Log-normaalijakauma
Esiintyminen ja sovelluksia

Log-normaalijakaumaa voidaan soveltaa moniin luonnonilmiöihin. Tyypillisessä tapauksessa sen käyttö voidaan perustella seuraavasti: Monet luonnon kasvuilmiöt muodostuvat suuresta määrästä pieniä muutoksia, joissa kohteen koko kasvaa pienen prosenttimäärän verran entisestään. Tällaiset muutokset kumuloituvat multiplikatiivisesti, mutta logaritmisella asteikolla additiivisesti. Jos jokaisen yksittäisen muutoksen vaikutus on mitättömän pieni, keskeinen raja-arvolauseen mukaan niiden summan jakauma on lähempänä normaalijakaumaa kuin yksittäisten muutoksen jakauma. Tästä seuraa, että kasvavien kohteiden koon logaritmilla on taipumus noudattaa normaalijakaumaa, jolloin koko itse noudattaa log-normaalijakaumaa. Tosin jos jakauman keskihajonta on tarpeeksi pieni, normaalijakaumaa voidaan käyttää sillekin hyvänä likiarvona.
Tämä keskeisen raja-arvolauseen multiplikatiivinen versio tunnetaan myös Gibratin lakina, Robert Gibratin (1904–1980) mukaan, joka muotoili sen liikeyrityksille. Jos näiden pienten muutosten kertymisnopeus ei vaihtele ajan kuluessa, kasvu tulee koosta riippumattomaksi. Vaikka näin ei tapahtuisikaan, minkä tahansa ajan kuluessa kasvavan suureen jakaumalla on taipumus muodostua logartminormaaliksi.
Toinen perustelu jakauman käytölle on, että perustavien luonnonlakien mukaan monien suureiden arvot saadaan kertomalla ja jakamalla positiivisia muuttujia. Esimerkkeinä voidaan mainita gravitaatiolaki, jonka mukaisesti voima määräytyy kappaleiden massojen ja niiden etäisyyden mukaan, tai kemikaalien konsentraatiot liuoksessa tasapainon vallitessa, jotka määräytyvät lähtöaineiden alkutilanteessa vallinneiden konsentraation mukaan. Tällaisia tilanteita voidaan mallintaa olettamalla, että muuttujat noudattavat logaritmista normaalijakaumaa.
Silloinkin kun edellä esitetyt perustelut eivät päde, logaritminen normaalijakauma on usein uskottava ja empiiristen havaintojen mukaan pätevä malli. Esimerkkeinä voidaan mainita:
Ihmisten käyttäytymisestä:
Internetin keskustelupalstoille lähetettyjen kommenttien pituuden on todettu noudattavan logaritmista normaalijakaumaa.
Aika, jonka käyttäjät pitävät verkosta lukemaansa artikkelia tai uutissivua auki, noudattaa myös logaritmista normaalijakaumaa.
Shakkipelierien kestolla on taipumus noudattaa logaritmista normaalijakaumaa.
Vääntöjen lukumäärä Rubikin kuutiota ratkaistaessa, sekä yleisesti että kullakin ratkaisijalla erikseen, näyttää noudattavan log-normaalia jakaumaa.
Biologian ja lääketieteen alalta:
Elävien kudosten mitat kuten pituus, nahan pinta-ala ja paino.
Nopeasti leviävissä epidemioissa kuten SARS:issa vuonna 2003 sairaalassa hoidettujen tapausten lukumäärän on voitu todeta noudattavan log-normaalijakaumaa ilman vapaita parametreja, jos entropialla on tunnettu arvio ja keskihajonta voidaan määrittää entropian tuotannon maksimiperiaatteella.
Karvojen, kynsien ja hampaiden pituus niiden kasvusuunnassa noudattaa log-normaalijakaumaa.
Normalisoitu RNA-sekvenssin pituutta millä tahansa genomialueella voidaan hyvin approksimoida log-normaalijakaumalla.
Tietyt fysiologiset mittaustulokset kuten aikuisten ihmisten verenpaine noudattavat log-normaalijakaumaa, erikseen miehillä ja naisilla.
Neurotieteissä ärsykkeiden kulkua neuronien välillä approksimoidaan usein log-normaalijakaumalla. Tämä havaittiin ensin aivokuoressa ja aivojuoviossa, myöhemmin myös hippokampuksessa ja muualla aivoissa.
Kolloidien ja polymeerien kemiassa:
Hiukkasten koon jakaumat
Moolimassojen jakaumat.
Tämän vuoksi terveiltä henkilöiltä tehtyjen mittausten viitearvot voidaan asianmukaisemmin määritellä olettamalla suureiden noudattavan logaritmista normaalijakaumaa kuin olettamalla niiden jakautuneen symmetrisesti keskiarvon molemmin puolin.
Hydrologiassa logaritmista normaalijakaumaa käytetään mallinnettaessa esimerkiksi kuukauden tai vuoden suurinta yhdessä päivässä tullutta sademäärää tai jokien virtaamaa.
Yhteiskuntatieteissä ja demografiassa:
Todisteet viittaavat siihen, että väestön valtaosan (97%–99%) tulot ovat jakautuneet log-normaalisti.  (Sitä vastoin kaikkein suurituloisimpien tulot noudattavat Pareton jakaumaa.
Finanssialalla, varsinkin Black–Scholes-mallissa vaihtokurssien, hintaindeksien ja osakekurssi-indeksien muutosten logaritmien oletetaan olevan normaalisti jakautuneet.  Nämä muuttujat nimittäin käyttäytyvät kuin koronkorko, eivät yksinkertaisen koron tavoin, ja ovat näin ollen multiplikatiivisia. Kuitenkin jotkut matemaatikot kuten Benoit Mandelbrot ovat väittäneet, että logaritminen Lévyn jakauma raskaine "häntineen" olisi parempi malli varsinkin pörssiromahdusten analysointiin. Itse asiassa osakekurssien jakaumilla usein on paksu "häntä".  Tämä pörssiromahduksia kuvaava paksuhäntäinen jakauma ei toteuta keskeisen raja-arvolauseen edellytyksiä.
Skientometriikassa on todettu, että tieteellisiin artikkeleihin tai patentteihin tehtyjen viittausten lukumäärä nopudattaa diskreettiä log-normaalia jakaumaa.
Kaupunkien asukaslukujen on väitetty noudattavan log-normaalijakaumaa.
Teknologiassa
Luotettavuusanalyysissä lognormaalijakaumaa käytetään usein mallina sille, kuinka monta kertaa ylläpidettävää systeemiä on korjattava.
Langattomassa tiedonsiirrossa paikallinen keskiteho ilmaistuna logaritmisella asteikolla kuten desibeleinä tai nepereinä noudattaa normaalijakaumaa. Myös suurten rakennusten ja kukkuloiden radiosignaaleille aiheuttamaa varjostusta mallinnetaan usein log-normaalijakaumalla.
Julkisesti saatavilla olevien video- ja äänitiedostojen koko noudattaa log-normaalijakaumaa viiden suuruusluokan välillä.
Tietokoneverkoissa ja Internet-tietoliikenteen analyysissä log-normaalijakauma on osoittautunut hyväksi tilastolliseksi malliksi liikenteen määrälle aikayksikköä kohti. Tämä on todettu soveltamalla tehokasta tilastollista lähestymistä suuriin ryhmiin todellisia Internet-jälkiä. Tässä yhteydessä log-normaalijakauman on todettu toimivan hyvin kahdessa tärkeässä käyttöyhteydessä: (1) ennakoitaessa sitä, kuinka suuren osan ajastaan liikenne ylittää tietyn rajan (palvelutasosopimuksissa tai linkin kapasiteetin arvioinnissa) sekä (2) ennustettaessa 95 %:n kvantiilihinnoittelua.
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Log-normal distribution
Normaalijakauman ja logaritminormaalijakauman välinen yhteys. Jos  Y=\mu +\sigma Z on normaalisti jakautunut, on  X\sim e^{Y} logaritminormaalisti jakautunut.
Kahden vinoudeltaan toisistaan poikkeavan logaritmisen normaali­jakauman odotus­arvot, mediaanit ja moodit
Yhteenveto log-normaalien jakaumien parametroinneista
Eri vuosien suurimmat yhdessä päivässä saadut sademäärät sovitettuina kumulatiiviseen logaritminormaalijakaumaan
Käännös suomeksi