stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
נקע (הנדסה)
תנועת נקעים בחומר

בעת הפעלת כוח חיצוני, נשברים הקשרים בין האטומים המקיפים את הנקע לשכניהם הקרובים בגביש, ונוצרת אינטראקציה בינם לבין אטומים במישור סמוך. באופן זה הנקע מתקדם לאורך הגביש. הכוח הדרוש לשבירת הקשרים של אטום יחיד נמוך מזה הדרוש לשבירת הקשרים של סריג שלם, ולכן תנועת הנקעים הא הסיבה לכוח הנמוך הדרוש לעיוות החומר. תנועת הנקעים בחומר מתבצעת תוך החלקה של חלק מן הגביש ביחס לחלק אחר לאורך מישור הנקרא מישור ההחלקה. במקרה של נקע קצה מישור ההחלקה מאונך למישור העודף ומכיל את וקטור קו הנקע ווקטור בורגרס, וכיוון ההחלקה מקביל לווקטור בורגרס. במקרה של נקע בורג כיוון ההחלקה מאונך לווקטורי בורגרס וקו הנקע, ומישור ההחלקה נפרש על ידי כיוון ההחלקה ווקטור בורגרס. בעת עיוות הגביש, הנקעים נעים לאורכו ואף גדלים תוך השפעת הכוח כך שייתכנו מרווחים גדולים של אתרי סריג ללא אטומים בגביש.
כאמור, התורה האלסטית של החומר והכוח הדרוש לעיוותו מתוקנים על ידי קיומם של נקעים. בעוד שתאורטית דרוש כוח רב כדי לעוות חומר בעל מבנה גבישי מושלם, בפועל דרוש כוח קטן יותר כדי לעוות את החומר - הכוח הדרוש להזזת הנקעים.
כדי למצוא כוח זה, נניח מודל של סריג חד־ממדי - שרשרת של מסות זהות המחוברות בקפיצים בעלי קבוע קפיץ k והנתונות בפוטנציאל פרבולי מחזורי בעל קבוע קפיץ  \mathrm {K}  (איור 4). על השרשרת מופעל כוח חיצוני f כך שהפוטנציאל הפרבולי המחזורי הוא
U(x)={\frac {1}{2}}\mathrm {K} \left[x-a\cdot int(x/a)\right]^{2}-fx
a הוא המרחק בין המסות בעת שיווי משקל. הכוח הפועל על המסה n הוא
f_{n}=k\left[x_{n+1}-x_{n}-a\right]+k\left[x_{n-1}-x_{n}+a\right]-{\operatorname {d} \!U \over \operatorname {d} \!x}
כעת בהינתן נקע בחומר, אחת המסות חסרה. ללא הגבלת הכלליות ניתן להניח כי בור הפוטנציאל במיקום n=0 ריק, כך שהמסה 0 נתונה בבור  -a והמסה 1 נתונה בבור  a. מכאן שהכוח על מסה n הוא
f_{n}=k\left[x_{n+1}-x_{n}-a\right]+k\left[x_{n-1}-x_{n}+a\right]+f-\mathrm {K} \left[x_{n}-a(n-1)\right];n\leq 0
f_{n}=k\left[x_{n+1}-x_{n}-a\right]+k\left[x_{n-1}-x_{n}+a\right]+f-\mathrm {K} \left[x_{n}-na\right];n>0
בשיווי משקל הכוח השקול מתאפס כך שהפתרונות לשתי המשוואות הם
 x_{n}={\frac {f}{\mathrm {K} }}+a(n-1)+A_{l}e^{qn};n\leq 0
x_{n}={\frac {f}{\mathrm {K} }}+an+A_{r}e^{-qn};n>0
על ידי הצבת הפתרונות במשוואות הכוחות, וכן השוואת שני הפתרונות עבור המיקומים n=0,1 נקבל
{\frac {\mathrm {K} }{k}}=e^{q}+e^{-q}-2
A_{l}={\frac {a}{e^{q}+1}}
A_{r}={\frac {-a}{e^{-q}+1}}
כאשר הכוח החיצוני המופעל גדול מספיק, מסה 0 הנתונה בשיווי משקל במיקום  -a תתגבר על בור הפוטנציאל ותנוע מעבר למיקום  -{\frac {a}{2}} כך שהנקע, כלומר בור הפוטנציאל הריק, ינוע בכיוון זה גם הוא.
כוח קריטי זה יחושב על ידי הפתרון עבור  n\leq 0
x_{0}=-{\frac {a}{2}}={\frac {f_{c}}{\mathrm {K} }}-a+A_{l}
f_{c}={\frac {a\mathrm {K} }{2}}tanh({\frac {q}{2}})
הכוח המקסימלי הדרוש להזזת המסות ממקומן אל בור הפוטנציאל הסמוך הוא  {\frac {a\mathrm {K} }{2}} בין אם קיימים נקעים או לאו. קיום הנקעים מוביל לפונקציית ה- tanh({\frac {q}{2}}) וכך מקטין את הכוח הדרוש לעיוות הגביש.
פיתוח זה מלמד על ההבדלים בין הכוח המדוד לבין זה התאורטי שהוצגו בסעיף 1.1.
אנרגיה של נקעים ותנאים היווצרם > האנרגיה הפוטנציאלית הדרושה ליצירת נקעים

