stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מערכת משוואות ליניאריות
מבנה כללי

מערכת כללית של m משוואות עם n נעלמים (או משתנים)  x_{1},\dots ,x_{n} יכולה להיכתב בצורה הבאה:
כאשר  a_{11},\ a_{12},...,a_{1n},a_{21},...,a_{2n},...,a_{m1},...,\ a_{mn} הם המקדמים של הנעלמים/משתנים ו- b_{1},\ b_{2},...,b_{m} הם המקדמים החופשיים במשוואות.
בדרך כלל המקדמים והמשתנים שייכים לשדה (למשל שדה הממשיים, המרוכבים, או הרציונליים), או לחוג כדוגמת חוג השלמים.
מבנה כללי > הצגה באמצעות וקטורים

ניתן להציג את המערכת בצורה של משוואה וקטורית, כצירוף ליניארי של וקטורי עמודה:
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של מרחב וקטורי. לדוגמה, האוסף של הצירופים הליניארים של הווקטורים בצד שמאל נקרא הקבוצה הפורשת שלהם, ולמערכת יש פתרון רק כאשר הווקטור בצד ימין נמצא בקבוצה הזאת. במקרה כזה, הפתרון הוא מקדמי ההצגה. הבחנה זו מובילה למשפט רושה קפלי, הקובע שלמערכת יש פתרון אם ורק אם דרגת המטריצה של המקדמים שווה לדרגת המטריצה שלה מוסיפים את הווקטור הקבוע. אם אפשר להציג כל וקטור (להביע אותו) כצירוף ליניארי של הווקטורים בצד שמאל, אז כל פתרון הוא ייחודי. בכל מקרה, למערכת יש בסיס של וקטורים שאינם תלויים ליניארית שמבטיחים בדיוק ביטוי אחד, ומספר הווקטורים בבסיס אינו יכול להיות גדול מ-m או n, אך יכול להיות קטן מהם.
מבנה כללי > הצגה באמצעות מטריצות

מערכת משוואות ליניאריות ניתנת גם להצגה בעזרת מטריצות. המערכת מוגדרת כשוויון
כאשר:
מספר הווקטורים בבסיס הקבוצה הפורשת מבוטא כעת על ידי הדרגה של המטריצה.
פתרון המערכת

פתרון של מערכת הוא ערך לכל אחד מהמשתנים, שאם מציבים בכל אחת מהמשוואות מתקבל פסוק אמת. הקבוצה שמכילה את כל הפתרונות נקראת קבוצת הפתרונות של המשוואה, ומשפט רושה-קפלי מספק אפיון לקיום ומספר הפתרונות של המערכת.
קיימות שלוש אפשרויות למספר הפתרונות של המערכת:
למערכת קיימים אינסוף פתרונות (או סופי אבל יותר מאחד במקרה של פתרון מעל שדה סופי)
למערכת פתרון יחיד
למערכת אין פתרון (הקבוצה הריקה)
פתרון המערכת > מערכת הומוגנית

מערכת משוואות נקראת הומוגנית אם כל המקדמים החופשיים שווים לאפס:
מערכת כזאת ניתנת לייצוג באמצעות המשוואה  A{\textbf {x}}={\textbf {0}}, כאשר A היא מטריצת המקדמים, x הוא וקטור עמודה של המשתנים, ו-0 מסמל את וקטור האפס.
פתרון המערכת > מערכת הומוגנית > פתרונות

לכל מערכת הומוגנית יש פתרון הנקרא פתרון טריוויאלי, ובו כל המשתנים שווים ל-0 (כלומר:  \ x_{1}=...=x_{n}=0). לשאר הפתרונות יש תכונות נוספות:
אם  \ \mathbf {u}  ו- \ \mathbf {v}  הם וקטורים המייצגים פתרונות של המערכת, אז גם וקטור הסכום  \ \mathbf {u} +\mathbf {v}  מייצג פתרון (אדיטיביות).
אם  \ \mathbf {u}  הוא וקטור המייצג פתרונות של המערכת, אזי לכל סקלר  \ r גם הווקטור  \ r\mathbf {u}  מייצג פתרון (הומוגניות).
שתי העובדות הללו מבטאות את העובדה שמרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
אבחנה זו מאפשרת לתאר את הפתרון הכללי ביותר למערכת הומוגנית בעזרת בסיס למרחב הפתרונות. הממד של מרחב הפתרונות שווה למספר המשתנים, פחות הדרגה של מטריצת המקדמים. הדרגה שווה למספר המשוואות הבלתי-תלויות.
משפט: מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי, אז יש לה אינסוף פתרונות. מעל שדה בגודל q, מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של q. למשל כאשר מדובר בשדה סופי  \mathbb {F} _{3} במרחב מממד 2 אז מס' הפתרונות יהיה 9=32, כלומר q בחזקת המימד הוא מס' הפתרונות.
פתרון המערכת > פתרון של מערכת לא הומוגנית

