stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות
הגדרה

יהיו  X ו־ Y משתנים מקריים מהתפלגות שהתומך שלה,  I, הוא תת-קבוצה של הממשיים,  I\subseteq \mathbb {R} . יהיו  F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x) ו־ F_{Y}(y)=\operatorname {P} (Y\leq y) פונקציות ההתפלגות המצטברות של  X ו־ Y, בהתאמה.
נסמן ב־ F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x\land Y\leq y) את פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת שלהם.
שני משתנים אקראיים  X ו־ Y הם שוויי התפלגות אם ורק אם  F_{X}(x)=F_{Y}(x)\quad \forall x\in I.
שני משתנים אקראיים  X ו־ Yהם בלתי תלויים אם ורק אם  F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\quad \forall x,y\in I (ראו גם אי-תלות (הסתברות) § שני משתנים מקריים).
שני משתנים אקראיים  X ו־ Y הם בלתי־תלויים ושווי־התפלגות אם הם בלתי תלויים וגם שוויי התפלגות, כלומר אם ורק אם מתקיים:
{\begin{aligned}&F_{X}(x)=F_{Y}(x)&\forall x\in I\\&F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)&\forall x,y\in I\\\end{aligned}}
ניתן להרחיב את ההגדרה באופן טבעי ליותר משני משתנים מקריים. נאמר כי  n משתנים אקראיים  X_{1},\ldots ,X_{n} הם בלתי־תלויים ושווי־התפלגות אם הם בלתי־תלויים (וראה אי-תלות (הסתברות) § יותר משני משתנים מקריים) ושווי-התפלגות, כלומר אם ורק אם
{\begin{aligned}&F_{X_{1}}(x)=F_{X_{k}}(x)\,&\forall k\in \{1,\ldots ,n\}{\text{ and }}\forall x\in I\\&F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{n}}(x_{n})\,&\forall x_{1},\ldots ,x_{n}\in I\end{aligned}}
כאשר  F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1}\land \ldots \land X_{n}\leq x_{n}) מציין את פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת של  X_{1},\ldots ,X_{n}.
מבוא

סטטיסטיקה עוסקת בדרך כלל במדגמים אקראיים. ניתן להתייחס למדגם אקראי כאל קבוצה של אובייקטים שנבחרים באופן מקרי. באופן רשמי יותר, זוהי קבוצת דגימות מקריות בלתי תלויות, שוות התפלגות (IID).
שוות התפלגות – הדגימות נדגמו מאותה התפלגות הסתברות.
בלתי תלויות – דגימת הפריטים הם אירועים בלתי תלויים. במילים אחרות, הם אינם קשורים זה לזה; ערכו של משתנה אחד שנדגם אינה מספק מידע על ערכו של כל משתנה אחר.
יישום

הנחה נפוצה במודלים סטטיסטיים היא שמשתנים מקריים הם בלתי-תלויים ושווי-התפלגות. הנחה זו מקלה על ניתוח המתמטי, אך לעיתים אינה מציאותית. הנחה זו משמשת גם במשפט הגבול המרכזי, הקובע שהתפלגות ההסתברות של הסכום (או הממוצע) של משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות בעלי שונות סופית שואפת להתפלגות נורמלית.
ההנחה משמשת גם בהקשר של סדרות של משתנים מקריים. ואז, "בלתי-תלויים ושווי-התפלגות" מרמז על כך שמשתנה מקרי בסדרה אינו תלוי במשתנים המקריים שבאו לפניו. באופן זה, סדרה של משתנים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות שונה מסדרה מרקובית, שבה התפלגות ההסתברות עבור המשתנה המקרי ה־ n היא פונקציה של המשתנה המקרי הקודם ברצף (עבור שרשרת מרקוב מסדר ראשון).
רצף משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות אינו מרמז על כך שההסתברויות של כל האלמנטים במרחב המדגם חייבים להיות זהים. לדוגמה, זריקות סדרת הטלות של קובייה מוטה תהווה סדרה של משתנים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות אף על פי שהתוצאות מוטות.
דוגמאות > דוגמה 1

רצף של תוצאות סיבוב של גלגל רולטה הוגן (או לא הוגן) הן בלתי־תלויות ושוות־התפלגות. אחת ההשלכות של זה היא שאם כדור הרולטה נוחת על "אדום", למשל, 20 פעמים ברציפות, הסיכוי שהתוצאה הבאה תהיה "שחור" אינה גדולה או קטנה מאשר בכל סיבוב אחר (ראה כשל המהמר).
דוגמאות > דוגמה 2