כדי למצוא את האנרגיה הדרושה ליצירת נקע נתייחס לגביש תלת־ממדי ובו נקע בורג שנקבע כראשית הצירים. וקטור קו הנקע מקביל לציר  {\widehat {z}} ולכן סטיית המיקום גם היא בכיוון זה  {\bigl (}{\vec {u}}({\vec {r}})=u_{z}(x,y){\bigr )}. נתייחס אל תורת האלסטיות הליניארית עבורה סטיית המיקום רציפה בכל המרחב מלבד בסביבת הנקע.
האנרגיה הפוטנציאלית היא אם כך
U={\frac {a\mu }{2}}\int d^{2}r(\nabla u)^{2}
a הוא קבוע בעל יחידת אורך שנבחר להיות אורך וקטור בורגרס של הנקע (שאורכו כקבוע הסריג) ו-μ קבוע לאמה. בשיווי משקל סטיית המיקום מקיימת את משוואת לפלס  \nabla ^{2}u=0, ולכן הפתרון שיבחר הוא פונקציה אנליטית מרוכבת, בעלת אי רציפות בעת הקפה סביב מרכז הנקע. אי רציפות זו מייצגת את ווקטור בורגרס.
u_{z}(x,y)={\frac {a}{2\pi }}Im\{ln(x+iy)\}
פתרון זה מקיים קפיצה באורך וקטור בורגרס בעת הקפה סביב הראשית כדרוש. הצבה של פתרון זה בביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית תניב
U={\frac {a^{3}\mu }{8\pi ^{2}}}\int \limits _{a}^{R}dr2\pi r{\frac {1}{r^{2}}}={\frac {a^{3}\mu }{4\pi }}ln{\bigl (}{\frac {R}{a}}{\bigr )}+w
האינטגרל מתבצע בין סביבת הנקע - מרחק וקטור בורגרס מהראשית - ובין גבול הגביש R. האיבר  w מייצג את אנרגיית מרכז הנקע אשר לא ניתנת לחישוב באינטגרל מפאת התבדרות בראשית.
זו, אם כך, האנרגיה הדרושה לשם יצירת נקע בורג יחיד. בהינתן שני נקעים הממוקמים במרחק  x_{0} זה מזה ובעלי ווקטורי בורגרס זהים בגודלם אך הפוכים בכיוונם הפתרון עבור סטיית המיקום יינתן כך
u_{z}(x,y)={\frac {a}{2\pi }}Im\{ln(x+iy)-ln(x-x_{0}+iy)\}
והאנרגיה המתקבלת, על פי חישוב זהה לזה שנעשה עבור נקע יחיד:
U={\frac {a^{3}\mu }{2\pi }}ln{\bigl (}{\frac {x_{0}}{a}}{\bigr )}+2w
מתן אנרגיה, כמו הפעלת כוח או אנרגיית חום, מביא ליצירת נקעים בגביש בהתאם לביטויים הנ"ל.
אנרגיה של נקעים ותנאים היווצרם > טמפרטורה קריטית ליצירת נקעים

ניתן לראות כי האנרגיה של נקע יחיד מתבדרת עבור גביש גדול מאוד  {\bigl (}R\gg 1{\bigr )}, אך יחד עם זאת קיומם של נקעים מתאפשר מתוך שיקולי אנטרופיה והאנרגיה החופשית של המערכת.
בהנחה כי בריבוע באורך צלע  R וקבוע סריג  a יש  {\frac {R^{2}}{a^{2}}} אתרים למיקום מרכז הנקע, האנטרופיה היא
S=2k_{B}ln{\bigl (}{\frac {R}{a}}{\bigr )}
הצבה של האנטרופיה והאנרגיה של נקע יחיד בביטוי לאנרגיה החופשית של המערכת תניב
F=U-TS={\bigl (}{\frac {a^{3}\mu }{4\pi }}-2k_{B}T{\bigr )}ln{\bigl (}{\frac {R}{a}}{\bigr )}
בטמפרטורה הקריטית האנרגיה החופשית מתאפסת. מכאן שהטמפרטורה הקריטית היא
T_{c}={\frac {a^{3}\mu }{8\pi k_{B}}}
בטמפרטורה הגבוהה מטמפרטורה זו ייווצר נקע, והסדר הגבישי יופר כצפוי. על כן כשחומר נחשף לטמפרטורה גבוהה ייווצרו בו נקעים רבים שיובילו לעיוות וכך גם למעבר פאזה.
הערות שוליים

↑  Neil W. Ashcroft N. David Mermin, Solid State Physics, Harcourt College Publishers, 1976
↑  Michael P. Marder, Condensed Matter Physics, John Wiley & Sons, Inc, 2000
↑  Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, Inc, 2005
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007557963805171  BnF: cb11935830t (data)  GND: 4187993-4  LCCN: sh85038439 
איור 1 איור סכימטי של נקע קצה במישורי הגביש. וקטור קו הנקע מסומן בכחול וכיוונו לפנים האיור, ווקטור בורגרס האנכי לו מסומן בשחור.
איור 2 איור סכימטי של נקע בורג במישורי הגביש. ווקטור קו הנקע ווקטור בורגרס מקבילים זה לזה ואנכיים למישורי הגביש.
איור 3 בחלק העליון סריג ובו נקע קצה אל מול סריג מושלם. וקטור בורגרס מסומן, וכן ווקטור קו הנקע בצורת T, וכיוונו אל פנים מישור התמונה. בחלק התחתון סריג ובו נקע בורג אל מול סריג מושלם. ווקטור בורגרס ווקטור קו הנקע מקבילים זה לזה.
איור 4 מערך חד־ממדי של מסות המחוברות בקפיצים, הנתונות תחת פוטנציאל מחזורי חיצוני המשורטט מתחתיהן. המסה במיקום 0 חסרה, כך שקיים נקע במערך.
ריבוי נתיבים (גלי רדיו)

ריבוי נתיבים או רב נתיב (באנגלית: Multipath) היא שמה של תופעה בתקשורת אלחוטית אשר גורמת לאותות גלי רדיו להגיע אל אנטנה קולטת ביותר מנתיב אחד. גורמים נפוצים לריבוי נתיבים יכולים להיות הולכה אטמוספירית, שבירה והחזרה יונוספירית והחזרה מגופי מים או גופים אחרים כגון הרים או מבנים.
התופעות הנגרמות כתוצאה מריבוי נתיבים כוללות התאבכות בונה והורסת וכן הזחות במופע של האות. התאבכות הורסת יוצרת דעיכה. העוצמה של האות המגיע בכמה נתיבים בעל פיזור המתנהג על פי התפלגות ריילי. תופעה זו נקראת דעיכת ריילי.
דוגמאות

בפקסימיליה ותשדורת טלוויזיה (אנלוגית), תופעת Multipath גורמת לתופעות ריצוד וצללים, הנראות כתמונה כפולה דהויה לצד התמונה הראשית.
תופעה של קלט מדומה (Ghost) קורה כאשר התשדורת מוחזרת מהר או גוף גדול אחר, ובמקביל היא מגיעה למקלט בערוץ קצר וישיר יותר. המקלט קולט את שתי התשדורות במרווח קטן של זמן ביניהן.
בעיבוד אות של מכ"ם, ריבוי נתיבים גורם למטרות מדומות להיקלט ובכך נוצרת תמונת שמיים מעוותת. העיוותים קשים במיוחד לגילוי מפני שהם מתנהגים כמו הד של מטרות רגילות שהמכ"ם מחפש. למקלט קשה להפריד בין המטרות המדומות למטרה האמיתית. ניתן לשפר את תפקודו של מכ"ם כזה על ידי שנייצר מפה של הסביבה של המכ"ם ועל ידי כך יוכל המכ״ם לחשב הערכה של השפעות ריבוי נתיבים על אותות המגיעים אליו, ולחסר אותן מהאותות הנקלטים.
בתקשורת דיגיטלית (כמו GSM) ריבוי נתיבים מייצר שגיאות ומרעַ את איכות התקשורת. השגיאות נוצרות כתוצאה הפרעות תוך-סמליות (intersymbol interference או ISI). שימוש בשַׁויָן (Equaliser) יכול לקזז את השפעות ה-ISI. לחלופין, טכניקות של ריבוב OFDM ושימוש במקלטי "מגרפה" (Rake Receiver) יעילים גם הם לטיפול בתופעות ריבוי נתיבים.
במערכת ניווט לוויינית כמו GPS, גורם Multipath למקלט נייח לדווח כאילו הוא קופץ באופן אקראי או זוחל. כאשר המקלט בתנועה, ההפרעה יכולה להיות חבויה אולם היא גורמת לתוספת של שגיאה בהערכת המיקום והמהירות.
ריבוי נתיבים בתקשורת חוטית

תופעת Multipath בהתפשטות גלים קיימת גם בתקשורת חוטית. דוגמה נפוצה לכך היא תקשורת נתונים מעל רשת החשמל.
תקשורת מהירה על בסיס קווי חשמל משתמשת בדרך כלל בריבוב מרובה תדירויות (כמו OFDM) כדי להימנע מהפרעות בין סמלים שריבוי נתיבים גורם.
התקן G.hn ‏ITU-T, מאפשר לרשת מקומית העברת מידע בקצב גבוה תוך שימוש ברשת קיימת (כמו קווי חשמל, טלפון ועוד). שיטות שונות של OFDM בשימוש מפני שכל סוג של רשת מייצרת תופעות Multipath שונות.
מודלים מתמטיים

