stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Roottori (matematiikka)
Roottorin vaihtoehtoinen määritelmä

Roottori kuvaa siis vektorikentän pyörteisyyttä, mikä ei ole kovin intuitiivista matemaattisen määritelmän pohjalta. Vaihtoehtoisesti voidaan määritellä roottori Stokesin lauseen kanssa ekvivalentisti. Tällöin sovitaan, että vektorikentän F roottorin suunta on sellainen, että roottoria vastaan kohtisuoran, äärettömän pienen pinta-alan dA ympäri suljettua silmukkaa pitkin kierrettäessä polkuintegraali  \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} 
saa suurimman mahdollisen arvonsa, ja tämän integraalin arvo jaettuna pinta-alalla dA on roottorin pituus. Äärettömän pieni eli differentiaalinen pinta-ala on tässä polun C rajoittama, ja polku kierretään siten, että pinta dA on kulkusuuntaan nähden vasemmalla. Roottorin pituus voidaan kirjoittaa matemaattisesti
missä raja-arvo kuvaa pinta-alan pienenemistä äärettömän pieneksi. Tämän määritelmän pohjalta voidaan geometrisestikin ymmärtää, miksi roottori kuvaa kentän pyörteisyyttä: roottorin suuruus kertoo, miten voimakkaasti kenttä suurimmillaan vaikuttaa differentiaalisen silmukan tangentiaaliseen komponenttiin koko polun matkalla. Esimerkiksi homogeenisen kentän (kaikkialla yhtä suuri ja samansuuntainen) polkuintegraali differentiaalista suljettua silmukkaa pitkin on aina nolla, joten kenttä on pyörteetön, kuten odottaa sopii. Kentän pyörteisyyden suunta saatiin siis oikean käden säännöllä. Stokesin lause seuraa määritelmästä lähes suoraan.
Roottori käyräviivaisissa koordinaatistoissa

Sylinterikoordinaatistossa annetun funktion roottori saadaan kaavalla(s. 138)
ja pallokoordinaatistossa(s. 140)
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Mathworld. Curl
Félix Houphouët-Boignyn yliopisto

Yliopiston kampusta vuonna 2012.
Félix Houphouët-Boignyn yliopisto (ransk. Université Félix Houphouët-Boigny, lyh. UFHB) on Norsunluurannikon Abidjanissa toimiva yliopisto. UFHB on Norsunluurannikon johtava yliopisto. Opetuksessa käytetään ranskan kieltä. Opiskelijoita on noin 60 000.
Oppilaitos sai alkunsa vuonna 1958. Vuosien varrella oppilaitoksen nimi on vaihtunut useasti. Aiempia nimiä ovat muun muassa Abidjanin yliopisto (L’Université d’Abidjan) ja Norsunluurannikon kansallinen yliopisto (Université Nationale de Côte d’Ivoire). Vuonna 1992 silloinen yliopisto jaettiin sijaintipaikkansa mukaan kolmeksi erilliseksi yliopistoksi. Näistä yksi tunnettiin vuosina 1995–2012 nimellä Cocodyn yliopisto (Université de Cocody). Vuonna 2012 se nimettiin Norsunluurannikon ensimmäisen presidentin, lääkäri Félix Houphouët-Boignyn mukaan.
Kampusalueen portti.
Yliopiston hallintorakennus.
Yliopistokampusta.
Luento-opetusta (2015).
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Félix Houphouët-Boignyn yliopisto Wikimedia Commonsissa
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  ISNI  VIAF 
Kansalliset:  Ranska  BnF data  Saksa 2  Yhdysvallat 
Muut:  IdRef 2
Osittaisdifferentiaaliyhtälö

Osittaisdifferentiaaliyhtälö (lyh. ODY) on differentiaaliyhtälö, joka kuvaa funktion riippuvuutta useista keskenään riippumattomista muuttujista. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä käytetään monien matemaattisten ja fysikaalisten ongelmien, kuten lämmön johtumisen tai aaltoliikkeen etenemisen, muotoiluun ja ratkaisuun. Keskenään täysin erilaisilla fysikaalisilla ongelmilla voi olla samanlainen matemaattinen muotoilu.
Esimerkkejä yksinkertaisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä:
Termejä ja merkintöjä

