stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות
משוואה ריבועית

"משוואה ממעלה שנייה" או "משוואה ריבועית" היא משוואה מהצורה  \ ax^{2}+bx+c=0 כאשר  \ a,b,c הם פרמטרים.
רעיון המשוואה כפי שאנו מכירים אותו כיום היה זר לתרבויות העתיקות, כך שדיון ב"פתרון משוואות" בהקשרן איננו מדויק. עם זאת, כבר הבבלים (כארבע מאות שנים לפני הספירה) ידעו לפתור בעיות שהיום, בכתיב מתמטי מודרני, היה פתרונן מתרגם למשוואות ריבועיות. הבבלים ידעו להשתמש בשיטת ההשלמה לריבוע (ראו הסבר בערך משוואה ממעלה שנייה) על מנת למצוא פתרונות של מספר בעיות. הבבלים לא הכירו בקיומם של מספרים שליליים ותשובותיהם היו לרוב חיוביות, כאשר לרוב פתרונות אלו היו למעשה אורכים שונים. בדומה לכך, כמאה שנים לאחר מכן, גם אוקלידס פתר בעיות שבמובן המודרני מתקשרות למשוואות ריבועיות, אך למעשה עסק בפתרון בעיות גאומטריות.
ראשית העיסוק בנושא בצורה שקרובה מאוד למודרנית הגיע עם המתמטיקה ההינדית, כאשר בראהמגופטה (598–668) שכלל את השיטות הבבליות בנותנו סימונים לנעלמים וכשהוא מכיר בקיומם של מספרים שליליים.
המתמטיקה המוסלמית בימיו של אל-ח'ואריזמי לא הכירה במספרים שליליים או באפס, כך שעבורו "התפצלה" הבעיה למספר מקרים פרטיים. כך, למשל, המשוואות  \ ax^{2}=bx+c ו- \ ax^{2}+bx=c עבור מקדמים חיוביים היו מבחינתו שתי בעיות נפרדות, אף על פי ששתיהן מקרים פרטיים של המשוואה הכללית בראשית פרק זה, כאשר מאפשרים לפרמטרים לקבל ערכים שליליים. אל-ח'ואריזמי מנה בספרו (התפרסם בשנת 830) שישה סוגים של משוואות ריבועיות ופרט אלגוריתמים לפתרונן כולל הוכחות גאומטריות המתבססות על השלמה לריבוע.
פתרון מלא של הבעיה התפרסם באירופה בספרו של אברהם בר חייא "חיבור המשיחה והתשבורת" (תאריך הפרסום המדויק איננו ברור, בערך בשנת 1140, להרחבה ראו אברהם בר חייא).
משוואה ממעלה שלישית או רביעית

משוואה ממעלה שלישית היא משוואה מהצורה  \ x^{3}+ax^{2}+bx+c=0, ומשוואה ממעלה רביעית היא משוואה מהצורה  \ x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,
כאשר המקדמים  a,b,c,d הם פרמטרים (באופן כללי, ניתן להפוך כל משוואה אחרת מסדר שלישי או רביעי למשוואה מסוג זה על ידי העברת כל האיברים לאגף שמאל וחילוק במקדם של החזקה הגבוהה ביותר).
בשנים 1501–1502 כיהן לוקה פאצ'ולי באוניברסיטת בולוניה. בספרו Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita פרסם סיכום של ידע מתמטי חשוב עד זמנו, כתוב בצורה הדומה מאוד למודרנית. בספר פרסם דעה לפיה לא ניתן למצוא פתרון למשוואה ממעלה שלישית. אולי בדירבון כתוצאה ממאמר זה, הראשון לפתור משוואה ממעלה שלישית היה שיפיונה דל פרו, שהיה אף הוא מרצה באוניברסיטת בולוניה, לערך בשנת 1515. פתרונו לא היה מושלם עקב היעדר ידע מתאים על שימוש במספרים שליליים. על אף מנהגו לשמור על עבודתיו בסוד ולחלוק אותן עם קומץ חברים וסטודנטים בלבד, שמר דל פרו רישום של עבודותיו במחברת. לאחר מותו בשנת 1525, עברה הבעלות על המחברת לידי יורשו, בעלה של בתו של דל פרו, אניבאל דלה נאווה, שהיה מתמטיקאי אף הוא, תלמידו של דל פרו ומחליפו לאחר מותו.
בשנת 1535 התמנה ניקולו טרטליה לראש הפקולטה למתמטיקה בוונציה. באופן בלתי תלוי, בנפרד מעבודתו של דל פרו, טרטליה התפרסם בשנת 1535 לאור הצלחתו בפתרון משוואה ממעלה שלישית, אך נמנע מלגלות את שיטת הפתרון לאחרים. לאור פרסום זה, אחד מתלמידיו של דל פרו, אנטוניו פיור שמו, החליט להזמין את טרטליה לתחרות בפתרון משוואות, בה ניצח טרטליה שהצליח לשכלל את שיטת הפתרון של דל פרו גם למשוואות שלגביהן לא הייתה תקפה.
בשנת 1539, לאחר ניסיונות שכנוע רבים, הצליח ג'ירולמו קרדאנו, שעבד על נושא זה בעצמו, לשכנע את ניקולו טרטליה לגלות לו את שיטת הפתרון שלו לפתרון משוואה ממעלה שלישית, בתמורה להבטחתו שלא לפרסם אותו לפני שטרטליה יפרסמו בעצמו. קרדאנו ולודוביקו פרארי תלמידו עבדו על הכללת שיטתו של טרטליה, ותוך כדי מחקרם, בהיעזר בשיטתו של טרטליה לפתרון משוואה ממעלה שלישית, גילה פרארי את השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית.
קרדאנו ופרארי נקלעו לבעיה, שכן לא יכולים היו לפרסם את הפתרון מבלי להפר את ההבטחה שניתנה לטרטליה. בסופו של דבר, נפתרה, לכאורה, בעיה זו לאחר שבפגישה עם דלה נאווה, יורשו של דל פרו, נוכחו קרדאנו ופרארי שלמעשה דל פרו פתר את המשוואה ממעלה שלישית עוד לפני טרטליה אך פשוט שמר את הפתרון בסוד, ולכן הבטחתו של קרדאנו לטרטליה, לכאורה, בטלה. פתרונו של פרארי לבעיה התפרסם בספרו של קרדאנו "האומנות הגדולה" בשנת 1545.
משוואה ממעלה שלישית או רביעית > הוויכוח על זכות הראשונים

עם צאת הספר "האומנות הגדולה", טרטליה זעם על פרסום הפתרון למשוואה ממעלה שלישית. הסכסוך קיבל היבט אישי כשטרטליה החל בחלופת מכתבים מעליבים עם קרדאנו ובהמשך פרארי, שבשלב מסוים הפכה פומבית. העימות הגיע לכדי תחרות פתרון משוואות בשנת 1548, ככל הנראה לאחר שטרטליה רצה להפגין את כישוריו כראוי למשרת מרצה בעירו ברשה. טרטליה הגיע למילאנו, שם נערכה התחרות באחת הכנסיות, כאשר מושל העיר שימש כשופט. פרארי, שהייתה לו זו תחרות ראשונה מסוג זה, הביא עמו קהל גדול שיצפה בו בתחרות ואילו טרטליה, שהיה מנוסה ובטוח בניצחונו, הביא עמו רק את אחיו כצופה. אנשים רבים נקהלו לצפות בתחרות. בסוף יומה הראשון החליט טרטליה, שידו הייתה בבירור על התחתונה, לעזוב עם לילה וכך זכה פרארי בתחרות.
משוואה ממעלה שלישית או רביעית > פיתוחים נוספים

מתמטיקאים רבים, ובהם פרנסואה וייט, לאונרד אוילר, תומאס הריוט, גוטפריד וילהלם לייבניץ ורנה דקארט, המשיכו לעסוק בנושא כדי לשכלל את שיטות הפתרון, ללמוד מהן ולהוכיח את הנוסחאות הרלוונטיות בצורה אלגברית.
תומאס הריוט (1560–1621) הראה שמשוואה ממעלה שלישית מקיימת  \ (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0 כאשר  \ x_{1},x_{2},x_{3} הם פתרונות המשוואה. בעזרת הוכחה זו הוכיח לייבניץ את הנוסחה לפתרון המשוואה ממעלה שלישית בצורה אלגברית-אנליטית, לראשונה ללא שימוש בכלים גאומטריים.
משוואה ממעלה שלישית או רביעית > היבטים מתמטיים

למעשה, ניתן "להעלים" את האיבר הריבועי מכל משוואה כללית ממעלה שלישית  x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\, על ידי החלפת משתנה  \ x\rightarrow x+{\frac {a}{3}} (הסבר לדרך קביעת ערכו של  \ a נמצא בערך משוואה ממעלה שלישית). אם כך, נדרשו המתמטיקאים של אותה התקופה, ששליטתם בעבודה עם מספרים שליליים הייתה מוגבלת, לפתור את המשוואות הבאות, המצומצמות, עבור ערכים חיוביים של הפרמטרים p ו-q:
כשתי משוואות שונות, אף על פי שלמעשה שתיהן זהות אם הפרמטר p יכול לקבל ערכים שליליים. עקב אותה אי-ההבנה של היכולת להשתמש במספרים שליליים, דן קרדאנו בספרו "האומנות הגדולה" ב-13 סוגים שונים של משוואות ממעלה שלישית.
בהינתן שהפתרון למשוואה מהצורה  x^{3}+px+q=0\, הוא, בכתיב מודרני,
{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},
מספרים מרוכבים צצים באופן טבעי בעת העיסוק במשוואות מסדר שלישי, גם כאשר הפתרונות שמתקבלים בסופו של דבר הם ממשיים. כשניסה קרדאנו לפתור את המשוואה  x^{3}=15x+4, הגיע לביטוי שכלל את המספר  {\sqrt {-121}}. בספרו לעיל פרסם פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "חסרי תועלת". למרות זאת, העיסוק בפתרון משוואות ממעלה גבוהה הוביל לדיון משמעותי ראשון במספרים מרוכבים.
משוואה ממעלה חמישית ומעלה

ישנן משוואות ממעלה חמישית שפתרונן פשוט, כמו  \ x^{5}-2=0 שפתרונה הממשי הוא  \ {\sqrt[{5}]{2}} או המשוואה  \ x^{5}-x^{4}-x+1=0 שניתן לכתוב בצורה  (x^{2}+1)(x+1)(x-1)^{2}=0\, ובכך לפתור בקלות (משום שאם מכפלת מספר גורמים מתאפסת, אזי הפתרונות הם הערכים שמאפסים כל אחד מהגורמים לפי המשפט הקטן של בזו). בצורה דומה, ניתן לפתור גם מקרים פרטיים של משוואות פולינומיות מדרגה גבוהה יותר.
לאחר ההצלחה בפתרון בעיית המשוואה הפולינומית הכללית עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית עד אמצע המאה ה-16, מתמטיקאים רבים ניסו למצוא פתרון לבעיה הכללית של משוואה פולינומית ממעלה הגבוהה או שווה לחמש, המבוסס על ארבע פעולות חשבון ושימוש בשורשים (פתרון כזה מכונה פתרון בעזרת רדיקלים), אך ללא הצלחה. ספרו של אייזק ניוטון, אריתמטיקה אוניברסלית (1707), תיאר את הקשר בין מקדמי המשוואה לפולינומים סימטריים של שורשיה, אבל לא הרחיק לכת מעבר לכך. הגישה השתנה ב-1771, עם פרסום עבודתו של לגרנאז', שבו תיאר הבדלים מהותיים בין משוואות ממעלה שלישית ורביעית למשוואות ממעלה גבוהה יותר. בפרק זמן של ארבעים שנה עברה הקהילה המתמטית מוודאות שקיימת שיטה כזו וחיפוש אחריה להבנה ששיטה כזו אינה אפשרית, זאת תוך כדי פרסום של הוכחות חלקיות ומלאות שיצרו תחומים חדשים במתמטיקה וקידמוה רבות.
משוואה ממעלה חמישית ומעלה > לגראנז' וגאוס

בשנת 1771 פרסם ז'וזף לואי לגראנז' את מאמרו החלוצי Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("על התאוריה האלגברית של משוואות") ובו ניסה להבין מדוע הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית הצליחו, אך למעלה מכך לא. בשיטה של המעלה השלישית יש שימוש בהשלמה והצבה שעוזרות להעלים את הגורם של  x^{2}, שאפשרי גם במשוואה ממעלה רביעית. לגראנז' הראה שלא ניתן להשתמש בצורה זו עבור משוואה ממעלה חמישית, שכן הם רק מסבכים את המשוואה ומעבירים אותנו לעבודה עם משוואה ממעלה שישית. לגראנז' שם לב לחשיבות שורשי היחידה המרוכבים והעלה טיעון מפתיע: אם נסתכל על  R=\left(\xi _{1}x_{1}+\xi _{2}x_{2}+\xi _{3}x_{3}\right)^{3} כאשר  \xi _{i} הם שורשי היחידה המרוכבים ו־ x_{i} הם שורשי משוואה ממעלה שלישית, אזי בחירת השמות ( x_{1} במקום  x_{2} לדוגמה) היא שרירותית. אנו יכולים לבצע תמורה על השמות, ויש בדיוק  3!=6 דרכים לעשות כן. לגראנז' בחן את כל 6 האפשרויות האלו וגילה כי הן מובילות בסופו של דבר רק ל־2 תוצאות שונות, והן  R ו־ R'=\left(\xi _{1}x_{1}+\xi _{3}x_{2}+\xi _{2}x_{3}\right)^{3} בדיוק. לדבר זה התייחס לגראנז' בטענה שהוא "בעל ערך". באופן דומה בדק לגראנז' את  4!=24 התמורות על פתרונות משוואה ממעלה רביעית וראה שהן מניבות בדיוק 3 ערכים שונים. ל־ R הוא קרא "רזולבנטה" ולטענתו ניכר שכאשר הרזולבנטה מקבלת פחות ערכים מאשר מעלת המשוואה – ניתן לפתור את המשוואה. כאשר ניגש לגראנז' לבדוק את הרזולבנטה של משוואה ממעלה 5 הוא גילה כי היא מקבלת 6 ערכים שונים, מספר הגדול יותר ממעלת המשוואה. מכאן הסיק לגראנז' שהדרכים הישנות לא תעבודנה בפתרון המשוואה ממעלה חמישית ושיש לנסות בדרכים אחרות לפותרה.
למסקנה הפוכה הגיע קרל פרידריך גאוס, שבעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799 טען כי לא קיימת שיטה כללית לפתרון משוואה ממעלה חמישית על ידי רדיקלים, זאת למרות ההתקדמות שהצליח להשיג אחרי הוכחתו הראשונה למשפט היסודי של האלגברה. גאוס כתב על כך:
אחרי עבודה של גיאומטריקנים (בתקופה זו "גאומטריקן" ו"מתמטיקאי" שימשו כמלים נרדפות) רבים, נותרה תקווה מועטה להגעה לדרך כללית לפתרון אלגברי של משוואות. ככל שחולף הזמן נראה שהולך ופוחת הסיכוי שפתרון כזה אפשרי. אולי לא יהיה זה כה קשה להוכיח, בריגורוזיות מלאה, את האי-פתירות של משוואה ממעלה חמישית
גאוס עצמו הדגים בספרו מחקרים אריתמטיים כי המשוואות הציקלוטומיות פתירות על ידי רדיקלים, זאת כחלק מניסיונו להראות אפשרות בנייה בסרגל ומחוגה של מצולעים משוכללים שונים. היות שגאוס כאמור לא האמין כי קיימת שיטה כללית לפתור משוואות ממעלות גבוהות, הוא נתן את המשוואות הציקלוטומיות האלה כדוגמה מיוחדת ומעניינת למשוואות ממעלה גבוהה שלהן כן קיימת נוסחה לפתרון.
משוואה ממעלה חמישית ומעלה > רופיני וקושי

פאולו רופיני פרסם שש הוכחות לאי־פתירות משוואה ממעלה חמישית, הראשונה ב־1799 והאחרונה ב־1813. כל אחת מוסיפה על קודמתה ומנסה להיאבק בביקורת שהועלתה עליה. את מאמרו הראשון פתח רופיני בפסקה:
פתרון אלגברי כללי למשוואה ממעלה גדולה מ־4 הוא תמיד בלתי אפשרי. להלן משפט חשוב ביותר ... לגראנז' הדגול סיפק את הבסיס להוכחתי
רופיני כתב את מאמרו בסגנון ארוך, מעל 500 עמוד, ולא־ברור. סגנונו הקשה על מתמטיקאים בתקופתו לקבלה. הוא שלח את מאמרו שלוש פעמים בשלוש שנים שונות ללגראנז' שלא השיב לו לאף אחד מהם. בשנת 1810 ביקש רופיני מהאקדמיה בפריז שתכריז על נכונות הוכחתו. המתמטיקאים לגראנז', לז'נדר ולקרואה מונו לבדוק אותה, והפיקו דו"ח שכלל את האמירה ש"לגראנז' טען שעבודה זו לא ממש ראויה להתייחסות". רופיני שלח בקשה דומה לאקדמיה המלכותית בבריטניה, שהשיבה בצורה טובה יותר בטענה שהם אינם מצרפים אישור לכך שהעבודה אכן מוכיחה את מה שהיא מתיימרת, אבל חברי ועדת הבדיקה אכן חושבים שהיא עושה כן.
התייחסות חיובית אחת למאמרו של רופיני הייתה של המתמטיקאי הצרפתי החשוב אוגוסטן לואי קושי שהכליל חלק מגילויו של רופיני בנושא חבורות תמורות ב־1813 ו־1815 (במיוחד המאמר Memoire sur le nombre des valuers qu'une fonction peut acquerir). המאמרים היוו פריצת דרך בכל הנוגע לתורת החבורות וכללו לראשונה את הסימון המקובל לתמורה – (לדוגמה,  {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}} לתמורה המזיזה כל איבר לבא אחריו מתוך ארבעה איברים) וגם הוכחה מופשטת למה שהיום מוכר כמשפט לגראנז' על חלוקת סדר של תת-חבורה בסדר החבורה. מאמריו אלה של קושי נקראו על ידי נילס אבל, וכך התוודע באופן עקיף לעבודותיו של רופיני. במכתב של קושי לרופיני, חצי שנה לפני מותו של השני, כתב לו:
מאמרך על הפתרון הכללי למשוואות הוא עבודה שראויה לתשומת לב של מתמטיקאים, ולדעתי היא מוכיחה ללא כל צל של ספק את האי־פתירות של משוואה כללית ממעלה גדולה מארבע.
למרות תמיכתו של קושי, עבודתו של רופיני עדיין לא זכתה להערכה או פרסום בקרב הקהילה המתמטית. על השאלה מדוע עבודתו של רופיני נדחתה, אך בערך 20 שנה אחריה עבודתו של אבל התקבלה טוב יותר יחסית כתב ההיסטוריון של המתמטיקה ריימונד איוב:
הקהילה המתמטית לא הייתה מוכנה לקבל רעיון מהפכני כזה: שפולינום לא יכול להיפתר על ידי רדיקלים. בנוסף נושא התמורות היה אקזוטי ולא מאוד בשימוש, ומאמריו המוקדמים של רופיני היו לא פשוטים לקריאה. ... בין 1800 לבין 1820, השתנתה התפישה בקהילה המתמטית ... מניסיון לפתור את המשוואה ממעלה חמישית לניסיון להוכיח את אי-פתירותה
משוואה ממעלה חמישית ומעלה > תרומתו של אבל

