stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
מחשב קוונטי

מחשב קוונטי הוא מכונה המעבדת נתונים תוך שימוש ישיר בתכונות של מכניקת הקוונטים כגון סופרפוזיציה קוונטית ושזירה קוונטית. מחשב קוונטי שונה ממחשב רגיל, בכך שהוא משתמש בקיוביט (ביט קוונטי) במקום ביט כיחידת המידע הבסיסית, והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע על קיוביטים שונות מהשערים הלוגיים העומדים בבסיסו של מחשב קלאסי. ישנן בעיות שמחשב קוונטי מסוגל לפתור ביעילות גבוהה יותר מאשר האלגוריתם המיטבי האפשרי עבור מחשב קלאסי רגיל, אולם מבחינה חישובית הכרעתית הם שקולים, וכל בעיה שניתן לפתור (כלומר, להכריע או להכריע חלקית) באמצעות מחשב קוונטי ניתן לפתור גם באמצעות מחשב קלאסי, גם אם יידרש לשם כך זמן ארוך בהרבה.
המחקר התאורטי בתחום המחשוב הקוונטי החל בשנות השבעים של המאה ה-20 ומהווה מוקד עניין הן באקדמיה והן בגופי ממשל וצבא ברחבי העולם, בזכות ההבטחות לשיפור משמעותי בביצועים של חישובים שונים. נבנו מספר דגמים שמימשו מחשבים קוונטיים בני קיוביטים בודדים לפרקי זמן קצרים, ובשנת 2011 נעשה שימוש במחשב קוונטי על מנת לפרק לגורמים את המספר 143 בעזרת אלגוריתם שור; המספר הגדול ביותר שפורק אי-פעם לגורמים באמצעות מחשב קוונטי הוא 56,153. עם זאת, הטכנולוגיה הקיימת היום עדיין אינה מאפשרת בניית מחשב קוונטי שיוכל לפרק לגורמים מספרים ראשוניים גדולים המשמשים לצפנים במערכות מסחריות או צבאיות. יכולת לפרק מספר בן 2,048 ביטים (שעדיין אינה פרקטית ב-2023) תאפשר פיצוח של המסרים המוצפנים בשיטת RSA, שהיא השיטה הנפוצה היום ביישומים פיננסיים ומסחריים.
אחת השאיפות המרכזיות בפיתוח מחשב קוונטי היא להגיע לעליונות קוונטית (אנ'), היינו נקודת הזמן בהיסטוריה בה מחשב קוונטי יבצע משימה חישובית, ששום מחשב קלאסי לא יכול לבצע בזמן סביר. ב-23 באוקטובר 2019, גוגל הכריזה כי הצליחה להשיג עליונות קוונטית. IBM חולקת על טענה זו.
ב-22 בפברואר 2023 הכריזה גוגל על פריצת דרך שנייה (אם כי, כאמור, IBM חולקת על הטענה של פריצת הדרך הראשונה) והודיעה כי חוקרים של החברה הצליחו לראשונה להוכיח בניסוי כי ניתן להקטין את שיעור השגיאות במחשבים קוונטים באמצעות שימוש בקוד לתיקון שגיאות והגדלת מספר הקיוביטים (יחידות החישוב הבסיסיות במחשוב קוונטי) בקידוד.
רקע

המחקר בנוגע לעיבוד אינפורמציה ולמחשבים קוונטיים החל בשנות השבעים של המאה העשרים. בשנת 1973 פרסם אלכסנדר חולבו (אנ') את המאמר הראשון בתחום, ובו ההבחנה שעל אף ההבדלים ביניהם, n קיוביטים אינם יכולים לייצג יותר מ-n ביטים קלאסיים. אחד החלוצים בתחום היה הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, שבשנת 1981 ניסח את ההבחנה הבאה – כאשר מנסים לחשב את חיזויי מכניקת הקוונטים עבור מערכות פיזיקליות גדולות, נראה שמחשב רגיל לא יכול לעשות זאת ביעילות בגלל המשאבים המעריכיים הנדרשים לייצוג פונקציית הגל. ואולם, הטבע עצמו הרי מבצע חישובים אלו, במובלע, כאשר המערכת הפיזיקאלית מתקיימת במציאות. מכאן, נראה שלטבע, הפועל על פי מכניקת הקוונטים, יש יתרון ביכולת החישוב שלו מול מחשב "קלאסי". אם כך, נוכל אולי לבנות סוג חדש של מחשב, המנצל אפקטים קוונטיים לביצוע חישוב באופן יעיל יותר. מחשב כזה יוכל לחשב את חיזויי מכניקת הקוונטים ביעילות – ואולי אף לבצע חישובים אחרים באופן יעיל יותר מכל מחשב "קלאסי".
בשנת 1985 ניסח דייוויד דויטש (אנ') מודל תאורטי אוניברסלי למחשב קוונטי, מכונת טיורינג קוונטית (אנ'). בדומה למכונת טיורינג קלאסית מדובר במודל תאורטי פשוט המגלם בתוכו את כל העצמה החישובית של מחשב קוונטי, בלי תלות באופן המימוש שלו. דויטש הראה שעל אף ההבדלים בין המודלים השונים, מבחינה חישובית מכונת טיורינג קוונטית שקולה למכונת טיורינג קלאסית ולמעשה מחשב קוונטי לא מפר את תזת צ'רץ'-טיורינג.
קיוביט

