H היא תת-חבורה של  G אז  R[H] הוא תת-חוג של  R[G]. בצורה דומה, אם  S הוא תת-חוג של  R אז  S[G] הוא תת-חוג של  R[G].
אם  R=F שדה סגור אלגברית (או כל שדה המפצל את החבורה, כלומר שדה שמעליו  F[G] מתפרקת לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל  F) אז מספר חוגי המטריצות המשתתפים בסכום (השווה למשל למספר האידיאלים המקסימליים של החוג) שווה למספר מחלקות הצמידות בחבורה.
חוג החבורה בתורת ההצגות

הצגה של חבורה  G היא מרחב וקטורי  V (מעל שדה  k כלשהו) יחד עם הומומורפיזם  \pi :G\to Aut(V). על כל הצגה של  G יש מבנה טבעי של מודול מעל  k[G]. בנייה זו, מגדירה שקילות קטגורית בין קטגוריית ההצגות של  G וקטגוריית המודולים מעל  k[G].
חוג החבורה מהווה בפני עצמו הצגה של  G בשתי צורות שונות: פעולה על ידי כפל משמאל, פעולה על ידי כפל מימין (כדי שזאת תהיה הצגה יש להפוך תחילה את האיבר הפועל). הצגות אלה נקראות "ההצגה הרגולרית השמאלית" ו-"ההצגה הרגולרת הימנית" בהתאמה. יחד הן מגדירות את ההצגה הרגולרית הדו-צדדית, שהיא הצגה של  G\times G.
אם  G סופית ו- k סגור אלגברית ממציין 0, אז קיים איזומורפיזם:
k[G]\cong \bigoplus _{\pi \in irr(G)}End(\pi )\cong \bigoplus _{\pi \in irr(G)}\pi \otimes \pi ^{*},
כאשר  irr(G) היא קבוצת ההצגות האי-פריקות של  G. האיזומורפיזם הוא גם של אלגבראות וגם של הצגות של  G\times G.
המבנה של חוג החבורה

בעוד שבחקר חוגי החבורה (ובפרט אלגברות החבורה) של חבורות סופיות ישנם כלים כמו משפט משקה, המאפשרים לפענח את מבנה החוג (ודרכו, יש לקוות, את מבנה החבורות), במקרה בו החבורה  G אינסופית, חוג החבורה יכול להיות בעל מבנה מסובך ביותר.
אם שדה הבסיס הוא שדה ממאפיין אפס, חוג החבורה ראשוני למחצה לכל חבורה. חוג החבורה הוא ראשוני אם ורק אם חוג הבסיס,  R, הוא ראשוני וגם לחבורה  G אין תת-חבורות נורמליות סופיות (לא טריוויאליות). הדבר מתיישב עם הידוע מן המקרה הסופי, שם אלגברת החבורה לעולם איננה ראשונית (מכיוון שהחבורה כולה נורמלית סופית, ואמנם בכל חבורה יש לפחות שתי מחלקות צמידות ומכאן שהאלגברה מתפרקת למכפלה של חוגים). אלגברת החבורה (מעל שדה) היא תחום אם החבורה היא הרחבה חסרת פיתול של חבורה פתירה בחבורה סופית. אלגברת החבורה מעל שדה היא פרימרית אם ורק אם אין בחבורה איברים מסדר סופי שמחלקת הצמידות שלהם סופית. פורמנק הוכיח שעבור חבורה שהיא מכפלה חופשית של חבורות גדולות דיין, אלגברת החבורה פרימיטיבית; אלגברת החבורה היא פרימיטיבית למחצה מעל כל שדה שאינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני שלו.
חוג חבורה מקיים זהויות פולינומיות אם ורק אם החבורה כמעט-אבלית (virtually abelian, כלומר מכילה תת-חבורה אבלית מאינדקס סופי).
השערות קפלנסקי עוסקות באיברים של אלגברת החבורה (מעל שדה) של חבורה חסרת פיתול.
המבנה של חוג החבורה > "חוג החבורה" של מונואיד

את החוג  R[M] אפשר להגדיר גם כאשר  M מונואיד(ולאו דווקא חבורה).
אחד ההישגים היפים של תורת ההצגות של מונואידים הוא המשפט הבא (Kovacs, Okninski-Putcha, 1990):
אם  q חזקה של ראשוני ו- K שדה ממאפיין זר ל- p, אז  K(M_{n}(F_{q}))\cong \bigoplus _{r=0}^{n}M_{k_{r}}(Gl_{r}(F_{q})) כאשר  k_{r}={{n} \choose {r}}_{q} הוא מספר תת-המרחבים מממד  r של  F_{q^{n}}. בפרט, האלגברה פשוטה למחצה.
חוג החבורה והחבורה

