stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Erityinen suhteellisuusteoria
Inertiaalikoordinaatistot

Inertiaalikoordinaatistot ovat olennainen osa suppeaa suhteellisuusteoriaa.
Täysin muuttumattomalla nopeudella liikkuvan kappaleen sanotaan olevan inertiaalikoordinaatistossa. Jos vakionopeuksisia kappaleita on useita ja ne liikkuvat täysin samaan suuntaan, ovat ne samassa inertiaalikoordinaatistossa, vaikka kappaleiden välinen etäisyys olisi ääretön. Siten inertiaalikoordinaatistotkin ovat äärettömiä. Eri vakionopeudella tai eri suuntaan liikkuvat kappaleet ovat eri inertiaalikoordinaatistoissa. Inertiaalikoordinaatistot ovat ihanteellisia eli kuvitteellisia, eikä niitä oikeasti ole. Tämä johtuu siitä, että kaikkialla kappaleiden liikkeeseen vaikuttaa kaukaistenkin kappaleiden painovoima, jolloin minkään todellisen kappaleen nopeus ei voi olla täysin muuttumaton. Syvällä avaruudessa kaukana muista kappaleista oleva ja siten lähes vakionopeuksinen kappale on kuitenkin lähellä inertiaalikoordinaatistossa olevaa kappaletta.
Kahden samaan suuntaan nopeudella 50 km/h liikkuvan auton voidaan sanoa olevan likimain samassa inertiaalikoordinaatistossa, ja 60 km/h samaan suuntaan menevä auto on omassaan. Nopeudet ovat aina kuitenkin suhteellisia. 50 km/h autojen voidaan sanoa olevan paikallaan koordinaatistossaan ja 60 km/h auton liikkuvan suhteessa näihin vain nopeudella 10 km/h. Todellista nopeutta etsiessä voidaan lähteä autoja vertaamaan niiden liikkeeseen suhteessa maapallon pintaan. Kuitenkin näiden maapallolla olevien autojen nopeutta voidaan myös verrata suhteessa Aurinkoon maapallon pyöriessä sen ympäri, sitten autojen liikettä suhteessa Linnunrataan aurinkokunnan liikkuessa sen halki ja niin edelleen.
Todellista nopeutta ei siis ole olemassa ja kaikki nopeudet ovat suhteellisia sekä suhteellisuusteoriassa että klassisessa mekaniikassa, joissa molemmissa nopeus on suuntaa huomioimatta kuljettu matkan muutos Δx jaettuna ajan muutoksella Δt, joissa Δ on muutosta merkitsevä matemaattinen symboli. Matka täytyy aina suhteuttaa johonkin, mitä varten on luotu koordinaatistojen käsite. Saman inertiaalikoordinaatiston kappaleet eivät liiku suhteessa toisiinsa, eli ne ovat toisiinsa nähden levossa, mutta liikkuvat suhteessa toisiin koordinaatistoihin. Minkään koordinaatiston ei kuitenkaan voida sanoa olevan levossa, vain liikkeessä suhteessa toisiinsa.
Samanaikaisuuden suhteellisuus

