stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
ספר חגי
נבואות הספר

נבואות הספר נאמרות על ידי הנביא ולהן כמה מאפיינים: הן כתובות בלשון המתארת ויכוח בין הנביא לקהל השומעים, מודגשת בהן שליחותו של הנביא חגי בידי ה', אין בנבואות מראות כדוגמת אלו המופיעות אצל יחזקאל וישעיהו והתוכחה היחידה הקיימת בה היא על כך שעם אינו בונה את המקדש. תוכחה זו עומדת במרכז נבואתו.
ניבים וביטויים שמקורם בספר חגי > לשבת בבתיכם ספונים

עם ישראל נמנע מבניית בית המקדש בגלל המצב הכלכלי והנביא דורש מהם לצאת ולבנות את בית המקדש. כיום משתמשים בביטוי כשרוצים לתאר אדם אשר יושב בביתו מבודד ולא בא במגע עם הסביבה.
ניבים וביטויים שמקורם בספר חגי > והמשתכר משתכר אל צרור נקוב

במקרא וכיום נוהגים לומר את הביטוי כאשר מבקשים להדגיש שאדם מתקשה בפרנסה מפני שכל כספו נופל מארנקו המחורר ובאמירת הביטוי מתכוונים שאדם זה הפסיד את כספו.
הערות שוליים

↑  ספר חגי, פרק א', פסוק א'
↑  שמואל אפק,"אני אתכם נאום ה", בתוך: מגדים כרך ט"ו, ירושלים, תבונות מכללת הרצוג, תשנ"ב
↑  צפורה טלשיר, עולם התנ"ך: תרי עשר ב', תל אביב, דוידזון עתי, 1995, עמ' 138
↑  בבא בתרא ט"ו, ע"א
↑  מרדכי זר-כבוד, חגי, זכריה, מלאכי, ירושלים, החברה לחקר המקרא בישראל, 1968, עמ' 13
↑  צפורה טלשיר, עולם התנ"ך: תרי עשר ב', תל אביב, דוידזון עתי, 1995, עמ' 143-142
↑  מרדכי זר-כבוד, תרי עשר, ירושלים, מוסד הרב קוק, 1990, עמ' 3
↑  ספר חגי, פרק א', פסוק ד'
↑  ספר חגי, פרק א', פסוק ו'
| ספרי התנ"ך |
| --- | --- | --- |
| תורה | בראשית • שמות • ויקרא • במדבר • דברים |  |
| נביאים | יהושע • שופטים • שמואל (א' וב') • מלכים (א' וב') • ישעיהו • ירמיהו • יחזקאל • תרי עשר (הושע ⁃ יואל ⁃ עמוס ⁃ עובדיה ⁃ יונה ⁃ מיכה ⁃ נחום ⁃ חבקוק ⁃ צפניה ⁃ חגי ⁃ זכריה ⁃ מלאכי) |  |
| כתובים | תהילים • משלי • איוב • שיר השירים • רות • איכה • קהלת • אסתר • דניאל • עזרא ונחמיה • דברי הימים (א' וב') |  |
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007286789405171  PLWABN: 9810700927005606  BIBSYS: 90115625  BnF: cb12065835r (data)  GND: 4022927-0  LCCN: n81120135  LNB: 000150541  SUDOC: 028922948   WorldCat (עם LCCN): n81-120135
אלגברה ליניארית

שלושה מישורים במרחב שהחיתוך ביניהם הוא ישר. הנקודות בכל מישור מבין השלושה הן הפתרונות של משוואה ליניארית בשלושה נעלמים, ונקודות הישר הכחול הן הפתרונות של שתי המשוואות יחדיו.
אלגברה לִינֵאָרִית היא ענף של האלגברה העוסק במערכות של משוואות ליניאריות כמו  a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b ובהעתקות ליניאריות כמו  (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n} והצגותיהן בעזרת מטריצות ומרחבים וקטוריים (בהתאמה).
אלגברה ליניארית היא תחום מרכזי במתמטיקה והשימוש בה נפוץ בתחומים רבים אחרים. למשל, אלגברה ליניארית חיונית להצגה מודרנית של גאומטריה, שכן היא מספקת הגדרה של מונחי היסוד הגאומטריים: נקודה, ישר ומישור, באמצעות מונחים אלגבריים. הגדרה זו מאפשרת גם להגדיר מרחבים אוקלידיים בעלי ממד גדול מ-3. נעשה שימוש נרחב באלגברה ליניארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה ליניארית גם במסגרת מדעי הטבע, מדעי המחשב, הנדסה ומדעי החברה.
היסטוריה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
אחד מיסודות האלגברה הליניארית הונחו על ידי רנה דקארט שפיתח את מערכת הצירים הקרטזית (הקרויה על שמו) ב-1637 לתיאור המישור והשתמש בה במסגרת הגאומטריה האנליטית לתקוף בעיות של הגאומטריה הקלאסית. על מנת לציין נקודה במישור, השתמש בסימון של זוג סדור  (x,y).
עוד יסוד של האלגברה הליניארית הונח על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ, שהשתמש במושג הדטרמיננטה לפתרון מערכות משוואות ב-1693. לאחר מכן, ב-1750, פיתח גבריאל קרמר נוסחה לחישוב פתרון של מערכת משוואות, הנקרא כיום כלל קרמר. מאוחר יותר, השתמש המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס בשיטת החילוץ של גאוס (הנקראת גם שיטת הדירוג של גאוס) לפתרון מערכות משוואות.
האלגברה הליניארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטון (שטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים. ב-1844 פרסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה ליניארית".
ב-1857 הגדיר ארתור קיילי את המטריצה, אחת מאבני היסוד של האלגברה הליניארית. למרות התקדימים האלו, מרבית האלגברה הליניארית המודרנית פותחה במאה ה-20.
מושגי יסוד > שדה

כל דיון באלגברה ליניארית מתחיל בקביעת שדה, שלאיבריו קוראים סקלרים. הם משחקים תפקיד של מספרים. ואכן במקרים רבים שדה זה הוא אוסף המספרים מסוג מסוים, למשל שדה המספרים הממשיים, שדה המספרים המרוכבים או שדה המספרים הרציונליים.
שדה  F הוא מבנה אלגברי הכולל לפחות שני איברים, 0 ו-1 בעל שתי פעולות בינאריות, המסומנות ב-" +" ו-" \cdot " (חיבור וכפל) המקיים לכל  a,b,c ב- \ F:
a+b=b+a (קומוטטיביות, חוק החילוף לחיבור)
(a+b)+c=a+(b+c) (אסוציאטיביות, חוק הקיבוץ לחיבור)
a+0=a (0 הוא איבר נייטרלי לחיבור)
לכל  a קיים  b כך ש- a+b=0 (לכל איבר קיים איבר נגדי)
a\cdot b=b\cdot a (חוק החילוף לכפל)
(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) (חוק הקיבוץ לכפל)
a\cdot 1=a (1 נייטרלי לכפל)
לכל  a שונה מ-0 קיים  b כך ש- a\cdot b=1 (קיום איבר הופכי)
a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c (דיסטריבוטיביות, חוק הפילוג)
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידוּת של האיברים הנייטרליים (מכיוון שהתכונה ' \ a+x=a לכל  a' ייחודית לאיבר האפס, וכן בכפל לאיבר היחידה), יחידות האיבר הנגדי וההפכי, והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.
האלגברה הליניארית אינה עוסקת בשדות עצמם (לשם כך נועדה תורת השדות). רוב השאלות הבסיסיות באלגברה ליניארית אינן רגישות לשדה, וההתנהגות תהיה דומה למדי עבור שדות שונים. אולם חלק מההגדרות והתוצאות דורשות טיפול שונה בשדות עם מציין חיובי (בעיקר עבור מציין 2). כמו כן חלקים מתקדמים יותר של התורה תלויים בכך שהשדה סגור אלגברית, ובפרט בכך שהוא שדה המספרים המרוכבים, ושונים מהותית עבור שדות שאינם כאלה.
מושגי יסוד > מערכת משוואות ליניאריות

מערכת משוואות ליניארית זו מערכת משוואות (אנ') מהצורה:
כאשר  x_{1},x_{2},...,x_{n} הם המשתנים,  a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn} הם המקדמים של המשתנים ו- b_{1},\ b_{2},...,b_{m} הם המקדמים החופשיים. כל אלה הם איברים בשדה  F, ולרוב השדה הזה הוא המספרים הממשיים. אם  x_{1},x_{2},...,x_{n} מקיימים את המשוואות, הם והצגתם כ- (x_{1},x_{2},...,x_{n}) נקראים פתרון.
הבעיה המכוננת של האלגברה הליניארית היא לתאר ולחקור את המבנה והסימטריות של אוסף הפתרונות למערכת משוואות כזאת. מערכת משוואות בה המקדמים החופשיים מתאפסים נקראת הומוגנית.
מושגי יסוד > מערכת משוואות ליניאריות > דירוג

