stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
נוקיה 3100
גרסאות > Nokia 3120

גרסה שהוכרזה במהלך 2004 וכללה לוח מקשים שונה הנועד להעניק לטלפון מראה "עסקי" יותר. יצאה גם בגרסת CDMA תחת השם Nokia 3125.
גלריה

נוקיה 3100 עם פאנל בצבע טורקיז - מבט מהצד
נוקיה 3100 מפורק לחלקים - הפאנל הקדמי ומכסה הסוללה
הערות שוליים

1 2  Nokia 3100, באתר ynet, 24 במרץ 2005
↑  פרסומת לנוקיה 3100 - צביקה פיק 2004, נבדק ב-2024-02-24, באתר יוטיוב
↑  אורנה יפת, צביקה פיק ישיר לנוקיה תמורת 30 אלף דולר, באתר ynet, 21 בינואר 2004
↑  Nokia 3100 Phone - Yenra, yenra.com
↑  The Nokia 3120 : Trendy Yet Classic | Nokia, web.archive.org, ‏4 בפברואר 2017
ניקומרורו

ניקומרורו (באנגלית: Nikumaroro) אשר נקרא בעבר האי גארדנר (באנגלית: Gardner Island) הוא אטול אלמוגים מוארך, המהווה חלק מאיי פניקס שבקיריבטי באוקיינוס השקט. במרכז האטול לגונה גדולה. אורכו של האטול כ-6 ק"מ ורוחבו כ-2 ק"מ. שתי תעלות מקשרות את הלגונה עם האוקיינוס, והן יבשות בעת השפל.
שם האטול

לאטול שמות רבים. במהלך המאה ה-19 נקרא האטול בשמות: האי קמינס (Kemins' Island), מוטו אונגה (Motu Oonga) והאי מרי לטישה (Mary Letitia's Island). ב-19 באוגוסט 1840 עגנה באי אוניית מחקר של הצי האמריקאי "וינסנס", אשר מיפתה את מיקומו המדויק ועשתה שימוש בשם - "האי גארדנר" (Gardner Island). מקורו של שם זה ב-1825 והוא הוענק לאי על ידי צייד לווייתנים אשר קרא לאי על שם חתנו גידיון גרדנר, חבר בקונגרס של ארצות הברית.
היסטוריה

בשנת 1865 הכריזה חברת ס. א. ויליאמס ושות' (CA Williams & Co) מניו לונדון בקונטיקט שבארצות הברית על האי כשטח כלכלי של ארצות הברית בהתאם לחוק איי הגואנו. בשנת 1892 עגנה אוניית הוד מלכותה "קוראסאו" באי והכריזה עליו כעל שטח בריטניה. בריטניה העניקה באותה שנה רישיון ליזם ג'ון ארונדל לנטיעת עצי קוקוס באי. באי יושבו 29 מתיישבים מאיי הסביבה ומספר מבנים נבנו במקום לצרכיהם. ניסיון גידול דקלים זה כשל בשל בצורת שפקדה את האטול בשנת 1893.
ב-29 בנובמבר 1929 עלתה המכלית "נורוויץ' סיטי" על שרטון באחת משוניות האי במהלך סופה. שמונה מאנשי הצוות נספו והיתר מצאו מחסה במבנים שבנה ארונדל, עד שחולצו מספר ימים לאחר מכן. שרידי האונייה עדיין נמצאים במקום בה עלתה על השרטון.
ב-1 בדצמבר 1938 הגיעה לאי משלחת החקר הבריטית לאיי האוקיינוס השקט, במטרה לבדוק התכנות בניית שדה תעופה באי למטוסים ימיים. ב-20 בדצמבר הגיעו לאי מתיישבים מאיי גילברט במסגרת התוכנית ליישוב האיים. מחסור במי שתייה הקשה על יישוב האי ועל נטיעת עצי קוקוס. מספר בארות נכרו באי ביוני 1939 ו-58 מתיישבים מאיי גילברט הגיעו אל האי. באי התמקמה גם מפקדת התוכנית ליישוב איי פניקס. הכפר הוקם בקצה המערבי של האי, דרומית למעבר העיקרי אל הלגונה, ונבנו מספר רחובות. בין השנים 1944-1945 הייתה למשמר החופים של ארצות הברית תחנה באי ובה 25 אנשי צוות.
בשנות ה-50 של המאה ה-20 התגוררו באי כ-100 תושבים, אולם בשל הבצורות והמחסור במי שתייה עזבו המתיישבים את האי ופונו לאיי שלמה בשנת 1963. בשנת 1965 הוכרז האי באופן רשמי כבלתי מיושב. בשנת 1971 העניקה בריטניה אוטונומיה לאיי גילברט והשליטה באי נמסרה להם במסגרת אוטונומיה זו. בשנת 1979, עם קבלת עצמאותה של קיריבטי הפך האי לחלק מהרפובליקה. באותה שנה, ארצות הברית, לאחר שמיפתה את האי ובדקה את התאמתו לניסויים בכלי נשק, החליטה לוותר על תביעתה לריבונות באי והכירה בריבונותה של קיריבטי. בעקבות זאת שונה שם האי ל"ניקומרורו" - שם מהמיתולוגיה הגילברטית.
בשנות ה-90 נעשו באי חיפושים על ידי הקבוצה הבינלאומית להנצלת כלי תעופה היסטוריים במטרה למצוא את מטוסה של אמיליה ארהארט שהתרסק לטענתם באי ביולי 1937.
מרבית המבנים שנותרו באי נהרסו בסופה בשנת 2002.
נהיגה ומגדר