Suppean suhteellisuusteorian mukaan aika on suhteellista, eikä se ole kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa sama. Siksi myös yhdessä inertiaalikoordinaatistossa havaitut samanaikaiset tapahtumat eivät koskaan ole täysin samanaikaisia jossakin toisessa inertiaalikoordinaatistossa.
Einstein esitti tämän havainnollistamiseksi ajatuskokeen junavaunulla, joka on suunnilleen seuraavanlainen. Junavaunun molemmissa päissä on räjähde. Vaunun keskellä ja täysin samoilla etäisyyksillä räjähteistä on Jaana, jolla on räjähdysten valonvälähdyksen havaitseva laite. Laitteessa on merkkivalo, johon syttyy pysyvästi punainen valo, jos se havaitsee välähdyksen tulevan ensin junan menosuunnasta, ja vihreä valo, jos välähdys tulee molemmilta suunnilta samanaikaisesti. Junaradan vieressä seisoo Simo, jonka ohi junavaunu liikkuu vakionopeudella.
Ennen koetta Jaana ja Simo sopivat Simon räjäyttävän räjähteet samanaikaisesti kun Jaana ja Simo ovat kohdakkain junan liikkuessa Simon ohitse. Paikallaan seisova Simo olettaa siksi näkevänsä räjähdykset samaan aikaan ja laitteen valon muuntuvan punaiseksi, koska junassa oleva Jaana ehtii laitteineen siirtyä valon yhä liikkuessa sen verran eteenpäin että valo ehtii laitteelle ensin vain junan menosuunnasta.
Jaana on kuullut suhteellisuusteorian suhteellisuusperiaatteesta, jonka mukaan valo liikkuu kaikkien havaitsijoiden mukaan aina samalla nopeudella riippumatta heidän nopeudestaan suhteessa johonkuhun toiseen paikallaan seisovaan, kuten Simoon. Jaana olettaa siksi näkevänsä räjähdykset täysin samanaikaisesti. Siten niistä tuleva valon pitäisi tulla laitteeseen molemmista suunnista samanaikaisesti, ja valon muuttua vihreäksi. Vaunun pysähtyessä ja tuloksia vertailtaessa Simo ei voi nähdä punaista valoa ja Jaana vihreää valoa samanaikaisesti.
Kun koe suoritetaan käytännössä, valo muuttuu punaiseksi. Tämä johtuu siitä, että vaikka valonnopeus on molemmille havaitsijoille sama suhteellisuusperiaatteen mukaan, ei vaunussa oleva Jaana havaitsekaan räjähdyksiä samanaikaisesti toisin kuin hän oletti. Hän näkee räjähdyksen ensin menosuunnastaan ja vasta sitten tulosuunnastaan.
Molemmat havaitsijat ovat kuitenkin oikeassa räjähdysten samanaikaisuudesta. Kyse ei ole vain havaitsemisesta, vaan räjähdykset tapahtuvat Jaanan inertiaalikoordinaatistossa (junassa) eri aikaan kuin Simon inertiaalikoordinaatistossa (junaradan vieressä).
Aikavenymä ja tosiaika

Suppean suhteellisuusteorian mukaan kahden eri inertiaalikoordinaatiston ajankulku on eri. Tämän vuoksi koordinaatistoista katsottuna kahden eri aikaan tapahtuvan tapahtuman väliset aikaerot eivät ole samat ja tapahtuu aikavenymä eli aikadilataatio eli aikadilaatio. Kappale, jonka kohdalla tapahtumat tapahtuvat samassa pisteessä kuin kappale itsekin on, kuluu näiden tapahtumien välillä aika, jota kutsutaan tosiajaksi (eng. proper time), jota Einstein nimitti oma-ajaksi (saks. eigenzeit).
Kaksi tapahtumaa voivat olla mitä tahansa, kuten lähteminen planeetalta ja saapuminen toiselle planeetalle raketilla. Raketti mittaa tosiaikaa koska lähtö ja saapuminen raketista katsoen samassa pisteessä: raketista katsoen lähtöplaneetta etääntyy raketin lähtiessä ja tuloplaneetta lähestyy raketin pysyessä paikoillaan omassa koordinaatistossaan.
Kahden inertiaalikoordinaatiston välillä tapahtuva aikavenymän kaava on
\Delta t={\frac {\Delta \tau }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\geq \Delta \tau
Aikavenymä ja tosiaika > Esimerkkejä

Raketti liikkuu 90 % valonnopeudesta Maasta Marsiin Marsin ollessa lähimmillään Maata eli 5,5 · 1010 metrin matkan. Kuinka kauan matka kestää Maasta mitattuna ja raketista mitattuna?
Aikavenymä ja tosiaika > Kaavan johtaminen

