stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משחק אסטרטגיה מופשט

משחק שח-מט המעוצב בסגנון ימי הביניים.
משחק אסטרטגיה מופשט (באנגלית: Abstract strategy game) הוא משחק אסטרטגיה ללא אלמנט מזל שמשוחק בדרך כלל על גבי לוח. הוא מתאפיין בתכונות הבאות:
אין בו אלמנט של מזל (אין זריקה של קוביות לדוגמה).
קיימת ידיעה מלאה, כלומר בכל רגע כל השחקנים יודעים הכול על מצב המשחק. בשונה למשל מהמשחק טקטיקו, או ממשחקי קלפים שבהם השחקנים אינם יודעים אילו כלים, או אילו קלפים מחזיק השחקן השני.
המהלכים מתבצעים בזה אחר זה, להבדיל לדוגמה מהמשחק אבן נייר ומספריים שבו שני השחקנים צריכים להראות את האצבעות שלהם בו זמנית.
בהתאם לכך, גורל המשחק למעשה נקבע רק לפי ההחלטות של השחקנים ולפי החשיבה שלהם. תכונה זאת הופכת את המשחקים הללו לכר נרחב למחקר של תכונותיהם המתמטיות, ולשעשועי מתמטיקה. התחום שעוסק בכך נקרא תורת המשחקים הקומבינטורית.
בין השאר משתייכים לקטגוריה זו המשחקים איקס עיגול, נים, שחמט, דמקה, גו והקס.
דוגמאות > משחקי איקס עיגול

איקס עיגול, הנקרא גם "איקס-מיקס-דריקס" הוא אחד ממשחקי הלוח הפופולריים ביותר ומעטים הילדים שלא שיחקו בו. המשחק מתבצע על לוח 3x3, ובכל תור אחד השחקנים מסמן עם הסימן שלו (איקס – X או עיגול – 0) את אחת המשבצות שעדיין פנויות. הראשון ביניהם שמשיג 3 סימנים ברצף (על אותה שורה, טור או אלכסון) מנצח. אם הלוח מתמלא כולו ואף שחקן לא השיג מטרה זו, המשחק מסתיים בתיקו. לא קשה לנתח את המשחק הזה בשלמותו ולראות שאף אחד מהשחקנים אינו יכול לכפות ניצחון, ואם שני השחקנים משחקים היטב המשחק ייגמר תמיד בתיקו.
למשחק הזה יש וריאציות רבות. אחת הווריאציות המהנות ביותר היא לשחק על לוח גדול מאוד כשהמטרה היא להשיג 5 סימנים ברצף. וריאציה מוצלחת נוספת היא לשחק על לוח תלת־ממדי 4x4x4, והראשון שמשיג 4 סימנים ברצף מנצח. יש גם ואריאציות שבהן השחקן שמשיג רצף דווקא מפסיד, וכן משחקים שמחולקים לשני שלבים, בשלב הראשון מסמנים משבצות בסימנים ובשלב השני ניתן גם להזיז את הסימנים.
דוגמאות > נים ומשחקי ערימות

המשחק המפורסם ביותר מבין משחקי ערימות הוא נים שבו יש כמה ערמות של גפרורים, ובכל תור שחקן יכול לקחת כמה גפרורים שהוא רוצה אבל רק מערימה אחת. השחקן שלוקח את הגפרור האחרון מנצח. למשחק זה ידועה אסטרטגיית ניצחון (ראו להלן).
נים הוא רק אחד בשורה ארוכה של משחקי ערימות. בנים של ויתופ החוקים שונים במעט. יש שתי ערימות, ובכל תור שחקן יכול לקחת כמה גפרורים שהוא רוצה מאחת הערמות, או לקחת משתי הערימות כמות זהה של גפרורים. במשחק הראשון שמגיע לעשרים ואחת יש 21 גפרורים בערימה ובכל תור שחקן יכול לקחת גפרור אחד, שניים או שלושה גפרורים מהערימה. שוב השחקן שלוקח את הגפרור האחרון מנצח.
דוגמאות > הקס

הקס הוא משחק בו השחקנים משחקים על לוח משושים. בכל תור, שחקן מסמן משושה בצבע שלו – השחקן הראשון באדום והשחקן השני בכחול. המטרה של השחקן הראשון היא ליצור שביל המקשר את שני צידי הלוח המסומנים באדום, והמטרה של השחקן השני היא ליצור שביל של משושים כחולים המקשרים את שני צדי הלוח המסומנים בכחול. במשחק זה לא תיתכן תוצאת תיקו, כלומר כאשר כל המשושים בלוח מסומנים, אזי יש שביל אדום שמקשר את שני הצדדים האדומים, או שקיים שביל כחול המקשר את שני הצדדים הכחולים.
דוגמאות > שחמט, דמקה וגו

