stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מיכל (שיר)
מבנה השיר ותכניו

השיר משולב בחריזה והוא בנוי מפתיח ושני בתים.
כפי שנהגה רחל בעוד משיריה, היא פותחת את השיר בציטוט מהתנ"ך. רחל בחרה בשני חלקי פסוקים שונים המלמדים על מעין דו-קוטביות בה נמצאה נפשה של מיכל. חלקו הראשון של הציטוט מספר על אהבתה של מיכל את דוד, דבר שלא כל כך מצוי בתנ"ך - תיאור של אישה אוהבת גבר, וחלקו האחרון מתאר את תחושתה של מיכל לפיזוזו וריקודו של דוד בעת העלאת ארון הברית לירושלים, תחושת בוז. תחושות אלו יוצרים ניגוד מצד מה ומראים את עולמה הנפשי המורכב של מיכל. במהלך השיר משתמשת רחל פעמיים בניגודיות זו בה היא רואה את מיכל: ”בְּעֵינֵךְ הַיָּפָה מְהוּלִים גָּאֲוָה וָרֹךְ” - ”כָּמוֹךְ נְדוּנוֹתִי לָבוּז לַאֲשֶׁר אֹהַב”, כאשר הגאווה והבוז שייכים לחלקו השני של הציטוט, והרוך והאהבה - לתחילתו.
במילות השיר פונה כביכול רחל אל מיכל בת שאול ומוצאת עמה אמפתיה משותפת, על אף מרחקי הזמן שביניהן. היא מתארת את מיכל בממדי מראה, קול ונפש. משל כאילו אכן הייתה אחותה ממש. אחות שרק מרחקי הזמן מבדילים ביניהם. בשיר ניתן גם לשמוע צליל חקלאי עולה בין השורות. רחל, שעסקה בחקלאות ואהבה את המקצוע, מצאה בה ניב לבטא את הקשר שנשמר על אף מרחקי הדורות: ”לֹא שָׁלְטוּ בְּכַרְמֵךְ הַנּוּגֶה חֲרֻלֵּי הַזְּמָן”.
מיכל, שהייתה בת של מלך (שאול) ואשת המלך (דוד), נראית בעיני רוחה של רחל כאחת שכזו לכל אורך השיר. בעיניה היא לבושה בכתונת משי מעוטרת בפסי ארגמן, וצמידי זהב מצלצלים עטויים על גופה.
בעוד שבבית הראשון נראתה מיכל בגוון המלכותי והאצילי שלה, בבית האחרון פונה רחל ומוהלת את החלק העגום שבפרשה. שם היא מוצאת את הגאווה והבוז, כמו גם את העצב הפנימי.
פגישתה של רחל במיכל ”נִצֶּבֶת לְיַד הָאֶשְׁנָב” הייתה ככל הנראה לאור דברי הפסוק ”וּמִיכַל בַּת שָׁאוּל נִשְׁקְפָה בְּעַד הַחַלּוֹן”.
רחל, שככלל עסקה בדמויות מקראיות, מזדהה במיוחד עם מיכל בת שאול, אך בלא לפרט לקורא במה ראתה להידמות אליה. מתוך דבריה נראה שהקשר ביניהן אינו חד פעמי, שכן מבחינתה ”לֹא אַחַת רְאִיתִיךְ נִצֶּבֶת לְיַד הָאֶשְׁנָב”. את גורלן הניגודי המשותף היא רואה כנכפה ומאולץ, שכן ”כָּמוֹךְ נְדוּנוֹתִי לָבוּז לַאֲשֶׁר אֹהַב”. קשה לדעת אם התחושה המשותפת אותה ראתה במיכל הייתה קשורה אל מי ממאהביה. ייתכן גם שבגין כך התקיים המפגש על יד האשנב, מה שמאותת את תחושת העיזבון שחשה רחל מבעד לאשנב בית החולים לחולי שחפת, עת התבקשה לעזוב את דגניה ונותרה מוזנחת בימי מחלתה, זמן כתיבת השיר. כן ניתן למצוא מכנה משותף ביניהן בכך ששתיהן נפטרו ללא ילדים, עם העצב העמוק הכרוך בכך.
ראו גם

רחל (שיר)
מיכל
הערות שוליים

↑  ספר שמואל ב', פרק ו', פסוק ט"ז; ספר דברי הימים א', פרק ט"ו, פסוק כ"ט.
| שירת רחל |
| --- | --- | --- |
| ספיח (1927) | זמר נוגה • אל ארצי • רחל • כאן על פני אדמה • אני • כנרת • הן יצאנו בסך • כוחי הולך ודל • מיכל • פגישה, חצי פגישה • יום בשורה |  |
| מנגד (1930) | עקרה • ספר שירי • ואולי לא היו הדברים... • אם צו הגורל... • להקיץ ולדעת • זמר • גן נעול • העברת ידך • לא פעם, בקיץ • פשטתי יד לבקש רחמים • הוי ארצי הורתי • בלילה • שי • אקליפטוס • מנגד • זו הדרך • אני ואתה |  |
| נבו (1932) | אביב • רק על עצמי • הנה אקח את מבט עיניך • בגני נטעתיך • על הגורן • עם שחר • חג • מתי • כה ציפיתי ליום והגיע • ליד החלון |  |
| טיוטות ותרגומים | חופי ירדן • אל נא תשירי • התזכרי ליל אביב? • שיבה • אל גדר דחויה |  |
מידת לבג

