stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Jatkuva funktio
Yhden reaalimuuttujan tapaus > Jatkuvuus toispuoleisten raja-arvojen avulla

Funktio  f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}  on jatkuva pisteessä  a, jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä  a,  on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:
\lim _{x\to \ a-}f(x)=\lim _{x\to \ a+}f(x)=f(a).
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.
Yhden reaalimuuttujan tapaus > Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia

Jatkuvia funktioita voidaan konstruoida muista jatkuvista funktioista yhteenlaskun, kertolaskun ja tietyissä tapauksissa jakolaskun avulla. Jos 



I
⊂

R



{\textstyle I\subset \mathbb {R} }

 on väli, 



a
∈
I


{\textstyle a\in I}

 sekä 



f
:
I
→

R



{\textstyle f:I\to \mathbb {R} }

 ja 



g
:
I
→

R



{\textstyle g:I\to \mathbb {R} }

 jatkuvia funktioita pisteessä 



a


{\textstyle a}

, niin:
summafunktio 



f
+
g


{\textstyle f+g}

 on jatkuva pisteessä 



a


{\textstyle a}
tulofunktio 



f
⋅
g


{\textstyle f\cdot g}

 on jatkuva pisteessä 



a


{\textstyle a}
tulofunktio 



λ
⋅
f


{\textstyle \lambda \cdot f}

, missä 



λ
∈

R



{\textstyle \lambda \in \mathbb {R} }

 on vakio, on jatkuva pisteessä 



a


{\textstyle a}
rationaalifunktio 



f

/

g


{\textstyle f/g}

 on jatkuva pisteessä 



a


{\textstyle a}

, jos 



g
(
a
)
≠
0


{\textstyle g(a)\neq 0}
itseisarvofunktio 




|

f

|



{\textstyle |f|}

 on jatkuva pisteessä 



a


{\textstyle a}
Yhden reaalimuuttujan tapaus > Esimerkkejä

Vakiofunktio 



f
:
I
→

R



{\textstyle f:I\to \mathbb {R} }

, 



f
(
x
)
=
c


{\textstyle f(x)=c}

 on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
Polynomifunktio 



p
:
I
→

R



{\textstyle p:I\to \mathbb {R} }

, 



p
(
x
)
=

a

n



x

n


+

a

n
−
1



x

n
−
1


+
⋯
+

a

2



x

2


+

a

1


x
+

a

0




{\textstyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}

on jatkuva koko määrittelyjoukossaan riippumatta polynomin asteesta 



n


{\textstyle n}

.
Funktio  f(x)={\frac {1}{x}} on määritelty, kun  x\neq 0. Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
Funktio  f(x)=|x| on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa  x=0.
Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa

Olkoot  (X,d) ja  (Y,d') metrisiä avaruuksia. Funktio  f:X\rightarrow Y
on jatkuva pisteessä  x\in X (metriikoiden  d ja  d' suhteen), jos jokaista positiivilukua  \varepsilon  kohti on olemassa positiiviluku  \delta  siten, että  d'(f(x),f(z))<\varepsilon  aina kun  d(x,z)<\delta . Muodollisesti ilmaistuna funktio  f on jatkuva pisteessä  x, jos
\forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0:\ d(x,z)<\delta \Rightarrow d'(f(x),f(z))<\varepsilon .
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon  X pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja  X ja  Y  topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden  d ja  d' indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.
Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa

Funktio  f:X\rightarrow Y, missä  X ja  Y ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä  a\in X, jos ja vain jos jokaista pisteen  f(a)\in Y ympäristöä  V kohti on olemassa pisteen  a ympäristö  U siten, että  f(U)\subset V. Funktio  f on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden  X pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio  f on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen  Y avoimen joukon  V alkukuva  f^{-1}(V) on avoin avaruudessa  X.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
YYA-sopimus

| YYA-sopimus> Sopimus ystävyydestä, yhteistoiminnasta ja keskinäisestä avunannosta Suomen Tasavallan ja Sosialististen Neuvostotasavaltain Liiton välillä |
| --- | --- |

