stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
The Twin – Paha kaksonen

| The Twin – Paha kaksonen> The Twin |
| --- | --- |
 Elokuvan juliste.
Ohjaaja:  Taneli Mustonen
Käsikirjoittaja:  Taneli Mustonen Aleksi Hyvärinen
Tuottaja:  Aleksi Hyvärinen Joris van Wijk
Säveltäjä:  Panu Aaltio
Kuvaaja:  Daniel Lindholm
Leikkaaja:  Aleksi Raij Toni Tikkanen
Pääosat:  Teresa Palmer Steven Cree Barbara Marten
Valmistustiedot
Valmistusmaa:  Suomi
Tuotantoyhtiö:  Don Films
Levittäjä:  Nordisk Film
Ensi-ilta:  6. toukokuuta 2022
Kesto:  109 minuuttia
Alkuperäiskieli:  englanti
Aiheesta muualla
IMDb 
Elonet
Infobox OKNimi-testi OK: 
The Twin – Paha kaksonen on vuonna 2022 ensi-iltansa saanut, Taneli Mustosen ohjaama suomalainen kauhuelokuva. Elokuva on englanninkielinen.
Elokuvassa amerikkalaisperhe muuttaa Yhdysvalloista Suomeen asumaan syrjäseudulle. Perheen kaksospojista toinen on hieman aikaisemmin kuollut auto-onnettomuudessa, ja toisen kaksospojan käytös muuttuu vähitellen omituiseksi, kun hän luulee olevansa kuollut veljensä.
Vaikka The Twin sijoittuu Suomeen, se kuvattiin Virossa.
Se kuvattiin 2 200 000 € budjetilla, jota Suomen elokuvasäätiö tuki 386 220 euron osuudella. Elokuvan suurin yksittäinen rahoittaja oli yhdysvaltalainen genre-elokuviin erikoistunut suoratoistopalvelu Shudder.
Elokuva sai Suomessa 8 009 katsojaa, mutta ulkomailla katsojia oli yli miljoona. Esimerkiksi Puolassa katsojia oli 30 377, Italiassa 41 608,  Argentiinassa 47 601, Brasiliassa 76 788,  Perussa 77 676,  Kolumbiassa 51 828 ja Meksikossa 274 820. Se oli ulkomailla vuoden katsotuin suomalainen elokuva .
Arvosteluja

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
Kaisu Tervonen, Helsingin Sanomat: 
Aki Lehti, Muropaketti.com: 
Eli Harju, Kulttuuritoimitus: 
Tuomas Riskala, Katso: 
Niko Ikonen, Episodi: 
Jussi U. Pellonpää, FilmiFIN.com:
Pieni punainen

| Pieni punainen |
| --- | --- |

Ohjaaja:  Jouko Aaltonen
Käsikirjoittaja:  Jouko Aaltonen
Tuottaja:  Jouko Aaltonen
Säveltäjä:  Heikki Valpola
Kuvaaja:  Marita Hällfors
Leikkaaja:  Samu Heikkilä
Valmistustiedot
Valmistusmaa:  Suomi
Tuotantoyhtiö:  Illume
Levittäjä:  Yle
Ensi-ilta:   2020-05-044. toukokuuta 2020  
Kesto:  76 minuuttia
Alkuperäiskieli:  suomi
Budjetti:  198 000 euroa
Aiheesta muualla
IMDb 
Elonet
Infobox OKNimi-testi OK: 
Pieni punainen on Jouko Aaltosen ohjaama suomalainen dokumenttielokuva, joka on julkaistu vuonna 2020. Elokuva kertoo Suomen maolaisesta liikkeestä.
Aiheesta muualla

