stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מצלמת פיתוח מיידי

Polaroid Model 95, מודל מצלמת הפיתוח המיידי המסחרי הראשון שהוצג בשנת 1948
מצלמת פיתוח מיידי (באנגלית: Instant Camera) היא מצלמה המשתמשת במנגנון פיתוח עצמי, אשר נועד ליצור תמונה המתפתחת במקום - זמן קצר לאחר הצילום וללא צורך במכשור נוסף. חברת פולארויד הייתה החלוצה בתחום והראשונה (עם בעלות על פטנט המוצר) שסיפקה מצלמות לפיתוח מיידי וכמו כן גם סרטי צילום תואמים, אשר היו ידידותיים לצרכנים. בהמשך, החלו יצרנים נוספים לייצר מצלמות פיתוח מיידי.
הממציא של מצלמת הפיתוח המיידי אשר הייתה מתאימה להפצה מסחרית ופשוטה לשימוש, היה המדען האמריקאי אדווין לנד, אשר חשף את המודל המסחרי הראשון שלו "Land Camera Model 95" בשנת 1948 - כשנה לאחר חשיפת סרט הצילום המיידי בעיר ניו יורק. לעומת אותו מודל מסחרי, מצלמת הפיתוח המיידי הראשונה הומצאה כבר בשנת 1923 על ידי סמואל סלאפרוק הכללה בנוסף למצלמה עצמה, גם חדר חושך נייד.
מצלמת פיתוח מיידי מודרנית של חברת Fujifilm עם תמונה מפותחת
ראו גם

מצלמת רפלקס
מצלמה דיגיטלית
מספר משוכלל

מספר משוכלל או מספר מושלם הוא מספר טבעי השווה לסכום כל המחלקים הטבעיים שלו מלבד המספר עצמו. המספר המשוכלל הראשון הוא 6=1+2+3, ואחריו באים 28=1+2+4+7+14, 496 ו־8128 (סדרה A000396 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים). עיקר העניין במספרים משוכללים היה בימי הביניים, מסיבות נומרולוגיות. היום הם משמשים אבן בוחן ליכולת החישוב בבדיקת ראשוניותם של ראשוניים גדולים.
היסטוריה

ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים. אוקלידס היה הראשון שהבחין שכל המספרים האלה תואמים לתבנית  \ 2^{n-1}\left(2^{n}-1\right), כאשר  2^{n}-1 הוא מספר ראשוני (ההוכחה לכך שכל מספר מצורה זו הוא משוכלל מובאת בהמשך).
רק בשנת 1356 התגלה המספר המשוכלל החמישי, 33,550,336, שגם הוא תואם לנוסחה של אוקלידס (עם n=13).
כדי ש־ 2^{n}-1 יהיה ראשוני, נדרש שגם  n עצמו יהיה ראשוני. מספרים ראשוניים מן הצורה הזו נקראים מספרי מרסן ראשוניים, על שמו של המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן (Marin Mersenne), שהודיע – בטעות – על מציאת מספרים משוכללים חדשים בשנת 1644.
לאונרד אוילר הראה שכל מספר משוכלל זוגי מתאים לתבנית שמצא אוקלידס. השאלה האם קיימים אינסוף מספרים משוכללים זוגיים, או לחלופין האם קיימים אינסוף מספרי מרסן ראשוניים, עודנה פתוחה.
בשנת 1952 החלו להיעזר במחשבים לשם מציאת מספרים משוכללים ובאותה שנה כבר נודעו 17 מספרים שכאלה. מאז ממשיך החיפוש ביתר שאת בעזרת מחשבי-על ובעזרת חישוב מבוזר קהילתי, ונכון ל-2023 ידועים 51 מספרים משוכללים. החיפוש הוא אחר ראשוניי-מרסן, שמהם נוצרים מספרים משוכללים זוגיים בלבד, ולכן אין בו כדי לסייע בתשובה לשאלת הקיום של מספרים משוכללים אי-זוגיים.
מספר משוכלל הוא מספר המקיים את המשוואה  \ \sigma (n)=2nכאשר  \ \sigma היא פונקציית סכום המחלקים. מספרים שעבורם  \ \sigma (n)<2nנקראים מספרים חסרים, ואלו שעבורם  \ \sigma (n)>2nנקראים מספרים שופעים.
הראשון מחכמי ישראל שמזכיר מספרים משוכללים, הוא הפילוסוף היהודי פילון האלכסנדרוני שכתב, בהתבסס על פילוסופיה יוונית, על מספרים וחשיבותם בסיפור בריאת העולם. לדעתו המספרים המשוכללים הם ביטוי לשלמות, ומשום כך נברא העולם בשישה ימים. גם רבי אברהם אבן עזרא הזכיר מספרים אלה בפירושו לתורה (שמות, ג', ט"ו), הוא מכנה אותם "מספרים שווים".
הנוסחה למציאת מספרים משוכללים

