stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Jacobin matriisi

Jacobin matriisi on matriisi, joka kuvaa muunnoksen kahden avaruuden välillä. Se on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Jacobin mukaan.
Koordinaatistomuunnoksen lisäksi Jacobin matriisin merkitys tulee siitä, että se kuvaa annetun funktion parasta lineaarista approksimaatiota annetussa pisteessä, mistä syystä se esiintyy monissa numeerisen matematiikan sovelluksissa. Jacobin matriisilla on myös suuri merkitys dynaamisten systeemien tutkimuksessa, sillä sen avulla voidaan tutkia systeemin dynamiikkaa attraktorin läheisyydessä.
Muunnoksen F : Rn → Rm eli kuvauksen  n-ulotteisesta avaruudesta, jonka koordinaatit ovat  x_{i}  m-ulotteiseen avaruuteen, jonka koordinaatit ovat  y_{i} kuvaa Jacobin matriisi
Huomattakoon erityisesti, ettei Jacobin matriisin tarvitse olla neliömatriisi. Jacobin matriisi merkitään usein kompaktimpaan muotoon
Jacobin matriisin determinanttia kutsutaan Jacobin (funktionaali)determinantiksi. Niissä pisteissä, joissa muunnoksen F determinantti eroaa nollasta, kuvaus on kääntyvä eli käänteiskuvaus F-1 : Rm → Rn on olemassa. Dynamiikkaa tutkittaessa on yleensä kiinnostavaa tietää, eroaako Jacobin determinantti ykkösestä, sillä se kertoo, säilyttääkö systeemi faasiavaruuden tilavuuden.
Esimerkki Jacobin matriisin laskemisesta

Karteesisen koordinaatiston ja napakoordinaatiston välillä on yhteys
Jacobin matriisin laskemiseksi on laskettava vastaavat osittaisderivaatat
Näin siis muunnoksen napakoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon kuvaa matriisi, jossa osittaisderivaatat muuttujan  r suhteen on sijoitettu ensimmäiseen sarakkeeseen ja osittaisderivaatat muuttujan  \theta  suhteen on sijoitettu toiseen sarakkeeseen
Ominaisuuksia

Kenties tärkein ominaisuus Jacobin matriisilla liittyy Jacobin determinantin laskemiseen, mikä puolestaan liittyy integraalien muuttujien vaihtoon. Nimittäin jos F : Rn → Rn on jatkuvasti derivoituva ja injektiivinen jossain avoimessa joukossa  U, joka on Rn osajoukko ja lisäksi kaikkialla täällä joukossa funktion F Jacobin matriisi on kääntyvä, niin jos g : Rn → R on jatkuva joukossa  U, niin
Tässä funktio J on funktion F Jacobin matriisi pisteessä x. Sen determinanttia kutsutaan myös Jacobin determinantiksi.
Yllä esitetyssä esimerkissä on oikeastaan laskettu Jacobin matriisi muuttujanvaihdolle, joka muuttaa polaarikoordinaatit karteesisiksi. Tälle oikeastaan pätee tämä lause, mikä helpottaa useiden kaksiulotteisten integraalien laskemista.
Euklidinen geometria

Euklidisessa geometriassa tutkitaan kuvioita käyttäen hyväksi pisteiden ja  suorien välisiä etäisyyksiä sekä suorien välisiä kulmia. Kuvassa konstruktio, joka liittyy erääseen Newtonin teoriaan.
Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma
Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
Analyyttinen geometria
n
k
Osa artikkelisarjaa
Euklidinen geometria on geometrian osa-alue, jolla tarkoitetaan yleensä tasoa ja kolmiulotteista avaruutta tutkivaa geometriaa. Euklidisiksi kutsutaan myös useampiulotteisia avaruuksia, joilla on samat ominaisuudet.
Euklidinen geometria on nimetty kreikkalaisen matemaatikon Eukleides Aleksandrialaisen mukaan. Se on edelleen koulugeometrian pohjana, vaikkakin lähestymistapa geometrian opetukseen on erityisesti Suomessa muuttunut vähemmän deduktiiviseen päättelyyn nojaavaksi.
Aksioomaattinen lähestymistapa

