stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
נבחרת גביע דייוויס של אוסטרליה
הערות שוליים

↑  דירוג נבחרות הגברים של גביע דייוויס באתר הפדרציה הבינלאומית לטניס
| נבחרות הטניס הלאומיות (גביע דייוויס) |
| --- | --- | --- |
| אירופה/אפריקה | אוסטריה • אוקראינה • איטליה • איסלנד • אירלנד • אסטוניה • ארמניה • בולגריה • בוסניה והרצגובינה • בלארוס • בלגיה • בריטניה • גאורגיה • גרמניה • דנמרק • דרא"פ • הולנד • הונגריה • זימבבואה • טורקיה • יוון • ישראל • לוקסמבורג • לטביה • ליטא • מולדובה • מונטנגרו • מונקו • מצרים • מקדוניה • מרוקו • נורווגיה • סלובניה • סלובקיה • ספרד • סרביה • פולין • פורטוגל • פינלנד • צ'כיה • צרפת • קפריסין • קרואטיה • רומניה • רוסיה • שוודיה • שווייץ |  |
| אמריקה | איי בהאמה • אל סלבדור • אקוודור • ארגנטינה • ארצות הברית • אורוגוואי • בוליביה • ברבדוס • ברזיל • גוואטמלה • ג'מייקה • הרפובליקה הדומיניקנית • האנטילים ההולנדיים • הונדורס • ונצואלה • מקסיקו • פוארטו ריקו • פרגואי • פרו • צ'ילה • קובה • קולומביה • קוסטה ריקה • קנדה |  |
| אסיה/אוקיאניה | אוזבקיסטן • אוסטרליה • אינדונזיה • איראן • דרום קוריאה • הודו • הונג קונג • הפיליפינים • טג'יקיסטן • טיוואן • יפן • כווית • לבנון • מלזיה • ניו זילנד • סוריה • סין • סינגפור • סרי לנקה • עומאן • ערב הסעודית • פקיסטן • קזחסטן • תאילנד |  |
| נבחרות בעבר | יוגוסלביה |  |
ערך זה הוא קצרמרבנושא טניס ובנושא אוסטרליה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
נבחרת אוסטרליה בזכייתה בגביע, 1939
משפט טוקיו (סדרת טלוויזיה)

| --- | --- |

 סוגה:  דרמה היסטורית
 בימוי:  Pieter Verhoeff, Rob W. King 
 שחקנים:  אירפאן קאן (Radhabinod Pal)  פול פרימן  סטיבן מק'הייטי  ג'וליאן וודהאם  ג'ונתן הייד  Serge Hazanavicius  Marcel Hensema  ויליאם הופ 
 ארץ מקור:  יפן 
 שפות:  אנגלית יפנית צרפתית רוסית הולנדית Japanese
 מספר עונות:  1 
 מספר פרקים:  4
 הפקה
 מפיק:  שינסוקה נאיטו
 חברת הפקה:  NHK FATT Productions Don Carmody Television
 הפצה:  NHK, נטפליקס 
 מוזיקה:  Robert Carli 
 אורך פרק:  45 דק' 
 שידור
 רשת שידור:  NHK
 תקופת שידור מקורית:  12 בדצמבר 2016 – הווה 
 קישורים חיצוניים
 http://www6.nhk.or.jp/special/detail/index.html?aid=20161212
 דף התוכנית ב-IMDb
 
משפט טוקיו הוא מיני-סדרה יפנית בת ארבעת חלקים, דרמה היסטורית המתארת את בית הדין הבינלאומי הצבאי למזרח הרחוק. את הסדרה ביימו במשותף פיטר ורהוף ורוב וו. קינג והופק על ידי תאגיד השידור הציבורי היפני NHK בהפקה משותפת עם FATT Productions ההולנדית וחברת דון קרמודי הקנדית.
בסדרה מככבים מרסל הנסמה, ג'ונתן הייד, פול פרימן, סטיבן מק'האטי, ג'וליאן וודהאם, אירפאן חאן ומייקל איירונסייד.
הסדרה שודרה ברשת NHK ביפן ב-12 בדצמבר 2016. לאחר מכן הייתה זמינה לצפייה ישירה בשירות ה-NHK On-Demand VoD ובהמשך בנטפליקס. מעבר לים. הסדרה הוצגה לראשונה ב-190 מדינות בנטפליקס בדצמבר 2016. שידור הסדרה בנטפליקס כולל כתוביות ב-20 שפות.
שחקנים ודמויות

