משוואה ממעלה שלישית
פתרון משוואה ממעלה שלישית > דוגמה שנייה

מצא את שורשי המשוואה:
x^{3}-9x^{2}+36x-80=0 .
פתרון:
כזכור, משוואה כללית ממעלה שלישית מוגדרת באופן הבא (משוואה מספר (1)) :
(1)  ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 .
מקדמי המשוואה הזו הם:
a=1,\quad b=-9,\quad c=36,\quad d=-80 .
משוואה (1) מצטמצמת לכדי משוואה (2) (משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית) :
(2)  y^{3}+ey+f=0 . כעת עלינו למצוא את המקדמים  e ו-  f:
e={\frac {1}{a}}\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right), על כן:
e={\frac {1}{a}}\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)={\frac {1}{1}}\left(36-{\frac {\left(-9\right)^{2}}{3\cdot \left(1\right)}}\right)=9 ,
ו-  f={\frac {1}{a}}\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right), על כן:
f={\frac {1}{a}}\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right)={\frac {1}{1}}\left(-80+{\frac {2\cdot \left(-9\right)^{3}}{27\cdot \left(1\right)^{2}}}-{\frac {\left(-9\right)\cdot \left(36\right)}{3\cdot \left(1\right)}}\right)=-26 .
כעת, המשוואה נראית כך:
y^{3}+9y-26=0, כאשר:
e=9\quad ,\quad f=-26 .
מכיוון שהגדרנו:  s=-{\frac {e}{3}} (משוואה (12)), נקבל:
s=-{\frac {e}{3}}=-{\frac {9}{3}}=-3 .
נציב במשוואה (10), המוגדרת, כזכור, באופן כללי כך:  w^{2}+fw-{\frac {e^{3}}{27}}=0 את ערכיהם של  e ושל  f:
w^{2}-26w-{\frac {9^{3}}{27}}=w^{2}-26w-{\frac {9^{3}}{3^{3}}}=w^{2}-26w-\left({\frac {9}{3}}\right)^{3}=w^{2}-26w-3^{3}=w^{2}-26w-27=0 .
כעת, נפתור את המשוואה הריבועית הזו:
w_{1,2}={\frac {-\left(-26\right)\pm {\sqrt {\left(-26\right)^{2}-4\cdot \left(1\right)\cdot \left(-27\right)}}}{2\cdot \left(1\right)}} .
כלומר:
w_{1}=27\quad ,\quad w_{2}=-1 .
לצורך מציאת שורשי המשוואה המקורית (שורשי  x), נבחר, באופן שרירותי לחלוטין, את השורש  w_{1}=27.

בחירת השורש השני,  w_{2}=-1 - תניב שורשים זהים של  x לאלו של הראשון,  w_{1}=27.

(ניתן לבדוק נכונות טענה זו, באמצעות ביצוע תהליך זהה עבור השורש השני -  w_{2}=-1; אך כאמור, נסתפק כאן בהדגמה על אחד מהשורשים בלבד.)
קודם לכן הגדרנו את הקשר:  w=z^{3} .
מכיוון שכאמור, נפתור את המשוואה הזו (באופן שרירותי) עבור  w_{1}=27, נקבל:  z^{3}=w_{1}=27=27e^{i0} .
מהות השוויון האחרון תתבטא בצורתה הפולרית של המשוואה:
לשם מעבר לצורה הפולרית, נעזר בנוסחת אוילר, אשר צורתה הפשוטה היא:
\ e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }
לכל  \ \theta  ממשי, כאשר  e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו- i הוא היחידה המדומה.
צורתה הכללית של המשוואה כוללת גם מקדם הכפלה, אשר כופל את צורתה הפשוטה של המשוואה:
(3)  w_{1}=re^{i\theta }=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=27=27e^{i0} .
(4)  z^{3}=\left(ue^{i\alpha }\right)^{3}=u^{3}\left(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right) .
יש לשים לב, כי  w_{1} מבוטא ביחידות של  \left(r,\theta \right) ו-  z^{3} מבוטא ביחידות של  \left(u,\alpha \right).

