stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Faktantarkistus
Vaikutukset

Tutkimukset jälkeenpäin tehtävästä faktantarkistuksesta ovat selvittäneet, että ne johtavat usein sekä puhujien (se saa aikaan varovaisempia julistuksia), että kuulijoiden tai lukijoiden (se saa heidät vaativammaksi sisällön tietojen oikeellisuudesta) käyttäytymisen muutoksiin. Havaintojen mukaan yleisöllä on taipumus olla täysin horjumaton sellaisia virheiden korjauksia kohtaan, jotka koskevat kaikkein eniten erimielisyyttä aiheuttavia aiheita, tai vakuuttua huomattavasti enemmän kielteisestä tiedottamisesta (esimerkiksi vaalimainoksista, joissa on henkilökohtaisia hyökkäyksiä). Mielipiteen muutoksia havaitaan myös, kun hairahtunut henkilö oli alun perinkin joku melko samanhenkinen.
Vuonna 2014 kokeellisessa tutkimuksessa todettiin, että faktantarkistus saattaa auttaa parantamaan poliittista keskustelua lisäämällä maineeseen liittyviä kustannuksia tai riskejä levittää väärää tietoa poliittisille eliiteille. Tutkijat lähettivät ”sarjan kirjeitä vaaleihin liittyvistä maineenhallinnan turvallisuudesta ja riskeistä, jos ehdokkaat jäisivät kiinni kyseenalaisista lausunnoista. Lainsäätäjät, joille kirjeet lähetettiin, olivat huomattavasti vähemmän alttiita antamaan kielteisiä arvioita faktantarkistuksesta tai saattamaan tarkkuuttaan julkisesti kyseenalaisiksi. Tämä viittaa siihen, että faktantarkistus voi vähentää epätarkkuutta, jos se aiheuttaa merkittävää uhkaa.”
Vuonna 2016 tehdyssä tutkimuksessa saatiin selville hyvin vähän todisteita ”takaiskuvaikutuksesta”, jonka mukaan väärän informaation korjaaminen saattaa aiheuttaa puolueellisten henkilöiden takertumista yhä vahvemmin näkemyksiinsä. Tutkimuksen mukaan ”Yleisesti ottaen kansalaiset ottavat onkeensa faktuaalisesta informaatiosta, jopa silloin kun sellainen informaatio haastaa heidän puolueellisia ja ideologisia sitoumuksiaan.”
Eräs kokeellinen tutkimus osoitti, että vaalikeskustelujen aikaan tehty faktantarkistus vaikutti katsojien arvioon ehdokkaiden keskustelukyvyn tehokkuudesta ja ”lisäsi halukkuutta äänestää ehdokasta, jos faktantarkistus osoittaa että ehdokas on rehellinen”.
Kritiikki

Poliittista faktantarkistusta kritisoidaan usein siitä, että se on mielipidejournalismia.
Syyskuussa 2016 Yhdysvalloissa tehdyn kyselytutkimuksen mukaan vain 29 prosenttia kaikista todennäköisistä yhdysvaltalaisista äänestäjistä luottavat medioiden tekemiin ehdokkaiden kommenttien faktantarkistuksiin. Sen sijaan 62 prosenttia uskoi, että uutisorganisaatiot vääristävät faktoja auttaakseen tukemiaan ehdokkaita.
Faktantarkistusorganisaatioita > Aasiassa

Factcheker.in on intialainen, vuonna 2014 omaksi verkkosivustokseen eriytetty, hyväntekeväisyyssäätiöksi rekisteröityneen The Spending & Policy Research Foundationin aloite vuodelta 2013. Säätiön kotipaikka on Mumbai.
South-Asia Check on poliittisesti riippumaton nepalilainen faktantarkistussivusto, joka on perustettu Panos South Asian aloitteesta. Sivusto keskittyy julkisuuden henkilöiden Nepalissa ja toisinaan muuallakin Etelä-Aasiassa esittämiin väittämiin ja arvioi niiden totuudenmukaisuutta. Sivuston kotipaikka on Kathmandu.
Faktantarkistusorganisaatioita > Afrikassa

