stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
אמה בונפלאן
פרסומים

1805: Essai sur la géographie des plantes. Written with Alexander von Humboldt
1811: A collection of observations on zoology and comparative anatomy written with Alexander von Humboldt, Printing JH Stone, Paris. Digital version at the website Gallica.
1813: Description of rare plants grown at Malmaison and Navarre by Aimé Bonpland. Printing P. The elder Didot, Paris. By Aimé Bonpland dedicated to the Empress Joséphine. Digital version at the website Botanicus, and Digital version of the illustrations at the website of the Bibliothèque interuniversitaire de santé (Interuniversity Library of Health).
1815: Nova plantarum genera and species written with Alexander von Humboldt and Karl Sigismund Kunth, Volume 1, Lutetiae Parisiorum, Paris. Digital version at the website Botanicus.
1816: Monograph Melastomacées including all plants of this order including Rhexies, Volume 1, Paris.
1817: Nova plantarum genera and species written with Alexander von Humboldt and Karl Sigismund Kunth, Volume 2, Lutetiae Parisiorum, Paris. Digital version at the website Botanicus.
1818: Nova plantarum genera and species written with Alexander von Humboldt and Karl Sigismund Kunth, Volume 3, Lutetiae Parisiorum, Paris. Digital version at the website Botanicus.
1820: Nova plantarum genera and species written with Alexander von Humboldt and Karl Sigismund Kunth, Volume 4, Lutetiae Parisiorum, Paris. Digital version at the website Botanicus.
1821: Nova plantarum genera and species written with Alexander von Humboldt and Karl Sigismund Kunth, Volume 5, Lutetiae Parisiorum, Paris. Digital version at the website Botanicus.
1823: Nova plantarum genera and species written with Alexander von Humboldt and Karl Sigismund Kunth, Volume 6, Lutetiae Parisiorum, Paris. Digital version at the website Botanicus.
1823: Monograph Melastomacées including all plants of this order including Rhexies, Volume 2, Paris.
1825: Nova plantarum genera and species written with Alexander von Humboldt and Karl Sigismund Kunth, Volume 7, Lutetiae Parisiorum, Paris. Digital version at the website Botanicus.
אפקט הידרופובי

טיפת מים יוצרת צורה עגולה כדי להקטין את שטח המגע עם העלה ההידרופובי
אפקט הידרופובי (מיוונית: הידרו= מים, פובי= מפחד) היא התכונה של מולקולות לא קוטביות ליצור צברים (אגרגטים) בתמיסה מימית.
ניתן לראות את האפקט ההידרופובי כשמערבבים יחדיו מים (מולקולה קוטבית) ושמן (מולקולה לא קוטבית). המים ושכבת השמן ייפרדו ויצרו שתי שכבות בעלות שטח מגע מינימלי בינן.
דוגמאות לאפקט ההידרופובי בטבע

ברמה המולקולארית ניתן לראות את האפקט ההידרופובי ככוח העיקרי המניע את תהליך קיפול חלבונים. אפקט זה הוא הכוח המניע ליצירת ממברנות ביולוגיות מליפידים (lipid bilayer membrane). כמו כן לאפקט ההידרופובי חשיבות ביצירת המבנים של חומצות גרעין ובחלק מהאינטראקציות בין חלבוניים.
אמפיפטיות

אמפיפטיות הן מולקולות בעלות קבוצות הידרופוביים והידרופיליים גם יחד. מולקולות אמפיפטיות יוצרות מבנים ייחודיים, בהם שטח המגע בין הקבוצות ההידרופוביות קטן.
monolayer - מבנה בו המולקולות האמפיפטיות מפנות את האזור ההידרופובי הרחק מהממס ההידרופילי, כך שנוצרת שכבה אחידה של המולקולה האמפיפטית כנגד הממס הקוטבי.
מיצלה - צורה כדורית, חד שכבתית (מיצלה היא סוג של monolayer). נוצרות ממולקולות אמפיפטיות בעלות קבוצה הידרופובית קטנה, יחסית. דטרגנטים הם מולקולות אמפיפטיות, ובעזרתם נוצרות המיצלות האופייניות לחומרי סבון.
bilayer - מבנה דו שכבתי האופייני לליפידים ממברנליים. הקבוצות ההידרופוביות פונות זו אל זו, והקבוצות הפולריות פונות לכיוון הממס הפולרי, משני צידי המבנה.
קיפול חלבונים

האפקט ההידרופובי עוזר להבין את הסיבה האנרגתית לקיפול חלבונים. חומצות האמינו בעלות השייר ההידרופובי (ואלין, מתיונין, לאוצין, פנילאלנין,איזולאוצין ואלנין) מניעות את קיפול החלבון בשל האפקט ההידרופובי בינן לבין המים, כך שנוצר לחלבונים גרעין קיפול (ליבה) הידרופובי סגור. המצב המועדף תרמודינמית הוא המצב בו לקבוצות הידרופוביות יש אינטראקציה מינימלית עם הסביבה המימית.
האפקט ההידרופובי בסביבה הידרופובית

