stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
שירי גדני
תפקידים > טלוויזיה

| שנה | תוכנית/סדרה | תפקיד | סוגה | ערוץ | במאי |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2021-הווה | מקיף מילאנו | גוני | סדרת נוער | כאן 11 - חינוכית | עודד לטן |
| 2021 | מה שבע | ויקי | קומדיית מצבים | קשת 12 | רועי פלורנטין |
| 2017 | מתים לרגע | סיגל | דרמה- מדע בדיוני | Hot 3 | יואב פז, דורון פז, רוני וידור. |
| 2015 | פרודים | הילה פדידה | קומדיית מצבים | ערוץ 2 | דניאל לפין |
| 2015 | תמר הבלשית וקפטן יום שלישי | דפנה |  קומית- מוזיקלית | ניק ג'וניור | קובי פז |
| 2011-2012, 2014 | מיקמק הסדרה | זואי, אלקסיס, דולי, גברת מיקיאוולי ורייני (דיבוב) | אנימציה לילדים | ניקלודיאון, yes, מיק סינמה | שי כרמלי פולק |
| 2012-2010 | כאן גרים בכיף | שלי | קומדיית מצבים | ערוץ 10 (נענע 10) | רועי פלורנטין |
| 2010 | שבוע סוף! החדש | ביצוע מערכונים שונים | תוכנית מערכונים | ערוץ 2 | אמיר אוקרייניץ ודני קרפל |
| 2010 | אין להם מושג | דמויות שונות | סדרה קומית | ערוץ 2 | רועי פלורנטין |
| 2009-2015 | פולישוק | תקומה שהרבני | דרמה קומית-סאטירית | ערוץ 2, קשת | שמואל הספרי |
| 2009 | אלכס בעד ונגד | רננה | סדרה | ערוץ הילדים | ליאורה קמינצקי |
| 2009-2007 | היפופוטם | גלי המתחתנת, זמרת בית נקי, נציגת חברה סלולרית ודמויות שונות | סדרת מערכונים | אינטרנט ונענע 10 | אלון גור אריה |
| 2007 | ראש גדול | טל מאור | סדרת דרמה לילדים ונוער | ערוץ הילדים של yes 5‏ (yes, שידורים חוזרים: ערוץ הילדים וyes stars ישראלי) | אהרון קפלן |
| 2007 | ארץ נהדרת | תפקיד אורח | תוכנית בידור סאטירית | ערוץ 2, קשת | רועי פלורנטין |
| 2007 | גומרות הולכות | תפקיד אורח, דמויות שונות | תוכנית מערכונים | ערוץ 2 | רני סער |
| 2007 | הישראלים | תפקיד אורח: חברת ממשלה, דמויות שונות | סדרת מערכונים | ערוץ 2 | בן בכר |
| 2007 | תיק יהלום | תפקיד ראשי, עובדת בכלביה | מיני-סדרת ילדים | ערוץ לוגי | רני מגר |
| 2007 | אולי הפעם | טליה | סדרת דרמה | yes | עופר ויצמן |
| 2006-2009 | הלילה עם ליאור שליין | תפקיד קבוע | תוכנית "לייט נייט" סאטירית ישראלית | ערוץ 10 | ליאור שליין ואבי כהן (יוצרים) |
| 2006 | הפיג'מות | דנה קופרמן, תפקיד אורח | סדרה קומית | ערוץ הילדים | רובי דואניאס |
| 2005 | ארתור | ארתור ריד | סדרת קומדיה ובידור | ערוץ הילדים, PBS | מארק בראון וגרג ביילי |
| 2004 | כל שבת שנייה | אוסי | סדרה קומית | ערוץ הילדים | אבי כהן |
| 2002 | טיפול נמרץ | תפקיד אורח |  | ערוץ 2, טלעד | רוני קיי |
| 2002 | בנות בראון | אומה | מיני-סדרה | ערוץ 2, קשת | רני כרמלי ועירית לינור |
| 2001 | החיים זה לא הכל | בת דודה של קנובלר | קומדיית מצבים | טלעד ואחר כך רשת, שידורים חוזרים בערוץ 2 ובHOT קומדי סנטרל | עדי בנימינוב |
| 2001 | שוף על הפרצוף | ילדים אורחים (דיבוב) | אנימציה לילדים | ערוץ הילדים | שי כרמלי פולק |
| 2000 | משפחה וחצי | תפקיד אורח | סדרת דרמה | הטלוויזיה החינוכית, שידורים חוזרים בערוץ yes ו־yes stars ישראלי | עופר ויצמן |
| 2000 | סטגדם | מנחה | סדרת נוער לילדים |  | עדי בינימינוב |
| 1999 | משפחת עזאני | תפקיד אורח | סדרה קומית | ערוץ 2 | ארנון צדוק |
| 1999-1998 | זבנג! | סיגל | סדרה המבוססת על סדרת הקומיקס "זבנג!" מאת אורי פינק | ערוץ 2, שידורים חוזרים ב־HOT בידור ישראלי ובערוץ הילדים | שי כרמלי-פולק, יואב גורפינקל, רוני קיי, אליאב לילטי ויריב הורוביץ |
תפקידים > סרטים