מטילים מטבע 10 פעמים.
בלתי-תלויות – תוצאה של כל הטלה לא תשפיע על תוצאה אחרת, כלומר 10 התוצאות אינן תלויות זו בזו.
שוות-התפלגות – לא משנה אם המטבע הוא הוגן (הסתברות 1/2 ל"עץ" ו־1/2 ל"פלי") או לא הוגן, כל עוד נעשה שימוש באותו מטבע עבור כל הטלה, לכל הטלה תהיה אותה התפלגות.
סדרה כזה של שתי תוצאות בלתי־תלויות ושוות־התפלגות נקרא גם תהליך ברנולי.
דוגמאות > דוגמה 3

שולפים קלף אקראי מחפיסת קלפים רגילה המכילה 52 קלפים, ולאחר מכן מחזירים את הקלף לחפיסה. חוזרים על פעולה זו 52 פעמים.
בלתי תלויות – תוצאה של שליפת קלף לא תשפיע על השליפה הבאה, כלומר 52 התוצאות אינן תלויות זו בזו. (לעומת זאת, אם כל קלף שנשלף אינו מוחזר לחפיסה, השליפות הבאות יושפעו ממנו, והתוצאות לא יהיו שוות-התפלגות. למשל אם הקלף הראשון שנשלף הוא מלך, ההסתברות לשליפת מלך בשליפה הבאה קטנה.
שוות-התפלגות – לאחר הוצאת קלף אחד ממנו, בכל פעם ההסתברות למלך היא 4/52, מה שאומר שההסתברות זהה בכל פעם.
בלמידת מכונה

למידת מכונה משתמשת בכמויות גדולות של נתונים. כדי לאמן מודלים של למידת מכונה בצורה יעילה, חיוני להשתמש בנתונים היסטוריים הניתנים להכללה. אם נתוני האימון אינם מייצגים את התפלגות הנתונים הכללית, ביצועי המודל על נתונים חדשים עלולים להיות לא מדויקים.
ההנחה כי הדוגמאות בלתי־תלויות ושוות־התפלגות מאפשרת הפחתה משמעותית במספר המקרים הנדרשים בקבוצת האימון
בבעיות אופטימיזציה, ההנחה של התפלגות בלתי־תלויות ושוות־התפלגות מפשטת את חישוב פונקציית הנראות. בשל הנחת אי-התלות, ניתן לבטא את פונקציית הנראות כמכפלה של ההסתברויות של הדוגמאות בהינתן המודל:
כאשר  \theta  מייצגת את הפרמטרים של המודל. אומדן הנראות המקסימלית  {\widehat {\theta }} מתקבל על ידי מקסום הלוגריתם של פונקציית הנראות ולא של פונקציית הנראות עצמה. שינוי זה נובע משיקולים נומריים, כגון הפיכת הכפל לחיבור והצורך להתמודד עם ערכים קטנים מאוד. כלומר:
ראו גם

משתנים בלתי תלויים
משפט הגבול המרכזי
הערות שוליים

↑  Clauset, Aaron (2011). "A brief primer on probability distributions" (PDF). Santa Fe Institute. אורכב מ-המקור (PDF) ב-2012-01-20. נבדק ב-2011-11-29.
↑  Casella & Berger 2002, Theorem 1.5.10
↑  Stephanie (2016-05-11). "IID Statistics: Independent and Identically Distributed Definition and Examples". Statistics How To (באנגלית אמריקאית). נבדק ב-2021-12-09.
↑  Hampel, Frank (1998), "Is statistics too difficult?", Canadian Journal of Statistics, 26 (3): 497–513, doi:10.2307/3315772, JSTOR 3315772 (§8).
↑  Blum, J. R.; Chernoff, H.; Rosenblatt, M.; Teicher, H. (1958). "Central Limit Theorems for Interchangeable Processes". Canadian Journal of Mathematics. 10: 222–229. doi:10.4153/CJM-1958-026-0.
↑  Cover, T. M.; Thomas, J. A. (2006). Elements Of Information Theory. Wiley-Interscience. pp. 57–58. ISBN 978-0-471-24195-9.
↑  "What is Machine Learning? A Definition". Expert.ai (באנגלית אמריקאית). 2020-05-05. נבדק ב-2021-12-16.
נחש פרעה (כימיה)

הדגמת תגובת נחש פרעה
נחש פרעה או נחש שחור ענק הן שתי תגובות בעירה כימיות דומות עם תוצרים ויזואליים.
לאחר ההצתה, הבעירה מתחילה לעשן ולפלוט בתגובה תופחת אפר דמוי נחש. היא נשארת על הקרקע ואינה פולטת ניצוצות, זיקוקים או כל צורה של רסיסים או כל צליל, אך יכולה לפלוט עשן.
הכימיקלים הנפוצים להדגמת הנחש השחור הענק הם סודיום ביקרבונט שמייצר פחמן דו-חמצני וסוכר היוצר פחמן שמכיל אפר. לפי מקורות אחרים להדגמתו משמשים "תערובת של שמן פשתן ונפטלנים שעברו העשרה בניטרציה".
"נחש פרעה" המסורתי מייצר נחש מרשים יותר, אך הפעלתו תלויה בתיוציונט של כספית בערכיות שתיים, שלא נפוץ בשימוש בשל רעילותו.
הסוכר והסודה מתפרקים ונוצרת כמות גדולה של גז CO2 שנלכד בתוך שיירי החומרים. מתקבלת צורה של נחש . גודל ה"נחש" מהווה מדד לנפח הגז שהתקבל. נוכל להגדיל את הנחש אם נגדיל את כמויות החומרים הבוערים - כך יתקבל יותר פחמן דו-חמצני שילכד.
הערות שוליים

