stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
פול הלמוש

| --- | --- |

 לידה:  3 במרץ 1916 בודפשט, האימפריה האוסטרו-הונגרית 
 פטירה:  2 באוקטובר 2006 (בגיל 90) לוס גאטוס, ארצות הברית 
 שם לידה:  Halmos Pál 
 ענף מדעי:  מתמטיקה
 מקום מגורים:  הונגריה, ארצות הברית
 מקום קבורה:  St. Luke's Episcopal Church 
 מקום לימודים:  Lincoln Park High School (1931)  אוניברסיטת אילינוי באורבנה-שמפיין (1938) 
 מנחה לדוקטורט:  ג'וזף דוב 
 מוסדות:  אוניברסיטת שיקגו (1946–1961)  המכון למחקר מתקדם (1939–1942)  אוניברסיטת מישיגן (1961–1968)  אוניברסיטת אינדיאנה (1969–1985)  ריד קולג' (1939–1939)  אוניברסיטת סירקיוז (1942–1946)  אוניברסיטת הוואי (1968–1969)  אוניברסיטת סנטה קלרה (1985) 
 תלמידי דוקטורט:  V.S. Sunder, Lewis Alan Coburn, Russel A. Smucker, Donald David Rogers, Robert Laurens Moore, Robert Lee Kelley, Daniel Orloff, Stephen Kinsley Parrott, Morris Schreiber, Joseph Bram, Léon LeBlanc, Joseph J. Bastian, Peter Rosenthal, Arlen Brown, Herman Rubin, דונלד סרסון, Sanchez Jose Barria, Bernard Galler, Eric Albert Nordgren, Donald W. Hadwin, Errett Bishop, Carl E. Linderholm 
 פרסים והוקרה:  פרס לאורי פ. סטיל (1983)  פרס ג'ורג' פוליה (1983)  פרסי פאול ר. האלמוס - לסטר ר. פורד (1971, 1977)  פרס שובנט (1947)  מלגת גוגנהיים (1947) 
 בן או בת זוג:  Virginia Halmos 
 תרומות עיקריות
 אלגברה פוליאדית
 
פול ריצ'רד הלמוש (בהונגרית: Halmos Pál, באנגלית: Paul Richard Halmos;‏ 3 במרץ 1916 בודפשט – 2 באוקטובר 2006 לוס גאטוס, קליפורניה) היה מתמטיקאי יהודי אמריקאי, יליד הונגריה, שתרם בתחומים כגון הסתברות, סטטיסטיקה, תורת האופרטורים, ואנליזה פונקציונלית- בעיקר במרחבי הילברט. הוא היה ידוע כמרצה למופת.
השכלה

הלמוש קיבל תואר ראשון בפילוסופיה ומתמטיקה מאוניברסיטת אילינוי. הוא סיים את התואר בגיל 19 והחל בלימודי דוקטורט בפילוסופיה, אך עקב כישלונו במבחני המאסטר בעל פה, הוא השלים את התואר במתמטיקה.
קריירה

מיד לאחר לימודיו נכנס למכון למחקר מתקדם. לאחר חצי שנה הוא עבד תחת ג'ון פון נוימן, מה שהתגלה כניסיון מכונן. במכון, הלמוש כתב את ספרו הראשון, "מרחבים וקטוריים ממימד סופי", שבמהרה הקנה לו מוניטין כסופר מתמטי.
הוא הרצה באוניברסיטאות: סירקיוז, שיקגו, מישיגן, הוואי, אינדיאנה ואוניברסיטת סנטה ברברה בקליפורניה.
הישגים

בסדרת מאמרים, שלאחר מכן הודפסה בספרו "לוגיקה אלגברית", ייסד את האלגברה הפוליאדית, גרסה אלגברית של שפה מסדר ראשון.
מעבר לתרומותיו המתמטיות, הלמוש היה ידוע בייחוד בשל כושר הוראתו במתמטיקה אוניברסיטאית. למרות שהיגר בגיל 13 מהונגריה והיה בעל מבטא הונגרי כל חייו, הוא היה מרצה בצורה בהירה.
בשנת 1983 זכה בפרס לירוי סטיל של האגודה האמריקאית למתמטיקה על הוראתו.
בשנת 2005 ייסד עם אשתו את פרס "Euler Book Prize", פרס שנתי הניתן על ידי האגודה האמריקאית למתמטיקה לספר המשפר את מעמד המתמטיקה בקרב הציבור.
ספריו

