stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Kategoriateoria
Funktorit

Myös kategoriat muodostavat kategorian, jonka morfismeina ovat funktorit.
Olkoot  {\mathcal {C}} ja  {\mathcal {D}} kategorioita. Funktori  F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}} kategoriasta  {\mathcal {C}} kategoriaan  {\mathcal {D}} koostuu seuraavista kuvauksista:
jokaiselle objektille  A\in {\mathcal {C}}, objekti  F(A)\in {\mathcal {D}}, ja
jokaiselle  {\mathcal {C}}:n morfismille  f:A\rightarrow B kategorian  {\mathcal {D}} morfismi  F(f):F(A)\rightarrow F(B),
jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot:
identiteetin säilytys: jokaiselle objektille  A\in {\mathcal {C}} pätee  F(id_{A})=id_{F(A)}, ja
yhdisteen säilytys: jokaiselle  {\mathcal {C}}:n morfismiparille  f:A\rightarrow B ja  g:B\rightarrow C pätee  F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).
Funktorit > Erityisiä funktoreita

Olkoon  F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}} funktori. Määritellään jokaiselle objektiparille  A,B\in {\mathcal {C}} kuvaus  F_{A,B}:{\mathcal {C}}(A,B)\rightarrow {\mathcal {D}}(FA,FB) siten että  f\mapsto F(f). Funktori  F on
täysi mikäli jokaiselle objektiparille  A,B\in {\mathcal {C}}, kuvaus  F_{A,B} on surjektio,
uskollinen mikäli jokaiselle objektiparille  A,B\in {\mathcal {C}}, kuvaus  F_{A,B} on injektio,
täysin uskollinen mikäli se on sekä täysi että uskollinen,
oleellisesti surjektio objekteille mikäli jokaiselle objektille  X\in {\mathcal {D}} on olemassa objekti  Y\in {\mathcal {C}} siten että  F(Y) ja  X ovat isomorfisia.
Funktorit > Esimerkkejä

Mille tahansa (ei tyhjille) kategorioille  {\mathcal {C}} ja  {\mathcal {D}} sekä objektille  B\in {\mathcal {D}} voidaan määritellä vakiofunktori  \Delta _{B}:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}, jonka arvo kaikilla  {\mathcal {C}}:n objekteilla on  B ja kaikilla  {\mathcal {C}}:n morfismeilla  id_{B}.
Luonnolliset muunnokset

Kahden kategorian väliset funktorit voidaan niin ikään järjestää kategoriaksi. Morfismeiksi tarvitaan tällöin luonnolliset muunnokset. Itse asiassa Eilenbergin ja Mac Lanen alkuperäinen motivaatio oli algebrallisessa topologiassa käytettyjen "luonnollisten" kuvausten täsmällinen määritelmä, jota varten he määrittelivät sekä kategoriat että funktorit.
Olkoot  F,G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}} funktoreita. Luonnollinen muunnos  \eta :F\rightarrow G koostuu  {\mathcal {D}}:n morfismista  \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X) jokaiselle  {\mathcal {C}}:n objektille  X, siten että jokaiselle  {\mathcal {C}}:n morfismille  f:X\rightarrow Y pätee  G(f)\circ \eta _{X}=\eta _{Y}\circ F(f). Toisin sanottuna jokaiselle morfismille  f:X\rightarrow Y kaavio
on kommutatiivinen.
Luonnollisesta muunnoksesta käytetään myös suomenkielistä nimeä luonnollinen transformaatio (engl. natural transformation).
Yksittäistä morfismia  \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X), joka on osa luonnollista muunnosta, kutsutaan  \eta :n komponentiksi, tai täsmällisemmin  X-komponentiksi.
Luonnollista muunnosta, jonka jokainen komponentti on isomorfismi, kutsutaan luonnolliseksi isomorfismiksi. Luonnolliset isomorfismit ovat isomorfismeja kategoriassa, jonka muodostavat kahden kategorian väliset funktorit sekä näiden väliset luonnolliset muunnokset.
Kategorioiden ekvivalenssi