Africa Check on yleishyödyllinen ja riippumaton organisaatio, joka perustettiin vuonna 2012. Tavoitteena on parantaa ja tarkistaa Afrikassa tapahtuvaa faktantarkistusta ja uutisoimista. Sen verkkosivu on yhteydessä Witwatersrandin yliopiston journalismikoulutukseen Johannesburgissa Etelä-Afrikassa.
Pesa Check on itäafrikkalainen, Kenian, Tansanian ja Ugandan alueita käsitteleviin talouslukuihin ja muihin tilastoihin keskittynyt faktantarkastussivusto. Se on osa vuonna 2012 perustetun yhdysvaltalaisen A Medium Corporationin (kotipaikka Los Angeles) toimintoja, joka on puolestaan vuonna 2003 perustetun yhdysvaltalaisen, Twitterin perustajien luoman verkkomediakonsernin ja yrityshautomon The Obvious Corporationin tytäryhtiö.
FactCheck Nigeria  on eräs Nigerian faktantarkistussivustoista.
Faktantarkistusorganisaatioita > Pohjois-Amerikassa

FactCheck.org on yleishyödyllinen verkkosivusto, joka kuvaa itseään riippumattomaksi ”äänestäjien kuluttaja-asiamieheksi, joka pyrkii vähentämään Yhdysvaltain politiikassa tapahtuvaa petosta ja sekaannusta”. Hanke liittyy Annenberg Public Policy Centeriin, joka on University of Pennsylvanian viestintäkoulutuksen osa. Sitä tukee taloudellisesti Annenberg Foundation. FactCheck.orgille on myönnetty neljä Webby Awards -palkintoa vuosina 2008, 2010, 2011 ja 2012.
Hoax-Slayer.com on Brett Christensenin vuonna 2003 perustama verkkosivusto, joka oikoo urbaneja legendoja analysoimalla niitä kriittisesti. Se tunnetaan parhaiten valheellisten juttujen kumoamisesta, mutta sillä on myös verkkosivu, jossa luetellaan outoja, mutta tosia kaupunkitarinoita. Sen kumoamia tarinoita ovat olleet muun muassa valheelliset videot, joita väitettiin kuvaavan Malaysia Airlinesin lentoa 370, tarinoita siitä, että vuonna 2013 superkuu olisi suurempi kuin se todellisuudessa oli.
PolitiFact.com on riippumattoman Tampa Bay Timesin sanomalehden hanke, jossa lehden ja muiden siihen liittyvien medioiden reportterit ja toimittajat tekevät Yhdysvaltain kongressin jäsenten, Valkoisen talon, lobbareiden ja eturyhmien faktantarkistusta. Asiantuntijoiden arvioita julkaistaan myös PunditFact-sivustossa. PolitiFact sivustolla julkaistaan alkuperäisiä lausuntoja, ja jokainen arvioidaan ”Truth-O-Meter”-mittarilla. Mittaukset vaihtelevat ”tosista” täysin tarkkoihin lausuntoihin tai arvioihin, ”Pants on Fire” (housut tulessa) valheellisiin tai naurettaviin väitteisiin. Vuonna 2009 PolitiFactille myönnettiin Pulitzer-palkinto.
Snopes.com joka tunnetaan myös nimellä Urban Legends Reference Pages, kartoittaa urbaaneja legendoja, internetin huhuja, sähköpostien uudelleenohjauksia ja muita tarinoita, jotka ovat peräisin tuntemattomista tai kyseenalaisista tietolähteistä. Snopes on tunnettu hyväksymistään tai kumoamistaan tarinoista Yhdysvaltain populaarikulttuurissa.
The Straight Dope verkossa oleva reaaliaikainen kysymysten ja vastausten sanomalehtikolumni, jota julkaistaan Chicago Readerissa ja siihen liittyvissä kahdeksassa sanomalehdessä Yhdysvalloissa.
TruthOrFiction.com (myös TruthOrFiction.org) ”myyttejä murtava” verkkosivusto urbaaneista tarinoista, internethuhuista, sähköpostien uudelleenohjauksista ja muista kyseenalaisista kuvista tai tarinoista.
FactsCan (factscan.ca) kanadalainen poliittisten väittämien tarkistukseen keskittyvä organisaatio verkkosivuineen.
Faktantarkistusorganisaatioita > Euroopassa