| שנה | סרט | תפקיד | במאי | מידע נוסף |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2024 | 10 חודשים | מרב | עידן הובל |  |
| 2018 | פיטר ראביט | מופסי (דיבוב) | ויל גלוק |  |
| 2015 | המסע לכוכב המינימיקים | זואי, רייני, אלקסיס וגברת מיקיאוולי (דיבוב) | שי כרמלי פולק | הוקרן במיק סינמה ב-2013, הוקרן בסינמה סיטי ב-2015, הופץ ב-yes וב-HOT ב-2016. |
| 2013 | אילוף הגוררת | בתפקיד עצמה | ריקי שלח |  |
| 2010 | תכריכים | יונה | שלום הגר | זכה בפרס סרט הביכורים הטוב ביותר בפסטיבל הקולנוע הבינלאומי בהמבורג, השתתף בפסטיבל הקולנוע ירושלים |
| 2010 | מאיה | נורית | מיכל בת-אדם |  |
| 2008 | סוף שבוע בגליל | רחל | משה מזרחי |  |
| 2008 | ריטה שם זמני |  | מיכל בת-אדם |  |
| 2006 | ארתור: הסרט | ארתור (דיבוב) | מארק בראון | הופץ ב-DVD בלבד |
| 2006 | החיים בזרם (85 דקות) | ריטה | דייוויד באורס וסם פל |  |
| 2003 | מעיל רוח (50 דקות) |  | איל סיבי | הוקרן בערוץ 2 |
| 1999 | קוונטין אמר לי (סרט טלוויזיה, 45 דקות) |  | צחי פורטנוי |  |
תפקידים > תיאטרון הקאמרי

| הצגת בכורה | הצגה | תפקיד | מחזאי | במאי | מידע נוסף |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 27 בפברואר 2014 | דג מוסר | רינת | מירי חנוך | עדנה מזי"א |  |
| בכורה יפנית: 11 בדצמבר 2012 בטוקיו. בכורה ישראלית: 29 בדצמבר 2012 בקאמרי | נשות טרויה | אתנה | אוריפידס | יוקיו נינגאווה | קופרודוקציה בין הקאמרי לטוקיו מטרופוליטן לרגל 60 לכינון היחסים הדיפלומטיים ביניהן. להקת שחקנים המורכבת מישראלים יהודים, ערבים ויפנים |
| 2012 | אשכבה | אישה בשחור | חנוך לוין | חנוך לוין | נסעה עם ההצגה לסין |
| 21 ביולי 2011 | אורזי המזוודות | זונה | חנוך לוין | אודי בן-משה |  |
| 15 באפריל 2010 | משרתם של שני אדונים | סמרלדינה | קרלו גולדוני | מוני מושונוב |  |
| 29 בדצמבר 2007 | היה או לא היה | עדה | עדנה מזי"א | עמרי ניצן |  |
| 9 באוגוסט 2007 | בואינג בואינג | גלוריה | מארק קאמולטי | לסלי לוטון |  |
תפקידים > תיאטרון גשר

| הצגת בכורה | הצגה | תפקיד | מחזאי | במאי |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 22 ביוני 2006 | גן הדובדבנים | אנה | צ'כוב | יבגני אריה |
| 24 בינואר 2005 | מדיאה | אחת מנשות קורינטוס | אוריפידס | לנה קריינדלין |
| 5 ביולי 2004 | כולם רוצים להוליווד | הלן, התפקיד הנשי הראשי | מרטין מק'דונה | אילן תורן |
| 10 במאי 2003 | שושה | שושה | על-פי רומן מאת יצחק בשביס-זינגר | יבגני אריה |
|  | אופרה בגרוש | זונה | מאת ברטולט ברכט, מוזיקה קורט וייל | אדולף שפירו |
|  | העבד | תפקידים שונים | על-פי רומן מאת יצחק בשביס-זינגר | יבגני אריה |
|  | כפר | דיצה, עז | יהושע סובול | יבגני אריה |
|  | עיר – סיפורי אודסה | בסקה (החליפה את יבגניה דודינה, תפקיד בשפה הרוסית) | עיבוד לסיפורי איסאק באבל | יבגני אריה |
| 17 בינואר 2003 | שאריות של אהבה | קנדי, התפקיד הנשי הראשי | בראד פרייזר | עידו מוסרי |
תפקידים > תיאטראות שונים

