stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Pariton luku
Formaaliset määritelmät

Parillisen luvun  q_{k} voi muodostaa lausekkeella  q_{k}=2k, missä  k on luonnollinen luku. Jokaisen parillisen luvun edeltäjä ja seuraaja ovat parittomia lukuja. Parittoman luvun lauseke voi siten olla joko  p_{k}=2k-1 tai  p_{k}=2k+1. Jos tulkitaan  k järjestysluvuksi, voidaan ajatella  p_{k}:n olevan  k:nnes pariton luonnollinen luku. Esimerkiksi 93. pariton luku on  p_{93}=2\cdot 93+1=187. Kun parittomien lukujen  p_{k} määritelmässä sallitaan myös  k:ksi kokonaisluvut, saadaan parilliset kokonaisluvut. Tämän osajoukon mahtavuus on myös numeroituvasti ääretön.
Parittomien luonnollisten lukujen joukko on mahtavuudeltaan numeroituvasti ääretön, koska se on yhtä mahtava joukko kuin luonnolliset luvut. Annettu joukkojen välinen kuvaus  f(n)=2n+1 on bijektio, mikä riittää perusteluksi.
Formaaliset määritelmät > Parillisuustestit

Luvun parillisuus voidaan tutkia hyödyntämällä lukujen ominaisuuksia. Pariton luku ei ole jaollinen kahdella, vaan siitä jää jakojäännökseksi 1. Esimerkiksi luku 21 jaetaan kahdella saadaan  {\frac {21}{2}}=10{\frac {1}{2}}, missä jakojäännös on 1. Toisaalta, parillisella luvulla tulee olla tekijänä luku 2, mutta parittomalta luvulta se puuttuu. Lausekkeen parillisuuden tai parittomuuden voi tämän tiedon avulla tutkia.
Desimaalijärjestelmässä parittomalla kokonaisluvulla on viimeinen numeromerkki aina jokin luvuista 1, 3, 5, 7 tai 9. Tämän mukaan luku 234 on parillinen ja 1331 taas pariton.
Aritmetiikkaa

Kahden luvun laskutoimitukset vaikuttavat tuloksen parillisuuteen säännöllisillä tavoilla.
Kahden luvun summan ja erotuksen pariteetti voidaan päätellä siitä, saadaanko yhteiseksi tekijäksi luku 2:
parillinen ± parillinen = parillinen, koska  2k\pm 2n=2(k\pm n)
pariton ± parillinen = pariton, koska  (2k+1)\pm 2n=2(k\pm n)+1 ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
parillinen ± pariton = pariton, koska  (2k)\pm (2n+1)=2(k\pm n)\pm 1 ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
pariton + pariton = parillinen, koska  (2k+1)+(2n+1)=2(k+n)+2=2(k+n+1)
pariton - pariton = parillinen, koska  (2k+1)-(2n+1)=2(k-n)-0=2(k-n)
Kahden luvun tulon pariteetti voidaan päätellä samalla tavalla:
parillinen  \cdot  parillinen = parillinen, koska  2k\cdot 2n=4kn=2(2kn)
pariton  \cdot  parillinen = parillinen, koska  (2k+1)\cdot 2n=2n(2k+1)
pariton  \cdot  pariton = pariton, koska  (2k+1)\cdot (2n+1)=4kn+2(k+n)+1 ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
Kun jakolasku ei mene tasan, jolloin osamäärä on puhdas rationaaliluku, ei voida enää puhua parillisuudesta. Jos jakolasku menee tasan, jakaa nimittäjä  n osoittajan  m ja on siten eräs sen tekijä eli  m=pn. Silloin
ja osamäärän parittomuus riippuu ainoastaan osoittajan tekijästä  p eikä ollenkaan nimittäjästä  n.
Lukuteorian tuloksia