Koska (pienet) kategoriat ja funktorit muodostavat (suuren) kategorian, isomorfismin määritelmä pätee myös funktoreille. Kategorioiden isomorfisuus yhtenevyyden mittana on kuitenkin useissa tilanteissa liian tiukka, sillä se sivuuttaa sen faktan, että kategorioiden kategoriassa jokainen objekti omaa kategorian rakenteen. "Oikeampi", tai ainakin käytännällisempi, yhtenevyyden mitta onkin kategorioiden ekvivalenssi, joka muistuttaa muodoltaan  topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssia.
Olkoot  {\mathcal {C}} ja  {\mathcal {D}} kategorioita. Tällöin kategorioiden  C ja  {\mathcal {D}} ekvivalenssi koostuu seuraavista:
funktori  F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}},
funktori  G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}},
luonnollinen isomorfismi  \eta :id_{\mathcal {C}}\rightarrow GF,
luonnollinen isomorfismi  \varepsilon :FG\rightarrow id_{\mathcal {D}}.
Rajat ja korajat > Kaaviot ja kartiot

Olkoon  \mathbf {I}  pieni kategoria. Tällöin funktoria  F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}} kutsutaan  \mathbf {I} :n muotoiseksi kaavioksi kategoriassa  {\mathcal {C}}. Kategoriaa  \mathbf {I}  kutsutaan kaavion indeksikategoriaksi.
Kaavion  F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}} kartio on luonnollinen muunnos  \psi :\Delta _{N}\rightarrow F. Objektia  N kutsutaan kartion kärjeksi ja luonnollisen muunnoksen komponentteja  \psi _{X}:C\rightarrow F(X) kartion särmiksi. Yksityiskohtaisesti kartio koostuu siis objektista  N\in {\mathcal {C}} ja kokoelmasta morfismeja  \psi _{X}:N\rightarrow F(X) jokaiseen objektin  X\in \mathbf {I}  kuvaan, siten että jokaiselle  \mathbf {I} :n morfismille  f:X\rightarrow Y kaavio
on kommutatiivinen.
Merkitään  (N,\psi ) kartiota, jonka kärki on  N ja luonnollinen muunnos  \psi . Määritellään kartiomorfismi kartiosta  (N,\psi ) kartioon  (M,\mu ) morfismina  h:N\rightarrow M siten että  \mu \circ \Delta _{h}=\psi , jossa  \Delta _{h}:\Delta _{N}\rightarrow \Delta _{M} on vakio luonnollinen muunnos, jonka jokainen komponentti on  h. Yksityiskohtaisesti ehto, jonka  h:n pitää toteuttaa ollakseen kartiomorfismi  (N,\psi )\rightarrow (M,\mu ) on: jokaiselle objektille  X\in \mathbf {I}  pätee  \mu _{X}\circ h=\psi _{X}. Jokaisen kaavion  F kartiot ja kartiomorfismit muodostavat kategorian, jota merkitään  Cone(F) ja jota kutsutaan kaavion  F kartiokategoriaksi.
Rajat ja korajat > Rajat

Raja voidaan määritellä hyvin lyhyesti kartiokategorian avulla: kaavion  F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}} raja on kategorian  Cone(F) loppuobjekti. Huomataan, että kaikilla kaavioilla ei välttämättä ole rajaa, sillä kartiokategoriassa ei välttämättä ole loppuobjektia. Tästä määritelmästä seuraa, että raja on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.
Koska yllä annettu rajan määritelmä on hyvin tiivis, rajan käsitteen merkitys ei välttämättä avaudu siitä. Näin ollen annetaan seuraavaksi yksityiskohtaisempi, mutta yhtäpitävä määritelmä. Olkoon  F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}} kaavio. Tällöin  F:n raja koostuu objektista  L\in {\mathcal {C}} sekä kokoelmasta morfismeja  \phi _{X}:L\rightarrow F(X) jokaiselle objektille  X\in \mathbf {I}  siten että  (L,\phi ) muodostavat kartion (eli jokaiselle  \mathbf {I} :n morfismille  f:X\rightarrow Y alla olevan kaavion sisempi kolmio on kommutatiivinen), ja kartio  (L,\phi ) on lisäksi universaali tämän ominaisuuden suhteen: mikäli  N on  {\mathcal {C}}:n objekti ja  \psi _{X}:N\rightarrow F(X) on morfismi jokaiselle objektille  X\in \mathbf {I}  siten että  (N,\psi ) on kartio (eli jokaiselle  \mathbf {I} :n morfismille  f:X\rightarrow Y alla olevan kaavion ulompi kolmio on kommutatiivinen), niin tällöin on olemassa yksikäsitteinen morfismi  u:N\rightarrow L siten että jokaiselle objektille  X\in \mathbf {I}  pätee  \phi _{X}\circ u=\psi _{X}, eli toisin sanottuna kaavio
on kommutatiivinen.
Rajat ja korajat > Kokartiot ja korajat

