stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Viivaintegraali

Viivaintegraalilla (myös käyrä- tai polkuintegraalilla) tarkoitetaan matematiikassa funktion integroimista käyrää pitkin. Tavallinen Riemannin yksiulotteinen integraali
onkin tavallaan viivaintegraali x-akselilla kulkevaa janaa pitkin. Fysiikassa polkuintegraalin käyttö rajoittuu lähinnä vektorilaskentaan, kun taas matematiikassa polkuintegraali on erityisen oleellinen käsite kompleksianalyysissä.
Skalaarikentän viivaintegraali

Olkoon  f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}  skalaarikenttä ja  \mathbf {r} (t):[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n} käyrän C parametrisaatio. Tällöin  f:n viivaintegraali käyrää C pitkin on
Kaava on pätevä melko lievin säännöllisyysoletuksin, esimerkiksi parametrisaation  \mathbf {r} (t) jatkuva derivoituvuus välillä  t\in (a,b) riittää. Viivaintegraalin arvo on riippumaton parametrisaatiosta, eikä integroimissuunta vaikuta lopputulokseen. Käyrän kaarenpituus saadaan integroimalla funktiota  f\equiv 1  käyrää pitkin, ja mikäli integraali suppenee, sanotaan käyrää suoristuvaksi. Mikäli fysikaalinen skalaarikenttä  f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}  kuvaa käyrän "viivatiheyttä" (massa/pituus), antaa viivaintegraali käyrää pitkin kokonaismassan.
Vektorikentän viivaintegraali

Olkoon  \mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n} vektorikenttä ja  \mathbf {r} (t):[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n} käyrän C parametrisaatio. Tällöin  \mathbf {f} :n viivaintegraali käyrää C pitkin on
Viivaintegraalin arvo on jälleen parametrisaatiosta riippumaton, mutta integroimissuunnan vaihto muuttaa integraalin arvon vastaluvukseen. Vektorikentän viivaintegraalilla on huomattavan paljon sovelluksia fysiikassa: Esimerkiksi voimakentän  \mathbf {F} =\mathbf {F} (x,y,z) tekemä työ W, kun kappale liikkuu käyrän C kuvaaman matkan, saadaan viivaintegraalista
Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista sekä Faradayn induktiolaki että Ampere-Maxwellin laki sisältävät viivaintegraalin suljettua käyrää pitkin. Näiden lisäksi esimerkiksi Biot’n ja Savartin lain mukaan johtimen, jossa kulkee sähkövirta I, aiheuttama magneettivuon tiheys pisteessä P saadaan integraalista
missä käyrä C kuvaa virtajohdinta ja  \mathbf {r}  on vektori johdinelementistä  d\mathbf {l}  pisteeseen P.
Polkuintegraali kompleksianalyysissä

Olkoon  f:\mathbb {A} \rightarrow \mathbb {C}  jatkuva funktio, jonka määrittelyjoukko A on kompleksitason avoin osajoukko. Funktion polkuintegraali käyrää  \gamma  pitkin määritellään
missä  \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {C}  on polun jatkuvasti derivoituva parametrisaatio. Integraalin arvo ei riipu polun parametrisaatiosta suunnistusta lukuun ottamatta. Analyyttisen funktion polkuintegraali pisteestä toiseen on lisäksi polusta riippumaton, ja polkuintegraalin arvo voidaankin laskea funktion integraalifunktion avulla analyysin peruslauseen mukaisesti, aivan kuten reaalisessa tapauksessa. Lisäksi analyyttisen funktion polkuintegraali suljettua käyrää pitkin on nolla. Polkuintegraalien laskutekniikka kompleksianalyysissä huipentuu residy-laskentaan, jonka avulla hyvinkin monimutkaisten funktioiden polkuintegraaleja suljettuja käyriä pitkin voidaan laskea helpohkosti.
Funktion polkuintegraali kaarenpituuden suhteen määritellään
Polkuintegraali kompleksianalyysissä > Esimerkki

Lasketaan esimerkkinä funktion
polkuintegraali positiivisesti suunnistettua yksikköympyrää pitkin. Polun parametrisaatio on nyt
joten polkuintegraaliksi saadaan
Polkuintegraali tätä suljettua käyrää pitkin poikkeaa nollasta, koska funktio ei ole analyyttinen polun sisäänsä sulkemassa alueessa (funktiolla on ensimmäisen kertaluvun napa origossa).
Funktion residy origossa saadaan kaavalla
joten residylauseen mukaan polkuintegraali mitä tahansa yksinkertaista suljettua käyrää pitkin origon ympäri on
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Väisälä, Kalle: Matematiikka IV.  Espoo:  Otakustantamo, 1965.  ISBN 951-671-087-5
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables.  (Shaum's Outline Series)  McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).  ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook)  ISBN 978-0-07-161569-3
Aiheesta muualla

