stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
היסטוריה של המתמטיקה
הרנסאנס והעת החדשה > המאה ה־18

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
לאונרד אוילר שנולד בשווייץ ופעל בגרמניה וברוסיה נחשב למתמטיקאי המוביל של המאה ה-18 ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו, ונחשב ליותר פורה מאשר כל מתמטיקאי אחר בהיסטוריה. עבודתו של אוילר הקיפה כמעט כל תחום אפשרי במתמטיקה: גאומטריה, אנליזה מתמטית, תורת הגרפים, אלגברה, תורת המספרים ועוד. עבודתו של אוילר נגעה בתחומים רבים כל כך, שבמקרים רבים עבודתו היא החומר הכתוב הראשון שנמצא בנושא מסוים והוא אחראי להוכחות הראשונות בנושא זה, ולכן בניסיון למנוע מכך שכמעט כל דבר יקרא על שמו של אוילר, חלק מתגליותיו וממצאיו משויכים לאדם הראשון בהיסטוריה שעסק או הוכיח בהם משהו לאחר מותו של אוילר.
אוילר המציא סימנים מתמטיים שהפכו לנחלת הכלל, למשל:  \ i - היחידה המדומה,  \ e - בסיס הלוגריתם הטבעי, אשר אוילר הוכיח שהוא מספר אי-רציונלי,  \ f(x) כצורת סימון לפונקציה של המשתנה x (במקום לרשום את הפונקציה בצורה ישירה), הסימן  \ \pi  כיחס בין היקף המעגל לקוטרו,  \Sigma  כסכום, הסימונים המודרניים לפונקציות הטריגונומטריות, ועוד. הוא גם הגדיר את הקבוע המסומן באות גמא  \,\gamma  הקרוי קבוע אוילר.
פיתוח החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה היה משאת נפשם של מתמטיקאים בני המאה ה-18. בתחום זה אולי השפיע אוילר יותר מכול, ורעיונותיו הובילו להתקדמויות אדירות. אוילר הביא לעולם את רעיון ההצגה של טור חזקות אינסופי ופיתוחו, כמו התגלית:
 e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right). ב-1735 פתר אוילר את בעיית בזל דבר שזיכה אותו בתהילה אדירה, מאחר שבעיה זו ניצבה ללא פתרון במשך זמן רב, חרף ניסיונותיהם של המתמטיקאים הדגולים שקדמו לאוילר, בהם בני משפחת ברנולי וגוטפריד וילהלם לייבניץ. במסגרת מחקרו על פונקציית זטא הכליל אוילר את הבעיה והצליח למצוא ביטוי המתאר את הערכים של פונקציית זטא לכל מספר טבעי זוגי.
ב-1735 פתר אוילר בעיה הידועה כבעיית הגשרים של קניגסברג. פתרונו זה של אוילר הניח את היסודות לתורת הגרפים, והיה המשפט הראשון שנוסח בתחום זה. אוילר פתר את חידת מסע הפרש והראה כי היא מקרה פרטי של בעיה חשובה בתורת הגרפים - מציאת מסלול המילטוני בגרף. אוילר גם גילה את הנוסחה V − E + F = 2, שמקשרת בין מספר הקודקודים, הצלעות, והפאות של פאון קמור, ולחלופין של גרף מישורי. אוילר נעזר בנוסחה הזו כדי להוכיח מחדש את התוצאה העתיקה שישנם רק 5 פאונים אפלטוניים, ובכך הדגים הוכחה מנקודת מבט שונה לחלוטין מאילו שנראו עד אז. המחקר המתמטי שנערך במאה ה-19 על הנוסחה הזו, במיוחד על ידי קושי ואחרים, הוא מקורו של ענף המתמטיקה הקרוי טופולוגיה.
הרנסאנס והעת החדשה > המאה ה־19