במקרה של מערכת לא הומוגנית  \ A\mathbf {x} =\mathbf {b} , מרחב הפתרונות הוא מרחב אפיני (או ישריה), כלומר: מרחב וקטורי + קבוע. במקרה זה הפתרון הכללי שווה לצירוף ליניארי כלשהו של פתרונות ממרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית ועוד (ה)פתרון (ה)פרטי של המערכת הלא-הומוגנית.
משפט: מעל שדה אינסופי, למערכת לא הומוגנית יכולים להיות אינסוף פתרונות, פתרון יחיד או שלא קיים פתרון בכלל.
משפט: אם הפתרון יחיד אזי מטריצת המקדמים A היא מטריצה הפיכה משמאל כלומר קיימת מטריצה P מסדר  \ n\times m כך ש  \ PA=I_{n} והפתרון נתון על ידי  \ \mathbf {x} =P\mathbf {b} .
קיימות דרכים שיטתיות למציאת הפתרונות של מערכת משוואות ליניארית, המבוססות על הצגת המערכת בעזרת מטריצות. לא לכל מערכת יש פתרון יחיד - יש מערכות עם אינסוף פתרונות, ויש מערכות שאין להן פתרון.
פתרון המערכת > דוגמה: המקרה הדו-ממדי (פירוש גאומטרי)

במערכת של שתי משוואות בשני נעלמים x ו-y, כל משוואה מייצגת ישר, ושני הישרים נמצאים באותו מישור. פתרון למשוואה הוא וקטור (x,y) שמקיים את המשוואה הראשונה וגם את המשוואה השנייה, כלומר זהו וקטור שנמצא גם על הישר הראשון וגם על הישר השני. במילים אחרות, קבוצת הפתרונות היא החיתוך של שני הישרים שכל אחת מהמשוואות מייצגת. החיתוך הזה יכול להיות ישר (אם יש התלכדות בין שני הישרים), הקבוצה הריקה (אם הישרים מקבילים, ולכן לא נחתכים), או נקודה (כמו בתמונה).
כשיש במערכת שלושה משתנים מציגים כל אחד מהם בתור מישור במרחב תלת-ממדי אחד, והפתרון הוא החיתוך. כאן קבוצת הפתרונות יכולה להיות מישור, ישר, נקודה או הקבוצה הריקה (ישנם שני סוגים של אינסוף פתרונות).
עבור מערכת עם  \ n משתנים, כל משוואה מייצג מרחב  \ n-1 ממדי, המשוכנים במרחב  \ n-ממדי אחד.
מערכת ליניארית של שתי משוואות בשני נעלמים אפשר בדרך כלל להביא לצורה הבאה:
כל משוואה כזו (מעל הממשיים) מגדירה ישר במישור האוקלידי, ופתרון המערכת הוא נקודת החיתוך בין שני הישרים. למערכת אין פתרון אם שני הישרים שונים אך מקבילים זה לזה, ולפיכך אינם נחתכים. במצב זה שיפועי הישרים שווים, כלומר  \ m_{1}=m_{2}, אך  \ n_{1}\neq n_{2}. למערכת אינסוף פתרונות אם שני הישרים מתלכדים, כלומר, שתי המשוואות מייצגות את אותו ישר. במצב זה  \ m_{1}=m_{2}, וגם  \ n_{1}=n_{2}. למערכת פתרון יחיד בכל מקרה אחר, כלומר כאשר  \ m_{1}\neq m_{2}. במקרה זה שני הישרים נחתכים בנקודה אחת  (x,y) שהיא נקודת הפתרון, וערכה הוא  ({\frac {n_{2}-n_{1}}{m_{1}-m_{2}}},{\frac {m_{1}n_{2}-n_{1}m_{2}}{m_{1}-m_{2}}}).
פתרון המערכת > המשמעות הגרפית של הפתרונות

הישרים יכולים או להיחתך בנקודה אחת או להתלכד או להקביל אחד לשני. מצב הישרים ישפיע על מספר הפתרונות של המערכת. עבור מערכת הנתונה בצורה המפורשת מספר הפתרונות נקבע ע"פ התנאים הבאים:
פתרון אחד - כאשר הישרים חותכים אחד את השני בנקודה אחת למערכת יהיה פתרון אחד ויחיד, והמשמעות הגאומטרית היא שיש לישרים שיפוע שונה.
אף פתרון - כאשר הישרים מקבילים למערכת לא יהיה פתרון, והמשמעות הגאומטרית היא שלשני הישרים שיפוע זהה אך הם אינם חותכים את ציר ה-y באותה נקודה.
אינסוף פתרון - כאשר הישרים מתלכדים למערכת יהיו אינסוף פתרונות, והמשמעות הגאומטרית היא שלשני הישרים שיפוע זהה והם חותכים את ציר ה-y באותה נקודה.
פתרון המערכת > התנהגות כללית

