stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Hyperbelirata
Hyperbelirataa kuvaavat parametrit > Isoakselin puolikas, energia ja hyperbolinen pakonopeus

Hyperbeliradan isoakselin puolikas ( a\,\!) on hyperbelin asymptoottien leikkauspisteen ja sitä lähimpänä olevan hyperbeliradan pisteen eli periapsiksen välinen etäisyys. Yleensä se määritellään negatiiviseksi, jotta ellipsiradoille johdetut yhtälöt soveltuisivat myös hyperbeliradoille.
Isoakselin puolikas liittyy suoraan ominaisrataenergiaan ( \epsilon \,) tai radan karakteristiseen energiaan  C_{3} sekä myös rajanopeuteen ( v_{\infty }\,\!), jota kappaleen nopeus lähestyy sen etääntyessä äärettömän kauas keskuskappaleesta:
missä:  \mu =Gm\,\! on standardi gravitaatioparametri (gravitaatiovakion ja kappaleen massan tulo) ja  C_{3} karakteristinen energia, jota yleisesti käytetään suunniteltaessa planeettojen välisiä lentoja.
Hyperbeliradan tapauksessa kokonaisenergia on positiivinen, kun taas ellipsiradan tapauksessa se on negatiivinen.
Hyperbelirataa kuvaavat parametrit > Eksentrisyys sekä tulo- ja poistumissuuntien välinen kulma

Hyperberliradan eksentrisyys ( e\,) on suurempi kuin 1. Eksentrisyys liittyy suoraan käyrän asymptoottien väliseen kulmaan. Jos eksentrisyys on vain vähän suurempi kuin 1, hyperbeli on terävä V-kirjaimen muotoinen. Jos  e={\sqrt {2}}, asymptootit ovat toisiinsa nähden kohtisuorassa. Kun  e>2, asymptoottien välinen kulma on suurempi kuin 120°, ja periapsiksen etäisyys niiden leikkauspisteestä on suurempi kuin isoakselin puolikas. Kun eksentrisyys kasvaa rajatta, hyperbeli lähestyy muodoltaan suoraa viivaa.
Keskuskappaleen ja periapsiksen kautta kulkeva suoran ja hyperberlin asymptootin välinen kulma on kappaleen luonnollinen anomalia, kun etäisyys kasvaa rajatta ( \theta _{\infty }\,), ja näin ollen  2\theta _{\infty }\, on kappaleen tulo- ja poistumissuuntien ja samalla radan asymptoottien välinen kulma. Tämän osoittaa yhtälö
Hyperbelirataa kuvaavat parametrit > Impaktiparametri ja lähin etäisyys keskuskappaleesta

Impaktiparametri on häiriintymättömästi hyperbeliradalla liikkuvan kappaleen lyhyin etäisyys keskuskappaleesta. Se on sama kuin ratahyperberlin pikkuakselin puolikas.
Avaruusluotaimen tai komeetan lähestyessä planeettaa impaktiparametri ja lähestymisnopeus voidaan tuntea tarkoin. Jos keskuskappale on tunnettu, ohittavan kappaleen rata voidaan laskea, kuten myös kappaleen etäisyys sen ollessa periapsiksessa. Jos tämä on pienempi kuin planeetan säde, kappaleen voidaan olettaa törmäävän planeettaan. Tämä lyhyin etäisyys eli periapsiksen etäisyys voidaan laskea seuraavasti:
Esimerkiksi Maan säde on noin 6 400 kilometriä. Niinpä kun komeetta lähestyy Maata nopeudella 12,5 kilometriä sekunnissa, mikä on likimäärin pienin nopeus, jolla aurinkokunnan ulkopuolelta tuleva kappale voi saada, se kulkee Maan ohi törmäämättä, mikäli sen impaktiparametri on suurempi kuin 8 600 kilometriä, eli noin 34 % suurempi kuin Maan säde. Jupiterin säde on noin 70 000 kilometriä, joten sitä lähestyvä kappale, jonka nopeus on 5,5 km/s, kulkee Jupiterin ohi törmäämättä vain, jos sen impaktiparametri on vähintään 700 000 kilometriä eli noin 11 kertaa Jupiterin säde.
Jos keskuskappaleen massaa ei tunneta, sen gravitaatioparametri ja samalla massakin voidaan määrittää sen perusteella, minkä verran sitä lähestyvä pienempi kappale poikkeaa suunnastaan, sekä impaktiparametrin ja lähestymisnopeuden avulla. Koska kaikki nämä tekijät voidaan määrittää tarkasti, avaruusluotaimen ohikulun avulla voidaan hyvin arvioida kappaleiden massoja:
Kulma, jonka verran pienemmän kappaleen liikesuunta lopulta poikkeaa tulosuunnasta, on
Liikeyhtälöt > Paikka