מידת לֵבֵּג (Lebesgue, על שם המתמטיקאי אנרי לבג) היא פונקציית מידה על שדה המספרים הממשיים, שמהווה הכללה של מושג האורך (אפשר להכליל מידת לבג של נפח על המרחב  \mathbb {R} ^{n}). באמצעות מידת לבג אפשר להרחיב מושגים מהאנליזה הממשית, הבולט שבהם הוא האינטגרל. מידת לבג מסומנת באות  m.
ניסוח פורמלי

מידת לבג היא פונקציית מידה המוגדרת על אוסף הקבוצות המדידות בישר הממשי ומחזירה לכל קטע את האורך שלו.
תכונות

מידת לבג היא א-שלילית ומחזירה ערכים בין 0 לאינסוף (כולל אינסוף).
מידת לבג של קטע שווה לאורך הקטע.
מידת לבג היא סיגמא-סופית.
מידת לבג היא מידה שלמה.
מידת לבג של קבוצה בת מנייה היא אפס.
משפט ויטלי: לכל קבוצה שמידתה שונה מאפס, קיימת תת-קבוצה שאיננה מדידה.
מידת לבג אינווריאנטית תחת הזזה: אם  A מדידה, אזי  A+c מדידה ו  m(A)=m(A+c).
בנייה

יהי  [a,b)\subset \mathbb {R}  קטע (אינטרוול) ממשי. אז אורכו הוא  \ell [a,b)=|[a,b)|=b-a . הגדרת האורך טובה לכל קטע - סגור או פתוח באחד או שניים מקצותיו.
קל לראות שפונקציית האורך המוגדרת על קטעים היא אדיטיבית (סופית) על קבוצת כל הקטעים המוכלים בישר הממשי.
כדי להרחיב אותה לפונקציה סיגמא-אדיטיבית, נגדיר מידה חיצונית (Outer Measure) על הישר הממשי:
כלומר, פונקציה זו מחזירה את האינפימום על קבוצת סכומי האורכים של קטעים המכסים את  A.
קל לראות שהמידה החיצונית היא סיגמא-חצי-אדיטיבית (כלומר,  m^{*}(\bigcup _{n}{A_{n}})\leq \sum _{n}m^{*}(A_{n})).
כדי להפוך אותה למידה עלינו לצמצמה על סיגמא-אלגברה שעליה היא תהיה סיגמא-אדיטיבית. סיגמא-אלגברה זו תיקרא "אוסף הקבוצות המדידות".
קבוצה  A נקראת מדידה אם לכל קבוצה  B מתקיים  m^{*}(B)=m^{*}(A\cap B)+m^{*}(A^{c}\cap B).
אפשר להראות שעבור הישר הממשי, אוסף כל הקבוצות המדידות הוא הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי כל קבוצות בורל והקבוצות בעלות מידה אפס.
על הקבוצות המדידות,  m(A)=m^{*}(A) וזו מידת לבג.
אוסף הקבוצות המדידות מכיל מגוון רב של קבוצות שימושיות:
כל קטע (פתוח, סגור וכו') הוא קבוצה מדידה.
כל קבוצה פתוחה היא קבוצה מדידה.
כל קבוצה סגורה היא מדידה.
כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות (קבוצה  F_{\sigma }) הוא קבוצה מדידה.
כל חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות (קבוצה  G_{\delta }) הוא קבוצה מדידה.
כל איחוד או חיתוך בן מנייה של הקבוצות לעיל גם הוא קבוצה מדידה.
כל קבוצה בת מנייה היא קבוצה מדידה ומידתה היא אפס.
רוב תת-הקבוצות של הישר אינן מדידות, אך בנייה מפורשת של קבוצה לא מדידה אינה פשוטה. ניתן לבנות קבוצה לא מדידה למשל על ידי הגדרת יחס שקילות על נקודות הקטע  [0,1):  x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} . קל לראות שהיחס  \sim  הוא יחס שקילות שמפצל את הקטע למחלקות שקילות בנות אָלֶף אֶפֶס איברים כל אחת. נבנה קבוצה  A שמורכבת מנציג אחד עבור כל מחלקת שקילות (לשם כך נדרשת אקסיומת הבחירה). כל הזזה במספר רציונלי (כאשר נתייחס לקטע כמעגל היחידה) מספקת קבוצה נוספת של נציגים שזרה לכל האחרות, ואיחוד כל ההזזות הוא בחזרה קטע היחידה. אם הקבוצה  A הייתה מדידה אז גם הזזותיה היו כן, והמידה שלהן הייתה זהה לשלה. לכן, בין אם מידתה הייתה אפס ובין אם היא הייתה חיובית, הדבר עומד בסתירה לסיגמא-אדיטיביות של המידה.
הכללה לממד כלשהו

