stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
אצטדיון פודגוריצה סיטי

| --- | --- |

 מיקום:  פודגוריצה, מונטנגרו
 קואורדינטות:  42°26′41″N 19°15′52″E﻿ / ﻿42.444728°N 19.264378°E﻿ / 42.444728; 19.264378
 תקופת הפעילות:  1945–הווה (כ־79 שנים)
 שופץ:  2004–2006
 בעלים:  עיריית פודגוריצה
 מפעיל:  התאחדות הכדורגל של מונטנגרו 
 משטח:  דשא
 קבוצות:  נבחרת מונטנגרו בכדורגל   בודוצ'נוסט פודגוריצה
 מושבים:  11,264
 he
 
אצטדיון פודגוריצה סיטי הוא אצטדיון כדורגל בו משחקות הנבחרת הלאומית של מונטנגרו בכדורגל וקבוצת הכדורגל המקומית בודוצ'נוסט פודגוריצה. באצטדיון נערך משחקה הראשון של נבחרת מונטנגרו נגד נבחרת הונגריה בו ניצחה מונטנגרו 1–2.
היסטוריה

אצטדיון העיר פודגוריצה נבנה בשנת 1945, לאחר מלחמת העולם השנייה.
לפני המלחמה, בודוצ'נוסט פודגוריצה ומועדונים אחרים מפודגוריצה שיחקו את המשחקים שלהם במגרש ליד מיקומו של המגרש היום.
הקיבולת המקורית של האצטדיון הייתה בסביבות 5,000 צופים. האצטדיון נשרף כליל ב-1952, אך נבנה מאוחר יותר מחדש, עם קיבולת חדשה של כ-17,000 מושבים. באצטדיון החדש ישנם ארבעה יציעים - מערב, מזרח, דרום וצפון.
בשנת 1989 הותקנו זרקורים באצטדיון העיר פודגוריצה (שנודע אז בשם טיטוגרד). במהלך שנות ה-80 שוחזר היציע הראשי (מערבי).
לאחר התפרקות יוגוסלביה, עבר האצטדיון עבודות בנייה נוספות. היציע המזרחי נהרס, ונבנה יציע צפוני חדש. והקיבולת צומצמה ל-12,000.
ב-27 במרץ 2015, התרחש אירוע חריג באצטדיון, הופסק משחקם של מונטנגרו ורוסיה באמצע על ידי השופטים כדי להבטיח את שלומם של השחקנים. במהלך המשחק, השוער הרוסי איגור אקינפייב נפגע בראשו ונשלח כתוצאה מכך לבית חולים. רוסיה זכתה בתוצאה 0–3 על ידי אופ"א כתוצאה מנטישת המשחק.
היציע הצפוני הוא ביתם של אולטראס האוהדים המקומיים, "Budućnost".
הערות שוליים

1 2   מוקדמות יורו 2016: רוסיה קיבלה ניצחון טכני מול מונטנגרו, באתר וואלה, 8 באפריל 2015
↑  Stadion - FK Budućnost Podgorica, www.fk-buducnost.me
ערך זה הוא קצרמרבנושא כדורגל ובנושא מונטנגרו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
אלמר פולוני

| --- | --- |

 לידה:  1 בנובמבר 1871 שאטוראליאויהיי, הונגריה 
 פטירה:  15 בנובמבר 1942 (בגיל 71) בודפשט, ממלכת הונגריה 
 שם לידה:  Pollatschek Juda Elemér 
 מוקד פעילות:  הונגריה 
 כלי נגינה:  פסנתר 
 
אלמר פולוני (במקור יהודה פולאצ'ק, בהונגרית: Polonyi Elemér; שאטוראליאויהיי, 31 באוקטובר 1870 – בודפשט, 15 בנובמבר 1942) היה פסנתרן יהודי-הונגרי, מורה למוזיקה, מלחין.
ביוגרפיה

אלמר פולוני נולד במשפחה יהודית כבנם של איגנץ פולוני (Pollatschek) (1916–1844) שהיה יצרן יין ושל פאני ברגר (1852–1930). הוא היה תלמידו של אימרה סקיי ב"מוזיקה הלאומית" (נקרא היום "גימנסיית בלה ברטוק להכשרת מוזיקלית ולכלי נגינה") ולאחר מכן של שטאבנהאגן (אנ') בוויימאר. הוא למד גם בקונסרבטוריון של וינה. הוא נתן כמה קונצרטים בערים הונגריות ובחו"ל. בשנת 1902 הוא הפך למורה למוזיקה בגימנסייה שהוא עצמו למד ומאוחר יותר מונה למנהל כבוד שלה.
יצירותיו

קטעי פסנתר
רפסודיה הונגרית 1891
Caprice
Scenes de Ballet
Polonaise de concert
La mer
שירים
לקריאה נוספת