Kaavion  F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}} kokartio on kaavion  F^{op}:\mathbf {I} ^{op}\rightarrow {\mathcal {N}}^{op} kartio, eli luonnollinen muunnos  \psi :F\rightarrow \Delta _{N}. Samoin kuin kartiolle, objektia  N\in {\mathcal {C}} kutsutaan kokartion kärjeksi ja komponentteja  \psi _{X}:F(X)\rightarrow N särmiksi, ja kokartiota merkitään  (N,\psi ). Kokartiomorfismi kokartiosta  (N,\psi ) kokartioon  (M,\mu ) on morfismi  h:N\rightarrow M siten että  \mu =\Delta _{h}\circ \psi . Merkitään kaavion  F kokartioiden ja kokartiomorfismien kategoriaa  Cocone(F). Tällöin kaavion  F koraja on kategorian  Cocone(F) alkuobjekti, mikäli se on olemassa.
Yksityiskohtaisesti, kaavion  F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}} koraja on kokartio  (L,\phi ) siten että mille tahansa kokartiolle  (N,\psi ) on olemassa yksikäsitteinen morfismi  u:L\rightarrow N, joka jokaiselle  \mathbf {I} :n morfismille  f:X\rightarrow Y tekee kaaviosta
kommutatiivisen.
Rajat ja korajat > Esimerkkejä

Esimerkkejä rajoista:
loppuobjekti on tyhjän kaavion raja,
joukkojen ja funktioiden kategoriassa loppuobjekti (eli tyhjän kaavion raja) on täsmälleen yhden alkion sisältävä joukko,
osittain järjestetyssä joukossa loppuobjekti on suurin alkio;
binäärinen tulo on sellaisen diskreetin kaavion raja, jossa on täsmälleen kaksi objektia,
joukkojen ja funktioiden kategoriassa binäärinen tulo on (vailla yksikäsitteistä isomorfismia) kahden joukon karteesinen tulo,
osittain järjestetyssä joukossa binäärinen tulo on kahden alkion infimum.
Esimerkkejä korajoista:
alkuobjekti on tyhjän kaavion koraja,
joukkojen ja funktioiden kategoriassa alkuobjekti (eli tyhjän kaavion koraja) on tyhjä joukko,
osittain järjestetyssä joukossa alkuobjekti on pienin alkio;
binäärinen kotulo on sellaisen diskreetin kaavion koraja, jossa on täsmälleen kaksi objektia,
joukkojen ja funktioiden kategoriassa binäärinen kotulo on (vailla yksikäsitteistä isomorfismia) kahden joukon erillinen yhdiste,
osittain järjestetyssä joukossa binäärinen kotulo on kahden alkion supremum.
Rajat ja korajat > Täydellisyys ja kotäydellisyys

Kategorian  {\mathcal {C}} sanotaan omaavan  \mathbf {I} :n muotoiset (ko)rajat mikäli millä tahansa  \mathbf {I} :n muotoisella kaaviolla on (ko)raja  {\mathcal {C}}:ssä. Kategoria on (ko)täydellinen mikäli se omaa  \mathbf {I} :n muotoiset (ko)rajat jokaiselle indeksikategorialle  \mathbf {I} . Kategoria on äärellisesti (ko)täydellinen mikäli se omaa  \mathbf {I} :n muotoiset (ko)rajat jokaiselle äärelliselle indeksikategorialle  \mathbf {I} .
Hom-funktorit ja Yonedan lemma > Esilyhteet

Kategorian  {\mathcal {C}} esilyhde on funktori  {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set} . Esilyhteet ja niiden väliset luonnolliset muunnokset muodostavat kategorian, jota merkitään  \left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]. Mikäli  {\mathcal {C}} on jonkin  topologisen avaruuden  avointen joukkojen osittaisjärjestys, niin tämä esilyhteen määritelmä vastaa  algebrallisen topologian joukkojen  esilyhteen määritelmää.
Hom-funktorit ja Yonedan lemma > Hom-funktorit

