stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ניל גורסץ'
בכס השיפוט > תחילת דרכו

בשנים 1991–1992 היה עוזר לשופט דייוויד סנטל בבית המשפט לערעורים של מחוז קולומביה, ובשנים 1993–1994 היה עוזר לשופטי בית המשפט העליון ביירון וייט ואנתוני קנדי. בשנים 1995–2005 עבד כעורך דין במגזר הפרטי בוושינגטון, במשרד "קלוג, האבר, הנסן, טוד, אוונס ופיגל". משנת 1998 היה שותף במשרד. בשנת 2002 הביע תמיכה במועמדותם של מריק גרלנד וג'ון רוברטס לשופטים בבית המשפט הפדרלי לערעורים של מחוז קולומביה. בשנת 2005 מונה לתובע במחלקת המשפטים, ובשנת 2006 מונה לשופט בבית המשפט הפדרלי העשירי לערעורים על ידי הנשיא ג'ורג' ווקר בוש. בית משפט זה מטפל בערעורים על פסיקות של בתי המשפט הפדרליים בקולורדו, בקנזס, בניו מקסיקו, באוקלהומה, ביוטה ובוויומינג. עד למינויו כשופט, היה מרצה אורח למשפטים באוניברסיטת קולורדו.
בכס השיפוט > בבית המשפט העליון של ארצות הברית

ב-31 בינואר 2017 הכריז נשיא ארצות הברית דונלד טראמפ על מינויו לשופט בבית המשפט העליון של ארצות הברית, כדי למלא את הכיסא הריק 11 חודשים לאחר מותו של אנטונין סקאליה, לאחר שמועמדו של הנשיא, ברק אובמה, מריק גרלנד, נחסם על ידי הרפובליקנים בסנאט. ב-7 באפריל 2017 אישר הסנאט את מינויו של גורסץ' ברוב של 45–54, זאת לאחר שהרפובליקנים הפעילו לראשונה את הפרוצדורה המכונה "אופציה גרעינית" (Nuclear option) (אנ') לאחר פיליבסטר שערכו הדמוקרטים בסנאט, ושינו את חוקי הסנאט כך שיינתן לאשר שופט ברוב רגיל של 51 קולות במקום 60 קולות, במקרה של פיליבסטר.
ב-10 באפריל 2017 הושבע לתפקידו.
בכס השיפוט > עמדותיו

גורסץ' נחשב לדוגל באוריגינליזם וטקסטואליזם, בדומה לשופט אותו החליף בבית המשפט העליון, אנטונין סקאליה.
בנאום משנת 2005 באוניברסיטת "קייס ווסטרן ריזרב" אמר גורסץ' כי שופטים צריכים
ליישם את החוק כפי שהוא. להתמקד במבט לאחור, לא קדימה. להתבונן בטקסט, מבנה והיסטוריה, כדי להחליט איך קורא אחראי של החוק בתקופת חקיקתו היה מבין אותו- לא להכריע תיקים על בסיס הגישה המוסרית שלהם עצמם או בהתחשב בהשלכות שלדעתם ישרתו את החברה באופן מיטבי.
הוא ביטא התנגדות לשימוש שעושים ליברלים בבית המשפט העליון כדי להשיג מטרות אידאולוגיות, תוך ויתור על הכרעת סוגיות אלו במוסדות הנבחרים של העם. מתנגד להפלות ותומך בתיקון השני לחוקה.
ב-15 ביוני 2020 קבע בית המשפט העליון של ארצות הברית כי אין למעביד זכות לפטר או להפלות אדם במקום עבודתו על רקע מגדר ונטייה מינית. פסק הדין עבר ברוב של 6 שופטים בעד ו-3 מתנגדים. גורסץ' כתב את חוות דעת הרוב במשפט. עד אז חוק זה היה קיים בחוק רק ב-10 מדינות בלבד בארצות הברית.
חיים אישיים

גורסץ' תושב בולדר שבקולורדו, נשוי ואב לשתי בנות. הוא כתב שני ספרים: ספרו הראשון עוסק בעתיד המתות החסד ויצא לאור בהוצאת אוניברסיטת פרינסטון בשנת 2006. ספרו השני (כסופר שותף) עוסק בתקדימים משפטיים ויצא לאור בשנת 2016.
ביאורים

↑  גישה משפטית לפיה יש לפרש את החוקה על פי המשמעות שהייתה לה וכפי שהתפרשה בעת הכרזתה (וכן בזמן כתיבת כל אחד מן התיקונים לחוקה)
↑  גישה משפטית לפיה יש לפרש חוקים לפי לשונם ולא לפי ההיסטוריה החקיקתית שלהם או פרשנות של המטרה הבסיסית לשמה נחקקו
הערות שוליים