אלמר פולוני בלקסיקון הביוגרפי Arcanum
הערות שוליים

↑  "Születési bejegyzése a sátoraljaújhelyi izraelita hitközség születési akv. 206/1870. folyószáma alatt".
↑  "Polonyi Ignác halotti bejegyzése a Budapest VI. kerületi polgári halotti akv. 1729/1916. folyószáma alatt".
↑  "Polonyi Ignácné Berger Fanni halotti bejegyzése a Budapest VI. kerületi polgári halotti akv. 30/1930. folyószáma alatt".
↑  Szabolcsi Bence-Tóth Aladár: Zenei lexikon, Átdolgozott új kiadás. Főszerk. dr. Bartha Dénes, szerk. Tóth Margit. Bp., Zeneműkiadó Vállalat, 1965., III. k. 137. old.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  PLWABN: 9810612737005606  VIAF: 74145910054827020902   WorldCat (עם VIAF): 74145910054827020902
ארסן גלסטיאן

ארסן ז'ראייביץ' גלסטיאן (בארמנית: Արսեն Գալստյան, ברוסית: Хасан Магометович Халмурзаев; נולד ב-19 בפברואר 1989) הוא ג'ודוקא רוסי יליד ארמניה. גלסטיאן מתחרה בקטגוריית המשקל עד 60 ק"ג והוא האלוף האולימפי מלונדון 2012. גלסטיאן מחזיק גם במדליית ארד מאליפות העולם מ-2010 ובשלוש מדליות מאליפות אירופה.
ביוגרפיה

גלסטיאן נולד ב-19 בפברואר 1989 בעיירה נרקין קארמירגביור שבצפון-מזרח ארמניה. אביו היה שחקן כדורגל ששיחק בחצי השני של שנות השבעים במועדון הכדורגל פ.צ. אימפולס ומאוחר יותר באררט ירוואן. בצעירותו, גלסטיאן אהב לתופף. כאשר היה בן שבע, עבר עם משפחתו לעיירה גיאגינסקאיה שבמערב רוסיה. גלסטיאן שיחק כדורעף וכדורגל לפני שהחל להתאמן במועדון הג'ודו המקומי. אחיו, ארמן וטיגראן, גם מתחרים בג'ודו. איגור רומנוב היה מאמנו הראשון של גלסטיאן ועדיין מאמנו האישי.
מאוחר יותר גלסטיאן עבר לעיר קרסנודאר ועבד כמפקח זוטר במרכז מעצר ביטחוני במחוז קרסנודאר. גלסטיאן היה סטודנט במחלקת הספורט של אוניברסיטת קברדינו-בלקאריאן.
בשנת 2007, התחרה באליפות רוסיה בג'ודו וסיים במקום השלישי. באותה השנה החל גם לייצג את רוסיה בתחרויות בינלאומיות. הוא חבר נבחרת הג'ודו הרוסית מאז שנת 2007. בשנת 2009 התחרה באליפות אירופה וזכה במדליית הזהב, ברבע הגמר ניצח את רובן האוקס ההולנדי ובחצי הגמר את אליו ורדה האיטלקי. בגמר ניצח את גאורגי זנטראיה האוקראיני כאשר כחצי דקה מפתיחת הקרב קיבל ניקוד ווזארי ולקראת הדקה האחרונה לקרב גלסטיאן ביצע תרגיל נוסף ושוב קיבל ווזארי שהיווה בעצם איפון והספיק לנצח את האוקראיני. ביולי אותה השנה הוא התחרה בגראנד סלאם ריו דה ז'ניירו וזכה במדליית הארד.
בינואר 2010, הוא התחרה בטורניר המאסטרס היוקרתי שנערך בסוואן שבדרום קוריאה וזכה במדליית הארד. ב-21 במאי הוא זכה במדליית הארד בגראנד סלאם ריו דה ז'ניירו, כמו שעשה שנה לפני כן. ב-12 בספטמבר הוא התחרה באליפות העולם שנערכה בטוקיו וזכה במדליית הארד. בשלב רבע הגמר ניצח את הירואקי היראוקה היפני לאחר שביצע תרגיל בריח, בחצי הגמר הפסיד לגאורגי זנטראיה האוקראיני ונשר לקרב על מדליית הארד בו גבר על אליו ורדה האיטלקי.
באליפות אירופה בשנת 2011 שנערכה באיסטנבול, זכה גלסטיאן במדליית הארד. הוא הגיע לשלב רבע הגמר בו פגש את אליו ורדה והצליח לנצח כשתי דקות מפתיחת הקרב לאחר שקיבל איפון. בחצי הגמר הוא הפסיד לבקיר אוזלו הטורקי ונשר לקרב על מדליית הארד בו ניצח באיפון את אמירן פאפינשווילי הגיאורגי. באליפות העולם באותה השנה סיים במקום השביעי. עוד באותה השנה הוא זכה במדליית הכסף בטורניר המאסטרס שנערך בבאקו.
את שנת 2012 גלסטיאן פתח עם זכייה בטורניר המאסטרס שנערך ב-14 בינואר באלמטי לאחר ניצחון בגמר על רישוד סובירוב האוזבקי. ב-28 ביולי הוא התחרה במשחקים האולימפיים בלונדון וזכה במדליית הזהב. בקרב הראשון ניצח גלסטיאן את זקארי גורוזה מניז'ר, בשמינית הגמר ניצח את יאן סיקארדי ממונקו וברבע הגמר ניצח את אלוף אסיה צ'וי גוואנג-היון הקוריאני. בשלב חצי הגמר גלסטיאן ניצח את המדורג ראשון בעולם רישוד סובירוב האוזבקי ובגמר גבר באיפון על הירואקי היראוקה היפני 41 שניות מפתיחת הקרב. זכייה זו הייתה המדליה הראשונה של רוסיה במשחקים האולימפיים בלונדון וגלסטיאן הפך לג'ודוקא הראשון בתולדות הפדרציה הרוסית שזוכה במדליית זהב אולימפית.
בנובמבר 2013, הוא זכה במדליית ארד בגראנד פרי אבו דאבי ובשנת 2014 זכה במדליות ארד בגראנד פרי דיסלדורף וגראנד פרי טביליסי, באליפות אירופה באותה השנה סיים במקום השביעי. בשנת 2015 גלסטיאן עבר לקטגוריית המשקל עד 66 ק"ג וזכה במדליית ארד בגראנד פרי בודפשט, במדליית ארד בגראנד פרי אולן בטור ובמדליית כסף בגראנד סלאם אבו דאבי.
באליפות אירופה בשנת 2016 שנערכה בקאזאן זכה במדליית הארד בקטגוריית המשקל עד 66 ק"ג לאחר שניצח בקרב על המדליה את אדריאן גומבוץ הסלובני. בגראנד סלאם אבו דאבי באותה השנה זכה במדליית הארד.
הערות שוליים