נשים נוהגות ב-1920
נהיגה ומגדר הוא תחום העוסק בהבדלים המשמעותיים, לפי חוקרים מסוימים, בדפוסי נהיגתם של נשים וגברים וביחסם לנהיגה.
החל מסוף המאה ה-20 נערכים מחקרים בתחום זה המתמקדים בהבדלים פסיכולוגיים, חברתיים ותרבותיים בין נשים לבין גברים ובהשלכות של הבדלים אלה על יחס החברה לנהיגת נשים. ממצאי מרבית המחקרים העוסקים בנושא, בעולם ובישראל, מצביעים על כך שלמגדר תפקיד חשוב בניבוי סגנון נהיגה, מעורבות בתאונות דרכים, סטריאוטיפים והשלכותיהם על החלטות הקשורות להטמעת המגדר, כלומר–מודעות לאי-השוויון בין נשים לגברים בחברה והצורך לקבוע מדיניות שתביא בחשבון את ההבדלים בין נשים לגברים ותוביל לשינויים מערכתיים.
היסטוריה

המכונית הומצאה בסוף המאה ה-19. חשיבות השימוש במכונית כאמצעי ניידות יעיל התבררה בראשית המאה ה-20, לדוגמה: בשנת 1920 נשאלה אישה אמריקאית מדוע קנתה מכונית ולא החליפה צנרת ביתית, ותשובתה הייתה "אתה לא יכול להגיע לעיר באמבטיה". ניסיונות של גברים, אבות או בני-זוג בארצות הברית, להגביל או לאסור על נהיגת נשים ולרסן את ניידותן, כשלו ברובן. נשים מפורסמות, כמו הסופרות אמילי פוסט ואדית וורטון, שהחלו לנהוג סללו את הדרך לאחרות.
ניסיונות שונים נעשו כדי להעריך את שיעור הנשים מכלל הנהגים בראשית המאה ה-20 בארצות הברית. במקומות שונים נמצא שנשים היו הבעלים של בין 5–15 מהמכוניות, אולם סביר להניח שנשים נהגו גם במכוניות שהיו רשומות על שם בעליהן או בני משפחה אחרים. למרות שעל פי תיאורים בעיתונות, נשים נוהגות היו מראה שכיח בערים שונות בארצות הברית, ההערכה היא ששיעורן בקרב הנוהגים היה קטן. דעה רווחת גרסה שנשים נהגו בעיקר במכוניות שפעלו על חשמל, שהיו נקיות, שקטות ואיטיות יותר, אולם מנגד היו שטענו שאין לכך אישוש במקורות.
בהתחלה - נשים נסעו במכונית כנוסעות לצד הגברים, אך עד מהרה גילו את הנוחות ואת היתרונות של ניידות והיעדר תלות בבן הזוג: נשים עירוניות השתמשו במכונית בעיקר לצורכי בילוי ועסקים, ונשים כפריות יכלו לנסוע העירה כדי לקנות או למכור את תוצרתן החקלאית. כשנשים החלו לנהוג בשיעורים הולכים וגדלים התפתחה מודעות גוברת של יצרני רכב שעליהם להתאים ולשפר את הרכבים: אופי הפרסומות השתנה-מתיאורים של חלקים מכניים ורישומים קטנים של מכוניות לתמונות צבעוניות גדולות הכוללות נשים. בפרסומות הודגשו הנוחות והפונקציונליות של המכונית. ג'נרל מוטורס אימצו את הרעיון של התאמת עיצוב המכונית לנשים משנת 1927. המכוניות כבר לא היו נחלת הגברים, אף על פי שהם המשיכו לנסות להגביל את נהיגת הנשים והעלו חששות לגבי יכולתן להשתמש בטכנולוגיה אוטומטית או לנהוג כשיש ילדים במכונית. רבים חשבו שנשים צריכות להיות מוגבלות למכונית החשמלית[דרושה הבהרה] הנקייה והאיטית יותר, שהייתה מסוגלת להגיע רק ל-50 קמ"ש.
במהלך השנים, גדל שיעור הנשים שהחזיקו ברישיון נהיגה ומספר הקילומטרים הממוצע שהן נהגו גדל בשיעור גבוה יותר ממספר הקילומטרים הממוצע של נהגים גברים.
סיכון בנהיגה ומעורבות בתאונות