Demagog on yhteishanke Tšekin tasavallassa, Unkarissa, Puolassa ja Slovakiassa (Visegrad-ryhmän maissa). Se perustettiin vuonna 2010 Slovakiassa  kehitettiin Tšekin tasavallassa, Unkarissa  ja Puolassa .
FactCheckEU.org luotiin tammikuussa 2014. Euroopan ensimmäinen ”joukkoistettu tarkistusalusta – – syntyi näkemyksestä, että EU:n yhdentymisen myötä tulee yhtä oleellisemmaksi kehittää vahtikoiria, jotka pystyvät tarkkailemaan poliittista keskustelua.”
Full Fact on Isossa-Britanniassa toimiva riippumaton faktantarkistusorganisaatio, joka pyrkii edistämään julkisen keskustelun tarkkuutta, perustettu 2009.
The FactCheck blog on Channel 4:n organisaation ylläpitämä faktantarkistusblogi Englannissa.
Les Décodeurs on ranskalainen Le Monden faktantarkistusblogi.
Pagella Politica on italialainen verkkosivu faktantarkistusta varten.
StopFake on ukrainalainen faktantarkastussivusto ja uutispalvelu Ukrainaa koskevien virheellisten uutisten oikaisemiseksi. Sivuston perustivat Kiovan Mohyla-akatemian journalistiikan opiskelijat yhdessä toimittajaystäviensä kanssa. Erityisesti Venäjän Krimin miehityksen ja propagandasodan vastapainoksi käynnistetty sivusto on toiminut maaliskuusta 2014 lähtien. Marraskuussa 2016 sivusto liittyi kansainväliseen, syyskuussa 2016 perustettuun First Draft -kumppanuusverkostoon, johon kuuluvat muun muassa AFP, Amnesty International, AP, BBC News, CNN, Deutsche Welle, Euronews, Facebook, Google News Lab, The Guardian, The New York Times, PolitiFact, Reuters, The Telegraph, Twitter, YouTube ja The Washington Post. Joulukuussa 2016 StopFake käynnisti Britannian Ukrainan suurlähetystön tuella kuukausittain ilmestyvän, Itä-Ukrainan separatistialueelle suunnatun venäjänkielisen Tvoje Pravo Znat -sanomalehden (suom. Sinun oikeutesi tietää). Alkujaan vain venäjäksi ja englanniksi toiminut stopfake.org-sivusto palveli helmikuussa 2017 seuraajiaan kymmenellä eurooppalaisella kielellä.
Faktantarkistusorganisaatioita > Latinalaisessa Amerikassa

Argentiina: Chequeado.com
Brasilia: Aos Fatos, Agência Lupa, Truco no Congresso
Chile: Del dicho al hecho
Uruguay: UYcheck
Keski-Amerikka: Rete al candidato: Rete al candidato on ensimmäinen digitalisen poliittisen faktantarkistuksen organisaatio Keski-Amerikassa. Se sijaitsee Costa Ricassa, ja sen perusti vuonna 2013 sanomalehti El Financiero tarkkailemaan poliittista keskustelua maan vuoden 2014 presidentinvaalissa. Sitä tukee Konrad Adenauer Foundation.
Faktantarkistusorganisaatioita > Suomessa