את מידת לבג אפשר להכליל בקלות למרחב  \mathbb {R} ^{n} ובכך להכליל את מושג ה"היפר-נפח": אורך ( n=1), שטח ( n=2), הנפח ( n=3) וכו'. תהליך הבניה זהה לחלוטין, רק שבמקום בקטעים משתמשים בהיפר-תיבות (מכפלה קרטזית של קטעים עם קצוות תחתונים סגורים וקצוות עליונים פתוחים)  I_{n}=\prod _{k=1}^{n}{[a_{k},b_{k})}, ומגדירים נפח על חוג התיבות באמצעות  v(I_{n})=\prod _{k=1}^{n}{|b_{k}-a_{k}|}. מכאן, מגדירים מידה חיצונית ומצמצמים אותה על אוסף כל הקבוצות המדידות הנוצרת על ידי חוג התיבות. במקרה זה, קבוצה  A נקראת מדידה רק אם לכל  \varepsilon >0 קיימת קבוצה  B בחוג התיבות כך ש  m(A\operatorname {\Delta } B)<\varepsilon  כאשר  \Delta  מסמל הפרש סימטרי של קבוצות.
ישנה גם הכללה לממד לא שלם בהכרח על ידי מידת האוסדורף.
יישומים

מידת לבג מאפשרת לחשב מידות של קבוצות מוזרות. למשל, המידה של קבוצת קנטור היא  0 אף על פי שהיא איננה בת-מנייה (למעשה, עוצמתה היא  \aleph ).
באמצעות מידת לבג אפשר להגדיר את אינטגרל לבג.
נאמר שתכונה מתקיימת כמעט בכל מקום אם היא מתקיימת בקבוצה שהמשלים היא קבוצה בעלת מידה אפס.
ראו גם

אינטגרל לבג
תורת המידה
קבוצת בורל
טופולוגיה
מאלו קינגי

| מאלו קינגי |
| --- | --- |
 מדוזת אירוקנג'י בתוך מכל פלסטיק שקוף
מיון מדעי
ממלכה:: בעלי חיים
מערכה:: צורבים
מחלקה:: מדוזות קובייתיות
סדרה:: Cubomedusae
משפחה:: Carukiidae
סוג:: Malo
מין:: מאלו קינגי
שם מדעי
 Malo kingi ‏גרשווין, 2007

מאלו קינגי (שם מדעי: Malo kingi) היא מין זעיר של מדוזות קובייה מהקבוצה מדוזת אירוקנג'י, המזכירה במראה מדוזה אמיתית, שחיה באזור הימי של אוסטרליה. גודלה אינו עולה על סנטימטר מעוקב אחד בקירוב. מדוזה זו היא קרובתה של המדוזה קטלנית זעירה.
מדוזה זו עלולה לגרום לתסמינים הנודעים בשם תסמונת אירוקנג'י כשהיא באה במגע עם עור האדם. סימפטומים של תסמונת אירוקנג'י תועדו לראשונה על ידי הוגו פלקר בשנת 1953, ונודעו טרם שיוכם למדוזות אלו. התסמינים והמדוזה קרויים על-שם אנשי אירוקנג'י, שארצם משתרעת לאורך החוף הצפוני של רצועת קרנס, קווינסלנד.
מבנה

מדוזת האירוקנג'י היא זעירה, גודלה כגודל ציפורן אדם. היא בנויה מפעמון בגודל סנטימטר וארבע זרועות שאורכן יכול להגיע למטר.
לכל אורך זרועותיה ישנם עוקצים המכילים ארס. העוקצים על הזרועות מגובשים, ונראים כמעין טבעות קטנות הנמתחות לאורכן של הזרועות.
העוקצים לאורך הזרועות הארוכות מכילים ארס קטלני המשמש למדוזה להמם את טרפה במהירות, אשר מורכב מדגים קטנים ומהירים.
עקיצה

למדוזות הממוצעות יש עוקצים רק על-גבי זרועותיהן, אך לאירוקנג'י יש עוקצים גם על הפעמון (כיפה) שלה. החוקרים עדיין לא הסיקו מהי מטרתו של מאפיין ייחודי זה. ההשערה הרווחת היא שתכונה זו מאפשרת למדוזה לתפוס ביתר יעילות את טרפה, דגים קטנים. על הזרועות מיליונים של עוקצים דמויי מחטים מיקרוסקופיות מלאות בארס רב עוצמה.
עוקץ המדוזה עובד כמו מחט ארוכה הנכנסת פנימה ודרוכה כקפיץ. כאשר העוקצים מופעלים, הם נמשכים כלפי חוץ בשבריר שנייה, וננעצים בבשר הנפגע שבא במגע עם המדוזה. עוקצים אלה ממשיכים להפריש רק את קצהו הרעיל, אשר גורם לתגובת הכאב להתעכב. כאשר האויב מתרחק, עוקצים אלה קורעים את הזרועות של המדוזה, והם נשארים בגוף של התוקף מה שגורם לצריבה.
אירוקנג'י שונה ממינים אחרים בכך שיש לה את היכולת "לירות" את זרועותיה ובכך להזריק ארס ללא מגע ישיר. נכון לעכשיו, לא ידוע אם פעולה זו מתרחשת עבור מטרה נוספת מלבד לכידת טרף.
מעט מאוד ידוע על אורך חייהם והארס של מדוזות אירוקנג'י, וזאת משום שהן קטנות ושבריריות מכדי להחזיקן בתנאי מעבדה. 
הארס שלהן חזק מאוד, פי 10 יותר מזה של נחש הרב-פתן מלכותי, פי 100 מזו של עכביש הטרנטולה וחלש רק פי 10 מצרעת הים. השערת החוקרים היא שארס בעוצמה כזו נחוץ כדי לאפשר לה להמם במהירות את טרפה, אשר מורכב מדגים קטנים ומהירים.
ראו גם

