stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Saari (Suomen entinen kunta)
Alue ja maisemat

Talvisodan päätteeksi solmitussa Moskovan rauhassa vuonna 1940 suurin osa siihenastisen Saaren alueesta pysyi Suomessa, mutta pieni osa eli 29,9 km2 sisältyi Neuvostoliitolle luovutettuihin alueisiin. Ne Suomi valtasi kokonaan jatkosodan alussa vuonna 1941, mutta sodan 1944 päätteeksi solmitun Moskovan välirauhansopimuksen mukaan suomalaisjoukkojen oli vetäydyttävä vuonna 1940 hyväksytylle rajalle.
Saaren maatalouskunta oli Salpausselkien välimaastoa, ja sitä luonnehtivat harjut, mäet ja järvet. Kunnan luoteiskulma ulottui Toiselle Salpausselälle, mutta Ensimmäinen Salpausselkä kulkee Saaren kohdalla Venäjän puolella 7–8 kilometrin päässä valtakunnanrajasta. Viljelysmaata hankittiin kunnan alueella jo 1800-luvulta alkaen järvenlaskulla. Työ vaati paljon kaivutyötä, joka tehtiin pääosin käsin, ja siitä muistona kunnan vaakunassa esiintyi kolmen hopeisen apilanlehden alla hopeinen puulapio.
Saaren suurimmat järvet ovat Suuri ja Pieni Rautjärvi, jotka ovat nimistään huolimatta pinta-alaltaan miltei saman kokoiset. Edellinen laskee luoteispäästään Simpelejärveen, jälkimmäinen ensin Venäjän rajalla olevaan Ylä-Tyrjänjärveen, edelleen Venäjän alueen kautta Suureen Tyrjänjärveen ja lopulta Simpelejärveen. Simpelejärven itärannasta pieni kaistale kuului Saaren kuntaan.
Historiaa

Saaren alueelta on löytynyt joitakin kivikautisia esineitä, mutta ei tiettävästi lainkaan pronssi- tai rautakautisia. Nykyinen asutus on alkuperältään karjalaisvaltauksen tulosta; sinne siirtyi uudisraivaajia keskiajalla lähinnä Käkisalmen, myöhemmin Räisälän, ja Kurkijoen pogostoista. Pähkinäsaaren rauhassa vuonna 1323 Saaren seutu liitettiin Novgorodin tasavaltaan, jolloin siitä tuli osa rauhatonta rajaseutua.
25-vuotisen sodan aikana Saaren seutua hävittivät moneen otteeseen niin Ruotsin kuin Venäjänkin sotajoukot. Yksi vuoden 1595 Täyssinän rauhan rajamerkeistä pystytettiin Tetrisuolle. Seuraavan vuosisadan alun taistelut päättyivät vuonna 1617 Stolbovan rauhaan, jolloin Käkisalmen lääni ja sen mukana Saaren seutu liitettiin Ruotsin valtakuntaan. Uusi esivalta alkoi juurruttaa väestöön uutta uskontoa koviakaan keinoja kaihtamatta, ja Parikkalasta muodostettiin itsenäinen seurakunta, johon myös Saari kuului. Isonvihan päätteeksi vuonna 1721 solmitun Uudenkaupungin rauhansopimuksen mukaan alue liitettiin Venäjän valtakuntaan, ja siitä tuli osa niin sanottua Vanhaa Suomea.
Honkakylässä pidettiin vuonna 1919 kunnalliskokous, ja sen perusteella valtioneuvosto päätti seuraavana vuonna itsenäisen Saaren seurakunnan perustamisesta. Päätös astui voimaan vuonna 1928, jolloin myös Saaren kunta lohkaistiin itsenäiseksi Parikkalasta. Talvisodan päätteeksi solmitussa Moskovan rauhassa maaliskuussa 1940 osa kunnasta jäi Neuvostoliitolle luovutetulle alueelle. Jatkosodan sytyttyä kesäkuussa 1941 Saari joutui sotatoimialueeksi, ja osa kunnan väestöstä evakuoitiin Hankasalmelle Keski-Suomeen, josta evakuoidut palasivat jo saman vuoden loppukesällä. Talvisodan alueluovutus vahvistettiin syyskuussa 1944 Moskovan välirauhassa.
Saari oli pienviljelysvaltaista seutua, ja käsityöläisammatteja, muun muassa hevosrekien valmistusta, harjoitettiin kunnassa vielä 1950-luvulla. Kunnan alue sähköistettiin vasta 1940-luvun loppupuolella. Muutamaa myllyä ja sahalaitosta lukuun ottamatta varsinaisia teollisuuslaitoksia ei kunnassa ollut lainkaan. Alkutuotantovaltaisuus näkyi 1960-luvulla voimakkaana väkiluvun pienenemisenäselvennä. Vuonna 1950 Saaren asukasluku oli 3 834 ja vuonna 1960 vielä 3 512, mutta vuonna 1970 enää 2 864. Vuonna 1985 kunnassa oli 2 031 asukasta.
Saaren kunnassa siirryttiin peruskoulujärjestelmään syyslukukauden alussa 1975, jolloin Akonpohjassa toiminut keskikoulu lakkautettiin ja kuntaan jäi vain yksi ala-asteen koulu. Lähin yläasteen koulu ja lukio toimivat tämän jälkeen Parikkalassa.
Henkikirjakylät