במידה והממס או הסביבה יהיו הידרופוביים (שומני, לדוגמה) האפקט ההידרופובי פועל כך שקבוצות קוטביות יתרחקו מהממס. כלומר, חלבונים יתקפלו הפוך מאשר קיפולם במים (inside-out): הקבוצות ההידרופוביות יפנו כלפי חוץ והקבוצות הפולריות בגרעין קיפול הידרופילי.
אפקט המבט הכולל

סרטון מתחנת החלל הבינלאומית המציג את חופי אמריקה הצפונית עד אמריקה המרכזית
אפקט המבט הכולל (באנגלית: Overview effect) הוא שינוי קוגניטיבי במצב המודעות, שדווח על ידי מספר אסטרונאוטים וקוסמונאוטים כאשר התבוננו בכדור הארץ מהחלל. המונח נטבע על ידי הסופר פרנק וויט ב-1987 שחקר את הנושא בספרו The Overview Effect — Space Exploration and Human Evolution.
האפקט מתייחס לחוויית הצפייה בכדור הארץ ממקור ראשון, שבו הוא נתפס ככדור קטן ושברירי, "תלוי בריק החלל", מוגן וניזון מאטמוספירה דקה כנייר. מהחלל, גבולות לאומיים נעלמים, והסכסוכים שמפלגים את בני האדם הופכים לפחות חשובים. הצורך ליצור חברה בין-כוכבית, עם רצון מאוחד להגן על "הנקודה הכחולה החיוורת" הזו הופך לברור והכרחי.
אסטנרואטים רבים, ביניהם ראסל שוויקארט, אדגר מיטשל, סקוט קלי, ג'יימס אירווין וכריס הדפילד, דיווחו על כך שחוו את האפקט.
ראו גם

ספינת החלל כדור הארץ
נקודה כחולה חיוורת
לקריאה נוספת

אפקט המבט הכולל: כיצד מבטו של אסטרונאוט על כדור הארץ יכול לשנות את כולנו, 21 בפברואר 2019
הערות שוליים

↑  Psychology of space exploration : contemporary research in historical perspective, Washington, DC: National Aeronautics and Space Administration, 2011
↑  Harrison, Albert A., Starstruck : cosmic visions in science, religion, and folklore, New York: Berghahn Books, 2007
↑  On orbit and beyond : psychological perspectives on human spaceflight, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013
אקר

ערך זה עוסק ביחידת שטח. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
אקר (באנגלית: Acre, מבוטא 'אייקר') היא יחידת מידה לשטח המשמשת בשיטת המדידה האנגלית המשמרת את שיטות המדידה המסורתיות שהתבססו על חלקי גוף (אינץ'=רוחב האגודל; פיט=אורך כף הרגל; יארד=אורך הזרוע). אקר אחד מוגדר כ-4,840 יארד רבוע שהם 43,560 רגל רבוע, או  4,046.856424 מטר רבוע. בארצות הברית נהוגה שיטה שונה מעט להגדרת אורכו של האינץ' ולפיכך גם של האקר, על פי שיטה זו אקר אחד שווה ל-4046.87261 מטר רבוע שהם 4.04687261 דונמים ו-0.00404687261 קילומטר רבוע.
אסטל פרסונס

| --- | --- |

אסטל פרסונס, 1973
 לידה:  20 בנובמבר 1927 (בת 96) מארבלהד, מסצ'וסטס, ארצות הברית 
 מדינה:  ארצות הברית 
 תקופת הפעילות:  מ-1963 
 מקום לימודים:  קולג' קונטיקט 
 בן או בת זוג:  Richard Gehman (?–1958) 
 צאצאים:  Martha Gehman 
 פרסים והוקרה:  פרס אוסקר לשחקנית המשנה הטובה ביותר (1968)  פרס עולם התיאטרון (1963) 
 פרופיל ב-IMDb
 
אסטל מרגרט פרסונס (באנגלית: Estelle Margaret Parsons; נולדה ב-20 בנובמבר 1927) היא שחקנית קולנוע, טלוויזיה ותיאטרון אמריקאית זוכת פרס אוסקר לשחקנית המשנה הטובה ביותר לשנת 1967 על הופעתה בסרט "בוני וקלייד".
ביוגרפיה

