stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Tapahtuma (todennäköisyys)
Tapahtumien joukot > Kaikki tapahtumat: potenssijoukko

Perusjoukosta muodostettavien osajoukkojen eli tapahtumien kokonaismäärä voi olla suuri. Esimerkiksi kolikonheitossa perusjoukko on pieni:  \Omega =\{kruuna,klaava\}=\{kr,kl\}. Selvästikin tyhjä joukko, kruuna ja klaava muodostavat kolme erilaista osajoukkoa. Myös perusjoukko on itsensä osajoukko, joten kaikkien osajoukkojen joukko on tällöin:  \{\emptyset ,\{kr\},\{kl\},\{kr,kl\}\}.Joukossa on alkioina  2^{2} osajoukkoa. Joukkoa, jossa on kaikki mahdolliset perusjoukosta muodostettavat tapahtumat, kutsutaan joukko-opissa potenssijoukoksi  {\mathcal {P}}(\Omega ). Nopanheitossa, missä  \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}, on potenssijoukko  {\mathcal {P}}(\Omega )=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},...,\{1,2,3\},...,\{1,2,3,4,5,6\}\}. Niistä muodostuu yhteensä  2^{6} osajoukkoa. Korttipakan 52 pelikortista voidaan muodostaa erikokoisia tapahtumia  2^{52} kappaletta.
Joukko-opin merkinnöin  A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\Leftrightarrow A\subset \Omega  eli tapahtuma on potenssijoukon alkio jos ja vain jos se on tapahtuma.
Todennäköisyys > Tapahtumaan liitettävä todennäköisyys

Tapahtuma A tapahtuu, kun satunnaisilmiön tuottama tulos on sellainen alkeistapaus  \omega , joka kuuluu tapahtumaan eli  \omega \in A. On järkevää olettaa, että mitä enemmän tapahtumaan  A kuuluu erilaisia alkeistapauksia  \omega , sitä suurempi olisi tapahtuman todennäköisyys  P(A). Tästä seuraa pari järkevää reunaehtoa. Tyhjän tapahtuman, jossa mikään alkeistapaus ei toteuta sitä, todennäköisyys on oltava nolla. Todennäköisyys nolla tarkoittaa, ettei tapahtumaa satu koskaan. Jos tapahtuma sisältää kaikki alkeistapaukset eli on perusjoukko, tulisi se toteutua jokaisella kerralla eli aina. Sen todennäköisyys olisi siten yksi. Matemaattisilla merkinnöillä nämä tapahtumat voidaan kirjoittaa  P(\emptyset )=0 ja  P(\Omega )=1. Todennäköisyyden arvo tulee siten pysyä arvoissa  0\leq P(A)\leq 1.
Todennäköisyys > Symmetrian periaate

Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kukin alkeistapaus toteutuu yhtä yleisesti, jolloin alkeistapauksen todennäköisyys on perusjoukon koon n mukaan  1/n. Tapahtuman  A todennäköisyys  P(A) saadaan vertaamalla tapahtumien sisältämien alkeistapauksien lukumäärää  |A| perusjoukon kokoon  |\Omega |:
Varianssi

Varianssi on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan hajonnan mitta. Varianssi kuvaa sitä, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot keskimäärin vaihtelevat odotusarvosta tai populaation keskiarvosta. Varianssissa yksittäisen mittauksen poikkeamat keskiarvosta tai odotusarvosta korotetaan toiseen potenssiin (neliöön). Varianssi saadaan ottamalla keskiarvo näistä neliöön korotetuista eroista. Kun arvot keskittyvät odotusarvon ympärille tiiviisti, on varianssin arvo pieni, ja kun arvot ovat hajallaan odotusarvon ympärillä, on sen arvo suuri. Reaaliarvoisen satunnaismuuttujan varianssi on sen toinen keskusmomentti. Varianssin yksikkö on satunnaismuuttujan yksikkö korotettuna toiseen potenssiin. Varianssin neliöjuurta sanotaan keskihajonnaksi, jonka yksikkö on sama  kuin satunnaismuuttujalla.
Määritelmä ja merkinnät

