stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Hyperbolinen funktio
Derivaatat

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:
Hyperbolisen tangentin derivaatta on
Funktiot kompleksialueessa

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille.  Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:
saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:
Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on  2\pi i, hyperbolisen tangentin  \pi i.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables.  (Shaum's Outline Series)  McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).  ISBN 978-0-07-161569-3
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
GonioLab (Arkistoitu – Internet Archive): Havainnollistamaittu trigometria
Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Jatkuvien funktioiden väliarvolause. Huomaa, että kuvassa c ei ole sup S, vaan kuvaa yleistä tapausta (jollakin c pätee f(c) = u).
Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tärkeä lause analyysissa. Bolzanon lause on sen erikoistapaus.
Lause kuuluu seuraavasti: olkoon  f\colon [a,b]\to \mathbb {R}  jatkuva funktio suljetulta väliltä  [a,b] reaalilukujen joukolle  \mathbb {R} . Olkoon  u reaaliluku, joka toteuttaa ehdon  f(a)<u<f(b) tai  f(a)>u>f(b). Tällöin (avoimen) välin  (a,b) jollekin pisteelle  c pätee  f(c)=u.
Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi f on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat f(1) = 3 ja f(2) = 5, on f:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4.
Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta u = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota
 g(x)=f(x)-u, jolloin  g(a)=f(a)-u<0 ja  g(b)=f(b)-u>0. Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa  c\in (a,b), jolla  g(c)=0\iff f(c)-u=0\iff f(c)=u.
Todistus

Todistetaan ensimmäinen tapaus f (a) < u < f (b). Tapauksen f (b) < u < f (a) todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota g (x) = -f(x).
Olkoon S niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo f(x) on pienempi tai yhtä suuri kuin u eli S = {x  \in  [a, b] : f(x) ≤ u}. Tällöin S on epätyhjä (koska a kuuluu siihen, f(a) < u) ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa b. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla S on olemassa supremum eli pienin yläraja c = sup S. Väite: f (c) = u.
Oletetaan ensin, että f(c) > u. Silloin f(c) - u > 0. Koska funktio f on jatkuva eli  \lim _{x\to \ c}f(x)=f(c), on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ > 0 siten että
| f(x) - f(c) | < f(c) - u aina kun | x - c | < δ. Mutta silloin voidaan ratkaista -( f(c ) - u) < f(x) - f(c) < f(c) - u eli f(x) > f(c) - ( f(c) - u ) = u aina kun | x - c | < δ, siis f (x) > u kaikille x  \in  ( c - δ, c + δ). Siten c - δ on joukon S yläraja, joka on pienempi kuin c, ristiriita (c ei nyt voi olla joukon S pienin yläraja).
Oletetaan seuraavaksi, että f(c) < u. Nyt u - f(c) > 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > 0 siten, että 
| f(x) - f(c) | < u - f(c) aina kun | x - c | < δ. Silloin -(u - f(c)) < f(x) - f(c) < u - f(c) eli f(x) < f(c) + (u - f (c)) = u kaikille x  \in  ( c - δ, c + δ). Siten on olemassa x > c, jolle f(x) < u, taas ristiriita c:n määritelmän kanssa (c ei nyt voikaan olla joukon S yläraja).
Koska ei voi olla f(c) < u eikä f(c) > u, tulee olla f(c) = u. □
Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella > Lemma

Jos funktio  f on jatkuva pisteessä  x_{0} ja  f(x_{0})>0, niin on olemassa  \delta >0 siten, että  f(x)>0, kun  |x-x_{0}|<\delta .
Jos funktio  f on jatkuva pisteessä  x_{0} ja  f(x_{0})<0, niin on olemassa  \delta >0 siten, että  f(x)<0, kun  |x-x_{0}|<\delta .
Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella > Lemma > Lemman todistus

