stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מצעד שירי הדאנס קלאב
סטטיסטיקות ושיאים > הזמרים המצליחים ביותר במצעד

מדונה
ג'נט ג'קסון
ריהאנה
ביונסה
פט שופ בויז
דונה סאמר
מריה קארי
קריסטין וו
ג'ניפר לופז
דפש מוד
סטטיסטיקות ושיאים > הזמרים עם הכי הרבה שירים בפסגה

מדונה - 50
ריהאנה - 33
ביונסה - 22
ג'נט ג'קסון - 20
דונה סאמר - 18
קייטי פרי - 18
מריה קארי - 17
קריסטין וו - 17
ג'ניפר לופז - 16
ליידי גאגא - 15
ראו גם

בילבורד הוט 100
בילבורד 200
הערות שוליים

1 2 3  Dance Songs: Top Dance Music Chart, Billboard
1 2  Billboard Staff, Billboard to Temporarily Suspend Boxscore, Dance Club Songs Charts, Billboard, ‏2020-03-31 (באנגלית אמריקאית)
↑  devops, Dance Club Songs, Billboard, ‏2013-01-02 (באנגלית אמריקאית)
↑  Greatest of All Time Top Dance Club Artists : Page 1, Billboard
↑  Rihanna Chart History, Billboard
מעשה חושב (רלב"ג)

| --- | --- |

חלק מתוך הספר "מעשה חושב"
 מידע כללי
 מאת:  רלב"ג 
 שפת המקור:  עברית רבנית 
 נושא:  אריתמטיקה, קומבינטוריקה 
 הוצאה
 תאריך הוצאה:  1321 
 
מעשה חושב הוא ספר מתמטיקה העוסק בעיקר באריתמטיקה ובקומבינטוריקה, שכתב הפילוסוף היהודי רבי לוי בן גרשום (רלב"ג), המתוארך לשנת 1321.
זהו ספרו השני של הרלב"ג, והראשון בנושאי מתמטיקה. שמו של הספר לקוח מספר שמות פרק כ"ו, פסוק א': "ואת-המשכן תעשה...מעשה חושב תעשה אותם".
סקירה כללית

הספר מחולק לשני חלקים מרכזיים. החלק הראשון כולל אוסף של 68 טענות והוכחות בנושאים כמו אריתמטיקה, אלגברה, קומבינטוריקה. חלקו השני, מכיל אלגוריתמי חישוב בנושאים שונים, ומחולק לשישה פרקים:
חיבור וחיסור.
כפל.
סכומים.
קומבינטוריקה.
חלוקה, שורשים ריבועיים ושלישיים.
יחס ופרופורציה.
בסופו של הפרק העוסק ב"יחס ופרופורציה", מצויות בעיות לא פתורות רבות, המהוות כחמישית מכלל הספר.
בהקדמה לספרו מציין הרלב"ג כי ספרים 7–9 בחיבורו של אוקלידס "יסודות" הכרחיים כקריאה מקדימה.
הרלב"ג

רבי לוי בן גרשום (לעיתים נכתב 'בן גרשון', בראשי התיבות: רלב"ג או באנגלית: Gersonides) היה פילוסוף, אסטרונום, מתמטיקאי, מדען, מהנדס, רב ופרשן מקרא שנולד בחבל הפרובנס בדרום צרפת ב-1288 ושם חי עד למותו בשנת 1344.
בעבודתו, מיצב עצמו הרלב"ג כאחד המתמטיקאים והפילוסופים הגדולים של אותה התקופה. הוא כתב מעל לתריסר ספרים העוסקים בפרשנות המקרא, ספר פילוסופיה בשם "מלחמות השם", ספר בנושא לוגיקה, ארבעה כתבים מתמטיים (אחד מהם הוא "מעשה חושב") ומגוון רחב של חיבורים נוספים.
עבודתו של הרלב"ג הייתה מגוונת ומעמיקה, וכללה בין היתר:
השימוש המוקדם ביותר שתועד באינדוקציה מתמטית.
עבודה חלוצית ופתרון בעיות בקומבינטוריקה.
אלגורתימים למציאת שורשים של משוואות ריבועיות ומשולשיות, ופתרונות למשוואות ליניאריות.
פרשנות לספר יסודות של אוקלידס.
עבודה נרחבת בטריגונומטריה.
הוכחה שהזוגות היחידים של מספרים הרמוניים (שהם מספרים מהצורה  2^{n}\cdot 3^{m}, עבור  n,m מספרים שלמים כך שמתקיים  2^{n_{1}}\cdot 3^{m_{1}}-2^{n_{2}}\cdot 3^{m_{2}}=1) הם רק הזוגות הבאים:  (1,2),(2,3),(3,4),(8,9).
תצפיות אסטרונומיות חשובות על תנועת הירח, כדור הארץ, השמש ותאוריות נוספות שהועלו לפניי אלו של קופרניקוס וקפלר.קמרה אובסקורההמצאת מטה יעקב, מכשיר למדידת זוויות בין גורמי שמיים אשר שימש מלחים לניווט בים.
הקמרה אובסקורה; אפשרות לצפייה בליקוי חמה בעזרת המכשיר, כך שלא ייגרם נזק לעיניים. הרלב"ג פיתח מכשיר שנקרא "הלשכה האפלה", תיבה סגורה מכל צד, שאליה חודר אור דרך נקב קטנטן שבאחת מדפנותיה. המביט דרך הנקב אל תוך התיבה רואה על הדופן שמול הנקב תמונה אמיתית והפוכה של הגוף הנמצא מחוץ לתיבה מול הדופן שבו נמצא הנקב, ובעזרתה ניתן היה להשוות את קוטר הירח לקוטר השמש ולמדוד את גודל ההתכסות בעת ליקוי החמה.
התוכן > הקדמה