↑  פרופיל וסטטיסטיקות אודות הג'ודוקא באתר sports-reference.com
↑  מידע על הג'ודוקא באתר JudoInside.
↑  אולגה בונדרנקו, אנה קוזינה, "סולו על הטטאמי", 2 באוגוסט 2012, אתר '.www.rg.ru' (ברוסית)
↑  "ביוגרפיה של הג'ודוקא ארסן גלסטיאן", 28 ביולי 2012, אתר 'רי"א נובוסטי' (ברוסית)
↑  הקרב מול גאורגי זנטראיה בגמר אליפות אירופה 2009.
|  אלופים אולימפיים בג'ודו – משקל קל ביותר (גברים) |
| --- | --- | --- |
| עד 60 ק"ג | 1980:  תיירי ריי   •   1984: יפן שינג'י הוסוקאווה   •   1988: קוריאה הדרומית קים ג'יי-יופ   •   1992: נאזים חוסיינוב    •   1996: יפן טדהירו נומורה   •   2000: יפן טדהירו נומורה   •   2004: יפן טדהירו נומורה   •   2008: קוריאה הדרומית צ'ה מין-הו   •   2012: רוסיה ארסן גלסטיאן   •   2016: רוסיה בסלאן מודראנוב   •   2020: יפן נאוהיסה טקאטו •  2024: קזחסטן ילדוס סמטוב |  |
אצטדיון פאולו מאצה

| --- | --- |
אצטדיון פאולו מאצה מבפנים, 2018
אצטדיון פאולו מאצה מבפנים, 2018
 כינוי:  פאולו מאצה
 על שם:  Paolo Mazza 
 שמות קודמים:  סטאדיו ליטוריאלה סטאדיו קומונאלה פרארה
 מיקום:  איטליה פרארה, איטליה
 קואורדינטות:  44°50′23″N 11°36′27″E﻿ / ﻿44.839722°N 11.6075°E﻿ / 44.839722; 11.6075
 אבן יסוד:  1927
 תקופת הפעילות:  1928–הווה (כ־96 שנים)
 שופץ:  1951, 1966, 1979, 1988, 2016 – 2018
 בעלים:  ספאל
 מפעיל:  ספאל 
 משטח:  דשא
 אדריכל:  קרלו סבונוצ'י
 קבוצות:  ספאל (1928 - )
 מושבים:  16,134
 ממדי משטח:  105x68 מטר
 www.spalferrara.it/stadio/
 he
 