באופן כללי, התנהגות המערכת נקבעת על פי היחס בין מספר הנעלמים למספר המשוואות:
בדרך כלל, למערכת עם יותר נעלמים מאשר משוואות, יהיו אינסוף פתרונות (או סופי אבל יותר מאחד במקרה של פתרון מעל שדה סופי).
בדרך כלל, למערכת עם אותו מספר נעלמים ומשוואות יהיה פתרון יחיד.
בדרך כלל, למערכת עם יותר משוואות מאשר נעלמים לא יהיו פתרונות.
עבור האפשרות הראשונה, הממד של מרחב הפתרונות יהיה בדרך כלל מספר הנעלמים פחות מספר המשוואות.
דרכים לפתרון > פתרון באמצעות הצבה

דרך אחת לפתרון משוואות היא בידוד אחד מהמשתנים, הצבתו במשוואות האחרות וחזרה על התהליך עד לקבלת משוואה עם פתרון בודד, ואז גילוי שאר המשתנים. שיטה זו משמשת בכל סוגי מערכות המשוואות.
לדוגמה, פתרון המשוואות:
מחלצים את  \ x מהמשוואה הראשונה ומקבלים  \ x=5+2z-3y. מציבים במשוואה השנייה והשלישית ומקבלים:
מחלצים את  \ y מהמשוואה הראשונה ומקבלים  \ y=2+3z. מציבים במשוואה השנייה ומקבלים  \ z=2. עכשיו ידוע:
הצבת  \ z=2 במשוואה השנייה נותנת  \ y=8, והצבת  \ z=2 ו- \ y=8 במשוואה השלישית נותנת  \ x=-15.
לכן הפתרון הוא השלשה  \ (x,y,z)=(-15,8,2).
דרכים לפתרון > דירוג מטריצות

ניתן לפתור את המשוואה על ידי ההצגה באמצעות מטריצה לעיל. מבצעים על המטריצה פעולות עד לקבלת מטריצה מדורגת קנונית, שממנה הפתרון נובע באופן מיידי. שיטה זו נקראת שיטת גאוס-ז'ורדן או "שיטת האלימינציה של גאוס". שיטה זו לפתרון מערכת משוואות ליניאריות מבוססת על חיבור, חיסור והכפלה של משוואות בסקלר על מנת להגיע לצורה הקנונית (צורת המדרגות) בה פתרון המשוואות מיידי. בשיטה זו מבודדים באופן שיטתי את המשתנים רק באמצעות פעולות ליניאריות על מערכת המשוואות שאינן משנות את קבוצת הפתרונות של המערכת: חיבור וחיסור משוואות, כפל משוואה בסקלר. בהצגה מטריציונית פעולות אלה מתבטאות בחיבור או חיסור שורות, החלפת שורות, כפל שורה בקבוע מספרי והוספתה לשורה אחרת. המטרה הסופית היא להגיע למטריצת מדרגות (קנונית) באמצעות פעולות אלה, ממנה אפשר לקרוא ישירות את הפתרון. (דוגמה)
דרכים לפתרון > נוסחת קרמר

נוסחת קרמר היא שיטה לחישוב ישיר של פתרונות למערכת משוואות ליניאריות המשתמשת בדטרמיננטות. שיטה זו טובה רק עבור מערכות של n משוואות ב-n נעלמים (כאלה עבורן מטריצת המקדמים ריבועית) עבורן קיים פתרון יחיד (כלומר, הדטרמיננטה של מטריצת המקדמים שונה מאפס).
נוסחת קרמר קובעת שאם  \ A\mathbf {x} =\mathbf {b}  היא המשוואה, אזי הרכיב ה- \ k של וקטור הפתרון  \mathbf {x}  נתון על ידי
כאשר  \ A_{k} היא המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה- \ k שבמטריצה  \ A בווקטור  \mathbf {b} .
לדוגמה, עבור המערכת
בנעלמים x ו y (מודגשים), הפתרון נתון על ידי הנוסחאות  \mathbf {x} ={\frac {\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={ed-bf \over ad-bc} ו-  \mathbf {y} ={\frac {\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={af-ec \over ad-bc}.
חקירה

