stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Määrittelyjoukko

Määrittelyjoukko on matematiikassa nimitys funktion arvojen laskemisessa käytettävästä lukujoukosta.
Funktio on kuvaus lukujoukosta X joukkoon Y, mikä merkitään usein f: X → Y. Tässä joukko X on lähtöjoukko ja Y maalijoukko. Lähtöjoukon luvut x ovat kuvauksessa funktion lausekkeen argumentteja eli ne sijoitetaan lausekkeen muuttujan paikalle. Sijoitetun lausekkeen laskettu arvo y, jota kutsutaan myös funktion arvoksi, on maalijoukon luku. Tällöin merkitään f(x) = y .
Annettu lähtöjoukko voi olla funktiolle liian suuri eli se voi sisältää lukuja, joilla ei haluta tai joilla ei voi laskea funktion lausekkeelle arvoa. Tällöin karsitaan lähtöjoukosta pois nämä luvut niin, että jäljelle jää vain halutut tai sallitut luvut. Tätä joukkoa kutsutaan määrittelyjoukoksi.
Vaikka funktion yleisen määritelmän mukaan lähtöjoukon ei tarvitse olla lukujoukko, vaan se voi koostua vaikkapa ihmisten nimistä tai kolikonheiton tuloksista, ajatellaan tässä alkioita lukuina.
Laajin määrittelyjoukko sisältää kaikki ne lähtöjoukon luvut, joilla funktio voidaan laskea. Joskus määrittelyjoukkoon jätetään vain sellaisia lukuja, joita yksittäisessä tilanteessa tarvitaan. Määrittelyjoukko on tällöin osajoukko laajimmasta määrittelyjoukosta. Funktion määrittelyjoukko voi siten vaihdella tilanteen mukaan.
Luonnollinen määrittelyjoukko koostuu sellaisista luvuista, jotka sopivat funktion luonteeseen. Jos funktio määrittelee nopan heittojen lukumäärän perusteella onnistumisen todennäköisyyden, on luonnollista käyttää argumenttina (heittojen lukumäärä) vain positiivisia kokonaislukuja eikä reaalilukuja.
Esimerkkejä

Suurin mahdollinen määrittelyjoukko voidaan päätellä funktion ominaisuuksista.
Neliöjuurifunktiota  f(x)={\sqrt {x}} ei ole määritelty negatiivisille luvuille. Siksi neliöjuurifunktion määrittelyjoukko muodostetaan poistamalla reaaliluvuista negatiiviset luvut. Määrittelyjoukkoon jää silloin luvut  [0,\infty [ ja kuvaus voidaan esittää
Käänteislukufunktio  g(x)={\frac {1}{x}} voidaan laskea kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Määrittelyjoukko saadaan silloin reaalilukujoukosta poistamalla siitä luku 0. Kuvaus voidaan silloin esittää
Tangenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla (kulmilla) paitsi  {\frac {\pi }{2}}:n \pi:n monikerroilla. Sallitut luvut ovat ne, jotka toteuttavat epäyhtälön
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Neliöjuuri-funktio: Neliöjuuren voi laskea vain ei-negatiivisilla luvuilla, joten määrittelyjoukosta tulee poistaa negatiiviset luvut.
Saale-jääkausi

| Ajanjakso | Alijakso | Epookki | Milloin oli, miljoonaa vuotta sitten |
| --- | --- | --- | --- |
| Neogeeni | Pleistoseeni | Eem-interglasiaali | 0,11–0,12 |
| Neogeeni | Pleistoseeni | Saale-jääkausi | 0,12–0,20 |
| Neogeeni | Pleistoseeni | Holstein-interglasiaali | 0,20–0,40 |
Saale-jääkausi oli viime jääkautta edeltänyt jääkausi Pohjois-Euroopassa noin 200 000–125 000 vuotta sitten.
Saale-jääkauden eläimistöä

| --- | --- |
 aromammutti / mammutti  villasarvikuono  arosarvikuono  hevonen  euroopanvilliaasi  punahirvi  jättihirvi  metsäkauris  leveähirvi  peura  saiga-antilooppi  myskihärkä  vuorikauris, vuohi  euroopantari :  euroopanvesipuhveli  metsävisentti  arovisentti (arobiisoni)  metsähärkä  hyeena  täplähyeena  leijona  ahma  mäyrä  susi  kettu  naali  alkukarhu / luolakarhu  ruskeakarhu  harmaakarhu tai jääkarhu ("tiibetinkarhu")
Saale-kauden yleinen alajako