Matemaattisesti varianssi  \sigma _{X}^{2} määritellään reaaliarvoisen satunnaismuuttujan  X odotusarvon  \operatorname {E}  avulla
missä  \mu =\operatorname {E} [X] on satunnaismuuttujan odotusarvo. Varianssin arvo on ääretön, ellei odotusarvo  \operatorname {E} [X^{2}] ole äärellisenä olemassa. Varianssi voidaan merkitä myös
Varianssin avulla voidaan esittää myös keskihajonta eli standardipoikkeama   \sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}.
Määritelmä ja merkinnät > Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi lasketaan
missä  f_{X}(x) on jakauman pistetodennäköisyysfunktio.
Määritelmä ja merkinnät > Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvan satunnaismuuttujaparin varianssi on taas
missä  f_{X}(x) on jakauman tiheysfunktio.
Ominaisuuksia > Rinnakkaiskaavan johtaminen

Varianssin lauseketta voidaan kehittää edelleen käyttämällä hyväksi odotusarvon ominaisuuksia:
Ensimmäistä muotoa kutsutaan toiseksi keskusmomentiksi ja viimeisessä muodossa käytetään toista ja ensimmäistä origomomenttia.
Varianssin laskemiseksi on käytössä myös tekijämomentin sisältävä muoto:
Ominaisuuksia > Ominaisuuksia

Varianssin arvo on aina epänegatiivinen. Kun varianssi on nolla, ei arvoissa esiinny vaihtelua ja satunnaismuuttuja antaa vain samoja arvoja. Siten
Varianssi on kovarianssi kahden identtisen satunnaismuuttujan välillä
Ominaisuuksia > Päättelysääntöjä summista

Jokaisen satunnaismuuttujan arvoon lisätty vakio ei vaikuta varianssin arvoon eli
mutta arvojen kertominen vakiolla kasvattavat  (|a|>1) tai vähentävät  (|a|<1) varianssia
Kahden satunnaismuuttujan lineaarikombinaatiossa varianssiin vaikuttaa myös satunnaismuuttujien kovarianssi
mikä merkitään yleisemmässä tapauksessa
Nämä arvot voidaan käsitellä hallitummin kovarianssimatriisissa. Tämä ominaisuus vaikuttaa myös satunnaismuuttujien summan varianssiin
Kovarianssia ei tarvitse huomioida, mikäli satunnaismuuttujat ovat korreloimattomia  \sigma (X_{i},X_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j), jolloin
Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina korreloimattomia. Korreloimattomilla satunnaismuuttujilla välimerkki ei vaikuta varianssin arvoon
Ominaisuuksia > Päättelysääntöjä tuloista

Kahden satunnaismuuttujan tulon varianssi voidaan määrittää odotusarvon ominaisuuksien avulla
Populaatio- ja otosvarianssi

Varianssi lasketaan äärelliselle populaatiolle  (y_{1},\dots ,y_{N}) seuraavasti
missä  {\overline {y}} on populaation keskiarvo. Tätä kutsutaan toisinaan otosvarianssiksi, mutta termin käyttö on vaihtelevaa. Kun  (y_{1},\dots ,y_{N}) on otos laajemmasta populaatiosta,  \sigma ^{2} on varianssin tarkentuva mutta harhainen estimaatti. Harhaton estimaatti on
jota yleensä kutsutaan otosvarianssiksi. Suurten otosten tapauksessa ei ole käytännössä merkitystä kumpaa estimaattoria käytetään. Molempien keskihajonta saadaan ottamalla varianssista neliöjuuri.
De Pont

De Pont on Suomessa vaikuttanut aatelinen mutta Suomessa introdusoimaton suku. Suku omisti Someron Lahden kylässä sijaitsevaa Lahden kartanoa 1700-luvulta 1900-luvulle. Sen jäsenet ovat vaikuttaneet Suomessa muun muassa lasiteollisuuden edelläkävijöinä ja sotilaina.
Historia

De Pont -suku lienee peräisin Ranskasta tai Valloniasta, joissa on sen nimisiä (de Pont, Depont) sukuja. Varhaisin Suomessa tunnettu suvun jäsen oli 1600-luvulla Viipurissa satulaseppänmä toiminut Anders du Pont. Hänen poikansa, Karjalan rakuunarykmentin majurin Mårtenin nimi kirjoitettiin Depong. Kun tämän pojanpojan poika kirjoitettiin Keisarilliseen Turun yliopistoon, hänen nimensä jälkeen lisättiin nob., aatelinen, mutta samaa merkintää ei tehty hänen veljensä osalta.
Suomen lasiteollisuuden kehittäjiä

