stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Magersfonteinin taistelu
Taistelu

Keskiyön jälkeen Ylämaan rykmentti alkoi edetä tasangon yli. Yöllä oli puhjennut ukkosmyrsky ja maasto oli hankalakulkuista. Brittien suunnistaja oli majuri G. E. Benson. Benson ilmoitti jonkin ajan kuluttua Wauchopelle joukkojen saavuttaneen tarkoitetun asemansa. Wauchope päätti tästä huolimatta jatkaa joukkoineen vielä eteenpäin. Aamun sarastaessa noin kello 4.00 britit olivat vain muutaman sadan metrin päässä buurien kaivamista juoksuhaudoista, joita he eivät olleet vielä havainneet.
Yhtäkkiä buurit avasivat tulen. Tiiviissä muodostelmassa marssineet britit ajautuivat sekasortoon. Wauchope sai surmansa. Ylämaan prikaati ei päässyt yhdeksään tuntiin liikkumaan buurien ankarassa tulituksessa samalla, kun Methuen ei tehnyt juuri mitään heidän auttamisekseen. Lopulta osa briteistä alkoi paeta tai piiloutua pensaikkoihin. Buurit eivät jättäneet asemiaan vihollisensa jahtaamiseksi.
Seuraukset

Briteille taistelu oli huomattava tappio. Heidän tappionsa olivat 902 miestä ja buurien vain 236. Buurien puolella kaatui yksi suomalainen, haavoittui kaksi ja jäi vangiksi kaksi. Taistelu oli osa niin sanotun mustan viikon kolmea brittitappiota. Taistelu oli yksi osoitus brittien kykenemättömyydestä soveltaa uusia taktiikoita uusissa taistelukentän olosuhteissa.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Magersfonteinin taistelu Wikimedia Commonsissa
Maggersfonteinin taistelun 25-vuotismuistopäivä, Aamulehti, 13.12.1924, nro 289, s. 10, Kansalliskirjaston digitaaliset aineistot
| --- | --- |
Auktoriteettitunnisteet: Kansalliset :  Israel  Yhdysvallat 
Taistelukenttää ja joitakin jäljelle jääneita juoksuhautoja nykyisin.
Buurisotilaita.
Buurien asemia tulittava brittitykki.
Skandinavialaisten vapaaehtoisten muistomerkki.
Johnny Gaudreau

| John Gaudreau |
| --- | --- |
 Gaudreau maaliskuussa 2016
Henkilötiedot
Syntynyt: 13. elokuuta 1993 Carneys Point, New Jersey, Yhdysvallat
Kuollut: 29. elokuuta 2024 (31 vuotta) Oldmans Township, New Jersey, Yhdysvallat
Kansalaisuus:   Yhdysvallat
Jääkiekkoilija
Lempinimi:  Johnny Hockey
Pelipaikka:  vasen laitahyökkääjä
Maila:  vasen
Pituus:  174 cm
Paino:  71 kg
Pelaajaura
Pääsarjaura:  2014–2024
Seurat:  Boston College (NCAA) Calgary Flames (NHL) Columbus Blue Jackets (NHL)
NHL-varaus:  104. varaus, 2011 Calgary Flames
John Michael Gaudreau (13. elokuuta 1993 Carneys Point, New Jersey – 29. elokuuta 2024 Oldmans Township, New Jersey) oli yhdysvaltalainen jääkiekkoilija, pelipaikaltaan vasen laitahyökkääjä. Hän pelasi viimeisimpänä NHL-joukkue Columbus Blue Jacketsissa ennen kuolemaansa kesällä 2024. Ennen NHL-uraansa Gaudreau pelasi muun muassa Hockey East -yliopistosarjassa, jossa hänet valittiin kertaalleen koko NCAA:n parhaaksi pelaajaksi.
Ura > Maajoukkueura