על פי סקירה סטטיסטית מארצות הברית, גברים גורמים לתאונות בשיעור של כמעט 30% יותר מנשים. עם זאת, גברים נוהגים מעל 30% קילומטרים יותר מנשים ועל כן נשים גורמות ליותר תאונות לקילומטר מגברים. מחקרים אחרים טוענים שרק חלק מהשיעור העודף של גברים בתאונות דרכים מוסבר על ידי שעות הנהיגה העודפות שלהם.
גברים לוקחים יותר סיכונים בנהיגה. הם משתמשים בחגורת בטיחות פחות מנשים, עוברים יותר באור צהוב ברמזור ונוהגים במהירות ממוצעת גבוהה יותר.
תרבות, חברה ופסיכולוגיה

מרבית המחקר מההיבט המגדרי בתחום נהיגה, בטיחות בדרכים וסגנון נהיגה אינו בוחן את החוויה האישית, החברתית והתרבותית הקשורה בהתנהלות בכביש של שני המינים.
הגישה הפמיניסטית גורסת שבחברה פטריארכלית שנשלטת על ידי גברים, הבניית תפקידי המגדר של נשים, מושתתת על דרישות חברתיות להיות פסיביות, לא תחרותיות, לא לבטא כעס, לא ליטול סיכונים -אלא להיות עדינות ותלותיות. כתוצאה מכך נהיגה קשורה אצל נשים במודעות, בחשיבה הגיונית, בשמירת ערך החיים ובהפעלת ביקורת עצמית בזמן הנהיגה. לעומת-זאת, לפי המחקרים, גברים נוטים לנהוג באופן מסוכן בשל תפיסת מסוגלות עצמית גבוהה. הם מאמינים שהם בשליטה ורואים בנהיגה מסוכנת אתגר ושחרור מכעסים.
בדומה למנהגים תרבותיים אחרים, כך גם הרגלי-נהיגה ובטיחות בדרכים כוללים מרכיב תרבותי אשר נבחן במחקרים בין השאר על ידי האופן בו רוכשים הנהגים את יכולות הנהיגה שלהם. מעבר למיומנות הנלמדת, המרכיב התרבותי - חברתי קיים בעיקר בהקשר המשפחתי. המשפחה מהווה מודל משמעותי להעברת נורמות חברתיות ובכללן הרגלי נהיגה. הצעירים לומדים להפנים עמדות חברתיות, נורמות, ערכים וציפיות ולהזדהות איתם.
מחקרים שהשוו את נטייתם הבולטת של גברים ליטול סיכונים לעומת נטייה זו אצל נשים, מייחסים את ההבדלים שנמצאו לסטנדרט כפול בהקשר לניטור הורי, המטיל יותר הגבלות על נערות ונשים אך נותן ביטחון יתר לנערים ולגברים. פסיכולוגים התפתחותיים טוענים שההבדלים בין נשים לגברים נובעים מהצורך בשליטה הגברית ההגמונית, שמבוססת על הבניית עליונות והתייחסות לנשים כ"אחרות" של הגברים.
ייתכן שההבדלים בנהיגה נעוצים בתקופות בהן גברים יצאו לצוד ונאלצו לגלות זריזות, יכולת ניווט בשטחים לא מוכרים ונטילת סיכונים. לעומת זאת, תהליך החיברות של נשים כוון לשמירה על קשר – ביניהן ועם ילדיהן – מה שהפך אותן לתקשורתיות יותר ויכול להסביר את העובדה שרוב התאונות של נשים מתרחשות בשל שימוש בטלפון הנייד בזמן הנהיגה.
כיום, נשים רבות מצפות מעצמן ונחשפות לציפייה חברתית הנוגעת יותר מבעבר לתפקוד אחר בנהיגה, אבל עדיין, נהיגה בכלל ונהיגת נשים בפרט אינה מושפעת רק מהניסיון לייצר שוויון בין המינים אלא גם מגורמים אחרים כמו סוציאליזציה וערכים שהושרשו בקרב הנהגים.
סטריאוטיפים ועובדות על נהיגת נשים

במציאות בה גברים ונשים ממלאים תפקידים סטריאוטיפיים, הנהיגה הסטריאוטיפית של הגברים מתאפיינת בהפגנת-ביטחון, במיומנות ובשליטה גבוהה יותר ברכב, בהסתכנות בנהיגה, בחיפוש ריגושים, בתחרותיות, בהפגנת- כוח ויכולת ביצוע ובמאבקי התמקמות על הכביש.
בממוצע, הסיכוי לעבור טסט ראשון גבוה לנבחן מהמין הזכרי לעומת נבחנת מהמין הנקבי.
לעומת זאת, החברה משייכת לנשים נוהגות יתר-זהירות עד כדי הססנות וחוסר ביטחון שגובל בסכנה להשתלבותן בתנועה. נשים נחשבות לבעלות מיומנויות נמוכות בנהיגה והן נהגות איטיות יותר. עם זאת הן נתפסות כשקולות ומודעות יותר.
 אחד הסטריאוטיפים הבולטים הוא הזלזול וחוסר האמון של גברים ביכולתן של נשים לבצע חנייה ומכאן ה"צורך" שלהם לסייע. הנהיגה עשויה להיות מושפעת באופן לא מודע מההתייחסות החברתית הזו. ייתכן ונהגים רבים, נוהגים באופן בו החברה מצפה מהם לנהוג.
מחקרים על נהגים צעירים בישראל ובצה"ל מצאו שנשים מתאפיינות בנטייה פחותה לנהיגה מסוכנת ולהערכה גבוהה יותר של הסיכונים בנהיגה, שנתפסה אצלן כאיום ולא כאתגר. נשים תופסות את הסביבה החברתית שלהן כלא מעודדת נהיגה מסוכנת. עם זאת, בחברה המודרנית, תפקידי מגדר משתנים עם הזמן ותפקידי נשים מתעצבים מחדש: הן ממלאות יותר תפקידים שהיו באופן מסורתי תפקידים גבריים והדבר בא לידי ביטוי גם בהתנהגויות בנהיגה. כדוגמה לכך, בנטילת סיכונים בנהיגה הצטמצמו הפערים בין גברים לנשים, אך עדיין נמצא קשר (שלא נמצא באותו אופן אצל גברים) בין מעורבות בתאונות דרכים לבין מצבי ניתוק וחוסר תשומת לב לסובב בעת נהיגה - נדידת מחשבות (נתק קוגניטיבי). למרות זאת, מעורבותן של נשים בתאונות קשות הכרוכות בנזקים נמוכה בצורה משמעותית מזו של הגברים.
מחקר של קבוצת "קשב" מצביע על שלושה סגנונות נהיגה אצל נשים:
נשים בעמדה המסורתית סטריאוטיפית נשית – אינן מאמצות התנהגות נהיגה מסוכנת. סיכוני הנהיגה נמוכים משל גברים ונובעים מחשש, חוסר ביטחון או חוסר תשומת לב.
נשים המנסות לחקות סגנון "גברי", להתחרות עמם בנהיגה, להפגין את ביצועיהן ויכולתן ולהתעמת באופן כוחני בנהיגה – נוטות לאמץ נהיגה מסוכנת שאופיינית באופן מסורתי לגברים – אך גם לשמור לפחות חלק מהתנהגויות הנהיגה המסוכנת האופייניות לנשים – בעיקר נתק, וחוסר ערנות ותשומת לב לנהיגה ולתנאי הכביש. קבוצה זו עלולה להפוך לבעלת סגנון נהיגה מסוכן במיוחד.
נשים המבטאות סגנון אסרטיבי נשי, שאינו נוטה לעימותים כוחניים ולתחרות עם הגברים (והנשים) על הסגנון "הגברי" –עם זאת, מגלות ביטחון עצמי בגישה לנהיגה תוך ערנות לסיכוניה. זהו סגנון הנהיגה שנוטה פחות לסיכוני הנהיגה האופייניים לנהגים גברים וגם פחות נוטה לנהיגה מסוכנת אופיינית לנשים-סגנון מתון ובוטח, הנמנע מסיכונים ומעימותים מיותרים.
יחס לנשים נוהגות בחברות מסורתיות

