stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
עצמים צפים בעין
הגורמים

כל הפרעה לגוף הזגוגי של העין מוגדרת כ"גופיפים צפים בעין", ולהלן יפורטו ההפרעות הנפוצות הגורמות לתופעה:
הגורמים > היפרדות הזגוגית

החומר הצמיגי המרכיב את הגוף הזגוגי של העין מורכב מ-99% מים ו-1% יסודות מוצקים. אותם מרכיבים מוצקים מורכב מרשת סיבי קולגן וחומצה היאלורונית, אשר תומכים במולקולות המים ומעניקים לעין את צמיגותה. פירוק רשת הסיבים הזו גורמת לחומצה היאלורונית לשחרר את מולקולות המים הכלואות במבנה, וכתוצאה מכך גורמים למִיוּם המרקם הצמיגי. סיבי הקולגן נשברים לליפונים, סיבים קטנים המשתחררים וצפים בגוף הזגוגי של העין. הליפונים האלו הם הגופיפים הצפים הגורמים להפרעה. גופיפים הנגרמים מהיפרדות הזגוגית מעטים במספרם ונראים כקווים.
תופעה זו איננה נדירה, ומתרחשת כחלק מתהליך ההתבגרות- אצל ילודים ותינוקות הגוף הזגוגי של העין צלול, אולם פגמים מתחילים להופיע כבר בגיל צעיר.
הגורמים > היפרדות הזגוגית האחורית והיפרדות הרשתית

עם הגיל, יכולת התמיכה הפנימית של הגוף הזגוגי נחלשת, וחיבורו של תוך הגוף למסגרת החיצונית מתערער וכתוצאה מכך מתרחק החלק האחורי של הגוף הזגוגי מקולטני הרשתית. כתוצאה מההיפרדות, הזגוגית המצטמקת מגרה פיזית את הקולטנים ברשתית, וגורמת לפוטופסיה- הבזקי אור בשדה הראייה של המטופל או תחושה שזבוב מפריע לשדה הראיה. שחרורה הסופי של זגוגית העין מקצה עצב הראייה (Optic Nerve) גורמים להופעת גופיף גדול, שלרוב צורתו טבעת. כסיבוך אפשרי, חלקים מהרשתית עלולים להיתלש על ידי קרום הזגוגית המתכווץ בתהליך המכונה "היפרדות רשתית". במקרים מסוימים עלול לזלוג דם לתוך העין, במקרה שכזה המטופל יראה שטף נקודות זעירות. תהליך זה עלול לגרום לעיוורון.
הגורמים > גופיפים בבורסה הפרהמאקיולארית

הצטברות חד תאים בבורסה הפרהמאקיולארית- שק נוזלים הממוקם מעל הרשתית. הגופיפים במקום זה נדמים למטופל כתולעת/רשת/תא. מעט מאוד ידוע על אזור זה של העין, וניתן להבחין בו רק לאחר היפרדות הגוף הזגוגי של העין מהרשתית בגילאים מבוגרים. בשל גודלם המיקרוסקופי של הגופיפים הצפים לא ניתן להבחין בהם על ידי הסתכלות מקצועית חיצונית לעין, וניתן לראותם רק בשל קרבתם לרשתית. ניתן להבחין בגופיפים עד העשור השלישי לחיים, אך במהלך העשור הרביעי ואילך התופעה נעשית נדירה. טכנית, הפרעות אלו אינם "גופיפים צפים" במובן שאין מדובר בגופים הצפים בגוף הזגוגי של העין.
הגורמים > נסיגת עורק ה־היאלויד

עורק ההיאלוייד (Hyaloid artery) עובר דרך גוף העין בשלב ההתפתחות העוברית, ובשליש האחרון של ההריון העורק נסוג ומתפורר. לעיתים נותרים חלקיקים מהעורק הנותרים צפים בגוף הזגוגי של העין.
אבחון

רופא עיניים או אופטימטריסט יכולים להבחין בגופיפים הצפים בעין באמצעות שימוש באופתלמוסקופ (ראי עין) או נורת סדק (slit lamp). על כל פנים, לא ניתן להבחין בגופיפים הצפים בבורסה הפרהמאקיולארית וצפים קרוב לרשתית.
אם אדם רוצה לצפות באופן עצמאי בגופיפים הצפים בעינו עליו לצמצם את האישון- למשל באמצעות הגדלת אור הרקע או שימוש בחריר ממוקד- כמו כן רצוי להטות את הראש קלות, כך שהגופיפים יתנקזו אל עבר ציר מרכז העין. על ידי כך הגופיפים מופיעים בצורה ברורה יותר.
דרכי טיפול

לאור כך שחלק מרכזי מהגופיפים הצפים בעין נובע מתהליך טבעי של הזדקנות הגוף הזגוגי של העין, אין טיפול תרופתי או טיפול מונע המצמצמים את הופעת הגופיפים. אולם במקרים קשים בהם יש הפרעה חריגה באיכות הראיה או הופעת גופיפים רבים מהמקובל, ייתכן צורך בהליך כירורגי.
בשנת 2019 התפרסם מחקר במגזין American Science אשר הוכיח שיפור ברחפנים בשדה הראייה על ידי נטילת אנזים אננס (ברומלין) במשך שלושה חודשים, דבר שיצר פריצת דרך מחשבתית בכל הנוגע ליחס הרפואה לרחפנים בשדה הראייה.
דרכי טיפול > ניתוח ויטרקטומי