אצטדיון פאולו מאצה (באיטלקית: Stadio Paolo Mazza; נקרא בעבר: אצטדיון הליטוריו ואצטדיון קומונאלה)הוא אצטדיון רב-שימושי הממוקם בפרארה שבאיטליה.
האצטדיון הוא האצטדיון הביתי של קבוצת הכדורגל של ספאל מהסרייה ב'.
זהו האצטדיון החמישי הישן ביותר באיטליה, והיה מהמועמדים ל"אצטדיון השנה" של אתר StadiumDB.com בשנת 2018.
היסטוריה

האצטדיון ממוקם בריונה גיארדינו, במערב פרארה בתוך חומות העיר פרארה, איפה שעמד בעבר ה"פיאצה ד'ארמי" של העיר - האצטדיון הישן משנת 1919.
האצטדיון תוכנן על ידי המהנדס קארלו סאבונוצ'י, כחלק מתוכנית שלמה לשיפוץ העיר פרארה אחרי מלחמת העולם הראשונה.
אבן הפינה הונחה ב-1927 ומשחק הבכורה התקיים ב-20 בספטמבר 1928. לאחר שנפתח (בתור "אצטדיון ליטוריאלה") בתחילה הכיל האצטדיון 4,000 מקומות ישיבה, ושאר הקהל אוכלס על רמפות בטון (ללא כיסאות), ועיצוב האצטדיון תוכנן להיות רב-שימושי עם מסלול אתלטיקה לריצה, וולודרום למרוצי אופניים. המשחק כדורגל הראשון ששוחק באצטדיון היה משחק ידידות בין ספאל לבין מודנה.
לאחר מלחמת העולם השנייה, והעפלתה של ספאל לסרייה א', האצטדיון שופץ כליל: הולדרום ומסלול האתלטיקה שהיו נהרסו, והיציעים נבנו קרוב יותר לדשא, והתכולה עלתה ל-25,000 מקומות באצטדיון. האצטדיון המחודש נפתח ב-23 בספטמבר 1951 במשחק בין ספאל לבין טורינו.
בהמשך האצטדיון שופץ כל עשור כמעט: בשנות ה-60 בנו מחדש את היציעים ושינו את צורתם, בשנת 1979 נבנו מחדש גרמי המדרגות בדרך ליציעים, ובשנת 1988 שיפצו מחדש את היציעים פעם נוספת. לאחר כן שינויים אלו תכולת האצטדיון ירדה ל-22,000 מקומות ישיבה.
ב-14 בפברואר 1982, חודש וחצי לאחר מותו של פאולו מאצה, נשיא המועדון המיתולוגי של ספאל בין השנים 1946–1977, ומועצת העיר של פרארה החליטה לקרוא להנצחת שמו את האצטדיון (שנקרא עד עז "האצטדיון העירוני" (ה"קומונאלה פרארה")). שינוי השם נעשה רשמית במשחק בין ספאל לבין לאציו.
בשנת 2005 הפינה המזרחית של האצטדיון נסגרה לקהל (שעד אז יועדה לקהל אורח), בעקבות ליקויים בבטיחות שהתגלו, והתכולה לכל יציע הצטמצמה ל-7,499 מקומות שיוכלו להיות מאוישים בפועל למשחקים.
בעונת 2008/2009 האצטדיון גם אירח חלק ממשחקיה של הקבוצה קלצ'יו גיאקומנז מהליגות הנמוכות באיטליה, והתפרקה בשנת 2013.
בקיץ 2016, לאחר העפלתה של ספאל לסרייה א' פעם נוספת, הוחלט לבצע שדרוגים רבים באצטדיון שנמשכו שנתיים:
הכניסות ליציעים נבנו מחדש, היציעים נבנו חלקית מחדש, כר הדשא הוגבה, נבנו ספסלי קבוצות חדשים ומנהרת שחקנים מחדרי ההלבשה. תכולת כל יציע הורחבה ל-8,500. בגלל העפלתו המחודשת של המועדון לאחר 49 שנים בהם היה בליגות נמוכות, נעשו שינויים גדולים על מנת להתאים את האצטדיון לסטנדרט של הליגה הבכירה: הרחבה היציע המרכזי ל-13,135 מקומות, החלפת הכיסאות תחימה מחדש של היציעים בתוך האצטדיון, הקמת מערכת אבטחה מצולמת, שיפוץ חדרי השירותים, הרחבת כר הדשא מ-65 מטר ל-68 מטר (הסטנדרט העולמי), יצירת מקומות חניה מינימליים לסגלי הקבוצות, והרחבת היציעים וחיבורם ליצירת אצטדיון של מינימום 16 אלף מקומות בסך הכל.
לאחר שינויים בתוכניות מספר פעמים והשקעה של כ-8 מיליון יורו, תכולת האצטדיון נקבעה לבסוף על 16,134 מקומות. האצטדיון המחודש נפתח שוב למשחקים של הקבוצה המקומית ב-17 בספטמבר 2018 בניצחון 0–2 של ספאל מול אטאלנטה במסגרת הסרייה א' לעונת 2018/2019.
בנוסף למשחקים של ספאל מארח האצטדיון משחקים נבחרים של נבחרת איטליה הצעירה (עד גיל 21), נבחרות הנשים של איטליה, ואת הסופרבול האיטלקי של ליגת הפוטבול האיטלקית.
הערות שוליים