שתי מערכות של משוואות ליניאריות נקראות שקולות אם יש להן אותם פתרונות. אפשר "להגיע" ממערכת ליניארית אחת למערכת ששקולה לה באמצעות עשיית מספר סופי של כל אחד מ-3 הסוגים הבאים של פעולות שורה עליה:
החלפת השורות של שתי משוואות
כפל בסקלר שונה מ-0 של כל המקדמים (גם החופשיים)
הוספת שורה מוכפלת בסקלר לשורה אחרת
ביצוע של כל אחד מ-3 הסוגים האלה של פעולות על מערכת משוואות ליניארית יצור מערכת משוואות ששקולה לה.
נאמר שמערכת משוואות היא מדורגת קנונית אם:
בכל שורה המקדם הפותח (המקדם הראשון בכל שורה שהוא לא 0) שווה ל-1.
המקדם הפותח של כל שורה נמצא משמאל למקדם הפותח של השורה שמתחתיה (מכאן המילה "מדורג").
בכל עמודה בה אחד המקדמים הוא פותח, כל שאר המקדמים שווים ל-0.
אחד המשפטים הבסיסיים של אלגברה ליניארית מראה שמכל מערכת משוואות ליניארית ניתן ליצור מערכת מדורגת קנונית יחידה ששקולה לה (ראו שיטת הדירוג של גאוס), ומכאן נובעות תכונות רבות של מערכות משוואות ליניאריות. ביניהן התכונה שלכל מערכת ליניארית מעל שדה אינסופי יש 0, 1, או אינסוף פתרונות.
מושגי יסוד > מרחב וקטורי > המרחב  F^{n}

כאמור פתרון של מערכת משוואות ליניאריות הוא n-יה של מספרים ב-F (סדרה של n מספרים, או וקטור). ניתן לאגד את אוסף כל ה־n-יות האלה לקבוצה אחת המסומנת ב- F^{n}. ניתן לחשוב על  F^{n} כעל אובייקט גאומטרי. למשל, עבור  \mathbb {R} ^{1},\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3} מקבלים את הישר, המישור והמרחב (בהתאמה). הקבוצה  F^{n} מהווה אבטיפוס בסיסי למרחבים הווקטוריים. ההגדרה של מרחב וקטורי נוטלת מקבוצה זאת את המבנה והתכונות שלה והופכת אותם למושג מופשט.
מושגי יסוד > מרחב וקטורי > אוסף הפתרונות של מערכת משוואת הומוגנית

אוסף הפתרונות של מערכת משוואת הומוגנית הוא תת-קבוצה של  F^{n} המהווה גם היא דוגמה למרחב וקטורי. דוגמה זאת מספקת צעד נוסף לקראת ההגדרה הכללית של מרחב וקטורי.
מושגי יסוד > מרחב וקטורי > ההגדרה של מרחב וקטורי

מרחב וקטורי (או בשמו הנוסף מרחב ליניארי)  V מעל שדה  F (כגון שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים) זהו מבנה אלגברי בעל 2 פעולות בינאריות " +" ו-" \cdot " המקיים מספר תכונות. איברי המרחב הווקטורי נקראים וקטורים ואיברי השדה נקראים סקלרים. הפעולה הראשונה נקראת "חיבור וקטורי" והשנייה נקראת "כפל בסקלר", מכיוון שהפעולה הראשונה היא  +:{V\times V}\to V והשנייה  \cdot :{F\times V}\to V. התכונות הן:
המבנה  \ (V,+,{\vec {0}}) (עבור  {\vec {0}} כלשהו) הוא חבורה אבלית, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי,  {\vec {0}} (הנקרא "וקטור האפס", לא בהכרח האיבר הנייטרלי של  F) הוא איבר נייטרלי של  V, ולכל איבר יש נגדי;
a\cdot (v+u)=a\cdot v+a\cdot u לכל  a\in F,u,v\in V
(a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v לכל  a,b\in F,v\in V
a\cdot (b\cdot v)=(a\cdot b)\cdot v לכל  a,b\in F,v\in V
1\cdot v=v לכל  v\in V כאשר 1 הוא איבר היחידה בשדה  F.
לדוגמה,  {F}^{n} הוא מרחב וקטורי מעל  F. כל מרחב וקטורי מממד סופי איזומורפי למרחב מצורה זו.
מושגי יסוד > צירוף ליניארי, בסיס ותת-מרחב

