stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
בית בן-גוריון
מבנה הבית > הקומה השנייה

בקומה השנייה מצויות כארבע ספריות. אחת מהן שימשה חדר עבודה לבן-גוריון, שם הייתה לו פינת עבודה בה כתב ביומנו. בחדר זה היה מותקן גם טלפון מיוחד, שקישר את חדר הספרייה למשרד הביטחון בלבד.
ב-13 במאי 1948 אירח בן-גוריון בספרייה כמה מחברי מנהלת העם: אהרן ציזלינג, יהודה לייב מימון ומשה שרת, שם ליטשו וניסחו את הנוסח הסופי של מגילת העצמאות. למחרת, יצאו מן הבית לבית דיזנגוף בשדרות רוטשילד (אז משכנו של מוזיאון תל אביב), שם הכריז בן-גוריון על הקמת המדינה.
הספריות המצויות בקומה השנייה ידועות בגודלן החריג. בן-גוריון החזיק בספריות אלו למעלה מ-20,000 ספרים שונים, בשפות שונות, העוסקים בעיקר בארץ ישראל, בציונות, בהיסטוריה, תרבויות ודתות שונות, ספרי תנ"ך רבים ועוד. בן-גוריון נתן דגש מיוחד לספרי זכר חללי צה"ל אותם החזיק בבעלותו. הספרים המצויים בספריות כתובים בשפות: עברית, אנגלית, גרמנית, רוסית, צרפתית, ספרדית, טורקית ועוד. ספרים אלה נותנים רקע על תחום העניין והידע של בן-גוריון.
הקומה השנייה כללה גם שירותים וחדר שינה, והיא שימשה באותה תקופה את בן-גוריון בלבד.
מאחר שבחודשי הקיץ של תחילת שנות ה-30 היה בן-גוריון בדרך-כלל בחוץ לארץ, נהגה פולה להשכיר בקיץ את חדרי הבית למשפחות נופשים, ולהתגורר עם הילדים בזמן הזה בחדר אחד.
הבית בן שתי הקומות היה גדול מכל הבתים בשכונה, והוסיף לעול החובות שבן-גוריון כבר היה שקוע בו, שהגיעו אז לסך 1,000 לירות מנדטוריות.
הפיכת הבית למוזיאון

בצוואתו, הוריש בן-גוריון את הבית למדינת ישראל. כשלוש שנים לאחר מותו של בן-גוריון, חוקקה המדינה את "חוק דוד בן-גוריון", שבו נאמר כי הבית יהיה פתוח לציבור, וישמש כמוזיאון לזכרו ולהנצחת מורשתו, וכ"מרכז לקריאה. לעיון. למחקר ולפרסום", כמבוקשו של בן-גוריון.
הבית נפתח לקהל הרחב לראשונה ב-29 בנובמבר 1974, ומאז נערכים בו טיולים מודרכים וכנסי עיון, שמטרתם לתאר את דמותו של בן-גוריון ואת פועלו כמנהיג. כמו כן, מוצגים בבית חומרים תיעודיים-היסטוריים, מזכרות, ותארים שקיבל בן-גוריון בהיותו ראש ממשלה.
השדרה בה שוכן הבית, נקראה בתקופת חייו של בן-גוריון "שדרות קרן קיימת" (קק"ל), ושמה שונה לשדרות בן-גוריון לאחר מותו. השם "שדרות קרן קיימת" ניתן לרחוב ראשי בשכונות עבר הירקון.
שכנו של בן-גוריון, הלל כהן, ממייסדי חברת "סולל בונה" ומראשיה, הוריש לבית בן-גוריון מגרש סמוך שהיה בבעלותו, ב"רחוב לסל 18" ברחוב מקביל לביתו של בן-גוריון בשדרות בן-גוריון 17. במבנה הקטן ברחוב לסל משמש את בית בן-גוריון להרצאות ולישיבות, ובתוכו אולם קטן להקרנת סרטים על בן-גוריון ופועלו.
ביולי 2020 מונה אלוף (מיל') ניצן אלון ליו"ר מועצת בית בן-גוריון בתל אביב.
ראו גם

צריף בן-גוריון
הערות שוליים

↑  "סיפורי בתים" סיפורם של שבעים בתים בתולדות ההתיישבות, עורך: זאב ענר, הוצאת אורבך בע"מ, משרד הביטחון - ההוצאה לאור, מאי 1992, עמודים 152-148
↑  גרסה מקוונת של הספר (לבעלי הרשאה), באתר "כותר"
↑  אניטה שפירא, בן-גוריון: דמותו של מנהיג, עמ' 60: "כאשר נפטר היו בספרייתו כ-18 אלף כרכים ועוד אלפי חוברות".
1 2  אניטה שפירא, בן-גוריון: דמותו של מנהיג, עמ' 61
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007258784305171
אופטיקת פורייה