כאשר המערכת נתונה בצורה שאין מספרים רק מקדמים,ׁ ניתן לנסח תנאים על המקדמים A, B ו- C מתוך הקשר בינם לבין המקדמים של המשוואה המפורשת, m ו- n:
1. פתרון יחיד
על מנת שלמערכת יהיה פתרון יחיד צריך שיתקיים: 
אם נכפיל משוואה זו ב-
 {\dfrac {B_{1}}{A_{2}}}
תתקבל המשוואה : 
 {\dfrac {A_{1}}{A_{2}}}\neq {\dfrac {B_{1}}{B_{2}}} 
כלומר:
אם היחס בין מקדמי המשתנים של x ו- y, שונה – למערכת פתרון יחיד
2. אף פתרון- על מנת שלמערכת לא יהיה פתרון כלל צריכים להתקיים שני תנאים : 
 m_{1}={\dfrac {A_{1}}{B_{1}}}={\dfrac {A_{2}}{B_{2}}}=m_{2}
וגם 
 n_{1}={\dfrac {C_{1}}{B_{1}}}\neq {\dfrac {C_{2}}{B_{2}}}=n_{2}
דוגמה לחקירה היא התרגיל הבא:
{\begin{cases}x+(4-a)y=a-1\\x(2-2a)-4y=-a\end{cases}}
{\begin{cases}-(2-2a)x-(2-2a)(4-a)y=-(2-2a)(a-1)\\x(2-2a)-4y=-a\end{cases}}
(-2a^{2}+10a-12)y=2a^{2}-5a+2
תחום של פונקציה#תחום ההגדרה של התרגיל:
a\neq 2a\neq 3
y={\dfrac {(a-2)(2a-1)}{(6-2a)(a-2)}}
y=a-3
\Downarrow
x=a-1-(a-4){\dfrac {(2a-1)}{2(3-a)}}
{\dfrac {a+2}{2(a-3)}}
פתרון יחיד:
({\dfrac {a+2}{2(a-3)}},a-3)
דרכי פתרון לפי רמות של מערכת משוואות ליניאריות עם פרמטרים

ברמה הראשונה של סוג המערכת הנ"ל מופיעים פרמטרים שאינם מוגבלים בערכים מסוימים. 
לכן, הפתרון אינו דורש חקירה. לדוגמה המערכת:
{\begin{cases}2x+3y=7a\\x-2y=-7a\end{cases}}
דרך פתרון:
{\begin{cases}2x+3y=7a\\x-2y=-7a\end{cases}}
{\begin{cases}2x+3y=7a\\-2x+4y=14a\end{cases}}
7y=21a
y=3a
\Downarrow
x=-a
(-a,3a)
ברמה השנייה הפרמטרים מוגבלים בערכים מסוימים. 
דרך פתרון ראשונה: אנחנו פותרים את המערכת וקובעים, במהלך הפתרון, תחומי הגדרה לפרמטרים. בסוף הפתרון, אנחנו בודקים על ידי הצבה, מה קורה בערכים שפסלנו בדרך?
לדוגמה:
{\begin{cases}x+ay=a^{2}\\x+2y=5a-6a\end{cases}}
נפתור באמצעות השוואת מקדמים:
{\begin{cases}x+ay=a^{2}\\x+2y=5a-6a\end{cases}}
(a-2)y=a^{2}-5a+6
y={\dfrac {(a-2)(a-3)}{(a-2)}}
y=a-3
\Downarrow
x+a(a-3)=a^{2}
x=3a
(3a,a-3)
דרך פתרון שנייה: דרך זו מתאימה לשאלות בהן מתבקשת רק חקירה ללא מתן הפתרון .
{\begin{cases}x+ay=a^{2}\\x+2y=5a-6a\end{cases}}
(a-2)y=a^{2}-5a+6
y={\dfrac {(a-2)(a-3)}{(a-2)}}
y=a-3
\Downarrow
x+a(a-3)=a^{2}
x=3a
(3a,a-3)
| נושאים באלגברה ליניארית |
| --- | --- | --- |
| מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה |  |
| וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד |  |
| מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן |  |
| העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית |  |
| מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית  • אורתוגונליות  •  מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה |  |
| תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית •  תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |  |
פתרון המשוואות x-y=−1 ו-3x+y=9 הוא הנקודה (2,3)
מרכז שרובר לתרבות

| --- | --- |

 מידע כללי
 סוג:  מרכז תרבות 
 מיקום:  ירושלים 
 מדינה:  ישראל 
 הקמה ובנייה
 תקופת הבנייה:  ?–2015
 תאריך פתיחה רשמי:  2015 
 אדריכל:  קיסלוב קיי אדריכלים 
 קואורדינטות:  31°45′43″N 35°13′33″E﻿ / ﻿31.7620293°N 35.2259461°E﻿ / 31.7620293; 35.2259461
  (למפת ירושלים מוגדלת) מרכז שרובר לתרבות(למפת ירושלים רגילה) מרכז שרובר לתרבות(למפת הרי ירושלים רגילה) מרכז שרובר לתרבות(למפת הרי ירושלים מוגדלת) מרכז שרובר לתרבות
 
