קירוב WKB
יישום עבור משוואת שרדינגר

משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן במימד אחד היא:
ניתן לכתוב משוואה זו בצורה אחרת:
פונקציית הגל ניתנת להגדרה על ידי אקספוננט של פונקציה אחרת,  \Phi  (המשויכת לפעולה), אשר יכולה להיות גם פונקציה מרוכבת:
\Psi (x)=e^{\Phi (x)}~\quad (16)
כך ש:
כאשר  \Phi ' היא הנגזרת של  \Phi  לפי  x.
הנגזרת  \Phi ', יכולה להתפצל לחלק ממשי ולחלק מדומה הכוללים את הפונקציות הממשיות  A ו- B:
ואז משרעת פונקציית הגל היא  \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'\right]\,\!~ ואילו הפאזה היא:  \int ^{x}B(x')dx'\,\!~.
משוואת שרדינגר מתחלקת ל-2 משוואות: אחת עבור החלק הממשי  \quad (19) ואחת עבור החלק הדמיוני  \quad (20) כדלהלן:
B'(x)+2A(x)B(x)=0~\quad (20)
לאחר מכן, משתמשים בקירוב הסמי-קלאסי, קירוב WKB. משמעות הדבר היא כי כל פונקציה מפותחת כטור חזקות של קבוע פלאנק המצומצם,  \hbar . מתוך המשוואות לעיל, ניתן לראות כי טור החזקות חייב להתחיל עם סדר של  {\frac {1}{\hbar }} כדי להתאים לחלק הממשי של המשוואה.
על מנת להשיג גבול קלאסי טוב, יש צורך להתחיל עם חזקה גבוהה של קבוע פלאנק המצומצם,  \hbar  ככל האפשר:
B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)~\quad (22)
עבור "סדר 0" ניתן להביע את  A ו- B כך:
A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;\quad (24)
הנגזרות הראשונות  A'(x) ו- B'(x) נמחקו מאחר שהן כוללות פקטורים מסדר גודל של  {\frac {1}{\hbar }} הגבוה יחסית לסדר הדומיננטי  {\frac {1}{\hbar ^{2}}}.
מצד אחד, אם המשרעת משתנה לאט יחסית בהשוואה לפאזה  (A_{0}(x)=0), אזי מקבלים:
B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\quad (24)
המשוואה שלעיל,  \quad (24), תקפה רק כאשר האנרגיה הכללית גדולה יותר מהאנרגיה הפוטנציאלית  (E>V(x)), כפי שקורה תמיד בתנועה קלאסית.
אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, מקבלים כפתרון למשוואת שרדינגר את פונקציית הגל:
\Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{i\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}~\quad (25)
מצד שני, אם הפאזה משתנה לאט יחסית בהשוואה למשרעת  (B_{0}(x)=0), אזי מקבלים:
A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\quad (26)
המשוואה שלעיל,  \quad (26), תקפה רק כאשר האנרגיה הפוטנציאלית גדולה יותר מהאנרגיה הכללית  (E<V(x)), כפי שקורה תמיד במנהור קוונטי.
אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, כמקודם, מקבלים כפתרון למשוואת שרדינגר את פונקציית הגל:
2 הפתרונות המקורבים למשוואת שרדינגר, הן  \quad (25) והן  \quad (27), נעשים סינגולריים בנקודת המפנה או נקודת ה"תפר", כאשר  E=V(x) ולכן אינם תקפים בנקודה זו.
תקפות הקירובים היא מעל ומתחת גבעת הפוטנציאל. מעל גבעת הפוטנציאל החלקיק מתנהג כגל חופשי - פונקציית הגל אוסצילטורית. מתחת גבעת הפוטנציאל החלקיק עובר שינויים אקספוננטציאלים במשרעת.
על מנת להבטיח את הגלובליות של קירוב WKB עבור משוואת שרדינגר הכוללת גבעת פוטנציאל נדרש למצוא פתרון מקורב בנקודות המפנה שבהן  E=V(x). הדבר נעשה בדרך הבאה:
עבור נקודת המפנה הקלאסית,  x_{1} וקרוב ל-  E=V(x_{1}), הביטוי  {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right) ניתן לפיתוח כטור חזקות:
עבור הסדר הראשון מתקבל:
משוואה דיפרנציאלית זו ידועה כמשוואת איירי וניתן להביע את פתרונה במונחים של פונקציית איירי:
\Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\quad (30)
"תפירת" פתרון זה עם 2 הפתרונות המקורבים מעל ומתחת גבעת הפוטנציאל נעשית על ידי מציאת היחס בין המקדמים השונים,  C_{0},\theta  ו- C_{+},C_{-}. מאחר שפונקציות איירי בגבול האסימפטוטי, הופכות לפונקציות אקספוננטציאליות כגון: סינוס וקוסינוס, ניתן להביע את היחס בין המקדמים השונים דרך "פונקציות הקשר":
C_{-}=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad (32)
לסיכום, מתקבל פתרון מקורב גלובלי עבור משוואת שרדינגר הכוללת גבעת פוטנציאל.