↑  ניו יורק טיימס ו"הארץ", טראמפ בחר בשופט השמרן ניל גורסאץ לבית המשפט העליון, באתר הארץ, 1 בפברואר 2017
↑  ביהמ"ש העליון בארה"ב קבע: גם להט"בים נכללים בחוק איסור אפליה בעבודה, באתר מעריב אונליין, 15 ביוני 2020
↑  Ariane de Vogue, CNN Supreme Court Reporter, Why Trump's Supreme Court appointee Neil Gorsuch just protected LGBTQ rights, CNN
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007302448905171  PLWABN: 9810577056105606  BIBSYS: 6083488  BnF: cb16682411x (data)  CiNii: DA15667556  GND: 132898241  ISNI: 0000 0001 1488 583X  LCCN: nr2004021232  NTA: 303319410  SNAC: w6zt3kzh  SUDOC: 140428399  VIAF: 22093066   WorldCat (עם VIAF): 22093066
זוהיר יוספיה

זוהיר יוספיה (בערבית: زهير يوسفيه; נולד ב-1 בינואר 1961) הוא פוליטיקאי ישראלי שכיהן כראש המועצה המקומית דבורייה.
ביוגרפיה

יוספיה נולד לעבד אלרחים ונסרה וגדל בדבורייה. השישי מתוך שמונה אחים ואחיות. למד בבית ספר יסודי ובתיכון דבוריה.
בשנת 1982 החל ללמוד לתואר ראשון במנהל עסקים וסטטיסטיקה באוניברסיטה העברית בירושלים וסיים בשנת 1985.
בשנת 1986 החל ללמוד לתואר שני במנהל עסקים באוניברסיטת תל אביב ועשה התמחות בחשבונאות במסגרת לימודי התואר וסיים בשנת 1988.
בשנת 1989 פתח משרד לראיית חשבון בדבורייה.
באותה שנה נבחר למועצת דבורייה וכיהן כחבר מועצה עד לשנת 1994.
בשנים 1998—2003 שימש חבר מועצה סגן וממלא מקום ראש מועצה דבורייה.
בבחירות לרשויות המקומיות ב-2003 התמודד לראשות המועצה מול מנסור יוסף, ריזק אטרש, פיסל עזאיזה, ופיסל מסאלחה. בסיבוב הראשון של הבחירות זכה יוספיה ל-31.49% מהקולות ועלה לסיבוב השני מול פיסל מסאלחה שזכה ל-26.86% מהקולות. בסיבוב זה הפסיד עם 47.61% מהקולות לעומת 52.39% למסאלחה.
בבחירות לרשויות המקומיות ב-2013 התמודד לראשות המועצה מול באסם דאוד, נור אלדין יוסף, ג'אודת מסאלחה, גאזי עזאיזה וריפעת עזאיזה. בסיבוב הראשון של הבחירות זכה יוספיה ל-22.00% מהקולות ועלה לסיבוב השני מול ריפעת עזאיזה שזכה ל-24.64% מהקולות. בסיבוב זה ניצח עם 50.43% מהקולות לעומת 49.57% לעזאיזה.
בבחירות לרשויות המקומיות ב-2018 התמודד לראשות המועצה בשנית מול באסם דאוד, ג'אודת מסאלחה, מאג'ד מסאלחה וריפעת עזאיזה. וניצח עם 43.56% מהקולות לעומת 38.33% לעזאיזה.
בבחירות לרשויות המקומיות ב-2024 התמודד לקדנציה שלישית מול השאם יוסף, נור אלדין יוסף, וריפעת עזאיזה. והפסיד עם 25.85% מהקולות לעומת 60.80%  לעזאיזה.
נשוי לאמל, עבדה כסוכנת ביטוח ומזכירת בית ספר ואב לשישה. מתגורר בדבורייה.
הערות שוליים

↑  הודעות בדבר תוצאות הבחירות לרשויות המקומיות, לראש הרשות ולמועצת הרשות, ילקוט הפרסומים 5245, עמ' 797
↑  הודעות בדבר תוצאות הבחירות לרשויות המקומיות, לראש הרשות ולמועצת הרשות, ילקוט הפרסומים 6702, עמ' 1658
↑  הודעות בדבר תוצאות הבחירות לרשויות המקומיות, לראש הרשות ולמועצת הרשות, ילקוט הפרסומים 8000, עמ' 3077
↑  הודעות בדבר תוצאות הבחירות לרשויות המקומיות, לראש הרשות ולמועצת הרשות, ילקוט הפרסומים 12171, התשפ"ד, 10 במרץ 2024, עמ' 4610
רובן דוארטה