ניתוח ויטרקטומי הוא ניתוח לכריתת הגוף הזגוגי של העין או מקצתו. בניתוח מוחדרים כלי הניתוח לעינו של המטופל, ונעשה שימוש בקרני לייזר להצמדת הרשתית לדופן העין. לאחר החזרת הרשתית למקומה התקין, ממלאים את חלל העין בגז. בשבועות שלאחר הניתוח נוזלי העין יחליפו בהדרגה את בועת הגז, והגז יתנדף מהעין.
דרכי טיפול > טיפול ויטראוליזיס

טיפול ויטראוליזיס הוא טיפול יעיל העושה שימוש בקרני לייזר בעצמה נמוכה יחסית. במסגרת הטיפול מכוונת קרן הלייזר אל הגופיף הצף בעין, ובפעימות קצרות מחממת אותו עד להתאדותו והפיכתו לגז. הגז מפעפע ויוצא, באופן טבעי, דרך רקמות העין. בצורה זו ניתן להעלים או לצמצם את גודלם של הגופיפים הצפים. ישנה מחלוקת מקצועית אודות אפקטיביות הטיפול.
הערות שוליים

↑  איתי גל, מהן התולעים ש"שטות" בעין?, באתר ynet, 7 במרץ 2007
↑  זבובים בעין - גורמים, סימפטומים, אבחון, וטיפול | מרפאת Eye Care, באתר מרפאת עיניים - Eye Care
↑   ענר אוטולנגי, נקודות, קווים וכוכבים: מהם הכתמים השקופים והצבעים המוזרים שאנחנו רואים?, באתר הארץ, 19 בדצמבר 2019
↑  הבזקי אור בעיניים, קוראים ו"זבובים" עפים לכם בעיניים?, באתר Eyes.co.il, ‏2017-12-27
↑  C. Horng, Fu-An Chen, D. Kuo, Li-Chai Chen, Shou-Shan Yeh, Pharmacologic vitreolysis of vitreous floaters by 3-month pineapple supplement in Taiwan : a pilot study, www.semanticscholar.org, ‏2019 (באנגלית)
סרטוט הדמיה: גופיפים צפים הנגרמים כתוצאה מהיפרדות הזגוגית
סרטוט הדמיה: גופיפים צפים הנגרמים כתוצאה מדליפת דם לגוף הזגוגי בעין
סרטוט הדמיה: גופיפים צפים בבורסה הפרפמאקיולארית
סרטוט הדמיה: גופיפים צפים הנגרמים משאריות עורק ההיאלויד
פוליאסטר

סיבי פוליאסטר כפי שצולמו במיקרוסקופ אלקטרוני סורק, בהגדלה פי 1500
פוליאסטר הוא שם כללי לפולימר אורגני המכיל קבוצת פעילות אסטרית. אף על פי שפוליאסטר קיים בטבע, בדרך כלל המונח מתייחס למשפחה רחבה של פוליאסטרים סינתטיים הכוללת פוליקרבונט ופוליאתילן טרפתאלט (PET).
הפוליאסטר הסינתטי הראשון, גליצרין פאטייט, הוכנס לשימוש במלחמת העולם הראשונה לבגדים חסיני-מים. הפוליאסטר הטבעי היה ידוע לאדם כבר מ-1830.
שימוש נפוץ במילה פוליאסטר מתייחס לבגדים שנארגו מסיבי פוליאסטר. לבגדי פוליאסטר יש תחושה פחות טבעית מבדים טבעיים (כמו כותנה). סיבי פוליאסטר נארגים לעיתים קרובות יחד עם כותנה לשם ייצור אריג המשלב את היתרונות של שני חומרי הגלם.
שימושים לפוליאסטר

סיבים (מיקרו-סיבים) לאריגים.
בקבוקים
סרטי צילום (אחרי צלולוזה, הפוליאסטר הפך למרכיב החשוב ביותר למצע הסרט).
מטריצה לחומרים מורכבים (כמו פיברגלס).
מרכיב במסכי גביש נוזלי (LCD).
הולוגרמות
יריעות לבידוד מנועים
מסננים
מרכיב בסרט חשמל מבודד
שטיחים.
ציפוי רהיטים.
הפוליאסטר הגבישי-נוזלי הוא הפולימר הגבישי-נוזלי הראשון שנעשה בו שימוש בתעשייה, זאת מכיוון שיש לו מאפיינים מתאימים והתנגדות טובה לחום. מסיבה זו משתמשים בהם לחותמים מתכלים במנועי סילון. לעיתים קרובות נעשה שימוש בשרף של פוליאסטר המתקשה לאחר חימום ליציקות שונות: בריקוע של סיבי פיברגלס למשטח, וכמסנן שאינו עשוי ממתכות. ביישומים כאלה, פולימריזציה יוזמת תגובות אקסותרמיות שמשלבות על-תחמוצות אורגניות כמו על-תחמוצת קטון (methyl ethyl ketone peroxide) ועל-תחמוצת בנזואיל (benzoyl peroxide).
סינתזה