פרסונס נולדה בעיר לין שבמסצ'וסטס לאלינור ולאבן פרנסונס סמית. היא סיימה תואר ראשון במכללת קונטיקט בניו הייבן ותואר במשפטים באונבירסיטת בוסטון. 
למדה משחק באוניברסיטת ייל, אוניברסיטת קולומביה ובאוניברסיטת בוסטון.
למדה את טכניקת שיטת המשחק ב"סטודיו המערב למשחק" תחת לי סטרסברג.
עבדה בתחילת חייה כזמרת בלהקה לפני שנכנסה לתחום המשחק.
קריירה > קולנוע וטלוויזיה

פרסונס התפרסמה לראשונה בתחום הקולנועי בשנת 1967 בסרט הפשע של וורן בייטי "בוני וקלייד".
בסרט שיחקה בתפקיד בלאנש אשתו של באק בארו (ג'ין הקמן) וזכתה על הופעתה הראשונה למעשה בסרט הוליוודי בפרס אוסקר לשחקנית המשנה הטובה ביותר.
בשנה לאחר מכן הועמדה פרסונס פעם נוספת לפרס האוסקר לתפקיד משני על תפקידה בסרטו של פול ניומן "רייצ'ל, רייצ'ל" בתור סלה מאקי חברתה של גיבורת העלילה המורה רייצ'ל קמרון (ג'ואן וודוורד).
ב-1970 הייתה מועמדת לפרס באפט"א לשחקנית הטובה ביותר בתפקיד משנה על הופעתה בדרמה הקומית שהתעסקה בגזענות בארצות הברית "איש האבטיח". באותה שנה הופיעה בסרט "מעולם לא שרתי לאבי" לצידם של מלווין דאגלס וג'ין הקמן.
ב-1974 הופיעה לצדה של ברברה סטרייסנד בקומדיה "For Pete's Sake". ב-1992 שיחקה בסרט הטלוויזיה של HBO "עניין פרטי" בכיכובה של סיסי ספייסק. ב-1995 היא שיחקה בסרט גברים בצד. ב-1997 שיחק בסרט "הבלש בעל רגלי הקטיפה" לצד כריסטינה ריצ'י. ב-2005 שיחקה במיני סרת המופת "אימפריות נופלות" בתפקיד בי אמה של ג'ני רובי (הלן האנט).
ב-2011 השתתפה בסרטו של אל פצ'ינו "Wilde Salome". ב-2016 התארחה בסדרה הקומית "גרייס ופרנקי" בעונתה השנייה כבייב, חברתן של גרייס ופרנקי מזה שנים. ב-2018 התארחה בסיטקום "הקונרים" ברשת ABC. ב-2019 שוב התארחה ב-"גרייס ופרנקי", בעונתה החמישית.
קריירה > תיאטרון

פרסונס הועמדה שלוש פעמים במהלך קריירת התיאטרון הענפה שלה לפרס הטוני על הופעתייה במחזות " And Miss Reardon Drinks A Little", "הדרך של מיס מרגרדיה" ו"7 בבוקר".
בשנת 2004 הוכנסה להיכל התהילה של התיאטרון האמריקאי. בשנת 2014 החלה לשחק בהצגה "The Velocity of Autumn" ב-Arena Theatre שבברודוויי.
חיים אישיים

לפרסונס שתי בנות מבעלה הראשון הסופר ריצ'רד גמן, ממנו התגרשה, וילד שאימצה עם בעלה השני פיטר זימרות', ממנו התאלמנה ב-2021.
אינדוקציה מתמטית

גישת האינדוקציה המתמטית מומחשת לעיתים באמצעות האפקט הסדרתי של אבני דומינו נופלות.
אינדוקציה מתמטית היא שיטה המאפשרת להוכיח שתכונה מסוימת משותפת לכל המספרים הטבעיים. ההוכחה באינדוקציה מורכבת משני שלבים:
צעד בסיס: מוכיחים כי המספר 1 מקיים את התכונה.
צעד האינדוקציה: מוכיחים כי אם מספר טבעי n כלשהו מקיים את התכונה, אז גם המספר n+1 מקיים אותה.
שיטת האינדוקציה היא אחד מכלי ההוכחה החזקים ביותר בארגז הכלים של כל מתמטיקאי, לא רק עבור המספרים הטבעיים, אלא גם עבור קבוצות סדורות היטב.
אין לבלבל בין שיטת האינדוקציה המתמטית לבין שיטת ההסקה הלוגית אינדוקציה.
היסטוריה

