stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Esisokraatikot
Kirjallisuutta

Barnes, Jonathan: Early Greek philosophy.  (Kääntänyt, toimittanut ja johdannon kirjoittanut Jonathan Barnes. The Penguin classics)  London:  Penguin Books, 1987.  0-14-044461-0  (englanniksi)
Barnes, Jonathan: The presocratic philosophers.  London:  Routledge & Kegan, 1982.  0-7100-9200-8  (englanniksi)
Burnet, John: Early Greek Philosophy.  London:  A. & C. Black Ltd, 1920.  Teoksen verkkoversio. (Arkistoitu – Internet Archive)
Diogenes Laertios: Merkittävien filosofien elämät ja opit.  (Suomentanut sekä esittelyn ja selitykset kirjoittanut Marke Ahonen)  Helsinki:  Summa, 2002.  ISBN 952-5418-07-3
Demokritos & Epikuros: Riippumaton nautinto.  (Suomennos Arto Kivimäki, Tua Korhonen ja Sampo Vesterinen. Selitykset ja jälkisanat Tua Korhonen ja Arto Kivimäki. Olympos-sarja)  Helsinki:  Tammi, 2006.  ISBN 951-31-3575-6
Diels, Hermann Alexander: Die Fragmente der Vorsokratiker.  (6. uudistettu painos (1 painos 1903.) Esisokraatikoilta tunnettujen fragmenttien kokoelma)  Berliini:  Walther Kranz, 1952.  (saksaksi)
Freeman, Kathleen: Ancilla to pre-socratic philosophers: A complete translation of the fragments in Diels, Fragmente der Vorsokratiker.  (Käännös Dielsin kokoamista fragmenteista (1948))  Harvard University Press, 2003.  (englanniksi)
Irwin, Terence (editor): Classical philosophy: Collected papers. 1, Philosophy before Socrates.  (Edited with introductions by Terence Irwin)  New York:  Garland, 1995.  ISBN 0-8153-1829-4  (englanniksi)
Kirk, G. S. & Raven, J. E. & Schofield, M.: The presocratic philosophers: A critical history with a selection of texts.  (2. painos (1. painos 1957))  Cambridge:  Cambridge University Press, 1987.  ISBN 0-521-25444-2  (englanniksi)
Long, A. A. (toim.): The Cambridge companion to early Greek philosophy.  Cambridge:  Cambridge University Press, 1999.  ISBN 0-521-44122-6  (englanniksi)
McKirahan, Richard D.: Philosophy before Socrates: An introduction with texts and commentary.  Indianapolis:  Hackett, 1994.  ISBN 0-87220-175-9  (englanniksi)
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Curd, Patricia: Presocratic Philosophy The Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab. Stanford University. (englanniksi)
Ross, Kelley L.: The Origin of Philosophy (englanniksi)
The Attributes of Mythic/Mythopoeic Thought
Why the Greeks?
Presocratics Source (Arkistoitu – Internet Archive) ILIESI Daphnet (englanniksi) (italiaksi)
Antiikin filosofiset koulukunnat
| --- | --- |
Esisokraattinen filosofia:   Miletoslaiset  Pythagoralaiset  Efesoslaiset  Elealaiset  Pluralistit  Atomistit  Sofistit 
Sokraattinen filosofia:   Akatemialaiset  Peripateetikot  Kyynikot  Kyreneläiset  Megaralaiset  Dialektikot  Elisläiset 
Hellenistinen filosofia:   Epikurolaiset  Stoalaiset  Skeptikot  Uuspythagoralaiset  Uusplatonistit 
Thales, joonialaisen luonnonfilosofian alullepanija.
Pythagoras, italialaisen luonnonfilosofian alullepanija.
Parmenides
Demokritos
Herakleitos
Amyklai