Allekirjoitettu:  6. huhtikuuta 1948
Allekirjoituspaikka:  Moskova, Neuvostoliitto
Kielet:  suomi, ruotsi, venäjä
Voimaantulopäivä:  31. toukokuuta 1948
Päättymispäivä:  20. tammikuuta 1992
Korvaava sopimus:  Naapuruussopimus
Osapuolet
Osapuolet:   Suomi  Neuvostoliitto
Allekirjoittajat:  Mauno Pekkala ja Vjatšeslav Molotov
Sopimus ystävyydestä, yhteistoiminnasta ja keskinäisestä avunannosta Suomen Tasavallan ja Sosialististen Neuvostotasavaltain Liiton välillä eli YYA-sopimus (ven. Договор о дружбе, сотрудничестве и взаимной помощи, Dogovor o družbe, sotrudnitšestve i vzaimnoi pomoštši; ruots. Vänskaps-, samarbets- och biståndsavtalet, lyh. VSB-avtalet) oli sopimustyyppi, joita Neuvostoliitto solmi Varsovan liittoon kuuluvien maiden ja Suomen kanssa.
YYA-sopimus Suomen ja Neuvostoliiton välillä allekirjoitettiin 6. huhtikuuta 1948. Allekirjoittajina olivat Suomen presidentti J. K. Paasikiven valtuuttama pääministeri Mauno Pekkala ja Neuvostoliiton korkeimman neuvoston puhemiehistön (käytännössä kommunistipuolueen pääsihteeri ja pääministeri Josif Stalinin) valtuuttama pääministerin tehtäviä hoitanut varapää- ja ulkoministeri Vjatšeslav Molotov. Neuvostoliiton hajottua sopimus todettiin rauenneeksi tammikuussa 1992.
Sopimuksen sisältö

YYA-sopimus jakautui johdanto-osaan ja tekstiin, jossa oli kahdeksan artiklaa. Johdannossa todettiin sopimuspuolten pyrkivän hyviin naapurisuhteisiin ja ottavan huomioon Suomen pyrkimyksen pysyä suurvaltojen välisten eturistiriitojen ulkopuolella. Lisäksi painotetaan pyrkimystä kansainvälisen rauhan ja turvallisuuden ylläpitämiseen.
Turvallisuuspoliittisesti tärkeimmät asia sisältyvät sopimuksen kahteen ensimmäiseen artiklaan. Ensimmäisen artiklan mukaan Suomi sitoutuu puolustamaan omaa aluettaan, jos Saksa tai sen kanssa liitossa oleva maa hyökkää Suomeen tai Suomen kautta Neuvostoliittoon. Tarvittaessa Neuvostoliitto auttaa Suomen puolustamisessa ja tästä avusta sopimuspuolet sopivat keskenään. Toinen artikla sisältää toteamuksen, että sopimuspuolet tulevat neuvottelemaan, mikäli ensimmäisessä artiklassa kuvatun sotilaallisen hyökkäyksen uhka on todettu.
Kolmannen artiklan mukaan osapuolet vakuuttavat osallistuvansa kaikkiin toimiin kansainvälisen rauhan ylläpitämiseksi. Neljännen artiklan mukaan osapuolet kieltäytyvät osallistuvasta liittymiin, jotka suuntautuvat toista sopimuspuolta vastaan. Viidennessä artiklassa luvataan kehittää sopimuspuolten talous- ja kulttuurisuhteita. Kuudennessa artiklassa osapuolet vahvistavat kunnioittavansa valtioiden suvereenisuutta ja riippumattomuutta. Kahdeksannessa artiklassa vahvistettiin sopimuksen voimassaoloaika (ensin 10 vuotta, vuonna 1955 sopimusta jatkettiin 20 vuotta kuten myös vuonna 1970).
YYA-sopimuksen merkitys > YYA-sopimuksen luonne