| הצגת בכורה | הצגה | תיאטרון | מחזאי | במאי | פרסים |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2013 | איגלו | פסטיבל ישראל ותיאטרון תמונע | יחזקאל לזרוב | יחזקאל לזרוב |  |
| 2006 | מוארים | פסטיבל "פותחים מסך", תיאטרון בית ליסין | יעל נאמן ואמיר רותם | רמה מסינגר |  |
| אפריל 2005 | סברס (הצגה לשניים, עם תומר שרון) | פסטיבל חיפה הבינלאומי ה-15 להצגות ילדים | רועי רשקס | אורי הוכמן |  |
| 21 בספטמבר 2002 | שובן של הגרביים הרצחניות | צוותא | רן אפלברג | ישי קרני אקהאוז | פרס לאמן צעיר ומבטיח מטעם קרן התרבות אמריקה-ישראל בפסטיבל עכו 2002 |
|  | מקלות וגלגלים | בית ציוני אמריקה |  | אורן לביא | פרס הבימוי בפסטיבל עכו 1997 |
| 21 בנובמבר 1996 | העלבת קהל – סוף הדרך | תיאטרון הבימה | פיטר הנדקה, רועי נווה | רועי נווה | ההצגה זכתה בפרס הבימוי במסגרת הצגות החממה בפסטיבל עכו 1996 |
שדה (מבנה אלגברי)

מערכות מספרים ידועות: המרוכבים, הממשיים והרציונליים הם שדות; השלמים והמספרים הטבעיים אינם שדות.
שדה הוא מבנה אלגברי המוגדר על ידי קבוצה לא ריקה של איברים (מספרים) עליהם מוגדרות פעולות  חיבור, חיסור, כפל, וחילוק בעלות תכונות הדומות לאלו של אותן ארבע פעולות על המספרים הרציונליים והממשיים (פרוט בהמשך).
השדות הידועים ביותר הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. שדות רבים אחרים, כגון שדות של פונקציות רציונליות, שדות מספרים ושדות p-אדיים, נלמדים ומשמשים רבות במתמטיקה.    פרוטוקולים  קריפטוגרפיים רבים משתמשים בפעולות על שדות סופיים, כלומר שדות עם מספר סופי של איברים.
שדה אחד הוא הרחבה של שדה אחר אם קבוצת אבריו מכילה ממש את קבוצת אברי השדה האחר, ושומרת על פעולות הכפל והחיבור שלו. תורת גלואה, אותה התחיל אווריסט גלואה במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (האוטומורפיזמים) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן לשלש זווית או לתרבע מעגל באמצעות סרגל ומחוגה. יתרה מזאת, היא מראה כי משוואות ממעלה חמישית אינן ניתנות לפתרון אלגברי.
שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של אנליזה מתמטית, המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים המבניים של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש כסקלרים עבור מרחב וקטורי, שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור אלגברה ליניארית. שדות מספרים, אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק בתורת המספרים.
הגדרה > מבוא אינטואיטיבי

באופן לא פורמלי, שדה הוא קבוצה שעליה מוגדרות שתי פעולות – פעולת חיבור הנכתבת על ידי  a+b ופעולת כפל הנכתבת על ידי  a\cdot b. החיבור והכפל מתנהגים באופן דומה לחיבור וכפל של מספרים רציונליים ומספרים ממשיים. במיוחד, מובטח קיומו של מספר נגדי  -a לכל מספר  a, ושל מספר הופכי  b^{-1} לכל מספר  b השונה מאפס. זה מאפשר להגדיר את הפעולות ה"הפוכות" של חיסור,  a-b וחלוקה,  {\frac {a}{b}}, באופן הבא:
a-b=a+(-b)
{\frac {a}{b}}=a\cdot (b^{-1})
הגדרה > הגדרה פורמלית