| Amyklai> Ἀμύκλαι.Sijainti |
| --- | --- |
 Amyklai
Koordinaatit:  37°2′11″N, 22°27′1″E
Valtio:  Kreikka
Paikkakunta:  Amýkles, Spárti, Lakonia, Peloponnesos
Historia
Tyyppi:  kaupunki
Huippukausi:  600–500-luvut eaa.
Kulttuuri:  mykeneläinen kulttuuri antiikki
Alue:  Lakonia
Infobox OKNimi-testi OK: 
Amyklai (m.kreik. Ἀμύκλαι, lat. Amyclae) oli pronssikautinen ja antiikin aikainen asutus Lakoniassa Kreikassa. Se sijaitsi noin viisi kilometriä Spartasta etelään. Amyklain arkeologinen alue sijaitsee Spártin kunnassa lähellä Agía Kyriakín kylää ja nykyistä antiikin aikaisesta kohteesta nimensä saanutta Amýkleen kylää.
Historia

Kreikkalaisessa mytologiassa Amyklai sai nimensä sen perustajasta Spartan kuninkaasta Amyklaasta, joka oli kuningas Lakedaimonin poika. Paikalla oli asutus viimeistään varhaishelladisella kaudella 2000-luvulla eaa.
Amyklai oli Lakonian harvoja asutuksia, joka vaikuttaa säilyneen jatkuvasti asuttuna läpi mykeneläisen kulttuurin romahdusta seuranneiden nk. pimeiden vuosisatojen. Doorilaisten valloitettua Lakonian Amyklai liitettiin Spartaan noin 700-luvun eaa. puoleen väliin mennessä. Näin Amyklaista tuli Spartan viides kylä neljän alkuperäisen ohelle.
Rakennukset ja löydökset

Amyklain arkeologiset kaivaukset ovat keskittyneet Agía Kyriakín kylään saman nimiselle kukkulalle ja pienelle kirkolle. Asutus on saattanut ulottua kukkulalta laajalle alueelle lähemmäksi nykyistä Amýkleen kylää.
Amyklain merkittävin rakennus oli Amyklaion eli Apollon Amyklaioksen pyhäkkö, joka rakennettiin 700-luvulla eaa. Sen keskiössä oli Hyakinthoksen hauta-tumulus tai -alttari. Hyakinthos oli esi-kreikkalainen jumaluus, jonka kultti yhdistettiin Apolloniin lakonialaisessa Hyakinthia-juhlassa. Arkaaisella kaudella 600-luvulla tai 500-luvun alussa eaa. pyhäkköön tehtiin 15 metriä korkea Apollonin kuvapatsas. Se oli suuri pylväänkaltainen pronssiveistos, jonka päässä oli kypärä ja käsissä jousi ja nuoli. Hauta-alttari toimi patsaan jalustana. Noin vuonna 550 eaa. patsaan kasvot päällystettiin Kroisoksen lahjoittamalla kullalla.
Jonkin verran myöhemmin Bathykles Magnesialainen teki Apollonin kulttikuvalle doorilaista ja joonialaista tyyliä yhdistelleen ”valtaistuimen”. Se oli stoan eli pylväshallin kaltainen alttarirakennus, joka ympäröi patsasta kolmelta puolelta. Rakennus oli koristeltu reliefein. Apollon Amyklaioksen pyhäköstä on säilynyt tukimuuria, perustuksia sekä pyöreä alttari. Pyhäkön alueelta on löydetty suuri määrä votiivilahjoja, mukaan lukien pronssiastioita; pronssista, terrakotasta, norsunluusta ja lyijystä tehtyjä figuriineja; sekä keramiikkaa.
Läheisen Agía Paraskevín kirkon luota on löydetty puolestaan Aleksandra-Kassandran kulttipaikka. Se oli omistettu Troijasta tuodulle kuningas Priamoksen tyttärelle. Pyhäkön alueelta on löydetty yli 10 000 votiiviesinettä. Löydöt ajoittuvat 600-luvulta eaa. varhaiselle hellenistiselle kaudelle.
Amyklain löydökset ovat Spártin arkeologisessa museossa.
Amyklaista löydetty kultainen häränpää. 1500-luku eaa., todennäköisesti kreetalaista, minolaista alkuperää. Louvre.
Anakaia

