Lineaarinen yhtälöryhmä
Ratkaisujen määrä > Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Yhtälöryhmän ratkaiseminen tapahtuu tavallisesti matriisimuodossa, koska se on helpommin implementoitavissa tietokonelaskentaan ja koska se on tiiviimpi ja kätevämpi kuin yhtälöryhmän standardi muoto.
Saamme yhtälöryhmää vastaavan matriisimuodon (täydennetty matriisi) lisäämällä kerroinmatriisiin yhden sarakkeen perään, eli:
Tämän matriisin ratkaisut ovat alkuperäisen lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisut, ja kaikki laskutoimitukset, mitä voidaan tehdä lineaariselle yhtälöryhmälle, voidaan käsitellä matriisin alkeisrivitoimitusten avulla, joita ovat:
Summata yksi rivi kerrottuna vakiolla  c\neq 0 toiseen riviin
Kertoa yksi rivi nollasta eroavalla vakiolla
Vaihtaa matriisin kahden rivin paikkaa keskenään
Kun matriisille toimitetaan jokin yllä olevista operaatioista, sanotaan tulokseksi saadun matriisin olevan riviekvivalentti alkuperäisen matriisin kanssa ja sitä merkitään ~-merkillä. Merkkiä käytetään myös merkitsemään rivioperaatioita tehtäessä välivaiheita. Silloin sen yläpuolelle lisätään tehdyt rivioperaatioiden merkit. Rivioperaatioita merkitään kahdella tavalla, joista kumpikin on pätevä:
c\cdot R_{i}+R_{j}\Rightarrow R_{j}
E_{i,j}(c)\,
Molemmat ilmaisevat: "Lisää rivi  i kerrottuna vakiolla  c riviin  j ja laita se  j-riville". Samoin:
c\cdot R_{i}\Rightarrow R_{i}
E_{i}(c)\,
merkitsee: "kerro rivi  i vakiolla  c". Mainittakoot, että rivioperaatio voidaan aina kääntää, jolloin, jos matriisi  A on riviekvivalentti  B:n kanssa, pätee sama toisin päin. Eli myös  B on riviekvivalentti  A:n kanssa.
Tulee havaita, että rivioperaatiot eivät muuta matriisin ratkaisuja ja siten voisi herätä ajatus pyrkiä saamaan matriisi muotoon:
Tätä muotoa kutsutaan matriisin porrasmuodoksi (engl. row echelon form). Porrasmuotoisen matriisin jokaisen rivin ensimmäisen nollasta eroavan alkion alla on vain nollia, ja nollarivit ovat pohjalla. Tästä saadaan suoraan ratkaisut alkuperäiselle lineaariselle yhtälöryhmälle, koska tämän matriisin ratkaisujoukko on sama kuin alkuperäisellä matriisilla. Algoritmia, jolla matriisi saatetaan tähän muotoon, kutsutaan Gaussin eliminoinniksi. Sen perusideana on poistaa ensin ensimmäisestä sarakkeesta kaikki muut alkiot ja tehdä sama kaikille muille.
Huomaa, että jos eliminoinnin aikana päädymme riviin  {\begin{matrix}[0\;0\;0\;0\;...\;0\;k]\end{matrix}}, jossa  k\neq 0, tulisi yhtälöryhmästä tuloksena  0=k, mikä on mahdotonta. Tällöin yhtälöryhmällä ei ole ollenkaan ratkaisuja eli yhtälöryhmä on inkonsistentti.
Toisaalta voimme saada eliminoinnin aikana kokonaisen nollarivin, mikä ei tuota ristiriitaa, mutta yhtälöryhmälle emme saa yksikäsitteistä ratkaisua, koska emme saa viimeisestä yhtälöstä ensimmäistä viimeistä muuttujaa. Silloin joudumme ottamaan vapaan muuttujan ja päädymme äärettömään määrään ratkaisuja. Tästä muodosta on helpointa saada ratkaisut ja tehdä analyysiä ratkaisujen lukumäärästä, mutta joskus voidaan halutessa jatkaa matriisille toimitettuja rivioperaatioita niin, että päädytään muotoon:
mistä saamme suoraan ratkaisut. Tätä muotoa matriisista kutsutaan sen rref-muodoksi. Matriisin rref-muodossa jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava alkio on yksi, ja sen sarakkeessa kaikki muut arvot ovat nollia, ja nollarivit ovat pohjalla. Algoritmia, jolla pääsemme tähän muotoon ref-muodosta kutsutaan Jordanin eliminoinniksi, ja siten eliminointia, jolla pääsemme tähän muotoon alkuperäisestä matriisista, kutsutaan Gaussin–Jordanin -eliminoinniksi. Tämä eliminointi on kuitenkin useimmiten tarpeetonta, koska ratkaisujen määrä näkyy suoraan ja nopeammin ref-muodosta. Lisäksi rref-muodon rakentamiseen tarvitaan yleensä vähintään saman verran rivioperaatioita kuin porrasmuotoon pääsemiseksi, mikä tekee siitä tehottoman varsinkin tietokonelaskennassa.
Teoreettisesti voimme kuitenkin todeta, että matriisin rref-muoto on yksilöllinen. Matriisin ref-muodosta on hyötyä myös determinantin määrityksessä, koska kolmiomatriisin, eli yhtä hyvin ref-muotoisen matriisin diagonaali-alkioiden tulo kertaa elementaarimatriisioperaatioiden vastaavien kerroinmatriisien determinantit, mikä on helppo määrittää.