Pieni punainen Internet Movie Databasessa (englanniksi)
Moonage Daydream (elokuva)

| Moonage Daydream |
| --- | --- |

Ohjaaja:  Brett Morgen
Käsikirjoittaja:  Brett Morgen
Tuottaja:  Brett Morgen
Leikkaaja:  Brett Morgen
Valmistustiedot
Valmistusmaa:  Saksa Yhdysvallat
Levittäjä:  Neon
Kesto:  140 minuuttia
Alkuperäiskieli:  englanti
Aiheesta muualla
IMDb
Elonet
Infobox OKNimi-testi OK: 
Moonage Daydream on brittimuusikko David Bowieta käsittelevä dokumenttielokuva vuodelta 2022. Yli kaksituntisen elokuvan ohjasi Brett Morgen, ja se on nimetty Bowien samannimisen kappaleen mukaan.
Bowien perikunta antoi Morgenille vuonna 2017 pääsyn yli viisi miljoonaa artikkelia sisältävään kokoelmaan. Elokuva sisältää kyseiseen materiaaliin pohjautuvia haastatteluja, mutta mukana on myös otteita Bowien suosikkielokuvista ja muista teoksista. Elokuvassa käsitellään myös Bowien näyttelijänuraa.
Aiheesta muualla

Moonage Daydream Internet Movie Databasessa (englanniksi)
Longmenin luolat

Longmenshan-vuori
Patsaita Longmenissa
Longmenin luolat (kiin. 龍門石窟, Lohikäärmeen portin luolat) on Luoyangin kaupungin lähellä, Henanin maakunnassa, Kiinassa, sijaitseva Unescon maailmanperintökohde. Luolista tuli maailmanperintökohde vuonna 2000. Nämä luolat, jotka esittävät buddhalaisia aiheita, ovat tiheänä verkkona Xiangshan- ja Longmenshan-vuorilla. Yijoki virtaa vuorten välistä pohjoiseen ja siksi aluetta on kutsuttu myös nimellä Yique (Yi-joen portti). Mogaon ja Yungangin luolien ohella Longmen on yksi Kiinan merkittävimmästä kalliotemppelialueesta.
Luolia alettiin rakentaa, kun keisarillinen hovi muutti Luoyangiin vuonna 494. Longmenissä on yli 2 300 luolaa, noin 40 pagodia ja noin 97 300 buddhalaista patsasta. Patsaiden korkeus vaihtelee 2 senttimetristä 17 metriin. Osalla patsaista ei ole päätä, koska niitä anastettiin 1800- ja 1900-luvuilla.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Radio86.fi: Longmen – Lohikäärmeen portti (suomeksi)
Travel China Guide (englanniksi)
Longmenin luolat UNESCOn sivuilla (englanniksi) (ranskaksi)
Unescon maailmanperintökohteet Kiinassa
Chengden kesäpalatsi ja ympärillä olevat temppelit
Chengjiangin fossiilialue
Dazun kalliokaiverrukset
Dengfengin historialliset monumentit "Taivaan ja maan keskellä"
Emeivuori ja Leshanin jättiläisbuddha
Ensimmäisen Qin-keisarin mausoleumi
Etelä-Kiinan karstialueet
Fanjingvuori
Fujianin tulout
Goguryeo-kuningaskunnan pääkaupungit ja hautakummut
Hangzhoun Xihujärven kulttuurimaisema
Honghen hanien riisipenkereiden kulttuurimaisema
Huanglongin maisema-alue
Huangshanvuoristo
Hubein Shennongjia
Jiuzhaigoun maisema-alue
Kaipingin diaolout ja kylät
Keisarinkanava
Kesäpalatsi, keisarillinen puutarha Pekingissä
Kiinan danxia
Kiinan muuri (Badaling, Shanhai-sola ja Jiayu-sola)
Kulangsu: historiallinen kansainvälinen siirtokunta
Kungfutsen temppeli ja hautausmaa sekä Kongin sukukartano Qufussa
Lijiangin vanhakaupunki
Longmenin luolat
Lushanin kansallispuisto
Macaon historiallinen keskusta
Ming- ja Qing-dynastioiden keisarilliset haudat
Ming- ja Qing-dynastioiden keisarilliset palatsit Pekingissä ja Shenyangissa (Kielletty kaupunki ja Mukdenin palatsi)
Mogao-luolat
Muinaiset kylät Etelä-Anhuissa - Xidi ja Hongcun
Pingyaon vanhakaupunki
Potala-palatsin historiallinen kokonaisuus Lhasassa
Qingchengvuori ja Dujiangyanin kastelujärjestelmä
Qinghain Hoh Xil
Sanqingshanin kansallispuisto
Sichuanin isopandan rauhoitusalueet
Silkkitie: Chang’anin–Tianshanin käytävän reittiverkosto (jaettu Kazakstanin ja Kirgisian kanssa)
Suzhoun klassiset puutarhat
Taivaan temppeli, keisarillinen uhrialttari Pekingissä
Taivuori
Tienšan Sinkiangissa
Tusi-kohteet
Wudangvuorten muinainen rakennusryhmä
Wulingyuanin maisema-alue
Wutaivuori
Wuyivuoristo
Xanadun rauniot
Yinxu
Yungangin luolat
Yunnanin kolmen rinnakkaisen joen suojelualueet
Zhoukoudianin pekinginihmisen löytöpaikka
Zuojiang Huashanin kalliomaalausten kulttuurimaisema
Von Essen