בראש הספר, כותב הרלב"ג את ההקדמה הבאה:
נאום לוי בן גרשום בעבור שההשגה השלמה בעשית המלאכות הוא שנדע במלאכה מלאכה עם ידיעת אופן המעשה למה נעשה אותה בזה האופן והיה החלק המעשיי ממלאכת המספר אחת מהמלאכות המעשיות הוא מבואר שראוי שנחקור בה בסבותיה ועוד סבה אחרת תחייב לחקור בזאת המלאכה בנתינת הסיבות וזה שהוא מבואר שזאת המלאכה מקפת במינים רבים מאוד וכל מין ומין ממנה מקיף בחמרים רבים מתחלפים התחלפות רב יביא לחשב שאינם תחת מין אחד ובהיות העניין כן הוא מבואר שלא תשלם ההשגה בזאת המלאכה בזולת ידיעת הסבות כי אם בקושי גדול ואולם עם ידיעת הסבות אפשר שתשלם בקלות והיה זה כן לפי שמי שידע הסבות ידע בידיעה אחת תכונת המעשה במינים הרבים אשר תקיף במלאכותיהם סבה אחת בעינה. ומי שיסביל הסבות יצטרך בידיעה אחת בעינה לידיעות רבות לפי השתנות החמרים.
תמצית הדברים בעברית בת ימינו: כדי לפתור בעיות כראוי לא די בידיעת הנוסחה בלבד אלא יש להבין גם מה שעומד מאחוריה. בנוסף, מי שאינו מבין היטב את תוכנה ומהותה של הנוסחה יזדקק לשיטה נפרדת לכל בעיה והבנה טובה מסייעת לפתור בעיות שעשויות להיראות כבעיות שונות ואינן אלא אותה בעיה עצמה.
והוא ממשיך כך:
וכאשר היה זה כן ראינו בזה הספור להודיע דרכי המספרים וסבותיהם לפי קצורנו וחלקנו זה הספר לפי זאת החקירה לשני מאמרים.
המאמר הראשון יקיף על השרשים אשר נתן למה שנרצה לבארו מזאת המלאכה. המאמר השני יקיף על דרכי המלאכה במין מין ממיני המספר ונתינת הסבות. ולפי שהיה זה הספר מקיף על המעשה והעיון קראנוהו מעשה חושב ואולם מדרגות הלמוד הנעשה בזה הספר הנה ראוי שיקדם העיון למעין בו במאמר השביעי והשמיני והתשיעי מאקלידיס כי לא היה רצוננו להשיב בזה הספר דבריו אבל נניחם במדרגת השרשים אחר שהתבארו שם במופת.
כלומר, החלק הראשון מציע 68 תאוריות והוכחות. והחלק השני מציע אלגוריתמים שמתאימים לבעיות שונות וכן הסברים על השימוש בהם. השם 'מעשה חושב' נבחר כי הוא כולל את החלק המעשי, הפרקטי, הן את חלק ה'מחשבתי', ה'תאוריה'.
בסיום דבריו אומר רלב"ג שחיבורו בנוי על כך שהמעיין בו מכיר את הספרים 7–9 של אוקלידס (יסודות) וכי אין הוא חוזר עליהם כי המשפטים כבר הוכחו בידי אוקלידס.
התוכן > חלק א'

חלק זה מתחיל במספר הוכחות "פשוטות" על תכונותיהם של פעולות החיבור והכפל, בעיקר דיסטריבטיביות ואסוציאטיביות.
התוכן > חלק א' > דוגמה לטענה והוכחה - טענה מספר 5