Olkoon  {\mathcal {C}} lokaalisti pieni kategoria ja olkoon  A\in Obj({\mathcal {C}}). Määritellään esilyhde  \mathbf {y} _{A}:{\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set}  seuraavasti: jos  X ja  Y ovat  {\mathcal {C}}:n objekteja ja  f:X\rightarrow Y morfismi, niin
jossa  -\circ f:C(Y,A)\rightarrow C(X,A) on funktio  g\mapsto gf.
Esilyhdettä  \mathbf {y} _{A} kutsutaan  A:n (kontravariantiksi) hom-funktoriksi.
Hom-funktorit ja Yonedan lemma > Yonedan upotus

Sillä hom-funktori  \mathbf {y} _{A} on määritelty mille tahansa lokaalisti pienen kategorian  {\mathcal {C}} objektille  A, tämä määrittää kuvauksen
Laajennetaan kyseinen kuvaus funktoriksi
määrittelemällä jokaiselle morfismille  h:A\rightarrow B luonnollinen muunnos  \mathbf {y} (h):=h\circ -:\mathbf {y} _{A}\rightarrow \mathbf {y} _{B}, jonka  X-komponentti on funktio  h\circ -:{\mathcal {C}}(X,A)\rightarrow {\mathcal {C}}(X,B), joka kuvaa  g\mapsto hg.
Funktoria  \mathbf {y}  kutsutaan  {\mathcal {C}}:n Yonedan upotukseksi. Termin  upotus käyttö on perusteltua, sillä yksi Yonedan lemman (ks. alla) seurauksista on Yonedan upotuksen täysi uskollisuus. Näin ollen mikä tahansa lokaalisti pieni kategoria voidaan upottaa sen esilyhteiden kategoriaan; toisin sanottuna on olemassa esilyhteiden kategorian alakategoria, joka on isomorfinen sen kanssa.
Hom-funktorit ja Yonedan lemma > Yonedan lemma

Hom-funktoreiden erityistä asemaa esilyhteiden kategoriassa kuvastaa Yonedan lemma.
Lause. Olkoon  {\mathcal {C}} lokaalisti pieni kategoria. Tällöin on olemassa isomorfismi
joka on luonnollinen sekä objektin  A\in Obj({\mathcal {C}}) että esilyhteen  F:{\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set}  suhteen.
Korollaari. Yonedan upotus on täysi ja uskollinen.
Korollaari. Olkoon  {\mathcal {C}} lokaalisti pieni kategoria. Tällöin kaikille objekteille  A,B\in {\mathcal {C}} pätee:
Liittofunktorit > Määritelmä morfismijoukkojen isomorfismin kautta

Olkoot  {\mathcal {C}} ja  {\mathcal {D}} lokaalisti pieniä kategorioita, ja  F:{\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}:G vastakkaisiin suuntiin osoittavien funktoreiden pari. Tällöin sanotaan, että  F on funktorin  G vasen liittofunktori (ja vastaavasti  G on  F:n oikea liittofunktori) mikäli on olemassa luonnollinen isomorfismi  {\mathcal {D}}(F(C),D)\simeq {\mathcal {C}}(C,G(D)). Isomorfismin luonnollisuus voidaan ilmaista eksplisiittisemmin seuraavasti. Merkitään sekä isomorfismia että sen käänteismorfismia viivalla, eli:
Tällöin luonnollisuusehto on yhtäpitävä seuraavan ehdon kanssa: kaikille  {\mathcal {C}}:n morfismeille  C'\xrightarrow {g} C\xrightarrow {h} G(D) sekä  {\mathcal {D}}:n morfismeille  F(C)\xrightarrow {f} D\xrightarrow {k} D' pätee
Yllä määriteltyä tilannetta merkitään  F\dashv G.
Liittofunktorit > Määritelmä yksikön ja koyksikön kautta

