Rayleigh’n–Jeansin laki
Matemaattinen käsittely

Laki voidaan johtaa tarkastelemalla sähkömagneettisen kentän ominaismoodeja laatikossa, jonka sivun pituus on  L ja seinät ovat täydellisiä johteita. Laatikon sisällä ei ole varauksenkuljettajia, jolloin sähkökentän  \mathbf {E} =(E_{x},E_{y},E_{z}) dynamiikka noudattaa aaltoyhtälöä
\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.
Ottamalla laatikon seinien antamat reunaehdot huomioon, voidaan osoittaa että sähkökentän ominaismoodit ovat seisovia aaltoja, joiden sähkökentän komponentit ovat
{\begin{aligned}E_{x}&=E_{x0}\sin \omega t\cos(n_{x}\pi x/L)\sin(n_{y}\pi y/L)\sin(n_{z}\pi z/L),\\E_{y}&=E_{y0}\sin \omega t\sin(n_{x}\pi x/L)\cos(n_{y}\pi y/L)\sin(n_{z}\pi z/L),\\E_{z}&=E_{z0}\sin \omega t\sin(n_{x}\pi x/L)\sin(n_{y}\pi y/L)\cos(n_{z}\pi z/L),\end{aligned}}
missä   E_{x0},  E_{y0} ja  E_{z0} ovat sähkökentän komponenttien amplitudit,  \omega  on moodin ominaistaajuus ja  n_{x},  n_{y} ja  n_{z} ovat eri moodeja numeroivia kokonaislukuja. Aaltoyhtälön perusteella säteilymoodin kulmataajuus on 



ω
=

n
π
c


/


L

,


{\textstyle \omega ={n\pi c}/{L},}

 missä  n=(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})^{1/2} on aaltovektorin itseisarvo. Säteilymoodin aallonpituus on  \lambda =2L/n.
Komponentit eivät ole täysin itsenäisiä, sillä sähkökenttä on lähteetön. Lähteettömyyden perusteella aaltovektori  \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z}) on kohtisuorassa sähkökenttää vastaan, ja jokaista aaltovektoria  \mathbf {n}  kohti voidaan valita vain kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa polarisaatiosuuntaa. Negatiiviset kokonaisluvut  n_{x},  n_{y} ja  n_{z} eivät myöskään tuota lineaarisesti riippumattomia ratkaisuita. Kentän kaikki ominaismoodit luetella valitsemalla positiivisten kokonaislukujen muodostama vektori  \mathbf {n}  sekä yksi kahdesta polarisaatiosuunnasta.
Kentän ominaismoodien lukumäärä aallonpituusintervallia  [\lambda ,\lambda +{\mathrm {d} }\lambda ] kohti saadaan muuntamalla summa ensin integraaliksi aaltovektorien yli, ja sitten vaihtamalla integroimismuuttujaa:
2\sum _{n_{x},n_{y},n_{z}>0}={\frac {2}{8}}\int _{0}^{\infty }4\pi n^{2}{\mathrm {d} }n={L^{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {8\pi }{\lambda ^{4}}}{\mathrm {d} }\lambda ,
Etutekijä 1/8 tulee siitä, että kokonaisluvut summataan vain positiivisten lukujen yli, jolloin vastaavasti myös integraali rajoitetaan vain yhteen avaruuden oktanttiin. Tästä saadaan säteilymoodien tilatiheydeksi yksikkötilavuudessa ja aallonpituutta kohti 




N

λ


=
8
π

/


λ

4




{\textstyle N_{\lambda }=8\pi /\lambda ^{4}}

,
Klassisen fysiikan mukaan termodynaamisessa tasapainotilassa energia jakautuu säteilymoodien kesken siten että kullakin moodilla 




k


B



T


{\textstyle k_{\mathrm {B} }T}

 verran energiaa. Tämä periaate tunnetaan nimellä ekvipartitioteoreema tai energian tasajakautumisperiaate. Tasajakautumisperiaatteen perusteella sähkömagneettisen kentän energiatiheys on verrannollinen moodien lukumäärään. Näin löydetään Rayleigh'n-Jeansin lain mukainen säteilyn energiatiheys aallonpituusintervallia kohti:
u_{\lambda }(T)={\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}.
Energiatiheys kasvaa voimakkaasti lyhyillä aallonpituuksilla. Kokonaisenergiatiheydeksi voidaan muodollisesti kirjoittaa
{\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}{\mathrm {d} }\lambda .
Integraali kasvaa rajatta, eli klassisen fysiikan mukaan sähkömagneettisen kentän energia ei ole äärellinen.
Kvanttimekaaninen Planckin säteilylaki voidaan johtaa pitkälti ylläolevan johdon mukaisesti. Tasajakaumaperiaatteen sijaan moodien energia lasketaan kuitenkin painottamalla ominaismoodia vastaavan säteilykvantin energiaa Bosen-Einsteinin jakaumalla. Bosen-Einsteinin jakauma painottaa matalia taajuuksia ja häviää korkeilla taajuuksilla  \hbar \omega \gg k_{\mathrm {B} }T, minkä vuoksi sen tuottama energiatiheys on äärellinen.