YYA-sopimus oli myös puolustusyhteistyön ehtoja etukäteen määrittelevä hyökkäämättömyyssopimus. YYA-sopimuksen kaltaisia sopimuksia Neuvostoliitto solmi myös itäisten keski- ja eteläeurooppalaisten liittolaistensa kanssa, joiden sotilaallinen yhteistyö sai kiinteän valtiollisen muotonsa vuonna 1949 tapahtuneen Naton perustamisen jälkeen vuonna 1955 Varsovassa tehtynä sopimuksena ystävyydestä, yhteistyöstä ja keskinäisestä avunannosta eli Varsovan sopimusjärjestönä (Varsovan liitto).
YYA-sopimuksen teksti toteaa 1. artiklassa Suomen puolustautuvaksi itsenäiseksi valtioksi, eikä Neuvostoliiton mahdollinen apu ole 2. artiklan edellyttämien konsultaatioiden mukaan automaattista tai joihinkin kansainvälisiin velvoitteisiin ennakkoon automaattisesti sidottua. 3. artiklan mukaan pyrkimyksenä on YK:n periaatteiden mukainen toiminta. 4. artikla taas sisältää hyökkäämättömyyssopimuksen.
YYA-sopimuksen merkitys > Noottikriisi 1961

Vuoden 1961 noottikriisin yhteydessä Neuvostoliitto esitti YYA-sopimuksen 2. artiklan mukaisten konsultaatioiden aloittamista, minkä taustalla oli Yhdysvaltojen ja Neuvostoliiton suhteiden kiristyminen Berliinin kriisin vuoksi. Lopulta konsultaatioita ei kuitenkaan aloitettu.
YYA-sopimuksen merkitys > YYA-sopimus perussopimuksena

YYA-sopimus toimi perustana myös tieteellis-taloudellis-tekniselle yhteistyölle ja kansantaloudellisesti merkittäväksi erityisesti öljykriisien yhteydessä osoittautuneelle vuosittaisille tavaranvaihtopöytäkirjoille perustuneelle bilateraalikaupalle, millä kohonnut öljynhinta kyettiin maksamaan tavaratoimituksilla ilman kansainvälistä kaupallista kilpailua. Neuvostoliitolle YYA-sopimus merkitsi mahdollisuutta korostaa ulkopolitiikkansa menestyksellisyyttä kahden talousjärjestelmän välisenä rauhanomaisena rinnakkaiselona, mistä se oli valmis hyvittämään Suomelle bilateraalikaupassa.
YYA-sopimuksen merkitys > Sopimuksen jatkamiset

YYA-sopimusta jatkettiin 20 vuodella syyskuussa 1955 samassa yhteydessä, kun Porkkalan vuokra-alue päätettiin palauttaa Suomelle. Seuraavan kerran sopimusta jatkettiin heinäkuussa 1970 ja uudelleen kesäkuussa 1983 – molemmilla kerroilla 20 vuodella.
YYA-sopimuksen muistomerkkejä

Rauhanpatsas, Essi Renvall, Helsinki 1968
Kansojen ystävyyden monumentti, Antti Neuvonen, Helsinki 1983
Kirjallisuutta

Heikkilä, Toivo: Paasikivi peräsimessä. Pääministerin sihteerin muistelmat 1944–1948. Helsinki: Otava, 1965.
Leino, Olle: Kuka oli Yrjö Leino. Helsinki: Tammi, 1973.
Söderhjelm, J. O.: Kolme matkaa Moskovaan. (Tre resor till Moskva.) Ruotsinkielisestä käsikirjoituksesta suomentanut Keijo Kylävaara. Helsinki: Kirjayhtymä, 1970.
Aiheesta muualla