1942. מרחבים וקטוריים ממימד סופי. (Finite-Dimensional Vector Spaces)
1950. תורת המידה. (Measure Theory)
1951. מבוא למרחב הילברט ותורת ריבוי הספקטרום. (Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity)
1956. שיעורים על התורה הארגודית. (Lectures on ergodic theory)
1960. תורת הקבוצות הנאיבית. (Naive Set Theory)
1962. לוגיקה אלגברית. (Algebraic Logic)
1963. שיעורים באלגברות בוליאניות. (Lectures on Boolean algebra)
1985. אני רוצה להיות מתמטיקאי. (I Want to Be a Mathematician)
1987. יש לי זיכרון צילומי (I Have a Photographic Memory)
1991. בעיות למתמטיקאים (Problems for Mathematicians, Young and Old)
1996. ספר בעיות אלגברה ליניארית (Linear Algebra Problem Book)
1998. עם סטיבן גיבנט, לוגיקה כאלגברה (Logic as Algebra)
2009. לאחר מותו, עם סטיבן גיבנט, מבוא לאלגברות בולאניות (Introduction to Boolean Algebras)
ראו גם

הלמוש
אנטרופיה

ערך זה עוסק באנטרופיה בפיזיקה. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו .
אֶנטרופיה (הלחם של שתי מילים ביוונית: ἐνέργεια – אנרגיה, ו־τρόπος (טרוֹפּוֹס) – התמרה) היא מושג בסיסי בפיזיקה וממלאת תפקיד מרכזי בתרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית, וכן במכניקה קוונטית ובתורת האינפורמציה הקלאסית והקוונטית. מקובל לחשוב על האנטרופיה כעל מידת האי־סדר או כעל מידת האקראיות במערכת. במכניקה סטטיסטית קלאסית, האנטרופיה מוגדרת כמדד למספר המצבים המיקרוסקופיים המתאימים למצב מקרוסקופי נתון, בדומה לפונקציית ריבוי. במכניקה קוונטית, האנטרופיה היא הרחבה טבעית של ההגדרה הקלאסית.
בתרמודינמיקה הקלאסית, זהויות תרמודינמיות קושרות את השינוי באנטרופיה למעבר חום ולכן האנטרופיה היא בת מדידה בתהליכים תרמודינמיים. לאנטרופיה יש תפקיד מרכזי בחוק השני של התרמודינמיקה, הקובע כי במערכת סגורה האנטרופיה אינה קטנה עם הזמן. האנטרופיה קשורה לתופעת השזירה הקוונטית במכניקה הקוונטית. למושג האנטרופיה יש שימושים בתחומים רבים בפיזיקה ותחומים קרובים, כדוגמת אסטרופיזיקה, גיאופיזיקה, קוסמולוגיה, מכניקת הזורמים, אופטיקה, וכימיה וסטטיסטיקה.
היסטוריה

ראשיתה של האנטרופיה היא בסוף המאה ה-18, בעבודות של רמפורד ובעבודות של לזר קרנו, ובמיוחד של בנו, סאדי קרנו בראשית המאה ה-19. רמפורד הראה כי ניתן להמיר עבודה מכנית לחום, ולכן החום אינו "נוזל" (קלוריק) שזורם מגוף חם לגוף קר שאינו נוצר או מתכלה, כפי שהיה מקובל לחשוב. קרנו הראה כי התהליך ההפוך של המרת חום לעבודה מכנית אינו יעיל: אי אפשר לקבל חזרה את כל העבודה שהושקעה ביצירת חום. קרנו דימה את האי הפיכות בהמרת עבודה לחום לזרימת מים במפל.
המונח אנטרופיה נטבע על ידי הפיזיקאי-מתמטי הגרמני רודולף קלאוזיוס באמצע המאה ה-19, כהלחם של שתי מילים ביוונית: אנרגיה (ἐνέργεια), ו"טרוֹפּוֹס" (τρόπος) המשמשת לתיאור תהליך או התמרה.
בשלהי המאה ה-19 תארו בולצמן, מקסוול, וגיבס את האנטרופיה במסגרת המכניקה הסטטיסטית. על מצבת קברו של בולצמן בווינה מוטבעת נוסחת בולצמן לאנטרופיה:
כאשר  S היא האנטרופיה,  k_{B} הוא קבוע בולצמן (קבוע בסיסי של הטבע הנקבע על ידי היחס בין ההגדרה של מעלת קלווין להגדרת יחידת האנרגיה, ואינו תלוי במערכת פיזיקלית ספציפית) ו־ \Omega  הוא מספר המצבים המיקרוסקופים, שווי הסתברות, המתארים מצב מקרוסקופי נתון.
כך למשל, כאשר כוס זכוכית נשברת, היא יכולה להשבר למספר כלשהו של רסיסים, בגדלים שונים בצורות שונות, במקומות שונים. האנטרופיה של כוס זכוכית שבורה היא לכן גדולה מהאנטרופיה של כוס שלמה. אי לכך, מקובל לתאר את האנטרופיה כמדד לאי-סדר במערכת (תיאור שאינו מדויק מספיק כדי לתאר את המושג כהלכה, ראו להלן).
התיאור הסטטיסטי של האנטרופיה הסיר את מעטה המסתוריות שאפף את האנטרופיה התרמודינמית.
ברבע הראשון של המאה ה-20 הכליל ג'ון פון נוימן את הגדרת האנטרופיה למכניקה קוונטית. נוסחת פון-נוימן לאנטרופיה היא  S=-Tr(\rho \log \rho ) כאשר  \rho  היא מטריצת הצפיפות המתארת מצב קוונטי (ביחידות בהן קבוע בולצמן יחידה).
התפתחות התקשורת האלקטרונית ומדעי המחשב באמצע המאה ה-20 היו הרקע שעליו פיתח קלוד שנון את תורת האינפורמציה. שנון הגדיר אינפורמציה בצורה שקולה להגדרת האנטרופיה.
בתרמודינמיקה קלאסית