יחידת המידע הבסיסית במחשב קלאסי נקראת סיבית או "ביט". ביט קלאסי יכול להיות בהגדרה בשני מצבים פיזיקליים, שמסומנים בדרך כלל ב-0 או 1. יחידת המידע הבסיסית במחשב קוונטי נקראת קיוביט (ביט קוונטי). הקיוביט מתואר על ידי מצב, ושני המצבים מסומנים בדרך כלל כ
 |0\rangle  ו- |1\rangle  שמהווים את האנלוגים הקוונטים למצבים הקלאסיים 0 ו-1. המצבים  |0\rangle  ו- |1\rangle  שייכים למרחב וקטורי, כך שגם "סופרפוזיציה" שלהם תהווה מצב קוונטי.
סופרפוזיציה של קיוביט בודד מיוצגת על ידי  \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle , כאשר  \alpha ,\ \beta  הם מספרים מרוכבים, המקיימים  |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1. המשמעות היא שבעת מדידה קוונטית יש הסתברות של  |\alpha |^{2} למצוא את הקיוביט במצב  |0\rangle  והסתברות של  |\beta |^{2} למצוא את הקיוביט במצב  |1\rangle . קיוביט בודד מיוצג לצרכים תאורטיים על ידי שני מספרים מרוכבים, ולכן יכול לכאורה לייצג כמות אינסופית של מידע. אכן ניתן לבצע חישובים ומניפולציות שונות על קיוביט המייצג סופרפוזיציה בין מספר מצבים, אך בסופו של דבר מדידה קוונטית שלו תגרום לקריסה של פונקציית הגל ולאחריה במקום סופרפוזיציה של שני המצבים יתקבל מצב אחד ויחיד. תכונה זו של סופרפוזיציה מאפשרת לבצע חישובים בצורה שונה מהאופן שבו הם מתבצעים במחשב קלאסי, ועם זאת קריסת פונקציית הגל בעת המדידה מגבילה את העצמה החישובית.
ישנן כמה טכנולוגיות (שונות מאוד) למימוש קיוביט:
superconducting qubits המתבסס על צומת Josephson (אנ')
Quantum dot (אנ')
trapped ion – מלכודת יונים
Photonic qubits
Diamond spin
NMR qubits (אנ')
לכל שיטה יש יתרונות וחסרונות. השיטות המבוססות על מוליכים למחצה מאפשרות אינטגרציה גבוהה אך מצריכות טמפרטורות קרובות לאפס המוחלט, מוגבלות בקישוריות, בעלות אורך חיים מוגבל ורגישות לרעש. בשיטות אופטיות ניתן לעבוד בטמפרטורת החדר וניתן לייצר קישוריות גבוהה, אך האינטגרציה מוגבלת. רוב החברות המסחריות מעדיפות את השימוש במוליכים למחצה. במחקר נבחנות גם אפשרויות אחרות.
שערים קוונטיים

במחשב קלאסי, הפעולות הבסיסיות שניתן לבצע על ביטים מיוצגות באמצעות שערים לוגיים, ואלו יכולים לממש כל פונקציה בוליאנית שהקלט שלה הוא מספר כלשהו של ביטים, והפלט שלה יכול להיות כל מספר אחר של ביטים. המנגנון המקביל במחשב קוונטי נקרא שער קוונטי, שער כזה יכול לממש כל אופרטור אוניטרי על מספר קיוביטים, והתוצאה שלו תהיה בת מספר זהה של קיוביטים. נהוג לייצג שערים קוונטיים כמטריצות אוניטריות, כאשר שער קוונטי הפועל על  n קיוביטים ייוצג על ידי מטריצה מגודל  2^{n}\times 2^{n} (כאמור, מצב אוגר קוונטי המכיל  n קיוביטים מיוצג על ידי וקטור במרחב ממימד  2^{n}).
הכח החישובי של מודלים קוונטיים > חיפוש