Aikavenymän kaava voidaan johtaa ajatuskokeellisella valokellolla, jossa on kaksi peiliä toisistaan korkeudella L tyhjiön erottamana, joiden välissä on edestakaisin heijastuva ja laitteesta häviämätön fotoni. Kello havaitsee fotonin heijastumisen alemmasta peilistä, jolloin kellon viisari liikahtaa aina yhden pykälän eteenpäin mitaten siten aikaa.
Fotonin täytyy kahden viisarin liikkeen välissä edetä matka 2L, sillä se liikkuu alemmasta peilistä matkan L ylempään peiliin ja takaisin, eli kaksinkertaisen matkan. Fotoni liikkuu tyhjiön valonnopeudella c, joten viisarin liikkeiden välissä kulunut aika on Δt = 2L/c.
Suhteellisuusperiaatteen mukaan valo liikkuu kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa näissä olevien havainnoijien mittaamana tyhjiön valonnopeudella. Siksi kellon liikkuessa jostakin havainnoitsijasta sivuttain muuttumattomalla ja valoa hitaammalla nopeudella v fotonin ylös-alas etenevään liikkeeseen nähden, on fotonin kulkema matka alapeililtä yläpeilille kellon suhteen mukana liikkumattomalle suurempi kuin kellon mukana liikkuvan havaitsema liike.
Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kellon mukana liikkuva näkee fotonin liikkuvan suoraan ylös ja alas tyhjiön valonnopeudella eli se kulkee matkan ajassa Δt = 2L/c.
Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kellon mukana liikkumaton näkee fotonin liikkuvan siksaksakkia peilien välissä tyhjiön valonnopeudella valokellon peilien siirtyessä hänestä poispäin. Havaitsijan mukaan fotonilta kuluu aikaa Δt' verran kuljettuaan alapeililtä yläpeilille ja takaisin. Matkaan alapeililtä yläpeilille kuluu siten puolet tästä ajasta eli ½Δt'. Koska nopeus on matka jaettuna ajalla, on fotonin liikkeen aikana alapeililtä yläpeilille liikkuma matka nopeus kertaa aika eli ½c Δt'. Kun fotoni alapeililtä tullessaan osuu yläpeiliin, on nopeudella v liikkuva valokello nopeuden kaavalla laskettuna siirtynyt matkan ½v Δt'.
Valokellon mukana liikkumattoman havaitsijan mukaan fotoni on yläpeilille saapuessa muodostanut liikeradan, joka on suorakulmainen kolmio suhteessa peileihin. Kolmion hypotenuusan pituus on ½c Δt', viereinen kateetti on ½v Δt' ja vastainen kateetti on valokellon korkeus h. Kolmio on suorakulmainen, joten siihen pätee Pythagoraan lause ja tiedot voidaan esittää kaavana
h2 + (½v Δt')2 = (½c Δt')2
Kun kaavasta ratkaistaan valokellon mukana liikkumattoman havaitsijan fotonin siksakkiliikkeeseensä kuluttama aika Δt' kahden viisarin liikkeen välillä, saadaan yhtälö
\Delta t'={\frac {2L}{\sqrt {v^{2}-c^{2}}}}={\frac {2L}{c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}
Δt on 2L/c. Se on myös tosiaika Δτ, koska se on valokellon mukana liikkuvan havainnoima aika. β on kellon nopeuden ja tyhjiön valonnopeuden suhde v/c, joten v2/c2 on β2. Koska 2L/c = Δτ ja v2/c2 = β2, on lopullinen kaava
\Delta t'={\frac {\Delta \tau }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}
Pituuspuristuma ja tosipituus

