Integrointi moniulotteisessa avaruudessa
Integrointimenetelmiä > Muuttujanvaihto

Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujan­vaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien 



x


{\textstyle x}

 ja 



y


{\textstyle y}

 sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat 



x


{\textstyle x}

 ja 



y


{\textstyle y}

 voidaan esittää kahden muun muuttujan, 



u


{\textstyle u}

 ja 



v


{\textstyle v}

, funktioina:
{\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v).\end{cases}}
Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi 



u
v


{\textstyle uv}

-tason osajoukolta 



D


{\textstyle D}

 



x
y


{\textstyle xy}

-tason osajoukolle 



S


{\textstyle S}

. Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi. Tällöin on olemassa käänteismuunnos
{\begin{cases}u=u(x,y)\\v=v(x,y)\end{cases}}
joukolta 



S


{\textstyle S}

 joukolle 



D


{\textstyle D}

. Jos funktioilla 



x
(
u
,
v
)


{\textstyle x(u,v)}

 ja 



y
(
u
,
v
)


{\textstyle y(u,v)}

 on olemassa jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja Jacobin determinantti
{\frac {\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{vmatrix}}\neq 0
pisteessä 



(
u
,
v
)


{\textstyle (u,v)}

, niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen 



(
u
,
v
)


{\textstyle (u,v)}

 ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin
{\frac {\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}=\left({\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right)^{-1}
Koordinaatistomuunnoksessa joukolta 



S


{\textstyle S}

 (



x
y


{\textstyle xy}

-tasolta) joukolle 



D


{\textstyle D}

 (



u
v


{\textstyle uv}

-tasolle) integroitava funktio 



f
:
S
→

R



{\textstyle f:S\to \mathbb {R} }

, 



f
(
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)}

 muuntuu funktioksi 



g
:
D
→

R



{\textstyle g:D\to \mathbb {R} }

,
g(u,v)=f\left(x(u,v),y(u,v)\right).
Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde:
\mathrm {d} A=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v
Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella):
Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:
Tässä Jacobin determinatti on:
{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\end{vmatrix}}
Muuttujanvaihto yleistyy n:lle muuttujalle: