stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
פאיס
היסטוריה

היישוב הוזכר לראשונה בשנת 1212 במכתב של האפיפיור אינוקנטיוס השלישי. בתקופה זו היה יישוב של אצילים כנסייתיים מהאזור, תחת ניהול של מושל מקומי. בשנת 1433 הוזכרו אצילים מקומיים בתיעודים משפטיים.
בתקופת הכיבוש העות'מאני היישוב לא נהרס, ובשנת 1715 נמנה בין הכפרים האציליים. בשנת 1720 הוקמה קהילה קתולית מקומית והחלו רישומי לידה, נישואין ופטירה. הכנסייה הקתולית נבנתה לראשונה ב-1750 ושופצה ב-1908 לאחר שנפגעה ממכת ברק.
יהודי פאיס

מאמצע המאה ה-18 ועד לשואת יהודי הונגריה חיו בכפר יהודים. ובמקום היה בית כנסת.
בשנת 1840 חיו בכפר 4 יהודים, בשנת 1880 חיו 69 יהודים ובשנת 1941 כבר חיו בו 19 יהודים בלבד.
אתרים חשובים

כנסיית סנט אישטוון: כנסייה נאו-רומנסקית שתוכננה על ידי פורק ארנו ופטרובאץ גיולה ונחנכה בשנת 1910.
אנדרטת הנסיך פאיש: נבנתה בשנת 2000 על ידי האמן פארקש טיבור והפסל המקומי סנדור סלסטיי.
הערות שוליים

↑  נתוני הכפר באתר הלמ"ס ההונגרי
↑  Detailed Gazetteer of Hungary, www.ksh.hu
↑  תמונת בית הכנסת בפאיס בוויקיפדיה ההונגרית
↑  A zsidó népesseg száma településenként 1840–1941 (1993) | Könyvtár | Hungaricana, library.hungaricana.hu
| יישובים במחוז באץ'-קישקון |
| --- | --- | --- |
| ערי המחוז |  קצ'קמט •  באיה |  |
| ערים |  באצ'אלמאש •  דונווצ'ה •  • האיוש Hajós •  איז'אק •  יאנושהלמה •  קלוצ'ה •  קצל •  קרקאג'האזה •  קישקרש •  קישקונפלדיהאזה •  קישקונהלש •  קישקונמאישה •  קונסנטמיקלוש •  לאיושמיז'ה •  מייקוט •  שולט •  שולטוואדקרט •  סבדסאלאש •  טיסקצ'קה •  טומפה Tompa |  |
| כפרים | מדראש • דושנוק • אגשג'האזה • בלוסג • פלשלאיוש • פילפהאזה • פילפיאקב • הלווציה • יאקבסאלאש • קונברץ' • קונסאלאש • ניארלרינץ • לדאנבנה • וארושפלד • אורגוואן • באצ'בוקוד • באצ'סלש • צ'יקריה • קטימאר • קונבאיה • מאטטלקה • טטהאזה • באצ'סנטגיירג' • באטמונושטור • צ'אטאליה • צ'אבוי • דאבוד • דונפלווה • ארשקצ'נאד • ארשקהלמה • פלשסנטאיוואן • גרה • הרצגסאנטו • נג'ברצ'קה • נמשנאדאודבר • שיקשד • סרמלה • ושקוט • אפושטג • דונאג'האזה • קונדץ' • קונפסר • סלקסנטמארטון • צ'ויושפאלוש • טאש • יאסנטלאסלו • קמפץ • מוריצגאט • באצ'בורשוד • באטיה • דראגסל • דונפטאי • דונסנטבנדק • דונטטטלן • פאיס |  |
| יישובים בנפת קלוצ'ה |
| --- | --- | --- |
| יישובים | קלוצ'ה • שולט • באטיה • דראגסל • דונפטאי • דונסנטבנדק • דונטטטלן • דושנוק • פאיס • פוקטה Foktő • גדרלק Géderlak • האיוש Hajós • הרטה Harta (Magyarország) • הומוקמג' Homokmégy • מישקה Miske • אורדש Ordas • ארגצ'רטה Öregcsertő • סקמאר Szakmár • אוישולט Újsolt • אויטלק Újtelek (Magyarország) • אוסוד Uszód |  |
סופרקאליפרג'ליסטיקאקספיאלידושס