| Mitalit> Maa:   Yhdysvallat.Miesten jääkiekko.MM-kilpailut  | Mitalit> Maa:   Yhdysvallat.Miesten jääkiekko.MM-kilpailut  | Mitalit> Maa:   Yhdysvallat.Miesten jääkiekko.MM-kilpailut  | Maa:   Yhdysvallat> Miesten jääkiekko. |
| --- | --- | --- | --- |
|  Pronssia | Tanska 2018 | jääkiekko |  |
| Alle 20-v. MM-kilpailut  | Alle 20-v. MM-kilpailut  | Alle 20-v. MM-kilpailut  |  |
|  Kultaa | Ufa 2013 | jääkiekko |  |
Gaudreau pelasi Yhdysvaltain maajoukkueessa alle 20-vuotiaiden MM-kilpailuissa vuonna 2013, jolloin Yhdysvallat voitti maailmanmestaruuden. Hän voitti turnauksen maalipörssin ja jakoi Yhdysvaltain sisäisen pistepörssin voiton Jacob Trouban ja J. T. Millerin kanssa. Gaudreau valittiin turnauksen tähdistökentälliseen ja joukkueensa top-3-pelaajaksi.
Gaudreau edusti Yhdysvaltoja kerran World Cupissa ja viidesti MM-kilpailuissa. Hän sai MM-pronssia vuonna 2018. Hän teki kolmessa MM-turnauksessa vähintään 10 pistettä. Yhteentoista pisteeseen hän ylsi 2017 ja 2024.
Pelityyli

Gaudreau oli pelipaikaltaan vasen laitahyökkääjä. Hänen vahvuuksiinsa kuului hyökkäyspään pelaaminen, luistelu, kiekollinen peli ja luovuus. Gaudreaun heikkouksiin kuului pieni koko ja hänen olisi pitänyt olla myös hieman itsekkäämpi kiekon kanssa. Hän oli hyvä luistelija.
Yksityiselämä

Gaudreau oli isänsä puolelta kanadanranskalainen, mutta ei itse puhunut ranskaa. Hänen isänsä vanhemmat ovat lähtöisin Quebecistä. Gaudreaun pikkuveli Matthew oli myös ammattijääkiekkoilija. Tämä pelasi AHL- ja ECHL-sarjoissa. Johnny Gaudreau oli naimisissa ja parilla oli kaksi lasta, tyttö ja poika.
Kuolema

Torstaina 29. elokuuta 2024 illalla paikallista aikaa Gaudreau oli veljensä Matthew'n kanssa polkupyöräilemässä pienessä Oldmans Townshipin kylässä New Jerseyssä, kun rattijuoppo törmäsi heihin autollaan.  Varhain perjantaina Suomen aikaa keskustelupalstoilla alkoi kiertää huhu tähtihyökkääjän poismenosta eri viranomaislähteiden vuodettua tietoja tuoreesta onnettomuudesta julkisuuteen. Columbus Blue Jackets vahvisti huhut paikkansapitäviksi perjantaiaamuna kahdeksalta paikallista aikaa.
Johnny Gaudreau perheineen oli kaupungissa siskonsa perjantaisen hääseremonian vuoksi, joissa sekä Johnnyn että Matthew'n oli määrä toimia bestmaneina.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Johnny Gaudreau Wikimedia Commonsissa
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Edeltäjä: Anže Kopitar | Lady Byng Memorial Trophyn voittaja 2017 | Seuraaja: William Karlsson |
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  VIAF 
Kansalliset:  Yhdysvallat
František Straka

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |

Henkilötiedot
Syntymäaika: 21. toukokuuta 1958 (ikä 66)
Syntymäpaikka: České Budějovice, Tšekkoslovakia
Pituus: 182 cm
Seura
Seura: –
Tehtävä: Päävalmentaja
Seurat
| Vuodet | Seura | O (M) |
| 1979–1988 1988–1991 1991–1992 1992–1996 1996–1998 |  AC Sparta Praha  Borussia M'Gladbach  FC Hansa Rostock  Wuppertaler SC  Viktoria Köln | 223 (10) 81 (1) 34 (0) 64 (3) 35 (8) |
Maajoukkue
| 1983–1990 |  Tšekkoslovakia | 35 (0) |
Valmennusura
1999–2001 2002–2004 2004 2005 2006 2006–2007 2007–2008 2008 2009 2009–2010 2010–2011 2011 2011–2012 2013:  Wuppertaler SC  FK Teplice  AC Sparta Praha  LR Ahlen  FC Viktoria Plžen  FC Wacker Tirol  SK Dynamo České Budějovice  OFI Kreeta  Tšekin maajoukkue  MFK Ružomberok  North Queensland Fury  Arka Gdynia  SK Slavia Praha  1. FK Příbram
 Seurajoukkueuran tilastot kattavat vain kansalliset sarjat.
František Straka (s. 21. toukokuuta 1958) on tšekkiläinen jalkapallovalmentaja ja entinen puolustaja.
Ura pelaajana