כזכור, אנו נשאף לעבור מהמערכת המבוטאת ב-  w לזו המבוטאת ב-  z 
( w\rightarrow z),

ע"פ משוואה (11) בפתרון המלא של משוואה ממעלה שלישית (בסעיף הקודם).
כעת, נשווה בין משוואות (3) ו-(4) :
השוואה בין צד שמאל של משוואות (3) ו- (4):
re^{i\theta }=\left(ue^{i\alpha }\right)^{3}=u^{3}\cdot e^{3i\alpha } .
השוואה בין צד ימין של משוואות (3) ו- (4):
r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=u^{3}\left(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right) .
נקבל:
(5)  r=u^{3} .

(6)  \cos \theta =\cos 3\alpha  .

(7)  \sin \theta =\sin 3\alpha  .
כיוון ש:  \sin \theta \ ,\cos \theta  הן פונקציות מחזוריות, בעלות מחזור של  2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }, נוכל לכתוב את הקשר הבא:
(9)  3\alpha =\theta +2\pi k\Rightarrow \alpha ={\frac {\theta +2\pi k}{3}}, כאשר:  k=0,1,2 .
 
( k=3 משלים מעגל שלם של  2\pi {\text{ rad}}, ותוצאותיו של  \alpha  תחזורנה על עצמן).
נקבל:
(10.1)  \alpha _{1}={\frac {\theta }{3}} .
( k=0) עבור  z_{1}.
(10.2)  \alpha _{2}={\frac {\left(\theta +2\pi \right)}{3}} .
( k=1) עבור  z_{2}.
(10.3)  \alpha _{3}={\frac {\left(\theta +4\pi \right)}{3}} .
( k=2) עבור  z_{3}.
נמצא את המודול של  z :
(נכון לגבי כל שלושת שורשי  z, כלומר:  z_{3}, z_{2}, z_{1} ) :
ממשוואה (3) נקבל את הקשר:
  re^{i\theta }=27e^{i0}\Rightarrow r=27{\text{ , }}\theta =0 .
ממשוואה (5) נקבל את הקשר:
  r=u^{3}=27\Rightarrow u=3 .
לקבלת הפתרון הכללי של  z, נחלץ את  z ממשוואה (4) :
(4)  z^{3}=u^{3}\left(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right)\Rightarrow z=u\left(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right)^{\frac {1}{3}}=u\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right) . השוויון האחרון נכון, בזכות משפט דה מואבר.
אבל קיבלנו קודם לכן ש:
  u=3{\text{ }}{\text{ , }}\theta =0 .
ואז:
(10.1)  \alpha _{1}={\frac {\theta }{3}}=0 עבור  z_{1}
(10.2)  \alpha _{2}={\frac {\left(\theta +2\pi \right)}{3}}={\frac {\left(0+2\pi \right)}{3}}={\frac {\left(2\pi \right)}{3}} עבור  z_{2}
(10.3)  \alpha _{3}={\frac {\left(\theta +4\pi \right)}{3}}={\frac {\left(0+4\pi \right)}{3}}={\frac {\left(4\pi \right)}{3}} עבור  z_{3}
מכאן ניתן לקבל את שלושת הפתרונות של  z :
(11.1)  z_{1}=u\left(\cos \alpha _{1}+i\sin \alpha _{1}\right)\Rightarrow 3\left(\cos {\frac {0}{3}}+i\sin {\frac {0}{3}}\right)=3
(11.2)  z_{2}=u\left(\cos \alpha _{2}+i\sin \alpha _{2}\right)\Rightarrow 3\left(\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}\right)=3\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=-{\frac {3}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}
(11.3)  z_{3}=u\left(\cos \alpha _{3}+i\sin \alpha _{3}\right)\Rightarrow 3\left(\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\sin {\frac {4\pi }{3}}\right)=3\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=-{\frac {3}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}