שחמט, דמקה וגו הם דוגמאות למשחקים עם כללים מעט מסובכים יותר, שמאפשרים עושר עצום של אפשרויות משחק. משחקים אלו פופולריים מאוד, עד כדי כך שקיימים מועדונים, תחרויות ואליפויות בהם. למשחקים הללו ישנה היסטוריה עתיקה ועשירה. השחמט לדוגמה הומצא ככל הנראה או בהודו, או בסין, במאה ה-2 לפנה"ס. וואריאציות של המשחק שוחקו גם בתקופות קדומות מאוד ביפן, קמבודיה ותאילנד. צורת הכלים, שמותיהם וחוקי המשחק עברו התפתחות רבה עם השנים. המשחק גו הומצא כבר באלף השני לפני הספירה ומוזכר לראשונה בספרות באחד מספריו של קונפוציוס.
היסטוריה

מקורותיהם של חלק ממשחקי המחשבה הם עתיקים ועלומים. איקס עיגול ונים קיימים כנראה כבר מתקופות קדם. השחמט על גלגוליו ההיסטוריים מקורו במזרח הרחוק, כנראה מהודו או סין והוא מתוארך למאה השנייה לפנה"ס או אפילו מוקדם יותר. יש הטוענים שגו, שהומצא בסין, אף קדום יותר. לעומת זאת ישנם משחקים פופולריים מאוד שהומצאו בעת החדשה: לדוגמה המשחק הקס הומצא בשנת 1942 על ידי המשורר והמתמטיקאי פייט היין, ובאופן עצמאי בשנת 1947 על ידי המתמטיקאי ג'ון נאש.
במאה ה-19, ספרות שעשועי המתמטיקה המתפתחת החלה לעסוק במשחקים אלו, ובין היתר החידונאים סם לויד והנרי ארנסט דודני יצרו חידות רבות המבוססות על משחקים אלו. בתחילת המאה ה-20 מתחיל להתפתח הענף המתמטי תורת המשחקים הקומבינטורית המנתח את המשחקים הללו.
עם התפתחות המחשב במאה-ה20, החלו להיכתב יישומים ממוחשבים למשחקים אבסטרקטיים. בספרי לימוד רבים במדעי המחשב, התכנות של משחקים כמו איקס עיגול הוא משימה קלאסית, כמו גם הניתוח שלהם בשיטת העץ. מציאת דרכים ללמד מחשבים לשחק משחקי לוח מופשטים הפך לאתגר מרכזי בתחום הבינה המלאכותית. בשנות ה-50 של המאה ה-20 חלה התקדמות רבה בתחום זה, ובפרט בהתמודדות עם משחקי מחשב מופשטים קשים יחסית כגון גו ושחמט. התחזיות המוקדמות בשנות ה-50 היו שתוך שנים בודדות יצליחו תוכנות מחשב להביס את אלופי העולם בשחמט ובדמקה, ואולם למרות הצלחות מוקדמות של מחשבים בשש-בש (שאינו משחק מופשט בשל אלמנט המזל הכלול בו), רק בשנת 1997 הצליחה תוכנת מחשב, כחול עמוק, לנצח לראשונה את אלוף העולם, גארי קספרוב, במשחק שחמט צמוד.
אסטרטגיה ומשפט צרמלו

אסטרטגיה או תכסיס בתורת המשחקים, פירושה: מפרט של הוראות לשחקן איך לשחק בכל מצב נתון. עבור משחקי חשיבה שבהם יש בנוסף גם הגבלה על מספר המהלכים, מתקיים משפט שנקרא משפט צרמלו. הוא קובע שקיימת אסטרטגיה שמבטיחה לאחד השחקנים ניצחון, או שלפחות שני השחקנים יכולים לכפות תיקו. משפט זה איננו מתקיים לגבי משחקים שלא מקיימים את התנאים שהוזכרו למעלה. לדוגמה באבן נייר ומספריים (שבו המהלכים מתבצעים בו זמנית) אין אסטרטגיה שיכולה לכפות ניצחון או תיקו, וכך גם במשחקים המבוססים על מזל.
אחת התוצאות המפתיעות של משפט צרמלו הוא שישנם משחקים שבהם ניתן להראות שאחד השחקנים יכול לכפות ניצחון, גם מבלי למצוא בצורה מפורשת את האסטרטגיה שלו. לדוגמה במשחק הקס, שבו לא תיתכן תוצאה של תיקו, ניתן להוכיח שלשחקן הראשון יש אסטרגיה המבטיחה לו ניצחון. ההוכחה היא על דרך השלילה: נניח בשלילה שלשחקן השני ישנה אסטרטגיה המבטיחה לו ניצחון. אזי, השחקן הראשון יכול במהלך הראשון לסמן משבצת אקראית, והחל מהתור הבא לחשוב על עצמו בתור השחקן השני, ולהשתמש באסטרטגיה של השחקן השני, ואסטרטגיה זאת מבטיחה לו ניצחון. נוצרה סתירה מכיוון שלא ייתכן שגם השחקן הראשון וגם השני יכולים לכפות ניצחון. מכאן שבמשחק הקס, אנחנו יודעים שישנה אסטרטגיה שמבטיחה לשחקן הראשון ניצחון, אף על פי שאסטרטגיה כזאת עדיין לא נמצאה עבור לוחות בעלי יותר מ-4x4 משושים.
שיטה זו של הוכחה נקראת גנבת אסטרטגיה, וניתן ליישם אותה על משחקים רבים, בין השאר גם על איקס עיגול, ועל חלק ניכר מהווריאציות שלו.
אנלוגיה בין משחקים שונים