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
בשנת 1812 פרסם פייר-סימון לפלס את ספרו "תאוריה אנליטית של ההסתברות", שהיווה ביסוס שיטתי ראשון של תורת ההסתברות. בשנת 1867 הוכיח צ'בישב את חוק המספרים הגדולים, ולאחר מכן הוכיח תלמידו ליאפונוב את משפט הגבול המרכזי - אלה שני משפטים חשובים של תורת ההסתברות. ביסוס אקסיומטי לתורה זו נעשה רק בשנת 1933, באמצעות האקסיומות של קולמוגורוב.
בחצי הראשון של המאה ה-19 הצליח המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי לבסס את מושג הגבול באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניטיסמל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו". הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות והטופולוגיה של הישר הממשי ביצעו בנוסף לקושי גם קארל ויירשטראס (שבין השאר הנהיג את ההגדרות המודרניות של מושגים יסודיים כמו גבול ונגזרת, במונחי  \ \varepsilon  ו-  \ \delta ) ובולצאנו. תרמו גם לגראנז', דארבו ורימן.
ברבע השני של המאה ה-19 נוצרה הגאומטריה הלא-אוקלידית כפתרון לבעיה שהעסיקה את המתמטיקאים במשך מאות שנים: הניסיון להוכיח את אקסיומת המקבילים. לאקסיומה זו, שהיא החמישית בין אקסיומות הגאומטריה שבספרו של אוקלידס, "יסודות", מבנה מורכב באופן חריג לעומת שאר האקסיומות. לפיכך נעשו מאמצים רבים להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – אינה אקסיומה אלא משפט. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך מאות שנים, עד שבראשית המאה ה-19 נעשתה פריצת דרך בנושא, כאשר מתמטיקאים אחדים הבינו שנדרש כיוון שונה.
לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. אחריו הגיעו לרעיון, באופן בלתי תלוי, המתמטיקאי הרוסי ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בויאי. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, הגאומטריה ההיפרבולית, אומרת שדרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה הכדורית, שאותה פיתח ברנהרד רימן, תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.
במאה ה-19 הושם קץ לניסיונות לפתור את בעיות הבנייה שהעסיקו את היוונים הקדמונים ונודעו בשם הבעיות הגאומטריות של ימי קדם. בעזרת תורת גלואה הוכח שבעיות אלה אינן פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.
ב-1870 החל גאורג קנטור לפתח את תורת הקבוצות, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - בגרמנית), בכתב-העת Mathematische Annalen. בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית.
הרנסאנס והעת החדשה > המאה ה־20

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה ה-20, פעלו המתמטיקאים מתוך הנחה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח או להפריך. דויד הילברט, גדול המתמטיקאים בתחילת המאה ה-20, תיאר הנחה זו באומרו: "ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: היא הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת". בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן קורט גדל (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינקיפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שהנחה זו שגויה. משפט האי-שלמות הראשון של גדל, שהפך לאבן פינה בלוגיקה המתמטית, הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות אלגוריתם טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. במשפט האי-שלמות השני הוכיח גדל כי תורה שהיא מספיק חזקה לקיים את מערכת פאנו (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את האקסיומות של תורת הקבוצות (ZF) לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות.
הרנסאנס והעת החדשה > המאה ה־21

בתחילת המאה, בשנת 2000, פרסם מכון קליי למתמטיקה את רשימת "בעיות המילניום של מכון קליי" והבטיח פרס בסך מיליון דולר למי שיפתור אחת מהבעיות. הרשימה מכילה שבע בעיות פתוחות מתחום המתמטיקה (ומעט גם מדעי המחשב והפיזיקה). השערת פואנקרה, שנכללה בבעיות אלה, נפתרה על ידי גרגורי פרלמן.
ראו גם

היסטוריה של האריתמטיקה
היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות
היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי
יופי מתמטי
לקריאה נוספת

שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989
שבתאי אונגורו, "היסטוריה, מתמטיקה, והיסטוריה של המתמטיקה", זמנים: רבעון להיסטוריה 20, חורף 1986 (המאמר זמין לצפייה במאגר JSTOR לאחר הרשמה)
בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005. לקריאה מקוונת באתר של מכון מופ"ת
בנו ארבל, מתמטיקאים ואירועים גדולים בתולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2009. לקריאה מקוונת באתר של מכון מופ"ת
שמעון דגון, תולדות המתמטיקה הקדומה, הוצאת דביר, תשס"ז
סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2003
איאן סטיוארט, לאַלף את האינסוף - סיפורה של המתמטיקה, ספרי עליית הגג וידיעות ספרים, 2012
C. B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach, 1989
Corry, Leo. A Brief History of Numbers. First edition, Oxford University Press, 2015
ביאורים

