stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Dr. Luigi
Aiheesta muualla

Peli Nintendon sivuilla (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
Peli Super Mario Wikissä (englanniksi)
Mario-pelit
| --- | --- |
Tasohyppelyt:  Donkey Kong  Mario Bros.  Super Mario Bros.  Super Mario Bros.: The Lost Levels (SMB2J)  Super Mario Bros. 2  Super Mario Land  Super Mario Bros. 3  Super Mario World  Super Mario Land 2  Super Mario 64  Super Mario Sunshine  Super Princess Peach  New Super Mario Bros.  Super Mario Galaxy  New Super Mario Bros. Wii  Super Mario Galaxy 2  Super Mario 3D Land  New Super Mario Bros. 2  New Super Mario Bros. U  Super Mario 3D World  Super Mario Odyssey 
Roolipelit:  Super Mario RPG  Mario & Luigi: Superstar Saga  Mario & Luigi: Partners in Time  Mario & Luigi: Bowser’s Inside Story  Mario & Luigi: Dream Team Bros.  Mario & Luigi: Paper Jam Bros. 
Paper Mario:  Paper Mario  Paper Mario: The Thousand-Year Door  Super Paper Mario  Paper Mario: Sticker Star  Paper Mario: Color Splash  Paper Mario: The Origami King 
Spinoff-pelit:  Mario Kart -pelisarja  Mario Party -pelisarja  Mario Golf -pelisarja  Mario Tennis -pelisarja  Luigi's Mansion  Mario Superstar Baseball  Mario Smash Football  Mario Strikers: Charged Football  Dance Dance Revolution Mario Mix  Super Mario Ball  Dr. Mario -pelisarja  Wrecking Crew  Wrecking Crew 98  Mario Slam Basketball  Mario Sports Mix  Mario & Sonic at the Olympic Games  Mario & Sonic at the Olympic Winter Games  Mario & Sonic at the London 2012 Olympic Games  Boom Street  Luigi’s Mansion 2  Mario & Sonic at the Sochi 2014 Olympic Winter Games  Mario & Sonic at the Rio 2016 Olympic Games  Mario & Sonic at the Tokyo 2020 Olympic Games 
Uudelleenjulkaisut:  Super Mario All-Stars  Super Mario Bros. DX  Super Mario Advance  Super Mario Advance 2  Super Mario Advance 4  Super Mario 64 DS 
Ajopelit:  Super Mario Kart  Mario Kart 64  Mario Kart: Super Circuit  Mario Kart: Double Dash!!  Mario Kart DS  Mario Kart Wii  Mario Kart 7  Mario Kart 8  Mario Kart 8 Deluxe 
Yoshi-pelit:  Super Mario World 2  Super Mario Advance 3  Yoshi’s Story  Yoshi’s Island DS  Yoshi’s Universal Gravitation  Yoshi Touch & Go  Yoshi’s New Island  Yoshi’s Woolly World  Yoshi’s Crafted World 
Muut pelit:  Hotel Mario  Marios FUNdamentals  Mario Is Missing!  Mario Teaches Typing  Mario's Time Machine  Super Mario: Blue Twilight DX  Super Mario's Wacky Worlds  Captain Toad: Treasure Tracker  Super Mario Maker  Super Mario Maker 2
Alkeismatriisi

Matematiikassa alkeismatriisi on yksinkertainen matriisi, joka saadaan yksikkömatriisista yhdellä alkeisrivitoimituksella - jokainen alkeisrivitoimitus pystytäänkin ilmoittamaan jonkin alkeismatriisin avulla. Alkeismatriisien ominaisuuksien ansiosta pystytään käsittelemään  säännöllisiä matriiseja.
Määritelmä

m×m -matriisi E on alkeismatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisista Im yhdellä alkeisrivitoimituksella K, jossa K on I, II tai III. Alkeismatriisin E sanotaan tällöin olevan tyyppiä K.
I. Kahden rivin paikat vaihdetaan.
II. Rivi kerrotaan nollasta eriävällä luvulla.
III. Riviin lisätään toisen rivin monikerta.
Määritelmä > Esimerkki

jossa yksikkömatriisin 2. ja 3. rivi on vaihdettu keskenään.
jossa yksikkömatriisin 3. rivi on kerrottu vakiolla 3.
jossa yksikkömatriisin 3. riviä on kerrottu luvulla 4 ja lisätty se sitten 1. riviin.
Ominaisuuksia

