Sijoitusmenetelmä
Muuttujanvaihto useamman muuttujan funktioille

Muuttujanvaihtoa voidaan käyttää myös integroitaessa useamman muuttujan funktioita. Silloin korvausfunktion  v_{1},...,v_{n}=\phi (u_{1},u_{2},u_{n}) on oltava injektio ja jatkuvasti differentioituva, ja differentiaalit muuntuvat muotoon
missä  |\det(D\varphi )(u_{1},...,u_{n}) tarkoittaa funktion  \varphi  osoittaisderivaattojen Jacobin matriisin determinanttia pisteessä  (u_{1},...,u_{n}).  Tämä kaava ilmaisee sen seikan, että matriisin determinantin itseisarvo on yhtä suuri kuin sen sarakkeiden ja rivien määrittämän parallelotoopin tilavuus.
Täsmällisemmin muuttujanvaihtokaavan ilmaisee seuraava lause:
Lause. Olkoon  U\subset \mathbb {R} ^{n} avoin joukko ja  \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n} injektiivinen differentioituva funktio, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat ja jonka Jacobin determinantti ei ole nolla missään U:n pisteessä. Silloin jokaiselle reaaliarvoiselle, kompaktissa joukossa määritellylle funktiolle f, jonka määrittelyjoukko sisältyy  \phi (U):hun, pätee:
Lauseen ehtoja voidaan heikentää eri tavoin. Esimerkiksi vaatimus, että  \varphi :n on oltava jatkuvasti differentoituva, voidaan korvata heikommalla ehdolla, että  \varphi  on differentoituva ja että sillä on jatkuva käänteisfunktio. Käänteisfunktiolause takaa, että tämä ehto pätee aina, jos  \varphi  on jatkuvasti differentioituva. Sardin lauseetta soveltamalla voidaan myös poistaa vaatimus, että  D\varphi :n determinantti ei saa olla nolla.
Lebesgue-mitallisille funktioille lause voidaan esittää  seuraavassa muodossa:
Lause. Olkoon  U\subset \mathbb {R} ^{n} mitallinen joukko ja  \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n} injektiivinen funktio, ja oletetaan lisäksi, että jokaista pistettä  x\in I kohti on olemassa sellainen  \varphi \prime (x)\in \mathbb {R} ^{n,n}, että  \varphi (y)=\varphi (x)+\varphi \prime (x)(y-x)+o(\|y-x\|), kun  y\to x. (Tässä o(||y-x||) on Landaun symboli).
Silloin  \varphi (U) on mitallinen, jokaiselle reaaliarvoiselle funktiolle f, joka on määritelty alueessa  \varphi (U), pätee:
siinä mielessä, että jos jompikumpi integraali on olemassa, vaikka olisi ääretönkin, toinenkin on olemassa ja molemmat ovat arvoltaan yhtä suuret.
Toinen hyvin yleinen versio mittateoriassa on seuraava:
Lause.  Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty äärellinen Radonin mitta μ, ja olkoon Y sigma-kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty sigma-äärellinen Radonin mitta ρ.  Olkoon  \varphi :X\to Y jatkuva ja itseisesti jatkuva funktio, toisin sanoen  \rho (\varphi (E))=0 aina, kun  \mu (E)=0. Silloin on olemassa sellainen Borel-mitallinen funktio  w:X\to \mathbb {R} , että jokaiselle Lebesgue-intergroituvaa funktiota  f:Y\to \mathbb {R}  vastaava yhdistetty funktio (f ∘ φ) ⋅ w on Lebesgue-integroituva alueessa X ja
Lisäksi on olemassa sellainen joukossa Y määritelty Borel-mitallinen funktio g, että
Geometrisessa mittateoriassa integrointia sijoitus­menetelmällä käytetään Lipschitz-funktioille. Jos Lipschitz-funktio on injektiivinen ja sen käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio, Rademacherin lauseen mukaan funktio on differentoituva melkein kaikkialla. Erityisesti tällaisen funktion Jacobin determinantti  \det \varphi  on melkein kaikkialla hyvin määritelty. Tällaisia funktiota koskee seuraava lause:
Lause  Olkoon  U\subset \mathbb {R}  avoin joukko ja  \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n} Lipschitz-funktio, jonka käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio. Olkoon lisäksi  f:\varphi (U)\to \mathbb {R}  mitallinen. Silloin
siinä mielessä, että jos jompikumpi integraaleista on olemassa (tai se on ääretön), silloin toinenkin on olemassa ja molemmat integraalit ovat yhtä suuret.
Tämän lauseen esitti konjektuurina ensimmäisenä Euler vuonna 1769 kehittäessään kaksin­kertaisen integraalin käsitteen. Vaikka sen yleisti kolmin­kertaiselle integraalille Lagrange vuonna 1773 ja yleisesti n muuttujalle Mihail Ostrogradski vuonna 1836 ja vaikka sitä sovelsivat Legendre, Laplace ja Gauss, sen onnistui täsmällisesti todistamaan vasta Élie Cartan 1890-luvulla.