stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
יוסף בנטואיץ'
משפחתו

בנטואיץ' נשא בשנת 1924 את שרה יפה, בתו של הלל יפה, ונולדו להם ארבעה ילדים. אחד מהם הוא פרופ' צבי בנטואיץ', וירולוג, מומחה בעל שם עולמי בתחום האיידס. בת אחרת היא הציירת רחל שביט-בנטואיץ, אמו של העיתונאי והפובליציסט ארי שביט.
בנטואיץ' נפטר ב-1982 ונקבר באחוזת הקבר המשפחתית בירושלים.
ראו גם

אחוזת לנגה
לקריאה נוספת

'בנטויץ', יוסף', בתוך: דוד קלעי, ספר האישים: לכסיקון ארצישראלי, תל אביב: מסדה – אנציקלופדיה כללית, תרצ"ז, עמ' 89. (הספר בקטלוג ULI)
יוסף בנטואיץ, יהדות בבית, הוצאת "יחדיו", תשל"ז.
קייני שושנה, עורכת, יהדות בחברה הישראלית המודרנית - משנתו של יוסף בנטואיץ, הוצאת המחלקה לחינוך, אוניברסיטת בן-גוריון, באר שבע
דנצ'ו ארנון, רק בירושלים, משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989 (האגדה לבית בנטואיץ')
הערות שוליים

↑  יצחק שפירא, בשירות חינוכי, הוצאת יבנה, 1987, עמודים 15-16
↑  נקבעו שישה חתני "פרס ישראל", דבר, 4 במאי 1962
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007258539305171  BnF: cb134821209 (data)  GND: 1067274359  ISNI: 0000 0003 8570 2281  LCCN: nr96016082  NTA: 10187653X  SUDOC: 245269991  VIAF: 236007842   WorldCat (עם VIAF): 236007842
שלמה יוסף אליאך

| --- | --- |

רבי שלמה יוסף אליאך
 לידה:  1860 טבריה, האימפריה העות'מאנית 
 פטירה:  3 ביולי 1941 (בגיל 81 בערך) ירושלים, פלשתינה (א"י) 
 תקופת הפעילות:  ? – 3 ביולי 1941 
 
הרב שלמה יוסף אליאך (1860–1941; תר"כ – ח' בתמוז תש"א) היה רב, שד"ר ועסקן ציבור, אשר ארגן את התמיכה של יהדות ארצות הברית לתושבי היישוב הישן בארץ ישראל במאה ה-19. מייסד ומנהל בית התבשיל הכללי והכנסת האורחים בירושלים ובחברון.
ביוגרפיה

אליאך נולד בשנת תר"כ (1860) בטבריה לרבי אברהם אשר גלוברמן, למשפחה משושלת של חסידי קרלין. אבי סבו היה אחי רבי אהרון הגדול מקרלין, מייסד שושלת חסידות קרלין ותלמיד של המגיד ממזריטש. סבו, אבי אביו, היה הרב שלמה מסטולין, אשר עלה ארצה בשנת תרט"ז (1856) עם בנו אברהם והתיישב בטבריה.
בתרנ"ה (1895) נשלח אליאך מטעם ועד הכוללים לארצות הברית במטרה לארגן עזרה לכוללים ולמוסדות תורה וחסד בארץ. הוא הקים שם אגודה בשם "ציון המצוינת" לפעולות לטובת ארץ ישראל.
בשנת תרנ"ט (1899) חזר לירושלים ונתמנה למזכיר ועד הכוללים בירושלים. באותה שנה פרצה בירושלים מגפת חולירע. אליאך ייסד וניהל בירושלים ועד עזרה ששקד על מתן תרופות ומצרכי מזון לחולים ונפגעי ההסגר הרפואי שהוטל על העיר. הוועד המשיך לפעול גם לאחר המגפה ואליאך היה הרוח בו. באותן שנים הפעיל בירושלים בית תבשיל, שבין השאר סיפק מזון גם לחיילים יהודים ששירתו בצבא העות'מאני.
הרב אליאך נסע לארצות הברית על-מנת לאסוף תרומות, נפגש אצל הרבנים וארגן את "אגודת הרבנים" - גוף אשר המשיך בתמיכתו שנים רבות ביהודי היישוב הישן. נסע להודו, מצא כי מחלה קשה פקדה את היהודים, משם פנה לבריטניה ודאג לייבא את התרופה עבורם. היה גם בצפון אפריקה. בארץ ישראל, היה מתנייד ממקום למקום רכוב על סוס, כמקובל באותם הימים.
כאשר היה מחסור במי-שתייה הוא ארגן רכבות שהביאו מים מהכפר בתיר, ליד ירושלים. הוא גם הביא את "מכונת הקרח" הראשונה מצרפת לירושלים.
לנוכח המצוקה של יהודי העיר העתיקה הוא פנה לד"ר בנימין זאב הרצל והעלה תוכניות ליישוב תושבי העיר במקומות חדשים. יוזמה שלא יצאה לפועל. הוא המשיך את מגעיו עם ראשי הציונות אך גם אלו לא נשאו פרי.
בשנת תרפ"א (1920) הקים מחדש בשכונת מאה שערים בירושלים את בית התבשיל הכללי והכנסת האורחים, שנקרא מאז בפי כל "בית התבשיל והכנסת אורחים אליאך" על שמו. בשעתו היה מוסד זה ממפעלי המזון המרכזיים ביישוב הישן הירושלמי. הוא התקיים בעיקר בעזרת תרומות פילנתרופיות מעבר לים, וסיפק מנות מזון זולות לנצרכים רבים, ביניהם גם אסירים יהודיים להם הקדיש אליאך יחס מיוחד במשך שנים רבות. במקביל הופעלו במקום חדרי שינה במחירים נמוכים, לטובת עולי רגל ואורחים בעיר. בית התבשיל והכנסת האורחים פעלו במשך כל ימות השנה, אך עיקר הפעילות הורגשה בימי החגים. אליאך המשיך לקיים את המוסד גם בהיותו קרוב לגיל 80. לאחר פטירתו נוהל המוסד בידי נכדיו.
הרב שלמה יוסף אליאך נפטר בירושלים, בהיותו כבן 80, ביום ח' בתמוז תש"א.
נינו ד"ר דוד אליאך היה במשך 43 שנה מראשי ישיבה דפלטבוש בניו יורק - מנהל בית הספר הגבוה. בשנת 1996 זכה, יחד עם רעייתו, יפה אליאך, פרופ' למדעי היהדות בברוקלין קולג' ועורכת "עמוד החיים" במוזיאון השואה האמריקני בוושינגטון, להכרה בפעילותם החינוכית מקונגרס ארצות הברית.
לקריאה נוספת