תת-מרחב ליניארי, בצורה לא פורמלית, הוא מרחב וקטורי שמוכל בתוך מרחב וקטורי אחר וסגור ביחס לאותן שתי הפעולות הבינאריות. כלומר, עבור 2 איברים בתת-המרחב, סכומם יהיה שייך לתת-המרחב ויהיה שווה לסכומם במרחב עצמו; באופן דומה עבור כפל בסקלר. מכיוון שפעולות אלו הן אותו דבר במרחב ובתת-המרחב, הן כבר מקיימות את כל האקסיומות של קומוטטביות, אסוציאטיביות, וכו', מה שאומר שהתכונות שצריכות להתקיים בתת-קבוצה של מרחב וקטורי  V כדי שהוא יהיה תת-מרחב ליניארי  L הן: לכל  v,u\in L,\lambda \in F:  \lambda \cdot v\in L ו־ v+u\in L. תכונות אלו נקראות "סגירות ביחס לחיבור" ו"סגירות ביחס לכפל בסקלר" בהתאמה. בפרט הוא כולל גם את וקטור האפס של המרחב המקורי.
במרחב וקטורי  V מעל שדה  F, הווקטור  v מוגדר להיות צירוף ליניארי של אוסף הווקטורים  v_{1},v_{2},...,v_{n} אם  {\lambda }_{1}v_{1}+...+{\lambda }_{n}v_{n}=v עבור  {\lambda }_{1},...,{\lambda }_{n}\in F כלשהם (המקדמים). הפרישה (span) של סדרת (אוסף) וקטורים כזו היא אוסף כל הצירופים הליניאריים שלה, מה שיוצר תת-מרחב. בהינתן סדרת וקטורים  v_{1},v_{2},...,v_{n}, ניתן להציג את  {\vec {0}} כצירוף ליניארי שלהם על ידי מקדמי 0. אם זאת הדרך היחידה שבה ניתן להציג את  {\vec {0}} כצירוף ליניארי של הסדרה, הסדרה תיקרא בלתי תלויה ליניארית. בסיס של מרחב וקטורי  V הוא סדרת וקטורים בת"ל (בלתי תלויה ליניארית) שגם פורשת את  V. כתוצאה מהיותם של בסיסים האיזון הדק שבין קבוצה פורשת לקבוצה בת"ל, כל קבוצה פורשת של וקטורים ניתן לצמצם לבסיס וכל קבוצת וקטורים בלתי תלויה ליניארית ניתן להשלים לבסיס.
לכל שני בסיסים (בהנחה שהם סופיים) של מרחב וקטורי  V יש אותו גודל, המוגדר להיות המימד של  V, ומסומן ב- \dim(V) או ב- \dim {V}. בהינתן בסיס  v_{1},...,v_{n} של מרחב וקטורי  V מעל שדה  F, נוכל ליצור קואורדינטות: הווקטור עם הקואורדינטות  (a_{1},a_{2},...a_{n}) יהיה הווקטור  a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}. לכל וקטור יש קואורדינטות מפני שהסדרה פורשת, והקורדינטות הן יחידות משום שהסדרה בת"ל. לכן, קורדינאטות מוגדרות ביחידות לכל וקטור, מה שנותן דרך לייצג כל וקטור כ- \dim {V} סקלרים.
עבור שני תת-מרחבים של  V,  M_{1} ו- M_{2}, נגדיר את סכומם להיות  M_{1}+M_{2}=\{v_{1}+v_{2}:v_{1}\in M_{1},v_{2}\in M_{2}\}, ובצורה כללית יותר, עבור  s תתי מרחבים, סכומם יהיה  M_{1}+...+M_{s}=\{v_{1}+...+v_{s}:v_{i}\in M_{i}\forall {1\leq i\leq s}\}. סכום של תתי-מרחבים הוא תת-מרחב בעצמו. הגדרה זו שונה מאיחוד של קבוצות, שכן איחוד כולל רק את איברי הקבוצות עצמם, וסכום כולל גם וקטורי סכום שאינם נמצאים באף אחד מתתי-המרחב לבדם.
בניסיון לחישוב מימד של סכום תתי מרחבים, נמצאה נוסחה הנקראת משפט הממדים:
מושגי יסוד > העתקות ליניאריות

בהינתן שני מרחבים וקטוריים  V ו- W מעל אותו שדה  F, העתקה ליניארית (הנקראת גם טרנספורמציה ליניארית או אופרטור ליניארי) מ- V ל- W היא פונקציה  T:V\to W שהיא סגורה ביחס לחיבור ולכפל בסקלר, כלומר:
לכל  v,u\in V,\lambda \in F.
אם העתקה ליניארית  T:V\to W היא חח"ע ועל, נאמר שהיא איזומורפיזם, ושהמרחבים  V ו- W הם איזומורפיים זה לזה. אם שני מרחבים (מעל אותו שדה) הם איזומורפיים זה לזה, הדבר שקול להיותם שווי מימד.
לכל העתקה ליניארית מוגדרים שני תת-מרחבים: גרעין ההעתקה  \ker(T):=\{x\in V|T(x)={\vec {0}}\} (כל הווקטורים שנשלחים ל-0), ותמונת ההעתקה  Im(T):=\{T(x)|x\in V\} (כמו תמונה של פונקציה רגילה). שניהם תת-מרחבים ליניאריים, הגרעין תת-מרחב של תחום הפונקציה והתמונה תת-מרחב של טווח הפונקציה. יש קשר בין הממדים שלהם, הנקרא משפט הממדים:
\dim Im(T)+\dim \ker(T)=\dim(V).
ההעתקה T היא חד-חד ערכית אם גרעינה מתאפס. היא על אם ורק אם תמונתה היא כל W.
מושגי יסוד > מטריצות

