stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Lineaarinen funktio
Lineaarinen funktio mallinnuksessa > Lineaarinen interpolaatio

Kohdefunktio voidaan korvata lineaarisella funktiolla, joka approksimoi sitä hyväksyttävällä virheellä. Yksinkertaiseen interpolointiin tarvitaan kaksi kohdefunktion arvoa kohdista a ja b, joiden avulla lasketaan arvoparit (a,f(a)) ja (b,f(b)). Arvoparien kautta sovitetaan suora, jonka kulku voidaan esittää lineaarisena funktiona g(x):
Lineaarinen funktio muodostamista kahden pisteen avulla kutsutaan myös Lagrangen interpolaatiopolynomi-menetelmäksi ja saatua suoraa saatetaan kutsua myös sekantiksi.
Moniosainen interpolointi suoritetaan siten, että kohdefunktion määrittelyalue jaetaan useaan osaväliin, joiden päätepisteissä määritetään kohdefunktion arvot. Sitten muodostetaan murtoviiva, joka kulkee päätepisteiden kautta ja ilmaistaan tämä paloittaisen funktiona.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Lineaarisen funktion kuvaaja on sovitettu kulkemaan kertoimien a,b arvojen taitavalla valinnalla mahdollisimman hyvin kohdefunktion arvojoukon läpi.
Moniosainen lineaarinen interpolaatio muodostuu murtoviivasta, jota esittää paloittainen lineaarinen funktio.
Naantalin teatteri
Aiheesta muualla

Naantalin teatterin kotisivu
Käänteisluku

Funktion y = 1/x kuvaaja arvoille, jolloin x ei ole 0. Kuvaaja on hyperbeli. Sen jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit x ja y ovat toistensa käänteislukuja.
Käänteisluku liittyy käsitteenä matematiikassa kahden luvun kertolaskuun, jonka tulokseksi saadaan yksi:
Tällöin sanotaan, että molemmat luvut  a ja  b ovat toistensa käänteislukuja. Käänteislukumerkintänä käytetään usein negatiivista eksponenttia
Edellinen on koulumatematiikassakin esitetty määritelmä. Matematiikassa lukua yksi pidetään kertolaskuun liittyvänä rationaalilukujoukon neutraalialkiona eli 1-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 1-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan multiplikatiivisia.
Luonnolliset ja kokonaisluvut

Koska käänteisluku voi olla rationaaliluku, ei termiä käytetä luonnollisten tai kokonaislukujen yhteydessä. Ainoat kokonaisluvut, joiden käänteisluku kuuluu kokonaislukuihin, ovat 1 ja -1. Kummassakin tapauksessa luvun käänteisluku on kyseinen luku itse.
Rationaaliluvut

Jokaisella rationaaliluvulla, paitsi nollalla, on olemassa käänteisluku. Tämän voi todeta itse seuraavasti: Merkitään nollan käänteislukua kirjaimella  a. Silloin voidaan määritelmästä lähtien nopeasti päätellä, että
ja koska nollalla ei voi jakaa, ei nollalle voi määrittää käänteislukua.
Samalla menettelyllä voidaan muodostaa jokaiselle nollasta eroavalle rationaaliluvulle käänteisluku. Jos merkitään yleisesti rationaalilukua kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna
voidaan määrittää sille käänteisluku
Käänteisluvun nimitys liittynee rationaaliluvun murtolukuesityksen "kääntämiseen" käänteislukua muodostettaessa.
Esimerkiksi luvun  {\frac {3}{4}} käänteisluku on  {\frac {4}{3}}.
Kokonaisluvun käänteisluku on sen yksikkömurtoluku. Esimerkiksi luvun  2 käänteisluku on  {\frac {1}{2}} ja luvun  -3 käänteisluku on  {\frac {1}{-3}} eli  -{\frac {1}{3}}. Tästä huomataan, että rationaalukujen murtoesityksen merkkisäännöt säilyttävät käänteisluvun etumerkin samana.
Reaaliluvut