מספרים משוכללים רבים הם מהצורה  \ 2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)עבור  n כך ש- 2^{n}-1 הוא מספר מרסן ראשוני. להלן הוכחה לכך שכל המספרים מהצורה הזו הם אכן משוכללים:
נתון שהמספר  \left(2^{n}-1\right) ראשוני, שנסמן מעתה באות  \,p. עלינו להוכיח שהמספר  2^{n-1}\cdot p הוא מספר משוכלל.
ראשית נמצא את כל מחלקיו של המספר (מלבד המספר עצמו):
\{1,2,4,8,\ldots ,2^{n-1},p,2p,4p,8p,\ldots ,2^{n-2}\cdot p\}
כעת נראה כי סכום איברים אלה שווה למספר עצמו. נחשב את המספר כך:
1+2+4+8+\ldots +2^{n-1}+(1+2+4+8+\ldots +2^{n-2})\cdot p
ומאחר שסכום כל חזקות ה-2 עד  \,m כלשהו שווה ל: \!\,2^{m+1}-1  (מכיוון שזהו סכום של סדרה הנדסית), ניתן לכתוב סכום זה כך:
2^{n}-1+(2^{n-1}-1)\cdot p=p+(2^{n-1}-1)\cdot p=2^{n-1}\cdot p
וזהו בדיוק המספר המקורי, ובכך הושלמה ההוכחה.
מספרים משוכללים זוגיים

בערך 2000 שנה אחרי אוקלידס עשה המתמטיקאי לאונרד אוילר צעד משמעותי, כאשר הוכיח שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח מן הצורה המתוארת לעיל.
הוכחה:
נניח ש- n הוא מספר משוכלל זוגי. ניתן לרשום את  n בצורה  n=2^{k-1}m כאשר  k>1 ו- m הוא מספר אי זוגי שבפרט זר ל- 2^{k-1}. נרצה לחשב את  \sigma (n), כאשר  \sigma  היא פונקציית סכום המחלקים.
מכיוון ש- \sigma  היא פונקציה כפלית על מספרים זרים, מתקיים:
\sigma (n)=\sigma (2^{k-1}m)=\sigma (2^{k-1})\sigma (m)=(2^{k}-1)\sigma (m), אבל באותו הזמן  n משוכלל, ולכן
\sigma (n)=2n=2^{k}m.
מצירוף השוויונות מתקבל  2^{k}m=(2^{k}-1)\sigma (m), ומכאן ש- 2^{k}-1 מחלק את  2^{k}m; אבל  2^{k}-1 ו- 2^{k} זרים, ולכן  2^{k}-1 מחלק את  m, ונכתוב  m=(2^{k}-1)M. 
אם נציב הצגה זו של  m במשוואה האחרונה ונצמצם, נקבל:  \sigma (m)=2^{k}M.
בין המחלקים של  m אפשר למנות לפחות את  M ואת  m עצמו (השונים זה מזה), ולכן  2^{k}M=\sigma (m)\geq m+M=2^{k}M. מכאן שאי-השוויון החלש הוא למעשה שוויון, ולכן  m ו- M הם המחלקים היחידים של  m; אבל 1 מחלק את  m, ולכן  M=1. הוכחנו כי  m=2^{k}-1, וכי הוא ראשוני.
מספרים משוכללים אי-זוגיים

באשר למספרים משוכללים אי-זוגיים, לא ידוע האם קיים ולו אחד כזה. שאלת קיומם היא כנראה הבעיה המתמטית הפתוחה העתיקה ביותר שטרם הוכרעה, והיא רמוזה ביסודות שכתב המתמטיקאי אוקלידס בראשית המאה השלישית לפנה"ס. כן ידוע שלמספר משוכלל אי-זוגי (אם קיים) יש לפחות 1,500 ספרות עשרוניות, לפחות 101 גורמים ראשוניים (כולל כפילויות - גורמים ראשוניים החוזרים כמה פעמים) ולפחות 10 גורמים ראשוניים שונים זה מזה, גורם ראשוני הגדול ביותר, גדול מ-100,000,000, גורם שהוא חזקת ראשוני הגדול מ- \ 10^{12} (ב.י. מושקאט, 1966), גורם ראשוני שני בגודלו, הגדול מ-10,000 (P. Hagis Jr., 1980), גורם ראשוני שלישי בגודלו, הגדול מ-100, ומספר מחלקים אי זוגי .
אייסטיין אור חקר את היחס בין מספר המחלקים של n לבין סכום ההפכיים של המחלקים; אם n משוכלל, אז היחס הזה שלם. אור שיער שאם n אי-זוגי היחס אינו שלם (חוץ מהמספר 1) (זו הכללה של ההשערה המפורסמת על אי קיומו של משוכלל אי-זוגי).
ראו גם