שדה  F זו קבוצה לא ריקה שעל אבריה מוגדרות שתי פעולות בינאריות הנקראות חיבור וכפל. תוצאת החיבור של  a,b מסומנת  a+b ותוצאת הכפל מסומנת  a\cdot b, או בקיצור  ab. הפעולות הללו חייבות לקיים את האקסיומות הבאות לכל  a,b,c ב- F:
סגירות לחיבור ולכפל: לכל  a,b\in F מתקיים  a+b\in F וגם  a\cdot b\in F;
קומוטטיביות של חיבור ושל כפל:  a+b=b+a וגם  a\cdot b=b\cdot a (בעברית, חוק החילוף);
אסוציאטיביות של חיבור ושל כפל:  (a+b)+c=a+(b+c) וגם  (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) (בעברית, חוק הקיבוץ);
איברים נייטרליים לחיבור ולכפל: קיימים איברים שונים  0,1\in F המקיימים  a+0=a וגם  a\cdot 1=a;
קיום מספר נגדי: לכל  a קיים איבר ב- F שיסומן  -a המקיים  a+(-a)=0;
קיום מספר הופכי: לכל  a\neq 0 קיים איבר ב- F שיסומן  a^{-1} המקיים  a\cdot (a^{-1})=1;
דיסטריבוטיביות של הכפל מעל החיבור:  a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) (בעברית, חוק הפילוג).
כל זה ניתן לקיצור באמירה כי שדה זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל כאשר אברי השדה עם פעולת החיבור זו חבורה אבלית, אברי השדה שאינם כוללים את 0 (האבר הנייטרלי של החיבור) עם פעולת הכפל מהווים חבורה אבלית, ומתקיימת דיסטריבוטיביות של הכפל מעל החיבור. זה ניתן לסיכום אפילו יותר בקצרה באמירה כי שדה הוא חוג קומוטטיבי שבו כל איבר שונה מ-0 הוא הפיך (או במילים אחרות, חוג חילוק קומוטטיבי).
דוגמאות > מספרים רציונליים

מספרים רציונליים  \mathbb {Q}  היו בשימוש נרחב זמן רב לפני המצאת מושג השדה. אלו מספרים שניתן לכתוב כשברים  a/b, כאשר  a ו- b הם מספרים שלמים עם  b\neq 0. הנגדי לשבר שכזה הוא  -a/b וההופכי אליו (בהנחה כי  a\neq 0) הוא  b/a, שניתן לראות כדלקמן:
{\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1
כל אקסיומות השדה שצריך לקיים אלו תכונות סטנדרטיות של מספרים רציונליים. לדוגמה, ניתן להוכיח דיסטריבוטיביות באופן הבא:
{\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}\end{aligned}}
שדה המספרים הרציונליים מקיים תכונות חשובות נוספות שלא נכנסו להגדרת השדה, אלא למקרה פרטי של שדה סדור. ההפרדה בין תכונות השדה לתכונות הסדר, מאפשרת להכניס אובייקטים רבים יותר תחת הגדרת השדה, תוך שימת דגש על מכנה משותף רחב יותר, שגם לו השלכות רבות.
דוגמאות > מספרים ממשיים

המספרים הממשים  \mathbb {R} , עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל, גם יוצרים שדה. מספרים אלה נבדלים מהרציונליים רק בתכונת השלמות, ולשם כך הוגדרו.
דוגמאות > מספרים מרוכבים

המספרים המרוכבים  \mathbb {C} , עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל יוצרים שדה. מתקיים  \mathbb {C} =\{a+bi|\ a,b\in \mathbb {R} \} כאשר  i היא היחידה המדומה כלומר  i={\sqrt {-1}}
דוגמאות > מספרים הניתנים לבנייה

בעת העתיקה, מספר בעיות גאומטריות נגעו להיתכנות של בניות גאומטריות מסוימות באמצעות סרגל ומחוגה. למשל, היוונים שיערו כי לא ניתן לשלש זווית באופן זה, אבל ללא הוכחה. ניתן לפתור בעיות אלה באמצעות שדה המספרים הניתנים לבנייה. מספרים ניתנים לבנייה הם, בהגדרה, אורכים של קטעים שניתן לבנות במספר סופי של צעדים תוך שימוש רק סרגל ומחוגה, בהינתן קטע באורך 1. מספרים אלה, עם חיבור וכפל שמוגדרים עליהם בתור מספרים ממשיים, יוצרים שדה הכולל את שדה הרציונליים  \mathbb {Q} . האיור מראה כיצד ניתן לבנות שורש ריבועי של אורך נתון, שורש שאינו בהכרח מספר רציונלי. בהינתן קטע  AB באורך  p, ניתן לשרטט את הנקודות  C ו- Dעם האורכים המתוארים באיור, יחד עם חצי מעגל שקוטרו  AD ואנך לישר הנתון דרך  B. הנקודה  F, שהיא החיתוך של חצי המעגל ושל האנך, תהיה במרחק של  h={\sqrt {p}} מ- B.
לא כל המספרים הממשיים ניתנים לבנייה. ניתן להראות כי  {\sqrt[{3}]{2}} אינו מספר הניתן לבנייה, מה שמראה כי אי אפשר להכפיל את הקובייה, בעיה נוספת שהציבו היוונים הקדמונים.
דוגמאות > שדה עם ארבעה איברים

