stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Hepolan kenttä

| Hepolan kenttä> Rakennuksen tiedot |
| --- | --- |
Sijainti:  Hepola, Kemi
Omistaja:  Kemin kaupunki
Kenttä:  Jää, kivituhka
Käyttäjät
 Jääpallo:   Veitsiluodon Vastus 
Lisää rakennusartikkeleitaArkkitehtuurin teemasivulla
Hepolan kenttä on jalkapallo- ja jääpallokenttä Kemissä. Se sijaitsee Hepolan kaupunginosassa eteläisessä Kemissä. Hepolan kenttä on Veitsiluodon Vastuksen jääpalloilijoiden kotikenttä. Hepolan kenttä on valaistu.
Espanjantauti

Sotilassairaala Kansasissa espanjantaudin aikana.
Espanjantauti oli vuosina 1918–1920 riehunut pandemia, jonka aiheutti harvinaisen tappava influenssa A:n alatyyppi H1N1. Tauti alkoi levitä ensimmäisen maailmansodan länsirintamalta, jonne se oli tullut joko Yhdysvalloista tai Kiinasta. Tauti levisi kaikkialle maailmaan, ja siihen kuoli arviolta 30–100 miljoonaa ihmistä. Jälkitautina se saattoi aiheuttaa muun muassa keuhkokuumeen.
Alkuperä

Espanjantaudin ensimmäiseksi potilaaksi kutsutaan yleisesti yhdysvaltalaista Albert Gitcheliä, joka oli kokkina Yhdysvaltain armeijan leirillä Camp Funstonissa Kansasissa. Hän ilmoittautui sairastuvalle 4. maaliskuuta 1918, ja häntä seurasi samana päivänä 100 muutakin sairastunutta. Gitchel selvisi tartunnasta. Sairaus levisi leirillä nopeasti.
Yhden teorian mukaan espanjantautivirus saapui Kansasiin tai suoraan Eurooppaan Kiinasta saapuneiden kiinalaisten työmiesten mukana. On myös esitetty, että tauti olisi siirtynyt muuttomatkalla olleista ankoista sikojen kautta ihmisiin suoraan Euroopan rintamalla.
Leviäminen

Espanjantauti alkoi levitä kesällä 1918 Euroopassa ensimmäisen maailmansodan länsirintamalla Ranskassa ja Saksassa saavuttuaan sinne ilmeisesti ensin Yhdysvalloista amerikkalaisten joukkojenkuljetusalusten mukana. Tauti levisi nopeasti Ranskan, Ison-Britannian, Italian ja Espanjan sotilas- ja siviiliväestöihin. Espanjaan viittaavan nimensä tauti sai siitä, että sodan ulkopuolelle jääneessä Espanjassa siitä voitiin kertoa lehdissä avoimesti, toisin kuin sotaa käyvissä maissa.
Länsi-Euroopasta espanjantauti levisi ensin Saksan vapauttamien venäläisten sotavankien mukana Venäjälle, sitten toukokuussa 1918 Afrikkaan, Intiaan ja Japaniin, ja heinäkuussa 1918 Australiaan. Tämä ensimmäinen aalto oli melko laimea, eikä vielä tappanut potilaita. Sitä seurasi elokuussa 1918 toinen aalto, jonka tuoma mutatoitunut virus oli edeltäjäänsä paljon vaarallisempi. Kuolemia lisäsi se, että taudin jälkitautina oli usein keuhkokuume. Syyskuussa 1918 toinen aalto saavutti ensimmäiseltä aallolta välttyneen Etelä-Amerikan. Toinen aalto riehui vuoden 1918 loppuun asti. Vuoden 1919 alussa koettiin vielä kolmas aalto, mutta se ei ollut yhtä vakava kuin toinen aalto.
Oireet

Espanjantaudin ensimmäinen oire olivat hengitysvaikeudet ja niiden aiheuttama kasvojen ihon voimakas ja nopea tummeneminen. Potilaat hourailivat tai käyttäytyivät sekavasti. Heistä lähti tunnusomainen haju, joka muistutti tunkkaisia olkia. Taudin toinen aalto saattoi tappaa potilaan jopa yhdessä vuorokaudessa. Ruumiinavauksissa paljastuivat turvonneet keuhkot, joita peitti vetinen vaaleanpunainen vaahto. Uhrit olivat kuolleet hukkumalla erittämiinsä nesteisiin.
Kuolleisuus

