stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מתיו נילי
הערות שוליים

↑  "Senate – March 12, 1956". Congressional Record. 102 (4). U.S. Government Printing Office: 4459–4461.
↑  HR. 6127. CIVIL RIGHTS ACT OF 1957. MOTION THAT SENATE CONCUR IN HOUSE-APPROVED PROVISION PERMITTING A JURY TRIAL IN SOME CRIMINAL CONTEMPT CASES INVOLVING VOTING RIGHTS.
↑  Winners of M.M. Neely Persuasive Speaking Contest Announced, Fairmont State University, May 18, 2011.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  ISNI: 0000 0000 4397 3620  LCCN: no96001536  NARA: 12079394  SNAC: w6r949rv  US Congress: N000023  VIAF: 46350888   WorldCat (עם VIAF): 46350888
חוקי קירכהוף

חוקי קירכהוף למעגלים (או חוקי קירכהוף) הם שני חוקים פיזיקליים העוסקים בזרמים ומתחים במעגלים חשמליים בהנחה שישנו שדה חשמלי משמר שבו הפוטנציאל החשמלי הסקלרי מוגדר.
החוקים תוארו לראשונה על ידי גוסטב קירכהוף בשנת 1845. חוקים אלה היו במקור חוקים ניסיוניים, אולם, שני החוקים נובעים מחוקי שימור מטען ואנרגיה וניתן לקבל אותם ממשוואות מקסוול אשר נוסחו ב־1864. לחוקים אלה חשיבות רבה בניתוח של מעגלים חשמליים.
מקרים פרטיים של חוקים אלה הם חיבור בטור וחיבור במקביל.
חוק הזרמים

חוק הזרמים (Kirchhoff's Current Law או בקיצור KCL), נקרא גם החוק הראשון של קירכהוף או חוק הצומת.
החוק מסתמך על חוק שימור המטען – עבור כל נקודה במעגל שאין בה הצטברות של מטען, כל מטען שנכנס צריך גם לצאת. בהתאם לכך, סכום הזרמים הנכנסים לצומת חשמלי שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנו.
כלומר:
או – הסכום האלגברי של הזרמים הנכנסים לצומת ויוצאים ממנו שווה לאפס.
n מייצגת את כמות ה"ענפים" של הצומת שמהם הזרם נכנס או יוצא.
לצורך החישוב, הזרמים הנכנסים לצומת מקבלים סימן חיובי והיוצאים סימן שלילי.
חוק הזרמים > הוכחה לחוק הזרמים על ידי דיברגנץ

ניתן להגיע לחוק הזרמים על ידי ביצוע פעולת הדיברגנץ על חוק אמפר המתוקן ושילוב עם חוק גאוס:
כלומר סכום הזרמים הנכנסים לנפח מסוים (כאשר אלה היוצאים הם שליליים) שווה לקצב השתנות צפיפות המטען שם. אם הצפיפות לא משתנה
( {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0) אזי סכום הזרמים הנכנסים שווה לאפס.
חוק המתחים

חוק המתחים (Kirchhoff's voltage law או בקיצור KVL), נקרא גם החוק השני של קירכהוף.
החוק מסתמך על חוק שימור האנרגיה וטוען שסכום המתחים (הפרשי הפוטנציאלים) על פני לולאה סגורה כלשהי במעגל חייב להיות אפס (אחרת ניתן ליצור אנרגיה יש מאין). אם נקודת ההתחלה ונקודת הסיום הן אותה הנקודה לא יכול להיות הפרש פוטנציאליים בינה לבין עצמה.
כלומר:
כאשר n מייצגת את מספר המתחים הנמדדים.
על פי חוק אוהם:
 \ V=IR
כאשר:
V מסמן מתח חשמלי בין שתי נקודות בגוף
I מסמן זרם חשמלי בין שתי נקודות בגוף
R מסמן את התנגדות הגוף העשוי מחומר אוהמי
הסימן של הזרם (חיובי או שלילי) נקבע בהתאם לכיוון הלולאה, כך שאם הזרם והלולאה באותו הכיוון הוא יהיה חיובי ואם הם בכיוונים מנוגדים הוא יהיה שלילי.
לאור זאת ניתן להגיע לניסוח נוסף לחוק המתחים: בכל לולאה סגורה במעגל, הסכום האלגברי של הכא"מים של כל המקורות שווה לסכום האלגברי של המכפלות IR.
המתח של כא"מ יחשב חיובי כאשר כיוון הלולאה הוא מההדק השלילי לחיובי.
גרסה נוספת לאותה המשוואה:
אם משתמשים בגרסה זו של המשוואה יש לזכור להפוך את כל הסימנים של IR.
חוק המתחים > הוכחה לחוק המתחים על ידי רוטור

ניתן להגיע לחוק המתחים על ידי איפוס השינוי בשטף המגנטי בחוק פאראדיי:
\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {B}}=0משמע הרוטור של השדה שווה לאפס ולכן השדה הוא שדה משמר שאינו תלוי מסלול, ומכאן בלולאה סגורה הפרש הפוטנציאלים יהיה שווה לאפס.
ניתוח מעגל חשמלי באמצעות חוקי קירכהוף