Jacob Reinhold De Pont anoi 1746 ja sai 1748 oikeuden perustaa lasitehtaan Someron Sillanpään kylään. Hän sai yhtiökumppaneikseen isänsä, majuri Depongin ja lähetystösihteeri J. H. Titzschkaun sekä myöhemmin patruuna Johan Jacob Kijkin Perniön Teijosta ja kauppias Jacob Bremerin Turusta.
Åvikin lasitehdas osoittautui elinkelpoiseksi, ja sitä laajennettiin jo 1751. Tehtaassa ulkomaiset ja kotimaiset lasinpuhaltajat valmistivat muun muassa pulloja, karahveja, juomalaseja sekä etenkin juuri tuolloin suuresti yleistyvää ikkunalasia. Sitä ja muita tuotteita alettiin myydä myös Ruotsin puolelle; laskukauden jälkeen tuotantoa laajennettiin taas 1780-luvulla.
Lasinpuhallus jatkui Urjalan Nuutajärven lasitehtaalla, jonne Jacob Reinhold de Pontin poika, Nuutajärven kartanon omistaja, majuri Jacob Wilhelm de Pont (1754 - 1809) perusti tehtaan 1793 Harald Furuhjelmin kanssa. Lasitehdas oli Suomen vanhin alallaan, jonka toiminta lopetettiin vuonna 2014 Nuutajärven lasikylä jatkaa toimintaa, joka on Suomen vanhin.
Suvun jäseniä

Suvun tunnettuja jäseniä ovat:
Mårten de Pont majuri
Jacob Reinhold de Pont (1717–1788), Someron Lahden kartanon omistaja ja Åvikin lasitehtaan perustaja, Mårten de Pontin poika
Mårten Reinhold de Pont, Someron Lahden kartanon omistaja, Jacob Reinhold de Pontin poika
Jacob Wilhelm de Pont (1755–1809), majuri, kartanonomistaja ja Nuutajärven lasitehtaan perustaja, Jacob Reinhold de Pontin poika
Karl Jacob Reinhold de Pont, Someron Lahden kartanon omistaja, Mårten Reinhold de Pontin poika
Carl Wilhelm de Pont, Someron Lahden kartanon omistaja, Karl Jacob Reinhold de Pontin poika
Kasten Fredrik de Pont (1849–1929), kenraalimajuri ja lääninkuvernööri, Carl Jacob Reinhold de Pontin poika
Carl Ossian de Pont, agronomi, Someron Lahden kartanon omistaja, Carl Wilhelm de Pontin veljenpoika
Claës Claësson de Pont (1891–1932), Helsingin taiteilijapiireissä 1900-luvun alussa vaikuttanut elämäntaiteilija, hänen isänsä Claes Alfred Nicolai de Pont (1855–1891) omisti Turun läänin Koskella Kosken kartanon
Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetti satunnaismuuttuja  (engl. discrete random variable)  eli diskreetti stokastinen muuttuja  on todennäköisyyslaskennassa äärellisen tai numeroituvasti äärettömän määrän arvoja saava satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää lukua, joka saadaan ilmiön alkeistapauksista mitallisen funktion kuvauksena. Se nähdään usein "vastakkaisena" jatkuvalle satunnaismuuttujalle, jonka arvot muodostavat reaalilukujen jatkumona ylinumeroituvasti äärettömän määrän arvoja. Äärellistä diskreettiä satunnaismuuttujaa kutsutaan yksinkertaiseksi.
Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Painot mieletään reaaliluvuiksi ja kahden kalan painot voivat olla kuinka lähellä toisiaan hyvänsä. Siksi jatkuvan satunnaismuuttujan arvot muodostavat realilukujen joukon, joka on hyvin "tiheä". Diskreettiset arvot, jotka ovat tässä lukumääriä, sijaitsevat kokonaislukujen tapaan lukusuoralla hyppäyksen päässä toisistaan. Lukujen väliin jää siten "raot" eikä arvojoukko ole "tiheä". Esimerkiksi ihmisen pituus on tällainen satunnaismuuttuja, mikäli pituudet pyöristetään senttimetrin tarkkuuteen. Siksi arvojoukkoa kutsutaan diskreetiksi (suom. erillinen). Satunnaismuuttujan mittaamistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujaa, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppiseksi.
Satunnaismuuttujan saamat lukuarvot muodostavat perusjoukon, jossa kaikki arvot eivät aina esiinny symmetrisesti yhtä yleisesti. Arvon yleisyys ilmaistaan todennäköisyydellä ja kaikkien arvojen todennäköisyydet muodostavat todennäköisyysjakauman. Jakauma määrittää satunnaismuuttujan täysin, joten satunnaisumuuttujat luokitellaankin jakaumiensa perusteella.
Matemaattiset määritelmät

