יריעה אלגברית
רקע > יריעות פרויקטיביות

המרחב הפרויקטיבי מהווה הרחבה של המרחב האפיני, בה לכל ישר מוסיפים נקודה נוספת באינסוף. באופן פורמלי יותר, המרחב הפרויקטיבי ה- n-ממדי  \mathbb {P} ^{n} מעל  k הוא אוסף כל הישרים העוברים דרך הראשית במרחב האפיני  (n+1)-ממדי  \mathbb {A} ^{n+1}. אם בוחרים היפר מישור שלא עובר דרך ה-0 במרחב ב- \mathbb {A} ^{n+1} אז כל נקודה בהיפר מישור זה נמצאת על ישר יחיד שעובר דרך הראשית. לכן אפשר לחשוב על היפר מישור זה כעל תת-קבוצה במרחב הפרויקטיבי. כמעט כל הנקודות של המרחב הפרויקטיבי נמצאות בקבוצה זאת. אלה שלא נמצאות בה הן גבולות של סדרות של נקודות שנמצאות בה אשר מתאימות לסדרות של נקודות בהיפר מישור ששואפות לאינסוף בכיוון של ישר מסוים. מכיוון שהיפר מישור ב- \mathbb {A} ^{n+1} הוא מרחב אפיני  n-ממדי אנו רואים שהמרחב הפרויקטיבי הוא מעין השלמה של המרחב האפיני.
בהינתן קבוצה  X\subset \mathbb {P} ^{n} ניתן להגדיר קבוצה  {\tilde {X}}\subset \mathbb {A} ^{n+1} המהווה את איחוד כל הישרים שהם איברי  X. הקבוצה  X נקראת יריעה פרויקטיבית אם"ם  {\tilde {X}} היא יריעה אפינית. ניתן להגדיר טופולוגיה על  X באופן דומה להגדרת הטופולוגיה של זריצקי על יריעות אפיניות. גם טופולוגיה זאת נקראת הטופולוגיה של זריצקי.
אפשר לחשוב על יריעות פרויקטיביות כעל קומפקטיפיקציות של יריעות אפיניות. לדוגמה, אם  k=\mathbb {C}  אז יריעות פרויקטיביות הן תמיד קומפקטיות (בטופולוגיה המרוכבת) בעוד שיריעות אפיניות אינסופיות לעולם אינן קומפקטיות (בטופולוגיה המרוכבת). מכיוון שכל יריעה אפינית  X ניתן לשכן במרחב אפיני  \mathbb {A} ^{n} ואת  \mathbb {A} ^{n} ניתן לשכן במרחב הפרויקטיבי  \mathbb {P} ^{n}, ניתן לשכן את  X ב- \mathbb {P} ^{n}. שיכון זה אינו סגור. אולם אפשר לקחת את הסגור זריצקי  {\bar {X}} של  X בתוך  \mathbb {P} ^{n} וכך לקבל יריעה פרויקטיבית המכילה את  X בתור קבוצה פתוחה צפופה.
הקומפקטיות של יריעות פרויקטיביות נותנת להם תכונות טובות יותר, ובמקרים רבים קל יותר לחקור אותם. הסיבה היא שבעוד שבמרחב האפיני דברים יכולים "לברוח לאינסוף", זה בלתי אפשרי במרחב הפרויקטיבי, כך שניסוחים של משפטים הופכים יותר פשוטים. לדוגמה במישור האפיני, שני ישרים שונים יכולים להחתך ב-0 או ב-1 נקודות. בעוד שבמישור הפרויקטיבי שני ישרים שונים נחתכים בדיוק בנקודה 1. דוגמה נוספת היא שפרבולה אליפסה והיפרבולה נהיות איזומורפיות כאשר סוגרים אותן במישור הפרויקטיבי. הסיבה להבדלים ביניהן במישור האפיני היא שאליפסה לא חותכת את האינסוף כלל, פרבולה חותכת אותו בנקודה אחת והיפרבולה ב-2. אם עובדים מעל המספרים המרוכבים ולא הממשיים אז דוגמה זאת מאבדת מעט מערכה מכיוון שאליפסה והיפרבולה איזומורפיות גם כיריעות מרוכבות אפינייות.
לא ניתן לחקור יריעה פורויקטיביות  X באמצעות חוג פונקציות הרגולריות עליהם, מכיוון שחוג זה קטן מאוד (אם היריעה קשירה או בלתי פריקה אז חוג זה הוא השדה  k). את תפקידו של חוג זה תופס חוג הפונקציות הרגולריות על היריעה האפינית  {\tilde {X}}. מכיוון שיריעה זאת אינווריאנטית להומותטיה (ז"א כפל בסקלרים מ- k), חוג הפונקציות עליה הוא חוג מדורג: פונקציה הומוגנית ממעלה  i על  {\tilde {X}} היא פונקציה המתקבלת מצימצום של פולינום הומוגני ממעלה  i על המרחב האפיני  \mathbb {A} ^{n+1}.
הקשר בין יריעות פרויקטיביות לאלגבראות מדורגות דומה לקשר בין יריעות אפיניות לאלגבראות.
מכיוון שניתן לכסות את  \mathbb {P} ^{n} על ידי  n+1 העתקים של  \mathbb {A} ^{n} (המתאימים ל- n+1 היפר מישורים ב- \mathbb {A} ^{n+1}) ניתן גם לכסות כל יריעה פרויקטיבית על ידי מספר סופי של יריעות אפיניות. כיסוי כזה מאפשר דרך נוספת לחקור יריעות פרויקטיביות.