מאפיין של רבים ממשחקי החשיבה הפשוטים הוא ריבוי הצורות השונות, וה"תחפושות" השונות של המשחקים.
לדוגמה, במשחק השלם ל-15 מונחים תשעה קלפים שעליהם המספרים מאחד עד תשע. ישנם שני שחקנים ובכל תור אחד השחקנים לוקח קלף מתוך הקלפים שלא נלקחו עדיין. השחקן הראשון ששלושה מהקלפים שלו משלימים ל-15 מנצח. המשחק זהה למעשה לאיקס עיגול, ואת האנלוגיה (התאמה) ביניהם ניתן לראות מתוך ריבוע הקסם:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
דוגמה נוספת היא המשחק 'השב את המלכה'. במשחק זה מניחים מלכה במקום כלשהו על לוח שחמט, והכללים הם שהמלכה יכולה לנוע כמה משבצות שהיא רוצה אבל רק בכיוונים שמאלה, למטה, או באלכסון שמאלה ולמטה. המשחק הוא לשני שחקנים, בכל תור אחד מהם מזיז את המלכה, והשחקן הראשון שמביא את המלכה למשבצת שבפינה השמאלית-תחתונה, מנצח. קיימת התאמה בין משחק זה למשחק הנים של ויתופ.
תורת המשחקים הקומבינטורית > חיבור נים

תחילתו של העניין המתמטי במשחקים החל בשנת 1901, כאשר צ'ארלס בולטון פרסם את אסטרטגיית הניצחון בנים. האסטרטגיה מבוססת על חלוקה של המצבים למצבים "מנצחים" – שבהם השחקן שתורו כעת מנצח, ומצבים "מפסידים" שבהם השחקן שתורו מפסיד. הדרישה ממצב מנצח היא שלפחות מהלך אחד שמוביל למצב מפסיד, ולעומת זאת ממצב מפסיד כל המהלכים יובילו למצב מנצח.
בנים ניתן לזהות האם מצב הוא מנצח או מפסיד על ידי פעולה שנקראת "חיבור נים" או בשמה המתמטי או אקסקלוסיבי (XOR). כאשר מבצעים סכום נים על מספרי הגפרורים בכל ערמה, אם התוצאה היא 0 אזי המצב הוא מפסיד, אחרת המצב הוא מנצח.
תורת המשחקים הקומבינטורית > מספרי גרונדי

אסטרטגיית הניצחון בנים משחקת תפקיד חשוב במשחקים רבים נוספים, ובעיקר בניתוח של משחקים שוויוניים (impartial games): כלומר משחקים שבהם כל מהלך שיכול לבצע אחד השחקנים, יכול לבצע גם השחקן השני. בשנת 1935 נוסח משפט ספרג-גרונדי הקובע שכל המשחקים השוויוניים שקולים לנים. תורת גרונדי קובעת שלכל מצב ניתן לייחס מספר גרונדי ומספרים אלו נבנים באופן רקורסיבי: מצב שבו אין אף מהלך אפשרי מקבל את הערך 0, הערך של מצבים אחרים ניתן על ידי המספר השלם הקטן ביותר שאליו לא ניתן להגיע במהלך מאותו מצב.
כך לדוגמה נסתכל על משחק ערמות שבו מותר לכל שחקן בתורו לקחת מערמה אחת לא יותר משלושה גפרורים. ניתן לראות שמספר גרונדי של ערמה שיש בה 1,2,3 גפרורים הוא 1,2,3 בהתאמה. לעומת זאת מערמה עם 4 גפרורים לא ניתן להגיע למצב שהערך שלו הוא 0, ולכן הערך של ערמה זאת הוא 0. מכאן אפשר לראות שכאשר יש ערמה בודדת המצבים המפסידים הם כאשר מספר הגפרורים בערמה הוא כפולה של 4. כאשר יש יותר מערמה אחת, אזי בעזרת חיבור נים של ערכי גרונדי של הערמות ניתן לקבל את הערך של המצב.
תורת המשחקים הקומבינטורית > מספרים סוריאליסטיים