נניח שנרצה למצוא מספר העומד בקריטריון מסוים. לדוגמה, נאמר שקלטנו תשדורת המוצפנת בשיטת ההצפנה DES, ואנו מחפשים את מפתח ההצפנה, שהוא מספר אקראי שאורכו 56 ביטים. קל לבדוק אם מספר נתון הוא המפתח הנכון, אבל כדי למצוא את המפתח הנכון (באופן ישיר) נאלץ לבדוק  2^{56} אפשריות, וזהו תהליך ארוך מאוד. אם ברשותנו מחשב קוונטי, נוכל לתכנת אותו לפתור את בעיית החיפוש באופן יעיל יותר. ניקח 56 קיוביטים, ונפעיל עליהם פעולה אשר תביא אותם למצב של סופרפוזיציה אחידה של כל  2^{56} האפשרויות. כעת נורה למחשב לבדוק את נכונות המפתח, ועפ"י עקרון הסופרפוזיציה הוא יעשה זאת במקביל עבור כל המפתחות האפשריים, באותו זמן שמחשב קלאסי היה דורש לביצוע בדיקה עבור מפתח בודד.
במבט ראשון נראה שהשגנו שיפור אדיר במהירות (מעריכי באורך המפתח שמחפשים). ואולם, נשאר אתגר נוסף – כיצד נחלץ את המפתח הנכון, כלומר זה שעבורו הבדיקה הצליחה, מתוך הסופרפוזיציה? בשנת 1996 פיתח לוב גרובר(אנ') אלגוריתם חיפוש קוונטי המאפשר לעשות זאת בעזרת כ- 2^{28} פעולות קוונטיות (ובאופן כללי  2^{k/2} פעולות, כאשר  k הוא אורך המפתח). מסתבר שבאופן כללי, לא ניתן לבצע את החיפוש מהר יותר, כלומר, למחשב הקוונטי יש יתרון (ריבועי) על פני מחשב קלאסי בפתרון בעיות חיפוש כלליות, אך לא יותר מכך.
הכח החישובי של מודלים קוונטיים > מציאת גורמים ראשוניים

אחת הבעיות החשובות שניתנות לפתרון באמצעות מחשב קוונטי היא מציאת הגורמים הראשוניים של מספר גדול. הדבר חשוב בין השאר כי משמעו שמי שברשותו מחשב קוונטי יוכל לפצח את שיטת ההצפנה RSA: בהצפנת RSA המפתח הסודי הוא שני מספרים ראשוניים גדולים מאוד  p ו- q, ורק מכפלתם  N=p\times q מתפרסמת. השערה מקובלת היא שהחישוב ההפוך, כלומר מציאת הגורמים הסודיים  p ו- q בהינתן מכפלתם N, מהווה בעיה שאינה ניתנת לפתרון יעיל במחשב קלאסי. בטיחות שיטת ההצפנה מסתמכת על קושי זה. ב-1994 פיתח מדען המחשב פיטר שור אלגוריתם קוונטי למציאת גורמים ראשוניים של מספר נתון. הוא עשה זאת על ידי המרה של בעיית הפירוק לגורמים לבעיה של מציאת מחזור עבור פונקציה מסוימת, והראה שמחשב קוונטי יכול למצוא את המחזור ביעילות רבה (בעזרת גרסה קוונטית של התמרת פורייה). הרעיון הוא שמחשב קוונטי "רואה" בו זמנית את כל נקודות הפונקציה ולכן יכול לבצע התאבכות על מנת לקבל את המחזור של הפונקציה.
הכח החישובי של מודלים קוונטיים > מגבלות עקרוניות

אף על פי שידועות בעיות שמחשב קוונטי יכול לפתור ביעילות גדולה יותר ממחשב קלאסי, יכולתו של מחשב קוונטי אינה בלתי מוגבלת והוא אינו "פתרון קסם" לכל בעיה חישובית. בראש ובראשונה, ידוע כי ההבדל העקרוני בין מחשבים קוונטיים וקלאסיים הוא ביעילות (דהיינו, סיבוכיות) בלבד; כלומר, כל בעיה הניתנת לפתרון על מחשב קוונטי ניתנת לפתרון גם על כל מחשב קלאסי, אם כי ייתכן שהדבר ידרוש משאבים גדולים יותר. גם הפרש היעילות אינו שרירותי – הוא לכל היותר מעריכי, וישנן בעיות אותן מחשב קוונטי אינו יכול לפתור באופן שהוא יעיל מהותית מהפתרון שלהן באמצעות מחשב קלאסי. לא ידוע אם מחשב קוונטי מסוגל לפתור בעיות NP-שלמות בזמן ריצה פולינומי, ומדענים רבים משערים שאין כך הדבר.
הכח החישובי של מודלים קוונטיים > אלגוריתמים קוונטיים

במשך השנים הציעו החוקרים רשימה של בעיות עבורם ידועים אלגוריתמים קוונטיים שהם יותר יעילים מהאלגוריתמים הקלאסיים.
מחשבים קוונטיים קיימים

