stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Antoninus Pius
Henkilönä

Antoninus omaksui edeltäjänsä Hadrianuksen tavan pitää partaa. Hänen kerrottiin olleen pitkä ja komea sekä fyysisesti vahva. Hän edusti monia roomalaisia hyveitä (virtus): hän oli lempeä, mutta tarpeen tullen myös jyrkkäluonteinen. Hän osasi myös hillitä itsensä ja oli elintavoissaan vaatimaton. Vanhana hän alkoi pitää puulastoista ja siteistä tehtyä korsettia, jotta pystyi kävelemään suorassa.
Perintö

Antoninus jätti perijöilleen Marcus Aureliukselle ja Lucius Verukselle vakaan ja rikkaan valtakunnan. Hänen kuollessaan valtion kassassa oli noin 675 miljoonaa denaaria. Antoninuksen konservatiivinen ja säästeliäs hallinto antoi valtakunnalle aikaa toipua Trajanuksen ja Hadrianuksen politiikan aiheuttamista taloudellisista ongelmista. Marcus ja Lucius rakennuttivat Antoninuksen muistoksi Campus Martiukselle punaisesta graniitista valmistetun Antoninus Piuksen pylvään. Itse pylväs on tuhoutunut, mutta sen jalusta on säilynyt ja esillä Vatikaanin museossa. Marcus Aurelius kunnioitti suuresti Antoninusta ja toivoi, että hänellä olisi kuollessaan yhtä puhdas omatunto kuin Antoninuksella oli kuollessaan.
Myös myöhemmät Rooman keisarit arvostivat Antoninusta. Historia Augustan mukaan Gordianus I kirjoitti vuonna 238 eepoksen hänen kunniakseen, ja myöhemmin Julianus Apostata (361–363) ylisti hänen julkista elämäänsä. Roomalaiset juhlivat Antoninuksen valtaannousupäivää, heinäkuun 10:ttä, aina 300-luvulle saakka. Antoninus oli roomalaisille monessa suhteessa mallikeisari, joka ansaitsi alamaistensa ja jälkipolvien kunnioituksen ja jonka aikana Rooman valtakunta oli rauhallisempi ja vakaampi kuin aikaisemmin. Hänen valtakauttaan on usein sanottu Rooman valtakunnan kultakaudeksi, jolloin talous kukoisti, poliittinen tilanne oli vakaa ja armeija vahva.
Englantilainen historioitsija Edward Gibbon sijoitti Antoninuksen ”viiden hyvän keisarin” joukkoon. Hänen mukaansa ihmiskunta oli tällöin onnellisimmillaan ja kukoisti.
Jotkut historioitsijat ovat kuitenkin arvostelleet Antoninusta liiallisesta passiivisuudesta. Hän ei ehkä kiinnittänyt riittävästi huomiota armeijan taistelukyvyn ylläpitämiseen, mikä kostautui hänen seuraajilleen.
Antiikin lähteet