↑  Anne Helmenstine, Ph.D. "Black Snakes or Glow Worms". about.com.
↑  "LISTSERV 15.0 - CHEMED-L Archives". Mailer.uwf.edu. אורכב מ-המקור ב-2006-09-13. נבדק ב-2009-04-05.
↑  Anne Helmenstine, Ph.D. (2011-05-12). "Pharaoh's Snake Firework or Chemistry Demonstration". about.com. נבדק ב-2011-10-20.
קיסר רוסיה

קיסר רוסיה או קיסרית רוסיה, במקרים שבהם כיהנה אישה (Императоръ Всероссійскій, Императрица Всероссійская) - הוא התואר הרשמי של המונרך, מנהיג רוסיה, אף שבאופן מסורתי העם המשיך לכנות את הקיסר בשם צאר, אף על פי שרשמית שם זה חדל להיות הכינוי למנהיג המדינה כבר ב-1721, עם הקמת האימפריה הרוסית.
על פי סעיף 1 בחוקי היסוד של האימפריה הרוסית: הקיסר הוא השליט הרוסי בעל סמכות בלתי מוגבלת. מציית לכוח עליון לא מתוך פחד, כי אם מתוך המצפון שציווה האל. היותו בעל סמכות בלתי מוגבלת משמעותה כי הוא מבצע תפקידים ציבוריים במסגרת החוק ומחזיק בידיו את מושכות הצדק מבלי לדרוש תמורה. על פי זה האימפריה הרוסית הייתה מדינה חוקתית בעלת שלטון מלוכני מוגבל.
התואר המלא של קיסר רוסיה, בתחילת המאה ה-20 היה:
[שם הקיסר], הקיסר והשליט של כל רוסיה, צאר של מוסקבה, קייב, ולדימיר, נובגורוד, קאזאן, אסטרחן, פולין, סיביר, חצי האי קרים, גאורגיה, שליט של פסקוב, הנסיך הגדול של סמולנסק, ליטא, ווהלין, פודוליה, ופינלנד, נסיך אסטלנד, ליבוניה, קורלנד וזמגליה, סמוגיטיה, ביאליסטוק, קרליה, טבר, יוגוריה, פרם, ויאטקה, בולגריה וארצות אחרות, שליט ונסיך גדול של נובוגרוד התחתית, צ'רניגוב, ריאזן, פולוטסק, רוסטוב, ירוסלבל, בלו אוזרו, אודוריה, אובדוריה, קונדיה, ויטבסק וכל אזור הצפון, אדון ושליט בארצות איבריה, קרטליה, קברדיניה ובמחוזות ארמניה, שליט של הנסיכים הצ'רקסים, שליט טורקסטן, יורש נורווגי, דוכס שלזוויג-הולשטיין, שטורמרן, דיטמרשן ואולדנברג.
התואר קיסר רוסיה נוצר על ידי פיוטר הגדול, ב-22 באוקטובר (2 בנובמבר) 1721. פרוסיה והולנד היו הראשונות להכיר בפיוטר הגדול בתוארו החדש, שוודיה הכירה ב-1723, טורקיה ב-1739, בריטניה ואוסטריה ב-1742, צרפת וספרד שלוש שנים אחר כך, ופולין ב-1764 והמדינה הרוסית החלה להיקרא האימפריה הרוסית.
כל קיסרי רוסיה הם מבית רומנוב, כשהמונרך הראשון ממשפחה זו מונה ב-1613 והאחרון ב-1917. רשמית, הקיסר האחרון היה מיכאיל השני, קיסר רוסיה שוויתר על כסאו ב-3 במרץ 1917 לאחר שניקולאי השני ויתר על כסאו יום קודם והתואר קיסר רוסיה בוטל, אך כמה מבני משפחת רומנוב המשיכו לטעון לכתר הקיסרות, כך למשל קיריל ולדימירוביץ' מינה עצמו לקיסר רוסיה כולה ב-1924, אך תואר זה לא הוכר על ידי שאר בני המשפחה. שנים לאחר מכן בנו של קיריל, ולדימיר קירילוביץ' הוכרז כקיסר רוסיה, אך גם הוא לא הוכר על ידי המשפחה וכיום לאחר מותו ב-1992, ישנם שני צאצאים מבית רומנוב הטוענים לכתר: מריה ולדימירובנה רומנובה, המשתמשת מאז 1992 בתואר "הוד רוממותה הדוכסית הגדולה מריה ולדימירובנה רומנובה" וניקולאי רומנוביץ' רומנוב, הטוען אף הוא לכתר ומכנה עצמו בתואר "ניקולאי רומנוביץ', נסיך רוסיה".
ב-1 בספטמבר 1917, ממשלת המעבר הרוסית הכריזה על רוסיה כרפובליקה.
קיסרי רוסיה לדורותיהם