Osittaisderivaattamerkintöjä lyhennetään usein seuraavasti:
Aikaderivaatta lyhennetään joskus pistemerkinnän avulla, mutta tavallisemmin alaindeksillä t:
Jos yhtälössä esiintyy ainoastaan ensimmäisiä derivaattoja, sanotaan yhtälön olevan ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö. Monissa käytännön sovelluksissa tarvitaan kuitenkin toisia derivaattoja
ja vastaavasti
Usein käytetään myös niin kutsuttua nabla-operaattoria, mikä karteesisissa koordinaateissa kirjoitetaan seuraavasti:
\nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}) missä  \partial _{x}={\partial  \over \partial x}.
Yleisesti yhtälön kertaluku määräytyy korkeimman derivaatan kertaluvusta, aivan kuten tavallistenkin differentiaaliyhtälöiden tapauksessa.
Jos yhtälö on ensimmäistä astetta riippuvan muuttujan ja sen derivaattojen suhteen ODY on lineaarinen. Jos lineaarisuus rajoittuu korkeimman kertaluvun derivaattoihin, yhtälö on kvasilineaarinen. Jos yhtälö on kvasilineaarinen muuten, mutta korkeimman kertaluvun derivaattojen kertoimet riippuvat ainoastaan riippumattomista muuttujista yhtälön sanotaan olevan melkein lineaarinen.
Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys

Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkeavuus on vielä tavallisia differentiaaliyhtälöitäkin heikompi, eikä analyyttistä ratkaisua suljetussa muodossa ole olemassa joitakin poikkeuksia lukuun ottamatta. Koska ratkaisussa saattaa olla useita muuttujia, tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta poiketen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuun voi jäädä vakioiden sijasta kokonaisia tuntemattomia funktioita. Esimerkiksi erittäin yksinkertaisen yhtälön
ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa funktio
Siksi yksilöllisen ratkaisun löytämiseksi on tunnettava etsittävän funktion käyttäytymistä laajemmin. Tyypillinen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on reuna-arvotehtävä, sillä voidaan osoittaa, että pisteen  (x,y) kautta tason alueessa kulkee tarkalleen yksi ratkaisukäyrä, joka toteuttaa ehdon  u=u(x,C) (C on vakio) silloin, jos alueessa on voimassa Lipschitzin ehto
Yleisin ratkeavuutta koskeva tulos on Cauchyn–Kovalevskajan lause, jonka mukaan yhtälöä koskevan Cauchyn tehtävän analyyttinen ratkaisu on yksikäsitteisenä olemassa, jos ODY on analyyttinen ratkaisun ja sen kaikkien derivaattojen suhteen. On kuitenkin löydettävissä jo melko yksinkertaisiakin osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joilla tämä ehto ei toteudu. Myös siinä tapauksessa, että ratkaisu on olemassa ja se on yksikäsitteinen, sillä saattaa olla ominaisuuksia, jotka tekevät siitä epäkäytännöllisen.
Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen tapahtuu käytännössä lähes aina tietokonemallien avulla.
Tunnettuja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä > Toisen kertaluvun ODYja

Tyypillisiä fysikaalisten systeemien kuvauksia.
Elliptiset yhtälöt
Laplacen yhtälö
Poissonin yhtälö
Hyperboliset yhtälöt
Aaltoyhtälö
Paraboliset yhtälöt
Lämpöyhtälö
Schrödingerin yhtälö
Tunnettuja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä > Korkeamman kertaluvun ODYja

Näitä tulee vastaan tavallisesti solitonien yhteydessä.
Dimin yhtälö (3.kl)
Korteweg-de Vries -yhtälö (4.kl)
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Partial differential equations mathworld.wolfram.com:n osittaisdifferentiaaliyhtälösivut (englanniksi)
Zentan taistelu

Zentan taistelu (myös Sentan taistelu) oli Pyhän liigan ja Osmanien valtakunnan välillä 11. syyskuuta 1697 käyty taistelu. Taistelu käytiin nykyään Serbialle kuuluvan Zentan lähialueilla. Taistelu käytiin osana suurta Turkin sotaa ja oli sen ratkaisevin taistelu.
Taistelun kulku

Taistelu alkoi Pyhän liigan joukkojen komentajan, Savoijin prinssi Eugenin yllätettyä osmanien joukot, kun ne olivat ylittämässä jokea Zentassa. Pyhän liigan joukot onnistuivat tuhoamaan tykeillään osmanien sillan, kun sulttaani ja osa armeijasta (mukaan lukien kaikki ratsuväki) oli jo ylittänyt joen. Seurauksena oli verilöyly, josta Osmanien valtakunta ei koskaan toipunut.
Liittomatriisi

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi (engl. adjugate of a matrix) on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.
Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi (engl. Adjoint of a matrix), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.
Määritelmä