Oletetaan, että on olemassa luonnollinen muunnos  \eta :id_{\mathcal {C}}\rightarrow GF sekä luonnollinen muunnos  \varepsilon :FG\rightarrow id_{\mathcal {D}}. Tällöin  (F,G,\eta ,\varepsilon ) on liitto mikäli molemmat kaaviot
kommutoivat.
Lause.  (F,G,\eta ,\varepsilon ) on liitto jos ja vain jos  F on  G:n vasen liittofunktori. Tällöin liitto määrää morfismijoukkojen isomorfismin yksikäsitteisesti, ja käänteisesti, morfismijoukkojen isomorfismi määrää yksikön ja koyksikön yksikäsitteisesti.
Liittofunktorit > Esimerkkejä

Unohdusfunktorilla  U:\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}  on sekä vasen että oikea liittofunktorit:  D\dashv U\dashv I, jossa vasen liittofunktori määrittelee jokaiselle joukolle  diskreetin topologian, ja oikea liittofunktori  indiskreetin topologian.
Unohdusfunktorilla  U:\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}  on vasen liittofunktori, joka määrittelee jokaiselle joukolle sen virittämän  vapaan ryhmän.
Jos  P ja  Q ovat  osittain järjestettyjä joukkoja ja  F:P\leftrightarrows Q:G funktoreita (eli järjestyksen säilyttäviä funktioita), niin  F\dashv G jos ja vain jos kaikille alkioille  p\in P ja  q\in Q pätee:
Funktorit, jotka muodostavat kategorioiden ekvivalenssin, ovat aina liittofunktoreita.
Sovelluksia

Matematiikan ulkopuolella kategoriateoriaa on hyödynnetty eniten teoreettisen tietojenkäsittelytieteen alalla. Esimerkiksi Haskell-ohjelmointikielen voidaan ajatella melkein muodostavan kategorian. Laajemmin ottaen, tarpeeksi abstraktilla tasolla mikä tahansa funktionaalinen ohjelmointikieli voidaan ajatella kategoriana.
Sovellukset pyrkivät usein teorioiden yhdenmukaistamiseen, yksinkertaistamiseen sekä oleellisimpien aspektien esille tuomiseen. Tavoitteena saattaa olla myös informaation, tiedon ja käytänteiden siirron helpottaminen eri alojen välillä. Esimerkiksi samoja matemaattisia rakenteita hyödyntäviä kategoriateoreettisia malleja on kehitetty sekä  kvanttilaskennan että  luonnollisen kielen käsittelyn tarpeisiin.
Monissa sovelluksissa lähtökohtana on monoidaalinen kategoria, eli kategoria  {\mathcal {C}}, jolle on olemassa funktori  \otimes :{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}, joka toteuttaa tietyt ehdot. Siinä missä tavallinen kategoria sallii prosessien (morfismien) peräkkäisen yhdistämisen, monoidaalinen kategoria sallii tämän lisäksi prosessien yhdistämisen suuremmaksi kokonaisuudeksi, siten että prosesseilla voi olla vaihteleva määrä syöttöjä (lähtöobjekteja) ja tulosteita (engl. output) (maalibjekteja). Esimerkiksi  kvanttiteoriasta sekä kemiallisia reaktioita mallintavista  Petri-verkoista on kehitetty matemaattisia malleja, jotka hyödyntävät monoidaalisia kategorioita.
Biologi  Robert Rosen on ehdottanut, että kategoriateorian metodit soveltuvat  relaatiobiologian tarpeisiin. Osittain Rosenin ajatuksiin perustuen, kategoriateoriaan nojaavaa mallia on ehdotettu biologisten organismien hierarkkisen järjestyksen hahmottamiseen.
Esimerkki kommutatiivisesta kaaviosta. Kommutatiivisuus tarkoittaa tässä tapauksessa, että  hf=kg.
Luonnollisen muunnoksen määrittelevä kommutatiivinen kaavio.
Kaavion  F(\mathbf {I} ) rajaa ja korajaa havainnollistava piirros.
Kartion määrittelevä kommutatiivinen kaavio.
Rajan määrittelevä universaalimorfismi.
Korajan määrittelevä universaalimorfismi.
Liittofunktoreiden yksikön ja koyksikön määrittelevät kommutatiiviset kaaviot.
Stephanie Kelton