Espanjantauti on ollut kaikkien aikojen tuhoisin influenssapandemia. Arviot kuolleiden määrästä vaihtelevat suuresti, noin 30 miljoonasta 100 miljoonaan. Taudin sairasti jossain vaiheessa noin 500 miljoonaa ihmistä eli kolmasosa maailman väestöstä. Euroopassa tautiin kuoli noin 2,3 miljoonaa ihmistä eli 5 prosenttia väestöstä. Afrikassa kuolleisuus oli noin 2 miljoonaa eli 14–18 prosenttia väestöstä, Aasiassa 19–33 miljoonaa eli 20–34 prosenttia väestöstä, Etelä-Amerikassa 850 000 eli 9 prosenttia väestöstä sekä Pohjois-Amerikassa 600 000 eli 5 prosenttia väestöstä. Suomessa tautia alkoi esiintyä touko- ja kesäkuussa 1918. Tauti saapui luultavasti laivalla Baltiasta tai Ruotsista. Tautiin kuoli Suomessa noin 20 000 ihmistä.
Poikkeuksellista espanjantaudissa oli se, että siihen kuoli etenkin terveitä, 20–40-vuotiaita aikuisia. Syytä ei tiedetä, mutta on arveltu, että virus olisi saanut nuorten aikuisten vahvan immuunipuolustuksen riehaantumaan ylikierroksille, jolloin se tuotti liikaa potilaan omaa elimistöä vastaan hyökänneitä tulehdusta välittäviä sytokiineja, jotka auttavat elimistöä tuhoamaan viruksen infektoimia soluja. Iäkkäämmät säästyivät toisen teorian mukaan nuoria useammin siksi, että he olivat ehtineet sairastaa vuonna 1889 samankaltaisen taudin, mikä oli koulinut heidän immuunipuolustustaan.
Torjunta

Tautia yritettiin torjua esimerkiksi karanteeneilla, eristämisillä, yleisten kokoontumisten kielloilla sekä kaasunaamareilla.
Erään tutkimuksen mukaan taudin sairastaneilta saadulla verellä tehdyt verensiirrot ovat saattaneet auttaa tautiin sairastuneita. Tutkimuksen tehneet uskovat että vastaavassa pandemiatapauksessa verensiirrot olisivat kehitysmaille lupaava hoitokeino.
Tutkimus

Patologi Jeffrey Tautenberger sai vuonna 1997 selville, että espanjantaudin oli aiheuttanut influenssa A -viruksen tyyppi H1N1. Seuraavien vuosien tutkimuksissa virustyyppi paljastui enemmän nisäkäs- kuin lintupohjaiseksi, vaikka se olikin peräisin linnuilta, ja se oli siirtynyt nisäkkäisiin vasta hiljattain. Sen esi-isä oli sairastuttanut ihmisiä jo vuosina 1900–1915. Sitä esiintyy yhä ihmisillä ja sioilla, ja vuosien 1920–1957 kausi-influenssa oli mutatoitunut espanjantauti.
Suomessa

Espanjantautia esiintyi Suomessa neljässä aallossa muutamien kuukausien välein. Se saapui maahan kesäkuussa 1918 laivojen mukana. Suomi oli saman vuoden alussa käydyn sisällissodan takia sekavassa tilassa, ja tauti levisi nopeasti. Kuolleisuus oli kuitenkin tässä vaiheessa vähäistä. Kesän päättyessä tautikin oli poissa.
Syksyllä 1918 espanjantauti palasi Suomeen entistä rajumpana tappaen runsaasti aikuisväestöä. Mitään tehokasta lääkitystä ei tuohon aikaan ollut, vaan helpotukseksi tarjottiin esimerkiksi kamferintippoja tai konjakkia. Lääkintähuolto oli muutenkin puutteellista ja lääkäreistä oli pulaa. Kansalaisia neuvottiin välttämään yleisötilaisuuksia ja pesemään käsiään huolellisesti välttääkseen tartunnan. Vuodenvaihteen aikoihin epidemia hiipui jälleen.
Keväällä 1919 Suomeen iski espanjantaudin kolmas aalto, joka oli ankarin muun muassa Helsingissä. Hautoja ei ehditty kaivaa riittävän nopeasti, kun kuolleisuus lisääntyi äkillisesti. Neljäs aalto tammi-helmikuussa 1920 vaikutti voimakkaimmin Lapissa. Inarissa joka kymmenes asukas menehtyi tuolloin espanjantautiin.
Lääkintöhallituksen saamien ilmoitusten perusteella on laskettu, että tautiin sairastui Suomessa yli 90 000 henkilöä vuonna 1918, yli 50 000 vuonna 1919 ja vielä yli 70 000 vuonna 1920 eli yhteensä ainakin 210 000 ihmistä. Espanjantautiin kuoli vuosina 1918–1920 yhteensä arviolta noin 20 000 suomalaista.
Tunnettuja uhreja

