Planckin laki
Planckin lain johtaminen

Planckin lain johtaminen etenee samalla tavalla kuin Rayleigh-Jeansin lain johtaminen, mutta energia on kvantittunut. Tällä vältetään ultraviolettikatastrofi ja mustan kappaleen kokonaissäteilyteho on äärellinen.
Tarkastellaan vakiolämpötilan T alaisuudessa sähkömagneettisia aaltoja suljetussa kuutiossa, jonka sivun pituus on L. Kuutio toimii siis mustana kappaleena. SM aallot ovat vangittuja laatikkoon, joten ne muodostavat seisovia aaltoja sen sisällä. Sähkömagneettisilla aalloilla on sekä sähkö- että magneettikomponentit. Keskitytään sähkökomponenttiin.
Aaltoyhtälö sähkökomponentille E kolmessa ulottuvuudessa noudattaa:  \nabla ^{2}E={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}, missä c = aaltoliikkeen etenemisnopeus, tässä valonnopeus. Voimme ratkaista yhtälön separoimalla muuttujat x-, y-, ja z-suunnissa:  E(x,y,z)=sin(k_{x}x)sin(k_{y}y)sin(k_{z}z). Huomattakoon, että eksplisiittinen aikariippuvuus on jätetty pois; voimme lisätä sen tosin takaisin myöhemmin, jos tarvitsemme.
Ratkaisua vastaa aaltovektori  \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z}) jolle on voimassa  |\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}, missä  \omega  on aaltoliikkeen kulmataajuus.
Jokaisessa ulottuvuudessa sovitamme kokonaislukumäärän puolikkaita aallonpituuksia matkalle L:  k_{x}={\frac {l\pi }{L}},  k_{y}={\frac {m\pi }{L}},  k_{z}={\frac {n\pi }{L}}, missä l, m, ja n ovat kokonaislukuja. Tästä seuraa  k^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}={\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}(l^{2}+m^{2}+n^{2}) ja lopuksi  {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}(l^{2}+m^{2}+n^{2})={\frac {\pi ^{2}p^{2}}{L^{2}}}, missä  p^{2}=l^{2}+m^{2}+n^{2}.
Jokainen kombinaatio (l, m, n) on itsenäinen systeemin moodi.
Suurelle järjestelmälle voimme määrittää moodien määrän taajuusintervallille  \nu ->\nu +d\nu  laskemalla pisteiden määrän k-avaruudessa intervallilla  k->k+dk, joka vastaa intervallia  \nu ->\nu +d\nu . Koska l, m, ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, tarvitsee meidän tarkastella vain yhtä kahdeksasosaa p-säteisestä pallosta. p-säteisen ja dp-paksuisen pallomaisen pinnan tilavuus on  4\pi p^{2}dp, joten moodien määrä oktantissa on  dN(p)=N(p)dp={\frac {1}{8}}4\pi p^{2}dp. Koska  k=\pi p/L ja  dk=\pi dp/L, saamme  dN(p)={\frac {L^{3}}{2\pi ^{2}}}k^{2}dk. Koska  L^{3}=V, eli laatikon tilavuus ja  k=2\pi \nu /c, voimme kirjoittaa lausekkeen seuraavaan muotoon:  dN={\frac {V}{2\pi ^{2}}}k^{2}dk={\frac {V}{2\pi ^{2}}}{\frac {8\pi ^{3}\nu ^{2}}{c^{3}}}d\nu ={\frac {4\pi \nu ^{2}V}{c^{3}}}d\nu
Sähkömagneettisille aalloille jokaista moodia (l, m, n) vastaa kaksi itsenäistä polarisaatiota, joten  dN={\frac {8\pi \nu ^{2}V}{c^{3}}}d\nu  ja yksikkötilavuutta kohti  dN={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}d\nu .
Valosähköinen ilmiö osoitti, että valo koostuu kvanteista, fotoneista, joiden on energia E suhteessa säteilyn taajuuteen  \nu  kaavan  E=h\nu \,\! mukaisesti, missä h on Planckin vakio. Täten moodin energia ei voi ottaa mitä tahansa arvoa, vaan ainoastaan  h\nu :n kerrannaisen. Moodin energia on tällöin  E(\nu )=nh\nu , jossa yhdistämme n fotonia kyseessä olevaan moodiin.
Olkoot kaikki moodit (ja fotonit) termisessä tasapainossa (absoluuttisessa) lämpötilassa T. Ollakseen termisessä tasapainotilassa systeemin on voitava vaihtaa energiaa moodien kesken ja tämä tapahtuu hiukkasten kesken kappaleen seinissä tai sisällä. Voimme käyttää Boltzmannin jakaumaa määrittämään eri moodien olemassaoloa. Todennäköisyys p(n), että moodi n energialla En on energiallisesti olemassa on
Moodin, jonka taajuus on  \nu  keskienergia on siten
Sijoitetaan  x=e^{-h\nu /kT}, jolloin saamme
Joten
Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on
josta