Käänteishila
Matemaattinen kuvaus

Tarkastellaan kaksiulotteista Bravais'n hilaa
Mikä tahansa suure, esimerkiksi elektronien tiheys atomihilassa voidaan esittää jaksollisena funktiona, jolle pätee
Jaksollisuutensa vuoksi  f voidaan esittää Fourier’n sarjana
Koska  f(\mathbf {R} _{n}+\mathbf {r} )=f\left(\mathbf {R} _{k}+\mathbf {r} \right) millä tahansa kokonaisluvuilla  n,k\in \mathbb {Z} ^{2}, jälkimmäinen yhtälö pätee erikoistapauksessa  \mathbf {R} _{0}=0
on oltava  e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1, mikä merkitsee, että
Matemaattisesti käänteishila voidaan esittää niiden vektorien  \mathbf {G} _{m} joukkona, jotka toteuttavat tämän yhtälön kaikilla hilapisteitä vastaavilla paikkavektorin R arvoilla.
Tämä käänteishila itsekin on Bravais'n hila, ja käänteishilan käänteishila on alkuperäinen suora hila, mikä osoittaa vastaavien vektori­avaruuksien välillä vallitsevan Pontrjaginin dualiteetin.
Äärettömälle kaksi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeis­kopin särmiä vastaavat vektorit  \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right), voidaan käänteishila määritellä muodostamalla sen kaksi kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:
missä
Tässä  \mathbf {R}  tarkoittaa 90 asteen rotaatiomatriisia.
Vastaavasti äärettömälle kolmi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeiskopin särmiä vastaavat alkeis­vektorit   \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right), voidaan käänteis­hila määritellä muodostamalla sen kolme kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:
missä
Huomataan, että tässä nimittäjänä on näiden vektorien skalaarikolmitulo. Käyttämällä käänteisavaruuden alkeisvektoreille sarakevektoriesitystä voidaan nämä yhtälöt kirjoittaa myös muodostamalla käänteismatriisi, jolloin saadaan:
Tämä menetelmä perustuu käänteishilan määritelmään ja voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa. Tätä kaavaa, jossa esiintyy vektorien ristitulo, käytetään yleisesti kristallografiassa.
Edellä olevaa käänteisavaruuden määritelmää sanotaan "fyysikon määritelmäksi" ja siinä esiintyvä kerroin  2\pi  seuraa luonnollisesti jaksollisten funktioiden ominaisuuksista. Vaihto­ehtoinen  "kristallo­grafin määritelmä", saadaan määrittelemällä käänteis­hilaksi
 e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1
jolloin käänteishilavektoreiksi saadaan
ja samoin vastaavasti molemmille muille vektoreille. Kristallo­grafin määritelmällä on se etu, että 
 \mathbf {b} _{1} on suoraan  \mathbf {a} _{1}:n käänteis­arvo  \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}:n suunnassa, eikä tekijää  2\pi  ole mukana.  Tämä yksin­kertaistaa eräitä lasku­toimituksia, ja sen avulla käänteis­hila saadaan avaruudellisen taajuuden yksiköissä. Voidaan pitää makuasiana, kumpaa käänteis­hilan määritelmää käytetään, kunhan vain niitä ei sekoiteta keskenään.
Jokainen käänteis­hilan piste  (hkl) vastaa jotakin suoran hilan hilatasojen  (hkl) joukkoa.  Käänteis­hilan vektorin suunta on sama kuin tämän hilatason normaalin suunta. Käänteis­hilan vektorin suuruus taas on yhtä suuri kuin näiden suoran hilan hilatasojen välisen etäisyyden käänteis­arvo.
Jos suora hila määritellään avaruuden pistejoukoksi, jonka muodostavat hilapisteet, voidaan todeta, että kristallografin määritelmää käytettäessä käänteishilan muodostavat ne käänteisavaruuden pisteet, joiden paikkavektorin pistetulo minkä tahansa suoran hilan pisteen paikkavektorin kanssa on kokonaisluku.