Straka aloitti ammattilaisuransa Tšekkoslovakian suurseura AC Sparta Prahassa 1979. Juniorina pelioppinsa SK Dynamo České Budějoviceissa ja VTJ Tachovissa hankkinut Straka edusti Spartaa yhdeksän kauden ajan ja pelasi yli 200 ottelua seuran paidassa. Hän voitti seuran kanssa neljä Tšekkoslovakian mestaruutta ja kolme cup-mestaruutta.
1988 Straka siirtyi Saksaan ja Borussia Mönchengladbachiin. Straka edusti saksalaiseuraa kolme kautta ja kuului joukkueen vakiomiehistöön. Hän jätti seuran 1991 ja pelasi yhden kauden FC Hansa Rostockissa ja neljä kautta Wuppertaler SC:ssä 2. Bundesliigassa ja Regionalligassa. Uransa kaksi viimeistä kautta Straka pelasi SCB Viktoria Kölnissä Oberligassa ja lopetti pitkän pelaajauransa 40-vuotiaana 1998.
Maajoukkuetasolla Straka edusti Tšekkoslovakiaa 35 maaottelussa vuosina 1983–1990. Hän oli mukana Jozef Venglošin maajoukkueryhmässä MM-kisoissa 1990 maan edetessä aina puolivälieriin saakka.
Ura pelaajana > Meriitit pelaajana

Tšekkoslovakian mestaruus (4): 1984, 1985, 1987, 1988
Tšekkoslovakian cup (3): 1980, 1984, 1988
MM-puolivälierät: 1990
Ura valmentajana

Valmennusuransa Straka aloitti heinäkuussa 1999 Wuppertaler SC:n päävalmentajana. Hänen johdollaan seura voitti kaudella 1999/2000 Oberliga Nordrheinin mestaruuden ja oli seuraavalla kaudella toinen. Marraskuussa 2001 Straka sai jättää tehtävänsä.
Kesällä 2002 hän siirtyi FK Teplicen apulaisvalmentajaksi, mutta nousi jo syyskuussa seuran päävalmentajaksi František Cipron potkujen myötä. Straka johdatti seuran lopulta kuudenneksi. Huhtikuussa 2004 hän jätti Teplicen ja siirtyi AC Sparta Prahan peräsimeen. Straka nosti seuran loppukauden voittoputken myötä liigassa toiseksi ja sai jatkaa tehtävissä. Potkut tulivat kuitenkin jo seuraavana syksynä Spartan kehnon Mestarien liigan menestyksen vuoksi.
Sparta-potkujensa jälkeen Straka toimi lyhyen aikaa LR Ahlenin, FC Viktoria Plzeňin ja FC Wacker Tirolin päävalmentajana. Elokuussa 2007 hän siirtyi jälleen Cipron seuraajaksi, nyt SK Dynamo České Budějoviceen, jonka hän luotsasi kauden päätteeksi sijalle 13. Heinäkuussa 2008 hänestä tuli kreikkalaisen OFI Kreetan päävalmentajaksi, mutta sai potkut jo marraskuussa.
Toukokuussa 2009 Strakasta tuli Tšekin maajoukkueen päävalmentajaksi.  Tarkoituksena oli pelastaa surkeasti alkaneet MM2010-karsinnat, mutta pesti päättyi jo kesäkuussa. Strakan johdolla Tšekki pelasi vain yhden ottelun, jossa se voitti Maltan 1–0.
Syyskuussa 2009 hänestä tuli slovakialaisseura MFK Ružomberokin uusi päävalmentaja.  Kesäkuussa 2010 hän jätti slovakialaisseuran ja siirtyi Australian A-Leaguessa pelaavan North Queensland Furyn päävalmentajaksi.  Australiassa Straka nousi nopeasti fanien ja median suosioon vaatemakunsa vuoksi.  Pelillinen menestys oli sen sijaan vain kohtalaista ja lopulta seuran kausi A-leaguessa päättyi talousvaikeuksien vuoksi helmikuussa 2011.  Strakan huhuttiin jatkavan Australiassa Melbourne Victoryn valmentajana, mutta hän palasi Eurooppaan puolalaisen Arka Gdynian valmentajaksi.   Straka jätti Arkan kauden 2010/11 päätteeksi.
Lokakuussa 2011 Straka palasi valmentajaksi kotimaahansa, kun liigan keskikastiin vajonnut SK Slavia Praha palkkasi hänet päävalmentajakseen.  Slavian paikallisvastustajan Sparta Prahan kannattajat eivät hyväksyneet Strakan pestiä, sillä hänen katsottiin pettäneen entinen seuransa Sparta.  Strakan pesti sujui myös pelillisesti kehnosti ja lopulta hän sai potkut jo maaliskuussa 2012.
Maaliskuussa 2013 Straka palasi valmennustehtäviin Tšekin liigan jumbojoukkue 1. FK Příbramin päävalmentajana.  Straka nosti seuran pois putoamisviivan tuntumasta ja sarjapaikka säilyi lopulta reilusti kuuden pisteen turvin. Kausi 2013/14 alkoi kuitenkin kehnosti ja hän sai potkut marraskuussa 2013.
Ura valmentajana > Meriitit valmentajana

