stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ajatuksenvapaus
Aiheesta muualla > Artikkeleita

Hartikainen, Erkki: Uskonnonvapaus Ruotsissa. Vapaa ajattelija 2/2005.
Kahlos, Maijastina: Vankat perustelut valtion tunnustuksettomuudelle (Arkistoitu – Internet Archive). Vartija 1/2007.
Vainio, Janne: Ajatuksenvapauden viholliset. Vapaa ajattelija 2–3/2004.
| n k Vapaus |
| --- | --- |
Käsitteet:  Kognitiivinen vapaus  Moraalinen vastuu  Vapauden henkilöityminen Libertas  Negatiivinen vapaus  Positiivinen vapaus  Subjektiivinen oikeus  Omistajuus  Yhteiskunnallinen vapaus  Vapaa tahto 
Aloittain:  Akateeminen  Kansalaisvapaudet  Taloudellinen vapaus  Poliittinen vapaus  Älyllinen vapaus 
Oikeuksittain:  Ajatuksenvapaus  Aseiden omistaminen  Elämä  Kokoontuminen  Koulutuksenvapaus  Lehdistö  Liikkuminen  Omistaminen  Sananvapaus  Tiedonsaanti  Uskonto  Valinnanvapaus  Yhdistyminen 
Ranskan ihmisoikeuksien julistus vuodelta 1789.
”Ilman ajatuksenvapautta ei ole viisautta eikä vapautta ilman sananvapautta.” Benjamin Franklin, 1722.
Sosialistinen puolue (Portugali)

| Sosialistinen puolue> Partido Socialista |
| --- | --- |
  
  
  
Perustettu:  19. huhtikuuta 1973
Johto:   Pedro Nuno Santos (pj.) 
Ideologia:  sosiaalidemokratia
Poliittinen kirjo:  keskusta-vasemmisto
Tasavallan kokous:  108 / 230
EU-parlamentti:  9 / 21
Kansainväliset jäsenyydet:  – Sosialistinen internationaali – Euroopan sosialidemokraattinen puolue
Kotisivu:  www.ps.pt
Infobox OKNimi-testi OK: 
Sosialistinen puolue (port. Partido Socialista) on portugalilainen sosiaalidemokraattinen puolue ja toinen maan pääpuolueista keskusta-oikeistolaisen sosiaalidemokraattisen puolueen ohella. Sosialistinen puolue perustettiin 19. huhtikuuta 1973 saksalaisessa Bad Münstereifelin kaupungissa. Puolue on Sosialistisen internationaalin ja Euroopan sosialidemokraattisen puolueen jäsen.
Vaikutusvaltaisimipia ja näkyvimpiä  poliitikkoja Portugalissa vuoden 1974 Neilikkavallankumouksen jälkeen on ollut sosialistista puoluetta pitkään sen pääsihteerinä johtanut Mário Soares, joka toimi pääministerinä vuosina 1976–78 ja uudelleen 80-luvun alussa sekä Portugalin presidenttinä 10 vuotta vuosina 1986–1996. Häntä oli kutsuttu Portugalin demokratian isäksi.
Partido Socialista voitti vuoden 2009 parlamenttivaalit saaden 37 prosenttia äänistä ja 96 parlamenttipaikkaa, mutta menetti kuitenkin enemmistöaseman parlamentissa.
Portugalin parlamenttivaleissa lokakuussa 2019 pääministeri António Costan johtamat sosialistit saivat vaalivoiton. Sosialistit saivat 106 paikkaa 230 jäsenen parlamentissa. Enemmistöön olisi tarvittu 116 paikkaa. Näin ollen Costa joutuu etsimään pienemmistä puolueista liittolaisia tulevaan hallitukseen. Ennen vaaleja pääministeri Costan vähemmistöhallituksen tukipuolueina olivat kommunistit ja vasemmistoryhmittymä. Pääministeri António Costaa ja sosialisteja auttoivat vaaleissa Portugalin hyvät talousluvut.
Puolueen pääsihteerit