שיטת האינדוקציה הפורמלית, כפי שהיא מוכרת כיום התפתחה בעיקר במאה ה-19 על ידי מתמטיקאים כגון ג'ורג' בול, אוגוסטוס דה-מורגן, צ'ארלס פירס, ג'וזפה פיאנו וריכרד דדקינד. את המונח "אינדוקציה מתמטית" הציע דה-מורגן, כשכתב את הערך "אינדוקציה (מתמטיקה)" בציקלופדיית פני ב-1838.
וריאציות שונות של השיטה הופיעו אצל מחברים רבים קודם לכן. מקובל לייחס את השימוש הראשון באינדוקציה באופן מפורש  למתמטיקאי בלז פסקל, בעבודתו Traité du triangle arithmétique שנכתבה בשנת 1654. בעבודה זו עסק פסקל  במשולש האריתמטי, הידוע כיום כמשולש פסקל, והוכיח תכונות יסוד שלו, כמו העובדה שכל מקדם שווה לסכום שני המקדמים שמעליו במשולש. לשם הוכחת התכונות הגדיר פסקל לראשונה באופן ריגורוזי את עקרון האינדוקציה.
גאורג קנטור, ב-1902, מייחס את שיטתו של פסקל למאורוליקוס, שספרו "אריתמטיקה" פורסם ב-1575. מאורוליקוס בנה בספר טבלאות של מספרים "מיוחדים", כגון זוגיים, אי-זוגיים, משולשיים וריבועיים, והבחין בתכונות שונות שלהן. לאחר שהוכיח את טענה XIII בספר, ש"כל ריבוע שמוסיפים לו את המספר האי-זוגי הבא שווה לריבוע הבא" (היינו,  n^{2}+(2n+1)=(n+1)^{2}), הוא הוכיח את הטענה ה-XV, "סכומם של n המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא המספר הריבועי העומד במקום n" (בלשון מודרנית,  1+3+\cdots +(2n-1)=n^{2}), כך: "המספר הריבועי הראשון, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הבא, נותן את הריבוע הבא (4); והמספר הריבועי השני, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הבא (5), נותן את הריבוע השלישי (9); וכך, המספר הריבועי השלישי, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הרביעי (7), נותן את המספר הריבועי הרביעי (16); וכך באופן עוקב עד אינסוף הטענה מוכחת באמצעות הפעלה חוזרת של טענה XIII".
ההיסטוריון של המתמטיקה פלוריאן קג'ורי (Florian Cajori) מצא סימנים של הוכחות עם טיעון חוזר, המזכירות את שלבי האינדוקציה הראשונים (ראו להלן) כבר אצל קמפנוס (Campanus,‏ 1260) ואצל פרוקלוס, אבל סיכם שהוכחות אלו "אינן אינדוקציה".
הרב ד"ר נחום רבינוביץ' טען שרבי לוי בן גרשום (הרלב"ג, 1288–1344) היה "הכותב הראשון שהשתמש באינדוקציה באופן שיטתי, ושהכיר בה כהליך מתמטי נפרד". רבי לוי בן גרשום כתב כמה ספרי הערות על "יסודות" של אוקלידס; בספר "מעשה חושב" (1321) הוא ביאר את הספרים השביעי, השמיני והתשיעי של אוקלידס, והוכיח תוצאות קומבינטוריות משל עצמו. לשיטה של עלייה צעד אחר צעד ששימשה אותו בהוכחות הוא העניק את השם העברי "הדְרגה". הרב רבינוביץ' הציע שהרלב"ג יכול היה לשאוב את רעיונותיו מפירושו של ר' שבתאי בן אברהם דונולו (913–970) לספר יצירה, שמנה תמורות והסביר כיצד לחשב (רקורסיבית) את מספר התמורות של 3 עצמים מזה של 2 עצמים, של 4 מזה של 3, של 5 מזה של 4, וכן הלאה, עד לתמורות של 7 עצמים (אותן הוא מנה אחת לאחת).
עיקרי הטיעון

להוכחה באינדוקציה שני חלקים. ראשית, מראים שהמספר 1 מקיים את התכונה המבוקשת (זהו בסיס האינדוקציה), ושנית, שאם המספר n מקיים אותה, אז גם המספר n+1 מקיים אותה (צעד האינדוקציה). בשפה פורמלית, אקסיומת האינדוקציה קובעת שלכל פסוק P, מתקיים:
 \left[P(1)\wedge \forall n(P(n)\implies P(n+1))\right]\implies \forall nP(n)
כלומר, אם המספר 1 מקיים את התכונה, ומנכונותה עבור n נובעת גם נכונותה עבור n+1, אז כל המספרים הטבעיים מקיימים את התכונה.
עיקרי הטיעון > מבנה ההוכחה

מבנה ההוכחה באינדוקציה תמיד זהה: בדיקה למקרה n=1, הנחה עבור n כללי, והוכחה שמההנחה נובעת נכונות הטענה עבור n+1. בין השגיאות הנפוצות בהוכחות באינדוקציה: הוכחת צעד האינדוקציה ללא הבסיס (צעד האינדוקציה תקף באופן ריק גם לתכונות שאף מספר אינו מקיים), או הוכחת צעד האינדוקציה עבור n>2 בלבד (כפי שמדגים פרדוקס הסוסים). הנוסח המתאר את צעד האינדוקציה בספרים אחדים "נניח שהוכחנו את הטענה עבור n, ונוכיח אותה עבור n+1", פגום: אם הוכחנו את הטענה עבור n כללי, אין עוד צורך להוכיח דבר; ואם כך, ניסוח זה של צעד האינדוקציה נכון באופן ריק, ולא ניתן להסיק ממנו דבר.
עיקרי הטיעון > וריאציות