Hyperbeliradalla luonnollisen anomalian  \theta  ja kappaleiden välisen etäisyyden ( r\,) sitoo toisiinsa ratayhtälö:
Luonnollisen anomalian  \theta  ja eksentrisen anomalian E välillä on yhteys:
Eksentrisen anomalian E liittää keskianomaliaan M Keplerin yhtälö:
Keskianomalia on verrannollinen aikaan
Liikeyhtälöt > Lentoratakulma

Lentoratakulma (φ) on kappaleen liikesuunnan ja säteittäisen suunnan normaalin välinen kulma, joka on nolla periapsiksessa ja lähestyy äärettömän kaukana 90 astetta:
Liikeyhtälöt > Nopeus

Standardeilla oletuksilla hyperbelirataa pitkin kulkevan kappaleen ratanopeus ( v\,) voidaan laskea vis viva -yhtälöllä:
missä:
\mu \, on standardi gravitaatioparametri,
r\, on liikkuvan kappaleen etäisyys keskuskappaleesta, ja
a\,\! on isoakselin puolikas negatiivisena.
Samoilla oletuksilla radan jokaisessa pisteessä kappaleen ratanopeuden ( v\,), paikallisen pakonopeuden ( {v_{esc}}\,) ja hyperbolisen loppunopeuden ( v_{\infty }\,\!) välillä on yhteys:
Tästä seuraa, että vaikka kappaleen nopeus olisi vain vähän pakonopeutta suurempi, tämä erotus ( \Delta v) voi silti saada aikaan, että kappaleen lopullinen etääntymisnopeus on hyvinkin suuri. Esimerkiksi paikassa, jossa pakonopeus on 11,2 km/s, nopeudella 11,6 km/s ( \Delta v = 0,4 km/s) liikkuva kappale saa jo loppunopeuden 3,02 km/s.
Tämä on esimerkki Oberthin ilmiöstä. Tämä pätee myös kääntäen: hyperbolisella radalla olevan kappaleen nopeutta ei tarvitse hidastaa suhteellisesti kovin paljon, jotta sen nopeus pienenisi pakonopeutta pienemmäksi ja kappale jäisi kiertoradalle. Maan ilmakehässä tämän voi saada aikaan jo ilmanvastus.
Radiaalinen hyperbelirata

Radiaalinen hyperbelirata on suoraa viivaa pitkin kulkeva jaksoton liikerata, jolla kappaleen nopeus keskuskappaleen suhteen on koko ajan suurempi kuin pakonopeus. Tästä on kaksi tapausta: kappaleet liikkuvat toisiaan kohti tai toisistaan poispäin. Kyseessä on hyperbolinen rata, jolla pikkuakselin puolikas on 0 ja eksentrisyys 1. Vaikka eksentrisyys on 1, kyseessä ei ole paraabelirata.
Relativistinen kahden kappaleen probleema

Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kappaleiden liikerata, kun niillä on niin paljon energiaa, että ne pääsevät pakenemaan toistensa gravitaatiokentän ulkopuolelle, ei ole tarkoin hyperbelin muotoinen ja voi poiketa hyperbelistä hyvinkin paljon, jos gravitaatiokenttä on tarpeeksi voimakas. Kuitenkin termiä "hyperbelirata" käytetään yhä kuvaamaan myös tämän tyyppisiä ratoja.
Kappaleiden hyperbeliratoja niiden lähestyessä keskuskappaletta (pieni täplä) samalla nopeudella ja samasta suunnasta mutta eri suurilla impaktiparametreilla ja eksentrisyyksillä. Keltainen viiva kulkee läheltä keskuskappaleen ohi.
Käännös suomeksi
Hydaspesjoen taistelu

Hydaspesjoen taistelussa vuonna 326 eaa. Aleksanteri Suuri kukisti intialaisen kuninkaan Poroksen.
Aleksanteri saapui Taksilaan vuoden 326 eaa. keväällä. Muut alueen hallitsijat alistuivat Aleksanterin valtaan, mutta Poros, joka hallitsi Hydaspeen ja Akesineen välistä aluetta, ei suostunut antautumaan. Aleksanteri lähti armeijansa kanssa häntä vastaan. Poros odotti armeijansa kanssa Hydaspeen vastarannalla, joten Aleksanterin suurin ongelma oli joen ylittäminen. Poroksella oli nimittäin paljon sotanorsuja, joita hevoset pelkäsivät. Lisäksi Hydaspes tulvi niin, että sen ylittäminen oli vaikeaa. Aleksanteri päätti käyttää sotajuonta ja sai Poroksen uskomaan, että hän aikoi odottaa syyskuuhun, jolloin joen ylittäminen olisi helpompaa. Ukkosmyrskyn suojassa Aleksanteri ylitti joen pienen valiojoukon kanssa kaukana leiristään, samalla kun osa joukoista hämäsi vihollista. Aamunkoitossa armeijat kohtasivat.
Poros oli ryhmittänyt sotanorsunsa eteen, koska hän tiesi, että hevoset pelkäsivät norsuja, ellei niitä ollut koulutettu. Kummallakin siivellä Poroksella oli sotavaunuja ja ratsuväkeä. Hän huomasi pian, että hänen vasen siipensä oli heikompi kuin sitä vastassa oleva voimakas makedonialainen ratsuväki. Heti kun Poros alkoi siirtää joukkojaan oikealta siiveltä vasemmalle, Koinoksen johtama ratsuväki hyökkäsi intialaisten oikeaa siipeä vastaan ja kiersi sen ympäri. Samalla Aleksanterin johtama ratsuväki löi vastassa olleet joukot Poroksen vasemmalla siivellä. Tämän jälkeen makedonialainen falangi eteni sotanorsuja kohti ja alkoi tappaa niiden ratsastajia. Pillastuneet norsut pakenivat ja juoksivat takana olevan jalkaväen läpi. Makedonialaiset voittivat taistelun, ja haavoittunut Poros antautui.
Taistelun jälkeen Aleksanteri antoi Poroksen hallita entistä valtakuntaansa satraappina.
Tausta