Oberliga Nordrhein (2): 2000, 2001
Kesäolympialaiset 2004

Vuoden 2004 kesäolympialaiset järjestettiin 13.–29. elokuuta 2004 Ateenassa Kreikassa. Näin kisat palasivat 108 vuoden tauon jälkeen nykyaikaisten olympialaisten syntypaikkaan Ateenaan ja samalla antiikin aikaisten Olympian kisojen kotimaahan Kreikkaan. Olympialaisiin osallistui 10 625 urheilijaa edustaen 201 olympiakomiteaa. Mitaleita jaettiin 301 kilpailussa yhteensä 34 eri urheilulajissa.
Kisat muistetaan massiivisista turvatoimista terroriuhan vuoksi sekä kisapaikkojen valmistumisesta viime tipassa. Kisojen turvallisuusuhkia vastaan käytettiin 1,08 miljardia euroa.
Kisojen kulut olivat 7,202 miljardia euroa. NBC Universal maksoi 793 miljoonaa dollaria televisiolähetysoikeuksistaan.
14 henkilöä kuoli stadionin rakentamisen aikana.
Olympialaisten kunniaksi lyötiin ensimmäinen kahden euron erikoisraha koko euroalueella.
Hakijat

Vuoden 2004 kesäolympialaisia hakivat Kreikan Ateena, Italian Rooma, Etelä-Afrikan Kapkaupunki, Ruotsin Tukholma ja Argentiinan Buenos Aires. Äänestykset valinnasta tehtiin 5. syyskuuta 1997. Viimeisellä äänestyskierroksella Ateena voitti Rooman.
Hakijat > Äänestys

| Äänestystulokset> Kaupunki | Äänestystulokset> Maa | Äänestystulokset> Kierros 1 | Äänestystulokset> Kierros 2 | Äänestystulokset> Kierros 3 | Äänestystulokset> Kierros 4 | Äänestystulokset> Kierros 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Ateena |  Kreikka | 32 | – | 38 | 52 | 66 |
| Rooma |  Italia | 23 | – | 28 | 35 | 41 |
| Kapkaupunki |  Etelä-Afrikka | 16 | 62 | 22 | 20 | – |
| Tukholma |  Ruotsi | 20 | – | 19 | – | – |
| Buenos Aires |  Argentiina | 16 | 44 | – | – | – |
Olympiatuli