Johtuen suppean suhteellisuusteorian aikavenymästä, ei kahden pisteen välinen etäisyys ole sama kahdessa eri inertiaalikoordinaatistossa ja tapahtuu pituuspuristuma. Pisteiden ollessa toisessa inertiaalikoordinaatistossa paikallaan, kutsutaan näiden pisteiden välillä olevaa etäisyyttä tosipituudeksi (eng. proper length). Pisteiden välinen muutos inertiaalikoodrinaatistossa, josta nähden pisteet ovat liikkeessä, saadaan kaavalla
L={\sqrt {1-\beta ^{2}}}\ l\leq l
Kaava pätee mille tahansa pisteille kuten kappaleiden kulkemille välimatkoille, mutta myös kaikille näiden kappaleiden itsensä pituudelle. Maasta laskettuna lähellä tyhjiön valonnopeutta liikkuvan raketin pituus on fyysisesti lyhempi kuin sen pituus, jos se olisi maahan nähden paikallaan.
Pituuspuristuman kaava ei kerro kuitenkaan miltä raketti varsinaisesti näyttää silmin katsottuna. Raketista tuleva valo näkyy aikavenymän vuoksi eri ajan hetkinä, jolloin raketin näkyvä muoto ja sijainti muuttuu. Myös raketista tulevan valon aallonpituus muuttuu raketin liikkeen vuoksi. Yhdessä näitä vaikutuksia kutsutaan suhteelliseksi Doppler-vaikutukseksi (eng. relativistic Doppler effect).
Yllä olevassa kuvassa pallo lähestyy havaitsijaa (sininen piste) tai pallon kannalta havaitsija lähestyy palloa hyvin suurella vakionopeudella kohtisuoraan. Pallo on fyysisesti puristunut ellipsoidiksi (harmaa) suhteessa havaitsijan koordinaatistoon. Havaitsija kuitenkin näkee ellipsoidin muuttavan muotoaan, väriään ja sijaintiaan suhteessa todelliseen sijaintiinsa, ja siten myös näkyvää nopeuttaan. Pallosta havaitsijalle tulevalle valolle tapahtuu sinisiirtymä eli sen aallonpituus on pienentynyt pallon tullessa kohti. Nopeudesta riippuen vihreä pallo voisi näyttää tällöin violetilta tai hyvin suurissa nopeuksissa olla näkymätön lähettäen silmille näkymätöntä gammasäteilyä. Pallon ohitettua havaitsijan tapahtuu punasiirtymä, aallonpituus kasvaa ja vihreä pallo voisi näkyä havaitsijalle punaisena tai hyvin suurissa nopeuksissa olla näkymätön lähettäen silmille näkymättömiä radioaaltoja.
Vasemmalla yllä animaatiossa näkyy miltä havaitsijasta (sininen piste) näyttäisi tunneli, jossa hän on, jos hän liikkuisi sen halki eri nopeuksilla. Animaatio alkaa havaitsijan ollessa levossa ja päättyy havaitsijan liikkuessa 70 % tyhjiön valonnopeudesta eli 0,7 c. Oikealla yllä on kuva tunnelista ulkoapäin 0,7 c nopeudessa, joka on tosin esitetty vain tunnelissa liikkuvan havaitsijan näkökulmasta: tunnelin suhteen paikallaan olevalle tunneli näyttää ulkoa tavalliselta. Tunnelissa liikkuvasta havaitsijasta seinämän muodot muuttuvat ja niistä tulevan sähkömagneettisen säteilyn kuten valon aallonpituus muuttuu: animaatiossa/kuvassa sininen on lyhyt aallonpituus, punainen on suuri aallonpituus.
Samaan tapaan avaruudessa matkaavasta tähdet näyttävät lähentyvän toisiaan ja todella lähellä tyhjiön valonnopeutta tähdet ovat matkaavasta hänen edessään yhtenä pisteenä, joka tosin ei näy silmin, sillä sen aallonpituus on lyhentynyt gammasäteilyksi.
Pituuspuristuma ja tosipituus > Esimerkkejä

Raketti liikkuu 90 % valonnopeudesta, Maasta Marsiin Marsin ollessa lähimmillään Maata eli 5,5 · 1010 metrin matkan. Kuinka pitkä välimatka on raketista mitattuna?
Pituuspuristuma ja tosipituus > Kaavan johtaminen

Pisteiden välillä liikkuvan kappaleen inertiaalikoordinaatistosta mitattuna sen matkaan käyttämä aika Δt on lyhyempi kuin pisteisiin nähden paikallaan olevasta Δt' mittaavasta inertiaalikoordinaatistosta. Kappaleen nopeuden v kuitenkin täytyy olla molemmista koordinaatistoista laskettuna sama. Siten pisteiden välillä liikkuvan kappaleen kulkema matkan L tulee olla myös lyhyempi kuin pisteisiin nähden liikkumattomasta koordinaatistosta mitattu matka L'. Kaavana tämä on
v={\frac {L}{\Delta t}}={\frac {L'}{\Delta t'}}
Δt on tosiaika Δτ, jonka kaava johdettiin aikavenymä-osiossa. Siten kaava on
{\frac {L}{\Delta \tau }}={\frac {L'}{\Delta t'}}={\frac {L}{{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\ \Delta t'}}
Δt' sulkee itsensä pois kaavasta ja saadaan pituuspuristuman kaava, jossa L' on tosipituus l
L={\sqrt {1-\beta ^{2}}}\ l
Aika-avaruusintervalli

