stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
הארי אטקינסון
ראשית חייו

אטקינסון נולד בכפר ברוקסטון שבמחוז צ'שייר שבאנגליה. הוא קיבל את חינוכו באנגליה, אך בגיל 22 הוא בחר ללכת בעקבות אחיו הבכור, ויליאם, ולהגר לניו זילנד. בנסיעתו התלוו אליו אחיו, ארתור, ובני משפחת ריצ'מונד. בהגיעו לניו זילנד, רכשו הארי וארתור אטקינסון שטח חווה בחבל טראנאקי, כפי שעשו בני משפחת ריצ'מונד. במכתביו של אטקינסון עולה כי הוא היה שבע רצון מהמעבר שלו לניו זילנד והוא ראה את מהלך זה כהזדמנות להצלחה אישית. הוא קרא לחווה שבבעלותו הירוורת', על שם כפר ילדותו באנגליה.
פוליטיקה מחוזית

תחילת הקריירה הפוליטית של אטקינסון הייתה כאשר הוא נבחר כחבר במועצת המחוז של טראנאקי. בתפקיד זה הוא כיהן בין השנים 1857 – 1865 ושוב בין השנים 1873 – 1874 ב-1868 הוא נבחר להיות חבר המועצה המנהלת של המחוז ושוב במהלך שנת 1874. בין השנים 1861 – 1862 הוא היה סגן נציב המחוז ושוב ב-1863.
אטקינסון גילה במיוחד עניין בנוגע לקרקעות שהיו בבעלות המאורים, שאותם הוא קיווה להעביר לבעלות המתיישבים הבריטים. הוא האמין שהמשך הבעלות המאורית על הקרקעות, תמנע את הפיתוח הכלכלי של המושבה. אטקינסון ושותפיו למשפחת ריצ'מונד התייחסו אל המאורים כאל "פראים" וראו במלחמה כאפשרות סבירה להבטחת שיתוף הפעולה של המאורים עם רכישת הקרקעות על ידי הבריטים.
ב-1860, כאשר פרצה מלחמת טראנאקי הראשונה, סייע אטקינסון לארגן יחידות מתנדבים שילחמו כנגד המאורים. הוא עצמו לקח חלק בכמה קרבות.
חבר הפרלמנט

לאחר מותו של חבר הפרלמנט של ניו זילנד, ויליאם קטפילד קינג, בפברואר 1861, התקיימו בחירות ביניים במחוז הבחירה של גריי ובל. אטקינסון קיבל את המושב הזה ללא מתחרים. ב-1864, הוא התמנה להיות שר ההגנה בממשלתו של פרדריק ולד. בתפקידו זה הוא היה פעיל מאוד ודחף ליישומה של מדיניות הסתמכות עצמית בניהול המלחמה. בכל אופן, ב-1866, הוא פרש מתפקידו עקב מותה של אשתו אמיליה, שאותה הוא נשא לאישה ב-1856. בשנה שלאחר מותה של אמיליה הוא נשא לאישה את בת דודתו, אנני. בשנת 1867 הוא חזר להיות חבר הפרלמנט מעטם מחוז הבחירה של העיר ניו פליימות', אך באפריל 1869 הוא התפטר כדי להתרכז בניהול החווה שלו.
ב-1872 חזר אטקינסון לפוליטיקה ובבחירות במחוז הבחירה של אגמונט הוא הביס את אחד מתומכיו של ויליאם פוקס, שהיה תומך בולט של שמירה על זכויות הקרקע של המאורים. עם בחירתו לפרלמנט נעשה אטקינסון מעורב בנושאים הכלכליים והתנגד למדיניותו של ג'וליוס ווגל, שגם הוא היה תומך בזכויות הקרקע של המאורים. ווגל, שתמך בגיוס הון בהיקף נרחב לטובת ביצוע עבודות ציבוריות, התוקף על ידי אטקינסון בשל פזיזותו. תגובתו של ווגל התבססה על הטענה שאטקינסון זהיר יתר על המידה ושהוא מעכב את התפתחותה של כלכלת ניו זילנד.
יחד עם זאת, הסכימו אטקינסון ווגל על כך שהיקף גיוס ההון על ידי הלוואות, שבוצע על ידי הממשל המקומי במחוזות, אכן יצא מכלל שליטה. שניהם גם האמינו שהפוליטיקאים במחוזות היו קטנוניים ואינטרסנטים ושחייב להיות יותר שיתוף פעולה בין המחוזות לבין הממשלה המרכזי. השקפת עולם זו אפשרה את שיתוף הפעולה ביניהם, למרות שמעולם הם לא הגיעו לידי הסכמה בנוגע לסוגיית גיוס ההון על ידי הממשל המרכזי ובסוגיית הטיפול במאורים. בסופו של דבר נעשה אטקינסון בחבר בממשלתו של ווגל, אך לא מונה לתפקיד שהיה קשור לתחום הפיננסי או ליחסים עם המאורים. הוא כן המשיך להביע את דעותיו בנושאים אלו, אך בהדרגה הבין שיהיה לו קשה לשכנע את עמיתיו.
ראש ממשלת ניו זילנד

ב-1876 פרש ווגל מתפקידו ואטקינסון התמנה במקומו. אחד מצעדיו הראשונים היה לבטל את קיומם של המחוזות. הוא גם לקח על עצמו את הטיפול הישיר במדינות הכלכלית ויישם אסטרטגיה אגרסיבית פחות בנוגע לגיוס ההון. הוא ניסה לבצע רפורמה במערכת הפיננסית, והעביר את האחריות על גיוס ההון על הממשלה במקביל להגברת השליטה של הממשלה בהוצאותיהם של המחוזות ושל הרשויות המקומיות. בכל אופן, החמרתן של הבעיות הכלכליות גרמו קשיים לתוכניותיו. עם ההחמרה במצב הכלכלי, ירדה האהדה הציבורית כלפיו.
ב-1877, שנה לאחר שנבחר לתפקידו, נאלץ אטקינסון לוותר עליו. הוא עבר לשבת על ספסלי האופוזיציה, כשהוא ממשיך לקדם את רעיונותיו בנוגע לזהירות בתחום הכלכלי. הוא גם העלה הצעות במספר נושאים נוספים, כולל הנהגתה של מערכת לביטוח לאומי. ב-1883 הוא שב לכהן שוב כראש הממשלה ולאחר 11 חודשים הוא הוחלף ברוברט סטאוט. השניים ניהלו מאבק ממושך על המנהיגות ובזכות מתקפת נגד חזקה של אטקינסון הוא הצליח להחזיר לעצמו את תפקיד ראש הממשלה לאחר 12 ימים בלבד. סטאוט מצדו, לא קיבל את התבוסה בקלות ולאחר שבעה ימים הצליח להיבחר מחדש כראש הממשלה. הפעם ארכה תקופת כהונתה של ממשלת סטאוט שלוש שנים.
בספטמבר 1887 השתררה בולינגטון מבוכה. לאחר הבחירות שהתקיימו אז, התברר כי הן סטאוט, הן ג'ון ברייס והן ויליאם רולסטון, איבדו את מושביהם בפרלמנט. סר ג'ון הול טעם כי הוא מבוגר מדי כדי לכהן בתפקיד. מדיניותו של סר ג'וליוס ווגל נדחתה באופן מוחלט על ידי ציבור הבוחרים. לפיכך, לא הייתה חלופה אחרת נראית לעין חוץ מהארי אטקינסון, ולאחר שבועיים של משא ומתן הוא הצליח ב-11 באוקטובר  להרכיב ממשלה. רק שניים מבין חברי ממשלתו שירתו עמו בעבר. הציפיות לשרידותה של ממשלתו, שכונתה "ממשלת הדחליל", לא היו רבות, אך היא החזיקה מעמד. השנים 1887 – 1888 היו הגרועות ביותר במהלך המשבר הכלכלי ואטקינסון קיצץ במשכורות, הגדיל את ההלוואות והעלה את שיעורי המכסים. האהדה כלפיו בקרב המעמד הגבוה לא הייתה חזקה, אך הם חששו יותר ממנהיגי האופוזיציה, ג'ורג' גריי וג'ון באלנס.
במהלך תקופת כהונתו הרביעית כראש הממשלה, שימש אטקינסון גם כשר האוצר, כשר הדואר, כמפקח על הטלגרף, כשר הימיה, כמפקח על הבולים, כשר החינוך וכמפקח על הסחר והמכס. בינואר 1888 הוענק לו תואר אביר מפקד במסדר מיכאל הקדוש וג'ורג' הקדוש. כבונה חופשי, הוא נבחר להיות הנשיא הגדול של הלשכה הגדולה במחוז ולינגטון במאי 1888. ב-1890 לא היה מסוגל אטקינסון, עקב מצבו הרפואי, לשאת נאומים בפרלמנט.
שנותיו האחרונות

ב-1891 הובס אטקינסון סופית על ידי ג'ון באלנס, מנהיג המפלגה הליברלית שאז הוקמה והייתה המפלגה המאורגנת הראשונה בניו זילנד. אטקינסון נעתר להפצרותיהם של ידידיו וב-23 בינואר אותה שנה הוא התמנה להיות חבר במועצה המחוקקת (הבית העליון של הפרלמנט שהיה קיים אז), יחד עם שישה חברים נוספים, כדי לנסות לחסום את העברתן של הצעות חוק רדיקליות שהיה חשש שבאלנס יגיש בבית התחתון. ב-24 בינואר הושבע באלנס כראש הממשלה ואטקינסון נבחר להיות יושב ראש הבית העליון.
הליברלים, שייצגו את רעיונותיהם של ויליאם פוקס, של ג'וליוס ווגל ושל רבים אחרים ממתנגדיו של אטקינסון, החזיקו בהגה השלטון 21 שנים לאחר תבוסתו של אטקינסון, אך הוא לא זכה לראות זאת. לאחר ניהול ישיבה של המועצה המחוקקת ב-28 ביוני 1892, חזר הארי אטקינסון ללשכתו, שם הוא מת. הוא נקבר בבית הקברות קרורי שבולינגטון.
גרעינון (משחק שיתופי)

בתורת המשחקים, גרעינון הוא מושג פתרון נקודתי למשחק בצורה קואליציונית, הקיים לכל משחק והוצג לראשונה על ידי דוד שמיידלר (1969). הגרעינון למעשה ממזער את רמת חוסר שביעות הרצון של הקואליציות.
מושגי יסוד

על מנת שנוכל להגדיר את הגרעינון ולהבין את משמעותו נגדיר תחילה את מושג העודף של קואליציה.
מושגי יסוד > עודף

הגדרה: לכל וקטור  x\in \mathbb {R} ^{N}, הגודל  e\left(S,x\right):=v\left(S\right)-x\left(S\right) נקרא העודף של קואליציה  \;S\; ב- \;x\;.
כאשר עבור משחק  \,(N;v) , \,N היא קבוצת השחקנים, ולכל קואליציה לא ריקה  \,S\subseteq N מגדירים את הווקטור  \textstyle x\in \mathbb {R} ^{N} להיות
 x(S)=\textstyle \sum _{i\in S}{x_{i}}, כאשר  \,x(\emptyset )=0.
העודף  \;e\left(S,x\right)\; הוא מדד לחוסר שביעות הרצון של חברי הקואליציה  \,S מהווקטור  \,x. כאשר העודף חיובי חברי  \,S אינם מרוצים מ- \,x, שכן הם יכולים להתאגד ביניהם, לקבל  \,v\left(S\right) ולחלק ביניהם את הסכום כך שכל אחד מחברי הקואליציה יקבל יותר מאשר היה מקבל ב-  \,x. כאשר העודף שלילי חברי קואליציה  \,S מרוצים מ- \,x, וככל שהעודף קטן יותר כך קטנה מידת חוסר שביעות הרצון של חברי  \,S.
ניתן לתאר את הליבה של משחק שיתופי בעזרת העודפים באופן הבא:
\,{\mathcal {C}}(N;v)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}\ :\ x(N)=v(N)\,\ e(S,x)\leq 0\quad \forall S\subseteq N\right\}
כאשר הליבה ריקה, לכל וקטור תשלומים יעיל, תהיה קואליציה בעלת עודף חיובי.
במקרה כזה נרצה למזער את העודפים של הקואליציות. הגרעינון מציע דרך לעשות זאת.
מושגי יסוד > סדר לקסיקוגרפי

יהיו  \,a=(a_{i})_{i=1}^{d} ו -  \,b=(b_{i})_{i=1}^{d} שני וקטורים ב -  \,\mathbb {R} ^{d}. נאמר כי  \,\textstyle a\succsim _{L}b אם ורק אם  \,a=b או שקיים  \,k\in \mathbb {N} ,  \,1\leq k\leq d כך שמתקיים  \,a_{k}>b_{k} וגם  \,a_{i}=b_{i} לכל  \,1\leq i<k. יחס סדר זה נקרא סדר לקסיקוגרפי. יחס הסדר הלקסיקוגרפי הוא רפלקסיבי, טרנזיטיבי ושלם.
הגדרת הגרעינון > הגדרת וקטור עודפים

לכל וקטור  x\in \mathbb {R} ^{N} נחשב את העודפים של כל הקואליציות, ונסדר אותם כוקטור בסדר יורד משמאל לימין:
\theta (x)=(e(S_{1},x),e(S_{2},x),...,e(S_{2^{n}},x))
כאשר  \left\{S_{1},...,S_{2^{n}}\right\} הן כל תתי הקואליציות של  \,N וכן  e(S_{1},x)\geq e(S_{2},x)\geq ...\geq e(S_{2^{n}},x).
כאשר עוברים לוקטור אחר  \,\theta (y) יש צורך בסימון אחר לקואליציות, כלומר:
\theta (y)=(e(R_{1},y),e(R_{2},y),...,e(R_{2^{n}},y))
כאשר שוב הקואליציות  \,(R_{k})_{k=1}^{2^{n}} מסודרות בסדר עודפים יורד, והסדר הוא למעשה פרמוטציה של הסדר הקודם. על מנת לקצר את הסימונים, נסמן את הקואורדינטה ה- \,k של  \theta (x) ב-  \theta _{k}(x), כלומר:
\,\theta (x)=(\theta _{1}(x),\theta _{2}(x),...,\theta _{2^{n}}(x))
נשים לב כי בהחלט ייתכן מצב בו  \,\theta (x)=\theta (y) בעוד  \,x\neq y.
על מנת למזער את העודפים ככל האפשר, נשתמש בסדר הלקסיקוגרפי על מנת להשוות בין הווקטורים  \,\theta (x) ו-  \,\theta (y). הגרעינון ממזער את חוסר שביעות הרצון של הקואליציות לפי יחס הסדר הלקסיקוגרפי.
הגדרת הגרעינון > הגדרה פורמלית

תהי  \,K\subseteq \mathbb {R} ^{N} קבוצה סגורה. הגרעינון (nucleolus) ביחס ל- \,K הוא הקבוצה:
{\mathcal {N}}(N;v;K):=\left\{x\in K\ :\ \theta (x)\precsim _{L}\theta (y)\,\ \forall y\in K\right\}
הגדרת הגרעינון > אינטואיציה לגרעינון

דרך אינטואיטיבית להסתכל על מושג הגרעינון: פתרון הגרעינון יתקבל כאשר בורר, המתבקש להמליץ על חלוקת הסכום  \,v(N) בין השחקנים משתמש בהליך הבא:
תחילה הוא מחפש וקטורי תשלומים  \,x שעבורם  \,\theta _{1}(x) מינימלי.
מכיוון ש- \,\theta _{1}(x) מודד את גובה התלונה המקסימלית כנגד  \,x, הבורר ממזער גודל זה.
מבין כל הווקטורים הממזערים את התלונה המקסימלית, הוא מחפש את הווקטורים הממזערים את התלונה השנייה בגודלה,  \,\theta _{2}(x), וכן הלאה.
תכונות הגרעינון > משפט 1

נסמן  {\mathcal {S}}=\left\{S_{1},...,S_{k}\ :\ S_{i}\neq S_{j}\ \forall 1\leq i,j\leq k\,\ i\neq j\right\}. לכל  \,k,  \,1\leq k\leq 2^{n} מתקיים:
\theta _{k}(x)=max_{{\mathcal {S}}_{i}}min\left\{e(S_{1},x),...,e(S_{k},x)\ :\ s_{1},...,s_{k}\in {\mathcal {S}}_{i}\right\}, כאשר  \,1\leq i\leq {\dbinom {2^{n}}{k}}, כלומר לכל  \,n יש  \,{\dbinom {2^{n}}{k}} קבוצות של  \,k קואליציות שונות.
הוכחה:
ניתן להוכיח משפט זה באינדוקציה על  \,k, אף על פי שניתן להבין אותו בצורה אינטואיטיבית. בכל מקרה, זו רק צורה נוספת להצגה של הווקטור  \,\theta (x) והיא תשמש אותנו להוכחת תכונות הגרעינון, אך אין לה משמעות בהבנת תכונותיו.
תכונות הגרעינון > מסקנה 1

לכל  \,k=1,2,...,2^{n} הפונקציה  \,\theta _{k}(x) רציפה ב- \,x.
הוכחה:
לכל קואליציה  \,S הפונקציה  \,e(S,x)=v(S)-x(S) היא פונקציה ליניארית ב- \,x ובפרט רציפה. מכיוון שמינימום ומקסימום של מספר סופי של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה, ממשפט  {\mathit {1}} נקבל כי  \,\theta _{k}(x) היא פונקציה רציפה ב- \,x.
תכונות הגרעינון > משפט 2

לכל קבוצה קומפקטית  \,K\subseteq \mathbb {R} ^{N}, הגרעינון ביחס ל- \,K אינו ריק.
הוכחה:
מכיוון ש- \,\theta _{1} רציפה, הקבוצה  \,\qquad X_{1}:=\left\{x\in K\ :\ \theta _{1}(x)=min_{\left\{y\in K\right\}}\theta _{1}(y)\right\} היא קבוצה קומפקטית לא ריקה. נגדיר בעזרת אינדוקציה לכל  \,k,  \,2\leq k\leq 2^{n} :
\,x_{k}:=\left\{x\in X_{k-1}\ :\ \theta _{k}(x)=min_{y\in X_{k-1}}\theta _{k}(y)\right\}
באינדוקציה נניח כי הקבוצה  \,X_{k-1} היא קבוצה קומפקטית לא ריקה. מכיוון ש- \,\theta _{k} רציפה ומהנחת האינדוקציה, גם הקבוצה  \,X_{k} היא קבוצה קומפקטית לא ריקה. ניתן לראות כי הגרעינון של המשחק הוא למעשה  \,X_{2^{n}}.
תכונות הגרעינון > מסקנה 2

הגרעינון של המשחק ביחס לכל מבנה קואליציוני הוא קבוצה לא ריקה.
הוכחה
מכיוון שקבוצת וקטורי התשלומים ביחס לכל מבנה קואליציוני היא קבוצה קומפקטית, ממשפט  {\mathit {2}} נקבל את המסקנה.
תכונות הגרעינון > משפט 3

תהי  \,K\subseteq \mathbb {R} ^{N} קבוצה סגורה המקיימת את התנאי: קיים מספר ממשי  \,c שעבורו  \,\textstyle \sum _{i\in N}x_{i}=c\ ,\ \forall x\in K, אזי הגרעינון ביחס ל- \,K אינו ריק.
הוכחה:
תחילה נשים לב שהקבוצה  \,K המקיימת תנאי זה אינה בהכרח חסומה, ולכן אינה בהכרח קומפקטית. נבחר נקודה  \,y\in K כלשהי. נגדיר בעזרת  \,y קבוצה קומפקטית  \,{\tilde {K}}:
יהי  \,y\in K וקטור כלשהו. נסמן:  \,\mu =\theta _{1}(y)=max_{S\subseteq N}e(S,y). כעת נגדיר את הקבוצה  \,{\tilde {K}} להיות:
\,{\tilde {K}}=\left\{x\in K\ :\ e(S,x)\neq \mu \ ,\ \forall S\subseteq N\right\}
מההגדרה נובע ישירות כי  \,{\tilde {K}}\subseteq K וכן כי  \,y\in {\tilde {K}}, כלומר הקבוצה  \,{\tilde {K}} אינה ריקה. יהי  \,z\in K\setminus {\tilde {K}}, אזי קיימת קואליציה  \,T עבורה  \,e(T,z)>\mu . לכן, נקבל כי  \,\theta _{1}(z)>\mu =\theta _{1}(y), כלומר  \,\theta (y)\prec _{L}\theta (z). נשתמש בתכונה זו בהמשך.
לסיום נראה כי הקבוצה  \,{\tilde {K}} היא קבוצה קומפקטית. מכיוון שקבוצה זו מוגדרת על ידי אי שוויונים ליניאריים חלשים, קבוצה זו היא קבוצה סגורה. נראה כי היא גם חסומה. יהי  \,x\in {\tilde {K}}. אזי  \,e(S,x)\leq \mu  לכל קואליציה  \,S. בפרט זה נכון עבור  \,S=\left\{j\right\}, ונקבל:  \,\mu \geq e(\left\{j\right\},x)=v(j)-x_{j}.
לכן,  \,x_{j}\geq v(j)-\mu  לכל  \,j\in N. מצד שני, מכיוון ש- \,\textstyle \sum _{i\in N}x_{i}=c מתקיים:
\,x_{i}=c-\sum _{j\neq i}{x_{j}}\leq c-\sum _{j\neq i}(v(j)-\mu )=c+|N-1|\mu -\sum _{j\neq i}v(j)
מכאן נובע כי:
\,{\tilde {K}}\subseteq \times _{i\in N}\left[v(i)-\mu \ ,\ c+|N-1|\mu -\sum _{j\neq i}v(j)\right]
ולכן  \,{\tilde {K}} היא קבוצה חסומה.
לסיכום, קיבלנו ש-  \,{\tilde {K}} היא קבוצה קומפקטית, מוכלת ב- \,K, מכילה את  \,y ומקיימת  \,\theta (y)\prec _{L}\theta (z) לכל  \,z\in K\setminus {\tilde {K}}. מכיוון ש-  \,{\tilde {K}} קומפקטית, ממשפט  {\mathit {2}} נובע שהגרעינון ביחס אליה אינו ריק. כלומר, לכל  \,x בגרעינון ביחס ל- \,{\tilde {K}}, הווקטור  \,\theta (x) קטן מ- או שווה ל-  \,\theta (y) בסדר הלקסיקוגרפי, הקטן מ- \,\theta (z) לכל  \,z\in K\setminus {\tilde {K}}. מכאן נקבל שהגרעינון ביחס ל- \,{\tilde {K}} שווה לגרעינון ביחס ל- \,K, כלומר הגרעינון של  \,K אינו ריק, כנדרש.
תכונות הגרעינון > משפט 4

תהי  \,K\subseteq \mathbb {R} ^{N} קבוצה קמורה. אזי הגרעינון ביחס ל- \,K מכיל לכל היותר נקודה אחת.
הוכחה:
תהיינה  \,x,y שתי נקודות בגרעינון. נראה כי  \,x=y. נסמן:
\,\theta (x)=(e(S_{1},x),e(S_{2},x),...,e(S_{2^{n}},x))\quad ;\quad \theta (y)=(e(R_{1},y),e(R_{2},y),...,e(R_{2^{n}},y))
\,\theta \left({\frac {x+y}{2}}\right)=\left(e\left(T_{1},{\frac {x+y}{2}}\right),e\left(T_{2},{\frac {x+y}{2}}\right),...,e\left(T_{2^{n}},{\frac {x+y}{2}}\right)\right)
מכיוון ש- \,x ו- \,y נמצאים בגרעינון, לפי הגדרת הגרעינון  \,\theta (x)\approx _{L}\theta (y), ולכן  \,\theta (x)=\theta (y). מכיוון ש- \,K היא קבוצה קמורה, גם  \,{\frac {x+y}{2}} נמצאת ב- \,K. כמו כן, לכל  \,1\leq k\leq 2^{n} מתקיים  \,\theta _{k}(x)=\theta _{k}(y). כעת:
\,2e\left(T,{\frac {x+y}{2}}\right)=2v(T)-(x+y)(T)=e(T,x)+e(T,y)
ומכאן:
\,2\theta \left({\frac {x+y}{2}}\right)=\left[e(T_{1},x)+e(T_{1},y)\,,\,e(T_{2},x)+e(T_{2},y)\,,\,...\,,\,e(T_{2^{n}},x)+e(T_{2^{n}},y)\right]
מכיוון שהקואליציה  \,S_{1} ממקסמת את העודף ב- \,x נקבל כי:  \,e(T_{1},x)\leq e(S_{1},x), ומכיוון שהקואליציה  \,R_{1} ממקסמת את העודף ב- \,y נקבל כי:  \,e(T_{1},y)\leq e(R_{1},y). ראינו כי  \,\theta _{k}(x)=\theta _{k}(y), ובפרט  \,e(S_{1},x)=e(R_{1},y). מליניאריות העודף נקבל:
\,e\left(T_{1},{\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {e(T_{1},x)+e(T_{1},y)}{2}}\leq e(S_{1},x)
אם  \,e\left(T_{1},{\frac {x+y}{2}}\right)<e(S_{1},x) נקבל כי  \,\theta \left({\frac {x+y}{2}}\right)\prec _{L}\theta (x) בסתירה לכך ש- \,x בגרעינון. מכאן ש-  \,e\left(T_{1},{\frac {x+y}{2}}\right)=e(S_{1},x), ולכן:  \,e(T_{1},x)+e(T_{1},y)=e(S_{1},x)+e(R_{1},x) יחד עם מה שראינו קודם, ניתן להסיק כי  \,e(T_{1},y)=e(R_{1},y)\;\And \;e(T_{1},x)=e(S_{1},x), ולכן  \,T_{1} ממקסמת את העודף גם ב- \,x וגם ב- \,y. כלומר, על ידי שינוי סדר הקואליציות ניתן לרשום:
\,\theta (y)=[e(T_{1},y)\,,\,e(R_{2}',y)\,,\,...\,,\,e(R_{2^{n}}',y)]\quad ;\quad \theta (x)=[e(T_{1},x)\,,\,e(S_{2}',x)\,,\,...\,,\,e(S_{2^{n}}',x)]
כאשר כאן  \,T_{1},S_{2}',...,S_{2^{n}}' הם פרמוטציה של הקואליציות  \,S_{1},S_{2},...,S_{2^{n}} שבה הוחלפו  \,S_{1} ו-  \,T_{1} זה בזה, ובצורה דומה עבור  \,T_{1},R_{2}',...,R_{2^{n}}'. באינדוקציה על  \,k ניתן להראות כי לכל  \,k מתקיים  \,e(T_{k},x)=e(S_{k},x) ו-  \,E(T_{k},y)=e(R_{k},y). כלומר מתקיים:  \,e(T,x)=e(T,y)\,\ \forall T\subseteq N. בפרט, אם נציב  \,T=\left\{i\right\} נקבל כי לכל שחקן  \,i:
\,v(i)-x_{i}=e(\left\{i\right\},x)=e(\left\{i\right\},y)=v(i)-y_{i}. לכן נקבל:  \,\forall i\quad ,\quad x_{i}=y_{i}.
כלומר, קיבלנו כי  \,x=y כנדרש.
תכונות הגרעינון > מסקנה: הגרעינון הוא ערך יחיד

טענה: לכל מבנה קואליציוני  \,{\mathcal {B}} הגרעינון של המשחק ביחס למבנה זה מכיל וקטור יחיד.
הוכחה: ממסקנה  \,{\mathit {2}} הגרעינון ביחס לכל מבנה קואליציוני אינו ריק. מצד שני, לכל מבנה קואליציוני  \,{\mathcal {B}}, הקבוצה  \,X({\mathcal {B}};v) היא קבוצה קמורה. ממשפט  \,{\mathit {4}} הגרעינון ביחס אליה מכיל לכל היותר נקודה אחת.
תכונות הגרעינון > הגרעינון והליבה

לכל מבנה קואליציוני  \ {\mathcal {B}}, אם הליבה של  \ {\mathcal {B}} אינה ריקה אזי הגרעינון של  \ {\mathcal {B}} נמצא בליבה.
זו תכונה חשובה מאוד של הגרעינון שאינה מתקיימת על ידי ערך שפלי. עובדה זו מוכיחה בפרט שערך שפלי אינו מזדהה עם הגרעינון.
הגרעינון במשנה

במשנה במסכת כתובות פרק י' מופיעה סוגיה שנודעה כ"מי שהיה נשוי שלוש נשים" ודנה בחלוקת עזבונו של אדם בין שלוש אלמנותיו, ומציינת שאותו הכלל תקף גם למקרים כגון פירוק שותפות. במשנה מוצגת שיטת רבי נתן לחלוקה בשלושה מקרים שבהם העיזבון אינו גדול דיו כדי לכסות את הסכום שהובטח בכתובה לכל אחת מהנשים. פרשני המשנה התקשו למצוא את הכלל המנחה שעל פיו נקבעו מקרים אלו, והמשנה נותרה ללא פירוש משביע רצון. בשנת 1985 הציעו ישראל אומן ומיכאל משלר פתרון אפשרי לבעיה, שמבוסס על הכללת שיטת החלוקה שמתוארת במשנת שניים אוחזין. הם הראו כי שיטת רבי נתן שווה לגרעינון של משחק קואליציוני מתאים, שבו התועלת הקבוצתית של כל קואליציה הוא הסכום שיוותר מהעיזבון אם כל שאר האלמנות, שאינן בקואליציה, יקבלו את הסכומים שהובטחו להן (או 0, אם העיזבון אינו גדול דיו כדי לכסות את סכומים אלה).
תכונות נוספות

הגרעינון של משחק בצורה קואליציונית מוכל בגרעין של המשחק ובקבוצת המיקוח של המשחק.
לקריאה נוספת

שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946
הערות שוליים

↑  David Schmeidler, The Nucleolus of a Characteristic Function Game, SIAM Journal on Applied Mathematics, November 1969, Vol. 17, No. 6, in JSTOR
היטל ניומן

מולקולת בוטאן מוצגת על ידי היטל ניומן
היטל ניומן (Newman) הוא צורת רישום של מבנה מולקולה תלת-ממדית המאפשר תיאור של הקונפורמציה שלה. ברישום זה מוצג קשר בין שני אטומי פחמן על ציר הניצב לדף. הפחמן הקדמי מיוצג כנקודה והאחורי כמעגל. שני הפחמנים מצויים בהכלאת sp3, כלומר קשר אחד קושר ביניהם, ושלושה קשרים נוספים מיוצגים על ידי קווים היוצאים מהפחמנים.
היטל ניומן משמש ברישום בעיקר בתיאור סטריאוכימיה של אלקאנים. בעזרת היטל ניומן ניתן להבדיל בקלות בין קונפורמציית זיגזג (staggered conformation), בה נמצאים המתמירים על הפחמנים השונים בזווית של 60° זה מזה (כמו במולקולת הבוטאן בתרשים למעלה), לקונפורמציה סכוכה (eclipsed conformation), בה נמצאים המתמירים בדיוק זה מול זה (כמו במולקולת האתנול המוצגת למטה).
דרכים נוספות לתיאור מולקולות הן: היטל פישר, היטל הוורת' והיטל נטה.
היטל ניומן נקרא על שם מלווין ספנסר ניומן, אשר המציא אותו ב-1952.
המרת מבנה לואיס (משמאל) של אתנול להיטל ניומן (מימין)
הדיוויזיה ה-32 (האימפריה הגרמנית)

| --- | --- |

סמל מפקדת דיוויזיה בצבא הקיסרי הגרמני
 פרטים
 מדינה:  הקיסרות הגרמנית הקיסרות הגרמנית
 שיוך:   צבא הקיסרות הגרמנית
 סוג:  דיוויזיה
 אירועים ותאריכים
 תקופת הפעילות:  1 באפריל 1887 – 10 בספטמבר 1919 (32 שנים)
 מלחמות:  מלחמת העולם הראשונה
חותמת היחידה
הדיוויזיה ה-32 (הסקסונית ה-3) (בגרמנית: 32. Division ‏(3. Königlich Sächsische)) הייתה דיוויזיה של צבא הקיסרות הגרמנית. הדיוויזיה לחמה במלחמת העולם הראשונה, ופורקה עם סיומה.
היסטוריה

הדיוויזיה הוקמה ב-1 באפריל 1887, וחייליה גויסו מממלכת סקסוניה, ובפרט מאזור באוצן.
עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה באוגוסט 1914 הייתה הדיוויזיה חלק מהקורפוס ה-12 (הסקסוני ה-1) בפיקוד קרל לודוויג ד'אלזה, אשר היה חלק מהארמייה השלישית בפיקוד מקס פון האוזן. הדיוויזיה נטלה חלק במערכה על הגבולות, לרבות קרב שרלרואה, וכן השתתפה בקרב על המארן. בשנת 1916 היא לחמה בקרב ורדן ובהקרב על הסום, ובשנת 1917 היא לחמה בקרב השני על האן וקרב פשנדל. בשנת 1918 השתתפה הדיוויזיה במתקפת האביב, ולאחר מכן לחמה הדיוויזיה כנגד מתקפת מאה הימים של מדינות ההסכמה. לאחר המלחמה חזרה הדיוויזיה לגרמניה, וב-10 בספטמבר 1919 פורקה הדיוויזיה.
מפקדים

גנרל-לוטננט ברנהרד פון הולבן (נולד בשם נורמן) (1 באפריל 1887–30 בינואר 1889)
גנרל-לוטננט אוטו פון שווינגל (1 בפברואר 1889–27 בנובמבר 1890)
גנרל-לוטננט אויגן פון קירכבך (28 בנובמבר 1890–18 באפריל 1896)
גנרל-לוטננט ארווין פון מינכוויץ (19 באפריל 1896–26 במאי 1897)
גנרל-לוטננט מקס פון האוזן (27 במאי 1897–28 במרץ 1900)
גנרל-לוטננט פאול הינגסט (29 במרץ 1900–16 באפריל 1903)
גנרל-לוטננט גאורג פון שטיגליץ (17 באפריל 1903–21 באפריל 1904)
גנרל-לוטננט הנס פון קירכבך (22 באפריל 1904–20 בנובמבר 1907)
גנרל-לוטננט הרמן פון שוויניץ (21 בנובמבר 1907–12 באוקטובר 1910)
גנרל-לוטננט אלכסנדר פון לאריש (13 באוקטובר 1910–24 במרץ 1913)
גנרל-לוטננט הורסט אדלר פון דר פלאניץ (25 במרץ 1913–18 באפריל 1916)
גנרל-מיור רודולף האמר (19 באפריל 1916–4 במאי 1916)
גנרל-מיור גוסטב פון דר דקן (5 במאי 1916–22 ביולי 1918)
גנרל-מיור מקסימיליאן פון של (23 ביולי 1918–30 בינואר 1919)
גנרל-מיור מרטין פון אולדרסאוזן (1 בפברואר 1919–10 בספטמבר 1919)
לקריאה נוספת

Ruhmeshalle unserer Alten Armee. Herausgegeben auf Grund amtlichen Materials des Reichsarchivs, Militär-Verlag, Berlin 1927, S. 66, 113–114.
הארי אוסטרין וולפסון

| --- | --- |
אין תמונה חופשית
 לידה:  2 בנובמבר 1887 אוסטרינה, פלך וילנה, בלארוס 
 פטירה:  20 בספטמבר 1974 (בגיל 86) קיימברידג', ארצות הברית 
 מדינה:  בלארוס 
 השכלה:  אוניברסיטת הרווארד 
 מעסיק:  אוניברסיטת הרווארד 
 פרסים והוקרה:  הפרס הלאומי לספרים יהודיים (1949)  עמית אקדמיית ימי הביניים של אמריקה (1942) 
 
צבי הירש (הארי אוסטרין) וולפסון (באנגלית: Harry Austryn Wolfson;‏ 2 בנובמבר 1887 – 20 בספטמבר 1974, ג' בתשרי תשל"ה) היה פילוסוף והיסטוריון יהודי-אמריקאי, פרופסור למדעי היהדות באוניברסיטת הרווארד וראש החוג הראשון ללימודים אלה בארצות הברית. אפשר ותרומתו החשובה ביותר היא במציאת המכנה המשותף בין הפילוסופיה הנוצרית, היהודית והאסלאמית. בהיותו חוקר היהדות הראשון שבנה קריירה מלאה באקדמיית-יוקרה מערבית, וולפסון מבטא גם את ראשית הגשמתה של תנועת חכמת ישראל.
ביוגרפיה

הארי וולפסון נולד ברוסיה. בצעירותו למד אצל הרב משה מרדכי אפשטיין בישיבת סלבודקה, והשתייך לחבורה עברית ציונית של תלמידי ישיבה בכירים. בשנת 1903 היגר עם משפחתו לארצות הברית. לאחר בואו לניו-יורק  הוא המשיך בלימודי יהדות וזמן קצר לאחר מכן, בשנת 1905, התיישב בסקרנטון שבפנסילבניה  ושם נרשם לבית הספר התיכון בגיל שמונה עשרה. הוא סיים את לימודיו לאחר שלוש שנים תוך שהוא מלמד עברית לפרנסתו. בעקבות הצלחתו במבחנים הוא זכה במלגה שאפשרה לו ללמוד באוניברסיטת הרווארד ושם קיבל תואר ראשון (1911) ותואר דוקטור (1915). ובאותה שנה החל בהוראה בהרווארד ובשנת 1925 הוא היה לאדם הראשון שקיבל את הקתדרה על שם ליטאואר לספרות עברית ופילוסופיה יהודית בהרווארד.
עבודת הדוקטורט שלו עסקה ברבי חסדאי קרשקש והתרכזה בתרגום "אור השם". בשנת 1925 התמנה לפרופסור לספרות עברית ולפילוסופיה באוניברסיטה זו, בה לימד לבסוף כיובל שנים. וולפסון קיבל תוארי הוקרה מעשר אוניברסיטאות שונות והיה ממקימי האקדמיה האמריקאית למחקר היהדות.
מחקריו

התמחותו של וולפסון בפילוסופית דתית הקיפה, נוסף על תרגומו ופרשנותו לקרשקש, את הגותם של אבות הכנסייה, השפעת הכלאם המוסלמי על היהדות, וכן מחקר פרטני על פילון, אבן רושד ושפינוזה. מחקרו על פילון עורר תהודה רבה, והעניק זווית חדשה על התפתחות הפילוסופיה של הדת בסוף התקופה ההלניסטית.
בניגוד לגישה שראתה בפילון מטיף דתי בעיקר, מחקרו של וולפסון הראה כי לפילון שיטת ביסוס פילוסופית ברורה. וולפסון מציין כי הנחות היסוד של פילון מהוות "הטיה יסודית מהפילוסופיה היוונית האלילית" וכיוון שפילון השפיע במישרין על הבשורה על-פי יוחנן, הרי שכתביו טומנים בחובם את ייסודה של כל פילוסופיית ימי הביניים. ניתוח זה של כתבי פילון נעשה באמצעות מושג הסינתזה והיווה חידוש ממדרגה ראשונה, אשר ממשיך לעורר שאלות בנוגע לחלוקת הזמנים במעבר מהעת העתיקה לחדשה בתחום הפילוסופיה.
המוקד של מפעלו המחקר של וולפסון היה הפילוסופיה היהודית של ימי הביניים, אבל שולי המחקר הלכו והתרחבו, וכללו פילוסופיה יוונית, נוצרית ומוסלמית. וולפסון העניק ללימודי היהדות מקום משלהם בחזית הידע והחתירה לאמת, שהביאה לתיקון העיוות, חוסר האיזון והרדידות ששררו בעולם האקדמי בתחום זה.
תרומתו החשובה של וולפסון לתולדות הפילוסופיה הדתית היא פיתוחה של שיטה שראתה יסוד הפילוסופיה הדתית בכתביו של פילון האלכסנדרוני, שהשפיע על הפילוסופיה הדתית של שלוש הדתות המונותאיסטיות הגדולות. הפילוסופיה היהודית לפי וולפסון היא הליבה במשך אלף ושבע מאות שנה, עד לימיו של שפינוזה.
ספריו שתורגמו לעברית

צבי א' וולפסון, תרגום: משה מייזלש, פילון – יסודות הפילוסופיה הדתית היהודית, מוסד הרב קוק, תש"ל, 1970, (2 כרכים)
צבי ה' וולפסון, תרגום: משה מייזלש, המחשבה היהודית בימי הביניים: מסות ומחקרים , מוסד ביאליק, תשל"ח, 1978
גרסה מקוונת של הספר (לבעלי הרשאה), באתר "כותר"