המודל המתמטי של ריבוי נתיבים ניתן להצגה בעזרת טכניקה של תגובה להלם המשמשת לתיאור מערכת ליניארית.
נניח שאנו רוצים לשדר אלומה אלקטרומגנטית של דיראק בזמן 0, כלומר:
בצד המקלט, לאור העובדה שיש ריבוי נתיבים אלקטרומגנטיים, יתקבלו מספר אלומות (בהנחה פשוטה של ערוץ עם רוחב פס בלתי מוגבל ולכן צורת האלומה אינה משתנה), וכל אחת מהן תגיע בזמן שונה. למעשה, מכיוון שהאלומות נעות במהירות האור, ומכיוון שכל נתיב עלול להיות בעל מרחק שונה משאר הנתיבים, הזמן הלוקח לגל להתקדם עד לכניסת המקלט, שונה (האור מתקדם קילומטר אחד בכ-3 מיקרו-שניות). אשר על כן האותות הנקלטים יבוטאו על פי:
כאשר  N הוא מספר האלומות הנקלטות (מספר השווה למספר הנתיבים),  \tau _{n} הוא העיכוב בזמן של האלומה ה- n^{th}, ו־ \rho _{n}e^{j\phi _{n}} מייצג את האמפליטודה המרוכבת (כלומר מכילה מגניטודה ומופע) של האות הנקלט. כתוצאה מכך,  y(t) מייצג גם פונקציית את התגובה להלם  h(t) של מוגל ריבוי הנתיבים.
באופן כללי יותר, כאשר התנאים של גאומטריית ההחזרות משתנים בזמן, התגובה להלם משתנה בזמן אף היא, ולכן:
בדרך כלל נעשה שימוש בפרמטר יחיד כדי לתאר את "חומרת" ריבוי הנתיבים והוא נקרא multipath time או ‏ T_{M}, והוא מוגדר כמשך הזמן בין האלומה הראשונה והאחרונה שנקלטות.
בתנאים מעשיים של חישוב ומדידה,  T_{M} יחושב כאלומה האחרונה, הראשונה שמאפשרת קליטת אחוז מוגדר מהעצמה הכוללת המשודרת, לאחר התחשבות בניחות התקדמות בקו הראייה ומעבר באטמוספירה (בדרך כלל 99%).
אם מתמקדים במערכות ליניאריות, קבועות בזמן, ניתן לאפיין את תופעת ריבוי הנתיבים בעזרת נוסחת שינוי הערוץ  H(f), אשר מוגדרת כהתמרת פורייה של התגובה להלם  h(t)
כאשר צד ימין של המשוואה מושג בקלות אם זוכרים שהתמרת פורייה של פונקציית דיראק היא פונקציה מעריכית מרוכבת, פונקציה עצמית של כל מערכת ליניארית.
המעבר בערוץ המתקבל מאופיין בעליות וירידות, פסגות ועמקים (הנקראים notches). ניתן להראות כי, בממוצע, המרחק (ביחידות Hz) בין שני עמקים (או שתי פסגות), הוא בקירוב ביחס הפוך ל- T_{M}. רוחב הפס הקוהרנטי מוגדר לכן כ:
לדוגמה, עם  T_{M} של 3 מיקרו שניות (שבהן אור מתקדם כקילומטר אחד), יש רוחב פס קוהרנטי של 330kHz.
ראו גם

אנטנת טבעת חנק - אנטנה המסוגלת (בין השאר) למזער חלק מהחזרות Multipath באותות GPS נקלטים.
תופעת ריבוי נתיבים באות המגיע אל מכ"ם ממטרה, הגורמת למטרות מדומות להיקלט במכ"ם.
שגיאה במדידת GPS של מיקום כתוצאה מריבוי נתיבים
מודל מתמטי של תגובה להלם של ריבוי נתיבים
קוד שאנון-פאנו

קוד שאנון-פאנו אשר שייך לתחום דחיסת נתונים וקרוי על שם קלוד שאנון ורוברט פאנו, הוא טכניקה לבניית קוד תחיליות (כלומר כל מחרוזת ביטים שמייצגת סמל אינה תחילית של מחרוזת המייצגת סמל אחר) המבוססת על קבוצה של סמלים והתדירות שהם מופיעים. הרעיון הכללי הוצע במאמר של שאנון "A Mathematical Theory of Communication" משנת 1948 שהציג את תחום תורת האינפורמציה. השיטה מיוחסת לפאנו שמאוחר יותר פרסם אותה כדו"ח מדעי. יש לשים לב ולא להתבלבל עם קוד שאנון או עם קוד שאנון-פאנו-אליאס (נקרא גם "קוד אליאס") אשר מתייחסים לדברים שונים.
בקוד שאנון-פאנו, הסמלים מסודרים לפי ההסתברויות שהם נמצאים, מהגדול לקטן ואז הם מחולקים לשתי קבוצות כך שסכום ההסתברויות בכל קבוצה שווה כמה שאפשר לקבוצה השנייה. כל סמל מקבל את הספרה הראשונה של קוד התחיליות שלו, הסמלים בקבוצה הראשונה מקבלים "0" והסמלים בקבוצה השנייה מקבלים "1". עבור כל קבוצה שנשאר בה יותר מסמל אחד, התהליך חוזר על עצמו וכל סמל יקבל ספרה נוספת. כאשר בקבוצה נשאר רק סמל אחד - הקוד עבור אותו סמל הושלם ואותו קוד לא יופיע בתחילת קוד של סמל אחר.
האלגוריתם מייצר קוד יעיל מאוד של מילות קוד בעלות אורך שונה. אולם קוד שאנון-פאנו לא תמיד יוצר קוד תחיליות אופטימלי. לדוגמה, עבור הקבוצה של ההסתברויות {0.35, 0.17, 0.17, 0.16, 0.15} קוד שאנון-פאנו יוצר קוד לא אופטימלי.
קוד האפמן ליצירת קוד תחיליות, כמעט תמיד קל יותר לחישוב ומייצר תמיד קוד תחיליות אופטימלי. כיוון שכך, קוד שאנון-פאנו כמעט שלא בשימוש.
קוד שאנון-פאנו משמש בשיטת הדחיסה IMPLODE, שהיא חלק מפורמט ZIP.
תיאור האלגוריתם