כדי להוכיח באינדוקציה שטענה מסוימת נכונה לכל המספרים הטבעיים ממספר K ואילך, אפשר להוכיח שהיא נכונה עבור K, ושמן הנכונות עבור n נובעת הנכונות גם עבור n+1. כך אפשר למשל להוכיח ש- 2^{n}>3n^{4} לכל  n\geq 19 (אף על פי שהטענה אינה נכונה עבור  n<19).
אינדוקציה שלמה. לפעמים הנכונות של טענה Q עבור n+1 אינה נובעת מן הנכונות עבור n, אלא מן הנכונות עבור כל המספרים 1,2,3 ועד n (לדוגמה, כשרוצים להוכיח שכל מספר שלם מתפרק לגורמים ראשוניים). במקרה כזה, אפשר להחליף את התכונה Q בתכונה P, המוגדרת לפי  P(n)\iff \forall m(m\leq n\implies Q(m)) (הכוונה היא שניתן להחליף את התכונה Q בתכונה P, המוגדרת כך ש- P(n) אם ורק אם כל הטענות  Q(1),Q(2),\dots ,Q(n) נכונות), ולהפעיל את טיעון האינדוקציה הרגיל על P. שיטה זו נקראת "אינדוקציה שלמה" על התכונה Q.
אינדוקציה כפולה (או משולשת וכן הלאה). כאשר הטענה היא על זוגות של מספרים  P(n,m), אפשר להוכיח אותה לכל n באינדוקציה (רגילה) על הפרמטר m, כאשר בסיס האינדוקציה  P(n,1) מוכח באינדוקציה על הפרמטר n. לחלופין, אפשר להיעזר בצעד האינדוקציה  P(n-1,m)\land P(n,m-1)\implies P(n,m), כמו בדוגמה 4 להלן.
עקרון האינדוקציה חל לא רק על המספרים הטבעיים, אלא על כל קבוצה סדורה היטב. כאשר מדובר בקבוצה שהסודר שלה גדול מזה של המספרים הטבעיים, קוראים לתהליך אינדוקציה טרנספיניטית.
יש הוכחות הכרוכות ב"נסיגה אינסופית": מראים שאם הטענה נכונה עבור m, היא נכונה גם עבור ערך קטן יותר, עד שבסופו של דבר מסיקים שהיא נכונה גם עבור m=1. אוילר הראה באופן כזה שאם p ראשוני השקול ל-1 מודולו 4, אז אפשר להציג את p כסכום של שני ריבועים (בסיס האינדוקציה במקרה זה הוא העובדה שאפשר להציג את  mp כסכום כזה, אם m גדול מספיק, משום ש- -1 הוא שארית ריבועית מודולו p).
אינדוקציה הפוכה. מראים שהטענה נכונה עבור סדרה עולה של מספרים (כגון המספרים  2^{n}), ואז מראים שמן הנכונות עבור m נובעת הנכונות עבור m-1. על שיטה זו מבוססת אחת ההוכחות הקלות לאי-השוויון בין הממוצע הגאומטרי והממוצע החשבוני.
דוגמאות > דוגמה 1

נוכיח באינדוקציה את הנוסחה  1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}} (הנוסחה לסכום המספרים הטבעיים עד n):
ראשית, ברור כי הטענה נכונה עבור n=1, משום שבמקרה זה, הערך בשני האגפים הוא 1. שנית, נניח שהטענה נכונה עבור n, כלומר,  1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.
עלינו להוכיח את השוויון  1+2+\cdots +n+(n+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}.
אולם, לפי הנחת האינדוקציה,  1+2+\cdots +n+(n+1)=(1+2+\cdots +n)+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)=
ואזי  {\frac {(n^{2}+n)+(2n+2)}{2}}={\frac {(n^{2}+3n+2)}{2}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}} כפי שרצינו.
דוגמאות > דוגמה 2

