Indianan pii-lakiehdotus
Matemaattinen sisältö > Ympyrän pinta-ala

Goodwinin pääasiallinen tavoite ei ollut mitata ympyrän kehän tai jänteiden pituuksia vaan ympyrän neliöiminen, toisin sanoen sellaisen neliön löytäminen, joka olisi pinta-alaltaan yhtä suuri kuin annettu ympyrä. Hän tiesi, että Arkhimedeen lauseke ympyrän pinta-alalle, halkaisija kerrottuna kehän neljäsosalla, ei riittänyt ratkaisuksi tähän vanhaan probleemaan. Tehtävänä oli nimittäin konstruoida kyseinen neliö pelkästään harpilla ja viivoittimella, eikä Arkhimedes tarjonnut menetelmää sellaisen janan piirtämiseksi, joka olisi yhtä pitkä kuin annetun ympyrän kehä. Tästä keskeisestä vaatimuksesta Goodwin kuitenkin oli selvästi tietämätön; hän luuli, että vikana Arkhimedeen lausekkeessa olisi, että se antaisi tuloksena väärän lukuarvon ja että vanha probleema voitasiin ratkaista korvaamalla se ”oikealla” lausekkeella. Lakiehdotuksessaan hän esitti ilman perusteluja oman ehdotuksensa:
»On havaittu, että ympyrän pinta-alan suhde sen kehän pituisen janan neliöön on sama kuin tasasivuisen suorakulmion pinta-alan suhde sen sivulle piirrettyyn neliöön.»
Sanonta on ilmeisesti tarpeettoman mutkikas, koska ”tasasivuinen suorakulmio” on määritelmän mukaan neliö. Yksinkertaisemmin sanottuna tässä väitettiin, että ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka ympärysmitta on sama. Tämä väite johti kuitenkin matemaattisiin ristiriitoihin, jotka Goodwin yritti ratkaista. Niinpä heti edellä mainitun osuuden jälkeen lakiehdotuksessa sanottiin:
»Nykyinen käytäntö pitää halkaisijaa yksikköpituutena ympyrän pinta-alaa laskettaessa on täysin väärä, koska sen mukaan ympyrän pinta-ala olisi 1 1/5 kertaa sen neliön pinta-ala, jonka ympärysmitta on yhtä suuri kuin ympyrän kehä.»
Jos Goodwinin arvot ympyrän kehälle ja halkaisijalle hyväksytään, yllä olevan malliympyrän pinta-alaksi saataisiin Arkhimedeen lausekkeen mukaan 80, mutta Goodwin väitti sen olevan 64. Luku 64 tosiaan on viidesosan pienempi kuin 80, ja Goodwin ilmeisesti päätteli virheellisesti, että koska 64 = 80 · (1 – 1/5), on 80 = 64 · (1 + 1/5); tällainen likiarvo kuitenkin pätee edes suunnilleen vain, jos käytetty murtoluku on paljon pienempi kuin 1/5.
Goodwinin säännöllä laskettu ympyrän pinta-ala on π/4 kertaa sen todellinen pinta-ala, minkä vuoksi pii-lakiehdotuksen on usein tulkittu merkitsevän, että π:lle olisi aiottu virallisesti hyväksyä arvo 4. Guinnessin ennätystenkirjan eräissä painoksissa tätä on sanottu ”π:n epätarkimmaksi likiarvoksi”. Goodwin ei kuitenkaan esittänyt sellaista väitettä; päin vastoin hän useita kertoja kiistää, että ympyrän pinta-alalla olisi mitään tekemistä sen halkaisijan kanssa.
Pinta-alan lausekkeen 1 – π/4 suhteellinen virhe on noin 21 %, mikä on paljon suurempi kuin edellä mainittujen janojen ja kehän pituuksien suhteellinen virhe. Ei tiedetä, mikä sai Goodwinin uskomaan, että hänen sääntönsä olisi oikea. Yleensä kuviot, joilla on sama ympärysmitta, eivät ole pinta-alaltaan yhtä suuret. Tyypillisenä esimerkkinä voidaan mainita hyvin pitkä ja kapea suorakulmio, jota verrataan neliöön, jolla on sama ympärysmitta. Tällöin pitkän ja kapean suorakulmion pinta-ala lähestyy nollaa sen pituuden kasvaessa, vaikka ympärysmitta pysyy samana ja neliön pinta-ala on paljon suurempi.