Giovanni Girolamo Saccheri
Geometriset työt

Nykyisin Saccheri tunnetaan parhaiten viimeisestä, vuonna 1733 julkaisemastaan teoksesta Euclides ab omi naevo vindicatos ("Eukleides kaikista virheistä vapautettuna"), joka kuitenkin oli unohduksissa, kunnes Eugenio Beltrami löysi sen 1800-luvun loppupuolella.
Nykyisin teosta pidetään varhaisena epäeuklidista geometriaa koskevana tutkimuksena. Saccherin tarkoituksena oli kuitenkin todistaa Eukleideen paralleelipostulaatti tai jokin sen kanssa yhtäpitävä tulos Eukleideen muiden aksioomien ja postulaattien avulla. Hän yritti todistaa sen epäsuorasti (reductio ad absurdum)  Toisin sanoen hän teki pitkälle meneviä päätelmiä siitä, mitä seuraisi, jos paralleelipostulaatti ei pitäisi paikkaansa ja yritti osoittaa, että tämä vastaoletus johtaisi ristiriitaan.
Todistusyrityksessään Saccheri käytti kuviota, joka on tullut tunnetuksi Saccherin nelikulmio]]na. Sen muodostaa jana AB sekä sen molemmista päistä lähtevät janat AC ja BD, jotka kumpikin ovat kohtisuorassa janaan AB nähden. Jos tähän kuvioon lisätään jana CD, saadaan nelikulmio. Ilman paralleelipostulaattiakin voitiin helposti osoittaa, että tällöin kulmat C ja D ovat yhtä suuret, mutta oli selvitettävä, voidaanko täten todistaa, että ne ovat suoria kulmia. Tämä oletus nimittäin on yhtäpitävä paralleelipostulaatin kanssa, eli jos se voidaan todistaa tätä postulaattia käyttämättä, seuraa siitä, että myös paralleelipostulaatti voidaan todistaa.
Jos nämä kulmat eivät ole suoria (90°), on niiden oltava joko tylppiä (>90°) tai teräviä (>180°). Edellisestä oletuksesta kuitenkin seuraa, että suorat ovat äärellisen pituisia, mikä on vastoin Eukleideen toista postulaattia. Sen vuoksi Saccheri katsoi todistaneensa, että näin ainakaan ei voi olla. Nykyisin kuuri näin kuitenkin oletetaan elliptisessa geometriassa, jossa Eukleideen viidennen eli paralleelipostulaatin lisäksi myös suorien äärettömyyttä koskeva toinen postulaatti hylätään.
Oletus, että nämä kulmat olisivat teräviä, osoittautui vaikeammaksi kumota. Itse asiassa Saccheri ei onnistunutkaan johtamaan tästä loogista ristiriitaa, mutta kyllä monia intuition vastaisia tuloksia: esimerkiksi jokaisen kolmion pinta-ala on erästä ylärajaa pienempi ja on olemassa absoluuttinen pituusyksikkö. Nykyisin nämä tulokset käsitetään hyperbolisen geometrian teoreemoiksi. Saccheri kuitenkin päätti tämän oletuksen seurauksia pohdittuaan lopulta päätelmään, että "teräväkulmahypoteesi on ehdottomasti epätosi, koska se on vastoin suorien viivojen luonnetta" (lat. repugnans naturae linae rectae)
On jossakin määrin kiistanalaista, tarkoittiko Saccheri todella tätä, sillä hän julkaisi teoksensa elämänsä viimeisenä vuotena, pääsi äärimmäisen lähelle epäeuklidisen geometrian keksimistä ja oli loogikko. Toiset uskovat, että Saccheri teki tämän loppupäätelmän välttyäkseen kritiikiltä, jota hyperbolisen geometrian näennäisesti epäloogiset ominaisudet voisivat saada osakseen.
Nykyisin Saccherin nelikulmioiksi nimitettyjä, Saccherin todistuksissaan käyttämiä kuvioita oli jo 1000-luvulla käyttänyt persialainen yleisnero Omar Khayyam teoksessaan Keskustelua Eukleideen vaikuksista (Risâla fî sharh mâ ashkala min musâdarât Kitâb 'Uglîdis). Khayyam mainitsi ne kuitenkin vain ohimennen, kun taas Saccheri tutki niiden ominaisuuksia syvällisesti.