אחת השאלות היסודיות לגבי חוג החבורה היא בעיית האיזומורפיזם: האם חוג החבורה  \mathbb {Z} [G] קובע את החבורה G. בעיית האיזומורפיזם קשורה להשערות זסנהאוז, העוסקות באיברים ההפיכים של  \mathbb {Z} [G]. נסמן ב- \mathbb {Z} [G]^{1} את האיברים שסכום המקדמים שלהם 1 (זוהי חבורה כפלית).
(השערת זסנהאוז הראשונה) כל איבר מסדר סופי ב- \mathbb {Z} [G] צמוד (ב- \mathbb {Q} [G]) לאיבר של  G עד כדי סימן.
(השערת זסנהאוז השלישית) כל תת-חבורה סופית של  \mathbb {Z} [G]^{1} צמודה (כנ"ל) לתת-חבורה של  G.
(השערת זסנהאוז השנייה) אם  H תת-חבורה של  \mathbb {Z} [G]^{1} שסדרה שווה לזה של  G ו- \mathbb {Z} [G]=\mathbb {Z} [H], אז  H צמודה (כנ"ל) ל- G.
השערה 3 גוררת את השערות 1 ו-2. השערה 2 גוררת פתרון לבעיית האיזומורפיזם (מעל השלמים). ידוע שהשערות אלה נכונות עבור חבורה נילפוטנטית. השערה 1 (וממילא גם 3) אינה נכונה באופן כללי. בעיית האיזומורפיזם המודולרית, השואלת האם חוג החבורה  \mathbb {F} _{p}[G] של חבורת-p G קובע את החבורה, הופרכה. גם השערת קפלנסקי (האיברים ההפיכים באלגברת החבורה של חבורה חסרת פיתול מעל שדה הם כפולות בסקלר של אברי החבורה) הופרכה.
חבורות טופולוגיות

אחת השיטות העיקריות לחקר חבורות אינסופיות הוא באמצעות ציודן בטופולוגיה מתאימה. חבורה שהיא גם מרחב טופולוגי (כך שפעולת הכפל היא העתקה רציפה) נקראת חבורה טופולוגית. לרוב המושגים של תורת החבורות (למשל: הומומורפיזם או הצגה) יש גרסה טופולוגית, בה אנו דורשים מההעתקות להיות רציפות. אם המושג מערב שדה אז יש להגדיר טופולוגיה עליו.
ניתן אמנם להשתמש בהגדרה הכללית של אלגברת החבורה גם עבור חבורה טופולוגית, אבל היא איננה מתייחסת לטופולוגיה, ולכן אינה מתאימה לחקר החבורה כחבורה טופולוגית. קשה לתת הגדרה כללית של אלגברת החבורה של חבורה טופולוגית שתיקח בחשבון את הטופולוגיה. הסיבה לכך היא שמושג הקונבולוציה הוא בעייתי עבור חבורה טופולוגית כללית.
עבור סוגים מסוימים של חבורות טופולוגיות ניתן להגדיר את חוג החבורה בכמה אופנים. לצורך הפשטות נניח מעתה כי חוג המקדמים  R הוא שדה המרוכבים  \mathbb {C} .
חבורות טופולוגיות > חבורות קומפקטיות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
מקרה בו נוח להגדיר את אלגברת החבורה הוא כאשר החבורה קומפקטית. במקרה כזה קיימת מידת הסתברות  \mu  יחידה על החבורה שהיא אינווריאנטית לגבי כפל משמאל או מימין באיברי החבורה. מידה זאת נקראת מידת האר. אלגברת החבורה של חבורה קומפקטית מוגדרת בדרך כלל כאלגברת הפונקציות הרציפות
 \mathbb {C} [G]:=C(G,\mathbb {C} ) על  G. כאשר הכפל מוגדר ע"י
 (f_{1}*f_{2})(g)=\int _{h\in G}f_{1}(h)\cdot f_{2}(h^{-1}g)d\mu
בשונה מהמקרה הדיסקרטי, לאלגברת חבורה של חבורה קומפקטית כללית אין יחידה.
עם זאת, רוב התכונות של חבורות סופיות תקפות גם לחבורות קומפקטיות, עם שינויים קלים.
חבורות טופולוגיות > חבורות קומפקטיות מקומית