Viivaintegraali (Arkistoitu – Internet Archive) (pdf)
Dundo

| Dundo |
| --- | --- |
 Dundo
 Koordinaatit: 7.3745°S, 20.8351°E 
Valtio:   Angola
Maakunta:  Lunda Norten maakunta
Perustettu:  1917
Aikavyöhyke:  UTC+1
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Dundo on kunta, kaivoskaupunki ja maakuntakeskus Angolan koillisosassa Lunda Norten maakunnassa.
Paikkakunnalta löydettiin timanttiesiintymä vuonna 1912. Sen läheisyyteen timanttiyhtiö Diamang (port. Companhia de Diamantes de Angola) perusti vuonna 1917 yksityisen asutuksen, josta nykyinen kaupunki on kehittynyt. Maakuntakeskus Dundo on ollut vuodesta 2000. Vuoden 2009 jälkeen kaupungin länsiosiin rakennettiin uusi kaupunginosa Novo Dundo.
Dundo sijaitsee vain 10 kilometriä Kongon demokraattisen tasavallan rajan eteläpuolella; Angolan pääkaupunki on linnuntietä noin 853 kilometriä lännempänä.
Dundossa on kansallisesti keskeisiin lentoasemiin lukeutuva Dundon lentoasema (IATA: DUE, ICAO: FNDU).
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Dundo Wikimedia Commonsissa
Pihla Äkkinen

| Pihla Äkkinen> Henkilötiedot |
| --- | --- |
Syntynyt: 9. heinäkuuta 2005 (ikä 19) Vaasa
Kansalaisuus:   Suomi
Pesäpalloilija
Ulkopelipaikka:  kakkospolttaja
Heittokäsi:  oikea
Lyöntipuoli:  oikea
Seura:  Mailattaret
Pelinumero:  4
Pelaajaura
Junioriseurat
:  Mailattaret
Ammattilaisjoukkueet
2021-:  Mailattaret
Pihla Äkkinen (s. 9. heinäkuuta 2005 Vaasa) on suomalainen pesäpalloilija. Äkkinen edustaa Superpesiksessä pelaavaa Mailattaria.
Seurajoukkueet > Mailattaret

Äkkinen on Mailattarien kasvatti. Äkkinen nimettiin Mailattarien C-tyttöjen kauden kehittyneimmäksi pelaajaksi vuonna 2020 ja hän pelasi ensimäisen ammattiottelunsa Mailattarien Suomensarjan joukkueessa kesäkuussa seuraavana vuonna. Äkkinen pelasi Mailattarissa tyttöjen Superpesistä ja reservijoukkueessa Suomaria ja näytti hyviä otteita kummassakin kaudella 2024. Tämän ansiosta hänet nostettiin Superpesiksen kokoonpanoon ja hänelle allekirjoitettiin yhden vuoden sopimus vuoden lisäoptiolla.
Yksityiselämä

Pihla Äkkinen on Mailattarien puheenjohtajan Miia Äkkisen tytär.
Äkkinen aloitti opiskelut Jyväskylän yliopistossa vuonna 2024.
Napakoordinaatisto

Napakoordinaatisto.
Napakoordinaatisto on kaksiulotteinen koordinaatisto, jossa jokainen piste on määritetty kiertokulman  \theta  ja säteen  r funktiona. Napakoordinaatisto on käyttökelpoinen tilanteissa, joissa kahden pisteen välinen suhde on helpoiten määritettävissä kulman ja etäisyyden avulla - tavallisemmassa karteesisessa koordinaatistossa vastaava suhde voidaan määrittää trigonometrian keinoilla.
Säde mittaa pisteen etäisyyttä keskipisteestä, eli karteesisen koordinaatiston origoa vastaavasta navasta. Kiertokulma mittaa kulmaa pisteen ja napa-akselin välillä. Napa-akselia vastaava akseli karteesisessa koordinaatistossa on positiivinen  x-akseli.
Pisteiden piirtäminen napakoordinaatistossa