Eukleideen teosta Alkeet pidetään aksiomaattisen matematiikan eräänä perusteoksena. Teoksessa Eukleides esittää viisi aksioomaa, joista hän johtaa loogisella päättelyllä satoja lähinnä geometrisia teoreemoja ja todistaa ne.
Mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää suoralla.
Mikä tahansa jana voidaan jatkaa äärettömäksi.
Mille tahansa janalle voidaan piirtää ympyrä siten, että jana on ympyrän säde ja janan toinen päätepiste on ympyrän keskipiste.
Kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria.
Jos kaksi viivaa leikkaa kolmannen siten, että sisempien kahden kulman summa on vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa niin nämä kaksi suoraa leikkaavat väistämättä toisensa kolmannen viivan sillä puolella, jolla ko. kulmat ovat, mikäli suoria jatketaan riittävän pitkiksi.
Viidettä aksioomaa kutsutaan yleensä paralleeliaksioomaksi. Sen tasolle pätevä muotoilu on: Pisteen, joka ei ole annetulla suoralla, läpi voidaan piirtää ainoastaan yksi suora joka ei leikkaa annettua suoraa. Epäeuklidisissa geometrioissa mahdollisten suorien määrä on muu kuin yksi.
Eukleideen aksioomista on sittemmin luovuttu matematiikan täsmällisyyden kehittyessä. David Hilbert kehitti nykyään käytössä olevat euklidisen geometrian aksioomat, Hilbertin aksioomat.
Paralleeliaksiooma

Viidennen eli paralleeliaksiooman epäiltiin pitkään olevan muiden Eukleideen aksioomien seurausta, jolloin sen voisi poistaa aksioomaluettelosta. Yrityksiä johtaa se muista aksioomista tehtiin paljon. Vasta 1800-luvulla pystyttiin osoittamaan, ettei paralleeliaksiooma seuraa muista Eukleideen aksioomista, ts. että on mahdollista muodostaa epäeuklidinen geometria, jossa kaikki muut Eukleideen aksioomat ovat voimassa, mutta paralleeliaksiooma ei. Asian voi nykyisin todistaa luomalla äärimmäisen yksinkertaisen, muutamasta pisteestä koostuvan tasogeometrian, jossa neljä ensimmäistä aksioomaa pätevät, mutta paralleeliaksiooma ei. Tällöin tulos yleistyy kaikkiin Eukleideen neljää ensimmäistä aksioomaa käyttäviin geometrioihin. Todistus on yksinkertainen, mutta tällainen ajattelu oli ennen modernin matematiikan syntyä vierasta – ajateltiin että euklidisen geometrian tulokset voi todistaa vain perinteisessä euklidisessa geometriassa.
Euklidinen etäisyys

Euklidisessa koordinaattigeometriassa tason pisteiden  (x_{1},y_{1}) ja  (x_{2},y_{2}) välinen etäisyys, ns. euklidinen etäisyys, lasketaan Pythagoran lausetta hyödyntäen:
d_{e}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Jouko Linturi

Jouko Kalevi Linturi (18. syyskuuta 1913 Rauma – 20. helmikuuta 1994 Helsinki) oli suomalainen toimittaja, suomentaja ja runoilija.
Jouko Linturin vanhemmat olivat Alkon apulaisjohtaja Arvo Linturi ja tämän ensimmäinen puoliso Taimi Maria Penttinen (1882–1936). Hän pääsi ylioppilaaksi Helsingin uudesta yhteiskoulusta 1932 ja opiskeli sitten oikeustiedettä Helsingin yliopistossa. Linturi opiskeli myös säveltämistä 1932–1936 säveltäjä Sulho Rannan johdolla ja hän sävelsi tuona aikana yksinlauluja, pianosarja, jousitrion ja häämarssin uruille.
Sotavuosina Linturi oli sotilasvirkamiehenä Yleisradiossa 1939–1940 ja Valtion tiedotuslaitoksen ulkomaanosastolla 1941–1942. Vuodesta 1942 lähtien Linturi oli toimittajana Kauppalehdessä. Hän oli aluksi lehden koti- ja ulkomaanosastojen toimittajana, kirjoitti pakinoita lehteen nimimerkeillä Toimituksen puhelin ja Kolistaja sekä laati taidearvosteluja. Vuodesta 1951 alkaen Linturi oli Kauppalehden toimitussihteerinä.
Linturi oli kustannusliike Tammen vakinaisena suomentajana vuodesta 1947 alkaen ja hän suomensi noin satakunta teosta pääosin englannin kielestä. Hän suomensi muun muassa John Steinbeckin, Graham Greenen ja Ernest Hemingwayn teoksia.
Jouko Linturi oli naimisissa kaksi kertaa:
1943–1963 Kaisu Terttu Marjatta Larmian (1916–1963) kanssa
vuodesta 1968 Elvi Sinikka Rädyn (1947–2005) kanssa
Teoksia