נתון מעגל חשמלי בעל שני מקורות מתח ושלושה נגדים.
בשלב הראשון מגדירים כיוון לזרמים במעגל.
בשלב זה כיוון הזרמים עדיין לא ידוע, אם יש טעות הזרם הרלוונטי יצא שלילי.
על פי החוק הראשון:
בשלב השני מגדירים לולאות וקובעים עבור כל אחת מהן באופן שרירותי האם הכיוון החיובי יהיה נגד או עם כיוון השעון.
יישום החוק השני על לולאה s1 נותן:
יישום החוק השני על לולאה s2 נותן:
מכאן מתקבלת מערכת משוואות ליניאריות על ידי  i_{1},i_{2},i_{3}:
אם נתון
הפתרון הוא
ל- i_{3} יש סימן שלילי, זה אומר שהכיוון של  i_{3} הוא הפוך מזה שהנחנו לצורכי הפתרון (כלומר, כיוונו הפוך לזה שנראה בציור).
מקרים פרטיים

בחיבור חשמלי בטור של שניים או יותר רכיבים חשמליים, הזרם שעובר בכל אחד מהרכיבים זהה, והמתח הכולל עליהם שווה לסכום המתחים על כל אחד מהם בנפרד.
בחיבור חשמלי במקביל של שניים או יותר רכיבים חשמליים, המתח על כל אחד מהם זהה, והזרם הכולל שעובר בהם שווה לסכום הזרמים שעובר בכל אחד מהם בנפרד.
חוק הזרמים של קירכהוף
דוגמה לחוק הזרמים של קירכהוף: סכום הזרמים הנכנסים לנקודה שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנה, כתוצאה מכך מתקיים השוויון  \ i_{2}+i_{3}=i_{1}+i_{4} או  \ -i_{2}-i_{3}+i_{1}+i_{4}=0.
חוק המתחים של קירכהוף
דוגמה לחוק המתחים של קירכהוף: סכום המתחים על פני לולאה סגורה חייב להיות אפס ולכן  \ v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}=0
ציוויליזציה

ערך זה עוסק בארגון החברתי הגבוה ביותר בחברה האנושית. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
האקרופוליס באתונה. אתונה העתיקה נחשבת לערש הציוויליזציה המערבית ומקום הולדתה של הדמוקרטיה
ציוויליזציה היא ארגון חברתי אנושי מורכב המתאפיין בקיומן של מערכות פוליטיות, ריבוד חברתי, עיור ומערכות סמליות של תקשורת מעבר לשפה הטבעית (כלומר, כתב). הציוויליזציה מתאפיינת גם במרכוז של סמכויות, ביות מיני צמחים ובעלי חיים, חלוקת עבודה, אידאולוגיות וערכים המבטאים התקדמות חברתית, אדריכלות מונומנטלית, מיסוי, תלות חברתית ושאיפת התפשטות.
מבחינה היסטורית, "ציוויליזציה" הוגדרה לעיתים קרובות כתרבות גדולה יותר ו"מתקדמת יותר", בניגוד לתרבויות קטנות יותר ו"מתקדמות פחות". במובן הרחב יותר, נהוג להבחין בין ציוויליזציה לבין חברות שבטיות לא ריכוזיות, כולל תרבויות של פסטורליסטים נוודים, חברות נאוליתיות או ציידים-לקטים. בציוויליזציות נוצרו יישובים צפופים המתאפיינים במעמדות חברתיים היררכיים שנשלטים בידי אליטות, העוסקים בחקלאות אינטנסיבית, כרייה, ייצור ומסחר בקנה מידה קטן. הציוויליזציה מקיימת ריכוז של כוח, מרחיבה את השליטה האנושית על שאר הטבע, כולל על בני אדם אחרים.
גורדי שחקים במנהטן, ניו יורק. ניו יורק נחשבת למרכז תרבותי, פיננסי, פוליטי בינלאומי
ההופעה המוקדמת ביותר של ציוויליזציות קשורה בדרך כלל לשלבים האחרונים של המהפכה הנאוליתית בדרום-מערב אסיה, שהגיעו לשיאם בתהליך המהיר יחסית של מהפכה עירונית והתפתחותן של ישויות מדינתיות ואליטות שליטות.
אטימולוגיה

המונח ציוויליזציה מגיע מהמילה הלטינית civilis (באיטלקית בת ימינו civiltà שמשמעותו אדם המתגורר בעיר) דרך המונח הצרפתי מהמאה ה-16 civilisé שמשמעותו להפוך אדם לבן-תרבות.
מאפיינים משותפים המאחדים ציוויליזציה

