השערת גולדבך החלשה
הערות שוליים

↑  Schnirelmann, L.G. (1933). "Über additive Eigenschaften von Zahlen". Math. Ann. . 107: 649–690. doi:10.1007/BF01448914. Zbl 0006.10402.
↑  טרנס טאו Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes
↑  E. Landau. Geloste und ungeloste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion. In Proceedings of the fifth Itnernational Congress of Mathematicians, volume 1, pages 93–108. Cambridge, 1912
↑  אדמונד לנדאו. "שאלות פתוחות וסתומות בתורת המספרים האלמנטרית" “Open and Closed Problems in the Elementary Theory of Numbers”. https://www.imu.org.il/history-of-mathematics-in-israel
↑  G. H. Hardy and J. E. Littlewood. Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math., 44(1):1–70, 1922.
↑  G. Effinger. Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999
1 2  I. M. Vinogradov. Representation of an odd number as a sum of three primes. Dokl. Akad. Nauk. SSR, 15:291–294, 1937.
↑  Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated, revised and annotated by K. F. Roth and Anne Davenport. London and New York: Interscience. MR 0062183.
1 2  לפי N. G. Chudakov. Introduction to the theory of Dirichlet L-functions. OGIZ, Moscow-Leningrad, 1947
↑  התוצאה הוצהרה ב-K. G. Borodzkin. On the problem of I. M. Vinogradov’s constant (in Russian). In Proc. Third All-Union Math. Conf., volume 1, page 3. Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 1956. ללא הוכחה
1 2  J. R. Chen and T. Z. Wang, On odd Goldbach problem, Acta Math. Sinica 32 (1989), 702–718
1 2  J. R. Chen and T. Z. Wang. The Goldbach problem for odd numbers. Acta Math. Sinica (Chin. Ser.), 39(2):169–174, 1996.
1 2  M.-Ch. Liu and T. Wang. On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture. Acta Arith., 105(2):133–175, 2002.
↑  J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:99–104, 1997.
↑  Dmitrii Zinoviev, On Vinogradov's Constant in Goldbach's Ternary Problem
↑  Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". http://arxiv.org/abs/1205.5252
↑  Helfgott, H.A. (2012). "Major arcs for Goldbach's theorem". http://arxiv.org/abs/1305.2897
↑  D. Platt. Computing degree 1 L-functions rigorously. PhD thesis, Bristol University, 2011.
↑  H. A. Helfgott and David J. Platt. Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to 8.875 · 1030. Exp. Math., 22(4):406–409, 2013.
↑  H. A. Helfgott. The Ternary Goldbach Conjecture is true. Preprint. Available as arXiv:1312.7748.
↑  D. Platt. Computing π(x) analytically. To appear in Math. Comp.. Available as arXiv:1203.5712.
↑  למעשה היו עבודות חישוביות קודמות שגם התאימו למטרה זאת, אולם הלפגוט בחר את עבודתו של פלאט כי ראה בה כיותר אמינה
1 2 3  בעמודה השנייה מספיקה השערת רימן הקלאסית
1 2 3  ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה ומטבלאות הראשוניים שהיו זמינות באותה עת.
↑  Desboves, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-0000003A-QINU`"'
↑  Haussner, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-00000040-QINU`"'
↑  המאמר המקורי של הארדי וליטלווד לא מציין חסם מפורש, אולם ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם שנעשה ב-G. Effinger. Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 מקבל תוצאה זאת
↑  קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות השערת ברטראן
↑  לפי . Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 ב. לוק (תלמידו של לנדאו) קיבל תוצאה זאת בתזת הדוקטורט שלו.
↑  Pipping, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-0000006F-QINU`"'
↑  Pipping, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-0000007A-QINU`"'
↑  קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות משפט של Nagura מ־1952
1 2  ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של Nagura מ־1952.
↑  Shen, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-0000008E-QINU`"'
↑  Stein ו-Stein, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-00000099-QINU`"'
1 2  הוכח על ידי Klimov. כך לפי הלפגוט
↑  הוכח על ידי Klimov, G. Z. Piltay ו־T. A. Sheptickaja. כך לפי הלפגוט
1 2 3  ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x), II". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 12.
1 2 3 4 5 6 7  ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x)". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 10. בהינתן השערת רימן
↑  קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות משפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x)". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 10. בהינתן השערת רימן.
↑  R. C. Vaughan. On the estimation of Schnirelman’s constant. J. Reine Angew. Math., 290:93–108, 1977.
↑  J.-M. Deshouillers. Sur la constante de Snirel ˇ 0man. In Seminaire ´ Delange-Pisot-Poitou, 17e annee: (1975/76), Th ´ eorie des nombres: ´ Fac. 2, Exp. No. G16, page 6. Secretariat Math., Paris, 1977.
↑  H. Riesel and R. C. Vaughan. On sums of primes. Ark. Mat., 21(1):46–74, 1983.
↑  Granville, Van de Lune, and te Riele, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-000000DE-QINU`"'
↑  T.Z. Wang and J.R. Chen, On odd Goldbach problem under general Riemann hypothesis, Sci. China Ser. A 36 (1993)
↑  Sinisalo, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-000000EB-QINU`"'
↑  O. Ramare. On ´ Snirel ˇ 0man’s constant. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 22(4):645–706, 1995.
↑  D. Zinoviev. On Vinogradov’s constant in Goldbach’s ternary problem. J. Number Theory, 65(2):334–358, 1997.
1 2  J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:99–104, 1997.
1 2 3 4  הלפגוט ופלאט Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to '"`UNIQ--math-0000010F-QINU`"'
↑  Deshouillers, te Riele, and Saouter, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-00000114-QINU`"'
↑  Richstein, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-0000011E-QINU`"'
↑  Oliveira e Silva, Herzog, and Pardi ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to '"`UNIQ--math-00000138-QINU`"'
↑  T. Tao. Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes. Math. Comp., 83(286):997–1038, 2014.
↑  The ternary Goldbach problem
↑  וידאו של Veritasium על השפעת הקרינה הקוסמית על מחשבים
המכתב ששלח גולדבך לאוילר שעל בסיסו נוסחה ההשערה בשנת 1742
לאונרד אוילר
איוואן וינוגרדוב, הוכיח ב־1937 שההשערה תקפה למספרים גדולים מספיק ללא הנחות נוספות 
תמונה זו מוצגת בוויקיפדיה בשימוש הוגן.
נשמח להחליפה בתמונה חופשית.
הראלד הלפגוט, השלים בשנת 2013 את הוכחת ההשערה
ההיסטוריה של הוכחת ההשערה ללא הנחת השערת רימן
ההיסטוריה של הוכחת ההשערה בהנחת השערת רימן המוכללת
אנימציה המדגימה את יישום שיטת המעגל של הארדי וליטלווד במקרה זה. באנימציה רואים את המעגל מכוסה בסדרת קשתות סביב שורשי היחידה ההולכות והופכות צרות יותר. אפשר לעצור תהליך זה בנקודה מסוימת ולקרוא לקשתות לפני נקודה זאת גדולות וּלאלה שאחריה קטנות. הוכחת שאינן מתבססות על השערת רימן, מבוססות על חלוקה כזאת.
תחומים שבהם הוכח שפונקציית זטא של רימן לא מתאפסת. בהוכחתו של וינוגרדוב ובהוכחות שבאו אחריה החליפו תוצאות אודות תחומים כאלה את השערת רימן המוכללת.