Joseph Alanen (1885–1920) suomalainen taidemaalari
Guillaume Apollinaire (1880–1918), ranskalainen runoilija
Felix Arndt (1889–1918), muusikko
Harold Lockwood (1887–1918), yhdysvaltalainen mykkäelokuvien näyttelijä
Egon Schiele (1890–1918), itävaltalainen taidemaalari
Max Weber (1864–1920), saksalainen sosiologi
Kirjallisuutta

Linnanmäki, Eila: Espanjantauti Suomessa – influenssapandemia 1918–1920.  Helsinki:  Suomalaisen Kirjallisuuden Seura, 2005.  ISBN 951-746-716-8
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Forsius, Arno: Espanjantauti Lahdessa vuosina 1918–1920 Kuvauksia lääketieteen historiasta. Arkistoitu 1.9.2019. Viitattu 25.1.2020.
Linnanmäki, Eila: Kun espanjantauti riehui Suomessa: influenssaepidemia vv. 1918–1920 Historiallisia Papereita 2: Taudit ja historia – Historiallinenyhdistys. Viitattu 25.1.2020.
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansalliset:  Espanja  Ranska  BnF data  Saksa  Israel  Yhdysvallat  Tšekki 
Henkilöt:  Yle  Uppslagsverket Finland 
Muut:  IdRef 
Kokonaiskuolleisuus New Yorkissa, Lontoossa, Berliinissä ja Pariisissa kesäkuusta 1918 maaliskuuhun 1919. Korkeimmilleen kuolleisuus nousi espanjantaudin toisen aallon aikana loka–marraskuussa 1918.
Bee (laulaja)

| Bee> Henkilötiedot |
| --- | --- |
Koko nimi:  Bertta Seppälä
Muusikko
Laulukielet:  suomi
Tyylilajit:  pop, soul
Levy-yhtiöt:   Monopoli Music  Sony Music 
  [ Muokkaa Wikidatassa ] [ ohje ]  
Bee (oik. Bertta Seppälä) on suomalainen laulaja-lauluntekijä.
Elämä

Seppälä osallistui The Voice of Finland -laulukilpailuun vuonna 2018, mutta putosi kisasta juuri ennen semifinaaleja. Hänen ensimmäinen singlensä ”Sun laulu” julkaistiin toukokuussa 2019. Kappale kertoo äidin menettämisestä ja se on omistettu Seppälän omalle äidille.
Vuonna 2021 Seppälä solmi levytyssopimuksen Sony Musicin kanssa yhteistyössä toimivan Monopoli Music -levymerkin kanssa. Hänen esikoisalbuminsa Hupsis julkaistiin syyskuussa 2023.
Helmikuussa 2023 Seppälä valittiin YleX:n vuoden Läpimurto-artistiksi.
Yksityiselämä