בחברות דתיות נהיגת נשים נחשבת כסותרת את ערך הצניעות וחושפת את הנוהגת לביקורת מהסביבה. כתוצאה מכך, הן בחברה החרדית והן בחברה הערבית המסורתית בישראל קיימות הגבלות על נהיגת נשים. מאפייני הנשים החרדיות הנוהגות הם סטטוס משפחתי (רובן נשואות ונוהגות רק באישור הבעל) ונסיבות חיים (מחלה או נכות במשפחה) המעניקים לגיטימציה למתן היתר לנהיגה. יש נשים הנוהגות מתוקף השתייכותן לקבוצות של בעלות תשובה או "חוצניקיות" (עולות חדשות או הנשואות לעולים חדשים) וחיות בשולי הזרם המרכזי החרדי.
הוצאת רישיון נהיגה בקרב נשים חרדיות תובעת לרוב מחירים חברתיים כבדים והטלת סנקציות של פגיעה במעמד המשפחה בקהילה, קושי בשידוך של האישה הנוהגת וילדיה, קושי בקבלת ילדים למוסדות חינוך נחשבים בקהילה (סמינרים או תלמודי תורה) ומניעת תפקידים ועיסוקים מסוימים, למשל הוראה.
חלק מהנשים החרדיות סבורות שהניידות (נהיגה) הייתה יכולה להקל על חייהן, אולם הן חוששות מהמחיר שיאלצו לשלם ומהתחושה שהן עוברות על הנורמות המקובלות בחברה, במיוחד ביחס למעמד בנותיהן הצעירות. עם זאת, נשים נוהגות מתארות חוויה רגשית של העצמה, אינדיבידואליות, עצמאות וכוח.
גם בחברה הערבית המסורתית בכלל, ובישראל בפרט, קיימים הבדלים עצומים בדפוסי הניידות בין נשים לגברים. מדו"ח של הארגון הפמיניסטי הערבי "כייאן" מ-2007 המתייחס לניידות האישה הערבית בישראל, עולה כי הנשים הערביות מודרות הן בתוך חברתן והן כחלק מההדרה הכללית של החברה הערבית בישראל. אף על פי שלחלקן יש רישיונות נהיגה, דפוסי השימוש ברכב המשפחתי נקבעים על ידי הגברים. לכן, אף על פי שיש יותר ויותר נשים ערביות שנוהגות, עדיין אין השימוש ברכב נפוץ אצלן והן תלויות בניידותן בגברים ובתחבורה ציבורית.
מחקרים מציינים באופן דומה את מעמדן המסורתי של נשים דרוזיות ובדואיות בישראל, המונע ומגביל את ניידותן ונהיגתן והופך אותן תלויות בליווי האב, הבעל או האח. עם זאת, בשנות האלפיים, חלות תמורות הדרגתיות בתחומי הניידות של נשים בעיקר בציבור הדרוזי והבדואי, עם צאתן של רבות מהן ללימודי השכלה גבוהה.
ב-2011 עלה לכותרות נושא היחס לנהיגת נשים בערב הסעודית כשמנאל א-שריף פרסמה ביו-טיוב סרטון בו הופיעה נוהגת והשיקה את קמפיין "Woman2Drive" בפייסבוק. היא משכה את תשומת הלב העולמית לשאלת מעמדן של הנשים הסעודיות ביחס לתחומים רבים: ביטחונן האישי, חירותן, מניעת הטרדה מינית ואלימות מבית, בחירה חופשית של בעל ומקצוע, הכרה משפטית ותמיכה ממסדית בזכויותיהן הכלכליות והמשפטיות. עצומות רבות הופצו ברשתות החברתיות ונשמעו קולות רבים הנאבקים למען מטרה משותפת. נושא הנהיגה הוא תחום בולט בו הופצו קמפיינים מקוונים (2009) למען זכויות הנשים.
פעילים דוגמת הילאל אל-הארית'י ועבדאללה אל-עלמי הובילו שיירות מחאה על מנת להפגין את תמיכתם של גברים ונשים בזכות הנשים לנהוג. מוחמד אל-קתני אפילו נסע לצד מהא, אשתו, על מנת לתמוך בה כשנהגה במכוניתם במהלך הקמפיין נגד האיסור על הנהיגה.
השלכות לתחום הטמעת המגדר > ביטוח רכב לנשים

החלוקה המסורתית של ביטוח רכב נעשית לפי גילאים, לאור הסיכוי הגדול יותר של צעירים לנהוג בצורה מסוכנת ולהיות מעורבים בתאונה. בשנים האחרונות חל שינוי בגישת חברות הביטוח. המציאות הסטטיסטית מוכיחה שנשים נוטות להיות פחות מעורבות בתאונות בכלל ובתאונות קשות בפרט. כתוצאה מכך התשלומים של חברות ביטוח רכב לנשים נמוכים בצורה משמעותית, אפילו עד 35 אחוזים[דרוש מקור], ביחס לגברים בקבוצות גיל זהות וברקורד נהיגה דומה.
חברות ביטוח הרכב החליטו שכדאי להן להעניק תמריץ לאוכלוסיית הנשים להצטרף אליהן, על ידי חלוקה מגדרית במקום חלוקה לפי גילאים.
השלכות לתחום הטמעת המגדר > לימוד נהיגה

הכרת תוצאות המחקרים עשויה לתרום למורי הנהיגה כך שהוראת נהיגה לבנות ולבנים תבוא מתוך מודעות מגדרית להתפתחות הזהות של שני המגדרים והפסיכולוגיה הנשית, ולהתמודדות הבנות עם מחסומים לגבי לימודי הנהיגה. זה עשוי לתרום לנשים וליצור שינוי בזירת הנהיגה, שינוי שיתבטא בביטחון רב יותר של נשים ואמונה עצמית, ובמערכת יחסים שונה בין המינים בזירת הנהיגה.
לקריאה נוספת

קרול גיליגן, בקול שונה: התאוריה הפסיכולוגית והתפתחות האישה. תל אביב, ספריית פועלים, 1995
סימון דה בובואר, המין השני - המציאות היומיומית, כרך שני. תל אביב, הוצאת בבל, 2007
הערות שוליים

↑  מרגרט וולש באנגלית מתוך Automobile in American life and society
↑  Virginia Scharff, Taking the Wheel: Women and the Coming of the Motor Age, UNM Press, 1992, pages 25-26
↑  Civilized Adventure as a Remedy for Nervous Times: Early Automobilism and Fin-de-siecle Culture, in History of Technology, Vol. 23, 2001
↑  Are Female Drivers Adopting Male Drivers' Way of Driving?, Traffic and Transport Psychology: Proceedings of the ICTTP 2000, page 201
↑  Dana Henry, Who Causes More Car Accidents? The Data May Surprise You, Safety Resource Center, February 22, 2017
1 2  Christine R. Harris1, Michael Jenkins,Gender Differences in Risk Assessment: Why do Women Take Fewer Risks than Men?, Judgment and Decision Making, vol. 1, no. 1, July 2006, pp. 48-63.
↑  Women are better drivers than men, University of New South Wales study finds, Daily Telegraph, Australia, APRIL 9, 2012
↑  Women really ARE better drivers: Scientists say men make more mistakes because they get distracted easily, Daily mail online, 17 November 2017
↑  Handbook of Health Psychology, page 527
↑  טאובמן 1996בתוך גילה מילר. העברה בין דורית והתפתחות של סגנונות נהיגה בקרב נהגים צעירים. חיבור לשם קבלת התואר "דוקטור לפילוסופיה" בית הספר לעבודה סוציאלית, בר-אילן, רמת גן, אלול תשס"ז
↑  משטרת הדת עצרה סעודית שהעזה לנהוג ברכב, באתר ynet, 22 במאי 2011
נהיגה - מאבק הנשים בערב הסעודית
משפט קנטור לרציפות במידה שווה

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור (הידוע גם כמשפט קנטור-היינה) על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.
המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.
הוכחה

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה  f היא רציפה בנקודה  x_{0} אם ורק אם עבור כל סדרה  a_{n} השואפת לנקודה זו,  a_{n}\rightarrow x_{0} מתקיים  f(a_{n})\rightarrow f(x_{0}). כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.
תהא כעת  f(x) פונקציה רציפה בקטע הסגור  [a,b]. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים  \varepsilon _{0} כך שעבור כל  n\in \mathbb {N}  קיימות שתי נקודות  x_{n},y_{n}\in [a,b] כך שמתקיים  |x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}}, אבל  |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon _{0}.
נביט כעת בסדרה  \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }. כל אברי הסדרה שייכים לקטע  [a,b], כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר  x_{n_{k}}\rightarrow x_{0}\in [a,b].
כעת נוכיח כי  y_{n_{k}}\rightarrow x_{0} - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.
כיוון ש- |x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}} נובע כי  |x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|<{\frac {1}{n_{k}}}, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי
\lim _{k\to \infty }(y_{n_{k}})=\lim _{k\to \infty }(x_{n_{k}})-\lim _{k\to \infty }(x_{n_{k}}-y_{n_{k}})=x_{0}
על פי רציפות  f, מתקיים:  f(x_{n_{k}})\rightarrow f(x_{0}),f(y_{n_{k}})\rightarrow f(x_{0}). מאריתמטיקה של גבולות נקבל  f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})\rightarrow 0, וזו סתירה לכך שמתקיים  |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon _{0} לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.
| חשבון אינפיניטסימלי |
| --- | --- | --- |
| מושגי יסוד | חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ |  |
| פונקציות | פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה |  |
| משפטים | משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות |  |
| האינטגרל | אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה |  |
| אנליזה מתקדמת | פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה |  |
אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה
משפט זקנדורף

המחשה ויזואלית של הצגת זקנדורף של כל המספרים הטבעיים עד 160 (ציר ה-y). כל צבע מייצג מספר פיבונאצ'י עד 144. גובהו של כל מלבן שווה למספר פיבונאצ'י המתאים לו. ניתן לראות שכל מספר נוצר כסכום של המלבנים שמתחתיו.
בתורת המספרים, משפט זקנדורף הוא משפט הקובע כי כל מספר טבעי ניתן להצגה בצורה יחידה כסכום של מספרי פיבונאצ'י שונים שאין ביניהם שניים עוקבים (סמוכים זה לזה בסדרה). את המשפט הוכיח הרופא הצבאי הבלגי אדואר זקנדורף (1901‏-1983), שהיה מתמטיקאי חובב.
הצגה שכזו נקראת הצגת זקנדורף. למשל הצגת זקנדורף של 100 היא:
את 100 ניתן להציג כסכום של מספרי פיבונאצ'י גם בדרכים אחרות. למשל:
אבל הצגות אלו אינן הצגות זקנדורף כי מופיעים בהן מספרי פיבונאצ'י עוקבים.
רקע וניסוח פורמלי