אופטיקת פורייה היא ענף באופטיקה שהחל להתפתח בסוף המאה ה-19. תורה זו מתארת את מהלך האור על ידי שימוש במכניקת הגלים ובכלים מתמטיים, הלקוחים מהנדסת חשמל ומתורת האינפורמציה. היא מהווה כלי חישובי ותאורטי פופולרי בקרב פיזיקאים ומהנדסים כיום והיא שימושית מאוד באופטיקה, תקשורת, מכ"ם ועוד. קרויה על שמו של המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה ועל שם ההתמרה האינטגרלית הנושאת את שמו - התמרת פורייה.
מערכת אופטית של שתי עדשות מדמה את תמונתו של ז'אן-בטיסט פורייה. עדשה ראשונה מייצרת את התמרת פורייה של האובייקט ב"מישור פורייה". עיבוד האות מתבצע במישור פורייה. לאחר מכן, עדשה שנייה מבצעת התמרת-פורייה נוספת ומתקבלת התמונה ביציאה
רקע היסטורי > אופטיקה גלית

עד המאה ה-19 נהגו פיזיקאים לתאר את האור כזרם של חלקיקים. גישה זו נקבעה במאה ה-17 על ידי אייזק ניוטון והולידה את האופטיקה הגאומטרית אשר נלמדת עד היום ומצליחה להסביר בצורה מדויקת למדי הרבה תופעות אופטיות "יומיומיות". למרות הצלחתה של האופטיקה הגאומטרית, במאה ה-19 גילו פיזיקאים כמו אוגוסטן ז'אן פרנל, יוזף פראונהופר, תומאס יאנג ואחרים כי האור עובר תופעות גליות של התאבכות ועקיפה, אשר אינן ניתנות להסבר על ידי המודל החלקיקי והאופטיקה הגאומטרית. לעומת זאת, תופעות אלה בהחלט ניתנות להסבר על ידי אימוץ התפיסה כי האור הוא גל המתפשט במרחב. בכך נזנח המודל הניוטוני של האופטיקה הגאומטרית לטובת האופטיקה הגלית. גישה פיזיקלית חדשה זו יכולה הייתה להסביר הן את התופעות המוכרות של האופטיקה הגאומטרית והן את התופעות, שבאותה עת נחשבו חדשות, של עקיפה והתאבכות. תורה זו הגיעה לבשלות בשנת 1864, עת הציג הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול בפני החברה המלכותית סט של ארבע משוואות דיפרנציאליות המתארות את התנהגות הגלים האלקטרומגנטיים. משוואות אלו מכונות היום "משוואות מקסוול" והן מהוות את הבסיס התאורטי לכל התיאור הגלי של האור.
על אף יעילותה ורב-גוניותה של האופטיקה הגלית, היו עוד כמה תופעות שלא ניתנות היו להסבר גם על ידה. אחת מהן הייתה הקטסטרופה באולטרה-סגול של קרינת גוף שחור והשנייה הייתה האפקט הפוטואלקטרי. ארבעים ואחת שנים מאוחר יותר, בשנת 1905, הציע אלברט איינשטיין הסבר לאפקט הפוטואלקטרי על ידי אימוץ מודל חלקיקי חדש לאור, אולם טען כי אין בכך כוונה לזנוח את ההנחה כי האור הוא גם גל. גישה זו, המקבלת שני מודלים שונים ונפרדים (המודל החלקיקי והמודל הגלי) בו-זמנית, נקראת היום "הדואליות של האור" והיא מניחה כי לאור יש גם תכונות גליות אשר מתוארות היטב על ידי המודל הגלי וגם תכונות חלקיקיות המתוארות היטב על ידי המודל החלקיקי. גישה זו הולידה בתחילת המאה ה-20 את המכניקה הקוונטית, אשר הצמיחה את האופטיקה הקוונטית, המתארת את התנהגות אור במערכות מסדר גודל קטן מאוד - גודל שבו נכשלת האופטיקה הגלית.
אף על פי שהאופטיקה הקוונטית מתארת את התנהגות האור בצורה טובה יותר מהאופטיקה הגלית, פשטותה היחסית של האופטיקה הגלית ויעילותה בתיאור תופעות אופטיות בשלל בעיות הנדסיות ופיזיקליות הופכים אותה לכלי חשוב ושימושי למהנדסים ומדענים גם כיום.
רקע היסטורי > אופטיקה, תקשורת ואינפורמציה

