Integrointi moniulotteisessa avaruudessa
Käytännön sovelluksia

Funktion 



f
:
D
→

R



{\textstyle f:D\to \mathbb {R} }

, missä 



D
⊂


R


2




{\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}

 on rajoitettu joukko, ja 



x
y


{\textstyle xy}

-tason väliin jäävä tilavuus on
V=\iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A
Kolmiulotteisen kappaleen, jota rajoittaa avaruus 



A
⊂


R


3




{\textstyle A\subset \mathbb {R} ^{3}}

, massa saadaan kolminkertaisella integraalilla
m=\iiint _{A}\rho (x,y,z)\,\mathbb {d} V,
missä 



ρ
(
x
,
y
,
z
)


{\textstyle \rho (x,y,z)}

 on kappaleen tiheys pisteessä 



(
x
,
y
,
z
)
∈
A


{\textstyle (x,y,z)\in A}

.
Jos 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa siten, että 



z
=
f
(
x
,
y
)


{\textstyle z=f(x,y)}

 on rajoitettu ja jatkuva funktio sekä 



(
x
,
y
)
∈
D


{\textstyle (x,y)\in D}

, missä 



D
⊂


R


2




{\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}

 on rajoitettu joukko, niin pinnan 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 pinta-ala on:
A=\iint _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} A
Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma 



ρ
(
x
,
y
,
z
)


{\textstyle \rho (x,y,z)}

 alueessa 



B
⊂


R


3




{\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{3}}

, massakeskipiste 



(

x

0


,

y

0


,

z

0


)


{\textstyle (x_{0},y_{0},z_{0})}

 määritetään kaavoilla:
{\begin{cases}x_{0}=\displaystyle {{\frac {1}{m}}\iiint _{B}x\rho \,\mathrm {d} V}\\y_{0}=\displaystyle {{\frac {1}{m}}\iiint _{B}y\rho \,\mathrm {d} V}\\z_{0}=\displaystyle {{\frac {1}{m}}\iiint _{B}z\rho \,\mathrm {d} V},\end{cases}}
missä 



m
=

∭

B


ρ
(
x
,
y
,
z
)


d

V


{\textstyle m=\iiint _{B}\rho (x,y,z)\,\mathrm {d} V}

 on kappaleen kokonaismassa. Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori 







r
→




0


=

x

0



i

+

y

0



j

+

z

0



k



{\textstyle {\vec {r}}_{0}=x_{0}\mathbf {i} +y_{0}\mathbf {j} +z_{0}\mathbf {k} }

 on
{\vec {r}}_{0}={\frac {1}{m}}\iiint _{B}\rho {\vec {r}}\,\mathrm {d} V,
missä 






r
→



=
x

i

+
y

j

+
z

k

∈


R


3




{\textstyle {\vec {r}}=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \in \mathbb {R} ^{3}}

.
Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma 



ρ
(
x
,
y
,
z
)


{\textstyle \rho (x,y,z)}

 alueessa 



B
⊂


R


3




{\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{3}}

, hitausmomentti pyörimisakselin 



L


{\textstyle L}

 suhteen on
I=\iiint _{B}r^{2}\,\mathrm {d} m=\iiint _{B}r^{2}\rho \,\mathrm {d} V,
missä 



r


{\textstyle r}

 on differentiaalisen massaelementin 




d

m
=
ρ


d

V


{\textstyle \mathrm {d} m=\rho \,\mathrm {d} V}

 etäisyys pyörimisakselista 



L


{\textstyle L}

.
Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma 



ρ
(
x
,
y
,
z
)


{\textstyle \rho (x,y,z)}

 alueessa 



B
⊂


R


3




{\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{3}}

, hitaussäde pyörimisakselin 



L


{\textstyle L}

 suhteen on
r_{\text{g}}={\sqrt {\frac {I}{m}}}={\sqrt {\frac {\iiint _{B}r^{2}\rho \,\mathrm {d} V}{\iiint _{B}\rho \,\mathrm {d} V}}}.
Suorakulmion 



D


{\textstyle D}

 (tummennettu alue) ositus pienemmiksi suorakulmioiksi 




R

i
j




{\textstyle R_{ij}}

, missä 



1
≤
i
≤
m


{\textstyle 1\leq i\leq m}

 ja 



1
≤
j
≤
n


{\textstyle 1\leq j\leq n}

.
Suorakulmio 




R

i
j




{\textstyle R_{ij}}

 muodostaa suorakulmaisen laatikon pohjan. Laatikon korkeus on 



z
=
f
(

x

i
j


∗


,

y

i
j


∗


)


{\textstyle z=f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})}

. Riemannin summa on kaikkien näiden laatikoiden tilavuuksien summa.
Integrointialue 



A


{\textstyle A}

 on suorakulmion 



I


{\textstyle I}

 osajoukko.
Alue 



D


{\textstyle D}

 on säännöllinen 



y


{\textstyle y}

-suunnassa, muttei 



x


{\textstyle x}

-suunnassa. Alue 



E


{\textstyle E}

 on säännöllinen 



x


{\textstyle x}

-suunnassa, muttei 



y


{\textstyle y}

-suunnassa.
Integroitaessa 



y


{\textstyle y}

-suunnassa säännöllisen alueen yli funktion 



z
=
f
(
x
,
y
)


{\textstyle z=f(x,y)}

 kuvaajan ja 



x
y


{\textstyle xy}

-tason väliin jäävä alue ''viipaloidaan'' 



x


{\textstyle x}

-akselia vastaan kohtisuorasti.
Alue 



D


{\textstyle D}

 on yksinkertainen sekä 



x


{\textstyle x}

- että 



y


{\textstyle y}

-suunnissa.
Koordinaatistomuunnoksessa
 {\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases}}

suorat 



u
=

u

0




{\textstyle u=u_{0}}

 ja 



v
=

v

0




{\textstyle v=v_{0}}

 kuvautuvat käyriksi

 {\begin{cases}x=x(u_{0},v)\\y=y(u_{0},v)\end{cases}} ja  {\begin{cases}x=x(u,v_{0})\\y=y(u,v_{0})\end{cases}}




x
y


{\textstyle xy}

-tasossa. Piste 



(

u

0


,

v

0


)


{\textstyle (u_{0},v_{0})}

 kuvautuu pisteeksi 



(

x

0


,

y

0


)


{\textstyle (x_{0},y_{0})}

.
Sama integrointialue kuvattuna vasemmalla karteesisilla koordinaateilla ja oikealla napakoordinaateilla