↑  דֵּדוּקְצְיָה - היא הסקת מסקנות מן הכלל אל הפרט, זאת בניגוד לאינדוקציה בה המסקנות מתקבלות מן הפרט אל הכלל.
דוב שחור ניופאונדלנד

| דוב שחור ניופאונדלנד |
| --- | --- |

מיון מדעי
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: יונקים
סדרה:: טורפים
תת־סדרה:: Sphenacodontia
משפחה:: דוביים
סוג:: דוב
מין:: דוב שחור אמריקני
תת־מין:: דוב שחור ניופאונדלנד
שם מדעי
 Ursus americanus hamiltoni ‏Cameron, 1957

הדוב השחור של ניופאונדלנד (שם מדעי: Ursus americanus hamiltoni) הוא תת-מין מורפולגי מובחן של הדוב השחור האמריקני. דוב שחור ניופאונדלנד אנדמי לאי ניופאונדלנד שבאוקיינוס האטלנטי, והוא בדרך כלל גדול יותר מהדובים השחורים האמריקניים שחיים ביבשת. משקלו נע בין 90 ל-270 ק"ג, והמשקל הממוצע הוא 135 ק"ג. כמו כן, תרדמת החורף של דוב שחור ניופאונדלנד היא בין הארוכות ביותר מבין הדובים החיים באמריקה הצפונית.
דוב בלוצ'יסטן

| דוב בלוצ'יסטן |
| --- | --- |

מיון מדעי
על־ממלכה:: אוקריוטיים
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: יונקים
סדרה:: טורפים
תת־סדרה:: Sphenacodontia
משפחה:: דוביים
סוג:: דוב
מין:: דוב שחור אסייתי
תת־מין:: דוב בלוצ'יסטן
שם מדעי
 Ursus thibetanus gedrosianus ‏בלנפורד, 1877
תחום תפוצה

שמות נוספים
 דוב שחור פקיסטני

דוב הבלוצ'יסטן (מכונה גם הדוב השחור הפקיסטני; שם מדעי: Ursus thibetanus gedrosianus) הוא תת-מין של הדוב השחור האסייתי שנמצא בהרי בלוצ'יסטן שבדרום פקיסטן ואיראן.
מאפיינים

לדוב בלוצ'יסטן פרווה דקה במיוחד עבור דוב שחור אסייתי, בגלל שהוא נמצא באקלים חם יותר מאשר תת-המינים האחרים של המין, שחלקם חיים בהרי ההימלאיה באקלים הרבה יותר קר. דוב הבלוצ'יסטן אוכל פירות הרבה יותר מאשר שאר תת-המינים, והוא אוהב לאכול תאנים ובננות.
דוב בלוצ'יסטן קטן בממדיו לעומת תת-המינים האחרים ופרוותו מגוונת יותר בצבעה שעשוי להיות כתום אדמדם או שחור עמוק. מאפיין נוסף של הדוב בלוצ'יסטן הוא שיש לו כתם חזה כהה יותר מאשר תת-מינים אחרים, ושיש לו ראש קטן יותר, אבל עדיין יש לו את רעמת השיערות המסתעפת מעל ראשו.
דוב חום מרסיקן

| דוב חום מרסיקן |
| --- | --- |

מצב שימור
 מצב שימור: סכנת הכחדה חמורה סכנת הכחדה חמורה (CR) 
מיון מדעי
על־ממלכה:: אוקריוטיים
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: יונקים
סדרה:: טורפים
תת־סדרה:: דמויי כלב
משפחה:: דוביים
סוג:: דוב
מין:: דוב חום
תת־מין:: דוב חום מרסיקן
שם מדעי
 Ursus arctos marsicanus ‏Altobello, 1921
תחום תפוצה


דוב חום מרסיקן (שם מדעי: Orsus arctos marsicanus), הידוע גם בשם דוב חום אפנינים (על הרי האפנינים), הוא תת-מין בסכנת הכחדה חמורה (CR) של הדוב החום.
מאפיינים

