Kaarevuus
Pintojen kaarevuus > Gaussin kaarevuus

Käyrillä on vain ulkoista (ekstrinsistä) mutta ei sisäistä (intrinsistä) kaarevuutta, toisin sanoen niiden kaarevuus ilmenee vain suhteessa tasoon tai avaruuteen, jossa ne sijaitsevat. Sitä vastoin pinnoilla voi olla myös sisäistä kaarevuutta, joka on puhtaasti pinnan sisäinen ominaisuus ja riippumaton siitä laajemmasta avaruudesta, johon pinta on upotettu. Carl Friedrich Gaussin mukaan nimetty Gaussin kaarevuus eli kokonaiskaarevuus on pääkaarevuuksien tulo,  k_{1}k_{2}. Sen dimensio on pituus-2, ja se on on positiivinen pallopinnalle, negatiivinen yksivaippaisille hyperboloideille ja nolla tasoille sekä myös lieriöille. Gaussin kaarevuus osoittaa, onko pinta lokaalisesti kupera (jolloin se on positiivinen) vai satulamainen (jolloin se on negatiivinen).
Gaussin kaarevuus on pinnan sisäinen (intrinsinen) ominaisuus, mikä merkitsee, että se voidaan määrittää tarkastelemalla vain pintaa itseään, mittaamalla siinä olevien pisteiden välisiä etäisyyksiä ja kulmia, ottamatta lainkaan huomioon laajempaa (kolmiulotteista) avaruutta, johon pinta sisältyy. Täten voidaan kuvitella, että pinnalla elävät muurahaiset voisivat määrittää pinnan kaarevuuden. Esimerkiksi jos pallopinnalla elävät muurahaiset kykenisivät mittaamaan kolmion kulmien summan, ne voisivat todeta, että se on suurempi kuin 180 astetta, mikä osoittaa, että pinnalla on positiivinen kaarevuus. Sitä vastoin lieriön pinnalla elävät muurahaiset eivät voisi todeta tällaista poikkeamaa euklidisesta geometriasta; erityisesti muurahainen ei voisi havaita, että lieriön pinnalla on tasosta poikkeava kaarevuus. Lieriön kuten muidenkin tasoittuvien pintojen kaarevuus onkin puhtaasti ulkoista kaarevuutta.
Muodollisesti Gaussin kaarevuus riippuu vain pinnan Riemannin metriikasta. Tämä on Gaussin kuuluisa theorema egregium, jonka hän päätyi tarkastellessaan matemaattiselta kannalta maantieteellisiä mittauksia ja karttojen laatimista.
Gaussin kaarevuuden intrinsinen määritelmä pisteessä P voidaan esittää seuraavasti: Kuvitellaan että muurahainen on kiinnitetty pisteeseen P lyhyellä langalla, jonka pituus on r. Oletetaan lisäksi, että se kiertää täyden kierroksen pisteen P ympäri langan ollessa koko ajan jännitettynä suurimpaan pituuteensa, ja samalla se mittaa tämän kierroksen pituuden  C(r). Jos pinta on tasoittuva, kierroksen pituus on  C(r)=2\pi r. Kaarevalla pinnalla kierroksen pituus poikkeaa tästä eli C(r):n lauseke on toinen, ja pinnan Gaussin kaarevuus K pisteessä P voidaan laskea Bertrandin-Diguet'n-Puiseux'n lauseen avulla:
Gaussin kaarevuuden integraali koko pinnan yli liittyy läheisesti pinnan Eulerin karakteristikaan, minkä osoittaa Gaussin-Bonnet'n lause.
Gaussin kaarevuus pysyy muuttumattomana, jos pintaa taivutetaan venyttämättä Erityisen huomattava merkitys on sellaisilla pinnoilla, joiden Gaussin kaarevuus on pinnan jokaisessa kohdassa sama. Vain sellaisia pintoja pitkin voidaan suorittaa liikkeitä, joissa kuvio siirretään pintaa pitkin paikasta toiseen muuttamatta siinä olevien viivojen pituuksia tai kulmien suuruuksia. Tällaisia pintoja ovat esimerkiksi taso ja muut tasoittuvat pinnat sekä myös pallo ja pseudopallo.
Koska Gaussin kaarevuus voidaan määritellä tarkastelemalla pelkästään pintaa itseään, pintaa ei välttämättä tarvitse ajatella upotetuksi useampi­ulotteiseen avaruuteen, jotta se voisi olla kaareva. Tällainen intrinsisesti kaareva kaksi­ulotteinen pinta on yksinkertainen esimerkki Riemannin monistosta.