Penrosen laatat
Tausta ja historia

Penrosen laatat ovat yksinkertaisimpia esimerkkejä tason jakamisesta osiin epäjaksollisesti. Yleisesti laatoituksella tarkoitetaan tason jakoa osiin, jotka eivät osittainkaan peitä toisiansa eivätkä jätä väliinsä aukkoja. Yleensä edellytetään myös, että käytetään vain äärellistä määrää erilaisia muotoja.  Tunnetuimmat laatoitukset, esimerkiksi tason jako neliöiksi tai tasa­sivuisiksi kolmioiksi, ovat jaksollisia. Toisin sanoen on olemassa sellainen etäisyys, jonka verran tiettyyn suuntaan siirryttäessä laatoitus toistuu aina samanlaisena. Tätä etäisyyttä sanotaan laatoituksen jaksoksi. Jos tällaista jaksoa ei ole, laatoitusta sanotaan jaksottomaksi.
Kysymys jaksottomista laatoituksista sai osakseen uutta mielenkiintoa 1960-luvulla, kun loogikko Hao Wang havaitsi yhteyden niiden ja päätöksenteko-ongelmien kanssa.  Hän käsitteli erityisesti neliömäsiä laattoja, joiden sivut olivat väritettyjä.  Tällaisia sanotaan nykyään Wangin dominoiksi. Wang esitti kysymyksen: "Millä edellytyksellä taso voidaan peittää annetulla joukolla tällaisia laattoja siten, että vierekkäisten laattojen samanväriset reunat aina koskettavat toisiaan?" Hän osoitti, että jos ongelmaa ei voida ratkaista rekursiivisesti, on olemassa keino peittää taso jaksottomasti Wangin dominoilla.  Tuohon aikaan tämä vaikutti kuitenkin epäuskottavalta, minkä vuoksi Wang esitti konjektuurin, ettei sellainen laatoitus ole mahdollinen.
Wangin oppilas Robert Berger todisti kuitenkin väitöskirjassaan vuonna 1964, että ongelmaa ei voitu ratkaista rekursiivisesti, joten Wangin konjektuuri on epätosi. Hän pystyikin muodostamaan jaksottoman laatoituksen 20426 Wangin dominosta. Myöhemmin hän osoitti, että siihen riitti 104 sellaista laattaa. Vuonna 1968 Donald Knuth osoitti, että 92 laattaakin riittää. Alkuperäisissä Wangin dominoissa ehtona oli, että Wangin dominoiden vierekkäisissä laatoissa samanväristen sivujen on kosketettava toisiaan.  Tämä ehto voidaan myös korvata oletuksella, että laattojen reunat ovat eri tavoin kaarevia tavallisten palapelin palojen tapaan.  Vuonna 1971 Raphael Robinson osoitti tällä tavoin eräässä tutkielmassaan, että jo kuudesta erimuotoisesta laatasta voidaan muodostaa jaksoton laatoitus.
Ensimmäinen Penrosen laatoitus, jonka Roger Penrose esitti vuonna 1974 (P1 alla olevassa kuvassa), on myös jaksoton ja muodostuu kuudesta eri muotoisesta laatasta. Se ei muodostu neliöistä, vaan erilaisista viisikulmioista. Säännöllisillä viisi­kulmioilla ei koko tasoa voi peittää jättämättä väliin aukkoja, mutta jo vuonna 1619 Johannes Kepler osoitti teoksessaan Harmonices Mundi, että nämä aukot voidaan täyttää penta­grammeilla, kymmenkulmioilla tai niitä muistuttavilla moni­kulmioilla. Penrose kehitti tätä ajatusta osoittamalla, että tällä tavoin laatoitus voitiin muodostaa jaksottomaksi, mikä täydensi Keplerin äärellisen Aa-mallin. Tähän hän sai vaikutteita myös eräistä Albert Dürerin teoksista.
Myöhemmin Penrose osoitti, että erilaisten laattojen lukumäärä voitiin vähentää kahteen, jolloin saatiin kaksi erilaista laatoitusta P2 ja P3 alla olevassa kuvassa. Näistä jälkimmäisen, suunnikkaista muodostuvan laatoituksen, keksi hänestä riippumatta Robert Ammann vuonna 1976. Penrose ja John H. Conway tutkivat tällaisten laatoitusten ominaisuuksia, ja heidän tutkimustuloksensa julkaisi Martin Gardner tammikuun 1977 Scientific American-lehdessä Mathematical Games-palstalla.