Keski-Euroopassa Saalen ajalta voidaan erottaa kolme kylmempää maksimia. Saale-jääkauden oletetaan kattavan kolme suurta 100 000 vuotta kestävää jäätiköitymisjaksoa. Saale-kausi alkoi pienillä Fühne- ja Krzanian-jäätiköitymisillä, joiden jälkeen tulivat laajat Drenthe- ja Warthe-jäätiköitymiset.lähde? Saalen varhaisvaiheessa Tanskassa kasvoi tundraa.
Saale-kauden yleinen alajako > Fuhne-kylmäkausi

Fuhne-kylmäkaudella tundra ja maan jäätymisen aiheuttama kryoturbaatio levisivät pohjoiseen Keski-Eurooppaan, muttei luultavasti itse jäätikkö. Wackenista on löydetty ajalta peräisin olevia maalajeilla täyttyneitä jääpiikkejä. Alankomaista on löydetty muun muassa laajoja kivikerrostumia, jääpiikkien jälkiä ja muita routimismuutoksia. Muun muassa Tanskan Veljbyssä, Alankomaiden Hoogeveenistä ja Saksan Brandenburgin Prizwalkista on ajalta peräisin olevaa harvan kasvillisuuden siitepölyä, joka koostuu mäntyjen (Pinus), koivujen (Betula), pajujen (Salix), katajien (Juniperus) ja marunan (Artemisia) siitepölystä, ja osin varpukasvien (Ericales) siitepölyistä. Rossendorfista on löydetty merkkejä kaudella olleesta lämpimästä interstadiaalista, jolloin mänty ja koivu yleistyivät subarktisen koivu-pajukasvillisuuden kustannuksella.
Saale-kauden yleinen alajako > Wacken-interglasiaali

Wacken-interglasiaali oli Fuhnen jälkeen tullut lämmin kausi. Vesisaniainen (Azolla filiculoides) esiintyi viimeisen kerran tällä kaudella Dömnitzissä.
| Saalen  osa | Kausi | Toisia nimiä | MIS | Milloin oli | Lämpötila | Muuta |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Ala | Fühne | Mehlbeck, Liviecian, Orel | 10 | 347 000–315 000 |  | Ei jäätä Saksassa, ilmasto kuivui ja viileni, mutta ikiroutaa, tuulen kasaamia hiekkoja, paikoin marunaa, pajua, koivua, mäntyä, katajaa, varpuja. Pohjois-Saksassa ei metsää. |
| Ala | Reinsdorf  tai Dömnitz 1 Dömnitz =Wacken,Hoogeveen | Zbójnian | 9 | 315 000–300 000 |  |  |
| Ala | Dömnitz/kylmää eli Gerdau? | Krzanian/Dnieper 1 | 8 | 300 000–260 000 |  |  |
| Ala | Schöningen, tai Dömnitz 2 (Uecker?) | Lubavian, Bontega, Treene? | 7 | 260 000–210 000 |  |  |
| Ylä | Drenthe (Drente) | Lippe, Odranian, Dnieper 2,  Tyasmyn, Varhainen Illinoian?,Saale 1?, Saalian 1?,Dnepr?, puol. Odranian? | 6 (jotkut sanovat 8) | 210 000–165 000 tai jotkut 265 000–325 000 |  | Laajin jäätiköityminen Zeitzer, Rehburger. |
| Ylä | Drenthe-Warthe, Treene? |  | 6 | 165 000 |  |  |
| Ylä | Warthe | Wartanian, Myöhäinen Illinoian,Saale 2,  Saalian 2,Moskova? | 6 | 165 000–138 500 |  |  |
| Ylä | Saalen päättymisvaihe |  | 6 | 138 500–128 000 |  |  |
Saale-kauden yleinen alajako > Fühne-jäätiköitymisen vaiheet