בונים עץ שאנון-פאנו על-פי חוקיות שנקבעה על מנת להגדיר טבלת סמל-קוד יעילה. האלגוריתם עובד כך:
עבור רשימה נתונה של סמלים, יש להתאים עבור כל סמל את ההסתברות או התדירות שלו בקטע המקור.
מיין את רשימת הסמלים לפי ההסתברות/התדירות שלהם כאשר הגבוהה ביותר נמצאת בשמאל והנמוכה ביותר בימין.
פצל את הרשימה לשני חלקים כך שההסתברות\תדירות הכוללת של החלק השמאלי, תהיה שווה עד כמה שניתן לחלק השני.
החלק השמאלי של הרשימה מקבל את הספרה הבינארית "0" והימני מקבל "1". הכוונה היא שכל קוד עבור סמל שנמצא בחלק השמאלי יתחיל ב-"0" ובימני יתחיל ב-"1".
חזור באופן רקורסיבי על חלקים 3 ו-4 עבור כל אחד משני החלקים - חלק בשנית כל חלק והוסף ביטים לקוד, עד שכל סמל הופך לעלה בעץ ויש לו קוד מתאים.
תיאור האלגוריתם > דוגמה

הדוגמה מראה בנייה של קוד שאנון-פאנו עבור אלפבית קטן. נניח שיש חמישה סמלים באלפבית עם התדירויות הבאות:
| סמל | E | D | C | B | A |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| כמות | 5 | 6 | 6 | 7 | 15 |
| הסתברות | 0.12820513 | 0.15384615 | 0.15384615 | 0.17948718 | 0.38461538 |
כל הסמלים ממוינים לפי תדירות משמאל לימין כמתואר בטבלה. לפי שלב 3 של האלגוריתם, נשים קו מפריד בין הסמלים B ו-C כך שסכום הקבוצה השמאלית יהיה 22 וסכום הימנית יהיה 17 - החלוקה שנותנת את ההפרש הקטן ביותר שניתן בין החלקים.
על פי החלוקה הזאת, עבור כל אחד מ-A ו-B, ישויך קוד שמתחיל בביט שערכו "0" ועבור C, D ו-E קוד שמתחיל ב-"1" כפי שמתואר בטבלה השנייה. לאחר מכן (שלב 4) החלק השמאלי של העץ מקבל חלוקה חדשה בין A ו-B, מה שמשאיר את A בתור עלה עם קוד 00 ואת B בתור עלה עם קוד 01.
אחרי ארבעה תהליכי חלוקה, נוצר העץ של הקוד. בעץ הסופי, שלושת הסמלים עם התדירויות הגבוהות, קיבלו קוד של שני ביטים כל אחד ושני הסמלים עם הכמות הקטנה יותר, שלושה ביטים כל אחד, כמו שמתואר בטבלה למטה
| סמל | E | D | C | B | A |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| קוד | 111 | 110 | 10 | 01 | 00 |
כתוצאה מכך ש-A, B ו-C מקבלים שני ביטים כל אחד ו-D ו-E מקבלים 3, ממוצע הביטים הוא:
קוד האפמן

אלגוריתם שאנון-פאנו, לא תמיד יוצר קוד תחיליות אופטימלי. בשנת 1952, דייוויד האפמן פרסם אלגוריתם אחר, שיוצר עץ אופטימלי עבור כל קבוצת סמלים עם הסתברות נתונה. העץ של האפמן נבנה מהעלים לכיוון השורש - מלמטה למעלה, בניגוד לעץ שאנון-פאנו שנבנה מהשורש לעלים - מלמעלה למטה.
האלגוריתם עובד כך:
צור תור עדיפויות  \ Q שיכיל צמתים המייצגים את כל הסמלים, ממוינים על פי הסתברות הופעתם.
כל עוד בתור העדיפויות יש יותר מצומת אחד, בצע:
צור צומת חדש,  \ z.
הוצא מתור העדיפויות את שני האיברים העליונים,  \ x,y - בעלי ההסתברות הנמוכה ביותר.
הפוך את  \ x,y לבנים הימני והשמאלי של  \ z.
קבע את ההסתברות של  \ z להיות סכום ההסתברויות של  \ x ו- \ y.
הכנס את  \ z לתור העדיפויות.
הצומת הבודד שנותר בתור העדיפויות הוא שורש עץ הקוד המבוקש.
הקוד עבור כל סמל יקבע לפי המסלול מהשורש לעלה שמייצג את הסמל. אם הקשת ה nית מובילה לבן שמאלי, ערך הביט ה nי יהיה "0". אם היא מובילה לבן לבן ימני, ערכו יהיה "1".
קוד האפמן > דוגמה

