Joukko-oppi
Aksiomaattinen joukko-oppi

Joukko-opin alkeita voidaan käsitellä epä­muodollisesti ja intuitiivisesti, ja niin sitä onkin käsitelty kouluissa Venn-diagrammien avulla. Tämä intuitiivinen lähestymistapa olettaa, että kohteista, jotka toteuttavat tietyn ehdon, voidaan aina muodostaa joukko. Tämä oletus, joka tunnetaan nimellä abstraktioskeema johtaa kuitenkin para­dokseihin, joita yksin­kertaisimpia ja tunnetuimpia ovat Russellin paradoksi ja Burali-Fortin paradoksi. Aksiomaattinen joukko-oppi kehitettiin alun perin, jotta tällaisista para­dokseista päästäisiin eroon.
Joukko-opin aksiooma­järjestelmissä abstraktio­skeema onkin yleensä korvattu ns. erotteluskeemalla tai korvausskeemalla. Erottelu­skeeman mukaan eivät kaikki tietyn ehdon toteuttavat kohteet muodosta joukkoa, mutta ne jonkin annetun joukon alkiot, jotka toteuttavat tietyn ehdon, muodostavat joukon. Täten esimerkiksi sellaista joukkoa, jota Russellin paradoksi käsittelee, ei voida muodostaa, koska ”kaikkien joukkojen joukkoa” ei hyväksytä. Korvaus­skeeman mukaan taas jossakin joukossa määritellyn funktion arvot muodostavat joukon.
Yleisimmin käytetyt joukko-opin aksiooma­järjestelmät olettavat, että kaikki joukot muodostavat kumulatiivisen hierarkian. Sellaisia järjestelmiä on kahta tyyppiä:
järjestelmät, joissa oletetaan vain joukkoja .
Tähän kuuluu yleisin aksioomajärjestelmä, Zermelon-Franekelin joukko-oppi täydennettynä valinta-aksioomalla (ZFC). Teorian muut aksioomat ovat:
ei-triviaalisuus: on olemassa ainakin yksi joukko;
estensionaalisuusaksiooma: jos joukoilla A ja B on samat alkiot, ne ovat sama joukko
unioniaksiooma: jos A ja B ovat joukkoja, myös niiden unioni on joukko;
potenssijoukkoaksiooma: jokaisella joukolla on potenssijoukko, joka on myös joukko;
korvausskeema: annetussa joukossa määritellyn funktion arvot muodostavat joukon
äärettömyysaksiooma: on olemassa äärettömiä joukkoja.
Zermelon joukko-oppi, jossa korvausskeema on korvattu erotteluskeemalla
Yleinen joukko oppi, pieni osa Zermelon joukko-opista, joka käsittää Peanon aksioomat ja äärelliset joukot
Kripken-Platekin joukko-oppi, johin eivät kuulu äärettömyys­aksiooma, potenssi­joukko­aksiooma ja valinta-aksiooma ja jossa erottelu- ja korvausaksioomaskeemoista käytetään vain heikennettyä versiota.
Järjestelmät, joissa on joukkoja ja aitoja luokkia. Tällaisia ovat von Neumannin-Bernayn-Gödelin joukko-oppi, joka pelkästään joukkoja käsittelevien teoreemojen osalta on yhtä vahva kuin ZFC, sekä Morsen-Kelleyn joukko-oppi ja Tarskin-Grothendieckin joukko-oppi, jotka molemmat ovat vahvempia juin ZFC.
Edellä mainittuja järjestelmiä voidaan muokata niin, että sallitaan myös urelementit, jotka eivät itse ole joukkoja mutta voivat kuulua johonkin joukkoon..lähde?
NFU (New Foundations)- ja NF -järjestelmät eivät perustu kumulatiivisen hierarkiaan. Näistä NFU sisältää myös urelementit, NF ei. NF ja NFU sisältävät myös ”kaiken joukon”, johon nähden jokaisella joukolla on komplementti. Näissä järjestelmissä urelementeilla on merkitystä, koska NF:ssä, mutta ei NFU:ssa, on joukkoja, joihin nähden valinta-aksiooma ei päde..lähde?
Konstruktiivisen joukko-opin järjestelmät kuten CST, CZF ja IZF yhdistävät aksioomansa intuitionistiseen logiikkaan ensimmäisen kertaluvun logiikan sijasta. Eräät muut systeemit hyväksyvät tavanomaisen ensimmäisen kertaluvun logiikan mutta käyttävät epä­standardia kuulumis­relaatiota. Sellainen on esimerkiksi sumea joukko-oppi, joissa lause, jonka mukaan tietty alkio kuuluu tiettyyn joukkoon, ei välttämättä ole yksin­kertaisesti tosi tai epätosi. Tähän liittyvät myös ZFC:n Boolen-arvoiset mallit.lähde?
Edward Nelson ehdotti vuonna 1977 ZFC:n laajennettua versiota, internaalista joukko-oppia.lähde?