בנוסף למערכות מספרים מוכרות כמו הרציונליים, ישנן דוגמאות אחרות ופחות מיידיות של שדות. הדוגמה הבאה היא שדה המורכב מארבעה איברים הנקראים  O,  I,  A ו- B. הסימון נבחר כך ש- O ממלא את התפקיד של האיבר הנייטרלי לחיבור (מסומן 0 באקסיומות שלמעלה), ו- I הוא האיבר הנייטרלי לכפל (מסומן 1 באקסיומות לעיל). ניתן לאמת את אקסיומות השדה באמצעות כלים נוספים מתאוריית השדות, או על ידי חישוב ישיר. לדוגמה,
A\cdot (B+A)=A\cdot I=A שווה ל- A\cdot B+A\cdot A=I+B=A כמו שמתבקש מדיסטריבוטיביות.
שדה זה הוא שדה סופי עם ארבעה איברים, והוא מסומן  \mathbb {F} _{4} או  GF(4) (השדות הסופיים נקראים על שמו של אווריסט גלואה - ומכאן Galois field). תת-הקבוצה המורכבת מ- O ו- I (מודגשת באדום בטבלאות משמאל) היא גם שדה, המכונה השדה הבינארי  \mathbb {F} _{2} או  GF(2). בהקשר של מדעי המחשב ואלגברה בוליאנית,  O ו- I מסומנים לעיתים קרובות בהתאמה על ידי שקר ואמת, חיבור מסומן על ידי XOR, והכפל מסומן AND. במילים אחרות, מבנה השדה הבינארי הוא המבנה הבסיסי המאפשר מחשוב עם ביטים.
מושגים בסיסיים > מסקנות מההגדרה

לכל  a,b\neq 0 ב- F מתקיים גם ש- ab\neq 0, מה שאומר כי כל שדה הוא תחום שלמות.
התכונות הבסיסיות הבאות מתקיימות לכל  a,b ב- F:
a\cdot 0=0
a\cdot (-1)=-a
(-(-a))=a
(a^{-1})^{-1}=a
(-a)+(-b)=-(a+b)
a^{-1}\cdot b^{-1}=(ab)^{-1}
(-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)
מושגים בסיסיים > מאפיין

בנוסף לחיבור ולכפל שמוגדרים לכל שני איברי  F, ניתן להגדיר את המכפלה  n\cdot a לכל איבר  a ב- F ושלם חיובי  n על ידי החיבור החוזר
n\cdot a=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}
אם אין שלם חיובי המקיים  n\cdot 1=0 אז יאמר על השדה שיש לו מאפיין  0. למשל, לשדה של מספרים רציונליים  \mathbb {Q}  יש מאפיין  0 כיוון שאין בו שלם חיובי השווה ל- 0. אחרת, אם יש שלם חיובי  n המקיים את המשוואה הזו, ניתן להראות כי השלם החיובי הכי קטן שמקיים את המשוואה הזו הוא מספר ראשוני. במצב זה, נהוג לסמן את מספר זה ב- p ונאמר על השדה שיש לו מאפיין  p.
אם ל- F יש מאפיין  p זה אומר כי  p\cdot a=0 לכל  a ב- F. מזה נובע כי
(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}
מכיוון שכל המקדמים הבינומיים האחרים המופיעים בבינום של ניוטון מתחלקים ב- p. כאן,
a^{p}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{p}
מוגדר על ידי כפל חוזר. מכך נובע שהומומורפיזם פרובניוס
Fr:F\to F,\quad x\mapsto x^{p}
הוא אכן הומומורפיזם של שדות. הקיום של הומומורפיזם שכזה הופך שדות עם מאפיין  p לדי שונים משדות עם מאפיין  0.
מושגים בסיסיים > תת-שדות

