stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Boris Johnson
Poliittinen ura > Lontoon pormestarina

Johnson ilmoitti pyrkivänsä Lontoon pormestariksi vuoden 2008 vaaleissa. David Cameronin kerrotaan suhtautuneen aluksi epäillen Johnsonin ehdokkuuteen, mutta toisaalta häntä pidettiin ainoana ehdokkaana, joka voisi lyödä suositun Ken Livingstonen. Kampanjan aikana Johnson joutui pyytämään anteeksi Spectatorissa hänen päätoimittaja-aikanaan julkaistua kirjoitusta, jossa väitettiin mustilla olevan matalampi ÄO.
Johnson sai toukokuun 2008 pormestarinvaalissa 1 168 738 ääntä Livingstonen 1 028 966 ääntä vastaan. Johnsonin valinta Lontoon pormestariksi oli merkittävin konservatiivin saavuttama asema sitten John Majorin vaalivoiton 1992. Se oli myös Johnsonin ensimmäinen merkittävä julkinen vastuuasema.
Tavoitteekseen pormestarina Johnson ilmoitti rikollisuuden ja turhien menojen vähentämisen. Hän asetti erityiseksi huolenaiheeksi Lontoon metron turvallisuuden – metroon lisättiin 440 poliisia ja alkoholin nauttiminen kiellettiin. Johnson hyökkäsi vuonna 2014 voimakkaasti metrolakkoa vastaan, jossa vastustettiin muun muassa lipunmyyntitoimistojen sulkemista.
Poliittinen ura > Ulkoministerinä

Heinäkuussa 2016 Cameronin erotessa pääministerin paikalta Johnson valittiin Theresa Mayn hallituksen ulkoministeriksi. Johnson erosi virasta 9. heinäkuuta 2018.
Poliittinen ura > Brexit

Johnson ilmoitti helmikuussa 2016 kannattavansa Brexitiä eli Ison-Britannian lähtöä Euroopan unionista. Saman vuoden maaliskuussa hän sanoi, että Iso-Britannia voisi seurata Kanadan mallia esimerkiksi kaupankäynnissä ja maahanmuuttopoliittisissa kysymyksissä. Cameron on sanonut, että Johnsonin päätös kannattaa brexitia teki heidän välinsä etäisiksi. Johnson on verrannut EU-projektia Rooman valtakunnan, Napoleon Bonaparten ja Adolf Hitlerin yrityksiin tuoda Eurooppaa yhden auktoriteetin alaisuuteen. Samassa yhteydessä hän sanoi, että brittien tulisi ryhtyä jälleen sankareiksi, kuin Winston Churchillin aikoina, vapauttaa maa ja pelastaa EU itseltään äänestämällä EU-eron puolesta.
Poliittinen ura > Puheenjohtajavaali 2019 ja valinta pääministeriksi

Johnson valittiin konservatiivipuolueen puheenjohtajaksi ja maan pääministeriksi 23. heinäkuuta 2019. Hänen vastaehdokkaansa oli ulkoministeri Jeremy Hunt.
Poliittinen ura > Vaalivoitto ja ero EU:sta

Joulukuun 2019 parlamenttivaalien jälkeen konservatiiveilla oli parlamentin alahuoneessa 364 paikkaa ja työväenpuolueella 203 paikkaa. Tämä tarkoitti, että konservatiiveilla on suurin parlamentaarinen enemmistö sitten pääministeri Margaret Thatcherin vuoden 1987 vaalivoiton. Konservatiivien suuri vaalivoitto oli myös iso henkilökohtainen voitto pääministeri Johnsonille. Sen turvin hän pystyi toteuttamaan lopulta Britannian eron EU:sta helmikuun alussa 2020.
Poliittinen ura > Sairastuminen koronaan

Maalis-huhtikuussa 2020 Johnson sairastui vakavasti koronaan ja tarvitsi tehohoitoa.
Poliittinen ura > Juhlaskandaali