קטלנית זעירה
זרועות המדוזה
מטלת ביצוע

מטלת ביצוע היא מטלה לימודית המציגה בעיה מהחיים הדורשת פתרון או מטלה הדורשת ביצוע של משימה.
במטלת ביצוע התלמיד מדמה תפקוד כפי שהיה מתפקד בחיי היום-יום.
במטלת ביצוע יש מספר תשובות אפשריות, והתלמיד נדרש למצוא אחת מהן תוך שימוש בידע קיים ונרכש.
מטרת מטלת הביצוע היא הערכת יכולתו של התלמיד ליישם תוכני למידה תוך כדי הפעלת שיקול דעת, תכנון, ארגון ומיזוג מידע, הסקת מסקנות וביקורתיות.
מטלת ביצוע מסתיימת כאשר התלמיד מפיק תוצר חשיבה ומציג אותו.
לקריאה נוספת

נוסינוביץ, ר. ודודי, ו. (2000), הערכה אפשר גם אחרת. המרכז להוראת המדעים, ירושלים.
בירנבוים, מנוחה (1997), חלופות בהערכת הישגים, תל אביב: הוצאת רמות-אוניברסיטת ת"א
מטמברה

| --- | --- |
מטמברה
 
 מאכלים
 סוג:  מנה על בסיס בקר 
 
מטמברה במילוי ביצה קשה
מטמברה הוא מאכל בשר בקר מהמטבח הארגנטינאי. זוהי גלילת סטייק שריר בטן של בקר, ממולאת ירקות, ביצים קשות ועשבי תיבול. מילוי אופייני כולל גזר, פלפל, בצל, ביצים ופטרוזיליה. יש החותמים את הגלילה באמצעות תפירה או נעיצת קיסמים, כדי למנוע פתיחתה בעת הבישול.
את הגלילה מבשלים או צולים בתנור או על מחבת. בשל עוביו של נתח הבשר נדרש בישול ממושך של כשלוש שעות כדי לרככו.
זהו מאכל מסורתי בתקופת חג המולד. ניתן להגישו חם כמנה בפני עצמה או קר, כמתאבן בשר פרוס. פריסת המטמברה מציגה מראה צבעוני בזכות מילוי הירקות. מטבמרה מוגשת בדרך כלל עם רוטב צ'ימיצ'ורי. כמנה בשרית היא נחשבת שומנית ומוגשת לרוב בלווית ירקות.
מטבמרה היא מנה פופולרית בארגנטינה, אורוגוואי ופרגוואי. מאכלים דומים קיימים גם בצ'ילה (המאכל נקרא malaya), במקסיקו (suadero ,Sobrebarriga) ובקולומביה (Sobrebarriga).
בפרו נהוג להכין את המטמברה בדומה לפיצה - הבשר נצלה כאשר הצד השומני שלו מונח כלפי מטה ועל צידו העליון מפזרים עגבניות, תבלינים וגבינה.
השם מטמברה (בספרדית: Matambre) הוא הלחם של המילים "mata" ו- "hambre", מילולית - "הורג רעב", זאת משום שנהוג להגישה כמתאבן.
הערות שוליים

↑  בעברית "כסלים", באטליזים בישראל מכונה "פאלדה", באנגלית "Flank", בספרדית בארגנטינה "Vacío"
מטמברה פיצה
מירב קירשנר

| --- | --- |

 לידה:  12 ביולי 1968 (בת 56)
 מדינה:  ישראל ישראל
 השתייכות:   צבא הגנה לישראל
 תקופת הפעילות:  1986–2020 (כ־34 שנים)
 דרגה:   תת-אלוף
 תפקידים בשירות
 קצינת שלישות עוצבת אדום  ראש מחלקת מילואים  קצינת השלישות של פיקוד הדרום  ראש מחלקת מערכות מידע, תכנון ובקרה  ראש חטיבת תכנון ומנהל כח האדם  ראש מטה אגף כוח האדם  פרויקטורית להובלת נושאי משאבי אנוש בתוכנית הרב שנתית ״תנופה״, בכפיפות לסגן הרמטכ״ל
מירב קירשנר (נולדה ב-12 ביולי 1968) היא קצינה במילואים בדרגת תת-אלוף בצה"ל. שירתה כפרויקטורית להובלת נושאי משאבי אנוש בתוכנית הרב שנתית ״תנופה״, בכפיפות לסגן הרמטכ״ל, ולפני כן קודם כראש מטה אגף כוח האדם וכראש חטיבת תכנון ומנהל כח האדם.
ביוגרפיה

