Itseisaika
Matemaattinen muotoilu

Oletetaan, että inertiaalikoordinaatistossa K havaitsija havaitsee kellon, joka liikkuu jollain suhteellisella nopeudella  \mathbf {v}  maailmanviivaansa pitkin. Kullakin infinitesimaalilla aikavälillä kello on tasaisessa liiketilassa. Näin kelloon voidaan kiinnittää hetkellinen inertiaalikoordinaatisto K'.
Seuraavassa havaitsija on lepokoordinaatisto K ja liikkuva kello koordinaatisto K'.
Kun K mittaa omalla kellollaan infinitesimaalin ajan  dt, on kello K' kulkenut (koordinaatistossa K määriteltynä) matkan  {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}.
Koordinaatistossa K' kello on hetkellisesti levossa, jolloin  dx'=dy'=dz'=0. Aika-avaruuden intervalli  ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2} on Lorentz-invariantti skalaari eli sama kaikille havaitsijoille. Tästä seuraa, että
ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=c^{2}dt'^{2}, josta saadaan
dt'={\sqrt {1-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}dt^{2}}}}}.
Liikkuvan kellon nopeuden  \mathbf {v}  neliö on
v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}.
Koordinaatiston K' aika  dt' voidaan lausua koordinaatiston K suureilla
dt'={\frac {ds}{c}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.
Koordinaatisto K mitattaa liikkuvan koordinaatiston K' kahden tapahtuman väliseksi ajaksi  \Delta t=t_{2}-t_{1}. Vastaava aika K':ssa on  \Delta \tau '=t'_{2}-t'_{1}. Koordinaatiston K suureilla tuo aika lasketaan integroimalla edellinen lauseke
\Delta \tau '=t'_{2}-t'_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.
Liikkuvan kellon K' mittaamaa aikaa  \Delta \tau ' kutsutaan itseisajaksi, joka on aina pienempi kuin lepokoordinaatiston K kellolla mitattu itseisaika. Tämä ilmaistaan usein sanallisesti "liikkuva kello käy hitaammin kuin paikallaan oleva".
Itseisaika on kaikille havaitsijoille sama Lorentz-invariantti skalaari, koska sen määrittelyyn käytetään aika-avaruuden intervallia (c=1)
d\tau ={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}}=dt{\sqrt {1-v^{2}}}.
Lepokoordinaatistossa itseisaika on sama kuin koordinaatistoaika, koska kellon kulkema avaruudellinen matka   dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=0, jolloin  d\tau =dt.
Itseisaika on analoginen euklidisessa geometriassa käyrän kaaripituudelle, joka saadaan integroimalla differentiaalia  ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}. Minkowskin avaruudessa maailmanviivan pituus saadaan integroimalla differentiaalia  d\tau .
Olkoon  E_{1} ja  E_{2} kaksi aika-avaruuden tapahtumaa, jotka ovat K:n määrittelemällä parametrisoidulla maailmanviivalla  X(\lambda )=(t(\lambda ),x(\lambda ),y(\lambda ),z(\lambda )) siten, että  X(\lambda _{1})=E_{1} ja  X(\lambda _{2})=E_{2}. Liikkuva kello K' seuraa tätä K:ssa määriteltyä maailmanviivaa. Itseisaika, jonka K' mittaa tapahtumien välille, lasketaan koordinaatistossa K integraalina
{\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{E_{1}}^{E_{2}}d\tau \\&=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}}\\&=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-\left(\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right)}}d\lambda \\&=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}|X'(\lambda )|d\lambda .\end{aligned}}
Maailmanviiva voidaan parametrisoida lepokoordinaatiston K itseisajalla  \tau  (sama kuin koordinaatistoaika  t), jolloin maailmanviivan  X(t) pituus on
{\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-\left(\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right)/c^{2}}}dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-v(t)^{2}/c^{2}}}dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dt}{\gamma (t)}},\end{aligned}}
missä  \gamma (t) on Lorentz-kerroin ja  v(t) liikkuvan kellon nopeus. Havaitsijan itseisajan maailmanviivan tangenttivektorin pituus on aina  ||X'(\tau )||=1. Valonlaatuista maailmanviivaa seuraavien massattomien hiukkasten itseisaika ei ole määritelty. Tämä ilmaistaan joskus sanallisesti "valo ei koe aikaa".