רובן דוארטה סאנצ'ס (בספרדית: Rubén Duarte Sánchez; נולד ב-18 באוקטובר 1995) הוא כדורגלן ספרדי המשחק בפומאס מליגת העל המקסיקנית. משחק בעיקר בעמדת המגן השמאלי, אך יכול גם לשחק כבלם.
קריירה > אספניול

יליד אלמריה, אנדלוסיה, דוארטה הצטרף למערכת הנוער של אספניול בשנת 2009, בגיל 13, לאחר התקופה בלוס מולינוס. ב-2012, הוא נקשר למנצ'סטר סיטי שרצתה לרכוש אותו. באותה השנה ערך את הופעת הבכורה שלו בבוגרים עם המילואים בליגה השנייה בספרד.
ב-7 בינואר 2015, דוארטה ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הראשונה, כששיחק את מלוא 90 הדקות בהפסד חוץ 2–1 מול ולנסיה בגביע המלך באותה עונה. הופעת הבכורה שלו בלה ליגה התרחשה ב-8 בפברואר, מול אותה יריבה ועם אותה תוצאה.
דוארטה חידש את חוזהו במועדון הקטאלוני ב-11 ביוני 2015, חתם עד 2019 ונקרא לסגל הראשי.
קריירה > אלאבס

ב-29 במאי 2017, לאחר שירד ליגה עם אספניול, חתם דוארטה על חוזה לשלוש שנים בדפורטיבו אלאבס. הוא שיחק 24 משחקים בעונתו הראשונה, בה אלאבס סיימה במקום ה-14.
דוארטה כבש את שערו הראשון בליגה הספרדית הבכירה - וכמקצוען - ב-16 במאי 2021, בניצחון ביתי 4-2 על גרנדה.
ב-8 ביולי 2023, לאחר שתרם לעליית המועדון חזרה ללה ליגה, הוא חידש את חוזהו עד 2026.
קריירה בינלאומית

לאחר ששיחק עבור ספרד בנחרות מתחת לגיל 16, גיל 17, גיל 18, גיל 19 וגיל 21, דוארטה נקרא לראשונה לנבחרת הבוגרת ב-26 במאי 2015 למשחק ידידות עם קוסטה ריקה ולמוקדמות יורו 2016 מול בלארוס.
האחים גרים למבוגרים בלבד

| --- | --- |

 בימוי:  טרי גיליאם 
 הופק בידי:  צ'רלס רובן 
 תסריט:  ארן קרוגר 
 עריכה:  לסלי ווקר 
 שחקנים ראשיים:  הית' לדג'ר (יעקב גרים) מאט דיימון (וילהלם גרים) Jakub Zindulka Václav Chalupa Lukáš Bech Drahomíra Fialková Anna Rust Martin Kavan Jan Pavel Filipenský Martin Hofmann Petr Vršek Barbara Lukešová Jan Unger Simona Vcalová Ota Filip Jana Radojčičová Věra Uzelacová Radim Kalvoda Pepa Nos Julian Bleach Audrey Hamm מקנזי קרוק ריצ'רד רידינגס Tomáš Hanák ג'ונתן פרייס פיטר סטורמר לנה הידי מוניקה בלוצ'י Alena Jakobová Laura Greenwood Miroslav Táborský Marika Procházková רוג'ר אשטון-גריפית'ס Luděk Eliáš Rudolf Pellar František Velecký Tomáš Liška בפסקה זו רשומה אחת נוספת שטרם תורגמה 
 מוזיקה:  דאריו מרינלי 
 צילום:  ניקולה פקוריני, ניוטון תומאס סיגל 
 מדינה:  הממלכה המאוחדת, ארצות הברית, צ'כיה 
 חברת הפקה:  מטרו גולדווין מאייר, Summit Entertainment, חברת ויינסטין 
 חברה מפיצה:  דיימנשן פילמס, נטפליקס, Microsoft Store 
 שיטת הפצה:  וידאו על פי דרישה 
 הקרנת בכורה:  6 באוקטובר 2005 
 משך הקרנה:  119 דק' 
 שפת הסרט:  אנגלית, גרמנית, איטלקית, צרפתית 
 סוגה:  סרט פנטזיה, סרט אימה, סרט קומדיה, סרט הרפתקאות, קרוסאובר, סרט אנשי זאב 
 הכנסות באתר מוג'ו:   brothersgrimm
 אתר רשמי
 דף הסרט ב־IMDb
 