מרכז שרובר בסמיכות לכנסיית בית הלבבות הקדושים ולשכונת אבו תור על דרך חברון
מרכז שרובר לתרבות (מכונה לרוב "יס פלאנט") הוא בית קולנוע ומרכז תרבות הממוקם בכניסה לשכונת אבו תור בירושלים (רחוב נעמי פינת דרך חברון), בסמוך לטיילת גבריאל שרובר. המרכז הוקם על ידי קרן גבריאל שרובר בהשקעה של כ-200 מיליון שקלים, תוכנן על ידי משרד קיסלוב קיי אדריכלים ונפתח באוגוסט 2015. שטח המרכז 28,500 מ"ר, על פני 6 קומות.
המרכז כולל 16 אולמות, מהם 2 אולמות רב תכליתיים, 2 אולמות תיאטרון ו-12 אולמות קולנוע, בהם אחד בפורמט IMAX ואולמות 4DX. גם האולמות שאינם מוגדרים כאולמות קולנוע מותאמים להקרנת סרטים. בתי הקולנוע מופעלים על ידי פלאנט. בנוסף, כולל המרכז אולמות ושטחים פתוחים המיועדים למופעי תיאטרון, מוזיקה ומחול. לצדם פועלים גם מסעדות, בתי קפה ושטחי מסחר.
לאחר פתיחתו נערכו הפגנות של תושבים חרדים במחאה על פתיחתו בשבת.
הערות שוליים

↑  אודי שישון, ‏יס פלאנט בירושלים פותח את שעריו; יפעל גם בשבת, באתר גלובס, 11 באוגוסט 2015
↑  נועם (דבול) דביר ודני אדינו אבבה, בגלל יס פלאנט: חרדים התעמתו עם שוטרים בירושלים, באתר ynet, 14 באוגוסט 2014
ערך זה הוא קצרמרבנושא ירושלים. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
מרדכי טברסקי (שפיקוב)

רבי מרדכי משפיקוב (ה'תר"ח – י"ח בניסן ה'תרע"ד), היה אדמו"ר חסידי, השני בשושלת שפיקוב.
ביוגרפיה

נולד בשפיקוב לרבי מנחם נחום טברסקי משפיקוב ולשיינדל בת רבי דוד טברסקי מטולנה. נישא לחוה בתו של רבי יוחנן טברסקי מרחמסטריווקה.
לאחר פטירת אביו הוכתר רבי מרדכי לממלא מקומו. בתקופת כהונתו דאג רבות לרווחתם הכלכלית  של לומדי התורה בעירו. כמו כן ייסד בעיר חברת ביקור חולים ופדיון שבויים והתאפיין באהבת ישראל נדירה.
בחורף תרע"ד חלה ומצב בריאותו הלך והדרדר. בליל הסדר ירד בקושי רב ממיטתו לערוך את שולחן הסדר, וביום י"ח בניסן נפטר בגיל 66.
צאצאיו

רבי יצחק מנחם נחום טברסקי מרווה-רוסקה. חתן רבי ישכר דב מבעלז. מילא את מקום אביו ברווה רוסקה. נספה בשואה בשנת ה'תש"ב.
רבי משה דוד טברסקי מרשקוב, חתן רבי שלמה זלמינא (השני) מרשקוב. מילא את מקום אביו ברשקוב. נספה בשואה בכ"ז בתשרי ה'תש"ב.
פייגא אשת רבי שלום יוסף פרידמן משפיקוב, בן רבי דוד פרידמן מבוהוש. מילא את מקום חמיו בשפיקוב.
חיה אשת רבי מנחם נחום מטריסק-ורשא
מירל אשת רבי אשר בן הינוקא מסטולין.
הערות שוליים

↑  בעולמנו, הצפירה, 22 באפריל 1914
↑  נקבר בקבר אחים בעיר אובידווקה.
סונורה

ערך זה עוסק במדינה במקסיקו. אם התכוונתם למדבר באותו שם, ראו .
| --- | --- |
סמל סונורהסמל סונורה

סונורה
 מדינה:  מקסיקו מקסיקו
 מושל:  גיירמו פאדרס אליאס
 רשות מחוקקת:  הקונגרס של סונורה 
 בירת המדינה:  ארמוסיו
 תאריך ייסוד:  14 במרץ 1831
 שטח:  179,355 קמ"ר (דירוג: 2)
 גובה:  592 מטרים
 אוכלוסייה:  ‏
  ‑ במדינה:  2,850,330 (דירוג: 17, 2015)
  ‑ צפיפות:  15 נפש לקמ"ר (דירוג: 27, 2012)
 קואורדינטות:  29°50′00″N 110°57′00″W﻿ / ﻿29.833333333333°N 110.95°W﻿ / 29.833333333333; -110.95 
 אזור זמן:  UTC -7
 אתר האינטרנט של ממשלת סונורה
  מפת מיקום  מפה מפורטת     לחצו כדי להקטין חזרה    לחצו להגדלה      (למפת סונורה מוגדלת) ארמוסיו סיודד אוברגון נוגלס סן לואיס ריו קולורדו נבוחואה קבורקה סינלואה האוקיינוס השקט  מפרץ קליפורניה  ארצות הברית באחה קליפורניה  באחה קליפורניה הדרומית  צ' י ו ו א ו ו ה סונורה(למפת סונורה רגילה) ארמוסיו סיודד אוברגון נוגלס סן לואיס ריו קולורדו נבוחואה קבורקה סינ. האוקיינוס השקט  מפרץ קליפורניה  ארצות הברית בא. קליפ.  בא. קליפ. הדר.  צ' י ו ו א ו ו ה סונורה tabBackground:;tabBorder:#aaa;defaultTab:0;
 