סינתזה של פוליאסטר מושגת בדרך כלל על ידי ריאקציית עיבוי פולימרים.
סינתזה > אסטריפיקציה של אזאוטרופ

השיטה הקלאסית היא אלכוהול וחומצה קרבוקסילית שמגיבים ויוצרים אסטר קרבוקסילי. כדי לאסוף את הפולימר יש לאסוף את המים שנוצרים מהריאקציה בלי הרף על ידי אזיאוטרופ.
סינתזה > טראנספיקציה אלכוהולית

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  O \\ C - OCH3 + OH[Oligomer2] / [Oligomer1] |  \leftrightarrow  |  O \\ C - O[Oligomer2] + CH3OH / [Oligomer1] |
| (אסתר-סופי אוליגומר + אלכוהול-סופי אוליגומר) |  | (אוליגומר גדול + מתאנול) |
פרויקט מוגול

פרויקט מוגול (נקרא לעיתים מבצע מוגול) היה מיזם סודי ביותר של חיל האוויר של ארצות הברית, שנועד לזיהוי ניסויים גרעיניים של ברית המועצות. במסגרתו הוטסו מיקרופונים באמצעות כדורים פורחים לגובה רב על מנת לקלוט גלי קול שייווצרו על ידי הניסויים הגרעיניים. הפרויקט התקיים משנת 1947 ועד לראשית 1949.
הוגה המיזם היה ד"ר מוריס יואינג (Maurice Ewing). הוא עסק לפני כן בחקר מעבר גלי קול בשכבות המים של האוקיינוסים, ושיער כי מעבר קול דומה מתקיים בשכבות הגבוהות של האטמוספירה. המפקחים על המיזם היו ד"ר ג'יימס פיפלס (James Peoples) ועוזרו ד"ר אלברט קרארי (Albert P. Crary).
במסגרת המיזם שולחו מערכים של מיקרופונים ועמם משדרי רדיו, שיעבירו את הקולות שייקלטו אל הקרקע. נדרש שהכדורים הפורחים שישוגרו יישארו בגובה קבוע מסוים למשך זמן רב ככל האפשר. לשם כך פותח ציוד ייעודי, כמו מדי לחץ, אשר פיקחו על שחרור מטען הנטל של הכדורים.
בתחילה נעשה שימוש בבלוני מזג אוויר עשויי גומי וממולאים בהליום. בהמשך הם הוחלפו על ידי בלונים גדולים מפוליאתילן. התברר שאלו היו עמידים יותר, פחות גז דלף מתוכם והם שמרו על גובה הטיסה שלהם בצורה טובה יותר.
המיזם היה אחד מסדרה של מיזמים של שימושים צבאיים ומטאורולוגיים בכדורים פורחים על ידי ארצות הברית בשלהי שנות ה-40 וראשית שנות ה-50, ובהם תוכנית בלון סקייהוק, פרויקט מובי דיק ופרויקט ג'נטריקס.
עלותו של המיזם מוגול הייתה גבוהה והצלחתו חלקית. על כן באו במקומו רשת של חיישנים סייסמיים לקליטת תנודות קרקע מן הניסויים הגרעיניים וכן איסוף דגימות אוויר לשם איתור נשורת גרעינית מהם. אלו היו זולים ואמינים יותר וקלים יותר לפריסה ולתפעול.
באמצע שנות התשעים פרסם חיל האוויר האמריקני דו"ח, שלפיו בלון טיסה מס' 4 של מיזם מוגול, ששוגר ב-4 ביוני 1947, היה האובייקט שהתרסק ליד רוזוול, ניו מקסיקו, והיה המקור לשרידים שהציתו את תקרית רוזוול.
פיליפ הרביעי, מלך צרפת

פיליפ הרביעי, מלך צרפת
פיליפ הרביעי, מלך צרפת, המכונה "היפה"  או "המלך של ברזל"  (בצרפתית: Philippe Quatre Le Bel;‏ 1268 – 29 בנובמבר 1314), בן לשושלת הקאפטינגים, מלך על צרפת משנת 1285 ועד מותו. בני דורו של פיליפ ראו בו אדם יפה ומכאן כינויו - "היפה".
ביוגרפיה > ילדותו