כיום קיימים מחשבים קוונטיים פרימיטיביים ביותר ובעלי ביצועים נמוכים. אך כבר ניתן להריץ עליהם אלגוריתמים קוונטיים ולחוות את השוני המהותי בין המחשבים הקלאסיים למחשבים הקוונטיים. מעת לעת אף מתפרסמים מחקרים שמראים שעם מאמץ והרצות חוזרות ונשנות של אלגוריתמים ניתן להגיע להישגים מרשימים.
מחשבים קוונטיים קיימים > ספקי מחשבים

חברות המחזיקות במחשבים קוונטיים, או בסימולטורים קלאסיים של מחשבים קוונטיים, נותנות גישה למשתמשים מכל רחבי העולם למחשבים הקוונטיים שלהם על מנת לחקור, ללמוד ולחוות את השימושים במחשבים מסוג זה. להלן רשימה של מחשבים קוונטיים או סימולטורים שניתן להשתמש בהם:
IBM Quantum – ספקית מובילה של מערכות, תוכנות ושירותים של מחשוב קוונטי, במטרה לאפשר לעולם לפתור את הבעיות המורכבות ביותר. IBM מציעה מחשבים קוונטיים שכוללים שערים המבוססים על קיוביטים מוליכי-על. מעבדי מודל שער מבצעים מעגלים קוונטיים. סוג זה של QPU הוא הצעד הראשון לקראת מחשוב קוונטי אוניברסלי ומיועד למניפולציה של מידע קוונטי.
Amazon Bracket – הוא שירות AWS מנוהל במלואו המספק סביבת פיתוח לחקירה והתנסות במחשוב קוונטי. הוא מאפשר למפתחים, חוקרים ומדענים לתכנן, לבדוק ולהפעיל אלגוריתמים קוונטיים על מחשבים קוונטיים מספקי חומרה שונים.
Azure Quantum – שירות מבוסס ענן המסופק על ידי Microsoft Azure המספק למפתחים ולחוקרים גישה למשאבי מחשוב קוונטי ולכלים. מציעה מגוון טכנולוגיות מחשוב קוונטי, לרבות מערכות מבוססות קיוביטים, מערכות מבוססות חישול וסימולטורים, מספקי חומרה שונים, כגון Honeywell ו-IonQ.
מחשבים קוונטיים קיימים > כלי פיתוח

כמו כן קיימים כלים לפיתוח וכתיבת תוכנות ואלגוריתמים קוונטיים, להלן רשימה כלים לכתיבת אלגוריתמים קוונטיים והרצתם על סימולטורים שונים:
Qiskit‏ – SDK בקוד פתוח לעבודה עם מחשבים קוונטיים ברמה של פולסים, מעגלים ומודולי יישומים.
Cirq - ספרייה בשפת Python לכתיבה, מניפולציה ואופטימיזציה של מעגלים קוונטיים, ולאחר מכן הפעלתם במחשבי קוונטים ובסימולטורים קוונטיים. Cirq מספקת הפשטות שימושיות להתמודדות עם המחשבים הקוונטים הרועשים של ימינו בקנה מידה בינוני, שבהם פרטי החומרה חיוניים להשגת תוצאות מתקדמות.
Amazon Brcket Python SDK – מסופק על ידי Amazon Web Services (AWS) עבור מפתחים וחוקרים שרוצים לבנות יישומים קוונטיים בשירות המחשוב הקוונטי של Amazon Braket. הוא מספק קבוצה של כלים וספריות לפיתוח, בדיקה והרצה של אלגוריתמים ומעגלים קוונטיים על סימולטורים וחומרה קוונטית.
Rigetti PyQuil – כרכיב של Rigetti Forest SDK, המסגרת של pyQuil מאפשרת לבנות ולהפעיל תוכניות Quil באמצעות Python. השימוש ב-pyQuil דורש התקנה של שאר הרכיבים של Forest SDK, כלומר מהדר Quil (quilc) וה-Quantum Virtual Machine (QVM), המשמשים להדמיית מחשבים קוונטיים.
Q# and the QDK – השפה #Q היא שפת תכנות המהווה חלק מ-Quantum Development Toolkit (QDK) מבית מיקרוסופט. ה-Quantum Development Toolkit (QDK) היא ה-SDK הנדרש להתממשק עם Azure Quantum service. עם ה-QDK, ניתן לבנות תוכניות הפועלות על חומרה קוונטית או לנסח בעיות הפועלות על פותרי אופטימיזציה בהשראת קוונטים ב-Azure Quantum.
D-Wave Ocean – חבילה של כלי Python בקוד פתוח הנגישים דרך ערכת פיתוח התוכנה של Ocean (SDK) הן במאגר D-Wave GitHub והן בשירות הענן הקוונטי של Leap. התוכנה Ocean מאפשרת למפתחים להתנסות, לפתח במהירות ולנצל את הכוח של המחשב הקוונטי של Advantage כדי לפתור בעיות מורכבות.
בישראל