Von Essen -aatelissuvun vaakuna
Von Essen on Westfalenista peräisin oleva aatelissuku. Suomen ritarihuoneessa suku on introdusoitu aatelisena sukuna numero 58, nimellä von Essen. Ruotsissa sama suku on nimeltään von Essen af Zellie.
Sukunimi on mahdollisesti alun perin kirjoitettu muotoon von Elsen. Elsen on alue Paderbornin lähellä, 130 km Essenistä itään. Suvun vanhin varmuudella tunnettu edustaja oli Diderich von Elsen. Hänen tiedetään vierailleen usein Tanskassa. Vuonna 1568 hän onnistui vangitsemaan ruotsalaisen merirosvo Melchiorin ja sai siitä hyvästä Tanskan kuningas Frederik II:n veljeltä, herttua Magnukselta maa-alan Baltiasta. Vuosien 1570 ja 1574 välillä hän sai haltuunsa laajoja alueita Saarenmaalta, mukaan lukien Zellie-nimisen alueen (viroksi Selgase). Diderich muutti sukunimensä vuonna 1578 nykyiseen muotoon von Esseniksi.
Saarenmaan siirryttyä Ruotsin hallintaan 1645 suvun edustajia muutti Suomeen ja Ruotsiin. Ruotsin ritarihuoneessa suku on introdusoitu aatelisena sukuna numero 723. Ruotsissa sukuhaarasta käytetään nimeä von Essen af Zellie erotuksena muista von Essen –suvuista. Ruotsissa elää myös vapaaherrallinen von Essen -suku, numerolla 158. Suomen ritarihuoneeseen suku introdisoitiin vuonna 1818. Suomessa suku on hallinnut muun muassa Seestan kartanoa Nastolassa.
Suvun jäseniä