Satunnaismuuttuja  X on mitallisen funktion kuvaus  X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} , missä määrittelyjoukko  \Omega  on todennäköisyysilmiön alkeistapauksien  \omega  muodostana perusjoukko  \Omega  eli otosavaruus, ja arvojoukkona ovat reaaliluvut. Perusjoukko sisältää kaikki satunnaisilmiön mahdolliset alkeistapaukset, mikä merkitään joukko-opissa  \{\omega |\omega \in \Omega \}. Silloin alkeistapaukset ovat satunnaismuuttujan argumenttina, mikä on tapana merkitä  X(\omega ). Todennäköisyyslaskennassa argumentit jätetään aina pois.
Samoin kuin klassisessa todennäköisyyslaskennassakin, alkeistapauksien yhdisteet muodostavat perusjoukon osajoukkoja, joita kutsutaan tapahtumiksi. Tapahtuma  A on siis joukko-opillinen käsite  \{\omega :\omega \in A\}. Myös satunnaismuuttujille määritellään tapahtuma  M samalla idealla eli  \{\omega :X(\omega )\in M\} eli lyhyemmin kirjoitettuna  X\in M, kun on huomioitu satunnaismuuttujan määrittelemä kuvaus  X(\omega ). Kun todennäköisyyslaskennassa määritellään todennäköisyydet kaikille perusjoukon  \Omega  alkeistapauksien joukoille, jotka kuuluvat perusjoukon osajoukkojen sigma-algebraan ( \sigma -algebra)  {\mathcal {F}}. Vain osajoukot  A\in {\mathcal {F}} ovat tapahtumia. Tästä muodostuukin satunnaismuuttujan määritelmä:  X on satunnaismuuttuja, jos  \{\omega :X(\omega )\in M\} on tapaus (eli  \{\omega :X(\omega )\in M\}\in {\mathcal {F}}) kaikilla Borel-joukoilla  M. Kun satunnaismuuttuja määritellään näin, täyttää se mittateoreettiset kriteerit. On varsin helppo osoittaa tapauskohtaisestikin, että äärellinen eli yksinkertainen satunnaismuuttuja voidaan saada toteuttamaan mittateoreettiset kriteerit aina.
Satunnaismuuttujan määrittelevä funktio tulee olla mitallinen funktio. Nimitys juontuu siitä, että käänteiskuvalle  X^{-1}(M) voidaan liittää tietty mitta eli tässä tapauksessa todennäköisyys.
Diskreetin satunnaismuuttujan ominaisuuksia > Todennäköisyysfunktio

Yksinkertaisen eli äärellisen diskreetin satunnaismuuttujan perusjoukko käsittää  n alkeistapausta  \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}, joista kukin esiintyy todennäköisyydellä  \{p_{1},p_{2},...,p_{n}\}. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Sille on yleisesti käytössä merkinnät
missä  0\leq p_{i}\leq 1.
Satunnaismuuttujan arvot ja todennäköisyysfunktion arvot muodostavat yhdessä satunnaismuuttujan jakauman. Diskreetin luonteensa vuoksi nämä arvot voidaan luetella taulukossa, mutta joissakin jakaumissa todennäköisyysfunktiolle on määritelty kompakti lauseke.
Todennäköisyyksien summa tulee aina olla yksi:
Diskreetin satunnaismuuttujan ominaisuuksia > Kertymäfunktio

Todennäköisyyslaskennassa halutaan usein laskea todennäköisyyksiä tapahtumille, jotka ovat muotoa  \{X\leq a\},  \{X>a\} tai  \{a<X\leq b\}. Näiden kaikkien todennäköisyydet voidaan esittää pelkästään todennäköisyyksien  P(X\leq a) avulla. Diskreetin satunnaisfunktion kertymäfunktio eli jakaumafunktio määritetään
Todennäköisyysfunktion arvot eli pistetodennäköisyydet voidaan laskea kahden kertymäfunktion arvon avulla
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiolla  F(x) on seuraavia omainaisuuksia:
Sen arvoalue:  0\leq F(x)\leq 1,\,x\in \mathbb {R}
F(x) on oikealta jatkuva porrasfunktio
F(x) on ei-vähenevä funktio
Raja-arvo on olemassa:  \lim _{x\to +\infty }F(x)=1
Raja-arvo on olemassa:  \lim _{x\to -\infty }F(x)=0
Diskreetin satunnaismuuttujan ominaisuuksia > Tunnuslukuja

Äärellisen ja diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo merkitään ja määritellään
Äärettömän ja diskreetin satunnaismuuttujan odotosarvo ei välttämättä ole äärellisenä olemassa. Yleensä ääretön summa lukuja kasvaa yli kaikkien rajojen, koska silloin pienetkin termit kasvavat äärettömän suureksi summaksi. Siksi odotusarvo on olemassa vain, kun se suppenee itseisesti eli
Odostusarvoa kutsutaan satunnaismuuttujan ensimmäiseksi momentiksi. Muut momentit ovat
Näissäkin ääretön summa on olemassa, jos se suppenee itseisesti. Satunnaismuuttujan varianssi merkitään ja määritellään
ja sama erilaisilla summakaavoilla
missä itseinen suppeneminen on äärettömien summien lisäehtona. Satunnaismuuttujan keskihajonta on varianssin neliöjuuri
Diskreetin satunnaismuuttujan jakauma

Tunnettuja diskreettien satunnaismuuttujien jakaumia on lukuisia. Niissä käsitellään useimmiten lukumääriä ja niiden esiintymisen todennäköisyyksiä. Alla on muutama yleisesti tunnettuja esimerkkejä satunnaismuuttujista, jotka kuvaavat lukumääriä.
Diskreetti tasainen jakauma kuvaa satunnaismuuttujia, joiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki samansuuruiset. Tällainen tilanne on esimerkiksi, kolikonheitossa, jossa kruuna ja klaava ovat yhtä todennäköiset, nopanheitossa, jossa kukin silmäluku esiintyy yhtä todennäköisesti.
Bernoullin jakauma kuvaa kaksiarvoista satunnaismuuttujaa, jollainen on esimerkiksi yhden kerran suoritettu kolikonheitto. Nyt todennäköisyydet eivät ole yhtäsuuret. Nopanheitossa tulee tarkastella tilannetta, jossa joko tulee "kuutonen" tai tulee "jokin muu" silmäluku.
Binomijakauma (toistokoe) kuvaa toistojen aikana sattuneiden onnistumisten lukumääriä, kun onnistumisen todennäköisyys tunnetaan etukäteen. Tällainen on useaan kertaan suoritettu nopanheitto, jossa yritetään saada "kuutosia".
Geometrinen jakauma kuvaa epäonnistumisten lukumäärää ennen kuin saadaan ensimmäinen onnistuminen. Tällainen tilanne syntyy on taas nopanheitossa, kun yritetään heittoja toistamalla saada "kuutonen" kerran.
Hypergeometrinen jakauma kuvaa onnistumisten määrää, kun vaihtoehdoista poimitaan tietyn suuruinen otos. Esimerkiksi lotossa se kuvaa "oikeita" arvauksia, kun oikeita on seitsemän ja arvauksia on myös seitseman (otanta ilman takaisinpanoa).
Negatiivinen binomijakauma kuvaa lukumäärää, jota tulee toistaa ennen kuin onnistutaan halutun monta kertaa. Jakauman lukumääräksi tosin ilmoitetaan tähän tulokseen pääsemiseen vaadittavien epäonnistumisten lukumäärä.
Poissonin jakauma kuvaa sattuvien tapahtuien lukumäärää vakioaikavälillä (Poisson-prosessin insidenssien lukumäärä).
Aiheesta muualla