Jokainen napakoordinaatiston piste voidaan esittää kahdella napakoordinaatilla, jotka ovat  r (etäisyys navasta) ja  \theta  (kiertokulma vastapäivään positiivisesta  x-akselista).
Esimerkiksi napakoordinaatiston piste (3, 60°) voidaan piirtää kolmen yksikön päähän navasta 60° säteen kohdalle. Piste (−3, 240°) piirretään samaan pisteeseen, sillä negatiivinen säde vastaa 180 asteen kiertoa.
Napakoordinaatistossa voidaan yhdelle pisteelle antaa ääretön määrä eri koordinaatteja, koska navan ympäri voidaan tehdä kokonaisia kierroksia ilman, että pisteen sijainti muuttuu. Yleisesti piste  (r,\theta ) voidaan esittää muodossa  (r,\theta \pm n\cdot 360^{\circ }) tai  (-r,\theta \pm (2n+1)\cdot 180^{\circ }), jossa  n on mielivaltainen kokonaisluku.
Mielivaltaisia koordinaatteja  (0,\theta ) käytetään yleensä esittämään napaa, sillä  \theta -koordinaatin arvosta huolimatta piste, jolle  r=0, sijaitsee aina navassa. Kulmat voidaan napakulmakoordinaatistossa esittää vapaasti joko asteina tai radiaaneina käyttäen muunnoskaavaa  2\pi \,{\text{rad}}=360^{\circ }. Valinta riippuu lähinnä asiayhteydestä, sillä esimerkiksi navigoinnissa käytetään usein asteita, kun taas monet fysiikan sovellukset ja lähes kaikki matemaattinen kirjallisuus käyttävät radiaaneja.
Pisteiden piirtäminen napakoordinaatistossa > Karteesiset koordinaatit

Napakoordinaatit  r ja  \theta  voidaan muuntaa karteesisiksi koordinaateiksi  x ja  y käyttämällä trigonometrisiä funktioita sini ja kosini:
Karteesiset koordinaatit  x ja  y voidaan muuntaa napakoordinaatiksi  r Pythagoraan lauseella:
Kiertokulman  \theta  määrittämiseksi tulee ottaa huomioon seuraavat ehdot:
Kun  r=0, kulma  \theta  voi olla mielivaltainen.
Kun  r\neq 0, kulma  \theta  valitaan yleensä välille  [0,2\pi ).
Kulman  \theta  saamiseksi välille  [0,2\pi ) voidaan käyttää seuraavia kaavoja (funktiota  \arctan  merkitään joskus  \tan ^{-1}, lähinnä laskimissa)
Kulman  \theta  saamiseksi välille  (-\pi ,\pi ], voidaan käyttää seuraavaa:
Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa

Napayhtälöksi kutsutaan algebrallisen käyrän napakulmakoordinaatistossa määrittävää yhtälöä. Monissa tapauksissa yhtälö voidaan määrittää yksinkertaisesti määrittämällä  r muuttujan  \theta  funktiona.
Monet käyrät voidaan ilmaista suhteellisen yksinkertaisina napayhtälöinä, vaikka niiden karteesinen muoto olisikin huomattavasti monimutkaisempi.
Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa > Ympyrä

Yleinen yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on  (r_{0},\varphi ) ja säde  a, on
Yhtälöä voidaan tietyissä erityistapauksissa yksinkertaistaa, kuten keskipisteen ollessa origossa ja säteen ollessa  a:
Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa > Suora

Säteittäisiä eli navan kautta kulkevia suoria kuvaa yhtälö
jossa  \varphi  kuvaa suoran jyrkkyyttä, joka saadaan kaavalla  \varphi =\arctan k, jossa  k on suoran kulmakerroin karteesisessa koordinaatistossa. Ei-säteittäiselle suoralle, joka leikkaa kohtisuorasti säteittäisen suoran  \theta =\varphi  pisteessä  (r_{0},\varphi ) pätee yhtälö
Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa > Ruusukäyrä

Ruusukäyrä on kuuluisa kukalta näyttävä käyrä, joka voidaan ilmaista yksinkertaisella napakulmakoordinaatiston yhtälöllä
mille tahansa vakiolle  \varphi _{0} sisältäen nollan. Jos  k on pariton kokonaisluku, ruusukäyrän yhtälöt tuottavat  k-terälehtisen ruusun, ja jos  k on parillinen kokonaisluku,  2k-terälehtisen ruusun. Jos  k on rationaaliluku, muttei kokonaisluku, ruusun kaltainen käyrä saattaa muodostua, mutta terälehdet saattavat asettua päällekkäin. Huomioitavaa on, ettei yhtälöä  4n+2-terälehtiselle ruusulle voida määrittää. Muuttuja  a kuvaa ruusun terälehtien pituutta.
Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa > Arkhimedeen spiraali