Matriisin A liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:
Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.
Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin A kofaktori­matriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).
Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(A).  Kun liitto­matriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin A käänteismatriisi.
Esimerkkejä > 2 × 2 -matriisin liittomatriisi

2 × 2 -matriisin
liittomatriisi on
Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
Esimerkkejä > 3 × 3 -matriisin liittomatriisi

Käsitellään  3\times 3 -matriisia
Muodostetaan ensin alideterminantit:


 \left|A_{11}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|,  
 \left|A_{12}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|,  
 \left|A_{13}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|


 \left|A_{21}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|,  
 \left|A_{22}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|,  
 \left|A_{23}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|


 \left|A_{31}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|,  
 \left|A_{32}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|,  
 \left|A_{33}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|


Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:
Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:
missä
Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:
 \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|=ad-bc
Ominaisuuksia

Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:
kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = 
det(B)B-1 det(A)A-1 = det(AB)(AB)-1. 
Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla Am - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:
Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:
Lisäksi,
ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.
Ominaisuuksia > Käänteismatriisi

Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:
missä  \mathbf {I} _{n} on n×n -yksikkömatriisi.
Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.
Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on
ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että
Ominaisuuksia > Karakteristinen polynomi

Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi
q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:
missä luvut  p_{j} ovat p(t):n kertoimet,
Ominaisuuksia > Jacobin kaava

Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Adjugate matrix
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Arkistoitu 7.7.2019. Viitattu 26.6.2023.
Käännös suomeksi
Vertailuperiaate

Vertailuperiaate tai vertailutesti on tapa tutkia sarjojen suppenemista. Testiä on kahta muotoa.
Vertailuperiaate

Olkoon sarjat
ja
Tällöin jos
Vertailuperiaatteen raja-arvomuoto

Olkoon sarjat
ja
Lasketaan osamäärän raja-arvo
Nyt:
Kirjallisuutta

Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.1) ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.34) ISBN 0-521-58807-3
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Vektorikenttä

Vektorikenttä, jonka muodostavat vektorit <−y, x>
Vektorikentällä tarkoitetaan matematiikassa rakennelmaa, joka liittää vektorin jokaiseen pisteeseen euklidisessa avaruudessa. Fysiikassa vektorikenttiä käytetään kuvaamaan voimakenttiä. Vektorit esittävät esimerkiksi nopeutta ja sen muutosta kentän eri kohdissa tai voiman suuntaa. Näistä yleisempinä magneetti- ja gravitaatiokentät.
Määritelmä

Olkoon F avoimen joukon  U\subset \mathbb {R} ^{n} funktio, joka liittää vektorin v(x) jokaiseen pisteeseen  x\in U.  Toisin sanoen F on funktio avaruudesta  \mathbb {R} ^{n} avaruuteen  \mathbb {R} ^{n}.
Yleisesti funktiota F merkitään seuraavasti:
F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j
F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
riippuen siitä, ollaanko kaksi- vai kolmiulotteisessa avaruudessa. Funktioita P,Q ja R kutsutaan skalaarifunktioiksi.
Historiaa

Vektorikentät nousivat esiin alkujaan 1800-luvun fyysikoiden keskuudessa varsinkin magnetismin yhteydessä. Vektorikentät formalisoi Michael Faraday, jonka mielestä itse kenttä tulisi olla tutkimuksen kohteena, kun tutkitaan voimia. Magneettikentän lisäksi Faraday mallinsi vektorikentiksi sähkö- ja valokentän.
Esimerkkejä

Tarkastellaan vektorikenttää  F(x,y)=-yi+xj tasossa. Jotta voisimme mallintaa kentän, on meidän saatava arvoja funktiosta F. Lasketaan arvot funktiolle tason eri pisteissä ja tarkastellaan tilannetta normaalissa xy-koordinaatistossa.
F\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j
F\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)=-\left(-{\frac {1}{2}}\right)i+{\frac {1}{2}}j={\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j
F\left({\frac {3}{2}},{\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {1}{4}}i+{\frac {3}{2}}j
Tämä kertoo meille, että pisteeseen  \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right) sijoitamme vektorin  -{\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j, pisteeseen  \left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right) vektorin  {\frac {1}{2}}i+{\frac {1}{2}}j ja pisteeseen  \left({\frac {3}{2}},{\frac {1}{4}}\right) vektorin  -{\frac {1}{4}}i+{\frac {3}{2}}j. Voimme jatkaa tätä vektoreiden etsimistä useammassa pisteessä ja saamme mallinnettua artikkelin kuvan kaltaisen vektorikentän.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
ISBN

