Projektiivinen geometria
Yleiskuvaus

Projek­tiivinen geo­metria on geo­metrian ei-metrinen muoto, mikä tarkoittaa, että se ei perustu etäisyyden käsitteeseen. Kahdessa ulottuvuudessa se alkaa opilla tietyn­laisista pisteiden ja suorien muodostamista kuvioista. Kun Desargues ja muut kehittivät perspektiivioppia matemaattisesti selvittäessään projek­tiivisen geo­metrian, he osoittivat, että näinkin pienellä määrällä käsitteillä saatiin geo­metrisesti mielen­kiintoisia tuloksia. Useampi­ulotteisissa avaruuksissa käsitellään hypertasoja, jotka aina kohtaavat, ja muita lineaarisia ali­avaruuksia, joille on ominaista duaalisuusperiaate. Yksin­kertai­simmassa muodossaan duaalisuus ilmenee projek­tiivisella tasolla, jossa lauseet "kaksi eri pistettä määrittävät yksi­käsitteisesti suoran" (nimittäin molempien kautta kulkevan suoran) ja "kaksi eri suoraa määrittävät yksi­käsitteisesti pisteen" (nimittäin niiden leikkaus­pisteen) osoittautuvat rakenteeltaan saman­laisiksi. Projek­tiivinen geo­metria voidaan myös käsittää opiksi sellaisista geo­metrisista kon­strukti­oista, jotka voidaan suorittaa pelkän viivoittimen avulla. Koska harpin käyttöä ei sallita, eivät projek­tiiviseen geo­metriaan kuulu ympyrät, kulmat, etäisyyksien mittaus, suorien yhdensuuntaisuus eikä pisteen sijainti kahden muun pisteen välissä. Osoittautui, että teoreemat, jotka pätevät projek­tiivisessa geo­metriassa, ovat yksin­kertaisia lauseita. Esimerkiksi kaikki erilaiset kartio­leikkaukset ovat ekvi­valentteja kompleksisessa projek­tiivisessa geo­metriassa, ja jotkut ympyröitä koskevat teoreemat voidaan käsittää näiden yleisten teoreemojen erikois­tapauksiksi.
1800-luvun alussa muun muassa Jean-Victor Poncelet'n ja Lazare Carnot'n tutkimukset tekivät projek­tiivisesta geo­metriasta itsenäisen matematiikan haaran. Sen perusteita tarkensi Karl von Staudt, ja 1800-luvun lopulla italialaiset Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa ja Gino Fano kehittivät ne täydelliseen muotoon. Affiinisen ja euklidisen geo­metrian tavoin myös projek­tiivinen geo­metria voidaan muotoilla Felix Kleinin Erlangenin ohjelman avulla: projek­tiivista geo­metriaa luonnehtivat projek­tiivisen ryhmän muunnosten invariantit.
Projek­tiivisen geo­metrian perusteet tulivat ymmärretyiksi, kun alalta oli runsaan tutkimuksen avulla saatu johdetuksi erittäin monia teoreemoja. Perustavia invariantteja projek­tiivisessa geo­metriassa ovat insidenssistruktuuri ja kaksoissuhde. Projek­tiivista geo­metriaa voidaan mallintaa affiinisella tasolla (tai affiinisella avaruudella), johon lisätään "äärettömyydessä" oleva suora (tai hypertaso) ja käsittelmällä tätä suoraa (tai hypertasoa) "tavallisten" suorien (tai tasojen) tavoin. Homo­geeniset koordinaatit tarjoavat algerallisen mallin, jolla projek­tiivista geo­metriaa voidaan tutkia analyyttisen geo­metrian tapaan.
 Toisaalta aksioomien tutkimus paljasti, että on olemassa ei-desarguesilaisia tasoja, jotka ovat esimerkkejä siitä, että kahdessa ulottuvuudessa insidenssi­aksioomat voidaan muotoilla sellaistenkin struktuurien avulla, joita ei voida johtaa homogeenisesta koordinaatti­järjestelmästä.
Projek­tiivinen geo­metria ja järjestetty geometria ovat perustavalla tavalla yksin­kertaisimpia, sillä niissä on pienin määrä aksioomia, ja kumpaakin voidaan käyttää affiinin ja euklidisen geo­metrian perustana. projek­tiivinen geo­metria ei ole "järjestetty", ja näin ollen se muodostaa oman perustansa geo­metrialle.