'אליַך, שלמה', בתוך: דוד קלעי, ספר האישים: לכסיקון ארצישראלי, תל אביב: מסדה – אנציקלופדיה כללית, תרצ"ז, עמ' 46–47. (הספר בקטלוג ULI)
דוד אליאך, עבר שלא עבר - זכרונות מתקופת הרת עולם - ניו יורק תשס"ח
הערות שוליים

↑  צדוק, העוסקים בצרכי צבור, הצבי, 6 בפברואר 1913, עמ' 2
↑  תבשיל כשר לצבא, הצבי, 11 באוקטובר 1910, עמ' 3
↑  בית-תבשיל במחיר קרן, דואר היום, 31 במאי 1921, עמ' 3
↑  לדוגמה: בבית התבשיל והכנסת אורחים הכללי של הר"ש אליאך, דואר היום, 27 באוקטובר 1924, עמ' 4
↑  א. צ. ברזין, בחברת "פדיון שבויים", דואר היום, 10 ביוני 1927, עמ' 3; שלמה אליאך, מי עוד יערוב... אסירי ירושלים, שם, 28 בפברואר 1935, עמ' 2
↑  לדוגמה: ב"בית התבשיל הכללי והכנסת אורחים", דואר היום, 28 באוקטובר 1930, עמ' 4
↑  רפאל בן ח"פ, בית התבשיל אליאך בירושלים, הבוקר, 9 בספטמבר 1938, עמ' 7
↑  ר' שלמה יוסף אליאך ז"ל, הצופה, 4 ביולי 1941, עמ' 4
↑
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007520867805171  VIAF: 315203403   WorldCat (עם VIAF): 315203403
הצפנה מבוססת עקום אליפטי

הצפנה מבוססת עָקֹם אֶלִיפְּטִי או בקיצור הצפנת עקום אליפטי (באנגלית: Elliptic Curve Cryptography, בקיצור ECC), היא שיטת הצפנה אסימטרית העושה שימוש במבנה האלגברי-גאומטרי הנקרא עקום אליפטי מעל שדה סופי גדול, למימוש מערכת כגון פרוטוקול דיפי-הלמן או צופן אל-גמאל. הדעה הרווחת היא שבבחירת פרמטרים מושכלת, ניתן להשיג בדרך זו אלגוריתמים מהירים ויעילים באופן משמעותי מאלו המבוססים על אריתמטיקה מודולרית בשל העובדה שמפתח ההצפנה קצר יותר מאשר בהצפנה אסימטרית רגילה, ללא פגיעה בביטחון המידע. בשל עובדה זו הצפנה מבוססת עקומים אליפטיים אטרקטיבית במיוחד בחומרה מוגבלת במשאבים כמו סנסור אלחוטי, כרטיס חכם או מערכות משובצות. רעיון השימוש בעקום אליפטי ככלי קריפטוגרפי הועלה לראשונה ב-1985 על ידי ויקטור מילר ומעט מאוחר יותר על ידי ניל קובליץ.
היסטוריה ורקע

עקומים אליפטיים הם אובייקטים מתמטיים הנחקרים מזה שנים בתחומים רבים, בעיקר אנליזה מרוכבת, תורת המספרים וגאומטריה אלגברית. הם סייעו בעבר בתחומים שונים בתורת המספרים כמו פירוק לגורמים ובדיקת ראשוניות ושיחקו תפקיד מרכזי בהוכחת המשפט האחרון של פרמה. כיום נחשבים עקומים אליפטיים ככלים קריפטוגרפיים מבטיחים. קיימים תקנים בינלאומיים לשיטות הצפנה מבוססות עקומים אליפטיים והמחקר בנושא עדיין בעיצומו.
הצפנת מפתח-פומבי מבוססת על פונקציה חד כיוונית עם דלת מלכודת (Trapdoor), שהיא מידע נוסף שבלעדיו חישוב הפונקציה ההופכית הוא משימה קשה. בהקשר זה המידע הנוסף הוא המפתח הפרטי שנשמר בסוד. השיטות הנפוצות כמו RSA מתבססות על מספר מצומצם של בעיות מתמטיות קשות כפירוק לגורמים ובעיית הלוגריתם הבדיד בחבורות. השאיפה היא שפענוח ההצפנה ללא המפתח יהיה קשה לפחות כפתרון הבעיה המתמטית עליה היא מבוססת; טענה שלא הוכחה מתמטית בכל השיטות האסימטריות (למעט הצפנת רבין). חסרונן העיקרי של שיטות אלו הוא באורך מפתח ההצפנה. בשל ההתקדמות הטכנולוגית (בעיקר בתחום פירוק לגורמים) ופגיעותן לאלגוריתמים לפתרון בעיות אלה, המפתחות חייבים להיות בסדר גודל של אלפי ספרות בינאריות. עובדה המאפילה על יעילותם, כיוון שחישובים אריתמטיים בסדר גודל כזה איטיים מאוד. אולם ניתן ליישם מערכת מפתח-פומבי בכל סביבה מתמטית שמספקת פונקציה חד-כיוונית כמו עקום אליפטי. בשל כך הצפנת עקום אליפטי זוכה להתעניינות רבה, ה-NSA כינה אותה "הדור השני" של הצפנת מפתח-פומבי, משום שהאלגוריתמים הטובים ביותר הידועים כיום לפתרון הבעיות המתמטיות הנפוצות, אינם ישימים נכון להיום בעקומים אליפטיים.
הגדרה כללית

עקום אליפטי הוא עקום אלגברי פרויקטיבי חלק המוגדר על ידי משוואה ממעלה שלישית. ניתן להגדיר עקום אליפטי מעל כל שדה (כלומר שהמקדמים הם אלמנטים בשדה). מעל שדה בעל מאפיין שאינו 2 או 3, אפשר להגדיר את העקום לפי נוסחאות ויירשטראס בעקום אליפטי מהצורה:
כאשר  \ a ו-  \ b הם אלמנטים קבועים מהשדה  \mathbb {F} , בניסוח פורמלי  a,b\in \mathbb {F} . העקום הוא קבוצת כל הנקודות המקיימות את המשוואה האמורה, בתוספת נקודה מיוחדת הנקראת "הנקודה באינסוף", אותה מקובל לסמן ב- \ {\mathcal {O}}. המשוואה מתארת עקום אליפטי אם ורק אם הדיסקרימיננטה  \ 4a^{3}+27b^{2}\neq 0.
מעל שדה בעל מאפיין 2, צורתו של העקום האליפטי (שאינו סופרסינגולרי) נתונה על ידי:
שמם של עקומים אלה מגיע מהאינטגרלים האליפטיים, הקשורים באורך קשת האליפסה. מעל שדה המספרים המרוכבים, העקום איזומורפי לטורוס.
ניתן להגדיר עקום אליפטי גם מעל שדה המספרים הממשיים, למשל אם  \ a=-4 ו- \ b=0.67 מתקבל עקום אליפטי עם המשוואה:  \ y^{2}=x^{3}-4x+0.67.
על אוסף הנקודות בעקום (לרבות הנקודה באינסוף) אפשר להגדיר פעולה בינארית  \ +, ההופכת אותו לחבורה אבלית, שבה הנקודה באינסוף היא הנקודה הנייטרלית. מבחינה מעשית, חישוב הנקודה  \ (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{3},y_{3}), כאשר  \ (x_{1},y_{1}) ו-  \ (x_{2},y_{2}) נקודות נתונות על העקום, אורך כשלושים פעולות יסודיות של חיבור, כפל וחילוק בשדה שמעליו העקום מוגדר.
קיימים עקומים אחרים כמו עקום קובליץ, עקום מונטגומרי, עקום אדוארד ועקום הסה שלהם שימושים בתחום הקריפטוגרפיה. לכל אחד מהם יתרונות בשדות שונים בהם חיבור וכפל נקודות קל יותר מאשר באחרים. גרסה מפותלת של עקום אדוארד שולבה בעקום 25519 ובעקום 448 שניהם עקומים חדשים הידועים בביטחון וביעילות גבוהים ונוספו כמועמדים לפרוטוקול SSL וכן נכללו מספר תקנים בינלאומיים (ראו RFC 7748).
אריתמטיקה בעקומים אליפטיים