פיליפ היה בנם של פיליפ השלישי, מלך צרפת ושל איזבלה מאראגון. הוא נולד בשנת 1268 כבן שני להוריו. אמו מתה כשהיה בן שלוש. אביו התחתן בשנית בשנת 1274 עם מארי מברבנט. בשנת 1276 מת לואי, אחיו הבכור של פיליפ, והוא עצמו הפך ליורש העצר. הסיפורים על כך שאמם החורגת היא זו שרצחה את לואי, כדי שצאצאיה הם שיזכו במלכות, הם, ככל הנראה, לא נכונים, אך נראה שבני התקופה אכן האמינו שעשתה זאת. יחסו של פיליפ הרביעי לאמו החורגת היה מינימלי, על אף שהיא חייתה עוד שנים רבות לאחר מות בעלה, פיליפ השלישי, היא לא זכתה ליחס מיוחד מבנה החורג כשהיה מלך. פיליפ השלישי העניק לבנו חינוך הראוי ליורש העצר, הוא שכנע את אייגידיוס רומאנוס להיות המורה של בנו, אך מאחר שהיה אדם עסוק, הוא לימד את פיליפ הרביעי מעט. משימת ההוראה עברה, ברובה, לנזיר צעיר בשם גיום ד'ארקווי, הלימוד אצל האחרון היה ארוך ועקבי, והוא נשאר מקורב לפיליפ הרביעי עד מותו של המלך.
ביוגרפיה > נישואים

באוגוסט 1284 התחתן פיליפ הרביעי עם ז'אן הראשונה, יורשת ממלכת נווארה. באמצעות נישואין אלה הפכו ממלכת נווארה וחבל הארץ שמפאן-ארדן לנחלותיו של מלך צרפת. ז'אן הייתה אישה טובה לפיליפ, הוא אהב אותה והיה מסור אליה. לאחר מותה בשנת 1305, הוא בחר שלא להינשא שנית, למרות היתרונות הכלכליים והפוליטיים שהיה יכול להרוויח מכך. ז'אן ילדה לבעלה שבעה ילדים ששלושה מהם הפכו למלכי צרפת, אך מתו ב-14 השנים שבאו לאחר מותו של אביהם בשנת 1314.
שלטונו > ביסוס הריבונות שלו

בשנת מלכותו האחרונה ניסה פיליפ השלישי לכבוש את ממלכת אראגון. הוא כשל במלחמה זו, ובשל ניתוק קווי האספקה שלו החל בנסיגה חזרה לממלכתו, במהלכה נעשה חולה. פיליפ השלישי הצליח להגיע חי לצרפת, אך מת ב-5 באוקטובר 1285 בעיר פרפיניאן שבדרום צרפת. בנו פיליפ ירש את כתרו בשם פיליפ הרביעי. פעולתו הראשונה של פיליפ הרביעי כמלך, הייתה לבסס את סמכותו וממלכתו. הוא זנח את הפעולות שאביו החל בהן מחוץ לתחומי הממלכה, כמו גם את העזרה לנסיכים הצרפתיים בספרד ובאיטליה.
שלטונו > מלחמות

אדוארד הראשון מלך אנגליה היה וסאל של מלך צרפת כדוכס אקוויטניה, אך בשל חילוקי דעות ביניהם שררה בין המדינות מלחמה בין השנים 1294–1297. בשנת 1294 ניסה לכבוש מידי האנגלים את אזור גסקוניה שבדרום מערב צרפת, אך ללא הצלחה. בשנת 1302 שלח 2,500 אבירים ו-4,000 חיילי רגלים לפלנדריה שבצפון צרפת על מנת לדכא את המרד שפרץ שם. ב-11 ביולי של אותה שנה נחל צבא האבירים של צרפת מפלה ניצחת מידי הפלמים בקרב דורבנות הזהב שנערך ליד העיר קורטרייק (כיום בבלגיה). לאחר קרב מונס-אן-פוול, שנערך ב-18 באוגוסט 1304, נחתם ב-23 ביוני 1305, הסכם אתיס-סור-אורז', לפיו זכו הפלמים באוטונומיה תמורת תשלום פיצויים גבוהים לפיליפ הרביעי, ותמורת הערים ליל, בתון ודואה, שעברו לשליטת צרפת.
שלטונו > הצורך בהכנסה

בשל ההוצאות הרבות, שגרמו המלחמות התכופות ובזבזנות פקידות המדינה, נוצר גירעון משמעותי באוצר המדינה. גיוס הכסף לכיסוי הגירעון נעשה, בין השאר, על ידי לקיחת הלוואות מערי צרפת, גירוש היהודים והחרמת רכושם, החרמת רכוש ומיסוי של בנקאים וסוחרים עשירים, הטלת מיסים על הכנסייה ופיחות המטבע.
שלטונו > קשריו עם הכנסייה הקתולית

בניגוד לאביו, לא נשען פיליפ הרביעי על הנהגת הכנסייה, וקיבל את עצותיו של האפיפיור בנושאים פוליטיים רק לעיתים רחוקות. המיסים שהטיל פיליפ על הכנסייה עוררו עליו את האפיפיור בוניפקיוס השמיני, שניסה למנוע ממלך צרפת להטיל מיסים על הכנסייה ואף תבע אותו לדין. בעקבות דברי האפיפיור, כינס פיליפ את אספת המעמדות, שפט את האפיפיור שלא בפניו ואף שלח שליחים לאיטליה על מנת לאסור אותו. האפיפיור הצליח להימלט מכלאו, אך נפטר זמן קצר לאחר מכן. בשנת 1304 מת גם יורשו של בוניפקיוס השמיני, בנדיקטוס האחד עשר, ותחת השפעתו של פיליפ, נבחר לאפיפיור ברטראנד דה גו, הארכיבישוף של בורדו, תחת השם קלמנס החמישי. קלמנס העביר את מושב האפיפיור מרומא לאביניון שבפרובאנס, שם נשאר הכס הקדוש עד 1379, במה שתואר לאחר מכן כאפיפיורות אביניון.
שלטונו > דיכוי מסדר הטמפלרים