מגדלי האנוי היא חידה פופולרית שבה יש להעביר מגדל של דיסקיות מעמוד אחד לעמוד אחר, תוך שימוש בעמוד עזר ועל פי החוקים הבאים:
בכל תור מותר להזיז דיסקית אחת בלבד, מראש עמוד אחד לראש עמוד אחר.
אסור להניח דיסקית גדולה על גבי דיסקית קטנה ממנה.
ניתן להוכיח באינדוקציה שניתן לפתור את החידה, לא משנה כמה דיסקיות יש במגדל. ניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל דיסקית אחת בלבד, בעזרת מהלך אחד. עתה נניח שניתן להעביר מגדל בעל n דיסקיות ונראה שניתן להעביר מגדל בעל n+1 דיסקיות. ההעברה מתבצעת בשלושה שלבים. ראשית נעביר את n הדיסקיות העליונות אל עמוד העזר – דבר שניתן לעשות על פי הנחת האינדוקציה, שנית נעביר את הדיסקית התחתונה – ולבסוף נעביר שוב את n הדיסקיות שעל עמוד העזר אל מעל לדיסקית התחתונה.
דוגמאות > דוגמה 3

מספר רמזי  R_{n,m} (עבור  n,m\geq 2) הוא המספר הקטן ביותר בעל התכונה הבאה: בכל אירוע שבו נפגשים  R_{n,m} אנשים, מוכרחים להיות n אנשים שכולם מכירים זה את זה, או m אנשים שאף אחד מהם אינו מכיר את רעהו. (יחס ההיכרות הוא יחס סימטרי: אם a מכיר את b, אז גם b מכיר את a). מלכתחילה לא ברור שהמספרים האלו קיימים (משום שייתכן, לכאורה, שאפשר להימנע מן הקבוצות המיוחדות גם באירועים המוניים).
נוכיח שמספרי רמזי קיימים, בכך שנראה ש- R_{n,m}\leq {\binom {n+m-2}{n-1}}, כאשר  {\binom {n+m-2}{n-1}}={\frac {(n+m-2)!}{(n-1)!\ (m-1)!}} הוא מקדם בינומי.
ראשית,  R_{n,2}=n משום שאם אין אפילו זוג אנשים שאינם מכירים זה את זה, מוכרחים כולם להכיר את כולם. מאותה סיבה גם  R_{2,m}=m, ולכן הטענה נכונה כאשר n=2 או m=2. זהו בסיס האינדוקציה. כעת נניח ש- n,m\geq 3. נניח שבאירוע משתתפים  R_{n-1,m}+R_{n,m-1} אנשים. נתבונן במערך ההיכרויות של אחד ממשתתפי האירוע: או שהוא מכיר לפחות  R_{n-1,m} משתתפים, או שהוא אינו מכיר לפחות  R_{n,m-1} משתתפים. במקרה הראשון, לפי ההגדרה של  R_{n-1,m}, יש בין האנשים שהוא מכיר n-1 מכרים-הדדית (ואז יש באירוע כולו קבוצה של n מכרים-הדדית), או שיש ביניהם קבוצה של m זרים-הדדית; במקרה השני, יש בין האנשים שהוא אינו מכיר קבוצה של n מכרים-הדדית, או שיש ביניהם קבוצה של m-1 זרים-הדדית (ואז יש m זרים-הדדית באירוע). הוכחנו שמספר המשתתפים גדול דיו כדי לחייב אחת משתי התוצאות שבהגדרה, ולכן  R_{n,m}\leq R_{n-1,m}+R_{n,m-1}.
לפי הנחת האינדוקציה,  R_{n,m}\leq {\binom {n+m-3}{n-2}}+{\binom {n+m-3}{m-2}}={\binom {n+m-2}{n-1}}. (הערך המדויק של מספרי רמזי ידוע רק במקרים בודדים; אפילו הערך של  R_{5,5} אינו ידוע).
דוגמאות > דוגמה 4

עץ בינארי הוא עץ מכוון, שבו לכל קודקוד יש לכל היותר שני בנים, ולכל קודקוד, פרט לקודקוד מיוחס הנקרא שורש, יש אב יחיד. קודקוד של עץ כזה נקרא גם צומת. עלה הוא צומת חסר בנים. עץ לא ריק הוא עץ שקיים בו שורש. צאצאים של כל צומת בעץ יוצרים ביחד איתו תת-עץ של העץ המקורי. נגדיר "צומת מלא" כצומת שיש לו שני בנים.
נוכיח באינדוקציה שבעץ בינארי לא ריק, מספר העלים בעץ גדול ב-1 ממספר הצמתים המלאים בו.
עבור עץ עם צומת בודד הטענה מתקיימת: ישנו עלה אחד ואין צמתים מלאים. נניח שהטענה נכונה עבור כל עץ בינארי עם n צמתים, כאשר n חיובי. נוכיח שהטענה נכונה עבור עץ עם 1+n קודקודים:
בהינתן עץ שאינו שורש עם n+1 צמתים, נסיר ממנו עלה כלשהו ונקבל עץ חדש עם n צמתים. נסמן את מספר העלים ב-N0 ואת מספר הצמתים המלאים ב-N2. על-פי הנחת האינדוקציה בעץ החדש מתקיים השוויון N0=N2+1.
נחזיר חזרה לעץ את העלה שהסרנו.
אם העלה שהוסר היה בן יחיד מספר העלים לאחר החזרתו לא השתנה: מצד אחד עלה אחד נוסף ומצד שני אותו הצומת שהוסיפו לו עלה הפך מעלה לאב יחיד. מספר הצמתים המלאים לא השתנה אף הוא ולכן השוויון נשמר.
אם העלה שהוסר לא היה בן יחיד אז מצד אחד מספר הצמתים המלאים בעץ לאחר החזרת העלה גדל ב-1, ומצד שני מספר העלים גדל ב-1 לאחר החזרת העלה. ולכן גם במקרה זה השוויון נשמר.
דוגמאות > דוגמה 5