Fühne-jäätiköityminnen ei ollut läheskään niin ankara kuin Saalen pääjäätiköityminen. Kausi kylmää vaihetta, B ja A joiden välissä lämmin Pritzwalk-interstadiaali.
Stadial B 341 000
Pritzwalk-interstadiaali 332 000
Stadial A 332 500
Saale-kauden yleinen alajako > Drenthe-jäätiköitymisen vaiheet

Drenthe oli Saale-jääkauden ankarin jäätiköityminen, jään reuna ulottui lopulta Saksan Kölniin ja Dresdeniin, ja peitti Lontoon ja Moskovan. Drentheä on ehdotettu MIS8:aan, mutta paremmin se näyttäisi sopivan MIS6:n alkuun. Drenthe-kaudella oli 2–4 suurta jäätiköitymistä.
Itä-Saksassa:
Mahd kylmä Delitzsch kuuluu Drentheen, Markleebergin horisontti
Zeitz(er)-vaihe, jää laajimmillaan
Pomssen (Pomßen. Pomsen)-väli
Leipziger
Seyda-interval (välikausi ennen Warthea)
Puolassa (Odranian):
Konskie , ennen huippukautta
Gowarczów, jää laajimmillaan
Wieniawa
Odrzywól
Puolassa Drentheä vastannetat Rokity, Lavki ja Stavek ja Warthea Rogowiec.
Drenthen jäätiköitymisen huippuja olivat 188 000, 180 000, Rückmansdorfer 175 000 ja ehkä Petersberger 169 000 vuotta sitten. Saaleen liittyy myös Rehburger-stadiaali ja Rügen-lämpokausi 234+-50 tuhatta vuotta sitten (välillä 280–180 tuhatta vuotta). Eräs jako jakaa Drenthen Burgiin (ehkä laajin) ja Hindorfiin. Huippuvaihe Zeitz(er) tai ehkä Rückmansdorfer, myöhemmin tai ennen Zeitziä mm. Rehburger, Zeitz on sma kuin Hamelner. jolloin jää laajeni mm Harz-vuoristosta vuoriston reunalle. Pienempi jäätiköityminen Drenthe 2 eli Leipzig(er) tai Petersburger, jolloin jää laajeni Hartzissa Allerin laaksoon.
Illinois-jääkausi

Illinois-jäätiköityminen (Illinoian) 310 000–128 000 vuotta sitten, laajimmillaan n. 160–128 000 vuotta sitten, huippu 140 000 vuotta sitten, ulottui Illinoisin osavaltion eteläosiin. Tämä vastaa Euroopan Saalea ja Rissiä. Jää peitti nykyisen Illinoisin osavaltion alasta 85 %. Kalliovuorilla oli yksittäisiä, suuria vuoristojäätiköitä. Kaudella syntyivät jään vetäytyessä mm Monican ja Jubileean-moreenit. Eteläisin Laurentidin jääkentän kohta sijaitsi Illinoisissa St. Louisin kaupungin lähistöillä. Tarkemmin sanoen, Saale-jääkautta vastaavalla toiseksi viimeisellä jääkaudella jääkenttä ulottui jopa Marionin kaupungin lähettyville leveyspiirille 37,5 °N. Ensimmäiset isot reunamuodostumat tavataan St. Louisin kaupungin läheltä. Lännempänä Saalea vastaava jäätikkö ulottui Kansas Cityyn ja viime jääkautta vastaava Sioux Cityyn.
Keltainen rajaviiva näyttää jäätikön laajuuden Saale-jääkaudella maksimissaan. Punainen viiva tarkoittaa jääkauden ulkorajaa viimeisimmällä eli Veiksel-jääkaudella.
Ortogonaalinen matriisi