1. Oletetaan, että alkeismatriisi E on tyyppiä K. Kun tällä alkeismatriisilla kerrotaan jokin matriisi A on tulos sama kuin, jos A:lle tehtäisiin rivitoimitus K. (K = I, II tai III)
Ominaisuuksia > Esimerkki

Suoritetaan matriisille
rivitoimitus I alkeismatriisin E avulla. A:n 1. ja 2. rivi vaihdetaan siis seuraavasti:
Myös rivitoimitukset II ja III voitaisi esittää alkeismatriisien avulla.
2. Jos äärellisellä määrällä alkeismatriiseja kerrotaan jotakin matriisia B ja saadaan tuloksi matriisi A, matriisit A ja B ovat  riviekvivalentteja.
3. Alkeismatriisi E on  säännöllinen ja sen käänteismatriisi E -1  on samaa tyyppiä K kuin E.
Käyttö

Alkeismatriisien ominaisuuksia hyödynnetään, kun todistetaan matriisien säännöllisyysehtoa.
Käyttö > Säännöllisyysehto

Matriisi A on säännöllinen, jos ja vain jos A ja sitä vastaava yksikkömatriisi ovat riviekvivalentteja.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9  ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)
Normaali matriisi

Normaali matriisi on sellainen kompleksinen neliömatriisi  A, että sen hermitoidulle matriisille  A^{*} pätee
Selvästi kaikki unitaariset ja itseadjungoidut matriisit ovat normaaleja. Lisäksi voidaan osoittaa, että
Matriisi  A on normaali jos ja vain jos se on unitaarisesti diagonalisoituva
eli on olemassa jokin sellainen unitaarimatriisi  U ja diagonaalimatriisi  D, että  A=UDU^{*}. Lisäksi
Matriisi  A on normaali jos ja vain jos sen ominaisvektoreista voidaan valita vektoriavaruuden  \mathbb {C} ^{n} ortonormaali kanta.
Normaali matriisi voidaan myös aina lausua muodossa  A=UM=MU\,, missä  U on unitaarinen ja  M on itseadjungoitu matriisi.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Nollamatriisi

Nollamatriisi on n×m-matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia. Se toimii matriisien renkaan  {\mathcal {M}}_{n\times m} nolla-alkiona eli identiteettinä yhteenlaskun suhteen. Nollamatriiseja ovat esimerkiksi
Yhteenlaskussa nollamatriisille pätee
ja kertolaskussa
ja
Nollamatriisi on selvästi nilpotentti ja singulaarinen ja sekä sen jälki että determinantti ovat nollia. Nollamatriisia vastaava lineaarikuvaus vektoriavaruudessa V kuvaa kaikki V:n alkiot nollavektoriksi.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Konservatiivinen kenttä

Konservatiivinen kenttä  on vektorikenttä F, jolle pätee
missä:
\Gamma  on suljettu polku, jota pitkin integroidaan
Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta.  Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.
Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti

Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa  \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi  jollekin skalaarikentälle  \phi . Mikäli F(x) on voimakenttä, on  \phi  potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun  \Gamma  läpi alkaen paikkavektorista x0 ja päättyen paikkavektoriin x1. Oletetaan, että  \Gamma  voidaan parametrisoida  \mathbf {x} =\mathbf {x} \left(t\right) parametrille  t_{0}\leq t\leq t_{1}. Täten
|  \int _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x}  |  =\,\! |  -\int _{\Gamma }\nabla \phi \cdot d\mathbf {x}  |
| --- | --- | --- |
|  |  =\,\! |  -\int _{t_{0}}^{t_{1}}\nabla \phi \cdot {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}dt=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial t}}\right)dt |
|  |  =\,\! |  -\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\phi \left(x(t),y(t),z(t)\right)dt=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\phi \left(\mathbf {x} (t)\right)dt |
|  |  =\,\! |  \phi \left(\mathbf {x} (t_{0})\right)-\phi \left(\mathbf {x} (t_{1})\right)=\phi \left(\mathbf {x} _{0}\right)-\phi \left(\mathbf {x} _{1}\right) |

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.
Yleisesti jos  \mathbf {F} =-\nabla \phi , silloin  \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0\ \forall \ \Gamma .
Vastaavasti jos  \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0\ \forall \ \Gamma , silloin  \mathbf {F} =-\nabla \phi  jollekin  \phi . Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin  \Gamma   \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0.
Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit

Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle  \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi , täten jos F on eksakti, eli  \mathbf {F} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} , voidaan kirjoittaa  \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =P(x,y)dx+Q(x,y)dy=d\phi . Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos  P(x,y)dx+Q(x,y)dy on eksakti.
Konservatiivinen kenttä ja roottori

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee  \nabla \times \mathbf {F} =0. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan  \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi  (kts. yllä):
koska  {\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial \phi }{\partial b}}={\frac {\partial \phi }{\partial a}}{\frac {\partial }{\partial b}} ja  {\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial \phi }{\partial b}}={\frac {\partial \phi }{\partial b}}{\frac {\partial }{\partial a}}.
Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska  \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} , on  \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0 minkä tahansa polun  \Gamma  ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti  \int _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {dS} =0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} . Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska  \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .)
Positiivisesti definiitti matriisi

Positiivisesti definiitti matriisi on hermiittinen matriisi, jolla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla reaaliluvuilla.  Termin kanssa samantapainen termi on positiivisesti definiitti symmetrinen bilineaarinen muoto (eli seskvilineaarinen muoto, kompleksimatriisien tapauksessa).
Yhtäpitäviä määritelmiä

Olkoon  M kokoa  n\times n oleva hermiittinen matriisi. Seuraavassa merkitään matriisin tai vektorin  A transpoosia  A^{T}:llä ja konjugaattista transpoosia  A^{*}:llä. Matriisin  M sanotaan olevan positiivisesti definiitti, jos sillä on yksikin (ja siten kaikki) seuraavista yhtäpitävistä ominaisuuksista:
| --- | --- |
1.: Kaikilla nollasta poikkeavilla vektoreilla  z\in \mathbb {C} ^{n} on voimassa  {\textbf {z}}^{*}M{\textbf {z}}>0. Huomaa, että  z^{*}Mz on aina reaalinen.
2.: Kaikki  M:n ominaisarvot ovat positiivisia. (Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.)
3.: Muoto  \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}} määrittää sisätulon  \mathbb {C} ^{n}:ssä. (Itse asiassa jokainen  \mathbb {C} ^{n}:n sisätulo muodostaa hermiittisen positiivisesti semidefiniitin matriisin.)
4.: Sylvesterin kriteerio: Kaikilla  0<m\leq n matriisin  M vasemmasta yläkulmasta alkaen muodostettujen  m\times m-matriisien determinantti on positiivinen.
Analogiset väitteet ovat voimassa, jos  M on reaalinen symmetrinen matriisi korvaamalla  \mathbb {C} ^{n}  \mathbb {R} ^{n}:llä ja konjugaattinen transpoosi transpoosilla.
Lukusuora