↑  "אצטדיון השנה" לשנת 2018 באתר StadiumDB.com, במקום ה-16 אצטדיון פאולו מאצה
ערך זה הוא קצרמרבנושא אצטדיונים ומתקני ספורט. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ו.
ארכיון הטקסטיל והאופנה

ארכיון הטקסטיל והאופנה ע"ש רוז הוא ארכיון השוכן בשנקר בי"ס גבוה להנדסה ולעיצוב.
ראשית הארכיון היא מתרומה שהגיעה לשנקר מהמכון הטכנולוגי לאופנה בניו יורק (Fashion Institute of Technology) בשנות השמונים של המאה העשרים, לאחר מכן הוא התרחב על ידי מספר אוספים שנוספו לו.
בארכיון אוסף נדיר של פריטי אופנה של ארץ ישראל. הוא מכיל ביגוד ואביזרים שנוצרו ונלבשו בישראל עוד מהמאה ה-19, ובאוספיו גם פריטי טקסטיל ארכאולוגיים.
החומרים בארכיון מתחלקים לשלושה תחומים עיקריים: תחום הטקסטיל, המכיל מגוון סוגי בדים ללבוש ולעיצוב הבית, כמו כן ישנם גם סוגי טקסטיל אתנוגרפיים עתיקים וגם בני זמננו; תחום הלבוש המכיל מגוון סוגים של פריטי לבוש כמו שמלות, מעילים והלבשה תחתונה – בתחום זה אוסף הארכיון מתמקד באופנה של מדינות מהמאות ה-19 וה-20. ישנם גם אוספי תלבושות לאומיות ממדינות שונות ותלבושות אתניות של עמים שונים, כמו כן קיים מגוון פריטים מתחום אביזרי האופנה, כמו כובעים, נעליים, חגורות ומניפות.
אוסף הארכיון מכיל פריטים עשירים ונדירים בעיקר ממדינות אירופה ומארצות הברית, פריטיו מקוטלגים ונשמרים על פי תקן מוזיאונים.
הוא משמש כמרכז לחקר האופנה ההיסטוריה, החברה והתרבות.
הארכיון מכיל אוספים של מספר מעצבי אופנה ישראלים וביניהם רוז'י בן יוסף, הוא גם מכיל בין היתר דגמים של תלבושות שלבשו נציגי ישראל באירוויזיון.
מנהלת הארכיון היא טל גרנובסקי-אמית.
הערות שוליים

↑  ארכיון רוז לאופנה וטקסטיל, באתר ארכיון רוז לאופנה וטקסטיל
↑  ארכיון הטקסטיל והאופנה ע"ש רוז, באתר שנקר
אינדקס ליפוף

לעקומה הזאת יש אינדקס ליפוף שתיים מסביב לנקודה p.
במתמטיקה, אינדקס הליפוף של עקומה סגורה במישור מסביב לנקודה נתונה היא המספר השלם המייצג את מספר הפעמים שהעקומה מסתובבת נגד כיוון השעון סביב הנקודה. מספר הליפוף תלוי באוריינטציה של העקומה, והיא שלילית אם העקומה מסתובבת מסביב לנקודה בכיוון השעון.
אינדקסי ליפוף הם אובייקטים בסיסיים בתחום הטופולוגיה האלגברית, והם משחקים תפקיד חשוב באנליזה וקטורית, אנליזה מרוכבת, טופולוגיה גאומטרית, גאומטריה דיפרנציאלית, ובפיזיקה, לרבות תורת המיתרים.
תיאור אינטואיטיבי