הטענה בניסוח המקור, כפי שכתב הרלב"ג בספרו:
ה) כאשר חולק מספר מה לחצאים והוסף עליו מספר מה הנה שטח התוספת במספר כלו (עם התוספת) עם מרובע חצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתופסת מקובצים.
וזוהי ההוכחה:
ויחולק מספר אב לחצאים ויהיו חלקיו אג גב והוסף עליו מספר בד ואומר ששטח אד בדב עם מרובע גב שווה למרובע גד המופת ששטח אד בדב שווה לשטח גד בדב ולשטח אג בדב שהוא שווה לשטח בג בדב וכאשר חובר עמו מרובע גב היה המקובץ שווה לשטח גד בבד ולשטח בג בבד ולמרובע גב וגם כן הנה שטח גד בגד שווה לשטח גד בבד ולשטח גד בגב אבל שטח גד בגב שווה לשטח גב בבד ולמרובע בג אם כן מרובע גד שווה לשטח גד בדב ולשטח גב בבד ולמרובע בג וזה שווה לפי מה שבארנו לשטח אד בדב ולמרובע גב ו' מ' ש'.
הטענה בניסוח מודרני: יהי מספר כלשהו  N. נחלק אותו לשני חצאים שווים  N_{1}=N_{2}={{N} \over {2}}. נוסיף ל- N מספר נוסף  M, כלומר כעת נסתכל גם על  X=M+N. אזי,  M\cdot X+N_{1}^{2}=(N_{1}+M)^{2} .
הוכחה: יהי מספר כלשהו  N. נחלק אותו לשני חצאים שווים  N_{1}=N_{2}={{N} \over {2}}. נוסיף ל- N מספר נוסף  M. כעת מתקיים כי  X\cdot M=(N_{2}+M)\cdot M+N_{1}\cdot M ומכאן  X\cdot M=(N_{2}+M)\cdot M+N_{2}\cdot M (שכן  N_{1}=N_{2}\rightarrow N_{1}+M=N_{2}+M).
מכאן,  X\cdot M+N_{2}^{2}=(N_{2}+M)\cdot M+N_{2}\cdot M+N_{2}^{2} וכן,  (N_{2}+M)\cdot (N_{2}+M)=(N_{2}+M)\cdot M+(N_{2}+M)\cdot N_{2}.
אבל,  (N_{2}+M)\cdot N_{2}=N_{2}\cdot M+N_{2}^{2}, ולכן  (N_{2}+M)^{2}=(N_{2}+M)\cdot M+N_{2}\cdot M+N_{2}^{2} ולפי מה שראינו זה שווה ל- X\cdot M+N_{1}^{2} ומכאן מתקבל הדרוש.
בטענה זאת, ובאופן כללי במהלך הספר, הרלב"ג לא משתמש במשתנים בצורה שאותה אנחנו מכירים היום. לעיתים הוא משתמש באותיות לתיאור משתנים, בדומה לטענה הנ"ל בה הוא משתמש במשתנים אג, גב, אד, בד, גד, אד. במקומות אחרים בספר הוא כותב את האותיות, אך עם נקודה מעליהן, ושם כוונתו היא לערכן המספרי בגימטריה. לדוגמה: נסמן אב=16, ולכן חצאיו אג=גב=8. נוסיף עליו את בד=5, ולכן נקבל אד=21 ו-גד=13. לכן בסה"כ נקבל, גד^2 = גב^2 + בד*אד כלומר:  13^{2}=8^{2}+5\cdot 21.
בכלים אלגבריים מודרניים, פתיחת סוגריים פשוטה הייתה נותנת את התוצאה הנדרשת בנקל. באותה העת, הסימונים מתמטיים של ימינו, משוואות ותכונות נוספות לא היו בשימוש כפי שהם היום. לכן, ההוכחה נראית אמנם מסובכת ומסורבלת, אך היא מהווה דוגמה ליצירתיות של הרלב"ג בפתרון בעיות על ידי מיצוי כלל הכלים אשר היו קיימים באותה התקופה לרבות המצאת כלים חדשים, דבר החוזר על עצמו בספר זה רבות.
התוכן > חלק ב'

החלק השני של ספרו מכיל אלגוריתמי חישוב בנושאים שונים, ומחולק לשישה חלקים, כך שבסוף החלק האחרון משאיר הרלב"ג מספר רב של בעיות. בין הנושאים המובאים בחלק הזה הופיע האלגוריתם של הרלב"ג לחישוב שורש ריבועי של מספר ריבועי.
התוכן > חלק ב' > בעיות מתמטיות

בסוף חלק ב', מציג הרלב"ג כמות גדולה של בעיות. להלן דוגמה לבעיה שמביאה לידי ביטוי את שליטתו של הרלב"ג באלגברה:
הבעיה בנוסח מודרני: בהינתן מספרים  A,B,C צריך למצוא  X,Y,Z כך ש- X+{(Y+Z) \over {A}}={Y+{{X+Z} \over {B}}}=Z+{(X+Y) \over {C}}.
הפתרון של הרלב"ג:  X=C+(B-A)+(A-2)\cdot BC,Y=X+2(B-A)\cdot (C-1),Z=Y+2(A-1)\cdot (C-B).
לבעיה זו קיימים אינסוף פתרונות. הרלב"ג מבין זאת, ומסביר ששלושת הפתרונות הנ"ל הם הפתרונות ה"בסיסיים". ההוכחה שלו לבעיה זו ארוכה, ומתבססת על טענות 44–52 מחלק א' של הספר, שהן (בלשון מודרנית):
44.  ab+a=(b+1)a,ab+b=(a+1)b.
45.  a<b<c\Longrightarrow c(b-a)+a(c-b)=b(c-a).
46.  2<a<b\Longrightarrow 2(a-2)(b-1)+b+(a-2)+(b-a)=2(a-1)(b-1).
47.  a<b\Longrightarrow ba+(b-a)=(a-1)(b-1)+b+(b-1).
48.  2<a<b\Longrightarrow 2(b-1)(a-2)+b+(a-2)+(b-a)=(a-1)b+(a-2)(b-1)+(b-a).
49.  a<b<c,d=a-2\Longrightarrow 2(c-1)(b-a)+cd+(c-1)d+c+(b-a)+(c-b)=2(b-1)(c-1).
50.  a<b<c,d=a-2\Longrightarrow 2(c-1)(b-a)+(cb)d+(c-b)(a-1)+c+(b-a)=(b-1)(c-1)a.
51.  a<b<c\Longrightarrow (c-1)(b-a)+c+(b-a)=c(b-a+1).
52.  a<b<c\Longrightarrow (c-1)(b-a)+(a-1)(c-b)+c+(b-a)=b(c-a+1).
מתמטיקה פורצת דרך