Antoninuksen elämästä ja kaudesta on hänen edeltäjiensä Trajanuksen ja Hadrianuksen tapaan säilynyt erittäin vähän kirjallisia lähteitä. Päälähde hänen elämästään on Historia Augustan Antoninuksen elämäkerta, jonka tekijäksi mainitaan Julius Capitolinus. Teos on kuitenkin osoittautunut jokseenkin epäluotettavaksi, ja sen uskotaan olevan peräisin 300-luvulta. Tutkijat ovat kuitenkin todenneet Historia Augustan alkupuoliskon (Hadrianuksesta Elagabalukseen) olevan pääosiltaan luotettava. Antoninus Piuksen elämäkerta Historia Augustassa seuraa Suetoniuksen keisarielämäkertojen mallia. Ensin kerrotaan keisarin esivanhemmista ja hänen elämästään ennen keisariutta. Sitten seuraa selostus keisarin hallituskaudesta, hänen sisäisistä ominaisuuksistaan, kuolemasta, ulkoisista ominaisuuksista ja lopuksi kuoleman jälkeisistä kunnianosoituksista.
Myös Dion Kassios kirjoitti Antoninuksesta, mutta hänen kirjoituksensa keisarin kaudesta on säilynyt vain kuutena lyhyenä katkelmana. Muita antiikin ajan kirjallisia lähteitä ovat Antoninuksen opettajan Marcus Cornelius Fronton kirjoitukset, Eutropiuksen historiateos Breviarium ab urbe condita, Marcus Aureliuksen Itselleni, Orosiuksen Historiae adversus paganos (suom. Historiateos pakanoita vastaan), Pausaniaan Kreikan kuvaus ja Filostratoksen Sofistien elämät.
Muita tärkeitä lähteitä ovat muun muassa piirtokirjoitukset ja kolikot.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Antoninus Pius Wikimedia Commonsissa
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Edeltäjä: Hadrianus | Rooman keisari | Seuraaja: Marcus Aurelius ja Lucius Verus |
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  FAST  ISNI  VIAF 2  WorldCat 
Kansalliset:  Norja  Espanja  Ranska  BnF data  Katalonia  Saksa  Italia  Israel  Belgia 2  Yhdysvallat  Tšekki  Australia  Alankomaat  Puola 2  Portugali  Vatikaani 
Taiteenala:  ULAN 
Henkilöt:  Deutsche Biographie  DDB  Trove 
Muut:  SNAC  IdRef  Te Papa (New Zealand) 
Antonius Piusta esittävä veistos
Antoninus Piuksen lyöttämä sestertius noin vuodelta 140–144. Arvopuolella keisarin muotokuva ja tunnuspuolella Italian henkilöitymä.
Antoninus Piuksen muistoksi lyöty pronssinen sestertius, jossa edesmenneen keisarin kuva ja teksti ”Divus Antoninus” (suom. jumalaksi korotettu Antoninus).
Antoninuksen ja Faustinan temppeli Forum Romanumilla. Rakennus on säilynyt, koska se muutettiin kristilliseksi kirkoksi.
Antoninuksen ja Hadrianuksen vallit.
Limes Germanicuksen kartta.
Rooman valtakunta Antoninus Piuksen aikana.
Antoninus Piuksen patsas Pietarissa.
Antoninus Piuksen marmorinen rintakuva noin vuodelta 140. Museo del Prado, Madrid.
Antoninus Piuksen pylvään jalusta, joka on esillä Vatikaanin museoiden sisäpihalla.
Velocifero

| Velocifero Ladytron |
| --- | --- | --- |

Studioalbumin tiedot
 Julkaistu: 4. kesäkuuta 2008
 Tuottaja(t): Ladytron
 Tyylilaji: elektropop
 Kesto: 54.19
 Levy-yhtiö: Nettwerk
Listasijoitukset
  75.  131.
Ladytronin muut julkaisut
| Witching Hour 2005 | Velocifero 2008 | Live at London Astoria 16.07.08 2009 |
Singlet albumilta Velocifero
 ”Ghosts” Julkaistu: 12. toukokuuta 2008  ”Runaway” Julkaistu: 22. syyskuuta 2008  ”Tomorrow” Julkaistu: 2. maaliskuuta 2009
Velocifero on englantilaisen elektropop-yhtye Ladytronin neljäs studioalbumi, joka julkaistiin kesäkuussa 2008. Albumin ensimmäisenä singlenä julkaistiin kappale Ghosts. Albumi on yhtyeen ensimmäinen julkaisu Nettwerk-levy-yhtiöllä.
Kappaleet Black Cat ja Kletva ovat Mira Aroyon bulgariaksi laulamia. Kletva on cover bulgarialaisen Shturcite-rockyhtyeen 80-luvulla tekemästä kappaleesta. Yhtyeen jäsenistä Daniel Hunt laulaa taustoja päätösraidalla Versus. Tämä on ensimmäinen kerta, kun Huntia kuullaan yhtyeen studioalbumilla.
Albumi debytoi Isossa-Britanniassa virallisen albumilistan sijalla 75. Yhdysvalloissa se nousi Billboard 200 -listan sijalle 131.
Kappaleet