האחים גרים למבוגרים בלבד (באנגלית: The Brothers Grimm) הוא סרט פנטזיה והרפתקאות משנת 2005, בבימויו של טרי גיליאם ובהפקתו של צ'ארלס רובן. הסרט מבוסס באופן חופשי על דמויותיהם של האחים גרים המוכרים בעיקר בזכות אוסף סיפורי האגדות שכתבו. הסרט משלב אלמנטים של פנטזיה, הרפתקאות ואימה, ומציג את האחים גרים כציידי מפלצות הנאלצים להתמודד עם כוח על-טבעי אמיתי.
הסרט צולם בצ'כיה ויצא לאקרנים ב-26 באוגוסט 2005 עם ביקורות מעורבות והכניס 105.3 מיליון דולר בקופות ברחבי העולם.
עלילה

הסרט עוקב אחר האחים וילהלם (מאט דיימון) יעקוב (הית' לדג'ר) גרים, אשר נודדים מכפר לכפר ברחבי גרמניה הכבושה על ידי נפוליאון, ומרוויחים את לחמם על ידי כך שהם מביימים גירוש שדים ומפלצות עבור הכפריים הפשוטים. האחים מצליחים להונות רבים עד שהם נתקלים בכפר שבו תושבי המקום נעלמים בצורה מסתורית. כאשר הם נאלצים להתמודד עם כוחות על-טבעיים אמיתיים, האחים מבינים שעליהם להשתמש באומץ ובחוכמתם כדי להציל את הכפר ולהשאיר את עצמם בחיים.
צוות שחקנים

מאט דיימון בתפקיד וילם גרים - האח הגדול מבין השניים, שמניע את תוכניותיהם ומנהיג את המסעות ברחבי הכפרים. וילם הוא המוח מאחורי ההונאות.
הית' לדג'ר בתפקיד יאקוב גרים - האח הצעיר והרגיש יותר, שמתחבר לעולם האגדות והסיפורים, אך נאלץ להתמודד עם המציאות הקשה והמסוכנת.
מוניקה בלוצ'י בתפקיד המכשפה - כוח על-טבעי שמאיים על הכפר שבו נעלמים אנשים בצורה מסתורית.
פיטר סטורמר בתפקיד קוואטרמן - חוקר משטרתי צרפתי שנשלח לפקח על האחים ולוודא שאינם מבצעים הונאה נוספת.
ביקורות

הסרט "האחים גרים למבוגרים בלבד" זכה לביקורות מעורבות מצד המבקרים. בעוד שהסרט שיבח את הבימוי היצירתי של טרי גיליאם ואת האפקטים המיוחדים, העלילה המורכבת והדיאלוגים הקומיים עוררו ביקורת מצד חלק מהמבקרים. הסרט קיבל ציון של 38% באתר Rotten Tomatoes וציון של 51 מתוך 100 באתר Metacritic.
הערות שוליים

↑  גואל פינטו, סרטים חדשים - "האחים גרים למבוגרים בלבד", באתר הארץ, 15 בספטמבר 2005
| --- | --- |
בקרת זהויות :  BNE: XX4677469  GND: 4973505-6  LCCN: no2005079849  MusicBrainz release group: 2e27a523-0a93-3621-9a62-0e208e4243b4  VIAF: 176056541   WorldCat (עם VIAF): 176056541
אלגברת הקווטרניונים של המילטון

במתמטיקה, אלגברת הקווטרניונים של המילטון, המסומנת  \mathbb {H} , היא מבנה אלגברי שאבריו הם מספרים מהצורה  \ a+ib+jc+kd כאשר  \ a,b,c,d הם מספרים ממשיים, ו- \ i,j,k מקיימים:  i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,. זוהי אלגברת קווטרניונים שמרכזה הוא שדה המספרים הממשיים. את המבנה גילה ב-1843 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון, אשר חיפש דרך לייצג נקודות במרחב בדרך המאפשרת לבצע על הנקודות פעולות חיבור וכפל, לפני המצאת הווקטור.
הקווטרניונים הם הרחבה של שדה המספרים המרוכבים לארבעה ממדים.
שלט המדווח על גילויו של המילטון על גשר ברום
מספרים מרוכבים שימשו לייצוג נקודות במישור הדו-ממדי באופן המאפשר ביצוע פעולות חיבור וכפל, והמילטון חיפש דרך לייצג באופן דומה נקודות במרחב התלת-ממדי. ניסיונות אלו כשלו, אולם הרחבה למרחב של ארבעה ממדים נמצאה בדמות הקווטרניונים. השימוש בקווטרניונים חייב את נטישת חוק החילוף, דבר שהיה מהפכני באותם ימים. בהמשך, פותחו הווקטור והמטריצה והשימוש בקווטרניונים לצורכי הצגה גרפית דעך. עם זאת, עדיין קיימים שימושים בקווטרניונים, למשל בגרפיקת תלת־ממד.
היסטוריה