Didrik Didriksson von Essen (k. 1678), eversti, Hämeen rykmentin komentaja
Odert Reinhold von Essen vanhempi (1665–1714), ruotsalainen eversti
Fromhold von Essen (k. 1722), everstiluutnantti, Pohjanmaan rykmentin komentaja 1714–1721
Reinhold Wilhelm von Essen (1669–1732), ruotsalainen sotilas, Pohjanmaan maaherra
Georg Fredrik von Essen (1743–1814), everstiluutnantti ja valtiopäivämies
Odert Reinhold von Essen nuorempi (1755–1837), Suomen sodassa taistellut kenraalimajuri, esiintyy myös J. L. Runebergin Vänrikki Stoolin tarinoissa.
Carl Gustaf von Essen (1815–1895), pappi ja herännäisyysliikkeen vaikuttaja.
Johan August von Essen (1815–1873), Kuopion läänin kuvernööri, Tammikuun valiokunnan jäsen
Johan Mauritz von Essen (1830–1872), virkamies ja toimittaja
Georg Mauritz von Essen (1850–1937), lääkäri ja valtiopäivämies
Siri von Essen, (1850–1912), näyttelijä, August Strindbergin puoliso
Gustaf Georg Waldemar von Essen (1851–1912), maanviljelijä ja valtiopäivämies
Gustaf Mauritz von Essen (1862–1921), yritysjohtaja ja valtiopäivämies
Didrik von Essen (1864–1936), kenraalimajuri, Suojeluskuntajärjestön ylipäällikkö 1919–1921
Arthur Reinhold von Essen (1869–1913), virka- ja valtiopäivämies
Carl Didrik von Essen (1875–1954), jääkärivääpeli
Emil Werner von Essen (1875–1947), arkkitehti, opettaja ja taiteilija
Johan Jürgen von Essen (1878–1916), insinööri ja jääkäriaktivisti
Dagmar von Essen (1881–1965), Lotta Svärd -järjestön vaikuttaja ja ruotsinkielisen kansankorkeakoulun johtaja
Gustaf Robert von Essen (1882–1957), jääkäriluutnantti
Gustaf Martin von Essen (1883–1954), lääkäri, professorin arvonimi
Ernst Reinhold von Essen (1885–1940), jääkärikapteeni
Hellin von Essen (1887–1962), Lotta Svärd -järjestön vaikuttaja, Dagmar von Essenin sisar
Torsten Harald von Essen (1892–1918), jääkäriluutnantti
Hans von Essen (1900–1973), everstiluutnantti, Mannerheim-ristin ritari numero 30
Barbro von Essen-Holmqvist (1915–1996), farmaseutti ja runoilija
Raili Rytkönen (o.s. von Essen, 1941–2002), historiantutkija ja kirjailija
Reaalinen projektiivinen taso

Reaalinen projektiivinen taso on eräs ei-orientoituva pinta eli kaksi­ulotteinen monisto, jolla on keskeinen merkitys varsinkin projektiivisessa geometriassa, mutta myös muilla matematiikan aloilla. Tällaista pintaa ei voi tehdä tavallisessa kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ellei sen sallita leikkaavan itseään. Sillä on kuitenkin keskeisiä sovelluksia geometriassa, sillä eräs tapa konstruoida reaalinen projektiivinen taso on määritellä se  \mathbb {R} :n origon kautta kulkevien suorien joukkona.
Eri tapoja reaalisen projektiivisen tason konstruoimiseksi

Reaalinen projektiivinen taso voidaan määritellä tai konstruoida useilla eri tavoilla, mutta kaikissa tapauksissa sille voidaan määritellä yhtäläinen geometrinen tai topologinen struktuuri.
Reaalista projektiivista tasoa ei kuitenkaan voida upottaa kolmi­ulotteiseen avaruuteen  \mathbb {R} ^{3}, minkä vuoksi sen kaltaista pintaa ei voida tehdä konkreettisesti esimerkiksi paperista taivuttamalla, leikkaamalla ja liimaamalla. Yleistetyn Jordanin käyrälauseen mukaan nimittäin jokainen  \mathbb {R} ^{3}:n umpinainen pinta jakaa avaruuden kahteen osaan, sisä- ja ulko­puoleen, mutta ei-orientoituvana, yksi­puolisena pintana reaalinen projektiivinen taso ei tällä tavoin jaa avaruutta. Näin ollen jokainen jatkuva kuvaus reaaliselta projektiiviselta tasolta avaruuteen  \mathbb {R} ^{3} "leikkaa itsensä", toisin sanoen projektiivisella tasolla on toisistaan erillisiä pisteitä, joita tässä kuvauksessa kuitenkin vastaa sama piste.
Eri tapoja reaalisen projektiivisen tason konstruoimiseksi > Laajennettu euklidinen taso