Black Cat – 5.08
Ghosts – 4.42
I’m Not Scared – 3.58
Runaway – 4.50
Season of Illusions – 4.01
Burning Up – 4.08
Kletva – 2.42 (säv. Marichkov)
They Gave You a Heart, They Gave You a Name – 3.28
Predict the Day – 4.25
The Lovers – 2.38
Deep Blue – 5.02
Tomorrow – 3.35
Versus – 5.43
Arvostelut

AllMusic:
Metacritic: 73/100
Pitchfork: 7.2/10
Soundi:
The Times:
Merikarvian majakka

Merikarvia
| --- | --- |
Sijainti:  Merikarvia Suomi
Sijaintipaikka:  Isopoda (d) 
Vesistö:  Pohjanlahti
| --- | --- |
Korkeus:  14,3 m
Värit:  Punainen, valkoinen 
| --- | --- |
Valmistunut:  1987
| --- | --- |
Valon korkeus:  16,2 m
Valonkanto:  12,4 km
Valon ominaisuudet:  Fl(2) W 20s 
Tutka:  T 
| --- | --- |
ARLHS:  FIN031 
Admiralty:  C4351 
List of Lights:  28932 
NGA:  116-17612 
| --- | --- |
Koordinaatit:  fi 
muokkaa - muokkaa wikitekstiä - muokkaa Wikidataa
Merikarvian majakka on vuonna 1987 rakennettu majakka Pohjanlahdella Merikarvian kunnan alueella. Rakennus sijaitsee matalalla Kasa Storbådanin luodolla, Merikarvian pohjoisen väylän suulla. Majakka on merenpinnasta mitattuna 16,2 metriä korkea, ja se toimii aurinkoenergialla. Valo kantaa 6,7 meripeninkulmaa. Merikarvian majakka on rakennettu maahan upotettujen teräspilarien varaan. Majakan ulkonäkö on muista Suomen majakoista poikkeava ja syy tähän on se, ettei sitä aluksi suunniteltu majakaksi. Majakan statuksen se sai kuitenkin, sillä se on ensimmäinen väylän alussa oleva merimerkki.
Jo vuonna 1880 Luotsihallitus oli suunnitellut Kasa Storbådanille miehitettyä merimajakkaa. Suunnitelma ei toteutunut luodon moreenisesta maaperästä ja ahtaudesta johtuen. Nykyisin luoto on kasvanut huomattavasti maankohoamisen vuoksi.
Funktioteoria

Funktioteoria eli kompleksianalyysi tutkii analyyttisiä funktioita, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa. Funktioteoria keskittyy derivoituvien (differentioituvien) kompleksimuuttujan funktioiden (analyyttisten eli holomorfisten funktioiden) tutkimiseen. Analyyttisten funktioiden teoria perustuu ratkaisevasti kompleksiseen integrointiin, joka huipentuu residylaskentaan (ranskaksi calcul des résidus, "jäännöslaskenta").
Suomessa on pitkät perinteet funktioteorian tutkimisessa. Tutkimussuunnan toi Suomeen Ernst Lindelöf, ja kansainvälistä huippua alalla ovat edustaneet muun muassa Rolf Nevanlinna ja ainoa suomalainen Fieldsin mitalisti, Lars Ahlfors.
Kompleksianalyysia hyödynnetään usein muun muassa sähkötekniikassa, vaihtosähköön liittyvässä analyysissä, sillä signaalit sisältävät kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudin sekä vaiheen, ja kompleksiaritmetiikan avulla jännitteet ja virrat voidaan esittää yhdellä kompleksiluvulla.
Analyyttiset funktiot > Cauchyn määritelmä

Kompleksimuuttujan  z\neq \infty  funktion  f(z) sanotaan olevan analyyttinen kompleksitason alueessa  G, jos funktio on yksikäsitteisesti määritelty kyseisessä alueessa ja jos sillä on äärellinen derivaatta alueen  G jokaisessa pisteessä. Tämä analyyttisen funktion määritelmä on peräisin kompleksifunktioiden teorian perustajalta Augustin Louis Cauchy'lta. Kompleksisen funktion derivaatta määritellään vastaavalla tavalla kuin reaalifunktion derivaatta. Erotusosamäärä vain muodostetaan silloin kompleksiluvuilla määritellylle funktiolle, ja rajankäynti derivaatan arvon saavuttamiseksi tapahtuu kompleksilukualueella eli
Tässä siis myös luku  h on kompleksiluku. Osoittautuu, että analyyttisellä funktiolla on jopa kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat eli se on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva.
Analyyttiset funktiot > Riemannin määritelmä

Bernhard Riemann määritteli analyyttisen funktion toisella tavalla Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio
missä  z=x+iy, voidaan esittää kahden reaalimuuttujan  x ja  y avulla käyttäen kompleksifunktion jakamista reaali- ja imaginääriosiin. Kompleksifunktio  f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) on analyyttinen alueessa  G, jos "osafunktiot"  u(x,y) ja  v(x,y) ovat derivoituvia aluetta  G vastaavalla reaalisella tasoalueella ja toteuttavat siellä osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Näitä yhtälöitä sanotaan Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiksi ja niistä seuraa, että funktioilla  u(x,y) ja  v(x,y) on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat kyseisessä alueessa.
Analyyttiset funktiot > Merkitys

Analyyttisyyden määritelmä on yksinkertainen, mutta merkitsee erittäin vahvaa ja rajoittavaa ehtoa kompleksifunktion ominaisuuksille. Se edellyttää muun muassa sitä, että kahden reaalimuuttujan funktiot  u(x,y) ja  v(x,y) toteuttavat niin sanotun Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön (lyhyesti Laplacen yhtälön) kahdessa ulottuvuudessa
Laplacen yhtälön kautta määriteltyjä funktioita, jotka siis ovat kompleksimuuttujan reaaliarvoisia funktioita, sanotaan harmonisiksi funktioiksi.
Jos kompleksifunktiolla on olemassa integraalifunktio eli funktio, jonka derivaatta kyseinen kompleksifunktio on, niin integraalifunktio on analyyttinen. Tässä tapauksessa alkuperäisen kompleksifunktion käyräintegraali alueessa  G riippuu vain käyrän päätepisteistä eikä siitä, mitä reittiä pitkin integrointi tehdään. Erityisesti käyräintegraali suljetun käyrän ympäri on aina nolla.
Ensilumi (elokuva)

| Ensilumi |
| --- | --- |
 Elokuvan juliste
Ohjaaja:  Hamy Ramezan
Käsikirjoittaja:   Hamy Ramezan  Antti Rautava 
Tuottaja:   Jussi Rantamäki  Emilia Haukka 
Säveltäjä:  Tuomas Nikkinen
Kuvaaja:  Arsen Sarkisiants
Leikkaaja:  Joona Louhivuori
Lavastaja:  Kari Kankaanpää
Pääosat:   Shahab Hosseini  Aran-Sina Keshvari  Shabanam Ghorbani  Kimiya Eskandari 
Valmistustiedot
Valmistusmaa:  Suomi
Tuotantoyhtiö:  Elokuvayhtiö Aamu
Levittäjä:  Nordisk Film
Ensi-ilta:   2020-10-1616. lokakuuta 2020  
Kesto:  82 minuuttia
Alkuperäiskieli:  suomi, persia, englanti
Budjetti:  1,2 miljoonaa euroa
Aiheesta muualla
IMDb 
Elonet
Infobox OKNimi-testi OK: 
Ensilumi on vuonna 2020 ensi-iltansa saanut suomalainen draamaelokuva, jonka on ohjannut Hamy Ramezan. Elokuva kertoo suomalaisessa vastaanottokeskuksessa asuvasta perheestä, joka saa hylätyn turvapaikkapäätöksen. Perhe tekee päätöksestä valituksen ja yrittää jatkaa elämäänsä.
Ensilumi sai ensi-iltansa 16. lokakuuta 2020. Elokuva sai kuusi Jussi-ehdokkuutta vuoden 2021 gaalassa parhaasta elokuvasta, ohjauksesta, miespääosasta (Hosseini, joka sai palkinnon), käsikirjoituksesta, kuvauksesta ja äänisuunnittelusta.
Rooleissa

