הפאזה הכחולה
תאוריית לנדאו עבור הפאזה הכחולה

תאוריית לנדאו עבור הפאזות הכחולות הקוביות מתחילה ראשית מקביעת פרמטר סדר אשר מבטא את הסימטריה של הפאזה המסודרת (בטמפ' נמוכה מהטמפ' של מעבר הפאזה) ומתאפס במעבר לפאזה המבולגנת (בטמפ' גבוהה מהטמפ' של מעבר הפאזה). לאחר מכן, מבטאים את האנרגיה החופשית של לנדאו על ידי טור של החזקות הנמוכות של פרמטר הסדר, תוך שמירת חזקות המבטאות את הסימטריה של המערכת בלבד. המקדם של החזקה הנמוכה ביותר של פרמטר הסדר (החזקה השנייה) הוא פונקציה ליניארית של הטמפרטורה, העוברת דרך האפס בטמפרטורה כלשהי  T^{*}. לבסוף, מבצעים מינימיזציה לאנרגיה החופשית לפי פרמטר הסדר למציאת המבנה. הבעייתיות היא, שעבור הפאזה הכחולה, הביטוי לאנרגיה הוא מאוד מסובך, כך שלא ניתן לבצע מינימיזציה גלובלית. הפתרון, על כן, הוא להשוות את האנרגיה של המצב האיזוטרופי עם אנרגיות של מספר מצבים מוצעים אחרים לקביעת המצב היציב ביותר.
נבטא את פרמטר הסדר כטנזור סימטרי חסר עקבה,  \mathbf {Q} (\mathbf {r} ), אשר יהיה החלק האנאיזוטרופי של הטנזור הדיאלקטרי. כיוון שהאנרגיה החופשית של לנדאו היא סקלר, נפתח אותה בסדרים הנמוכים ביותר של  \mathbf {Q}  בביטויים הנותנים סקלר. הביטוי הכללי ביותר שניתן לרשום הוא:
 F={\frac {1}{2}}\int [a\mathbf {Q} ^{2}+c(\nabla \mathbf {Q} )^{2}-d(\nabla \times \mathbf {Q} )\cdot \mathbf {Q} -\beta \mathbf {Q} ^{3}+\gamma \mathbf {Q} ^{4}]d^{3}r
כאשר  a=\alpha (T-T^{*}), ו- \alpha  ושאר המקדמים הם קבועים. הביטויים מסדר  \mathbf {Q} ^{n} נותנים את מעבר הפאזה הרגיל הנמטי-איזוטרופי. האיבר  (\nabla \mathbf {Q} )^{2} דרוש על מנת ליצור מבנה קובי. האיבר  (\nabla \times \mathbf {Q} )\cdot \mathbf {Q}  הוא איבר כיראלי, הדרוש כיוון שלמולקולות עצמן אין סימטריית שיקוף. איבר זה, הוא האיבר שמאפשר את יצירת הפאזה הכחולה, כאשר המקדם שלו,  d, מתכונתי לכיראליות.
כיוון שהמבנה הקובי הצפוי להתקבל הוא מחזורי, ניתן לפתח את פרמטר הסדר בטור עם וקטור הגל  \mathbf {k} :
\mathbf {Q} (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }\sum _{m=-2}^{2}[Q_{m}(\mathbf {k} )\mathbf {M} _{m}(\mathbf {k} )]e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\psi _{m}(\mathbf {k} ))}
ביטוי זה אומר כי לכל רכיב פורייה עם וקטור גל  \mathbf {k}  יש מקדם פורייה הנתון בביטוי בסוגריים וכן פאזה  \psi _{m}(\mathbf {k} ). למקדם ישנם שני חלקים.  \mathbf {M} _{m}(\mathbf {k} ) הוא החלק הטנזורי (כיוון ש- \mathbf {Q}  הוא טנזור), אשר נותן ביטוי לסימטריה של אותו רכיב פורייה. כיוון שהסימטריה היא זו של ההרמוניות הספריות  Y_{2m}(\theta ,\phi ), טנזורי ה-  \mathbf {M} _{m}(\mathbf {k} ) מיוצגים על ידי  Y_{2m} – אחד עבור כל אחד מחמשת הערכים  m=0,\pm 1,\pm 2. החלק האחר של המקדם,  \mathbf {Q} _{m}(\mathbf {k} ), הוא סקלר, אשר מבטא את המשרעת או העוצמה של מקדם הפורייה הספציפי עם סימטריה  \mathbf {M} _{m}(\mathbf {k} ). הסכום על  m כולל את כל האפשרויות של  m עבור  \mathbf {k}  נתון, בעוד הסכום על  \mathbf {k}  כולל את כל וקטורי הגל התואמים את הסימטריה של המערכת. במצב האיזוטרופי, כל ערכי  \mathbf {k}  מותרים. עבור הפאזה הכחולה יש לבחור ראשית תא יחידה ספציפי עבורו רוצים לחשב, ואז לאפשר רק וקטורי  \mathbf {k} , יחד עם פאזות  \psi _{m}(\mathbf {k} ), המתאימים לסריג ההופכי של אותו תא יחידה. לדוגמה, אם המקדמים היחידים שלא מתאפסים,  \mathbf {Q} _{m}(\mathbf {k} ), הם אלו המתאימים לוקטורי  \mathbf {k}  הנמצאים בכיוון (110) בסריג bcc, משמעות הדבר שהמבנה עם חבורת סימטריה מרחבית  O(5) של bcc מופיע בין הפאזה האיזוטרפית לפאזה הכולסטרית. מקדמים נוספים אשר לא יתאפסו יאפשרו בדיקת קיומן של פאזות נוספות אשר עשויות להיות יציבות.
