יריעה חלקה
פונקציות חלקות על יריעות

פונקציה  \ f:M\rightarrow \mathbb {R}  נקראת פונקציה חלקה בנקודה p אם קיימת סביבה  \ U_{\alpha } של p כך שהפונקציה  \ f\circ \varphi _{\alpha }^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}  חלקה. כמו במרחב האוקלידי גם על יריעות קבוצת הפונקציות החלקות בנקודה מהווה חוג. אפשר לראות שכיוון שלכל זוג אינדקסים  \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1} היא פונקציה חלקה, אז גם כאשר על סביבה מסוימת מוגדרות מספר מפות, פונקציות שחלקות לפי מפה אחת יהיו חלקות גם לפי כל מפה אחרת (כי: 
 \ f\circ \varphi _{\beta }^{-1}=\left(f\circ \varphi _{\alpha }^{-1}\right)\circ \left(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\right), כלומר זו הרכבת פונקציות חלקות שהיא תמיד פונקציה חלקה). מהבחינה הזו המושג של פונקציה חלקה היא אינווריאנטי ביחס לשינוי קואורדינטות.
לפי אותו רעיון פונקציה  \ F:M\rightarrow N היא פונקציה חלקה בין היריעות M ו-N אם לכל שתי מפות  (U,\varphi ),(W,\psi ) הפונקציה  \psi \circ F\circ \varphi ^{-1} היא חלקה בתחום הגדרתה.
אם נתייחס לקטע הפתוח  \ (a,b)\subset \mathbb {R}  כאל יריעה (עם המבנה הטבעי) אז העקומה  \gamma :(a,b)\rightarrow M היא עקומה חלקה (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה כפונקציה בין היריעות (a,b) ו-M.
לדוגמה, הפונקציה  \ f(x,y)=x+y היא פונקציה חלקה על  \mathbb {S} ^{1} (כי הפונקציה  \ f\circ \varphi ^{-1}(t)=t+{\sqrt {1-t^{2}}}, שמתקבלת מכל המפות, חלקה בתחום  \ (-1,1)). לעומת זאת הפונקציה  \ arg(e^{i\theta })=\theta  (כאן אנו מתייחסים ל- \mathbb {S} ^{1} כאל מעגל היחידה ב- \mathbb {C} , לפי הזיהוי הקודם  ומשתמשים בנוסחת אוילר) איננה פונקציה חלקה על כל  \mathbb {S} ^{1} בגלל שיש לה "קפיצה" בגודל  \ 2\pi  בין הנקודות שמתחת ציר הממשי והנקודות שמעליו (כלומר היא בכלל לא רציפה שם). למעט נקודה זו, הפונקציה רציפה וחלקה בכל היריעה.
הפונקציה  \ f:\mathbb {S} ^{n}\rightarrow \mathbb {S} ^{n} שמחזירה לכל נקודה את הנקודה האנטיפודית שלה:  \ f(x)=-x היא פונקציה חלקה מהספירה ה-n ממדית לעצמה (למעשה זהו דיפאומורפיזם). כדי להראות זאת נשתמש במפות הכלליות שהגדרנו. צריך להראות שהפונקציה  \psi \circ f\circ \varphi ^{-1} חלקה כפונקציה ממשית (כאשר   \psi  ו-   \varphi  הן קואורדינטות מקומיות). נשתמש בבניה הכללית של המפות לספירה שבנינו בדוגמה. היות שתכונת החלקות של פונקציה לא תלויה בקואודינטות המקומיות וכל נקודה מכוסה על ידי שתי המפות חוץ מ-N ו-S, נבחר את המפות בצורה שנוחה לנו. נתייחס אל  \mathbb {S} ^{n} כאל כדור היחידה ב- \mathbb {R} ^{n+1}.
נבחר את המפה הראשונה להיות ההטלה דרך N ואת השנייה להיות ההטלה דרך S ונראה שבכל נקודה חוץ משתי אלו הפונקציה חלקה, ואז כיוון שבחירת N היא שרירותית- יתקבל שהפונקציה חלקה על כל הספירה. אפשר לראות את זה מכיוון גאומטרי: הפונקציה הראשונה,  \varphi ^{-1}, מעבירה את הנקודה  \ t\in \mathbb {R} ^{n} לנקודה על הספירה  \mathbb {S} ^{n} שנמצאת גם על הישר שעובר בין הנקודות N ו-(t,0). משם לוקחת אותה הפונקציה  \ f לנקודה האנטיפודית לה (שהיא בעצם הנקודה שנוצרת מהחיתוך של הישר שעובר דרך  \varphi ^{-1}(t) והראשית עם הספירה). בשלב האחרון המפה  \psi  לוקחת את הנקודה שהתקבלה על הספירה ומחזירה את הנקודה שנוצרת מהחיתוך של הישר שעובר דרכה ודרך S עם ה"מישור"  \mathbb {R} ^{n}\times {0}. למעשה כל המעברים מתרחשים רק על מישור אחד שמכיל את הנקודות  \ (t,0),N והראשית. זה בגלל הקו הראשון הוא בין N ו- (t,0) ולכן מוכל במישור, הקו השני הוא בין הנקודה שהתקבלה לבין הראשית, שגם היא במישור ולכן הוא נשאר במישור והקו השלישי עובר בין S, שנמצאת במישור לבין הנקודה מהשלב הקודם ולכן גם הוא במישור. אם נצייר את הקווים נראה שקיימת סימטריה הפוכה בין הישר וחצי הראשונים (מ-(t,0) ל-N ומנקודת החיתוך עם הספירה לראשית) לבין ההמשך (מהראשית לספירה והישר שעובר דרך S והנקודה האנטיפודית) ולכן נקודת החיתוך האחרונה סימטרית לנקודת ההתחלה כלומר  \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}(t)=-t וזו היא פונקציה ליניארית, ובפרט חלקה.
אחת התכונות החשובות של יריעות חלקות היא האפשרות לבנות פונקציות חלקות ששוות ל-1 על קבוצה סגורה נתונה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה שמכילה אותה (bump function). פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים - היא מתאפסת על כל הישר.