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Aran-Sina Keshvari  | … |  Ramin Mehdipouri   |
|  Shahab Hosseini  | … |  Bahman Mehdipouri   |
|  Shabanam Ghorbani  | … |  Mahtab Mehdipouri   |
|  Kimiya Eskandari  | … |  Donya Mehdipouri   |
|  Vilho Rönkkönen  | … |  Jigi   |
|  Laura Birn  | … |  Annika, opettaja   |
|  Kristiina Halkola  | … |  Helena   |
|  Eero Melasniemi  | … |  Onni   |
|  Muhammed Cangören  | … |  Fazel   |
|  Lumi Barrois  | … |  Marianna   |
Vastaanotto

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
Episodi  Niko Ikonen: 
Film-O-Holic.com  Juuso Kilpeläinen: 
Helsingin Sanomat  Leena Virtanen: 
Hufvudstadsbladet Krister Uggeldahl: 
Kulttuuritoimitus  Eija Niskanen: 
Me Naiset  Martta Kaukonen: 
Turun Sanomat  Päivi Valotie: 
Keskiarvo:
Aiheesta muualla

Ensilumi Internet Movie Databasessa (englanniksi)
Ensilumi Elonet.
Puhtaan maan buddhalaisuus

Puhtaan maan buddhalaisuus on yksi buddhalaisen Mahayana-suuntauksen  koulukunnista. Puhtaan maan buddhalaisuus on yksi omaperäisimmistä buddhalaisuuden suuntauksista. Sitä esiintyy pääasiassa Kiinassa, mutta myös Japanissa on sen pienimuotoista kannatusta.
Puhtaan maan buddhalaisuus syntyi Kiinassa 500-luvulla. Suuntaus sai suosiota etenkin kansan parissa. Siinä uskotaan Amitabha-buddhaan, joka on jumalallisen voiman ja valon kuva. Amitabhan ohella palvotaan Guanyin-jumalatarta, joita kumpaakin palvotaan temppeleissä. Ihminen pelastuu uskomalla Amitabhaan ja lausumalla toistuvasti tämän nimeä ja pääsee paratiisiin. Paratiisi on kaukainen läntinen Puhdas maa, jossa on pelkkää hyvyyttä ja rakkautta, ja siellä kaikki buddhalle omistautuneet ihmiset pääsevät lepäämään. Puhtaaseen maahan päässyt ihminen voi keskittyä valaistumiseensa täällä ennemmin kuin aiemmassa elämässään.
Petollinen on ihmissydän

| Petollinen on ihmissydän> The Heart Is Deceitful Above All Things |
| --- | --- |

Ohjaaja:  Asia Argento
Käsikirjoittaja:  Asia Argento
Tuottaja:   Lawrence E. Davis  Chris Hanley  David Hillary  Alain de la Mata 
Säveltäjä:  Morgan (käännä suomeksi)
Kuvaaja:  Eric Alan Edwards
Pääosat:   Asia Argento  Jimmy Bennett  Dylan Sprouse  Cole Sprouse 
Valmistustiedot
Valmistusmaa:   Yhdysvallat  Iso-Britannia  Ranska  Japani 
Levittäjä:  Netflix
Ensi-ilta:  2004
Kesto:  100 min
Alkuperäiskieli:  Englanti
Aiheesta muualla
IMDb 
Elonet
AllMovie
Infobox OKNimi-testi OK: 
Petollinen on ihmissydän (engl. The Heart Is Deceitful Above All Things) on vuonna 2004 ilmestynyt draamaelokuva, jonka on käsikirjoittanut ja ohjannut Asia Argento. Elokuva perustuu JT LeRoyn (oik. Laura Albert) samannimiseen kirjaan. Argento esittää itse naispääosaa.
Tarina