שופטים
טים ארן בתפקיד האלוף מיירון סי קרמר (ארצות הברית)
פול פרימן בתפקיד הלורד ויליאם ד. פטריק (בריטניה)
סרג' הזנאביציוס בתפקיד אנרי ברנאר (צרפת)
מרסל הנסמה כפרופסור ברט רולינג (הולנד)
ג'ונתן הייד כנשיא סר ויליאם ווב (אוסטרליה)
אירפאן חאן בתפקיד רדהבינוד פאל (הודו)
סטיבן מקהטי בתפקיד אדוארד סטיוארט מקדוגל (קנדה)
דייוויד צה בתפקיד מיי ג'ו-אאו (סין)
ג'וליאן וודהאם בתפקיד סר ארימה נורת'קרופט (ניו זילנד)
ברט מטיאס בתפקיד אלוף-משנה דלפין ג'ארנילה (פיליפינים)
קסטוטיס סטאסיס יאקסטאס בתפקיד האלוף איוואן זריאנוב (ברית המועצות)
ויליאם הופ בתפקיד ג'ון היגינס (ארצות הברית)
דמויות אחרות
סטייסי קיץ' דמות המספר
מייקל אירונסייד בתפקיד הגנרל דאגלס מקארתור
הדוויץ' מיניס בתפקיד אתא האריך-שניידר
שיניה צוקאמוטו בתפקיד מיצ'יו טקיאמה
הפקה

המיני-סדרה הוצעה על ידי NHK. החברה חתמה על עסקת הפקה משותפת עם FATT Productions. בפורום המימון הבינלאומי של OMDC במסגרת פסטיבל הסרטים הבינלאומי בטורונטו 2013, אנשי NHK ו-FATT דנו בהפקה משותפת של הסדרה עם חברת דון קרמודי הקנדית. נטפליקס השיגה זכויות הפצה על ידי מתן מימון באמצעות דון קרמודי. השחקן ההודי אירפאן חאן הצטרף בדצמבר 2014. הסדרה סימנה את הופעת הבכורה בסדרת רשת של השחקן אירפאן חאן.
הפקה > צילומים

הסדרה צולמה ביפן ובליטא בשנת 2015.
פרסים ומועמדויות

| שנה | פרס | קטגוריה | מועמד/ים | תוצאה | הערות |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2017 | פרס אמי הבינלאומי | סרט הטלוויזיה / מיני סדרה הטובים ביותר |  | מועמדות |  |
ראו גם

המערכה באסיה ובאוקיינוס השקט
נירנברג (סרט)
הערות שוליים

↑  "NHK Pacts With Canadian, Dutch Producers on World War II Drama (Exclusive)". The Hollywood Reporter (באנגלית). נבדק ב-18 במרץ 2017. {{cite web}}:  (עזרה)
1 2  Schilling, Mark (2016-11-16). "Netflix, Japan's NHK Partner on Historical Drama 'Trial'". Variety (באנגלית אמריקאית). נבדק ב-2017-03-18.
↑  Sen, Raja (2017-03-17). "In 'Tokyo Trial', Irrfan Khan watches the watchmen". Mint. נבדק ב-2017-03-18.
↑  "Watch: The trailer for Tokyo Trial starring Irrfan Khan as a dissenting judge during WW II". Firstpost (באנגלית אמריקאית). 2017-03-18. נבדק ב-2017-03-18.
↑  "Irrfan Khan ends 2016 with mini-series Tokyo Trials on Netflix". The Indian Express (באנגלית אמריקאית). 2016-12-19. נבדק ב-2017-03-18.
↑  "NHKスペシャル | ドラマ　東京裁判第１話". NHK (ביפנית). נבדק ב-2017-03-18.
↑  "Japan's NHK Picks up Netflix Original Drama 'Hibana'". The Hollywood Reporter (באנגלית). נבדק ב-2017-03-18.
1 2  "Netflix to bring NHK drama series to global audience". Nikkei Asian Review. 17 בנובמבר 2016. נבדק ב-18 במרץ 2017. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Tokyo Trial – TV Series – Moviefone". AOL Moviefone (באנגלית). נבדק ב-2017-03-18.
1 2 3  18, Jordan Pinto November; 2016. "Don Carmody Television's Tokyo Trial set for Netflix premiere". Playback Online. נבדק ב-2017-03-18.{{cite web}}:  תחזוקה - ציטוט: numeric names: authors list (link)
↑  "Irrfan Khan Boards World War II Drama (Exclusive)". The Hollywood Reporter (באנגלית). נבדק ב-18 במרץ 2017. {{cite web}}:  (עזרה)
↑  "Irrfan to make his debut in web series with 'Tokyo Trial'". mid-day (באנגלית). נבדק ב-2017-03-18.
↑  2017 International Emmy® Awards Nominees (ארכיון)
משפט ההצגה של ריס

מספר משפטים חשובים באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית ידועים בתור משפט ההצגה של ריס. המשפטים קרויים של שמו של המתמטיקאי היהודי-הונגרי פרידיש ריס.
גרסה אינטגרלית של המשפט נוסחה על ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה מוריס פרשה, על כן לעיתים קרוי משפט ריס-פרשה.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חסומים על מרחב הילברט

