Henri Lebesgue
Lebesguen integraali

Tämä artikkeli kertoo Lebesguen integraalista historiallisesta näkökohdasta. Katso artikkelia mittateoria jos haluat lukea aiheesta matemaattisemmasta näkökulmasta.
Integrointi on matemaattinen operaatio, jolla pystytään esimerkiksi määrittämään funktion kuvaajan ja koordinaattiakseleiden väliin jäävien alueiden pinta-aloja. Integrointiteoriaa kehitti ensimmäisenä Arkhimedes 200-luvulla ennen ajanlaskun alkua täyttämällä alueita säännöllisillä monikulmioilla, mutta tätä metodia voitiin hyödyntää vain tapauksiin, joissa esiintyi geometristä säännönmukaisuutta. 1600-luvulla Isaac Newton ja Gottfried Leibniz keksivät toisistaan riippumatta, että integraalit ovat sellaisten funktioiden etsimistä, joilla on annettu derivaatta. Tämä antoi matemaatikoille ensimmäistä kertaa mahdollisuuden määrittää monien funktioiden integraalit. Toisin kuin Arkhimedeen metodilla, Newtonin ja Leibnizin integraalilaskennalla ei ollut vahvaa pohjaa.
1800-luvulla Cauchy kehitti viimein raja-arvon täsmällisen määritelmän ja Bernhard Riemann jatkoi idean kehittelyä kehittämällä Riemannin integraalin. Tässä integraalikäsitteessä on ideana täyttää funktion ja koordinaattiakseleiden suuntaisten suorien rajaama alue suorakulmioilla kahdella tavalla: ensiksi siten, että kukin suorakulmio sisältyy kokonaan alueen sisään ja sitten siten, että jokainen alueen piste kuuluu johonkin suorakulmioon. Jos jakoa tihennettäessä rajatta näiden suorakulmiokokoelmien yhteiset pinta-alat yhtyvät, on annettu funktio Riemann-integroituva. Tämä ei toteudu kaikkien funktioiden kohdalla, joten kaikki funktiot eivät ole Riemann-integroituvia.
Lebesgue kehitti uuden menetelmän ratkaistakseen tätä ongelmaa. Kun aiemmat integraalikäsitteet pyrkivät tarkastelemaan integroituvuutta lähtöjoukon perusteella, Lebesguen integraali tarkastelee integroituvuutta maalijoukon perusteella.  Lebesguen idea oli ensiksi kehittää integraali niin sanotuille yksinkertaisille funktioille, mitallisille funktioille jotka saavat vain äärellisen monta arvoa. Tällöin monimutkaisempien funktioiden integraalit saadaan approksimoimalla funktioita yksinkertaisilla funktioilla ja ottamalla supremum näiden funktioiden integraaleista.
Lebesguen integraalilla on se ominaisuus, että kaikki Riemann-integroituvat funktiot ovat myös Lebesgue-integroituvia, ja tällaisissa tapauksissa integraalit yhtyvät. On kuitenkin olemassa monia funktioita, joilla on olemassa Lebesguen integraali mutta ei Riemannin integraalia.
Kehittäessään Lebesguen integraalia Lebesgue keksi niin sanotun Lebesguen mitan käsitteen, joka yleistää tietyn välin pituuden käsitteen hyvin suurelle joukkokokoelmalle, mitallisille joukoille. Lebesguen tekniikkaa yhdistää mitat integraalikäsitteeseen voidaan helposti yleistää moniin muihinkin tilanteisiin, ja tätä matematiikan osa-aluetta kutsutaan mittateoriaksi.
Lebesguen integraali on riittämätön yhdessä suhteessa. Riemannin integraali on yleistetty epäoleelliseksi Riemannin integraaliksi, jolla voidaan integroida funktioita, joiden määrittelyjoukko on avoin väli suljetun välin sijasta. Lebesguen integraalilla pystytään integroimaan monia avoimella välillä määriteltyjä funktioita, vaikkakaan ei kaikkia. Henstockin integraali on vielä Lebesguen integraaliakin yleisempi integraali, joka perustuu enemmänkin Riemannin integraalin käsitteeseen kuin Lebesguen integraaliin, jossa on pyritty välttämään joitakin Lebesguen integraalin ja määräämättömän Riemannin integraalin ominaisuuksia. Kuitenkin Henstockin integraali käyttää hyväkseen tiettyjä reaaliakselin ominaisuuksia, eikä yleisty niin hyvin kuin Lebesguen integraali.