בחלקו הראשון של "מעשה חושב" מוכיח הרלב"ג 68 טענות שיעזרו לו בהמשך הדרך להראות את האלגוריתמים שהוא עוסק בהם בחלקו השני של הספר.
חלק מהטענות שהוא מציג שם מכילות זהויות לסכום של מספרים טבעיים עוקבים, סכום מספרים ריבועיים ומשולשים. בחלק מהמקרים, הוא מראה שימוש אלגנטי ב"אינדוקציה מתמטית". זו ההופעה הראשונה בהיסטוריה של אינדוקציה מתמטית (שתופיע אצל פסקל רק במאה ה-17).
בנוסף, מראה הרלב"ג אוסף של הוכחות לזהויות קומבינטוריות בסיסיות.
מתמטיקה פורצת דרך > אינדוקציה

אינדוקציה מתמטית היא כלי המאפשר להוכיח שתכונה מסוימת משותפת לכל המספרים הטבעיים. השיטה עובדת בשני שלבים: השלב הראשון הנקרא "בסיס האינדוקציה" הוא להראות כי התכונה מתקיימת לאיבר הראשון - A(1). השלב השני הנקרא "הנחת האינדוקציה" הוא להראות כי בהינתן כי התכונה התקיימה באיבר הקודם A(N), היא תתקיים עבור האיבר הבא A(N+1).
בספרו מעשה חושב, הוכיח הרלב"ג טענות תוך שימוש באינדוקציה. דוגמה לכך ניתן לראות בטענות 41 ו-42 בחלק א' שבהן הרלב"ג משתמש באינדוקציה בטענה 42 בעזרת טענה 41. ניתן דוגמה לטענות ולהוכחה של טענה 42:
טענה 41 בניסוח המקור: "מ"א) המרובע ההוה מנקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מונח הוא שוה למעוקב המספר המונח ולמרובע נקבץ הנמשכים מן האחד עד המספר הנמשך לפני המספר המונח".
טענה 41 בניסוח של ימינו:  (1+2+3+...+n)^{2}=n^{3}+(1+2+3+...+(n-1))^{2}.
טענה 42 בניסוח המקור: "מ"ב) המרובע ההוה מנקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מונח הנה הוא שוה אל המעוקבים ההוים מהנמשכים מן האחד עד המספר המונח".
טענה 42 בניסוח של ימינו:  (1+2+3+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}.
הוכחת טענה 42 בניסוח המקור: "ויהיה הנקבץ נקבץ אבגדה ואומר שמרובע ההוה מנקבץ אבגדה שוה למעוקבים ההוים ממספרי אבגדה המופת שמרובע נקבץ אבגדה שווה למעוקב ה ולמרובע נקבץ אבגד אבל מרובע נקבץ אבגד שווה למעוקב ד ולמרובע נקבץ אבג והנה מרובע נקבץ אבג שווה למעוקב ג ולמרובע נקבץ אב והנה מרובע נקבץ אב שווה למעוקב ב ולמרובע א והנה מרובע א שווה למעוקב א א"כ מרובע נקבץ אבגדה שווה למעוקבים ההוים ממספרי אבגדה והוא מ"ש.
הרלב"ג משתמש בכל פעם בטענה 41 על כל חלק (הוא משתמש במספרים א-ה כלומר 1–5 אבל טוען כי ניתן להכליל זאת בעזרת הטיעון האינדוקטיבי):
בשלב הראשון:  (1+2+3+4+5)^{2}=5^{3}+(1+2+3+4)^{2}.
בשלב השני:  (1+2+3+4)^{2}=4^{3}+(1+2+3)^{2}.
בשלב השלישי:  (1+2+3)^{2}=3^{3}+(1+2)^{2}.
בשלב הרביעי:  (1+2)^{2}=2^{3}+(1)^{2}.
לבסוף הוא מאחד את כל הנ"ל ומקבל:  (1+2+3+4+5)^{2}=5^{3}+4^{3}+3^{3}+2^{3}+1^{3}, כדרוש.
השימוש החוזר שוב שוב בטענה שקשורה לכמות המספרים הקודמת שהייתה, היא עדות מובהקת לשימוש באינדוקציה, שכן מה שעשה הרלב"ג הוא את הדבר הבא:
בסיס האינדקוציה: עבור  n=1 נקבל  1=(1)^{2}=1^{3}+0^{2}=1 ואכן הבסיס מתקיים.
הנחת האינדוקציה: נניח כי  (1+2+3+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3} ונראה כי  (1+2+3+...+n+(n+1))^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}. מטענה 41 נקבל כי  (1+2+3+...+n+(n+1))^{2}=(n+1)^{3}+(1+2+3+...+n)^{2} ומההנחה נקבל כי החלק הימני של אגף ימין הוא בדיוק  (1+2+3+...+n)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}, ולכן בסה"כ  (1+2+3+...+n+(n+1))^{2}=1^{3}+2^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}.
האינדוקציה מתקיימת ולכן הטענה נכונה.
זוהי לא הטענה היחידה שבה ניתן לראות שימוש באינדוקציה או בשיטות המזכירות אותה. גם בטענות בתחילת חלק א' שבו הרלב"ג מוכיח אסוציאטיביות של פעולת הכפל, הוא מתחיל בהוכחה של אסוציאטיביות של 3 מספרים, עובר להוכחה של 4 מספרים, משם ל-5 מספרים ומציין כי ניתן להמשיך כל פעם להשתמש בתכונה הקודמת כדי להוכיח את התכונה לכמות מספרים גדולה יותר.
בהוכחת משפט 10 הוא כותב את הדבר הבא: "... ויהיו חלקיו זט טל לח הנה מספר אלו החלקים הוא כמספר אחדי א… כל אחד מחלקי זט טל לח ימנהו ד כשיעור שטח ג בה וזה מבואר ממה שקדם …" ובכך מראה כיצד הטענה הקודמת מוכיחה את הבאה, וכך הלאה.
מתמטיקה פורצת דרך > קומבינטוריקה

