Carl Friedrich Gauss
Elämäkerta > Opiskeluvuodet > Göttingenissä

Göttingenissä Gauss sai matematiikan opettajakseen Abraham Kästnerin, jota hän tapasi pitää pilkkanaan.  Gauss osasi sujuvasti klassisia kieliä, etenkin latinaa, ja hän pohti vielä Göttingenissäkin, ryhtyisikö matemaatikoksi vai kielitieteilijäksi. Päiväkirjansa perusteella hän teki päätöksen 30. maaliskuuta 1796: hänestä tulisi matemaatikko. Tuona päivänä hän nimittäin ratkaisi kuuluisan, siihen asti avoimen ongelman: mitkä säännölliset monikulmiot voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella? Hän osoitti, että täsmälleen ne monikulmiot, joiden kulmien lukumäärän parittomat alkutekijät ovat Fermat’n lukuja. Gauss siis havaitsi, että 17-kulmio voidaan konstruoida euklidisin työkaluin. Löytöä on myöhemmin pidetty yhtenä tärkeimmistä Gaussin uralla.
Vuosi 1796 oli muutenkin hedelmällinen, sillä samana vuonna Gauss keksi lukuteorian osa-alueen modulaariaritmetiikan, joka tekee lukuteorian tutkimisen huomattavasti helpommaksi. 8. huhtikuuta hän keksi kuuluisan neliönjäännöslauseensa. Tuloksen ansiosta matemaatikot saattoivat kokeilla minkä tahansa modulaariaritmetiikan toisen asteen yhtälön ratkaisujen olemassaoloa. Toukokuun viimeisenä päivänä Gauss otaksui sittemmin todeksi osoittautuneen alkulukulauseen, jonka avulla voidaan tutkia, miten alkuluvut ovat jakautuneet kokonaislukujen joukossa. Gauss todisti myös, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. Tämän tuloksen hän keksi 10. heinäkuuta ja kirjoitti siitä päiväkirjaansa: ”Heureka! num= \Delta +\Delta +\Delta .” 1. lokakuuta hän julkaisi tuloksen polynomien ratkaisujen lukumäärästä, missä polynomin kertoimet kuuluvat annettuun äärelliseen kuntaan. (150 vuotta myöhemmin tämän tuloksen perusteella keksittiin niin sanotut Weilin otaksumat, jotka todistettiin vuonna 1974.)
Gaussilla oli opiskeluvuosinaan vähän ystäviä, mutta he olivat sitäkin läheisempiä. Parhaimpien ystävien joukossa oli Farkas Bolyai, josta tuli myös matemaatikko. Gaussin mielestä Bolyai oli ainoa, joka kykeni ymmärtämään hänen matemaattisia ajatuksiaan. Syyskuussa 1798 Gauss jätti opiskelunsa kesken ja palasi Braunschweigiin. Opiskelut olivat hankalassa vaiheessa, sillä herttua saattaisi lopettaa Gaussin tukemisen, eikä hän ollut vielä suorittanut tutkintoa. Onneksi herttua jatkoi tukeaan sillä ehdolla, että Gauss väittelisi Helmstedtin yliopistossa. Gauss suostui, sillä hän tunsi jo entuudestaan väitöstyönsä ohjaajan Johann Pfaffin. Rahoituksen varmistuttua Gaussin asema oli hyvä, sillä hänen ei tarvinnut etsiä töitä ja hän saattoi omistautua matematiikalle. Vuonna 1799 valmistuneessa väitöskirjassaan Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse Gauss todisti algebran peruslauseen ja kritisoi monia sen ajan huippumatemaatikkoja perusteellisuuden puutteesta. Nykymatemaatikot arvostavat Gaussin väitöstä paljon.
Algebran peruslause on tärkeä ja kuuluisa lause, jonka mukaan jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi nollakohta. Todistus oli yksi ensimmäisistä puhtaista eksistenssitodistuksista, mutta silti vajavainen, koska se perustui oikeaksi todistamattomaan Jordanin käyrälauseeseen. Moni matemaatikko oli yrittänyt todistaa peruslauseen, muun muassa Jean le Rond d’Alembert, mutta tuloksetta. Algebran peruslauseelle Gauss esitti myöhemmin vielä kolme eri todistusta, joista viimeinen, vuodelta 1849, on yhtä täsmällinen kuin nykyajan matemaattiset julkaisut. Matemaattiselta kannalta se on todistuksista samalla yleisin, sillä se osoittaa, että algebran peruslause pitää paikkansa myös, kun polynomin kertoimet ovat kompleksisia. Gaussin todistukset vaikuttivat merkittävästi funktioteorian kehitykseen, ja tuon ajan matemaatikot oppivat paljon kompleksilukujen ominaisuuksista muun muassa algebran peruslauseen todistusten kautta.
Vuonna 1801 Gauss julkaisi pääteoksenaan pidetyn Disquisitiones Arithmeticae (suom. Aritmeettisia tutkimuksia), jossa hän vihdoin esitti julkisesti eräitä aiempia tuloksiaan. Isaac Newtonin tapaan Gauss julkaisi tuloksiaan erittäin säästeliäästi, ja joitakin tärkeitä tuloksia hän jätti tyystin julkaisematta. Sinetissäänkin hän käytti mottoa Pauca sed matura (suom. Vähän mutta kypsää). Aritmeettisten tutkimusten kirjoittamisen hän oli aloittanut jo 21-vuotiaana eli vuonna 1798. Omien tulostensa lisäksi Gauss esittelee teoksessaan Eulerin, Legendren ja Fermat’n lukuteoreettisia tuloksia.