Ortogonaalinen matriisi on reaalikertoiminen matriisi jonka transpoosi on sen käänteismatriisi eli
Tässä esiintyvä I on yksikkömatriisi. Erityisen kiinnostavia ovat erikoiset ortogonaalimatriisit (engl. special orthogonal matrices), joiden determinantille on lisäksi voimassa
Ortogonaalimatriiseja esiintyy monissa sovelluksissa. Esimerkiksi kierrot ja peilaukset ovat ortogonaalimatriisien kuvaamia. Ortogonaalisia matriiseja käytetään myös esimerkiksi muiden matriisien esittämisessä QR-hajotelman avulla.
Ortogonaalisten matriisien keskeisiin ominaisuuksiin kuuluu, että ortogonaaliset (3×3-)matriisit muodostavat ryhmän, josta käytetään merkintää O(3) ja vastaavat erikoiset ortogonaalimatriisit ryhmän SO(3). Näillä ryhmillä ja niiden ominaisuuksilla on merkitystä mm. fysiikassa.
Reaalikertoiminen neliömatriisi on  ortogonaalinen jos ja vain jos sen sarakkeet muodostavat ortonormaalin jonon tavallisen pistetulon suhteen. Sama pätee riveihin.
Ortogonaalinen matriisi on erikoistapaus unitaarisesta matriisista. Unitaarisen matriisin tapauksessa reaalisen matriisin transponointi yleistetään kompleksisen matriisin hermintoinniksi.
Esimerkkejä

Esimerkkejä ortogonaalisista matriiseista:
Yksikkömatriisi:
{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}
Peilaus xy-tason suhteen:
{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}
Eräs rotaation ja peilauksen yhdistelmä:
{\begin{bmatrix}0&-0.80&-0.60\\0.80&-0.36&\;\;\,0.48\\0.60&\;\;\,0.48&-0.64\end{bmatrix}}
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Koordinaatisto

Kaksiulotteinen karteesinen koordinaatisto
Koordinaatisto on geometrinen järjestelmä alueen kuvaamiseen ja sen mittasuhteiden, sijaintien tai muiden sellaisten ilmoittamiseen.
Koordinaatistossa yksikäsitteistä paikkaa eli pistettä kuvataan koordinaateilla. Koordinaatit voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Pisteillä on yhtä monta koordinaattia kuin koordinaatistossa on ulottuvuuksia. Ulottuvuuksien ja niitä vastaavien koordinaattien niminä on useimmiten x, y ja z. X- ja y-akseleita kutsutaan myös joskus abskissaksi ja ordinaataksi.
Origo on suorakulmaisen koordinaatiston nollapiste, jossa kaikkien koordinaattien arvo on nolla ja koordinaatistoakselit leikkaavat toisensa.
Suorakulmainen koordinaatisto

Yleisimmin koordinaatistolla tarkoitetaan etenkin matematiikassa suorakulmaista eli karteesista koordinaatistoa (nimetty René Descartesin mukaan). Suorakulmaisessa koordinaatistossa on ulottuvuuksien mukainen määrä akseleita, jotka on nimetty kuvaamansa ulottuvuuden  mukaan. Akselit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa yleensä oikeakätisesti, ja ne kulkevat koordinaatiston nollapisteen eli origon kautta sekä leikkaavat toisensa siinä.
Koordinaatistolle on annettu myös mittayksikkö, ja niinpä kunkin pisteen koordinaatit ilmoittavat matkan, joka kutakin akselia tulee kulkea, jotta päästäisiin merkittyyn pisteeseen. Kun koordinaatistolla kuvataan tasoa, käytetään kahta akselia: vaakasuunnan kuvaamiseen x-akselia ja pystysuunnalle y-akselia. Kolmiulotteisessa avaruudessa tarvitaan puolestaan kolme akselia: x-, y- ja z-akselit.
Koordinaatit ilmoitetaan merkitsemällä ne sulkeisiin järjestyksessä (x, y, z) ja erottamalla kunkin ulottuvuuden koordinaattiluku pilkulla. Esimerkiksi (2, −3) tarkoittaa, että piste sijaitsee kaksiulotteisen koordinaatiston pisteessä x = 2 ja y = −3 (tässä 2 on ns. abskissa ja −3 ns. ordinaatta). Jos koordinaatit sisältävät desimaalipilkkuja, ne erotetaan toisistaan puolipisteellä, esimerkiksi (4,5; 2,25; −6,8).
Napakoordinaatisto