Lukusuora, johon on merkitty joitakin erityisiä reaalilukuja
Lukusuora on yksiulotteinen äärettömän pitkä suora. Lukusuora ulottuu negatiivisesta äärettömyydestä nollan kautta positiiviseen äärettömyyteen. Lukusuoran kukin piste vastaa yhtä reaalilukua. Kokonaisluvut on usein merkitty näkyviin.
Lukusuoraa käytetään apuvälineenä yhteen- ja vähennyslaskun opetuksessa, etenkin negatiivisten lukujen osalta. Epäyhtälöryhmien ja lukujen joukko-operaatioiden ratkaisut päätellään myös usein lukusuoran avulla.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Lukusuora (Arkistoitu – Internet Archive)
Arte povera

Mario Merz, Igloo di pietra, 1982.
Arte povera (suom. köyhä taide) on italialaisen taidekriitikon Germano Celantin vuonna 1967 lanseeraama nimitys tuon ajan italialaisen nuoren taiteen uudelle taidesuunnnalle.
Arte poveran voimakkain esiintymisaika oli 1960- ja 1970-luvuilla. Taidesuunnalle oli tyypillistä ei-traditionaalinen ja poliittisesti latautunut taide. Arte poveran taiteilijat tekivät usein lyhytaikaista taidetta, performansseja, installaatioita ja assemblaaseja, joista tuli myöhemmin taiteen yleisiä ilmaisuvälineitä.
Muualla Euroopassa ja Yhdysvalloissa samanhenkisistä teoksista puhutaan usein minimalismina. Siihen verrattuna arte povera -teokset ovat useammin installaatioita ja lähenevät joskus käsitetaidetta. Tyypillisiä arte poverassa käytettäviä materiaaleja ovat lasi, valo, hiekka, puu ja heinä. Arte povera on usein suurikokoista. Mario Merz igluineen on 1960-luvulta alkaen ollut arte poveran tunnetuin tekijä. Ryhmän taiteilijat asuivat Torinossa, Milanossa, Genovassa ja Roomassa.
Arte poveran taiteilijoita

Giovanni Anselmo
Alighiero e Boetti
Joseph Beuys
Pier Paolo Calzolari
Christo
Rossella Cosentino
Luciano Fabro
Giánnis Kounéllis
Piero Manzoni
Mario Merz
Marisa Merz
Giulio Paolini
Pino Pascali
Giuseppe Penone
Michelangelo Pistoletto
Richard Serra
Gilberto Zorio
Aiheesta muualla

Arte Povera Artcyclopediassa (englanniksi)
Arte Povera MoMA:n Art Terms -palvelussa (englanniksi)
| n k Taidesuuntauksia |
| --- | --- |
Esihistoriallinen taide:  Kalliopiirros  Kalliomaalaus 
Klassinen aika:  Mesopotamian taide  Muinaisen Egyptin taide  Antiikin Kreikan taide  Hellenistinen taide  Rooman valtakunnan taide 
Bysantti:  Varhaiskristillinen taide  Karolinginen renessanssi  Bysantin taide 
1000–1300-luvut:  Ottolainen taide  Romaaninen tyyli  Gotiikan taide 
Renessanssi 1400-luku:  Renessanssin taide 
1500-luku:  Manierismi 
1600-luku:  Barokki 
1700-luku:  Rokokoo  Klassismi  Romantiikka 
1800-luku:  Kansallisromantiikka  Düsseldorfin koulukunta  Hudson River -koulukunta  Prerafaeliitit  Estetismi  Arts and crafts  Naturalismi  Realismi  Impressionismi  Postimpressionismi  Akateeminen taide  Piktorialismi  Primitivismi  Symbolismi  Uusbarokki  Uusgotiikka  Uusklassismi  Uusrenessanssi  Jugend 
Modernismi 1900 alkaen:  Jugend  Naivismi  Fauvismi  Ekspressionismi  Kubismi  Dada  Abstrakti taide  Futurismi  Suprematismi  Konstruktivismi  De Stijl 
1920 alkaen:  Uusasiallisuus  Art deco  Surrealismi  Bauhaus  Funktionalismi  Yhteiskunnallinen realismi  Regionalismi  Sosialistinen realismi  Totalitaristinen taide 
1945 alkaen:  Abstrakti ekspressionismi  Cobra  Informalismi  Art brut  Tasismi  Konkretismi 
Nykytaide 1960 alkaen:  Pop-taide  Uusi realismi  Fluxus  Minimalismi  Fotorealismi  Op-taide  Kineettinen taide  Valotaide  Prosessitaide  Käsitetaide  Arte povera  Feministinen taide  Postmodernismi 
1980 alkaen:  Uusekspressionismi  Transavantgarde  Uusminimalismi  Neo-Geo  Tila- ja ympäristötaide  Mediataide  Young British Artists  Outsider-taide  Performanssi  Videotaide  Yhteisötaide  ITE-taide  Graffiti 
2000 alkaen:  Abjektitaide  Appropriaatio  Artivismi  Biotaide  Katoava taide  Paikkasidonnainen taide  Relaatiotaide  Äänitaide 
Vuodesta 1000 alkaen kyseessä ovat länsimaiset taidesuuntaukset
LU-hajotelma