Todistetaan tapaus  f(x_{0})>0. Tapaus  f(x_{0})<0 todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota  -f.
Koska  f on jatkuva pisteessä  x_{0} ja  f(x_{0})>0, niin on olemassa  \delta >0 siten, että
kun
Tällöin
joten
kun
Täten
kun
Olkoot  a<b,  f(a)<0 ja  f(b)>0. Tapaus, jossa  f(a)>0 ja  f(b)<0, todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota  -f.
Olkoon joukko  J=\{x\in [a,b]\mid f(x)<0\}. Koska  a\in J, niin  J\neq \emptyset . Koska  J\neq \emptyset  ja  J on ylhäältä rajoitettu, niin on olemassa  \sup J. Koska  f on jatkuva välillä  [a,b] ja  f(a)<0, niin lemman nojalla on olemassa  \delta _{1}>0 siten, että  a+\delta _{1}<b ja  f(x)<0, kun  a\leq x<a+\delta _{1}. Koska  f on jatkuva välillä  [a,b] ja  f(b)>0, niin lemman nojalla on olemassa  \delta _{2}>0 siten, että  a+\delta _{1}<b-\delta _{2} ja  f(x)>0, kun  b-\delta _{2}<x\leq b. Täten  a<\sup J<b. Olkoon  s=\sup J.
Väite:  f(s)=0.
Tehdään vastaoletus:  f(s)\neq 0.
Koska  f on jatkuva välillä  [a,b], niin lemman nojalla on olemassa  \delta >0 siten, että  (s-\delta ,s+\delta )\subset (a,b) ja joko  f(x)>0 tai  f(x)<0, kun  x\in (s-\delta ,s+\delta ).
Jos  f(x)>0, kun  x\in (s-\delta ,s+d), niin  s-{\frac {\delta }{2}}\in (a,b) on joukon  J yläraja. Tällöin  s ei ole joukon  J pienin yläraja. Jos  f(x)<0, kun  x\in (s-\delta ,s+d), niin  s ei ole joukon  J yläraja.
Ollaan päädytty ristiriitaan sen kanssa, että  f(s)\neq 0. Täten alkuperäinen väite pätee eli  f(s)=0 pätee.
Siis todistettin, että jos  f on jatkuva funktio välillä  [a,b],  f(a)<0 ja  f(b)>0, niin on olemassa  s\in (a,b) siten, että  f(s)=0.  \square
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem
Pseudovektori

Pseudovektori eli aksiaalivektori on matemaattinen olio, joka muistuttaa tavallista (polaari)vektoria.
Jos avaruus peilataan tason suhteen, normaalien polaaristen vektoreiden peilitasoa vastaan kohtisuora komponentti muuttuu vastakkaissuuntaiseksi, muut komponentit pysyvät ennallaan. Pseudovektorien laita on päinvastoin.
Yleinen tapa konstruoida pseudovektori  p on ottaa (polaari)vektorien a ja b ristitulo:
Kahden pseudovektorin ristitulo on myös pseudovektori. Sen sijaan pseudovektorin ja polaarisen vektorin ristitulo on normaali polaarinen vektori. Polaarivektorin ja pseudovektorin skalaaritulo on pseudoskalaari.
Fysiikassa pseudovektoreita ovat monet pyörimisliikkeeseen liittyvät suureet kuten kulmanopeus ja pyörimismäärä. Ne on määritelty pyörimisliikkeen akselin suuntaisiksi oikeakätisyyssäännön mukaisesti siten, että jos pyörimisliike tapahtuu nyrkissä olevan oikean käden sormien suuntaisesti, peukalo osoittaa tällaisen vektorisuureen suunnan. Myös sähkövirran indusoiman magneettikentän voimakkuus on pseudovektori, sillä sähkövirtaa ympäröivän pyörteisen magneettikentän suunta määräytyy oikeakätisyyssäännön mukaisesti.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Karakteristinen polynomi

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.
Lähtökohta

Annetulle neliömatriisille  A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat  A:n ominaisarvot.
Päädiagonaalimatriisi

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille  A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa  a_{i}, missä  i=1,...,n, niin karakteristinen polynomi on muotoa
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
Yleinen tapaus

Yleisen  n\times n-neliömatriisin  A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku)  \lambda  on matriisin  A ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori)  {\vec {v}}\neq {\vec {0}}, että
eli
missä  I on yksikkömatriisi. Koska vektori  {\vec {v}} on nollasta eroava, on matriisin  (A-\lambda I) oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on  0. Tämän determinantista saadun polynomin   \det(tI-A) juuret ovat  A:n ominaisarvoja.
Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön
ratkaisuina.
Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
Formaali määritelmä

Olkoon  K kunta ja  A  K-kertoiminen  n\times n -matriisi. 
Matriisin  A karakteristinen polynomi  p_{A}(t) on määritelmän mukaan
missä  I on  n\times n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla  \det(A-tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla  \pm 1.
Esimerkki

Lasketaan matriisin
karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:
Tämä determinantti on
Tämä on  A:n karakteristinen polynomi, missä  t on matriisin ominaisarvo.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Monotoninen funktio

Monotoninen funktio on matematiikassa funktio, jonka arvot pelkästään kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan. 

