Felix Hausdorff
Teokset, tutkimukset ja niiden vastaanotto > Pääteos: Joukko-opin perusteet

Aikaisemmin joukko-oppiin kuuluvaksi luettiin yleisen joukko-opin ja pistejoukkojen teorian lisäksi myös dimensio- ja mittateoria. Hausdorffin teos Joukko-opin perusteet (saks. Grundzüge der Mengenlehre) oli ensimmäinen oppikirja, joka käsitti koko joukko-opin tässä laajemmassa merkityksessä järjestelmällisesti ja jossa kaikki todistukset olivat mukana. Hausdorff oli tietoinen siitä, kuinka helposti ihmismieli voi erehtyä, samalla kun hän itse pyrki täsmällisyyteen ja totuuteen. Teoksen esipuheessa hän kirjoittikin:
»Ihmisen etuoikeutta erehdykseen on käytettävä niin taloudellisesti kuin mahdollista.»
Kirja oli paljon enemmänkin kuin vain tunnettujen asioiden mestarillinen yleisesitys. Siinä oli myös sarja tekijän omaa alkuperäistä tutkimusta, josta seuraavasta saa vain aavistuksen.
Kirjan ensimmäiset kuusi lukua käsittelevät joukko-opin perus­käsitteitä. Heti kirjan alussa Hausdorff esittelee yksityis­kohtaisen joukkoalgebran, johon sisältyi muutamia uusiakin ksitteitä (erotusketjut, joukkorenkaat, joukkokunnat,  \delta - ja  \sigma -systeemit). Näissä joukkoja niiden välisiä yhteyksiä käsitteleviin johdanto­lukuihin sisältyi esimerkiksi nykyaikainen joukko-oppiin perustuva funktion eli kuvauksen määritelmä. Sen jälkeen luvuissa 3–5 käsitellään klassista kardinaalilukujen, järjestystyyppien ja ordinaalien teoriaa. Luvussa 6, "Relaatiot järjestettyjen ja hyvin­järjestettyjen joukkojen välillä", Hausdorff muun muassa esittelee tärkeimmät omat järjestettyjä joukkoja koskevat tuloksensa.
"Pistejoukkoja" käsittelevissä, topologisissa kappaleissa kehitti ensimmäisenä systemaattisen topologisten avaruuksien teorian. Hänen esittämänsä topologisen avaruuden määritelmä perustui pisteen ympäristö­kannan käsitteeseen, ja hänen esittämäänsä topologisen avaruuden määritelmään kuului myös ehto, jonka mukaan avaruuden pisteillä on oltava pistevieraat ympäristöt. (Myöhemmin topologisen avaruuden käsitettä on laajennettu niin, että tätä ei välttämättä edellytetä, joskin monet tärkeimmät avaruudet toteuttavat myös tämän ehdon, jolloin niitä sanotaan Hausdorffin avaruuksiksi.) Hausforff kehitti teoriansa kattavana yhdistelmänä omista avaruuden käsitettä koskevista ajatuksistaan ja aikaisempien matemaatikkojen käyttämistä lähestymis­tavoista. Klassisen avaruuksia  \mathbb {R} ^{n} käsitelleen piste­joukkojen teorian käsitteitä ja teoreemoja laajennettiin yleisempään tapaukseen siinä määrin kuin mahdollista, ja niistä tuli uuden osa uutta joukko-opillista topologiaa. Mutta Hausdorff ei suorittanut vain tätä "käännöstyötä" vaan kehitti myös topologian keskeiset konstruktio­menetelmät kuten joukon sisäosan ja sulkeuman käsitteet sekä korosti "alueeksi" nimittämänsä avoimen joukon käsitteen samoin kuin Fréchet'n esittämän kompaktiuden käsitteen perustavaa merkitystä topologiassa. Hän myös perusti yhtenäisten avaruuksien teorian ja otti käyttöön termit "komponentti" ja "kvasikomponentti".
Hausdorffin ensimmäisen ja myöhemmin myös toisen numeroituvuusaksiooman myötä voitiin ottaa käsiteltäviksi erilaisia avaruuksia. Yhden laajan luokan, joka toteuttaa ensimmäisen numeroituvuusaksiooman, muodostavat metriset avaruudet. Ne oli Fréchet jo vuonna 1906 ottanyt käyttöön nimellä "luokat (E)". Nimen "metrinen avaruus" niille kuitenkin antoi vasta Hausdorff. Periaatteet-teoksessaan hän kehitti metristen avaruuksien teoriaa ja rikastutti sitä järjestelmällisesti uusilla käsitteillä kuten Hausdorffin metriikka sekä täydelliset, täysin rajoitetut,  \rho -konnektiiviset ja redusoituvat avaruudet. Fréchet’n työ oli jäänyt vähälle huomiolle, ja vasta Hausdorffin Principles teki metriset avaruudet matemaatikkojen keskuudessa yleisemmin tunnetuiksi.