סוּפֶּרְקַאלְיפְרַגֶּ'לְיסְטְיקְאֶקְסְפִּיאַלִידּוֹשְס (באנגלית: ‏Supercalifragilisticexpialidociousקובץ:Supercalifragilisticexpialidocious.ogg‏Ⓘ‏) הוא שיר המופיע בסרט "מרי פופינס" של אולפני וולט דיסני. בתרגום לעברית של הסרט, המילה נכתבת כ"ענקעצוםמדהיםנפלאאדירבעולם". מרים ילן שטקליס תרגמה אותה ל"מיליו-טב-קלי-רב-חמו-דמקסי-דשופרתיים".
תפקידה של המילה בסרט

השיר מופיע בסצנת ההנפשה של הסרט, בה זוכה מרי פופינס במרוץ הסוסים ונשאלת על ידי כתבי עיתון כיצד היא מרגישה. כאשר אחד מהם אומר שאין בוודאי מילה אחת המתארת את הרגשתה, מציינת מרי כי יש מילה כזו - והיא "סופרקאליפרג'ליסטיקאקספיאלידושס". במחזמר "מרי פופינס", כפי שהופיע בווסט אנד של לונדון ובברודוויי בניו יורק, בהיעדר סצנת ההנפשה, השיר מושר בסופה של שיחה בין מרי והילדים, כאשר הילדים משחקים משחק איות של מילים, ומרי מצליחה ליצור את המילה הארוכה ביותר.
המילה משמשת גם את מר בנקס בסוף הסרט כאשר מנהלי הבנק, מר דאוז הבן ומר דאוז האב, מבקשים לשוחח עמו אודות התנהגותו המחפירה של מייקל בנו. לאחר השמדת הסממנים של מעמדו החברתי, נכנס בנקס לדיכאון שגורם לו אי-יציבות רגשית, מנהל הבנק שואל אותו האם יש מילים בפיו, וזה עונה: "סופרקאליפרג'ליסטיקאקספיאלידושס". המנהל מגחך כי לא קיימת מילה זו, ובנקס עונה לו: "אתה לא קיים!" ופורץ בשמחה פתאומית. "השתבש לו המוח", מגיב מנהל הבנק. לאחר שעולמו הישן של בנקס נחרב, הוא מבין את שמחת החיים והולך לתקן את העפיפון של ג'יין ומייקל.
יצירת המילה

בעקבות הצלחת הסרט והשיר, הפכה המילה מקובלת (אם כי אינה בשימוש) ומשמעותה כיום "משהו שהוא מדהים בצורה יוצאת מהכלל", או כדי להביע התלהבות ילדותית.
על פי רוברט ב. שרמן, כותב השיר, המילה נוצרה משילוב של מספר מילים:
super - משהו נעלה
cali - יופי
fragilistic - עדין ביותר
expiali - כפרה או לכפר
docious - מחונך
משמעות המילה יחד נועדה לתאר את מרי פופינס עצמה, שהיא "מכפרת על יופייה הרב והעדין ביותר בה בעת שהיא בעלת השכלה גבוהה".
בשיר אומרת מרי פופינס (המגולמת על ידי ג'ולי אנדרוז) את המילה גם בהיפוך: "dociousaliexpilisticfragicalirupus" - "דושסאליאקספיליסטיקפרג'יקאלירופוס": מדובר בהיפוך ההברות ולא בהיפוך האותיות, כאשר היפוך זה נעשה באופן שגוי במספר הברות. היפוך זה לא היה בתסריט המקורי של הסרט והומצא על ידי בעלה של אנדרוז באותה עת - טוני וולטון.
הליכים משפטיים

בשנת 1965 הגישו שני משוררים תביעה נגד חברת וולט דיסני בטענה כי גנבו מהם את המילה שהופיעה בשיר בשם Supercalafajalistickespeealadojus משנת 1951. בית המשפט דחה את התביעה בטענה כי הם לא הצליחו להוכיח שלא נעשה במילה שימוש קודם לשנת 1949 וכי המילה אינה מוגנת בזכות יוצרים שנרשמה ברשם זכויות היוצרים בוושינגטון.
אזכורים תרבותיים