Johnson sai huhtikuussa 2022 sakot koronapandemian aikana järjestettyjen, koronarajoituksia rikkoneiden juhlien vuoksi, joihin Johnson oli osallistunut tai joita hänen henkilökuntansa oli järjestänyt.
Poliittinen ura > Ero puolueen johdosta

Johnson ilmoitti 7. heinäkuuta 2022 eroavansa konservatiivipuolueen johdosta sen jälkeen, kun moni hänen hallituksensa ministeri oli eronnut hallituksesta epäluottamuksen osoituksena Johnsonia kohtaan. Hän jatkoi pääministerinä siihen asti, kunnes hänelle valittiin seuraaja. Johnson erosi virastaan 6. syyskuuta 2022.
Yksityiselämä

Johnsonin ensimmäinen avioliitto oli Allegra Mostyn-Owenin kanssa vuosina 1987–1993. Marina Wheelerin kanssa Johnson oli naimisissa vuosina 1993–2018. He saivat neljä lasta. Johnson sai Carrie Symondsin kanssa poikalapsen huhtikuussa 2020, tyttölapsen joulukuussa 2021 ja poikalapsen heinäkuussa 2023 ja Johnsonilla on myös yksi avioliittojen ulkopuolinen lapsi, eli yhteensä kahdeksan lasta. Johnson ja Symonds menivät naimisiin toukokuussa 2021.
Julkinen kuva

Johnson tunnetaan eksentrisenä julkkiksena ja hän on yksi tunnetuimpia parlamentin jäseniä. Johnson saavutti julkisuutta oltuaan neljä kertaa Have I Got News for You -tietokilpailun tuomarina ja kolme kertaa panelistina, jossa hänen huumorintajunsa teki hänestä yleisön suosikin. Hän oli myös Top Gearissa "julkkiksena kohtuuhintaisessa autossa" ajamassa Chevrolet Lacettia.
Poliitikkona Johnson on oikeistolaisempi ja konservatiivisempi kuin Cameronin keskustalaiseksi luotsaama konservatiivipuolueen linja. Hän on tukenut George W. Bushia vuosien 2000 ja 2004 vaaleissa, ihailee Yhdysvaltain joukkoja, vastustaa minimipalkkoja ja Kioton sopimusta. Johnson on huumorin varjolla antanut joitain rasistisiksi tulkittuja lausuntoja sekä luonnehtinut Etelä-Afrikkaa apartheidin jälkeen "enemmistödiktatuuriksi" ja sanonut entisten siirtomaiden ongelmien johtuvan siitä, etteivät britit ole enää vallassa. Työväenpuolueen Compass-ajatushautomon julkaiseman raportin mukaan Johnson on "Norman Tebbit -tyyppi pellepuvussa".
Kunnianosoituksia