Alun perin reaalinen projektiivinen taso on muodostettu lisäämällä tavalliseen euklidiseen tasoon joukko "äärettömän kaukaisia" pisteitä, joissa yhden­suuntaiset suorat leikkaavat toisensa. Jokaista keskenään yhden­suuntaisten suorien joukkoa kohti tasoon lisätään yksi tällainen "äärettömän kaukainen" eli ideaalipiste, jossa suorien ajatellaan kohtaavan. Toisaalta kunkin suoran ajatellaan johtavan kummassakin suunnassa samaan ideaalipisteeseen, minkä vuoksi niitä lisätään kutakin yhden­suuntaisten suorien joukkoa kohti vain yksi, ei kaksi.  Jos suoraa pitkin kuvitellaan kuljettavan ideaali­pisteeseen saakka ja jatketaan sieltä edelleen eteen­päin, päädytään lopulta vastakkaisesta suunnasta takaisin lähtö­pisteeseen.
Tämän konstruktion vuoksi reaalista projektiivista tasoa sanotaan usein myös laajennetuksi euklidiseksi tasoksi.  Sitä ei kuitenkaan pidä sekoittaa funktioteoriassa paljon käytettyyn laajennettuun kompleksi­tasoon, josta se eroaa oleellisesti monessa suhteessa. Laajennetussa kompleksi­tasossa on normaaliin tasoon lisätty vain yksi piste, reaalisessa projektiivisessa tasossa sen sijaan äärettömän monta. Reaalinen projektiivinen taso ei myöskään ole homeo­morfinen pallopinnan kanssa, laajennettu kompleksi­taso sen sijaan on.
Projektiivisen avaruuden Eulerin karakteristika on 1, minkä vuoksi myös sen demigenus (ei-orientoituva genus eli Eulerin genus) on 1.
Eri tapoja reaalisen projektiivisen tason konstruoimiseksi > Topologiset konstruktiot kiekon tai neliön avulla

Topologisesti avoin yksikkökiekko eli niiden tason pisteiden muodostama alue, joiden etäisyys origosta on annettua pituus­yksikköä pienempi, on homeo­morfinen koko tason kanssa. Napa­koordi­naatteja käyttäen taso voidaan kuvata avoimelle yksikkö­kiekolle esimerkiksi seuraavasti:
Tässä kuvauksessa tason jokaisen pisteen kuvapiste on origoon nähden samassa suunnassa kuin alku­peräinen piste, mutta kaikki pisteet kuvautuvat yksikköympyrän sisä­puolelle.  Mikään tason piste ei kuvaudu ympyrän kehälle, mutta mitä kauempana alku­peräinen piste on origosta, sitä lähemmäksi ympyrän kehää se kuvautuu.
Kun projektiivisen tason ideaali­pisteiden ajatellaan olevan "äärettömän kaukana", tässä konstruktiossa on luonnollista ajatella niiden kuvautuvan ympyrän kehälle. Kun kuitenkin jokainen suora johtaa kummassakin päässään samaan ideaali­pisteeseen, on ympyrän kehän vastakkaiset pisteet ajateltava samastetuiksi keskenään. Toisin sanoen on suljetun yksikkö­kiekon pisteiden joukossa on määriteltävä ekvivalenssirelaatio siten, että kiekon sisä­pisteet ovat ekvivalentteja vain itsensä kanssa, mutta kehän vastakkaiset pisteet myös toistensa kanssa. Tällöin reaalisen projektiviisen tason "pisteet" ovat itse asiassa tämän relaation ekvivalenssi­luokkia, joista kuhunkin kuuluu yksi tai kaksi alku­peräisen yksikkö­kiekon pistettä. Avaruuden topologia määritellään tämän ekvivalenssi­relaation mukaisena tekijätopologiana.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Neliö projektiivisen tason perusmonikulmiona |  Yksireunainen Möbiuksen nauha voidaan ajatella suljettavan projektiiviseksi tasoksi liimaamalla vastakkaiset reunat yhteen. |  Vertailukohteena Kleinin pullo, joka saadaan sulkemalla Möbiuksen nauha lierimäisesti. |
Toisaalta koska suljettu yksikkö­kiekko on homeo­morfinen myös neliön  I^{2}=[0,1]\times [0,1] kanssa, voidaan reaalinen projektiivinen taso topo­logisesti muodostaa myös neliön avulla. Tämä voidaan suorittaa kahdessa vaiheessa: ensin samastetaan kukin y-akselilla oleva piste (0,y) neliön oikeassa reunassa olevan pisteen (1, 1-y) kanssa, jolloin saadaan Möbiuksen nauha. Tämän jälkeen samastetaan vielä x-akselilla olevat pisteet suoralla y=1 olevien pisteiden kanssa, mikä voidaan tehdä kahdella tavalla. Jos pisteet (x, 0) ja (x, 1) samastetaan keskenään, saadaan Kleinin pullo. Jos sen sijaan pisteet (x, 0 ja (1-x, 1) samastetaan keskenään, saadaan reaalinen projektiivinen tasoa.
Möbiuksen nauha voidaan tällä tavoin aivan konkreettisestikin toteuttaa, joskin käytännössä neliön sijasta on käytettävä pitkää ja kapeaa suorakulmiota. Jos tällaisen suora­kulmion muotoista nauhaa kierretään keskeltä puoli kierrosta ja liimataan sen jälkeen sen vastakkaiset päät yhteen, saadaan Möbiuksen nauha. Sitä vastoin sen enempää Kleinin pulloa kuin projektiivista tasoakaan ei voida vastaavalla tavalla konkreettisesti muodostaa.
Eri tapoja reaalisen projektiivisen tason konstruoimiseksi > Projektiivinen pallo