תרמודינמיקה קלאסית דנה במערכות עם מספר גדול מאוד חלקיקים (וכאשר ניתן להזניח אפקטים קוונטים וכבידה). מכל אטום של ליטר גז בלחץ אטמוספירי ובטמפרטורת החדר הוא דוגמה למערכת תרמודינמית קלאסית.
חוק האפס של התרמודינמיקה קובע שמערכת תרמודינמית, הנמצאת בתנאים חיצוניים קבועים, תשאף למצב שיווי משקל תרמודינמי. למשל, מכל אטום המבודד מהסביבה ישאף למצב שיווי משקל תרמודינמי. במצב שיווי משקל הטמפרטורה והלחץ אינם משתנים עם הזמן ואין זרמים.
האנטרופיה היא תכונה של מערכת תרמודינמית בשיווי משקל. כך למשל עבור N מולקולות של גז חד-אטומי במכל בעל נפח V ובטמפרטורה T, האנטרופיה היא פונקציה (נקראת גם פונקציית מצב) של שלושת משתני המצב,  S(T,V,N), הניתנת למדידה נסיונית, ובמקרים פשוטים במיוחד, למשל עבור גז אידיאלי, ניתנת לחישוב תאורטי. חומרים שונים מאופיינים על ידי פונקציות  S(T,V,N) שונות.
תחת שינוי מזערי של מצב שיווי המשקל השינוי בכמות האנטרופיה של מערכת,  dS, מתכונתי לכמות החום  \delta Q שהמערכת מקבלת (או מאבדת).  \delta Q>0 מתאר קבלת חום, ו־ \delta Q<0 מתאר איבוד חום. השינוי באנטרופיה מתכונתי ל־ 1/T כאשר  T הטמפרטורה של המערכת הנמדדת במעלות קלווין, ובנוסחה:
ולכן, האנטרופיה גדלה אם המערכת מקבלת חום, וקטנה אם היא מאבדת חום.
הסימון  dS של השינוי (האינפיניטסימלי) באנטרופיה, והסימון  \delta Q של כמות החום האינפיניטסימלית, אינו מקרי.  dS מסמן שינוי אינפיניטסימלי של הפונקציה  S. לעומת זאת  \delta Q איננו שינוי של פונקציה (מעבר חום מתאר תהליך, ואינוו מתאר מצב שווי משקל. אי לכך, לא ניתן ליחס למצב שיווי משקל את "כמות החום שלו". במילים אחרות הפונקציה  Q(T,V,N) אינה קיימת).
אם שתי מערכות בשווי משקל תרמודינמי, האחת קרה והשניה חמה, נמצאות במגע המאפשר החלפת חום, חום יזרום מהמערכת החמה לקרה. עובדה זו, המוכרת מחיי יום-יום, היא החוק השני של התרמודינמיקה. החוק קובע כי בהיעדר התערבות חיצונית, חום תמיד זורם מאזור חם לאזור קר (מקרר ומזגן מאפשרים להעביר חום מאזור קר לאזור חם, על ידי צריכה של אנרגיה ממקור חיצוני). החוק השני שקול לטענה שמערכת סגורה (מערכת שאינה מחליפה אנרגיה או חלקיקים עם הסביבה), שואפת להגדיל את האנטרופיה שלה. במצב שיווי משקל תרמודינמי האנטרופיה מקבלת את הערך המקסימלי האפשרי (בכפוף לאילוצים החיצוניים).
כדי לראות את השקילות בין בני ההגדים של החוק השני, נחזור לדוגמה של שתי מערכות הנמצאות במגע המאפשר החלפת חום. נסמן ב־ \delta Q את כמות החום שיצאה מהמערכת החמה ונכנסה למערכת הקרה. האנטרופיה הכללית היא סכום האנטרופיות של שתי המערכות. ולכן השינוי באנטרופיה הככללית הוא:
כיוון שהסוגריים הם גודל חיובי, לשינוי באנטרופיה הכללית יש אותו סימן כמו ל־ \delta Q, ולכן הגידול באנטרופיה שקול לטענה שהחום יצא מהמערכת החמה. לסיכום, בכל מערכת סגורה, האנטרופיה גדלה באופן ספונטני, ומגיעה לערכה המקסימלי  S במצב שיווי משקל.
חוק קרנו קובע כי היעילות של מכונות חום חסומה מלעיל על ידי היחס  \left(1-{\frac {T_{c}}{T_{h}}}\right) ובמיוחד, לא ניתן להפיק עבודה משתי מערכות עם אותה טמפרטורה.
במערכות תרמודינמיות קלאסיות המורכבות ממספר גדול של חלקיקים האנטרופיה היא גודל אקסטנסיבי (פשיט), כלומר פרופורציונלית לכמות החומר במערכת. כלומר, איחוד של שתי מערכות זהות יכפיל את ערך האנטרופיה של המערכת האחודה. האנטרופיה במערכות מיקרוסופיות, במערכות שבהן כבידה משחקת תפקיד (כוכבים למשל), ובמערכות קוונטיות איננה בהכרח גודל אקסטנסיבי. במספר מערכות פיזיקליות חשובות, כמו חורים שחורים, האנטרופיה מתכונתית לשטח מעטפת המערכת, ולא לנפחה.
במכניקה סטטיסטית