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona. Tällöin siis matriisi
missä  L on alakolmiomatriisi ja  U yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin  L diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi  3\times 3-matriisille LU-hajotelma on siis
LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.
Käyttö determinantin laskemiseen

LU-hajotelman avulla matriisin  A\, determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin  U\, diagonaalialkoiden tulo eli
\det A=\Pi _{i=1}^{n}u_{ii}
Käyttö käänteismatriisin laskemiseen

Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä
LU{\vec {x}}_{i}={\vec {e}}_{i}
missä kukin  {\vec {e}}_{i} on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin  {\vec {x}}_{i} on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Samansuuntaisuus

Samansuuntaisuus liittyy matemaattisissa yhteyksissä vektorilaskentaan. Sen vastakohta on vastakkaissuuntaisuus. Myös "normaalien" lukujen voidaan ajatella olevan yksiulotteisia vektoreita, joten kaikki positiiviset luvut ovat samansuuntaisia positiivisille luvuille. Sama pätee useammissakin ulottuuvuuksissa, joten kaikki vektorin kanssa samalla koordinaatiston origon läpi kulkevalle suoralle sijoittuvat, mutta samalle puolen origoa jäävät vektorit ovat vektorille samansuuntaisia.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Eulerin lause (funktioteoria)

Eulerin lause tai Eulerin kaava (nimetty Leonhard Eulerin mukaan) on kompleksianalyysiin liittyvä matemaattinen kaava, joka ilmaisee kompleksilukujen toisaalta eksponenttifunktioon ja toisaalta trigonometriaan perustuvan esityksen välisen yhteyden.
Kompleksilukua eiφ kuvaava piste sijaitsee kompleksitason yksikköympyrällä origosta alkavan nuolen kärjessä.
Eulerin lause sanoo, että kompleksiluvulle eiφ pätee yhtälö  e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\,
missä  \scriptstyle i on imaginaariyksikkö ja φ on vaihekulma radiaaneina. Luku z1 = eiφ on kompleksitason yksikköympyrällä sijaitseva kompleksiluku ja sen itseisarvo on yksi. Sen vaihekulma eli kulma suhteessa positiiviseen reaaliakseliin on φ. Muita kuin itseisarvoltaan ykkösen suuruisia kompleksilukuja kuvataan kertoimen r avulla: z2 = reiφ. Kulmaan perustuvalla kompleksiluvun esittämisellä on yhteys esitystapaan  z=x+yi:
z=re^{i\phi }=r(\cos {\phi }+i\sin {\phi })=r\cos {\phi }+(r\sin {\phi })i=x+yi,
missä r = |z|, x = r cos φ ja y = r sin φ.
Historia