משפט זה מספק תיאור מלא של המרחב הדואלי של מרחב הילברט: אם השדה שמעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים, שני מרחבים אלו הם איזומורפיים (כמרחבים נורמיים) ואם השדה הוא שדה המספרים המרוכבים, שני המרחבים הם אנטי-איזומורפיים. נוסף לכך, ה(אנטי-)איזומורפיזם המתואר במשפט הוא טבעי ביותר ונוח לשימושים תאורטיים.
יהי  {\mathcal {H}} מרחב הילברט עם מכפלה פנימית  \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle  ונסמן ב- {\mathcal {H}}^{*} את המרחב הדואלי שלו, כלומר את מרחב כל  הפונקציונלים הליניאריים הרציפים מ- {\mathcal {H}} לשדה הבסיס  \mathbb {R}  או  \mathbb {C} . בהינתן  x\in {\mathcal {H}} ההעתקה המוגדרת על ידי
\phi _{x}\left(y\right)=\left\langle y,x\right\rangle  לכל  y\in {\mathcal {H}}
מהווה פונקציונל ליניארי רציף על  {\mathcal {H}}. משפט ההצגה של ריס אומר שכל איבר ב- {\mathcal {H}}^{*} ניתן להיכתב בצורה אחת ויחידה כזו.
משפט: ההעתקה
\Phi :{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}^{*},\quad \Phi (x)=\phi _{x}
היא (אנטי-) איזומורפיזם איזומטרי, כלומר:
\ \Phi  היא חד חד ערכית ועל.
מתקיים  \left\Vert \Phi \left(x\right)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert  לכל  x\in {\mathcal {H}}, כאשר  \left\Vert \cdot \right\Vert  מסמן את הנורמות הסטנדרטיות המושרות על מרחב הילברט ועל המרחב הדואלי שלו (ראו נורמה אופרטורית).
\ \Phi  היא אדיטיבית:  \ \Phi (x_{1}+x_{2})=\Phi (x_{1})+\Phi (x_{2}) לכל  x_{1},x_{2}\in {\mathcal {H}}.
אם שדה הבסיס הוא  \mathbb {R} , אז  \ \Phi (\lambda x)=\lambda \Phi (x) לכל מספר ממשי  \ \lambda .
אם שדה הבסיס הוא  \mathbb {C} , אז  \ \Phi (\lambda x)={\bar {\lambda }}\Phi (x) לכל מספר מרוכב  \ \lambda .
את ההעתקה ההפוכה ל- \ \Phi  ניתן לתאר באופן הבא. יהי  \ \varphi  פונקציונל ליניארי רציף על  {\mathcal {H}} ונפריד למקרים. אם  \ \varphi  הוא פונקציונל האפס, ניתן פשוט לבחור  \ x=0. אחרת, משפט בסיסי בתורה של מרחבי הילברט אומר שקיים וקטור  z\neq 0 אשר שייך למשלים האורתוגונלי של  \ker \varphi . כעת אם נגדיר  x={\frac {\overline {\varphi \left(z\right)}}{\left\Vert z\right\Vert ^{2}}}z אז יתקיים  \Phi \left(x\right)=\varphi , כפי שרצינו.
משפט ההצגה לתבניות ססקווילינאריות חסומות על מרחב הילברט

יהיו  {\mathcal {H}}_{1} ו- {\mathcal {H}}_{2} מרחבי הילברט. תבנית ססקווילינארית על זוג מרחבים אלה היא העתקה  \left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C}  שליניארית במשתנה הראשון ואנטי-ליניארית במשתנה השני. אומרים שהיא חסומה אם קיים קבוע ממשי  C\geq 0 כך ש- \left|\left[u,v\right]\right|\leq C\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert  לכל  u\in {\mathcal {H}}_{1} ו- v\in {\mathcal {H}}_{2}, כאשר  \left\Vert \cdot \right\Vert  מסמן הן את הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית ב- {\mathcal {H}}_{1} והן את הנורמה המושרית על  {\mathcal {H}}_{2}. תבנית ססקווילינארית היא חסומה אם ורק אם היא פונקציה רציפה (ביחס לטופולוגית המכפלה על  {\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}) ולכן כששני המרחבים  {\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{2} הם סוף-ממדיים, כל תבנית ססקווילינארית היא חסומה.
נסמן ב- \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle  את המכפלה הפנימית על  {\mathcal {H}}_{2}.
משפט: בהינתן העתקה ליניארית חסומה  T:{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}, ניתן להגדיר תבנית ססקווילינארית חסומה  \left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C}  על ידי  \left[u,v\right]=\left\langle Tu,v\right\rangle  (החסימות נובעת מאי-שוויון קושי-שוורץ). יתרה מזאת, עבור כל תבנית ססקווילינארית חסומה  \left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C}  קיימת העתקה ליניארית חסומה יחידה  T:{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2} כך שהשוויון  \left[u,v\right]=\left\langle Tu,v\right\rangle  מתקיים לכל  u\in {\mathcal {H}}_{1} ו- v\in {\mathcal {H}}_{2}.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חיוביים על (Cc(X