הקווטרניונים הומצאו על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון ופורסמו על ידו בשנת 1843. קדמו לגילוי של המילטון זהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר משנת 1748, ונוסחת אוילר-רודריגז לתיאור סיבובים משנת 1840 שמכילה למעשה את עיקר התיאור של הקווטרניונים. קרל פרידריך גאוס הציג את הנוסחאות לכפל קווטרניונים ברשימה קצרה מ-1819 תחת הכותרת "Mutationen des Raumes", שלא פורסמה עד אחרי מותו.
המילטון שאב השראה מההקבלה בין מספרים מרוכבים לבין נקודות על מישור דו-ממדי. ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור:
 z=x+yi=re^{i\theta } ואותו ניתן לייחס לנקודה שהקורדינטות שלה הם (x,y). באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים. לדוגמה סיבוב של נקודה  z=x+iy בזווית  \alpha  מתבצעת על ידי הכפלה:
 z'=ze^{i\alpha }=z(\cos(\alpha )+i\sin(\alpha )).
בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-ממדית. חיפושיו של המילטון לנוסחה שתאפשר הכפלה של שלשות מספרים עלו בתוהו. ב-16 באוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך לגשר ברום (Brougham Bridge) מצא המילטון את הבסיס לנוסחת הכפל של רביעיות מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית הייתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי', הוא חרט על הגשר את הנוסחה הבסיסית לכפל קווטרניונים:
 i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1. המילטון כינה את המספרים שגילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו. ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו, ב-1863.
תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, פיטר טייט ובנג'מין פירס הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטרניונים לתיאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה. כך לדוגמה הם הראו שאת משוואות מקסוול ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטרניונים. בסוף שנות ה-80 של המאה ה-19 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטרניונים לתיאור גאומטריה תלת-ממדית, לבין התומכים בשימוש באנליזה וקטורית. בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית. תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתיאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של ממדים.
יישום

לקראת סוף המאה ה-20 החל מתגבר השימוש בקווטרניונים לתיאור מצב זוויתי וסיבובים כתחליף לשימוש בזוויות אוילר. זאת נעשה במגוון תחומים כגון: ניווט, גרפיקה ממוחשבת, אווירודינמיקה, תורת הבקרה, עיבוד אותות, פיזיקה וביואינפורמטיקה. משחק המחשב טומב ריידר משנת 1996 נחשב למשחק המסחרי הראשון שהמנוע הגרפי שלו מבוסס על קווטרניונים, והיום נעשה בקווטרניונים שימוש במרבית משחקי המחשב המסחריים. כמו כן, במערכות טוס על חוט (fly by wire) המשמשות לבקרת גובה במטוסים בעלי יציבות אווירודינמית שלילית, הפקודות לייצוב האווירודינמי של המטוס נשלחות כקווטרניונים (קווטרניון כל חלקיק שנייה).
תכונות בסיסיות

מתוך השוויון  i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\, נובעים השוויונות הבאים:
קווטרניונים אלה יוצרים את חבורת הקווטרניונים. כאמצעי עזר חזותי לזכירת כללי הכפל של הקווטרניונים ניתן להציב את  i,j,k במעגל באופן כזה שהמעבר מכל קווטרניון יסודי לקווטרניון היסודי הבא מתבצע בכיוון השעון. לאור הבנייה הזאת, כפל קווטרניונים יסודיים מתבצע בצורה הבאה: כפל של כל שניים מהם ייתן את השלישי, עם סימן חיובי כאשר האיבר הימני נמצא צעד אחד בכיוון השעון ביחס לאיבר השמאלי, ועם סימן שלילי כאשר ההפך הוא הנכון.
החיבור של שני קווטרניונים הוא:
 \left(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k\right)+\left(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k\right)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k.
הכפל מתקבל לאחר פתיחת הסוגריים ושימוש בזהויות שלעיל. תחת פעולות אלה של חיבור וכפל, הקווטרניונים מהווים חוג. באופן מפתיע, לכל קווטרניון (פרט לקווטרניון האפס) יש איבר הפכי, ומה שמונע מהקווטרניונים להיות שדה הוא דווקא אי-קיום תכונת הקומוטטיביות (חילופיות): עבור קווטרניונים  \mathbf {A,B} , בדרך כלל  \mathbf {AB} \neq \mathbf {BA} .
באנלוגיה למספרים מרוכבים, מגדירים צמוד של קווטרניון:  \ {\bar {q}}=a-(bi+cj+dk) - וערך מוחלט של קווטרניון:
 |q|=|a+(bi+cj+dk)|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}. בהתאם לזהות ארבעת הריבועים,  |pq|=|p|\cdot |q|.
ייצוג מטריציוני וקטורי