Eulerin lauseen todisti ensimmäisen kerran Roger Cotes vuonna 1714, mutta vasta Leonhard Eulerin lausetta koskeva työ vuonna 1748 toi sen lopullisesti matemaatikkojen tietoisuuteen. Kompleksilukujen esittämistä tasossa ei kuitenkaan 1700-luvulla vielä tunnettu, joten kumpikaan miehistä ei huomannut lauseen geometrista tulkintaa.
Huomioitavaa > Geometrinen tulkinta

Eulerin lause voidaan tulkita siten, että funktio eiφ piirtää yksikköympyrän kompleksitasolle, kun φ kulkee vähintään 2π:n mittaisen reaalilukujoukon läpi. Tässä φ on kulma, jonka kompleksitason pisteeseen origosta piirretty viiva muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kulmaa mitataan tässä yhteydessä radiaaneina. Eulerin lause pätee ainoastaan, mikäli funktiot sin φ ja cos φ on määritelty radiaaneille eikä asteille.
Eulerin lause muodostaa vahvan yhteyden analyysin sekä trigonometrian välille. Lausetta käytetään hyväksi kompleksilukujen napakoordinaattiesityksessä, ja se antaa mahdollisuuden logaritmifunktion määrittelyyn kompleksiluvuille.
Eksponenttifunktion laskukaavoista
ja
voidaan johtaa Eulerin lauseen avulla useita trigonometristen funktioiden lainalaisuuksia. Trigonometriset funktiot voidaan jopa määritellä kompleksilukujen eksponenttifunktion laajennuksina (vertaa hyperbolisten funktioiden kaavat):
Huomioitavaa > Eulerin identiteetti

Sijoittamalla
saa Eulerin lause kuuluisan Eulerin identiteetiksi kutsutun muodon
jota on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi. Se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1 ja 0. Siinä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen.
Todistus Taylorin sarjan avulla

Funktiot ex, cos(x) ja sin(x) (olettaen, että x on reaalinen) voidaan Taylorin sarjan avulla kirjoittaa:
Kompleksisille z määritellään vastaavat funktiot Taylorin sarjan avulla korvaten x:t muuttujalla iz. Havaitaan, että
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables.  (Shaum's Outline Series)  McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).  ISBN 978-0-07-161570-9
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Eulerin lause (funktioteoria) Wikimedia Commonsissa
Furby

Furby on vuonna 1998 myyntiin tullut karvainen robotti-lelu, joka muistuttaa ulkonäöltään hieman pöllöä. Furbyilla on isot, lepakkomaiset korvat ja linnun jalat. Minkäänlaisia siipiä tai käsiä Furbyilla ei ole.
Vuonna 2005 myyntiin tuli uudistettuja ja entistä kehittyneempiä Furbyja, jotka osasivat mm. tunnistaa ääntä.
Furby.comin mukaan uusi Furby-mallisto tuli markkinoille syyskuussa 2013.
Furby oli alun perin Tiger Electronic -yhtiön tuote, mutta sen valmistus lopetettiin vuonna 2001. Hasbro alkoi valmistaa Furbyja uudelleen vuonna 2005. Vuonna 2014 tulivat markkinoille Furby Boomit, joille on tehty oma nettisovellus. Sovelluksen avulla Furby Boomia voi syöttää, käyttää vessassa ja suihkussa sekä ottaa siitä röntgenkuvan. Furbyjen ja Furby Boomien lisäksi on olemassa sekä virtuaalisia että oikeita Furby Furblingseja, jotka ovat Furby Boomien poikasia. Furby Furblingseja voi hoitaa sekä oikeasti että virtuaalisesti nettisovelluksen avulla. Tavallisillekin Furbyille on kehitetty oma, joskin hiukan yksinkertaisempi nettisovellus. Furbyille myydään myös tarvikkeita, esim. tuoleja, aurinkolaseja sekä kantolaukkuja.
Lebesguen–Stieltjesin integraali

Lebesguen–Stieltjesin integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta
missä  f ja  g ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.