יהי  X מרחב טופולוגי. המרחב  C_{c}\left(X\right) מורכב מכל הפונקציות  f:X\to \mathbb {C}  אשר רציפות ובעלות תומך קומפקטי. ניתן לצייד מרחב זה בפעולות נקודתיות של חיבור וכפל בסקלר וכן בנורמת הסופרמום ובכך הוא הופך למרחב נורמי. פונקציונל ליניארי חיובי על מרחב זה הוא העתקה  \mathbb {C} -ליניארית  \Lambda :C_{c}\left(X\right)\to \mathbb {C}  אשר בנוסף יש לה את התכונה הבאה: אם  f\in C_{c}\left(X\right) היא פונקציה ממשית אי-שלילית, אז גם  \Lambda \left(f\right) היא כזו. בהנחה והטופולוגיה על  X היא "סבירה" דיה, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי חיובי על  C_{c}\left(X\right) ניתן להיכתב ביחידות כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה "סבירה" מסוימת.
משפט: יהי  X מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ויהי  \Lambda  פונקציונל ליניארי חיובי על  C_{c}\left(X\right). אז קיימת מידת רדון (כלומר מידה חיובית סופית מקומית ורגולרית) יחידה  \mu  על  X המקיימת
למידה זו יש גם שתי תכונות נוספות:
\mu  היא מידה שלמה.
אם  X הוא בנוסף מרחב סיגמא-קומפקטי,  \mu  היא מידת רדון רגולרית.
משפט זה מהווה קשר חשוב בין תורת המידה ואנליזה פונקציונלית ומספק דרך אפקטיבית לבנות מידות על מרחבים מסוימים. לדוגמה,  \mathbb {R} ^{n} הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית וסיגמא-קומפקטי וההעתקה  f\mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}f\left(x\right)\,dx (כאשר כאן האינטגרל הוא אינטגרל רימן הרגיל) מגדירה פונקציונל ליניארי חיובי על  C_{c}\left(\mathbb {R} ^{n}\right). תנאי המשפט מתקיימים והמידה  \mu  המייצגת את הפונקציונל  \Lambda  היא מידת לבג על  \mathbb {R} ^{n}.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חסומים על (C0(X

כמו קודם, נניח כי  X הוא מרחב טופולוגי. המשפט הבא, המכונה לעיתים משפט ריס-מרקוב, מראה שניתן להציג כל פונקציונל ליניארי רציף על המרחב  C_{0}\left(X\right) כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת מסוימת. המרחב  C_{0}\left(X\right) מורכב מכל הפונקציות  f:X\to \mathbb {C}  שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל  \varepsilon >0 קיימת תת-קבוצה קומפקטית  K\subseteq X כך ש- \left|f\left(x\right)\right|<\varepsilon  לכל  x\notin K. זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום. מובן ש- C_{c}\left(X\right)\subseteq C_{0}\left(X\right).
מידה מרוכבת  \mu  על  X נקראת רגולרית אם מידת ההשתנות הכוללת שלה, כלומר  \left|\mu \right|, היא מידת רדון רגולרית כפי שהמושג הוגדר לעיל עבור מידות חיוביות. מרחב כל המידות המרוכבות הרגולריות על  X מסומן  M\left(X\right) והוא מהווה מרחב וקטורי תחת הפעולות הסטנדרטיות של חיבור וכפל בסקלר של מידות. בנוסף לכך, ההעתקה  \mu \mapsto \left|\mu \right|\left(X\right) מגדירה נורמה על  M\left(X\right) והופכת אותו למרחב בנך. בהינתן מידה  \mu \in M\left(X\right) ניתן להגדיר פונקציונל ליניארי רציף על  C_{0}\left(X\right) על ידי
משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על  C_{0}\left(X\right) הוא מצורה זו, בהנחה ו-X הוא מרחב טופולוגי "סביר". נוסחו הפורמלי הוא כדלקמן.
משפט: יהי  X מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. אז ההעתקה
היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר:
\Psi  היא חד-חד-ערכית ועל.
\Psi  היא ליניארית, כלומר  \Psi \left(\mu _{1}+c\mu _{2}\right)=\Psi \left(\mu _{1}\right)+c\Psi \left(\mu _{2}\right) לכל  \mu _{1},\mu _{2}\in M\left(X\right) ולכל סקלר  c\in \mathbb {C} .
\Psi  היא איזומטריה, כלומר  \left\Vert \Phi _{\mu }\right\Vert =\left\Vert \mu \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right).
ל- \Psi  יש גם תכונה שימושית נוספת. הפונקציונל  \Psi \left(\mu \right)=\Phi _{\mu } הוא פונקציונל ליניארי חיובי אם ורק אם המידה  \mu  היא מידה חיובית.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חסומים על (Lp(μ