אוכלוסיית דוב חום מרסיקן היא קטנה ומבודדת. תפוצת הדוב היא הפארק הלאומי של אברוצו, ובמקומות ואזורים מבודדים באיטליה כמו: הפארק הלאומי סיבליני, הפארק הלאומי גראן סאסו-לאגה, הפארק הלאומי מאיילה (איט'), הפארק האזורי של סירנטה-וילינו ובפארק האזורי סימברוני. תפוצת האוכלוסייה הצטמצמה באופן משמעותי במהלך 200 השנים האחרונות, והאוכלוסייה הנותרת נמצאת תחת איום, בעיקר בגלל התפתחות החקלאות באברוצו, כמו גם הרעלות וציד. זה הוביל לגודל אוכלוסייה נוכחי שמוערך בין 40 ל-50 דובים החיים באזורים המוגנים שלהם.
הזכרים יכולים לשקול עד 200 ק"ג, עם גובה של 1.9-2 מטר, ואילו הנקבות בדרך כלל קטנות יותר. הדובים בדרך כלל ביישנים, ולעיתים קרובות מופיעים רק בלילה. רוב הדובים חיים לבד ובעלי טריטוריה שיכולה להגיע לעד 200 קמ"ר.
ישנו ויכוח בין החוקרים האם יש להתייחס אליו כאל תת-מין או של כמין משלו.
אנפית סוף

| אנפית סוף |
| --- | --- |
 אנפית סוף בהונגריה
מצב שימור
 conservation status: least concern ללא חשש (LC)‏
מיון מדעי
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: מיתרניים
על־מחלקה:: בעלי ארבע רגליים
מחלקה:: עופות
סדרה:: שקנאים
משפחה:: אנפתיים
סוג:: אנפת אגם
מין:: אנפית סוף
שם מדעי
 Ardeola ralloides ‏סקופולי, 1769
תחום תפוצה
 טווח תפוצתה של אנפית סוף: בצהוב טווח הרבייה, בירוק טווח התפוצה בכל ימות השנה ובכחול טווח אזורי החריפה

ביצים של אנפית הסוף, אוסף מוזיאון טולוז
אנפית הסוף (שם מדעי: Ardeola ralloides) היא מין אנפה קטנה מהסוג אנפת אגם, החיה לאורך אירואסיה ונודדת דרומה לאפריקה. בישראל היא חולפת מצויה, אך לא מקננת שכיחה (אף שמספר הפריטים המקננים עולים לאט, בעיקר בעמקי הצפון).
השם המדעי של המין: "ralloides" מורכב מהמילה rallus, מלטינית: "רלית" ומהסיומת "oides", מיוונית: "דומה ל-".
תיאור

אורכה הממוצע של האנפה 44–47 ס"מ, כאשר גופה מהווה 20–23 ס"מ מאורכה, מוטת כנפיה היא 80–92 ס"מ ומשקלה 230–370 גרם.
התנהגות

אנפית הסוף נודדת לאורך האזור הפלארקטי וחורפת באפריקה. היא נדירה צפונית לטווח הרבייה שלה. האנפה בעלת צוואר קצר, מקור עבה וקצר וגב בצבע חום-זהוב. בקיץ, לבוגרים צומחים נוצות צוואר ארוכות. בעת תעופה היא נראית לבנה יותר בשל צבע כנפיה.
בתי הגידול בעונת הרבייה של אנפית הסוף הן ביצות טרופיות או סובטרופיות והן מקננות במושבות קטנות, לעיתים קרובות עם עופות מים אחרים, בדרך כלל בקן עשוי מקלות ועלי עצים או שיחים. בקן מוטלות שלוש עד ארבע ביצים בכל פעם.
האנפה ניזונה לאורך שפת המים ממארב מהיר כשהטרף מורכב מדגים, צפרדעים וחרקים.
אוכלוסייה

מספר הפריטים המוערך הוא בין 370,000–780,000. מספר הפריטים המוערך באירופה הוא בין 30,000–51,700 עופות בוגרים.
סכנות

אנפה זו נמצא במצב שימור ללא חשש, אם כי עדיין היא עלולה להיפגע מהתייבשות של מקווי מים מתוקים החיוניים לתזונתה ורבייתה. האנפה גם ניצודה ונסחרת בשוקי תרופות מסורתיים בניגריה.
הערות שוליים

