stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Symmetria
Symmetria matematiikassa

Matemaattisen objektin sanotaan olevan symmetrinen jonkin matemaattisen operaation suhteen, jos tässä operaatiossa jokin objektin ominaisuus säilyy. Operaatiot, jotka säilyttävät jonkin tietyn ominaisuuden, muodostavat aina ryhmän. Kaksi eri objektia ovat keskenään symmetrisiä jonkin operaatioiden ryhmän suhteen, jos kumpikin niistä saadaan toisistaan
jollakin näistä operaatioista.
Symmetriaryhmiä käytetään erityisesti kvanttikemian, spektroskopian, kristallografian ja hiukkasfysiikan tutkimuksessa. Symmetrian matemaattisia ominaisuuksia käsitellään ryhmäteoriassa.
Symmetria matematiikassa > Symmetrian matemaattinen malli

Annetun joukon X kaikkiin alkioihin kohdistuvien kaikkien symmetria­operaatioiden joukkoa voidaan mallintaa ryhmäoperaatiolla g : G × X → X, missä g on ryhmään G kuuluva operaatio, ja x:n kuva X:ssä merkitään g•x.
Jos jollakin g:llä pätee g•x = y, sanotaan x:n ja y:n olevan symmetrisiä toisiinsa nähden. 
Jokaista alkiota x kohti ne operaatiot g, joille pätee g•x = x, muodostavat ryhmän, alkion symmetriaryhmän, joka on G:n aliryhmä.
Jos symmetriaryhmä x on triviaali ryhmä, jossa on vain neutraalialkio, x:n sanotaan olevan asymmetrinen, muussa tapauksessa symmetrinen.
Annetussa symmetria­ryhmässä kohteen osan ominaisuudet määrittävä koko kohteen. Jos katsotaan ekvivalenteiksi ne pisteet, joilla on symmetrian vuoksi samat ominaisuudet, ekvivalenssiluokkia ovat koko avaruuden ryhmäoperaation radat. Koko kohteen määrittämiseksi on vain tiedettävä x:n arvo jokaisen radan yhdessä pisteessä.
Vektoriavaruuden tapauksessa trans­latio­naalinen symmetria ei kuitenkaan merkitse heijastus­symmetriaa: funktion arvo on vakio, mutta jos siihen sisältyy muitakin kuin nollavektori, ei ole heijastus­symmetriaa. Jos myös heijastus­symmetria esiintyy, vakio­funktio ei sisällä muita vektoreita kuin nolla­vektorin, mutta sillä voi olla nollasta poikkeavia pseudo­vektoreita. Tällaisen kolmi­ulotteisen esimerkin muodostaa ääretön lieriö, jossa on sen akselia vastaan kohtisuora sähkövirta; magneettikenttä, joka on pseudo­vektori, on lieriön suuntainen ja vakio, mutta ei nolla. Vektorit, erityisesti virrantiheys, ovat symmetrisiä jokaisen tason suhteen, joka on kohti­suorassa lieriötä vastaan, ja myös sylinteri­symmetriset. Tämä sylinteri­symmetria ilman symmetria­tasoja on ainoa mahdollinen tämän symmetria­ominaisuuden määrittämässä vektori­kentässä. Vastaavanlaisen esimerkin muodostaa akselinsa ympäri pyörivä sylinteri, jolloin magneetti­kenttää ja virran­tieheyttä vastaavat kulmanopeus ja nopeus.
Symmetriaryhmän sanotaan vaikuttavan johonkin kohteen toistuvaan ominaisuuteen transitiivisesti, jos jokaista tämän ominaisuuden esiintymien paria kohti on olemassa symmetria­operaatio, joka kuvaa näistä ensimmäisen toiselle. Esimerkiksi yhdessä ulottuvuudessa joukon {…, 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, …} symmetria­ryhmä vaikuttaa transitiivisesti kaikkiin tämän joukon pisteisiin, kun taas joukossa {…, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, …} näin ei ole asian laita.
Symmetria matematiikassa > Symmetriset funktiot