פיוטר הראשון "הגדול", אחיו (1725-1721)
יקתרינה הראשונה, אשתו (1727-1725)
פיוטר השני, נכדו של פיוטר הראשון (1730-1727)
הקיסרית אנה, בתו של איוואן החמישי (1740-1730)
איוואן השישי, קרוב רחוק של אנה (1741-1740)
יליזבטה, בתו של פיוטר הראשון (1762-1741)
פיוטר השלישי, אחיינה (1762)
יקטרינה השנייה "הגדולה", אשתו (1796-1762)
פאבל הראשון (1801-1796)
אלכסנדר הראשון "המנצח" (1825-1801)
ניקולאי הראשון, אחיו (1855-1825)
אלכסנדר השני "המשחרר" (1881-1855)
אלכסנדר השלישי "עושה השלום" (1894-1881)
ניקולאי השני (1894 - 2 במרץ 1917 לפי הלוח היוליאני), נחשב לקיסר האחרון של שושלת רומנוב.
מיכאיל השני, אחיו (2 במרץ - 3 במרץ 1917 לפי הלוח היוליאני)
ראו גם

צאר
קרב ליטל ביגהורן

קרב ליטל ביגהורן - הידוע גם בכינויו "עמידתו האחרונה של קסטר" היה התנגשות מזוינת בין כוחות משותפים של שבטי האינדיאנים לקוטה, שאיין ואראפהו ובין רגימנט הפרשים ה-7 של צבא ארצות הברית.
הקרב שאירע בתאריך 25–26 ביוני 1876 ליד נהר הליטל ביגהורן (טריטוריית מזרח מונטנה) היה הפעולה המשמעותית ביותר במערכת בלק הילס. תוצאת הקרב היה ניצחון כביר לאינדיאנים שהובלו בידי מספר מנהיגים, ביניהם סוס משוגע וגאל.
רגימנט הפרשים השביעי – כוח שהובל על ידי ג'ורג' ארמסטרונג קסטר וכלל 647 לוחמים – סבל מאבדות משמעותיות. חמש מתוך שתים עשרה הפלוגות בגדוד הושמדו לחלוטין. קסטר עצמו נהרג יחד עם שניים מאחיו, גיסו ואחיינו. מספר ההרוגים הכולל של צבא ארצות הברית כולל סיירים עמד על 268 הרוגים ו-55 פצועים.
התגובה הציבורית לקרב הייתה מגוונת. הקרב ופעולותיו של קסטר בפרט נחקרו לעומק בידי היסטוריונים רבים.
רקע לקרב > מבנה רגימנט הפרשים ה-7

הרגימנט ה-7 הוקם מייד לאחר מלחמת האזרחים האמריקנית. הרבה מחיילי הרגימנט היו בוגרי מלחמת האזרחים כולל רוב הקצינים הבכירים. חלק גדול מהחיילים שירת תקופה של ארבע וחצי שנים במצודת ריילי בקנזס. בתקופה זו הם השתתפו במספר קרבות גדולים, בהן טבח ואשיטה ובאינספור התכתשויות זניחות שבהם הם ספגו אבדות של 36 הרוגים ו-27 פצועים. שישה חיילים נוספים מתו בטביעה ו-51 מתו ממחלת הכולרה.
מחצית מהפלוגות ברגימנט בדיוק סיימו שירות משטרתי בן 18 חודשים בדרום כשקראו להן למצודת לינקולן כדי להרכיב מחדש את הרגימנט לקראת המערכה. כחמישית מהחיילים גויסו במהלך 7 החודשים שקדמו לקרב ואומנו בצורה בסיסית בלבד. לא היה להם ניסיון ממשי בקרב. הרבה מהמגויסים הטריים היו מהגרים מאירלנד, אנגליה וגרמניה. עדויות ארכאולוגיות הובילו להשערות שהרבה מחיילי הרגימנט סבלו מתת תזונה ותנאים פיזיים ירודים, למרות העובדה שהרגימנט נחשב ליחידה המצוידת ביותר בצבא.
מתוך 45 הקצינים ו-718 החיילים של הרגימנט, 14 קצינים (כולל מפקד הרגימנט - קולונל סמואל ד. סטורגיס) ו-152 חיילים לא היו עם הרגימנט בזמן הקרב ושהו במשימות אחרות. שיעור זה של חיילים שהופרדו מהיחידה (כ-22%) היה רגיל במסעות מלחמה מהסוג הזה.
בנוסף למחסור הכרוני בקצינים ששרר ברגימנט, 3 מתוך 12 מפקדי הפלוגות הופרדו מהרגימנט למשימות אחרות. שניים נוספים לא שירתו אף לא יום אחד עם הרגימנט ה-7 מאז שמונו לתפקידם ביולי 1866. בנוסף היו תקנים לעוד שלושה קצינים בדרגת סגן משנה שלא אוישו.
השערות מודיעיניות קודם הקרב > מספר הלוחמים האינדיאנים

