Syllogismi
Eksistentiaalinen merkitys

Kysymys lauseiden eksistentiaalisesta merkityksestä koskee sitä, voidaanko lauseiden katsoa edellyttävän, että niissä mainittuja kohteita on olemassa. Tavallisessa kielen­käytössä esimerkiksi muotoa "Kaikki A:t ovat B" olevan lauseen katsotaan yleensä edellyttävän, että kohteita A on olemassa. Jos lauseen tämän mukaisesti katsotaan olevan epätosi, mikäli termillä ei ole yhtään instanssia, sillä sanotaan olevan eksis­tenti­aalinen merkitys tämän termin suhteen. Ei kuitenkaan ole yksi­selitteisen selvää, sisältyykö lauseilla, joissa esiintyy sana "kaikki", aina myös tällainen merkitys. Toisin sanoen voidaan kysyä, onko lause "Kaikki A:t ovat B" tosi, epätosi tai edes merkityksellinen, jos kohteita A ei ole.
Tähän liittyvät seuraavat kysymykset:
Jos esimerkiksi oletetaan, että AiB on epätosi, jos yhtään A:ta ei ole, ja ettei AaB voi olla tosi, ellei myös AiB ole (toisin sanoen AaB edellyttää lausetta AiB), lauseella AiB on eksistentiaalinen merkitys A:n kannalta, ja samoin AaB:llä. Jos lisäksi hyväksytään, että muodot AiB ja BiA ovat yhtäpitävät, lauseilla AiB ja AaB on eksis­tenti­aalinen merkitys myös B:n suhteen. Jos taas myös AoB on epätosi ellei yhtään A:ta ole, ja jos lisäksi AeB edellyttää lauseita AoB ja BeA joka vuorostaan edellyttää lausetta BoA), lauseilla AeB ja AoB on molemmilla eksis­tenti­aalinen merkitys sekä A:n että B:n kannalta. Tästä seuraa välittömästi, että kaikille yleisille kategorisille lauseille on oletettava eksis­tenti­aalinen merkitys molempien termien kannalta. Jos AaB ja AeB esittävät tavan­omaisen kielen lauseita "Kaikki A:t ovat B" ja "Mitkään A:t eivät ole B", edellä sanotusta seuraa kuitenkin paradoksaalisia johto­päätöksiä:
Jos sovitaan, että yleisillä lauseilla ei ole eksistentiaalista merkitystä, vastakohtaisuuksien neliö ei tietyissä tapauksissa päde (esimerkiksi AaB ei edellytä, että myös AiB on tosi), ja muutamat edellä esitetyt syllogismit eivät päde (esimerkiksi Barbari, BaC, AaB->AiC).
Nämä ongelmat ja paradoksit tulevat vastaan sekä luonnollisen kielen lauseilla että syllogismin muodossa esitetyillä lauseilla, ellei ei ole selvää, edellyttääkö sana "kaikki", että sillä tarkoitettuja kohteita on. Jos joku esimerkiksi väittää, että kaikki hänen kirjoittamansa kirjat ovat saaneet Pulitzerin palkinnon, sisältyykö väitteeseen, että hän on kirjoittanut kirjoja? Ellei, onko lause tosi? Jos taas joku sanoo, että kukaan hänen ystävistään ei ole köyhä, onko lause tosi, jos hänellä ei ole yhtään ystävää?
Ensimmäisen asteen predikaattikalkyylissä tällaiset kaksiselitteisyydet vältetään sopimalla, että yleisillä lauseilla ei ole eksistentiaalista merkitystä. Kohteiden olemassaolo on erikseen eksplisiittisesti mainittava. Niinpä muotoa lauseet "Kaikki A:t ovat B", "Mitkään A:t eivät ole B" eivät sinänsä sisällä oletusta, että on yhtään A:ta.
Nykyaikaisessa matemaattisessa logiikassa lauseet, joihin sisältyy sana "kaikki", "jotkin" tai "ei mitkään", voidaan esittää joukko-opin termein. Jos kaikkien A:iden joukkoa merkitään s(A) ja vastaavasti kaikkien B:iden joukkoa s(B), niin:
"Kaikki A:t ovat B" (AaB) merkitsee samaa kuin: "s(A) on s(B):n osajoukko", eli s(A) ⊆ s(B)
"Mikään A ei ole B" (AeB) merkitsee samaa kuin: "Joukkojen s(A) ja s(B) leikkaus on tyhjä joukko, eli  s(A)\cap s(B)=\emptyset
"Jotkin A:t ovat B" (AiB) merkitsee samaa kuin: "Joukkojen s(A) ja s(B) leikkaus ei ole tyhjä joukko", eli  s(A)\cap s(B)\neq \emptyset
"Jotkin A:t eivät ole B" (AoB) merkitsee samaa kuin "s(A) ei ole s(B):n osajoukko".
Lisäksi määritellään, että tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko. Tämän vuoksi nykyisessä matemaattisessa logiikassa käsitetään muotoa "Kaikki A:t ovat B" ja "Mikään A ei ole B" olevat lauseet aina tosiksi, muotoa "Jotkin A:t ovat B" ja "Jotkin A:t eivät ole B" sen sijaan aina epätosiksi, jos kohteita A ei ole. Tästä kuitenkin seuraa, että AaB (kaikki A:t ovat B) voi olla tosi, vaikka lause AiB (jotkin A:t ovat B) on epätosi, ja muutamat edellä esitetyt syllogismit eivät päde, jos yhtään A:ta ei ole.
Itse asiassa on kuitenkin mahdollista määritellä muodot AaB, AeB, AiB ja AoB eri tavoin niin, että millä tahansa niistä joko on eksistentiaalinen merkitys A:n, B:n, molempien tai ei kummankaan suhteen. Tällöin on myös mahdollista selvittää, voidaanko nämä määritelmät valita siten, että vastakohtaisuuksien neliö ja vanhastaan pätevinä pidettyjen syllogismien pätevyys säilyy. Galen Strawson on väittänyt, että merkitykset todella voidaan määritellä näin, mutta tulos on sellainen, että edellä esitettyyn kysymykseen (e) on vastattava kieltävästi.