Vapauden ritarikunta (Ukraina, 2022)
Kirjallisuutta

Boris Johnson: Friends, Voters, Countrymen, Jottings on the Stump. Harper Collins, 2002
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Boris Johnson Wikimedia Commonsissa
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
|   | Edeltäjä: Theresa May | Yhdistyneen kuningaskunnan konservatiivipuolueen puheenjohtaja 2019–2022 | Seuraaja: Liz Truss |
| n k Yhdistyneen kuningaskunnan pääministerit (luettelo) |
| --- | --- | --- |
|  Walpole  Compton  Pelham  Pelham-Holles  Cavendish  Pelham-Holles  Stuart  G. Grenville  Watson-Wentworth  Pitt  FitzRoy  North  Watson-Wentworth  Petty  Cavendish-Bentinck  Pitt nuorempi  Addington  Pitt nuorempi  W. Grenville   Cavendish-Bentinck  Perceval  Jenkinson  Canning  Robinson  Wellesley Wellington  Grey  Lamb  Peel  Lamb  Peel  Russell  Smith-Stanley  Hamilton-Gordon  Palmerston  Smith-Stanley  Palmerston  Russell  Smith-Stanley  Disraeli  Gladstone  Disraeli  Gladstone  Salisbury  Gladstone  Salisbury  Gladstone  Primrose  Salisbury  Balfour  Campbell-Bannerman  Asquith  Lloyd George  Bonar Law  Baldwin  MacDonald  Baldwin  MacDonald  Baldwin  Chamberlain  Churchill  Attlee  Churchill  Eden  Macmillan  Douglas-Home  Wilson  Heath  Wilson  Callaghan  Thatcher  Major  Blair  Brown  Cameron  May  Johnson  Truss  Sunak  Starmer  |  Walpole  Compton  Pelham  Pelham-Holles  Cavendish  Pelham-Holles  Stuart  G. Grenville  Watson-Wentworth  Pitt  FitzRoy  North  Watson-Wentworth  Petty  Cavendish-Bentinck  Pitt nuorempi  Addington  Pitt nuorempi  W. Grenville   Cavendish-Bentinck  Perceval  Jenkinson  Canning  Robinson  Wellesley Wellington  Grey  Lamb  Peel  Lamb  Peel  Russell  Smith-Stanley  Hamilton-Gordon  Palmerston  Smith-Stanley  Palmerston  Russell  Smith-Stanley  Disraeli  Gladstone  Disraeli  Gladstone  Salisbury  Gladstone  Salisbury  Gladstone  Primrose  Salisbury  Balfour  Campbell-Bannerman  Asquith  Lloyd George  Bonar Law  Baldwin  MacDonald  Baldwin  MacDonald  Baldwin  Chamberlain  Churchill  Attlee  Churchill  Eden  Macmillan  Douglas-Home  Wilson  Heath  Wilson  Callaghan  Thatcher  Major  Blair  Brown  Cameron  May  Johnson  Truss  Sunak  Starmer  |  |
  Luokka   Commons 
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  FAST  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Norja  Espanja  Ranska  BnF data  Saksa  Italia  Israel  Belgia  Yhdysvallat  Latvia  Japani  Tšekki  Korea  Kroatia  Alankomaat  Puola  Portugali 
Taiteenala:  MusicBrainz 
Henkilöt:  DDB  UK Parliament 
Muut:  IdRef
Budō kesäolympialaisissa 1964

Budō järjestettiin näytöslajina vuoden 1964 kesäolympialaisissa 15. lokakuuta Nippon Budōkan Hallissa, Tokiossa, Japanissa. Tämä oli ensimmäinen ja toistaiseksi ainoa kerta kun laji oli mukana olympialaisten ohjelmassa. Budōlajeista mukana olivat kendō (miekkailu), kyūdō (jousiammunta) ja sumō (paini).
Jukka Anteroinen

| Jukka Anteroinen |
| --- | --- |
 Jukka Anteroinen (vasemmalla)
Henkilötiedot
Syntynyt: 24. huhtikuuta 1968 (ikä 56) Varkaus
Sotilashenkilö
Palvelusvuodet:  1992–
Komentajuudet:  Rannikkolaivasto 2019–2022
Sotilasarvo:  lippueamiraali
Kunniamerkit:  SL K SL R I Sot.am.
Ylennykset:  kommodori 2016 lippueamiraali 2022
Aiheesta muualla
CV
Jukka Pekka Anteroinen (s. 24. huhtikuuta 1968 Varkaus) on suomalainen lippueamiraali, joka työskentelee Merivoimien esikunnan esikuntapäällikkönä.
Anteroinen valmistui Kadettikoulusta vuonna 1992 ja suoritti yleisesikuntaupseerin tutkinnon vuonna 2002. Hän on aiemmin toiminut urallaan muun muassa Puolustusvoimien operaatiokeskuksen päällikkönä 2015–2016, puolustusvoimain komentajan erityisavustajana 2016–2019 ja Rannikkolaivaston komentajana 2019–2022. Koulutukseltaan hän on sotatieteiden tohtori (2013).
Timo Junttila