נניח שנתונה לנו עקומה סגורה במישור, עם אוריינטציה. אנחנו יכולים לדמיין את העקומה כמסלול תנועה של אובייקט, כאשר האוריינטציה מראה לנו את הכיוון שבו האובייקט נע. במקרה כזה, אינדקס הליפוף של העקומה שווה לכמות הסיבובים הכוללת שהאובייקט עושה סביב לראשית נגד כיוון השעון.
כאשר סופרים את כמות הסיבובים הכוללת, תנועה כנגד כיוון השעון נחשבת לחיובית, לעומת תנועה בכיוון השעון, שנחשבת כשלילית. לדוגמה, אם האובייקט קודם כל מסתובב סביב הראשית ארבע פעמים כנגד כיוון השעון, ולאחר מכן מסתובב בכיוון השעון פעם אחת, אז אינדקס הסיבוב הכולל של העקומה הוא שלוש.
בעזרת הרעיונות האלו, ניתן להסיק כי עקומה שלא מסתובבת כלל סביב לראשית היא בעלת אינדקס ליפוף אפס, ולעומת זאת, עקומה שמסתובבת בכיוון השעון סביב לראשית היא בעלת אינדקס סיבוב שלילי. לכן, אינדקס הסיבוב של עקומה יכול להיות כל מספר שלם. התמונות הבאות מראות עקומות עם אינדקסי סיבוב בין 2- עד 3:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  \cdots  |
|  | 0 | 1− | 2− |  |
 \cdots : 
|  | 3 | 2 | 1 |  |
הגדרה פורמלית

ניתן להגדיר עקומה במישור על ידי הצגה פרמטרית:
x=x(t)\quad {\text{and}}\quad y=y(t)\qquad {\text{for }}0\leq t\leq 1
אם נחשוב על הפרמטר t כהזמן, אז המשוואות האלו מתארות את התנועה של אובייקט במישור בין הזמן t = 0 והזמן t = 1. המסלול של התנועה הזאת היא עקומה כל עוד הפונקציות (x(t ו-(y(t הן רציפות. העקומה הזאת היא סגורה כל עוד התנועה של האובייקט היא זהה כאשר t = 0 ו- t = 1.
אנחנו מגדירים את אינדקס הליפוף של עקומה כזאת בעזרת קואורדינטות פולריות. בהנחה שהעקומה אינה עוברת בראשית, ניתן לכתוב מחדש את המשוואות הפרמטריות בצורה פולרית:
r=r(t)\quad \mathrm {and} \quad \theta =\theta (t)\qquad \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1
הפונקציות (θ(t ו-(r(t צריכות להיות רציפות, עם r > 0. מכיוון שהנקודות בהתחלה ובסוף הן זהות, (θ(0 ו-(θ(1 צריכות להבדל בכפולה שלמה של 2π. המספר השלם הזה הוא אינדקס הליפוף:
\mathrm {winding\ number} ={\frac {\theta (1)-\theta (0)}{2\pi }}
זה מגדיר את אינדקס הליפוף של עקומה מסביב לראשית. בעזרת הזזה של מערכת הצירים, ניתן להרחיב את ההגדרה הזו לכלול מספרי ליפוף מסביב לכל נקודה p.
הגדרות חלופיות

אינדקס הליפוף מוגדר לעיתים קרובות בדרכים שונות בחלקים שונים במתמטיקה. כל ההגדרות להלן הן שקולות לזו שניתנת לעיל:
הגדרות חלופיות > מספור אלכסנדר

כלל קומבינטורי פשוט להגדרת אינדקס הליפוף הוצע על ידי אוגוסט פרדיננד מוביוס בשנת 1865, ושוב באופן בלתי תלוי על ידי ג'יימס ואדל אלכסנדר ה-2 בשנת 1928. כל עקומה מחלקת את המישור לכמות כלשהי של תחומים קשירים, כך שאחת מהן לא חסומה. אינדקסי הליפוף סביב שתי נקודות באותו התחום הם שווים. אינדקס הליפוף סביב לכל נקודה בתחום הלא חסום הוא אפס. לבסוף, אינדקסי הליפוף לכל שני תחומים סמוכים מובדלים בדיוק ב-1, כאשר התחום עם אינדקס הליפוף הגדול יותר מופיע בצד שמאל של העקומה (ביחס לכיוון התנועה במהלך העקומה).
הגדרות חלופיות > גאומטריה דיפרנציאלית

בגאומטריה דיפרנציאלית, מניחים לרוב שמשוואות פרמטריות הן גזירות (או לפחות גזירות למקוטעין). במקרה כזה, הארגומנט θ קשור לקואורדינטות x ו-y עם המשוואה:
d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}
מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי ואינטגרלי, השינוי הכולל של θ שווה לאינטגרל של dθ. לכן, אנחנו יכולים לבטא את אינדקס הליפוף של עקומה גזירה בעזרת האינטגרל המסילתי:
{\text{winding number}}={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,{\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx
חד-התבנית dθ (המוגדרת על המישור ללא הראשית) היא תבנית סגורה אבל לא מדויקת, והיא יוצרת את חבורת קוהומולוגיית דה-רהם הראשונה של המישור ללא הראשית. בפרט, אם ω היא חד-תבנית סגורה דיפרנציאבילית המוגדרת על המשלים לראשית, אזי האינטגרל של ω על מסילות סגורות נותן כפולה של אינדקס הליפוף.
הגדרות חלופיות > אנליזה מרוכבת