לרוב, לציוויליזציות יש מאפיינים ויסודות משותפים בתחומים הבאים או בחלקם:
תרבות: קיומם של מאפיינים תרבותיים משותפים כגון כללי נורמה, מנהגים, אומנות וספרות.
דת: אמונות דומות בכוח עליון כלשהו. לדוגמה, יש הרואים את עמי המזרח הרחוק כציוויליזציה אחת, בשל היסודות והעקרונות הדומים של הדתות באזור זה.
אידאולוגיה וערכים: אסופה של רעיונות ותפיסות עולם ערכיות משותפות. לדוגמה, רבים רואים במדינות המערב ציוויליזציה, בין השאר בשל היסודות הערכיים והאידאולוגיים המשותפים למדינות אלו, כגון חירות האדם ודמוקרטיה.
היסטוריה: היסטוריה ייחודית ומשותפת הנבדלת מההיסטוריה של ציוויליזציות אחרות. לדוגמה, לאינדיאנים הייתה היסטוריה נפרדת, ייחודית ומשותפת, ובשל כך יש הטוענים שהם ציוויליזציה נפרדת.
מוצא אתני: מקור אתני משותף אחד למספר עמים, ובשל כך הם מהווים ציוויליזציה. לדוגמה, לערבים ישנו מקור אתני משותף, ולכן לדעת רבים הם מהווים ציוויליזציה.
רצף טריטוריאלי של ציוויליזציה – או היעדרו

באופן טבעי, העמים המרכיבים ציוויליזציה נמצאים על פי רוב ברצף טריטוריאלי אחד, שממנו נובע הדמיון בין העמים, אך לא תמיד כך הדבר: העולם המערבי, למשל, מחולק על פני מרכז ומערב אירופה, צפון אמריקה, ואוסטרליה וניו זילנד. רוסיה וגרורותיה במזרח אירופה ומרכז אסיה, לעומת זאת, מהוות רצף טריטוריאלי אחד.
עתיד הציוויליזציות

ישנן שתי גישות עיקריות בקשר לעתיד הציוויליזציות בעולם.
עתיד הציוויליזציות > פרנסיס פוקויאמה

הגישה השנייה והאופטימית יותר, שבה מחזיק הפרופסור האמריקני לכלכלה פוליטית פרנסיס פוקויאמה, טוענת כי נפילת הגוש הקומוניסטי לא הייתה עוד מהלך בהיסטוריה האנושית הארוכה של סכסוכים בין השקפות, אידאולוגיות וצורות משטר, אלא היא סימנה את קיצה של היסטוריה זו, ואת המעבר לתקופה שבה הדמוקרטיה הליברלית תשרור בכל מדינות העולם, מבלי שאידאולוגיה אחרת תקרא עליה תיגר, וסכסוכים בין מדינות יהיו מוגבלים לכיסים נקודתיים מעטים.
ראו גם

התנגשות הציביליזציות
תרבות
דת
אידאולוגיה
אתניות
עמיות יהודית
לקריאה נוספת

ניל פרגוסון, ציביליזציה: המערב וכל השאר, תל אביב: עם עובד, 2013.
שלום סלומון ואלד, עלייתן ושקיעתן של ציביליזציות: לקחים לעם היהודי, המכון למדיניות העם היהודי, ידיעות אחרונות - ספרי חמד, 2013
הערות שוליים

1 2  Adams, Robert McCormick (1966). The Evolution of Urban Society. Transaction Publishers. p. 13. ISBN 9780202365947. ארכיון מ-30 בדצמבר 2016. נבדק ב-20 ביוני 2015. {{cite book}}:  (עזרה)
1 2  Haviland, William;  et al. (2013). Cultural Anthropology: The Human Challenge. Cengage Learning. p. 250. ISBN 978-1285675305. ארכיון מ-13 ביולי 2019. נבדק ב-20 ביוני 2015. {{cite book}}:  (עזרה)
1 2 3  Wright, Ronald (2004). A Short History anthropological. ISBN 9780887847066.
1 2 3  Llobera, Josep (2003). An Invitation to Anthropology. Berghahn Books. pp. 136–137. ISBN 9781571815972. ארכיון מ-30 בדצמבר 2016. נבדק ב-20 ביוני 2015. {{cite book}}:  (עזרה)
↑  Fernández-Armesto, Felipe (2001). Civilizations: Culture, Ambition, and the Transformation of Nature. Simon & Schuster. ISBN 9780743216500. ארכיון מ-1 באפריל 2021. נבדק ב-20 ביוני 2015. {{cite book}}:  (עזרה)
1 2  Boyden, Stephen Vickers (2004). The Biology of Civilisation. UNSW Press. pp. 7–8. ISBN 9780868407661. ארכיון מ-30 בדצמבר 2016. נבדק ב-20 ביוני 2015. {{cite book}}:  (עזרה)
1 2  Solms-Laubach, Franz (2007). Nietzsche and Early German and Austrian Sociology. Walter de Gruyter. pp. 115, 117, and 212. ISBN 9783110181098. ארכיון מ-30 בדצמבר 2016. נבדק ב-20 ביוני 2015. {{cite book}}:  (עזרה)
1 2  AbdelRahim, Layla (2015). Children's literature, domestication and social foundation : narratives of civilization and wilderness. New York. p. 8. ISBN 9780415661102. OCLC 897810261.
↑  Bolesti, Maria (2013). Barbarism and Its Discontents. Stanford University Press. ISBN 9780804785372. ארכיון מ-1 באפריל 2021. נבדק ב-20 ביוני 2015. {{cite book}}:  (עזרה)
↑  Mann, Michael (1986). The Sources of Social Power. Vol. 1. Cambridge University Press. pp. 34–41.
1 2 3 4  סמואל הנטינגטון, התנגשות הציביליזציות, הוצאת שלם, 2003, עמוד 41
↑  סמואל הנטינגטון, התנגשות הציביליזציות, הוצאת שלם, 2003, עמוד 42
↑  סמואל הנטינגטון, התנגשות הציביליזציות, הוצאת שלם, 2003, עמוד 49
↑  סמואל הנטינגטון, התנגשות הציביליזציות, הוצאת שלם, 2003, עמוד 40
↑  סמואל הנטינגטון, התנגשות הציביליזציות, הוצאת שלם, 2003, עמודים 39 ו-40
↑  סמואל הנטינגטון, התנגשות הציביליזציות, הוצאת שלם, 2003, עמודים 44 ו-45
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007283800105171  BnF: cb13319049t (data)  GND: 4067906-8  LCCN: sh85026423  LNB: 000050510  NKC: ph119248 
הריסות המאצ'ו פיצ'ו, "העיר האבודה של האינקה", המסמלת את הציוויליזציה העתיקה
חלוקת העולם לציוויליזציות לפי הספר התנגשות הציוויליזציות, מאת סמואל הנטינגטון
קן מקגרגור