YYA-sopimus oli Suomelle välttämättömyys, josta tuli hyve. Ylen Elävä arkisto.
Finlandia-katsaus 85 (1948), 3:19–4:03 filmiltä (Kekkonen ja Söderhjelm palaamassa Helsingistä Moskovaan).
Finlandia-katsaus 86 (1948), 0:00–3:13 (sopimuksen käsittely Eduskunnassa).
YYA-sopimus (SopS 17/1948) Finlexissä.
Vänskaps- och biståndspakten hakuteoksessa Uppslagsverket Finland (2012). (ruotsiksi)
YYA-sopimuksen allekirjoitus. Allekirjoittamassa Neuvostoliiton ulkoministeri Vjatšeslav Molotov, hänen takanaan Josif Stalin. Stalinin vasemmalla puolella Suomen pääministeri Mauno Pekkala, Stalinista oikealle ulkoministerit Carl Enckell ja Reinhold Svento, sisäministeri Yrjö Leino sekä kansanedustajat Urho Kekkonen, Onni Peltonen ja J. O. Söderhjelm.
Nikolai Podgornyi ja Urho Kekkonen Finlandia-talolla vuonna 1973
Kansojen ystävyyden monumentti, kuvanveistäjä Antti Neuvosen toteuttama YYA-sopimuksen 35-vuotismuistomerkki Helsingin Itäkeskuksessa vuodelta 1983.
YYA-sopimuksen 25-vuotisen voimassaolon kunniaksi julkaistiin vuonna 1973 suomalainen posti­merkki.
Tasainen suppeneminen

Tasainen suppeneminen on funktiojonon ominaisuus, joka on pisteittäistä suppenemista vahvempi. Sitä voi kuvailla karkeasti niin, että funktion arvot suppenevat samanaikaisesti jokaisessa pisteessä kohti rajafunktiota.
Tasaisesta suppenemisesta seuraa käytännöllisiä tuloksia funktiojonojen integraaleille, derivaatoille ja summille.
Matemaattinen määritelmä

Olkoon  \Delta \subset \mathbb {R}  jokin väli,  (f_{n})_{n\in \mathbb {N} } jono funktioita  \Delta \rightarrow \mathbb {R}  ja väli  \Delta '\subset \Delta . Jono  (f_{n})_{n\in \mathbb {N} } suppenee välillä  \Delta ' tasaisesti kohti funktiota  f:\Delta '\rightarrow \mathbb {R} , jos
Yhtäpitävä ehto tasaiselle suppenevuudelle on, että jokaista lukua  \varepsilon >0 kohti on luku  n_{\varepsilon }\in \mathbb {N}  siten, että kun  n>n_{\varepsilon }, niin
kaikissa pisteissä  x\in \Delta '.
Tasaisen suppenemisen määritelmä voidaan yleistää reaalifunktioilta metrisille avaruuksille määritellyille kuvauksille.
Ominaisuuksia

Jos funktiojono suppenee tasaisesti jollakin välillä, se suppenee tasaisesti sen jokaisella osavälillä. Tasaisesti suppeneva funktiojono suppenee myös pisteittäin kohti samaa rajafunktiota.
Kaikki pisteittäin suppenevat funktiojonot eivät suppene tasaisesti. Tavallinen ja helppo esimerkki tällaisesta jonosta on funktiot
välillä  ]0,1[=\{x\,|\,0<x<1\}. Tämä jono suppenee pisteittäin kohti funktiota
jolloin jos se suppenisi tasaisesti, se suppenisi tasaisesti kohti samaa funktiota. Toisaalta kuitenkin pätee
eli arvo ei suppene nollaan kun  n\rightarrow \infty . Täten jono ei suppene tasaisesti.
Tasainen suppenevuus on ehto, mikä vaaditaan, että raja-arvon oton ja Riemannin integraalin välinen järjestys voidaan vaihtaa.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