סונורה (בספרדית: Sonora) היא אחת מ-31 מדינות מקסיקו ומיקומה בצפון-מערב מקסיקו, על שטח של 182,052 קמ"ר. סונורה מוקפת במדינות הבאות: באחה קליפורניה וים קורטז ממערב, צ'יוואווה ממזרח, סינלואה מדרום, ואריזונה שבארצות הברית מצפון. בירתה של סונורה והעיר הגדולה ביותר בה היא ארמוסיו. ערים נוספות חשובות במדינה הן: סיודד אוברגון ונוגלס.
בעבר הייתה כלכלתה של המדינה מבוססת על חקלאות, גידול בעלי חיים (בעיקר בקר) וכרייה. החל מהמאה העשרים, עברה הכלכלה להתבסס על תעשייה, תיירות וחקלאות מתועשת.
ניאוביום

ניאוביום (Niobium, הידוע גם בשם Columbium) הוא יסוד כימי מסדרת מתכות המעבר שסמלו הכימי Nb ומספרו האטומי 41.
היסטוריה

ניאוביום זוהה על ידי צ'ארלס האצ'ט (Charles Hatchett) ב-1801. צ'ארלס מצא ניאוביום בדוגמת מינרל קולומביט שנשלח לבריטניה ב-1750 על ידי ג'ון ווינטרופ (John Winthrop). עד שנת 1846 היה בלבול בין היסוד ניאוביום ליסוד טנטלום. ב-1864 כריסטיאן בלומנסטראד (Christian Blomstrand) הפיק ניאוביום מתכתי כשחימם ניאוביום כלורי עם מימן.
השם המקורי של ניאוביום היה קולומביום, אך ה-IUPAC (ראשי תיבות של International Union of Pure and Applied Chemistry) אימץ את השם ניאוביום בשנת 1950 לאחר 100 שנים של מחלוקת בנושא.
צורה בטבע

ניאוביום לא נמצא בטבע בצורתו החופשית ומופיע לרוב בצורת המינרל קולומביט ((Fe, Mn)(Nb, Ta)2O6), פירוכלור (Na, Ca)2Nb2O6OH,F) ועוד. מינרלים שמכילים ניאוביום מכילים לעיתים קרובות טנטלום. היצרניות העיקריות של ניאוביום הן ברזיל, קנדה, ניגריה ורוסיה. 98% מרזרבות הניאוביום בעולם נמצאות בברזיל.
תכונות

ניאוביום הוא מתכת מבריקה, גמישה בצבע אפור שמקבלת גוון כחלחל כשנחשפת לאוויר. לניאוביום תכונות כימיות דומות לאלו של טנטלום שנמצא מתחתיו בטבלה המחזורית.
בטמפרטורה של 200 מעלות צלזיוס ניאוביום מגיב עם חמצן, דרגות החימצון שלו הן 2+, 3+ ו5+.
שימושים

לניאוביום שימושים רבים, להלן כמה מהם:
הוספת ניאוביום לסגסוגות יכולה להגביר עמידות בפני קורוזיה.
לניאוביום יכולת לבלוע נייטרונים ולכן הוא משמש כחומר מגן בכורים גרעיניים.
סגסוגות ניאוביום משמשות כתכשיטים בזכות גוונם הכחלחל.
לסגסוגות על שמכילות ניאוביום, ניקל, ברזל וקובלט שימוש במנועי סילון.
ניאוביום מהווה תחליף לטנטלום בייצור קבלים.
מניאוביום מייצרים מכשירים רפואיים כיוון שאין לו השפעה על הגוף.
ניאוביום וטיטניום טהורים לרוב לא גורמים לאלרגיות. אנשים שאינם יכולים לענוד זהב, כסף או נחושת יכולים לרוב לענוד ניאוביום או טיטניום.
ניאוביום הופך למוליך על בטמפרטורות נמוכות.
אמצעי זהירות

תרכובות ניאוביום יכולות להיות רעילות ויש לטפל בהן בהתאם. אבק ניאוביום מתכתי מגרה את העיניים והעור ויכול להתלקח. לניאוביום אין תפקיד ביולוגי.
הערות שוליים

↑  Folha.com - Mundo - Bens brasileiros são "vitais" para EUA e integram lista vazada pelo WikiLeaks - 07/12/2010
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007531486605171  BNE: XX543817  BnF: cb12257830n (data)  GND: 4042362-1  LCCN: sh85091993  NDL: 00568530
נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות הכפל המקוצר הוא שם קיבוצי, השגור בעיקר בהוראת המתמטיקה בבתי ספר תיכוניים, שמציין כמה זהויות מתמטיות המשמשות לפישוט ביטויים אלגבריים.
הוכחת כל הנוסחאות מתבססת על שימוש אינדוקטיבי בחוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחוק החילוף ("פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים").
הבינום של ניוטון