Aleksanteri oli edennyt vuonna 326 eaa. Taksilan kuningaskuntaan, jota hallitsi kuningas Ambhi (Omfis). Taksila sijaitsi Induksen laaksossa, ja siellä kohtasivat tärkeät tiet, jotka johtivat Baktriaan, Kashmiriin ja Gangesin laaksoon. Taksilassa Aleksanteri vastaanotti useita lähetystöjä, muun muassa Kashmirissa hallinneelta Abisareelta, joka tähän asti oli ollut vihamielinen Aleksanteria kohtaan.
Hydaspesjoen itäpuolista kuningaskuntaa hallitsi Ambhin perivihollinen Poros, joka ei lähettänyt Aleksanterin luokse lähettiläitä. Abisares puolestaan oli Poroksen liittolainen. Poros oli luultavasti alueen mahtavin hallitsija ja hänen kerrottiin olleen suurikokoinen, jopa yli kaksimetrinen, kun taas Aleksanteri oli ehkä vähän aikansa keskipituutta lyhyempi. Curtiuksen mukaan Poros oli rohkea ja ruumiltaan vahva. Hänen järkensä oli terävä, vaikka hän olikin barbaari.
Aleksanteri päätti laajentaa Taksilan valtakuntaa ja hyökätä Porosta vastaan. Aleksanteri otti armeijastaan mukaansa 5 000 intialaista sotilasta Taksilasta. Vuoden 326 eaa. toukokuussa Aleksanteri eteni Hydaspesjoelle, jonka toisella rannalla Poros odotti häntä.
Hydaspes tulvi niin, että sen ylittäminen oli vaikeaa ennen talven tuloa. Pelättiin myös, että Abisares liittyisi Poroksen puolelle, jos makedonialaiset odottaisivat talveen asti. Joen ylittämistä hankaloittivat lisäksi Poroksen 200 sotanorsua, joiden Aleksanteri pelkäsi pelästyttävän hänen ratsuväkensä hevoset. Poros piti norsut leirissään, mutta lähetti pienempiä osastoja niihin paikkoihin, joissa joen ylittäminen olisi helpompaa.
Suunnitelmat

Aleksanterin suurimpana ongelmana oli joen ylitys. Tosin vastassa ei ollut tällä kertaa koko Persian valtakunnan mahti, vaan ainoastaan yhden intialaisen ruhtinaan joukot. Poroksen hallitsema alue oli pieni, ja naapuriruhtinaat olivat hänelle vihamielisiä, joten Aleksanteri saattoi jakaa joukkonsa.
Aleksanteri päätti ylittää joen salaa yöllä ja käyttää vain osaa armeijastaan. Hän levitti huhuja, joiden mukaan hän odottaisi tulvien loppumista. Huhun tueksi hän kokosi valtavat määrät ruokaa ja tarvikkeita leiriinsä, joka sijaitsi joen rannalla Poroksen leiriä vastapäätä. Lisäksi Aleksanteri kuljetutti laivoja Indukselta noin 300 kilometrin päästä. Aina kun Aleksanteri lähti jonnekin, hän antoi erään Attaloksen näytellä itseään ja komentaa joukkoja kuninkaallisen teltan luona. Samalla hän antoi erillisten ryhmien liikkua joen rantoja ylös ja alas. Joukot tekivät keskellä päivää valeylityksiä veneiden ja lauttojen kanssa, ja myös ratsuväki teki samanlaisia valeylityksiä öisin. Aina luullessaan Aleksanterin ylittävän joen Poros otti osan joukoistaan ja kiiruhti paikalle. Curtiuksen mukaan joen saarilla käytiin myös pienempiä kahakoita. Valehyökkäykset rasittivat Poroksen joukkoja, eikä hän pian enää reagoinut niihin.
Aleksanteri antoi tämän jälkeen leirin Krateroksen johdettavaksi ja lähti itse etsimään paikkaa, mistä hän ylittäisi joen salaa. Hän johti osan joukoistaan noin 27 kilometriä joen yläjuoksulle, missä joki teki mutkan ja pienen saaren puut estivät vihollista näkemästä makedonialaisia. Aleksanterin joukot rakensivat lauttoja, joissa oli kellukkeina akanoilla täytettyjä eläinten nahkoja. Makedonialaisten täytyi rakentaa ainakin sata lauttaa saadakseen edes kaikki hevoset joen yli. Yön aikana sade ja ukonilma auttoivat vielä peittämään rakennustöiden äänet. Samaan aikaan pienemmät osastot olivat siirtyneet eri paikoille Aleksanterin ja hänen leirinsä väliselle alueelle. Näiden osastojen tuli ylittää joki ennalta määrätyssä järjestyksessä sen jälkeen, kun Poros olisi lähtenyt leiristään ja taistelu alkanut. Osastoja johtivat falangiosastojen johtajat Meleagros, Attalos ja Gorgias. Aleksanterin ja Krateroksen välillä oli myös jonkinlainen viestitysjärjestelmä.
Erään tulkinnan mukaan Aleksanteri ylitti joen mukanaan vain pieni osa armeijastaan.
Taistelukenttä

Toukokuussa 326 eaa. Hydaspes oli vuolas, koska Himalajalta virtasi sulamisvesiä ja sateet olivat alkaneet. Hydaspes oli myös paljon leveämpi kuin esimerkiksi Granikos, jonka yli Aleksanterin armeija oli hyökännyt puolustavia persialaisia vastaan, ja joen törmät olivat jyrkät. Paikka, jossa lopullinen taistelu käytiin, oli sateiden vuoksi mutainen ja vetelä.
Taistelupaikkaa ja Aleksanterin leiriä on yritetty löytää, mutta Induslaakson jokien kulkureitit ovat aikojen saatossa muuttuneet. Taistelupaikka pysyy luultavasti tuntemattomana, jollei Aleksanterin pystyttämiä muistomerkkejä tai taistelun jälkeen perustettuja kaupunkeja löydetä. Nykyään yleisesti suositun teorian mukaan Aleksanterin leiri sijaitsi nykyisen Haranpurin lähellä, jolloin hän olisi ylittänyt joen Jalalpurin lähistöllä. Myös Jhelumin kaupunkia on ehdotettu Aleksanterin leirin paikaksi.
Joukot > Poroksen joukot

Aleksanterin kohtaama erillinen osasto koostui ratsuväestä ja sotavaunuista, ja Arrianoksen mukaan sitä komensi Poroksen poika. Arrianoksen mukaan ratsuväkeä oli 2 000 ja sotavaunuja 120, mutta Curtiuksen mukaan ratsumiehiä oli 4 000 ja sotavaunuja 100. Diodoros ja Justinus eivät mainitse tapausta ollenkaan.
Antiikin kirjoittajat luultavasti yliarvioivat Poroksen armeijan suuruuden, ja se saattoi olla jopa pienempi kuin osasto, jolla Aleksanteri ylitti joen. Ainakin Poroksen joukot olivat heikkotasoisempia kuin makedonialaiset vastustajansa.
Hammondin mukaan Poroksen pääjoukko koostui seuraavista joukoista:
30 000 jalkaväkeä
4 000 ratsuväkeä
200 sotanorsua
150 sotavaunua
Arrianos mainitsee Poroksen pääjoukon suuruudeksi 30 000 jalkaväkeä, 4 000 ratsuväkeä, 300 sotavaunua ja 200 sotanorsua. Curtius taas kertoo Poroksen koko armeijan suuruudeksi 30 000 jalkaväkeä, 300 sotavaunua ja 85 sotanorsua. Diodoroksen mukaan Poroksen koko armeijaan kuului 50 000 jalkaväkeä, 3 000 ratsuväkeä, 1 000 sotavaunua ja 130 sotanorsua. Plutarkhos mainitsee ainoastaan 20 000 jalkaväkeä ja 2 000 ratsuväkeä.
Joukot > Aleksanterin joukot

Arrianoksen mukaan Aleksanterilla oli jokea ylittäessään 5 000 ratsumiestä ja 6 000 jalkaväen sotilasta. Bosworthin mukaan Aleksanteri ei saanut vahvistuksia ennen taistelua, mutta Tarnin ja Hammondin mukaan joen yli tuli lisää jalkaväkijoukkoja sen jälkeen, kun Aleksanteri oli ylittänyt joen ja aloittanut marssinsa Porosta vastaan. Näitä lisäjoukkoja ei tosin mainita antiikin lähteissä. Joen ylittäneessä Aleksanterin osastossa oli:
2 000 jousimiestä ja agrianit
ehkä noin 500 baktrialaista ratsumiestä
1 000 makedonialaista ratsumiestä toveriratsuväestä, yhteensä neljä osastoa. Kahta osastoa johti Koinos ja kaksi muuta seurasivat Aleksanteria, eli noin puolet toveriratsuväestä.
3 000 hypaspistia, eli miltei kaikki
1 000 dahae-heimon ratsumiestä
eri tulkintojen mukaan joko 3 000 tai 8 000 miestä makedonialaista jalkaväkeä.
ehkä noin 1 000 skyyttiläistä ratsuväkeä
ehkä noin 500 sogdialaista ratsuväkeä.
Aleksanterin leiriin jättämät joukot olivat:
Krateroksen komentama ratsuväkiosasto
arakhosialainen ja parapamisoslainen ratsuväki
Alketaan ja Polyperkhonin jalkaväkiosastot
5 000 paikallista intialaista sotilasta omine johtajineen.
Taistelun kulku > Aleksanteri ylittää Hydaspeen

Aleksanterin joukot aloittivat Hydaspeen ylityksen ennen auringonnousua. Aleksanteri johti itse ylitystä 30-airoisesta laivasta, joka hinasi isoa lauttaa. Aleksanterin mukana laivalla seurasivat henkivartijat Ptolemaios, Perdikkas, Lysimakhos ja Seleukos. Yhteensä laivaan ja lauttaan mahtui 500 hypaspistia. Intialaiset tiedustelijat näkivät makedonialaisten ylittävän jokea ja lähtivät ilmoittamaan tästä Porokselle. Kun makedonialaiset luulivat tämän jälkeen päässeensä vastarannalle, he laskivat ratsuväen maihin, ja lautat palasivat hakemaan lisää joukkoja. Pian kuitenkin ilmeni, että joukot oli laskettu maihin pienelle saarelle. Joki oli nimittäin tällä kohtaa haarautunut kahteen eri uomaan. Onneksi makedonialaiset huomasivat, että joen poikki saattoi kahlata tältä kohdalta. Vesi ylsi miehiä olkapäihin, mutta hevoset pystyivät pitämään vain päitään pinnalla, sillä makedonialaisten hevoset olivat pienikokoisia.
Taistelun kulku > Ensimmäinen kahakka

Ensimmäisen, pienen kahakan tapahtumista Arrianoksella on eri versioita. Hän kertoo ensinnäkin, että Aristobuloksen mukaan Poroksen poika saapui paikalle 60 sotavaunun kanssa, kun Aleksanteri oli ylittämässä jokea, mutta jätti hyökkäämättä. Toisaalta hän jatkaa "eräiden kertovan", että Poroksen poika hyökkäsi, kun Aleksanteri oli ylittämässä jokea. Arrianoksen kolmas versio tapahtumista, joka perustuu Ptolemaiokseen, sopii yhteen Plutarkhoksen version kanssa:
»Kun ylimeno oli suoritettu, sotajoukko lähti liikkeelle, kuningas mukanaan ratsuväki kaksikymmentä stadionia jalkaväestä edellä. Hän näet ajatteli, että jos vihollinen lähettää häntä vastaan ratsuväkensä, on hänellä itsellään ratkaiseva ylivoima, jos taas jalkaväkensä, hänen omansa ehtisi ajoissa avuksi.» 
(Plutarkhos: Kuuluisien miesten elämäkertoja, Aleksanteri Suuri, s. 464. Suomentanut Kalle Suuronen.)
Vastarannalla Aleksanteri antoi joukoilleen viimeiset ohjeet ennen taistelua. Hän otti mukaansa kaikki jousimiehet sekä ratsuväen ja marssi näiden kanssa nopeasti Poroksen leiriä kohti. Loput jalkaväestä seurasi muodostelmassa tavalliseen tahtiinsa. Aleksanteri oli päässyt noin neljän kilometrin päähän jalkaväestä, kun hän näki vihollisen joukot. Aleksanteri luuli kohdanneensa Poroksen armeijan etujoukon, mutta kyseessä oli pienempi osasto, johon kuului 2 000 ratsuväkeä ja 120 sotavaunua. Aleksanterin ratsuväki rynnäköi osasto kerrallaan ja löi vihollisen pakosalle. 400 intialaista ratsumiestä kaatui, ja kaikki sotavaunut vallattiin. Yön sateiden aikaansaama muta hidasti sotavaunuja. Arrianoksen mukaan intialaisia johti Poroksen poika, mutta Curtiuksen mukaan kyseessä oli Poroksen veli Spitakes, jonka Arrianos mainitsee myöhemmin kaatuneiden joukossa.
Taistelun kulku > Poroksen liikkeet ennen taistelua

Kun Poros sai kuulla tästä tappiosta ja poikansa kaatumisesta, hän päätti lähteä Aleksanteria vastaan. Leiriinsä hän jätti vain osaston sotanorsuja ja pienen joukon sotilaita siltä varalta, että Krateros ylittäisi joen. Kuultuaan sotavaunujensa kohtalosta mutaisella kentällä Poros päätti odottaa Aleksanteria eräällä hiekkaisella tasangolla. Poros oletti ilmeisesti Aleksanterin käyttävän samaa muodostelmaa kun Issoksessa ja Gaugamelassa, eli jalkaväkifalangi olisi ollut keskellä ja ratsuväki kummallakin siivellä.
Poros sijoitti sotanorsut jalkaväkensä etupuolelle. Arrianoksen mukaan norsuja oli 200, ja ne oli sijoitettu riviin noin 30 metrin välein. Lukumäärä on kuitenkin luultavasti liioiteltu. Kummallekin siivelle Poros sijoitti 2 000 ratsumiestä ja 150 sotavaunua. Poros oletti Aleksanterin armeijan rintaman olevan paljon lyhyempi kuin hänen omansa, jolloin Poroksen ratsuväki pääsisi koukkaamaan makedonialaisten sivustaan samalla kun sotanorsut murskaisivat jalkaväen. Poroksen rintaman leveys oli Arrianoksen mukaan noin kuusi kilometriä. Polyaenus kertoo kuitenkin, että Poroksen sotanorsut oli sijoitettu 50 jalan eli noin 15 metrin välein, mikä supistaisi Poroksen rintaman kolmeen kilometriin. Jalkaväen syvyydeksi tulisi tuolloin kahdeksan miestä, mikä oli normi kreikkalaisissa ja makedonialaisissa armeijoissa. Luultavasti Polyaenus on tässä tapauksessa oikeassa.
Taistelun kulku > Aleksanterin liikkeet ennen taistelua

Poroksen suunnitelma oli looginen, mutta makedonialaiset olivat jo oppineet, miten sotanorsujen kanssa pitää toimia. Ratsuväen suojatessa Aleksanteri levitti jalkaväkensä pitkäksi rintamaksi. Hän antoi jalkaväen myös levätä ennen taistelun alkua. Kun Aleksanteri marssi Porosta vastaan, joen yli saapui lisäjoukkoja. Aleksanterin jalkaväen vahvuus saattoi olla tässä vaiheessa jo 10 000. Aleksanterin rintaman leveys oli vain noin 1 200 metriä. Tästä ei kuitenkaan ole varmuutta.
Aleksanterin ratsuväki oli paljon laadukkaampi kuin Poroksen, ja se oli jo kerran voittanut intialaiset. Saatuaan jalkaväen muodostelman valmiiksi Aleksanteri järjesti ratsuväen. Hän otti suurimman osan ratsuväestä komentoonsa ja liikkui sen kanssa Poroksen vasenta siipeä kohti. Koinoksen johtama pienempi joukko ratsuväkeä, kahden hipparkian verran toveriratsuväkeä, lähti intialaisten oikeaa siipeä vastaan. Koinoksen osasto koostui noin 1 000 sotilaasta. Sen tehtävänä oli uhata Poroksen oikeaa siipeä, jotta Poros ei voisi siirtää kaikkea ratsuväkeään vasemmalle siivelle, jonne Aleksanteri aikoi tehdä päähyökkäyksensä.
Taistelun kulku > Päätaistelu

Aleksanteri aloitti hyökkäyksen jousin aseistetulla ratsuväellään, joka aiheutti sekaannusta intialaisten joukossa. Poroksen vasemman siiven sotavaunut tuhottiin tässä hyökkäyksessä. Sen jälkeen Aleksanteri iski toveriratsuväellään Poroksen vasemman siiven sivustaan. Vasemmalla siivellä ollut intialainen ratsuväki jäi alakynteen, ja Poros alkoi siirtää ratsuväkeä oikealta siiveltään sen tueksi.
Seuraavat tapahtumat ovat jokseenkin epäselviä, sillä Arrianoksen selostus tapahtumista on tiivis ja vaikeaselkoinen. Tapahtumasta on esitetty useita eri tulkintoja. Erään tulkinnan mukaan, jota kannattaa muun muassa Bosworth, Koinoksen ratsuväki kiersi intialaisen jalkaväen ympäri, ennen kuin se hyökkäsi Poroksen oikean siiven ratsuväen selkään. Tässä tapauksessa Poroksen rintaman on täytynyt olla lyhyt tai Koinoksen kiertoliikkeen on täytynyt alkaa aikaisemmin. On mahdollista, että makedonialaisen jalkaväen järjestäytyminen kesti niin kauan, että Koinos pääsi sillä välin tekemään kiertoliikkeensä. J. F. C. Fuller esittää, että Aleksanteri määräsi Koinoksen ratsuväen siirtymään Poroksen oikealle siivelle taistelukentällä olevaa notkoa pitkin. Sen jälkeen Koinoksen piti hyökätä Poroksen vasemman siiven selustaan, kun se oli joutunut taisteluun Aleksanterin ratsuväen kanssa. Tämän tulkinnan mukaan Koinoksen ratsuväki olisi siis ratsastanut intialaisten rintaman etupuolelta. Samaa ehdottaa Hammond, jonka mukaan Aleksanterin hyökkäys veti vasemman siiven intialaisen ratsuväen pois jalkaväen rintamasta, minkä jälkeen Koinoksen osasto hyökkäsi ratsuväen ja jalkaväen väliseen aukkoon. Erään toisen tulkinnan mukaan Koinoksen ratsuväki siirtyi vasemmalle siivelle makedonialaisen falangin takana, niin etteivät intialaiset nähneet sitä. Ainakaan Poroksen oikean siiven ratsuväki ei reagoinut Koinoksen liikkeisiin.
Intialaisten ratsumiesten kimppuun hyökättiin joka tapauksessa kahdelta suunnalta, ja he hakeutuivat jalkaväen muodostelman suojaan. Tämä aiheutti puolestaan lisää sekaannusta.
Samalla makedonialainen jalkaväki hyökkäsi intialaista jalkaväkeä vastaan. Intialaisten pääase oli jousi, ja Curtiuksen mukaan märkä keli haittasi jousimiehiä. Makedonialaiset puolestaan olivat aseistautuneet pitkillä sarissa-keihäillä, eikä intialaisilla ollut juuri mahdollisuuksia näitä vastaan. Poroksen ainut toivo olikin sotanorsujen hyökkäyksessä. Makedonialaiset avasivat kuitenkin rivinsä, kun norsut ryntäsivät heitä vastaan, samaan tapaan kuin he olivat tehneet viikatevaunuja vastaan Gaugamelassa. Norsujen mahoutit lyötiin myös maahan sarissoilla ja sotanorsut saatiin ajettua takaisin Poroksen jalkaväkeä päin. Seuranneessa sekasorrossa makedonialaisten kuri piti. Intialaiset tekivät vielä yhden hyökkäyksen ratsuväellään, mutta Aleksanterin johtama makedonialainen ratsuväki löi sen takaisin. Aleksanterin ratsuväki iski tämän jälkeen intialaisten sivustaan ja selustaan aiheuttaen entistä enemmän sekasortoa. Suurin osa intialaisesta jalkaväestä kaatui, ja vain pieni osa pääsi pakenemaan. Myös intialainen ratsuväki kärsi suuria tappioita, ja kaikki henkiin jääneet sotanorsut otettiin kiinni.