צבא ארצות הברית פעל תחת הנחה שגויה לגבי גודל הכוח האינדיאני. הנחות הצבא התבססו על מידע לא נכון – שנמסר על ידי סוכני הצבא האינדיאנים - על 800 אינדיאנים בלבד שנמצאים באזור. הסוכנים ביססו את המידע על בסיס מספר חברי שבט הלקוטה בהנהגתו של שור יושב שעזבו את השמורות רשמית במחאה על המדיניות של ממשלת ארצות הברית. מספר זה היה נכון אך הסוכנים לא לקחו בחשבון שמאות אינדיאנים עזבו בצורה לא רשמית את השמורות מספר שבועות לפני הקרב במטרה להצטרף לכוחותיו של שור יושב ולמחות כנגד מדיניות השמורות של הממשלה.
קסטר מבלי לדעת ניצב כנגד מאות אינדיאנים נוספים ל-800 שעליהם ידע. כל תוכניות הצבא היו מבוססות על המספר השגוי.
קסטר ספג ביקורת אחרי הקרב על כך שלא חיכה לתגבורת ועל כך שפיצל את כוחותיו. ניתן לשער שפעולותיו אלו בוצעו גם כן על סמך ההנחה השגויה שהוא עומד מול כוח קטן בהרבה. ההיסטוריון ג'יימס דונובן טוען שכשקסטר שאל את מתורגמנו מה גודל הכוח שמולם הוא העריך אותם בכ־1500 עד 2500 לוחמים.
בנוסף, דאגתו העיקרית של קסטר הייתה למנוע מלוחמי הלקוטה והשאיין לברוח. הוא לא דאג מהצורך להילחם בהם. כשסייריו של קסטר ראו את המחנה לראשונה מתצפית קן הנשרים הם ראו רק מספר גדול של סוסי פוני. כשצפו במחנה מקרוב יותר (מרחק של 4 ק"מ מהמחנה) הם ראו רק נשים מתכוננות ליום וילדים מובילים סוסים למרעה. אף על פי שסייריו אמרו לו שזהו המחנה הגדול ביותר שהם ראו מעודם הניח קסטר שלאינדיאנים יש מעט מדי לוחמים כדי להגן על המחנה. בנוסף הוא חשב שרוב הלוחמים ישנו עדיין בטיפים (אוהלים אינדיאנים) שלהם.
קסטר רצה לצפות על המחנה האינדיאני יום נוסף ולתקוף רק למחרת אבל חיילים שחזרו אחורה לאסוף חבילות שנפלו בדרך גילו שהם נעקבים על ידי אינדיאנים. בנוסף סיירים דיווחו על עקבות סוסים בנקודות תצפית על הכוח המתקדם. ידיעות אלו הבהירו שהאינדיאנים מודעים לכוח המתקרב. קסטר חשש שהמחנה יתפרק ללהקות קטנות שאחריהן יצטרך לרדוף ולכן הוא החל להתכונן למתקפה מיידית.
השערות מודיעיניות קודם הקרב > תפקידם של האינדיאנים הלא לוחמים באסטרטגיה של קסטר

קסטר התכוון לעשות שימוש במערכה באינדיאנים לא לוחמים.
תכנונו היה לתפוס נשים, ילדים, זקנים ומוגבלים על מנת שישמשו בני ערובה ומגנים אנושיים ולאלץ את הלוחמים האינדיאנים להיכנע בעזרת איומים על בני הערובה.
שנתיים לפני הקרב כתב קסטר בספרו "חיי במישורים":
אינדיאנים השוקלים התנגדות מזויינת נחושים תמיד לשמור על נשותיהם וילדיהם בטוחים מכל פגע...מסיבה זו החלטתי למקם את המחנה (הצבאי) שלנו בקרבה נוחה למחנה (מחנהו של 'כבש שחור' משבט השאיין) . בידיעה שהקרבה של נשותיהם וילדיהם והחשיפה הבטוחה שלהם במקרה של התעמתות תהווה מניע חזק בעד שלום כשתעלה השאלה של עימות או שלום.
משתתפים בקרב > קציני רגימנט הפרשים ה-7