את תורת גרונדי הרחיב ג'ון קונוויי למשחקים שאינם שוויוניים. קונויי הציג את מה שקרוי היום מספרים סוריאליסטיים, המתארים מצב במשחק על ידי שתי קבוצות: קבוצת המצבים שהשחקן הראשון יכול להגיע אליהם אם זה תורו, וקבוצת המצבים שהשחקן השני יכול להגיע אליהם אם זה תורו. המספרים מסומנים כך {...a,b,c...| d,e,f} כאשר המצבים משמאל מייצבים את המצבים אליהם השחקן הראשון יכול להגיע אם זה תורו, והמצבים מימין מסמנים את המצבים אליהם יכול להגיע השחקן הראשון. כמו מספרי גרונדי גם מספרים אלו נבנים בצורה רקורסיבית: המצב הבסיסי המסומן 0, הוא מצב שבו אף שחקן אינו יכול לבצע מהלך, הוא המצב { | }; מצב 1 הוא מצב שבו רק השחקן הראשון יכול לבצע מהלך, שמוביל למצב 0: { | { | }}; מצב בעל ערך 2 הוא מצב שממנו השחקן הראשון יכול להגיע למצב אחד. לעומת זאת מצב 1- הוא מצב שבו רק השחקן השני יכול להגיע למצב 0, וכן הלאה.
חיבור משחקים: אם וישנם שני משחקים (או במשחקי ערמות כמה ערמות) כך שבכל תור שחקן יכול לבחור את אחד המשחקים ולבצע בו מהלך, אזי הערך של המצב הכולל הוא חיבור של הערכים המשחקים השונים. כך לדוגמה משחק שבו יש ערמה של 5 גפרורים שרק השחקן הראשון יכול לקחת – ערכו 5, בתוספת משחק שבו ערמה אחת של 3 גפרורים שרק השחקן השני יכול לקחת – ערכו 3-, מוביל למשחק שערכו 5-3=2. מכאן שפעולות חשבון על משחקים המתוארים על ידי מספרים סוריאליסטיים דומים לפעולת חשבון על מספרים רגילים.
משחקים שאינם מספרים: ואולם בכתיבה של קונוויי ניתן להגדיר מצבים שאינם מספרים – אין להם מקבילה במספרים הממשיים. לדוגמה המצבים במשחק נים, שבהם לשני השחקנים ישנם אותם אפשרויות. ערמה בעלת גפרור בודד במשחק נים מסומנת על ידי: \{ { | }| { | }}, והיא מסומנת על ידי קונויי בתור 1*, ובאופן דומה ערמת נים בעלת n גפרורים זוכה לסימון n*. כפי שהוסבר למעלה, החיבור של מצבים כאלו מתנהג על פי חוקים שונים מחיבור של מספרים טבעיים.
בינה מלאכותית

כבר מראשית התפתחותם של מדעי המחשב, החלו להיכתב אלגוריתמים על מנת לאפשר למחשבים לשחק משחקים, ומציאת אלגוריתמים אלו הפכה לאתגר מרכזי בבינה מלאכותית.
בינה מלאכותית > סקר מצבים

האלגוריתמים הבסיסיים ביותר לניתוח משחקים מבוססים על סקירה של כל המצבים שאליהם ניתן להגיע. אלגוריתמים עושים שימוש בשיטה הקרויה מיני-מקס לפי לכל מצב במשחק ניתן ערך בשיטה רקורסיבית: הערך של המשחק הוא הערך המקסימלי מבין המצבים שניתן להגיע אליהם מתוך אותו מצב, והערך של המצבים ההם הוא המינמלי (מכיוון שהמהלך הבא נעשה על ידי השחקן השני) מבין המצבים שניתן להגיע משם, וכך הלאה... בשיטה זאת ניתן לדוגמה לנתח את המצבים האפשריים באיקס עיגול בקלות יחסית, ומשימה זאת מופיעה פעמים רבות כתרגיל תכנותי. עבור איקס עיגול נבנו אפילו מכונות אנלוגיות (מכונות שלא מבוססות על אלקטרוניקה) המסוגלות לשחק את המשחק.
הבעיה בשיטת המינמקס היא שמספר המצבים עשוי להיות עצום. במשחק לוח שבו בלוח יש n תאים או משבצות, מספר המצבים גדל בצורה אקספוננציאלית ב-n, ולכן גם המחשבים המתקדמים ביותר אינם יכולים להביט יותר מדי מהלכים קדימה. מהסיבה הזאת עדיין לא נמצא אסטרטגיית ניצחון לשחמט, הקס, גו ולרבים אחרים.
משחק המשוחק בצורה מושלמת על ידי מחשב קרוי גם משחק פתור (אף כי ייתכן שמשחק פתור בצורה שלא מאפשרת ליישם את האסטרטגיה האופטימלית במחשב). המשחק בעל מספר המצבים הרב ביותר שמשוחק בצורה מושלמת על ידי מחשב הוא דמקה, בידי תוכנה הקרויה צ'ינוק.
בינה מלאכותית > הערכת מצבים ולמידה

