Elliptinen geometria
Kolmiulotteinen elliptinen avaruus

Huomautus: Tässä osiossa termi "elliptinen avaruus" viittaa nimenomaan kolmiulotteiseen elliptiseen geometriaan, toisin kuin edellisessä osiossa, joka käsittelee kaksiulotteista elliptisistä geometriaa. Tämän avaruuden ominaisuuksien selventämiseen käytetään kvaternioita.
Elliptinen avaruus voidaan konstruoida samaan tapaan kuin kolmiulotteinen vektoriavaruus: ekvivalenssiluokkien avulla. Tähän käytetään pallopinnan isoympyröiden suunnattuja kaaria. Vektorilaskennassa suunnatut janat ovat ekvivalentteja, ekvipollentteja, jos ne ovat yhdensuuntaiset, yhtä pitkät ja samansuuntaiset, ja nämä ekvivalenssiluokat muodostavat vektoriavaruuden. Samaan tapaan isoympyröiden suunnatut kaaret ovat ekvipollentit, jos ne ovat yhtä pitkät, samoin päin suunnatut ja sijaitsevat samalla isoympyrällä. Nämä ekvivalenssiluokat muodostavatkin elliptisen avaruuden.
Elliptisen avaruuden rakennetta voidaan tutkia William Rowan Hamiltonin vektorialgebran avulla. Hän luonnehti pallopinnan alueeksi, jonka muodostavat miinus yhden neliöjuuret. Tällöin Eulerin kaavalle analoginen yhtälö  \exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta  (missä r on pallopinnalla) esittää siinä tasossa olevaa isoympyrää, johon sisältyvät pisteet 1 ja r. Vastakkaisia pisteitä r ja -r vastaavat vastakkaissuuntaiset ympyrät. Pisteiden θ ja φ välinen kaari on ekvipollentti jonkin pisteiden 0 ja φ – θ välisen kaaren kanssa. Elliptisessä avaruudessa kaaren pituus on pienempi kuin π, joten kaaret voidaan parametroida θ:n avulla, joka on joko välillä [0, π) tai välillä (–π/2, π/2].
Jos  z=\exp(\theta r) ja  z^{*}=\exp(-\theta r), on  zz^{*}=1. Tällöin sanotaan, että z:n moduuli eli normi on 1 (Hamilton nimitti sitä z:n tensoriksi.  Mutta koska r:n arvot muodostavat pallopinnan 3-avaruudessa, muodostavat exp(θ r):n arvot 4-avaruudessa olevan pallopinnan  S^{3}, jota sanotaan 3-pallopinnaksi, koska se on kolmiulotteinen. Hamilton antoi näin muodostetamalleen algebralle nimen kvaterniot, ja niistä tuli pian hyödyllinen ja arvostettu matematiikan työkalu. Sen neliulotteinen avaruus voidaan muodostaa napakoordinaateilla  t\exp(\theta r), missä t:n arvoina ovat positiiviset reaaliluvut.
Kun maapallon pintaa tai taivaanpalloa tutkitaan trigonometrisesti, kolmioiden sivut ovat pallon isoympyröitä. Kvaternioiden ensimmäinen menestyksellinen sovellus oli pallotrigonometrian palauttaminen algebraan. Hamilton nimitti versoreiksi kvaternioita, joiden normi on 1.
Kun piste r on annettu, versorit
muodostavat elliptisen suoran.  Pisteiden  e^{ar} ja 1 välinen etäisyys on  a. Jokaiselle versorille  u tämä etäisyys on se θ, jolla  cos\theta =(u+u*)/2, sillä tästä kaavasta saadaan minkä tahansa kvaternion skalaariosa.
Elliptistä liikettä esittää kvaternioiden välinen kuvaus
Versorin u läpi kulkevat elliptiset suorat voivat olla muotoa
Ne ovat u:n oikean- ja vasemmanpuoleiset Cliffordin siirrot pitkin pisteen 1 kautta kulkevaa elliptistä suoraa. Elliptinen avaruus saadaan  S^{3}:sta samastamalla toistensa antipodissa olevat pisteet.
Elliptiseen avaruuteen liittyy erityiset sruktuurit, joita sanotaan Cliffordin yhdensuuntaisiksi ja Cliffordin pinnoiksi.
Elliptisen avaruuden versoripisteet voidaan kuvata Cayleyn muunnoksella avaruuteen  \mathbb {R} ^{3}, jolloin avaruudelle saadaan vaihtoehtoinen esitysmuoto.