| Anakaia> Ἀνακαία.Sijainti |
| --- | --- |
 Anakaia
Koordinaatit:  38°8′28″N, 23°53′21″E
Valtio:  Kreikka
Paikkakunta:  Amygdaléza, Stamáta, Diónysos, Attika
Historia
Tyyppi:  demos
Perustettu:  508 eaa.
Kulttuuri:  antiikin Kreikka
Alue:  Attika
Kaupunki:  Ateena
Fyle:  Hippothontis
Trittys:  mesogeios
Demonyymi:  Anakaieus (Ἀνακαιεύς)
Bulen jäseniä:  3
 :  ei tiedossa (vsta 201 eaa.)
Infobox OKNimi-testi OK: 
Anakaia (m.kreik. Ἀνακαία, lat. Anacaea) oli antiikin aikainen Hippothontis-fyleen kuulunut Attikan eli Ateenan kaupunkivaltion muodostaneen alueen demos. Se kuului fylen mesogeios-trittykseen eli Attikan sisämaa-alueen demoksiin.
Anakaia sijaitsi Attikan itäosassa. Se sijoitetaan suunnilleen nykyisen Amygdalézan tienoille Diónysoksen kunnan Stamátaan.
Demos perustettiin Kleistheneen uudistuksessa arkaaisen kauden lopulla vuonna 508 eaa. Sillä oli kolme edustajaa Ateenan bulessa eli neuvostossa. Demoksen kansalaisesta käytettiin demonyymiä Anakaieus (Ἀνακαιεύς).
Eroottinen kirjallisuus

Yhdysvaltalainen laitos John Clelandin Fanny Hillistä (1749) noin vuodelta 1910.
Eroottinen kirjallisuus on kirjallisuuden laji, joka pyrkii kiihottamaan lukijaa tai opettamaan tälle seksitaitoja. Eroottisen kirjallisuuden lajeja ovat kaunokirjallisuus, muistelmat sekä ohjeet ja käsikirjat. Eroottista kaunokirjallisuutta esiintyy niin romaanien, novellien kuin runojenkin muodossa. Eroottiseen kirjallisuuteen on kohdistunut sensuuria ja sen julkaisemista on rajoitettu.
Historiaa > Varhaishistoria

Vanhin säilynyt eroottinen kohtaus kirjallisuudessa saattaa olla Gilgameš-eepoksesta yli 4 000 vuoden takaa, mutta suullisten eroottisten tarinoiden historia ulottuu sitäkin vanhemmalle ajalle. Kiinan eroottisen kirjallisuuden historia ulottuu ainakin 500-luvulle eaa. Vanhan testamentin eroottinen Laulujen laulu tallennettiin 400-luvulla eaa.
Antiikin Kreikassa erotiikka oli yksi aihe muiden rinnalla kaikessa taiteessa, ja nuorten rakastavaisten elämästä kertovat aiheet olivat yleisiä. Naisrunoilija Sapfon runous käsitteli naisten välistä rakkautta. Myös antiikin Roomassa kirjoitettiin eroottista kirjallisuutta, kuten Ovidiuksen opettavainen Rakastamisen taito (n. 1 eaa./jaa) ja Apuleiuksen Kultainen aasi (170 jaa.).
Kamasutra, intialainen rakastamisen ja viettelyn taidon opas, kirjoitettiin kokoon vanhemmista lähteistä noin vuonna 300. Intiasta noin 2 000 vuotta sitten lähtenyt ja Persian ja Arabian kautta 1700-luvulla länteen saapunut tarinakokoelma Tuhat ja yksi yötä sisältää myös useita eroottisia tarinoita, joita tosin ei useinkaan ole otettu mukaan nykyajan laitoksiin.
Historiaa > Keskiaika

