Pinta-alavektori
Esimerkkejä > Pallopinnan pintaelementtivektori

R


{\textstyle R}

-säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö  x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}. Muodostetaan pallopinta 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta 






S



1




{\textstyle {\mathcal {S}}_{1}}

 (yläpuoli, jossa 



z
>
0


{\textstyle z>0}

) ja 






S



2




{\textstyle {\mathcal {S}}_{2}}

(alapuoli, jossa 



z
<
0


{\textstyle z<0}

) sekä näitä yhdistävästä 



R


{\textstyle R}

-säteisestä ympyrärenkaasta 






S



0




{\textstyle {\mathcal {S}}_{0}}

. Tällöin 





S


=



S



1


∪



S



2


∪



S



0




{\textstyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{1}\cup {\mathcal {S}}_{2}\cup {\mathcal {S}}_{0}}

 ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.
Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta
{\begin{cases}x=R\cos \phi \cos \theta \\y=R\sin \phi \cos \theta \\z=R\sin \theta ,\end{cases}}
missä  \phi \in \left]0,2\pi \right[ ja  \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[.
Pinnan  {\mathcal {S}} parametriesitys on
\mathbf {r} (\phi ,\theta )=R\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +R\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +R\sin \theta \,\mathbf {k} .
Pintaelementtivektori on tällöin
{\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=\pm \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \phi }}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left((-R\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +R\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {j} )\times (-R\cos \phi \sin \theta \,\mathbf {i} -R\sin \phi \sin \theta \,\mathbf {j} +R\cos \theta \,\mathbf {k} )\right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left(R^{2}\cos \phi \cos ^{2}\theta \,\mathbf {i} +R^{2}\sin \phi \cos ^{2}\theta \,\mathbf {j} +R^{2}\sin \theta \cos \theta \,\mathbf {k} \right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left(\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} \right)R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \end{aligned}}
Koska  \Vert \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} \Vert =1, niin vektori  \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k}  kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Merkitään  \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} =\mathbf {\hat {e}} . Siis pallopinnan 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on
{\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=(\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} )R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \,\mathbf {\hat {e}} .\end{aligned}}
Yksikköpallo on paloittain sileä pinta, joka koostuu pallon ylä- ja alapuolikkaista 






S



1




{\textstyle {\mathcal {S}}_{1}}

 ja 






S



2




{\textstyle {\mathcal {S}}_{2}}

 sekä puolikkaita yhdistävästä ympyrärenkaasta 






S



0




{\textstyle {\mathcal {S}}_{0}}

. Pallopinta voidaan suunnistaa valitsemalla yksikkönormaalin suunta kummallakin puolikkaalla esimerkiksi pinnan ulkopuolelle. Huomaa tällöin pintaelementtivektorin suunta.
x
y


{\textstyle xy}

-tasossa makaavan suorakulmion pinta-alavektori 




S



{\textstyle \mathbf {S} }
Vektorien 




a



{\textstyle \mathbf {a} }

 ja 




b



{\textstyle \mathbf {b} }

 virittämän suunnikkaan pinta-alavektori on niiden ristitulovektori