Reaaliluvut saadaan täydentämällä rationaalilukujen joukkoa irrationaaliluvuilla. Jokaisella irrationaaliluvulla on käänteislukunsa, joten reaalilukujen joukko on samantapainen joukko käänteislukujen suhteen kuin rationaaliluvutkin.
Kymmenpotenssiluvuille, kuten 100:lle ja 10 000:lle, voi määrittää käänteisluvut desimaalimuodossa helposti. Sadan käänteisluku on 0,01 ja 10 000 se on 0,0001. Tämä siksi, että  1000=10^{3} ja sen käänteisluku saadaan
Reaaliluvut > Käänteisluvun numeerinen määritys

Koska kymmenpotenssin kerroin muuttuu lukua käännettäessä, ei yleisen desimaaliluvun kääntäminen ole yksinkertainen laskutoimitus. Seuraavaa iteraatiota toistamalla voidaan käänteisluvun desimaaliesityksen likiarvo laskea käyttämällä pelkästään kerto- ja vähennyslaskua.
Iteraatio vaatii siemenluvun  y_{0}, joka voi olla mikä tahansa reaaliluku. Annetulla luvulla  y_{0} aletaan iteroida riittävän monta kertaa lauseketta  f(y_{i})=2y_{i}-xy_{i}^{2}, missä  x on käännettävä luku.
Iteraatio tuottaa lukujonon, joka suppenee kohti käänteislukua  x^{-1}:
Kompleksiluvut

Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla. Kompleksiluvun  z=a+bi, missä  a ja  b ovat reaalilukuja ja  i on imaginaariyksikkö, käänteisluku on, kun  {\overline {z}}=a-bi on sen liittoluku:
Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla
niin sen potenssi esityksen
käänteisluku on
Jaksollisuus

Mikäli kokonaisluvun käänteisarvoa laskettaessa jakolasku ei niin sanotusti mene tasan, on tuloksena jaksollinen desimaaliluku. Tätä voi havainnollistaa suorittamalla jakolaskun kynällä ja paperilla. Laskennan välituloksina saadut jakojäännökset ovat lähtökohtana olevaa kokonaislukua pienempiä, joten ennen pitkää päädytään jakojäännökseen, joka on jo esiintynyt, ja tästä kohdasta alkaa siten uusi jakso. Laskettaessa kokonaisluvun käänteisarvo laskimella voi laitteen näytössä olla liian vähän numeroita, jotta jaksollisuus tulisi esille. Tällöin laskenta voidaan suorittaa joko kynällä ja paperilla tai esimerkiksi seuraavan ohjeen mukaan. Esimerkiksi kokonaisluvun 17 käänteisarvo lasketaan seuraavasti, kunhan ensin on huomattu, että
jaettava = 100
jakaja = 17
numero = luvun  {jaettava \over jakaja} kokonaislukuosa
tulosta numero
jäännös = jaettava – numero × jakaja
jaettava = jäännös × 10
jatka kohdasta 3
Tuloksena saadaan
Erityisiä ominaisuuksia

Positiivisen reaaliluvun ja sen käänteisluvun summa on aina vähintään 2 eli
Kirjallisuutta

Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables.  (Shaum's Outline Series)  McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).  ISBN 978-0-07-161570-9
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla

Kompleksiluvun vastaluku, geogebra applet (Arkistoitu – Internet Archive)
Vinohermiittinen matriisi

Vinohermiittinen eli antihermiittinen matriisi on sellainen neliömatriisi A, että sen kompleksikonjugaatin transpoosille pätee
Etenkin kvanttimekaniikassa kompleksikonjugaatin transpoosia merkitään  A^{\dagger }.
Esimerkki

Seuraava matriisi on vinohermiittinen:
Ominaisuuksia

Vinohermiittisen matriisin päädiagonaalilla olevat alkiot ovat puhtaasti imaginäärisiä samoin kuin vinohermiittisen matriisin ominaisarvot.
Jos A on vinohermiittinen, on iA hermiittinen
Jos A, B ovat vinohermiittisiä, on aA + bB vinohermiittinen kaikilla reaalisilla skalaareilla a, b.
Kaikki vinohermiittiset matriisit ovat normaaleja.
Jos A on vinohermiittinen, on A2 hermiittinen.
Jos A on vinohermiittinen, on A korotettuna parittomaan potenssiin vinohermiittinen.
Neliömatriisin A ja sen konjugaattisen transpoosin erotus ( A-A^{*}) on vinohermiittinen.
Neliömatriisi C voidaan lausua hermiittisen matriisin A ja vinohermiittisen matriisin B summana:
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Manboy (kappale)