Viheriöivä savi : runoja. WSOY 1947
Toimituksia

Se pyörii sittenkin : Viipurin filatelistikerhon 25-vuotisjuhlajulkaisu 1921-1946 ; toim. Jouko Linturi. Viipurin filatelistikerho, Helsinki 1946
Palkinnot

1957 Tammen kääntäjänpalkinto
1957 Pro Philatelia -hopeamitali
1967 Mikael Agricolan palkinto vuoden parhaasta käännösteoksesta
Diagonalisoituva matriisi

Lineaarialgebrassa n×n-neliömatriisia A sanotaan diagonalisoituvaksi jos se on similaarinen jonkin diagonaalimatriisin D kanssa, eli on olemassa kääntyvä matriisi P siten, että
Vastaavasti jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, lineaarioperaattoria T : V → V sanotaan diagonalisoituvaksi, jos on olemassa V:n kanta, missä T on diagonaalimatriisi. Diagonalisoituvat matriisit ja -kuvaukset ovat käyttökelpoisia, sillä niitä on helppo käsitellä: niiden ominaisarvot ja ominaisvektorit on helppo laskea ja diagonalisen matriisin potenssi saadaan korottamalla lävistäjäalkiot annettuun potenssiin.
Diagonalisointi on prosessi, jossa diagonaalimatriisi tai -lineaarikuvaus etsitään.
Perusominaisuudet

Diagonalisoituvien matriisien ja -lineaarikuvausten päätulos on seuraava.
n×n matriisi A, jonka alkiot ovat kunnasta F, on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden summa on yhtä suuri kuin n. Tämä lause on yhtäpitävä sen kanssa, että on olemassa Fn:n kanta, joka koostuu A:n ominaisvektoreista. Jos tällainen kanta löydetään, voidaan muodostaa matriisi P, jonka sarakkeina nämä vektorit ovat, ja P -1AP on diagonaalimatriisi. Tämän matriisin lävistäjäalkiot ovat A:n ominaisarvot.
Lineaarikuvaus T : V → V on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden  summa on dim(V), joka puolestaan tapahtuu silloin ja vain silloin, kun on olemassa V:n kanta, joka sisältää T:n ominaisvektorit. Tällöin T on diagonalisoituva ja sen lävistäjäalkiot ovat T:n ominaisvektorit
Vaihtoehtoisesti voidaan sanoa, että matriisi tai lineaarikuvaus on diagonalisoituva kunnassa F jos ja vain jos sen minimaalipolynomi on tulo F:n erillisistä lineaarisista tekijöistä. Seuraava riittävä, mutta ei välttämätön ehto on usein hyödyllinen:
Kunnan F n×n-matriisi A on diagonalisoituva jos sillä on n erillistä ominaisarvoa F:ssä, eli sen karakteristisella polynomilla on n erillistä nollakohtaa F:ssä
Nyrkkisääntönä, melkein kaikki kompleksikertoimiset matriisit ovat diagonalisoituvia. Tarkemmin sanottuna kompleksiset n×n matriisit, jotka eivät ole diagonalisoituvia, muodostavat nollajoukon Lebesguen mitan suhteen. Voidaan myös sanoa, että diagonalisoituvat matriisit muodostavat tiheän osajoukon Zariski-topologian suhteen. Tämän avaruuden komplementti sijaitsee siinä joukossa, missä diskriminantin karakteristinen polynomi häviää. Tämä avaruus on hyperpinta.
Sama ei päde  \mathbb {R} :ssä: kun n kasvaa, todennäköisyys, että satunnaisesti valittu reaalimatriisi on diagonalisoituva pienenee!
Diagonalisoituvuuden erikoistapauksia

Matriisin diagonalisoituvuudelle on olemassa muutamia erityistapauksia diagonalisoivan matriisin erityisluonteen mukaan. Nämä erikoistapaukset koskettavat vain pientä osaa matriiseista ja viittaavat yleensä alkuperäisen matriisin omaavan joitakin erityisominaisuuksia.
Diagonalisoituvuuden erikoistapauksia > Ortogonaalinen diagonalisoituvuus