Reaalinen projektiivinen taso voidaan konstruoida myös käyttämällä lähtö­kohtana pallo­pintaa.  Määritellään pallon isoympyrät "suoriksi" ja vastakkaisten eli antipodisten pisteiden parit "pisteiksi".  On helppo osoittaa, että tällainen struktuuri toteuttaa kaikki yleisen projektiivisen tason määritelmän edellyttämät ehdot:
mitkä tahansa kaksi isoympyrää leikkaa toisensa yhdessä kahden vastakkaisen pisteen parissa
minkä tahansa kahden vastakkaisten pisteiden parin kautta kulkee yksi isoympyrä.
Tässä konstruktiossa siis jokainen pallopinnan piste samastetaan vastakkaisen eli antipodisen pisteensä kanssa. Täten saadaan reaalinen projektiivinen taso, jonka "pisteet" itse asiassa ovat kahden vastakkaisen pisteen muodostamia pareja.
Toisin sanoen projektiivinen avaruus on tekijäavaruus, joka saadaan määrittelemällä pallo­pinnan pisteiden joukossa ekvivalenssirelaatio ~, jossa x ~ y, jos ja vain jos joko y = x tai y = −x.
Voidaan osoittaa, että näin muodostettu projektiivinen taso on homeo­morfinen edellä neliön avulla konstruoidun projektiivisen tason kanssa. Toisaalta tämä konstruktio osoitta selvemmin kuin edelliset, ettei "äärettömän kaukaisten" pisteiden muodostama "äärettömän kaukainen suora" ole topo­logisesti mitenkään erikois­asemassa reaalisen projektiivisen tason muihin suoriin nähden.
Jokaista pallopinnan vastakkaisten pisteiden paria vastaa yksikäsitteisesti yksi pallon keskipisteen kautta kulkeva suora ja kääntäen, nimittäin näiden pisteiden kautta kulkeva suora. Reaalinen projektiivinen onkin homeomorfinen myös sellaisen topologisen avaruuden kanssa, jonka "pisteet" ovat  \mathbb {R} :ssa origon kautta kulkevia suoria.
Edellä muodostettu kuvaus pallopinnalta reaaliselle projek­tiiviselle tasolle on itse asiassa kaksi­lehtinen peitekuvaus. Tästä seuraa, että reaalisen projek­tiivisen tason perusryhmä on kerta­lukua 2 oleva syklinen ryhmä, siis kokonais­luvut modulo 2. Ryhmä voidaan generoida ylempänä olevassa kuvassa näkyvän silmukan AB avulla.
Havainnollistuksia > Boyn pinta – immersio