מירב קירשנר התגייסה לצה"ל ב-1986 ושירתה כקצינה בחיל השלישות. ביצעה מגוון תפקידי פיקוד באגף כוח אדם, בהם קצינת השלישות של עוצבת אדום, ראש מחלקת מילואים, קצינת השלישות של פיקוד הדרום וראש מחלקת מערכות מידע, תכנון ובקרה. ביולי 2014 מונתה לראש חטיבת תכנון ומנהל כוח האדם. באוגוסט 2016 מונתה לראש חטיבת הפרט וראש מטה אגף כוח האדם. בדצמבר 2016, לאחר התפטרותו של ראש האגף, אלוף חגי טופולנסקי, מונתה קירשנר לממלאת מקומו, עד למינויו של מוטי אלמוז לראש האגף. בספטמבר 2019 מונתה לפרויקטורית להובלת נושאי משאבי אנוש בתוכנית הרב שנתית ״תנופה״, בכפיפות לסגן הרמטכ״ל. ב-20 ביולי 2020 הודיעה על פרישתה מצה"ל, זאת לאחר שהרמטכ"ל החליט שלא למנותה לתפקיד ראש אכ"א.
השכלה וחיים אישיים

בעלת תואר ראשון מאוניברסיטת בן-גוריון בנגב בתעשייה וניהול משאבי אנוש, תואר שני מאוניברסיטת בן-גוריון במנהל עסקים ותואר שני נוסף במדע המדינה באוניברסיטת חיפה והמכללה לביטחון לאומי. בוגרת קורס דירקטורים ותוכנית המנהיגות של קרן וקסנר.
אלמנה ואם לשני ילדים. מתגוררת במושב עדנים.
הערות שוליים

↑  תא"ל מירב קירשנר פורשת מצה"ל, באתר ערוץ 7, 21 ביולי 2020
מידת האר

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה מתמטית, מידת האר היא מידה המוגדרת על חבורות טופולוגיות קומפקטיות מקומית, כגון חבורות של מטריצות מעל הממשיים, המרוכבים, או כל שדה מקומי אחר. מידה זו הוגדרה עבור חבורות קומפקטיות על ידי המתמטיקאי ההונגרי אלפרד האר, ב־1932, ועבור המקרה הכללי על ידי אנדרה וייל.
בזכות קיומה של מידה על החבורה G, ניתן להגדיר אינטגרלים של פונקציות המוגדרות על החבורה, ולחקור פונקציות כאלה במסגרת האנליזה הפונקציונלית. תכונה זו הופכת את החבורות הקומפקטיות-מקומית, שיש להן מידת האר, לאובייקט מרכזי בתורת החבורות, באנליזה, בתורת ההצגות ובתורת המספרים.
מידת האר מיוחדת בכך שהיא "אינווריאנטית להזזות", כלומר, היא מודדת את ה"נפח" של קבוצה A בחבורה באופן כזה, שהנפח אינו משתנה אם מכפילים את A באיבר של החבורה. עד כדי כפל בקבוע, יש מידת האר אחת שהיא אינווריאנטית לכפל מימין, ואחרת שהיא אינווריאנטית לכפל משמאל. את היחס בין השתיים מודדת הפונקציה המודולרית של החבורה.
מידות אינווריאנטיות

נניח כי G היא חבורה טופולוגית קומפקטית מקומית. לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי תת-הקבוצות הקומפקטיות של G קוראים אלגברת בורל. האיברים של אלגברה זו נקראים קבוצות בורל.
אם a הוא איבר בG וS היא תת-קבוצה של G, אז  \,aS=\{a\cdot s:s\in S\} היא ה"הזזה שמאלה" של S ב- a, ו-  \,Sa=\{s\cdot a:s\in S\} ה"הזזה ימינה". מכיוון שפעולת הכפל בחבורה היא רציפה, ההזזות מעתיקות קבוצת בורל לקבוצת בורל. באותו אופן, ההפכי של S מוגדר לפי  \,S^{-1}=\{s^{-1}:s\in S\}; גם פעולת ההיפוך מעתיקה קבוצת בורל לקבוצת בורל.
מידה μ על אלגברת בורל של G היא אינווריאנטית משמאל, אם לכל תת-קבוצת בורל S של G ולכל איבר a ב G מתקיים  \,\mu (aS)=\mu (S); כלומר - הנפח של קבוצות אינו משתנה כאשר מכפילים אותן משמאל. באותו אופן אפשר להגדיר אינווריאנטיות מימין.
קיום ויחידות של מידת האר