Honkakylä, Joensuu, Kesusmaa, Kirjavala, Maironiemi, Mikkolanniemi, Rasvaniemi, Saarenkylä, Tarnala.
Liikenne

Saaren kautta kulkevat valtatie 6 ja Karjalan rata. Saaresta tuli rautatiepaikkakunta vasta vuonna 1966, jolloin Karjalan radan uusi osuus Parikkalasta radan vanhalle linjalle Tohmajärven Onkamoon avattiin liikenteelle. Saaren rautatieasema otettiin käyttöön kesäkuun alussa 1969, mutta se suljettiin kesäkuun alussa 2005.
Liikenne > Etäisyyksiä Saarelta

Imatra 80 km
Lappeenranta 117 km
Joensuu 117 km
Savonlinna 68 km
Nähtävyyksiä

Saarella oli oma rautatieasema, joka lakkautettiin pienten asemien verkoston karsimisen yhteydessä vuonna 2005. Saaren tiilikirkko on rakennettu vuonna 1934, arkkitehtina Ilmari Launis. Saarella on myös Honkakylän kauppamuseo ja Mykkiin kivet -siirtolohkareet, Kirjavalan kanava sekä Vaaranmäellä sijaitsee näkötorni. Mikkolanniemen kodalta on näköalat Pienelle Rautjärvelle.
Ruokakulttuuri

Saaren pitäjäruoiksi nimettiin 1980-luvulla sikasoppa, ohrapuuro, mustikkakeitto ja kaalinlehdellä paistetut, ohrasuurimoista leivotut lehikäiset.
Tunnettuja saarelaisia

Aleksanteri Aava, runoilija
Jorma Härkönen, keskimatkojen juoksija
Olavi Litmanen, jalkapalloilija
Suvi Mikkonen, taekwondoin
Antti Neuvonen, kuvanveistäjä
Elisa Neuvonen, kilpakävelijä
Sami Partanen, pesäpalloilija
Timo Pekkanen, professori ja eläinlääkäri
Tuomo Pekkanen, professori ja kielitieteilijä
Hilja Valkeapää, kirjailija
Kirjallisuutta