בסוף חלק א' מתאר רלב"ג מספר טענות והוכחות של זהויות קומבינטוריות. ההוכחות ואופן ניסוחן ארוכות ומעט מסורבלות, אבל הוא משתמש בכלים מתמטיים פורצי דרך.
לדוגמה, טענה 63: "ס"ג) כאשר היו מחברות מספר מונח מנושאים מתחלפים המתחלפות בסדר לבד מספר מה הנה מחברות המספר הנמשך אחר המונח מנושאים מתחלפים המתחלפות בסדר לבד הם כמו שטח מספר המחברות הקודמות במספר הנמשך אחר המספר המונח".
בטענה זו טוען הרלב"ג כי  P_{n+1}=(n+1)P_{n} כאשר  P_{n} מתאר את מספר הדרכים השונות לסדר  n אלמנטים (ידוע כי  P_{n}=n!).
הרלב"ג מוכיח את טענות 64–68 בסוף חלק א' (מובאות בשפה מודרנית):
64.  P_{n,2}=n(n-1), כאשר  P_{n,m} מתאר את מספר הדרכים לסדר  m אלמנטים מתוך  n אלמנטים.
65.  P_{n,m+1}=P_{n,m}(n-m).
66.  P_{n,m}=C_{n,m}P_{m}, כאשר  C_{n,m} הוא מספר הדרכים לבחור  m אלמנטים מתוך  n בלי חשיבות לסדר.
67.  C_{n,m}={P_{n,m} \over {P_{m}}}.
68.  C_{n,n-m}=C_{n,m}. זוהי טענה שניתן לראות בעזרת משולש פסקל.
שיטה זו של קומבינטוריקה תועדה באירופה רק כ-200 שנים לאחר פרסום הספר.
גורלו של החיבור ותפוצתו

'מעשה חושב' הוא חיבור מתמטי מעניין וחדשני. יש בו הוכחות רבות לטענות, עושה שימוש באינדוקציה מתמטית כ-300 שנה לפני השימוש המתועד הראשון באירופה וכן כולל אלגוריתמים רבים ובעיות שונות. למרות זאת לא זכה חיבור זה לפרסום ולחשיפה הראויים לו מסיבות מגוונות:
החיבור, כמו כל יתר חיבוריו, נכתב בעברית. ככל הנראה לא שלט רלב"ג בלטינית, ערבית או יוונית, שפות שהיו בשימוש בזמנו בעניינים מדעיים. על כך מעידה ספרייתו שכללה ספרים בעברית בלבד וספרי מדע הכלליים בהם השתמש היו מתורגמים לעברית. לפיכך לא זכו חיבוריו לפרסום וחלק ניכר מהם הגיעו לידיעת המלומדים שנים רבות לאחר מותו. רק מספר מצומצם מכתביו המתמטיים תורגם ללטינית.
עבודתו הקדימה את זמנה. בעיקר בתחומים שאנו מכנים מתמטיקה בדידה וקומבינטוריקה שלא היו מוכרים בתקופתו.
בקרב היהודים היה הרלב"ג דמות שנויה במחלוקת, זאת בשל הפילוסופיה הרציונליסטית בה דגל, פילוסופיה שהקדימה את הרנסאנס בכ-200 שנה. עבודתו לא זכתה לפופולריות ורבים מקוראי העברית נמנעו ממנה. כך לדוגמה, ספרו הפילוסופי "מלחמות השם" כונה בידי מתנגדיו בלעג "מלחמות על השם". ולכן יהודים רבים התרחקו מכלל עבודותיו, גם אלו המדעיות.
שלא כחיבורו 'מעשה חושב', הגורל של המחקרים האסטרונומיים שלו היה טוב יותר ואלה תורגמו ללטינית וזכו להערכה רבה. מכתש בירח נקרא על שמו של רלב"ג מכתש רבי לוי (אנ').
הערות שוליים