מושג האנטרופיה עומד בבסיס המכניקה הסטטיסטית.
לודוויג בולצמן קשר אותה לפונקציית הריבוי  \Omega  המתארת את מספר המצבים המיקרוסקופיים השונים שיכולים לתת אותו מצב מקרוסקופי:
כאשר kB הוא קבוע בולצמן.
לדוגמה, ניתן להסתכל על ארבעה מטבעות ממוספרים שיכולים להיות ב"עץ" או ב"פלי". כל מצב מקרוסקופי יאופיין על ידי מספר המטבעות שנמצאים ב"עץ". מצב מיקרוסקופי יאופיין על ידי איזה צד כל אחד מהמטבעות נמצא בו:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| מצב  מקרוסקופי | 0 עץ  4 פלי | 1 עץ  3 פלי | 2 עץ  2 פלי | 3 עץ  1 פלי | 4 עץ  0 פלי |
| מצבים מיקרוסקופיים | פפפפ | עפפפ פעפפ פפעפ  פפפע | עעפפ עפעפ עפפע  פעעפ  פעפע  פפעע | עעעפ עעפע עפעע  פעעע | עעעע |
| Ω | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
באופן אינטואיטיבי, אנו מרגישים שבמצב המקרוסקופי "2 עץ, 2 פלי" יש יותר "אי סדר" מאשר במצב "0 עץ 4 פלי". ההגדרה של בולצמן לאנטרופיה מכמתת הרגשה זו.
המכניקה הסטטיסטית עוסקת במערכות בעלות מספר חלקיקים גדול הרבה יותר, בסדר גודל של מספר אבוגדרו. אולם, אפשר להשתמש בדוגמה פשוטה זו כדי להדגים את החוק השני של התרמודינמיקה, על ידי שניקח שתי מערכות כאלה ונחבר אותן. אם שתי המערכות היו מלכתחילה כל אחת במצב המקרוסקופי "2 עץ, 2 פלי", הרי עכשיו המערכת המאוחדת תהיה במצב המקרוסקופי "4 עץ, 4 פלי".
זו דוגמה למצב בו האנטרופיה לא השתנתה (השינוי הקטן שקיים, הוא מפני שכאמור המערכות בדוגמה לא מספיק גדולות).
לעומת זאת, אם חיברנו מערכת במצב "0 עץ 4 פלי" למערכת במצב "4 עץ 0 פלי", שוב נקבל מערכת מאוחדת במצב "4 עץ, 4 פלי". אולם הפעם:
כלומר האנטרופיה גדלה. יתר על כן, השינוי הזה הוא בלתי הפיך, כי אם ניקח עכשיו את המערכת הגדולה ונחלק אותה חזרה לשתי מערכות קטנות באופן אקראי, רוב הסיכויים שבכל אחת מהמערכות הקטנות נקבל את המצב בו האנטרופיה היא מקסימלית. בדוגמה שלפנינו יש סיכוי של 1:16 לקבל בחזרה את המצב המקורי, לעומת 6:16 לקבל בכל אחד מצב "2 עץ, 2 פלי". במערכות גדולות יותר, בהן יש למשל 2N מטבעות, מירב הסיכויים הם לקבל בצורה כזו  N\pm {\sqrt {N}} מטבעות "עץ" לערך.
דוגמה יותר ריאליסטית היא של שני מכלי גז בטמפרטורות שונות. נחבר ביניהם, וניתן למערכת להגיע לשיווי משקל. אי אפשר יהיה על ידי חלוקה של המערכת לשניים בחזרה להגיע להפרש הטמפרטורות, אלא אם כן ישב שד מקסוול במעבר ביו שני חלקי המערכת וייתן רק למולקולות איטיות לעבור מימין לשמאל, ורק למהירות לעבור משמאל לימין.
במכניקה סטטיסטית > מצבים עם הסתברויות שונות