Juvonen, Jaana: Kanavankaivajien kaudesta kuntaliitokseen – Saaren historia.  Parikkala:  Parikkalan kunta, 2012.  ISBN 978-952-93-0078-5  320 s.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Saari Wikimedia Commonsissa
| n k Etelä-Karjalan maakunnan kunnat |
| --- | --- |
Nykyiset kunnat:  Imatra  Lappeenranta  Lemi  Luumäki  Parikkala  Rautjärvi  Ruokolahti  Savitaipale  Taipalsaari 
Entiset kunnat:  Joutseno  Lappee  Lauritsala  Nuijamaa  Saari  Simpele  Suomenniemi  Uukuniemi  Ylämaa 
Suomen Neuvostoliitolle 1940-luvulla luovuttamat alueet
| Kokonaan luovutetut kunnat |
| --- | --- |
kaupungit: Käkisalmi | Sortavala | Viipuri
kauppalat: Koivisto | Lahdenpohja
maalaiskunnat: Antrea | Harlu | Heinjoki | Hiitola | Impilahti | Jaakkima | Johannes | Kanneljärvi | Kaukola | Kirvu | Kivennapa | Koiviston maalaiskunta | Kuolemajärvi | Kurkijoki | Käkisalmen maalaiskunta | Lavansaari | Lumivaara | Metsäpirtti | Muolaa | Petsamo | Pyhäjärvi Vpl | Rautu | Ruskeala | Räisälä | Sakkola | Salmi | Seiskari | Soanlahti | Sortavalan maalaiskunta | Suistamo | Suojärvi | Suursaari | Terijoki | Tytärsaari | Uusikirkko | Valkjärvi | Viipurin maalaiskunta | Vuoksela | Vuoksenranta | Äyräpää
Osin luovutetut kunnat
sodan jälkeen muihin kuntiin yhdistetyt: Jääski | Korpiselkä | Pälkjärvi | Säkkijärvi | Vahviala
toimintaansa vuoden 1948 jälkeen jatkaneet: Ilomantsi | Inari | Kitee | Kuusamo | Lappee | Nuijamaa | Parikkala | Rautjärvi | Ruokolahti | Saari | Salla | Simpele | Tohmajärvi | Vehkalahti | Virolahti | Uukuniemi | Värtsilä | Ylämaa
Vuokra-alueeseen sisältyneet kunnat
kokonaan: Hanko
osin: Bromarv | Degerby | Espoo | Inkoo | Kirkkonummi | Siuntio
Yksittäisiä mainittavia paikkoja luovutetuilla alueilla
 : Elisenvaara | Enso | Ihantala | Ilmee | Kolosjoki | Konevitsa | Kyyrölä | Liinahamari | Pitkäranta | Pölläkkälä | Uuras | Valamo
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansalliset:  Suomi (KANTO) 
Henkilöt:  Uppslagsverket Finland 
Arkkitehti Ilmari Launiksen suunnittelema Saaren kirkko valmistui vuonna 1934.
Näkymä Saaren kirkon lähellä sijaitsevasta Vaaranmäen tornista pohjoiseen, Pienen Rautjärven suuntaan.
Michel Rolle

Michel Rolle
Michel Rolle (21. huhtikuuta 1652 – 8. marraskuuta 1719) oli ranskalainen matemaatikko. Hänet tunnetaan differentiaalilaskentaan liittyvästä Rollen lauseesta. Rolle toimi Ranskan tiedeakatemian palkattuna jäsenenä, tutkimusaloinaan geometria ja algebra. Hän julkaisi tutkimuksensa lähinnä artikkelimuodossa akatemian Mémoires-aikakausjulkaisuissa. Algebrasta Rolle kirjoitti myös kaksi kirjaa.
Rollen lause

Rolle julkaisi nimeään kantavan lauseen vuonna 1691. Sen mukaan suljetulla välillä  [a,b] jatkuvan ja avoimella välillä  (a,b) derivoituvan funktion derivaatta saa arvon  0 jossain avoimen välin  (a,b) pisteessä  c, mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin  [a,b] päätepisteissä  a ja  b.
Muuttuja (matematiikka)