בשנת 2004 השיר נכלל ברשימת מאה שנים... מאה שירים של מכון הסרטים האמריקאי במקום 36.
בפברואר 2000 פרסם הצהובון הבריטי "סאן" כתבת ספורט שכותרתה - Super Caley go Ballistic, Celtic are Atrocious - היינו "סופר קאלי מפציצים, שחקני סלטיק מגעילים" - לאחר משחק הגביע הסקוטי בו ניצחה אינברנס קלדוניאן ת'יסטל את סלטיק 1–3.
הזמר פרינס יצר שיר בהתבסס על שיר זה בשם Superfunkycalifragisexy שהופיע באלבום השחור שלו.
בסדרה הסימפסונים היה פרק בשם "Simpsoncalifragilisticexpiala(Annoyed Grunt)cious" שהיה פרודיה על הסרט מרי פופינס.
שם השיר מוזכר בקומיקס סאנדמן של ניל גיימן.
הלהקה The Vandals הפיקה גרסת כיסוי לשיר, תוך שמירת מילות השיר ושינוי המנגינה. השיר הופיע באלבום "Live Fast Diarrhea".
כותב שירי הפארודיה Spaff כתב שלושה שירים בהתבסס על שיר זה:
שיר הלועג לזמרת מדונה בשם Esther Madonna Veronica Louise Ciccone Ritchie,
שיר בשם Super-Powers-Go-Ballistic-Execute-Bin-Laden
ושיר בשם Supertelevangelistic Sex and Drugs Psychosis.
גרסה נוספת של השיר הופקה בשנת 2006 על ידי אורלנדו בראון.
בשנת 1966 קיבלה הלהקה Alvin and the Chipmunks את פרס גראמי עבור ביצוע שיר זה.
להקה הרוק Scars on Broadway השתמשה במשפט זה בשיר Stoner-Hate באלבום Scars on Broadway.
ציפי שביט ומייק בורשטיין שרו שיר בשם זה בעברית, למילותיה של פנינה אבני.
ציפי שביט ביצעה את השיר בעצמה, אך בתרגום של יורם טהרלב.
גרסה נוספת של השיר בוצע בתוכנית "הקרנבל של מיכל" על ידי מיכל ינאי עצמה.
אזכור לשיר מופיע בסרט "המשאלה".
דירוגים ברשימות

| ארגון | רשימה | מיקום | מקור |
| --- | --- | --- | --- |
| בילבורד | 100 שירי דיסניוורס הגדולים בכל הזמנים | 37 |  |
הערות שוליים

↑  בגרסה של פנינה אבני שביצעו ציפי שביט ומייק בורשטיין (במקור ביצעו בעברית רבקה רז ואלברט כהן) ובדיבוב העברי של הסרט, בו השיר תורגם על ידי שרון כהן, המילה מבוטאת כסופרקליפרג'ליסטיקאקספיאלידושי, ככל הנראה לצורך החרוז. יש היגיון בתרגום הנ"ל, כיוון ש-docious באנגלית היא סיומת לתיאור, כך גם יו"ד בעברית.
↑  הגדרת מילון מקוון
↑  קבוצת הכדורגל הקאלדונית של אינברנס
↑  מילות השיר, באתר שירונט
↑  Rania Aniftos,Katie Atkinson,Katie Bain,Eric Renner Brown,Keith Caulfield,Anna Chan,Hannah Dailey,Stephen Daw,Thom Duffy,Paul Grein,Lyndsey Havens,Rylee Johnston,Jason Lipshutz,Joe Lynch,Heran Mamo,Rebecca Milzoff,Taylor Mims,Danielle Pascual,Jessica Roiz,Kevin Rutherford,Andrew Unterberger,Neena Rouhani, The 100 Greatest Disneyverse Songs of All Time, Billboard, ‏2023-05-25 (באנגלית אמריקאית)
| --- | --- |
בקרת זהויות :  MusicBrainz work: 7139c051-8ea3-3f93-8bbc-6e7dff6d61a4 
כותרת הסאן.
מבחני התכנסות לסדרות

במתמטיקה, מבחני התכנסות לסדרות מהווים כלים לבדיקה אם סדרה מתכנסת או מתבדרת. סדרות, והתכנסות סדרות בפרט, מהווים בסיס וכלים לנושאים רבים במתמטיקה, במיוחד בחשבון אינפיניטסימלי.
הגדרת התכנסות וסימונים > סימונים

גבול של סדרה מסומן כך:
\lim _{n\to \infty }a_{n}=L
וניתן לסמן אותו גם בצורה המקוצרת:
\ a_{n}\to L
כאשר:
lim - הוא קיצור של המילה הלועזית Limit שפירושה "גבול".
בסימון  \!\,a_{n}, האות a הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-n הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה.
\infty  מסמל את מושג האינסוף.
הסימן  \to  מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו. כך ש  n\to \infty  מציין ש- n שואף לאינסוף.
L מייצג את המספר שאליו הולכים ומתקרבים איברי הסדרה ככל ש -n גדל
הגדרת התכנסות וסימונים > הגדרת התכנסות

כמו שציינו קודם,  \ a_{n}\to L
סדרה נקראת מתכנסת אם רק אם L הוא מספר ממשי שונה מאינסוף
סדרה נקראת מתבדרת אם ורק אם  L=\pm \infty
בפרט, הגדרה רגורוזית להתכנסות היא:
צורת כתיבה נוספת:
מבחן המנה להתכנסות סדרות

תהי  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } נסמן  \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n_{+1}}}{a_{n}}}=L .
אם  L<1 אז  \lim _{n\to \infty }a_{n}=0 .
אם  L>1 אז  \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty  .
מקרה א':  L<1
מקרה ב':  L>1\ ,\ L=\infty
{\begin{matrix}a_{k+1}>a_{k}\cdot r\\a_{k+2}>a_{k+1}\cdot r>a_{k}\cdot r^{2}\\a_{k+3}>a_{k+2}\cdot r>a_{k}\cdot r^{3}\end{matrix}}
מבחן השורש לסדרות

נשים לב שמבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה, כלומר ישנם מקרים בהם הגבול במבחן המנה לא יהיה קיים והגבול במבחן השורש יהיה קיים. אבל לפי משפט, אם הגבול של מנת האיברים קיים  \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L . אזי הוא שווה לגבול ממבחן השורש, כלומר  \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L .
תהי  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } סדרה חיובית. נסמן  \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L .
אם  L<1 אז  \lim _{n\to \infty }a_{n}=0 .
אם  L=\infty  , L>1 אז  \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty  .
מקרה א':  L<1
מקרה ב':  L>1\ ,\ L=\infty
אפיון התכנסות לפי קושי

תנאי קושי הוא אפיון שקול לסדרה מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.
אפיון התכנסות לפי קושי > משפט קושי לסדרות

הסדרה  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי.
נוכיח את הכיוון הראשון.
נניח כי  \lim _{n\to \infty }a_{n}=L . יהי  \varepsilon >0 . לכן קיים אינדקס  N כך שלכל  n>N מתקיים  |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}} .
נבחר מספרים  m,n>N ונקבל לפי אי-שוויון המשולש כי:
 |a_{m}-a_{n}|={\Big |}a_{m}-L+L-a_{n}{\Big |}\leq |a_{m}-L|+|a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon 
אזי הסדרה היא סדרת קושי.
\blacksquare
נוכיח את הכיוון השני.
נניח כי  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. כיוון שהיא סדרת קושי, קיים אינדקס  N כך שלכל  m,n>N מתקיים  |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon  . אזי לכל  n>N מתקיים  a_{N}-\varepsilon <a_{n}<a_{N}+\varepsilon  אז הסדרה חסומה בקטע  (N,\infty ) . בקטע  [1,N] יש לסדרה רק מספר סופי של איברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה בכל אינדקס.
על פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת, לכן לסדרה  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } יש תת־סדרה מתכנסת  \{a_{m_{k}}\}_{n=1}^{\infty }. נסמן  L=\lim _{n\to \infty }a_{m_{k}} ונוכיח ש־ \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } מתכנסת ל־ L.
יהי  \varepsilon >0. ראשית, מהתכנסות  a_{m_{k}} נקבל כי קיים  K טבעי כך שלכל  k>K  מתקיים  |a_{m_{k}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}. שנית, מהיות הסדרה סדרת קושי, קיים אינדקס  N כך שלכל  m,n>N מתקיים  |a_{n}-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}. נסמן  k_{0}=\max \left\{K+1,N+1\right\}, אז  k_{0}\geq K+1>K ולכן  |a_{m_{k_{0}}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}. בנוסף, סדרת האנדקסים  m_{k} מוגדרת כסדרה עולה של טבעיים וניתן להוכיח באינדוקציה (ראה למת עזר) שלכל  k טבעי מתקיים  m_{k}\geq k, ובפרט  m_{k_{0}}\geq k_{0}\geq N+1>N ולכן לכל  n>N מתקיים  |a_{n}-a_{m_{k_{0}}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}. מכאן לכל  n\geq N מתקיים:
 |a_{n}-L|={\Big |}a_{n}-a_{m_{k_{0}}}+a_{m_{k_{0}}}-L{\Big |}\leq |a_{n}-a_{m_{k_{0}}}|+|a_{m_{k_{0}}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon 
לכן  \lim _{n\to \infty }a_{n}=L .
\blacksquare
התכנסות לפי כלל הסנדוויץ'