שתי נוסחאות כפל מקוצר בסיסיות הן:
אלו הם מקרים פרטיים של נוסחת הבינום של ניוטון:
חישוב  (a-b)^{n} נעשה באמצעות הצבת  -b במקום  b בבינום של ניוטון.
משפט המולטינום מאפשר לפתח את הביטוי המקביל למספר כלשהו של מחוברים.
הפרש חזקות

שתי נוסחאות כפל מקוצר בסיסיות נוספות הן:
אלו מקרים פרטיים של הזהות הכללית:
זהות המתקבלת מפתיחת סוגריים וצמצום הטור הטלסקופי שמתקבל.
כאשר  n מספר אי-זוגי ניתן לקבל זהות מקבילה  a^{n}+b^{n}=a^{n}-(-b)^{n}, ועל ידי הצבת  -b במקום  b בזהות הקודמת מתקבל:
אם נתיר שימוש במספרים מרוכבים ניתן לפתח זהות דומה גם למקרה ש- n זוגי מכיוון ש- a^{n}+b^{n}=a^{n}-(w_{n}b)^{n}, כאשר  w_{n} הוא שורש מסדר  n של  -1 (למשל:  w_{n}=\exp \left({\frac {\pi }{n}}i\right) לפי זהות אוילר).
משה שלמן

| --- | --- |

 לידה:  4 בדצמבר 1909 סראטוב, האימפריה הרוסית 
 פטירה:  5 בספטמבר 1991 (בגיל 81) טבריה, ישראל 
 מקום קבורה:  בית הקברות כנרת 
 תפקידים:  גינקולוגיה 
 
תעודת סיום לימודי רפואה 1935
משה שלמן (4 בדצמבר 1909 - 5 בספטמבר 1991) היה רופא נשים, ניהל מחלקות נשים במספר בתי חולים בצפון ישראל לפני קום המדינה, הקים וניהל את מחלקת הנשים בבית החולים פוריה והיה פעיל בהקמת רשת טיפת החלב בגליל.
ביוגרפיה

משה (מוניה) שלמן נולד בסראטוב שברוסיה למשפחת סוחרים אמידה. במהפכה הבולשביקית ברחה המשפחה מאימת הבולשביקים לריגה בלטביה. את חינוכו קיבל בבית ספר רוסי כללי ובגיל 17, בשנת 1926, נסע ללמוד רפואה בצרפת.
בשנת 1935 עלה ארצה והתגורר בתל אביב, שם התחיל את התמחותו ברפואת נשים בבית החולים "הדסה הקטנה" ברחוב בלפור, אצל ד"ר נדב סופרמן וד"ר יוסף אשרמן. ב-1939 נשלח על ידי ד"ר אשרמן לבית החולים שוויצר בטבריה, כדי להחליף רופאה שחלתה. בבית החולים שוויצר הכיר את אשתו לאה לבית פישביין, שעבדה שם כאחות. בשנת 1946 עבר לבית החולים עפולה כדי לרכוש הסמכה בכירורגיה.
עם פרוץ מלחמת השחרור חזר לנהל את מחלקת הנשים והיולדות בבית החולים שוויצר בטבריה. לאחר הקמת המדינה הגיעו 5000 עולים למעברה בטבריה, ומחלקת היולדות בבית החולים שוויצר הייתה קטנה ולא יכולה הייתה לתת מענה ל-200 לידות בחודש. לפיכך, בשנת 1949 נפתחה מחלקת נשים ויולדות בבית החולים הסקוטי, שעד מלחמת השחרור נתן שירות לאוכלוסייה הערבית בטבריה, ונסגר עם פרוץ מלחמת השחרור. המחלקה נפתחה בהסכם שנחתם בין בית החולים הסקוטי לבין מדינת ישראל. ד"ר שלמן ניהל את המחלקה בבית החולים הסקוטי עד לשנת 1960.
בשנת 1960 הקים וניהל שלמן את מחלקת הנשים והיולדות החדשה שנפתחה בבית החולים פוריה, שאותה ניהל עד צאתו לגמלאות בשנת 1975.
במהלך השנים מנכ"ל משרד הבריאות רפאל גז'בין הציע לשלמן לעבור לנהל מחלקות נשים במרכז הארץ, אך ד"ר שלמן נשאר נאמן לתושבי העיר טבריה ולתושבי ההתיישבות העובדת באזור הצפון, מכיוון שראה חשיבות בהבטחת רפואה מקצועית ואיכותית לתושבי האזור.
שלמן נפטר ב-5 בספטמבר 1991, ונקבר בבית הקברות כנרת.
תרומתו למערך הבריאותי בטבריה, בעמק הירדן ובגליל