מפקד הכוח- לויטננט קולונל ג'ורג' ארמסטרונג קסטר (נהרג)
מייג'ור מרכוס רינו
שליש- סגן ויליאם ו. קוק (נהרג)
רופא- ג'ורג' אדווין לורד (נהרג)
ממלא מקום רופא- ג'יימס מדיסון דה-וולף (נהרג)
ממלא מקום רופא- הנרי רינלדו פורטר
מפקד הסיירים- סגן משנה צ'ארלס וורנון (נפצע)
משנה למפקד הסיירים- סגן משנה לות'ר הייר
מפקד שיירת המשא- סגן אדוארד גוסטב מת'יי
פלוגה A- קפטן מיילס מוילאן, סגן צ'ארלס דה-רודיו
פלוגה B- קפטן תומאס מק-דאגל, סגן משנה בנג'מין הודג'סון (נהרג)
פלוגה C- קפטן תומאס קסטר (נהרג), סגן משנה הנרי מור הרינגטון (נהרג)
פלוגה D- קפטן תומאס וייר, סגן משנה ווינפילד אדגרלי
פלוגה E- סגן אלגרנון סמית' (נהרג), סגן משנה ג'יימס ג'. סטורגיס (נהרג)
פלוגה F- קפטן ג'ורג' ייטס (נהרג), סגן משנה ויליאם ריילי (נהרג)
פלוגה G- סגן דונלד מקינטוש (נהרג), סגן משנה ג'ורג' וואלאס
פלוגה H- קפטן פרדריק בנטין, סגן פרנסיס גיבסון
פלוגה I- קפטן מיילס קיו (נהרג), סגן ג'יימס פורטר (נהרג)
פלוגה K- סגן אדוארד סטל גודפריי
פלוגה L- סגן ג'יימס קלאון (נהרג), סגן משנה ג'ון ג'. קריטנדן(נהרג)
פלוגה M- קפטן תומאס פרנץ'
משתתפים בקרב > מנהיגים ולוחמים בולטים בכוח האינדיאני

האנקפאפא (לקוטה): שור יושב, ארבע קרניים, מלך העורבים, צ'יף גאל, ירח שחור, גשם בפנים, שור מנומר עם קרן, נץ ברזל, שור אחד, ראש שור, נשר רודף
סיאסאפה (לקוטה): זוחל, נשר הורג
מינקונג'ו (לקוטה): צ'יף גיבנת, ירח שחור, סוס אדום, עושה מקום, צופה למעלה, צבי צולע, כלב עם קרן, שור לבן, עגיל נוצה, עף ליד
סאנס ארק (לקוטה): נשר מנומר, דוב אדום, דרך ארוכה, אדם ענן
אוגאלאלה (לקוטה): סוס משוגע, הוא כלב, דוב בועט, נץ מעופף, צ'יף זאב ארוך, דישון שחור, שור לבן, נשר רץ, שועל שחור II
ברולה (לקוטה): שני נשרים, דוב עם קרן, ציפור אמיצה
ואפקיוט (דקוטה): אינקפדוטה, האדמה רועדת בהליכתו, נשר לבן
טו קטלס (לקוטה): מבריח האויב
שאיין: שני ירחים, רגל עץ, דוב זקן, אדם לבן צולע, סוס אמריקני, זאב אמיץ, אישה אנטילופה, שור ברק, אף גדול, סוס צהוב, מגן קטן, דרך סוסים, סוס עם זנב מתנודד, שער צהוב, דוב הולך ברכס, נץ שחור, אשת דרך עגל הביזון, אף סדוק, הליכה רועשת
ארפאהו: איש מים, משכיל, שמאלי, נשר צהוב, ציפור קטנה
משתתפים בקרב > סיירים ומתורגמנים בולטים

לרגימנט ה-7 הצטרפו מספר סיירים ומתורגמנים:
סכין מדממת- סייר משבט האריקארה (נהרג)
שור בעל זנב מתנודדת- סייר משבט האריקארה (נהרג)
צ'יף ילד- סייר משבט האריקארה
צ'רלי ריינולדס- סייר (נהרג)
קורלי- סייר משבט הקרואו
ראש מתולתל- סייר משבאט האריקארה
פרד ג'רארד- מתורגמן
הולך קדימה- סייר משבט הקרואו
אווז- סייר משבט האריקארה
מוקסין שעיר- סייר משבט הקרואו
נשלט בידי אדם לבן- סייר משבט הקרואו
מיץ' בוייר- סייר ומתורגמן (נהרג)
משתתפים בקרב > משתתפים משבט האראפאהו