באוניברסיטאות בישראל מתקיימת פעילות מחקר ענפה בתחום של מדע וטכנולוגיה קוונטיים, שמחשוב קוונטי הוא חלק ממנו.
בישראל פועלות חברות הזנק אחדות בתחום החומרה והתוכנה למחשב קוונטי, בהן קוונטום מאשינז, קוונט-אל–אר (הצפנה קוונטית), קדמה מחשוב קוונטי (מערכת הפעלה למחשב קוונטי), קלאסיק טכנולוגיות (פיתוח תוכנה למחשוב קוונטי), קוונטום ארט, קוונטום סורס, ועוד.
ביוני 2024 נפתח באוניברסיטת תל אביב המרכז הישראלי למחשוב קוונטי, שהוקם על ידי חברת קוונטום מאשינז במימון חלקי מרשות החדשנות, וכולל שילוב של מחשבים קוונטיים ומחשבי-על.
באוניברסיטת בר-אילן קיים מסלול ייעודי לפיזיקה חישובית קוונטית המשלב קורסים של מחשוב קוונטי בתוכנית הלימודים.
ראו גם

תורת האינפורמציה
הצפנה קוונטית
מספר ובר

סנסציה אחרי שחצי אבן פוגעת במים, התמונה כמעת ברוחב של חצי מטר. לשים לב לתנועה החופשית של טיפות המים המוסטות וזוהי תופעה שדומה לזורם עם מספר ריינולדס גבוה, הצורה המורכבת הלא כדורית של הטיפות מראה שמספר ובר גבוה. לשים לב גם לרכבת הבועות בגוף המים (בתוך המים). ובנוסף הטבעת מתרחבת כתוצאה מהתפשטות ההפרעה אחרי ההשפעה.
מספר וֶבֶּר (Weber number,‏ ) הוא גודל חסר ממד במכניקת הזורמים החיוני עבור זורמים נוזליים ובמיוחד עבור ממשק בין שני נוזלים שונים, ועבור כמה זורמים שבהם שטח הפנים מעוקל.
המספר קרוי על שם מוריץ ובר ((גר')). ניתן לחשוב על מספר ובר כעל מדד לחשיבות אינרציית הנוזל בהשוואה עם מתח הפנים.
הכמות חיונית לניתוח סרט זורם דק ומבנה טיפות ובועות.
ביטוי מתמטי

מספר ובר נרשם בצורה הבאה:
\mathrm {We} ={\frac {\rho \,v^{2}\,l}{\sigma }}
כאשר
\rho  צפיפות הזורם (kg/m3).
v מהירות (m/s).
l אורך אופייני, בדרך כלל בקוטר אגל (m).
\sigma  מתח פנים (N/m).
מספר ובר מותקן,
 \mathrm {We} ^{*}={\frac {\mathrm {We} }{12}}
שווה ליחס בין האנרגיה הקינטית לאנרגיית פני השטח,
\mathrm {We} ^{*}={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{\mathrm {surf} }}},
כאשר
E_{\mathrm {kin} }={\frac {\pi \rho l^{3}U^{2}}{12}}
ו
E_{\mathrm {surf} }=\pi l^{2}\sigma .
שימושים

אחד השימושים למספר וובר הוא בחקר צינורות חום. כאשר שטף המומנטום בליבת האדים של צינורות חום גבוה, קיימת אפשרות שמאמץ הגזירה המופעל על הנוזל בפתיל יכול להיות גדול מספיק כדי לעלות לרכבת הטיפות בזרם האדים. מספר ובר הוא הפרמטר החסר ממדים שמגדיר לנו את תחילת התופעה (שם התופעה) (מספר ובר גדול או שווה 1). במקרה הזה מספר ובר מוגדר כיחס המומנטום בשכבת האדים מחולק בכוח מתח הפנים שמרסן הנוזל, כאשר הגודל האופייני בו הוא גודל נקבובית המשטח.
לקריאה נוספת

Weast, R. Lide, D. Astle, M. Beyer, W. (1989-1990). CRC Handbook of Chemistry and Physics. 70th ed. Boca Raton, Florida: CRC Press, Inc.. F-373,376.
| --- | --- |
בקרת זהויות :  GND: 4192735-7
מספרים ראשוניים גדולים