מספרי ליפוף משחקים תפקיד חשוב באנליזה מרוכבת (ראו את משפט השאריות). באנליזה מרוכבת, ניתן לבטא את אינדקס הליפוף של עקומה סגורה  \gamma  במישור המרוכב בעזרת הקואורדינטות המרוכבות z = x + iy. בפרט, אם נכתוב z = reiθ, אזי:
dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta \!\,
ולכן
{\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\,d\theta
השינוי הכולל ב-(ln(r הוא אפס, ולכן האינטגרל של dz ⁄ z שווה ל-i כפול השינוי הכולל ב-θ. לכן, אינדקס הליפוף של עקומה סגורה  \gamma  סביב לראשית ניתנת על ידי הביטוי
{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}
באופן יותר כללי, אם  \gamma  היא עקומה סגורה הנתונה בפרמטריזציה עבור  t\in [\alpha ,\beta ], אינדקס הליפוף של  \gamma  סביב ל- z, הידוע גם כהאינדקס של  \gamma  ביחס ל- z, מוגדרת עבור כל מספר מרוכב  z\notin \gamma ([\alpha ,\beta ]), ושווה לביטוי
\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z}}dt
זה מקרה פרטי של נוסחת האינטגרל של קושי.
חלק מהתכונות הבסיסיות של אינדקס ליפוף במישור המרוכב נתונות על ידי המשפט הבא:
משפט. תהי  \gamma :[\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {C}  מסילה סגורה ויהיה  \Omega  המשלים של התמונה של  \gamma , כלומר,  \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ]). אזי אינדקס הליפוף של  z ביחס ל- \gamma , הוא:
\mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}
בנוסף, מתקיים כי:
(א) האינדקס הוא מספר שלם. כלומר,  \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}  לכל  z\in \Omega .
(ב) האינדקס קבוע על כל רכיב קשירות (תת-קבוצה קשירה מקסימלית) של  \Omega .
(ג) האינדקס הוא אפס אם  z נמצא ברכיב הלא חסום של  \Omega .
כמסקנה מיידית של המשפט, ניתן לקבל את אינדקס הליפוף של עקומה מעגלית  \gamma  סביב נקודה  z. כמצופה, אינדקס הליפוף סופר את כמות הפעמים ש- \gamma  מסתובב סביב  z (נגד כיוון השעון).
מסקנה. אם  \gamma  היא העקומה המוגדרת על ידי  \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} , אזי מתקיים:  \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}.
הגדרות חלופיות > טופולוגיה

בטופולוגיה, אינדקס הליפוף הוא מונח חלופי לדרגה של העתקה רציפה. בפיזיקה, אינדקסי ליפוף לרוב נקראים מספרים קוונטים טופולוגיים. בשני המקרים, ההגדרה מבוססת על אותו הרעיון.
לדוגמה לעיל של עקומה המסתובבת סביב נקודה יש פירוש טופולוגי פשוט. המשלים של נקודה במישור שקול הומוטופית למעגל, כך שצריך להתייחס רק לפונקציות מהמעגל לעצמו. ניתן להראות שכל מפה כזאת היא הומוטופית לאחת המפות הסטנדרטיות  S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}, כאשר כפל במעגל מוגדר עם הזיהוי שלו עם מעגל היחידה המרוכב. קבוצת מחלקות ההומוטופיה מהמעגל למרחב טופולוגי יוצרים חבורה, שנקראת חבורת ההומוטופיה הראשונה, או החבורה היסודית, של המרחב. החבורה היסודית הראשונה של המעגל הוא קבוצת המספרים השלמים, Z, ואינדקס הליפוף של עקומה מרוכבת מזוהת עם מחלקת ההומוטופיה שלה.
פונקציות מה-3-ספירה לעצמה לפעמים גם כן מזוהות עם מספר שלם, שגם כן לפעמים נקרא אינדקס ליפוף, ולפעמים מחלקת פונטריאגין.
הגדרות חלופיות > מצולעים

במצולעים, אינדקס הליפוף נקרא לפעמים צפיפות המצולע. עבור מצולעים קמורים, ובאופן יותר כללי, עבור מצולעים פשוטים (שלא חותכים את עצמם) הצפיפות היא 1, ממשפט ז'ורדן על עקומות. בניגוד לכך, עבור הכוכב המשוכלל {p/q}, הצפיפות שווה ל-q.
אינדקס סיבוב