Olympiatuli sytytettiin Antiikin Olympiassa 25. maaliskuuta 2004. Sytytyksen jälkeen ensimmäinen soihdunkantaja oli Kreikan Konstantínos Gkatsioúdis ja ensimmäinen soihdunkantaja Kreikan osuudella, joka päättyi Panathinaikon stadionille 31. maaliskuuta 2004. Ensimmäistä kertaa olympiatuli kiersi matkallaan maailman ennen paluutaan Kreikkaan. Maailmankiertue käynnistyi 4. kesäkuuta. Tuli kävi kaikissa olympiakaupungeissa ja ensimmäistä kertaa jokaisessa asutussa maanosassa, joista Etelä-Amerikka ja Afrikka olivat mukana reitillä ensimmäistä kertaa. Kaikkiaan matkaa tulelle kertyi 78 000 kilometriä, ja soihtua kuljetti noin 11 000 kantajaa.
Helsinkiin olympiatuli saapui Tukholmasta 2. heinäkuuta 2004 iltapäivällä. Rautatientorilta alkoi 120 viestinviejän 51,5 kilometrin taival, jonka osuudet olivat noin 400 metriä. Suurin osa kantajista oli tavallisia kansalaisia. Mukana oli myös joukko tunnettuja suomalaisia. Soihtuviestin aloitti nelinkertainen olympiavoittaja Lasse Viren. Pitkänsillan yli soihdun kantoi viestin vanhin kantaja Teuvo Paakkari, joka oli kantanut soihtua samalla osuudella jo vuonna 1952. Maratonmestari Veikko Karvonen toi olympiatulen Idols-tähti Antti Tuiskulle, joka kantoi soihtua Sibelius-monumentin luona. Senaatintorilla soihtua kantoi melonnan kaksinkertainen olympiavoittaja Yrjö Hietanen. Mannerheimintien eteläosalla soihtua veivät muiden muassa entinen ministeri Elisabeth Rehn, koomikko Krisse Salminen ja keihäänheiton maailmanmestari Kimmo Kinnunen. Linnanmäelle soihdun kantoi kolminkertainen hiihdon olympiavoittaja Marja-Liisa Kirvesniemi. Muita tunnettuja viestinviejiä olivat näyttelijä Risto Kaskilahti, jääkiekkoilija Jari Kurri, nyrkkeilyn olympiamitalisti Arto Nilsson.
Helsingistä olympiatuli jatkoi matkaansa Moskovaan. Takaisin Kreikkaan olympiatuli palasi 9. heinäkuuta. Kisojen avajaisissa 13. heinäkuuta stadionin olympiatulen sytytti purjelautailun olympiakultamitalisti vuoden 1996 kisoista Nikólaos Kaklamanákis.
Avajaiset

Kisojen avajaisten TV-lähetys oli ensimmäinen kansainvälinen suora teräväpiirtolähetys ja se lähetettiin teräväpiirtona Yhdysvalloissa ja Japanissa.
Lajit

Olympialaisten ohjelmassa oli 301 kilpailutapahtumaa 39 eri urheilulajissa.
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|   Ammunta   Baseball   Jalkapallo   Jousiammunta   Judo   Koripallo   Käsipallo   Lentopallo  |   Maahockey   Melonta   Miekkailu   Nykyaikainen viisiottelu   Nyrkkeily   Paini   Painonnosto   Purjehdus  |   Pyöräily   Pöytätennis   Ratsastus   Softball   Soutu   Sulkapallo   Taitouinti   Taekwondo  |   Tennis   Triathlon   Uimahypyt   Uinti   Vesipallo   Voimistelu   Yleisurheilu  |
Mitalitaulukko

Kisojen menestyksekkäin maa oli Yhdysvallat.
| Vuoden 2004 kesäolympialaisten mitalitaulukko> Sija | Vuoden 2004 kesäolympialaisten mitalitaulukko> Maa | Vuoden 2004 kesäolympialaisten mitalitaulukko> Kultaa | Vuoden 2004 kesäolympialaisten mitalitaulukko> Hopeaa | Vuoden 2004 kesäolympialaisten mitalitaulukko> Pronssia | Vuoden 2004 kesäolympialaisten mitalitaulukko> Yhteensä |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 |  Yhdysvallat | 35 | 40 | 27 | 102 |
| 2 |  Kiina | 32 | 17 | 14 | 63 |
| 3 |  Venäjä | 27 | 27 | 38 | 92 |
| 4 |  Australia | 17 | 16 | 16 | 49 |
| 5 |  Japani | 16 | 9 | 12 | 37 |
| 6 |  Saksa | 14 | 15 | 19 | 48 |
| 7 |  Ranska | 11 | 9 | 13 | 33 |
| 8 |  Italia | 10 | 11 | 11 | 32 |
| 9 |  Etelä-Korea | 9 | 12 | 9 | 30 |
| 10 |  Iso-Britannia | 9 | 9 | 12 | 30 |
| 11 |  Kuuba | 9 | 7 | 11 | 27 |
| 13 |  Ukraina | 8 | 5 | 9 | 22 |
Kuvagalleria