מקרה נוסף שבו ניתן להגדיר גרסה טופולוגית של אלגברת החבורה, הוא כשהחבורה קומפקטית מקומית. גם במקרה זה ניתן להגדיר את מידת האר, אינווריאנטית משמאל (או מימין), שהיא יחידה עד כדי כפל בסקלר. מכיוון שהחבורה אינה קומפקטית, מידת האר אינה סופית.
לאלגברת החבורה של החבורה קומפקטית מקומית קיימות שתי גרסאות נפוצות:
אלגברת הפונקציות הרציפות עם תומך קומפקטי  C_{c}(G,\mathbb {C} ).
אלגברת הפונקציות  L^{2} ביחס למידת האר  L^{2}(G,d\mu ).
ניתן גם להגדיר את אלגברת החבורה בצורה אינווריאנטית יותר (ללא צורך לבחור מידת האר ספציפית, וללא העדפת המידה השמאלית על פני הימנית) בתור אלגברת המידות על  G, שאותם ניתן לכתוב כמכפלה של מדת האר (כלשהי) ופונקציה רציפה עם תומך קומפקטי (או פונקציה  L^{2} בגרסה השנייה).
חבורות טופולוגיות > חבורות קומפקטיות מקומית > חבורות לי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
מחלקה חשובה של חבורות קומפקטיות מקומית היא חבורות לי. חבורת לי היא חבורה שנתון עליה מבנה של יריעה חלקה, כך שהעתקת הכפל היא העתקה חלקה.
אם  G היא חבורות לי אז בנוסף לגרסאות הקודמות של אלגברת החבורה ניתן להגדיר גרסה נוספת:
האלגברה  C_{c}^{\infty }(G,\mathbb {C} ) של הפונקציות החלקות על  G בעלות תומך קומפקטי.
במקרים מסוימים ניתן גם להגדיר אלגבראות גדולות מעט יותר  S(G) המכילות את פונקציות שוורץ על  G, דהיינו פונקציות חלקות על  G אשר דועכות באינסוף בקצב מהיר. למושג פונקציית שוורץ יש מספר גרסאות, חלקן מוגדרות על חבורת לי כללית, וחלקן דורשות מבנה נוסף (למשל מבנה של חבורה אלגברית ממשית).
חבורות טופולוגיות > חבורות קומפקטיות מקומית > חבורות p-אדיות

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו לוויקיפדיה . ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הסיבה היא: ויקיזציה.
בתורת המספרים (ובפרט בתוכנית לנגלנדס) עולה הצורך לדון בסוג נוסף של חבורות קומפקטיות מקומית – חבורות  p-אדיות.
ברוב המקרים מדובר על תת-חבורות סגורות של חבורת המטריצות ההפיכות  GL_{n}\left(\mathbb {Q} _{p}\right) מעל שדה המספרים ה-p-אדיים.
באופן כללי מעט יותר, נגדיר חבורת  I בתור חבורה טופולוגית (האוסדורפית) קומפקטית מקומית שבה לאיבר הנייטרלי בסיס מקומי המורכב מתת-חבורות קומפקטיות פתוחות. נאמר שחבורה היא בת מנייה באינסוף אם יש לה כיסוי בן מנייה של קבוצות קומפקטיות. לחבורות אלה יש מידת האר מכיוון שהן קומפקטיות מקומית.
במקרה זה גרסה מוצלחת של חוג החבורה היא חוג הפונקציות של שוורץ על  G ונסמנו  S(G). זהו חוג הפונקציות מן החבורה לשדה המספרים המרוכבים שהן:
קבועות מקומית (כלומר, לכל נקודה יש סביבה שתמונת הפונקציה עליה קבועה)
בעלות תומך קומפקטי (בת"ק) כלומר, קבוצת האיברים בחבורה שהפונקציה איננה מאפסת הם קבוצה קומפקטית).
שוב על מנת להגדיר את פעולת הכפל (קונבולוציה) יש לבחור מידת האר. גם כאן ניתן להימנע מזה על ידי הגדרה של מחלקה מתאימה של מידות – מידות שוורץ.
לשם כך יש להתבונן במרחב הדואלי, מרחב התפלגויות. כלומר, במרחב  S^{*}(G) שהוא מרחב הפונקציונלים הליניאריים על
 S(G). מרחב זה מכיל את החוג של התפלגויות בעלות תומך קומפקטי,
התומך של התפלגות הוא קבוצת האיברים בחבורה שהצמצום של ההתפלגות לכל סביבה שלהן איננו התפלגות האפס. את חוג ההתפלגויות בעלות התומך הקומפקטי נסמן  S_{c}^{*}(G). לחוג זה תת-חוג  H(G) של ההתפלגויות בעלות תומך קומפקטי וקבועות מקומית (נקבעות על ידי תת-חבורה פתוחה). באמצעות כפל במידת האר ניתן להגדיר איזומורפיזם
 S(G)\cong H(G)
בדומה למקרה הסופי, לחוג החבורה של חבורת  I יש קשר הדוק להצגות של החבורה. נגדיר הצגה חלקה (מרוכבת; של חבורת  I בת מנייה באינסוף) כהומומורפיזם מן החבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי (לאו דווקא מממד סופי) מעל שדה המספרים המרוכבים כך שהמייצב של כל וקטור במרחב הוא תת-חבורה פתוחה (ניתן לפרש כרגיל את המרחב הווקטורי כמודול מעל החבורה). במקרה זה תקפה הגרסה הבאה של הלמה של שור: נניח כי  \pi  הצגה חלקה של חבורת l בת מנייה באינסוף, ונניח שהיא אי פריקה (כלומר אין תת-מרחב אינווריאנטי אמיתי), אזי  Hom_{G}\left(\pi ,\pi \right) מכילה אופרטורים סקלריים בלבד.
כעת ניתן לנסח אנלוגיה למקרה של חבורות סופיות: קטגוריית ההצגות החלקות של  G שקולה באופן טבעי לקטגוריית המודולים מעל  H(G).
הערות שוליים