Määritelmästä voidaan erottaa kaksi erillistä tapausta:
Funktio on monotonisesti kasvava, jos muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat, eli jos  x_{1}<x_{2} siitä seuraa  f(x_{1})\leq f(x_{2}).
Funktio on monotonisesti vähenevä, jos muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot sen sijaan vähenevät, eli jos  x_{1}<x_{2} siitä seuraa  f(x_{1})\geq f(x_{2}).
Kummatkin tapaukset sisältyvät yleiseen määritelmään monotonisesta funktiosta.
Funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä:
Funktio on aidosti kasvava, kun jos  x_{1}<x_{2} niin silloin  f(x_{1})<f(x_{2}).
Funktio on aidosti vähenevä, kun jos  x_{1}<x_{2} niin silloin  f(x_{1})>f(x_{2}).
Reaaliluvuilla aidosti monotoninen funktio on samalla bijektio määrittelyjoukolta arvojoukolleen.  Se ei kuitenkaan välttämättä ole  \mathbb {R} :n bijektio  \mathbb {R} :lle, sillä esimerkiksi eksponenttifunktio ex on aidosti kasvava, mutta se ei saa millään reaalilukuarvolla negatiivisia arvoja.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Monotonisesti kasvava funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti kasvava | Monotonisesti vähenevä funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti vähenevä | Funktio, joka alussa aidosti vähenevä, sitten kasvava ja lopuksi vähenevä. |
Monotonisuuden tutkiminen

Määritelmä antaa tyydyttävän perusteen selvittää tavallisen yksiarvoisen funktion monotonisuutta. Käytännössä on kuitenkin mahdotonta todistaa yksittäinen funktio monotoniseksi, koska silloin täytyisi osoittaa kaikille lukupareille  x_{1} ja  x_{2} määritelmä todeksi. Käytännössä määritelmää käytetään osoittamaan jokin funktion monotonisuus epätodeksi.
Käytännössä monotonisuus osoitetaan erotusosamäärän
avulla. Jos  x_{2}>x_{1} eli  x_{2}-x_{1}>0 kaikille lukupareille  x_{1} ja  x_{2}, niin määritelmän mukaan aidosti kasvavalle funktiolle pätee silloin aina  f(x_{2})>f(x_{1}) eli myös  f(x_{2})-f(x_{1})>0. Muodostettu erotuksien osamäärä tulee positiiviseksi, jos molemmat erotukset ovat saman merkkiset. Funktio on tällöin aidosti kasvava. Jos erotuksien merkit ovat erit, tulee osamäärä negatiiviseksi ja funktio on aidosti vähenevä.
Erotusosamäärän testaaminen eri lukupareilla ei ole käytännöllistä, vaan erotusosamäärän lauseke muutetaan funktion  f(x) derivaattafunktioksi  f'(x_{2}) toisen pisteen  x_{2} suhteen
tai vaihtamalla merkintöjä niin, että esitetään derivaattafunktion lauseke kohdassa x
Derivaattafunktion  f'(x) ominaisuuksia tutkimalla voidaan päätellä monotonisuuden laatua ja vaihtumista. Monotonisuuden voi jaotella derivaattafunktion ominaisuuksien mukaan koko tarkasteluvälillä seuraavasti:
Jos  f'(x)>0, on funktio aidosti kasvava.
Jos  f'(x)\geq 0, on funktio kasvava.
Jos  f'(x)<0, on funktio aidosti vähenevä.
Jos  f'(x)\leq 0, on funktio vähenevä.
Aito monotonisuus täsmällisesti määriteltynä: derivoituva funktio  f on aidosti kasvava, kun  f'(x)\geq 0 ja jos ei ole olemassa väliä, jolla  f'(x)=0. Esimerkiksi funktio  x^{3} on aidosti kasvava, vaikka sen derivaattafunktio ei ole kaikkialla suurempi kuin 0. Kyseisen funktion derivaatta onkin 0 vain yksittäisessä pisteessä:  f'(x)=3x^{2}\implies f'(0)=3\cdot 0^{2}=0. Ja  f'(x)>0, kun  x\neq 0. Funktion derivaatta voi siis olla yksittäisissä pisteissä 0 ilman, että  f menettää aidon monotonisuutensa.
Vastaavasti (derivoituva) funktio on aidosti vähenevä, kun  f'(x)\leq 0 ja jos ei ole olemassa väliä, jolla   f'(x)=0.
Esimerkkejä monotonisista funktioista

Aidosti kasvavia alkeisfunktioita koko laajimmassa määrittelyjoukossaan ovat muun muassa muut eksponenttifunktiot (kantaluku > 1), logaritmifunktio, parittomat potenssifunktiot, juurifunktiot, tangenttifunktio ja arcustangenttifunktio.
Aidosti väheneviä alkeisfunktioita ovat muun muassa muut laskevat lineaariset funktiot ja eksponenttifunktiot (0 < kantaluku < 1).
Eksponenttifunktio  f(x)=e^{x} on aidosti kasvava funktio koko reaalilukualueessa. Negatiivisilla x:n arvoilla funktion kasvuvauhti on pieni, mutta positiivisilla arvoilla se kasvaa nopeasti. Eksponenttifunktion derivaattafunktio on myös eksponenttifunktio  f'(x)=e^{x}, joka on positiivinen eli  e^{x}>0 kaikilla x:n arvoilla. Tämä täyttää monotonisuusehdon.
| --- | --- |
Eksponenttifunktion kuvaaja: Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on paraabeli.
Toisen asteen potenssifunktio  g(x)=x^{2} ei ole monotoninen funktio. Kuvaajasta nähdään, että funktion arvot vähenevät negatiivisilla x:n arvoilla ja kasvavat positiivisilla x:n arvoilla. Jos määrittelyjoukkosta poistettaisiin kaikki negatiiviset luvut, olisi kuvaus
aidosti kasvava funktio. Negatiivisilla arvoilla kuvaus
olisi aidosti vähenevä funktio.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Kokonaislukujono

Kokonaislukujono on lukujono, jonka jäsenet kuuluvat kokonaislukujen joukkoon.
Kokonaislukujonoa kutsutaan äärelliseksi eli päättyväksi, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (1, 1, 1, 1,...) ja (2, 4, 6, 8,...) päättymättömiä lukujonoja.
Ominaisuuksia

Sama luku voi toistua kokonaislukujonossa määräämättömän monta kertaa.
Kokonaislukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
Kokonaislukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.
Määritelmä

Tarkemmin kokonaislukujonolla (an) tarkoitetaan kuvausta
missä  \mathbb {N}  on luonnollisten lukujen joukko ja  \mathbb {Z}  kokonaislukujen joukko.
Lukujonoa merkitään a(n) = an. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi.
Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee xn ≤ xn+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee xn < xn+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.
Erikoistapauksia > Aritmeettinen kokonaislukujono

Aritmeettinen kokonaislukujono on sellainen kokonaislukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus  d on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on  a_{n}=a_{1}+d(n-1).
Erikoistapauksia > Geometrinen kokonaislukujono

Geometrinen kokonaislukujono on sellainen kokonaislukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä  q on vakio. Jos  q on esimerkiksi 2, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina kaksinkertainen edelliseen verrattuna. Esim.  1,2,4,8,16,... .
Geometrisen lukujonon yleinen termi on  a_{n}=a_{1}q^{(n-1)}.
Esimerkkejä

1.  (a_{n})=n tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa  a_{0}=0,a_{1}=1 ...
Toisin sanoen  (a_{n})=0,1,2,3,4,5,6,...
2.  (b_{n})=n^{2} tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa  a_{0}=0,a_{1}=1,a_{2}=4,...
3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:
Täten esimerkiksi  f_{3}=f_{2}+f_{1}=1+1=2,\quad f_{4}=f_{3}+f_{2}=2+1=3.
Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...
4. Kun määritellään
5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.
6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ... kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:
.       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Potenssisarja

Potenssisarja on sellainen sarjakehitelmä, joka (yhden muuttujan tapauksessa) on muotoa
Tyypillinen potenssisarja on jotakin funktiota kuvaava Taylorin sarja. Usein funktion kehittäminen potenssisarjaksi tapahtuu origon ympäristössä, jolloin  c=0 ja kehitelmä saa yksinkertaisemman muodon
Polynomit ovat potenssisarjojen erikoistapauksia, joissa summaus on äärellinen. Potenssisarjat ovat hyvin käyttökelpoisia työkaluja ja niitä tulee vastaan monissa yhteyksissä. Analyysissä potenssisarjat ovat perustyökaluja, mutta niitä tarvitaan myös muun muassa todennäköisyyslaskennassa (generoivat funktiot), elektroniikassa (Z-muunnos) tai lukuteoriassa (p-adiset luvut ja desimaaliesitykset).
Sarjakehitelmän neliö

Sarjakehitelmän neliön tarkastelemiseksi olkoon funktion f(x) sarjakehitelmä
f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...=
 \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}
Tämän neliö on
f^{2}(x)=
 \sum _{m=0}^{\infty }a_{m}x^{m}
 \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=
 \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m}a_{n}x^{m+n}=
 \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{p=m}^{\infty }a_{m}a_{p-m}x^{p}
jossa p = m + n ja on käytetty hyväksi ehtoa, että kertoimen a alaindeksi ei saa olla negatiivinen:
p-m\geq 0
eli
p\geq m
Oheiseen kuvaan viitaten on sama käydäänkö indeksialue läpi edestakaisin vasemmalta oikealle vai alhaalta ylös. Tämä vastaa summien järjestyksen vaihtamista, joten saadaan
f^{2}(x)=
 \sum _{p=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{p}a_{m}a_{p-m}\ x^{p}
Merkitään tässä vielä
b_{p}=
 \sum _{m=0}^{p}a_{m}a_{p-m}\
jolloin voidaan kirjoittaa
f^{2}(x)=
 \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}
jossa siis kertoimet b saadaan alkuperäisen sarjakehitelmän kertoimista
b_{n}=
 \sum _{m=0}^{n}a_{m}a_{n-m}\
mp-taso
Päälävistäjä

Päälävistäjä eli päädiagonaali muodostuu niistä neliömatriisin alkioista, jotka ovat suoralla matriisin vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan.  Esimerkiksi matriisissa
ykköset ovat päädiagonaalilla. Matriisin  A päälävistäjän muodostavat siis alkiot  a_{ii} ts. ne alkiot, joiden rivi- ja sarakeindeksit ovat yhtä suuret. Matriisia, jonka päälävistäjän ulkopuoliset alkiot ovat nollia, kutsutaan lävistäjämatriisiksi eli (pää)diagonaalimatriisiksi. Matriisin päälävistäjän alkioiden summaa puolestaan kutsutaan matriisin jäljeksi.
Päälävistäjän lisäksi matriisilla on myös muita diagonaaleja, jotka kulkevat vastaavaan tapaan vinosti matriisin läpi ylhäältä vasemmalta alas oikealle.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Saari (Suomen entinen kunta)

| Saari> Entinen kunta – nykyiset kunnat: Parikkala |
| --- | --- |

 vaakuna :  sijainti 
Sijainti:  61°41′45″N, 29°41′00″E
Lääni:  Etelä-Suomen lääni
Maakunta:  Etelä-Karjalan maakunta
Seutukunta:  Kärkikuntien seutukunta
Kuntanumero:  728
Hallinnollinen keskus:  Akonpohja
Perustettu:  1928
– emäpitäjä:  Parikkala
Liitetty:  2005
– liitoskunnat:  Parikkala Uukuniemi Saari
– syntynyt kunta:  Parikkala
Pinta-ala:  183,08 km²  (2004)
– maa:  167,4 km²
– sisävesi:  15,7 km²
Väkiluku:  1 392   (31.12.2004)
– väestötiheys:  8,57 as./km²
Saari on entinen Suomen kunta, joka sijaitsee Etelä-Karjalassa. Vuoden 2004 lopussa kunnassa asui 1 392 ihmistä ja sen pinta-ala oli 183,08 km², josta 15,7 km² oli vesistöjä. Väestötiheys oli 8,5673 asukasta neliökilometriä kohden. Entisen kunnan keskustaajama on Akonpohjassa, lähellä kuutostietä. Saaren kirkko sijaitsee Suuren Rautjärven koillisrannalla noin kahdeksan kilometrin päässä Akonpohjasta. Historiallisesti Saaren pitäjä kuului Laatokan Karjalaan.
Saari yhdistyi 1. tammikuuta 2005 Parikkalan ja Uukuniemen kanssa uudeksi kunnaksi, jonka nimeksi tuli Parikkala.
Saaren naapurikunnat ennen kunnan lakkauttamista olivat Kesälahti, Parikkala, Punkaharju ja Uukuniemi. Ennen 1940-luvun alueluovutuksia naapurikuntiin kuului myös Jaakkima. Viimeinen kunnanjohtaja ennen kuntaliitosta Parikkalaan oli Alpo Kosunen, joka jatkoi sitten Parikkalan kunnanjohtajana.