בהינתן שני מספרים טבעיים  m ו־ n, מטריצה  {\ce {A}} בגודל  m על  n (מעל שדה  F) היא פונקציה  A:S\to F מהקבוצה  S=\{(i,j)|1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\} לסקלרים ב- F. הפונקציה הזו מוצגת בעזרת טבלה בת  m שורות ו־ n עמודות, כאשר במקום ה־ (i,j) בטבלה רשום הערך  {\ce {A(i,j)}} (שמקובל לסמן ב־ A_{i,j} או ב־ a_{i,j}). דוגמה פשוטה למטריצה מעל שדה המספרים הממשיים היא  A={\begin{bmatrix}1&2&3\\6&1&5\end{bmatrix}}. כאן, במקום ה־ (2,1) מופיע הערך 6, כלומר  {\ce {A_{2,1}= 6}}, ובמקום ה־ (1,2) מופיע הערך 2, כלומר  {\ce {A_{1,2}= 2}}. שמות המטריצות לרוב מסומנות באותיות לטיניות גדולות.
שני שימושים בולטים של מטריצות הם הצגה של העתקה ליניארית לפי בסיס מסוים באמצעות מטריצות, והצגה של תבנית ריבועית באמצעות מטריצה סימטרית. כמו כן, אפשר לסמן מערכת משוואות ליניאריות באמצעות מטריצה אחת.
לכל  T:V\to W העתקה ליניארית, כך ש- \dim {V}=n ו- \dim {W}=m, בהינתן שני בסיסים קבועים ל- V ו- W, אפשר להתאים להעתקה הליניארית מטריצה מסדר  m\times n באמצעות וקטורי הבסיס של  V. בהרבה מקרים מתעניינים בהעתקות  T:V\to V כך שהמטריצה ריבועית. ניתן גם להשתמש באותו הבסיס פעמיים. באופן הזה, כל מושג שמוגדר להעתקות ליניאריות ניתן להגדיר למטריצות ולהפך.
ההתאמה בין העתקה ליניארית למטריצה תלויה בבסיס שבו משתמשים. דבר זה יוצר מצב שבו העתקה אחת יכולה להתאים למטריצות רבות, ומטריצה אחת יכולה להתאים להעתקות רבות. כדי להתמודד עם הבעיה הזאת הוגדר מושג נוסף: 2 מטריצות ריבועיות נקראות דומות אם הן מייצגות אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים (בכל הצגה של ההעתקה הליניארית  T:V\to V משתמשים פעמיים באותו בסיס למרחב הווקטורי  V, שהוא התחום של ההעתקה וגם הטווח שלה).
הייצוג הזה יוצר קשר עמוק מאוד בין העתקות ליניאריות ומטריצות. למשל, בהינתן שתי העתקות ליניאריות  T:V\to W,S:W\to U כך שהמטריצה שמייצגת את  T היא  A ואת  S מייצגת  B, אז המטריצה  B\cdot A היא המטריצה שמייצגת את ההרכבה  S\circ T (ביחס לבסיסים הנתונים). אחרי חישוב קל, מוצאים גם נוסחה מפורשת עבור כפל מטריצות. חישוב כפל מטריצות באמצעות הנוסחה המפורשת, מאפשר להגיע בקלות למטריצה המייצגת של הרכבת ההעתקות.
מושגי יסוד > דטרמיננטה

מושג מרכזי בתורת המטריצות היא הדטרמיננטה. דטרמיננטה היא פונקציה מקבוצת המטריצות הריבועיות לשדה מעליו הן מוגדרות. מבחינה גאומטרית, אם ניקח מטריצה  n\times n ונשרטט את  n הווקטורים (שורות המטריצה) ב- {F}^{n}, נוכל להשלים אותם למקבילון. הדטרמיננטה של המטריצה היא "הנפח המכוון של המקבילון" (זוהי ההגדרה של נפח מכוון).
לדטרמיננטה יש תכונות רבות. במקרים רבים, דטרמיננטה מספקת תשובות לשאלות בפיזיקה, מדעי מחשב ובתחומי מדע נוספים. גם במסגרת האלגברה הליניארית יש לה משמעות, בשל התכונה שמטריצה ריבועית  A היא מטריצה הפיכה אם ורק אם  \det(A)\neq 0. מזה נובע, שסדרת וקטורים (שאורכה הוא כמו גודל ממד הווקטורים) היא בלתי תלויה ליניארית אם ורק אם הדטרמיננטה של מטריצה ששורותיה הן הווקטורים לא מתאפסת.
מושגי יסוד > מרחב דואלי

