ממד (גאומטריה אלגברית)
הגדרות מפורשות > ממד קרול

ממד קרול של מרחב טופולוגי  X הוא אורך השרשרת הארוכה ביותר של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות המוכלות ב- X פחות אחת: {\text{dim}}_{Kr}\left(X\right):=max_{n\in \mathbb {N} }\left\{Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X|Z_{i}\neq \emptyset \,\,{\text{irreducible}}\right\}.
הגדרה זו מתאימה גם לגאומטריה אלגברית מאחר שכל יריעה אלגברית היא בפרט מרחב טופולוגי. נוכיח כי פונקציית ממד קרול עונה על שלוש התכונות הנדרשות לממד של יריעה אלגברית:
נניח  X יריעה אלגברית כך ש -  X=\cup _{i=1}^{n}X_{i} כיסוי פתוח של יריעות אפיניות ונניח כי  {\text{dim}}_{Kr}\left(X\right)=n, כלומר קיימת שרשרת מאורך מקסימלי של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X. מאחר ש-  X=\cup _{i=1}^{n}X_{i} קיים  1\leq i\leq n כך ש - X_{i}\cap Z_{n}\neq \emptyset  אז  Z_{0}\cap X_{i}\subsetneq Z_{1}\cap X_{i}\subsetneq ...\subsetneq Z_{n}\cap X_{i}\subset X_{i} היא שרשרת של קבוצות סגורות לא ריקות ואי פריקות ב -  X_{i}, אז מתקיים  \dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\geq \dim _{Kr}\left(X\right). מאחר לכל  X_{1\leq i\leq n} וכל שרשרת  U_{0}\subsetneq U_{1}.....\subsetneq U_{n}\subset X_{i} של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב -  X_{i} ניתן להרים לשרשרת כנ"ל ב  X -  {\overline {U_{0}}}\subsetneq {\overline {U_{1}}}.....\subsetneq {\overline {U_{n}}}\subset X, נובע כי  \dim _{Kr}X\geq max\left\{\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}. ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל  \dim _{Kr}X=max\left\{\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}.
נסמן  \mathbb {A} ^{n}=\left\{\left(x_{1},...,x_{n}\right)\right\} ונגדיר  Z_{i}:=\{x\in \mathbb {A} ^{n}|x_{i+1}=....=x_{n}=0\}, מאחר שלכל  i מתקיים  Z_{i}\cong \mathbb {A} ^{i} אז  Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}=\mathbb {A} ^{n} היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות, לכן,  \dim _{Kr}\left(\mathbb {A} ^{n}\right)\geq n . כעת נניח כי  Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset \mathbb {A} ^{n} היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות. מאחר ש- Z_{p-1} מוכלת ממש ב -  \mathbb {A} ^{n} וסגורה קיימת פונקציה רגולרית  g\in \mathbb {K} \left[x_{1},...x_{n}\right] כך ש  Z_{p-1}\subset {\mathcal {V}}\left(g\right), מוכלת בקבוצת האפסים של הפונקציה  g המסומנת על ידי  {\mathcal {V}}\left(g\right). ממסקנה ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי ניתן למצוא מורפיזם על וסופי  \nu :Z_{p-1}\twoheadrightarrow \mathbb {A} ^{n-1}, מ-3 נקבל כי  \dim _{Kr}Z_{p-1}=n-1 ומכאן  \dim _{Kr}\left(\mathbb {A} ^{n}\right)=n.
נניח  \nu :X\twoheadrightarrow Y הוא מורפיזם סופי ועל בין יריעות אלגבריות. נניח כי  Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset X. היא שרשרת עולה של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב- X, נסמן  W_{i}=\nu \left(Z_{i}\right) אז  W_{0}\subset W_{1}.....\subset W_{p}\subset Y היא שרשרת של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב Y, מאחר ש- \nu  הוא מורפיזם סופי ניתן להוכיח כי זוהי שרשרת עולה  W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y לכן  \dim _{Kr}\left(X\right)\geq \dim _{Kr}\left(Y\right). לחלופין, תהא  W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y שרשרת כנ"ל נרצה למצוא שרשרת מתאימה ב- X. נפרק לרכיבי אי פריקות את תת-היריעה  \nu ^{-1}\left(W_{p}\right)=K_{1}\cup ....\cup K_{i} נשים לב שמאחר  \nu  על מתקיים  W_{p}=\nu \left(K_{1}\right)\cup ....\cup \nu \left(K_{i}\right) ומאחר ו- W_{p} אי פריקה קיים  j כך ש  W_{p}=\nu \left(K_{j}\right). נסמן  Z_{p}:=K_{j} אז  \nu :Z_{p}\rightarrow K_{j} הוא מורפיזם על וסופי בין תת-יריעות בלתי פריקות, על ידי אינדוקציה על  p ניתן להשלים את  Z_{p} לשרשרת עולה  Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p-1}\subsetneq Z_{p}\subset X של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב- X, ונקבל  \dim _{Kr}\left(X\right)\leq \dim _{Kr}\left(Y\right). ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל  \dim _{Kr}\left(X\right)=\dim _{Kr}\left(Y\right).