Matriisi  A on ortogonaalisesti diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen ortogonaalimatriisi  Q, että
missä  Q^{T} on  Q:n transpoosi.
Diagonalisoituvuuden erikoistapauksia > Unitaarinen diagonalisoituvuus

Matriisi  A on unitaarisesti diagonalisoituva, mikäli on olemassa sellainen unitaarimatriisi  U, että
missä  U^{*} on  U:n adjungaatti.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Vuoden 1956 yleislakko

Joukkokokous Jyväskylän Kauppatorilla.
Vuoden 1956 yleislakko on viimeisin Suomen historian kolmesta täysimittaisesta yleislakosta. Suomen Ammattiyhdistysten Keskusliiton työtaistelutoimenpide alkoi 1. maaliskuuta ja päättyi 20. maaliskuuta 1956. Työtaistelu johti 6–10 prosentin palkankorotuksiin.
Kohti yleislakkoa

Vuoteen 1955 asti Suomessa oli voimassa hinta- ja palkkasäännöstely. Koko toisen maailmansodan ja sotakorvausajan voimassa ollut hinta- ja palkkasäännöstely päättyi, kun eduskunnan määrävähemmistö oli vuoden 1955 lopussa estänyt sen jatkumisen lykkäämällä niin sanotun valtalain voimaantulon seuraavien vaalien jälkeiseen aikaan. Säännöstelyvaltuuksien päättyminen kiristi työntekijöiden, työnantajien ja maataloustuottajien tulopoliittisia ristiriitoja. Palkkojen nostamista vaadittiin, kun vuoden 1956 alussa korotettiin asuintalojen vuokria 25 % sekä maitotuotteiden ja monien muiden tuotteiden hintoja niin, että elinkustannusindeksi nousi tammikuun aikana 101 pisteestä 104 pisteeseen ja uhkasi nousta edelleen seuraavina kuukausina.
SAK:n puheenjohtaja Eero Antikainen hahmotteli palkkavaatimukseksi vähintään 6 prosentin korotuksen tuntipalkkoihin. SAK:n sosialidemokraattinen ryhmä muutti vaatimusta, koska esitys olisi hyödyttänyt eniten suurituloisia. Päätettiin vaatia prosentti- ja markkakorotuksen sekalinjaa, jossa korotus olisi vähintään 10 markkaa tunnilta. SAK:n kommunistien vaatimukset olivat suurempia. Työnantajille esitettiin vaatimus 15 markan korotuksista. Työnantajat eivät hyväksyneet markkaperusteista korotusta ja pitivät vaatimusta liian suurena, vaikka ymmärsivätkin palkankorotusten tarpeen. SAK alensi vaatimuksensa 12 markkaan (nykyrahassa 0,31 euroa, joka vastasi silloisilla tuntipalkoilla 6–10 %:n korotusta palkkoihin). Neuvottelut päättyivät 6. helmikuuta tuloksettomina. SAK:n sisällä oli ristiriitoja jatkotoimista. Antamassaan julkilausumassa SAK pyrki laukaisemaan tilanteen hintojen alentamisen kautta. Tätä keskustelua olisi käytävä maataloustuottajien kanssa. Lakossa oli siis kyse myös palkkatyöväen ja maataloustuottajien erimielisyydestä.
Lakon alku

Yleislakko alkoi 1. maaliskuuta 1956 eli samana päivänä, jolloin Maalaisliiton Urho Kekkonen aloitti presidenttikautensa. Kaksi päivää myöhemmin, 3. maaliskuuta 1956, aloitti pääministerinä presidenttikilvan täpärästi hävinnyt SDP:n K.A. Fagerholm. Lakossa oli lähes puoli miljoonaa työntekijää aikana, jolloin SAK:ssa oli noin 270 000 jäsentä. Vientiteollisuus pystyi kestämään lakon, koska Itämeren jäätyminen oli muutenkin keskeyttänyt viennin.
Toimet ja vastatoimet

Vastatoimeksi yleislakolle Maa- ja metsätaloustuottajain Keskusliitto julisti maitotuotteiden luovutuslakon.
Lakon aikana tiedotustoiminta lamaantui. SAK ei sallinut, että lakon aikana julkaistaisiin sanomalehtiä. Yleisradion radio-ohjelmiin yleislakko ei vaikuttanut. Seurauksena oli jonkinasteinen uutispimento. SAK:n oma tiedotustoiminta käynnistyi lakon toisena päivänä Yleislakko-lehden muodossa. Lehden nimi muuttui 5. maaliskuuta muotoon SAK:n keskuslakkotoimikunnan tiedonantoja. Seuraavana päivänä tiedotuslehden nimi muuttui vielä kertaalleen muotoon Palkkatyöläinen.
Sanomalehdet kiersivät lakkoa julkaisemalla monistelehtiä. Monisteita jaettiin kaduilla, sekä laitettiin näkyville esimerkiksi virastojen ja tavaratalojen ikkunoihin. Myös Suomen Työnantajain Keskusliitto ja MTK julkaisivat omia tiedotuslehtiään. Lakon loppua kohden suomalaiset olivat yhä vähemmän uutispimennossa. Monipuolinen uutisointi auttoi omalta osaltaan hillitsemään lakon aikana liikkuneita huhuja, jotka lietsoivat epävarmuutta, paniikkia ja järjestyshäiriöitä.
Lakon aikana esiintyi useita väkivaltaisia levottomuuksia, mutta kuolonuhreilta vältyttiin. Bensiinin jakelun keskeytysyritykset johtivat kovimpiin yhteenottoihin. Asevoimat oli asetettu valmiustilaan.
Lopputulos

Lakko päättyi 20. maaliskuuta työnantajan suostuttua SAK:n alkuperäiseen vaatimukseen. Lakon päätyttyä lakkolaisia asetettiin mellakoinnista syytteisiin ja muutamia tuomittiin kapinasta.
Tavallisten ihmisten elämää yleislakko järkytti suhteellisen vähän: aikakauden eläneet ihmiset sanovat, että vuoden 1950 kymmenen viikkoa kestänyt metallimiesten lakko oli paljon pahempi. lähde?
Lakolla saavutettu ansiotason nousu katosi nopeasti korkean inflaation takia. Inflaatio söi reaaliansioita siten, että lakkoa edeltävä reaaliansiotaso saavutettiin vasta 1960-luvun alussa. Lakko antoi sysäyksen työriitojen sovittelujärjestelmän luomiselle.
Omalta osaltaan yleislakko kiihdytti sisäisiä erimielisyyksiä Sosialidemokraattisessa puolueessa ja johti niin sanotun skogilaisen vähemmistösiiven eroon SDP:sta vuonna 1957. SDP:n aikaisempi puheenjohtaja Väinö Tanner nousi vuonna 1957 uudelleen SDP:n puheenjohtajaksi ja skogilaiset irtaantuivat puolueesta, koska pitivät Tanneria ja häntä tukevia leskisläisiä liian oikeistolaisina. Tanner oli vastustanut yleislakkoon ryhtymistä.
Kirjallisuutta

Fagerholm, K.-A.: Puhemiehen ääni, s. 274–289.  Tammi, 1977.  ISBN 951-30-3980-3
Kauniskangas, Kerttu: Yleislakko 1956.  Helsinki:  Kansankulttuuri, 1956.
Mertanen, Tomi: Kahdentoista markan kapina? Vuoden 1956 yleislakko Suomessa.  (Väitöskirja)  Jyväskylä:  Jyväskylän yliopisto, 2004.  ISBN 951-39-1917-X  Teoksen verkkoversio Viitattu 6.9.2020.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Perälä, Reijo: Yleislakossa 1956 nähtiin marsseja ja rettelöitä Yle Elävä arkisto. 8.9.2006. Viitattu 6.9.2020.
Generalstrejk hakuteoksessa Uppslagsverket Finland (2012). (ruotsiksi)
Yleislakon mielenosoitusmarssi Helsingin Pitkällä­sillalla 16. maaliskuuta 1956.
Ellipsi

Ellipsi
Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma
Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
Analyyttinen geometria
n
k
Osa artikkelisarjaa
Ellipsi (suomalaisittain yleensä soikio tai joskus myös ovaali) on suljettu toisen asteen käyrä. Ellipsi on myös yksi kartioleikkauksista, niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä on vakio.
Matemaattinen määritelmä tehdään seuraavasti. Olkoot F1 ja F2 kaksi tason kiinteätä pistettä. Ellipsi on käyrä, jolle kuuluu jokainen tason piste X, jonka F1:stä ja F2:sta mitattujen etäisyyksien summalla XF1 + XF2 on vakioarvo.  
Ellipsin soikeus määräytyy siitä, kuinka paljon on XF1 + XF2 suurempi kuin pisteiden F1 ja F2 välinen etäisyys.
Pisteitä F1 ja F2 sanotaan ellipsin polttopisteiksi. Suoria, joiden suhteen ellipsi on symmetrinen, sanotaan ellipsin akseleiksi. Suoraa AB kutsutaan ellipsin isoakseliksi. Jana a on isoakselin puolikas. Suoraa CD kutsutaan ellipsin pikkuakseliksi. Jana b on pikkuakselin puolikas.
Pinta-ala