Suomessa toimiva faktantarkistuspalvelu Faktabaari syntyi talvella 2014. Sen esikuvia ovat amerikkalaiset Factcheck.org ja Politifact.com. Perustajat olivat sitä mieltä, että Suomeen piti saada vastaavanlainen palvelu vahtimaan poliitikkojen ja muiden poliittisten toimijoiden puheiden totuudenmukaisuutta sekä puuttumaan mediassa esitettyihin puolitotuuksiin, myytteihin ja urbaanilegendoihin. Faktabaari on poliittisesti sitoutumaton ja kaikille avoin kansalaispalvelu, joka ei toimi minkään poliittisen puolueen puolesta tai puoluetta vastaan.lähde?
Faktabaarin toteutuksen taustalla on Avoin yhteiskunta ry. Yhdistyksen tarkoituksena on edistää avoimuutta keskeisenä yhteiskunnallisena perusarvona, tuoda yhteiskunnallinen päätöksenteko lähelle kansalaista sekä antaa kansalaisille entistä parempia mahdollisuuksia osallistua päätöksentekoon.
Faktabaari sitoutuu julkistamaan kaikki rahoituslähteensä avoimesti verkkosivuillaan. Faktabaari ei voi hyväksyä sen toimituksellisia valintoja tai avoimuusperiaatteita rajoittavaa rahoitusta. Se on saanut taloudellista tukea muun muassa ulkoministeriön alaiselta Eurooppatiedotukselta, tiedonjulkistamisen neuvottelukunnalta, HS-säätiöltä, Tieteen tiedotus ry:ltä ja Tiina ja Antti Herlinin säätiöltä sekä liikenne- ja viestintäministeriöltä.
Aiheesta muualla

Muraja, Tuomas: Faktat tiskiin, Suomalaisen faktantarkistuksen käsikirja.  Tammi, 2017.  ISBN 9789513192594
Vehkoo, Johanna: Miksi ihmiset uskovat some-huhuihin? (kirjoittajan blogi) vehkoo.wordpress.com.  29.9.2015. Viitattu 26.2.2017.
Vehkoo, Johanna: Mistä puhumme, kun puhumme faktantarkistuksesta? (kirjoittajan blogi) Vehkoo.  7.12.2015. Viitattu 26.2.2017.
Heinonen, Ari: Tieto tarkistukseen (kirjoittajien blogi) Suomen Lehdistö.  8.11.2016. Viitattu 26.2.2017.
Arkisto: faktantarkistus (aineistoa aiheesta) Mediakasvatus.fi.  2016-2017. Mediakasvatusseura ry. Arkistoitu 27.2.2017. Viitattu 26.2.2017.
Mark Stencel: Fact-checking booms as numbers grow by 20 percent  30.6.2017. The Reporters’ Lab/Duke University, reporterslab.org. Viitattu 13.8.2017. (englanniksi)
Alexios Mantzarlis: Fact-checking the world’s most powerful leaders: the G20 factcheckathon  19.11.2015. Poynter. Viitattu 13.8.2017. (englanniksi)
Hyperbolinen geometria

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma
Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
Analyyttinen geometria
n
k
Osa artikkelisarjaa
Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Toinen esimerkkipinta on torvi. Monien ominaisuuksien puolesta hyperbolisen geometrian "vastakohtana" voidaan  pitää pallo- eli elliptistä geometriaa, joilloin euklidinen geometria on näiden kahden väliin jäävä rajatapaus.
Hyperbolinen geometria eroaa monin tavoin perinteisestä euklidisesta geometriasta, joka käsittelee ääretöntä tasaista tasoa. Hyperbolisella pinnalla kolmion kulmien summa on  esimerkiksi aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.
Hyperbolisen pinnan voi yleistää myös kahta useampaan ulottuvuuteen.
Yhdensuuntaiset suorat

Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tästä seuraa, että monet euklidisen geometrian lauseet yhdensuuntaisille suorille eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei täydy olla yhdensuuntaisia keskenään, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lisäksi suorasta l vakioetäisyydellä olevat pisteet eivät muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.
Euklidisessa geometriassa kaikki yhdensuuntaisten suorien väliset etäisyysjanat   \lVert BP\rVert  ovat kohtisuorassa eli suoran ja etäisyysjanan välinen kulma on 90°. Hyberbolisessa geometriassa kulmien suuruus vaihtelee.
Kolmiot