↑  "Ma'aseh Hoshev"., Library of Congress, Washington, D.C. 20540 USA
↑  Tamar Rudavsky, Gersonides, Winter 2020, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2020
↑  Jacob's Staff, www.surveyhistory.org
↑  Emily M. Zygiel et al., Various mutations compensate for a deleterious lacZα insert in the replication enhancer of M13 bacteriophage, PLOS ONE 12, 2017-04-26, עמ' e0176421 doi: 10.1371/journal.pone.0176421
↑  Leo Corry, Distributivity-like Results in the Medieval Traditions of Euclid's Elements, SpringerBriefs in History of Science and Technology, 2021 doi: 10.1007/978-3-030-79679-2
↑  Y. Tzvi Langermann, Shai Simonson, The Hebrew Mathematical Tradition, Science Across Cultures: The History of Non-Western Science, 2000, עמ' 167–188
↑  Leo Corry, Geometry and arithmetic in the medieval traditions of Euclid's "Elements": a view from Book II, Archive for History of Exact Sciences 67, 2013, עמ' 637–705
↑  Shai Simonson, The Missing Problems of Gersonides—A Critical Edition, I, Historia Mathematica 27, 2000-08-01, עמ' 243–302 doi: 10.1006/hmat.2000.2280
↑  Shai Simonson, The Missing Problems of Gersonides—A Critical Edition, II, Historia Mathematica 27, 2000-11-01, עמ' 384–431 doi: 10.1006/hmat.2000.2281
↑  Nachum L. Rabinovitch, Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, Archive for History of Exact Sciences 6, 1970, עמ' 237–248
↑  Shai Simonson, The Mathematics of Levi ben Gershon, The Mathematics Teacher 93, 2000-11, עמ' 659–663 doi: 10.5951/mt.93.8.0659
הרלב"ג
מטה יעקב
יסודות - אאוקליד
שיטת מיצוי למציאת שורש ריבועי
שורש ריבועי של X
אינדוקציה מתמטית - אם ידוע כי צעד A גורר את צעד A+1, כל שנותר הוא להראות שהצעד הראשון מתקיים וכל צעד יפעיל את הבא בתור.
חישוב סכומים בעזרת אינדוקציה
משולש פסקל
משה טוביה מזונטהיים

| --- | --- |

מוריץ אופנהיים, ברכת הרבי. הרבי המופיע בציור הוא רבי משה טוביה מזונטהיים
 לידה:  4 בינואר 1753 כ"ח בטבת ה'תקי"ג זונטהיים ליד היילברון
 פטירה:  21 בספטמבר 1830 (בגיל 77) ד' בתשרי תקצ"א הנאו, נסיכות הבוחר מהסן 
 תקופת הפעילות:  ? – 21 בספטמבר 1830 
 השתייכות:  יהדות גרמניה
 תחומי עיסוק:  רב העיר הנאו
 חיבוריו:  אור פני משה
 
רבי משה טוביה מזונטהיים (כ"ח בטבת ה'תקי"ג, 4 בינואר 1753, זונטהיים ליד היילברון – ד' בתשרי תקצ"א, 21 בספטמבר 1830, הנאו) רבה של הנאו, ומגדולי רבני יהדות גרמניה בתקופתו.
ביוגרפיה

נולד בעיירה זונטהיים שליד היילברון, בצפון מדינת באדן-וירטמברג. בגיל שלוש נמסר על ידי אמו לקרוב משפחתם רבי נפתלי צבי קצנלנבוגן רבה של מרגנטהיים (אנ') שגידל וחינך אותו עד הגיעו לגיל שמונה עשרה, אז נישא לקרובתו זיסה זונדהיים, נכדתו של הרב הלל מינץ שהיה רב במנהיים. גיסו, אח אשתו היה הרב הלל מזונטהיים, שכיהן כרב באשאפנבורג (אנ').
אחרי נישואיו עבר לגור בעיר פירט, בה למד בישיבתו של הרב המקומי רבי יוסף שטיינהארט, ישיבת פיורדא. רעו לספסל הלימודים בישיבה זו היה הרב מרדכי בנט, לימים רבה של ניקלשבורג.
בשנת תקנ"ה (1795) התמנה לכהן כרבה של הנאו, בה הקים ישיבה לאחר שנה. עמד בקשרי מכתבים עם רבים מגדולי דורו ודבריו משוקעים בכתביהם. הוא היה בין הרבנים הלוחמים ברפורמים.
בשנת ה'תקע"ד (1813), לאחר המאורעות שחוותה הקהילה בעת המלחמות הנפוליאוניות, חיבר את "מגילת האנוי" המתארת את הקורות, וקבע את יום ו' במרחשוון כתענית ציבור לבני הקהילה.
שנה לאחר פטירת אשתו הראשונה, נישא בשנית בשנת תקפ"ג (1823) לגיטה בת אברהם בעער מבקנהיים, שגרה בגלנהויזן.
הרב משה טוביה מזונטהיים כיהן ברבנות הנאו במשך 35 שנים עד לפטירתו בד' בתשרי תקצ"א, 21 בספטמבר 1830. הוא נקבר למחרת היום בהנאו במעמד רבני האזור.
בנו, רבי נתן נטע אריה זונדהיים, התפרסם אף הוא כגדול בתורה וטוב לבריות.
ספרו