Kun lasketaan parittomia lukuja yhteen 1 + 3 + 5 + 7 + ..., saadaan tulokseksi neliölukuja.
Jerusalemin lähellä noin 100 jaa. eläneen uuspythagoralaisen Nikomakhos Gerasalainen julkaisi kirjan Introductio arithmeticae, jossa hän esitti parittomilla luvuilla summajonon 1; 3 + 5; 7 + 9 + 11; 13 + 15 + 17 + 19; ... eli 1, 8, 27, 64,... Viimeiset luvut ovat ensimmäiset kuutioluvut. Edellinen lukujono on samalla parittomien lukujen summa, jonka arvo on neliöluku.
Seuraavat parittomien lukujen käänteislukujen sarjat suppenevat.
Historia

Muun muassa Abraham Seidenberg on esittänyt, laskeminen on voinut saada alkuunsa tarkkaan harkituista heimorituaaleista, missä suuren ihmisjoukon hallinta olisi vaatinut osanottajien laajempaa roolitusta. Melko pitkälle kehittyneiden seremonioiden hallinta on vaatinut osanottajien numerointia. Alkeellisesti elävien heimojen keskuudesta on havaittu laajalle levinnyt tapa, jossa osanottajat jaotellaan miehiin ja naisiin numeroimalla heidät parillisilla ja parittomilla luvuilla pareiksi. Samat heimot käyttävät 2-kantaista lukujärjestelmääkin muiden lukujärjestelmien rinnalla ja riitit saattavat olla tähän yhtenä syynä. Pythagoralaiset kuvasivat parillisia lukuja naisellisina ja parittomia miehisinä lukuina. .
Euklideen Elementan kirjassa XI, että ”luku on parillinen, jos se voidaan puolittaa”. Tämä alkeellinen määritelmä viittaa vanhaan tapaan hahmottaa luvut pikkukivillä, joita voitiin järjestellä kuvioiksi. Lukumäärää vastaava kivikasa voidaan siten puolittaa eli järjestää kahteen yhtä suureen kasaan.  Antiikin kreikkalaiset eivät pitäneet lukua yksi parillisena tai parittomana lukuna. Lukuja yksi ja kaksi eivät olleet alkulukuja, sillä niitä pidettiin parillisten ja parittomien lukujen synnyttäjinä. Parittomia lukuja pidettiin ensisijaisina, koska pariton + pariton antoi parillisen luvun, mutta parillinen + parillinen antoi parillisen luvun.
Biber

| Biber |
| --- | --- |


Tekniset tiedot
Uppouma:  6,5 t
Pituus:  9,03 m
Syväys:  1,57 m
Propulsio:  32 hv Opel-Blitz -bensiinimoottori, 13 hv sähkömoottori
Nopeus:  6,5 solmua pintakulussa, 5,3 sukelluksissa
Miehistöä:  1
Aseistus
Meritorjunta:  2 × 533 mm torpedoa
Biber (suom. majava) oli Saksan laivaston yhden hengen pienoissukellusvenetyyppi toisessa maailmansodassa.  Korvettikapteeni Hans Bartelsin suunnittelema Biber perustui Bergenissä vallattuun Kuninkaallisen laivaston Welman W46 -pienoissukellusveneeseen. Biberin prototyyppi, kutsumanimiltään Bunte-Boot tai Adam, valmistui 15. maaliskuuta 1944. Saksan laivasto hyväksyi 29. maaliskuuta aluksen. Sodan loppuun mennessä lyypekkiläinen Flenderwerke-telakka valmisti yhteensä 324 Biberiä.
käyttö