קיימת שיטה ותיקה לחיבור נקודות בעקום אליפטי המיוחסת לדיופנטוס שעושה שימוש במיתר ומשיק. בייצוג גרפי פעולת החיבור של הנקודות  P ו- Q היא השתקפות הנקודה השלישית החותכת את הישר העובר דרך שתיהן (ראו תרשים). בחיבור נקודה לעצמה ( P+P או  2P שנקרא point doubling) התוצאה היא השתקפות הנקודה השנייה החותכת את הישר המשיק לה. כאמור כיוון שהעקום אינו סופרסינגולרי, ישר העובר דרך שתי נקודות יחתוך את העקום בדיוק בנקודה נוספת אחת ויחידה. כאשר הנקודות מתכנסות כלומר הופכות לנקודה אחת הישר המשיק להן יחתוך את העקום בדיוק בנקודה אחת. כדי למצוא את הנקודה השלישית משתמשים ב- \ \lambda  המייצג את שיפוע הישר (החותך את הנקודות או המשיק לנקודה במקרה של נקודה יחידה). במקרה של  \ {\mbox{P + -P}} (כאשר  \ {\mbox{-P}} היא נקודת ההשתקפות של  \ {\mbox{P}}) הישר העובר דרכן אנכי ולכן התוצאה מוגדרת כנקודת האין סוף  \ {\mathcal {O}} כתוצאה מכך  \ {\mbox{P+}}{\mathcal {O}}{\mbox{=P}}, לכן יש לכלול את נקודת האין סוף בקבוצת נקודות העקום, יחד עם נקודת האין סוף מתקבלת חבורה ציקלית (אבלית).
חוק החיבור בעקום האליפטי  E מקיים את הכללים הבאים:
איבר יחידה. עבור כל נקודה  P\in E תמיד מתקיים:  P+{\mathcal {O}}={\mathcal {O}}+P=P.
איבר הופכי. עבור כל נקודה  P\in E תמיד מתקיים:  P+(-P)={\mathcal {O}}.
אסוציאטיביות. עבור נקודות כלשהן  P,Q,R\in E תמיד מתקיים:  (P+Q)+R=P+(Q+R).
קומוטטיביות. עבור נקודות כלשהן  P,Q\in E תמיד מתקיים:  P+Q=Q+P.
שני הכללים הראשונים נכונים כי כל קו אנכי שחותך את העקום חותך גם את נקודת האין סוף  {\mathcal {O}}. וכן חוק האסוציאטיביות מובן כי כל קו שמחבר בין  P ל- Q מחבר גם בכיוון ההפוך בין  Q ל- P כך שסדר הנקודות אינו חשוב. חוק האסוציאטיביות נובע מהכלל האריתמטי של החיבור.
ניתן להגדיר עקומים אליפטיים מעל כל שדה, אך לצרכים קריפטוגרפים מתמקדים בשדות סופיים. במקרה זה, על אף שניתן להציג את הנקודות על העקום בצורה גרפית, הדבר איננו מקובל. התרשים משמאל ממחיש את העקום האליפטי  y^{2}=x^{3}+2x+3 מעל השדה  GF(71) (המקדמים הם שלמים חיוביים מודולו 71) שנראה כמו תפזורת אקראית של נקודות.
אריתמטיקה בעקומים אליפטיים > כללי האריתמטיקה

כללי האריתמטיקה לעקום אליפטי משתנים בהתאם לשדה עליו הוא מבוסס. בשדה בעל מאפיין גדול מ-2 (לעקום שאינו סופרסינגולרי) תרגום הפעולות הגרפיות לנוסחאות אלגבריות הוא כדלהלן:
סכום שתי נקודות (ECADD)  \ {\mbox{R=P+Q}}:
הכפלת נקודה יחידה (ECDBL)  \ {\mbox{R=P+P=2P}}, החיבור זהה למעט:
הנקודה ההפכית של  \ {\mbox{P}}=(x,y) היא  \ -{\mbox{P}}=(x,x+y).
מעל שדה סופי פעולת החילוק מתבצעת על ידי הכפלה בהופכי הכפלי, לדוגמה הפעולה  \textstyle {\frac {y_{q}-y_{p}}{x_{q}-x_{p}}} שקולה לפעולה  (y_{q}-y_{p})\cdot (x_{q}-x_{p})^{-1}{\text{ (mod }}p). לשם כך צריך להשתמש באלגוריתם למציאת הופכי כפלי המבוסס על הרעיון של אוקלידס.
אריתמטיקה בעקומים אליפטיים > דוגמאות

לדוגמה יהיו  p=23,a=1,b=4 ומשוואת העקום  E:y^{2}=x^{3}+x+4 מעל השדה  \mathbb {F} _{23} המכיל את 29 הנקודות  (x_{i},y_{i}) המובאות להלן יחד עם נקודת האין סוף  {\mathcal {O}}, כאשר  x,y\in \mathbb {F} _{23}:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  (0,2) |  (0,21) |  (1,11) |  (1,12) |  \color {Blue}(4,7) |  (4,16) |  (7,3) |
|  (7,20) |  (8,8) |  (8,15) |  (9,11) |  (9,12) |  (10,5) |  \color {Purple}(10,18) |
|  (11,9) |  (11,14) |  \color {Orange}(13,11) |  (13,12) |  (14,5) |  (14,18) |  \color {Green}(15,6) |
|  (15,17) |  (17,9) |  (17,14) |  (18,9) |  (18,14) |  (22,5) |  (22,18) |
 {\mathcal {O}}: 
היות ש- p ראשוני, השדה  \mathbb {F} _{23} הוא ציקלי (מחזורי) ולכן מכיל יוצרים. למשל הנקודה  P=(0,2) היא יוצר. אפשר לראות שאם מחברים את הנקודה  P בעצמה 29 פעמים מתקבלות כל נקודות העקום לא בהכרח לפי הסדר, עד שמגיעים לנקודת האין סוף, כלומר  1P=(0,2),2P=(13,12),3P=(11,9),...,29P={\mathcal {O}}.
דוגמה לחיבור שתי נקודות. אם נבחר את הנקודות  P=(4,7) ו- Q=(13,11) החיבור  P+Q=(x_{3},y_{3}) מבוצע כך:
תחילה  x_{3}=\left({\frac {11-7}{13-4}}\right)^{2}-4-13=3^{2}-4-13=-8\equiv 15{\text{ (mod }}23),
ואז  y_{3}=3(4-15)-7=-40\equiv 6{\text{ (mod }}23).
לכן התוצאה היא  P+Q=(15,6).
כדי להכפיל את הנקודה  P=(4,7) בשתים,  2P=P+P=(x_{3},y_{3}) מחשבים כדלהלן:
תחילה  x_{3}=\left({\frac {3(4^{2})+1}{14}}\right)^{2}-8=15^{2}-8=217\equiv 10{\text{ (mod }}23),
ואז  y_{3}=15(4-10)-7=-97\equiv 18{\text{ (mod }}23).
ולכן  2P=(10,18).
אריתמטיקה בעקומים אליפטיים > כפל סקלרי

להבדיל מכפל רגיל מכנים פעולת כפל נקודות בעקום בשם כפל סקלרי (Scalar Multiplication). הכפלה של נקודה  \ {\mbox{P}} בשלם  \ k כלשהו היא בעצם פעולת חיבור חוזר  \ P+P+\cdots +P בסך הכול  k פעמים. פעולה זו ניתן לבצע על ידי אלגוריתם רקורסיבי המנצל את הייצוג הבינארי של  \ k כדי לבצע פעולות חוזרות של חיבור וכפל המתוארים לעיל. קיימות שיטות רבות לביצוע כפל נקודה בעקום אליפטי. דוגמה אחת נקראת "שיטה בינארית מימין לשמאל" והיא מתבצעת כדלהלן:
בשיטה זו זמן החישוב תלוי ב- \ k ועל-כן בתנאים מסוימים עלול לחשוף את המערכת להתקפות ערוץ צדדי. קיימות שיטות מתקדמות ויעילות יותר לביצוע כפל סקלרי כמו שיטת חלון (sliding window) או שיטת מונטגומרי. ההתמודדות עם התקפות ערוץ צדדי תלויות מאוד באופן היישום ובסביבה בה האלגוריתם מיושם.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה

חשיבות עקום אליפטי בתורת ההצפנה היא בעובדה שהוא מועמד טוב לפונקציה חד-כיוונית שהכרחית בכל הצפנה א-סימטרית. לדוגמה אם נתונה הנקודה  P ושלם כלשהו  k, מצד אחד חישוב  kP (באמצעות אלגוריתם רקורסיבי כמו זה המתואר לעיל) קל לביצוע במחשב, לעומת זאת, בהינתן הנקודה  Q=kP מאוד קשה לגלות את  k. זוהי בעיה מתמטית קשה הנקראת בעיית הלוגריתם הבדיד בעקום אליפטי. לסדר העקום (מספר הנקודות בעקום) חשיבות רבה, בפרט על העקום להכיל תת-חבורה מסדר ראשוני גדול.
קיימים בעיקר שלושה פרימיטיבים קריפטוגרפיים מבוססי עקום אליפטי; הצפנה אסימטרית, חתימה דיגיטלית ופרוטוקול שיתוף מפתח, שלושתם מבוססים על גרסת העקום האליפטי של בעיית הלוגריתם הבדיד, בעיית דיפי-הלמן ובעיית הכרעת דיפי-הלמן, הנגזרות ממנה. בעיות המוגדרות קשות חישובית, אם כי לא ידועה הוכחה מתמטית לכך. בחבורת אוילר של שדה סופי קיימים אלגוריתמים תת-מעריכיים לפתרון הבעיות המנויות, אך האלגוריתם היעיל ביותר (הידוע) לפתרון בעיות (במחשב קלאסי) אלו עבור עקומים אליפטיים הוא בעל זמן ריצה מעריכי. עקב כך, מפתחות ההצפנה בעקום אליפטי קטנים משמעותית ביחס למפתחות הצפנה בצפנים המבוססים על שדות סופיים, כמו צופן אל-גמאל או צופן RSA. יש לציין שקיים אלגוריתם קוונטי לפתרון הבעיות הללו בעזרת מחשב קוונטי ביעילות, הן עבור חבורת אוילר והן עבור עקום אליפטי. לכן כאשר מחשב קוונטי לשימוש כללי בקנה מידה גדול יהיה מעשי הצפנה המבוססת על עקום אליפטי לא תהיה בטוחה יותר לשימוש.
ישנו פרימיטיב נוסף שקשור לעקומים אליפטיים הנקרא הצפנה מבוססת איזוגניה. זהו תחום מחקר חדש יחסית בקריפטוגרפיה, המבוסס על איזוגניות בין עקומים אליפטיים. לא ידוע על אלגוריתם קוונטי יעיל לפתרון הבעיה ולכן היא מועמדת טובה להצפנה פוסט-קוונטית.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה > בעיית הלוגריתם הבדיד בעקום אליפטי בקיצור ECDLP