Seppälän äiti oli radiojuontaja Sari Seppälä. Hänen veljensä Womma Seppälä on myös radiojuontaja.
Diskografia > Albumit

| Nimi | Julkaisutiedot | Lista> Albumilista | Myynti |
| --- | --- | --- | --- |
| Hupsis |  Julkaistu: 15. syyskuuta 2023  Formaatti: digitaalinen  Levy-yhtiö: Sony Music | 1 |  |
Diskografia > Singlet

| Nimi | Vuosi | Listasijoitukset> Single-lista | Listasijoitukset> Radio- lista | Albumi |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ”Sun laulu” | 2019 | – | – |  |
| ”Ympyrää” | 2022 | – | – | Hupsis |
| ”Omenapuita” | 2022 | – | 84 | Hupsis |
| ”Tequilakahvi” | 2022 | 1 | 63 | Hupsis |
| ”Mustaa” | 2022 | – | – | Hupsis |
| ”Viimeisiä sanoja” | 2023 | 9 | 1 | Hupsis |
| ”Kolmatta linjaa” | 2023 | 21 | 47 | Hupsis |
| ”Silkkiin verhoiltuna” (feat. Jambo) | 2023 | 3 | 48 | Hupsis |
| ”Maljapuhe” | 2024 | 14 | 4 |  |
| ”Pysyvää” | 2024 | 16 | – |  |
| ”Ilmaa” | 2024 | 22 | – |  |
| ”Ei me kuolla kuitenkaan” | 2025 | 39 | – |  |
Diskografia > Muut listasijoitukset

| Nimi | Vuosi | Listasijoitukset> Single-lista | Albumi |
| --- | --- | --- | --- |
| ”Sä puhuit enkeleistä” | 2023 | 6 | Hupsis |
Aiheesta muualla

Bee: Ajatuksia kuolemasta, tiskaamisesta ja meditaatiosta | YleX Feat
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Taiteenala:  MusicBrainz 
Henkilöt:  Yle
Barry Tuckwell

| Barry Tuckwell |
| --- | --- |
 Barry Tuckwell vuonna 2007.
Henkilötiedot
Koko nimi:  Barry Emmanuel Tuckwell
Syntynyt: 5. maaliskuuta 1931 Melbourne, Australia
Kuollut: 16. tammikuuta 2020 (88 vuotta)
Muusikko
Tyylilajit:  länsimainen taidemusiikki 
Soittimet:  käyrätorvi 
  [ Muokkaa Wikidatassa ] [ ohje ]  
Barry Emmanuel Tuckwell (5. maaliskuuta 1931 Melbourne, Australia – 16. tammikuuta 2020) oli australialainen käyrätorvensoittaja.
Koulutus

Tuckwell lauloi kuorossa sekä toimi urkurina Sydneyn St Andrew's Cathedral Schoolissa ja opiskeli Sydneyn konservatoriossa. Hän opiskeli Sydneyssä Alan Mannin johdolla, minkä jälkeen hän muutti Britanniaan vuonna 1951, jossa opiskeli Dennis Brainin johdolla.
Ura

Tuckwell liittyi Melbournen sinfoniaorkesteriin jo 15-vuotiaana. Uransa aikana Tuckwell soitti mm. Hallé-orkesterissa, Bournemouthin sinfoniaorkesterissa ja vuosien ajan Lontoon sinfoniaorkesterissa. Hän oli Lontoon sinfoniaorkesterin soolocornisti 1955 - 1968. Hän toimi myös Royal Academy of Musicin professorina 1963 – 1974. Vuodet 1979 – 1983 hän toimi Tasmanian sinfoniaorkesterin johtajana. Tuckwell oli mukana perustamassa Marylandin sinfoniaorkesteria vuonna 1982 ja toimi pitkään sen johtajana. Hän antoi viimeisen sooloesityksensä Baltimoren sinfoniaorkesterin kanssa 25. tammikuuta 1997.
Suomessa hän vieraili solistina ja opettajana muun muassa Naantalissa 1985, Jyväskylän kesässä 1979 ja Sibelius-Akatemiassa 1991.
Hän toimi International Horn Societyn presidenttinä 1969 – 1977.
Tunnustukset

Tuckwellille myönnettiin Brittiläisen imperiumin ritarikunnan (1965) ja Order of Australian (1992) arvot. Muiden muassa Oliver Knussen ja Richard Rodney Bennett ovat omistaneet teoksiaan hänelle.
Kirjallinen tuotanto