Arkhimedeen spiraali on kuuluisa Arkhimedeen keksimä kuvio, joka voidaan kuvata myös yksinkertaisella napakoordinaatiston yhtälöllä.
Muuttujan  a arvon muuttaminen kääntää spiraalia, ja muuttujan  b arvon muuttaminen muuttaa spiraalin haarojen välimatkaa. Muuttujien arvot ovat vakiot tietylle spiraalille. Arkhimedeen spiraalilla on kaksi haaraa, toinen arvoille  \theta >0, ja toinen arvoille  \theta <0. Haarat yhdistyvät napapisteessä.
Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa > Kartioleikkaukset

Kartioleikkaus, jonka toinen polttopiste on navalla ja toinen 0° säteellä saadaan yhtälöstä
jossa  e on eksentrisyys ja  \ell  on pystysuora etäisyys polttopisteestä kehälle. Jos  e>1, yhtälö määrittelee hyperbelin; jos  e=1, se määrittelee paraabelin; jos  e<1, se määrittelee ellipsin. Edellisen erikoistapauksessa, kun  e=0, yhtälö määrittelee  \ell -säteisen ympyrän.
Kompleksiluvut

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää kompleksitason pisteenä, ja siten voidaan esittää joko pisteen karteesisen koordinaatiston koordinaatit tai pisteen napakoordinaatiston koordinaatit. Kompleksiluku  z voidaan esittää karteesisessa koordinaatistossa muodossa
jossa  i on imaginääriyksikkö, tai vaihtoehtoisesti napakoordinaatiston muodossa muodossa
ja edelleen muodossa
jossa  e on Neperin luku, kuten Eulerin kaavat osoittavat. (On huomioitava, että kulma  \theta  ilmoitetaan radiaaneissa.)
Kompleksilukujen kerto- ja jakolasku sekä potenssiin korotus onnistuvat huomattavasti helpommin napakoordinaatistomuotoisilla kompleksiluvuilla kuin normaalimuodossa olevilla.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Pisteet (3,60°) ja (4,210°) napakulmakoordinaatistossa.
Napakoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välistä suhdetta esittävä kuvaaja.
Ympyrä, jonka yhtälö on  r(\theta )=1.
Ruusukäyrä, jonka yhtälö on  r(\theta )=2\sin 4\theta .
Eräs Arkhimedeen spiraalin haara, jonka yhtälö on  r(\theta )=\theta , kun  0<\theta <6\pi .
Ellipsi.
Kompleksiluku  z piirrettynä kompleksitasolle.
Kompleksiluku  z piirrettynä kompleksitasolle käyttäen Eulerin kaavaa.
Vuorotteleva sarja

Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa
S=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\,a_{k}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots
oleva sarja, missä  \,a_{k}>0\,\, jokaisella   \,k=1,2,\ldots
Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien
S_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_{k}=a_{1}-a_{2}+\ldots +a_{n}
muodostama jono  (S_{n})_{n=0}^{\infty } suppenee.
Leibnizin kriteerio

Leibnizin kriteerio, toiselta nimeltään  Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.
Lause: Sarja
S=u_{1}-u_{2}+u_{3}-\ldots +u_{2n-1}-u_{2n}+\ldots ,
jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis
u_{0}>u_{1}>u_{2}>\ldots >u_{n}>\ldots >0,\;{\text{ja }}\;\lim _{k\to \infty }a_{k}=0.
Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono  (u_{k}) suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan  S termit kaksittain
S=(u_{1}-u_{2})+(u_{3}-u_{4})+\ldots +(u_{2k-1}-u_{2k}\ldots ),
niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun
S_{2}<S_{4}<S_{6}\ldots <S_{2n}<\ldots .
Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme
S=u_{1}-(u_{2}-u_{3})-(u_{4}-u_{5})-\ldots .
Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen
S_{1}>S_{3}>S_{5}>\ldots >S_{2n-1}>\ldots .
Yhtälöstä
seuraa edelleen, että
S_{2n-1}>S_{2n},
oli summausindeksi  n mikä hyvänsä. 
Lopulta, koska oletimme ehdon  \lim _{n\to \infty }u_{n}=0 olevan voimassa, saamme
\lim _{n\to \infty }S_{2n}-S_{2n-1}=0.
Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa  S.  Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono  S_{n} suppenee ja
\lim _{n\to \infty }S_{n}=S.
Sarjan summan arvioiminen