↑  Passmann 1977, משפט 4.2.12
↑  http://www.math.wisc.edu/~passman/oldsurvey.pdf
↑  Wayback Machine, www.sci.ccny.cuny.edu, סעיף 5.6
↑  Non-isomorphic 2-groups with isomorphic group algebra, Diego Garcia, Leo Margolis and Angel del Rio, 2021
↑  A counterexample to the unit conjecture for group rings, Giles Gardam, 2021
↑  בעבר הצגות אלה נקראו הצגות אלגבריות, והיה נהוג לסמן את הקטגוריה שלהן ב- Alg(G) . היום נהוג לסמנה ב- {\mathcal {M}}(G).
אורי ורד

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  7 ביוני 1998 (בן 26) פתח תקווה, ישראל
 מידע אישי
 שם:  אורי ורד
 מקום מגורים:  פתח תקווה, ישראל
 מידע יוטיובר
 תקופת הפעילות:  דצמבר 2019 – הווה (כ־5 שנים)
 ז'אנר:  מערכונים
 רשומים:  כ-148 אלף (נכון ל־11 במרץ 2025)
 צפיות:  כ-43 מיליון (נכון ל־11 במרץ 2025)
 רשת:  יוטיוב
אורי ורד (נולד ב-7 ביוני 1998) הוא שחקן, קומיקאי, יוצר תוכן ויוטיובר ישראלי. ידוע בעיקר בדמותו "בנץ" בסדרת הטלוויזיה "האחיין שלי בנץ". נכון למרץ 2025, לערוץ היוטיוב שלו כ-148 אלף רשומים.
ביוגרפיה

ורד נולד, גדל ומתגורר בפתח תקווה. למד בישיבה תיכונית. לאחר שירותו הצבאי, החל ליצור תוכן ביוטיוב, והוא מעלה מערכונים סאטיריים וסרטונים הומוריסטיים בנושאים שונים.
בשנת 2021 החל לשחק בסדרה "האחיין שלי בנץ" המשודרת ב"כאן חינוכית", בה הוא מגלם את דמותו של "בנץ" (בנציפר), נער מתבגר והבן של השטן. על תפקידו היה מועמד בטקס פרסי האקדמיה לילדים ונוער כשחקן הקומי הטוב ביותר. ב-2022 זכה בפרס פריצת השנה במשחק בפרסי נבחרי השנה של פרוגי.
פילמוגרפיה

| שנה | שם | תפקיד |
| --- | --- | --- |
| 2021 | "האחיין שלי בנץ" | בנץ |
פרסים ומועמדויות

| שנה | קטגוריה | מועמדות | תוצאה |
| --- | --- | --- | --- |
| 2022 | תחרות פרסי הטלוויזיה לילדים ולנוער ה-2 | השחקן הטוב ביותר בסדרה קומית | מועמדות |
| 2022 | פרסי נבחרי השנה של פרוגי | השחקן הטוב ביותר בסדרה קומית | מועמדות |
| 2022 | פרסי נבחרי השנה של פרוגי | פריצת השנה במשחק | זכייה |
הערות שוליים