נשתמש באותם תדירויות כמו שהשתמשנו בדוגמה של שאנון-פאנו, כלומר:
| סמל | E | D | C | B | A |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| כמות | 5 | 6 | 6 | 7 | 15 |
| הסתברות | 0.12820513 | 0.15384615 | 0.15384615 | 0.17948718 | 0.38461538 |
על פי האלגוריתם של האפמן, ל-D ו-E יש את ההסתברות הנמוכה ביותר ולכן יהיו בנים לצומת בעלת ההסתברות של D ו-E ביחד, כלומר 0.28205128. הזוג הבא בתור הוא B וC ויהיו בנים לצומת בעלת ההסתברות של B וC ביחד, כלומר 0.33333333. זה משאיר את BC ו-DE עם ההסתברות הנמוכה ביותר בתור ולכן גם הם יהיו בנים לצומת BCDE שבתורה תהיה יחד עם A, בן לצומת אחרונה.
אורכי הקודים עבור הסמלים יהיו הפעם: ביט 1 ל-A ו-3 ביטים עבור שאר הסמלים.
| סמל | E | D | C | B | A |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| קוד | 111 | 110 | 101 | 100 | 0 |
כתוצאה מכך ש-A מקבל ביט 1 וכל אחד מהשאר מקבלים 3 ביטים, ממוצע הביטים הוא:
שזה פחות מהתוצאה שיצאה לנו עבור האלגוריתם של שאנון-פאנו.
הערות שוליים

↑  Fano 1949
↑  "APPNOTE.TXT - המפרט של פורמט ZIP".
קוד שאנון-פאנו
קוד האפמן
מתקפת ארזורום

מתקפת ארזורום נערכה במהלך המערכה בקווקז במלחמת העולם הראשונה. בתאריכים 10 בינואר 1916 – 16 בפברואר 1916 על ידי האימפריה הרוסית נגד האימפריה העות'מאנית באזור מזרח טורקיה בפאתי הרי הקווקז. המתקפה הסתיימה בניצחון רוסי והם התקדמו כ-150 ק"מ לעומק השטח הטורקי.
תוכניות הצדדים

ארזורום הייתה מרכז לוגיסטי של ההגנה העות'מאנית באזור. העיר ממוקמת בכניסה לעמק ומהווה מרכז תחבורתי חשוב. לאחר סיום מערכת גליפולי הצבא העות'מאני שלחם באזור השתחרר. הפיקוד העליון תכנן להעביר אותו לאזור הקווקז במטרה להכריע את המערכה. מפקדי צבא האימפריה העות'מאנית לא האמינו שהרוסים יפתחו במתקפה בחורף ולאור הלקחים של תחילת המלחמה לא תכננו מתקפה לתקופה זו. בהתאם לכך הם החליטו להעביר חלק מהכוח שהיה מוצב באזור לעיראק וגם את התגבורות מאזור גליפולי שלחו לאזור עיראק במטרה לחזק את הכוח הלוחם נגד הבריטים באזור. הם תכננו לסיים את המערכה בעיראק לקראת האביב ובהמשך להתחיל במתקפה באזור הקווקז. רמת החיילים העות'מאנים באזור הקווקז הייתה ירודה ויש הטוענים שרק כמחצית היו חיילים קרביים.
ניקולאי יודניץ' שפיקד על הצבא הרוסי באזור היה מודע למצב ולכן החליט להקדים ולהתחיל את מתקפתו עוד לפני הגעת התגבורות לאויב. מטרת המתקפה הייתה לכבוש את העיר ארזורום ובהמשך גם עיר נמל טרבזון. למטרה זו הוא ריכז כוח של כ-180 אלף חיילים ו-375 תותחים. הכוח התכונן ללחימת חורף באזור הררי, קיבל אספקת בגדים חמים ונערכו אימונים.
מהלך המתקפה