אור פני משה, פרנקפורט, תרפ"ח, באתר היברובוקס - הספר מאגד את חידושיו, וכן שאלות ותשובות מכתביו.
לקריאה נוספת

תולדות הגאון הגדול ר' משה טוביה מזונטהיים, בתוך: אור פני משה, פרנקפורט: דפוס חרמון, תרפ"ח.
הערות שוליים

↑  מצורת פנייתם אליו ניתן להתרשם ממעמדו התורני; ראו לדוגמה: שו"ת חתם סופר, ח"ו סימן טו: ”לי"נ שארי הגאון הגדול נשיא ישראל למלכים למואל אב לגולת ישראל ע"ה פ"ה כקש"ת מהו' משה טובי' נ"י אב"ד דק"ק האנוי' והמדינה יע"א”.
↑  משה טוביה מזונטהיים, מגילת האנוי, אור פני משה, פרנקפורט תרפ"ח, באתר היברובוקס.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  NLI: 987007305527805171  GND: 105315030X  ISNI: 0000 0000 5135 6040  LCCN: no2008000363  VIAF: 39173339   WorldCat (עם VIAF): 39173339
מפעל פאגוס באלפלד

מפעל הטורבינות של AEG, תכנון פטר ברנס
קרל ברנס
פרסומת לאימומים של פאגוס מ-1925
המבנה האחורי (הצפוני)
בתוככי המפעל
מפעל פאגוס (בגרמנית: Fagus Werk, או Fagus Fabrik) הוא בית חרושת לאימומים לנעליים (אנ') באלפלד על הליינה (אנ') בסקסוניה התחתונה בגרמניה, והוא דוגמה חשובה לאדריכלות מודרנית מוקדמת. תכנון המפעל הופקד בידי האדריכלים ולטר גרופיוס ואדולף מאייר (אנ') על ידי בעלי המפעל, קרל בנשיידט (Carl Benscheidt), שרצה במבנה רדיקלי שיבטא את ההתנתקות של החברה מהעבר. הוא נבנה בשנים 1911–1913, עם תוספות וחללי פנים שהושלמו בשנת 1925.
בשנת 2001 נוסף המפעל לרשימת אתרי המורשת העולמית של אונסק"ו. בהחלטה להוסיף את המפעל לרשימה נכתב: ”עם המשטחים פורצי הדרך העצומים של לוחות הזכוכית והאסתטיקה הפונקציונליסטית, הקמת המתחם הקדימה את העבודות של בית הספר הבאוהאוס ומהווה נקודת ציון בפיתוח האדריכלות באירופה ובאמריקה הצפונית”.
השפעות

הבניין שהיה בעל ההשפעה הגדולה ביותר על תכנון מפעל פאגוס היה מפעל הטורבינות של AEG משנת 1909 בברלין, שתוכנן על ידי פטר ברנס. גרופיוס ומאייר עבדו שניהם על הפרויקט ובמפעל פאגוס הם הציגו את פרשנותם וביקורתם על העבודה של מורם. ניתן לראות בבניין הראשי של פאגוס היפוך של מפעל הטורבינות של AEG. לשני המבנים פינות ללא תומכים, ובין העמודים התומכים בגג יש משטחי זכוכית המכסים את כל גובה הבניין. עם זאת, במפעל הטורבינות של AEG הפינות מכוסות על ידי אלמנטים כבדים המוטים פנימה. גם משטחי הזכוכית משופעים פנימה והם שקועים ביחס לעמודים. האלמנטים הנושאים עומס דקים ולבניין יש מראה של יציבות ומונומנטליות. במפעל פאגוס קורה בדיוק ההפך; הפינות נותרות פתוחות והעמודים שקועים ומשאירים את משטח הזכוכית מקדימה. גרופיוס מתאר את השינוי הזה באומרו: ”תפקיד הקירות מוגבל לתפקיד של מסכים בלבד שנמתחים בין העמודים הזקופים של המסגרת כדי להרחיק גשם, קור ורעש”. בזמן תכנון מפעל פאגוס אסף גרופיוס תצלומים של מבני תעשייה בארצות הברית שישמשו לפרסומים של דויטשר ורקבונד. תכנון מפעלים אמריקאים אלה היווה מקור השראה גם עבור פאגוס.
היסטוריה של הבנייה

קרל בנשידט (1858–1947) ייסד את חברת פאגוס בשנת 1910. אז הוא התחיל לעבוד אצל ארנולד ריקלי, שעסק ברפואה נטורופתית, ושם הוא למד על אימומים של נעליים אורתופדיות. בשנת 1887 נשכר בנשידט על ידי יצרן האימומים קרל ברנס (Carl Behrens) כמנהל עבודה במפעלו באלפלד. לאחר מותו של ברנס בשנת 1896, הפך בנשידט למנהל כללי של החברה, שהייתה בדרך להיות אחת הגדולות בתחום זה בגרמניה. באוקטובר 1910 הוא התפטר מתפקידו בגלל חילוקי דעות עם בנו של ברנס.
היסטוריה של הבנייה > תכנון