Keskiaika oli eroottisessa kirjallisuudessa vapaamielisyyden aikaa. Englantilainen Geoffrey Chaucer kirjoitti Canterburyn tarinoita (n. 1370) ja italialainen Giovanni Boccaccio eroottisia tarinoita sisältävän novellikokoelmansa Decamerone (n. 1350), jonka rakenteelle monet myöhemmät eroottiset romaanit pohjautuivat.
Arabišeikki Nefzawi kirjoitti noin vuonna 1410 rakastelun oppaansa Tuoksuva puutarha, jossa hän ylisti Jumalaa naisen luomisesta ja antoi ohjeita muun muassa esileikkiin. Kiinan eroottisen kirjallisuuden tunnetuin teos Jinpingmei kirjoitettiin 1500-luvulla Ming-dynastian aikana. Romaani kertoo varakkaasta elostelijasta Hsi Menistä ja hänen vaimoistaan. Kirja oli ilmestymisaikoinaan suosittu ja hyväksytty, mutta se kiellettiin Kiinassa 1700-luvulla kahdeksi vuosisadaksi.
Historiaa > 1500-luvulta 1700-luvulle

Daniel Defoe kirjoitti vuonna 1722 prostituoidun elämäntarinan Moll Flanders ja John Cleland kirjoitti vuonna 1749 samasta aiheesta romaanin Fanny Hill, josta tuli suurmenestys, vaikka orgioita kuvaava kirja olikin pitkään kielletty. Kuten Fanny Hill, myös Choderlos de Laclos'n teemoiltaan ajaton eroottinen romaani Vaarallisia suhteita (1782) on poikinut useita nykyajan elokuva- ja televisioversioita.
Ranskalainen markiisi de Sade antoi nimensä sadismille pääteoksensa Justine (1791) myötä. Vankilassa kirjoitettu ja nimettömänä ilmestynyt teos on täynnä väkivaltaisen seksuaalisuuden kuvauksia, ja siitä tuli valtavan suosittu. Kirjaa voi pitää myös yhteiskuntakritiikkinä, samoin kuin markiisin muitakin teoksia, kuten Sodoman 120 päivää.
Historiaa > 1800-luku

Italialainen Giacomo Casanova julkaisi lennokkaat muistelmansa 1820-luvulla, ja hänen nimensä on sittemmin merkinnyt vastustamatonta naissankaria. Ranskalainen Honoré de Balzac kirjoitti 1830-luvulla hillitysti eroottisen veijaritarinakokoelman Leikkisiä tarinoita. Gustave Droz kirjoitti sensuellisti naisten välisestä rakkaudesta kertovan Ystävättäret (1868). Leopold von Sacher-Masoch antoi nimen masokismille kirjallaan Venus turkiksissa (1869), joka käsittelee etenkin ruoskintaa ja turkisfetissiä.
Viktoriaanisen ajan Britanniassa seksistä tuli tabu, ja eroottinen kirjallisuus kärsi sensuurin tiukentumisesta. Tämän seurauksena brittiläinen eroottinen kirjallisuus toisaalta muuttui mannermaista kirjallisuutta suorasukaisemmaksi, sillä kiellettyjen kirjojen sisältö oli kaiken kontrollin ulkopuolella. Englannissa kirjoitettiin 1800-luvulla erityisesti miesten eroottisia elämäkertoja, kuten Amsterdamissa julkaistu anonyymin kirjoittama Salainen elämäni (1888–1894). Oscar Wilde joutui vaikeuksiin viimeistään suorasukaisesti homoseksuaalisuutta kuvaavan Telenyn (1893) takia, vaikka ei olekaan varmaa, kirjoittiko Wilde kirjan itse vai toimittiko sen.
Irlantilaissyntyinen Frank Harris kuvaili omassa elämäkerrassaan Elämäni ja rakkauteni (1920-luku) seksiseikkailujaan viktoriaanisen ajan Englannissa. Insesti ja pedofilia saapuivat eroottiseen kirjallisuuteen itävaltalaisessa romaanissa Wieniläisen ilotytön tarina (1906) — anonyymissa, oletettavasti Felix Saltenin kirjoittamassa teoksessa —, jossa kuvataan hyvin nuoren ja äidittömäksi jääneen tytön ajautumista prostituoiduksi 1860-luvulla.
Historiaa > 1900-luku