ISBN- ja EAN-koodit.
ISBN (lyhenne sanoista International Standard Book Number) on kirjan tai muun erillisteoksen kansainvälinen standarditunnus.
Periaate ja käyttö

Järjestelmän loi Britanniassa W. H. Smith -kirjakauppaketju vuonna 1966 nimellä Standard Book Numbering eli SBN, joka otettiin käyttöön vuonna 1967. Vuonna 1968 ISO-järjestö piti tapaamisen brittiläisen SBN:n sovittamisesta kansainväliseen käyttöön. Tuloksena luotiin ehdotus ISO 2108 -standardista, joka hyväksyttiin vuonna 1970.
Jokainen painos ja muunnelma uusintapainoksia lukuun ottamatta saa oman ISBN-tunnuksensa. Tunnus muodostuu neljästä osasta:
alkuperäismaa tai kieliryhmä
kustantajatunnus
julkaisutunnus
tarkistusmerkki
Osat voivat olla eripituisia, ja muun muassa Suomessa ne erotetaan toisistaan tavallisesti väliviivoin (engl. hyphen). Erottimena käytetään yhdysmerkkiä tai välilyöntiä. Suomen maakoodina käytetään numeroita 951 ja 952.
ISBN-tunnusta käytetään julkaisujen hankinnassa, kustantajien varastoluetteloissa, laskutuksessa, kirjakauppojen tilausjärjestelmissä, kansainvälisissä ja kansallisissa yhteisluetteloissa, bibliografioissa ja kirjastojen lainausjärjestelmissä. Tunnus helpottaa julkaisun löytymistä ja käsittelyä tietojärjestelmissä.
Periaate ja käyttö > ISBN 10 ja ISBN 13

ISBN-tunnus uudistui vuoden 2007 alussa, jolloin vanha 10-merkkinen ISBN-tunnus muuttui 13-merkkiseksi. Käytännössä tämä tapahtui lisäämällä tunnuksen eteen EAN-13-tunnuksen etuliitteeksi 978 ja laskemalla tunnuksen lopussa oleva tarkistusmerkki uudelleen muunto-ohjelman avulla. Uudistuksella taataan ISBN-tunnusten riittävyys eri maissa myös tulevaisuudessa. Kaikissa vuoden 2007 alusta lähtien ilmestyvissä julkaisuissa käytetään vain 13-merkkisiä ISBN-tunnuksia.
Esimerkki:
13-merkkinen ISBN koostuu viidestä osasta, jotka ovat:
GS1-elementti
rekisteröintiryhmän elementti
rekisteröintitahon elementti
julkaisuelementti
tarkistusmerkki
GS1-elementti on kolminumeroinen luku, joka tulee GS1:ltä (ennen EAN International). Käytössä ovat 978 ja 979, mutta lisää voi tulla käyttöön myöhemmin. Rekisteröintiryhmä kertoo maan, maantieteellisen alueen tai kielen ja pituus voi vaihdella. Rekisteröintitaho on tietty julkaisija tai julkaisu rekisteröintiryhmässä. Julkaisuelementti tunnistaa julkaisun tietyn painoksen tietyllä julkaisijalla. Lopussa on laskettu tarkistusmerkki (modulus-10). ISBN:ssä kolme osaa on muuttuvanpituisia, ensimmäinen ja viimeinen ovat kiinteämittaisia. Ihmisille luettavassa muodossa pitäisi käyttää joko väliviivoja tai välilyöntejä.
Periaate ja käyttö > Tarkistusnumero

Tarkistusnumero saadaan ISBN-13:lle ensimmäisestä 12 numerosta kerrotaan vuorotellen yhdellä tai kolmella ja laskemalla ne yhteen. Tämän jälkeen saadaan jakojäännös kun jakajana on kymmenen. Jakojäännös vähennetään kymmenestä, jolloin tuloksena on tarkistusnumero.
Periaate ja käyttö > Saman teoksen eri julkaisumuodot

Oman ISBN-tunnuksen saa periaatteen mukaan paitsi kukin itsenäinen teos myös jokainen teoksen muutettu laitos (esim. sisällöltään ajanmukaistettu painos) ja teoksen jokainen erilainen julkaisumuoto eli asu. Omat ISBN-tunnukset annetaan usein myös sekä kaksi- tai useampiniteiselle teoskokonaisuudelle (huomautus tunnuksen jäljessä esim. koko teos) että vielä erikseen kullekin kokonaisuuteen kuuluvalle niteelle (huomautus esim. osa 2). Sähkökirjoissa erilaiset tiedostomuodot (kuten EPUB ja PDF) lasketaan erillisiksi julkaisumuodoiksi.
Myös sähköiselle kirjalle käytetään ISBN-tunnusta. Jotkin tahot kutsuvat sähköiselle muodolle annettua tunnistetta eISBN:ksi, mutta se ei pidä paikkaansa. Myös äänikirjat käyttävät tavallista ISBN-tunnusta.
ISBN-tunnuksen hakeminen