Avajaiset
Ammuntaa
Ateenan Koripalloareena
Pöytätennistä
Kisojen TV-keskus
Vesipalloa
Maahockey:tä
Miekkailua
Miesten 10 000m
Tennistä
Jalkapalloa
Painia
Rantalentopallostadion
Päättäjäiset
Vankkuri

Katetut arba-vankkurit Venäjällä 1906.
Vankkuri on neljällä pyörällä kulkeva kotieläinten tai moottoriajoneuvon vetämä kulkuväline. Vankkuria on vedetty hevosilla, muuleilla tai härillä. Vankkuri voi olla ihmisten tai tavaroiden kuljettamista varten. Vankkureilla kuljetettiin raskaita taakkoja. Vielä nykyäänkin käytetään muun muassa koirilla pieniä vankkureita.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Vankkuri Wikimedia Commonsissa
Ryhmä (algebra)

D6-ryhmän ryhmädiagrammi.
Ryhmä on tärkein yhden joukon ja yhden laskutoimituksen muodostama algebrallinen rakenne. Joukon on oltava laskutoimituksen suhteen suljettu siten, että laskutoimituksen tulos kuuluu samaan joukkoon, laskutoimitus on liitännäinen (mutta ei välttämättä vaihdannainen), laskutoimituksella on neutraalialkio ja jokaisella joukon alkiolla on käänteisalkio. Tyyppiesimerkki ryhmistä on kokonaisluvut ja yhteenlasku, jossa neutraalialkio on nolla ja käänteisalkio vastaluku.
Ryhmiä itsessään tutkiva matematiikan ala on ryhmäteoria. Toisaalta ryhmä on algebran peruskäsite, joka toimii "rakennuspalikkana" määriteltäessä sellaisia matematiikan rakenteita kuten rengas ja kunta.
Formaali määritelmä

Ryhmä tarkoittaa epätyhjää joukkoa  G, jossa on määritelty binäärioperaatio  \circ  ja joka toteuttaa seuraavat ehdot:
Operaatio  \circ  on suljettu joukossa  G: kaikilla alkioilla  a,b\in G siten, että alkio  a\circ b\in G.
Operaatio on liitännäinen: kaikilla alkioilla  a,b,c\in G siten, että  (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).
Neutraalialkio on olemassa: kaikille alkioille  a\in G on olemassa alkio (neutraalialkio)  e\in G siten, että  e\circ a=a\circ e=a.
Joukossa on sen jokaiselle alkiolle käänteisalkio: kaikille alkioille  a\in G siten, että  on olemassa alkio (käänteisalkio)  a^{-1}\in G siten, että  a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e.
Jos lisäksi on voimassa kaikilla alkioilla  a,b\in G siten, että  a\circ b=b\circ a,
sanotaan, että ryhmä on kommutatiivinen eli vaihdannainen. Kommutatiivista ryhmää kutsutaan nimellä Abelin ryhmä.
Ryhmä merkitään joko  (G,\circ ) tai  \langle G,\circ \rangle .
Suhde muihin rakenteisiin

Monoidi on määritelmän ehdot 1-3 täyttävä rakenne, joten ryhmä voidaan määritellä monoidiksi, jossa jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Yhtäpitävästi ryhmä voitaisiin määritellä myös luupiksi, jonka laskutoimitus on liitännäinen.
Merkintöjä