Vaikka reaalista projektiivista tasoa ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen avaruuteen, voidaan se kuitenkin immersioida. Immersio on jatkuva kuvaus, jossa lähtö­avaruuden, tässä tapauksessa projek­tiivisen tason, jokaisella pisteellä on ympäristö, johon rajoitettuna kuvaus on upotus. Boyn pinta on eräs sellainen immersio.
Jos Boyn pintaa kuvataan monitahokkaalla, siinä on aina vähintään yhdeksän sivu­tahkoa.
Havainnollistuksia > Roomalainen pinta

Jakob Steinerin roomalainen pinta on eräs projektiivisen tason havainnollistus kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Siinä se leikkaa itsensä, toisin sanoen on olemassa pisteitä, jotka projektiivisella tasolla ovat erillisiä mutta joita roomalaisella tasolla vastaa sama piste.
Tetrahemiheksaedri on projektiivista tasoa kuvaava monitahokas, 
jolla on sama perus­rakenne kuin Steinerin roomalaisella pinnalla.
Havainnollistuksia > Tasoprojektiot

Projektiiviselle tasolle on olemassa useita tasoprojektioita. Vuonna 1874 Felix Klein tutki kuvausta
 k(x,y)=(1+x^{2}+y^{2})^{1/2}.(x,y)
Projektiivisen puoli­pallon keskeisprojektio tasolle antaa tulokseksi tavallisen, jäljempänä kuvatun äärettömän projektiivisen tason.
-->
Homogeeniset koordinaatit

Reaalisen projektiivisen tason pisteet voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Pisteellä on homogeeniset koordinaatit [x : y : z], missä koordinaattien 
[x : y : z] and [tx : ty : tz] katsotaan tarkoittavan samaa pistettä, olipa t mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Pisteet, joiden koordinaatit voidaan esittää muodossa [x : y : 1], muodostavat tavanomaisen tason  \mathbb {R} , jota sanotaan projektiivisen tason äärellisen osan, kun taas pisteet, joiden koordinaatit ovat  [x : y : 0], ovat niin sanottuja äärettömyydessä olevia pisteitä eli ideaalipisteitä, jotka muodostavat äärettömyydessä olevan suoran. Homogeeniset koordinaatit [0 : 0 : 0] eivät vastaa mitään pistettä.
Myös tason suorat voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Projektiivisella suoralla, joka vastaa avaruudessa  \mathbb {R} ^{3} tasoa ax + by + cx = 0, on homogeeniset koordinaatit (a : b : c). Täten koordinaatit (a : b : c) ja (da : db : dc) vastaavat samaa suoraa eli ovat ekvivalentit, olipa d mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Niinpä saman suoran eri yhtälöt, jotka ovat muotoa dax + dby + dcz = 0, antavat samat homogeeniset koordinaatit.
Piste [x : y : z] on suoralla (a : b : c), jos ax + by + cz = 0.  Niinpä suorat, joiden koordinaatit ovat (a : b : c), missä a ja b eivät molemmat ole nollia, vastaavat tavan­omaisen tason suoria, koska niihin kuuluu pisteitä, jotka eivät ole äärettömyydessä. Koordinaatteja (0 : 0 : 1) vastaa äärettömyydessä oleva suora, sillä siihen kuuluvat vain ne pisteet, joilla z = 0.
Homogeeniset koordinaatit > Pisteet, suorat ja tasot