Symmetrinen funktio on funktio, joka pysyy ennallaan kaikissa sen muuttujien permutaatioissa. Esimerkiksi x + y + z ja xy + yz + xz ovat symmetrisiä funktioita, kun taas x2 − yz ei ole. Kokonais- tai reaalilukujen yhteen- ja kertolasku samoin kuin muutkin eri algebrallisissa struktuureissa
määritellyt vaihdannaiset lasku­toimitukset ovat symmetrisiä funktioita.
Funktio saattaa myös pysyä ennalleen niissä muunnoksissa, jotka kuuluvat johonkin sen argumenttien permutaatioryhmän aliryhmään. Esimerkiksi ac + 3ab + bc pysyy ennallaan, jos a ja b vaihdetaan keskenään; sen symmetria­ryhmä on isomorfinen C2:n kanssa.
Symmetria matematiikassa > Logiikassa

Kaksipaikkaista relaatiota eli binäärirelaatiota R sanotaan symmetriseksi, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavan ehdon:

aina jos Rab, on myös Rba, eli jos a on relaatiossa b:n kanssa, on myös b relaatiossa a:n kanssa.
Esimerkiksi relaatio "on saman ikäinen kuin" on symmetrinen, sillä jos Pauli on samanikäinen kuin Mari, on myös Mari samanikäinen kuin Pauli. Sen sijaan relaatio "on vanhempi kuin" ei ole symmetrinen, sillä henkilöt eivät voi molemmat olla toisiaan vanhempia.
Symmetrisiä binäärisiä loogisia konnektiiveja ovat konjunktio ("ja"), disjunktio (tai), looginen ekvivalenssi ("jos ja vain jos"), "ei molemmat" (NAND), poissulkeva tai (XOR) ja "ei.. eikä.." (NOR).
Tieteessä ja luonnossa > Fysiikassa

Fysiikassa symmetrian käsitettä on yleistetty merkitsemään invarianssia eli kohteen pysymistä muuttumattomina tietyn tyyppisissä muunnoksissa, esimerkiksi yleisissä koordinaatiston muunnoksissa. Käsite on tullut yhdeksi fysiikan käyttökelpoisimmista työkaluista, sillä on käynyt ilmi, että lähes kaikki luonnon­lait perustuvat symmetrioihin. Itse asiassa tämä seikka sai Nobelin palkinnon saaneen Philip Warren Andersonin vuonna 1972 kirjoittamaan lajaalti luetussa artikkelissaan More is Different, että "on vain vähän liioiteltua sanoa, että fysiikka on oppi symmetriasta." 
Noetherin teoreema osoittaa yksin­kertaistetusti sanottuna, että jokaista jatkuvaa matemaattista symmetriaa kohti on olemassa jotakin fysikaalista suuretta koskeva säilymislaki. Samaan tapaan Wignerin mukaan jokainen fysiikan lakien symmetria määrittelee jonkin luonnossa esiintyvän hiukkasen ominaisuudet.
Tieteessä ja luonnossa > Fysiikassa > Fyysiset kappaleet > Klassiset kappaleet

Vaikka jokin tavan­omainen kappale saattaa näyttää aivan saman­laiselta jonkin symmetria­operaation kuten rotaation tai kahden identtisen osan keskenään vaihtamisen jälkeen, on kuitenkin ilmeistä, että sellainen symmetria pätee vain liki­määrin, olipa kyseessä mikä kappale tahansa.
Jos esimerkiksi koneen tarkasti valmistamaa alumiinista tasa­sivuista kolmiota kierretään 120 astetta keski­pisteensä ympäri, tavallinen havaitsija, joka saapuu paikalle ennen kiertoa ja uudestaan sen jälkeen, ei voisi havaita, onko kierto suoritettu vai ei. Todellisuudessa sen kukin kulma on kuitenkin aina ainut­laatuinen, jos sitä tutkitaan riittävän tarkasti. Havaitsija, jolla olisi mukanaan tarpeeksi tarkka mittausväline kuten optinen tai elektronimikroskooppi toteaisi asian helposti; hän havaitsi heti, että esineen asentoa on vaihdettu tarkkailemalla sen yksityiskohtia kuten kiderakennetta ja pieniä muodon epä­säännölli­syyksiä.
Tällainen ajatuskoe osoittaa, että tavan­omaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys liki­määräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä. Tärkein seuraus tästä symmetrioiden liki­määräisestä luonteesta on, että niillä on vain vähän tai ei lainkaan vaikutusta sellaisten kappaleiden fysiikkaan. Näin ollen vain syvällisemmällä avaruuden ja ajan symmetrialla on oleellista merkitystä klassisessa fysiikassa, tosin sanoen suurten, tavan­omaisten kappaleiden fysiikassa.
Tieteessä ja luonnossa > Fysiikassa > Fyysiset kappaleet > Kvanttifysikaaliset kappaleet

Huomattavaa kuitenkin on, että on olemassa fysiikan osa-alue, jossa todellisten kappaleiden yksin­kertaiset matemaattiset symmetriat eivät ole vain liki­määräisiä. Näin on laita kvantti­fysiikassa, joka pääasiassa on hyvin pienten ja hyvin yksin­kertaisten kohteiden kuten elektronien, protonien, valon ja atomien fysiikkaa.
Toisin kuin joka­päiväisestä elämästä tutuilla kohteilla, esimerkiksi elektroneilla on vain hyvin rajoitettu määrä mahdollisia olo­tiloja, joita sanotaan kvanttitiloiksi. Tämä merkitsee, että jos niihin kohdistetaan symmetria­operaatioita kuten kahden elektronin paikkojen vaihtaminen keskenään, tuloksena saatua olotilaa ei voida erottaa alku­peräisestä, tutkittiinpa sitä kuinka tarkkaan tahansa. Tämän vuoksi tarpeeksi pienille ja yksin­kertaisille kohteille yleinen matemaattinen symmetria­oletus F(x) = x ei enää ole likimääräinen vaan kokeellisesti tarkka ja täsmällinen kuvaus todelli­sesta tilan­teesta.
Tieteessä ja luonnossa > Fysiikassa > Fyysiset kappaleet > Kvanttisymmetrian seurauksia

Vaikka on järkevää olettaa, että symmetriat ovat eksakteja, kun on kysymys hyvin yksin­kertaisista kohteista, välitön intuitio on, että tämän seikan ei pitäisi vaikuttaa kohteiden fysiikkaan millään merkittävällä tavalla. Tämä johtuu osittain siitä, että on hyvin vaikea käsittää todellisten fyysisten kappaleiden täydellistä yhtäläisyyttä. Intuitiivinen mieli­kuvamme sellaisista tilanteista on säännöllisesti sama, jota sovellamme suurempiin kohteisiin: kuvittelemme kappaleet tai rakenteet hyvin, hyvin saman­laisiksi, kuitenkin siten, että jos voisimme tarkatella vielä lähempää, voisimme lopulta havaita eroja.
Kuitenkin oletus, että hyvin pienten kohteiden täydellinen symmetria ei vaikuttaisi niiden fysiikkaan, osoittautui 1900-luvun alku­puolella täysin vääräksi. Tilanteesta teki hyvän yhteen­vedon Richard Feynman luento­sarjansa Feynman Lectures on Physics III osan kohdassa 3.4, Identical particles, joka kuitenkin jätettiin pois, kun luennot julkaistiin kirjana.
»… jos jossakin fysikaalisessa tilanteessa on mahdotonta tietää, mitä kautta se tapahtui, se aina interferoi; tämä ei koskaan jää tapahtumatta.»
Interferenssillä tarkoitetaan tässä sitä, että sellaiset kohteet kuuluvat kvantti­mekaniikan alaan, jossa ne muistuttavat enemmänkin inter­fe­roivia aaltoja kuin tavan­omaisia suuria kappaleita.
Lyhyesti, jos kohde on niin yksinkertainen, että jokin symmetria­oletus muotoa F(x) = x pitää täsmälli­sesti paikkansa, x ei enää noudata klassisen fysiikan sääntöjä, vaan sitä on mallinnettava kvantti­mekaniikan moni­mutkaisemmilla ja yleensä enemmän intuition vastaisilla säännöillä.
Tämä siirtymä tarjoaa samalla merkittävän näkymän siihen, miksi symmetrian matematiikka kytkeytyy niin syvällisellä tavalla kvantti­mekaniikan matema­tiikkaan. Kun fysikaaliset systeemit siirtyvät liki­määräisten symmetrioiden alueelta täsmällisten symmetrioiden alueelle, symmetrioiden matemaattiset ilmaisut lakkaavat olemasta liki­arvoja ja muuttuvat kyseisten kohdeiden luonteen täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteen­päin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
Tieteessä ja luonnossa > Fysiikassa > Luonnonlakien symmetria ja pariteetti

Pitkään oletettiin, että kaikki fysiikan lait ovat bilate­raali­sesti symmet­risiä siinä mielessä, että
jos jokin fysi­kaali­nen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peili­kuva on mahdollinen. Kaikki klassisen meka­niikan ja myös sähkömagnetismin lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että magneettikenttä on luonteel­taan pseudovektori. Tämä luonnon­lakien symmetrisyys on yhtäpitävää sen kanssa, että pariteetti säilyy.
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pari­teetti ei säily kaikissa heikon vuorovaikutuksen aikaansaamissa hiukkasreaktioissa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa koboltti-60:n beeta­hajoamista matalissa lämpötiloissa. Sen sijaan kaikissa tunnetuissa ilmiöissä pätee CPT-symmetria: jokainen luonnon­lakien mukainen ilmiö on mahdollinen myös siten muunnettuna, että tapahtuman paikal­linen ympäristö käännetään peili­kuvakseen, kaikki ilmiöön osallistuvat hiukkaset korvataan anti­hiukkasillaan ja ilmiö tapahtuu ajalli­sesti taka­perin.
Tieteessä ja luonnossa > Fysiikassa > Ajan nuoli

Kaikki klassisen mekaniikan ja sähkömagnetismin perus­lait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi planeettoja kiertämästä Auringon ympäri päin­vastaiseen suuntaan.
Joka­päiväisen kokemuksemme perusteella aika vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epä­symmetri­seltä: mennei­syy­dellä ja tule­vai­suu­della näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että muistamme mennei­syyden mutta emme tule­vai­suutta, toisaalta voimme vaikuttaa tule­vai­suu­teen mutta emme mennei­syy­teen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan suppeassa suhteellisuus­teoriassa kausali­teetin invari­anssina. Lisäksi useimmat ympärillämme havaitsemamme ilmiöt ovat selvästi irrever­sii­be­lejä eli ne eivät voi tapahtua päinvastaiseen suuntaan: esimerkiksi pöydältä lattialle pudonnut astia saattaa särkyä, mutta sen sirpaleet eivät itsestään kokoonnu takaisin ehjäksi astiaksi. Niinpä jos mitä elokuvaa näytetään takaperin, katsojat huomaavat asian yleensä heti.. Arthur Eddington antoi tälle ajan epäsymmetrisyydelle nimen ajan nuoli. Kosmologisella tasolla ajan epä­symmetri­syys ilmenee maailman­kaikkeuden metri­senä laaje­nemi­sena.
On osoittautunut, että arki­elämän ilmiöiden ajallinen epä­symmetria eli irrever­sii­beliys perustuu kaikissa tapauk­sissa viime kädessä termo­dymaniikan toiseen pää­sääntöön
jonka mukaan minkä tahansa fysi­kaali­sen systeemin epä­järjestys tai sitä mittaava suure, entropia, pyrkii kasvamaan.
Tieteessä ja luonnossa > Biologiassa

Symmetrialla on merkitys myös biologiassa. Monet eläimet, myös ihmiset, ovat ainakin likipitäen bilateraalisesti symmetrisiä eli vasen-oikea-symmetrisiä. Esimerkiksi kädellisillä on tutkittu symmetrian merkitystä parinvalinnassa. Toisaalta esimerkiksi meritähtien symmetria saattaa olla viisi- tai kahdeksanparista.
Useimpien kasvien lehdet ovat myös bilateraalisesti symmetrisiä. Monet kukat ovat likipitäen säteittäisesti symmetrisiä, toisin sanoen symmetrisiä sellaisten rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360° jaettuna kukan terälehtien lukumäärällä tai jokin tämän kulman monikerta.
Tieteessä ja luonnossa > Kemiassa

Symmetria on tärkeä myös kemiassa, koska se selittää monet spektroskopian, kvanttikemian ja kiderakenteiden tutkimuksen havainnot.
Useimmat epäorgaaniset ja monet orgaanisetkin molekyylit ovat ainakin bilate­raali­sesti symmetrisiä; joillakin, esimerkiksi metaanimolekyylillä on useampiakin symmetria­tasoja. On kuitenkin olemassa runsaasti myös epä­symmet­risiä molekyylejä. Tällaisissa tapauksissa yhdisteellä on kaksi optista isomeeria, ja aine, joka sisältää vain toista iso­meeria, on optisesti aktiivista. Optisten isomeerien fysi­kaaliset ja kemialli­set ovat muutoin samat paitsi että ne kiertävät polari­soitu­nutta valoa vastak­kaisiin suuntiin. Sitä vastoin niiden fysio­logiset vaikutukset ovat yleensä erilaiset, mikä johtuu soluissa ennestään olevista optisesti aktiivi­sista aineista.
Esimerkkejä biologisesti merkittävistä optisesti aktiivi­sista aineista ovat sokerit sekä glysiiniä lukuun ottamatta kaikki amino­hapot ja proteiinit.
Kvartsin kiderakenne on myös epä­symmet­rinen, minkä vuoksi kvartsi on optisesti aktiivista. On siis olemassa kahden­laisia kvartsi­kiteitä, jotka raken­teeltaan ovat toistensa peili­kuvia ja kiertävät polari­soitu­nutta valoa vastakkaisiin suuntiin.
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa

Jokaisessa inhimillisessä pyrimyksessä, jossa tavoitellaan vaikuttavaa näkyvää tulosta, symmetrialla on syvällinen merkitys. Synnynnäinen mieltymys symmetriaan voidaan havaita reaktioistamme suuresti symmetrisiin luonnon kohteisiin kuten täydellisesti muodostuneisiin kiteisiin tai kauniisti kiertyneisiin simpukankuoriin. Ensimmäinen reaktiomme löytäessämme sellaisen kohteen on usein olettaa, että kyseessä on toisen ihmisen aikaan­saannos, mikä pian vaihtuu yllättävään toteamukseen, että huomiota herättävät symmetriat ovatkin luonnon tuotteita.
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa > Sosiaalisessa vuorovaikutuksessa

Ihmiset havaitsevat monissa tilanteissa sosiaalisen vuoro­vaikutuksen symmetrisen luonteen, johon usein kuitenkin liittyy myös epä­symmetristä tasapainoa. Esimerkkeinä ovat arviot vasta­vuoroisuudesta, empatiasta, anteeksi­pyynnöstä,
dialogista, kunnioituksesta, oikeudesta ja kostosta. Symmetriset vuoro­vaikutukset lähettävät viestin "olemme kaikki samaa", kun taas asymmetriset vuoro­vaikutukset lähettävät viestin "Minä olen erikoinen, parempi kuin sinä." Tasa­vertaiset ihmis­suhteet perustuvat symmetriaan, valta­suhteet asymmetriaan.
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa > Arkkitehtuurissa

Toinen inhimillinen toiminta, jossa tuloksen ulkonäöllä on suuri merkitys, on arkkitehtuuri. Sekä entisinä että nyky­aikana suurten rakenteiden tarkoitus on usein tehdä vaikutus ne näkeviin ihmisiin tai jopa säikähdyttää heitä, ja tällaisen tavoitteen saavuttaminen edellyttää yleensä symmetrian käyttöä.
Muutamia esimerkkejä muinaisajan arkki­tehtuu­rista, jossa symmetriaa käytettiin voimakkaan vaikutuksen aikaan­saamiseksi, ovat Egyptin pyramidit, Ateenan Parthenon, ensimmäinen ja toinen Jerusalemin temppeli, Kiinan Kielletty kaupunki, Kamputseamn Angkor Wat -rakennusryhmä sekä esi­kolumbi­aanisten kulttuurien monet temppelit ja pyramidit. Myöhäisemmältä ajalta voidaan mainita goottilaiset katedraalit sekä Yhdysvaltain presidentti Thomas Jeffersonin auintalo Monticello. Taj Mahal on myös hyvä esimerkki symmetriasta arkkitehtuurissa.
Mielenkiintoinen esimerkki rikkoutuneesta symmetriasta arkkitehtuurissa on Pisan kalteva torni, jonka kuuluisuus ei johdu mistään sen pienestä osasta eikä sen alun perin tarkoitetusta symmetriasta vaan symmetrian rikkoutumisesta sen kääntyessä kallelleen jo rakennus­vaiheessaan. Nykyaikaisia esimerkkejä arkkitehtuurista, joka tekee vaikutuksen mutkikaalla erilaisten symmetrioiden käytöstä, ovat Sydneyn oopperatalo Australiassa ja yksinkertaisempi Astrodome Houstonissa, Texasissa.
Symmetria löytää tiensä arkkitehtuuriin niin suuressa kuin pienessäkin mitta­kaavassa, alkaen rakennusten yleisnäkymistä ulkoa päin katsottuna sekä pohja­piirroksista aina rakennusten pieniin yksityiskohtiin saakka kuten ovien peileihin, ikkunoiden lasi­maalauksiin, lattia­laatoituksiin, friiseihin, portaikkoihin ja balustereihin. Eri­tasoisten symmetrioiden käytössä islamilainen arkkitehtuuri, josta Taj Mahal on hyvä esimerkki, menee usein paljon pidemmälle kuin minkään muun kulttuurin ja aika­kauden aikaan­saannokset osittain siitä syystä, koska islam kieltää ihmisten ja eläinten kuvaamisen.
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa > Savi- ja metalliastioissa

Siitä lähtien, kun saven­valajan pyörää ensimmäisen kerran alettiin käyttää savi­astioiden muotoile­miseen, symmetrialla on ollut keramiikassa tärkeä osuus. Ensinnäkin pyörällä valmistetut savi­astiat väistämättä saavat pyörähdys­symmetrisen muodon, mutta jättävät suuren vapauden muotoilla esine pysty­suorassa suunnassa halutulla tavalla. Tästä alku­peräisestä symmetrisestä lähtö­kohdasta kulttuureilla on muinaisista ajoista saakka ollut taipumus lisätä kuviointeja, jotka käyttävät hyväkseen tai monessa tapauksessa rajoittavat täydellistä pyörähdys­symmetriaa, kunnes jokin tietty ulko­muoto on saavutettu. Esimerkiksi persialaisissa savi­astioissa neljänneltä vuosi­tuhannelta eaa. ja aikai­semmin­kin käytettiin symmetrisiä siksak-kuvioita, neliöitä ja toistuvia kuvioita mutkikkaamman ja visuaalisesti hämmästyttävän kokonais­muotoilun aikaan­saamiseksi.
Metallista valetuilla astioilla ei ole samaa valmistus­tavasta johtuvaa alku­peräistä pyörähdys­symmetriaa kuin pyörän avulla valmistetuilla savi­astioilla, mutta muutoin nekin on varhaisista ajoista saakka koristeltu kuvioilla, jotka miellyttivät niiden käyttäjiä. Esimerkiksi muinaiset kiinalaiset käyttivät symmetrisiä kuviointeja pronssivalussa jo 1600-luvulla eaa. Pronssi­astioissa esiintyy sekä bilateraalinen pää­aihe että toistuvia kuvioita niiden reunoissa.
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa > Matoissa ja ryijyissä

Symmetrian käytöllä matoissa ja ryijyissä on monissa kulttuureissa pitkät perinteet. Navajot käyttivät sekä dia­gonaalisia että suora­kulmaisia aiheita. Monissa itä­maisissa matoissa on selvä symmetriakeskus ja niiden reunoilla toistuu säännöllinen kuviointi. Mattojen suora­kulmaisen muodon vuoksi ei ole yllättävää, että niissä tyypillisesti käytetään kvadri­late­raalista symmetriaa, toisin sanoen niiden kuviot ovat symmetriset sekä pitkittäisen että poikittaisen akselin suhteen.
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa > Musiikissa

Symmetria ei rajoitu kuvataiteeseen. Sen merkitys musiikissa liittyy moniin näkö­kohtiin musiikin luomisessa ja kuuntelemisessa.
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa > Musiikissa > Musiikin muodot