בשנים שלאחר מסעי הצלב הפך מסדר הטמפלרים, שנועד בראשית דרכו להיות זרועה של הכנסייה בהגנה על ארץ ישראל, למסדר אבירות היושב בפריז. המסדר עסק, בין השאר, בהלוואה בריבית וצבר עושר רב.
פיליפ, שחב לטמפלרים כסף רב, החליט לחסל את המסדר ולהשתלט על נכסיו. ב-13 באוקטובר 1307 נאסרו ראשי מסדר הטמפלרים והואשמו, בין השאר, במעשי כישוף, מעשי סדום, כפירה וביזוי סמלי הנצרות. פיליפ השפיע על האפיפיור קלמנס החמישי להסיר מהמסדר את חסות הכנסייה ולבטלו.
המסדר פורק באופן רשמי בשנת 1312, רבים מאביריו הועלו למוקד ונכסיו הופקעו.
שלטונו > גירוש היהודים

מסיבות דומות, גירש פיליפ בשנת 1306 את היהודים מצרפת ושדד את ממונם לטובת קופת האוצר. על אף שניתן היה לחשוב כי גירוש היהודים יעשה כאקט דתי, הן לשם חיזוק מעמדו הדתי של המלך והן בשל הלכי הרוח האנטי יהודיים בקרב ההמונים, נראה כי במקרה הזה לכל הדעות היה כאן אך ורק עניין כלכלי. היהודים הורשו לשוב לצרפת רק לאחר מותו, בימי שלטונו של בנו, לואי העשירי, אך גם כאן חזרתם הייתה בתנאים מגבילים.
שלטונו > מותו

פיליפ הרביעי מת ב-29 בנובמבר 1314, ובנו לואי העשירי, מלך צרפת עלה לשלטון במקומו.
ילדיו

מרגריט (1288–1300)
לואי העשירי (1289–1316), ירש גם את ממלכת נווארה ב-1305, לאחר מות אמו.
בלאנש (1290–1294)
פיליפ החמישי (1292–1322)
שארל הרביעי (1294–1328)
איזבל (1295–1358), נישאה לאדוארד השני, מלך אנגליה.
רובר (1297–1308)
לקריאה נוספת

אודלצוב, אלכסנדר דמיטריביץ', היסטוריה של ימי הביניים, מרחביה: דפוס השומר הצעיר, 1951
סמיונוב, ויקטור פיודורוביץ, היסטוריה כללית של ימי הביניים, תל אביב: הוצאת הקיבוץ המאוחד, 1956
צרפת בימי פיליפ ה"יפה": מקורות לתרגיל של ד"ר א' לינדר, ירושלים: האוניברסיטה העברית בירושלים, הפקולטה למדעי הרוח – החוג להיסטוריה כללית, תשל"א
הערך "פיליפ", האנציקלופדיה העברית, כרך 27, עמ' 697, מהדורת 1975
סופיה מנשה, לשאלת גירוש היהודים מאנגליה ומצרפת, ציון נא, 1986, חוברת ג, עמ' 319–332
ברברה טוכמן, ראי רחוק: המאה הארבע עשרה הרת הפורענויות, תל אביב: דביר הוצאה לאור, 1995
Strayer, Joseph R., The Reign of Philip the Fair, New Jersy: Princeton University Press, 1980
פירוק לגורמים של מספר שלם

במתמטיקה, פירוק לגורמים של מספר שלם הוא פירוקו של המספר למספרים קטנים יותר, הנקראים גורמים, כך שמכפלת הגורמים זה בזה תתן את המספר המקורי. לדוגמה, את המספר 6936 ניתן לפרק לגורמים ראשוניים  6936=2^{3}\cdot 3\cdot 17^{2}.
לפי המשפט היסודי של האריתמטיקה, לכל מספר טבעי גדול מ-1 קיימת הצגה יחידה כמכפלה של מספרים ראשוניים (עד כדי שינוי סדר הופעת הגורמים). תכונה זו של המספרים הראשוניים הופכת אותם למעין "אטומים" של המספרים השלמים.
ידיעת הפירוק לגורמים ראשוניים של מספר מסוים מספקת ידיעה מלאה על כל מחלקיו של מספר זה.