Elokuva kertoo 7-vuotiaasta Jeremiahista, joka viedään väkisin kasvattivanhemmiltaan. Hänen biologinen äitinsä, Sarah on tullut täysi-ikäiseksi ja ottaa poikansa luokseen asumaan. Sarah käyttää huumeita, myy itseään ja kohtelee lastaan huonosti. Jeremiah haluaisi takaisin kotiinsa, mutta Sarah pelottelee pojan uskomaan, etteivät kasvattivanhemmat halunneet häntä takaisin. Jeremiah päättää karata, mutta jää kiinni ja joutuu takaisin äitinsä luo. Sarahin alati vaihtuvat miesystävät hakkaavat ja käyttävät poikaa seksuaalisesti hyväkseen. Sarahin jättämä Emerson raiskaa Jeremiahin kostoksi Sarahille. Jeremiah joutuu sairaalaan ja lasten psykologille.
Myöhemmin Jeremiah pääsee isovanhempiensa hoiviin. Isovanhemmat ovat kiihkouskovaisia ja johtavat uskonnollista kulttia, jossa Jeremiah joutuu lukemaan Raamattua sekä tekemään katumusharjoituksia. Kultissa asuu myös hänen enonsa Aaron, joka pitää siskoaan syntisenä. Aluksi Aaron kiusoittelee Jeremiahia, mutta myöhemmin heistä tulee ystäviä.
Kolmen vuoden kuluttua Jeremiah saarnaa kadulla Jeesuksesta ja tapaa Sarahin, joka ottaa pojan taas mukaansa vuosien erossaolon jälkeen. Tästä alkaa päihteiden ja rekkakuskien värittämä kiertolaiselämä pitkin Amerikan rekkaseisakkeita.
Näyttelijät

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Asia Argento  | … |  Sarah   |
|  Jimmy Bennett  | … |  Jeremiah 7-vuotiaana   |
|  Dylan ja Cole Sprouse  | … |  Jeremiah 11-vuotiaana   |
|  Marilyn Manson  | … |  Jackson   |
|  Peter Fonda  | … |  isoisä, Sarahin isä   |
|  Ornella Muti  | … |  isoäiti, Sarahin äiti   |
|  John Robinson  | … |  Aaron, Sarahin pikkuveli   |
|  Brent Almond  | … |  poliisi   |
|  David Dwyer  | … |  poliisi   |
|  Kip Pardue  | … |  Luther   |
|  Jeremy Renner  | … |  Emerson   |
|  David Brian Alley  | … |  lääkäri   |
|  Lindy Maguire  | … |  tyttö   |
Arvioita

Turun Sanomien Tapani Maskulan mielestä Petollinen on ihmissydän on karkea ja teknisesti kömpelö halvan budjetin filmi, jonka ulkokohtainen henkilöohjaus ei tarjoa samastumispintaa. Käsikirjoittajan ja ohjaajan rooleissa siedettävä Asia Argento pilaa Maskulan mielestä elokuvan vähäeleisen vilpittömyyden räikeällä näyttelijäntyöllään.
Elitisti-elokuvasivuston Ilja Rautsi taas kehui Argenton roolisuoritusta ”villin luontevaksi”, kuin luonnonvoimaksi. Kerronnaltaan elokuva on hänestä energinen eikä sorru missään vaiheessa sentimentaalisuuteen tai demonisointiin, vaan antaa tekojen puhua puolestaan.
Hamiltonin mekaniikka

Hamiltonin mekaniikka on irlantilaisen William Rowan Hamiltonin vuonna 1833 esittämä lähestymistapa klassiseen mekaniikkaan. Se muistuttaa jonkin verran Lagrangen mekaniikkaa ja useimmissa oppikirjoissa Hamiltonin mekaniikan käsittelyyn siirrytäänkin Lagrangen mekaniikan tulosten kautta. Hamiltonin mekaniikka voidaan kuitenkin johtaa myös kokonaan Lagrangen mekaniikasta riippumatta, symplektisten monistojen teorian pohjalta. Tämän vuoksi se muodostaa aidosti erilaisen lähestymistavan.
Hamiltonin mekaniikka on nykyisin mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut kvanttimekaniikassa, jonka matemaattinen kuvaus perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan ja Hamiltonin operaattoreihin.
Hamiltonin yhtälöt ja Hamiltonin funktio