Palveluskäytössä kahdella rungon ulkopuolelle kiinnitetyllä torpedolla varustettu Biber ei ollut lainkaan niin menestyksekäs kuin saksalaiset olivat toivoneet. Biberit operoivat vuosien 1944-1945 taitteessa pääasiassa brittien laivoja vastaan kärsien itse erittäin raskaita tappioita. Biberien tekemät upotukset olivat etupäässä raskaasti kuormattuja maihinnousualuksia ja säiliöproomuja. Upotusten kokonaismäärä nousi noin 93 000 tonniin, mihin moni tavallinen sukellusvene ylti yksin.
Biber oli vaikea ohjata, lisäksi kuljettajaa uhkasi häkämyrkytys. Britit kaappasivat vuonna 1945 yksinäisen Biberin, josta löytyi häkämyrkytykseen kuollut kuljettaja. Yleensä Biberien ohjaajat olivat vapaaehtoisia. Ohjaajalla oli sukellusvarusteet: kuivapuku sekä Dräger-hapenkierrätin.
Saksalaiset ehtivät suunnitella mielikuvituksellisia erikoistehtäviä Bibereille. Yksi suunnitelma oli pienoissukelluveneiden pudottaminen Suezin kanavaan lentoveneestä. Tehtävänä olisi ollut tukkia kanava upottamalla suuri rahtilaiva.
Bibereillä toteutettujen operatioiden suurin menestys oli Antwerpenin Kreuzzschanz-sulun sulkuporttien tuhoaminen kahdella torpedolla. Tehtävän suoritti aliluutnantti Langsdorff, joka menetti itse henkensä tehtävässä. Aluksilla kuljetettiin myös tarvikkeita piiritettyihin satamakaupunkeihin: torpedojen tilalle kiinnitettiin vesitiiviit säiliöt, joihin pakattiin muonaa ja muuta tarpeellista. Pienoissukellusveneet pääsivät muita aluksia helpommin pujahtamaan muun muassa IJmuidenin satamaan. Yleensä kuitenkin kuljetuksiin käytettiin Biberiä suurempia kahden miehen Seehund-sukellusveneitä.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
uboat.net: Biber (englanniksi)
uboat.net: Midget submarine operations (englanniksi)
http://www.u-boote-online.de/typen/biber.php (saksaksi)
Biber-pienoissukellusvene
Biberin sivuprofiili
Äxmät İsxaq

| Äxmät İsxaq> Әхмәт Исхак أحمد إسحاق |
| --- | --- |
 Kirjailijat Fatix Xösni, Äxmät İsxaq ja Mostäy Kärim vuonna 1960.
Henkilötiedot
Muut nimet:  Ahmet Ishakov
Syntynyt: 1905  Kazan, Kazanin kuvernementti, Venäjän keisarikunta
Kuollut: 1991  Kazan, Tataarien ASNT, Neuvostoliitto
Äxmät Ğabdulla ulı İsxaq (tat. Әхмәт Габдулла улы Исхак, أحمد إسحاق, ven. Ахмет Абдулович Исхаков, Ahmet Abdulovitš Ishakov; 1905–1991) oli tataaritaustainen neuvostoliittolainen runoilija, kääntäjä ja toimittaja.
Nuoruus

Äxmät İsxaq (Ahmet Ishakov) syntyi Kazanissa vuonna 1905. Hän aloitti opintonsa Möxämmädiyä -madrasassa ja jatkoi humanististen ja kasvatustieteiden yliopistossa. Tämän jälkeen hän toimi Leninin kommunistisen nuorisoliiton toimituksessa. Vuonna 1925 İsxaq meni Moskovaan, jossa hänen oli tarkoitus aloittaa opinnot Gerasimovin elokuvainstituutissa, mutta pian liittyikin tataarinkielisen Eşçe-sanomalehden toimitukseen, jossa tapasi kirjailijat Musa Cälil ja Qäwi Näcmi. Vuonna 1928 İsxaq palasi Kazaniin ja aloitti työskentelyn muissa tataarijulkaisuissa, kuten sanomalehdessä Qızıl Tatarstan, ja satiirisessa lehdessä Çayan.
Vuosina 1939-1942 İsxaq oli "Tataarien ASNT:n Neuvostoliiton kirjailijoiden" johtaja. Toisen maailmansodan aikaan İsxaq värväytyi Neuvostoliiton armeijaan ja palveli komentajana ja sotilastoimittajana ensin Venäjän Kaukoidässä ja sitten Ukrainassa. Sodan jälkeen hän työskenteli lehdessä Vatan çaqıra ja vuosina 1963-1969 İsxaq oli Çayan -lehden päätoimittaja, jossa hän käytti pseudonyyminään Qaräxmätne.
Julkaisutyö