| ”Manboy” Eric Saade |
| --- | --- | --- |

Singlen tiedot
 Albumilta: Masquerade
 Julkaistu: 28. maaliskuuta 2010
 Formaatti: CDS, digitaalinen lataus
 Tekijä(t): Fredrik Kempe, Peter Boström
 Tyylilaji: pop
 Kesto: 02.57
 Levy-yhtiö: Roxy Recordings
Eric Saaden muut singlet
| ”Sleepless” 2009 | ”Manboy” 2010 | ”Break of Dawn” 2010 |
Manboy on ruotsalaislaulaja Eric Saaden kappale. Saade osallistui kappaleella Ruotsin Eurovision laulukilpailun karsintaan vuonna 2010. Ruotsin finaalissa hän sijoittui kolmanneksi.
Transpoosi

Lineaarialgebrassa matriisin transpoosi on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin. Neliömatriisin transpoosi saadaan peilaamalla alkiot päälävistäjän suhteen. Matriisin A transpoosia merkitään Atr, tA, A′ tai AT.
Muodollisesti m×n-matriisin A transpoosi on n×m-matriisi AT, jolle
AT[i, j] = A[j, i] kaikilla 1 ≤ i ≤ n ja 1 ≤ j ≤ m.
Esimerkiksi
Ominaisuuksia

Kaikille m×n-matriiseille A ja B ja kaikille skalaareille c pätee (A + B)T = AT + BT ja (c A)T = c (AT). Tämän perusteella transpoosi on lineaarikuvaus m×n-matriisien joukosta n×m-matriisien joukkoon.
Transpoosi on itsensä käänteiskuvaus eli (AT)T = A.
Jos A on m×n-matriisi ja B on n×k-matriisi, on (AB)T =  (BT)(AT). Huomaa, että tulon tekijöiden järjestys vaihtuu. Tästä voidaan päätellä, että neliömatriisi A on kääntyvä vain, jos AT on kääntyvä. Tällöin on (A−1)T = (AT)−1.
Kahden (pysty)vektorin a ja b pistetulo voidaan laskea matriisitulona
missä oikealla puolella oleva tulo on tavallinen matriisien kertolasku.
Jos A on mielivaltainen reaalikertoiminen m×n-matriisi, on ATA positiivisesti semidefiniitti matriisi.
Jos A on n×n-matriisi jossain kunnassa, on A similaarinen transpoosinsa AT kanssa.
Lisää määritelmiä

Jos neliömatriisi A on itsensä transpoosi, A:ta sanotaan symmetriseksi. Siis A on symmetrinen vain, jos
Ortogonaalinen matriisi on matriisi A, jolle A-1=AT.
Jos neliömatriisille A pätee AT=-A, sanotaan A:ta vinosymmetriseksi.
Kompleksikertomisen matriisin A konjugaattinen transpoosi A* saadaan kun A transponoidaan ja sen jälkeen jokaisesta alkiosta otetaan kompleksikonjugaatti.
Lineaarikuvausten transpoosi

Jos f: V→W on vektoriavaruuksien välinen lineaarinen operaattori duaaliavaruuksinaan W* ja V*, on f:n transpoosi määritelmän mukaan lineaarikuvaus tf : W*→V*, jolle
Jos matriisi A on kahden kannan välinen lineaarikuvaus, on matriisi AT kahden duaaliavaruuden kannan välinen lineaarikuvaus.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Unicorn (albumi)

| Unicorn T>  Rex |
| --- | --- | --- |

Studioalbumin tiedot
 Julkaistu: 16. toukokuuta 1969
 Tuottaja(t): Tony Visconti
 Tyylilaji: Psykedeelinen folk
 Kesto: 39.46
 Levy-yhtiö: Regal Zonophone
T. Rexin muut julkaisut
| Prophets, Seers & Sages: The Angels of the Ages 1968 | Unicorn 1969 | A Beard of Stars 1971 |
Unicorn on Tyrannosaurus Rexin kolmas albumi, ennen kuin yhtye muutti nimensä T. Rexiksi. Albumi on ilmestynyt 1969 ja kaikki kappaleet ovat Marc Bolanin käsialaa. Tämä on viimeinen albumi, jolla Steve Peregrin Took esiintyi, ennen eroamistaan yhtyeestä.
Kappaleet

