Suunnistuvuus
Monistojen suunnistuvuus > Monistojen homologia ja suunnistuvuus yleisessä tapauksessa

Kaikki edellä esitetyt differentioituvan moniston suunnistuvuuden määritelmät perustuvat keskeisesti suunnistuksen säilyttävän transitiofunktion käsitteeseen. Tämä herättää kysymyksen siitä, mikä tarkkaan ottaen säilyy näissä transitiofunktiossa. Ei voida sanoa, että niissä säilyy moniston suunnistuvuus, sillä moniston suunnistus on atlas, eikä ole mielekästä sanoa, että transitiofunktiossa säilyy tai ei säily sellainen atlas, jonka jäsen se itse on.
Kysymys voidaan ratkaista määrittelemällä lokaalit suunnistukset. Yksiulotteisella monistolla paikallinen suunnistus pisteen p: ympärillä vastaa sen valitsemista, kumpi puoli pisteen kahtia jakamasta monistosta katsotaan "oikeaksi" ja kumpi "vasemmaksi" puoleksi. Kaksiulotteisella monistolla tämä vastaa sen valitsemista, kumpi kiertosuunta pisteen ympäri katsotaan "myötäpäiväiseksi" ja kumpi "vastapäiväiseksi". Molemmille tilanteille on yhteistä se, että ne voidaan kuvata pisteen p ympäristön, mutta ei itse pisteen p avulla. Yleisessä tapauksessa olkoon M topologinen n-monisto. Lokaali suunnistus monistossa M pisteen p ympärillä merkitsee ryhmän
jonkin virittäjän valintaa.
Tämän ryhmän geometrinen merkitys selviää seuraavasti. Valitaan atlakseen kuuluva kuvaus, joka on määritelty jossakin pisteen p ympäristössä.  Jokin pisteen p ympäristö kuvautuu origokeskiselle yksikköpallolle B. Poistolauseen mukaan  H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right) on isomorfinen  H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbf {Z} \right):n kanssa.  Pallo B on kutistuva, joten sen homologiaryhmät häviävät muilla asteluvuilla paitsi 0 ja n-1. Osoittautuu, että tämä homologiaryhmä on isomorfinen  H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)\cong \mathbf {Z} :n kanssa. Virittäjän valinta vastaa siis sen päättämistä, onko p:tä ympäröivä pallopinta annetussa kuvauksessa positiivinen vai negatiivinen.  \mathbb {R} ^{n}:n peilaus origon suhteen merkitsee  H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right):n etumerkin vaihtamista, ja näin ollen virittäjän valinnan geometrinen merkitys on siinä, että se erottaa atlakseen kuuluvat kuvaukset niistä, jotka saadaan peilaamalla ne.
Topologisella monistolla transitiofunktio on suunnistuksen säilyttävä, jos se määrittää  H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right):n virittäjät jokaisessa pisteessä p. Tässä kysymykseen tulevat määritelmät ovat samat kuin differentioituvassa tapauksessa. Suunnistuva atlas on atlas, jonka kaikki transitiofunktiot ovat suunnistuksen säilyttäviä. Monisto M on suunnistuva, jos sillä on suunnistuksen säilyttävä atlas, ja kun n &gt 0, suunnistus on maksimaalinen suunnistuva atlas.
Intuitiivisesti M:n suunnistuksen pitäisi määrittää M:ään yksikäsitteinen lokaali suunnistus jokaiseen pisteeseen. Tämä saadaan aikaan nimenomaan toteamalla, että pistettä p ympäröivän suunnistuvan atlaksen jokaista kuvausta voidaan käyttää määrittämään pallopinta p:n ympärillä, ja tämä pallopinta määrittää  H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right):n virittäjän. Jokainen muu p:n ympäristössä määritelty atlakseen kuuluva kuvaus saadaan yhdistettynä kuvauksena tästä ja jostakin suunnistuksen säilyttävästä kuvauksesta, ja tästä seuraa, että nämä kaksi kuvausta antavat tuloksena saman virittäjän, joka näin ollen on yksikäsitteinen.
Myös puhtaasti homologiset määritelmät ovat mahdollisia. Mikäli M on suljettu ja yhtenäinen, se on suunnistuva, jos ja vain jos sen n:s homologiaryhmä  H_{n}(M;\mathbf {Z} ) on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän  \mathbb {Z}  kanssa. M:n suunnistus merkitsee tällöin tämän ryhmän virittäjän valintaa. Virittäjä määrittää suunnistetun atlaksen kiinnittämällä äärettömän syklisen ryhmän  H_{n}(M;\mathbf {Z} ) virittäjän ja määrittelemällä suunnistuviksi kuvauksiksi ne, joissa  \alpha  johtaa tähän virittäjään. Kääntäen suunnistuva atlas määrittelee sellaisen virittäjän, sillä yhteensopivat lokaalit suunnistukset voidaan yhdistää niin, että saadaan virittäjä homologiaryhmälle  H_{n}(M;\mathbf {Z} ).