Projektiivinen geometria
Tarkempi kuvaus

Projektiivinen geometria on vähemmän rajoittavaa kuin euklidinen tai affiini geometria. Se on oleellisesti ei-metristä geometriaa, jonka tulokset eivät riipu mistään metrisestä struktuurista. Projektiivisissa muunnoksissa insidenssistruktuuri ja projektiivinen harmoninen konjugaatti säilyvät. Sen yksiulotteisena perustana on pisteiden muodostama projektiivinen jono. Projektiivisessa geometriassa yksi perspektiivin perusperiaatteista muotoillaan näin: yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa äärettömyydessä, ja sen vuoksi ne piirretään niin tietyllä tavalla. Oleellisesti projektiivinen geometria voidaan käsittää euklidisen geo­metrian laajennukseksi, jossa jokaista keskenään yhden­suuntaisten suorien luokkaa kohti on lisätty yksi ylimääräinen "piste" ja jossa tason suoria tällä tavoin vastaavien pisteiden muodostamaa "horisonttia" käsitellään "suorana". Täten yhden­suuntaiset suorat leikkaavat toisensa jossakin horisontti­suoran pisteessä.
Idealisoituja suuntia sanotaan äärettömyydessä oleviksi pisteiksi, kun taas eri tasoja vastaavia horisontteja sanotaan äärettömyydessä oleviksi suoriksi. Kaikki tällaiset suorat taas sijaitsevat äärettömyydessä olevalla tasolla. Äärettömyys on kuitenkin metrinen käsite, joten puhtaasti projek­tiivinen geo­metria ei sulje pois mitään pisteitä – äärettömyydessä olevia käsitellään samalla tavoin kuin muitakin pisteitä.
Koska euklidinen geometria sisältyy projek­tiiviseen geo­metriaan mutta projek­tiivisella geo­metrialla on yksinkertaisempi perusta, euklidisen geometrian yleisiin tuloksiin voidaan päästä läpi­näkyvämmällä tavalla, kun taas eräitä euklidisessa geometriassa erillisiä mutta toisiaan muistuttavia teoreemoja voidaan projektiivisessa geometriassa käsitellä yhdessä. Esimerkiksi yhden­suuntaisia ja eri­suuntaisia suoria ei tarvitse käsitellä eri tapauksina – valitaan vain sopiva projektiivinen taso ideaali­tasoksi ja sijoitetaan se "äärettömyyteen" käyttämällä homogeenisia koordinaatteja.
Muita perustavan tärkeitä ominaisuuksia ovat Desarguesin lause ja Pappoksen kuusikulmiolause. Kolmi- tai useampiulotteisessa projektiivisessa avaruudessa on konstruktio, jolla Desarguesin lause voidaan todistaa. Mutta kahdessa ulottuvuudessa se on erikseen oletettava postulaattina.
Desarguesin lauseen ja muiden aksioomien avulla voidaan aritmetiikan perus­lasku­toimitukset määritellä geometrisesti. Näin määritellyt lasku­toimitukset toteuttavat kunnan aksioomat, kuitenkin siten, että kertolaskun vaihdannaisuus edellyttää Pappoksen lausetta. Täten minkä tahansa suoran pisteiden ja annetun kunnan F alkioiden välillä on bijektiivinen vastaavuus, kuitenkin siten, että kuntaan F on lisättävä yli­määräinen alkio ∞ siten, että
Lausekkeille  0/0, ∞/∞, ∞+∞, ∞−∞, 0∞ ja ∞0  ei kuitenkaan voida määritellä mitään arvoa.
Projektiivinen geometria sisältää myös täydellisen kartioleikkausten teorian, joka tosin oli voitu täysin kehittää myös euklidisen geometrian pohjalta. Selviä etuja saadaan kuitenkin sillä, että hyperbelin ja ellipsin voidaan ajatella eroavan toisistaan vain siten, että hyperbeli leikkaa äärettömyydessä olevien ideaali­pisteiden muodostaman suoran, ellipsi ei, kun taas paraabeli eroaa näistä molemmista vain siten, että tämä suora on sen tangentti. Jos homogeenisten koordinaattien sallitaan olla myös kompleksilukuja, voidaan lisäksi kaikki ympyrät käsittää kartio­leikkauksiksi, jotka kulkevat kahden äärettömyydessä olevan pisteen kautta. Koska koordinaatit eivät ole "synteettisiä", ne korvataan kiinnittämällä yksi suora ja kaksi sillä olevaa pistettä ja ottamalla tarkastelun perustaksi kyseisten pisteiden kautta kulkevien kartio­leikkausten muodostama lineaarinen systeemi. Tämä lähestymis­tapa kiinnosti suuresti lahjakkaita geometrikkoja, ja ala tutkittiin perin pohjin. Esimerkkinä tämän lähestymis­tavan käytöstä voidaan mainta H. F. Bakerin moniosainen teos.
