Vuo
Esimerkkejä > Esimerkki 2

Laske vektorikentän  \mathbf {F} (x,y,z)=x\,\mathbf {i} +y\,\mathbf {j} +z\,\mathbf {k}  vuo ulos sylinterin 




x

2


+

y

2


≤

a

2




{\textstyle x^{2}+y^{2}\leq a^{2}}

, 



−
h
≤
z
≤
h


{\textstyle -h\leq z\leq h}

 pinnasta. 



a
>
0


{\textstyle a>0}

 ja 



h
>
0


{\textstyle h>0}

 ovat vakioita.
Ratkaisu:
Pinta  {\mathcal {S}} on nyt sylinteri, jonka säde on  a, korkeus  2h ja keskiakseli 



z


{\textstyle z}

-akseli. Tämän vuoksi tehtävä on helpointa ratkaista sylinterikoordinaateilla. Osoittautuu, että sylinterikoordinaattimuunnoksen jälkeen vektorikenttä on  \mathbf {F} (r,\theta ,z)=r\,\mathbf {e} _{r}+z\,\mathbf {k} . Jaetaan pinta  {\mathcal {S}} kolmeen eri pintaan:
Sylinterin kansi on taso 



z
=
h


{\textstyle z=h}

, 



0
≤
r
≤
a


{\textstyle 0\leq r\leq a}

. Kannessa pinnan ulkoyksikkönormaali on aina 




k



{\textstyle \mathbf {k} }

. Pinta-ala-alkio on 




d

A
=
r


d

r


d

θ


{\textstyle \mathrm {d} A=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta }

.
Sylinterin pohja on taso 



z
=
−
h


{\textstyle z=-h}

, 



0
≤
r
≤
a


{\textstyle 0\leq r\leq a}

. Pohjassa pinnan ulkoyksikkönormaali on aina 



−

k



{\textstyle -\mathbf {k} }

. Pinta-ala-alkio on sama kuin kannessa.
Sylinterin vaippa on pinta 



r
=
a


{\textstyle r=a}

, 



−
h
≤
z
≤
h


{\textstyle -h\leq z\leq h}

. Vaipassa pinnan ulkoyksikkönormaali on aina 





e


r




{\textstyle \mathbf {e} _{r}}

. Pinta-ala-alkio on 




d

A
=
a


d

θ


d

z


{\textstyle \mathrm {d} A=a\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} z}

.
Vuo voidaan laskea jakamalla vuointegraali paloihin normaalien integrointisääntöjen mukaisesti.
Kansi:
{\begin{aligned}\iint _{\text{kansi}}\mathbf {F} (r,\theta ,h)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} &=\iint _{\text{kansi}}(r\,\mathbf {e} _{r}+h\,\mathbf {k} )\cdot \mathbf {k} \,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\iint _{\text{kansi}}hr\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =h\int _{\theta =0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{r=0}^{a}r\,\mathrm {d} r\\&=h\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}a^{2}\,\mathrm {d} \theta =\pi a^{2}h\end{aligned}}
Pohja:
{\begin{aligned}\iint _{\text{pohja}}\mathbf {F} (r,\theta ,-h)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} &=\iint _{\text{pohja}}(r\,\mathbf {e} _{r}-h\,\mathbf {k} )\cdot (-\mathbf {k} )\,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\iint _{\text{pohja}}hr\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =h\int _{\theta =0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{r=0}^{a}r\,\mathrm {d} r\\&=h\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}a^{2}\,\mathrm {d} \theta =\pi a^{2}h\end{aligned}}
Vaippa:
{\begin{aligned}\iint _{\text{vaippa}}\mathbf {F} (a,\theta ,z)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} &=\iint _{\text{vaippa}}(a\,\mathbf {e} _{r}+z\,\mathbf {k} )\cdot \mathbf {e} _{r}\,a\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} z\\&=\iint _{\text{vaippa}}a^{2}\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} z=a^{2}\int _{\theta =0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \int _{z=-h}^{h}\mathrm {d} z\\&=a^{2}\int _{0}^{2\pi }2h\,\mathrm {d} \theta =4\pi a^{2}h\end{aligned}}
Vektorikentän  \mathbf {F}  vuo pinnan  {\mathcal {S}} läpi on tällöin:
{\begin{aligned}{}&\\\Phi _{F}&=\oiint _{\,{\mathcal {S}}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \\&=\iint _{\text{pohja}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\iint _{\text{kansi}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\iint _{\text{vaippa}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \\&=\pi a^{2}h+\pi a^{2}h+4\pi a^{2}h\\&=6\pi a^{2}h\end{aligned}}