Weisstein, Eric W.: Discrete Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Alkeistapaus

Alkeistapaus  (engl. elementary event) eli tapaus  eli ulostulo  (engl. outcome) on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön tuottamaa tulosta (joskus ei-numeerinen). Esimerkiksi nopanheitossa tiettyä asentoa kutsutaan alkeistapaukseksi. Nopan asennolla on nimi, joka määräytyy ylimmän tahkon "silmien" lukumäärän mukaan, ja se annetaan nopanheiton tulokseksi. Yleisemmin määriteltynä alkeistapaus tarkoittaa minkä tahansa satunnaisilmiön tulosta, joita syntyy aina vain yksi kerrallaan ja jonka arvo ymmärretään aina vain yhdellä tavalla (yksikäsitteisyys). Satunnaisilmiö tuottaa erilaisia alkeistapauksia, joista muodostuvaa joukkoa kutsutaan perusjoukoksi (merkitään usein isolla kirjaimella  \Omega , joka lausutaan "oomega"). Perusjoukkoa kutsutaan myös nimillä otosjoukko, otosavaruus tai tapahtuma-avaruus. Perusjoukko sisältää siis alkeistapausten kaikki mahdolliset arvot. Alkeistapauksiin viitataan usein pienellä "oomegalla" eli  \omega .
Todennäköisyyslaskennassa nimitykset vaihtelevat sen mukaan, onko kyseessä tilastollinen, todennäköisyys- vai matemaattinen tarkastelu. Koska satunnaisilmiön matemaattinen suora käsittely voi olla mahdotonta, jää sille käytettäväksi vain tapausten tilastollinen tai todennäköisyyslaskennallinen analysointi. Tämä ajatus muodostaa todennäköisyyslaskennan perustan.
Esimerkkejä tapauksista > Diskreetit alkeistapaukset

Esimerkiksi kolikonheitossa alkeistapauksina voi esiintyä "kruuna" tai "klaava". Vaikka kolikko voi asettua vaikkapa reunallensa, ei tätä asentoa hyväksytä tapaukseksi, vaan kolikon heitto suoritetaan uudelleen. Perusjoukko sisältää siten vain kaksi alkeistapausta eli \Omega =\{kruuna,klaava\}.
Esimerkiksi tavallisen kuusisivuisen nopan eli arpakuution heitossa kaikki mahdolliset alkeistapaukset ovat  \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}, jos silmäluvut muutetaan ensin luvuiksi. Kortinnostossa korttipakasta, jossa on 52 pelikorttia, jokainen kortti edustaa omaa alkeistapausta. Kortit on merkitty samanaikaisesti kahdella tavalla (maa ja numero), jotka yhdessä muodostavat kortinnostossa alkeistapauksen arvon. Rulettipöydän alkeistapaus taas on tunnus (väri ja numero) siinä lokerossa, johon pallo asettuu.
Kahden kolikon heitossa alkeistapauksiksi ei valita kolikoiden tuloksia erikseen vaan ne yhdistetään pariksi. Koska kumpikin kolikko saa kaksi arvoa, on perusjoukossa  2\times 2=4 alkeistapausta, jotka ovat lueteltuina  \scriptstyle \{(kr,kr),(kr,kl),(kl,kr),(kl,kl)\}. Kahden nopan alkeistapaukset saadaan vastaavalla tavalla:  \scriptstyle \{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)\}. Alkeistapauksia on tässä tapauksessa yhteensä  6\times 6=36. Vaihtoehtojen lukumäärä kasvaa esimerkiksi kortinpeluussa, jossa pelaajien kädessä on aina viisi korttia.
Koska tapausten arvot ovat erillisiä arvoja, kuten kokonaislukuja, kutsutaan niitä diskreeteiksi eli erillisiksi. Diskreettien tapausten perusjoukko voi olla kooltaan äärellinen tai numeroituvasti ääretön.
Esimerkkejä tapauksista > Jatkuvat alkeistapaukset

Esimerkiksi ihmisen paino on jatkuva-arvoinen muuttuja, sillä se saa äärettömän määrän arvoja mahdollisten pienimmän ja suurimman arvon välillä. Mahdollisia alkeistapauksia on siis ääretön määrä. Käytännössä vastaavissa tilanteissa alkeistapaukset muutetaan kuitenkin usein diskreeteiksi mittaustarkkuuden rajallisuudesta johtuen. Esimerkiksi ihmisen paino ilmoitetaan usein sadan gramman tai yhden kilogramman tarkkuudella sen sijaan, että ilmoitettaisiin se äärettömän tarkasti. Tällöin kyseessä on siis diskreetti alkeiatapausten joukko.
Muita jatkuvia tapauksia voisivat olla esimerkiksi tikan osumakohta seinällä, malmin pitoisuus kallion tietyssä kohdassa ja ihmisen älykkyysosamäärä. Koska jatkuvat tapaukset voidaan kuvata reaaliluvuilla, on perusjoukon koko ylinumeroituvasti ääretön.
Tapauksien joukot: Tapahtumat

Yksittäisillä alkeistapauksilla saattaa olla mitätön merkitys, jos niitä on paljon tai ääretön määrä. Käytännön elämän ongelmia voidaan tutkia paremmin monien alkeistapausten muodostamilla joukoilla eli luokilla. Tällaisia joukkoja ovat esimerkiksi ikäluokat, painoluokat tai ylioppilasarvosanat. Todennäköisyyslaskennassa tapausten joukkoja on kutsuttu tapahtumiksi (engl. event).
Tapahtumaa, joka sisältää vain yhden tapauksen, kutsutaan alkeistapaukseksi. Jos tapahtuma sisältää kaikki satunnaisilmiön tapaukset, kutsutaan sitä perusjoukoksi. Yksittäinen tapaus voi kuulua useaan eri tapahtumaan. Joukko-opin merkintöjä käyttäen alkeistapaus  \omega  kuuluu tapahtumaan  A merkitään  \omega \in A.
Äärellisen perusjoukon tapauksessa, joka siis sisältää äärellisen määrän tapauksia, jokainen perusjoukon osajoukko muodostaa tapauksen. Joukko-opissa perusjoukon potenssijoukon jokainen alkio on siten tapahtuma. Tämä periaate toimii, vaikka joukko olisi numeroituvasti ääretön. Lähestystapa ei toimi automaattisesti kaikilla ylinumeroituvien perusjoukkojen kohdalla. Kun satunnaisilmiöstä muodostetaan todennäköisyysavaruus, on usein välttämätöntä karsia osa tapahtumista.
Satunnaismuuttuja

Joskus arvontavälineen tai satunnaisilmiön antama satunnainen tulos halutaan muuttaa numeeriseksi arvoksi. Silloin jokaiselle alkeistapaus liitetään yksikäsitteisellä tavalla lukuarvo käyttämällä funktion kuvausta. Funktion tulos voi olla kokonaisluku tai reaaliluku ja sen arvoalue diskreettis- tai jatkuva-arvoinen tulos. Myös alkeistapauksista muodostettavat tapahtumat voidaan kuvata satunnaismuuttujiksi funktion määrittelyn tai -lausekkeen avulla.
Todennäköisyys > Alkeistapaukseen liittyvä todennäköisyys

Satunnaisilmiön alkeistapaus voi esiintyä todennäköisyydellä (merkitään usein  p tai  P), joka on nollan ja ykkösen väliltä (rajat mukaan luettuina) eli  0\leq p\leq 1. Äärellisessä ja diskreettisessä tilanteessa, jossa perusjoukon koko on äärellinen, perusjoukon kullekin alkeistapaukselle liitetään todennäköisyyden arvo. Diskreetin alkeistapauksen todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Kaikkiin alkeistapauksiin liittyvää todennäköisyystaulukkoa kutsutaan todennäköisyysjakaumaksi.
Jatkuvassa tapauksessa kunkin alkeistapauksen todennäköisyys on aina nolla, sillä alkeistapauksia on ylinumeroituva määrä. Todennäköisyyksiä voidaan siinä tapauksessa liittää vain tapahtumille. Todennäköisyyslaskennan mittateoreettisessä todennäköisyysavaruudessa kaikkien tapahtumien todennäköisyyksiä ei tarvitse tuntea. Riittää, kun tietää perusjoukon potenssijoukon  \sigma -algebran (lue "sigma-algebra") muodastavan osajoukon todennäköisyydet siten.