על ידי הצבת הטור של  \mathbf {Q}  בביטוי ל-  F, ניתן לעשות מינימיזציה לאנרגיה החופשית ולמצוא את המקדמים  \mathbf {Q} _{m}(\mathbf {k} ) המתאימים למבנה המסוים שבחנו. השוואה של האנרגיה החופשית של מספר מבנים, של טמפרטורות שונות, ושל כיראליות שונה מאפשרת קבלת דיאגרמת פאזה של טמפרטורה-כיראליות כבאיור 7. דה ג'נס הציע שפרמטר הסדר יהיה החלק האנאיזוטרופי  \epsilon _{ij}(\mathbf {r} ), של הטנזור הדיאלקטרי  \epsilon _{ij}^{d}(\mathbf {r} ):
\epsilon _{ij}(\mathbf {r} )=\epsilon _{ij}^{d}(\mathbf {r} )-{\frac {1}{3}}Tr(\epsilon _{ij})\delta _{ij}
טנזור זה הוא סימטרי, חסר עקבה, ויעלם עבור הפאזה האיזוטרופית. אם נכתוב באמצעות טנזור זה את האנרגיה החופשית באופן דומה לנעשה לעיל נקבל:
 F=\int d^{3}r\left[{\frac {1}{2}}(a\epsilon _{ij}^{2}-2de_{ijl}\epsilon _{in}\epsilon _{jn,l}+c_{1}\epsilon _{ij,l}^{2}+c_{2}\epsilon _{ij,i}^{2})-\beta \epsilon _{ij}\epsilon _{jl}\epsilon _{li}+\gamma (\epsilon _{ij}^{2})^{2}\right]
כאשר  a=\alpha (T-T^{*}) ו-  a,d,c_{1},c_{2},\beta ,\gamma  קבועים.  \epsilon _{ij,l} הוא נגזרת של פרמטר הסדר -  \epsilon _{ij,l}={\frac {\partial \epsilon _{ij}}{\partial x_{l}}}. האיברים עם המקדמים  \alpha ,\beta ,\gamma  הם אלו המופיעים באנרגיה החופשית של הפאזה הנמטית. גם האיברים שלהם מקדמים  c_{1},c_{2} מותרים בפאזה הנמטית. האיבר הכיראלי, עם המקדם  d, אסור בפאזה הנמטית שכן הוא כולל את הטנזור האנטי סימטרי  e_{ijl} (טנזור לוי-צ'יוויטה) ולא תואם את סימטריית השיקוף של הפאזה הנמטית. מינימיזציה גלובלית לאנרגיה החופשית בביטוי לעיל קשה מאוד. ניתן להניח קיום של פאזות קוביות ולהשוות עבור כל טמפרטורה וכיראליות נתונות את האנרגיה החופשית, למציאת המבנה היציב ביותר.
על מנת לתאר פאזות קוביות פיתוח הפורייה של פרמטר הסדר,  \epsilon _{ij}(\mathbf {r} ), יכלול רק וקטורי  \mathbf {k}  המתאימים לוקטורי הסריג ההופכי של הסריג הקובי המסוים אותו נבחן:
\epsilon _{ij}(\mathbf {r} )=\sum _{h,k,l}N_{hkl}^{-{\frac {1}{2}}}\epsilon _{ij}(hkl)e^{ik_{hkl}(hx_{1}+kx_{2}+lx_{3})}
לכן פאזה קובית ספציפית תאופיין על ידי וקטורי סריג הופכי  \mathbf {k} _{hkl} עם אינדקסי מילר  (h,k,l), כאשר ישנם  N_{hkl} וקטורי סריג הופכי באורך  k_{hkl}. טנזורי ה-  \epsilon _{ij}(hkl) בנויים מההצגה הקרטזית של ההרמוניות הספריות  Y_{2m}(\theta ,\phi ).
מינימיזציה של האנרגיה החופשית תאפשר לקבל את המקדמים של כל רכיב פורייה בפיתוח של פרמטר הסדר. מתקבל כי באזורים שונים של דיאגרמת הפאזה כיראליות-טמפרטורה המבנים אשר נותנים מינימום לאנרגיה החופשית הם הסריג קובי הפשוט (sc), הסריג הקובי הממורכז גוף (bcc) והסריג הקובי הממורכז פאה (fcc). תאוריית לנדאו זו אכן צופה את המבנים של הפאזות הכחולות 1 ו-2 אשר הן bcc ו־sc בהתאמה. הפאזה הכחולה 3, אשר היא איזוטרופית, לא נצפית באמצעות תאוריית לנדאו. דיאגרמות הפאזה המתקבלת מתאוריית לנדאו עבור הפאזות הכחולות מציגות שוני מדיאגרמות הפאזה המתקבלות באופן ניסיוני.