Jos suorakulmaisessa kolmiossa a ja b ovat kateetteja ja c hypotenuusa, niin hyperbolisessa geometriassa pätee yhtälö:
missä funktio cosh on hyperbolinen funktio, jonka vastine trigonometriassa on cos-funktio. Kaikilla trigonometrisillä funktioilla on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa.
Euklidisen geometrian tuloksille on olemassa vastineet hyperbolisessa geometriassa. Olkoon hyperbolisen kolmion sivut "a", "b" ja "c" ja niitä vastaavat kulmat "A", "B" ja "C". Silloin on voimassa
Sinilause:
sekä Kosinilause:
tai
Erikoistapauksessa kun C on suorakulma, niin kosinilauseesta seuraavat yhtälöt:
Euklidisella tasolla kolmion kulmien summa on aina 180° ( radiaaneissa  \pi ), mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle 180°. Hyperbolisessa geometriassa ideaalikolmioksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.
Ympyrät, levyt ja pallot

Hyperbolisessa geometriassa ympyrän piiri on suurempi kuin  2\pi r, missä  r on kyseisen ympyrän säde.
Olkoon  R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}, missä  K on pinnan Gaussin kaarevuus. Tällöin ympyrän piiri saadaan kaavasta:
Suljetun kiekon pinta-ala on taas:
Pallon pinta-ala:
Suljetun kuulan tilavuus:
(n-1)-ulotteinen pallon mitta:
missä
ja  \Gamma \, on  gammafunktio.
Suljetun  n-ulotteisen kuulan mitta:
Historia

Kahdentuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja myöhemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittivät todistaa paralleeliaksioomaa. Koska heidän yrityksensä epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobatševski kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobatševski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.
Filosofinen merkitys

Hyperbolisen geometrian keksimisellä oli huomattavia filosofisia vaikutuksia. Aikaisemmin monet filosofit, muun muassa Hobbes ja Spinoza, olivat pitäneet euklidista geometriaa ehdottoman varmana ja samalla välttämättömänä totuutena, joka ei voisikaan olla toisin. Niinpä Spinoza kirjoitti Etiikka-teoksensa Eukleideen antaman esikuvan mukaisesti yrittäen todistaa kaikki väittämänsä "geometrisella menetelmällä" muutamien määritelmien ja aksioomien avulla. Myös Hobbes piti geometriaa ainoana toistaiseksi luotuna varsinaisena tieteenä. Jo ennen heitä oli Tuomas Akvinolainen suorastaan väittänyt, ettei edes Jumala voi esimerkiksi tehdä kolmion kulmien summaa muuksi kuin kaksi suoraa kulmaa. Tosin Hume ei pitänyt geometriaa yhtä varmana kuin aritmetiikkaa ja algebraa, koska hänen mukaansa emme voi olla varmoja sen aksioomien totuudesta.
Kant päätyi teoksessaan Puhtaan järjen kritiikki siihen käsitykseen, että avaruus, euklidisen geometrian mukaisena, ovat välttämättömiä mielteitä ja ettemme voi kuvitellakaan, ettei niitä olisi, ja että tämän vuoksi euklidinen geometria, vaikka onkin synteettinen, on kuitenkin a priori ja soveltuu välttämättömästi kaikkiin havaitsemiimme ilmiöhin. Kuitenkaan hänen mukaansa ei ole mitään pätevää syytä olettaa, että se soveltuisi myös tosiolevaiseen, olioihin sinänsä.
On väitetty, että Gauss ei pitkään aikaan julkaissut ajatuksiaan hyperbolisesta geometriasta, koska hän pelkäsi "boiotialaisten kapinaa". Ajoittain hän epäili itsekin, olivatko hänen ajatuksensa lainkaan terveellä pohjalla.  Vähitellen, erityisesti Bolýain, Lobatševskin ja Riemannin ansiosta hänen ajatuksensa tulivat kuitenkin hyväksytyiksi, ja niillä oli suuri vaikutus käsityksiin matemaattisesta varmuudesta, analyyttiseen filosofiaan ja logiikkaan. Voitiin osoittaa, että hyperbolinen geometria on sisäisesti yhtä ristiriidaton kuin euklidinenkin, ja lisäksi on vielä muitakin täysin ristiriidattomia mahdollisuuksia. Näin ollen kysymys todellisen fysikaalisen avaruuden geometrian luonteesta jäi fysiikan ratkaistavaksi.
Esimerkiksi Bertrand Russell päätyi käsitykseen, että "geometria" on yhteisnimitys kahdelle täysin erilaiselle tutkimuskohteelle. Toisaalta on deduktiivinen geometria, joka päättelee loogisten päättelysääntöjen mukaan, mitä annetuista aksioomeista seuraa, kysymättä ovatko nämä aksioomat sinänsä "tosia". Siinä eivät geometrian oppikirjoissa käytetyt kuviotkaan ole välttämättömiä, joskin niitä voidaan käyttää asian havainnollistamiseksi. Toisaalta on geometria fysiikan osana, esimerkiksi yleisessä suhteellisuusteoriassa. Sellaisena se on mittauksiin perustuva empiirinen tiede. Toisin kuin Kant väitti, näistä edellinen on siis a priori mutta ei synteettinen, kun taas jälkimmäinen on synteettinen mutta ei a priori.
Hyperbolisen geometrian malleja