MathWorld. Uniform Convergence
Grünenthal

| Grünenthal GmbH |
| --- | --- |

 Grünenthalin pääkonttori
Tunnuslause:  A World Free of Pain (suom. kivusta vapaa maailma)
Yritysmuoto:  GmbH
Toimiala:  Lääkkeet
Kotisivu:  www.grunenthal.com
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Grünenthal on lääkeyhtiö, jonka pääkonttori sijaitsee Aachenissa Saksassa.
Yhtiö perustettiin vuonna 1946 nimellä Chemie Grünenthal ja on ollut jatkuvasti perheomistuksessa. Yhtiö toi ensimmäisenä penisilliinin Saksan markkinoille sodanjälkeisenä aikana, kun liittoutuneiden valvontaneuvosto poisti kiellon. Grünenthal tuli pahamaineiseksi 1950- ja 1960-luvuilla teratogeenisen talidomidilääkkeen kehittämisestä ja myynnistä, jota markkinoitiin unilääkkeenä Contergan ja mainostettiin aamupahoinvoinnin ehkäisynä. Talidomidi aiheutti vakavia synnynnäisiä epämuodostumia, keskenmenoja ja muita vakavia terveysongelmia. Vaikka nämä sivuvaikutukset todistettiin lopullisesti vuosina 1959 ja 1962, Grünenthal jatkoi lääkkeen markkinointia pitkälle 1970- ja 1980-luvuille.
Yhtiö tuottaa yli 50 prosenttia tuloistaan kipulääkkeillä, kuten tramadolilla. Yhtiöllä on kaksi toimistoa Saksassa sekä tytäryhtiöt Euroopassa, Latinalaisessa Amerikassa, Yhdysvalloissa ja Kiinassa. Marraskuussa 2016 yhtiö osti Thar Pharmaceuticalsin ja vuonna 2018 Averitas Pharman.
Riviekvivalenssi

Lineaarialgebrassa kaksi matriisia ovat riviekvivalentit, jos toinen niistä saadaan toisesta äärellisellä määrällä alkeisrivitoimituksia.  Lisäksi, kaksi m × n -matriisia ovat riviekvivalentit, jos ja vain jos niillä on sama riviavaruus.  Käsitettä käytetään yleisimmin matriiseille, jotka kuvaavat lineaarisia yhtälöryhmiä. Tällaisessa tapauksessa kaksi samankokoista matriisia ovat riviekvivalentit, jos ja vain jos niitä vastaavilla homogeenisilla yhtälöryhmillä on samat ratkaisut tai vastaavasti matriiseilla on sama nolla-avaruus.
Koska alkeisrivitoimitukset ovat reversiibeleitä (l. voidaan suorittaa myös käänteisessä järjestyksessä), riviekvivalenssi on ekvivalenssirelaatio.  Tätä merkitään yleisesti tildellä (~).
Sarake-ekvivalenssi määritellään puolestaan alkeissaraketoimitusten avulla. Lisäksi, kaksi matriisia ovat sarake-ekvivalentit, jos ja vain jos niiden transpoosit ovat riviekvivalentit. Kahta suorakulmaista matriisia, jotka voidaan muuntaa toisistaan sekä alkeisrivi- että alkeissaraketoimituksilla kutsutaan ekvivalenteiksi.
Alkeisrivitoimitukset

Jokainen seuraavista on alkeisrivitoimitus:
Vaihto: Vaihdetaan kaksi matriisin riviä keskenään.
Vakiolla kertominen: Kerrotaan matriisin rivi nollasta eroavalla vakiolla.
Rivin lisääminen: Kerrotaan jokin matriisin rivi nollasta eroavalla vakiolla ja lisätään se toiseen riviin.
Matriisit A ja B ovat riviekvivalentit ts. matriisi A on riviekvivalentti matriisin  B kanssa, jos on mahdollista muuntaa matriisi A matriisiksi B äärellisellä määrällä alkeisrivitoimituksia.
Matriisit, jotka saadaan yksikkömatriisista yhdellä alkeis­rivi­toimituksella, ovat alkeis­matriiseja.
Riviavaruus

Matriisin riviavaruus on sen rivivektoreiden kaikkien mahdollisten lineaarikombinaatioiden joukko. Jos matriisin rivit kuvaavat lineaarista yhtälöryhmää, niin riviavaruus muodostuu kaikista niistä lineaarisista yhtälöistä, jotka voidaan johtaa algebrallisesti yhtälöryhmän vastaavista yhtälöistä. Kaksi m × n -matriisia ovat riviekvivalentit, jos ja vain jos niillä on sama riviavaruus. Matriisin A riviavaruutta merkitään Row (A) .
Esimerkiksi matriisit
ovat riviekvivalentit, ja niiden molempien riviavaruus on kaikkien muotoa  {\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}} olevien vektorien joukko.
Vastaavasti homogeenisia yhtälöryhmiä
tarkastellessa saadaan sama tieto.
Huomattakoon, että molemmat menetelmät edellyttävät jokaisen yhtälön olevan muotoa  ax+by+bz=0.\,
Määritelmän perusta