נילס אבל הצעיר, בעידוד מורו למתמטיקה בתיכון קרא את עבודותיהם של לגראנז' וקושי על תמורות ופתרון משוואות. מאמרו של קושי משנת 1815 היה מבוסס על עבודתו של רופיני, אך לפי הידוע אבל מעולם לא קרא את רופיני, שעבודותיו היו קשות להבנה ובאיטלקית. לאחר ניסיונות כושלים רבים למצוא שיטה כללית לפתרון משוואה ממעלה חמישית, שינה אבל את דעתו לגבי קיום פתרון ופרסם בשנת 1824, שנתיים אחרי מות רופיני, את ההוכחה המלאה הראשונה לאי־פתירות משוואה כללית ממעלה חמישית, הוכחה שסגרה את הפערים בעבודותיו של רופיני. ההוכחה נכתבה בקיצור נמרץ, לאורך 6 עמודים בלבד, שכן הודפסה על חשבון המחבר. שנתיים לאחר מכן, ב־1826 קרא אבל מאמר המסכם את עבודתו של רופיני וכתב על כך:
הראשון, ואם אינני טועה היחיד, שניסה לפני להראות אי-פתירות של משוואה אלגברית כללית הוא הגיאומטריקן (קרי, מתמטיקאי) רופיני. אבל מאמרו כה מסובך שקשה לברר את נכונות טענותיו. נראה לי שההסברים לא תמיד מספקים
כאשר פורסם מאמרו הראשון של אבל בשנת 1824 הוא לא התקבל בהערכה רבה. אבל שלח עותק לגאוס בגטינגן, אך גאוס לא התלהב ממנו כלל. ההשפעה הראשונית הגיעה בשנת 1826 עם פרסום המאמר בכרך הראשון של כתב־העת המשפיע של המתמטיקאי הגרמני אוגוסט לאופולד קרל בברלין – Journal für die reine und angewandte Mathematik, פרסום זה הוא שהחל להביא את אבל והוכחתו לידיעת הקהילה המתמטית העולמית. אבל שלח את מאמרו לגאוס, שדעותיו בנושא מתאימות להוכחת אי־פתירות, אך מכתבו של אבל נמצא חתום וסגור ברשותו של גאוס לאחר מותו במכתב של אבל ללז'נדר משנת 1828 הוא הפציר בו לפרסם את תגליתו:
אדוני, פרסמתי עבודה יפה מאוד על פתרונות אלגבריים למשוואות ... אני מזמינך לפרסם את התיאוריה הזו במהירות האפשרית; זה יביא לך כבוד רב וייחשב כתגלית הגדולה ביותר שנותרה באנליזה
לאופולד קרונקר הוא זה שהכניס את משפט אבל-רופיני לתוכנית הלימודים האוניברסיטאית. הוא הוכיח מחדש את משפט אבל ללא שימוש בחלקים הבעייתיים בהוכחה בצורה פשוטה יותר ופרסם אותם בשנת 1879 ב־Academie der Wissenschaften. קרונקר לא ביקר את הוכחתו של אבל אך נתן לה צורה פשוטה יותר.
משוואה ממעלה חמישית ומעלה > תורת גלואה כפתרון כללי

שאלה שנותרה פתוחה לאחר הוכחתם של רופיני ואבל היא "מה הופך משוואות מסוימות (כמו אלו שהובאו לעיל) לפתירות ואילו אחרות – לא?". התשובה ניתנה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אווריסט גלואה ותורת גלואה שפיתח. גלואה ככל הנראה הכיר חלק מכתביו של אבל בדרכו לפתח את מה שידוע היום בשם "תורת גלואה" המספקת, בין היתר, הסבר שלם לפתירות של משוואות פולינומיות. למעשה, גלואה פעל ועבד כמתמטיקאי בפריז בזמן שנילס אבל עצמו ביקר בעיר. גלואה הכיר את עבודותיהם של לגראנז' וקושי בנושא, וגם את המאמר של אבל בכתב־העת של קרל. גלואה הכחיש כל תלות בעבודותיו של אבל, אך היה מודע לעבודתו ולעבודתו של רופיני, כפי שהוא מצוטט:
ידוע כיום כי משוואה כללית ממעלה גבוהה מ־4 אינה פתירה על ידי רדיקלים... זהו ידע שנהפך למצוי למרות התעלמותם של הגיאומטריקנים (קרי, מתמטיקאים) מהוכחותיהם של אבל ורופיני
גלואה פנה לחקור פתרונות של משוואות על ידי חקירת אובייקט שלו הוא קרא "חבורה" (groupe), שאותו הוא התאים לכל משוואה. החבורה הכילה תמורות מסוימות על שורשי המשוואה, וגלואה הראה, על ידי חקירת המשוואות ובהינתן החבורה המתאימה לה, האם המשוואה שהיא מייצגת פתירה על ידי רדיקלים, מה שלעתיד ייקרא "חבורה פתירה". גלואה השתמש רבות באינווריאציה של צמידות (מה שעתיד להיקרא "תת-חבורה נורמלית") כדי לאפיין את הפתרון.
עבודותיו של גלואה כמעט ולא התפרסמו בחייו בקצרים, היות שכמו עמיתו אבל הוא מת בגיל צעיר. הוא העלה חלקים נכבדים מעבודתו בלילה לפני מותו מדו־קרב ואותם שלח לידידו אוגוסט שבליה יחד עם מכתב המסביר את תכנם. שבליה פרסם את המכתב כבר בספטמבר 1832, אבל את רשימותיו האחרות של גלואה הוא העתיק ומסר לעיונו של ז'וזף ליוביל רק ב־1843. ליוביל פרסם את עבודתו העיקרית של גלואה ב־1846 בכתב העת שלו Journal de mathématiques pures et appliquées לאחר שבדק את תכנם. הוכחה מלאה המתבססת על תורת גלואה התפרסמה בשנת 1885, לאחר שהושלמה על ידי אמיל ארטין והינריך ובר.
משוואה ממעלה חמישית ומעלה > פתרון משוואות ממעלה גבוהה ללא עזרת רדיקלים