Julkaisulleen voi hakea ISBN-tunnuksen Kansalliskirjastosta: ISBN-hakemus
Julkaisualalla toimivilla organisaatioilla, mukaan lukien yliopistojen kustantamat väitöskirjat ja vastaavat, on oma menettelynsä ISBN-numeroiden hakemiseksi.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta ISBN Wikimedia Commonsissa
Suomen ISBN-keskus
ISBN-tunnuksen ohjeet
International ISBN Agency (Arkistoitu – Internet Archive) – Muunto-ohjelma, jolla 10-numeroiset ISBN-koodit voi muuttaa 13-numeroisiksi (englanniksi)
ISBN Converter (englanniksi) – väliviivoittava ISBN-muunto-ohjelma
Vuori, Teppo: Tarkistusmerkkien laskentamenetelmiä tarkistusmerkit.teppovuori.fi. 1.1.2024.
BookSources, englanninkielisen Wikipedian ISBN-haku
Pienoisevankeliumi

Pienoisevankeliumi on Raamatussa Johanneksen evankeliumin kolmannen luvun jae 16 (Joh. 3:16). Se on maailman yleisimmin lainattu raamatunkohta. Erityisesti luterilaisessa perinteessä tämän jakeen on katsottu olevan koko Jumalan ilmoitus tiivistettynä, josta johtuukin siitä aikaisemmin käytetty nimitys pikkuraamattu. Pienoisevankeliumi on käännetty yli 2 000 kielelle.
Pienoisevankeliumi on katkelma Jeesuksen keskustelusta korkea-arvoisen Nikodeemuksen kanssa.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pienoisevankeliumi Wikimedia Commonsissa
Täydennetty matriisi

Kun kahden annetun matriisin A ja B sarakkeet yhdistetään, saadaan Täydennetty matriisi
Yleensä täydennetty matriisi muodostetaan, kun halutaan suorittaa molemmille matriiseille samat alkeisrivitoimitukset esimerkiksi ratkaistaessa  lineaarista yhtälöryhmää matriisimuodossa.
Vertaamaalla lineaariselle yhtälöryhmälle muodostetun täydennetyn matriisin astetta lineaarisen yhtälöryhmän  kerroinmatriisin asteeseen saadaan Rouché–Capellin teoreeman mukaan selville yhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolo ja lukumäärä.
Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaariselle yhtälöryhmälle matriisimuodossa
saadaan yhdistämällä kerroinmatriisi A ja ratkaisuvektori B täydennetty matriisi
Tästä voidaan alkeisrivitoimituksin lähteä etsimään ( A | B ):n kanssa riviekvivalenttia porrasmatriisia ( C | D ), josta yhtälön ratkaisut on mahdollista selvittää. Tämä tunnetaan Gaussin eliminointimenetelmänä. Jatkamalla alkeisrivitoimituksia redusoituun porrasmuotoon, josta yhtälöryhmän ratkaisu on mahdollista lukea suoraan, käytetään Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmää.
Tarkastellaan esimerkiksi lineaarista yhtälöryhmää
Yhtälöryhmän kerroinmatriisi A ja ratkaisuvektori B ovat
Jolloin täydennetty matriisi on
Tämän matriisin kanssa riviekivalentiksi redusoiduksi porrasmatriisiksi saadaan
jolloin yhtälön ratkaisu on (x, y, z) = (4, 1, -2).
Käänteismatriisin etsiminen

Kun neliömatriisille C etsitään käänteismatriisia voidaan yksikkömatriisin I kanssa muodostaa täydennetty matriisi
jota lähdetään alkeisrivitoimituksin muokkaamaan  redusoiduksi porrasmatriisiksi
Jos saadun redusoidun porrasmatriisin D=I, on matriisi C kääntyvä ja sen käänteismatriisi
Etsitään esimerkiksi onko 2x2 matriisilla C käänteismatriisia
Muodostetaan täydennetty matriisi ( C | I )
Tästä saadaan alkeisrivitoimituksilla muokattua redusoitu porrasmatriisi
Koska saadun matriisin vasen puoli on yksikkömatriisi todetaan käänteismatriisin olevan olemassa