יהי  \left(X,{\mathcal {M}},\mu \right) מרחב מידה ויהי  L^{p}\left(\mu \right) מרחב כל הפונקציות המדידות  f:X\to \mathbb {C}  שנורמת-p שלהן היא סופית:  \left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int _{X}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}<\infty  (ראו מרחב Lp). מגדירים גם את  L^{\infty }\left(\mu \right) בתור מרחב כל הפונקציות המדידות  f:X\to \mathbb {C}  עבורן  \left\Vert f\right\Vert _{\infty }<\infty  (כאשר  \left\Vert f\right\Vert _{\infty } הוא המספר הקטן ביותר  C\in \left[0,\infty \right] שעבורו  \left|f\left(x\right)\right|\leq C ל- \mu -כמעט כל  x\in X).
ידוע כי עבור כל  1\leq p\leq \infty   המרחב  L^{p}\left(\mu \right) הוא מרחב בנך ביחס לנורמה  \left\Vert f\right\Vert _{p} ושבמקרה  p=2 (ורק בו) נורמה זו מושרית ממכפלה פנימית, אשר ניתנת על ידי  \left\langle f,g\right\rangle =\int _{X}f{\bar {g}}\,d\mu . לכן  L^{2}\left(\mu \right) הוא מרחב הילברט ומשפט ההצגה של ריס למרחב הדואלי למרחב הילברט גורר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה הוא מהצורה  f\mapsto \int _{X}{fg}\,d\mu  עבור  g\in L^{2}\left(\mu \right) כלשהי. נשאלת השאלה אם ניתן לתת אפיון דומה לפונקציונלים הליניאריים הרציפים על  L^{p}\left(\mu \right) עבור  p כללי. יהי  q\geq 1 האקספוננט הצמוד ל- p, כלומר המספר הממשי המקיים את השוויון  {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1 (במקרה  p=1 מסכימים ש- q=\infty ). תהי  g\in L^{q}\left(\mu \right) ונגדיר את ההעתקה הבאה:
מאי-שוויון הלדר נובע שהאינטגרנד  fg שייך ל- L^{1}\left(\mu \right) ולכן העתקה זו היא מוגדרת היטב. יתרה מזאת, קל לבדוק שהיא מגדירה פונקציונל ליניארי רציף  \Phi _{g}:L^{p}\left(\mu \right)\to \mathbb {C} . אם מרחב המידה  \left(X,{\mathcal {M}},\mu \right) הוא "סביר" במובן מסוים ו- p\neq \infty , משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על  L^{p}\left(\mu \right) הוא מצורה זו.
משפט: יהי  1\leq p<\infty  ונניח ש- \left(X,{\mathcal {M}},\mu \right) הוא מרחב מידה סיגמא-סופי. אז ההעתקה
היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר:
\Psi  היא חד-חד-ערכית ועל.
\Psi  היא ליניארית, כלומר  \Psi \left(g_{1}+cg_{2}\right)=\Psi \left(g_{1}\right)+c\Psi \left(g_{2}\right) לכל  g_{1},g_{2}\in L^{q}\left(\mu \right) ולכל סקלר  c\in \mathbb {C} .
\Psi  היא איזומטריה, כלומר  \left\Vert \Phi _{g}\right\Vert =\left\Vert g\right\Vert _{q}.
בעקבות משפט זה, נהוג לומר פשוט ש- L^{q}\left(\mu \right) הוא המרחב הדואלי ל- L^{p}\left(\mu \right) (תחת הנחות המשפט, כמובן).
הערות:
עבור  1<p<\infty  ההנחה שהמרחב  \left(X,{\mathcal {M}},\mu \right) הוא סיגמא-סופי היא מיותרת.
עבור  p=\infty  המשפט אינו נכון. במקרה זה ההעתקה לעיל מהווה שיכון איזומטרי בלבד, כלומר  L^{1}\left(\mu \right)\hookrightarrow \left(L^{\infty }\left(\mu \right)\right)^{*}, ובדרך כלל המרחב  \left(L^{\infty }\left(\mu \right)\right)^{*} הוא הרבה יותר גדול.
הערות שוליים