מאז שנות השלושים של המאה ה-20, הייתה התקרבות של פיזיקאים רבים העוסקים באופטיקה לענפי האינפורמציה והתקשורת מתחום הנדסת החשמל. מגמה זו מובנת לאור העובדה כי קיים דמיון רב בין מערכות תקשורת ומערכות הדמיה, בשני המקרים מטרתן היא לאסוף ולהוביל מידע. כלומר, שני סוגי המערכות מקבלים מידע (קלט) ופולטים מידע (פלט). עבור מערכות תקשורת המידע הוא בדרך כלל פונקציה זמנית (מתח או זרם התלויים בזמן) ועבור מערכות אופטיות המידע הוא פונקציה מרחבית (התפלגות מרחבית של עצמת האור או של אמפליטודת השדה האלקטרומגנטי). יתרה מזאת, מערכות תקשורת ומערכות אופטיות חולקות תכונות נוספות כמו ליניאריות ואינווריאנטיות. כל מערכת בעלת שתי תכונות אלו ניתנת לתיאור מתמטי על ידי ניתוח תדירויות ואנליזת פורייה.
עם התחזקותה של טכנולוגיית המחשוב (הגידול בכוח החישוב והזיכרון, הוזלתם ומיזעורם של המחשבים ופיתוח אלגוריתמים מהירים) נעשתה אנליזת פורייה קלה, פשוטה ונגישה יותר. עובדה זו תרמה להפיכתה של אנליזת פורייה לכלי מתמטי נפוץ בקרב קהילת האלקטרו-אופטיקאים.
רקע מתמטי

הבסיס התאורטי לאופטיקת פורייה נובע מענף במתמטיקה הנקרא "טוריי פורייה". לפי תורה זו, בהתקיימם של תנאים מסוימים, ניתן לרשום כל פונקציה כטור של פונקציות הרמוניות (סינוסים וקוסינוסים). פונקציות הרמוניות אלה מקיימות את משוואת הגלים ולכן גם כל צירוף ליניארי שלהן מקיים אותה. לפיכך, אם נסתכל על אות כלשהו שמציית למשוואת הגלים (גל אור, אות חשמלי), מורכב ככל שיהיה, ניתן יהיה לפרק אותו לסדרה של רכיבים - סינוסים וקוסינוסים פשוטים הנקראים "רכיבי פורייה". על רכיבים אלה ניתן לעשות מניפולציות בצורה פשוטה יחסית - פעולה זאת נקראת "עיבוד האות". לאחר עיבוד האות מרכיבים את כל הרכיבים מחדש ליצירת הפלט (תמונה במקרה של מערכת אופטית או אות חשמלי במקרה של מערכת תקשורת).
הפעולה המתמטית שמפרקת את הקלט לרכיביו נקראת התמרת פורייה והפעולה שמחברת את רכיבי פורייה מחדש נקראת "התמרת פורייה ההפוכה". עדשה מבצעת את התמרת פורייה על גל אור שנכנס אליה.
התמרת פורייה דו-ממדית

פרק זה טעון שכתוב. אנא תרמו לוויקיפדיה . ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הסיבה היא הפרק משתמש בטון דידקטי ולא אנציקלופדי.
לאורך הערך כולו נשתמש בהגדרה הבאה עבור התמרת פורייה של פונקציה דו־ממדית  g_{(x,y)}:


 {\mathcal {F}}\left\{g_{(x,y)}\right\}=G_{(f_{x},f_{y})}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\int _{-\infty }^{+\infty }{g_{(x,y)}{\mbox{exp}}\left[-j2\pi \left(f_{x}x+f_{y}y\right)\right]}\,dx}\,dy


כאשר  j היא היחידה המדומה,  \left(f_{x},f_{y}\right) נקראות התדירויות המרחביות ויש להן יחידות הפוכות ליחידות של  \left(x,y\right).


את ההתמרה ההפוכה נגדיר באופן הבא:


 {\mathcal {F}}^{-1}\left\{G_{(f_{x},f_{y})}\right\}=g_{(x,y)}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\int _{-\infty }^{+\infty }{G_{(f_{x},f_{y})}{\mbox{exp}}\left[j2\pi \left(f_{x}x+f_{y}y\right)\right]}\,df_{x}}\,df_{y}


לשתי התמרות אינטגרליות אלה תכונות שימושיות כמו ליניאריות, הפרדת משתנים וסימטריה והן מצייתות למספר משפטים מתמטיים שכדאי לקורא להכיר כמו משפט פרסבל, משפט הקונבולוציה, משפט אינטגרל פורייה ועוד.