שלמן היה פעיל בהקמת רשת תחנות טיפת חלב בכל אזור הגליל. הוא ייחס חשיבות רבה לבריאות האישה ההרה ולבריאות התינוק, המשיך לשרת נשים בהיריון בטיפת החלב והקפיד לשלוח לשם את רופאי המחלקה בשביל לבדוק את הנשים ההרות. ד"ר שלמן זכה להערכה עמוקה של תושבי טבריה, תושבי הגליל העליון והתחתון ותושבי עמק הירדן. על פועלו זכה למספר תעודות הוקרה המהוות מסמך היסטורי ארץ ישראלי.
הנצחה ותעודות הוקרה

מכתב תודה והערכה מאת ד"ר ר' גז'בין מנכ"ל משרד הבריאות, 21 בדצמבר 1964, על העברה סדורה של בית החולים שוייצר מרשות הוועד הלאומי לרשות משרד הבריאות.
"אות השירות" מטעם שר הבריאות ויקטור שם-טוב, 1973, על היותו מאנשי ראשית של מערכת הבריאות, מראשוני המחנה ומניחי היסוד שהתוו את הדרך ויצרו יש מאין.
עם פרישתו בשנת 1975, הוענקה לו בטקס בקיבוץ אפיקים "תעודת הרשמה" בספר הזהב של קרן קיימת לישראל, מטעם המועצה האזורית עמק הירדן.
תעודת הוקרה על התנדבות לשיקום נכי צה"ל ושילובם בחיי החברה, 1977.
פינת הנצחה לד"ר שלמן באגף המיילדות בבית החולים פורייה, הוקמה בשנות התשעים של המאה ה-20.
תעודת יקיר העיר טבריה, הוענקה על פועלו, מסירותו ויחסו האנושי.
הערות שוליים

1 2 3  עיתון דבר 27 באוקטובר 1980, PDF; הספרייה הלאומית של ישראל │ עיתונים (עמ' 11), באתר www.nli.org.il
↑  מאיר הילדסהיימר, מטוב טבריה - גיליון 2, דפים לחקר טבריה, טבריה: המרכז לחקר מורשת טבריה, אוגוסט 1983
↑  עיתון דבר, 15 באפריל 1959, מחלקת יולדות נפתחה בפוריה, PDF ; הספרייה הלאומית של ישראל │ עיתונים, באתר www.nli.org.il
פינת הנצחה לד"ר שלמן באגף המיילדות בבית החולים פוריה
נוסחה אטומית

בהינתן שפה  {\mathcal {L}}, נוסחה אטומית בשפה היא הפעלת אחד מבין סימני היחס על שמות העצם של השפה, כאשר כל שם עצם הוא שם משתנה או שם קבוע.
נוסח רשמי

תהי  {\mathcal {L}} שפה. אם  r_{1}\in {\mathcal {R}} סימן יחס  k מקומי, כאשר  {\mathcal {R}} היא אוסף סימני היחס של השפה  {\mathcal {L}}, אז  r_{1}(\tau _{1},...\tau _{k}) כאשר  \forall _{1\leq i\leq k}\,:\,\,\tau _{i}\in {\mathcal {C}}\cup {\mathcal {V}}, כאשר  {\mathcal {C}} אלו שמות הקבועים של השפה  {\mathcal {L}} ו- {\mathcal {V}} אלו שמות המשתנים שלה.
תכונות

נוסחה אטומית אינה משתנה תחת ייחוס.
הרחבת נוסחה אטומית

הרחבה של נוסחה אטומית מתבצעת על ידי הוספת קשרים לוגיים וכמתים, ובכך אנו בעצם יכולים לבטא טענות יותר מסובכות מאשר הללו הבסיסיות אשר ניתנות לביטוי בידי הנוסחאות האטומיות בלבד. המושג המכליל את מושג הנוסחה האטומית במובן לעיל הוא מושג הנוסחה.
משפט ההיטל המרכזי

במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (באנגלית המשפט נקרא לפעמים Fourier slice theorem) אומר ששני התהליכים הבאים, עבור פונקציה  f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}  וישר  a  דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:
לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של  f  ולקחת את הערכים שלה על הישר  a .
להטיל את  f  על הישר  a  ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.
למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה ובשיפור תמונות שמתקבלות במיקרוסקופ אלקטרונים חודר.
ניסוח פורמלי של המשפט

נסמן ב  P_{m} את אופרטור ההיטל על תת מרחב ליניארי ממימד  m (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורטוגונלי בכל נקודה)
נסמן ב  S_{m} את אופרטור החיתוך עם אותו התת-מרחב שעובר דרך הראשית,
ונסמן ב F_{N},F_{m} את התמרת פורייה ב  N,m ממדים בהתאמה.
אז לכל פונקציה  f:R^{N}\rightarrow R מתקיים:
F_{m}P_{m}=S_{m}F_{n}