Muuttuja eli variaabeli on matemaattisessa lausekkeessa esiintyvä symboli, jolle voidaan antaa eri lukuarvoja. Tavallisesti muuttujaa merkitään matematiikassa kirjaimilla, esimerkiksi x:stä alkaen. Muuttujan vastakohta on vakio, jolla on yksi kiinteä lukuarvo. Sovellettaessa matematiikkaa esimerkiksi fysiikassa muuttujaa merkitään yleensä sen suureen tunnuksella, joka halutaan selvittää.
Yhtälöitä ratkaistaessa pyritään selvittämään muuttujien lukuarvot.
Esimerkkejä:
8·x, x on mikä tahansa reaaliluku (kertomerkin voi poistaa lausekkeesta).
E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}, klassisen fysiikan liike-energian yhtälössä voidaan ajatella, että nopeus v ja  E_{k} ovat muuttujia ja  {1 \over 2} sekä massa m ovat vakioita.
Vanhan perinteen mukaan aakkosten alkupään kirjaimia käytetään yleensä kuvaamaan tunnettuja suureita tai vakioita ja loppupään kirjaimia tuntemattomia suureita tai muuttujia.
Esimerkkejä

1. Joskus sanotaan, että suosituspaino kiloina on suunnilleen henkilön pituus sentteinä miinus sata. Siis  f(x)=x-100, jos f:llä merkitään suosituspainoa ja x:llä henkilön pituutta. Tällöin 180-senttisen suosituspaino kiloina olisi  f(180)=180-100=80.
2. Toisen asteen yhtälö
voidaan esittää kahden lausekkeen tulona
Yhtälö toteutuu periaatteessa, kun jompikumpi tai molemmat lausekkeista x – 1 ja x – 2 saavat arvon nolla. Käytännössä jälkimmäinen vaihtoehto ei tule kysymykseen, koska muuttuja voi saada vain yhden arvon kerrallaan. Eli yhtälön ratkaisuna saadaan x = 1 tai x = 2. Ratkaisu x = yksi ja x = 2 ei ole mielekäs.
Riippuvat ja riippumattomat muuttujat > Matematiikassa

Matematiikassa voidaan esimerkiksi määritellä muuttuja y muuttujan x funktiona kaavalla  y=x^{2}. Tällöin muuttuja x on riippumaton (sille voidaan antaa erilaisia arvoja) ja muuttuja y on riippuva (sen arvo määräytyy x:n arvon perusteella).
Riippuvat ja riippumattomat muuttujat > Tilastotieteessä

Tilastotieteessä ja kokeellisissa ja havainnollisissa tieteissä näitä termejä käytetään aavistuksen eri tavalla kuin matematiikassa.
Niissä usein selitetään yhden muuttujan vaihteluita toisten muuttujien vaihtelun avulla, esimerkiksi havainnoidaan, miten pitkälti kunkin suomalaisen paino selittyy hänen pituudellaan (tai sukupuolellaan). Tuloksena voi olla esimerkiksi malli:  y=x-90+v, missä y on henkilön paino kiloina, x on pituus sentteinä ja  v kuvaa muiden tekijöiden vaikutusta. Muuttujaa v voi siis pitää joko satunnaistekijänä tai sitten muiden tekijöiden yhteisvaikutuksena.
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Jana (geometria)

Jana AB on muodostettu suorasta päätepisteiden A ja B avulla. Kaikki päätepisteet, ja niiden väliset sisäpisteet (punainen osa), muodostavat yhdessä janan AB.
Kolmio, jota rajoittavat janat AB, BC ja AC.
Jana on geometriassa kahden erillisen pisteen suorasta erottama osa, johon kuuluvat kaikki pisteiden väliset suoran pisteet. Erillisiä pisteitä kutsutaan janan päätepisteiksi ja päätepisteiden välissä olevia pisteitä kutsutaan sisäpisteiksi. Janalla on suoran ominaisuuksia, mutta uutena ominaisuutena sillä on sen äärellinen pituus.
Suomen matemaattisessa kielessä jana on varattu suorista erotetuille osille. Jos ympyrän kehältä erottaa kahdella pisteellä kehän osan, kutsutaan sitä kaareksi, ja jos kaksi pistettä erottaa yleisestä käyrästä osan, voidaan tätä kutsua esimerkiksi käyrän osaksi, mutta ei kuitenkaan janaksi.
Esimerkiksi monikulmioiden reuna rajoittuu murtoviivaan, joka muodostuu päätepisteistään toisiinsa kytketyistä janoista eli sivuista. Monikulmion kärjet voidaan yhdistää muihinkin kuin vierekkäisiin kärkiin, jolloin näin syntyviä janoja kutsutaan lävistäjiksi.
Janaa, jonka päätepisteet ovat A ja B ja jota kutsutaan "jana AB", merkitään  {\overline {AB}} tai  AB. Kirjainten järjestys ei merkitse samalla tavalla suuntaa kuin suunnatulla janalla tai vektorilla.
Janat geometriassa