מספר כמעט משוכלל
מספר רב משוכלל
מספר דמוי משוכלל
מספר קוואזי משוכלל
מספרים ידידים
מספרים חברותיים
מספר אור
ראשוני מרסן
מספר שופע
מספר חסר
מספר מוזר
הערות שוליים

↑  10 המספרים המשוכללים הראשונים הם:

6

28

496

8,128

33,550,336

8,589,869,056

137,438,691,328

2,305,843,008,139,952,128

2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176

191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216
↑  אתר החיפוש אתר מספרי מרסן דרכו נמצאו מספרי מרסן הגדולים ביותר הידועים היום
↑  אלעד פילר, "תיאור הבריאה על ידי פילון לאור תורת המספרים הניאופיתגוראית", דעת: כתב-עת לפילוסופיה יהודית וקבלה, תשס"ח, עמ' 5–25.
↑  http://mathworld.wolfram.com/OresConjecture.html
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 7683309-4
משוואה דיפרנציאלית הומוגנית

ישנן שתי הגדרות למשוואת דיפרנציאלית הומוגנית:
ההגדרה הראשונה היא שמשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת הומוגנית אם אפשר לכתוב אותה בצורה:
כאשר  f ו־ g הן פונקציות הומוגניות (מאותו סדר) של  x ו־ y. במקרה זה, החלפת המשתנה  y=ux מובילה למשוואה מהצורה:
שניתן לפתור אותה על ידי אינטגרציית על שני האגפים.
ההגדרה השנייה היא שמשוואה דיפרנציאלית נקראת הומוגנית אם היא פונקציה הומוגנית של הפונקציה הנעלמת ונגזרותיה.
במקרה של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות, משוואה הומוגנית היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית שאין בה איברים קבועים. ניתן להסיק את הפתרונות של כל משוואת דיפרנציאלית רגילה ליניארית מכל סדר שהוא על ידי אינטגרציה מהפתרון של המשוואה ההומוגנית המתקבלת על ידי הסרת האיבר הקבוע.
היסטוריה

המונח הומוגניות הוזכר לראשונה בהקשר של משוואות דיפרנציאליות על ידי יוהאן ברנולי בפסקה 9 במאמרו De integraionibus aequationum differentialium (על אינטגרציית משוואות דיפרנציאליות) משנת 1726.
משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מסדר ראשון

משוואת דיפרנציאלית רגילה מסדר ראשון היא משוואה דיפרנציאלית מהצורה:
היא הומוגנית אם שתי הפונקציות  M(x,y) ו־ N(x,y) הן פונקציות הומוגניות מאותו סדר  n. כלומר, בהכפלת כל משתנה בפרמטר  \lambda , יתקבל:
לכן:
משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מסדר ראשון > שיטת פתרון

במנה 






M
(
t
x
,
t
y
)


N
(
t
x
,
t
y
)



=



M
(
x
,
y
)


N
(
x
,
y
)





{\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}

, ניתן להגדיר  t={\frac {1}{x}} על מנת לפשט את המנה לפונקציה של משתנה יחיד  {\frac {y}{x}}.
ולכן:
באמצעות החלפת המשתנה  y=ux וגזירה באמצעות כלל המכפלה, יתקבל:
כך המשוואה הדיפרנציאלית המקורית הופכת לצורה בה ניתן לבצע בה הפרדת משתנים:
או:
כעת ניתן לבצע אינטגרציה ישירות:  \ln x היא הפונקציה הקדומה של הצד השמאלי של המשוואה.
משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מסדר ראשון > מקרה פרטי

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון מהצורה ( a,‏  b,‏  c,‏  d,‏  e ו־ f הם קבועים):
כאשר  af\neq be ניתן להפוך אותה להומוגנית על ידי העתקה ליניארית של שני המשתנים ( \alpha  ו־ \beta  הם קבועים):
משוואות דיפרנציאליות ליניאריות הומוגניות

משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא הומוגנית אם היא משוואה ליניארית הומוגנית שהפונקציה הנעלמת ונגזרותיה הן הנעלמים בה. מכאן נובע שאם  \varphi (x) הוא פתרון של המשוואה, כך גם  c\varphi (x), עבור כל קבוע  c השונה מאפס. כדי שתנאי זה יתקיים, כל איבר שאינו אפס של המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית חייב להיות תלוי בפונקציה הנעלמת או בנגזרת כלשהי שלה. משוואה דיפרנציאלית ליניארית שלא מקיימת תנאי זה נקראת לא הומוגנית (inhomogeneous).
ניתן לייצג משוואה דיפרנציאלית ליניארית כאופרטור ליניארי הפועל על  y(x) כאשר  x הוא בדרך כלל המשתנה הבלתי תלוי ו־ y הוא המשתנה התלוי. לכן, הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית היא:
כאשר  L הוא אופרטור דיפרנציאלי ליניארי, כלומר סכום של נגזרות (כאשר "הנגזרת ה-0" מוגדרת כפונקציה המקורית, ללא גזירה) שכל אחת מהן מוכפלת בפונקציה  f_{i} של  x:
כאשר הפונקציה  f_{i} יכולה להיות קבוע, אבל לא כל  f_{i} יכולה להיות אפס.
לדוגמה, המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הבאה היא הומוגנית:
ואילו השתיים הבאות אינן הומוגניות:
קיומו של איבר קבוע הוא תנאי מספיק כדי שמשוואה תהיה לא הומוגנית, כמו בדוגמה לעיל.
ראו גם