Olkoon  q_{i}\, tutkittavan systeemin (yleistetyt) paikkakoordinaatit ja  {\dot {q}}_{i} vastaavat yleistetyt nopeudet. Nyt systeemiä kuvaa Lagrangen funktio  L. Määritellään uusi, hieman nopeutta muistuttava suure, yleistetty liikemäärä
Yleistetty liikemäärä tunnetaan myös nimillä kanoninen liikemäärä ja konjugoitu liikemäärä. Sanan liikemäärä sijasta käytetään myös usein sanaa impulssi (saks. Impuls, liikemäärä). Kannattaa huomata, että suoraviivaisen liikkeen tapauksessa  {\dot {q}}:t ovat nopeuksia ja yleistetty liikemäärä vastaa täsmälleen kappaleen liikemäärää. Pyörimis­liikkeen tapauksessa  {\dot {q}}:t ovat kulmanopeuksia ja yleistetty liikemäärä vastaa kappaleen pyörimismäärää.
Määritellään nyt uusi funktio
jota kutsutaan systeemin Hamiltonin funktioksi (engl. Hamiltonian). Tämän funktion avulla saadaan kirjoitettua systeemiä kuvaavat liikeyhtälöt.
sekä
Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat systeemin Hamiltonin yhtälöt eli kanoniset yhtälöt. Ne muodostavat jokaista systeemiin kuuluvaa kappaletta kohti 2N ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ryhmää. Tämä ei kuitenkaan yleensä haittaa, sillä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on ryhmänäkin huomattavasti helpompaa kuin korkeamman kertaluvun yhtälöt, joiden ratkaisemiseen Newtonin ja Lagrangen lähestymistavat johtavat. Lisäksi osoittautuu, että Hamiltonin yhtälöiden muoto on matemaattiselta kannalta aivan erityisen oivallinen, sillä yhtälöillä on syvällinen yhteys kvanttifysiikkaan.
Viimeinen yhtälö ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että  H riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin, jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti. Toisin sanoen Hamiltonin funktio on säilyvä suure muutoin paitsi niissä hyvin epä­tavallisissa poikkeus­tapauksissa, joissa aika esiintyy funktiossa. Voidaankin osoittaa, että Hamiltonin funktio vastaa systeemin kokonaisenergiaa.
Esimerkki: yksiulotteinen oskillaattori

Tarkastellaan kappaletta, jonka kineettinen energia on
ja johon kohdistuu potentiaalienergia
missä  m on kappaleen massa ja  c vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on (ks. artikkeli Lagrangen mekaniikka)
ja koordinaattia  x vastaava yleistetty liikemäärä saadaan derivoimalla  {\dot {x}}:n suhteen:
Hamiltonin funktion kirjoittamista varten täytyy ratkaista tästä  {\dot {x}} liikemäärän  p avulla, jolloin saadaan  {\dot {x}}=p/m ja sijoitetaan
Tämä  H on systeemiä kuvaava Hamiltonin funktio, jota derivoimalla voidaan kirjoittaa lopulliset Hamiltonin yhtälöt:
Tässä tapauksessa yhtälöpari ratkeaa helposti analyyttisesti, kun derivoidaan ensimmäinen yhtälö ajan suhteen ja sijoitetaan se jälkimmäiseen. Tulokseksi saadaan liikeyhtälö
jonka ratkaisuna on
Kirjallisuutta

