קירוב זומפרלד
פיתוח הקירוב עבור סדרים גבוהים יותר

נרצה לפתח לטור את האינטגרל:
\int _{-\infty }^{\infty }d\varepsilon H(\varepsilon )f(\varepsilon ),f(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}תחת ההנחה שכאשר  \varepsilon \rightarrow -\infty  הפונקציה  H(\varepsilon ) דועכת לאפס, וכאשר  \varepsilon \rightarrow +\infty , הפונקציה אינה מתבדרת חזק יותר מאשר  f דועכת. אם כן נגדיר: K(\varepsilon )\equiv \int _{-\infty }^{\varepsilon }H(\varepsilon ')d\varepsilon 'כך ש:
 H(\varepsilon )={\frac {dK(\varepsilon )}{d\varepsilon }}עתה נוכל לבצע אינטגרציה בחלקים ולקבל:
 \int _{-\infty }^{\infty }H(\varepsilon )f(\varepsilon )d\varepsilon ={\cancelto {0}{K(\varepsilon )\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)}}{\Biggr |}_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }K(\varepsilon )\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon =\int _{-\infty }^{\infty }K(\varepsilon )\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon כאשר האיבר הראשון הראשון מתבטל מתוך ההנחה שלנו לגבי ההתנהגות של  H(\varepsilon ) באינסוף.
נשים לב ש-  f שואפת לאפס כאשר  \varepsilon  גדול מאוד מ-  \mu   (\varepsilon -\mu >>\beta ), ושואפת לאחד כאשר  \varepsilon  קטן מאוד מ-  \mu , ולכן עיקר התרומה שלה לאינטגרל היא כאשר  \varepsilon \approx \mu . בהנחה ש-  H(\varepsilon ) אינה סינגולרית ואינה משתנה מהר מידי באזור  \varepsilon =\mu , הגיוני להניח כי עבור פיתוח של  K(\varepsilon ) בטור טיילור סביב  \varepsilon =\mu , נקבל כי האיברים הראשונים הם המשמעותיים ביותר. במקרים בו ההנחה הזו אינה מתקיימת הקירוב עדיין תקף, אך אינו שימושי כיוון שנצטרך לחשב כמות גדולה של איברים בטור.
אם כן נפתח את  K(\varepsilon ) סביב  \varepsilon =\mu : K(\varepsilon )=K(\mu )+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {\left(\varepsilon -\mu \right)^{n}}{n!}}\right]\left[{\frac {d^{n}K(\varepsilon )}{d\varepsilon ^{n}}}\right]_{\varepsilon =\mu }
עכשיו נוכל להציב את  K(\varepsilon ) באינטגרל. נשים לב שהאיבר המוביל יניב רק  K(\mu ), כיוון ש:
\int _{-\infty }^{\infty }\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon =1
בנוסף על כך, כיוון ש-  \partial f/\partial \varepsilon  היא פונקציה זוגית סביב  \mu , כל האיברים שבהם  n אי-זוגי יתאפסו. אם כן, לאחר הצבת הטור והחלפת משתנים מ-  K(\varepsilon ) בחזרה ל-  H(\varepsilon ) נקבל:
\int _{-\infty }^{\infty }H(\varepsilon )f(\varepsilon )d\varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )d\varepsilon +\sum _{n=1}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\varepsilon -\mu )^{2n}}{(2n)!}}\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon {\frac {d^{2n-1}}{d\varepsilon ^{2n-1}}}H(\varepsilon ){\big \vert }_{\varepsilon =\mu }את האינטגרל שמופיע בסכום נוכל להציג כטמפ' בחזקת  n המוכפלת באינטגרל חסר ממדים. נוכל לבצע החלפת משתנים  (\varepsilon -\mu )/\tau =x ולהציג אותו כך:
a_{n}\tau ^{2n}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\varepsilon -\mu )^{2n}}{(2n)!}}\left(-{\frac {\partial f}{\partial \varepsilon }}\right)d\varepsilon =\tau ^{2n}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\left(-{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{e^{x}+1}}\right)dx
בעזרת מניפולציות אלגבריות, ניתן לפשט את המקדמים  a_{n} לצורה: a_{n}=\left(2-{\frac {1}{2^{2(n-1)}}}\right)\zeta (2n)כאשר  \zeta  הנה פונקציית זטא של רימן.
אז לבסוף קיבלנו את הפיתוח המבוקש:
\int _{-\infty }^{\infty }H(\varepsilon )f(\varepsilon )d\varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )d\varepsilon +\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\tau ^{2n}{\frac {d^{2n-1}}{d\varepsilon ^{2n-1}}}H(\varepsilon ){\big \vert }_{\varepsilon =\mu }
עבור פיתוח מסדר ראשון נקבל: {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{{H(\varepsilon )}f(\varepsilon )}\mathrm {d} \varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6}}\tau ^{2}H^{\prime }(\mu )+O\left(\tau \right)^{4}}