Uniforminen monitahokas
Määritelmä

Coxeter, Longuet-Higgins ja Miller määrittelivät vuonna 1954 uniformiset monitahokkaat kärkitransitiivisiksi monitahokkaiksi, joiden sivut ovat säännöllisiä monikulmioita. Monitahokkaan he määrittelivät sellaiseksi äärelliseksi joukoksi monikulmioita, että jokainen monikulmion sivu on tasan yhden toisenkin monikulmion sivuna, niin että millään monikulmioiden ei-tyhjällä aidolla osajoukolla ei ole samaa ominaisuutta. Monikulmiolla he impilisiittisesti tarkoittivat kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa olevaa monikulmiota; niiden sallitaan olla ei-kuperia ja leikata toisensa.
Uniformisen monitahokkaan käsitettä on erinäisillä tavoilla yleistetty. Jos ei edellytetä, että sellaisen on oltava yhtenäinen, voidaan myös useamman komponentin, esimerkiksi viiden kuution yhdistelmää pitää uniformisena. Jos ei edellytetä, että monitahokkaan on oltava degeneroitumaton, saadaan myös niin sanottuja degeneroituja uniformisia monitahokkaita. Tämä edellyttää, että monitahokkaan käsite on määriteltävä yleisemmin.
Branko Grünbaum kiinnitti vuonna 1994 julkaisemassaan artikkelissa huomiota siihen, että vaikka jo Eukleides luetteli viisi säännöllistä monitahokasta ja myöhemmin muun muassa Kepler, Poinsot, Hess ja Brückner olivat eri tavoin luokitelleet monitahokkaita, kukaan heistä ei ollut esittänyt itse monitahokkaan käsitteelle täsmällistä ja yksikäsitteistä määritelmää. Samassa artikkelissa hän itse esitti käsitteelle jokseenkin monimutkaisen määritelmän.
McMullen ja Schulte esittivät vuonna 2003 monitahokkaan käsitteelle yleisemmän määritelmän. Heidän mukaansa monitahokas on kaksiulotteinen abstrakti polytooppi, jolla on ei-degeneroitunut kolmiulotteinen realisaatio. Tässä abstrakti polytooppi on sen sivutahkojen yhdistelmä, joka toteuttaa useita ehtoja, ja realisaatio on kuvaus sen kärkien joukosta johonkin avaruuteen, ja realisaatiota sanotaan ei-degeneroituneeksi, jos millä tahansa kahdella abstraktin polytoopin tahkolla on erilliset realisaatiot.
Monitahokas voi olla degeneroitunut esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
Kätketyt tahkot. Joillakin monitahokkailla osa tahkoista voi olla kätkettyjä siinä mielessä, ettei mikään niiden sisäpiste näy ulkopuolelta. Sellaisia ei yleensä pidetä uniformisina monitahokkaina.
Degeneroidut komponentit. Monitahokas saattaa koostua useammasta melkein toisistaan erillään olevasta komponentista, jolla kuitenkin on yksi tai useampi yhteinen särmä. Yhtenäisten särmien vuoksi monitahokas on tällöin kuitenkin topologisessa mielessä yhtenäinen.
Kaksinkertaiset peitteet. On olemassa suunnistumattomia monitahokkaita, joilla on kaksoispeite ja ja jotka täyttävät uniformisen monitahokkaan määritelmän ehdot. Näillä kaksoispeitteillä on kaksinkertaisia tahkoja, särmiä ja kärkiä. Niitä ei yleensä lueta uniformisiin monitahokkaisiin.
Kaksinkertaiset tahkot. On useita monitahokkaita, joilla on Wythoffin konstruktiolla aikaansaatuja kaksinkertaisia tahkoja. Useimmat kirjoittajat eivät salli kaksinkertaisia tahkoja ja poistavat ne osana konstruktiota.
Kaksinkertaiset särmät. Skillingin kuviolla on kaksinkertaisia särmiä, kuten degeneroituneilla uniformisilla monitahokkaillakin, mutta niiden tahkoja ei muodostaa kirjoittaa kahden uniformisen monitahokkaan yhdisteenä.