מתברר כי, עד כדי כפל בקבוע חיובי, קיימת בדיוק מידה רגולרית אינווריאנטית להזזות שמאלה אחת על אלגברת בורל של G, המקיימת  \,\mu (U)>0 לכל קבוצת בורל פתוחה U. מידה כזו נקראת מידת האר שמאלית. באותו אופן מתברר גם שקיימת מידה ימנית אחת ויחידה על החבורה.
ממידת האר השמאלית, μ, אפשר להגדיר מידת האר ימנית, ν, לפי הנוסחה  \,\nu (S)=\mu (S^{-1}). (זוהי אכן מידת האר ימנית, משום שלכל קבוצת בורל S ולכל איבר a ב־G מתקיים  \,\nu (Sa)=\mu ((Sa)^{-1})=\mu (a^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\nu (S)). מכיוון שמידת האר הימנית היא יחידה (עד כדי קבוע) הרי שקיים קבוע חיובי k כך ש- \,\mu (S^{-1})=k\nu (S) לכל קבוצת בורל S בG.
בהגדרה של מידת האר, ההגבלה לקבוצות בורל היא הכרחית: אם החבורה G אינה דיסקרטית, אז לא קיימת מידה אינווריאנטית משמאל המוגדרת על כל תת-הקבוצות של G (זאת אם מניחים את אקסיומת הבחירה; ראו פרדוקס בנך-טרסקי, עבור המקרה של החבורה הקומפקטית  \ O_{3}(\mathbb {R} )).
קיום ויחידות של מידת האר > הפונקציה המודולרית

הזזה משמאל של מידת האר ימנית היא מידת האר ימנית. ליתר דיוק, אם μ היא מידת האר ימנית אז לכל איבר t בG ההעתקה
 \,A\mapsto \mu (t^{-1}A)
היא גם מידת האר ימנית.
לפיכך קיימת פונקציה יחידה Δ, הנקראת הפונקציה המודולרית של G, כך שלכל קבוצת בורל A בG ולכ איבר t בG מתקיים  \,\mu (t^{-1}A)=\Delta (t)\mu (A).
נשים לב כי לכל זוג איברים s וt בG ולכל קבוצת בורל A מתקיים:
לפיכך, לכל s ו-t מתקיים  \,\Delta (ts)=\Delta (t)\Delta (s),
כלומר, הפונקציה המודולרית היא הומומורפיזם של חבורות מG אל החבורה הכפלית של המספרים הממשיים החיוביים. ניתן להראות שהפונקציה המודולרית היא העתקה רציפה.
חבורה נקראת אונימודולרית אם הפונקציה המודולרית שלה היא הפונקציה הקבועה 1, כלומר אם מידת האר השמאלית ומידת האר הימנית עליה מתלכדות. לעובדה זו השלכות רבות כשמבצעים אנליזה על החבורה. חבורות דיסקרטיות, עליהן מידת האר היא מידת המניה, הן תמיד אונימודולריות; גם חבורות קומפקטיות, חבורות נילפוטנטיות (ובכללן חבורות אבליות) וחבורות לי פשוטות למחצה הן אונימודולריות. דוגמה לחבורה שאינה אונימודולרית היא חבורת הטרנספורמציות האפיניות של הישר הממשי (כלומר חבורת ההעתקות מהצורה  \,x\mapsto ax+b כאשר  \,a\neq 0). דוגמה זו מראה שחבורות פתירות אינן באופן כללי אונימודולריות.
אינטגרל האר

בעזרת התאוריה הכללית של אינטגרל לבג, ניתן להגדיר אינטגרל לכל הפונקציות המדידות בורל על G. אינטגרל זה נקרא אינטגרל האר. אם μ היא מידת האר שמאלית אז לכל פונקציה אינטגרבילית f מתקיים:
עובדה זו נובעת מן האינווריאנטיות עבור פונקציות פשוטות, ומכאן (בטכניקות הרגילות של תורת המידה) לכל פונקציה אינטגרבילית.
המרחב  \ L^{2}(G), מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע, הוא הצגה של החבורה G, שלה תפקיד מרכזי בתורת ההצגות, המקביל לזה של ההצגה הרגולרית עבור חבורות סופיות.
דוגמאות

מידת האר על החבורה הטופולוגית  \,(\mathbb {R} ,+) המקבלת את הערך 1 על הקטע [0,1] היא המידה הרגילה, כלומר, הצמצום של מידת לבג לקבוצות בורל של R. טענה דומה נכונה ל  \,\mathbb {R} ^{n} לכל n.
אם G היא החבורה הכיפלית של המספרים הממשיים החיוביים, מידת האר נתונה על ידי  \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt לכל קבוצת בורל S של G.
באופן יותר כללי:
עבור  \ G=GL_{n}(\mathbb {R} ) - חבורת המטריצות ההפיכות מסדר n מעל  \,\mathbb {R} , מידת האר השמאלית והימנית מתלכדות ונתונות על ידי:
כאשר dX מסמנת את מידת לבג על  \,\mathbb {R} ^{n^{2}} המזוהה עם קבוצת המטריצות בגודל  \,n\times n.
באופן כללי יותר, לכל חבורת לי G מממד d, ניתן לייחס מידת האר שמאלית לכל d-תבנית דיפרנציאלית אינווריאנטית משמאל ω, על ידי אינטגרל לבג |ω|. לפיכך הפונקציה המודולרית ניתנת לחישוב על ידי הערך המוחלט של הדטרמיננטה של ההצגה הצמודה של G (ההצגה הטבעית של G על אלגברת הלי שלה).
ראו גם