İsxaq julkaisi kokonaisuudessaan noin 40 kirjaa. Ensimmäinen kirjallinen työ oli runo nimeltään Qızıl qoşlar, joka julkaistiin vuonna 1923 lehdessä Qızıl Şäreq yäşläre. Hän myöhemmin julkaisi monia runokokoelmia, kuten Taş uramnar cırı (1929), Bäxet turında cır (1939), Quray (1946), ja Cırda oçraşu (1957). İsxaq kirjoitti myös kirjallisuuskritiikkiä ja julkaisi teoksia Musa Cälilin ja Ğabdulla Tuqayn töistä.
Käännettyihin kirjailijoihin kuuluu Ali-Shir Nava'i, Abai Qunanbaiuly, Mahtumkuli, Alexandr Puškin, Mihail Lermontov ja Vladimir Majakovski. Hän myös käänsi vanhaa tataarin kieltä käyttäneen Qol Ğälin teoksia nykyaikaisen tataarin muotoon.
İsxaq otti osaa tataarien musiikkikulttuuriin. Hän kirjoitti muun muassa libreton oopperalle, joka perustui tataarikirjailijan Ğomär Bäşirovin vuoden 1948 romaaniin Namusı. Hän käänsi monia librettoja, kappaleita ja muita musiikkeja tataarin kielelle. Näihin kuuluu Neuvostoliiton kansallislaulu tataariksi.
Yksityiselämä

İsxaqin vaimo oli Zäynäp Ğosmanova. Heillä oli kaksi poikaa; İrşat ja İliq.
Jemenin historia

Antiikin historia
Saban kuningaskunta
Hadramaut
Awsanin kuningaskunta
Qataban
Minaean
Himyar
Aksumin valtakunta
Sassanidit
Islamilainen historia
Rashidun-kalifaatti
Umaijadien kalifaatti
Abbasidikalifaatti
Ziyadidit
Najahidit
Zulayhidit
Zurayidit
Mahdidit
Aijubidit
Rasulidit
Tahiridit
Mahdidit
Moderni historia
Kathiri
Umaijadien kalifaatti
Zaidilainen imamaatti
Lahejin sulttaanikunta
Adenin protektoraatti
Jemenin kuningaskunta
Etelä-Arabian federaatio
Pohjois-Jemen
Etelä-Jemen
n
k
Jemenin alueella sijaitsi ensimmäisellä vuosituhannella ennen ajanlaskun alkua useita kaupunkivaltioita. Voimakkaimmaksi näistä nousi Saba, jonka menestys perustui Maribin patoon perustuvaan kastelujärjestelmään. Saban kukoistus kesti usean vuosisadan ajan. Jemenin alue islamilaistui 600-luvulla ja Jemenin alueella valta-asemaan nousi zaidilainen islamin tulkinta. Islamilaiset dynastiat hallitsivat aluetta aina 1500-luvulle asti, jollon osmanit valloittivat alueen Osmanivallan aikana Jemenin alueesta muodostui merkittävä kahvikaupan keskus. Tämän myötä myös eurooppalaisvallat pyrkivät saamaan osuutensa alueen kahvikaupasta. Osmanit karkotettiin Jemenistä zaidilaisen imaamin johdolla 1600-luvulla.
1800-luvulla Britannia valtasi Adenin tukikohdakseen ja osmanit valtasivat uudelleen Jemenin pohjoisosan. Tästä alkoi prosessi, joka tuli jakamaan maan brittiläisten hallitsemaan Etelä-Jemeniin ja osmanien hallitsemaan Pohjois-Jemeniin. Ensimmäisen maailmansodan jälkeen Osmanien valtakunta romahti ja Jemenin kuningaskunta itsenäistyi zaidilaisen imaamin Yahya Muhammad Hamid ad-Dinin johdolla. Pohjois-Jemen ajautui sisällissotaan 1960-luvulla, minkä seurauksena imaami syrjäytettiin ja perustettiin Jemenin arabitasavalta.
Tasavallan perustaminen Pohjois-Jemeniin sai aikaan itsenäistymisvaatimuksia myös Etelä-Jemenissä. Etelä-Jemenin kansantasavalta itsenäistyi vuonna 1967. Köyhä maa oli altis kommunismin kasvavalle suosiolle. Etelä-Jemenistä tuli Neuvostoliiton liittolainen ja se nimettiin uudelleen Jemenin demokraattiseksi kansantasavallaksi.
Etelä-Jemen ja Pohjois-Jemen olivat poliittisesti eripuraisia, mutta 1980-luvulla niiden suhteet alkoivat lähentyä. Poliittiset ja taloudelliset tekijät johtivat siihen että maiden johtajat päättivät maiden yhdistämisestä, joka toteutui vuonna 1990. Vasta yhdistynyt Jemen ajautui Jemenin sisällissotaan vuonna 1994. Maa on yhdistymisestään lähtien kärsinyt levottomuuksista ja vuonna 2015 syttynyt sisällissota on aiheuttanut maassa vakavan humanitäärisen kriisin.
Islamin tulo