השלם  k נקרא הלוגריתם הבדיד (דיסקרטי) של  Q בבסיס  P ואפשר לסמנו בקיצור  k={\text{log}}_{P}Q. הסימן  \left\langle P\right\rangle  מייצג את החבורה הציקלית  \{{\mathcal {O}},P,2P,3P,...,(n-1)P\} שהיא אוסף הנקודות שהן כפולות של  P יחד עם הנקודה באין סוף. שים לב שתמיד מתקיים  nP={\mathcal {O}}.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה > בעיית דיפי-הלמן בעקום אליפטי בקיצור ECDHP

בעיית דיפי-הלמן בעקום אליפטי המקבילה לבעיית דיפי-הלמן המפורסמת היא בעיה חישובית המוגדרת כך:
כמובן שאם ניתן לפתור ביעילות את בעיית ECDLP יהיה קל לפתור את ECDHP, ההפך לא הוכח למעט מקרים פרטיים אחדים. באופן כללי לא ידוע אם הבעיות שקולות.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה > בעיית הכרעת דיפי-הלמן בקיצור ECDDHP

שתי השאלות הללו שקולות. כמובן שאם ניתן לפתור את ECDHP יהיה קל לפתור את ECDDHP. שופ הוכיח שקיים חסם תחתון שהוא  {\sqrt {n}} עבור בעיית ההכרעת דיפי-הלמן בעקום אליפטי,  n הוא הסדר (מספר הנקודות).
הבעיות המתוארות מהוות בסיס לפונקציה חד כיוונית המתאימה לצורך קריפטוגרפי. עליהן אפשר לבנות פרוטוקולים קריפטוגרפיים בטוחים בהנחה שהבעיות אכן קשות לפתרון.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה > דוגמה ללוגריתם בדיד בעקום אליפטי

אם נתון העקום:  E:Y^{2}=X^{3}+8X+7 מעל  \mathbb {F} _{73}, הנקודות  P=(32,53) ו- Q=(39,17) הן בעקום  E(\mathbb {F} _{73}) ומפני שהעקום מכיל רק 41 נקודות קל לגלות באופן ישיר שהלוגריתם הבדיד הוא:
באופן דומה  R=(35,47)\in E(\mathbb {F} _{73}) וכן  S=(58,4)\in E(\mathbb {F} _{73}). אחרי חישוב קל אפשר לראות שהם מקיימים  R=37P וכן  S=28P לכן:
אף על פי שלפי הנוסחה לעיל  \#E(\mathbb {F} _{73})=82 היות ש- 41P={\mathcal {O}} למעשה סדר העקום הוא  82/2. כך שרק 41 מהנקודות בעקום זה הן כפולות של  P.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה > בחירת פרמטרים > פרמטרי התחום