בנוסף, נציג את התמרת הנקל מסדר אפס, שהיא התמרת אנלוגית להתמרת פורייה המתאימה לפונקציות דו־ממדיות עם סימטריה רדיאלית
 g_{(r,\theta )}=g_{R(r)}:


 G_{(\rho )}=2\pi \int _{0}^{\infty }{rg_{R(r)}J_{0}\left(2\pi r\rho \right)}\,dr


כאשר  J_{0} היא פונקציית בסל מסדר אפס ונתונה ע"י:


 J_{0}\left(a\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{{\mbox{exp}}\left[-ja\cos \left(\theta -\phi \right)\right]}\,d\theta 


בשלב זה נמליץ לקורא ללמוד ולהכיר התמרות פורייה/הנקל של פונקציות שימושיות (מדרגת היחידה, מפתח ריבועי, מפתח מעגלי, פונקציית דלתא של דיראק, פונקציית "אוהל", רכבת הלמים וכו'), אשר לא הובאו כאן כדי לא להכביד על קריאת הערך.
מערכות ליניאריות

מערכת מוגדרת כמיפוי של סט נתוני קלט לסט נתוני פלט. עבור המקרה של מערכות חשמליות, הקלט והפלט הוא פונקציית חד־ממדיות של הזרם או המתח התלויות בזמן; עבור המקרה של מערכות אופטיות, הקלט והפלט הן פונקציות דו־ממדיות ממשיות (עוצמה) או מרוכבות (השדה) המשתנות במרחב. נסמן את פעולת המערכת על ידי אופרטור מתמטי  {\mathcal {S}}\left\{\cdot \right\} הפועל על פונקציית הקלט  g_{1}\left(x_{1},y_{1}\right) וממפה אותה לפונקציה  g_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)
באופן הבא:
 g_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)={\mathcal {S}}\left\{g_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)\right\}
מתוך קבוצת כל האופרטורים נתמקד רק באופרטורים הליניאריים. ליניאריות של אופרטור אומרת שהפלט מאופרטור הפועל על קומבינציה ליניארית של שתי פונקציות (או יותר) הוא קומבינציה ליניארית של פלט האופרטור לאחר שפעל על כל פונקציה בנפרד. או בכתיב מתמטי - עבור כל שתי פונקציות
 p\left(x_{1},y_{1}\right),q\left(x_{1},y_{1}\right)
ועבור כל שני סקלרים
 \alpha ,\beta 
מתקיים:


 {\mathcal {S}}\left\{\alpha p\left(x_{1},y_{1}\right)+\beta q\left(x_{1},y_{1}\right)\right\}=\alpha {\mathcal {S}}\left\{p\left(x_{1},y_{1}\right)\right\}+\beta {\mathcal {S}}\left\{q\left(x_{1},y_{1}\right)\right\} .}
ליניאריות ואינטגרל הסופרפוזיציה

נסתכל על פעולת אופרטור ליניארי הפועל על פונקציית כניסה  g_{1}\left(x_{1},y_{1}\right). אך מעט לפני כן, נשתמש בתכונה ידועה של פונקציית-דלתא כדי לכתוב את פונקציית הכניסה בצורה הבאה:
 g_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)=\int {\int {g_{1}\left(\xi ,\eta \right)\delta \left(x_{1}-\xi ,y_{1}-\eta \right)}\,d\xi }\,d\eta  .


למציאת התגובה של המערכת יש להפעיל את האופרטור על הקלט


 g_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)={\mathcal {S}}\left\{\int {\int {g_{1}\left(\xi ,\eta \right)\delta \left(x_{1}-\xi ,y_{1}-\eta \right)}\,d\xi }\,d\eta \right\} .


משום שהאופרטור לא פועל על פונקציית משתני-הדמה שבאינטגרל, ניתן להכניס אותו לתוך האינטגרל ולהפעילו על פונקציית הדלתא בלבד
 g_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)=\int {\int {g_{1}\left(\xi ,\eta \right){\mathcal {S}}\left\{\delta \left(x_{1}-\xi ,y_{1}-\eta \right)\right\}}\,d\xi }\,d\eta  .


בשלב הסופי, נגדיר את פונקציית התגובה להלם של המערכת
 h\left(x_{1},y_{1};\xi ,\eta \right)={\mathcal {S}}\left\{\delta \left(x_{1}-\xi ,y_{1}-\eta \right)\right\} .


כעת, ניתן לרשום את הקשר בין הקלט והפלט של המערכת הליניארית באופן הבא
 g_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)=\int {\int {g_{1}\left(\xi ,\eta \right)h\left(x_{1},y_{1};\xi ,\eta \right)}\,d\xi }\,d\eta  .

 אינטגרל זה נקרא "אינטגרל הסופרפוזיציה" וחשוב לשים לב אינטגרל זה הוא בעצם קונבולוציה. ובכך אנו מקבלים עקרון חשוב מאוד באופטיקת פורייה - הפלט של מערכת אופטית שווה לקונבולוציה של פונקציית הכניסה עם פונקציית התגובה להלם של המערכת  g_{2}=g_{1}*h .