Projektiivisia geo­metrioita on useita, ja ne voidaan jakaa diskreetteihin ja jatkuviin. Diskreetti geometria käsittää äärellisen tai äärettömän joukon erillisiä pisteitä, kun taas jatkuva geo­metria käsittää äärettömän joukon pisteitä ilman aukkoja niiden välissä.
Ainoa nolla­ulotteinen projektiivinen geometria käsittää vain yhden pisteen. Yksiulotteinen projektiivinen geometria käsittää vain yhden suoran, jossa on vähintään kolme pistettä. Aritmeettisten lasku­toimitusten geometrista konstruktiota ei kummassakaan näistä tapauksista voida suorittaa. Kahdessa ulottuvuudessa on rikas rakenne, mikä johtuu siitä, ettei Desarguesin lause ole voimassa.
Muun muassa Greenbergin (1999) mukaan yksin­kertaisin kaksi­ulotteinen projek­tiivinen geo­metria on Fanon taso, jossa on kaikkiaan seitsemän suoraa ja seitsemän pistettä, joista kolme jokaisella suoralla siten, että seuraavat pisteet sijaitsevat keskenään samalla suoralla:
[ABC]
[ADE]
[AFG]
[BDG]
[BEF]
[CDF]
[CEG]
missä pisteiden homogeeniset koordinaatit ovat A = (0,0,1), B = (0,1,1), C = (0,1,0), D = (1,0,1), E = (1,0,0), F = (1,1,1), G = (1,1,0), tai affiiniset koordinaatit A = (0,0), B = (0,1), C =(∞), D = (1,0), E = (0), F = (1,1) ja G = (1). 
Äärettömyydessä olevien pisteiden (tässä esimerkissä C, E ja G) affiinit koordinaatit Desarguesin lauseen toteuttavalla tasolla voidaan määritellä monella muullakin tavalla.
Standardimerkintä äärelliselle projektiiviselle geometrialle on PG(a, b), missä:
Niinpä edellä käsitelty geometria, jossa on seitsemän pistettä, merkitään pG(2,2).
Termillä "projektiivinen geometria" tarkoitetaan toisinaan alan perustana olevaa yleistä abstraktia geometriaa, toisinaan tiettyä, erityistä huomiota osakseen saavaa geometriaa, esimerkiksi taso­geometriaa, jota tutkitaan homogeenisten koordinaattien avulla ja johon euklidinen geometria voidaan upottaa, minkä vuoksi projek­tiivista tasoa kutsutaankin myös laajennetuksi euklidiseksi tasoksi.
Kaikille projektiivisille geometrioille yhteinen perustava ominaisuus on se elliptinen insidenssiominaisuus, että projektiivisella tasolla mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaa toisensa yhdessä ja vain yhdessä pisteessä. Sellaisetkin suorat, joita euklidisessa geometriassa käsitetään yhdensuuntaisiksi, leikkaavat toisensa eräässä pisteessä, ideaalipisteessä, jonka voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana. Kaikki tällaiset ideaali­pisteet muodostavat "äärettömän kaukaisen" suoran, mutta projek­tiivisessa geometriassa se käsitetään aivan samanlaiseksi kuin kaikki muutkin suorat eikä ole millään tavalla erikois­asemassa. Myöhemmässä Erlangenin ohjelmassa geometriset muunnokset muodostavat ryhmän, ja tällaisilla muunnoksilla mikä tahansa suora voidaan siirtää tämän "äärettömän kaukaisen" suoran paikalle.
Jos on annettu suora l ja piste P, joka ei ole suoralla l, tämä elliptinen geometria poikkeaa euklidisesta ja hyper­bolisesta geo­metriasta seuraavasti:
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Elliptinen |  : | jokainen P:n kautta kulkeva suora leikkaa suoran l yhdessä pisteessä |
| Euklidinen |  : | pisteen P kautta kulkee yksi suora, joka ei leikkaa suoraa l, kaikki muut leikkaavat sen kukin yhdessä pisteessä |
| Hyperbolinen |  : | pisteen P kautta kulkee useampi kuin yksi suora, joka ei leikkaa suoraa l |
Tämä elliptinen yhden­suuntais­ominaisuus johtaa projektiivisen dualiteetin periaatteeseen, joka ehkä kaikkien projektiivisten geo­metrioiden tärkein yhteinen piirre.