Ellipsin pinta-ala  A saadaan kaavasta
Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio on ympyrä ja pinta-alan lausekkeeksi tulee π·r².
Ellipsin kehän pituutta  p ei voi alkeisfunktioiden avulla lausua suljetussa muodossa. Tarkka kaava on
p=4\ a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}\sin ^{2}{t}}}\;dt,
jossa  \epsilon  on ellipsin eksentrisyys. Se sisältää toisen lajin elliptisen integraalin.
Ellipsin yhtälö

Kun ellipsin keskipiste on pisteessä (x0,y0), on sen yhtälö muotoa
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa:
Ellipsin yhtälö voidaan myös esittää muodossa
Kaavoissa a on x-akselin suuntaisen puoliakselin pituus ja b y-akselin suuntaisen puoliakselin pituus.
Jos a = b = r, kyseessä on ympyrä, jonka säde on r.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ellipsi Wikimedia Commonsissa
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Harmoninen sarja

Harmoninen sarja on matematiikassa ääretön sarja :  \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!
Se on saanut nimensä musiikissa ilmenevien ääniaaltojen aallonpituuksien suhteesta. Harmonisen sarjan jokainen jäsen on sen viereisten jäsenten harmoninen keskiarvo.
Harmonisen sarjan osasummista ainoastaan ensimmäinen, 1, on kokonaisluku. Harmonisen sarjan osasummia kutsutaan harmonisiksi luvuiksi.
Harmonisen sarjan hajaantuminen

Harmoninen sarja hajaantuu, tosin varsin hitaasti: jotta sarjan summa ylittäisi luvut 1, 2, 3, 4, ... tarvitaan 1, 4, 11, 31, 83, 227, 616, 1674, 4550, 12367, ... termiä (A004080 OEIS:ssä). Luvun 100 ylittämiseen tarvitaan yli  10^{43} termiä, tarkalleen 15092688622113788323693563264538101449859497.
Sarjan hajaantuminen voidaan osoittaa tarkastelemalla harmonista sarjaa erään toisen varmasti hajaantuvan sarjan kanssa:
Ääretön sarja 1/2+1/2+1/2... hajaantuu varmasti, ja on helppo nähdä, että harmonisen sarjan  2^{k}\!\ :n ensimmäisen termin summa on aina vähintään  1+{\frac {k}{2}}.
Harmonisen sarjan n ensimmäisen termin summa  H_{n}\!\  on
\gamma +\psi _{0}(n+1)\!\ ,
jossa  \gamma \!\  on Eulerin-Mascheronin vakio ja  \psi _{0}(x)\!\  on digammafunktio.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Pekka Alestalo: Tiiliä pinoon. (alaotsikko Vinoon menee) Matematiikkalehti Solmu, 2010, nro 2, s. 27-29.  Helsinki:  Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto. ISSN 1458-8048  Artikkelin verkkoversio. (PDF) Viitattu 15.11.2010.
Amos Rex

| Amos Rex |
| --- | --- |
 Amos Rex sijaitsee maan alla, ja se on tunnettu kuvuistaan.
Tyyppi:  Taidemuseo 
Sijainti:  Mannerheimintie 22–24 Lasipalatsi, Helsinki
Perustettu:  2018
Johtaja:  Kai Kartio (2018–2024) Kieran Long (2024–)
Kotisivut:  http://www.amosrex.fi/
Koordinaatit:  
 fiAmos Rex 
    
Amos Rex on vuonna 2018 avattu taidemuseo. Se sijaitsee Lasipalatsissa Helsingin Mannerheimintiellä. Museon nykyinen johtaja on Kieran Long helmikuusta 2024 alkaen. Museon edeltäjä oli vuosina 1965–2017 toiminut Amos Andersonin taidemuseo. Amos Rexin omistaa Föreningen Konstsamfundet.
Museon ensimmäinen näyttely oli yleisömenestys ja se keräsi 268 000 museokävijää vuonna 2018. Amos Rexissä käy vuosittain noin 250 000 kävijää.