Ryhmäteoriassa käytetään myös seuraavia merkintöjä:
Käänteisalkiota merkitään myös alkion yläpuolisella viivalla: a⁻¹ = ā.
Laskutoimitusta merkitään myös asteriskilla tai kertomerkillä, tai laskutoimituksen merkki voidaan jättää kokonaan pois: a ∘ b = a * b = a · b = ab.
Sulkeet voidaan jättää pois laskutoimituksen liitännäisyyden nojalla: (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) = a ∘ b ∘ c.
Ominaisuudet

Kaikilla ryhmillä on muun muassa seuraavat ominaisuudet:
Ryhmän neutraalialkio on yksikäsitteinen.
Kullakin ryhmän alkiolla  a on täsmälleen yksi käänteisalkio  a^{-1}.
Jos a ja b ovat ryhmän alkioita, niin on olemassa yksikäsitteiset ryhmän alkiot x ja y, joilla a ∘ x = b ja y ∘ a = b.
Ryhmän laskutoimituksella on seuraavat supistussäännöt: jos a ∘ b = a ∘ c, niin b = c, ja jos b ∘ a = c ∘ a, niin b = c.
Alkion a ∘ b käänteisalkio on b⁻¹ ∘ a⁻¹.
Potenssi

Ryhmän alkion potenssi määritellään kuten alkeisaritmetiikassa:
a⁰ = e
aⁿ = a ∘ a ∘ ... ∘ a (n kpl), n ∈ ℕ, n ≥ 1
a⁻ⁿ = (aⁿ)⁻¹, n ∈ ℕ, n ≥ 1.
Potenssilla on seuraavat laskusäännöt (m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, m ≥ 1, n ≥ 1):
(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n}\,\!
a^{m}\circ a^{n}=a^{m+n}\,\!
(a^{m})^{n}=a^{mn}\,\!
(a^{m})^{-n}=((a^{m})^{n})^{-1}=(a^{mn})^{-1}=a^{-mn}=a^{m(-n)}\,\!.
Ryhmien peruskäsitteitä

Ryhmille voidaan määritellä ensinnäkin totuusarvoisia ominaisuuksia ja nämä ominaisuudet voivat muodostaa hierarkioita. Voidaan tutkia esimerkiksi onko jokin ryhmä vaihdannainen tai onko se ratkeava. Jokainen vaihdannainen ryhmä on aina myös ratkeava, mutta kääntäen sama ei päde; siis vaihdannaiset ryhmät ovat ratkeavien ryhmien aliluokka.
Ryhmistä voidaan etsiä tietyt ehdot täyttäviä osajoukkoja. Näistä tärkein on aliryhmä: sellainen ryhmän osa, joka on itsessään ryhmä saman laskutoimituksen suhteen. Toinen esimerkki on ryhmän keskus, niiden alkioiden joukko, jotka ovat vaihdannaisia kaikkien alkioiden kanssa. Aliryhmiä voi ryhmällä olla useita, keskus on näistä yksi.
Uusia ryhmiä voidaan muodostaa esimerkiksi "jakamalla" ryhmä jollain normaalilla aliryhmällään, jolloin tulosta kutsutaan tekijäryhmäksi. Esimerkki tästä on 
"jakaa" kaikki kokonaisluvut kymmenellä jaollisilla luvuilla, jolloin tekijäryhmä on luvut 0-9 varustettuna yhteenlaskulla josta otetaan viimeinen numero.
Esimerkkejä