↑  Maurice Fréchet - Biography, Maths History (באנגלית)
משפט טורן

גרף טורן במקרה n=13, t=4
בתורת הגרפים, משפט טוראן הוא משפט הקובע, בהינתן מספר קבוע של צמתים, את הגרף עם מספר הקשתות המקסימלי שאינו מכיל תת-גרף שלם (קליקה) מגודל נתון. את המשפט הוכיח המתמטיקאי ההונגרי-יהודי פאל טוראן (Turán Pál) בשנת 1941.
ביתר פירוט, המשפט קובע כי הגרף עם n צמתים שאינו מכיל קליקה  \ K_{t+1} ומספר קשתותיו הוא מקסימלי הוא גרף שמחולק ל-t קבוצות זרות של צמתים מאותו הגודל (עד כמה שהדבר ניתן), ושלכל צומת יש קשת לכל צומת בקבוצה אחרת ולאף צומת בקבוצה שלה. גרף כזה נקרא גרף טורן.
הוכחת משפט טוראן נחשבת להולדתה של תורת הגרפים הקיצונית, ענף של תורת הגרפים ושל קומבינטוריקה קיצונית שקרוב לתורת רמזי. הענף חוקר את הגרפים הקטנים והגדולים ביותר שמקיימים תכונות כלשהן.
רקע והגדרה פורמלית

גרף טוראן  \ T(n,t) הוא גרף עם n צמתים שמחולק ל-t קבוצות זרות של צמתים. מתוכן יש  \ n{\text{ mod }}t קבוצות של  \ \lceil {\tfrac {n}{t}}\rceil  צמתים ובשאר  \ t-(n{\text{ mod }}t) הקבוצות יש  \ \lfloor {\tfrac {n}{t}}\rfloor  צמתים (לפשר הסימונים ראו חשבון מודולרי ופונקציית הערך השלם). כלומר הקבוצות שוות בגודלן ככל הניתן (ההפרשים במספר הצמתים ביניהן הוא לכל היותר 1). במקרה בו t מחלק את n מתקבל המקרה הפשוט ביותר - בכל t הקבוצות יש  \ {\tfrac {n}{t}} צמתים בדיוק. בגרף טוראן כל שני צמתים מקבוצות שונות מחוברים בקשת, וכל שני צמתים מאותה קבוצה אינם מחוברים בקשת.
משפט טוראן קובע כי מבין כל הגרפים עם n צמתים שאינם מכילים קליקה  \ K_{t+1}, ל- \ T(n,t) יש את מספר הקשתות הגדול ביותר.
קל לחשב את מספר הקשתות ב- \ T(n,t). למען הפשטות נעסוק במקרה בו t מחלק את n. בין כל שתי קבוצות יש  \ {\tfrac {n}{t}}\cdot {\tfrac {n}{t}}={\tfrac {n^{2}}{t^{2}}} קשתות (לפי עקרון הכפל, כי לכל אחד מבין  \ {\tfrac {n}{t}} הצמתים בקבוצה הראשונה יש קשת לכל אחד מבין  \ {\tfrac {n}{t}} הצמתים בקבוצה השנייה). ובסך הכל ישנם  \ {\tbinom {t}{2}}={\tfrac {t(t-1)}{2}} זוגות של קבוצות (ראו מקדם בינומי ומספר משולשי). ואין אף קשת נוספת בגרף. לכן מספר הקשתות הכולל ב- \ T(n,t) כאשר t מחלק את n הוא:
לכן משפט טוראן קובע שזהו חסם עליון על מספר הקשתות המקסימלי בגרף עם n צמתים שאינו מכיל קליקה  \ K_{t+1} (תקף גם כאשר t אינו מחלק את n). לשם השוואה, בהיעדר הגבלה על גודל הקליקה המותרת, הגרף המקסימלי הוא הגרף השלם  \ K_{n} שלו  \ {\tbinom {n}{2}}={\tfrac {n(n-1)}{2}} קשתות.
הוכחות

ידועות הוכחות רבות למשפט טוראן. הספר Proofs from THE BOOK, שמאגד הוכחות יפות, מביא חמש הוכחות שונות למשפט.
הוכחות > הוכחה באינדוקציה