David Hilbert todisti vuonna 1901, että hyperbolista tasoa ei voida isometrisesti upottaa kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen  \mathbf {R} ^{3}, toisin sanoen avaruudessa avaruudessa  \mathbf {R} ^{3} ei ole sellaista pintaa, jolle hyperbolinen taso kokonaisuudessaan voitaisiin isometrisesti kuvata.  On kuitenkin olemassa pseudopalloiksi sanottuja pintoja, joilla on vakio negatiivinen Gaussin kaarevuus ja jotka sen vuoksi ovat lokaalisti isometrisia hyperbolisen tason kanssa. Tunnetuin sellainen on traktroidi, joka syntyy traktrix-nimisen käyrän pyörähtäessä asymptoottinsa ympäri.
Koko hyperboliselle tasolle voidaan kuitenkin muodostaa malleja määrittelemällä jollekin euklidisen tason osalle tavanomaisesta poikkeava metriikka.  Tällaisia malleja ovat Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli, Poincarén puolitasomalli ja hyperboloidimalli, joista kolme ensimmäistä ovat Beltramin kehittämiä, eivätkä Kleinin ja Poincarén, joiden mukaan mallit on nimetty.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
"The Hyperbolic Geometry Song" Lyhyt video Youtubessa, joka kertoo hyperbolisesta geometriasta
Universal Hyperbolic Geometry III: First Steps in Projective Triangle Geometry
Pseudopallo (Traktroidi)
Poincarén kiekkomallissa hyperbolinen taso on kuvattu kiekolle. Hyperbolisen tason suoria vastaavat sellaiset ympyränkaaret, jotka leikkaavat kiekkoa rajoittavan ympyrän kohtisuorasti. Kuvassa sinisellä merkitty suora ja joukko sen ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkevia "yhdensuuntaisia" suoria, jotka eivät sitä leikkaa.
Toivon kaupunki

| Toivon kaupunki> City of Hope |
| --- | --- |

Ohjaaja:  John Sayles
Käsikirjoittaja:  John Sayles
Tuottaja:  Sarah Green Maggie Renzi
Säveltäjä:  Mason Daring
Kuvaaja:  Robert Richardson
Valmistustiedot
Valmistusmaa:  Yhdysvallat
Tuotantoyhtiö:  Samuel Goldwyn Company Esperanza Production
Ensi-ilta:  1991
Kesto:  124 min
Alkuperäiskieli:  englanti
Aiheesta muualla
IMDb 
Elonet
AllMovie
Infobox OKNimi-testi OK: 
Toivon kaupunki (City of Hope) on John Saylesin käsikirjoittama ja ohjaama yhdysvaltalainen independent-elokuva vuodelta 1991. Siinä yhdistyvät viisi toisiinsa punoutuvaa tarinaa New Jerseyn osavaltion kaupungissa. Elokuvan pääteemana on rikkaan rakennuttajan Joe Rinaldin ja hänen poikansa Nickin ongelmallinen suhde.
Näyttelijät

