Noppa
Nopanheiton matematiikka

1. Tarkasteltaessa arpakuution heittoa matemaattisesti satunnaisilmiönä on yleensä lähtökohtana, että tulosmahdollisuudet (silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5, 6) ovat symmetrisiä alkeistapauksia, eli että yhdessä heitossa kunkin silmäluvun esiintymistodennäköisyys on 1/6.
2. Heitettäessä arpakuutiota kaksi kertaa todennäköisyys saada molemmilla kerroilla kuutonen on 1/36. Todennäköisyys saada yksi kuutonen on 10/36 ja todennäköisyys, että saadaan vähintään yksi kuutonen, on 11/36.
3. Arpakuutiota on heitettävä vähintään neljä kertaa, ennen kuin on suurempi todennäköisyys esim. kuutosen esiintymiselle vähintään kerran verrattuna tapaukseen, jossa se ei esiinny kertaakaan. Todennäköisyys saadaan kaavasta
Tätä ongelmaa pohti jo 1600-luvulla Chevalier de Méré. Heitettäessä kahta arpakuutiota ja tarkasteltaessa vastaavasti kuutosparin esiintymistä vanha uhkapelurien sääntö johti tulokseen 24 heittoa. Todellisuudessa todennäköisyys jää vajaaksi
ja vasta 25. heitto johtaisi pitkällä aikavälillä voittoon mahdollisessa vedonlyönnissä kuutosparin esiintymisen puolesta. Ongelman ratkaisemiseksi de Méré kääntyi Blaise Pascalin puoleen.
4. Lasketaan todennäköisyys, että heitettäessä arpakuutiota n kertaa suurin esiintyvä silmäluku on m. Tulosmahdollisuuksia on kaikkiaan  6^{n}. Perusjoukkoa pitää rajoittaa, koska alkeistapaukset m+1, m+2, ... 6 ovat nyt kiellettyjä. Sallittuja tapauksia on siis  m^{n}. Edelleen vaaditaan, että silmäluvun m on esiinnyttävä vähintään kerran. Tämä saadaan sen tapauksen komplementtina, että m ei esiinny kertaakaan. Viimeksi mainitun tapauksen todennäköisyys on  (m-1)^{n}/m^{n}. Kaiken kaikkiaan saadaan tulokseksi todennäköisyys
Erityisesti, jos n = 1, niin P = 1/6. Jos m = 1, niin P  ={1 \over 6^{n}}. Tämä vastaa  tapausta, jossa kaikilla heitoilla saadaan ykkönen.
5. Kahta arpakuutiota heitettäessä silmälukujen summan todennäköisin tulos on 7, kuten nähdään alla olevasta taulukosta. Tuloksen todennäköisyys on 6/36 = 1/6. Tulos 7 on myös summien keskiarvo. Summan jakaumafunktio muistuttaa jo hieman normaalijakaumaa ja sitä paremmin, jos tarkastellaan kahta useamman nopanheiton summaa.
6. Heittosarja 1121314151622324252633435364454655661 on esimerkki mahdollisimman lyhyestä ketjusta (37 heittoa), joka sisältää kaikki 36 kahden peräkkäisen heiton tulosmahdollisuudet.
7. Tarkastellaan seuraavaksi todennäköisyyttä, että arpakuution heittosarjassa on esiintynyt tietty määrä erilaisia silmälukuja. Olkoon yleisessä satunnaisprosessissa M yhtä todennäköistä tulosmahdollisuutta. Tarkastellaan toistokokeen n:ttä koetta ja todennäköisyyttä, että koesarjassa on tällöin esiintynyt m erilaista tulosta. Kyseiseen tilaan on voitu päätyä kahta tietä: 1. Edeltävissä kokeissa on jo esiintynyt vaadittu määrä m. Tällöin nykyisessä kokeessa suotuisia tulosvaihtoehtoja on m, eli ne jotka ovat jo esiintyneet. 2. Edeltävissä kokeissa on esiintynyt m – 1 tulosvaihtoehtoa. Tällöin nykyisessä kokeessa on saatava uusi tulos, eli suotuisia vaihtoehtoja on M – (m –1) = M – m + 1. Yhdistämällä tapaukset voidaan kirjoittaa differenssiyhtälö
joka ilmoittaa, kuinka monta suotuisaa tulosvaihtoehtoa on tapaukselle, että kokeen n jälkeen on havaittu m erilaista tulosta. Vastaava todennäköisyys saadaan jakamalla lukumäärä L(n, m) kaikkien mahdollisten tulosvaihtoehtojen määrällä Mn eli sarakkeella n olevien lukujen summalla. Alla oleva taulukko kuvaa nopanheittoa, jossa on 6 erilaista tulosvaihtoehtoa. Laskennan alkuarvo on L(1, 1) = 6.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| m | uusi luku (kelt.) saadaan kahdesta aikaisemmasta (sin.) |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 6 |  |  |  |  |  | 720 | 15120 | 191520 |  |
| 5 |  |  |  |  | 720 | 10800 | 100800 | 756000 |  |
| 4 |  |  |  | 360 | 3600 | 23400 | 126000 | 612360 |  |
| 3 |  |  | 120 | 720 | 3000 | 10800 | 36120 | 115902 |  |
| 2 |  | 30 | 90 | 210 | 450 | 930 | 1890 | 3810 |  |
| 1 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |  |
|  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | n |
Jatkamalla taulukon laskemista todetaan, että heittokierroksella 13 sellaisten tulosten lukumäärä, joilla kaikki silmäluvut ovat esiintyneet, on 6 711 344 640. Tulosmahdollisuuksia on kaiken kaikkiaan 613 ja tämä on heittosarjassa ensimmäinen kerta, kun todennäköisyys saada kaikki silmäluvut on suurempi kuin 0,5.
Samantapaista ongelmaa voidaan tarkastella hieman toisin. Oletetaan, että arpakuution heittosarjassa vielä esiintymättömiä tuloksia on m. Todennäköisyys saada seuraavalla heitolla uusi arvo on m:M, missä M = 6. Mutta tämä todennäköisyys voidaan tulkita jäljellä olevien arvojen keskimääräiseksi vähenemiseksi, jolloin voidaan kirjoittaa differenssiyhtälö
Tästä saadaan
ja yleisesti
joka on esimerkki eksponentiaalisesta vähenemisestä.