↑  אנפית סוף באתר הרשימה האדומה של IUCN
↑  נדב פבזנר, מגדיר הציפורים של ישראל - אנפית סוף, באתר פורטל צפרות
↑  Jobling, James A., The Helm dictionary of scientific bird names : from aalge to zusii, London: Christopher Helm, 2010
↑  Museum national d'Histoire naturelle, Ardeola ralloides (Scopoli, 1769) - Héron crabier, Crabier chevelu, Inventaire National du Patrimoine Naturel (בצרפתית)
↑  Snow, David (David William), The birds of the western Palearctic, Concise ed, Oxford: Oxford University Press, 1998
↑  Squacco Heron (Ardeola ralloides) - BirdLife species factsheet, datazone.birdlife.org
↑  אנפית סוף באתר הרשימה האדומה של IUCN
בעת תעופה ביוון
אינקה

מאצ'ו פיצ'ו
חורבות מבצר סקסייוומאן שהגן על קוסקו
אינקה (בקצ'ואה: Tawantinsuyu, מילולית: "ארבעת האזורים"; בשפות אירופיות: Inca או Inka) הוא עם ששכן באמריקה הדרומית והשם שנתנו הספרדים לאימפריה שלו. במקורו היה השם תואר אצולה של הקיסר ששלט בפרו שבאמריקה הדרומית בין המאה ה-12 למאה ה-16, ושימש ככינויו של המלך בלבד, כמו התואר "פרעה" במצרים. הספרדים הרחיבו את משמעות הכינוי והחילו אותו על כל שכבת האצולה, ובימינו הוא משמש ככינוי לעם ולאימפריה. בירתה של אימפריית האינקה הייתה העיר קוסקו (בספרדית: Cuzco בקצ'ואה: Qosqo), הנמצאת כיום בשטחה של פרו. האימפריה התקיימה משנת 1200 בערך ועד כיבושה בשנת 1532. שנה לאחר מכן הוצא להורג קיסר האינקה האחרון בידי הקונקיסטאדורים הספרדים.
בשנים 1438–1533 הכפיפו האינקה לשלטונם חלק גדול ממערב אמריקה הדרומית, שבמרכזו הרי האנדים, תוך שימוש בכיבושים או בהטמעה. לתקופה קצרה בהיסטוריה שלטה אימפריית האינקה על אזור באורך 4,000 קילומטרים ובשטח כולל של 906,000 קילומטרים רבועים. בשיא גודלה, כללה האימפריה שלה את פרו, מערב אקוודור, מערב ודרום-מרכז בוליביה, צפון-מערב ארגנטינה, חלק גדול מצ'ילה של ימינו, והקצה הדרום-מערבי של קולומביה. באימפריה זו חיו כ-10 מיליון איש בני עמים שונים, שדיברו ביותר מ-700 שפות. השפה הרשמית של האימפריה הייתה קצ'ואה. אימפריית האינקה, ככל העמים הילידים באמריקה שקדמו לכיבוש האירופאי, הייתה חסרה רבות מהתכונות הקשורות לציוויליזציה בעולם הישן. האנתרופולוג גורדון מקיואן (Gordon McEwan) כתב כי בני האינקה הצליחו לבנות את אחת האימפריות הגדולות ביותר בהיסטוריה האנושית ללא שימוש בגלגל, חיות משא, הכרת ברזל או פלדה, או אפילו מערכת כתיבה. המאפיינים הבולטים של אימפריית האינקה כללו אדריכלות מונומנטלית, במיוחד בנייה באבן, רשת דרכים נרחבת שהגיעה לכל פינות האימפריה, בדים ארוגים בצפיפות, שימוש בחוטים קשורים (קיפו) לשמירת רשומות ולתקשורת, חידושים חקלאיים וייצור בסביבה קשה, והארגון וההנהלה שטופחו או נכפו על נתיניהם.
אימפריית האינקה תפקדה במידה רבה ללא כסף וללא שווקים. במקום זאת, התבססה החלפת סחורות ושירותים על הדדיות בין יחידים ובין קבוצות ושליטי אינקה. "מיסים" כללו חובת עבודה של אדם כלפי האימפריה (מיט'ה). שליטי האינקה (שהיו הבעלים התאורטיים של כל אמצעי הייצור) גמלו לנתיניהם על ידי מתן גישה לאדמות ולסחורות ומתן מזון ומשקאות במסיבות חגיגיות לנתיניהם. צורות פולחן מקומיות רבות נמשכו באימפריה, רובן נוגעות למקדשי הוואקה המקומיים, אך הנהגת האינקה עודדה את פולחן השמש של אינטי – אל השמש במיתולוגיה של האינקה. האינקה ראו במלך שלהם, ה"סאפה אינקה", כ"בן השמש".
כלכלת האינקה תוארה בדרכים סותרות על ידי חוקרים; דארל א. לה לונה (Darrell E. La Lone), בעבודתו "האינקה ככלכלה שאינה כלכלת שוק" (The Inca as a Nonmarket Economy), ציין כי כלכלת האינקה תוארה כ"פיאודלית, עבדות, [ו] סוציאליסטית", והוסיף "כאן אפשר לבחור בין גן עדן סוציאליסטי או עריצות סוציאליסטית".
אטימולוגיה