Kuvauksia käsittelevä luku sekä mitta- ja integrointiteoriaa käsittelevä viimeinen luku ovat sisällöltään hyvin yleisiä ja niissä Hausdorff käytti omintakeista esitystapaa. Tässä yhteydessä hän mainitsi lyhyesti, että mittateoria on tärkeä myös toden­näköisyys­laskennan kannalta. Lyhyydestään huolimatta tämä maininta sai sittemmin suuren historiallisen merkityksen. Tässä kappaleessa esiintyy myös ensimmäinen korrekti todistus Émile Borelin esittämälle vahvalle suurten lukujen laille. Kirjan liitteessä on vielä koko teoksen erikoisin tulos, nimittäin Hausdorffin lause, jonka mukaan tilavuutta ei voida määritellä kaikille  \mathbb {R} ^{n}:n rajoitetuille osajoukoille, kun  n\geq 3. Sen todistus perustuu valinta-aksioomaan, jonka nojalla Hausdorff osoitti, miten pallo voidaan jakaa osiin paradoksaalisella tavalla.
1900-luvulla tuli standardikäytännöksi perustaa matemaattiset teoriat aksiomaattiseen joukko-oppiin. Aksiomaattisesti perustetut yleistetyt teoriat, kuten yleinen topologia, tekivät muun muassa mahdolliseksi osoittaa, että useinkin aivan eriluontoisina pidetyillä matematiikan aloilla oli yhteinen strukturaalinen perusta, jonka varaan voitiin rakentaa abstrakti teoria, johon ne kaikki sisältyivät erikoistapauksina. Näin sama todistus saattoi ratkaista useita näennäisesti hyvinkin erilaisia kysymyksiä. Hausdorff itse korosti tätä näkökohtaa Perusteissaan. Topologiaa käsittelevä kappale peruskäsitteineen oli metodiltaan uraauurtava ja viitoitti tietä nykyaikaisen matematiikan kehitykselle.
Joukko-opin perusteet ilmestyi vähän ennen ensimmäistä maailmansotaa kansainvälisen tilanteen jo kiristettyä. Sota syttyi elokuussa 1914 ja vaikutti Euroopassa myös tieteelliseen elämään. Näissä oloissa Hausdorffin teoksella ei ollut kovinkaan suurta vaikutusta ensimmäisten viiden tai kuuden vuoden aikana sen ilmestymisestä. Sodan jälkeen nuorten tutkijoiden uusi sukupolvi otti käsittelyynsä monet Hausdorffin teoksessaan esittämät konjektuurit, ja topologia nousi epäilemättä huomion polttopisteeseen.  Puolassa vuonna 1920 perustettu aikakauskirja Fundamenta Mathematicae sai erityisen merkityksen Hausdorffin ajatusten julkaisijana. Se oli yksi ensimmäisistä matemaattisista aikakauskirjoista, joka kiinnitti erityistä huomiota joukko-oppiin, topologiaan, reaalifunktioiden teoriaan, mitta- ja integrointiteoriaan, funktionaalianalyysiin, logiikkaan ja matematiikan perusteisiin. Yleinen topologia nousi tässä yhteydessä erityisen suuren huomion kohteeksi. Hausdorffin teokseen viitattiin Fundamenta Mathematicaen ensimmäisessä niteessä huomattavan monta kertaa. Siinä vuosina 1920–1933 julkaisuista 558 tutkielmasta 88:ssa viitataan Joukko-opin perusteisiin (Hausdorffin omat kolme tutkielmaa eivät ole luvussa mukana). Lisäksi on otettava huomioon, että Hausdorffin teoriat tulivat yleisesti tunnetuiksi niin, että niitä käytettiin hyväksi myös useissa tutkielmissa, joissa niihin ei suoraan viitata.
Paul Alexandroffin ja Paul Urysohnin perustama venäläinen topologinen koulukunta rakentui vahvasti Hausdorffin Joukko-opin perusteiden varaan. Tämän osoittaa Hausdorffin jäämistössä säilynyt hänen ja Urysohnin välinen kirjeenvaitho sekä erityisesti Alexandroffin ja Urysohnin Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, kokonaisen kirjan laatuinen kaksiosainen artikkeli, jossa Urysohn kehitti dimensioteoriaa ja jossa Hausdorffin Perusteisiin viitataan peräti 60 kertaa.
Vielä kauan toisen maailmansodan jälkeenkin Hausdorffin kirjalla oli suuri kysyntä, ja siitä otettiin Chelseassa uusintapainokset vuosina 1949, 1965 ja 1978.