כלל הסנדוויץ' הוא משפט שימושי לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות.
בניסוח מתמטי: אם  a_{n},b_{n},c_{n} סדרות המקיימות:
אז גם לסדרה  c_{n} קיים גבול,  \lim _{n\to \infty }c_{n}=L .
כלל דומה תקף למקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) השואפת לאינסוף, אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.
יהי  \varepsilon >0 . נרצה למצוא מספר טבעי  N כך שלכל  n>N יתקיים  |c_{n}-L|<\varepsilon  .
קיים  N_{1} כך שלכל  n>N_{1} מתקיים  L-\varepsilon <a_{n}<L+\varepsilon  .
קיים  N_{2} כך שלכל  n>N_{2} מתקיים  L-\varepsilon <b_{n}<L+\varepsilon  .
נסמן  N=\max\{N_{1},N_{2}\} . מהנתון מתקיים  a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}, לכן
לכן  L-\varepsilon <c_{n}<L+\varepsilon  .
כלומר  \lim _{n\to \infty }c_{n}=L .
\blacksquare
התכנסות סדרה לפי תת־הסדרות שלה > הגדרת תת־סדרה

תהי  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } סדרה כלשהי, ותהי  \{n_{k}\}_{k=1}^{\infty } סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה  \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty } נקראת תת־סדרה של  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } .
התכנסות סדרה לפי תת־הסדרות שלה > התכנסות סדרה לפי תת־סדרות

תהי  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } סדרה.  a_{n}\to L אם ורק אם כל תת־סדרה של  \{a_{n}\} מתכנסת ל־ L .
נניח כי  a_{n}\to L . אזי לכל  \varepsilon >0 קיים  N\in \mathbb {N}  כך שלכל  n\geq N מתקיים  |a_{n}-L|<\varepsilon  . ניקח תת־סדרה שרירותית  \{a_{n_{k}}\} ונראה כי היא מתכנסת ל־ L . מתקיים  n_{k}\geq k (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור  k\geq N מתקיים כי  n_{k}\geq N ולכן נקבל כי  |a_{n_{k}}-L|<\varepsilon  . לכן  a_{n_{k}}\to L .
כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי  \{a_{n}\} היא תת־סדרה של עצמה שמתכנסת ל־ L ולכן זה טריוויאלי שמתקיים  a_{n}\to L .
תהי  \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty } תת־סדרה של  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } . אזי  n_{k}\geq k לכל  k\in \mathbb {N}  .
נוכיח באינדוקציה. בבירור  n_{1}\geq 1 . נניח כי  n_{k-1}\geq k-1 ונוכיח כי  n_{k}\geq k . נשים לב כי  \{n_{k}\} סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת־סדרה, איננו לוקחים איברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הם הופיעו ואיננו לוקחים אבר כלשהו יותר מפעם אחת), לכן  n_{k}>n_{k-1}\geq k-1 . כלומר  n_{k}>k-1 ולכן  n_{k}\geq k .
משפט שטולץ לסדרות

תהי  \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty } סדרה כלשהי, ותהי  \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty } סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת  y_{n}\to \infty  .
אם  \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=L במובן הרחב, אזי גם  \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L .
לפי הגדרת הגבול, לכל  \varepsilon >0 קיים  N\in \mathbb {N}  כך שלכל  n>N מתקיים:
 L-\varepsilon <{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\varepsilon 
 y_{n} מונוטונית עולה ממש, לכן  y_{n+1}>y_{n} או  y_{n+1}-y_{n}>0 וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:
יהי  K\in \mathbb {N}  המקיים  K>N . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:
נחלק את אי־השוויון ב־ y_{K+1}>0 ונקבל:
 {\begin{matrix}(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}-{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)\\\\(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}\end{matrix}}
 y_{n}\to \infty , לכן קיים  M\in \mathbb {N}  המקיים  M\geq K כך שיתקיים:
 L-\varepsilon <{\frac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<L+\varepsilon 
לכן  \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L .
\blacksquare
הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה  y_{n} תהיה חיובית ומונוטונית החל מאיבר מסוים בה ולאו דווקא מהאיבר הראשון שלה.
התכנסות סדרת הממוצעים

תהי  \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty } סדרה המתכנסת לגבול סופי  L . אזי גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול  L :
סדרת הממוצעים החשבונית:  A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}
סדרת הממוצעים ההנדסית:  G_{n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\times \cdots \times a_{n}}}={\sqrt[{n}]{\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}} אם  a_{n}>0 לכל  n
סדרת הממוצעים ההרמונית:  H_{n}={\dfrac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}} אלא אם כן  L=0 והסדרה אינה שוות סימן
תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ. ברור כי  \{n\}_{n=1}^{\infty } היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים:
 \lim _{n\to \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}a_{k}-\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{(n+1)-n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{1}}=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=L
אזי  A_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to L כדרוש.
\blacksquare
כעת נוכיח את הטענה השלישית.
אם  L\neq 0 אז הטענה נכונה טריוויאלית על־פי מה שהרגע הוכחנו. אם  a_{n}\to L נקבל כי  {\frac {1}{a_{n}}}\to {\frac {1}{L}} ואז כיוון ש־ H_{n}={\frac {n}{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}=\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}\right)^{-1} ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של  {\frac {1}{a_{n}}} נקבל מהטענה הראשונה כי  H_{n}\to \left({\frac {1}{L}}\right)^{-1}=L .
\blacksquare
המקרה הפרטי  L=0 הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמה פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי  a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}} . עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים  N\in \mathbb {N}  כך שלכל  n\geq N אברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי  \left\{{\frac {1}{a_{n}}}\right\} מתכנסת ל־ \infty  או ל־ -\infty  . עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על־פי נימוק דומה למקרה בו  L\neq 0 .
נותר לנו כעת רק להוכיח כי  G_{n}\to L אם  a_{n}>0 לכל  n . זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי־שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות:
לכן על־פי כלל הסנדוויץ' גם  G_{n}\to L ובזאת הושלמה ההוכחה.
\blacksquare
הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור  L=0 אך כאן  a_{n}>0 לכל  n, לכן הטענה נכונה במקרה זה כיוון שהסדרה שוות סימן.
התכנסות סדרת הממוצעים > הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית

ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד.
יהי  \varepsilon >0 .  a_{n}\to L, לכן קיים  K\in \mathbb {N}  כך שלכל  n\geq K מתקיים  |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}} .
כעת נסתכל על תת־סדרת האיברים עד  K, כלומר:  a_{1},\ldots ,a_{K-1},a_{K} . כיוון ש־ K קבוע (ערכו נקבע על פי אפסילון), תת־סדרה זו היא סופית ולכן סכום אבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים:  {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{K}a_{k}\ {\xrightarrow {n\to \infty }}\ 0 . אזי קיים  N_{1}\in \mathbb {N}  כך שלכל  n\geq N_{1} מתקיים  \left|{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{K}a_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{2}} .
כעת ניגש לטפל באיברים שנמצאים אחרי  K, כלומר  a_{K+1},\ldots ,a_{n-1},a_{n} (נשים לב שזהו אינו מספר סופי של איברים). כל אחד מאיברים אלו מקיים  |a_{k}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}} לכל  K+1\leq k\leq n טבעי. נסמן  N_{2}=\left\lceil {\frac {4K}{\varepsilon }}|L|\right\rceil  ונשים לב שהדבר גורר כי לכל  n\geq N_{2} מתקיים  {\frac {K}{n}}|L|<{\frac {\varepsilon }{4}} . אזי,
נסכם: נסמן  N=\max\{K,N_{1},N_{2}\} ונקבל כי לכל  n\geq N מתקיים:
אזי  A_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}\to L כדרוש.
\blacksquare
ראו גם

חשבון אינפיניטסימלי
מבחני התכנסות לטורים
גבול של סדרה
סדרת קושי
ייצוג גרפי של סביבת הנקודה a על ישר המספרים. המרחק של כל מספר אשר נמצא בסביבה מנקודה a קטן מרדיוס הסביבה, המיוצג על ידי ε ויכול להיות קטן כרצוננו.
על גבי הישר הממשי המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של ההפרש שלהם
יוז'נו-סחלינסק

יוז'נו-סחלינסק (ברוסית: Ю́жно-Сахали́нск, ביפנית: 豊原) היא עיר ברוסיה באי סחלין, אשר באוקיינוס השקט. בירת מחוז סחלין. העיר נמצאת בחלק הדרום-מזרחי של האי על נהר סוסויה.
היסטוריה

העיר נוסדה בשנת 1882 ככפר מהגרים מאזור אירקוצק ומחנה פושעים בשם ולדימירובקה. ב-1890 ביקר בעיר הסופר הרוסי אנטון צ'כוב ותיאר אותה בספרו "המסע לסחלין". בשנת 1905 נכבשה, יחד עם כל דרום האי, על ידי האימפריה היפנית, שמה שונה לטיוהרה והיא שימשה כמרכז מחוז קרפוטו מאוגוסט 1908. מ-1920 עד 1930 גדלה אוכלוסיית המחוז פי שלושה והגיע ל-293,000 תושבים, ובשנת 1940 כבר ל-360,000. רוב המהגרים שהגיעו באו גם מיפן עצמה, אך גם מקוריאה ומנצ'וריה והועסקו בעיקר בסלילת כבישים. בשנת 1945 הוחזרה לרוסיה, וצורפה למחוז חברובסקי, רוב המהגרים היפניים אולצו לשוב למולדתם. ב-4 ביולי 1946 שונה שמה ליוז'נו-סחלינסק והעיר הפכה גם למרכז חבל סחלין.
פרס מארק טוויין להומור אמריקאי

| --- | --- |

 תיאור:  פרס להומור אמריקאי
 מדינה:  ארצות הברית 
 תקופת הפרס:  1998–הווה (כ־27 שנים) 
 נקרא על שם:  מארק טוויין 
 אתר רשמי
 
פרס מארק טוויין להומור אמריקאי הוא פרס אמריקאי המוענק על ידי מרכז קנדי לאמנויות הבמה בוושינגטון די. סי. מדי שנה מאז 1998. הזוכים בפרס הם אישים ש"הייתה להם השפעה על החברה האמריקאית בדרכים דומות למארק טוויין".
מרכז קנדי בחר בטוויין מתוך הכרה בתפקידו כפרשן חברתי שנוי במחלוקת ו"הפרספקטיבה הבלתי מתפשרת שלו על אי צדק חברתי ואיוולת אישית". אירוע הזכייה השנתי, שכולל ארוחת ערב וגאלה בהשתתפות סלבריטאים, משמש כערב גיוס כספים משמעותי לטובת מרכז קנדי.
נכון לשנת 2025, 26 אנשים זכו בפרס: שש נשים ועשרים גברים. הזוכה הצעירה ביותר בפרס היא טינה פיי, שבשנת זכייתה (2010) הייתה בת 40. הזוכה המבוגרת ביותר הייתה קרול ברנט, בגיל 80 ב-2013.
אחרי הרשעתו בתקיפה מינית, הזכייה של ביל קוסבי בוטלה על ידי מרכז קנדי בשנת 2018. עקב מגפת הקורונה, לא היו זכיות ב-2020 וב-2021.
הערות שוליים