כאן ראוי להזכיר את משפט הקונבולוציה הטוען כי התמרת פורייה של קונבולוציה בין שתי פונקציות שווה למכפלת התמרות פורייה של כל פונקציה בנפרד (בהנחה שתנאי המשפט מתקיימים) -  G_{2}=G_{1}\cdot H. כאשר
 G_{2}
היא התמרת פורייה של פונקציית הפלט
 g_{2}
והפונקציה
 G_{1}
היא התמרת פורייה של פונקציית הקלט
 g_{1}
והפונקציה
 H
היא התמרת פורייה של פונקציית התגובה להלם של המערכת והיא נקראת גם פונקציית התמסורת של המערכת.
מעבר ממשוואות מקסוול הווקטוריות למשוואת הלמהולץ הסקלרית

כאמור, הבסיס לכל המודל הגלי של האור מסוכם בצורה אלגנטית ופשוטה על ידי ארבעת משוואות מקסוול. משוואות אלו הן משוואות דיפרניציאליות וקטורית והן מצמדות בין השדה החשמלי והשדה המגנטי. עבור תווך ליניארי, איזוטרופי, הומוגני, לא נפיץ ולא-מגנטי משוואות מקסוול יכולות להכתב בצורה הבאה (במערכת יחידות MKS)


 \nabla \times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}


 \nabla \times {\vec {H}}=-\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}


 \nabla \cdot \epsilon {\vec {E}}=0


 \nabla \cdot \mu {\vec {H}}=0 .


לפי זהות וקטורית שימושית מתקיים: 

 \nabla \times \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {E}}\right)-\nabla ^{2}{\vec {E}} .


אם נציב בזהות זו את המשוואת השלישית ונציב אותה מחדש במשוואת מקסוול הראשונה, נקבל את משוואת הגלים עבור השדה החשמלי
 \nabla ^{2}{\vec {E}}={\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}} .

כש-  n={\sqrt {\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}}} הוא מקדם השבירה של החומר ו-  c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}} היא מהירות האור בריק.

משוואה וקטורית זו ניתנת להפרדה לרכיבים - כל רכיב של השדה החשמלי,  E_{x},E_{y},E_{z}, מציית למשוואה זו בנפרד ולכן ניתן לפרק אותה לסט של שלוש משוואות סקלריות  \nabla ^{2}E_{i}={\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E_{i}}{\partial t^{2}}} כאשר
 i=x,y,z.


משום שכל גל ניתן לכתיבה על ידי סכום של גלים מישוריים מהצורה
 {\vec {u}}\left({\vec {r}};t\right)={\vec {u}}_{0}{\mbox{exp}}\left[\pm j\left({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t\right)\right]
בעלי וקטורי-גל
 {\vec {k}} שונים, יש טעם להציב את הגל המישורי במשוואת הגלים.

לשם כך יש לחשב את הנגזרת הזמנית ולהציבה במשוואת הגלים :
 {\frac {\partial ^{2}{\vec {u}}}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}{\vec {u}} .

לאחר הכנסת יחס הדיספרסיה המתאים לתווך איזוטרופי והומוגני  \omega =vk מקבלים את המשוואה
 \nabla ^{2}{\vec {u}}+k^{2}{\vec {u}}=0 .


(תהליך דומה ניתן לעשות גם עבור השדה המגנטי).

משוואה זו נקראת משוואת הלמהולץ והיא הייתה מוכרת למהנדסי החשמל שעסקו בקווי תמסורת ובתקשורת טלגרף.
היתרון של עבודה עם משוואה זו במקום עם משוואת הגלים הוא שכעת אין פותרים משוואה עם תלות זמנית ומרחבית, אלא משוואה מרחבית בלבד.
דיפרקציה במרחב חופשי

הבעיה הבסיסית באופטיקה היא זו - נתונה פונקציית ההתפלגות של האמפליטודת השדה האלקטרומגנטי במישור הכניסה למערכת. נניח כי הגל הוא מונוכרומטי (בעל אורך גל בודד
 \lambda 
) ומתקדם בכיוון ציר z. פונקציית הכניסה היא
 u_{0}\left(x_{0},y_{0},z=0\right).
אנו מחפשים את פונקציית התפלגות השדה ביציאה מהמערכת, שבמקרה הנוכחי היא מרחב חופשי,
 u_{1}\left(x_{1},y_{1},z\right)
, כאשר השדה מציית למשוואת הלמהולץ.


לפי עקרון הויגינס-פרנל, כל נקודה בפונקציית הכניסה היא מקור של גל כדורי, כאשר
 u_{0}
נותנת את המשקל של כל מקור כזה. לפיכך, פתרון הבעיה הוא סופרפוזיציה של גלים כדוריים, אשר לכל אחד מהם מקבל משקל שונה:


 u_{1}\left(x_{1},y_{1},z\right)={\frac {1}{j\lambda z}}\int {\int {u_{0}\left(x_{0},y_{0},z\right){\mbox{exp}}\left[j{\frac {2\pi }{\lambda }}{\sqrt {\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}+z^{2}}}\right]}\,dx_{0}}\,dy_{0}.
קירוב פרנל