הדוגמה לעיל הציגה מקרה שבו לכל המיקרו-מצבים הסתברויות שוות. עם זאת, המצב הנפוץ במכניקה הסטטיסטית הוא שלמצבים השונים של המערכת יש הסתברויות שונות. לדוגמה, אטום בו האלקטרון יכול להיות בכל אחת מרמות האנרגיה של האטום. הסיכוי להיות במצב  r נתון על ידי  P_{r}. כדי לחשב את האנטרופיה של המערכת צריך לחשוב על צבר של  N מערכות זהות (כאשר  N גדול מאוד). מספר המערכות  N_{r} שנמצאות במצב  r הוא:
על פי הגדרת האנטרופיה במכניקה הסטטיסטית, האנטרופיה של הצבר כולו תחושב על פי מספר האפשרויות השונות בו ניתן לסדר אותו כך שאכן בכל מצב יהיו Nr מערכות:
על ידי שימוש בקירוב סטירלינג:
מתקבל הביטוי שמביע את האנטרופיה של המערכת על ידי הסיכוי שלה להיות בכל אחד מהמצבים:
האנטרופיה היא אפס כאשר המערכת נמצאת בוודאות במצב אחד, והיא הגבוהה ביותר כאשר הסיכוי להיות בכל מצב הוא שווה.
במכניקה סטטיסטית > על ידי פונקציית החלוקה

דרך אחרת לחשב את האנטרופיה של מערכת משתמשת בפונקציית החלוקה שלה: מקשרי מקסוול ידוע כי אם F היא האנרגיה החופשית של הלמהולץ של המערכת ו-T היא הטמפרטורה שלה, אז מתקיים  S=-{\frac {\partial F}{\partial T}}. ניתן לבטא את האנרגיה החופשית בעזרת פונקציית החלוקה של המערכת,  Z, ומתקבלת הנוסחה:
כאשר  k_{\mathrm {B} } הוא קבוע בולצמן.
במכניקה סטטיסטית > על ידי סימולציה > שיטה סטנדרטית

ממכניקה סטטיסטית אנו יודעים כי  \langle {U}\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum {e^{{-\epsilon _{s}}/{k_{\mathrm {B} }T}}}=-{\frac {\partial \ln {Z}}{\partial T}} כאשר אנו מצומדים לאמבט חום. מכך ניתן לקבל את קיבול החום:
כעת ניתן לבצע סימולציה של המערכת, למדוד תנודות (פלקטואציות) באנרגיה, להעריך את קיבול החום, לחזור על פעולה זאת בטמפרטורת שונות, ולבסוף לחשב את:
וכך לקבל את האנטרופיה.
שיטה זאת דורשת חישובים רבים.
במכניקה סטטיסטית > על ידי סימולציה > שיטות מתקדמות

בשיטות מתקדמות לחישובי אנטרופיה מסימולציה משתמשים באנטרופיה של שאנון. באלגוריתמי כיווץ (כגון ZIP) מחפשים קטעים שחוזרים על עצמם ועל ידי חזרה זאת מקטינים את הקובץ, מכיוון שאנטרופיה היא מדד ל"אי סדר", באופן כללי ככל שקובץ של תוצאות של סימולציית מחשב מכווץ יותר האנטרופיה תהיה קטנה יותר. קיים קשר בין גודל הקובץ המכווץ של הסימולציה לאנטרופיה של המערכת הפיזיקלית.
בשיטות מתקדמות שונות משתמשים בעיקרון זה ובאלגוריתמי כיווץ על מנת להעריך את האנטרופיה של מערכות פיזיקליות מורכבות, וזאת בקלות רבה, מכיוון שאלגוריתם כיווץ הוא דבר פשוט ונפוץ.
גישות להבנת אנטרופיה

פרק זה טעון שכתוב. אנא תרמו לוויקיפדיה . ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הסיבה היא חזרתיות מרובה עם מה שנאמר לפני.
גישות להבנת אנטרופיה > סדר ואי-סדר