Monet säveltäjät ovat käyttäneet tietyllä tavalla symmetrisiä sävellysmuotoja, joita voidaan kuvata esimerkiksi kaaviolla ABCBA. Sellaista ovat käyttäneet Steve Reich, Béla Bartók ja James Tenney. Klassisessa musiikissa Bach käytti symmetria­käsitteitä kuten permutaatiota ja invarianssia.
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa > Musiikissa > Sävelasteikkojen rakenteet

Symmetria liittyy huomattavalla tavalla myös musikaalisten sävelasteikkojen ja sointujen muodostumiseen. Perinteinen tonaalinen musiikki kuitenkin perustuu epä­symmetriseen diatoniseen asteikkoon ja niin ikään epäsymmetrisiin duuri- ja mollikolmisointuihin. Symmetristen asteikkojen ja sointujen kuten koko­sävel­asteikon, yli­nousevan kolmi­soinnun ja vähennetyn neli­soinnun sanotaan olevan vailla selvää suuntaa ja etenevää liikettä. Niistä ei ilmene sävellajin perussävel eli tonaalinen keskus. Kuitenkin säveltäjät kuten Alban Berg, Béla Bartók ja George Perle ovat käyttäneet symmetria-akseleita tai intervallien muodostamia syklejä.
Perle selitti asian vuonna 1992 näin: "C-E, D-G ja Es-G ovat saman intervallin eri esiintymiä. … toisenalainen identeetti … liittyy symmetria-akseleihin.
C-E kuuluu symmetrisessä suhteessa toisiinsa olevien dyadien perheeseen seuraavasti:"
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| D |  | Dis |  | E |  | F |  | Fis |  | G |  | Gis |
| D |  | Cis |  | C |  | H |  | Ais |  | A |  | G? |
Niinpä sen lisäksi, että C-E kuuluu neljästä puoliaskelesta kuuluvien intervallien perheeseen, se kuuluu myös summa-4 -perheeseen (missä C on 0).
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| + | 2 |  | 3 |  | 4 |  | 5 |  | 6 |  | 7 |  | 8 |
| + | 2 |  | 1 |  | 0 |  | 11 |  | 10 |  | 9 |  | 8 |
| + | 4 |  | 4 |  | 4 |  | 4 |  | 4 |  | 4 |  | 4 |
Intervallien syklit ovat symmetrisiiä ja näin ollen ei-diatonisia. Kuitenkin seitsemän sävelen osuus sarjasta C5, kvinttien sarjasta, muodostaa diatonisen duuriasteikon. Romantiikan musiikissa kuten Gustav Mahlerin ja Richard Wagnerin sävellyksissä sykliset tonaaliset sointu­kulut muodostavat linkin syklisestä sävelsarjasta modernistien kuten Bartókin, Alexander Scriabinin, Edgard Varèsen ja Wienin koulun atonaaliseen musiikkiin. Samaan aikaan tällaiset sointu­kulut merkitsivät luopumista tonaalisuudesta.
Ensimmäinen laajempi sävellys, joka johdonmukaisesti perustuu sävelten symmetrisiin suhteisiin, oli todennäköisesti Alban Bergin Kvartetti, opus 3 (1910).
Kirjallisuutta

Merikoski, Jorma & Virtanen, Ari & Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I.  Tampere:  Tampereen yliopisto, 2001 (1993).  ISBN 951-44-3604-0
Livio, Mario: Yhtälö jota ei voinut ratkaista. Miten matematiikka paljasti symmetrian kielen.  Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Terra Cognita, 2008.
Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan.  Helsinki:  Gaudeamus, 2015.  ISBN 978-952-495-361-0

Bilateraalisesti symmetrinen perhonen




Matemaattisilla olioilla voi olla hyvin monimutkaisia symmetrioita.
Renessanssin taiteessa symmetrialla oli keskeinen merkitys.
Lotfollahin moskeijan katto Isfahanissa, Iranissa on kahdeksankertaisesti rotaatiosymmetrinen, ja sillä on myös kahdeksan symmetria-akselia.
Pisan kalteva torni.
Taj Mahal on bilateraalisesti symmetrinen.
Persialainen astia (neljänneltä vuosituhannelta eaa.)
Persialainen matto
Duuri- ja mollikolmisoinnut pianon valkoisilla koskettimilla ovat symmetriset D:n suhteen. Katso sävellaji.(file)