כאשר גודל המפתח של פונקציית הכניסה קטן מספיק ממרחק ההתקדמות של הגל, ניתן לקרב את השורש שבאקספוננט לפי טור טיילור באופן הבא:
{\sqrt {\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}+z^{2}}}\approx z\left(1+{\frac {\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}}{2z^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}}{2z^{2}}}\right)


לאחר הכנסת קירוב זה לאקספוננט שבאינטגרל מקבלים:


 u_{1}\left(x_{1},y_{1},z\right)\approx {\frac {1}{j\lambda z}}{\mbox{e}}^{j{\frac {2\pi }{\lambda }}z}{\mbox{e}}^{j{\frac {\pi }{\lambda z}}\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)}\int {\int {u_{0}\left(x_{0},y_{0},z\right){\mbox{e}}^{j{\frac {\pi }{\lambda z}}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)}{\mbox{e}}^{-j{\frac {2\pi }{\lambda z}}\left(x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1}\right)}}\,dx_{0}}\,dy_{0}.


בשלב זה ניתן לסמן
 f_{x}\equiv {\frac {x_{1}}{\lambda z}},f_{y}\equiv {\frac {y_{1}}{\lambda z}}.

בנוסף, אפשר להבחין כי האינטגרל הנ"ל, המכונה גם אינטגרל הדיפרקציה של פרנל-כירכהוף, הוא למעשה התמרת פורייה של הפונקציה
 u_{0}{\mbox{e}}^{j{\frac {\pi }{\lambda z}}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)}. 

נרשום זאת כך:


 u_{1}\left(x_{1},y_{1},z\right)\approx {\frac {1}{j\lambda z}}{\mbox{e}}^{j{\frac {2\pi }{\lambda }}z}{\mbox{e}}^{j{\frac {\pi }{\lambda z}}\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)}{\mathcal {F}}\left\{u_{0}{\mbox{e}}^{j{\frac {\pi }{\lambda z}}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)}\right\}.
קירוב פראנהופר

כאשר מרחק ההתקדמות גדול מספיק כדי לקרב את האקספוננט
 {\mbox{e}}^{j{\frac {\pi }{\lambda z}}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)}
ל-1, אנו נותרים בלעדיו באינטרגרנד ואינטגרל פרנל-כירכהוף הופך להיות התמרת פורייה של
 u_{0}. כך מקבלים:


 u_{1}\left(f_{x},f_{y},z\right)=\Omega {\mathcal {F}}\left\{u_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)\right\}.


כאשר:


 \Omega ={\frac {1}{j\lambda z}}{\mbox{e}}^{jkz}{\mbox{e}}^{j{\frac {k}{2z}}\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)}


 k={\frac {2\pi }{\lambda }}.


משום שהעצמה תלויה בריבוע ערכה המוחלט של האמפליטודה ניתן לכתוב את התמונה ביציאה כך:


 I_{out}=\left|u_{1}\right|^{2}=\left|\Omega \right|^{2}\left|{\mathcal {F}}\left\{u_{0}\right\}\right|^{2}.


קירוב זה נקרא קירוב פראנהופר ובו טמון העיקרון החשוב ביותר באופטיקת פורייה והסיבה לשמה:
פונקציית היציאה מהמערכת היא התמרת פורייה של פונקציית הכניסה.
קירוב פראנהופר > דוגמאות > עקיפה ממפתח מלבני

במשטח מישורי מחומר אטום לאור, קיים חור מלבני בעל רוחב a וגובה b המואר בתאורה אחידה. נחשב כאן את תמונת המפתח על מסך המרוחק מרחק z מן המפתח, לפי קירוב פראנהופר:


ראשית, נרשום את פונקציית הכניסה -
 u_{in}\left(x_{0},y_{0},0\right)={\mbox{rect}}\left({\frac {x_{0}}{a}}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {y_{0}}{b}}\right).
לפי קירוב פראנהופר, כדי לחשב את פונקציית היציאה צריך למצוא את התמרת פורייה של הכניסה. במקרה זה היא:


 u_{1}=\Omega {\mathcal {F}}\left\{u_{0}\right\}=\Omega ab{\mbox{sinc}}\left(af_{x}\right){\mbox{sinc}}\left(bf_{y}\right).
כאשר:
 f_{x}={\frac {x_{1}}{\lambda z}}f_{y}={\frac {y_{1}}{\lambda z}}.


והעוצמה תהיה:


 I_{out}={\frac {a^{2}b^{2}}{\lambda ^{2}z^{2}}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {ax_{1}}{\lambda z}}\right){\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {by_{1}}{\lambda z}}\right)
קירוב פראנהופר > דוגמאות > עקיפה ממפתח עגול

נחשב את התמונת ביציאה מהמערכת כשהמפתח הוא מעגלי בקוטר l. פונקציית הכניסה הפעם היא:


 u_{in}={\mbox{circ}}\left({\frac {r_{0}}{\frac {l}{2}}}\right).