Playing the Horn (1978)
The Horn (1981)
Riemannin integraali

Käyrän y=f(x), x-akselin sekä suorien x=a ja x=b väliin jäävä tasokuvio S, jonka pinta-ala yritetään määrittää
Riemann-summien jono tasaväliselle ositukselle. Yläkulman luku on nelikulmioiden pinta-alojen summa, joka suppenee kohti integraalin arvoa osituksen tihetessä.
Välin ositus voi olla epäsäännöllinen, kunhan jokaisen osavälin pituus lähestyy nollaa.
Riemannin integraali on määrätty integraali, joka määrittää funktion kuvaajan alle jäävän etumerkillisen pinta-alan. Riemannin integraali määritellään jakamalla integroimisväli osaväleihin, joiden sisällä integroitavaa funktiota approksimoidaan vakiolla, ja laskemalla saatavat pinta-alat yhteen. Kun jakoa tihennetään, arvioi saatava summa integraalia yhä paremmin. Riemannin integraali saadaan tämän prosessin raja-arvona. Jatkuvan funktion Riemannin integraali voidaan laskea derivoinnin käänteisoperaationa analyysin peruslauseen avulla.
On olemassa funktioita, jotka ovat hyvin epäjatkuvia ja joita ei voi visualisoida yksinkertaisesti käyränä. Tällaisille funktioille ei voi laskea Riemannin integraalia, mutta esimerkiksi matemaattisesti hienostuneempi Lebesguen integraali saattaa olla olemassa. Jos funktion Riemannin integraali on olemassa, se vastaa arvoltaan Lebesguen integraalia.
Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli täsmällisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan, joka esitteli sen vuonna 1854 habilitaatiotutkielmassaan. Riemann käytti määrittelemäänsä integraalia tutkiessaan Fourier-sarjojen suppenemisominaisuuksia.
Määritelmä

Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat  x=a,  x=b ja  y=0, sekä käyrä  y=f(x), missä  f on funktio  [a,b]\rightarrow \mathbb {R} . Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos  f saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tason kuvaamiseen käytetään merkintää:
Funktion  f halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.
Tämä määrittely tehdään jakamalla väli  [a,b] osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran  y=0 ja käyrän  y=f(x) väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion  f arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion  f maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.
Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon  a<b ja  n\in \mathbb {N} . Välin  [a,b]  n-välinen jako on lukujono
,
jolle pätee  x_{i-1}<x_{i} kaikilla  1\leq i\leq n,  x_{0}=a ja  x_{n}=b. Tällöin välit  [x_{i-1},x_{i}], missä  1\leq i\leq n, muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin  [a,b] osituksen.
Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia  D_{n}, ja lisäksi oletetaan, että  D_{n} on  k_{n}-jakoinen, missä siis  (k_{n})_{n\in \mathbb {N} } on luonnollisten lukujen jono. Jaon  D_{n} jakopisteitä merkitään symbolilla  x_{i}^{n}, missä  1\leq i\leq k_{n}, eli toisin sanoen
.
Jaon  D_{n} pisin jakoväli on luku
.
Jako  D_{i} on jaon  D_{j} tihennys, jos  D_{j}\subset D_{i}, eli jaossa  D_{i} on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa  D_{j}. Jakojen jono  (D_{1},D_{2},\ldots ) on tihenevä, jos jokainen jako  D_{i} on sitä edeltävän jaon  D_{i-1} tihennys.
Määritelmä > Riemannin summa ja integraali

Olkoon  D_{n} välin  [a,b] jako, ja jono
sellainen, että  \xi _{i}^{n}\in [x_{i-1}^{n},x_{i}^{n}] kaikilla  1\leq i\leq k_{n}.
Olkoon  f funktio  [a,b]\rightarrow \mathbb {R} . Funktion  f jakoa  D_{n} pisteissä  \xi ^{n} vastaava Riemannin summa on
.
Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on  x_{i}^{n}-x_{i-1}^{n} ja korkeus  f(\xi _{i}^{n}). Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle  1_{\mathbb {Q} } voidaan kaikille tiheneville jakojonoille  (D_{n})_{n\in \mathbb {N} } valita pisteet  (\xi ^{n})_{n\in \mathbb {N} } siten, että vastaava Riemannin summien jono  (S_{D_{n}}(1_{\mathbb {Q} },\xi ^{n}))_{n\in \mathbb {N} } ei suppene.
Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden  \xi ^{n} valinnasta.
Olkoon jakojen jono  (D_{n})_{n\in \mathbb {N} } tihenevä ja  |D_{n}|\rightarrow 0, kun  n\rightarrow \infty . Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä  [a,b]. Sanotaan, että funktion  f Riemannin summilla on raja-arvo  S\in \mathbb {R} , jos jokaiselle luvulle  \varepsilon >0 on olemassa luvut  \delta _{\varepsilon }>0 ja  n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}  siten, että
, kun ,
ja  S on yksikäsitteinen kaikilla jonolla  \xi ^{n_{\varepsilon }}. Jos Riemannin summilla on raja-arvo  S, niin funktio  f on Riemann-integroituva välillä  [a,b] ja sen Riemannin integraali on luku  S. Tällöin merkitään
.
Tässä merkintätavassa funktiota  f kutsutaan integrandiksi.
Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali. Darboux-integraalia käytetäänkin yleisesti mm. suomalaisessa lukio-opetuksessa.
Määritelmä > Darboux'n integraali