Timo Junttila (keskellä seppeeleen kanssa) presidentti Martti Ahtisaaren hautajaisissa
Timo Tapio Junttila (s. 9. maaliskuuta 1958 Heinola) on suomalainen kontra-amiraali evp.
Timo Junttila syntyi kiinteistövälittäjä Pentti Junttilan ja myyntisihteeri Maj-Britt Jordmanin perheeseen ja avioitui vuonna 1989 Mirja Peitsaran kanssa. Junttila tuli ylioppilaaksi 1976 Heinolan yhteiskoulusta ja valmistui Kadettikoulusta 1981 ja Sotakorkeakoulusta 1991. Hän palveli opetusupseerina Helsingin laivastoasemalla 1978, Suomenlinnan tykistörykmentissä 1981–1983 ja Rannikkotykistökoulussa 1983–1987. Suomenlinnan rannikkotykistörykmentin linnakkeen päällikkö Junttila oli 1987–1989, osastoesiupseeri pääesikunnassa 1992, osastopäällikkö puolustusministeriössä  1993–1995 ja siellä puolustusministerin adjutantti 1995–1996. UNIFIL:issa Junttila palveli 1996–1997 ja Kotkan rannikkoalueen komentajana vuodesta 1998.
 Vuodesta 2013 vanhempana osastoesiupseerina ja suunnitteluyksikön johtajana puolustusministeriössä toiminut Junttila nimitettiin puolustusvoimien henkilöstöpäälliköksi 2016. Hän oli sitä ennen työskennellyt myös muun muassa puolustusasiamiehenä Washingtonissa, Suomenlahden meripuolustusalueen komentajana, maanpuolustuskurssien johtajana, apulaisosastopäällikkönä merivoimien esikunnassa ja sotilasedustajana Suomen YK-edustustossa New Yorkissa. Vakinaisesta palveluksesta eroamisikään Junttila tuli heinäkuussa 2018.
Junttila ylennettiin aliluutnantiksi 1977, luutnantiksi 1981, yliluutnantiksi 1983, kapteeniksi 1987, majuriksi 1990, everstiluutnantiksi 1997 ja komentajaksi 1999. Lippueamiraaliksi Junttila yleni 2013 ja kontra-amiraaliksi 2016.
Matias Paananen

Matias Paananen (s. 8. lokakuuta 2005) on suomalainen pesäpalloilija. Paananen edustaa Superpesiksessä pelaavaa kasvattajaseuraansa Manse PP:tä. Kaudella 2024 hän saavutti SM-hopeaa. Paanasella on sopimus Manse PP:n kanssa kauden 2025 loppuun saakka. Hän pelaa sisäpelissä vaihtajana tai kotiuttajana ja ulkokentällä polttolinjassa. Paananen on pelannut 16 Superpesiksen runkosarjan ottelua. Näissä otteluissa hän on lyönyt kaksi tavallista juoksua, tuonut yhden juoksun ja kerännyt 13 kärkilyöntipistettä. Tilastot päivitetty kauden 2024 jälkeen.
Ville Hatara

Ville Martti Hatara (s. 31. lokakuuta 1996 Lappeenranta) on entinen jääpalloilija. Hatara voitti jääpallon Suomenmestaruuden vuonna 2017. Uransa aikana hänen seurojaan ovat olleet Veiterä, wp-35, Monsa sekä Alakylän Ankat. Vuonna 2024 Hatara opettaa kotitaloutta Pateniemen koulussa.
Symmetria