Moderni kirjallisuus syntyi 1900-luvun alussa, ja sen myötä tabut murtuivat myös eroottisessa kirjallisuudessa niin, että arvostetutkin kirjailijat saivat avoimesti kirjoittaa pornografista kirjallisuutta. Ranskalainen kansalliskirjailija Guillaume Apollinaire kirjoitti karnevalistisen ja groteskin, parodiaksikin katsotun Hirveän Hospodarin (1907) ja hillitymmän Don Juanin urotyöt (1907). Pierre Louÿsin Afrodite (1896) oli aikansa myydyin kirja Ranskassa. Englantilaisen D. H. Lawrencen Lady Chatterleyn rakastaja (1928) joutui kotimaassaan vielä sensuurin hampaisiin, ja se julkaistiin Englannissa ja käännettiin suomeksi vasta 1960-luvulla.
Jean Genet'n Querelle de Brest (1947) oli nihilistinen miesprostituoidun ja pikkurikollisen homoseksuaalinen kuvaus. Yhdysvaltalainen Henry Miller kuvasi rehellisesti miehen ajatuksenjuoksua 1930-luvulta 1950-luvulle ja toi seksin arkipäiväiseksi osaksi kirjallisuutta. Vladimir Nabokovin Lolita (1955) herättää yhä huomiota kuvauksellaan aikuisen miehen ihastuksesta lapseen, vaikka kirjassa ei seksikohtauksia olekaan.
Historiaa > 1900-luvun lopun seksuaalinen vapautuminen

Seksuaalinen vallankumous 1960–1970-luvulla vapautti eroottisen kirjallisuuden lopullisesti, ja ennen kielletyt kirjat saatettiin vihdoin julkaista niin länsimaissa kuin Suomessakin. Suomessa myydyt vahvasti seksuaalissävytteiset tai itse yhdyntää kuvaavat kirjat painettiin aluksi Ruotsissa ja myytiin Suomessa tiskin alta asiakkaille. Naiskirjailijat kuten Erica Jong, Pauline Réage, Anaïs Nin, Violette Leduc ja Suomessa Eeva Kilpi toivat naisnäkökulman miesten ennen kokonaan hallitsemaan eroottiseen kaunokirjallisuuteen. Miehen ja naisen seksuaalisuutta käsittelevät raportit ja lukijoiden omat seksuaalikokemuskokoelmat, kuten Kinsey- ja Hite-raportit sekä Nancy Fridayn Salainen puutarha, arkipäiväistivät ihmisten seksifantasioita ja hälvensivät outouden pelkoa.
Yksi ajan tunnetuimmista eroottisista romaaneista oli Emmanuelle Arsanin (tai yleisen käsityksen mukaan hänen diplomaattiaviomiehensä Louis-Jacques Rollet-Andrianen) kirjoittama, naisen seksuaalista vapautumista kuvaava Emmanuelle (1959). Kirjan nosti tunnetuksi erityisesti siitä tehty elokuva Emmanuelle, joka herätti myös paljon kritiikkiä seksikohtaustensa takia, jotka vaikuttivat paikoitellen väkisinmakaamisilta.
1900-luvun lopun tunnetuimpia eroottisia romaaneja ovat muun muassa fetisistinen Crash (J. G. Ballard, 1973), Eroottisia tarinoita (Alberto Moravia, 1983), Vox (Nicholson Barker, 1992) ja Pimpit (Juan Manuel de Prada, 1994).
Eräänä eroottisen kirjallisuuden alalajina ovat olleet pehmytkantiset taskukirjat, joissa saattoi olla myös kuvitusta. Näitä kirjoja kutsutaan seksipokkareiksi. Monet nykyään arvostetut kirjailijat ovat tehneet seksikirjoja salanimellä, muun muassa Lawrence Block, Marion Zimmer Bradley, Robert Silverberg ja Donald Westlake. Seksipokkarien kultakausi oli 1950-luvulta 1980-luvun alkuun, kunnes neliväriset miestenlehdet ja videot syrjäyttivät ne.
Historiaa > 2000-luku