ההוכחה המקורית של טוראן הראתה שמספר הקשתות של גרף טוראן אכן חוסם את מספר הקשתות האפשרי תחת התנאי הנתון. ההוכחה נעשית באינדוקציה על n לכל t קבוע.
נסמן ב- \ G_{n} את הגרף עם n צמתים שאינו מכיל קליקה  \ K_{t+1}ומספר הקשתות שלו הוא מקסימלי (קיים גרף כזה כי מספר הקשתות חסום על ידי המקרה השלם). אם  \ n\leq t אז  \ G_{n}=K_{n}(כי במקרים אלה הגרף  \ G_{n}לא יכול להכיל קליקה עם יותר צמתים משיש בגרף עצמו). ומכאן שעבור  \ n\leq tמספר הקשתות בגרף  \ G_{n}מקיים:
ולכן המשפט נכון לכל n כזה (כולל n=1 שהוא בסיס האינדוקציה). עתה נניח כי  \ n>t. נשים לב שבמקרים כאלה הגרף  \ G_{n} חייב להכיל קליקה  \ K_{t}. אחרת ניתן להוסיף לו קשת מבלי לקבל את קליקה  \ K_{t+1} וזאת בסתירה למספר הקשתות המקסימלי של  \ G_{n}. נחלק את הצמתים של  \ G_{n} לשתי קבוצות זרות:  \ G_{1} שמכילה את צמתי הקליקה  \ K_{t} ו- \ G_{2} שמכילה את שאר הצמתים בגרף. ב- \ G_{1} יש  \ {\tfrac {t(t-1)}{2}} קשתות. ב- \ G_{2} יש  \ n-t צמתים, ולכן לפי הנחת האינדוקציה יש בה לכל היותר  \ (1-{\tfrac {1}{t}}){\tfrac {(n-t)^{2}}{2}} קשתות. בין כל צומת ב- \ G_{2} לבין קבוצת הצמתים ב- \ G_{1} יש לכל היותר  \ t-1 קשתות. אחרת הם יוצרים יחדיו קליקה  \ K_{t+1}ב- \ G_{n}, בניגוד להגדרתו. כלומר בין  \ G_{1} ל- \ G_{2} יש לכל היותר  \ (n-t)(t-1) קשתות. נחבר את שלושת הביטויים האלגבריים האלה כדי לקבל חסם עליון על מספר הקשתות ב- \ G_{n}:
כנדרש.
הוכחות > הוכחה ישירה

להלן הוכחה ישירה כי גרף  \ G עם n צמתים שאינו מכיל קליקה  \ K_{t+1}ומספר הקשתות שלו הוא מקסימלי הוא בהכרח גרף טורן.
נוכיח כי היחס "אין קשת בין  \ u ל- \ v" הוא יחס שקילות בין הצמתים בגרף:
רפלקסיביות: לעולם אין קשת בין צומת לעצמו.
סימטריות: אם אין קשת בין  \ u ל- \ v אז אין קשת בין  \ v ל- \ u.
טרנזיטיביות: נניח בשלילה כי היחס אינו טרנזיטיבי. כלומר קיימים צמתים \ u,v,w כך שאין קשתות \ (u,v) ו- \ (v,w) , אבל ישנה קשת \ (u,w) . נסמן ב- \ d(v) את הדרגה של \ v . נפצל לשלושה מקרים:
\ d(u)>d(v) - נמחק את הצומת  \ v מהגרף ונחליפו בצומת  \ u' שהוא העתק של הצומת  \ u (מחובר לאותם צמתים). מצד אחד לא נוצרה קליקה גדולה יותר, כי לכל קליקה ש- \ u' חבר בה, יש קליקה מגודל זהה ש- \ u חבר בה, ומצד שני הגדלנו את מספר הקשתות בסתירה למקסימליות של  \ G.
\ d(w)>d(v) - אנלוגי למקרה הקודם.
\ d(v)\geq d(u),d(w) - נמחק את  \ u ו- \ w שיחדיו מחוברים אליהם  \ d(u)+d(w)-1 קשתות (פחות אחד, כי הקשת ביניהם נספרת פעמיים). ונחליפם בשני עותקים של  \ v. כמו קודם, לא נוצרות קליקות גדולות יותר. בסך הכל מספר הקשתות גדל ב- \ 2d(v)-(d(u)+d(w)-1)\geq 1 בסתירה למקסימליות של  \ G.
הוכחנו כי "אין קשת בין  \ u ל- \ v" הוא יחס שקילות בין צמתי  \ G. לכן צמתי  \ G מתחלקים למחלקות שקילות, כך שבין כל שני צמתים יש קשת אם ורק אם הם ממחלקות שקילות שונות. מספר מחלקות השקילות קטן מ- \ t+1, אחרת נוכל לבחור נציג אחד מכל מחלקת שקילות ונקבל קליקה  \ K_{t+1} בניגוד לתנאי. מצד שני,  \ G בהכרח מכיל קליקה  \ K_{t}, אחרת ניתן להוסיף לו קשת בלי לקבל את  \ K_{t+1} וזאת בסתירה למספר הקשתות המקסימלי של  \ G. צמתים שונים בקליקה  \ K_{t} חייבים להיות ממחלקות שקילות שונות, כי יש ביניהם קשת, ומכאן שיש בדיוק  \ t מחלקות שקילות שונות.
עד כה קיבלנו שצמתי  \ G מחולקים ל- \ t מחלקות זרות, כך שכל צומת מקושר לכל צומת מקבוצה אחרת ולאף צומת מהקבוצה שלו. כדי להוכיח כי  \ G גרף טורן נותר רק להראות שכל המחלקות כמעט באותו הגודל (ההפרש ביניהן הוא לכל היותר 1). נשים לב כי לכל מחלקה  \ A ולכל צומת  \ v\in A מתקיים  \ d(v)=n-|A| (v מקושר לכל הצמתים שלא ב-A). נניח בשלילה כי ישנה מחלקה  \ A_{1} שיש בה לפחות שני צמתים יותר מבמחלקה אחרת  \ A_{2}. נמחק צומת  \ v מ- \ A_{1} ונוסיף צומת  \ v' ל- \ A_{2}. מספר הקשתות שיתווספו ל-  \ G הוא:  \ d(v')-d(v)=(n-(|A_{2}|+1))-(n-|A_{1}|)=|A_{1}|-|A_{2}|-1\geq 1, בסתירה למספר הקשתות המקסימלי של  \ G.
מכאן ש- \ G הוא בהכרח גרף טוראן.
המקרה t=2