האינקה התייחסו לאימפריה שלהם כטוואנטינסויו (Tawantinsuyu), כלומר "ארבעת הסויו". בקצ'ואה "טווא" הוא ארבע ו"טין" היא סיומת של שם קבוצה, כך שטוואטין הוא רביעייה, קבוצה של ארבעה דברים יחדיו, במקרה זה ארבעת הסויו ("אזורים" או "מחוזות") שפינותיהם נפגשו בבירה. ארבעת הסויו היו: צ'ינצ'איסויו (Chinchaysuyu, צפון-מערב), אנטיסויו (Antisuyu, צפון-מזרח; יער האמזונאס), קויאסויו (Qullasuyu, דרום-מערב) וקונטיסויו (Kuntisuyu, דרום-מזרח). לפיכך, השם טאוונטינסויו היה מונח תיאורי המעיד על איחוד מחוזות. הספרדים תעתקו את השם כ-Tahuatinsuyo או Tahuatinsuyu.
פירוש המונח אינקה הוא "שליט" או "אדון" בקצ'ואה והוא שימש להתייחסות למעמד השליט או למשפחת השלטון. האינקה היו אחוז קטן מאוד מכלל אוכלוסיית האימפריה, ומנו כנראה רק בין 15,000 ל-40,000 איש, אך שלטו באוכלוסייה המונה כ-10 מיליון איש. הספרדים אימצו את המונח (תעתיק כ-Inca בספרדית) כמונח אתני המתייחס לכל נתיני האימפריה, ולא רק למעמד השליט. ככזה, השם Imperio inca ("אימפריית האינקה") התייחס לאומה שהם נתקלו בה וכבשו לאחר מכן.
היסטוריה של הקמת האימפריה > תרבויות קודמות

אימפריית האינקה הייתה הפרק האחרון של אלפי שנים של תרבויות האנדים. תרבויות האנדים מקובלות על החוקרים כאחת משש התרבויות בעולם שהן "מקוריות", כלומר שהתפתחו מקומית ולא נגזרו מתרבויות אחרות.
לאימפריה של האינקה קדמו שתי אימפריות בקנה מידה גדול בהרי האנדים: טיוואנאקו (סביב 300–1100 לספירה), אשר הייתה ממוקמת סביב אגם טיטיקקה והאימפריה הווארית (סביב 600–1100 לספירה) שמרכזה היה סמוך לעיר אייקוצ'ו. אימפריית הווארי שלטה על אזור קוסקו במשך כ-400 שנה. לפיכך, רבים ממאפייני האימפריה של האינקה נגזרים מתרבויות אנדים רב-אתניות ורחבות יותר. ייתכן שיש ליחס לאותן ציוויליזציות קודמות חלק מההישגים שיוחסו לאימפריית האינקה: "בנו אלפי קילומטרים של דרכים ועשרות מרכזי מנהלה גדולים בבנייה משוכללת באבן... כיסו את צלעות הרים בטרסות ומילאו את העמקים", ויצרו "כמויות עצומות של סחורות".
היסטוריה של הקמת האימפריה > רשימת קיסרי האינקה