Vasemmalla symmetrinen, oikealla epäsymmetrinen kuvio
Pallosymmetrinen ryhmä o.
Leonardo da Vincin Vitruviuksen miestä (noin vuodelta 1487) 
käytetään usein osoituksena ihmisruumiin ja laajemmassa mielessä myös luonnollisen maailman symmetriasta.
Symmetrisiä arkadeja Kairouanin suuressa moskeijassa Tunisiassa
Symmetria merkitsee tasasuhtaisuutta, kokonaisuuden eri osien välistä yhden­mukaisuutta.
Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopu­suhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa. Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten geometriassa tai fysiikassa.
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee yhteis­mitallisuutta.
Vaikka nämä kaksi merkitystä voidaan erottaa toisistaan, ne liittyvät läheisesti toisiinsa, minkä vuoksi tässä artikkelissa käsitellään molempia.
Matemaattinen symmetria voidaan havaita
suhteessa kuluvaan aikaan;
avaruudellisissa suhteissa;
geometrisissa muunnoksissa kuten mittakaavan muutoksessa, peilauksessa ja rotaatiossa;
muunlaisissa funktio­naali­sissa muunnoksissa; ja
piirteenä abstraktiokäsitteissä, tieteellisessä mallintamisessa, kielessä, musiikissa ja tiedossa itsessäänkin. Symmetrinen kohde voi olla aineellinen, kuten henkilö, kide, vuode­peite, lattia­laatoitus tai molekyyli, tai abstrakti käsite kuten matemaattinen yhtälö tai sävel­kulku musiikissa.
Tämä artikkeli käsittelee symmetria­käsitteitä neljältä näkö­kannalta. Ensimmäinen on symmetria geometriassa, joka on monille henkilöille tutuin symmetrian muoto. Toinen on symmetrian yleisempi merkitys koko matematiikassa. Kolmas käsittelee symmetriaa sellaisena kuin se esiintyy tieteessä ja teknologiassa. Tässä mielessä symmetria liittyy modernin fysiikan syvällisimpiin tuloksiin, myös käsityksiin ajasta ja avaruudesta. Neljäs näkökohta liittyy symmetriaan humanistisilla aloilla ja käsittelee sen rikasta ja moni­muotoista käyttöä historiassa, arkkitehtuurissa, taiteessa ja uskonnossa.
Symmetrian vastakohta on asymmetria.
Symmetria geometriassa

Monille ihmisille tutuin symmetrian muoto on geo­metrinen symmetria. Kuvion tai kappaleen geo­metrinen symmetria merkitsee sitä, että on olemassa joukko geometrisia kuvauksia, jotka säilyttävät kuvion kappaleen ennallaan. Nämä kuvaukset muodostavat aina jonkin algebrallisen ryhmän, jota sanotaan kuvion tai kappaleen symmetriaryhmäksi. Kappaleen symmetria­ryhmän määrittelee se, missä eri muunnoksissa se säilyy muuttumattomana.
Tärkeitä geometrisia kuvauksia ovat erityisesti yhtenevyyskuvaukset eli isometriat, joita ovat peilaukset, rotaatiot, translaatiot ja näistä yhdistetyt kuvaukset.
Symmetria geometriassa > Peilisymmetria

Usein symmetrialla tarkoitetaan nimenomaan peili­symmetria eli bilate­raalista symmetriaa, joka merkitsee symmetriaa peilauksen suhteen.
Kohdetta, joka on yhtäläinen peilikuvansa kanssa, sanotaan peili­symmetriseksi. Yksi­ulotteisella peili­symmetrisellä kohteella on symmetria­keskus, kaksi­ulotteisella symmetria-akseli ja kolmi­ulotteisella symmetria­taso.
Kaksi­ulotteisen kuvion symmetria-akseli on sellainen suora, että jos sille piirretään normaali, mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka ovat tällä normaalilla yhtä etäällä symmetria-akselista, joko kuuluvat molemmat kyseiseen kuvioon tai kumpikaan ei siihen kuulu. Toinen tapa käsittää asia on, että jos kuvio taitetaan akselia pitkin, molemmat puoliskot ovat samanlaiset; ne ovat toistensa peili­kuvia. Niinpä neliöllä on neljä symmetria-akselia, koska on neljä tapaa taittaa se niin, että kaikki sivut sattuvat kohdalleen. Ympyrällä on vastaavasta syystä äärettömän monta symmetria-akselia; jokainen sen keski­pisteen kautta kulkeva suora on sen symmetria-akseli. Jos kolmiolla on symmetria-akseli, se on tasa­kylkinen.
Tasokuvio voidaan siirtää tasossa trans­laatioiden ja rotaa­tioiden avulla peili­kuvansa päälle, jos ja vain jos sillä on ainakin yksi symmetria-akseli. Samoin jokainen kolmi­ulotteinen kappale, jolla on ainakin yksi symmetria­taso, voidaan siirtää kolmi­ulotteisessa avaruudessa peilikuvansa päälle. On kuitenkin olemassa myös kolmiulotteisia kappaleita, joilla ei ole symmetria­tasoa, mutta jotka kuitenkin voidaan siirtää peilikuvansa päälle. Sellaisilla kappaleilla on roto­refleksio­symmetria (katso jäljempää).
Symmetria geometriassa > Symmetriakeskus ja muut involutiiviset symmetriat

Peili­symmetrian yleistyksinä voidaan pitää muita mm-ulotteisen avaruuden iso­metrioita, jotka ovat involuutioita, kuten
jossakin karteesisessa koordinaatistossa. Tämä peilaa avaruuden jonkin m-k -ulotteisen affiinin aliavaruuden suhteen.
Jos k=m, tällaista muunnosta sanotaan peilaukseksi pisteen suhteen, joka tasossa (m=2) on sama kuin 180 asteen rotaatio.
Tällainen "peilaus" säilyttää orientaation, jos ja vain jos k on parillinen. Tästä seuraa, että kolmi­ulotteisen avaruuden peilauksessa pisteen suhteen orientaatio ei säily, vaan vasen ja oikea vaihtuvat saman tapaan kuin peili­kuvassa. Tästä syystä fysiikassa termiä P-symmetria käytetään viittaamaan sekä symmetriaa pisteen että tason suhteen; P tulee sanasta pariteetti.
Piste, jonka suhteen peilattaessa jokin kuvio pysyy ennallaan, on tämän kuvion symmetriakeskus. Esimerkiksi suunnikkailla on symmetriakeskus, joka on sen lävistäjien leikkauspiste. Esimerkkeinä taso­kuvioista, joilla on symmetria­keskus, mutta ei symmetria-akselia, voidaan mainita S-kirjain ja hakaristi.
Symmetria geometriassa > Pyörähdyssymmetria

Pyörähdyssymmetria on symmetriaa kaikkien tai joidenkin rotaatioiden suhteen m-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Rotaatiot ovat suoria isometrioita, toisin sanoen niissä orientaatio säilyy. Tämän vuoksi rotaatio­symmetrian symmetria­ryhmä on jokin E+(m):n aliryhmä.
Pyörähdyskappale on kappale, joka on symmetrinen kaikkien tietyn akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Esimerkiksi kartio ja lieriö ovat pyörähdys­kappaleita.
Tasokuviosta ympyrä on symmetrinen kaikkien sen keskipisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Jokainen säännöllinen n-kulmio on symmetrinen sellaisten sen keski­pisteen ympäri rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360°/n tai jokin tämän monikerta.
Jos jokin asia on symmetrinen kaikkien, minkä tahansa pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, se on myös symmetrinen kaikkien siirtojen suhteen, minkä vuoksi symmetriaryhmä on koko E+(m). Tällaisia kappaleita ei ole, koska ne täyttäisivät koko avaruuden, mutta tällainen symmetria on monilla fysikaalisilla laeilla.
Kun kohde on symmetrinen jonkin pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, tämä piste voidaan valita origoksi. Nämä rotaatiot muodostavat spesiaalisen orto­gonaalisen ryhmän SO(m), joka on isomorfinen sellaisten ortogonaalisten m × m-matriisien ryhmän kanssa, joiden
determinantti on 1. Kun m=3, kyseessä on rotaatioryhmä SO(3).
Fysiikan lait ovat SO(3)-symmetrisiä, jos ne eivät tee eroa avaruuden eri suuntien välillä. Noetherin teoreeman mukaan fysikaalisen systeemin pyörähdys­symmetria on yhtäpitävä pyörimismäärän säilymislain kanssa.
Symmetria geometriassa > Siirtosymmetria

Siirtosymmetria eli translationaalinen symmetria merkitsee sitä, että kohde pysyy ennallaan joko kaikissa tai joissakin avaruuden translaatioissa
T_{a}(p)\;=\;p\,+\,a.
Symmetria geometriassa > Liukuheijastussymmetria

Liukuheijastussymmetria (kolmessa ulottuvuudessa liuku­taso­symmetria) merkitsee sitä, että peilaus suoran tai tason suhteen yhdistettynä siirtoon tätä suoraa tai tasoa pitkin tuottaa tuloksena alku­peräisen kohteen. Jos kohteella on tällainen symmetria, se on myös siirto­symmetrinen sellaisen trans­laation suhteen, jossa siirto­vektori on kaksin­kertainen. Symmetria­ryhmä on isomorfinen kokonaislukujen joukon  \mathbb {Z}  kanssa.
Symmetria geometriassa > Rotorefleksiosymmetria

Kolmessa ulottuvuudessa rotorefleksio eli epäaito rotaatio merkitsee rotaatiota jonkin akselin ympäri yhdistettynä peilaukseen jonkin sitä vastaan kohti­suoran tason suhteen, johon tämä akseli sisältyy. Tällaisen roto­refleksion symmetria­ryhmä on eri tapauksissa erilainen: se voi olla joko:
jos kulmalla ei ole yhteistä tekijää 360°:n kanssa, symmetria­ryhmä ei ole diskreetti
2n-kertainen roto­refleksion (kierto­kulma 180°/n) symmetria­ryhmä on S2n (ei sama kuin symmetrinen ryhmä, jolle käytetään myös samaa merkintää; abstrakti ryhmä C2n); erikois­tapauksena kun n=1 on kyseessä peilaus pisteen suhteen, sillä tulos ei tällöin riipu akselista eikä tasosta, ainoastaan niiden leikkaus­pisteestä
Cnh (kiertokulma 360°/n); kun n on pariton, tuloksena on yksinkertainen symmetria, ja abstrakti ryhmä on C2n.
Jos taas n on parillinen, tämä ei ole perustava symmetria vaan yhdistelmä.
Roto­refleksio­symmetrisillä kappaleilla ei yleensä ole symmetria­tasoa, mutta siitä huolimatta ne voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peili­kuvansa päälle. Yksin­kertaisin sellainen kappale voidaan helposti tehdä taittelemalla neliön­muotoisen paperi­palan reunoja. Tällaista symmetriaa esiintyy myös kiderakenteissa.
Symmetria geometriassa > Kierteinen symmetria

Kierteinen eli helikaalinen symmetria on monilla tutuilla esineillä kuten kierre­jousilla, poranterillä ja ruuveilla.
Symmetria­operaation muodostaa tällöin rotaatio akselin ympäri yhdistettynä tietyn suuruiseen siirtoon tätä akselia pitkin. Tämä voidaan ajatella saatavan aikaan kun se siirtyy tätä akselia pitkin tasaisella nopeudella. Joka hetki näiden liikkeiden välillä on vakiona pysyvä kulma, kierto­kulma, jonka mukaan kohteen ominaisuudet tarkemmin määräytyvät. Jos kulmanopeus on suuri ja etenemisnopeus pieni, kiertokulma on lähellä nollaa, Jos taas pyöriminen on hidasta ja eteneminen nopeaa, kiertokulma on lähellä 90 astetta.
Kiertokulman ja akselin suuntaisten siirto­symmetrioiden perusteella voidaan erottaa kolme erityyppistä kierteistä symmetriaa:
Symmetria geometriassa > Ei-isometriset symmetriat

Geometrisen symmetrian määritelmää voidaan laajentaa niin, että se käsittää muitakin kuin euklidiset isometriat. Esimerkkejä laajemmista geometrisista symmetriaryhmistä ovat;
yhdenmuotoisuuskuvaukset, toisin sanoen affiinit kuvaukset, joiden lineaarikuvausosaa esittävä matriisi {A} on ortogonaalinen matriisi kerrottuna jollakin skalaarilla. Jos siis homotetia lisätään, itse­similaarisuus on symmetria.
Niiden affiinien kuvausten ryhmä, joiden matriisin determinantti on 1 tai 1; toisin sanoen kuvaukset, joissa pinta-ala säilyy.
Kaikkien bijektiivisten affiini­kuvausten ryhmä
Möbius-kuvausten ryhmä, joissa kaksoissuhde säilyy.
Felix Kleinin Erlangenin ohjelmassa jokainen mahdollinen symmetria­ryhmä määrittelee geometrian, jossa kohteet, jotka jokin symmetria­ryhmän alkio yhdistää toisiinsa, katsotaan yhtäläisiksi. Esimerkiksi euklidinen ryhmä määrittelee euklidisen geometrian, kun taas Möbius-kuvausten ryhmä määrittelee projek­tiivisen geo­metrian.
Symmetria geometriassa > Skaalasymmetria ja fraktaalit

Skaala­symmetria viittaa käsitykseen, että jos kappaleen kokoa suurennetaan tai pienennetään, tuloksena saadulla kappaleella on samat ominaisuudet kuin alkuperäisellä. Skaala­symmetriasta on huomattava, että useimmilla fysikaalilla systeemeillä sitä ei ole, mihin ensimmäisenä kiinnitti huomionsa Galileo Galilei. Esimerkkinä skaala­symmetrian puuttumisesta voidaan mainita, että eri­kokoisilla eläimillä, esimerkiksi norsuilla ja hiirillä raajojen suhteellinen osuus eläimen massasta ja niiden voimakkuus on aivan erilainen, samoin se seikka, että jos pehmeästä vahasta valmistettu kynttilä tehtäisiin suuren puun kokoiseksi, se luhistuisi välittömästi oman painonsa vuoksi. Tämä johtuu siitä, että pituus skaalautuu skaalaustekijän ensimmäiseen potenssiin, pinta-ala toiseen ja tilavuus skaalan kolmanteen potenssiin. Jos tiheys pysyy vakiona niin myös paino skaalautuu mittakaavan kolmanteen potenssiin.
Skaala­symmetriaa kuitenkin voidaan havainnollistaa fraktaaleilla. Benoit Mandelbrot määritteli fraktaalin matemaattiseksi olioksi, joka näyttää saman­kaltaiselta tai jopa täysin saman­laiselta riippumatta siitä, kuinka suurella suurennuksella sitä katsotaan. Rantaviiva on usein mainittu esimerkki luonnossa esiintyvästä fraktaalista, sillä se näyttää jokseenkin yhtä mutkikkaalta kaikilla tasoilla, katsottinpa sitä satelliitti­kuvasta tai tutkimalla mikro­skoopilla, miten vesi työntyy yksittäisten hiekan­jyvästen väliin. Samaan tapaan puiden pienet oksat ovat muodoltaan usein ikään kuin kokonaisen puun pienoismalleja. Matemaattisesti merkittävämpi esimerkki fraktaalista on Mandelbrotin joukko. Fraktaalit ovat saaneet huomattavan merkityksen myös tieto­kone­grafiikassa.