מספרי פיבונאצ'י מוגדרים באופן רקורסיבי לפי נוסחת הנסיגה:
\ F_{1}=F_{2}=1
\ F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}
כלומר שני מספרי פיבונאצ'י הראשונים הם 1 וכל מספר פיבונאצ'י אחר מתקבל כסכום שני מספרי פיבונאצ'י הקודמים.  \ F_{n} ו- \ F_{n+1} נקראים מספרי פיבונאצ'י עוקבים.
בניסוח פורמלי, משפט זקנדורף טוען כי לכל  \ N טבעי, קיימים טבעיים יחידים  \ c_{1},\ldots ,c_{n} כך שלכל  \ 1\leq i<n מתקיים  \ 2\leq c_{i}<c_{i+1}-1, ושמקיימים:  \ N=\sum _{i=1}^{n}F_{c_{i}}.
הוכחה

כמו משפטי קיום ויחידות רבים, הוכחת זקנדורף מתחלקת לשניים. הוכחת קיום והוכחת יחידות:
קיום: נוכיח באינדוקציה שלמה כי לכל מספר טבעי יש הצגת זקנדורף. ל- \ n=1 הטענה בוודאי נכונה כי  \ F_{2}=1 (גם מספר יחיד נחשב סכום). נניח כי הטענה נכונה לכל  \ k\leq n ונוכיח את נכונותה ל- \ n+1. אם  \ n+1 מספר פיבונאצ'י הוא מהווה הצגה של עצמו. אחרת קיימים שני מספרי פיבונאצ'י כך ש- \ F_{i}<n+1<F_{i+1}. נגדיר  \ a=(n+1)-F_{i}. ברור כי  a\leq n ולכן קיימת ל- \ a הצגת זקנדורף לפי הנחת האינדוקציה, שאותה נסמן  \ {\bar {a}}. לפי הגדרת  \ a והגדרת מספרי פיבונאצ'י:
ולכן הצגת זקנדורף של  \ a לא כוללת את  \ F_{i-1}. כלומר  \ {\bar {a}}+F_{i}=n+1 היא הצגת זקנדורף של  \ n+1 והאינדוקציה הושלמה.
למה: נציג למה שתשמש בהמשך: הסכום של קבוצת מספרי פיבונאצ'י שונים זה מזה שאין מביניהם שניים עוקבים, כך שהמספר הגדול בסכום הוא  \ F_{n}, תמיד יהיה קטן מ- \ F_{n+1} (ל- \ n>1). נקרא לסכום שכזה סכום זקנדורף. ההוכחה באינדוקציה: המקרה  \ n=2 טריוויאלי, כי הסכום יהיה  \ F_{2}=1, שקטן מ- \ F_{3}=2. נניח כי הטענה נכונה לכל  \ k\leq n ונוכיח את נכונותה ל- \ n+1. נסמן ב- \ a את סכום כל איברי סכום זקנדורף מלבד  \ F_{n+1}. ידוע כי  \ F_{n} לא מופיע בסכום כי  \ F_{n+1} עוקב שלו. לכן המספר הגדול ביותר בסכום  \ a הוא לכל היותר  \ F_{n-1}, ולכן לפי הנחת האינדוקציה  \ a<F_{n}. ומכאן:  \ a+F_{n+1}<F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2} כפי שנדרש להוכיח.
יחידות: נניח בשלילה כי קיים N שיש לו שתי הצגות זקנדורף שונות. נסמן ב- \ S את קבוצת המספרים בסכום הראשון וב- \ T את קבוצת המספרים בסכום השני. לפי ההנחה שני הסכומים שווים. נגדיר  \ S'=S\setminus T ו- \ T'=T\setminus S (ראו הפרש קבוצות), כלומר יצרנו שתי קבוצות חדשות שנוצרו משתי הקבוצות הקודמות לאחר הסרת האיברים המשותפים להן, מכל אחת מהן. מאחר שהסרנו רק איברים משותפים סכום איברי הקבוצה הראשונה עדיין שווה לסכום איברי הקבוצה השנייה. לא ייתכן כי אחת מהקבוצות ריקה, כי אז גם השנייה ריקה (יש להן את אותו הסכום) ומכיוון שהן התקבלו מהסרת האיברים המשותפים של שתי הקבוצות המקוריות, המסקנה היא כי הקבוצות היו שוות, בסתירה להנחה.
נסמן ב- \ F_{s} ו- \ F_{t} את האיברים הגדולים ביותר ב- \ S' וב- \ T' בהתאמה.  \ F_{s}\neq F_{t} כי הסרנו איברים משותפים. נניח ללא הגבלת הכלליות כי  \ F_{s}<F_{t}, כלומר  \ F_{s+1}\leq F_{t}. לפי הלמה הסכום של  \ S' קטן מ- \ F_{s+1} ולכן גם קטן מ- \ F_{t}. לעומת זאת ברור כי הסכום של  \ T' הוא לפחות  \ F_{t}, בסתירה לכך שהסכומים שווים. מכאן שלכל מספר טבעי יש הצגת זקנדורף יחידה.
מציאת הצגת זקנדורף

