Lokaalisti yhtenäinen avaruus
Komponentit ja polkukomponentit

Seuraava tulos seuraa lähes suoraan määritelmistä, mutta on osoittautunut sangen hyödylliseksi:
Lemma: Olkoon X avaruus ja  \{Y_{i}\} kokoelma X:n osajoukkoja. Oletetaan, että  \bigcap _{i}Y_{i} ei ole tyhjä joukko. Silloin jos jokainen  Y_{i} on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen), myös niiden unioni  \bigcup _{i}Y_{i} on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen).
Tarkastellaan kahta relaatiota topologisessa avaruudessa X. Kun pisteet  x,y\in X on annettu, määritellään:
Selvästi molemmat relaatiot ovat refleksiivisiä ja symmetrisiä. Lisäksi jos x ja y kuuluvat samaan yhtenäiseen (tai vastaavasti polkuyhtenäiseen) osajoukkoon A sekä y ja z samaan yhtenäiseen (tai vastaavasti polkuyhtenäiseen) osajoukkoon B, edellä olevasta lemmasta seuraa, että   A\cup B on yhtenäinen (tai vastaavasti polkuyhtenäinen) osajoukko, johon pisteet x, y ja z kuuluvat. Tästä seuraa, että kumpikin edellä mainituista relaatioista on ekvivalenssirelaatio, joka määrittelee X:n jaon ekvivalenssiluokkiin. Seuraavassa käsitellään kumpaakin tapaa jakaa X luokkiin.
Kun x on jokin X:n piste, joukkoa  C_{x} , johon kuuluvat ne pisteet y, joille pätee  y\equiv _{c}x, sanotaan x:n yhtenäiseksi komponentiksi. Edellä esitetystä lemmasta seuraa, että  C_{x} on ainoa maksimaalinen X:n yhtenäinen osajoukko, johon x kuuluu. Koska  C_{x}:n sulkeuma on myös yhtenäinen osajoukko, johon x kuuluu, tästä seuraa, että joukko  C_{x} on suljettu.
Jos X:llä on vain äärellinen määrä yhtenäisiä komponentteja, jokainen komponentti on suljettujen joukkojen äärellisen yhdisteen komplementti ja näin ollen avoin.  Yleisemmässä tapauksessa yhtenäisten komponenttien ei tarvitse välttämättä olla avoimia, sillä on olemassa myös täysin epäyhtenäisiä avaruuksia (joissa  C_{x}=\{x\} kaikilla pisteillä x), esimerkiksi Cantorin joukko. Lokaalisti yhtenäisen avaruuden yhtenäiset komponentit kuitenkin ovat aina sekä avoimia että suljettuja. Kääntäen jos X:n jokaisen avoimen osajoukon U yhtenäiset komponentit ovat avoimia, niin X:llä on yhtenäisistä joukoista muodostuva kanta, ja näin ollen X on lokaalisti yntenäinen.
Samaan tapaan niiden avaruuden X pisteiden y joukkoa  PC_{x}, joille pätee  y\equiv _{pc}x, missä x on annettu avaruuden X piste, sanotaan x:n polkukomponentiksi. Kuten edellä,  PC_{x} on samalla kaikkien X:n kaikkien sellaisten polkuyhtenäisten osajoukkojen yhdiste, joihin piste x kuuluu, joten edellä olevan lemman mukaan se itse on polkuyhtenäinen. Koska polkuyhtenäiset joukot ovat yhtenäiset, todetaan, että  PC_{x}\subset C_{x} kaikilla pisteillä  x\in X
Polkuyhtenäisen joukon sulkeuma ei kuitenkaan välttämättä ole polkuyhtenäinen. Esimerkiksi topologin sinikäyrä on sen avoimen osajoukon U sulkeuma, johon kuuluvat kaikki pisteet (x,y), missä x > 0, ja kun U on homeomorfinen reaaliakselin avoimen välin kanssa, se on polkuyhtenäinen. Lisäksi topologin sinikäyrän C polkukomponentit ovat U, joka on avoin mutta ei suljettu, ja  C\setminus U, joka on suljettu mutta ei avoin.
Avaruus on lokaalisti polkuyhtenäinen, jos ja vain jos sen kaikkien avoinen joukkojen U polkukomponentit ovat avoimia. Siksi lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden polkukomponentit muodostavat X:n jaotuksen erillisiin avoimiin joukkoihin. Tästä seuraa, että lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden avoin yhtenäinen osajoukko on aina polkuyhtenäinen. Lisäksi jos avaruus on lokaalisti polkuyhtenäinen, se on myös lokaalisti yhtenäinen, niin että kaikilla X:n pisteillä x on  C_{x} yhtenäinen ja lokaalisti polkuyhtenäinen ja täten myös polkuyhtenäinen, toisin sanoen  C_{x}=PC_{x}. Lokaalisti polkuyhtenäisen avaruuden tapauksessa sen komponentit ja polkukomponentit ovat siis samoja.