שמונת הקיסרים הראשונים ברשימה להלן היו חסרי חשיבות היסטורית ותולדותיהם מבוססים על אגדות.
מאנקו קאפאק (בערך 1200 לספירה)
סינצ'י רוקה (Sinchi Roca)
יוקי יופאנקי (Lloque Yupanqui)
מאיטה קאפאק (Mayta Capac)
קאפאק יופאנקי (Capac Yupanqui)
אינקה רוקה (Inca Roca)
יאואר ואקאק (Yahuar Huacac)
ויראקוצ'ה אינקה (? - Viracocha Inca) (1438)
אינקה יופאנקי הידוע יותר בכינויו " פַּאצַ'אקוּטִי" (1471 – 1438)
טוֹפָּאק אִינְקָה יופאנקי (1493 – 1471)
ואיינה קאפאק (1527 – 1493)
וַאסְקַאר (1532 – 1527)
אַטַוַאַלפָּה (1533 – 1532)
גאוגרפיה

אימפריית האינקה הייתה קרויה בפיהם "ארץ ארבעת הרביעים" (טאוואנטינסויו). האימפריה השתרעה לאורך של 4,000 ק"מ מצפון לדרום, לאורך שלשלת הרי האנדים הגבוהים. ממערב למזרח עברה ממדבר אטקמה, המדבר היבש ביותר בעולם, ליערות הגשם המהבילים של אמזוניה. הגבול הצפוני של האימפריה נקבע בנהר אנקסמאיו (Ancasmayo) שלא זוהה במדויק. יש חוקרים המשערים כי מדובר בנהר ריו גואיטרה (Río Guáitara) המשמש כיום כגבול בין קולומביה לאקוודור ויש הטוענים כי מדובר בנחל אנגסמאיו (Angasmayo) הזורם בקולומביה לא הרחק מהגבול עם אקוודור. גם הגבול הדרומי שרוי במחלוקת בין החוקרים. חלקם מציבים את הגבול בנהר מַאוּלֶה וחלקם צפונית לו בנהר מאיפו. שני הנהרות זורמים ממזרח למערב דרומית לסנטיאגו דה צ'ילה בירת צ'ילה.
האינקה שלטו על שרשרת הרי האנדים, שרק הרי ההימלאיה גבוהים מהם. חיי היומיום התנהלו ברום של עד 4,500 מטרים. האקלים של האזור והשטח ההררי הציבו אתגרים רבים. בני האינקה נאלצו להתאים את אורחות חייהם כדי לעמוד ברבים מהאתגרים הללו. כך למשל יש מעט אדמה פורייה בהרי האנדים, והאינקה התגברו על כך באמצעות בניית טרסות. אף על פי שגשם יורד בהרי האנדים באופן קבוע מדצמבר עד מרץ, בשאר ימות השנה יש לעיתים תקופות ממושכות ללא גשם כלל. על מנת להבטיח שיהיו להם המים הדרושים לחקלאות, בני האינקה בנו מערכות גדולות של תעלות להשקיה. התעלות הביאו גם מים לערים. לניהול האימפריה שלהם נזקקו האינקה למערכת דרכים נרחבת, אבל הטופוגרפיה ההררית הפכה צורך זה למשימה קשה שעליה התגברו האינקה באמצעות יישור שטחים, בניית מדרגות, בניית סוללות, הקמת גשרים ובמקרה אחד גם חציבת מנהרה.
הפולחן הדתי נערך בגבהים של עד 6,600 מטרים. הר ז'וז'איז'קו, השוכן בפרובינציה סלטה שבארגנטינה (סמוך לגבול עם צ'ילה), הוא אתר הפולחן הגבוה ביותר של האינקה הידוע כיום. דרכים נבנו אל ההרים, במות פולחן נבנו על פסגותיהם, ולשם כך הושקע זמן רב בהובלת אדמה, סלעים ועשב לגבהים קיצוניים אלו, המתאפיינים בתנאי סביבה קשים כקור ויובש עז, אוויר דליל לנשימה.
ארגון האימפריה > ממשל ציבורי