"Chariots of Silk" – 2:27
"'Pon a Hill" – 1:15
"The Seal of Seasons" – 1:47
"The Throat of Winter" – 1:56
"Cat Black (The Wizard's Hat)" – 2:53
"Stones for Avalon" – 1:35
"She Was Born to Be My Unicorn" – 2:34
"Like a White Star, Tangled and Far, Tulip That's What You Are" – 3:47
"Warlord of the Royal Crocodiles" – 2:09
"Evenings of Damask" – 2:24
"The Sea Beasts" – 2:24
"Iscariot" – 2:51
"Nijinsky Hind" – 2:18
"The Pilgrim's Tale" – 2:05
"The Misty Coast of Albany" – 1:41
"Romany Soup" – 5:40
Alkuperäiskansa

Kominaisia ja lapsia kansallispuvuissaan Pohjois-Venäjällä.
Alkuperäiskansalla tarkoitetaan yleiskielessä erityisesti vähemmistöksi jäänyttä kansallisuutta, joka on jonkin alueen alkuperäistä väestöä.  Alkuperäiskansan käsite ei kuitenkaan tarkoita, että kyseessä olisivat ensimmäiset alueella asuneet kansat. Kansainvälisen työjärjestön (ILO) yleissopimuksessa 169 käsitteelle on annettu poliittinen määritelmä. Siinä ei mainita vähemmistöasemaa.
Alkuperäiskansat muodostavat arviolta noin kuusi prosenttia maailman väestöstä. Intiassa heitä on yli 100 miljoonaa  ja koko maailmassa 370–600 miljoonaa. Alkuperäiskansojen eliniänodote on yleensä lyhyempi kuin muulla väestöllä. Syynä ovat muun muassa köyhyys, aliravitsemus ja tartuntataudit.
ILO:n määritelmä

Kansainvälisen työjärjestön (ILO) alkuperäiskansoja koskevassa yleissopimuksessa nro 169 määritellään sopimuksen soveltamisen kohde. Sopimuksen 1. artikla määrittelee alkuperäiskansan käsitteen seuraavalla tavalla:
1. Tätä yleissopimusta sovelletaan
a) niihin itsenäisissä maissa eläviin heimokansoihin, joiden sosiaaliset, kulttuuriset ja taloudelliset olot erottavat ne muusta kansallisesta yhteisöstä ja joiden asemaa säännellään kokonaan tai osittain niiden omilla tavoilla tai perinteillä tai erityissäädöksillä tai – määräyksillä;
b) niihin itsenäisissä maissa eläviin kansoihin, joita pidetään alkuperäiskansoina sen vuoksi, että ne polveutuvat väestöstä, joka maan valloittamisen tai asuttamisen tai nykyisten valtionrajojen muodostumisen aikaan asui maassa tai sillä maantieteellisellä alueella, johon maa kuuluu, ja jotka oikeudellisesta asemastaan riippumatta ovat säilyttäneet kokonaan tai osittain omat sosiaaliset, taloudelliset, kulttuuriset ja poliittiset instituutionsa.
2. Alkuperäiskansa- tai heimoidentiteetin omaksuminen itsemäärittelyssä on katsottava perusedellytykseksi määritettäessä tämän yleissopimuksen soveltamisalaan kuuluvia ryhmiä.
Määritelmän mukaan alkuperäiskansat ovat  heimokansoja, joiden olot erottavat ne muista ja joiden asemaa säännellään poikkeavilla tavoilla tai sellaisia kansoja, jotka ovat seudun alkuperäisiä asukkaita vanhoine tapoineen. ILO lisää määrittelyyn vielä sen, että tällaisen kansan on itse ymmärrettävä itsensä joko alkuperäiskansaksi tai heimokansaksi, jotta siihen voitaisiin soveltaa ILO:n yleissopimusta.
Sopimuksen määrittelyn nojalla saamelaisille on hyväksytty alkuperäiskansan asema Norjassa, Ruotsissa, Suomessa ja Venäjällä. Näistä maista vain Norja on ratifioinut Kansainvälisen työjärjestön sopimuksen nro 169.
Alkuperäiskansat, luonto ja sosiaaliset suhteet

On väitetty, että alkuperäiskansat harjoittavat kestävää elämäntapaa, joka ei kiihdytä ilmastonmuutosta muun ihmiselämän tavoin. Toisaalta esimerkiksi Pääsiäissaaren puusto hävitettiin satoja vuosia sitten joko alkuperäisen väestön tai heidän mukanaan tulleiden rottien toimesta.
Alkuperäiskansoja

Saamelaiset ovat Euroopan unionin alueen ainoa virallisesti tunnustettu alkuperäiskansa. Euroopan puoleisella Venäjällä on myös alkuperäiskansoja, kuten nenetsit, samojedit, komit sekä adygelaiset kansat, kuten tšerkessit. Euroopassa on myös baskit, joilla on oma itsehallintoalueensa Baskimaa. Suomen ja Venäjän alueella elävät karjalaiset täyttävät myös alkuperäiskansan kriteerit, mutta eivät ole saaneet virallista alkuperäiskansan asemaa.
Amerikassa kaikkia 1400-luvun eurooppalaisvalloittajien edeltäjistä polveutuvia pidetään alkuperäiskansoina (intiaanit, eskimot). Aasiassa alkuperäiskansoja ovat esimerkiksi armenialaiset, Pohjois-Irakin assyrialaiset, Hokkaidon ainut ja lukuisat muut.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
The Indigenous Peoples of the World Must Survive Tribal Link Foundation. Arkistoitu 23.6.2020. Viitattu 22.6.2020. (englanniksi)
Who are indigenous peoples? Indigenous Peoples – UN.org. Viitattu 22.6.2020. (englanniksi)
Indigenous Peoples Unesco. Viitattu 22.6.2020. (englanniksi)
Navajomies ratsailla Arizonan Monument Valleyssä
Muusta ihmiskunnasta yhä erillään asuvia väestöjä 2000-luvun alussa.
Yrjö Saarinen

Yrjö Vihtori Saarinen (13. joulukuuta 1899 Rauhanniemi, Jyväskylän maalaiskunta – 9. tammikuuta 1958) oli suomalainen taidemaalari. Saarinen ei käynyt taidekouluja eikä matkustanut ulkomailla vaikutteita saamassa vaan etsi itse oman tiensä. Toimeentulon hänelle toi kilpimaalarin ammatti.
Elämä ja ura

Saarinen kävi kansakoulun ja käsityöläiskoulun. Hän osallistui Suomen Taiteilijain näyttelyihin vuosien 1937–1953 välillä. Saarisen töitä oli myös esillä ulkomaisissa näyttelyissä Ruotsissa, Norjassa ja Italiassa 1940- ja 1950-luvuilla. Kirjailija Mika Waltari tutustui 1942 Saarisen maalauksiin Unioninkadun taidesalongissa. Hän alkoi kerätä Saarisen taidetta omaan kokoelmaansa ja kirjoitti Saarisen taidetta käsitelleen esseen Taiteen vuosikirjaan 1945. Waltari tuki myös taloudellsesti Saarista.
Saarinen asui aluksi Jyväskylässä ja sitten Hyvinkäällä vuodesta 1929 alkaen. Hyvinkään taidemuseossa säilytetään professori Carl-Erik Sonckin keräämää Yrjö Saarisen taiteen kokoelmaa, johon kuuluu 60 maalausta ja 200 piirustusta.
Saarisen ekpressionistiselle taiteelle oli ominaista voimakas värien käyttö. Hän maalasi muotokuvia, maisemia ja asetelmia. Saarinen sai omana aikanaan mainetta myös eroottisilla naismuotokuvillaan.
Saarinen sai Pro Finlandia -mitalin 1955 ja valtion taiteilijaeläkkeen.
Saarisen puoliso oli Signe Emerentia (Meeri) o.s. Kallio. Hänen vanhempansa olivat seppä Johan Victor Saarinen ja Emma o.s. Kallio.
Teoksia