תת-קבוצה של שדה  F נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במילים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של  F, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההופכי.
אם  P הוא תת-שדה של  F, אז  F הוא מרחב וקטורי מעל  P, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי,  F מוכרח להיות אלגברי מעל  P. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה  F המכילה את  P וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.
לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.
מיון

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה ו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
מיון > שדות סופיים

שדות סופיים (או שדות גלואה) אלו שדות עם כמות סופית של איברים, שמספרם מכונה גם הסדר של השדה. למעלה נמצאת הדוגמה לשדה עם ארבעה איברים, או  \mathbb {F} _{4}. התת-שדה שלו  \mathbb {F} _{2} הוא השדה הקטן ביותר, שכן לפי ההגדרה לכל שדה יש שני איברים שונים  0\neq 1.
השדות הסופיים הפשוטים ביותר, אלו עם סדר ראשוני מתקבלים ישירות מחשבון מודולרי. עבור שלם חיובי  n, על הקבוצה
\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,\dots ,n-1\}
מוגדרים פעולות כפל וחיבור על ידי ביצוע כפל וחיבור ב- \mathbb {Z} , ולקיחת השארית אחרי חלוקה ב- n. הקבוצה הזו תצא שדה אם ורק אם  n הוא מספר ראשוני, כיוון שאחרת ניתן לקחת זוג מספרים שלמים חיוביים  r,s<n כך ש- r\cdot s=n שזה  0 ב- \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} , וזה מונע מ- \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}  להיות שדה כמוסבר למעלה.
לכל שדה סופי  F יש  p^{n} איברים, כאשר  p ראשוני כלשהו ו- n\geq 1. טענה זו נכונה כיוון שניתן לראות את  F בתור מרחב וקטורי מעל התת-שדה הראשוני שלו. הממד של מרחב וקטורי זה הוא בהכרח סופי, נסמנו  n, ונקבל את הדרוש.
ניתן לבנות שדה עם  p^{n} איברים בתור שדה הפיצול של הפולינום  f(x)=x^{p^{n}}-x.
שדה פיצול זה הוא הרחבה של  \mathbb {F} _{p} שבה לפולינום  f יש  p^{n} שורשים. קבוצת השורשים האלו יוצרים שדה בפני עצמם כיוון שאם  \alpha ,\beta  הם שורשים של פולינום זה, אז מתקיים  (\alpha \beta )^{p^{n}}=\alpha ^{p^{n}}\beta ^{p^{n}}=\alpha \beta  בבירור, וגם  (\alpha +\beta )^{p^{n}}=\alpha ^{p^{n}}+\beta ^{p^{n}}=\alpha +\beta  הנובע משימוש חוזר בשוויון  (\alpha +\beta )^{p}=\alpha ^{p}+\beta ^{p}, מה שאומר שקבוצת השורשים סגורה לחיבור ולכפל (ובבירור מתקיים שההופכי והנגדי של שורש הם עדיין שורש). שדה זה הוא בגודל  p^{n}, והוא מסומן על ידי  \mathbb {F} _{p^{n}}. זהו השדה היחיד עם  p^{n} איברים, מכיוון שאם נתבונן בחבורה הכפלית של שדה שכזה, נקבל ממשפט לגראנז' כי כל איברי השדה הם שורשים של הפולינום  x^{p^{n}}-x.
היסטוריה