פרמטרי התחום (domain parameters) של מערכת הצפנה בעקום אליפטי כוללים עקום אליפטי מתאים  E המוגדר מעל שדה סופי  \mathbb {F} _{q} עם מציין  p ונקודת בסיס  G\in E(\mathbb {F} _{q}) בנוסף למספר ערכים חשובים המהווים חלק בלתי נפרד מהמערכת. פרמטרי התחום יכולים להיות משותפים לקבוצת משתמשים או ספציפיים למשתמש יחיד. בחירת פרמטרים נכונה היא חלק קריטי בביטחון מערכת הצפנה כזו ולכן התקן מפרט צעדים מומלצים כיצד לייצר באופן אקראי או לבחור בעקום אליפטי יחד עם אוסף הפרמטרים באופן בטוח לשימוש קריפטוגרפי וכיצד לוודא שאכן עקום אליפטי אכן נוצר באופן שעונה על כל הדרישות האמורות. פרמטרי התחום של עקום אליפטי לצורך קריפטוגרפי הם:
q הסדר של השדה  \mathbb {F} , צריך להיות ראשוני או חזקה של 2 (דהיינו  q=p ראשוני או  q=2^{m}). במקרה הראשון קואורדינטות הנקודות הן שלמים חיוביים המהווים אלמנטים בשדה  \mathbb {F} _{p} ואילו במקרה השני הן פולינומים ממעלה  m מעל השדה המורחב  \mathbb {F} _{2^{m}} כאשר המקדמים בינאריים.
גרעין התחלתי (seed) אופציונלי במקרה שהעקום האליפטי נוצר באופן אקראי ולא נבחר מתוך התקן. הגרעין ההתחלתי משמש לבדיקה ואימות העקום.
שני אלמנטים  a ו- b מהשדה  \mathbb {F} _{q} המגדירים את נוסחת העקום האליפטי (כגון  y^{2}=x^{3}+ax+b או  y^{2}+xy=x^{3}+ax^{2}+b במקרה של מציין  p=2). את האלמנטים הללו בוחרים על ידי פונקציית גיבוב יחד עם גרעין התחלתי (seed) אקראי כלשהו (אותו שומרים לצורך אימות עתידי).
שני אלמנטים (קואורדינטות)  x_{P},y_{P} המייצגים את הנקודה  P מסדר ראשוני גבוה.
הסדר  n של הנקודה  P צריך להתחלק במספר ראשוני גדול. כאשר  n>2^{160} וכן  n>4{\sqrt {q}}.
h שנקרא גורם משלים (cofactor) כך שמתקיים  h=\#E(\mathbb {F} _{q})/n.
חשוב לוודא תקפות הפרמטרים לפני שמשתמשים בהם, כדי לוודא תקינותם יש לפעול כדלהלן:
לוודא ש- q ראשוני או חזקה של ראשוני.
לוודא שהאלמנטים  a,b,x_{P},y_{P} כולם אלמנטים בשדה  \mathbb {F} _{q} ובפורמט הנכון (אפשר להיעזר בגרעין ההתחלתי שמסופק על ידי מי שייצר את העקום כדי לוודא שהוא אכן נוצר באקראי באמצעות פונקציית גיבוב).
לוודא שהאלמנטים  a,b מגדירים עקום אליפטי לא סינגולרי, כלומר שמתקיים  4a^{3}+27b^{2}\neq 0 (וכן ש- b\neq 0 במקרה של עקום עם מציין  p=2).
לוודא שהנקודה  P היא בעקום לפי הנוסחה האמורה.
לוודא ש- n>4{\sqrt {q}}, ש- n ראשוני וכן גדול מספיק (למשל  n>2^{160}).
לוודא שמתקיים  nP={\mathcal {O}}.
לוודא שהסדר  N=\#E(\mathbb {F} _{q}) (מספר נקודות העקום) מתחלק במספר ראשוני  n>2^{160}.
לוודא ש- h=\left\lfloor ({\sqrt {q}}+1)^{2}/n\right\rfloor .
לוודא ש- n אינו מחלק של  q^{k}-1 עבור כל  1\leq k\leq 20 וכן  n\neq q.
בתקן SEC-1 של GSEC (חברת Certicom הקנדית) ובתקן של NIST, נקבע הבסיס האריתמטי או ייצוג האלמנטים לפי סוג השדה, בשדה ראשוני  \mathbb {F} _{q} האלמנטים הם השלמים מודולו  q ונקודה בעקום מיוצגת על ידי קואורדינטות שלמות  x,y\in \mathbb {F} _{q}. בשדה עם מציין 2 האלמנטים מיוצגים בבסיס פולינומי כאשר השדה הוא  \mathbb {F} _{2^{m}} וקואורדינטות הנקודה הן פולינומים ממעלה  m-1.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה > בחירת פרמטרים > סדר העקום האליפטי

מספר הנקודות בעקום האליפטי חשוב מאוד לביטחון מערכת ECC כאמור, כדי למנוע התקפות קריפטוגרפיות מסוימות שמנצלות סדר חבורה שמכיל גורמים קטנים. ספירת נקודות העקום אפשרית בזמן פולינומי עם מספר אלגוריתמים ידועים ביניהם אלגוריתם של שוף (schoof) שהורחב ושופר לאחר מכן על ידי קובליץ אלקיס ואטקין ונקרא אלגוריתם SEA. עם אלגוריתם SEA אפשר לספור את נקודות עקום אליפטי מעל שדה סופי מסדר 200 בתוך מספר שעות. אלגוריתם SATOH פותח במיוחד לספירת נקודות עקום אליפטי מעל שדה בינארי מורחב, למשל אם  m=200 אפשר לספור את נקודות העקום עם אלגוריתם SATOH בתוך מספר שניות.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה > בחירת פרמטרים > הכנת עקום אליפטי באופן אקראי

הכנת עקום אליפטי באופן אקראי נעשית לפי התקן עם פונקציית גיבוב קריפטוגרפית כמו SHA-2 כאשר הגרעין ההתחלתי משמש כהוכחה שהעקום אכן נוצר באופן אקראי ולא נוצר במכוון כך שיכיל חולשות או דלתות סתר. הרעיון הכללי הוא שמכינים עם פונקציית הגיבוב מתוך גרעין התחלתי seed מחרוזת סיביות אקראית באורך הרצוי  H={\text{SHA2}}(seed). מייצגים את המחרוזת  H כמספר בינארי שלם  r ומוודים שלא מתקיים  4r+27\equiv 0{\text{ (mod }}p) וכן בוחרים שני שלמים אקראיים  a,b\in \mathbb {F} _{p} כך שמתקיים  r\cdot b^{2}\equiv a^{3}{\text{ mod }}p. הגרעין ההתחלתי צריך להישמר יחד עם העקום והוא משמש כהוכחה. הוא מייצר באותה דרך מחרוזת סיביות  r' ומוודא שמתקבל  r'\cdot b^{2}\equiv a^{3} אם התנאי לא מתקיים זו הוכחה שהעקום לא נבחר באקראי.
עקום אליפטי בקריפטוגרפיה > בחירת פרמטרים > מפתח פרטי ומפתח ציבורי