דואליות פונטריאגין
לקריאה נוספת

Paul Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971.
Lynn Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co., 1953.
קאם תומאס

| --- | --- |

תומאס בשנת 2022
 לידה:  31 באוקטובר 2001  (בן 22) יוקוסוקה, יפן
 עמדה:  קלע
 גובה:  1.91 מטרים
 מספר:  24
 מכללה:  אוניברסיטת המדינה של לואיזיאנה
 דראפט:  בחירה מספר 27, 2021 ברוקלין נטס
 קבוצות כשחקן
 2021–:  ברוקלין נטס
קמרון בושיי "קאם" תומאס (באנגלית: Cameron Bouchea "Cam" Thomas; נולד ב-31 באוקטובר 2001) הוא כדורסלן אמריקאי, שמשחק בקבוצת ברוקלין נטס מליגת ה-NBA, בעמדת הקלע.
קריירת תיכונים ומכללות

תומאס נולד בעיר יוקוסוקה שביפן, בעת שאמו שירתה בצי השביעי של ארצות הברית, וגדל בצ'ספיק שבמזרח וירג'יניה. לקראת שנתו השלישית בתיכון עבר ללמוד ב"אקדמיית אוק היל" היוקרתית, בה למדו בעבר כדורסלנים בולטים רבים, כגון קווין דוראנט, כרמלו אנתוני וראז'ון רונדו. באותה שנה קלע תומאס 26.2 נקודות בממוצע למשחק עבור קבוצת האקדמיה, ובעונה העוקבת קלע 31.5 נקודות למשחק; בכך סיים את קריירת התיכונים כקלעי המוביל בתולדות אקדמיית אוק היל.
בשנת 2020 החל ללמוד באוניברסיטת המדינה של לואיזיאנה (LSU), ובעונתו היחידה בקבוצת הכדורסל שלה רשם ממוצעים של 23.0 נקודות, 3.4 ריבאונדים ו-1.4 אסיסטים למשחק. בסיום אותה עונה, בה נבחר לחמישיית העונה של המחוז הדרום-מזרחי (SEC), עזב את ליגת המכללות לטובת התמודדות לבחירה בדראפט ה-NBA.
קריירת משחק מקצועית

בדראפט ה-NBA‏ 2021 נבחר תומאס על ידי ברוקלין נטס, בבחירה ה-27. בליגת הקיץ של ה-NBA שלפני עונת הרוקי שלו קלע תומאס 27.0 נקודות בממוצע למשחק, ובסיומה נבחר ל-MVP של הטורניר, יחד עם דביון מיטשל.
סטטיסטיקות הקריירה > בעונה הסדירה של ה-NBA

| עונה | קבוצה | משחקים | חמישייה | דקות |  % מהשדה |  % משלוש |  % מהעונשין | ריבאונדים | אסיסטים | חטיפות | חסימות | נקודות |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2021/2022 | ברוקלין | 67 | 2 | 17.6 | 0.433 | 0.270 | 0.829 | 2.4 | 1.2 | 0.5 | 0.1 | 8.5 |
| 2022/2023 | ברוקלין | 57 | 4 | 16.6 | 0.441 | 0.383 | 0.868 | 1.7 | 1.4 | 0.4 | 0.1 | 10.6 |
| 2023/2024 | ברוקלין | 66 | 51 | 31.4 | 0.442 | 0.364 | 0.856 | 3.2 | 2.9 | 0.7 | 0.2 | 22.5 |
| קריירה |  | 190 | 57 | 22.1 | 0.440 | 0.344 | 0.855 | 2.5 | 1.8 | 0.5 | 0.2 | 14.0 |
סטטיסטיקות הקריירה > בפלייאוף ה-NBA

| עונה | קבוצה | משחקים | חמישייה | דקות |  % מהשדה |  % משלוש |  % מהעונשין | ריבאונדים | אסיסטים | חטיפות | חסימות | נקודות |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2021/2022 | ברוקלין | 1 | 0 | 0.1 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 |
| 2022/2023 | ברוקלין | 2 | 0 | 8.0 | 0.429 | 0.000 | 0.000 | 0.5 | 0.5 | 0.0 | 0.0 | 3.0 |
| קריירה |  | 3 | 0 | 5.3 | 0.429 | 0.000 | 0.000 | 0.3 | 0.3 | 0.0 | 0.0 | 2.0 |
הערות שוליים

↑  Cam Thomas Named to Inaugural SI All-American Second-Team, באתר ספורטס אילוסטרייטד, 2 באפריל 2020
↑  הסטטיסטיקות של תומאס בליגת המכללות, באתר sports-reference.com
↑  רשימת הנבחרים בדראפט 2021, באתר basketball-reference.com
↑  Mitchell and Thomas Named Co-MVPs of 2021 NBA Summer League, באתר bleacherreport.com,‏ 18 באוגוסט 2021
קוברה (תנועה אמנותית)