כאשר לא ניתן לסרוק את המשחק עד סופו, אזי ניתוח המשחק חייב להתבסס על מציאת דרך להערכת מצבים. בשחמט, לדוגמה, מעריכים שהשחקנים הטובים ביותר בעולם אינם רואים יותר מ-5 מהלכים קדימה, ולמרות זאת עד לתחילת המאה ה-21 תוכנות המחשב הובסו מול אלופי העולם בשחמט. הסיבה לכך היא היכולת של בני אדם להעריך מצבים. בשחמט באופן ספציפי, ישנה תורה שלמה המתארת כיצד לנתח מצבים: מה הערך של כל כלי במשחק, חשיבות השליטה במרכז, כמה המלך חשוף וכך הלאה.
על מנת ללמד מחשבים להעריך מצבים נוסו מספר רב של שיטות. משמעותי מאוד עבור התפתחות הבינה המלאכותית הייתה יצירתם של תוכנות שחמט המסוגלות "ללמוד", כלומר תוכנות ההולכות ומשתפרות ממשחק למשחק.
ראו גם

תורת המשחקים
תורת המשחקים הקומבינטורית
מספר סוריאליסטי
לקריאה נוספת

J.H. Conway, "On numbers and games", AK Peters, 2001.
E.R. Berlekamp, J.H. Conway, and R. K Guy, "Winning ways for your mathematical plays", AK Peters, 2001.
הערות שוליים

↑   אודות תוכנת הדמקה צ'ינוק (אנגלית)
סיטואציה במשחק איקס עיגול
לוח משחק ההקס
ציור של נערות המשחקות שחמט.
ניל ה. מקלרוי

ניל הוסלר מקלרוי (באנגלית: Neil Hosler McElroy;‏ 30 באוקטובר 1904 – 30 בנובמבר 1972) היה מזכיר ההגנה של ארצות הברית בין השנים 1957 – 1959, בממשלו של נשיא ארצות הברית דווייט אייזנהאואר. לאחר פרישתו הוא שימש כיושב ראש מועצת המנהלים של פרוקטר אנד גמבל.
קורות חייו

מקלרוי נולד בבריאה (Berea) שבמדינת אוהיו להורים שהיו מורים בבית ספר. הוא גדל באזור סינסינטי. לאחר שקיבל את התואר הראשון שלו בכלכלה באוניברסיטת הרווארד ב-1925, הוא שב לסינסינטי כדי לעבוד במחלקת הפרסום של חברת פרוקטר אנד גמבל. ב-1931, כמנהל זוטר שניהל את מסע הפרסום של החברה לסבון "קמאי" (Camay), הוא כתב מזכר באורך של שלושה עמודים שהניח את היסודות לעקרונות המודרניים של ניהול מותג. במזכר זה, טען מקלרוי שעל חברות למנות צוות שיווק נפרד לכל מותג ומותג, כאילו היה מדובר על עסק נפרד. שיטה חדשנית זו של ניהול מותג תאומץ לימים על ידי חברות בכל רחבי ארצות הברית.
הוא התקדם במהירות במעלה סולם הניהול וב-1948 הוא היה לנשיא החברה. אף על פי שהוא נודע כאיש עסקים, ניסיונו היחיד של מקלרוי בממשל הפדרלי קודם לשנת 1957 היה כיושב ראש כנס הבית הלבן לחינוך בשנים 1955 – 1957. על רקע הניסיון שלו בתחום התעשייה, ועל רקע הדומיננטיות של הנשיא אייזנהאואר בענייני ההגנה, מינויו של מקלרוי לא היה חריג. הוא פירט את המנדט שניתן לו ביום בו נכנס לתקידו: "אני משוכנע שתפקיד מזכיר ההגנה הוא להיות הקפטן של צוות ההגנה של הנשיא אייזנהאואר".
שנותיו האחרונות

לאחר תום כהונתו כמזכיר ההגנה מונה מקלרוי ליושב ראש מועצת המנהלים של חברת פרוקטר אנד גמבל. ניל מקלרוי מת ממחלת הסרטן ב-30 בנובמבר 1972 בסינסינטי בגיל 68. הוא הניח אחריו את רעייתו, קמילה פ. מקלרוי, שתי בנות ובן ותשעה נכדים.
הערות שוליים

↑  "Neil H. McElroy -Dwight D. Eisenhower Administration". Office of the Secretary of Defense - Historical Office.
↑  "Great Moments In Branding: Neil McElroy Memo – Branding Strategy Insider". June 12, 2009.
↑  L. Parker Temple, Shades of Gray: National Security and the Evolution of Space Reconnaissance, AIAA, 2005, page 96.
↑  Citation Accompanying the Medal of Freedom Presented to Neil H. McElroy.
↑  Neil McElroy dies, The Times-News, December 2, 1972.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  ISNI: 0000 0000 3023 8643  LCCN: n88600059  NARA: 10677882  SNAC: w6g168rz  SUDOC: 243695942  VIAF: 8956021   WorldCat (עם VIAF): 8956021
משחק זרימה

משחק זרימה הוא משחק קואליציוני המתאים לבעיית זרימה. במשחק זה שווי של קואליציה הוא כמות הזרימה המקסימלית שחברי הקואליציה יכולים להעביר מהמקור ליעד.
הגדרה