הפרדת משתנים
לקריאה נוספת

Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (10th ed.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (This is a good introductory reference on differential equations.)
Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490. (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)
Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 בנובמבר 2017). Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9. {{cite book}}:  (עזרה)
Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 בנובמבר 2009). Differential Equations with Linear Algebra. Oxford University Press. pp. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9. {{cite book}}:  (עזרה)
הערות שוליים

↑  Dennis G. Zill (15 במרץ 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2. {{cite book}}:  (עזרה)
↑   \ \ f\left(x,y\right)dy=g\left(x,y\right)dx
 y\ =\ ux
 dy=u\ dx+x\ du
 f\left(x,ux\right)\left(udx+xdu\right)=g\left(x,ux\right)dx
 x^{n}f\left(1,u\right)\left(udx+xdu\right)=x^{n}g\left(1,u\right)dx
 f\left(1,u\right)\left(udx+xdu\right)=g\left(1,u\right)dx
 f\left(1,u\right)udx+f\left(1,u\right)xdu=g\left(1,u\right)dx
 f\left(1,u\right)xdu=\left(g\left(1,u\right)-f\left(1,u\right)u\right)dx
 {\frac {f\left(1,u\right)}{g\left(1,u\right)-f\left(1,u\right)u}}du={\frac {dx}{x}}
 h\left(u\right)={\frac {f\left(1,u\right)}{g\left(1,u\right)-f\left(1,u\right)u}}
 {\frac {dx}{x}}=h\left(u\right)du
↑  "De integraionibus aequationum differentialium". Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1: 167–184. ביוני 1726. {{cite journal}}:  (עזרה)
↑  Ince 1956, p. 18
מרצדס-בנץ זטרוס

| --- | --- |

Mercedes-Benz Zetros, דגם "זטרוס 2733"
 מאפיינים כלליים
 יצרן:  חטיבת המשאיות דיימלר (גר')
 שנות ייצור:  2008 - היום
 הרכבה:  גרמניה המערבית גרמניה המערבית
 חברת אם:  דיימלר AG
 משקל:  משקל כולל 16.5-18.0 טון (מטען 4–6 טון) (דגם זטרוס 1833)  משקל כולל 25–27 טון (מטען 7–10 טון) (דגם זטרוס 2733)  משקל כולל 27 טון (דגם זטרוס 2743)  משקל כולל 22 טון (דגם זטרוס 3543)
 בסיס גלגלים:  4,800 מ"מ (דגם זטרוס 1833)  4,750 מ"מ + 1,450 מ"מ (דגם זטרוס 2,733)  5,050 מ"מ + 1,450 מ"מ (דגם זטרוס 2,743)
 מפרט טכני
 מנוע:  6 צילינדרים, בטור, 7,201 סמ"ק המפיק 326 כ"ס (מנוע דיזל)  6 צילינדרים, 11,967 סמ"ק המפיק 428 כ"ס (מנוע דיזל, משנת 2016)
 הילוכים:  תמסורת ידנית - 9 מהירויות  תמסורת אוטומטית - 6 מהירויות
מרצדס-בנץ זטרוס (בגרמנית: Mercedes-Benz Zetros) היא משאית כבדה מתוצרת חטיבת המשאיות דיימלר (גר'), חברת בת של התאגיד הגרמני דיימלר AG אשר מיוצרת משנת 2008 ועד היום.
משאיות "מרצדס-בנץ זטרוס" מיוצרות עבור השוק האזרחי והשוק הצבאי. בשוק האזרחי משאיות "מרצדס-בנץ זטרוס" משמשות גם להובלה חקלאית.
דגמים

"Zetros 1833" (הנעה 4x4) - 2 סרנים, בסיס גלגלים 4,800 מ"מ, משקל כולל 16.5-18.0 טונה (מטען 4–6 טון).
"Zetros 2733" (הנעה 6x6) - 3 סרנים, בסיס גלגלים 4,750 מ"מ + 1,450 מ"מ, משקל כולל 25–27 טונה (מטען 7–10 טון).
"Zetros 2743" (הנעה 6x6) - 3 סרנים, בסיס גלגלים 5,050 מ"מ + 1,450 מ"מ, משקל כולל 27 טונה.
"Zetros 3543" (הנעה 8x8) - 4 סרנים כולל סובב 9 לא נגרר, משקל כולל 22 טונה.
מפעילי "זטרוס" במספר ארצות

כ-2,000 משאיות מתוכננות להיות מיוצרות על ידי החברה הלאומית של אלג'יריה של כלי רכב תעשייתיים (SNVI) המיועדים למשרד ההגנה האלג'ירי.
צבא בולגריה הזמין את משאיות זטרוס בשנת 2009 להובלת כוח אדם ואספקה. נכון לשנת 2012, הצבא הבולגרי מפעיל 335 משאיות והזמין 30 נוספות.
בחודש אוגוסט 2016 מרצדס בנץ זכתה בחוזה לספק 330 משאיות לצבא צ'ילה. החוזה כולל משאיות מסוג "זטרוס 2733" הנעה 6x6.
היישום הלא צבאי הראשון של משאית "זטרוס 2733" הוכרז ביוני 2018 על ידי קוסטה ריקה שרותי כבאות, כאשר הארגון רכש משאית בודדת. משאית זו תשרת עבור צוות הצלה וציוד במצבי חירום: שיטפונות, הוריקנים, סופות, שריפות בר, התפרצויות וולקניות ורעידות אדמה.
הצבא הגרמני, הבונדסוור הזמין 110 גרסאות משורינות של משאיות זטרוס. 72 מהן אמורים לשרת ביחידות לוגיסטיות
חיל האוויר של מקסיקו רכש 137 משאיות 6x6, בשלושה שלבים, בשנת 2017 רכש 46 משאיות (שלב ראשון).
תמונות

"מרצדס-בנץ זטרוס 1833"
"מרצדס-בנץ זטרוס"
"מרצדס-בנץ זטרוס מדגם "GTF 6x6" בשרות צבא גרמניה
"מרצדס-בנץ זטרוס 1833"
"מרצדס-בנץ זטרוס 1833"
"מרצדס-בנץ זטרוס 2733" - כבאית
"מרצדס-בנץ זטרוס 2733" - כבאית, הנעה 6x6
"מרצדס-בנץ זטרוס 3543", הנעה 8x8
"מרצדס-בנץ זטרוס 3543", הנעה 8x8 (מימין)
"מרצדס-בנץ זטרוס"
ראו גם

דיימלר AG
הערות שוליים

↑  "מרצדס-בנץ זטרוס", שנת 2010, מנוע 326 כ"ס topspeed.com/trucks/truck-reviews/mercedes/2010-mercedes-benz-zetros
↑  חטיבת המשאיות דימלר daimler.com/company/business-units/daimler-trucks
↑  "מרצדס-בנץ זטרוס" special-trucks.eu/zetros
↑  "מרצדס-בנץ זטרוס" - טכנולוגיה special-trucks.eu/zetros/technologien-segmente
↑  "מרצדס-בנץ זטרוס" mbs.mercedes-benz.com/de/zetros
↑  "מרצדס-בנץ זטרוס" - תצורות mercedes-benz-trucks.com/en_NZ/models/zetros/driving-dynamic/axles
↑  "מרצדס-בנץ זטרוס" הנעה 6x6 wideopenspaces.com/mercedes-benz-zetros-6x6-expedition-vehicle
↑  משאיות זטרוס בצבא אלג'יריה Algerian factory unveils new locally assembled truck for Algerian military". Defence Web. 16 March 2015
↑  "מרצדס-בנץ זטרוס" בצבא הבולגרי archive.is/20120911054452
↑  משאיות "מרצדס-בנץ זטרוס" לצבא צ'ילה archive.is/20170622153132
↑  משאיות "מרצדס-בנץ זטרוס" בצבא גרמניה Wilke, Ralf (25 November 2013). "Geschützter Transportraum" [Protected transportation space
משה מפשוורסק

ערך זה עוסק במחבר ספר "אור פני משה". אם התכוונתם למייסד חסידות פשעווארסק, ראו .
רבי משה הלוי מפשוורסק (מכונה גם משה סופר סת"ם מפשוורסק; ה'ת"פ – י"ב בטבת ה'תקס"ו) מצדיקי החסידות בדור השלישי בתנועת החסידות, סופר סת"ם ומחבר ספר "אור פני משה".
ביוגרפיה

רבי משה נולד בערך בשנת ה'ת"פ לרבי יצחק הלוי ואסתר. בצעירותו עבד כמנהל בית חרושת לייצור יין שרף. התגורר בפשוורסק. נסע למגיד ממעזריטש ויש אומרים שהיה נוסע גם לרבי אלימלך מליז'נסק אך אין לזה מקור ברור. חיבב ביותר את ספרי רבי משה אלשיך וכמעט בכל קטע מספרו מזכיר את פירוש האלשיך, החוזה מלובלין כותב בהסכמתו לספרו: "ומנעוריו היה לו מדריגה שהגאון המנוח מוהר"ר משה אלשיך ז"ל היה מתגלה אליו"
היה מפורסם בקדושתו וצדקותו, הליכותיו היו בהצנע לכת, והסתיר את ידיעתו בתורה,[דרוש מקור] ואף לא התיר לפרסם את ספרו 'אור פני משה' כל עוד הוא חי.
היה סופר סת"ם והרבה מגדולי החסידות בדורו רכשו אצלו תפילין בשבילם. ביניהם נמנו רבי אלימלך מליז'נסק, רבי ברוך ממז'יבוז', רבי מרדכי מנשכיז, החוזה מלובלין, רבי דוד מללוב, רבי אורי מסטרליסק, ורבי יצחק אייזיק מזידיטשוב.
נפטר בי"ב בטבת ה'תקס"ו בפשוורסק ושם נטמן. לאחר פטירתו הדפיס חתנו רבי ישראל דוב (בשנת ה'תק"ע) את ספרו "אור פני משה".
מתלמידיו

רבי צבי מנחם אוירבך
רבי צבי אלימלך מדינוב
רבי משה מסאמבור
רבי יעקב ממוגלניצא
הערות שוליים

↑  ראה אשכול על זה, ר' משה סופר סת"ם מפשעווארסק בעל אור פני משה מי היו רבותיו, באתר בפורום אוצר החכמה.
↑  תורת הרמ"ז, מכון פינת יקרת, ירושלים תשע"ו, עמ' תלא
↑  כן מעיד רבי צבי אלימלך בספרו בני יששכר, תמוז אב, מאמר א' סימן י'.
משוואה דיפרנציאלית ליניארית

במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא משוואה דיפרנציאלית רגילה בפונקציה הנעלמת  \ y=y(x), שאפשר להציג בצורה  \ y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=g(x) כאשר  \ p_{n-1},\dots ,p_{0},g הן פונקציות של המשתנה  \ x בלבד. בניגוד למרבית טיפוסי המשוואות הדיפרנציאליות, למשוואות הליניאריות יש תאוריה מפותחת וטכניקות פתרון שיטתיות. המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות מופיעות בתחומי מדע רבים.
רישום בצורה אופרטורית

הסדר של משוואה דיפרנציאלית הוא  \ n הגבוה ביותר שעבורו מופיעה במשוואה הנגזרת  \ y^{(n)} (אם קיים כזה).
משוואה ליניארית מסדר n אפשר לרשום בצורה מקוצרת אם מגדירים אופרטור כך:  \ L={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+p_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+\dots +p_{0}, ואז המשוואה נרשמת כך:  \ L\left[y\right]=g(x). המשוואה נקראת "ליניארית" שכן אופרטור זה הוא ליניארי:  \ L\left[\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right]=\lambda _{1}L\left[y_{1}\right]+\lambda _{2}L\left[y_{2}\right].
אם  \ g(x)\equiv 0 המשוואה נקראת הומוגנית.
פתרון משוואות ליניאריות

באופן כללי, פונקציות רבות יכולות להיות פתרון של אותה משוואה. לפונקציה מסוימת שהיא פתרון של המשוואה נקרא "פתרון פרטי" של המשוואה. עבור משוואה הומוגנית  \ L\left[y\right]=0 סכום של כל שני פתרונות הוא פתרון וכפל בסקלר של פתרון הוא פתרון. לכן אוסף הפתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית הוא מרחב וקטורי ויש לו בסיס, כלומר קבוצת פונקציות  \ y_{1},\dots ,y_{n} כך שכל פתרון של המשוואה ההומוגנית יכול להיכתב כצירוף ליניארי שלהן:  \ y=c_{1}y_{1}+\dots +c_{n}y_{n}. עבור בסיס של מרחב הפתרונות, נקרא לצירוף הליניארי  \ c_{1}y_{1}+\dots +c_{n}y_{n}, כאשר  \ c_{1},\dots ,c_{n} הם קבועים, "פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית".
למשוואה ליניארית  \ L\left[y\right]=g(x) התכונה שהפרש של כל שני פתרונות של המשוואה הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית  \ L\left[y\right]=0. אכן, אם  \ L\left[y_{1}\right]=L\left[y_{2}\right]=g(x) אז  \ L\left[y_{1}-y_{2}\right]=L\left[y_{1}\right]-L\left[y_{2}\right]=g(x)-g(x)=0.
מכך נובעת תכונה חשובה של משוואות ליניאריות:
כל פתרון של משוואה ליניארית ניתן לכתיבה כסכום של פתרון פרטי של המשוואה הליניארית, ופתרון כללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה לה.
תכונה זו ניתן לקבל בצורה ישירה: אם  \ y הוא פתרון כלשהו של המשוואה, ו-  \ y_{p} הוא הפתרון הפרטי שאנו משתמשים בו, אז ההפרש  \ y-y_{p}, כפי שראינו, הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית, וכל פתרון של המשוואה ההומוגנית ניתן לביטוי באמצעות הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית.
מכך נובע שכדי לפתור בצורה כללית משוואה ליניארית לא הומוגנית יש לעשות שני דברים:
לפתור את המשוואה ההומוגנית המתאימה לה.
למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית.
קיימת שיטה בשם "וריאציית הפרמטר", המאפשרת למצוא בצורה שיטתית פתרון פרטי למשוואה הלא הומוגנית בהינתן הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית. עם זאת, השיטה עלולה לכלול עבודה טכנית רבה, ונדרשת בה אינטגרציה שבה לא בהכרח ניתן לבטא את התוצאה בצורה מפורשת. שיטה אחרת, הנקראת "שיטת המקדמים הלא ידועים", מבוססת על ניחוש מושכל של צורת הפתרון הפרטי והשימוש בה הוא פשוט ונוח, אך היא טובה רק למקרים מסוימים.
באופן כללי אין פתרון שיטתי ופשוט למשוואה ליניארית הומוגנית. עם זאת, אם ידוע פתרון אחד של המשוואה, ניתן לקבל ממנו פתרון נוסף, שאינו תלוי בו. שיטה זו ידועה בשם "שיטת ד'אלמבר להורדת סדר המשוואה". כמו כן, במקרה הפרטי המיוחד שבו המקדמים  \ p_{n-1},\dots ,p_{0} הם כולם קבועים קיים פתרון שיטתי המתבסס על מה שמכונה "המשוואה האופיינית" (או: "הפולינום האופייני") של המשוואה הליניארית.
פתרון משוואות ליניאריות > משוואה הומוגנית במקדמים קבועים

תהא  \ y^{(n)}+A_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +A_{0}y=0 משוואה ליניארית הומוגנית כאשר כל המקדמים  \ A_{n-1},\dots ,A_{0} הם מספרים קבועים. הפתרון  \ y=0 הוא טריוויאלי, ואנו רוצים למצוא פתרונות נוספים. מכיוון שכל המקדמים קבועים, יהיה נוח לחפש פתרון שהוא פונקציה שהשינוי היחיד שהיא עוברת במהלך גזירתה הוא כפל בקבוע. זוהי בדיוק פונקציית האקספוננט:  \ y=e^{\lambda x} כאשר  \ \lambda  הוא קבוע שאנו רוצים למצוא. נשים לב כי  \ y^{(k)}=\lambda ^{k}e^{\lambda x}. לכן, לאחר הצבת הפתרון המשוער, נקבל:
ניתן לצמצם ב- \ e^{\lambda x} כי פונקציה זו תמיד שונה מאפס. נקבל:
זוהי משוואה בנעלם  \ \lambda  הנקראת המשוואה האופיינית של המשוואה הדיפרנציאלית שלנו. המשפט היסודי של האלגברה מבטיח עבור משוואה ממעלה  \ n שקיימים לה  \ n שורשים (לא בהכרח שונים זה מזה, אך בעלי ריבוי כולל של  \ n).
לעיתים בוחרים להסתכל על אגף שמאל של המשוואה בתור פולינום ב- \ \lambda , ולהציג את הבעיה כבעיה של מציאת שורשי הפולינום, הנקרא הפולינום האופייני של המשוואה הדיפרנציאלית. שתי הבעיות זהות לגמרי.
יהא  \ \alpha  שורש של הפולינום (כלומר, פתרון של המשוואה). אז  \ e^{\alpha x} הוא פתרון של המשוואה, כפי שנובע מהניחוש שלנו.
ייתכן כי  \ \alpha  הוא שורש מריבוי גדול מאחד, ואז כל פונקציה מהצורה  \ x^{k}e^{\alpha x}, כאשר  \ k הוא מספר טבעי הקטן מריבוי השורש, היא פתרון של המשוואה שאינו תלוי בשאר הפתרונות שהתקבלו בדרך זו. כך עבור משוואה מסדר  \ n ניתן לקבל  \ n פתרונות בלתי תלויים.
אם כל מקדמי המשוואה הם ממשיים וחלק מהשורשים שיתקבלו הם מרוכבים, ניתן לקבל מכל פתרון מרוכב פתרון ממשי, שאינו כולל מספרים מרוכבים, בצורה זו: מכיוון שכל מקדמי המשוואה ממשיים, מספר מרוכב הוא פתרון שלה רק אם גם הצמוד שלו הוא פתרון שלה. נניח כי  \ \alpha +i\beta ,\alpha -i\beta  הם שני פתרונות שכאלו. אז הפונקציות המתאימות להם הן  \ e^{(\alpha +i\beta )x}=e^{\alpha x}\cdot e^{i\beta x},e^{(\alpha -i\beta )x}=e^{\alpha x}\cdot e^{-i\beta x}.
כעת, בהסתמך על העובדה שסכום וכפל בקבוע של פתרונות גם הוא פתרון, נקבל שני פתרונות ממשיים על ידי שימוש בנוסחת אוילר:
ניתן להוכיח על ידי בדיקה (למשל באמצעות הוורונסקיאן) כי אלו פתרונות בלתי תלויים.
פתרון משוואות ליניאריות > שיטת ד'אלמבר להורדת סדר המשוואה

חלק ניכר מן התאוריה הבסיסית של משוואות דיפרנציאליות נשען על האנלוגיה בין משוואות דיפרנציאליות ליניאריות למשוואות פולינומיות. בין היתר, כאשר ידוע שורש אחד  \ \alpha  של משוואה פולינומית ממעלה n, אז ניתן לפרק לגורמים את הפולינום באמצעותו (כלומר, לחלק את הפולינום בגורם ליניארי  x-\alpha , המערב את השורש הידוע) ולקבל פולינום חדש ממעלה n-1. באופן דומה, כאשר ידוע פתרון אחד למשוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית כללית, ניתן להוריד בעזרתו את סדר המשוואה ב-1. יותר מכך, אם ידועים k פתרונות בלתי תלויים למשוואה, אז ניתן להוריד באמצעותם את סדר המשוואה עד ל-n-k.
כאשר נתונה משוואה ליניארית הומוגנית כללית (כלומר, המקדמים הם פונקציות של  \ x ולא בהכרח קבועים), וידוע לנו פתרון לא טריוויאלי אחד של המשוואה, נרצה למצוא פתרון נוסף, בלתי תלוי בו. הגיוני לחפש פתרון שיהיה דומה בצורתו לפתרון הקיים, וההבדל ביניהם מתבטא בכפל בפונקציה לא ידועה כלשהי. לכן נסמן  \ y_{2}(x)=y_{1}(x)v(x) כאשר  \ v(x) היא פונקציה בלתי ידועה ו- \ y_{1} הוא הפתרון שידוע לנו. כעת נציב את הפתרון החדש למשוואה ונחלץ את  \ v(x). אם נצליח, קיבלנו פתרון נוסף,  \ y_{1}(x)v(x).
נדגים את התהליך עבור משוואה ליניארית ממעלה שנייה:  \ y''+p(x)y'+q(x)y=0. נניח שנתון פתרון לא טריוויאלי  \ y_{1} ואנו מנחשים פתרון  \ y_{2}=y_{1}\cdot v. נחשב את הנגזרת הראשונה והשנייה של הפתרון:
נציב במשוואה המקורית ונקבל:
לאחר פתיחת סוגריים והוצאת גורם משותף נקבל:
נשים לב כי הביטוי בסוגריים השמאליים מתאפס, כי  \ y_{1}. הוא פתרון של המשוואה הליניארית (ולכן  \ y_{1}''+p(x)y_{1}'+q(x)y_{1}=0) לכן בסך הכול קיבלנו:
כעת ניתן להציב  \ t=v' ולקבל אחרי חילוק ב- \ y_{1} (מותר לנו כי על פי משפט הקיום והיחידות, אם  \ y_{1} מתאפס בנקודה כלשהי הוא חייב להיות הפתרון הטריוויאלי  \ y=0) את המשוואה  \ t'+(2{\frac {y_{1}'}{y_{1}}}+p(x))t=0. זוהי משוואה ליניארית מסדר ראשון, כלומר הורדנו את סדר המשוואה.
פתרון של משוואה זו נתון על ידי
כדי למצוא את הפתרון השני של המשוואה יש לעבור מ- \ t ל- \ v על ידי אינטגרציה נוספת, ולבסוף לכפול ב- \ y_{1}. נקבל את התוצאה הסופית:
ישנן דרכים נוספות להגיע לנוסחה זו, איך היתרון בדרך שהוצגה כאן הוא שאין היא מצריכה זכירת נוסחאות או משפטים, אלא רק שבהינתן פתרון  \ y_{1} כלשהו ניתן למצוא פתרון נוסף הנתון על ידי הצורה  \ y_{1}v, גזירתו והצבתו במשוואה.
נשים לב כי שיטה זו אינה מבטיחה שהפתרון הנוסף יהיה ניתן לכתיבה על ידי פונקציות אלמנטריות: אין זה מובטח שניתן יהיה למצוא פתרון לשני האינטגרלים שבנוסחא. עם זאת, כאשר פונקציה מוצגת על ידי אינטגרלים לרוב קל יותר לעבוד איתה מאשר במצב שבו הצגתה היחידה היא על ידי משוואה דיפרנציאלית.