דרך אחרת לייצג קווטרניונים היא בייצוג מטריציוני:
{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}i&\;\;0\\0&-i\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}\;\;0&1\\-1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.
במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור וכפל מטריצות.
דרך נוספת להצגת קווטרניונים היא כזוג סדור של סקלר ווקטור תלת-ממדי:  \left(\alpha ,{\vec {u}}\right). במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:
1.   \left(\alpha ,{\vec {u}}\right)+\left(\beta ,{\vec {v}}\right)=\left(\alpha +\beta ,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right)
2.   \left(\alpha ,{\vec {u}}\right)\left(\beta ,{\vec {v}}\right)=\left(\alpha \beta -{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},\alpha {\vec {v}}+\beta {\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)- כפל גרסמן.
מכאן רואים את הסיבה לאי-חילופיות הכפל בקווטרניונים - אי-חילופיות המכפלה הווקטורית.
כמו-כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות:
א.  (a,0)(0,{\vec {v}})=(0,a{\vec {v}})
ב.   (a,0)(b,0)=(ab,0)
ג.   \left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)- מזהות זו נגזרו מאוחר יותר הגדרות המכפלה הסקלרית
והמכפלה הווקטורית.
הקווטרניונים ממלאים את יעודם המקורי, לסובב את המרחב התלת-ממדי, על ידי פעולת ההצמדה: החבורה  \ \mathbb {H} ^{1} של הקווטרניונים מנורמה 1 פועלת על ידי הצמדה על תת-המרחב התלת-ממדי  \ \mathbb {H} _{0}=\{x\in \mathbb {H} \mid \operatorname {tr} (x)=0\}; פעולה זו מגדירה איזומורפיזם  \ \mathbb {H} ^{1}/\{\pm 1\}\rightarrow \operatorname {SO} (3) לחבורת הסיבובים (שהיא חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1).
קווטרניונים שלמים

אוסף הקווטרניונים מהצורה  \ a+bi+cj+dk עבור  \ a,b,c,d\in \mathbb {Z}  נקרא מסדר ליפשיץ ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם  \ a,b,c,d\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z}  נקרא מסדר הורוויץ. מסדר הורוויץ מהווה מסדר מקסימלי יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים  \ \mathbb {Q} [i,j], והוא אוקלידי (מימין ומשמאל) ביחס לפונקציית הנורמה. אפשר להיעזר בכך כדי לקבל הוכחה קלה למשפט ארבעת הריבועים של לגרנז'. מסדר ליפשיץ הוא "כמעט אוקלידי": אפשר לחלק כל  x בכל  y בכל עם שארית r המקיימת  |r|\leq |y|.
אינווריאנטים מקומיים

אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתפצלת בכל השלמה של המספרים הרציונליים, פרט ל-  \ \mathbb {Q} _{2} ו-  \ \mathbb {R} .
הערות שוליים

↑  On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra (מכתב ל-John T. Graves, מ-17 באוקטובר 1843)
| מערכות מספרים |
| --- | --- | --- |
| מספרים | המספרים הטבעיים  \mathbb {N}  (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים  \mathbb {Z}  (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים  \mathbb {Q}  (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים  \mathbb {R}  (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים  \mathbb {C}  (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) |  |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס  \ \mathbb {Z} [i] • חוג השלמים האלגבריים  \ {\overline {\mathbb {Z} }} • חוג השלמים של אייזנשטיין  \ \mathbb {Z} [\omega ] |  |
| הרחבות של שדה המספרים הרציונליים | שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים  \ {\overline {\mathbb {Q} }} (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים  \mathbb {Q} _{p} (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי |  |
| מעבר למרוכבים | אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון  \ {\mathbb {H} }) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי  \ {\mathbb {O} }) • אלגברות קיילי-דיקסון |  |
| אלגברה מופשטת |
| --- | --- | --- |
| ענפים | אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות |  |
| מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית |  |
| מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007553303805171  BNE: XX4728834  BnF: cb11981947w (data)  GND: 4176653-2  LCCN: sh85109754  LNB: 000137096  NDL: 00570899  NKC: ph844096
אנג'ה פוסטקוגלו