תהי  \ (V,E,s,t,c) רשת זרימה, תהי  \ N קבוצת שחקנים סופית ותהי  \ I פונקציה המתאימה לכל קשת בגרף המכוון  \ (V,E)  שחקן השולט עליה.
משחק הזרימה המתאים לבעיית הזרימה  \ F=(V,E,s,t,c,N,I) הוא משחק בצורה קואליציונית  \ (N;v) שבו השווי  \ v(S) של קואליציה  \ S הוא כמות הזרימה המקסימלית שחברי  \ S יכולים להעביר מ-  \ s ל-  \ t.
משחק בצורה קואליציונית  \ (N;v) המהווה משחק זרימה של איזושהי בעיית זרימה, נקרא משחק זרימה.
דוגמה

(המספרים המוקפים בעיגול מציינים את מספר השחקן השולט על הקשת והמספרים שאינם מוקפים בעיגול מציינים את הקיבול של כל קשת)
במשחק הזרימה המתאים לבעיית הזרימה לעיל מתקיים:
\ v(1)=0


 \ v(2)=2


 \ v(3)=0


 \ v(1,2)=3


 \ v(1,3)=2


 \ v(2,3)=2


 \ v(1,2,3)=4
תכונות

התנאים הבאים שקולים עבור משחק  \ (N;v):
המשחק  \ (N;v) הוא משחק זרימה
המשחק  \ (N;v) הוא משחק מאוזן לחלוטין ובפרט הליבה שלו אינה ריקה
המשחק  \ (N;v) הוא משחק שוק
המשחק  \ (N;v) הוא מינימום של מספר סופי של משחקים אדיטיביים (ראו: משחק אדיטיבי)
לקריאה נוספת

שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946
ננסי פלצ'וק

אין תמונה חופשית
ננסי פלצ'וק  (באנגלית: Nancy K. Falchuk; נולדה ב-1946) כיהנה בין השנים 2007–2011, כנשיאה ה-24 של ההסתדרות הציונית הדסה וחברת חבר הנאמנים של הסוכנות היהודית.
קורות חיים

פלצ'וק נולדה בלונג איילנד למשפחה יהודית אמידה בעלת רקע של פעילות ציבורית. אף אמהּ וסבתה היו פעילות בהדסה.
פלצ'וק המתגוררת בעיר ניוטון במסצ'וסטס, היא אחות מוסמכת בעלת תואר אקדמי בסיעוד מ-Russell Sage College בטרוי שבמדינת ניו יורק ובוגרת אקדמיית וודמיר. עבדה כאחות במחלקה לטיפול נמרץ בבוסטון, שם הכירה את בעלה, ד"ר קנט פלצ'וק המכהן כפרופסור לרפואה באוניברסיטת הרווארד ונושא בתפקידים שונים, ואם לשני בנים ובת.
החלה את פעילותה בסניף בוסטון של הדסה, הייתה היו"ר של ועידת "הדסה" הארצית (לוס אנג'לס, 2000). בשנים 2000 - 2004 שימשה כרכזת של ארגון "הדסה" הבינלאומי, נבחרה לוועד הפועל של המועצה הארצית וכיהנה כרכזת הפיתוח הארצית של הארגון.
ניקולאי בוילסן

ניקולאי מולר בוילסן (בדנית: Nicolai Møller Boilesen; נולד ב-16 בפברואר 1992) הוא כדורגלן דני המשחק בעמדת המגן השמאלי.
קריירת מועדונים

בוילסן התחיל לשחק כדורגל במועדוני בקבוצות כדורגל מקומיות, עד שבגיל 12 הצטרף למחלקת הנוער של ברונדבי. בדצמבר 2009 בוילסן הצטרף לאקדמיה לכדורגל של אייאקס ששילמה תמורתו כחצי מיליון אירו. ב-3 באפריל 2011 בוילסן ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת בניצחון 0-3 נגד הראקלס אלמלו. בספטמבר 2011 בוילסן נפצע בירך ונעדר כחצי שנה ממגרשי הכדורגל. גם בעונת 2012/2013 נעדר מרוב משחקי הקבוצה עקב פציעה. ב-10 בנובמבר 2013 הבקיע את שער הבכורה שלו בקבוצה בניצחון 0-2 נגד ניימכן.
ב-25 באוגוסט 2016 בוליסן חתם בפ.צ. קופנהגן מליגת העל הדנית.
קריירה בינלאומית

ב-10 באוגוסט 2011 בוילסן ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת דנמרק בהפסד 2-1 לסקוטלנד. ב-15 בנובמבר 2013 בוילסן הבקיע את שער הבכורה שלו בנבחרת בניצחון 1-2 נגד נורווגיה.
בוילסן נכלל בסגל המורחב של הנבחרת לקראת מונדיאל 2018, אך לא נכלל בסגל הסופי. לעומת זאת, הוא נכלל בסגל הנבחרת לקראת יורו 2020 בו הגיע דנמרק לחצי הגמר.
תארים

ליגת העל ההולנדית: 2010/2011, 2011/2012, 2012/2013, 2013/2014
מגן יוהאן קרויף: 2013
ליגת העל הדנית: 2016/2017, 2018/2019
נמל התעופה הבין-לאומי ספינקס