היסטורית, שלוש דיסציפלינות אלגבריות הביאו לרעיון של שדה: השאלה של פתרון משוואות פולינומיות, תורת המספרים האלגברית, וגאומטריה אלגברית. צעד ראשון בכיוון של שדות נוצר לראשונה ב-1770 על ידי ז'וזף-לואי לגראנז', שגילה שאם מסדרים מחדש שורשים של משוואה ממעלה שלישית  x_{1},x_{2},x_{3} מקבלים בביטוי
(x_{1}+\omega x_{2}+\omega ^{2}x_{3})^{3}
רק שני ערכים (כאשר  \omega  הוא שורש יחידה מסדר שלישי).
באופן הזה, לגראנז' מסביר את הקונספט של הפתרון הקלאסי למשוואות ממעלה שלישית של שיפיונה דל פרו ופרנסואה וייט, המתחילה בצמצום של משוואה ממעלה שלישית ב- x למשוואה במעלה שנייה ב- x^{3}. יחד עם הבחנה דומה על משוואות ממעלה רביעית, לגראנז' חיבר בין מה שמאוחר נהיה הקונספט של שדה והקונספט של חבורה. ונדרמונד, גם ב-1770, וגם קרל פרידריך גאוס במידה מסוימת בספרו מחקרים אריתמטיים (1801), חקר את המשוואה
x^{p}=1
עבור ראשוני  p, ובכך קיבל את מה שידוע כיום בתור חבורת גלואה ציקלית. גאוס הסיק מכך שיש בנייה בסרגל ובמחוגה עבור מצולע משוכלל עם  p צלעות, כאשר  p=2^{2^{k}}+1. בהסתמך על עבודתו של לגראנז', פאולו רופיני טען ב-1799 כי לא ניתן לפתור באופן אלגברי משוואה ממעלה חמישית, אבל היו חורים בהוכחה שלו. חורים אלו מולאו על ידי נילס הנריק אבל ב-1824. אווריסט גלואה מצא ב-1832 תנאים הכרחיים ומספיקים לכך שמשוואה ממעלה חמישית תהיה פתירה על ידי רדיקלים, ובכך התחיל את מה שידוע כיום בתור תורת גלואה. גם אבל וגם גלואה עבדו עם מה שמכונה היום שדה מספרים, אבל לא הגו באופן מפורש את המושג של שדה, או את המושג של חבורה.
ב-1871 ריכרד דדקינד הציג את המילה הגרמנית Körper עבור קבוצה של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה תחת ארבע פעולות החשבון, שמשמעותה בגרמנית היא "גוף" או "קורפוס" (כדי לציין ישות שסגורה באופן אורגני). המונח האנגלי field, שתורגם ישירות לעברית כ"שדה", הוצג לראשונה על ידי מור.[דרוש מקור]
במילה שדה, נתכוון למערכת אינסופית של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה באופן מושלם, כך שחיבור, חיסור, כפל וחילוק של שני מספרים במערכת מביא למספר חדש במערכת.
ב-1881, לאופולד קרונקר הגדיר את מה שהוא כינה "תחום הרציונליים", שהוא שדה שברים במונחים של היום. ההגדרה של קרונקר לא כיסתה את שדה המספרים האלגבריים (שהוא שדה במובן של דדקינד), אבל מצד שני הייתה יותר אבסטרקטית מזו של דדקינד בכך שהיא לא עשתה אף הנחה ספציפית בנוגע לסוג האיברים שיכולים להופיע בשדה. קרונקר פירש שדה כמו  \mathbb {Q} (\pi ) באופן אבסטרקטי כמו השדה של פונקציות רציונליות  \mathbb {Q} (x). לפני כן, דוגמאות למספרים טרנסצנדנטליים היו ידועות מאז עבודתו של ז'וזף ליוביל ב-1884, עד ששארל הרמיט (1873) ופרדיננד לינדמן (1882) הוכיחו כי  e ו- \pi  טרנסצנדנטליים, בהתאמה.
ההגדרה הברורה הראשונה לשדה אבסטרקטי הייתה של היינריך וובר (1893). ספציפית, ההגדרה שלו כללה את השדה  \mathbb {F} _{p}. ג'וזפה ורונזה (1891) חקר את השדה של טורי חזקות פורמליים, מה שהוביל את קרט הנזל (1904) להציג את שדה המספרים ה-p-אדיים. שטייניץ (1910) אסף וסידר את הידע על שדות אבסטרקטיים שנצבר עד כה. הוא חקר אקסיומתית את התכונות של שדות והגדיר הרבה מהרעיונות החשובם בתורת השדות. רוב המשפטים המוזכרים בפרקים של תורת גלואה, בניית שדות, ומושגים בסיסיים, נמצאים בעבודתו של שטייניץ. ארטין ושטייניץ (1927) חיברו את הרעיון של סידור איברי שדה, ובכך את התחום הרחב של אנליזה, לתכונות אלגבריות טהורות. אמיל ארטין פיתח מחדש את תורת גלואה בין 1928 ל-1942, ומחק את התלות של התורה במשפט האיבר הפרימיטיבי.
בניית שדות > בניית שדות מחוגים