אנג'לוס פוסטקוגלו (באנגלית: Angelos Postecoglou, ביוונית: Άγγελος Ποστέκογλου; נולד ב-27 באוגוסט 1965) הוא כדורגלן ומאמן כדורגל אוסטרלי יליד-יוון, המשמש כמאמן טוטנהאם הוטספר מהפרמייר ליג.
ראשית חייו

פוסטקוגלו נולד בניאה פילדלפיה, פרוור של אתונה, בירת יוון. לאחר שאביו, דימיטריס ("ג'ים"), איבד את עסקיו בעקבות עליית המשטר הצבאי ביוון ב-1967, פוסטקוגלו היגר לאוסטרליה בסירה ב-1970 בגיל חמש, וגדל במלבורן, ויקטוריה.
קריירת משחק

לאחר שהצטרף לסאות' מלבורן הלס (אנ') כשהיה בן תשע, התקדם פוסטקוגלו במחלקת הנוער של המועדון ולאחר מכן שיחק במדי הקבוצה הבוגרת 193 משחקים מ-1984 עד 1993.
כשחקן הוא לקח חלק באליפויות של הקבוצה ב-1984 ו-1990/91, האחרונה כקפטן. מאמנו בשנותיו האחרונות בקבוצה היה ההונגרי פרנץ פושקש, ולפי פוסטקוגלו הוא השפיע עליו בקריירת האימון שלו לאחר שהנהיג מערך 4-3-3.
פציעה בברך סיימה את הקריירה של פוסטקוגלו בטרם עת. בשנת 2000 הוא נבחר למגן השמאלי הפותח בקבוצת המאה של סאות' מלבורן לפי הצבעת האוהדים ופאנל מומחים.
קריירת משחק > בנבחרת

פוסטקוגלו ייצג את נבחרת אוסטרליה הבכירה ארבע פעמים בין 1986 ל-1988, וכן את נבחרת הנוער ב-1985.
קריירת אימון > סאות' מלבורן

לאחר פרישתו מונה פוסטקוגלו לעוזר מאמן בסאות' מלבורן. הוא קיבל את תפקיד המאמן הראשי ב-1996, לאחר פיטוריו של פרנק ארוק.
הוא הוביל את הקבוצה לשתי אליפויות בליגה הלאומית האוסטרלית (NSL) ב-1997/98 (שקטעה בצורת של 7 שנים) ו-1998/99, כמו גם זכייה באליפות אוקיאניה למועדונים 1999, אשר הובילה להשתתפות הקבוצה באליפות העולם למועדונים 2000.
לאחר עונת 1999/2000 הוא התפטר מתפקידו בסאות' מלבורן לאחר שמונה למאמן נבחרת הנוער של אוסטרליה. הוא האדם היחיד שהיה מעורב בכל ארבע הזכיות של סאות' מלבורן ב-NSL, שתיים כשחקן ושתיים כמאמן.
קריירת אימון > נבחרת אוסטרליה הצעירה

בעקבות הצלחתו באימון סאות' מלבורן מונה פוסטקוגלו למאמן נבחרות הנוער של אוסטרליה בשנת 2000. הוא הוחלף בפברואר 2007 לאחר שאוסטרליה לא הצליחה להעפיל לגביע העולם בכדורגל עד גיל 20.
לאחר שפוטר מהנבחרת אימן פוסטקוגלו את פנאצ'איקי מהליגה היוונית השלישית ואת ויטלסי זבראס ממלבורן.
קריירת אימון > בריזבן רואר

