Elliptinen geometria
Kaksiulotteinen elliptinen geometria > Elliptinen ja euklidinen geometria

Euklidessa geometriassa kuviota voidaan skaalata eli sen kokoa voidaan muuttaa mielivaltaisesti suuremmaksi tai pienemmäksi, jolloin saatu kuvio on yhdenmuotoinen alkuperäisen kanssa, toisin sanoen sillä on sen kanssa yhtä suuret kulmat ja vastaavien pisteiden välisten etäisyyksien suhteet ovat samat. Elliptisessä geometriassa on toisin. Mallintamalla elliptistä tasoa pallopinnalla voidaan todeta esimerkiksi, että minkä tahansa kahden pisteen välinen etäisyys on pienempi kuin puolet pallon ympärysmitasta (koska toistensa antipodissa olevat pisteet on samastettu). Janaa ei sen vuoksi voida suurentaa kuinka paljon tahansa. Elliptisessä avaruudessa asuva geometrikko voisi periaatteessa avaruuden ominaisuuksia mittaamalla määrittää mitta-asteikon, joka olisi itse avaruuden ominaisuus. Paljon pienemmillä etäisyyksillä avaruus olisi kuitenkin likipitäen "tasainen" eli sen geometria olisi likipitäen euklidinen, ja kuvioita voidaan skaalata suuremmiksi tai pienemmiksi niin, että ne pysyvät likipitäen yhdenmuotoisina alkuperäisten kanssa.
Suuri osa euklidisen geometrian tuloksista pätee sellaisenaan myös elliptisessä geometriassa. Esimerkiksi siinäkin pätevät Eukleideen ensimmäinen ja neljäs postulaatti: kahden pisteen kautta kulkee aina yksi ja vain yksi suora, ja kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuret. Sen sijaan kolmas postulaatti, jonka mukaan on aina mahdollista piirtää ympyrä, kun keskipiste ja ympyrän säde on annettu, ei päde, mikäli oletetaan että ympyrän säde voi olla mikä tahansa positiivinen reaaliluku. Sen sijaan sekin pätee, jos edellytetään, että säteen on oltava yhtä suuri kuin jonkin annetun janan pituus. Näin ollen kaikki Eukleideen geometrian tulokset, jotka seuraavat näistä kolmesta postulaatista, pätevät myös elliptisessä geometriassa, esimerkiksi Elementa-teoksen I kirjan 1. lause: jos jana on annettu, voidaan konstruoida tasasivuinen kolmio, jonka kantana tämä jana on.
Sekä elliptisessä että euklidisessa geometriassa avaruus on jatkuva, homogeeninen ja  isotrooppinen eikä sillä ole reunoja. Isotropian takaa neljäs postulaatti, jonka mukaan kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria. Esimerkkinä homogeenisuudesta voidaan mainita, että Eukleideen lauseen I.1 mukainen tasasivuinen kolmio voidaan muodostaa mihin paikkaan tahansa, ei ainoastaan jollakin erityisellä tavalla määrättyyn paikkaan. Reunojen puuttuminen seuraa toisesta postulaatista, jonka mukaan janaa voidaan aina jatkaa.
Yksi huomattava ero elliptisen ja euklidisen geometrian välillä on sen sijaan se, että elliptisessä geometriassa kolmion sisäkulmien summa on suurempi kuin 180 astetta. Käyttämällä pallopintaa mallina voidaan esimerkiksi muodostaa kolmio, jonka kärjet ovat pisteissä, joissa avaruuden kolme positiivista karteesista koordinaattiakselia leikkaavat pallon pinnan, jolloin kolmion kaikki kulmat ovat 90 astetta ja niiden summa näin ollen 270 astetta. Tarpeeksi pienillä kolmiolla kulmien summan ja 180 asteen erotus voidaan kuitenkin saada mielivaltaisen pieniksi.
Myöskään Pythagoraan lause ei päde elliptisessä geometriassa. Esimerkiksi edellä mainitussa kolmiossa, jonka kaikki kulmat ovat suoria, kaikki sivut ovat yhtä pitkiä eivätkä ne näin ollen toteuta yhtälöä  a^{2}+b^{2}=c^{2}. Pythagoraan tulos saadaan kuitenkin raja-arvona pienillä suorakulmaisilla kolmiolla niiden sivujen pituuksien lähestyessä nollaa.
Ympyrän kehän ja sen pinta-alan suhde on pienempi kuin euklidisessa geometriassa. Yleensäkään kuvioiden pinta-ala ja kappaleiden tilavuus eivät ole suoraan verrannollisia niiden osien välisten etäisyyksien toiseen tai kolmanteen potenssiin.