Antiikin kreikkalaisten geometriassa jana oli määritelty melko kevyesti. Eukleides esitti oppikirjassaan Alkeet joukon määritelmiä, joista geometrian luonne olisi pitänyt päätellä. Nykymatematiikka tarvitsee kuitenkin tarkempia määritelmiä.
Janat geometriassa > Pisteet janalla

Pisteet, joiden kaikkien kautta voidaan vetää yksikäsitteinen suora, ovat kollineaarisia. Kaikki suoran pisteet ovat suoralla, joten ne ovat itseisesti kollineaarisia. Pisteet, jotka erottavat janasta osajanoja, jakavat sen murtoviivaksi, jonka janat ovat yhdensuuntaisia alkuperäisen janan kanssa.
Janat geometriassa > Janojen vertailua

Janan pituus määritellään yleisen säännön mukaan suurimmaksi etäisyydeksi kuvion pisteiden välillä. Suurin pituus löytyy janan päätepisteiden välistä, mikä otetaan janan pituuden määritelmäksi. Kahdella suoralla janalla on sama pituus, jos edellä määritellyt pituudet ovat saman suuruiset. Samanpituisuus voidaan demonstroida siirtämällä ja kääntämällä toinen jana täsmälleen toisen päälle. Jos janojen päätepisteet yhtyvät toisiinsa, ovat janat samanpituisia.
Janojen yhdensuuntaisuus voidaan aina todeta viemällä janat suuntansa säilyttäen päällekkäin. Jos ne eripituisina janoina peittävät toisensa niin, että toinen peittää toisen kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset. Yhdensuuntaisuus voidaan tutkia suorien yhdensuuntaisuustestillä. Jatketaan verrattavat janat suorilla, jotka kulkevat janojen päätepisteiden kautta. Jos suorat leikkaavat toisensa, eivät janat ole yhdensuuntaiset. Jos suorat eivät leikkaa toisensa, ovat myös janat yhdensuuntaiset.
Janojen kohtisuoruus voidaan todeta mittaamalla janojen kohtaamiskulmat. Jos kulma on 90° eli suora, ovat janat kohtisuorat. Mikäli janat eivät kohtaa toisensa, sijoitetaan janojen päätepisteiden kautta kulkemaan suorat. Jos suorien kohtaamiskulma on suora, ovat janatkin kohtisuorassa. Janojen välinen kulma mitataan samalla tavalla eli käyttämällä päätepisteiden kautta kulkevia suoria.
Janojen joukko on samalla tasolla eli ovat koplanaarisia, jos löytyy taso, jolla kaikkien janojen pisteet sijaitsevat.
Janat koordinaatistossa > Jana lukusuoralla

Kaikki janan päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan sisäpisteitä. Niitä voidaan asiayhteydestä riippuen kutsua myös jakopisteiksi. Analyyttisessä geometriassa janan sisäpisteen koordinaatti voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöllä:
missä  0<\lambda <1. Arvoilla  \lambda =0 ja  \lambda =1 saadaan janan päätepisteet.
Janat koordinaatistossa > Jana tasossa

Jos tason pisteet ilmaistaan xy-koordinaatistolla, saadaan tason jokaiselle pisteelle  P koordinaattipari  (x,y). Janan kaikki pisteet voidaan esittää edelliseen tapaan käyttäen lauseketta kummallekin koordinaatille samanaikaisesti
missä  0\leq \lambda \leq 1. Esimerkiksi janan keskipiste sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin  \lambda ={\tfrac {1}{2}} ja
Janat koordinaatistossa > Jana avaruudessa