Olkoon  f reaalifunktio  [a,b]\rightarrow \mathbb {R} . Funktion  f Darboux'n yläsumma jaolla  D_{n} on
.
Vastaava Darboux'n alasumma on
.
Olkoon jakojen jono  (D_{n})_{n\in \mathbb {N} } tihenevä ja  |D_{n}|\rightarrow 0, kun  n\rightarrow \infty . Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot  (S_{D_{n}}(f))_{n\in \mathbb {N} } ja  (s_{D_{n}}(f))_{n\in \mathbb {N} }, monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku
.
Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku
.
Funktio  f on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli
.
Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion  f Darboux'n integraaliksi yli välin  [a,b].
Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos  f on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin
.
Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.
Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös  U_{f}(P) ja  L_{f}(P), joissa P on välin jako.
Määritelmä > Määritelmän yleistäminen

Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko  A sellainen, että  [a,b]\subset A\subset \mathbb {R} ,  g reaalifunktio  A\rightarrow \mathbb {R}  ja  g_{[a,b]}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}  sen rajoittuma välille  [a,b]. Jos  g_{[a,b]} on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että  g on Riemann-integroituva välillä  [a,b], ja funktion  g Riemannin integraaliksi yli välin  [a,b] määritellään
.
Lisäksi määritellään
ja
.
Määritelmä > Määritelmän yleistäminen > Epäoleellinen integraali

Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.
Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.
Olkoon funktio  f:\ [a,b[\rightarrow \mathbb {R}  Riemann-integroituva kaikilla väleillä  [a,c]\subset [a,b[. Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo
on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion  f epäoleellinen integraali yli välin  [a,b] on
.
Funktiolle  ]a,b]\rightarrow \mathbb {R}  epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.
Olkoon funktio  f:\ [a,\infty [\rightarrow \mathbb {R}  Riemann-integroituva kaikilla väleillä  [a,c]\subset [a,\infty [. Jos raja-arvo
on olemassa, niin funktion  f epäoleellinen integraali yli välin  [a,\infty [ on
.
Samoin määritellään funktiolle  g:\ ]-\infty ,a]\rightarrow \mathbb {R}
.
Ominaisuuksia

Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.
Ominaisuuksia > Riemann-integroituvia funktioita

Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.
Ominaisuuksia > Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksia

Jos f ja  g ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin  \int _{a}^{c}f\,dx=\int _{a}^{b}f\,dx+\int _{b}^{c}f\,dx
Jos f ja  g ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin  \int _{-a}^{a}f\,dx=2\int _{0}^{a}f\,dx,{\mbox{kun }}f(-x)=f(x) kaikilla  x\in ]min \{a,b\},max \{a,b\}[
Jos f ja  g ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin  \int _{-a}^{a}f\,dx=0,{\mbox{kun }}f(-x)=-f(x) kaikilla  x\in ]min \{a,b\},max \{a,b\}[
Ominaisuuksia > Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksia > Integraalilaskennan väliarvolauseita

Jos funktio  f on Riemann-integroituva välillä  [a,b], niin
.
Jos  f on jatkuva välillä  [a,b], niin on olemassa sellainen  \xi \in ]a,b[, että
.
Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseiksi.
Jos funktiot  f ja  g ovat Riemann-integroituvia välillä  [a,b],  g\geq 0 ja
,
niin
.
Jos  f on jatkuva välillä  [a,b], niin on olemassa sellainen  \xi \in ]a,b[, että
.