ניתן גם לחשוב על אינדקס הליפוף של עקומה ביחס למשיק לעקומה עצמה. כעקומה ביחס לזמן, הדבר יתן את אינדקס הליפוף ביחס לראשית של ווקטור המהירות. במקרה של הדוגמה המצוירת בהתחלה, אינדקס הסיבוב יהיה 3, מכיוון שסופרים גם כן את הלולאה הקטנה.
זה מוגדר רק עבור עקומות שהן תמונות של אימרסיה (כלומר, עבור עקומות גזירות עם נגזרת שאף פעם לא מתאפסת), והוא שווה למעלה של מפת גאוס המתאים לעקומה.
זה נקרא אינדקס הסיבוב, והוא ניתן לחישוב בעזרת העקמומיות הכוללת חלקי 2π.
אינדקס ליפוף ומשוואות הייזנברג על פרומגנטיות

לבסוף, שימו לב כי אינדקס הליפוף קשור למשוואות הפרומגנטיות הרציפות של הייזנברג ה-(1 + 2)-ממדיות, ולהרחבות האינטגרביליות שלו (כגון משוואת Ishimori). הפתרונות של המשוואה הזו מתוארות על ידי אינדקס הליפוף (המספר הקוונטי הטופולוגי).
ראו גם

עקרון הארגומנט
משפט השאריות
הערות שוליים

↑  אוגוסט מוביוס, Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders, Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse 17, עמ' 31-68
↑  American Mathematical Society
↑  מספר סיבוב על ידי אינטגרל מסילתי (באנגלית), באתר וולפרם - MathWorld
↑  Rudin, Walter, 1921-2010,, Principles of mathematical analysis, Third edition, New York: McGraw-Hill, 1976
↑  Rudin, Walter, 1921-2010., Real and complex analysis, 3rd ed, New York: McGraw-Hill, 1987
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 1115667890 
אובייקט שנע סביב לעקומה האדומה עושה שני סיבובים נגד כיוון השעון סביב לאדם שבראשית.
הגבול של האניאגרמם המשוכלל {9/4} מסתובבת סביב מרכזה 4 פעמים, ולכן הצפיפות שלה היא 4.
אנתוני לייק

ויליאם אנתוני קירסופ לייק (בשם מלא באנגלית: William Anthony Kirsopp Lake;‏ נולד ב-2 באפריל 1939) הוא סופר, איש אקדמיה, ודיפלומט, ואיש ממשל אמריקאי לשעבר. הוא כיהן כמנהל הכללי של קרן החירום הבינלאומית של האומות המאוחדות לילדים (יוניסף). קודם לכן הוא היה יועץ למדיניות חוץ של רבים מנשיאי ארצות הברית ושל מועמדים לנשיאות מהמפלגה הדמוקרטית, ושימש בתפקיד היועץ לביטחון לאומי בשנים 1993–1997 בממשלו של הנשיא ביל קלינטון. לזכותו של לייק נזקפת היותו אחד מאלה שפיתחו את המדיניות שהובילה להחלטה לפתיחת מלחמת בוסניה. הוא החזיק במשרת פרופסור בלימודי דיפלומטיה בבית הספר לשירות החוץ על שם אדמונד א. וולש של אוניברסיטת ג'ורג'טאון.
קורות חייו

אנתוני לייק הוא נכדו של קירסופ לייק, איש כמורה מהכנסייה האנגליקנית שהגיע מאוקספורד, אנגליה, ב-1914 כדי ללמד את הברית החדשה באוניברסיטת הרווארד. אביו של לייק, ג'ררד קיסופ לייק, היה איש המפלגה הדמוקרטית מתומכי הניו דיל, ואמו, אלינור (לבית ואן סומרן הארד) הייתה תומכת של המפלגה הרפובליקנית.
לייק עצמו נולד בניו יורק. הוא סיים את לימודיו בבית הספר התיכון מידלסקס שבקונקורד, מסצ'וסטס והמשיך את לימודיו בקולג' הרווארד, שם הוא קיבל תואר ראשון ב-1961. הוא למד במשך שנתיים כלכלה בינלאומית בטריניטי קולג' שבקיימברידג' ובהמשך סיים לימודי תואר דוקטור בבית הספר לענייניים ציבוריים ובינלאומיים של אוניברסיטת פרינסטון ב-1974, לאחר שהשלים תזה שנושאה היה "זהירות ודאגה: המדיניות האמריקאית כלפי דרום אפריקה, 1971-1946". ב-2001 הוא היה שותף לעריכה של ספר היובל לכבודו של המנחה שלו בפרינסטון, ריצ'רד ה. אולמן.
לייק היה ידיד קרוב של ריצ'רד הולברוק, ששירת יחד איתו בשירות החוץ בווייטנאם. השניים ביקרו זה את זה לעיתים קרובות ולייק סייע להולברוק בשנים הראשות של הקריירה שלו. היחסים בין השניים נפסקו כאשר הולברוק ניהל רומן עם אשתו של לייק. אף על פי שבהתחלה נמשכו יחסי הרעות שלהם, הם כמעט לא דיברו זה עם זה וכאשר היה לייק ליועץ לביטחון לאומי, חברותם הסתיימה.