משפט טוראן למקרה הפרטי t=2 ידוע עוד משנת 1907 ושמו משפט מנטל. המשפט קובע שהגרף המקסימלי מגודל n שאינו מכיל משולשים (קליקה  \ K_{3}) הוא גרף דו צדדי שבכל צד מופיעים חצי מהצמתים (אם n אי-זוגי, בצד אחד יש אחד יותר). וכל צומת מקושר לכל הצמתים מהצד השני (זהו  \ T(n,2)). מספר הקשתות במקרה כזה יהיה  \lfloor {\tfrac {n^{2}}{4}}\rfloor , בערך חצי ממספר הקשתות האפשריות ללא הגבלת משולשים (המקרה של הגרף השלם).
הכללה של משפט מנטל אומרת שכל גרף עם n צמתים ולפחות  \ {\tfrac {n^{2}}{4}} קשתות הוא או גרף טוראן  \ T(n,2), או שהוא מכיל מעגל מכל אורך שהוא עד n (ולא רק משולש).
נבחרת גביע דייוויס של ארצות הברית

| --- | --- |
ארצות הברית
 מידע כללי
 התאחדות:  התאחדות הטניס של ארצות הברית
 השתייכות אזורית:  אמריקה
 דירוג ITF נכון ל-18 בספטמבר 2024:  4 שינוי מדירוג קודם:  ‎+5‏
 דרג נוכחי:  משחקי סבב מקדים 2023
 קפטן:  בוב בריאן
 מפגשים היסטוריים
 שנה ראשונה:  1900
 מפגש ראשון: בריטניה הממלכה המאוחדת 3 - 0 ארצות הברית ארצות הברית  (בוסטון, מסצ'וסטס, ארצות הברית; 8 - 10 באפריל 1900)
 סטטיסטיקה קבוצתית
 שנים במפעל:  107
 מפגשים:  301
 מאזן ניצחונות:  224 - 77
 שנים בבית העליון:  35
 הישג שיא:  זכייה (32 פעמים)
 שיאים אישיים
 מירב הניצחונות יחידים:  ג'ון מקנרו (41 - 8)
 מירב הניצחונות זוגות:  מייק בריאן (28 - 5)
 מירב הניצחונות סה"כ:  ג'ון מקנרו (59 - 10)
 הזוג המצליח ביותר:  בוב בריאן ומייק בריאן (25 - 5)
 הכי הרבה שנים:  בוב בריאן (15)
 הכי הרבה מפגשים:  מייק בריאן (33)
 
נבחרת גביע דייוויס של ארצות הברית מייצגת את ארצות הברית בגביע דייוויס ומנוהלת על ידי התאחדות הטניס של ארצות הברית.
הנבחרת השתתפה בטורניר גביע דייוויס הראשון שנערך בשנת 1900, כאשר קבוצת סטודנטים מאוניברסיטת הרווארד התמודדה מול נבחרת בריטניה. נבחרת ארצות הברית זכתה בטורניר ובכך הפכה לזוכה הראשונה בגביע דייוויס.
הנבחרת היא נבחרת גביע דייוויס המצליחה ביותר בכל הזמנים, עם 32 זכיות בגביע דייוויס כאשר מתחת לה בדירוג נמצאת נבחרת אוסטרליה עם 28 זכיות.
זכייתה האחרונה של הנבחרת בגביע דייוויס הייתה בשנת 2007 לאחר ניצחון על נבחרת רוסיה במשחק הגמר.
הנבחרת שיחקה בבית העליון של הגביע לאורך כל שנות קיומו (החל מ-1981), למעט שנת 1988. הישג זה הוא שיא טורניר אותו היא חולקת עם נבחרת שוודיה ונבחרת צ'כיה. היא מחזיקה בשיא ההופעות הרצופות בבית העליון, שהחלו להיספר מאז 1989.
הדירוג הנוכחי של נבחרת ארצות הברית בדירוג נבחרות הגברים של גביע דייוויס, הוא המקום ה-4 בעולם, נכון ל-18 בספטמבר 2024, עלייה של 5 מקומות לעומת דירוג קודם.
סגל הנבחרת

נכון ל-6 במרץ 2016
ג'ון איזנר
ג'ק סוק
בוב בריאן
מייק בריאן
קפטן: ג'ים קורייר