Islam levisi Jemenin alueella helposti ja nopeasti. Tätä edesauttoivat vuosisadan mittaiden talouden taantuma, sekä juutalaisten ja kristittyjen toimeenpanemat julmuudet. Jemenin viimeinen persialainen satraappi kääntyi islamiin ilmeisesti vuonna 628 ja hyväksyi muslimiyhteisön poliittisen vallan. Jemenin kaksi kuuluisinta moskeijaa, Sanaassa sijaitseva suurmoskeija ja lähellä Taizia sijaitseva Al-Janadin moskeija, ovat peräisin tältä ajalta. Nämä ovat yksi varhaisimmista islamilaisen arkkitehtuurin jäänteistä.
Profeetta Muhammadin seuraaja kalifi Abu Bakr, onnistui yhdistämään Arabian niemimaan yhden hallitsijan alaisuuteen ja alueesta tuli osa Umaijadien kalifaattia. Alue sai tuolloin nimensä Jemen, joka tarkoittaa ”oikeaa puolta”, mikä viittaa alueen sijaintiin Mekkaan nähden.  Jemenin alue oli kuitenkin kalifaatille hankalasti hallittava. Usein kun kalifi lähetti edustajansa tukahduttamaan kapinoita, perusti edustaja alueelle oman dynastiansa. 800-luvulla sai alkunsa Ziyadidien dynastia, joka perusti pääkaupunkinsa Zabidiin.
Jemenin historian kannalta merkittävin tapahtuma islamilaistumisen jälkeen oli kuitenkin zaidilaisuuden juurtuminen alueelle. Zaidilaiset olivat šiialainen lahko, joka hyväksyi Zaid ibn Alin, Muhammedin suoran jälkeläisen, tämän viimeiseksi lailliseksi seuraajaksi. Suurin osa Jemenin kulttuurista ja sivilisaatiosta kannatti seuraavan 1000 vuoden ajan zaidilaisuutta. Ajanjakso oli myös sarja ryhmittymiä, dynastisia, paikallisia ja keisarillisia hallitsijoita, jotka kilpailivat toisiaan ja zaidilaisia vastaan alueen hallinnasta. Voimakkaita dynastioita olivat Sulayhidit ja Fatimidit, jotka olivat ismailiitteja. Aijubidit ja Rasulidit taas kuuluivat sunnalaisiin hallitsijoihin. Rasulidien pitkä valtakausi 1200–1400-luvulla vakiinnutti sunnalaisuuden Etelä- ja Länsi-Jemenissä. Rasulidien valtakautta seurasi Tahiridien valtakausi. He hallitsivat aina 1500-luvun osmanivalloituksiin asti.
Kahvikaupan keskus