קארל אפל, "ילדים חקרניים", 1948.
תמונה זו מוצגת בוויקיפדיה בשימוש הוגן.
נשמח להחליפה בתמונה חופשית.
"קוברה" (בלועזית: COBRA, או CoBrA) הייתה תנועת אוונגרד אמנותית שפעלה בצפון אירופה בין השנים 1948–1952. את שם התנועה הגה הצייר הבלגי כריסטיאן דוטרמון (Christian Dotremont), שצירף את האותיות הראשונות של הערים בהן התגוררו חברי הקבוצה - קופנהגן (Copenhagen), בריסל (Bruxelles) ואמסטרדם (Amsterdam). התנועה התנגדה לערכי האמנות המערביים, וקיבלה השראה רבה מאלמנטים באמנות הפולקלור, באמנות ילדים ובאמנות של אפריקה והאיים הפאסיפים. עבודותיהם של אמני תנועת קוברה מתאפיינות בשימוש בצבעים עזים לצד משיכות מכחול ספונטניות שמבקשות לשקף ביקורת חברתית. עבודותיהם התבססו על ספונטניות ואקספרימנטליות, והם שאבו השראה מיצירותיהם של פאול קלה וז'ואן מירו.
היסטוריה

בימי הכיבוש הנאצי של מלחמת העולם השנייה, הולנד הייתה מנותקת מעולם האמנות שנמצא היה מחוץ לה. זמן קצר לאחר המלחמה, קוברה הוקמה כתנועה בינלאומית של אמנים, שצמחה מתוך ביקורת על החברה המערבית, התעשייה והצריכה הקפיטליסטית ומתוך קצון משותף להתנתק מהאמנות הקיימת, ובתוך כך מהנטורליזם ה"מתועב" ומההפשטה ה"סטרילית". התנועה הוקמה ב-8 בנובמבר 1948 על ידי האמנים קארֶל אפל (Karel Appel), קונסטנט ניוונהויס (Constant Nieuwenhuys), גיום קורנליוס (Corneille – Guillaume Cornelis van Beverloo) ואן בוורלו (van Beverloo), אסגר יורן (Asger Jorn), כריסטיאן דוטרמון (Christian Dotremont) וז'וזף נוארֶה (Joseph Noiret). תוך זמן קצר לקבוצה הצטרף גם קארל-הנינג פדרסן. הקבוצה הוקמה בקפה ב"קפה נוטרדאם" (Café Notre-Dame) בפריז, שם התכנסו האמנים וחתמו על מניפסט בשם "La cause était entendue" (הנושא הוכרע) שנוסח על ידי דוטרמונט. עיקרו של המניפסט הוא התנערות מלאה מצבע וצורה, כמו גם מתאוריות וסכימות פעולה אמנותיות קבועות, ובוז לתנועה הסוריאליסטית. בנוסף, אמני הקבוצה חלקו אהדה לרעיונות המרקסיזם והמודרניזם.
קבוצת קוברה, ששילבה את אמני הקבוצה הגרמנית Reflex, הקבוצה הדנית Høst והקבוצה הסוריאליסטית המהפכנית הבלגית, התקיימה רק כמה שנים אך במהלכן השיגה כמה וכמה מטרות. ביניהן ניתן למנות את כתב העת "קוברה", סדרה של שיתופי פעולה בין חברים שונים בשם "Peintures-Mot" ושתי תערוכות רחבות היקף. הראשונה שבהן התקיימה במוזיאון סטדליק באמסטרדם, בנובמבר 1949, והשני בפאלה דה בוז-ארט בלייז', בשנת 1951.
בשנת 1949 הקבוצה שינתה את שמה באופן רשמי, לטובת השם "אינטרנציונל האמנים הניסיוניים" ('Internationale des Artistes Expérimentaux'), אך השם לא השתרש והיא המשיכה להיות מזוהה בשמה הקודם. בתקופה זו, בתנועה היו חברים אמנים מכל אירופה וגם מארצות הברית. בשנת 1951 הקבוצה פורקה באופן רשמי, אך רבים מחבריה שמרו על קשר, כאשר דוטרמונט במיוחד המשיך לשתף פעולה עם מנהיגי הקבוצה. רבים מאמני התנועה היו שותפים להתפתחותו של סגנון ה"טאשיזם" (Tachisme) והאקספרסיוניזם המופשט האמריקאי.
העניין המרכזי של אמני הקבוצה היה בציורים סמי-מופשטים, עם צבעים חזקים, משיכות מכחול אלימות ודמויות אנושיות מעוותות, בהשפעת אמנות פרימיטיבית ואמנות פולקלור. למרות הסלידה מן התנועה הסוריאליסטית, ניכרת בעבודות רבות של חברי הקבוצה השפעת האמנות של פאול קליי וז'ואן מירו. יש שרואים בקבוצת קוברה את תנועת האוונגרד האחרונה של המאה העשרים. על פי נטלי אוברט, הקבוצה פעלה רק למשך שלוש שנים (1948–1951), שאחריהן כל חבר בקבוצה התפתח באופן אינדווידואלי.
מניפסט התנועה

המניפסט המייסד של הקבוצה, "La cause était entendue", נחתם על ידי כל חברי התנועה המייסדים בשנת 1948 בפריז. המניפסט מכיל הצהרה על עבודה משותפת ברוח אקספרימנטלית, במטרה לפתח את יצירתם בנפרד מהגל הנוכחי של אמנות האוונגרד. שם המניפסט משקף משחק מילים ביחס למסמך מוקדם יותר שנחתם על ידי סוריאליסטים בלגים וצרפתים ביולי 1947, תחת הכותרת "La cause est entendue" (הנושא מוכרע).