פונקציית האנטרופיה S היא פונקציית מצב בתרמודינמיקה, והיא מוגדרת לפי הדיפרנציאל שלה,  dS={\frac {\delta Q}{T}}
פונקציית האנטרופיה היא אקסטנסיבית, שכן היא תלויה בגודל המערכת דרך התלות בכמות החום.
האנטרופיה מוגדרת לפי הדיפרנציאל שלה, במילים אחרות, היא לא מוגדרת באופן מוחלט, ומוגדרים רק הפרשי האנטרופיה לפי תהליך בין מצב A למצב B:
אם  {\displaystyle \Delta S=\int _{A}^{B}{\frac {\delta Q}{T}}=S_{B}-S_{A}} אז התהליך הוא הפיך, ואם  \Delta S\neq \int _{A}^{B}{\frac {\delta Q}{T}} אז התהליך הוא בלתי הפיך, כלומר לא ניתן להפוך אותו למצבו ההתחלתי.
הפיזיקאי הגרמני רודולף קלאוזיוס (1862) קשר בין נושא ההפיכות של המערכת ושל האנטרופיה לסידור החלקים בגוף עובד, או במערכת עובדת.
שנים אחריו, ניסה הפיזיקאי האוסטרי לודוויג בולצמן לתרגם את השינויים בסדרים אלה להסתברות של סדר ואי סדר במערכות מולקולריות במצב גז, במילים אחרות הוא חשב על הסיכויים למצוא סדר מסוים במערכת הנמצאת במצב כלשהו.
אחת המשוואות הפשוטות של סדר ואי סדר האנטרופיה פותחה בשנת 1984 על ידי הפיזיקאי פיטר לנדסברג המבוססת על טענות מתרמודינמיקה ומתורת האינפורמציה, משוואה זו מתארת את כמות האי סדר במערכת המכילה n מצבים מובחנים לפי:  D(n)=S(n)/a(n), כאשר  a(n) לא ידוע.
בשילוב שתי מערכות זהות מבודדות למערכת אחת,  n יוחלף ב- n^{2}, משום שכל מצב מהמערכת הראשונה יכול להשתלב עם כל מצב מהמערכת השנייה, ואת האנטרופיה תהיה:
מתוך הצבה ב- D(n) מתקבל:
לעומת זאת, כמות האי-סדר צפויה להיות משתנה אינטנסיבי, כלומר: השילוב של שתי מערכות זהות בעלות אותו אי סדר  D(n) גורר שהמערכת המתקבלת גם היא בעלת אותו סדר, כלומר  D(n)=D(n^{2}). ממשוואות אלו נובע כי  a(n^{2})=2a(n). בהתאם לכך ולעובדות אחרות, המדענים הסיקו שמתקיים  a(n)=C\cdot \ln(n), כאשר C קבוע.
מהצבה ב- D(n) נובע:
באשר הקבוע C נבחר להיות קבוע בולצמן לקבלת משוואה ללא ממדים, ו- \log _{n}p_{i}=\ln(p_{i})/\ln(n).
גישות להבנת אנטרופיה > אנטרופיה בתורת האינפורמציה

בתורת האינפורמציה כאשר מסתכלים על פונקציית צפיפות של התפלגות כלשהי מגדירים את האינפורמציה של ההתפלגות:
מכיוון שהסתברות היא מספר בין 0 ל-1, מתקבל שהאינפורמציה היא מספר בין 0 לאין סוף, כך שככל שההסתברות שמשהו יקרה היא קטנה כך האינפורמציה של המאורע גדלה לאינסוף.
האנטרופיה מוגדרת כתוחלת על האינפורמציה:
למעשה זהו מדד הקובע כמה אינפורמציה יש בממוצע בפילוג הנתון.
בנוסף, ניתן להסתכל על אנטרופיה סטטיסטית מזווית קצת שונה. אם אנו מסתכלים על מספר מאורעות בלתי תלויים וזרים מתקיים השוויון:
וכאשר ממשקלים את ההסתברות בערך המאורעות עצמם מתקבלת התוחלת של המשתנה המקרי:
 \operatorname {E} (X)=\sum _{i}x_{i}P(X=x_{i})
מנקודת מבט זו ניתן לראות את התוחלת על משתנה מקרי כמדד כללי שמייחס להסתברות שאחד מהמאורעות יקרה.  A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n}
לעומת זאת אנטרופיה היא מדד להסתברות שכל המאורעות יקרו ביחד  A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n} וזאת בשל העובדה שפונקציית הלוגריתם הופכת כפל לסכום.
שזהו למעשה ממוצע הנדסי משוקלל על ההסתברות.
גישות להבנת אנטרופיה > אנטרופיה בתהליכים אדיאבטים

תהליך אדיאבטי בתרמודינמיקה הוא תהליך המתרחש בתוך מערכת ללא מעבר חום או חומר לסביבה.
כלומר  \delta Q=0. אם מציבים זאת בהגדרת הפרש האנטרופיה, מתקבל:
נמצא כי בתהליכים הפיכים  \Delta S=0, ובתהליכים בלתי הפיכים  \Delta S>0 משום שמתקיים  {\frac {\delta Q}{T}}<\delta S.
ולכן, בתהליכים המתרחשים במערכת אדיאבטית  \Delta S\geq 0, לפיכך, אין שום תהליך במערכת אדיאבטית שבו מתרחש  \Delta S<0. במילים אחרות, האנטרופיה לעולם לא פוחתת.
האנטרופיה של מערכת אדיאבטית בתהליך הפיך גדלה עד הגעת המערכת לשיווי משקל, ומכאן שבשיווי משקל האנטרופיה מרבית במערכת אדיאבטית, ובתהליך ספונטני האנטרופיה גדלה, כאשר תהליך ספונטני הוא שינוי בזמן של מערכת המתרחש ללא צורך השקעת אנרגיה במערכת.
גישות להבנת אנטרופיה > האנטרופיה במכניקת הקוונטים

במכניקה סטטיסטית קוונטית, האנטרופיה של מערכת מוגדרת על ידי מטריצת הצפיפות שלה,  \rho , בנוסחה:
כאשר  Tr היא פעולת העקבה. ביטוי זה פותח על ידי המתמטיקאי ההונגרי-אמריקאי ג'ון פון נוימן בשנת 1948, ולכן הוא ידועה גם בשם אנטרופיית פון נוימן.
ביטוי זה שווה ערך להגדרה הקלאסית של האנטרופיה:
גישות להבנת אנטרופיה > אנטרופיה והאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית

האנטרופיה של גז היא מקסימלית כשהאטומים מתפלגים הומוגנית, אך ההתפלגות ההומוגנית הזו איננה משתלטת באוויר הפלנטות כמו ההאטמוספירה של כדור הארץ, אשר השדה הגרביטציוני משפיע על צפיפות שכבות האטמוספירה, ומתקבל שהשכבות הנמוכות יותר הן בעלות צפיפות יותר גבוהה מזו של השכבות העליונות.
בעקבות זאת תתקבל סתירה בין שתי המסקנות הבאות:
האנרגיה הפוטנציאלית שואפת להיות מינימלית בעקבות ההתקהלות המולקולרית על פני הפלנטה.
האנטרופיה שואפת להיות מקסימלית בעקבות הפצת מולקולות בנפח גדול (בחלל).
במקרה כזה ייתכן רק מצב אחד, או מקסימום אנטרופיה או מינימום אנרגיה.
מכאן, ניתן להגדיר את האנרגיה החופשית:
כאשר  U_{p} היא האנרגיה הפוטנציאלית, T הטמפרטורה ו-S היא האנטרופיה.
ואז אנרגיה זו תהיה מינימלית, והטמפרטורה היא הגודל הדומיננטי.
גישות להבנת אנטרופיה > אנטרופיה והאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית > בטמפרטורות גבוהות

בגבול של טמפרטורות גבוהות האנרגיה הפוטנציאלית באנרגיה החופשית ניתנת להזנחה ו-F תהיה במינימום שלה משום שהאנטרופיה S תהיה מקסימלית. ולכן האטמוספירה של כוכבי לכת חמים תפוזר בחלל. בפרט, למרקורי (כוכב חמה) – כוכב הלכת החם ביותר – אין כלל אטמוספירה.
גישות להבנת אנטרופיה > אנטרופיה והאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית > בטמפרטורות נמוכות

בגבול של טמפרטורות נמוכות, האנטרופיה S ניתנת להזנחה, ו-F תגיע למינימום משום ש-U במינימום. כוכבי הלכת הקרים, שנמצאים רחוק מהשמש שמרו את כל הגזים שלהם, אפילו גז המימן הקל.
אנטרופיה של חורים שחורים

גם לחור שחור צריכה להיות אנטרופיה. אחרת, אפשר יהיה לזרוק לתוכו חומר שלו אנטרופיה גבוהה, ובכך להוריד את האנטרופיה הכוללת ביקום, בניגוד לחוק השני של התרמודינמיקה. הפיזיקאי הישראלי יעקב בקנשטיין היה הראשון שהציע בשנת 1970 לייחס אנטרופיה לחור שחור. הוא הציע, על סמך הגילוי של סטיבן הוקינג כי השטח הכולל של אופק האירועים כתוצאה ממיזוג בין חורים שחורים לא יכול לקטון, שהאנטרופיה של חור שחור היא פרופורציונלית לשטח אופק האירועים שלו.
בתחילה, התקבלה טענתו בביטול בקהילייה המדעית, כולל מצד הוקינג עצמו, שכן אם לחור שחור יש אנטרופיה, אמורה להיות לו גם טמפרטורה, ואז הוא צריך לקרון כמו גוף שחור. אולם ב־1975 גילה הוקינג כי חור שחור יכול לפלוט קרינה, כתוצאה מזוגות חלקיקים וירטואליים הנוצרים קרוב לפני אופק האירועים שלו. קרינה זו נקראת קרינת הוקינג, וחישובים מתאימים הראו שקרינה זו אכן מתאימה לקיומה של אנטרופיה הפרופורציונלית לשטח החור השחור. בעקבות גילוי זה, נעשה הרעיון למקובל, ואנטרופיה זו מכונה אנטרופיית בקנשטיין-הוקינג.
ראו גם

אנטרופיה (סטטיסטיקה)
מדד שאנון-ויבר
תהליך אדיאבטי
שיווי משקל תרמודינמי
כוח אנטרופי
סבינה והגברים

| --- | --- |

 בימוי:  פיטר פריישטדט
 הופק בידי:  מרגוט קלאוזנר
 תסריט:  אלכסנדר צ'רסקי, מרגוט קלאוזנר 
 שחקנים ראשיים:  אווה ברטוק זאב רווח דודיק סמדר אהרן מסקין אורי זוהר עמוס מוקדי ברכה נאמן שייקה אופיר גדעון זינגר יעקב איינשטיין זהרירה חריפאי ג'ורג' מיקל 
 מוזיקה:  אלי רובינשטיין 
 צילום:  יחיאל נאמן
 מדינה:  ישראל ישראל
 חברת הפקה:  אולפני הרצליה 
 הקרנת בכורה:  1966 
 משך הקרנה:  95 דקות
 שפת הסרט:  עברית
 דף הסרט ב־IMDb
 