Suppeassa suhteellisuusteoriassa aika-avaruusintervalli s2 on kaikille inertiaalikoordinaatistoille sama. Se on matemaattinen käsite, jota voidaan käyttää vertailemaan eri inertiaalikoordinaatistojen välisiä tapahtumien etäisyyksiä ja aikoja toisiinsa mikäli niistä jo osa tiedetään. Aika-avaruusintervallin s2 kaava pelkkää etäisyyttä käyttäen (eikä kolmen tilaulottuvuuden x-, y- ja z-koordinaatteja) on
s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}
Aika-avaruusintervalli > Esimerkkejä

Pommi räjähtää ja 2 mikrosekunnin (µs) kuluttua tästä toinen pommi räjähtää 300 m päässä. Räjähdyksistä ohilentävä avaruusalus mittaa räjähdysten etäisyydeksi 200 m. Millä aikavälillä avaruuslentäjät havaitsevat räjähdykset?
Aika-avaruusintervalli > Kaavan johtaminen

Kuvitellaan olevan xy-koordinaatisto ja tämän suhteen johonkin kulmaan käännetty x'y'-koordinaatisto. Koordinaatistojen asteikkovälit ovat samat. Päällekkäin ollessaan koordinaatistot voivat mitata koordinaatistoissa olevan viivan pituuden d sen toisessa päässä olevan pisteen 1 koordinaatteina ja toisessa päässä olevan pisteen 2 koordinaatteina. Koordinaatit eivät kuitenkaan ole pisteille samat eli x1 ≠ x1' jne. Intervalliksi kutsutaan esimerkiksi xy-koordinaatistossa arvojen x1 ja x2 välistä eroa Δx. Intervallitkaan koordinaatistojen välillä eivät ole samat, eli Δx ≠ Δx' ja Δy ≠ Δy'. Koordinaatistojen mittaama pituus d on kuitenkin sama. Kaavana tämä on
d^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}=(\Delta x')^{2}+(\Delta y')^{2}
Aikavenymä-osion valokellon kohdalla tyhjiön valonnopeuden lisäksi valokellon korkeus L on ainoa tekijä, joka on kellon mukana liikkuvalle ja kellon mukana liikkuvalle sama. Kaavana tämä on
L^{2}=({\frac {1}{2}}c\ \Delta t)^{2}-({\frac {1}{2}}\Delta x)^{2}=({\frac {1}{2}}c\ \Delta t')^{2}-({\frac {1}{2}}\Delta x')^{2}
½ sulkevat toisensa pois ja kaava muuntuu muotoon
c^{2}(\Delta \ t)^{2}-(\Delta \ x)^{2}=c^{2}(\Delta \ t')^{2}-(\Delta \ x')^{2}
Aika-avaruusintervalli on siten
s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}
Aika-avaruusintervalli > Ajan- ja paikanluontoinen intervalli

