stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Röyhelökotinga

| Röyhelökotinga |
| --- | --- |

Uhanalaisuusluokitus
 Elinvoimainen  
  
Tieteellinen luokittelu
Kunta::  Eläinkunta Animalia
Pääjakso::  Selkäjänteiset Chordata
Luokka::  Linnut Aves
Lahko::  Varpuslinnut Passeriformes
Heimo::  Kotingat Cotingidae
Suku::  Röyhelökotingat Cephalopterus
Laji::  ornatus
Kaksiosainen nimi
 Cephalopterus ornatus  E. Geoffroy Saint-Hilaire, 1809 
Katso myös
   Röyhelökotinga Wikispeciesissä   Röyhelökotinga Commonsissa 
Infobox OKNimi-testi OKIUCN-testi OK: 
Röyhelökotinga (Cephalopterus ornatus) on suurikokoinen eteläamerikkalainen varpuslintu. Lajin nimesi Étienne Geoffroy Saint-Hilaire 1809.
Koko ja ulkonäkö

Linnun pituus on noin 51 cm, eli se on suurimpia varpuslintuja. Koiras on yli puolitoista kertaa naarasta painavampi, painaen 680–745 g. Koko höyhenpuku on musta. Päälaella on pitkistä, eteenpäin kaartuvista höyhenistä muodostunut töyhtö, josta laji on saanut englanninkielisen nimensä Amazonian Umbrellabird. Töyhdön höyhenten ruodot ovat vaaleita. Kurkussa roikkuu pitkä, kihartuvista höyhenistä muodostunut ”parta”, joka on kiinnittynyt löysään venyvään ihopoimuun. Koiraan töyhtö ja parta ovat huomattavasti suuremmat kuin naaraan. Koiraan silmän iiris on lähes valkoinen. Kynnet ovat voimakkaat, samoin kuin varismainen nokka. Laji liikkuu enimmäkseen metsän latvuskerroksessa. Lennossa töyhtö on painettu päätä vasten ja parta rintaa vasten.
Koiraan soidinhuuto on kumea ja kauas kuuluva boooo. Huutaessaan se istuu oksalla vartalo eteenpäin taivutettuna sekä töyhtö ja parta levitettyinä.
Esiintyminen

Röyhelökotinga elää Etelä-Amerikan koillis- ja keskiosissa lähinnä Amazonin vesistöalueella. Laji on paikkalintu ja sen kanta on elinvoimainen.
Elinympäristö

Elää metsissä ja metsäaukeilla, joenvarsilla, tasankojen metsäsaarekkeissa ja saarissa.
Lisääntyminen

Oksista ja risuista laadittu hutera pesä sijaitsee puussa. Munia on vain yksi. Poikanen on pienenä alaston ja Wallacen sanoin ”ruma”.
Ravinto

Syö enimmäkseen hedelmiä, joiden siemenkivet se oksentaa noin tunnin kuluttua syömisestä. Sadekausina, jolloin hedelmät ovat vähissä, se syö pääasiassa hyönteisiä ja hämähäkkejä.
Yrjö Saarela

| Mitalit | Mitalit | Mitalit |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  Yrjö Saarela. |  Yrjö Saarela. |  Yrjö Saarela. |  |
Maa:   Suomi
Miesten kreikkalais-roomalainen paini
|  Olympialaiset  |  Olympialaiset  |  Olympialaiset  |  |
|  Kultaa | Tukholma 1912 | raskas sarja |  |
|  Hopeaa | Lontoo 1908 | 93 kg |  |
| MM-kilpailut  | MM-kilpailut  | MM-kilpailut  |  |
|  Kultaa | Helsinki 1911 | yli 83 kg |  |
Yrjö Erik Mikael Saarela (13. heinäkuuta 1884  Oulujoki – 30. kesäkuuta 1951 Oulujoki) oli suomalainen kreikkalais-roomalaisen painin olympiavoittaja ja maailmanmestari.
Henkilöhistoria

Saarela asui elämänsä maatilalla Oulujoen kunnassa, noin kymmenen kilometriä Oulun kaupungista Oulujokea ylävirtaan. Hänestä tuli aikuisena oman tilansa isäntä. Saarela yhdisti työn ja harjoittelun, sillä hän valitsi rengeikseen kovakuntoisia miehiä, jotka olivat kiinnostuneita painista. Kuuluisin Saarelan rengeistä oli monissa näytösotteluissa vastustajana ollut Jaakko Pikkarainen.
Saarelan asuinseutu on saanut nykyään Saarelan kaupunginosan nimen. Alueelta löytyy erilaisia painiin liittyviä kadunnimiä kuvaten alueen urheilullista merkkimiestä.
Saarela on haudattu Oulujoen hautausmaalle.
Painijan ura

Saarela edusti aktiiviaikanaan Oulunsuun Pohja -nimistä seuraa. Hän kuului vuoden 1908 Lontoon olympiakisojen voittajasuosikkeihin. Raskaan keskisarjan finaalissa 22. heinäkuuta Saarela hävisi toiselle suomalaiselle Verner Weckmanille. Maailmanmestaruuden Saarela voitti Helsingin kisoissa 1911. Seuraavana vuonna kesällä 1912 käydyissä Tukholman olympiakisoissa Saarela huipensi painijanuransa raskaan sarjan olympiavoittoon.
Saarela voitti painin raskaan sarjan Suomen-mestaruuden vuonna 1908 (yli 70 kg) sekä 1909 (yli 83 kg).
Tukholman olympiakisojen jälkeen Saarela siirtyi ammattilaiseksi sirkusareenoille. Tämä ura jäi lyhyeksi pian alkaneen ensimmäisen maailmansodan johdosta. Hän palasi amatööriareenoille edustaen uransa loppupuolella vuodesta 1924 alkaen Oulun Pyrintöä, jossa hän toimi niin painijana kuin valmentajanakin. Saarela osallistui myös Suomen painimaajoukkueen valmennukseen. Vielä vuonna 1929 Saarela saavutti SM-pronssia 45-vuotiaana.
Painijan ura > Saavutukset

Olympiakultaa Tukholma 1912 (raskas sarja)
Olympiahopeaa Lontoo 1908 (sarja 93 kg, kultaa voitti Verner Weckman)
Maailmanmestaruus Helsinki 1911 (sarja yli 83 kg)
Aiheesta muualla

Juha Kanerva: / Saarela, Yrjö (1884–1951) Kansallisbiografia-verkkojulkaisu (maksullinen). 11.10.2000. Helsinki:  Suomalaisen Kirjallisuuden Seura.
Kullervo Leinonen, Elias Jokirinta, Terttu Mankila ja Bruno Vuorivirta (toim.): Oulun Pyrintö, 1979.
Esko Lintala: Yrjö Saarela – painimattojen aristokraatti, Lions Club Oulu-Oulujoki, 1984.
Erja Aikavuori ja Mika Kulju: Nuori Satavuotias – Oulun Pyrintö 1904–2004, ISBN 952-91-7566-3.
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  FAST  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Suomi (KANTO)  Yhdysvallat 
Henkilöt:  Kansallisbiografia  Uppslagsverket Finland  Biografiasampo
Greenin teoreema

Greenin teoreema on Stokesin lauseeseen tiiviisti liittyvä lause, jonka mukaan:
missä
P\equiv P(x,y) ja  Q\equiv Q(x,y)
\Gamma  on suljettu polku, joka rajaa pinnan A euklidisessa 3-avaruudessa. Polkuintegraali lasketaan vastapäivään, kun sitä katsotaan pinnan ulkopuolelta, ja pinnan normaali osoittaa pinnan ulkopuolelle.
Greenin teoreemaan saavutaan, kun määritellään  \mathbf {F} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} , josta roottori:
Sovelletaan Stokesin lausetta, kun  \Gamma  on suljettu polku tasolla  z=0\,\!:
Teoreema on nimetty brittiläisen George Greenin mukaan.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Geometrinen sarja

Kuvasta nähdään, että geometrinen sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... suppenee kohti lukua 2.
Matematiikassa geometrisella sarjalla tarkoitetaan sarjaa, jossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio. Jos tämä vakio on q ja sarjan ensimmäinen termi on a, sarjan n:s termi on aqn-1. Tällöin sarjaa merkitään
\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots
Sarja suppenee, kun −1 < q < 1, ja tällöin sen summaksi saadaan
\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}.
Osasummille on voimassa
\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}, kun  q\neq 1.
\sum _{k=m}^{n-1}aq^{k}=a\cdot {\frac {q^{m}-q^{n}}{1-q}}, kun  q\neq 1.
Todistus osasumman kaavalle:
Olkoon n määrä sarjan termejä seuraavasti:  aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}
Merkitään osasummaa seuraavasti  S=:aq^{0}+aq^{1}+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}\Rightarrow
qS=aq^{1}+aq^{2}+aq^{3}+\cdots +aq^{n}\Rightarrow
S-qS=a-aq^{n}\Rightarrow
S=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}
Geometrisen sarjan avulla voidaan muuttaa päättymätön jaksollinen desimaaliluku murtoluvuksi.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Asymptootti

Asymptootti on suora tai käyrä A, jota toinen käyrä B lähestyy äärettömyydessä. Kun B:tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys A:n ja B:n välillä kutistuu kohti nollaa. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa.
Käyrä voi leikata asymptoottiaan jopa äärettömän monta kertaa.
1/x:n kuvaaja. x- ja y-akselit ovat tämän hyperbelin asymptootteja.
Funktion f(x)=x + 1/x kuvaaja, y-akseli (x = 0) ja suora y = x ovat molemmat f:n asymptootteja.
Asymptootit ja funktion kuvaaja

Asymptootit määritellään raja-arvon avulla:
Olkoon f funktio. Tällöin suora y=a on f:n vaakasuora asymptootti, jos
Intuitiivisesti tämä tarkoittaa sitä, että itseisarvoltaan suurilla x:n arvoilla f(x) on suunnilleen yhtä suuri kuin a ja approksimaatio tarkentuu, kun x kasvaa tai pienenee. Siten äärettömyydessä (tai miinus äärettömyydessä) käyrä lähestyy suoraa.
Huomaa, että jos
on funktion f kuvaajalla kaksi vaakasuoraa asymptoottia: y=a ja y=b. Esimerkiksi arkustangentti käyttäytyy tällä tavoin.
Suora x=a on funktion f pystysuora asymptootti, jos jompikumpi seuraavista ehdoista on voimassa:
\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty
\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty
Intuitiivisesti jos x=a on f:n asymptootti, voidaan ajatella, että kun x lähestyy a:ta jommaltakummalta puolelta, f(x) kasvaa tai vähenee rajatta.
Esimerkki asymptootista löytyy funktion f(x)=1/x kuvaajasta, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselit x = 0 ja y = 0.
Huomaa, että f(x):n ei tarvitse olla määritelty a:ssa. Funktion arvolla pisteessä x=a ei ole asymptootin käyttäytymiseen vaikutusta. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota
Kun  \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty , f(x):llä on pystysuora asymptootti 0:ssa, vaikka  f(0)=5.
Funktion asymptoottien ei tarvitse olla x- tai y-akselin suuntaisia. Esimerkiksi funktion
f(x)=x +1/x
asymptootteina ovat y-akseli ja suora y = x.
Jos y = m x + b on mikä tahansa ei-pystysuora suora, on funktiolla f(x) tämä suora asymptoottina, jos ja vain jos
Toisia merkityksiä

Funktio f(x) sanotaan lähestyvän asymptoottisesti funktiota g(x), kun x → ∞. Tällä voidaan tarkoittaa seuraavia asioita:
f(x) − g(x) → 0.
f(x) / g(x) → 1.
f(x) / g(x) → a ≠ 0.
f(x) / g(x) on rajoitettu eikä lähesty nollaa.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9  Viitattu 8.7.2019. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)
Funktion kuvaajalla voi olla kaksi vaakasuoraa asymptoottia.
Lauri Saari (jääkäri)

Lauri Johannes Saari
Lauri Johannes Saari (10. joulukuuta 1893 Rymättylä – 13. tammikuuta 1931) oli suomalainen jääkäriliikkeeseen kuulunut everstiluutnantti. Hänen vanhempansa olivat maanviljelijä Matti Mikkola ja Maria Sofia Virola. Turun Sanomien perustaja ja ensimmäinen päätoimittaja sekä nuorsuomalaisen puolueen kansanedustaja Antti Mikkola oli hänen veljensä. Saari vihittiin avioliittoon vuonna 1918 Eine Blyhin kanssa.
Opinnot

Saari kävi viisi luokkaa Turun suomalaista lyseota ja Turun kauppaopiston vuosina 1911–1913. Hän suoritti Sotakorkeakoulukurssin Saksassa vuosina 1923–1925 ja sai Suomen sotakorkeakoulun diplomin vuonna 1926.
Jääkäriaika

Liikealalla toiminut Saari kiinnostui itsenäisyysaatteesta ja liittyi vapaaehtoisena Saksassa sotilaskoulutusta antavaan jääkäripataljoona 27:n 3. komppaniaan 26. marraskuuta 1916, josta hänet siirrettiin pataljoonan 4. komppaniaan 21. joulukuuta 1915 . Hän otti osaa taisteluihin ensimmäisessä maailmansodassa Saksan itärintamalla Misse-joella, Riianlahdella ja Aa-joella. Rintamapalveluksensa jälkeen hän osallistui Polangenissa järjestetyille erikoiskursseille (pommarikurssi).
Suomen sisällissota

Saari saapui Suomeen (Vaasaan) jääkäreiden pääjoukon mukana yliluutnantiksi ylennettynä 25. helmikuuta 1918. Hänet komennettiin Suomen sisällissotaan komppanianpäälliköksi 3. jääkärirykmentin 5. jääkäripataljoonan 1. komppaniaan, jonka päällikkönä hän otti osaa Tampereen saartoon ja Viipurin valloitukseen.
Sisällissodan jälkeinen aika

Sisällissodan jälkeen Saari palveli edelleen 3. Jääkärirykmentissä, jolla sittemmin on ollut nimet Savon jääkärirykmentti n:o 3 ja Uudenmaan rykmentti. Hänet komennettiin 19. kesäkuuta 1918 alkaen 2. pataljoonan komentajan viransijaiseksi, mistä tehtävästä hänet siirrettiin 7. huhtikuuta 1919 Savon jääkärirykmentin 8. komppanianpäälliköksi. Armeijasta hän erosi 22. lokakuuta 1919 ja liittyi suojeluskuntajärjestöön ja hänet sijoitettiin paikallispäälliköksi Kuopion suojeluskuntaan. Kuopion suojeluskunnassa hän palveli 1. marraskuuta 1919 – 1. marraskuuta 1920 välisen ajan, jonka jälkeen hänet määrättiin 1. marraskuuta 1920 alkaen Kuopion suojeluskuntapiirin päälliköksi. Suojeluskunnasta hän erosi 30. elokuuta 1930. Hän kuoli keuhkotautiin 13. tammikuuta 1931.
Ylennykset ja kunniamerkit
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Ylennykset |  | Kunniamerkit |
|  Hilfsgruppenführer 1. maaliskuuta 1916  Gruppenführer 4. huhtikuuta 1916  Yliluutnantti (Kapt.) 11. helmikuuta 1918  Majuri 6. joulukuuta 1925  Everstiluutnantti 16. huhtikuuta 1929 |    |  Vapaudenristi 4. lk. miekkojen kera  Suomen Valkoisen Ruusun 1. lk. ritarimerkki  Suojeluskuntajärjestön rautainen ansioristi  Vapaussodan muistomitali soljen kera  Jääkärimerkki |
5. jääkäripataljoonan komppanianpäälliköt Pilppulassa 23. huhtikuuta 1918. Vasemmalta: Gustav Bertel Paulig, Hjalmar Fridolf Strömberg myöh. Siilasvuo, Lauri Johannes Saari ja Kaarlo Herman Kaarlonen
Juuritesti

Juuritesti on tapa tutkia sarjojen suppenemista. Se on erityisen hyödyllinen potenssisarjoja tutkittaessa. Testin kehitti ensimmäisenä Cauchy ja se tunnetaan myös Cauchyn testinä.
Olkoon
Tällöin, jos:
C<1\!, sarja suppenee itseisesti
C>1\!, sarja hajaantuu,
C=1\!, testillä ei voi tutkia sarjan suppenemista
Kirjallisuutta

Knopp, Konrad: ”3.2”, Infinite Sequences and Series.  New York:  Dover publications, Inc., 1956.  ISBN 0-486-60153-6  (englanniksi)
Whittaker, E. T., and Watson, G. N.: ”2.35”, A Course in Modern Analysis.  (Fourth edition)  Cambridge University Press, 1963.  ISBN 0-521-58807-3  (englanniksi)
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Cauchyn jono

Kuvaajaan on kuvattu sinisellä erään Cauchyn jonon pisteitä  x_{n}. Pisteet lähentyvät yhä pienemmälle etäisyydelle toisistaan  n:n kasvaessa.
Cauchyn jono eli Cauchy-jono on jono, jonka jäsenet kasautuvat mielivaltaisen lähelle toisiaan jonon edetessä eli joka toteuttaa ehdon:
Tätä kutsutaan  Cauchyn suppenemisehdoksi ranskalaisen matemaatikon Augustin-Louis Cauchyn (1789−1857) mukaan, joka totesi, että reaalilukujen jono  (a_{n}) suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa ehdon.
Cauchyn jonot voidaan vastaavalla tavalla määritellä missä tahansa metrisessä avaruudessa, mutta tällöin ne eivät välttämättä suppene. Metristä avaruutta sanotaan täydelliseksi, jos siinä kaikki Cauchyn jonot suppenevat eli niillä on raja-arvo. Näin on laita esimerkiksi reaalilukujen joukossa. Sitä vastoin rationaalilukujen joukko ei ole metrisenä avaruutena täydellinen, sillä rationaaliluvuista voidaan muodostaa Cauchyn jonoja, joilla ei ole raja-arvoa rationaalilukujen joukossa. Sellainen on esimerkiksi lukujen  \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n} jono,  n=1,2..., jonka raja-arvo reaalilukujen joukossa on Neperin luku e.
Cauchyn jonon alkioille  (a_{1},a_{2},a_{3},...) pätee
missä  d on avaruuden annettu metriikka (alkioiden etäisyys).
Rationaaliluvuista koostuvien Cauchyn jonojen ekvivalenssiluokkiin perustuvan reaalilukujen määritelmän esittivät vuonna 1872 ranskalainen Charles Méray (1835−1911) ja saksalainen Karl Weierstrass (1815−1897) oppilaineen.
Cauchyn yleisen suppenemisehdon todistus

Oletetaan ensin lukujonon  (a_{n}) suppenevan.
Olkoon  \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}=b} ja olkoon  \epsilon >0. Koska  (a_{n}) suppenee, niin on olemassa  n_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\} siten, että  |a_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}, kun  n>n_{0}. Kolmioepäyhtälön nojalla
kun  n>n_{0} ja  k>n_{0}.
Oletetaan sitten kaikilla  \epsilon >0 olevan olemassa  n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\} siten, että lukujonolla  (a_{n}) pätee  |a_{n}-a_{k}|<\epsilon , kun  n>n_{\epsilon } ja  k>n_{\epsilon }.
Tällöin on olemassa  n_{1}\in \mathbb {N} \cup \{0\} siten, että  |a_{n}-a_{n_{1}+1}|<1, kun  n>n_{1}. Kolmioepäyhtälön nojalla
kun  n>n_{1}. Koska joukko  \{|a_{0}|,|a_{1}|,\dots ,|a_{n_{1}}|\} on äärellinen, niin sillä on olemassa maksimi  M=\max\{|a_{0}|,|a_{1}|,\dots ,|a_{n_{1}}|\}. Täten
kaikilla  n\in \mathbb {N} \cup \{0\}, joten  (a_{n}) on rajoitettu.
Koska  (a_{n}) on rajoitettu, niin sillä on Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla suppeneva osajono  (a_{n_{j}}).
Olkoon  \epsilon >0 ja olkoon  \displaystyle {\lim _{j\to \infty }{a_{n_{j}}}=b}. On olemassa  j_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\} siten, että  |a_{n_{j}}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}, kun  j>j_{0}, koska  (a_{n_{j}}) suppenee. Oletuksen nojalla on olemassa  n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\} siten, että  |a_{n}-a_{k}|<{\frac {\epsilon }{2}}, kun  n>n_{\epsilon } ja  k>n_{\epsilon }. Valitaan  p=\max\{j_{0}+1,n_{\epsilon }+1\}, jolloin  n_{p}>n_{n_{\epsilon }}\geq n_{\epsilon }. 
Tällöin kolmioepäyhtälön nojalla
kun  n>n_{\epsilon }. Täten  \displaystyle {\lim _{n\to \infty }{a_{n}}=b}, joten  (a_{n}) suppenee.
Siis osoitettiin lukujonon  (a_{n}) suppenevan, jos ja vain jos kaikilla  \epsilon >0 on olemassa  n_{\epsilon }\in \mathbb {N} \cup \{0\} siten, että  |a_{n}-a_{k}|<\epsilon , kun  n>n_{\epsilon } ja  k>n_{\epsilon }.  \square
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9  Viitattu 8.7.2019. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)
Eksakti differentiaali

Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa  P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!, jolle löytyy jokin funktio f siten että:
Toisin sanoen  P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\! on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli  {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.
Differentiaali  dg=L(x)dx\,\! on aina eksakti.
Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa
on  {\frac {\partial f}{\partial x}}=P(x,y) ja  {\frac {\partial f}{\partial y}}=Q(x,y)\,\!.
Koska  {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right), on oltava  {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.
Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.
Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}} voidaan kirjoittaa muodossa  P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\,\!. Jos  P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\! on eksakti, eli on funktio f, jolle  df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!, on tällöin  df=0\,\! ja ratkaisu siten  f(x,y)=\lambda \,\!, missä  \lambda \,\! on vakio.
Integrointitekijät

Funktiota  \mu (x,y)\,\! kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta  P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\! eksaktin, eli
on eksakti. Tällöin on oltava
josta
Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa  \mu \equiv \mu (x)\,\! saamme
joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle  \mu (y)\,\!
jos oikea puoli on vain y:n funktio.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Älykkyysosamäärä
Älykkyyden mittaamisen historiaa

Alfred Binet (1857–1911) kehitti Ranskan valtion toimeksiannosta ensimmäisen älykkyystestin v. 1903. Se koostui muutamasta kymmenestä tehtävästä, joita oli kokeiltu eri-ikäisillä lapsilla, kehitysvammaisilla ja sotilailla. Testiä käytettiin aluksi erityisopetusta tarvitsevien koululaisten seulomiseen ja kehitysvammaisten luokittamiseen.
Alkujaan älykkyysosamäärän käsite otettiin käyttöön, jotta eri-ikäisten lasten älyllistä suorituskykyä voitaisiin vertailla. Älykkyysosamäärä laskettiin jakamalla lapsen älykkyysikä hänen iällään ja kertomalla näin saatu luku 100:lla. Esimerkiksi jos lapsi oli kymmenvuotiaana yhtä kehittynyt kuin 13-vuotiaat keskimäärin, hänen älykkyysosamääränsä oli 130; jos taas hän oli vasta samalla tasolla kuin kahdeksanvuotiaat keskimäärin, älykkyysosamäärä oli 80. Näin määriteltynä käsitettä ei voitu soveltaa aikuisiin, koska aikuisiällä suoriutuminen käytetyissä älykkyystesteissä ei samalla henkilöllä enää sanottavasti muutu iän mukana.
Nykyinen pisteytys perustuu persentiileihin. Vastaukset pisteytetään ja pistemäärää verrataan normaalijakaumaan, jonka keskiarvo on 100 ja keskihajonta tyypillisesti 24, 16 tai 15. Kyvykkyyttä kuvaava pistemäärä suhteutetaan testattavan ikään, eli suoritusta verrataan oman ikäryhmän yleiseen suoritustasoon. Kokeiden pistemäärät ovat nousseet vuosien saatossa (Flynnin ilmiö), joten testit normalisoidaan uudelleen pistemäärien keskiarvon pitämiseksi sadassa. Suurin osa (noin 68 %) ihmisistä asettuu älykkyysosamäärältään välille 85–115, kun keskihajonta on 15. Tällöin ÄO 50–69 merkitsee lievää, 35–49 keskitasoista, 20–34 vaikeaa ja tätä pienempi syvää kehitysvammaisuutta.
Älykkyysosamäärä ja älykkyys

ÄO-kokeen antamien tulosten yhteydestä testattavien todelliseen älykkyyteen on kiistelty. Älykkyystestit pyrkivät mittaamaan kognitiivisen toiminnan osa-alueita (esimerkiksi matemaattis-loogista päättelykykyä, kolmiulotteista ajattelua, kielellistä lahjakkuutta, muistitoimintoja), ja osatulosten pohjalta pyritään määrittämään testattavan älykkyysosamäärä. Yhtenäisen arvon laskennan mielekkyyttä on arvosteltu. Suoriutuminen eri osa-alueilla on kuitenkin useimmiten melko yhdenmukaista. Älykkyydessä katsotaankin olevan erityinen g-tekijä eli yleisälykkyys (g-factor, general intelligence factor), joka vastaisi jollain tavalla perinteisesti ymmärrettyä älykkyyttä.
Älykkyystestin tulos voi kuitenkin joskus olla yhdistelmä hyvin korkeita ja hyvin matalia testin osa-alueiden tuloksia: testi on esimerkiksi antanut autistiksi diagnosoidulle kirjailija Donna Williamsille lievästi kehitysvammaisen ihmisen älykkyysosamäärän. Testi ei kyennyt mittaamaan oikein edes yksittäisiä älykkyyden osa-alueita, sillä Williams sai erittäin huonot pisteet kielellisiä taitoja mittaavissa tehtävissä, vaikka oli ehtinyt suorittaa jo kielitieteen sivuainekokonaisuudet sekä kirjoittaa kansainvälisen menestysteoksen.
Kriitikkojen mukaan ÄO-testit ovat liian kapea-alaisia ja leimaavia, eivätkä ne mittaa esimerkiksi musikaalista tai sosiaalista lahjakkuutta. Suuri älykkyysosamäärä voi leimata lasta ja häntä voidaan painostaa liiallisiin suorituksiin, kun taas tulokset alhaisesta älykkyysosamäärästä voivat saada ihmiset ajattelemaan että hänestä ei ole mihinkään.
Älykkyysosamäärä korreloi jossakin määrin koulumenestyksen kanssa. Älykkyysosamäärä ei suoraan ole yhteydessä esimerkiksi sosiaaliseen lahjakkuuteen, joka on yhteydessä metataitoihin ja persoonallisuuteen. Usein lahjakkuus ymmärretään samaksi kuin älykkyys. Älykkyys on kuitenkin vain yksi lahjakkuuden puolista.
Testeistä on pyritty tekemään mahdollisimman riippumattomia testattavan kulttuuritaustasta, kielitaidosta tai opinnoista. On kuitenkin havaittu, että koulutus parantaa menestymistä ÄO-tutkimuksessa. Keskustelua on käyty siitä, vaikuttaako esimerkiksi Internetin mahdollistama testiharjoittelu menestymiseen mittaustilanteessa. Yksittäisessä testissä tulokseen voivat vaikuttaa haitallisesti olosuhteet, esimerkiksi krapula, unen puute, masennus tai masentuneisuus. Tunnetuimpia testejä ovat David Wechslerin kehittämät testit aikuisille (WAIS) ja lapsille (WISC) sekä Cattellin ja Cattellin ei-verbaalinen älykkyystesti, jota älykkäiden yhdistys Mensa käyttää jäsenikseen pyrkiviä testatessaan.