Projektiivinen geometria
Dualiteetti

Vuonna 1825 Joseph Gergonne havaitsi, että projektiivisessa taso­geo­metriassa pätee sille luonteen­omainen duaalisuusperiaate: jokaisesta projek­tiivisen taso­geometrian teoreemasta tai määritelmästä voidaan muokata toinen teoreema tai toisen käsitteen määritelmä vaihtamalla keskenään sanat "suora" ja "taso" sekä niistä johdetut käsitteet.
Täsmällisemmin sanottuna jokaisella projektiivisen tasogeometrian käsitteellä ja teoreemalla on duaalinen vastineensa eli toinen käsite tai teoreema siten, että jos jokainen teoreemassa tai määritelmässä esiintyvä tällainen käsite korvataan duaalisella vastineellaan, saadaan toinen teoreema tai toisen käsitteen määritelmä.  Toistensa duaalisia vastineita eli lyhemmin duaaleja ovat seuraavat perustavat käsitteet:
piste ja suora,
pisteen ja suoran väliset relaatiot "suora X kulkee pisteen Y kautta" ja "piste X on suoralla Y", sekä
kolmen tai usemman suoran välinen relaatio "suorat leikkaavat toisensa samassa pisteessä" sekä kolmen tai useamman pisteen välinen relaatio "pisteet ovat samalla suoralla".
Myös näiden avulla määritellyillä monimutkaisemmilla käsitteillä on duaaliset vastineensa. Esimerkiksi lauseet "kaksi pistettä määrittää yksi­käsitteisesti suoran" (nimittäin molempien pisteiden kautta kulkean suoran) ja "kaksi suoraa määrittää yksi­käsitteisesti pisteen" (nimittäin suorien leikkaus­pisteen) ovat toistensa duaalisia vastineita. Näistä jälkimmäinen ei tosin euklidisessa geometriassa aina päde, sillä suorat voivat olla myös yhden­suuntaisia, mutta projektiivisessa geometriassa sekin pätee, joskin tämä yhteinen piste voi olla myös äärettömyydessä oleva ideaalipiste.
Vastaavanlainen duaalisuus pätee myös kolmessa ulottuvuudessa, mutta tällöin pisteen duaalinen vastine on taso, relaation "piste sisältyy tasoon" duaalinen vastine on "taso sisältää pisteen".  Sen sijaan suora on kolmessa ulottuvuudessa itsensä duaali. Täten esimerkiksi lauseet "kahden pisteen kautta kulkee yksi suora" ja "kahden tason leikkaus on yksi suora" ovat toistensa duaalisia vastineita. Yleisemminkin jokaisessa N-ulotteisessa projektiivisessa avaruudessa pätee duaalisuus ulottuvuuksien R ja N-R-1 välillä, kun R on kokonaisluku välillä 0–N. Tapauksessa N=2 tämä antaa yleisimmin tunnetun duaalisuuden, pisteiden ja suorien välisen. Duaalisuus­periaatteen keksi Gergonnesta riippumatta myös Jean-Victor Poncelet.
Toistensa duaalisesti vastaavien teoreemojen todistuksetkin ovat täysin analogisia ja voidaan muuntaa toisikseen vain korvaamalla niissä esiintyvät käsitteet duaalisilla vastineillaan. Projektiivisen geometrian oppikirjoissa onkin tullut tavaksi jakaa sivut  pysty­viivalla kahteen sarakkeeseen, jolloin vierekkäisissä sarakkeissa esitellään toisiaan duaalisesti vastaavat käsitteet tai teoreemat.  Tämä tapa on peräisin Poncelet'lta.
Koska euklidinen taso voidaan käsittää projektiivisen tason osajoukoksi, tätä duaalisuusperiaatetta voidaan tietyin edellytyksin soveltaa sellaisiinkin kuvioihin, joihin projektiivisen tason "äärettömän kaukaiset" ideaalipisteet eivät sisälly. Esimerkiksi Brianchonin lause on Pascalin lauseen duaalinen vastine ja keksittiinkin juuri duaalisuusperiaatteen avulla.