Napakoordinaatistossa koordinaatit esitetään kiertokulman  \theta  ja säteen  r funktiona. Muunnoskaavat karteesisen ja napakoordinaatiston välillä ovat:
Käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista napakoordinaatteihin voidaan johtaa Pythagoraan lauseen ja trigonometrian avulla:
Sylinterikoordinaatisto

Sylinterikoordinaatisto on kolmiulotteinen koordinaatisto, jossa x- ja y-tasossa käytetään napakoordinaatistoa ja sen lisäksi z-suunnassa karteesista z-koordinaattia. Koordinaatin muodostaa kolmikko (φ,ρ,z).
Käänteismuunnos karteesisesta koordinaatistosta sylinterikoordinaatteihin tapahtuu vastaavalla tavalla kuin napakoordinaatistossa.
Sylinterikoordinaatiston koordinaattikonventiot vaihtelevat. ISO-standardi ISO 80000-2 suosittelee merkintää (φ,ρ,z). Sädettä kuitenkin merkitään usein symbolilla r, atsimuuttikulmaa θ ja korkeutta h.
Muunnos sylinterikoordinaatistosta suorakulmaiseen voidaan tehdä kaavoilla
Muunnos suorakulmaisesta sylinterikoordinaatistoon voidaan tehdä kaavoilla
missä
jolloin φ saadaan radiaaneina. Funktio atan2(y,x) on toteutettu esimerkiksi C-kielessä.
Pallokoordinaatisto

Pallokoordinaatisto on sylinterikoordinaatiston tapaan kolmiulotteisen avaruuden koordinaatisto. Siinä pisteiden ajatellaan sijaitsevan pallopinnalla. Koordinaatit määrittävät säde r, atsimuuttikulma φ sekä korotus- eli elevaatiokulma θ. Kulmat voidaan ilmoittaa radiaaneina tai asteina. Esimerkiksi tulenohjauksessa käytetään yleisesti korotuskulmaa, joka on rajattu välille  -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2 (tai  -90^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }) yksikäsitteisyyden saavuttamiseksi. Matemaattisemmissa asiayhteyksissä käytetään yleisemmin korotuskulman komplementtia  {\frac {\pi }{2}}-\theta \in [0,\pi ], eli z-akselin ja valitun pisteen välistä kulmaa origosta katsoen. Muunnoskaavat karteesiseen koordinaatistoon merkiten tätä kulmaa (korotuskulman komplementtia)  \theta :lla ovat:
Vastaavasti käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista pallokoordinaatistoon ovat:
Yllä käytetyssä konventiossa maantieteelliset leveys- ja pituusasteet muodostavat pallokoordinaatiston, jossa leveysaste vastaa kulman  \theta  komplementtia  90^{o}-\theta  ja pituusaste atsimuuttikulmaa  \phi , jos käytössä on vertausellipsoidin sijaan pallo.
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Kolmiulotteinen karteesinen koordinaatisto
Napakoordinaatisto, jossa kiertokulmat on merkitty asteina.
Sylinterikoordinaatisto, johon on merkitty origo O, säteittäisakseli A ja z-akseli L, sekä koordinaattipiste ( \rho ,\varphi ,z)
ISO standardin mukaiset fysiikassa käytettävät pallokoordinaatit  r, φ (tai Φ) ja  θ: säde mitattuna origosta r (lat. radius), atsimuuttikulma φ (fii) ja napakulma θ (theeta). Säteelle käytetään usein myös symbolia  \rho  (rhoo).
Lävistäjämatriisi