בניה חשובה במרחבים ליניאריים היא "המרחב הדואלי". בניה זאת מתאימה לכל מרחב ליניארי מרחב אחר. הבניה מהווה ארכי-טופוס למושג דואליות שמופיע בתחומים רבים של המתמטיקה.
בהינתן מרחב V, נתן להגדיר מבנה טבעי של מרחב ליניארי על אוסף ההעתקות הליניאריות מ-V לשדה F. מרחב זה נקרא המרחב הדואלי של V ומסומן ב־ V^{*}.
ההתאמה המתאימה ל-V את המרחב  V^{*} היא פנקטור קונטרא-ווריאנטי. זאת אומרת שבהינתן ההעתקה בין מרחבים ליניאריים  \phi :V\to W להגדיר באופן טבעי את ההעתקה הדואלית  \phi ^{*}:V^{*}\to W^{*}. אם נתון בסיס ל V ניתן לבנות ממנו באופן טבעי בסיס ל- V^{*} הנקרא הבסיס הדואלי. אם  \phi  נתונה על ידי מטריצה  A (בבסיסים נתונים) אז  \phi ^{*} נתונה על ידי המטריצה המוחלפת  A^{t} בבסיסים הדואליים. המטריצה המוחלפת מתקבלת מהמטריצה המקורית על ידי החלפת סדר האינדקסים i,j של המטריצה.
אם V מממד סופי אז  (V^{*})^{*} איזומורפי (קנונית) ל-V. אחרת ניתן לראות ב-V תת-מרחב של  (V^{*})^{*}. במילים אחרות קיים שיכון טבעי של פנקוטורים מהזהות להרכבת פנקטור הדואליות עם עצמו, ושיכון זה הוא איזומורפיזם עבור מרחבים מממד סופי.
מושגי יסוד > מרחב מנה

בהינתן מרחב ליניארי V ותת מרחב שלו W ניתן להגדיר את מרחב המנה V/W. זהו מרחב ליניארי שאיבריו הם תתי-קבוצות של V מהצורה v+W, זאת אומרת תת-קבוצות שמתקבלים מ-W על ידי הזזה בווקטור מ-V.
דרך אחרת לראת בניה זאת היא אוסף כל אברי V כאשר אנו מזהים את כל עברי W עם 0, ובהתאם אנו מזהים שני וקטורים ב-V זה עם זה אם הפרשם נמצא ב-W.
מושגי יסוד > וקטורים וערכים עצמיים

העתקות ליניאריות יכולות להיות מאוד מסובכות. בדיקה על ממדים קטנים מראה סוגים מרובים שלהם. וקטורים עצמיים מפשטים חישובים על העתקות ליניאריות ועל מטריצות.
בהינתן העתקה ליניארית  T:V\to V, וקטור עצמי הוא וקטור  {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V עם ערך עצמי  \lambda \in F המקיימים:
T({\vec {x}})=\lambda \cdot {\vec {x}}.
העתקה ליניארית תיקרא לכסינה אם קיים בסיס של וקטורים עצמיים. אם נייצג את ההעתקה במטריצה בבסיס של הווקטורים העצמיים, המטריצה תהיה מטריצה אלכסונית עם הערכים העצמיים באלכסון. עבור מטריצות, מטריצה תיקרא לכסינה אם היא מייצגת העתקה ליניארית לכסינה, כלומר, היא דומה למטריצה אלכסונית.
אם מטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה, זה יקל מאוד על חישובים. כפל מטריצות, דטרמיננטה ומטריצה הופכית הם דוגמאות לדברים שנוח לחשב כשמטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה. אפשר למשל, באמצעות לכסון, למצוא נוסחה מפורשת לאיברי סדרת פיבונאצ'י (ולמעשה כל סדרה רקורסיבית דומה).
מושגי יסוד > תבניות

באלגברה ליניארית תבנית היא פונקציה שמקבלת מספר משתנים וקטוריים ומחזירה סקאלר. בדרך כלל התבניות הן ליניאריות על פי כל אחד מהמשתנים בנפרד.
מושגי יסוד > תבניות > 1-תבניות

המקרה הפשוט ביותר של תבניות הוא 1-תבניות. 1-תבניות על מרחב  V היא פשוט פונקציונל ליניארי על  V. במילים אחרות, העתקה ליניארית מ־ V לשדה. אוסף כל ה-1-תבניות על  V הוא המרחב הדואלי  V^{*}.
מושגי יסוד > תבניות > תבניות ביליניאריות