בהיסטוריה המודרנית מקובל להחשיב את אנשי האראפאהו כחלק מהכוח הלוחם אך למעשה חמשת האינדיאנים משבט האראפאהו נקלעו למחנה האינדיאני בטעות במהלך מסע ציד שערכו. לוחמי הלקוטה שתפסו אותם חשדו בהם שהם סיירים של הצבא ותכננו להוציא אותם להורג. רק ההתערבות של שני ירחים, מנהיג משבט השאיין הצילה אותם ממוות.
מהלך הקרב > התקפתו של רינו

לאחר שסייריו של קסטר הזהירו אותו שאינדיאנים מזהירים את המחנה הוא שלח את שלישו ויליאם קוק למסור לרינו פקודת התקפה. רינו נצטווה לרדת במורד מה שנקרא לאחר מותו פלג רינו, לחצות את נהר הליטל ביגהורן ולהסתער על הכפר מדרום. הפקודות ניתנו אף על פי שקסטר עדיין לא ידע את מיקומו המדויק ואת גודלו האמיתי של הכפר.
רינו וחייליו חצו את נהר הליטל ביגהורן בסביבות 3 בצהריים בקצה פלג רינו. רינו דהר במהירות צפונה מוסתר על ידי חורשה עבותה בגדה הדרומית של הנהר. בתחילה רכבו בחזית אחידה של שתי פלוגות ולבסוף כשהתקרבו אל הכפר הצטרפה הפלוגה השלישית ויצרה חזית אחידה של שלוש פלוגות. אותה חורשה שהסתירה את רינו מהאינדיאנים הסתירה מאידך את גודלו האמיתי של הכפר מרינו וכך הוא לא ידע מול מה הוא ניצב עד לרגע האחרון. משחצה רינו את קו העצים הוא הבין לראשונה מה ניצב מולו. הוא חשש מפני רכיבה אל תוך מלכודת ולכן הורה לחייליו לעצור ולרדת מהסוסים. הוא סידר את חייליו בשורת לחימה. בסידור זה כל חייל רביעי מחזיק את סוסיהם של שלושה חיילים שיורים. שיטה זאת גרעה 25% מכוח האש של רינו. הקצינים עמדו בעורף השורה היורה ומאחוריהם עמדו החיילים שהחזיקו בסוסים.
משום ששורתו של רינו הייתה מוגבלת עם החורשה שבימינה החלו האינדיאנים לאגף את צידה השמאלי של השורה. רינו שנוכח שהוא בנחיתות מספרית (לפי הערכתו חמישה אינדיאנים על כל חייל שלו) הוביל נסיגה מהירה לתוך החורשה שם התבצרו חייליו. האינדיאנים המטירו אש על האמריקאים במטרה להוציא אותם ממחסותיהם. בנקודה זו רינו הבין שזמנו אוזל. הוא צעק לחייליו "מי שרוצה להינצל שיבוא אחריי!" ופתח בנסיגה מבוהלת לגדה השנייה של הנהר. הגדה בנקודה הזאת הייתה בגובה של כשני מטרים והסוסים סירבו בתחילה לרדת לנהר. האמריקאים חצו לבסוף את הנהר כשהאינדיאנים מזנבים בהם. בנקודה זו ספג רינו את מירב הנפגעים.
מאוחר יותר דיווח שנהרגו שלושה קצינים ועשרים ותשעה חיילים. קצין נוסף וכ-15 חיילים נעדרו. רוב הנעדרים נשארו באזור החורשה אף על פי שבסופו של דבר רובם התאחדו חזרה עם הכוח. ייתכן שהנסיגה המבוהלת והחפוזה של רינו הואצה בעקבות מותו של "סכין מדממת", הסייר של רינו בן שבט האריקארה. הוא רכב בצמוד לרינו וכשנפגע מכדור בראשו ניתז הדם שלו על פרצופו של רינו. מאוחר יותר רינו חשב שנפצע בעצמו בגלל הדם וחבש את ראשו.
מהלך הקרב > התקפתו של רינו > רינו ובנטין על גבעת רינו