נמל התעופה הבינלאומי ספינקס (בערבית: مطار سفنكس الدولي) הוא נמל תעופה ציבורי המשרת את העיר גיזה שבמצרים. נמל התעופה סמוך וחולק תשתיות עם שדה התעופה הצבאי קהיר מערב, על הכביש המקשר בין קהיר לאלכסנדריה. מסלול הנחיתה הראשי בנמל ממוקם כ-2 קילומטרים מהמסלולים שבקהיר מערב. חניית המטוסים ותשתיות הטרמינל ממוקמות ממערב למסלול הנחיתה. מערכת הניווט האווירית הטקטית (TACAN) של קהיר מערב (בקוד זיהוי BLA) ממוקמת בספינקס ומשואת השידור של מערכת הניווט VOR/DME של נמל התעופה הבינלאומי קהיר (בקוד זיהוי CVO) ממוקמת כ-47 קילומטרים מזרחית לנמל. באוקטובר 2017 הוכרז כי הנמל ייפתח לטיסות מסחריות בקיץ 2018, אך טיסות ניסוי נערכו רק באוקטובר. ב-26 בינואר 2019 חברת איג'יפטאייר אקספרס השיקה מהנמל טיסות ניסוי לנמל התעופה הבינלאומי של ע'רדקה, לנמל התעופה הבינלאומי שארם א-שייח', לנמל התעופה הבינלאומי לוקסור ולנמל התעופה הבינלאומי של אסוואן.
הערות שוליים

↑  "Egypt's Aviation Ministry finalizes preparations to inaugurate Sphinx Airport". Egypt Independent. 10 October 2018. Retrieved 15 October 2018.
↑  Google Maps - Giza Sphinx Airport
↑  "Cairo West TACAN (BLA) @ OurAirports". ourairports.com. Retrieved 2018-08-20.
↑  "Cairo VOR (CVO)". Our Airports. Retrieved 24 November 2018.
↑  Inaugural flights land at Sphinx International Airport in Giza next summer. Egypt Independent. 2017-10-29. Retrieved 2018-08-20.
↑  "Cairo Sphinx, Egypt to open for tests in 1Q18". ch-aviation. Retrieved 2018-08-20.
↑  "Sphinx International Airport to operate its first internal flight - Egypt Today". Egypt Today. 2019-01-26. Retrieved 2019-01-28.
ערך זה הוא קצרמרבנושא מצרים ובנושא שדות תעופה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
נחמן סירקין

| --- | --- |

 לידה:  23 בפברואר 1868 מוהילב, האימפריה הרוסית 
 פטירה:  6 בספטמבר 1924 (בגיל 56) ניו יורק, ארצות הברית 
 מדינה:  פולין, האימפריה הרוסית 
 מקום קבורה:  בית הקברות כנרת 
 מפלגה:  מפלגת פועלים סוציאליסטית ציונית 
 
מצבת קברו בבית הקברות כנרת
נחמן סירקין (ברוסית: Нахман Сыркин; י"ח בשבט ה'תרכ"ח, 11 בפברואר 1868 (לפי הלוח היוליאני) – ז' באלול ה'תרפ"ד, 6 בספטמבר 1924) היה הוגה דעות ואחד מאבות הציונות הסוציאליסטית.
תולדות חייו