בהינתן שלמשוואות מסדר גבוה אין פתרון בעזרת רדיקלים, עסקו המתמטיקאים בחקר פתרונות מורכבים יותר, הנעזרים בפונקציות מתאימות. כך, למשל, פליקס קליין מצא פתרון לבעיית המשוואה ממעלה חמישית במונחים של פונקציות היפרגאומטריות מוכללות התלויות בשני פרמטרים המתקבלים לאחר מניפולציות אלגבריות על המשוואה. משוואה כללית ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של פונקציות קמפה דה פרייט. ישנן משוואות ממעלה שישית הניתנות לפתרון על ידי פונקציה היפרגאומטרית כללית במשתנה אחד, באמצעות הגישה של פליקס קליין לפתרון משוואה ממעלה חמישית.
ניסוח פשטני ופרטי של הבעיה השלוש-עשרה של הילברט הוא השאלה "האם ניתן למצוא פתרון כללי של משוואה פולינומית ממעלה שביעית בעזרת שני פרמטרים בלבד?" תשובה חיובית ניתנה על ידי ולדימיר ארנולד בשנת 1957.
לקריאה נוספת

שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, חלק ב: הרנסנס והזמן החדש, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989, פרק ב': משוואות קוביות וקוורטיות, עמ' 19–26
בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005, עמ' 212–214
Peter Pesic, Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability, The MIT Press (2007)
Henrik Kragh Sørensen, Niels Henrik Abel and the theory of equations, Appendix of progress report, Institut for Videnskabshistorie, Aarhus Universitet, Aarhus (1999)
R G Ayoub, Paolo Ruffini's Contributions to the Quintic, Archive for History of Exact Science 23 (1980) 253–277
בואינג 707

| --- | --- |

מטוס ה-707 של השחקן ג'ון טרבולטה
 מאפיינים כלליים
 סוג:  מטוס נוסעים צר גוף
 ארץ ייצור:  ארצות הברית ארצות הברית
 יצרן:  בואינג
 טיסת בכורה:  20 בדצמבר 1957
 תקופת שירות:  אוקטובר 1958 – הווה (כ־66 שנים)
 יחידות שיוצרו:  1,010
 משתמש ראשי:  טראנס וורלד איירליינס (בעבר) אמריקן איירליינס (בעבר) פאן אמריקן וורלד איירווייז (בעבר)
 דגמים:  ראו דגמים וגרסאות
 מחיר:  4,300,000 דולר אמריקני (1955)
 תרשים
 
תא הטייס
בואינג 707 הוא מטוס נוסעים מסחרי צר-גוף בעל ארבעה מנועים, שפותח בחברת בואינג בשנות ה-50 של המאה ה-20. שם הדגם מבוטא בצורה פופולרית "שבע-אפס-שבע". פאן אמריקן וורלד איירווייז החלה להפעיל את השירות המסחרי הראשון באמצעות דגם זה לפריז החל ב-26 באוקטובר 1958. בואינג סיפקה 1,010 יחידות של מטוס ה-707, ובכלל זה גם מדגם קטן ומהיר יותר שנקרא בואינג 720. אף על פי שהמטוס לא היה מטוס הנוסעים הסילוני המסחרי הראשון, ה-707 היה בין מטוסי הסילון הראשונים שזכו להצלחה מסחרית. מטוס זה הפך לכלי התובלה העיקרי להובלת נוסעים מסחרית בשנות ה-60, ונותר נפוץ גם לאורך שנות ה-70 של המאה ה-20. מטוס זה נתפס אצל רבים כמטוס שהוביל לתקופה הסילונית. מטוס הבואינג 707 הפך את בואינג לאחת מיצרניות מטוסי הנוסעים העיקריות והיה המטוס הראשון בסדרת ה-7x7 של החברה.
היסטוריה

ה-707 היה מבוסס על בואינג 367-80 (אנ') (כינויו הפנימי של הפרויקט בחברת בואינג היה "דאש 80" – Dash 80). פיתוח הדגם לקח פחות משנתיים מאז השקת הפרויקט ב-1952 ועד הצגתו הפומבית הראשונה, ב-14 במאי 1954 וטיסתו הראשונה התרחשה חודש לאחר מכן. דגם ראשוני זה היה בסיס גם למספר דגמים צבאיים, ביניהם מטוס התובלה C-135 סטרטוליפטר, מטוס התדלוק האווירי KC-135 ומטוס ניטור הרדיואקטיביות WC-135 קונסטנט פיניקס. בואינג 367-80 הונע על ידי ארבעה מנועי פראט אנד ויטני JT3C, הגרסה האזרחית לדגם J57 שהיה בשימוש על מטוסים צבאיים רבים כמו ה-F-100, ה-F-101, ה-F-102 וה-B-52.
החלטה מאוחרת ויקרה הייתה להרחיב את גוף הבואינג 707 ב-15 סנטימטר ביחס ל-367-80 המקורי כדי שהמטוס יהיה רחב במעט ממתחרהו דאגלס DC-8. הרחבה זו לא בוצעה בנגזרות הצבאיות של הדגם.
פאן אם הייתה חברת התעופה הראשונה שהפעילה את דגם ה-707; הטיסה המסחרית הראשונה של המטוס הייתה מניו יורק לפריז ב-26 באוקטובר 1958. אמריקן איירליינס הייתה חברת התעופה הראשונה להפעיל את ה-707 בטיסה ארוכת טווח ב-25 בינואר 1959. ה-707 נהפך מהר למטוס הסילון הנפוץ ביותר לנוסעים בזמנו, תוך שהוא מדיח כמעט לחלוטין את הדאגלס DC-8.
על מנת להפוך לשחקנית עיקרית בעסקי התעופה המסחרית, בואינג הכניסה שינויים רבים במטוס לדרישת הלקוחות. בעוד שה-707-120 היה דגם הסטנדרט הראשוני עם מנועי פראט & וויטני, חברת התעופה קוואנטס הזמינה גרסה בעלת גוף מקוצר בשם 707-138, ובראניף הזמינה גרסה בעלת דחף גבוה יותר עם מנועי פראט & וויטני JT4A, בשם 707-220. הגרסה המשופרת ביותר הייתה ה-707-320 בעלת כנפיים גדולות וגוף מורחב. ה-707-420 צוידה במנועי קונוואי של רולס-רויס. לרוב ה-707 המאוחרים יותר היו מנועים שקטים ויותר חסכוניים בדלק בשם JT3D ועוד חלקים על הכנפיים לשיפור ביצוע הנחיתה וההמראה. סימלו אותם בסיומת "B", לדוגמה: 707-120B ו-707-320B.
כאשר שנות השישים התקרבו לסיומן, הגידול המשמעותי בנסיעות אוויריות, הוביל את ה-707 להיות קורבן של הצלחתו. ה-707 הפך לקטן מדי עבור מספרי הנוסעים בקווי הטיסה להם היה מיועד. הארכת גוף המטוס הייתה כבר בלתי אפשרית. גם מנועי הדור הראשון של ה-707 נעשו במהירות מיושנים בהיבט הרעש והחיסכון בדלק. התשובה של בואינג לבעיה הייתה המטוס הראשון בעל שתי הקומות, ה-747.
ייצור ה-707 האזרחי הסתיים ב-1978. בסך הכל יוצרו 1,010 יחידות למען חברות תעופה. הגרסאות הצבאיות נשארו בייצור עד 1991.
חלק ממאפייני ה-707 הופיעו גם במטוסים חדישים יותר של בואינג. הבולט ביותר הוא בואינג 737, שמשתמש בגרסה מעודכנת של גוף המטוס של ה-707. בואינג 757 ובואינג 727 השתמשו באותו גוף מטוס של ה-707, שהוקטן או הוגדל. ה-727 וה-737 השתמשו באותה תצורת תא טייס של ה-707.
דגמים וגרסאות

367-80 (כונה בבואינג Dash 80, "מקף-שמונים"): אב הטיפוס המקורי, שימש לפיתוח ה-707. הותאמו לו 4 מנועי פראט & וויטני JT3, וטיסתו הראשונה הייתה ב-15 ביולי 1954.
707-120: הדגם הראשוני של ה-707. יוצרו 69 כאלה, עם גוף וכנפיים גדולים יותר מה-Dash 80 המקורי, חלונות לכל אורך המטוס וקיבולת של 179 נוסעים. הגרסה הייתה מיועדת לנתיבים בין יבשתיים, ולעיתים קרובות היה צורך בעצירת תדלוק כאשר הופעלה בנתיבים מעל האוקיינוס האטלנטי. הותאמו לדגם 4 מנועי JT3C-6 של פראט & וויטני, גרסה אזרחית של ה-J57 הצבאי. הטיסה הראשונה התקיימה ב-20 בדצמבר 1954. הגרסה הכי חשובה הייתה ה-707-138, בעל גוף קצר יותר בכ-3 מטרים, והיה מסוגל לטוס למרחק יותר גדול. 13 מה-707-100 שיוצרו היו דגמים של 138-. הזמנות עיקריות אחרות היו 20 יחידות של 707-121 לפאן אם, ו-30 יחידות של 707-123 לאמריקן איירליינס. פאן אם התחילה לטוס עם ה-707 ב-26 באוקטובר 1958.
707-220: היה מיועד לטיסות בתנאי מזג אוויר חמים יותר ובגובה רב עם מנועי JT4A-3 חזקים של פראט & וויטני. בסופו של דבר רק 5 יחידות יוצרו. כולם היו בשביל החברה בראניף, ונשאו את מספר הדגם 707-227. כאשר הגיעו מנועים חדשים יותר, הדגם נעשה למיותר.
707-320 בין יבשתי: גרסה מתוחה של ה-707 המקורי, מונעת על ידי מנועי JT4A של פראט & וויטני. המטוס היה מסוגל להושיב 189 נוסעים עקב מתיחה של 2.5 מטר, וכנפיים יותר גדולות נשאה יותר דלק והגבירה את הטווח ב-2500 ק"מ. משקל ההמראה עלה ל-143,000 ק"ג. הטיסה הראשונה הייתה ב-11 בינואר 1958 וייוצרו 69 יחידות של ה-300.
707-120B: השיפור העיקרי הראשון ל-707 המקורי היה מנועי JT3D-3, שהיו חזקים יותר, שקטים יותר, ויותר חסכוניים בדלק. היו גם שינויים בעיצוב הכנפיים. 72 כאלה נבנו, ועוד הרבה שופרו ממטוסי 707-100, כולל המטוסים של קואנטס, שנהיו 707-138B. הטיסה הראשונה של ה-100B הייתה ב-22 ביוני 1960.
707-320B: שיפור של הגרסה המתוחה, שכלל את אותם מנועי ה-JT3D-3 וגם שינויים דומים לשלדת המטוס. השיפור נעשה במקביל ל-100B. משקל ההמראה עלה ל-152 טון. 175 דגמים כאלה יוצרו, וגם דגמי 300 מקוריים שופרו. הכינוי של גרסת המטען של ה-707-320B של צבא ארצות הברית היה C-18. ה-707-353B אומץ על ידי חיל האוויר האמריקני וקיבל את הכינוי VC-137 בשביל שרות כמוביל נשיאותי.
707-320B Advanced: שיפור שולי שהיה זמין לדגמי 300B, שהוסיף חלק משופר בכנפיים מדגם ה-300C לדגמי ה-300B הראשונים.
707-320C: גרסה שאיפשרה הפיכת תצורה מנוסעים/מטען. בסופו של דבר היא הפכה לגרסה של ה-707 שנמכרה בהיקף הכי נרחב. התוספות היו רצפה מחוזקת יותר ודלת מטען חדשה לדגם הקודם 300B. נבנו 335 יחידות מהגרסה הזאת, כולל כמה עם המנוע המשופר JT3D-7 ומשקל המראה של 152 טון. למרות אפשרות הפיכת התצורה, מספר יחידות נמכרו כמטוסי מטען לגמרי.
707-420: גרסה של ה-707-300C שיוצרה לבקשת חברת התעופה BOAC והייתה מונעת על ידי מנועי Rolls-Royce Conway 50B, דגם זה נמכר לכמה חברות תעופה ובהן אל על.
720: שינוי של ה-707-120 שהיה מיועד להפעלה בטווח בינוני ממסלולי המראה קצרים יותר. הוא היה קל ומהיר יותר מה-707, והיה בעל עיצוב כנף פשוט יותר. לגרסה הזאת היו מכירות מעטות, אבל עדיין הייתה רווחית בגלל עלויות הפיתוח המינימליות שנבעו משינוי של דגם קיים. ה-720 היה בשימוש לפני שבואינג החליפה אותו ב-727. הטיסה הראשונה הייתה ב-23 בנובמבר 1959 ו-64 יחידות נבנו.
בשירות חיל האוויר הישראלי

בחיל האוויר הישראלי, הופעל הבואינג 707 בארבע תצורות (וכינויי מטוס שונים), במסגרת טייסת 120:
תובלה כללית ונוסעים – "ראם"
תדלוק אווירי – "שקנאי" (הסבה של ה-707, שנעשתה על ידי "התעשייה האווירית" במסגרת פרויקט מערכת "סלט ירוק")
ביון וזיהוי מערכות מכ"ם ומערכות נ"מ אחרות, מערכות ממסר תקשורת ומערכות בקרה:
(ראו הרחבה בסעיף יחידת אס"מ 5708 בערך בסיס חיל האוויר לוד)