כשלב ראשון של המתקפה היה צורך לפרוץ את קו ההגנה של העות'מאנים באזור קפריקיי ומבצר גאסאן-קאלה. זאת לאחר כישלון ניסיון רוסי קודם לפרוץ את קו ההגנה הזה. הפעם הרוסים תכננו לתקוף באמצעות 2 אוגדות שיעקפו את האזור מצפון ויתקפו את קו ההגנה מהעורף. אוגדה נוספת תקפה את קו ההגנה בקפריקיי מלפנים.
לאחר הפגזה ארטילרית קשה, הרוסים החלו במתקפה בבוקר 7 בינואר. העות'מאנים שלחו תגבורות לאזור הקרב אך העברת תגבורות הייתה איטית ורוסים המשיכו בהתקדמות. ב-12 בינואר אוגדות רוסיות החלו בביצוע איגוף. לאחר יומיים של קרבות הם הצליחו להתקדם מספיק כדי לסכן את הקו ההגנה הראשי בכיתור. למרות המצב הטורקים עמדו במתקפה ולא הייתה הכרעה. במטרה לעמוד במתקפה, מפקד העות'מאני באזור אבדילקרים פאשה החל בהעברת כוחות מאגף הדרומי של ההגנה לאגף הצפוני המותקף. ניקולאי יודניץ' גילה את המהלך והחל מתקפה גם באגף הדרומי. תוך זמן קצר קו ההגנה נפרץ והעות'מאנים החלו בנסיגה לא מאורגנת מערבה. הרוסים לא רק פרצו את קו ההגנה בקפריקיי אלא גם הצליחו לכבוש את מבצר גאסאן-קאלה והצבא העות'מאני נסוג לאזור מבצר ארזורום.
ניקולאי יודניץ' החל בהכנות לכיבוש ארזורום. תחילה החלו טיסות מודיעין של חיל האוויר במטרה ללמוד את קו ההגנה העות'מאני. לאחר מספר שבועות של הכנות באזור רוכזו כ-60 אלף חיילים המוכנים לקרב. במקביל הצי הרוסי הצליח להטביע מעל ל-100 אוניות עות'אמניות בים השחור שהיו מביאות אספקה לנמל טרבזון. אספקה זו בסופו של דבר הייתה מיועדת לצבא הלוחם באזור ארזורום.
ב-11 בפברואר 1916 החלה הפגזת תותחים ולקראת חצות רוסים החלו להתקדם. הם ניצלו היטב את החשכה, הצליחו להגיע קרוב מאוד לעמדות ההגנה והחלו בקרבות מטווח קצר. לאחר מספר ימים של קרבות, העות'מאנים נטשו במהירות את המוצבים סביב העיר תוך שהם לוקחים אתם את כל כוחותיהם ותותחיהם הקלים. בבוקר 16 בפברואר הצבא הרוסי נכנס לעיר עצמה ללא קרב. הצבא העות'מאני נסוג כ-8 ק"מ מהעיר והחל להתבצר בקו ההגנה החדש.
תוצאות המתקפה

הצבא הרוסי התקדם כ-150 ק"מ, הארמייה ה-3 של העות'מאנים איבדה מעל למחצית מכוחה ולמעשה הפסיקה להתקיים כיחידה לוחמת. באפריל 1916 כבשו הרוסים את עיר הנמל טרבזון וביולי את ארזינדג'ן. הצבא הרוסי כבש כמעט את כל האזור של ארמניה המערבית שאוכלס ברובו על ידי אוכלוסייה ארמנית.
לעות'מאנים הניצחון הרוסי היה צורם ביותר. מפקד הכוחות באזור אבדילקרים פאשה הועבר מתפקידו. הממשל לא היה יכול לנצל הצלחות במערכת גליפולי בדעת הקהל. נעשו מאמצים רבים לשלוח תגבורות לאזור במטרה לעצור התקדמות רוסית לתוך עומק השטח העות'מאני.
הערות שוליים

↑  הד כבוש ערזרום ברוסיה, הצפירה, 21 בפברואר 1916
| החזית המזרחית במלחמת העולם הראשונה |
| --- | --- | --- |
| הפלישה הרוסית לפרוסיה המזרחית | קרב שטלופנן • קרב גומבינן • קרב טננברג • הקרב הראשון על האגמים המזוריים • הקרב השני על האגמים המזוריים |  |
| קרב גליציה | קרב קרשניק • קרב קומרוב • קרב גנילה ליפה • קרב רווה • המצור על פשמישל |  |
| המערכה בקווקז במלחמת העולם הראשונה | קרב סריקמיש • מתקפת ארזורום • קרב ארזינג'אן • קרב באש-אפאראן |  |
| קרבות נוספים | הקרב על הוויסלה • קרב לודז' • מתקפת גורליצה-טרנוב • הנסיגה הגדולה • מתקפת ברוסילוב • קרב קובל • מתקפת קרנסקי |  |
קריטריון ראות'-הורוביץ

קריטריון ליציבות ראות'-הורוביץ (Routh – Hurwitz) בתורת הבקרה הוא תנאי מתמטי הכרחי ומספיק ליציבות של מערכת בקרה ליניארית שאינה משתנה בזמן (LTI).
המתמטיקאי האנגלי אדוארד ג'ון ראות' בשנת 1876 הציע את "תנאי ראות'", אלגוריתם רקורסיבי יעיל שמאפשר לקבוע אם לכל השורשים של פולינום אופייני של מערכה ליניארית יש חלקים ממשיים שליליים – כלומר המערכת יציבה. המתמטיקאי הגרמני אדולף הורוביץ הציע באופן עצמאי בשנת 1895 לסדר את מקדמי הפולינום האופייני למטריצה מרובעת, המכונה מטריצת הורביץ, והראה שהפולינום יציב אם ורק אם מטריצות משנה שלה חיוביות.
שני התנאים שקולים, כאשר תנאי ראות' מספק דרך יעילה יותר לחשב את קבועי הורביץ מאשר לחשב אותם ישירות.
חשיבות הקריטריון היא שכאשר השורשים של הפולינום האופייני של מערכת ליניארית בעלי חלקים ממשיים שליליים הם מייצגים פתרונות יציבים וחסומים של המערכת. לכן התנאי מספק דרך לקבוע אם למשוואות התנועה של מערכת ליניארית יש פתרונות יציבים בלבד, מבלי לפתור את המערכת ישירות.
עם התפתחות המחשבים, ירד השימוש בחישוב של הקריטריון משום שניתן לפתור באופן נומרי את הפולינום ולחשב את שורשי הפולינום האופייני באופן ישיר.
עבור מערכות דיסקרטיות, ישנם קריטריוני יציבות נוספים כמו קריטריון השור-כהן, מבחן ג'רי ומבחן ביסטריז.
יישום