| --- | --- |

קן מקגרגור, 1950
 לידה:  2 ביוני 1929 אדלייד, אוסטרליה 
 פטירה:  1 בדצמבר 2007 (בגיל 78) Myrtle Bank, אוסטרליה 
 מדינה:  אוסטרליה
 צאצאים:  Ken McGregor 
 גובה:  1.88 מ'
 פעילות כמקצוען:  1952–1957 (כ־5 שנים) 
 סה"כ פרסים שצבר:  10
 יחידים
 מאזן קריירה:  152-62
 דירוג שיא:  3 (1952)
 זכיות בטורנירים:  10
 זוגות
 דירוג שיא:  1 (1951)
 שיאי גראנד סלאם
 זכיות 1 ביחידים, 7 בזוגות גברים, 1 זוגות מעורבים
 אליפות אוסטרליה הפתוחה:  זכייה (1952)
 אליפות צרפת הפתוחה:  חצי הגמר (1951, 1952)
 וימבלדון:  גמר (1951)
 אליפות ארצות הברית הפתוחה:  הסיבוב הרביעי (1951)
 
קן מקגרגור (באנגלית: Kenneth Bruce McGregor;‏ 2 ביוני 1929 – 1 בדצמבר 2007) היה טניסאי אוסטרליהי. הוא זכה להצלחה גדולה בתחרויות זוגות גברים בשנת 1951 לצד פרנק סג'מן הוא זכה בכול תחרויות גראנד סלאם. בשנים 1951/1952 הם זכו ב-7 תחרויות גראנד סלאם ברציפות, נכון לתחילת 2025 שיא זה טרם נשבר.
ביוגרפיה

קן מקגרגור נולד באדלייד בשנת 1929. הוא התאמן במספר ענפי ספורט והיה בולט בפוטבול אוסטרלי בנוסף לטניס. הוא הוזמן למלבורן כדי להמשיך בטניס וזכה באליפות אוסטרליה לצעירים.
בשנת 1950 מקגרגור הגיע לגמר אליפות אוסטרליה הפתוחה בה הפסיד לפרנק סג'מן. בשנת 1951 הוא הפסיד בגמר באליפות אוסטרליה ואליפות וימבלדון.
החל משנת 1951 הוא שיחק בתחרויות זוגות גברים לצד פרנק סג'מן. בשנת 1951 הם זכו בכול תחרויות גראנד סלאם. בשנים 1951/1952 הם זכו ב-7 תחרויות גראנד סלאם ברציפות, נכון לתחילת 2025 שיא זה טרם נשבר.
מקגרגור היה חבר בנבחרת גביע דייוויס של אוסטרליה וזכה איתה בגביע.
בינואר 1953 זוג מקגרגור/סג'מן חתמו על חוזה עם ג'ק קרמר ועברו לטניס מקצועי.
בגיל 25 מקגרגור עזב את טניס והחל לשחק בקבוצות פוטבול אוסטרלי.
הישגים

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| שנה | יריב בגמר | תוצאה |
| אליפות אוסטרליה הפתוחה 1950 | אוסטרליה פרנק סג'מן | 3–6, 4–6, 6-4, 1-6 |
| אליפות אוסטרליה הפתוחה 1951 | ארצות הברית דיק סוויט | 3–6, 6–2, 3-6, 1-6 |
| אליפות וימבלדון 1951 | ארצות הברית דיק סוויט | 4–6, 4–6, 4-6 |
| אליפות אוסטרליה הפתוחה 1951 | אוסטרליה פרנק סג'מן | 7–5, 12–10, 2-6, 6-2 |
עירא היאירי