Ulkovaltojen kiinnostus Jemenin aluetta kohtaan nousi 1400-luvun alussa, jolloin erään kertomuksen mukaan suufilainen uskonnollinen johtaja löysi kahvista sen virkistävät ominaisuudet. Tämän seurauksena Jemenin ja Punaisen meren alueesta tuli konfliktien areena egyptiläisten, osmanien ja useiden eurooppalaisvaltojen välillä, näiden etsiessä Arabiankahvin lähteitä. Kilpailu suuntautui pian myös idemmäs, Aasian maustekauppamarkkinoille, ja Jemenin alue joutui osaksi ulkovaltojen kiistoja.
1500-luvun alussa portugalilaiset valtasivat tukikohdakseen Jemenin edustalla sijainneen Sokotran saaren, ja yrittivät ottaa haltuunsa myös Adenin, mutta valloitusyritys epäonnistui. Portugalilaisten jälkeen Egyptiä hallinnut mamelukkidynastia yrittivät myös tuloksetta Adenin valtausta, mutta Sanaa jäi egyptiläisten valtaan. Osmanien valtakunta valloitti Egyptin vuonna 1517 ja vuonna 1538 he alistivat suurimman osan Jemenin alueesta hallintaansa. Todellista valtaa alueella käyttivät tällöinkin paikalliset imaamit. Osmanivallan aikana Jemenin merkitys kahvikaupan keskuksena vahvistui ja Mokkan rannikkokaupungista tuli kansainvälisesti merkittävä kahvisatama. Tästä huolimatta Jemenin ylängöt pysyivät taloudellisesti ja kulttuurisesti eristyksissä ulkomaailmasta 1600-luvun puolivälistä lähes 1800-luvun puoliväliin. Osmanit karkotettiin Jemenistä zaidilaisen imamaatin johdolla. Tämän valtakausi kesti Jemenissä pitkään ja se yhdisti ja vahvisti jemeniläistä identiteettiä.
1700-luvun alkuun mennessä Euroopan ja Aasian välinen suosituin reitti kulki Afrikan ympäri, ja ulkovallat menettivät kiinnostuksensa Jemenin aluetta kohtaan. Tänä aikana myös kahvintuotanto siirrettiin tuottavammille seuduille. Jemenin alueen merkittävät kahvikaupan keskukset Aden ja Mokka, kutistuivat muutaman sadan asukkaan kyliksi.
Kansainvälisten kauppareittien ulkopuolella, Hadramautin ylänköalueella, kukoisti omanlaisensa erityinen kulttuuri. Aluetta asutti hadramien heimo, jonka kulttuuri, toisin kuin Sabassa, säilyi läpi vuosisatojen, koska keitaat auttoivat ylläpitämään elämää. Alueen asukkaat ovat pysyneet suurelta osin riippumattomina muusta Jemenistä. Alue on enemmän tai vähemmän omavarainen, mutta koska alue on tarjonnut vain vähän tilaa laajentumiselle, on alueelta muutettu historian saatossa useasti muualle. Etenkin eurooppalaisten harjoittaman merikaupan myötä hadrameita muutti 1700-1800 -lukujen aikana runsaasti nykyisten Intian, Malesian, Singaporen ja Indonesian alueille.
Zaidilainen imamaatti oli merkittävä voima Pohjois-Jemenissä aina 1900-luvulle asti. Zaidilaiset imaamit olivat pikemminkin teokraatteja, kuin sotilasjohtajia. Zaidilainen imamaatti ei koskaan hallinnut Jemenin pohjoisosien heimoja, ja heimokapinoita puhkesi usein eri puolilla maata. Imamaatin pääkaupunkia siirrettiin näinä vuosisatoina edestakaisin Sa'dan, Sanaan ja Taizin välillä. Maan eteläosissa ja Hadramautissa pienemmät dynastiat ja heimosheikit kiistivät Zaidilaisen imamaatin valta-aseman.
Jakautunut Jemen > Imperialismin aika