לאחר התפטרותו הקים בנשידט מיד חברה משלו. הוא הקים שותפות עם חברה אמריקאית ממנה קיבל הון ומומחיות כאחד. הוא קנה את האדמה ישירות מול מפעלו של ברנס ושכר את האדריכל אדוארד ורנר (Eduard Werner‏; 1847–1923), אותו הכיר משיפוץ מוקדם יותר של המפעל של ברנס. אף על פי שוורנר היה מומחה בתכנון מפעלים, לא היה בנשידט מרוצה מהמראה החיצוני של העיצוב שלו. מפעלו הופרד מהמפעל של ברנס באמצעות מסילת רכבת ובנשידט חשב על גובה הבניין בצד זה (צפונה) כפרסומת קבועה למפעלו. בינואר 1911 הוא יצר קשר עם ולטר גרופיוס והציע לו לתכנן מחדש את החזיתות של תוכנית ורנר. גרופיוס קיבל את ההצעה והחל שיתוף פעולה ארוך שנמשך עד שנת 1925, כאשר הבניינים האחרונים באתר הושלמו.
היסטוריה של הבנייה > הבנייה

במהלך הבנייה היו גרופיוס ושותפו מאייר תחת לחץ גדול לסיים מהר את העבודה. הבנייה החלה במאי 1911 על פי תוכניותיו של ורנר ובנשידט רצה שהמפעל יפעל בחורף של אותה שנה. זה הושג במידה רבה ובשנת 1912 תכננו גרופיוס ומאייר את חללי הפנים של הבניין הראשי והמבנים הקטנים המשניים באתר.
על מנת לממן את העלויות הנוספות של העיצוב של גרופיוס, החליטו בנשידט ושותפיו האמריקאים על בניין קטן יותר מזה שתוכנן בפועל. בחורף 1912 היה ברור שהמפעל אינו יכול לעמוד בכמות ההזמנות והוחלט על הרחבה גדולה. הפעם החוזה עבר ישירות לגרופיוס ומאייר, ומעתה הם היו אמורים להיות האדריכלים היחידים של בנייני הפאגוס. הרחבה הכפילה כמעט את שטח פני הבניינים על ידי הוספה לצד הרחוב (הדרומי). הרחבה זו אפשרה ליצור את החלק הגבוה ביותר של המבנה מהרחוב. בתחילה החלק הגבוה ביותר היה הצד הצפוני שפנה למסילה ולמפעל של ברנס.
העבודה על ההרחבה החלה בשנת 1913 והיא בקושי הסתיימה כשפרצה מלחמת העולם הראשונה. במהלך המלחמה ניתן היה לבצע עבודות קלות בלבד כמו מבנה המנועים והארובה שהפכה למאפיין בולט של מתחם הבניין.
העבודות נמשכו לאחר המלחמה בתוספת מבנים מינוריים כמו בקתת השוער וחומת המתחם. באותה תקופה האדריכלים, בשיתוף עם מורים ותלמידים מהבאוהאוס, תכננו את חללי הפנים והריהוט של הבניין הראשי. הם גם המליצו לבנשידט על מעצבים שונים לקמפיין הפרסום של פאגוס. משנת 1923 עד 1925 עבדו האדריכלים גם על הרחבה חדשה, אך זו מעולם לא התרחשה. רק בשנת 1927 כתב בנשידט לגרופיוס כדי להסביר כי כל הפעילויות צריכות להיפסק עד להודעה חדשה בגלל קשיים כלכליים.
היסטוריה של הבנייה > המבנים

הבניין המכונה בדרך כלל בניין פאגוס הוא הבניין הראשי. הוא נבנה בשנת 1911 על פי תוכניתו של ורנר, אך עם חזיתות הזכוכית שתוכננו על ידי גרופיוס ומאייר ואז הורחב בשנת 1913. בניין פאגוס הוא בגובה 40 מטר על בסיס לבנים כהה בגובה 4 מטרים. הכניסה עם השעון היא חלק מהרחבת 1913. פנים המבנה, שהכיל בעיקר משרדים, הסתיים באמצע שנות ה-20. שני הבניינים הגדולים האחרים באתר הם אולם הייצור והמחסן. שניהם נבנו בשנת 1911 והורחבו בשנת 1913. אולם הייצור הוא בניין בן קומה אחת. הוא היה כמעט בלתי נראה מגובה מסילת הרכבת (מצפון) וקיבל חזית ראויה לאחר ההרחבה. המחסן הוא בניין בן ארבע קומות עם מעט פתחים. עיצובו היה על פי התוכנית המקורית של ורנר, והוא נותר מחוץ לרבים מהתצלומים. מלבדם, האתר מכיל מבנים קטנים שונים שתוכננו על ידי גרופיוס ומאייר. גרופיוס ומאייר הצליחו לאכוף רק שינויים קלים במערך הכולל של מתחם המפעל. בסך הכל בוצע הפריסה המתוכננת של ורנר לבניינים בודדים במתחם; אחידות ועקביות גדולים יותר הושגו, עם זאת, באמצעות הצמצום של גרופיוס ומאייר בצורה, בחומר ובצבע.