2000-luvulla erotiikka on tullut osaksi fiktiota niin, että eroottisten kohtausten puuttuminen voi herättää jopa huomiota. Tabuja ei kirjallisuudessa enää juuri ole, ja lukijan hätkähdyttäminen on vaikeaa. 2000-luvun tunnetuimpia eroottisia romaaneja ovat esimerkiksi Catherine M:n seksuaalielämä (Catherine Millet, 2002) ja Fifty Shades of Grey (E. L. James, 2011).
Historiaa > Suomenkielinen eroottinen kirjallisuus

Elias Lönnrot keräsi 1800-luvulla muiden runojen ohella paljon myös siekailemattomia seksirunoja, joita ei kuitenkaan julkaistu ennen kuin vuonna 1997 Suomen kansan vanhat runot -sarjan 15. osassa. 1900-luvulla rehevä sanankäyttö jatkui etenkin kupleteissa ja revyyssä, ja vuosisadan loppupuolen merkittävin tradition jatkaja on ollut etenkin Juha "Watt" Vainio pornolauluillaan.
Johannes Linnankosken donjuanistinen, verhotun eroottinen Laulu tulipunaisesta kukasta (1905) oli Suomen myydyin romaani 40 vuoden ajan. 1910-luvulta lähtien Minerva Kustannus alkoi julkaista Suomessa eroottista kirjallisuutta eroottisissa kansissa. Norjalainen Laulu punaisesta rubiinista (Agnar Mykle, 1956) aiheutti Suomessa oikeudenkäynnin, jonka seurauksena "epäsiveellisen" kirjan 5000 kappaleen suomenkielinen painos poltettiin vuonna 1959.
Vuonna 1965 Suomessa julkaistiin kokoelma Rakastaa, jossa on useiden suomalaisten kirjailijoiden eroottisia tarinoita.
Anja Kaurasen Sonja O. kävi täällä (1981) oli ensimmäisiä suomalaisia seksuaalisesti aktiivisen naisen kuvauksia. Kaurasen jälkeen muutkin suomalaiset naiskirjailijat ovat kirjoittaneet avoimesti seksistä. Pentti Holapan homoeroottinen romaani Ystävän muotokuva (1998) sai kirjallisuuden Finlandia-palkinnon.
Suomen menestynein eroottinen ruonoilija 1900-luvun lopulla ja 2000-luvun alussa oli Tommy Tabermann.
Eroottisia haikumittaisia runoja on julkaissut Stella Kaarna runokokoelmassaan Vain yksi ilta. Fantasiakirjailijoista Juha Jyrkäs kirjoittaa eroottisia kalevalamittaisia runoja.
Kirjallisuutta

Brusendorff, Ove – Henningsen, Poul: Erotiikan historia I–III.  (Suomentaneet Elina Hytönen, Kai Kaila ja Leif Forsblom)  Helsinki:  Weilin+Göös, 1970.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Enckell, Lisa: Keskiajan Lähi-idässä kirjoitettiin rohkeaa eroottista kirjallisuutta. Yleisradion kulttuuriuutiset 5.5.2010.
| --- | --- |
Auktoriteettitunnisteet: Kansalliset :  Ranska  BnF data  Saksa  Israel  Yhdysvallat  Tšekki 
Justine, eli, Hyveellisen neidon kovat kokemukset, markiisi de Saden pääteos vuodelta 1791.
Erotusosamäärä