1800-luvun kehitys oli Jemenille kohtalokasta. Eurooppalaisvaltojen kiihtyvä kilpailu valta-asemasta Lähi-Idässä käynnisti Jemenin jakautumisprosessin. Britit valtasivat Adenin vuonna 1839 ja myös Osmanit muodostivat Jemenille jälleen uhan. Vuonna 1849 Osmanien valtakunta valtasi Jemenin pohjoisosat, palauttaen valtansa alueelle josta jemeniläiset olivat ajaneet heidät pois kaksi vuosisataa aiemmin.
Suezin kanava avattiin vuonna 1869 ja Punaisen meren kautta kulkenut reitti muodostui tämän jälkeen ensisijaiseksi kulkuväyläksi Euroopan ja Aasian välillä. Tämä vahvisti Punaisen meren rannalla ja Jemenin alueella sijaitsevien valtojen etuja. Osmanit laajensivat valtaansa Jemenin sisämaassa ja asettuivat Sanaahan ja Taiziin. Britit laajensivat valtaansa Adenista pohjoiseen ja itään. Briteille merkittävintä oli kontrolloida Perimin saarta ja Bab el Mandebia, joiden kautta pystyi kontrolloimaan Punaiselle merelle suuntautuvaa meriliikennettä. Adenilla oli myös hyvä luonnonsatama, jossa alukset saattoivat tankata. Brittihallinto ei ulottunut paljon Adenin ulkopuolelle. Britit perustivat Adenin protektoraatin liittoutumalla paikallisten heimosheikkien kanssa. Tämä tehtiin pikemminkin sen vuoksi että Adenin sisämaa pystyttiin suojaamaan osmaneilta. 1900-luvun alkuun tultaessa brittien ja osmanien väliset yhteenotot määrittelemättömillä raja-alueilla muodostivat vakavan ongelman. Vuonna 1904 osapuolten kesken määritettiin rajalinja, jolla vahvistettiin osmanien hallitseman Pohjois-Jemenin ja brittien hallitseman Etelä-Jemenin välillä. Myöhemmin molemmat Jemenit pitivät tätä sopimusta räikeänä esimerkkinä ulkovaltojen puuttumisesta Jemenin sisäisiin asioihin.
Jakautunut Jemen > Itsenäistynyt pohjoinen > Zaidilainen imamaatti

Pohjois-Jemenissä osmanien valta kohtasi 1900-luvun alussa merkittävää vastustusta. Jemeniläiset nousivat zaidilaisen imaamin johdolla useasti kansannousuun osmaneja vastaan. Vuosia kestäneen kapinan jälkeen osmanit vihdoin myönsivät imamaatille autonomian vuonna 1911, suuressa osassa Pohjois-Jemeniä. Osmanien tappio ensimmäisessä maailmansodassa pakotti osmanit vetäytymään Pohjois-Jemenistä vuonna 1918. Tämän seurauksena Jemenin kuningaskunta sai itsenäisyytensä, ja zaidilaisesta imaamista Yahya Muhammad Hamid ad-Dinistä tuli Pohjois-Jemenin todellinen hallitsija.
Imaami Yahya pyrki 1920-luvun aikana lujittamaan valtaansa ja tukahduttamaan heimojen vastustuksen imamaatin valtaa kohtaan. Yahya pyrki tehostamaan asevoimiaan lähettämällä jemeniläisiä nuoria Irakiin oppimaan nykyaikaisia sotatekniikoita. Näistä opiskelijoista muodostui kuitenkin lopulta Yahyan vastaisen politiikan ydin. Pohjois-Jemenin itsenäisyyden ansiosta alkoi aate historiallisen Jemenin alueesta. Tähän sisältyi Adenin protektoraatti ja nykyisin Saudi-Arabiaan kuuluvat Asirin maakunta, sekä eräät alueet Najranin ja Jizanin ympärillä. Näistä alueista Pohjois-Jemenillä muodostui kiista Saudien hallitsijasuvun kanssa. Yahya ei tunnustanut osmanien ja brittien välistä rajasopimusta pitäväksi.
Britit sen sijaan säilyttivät hallinnan Etelä-Jemenissä, jota he pitivät strategisesti ja taloudellisesti merkittävänä imperiumilleen. Yahya taas ei hyväksynyt brittivaltaa ja katsoi, että Etelä-Jemenin tulisi kuulua Jemenin kuningaskunnan hallintaan. Britannian ja imaamin välinen kitka leimasi koko maailmansotien välistä aikaa. Brittivalta Jemenissä vain vahvistui tuona aikana, kun britit neuvottelivat Hadramautia asuttaneiden heimojen kanssa rauhan, joka liitti nämä alueet tiukemmin Britannian suojelukseen.
Jakautunut Jemen > Itsenäistynyt pohjoinen > Arabitasavallan synty

Pohjoisessa imaami Yahyan, ja hänen poikansa ja seuraajansa Ahmadin aikana ulkovaltojen vaikutus imamaattiin katkaistiin lähes viidenkymmenen vuoden ajaksi. Yahyan valta perustui sotakoneistoon, jonka vallan alueen heimot kiistivät. Kapinoita oli useita, mutta imaamit voittivat aina. Toisen maailmansodan loppuun mennessä tyytymättömyys Yahyan johtamaan imamaattiin oli levinnyt laajalle, mukaan lukien sekä maallisten, että muslimiuudistejien ja perinteisten eliitin keskuudessa. Nämä ristiriidat huipentuivat vuonna 1948 Yahyan salamurhaan ja toisinajattelijoiden liittouman vallankaappaukseen. Yahyan poika Ahmad onnistui kuitenkin kokoamaan osan heimoista tuekseen, minkä avulla hän asettui uudeksi imaamiksi. Aluksi Ahmad ilmoitti kannattavansa monia poliittisia, talodellisia ja yhteiskunnallisia vaatimuksia, mutta hänen hallintonsa alkoi kuitenkin pian muistuttaa Yahyan hallintoa. Ahmadin salamurhayritys vuonna 1955 vain lisäsi sortotoimia.
Imamaatin hallitsijoiden politiikka aggressiiivinen politiikka vieraannutti Pohjois-Jemenin eteläosien heimot imaamien vallasta. Imaameilla oli se etu, että he tarjosivat alkuperäiskansoille muslimihallinnon, mikä oli vaihtoehto brittiläisten maalliselle hallinnolle. Heimojen keskuudessa arveltiin, että jos imaami saa hallintaansa heidän alueensa, heimojen etuja ja asemaa omalla alueellaan luultavasti rajoitettaisiin. Näin ollen useimmat katsoivat paremmaksi vaihtoehdoksi tehdä tiiviimpää yhteistyötä Britannian kanssa.
Vuonna 1962 Ahmad bin Yahya kuoli, ja häntä seurasi vallassa hänen poikansa Muhammad al-Badr. Viikon sisällä osa maan armeijasta yhdessä useiden poliittisten järjestöjen kanssa, järjestivät vallankaappauksen ja julistivat Jemenin arabitasavallan perustetuksi. Jemenin arabitasavallan ensimmäiseksi presidentiksi nostettiin kapinajohtaja Abdullah al-Sallal. Vallankaappauksesta sai alkunsa Pohjois-Jemenin sisällissota. Imaami Muhammad pakeni maan pohjoisille ylängöille ja pyrki saamaan tuekseen maan heimoyhteisön. Vasta perustettu arabitasavalta turvautui Egyptiin, josta maan joukot saapuivat puolustamaan uutta hallintoa. Saudi-Arabia taas tarjosi tukensa imaamille ja häntä tukeneille rojalisteille.