ישנן גם הוכחות שגויות, המבוססות על גרסה שגויה של אקסיומת האינדוקציה או שיש בהן דילוג על שלב מהותי. אף על פי שברוב ההוכחות באינדוקציה הבדיקה לערך קטן של n היא קלה ומיידית, ישנם מקרים שבהם צעד האינדוקציה תקין והבעיה היא דווקא בערכים הקטנים. דוגמה מפורסמת לתופעה זו היא פרדוקס הסוסים, המתיימר להוכיח שכל הסוסים בעולם הם בעלי אותו צבע. מכיוון שמספר הסוסים בעולם סופי, אפשר להוכיח את הטענה באינדוקציה: בכל קבוצה בת n סוסים, לכולם יש אותו צבע. טענה זו נכונה כמובן עבור n=1. כעת נניח שהטענה נכונה עבור n, ונוכיח אותה עבור n+1: נבודד אחד מבין n+1 הסוסים, כך שיישארו n סוסים, שכולם בעלי אותו צבע לפי הנחת האינדוקציה. נחליף את הסוס שהוצאנו קודם לכן בסוס אחר, ושוב נקבל שלכל הסוסים בקבוצה שלפנינו אותו צבע. לכן לכל n+1 הסוסים יש אותו צבע.
הטענה נכונה עבור n=1, אבל המעבר בין n לבין n+1 תקין רק בתנאי ש-n>1, משום שכדי להסיק שלכל n+1 הסוסים אותו צבע, אנו מניחים שבשתי הקבוצות בגודל n יש סוסים משותפים, שאליהם אפשר להשוות את שני הסוסים שהוצאנו בתחילת הצעד ובסופו. אם הטענה הייתה נכונה עבור n=2 (לכל שני סוסים יש אותו צבע), באמת אפשר היה להוכיח אותה לכל n. אבל המעבר בין n=1 לבין n=2 (אם לכל סוס יש הצבע שלו, אז לכל שני סוסים יש צבע משותף) שגוי, ולכן ההוכחה אינה תקפה.
תקפותה של הוכחה באינדוקציה

לכאורה, מבוססת האינדוקציה המתמטית על הפעלה חוזרת של כלל הגזירה מודוס פוננס. לדוגמה, כדי להוכיח את הטענה  P(4), די להוכיח את טענת הבסיס  P(1), ואת הגרירות  P(1)\implies P(2),
 P(2)\implies P(3) ו- P(3)\implies P(4): מן הגרירה הראשונה נובע (לפי טענת הבסיס)  P(2), מן הגרירה השנייה נובע כעת  P(3), ומן השלישית –  P(4). מכיוון שבצעד האינדוקציה הוכחנו את כל הגרירות  P(n)\implies P(n+1), אפשר להוכיח באופן הזה את כל הטענות  P(n).
אם לדייק, מצאנו, לכל n, סדרה סופית של טיעונים, המוכיחה ש- P(n); אבל מספר הצעדים בכל הוכחה הולך וגדל. זהו מעין "אפקט דומינו": כל אבן מפילה את האבן שאחריה, וכל אבן תיפול בזמן סופי, אבל אם השרשרת אינסופית, הזמן עד שיפלו כולן הוא אינסופי. עקרון האינדוקציה הופך את הסדר: הוא נותן הוכחה בסדרה סופית של טיעונים, לכל אינסוף הטענות  P(n).
יש שתי גישות להצדקת עקרון האינדוקציה. במערכת האקסיומות המגדירה את מערכת פאנו של המספרים הטבעיים, ישנה סכימת אקסיומות מיוחדת, הקובעת את חלות האינדוקציה. במסגרת הרחבה יותר של תורת הקבוצות האקסיומטית, המבוססת על אקסיומות צרמלו-פרנקל, נובע עקרון האינדוקציה מכך שקבוצת המספרים הטבעיים סדורה היטב (ראו עקרון הסדר הטוב): אם הטענה  P(n) אינה מתקיימת לכל n, מוכרח להיות מספר קטן ביותר שעבורו היא אינה מתקיימת; מספר זה אינו יכול להיות 1, משום שבסיס האינדוקציה מאשר את הטענה  P(1), והוא אינו יכול להיות גדול מ-1, משום שבמקרה כזה הטענה  P(n) נובעת מן הטענה  P(n-1), הנכונה לפי המינימליות של n.
בתורה, העובדה שקבוצת המספרים הטבעיים סדורה היטב נובעת מאקסיומת האינסוף (הקובעת שקיימת קבוצה רקורסיבית אינסופית), ומאקסיומת היסוד.
ראו גם