סבינה והגברים הוא סרט ישראלי משנת 1966 בבימויו של פיטר פריישטדט ובהפקת של מרגוט קלאוזנר. קלאוזנר יזמה את צילום הסרט לאחר שקראה סיפור קצר בשם "הרמונה של הגב' סבינה" מאת אלכסנדר צ'רסקי שהתפרסם בעיתון מעריב. קלאוזנר גייסה כסף להפקה ואת צוות השחקנים המרשים, אך הסרט נחל כישלון מסחרי.
עלילה

סבינה, נערה הגרה ביפו, מארחת בביתה מספר עולים גברים: אלי – פועל ניקיון בעירייה, ג'וני – מדריך רכיבה שעלה מאנגליה ומוסא שעלה ממרוקו.
צוות

אווה ברטוק (אנ') – סבינה
שייקה אופיר
זהרירה חריפאי
זאב רווח
עמוס מוקדי
דודיק סמדר
נירה עדי
הערות שוליים

↑  אלכסנדר צ'רסקי, הרמונה של הגב' סבינה, מעריב, 12 באוגוסט 1960
↑   דוד שליט, סוף להתעלמות מחלוצת הקולנוע מרגוט קלאוזנר, באתר הארץ, 27 בנובמבר 2015
↑  "אווה ברטוק נוחתת בישראל", יומן כרמל הרצליה 457, 1966.
אווה ברטוק, השחקנית הראשית בסרט
הדיבר ה-11

| --- | --- |
 בימוי:  שלמה סוריאנו
 הופק בידי:  בנו בלנבאום (גרמניה)
 תסריט:  הלגה גולדברג (גרמניה)
 עריכה:  קריסטל אורתמן (גרמניה)
 שחקנים ראשיים:  קנוט רשקה, מיכל בת-אדם, יוסי גרבר, אביבה מרקס, צחי נוי,  מרי אקורה (גרמניה)
 מוזיקה:  רולף באואר (גרמניה)
 צילום:  ניסים לאון (ניצ'ו)
 מדינה:  ישראל ישראל
 חברת הפקה:  סרטי רול
 הקרנת בכורה:  1975
 משך הקרנה:  110 דקות
 שפת הסרט:  גרמנית
 תקציב:  500,000 מארק גרמני
 דף הסרט ב־IMDb
 
הדיבר ה-11 הוא סרט מ-1975 בבימויו של שלמה סוריאנו, הסרט יצא בהפקה משותפת ישראלית-גרמנית. הסרט נאסר לצפייה בישראל עקב תכניו הפורנוגרפיים.
עלילה

ביבי לוין הוא בחור כפרי ותמים החסר ניסיון במיניות, שעובר לגור בבית סבתו בתל אביב. על מנת להיות מקובל בחבורה השכונתית הוא צריך להוכיח את כישוריו המיניים. שכנתו הפתיינית עוזרת לו בתחום ומלמדת אותו אודות רזי המין. מספר שנים לאחר מכן הוא נהיה לאורגזמולוג, מומחה לאורגזמות, אך הוא מוצא את עצמו מואשם במשפט על פגיעה במוסר החברתי.
שחקנים

קנוט רשקה - ביבי לוין
מרי אקורה - אירמה, יצאנית צמרת
מיכל בת-אדם - עורכת דין
יוסי גרבר
אברהם רונאי
אביבה מרקס
צחי נוי
חכם גמליאל

| --- | --- |
כרזת הסרט
כרזת הסרט
 בימוי:  יואל זילברג
 הופק בידי:  דוד אברהם שמעון ארמה
 תסריט:  משה הדר
 עריכה:  דני שיק
 שחקנים ראשיים:  יוסי בנאי אושיק לוי אביבה גר דב פרידמן מירי אלוני יוסי פולק
 מוזיקה:  נורית הירש
 צילום:  אמנון סלומון
 מדינה:  ישראל ישראל
 חברת הפקה:  ברקי פטה המפריס
 הקרנת בכורה:  1973
 משך הקרנה:  95 דקות
 שפת הסרט:  עברית
 הכנסות:  296,000 צופים
 דף הסרט ב־IMDb
חכם גמליאל או משחקי נישואים, הוא סרט דרמה רומנטית ישראלי משנת 1973, בבימויו של יואל זילברג לפי תסריט של משה הדר.
הסרט נקרא באופן רשמי "משחקי נישואים (חכם גמליאל)", אך מוכר יותר בשם "חכם גמליאל".
את פסקול המוזיקה כתבה ועיבדה נורית הירש. נעימת הנושא של הסרט יצאה בתור השיר "דינה" בביצוע מירי אלוני למילים של תרצה אתר.
קטעים רבים של הסרט צולמו במחצבה שהייתה ליד טירת יהודה.
בתפקיד הראשי של "חכם גמליאל" משחק יוסי בנאי ולצידו אושיק לוי, אביבה גר, דב פרידמן, מירי אלוני ויוסי פולק.