Mário Soares: 1973–1986
Almeida Santos (väliaikainen): 1986
Vitor Constâncio: 1986–1989
Jorge Sampaio: 1989–1992
António Guterres: 1992–2002
Ferro Rodrigues: 2002–2004
José Sócrates: 2004–2011
António José Seguro: 2011–2014
Maria de Belém Roseira (väliaikainen): 2014
António Costa: 2014–2023
Pedro Nuno Santos: 2023–
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Sosialistinen puolue (Portugali) Wikimedia Commonsissa
Partido Socialista (portugaliksi)
Log-normaalijakauma

| --- | --- |
Tiheysfunktio 
Kertymäfunktio 
Merkintä:  {\text{Lognormal}}(\mu ,\,\sigma ^{2})
Parametrit: μ ∈ R σ2 > 0
Määrittelyjoukko: x ∈ R
Tiheysfunktio:  {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\ \exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)
Kertymäfunktio:  {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}{\Big ]}
Odotusarvo:  \exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)
Mediaani:  \exp(\mu )
Moodi:  \exp(\mu -\sigma ^{2})
Varianssi:  [\exp(\sigma ^{2})-1]\exp(2\mu +\sigma ^{2})
Vinous:  (\exp(\sigma ^{2})+2){\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1}}
Huipukkuus:  \exp(4\sigma ^{2})+2\exp(3\sigma ^{2})+3\exp(2\sigma ^{2})-6
Entropia:  \log _{2}(\sigma e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }})
Momentit generoiva funktio: määritelty vain luvuille, joilla on ei-positiivinen reaaliosa
Karakteristinen funktio: esitys  \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2} hajaantuu asymptoottisesti, mutta sopii numeeristen likiarvojen laskentaan
Fisherin informaatiomatriisi:  {\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/2\sigma ^{4}\end{pmatrix}}
Log-normaalijakauma eli logaritminormaalijakauma on toden­näköisyys­laskennassa sellaisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma, jonka logaritmi on normaalisti jakautunut. Toisin sanoen, jos satunnais­muuttuja  X on log-normaalisti jakautunut, niin  Y=\ln {X} on normaalisti jakautunut, ja jos  X on normaalisti jakautunut, niin  Y=e^{X} on log-normaalisti jakautunut. Log-normaalisti jakautunut satunnais­muuttuja voi saada vain positiivisia reaali­luku­arvoja. Jakauma on käyttökelpoinen malli monille fysikaalisille, teknisille, taloustieteellisille ja muilla aloilla esiintyville muuttujille.
Jakaumaa nimitetään toisinaan myös Galtonin jakaumaksi Francis Galtonin mukaan. Muita siihen toisinaan yhdistettyjä nimiä ovat McAlister, Gibrat ja Cobb-Douglas.
Todennäköisyyslaskennan keskeisen raja-arvolauseen mukaan monen riippumattoman satunnaismuuttujan summa noudattaa sitä tarkemmin normaalijakaumaa, mitä enemmän näitä satunnaismuuttujia on. Samaan tapaan tarpeeksi monen toisistaan riippumattoman satunnaismuuttujan tulolla on taipumus  noudattaa log-normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Log-normaalijakaumalla on myös suurin entropia niistä jakaumista, joilla on tietty odotusarvo ja varianssi.
Määritelmä > Jakauman muodostaminen ja parametrit

Olkoon  Z standardinormaalijakaumaa noudattava satunnaismuuttuja, ja olkoot  \mu  ja  \sigma >0 kaksi reaalilukua. Silloin satunnais­muuttujan
jakaumaa sanotaan log-normaalijakaumaksi parametrein  \mu  and  \sigma . Nämä parametrit ovat tällöin jakauman luonnollisen logaritmin odotusarvo ja keskihajonta, mutta eivät itse jakauman  X odotusarvo ja varianssi.
Tämä yhteys pätee logaritmi- tai eksponenttifunktion kantaluvusta riippumatta. Jos  \log _{a}(X) on normaalisti jakautunut, samoin on myös  \log _{b}(X), olivatpa  a ja  b mitkä tahansa positiiviset luvut ( \neq q. Samoin jos  e^{Y} on log-normaalisti jakautunut, samoin on satunnaismuuttujan  a^{Y} laita, kun  0<a\neq 1.
Sellaisen jakauman muodostamiseksi, jolla on haluttu odotusarvo  \mu _{X} ja varianssi  \sigma _{X}^{2}, on valittava
 \mu =\log \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}\right) ja 
 \sigma ^{2}=\log \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right)
Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää "multiplikatiivisia" eli "geometrisia" parametreja  \mu ^{*}=e^{\mu } ja  \sigma ^{*}=e^{\sigma }.  Niillä on suorempi tulkinta:  \mu ^{*} on jakauman mediaani, ja  \sigma ^{*} liittyy jakauman leviämiseen jäljempänä selitettävällä tavalla.
Määritelmä > Tiheysfunktio

Positiivinen satunnais­muuttuja X on log-normaalisti jakautunut, jos X:n logaritmi on normaalisti jakautunut, jolloin
Olkoon  \Phi  normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio ja  \varphi  sen tiheysfunktio. Tällöin saadaan:
missä esimerkiksi  {\text{P}}(X\leq x) tarkoittaa todennäköisyyttä sille, että satunnaismuuttujan X arvo on pienempi kuin x.
Määritelmä > Kertymäfunktio

Log-normaalijakauman kertymäfunktio on
missä  \Phi  on normeeratun normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktio.
Virhefunktion  \operatorname {erfc} \left(x\right) avulla kertymäfunktio voidaan esittää muodossa:
missä erfc on komplementaarinen virhefunktio erfc(x) = 1 - erf(x).
Määritelmä > Useamman muuttujan lognormaalijakauma

Jos {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}) on useamman muuttujan normaalijakauma, niin funktio  {\boldsymbol {Y}}=\exp({\boldsymbol {X}}) noudattaa useamman muuttujan logaritmista normaalijakaumaa., jonka odotusarvo on
ja kovarianssimatriisi
Useamman muuttujan logaritminormaalijakauma ei kuitenkaan ole kovin yleisessä käytössä, minkä vuoksi jäljempänä rajoitutaan käsittelemään yhden muuttujan jakaumaa.
Määritelmä > Karakteristinen funktio ja momentit generoiva funktio

Logaritmisella normaalijakaumalla on kaikki momentit, ja
Tämä voidaan johtaa sijoittamalla integraaliin  z={\frac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}.  Kuitenkaan odotusarvo  \operatorname {E} [e^{tX}] ei ole määritelty millään argumentin  t positiivisella arvolla, koska sen määrittelevä integraali hajaantuu. Sen vuoksi logaritmisella normaalijakaumalla ei myöskään ole momentit generoivaa funktiota.  Tähän liittyy se, että logaritmisen normaalijakauman momentit eivät yksikäsitteisesti määrittele jakaumaa.
Karakteristinen funktio  \operatorname {E} [e^{itX}] on määritelty reaaliarvoille  t, mutta ei sellaisille kompleksiluvuille, joilla on negatiivinen imaginaariosa, minkä vuoksi karakteristinen funktio ei ole analyyttinen origossa. Tämän vuoksi logaritmisen normaalijakauman karakteristista funktiota ei voida esittää päättymättömänä suppenevana sarjana. Erityisesti sen muodollinen Taylorin sarja
hajaantuu.  Funktiolle on kuitenkin voitu muodostaa vaihtoehtoisia hajaantuvia sarjaesityksiä.
Karakteristiselle funktiolle  \varphi (t) ei tunneta suljetussa muodossa esitettävää lauseketta. Sille saadaan kuitenkin hyviä likiarvoja lausekkeesta
missä  W on Lambertin W-funktio. Tämä likiarvo voidaan johtaa asymptoottisella menetelmällä, mutta se pätee likimäärin kaikilla  t:n arvoilla, joilla  \varphi (t) suppenee.
Ominaisuuksia > Geometriset eli multiplikatiiviset momentit

Logaritmisen normaalijakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskiarvo on  \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}. Se on samalla jakauman mediaani. Jakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskihajonta on  \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}. Analogisesti aritmeettisten tilastollisten tunnuslukujen kanssa voidaan määritellä geometrinen varianssi  \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}, ja myös geometrista variaatiokerrointa  \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1 on ehdotettu.  Viimeksi mainitun olisi tarkoitus olla analoginen tavallisen variaatiokertoimen kanssa lognormaalin aineiston tapauksessa, mutta tällä määritelmällä ei ole sellaista teoreettista perustaa, että sen perusteella voitaisiin arvioida itse variaatiokerrointa  \operatorname {CV} .
On huomattava, että geometrinen keskiarvo on aina pienempi kuin sen aritmeettinen keskiarvo. Tätä tosiasiaa sanotaan aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi, ja se kuvastaa sitä tosiasiaa, että logaritmi­funktion kuvaaja on ylöspäin kupera. Itse asiassa pätee yhteys
Liikealalla termiä  e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}} tulkitaan toisinaan kuperuus­korjaukseksi. Stokastisen analyysin kannalta kyseessä on sama korjaus­termi kuin geometrista Brownin liikettä koskevassa Itôn lemmassa.
Ominaisuuksia > Aritmeettiset momentit

Kun  n on mikä tahansa reaali- tai kompleksiluku, lognormaalisti jakautuneen satunnais­muuttujan  X n:s momentti on
Erityisesti lognormaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan  X aritmeettinen keskiarvo, odotusarvo, aritmeettinen varianssi ja aritmeettinen keskihajonta ovat:
Jakauman aritmeettinen variaatiokerroin  \operatorname {CV} [X] määritellään sen keskihajonnan ja keskiarvon suhteena:
Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa se on:
Tätä tulosta sanotaan joskus "geometriseksi variaatiokertoimeksi" (engl. Geometric coefficient of variation, GCV).  Aritmeettisesta keskihajonnasta poiketen se on aritmeettisesta keskiarvosta riippumaton.
Parametrien  \mu ; ja  \sigma ; arvot voidaan laskea, jos aritmeettinen keskiarvo ja varianssi tunnetaan:
Momentit  E[X^{n}]=e^{n\mu ;+{\frac {1}{2}}\sigma ;^{2}} eivät määritä toden­näköisyys­jakaumaa yksi­käsitteisesti. Toisin sanoen on muitakin jakaumia, joilla on samat momentit. Itse asiassa on koko joukko jakaumia, joilla on samat momentit kuin logaritmisella normaali­jakaumalla.
Ominaisuuksia > Moodi, mediaani ja kvantiilit

Jakauman moodi on piste, jossa sen tiheys­funktio saa suurimman arvonsa. Erityisesti se toteuttaa yhtälön  (\ln f)'=0, josta saadaan:
Koska logaritmisesti muunnettu muuttuja  Y=\ln X on normaalisti jakautunut ja koska kvantiilit säilyvät monotonisissa muutoksissa, muuttujan  X kvantiilit ovat:
missä  q_{\Phi }(\alpha ) on standardin normaalijakauman kvantiili.
Erityisesti logaritmisen normaalijakauman mediaani on sama kuin sen geometrinen keskiarvo.
Ominaisuuksia > Osittainen odotusarvo

Satunnaismuuttujan  X osittainen odotusarvo kynnysarvon  k suhteen määritellään seuraavasti:
Vaihtoehtoisesti se voidaan kirjoittaa ehdollisen odotusarvon avulla muotoon   g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k). Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa osittainen odotusarvo on:
missä  \Phi  on normaalijakauman kertymäfunktio. Osittaisen odotusarvon kaavalla on käyttöä vakuutusalalla ja taloustieteessä, ja sen avulla ratkaistaan  Black–Scholesin kaavaan johtava osittaisdifferentiaaliyhtälö.
Ominaisuuksia > Ehdollinen odotusarvo

Log-normaalin satunnaismuuttujan  X ehdollinen odotusarvo kynnysarvon  k suhteen on sen osittainen odotusarvo jaettuna sen kumulatiivisella todennäköisyydellä olla tällä välillä:
Ominaisuuksia > Vaihtoehtoisia parametrointeja

Log-normaalijakauma määritetään tavallisimmin parametrien  \mu ,\sigma  tai  \mu ^{*},\sigma ^{*} avulla, mutta vaihtoehtoisesti se voidaan parametroida useilla muillakin tavoilla. Todennäköisyysjakaumien tietokanta ProbOnto tuntee kaikkiaan seitsemän muuta tapaa parametroida log-normaalijakauma:
Normal1(μ,σ), parametreina odotusarvo μ ja keskihajonta σ
 P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]
LogNormal2(μ,υ), parametreina odotusarvo μ ja varianssi υ, molemmat logaritmisella asteikolla
 P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\frac {-(\log x-\mu )^{2}}{2v}}\right]
LogNormal3(m,σ), parametreina mediaani m lineaarisella asteikolla ja keskihajonta σ logaritmisella asteikolla
 P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\frac {-[\log(x/m)]^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]
LogNormal4(m,cv), parametreina mediaani m ja variaatiokerroin cv, molemmat lineaarisella asteikolla
 P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\log(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\frac {-[\log(x/m)]^{2}}{2\log(cv^{2}+1)}}\right]
LogNormal5(μ,τ), parametreina odotusarvo μ ja tarkkuus τ, molemmat logaritmisella asteikolla.
 P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[{-{\frac {\tau }{2}}(\log x-\mu )^{2}}\right]
LogNormal6(m,σg), parametreina mediaani m ja geometrinen keskihajonta  σg, molemmat lineaarisella asteikolla
 P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\log(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[{\frac {-[\log(x/m)]^{2}}{2\log ^{2}(\sigma _{g})}}\right]
LogNormal7(μN,σN), parametreina odotusarvo μN ja keskihajonta σN, molemmat lineaarisella asteikolla
 P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \log \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left({\frac {-{\Big [}\log(x)-\log {\Big (}{\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big )}{\Big ]}^{2}}{2\log {\Big (}1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}{\Big )}}}\right)
Ominaisuuksia > Vaihtoehtoisia parametrointeja > Esimerkkejä uudelleenparametroinneista

Tarkastellaan tilannetta, jossa samaa aineistoa halutaan mallintaa kahdella tavalla käyttämällä kahta erilaista optimointivälinettä, esimerkiksi PFIM and PopED. Näistä edellinen tukee LN2-, jälkimminen LN7-parametrointia. Siksi tarvitaan uudelleenparametrointia, sillä muutoin mallit johtaisivat eri tuloksiin.
Muunnokselle  LN2(\mu ,v)\rightarrow LN7(\mu _{N},\sigma _{N}) pätevät kaavat:
 \mu _{N}=\exp(\mu +v/2){\text{ and }}\sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}.
Muunnokselle  LN7(\mu _{N},\sigma _{N})\rightarrow LN2(\mu ,v) taas pätevät kaavat:
 \mu =\log {\Big (}\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}{\Big )}{\text{ and }}v=\log(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}).
Muut uudelleenparametrointikaavat löytyvät ProbOnto -tietokannasta.
Ominaisuuksia > Monikerta, käänteisarvo ja potenssit

Vakiolla kertominen: Jos  X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}), niin  aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2}).
Käänteisarvo: If  X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}), niin {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).
Potenssi: If  X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}), niin  X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2}), kun  a\neq 0.
Ominaisuuksia > Log-normaalisti jakautuneiden satunnaismuuttujien kerto- ja jakolasku

Jos kaksi riippumatonta log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa,  X_{1} ja  X_{2}, kerrotaan keskenään, niiden tulo on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina  \mu =\mu _{1}+\mu _{2} ja  \sigma , missä  \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}. Tämän avulla voidaan helposti muodostaa useammankin log-normaalin satunnaismuuttujan tulon jakauma: Jos  X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2}) ovat  n riippumatonta, log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, niin  Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.
Jos taas log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja  X_{1}, jonka parametrit ovat  \mu _{1} ja  \sigma _{1}, jaetaan toisella siitä riippumattomalla log-normaalisti jakautuneella satunnaismuuttujalla  X_{2}, jonka parametrit ovat  \mu _{1} ja  \sigma _{1}, näiden osamäärä on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina  \mu =\mu _{1}-\mu _{2} ja  \sigma .
Ominaisuuksia > Multiplikatiivinen keskeinen raja-arvolause

Samalla tavalla jakautuneiden riippumattomien positiivisten satunnaismuuttujien  X_{i} multiplikatiivinen eli geometrinen keskiarvo noudattaa logaritmista normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Tätä tulosta sanotaan multiplikatiiviseksi keskeiseksi raja-arvolauseeksi, ja se seuraa suoraan todennäköisyyslaskennan keskeisestä raja-arvolauseesta, kun sitä sovelletaan muuttujiin, jotka saadaan alkuperästen satunnaismuuttujien logaritmeina.
Ominaisuuksia > Muuta

Log-normaalijakaumaa noudattavalla aineistolla on symmetrinen Lorenzin käyrä.
Jakauman harmoninen ( H), geometrinen ( G) ja aritmeettinen keskiarvo ( A) liittyvät toisiinsa seuraavasti:
Log-normaalit jakaumat ovat äärettömästi jaollisia,,  mutta eivät stabiileja jakaumia.
Yhteydet muihin jakaumiin

Jos  X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}) on normaalisti jakautunut, niin  \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).
Jos  X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}) on jakautunut log-normaalisti, niin  \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}) on jakautunut normaalisti.
Olkoot  X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})\  riippumattomia log-normaaleja jakaumia, joilla mahdollisesti on erisuuret parametrit  \sigma  ja  \mu , ja okoon  Y=\textstyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}.  Tällöin  Y:n jakaumaa ei voida esittää suljetussa muodossa, mutta sitä voidaan sen oikeassa päässä approksimoida toisella log-normaalilla jakaumalla  Z. Sen tiheysfunktion muoto tunnetaan myös 0:n läheisyydessä  missä se ei muistuta mitään log-normaalia jakaumaa. Sille saadaan L. F. Fentonin tunnetuksi tekemä, mutta R.I. Wilkinsonin jo aikaisemmin esittämä ja Marlowin matemaattisesti perustelema likiarvo) käyttämällä toisen log-normaalin jakauman keskiarvoa ja varianssia:
Vielä parempia likiarvoja voidaan saada arvioimalla jakauman tiheys- ja kertymäfunktiota Monte Carlo menetelmällä.
Jos  X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}), niin muuttujan  X+c jakaumaa sanotaan kolmiparametriseksi log-normaaliksi, ja se on jakautunut välille  x\in (c,+\infty ).  \operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c,  \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X].
Log-normaalijakauma on erikoistapaus puolittain rajoitetusta Johnsonin jakaumasta.
Jos  X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)\, with  Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}), niin  X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma ) (Suzukin jakauma).
Lognormaalijakaumalle saadaan likiarvo, jonka integraali voidaan esittää alkeisfunktioiden avulla, käyttämällä sen määritelmässä normaalijakauman sijasta logistista jakaumaa. Tällöin jakauman kertymäfunktioksi saadaan:
Tilastollisia päätelmiä > Parametrien estimointi

Lognormaalijakauman parametrien μ ja σ suurimman uskottavuuden estimaattorien määrittämiseksi voidaan käyttää samaa menetelmää, jolla ne määritellään normaalijakaumalle. Voidaan todeta, että
missä  \varphi _{} on normaalijakauman  {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}) tiheysfunktio. Niinpä log-normaalijakauman uskottavuusfunktio on
Koska tässä ensimmäinen termi on vakio μ:n ja σ: suhteen, molemmat logaritmiset uskottavuusfunktiot,  \ell  ja  \ell _{N}, saavat maksiminsa samoilla  \mu :n ja  \sigma :n arvoilla.  Niinpä suurimman uskottavuuden estimaattorit ovat samat kuin normaalijakaumalle havaintoarvoilla  \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}),
Äärellisillä n:n arvoilla näillä estimaattoreilla esiintyy systemaattinen virhe. Tämä virhe on tosin  {\widehat {\mu }}:n osalta häviävän pieni, mutta  \sigma :lle saadaan vähemmän vääristynyt arvo korvaamalla  {\widehat {\sigma }}^{2}:n yhtälössä nimittäjä n arvolla n-1.
Jos yksittäisiä arvoja  x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n} ei tunneta mutta aineiston keskiarvo  {\bar {x}} ja keskihajonta s tunnetaan, vastaavat parametrit saadaan seuraavista kaavoista, jotka on muodostettu ratkaisemalla  \mu  ja  \sigma  odotusarvon  \operatorname {E} [X] ja varianssin  \operatorname {Var} [X] yhtälöistä:
Tilastollisia päätelmiä > Tilastollisia tunnuslukuja

Log-normaalisti jakautunutta aineistoa voidaan tehokkaimmin analysoida soveltamalla logaritmisesti muunnettuun aineistoon normaalijakaumaan perustuvia tunnettuja metodeja ja suorittaa sen jälkeen tuloksille käänteinen muunnos.
Tilastollisia päätelmiä > Tilastollisia tunnuslukuja > Hajontavälit

Tyypillisen esimerkin tästä muodostavat hajontavälit. Normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja on noin kahden kolmasosan (68 %) todennäköisyydellä välillä  [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ] ja noin 95 %:n todennäköisyydellä välillä  [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]. Sen vuoksi log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja on
Käyttämällä estimoituja parametreja suunnilleen samat prosenttiosuudet log-normaalisti jakautuneesta aineistosta on näillä väleillä.
Tilastollisia päätelmiä > Tilastollisia tunnuslukuja > \mu ^{*}:n luottamusväli

Samalla periaatteella todetaan, että  \mu :n luottamusväli on  [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}], missä  \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}} on standardipoikkeama ja q Studentin t-jakauman 97,5 prosentin kvantiili, vapausasteluvulla n-1.  Käänteisellä muunnoksella saadaan 
 \mu ^{*}:n luottamusväliksi