את הצגת זקנדורף של מספר נתון N ניתן למצוא בעזרת אלגוריתם חמדן פשוט הנובע ישירות מהוכחת המשפט:
מוצאים את מספר פיבונאצ'י הגדול ביותר שקטן או שווה ל-N.
מחסרים מ-N את המספר שמצאנו בשלב 1 וחוזרים על שלב 1 עם ההפרש שחושב.
האלגוריתם נעצר כאשר ההפרש יוצא 0. אז קבוצת מספרי פיבונאצ'י שמצאנו היא הצגת זקנדורף הרצויה.
בהצגת זקנדורף של מספר N יהיו בערך  \ \log N מחוברים, כי סדרת פיבונאצ'י  \ F_{n} גדלה בקצב אסימפטוטי לסדרה ההנדסית  {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\phi ^{n} (כאשר  \ \phi  הוא יחס הזהב).
מציאת הצגת זקנדורף > דוגמה

נמצא את הצגת זקנדורף של 83:
מספר פיבונאצ'י הגדול ביותר שקטן או שווה 83 הוא 55 .
28 = 83 − 55
מספר פיבונאצ'י הגדול ביותר שקטן או שווה 28 הוא 21 .
7 = 28 − 21
מספר פיבונאצ'י הגדול ביותר שקטן או שווה 7 הוא 5 .
2 = 7 − 5
מספר פיבונאצ'י הגדול ביותר שקטן או שווה 2 הוא 2 .
0 = 2 − 2
נקבל את ההצגה: 83 = 55 + 21 + 5 + 2.
הצגת זקנדורף וקוד פיבונאצ'י

יש דמיון רב בין הצגת זקנדורף של מספר להצגה שלו בבסיס ספירה, ובייחוד בבסיס בינארי. הצגת זקנדורף מציגה כל מספר כסכום של מספרי פיבונאצ'י שונים ואילו הצגה בינארית מציגה כל מספר כסכום של חזקות שונות של 2. למשל לפי הסימון המקובל:  \ 100=2^{6}+2^{5}+2^{2}=1100100_{2} (ההצגה הבינארית של מאה). באופן דומה ניתן להציג כל מספר ב"בסיס פיבונאצ'י" או "בסיס זקנדורף" כאשר הספרה הראשונה מימין מייצגת את  \ F_{2} ובאופן כללי הספרה ה-n מימין מייצגת את  \ F_{n+1}. אם הספרה היא '1' סימן שמספר פיבונאצ'י המתאים משתתף בסכום, ואם היא '0' סימן שהוא לא משתתף. למשל הצגת זקנדורף של מאה היא:  \ 100=F_{11}+F_{6}+F_{4}=1000010100_{Z}.
מאפיין ייחודי של הצגת זקנדורף של מספר הוא שלעולם לא יופיעו שני '1' סמוכים (כי אין בהצגה שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים). עובדה זו מנוצלת בתורת הקודים, שם משתמשים בהצגת זקנדורף להגדרת קוד פיבונאצ'י. קוד פיבונאצ'י הוא קוד בינארי (מופיעים בו רק 0 ו-1) שמייצג מספרים טבעיים. קוד פיבונאצ'י של מספר טבעי מתקבל מהיפוך סדר הספרות של הצגת זקנדורף שלו והוספת '1' בסופו (צד ימין). למשל קוד פיבונאצ'י של מאה הוא:  \ 00101000011. מכיוון שבהצגת זקנדורף לעולם לא מופיעים שני '1' סמוכים, '11' תמיד מייצג סוף של מספר בקוד פיבונאצ'י. למעשה ה-'1' שנוסף בסוף הקוד מתפקד כפסיק, ומאפשר לכתוב מחרוזת רציפה של מספרים שניתן להבדיל ביניהם. לדוגמה המחרוזת  \ {\color {Blue}1011}{\color {Red}001011}{\color {OliveGreen}11} מייצגת את הסדרה:  \ {\color {Blue}4},{\color {Red}11},{\color {OliveGreen}1} (הצביעה לשם נוחות הקריאה בלבד).