Lävistäjämatriisi eli diagonaalimatriisi on neliömatriisi, jonka päälävistäjän ulkopuoliset alkiot ovat nollia. Päälävistäjän alkiot voivat olla nollia, eli myös nollamatriisi on diagonaalimatriisi. Siten n×n-matriisi D = (dij) on lävistäjämatriisi vain jos:
Yhtäpitävästi voidaan määritellä lävistäjämatriisi sanomalla, että se on sekä ylä- että alakolmiomatriisi. Esimerkiksi matriisi
on lävistäjämatriisi. Koska diagonaalimatriisin alkiot kiinnittää ainoastaan yksi indeksi, ne voidaan kirjoittaa myös yksiulotteisena taulukkona. Esimerkiksi yllä oleva esimerkkimatriisi voidaan kirjoittaa kompaktimmin
Termi ”lävistäjämatriisi” voi joskus viitata myös m×n-matriisiin, jonka mahdollisesti nollasta poikkeavat alkiot ovat kohdissa aii. Tässä (ja yleensä) kuitenkin tarkastellaan vain neliömatriiseja.
Ominaisuuksia

Jokainen lävistäjämatriisi on symmetrinen matriisi. Jos matriisin alkiot ovat kunnan  \mathbb {R}  tai  \mathbb {C}  alkioita, diagonaalimatriisi on myös normaali. Yksikkömatriisi In ja jokainen m×n nollamatriisi ovat lävistäjämatriiseja. Jokainen yksiulotteinen matriisi on myös lävistäjämatriisi.
Lävistäjämatriisi, jonka kaikki päälävistäjällä olevat alkiot ovat samoja, on nimeltään skalaarimatriisi, jolloin matriisi on muotoa  \lambda I, missä I on yksikkömatriisi. Skalaarimatriisit muodostavat matriisialgebran keskuksen eli vain skalaarimatriisit kommutoivat kaikkien samankokoisten matriisien kanssa.
Diagonaalimatriiseilla laskeminen on melko helppoa. Esimerkiksi ominaisarvot ovat tarkalleen matriisin diagonaalilla olevat alkiot. Vaikka matriisien kertolasku on yleensä työlästä, diagonaalimatriiseilla se on vaivatonta, sillä kahden lävistäjämatriisin tulo on välttämättä myös lävistäjämatriisi ja diagonaalimatriiseilla A ja B
Erityisesti korottaminen potenssiin on triviaalia, sillä jos D on n×n-diagonaalimatriisi,
Tätä ominaisuutta voidaan käyttää tehokkaasti hyväksi matriisien potenssiinkorottamisessa yleisemminkin, jos tutkittava matriisi sattuu olemaan diagonalisoituva.
Lävistäjämatriisi  D on  ortogonaalinen, jos
eli toisin sanoen
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Lävistäjämatriisi PlanetMathissa (englanniksi)
Lukujonon raja-arvo

Lukujonon raja-arvo on matematiikassa lukujonojen käyttäytymistä ilmaiseva peruskäsite. Lukujono on järjestetty luettelo lukuja, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa kohti sen jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät tiettyä lukua, sanotaan lukujonon suppenevan kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono ei suppene, vaan hajaantuu.
Määritelmä

Lukujonon  (x_{n}\,\!) raja-arvo on sellainen luku  L, että kaikilla  \epsilon >0 on olemassa  n_{0}\in \mathbb {N}  siten, että  |x_{n}-L|<\epsilon , kun  n>n_{0}. Lukujonon  (x_{n})\,\! raja-arvoa  L merkitään \lim _{n\to \infty }x_{n}=L.
Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu.  Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun  n kasvaa rajatta (eli lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja sille voidaan suorittaa laskutoimituksia samalla tavoin kuin vastaavalle funktiolle.
Suppeneva lukujono on esimerkiksi
Sen raja-arvo on 1 eli   \lim(1-0,1^{n})=1 .
Sarjan raja-arvo

Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla kuin lukujonon raja-arvo. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee. Muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi
1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {1}{10000}}+...=1,11111...=1{\frac {1}{9}}
ja
1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...=2.
Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi:
1+1+1+1+1+...
1+2+3+4+5+...
ja
1+2+4+8+16+....
Sarja x1 + x2 + x3 + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli  \lim(x_{n})=0.  On kuitenkin olemassa myös sarjoja, joiden termit suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja:
1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+....
Ominaisuuksia

Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo.
Suppeneva jono on aina rajoitettu.
Jos \lim _{n\to \infty }x_{n}=a ja \lim _{n\to \infty }y_{n}=b , niin pätee:
\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=a+b
\lim _{n\to \infty }(rx_{n})=ra .  r\in \mathbb {R}
\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=ab
\lim _{n\to \infty }(x_{n}/y_{n})=a/b, jos  y_{n}\neq 0 jokaisella  n ja  b\neq 0.
Lohkomatriisi

Matematiikassa lohkomatriisilla tarkoitetaan matriisin ositusta pienemmiksi matriiseiksi, lohkoiksi, jolloin alkuperäinen matriisi voidaan kirjoittaa näiden pienempien matriisien yhdistelmänä. Osituksen täytyy olla johdonmukainen siten, että se voidaan visualisoida jakamalla alkuperäinen matriisi lohkoihin koko matriisin läpi kulkevilla pysty- ja vaakasuorilla viivoilla. Jokainen matriisi voidaan kuvata lohkomatriisina yhdellä tai useammalla tavalla.
Esimerkki

4\times 4 -matriisi
voidaan jakaa neljäksi  2\times 2 -lohkoksi
Nyt ositettu matriisi voidaan kirjoittaa muodossa
Lohkojen ei ole pakko olla keskenään samankokoisia matriiseja. Yhtä hyvin voisimme valita vaikka
Lohkodiagonaalinen matriisi

Lohkodiagonaalinen matriisi on lohkomatriisin erikoistapaus, jossa matriisin diagonaali koostuu neliömatriiseista ja sen kaikki muut alkiot ovat nollia. Lohkodiagonaalinen matriisi on aina neliömatriisi. Siis, jos  \mathbf {A}  on lohkodiagonaalinen matriisi, niin se voidaan kirjoittaa muodossa
missä  \mathbf {A} _{k} on neliömatriisi kaikilla  1\leq k  \leq n.
Tämä voidaan esittää myös matriisien suorana summana:  \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\oplus \mathbf {A} _{2}\oplus ...\oplus \mathbf {A} _{n}.
Lohkodiagonaalisen matriisin determinantille ja jäljelle pätee:
Lohkomatriisien matriisitulo

Olkoon lohkomatriisit  \mathbf {A}  ja  \mathbf {B} , missä  \mathbf {A}  on  m\times p -matriisi ja  \mathbf {B}  on  p\times n -matriisi, ositettu siten, että
ja
Toisin sanoen, matriisin  \mathbf {A}  rivit on jaettu  q:hun osaan ja sarakkeet  s:ään osaan. Vastaavasti matriisin  \mathbf {B}  rivit on jaettu  s:ään osaan ja sarakkeet  r:ään osaan.
Nyt voidaan laskea matriisitulo  \mathbf {C} =\mathbf {A} \mathbf {B} , joka on muotoa  m\times n oleva matriisi ja jossa on  q riviositusta ja  r sarakeositusta.  \mathbf {C} :n lohkot saadaan laskemalla:
jolloin
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Hyperbolinen funktio

Hyperbolisten funktioiden kuvaajat
Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.
Määritelmät

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:
Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:
Näiden suhde on hyperbolinen tangentti
Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:
Muunnoskaavoja

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:
Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.
Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x2 + y2 = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:
voidaan yksikköhyperbelin (x2 - y2 = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa
Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.
Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.