Avaruudessa eli tilassa käytetään yleisesti kolmea koordinaattia  (x,y,z) pisteiden paikan esittämisessä. Janan pisteet voidaan esittää vastaavasti
missä  0\leq \lambda \leq 1.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Käänteisfunktio

Käänteisfunktio on funktio, joka kääntää alkuperäisen funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. Funktion  f käänteisfunktiota merkitään  f^{-1}. Tämä on vain merkintätapa, eikä liity mitenkään potenssilaskuihin. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja. Toisin sanoen käänteisfunktiolle ja alkuperäiselle funktiolle pätee  f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x. Kaikille funktioille ei ole olemassa käänteisfunktioita.
Määritelmä

Olkoon  f:A\to B funktio.  f\,:n kuvajoukko  f(A)\, on kaikkien niiden alkioiden  y\in B\, joukko, joille  y=f(x)\, jolloin  x\in A\,. Jos  f\, on injektio (ehdosta  f(x_{1})=f(x_{2})\, aina seuraa  x_{1}=x_{2}\,) on mahdollista määritellä funktio  g:f(A)\to A asettamalla  g(y)\,:ksi se  x\in A, jolle  y=f(x)\,. Täten  g\, tulee toteuttamaan ehdon  g(f(x))=x\, kaikilla  x\in A ja  f(g(y))=y\, kaikilla  y\in f(A).
Funktiota  g\, sanotaan funktion  f\, käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla  f^{-1}\,. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.
Jos funktio  g\, on funktion  f\, käänteisfunktio, on samalla myös  f\, funktion  g\, käänteisfunktio.
Esimerkkejä

Olkoon kuvitteellisessa Mattilan perheessä 5 henkeä: Juhani (37v), Anna (32v), Siru (10v), Pasi (8v) ja Taru (5v). Olkoon f funktio, joka liittää perheenjäsenen nimen hänen ikäänsä. Olkoon M perheenjäsenien nimien joukko ja I perheenjäsenien ikien joukko. Toisin sanoen
Jos haluamme selvittää, kuka perheenjäsen on 32-vuotias, voimme muodostaa funktion, joka liittää perheenjäsenen iän hänen nimeensä. Tämä funktio on f:n käänteisfunktio:
f:n käänteisfunktio siis käänsi funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi.
Reaalifunktiot

Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion  f\, käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla  x\, yhtälöstä  y=f(x)\,. Esimerkiksi funktion  f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,  f(x)=2x+3\, käänteisfunktioksi saadaan näin  f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,  f^{-1}(y)={\frac {1}{2}}(y-3).
Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla  f\, olisi käänteisfunktio,  f\,:n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio.. Siten esimerkiksi funktiolla  f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,  f(x)=x^{2}\, ei ole käänteisfunktiota, mutta (positiivisten reaalilukujen joukossa)    f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},  f(x)=x^{2}\,, on käänteisfunktio  f^{-1}\,,  f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.
Reaalifunktiot > Esimerkkejä

Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion  y=x^{n}\, käänteis­funktio on juurifunktio  y={\sqrt[{n}]{x}}. Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteis­funktio koko reaali­luku­alueella. Vastaavasti juurifunktion käänteis­funktio on potenssi­funktio.
Eksponenttifunktion  y=e^{x}\,käänteis­funktio on logaritmifunktio  y=\ln x\,.
Trigonometrisilla funktioilla koko reaali­luku­alueella määriteltyinä ei ole käänteis­funktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteis­funktiot, joita sanotaan arkus­funktioiksi.
Käänteisfunktion derivaatta