חוג קומוטטיבי זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל המקיימת את כל האקסיומות של השדה פרט לקיום ההופכי  a^{-1}. למשל, המספרים השלמים  \mathbb {Z}  הם חוג קומוטטיבי אבל לא שדה, מכיוון שההופכי של מספר שלם  n אינו שלם אלא אם  n=\pm 1.
בהיררכיית המבנים האלגבריים, שדות ניתנים לאפיון בתור חוגים קומוטטיביים  R שבהם כל איבר שונה מ- 0 הוא איבר הפיך (מה שאומר כי לכל איבר יש הופכי). באופן דומה, שדות הם חוגים קומוטטיביים עם בדיוק שני אידיאלים,  (0) ו- R. שדות גם מאופיינים בתור החוגים הקומוטטיביים בהם  (0) הוא האידיאל הראשוני היחיד.
בהינתן חוג קומוטטיבי  R, יש שתי דרכים להגדיר שדה הקשור ל- R, כלומר שתי דרכים לשנות את  R כך שכל איבריו השונים מ- 0 יהיו הפיכים: יצירת שדה שברים, ויצירת שדה מנה. עבור חוג השלמים  \mathbb {Z} , שדה השברים הוא שדה הרציונליים  \mathbb {Q}  בעוד ששדות המנה של  \mathbb {Z}  הם השדות הסופיים  \mathbb {F} _{p}.
בניית שדות > בניית שדות מחוגים > שדה שברים

בהינתן תחום שלמות  R, שדה השברים שלו  Q בנוי על ידי השברים של שני איברים של  R בדיוק כפי ש- \mathbb {Q}  נבנה מתוך  \mathbb {Z} . ביתר דיוק, האיברים של  Q הם שברים מהצורה  {\frac {a}{b}} כאשר  a ו- b הם איברים ב- R וגם  b\neq 0. שני שברים  {\frac {a}{b}} ו- {\frac {c}{d}} הם שווים אם ורק אם  ad=bc. הפעולות על השברים פועלות בדיוק כפי שהן פועלות על מספרים רציונליים. למשל:
.{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}
ניתן להראות ישירות כי אם  R הוא תחום שלמות, מה שתיארנו כאן יוצר שדה.
דוגמה מפורסמת לשדה שברים הוא השדה  F(x) של פונקציות רציונליות מעל שדה  F, שהוא שדה השברים של חוג הפולינומים  F[x]. השדה  F((x)) של טורי לורן
\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}x^{i}(k\in \mathbb {Z} ,a_{i}\in F)
מעל שדה  F הוא שדה השברים של החוג  F[[x]] של טורי החזקות הפורמליים מעל שדה  F (שבו  k>0). אבל כיוון שכל טור לורן ניתן להצגה בתור טור חזקות מחולק בחזקת  x, אין הרבה חשיבות להצגה של איברי השדה כשברים.
בניית שדות > בניית שדות מחוגים > שדה מנה

בנוסף לשדה השברים, שמעביר את  R לשדה בהעתקה חד-חד-ערכית, ניתן לבנות שדה מתוך חוג קומוטטיבי  R בהעתקה על  F. בהינתן אידיאל מקסימלי  m, חוג המנה  R/m הוא שדה, הנקרא שדה המנה.
למשל, בהינתן חוג פולינומים  R=E[X], האידיאל הנוצר על ידי פולינום  f הוא מקסימלי אם ורק אם הפולינום  f הוא אי פריק מעל  E, כלומר לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים אחרים ב- E[X]. אם האידיאל אכן מקסימלי, זה יוצר את השדה
.F=E[X]/(f(X))
השדה הזה כולל איבר  x (מחלקת השקילות של  X) שמקיים  f(x)=0. ניתן לשכן את  E ב- F, שכן כל איברי  E הם פולינומים ממעלה  0 ב- E[X] ומחלקות השקילות שלהם שונות. כלומר, השדה  F זו מעין הרחבה של השדה  E, שכוללת שורש לפולינום  f.
כך למשל, ניתן לבנות את השדה  \mathbb {C} מהשדה  \mathbb {R} , באמצעות הוספת שורש לפולינום  f(X)=X^{2}+1. קל לבדוק שזהו אכן פולינום אי-פריק ב- \mathbb {R} [X], ולכן נוכל לבנות את השדה
.\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)
ראו גם

הרחבת שדות
תורת גלואה
לקריאה נוספת

אהוד דה-שליט, אלכס לובוצקי, דורון פודר, מבנים אלגבריים: חבורות, חוגים ושדות, ירושלים: הוצאת ספרים ע"ש י"ל מאגנס, 2018
ניקולא בורבאקי, Elements of the history of mathematics, הוצאת שפרינגר, 1994
ישראל קליינר, A history of abstract algebra‏, Birkhäuser‏, 2007
ליאו קורי, Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd ed.)‏, Birkhäuser‏, 2004