כאשר
 r_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}


הפעם נשתמש בהתמרת הנקל לחישוב פונקציית היציאה.


 u_{out}=2\Omega A{\frac {J_{1}\left(\pi \rho l\right)}{\pi \rho l}} כש-A הוא שטח המעגל ו-
 \rho ={\frac {r_{1}}{\lambda z}} עם
 r={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}.


עצמת השדה ביציאה במקרה זה תהיה:


 I_{out}=4{\frac {A^{2}}{\lambda ^{2}z^{2}}}\left[{\frac {J_{1}\left(\pi \rho l\right)}{\pi \rho l}}\right]^{2}
קירוב פראנהופר > דוגמאות > עקיפה מסריג אמפליטודה סינוסואידי

במקרה זה פונקציית הכניסה היא סינוס עם תדירות מרחבית
 f_{0} לאורך ציר x ועומק מודולציה
 m
ה"רוכב" על עוצמה קבועה בת יחידה אחת:


 u_{in}=1+m{\mbox{cos}}\left(2\pi f_{0}x_{0}\right).
במקרה זה התמרת פורייה של הכניסה תיתן:


 u_{out}=\Omega {\mathcal {F}}\left\{u_{in}\right\}=\Omega \left[\delta \left(f_{x},f_{y}\right)+{\frac {m}{2}}\delta \left(f_{x}-f_{0},f_{y}\right)+{\frac {m}{2}}\delta \left(f_{x}+f_{0},f_{y}\right)\right].
זוהי תוצאה שימושית מאוד - "הולדתן" של שתי פונקציות הדלתא נותנת שניתן להשתמש בסריג אמפליטודה דק כמעין מפצל קרניים - קרן נכנסת מתפצלת לשלוש קרנים: קרן אחת ממשיכה באותה דרך, קרן שנייה המוסטת ימינה וקרן שלישית מוסטת שמאלה. כדי לממש רכיב בעל פעולה דומה ההמסתמך רק על אופטיקה גאומטרית יש לתכנן רכיב עבה, כבד ומסורבל.

באופן דומה, ניתן לתכנן רכיב בעל פונקציית שן-מסור שיעשה עבודה דומה (אם כי שם נקבל יותר משתי קרניים) או שן-מסור א-סימטרי, שבאמצעותו ניתן לקבל קרן חדשה אחת בלבד.
זו דוגמה טובה ליתרונותיה של אופטיקת פורייה בתכנון רכיבים אופטיים, ובעיקר בתכנון רכיבים דיפרקטיביים שלא ניתן היה לתכנן באמצעות אופטיקה גאומטרית.
רכיבים דקים

בחלק הקודם עסקנו במערכת "מרחב חפשי". בחלק זה נביא רכיבים אופטיים נוספים - אל כולם נתייחס כאל רכיבים "דקים". כלומר, אין בתוכם תופעות דיפרקציה משניות. בנוסף, לשם פשטות החישובים, נתעלם מהחזרות פנימיות ומתופעות לא ליניאריות (אם ישנן). 

בדומה לסימונים בחישובי מערכות ליניאריות, מטרתנו היא לבטא את פעולת הרכיב כאופרטור t הפועל על פונקציית הכניסה: 

 u_{out}=t\left(x,y,z\right)u_{in}.
רכיבים דקים > לוח דיאלקטרי

נסתכל על לוח דיאלקטרי שקוף, בעל מקדם שבירה n ועובי d.

ללא המעבר דרך הלוח, היה האור צובר איבר פאזה
 {\mbox{e}}^{jkd}, אך משום שהאור עובר דרך הלוח הוא יקבל איבר פאזה
 {\mbox{e}}^{jknd}.

לכן הפרש הפאזה ביחס לאור שהיה עובר בוואקום מכתיב שאופרטור הרכיב יהיה:

 t={\mbox{e}}^{jk\left(n-1\right)d} .

כאשר הגל פוגע בלוח בזווית
 \theta ,
אז העובי האפקטיבי של הלוח הוא בקירוב הפראקסיאלי
 d_{eff}\approx {\frac {d}{{\mbox{cos}}\theta }}. אם נציב זאת באופרטור הלוח נקבל:

 t={\mbox{e}}^{jk\left(n-1\right){\frac {d}{{\mbox{cos}}\theta }}} .
רכיבים דקים > פריזמה

נתונה פריזמה דקה (נקראת לפעמים גם "טריז" - wedge), בעלת מקדם שבירה n ובעלת זווית ראש
 \alpha . נוכל לכתוב ביטוי עבור עובי הלוחית כפונקציה של y:

 d\left(y\right)={\mbox{tan}}\left(\alpha \right)y.

