Pascalin kolmio
Laajennus ja negatiiviset eksponentit

Kun n on negatiivinen, ei lauseketta  (1+x)^{n} voida kehittää polynomiksi. Sen sijaan tällaisellekin funktiolle on olemassa sarjakehitelmä, binomisarja:
mikä kuitenkin pätee vain, kun  -1<x<1, sillä vain tässä tapauksessa sarja suppenee.
Myös tässä sarjassa oleville kertoimille  {\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}, joissa n on negatiivinen, käytetään toisinaan merkintää  {n \choose k}.
Pascalin kolmio voidaan laajentaa puolitasoksi siten, että siihen sisältyvät myös nämä binomisarjojen  (1+x)^{-n} kertoimet. Tämä tehdään seuraavasti:
Alkuperäisen kolmion jokaisen rivin loppuun lisätään nollia. Tämä vastaa sitä, että esimerkiksi lausekkeen (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3} loppuun voidaan sen arvon muuttumatta lisätä +0x^{4}+0x^{5}+0x^{6} ja niin edelleen. Sääntö, jonka mukaan kolmion jokainen luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa, pätee selvästi myös tällä alueella, onhan 0+0=0 ja 1+0=1. Taulukko voidaan nyt kirjoittaa seuraavaan muotoon:1 0 0 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 0 ... 1 2 1 0 0 0 ... 1 3 3 1 0 0 ... 1 4 6 4 1 0 ... Pascalin kolmion tavanomaisesta asettelusta poiketen tässä kaikki rivit alkavat yllä olevassa taulukossa samalta sarakkeelta. Sen jälkeen taulukon vasemmanpuoleista saraketta jatketaan ylöspäin lisäämällä jokaisen uuden rivin alkuun luku 1: 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1 0 0 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 0 ... 1 2 1 0 0 0 ... 1 3 3 1 0 0 ... 1 4 6 4 1 0 ... Silloinkin kun n on negatiivinen, pätee: {n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m} mikä voidaan kirjoittaa myös muotoon: {n-1 \choose m}={n \choose m}-{n-1 \choose m-1} Uusille riveille sijoitettavat luvut lasketaan tätä lauseketta käyttäen, rivit alhaalta ylöspäin ja kukin rivi vasemmasta laidasta alkaen. Taulukosta tulee seuraavanlainen: 1 −4 10 −20 35 −56 ... 1 −3 6 −10 15 −21 ... 1 −2 3 −4 5 −6 ... 1 −1 1 −1 1 −1 ... 1 0 0 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 0 ... 1 2 1 0 0 0 ... 1 3 3 1 0 0 ... 1 4 6 4 1 0 ... Tällöin todetaan erityisesti, että alkuperäisen kolmion yläpuolelle lisätyillä riveillä toisena, alussa olevan ykkösen jäljessä, ovat negatiiviset kokonaisluvut. Sillä rivillä, jolla toisena on luku -n, on k :ntena aina luku {-n \choose k}={\frac {-n(-n-1)(-n-2)\dots (-n-k+1)}{k!}} . Kullakin näin lisätyllä rivillä on joka toinen luku positiivinen, joka toinen negatiivinen. Lähteet Aiheesta muualla Kirjallisuutta
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Pascalin kolmion tavanomaisesta asettelusta poiketen tässä kaikki rivit alkavat yllä olevassa taulukossa samalta sarakkeelta. Sen jälkeen taulukon vasemmanpuoleista saraketta jatketaan ylöspäin lisäämällä jokaisen uuden rivin alkuun luku 1:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 |  |  |  |  |  | ... |
| 1 |  |  |  |  |  | ... |
| 1 |  |  |  |  |  | ... |
| 1 |  |  |  |  |  | ... |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Silloinkin kun n on negatiivinen, pätee:
mikä voidaan kirjoittaa myös muotoon:
Uusille riveille sijoitettavat luvut lasketaan tätä lauseketta käyttäen, rivit alhaalta ylöspäin ja kukin rivi vasemmasta laidasta alkaen.  Taulukosta tulee seuraavanlainen:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| 1 | −4 | 10 | −20 | 35 | −56 | ... |
| 1 | −3 | 6 | −10 | 15 | −21 | ... |
| 1 | −2 | 3 | −4 | 5 | −6 | ... |
| 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | ... |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Tällöin todetaan erityisesti, että alkuperäisen kolmion yläpuolelle lisätyillä riveillä toisena, alussa olevan ykkösen jäljessä, ovat negatiiviset kokonaisluvut.  Sillä rivillä, jolla toisena on luku -n, on k:ntena aina luku
Kullakin näin lisätyllä rivillä on joka toinen luku positiivinen, joka toinen negatiivinen.