עִירָא היָאִירִי היה בנו של עקש התקועי, שהיה מגיבורי דוד. היה מקורב לדוד המלך ולבניו ושירת לפני בניית בית המקדש הראשון, על פי פשט הפסוקים ככהן, אך תרגום יונתן ומפרשים אחרים פירשו את תואר "כהן" כסימן לגדולה ולאו דווקא כהונה ממש.
יש מי שפירש שעירא ובני דוד עבדו יחדיו בכהונה. הפסוקים:”וּבְנֵי דָוִד, כֹּהֲנִים הָיוּ” . וכן ”וְגַם, עִירָא הַיָּאִרִי, הָיָה כֹהֵן, לְדָוִד”. פסוקים אלו "שוחזרו" על ידי הפרשן קלוסטרמן לפסוק: "ועירא ובני דוד היו כהנים לדוד". ככל הנראה הוא השתייך למשפחת היאירי שגרה בעבר הירדן המזרחי.
במסכת גיטין מבואר שהיה נחשב לגדול הדור בתקופתו.
במסכת מועד קטן מופיע בתור רבו של דוד המלך. עוד מסופר שדוד נהג בו בכבוד ואף ישב בפניו על הקרקע בעת שלמד ממנו תורה.
במסכת עירובין מובא שדוד המלך היה נותן את כל מתנות כהונה שהיו לו לעירא רבו.
במדרש רבה שיר השירים ובמסכת עירובין מובא שדוד המלך לא הראה לציבור את ידיעותיו בתורה כל זמן שעירא רבו היה חי.
הערות שוליים

↑  שמואל ב', פרק ח', פסוק יח'
↑  שמואל ב', פרק כ', פסוק כו'
↑  A. Klostermann, Die Bücher Samuelis (SZ), r München 1887 בפירושו לפסוקים הנזכרים.
↑  דף נט' עמוד א'
↑  מסכת מועד קטן דף טז עמוד ב
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007509964805171  VIAF: 308280721   WorldCat (עם VIAF): 308280721
בן הא הא

בן הא הא (בֶּן הֵהֵא או בר היהי) היה חכם מתקופת הזוגות, בן דורו של הלל הזקן. מוזכר במשנה פעם אחת, כבעל הפתגם "לפום צערא אגרא" (משנה, מסכת אבות, פרק ה', משנה כ"ג).
על פי התוספות, בן הא הא וחברו בן בג בג היו גרים, והדבר נרמז בשמו: בנם של אברהם ושרה שנוספה לשמם האות ה'. לדעת ר' שמואל די אוזידא, כינויים אלו נועדו להסתירם מפני השלטון הרומי, שרדף גרים.
על פי התלמוד, בן הא הא זכה לגילוי אליהו.
לפי האר"י, בן הא הא נקבר באזור עין זיתים, אך מקום קברו לא אותר עד היום מחוסר בציון מפורט.
"בדרך צפת שהולכין בו לגוש חלב, באמצע הדרך אשר מן הכרא"ל אל בי"ר אל שי"ך, שם במזרח הדרך בצידו, קרוב לו כמו עשר אמות או פחות מעט, יש סלע אחד קטון הרבה ונמוך, ושם קבור בן הא הא. בדרך הנזכר". (רבי חיים ויטאל)
הערות שוליים

↑  על פי כתב יד קאופמן למשנה (מסכת אבות)
↑  על פי כתב יד מינכן לבבלי (מסכת חגיגה)
↑  תוספות, מסכת חגיגה, דף ט', עמוד ב', ד"ה בן הי הי
↑  מדרש שמואל אבות ה כב
↑  תלמוד בבלי, מסכת חגיגה, דף ט', עמוד ב'.
↑  בן הא הא באתר 'אהלי צדיקים'
ערך זה הוא קצרמרבנושא רבנים. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
משפט נקודת השבת של קאקוטאני

באנליזה פונקציונלית, משפט נקודת השבת של קאקוטאני, הנקרא על שם המתמטיקאי שיזואו קאקוטאני (Shizuo Kakutani), אומר כי במרחב קמור מקומית לפעולה רציפה של חבורת העתקות אפיניות על קבוצה קומפקטית קמורה יש נקודת שבת.
ניסוח המשפט

יהי  X מרחב וקטורי קמור מקומית ותהי  K\subset X קבוצה קמורה קומפקטית. תהי  G חבורה ביחס להרכבה של העתקות אפיניות מ- K ל- K. נניח שההעתקות רציפות במידה אחידה, כלומר לכל סביבה  W של אפס קיימת סביבה  V של אפס כך שלכל  T\in G,x,y\in K אם  x-y\in V אז  Tx-Ty\in W. אז לכל העתקות שב- G יש נקודת שבת משותפת ב- K.
הוכחה