דוגמה: הפירוק לגורמים של המספר 6936 המופיע לעיל מלמד אותנו שכל מחלק של מספר זה הוא מהצורה  2^{k_{1}}\cdot 3^{k_{2}}\cdot 17^{k_{3}} כאשר  0\leq k_{1}\leq 3,0\leq k_{2}\leq 1,0\leq k_{3}\leq 2. זה מביא אותנו ל- 4\cdot 2\cdot 3=24 מחלקים בסך הכל.
פירוק לגורמים של מספר שלם גדול במיוחד (בן מאות ספרות) הוא בעיה שפתרונה, באמצעות האלגוריתמים הידועים כעת למטרה זו, דורש מאות שנים, גם כאשר משמשים למטרה זו המחשבים המהירים ביותר. קושי זה הוא הבסיס לשיטות הצפנה א-סימטרית רבות.
פירוק מספר גדול לגורמים

עד אמצע המאה ה-20 הבעיה העסיקה מעטים שהתמידו בחיפוש שיטות יעילות יותר לפירוק מספרים גדולים לגורמים. במחצית השנייה של המאה ה-20, עם התפתחות המחשבים ועלייתה של הקריפטוגרפיה, במיוחד מערכות אבטחה אסימטריות שמסתמכות על פירוק לגורמים ככלי הצפנה כמו RSA ודומיה, עלתה רמת העניין בבעיה זו. כיום הבעיה נחשבת לאחת הבעיות החשובות בתורת המספרים והיא מעסיקה מתמטיקאים רבים מכל העולם. חשיבותה נודעת לא רק מהיבט קריפטוגרפי אלא בעיקר כבעיה חישובית המשמשת כמדד יכולת וידע טכנולוגי. חברת RSA פרסמה בעבר רשימת מספרים שהם כפולה של שני ראשוניים גדולים, שהציבה כאתגר לציבור עם פרס בצידם למי שיצליח לפרקם לגורמים. מספרים אלה מכונים מספרי האתגר של RSA ומיוצגים על ידי RSA-xxxx כשה-x-ים מציינים את מספר הספרות (בבסיס בינארי, ולעיתים בבסיס עשר). למשל הפרס למי שיצליח לפרק לגורמים את המספר RSA-2048 (בגודל 617 ספרות עשרוניות) היה 200,000 דולר. אולם פרויקט האתגר בוטל בראשית 2008.
לפני יותר מ-300 שנה, שיער המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן שהמספר  2^{251}-1 פריק. 100 שנים מאוחר יותר הוכח שהוא צדק, עם זאת אפילו רק לפני כשני עשורים, המאמץ שנדרש לפירוק מספר זה היה כמעט מעבר ליכולת הטכנולוגית באותה עת. ב-1984 ההערכה הייתה שלפירוק המספר יידרשו  10^{20} שנים בקירוב. המספר פורק בהצלחה באותה שנה בתוך 32 שעות, שיא עולמי. אם בשנת 1970 בקושי ניתן היה לפרק מספר בן 20 ספרות עשרוניות, הרי שתוך פחות מעשור לאחר מכן חלה התקדמות משמעותית.
ב-1980 הצליחו ג'ון ברילהרט ומייקל מוריסון לפרק לגורמים מספר בן 50 ספרות עשרוניות באמצעות שברים משולבים בהתבסס על רעיון של מוריס קרייצ'יק. ב-1990 הצליח צוות מתמטיקאים לפרק לגורמים מספר בן 116 ספרות עשרוניות תוך שימוש באלגוריתם הנפה הריבועית של קארל פומרנץ ובשנת 1994 באמצעות אותו אלגוריתם פורק בהצלחה מספר האתגר RSA-129. במאי 2005 הסתיים באוניברסיטת בון מאמץ ממושך שהחל בסוף 2003 בפירוק המספר RSA-200 (כ-663 סיביות) לגורמים. הפירוק בוצע באמצעות אלגוריתם נפת שדה מספרים הכללי של ג'ון פולארד, האחים לנסטרה (הנדריק וארג'ן) ומרק מאנס, בזמן של 55 שנות מעבד אופטרון 2.2GHz יחיד, על ידי צוות מתמטיקאים בראשות בוהר, בוהם, פרנק וקלנג'ונג. בנובמבר 2005 הצליח אותו צוות עם אותו אלגוריתם לפרק לגורמים את המספר RSA-640 (בגודל 193 ספרות עשרוניות) במאמץ של כ-30 שנות מעבד אופטרון 2.2GHz בתוך חמישה חודשים, בשנת 2020 פורק המספר הגדול ביותר עד כה, (RSA-250), שהוא בעל 250 ספרות עשרוניות (829 ספרות בבסיס בינארי).
מספרי פרמה ומספרי קנינגהם