Salonen, Eero-Matti: Dynamiikka II.  Espoo:  Otatieto, 2004 (1999).  ISBN 951-672-281-4
Vladikavkaz

| Vladikavkaz (Владикавка́з, Дзæуджыхъæу) |
| --- | --- |
 Näkymä Vladikavkazin keskustaan Terekjoen varrella. Alla kaupungin sijainti Pohjois-Ossetia-Alanian kartalla
 vaakuna
 Vladikavkaz
 Koordinaatit: 43.0205°N, 44.6820°E 
Valtio:  Venäjän federaatio
Tasavalta:  Pohjois-Ossetia-Alanian tasavalta
Piiri:  Vladikavkazin kaupunkipiiri
Perustettu:  
Kaupungiksi:  1860
Hallinto:  
 – Hallinnon tyyppi:  Kaupunki
Väkiluku (2010)  ():  311 693
Aikavyöhyke:  UTC+3 (MSK)
Postinumero:  362ХХХ
Suuntanumero(t):  +7 8672
 
 vladikavkaz-osetia.ru 
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Vladikavkaz (ven. Владикавка́з, oss. Дзæуджыхъæу, inguušiksi Буро), aiemmin  Dzaudžikau ja Ordžonikidze (ven. Орджоникидзе), on Pohjois-Ossetia-Alanian tasavallan pääkaupunki Venäjän federaatiossa.  Kaupunki sijaitsee tasavallan kaakkoisosassa Kaukasusvuoriston juurella, Terek-joen varrella. Vuonna 2010 kaupungin väkiluku oli 311 693 henkeä.
Historiaa

Vuosina 1931–1944 ja uudelleen 1954–1990 kaupungin nimi oli Ordžonikidze georgialaisen kommunistin Grigori Ordžonikidzen mukaan. Vuosina 1944–1954 kaupunki oli virallisesti osseetin kielestä johdettu Dzaudžikau.
Historiaa > Asukasluvun kehitys

Taulukko kuvaa kaupungin väkiluvun kehitystä.
| Vuosi | 1959 | 1970 | 1979 | 1989 | 2002 | 2010 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Väkiluku | &&&&&&&&&0164420.&&&&00164 420 | &&&&&&&&&0236200.&&&&00236 200 | &&&&&&&&&0278930.&&&&00278 930 | &&&&&&&&&0300198.&&&&00300 198 | &&&&&&&&&0315608.&&&&00315 608 | &&&&&&&&&0311693.&&&&00311 693 |

Kaupungin merkittävin urheiluseura on jalkapallojoukkue FC Alania Vladikavkaz. Kansantanssiryhmä Alan on saavuttanut ulkomaistakin menestystä.
Maailmankuulu kapellimestari Valeri Gergijev on osseetti ja asui lapsuutensa kaupungissa. Sieltä on kotoisin myös muun muassa Georgian patriarkka Ilia II.
Vladikavkazissa on muun Pohjois-Kaukasian tavoin ollut rauhatonta. Kaupungissa on tehty pommi-iskuja 1999 ja 2008.
Kaupungin pormestari Vitali Karajev ammuttiin 26. marraskuuta 2008 ja paikallinen liikemies tovereineen seuraavana päivänä. Surmien on uskottu liittyvän luvattoman vodkan markkinaosuuksien uusjakoon.
9. syyskuuta 2010 kaupungin torilla räjähti autopommi. Pommi-iskussa kuoli 16 ihmistä ja haavoittui toistasataa.
Kuvia

Näkymä Ave. Miralta (2013).
Muktarovin moskeija (sijaitsee Tarekjoen äärellä).
Armenalainen kirkko (1843) Vladikavkazissa.
Sisänäkymä Neitsyt Marialle omistetusta ortodoksikirkosta (1823).
Uudempi ortodoksikirkko.
Läheinen Stolovaja-vuori kaupungista nähtynä.
Vladikavkazin yliopistoa.
Rautatieasema.
Vladikavkazin Spartak-stadion.
Ystävyyskaupungit

Ardahan, Turkki
Asheville, Yhdysvallat
Kărdžali, Bulgaria
Mahatškala, Venäjä
Naltšik, Venäjä
Vladivostok, Venäjä