Jos  f\, ja  f^{-1}\, ovat reaalimuuttujan derivoituvia funktioita, niin on voimassa kaava
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I.  Tampere:  Tampereen yliopisto, 2001 (1993).  ISBN 951-44-3604-0
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Yrjö Ruutu

| Yrjö Ruutu |
| --- | --- |
 Yrjö Ruutu.
Henkilötiedot
Syntynyt: 26. joulukuuta 1887 Helsinki
Kuollut: 27. elokuuta 1956 (68 vuotta) Helsinki
Kansalaisuus:  suomalainen
Koulutus ja ura
Tutkinnot:  Helsingin yliopisto
Instituutti:  Yhteiskunnallinen korkeakoulu
Tutkimusalue:  politiikan tutkimus
Yrjö Oskar Ruutu (vuoteen 1927 Ruuth; 26. joulukuuta 1887 Helsinki – 27. elokuuta 1956 Helsinki) oli suomalainen valtiotieteilijä ja poliitikko. Ruutu oli Yhteiskunnallisen korkeakoulun (nyk. Tampereen yliopisto) ensimmäinen rehtori vuosina 1925–1932, 1935–1945 ja 1949–1953 sekä Suomen ensimmäinen kansainvälisen politiikan professori vuosina 1949–1954. Ruutu väitteli ensimmäisenä Suomessa tohtoriksi valtio-opista ja kirjoitti ensimmäisen laajan suomenkielisen esityksen kansainvälisestä politiikasta tieteenalana. Hän oli myös Kouluhallituksen pääjohtaja vuosina 1945–1950.
Timo Soikkasen mukaan Ruutu oli yksi harvoja suomalaisia, jotka ovat kyenneet kehittämään omintakeista valtio- ja yhteiskuntateoriaa.
Ruudun aatemaailman keskiössä oli sosialismin ja kansallisuusaatteen yhdistäminen. Nuoruudessaan jääkäriliikkeen tärkeimpiin taustavaikuttajiin kuulunut Ruutu omaksui myöhemmin näkemyksen, jonka mukaan Suomen itsenäisyys voitiin turvata parhaiten poistamalla yhteiskuntaluokkien väliset ristiriidat keskiluokan ja sivistyneistön johtamalla valtiososialismilla sekä harjoittamalla rauhanomaista politiikkaa Neuvostoliiton suuntaan. Ruutu toimi uransa aikana lukuisissa eri puolueissa kokoomuksesta SKDL:ään ja johti vuosina 1932–1937 omaa Suomalaissosialistista puoluetta, joka tosin jäi merkitykseltään mitättömäksi. Vaikka ”ruutulainen” kansallinen sosialismi jäi aikansa Suomessa kuriositeetiksi, Ruudulla on katsottu olleen merkittävä vaikutus muun muassa Akateemisen Karjala-Seuran ja presidentti Urho Kekkosen aatemaailmaan.
Perhe

Ruudun vanhemmat olivat nuorsuomalaisiin lukeutunut historiantutkija ja valtionarkistonhoitaja J. W. Ruuth sekä tämän entinen oppilas Hilja Tolpo, jotka avioituivat vuonna 1884.
Ruudun puoliso oli vuodesta 1918 filosofian maisteri Kirsti Antonia Rönnholm, jonka isä oli professori Karl Anton Rönnholm. Perheessä oli yhteensä kolme poikaa ja kaksi tytärtä. Yksi pojista oli kenraalimajuri Juhani Ruutu.
Nuoruus ja aktivismikausi > Opinnot

Ruutu pääsi ylioppilaaksi Helsingin Suomalaisesta normaalilyseosta vuonna 1907 ja aloitti opinnot Helsingin yliopistossa pääaineenaan pohjoismainen historia. Valmistuttuaan filosofian kandidaatiksi vuonna 1910 hän jatkoi opintojaan lainopillisessa tiedekunnassa ja valmistui vuonna 1914 maisteriksi. Opiskeluaikanaan hän oli mukana nuorsuomalaisten opiskelijajärjestöjen toiminnassa. Ruutu työskenteli vuosina 1910–1916 vastikään perustetun Eduskunnan kirjaston apulaisena ja pääsi siten tutustumaan kattavasti kaikkeen Suomessa tuolloin saatavilla olleeseen valtiotieteelliseen kirjallisuuteen.