מספרי פרמה  F_{k}=2^{2^{k}}+1 נקראים על שמו של פייר דה פרמה, שהתעניין בפירוק לגורמים בשל הקשר למספרים משוכללים ומספרים ידידים. הוא טען והוכיח, כי מספרים מהצורה  2^{m}+1 יכולים להיות ראשוניים רק אם  m הוא חזקה של שתיים. הוא האמין שמספרים אלה ראשוניים כולם. כיום ידוע שלא, למשל  F_{5}=2^{2^{5}}+1 מתחלק ב-641, אם כי פרמה עצמו החמיץ עובדה זו מסיבה לא ידועה. שנים לאחר מכן הוכיח גאוס את חשיבות מספרי פרמה בגאומטריה אלמנטרית, ומתמטיקאים רבים ניסו כוחם בפירוק מספרי פרמה תוך שימוש במיטב האלגוריתמים הידועים בתקופתם.
הבעיה הורחבה לבעיה כללית יותר של פירוק מספרים מהצורה  b^{m}\pm 1 (כאשר  b קטן ו- m גדול), המכונים מספרי קנינגהם על שם המתמטיקאי אלן ג'וזף קנינגהם (Allan J. C. Cunningham). פרויקט קנינגהם היווה מעין מבחן כוח להתקדמות בתחום הכללי של פירוק לגורמים. ב-1880 מצאו מתמטיקאים את הגורמים הראשוניים של  F_{6}, רק כמאה שנים לאחר מכן ב-1970 הצליחו מוריסון וברילהרט לפרק את  F_{7} באמצעות שברים משולבים. מספר פרמה השמיני פורק ב-1980 על ידי ברנט ופולארד באמצעות גרסה של אלגוריתם rho של פולרד היעיל במיוחד במציאת גורמים קטנים. מספר פרמה התשיעי פורק לחלוטין ב-1990 על ידי האחים לנסטרה, מאנאס ופולארד שעשו זאת במאמץ שנמשך כארבעה חודשים, באמצעות נפת שדה המספרים והשתמשו בכוח חישוב של כ-700 מחשבים שגויסו ממקומות שונים ברחבי העולם ומחשב-על אחד שריכז את העבודה. מספר פרמה העשירי פורק לגורמים ב-1999 על ידי ריצ'רד ברנט באמצעות שיטת העקום האליפטי. ב-1988 נעשה שימוש באותה שיטה כדי לפרק לגורמים את  F_{11} (שגורמיו הראשוניים (פרט לגדול ביותר) נמצאו כולם קטנים). עד היום (2010), נמצאו כ-250 גורמים ראשוניים של מספרי פרמה מ- F_{12} עד  F_{2478782}, כאשר מספר פרמה הקטן ביותר שעדיין לא ידוע האם הוא פריק או ראשוני הוא  F_{33}. אך פירוקם המלא של מספרים אלו לגורמים טרם צלח.
חשיבותם של מספרי קנינגהם כמדד יעילות בפירוק לגורמים הולכת ודועכת לאחרונה, מהסיבה הפשוטה שהמספרים שיש בהם עניין מיוחד כיום (המשמשים בדרך כלל במערכות הצפנה) קשים בהרבה לפירוק ממספרי פרמה המקבילים להם. למשל מודלוס בגודל 512 סיביות (שהוא כפולה של שני מספרים ראשוניים גדולים), דורש זמן ומשאבים פיננסיים הגדולים במידה ניכרת מהזמן והמשאבים שנדרשו בפירוק מספר פרמה התשיעי (המקביל לו).
יעילות אלגוריתמים שונים לפירוק לגורמים

| --- | --- |
: בעיות פתוחות במדעי המחשב: האם ניתן לבצע פירוק לגורמים של מספר שלם בזמן פולינומי? (בעיות פתוחות נוספות במדעי המחשב)
לבעיית הפירוק לגורמים לא ידוע פתרון יעיל אלגוריתמית, כלומר כזה שזמן ריצתו פולינומי ביחס למספר הספרות במספר שמפרקים. ההשערה הרווחת היא שפתרון כזה לא קיים (משמע בעיית הפירוק לגורמים אינה ב-P) ועל השערה זו מבוססות שיטות הצפנה רבות כגון RSA. עם זאת, מבין הבעיות שאינן ניתנות לפתרון יעיל, בעיית הפירוק לגורמים נחשבת ל"קלה באופן יחסי". בפרט סבורים שהיא אינה בעיה NP-קשה. עדות לסברה זו היא אלגוריתם שור, אלגוריתם קוונטי הפותר את בעיית הפירוק לגורמים בזמן פולינומי (מכאן שאילו בעיית הפירוק לגורמים הייתה NP-קשה, אזי NP הייתה מוכלת ב-BQP בניגוד להשערה הרווחת). כמו כן ידוע שבעיית הפירוק לגורמים שייכת ל-co-NP, ולכן אילו היא הייתה NP-קשה הדבר היה גורר NP=co-NP, תוצאה הנחשבת מאוד לא סבירה.
מבין כל האלגוריתמים הידועים לפירוק לגורמים עד 1988, נחשב אלגוריתם הנפה הריבועית כאלגוריתם היעיל ביותר לפירוק מספרים גדולים, טוב יותר מפירוק לגורמים באמצעות עקום אליפטי (שיטה שהציע קארל פומרנץ ב-1984) ומאלגוריתם הנפה הרציונלית של דיקסון, אולם עם פרסומו של אלגוריתם נפת שדה מספרים על ידי פולארד, התגלה האחרון כאלגוריתם הטוב ביותר בכל הזמנים לפירוק לגורמים. בשיטה זו פורק המספר RSA-130 בקרוב ל-15 אחוז מהזמן שארך לנפה הריבועית. נכון לשנת 2007, נפת שדה המספרים נחשבת לשיטה היעילה ביותר הידועה כיום לפירוק מספרים גדולים מאוד לגורמים ונמצאת בעיצומו של תהליך מחקר ופיתוח.
הפרש מספרים ריבועיים