Stephanie Kelton
Stephanie Kelton (s. 1969) on yhdysvaltalainen ekonomisti ja yhteiskuntapolitiikan ja talouden professori Stony Brook University -yliopistossa New Yorkissa. Hän toimi aiemmin talouden professorina University of Missouri–Kansas City -yliopistossa Missourissa, Yhdysvaltain senaatin budjettikomitean 2015 vähemmistöpuolueen henkilöstön pääekonomistina ja talous-neuvonantajana Bernie Sandersin vuoden 2016 presidentinvaalikampanjassa. Hän on New Economic Perspectives -blogin perustaja ja päätoimittaja. Kelton on Modern Monetary Theory -talousteoriasuuntauksen johtava puolestapuhuja ja hänet nimettiin Politico-lehden "50 ajattelijaa, tekijää ja visionääriä jotka muuttavat Amerikkalaista politiikkaa vuonna 2016" -listauksessa sijalle 44. Kelton kannattaa Alexandria Ocasio-Cortezin Green New Deal -aloitetta.
Stephanie Kelton on jäsen WHO:n "Council on the Economics of Health For All " neuvostossa. Sanna Marin on tämän WHO:n neuvoston suojelija.
Teoksia

Kelton, Stephanie: Alijäämämyytti: Modernin rahateorian mahdollisuudet (The Deficit Myth, suomentanut Maarit Tillman-Leino, esipuhe Antti Ronkainen)  [Helsinki]: Into, 2023. ISBN 978-952-393-040-7
Dokumenttielokuvia

Federico Greco & Adriano Cutraro & Mirko Melchiorre: PIIGS – Or How I Learned to Worry and Fight Austerity (2017)
Maren Poitras: Finding the Money (2023)
Aiheesta muualla

Stephanie Keltonin henkilökohtaiset kotisivut]
Stephanie Kelton explains Modern Money Theory (englanniksi) CNBC, 1.3.2019
What is MMT And How It Works w/ Stephanie Kelton (englanniksi) The Jimmy Dore Show -Youtube-kanava 12.10.2018
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Norja  Saksa  Israel  Yhdysvallat  Tšekki  Puola 
Henkilöt:  DDB 
Muut:  IdRef
Apatiitti

Apatiittikide (vihreä) maasälvässä. Näyte löydetty Quebecistä, Kanadasta.
Tyypillisiä apatiittikiteitä (vihreät).
Apatiitti on yleinen fosfaattimineraali ja tärkeä fosfaatin lähde. Apatiitti on yleisnimitys hydroksyyli-, fluori- ja klooriapatiiteille. Apatiitti koostuu pääasiassa kalsiumfosfaatista, mutta fluoriapatiitti (Ca5(PO4)3F) sisältää kalsiumfluoridia, klooriapatiitti (Ca5(PO4)3Cl) kalsiumkloridia, ja hydroksiapatiitti (Ca5(PO4)3(OH)) hydroksideja.
Fysikaaliset ominaisuudet

Apatiitin lohkeavuus vaihtelee heikosta eteväänselvennä, ja sen murros on simpukkamainen tai hauras. Apatiitilla on fluoresenssi, mutta hyvin vaihteleva. Apatiitin kidejärjestelmä on heksagoninen, ja kiteet ovat lyhyitä tai pitkiä pylväitä tai paksuja levyjä.
Apatiitin kidejärjestelmä on heksagoninen ja se on aina ollut helppo sekoittaa myös heksagoniseen, kuusikulmaisia kiteitä muodostavaan berylliin ja smaragdiin sekä muihin samankaltaisiin mineraaleihin. Apatiitti onkin saanut nimensä kreikan kielen petkuttamista tarkoittavasta sanasta.
Käyttö

Apatiittia käytetään paljon fosfaattilannoitteiden valmistuksessa käsittelemällä sitä rikkihapolla.
Apatiitti on hyvin arka hapoille (ei kuitenkaan liukene fluorivetyyn), naarmuuntumiselle ja kolhuille. Se on hyvin hauras ja sen Mohsin kovuus on vain 3–5. Sitä harvoin käytetään koruteollisuudessa, se onkin lähinnä teollisuusmineraali.
Esiintymät