↑  רייצ'ל גאון, השחקן אורי ורד רק בן 22, אז למה הוא בוכה כמו גבר בגיל העמידה?, באתר השחקן אורי ורד רק בן 22, אז למה הוא בוכה כמו גבר בגיל העמידה? | מגזין את, ‏2022-03-30
↑   סרטונים בערוץ של אורי ורד, באתר יוטיוב
↑  אורי ורד, 40UNDER40 - הצעירים המבטיחים 2022 - אייס, באתר Ice
↑  אורי ורד: "אני כנראה לא האיש הכי יפה על הסט, אבל אני בתפקיד הראשי", באתר ‏מאקו‏
↑  משה אבוטבול, לילך מרקוביץ, אתם בחרתם: טקס נבחרי השנה של פרוגי לשנת 2022, באתר פרוגי
מקס ורסטאפן

מקס אמיליאן ורסטאפן (בהולנדית: Max Emilian Verstappen; נולד ב-30 בספטמבר 1997) הוא נהג מרוצים הולנדי-בלגי המתחרה בפורמולה 1 עבור קבוצת רד בול. הוא ערך את הופעת הבכורה שלו בפורמולה במירוץ הפתיחה של עונת 2015, בגיל 17 שנים ו-166 ימים, והפך לנהג הצעיר ביותר בתולדות האליפות. עונה לאחר מכן קבע שיא נוסף כשהפך לנהג הצעיר ביותר שניצח במרוץ. זכה ארבע פעמים רצופות באליפות העולם בפורמולה 1 בעונות 2021, 2022, 2023 ו-2024. בשל אופיו הישיר וחם המזג, ולצד סגנון הנהיגה האגרסיבי, זכה לכינויים האריה ההולנדי (Dutch Lion), סופר מקס (Super Max) ומקס הזועם (Mad Max, על שם זיכיון סרטים בשם דומה).
בשנת 2024 נכלל ברשימת "טיים 100".
משפחה

מקס נולד למשפחה בעלת מסורת מוטורית: אביו, יוס ורסטאפן, הוא נהג עבר בפורמולה 1, ואמו, סופי קומפן, התחרתה בקארטינג. דודו, אנתוני קומפן, התחרה בעבר במרוצי אנדורו ואחר כך בסבב אליפות אירופה בנאסקאר. כבן לאב הולנדי ואם בלגית הוא מחזיק באזרחות כפולה. אף על פי שנולד בבלגיה הוא מתחרה תחת הדגל ההולנדי.
ורסטאפן החל להתחרות בפורמולה 1 עוד בטרם קיבל רישיון נהיגה אזרחי, אותו קיבל בגיל 18, כחצי שנה לאחר שהחל להתחרות בסבב.
מאז ינואר 2021 נמצא במערכת יחסים עם קלי פיקה, אשת יחסי ציבור ודוגמנית, בתו של אלוף הפורמולה 1 נלסון פיקה.
קריירת מרוצים > קארטינג

ורסטאפן החל להתחרות בקארטינג בגיל ארבע וחצי. בשנת 2006 התחרה בקטגוריית המינימקס וזכה באליפות בלגיה, שנה לאחר מכן זכה באליפות הולנד באותה קטגוריה. בשנת 2008 החל להתחרות גם בקטגוריית הקדאט וזכה האליפות בקטגוריה, במקביל לזכייה בקטגוריית המינימקס. בשנת 2009 זכה באליפות פלנדריה בקטגוריית המינימקס ובאליפות בלגיה בקטגוריית KF5. בשנת 2010 החל להתחרות בתחרויות בינלאומיות - הוא סיים במקום השני באליפות העולם בקטגוריית KF3 וזכה באליפות אירופה באותה קטגוריה. הוא זכה שוב בתואר בעונה לאחר מכן ובשנת 2012 זכה באליפות בקטגוריית ה-KF2. בשנת 2013 התחרה באליפות אירופה בקטגוריית ה-KZ1 ובקטגוריית ה-KF וזכה בתואר האליפות הכפול.
בשנת 2014 התחרה במשך עונה אחת באליפות אירופה בפורמולה 3 אותה סיים במקום השלישי.