Erotusosamäärä on matematiikassa funktion muutosnopeutta kuvaava mitta. Koulumatematiikassa käytetään usein termejä käyrän jyrkkyys tai funktion kasvunopeus, jotka liitetään kuitenkin derivaatan käsitteeseen. Derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.
Erotusosamäärä voidaan tulkita kasvunopeuden tai jyrkkyyden likiarvoksi. Monissa talousmallien ja fysikaalisten mittausten pohjana on kuitenkin suureiden erotusosamäärä, jolloin se approksimoi funktion tai suureen keskimääräistä muutosnopeutta. Numeerisessa analyysissa erotusosamäärällä lasketaan derivaatan likiarvoja.
Määritelmä ja tulkinta

Funktio  f on määritelty välillä  [x_{0};x_{1}]. Tällöin voidaan määrittää suhde
jota kutsutaan funktion  f erotusosamääräksi tällä välillä.
Kun funktion arvon muutosta  \Delta f=f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right) suhteutetaan vaikutusalueen pituuteen  \Delta x=x_{1}-x_{0}\!\,, kutsutaan osamäärää funktion keskimääräiseksi kasvunopeudeksi kyseisellä välillä. Erotusosamäärä voidaan esittää myös "delta"-merkintänä
koska  \Delta f merkitään usein myös  \Delta y.
Erotusosamäärän geometrinen tulkinta on funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretty sekantin eli pisteiden  (x_{0},f(x_{0})) ja  (x_{1},f(x_{1})) kautta piirretyn suoran kulmakerroin.
Raja-arvo

Kun erotusosamäärän nimittäjä pienenee, tarkoittaa se geometrisesti sekantin pisteiden lähentymistä. Lähellä olevat sekantin pisteet pakottavat sekanttisuoran kulkemaan lähes käyrän suuntaisesti. Kun toiseen pisteeseen asetetaan suora, joka on käyrän tangentti, saadaan vertailusuora sekantille. Voidaan ajatella, että kun sekanttipisteet siirtyvät hyvin lähelle toisiaan, on sekanttisuora ja tangentti lähes yhdensuuntaiset. Tangentin ja sekantin kulmakertoimet ovat tällöin lähes samat. Kun pisteet siirtyvät mielivaltaisen lähelle toisiaan, tulevat suorien kulmakertoimet samaksi.
Tämä raja-arvo voidaan määritellä:
Raja-arvo on funktion derivaatan arvo kohdassa  x_{0}, kun pisteen 1 kohta  x_{1} lähestyy pisteen 0 kohtaa  x_{0}. Raja-arvolla on sama merkitys kuin sekantillakin on eli jyrkkyys.
Edellisen raja-arvon voi merkitä vaihtoehtoisesti
Raja-arvo > Esimerkkejä potenssifunktioilla

Seuraavassa eräiden potenssifunktioiden erotusosamäärät sievennettyinä ja niiden raja-arvot.
| Funktion |  \displaystyle f(x) | Erotusosamäärä  {\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}} | Derivaatta  f'(x_{0})=\lim _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}} | Sieventäminen |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Vakiofunktio |  \displaystyle c |  \displaystyle 0 |  \displaystyle 0 |  {\frac {c-c}{x_{1}-x_{0}}}=0 |
| Lineaarinen funktio |  \displaystyle a\cdot x |  \displaystyle a |  \displaystyle a |  {\frac {a\cdot x_{1}-a\cdot x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {a(x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=a |
| Kvadraattinen funktio |  \displaystyle x^{2} |  \displaystyle x_{1}+x_{0} |  \displaystyle 2\cdot x_{0} |  {\frac {x_{1}^{2}-x_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {(x_{1}-x_{0})\cdot (x_{1}+x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=x_{1}+x_{0} |
| Kuutiollinen funktio |  \displaystyle x^{3} |  \displaystyle x_{1}^{2}+x_{1}\cdot x_{0}+x_{0}^{2} |  \displaystyle 3\cdot x_{0}^{2} |  {\frac {x_{1}^{3}-x_{0}^{3}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {(x_{1}-x_{0})\cdot (x_{1}^{2}+x_{1}\cdot x_{0}+x_{0}^{2})}{x_{1}-x_{0}}} |
| Yleinen potenssifunktio |  \displaystyle x^{n} |  \displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{x_{1}^{i}\cdot x_{0}^{n-1-i}} |  \displaystyle n\cdot x_{0}^{n-1} |  |
Rinnakkaisia määritelmiä