Kahden tapahtuman välinen aika-avaruusintervalli voi olla joko ajanluontoinen tai paikanluontoinen taikka rajatapauksessa valonluontoinen riippuen siitä, onko niiden tapahtumapaikkojen välinen etäisyys suurempi, pienempi vai yhtäsuuri kuin niiden välinen aikaero kerrottuna valonnopeudella. Tämä tapahtumaparin välisen intervallin luonne on sama kaikissa koordinaatistoissa.
Jos tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δx on pienempi kuin niiden välinen aikaero Δt kerrottuna valonnopeudella c eli Δx < cΔt, tapahtumien välinen intervalli on ajanluontoinen. Silloin intervalli  s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}>0, eli se on positiivinen ja sen neliöjuuri s positiivinen reaaliluku.  Tämä edellyttää, että jompikumpi tapahtumista on sen verran toista varhaisempi, että varhaisemmasta tapahtumasta lähtenyt valo tai muu valonnopeudella etenevä signaali ehtii myöhemmän tapahtumapaikalle ennen itse tapahtumaa. Tässä tapauksessa edellinen tapahtuma on kaikissa koordinaatistoissa varhaisempi kuin jälkimmäinen. Tällöin on myös mahdollista, että varhaisempi tapahtuma vaikuttaa jälkimmäiseen, eli edellinen niistä on syy ja jälkimmäinen seuraus.
Jos sen sijaan tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δx on suurempi kuin niiden välinen aikaero Δt kerrottuna valonnopeudella c eli Δx > cΔt, tapahtumien välinen intervalli on paikanluontoinen. Silloin intervalli  s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}<0, eli se on negatiivinen ja sen neliöjuuri s imaginaariluku. Näin on laita, jos tapahtumat sattuvat niin kaukana ja niin lyhyen ajan kuluessa toisistaan, että kummastakaan lähtenyt valo ei ehdi toisen tapahtumapaikalle itse tapahtumaan mennessä. Esimerkiksi koska Auringosta valo tulee Maahan noin kahdeksassa minuutissa, kahden sellaisen tapahtuman välinen intervalli, joista toinen sattuu Maassa, toinen Auringossa vähemmän kuin kahdeksan minuuttia aikaisemmin tai myöhemmin, on paikanluontoinen. Tällöin tapahtumien aikajärjestyskään ei ole yksikäsitteinen, vaan tiettyyn suuntaan tarpeeksi nopeasti liikkuvan havaitsijan lepokoordinaatistossa se voi olla päinvastainen, ja on myös mahdollista valita koordinaatisto, jossa tapahtumat ovat samanaikaiset.  Tällaisista tapahtumista kumpikaan ei voi olla toisen syy tai seuraus.
Rajatapauksessa tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δx on yhtä suuri kuin niiden välinen aikaero Δt.  Tässä tapauksessa intervallia sanotaan valonluontoiseksi, sillä toisesta tapahtumasta lähtevä valonsäde saavuttaa toisen tapahtumapaikan juuri tapahtumahetkellä. Tällöin intervalli  s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2} saa arvon nolla.
Liikemäärän suhteellisuus

Suppeassa suhteellisuusteoriassa inertiaalikoordinaatistossa olevan massallisen kappaleen liikemäärä eli momentti riippuu sen nopeudesta suhteessa toiseen inertiaalikoordinaatistoon. Klassisessa mekaniikassa massallisen kappaleen liikemäärä kasvaa lineaarisesti sen nopeuden kasvaessa, mutta suppeassa suhteellisuusteoriassa liikemäärä kasvaa kohti äärettömyyttä ja tyhjiön valonnopeudessa kappaleen liikemäärä on ääretön, jonka vuoksi massalliset kappaleet eivät voi liikkua valoa nopeammin.
Suppeassa suhteellisuusteoriassa massallisen kappaleen eli partikkelin liikemäärä suhteessa johonkin inertiaalikoordinaatistoon on
p=\gamma _{p}mv
γp kaava suhteessa johonkin toiseen kuin tarkastellun kappaleen inertiaalikoordinaatistoon on
\gamma _{p}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
Liikemäärän suhteellisuus > Esimerkkejä

Mikä on elektronin liikemäärä jos sen nopeus on 0,999 c suhteessa elektronin kiihdyttäneeseen hiukkaskiihdyttimeen?
Energian suhteellisuus

Suppean suhteellisuusteorian mukaan massallisen kappaleen kokonaisenergia E jouleina (J) on
E=\gamma _{p}mc^{2}=E_{0}+K
Kappaleen lepoenergia E0 jouleina on
E_{0}=mc^{2}
Kappaleen liike-energia eli kineettinen energia K jouleina on
K=(\gamma _{p}-1)mc^{2}=(\gamma _{p}-1)E_{0}
γp kaava suhteessa johonkin toiseen kuin tarkastellun kappaleen inertiaalikoordinaatistoon on
\gamma _{p}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
Energian suhteellisuus > Esimerkkejä