Vuorottelevan sarjan summaa  S voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia  S_{n}. Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä
S-S_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u_{k}=\sum _{k=n+1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}=u_{n+1}-(u_{n+2}-u_{n+3})-(u_{n+4}-u_{n+5})-\ldots \leq u_{n+1}
ja näin saadaan virhetermille arvio
|R_{n}|=|S-S_{n}|=|\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u_{k}|\leq |u_{n+1}|
Itseisesti suppeneva sarja

Sarja  \sum u_{k} on itseisesti suppeneva, jos sarja  \sum |u_{k}| suppenee.
Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.
Todistus:
Oletetaan, että sarja  \sum u_{k} suppenee itseisesti. Tällöin sarjat  \sum |u_{k}| ja  \sum 2|u_{k}| suppenevat.
Koska epäyhtälöt
ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja  \sum u_{k}+|u_{k}| suppenee.
Näin ollen  \sum a_{k} suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä
\sum a_{k}=\sum (a_{k}+|a_{k}|)-\sum |a_{k}|.
Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.
Ehdollinen suppeneminen

Sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja
\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}
suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja  \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}} hajaantuu.
Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.
\ln(2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots .
Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:
{\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2),\end{aligned}}
jolloin päädyttäisiin tulokseen
mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Russian Love

| Russian Love> Tiedot |
| --- | --- |
Toiminnassa:  1986–1998
Tyylilaji:  goottirock, alternative rock, powerpop
Kotipaikka:  Haapavesi, Oulu, Suomi
Laulukieli:  englanti
Jäsenet:  Mika Ronkainen,  laulu   Pasi Ruotsalainen,  kitara   Maako Härönen,  kitara   Mika Moilanen,  rummut   Mervi Tervo,  basso  
Entiset jäsenet:  Sami Heikkinen,  rummut                        Sampo Mattila,  basso                        Seppo Kauppila,  basso                        Tom Sirviö,  basso   Petri Morko,  koskettimet  
Levy-yhtiö:  Break Records   Darklands   Zen Garden   Plastic Passion   Eibon Records  
Infobox OKNimi-testi OK: 
Russian Love oli vuonna 1986 perustettu pohjoissuomalainen rock-yhtye, joka julkaisi Suomen ensimmäisen englanninkielisen goottirock-albumin.
Ura

Russian Love perustettiin vuonna 1986 Haapavedellä, mutta yhtyeen jäsenet muuttivat 1980-luvun lopulla Ouluun, jossa yhtye vaikutti loppu-uransa.
Russian Loven uran voi jakaa kahteen osaan: alkuaikojen goottirock-kauteen (1986–1991) ja alternative rock -kauteen (1992–1998). Yhtye julkaisi viisi albumia, joista ensimmäinen, alun perin vain vinyyli-LP:nä julkaistu Nergal, julkaistiin uudelleenmasteroituna CD:llä huhtikuussa 2007. Vuonna 2010 yhtyeeltä julkaistiin vuonna 1998 äänitetty ja aiemmin julkaisematon download-single "Never Say Goodbye".
Muuta

Laulaja-lauluntekijä Mika Ronkainen toimii nykyään elokuvaohjaajana ja -tuottajana. Hänen tuotantoaan ovat muun muassa dokumenttielokuvat Oulu palaa – kaupunki, joka katosi, Huutajat – Screaming men, sekä Laulu koti-ikävästä, joista viimeinen voitti kaksi Jussi-palkintoa vuonna 2014.
Ronkaisen televisiodebyytti, vuonna 2019 alkanut rikossarja Kaikki synnit on saanut myös useita Kultainen Venla -ehdokkuuksia.
Diskografia > Albumit

Nergal LP – Break the Records (1988); uudelleenjulkaistu CD:llä – Plastic Passion/Eibon Records (2007)
Flaw In The Cradle LP – Darklands (1990)
Hover Jack CD – Break Records (1992)
Meat Mazurka CD – Zen Garden (1995)
Gala Brutale CD – Zen Garden (1996)
Diskografia > Singlet ja EP:t

Malleus Maleficarum vinyyli 7″ EP - omakustanne (1987); uudelleenjulkaistu Nergal-CD:llä – Plastic Passion/Eibon Records (2007)
Two / Paper Dolls vinyyli 7″ yhteis-EP Two Witchesin kanssa – Break the Records (1989)
Lonely / Call Me There vinyyli 7″ single – Break the Records (1991)
Sure / Lonely vinyyli 7″ single – Break the Records (1991)
Understand / Surrender keltainen vinyyli 7″ single – Break the Records (1992)
Deep End / Hank CDS – Zen Garden (1995)
Never Say Goodbye Download -single (2010)
Aiheesta muualla

Russian Love Myspacessa (englanniksi)
Plastic Passion Official Site[vanhentunut linkki]
Eibon Records Official Site
Power

| Power |
| --- | --- |

Yritysmuoto:  Osakeyhtiö
Perustettu:  2016
Toimitusjohtaja:  Juha-Mikko Saviluoto
Kotipaikka:  Helsinki, Suomi
Toimiala:  Sähköisten kodinkoneiden vähittäiskauppa
Tuotteet:  Kodintekniikka
Liikevaihto:   286 milj. € (2018)
Tilikauden tulos:   1,4 milj. € (2018)
Henkilöstö:  589 (2018)
Emoyhtiö:  Power International AS
Kotisivu:  power.fi
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Power Jyväskylässä
Power on Norjasta lähtöisin oleva kodinkoneketju, joka on osa Power International AS -konsernia. Konsernin pääomistajia ovat Awilhelmsen AS  ja Dolphin Invest AS -yhtiöt, joiden takana ovat varustamostaan tunnettu Wilhelmsenin perhe ja vähittäiskauppias Øivind Tidemandsen. Tidemandsen vaikutti (Suomessa Gigantti-ketjusta tunnetussa) Elkjøp-konsernissa vuosina 1980–2000, mutta irtaantui sittemmin yhtiöstä. Nykyään Tidemandsen on mukana muun muassa perustamassaan XXL-urheiluvälineketjussa.
Power avasi ensimmäisen myymälänsä Suomessa maanantaina 9. toukokuuta 2016 Vantaan Tammistoon. Myymälässä käytetään digitaalisia hintalappuja, jotka päivittyvät verkkokaupan hinnoin neljä kertaa päivässä. Powerin toinen myymälä avattiin 15. toukokuuta 2016 Tampereen Kalevan Prismakeskukseen. Power on osa samaa konsernia kuin Expert-kauppaketju ja Expert ASA Oy:n toiminimi muuttui 9. kesäkuuta 2016 Power Finland Oy:ksi. Vuoden 2016 aikana suurin osa Expert-myymälöistä muutettiin Powereiksi, ja Expert-nimellä jatkoivat kauppiasvetoiset liikkeet.
Yhtiö kuuluu pohjoismaiseen Power International AS -konserniin, joka on rekisteröity Norjaan. Norjassa Power-ketjulla on 120 myymälää, Tanskassa 25 ja Suomessa 42. Yhtiöön kuuluu myös Ruotsin Skillingarydissa sijaitseva keskusvarasto ja verkkokauppa.  Konsernin yhteenlaskettu liikevaihto oli vuonna 2016 noin 900 miljoonaa euroa.
Myymälät

| --- | --- |
 Espoo Laajalahti  Sello  Suomenoja Power+   Helsinki  Itis  Stockmann   Hämeenlinna   Hyvinkää   Imatra   Joensuu   Jyväskylä Seppä   Järvenpää   Kankaanpää   Kauhava   Kemi   Kokkola   Kotka   Kuopio   Kouvola Power+   Lahti   Lappeenranta   Lempäälä Ideapark :   Lohja   Mikkeli   Oulu  Kaakkuri   Limingantulli   Pietarsaari   Pori   Porvoo   Raisio   Rauma   Riihimäki   Rovaniemi   Sastamala   Seinäjoki  Ideapark   Tampere  Kaleva  Lielahti   Turku  Skanssi   Uusikaupunki   Vaasa   Vantaa  Tammisto Power+   Äänekoski 
Yhteensä 42 myymälää (kesäkuu 2023) Power+ tarkoittaa samaa asiaa kuin Gigantti-ketjun Megastore.
Aiheesta muualla

Powerin kotisivut
Weierstrassin M-testi

Matematiikassa Weierstrassin M-testi on lause, jonka avulla voidaan tarkastaa, suppeneeko jokin funktiosarja tasaisesti.
Lause

Oletetaan, että  (f_{n})\,\! on jono reaalifunktioita, jotka ovat määriteltyjä joukossa  A\,\!, ja että on olemassa positiiviset vakiot  M_{n}\,\! siten, että
kaikilla  n\geq 1 ja kaikilla  x\in A, missä sarja
suppenee. Tällöin sarja
suppenee itseisesti ja tasaisesti joukossa  A\,\!.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).