לכן אופרטור הפריזמה יהיה:

 t={\mbox{e}}^{jk\left(n-1\right){\mbox{tan}}\left(\alpha \right)y} .
רכיבים דקים > עדשה דקה

נחשב את הביטוי עבור עדשה דקה בעלת עובי מרבי a, מקדם שבירה n ורדיוסי עקמומיות
 R_{1},R_{2} המצייתים להסכם הסימנים של נוסחת לוטשי-העדשות. לפי נוסחת לוטשי העדשות לעדשה כזו יהיה אורך מוקד
 f=\left[\left(n-1\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)\right]^{-1}.


באופן דומה לשני הרכיבים הקודמים, נרשום את עובי העדשה ונציב בביטוי עבור הפרש הפאזה בין אור שעבר בעדשה ובין אור שעבר בוואקום:


 d\left(x,y\right)=a-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right) .


לכן פונקציית ההעברה (או ה"אופרטור") של העדשה תהיה:


 t\left(x,y\right)={\mbox{e}}^{j\left(n-1\right)d\left(x,y\right)}={\mbox{e}}^{jka\left(n-1\right)}{\mbox{e}}^{-j{\frac {k}{2f}}\left(x^{2}+y^{2}\right)} .


בביטוי זה ניתן להבחין בשני איברים: האיבר הראשון - איבר פאזה גלובלית קבוע במרחב והוא פחות מעניין מביניהם. האיבר השני - פאזה ריבועית, היוצרת גל כדורי. זהו האיבר הגורם לגל מישורי להתכנס או להתבדר, בהתאם למוקד העדשה ומרחק ההתפשטות.
שיטת האופרטורים

לאחר שמצאנו ביטויים עבור רכיבים אופטיים ועבור התקדמות במרחב חופשי, נוכל כעת להרכיב ביטויים עבור מערכות מורכבות יותר, מרובות רכיבים. כפי שניתן לצפות, הביטוי עבור מערכת מרובת מקטעים של התקדמות במרחב חופשי יכול להיות ארוך ומסורבל וידרוש פתרון אינטגרלים רבים. כדי להתמודד עם אתגר זה, נציג נוטציה שימושית:

ראשית, נגדיר אופרטור מתאים לכל רכיב ולאחר מכן נציג את היחסים ביניהם.
נסמן את הגדלים הבאים:

 \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},k={\frac {2\pi }{\lambda }}
שיטת האופרטורים > אופרטור קנה-מידה (scaling)

\nu [a]f(x,y)=f(ax,ay)
שיטת האופרטורים > אופרטור ההזזה

S[{\vec {s}}]f(x,y)=f(x-s_{x},y-s_{y})
שיטת האופרטורים > אופרטור הפאזה הריבועית

Q[a]=e^{{\frac {k}{2}}a\rho ^{2}}
שיטת האופרטורים > אופרטור עדשה דקה בעלת מוקד f

Q[-1/f]=e^{l{\frac {k}{2}}\left(-{\frac {1}{f}}\right)\rho ^{2}}
שיטת האופרטורים > אופרטור ההתקדמות בתווך חופשי

R[z]={\frac {e^{jkz}}{jkz}}Q[1/z]\nu [1/\lambda z]FQ[1/z]=e^{jkz}F^{-1}Q[-\lambda ^{2}z]F 

כאשר F מציין התמרת פורייה ו- F^{-1} מציין את התמרת פורייה ההפוכה.
שיטת האופרטורים > יחסי אופרטורים

|  |  \nu  | F | Q | R |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  \nu  |  \nu [t_{2}]\nu [t_{1}]=\nu [t_{2}t_{1}] |  \nu [t]F=F\nu [1/t] |  \nu [t]Q[c]=Q[t^{2}c]\nu [t] |  \nu [t]R[d]=R[d/t^{2}]\nu [t] |
| F |  F\nu [t]=\nu [1/t]F |  FF=\nu [-1] |  FQ[c]=R\left[{\frac {-c}{\lambda ^{2}}}\right]F |  FR[d]=Q[-\lambda ^{2}d]F |
| Q |  Q[c]\nu [t]=\nu [t]Q[c/t^{2}] |  Q[c]F=FR[-c/\lambda ^{2}] |  Q[c_{2}]Q[c_{1}]=Q[c_{2}+c_{1}] |  Q[c]R[d]=   R\left[(d^{-1}+c)\right]^{-1}\cdot    \nu [1+cd]\cdot     Q\left[(c^{-1}+d)^{-1}\right] |
| R |  R[d]\nu [t]=\nu [t]R[t^{2}d] |  R[d]F=FQ[-\lambda ^{2}d] |  R[d]Q[c]=    Q\left[(c^{-1}+d)^{-1}\right]\cdot    \nu \left[(1+cd)^{-1}\right]\cdot    R\left[(d^{-1}+c)^{-1}\right] |  R[d_{2}]R[d_{1}]=R[d_{2}+d_{1}] |