Lineaarialgebrassa pidetään tärkeänä tietona sitä, että kaksi matriisia ovat ekvivalentteja, jos ja vain jos niillä on sama riviavaruus.  Tämän teoreeman todistus perustuu seuraaviin huomioihin:
Alkeisrivitoimitukset eivät muuta matriisin riviavaruutta.  Erityisesti, millä tahansa kahdella ekvivalentilla matriisilla on sama riviavaruus.
Mikä tahansa matriisi voidaan redusoida alkeisrivitoimituksilla redusoiduksi porrasmatriisiksi.
Kahdella redusoidulla porrasmatriisilla on sama riviavaruus, jos ja vain jos nämä matriisit ovat samoja.
Tämä päättely osoittaa myös, että jokainen matriisi on riviekvivalentti sitä vastaavan redusoidun porrasmatriisin kanssa.
Lisäominaisuudet

Koska matriisin nolla-avaruus on riviavaruuden ortogonaalinen komplementti, niin kaksi matriisia ovat riviekvivalentit, jos ja vain jos niillä on sama nolla-avaruus.
Matriisin aste on yhtä suuri kuin riviavaruuden dimensio, joten riviekvivalenteilla matriiseilla täytyy olla sama aste.  Tämä on yhtä suuri kuin johtavien alkioiden lukumäärä redusoidussa porrasmatriisissa.
Matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos se on riviekvivalentti yksikkömatriisin kanssa.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Oikean käden sääntö

Keskisormi osoittaa ristitulon eli c-vektorin suunnan.
Oikean käden sääntö on matematiikassa ja fysiikassa käytetty muistisääntö, jolla havainnollistetaan vektorien suuntia kolmessa ulottuvuudessa.
Oikeakätinen koordinaatisto

Oikeakätinen koordinaatisto tarkoittaa koordinaatistoa, jossa katsottaessa kohti origoa pisteestä jonka kaikki koordinaatit ovat positiivisia, x-, y- ja z-akselit seuraavat toisiaan vastapäivään eli positiivisessa kiertosuunnassa. Tämä pätee myös kaksiulotteisessa koordinaatistossa.
Vektoritulo

Oikean käden muistisääntöä voidaan käyttää ristitulon tuloksena olevan vektorin suunnan määrittämiseen. Vektoreiden  {\vec {a}} ja  {\vec {b}} ristitulo on
Oikean käden sääntö kertoo, mihin suuntaan vektori  {\vec {c}} osoittaa. Laita oikean käden peukalo, etusormi ja keskisormi kohtisuoraan kulmaan toisiinsa nähden siten, että etusormi ja keskisormi muodostavat L-kirjaimen. Peukalo sojottaa nyt vektorin  {\vec {a}} suuntaan, etusormi on  {\vec {b}} ja niiden ristitulo eli vektori  {\vec {c}} osoittaa keskisormen suuntaan kuvan osoittamalla tavalla.
Sääntöä käytetään usein myös siten, että etusormi osoittaa vektorin  {\vec {a}} suunnan, keskisormi  {\vec {b}}:n ja näiden ristitulo on siten peukalon suuntaan  {\vec {c}}. Esimerkiksi magneettikentän varattuun hiukkaseen aiheuttaman voiman suunta määritetään usein tällä tavoin. Silloin hiukkasen nopeusvektori osoittaa etusormen suuntaan, magneettikenttä keskisormen suuntaan ja voima peukalon suuntaan.
Kierron suunnan kertova oikean käden sääntö