נעזר בלמה הטופולוגית הבאה:
למה: יהיו  A,B מרחבים טופולוגיים כך ש- B קומפקטי. תהי  \pi :A\times B\to A ההטלה הטבעית ו- E\subset A\times B. נניח ש  p\in {\overline {\pi (A)}} אז קיימת נקודה  q\in B כך ש  (p,q)\in {\overline {E}}.
הוכחה: נניח שלא. לכן לכל  q\in B קיימות סביבות  q\in W_{q} וכן  p\in V_{q} כך ש- (V_{q}\times W_{q})\cap E=\emptyset . מהקומפקטיות של B ישנן  \{q_{i}\}_{1\leq i\leq n} כך ש- B=\cup _{i=1}^{n}W_{q_{i}}. לכן עבור  p\in \cap _{i=1}^{n}V_{i}:=V נקבל ש- V\cap E=\emptyset  סתירה לכך ש- p\in {\overline {\pi (A)}}.
המשך הוכחה: תהי  \Omega  אוסף כל תתי הקבוצות  H\subset K הקמורות, קומפקטיות ולא ריקות המקיימות  T(H)\subset H לכל  T\in G. כיוון ש- K\in \Omega  נקבל כי  \Omega \neq \emptyset . כמו כן אם  \{H_{i}\}_{i\in I}\subset \Omega  אז גם החיתוך  \cap _{i\in I}H_{i} נמצא ב- \Omega  (הוא לא ריק מקומפקטיות). מהלמה של צורן נקבל שיש ב- \Omega  איבר מינימלי  Q. אם נראה ש- Q מכילה נקודה בודדת נסיים. נניח שלא. לכן קיימות  x,y\in Q,x-y\not \in W עבור  W סביבה של 0. תהי  V הסביבה המתאימה ל- W מתנאי הרציפות במידה אחידה. אם יש  T\in G כך ש- Tx-Ty\in V אז נקבל  x-y=T^{-1}(Tx)-T^{-1}(Ty)\in W (קיימות העתקות הופכיות כיוון ש- G חבורה) סתירה. לכן לכל  T\in G,  Tx-Ty\not \in V. תהי  z={\tfrac {x+y}{2}}. מקמירות  z\in Q. נתבונן במסלול של  z תחת הפעולה של  G,  G(z)=\{Tz|T\in G\}. זוהי קבוצה  G אינווריינטית ולכן גם  K_{0}={\overline {G(z)}} וגם  K_{1}={\overline {conv(K_{0})}} קבוצות  G אינווריינטיות.  K_{1} קבוצה קמורה, קומפקטית לא ריקה ו- G אינווריינטית המוכלת ב- Q. ממינימליות  Q נקבל ש- K_{1}=Q. ממשפט קריין-מילמן קיימת נקודה  p קיצונית של הקבוצה  Q.  p\in K_{0}. נתבונן בקבוצה הבאה  E=\{(Tx,Ty,Tz)|T\in G\}. כיוון ש- p\in K_{0}={\overline {G(z)}} וכן  Q\times Q קומפקטית נקבל מהלמה שיש נקודה  x',y'\in Q כך ש- (x',y',p)\in {\overline {E}}. כיוון ש- 2Tz=Tx+Ty\forall T\in G, נקבל ש- 2p=x'+y' ומהקיצוניות של  p נקבל ש- x'=y'. אבל לכל  T\in G,  Tx-Ty\not \in V ולכן  x'-y'\not \in V\ni 0 סתירה. קיבלנו סתירה ולכן  Q מכילה רק נקודה אחת וסיימנו.￼
שימושים

משפט נקודת השבת מאפשר להוכיח את הקיום של מידת האר.
תוצאות נוספות

משפט נקודת השבת של קאקוטאני-מרקוב: יהיו  X מרחב וקטורי טופולוגי ו- K\subset X קמורה קומפקטית ולא ריקה. נניח  {\mathcal {F}} קבוצה של העתקות אפיניות מתחלפות ( S\circ T=T\circ S\forall S,T\in {\mathcal {F}}) מ- K ל- K. אז יש ל- {\mathcal {F}} נקודת שבת משותפת. המשפט משמש להוכיח נוסח של משפט האן-בנך שבו מוסיפים גם דרישה של אינווריינטיות ביחס לקבוצה כזאת של העתקות.
ישנו משפט נוסף הנקרא משפט נקודת השבת של קאקוטאני המתייחס בעיקר למרחבים מממד סופי: תהי  K\subset \mathbb {R} ^{n} קבוצה קומפקטית קמורה ולא ריקה. תהי  \phi :K\to P(K) פונקציה עם גרף סגור וכן נניח שלכל  x\in K,  \phi (x) קבוצה קמורה לא ריקה. אז יש ל- \phi  נקודת שבת, כלומר קיימת נקודה  a\in K כך ש  a\in \phi (a). המשפט שימושי לתורת המשחקים ולכלכלה בכך שהוא מאפשר להוכיח קיום של "מצבים יציבים": למשל קיום שיווי משקל נאש, משפט המינימקס וכו'.
לקריאה נוספת

