Projektiivinen geometria
Historia

Ensimmäiset luonteeltaan projek­tiiviset geo­metriset ominaisuudet löysi 200-luvulla Pappos Aleksandrialainen. Filippo Brunelleschi (1404–1472) aloitti perspektiivin geo­metrian tutkimisen vuonna 1425.
 Johannes Kepler (1571–1630) ja Girard Desargues (1591–1661) kehittivät toisistaan riippumatta keskeisen "äärettömyydessä olevan pisteen" käsitteen. Desargues kehitti perspektiivi­piirustukseen vaihto­ehtoisen menetelmän yleistämällä pakopisteiden käsittelyä siten, että ne voivat olla myös äärettömän kaukana. Hän teki euklidisesta geo­metriasta, jossa yhden­suuntaiset suorat todella ovat yhden­suuntaisia, erikois­tapauksen kaikenkattavasta geo­metrisesta järjestelmästä. Desargues tutki myös kartio­leikkauksia, ja hänen tällä alaltaan tekemiin tutkimuksiin kiinnitti huomiota 16-vuotias Blaise Pascal, joka niiden avulla onnistui muotoilemaan Pascalin lauseen. Gaspard Mongen tutkimukset 1700- ja 1800-lukujen vaihteessa olivat projek­tiivisen geo­metrian myöhemmän kehityksen kannalta tärkeitä. Desarguesin saavutuksia ei juuri tunnettu, ennen kuin Michel Chasles sai vuonna 1845 hankituksi hänen tutkielmistaan käsin tehdyn jäljennöksen. Sillä välin Jean-Victor Poncelet oli laatinut vuonna 1822 julkaistun projek­tiivisen geo­metrian perus­teoksen. Poncelet erotti kohteiden projek­tiiviset ominaisuudet omaksi luokakseen ja selvitti, miten metriset ja projek­tiiviset ominaisuudet liittyivät toisiinsa. Kun vähän myöhemmin keksittiin epä­euklidiset geo­metriat, osoittautui, että nekin voitiin mallintaa projek­tiivisen geo­metrian avulla, esimerkiksi hyper­boliselle avaruudelle voitiin muodostaa Kleinin malli.
Tämä 1800-luvun varhainen projek­tiivinen geo­metria oli tärkeä askel ana­lyytti­sestä geo­metriasta kohti algeb­rallista geo­metriaa. Homo­geenisilla koordi­naateilla käsiteltynä projek­tiivinen geo­metria näyttää koordi­naattien käytön laajennukselta tai tekniseltä parannukselta, jolla geo­metriset probleemat voidaan palauttaa algebraan ja jossa erikoistapausten lukumäärää saadaan vähennetyksi. Toisen asteen pintojen yksityiskohtainen tutkimus ja Julius Plückerin "viivageo­metria" ovat esi­merkkejä monista yleisempien geo­metristen käsitteiden tutkimuksesta.
Poncelet'n, Steinerin ja muiden suorittaman työn tarkoituksena ei ollut laajentaa analyyttista geometriaa. He olettivat käyttämiensä menetelmien olevan "synteettisiä"; itse asiassa projektiivinen avaruus sellaisena kuin se nykyisin käsitettiin kohdettiin aksiomaattisesti. Sen vuoksi projektiivisen geometrian varhaisten tulosten uudelleenmuotoilu siten, että ne vastaavat nykyisiä tarkkuuden vaatimuksia, voi olla jokseenkin vaikeaa. Jo projektiivisen tason tapauksessa aksiomaattinen lähestymistapa voi johtaa malleihin, joita ei voida esittää lineaarialgebran avulla.
Myöhemmin projektiivisen geometrian kehitykseen vaikuttivat huomattavasti muun muassa Clebschin, Riemannin ja Max Noetherin algebrallisia käyriä koskeneet tutkimukset sekä invarianttiteoria. Vuosisadan lopulla italialainen algebrallisen geometrian koulukunta, johon kuuluivat Federigo Enriques, Corrado Segre ja Francesco Severi, kehitti alaa edelleen niin, että tarvittiin syvällisempiä menetelmiä.
Aivan 1800-luvun lopulla projektiivisen geometrian yksityis­kohtainen tutkimus alkoi jo hiipua, mutta alan kirjallisuus oli jo hyvin laaja. Varsinkin Schubert suoritti vielä merkittävää tutkimusta enumeratiivisen geometrian alalla, jonka nykyisin katsotaan ennakoineen Chernin luokkien teoriaa ja algebralliseen topologiaan kuuluvaa Grasmannin monistojen teoriaa.
Paul Dirac tutki projektiivista geometriaa ja käytti sitä kehittämiensä kvantti­mekaanisten käsitteiden pohjana, joskin hän julkaisi tuloksensa aina algebrallisessa muodossa.