Mikä on elektronin lepo-, liike- ja kokonaisenergia jos sen nopeus on 0,999 c suhteessa sen kiihdyttäneeseen hiukkaskiihdyttimeen?
Ydinreaktorissa uraanin isotooppi 235 absorboi neutronin ja fissioituu barium-141:ksi ja krypton-92:ksi, jolloin vapautuu 3 neutronia. 235U massa on 235,0439 g/mol, 141Ba 140,9144 g/mol, 92Kr 91,9262 g/mol ja neutronin 1,0087 g/mol. Paljonko moolista 235U vapautuu energiaa?
Energian suhteellisuus > Kaavojen johtaminen

Aika-avaruusintervallin kaava johdettiin sen omassa osiossa. Aika-avaruusintervalli massallisen hiukkasen inertiaalikoordinaatistolle, joka liikkuu vakionopeudella ajassa Δt matkan Δx, on
s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}=invariantti
Hiukkanen liikkuu matkan suhteessa toiseen inertiaalikoordinaatistoon, josta käsin mitattuna tämän koordinaatiston kappaleet ovat levossa inertiaalikoordinaatiston määritelmän mukaisesti. Intervalli on invariantti, eli molemmille koordinaatistoille sama. Aika-avaruusintervallin kaava voidaan muuntaa liikemäärän p sisältäväksi yhtälöksi kertomalla yhtälö arvolla m / Δτ2, jossa Δτ on tosiaika, eli liikkuvan hiukkasen itsensä mittaama matkaansa käyttämä aika, joka ei aikavenymän vuoksi ole sama kuin Δt. Saadaan
(mc)^{2}\left({\frac {\Delta t}{\Delta \tau }}\right)^{2}-\left({\frac {m\Delta x}{\Delta \tau }}\right)^{2}=(mc)^{2}\left({\frac {\Delta t}{\Delta \tau }}\right)^{2}-p^{2}=invariantti
p = m(Δx/Δτ), joten yllä oleva kaava pätee. Δτ voidaan muuntaa Δt arvoksi ja päinvastoin Lorentz-kertoimella γp eli Δτ = γp Δt. Saadaan
(\gamma _{p}mc)^{2}-p^{2}=invariantti
Yhtälö kerrotaan arvolla c2, jotta hieman edempänä saadaan oikeanlaisia yksiköitä
(\gamma _{p}mc^{2})^{2}-(pc)^{2}=invariantti
Jos liikkuva kappale onkin levossa suhteessa sitä mittaavaan inertiaalikoordinaatistoon, on kappale samassa koordinaatistossa. Tällöin myös p = 0 ja γp = 1, joten (pc)2 sulkeutuu nollalla kerrottaessa pois, mutta yhdellä kerrottu (mc2)2 jää invariantiksi eli kaikissa koordinaatistoissa yhteneväksi arvoksi. Saadaan siis
(\gamma _{p}mc^{2})^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}
Otettaessa neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta, havaitaan että mc2 on myös invariantti arvo. Kahden inertiaalikoordinaatiston S ja S' vertailijat mittaavat häiriöttä vakionopeudella liikkuvalle kappaleelle eri liikemäärän, mutta molempien mittausten mukaan kappaleen liikemäärä konservoituu eli pysyy koordinaatistoissa muuttumattomana. Kahden ylemmän yhtälön mukaan γpmc2 on myös säilyvä ominaisuus. Yksikköinä γp on yksikötön, m on kg ja c2 on m2/s2. kg · m2/s2 on joule, joka on energian yksikkö. Oletetaan että kappaleen nopeus on paljon pienempi kuin tyhjiön valonnopeus, eli v ≪ c. Tällöin binomiaali approksimaatiota käyttäen saadaan kaava
\gamma _{p}mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\approx (1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{^{2}}})mc^{2}=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}
½mv2 on klassisen fysiikan liike-energian kaava, eli yhtälö antaa tyhjiön valonnopeutta paljon pienemmillä nopeuksilla samoja tuloksia kuin klassinen fysiikka. mc2 yhtälössä kertoo että massa sisältäisi energiaa.
Massallisen kappaleen ollessa levossa eli kun v=0, saadaan yhtälöstä kappaleen lepoenergia E0 eli
E_{0}=mc^{2}
Liike-energia kappaleelle olisi siten
K=(\gamma _{p}-1)mc^{2}=(\gamma _{p}-1)E_{0}