ב-16 באוקטובר 2009 מונה פוסטקוגלו למאמן בריזבן רואר. הניצחון 4–0 של קבוצתו על אדלייד יונייטד במחזור ה-13 נחשב לאחד המשחקים הטובים ביותר ששוחקו בליגת העל האוסטרלית בכדורגל. פוסטקוגלו הוביל את הרואר לאליפות בעונת 2010/11 לאחר ניצחון 4–2 בדו-קרב פנדלים על סנטרל קוסט מרינרס. בריזבן הפסידה רק משחק אחד כל העונה ולא הפסידה במשך 36 משחקים, שיא אוסטרלי חדש. ב-18 במרץ 2011 הוא האריך את חוזהו בשנתיים עד עונת 2013/14.
בעונת 2011/12 הפכה בריזבן רואר לקבוצה הראשונה שזוכה באליפויות רצופות, ופוסטקוגלו הפך למאמן המקומי המצליח ביותר באוסטרליה עם ארבע אליפויות.
ב-24 באפריל 2012 התפטר פוסטקוגלו מתפקידו כמאמן הראשי לאחר שנתיים וחצי, במהלכן הוביל את הרואר לשתי אליפויות והופעות בליגת האלופות האסיאתית.
קריירת אימון > מלבורן ויקטורי

ב-26 באפריל 2012 חתם פוסטקוגלו כמאמן ראשי במלבורן ויקטורי. משחקו הראשון של פוסטקוגלו היה דרבי במחזור הראשון מול מלבורן הארט, בו הפסידה קבוצתו 1–2. הניצחון הראשון שלו היה 2–1 על אדלייד יונייטד במחזור 4. בעונה הבאה עלתה מלבורן ויקטורי לגמר המקדים (הסיבוב הראשון של הפלייאוף) של הליגה האוסטרלית לאחר שניצחה את פרת' גלורי 2–1 באצטדיון דוקלנדס, אך הפסידה בחצי הגמר לסנטרל קוסט מרינרס 0–2.
קריירת אימון > נבחרת אוסטרליה

פוסטקוגלו מונה למאמן נבחרת אוסטרליה בכדורגל ב-23 באוקטובר 2013 לחמש שנים. על פוסטקוגלו הוטל לחדש את נבחרת אוסטרליה, שנחשבה לכזאת שנסמכת יותר מדי על חברי דור הזהב של 2006, מה שהוביל לקיפאון בתוצאות שהגיעו לשיא בתבוסות רצופות 0–6 לברזיל וצרפת. במשחקו הראשון כמאמן אוסטרליה, משחק ידידות ביתי מול קוסטה ריקה, ניצחה אוסטרליה 1–0 בזכות שער של טים קייהיל.
במונדיאל 2014 הוגרלה אוסטרליה לבית ב' לצד המחזיקה ספרד, סגניתה הולנד וצ'ילה. הנבחרת הפסידה לצ'ילה 1–3 ולהולנד 2–3 בשני המחזורים הראשונים ואיבדה סיכוי לעלות לשלב הבא, ובמחזור האחרון הפסידה 0–3 לספרד. ההופעות התחרותיות יחסית של הנבחרת בבית הקשה הביאו לאמונה שדור הזהב החדש עומד בפתח.
פוסטקוגלו אימן את אוסטרליה בגביע אסיה בכדורגל 2015, שם ניצחה את כווית (4–1) ועומאן (4–0), אך הפסידה לקוריאה הדרומית (0–1) בשלב הבתים. לאחר מכן ניצחה הנבחרת את סין 2–0 ברבע הגמר ואת איחוד האמירויות הערביות 2–0 בחצי הגמר. בגמר ניצחה אוסטרליה את דרום קוריאה 2–1 לאחר הארכה וזכתה בגביע אסיה בכדורגל הראשון בתולדותיה.
שבועיים לאחר שהסוקרוז העפילו למונדיאל 2018, ב-22 בנובמבר 2017, הודיע פוסטקוגלו על התפטרותו מאימון הנבחרת.
קריירת אימון > יוקוהמה מרינוס

ב-19 בדצמבר 2017 מונה פוסטקוגלו למאמן יוקוהמה F. מרינוס. המשחק הראשון של פוסטקוגלו כמאמן יוקוהמה היה תיקו 1–1 מול סרזו אוסקה. לאחר פתיחת עונה קשה, בה עמדו המרינוס בפני סכנת ירידה, הוביל פוסטקוגלו את הקבוצה לגמר גביע הליגה היפנית ולמקום ה-12 בליגה. על אף שהקבוצה סיימה במקום השני בטבלת השערים, היא ספגה את הכמות השלישית בגודלה בליגה.
למרות ההתעניינות שקיבל מנבחרת יוון בכדורגל, האריך פוסטקוגלו את חוזהו ביוקוהמה. בעונת 2019 הוא הוביל את הקבוצה לאליפות ליגת העל היפנית בכדורגל הראשונה שלה מזה 15 שנים. בכך הוא הפך למאמן האוסטרלי הראשון שזכה באליפות ביפן.