רינו נסוג עם חייליו לגדה הנגדית שם טיפסו על צוק והגיעו לפסגה השטוחה למקום הנקרא לאחר מותו גבעת רינו. אל חייליו של רינו הצטרפו חייליו של בנטין ובעקבותיו גם קפטן מק-דאגל עם שיירת המשא. כוחו של בנטין היה במשימת סיור צדדית כשקסטר שלח אליו את המחצצר הגדודי, ג'ון מרטין, ובידו מכתב בכתב ידו "תבואו..מחנה גדול, תבואו במהירות.. תביאו חבילות.." (חבילות- הכוונה לתחמושת, נראה שבנקודת זמן זו העריך קסטר שצפוי קרב קשה ושהוא יזדקק ליותר תחמושת משחשב).
ארבעה עשר הקצינים ושלוש מאות החיילים התארגנו להגנה היקפית על הגבעה וחפרו שוחות ירי בעזרת כל הכלים שהיו ברשותם. שיטה זו נפוצה בצבא ארצות הברית בשנה האחרונה של מלחמת האזרחים וחיילים נהגו לחפור שוחות עם סכינים, כלי אוכל ומחבתות.
אף על פי ששמע ירי כבד ומטחים מצפון, בחר בנטין להתרכז בסיוע לכוחו של רינו במקום לנסות להתקדם ולחתור לכיוון קסטר. מאוחר יותר בנטין ספג ביקורת רבה על החלטתו ותואר כמי שלא מילא אחר הפקודות שניתנו לו. כמה קצינים רצו להתקדם לכיוון קסטר ופרץ סכסוך בין הקצינים. בסביבות השעה 5 אחה"צ התחיל קפטן תומאס וייר, אחד ממפקדי המחלקות של בנטין, להתקדם עם מחלקתו לכיוון קסטר בניגוד לפקודות. הם התקדמו כקילומטר וחצי והגיעו לגבעה הנקראת על שמו "גבעת וייר". הם יכלו לראות ממרחק את זירת הקרב של קסטר. ענני אבק עם אינדיאנים דוהרים שיורים על אובייקטים שהיו על הקרקע. ההיסטוריה המקובלת גורסת שהם ראו את האינדיאנים מבצעים ווידוא הריגה והורגים את הפצועים במקום שיזכה לכינוי "גבעת עד האיש האחרון". האינדיאנים זיהו את וייר ואנשיו ומיהרו לתקוף אותם. בינתיים הצטרפו אל וייר שאר הפלוגות, רינו בתחילה ובעקבותיו גם בנטין. האינדיאנים הגבירו את התקפותיהם בכיוון גבעת וייר וקו ההגנה המאולתר שהוקם בחופזה לא עמד בלחץ. עד מהרה החיילים נסו חזרה לגבעת רינו והתחפרו שם שוב. התקפת האינדיאנים התפוגגה עם חשיכה. בשעות הערב התנדבו תשעה עשר חיילים לרדת למלא מים מהנחל, אחרי הקרב קיבלו כולם את עיטור הכבוד על מעשה זה.
למחרת בבוקר, 26 ביוני התחדשה מתקפת האינדיאנים, אך כל התקפותיהם נהדפו. רינו ובנטין נשארו מבוצרים בגבעה עד 27 ביוני עם בואם של טרי וגיבון עם תגבורת.
מהלך הקרב > לחימתו של קסטר

אין פרטים מדויקים לגבי לחימתו של קסטר מאחר שלא נשארו ניצולים אמריקאים לספר את מה שאירע. כל מה שכן ידוע הוא בגדר השערה. עדויות האינדיאנים שהשתתפו בקרב לא בהירות ולעיתים קרובות סותרות אחת את השנייה.
אף על פי שרינו ובנטין שמעו את קולות הירי של לחימתו של קסטר הם לא ידעו מה התרחש לכוחו של קסטר עד בואו של טרי ב-27 ביוני. כשנודע להם מה קרה הם הוכו בתדהמה. כשהצבא חקר את שדה הקרב לא יכלו החיילים לקבוע בוודאות מה התרחש. כוחו של קסטר שמנה כ-210 חיילים הותקף על ידי האינדיאנים כ-6 ק"מ צפונית לגבעת רינו. בשדה הקרב נמצאו עדויות להתנגדות מאורגנת בדמות גוויות סוסים מונחות כחומות מגן. האינדיאנים כבר פינו את מרבית גופות ההרוגים שלהם מהאזור. גופות החיילים האמריקאים היו ערומות, מושחתות קשות ובמצב ריקבון מתקדם. עובדה זו הקשתה על זיהויים הוודאי של הרבה הרוגים.
גופתו של קסטר נמצאה עם פצעי כדורים בשמאל החזה וברקה השמאלית. שני הפצעים הם פצעים קטלניים אך נראה שדימם רק מהפצע בחזה, נתון שמוביל למסקנה הבלתי נמנעת שהפצע ברקה נגרם לאחר המוות. כמו כן הוא סבל מפציעה בזרוע.
תאוריה אינדיאנית גורסת שקסטר התאבד על מנת למנוע נפילה בשבי והתעללות מידי האינדיאנים. תאוריה זו לא יכולה להיות נכונה שכן הפצעים לא מסתדרים עם עובדת היותו של קסטר ימני. גופתו נמצאה קרוב לפסגת הגבעה שנקראה בשם "גבעת עד האיש האחרון". בפסגת הגבעה הציב הצבא מצבה גבוהה שעליה חקוקים שמות הנופלים בקרב.
ע"פ מסורת של שבט השאיין אישה צעירה שכונתה "אשת דרך עגל הביזון" היא זו שהכתה את קסטר את המכה שהפילה אותו מסוסו לפני שמת.