Apatiittia esiintyy kaikkialla maailmassa, mutta Suomessa ainoa varsinainen esiintymä on Siilinjärven apatiittikaivos. Lisäksi sitä löytyy runsaasti muun muassa Lohjan Ojamon rautamalmista. Suurimmat ja mainittavimmat esiintyvät löytyvät ulkomailta. Näistä mainittavia ovat muun muassa Ylä-Burma, Brasilia, Ceylon, entisen Tšekkoslovakian alueet, Intia, Madagaskar, Meksiko ja Yhdysvallat.
Värimuunnokset

Apatiitit ovat yleensä vihreitä tai joskus ruskeita, mutta muut värimuunnokset ovat hyvin harvinaisia. Esimerkiksi kirkkaankeltaisia ja läpinäkyviä kiteitä on löydetty Durangosta Meksikosta; purppuranvärisiä Ehrenfriedersdorfista Saksasta; ja sinisiä Knappenwandista Itävallasta, Siperiasta Venäjältä, Mainen Auburnista Yhdysvalloista. Läpikuultavia keltaisia kiteitä on löytynyt myös Vesuviuksen tulivuoren purkausaukolta ja Piedmonteselta Italian Alpeilta. Muualta Alpeilta taas on löytynyt vihertävän harmaita ja sameanvalkoisia kiteitä.
Värimuunnokset > Kissansilmäapatiitti

Korukivikäyttöön soveltuvaa erittäin harvinaista kissansilmäapatiittia esiintyy Myanmarissa ja Brasiliassa. Niin sanotun kissansilmäilmiön aiheuttaa kiteen tasalaatuisuus. Kiteen erittäin ohuet kiteiden muodostamat yhdensuuntaiset kuidut ovat samansuuntaisia, ja valoa heijastaessaan saavat aikaan "kissansilmämäisen" viivamaisen hohteen.
Kissansilmäilmiö tulee parhaiten esiin hionnalla. Kide katkaistaan ja sen toinen pää hiotaan pyöreäksi, tai vaihtoehtoisesti koko kide hiotaan kuulaksi. Valmiiksi hiottua kiveä käännellessä pyöröhiottuun kiveen ilmestyy kapea vaalea raita, niin sanottu "kissansilmä", joka kääntyy kiveä liikuteltaessa.
Biogeeninen apatiitti

Selkärankaisten ja lonkerojalkaisten kovissa kudoksissa on biogeenista apatiittia. Tarkasti ottaen kyseessä ei ole apatiitti, vaan apatiitin kaltainen biogeeninen aine, jolla on sama kemiallinen koostumus ja kiderakenne kuin apatiitilla, sillä mineraalin määritelmän mukaisesti biogeeniset aineet eivät ole mineraaleja. Luettavuuden vuoksi tuosta aineesta käytetään tässä artikkelissa kuitenkin nimeä apatiitti.
Aikuisen ihmisen luiden massasta noin 70 % on apatiittia ja loput 30 % lähinnä proteiineja. Apatiitti esiintyy alle 100 nm kokoisina kiteinä. Vanhetessa sekä kiteiden koko että apatiitin osuus luissa kasvaa, mikä vähentää luiden kimmoisuutta ja tekee niistä hauraampia. Vastasyntyneellä lapsella osa kalsiumfosfaatista on amorfista, mutta amorfinen aine häviää vähitellen lapsen kasvaessa. Biogeeninen apatiitti on koostumukseltaan lähinnä hydroksyyliapatiittia.
Muita kudoksia, joissa ihmisellä esiintyy apatiittia, ovat rusto ja hammaskiille. Ruston massasta noin 5 % on apatiittia, kiilteen massasta puolestaan 96 %. Kiilteen apatiitin fluoripitoisuus on suurempi kuin muun biogeenisen apatiitin, mikä auttaa suojaamaan kiillettä kulumiselta.
Apatiitin kiteytyminen liittyy joihinkin sairauksiin. Pahanlaatuisten kasvainten yhteydessä on havaittu jopa 2 cm kokoisia apatiittikokkareita. Tuberkuloosipotilailla on puolestaan havaittu apatiittia keuhkoissa.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Apatiitti Wikimedia Commonsissa
Mindat: Apatite (englanniksi)
Mindat: Chlorapatite (englanniksi)
Mindat: Fluorapatite (englanniksi)
Mindat: Hydroxylapatite (englanniksi)
Webmineral: Apatite Mineral Data (englanniksi)
Violetteja apatiittikiteitä.
Hiottu sininen apatiitti.