תנאיים הכרחיים (ולא מספיקים) ליציבות הם:
כל מקדמי הפולינום יהיו חיוביים
אין מקדם השווה לאפס – פולינום מלא.
יישום > דוגמה כללית

נניח מערכת עם פולינום אופייני מסדר n.
D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}
נגדיר טבלה עם n + 1 שורות באופן הבא:
בשתי השורות הראשונות נציב את מקדמי הפולינום. לאחר מכן נחשב את שאר איברי הטבלה.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|  \dots  |  a_{n-4} |  a_{n-2} |  a_{n}  |
|  \dots  |  a_{n-5} |  a_{n-3} |  a_{n-1}  |
|  \dots  |  b_{3} |  b_{2} |  b_{1}  |
|  \dots  |  c_{3} |  c_{2} |  c_{1}  |
|  \vdots  |  \vdots  |  \vdots  |  \ddots   |
כאשר האיבר  b_{i} and  c_{i} מחושבים באמצעות:
b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_{n-1}}}.
c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}..
כמות החלפות הסימן בעמודה הראשונה מעידה על כמות קטבים האי שליליים במערכת.
יישום > דוגמה פרטית

נבחן את יציבות מערכת עם הפולינום האופייני:
0.75s^{3}-3s^{2}+1.5s+6=0
ראשית, באופן מידי ניתן לראות שלא כל המקדמים חיוביים – תנאי הכרחי ליציבות.
כעת נממש את טבלת ראות':
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 |  1.5 |  0.75  |
| 0 | 0 |  6 |  -3  |
| 0 | 0 | 0 |  3={\frac {-3*1.5-0.75*6}{-3}}  |
| 0 | 0 | 0 |  6={\frac {3*6-0*(-3)}{3}} |
בעמודה הראשונה, שתי החלפות סימן (3- → 0.75, וגם 3 → 3-), שמעידות על שני קטבים אי שלילים במערכת ולכן המערכת לא יציבה.
ראו גם

דיאגרמת נייקוויסט
שיטת לוקוס השורשים (אנ')
הערות שוליים

↑  Routh, E. J. (1877). A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion. Macmillan.
↑  Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt". Math. Ann. 46 (2): 273–284. doi:10.1007/BF01446812. (English translation “On the conditions under which an equation has only roots with negative real parts” by H. G. Bergmann in Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory R. Bellman and R. Kalaba Eds. New York: Dover, 1964 pp. 70–82.)
יורים ושרים

| --- | --- |

יורים ושרים
 סוגה:  היסטורי-תיעודי
 יוצרים:  דן ערב, ארז לאופר, אלינור קוברסקי, עדנה קוברסקי
 כותבים:  ארז לאופר
 בימוי:  ארז לאופר
 משתתפים:  אריק איינשטיין  שלום חנוך  חנה מרון  מירי אלוני  יהורם גאון  יגאל בשן  שלמה ארצי
 פסקול:  רונן סבו
 ארץ מקור:  ישראל ישראל
 שפות:  עברית
 מספר פרקים:  4
 הפקה
 מפיק:  עדנה קוברסקי אלינור קוברסקי
 עורכים:  מירי לאופר  דן ערב (עורך הסדרה)
 צלמים:  ארז לאופר
 אורך פרק:  60 דקות
 שידור
 רשת שידור:  טלעד
 רשת שידור בישראל:  ערוץ 2
 תקופת שידור בישראל:  18 באוקטובר 2004 (ערוץ 2)
 קישורים חיצוניים
 דף התוכנית ב-IMDb
יורים ושרים היא מיני-סדרה היסטורית-דוקומנטרית בת ארבעה פרקים משנת 2004 אודות תופעת הלהקות הצבאיות בישראל. משתתפים בה מיטב אמני ישראל, וביניהם: אריק איינשטיין, שלום חנוך, חנה מרון, מירי אלוני, יהורם גאון, יגאל בשן, שלמה ארצי ורבים אחרים.
הסדרה הוקרנה בפסטיבל ירושלים ובפסטיבל חיפה, שודרה בערוץ 2 והייתה מועמדת לפרס הסדרה התיעודית הטובה ביותר מטעם האקדמיה הישראלית לקולנוע וטלוויזיה. היא נכתבה, בוימה וצולמה על ידי ארז לאופר, ונערכה על ידי מירי לאופר ודן ערב.