גרף של מספר הספרות לאורך זמן, כאשר ציר ה-y הוא בסקאלה לוגריתמית
נכון לאוקטובר 2024, המספר הראשוני הגדול ביותר שידוע הוא 1 −2136,279,841, שהוא מספר בעל 41,024,320 ספרות, אשר התגלה על ידי GIMPS ב-21 באוקטובר 2024.
רוב המספרים הראשוניים שהחזיקו את השיא הנ"ל בשלב כלשהו הם מספרי מרסן והם התגלו על ידי מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן.
היסטוריה

| מספר | ייצוג ספרות (רק עבור המספרים הקטנים) | מספר ספרות | שנת גילוי | מגלה |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| M13 | 8,191 | 4 | 1456 | אנונימי |
| M17 | 131,071 | 6 | 1460 | אנונימי |
| M19 | 524,287 | 6 | 1588 | פיטרו קאטאלינדי |
| 641/(232+1) | 6,700,417 | 7 | 1732 | לאונרד אוילר |
| M31 | 2,147,483,647 | 10 | 1772 | לאונרד אוילר |
| 1000001/(1018+1) | 999,999,000,001 | 12 | 1851 |  |
| 274177/(264+1) | 67,280,421,310,721 | 14 | 1855 | תומאס קלאוזן |
| M59/179951 | 3,203,431,780,337 | 13 | 1867 |  |
| M127 | 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727 | 39 | 1876 | אדואר לוקאס |
| 17/(2148+1) | 20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921 | 44 | 1951 | אמיה פריאר, המספר האחרון שנתגלה על ידי אדם ללא מחשב |
| 180/(M1272+1) |  | 79 | 1951 | נתגלה על ידי מחשב EDSAC |
| M521 |  | 157 | 1952 |  |
| M607 |  | 183 | 1952 |  |
| M1279 |  | 386 | 1952 |  |
| M2203 |  | 664 | 1952 |  |
| M2281 |  | 687 | 1952 |  |
| M3217 |  | 969 | 1957 |  |
| M4423 |  | 1,332 | 1961 |  |
| M9689 |  | 2,917 | 1963 |  |
| M9941 |  | 2,993 | 1963 |  |
| M11213 |  | 3,376 | 1963 |  |
| M19937 |  | 6,002 | 1971 |  |
| M21701 |  | 6,533 | 1978 |  |
| M23209 |  | 6,987 | 1979 |  |
| M44497 |  | 13,395 | 1979 |  |
| M86243 |  | 25,962 | 1982 |  |
| M132049 |  | 39,751 | 1983 |  |
| M216091 |  | 65,050 | 1985 |  |
| 391581/(2216193−1) |  | 65,087 | 1989 |  |
| M756839 |  | 227,832 | 1992 |  |
| M859433 |  | 258,716 | 1994 |  |
| M1257787 |  | 378,632 | 1996 |  |
| M1398269 |  | 420,921 | 1996 |  |
| M2976221 |  | 895,932 | 1997 |  |
| M3021377 |  | 909,526 | 1998 |  |
| M6972593 |  | 2,098,960 | 1999 |  |
| M13466917 |  | 4,053,946 | 2001 |  |
| M20996011 |  | 6,320,430 | 2003 |  |
| M24036583 |  | 7,235,733 | 2004 |  |
| M25964951 |  | 7,816,230 | 2005 |  |
| M30402457 |  | 9,152,052 | 2005 |  |
| M32582657 |  | 9,808,358 | 2006 |  |
| M43112609 |  | 12,978,189 | 2008 |  |
| M57885161 |  | 17,425,170 | 2013 |  |
| M74207281 |  | 22,338,618 | 2016 |  |
| M77,232,917 |  | 23,249,425 | 2017 |  |
| M82,589,933 |  | 24,862,048 | 2018 |  |
| M136,279,841 |  | 41,024,320 | 2024 |  |

רשימה של עשרת המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים (נכון ל-2024):
| מקום | המספר הראשוני | התגלה על ידי | תאריך גילוי | מספר ספרות |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ראשון | 1 − 2136,279,841 | GIMPS | 21 באוקטובר 2024 | 41,024,320 |
| שני | 1 − 282,589,933 | GIMPS | 7 בדצמבר 2018 | 24,862,048 |
| שלישי | 1 − 277,232,917 | GIMPS | 26 בדצמבר 2017 | 23,249,425 |
| רביעי | 1 − 274,207,281 | GIMPS | 7 בינואר 2016 | 22,338,618 |
| חמישי | 1 − 257,885,161 | GIMPS | 25 בינואר 2013 | 17,425,170 |
| שישי | 1 − 243,112,609 | GIMPS | 23 באוגוסט 2008 | 12,978,189 |
| שביעי | 1 − 242,643,801 | GIMPS | 12 באפריל 2009 | 12,837,064 |
| שמיני | 1 − 237,156,667 | GIMPS | 6 בספטמבר 2008 | 11,185,272 |
| תשיעי | 1 − 232,582,657 | GIMPS | 4 בספטמבר 2006 | 9,808,358 |
| עשירי | 10223X231172165+1 | PrimeGrid’s Seventeen or Bust Subproject | 6 בנובמבר 2016 | 9,383,761 |
הערות שוליים

↑  https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841#
מילה (תורת החבורות)

בתורת החבורות מילה היא רצף של אותיות מתוך אלף-בית נתון, או האותיות ההפוכות להן. למשל, אם האלף-בית כולל את x, y ו-z, אז  xyyx^{-1}zzzx^{-1} היא מילה. הצבה של איברים בחבורה G במקום אותיות האלף-בית מגדירה הצבה בכל מילה. מילים ממלאות תפקיד חשוב בתורת ההצגות ובתורת החבורות החופשיות, והן מושאי לימוד מרכזיים בתורת החבורות הקומבינטורית.
הגדרות

תהא G חבורה, ו- S תת-קבוצה של G. מילה ב- S היא כל ביטוי מהצורה
כאשר s1,...,sn איברים ב-S, הנקראים יוצרים, וכל εi הוא ±1. המספר n ידוע כאורך המילה.
כל מילה ב- S מייצגת איבר ב-G, כלומר את מכפלת הביטוי. על פי מוסכמה, איבר היחידה יכול להיות מיוצג על ידי המילה הריקה, שהיא המילה הייחודית באורך אפס.
מוסכמות כתיבה

בכתיבת מילים, מקובל להשתמש בסימון אקספוננציאלי על מנת לקצר את כתיבת המילה. למשל, המילה
יכולה להיכתב בתור
הביטוי הנ"ל אינו מילה בפני עצמו — הוא פשוט סימון קצר יותר למילה המקורית.
כאשר עוסקים במילים ארוכות, זה יכול להיות מועיל להשתמש בקו-עליון כדי לציין איברים הופכיים ב-S . באמצעות סימון קו-על, המילה לעיל תיכתב באופן הבא:
מילים מצומצמות

ניתן לפשט כל מילה שבה יוצר מופיע לצד ההופכי שלו (xx−1 או x −1x) על ידי השמטת זוג התווים המיותר:
פעולה זו ידועה בשם צמצום של המילה, ואין היא משנה את האיבר בקבוצה המיוצג על ידי המילה. ניתן לחשוב על צמצומים כיחסים (מוגדרים להלן) הנובעים מאקסיומות החבורה.
מילה מצומצמת היא מילה שלא מכילה זוגות של איברים אשר ניתן לצמצם. ניתן לפשט כל מילה למילה מצומצמת על ידי ביצוע רצף של צמצומים:
התוצאה אינה תלויה בסדר בו מבוצעים הצמצומים.
מילה מצומצמת באופן מחזורי אם ורק אם כל תמורה מחזורית של המילה נותנת מילה מצומצמת.
פעולות על מילים

המכפלה של שתי מילים מתקבלת על ידי שרשור:
גם אם שתי המילים מצומצמות, ייתכן שהמכפלה לא מצומצמת.
המילה ההופכית של מילה מסוימת מתקבלת על ידי לקיחת האיבר ההופכי של כל יוצר, והיפוך סדר ההופעה שלהם:
ניתן לצמצם את המכפלה של מילה עם המילה ההופכית שלה למילה הריקה:
ניתן להעביר יוצר מההתחלה לסוף של מילה על ידי הצמדה :
קבוצה יוצרת של חבורה

תת-קבוצה S של קבוצה G נקראת קבוצה יוצרת אם כל איבר ב-G ניתן ליצוג על ידי מילה ב-S.
כאשר S אינה קבוצה יוצרת של G, קבוצת האיברים המיוצגת על ידי מילים ב-S היא תת-חבורה של G, המכונה תת-החבורה של G הנוצרת על ידי S ומסומנת בדרך כלל  \langle S\rangle . זוהי תת-החבורה הקטנה ביותר של G המכילה את האלמנטים של S.
תבניות נורמליות

תבנית נורמלית עבור קבוצה G עם הנוצרת על ידי S היא בחירה של מילה מצומצמת אחת ב-S עבור כל איבר ב-G. לְדוּגמָה:
המילים 1, i, j, ij הן תבנית נורמלית לחבורת הארבעה של קליין עם {S = {i,  j ו-1 מיוצג על ידי המילה הריקה (איבר היחידה של החבורה).
המילים 1, r, r 2, ..., r n-1, s, sr, ..., sr n-1 הם תבנית נורמלית לחבורה הדיהדרלית Dihn עם {S = {s,  r ו-1 שוב מיוצג על ידי המילה הריקה.
קבוצת המילים מהצורה xmyn עבור m,n∈Z הם תבנית נורמלית למכפלה הישירה של החבורות הציקליות ⟨x⟩ ו-⟨y⟩ עם {S = {x,  y.
קבוצת המילים המצומצמות ב-S הן התבנית הנורמלית הייחודית לחבורה החופשית על S.
יחסים והצגות

תהא S קבוצה יוצרת עבור חבורה G, יחס הוא זוג מילים ב-S המייצגות את אותו אלמנט ב-G. יחסים נכתבים בדרך כלל כמשוואות, למשל  x^{-1}yx=y^{2}.\,. קבוצה  {\mathcal {R}} של יחסים מגדירים את G אם כל יחס ב- G נובע לוגית מהיחסים ב- {\mathcal {R}} ומתוך אקסיומות החבורה. הצגה של G היא זוג  \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle , עבור S קבוצה יוצרת של G ו- {\mathcal {R}} היא קבוצה מגדירה של יחסים.
לדוגמה, ניתן להגדיר את חבורת הארבעה של קליין על ידי ההצגה
כאשר 1 מציין את המילה הריקה, המייצגת את איבר היחידה.
חבורות חופשיות

תהא S קבוצה כלשהי, הקבוצה החופשית על S היא הקבוצה המיוצגת על ידי  \langle S\mid \;\rangle . כלומר, הקבוצה החופשית על S היא הקבוצה הנוצרת על ידי האלמנטים של S, ללא יחסים נוספים. כל איבר בחבורה החופשית יכול להיכתב באופן ייחודי כמילה מצומצמת ב-S.
ראו גם

בעיה מילולית (מתמטיקה)
בעיית המילה בחבורות
לקריאה נוספת

Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P. (1992). Word Processing in Groups. AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
Novikov, P. S. (1955). "On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory". Trudy Mat. Inst. Steklov (ברוסית). 44: 1–143.
Robinson, Derek John Scott (1996). A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
Rotman, Joseph J. (1995). An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
Schupp, Paul E; Lyndon, Roger C. (2001). Combinatorial group theory. Berlin: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham (2004). Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations. New York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.
Stillwell, John (1993). Classical topology and combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.
הערות שוליים

↑  Uniqueness of identity element and inverses
מישק

קיר לבנים אופייני, המישקים מלאים במלט צמנטי
מישקים (המכונים גם "פוגה") הם הרווחים בין אריחים, לבנים, מרצפות או חלוקים במשטחים מרוצפים או מחופים או בקירות בנויים. לרוחב המישקים, לעומקם ולטיפול בהם חשיבות רבה בעבודות הגמר ועבודות השלד בבנייה.
מישקים בהיסטוריה

בבניית אבן עתיקה היו מותירים את המישקים ריקים מה שמכונה בנייה יבשה. במקומות מסוימים היו ממלאים את המישקים האלו בתערובת של אדמה ומים. עם פיתוח חומרי המליטה בתקופת האימפריה הרומית, החלו למלא את המישקים בין האבנים בתערובת של סיד ושל חול, ושיטה זו הייתה מקובלת עד לתחילת המאה ה-20.
מישקים בקירות בנויים מלבנים או בלוקים

קירות בנויים מלבנים ומבלוקים מסוגלים להחזיק את משקלם ללא חיזוקים נוספים. מילוי המישקים בין הלבנים או הבלוקים מבוצע מטיט המורכב ממלט ומחול. מילוי המישקים בקירות בנייה ממלא שלושה תפקידים עיקריים:
סגירת פערים שמקורם בסטייה במידות של הלבנים או הבלוקים.
מניעת מעבר חום או רטיבות.
הגדלת התנגדות הקיר לכוחות אופקיים.
מישקים בריצוף

למישקים בריצוף תפקיד נכבד בשמירה על שלמות הריצוף, יציבתו ותפקודו, לכן ניתן לביצועם משקל רב בתקנים השונים ובספרות המקצועית.
מישקים בריצוף > מישקים בריצוף אבן משתלבת

בריצוף באבנים משתלבות מקובל למלא את המישקים בחול תיקני ונקי ואז להדק אותן באמצעות מהדקת מכנית. שיטה זו רלוונטית רק כאשר המישקים קטנים מאוד יחסית לעובי הריצוף. מישקים בעובי גדול מחצי סנטימטר יש למלא בתערובת של צמנט פורטלנד וחול תיקני.
מישקים בריצוף > מישקים בריצוף טרצו

בדרך כלל בריצוף טראצו לא מבצעים טיפול מיוחד במישקים, אלא מנסים להצמיד את המרצפות זו לזו באופן כזה שלא יהיו רווחים בריצוף, מה שמכונה בשם "פוגה אפס".
מישקים בריצוף > מישקים בריצוף קרמיקה

אריחי קרמיקה, בייחוד אלו המכונים גרניט פורצלן, הם אריחי ריצוף נפוצים מאוד בדירות המגורים החדשות. בריצוף באריחים אלו המישקים מאוד חשובים כיוון שהאריחים הללו מאוד דקים ושבירים וחשוב מאוד שהכוחות ביניהם יעברו צורה אחידה ומפורסת. מסיבה זו משתמשים לצורך מילוי המישקים בקרמיקה בתערובות מינרליות תעשייתיות מיוחדות, המכונות "רובה". תערובות אלו צריכות לפתח תכונות של קשיחות ומניעת התכווצות, כדי למלא את תפקידן המילוי המישקים בקרמיקה. ניתן למצוא היום אצל ספקי החומרים לבנייה רובות בצבעים שונים מתוצרות שונות.