Jokainen suora projektiivisella tasolla P2 voidaan esittää yhtälöllä ax + by + cz = 0. Jos luvuista a, b ja c muodostetaan pysty­vektori ℓ ja parametreista x, y, z pysty­vektori x, edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa myös matriisimuodossa:
Käyttämällä vektorimerkintää voidaan sen sijasta kirjoittaa myös:
Yhtälö k(xTℓ) = 0 (missä k on skalaari, ei nolla), kuvaa tasoa, joka kulkee origon kautta avaruudessa  \mathbb {R} ^{3}, ja k(x) kuvaa origon kautta kulkevaa suoraa. Kolmi­ulotteisen avaruuden  \mathbb {R} ^{3} origon kautta kulkevat suorat ja tasot ovat sen lineaarisia ali­avaruuksia.
Homogeeniset koordinaatit > Ideaalipisteet

Projektiivisella tasolla P2 suoran yhtälö on ax + by + c = 0, ja kertomalla tämä yhtälö jollakin vakiolla k voidaan siitä muodostaa minkä tahansa tason yhtälö, joka on kohtisuorassa x, y -tason kanssa.
Normalisoidut homogeeniset koordinaatit saadaan valitsemalla z = 1. Kaikki pisteet, joilla z = 1, muodostavat tason. Kuvitellaan, että tätä tasoa katsotaan pisteestä käsin, joka on kauempana origosta z-akselilla ja että sinne on merkitty kaksi yhden­suuntaista suoraa. Siitä pisteestä käsin, jossa katsoja on, katsoja voi (näkökyvystään riippuen) nähdä tasosta vain rajallisen alueen, jonka rajat oheisessa kaaviossa on merkitty punaisella. Jos katsoja etääntyy kyseisestä tasosta z-akselia pitkin mutta katsoo koko ajan origoon päin, hän näkee tasosta suuremman osan. Katsojan näkökentässä alkuperäiset pisteet ovat siirtyneet. Tätä siirtymää voidaan kuvata jakamalla homogeeniset koordinaatit jollakin vakiolla. Oikealla olevassa kuvassa ne on jaettu kahdella, joten z:n arvoksi saadaan 0,5.  Jos katsoja menee tarpeeksi kauas, se alue, johon hän on kiinnittänyt katseensa, näyttää lopulta kaukaisuudessa olevalta pisteeltä. Samalla kuitenkin yhden­suuntaisista suorista näkyy yhä suurempi osa. Nämä suorat kohtaavat äärettömyydessä olevalla suoralla (suoralla, joka kulkee origon kautta tasossa z = 0). Tason z suorat ovat ideaalisia pisteitä. Taso z = 0 on äärettömyyessä oleva suora.
Homogeeninen piste (0, 0, 0) on siellä, minne kaikki todelliset pisteet päätyvät, kun tasoa katsotaan äärettömän kaukaa. Se on tasolla z = 0  oleva suora, jossa yhden­suuntaiset suorat kohtaavat.
Homogeeniset koordinaatit > Duaalisuus

Yhtälössä  xTℓ = 0 on kaksi pystyvektoria. Kumpi tahansa niistä voidaan pitää vakiona ja antaa toiselle eri arvoja. Jos piste x pidetään vakiona ja kertoimelle ℓ annetaan eri arvoja, saadaan muita saman pisteen kautta kulkevia suoria.  Jos taas kerroin pidetään vakiona ja vaihdetaan pistettä x, saadaan muut samalla suoralla olevat pisteet. Vektori x vastaa pistettä, koska käytettävät akselit ovat x-, y- ja z-akseli. Jos sen sijaan kertoimia kuvattaisiin akseleilla, joille käytettäisiin merkintää a, b ja c,  pisteistä tulisi suoria ja suorista pisteitä. Jos todistetaan jotakin käyttämällä akseleja x, y ja z, sama argumentti pätee myös akseleille a, b ja c. Tätä ominaisuutta sanotaan projektiivisen tason duaalisuudeksi.