Esimerkki 1. Joukko G = {1, -1, i, -i} varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla on ryhmä.
Näytetään, että joukko G täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4:
Ehto 1. Joukon kahden alkion tulo on joukon alkio, mikä nähdään seuraavasta kertolaskutaulusta:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 1 | -1 | i | -i |
| 1 | 1 | -1 | i | -i |
| -1 | -1 | 1 | -i | i |
| i | i | -i | -1 | 1 |
| -i | -i | i | 1 | -1 |
Ehto 2. Kompleksilukujen kertolasku on liitännäinen.
Ehto 3. Kompleksilukujen kertolaskun neutraalialkio on 1, ja se kuuluu joukkoon G. Siispä on 1 · 1 = 1, 1 · (-1) = -1, 1 · i = i ja 1 · (-i) = -i.
Ehto 4. Joukon alkioiden käänteisalkiot ovat 1⁻¹ = 1, (-1)⁻¹ = -1, i⁻¹ = -i ja (-i)⁻¹ = i, ja ne kuuluvat joukkoon G.
Joukko G siis täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4, joten G on ryhmä.
Esimerkki 2. Kokonaislukujen joukko on Abelin ryhmä binäärioperaattorin  + suhteen (neutraalialkio on luku  0 ja käänteisalkio on kunkin luvun vastaluku.) Kokonaisluvut eivät kuitenkaan muodosta ryhmää kertolaskun suhteen, sillä vastalukuehto ei toteudu.
Esimerkki 3. Imaginaarilukujen joukko muodostaa niin ikään ryhmän yhteenlaskun suhteen. Ryhmän muodostamiseen kertolaskun suhteen on useita esteitä: ryhmä ei ole suljettu, ykkösalkio ei kuulu  ryhmään (se olisi  1, mutta  1 ei ole imaginaariluku).
Esimerkki 4. Reaalilukujen joukko ilman nollaa,  \{x\in \mathbb {R} |x\neq 0\} on ryhmä kertolaskun suhteen. Luku nolla täytyy jättää pois koska sillä ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkio on luku  1.
Esimerkki 5. Kompleksilukujen  \{e^{i\theta }|\theta \in \mathbb {R} \} joukko, eli kompleksitason yksikköympyrä muodostaa ryhmän kertolaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkio on  1=e^{0i}.
Esimerkki 6. Neliömatriisit, joiden determinantti on  1, muodostavat matriisikertolaskun suhteen ryhmän, joka ei ole kommutatiivinen.
Yleinen lineaariryhmä ja ryhmien esitysteoria

Matriisiryhmät muodostuvat matriiseista ja ryhmäoperaationa toimii matriisitulo. Yleinen lineaariryhmä GL(n, R) on matriisiryhmä, joka muodostuu kääntyvistä n×n reaalisista matriiseista. Sen aliryhmiä nimitetään matriisiryhmiksi tai lineaariryhmiksi Tärkeä esimerkki matriisiryhmästä on erityinen ortogonaaliryhmä SO(N). Se kuvaa rotaatioita n-ulotteisessa avaruudessa.
Esitysteoria on sekä ryhmäkäsitteen sovellus että tärkeä väline ryhmien luonteen ymmärtämiseksi.  

Lineaariesitykset ovat laaja ryhmien esityksen luokka. Lineaariesityksessä ryhmä vaikuttaa vektoriavaruuteen, kuten 3-dimensioiseen euklidiseen avaruuteen R3. Ryhmän   G esitys n-dimensioisessa reaalisessa vektoriavaruudessa on ryhmähomomorfismi
ryhmästä yleiseen lineaariryhmään. Ryhmän esitykset muuttavat abstraktin ryhmäoperaation matriisituloksi, jolloin myös ryhmätoimituksen eksplisiittinen lasku onnistuu.
Kirjallisuutta

Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan.  Helsinki:  Gaudeamus, 2015.  ISBN 978-952-495-361-0
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ryhmä (algebra) Wikimedia Commonsissa
L’Enfant sauvage

| L'Enfant Sauvage Gojira |
| --- | --- | --- |

Studioalbumin tiedot
 Julkaistu: 26. kesäkuuta 2012
 Kesto: 52.29
 Levy-yhtiö: Roadrunner
Listasijoitukset
  11.
Gojiran muut julkaisut
| The Flesh Alive 2012 | L'Enfant Sauvage 2012 | Les Enfants Sauvages 2014 |
L'Enfant Sauvage on ranskalaisen metalliyhtye Gojiran viides studioalbumi. Se julkaistiin 26. kesäkuuta 2012 levymerkillä Roadrunner Records.
Kappaleet

Explosia – 6.39
L'Enfant Sauvage – 4.17
The Axe – 4.34
Liquid Fire – 4.17
The Wild Healer – 1.48
Planned Obsolescence – 4.39
Mouth of Kala – 5.51
The Gift of Guilt – 5.56
Pain is a Master – 5.07
Born in Winter – 3.51
The Fall – 5.25