בהינתן הפרמטרים הציבוריים  (q,a,b,P,n,h) המפתח הפרטי הוא שלם  d אקראי בטווח  [1,n-1] הנשמר בסוד והמפתח הציבורי המתאים הוא  Q=dP שהוא כפל סקלרי של הנקודה  P עם המפתח הפרטי  d. בדרך כלל המפתחות של כל משתמש צריכים להיות מאומתים ומשויכים אליו בדרך כלשהי. בדרך קריפטוגרפית מאמתים מפתח באמצעות חתימה דיגיטלית או תעודה (certificate) שמונפקת על ידי רשות מאשרת (CA). וכן בדרך כלל קיימת הפרדה בין המפתחות הקבועים המיועדים לטווח ארוך לבין מפתחות ארעיים (ephemeral keys) הנוצרים לצורך התקשרות ספציפית. יש צורך תמיד לאמת תקפות המפתח הציבורי, לוודא שמקיים את התנאים המפורטים לעיל; ש- Q הוא נקודה בעקום שאינה  {\mathcal {O}} וכן שהקואורדינטות  x,y שלה הם אלמנטים בשדה  \mathbb {F} _{q} בטווח המתאים וכן שמתקיים  nQ={\mathcal {O}}. בפועל משתדלים להימנע מהבדיקה האחרונה כיוון שהיא פעולה מכבידה במונחי מחשוב, אפשר לחסוך בדיקה זו על ידי שימוש בפרוטוקול שיתוף מפתח עם אימות כמו MQV שבו הבדיקה עקיפה ונעשית כחלק ממהלכי הפרוטוקול.
הצפנה עם עקום אליפטי

ניתן ליישם את צופן אל-גמאל בעקום אליפטי כדלהלן; בהינתן המפתח הציבורי של בוב הנקודה  Q, אם אליס מעוניינת להצפין את המסר  m עליה תחילה להמירו לנקודה  M בעקום ואותה להצפין על ידי חיבור עם  kQ, כאשר  k שלם אקראי "טרי" חד-פעמי שנבחר על ידה כדי להצפין את  M ובנוסף היא צריכה להצפין ולשלוח את המפתח  k. ביתר פירוט, אליס משדרת לבוב בערוץ הפתוח שני ערכים:  C_{1}=kP שמכיל את המפתח המוצפן וכן  C_{2}=M+kQ שמכיל את המסר המוצפן. כאשר בוב מקבל את הערכים הללו מאליס הוא מבצע את הפעולות בסדר הפוך, הוא מפענח את המפתח המוצפן ואז מחסיר את התוצאה מהטקסט המוצפן כדי לקבל את הנקודה  M וממנה לחלץ את המסר  m. זה עובד היות שמתקיים
כאשר  d הוא המפתח הפרטי של בוב המקיים  Q=dP. לכן היות ש- M=C_{2}-kQ בוב יכול להחליפו בביטוי  M=C_{2}-dC_{1} ולקבל את  M. המאזינה איב שמעוניינת לגלות את  M צריכה לחשב תחילה את  kQ, חילוץ  kQ מתוך  Q ומתוך  C_{1} היא בדיוק בעיית דיפי-הלמן. למען הפשטות הגרסה המתוארת חסרה מספר מרכיבים חשובים כמו אימות ובדיקת תקפות. להלן תיאור פרוטוקול הצפנה היברידי שנקרא ECIES (קיצור של Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme) שהוצע על ידי בלייר ורוגווי, המשלב הצפנה אסימטרית המבוססת על צופן אל-גמאל והצפנה סימטרית עם אימות. הוכנס לתקן ANSI X9.63 וכן ISO/IEC 15946-3 וכן IEEE P1363. בפרוטוקול זה מנצלים את פרוטוקול שיתוף הסוד הבסיסי של דיפי והלמן כדי לשתף שני מפתחות סודיים  k_{1},k_{2} כאשר  k_{1} משמש להצפנת המסר ו- k_{2} לאימות התוצאה להגנה מפני התקפת מוצפן-נבחר. לצורך הפרוטוקול מוגדרות שלוש פונקציות בסיסיות; KDF - פונקציית הכנת מפתח שהיא תוצאת פונקציית גיבוב של גרעין כלשהו  S ומונה כלשהו שמשתנה בכל קריאה, המשורשרים יחד. E - פונקציית הצפנה סימטרית כמו AES וכן MAC - פונקציית אימות כמו HMAC.
הצפנה עם עקום אליפטי > הצפנה

נתונים פרמטרי התחום  (q,S,a,b,P,n,h), המפתח הציבורי  Q והמסר  m.
בוחרים שלם אקראי  k בטווח  [1,n-1].
מחשבים את  R=kP וכן  Z=hkQ (יש לוודא ש- Z\neq \infty ).
מציבים  (k_{1},k_{2})\leftarrow {\text{KDF}}(x_{Z}\ \|\ R) כאשר  x_{Z} הוא הקואורדינטה  x של הנקודה  Z והסימן  \| מייצג שרשור (concatenation).
מחשבים את  C=E_{k_{1}}(m) וכן  \tau ={\text{MAC}}_{k_{2}}(C).
התוצאה היא השלישייה: הטקסט המוצפן  C, תג האימות  \tau  והאלמנט  R.