Duaalikappale
Duaalisuuden laadut > Polaarinen käänteisyys

Monitahokkaan duaalisuus määritellään usein polaarisen käänteisyyden avulla jonkin sopivasti valitun pallopinnan suhteen. Silloin jokaista kärkeä (napaa) vastaa sellainen sivutahko, että säde keskipisteestä kärkeen on kohtisuorassa tätä tahkoa vastaan ja että keskipisteestä tahkoihin mitattujen etäisyyksien tulo on sama kuin säteen neliö. Koordinaateilla ilmoitettuna pisteessä
sijaitsevan särmän duaalinen taso pallon
suhteen on taso
Duaalikappaleen kärjet ovat vastapäätä alkuperäisen kappaleen tahkoja, ja sen tahkot ovat vastapäätä alkuperäisen kappaleen kärkiä. Lisäksi alkuperäisen kappaleen mitkä tahansa kaksi vierekkäistä kärkeä määrittelevät särmän, ja duaalikappaleessa kutakin särmää vastaa näitä kärkiä vastaavien tahkojen välinen särmä. Alkuperäisen kappaleen ja duaalikappaleen toisiaan vastaavat särmät ovat aina kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Jos  r_{0} on edellä kuvatun pallon säde ja  r_{1} ja  r_{2} sen keskipisteen etäisyydet jostakin alkuperäisen kappaleen kärjestä ja duaalikappaleen tahkon keskipisteestä, on
Symmetrisimmillä monitahokkailla on selvä keskipiste, ja tällöin pallo valitaan tavallisesti niin, että sen keskipiste on sama kuin monitahokkaan keskipiste. Näin tehdään esimerkiksi jäljempänä kuvautussa Dorman Luken konstruktiossa.
Monitahokkaalle voidaan kuitenkin muodostaa polaarisesti käänteinen duaalikappale minkä tahansa pallon suhteen, ja saadun duaalikappaleen muoto riippuu pallon sijainnista ja koosta. Kaikki duaalikappaleet, jotka muodostetaan sellaisten pallojen suhteen, joilla on yhteinen keskipiste, ovat kuitenkin keskenään yhdenmuotoiset. Jos kappaleella on useita symmetria-akseleita, ne leikkaavat toisensa aina samassa pisteessä, joka yleensä valitaan myös pallon keskipisteeksi. Ellei symmetria-akseleita ole tai niitä on vain yksi, valitaan tavallisimmin kappaleen ympäri tai sisään piirretty pallo taikka pallon, jonka tangentteja kaikki kappaleen särmät ovat.
Jos Euklidisessa avaruudessa jokin kappaleen särmistä tai tahkoista kulkee valitun pallon keskipisteen kautta tai keskipisteenä on jokin sen kärjistä, sitä duaalikappaleessa vastaava tahko tai särmä ulottuu äärettömän kauas tai tahkoa vastaava kärki on äärettömän kaukana. Euklidiseen avaruuteen ei kuulu äärettömän kaukaisia pisteitä, mutta sen projektiivinen vastine, jota sanotaan laajennetuksi euklidiseksi avaruudeksi, voidaan muodostaa lisäämällä siihen tarvittava äärettömän kaukainen taso. Jotkut teoreetikot pitäytyvät mieluummin euklidisessa avaruudessa ja päättelevät, että tällaisissa tapauksissa duaalikappaletta ei ole olemassa. Magnus Wenninger on kuitenkin keksinyt tavan, joilla voidaan tehdä malli tällaisten äärettömien duaalikappaleiden joistakin äärellisistä osista.
Tällä duaalisuuden käsitteellä on läheinen yhteys projektiivisessa geometriassa esiintyvään duaalisuuden käsitteeseen, jossa tasot ja pisteet voidaan vaihtaa keskenään. Projektiivinen polaarisuus toimii riittävän hyvin kuperilla monitahokkailla. Mutta jos myös ei-kuperien kappaleiden, esimerkiksi tähtimonitahokkaiden duaalisuus yritetään täsmällisesti määritellä projektiivisen polaarisuuden avulla, ilmenee monia ongelmia. Wenninger on myös tutkinut tapoja, joilla nämä äärettömät duaalikappaleet voidaan muodostaa. Ei-kuperien monitahokkaiden geometriseen duaalisuuteen liittyvien määritelmällisten kysymysten vuoksi Branko Grünbaum on esittänyt, että jokaiseen ei-kuperan monitahokkaan asianmukaiseen määritelmään pitäisi kuulua myös selvitys siitä, miten sen duaalikappale muodostetaan.