המעבר הראשון  \left(w\rightarrow z\right) הושלם. כעת נבצע את המעבר השני  \left(z\rightarrow y\right).
זהו הקשר בין  z (כלומר, נקודת המוצא: השורשים שקיבלנו זה עתה, במונחי  z) ובין השורשים אותם אנו חפצים לקבל (נקודת היעד), במונחי  y .
קיבלנו קודם לכן את הקשר:  y=z+{\frac {s}{z}} .
כיוון שמצאנו קודם לכן כי:  s=-3, נקבל:
(12)  y=z+{\frac {s}{z}}=z-{\frac {3}{z}} .
בעזרת קשר זה, נמצא כעת את  y_{3}, y_{2}, y_{1} :
(12.1)  y_{1}=z_{1}-{\frac {3}{z_{1}}}=3-{\frac {3}{3}}=2 .
y_{2}=z_{2}-{\frac {3}{z_{2}}}=\left(-{\frac {3}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)-{\frac {3}{\left(-{\frac {3}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)}}=-{\frac {5+3i{\sqrt {3}}}{-1+i{\sqrt {3}}}}
נפשט את השורש שהתקבל:
(12.2)  y_{2}=-{\frac {5+3i{\sqrt {3}}}{-1+i{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{-1-i{\sqrt {3}}}}=-1+i2{\sqrt {3}} .
y_{3}=z_{3}-{\frac {3}{z_{3}}}=\left(-{\frac {3}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)-{\frac {3}{\left(-{\frac {3}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)}}={\frac {5-i3{\sqrt {3}}}{1+i{\sqrt {3}}}}
נפשט את השורש שהתקבל:
(12.3)  y_{3}={\frac {5-3i{\sqrt {3}}}{1+i{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{1-i{\sqrt {3}}}}=-1-i2{\sqrt {3}} .
המעבר השני  \left(z\rightarrow y\right) הושלם. כעת נבצע את המעבר השלישי והאחרון:  \left(y\rightarrow x\right) :
ממשוואה (2) בסעיף הקודם ("פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית"), נקבל את הקשר:
(13)  x=y-{\frac {b}{3a}} .
תזכורת:  b=-9{\text{ }}{\text{ , }}a=1 .
לכן:
(14)  x=y-{\frac {-9}{3\cdot 1}}=y-{\frac {-9}{3}}=y+3\Rightarrow x=y+3 .
בעזרת קשר זה, נמצא כעת את  x_{3}, x_{2}, x_{1} :
(14.1)  x_{1}=y_{1}+3=2+3=5 .
(14.2)  x_{2}=y_{2}+3=\left(-1+i2{\sqrt {3}}\right)+3=2+i2{\sqrt {3}} .
(14.3)  x_{3}=y_{3}+3=\left(-1-i2{\sqrt {3}}\right)+3=2-i2{\sqrt {3}} .
אלו הם שלושת שורשי המשוואה המקורית, שהיה עלינו למצאם ( x^{3}-9x^{2}+36x-80=0) .
בדיקת נכונות הפתרונות (שורשים) שקיבלנו:
על השורשים לקיים את התנאי הבא, זוהי האינדיקציה לנכונות הפתרון:
(15)  \left(x-x_{1}\right)\cdot \left(x-x_{2}\right)\cdot \left(x-x_{3}\right)=0\Rightarrow x^{3}-9x^{2}+36x-80=0 .
כלומר, אם נציב את  x_{3}, x_{2}, x_{1} שקיבלנו- בצדה השמאלי של משוואה (15) - נקבל את המשוואה המקורית, הנמצאת בצדה הימני של משוואה (15) :
\left(x-5\right)\cdot \left(x-\left(2+i2{\sqrt {3}}\right)\right)\cdot \left(x-\left(2-i2{\sqrt {3}}\right)\right)=0\Rightarrow x^{3}-9x^{2}+36x-80=0       (לאחר פתיחת הסוגריים ופישוט המשוואה).
מ.ש.ל.
תזכורת: הפתרון הסתמך על בחירה שרירותית של השורש:  w_{1}=27 . בחירת השורש השני,  w_{2}=-1 - תניב שורשים זהים לחלוטין של  x בסופו של התהליך- לאלו שקיבלנו זה עתה.