stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Fredrik Saarela

| Fredrik Saarela |
| --- | --- |

Henkilötiedot
Muut nimet:  Fredrik Villiam Saarela
Syntynyt: 25. marraskuuta 1888 Alatornio
Kuollut: 5. heinäkuuta 1955 (66 vuotta)
Jääkäri
Korkein sotilasarvo:  jääkärikapteeni
Fredrik Villiam Saarela (25. marraskuuta 1888 Alatornio – 5. heinäkuuta 1955) oli suomalainen jääkärikapteeni ja lääninhallituksen virkailija. Hänen vanhempansa olivat maanviljelijä Erkki August Saarela ja Brita Kristiina Amanda Räihä. Hänet vihittiin avioliittoon vuonna 1919  Hilda Lyydia Vuolon kanssa.
Opinnot

Saarela suoritti yksityisesti keskikoulukurssin Iin yhteiskoulussa  vuonna 1930. Hän suoritti Taktiikan soveltamiskurssin vuosina 1925 ja 1927 ja komppanianpäälliköiden talvitoimintakurssin Sotkamossa ja kesätoimintajakson Suojeluskuntain päällystökoulussa vuonna 1933.
Jääkärikausi

Tämä Alatorniolainen työmies liittyi vapaaehtoisena Saksassa sotilaskoulutusta antavaan jääkäripataljoona 27:n 1. komppaniaan 31. lokakuuta 1915  ja otti osaa taisteluihin ensimmäisessä maailmansodassa Saksan itärintamalla Misse-joella ja Riianlahdella sekä Aa-joella. Saarela osallistui Libaussa järjestetyille lääkintäkursseille.
Suomen sisällissota

Saarela saapui Suomeen jääkärien pääjoukon mukana Varavääpeliksi ylennettynä 25. helmikuuta 1918  ja sijoitettiin Suomen Valkoiseen armeijaan lääkintäaliupseeriksi ylennettynä 8. jääkäripataljoonaan, mistä hänet siirrettiin  6. huhtikuuta 1918  alkaen joukkueenjohtajaksi 6. Jääkärirykmentin 18. jääkäripataljoonan 1. komppaniaan ja otti osaa Suomen sisällissodan taisteluihin  Ilveksessä, Hotakassa ja Muolaassa sekä etenemiseen Viipurin - Pietarin radalle.
Sisällissodan jälkeinen aika

Saarela palveli sisällissodan jälkeen 3. komppanian nuorempana upseerina edellämainitusta joukko-osastosta muodostetussa Jääkäripataljoona n:o 6:ssa, jolla myöhemmin on ollut nimet Jääkäripataljoona n:o 3, Kajaanin sissipataljoona ja Pohjanmaan jääkäripataljoona. Armeijasta hän erosi 24. syyskuuta 1919 ja siirtyi suojeluskuntajärjestön palvelukseen ja toimi paikallispäällikkönä Sievillä 1. helmikuuta  -  31. maaliskuuta 1920 välisen ajan ja Karttulassa 1. huhtikuuta 1920 - 1. helmikuuta 1922 välisen ajan sekä Leppävirralla 1. helmikuuta 1922 - 1. tammikuuta 1925 välisen ajan. Hänet määrättiin 1. helmikuuta 1925 Kuopion suojeluskuntapiirin 3. alueen ja 1. huhtikuuta 1932 Pohjolan suojeluskuntapiirin 5. alueen päälliköksi, missä tehtävässä hän palveli vuoteen 1938 saakka, jolloin erosi vakinaisesta palveluksesta.
Talvi- ja jatkosota

Saarela osallistui talvisotaan pataljoonan komentajana Jalkaväkirykmentti 40:ssä ja osallistui taisteluihin Savukoskella, Joutsijärvellä, Märkäjärvellä ja Viipurinlahdella. Jatkosotaan hän osallistui Hanhikosken varuskunnan päällikkönä, mistä hänet siirrettiin myöhemmin Rovaniemen varuskunnan komendantiksi ja osallistui vuonna 1944 Pohjois-Suomen evakuointijärjestelyihin.
Sotien jälkeinen aika

Saarela toimi sotien jälkeen Lapin lääninhallituksen hintaosaston virkailijana vuoteen 1955 saakka. Hän oli myös sodan jälkeen syytettynä ns. asekätkentäjutussa.
Luottamustoimet

Saarela toimi Vapaussodan Rintamamiesliiton alueasiamiehenä ja liittohallituksen jäsenenä vuosina 1939 – 1944.
Ylennykset ja kunniamerkit
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Ylennykset |  | Kunniamerkit |
|  Hilfsgruppenführer 10. kesäkuuta 1917  Varavääpeli 11. helmikuuta  1918  Vääpeli 7. toukokuuta 1918  Vänrikki  29. toukokuuta 1918  Luutnantti 16. toukokuuta 1927  Kapteeni 29. tammikuuta  1938 |     |  Vapaudenristi 3. lk.  Vapaudenristi 4. lk. miekkojen kera  Suomen Valkoisen Ruusun ritarimerkki  Vapaussodan muistomitali soljen kera  Talvisodan muistomitali  Väestönsuojelun ansiomitali  Jääkärimerkki  Saksan maailmansotaan osallistuneiden kunniaristi |
Jääkäripataljoona 27:n 1. komppania
Käyrä

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma
Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
Analyyttinen geometria
n
k
Osa artikkelisarjaa
Matematiikassa käyrä on halutulla välillä jatkuva pisteiden joukko avaruudessa. Käyrän ei välttämättä tarvitse noudattaa mitään matemaattista mallia. Yksinkertaisimmillaan käyrä on suora viiva.
Topologinen määritelmä

Olkoon  X topologinen avaruus ja  I reaaliakselin jokin väli. Tällöin käyrä on jatkuva kuvaus  \gamma :I\to X. Käyrää sanotaan yksinkertaiseksi, jos  \gamma  on injektiivinen. Jos I on suljettu ja rajoitettu väli,  I=[a,b], sanotaan käyrää yksinkertaiseksi siinäkin tapauksessa, että  \gamma (a)=\gamma (b) ja  \gamma  on välin sisäpisteissä injektiivinen.
Käyrä on suljettu käyrä, jos  I=[a,b] ja  \gamma (a)=\gamma (b). Suljettua yksinkertaista käyrää sanotaan Jordanin käyräksi.
Topologisessa tarkastelussa on huomattava, että käyrä ja sen kuvaaja ovat kaksi eri asiaa. Kahden eri käyrän kuvaajat voivat olla samat. Esimerkiksi fysikaalisesti tulkittuna käyrää pitkin voidaan kulkea eri nopeuksilla tai Jordan-käyrää voidaan kiertää useita kertoja.
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Lipschutz, Seymour: General Topology.  McGraw-Hill, 1965.  ISBN 0-07-037988-2
Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Paraabeli on yksinkertainen käyrä.
Laajennettu reaalilukujoukko

Ylin reaalilukusuora on laajennettu siten, että mukaan on otettu luvut  \infty  ja  -\infty  ja ne ovat lukusuoran päätepistetitä. Alempi kuvio liittyy toiseenn laajennustulkintaan.
Laajennettu reaalilukujoukko on lukujoukko, joka saadaan lisäämällä reaalilukujoukkoon  \mathbb {R}  kaksi uutta elementtiä: positiivinen äärettömyys +∞ eli ∞ ja negatiivinen äärettömyys −∞.   Laajennettua reaalilukujoukkoa voidaan merkitä symbolilla  {\overline {\mathbb {R} }} tai välinä [−∞, +∞]. Laajennetun reaalilukujoukon geometrinen vastine on laajennettu lukusuora, jossa ajatellaan tavallisen lukusuoran kumpaankin päähän lisätyksi yksi äärettömän kaukainen piste.
Laajennettu reaalilukujoukko on tarpeellinen erityisesti raja-arvotarkasteluissa ja mittateorian sovelluksissa.
Laskutoimitukset

Tavalliset reaalilukujen laskutoimitukset voidaan osittain ottaa käyttöön myös laajennetussa reaalilukujoukossa.
Näissä määrittelyissä a + ∞ on sekä a + (+∞) että a − (−∞), ja vastaavasti a − ∞ on sekä a − (+∞) että a + (−∞).
Sen sijaan ∞−∞, ±∞ ÷ ±∞, (±∞)0, 0±∞, 1±∞ ja (−∞)±∞ ei tavallisesti ole määritelty. Raja-arvolaskennassa määrittämätön 0 * ±∞ taas määritetään todennäköisyyslaskennassa ja mittateoriassa tavallisesti nollaksi.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Kääntyvä matriisi

Lineaarialgebrassa n×n-matriisia (eli neliömatriisia ) A sanotaan kääntyväksi, säännölliseksi  tai epäsingulaariseksi, jos on olemassa sellainen n×n-matriisi B, että
missä In on n×n yksikkömatriisi ja kertolaskuna on matriisien tavallinen kertolasku. Matriisia, joka ei ole kääntyvä, sanotaan singulaariseksi. Yllä olevassa ehdossa matriisi A määrää yksikäsitteisesti B:n ja matriisia B sanotaan A:n käänteismatriisiksi ja merkitään
Kannattaa huomata, että jos matriiseille A ja B pätee
niin välttämättä myös
vaikka matriisien kertolasku ei olekaan yleisessä tapauksessa kommutatiivinen. Tämä säästää aikaa, jos matriisi halutaan varmistaa annetun matriisin käänteismatriisiksi. Vaikka matriisin alkiot ovat useimmiten reaali- tai kompleksilukuja, kaikki määritelmät ovat voimassa myös, jos matriisin alkiot otetaan mielivaltaisesta renkaasta. Käänteismatriisia vastaava lineaarikuvaus on alkuperäistä matriisia vastaavan lineaarikuvauksen käänteisfunktio.
Jos n×n-matriisi A on säännöllinen, seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä:
Matriisin  {\boldsymbol {A}} determinantti  \det({\boldsymbol {A}})\neq 0.
Matriisin  {\boldsymbol {A}} kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi on  {\boldsymbol {I}}_{n}\,.
Matriisin  {\boldsymbol {A}} aste  r({\boldsymbol {A}})=n\,.
Koska matriisit vastaavat lineaarikuvauksia ja koska käänteismatriisi vastaa lineaarikuvauksen käänteisfunktiota, tarkoittaa matriisin kääntymättömyys sitä, että vastaavalla lineaarikuvauksella ei ole käänteisfunktiota (ja toisin päin). Tämä tarkoittaa että jokainen matriisi, jonka lineaarikuvaus kuvaa kaksi eri vektoria samaksi vektoriksi, on kääntymätön. Yksinkertaisin esimerkki on nollamatriisi (kaikki alkiot nollia), joka kuvaa kaikki vektorit origoon. Samoin matriisi on kääntymätön, mikäli kaksi tai useampia sen sarakevektoreista on keskenään yhdensuuntaisia, jolloin vastaava lineaarikuvaus pudottaa vektoreista ulottuvuuden. Muitakin mahdollisuuksia on.
Singulaarisia matriiseja on kuitenkin siinä mielessä äärimmäisen harvassa, että niiden joukon Lebesguen mitta on nolla (vastaava pätee mm. luonnollisiin lukuihin). Tämä tarkoittaa sitä, että jos valitaan matriisin arvot satunnaisesti reaalilukujen joukosta, on todennäköisyys sille, että matriisi ei ole kääntyvä 0. Tämä seuraa siitä, että Cayleyn–Hamiltonin lauseen mukaan matriisit voidaan ajatella polynomiyhtälön nollakohtina. Voidaan myös helposti osoittaa, että vaikka matriisi A on singulaarinen, on olemassa sellainen luku r > 0, että matriisin
käänteismatriisi on olemassa, kun  0<|\epsilon |<r. Toisin sanoen mielivaltaisen pieni muutos matriisin päädiagonaalin alkioiden arvoihin tekee singulaarisesta matriisista kääntyvän. Käytännön sovelluksissa voidaan kuitenkin törmätä singulaarisiin matriiseihin.
Myös numeerisessa matematiikassa matriisit voivat olla kääntyviä, mutta käänteismatriisin muodostaminen voi olla hankalaa numeerisista virheistä johtuen.
Matriisin kääntäminen

Matriisin kääntämisellä tarkoitetaan algoritmia, jolla annetun matriisin käänteismatriisi voidaan löytää.
Jos annetulla matriisilla on käänteismatriisi, se voidaan muodostaa jakamalla sen liittomatriisin eli adjungoidun matriisin kaikki komponentit annetun matriisin determi­nantin arvolla. Toisin sanoen, jos matriisin A adjungoidulle matriisille käytetään merkintää adj(A) ja A:n determi­nan­tille merkintää det(A), on matriisin A käänteis­matriisi
{\boldsymbol {A}}^{-1}={\frac {adj({\boldsymbol {A}})}{det({\boldsymbol {A}})}}
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Euklidinen avaruus

Euklidinen avaruus on n-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat. Euklidista avaruudelle käytetään merkintöjä  \mathbb {R} ^{n} tai  \mathbb {E} ^{n}.
Tunnetuin euklidinen avaruus on  \mathbb {R} ^{1} eli reaaliluvut. Lisäksi matematiikassa tulevat usein vastaan euklidinen taso  \mathbb {R} ^{2} ja kolmiulotteinen avaruus  \mathbb {R} ^{3}.
Nykyisen käsityksen mukaan maailmankaikkeus ei ole euklidinen avaruus, sillä suhteellisuusteorian mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla.
Johdanto

| --- | --- |

Esimerkiksi vektoriavaruuden  \mathbb {R} ^{3} alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukolmikot  (x,y,z). Kahden tällaisen summa lasketaan koordinaateittain:
Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esimerkiksi
Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.
Skalaaritulossa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari,
Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen  \mathbb {R} ^{3} normi eli pituusmitta:
Tämä vastaa Pythagoraan lausetta. Kahden vektorin  \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3} etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi:
Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa  \mathbb {R} ^{n}.
Määritelmiä

Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli  \mathbb {R} :n karteesisena tulona itsensä kanssa n kertaa. Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä n-jonoja, eli niissä on n kappaletta alkioita. Esimerkiksi
Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat n kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria:
\mathbb {R} ^{n}:n mielivaltainen vektori merkitään
missä reaaliluvut  x_{i} ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana:
Lukua 0 vastaa nollavektori
Kahden  \mathbb {R} ^{n}:n vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen:
Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen:
Laskusääntöjä

Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo.  \mathbb {R} ^{n}:n vektoreille  \mathbf {x}  ja  \mathbf {y}  se on
Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa:
Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille  x ja  y se on
Kulma vektoreiden  \mathbf {x}  ja  \mathbf {y}  välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla:
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Konveksi funktio

Funktio on konveksi, jos janan pisteiden  tx_{1}+(1-t)x_{2} arvot ovat suurempia tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.
Konveksi funktio tarkoittaa reaaliarvoista funktiota, joka on alaspäin kupera. Tyyppiesimerkki konveksista funktiosta on toisen asteen polynomi  x^{2}.
Määritelmä

Olkoon  A reaalilukujen osajoukko ja  f:A\to \mathbb {R}  funktio.
Funktio  f on konveksi, jos
kaikille  x,y\in A ja  t\in [0,1].
Epäyhtälön oikea puoli on pisteiden  (x,f(x)) ja  (y,f(y)) kautta kulkevan suoran arvo  x:n ja  y:n välisessä pisteessä ja vasen puoli on funktion arvo samassa pisteessä. Geometrisesti määritelmä siis tarkoittaa, että minkä tahansa funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretyn janan kaikki pisteet ovat funktion yläpuolella tai että jana sivuaa kuvaajaa.
Ominaisuuksia

Konveksilla funktiolla on seuraavat ominaisuudet:
Kahden konveksin funktion summa on konveksi.
Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi.
Konveksi funktio on jatkuva, muttei välttämättä derivoituva.
Lineaariset funktiot ovat konvekseja sekä konkaaveja.
Kahdesti derivoituva funktio on konveksi välillä  [a,b] jos ja vain jos  f''(x)\geq 0 välillä  [a,b].
Konkaavi funktio

Reaaliarvoinen funktio voi olla myös konkaavi eli ylöspäin kupera.
Funktio  f on konkaavi, jos
Toisin sanoen funktio  f on konkaavi, jos funktio  -f on konveksi.
Funktio on konkaavi, jos janan pisteen arvot ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.
Neliömatriisi

4\times 4-neliömatriisi
Neliömatriisi on matriisi, jonka vaaka- ja pystyrivin alkioiden lukumäärä on sama. Tällaisen matriisin kokoa merkitään  n\times n. Neliömatriiseilla voi olla muista matriiseista poikkeavia ominaisuuksia, kuten esimerkiksi kääntyvyys.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Epäyhtälö

Epäyhtälöllä tarkoitetaan kahden lausekkeen suuruusjärjestystä vertailevia yhtälöitä. Epäyhtälöitä käytetään monissa optimointiin liittyvissä ongelmissa. Koska reaaliluvut on mahdollista laittaa suuruusjärjestykseen, niiden osalta saadaan monia epäyhtälöitä.
Epäyhtälöitä voidaan käsitellä pitkälti kuin yhtälöitä, mutta puolittain negatiivisella luvulla kerrottaessa tai jaettaessa suuruusjärjestys kääntyy. Esimerkiksi jos  {\frac {x}{-5}}<1 niin  x>-5.
Merkintä  a<b\!\  tarkoittaa a on pienempi kuin b ja
merkintä  a>b\!\  tarkoittaa että a on suurempi kuin b.
Nämä suhteet tunnetaan tiukkana epävastaavuutena lähde?, kun taas
a\leq b merkitsee, että a on pienempi tai yhtä suuri kuin b;
a\geq b merkitsee, että a on suurempi tai yhtä suuri kuin b;
a\not >b merkitsee, että a ei ole suurempi kuin b ja
a\not <b merkitsee, että a ei ole pienempi kuin b.
Kuuluisia epäyhtälöitä

Kolmioepäyhtälö
Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö
Suuruusjärjestysepäyhtälö
Hölderin epäyhtälö
Jensenin epäyhtälö
Esimerkkejä

Epäyhtälö
toteutuu, kun
Esimerkkejä > Pienempi kuin

Pienempi kuin on kaksipaikkainen relaatio, jota käytetään reaalilukujen vertailuun. Sille käytetään merkkiä  <. Esimerkiksi lausekkeet  3<5 ja  -5<-3 ovat tosia. Relaatiolle on voimassa transitiivisuus, eli jos  a<b ja  b<c, niin  a<c.
Esimerkkejä > Suurempi tai yhtäsuuri kuin

Suurempi tai yhtäsuuri kuin on myös reaalilukujen kaksipaikkainen relaatio, jota käytetään reaalilukujen vertailuun. Tämä relaatio on esimerkki järjestysrelaatiosta.
Suurempi tai yhtäsuuri kuin -relaatiota merkitään symbolilla ≥. a ≥ b, luetaan a on suurempi tai yhtäsuuri kuin b.
Esimerkki käytöstä:  2\geq 1, koska  2-1\in \mathbb {N} _{0} (N_0).
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Lineaarisen epäyhtälön ratkaiseminen (Arkistoitu – Internet Archive)
Kunta (matematiikka)

Kunta (engl. field) matematiikassa on epäformaalisti sanottuna joukko, johon on määritelty neljä peruslaskutoimitusta siten, että laskutoimitukset noudattavat tavallisia laskulakeja, ja laskutoimitusten tulos kuuluu samaan joukkoon. Esimerkiksi rationaaliluvut muodostavat kunnan, mutta kokonaisluvut eivät, koska jakolaskun tulos ei ole välttämättä kokonaisluku. Kuntia tutkiva matematiikan ala on algebra.
Vektoriavaruuden määritelmään kuuluu varsinaisen vektoriavaruuden lisäksi jokin "skalaarien" kunta, useimmiten reaalilukujen joukko  \mathbb {R} , jonka alkioilla eli "skalaareilla" vektoreita voi kertoa niin, että vektorin pituus moninkertaistuu tuon skalaarin verran mutta suunta ei muutu.
Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):
Formaali määritelmä

Joukko  K(+,\cdot ) on kunta, jos se täyttää seuraavat ehdot:
Kaikilla  x,y,z on  x+(y+z)=(x+y)+z (summan liitäntälaki)
K:ssa on nolla-alkio  0 niin, että kaikilla  x on  x+0=x (summan neutraalialkio)
Kaikilla  x on  K:ssa vasta-alkio  -x siten, että  x+(-x)=0
Kaikilla  x,y on  x+y=y+x (summan vaihdantalaki)
Kaikilla  x,y,z on  x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z (osittelulaki 1)
Kaikilla  x,y,z on  x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z (tulon liitäntälaki)
K:ssa on ykkösalkio  1 siten, että kaikilla  x on  1\cdot x=x (tulon neutraalialkio)
Kaikilla  x paitsi  0:lla on  K:ssa käänteisalkio  x^{-1} siten, että  x\cdot x^{-1}=1 (tulon käänteisalkio)
Kaikilla  x,y on  x\cdot y=y\cdot x (tulon vaihdantalaki)
1\neq 0
Määritelmässä siis käytetään kahta laskutoimitusta. Vähennyslasku voidaan määritellä summan ja vasta-alkion avulla,  x-y=x+(-y), ja jakolasku vastaavasti tulon ja käänteisalkion avulla.
Toisin sanoen kunta on kommutatiivinen rengas joka sisältää kaikkien alkioidensa  a\neq 0 käänteisalkiot ja jolla  1\neq 0.
Voidaan todistaa, että ehto  1\neq 0 on yhtäpitävä ehdon  K\neq \{0\} kanssa. Joskus harvoin kunta määritellään ilman tätä ehtoa eli "nollakunta" ("triviaali kunta") lisätään kuntien joukkoon. Tällöin menetetään se tulos, että nollaideaali ei ole maksimaalinen. Nollakunta on kuitenkin rengas.
Tunnetuimmat kunnat ovat rationaaliluvut ℚ, reaaliluvut ℝ ja kompleksiluvut ℂ. Reaaliluvut ovat rationaalilukujen kuntalaajennus ja kompleksiluvut reaalilukujen kuntalaajennus, mutta kaikki kunnat eivät muodosta samanlaista laajennusten jonoa. Esimerkiksi gaussin rationaalit, eli kompleksiluvut joiden reaali- ja imaginääriosat ovat rationaalilukuja, muodostavat kunnan. Gaussin rationaalit ja reaaliluvut eivät ole kumpikaan toisensa kuntalaajennuksia.
Muita äärettömiä kuntia ovat esimerkiksi algebralliset lukukunnat  \mathbf {Q} (\mu ), kaikkien algebrallisten lukujen kunta 𝔸, ja polynomien osamäärät eli rationaalifunktiot.
Äärellinen kunta syntyy yksinkertaisimmin siten, että joukoksi valitaan kokonaisluvut  0,1,2,\ldots ,p-1, jossa p on alkuluku, ja yhteenlasku ja kertolasku määritellään s.e. tuloksesta otetaan jakojäännös luvulla  p.
Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole – alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja. Nollalla merkityn alkion  0 ei senkään tarvitse olla "oikea nolla", vaan se on vain yhteenlaskussa vaikuttamaton alkio (yhteenlaskun neutraalialkio); samaten on ykkösellä merkitty  1 vain kertolaskussa vaikuttamaton alkio(kertolaskun neutraalialkio).
Joitakin kuntia koskevia perustuloksia

Kunnan F nollasta eroavat alkiot (merkitään yleensä F×) on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Jokainen F×:n äärellinen aliryhmä on syklinen.
Jokainen kunta on kokonaisalue.
Äärellisen kunnan alkioiden lukumäärä on aina alkuluvun potenssi.
Kunta on rengas jolla ei ole muita ideaaleja kuin {0} ja kunta itse.
Jokaiselle kunnalle F on olemassa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen kunta G jonka alikunta F on, kaikki F:n alkiot ovat algebrallisia G:ssä ja G on algebrallisesti suljettu. Tällöin G:tä kutsutaan F:n algebralliseksi laajennukseksi.
Kirjallisuutta

Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan.  Helsinki:  Gaudeamus, 2015.  ISBN 978-952-495-361-0
Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).