מכניקת הקוונטים
פורמליזם מתמטי > פוסטולט שלישי: מדידה

לכל גודל מדיד קיים אופרטור הרמיטי  {\hat {O}}, ואוסף תוצאות המדידה האפשריות הן אוסף הערכים העצמיים של האופרטור,  \{\lambda _{i}\}. אם התקבלה במדידה התוצאה  \lambda _{i} אז לאחר המדידה המערכת תעבור למצב העצמי המתאים  |\phi _{i}\rangle . אם מצב המערכת הנוכחי הוא מצב כלשהו  |\psi \rangle , אז ההסתברות לקבל תוצאה  \lambda _{i} היא  |\langle \phi _{i}|\psi \rangle |^{2}, כלומר ריבוע המכפלה הפנימית בין המצב הנוכחי למצב העצמי המתאים ל- \lambda _{i}.
פוסטולט זה מגדיר מהי מדידה בעזרת כלים מתמטיים מופשטים, וכמה מקביעותיו הן המוזרות והשנויות במחלוקת ביותר במכניקת הקוונטים.
אופרטור הוא אובייקט מתמטי המתאר פעולה, במקרה שלנו פעולה על המצב הקוונטי של המערכת. הפעלה של אופרטור על המצב הקוונטי גורמת לשינוי למצב קוונטי אחר. לדוגמה האופרטור  {\hat {X}}=x משנה את המצב על ידי הכפלתו ב-x. למשל, אם המצב של המערכת מתואר על ידי פונקציית הגל  \psi (x)=\sin \pi x אז לאחר הפעלת האופרטור פונקציית הגל תשתנה ל- x\sin \pi x. האופרטור  {\hat {P}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}} משנה את המצב על ידי גזירת פונקציית הגל והכפלתה בקבועים  -i\hbar . אם נפעיל אותו על אותה פונקציית גל מהדוגמה הקודמת, נקבל:  {\hat {P}}\sin \pi x=-i\hbar {\frac {d\sin \pi x}{dx}}=-i\hbar \pi \cos \pi x.
לאופרטורים ייתכנו מצבים מיוחדים הקרויים מצבים עצמיים. כשאופרטור יופעל על אחד המצבים העצמיים שלו, השינוי היחיד שיחול בהם הוא הכפלה בקבוע. נסתכל לדוגמה על פונקציית הגל:  \psi (x)=e^{ixp/\hbar }. אם נפעיל עליה את האופרטור  {\hat {P}} נקבל:
 {\hat {P}}e^{ixp/\hbar }=-i\hbar {\frac {de^{ixp/\hbar }}{dx}}=-i^{2}p\hbar /\hbar e^{ixp/\hbar }=pe^{ixp/\hbar }.
מכאן ש-  \psi (x) היא פונקציית גל המתארת מצב עצמי של  {\hat {P}}. כשמפעילים עליה את האופרטור היא מוכפלת ב-p. הקבוע p שבו היא מוכפלת קרוי ערך עצמי.
לפי הפוסטולט, כל גודל מדיד מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי כלשהו. למשל, תנע מיוצג על ידי האופרטור  {\hat {P}} שתואר לעיל. מכאן שלפי הפוסטולט, כשנפעיל מכשיר למדידת תנע, תוצאת המדידה תהיה אחד הערכים העצמיים של האופרטור (למשל, p), ולאחר המדידה מצב המערכת יהיה המצב העצמי המתאים (כלומר אם קיבלנו p, מצב המערכת כעת מתואר על ידי פונקציית הגל  \psi (x) שהגדרנו לעיל).
תכונת ההרמיטיות של אופרטור מבטיחה שהערכים העצמיים שלו יהיו תמיד מספרים ממשיים. כך שאף על פי שמכניקת הקוונטים עושה שימוש נרחב במספרים מדומים, היא תמיד תנבא לתוצאות המדידה מספרים ממשיים.
נסתכל כעת על אופרטור כלשהו,  {\hat {O}}, ועל שני מצבים עצמיים שלו  |\phi _{1}\rangle  ו- |\phi _{2}\rangle . על פי הפוסטולט הראשון, ניתן להרכיב מצב שהוא סופרפוזיציה של שניהם:  |\psi \rangle =a_{1}|\phi _{1}\rangle +a_{2}|\phi _{2}\rangle . מהפוסטולט השלישי נובע כי אם נפעיל את המדידה אותה  {\hat {O}} מייצג כאשר המערכת נמצאת במצב  |\psi \rangle , אזי הסופרפוזיציה הזו תקרוס לאחד משני המצבים העצמיים, בהסתברות  a_{1}^{2}
לראשון, ו- a_{2}^{2} לשני, ותוצאת המדידה תהיה הערך העצמי המתאים.
תכונה מתמטית נוספת של אופרטור הרמיטי מבטיחה שאוסף המצבים העצמיים שלו מהווים בסיס למרחב כולו. פירוש הדבר, שעל ידי חיבור המצבים העצמיים עם מקדמים שונים (צירוף ליניארי) ניתן להגיע לכל מצב במרחב המצבים. מכאן שבכל רגע נתון ניתן לראות את מצב המערכת כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים של כל אחד מהאופרטורים המייצגים גדלים מדידים.
יצוין כי ניתן להגדיר אופרטורים קוונטים שאינם הרמיטיים, ולהם וקטורים עצמיים ימני ושמאלי וערכים עצמיים מרוכבים. אופרטור ההמילטוניאן, למשל, יהיה בעל ערך עצמי שחלקו המדומה, המסומן כ-Γ/2, מתאר את דעיכתה הגלובלית של פונקציית הגל במרחב הילברט בו היא מתקיימת.
פורמליזם המכניקה הקוונטית הלא-הרמיטית נוח לתיאור מצבי רזוננס, להם חלק קשור וחלק חופשי, וכן לפתרון משוואת שרדינגר במערכות פתוחות או במערכות עם דיסיפציה (למשל, חיכוך או הדעכה בסיב אופטי). משוואת שרדינגר התלויה בזמן מקבלת בפורמליזם זה צורה של משוואת פלוקה (Floquet) בה הזמן הוא קואורדינטה, ולא פרמטר. על ידי שימוש בפורמליזם הלא-הרמיטי ניתן לגזור בפשטות יחסית מספר מסקנות חשובות לגבי אפקט שטארק ו"מצבים מולבשים", המשותפים לאלקטרון ולפוטון.