תבנית ביליניארית על מרחב וקטורי  V היא העתקה  b:V\times V\to F ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב־ V. במילים אחרות היא מקיימת:
\langle au+bv,w\rangle =a\langle u,w\rangle +b\langle v,w\rangle
\langle w,au+bv\rangle =a\langle w,u\rangle +b\langle w,v\rangle
תבנית ביליניארית נקראת לא מנוונת (מימין) אם לכל  v\neq 0 קיים  w\in V כך ש:  \langle w,v\rangle \neq 0. באופן דומה מגדירים תבנית לא מנוונת משמאל. עם  V מממד סופי אז שני המושגים האלה שקולים. חקר התבניות הבי-ליניאריות מתחלק בדרך כלל ל-2:
תבניות סימטריות – תבנית המקיימת  \langle v,w\rangle =\langle w,v\rangle
תבניות אנטי-סימטריות – תבנית המקיימת  \langle v,w\rangle =-\langle w,v\rangle
במאפיין שונה מ-2 כל תבנית ניתן לכתוב באופן יחיד כסכום של תבנית סימטרית ואנטי-סימטרית.
אוסף התבנית הבי-ליניאריות על מרחב נתון הוא מרחב ליניארי. אוספי התבניות הסימטריות והאנטי-סימטריות מהווים תתי-מרחבים שלו.
מושגי יסוד > תבניות > תבניות ריבועיות

בהינתן תבנית בי-ליניארית  f:V\times V\to F ניתן להגדיר פונקציה  q:V\to F על-ידי  q(x)=f(x,x).
פונקציות שמתקבלו בצורה זאת נקראות תבנית ריבועיות. במציין שונה מ-2 יש התאמה חד-חד ערכית ועל בין תבניות ריבועיות ותבניות בי-ליניאריות סימטריות.
אוסף התבנית הריבועיות על מרחב נתון הוא מרחב ליניארי.
מושגי יסוד > תבניות > תבניות פולי-ליניאריות

תבנית עם מספר רב יותר של משתנים שהן ליניאריות על-ידי כל אחד מהם בנפרד נרקאת תבניות פולי-ליניאריות.
אוסף התבנית הפולי-ליניאריות על מרחב נתון במספר נתון של משתנים הוא מרחב ליניארי.
מושגי יסוד > תבניות > תבניות פולי-ליניאריות > תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סמטריות

מקרה פרטי מעניין של תבניות פולי-ליניאריות הוא תבניות אנטי-סימטריות. תבנית פולי-ליניארית נקראת אנטי-סמטרית אם כשמחליפים שניים ממשתניה במקומותיהם ערכה מחליף את סימנו. גרסה של תבניות אלה שמשתנה כתלות בפרמטר חשובה במיחד בגאומטריה דיפרנציאלית לצורך אינטגרציה. גרסה זו נקראת תבנית דיפרנציאלית.
מספר המשתנים בתבנית פולי-ליניארית אנטי-סמטרית לא טריוויאלית לא עולה על ממד המרחב.
אוסף התבנית הפולי-ליניאריות אנטי-סימטריות על מרחב נתון, במספר נתון של משתנים הוא מרחב ליניארי.
מושגי יסוד > תבניות > תבניות פולי-ליניאריות > תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סמטריות > תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סמטריות עליונות

מקרה פרטי מעניין של תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סימטריות הוא כשמספר המשתנים שווה לממד המרחב. תבניות אלה נקראות תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סמטריות עליונות. ממד מרחב התבניות הפולי-ליניאריות אנטי-סמטריות עליונות הוא 1. מרחב זה שימושי לצורך הגדרת הדטרמיננטה.
מושגי יסוד > תבניות > תבניות ליניאריות למחצה

לעיתים מתעניינים בתבניות שאינן בדיוק ליניאריות אלא בעלות תכונה מעט שונה. תכונה זאת מעניינת במיוחד כאשר שדה הבסיס שלנו הוא  \mathbb {C} . במקרה זה העתקה  f:V\to \mathbb {C}  כאשר  V הוא מרחב וקטורי מעל  \mathbb {C}  נקראת ליניארית למחצה (לעיתים גם אנטי ליניארית) אם היא מקיימת:
f(v+w)=f(v)+f(w)
f(av)={\bar {a}}f(v)
לעיתים מתעניינים בתבניות שהן ליניאריות רק בחלק מהמשתנים וליניאריות למחצה ביתר המשתנים. מקרה פרטי חשוב הוא תבנית ב-2 משתנים, ליניארית על-פי הראשון וליניארית למחצה על-פי השני. תבניות כאלה נקראות ססקיו ליניאריות (Sesqui בלטינית זה אחד וחצי). תבניות ססקיו ליניאריות לא יכולות להיות סימטריות, אולם הן יכולות להיות סימטריות למחצה. זאת אומרת הן מקיימות:  f(x,y)={\overline {f(y,x)}}.
תבניות ססקיו ליניאריות סימטריות למחצה נקראות תבניות הרמיטיות. התורה של תבניות הרמיטיות דומה למדי לתורה של תבניות ביליניאריות סימטריות.
אוסף התבנית הססקיו על מרחב ליניארי מעל  \mathbb {C}  הוא מרחב ליניארי מעל  \mathbb {R}  אך לא מעל מעל  \mathbb {C} . אוסף התבנית ההרמיטיות הוא תת-מרחב של מרחב זה.
ניתן להגדיר תבניות ססקיו ליניאריות ותבניות הרמיטיות גם מעל שדות אחרים. לשם כך יש לקבוע אוטומורפיזם  \theta  של השדה מסדר 2. אוטומורפיזם זה מחליף את התפקיד של ההצמדה המרוכבת בהגדרות מעלה. בהתאם אוספי התבניות הססקיו ליניאריות והתבניות ההרמיטיות אינם מרחבים ליניאריים מעל שדה הבסיס  F אלא מרחבים ליניאריים מעל תת-השדה של נקודות השבת של  \theta .
מושגי יסוד > מרחבי מכפלה פנימית

אלגברה ליניארית חוקרת גם מרחבים וקטוריים עם מבנה נוסף הנקרא מכפלה פנימית. במקרה הממשי המכפלה הפנימית היא מקרה פרטי של תבנית ביליניארית והיא נותנת למרחב הווקטורי מבנה גאומטרי בכך שהיא מאפשרת להגדיר אורך וזווית. עבור מרחב וקטורי מעל  \mathbb {R} , מכפלה פנימית היא פונקציה
 \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {R} 
המקיימת שלוש תכונות:
סימטריה:  \langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle
ליניאריות:  \langle au+bv,w\rangle =a\langle u,w\rangle +b\langle v,w\rangle
מוגדרת חיובית:  \langle v,v\rangle \geq 0 שוויון אם ורק אם  v=0.
עבור המרחב הווקטורי  \mathbb {R} ^{n}, המכפלה הפנימית הסטנדרטית (שנקראת גם מכפלה סקלרית ואין לבלבל בינה לבין כפל בסקלר) ניתנת על ידי הנוסחה:
.\left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}
הנוסחה מקיימת את כל שלושת התנאים בבירור. עבור מכפלה פנימית זו, ניתן להוכיח באמצעות משפט הקוסינוסים כי למעשה  \langle u,v\rangle =|u|\cdot |v|\cdot cos\alpha , כאשר  \alpha  היא הזווית בין הווקטורים. הוכחה זו נעזרת באורך של וקטור וגם בזווית בין שני ווקטורים, דברים שמוגדרים ב- \mathbb {R} ^{n} אך לא במרחב וקטורי כללי. אבל, גם אורך וגם זווית ניתנים להגדרה עבור מרחב וקטורי כללי.
מפה, ניתן להגדיר אורך של וקטור על ידי  \|v\|^{2}=\langle v,v\rangle  ולהוכיח את אי-שוויון קושי-שוורץ האומר כי לכל שני וקטורים,
.|\langle u,v\rangle |\leq \|u\|\cdot \|v\|
ברישום אחר, האי-שוויון אומר כי  \left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\cdot \|v\|}}\right|\leq 1, מה שנותן לנו את האפשרות לסמן גודל זה בקוסינוס בין הזוויות.
מושגי יסוד > מרחבי מכפלה פנימית > המקרה המרוכב

ניתן להגדיר את המושג של מרחב מכפלה פנימית גם מעל המספרים המרוכבים. במקרה כזה המכפלה הפנימית צריכה להיות תבנית הרמיטית במקום תבנית בי-ליניארית סימטרית.
את האי-שוויון בתנאי המוגדרות חיובית בתור דרישה שהערך יהיה ממשי וחיובי. באופן מפורש, מכפלה פנימית על מרחב וקטורי מעל  \mathbb {C}  מכפלה פנימית היא פונקציה
 \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {R} 
המקיימת:
סימטריה למחצה:  \langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}
ליניאריות לפי המשתנה הראשון:  \langle au+bv,w\rangle =a\langle u,w\rangle +b\langle v,w\rangle
מוגדרת חיובית:  \langle v,v\rangle \geq 0 שוויון אם ורק אם  v=0.