משפט טיכונוף
הוכחת משפט טיכונוב

ישנן מספר הוכחות למשפט טיכונוב.
בעזרת משפט אלכסנדר לתת בסיסים: לטופולוגיית המכפלה  \prod _{i\in I}X_{i} יש תת-בסיס טבעי שהוא  B=\bigcup _{i\in I}B_{i} כאשר  B_{i}=\left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}:U_{i}\in \tau _{i}\right\}. לפי משפט אלכסנדר, כדי להוכיח קומפקטיות מספיק להתבונן בכיסוי  {\mathcal {U}} של מרחב המכפלה על ידי קבוצות מ- B. בלי הגבלת הכלליות, המרחב עצמו אינו שייך ל- {\mathcal {U}}. עבור  i\in I מסוים, נסתכל על כל הקבוצות מהצורה  \left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}\right\} שמשתתפות בכיסוי הנתון. אם ה- U_{i} האלה מכסים את  X_{i} אז יש מספר סופי מהם שמכסה את  X_{i} בגלל הקומפקטיות שלו, ולכן יש גם מספר סופי של  \left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}\right\} שמכסה את כל מרחב המכפלה וסיימנו. נניח בשלילה כי לכל  i\in I הקבוצות מהכיסוי שמהצורה  \prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i} מקיימות כי ה- U_{i} אינן מכסים את  X_{i}. מאקסיומת הבחירה ניתן לבחור לכל  i\in I איבר  x_{i}\in X_{i} שאינו ב- U_{i} הנ"ל. טענה:  (x_{i}) אינו מכוסה על ידי הכיסוי (וזו סתירה!). הוכחה: אחרת קיימת קבוצה מהצורה  \prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i} שהוא שייך אליה אבל לפי הבחירה  x_{i}\not \in U_{i}.
בעזרת שקילות להתכנסות על מסננים: יהא  F על מסנן של  \prod _{i\in I}X_{i} אזי  \{P_{i}(A):A\in F\} הוא על מסנן של  X_{i} (כאשר  P_{i} היא ההטלה על רכיב  i). ולכן קיים לו גבול שנסמנו  a_{i}. כעת, נראה כי  (a_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i} הוא גבול של  F וסיימנו. אכן כל סביבה של  (a_{i}) מכילה קבוצה פתוחה בסיסית  \prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j} עבור  J קבוצה סופית. ולכן לכל  j\in J קיימת  A_{j}\in F כך ש- P_{j}(A_{j})\subseteq U_{j} ואז  A=\bigcap _{j\in J}A_{j}\in F (חיתוך סופי) מקיימת  A\subseteq \prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}.
הוכחה בעזרת חיתוך של קבוצות סגורות: יהי  {\mathcal {F}} אוסף של קבוצות סגורות שכל חיתוך סופי מתוכו אינו ריק. נראה כי החיתוך של כולן אינו ריק. לפי הלמה של צורן קיימת  {\mathcal {H}} מקסימלית (ביחס להכלה) שמכילה את  {\mathcal {F}} ומקיימת שכל חיתוך סופי של קבוצות מ- {\mathcal {H}} לא ריק ומניחים בשלילה כי  \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}\neq \emptyset . כיוון ש- {\mathcal {H}} מקסימלית אזי כל חיתוך סופי של קבוצות מ- {\mathcal {H}} גם הוא ב- {\mathcal {H}} (אחרת נוכל להוסיף את החיתוך ל- {\mathcal {H}}). ומכאן שכל קבוצה  A שנחתכת עם כל איבר ב- {\mathcal {H}} גם היא ב- {\mathcal {H}} (אחרת נוכל להוסיף אותה ל- {\mathcal {H}}). כעת, לכל  i\in I הקבוצה  \{P_{i}(H):H\in {\mathcal {H}}\} מקיימת כי כל חיתוך סופי של קבוצות ממנה לא ריק ולכן זה נכון גם עבור  \left\{{\overline {P_{i}(H)}}:H\in {\mathcal {H}}\right\} ולכן בגלל קומפקטיות של  X_{i} קיים  a_{i}\in \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {P_{i}(H)}}. נסיים בכך שנראה ש-  (a_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i} נמצא ב- \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}. לשם כך תהא סביבה פתוחה בסיסית  O=\prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}=\bigcap _{j\in J}P_{j}^{-1}(U_{j}) (עבור  J קבוצה סופית) של  (a_{i}) ויהא  j\in J ו- H\in {\mathcal {H}}. אזי מתקיים כי  U_{j}\cap P_{j}(H)\neq \emptyset  (כיוון ש- a_{j}\in {\overline {P_{j}(H)}} ו- a_{j}\in U_{j} סביבה פתוחה שלה ב- X_{j}) ולכן  P_{j}^{-1}(U_{j})\cap H\neq \emptyset . לכן לכל  H\in {\mathcal {H}} מתקיים כי  P_{j}^{-1}(U_{j})\cap H\neq \emptyset  ולכן  P_{j}^{-1}(U_{j})\in {\mathcal {H}} (בגלל המקסימליות של  {\mathcal {H}} ). ומכאן נקבל כי  O=\bigcap _{j\in J}P_{j}^{-1}(U_{j})\in {\mathcal {H}} (בגלל המקסימליות של  {\mathcal {H}} וזהו חיתוך סופי של קבוצות משם) ולכן מהגדרת  {\mathcal {H}} נקבל כי לכל  H\in {\mathcal {H}} מתקיים  O\cap H\neq \emptyset  מה שאומר כי  (a_{i})\in {\overline {H}} ולכן גם בחיתוך של כולם  (a_{i})\in \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}.