אינדוקציה במדעי הטבע
אינדוקציה טרנספיניטית
רקורסיה
הערות שוליים

1 2  Florian Cajori, Origin of the name Mathematical Induction, American Mathematical Monthly, 25 (1918), pp. 197–201, in JSTOR.
↑  Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed., p. 364
↑  W.H. Bussey, The Origin of Mathematical Induction, American Mathematical Monthly, 24 (1917), pp. 199–207, in JSTOR
↑  Nachum L. Rabinovitch, Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, Archive for the History of Exact Sciences, Vol. 6(3), (1970), in JSTOR
| --- | --- |
ערך טוב: 
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007548367405171  GND: 4124408-4  LCCN: sh85065806 
הדגמת הטענה "סכומם של n המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא המספר הריבועי העומד במקום n".
מגדלי האנוי
ארטמיסיה (ציור)

| --- | --- |

 מידע כללי
 צייר:  רמברנדט
 תאריך יצירה:  1634
 טכניקה וחומרים:  שמן על בד
 ממדים בס"מ
 רוחב:  154.7 ס״מ 
 גובה:  143 ס״מ 
 נתונים על היצירה
 זרם אמנותי:  תור הזהב של הולנד 
 מספר יצירה:  P002132 (מוזיאון הפראדו) 
 מיקום:  מוסאו דל פראדו, מדריד, ספרד
 
ארטמיסיה או סופוניסבה (בהולנדית: Artemisia) היא ציור שמן על בד משנת 1634 מעשה ידי הצייר ההולנדי רמברנדט ואן ריין. היצירה מוצגת כיום במוזיאון הפראדו במדריד שבספרד.
הנושא המתואר ביצירה אינו ברור, ולכן גם מספר שמותיה. על פי אחת הסברות היצירה מתארת את ארטמיסיה השנייה, מלכת קאריה, ברגע שבו המשרתת שלה מביאה לה את כד האפר של בעלה, המלך מאוסולוס. על פי סברה אחרת מדובר בסופוניסבה המלכה, המקבלת מהמשרתת את כוס התרעלה.
המלכה, המופיעה במרכז התמונה, מוארת ולבושה בפאר רב. גבה של המשרתת מופנה אל הצופה.
כפי הנראה כדוגמנית לדמות המלכה המופיעה ביצירה שימשה ססקיה, רעייתו של רמברנדט.
אפקט היו-יו

השלבים באפקט היו-יו
אפקט היו-יו המכונה גם מחזור המשקל הוא תופעה חוזרת ונשנית של אובדן משקל והשבתו בשל דיאטת הרזיה המבוססת על הגבלת צריכת הקלוריות היומיות. המונח "דיאטת יו-יו" נטבע על יד ד"ר קלי בראונל (Kelly D. Brownell) מאוניברסיטת ייל, בהתייחס לתנועה המחזורית מעלה-מטה של היו-יו. אדם השומר על הדיאטה מסוג זה מצליח בתחילה להשיג את מטרת איבוד המשקל אך נכשל בשמירה עליו לאורך זמן ומתחיל לעלות במשקל שוב, ואז הוא מנסה לאבד שוב את המשקל שהחזיר לעצמו וחוזר חלילה.
גורמים

קיימים כמה גורמים לאפקט היו-יו, אבל בדרך כלל סיבת התופעה בדיאטת הרזיה חריפה מדי. בתחילה יחוש האדם המתחיל בדיאטה כזו תחושת התעלות בשל אובדן המשקל וגאווה ביכולתו להימנע מאכילה. במשך הזמן גורמות המגבלות על האכילה המוטלות בדיאטות חריפות אלו לתופעות דוגמת דיכאון או עייפות שבעטיין קשה מאוד להתמיד בדיאטה. בסופו של דבר חוזר האדם להרגלי האכילה הקודמים, כשכעת נוספת תחושת הכישלון של הניסיון לרזות באמצעות דיאטה המגבילה את כמות האוכל. במצב רגשי זה נוטים אנשים רבים לאכול אפילו יותר משאכלו לפני שהחלו בדיאטה ועקב כך הם עולים במשקל במהירות.