Joukko-oppi
Peruskäsitteet ja merkinnät

Joukkoon kuuluvia olioita kutsutaan alkioiksi, ja ne voivat olla mitä tahansa ihmisen havaintoon tai ajatukseen perustuvia. Se, että alkio o kuuluu tiettyyn joukkoon A, on binäärirelaatio alkion ja joukon välillä, ja sille käytetään merkintää o ∈ A. Joukotkin voivat olla toisen joukon alkioita.
Jos joukossa on vain muutama alkio, se voidaan esittää luettelo­muodossa. Tällöin alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla, ja luettelo ympäröidään aalto­suluilla. Esimerkiksi {1, 2, 3, 4} tarkoittaa joukkoa, johon kuuluvat luvut 1, 2, 3 ja 4. Joukon katsotaan olevan sama joukko, lueteltiinpa sen alkiot missä järjestyksessä tahansa; toisin on esimerkiksi järjestettyjen parien ja lukujonojen tapauksessa.
Joukon sisältyminen toiseen joukkoon on binäärirelaatio joukkojen välillä. Jos kaikki joukon A alkiot ovat myös joukon B alkioita, joukko A sisältyy joukkoon B eli se on B:n osajoukko, mikä merkintään A ⊆ B. Esimerkiksi joukko {1,2} on joukon {1,2,3} osajoukko, mutta joukko {1,4} ei ole. Määritelmän perusteella on selvää, että jokainen joukko on itsensä osajoukko. Lisäksi määritellään, että A on B:n aito osajoukko, jos A on B:n osajoukko, mutta A ei ole sama joukko kuin B. Yhtäpitävästi voidaan määritellä myös, että A on B:n aito osajoukko, jos A on B:n osajoukko, mutta B ei ole A:n osajoukko.
Samaan tapaan kuin aritmetiikassa käsitellään luvuille määriteltyjä lasku­toimituksia, on myös joukkojen välille määritelty operaatioita, joiden avulla voidaan muodostaa uusia joukkoja. Sellaisia ovat:
unioni eli yhdiste. Joukkojen A ja B unioni (merkitään A ∪ B) on kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A, joukkoon B tai molempiin. Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} unioni on joukko {1, 2, 3, 4}.
leikkaus. Joukkojen A ja B leikkaus (merkitään A ∩ B) on kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat sekä joukkoon A että joukkoon B. Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} leikkaus on joukko {2, 3}.
joukkoerotus. Joukkojen U ja A erotus (merkitään U \ A) on niiden U:n alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon A. Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} joukkoerotus on joukko {1}.
symmetrinen erotus. Joukkojen A ja B symmetrinen erotus (merkitään A △ B tai A ⊖ B) on kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B, mutta eivät molempiin.
Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} symmetrinen erotus on joukko {1, 4}.
karteesinen tulo eli tulojoukko. Joukkojen A ja B karteesinen tulo (merkitään A × B) on niiden järjestettyjen parien (a,b) joukko, joissa a kuuluu joukkoon A ja b joukkoon B. Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} karteesinen tulo on joukko {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}
potenssijoukko. Joukon A potenssijoukko on joukko, johon kuuluvat kaikki A:n osajoukot. Esimerkiksi joukon {1, 2} potenssijoukko on { {}, {1}, {2}, {1,2} }.
Eräitä matematiikassa keskeisen tärkeitä joukkoja ovat tyhjä joukko (ainoa joukko, jossa ei ole yhtään alkiota), luonnollisten lukujen joukko ja reaalilukujen joukko..lähde?
Joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja, kutsutaan perheeksi tai joukkoperheeksi. Esimerkiksi sigma-algebra ja potenssijoukko ovat joukkoperheitä..lähde?