Numeerisen analyysin menetelmissä erotusosamäärällä on keskeinen sija derivaatan approksimoinnissa. Tätä varten erotusosamäärästä on kehitetty useita erilaisia muunnoksia.
Rinnakkaisia määritelmiä > Oikeanpuoleinen erotusosamäärä

Oikeanpuoleinen erotusosamäärä on yllä esitetyn määritelmän tarkennettu nimitys. Siinä tarkastellaan pisteen kohdan  x oikealle puolelle tehdyn hypyn  \Delta x vaikutusta funktion arvoihin. Se voidaan merkitä myös seuraavasti:
Numeerisessa matematiikassa oikeanpuoleista menetelmää käytetään funktioilla, jotka kasvavat maltillisemmin oikealla.
Rinnakkaisia määritelmiä > Vasemmanpuoleinen erotusosamäärä

Vasemmanpuoleisessa erotusosamäärässä hyppy  \Delta x tehdään vasemmalle eli  x:n arvosta vähennetään  \Delta x. Se merkitään seuraavasti:
Numeerisessa matematiikassa vasemmanpuoleista menetelmää käytetään funktioilla, jotka kasvavat maltillisemmin vasemmalla.
Rinnakkaisia määritelmiä > Keskusdifferenssi

Kun vasemman- ja oikeanpuoleisesta erotusosamäärästä otetaan keskiarvo, saadaan:
Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää puolet pienempää  \Delta x, jolloin keskusdifferenssiksi tulee
Joissakin tapauksissa vasemman- ja oikeammanpuoleiset erotusosamäärät eivät suppene riittävän nopeasti, mutta keskusdifferenssi sen sijaan suppenee kohti derivaattaa nopeasti. Vaikka sillä derivaatan laskeminen on kierrosta kohden nopeampi, riittää vähäisempi iterointi ja tulos saadaan sitä kautta pienemmällä laskutyöllä.
Fysiikan suureita erotusosamääränä

Fysiikassa on useita suureita, joita voidaan määrittää erotusosamäärän raja-arvona. Käytännön laskuissa riittää usein keskimääräinen muutosnopeus, jolla tarkoitetaan luonnontieteissä juuri erotusosamäärää.
Fysiikan suureita erotusosamääränä > Erotusosamäärä ajan suhteen

Fysiikassa mekaniikassa käytetään erotusosamäärää liikkeen muutoksia laskettaessa.
Liikemäärän muutokseen käytettävä voima saadaan erotusosamääränä.
Teho määritellään työn erotusosamääränä.
Kondensaattorin sähkövarauksen purkautumisnopeus tarkoittaa sähkövirtaa.
Fysiikan suureita erotusosamääränä > Erotusosamäärä matkan suhteen

Kohteeseen tehty työ matkan suhteen määrittää käytetyn voiman.
Aiheesta muualla

St Vincent: Saint Vincent College: Br. David Carlson, O.S.B.—MA109 The Difference Quotient (Arkistoitu – Internet Archive)
University of Birmingham: Dirk Hermans—Divided Differences
University of Wisconsin: Thomas W. Reps and Louis B. Rall—Computational Divided Differencing and Divided-Difference Arithmetics
University of Arizona: Juan M. Restrepo—Divided Differences (Arkistoitu – Internet Archive)
Mathworld:
Erotusosamäärä: Divided Difference
Väliarvolause: Mean-Value Theorem
Graafinen esitys
Oikeanpuoleinen erotusosamäärän geometrinen tulkinta.