Mekaniikassa kiertävää liikettä kuvaavien vektorisuureiden suunnat kertova oikean käden sääntö: Jos oikeaa kättä pidetään nyrkissä siten, että sormet kiertyvät peukalon ympäri liikkeen kiertosuuntaan, osoittaa peukalo vektorin suunnan. Tällä tavalla voidaan selvittää esimerkiksi kulmanopeusvektorin suunta
, samoin vääntömomentin ja liikemäärämomentin.
Sähkövirta ja sähkömagneettinen kenttä

Sähkövirta luo ympärilleen pyörteisen magneettikentän, jonka kenttäviivat kiertävät virtajohtimen ympäri.
Asetettaessa sähköjohdin oikean käden kämmenelle siten että peukalo osoittaa virran suuntaan, niin muut sormet osoittavat  magneettikentän kiertosuunnan johtimen ympärillä. Vastaavasti, jos johdin asetetaan oikean käden kämmenelle siten että sormet osoittavat magneettikentän kiertosuuntaan, niin peukalo osoittaa virran suunnan.
Kelassa kulkevan virran ja kelaan syntyvän magneettikentän suunnat selviävät säännöllä, jossa oikea käsi kiedotaan kelan ympärille niin että virran kulkusuunta on kämmenestä sormiin päin. Tällöin peukalo osoittaa magneettikentän pohjoista. Vastaavasti, jos käsi asetetaan niin, että peukalo osoittaa magneettikentän pohjoista, niin sormet osoittavat virran suunnan kelan johtimissa.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Oikean käden sääntö Wikimedia Commonsissa
Oikeakätinen eli positiivisesti suunnattu koordinaatisto
Vaihtoehtoinen sääntö: peukalo osoittaa ristitulon eli c-vektorin suunnan.
Oikean käden peukalo osoittaa virran suunnan ja muut sormet magneettikentän.
Roottori (matematiikka)

Fysiikassa liikkuvan ilman virtaukset käsitellään vektorimatematiikalla ja pyörteet vaativat käsittelyssä vektoreiden roottorin ominaisuuksia.
Vektorikenttä, jossa on puhdas ja vakioinen roottori näyttää kaksiulotteisena tältä.
Matematiikassa roottori (pyörre, pyörteisyys, pyörteen tiheys; engl. curl, rotor) tarkoittaa vektoriarvoisiin funktioihin eli vektorikenttiin kohdistettavaa differentiaalioperaattoria.
Roottorin esitys karteesisessa koordinaatistossa

Karteesisessa koordinaatistossa  roottorin laskukaava voidaan kirjoittaa kätevästi determinantin avulla: (s. 120)
missä
Tästä muodosta huomataan, että funktion roottori voidaan ajatella funktion ja nablan ristitulona, eli
jota käytetäänkin yleisesti roottorin symbolina. Lukutapa on luonnollinen 'nabla risti F'. Roottorin laskukaavan purettu muoto on
Roottori on merkittävä operaattori matematiikassa ja fysiikassa erityisesti Stokesin lauseen vuoksi.
Roottori fysiikassa

Fysikaalisen vektorikentän roottoria sanotaan kentän pyörrekentäksi, koska roottori kuvaa kentän pyörteisyyttä. Kentän pyörteisyyden suunta saadaan oikean käden säännöllä: kun peukalo osoittaa roottorin suuntaan, kertoo muiden sormien luonnollisen asennon osoittama suunta kentän "pyörimissuunnan". Vektorikentän roottori pisteessä on pyörteisen kentän aiheuttajien tiheys. Mikäli roottori jossain alueessa on nolla, sanotaan kenttää tässä alueessa pyörteettömäksi. Kaikki konservatiiviset kentät ovat pyörteettömiä, esimerkkejä ovat muun muassa maan painovoimakenttä ja staattinen sähkökenttä. Roottori on erityisen olennainen käsite sähkömagnetismissa, mikä nähdään jo Maxwellin yhtälöiden differentiaalimuodoista. Esimerkiksi Faradayn laista
nähdään, että jos magneettivuon tiheyden B aikaderivaatta on nollasta poikkeava, on sähkökentässä pyörre eikä se siis ole konservatiivinen.