1 2  The Kennedy Center Mark Twain Prize for Humor, באתר מרכז קנדי‏, 29 במרץ 2020
↑  Sarah Bahr,‏ Jon Stewart to Receive Mark Twain Prize for American Humor, באתר ניו יורק טיימס‏, 19 בינואר 2022
נער הקקטוס

| --- | --- |

כרזת הסרט
 בימוי:  וולט דיסני
 הופק בידי:  וולט דיסני
 מדבבים:  וולט דיסני, מרסלייט גארנר, פינטו קולביג, קאונט קוטלי (Count Cutelli)
 מוזיקה:  קרל סטאלינג 
 אנימטור:  נורם פרגוסון
 מדינה:  ארצות הברית ארצות הברית
 חברת הפקה:  אולפני וולט דיסני
 חברה מפיצה:  סרטי קולומביה
 הקרנת בכורה:  10 במאי 1930
 משך הקרנה:  7 דקות
 שפת הסרט:  אנגלית
 סוגה:  סרט קצר, סרט הנפשה, סרט לכל המשפחה, סרט מוזיקלי
 דף הסרט ב־IMDb
 
נער הקקטוס (באנגלית: The Cactus Kid) הוא סרט הנפשה קצר אמריקאי של מיקי מאוס שיצא לראשונה בשנת 1930, כחלק מסדרת הסרטים הקצרים מיקי מאוס. זה היה הסרט הקצר של מיקי מאוס ה-18 שהופק והשלישי באותה שנה. הדמויות בסרט זה כוללות את מיקי, מיני מאוס כמלצרית בבר, פיט רגל-עץ בתור הנבל פדרו רגל-עץ, והוראס הורסקולר בתור הסוס של מיקי.
סרט קצר זה כולל מספר הופעות ראשונות ואחרונות בולטות: זוהי הפעם הראשונה שמרסלייט גארנר דיבבה את דמותה של מיני מאוס; זו גם הפעם הראשונה בסרטי מיקי מאוס שלפיט יש רגל-עץ. זהו גם סרט ההנפשה הקצר האחרון של אב אייוורקס לפני שעזב את אולפני דיסני, והאחרון בבימויו של וולט דיסני לחמש השנים הבאות.
עלילה

מיקי רוכב על סוסו עד לבר מקסיקני, שם הוא מוצא את מיני עובדת כמלצרית. הוא רוקד ומנגן בכפיות כדי לשעשע אותה, אבל כשהוא מושך את אפה בחוצפה, היא מתרגזת, נוזפת עליו בספרדית ואז מטיחה עליו מנורות ובקבוקים. הוא זוכה שוב בטובתה על ידי ריקוד מטופש ונגינה בפסנתר. פיט רגל-עץ, בריון מכוער, בוחן את מיני בתאווה ולאחר ריקוד לצלילי ניגונו של מיקי, הוא תופס את זרועה של מיני, לוקח כוס בירה ומבקש ממנה נשיקה. מיקי עומד מול הבריון, שופך עליו את הבירה והשניים שולפים את רוביהם.
לאחר שמיקי מאיים על פיט עם האקדח, האחרון מכבה את האורות ומיקי ופיט מנהלים קרב יריות נמרץ. פיט יוצא מהר כשמיני צועקת בזרועותיו, וקופץ על חמורו ורוכב משם. מיקי, לאחר ניסיונות כושלים לרכב על סוסו, מצליח סוף סוף להשיג את פיט ומזנק עליו ומכה בו אגרופים בפנים. בסוף פיט נופל מצוק ונמעך על ידי סלע, בעוד מיקי, מיני והסוס מנופפים לשלום לפיט הדו־ממדי.
דמויות ומדבבים

מיקי מאוס - וולט דיסני
מיני מאוס - מרסלייט גארנר
פיט רגל-עץ - פינטו קולביג
הוראס הורסקולר והחמור - קאונט קוטלי