Lepohetki, 1942
Auringonkukkia, 1943
Omakuva inspiraatiopaidassa, 1943
SYP:n Joutsenon konttorin seinämaalaus 1950
Kirjallisuutta

Yrjö Saarinen : elämäkertaa, kuvia, kirjeitä, tarinoita, koonnut Carl Eric Sonck. Hyvinkään kaupunki 1977   ISBN 951-99129-9-1
Johanna Helin: Boheemi temperamenttimaalari - Yrjö Saarisen taiteilijakuva.  Taidehistorian pro gradu, Jyväskylän yliopisto, Taiteen ja kultturin tutkimuksen laitos 2002
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  FAST  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Suomi (KANTO)  Yhdysvallat 
Taiteenala:  KulturNav 
Henkilöt:  Kansallisbiografia  Uppslagsverket Finland  Biografiasampo
Differentiaaliyhtälö

Differentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan matematiikassa yhtälöä, jossa esiintyy tuntematon yhden tai useamman muuttujan funktio sekä sen derivaattoja. Differentiaaliyhtälöillä on runsaasti käyttöä mitä erilaisimmissa käytännön sovelluksissa, erityisesti fysikaalisten ilmiöiden mallintamisessa, mutta sovelluskenttä jatkuu lääkeaineen poistumisesta jyrsijäkantojen vaihteluun.
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ei ole olemassa mitään yleispätevää menetelmää, vaan ratkaiseminen tapahtuu yleensä tunnistamalla yhtälö tietyn muotoiseksi ja käyttämällä tämän nimenomaisen yhtälötyypin ratkaisumenetelmää. Mikäli yhtälön analyyttinen ratkaiseminen ei ole mahdollista, on tyydyttävä numeeriseen ratkaisuun.
Differentiaaliyhtälöihin liittyviä nimityksiä

Jos tuntematon funktio on yhden muuttujan funktio, esimerkiksi y(x), puhutaan tavallisesta differentiaaliyhtälöstä tai vain differentiaaliyhtälöstä. Esimerkkejä tavallisista differentiaaliyhtälöistä ovat
Jos tuntematon funktio on usean muuttujan funktio, esimerkiksi v(x, y, z), kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö. Yhtälössä esiintyvät derivaatat ovat tällöin funktion v osittaisderivaattoja muuttujien (tässä x, y, z) suhteen. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden käsittely eroaa jonkin verran tavallisista.
Differentiaaliyhtälön kertaluku on sama kuin korkeimman siinä esiintyvän derivaatan kertaluku. Yllä olevista esimerkeistä ensimmäinen on ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, kun taas jälkimmäinen on toista kertalukua.
Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos funktiota tai sen derivaattoja ei ole korotettu potenssiin. Tämän vastakohtana differentiaaliyhtälö on epälineaarinen, jos siinä esiintyy toista tai korkeampaa potenssia. Molemmat yllä olevat esimerkit ovat lineaarisia, mutta yhtälö
on epälineaarinen.
Mikäli differentiaaliyhtälössä ei esiinny näkyvää eli eksplisiittistä riippuvuutta  x:stä yhtälö on autonominen. Yllä olevista esimerkeistä kaksi viimeistä yhtälöä on autonomisia mutta ensimmäinen ei, sillä  \sin x\, sisältää näkyvän riippuvuuden  x:stä.
Ratkaisu ja sen olemassaolo

Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaoloa koskee Picardin–Lindelöfin lause, joka takaa ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden tiettyjen reunaehtojen vallitessa. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio  y=y(x), joka alkuperäiseen yhtälöön sijoitettaessa toteuttaa sen. Ratkaisua ei kuitenkaan ole aina mahdollista kirjoittaa tällaiseen eksplisiittiseen muotoon vaan joskus saatetaan joutua tyytymään myös implisiittiseen ratkaisuun, joka on muotoa  G(x,y)=0.
Mitään yleistä keinoa differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi ei ole, ja analyyttisen ratkaisun löytyminen ylipäänsä on taattua ainoastaan lineaarisille differentiaaliyhtälöille. Myös eräille epälineaarisille yhtälöille tunnetaan analyyttinen ratkaisu, mutta sen löytyminen ei siis yleensä ole taattua. On olemassa suuri joukko erikseen nimettyjä differentiaaliyhtälöitä, joiden analyyttiseen ratkaisuun johtava menetelmä tunnetaan. Näitä tapauksia on lueteltu artikkelin lopussa. Differentiaaliyhtälöille on myös tyypillistä, että ratkaisumenetelmän tuottaman yleisen ratkaisun lisäksi on olemassa myös erikoisratkaisu, jota ei usein ole mahdollista löytää kuin päättelemällä tai huomaamalla.
Differentiaaliyhtälön ratkaisu ei yleisessä tapauksessa ole yksikäsitteinen, vaan ratkaisuun jää aina yhtälön kertaluvun osoittama määrä vakioita, joita ei ole mahdollista määrätä ilman lisätietoja kuvattavasta systeemistä. Kaikkien näiden ratkaisujen muodostamaa joukkoa kutsutaan yhtälön ratkaisuparveksi. Yksikäsitteisen ratkaisun löytämiseen tarvittavia lisätietoja ovat tyypillisesti alkuarvot (esimerkiksi tiedetään että  y(0)=3), joita on kaikkien tuntemattomien vakioiden määräämiseksi tunnettava yhtälön kertaluvun osoittama määrä. Jos alkuarvot tunnetaan, yhtälön ratkaisussa puhutaan alkuarvotehtävästä.
Mikäli yhtälön ratkaisemiseen ei ole olemassa valmista ”kaavaa”, analyyttistä ratkaisua voidaan hakea olettamalla ratkaisulle jokin sarjakehitelmä (yleensä potenssisarja) ja sijoittamalla se tarvittavine derivaattoineen yhtälöön. Näin on mahdollista löytää sarjakehitelmän kertoimet. Mikäli yhtälön ratkaisu on alkuarvotehtävä, ratkaisussa voidaan yrittää käyttää integraalimuunnoksia. Useimmat yhtälöt on kuitenkin ratkaistava lopulta numeerisesti tietokoneella, koska analyyttistä ratkaisua ei ole olemassa.
Differentiaaliyhtälöiden erikoistapauksia

Koska differentiaaliyhtälön ratkaiseminen yleensä edellyttää yhtälön tyypin tunnistamista, huomattavan monet differentiaaliyhtälöt, joiden ratkaisumenetelmä tunnetaan, on nimetty erikseen.
Differentiaaliyhtälöiden erikoistapauksia > Ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä

Separoituva differentiaaliyhtälö tarkoittaa yhtälöä, joka voidaan johtaa muotoon
Tätä johtamista kutsutaan yhtälön separoinniksi. Nyt yhtälön kumpikin puoli voidaan integroida tavallisesti, toinen muuttujan x ja toinen muuttujan y suhteen.
Lineaarinen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö on muotoa
Bernoullin yhtälö muistuttaa edellistä
Eksakti yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
missä funktioilla  F ja  G on yhteys  \partial F/\partial y=\partial G/\partial x.
Homogeeninen yhtälö on muotoa
Erittäin mielenkiintoinen on Riccatin yhtälö
jonka erikoistapauksina saadaan monet muut 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt.
Differentiaaliyhtälöiden erikoistapauksia > Toisen kertaluvun yhtälöitä

Lineaarinen 2. kertaluvun differentiaaliyhtälö voi olla homogeeninen
tai epähomogeeninen
Tässä  a ja  b ovat reaalilukuja.
Eulerin yhtälö eli Cauchyn yhtälö on muotoa
Besselin yhtälö on muotoa
Tämän yhtälön ratkaisut ovat Besselin funktioita.
Muunnettu Besselin yhtälö muistuttaa edellistä
ja sen ratkaisut ovat modifioituja Besselin funktioita.
Hyvin yleistä muotoa olevan hypergeometrisen yhtälön
ratkaisut ovat hypergeometrisia funktioita, joiden erikoistapauksina monet muut funktiot saadaan.
Legendren yhtälön
ratkaisut muodostavat erään ortogonaalisten polynomien joukon. Muita vastaavia yhtälöitä ovat
Hermiten yhtälö
Laguerren yhtälö
Tšebyševin yhtälö
Aivan oman ja matemaattisesti hyvin mielenkiintoisen joukon toisen kertaluvun yhtälöitä muodostavat Painlevén yhtälöt.