וולטר רודין, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-HiIl
הערות שוליים

↑  ראה למשל בוויקיפדיה האנגלית Kakutani fixed-point theorem.
רוברט ואלזר

| --- | --- |

 לידה:  15 באפריל 1878 ביל/ביין, שווייץ 
 פטירה:  25 בדצמבר 1956 (בגיל 78) הריזאו, שווייץ 
 מדינה:  שווייץ 
 מקום קבורה:  אפנצל אוסר-רודן 
 שפות היצירה:  גרמנית שווייצרית סטנדרטית, גרמנית שווייצרית, גרמנית 
 יצירות בולטות:  Der Räuber, Jakob von Gunten, Geschwister Tanner, בפסקה זו 2 רשומות נוספות שטרם תורגמו 
 תקופת הפעילות:  מ-1898 
 אתר רשמי
 
רוברט ואלזר (בגרמנית: Robert Walser; ‏15 באפריל 1878 – 25 בדצמבר 1956) היה סופר שווייצרי שכתב בשפה הגרמנית, ונחשב אחד הסופרים המודרניים החשובים ביותר של המאה העשרים.
ברשימתו הקצרה משנת 1929 על רוברט ואלזר, כותב ולטר בנימין: "אפשר לקרוא דברים רבים מאת רוברט ואלזר, אבל עליו אי-אפשר לקרוא שום דבר." אמירה זאת של בנימין מעידה על שוליותו של רוברט ואלזר בשדה הספרות בתקופת חייו, אף שסופרים לא מעטים העריצו את כתיבתו. רוברט מוזיל, למשל, חסיד נוסף של ואלזר בין בני זמנו, כאשר קרא לראשונה את קפקא, תיאר את כתיבתו כ"מקרה פרטי של הטיפוס ואלזר." שכן ואלזר נערץ מראשית פרסומיו על סופרים כגון מוזיל, הרמן הסה, שטפן צווייג ופרנץ קפקא ולמעשה היה ידוע יותר בחייו מאשר קפקא או בנימין בחייהם.
ואלזר עצמו, למרות הערצתם של קומץ סופרים אלה, לא הצליח מעולם לפרנס את עצמו באמצעות הכתיבה ועבד כל חייו בעבודות לעת מצוא כמשרת וכפקיד פשוט. למרות הצלחה יחסית בראשית הקריירה הספרותית שלו, הפופולריות של יצירותיו הלכה ופחתה במהלך העשורים השני והשלישי של המאה ה-20. בסוף שנות ה-20 של המאה ה-20 סבל מהתמוטטות עצבים ואת שארית ימיו עשה במוסד פסיכיאטרי מבלי לכתוב כמעט דבר. בשלהי המאה ה-20 שב והתעורר עניין ביצירותיו, כאשר פוענחו טקסטים שכתב בכתב זעיר ובעיפרון על ניירות משומשים בתקופת יצירתו האחרונה. טקסטים אלה כונו על ידי חוקריו "מיקרוגרמות" ולאחר פענוחן, הן פורסמו ותורגמו לשפות רבות.
ביוגרפיה > 1897-1878

רוברט אוטו ואלזר היה השביעי משמונת ילדיו של כורך הספרים ובעל החנות למכשירי כתיבה אדולף ואלזר (1914-1833) ושל רעייתו אליזבת (אליזה) ואלזר (1894-1839). ואלזר נולד וגדל בעיר בִּיל השוכנת על הגבול שבין החלק הדובר גרמנית לבין החלק הדובר צרפתית בשווייץ וקיבל חינוך דו-לשוני. עקב התדרדרות במצבה הכלכלי של משפחת ואלזר, שהובילה בין היתר למעברי דירות תכופים, נאלץ רוברט ואלזר להפסיק את לימודיו בגיל 14 ולעבוד כמתמחה בבנק כדי לעזור בכלכלת המשפחה.
בשנת 1894, בהיותו בן 16, נפטרה אמו של ואלזר, שסבלה שנים רבות מדיכאון ומהתקפי זעם. לדעת חוקר הספרות השווייצרי פטר פון מט הייתה מערכת היחסים הסימביוטית של רוברט ואלזר עם אמו מכוננת עבור יצירתו. עדות לכך אפשר למצוא בין השאר במחזה קצר שכתב בצעירותו, "האגם", שבו מתאר ואלזר נער המביים ניסיון התאבדות כדי לזכות באהבת אמו.
בשנת 1895, בהיותו בן 17, עזב ואלזר את ביל ועבר לבזל. לאחר זמן קצר עבר לשטוטגרט שבגרמניה, עיר מגוריו של אחיו קרל, המבוגר ממנו בשנה, שלימים יתפרסם כצייר וכמעצב תפאורות לתיאטרון. בשטוטגרט עבד כלבלר במחלקת המודעות של בית ההוצאה לאור "אוּניוֹן".
במקביל ניסה רוברט ואלזר – שהיה חובב תיאטרון נלהב עוד מנעוריו – להיעשות לשחקן, אך ללא הצלחה. מן הימים הללו נותר אקוורל שצייר אחיו קרל ובו מופיע רוברט בדמות השודד קרל מור מן המחזה השודדים מאת פרידריך שילר.
בסתיו 1896 חזר רוברט ואלזר לשווייץ ונרשם כתושב בציריך. בשנים שלאחר מכן עבד ואלזר כפקיד וכלבלר במשרדים רבים ושונים – אם כי לעולם לא לאורך זמן. ואלזר הוא אחד הסופרים הראשונים בשפה הגרמנית שתיארו את חיי המשרד ביצירותיהם.
ביוגרפיה > 1912-1898

בשנת 1898 פורסמו שישה שירים של ואלזר במהדורת יום ראשון של העיתון היומי של ברן, דֶר בּוּנד (Der Bund). בעקבות פרסומם התוודע ואלזר לחוג הסופרים של כתב העת הספרותי די אינזל (Die Insel), המושפע מסגנון היוגנדשטיל (שכונה באוסטריה "הזצסיון הווינאי"). כתב העת פרסם שירים, דרמוֹלֶטוֹת (קטעי דרמה קצרים) וקטעי פרוזה של ואלזר.
עד 1905 התגורר ואלזר בעיקר בציריך, אך החליף תדיר את מקום מגוריו ועבודתו בעיר (בעשר שנותיו בציריך התגורר בשבעה עשר חדרים ודירות, עבד בכתשע משרות, והתפרנס מעבודות לבלרות זמניות בלשכת הכתיבה למחוסרי עבודה). בשנים האלה שהה תקופות קצרות גם בערים השווייצריות טוּן (עליה כתב את קטע הפרוזה "קלייסט בטון", המתאר את שהייתו של הסופר והמחזאי היינריך פון קלייסט בעיר כמאה שנים לפני כן) וזוֹלוֹתוּרן ובערים הגרמניות וינטֶרטוּר ומינכן. כמו כן התגורר זמן מה אצל אחותו הבכורה ליזה בכפר טויפלן (Täuffelen) הסמוך לביל. תקופה זו מתוארת ברומן הראשון שכתב, האחים טאנר (Geschwister Tanner, 1907), הנושא אופי אוטוביוגרפי מובהק.
ב-1903 התקבל לעבודה כעוזר למהנדס והממציא קרל דוּבּלֶר בוֵדֵנסוִיל שליד ציריך. פרק זה בחייו שימש בסיס לרומן השני שכתב – עוזר לכל עת (Der Gehülfe, 1908). בשהותו בווילה של המהנדס דובלר כתב את ספרו הראשון, שיצא לאור בהוצאת אינזֶל שנה לאחר מכן – החיבורים של פריץ קוכר (Fritz Kochers Aufsätze, 1904).
בשלהי קיץ 1905 השתלם ואלזר בבית ספר למשרתים בברלין ולאחר מכן עבד חודשים אחדים כמשרת בארמון דמבראו שבשלזיה עילית (כיום בפולין). נושא השירות יופיע בעתיד ברבות מיצירותיו – בייחוד ברומן השלישי שלו, יאקוב פון גונטן (Jakob von Gunten, 1909).
בתחילת 1906 חזר רוברט ואלזר לברלין, שבה חי עד שנת 1913. בתחילה התגורר אצל אחיו קרל, שכבר עשה לו שם כצייר, גרפיקאי ומעצב תפאורות והכניס את רוברט לחוגי הספרות והתיאטרון בברלין. בזמן הזה הכיר את המוציאים לאור סמואל פישר וברונו קסירר, שלימים הוציאו לאור רבים מספריו.
פרט לרומנים כתב ואלזר באותה התקופה קטעי פרוזה שבהם שרטט תמונות מחיי היומיום של משוטט דל אמצעים. הרומנים וקטעי הפרוזה – שפורסמו בעיתונים חשובים במרחב הדובר גרמנית – התקבלו באהדה. ואלזר רכש לו מקום מבוסס בתחום הספרות, אולם למרות הביקורות הנלהבות, בין השאר מהרמן הסה בן ארצו, ממקס ברוד, מפרנץ קפקא, מרוברט מוסיל ומקורט טוכולסקי, לא נחלו ספריו הצלחה מסחרית. לאחר ניסיונות ראשונים להשתלב בחוגי האינטליגנציה, ביניהם גם כמזכיר האגודה לתנועת הזצסיון הברלינאית בראשות הצייר מקס ליברמן, משרה שנטל בשל מצוקתו הכלכלית, הלך ואלזר והתרחק מן האנשים, שסלדו ממוזרותו, ממגושמותו החברתית וממרדנותו בבורגנות, ושב לשיטוטיו בבתי המרזח ובמסעדות הפועלים.
בתקופת ברלין התפרסמו קטעי פרוזה רבים מאת ואלזר בעיתונים ובכתבי עת. "הצורה הקטנה" הזאת תהפוך לסימן ההיכר שלו.