החברה באימפריית האינקה הייתה בעיקרה חברה חקלאית. האיכרים היו עמוד התווך של האימפריה, אך ניצבו בתחתית הסולם החברתי. כל חייהם מן העריסה ועד לקבר היו מאורגנים ומונחים על ידי פקידים ומפקחים מטעם המשפחה, הכפר, השבט, המחוז והשלטון המרכזי. לאזרחים לא היה חופש תנועה באימפריה, והבנים היו חייבים לעבוד באותו מקצוע כהוריהם. קבוצת משפחות שחיו ועבדו יחד היו קרויות "אַיוּ" (Ayllu). על כל אלו השגיח הקוּרַאקַה (kuraka), מפקח בן העם הנשלט. הקוּראקה פיקח על יחידות בהן היו 100, 500, 1,000, 5,000 ו-10,000 "משלמי מיסים". המסים הועלו לשלטונות בשתי צורות: האחת - הקצבת בני אדם לעבודות ציבוריות (סלילת דרכים, בניית גשרים, הקמת סוללות) או לשירות צבאי, והשנייה מסירת חלק מהתוצר החקלאי. מעל הקוראקים היו מושלי הנפות (a tokrikoq) מבני האינקה, ומעליהם ארבעת מושלי המחוזות (Apu) שהרכיבו את האימפריה. בראש הפירמידה עמד הקיסר (סאפה אינקה) ולצידו פעל הכהן הראשי (Willaq Umu) שלעיתים תפקד כמפקד העליון של הצבא.
ארגון האימפריה > הצבא

צבא האינקה היה החזק ביותר באזור באותה תקופה, מכיוון שניתן היה לגייס כל כפרי או חקלאי כחייל כחלק ממערכת השירות החובה הציבורית המכונה מיט'ה. מספר החיילים בצבאות האינקה נע בין 70,000 ל-250,000 איש. כל גבר בעל כושר גופני בגיל הלחימה חויב לעבור הכשרה צבאית ונאלץ להשתתף במלחמה בתפקיד כלשהו לפחות פעם אחת בחייו, ולהתכונן ללחימה שוב בעת הצורך. כשהאימפריה הגיעה לשיא גודלה, כל אזור באימפריה תרם את חלקו בהקמת צבא למלחמה. החייל הרגלי הפשוט היווה את גרעין הצבא.
את החיילים הובילו קצינים מקצועיים. קצינים אלה נבחרו במהלך פסטיבל וראצ'יקוי, במהלכו נאלצו המועמדים לעבור מבחנים שונים של מיומנות גופנית: כגון ריצה, קליעה למטרה בחץ וקשת, קרב מגע ולראות אם הם יכולים להישאר ערים במשך תקופה ארוכה, כאשר נטען כי כמה קצינים היו יכולים להישאר ערים במשך שבוע שלם. הקיסר, שהיה ידוע בכינוי "סַאפָּה אינקה", הובל לקרב באפיריון יחד עם אצילים אחרים, והוגנו על ידי החיילים המקצועיים ביותר. האפיריון אפשר תצפית על שדה הקרב, וכלי הנשק הפופולרי ביותר בשימוש ממנו היה אבן הקלע. גם חפצי קודש הקרויים "וַאקָה" הובלו לשדה הקרב באפיריון.
הצבא התחלק ליחידות משנה על בסיס שבטי בפיקודם של קצינים מקומיים. מספר יחידות שבטיות כונסו לגדודים וחטיבות גדולות יותר אשר היו תחת פיקוד אחד מהאצילים הבכירים מבני האינקה. האריסטוקרטיה של האינקה הרכיבה את יחידת העלית של הצבא. מספר אנשיה של יחידה זו לא ידוע במדויק, אך כלל ככל הנראה כמה אלפי לוחמים ואולי אפילו עשרות אלפים.
המשמעת הייתה קפדנית מאוד. על גילוי פחד או עריקה נהגו להעניש בהוצאה להורג. ידוע סיפורו של מצביא שחרג מסמכותו וכבש שטחים שלא היה אמור לכבוש. אף על פי שהוא הצליח לכבוש את השטח, הוא הוצא להורג על הפרת פקודה מפורשת. גם קרוביו של הקיסר הוצאו להורג אם חרגו מפקודותיו או מהזמן שהוקצב להם לכיבוש.
ברחבי האימפריה ובמיוחד בגבולותיה נבנו מבצרי "פוקרה".