Noetherin teoreema
Historiallinen tausta

Fysikaaliset säilymis­lait sanovat, että systeemin kehityksen matemaattisessa kuvauksessa jokin suure X pysyy vakiona ajan kuluessa eli se on invariantti. Matemaattisesti X:n muutos­nopeus eli sen derivaatta ajan suhteen on nolla:
Sellaisten suureiden sanotaan säilyvän. Niitä sanotaan usein liikevakioiksi, vaikka ne eivät välttämättä liity liikkeeseen vaan voivat muullakin tavoin kuvata systeemin kehitystä ajan kuluessa. Esimerkiksi jos jonkin systeemin energia säilyy, sen energia on koko ajan yhtä suuri, mikä asettaa rajoituksia systeemin liikkeelle, ja tätä voidaan käyttää hyväksi systeemin kehitystä ennustettaessa. Sen lisäksi, millaisen näkemyksen tällaiset liike­vakiot antavat systeemin luonteesta, ne ovat hyödyllisiä laskennallisia apu­välineitä; esi­merkiksi liki­määräinen ratkaisu voidaan korjata löytämällä lähin tila, joka toteuttaa asiaan kuuluvat säilymislait.
Ensimmäiset tunnetut liikevakiot olivat liikemäärä ja energia, joita ehdottivat sellaisiksi 1600-luvulla törmäyskokeiden perusteella René Descartes ja Gottfried Leibniz ja joiden säilymisen ovat myöhemmät tutkijat vahvistaneet. Isaac Newton oli ensimmäinen, joka esitti liikemäärän säilymislain nykyisessä muodossa ja osoitti, että se on seuraus Newtonin kolmannesta laista eli voiman ja vasta­voiman laista. Yleisen suhteellisuus­teorian mukaan liikemäärän, energian ja liike­määrä­momentin säilymis­lait pitävät tarkkaan ottaen paikkansa vain, jos ne ilmaistaan jännitys-energia-tensorin (gravitaatioon liittymätön jännitys ja energia) sekä jännitys-energia-liikemäärä-pseudotensorin (gravitaatioon liittyvä jännitys-energia) avulla. Sen, että gravitaatioon liittymätön liike­määrä ja energia säilyvät vapaasti putoavassa vertailu­järjestelmässä, ilmaisee se seikka, että jännitys-energia-tensorin kovariantti divergenssi on nolla. Taivaan­mekaniikassa tärkeisiin säilyviin suureisiin kuuluu myös Laplacen-Rungen-Lenzin vektori.
Fyysikot kehittivät 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alussa järjestelmällisempiä keinoja invarianttien löytämiseksi. Suurta edistys­askelta merkitsi vuonna 1788 kehitetty Lagrangen mekaniikka, joka liittyy vähimmän vaikutuksen peri­aatteseen. Tässä lähestymis­tavassa systeemin tilaa voidaan kuvata millä tahansa yleisetyillä koordinaateilla q: liikelakeja ei tällöin tarvitse välttämättä esittää karteesi­silla koordi­naateilla, kuten Newtonin mekaniikassa oli tapana. Aktio eli vaikutus määritellään Lagrangen funktion L integraalina ajan suhteen
missä pilkku q:n yläpuolella merkitsee koordinaattien q muutosnopeutta ajan suhteen.
Hamiltonin periaate ilmoittaa, että systeemin todellinen liikerata q(t) on sellainen, että radan infinitesimaaliset muutokset eivät aiheuta muutosta aktioon I, ainakaan ensimmäisessä kerta­luvussa. Tämä periaate seuraa Eulerin-Lagrangen yhtälöistä,
Jos siis yksi koordinaateista, esimerkiksi qk, ei esiinny Lagrangen funktiossa, yhtälön oikea puoli on nolla ja vasemman puolen on oltava
missä liikemäärä
säilyy koko liikkeen ajan.
Jos siis koordinaatti qk voidaan pitää merki­tyksettö­mänä ja se puuttuu Lagrangen funktiosta, viimeksi mainittuun ei vaikuta qk:n muutokset. Lagrangen funktio on tällöin invariantti ja sillä sanotaan olevan fysikaalinen symmetria sellaisissa muutoksissa. Noetherin teoreema sai alkunsa tämän ajatuksen yleistyksenä.
Vaihtoehtoisia menetelmiä säilyvien suureiden löytämiseksi kehitti 1800-luvulla varsinkin William Rowan Hamilton. Hän kehitti esimerkiksi kanonisten muunnosten teorian, joka teki mahdolliseksi muuttaa koordinaatistoa siten, että jokin koordinaatti hävisi Lagrangen funktiosta, mistä edellisen mukaan seuraa kanonisen liikemäärän säilyminen. Toinen, mahdollisesti tehokkain tapa säilyvien suureiden löytämiseksi perustuu Hamiltonin-Jacobin-yhtälöön.