נחמן סירקין נולד במוהילב שברוסיה הלבנה, אז בתחום המושב היהודי של האימפריה הרוסית (כיום בבלארוס). אביו, אליעזר, היה חסיד שעסק בלימוד תורה, ואמו, צביה, ניהלה בית מלאכה לגרביים. למד פילוסופיה ופסיכולוגיה באוניברסיטת ברלין, והושפע מהחוגים הסוציאליסטיים שם.
היה פעיל בתנועת חובבי ציון ובחוגי המהפכנים הרוסים. היה ממייסדי אגודת הסטודנטים הציונית בברלין. השתתף בקונגרס הציוני העולמי הראשון בבזל ב-1897 ובקונגרס השני שאף הוא בבזל בימים 31-28 באוגוסט 1898. בקונגרס זה עורר מהומות בכמה הזדמנויות: הוא מתח ביקורת על ההרכב המוצע של ועדת התרבות, שלדעתו כלל יותר מדי רבנים ופחות מדי נציגים בעלי השקפות עולם חופשיות. דבריו אלו עוררו מהומה בקרב צירי הקונגרס.  אחד הצירים שהגיש (כנראה בהסכמתו של הרצל) הצעה בעניין ועידת השלום שהוצעה על ידי הצאר הרוסי ניקולאי השני, הופסק על ידי סירקין  בקריאות “בוז”, כי לדעתו ההצעה ביטאה שבח לצאר שהיה צורר ליהודים. בישיבה אחרת באותו קונגרס בעת ויכוח על עניינים פרוצדורליים כמו מתן רשות דיבור, סירקין התווכח עם נשיא הקונגרס - הרצל  והחלה מהומה. סגן הנשיא ד”ר מ. מאנדלשטאם  ביקש להוציא את כל הצירים הסוציאליסטים מהקונגרס, והדבר עורר תשואות מצד אחד, מחאות ושריקות מהצד השני . בסיום הקונגרס השני, סירקין התפטר מתפקידו כציר בקונגרס .
ב-1901 הקים סירקין ארגון ציוני בשם 'חירות',  על פי עדותו של יוסף קרוק "הארגון הציוני הסוציאליסטי הראשון", אשר "שני סניפיו גם יחד (ברלין וציריך) מנו שנים־עשר חברים, וביניהם האישים שלימים זכו לפרסום רב, כמו ד"ר משה זילברפארב, זליג קלמנוביץ, נחום שטיף ועוד".
ב-1903 קיבל סירקין תואר דוקטור לפילוסופיה מאוניברסיטת ברלין, אך גורש מברלין לאחר שהוגדר כפעיל פוליטי רדיקלי, והמשפחה עברה לגור בפריז. על תקופתו בפריז העיד במידה מסוימת יוסף קרוק, שעמד עם סירקין בקשרי מכתבים ורעיונות. בזכרונותיו כתב קרוק כי סירקין "הירבה לתת את דעתו" על "האפשרות הארגונית לקשור יחד את הפעילות הציונית והסוציאליסטית", וכי סירקין סבר שיש "לנקוט את העמדה הידועה של 'שני מישורים'. פירוש הדבר היה, שהציונים-הסוציאליסטים צריכים ליטול חלק בשני ארגונים שונים לגמרי: בארגון הציוני וכן בארגון הסוציאליסטי הכללי". קרוק הצביע על מה שלהבנתו הייתה "התיזה העיקרית של סירקין", כפי שנוסחה והופצה ברוסית (ואחר כך בפולנית), ב"כרוז" מטעם סירקין:
"השכל והרגש מורים לנו שתי דרכים לפתרונה ההיסטורי של השאלה היהודית. ראשית – לעורר אצל ההמונים היהודים את היצרים הפוליטיים-המהפכניים וליצור את התנועה הסוציאל-דימוקראטית היהודית, עם הפרולטאריון העובד במרכז ועם שאר ההמון היהודי בפריפריה; שנית – לרכז את ההגירה היהודית הבהולה, את הנדודים היהודיים הנצחיים ולכוונם לטריטוריה אחת, כדי להקים שם מדינה יהודית על יסודות סוציאליסטיים [...] הסוציאל-דימוקראטיה והציונות הסוציאליסטית הן איפוא אותן שתי תנועות הנותנות את התשובה על המצוקה הממשית של ההמונים היהודים ועל השאלה היהודית בכלל. בגלל שורה שלמה של נימוקים טאקטיים אין טעם לאחד את שני סוגי הפעילות הללו לפרוגראמה ממשית אחת, ונחוץ לחלק אותן בקרב שני ארגונים ידידותיים עצמאיים. הן המטרות והן האמצעים של שתי הצורות האלו של פעילות חברתית, שרויים בשני מישורים שונים".
בשנים 1905–1907 התגורר סירקין בווילנה, ומשם, שוב דרך פריז, עבר עם משפחתו ב-1908 לארצות הברית. בשנת 1905 היה בין תומכי תוכנית אוגנדה וכאשר היא לא התקבלה, הוא ניתק את קשריו עם פעילים ציונים אך למרות זאת המשיך בפעילותו היהודית-לאומית, במסגרת 'הסוציאליסטים-טריטוריאליסטים' שבהמשך התאחדה בארצות הברית עם 'פועלי-ציון'.
פועלי ציון

סירקין היה ממנהיגי "פועלי ציון" באמריקה ומראשי תנועת הפועלים בעולם. ב-1920 ביקר סירקין בארץ ישראל כחבר במשלחת מטעם הברית העולמית של מפלגת פועלי ציון ונשא מספר נאומים בשבח הרעיון הקואופרציה וההתארגנות הקואופרטיבית.
הוא סבר שהאנטישמיות נובעת מהמאבק של החברה הבורגנית נגד הפרולטריון. לדעתו, מעמד העובדים מזהה את היהודים עם הבורגנות, ואילו הבורגנות מלבה את האנטישמיות כדי להסיט את תשומת הלב, ולעצור את התחזקות מעמד הפועלים. מסיבה זו הטיף סירקין להקמת חברה סוציאליסטית שוויונית בארץ ישראל, שתהיה מבוססת על שיתופיות, חירות ושוויון.
חייו האישיים

במהלך דיוני הקונגרס השני פגש את בתיה אוסנוס, פעילה ציונית סוציאליסטית, פמיניסטית בדעותיה, והם התחתנו ב-1898. ב-22 במרץ 1899 נולדה בתם היחידה, מרי סירקין (נישאה ב-1919 לאהרון ברודנסקי וב-1930 לצ'ארלס רזניקוב). ב-1916 נפטרה אשתו וב-1920 התחתן סירקין עם אחותה - מאשה. ב-1921 נולדה בתם, צביה.