רעיון הפרש המספרים הריבועיים, מבואר היטב במאמרו של קארל פומרנץ "A Tale of Two Sieves". הוא סיפר שבתחרות מתמטית שבה השתתף כסטודנט ב-1960 הוצג התרגיל: פירוק המספר 8051 לגורמים ראשוניים בתוך חמש דקות (באותה שנה מחשבונים טרם הומצאו). לא קשה לבצע חילוק ניסיוני עד שורש המספר (בערך 90) בתוך חמש דקות, אולם כבכל תחרות הרעיון היה למצוא את הטריק שיקצר את הדרך משמעותית. התשובה פשוטה:
על טריק זה המכונה הפרש ריבועים, מבוססת שיטת הפירוק לגורמים של המתמטיקאי הצרפתי פרמה. קל להבין זאת אם זוכרים שכל מספר פריק אי-זוגי ניתן לייצוג כהפרש הריבועים:
כמו שבחילוק ניסיוני (Trial Division) ישנם מקרים קלים כגון אם המספר מכיל גורמים קטנים כלשהם, כך גם בשיטת פרמה. התרגיל המתואר הוא מקרה קל של שיטת פרמה היעילה בתנאי שגורמי המספר אותו מעוניינים לפרק קרובים מאוד לשורשים ריבועיים. אולם במקרה הגרוע שיטת פרמה יעילה פחות מחילוק ניסיוני. מרבית המספרים נופלים בקטגוריה השנייה, כלומר במקרה הממוצע שיטת פרמה אינה יעילה.
קרייצ'יק העלה רעיון לשיפור שיטת פרמה, מה שהפך לאחר מכן כבסיס למרבית האלגוריתמים המודרניים.

במקום למצוא שלמים  u,v המקיימים  u^{2}-v^{2}=n עבור השלם  n אותו אנו מעוניינים לפרק, מספיק למצוא שלמים כאלו שהם כפולה של  n כלומר  u^{2}\equiv v^{2}\!\!\!\!{\pmod {\!n}}. לשקילות האחרונה יכולים להיות שני פתרונות, האחד 'אינו מעניין' כאשר  u\equiv \pm v\!\!\!\!{\pmod {\!n}} והשני 'מעניין' כאשר  u\not \equiv \pm v\!\!\!\!{\pmod {\!n}}.

האחרון מעניין כיוון שלפחות למחצית השלמים הזרים ל- n קיים פתרון כזה אם  n אי-זוגי ומתחלק לכל הפחות בשני ראשוניים שונים. וזה מעניין משום שהמחלק המשותף המרבי  \gcd\{n,u-v\} הוא גורם ראשוני של  n. זאת משום ש- n מחלק את  u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v), אולם אינו מחלק אף גורם מהם (כלומר את  u,v עצמם), עובדה זו מעידה כי  u-v<n<u+v.
לדוגמה עבור  n=2041, המספר הריבועי הסמוך לו מעליו הוא  46^{2}=2116.

אם נגדיר פולינום ממעלה שנייה  Q(x)=x^{2}-n עבור השלמים  x=46,47,48,\ldots  נקבל את התוצאות  75,168,263,360,459,560\ldots . אמנם עדיין לא נמצא מספר ריבועי כלשהו, אולם הרעיון הוא למצוא מספר שלמים  x המקיימים:
הפתרון לקונגרואנציה כעת ברור. אולם איך נמצא  x-ים כאלה שכפולת הפולינומים מעליהם נותנת מספר ריבועי?

רעיונו של קרייצ'יק הוא שחלק מהפולינומים  Q(x) ניתנים לפירוק לגורמים יחסית בקלות, כפי שרואים:
מתוך הפירוק של ארבעה מספרים אלה אפשר לראות כי  2^{10}\cdot 3^{4}\cdot 5^{4}\cdot 7^{2} הוא מספר ריבועי וכך מצאנו את  u^{2}\equiv v^{2}\!\!\!\!{\pmod {\!n}} כאשר:
היות ש- 311\not \equiv \pm 1416\!\!\!\!{\pmod {\!2041}}, נשתמש באלגוריתם אוקלידס לחישוב  \gcd {\bigl \{}2041,1416-311{\bigr \}} ונמצא כי  2041=13\cdot 157. איך ידענו למצוא את ה- x-ים הנכונים? הרעיון של קרייצ'יק היה פשוט לחפש אותם סדרתית. אלגוריתם קרייצ'יק פותח לאחר מכן על ידי מספר מתמטיקאים, הצעה אחת הייתה להחליף את הפונקציה  Q(x)=x^{2}-n בפונקציה עדיפה הנובעת מהרחבה של השברים המשולבים של שורש  n. מסתבר שחיפוש יעיל של סדרה כזו של  x-ים המקיימת את התנאי האמור היא בעצם המשימה העיקרית בכל אלגוריתם לפירוק לגורמים.