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Vincent Spano  | … |  Nick Rinaldi   |
|  Stephen Mendillo  | … |  Yoyo   |
|  Chris Cooper  | … |  Riggs   |
|  Tony Lo Bianco  | … |  Joe Rinaldi   |
|  Joe Morton  | … |  Wynn   |
|  Charlie Yanko  | … |  Stavros   |
|  Jace Alexander  | … |  Bobby   |
|  Todd Graff  | … |  Zip   |
|  Scott Tiler  | … |  Vinnie   |
|  John Sayles  | … |  Carl   |
|  Frankie Faison  | … |  Levonne   |
|  Gloria Foster  | … |  Jeanette   |
|  Tom Wright  | … |  Malik   |
|  Angela Bassett  | … |  Reesha   |
|  David Strathairn  | … |  Asteroid   |
|  Edward J. Townsend J.R.  | … |  Tito   |
|  Gina Gershon  | … |  Laurie Rinaldi   |
|  Maggie Renzi  | … |  Connie  |
Vastaanotto

Toivon kaupunki voitti Grand Prix’n Tokion kansainvälisillä elokuvajuhlilla ja menestyi monilla muillakin independent-elokuvien festivaaleilla. David Strathairn voitti sivuosastaan Independent Spirit Awardin.
Suomessa elokuvaa ei nähty teattereissa, mutta se julkaistiin VHS-videokasetilla 1993 ja esitettiin Yle TV1 -kanavalla huhtikuussa 1998. Video-oppaassa vuodelta 1994 Bello Romano pitää elokuvaa monitasoisena modernina kaupunkidraamana ja antaa sille neljä tähteä viidestä.
Kehä (geometria)

Piin arvon ja kehän pituuden välinen yhteys. Ympyrän halkaisija on yksi.
Kehä on geometriassa ympyrän reunaviiva eli piiri, joka sulkee ympyräkiekon sisäänsä. Kehän pisteet saadaan piirtämällä harpin kiinteällä säteellä rengas annetun ympyrän keskipisteen ympäri. Tasogeometrian määritelmä onkin, että kehä koostuu pisteistä, joiden etäisyys annetusta pisteestä on kaikilla sama.
Ympyrän suomalainen termi on kaksijakoinen: toisaalta se tarkoittaa ympyrää pyöreänä kiekkona ja toisaalta kehänä. Ympyräkiekolla on keskipiste ja kehä kiekon osina. Analyyttisessä geometriassa ympyrän yhtälö viittaa ainoastaan kehään, ja ympyräkiekkoon viitataan erikseen ja harvemmin. Kumpaa tapausta tarkoitetaan selviää asiayhteydestä.
Kehän ominaisuuksia > Pii

Ympyrän kehän pituutta on osattu laskea varsin kauan. Oleellista oli verrata kehän ympärysmittaa sen halkaisijaan, jolloin osamäärästä saadaan suhdeluku  \pi . Piistä on ollut historian kuluessa käytössä erilaisia likiarvoja, joilla ympyrän kehään ja pinta-alaan liittyvät laskelmat on suoritettu. Yleensä riittää likiarvo  \pi =3,14159.
Kehän ominaisuuksia > Kehän pituus

Kehän pituus p saadaan
kun ympyrän säde on r ja halkaisija d.
Kehä on pienin mahdollinen piiri, jolla voi ympäröidä annetun kokoisen pinta-alan.
Kehän ominaisuuksia > Kaareutuminen

Kehän kaarevuus on kaarevuussäteen käänteisluku. Mitä voimakkaamin kehä kaareutuu, sitä pienemmäksi sen säde tulee. Kaarevuuden  \kappa  ja kaarevuussäteen R välillä on voimassa
Eri ulottuvuudet

Ympyrän kehä on kaksiulotteiseen avaruuteen piirretty kuvio. Yksiulotteinen vastine kehälle olisi lukusuoralla oleva pistejoukko, jonka etäisyys annetusta pisteestä on vakio. Lukusuoralla vain kaksi pistettä toteuttaa tämän ehdon. Kolmiulotteisessa avaruudessa eli tilassa kehän vastine on tyhjä pallokuori, koska kuoren pisteet sijaitsevat yhtä kaukana pallon keskipisteestä.
Analyyttinen geometria

Kehän yhtälö on sama kuin ympyrän yhtälö johtuen analyyttisen geometrian nimityksestä. Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan pisteeseen piirretyn ympyrän kehän yhtälöksi
Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto: