stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Symmetrinen matriisi

Symmetrinen matriisi on matriisi, joka on itsensä transpoosi. Siten A on symmetrinen jos
jolloin A:n on tietysti oltava neliömatriisi. Symmetrisen matriisin alkiot sijaitsevat symmetrisesti päädiagonaalin suhteen. Jos matriisin alkioita merkitään A = (aij), on
kaikilla indekseillä i ja j. Esimerkiksi seuraava 3×3-matriisi on symmetrinen:
Kaikki lävistäjämatriisit ovat symmetrisiä, sillä kaikki niiden alkiot, jotka eivät ole lävistäjällä, ovat nollia. Matriisia sanotaan vinosymmetriseksi (engl. skew symmetric) jos sen vastamatriisi on A:n transpoosi eli
Symmetrisillä matriiseilla, ja niitä vastaavilla lineaarikuvauksilla, on muutama erittäin tärkeä ominaisuus:
Symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
Symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
Symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruuden  \mathbb {R} ^{n} ortonormaali kanta.
Näillä ominaisuuksilla on keskeinen asema monissa sovelluksissa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Minna Saarelma-Paukkala

| Minna Saarelma-Paukkala |
| --- | --- |
 Minna Saarelma-Paukkala virolaisen kalenterin äärellä.
Henkilötiedot
Syntynyt: 14. marraskuuta 1960 (ikä 64) Dar es Salaam,Tansania
Ammatti:  toimittaja, tiedottaja, kustannusjohtaja, almanakkatoimiston johtaja, toimitusjohtaja
Arvonimi: nimistöntutkimuksen dosentti
Vanhemmat:  Timo Saarelma ja Katri Saarelma s. Kantola
Puoliso:  I Matti Maunumaa 1988-2010 II Timo Paukkala 2010-
Muut tiedot
Koulutus: filosofian tohtori
Merkittävät teokset: Edhina ekogidho: names as links: the encounter between African and European anthroponymic systems among the Ambo people in Namibia, Väitöskirja 2003
Tunnustukset:  Suomalais-Ugrilaisen Seuran ja Kotikielen Seuran väitöskirjapalkinto 2004
Pasi Heikura haastattelee Minna Saarelma-Paukkalaa Helsingin kirjamessuilla syksyllä 2017.
Minna Saarelma-Paukkala s. Saarelma, ent. Saarelma-Maunumaa (s. 1960 Dar es Salaam, Tansania) on suomalainen almanakkatoimiston johtaja, toimitusjohtaja, tietokirjailija.
Perhe ja koulutie

Saarelma-Paukkala syntyi Tansaniassa lähetystyöntekijä, pastori Timo Saarelman ja kansakoulunopettaja, diakonissa Katri Saarelman s. Kantola perheeseen isän toimiessa paikallisen luterilaisen kirkon koulutoimenjohtajana Kidugalassa.
Perheen asuinpaikaksi tuli vuonna 1964 Tampere, jossa Saarelma-Paukkala kävi koulunsa ja valmistui ylioppilaaksi Tampereen normaalikoulusta 1979.
Opinnot

Helsingin yliopistossa:
Saarelma-Paukkala opiskeli suomen kieltä, yleistä kielitiedettä, teoreettista filosofiaa, estetiikkaa ja puheoppia. Humanististen tieteiden kandidaatiksi hän valmistui 1987 sekä filosofian maisteriksi 1995.
Vuonna 2003 Saarelma-Paukkala väitteli filosofian tohtoriksi suomen kielestä nimistöntutkimuksen alueelta. Väitöskirjan nimenä oli Edhina ekogidho – Names as links. The encounter between African and European anthroponymic systems among the Ambo people in Namibia
Helsinki Business Collegessa:
Saarelma-Paukkala osallistui johtamiskoulutukseen ja suoritti johtamisen erikoisammattitutkinnon (JET) 2005.
Päätoimet

Suomen Lähetysseurassa:
Saarelma-Paukkala oli toimittajana ja tiedottajana 1986–1997. Vuosina 2003–2012 hän toimi kustannusjohtajana.
Kustannus Oy Kotimaassa:
Saarelma-Paukkala oli 1997–2002 Kotimaa-lehden toimitussihteerinä.
Helsingin yliopistossa:
Vuodesta 2012 lähtien Saarelma-Paukkala on toiminut yliopiston almanakkatoimiston johtajana ja Helsingin yliopiston Kalenteripalvelut Oy:n toimitusjohtajana.
Akateemiset sivutyöt

Saarelma-Paukkala oli Vauva-lehden Nimitohtorina 2006–2010, Kotimaa-lehden nimikolumnistina 2007–2011. Hän toimii suomalaisen nimipäiväkalenterin ylläpitäjänä vuodesta 2010 lukien ja kuuluu kielitieteellisen Nomina Africana -julkaisun toimitusneuvostoon 2007 lukien.
Saarelma-Paukkala toimi tutkijana Tromssan yliopiston suomalais-norjalaisissa henkilönnimihankkeissa ”Møte mellom finsk og norsk namnesystem i Norge” 2007–2008 ja ”Personnamn blant kvenane på 1800-talet – i lys av møtet mellom det finske og norske namnesystemet” 2008–2009.
Saarelma-Paukkala työskentelee nimistöntutkimuksen dosenttina Helsingin yliopistossa 2008 lähtien sekä kuuluu kielitieteellisen Virittäjä-aikakauslehden toimitusneuvostoon 2021 lähtien. Kielitieteellisen Studia anthroponymica Scandinavica -julkaisun toimitusneuvoston jäsen hän oli 2011–2020.
Luottamustoimet

Saarelma-Paukkala oli Suomen evankelis-luterilaisen kirkon edustajana Suomen ekumeenisessa neuvostossa 1990–2005, toimi Suomi–Namibia-seurassa 1997–2004. Hän kuului Kristillisen Kulttuuriliiton hallitukseen 1998–2008.
Saarelma-Paukkala toimi Kehitysyhteistyön Palvelukeskuksessa (Kepa) 1998–2001 sekä Tieteen ja taiteen kristillisessä tukisäätiössä 2002–2011.
Varhaisnuortenlehti JiiPeen neuvottelukuntaan Saarelma-Paukkala kuului 2003–2010. Edelleen Kristilliset kustantajat ry:n hallituksessa hän oli 2003–2012.
Namibian hallituksen asettaman arkistohankkeen Suomen maakomitean jäsen hän oli 2004–2010, kuului Helsingin yliopiston dosenttiyhdistyksen hallitukseen 2008–2010 ja Lahden NNKY:n hallitukseen 2018–2021.
Oikeusministeriön nimilautakunnan varajäsen Saarelma-Paukkala on ollut vuodesta 2010, Päijät-Hämeen Tuglas-seuran hallituksen varajäsen vuodesta 2018 ja Suomen Pipliaseuran hallituksen jäsen 2021–.
Puoliso

I Järjestelmäasiantuntija Matti Maunumaa 1988-2010.
II Rovasti Timo Paukkala 2010-.
Palkinnot

Saarelma-Paukkala sai August Ahlqvistin, Yrjö Wichmannin, Kai Donnerin ja Artturi Kanniston rahastojen (Suomalais-Ugrilainen Seura ja Kotikielen Seura) väitöskirjapalkinnon 2004.
Arvonimi

Saarelma-Paukkala on nimitetty nimistöntutkimuksen dosentiksi Helsingin yliopistoon 2009.
Harrastukset

Kulttuurimatkailua ja kirjallisuutta harrastavalle Saarelma-Paukkalalle Viro on mieluisa kohde, ja perheellä on toinen koti Viljandissa. Muutenkin hän paljon ulkoilee ja tekee mm. lasimaalauksia.
Kirjallinen tuotanto

Tapaamisia Tansaniassa. Suomen Lähetysseura, 1989. ISBN 951-624-189-1.
Raamattu maailmalla: kirkon lähetysjärjestöjen yhteisjulkaisu. Minna Saarelma-Maunumaa, kirjoittaja, toimittaja. Kirjapaja, 1993. ISBN 951-625-184-6.
Edhina ekogidho – Names as links: The encounter between African and European anthroponymic systems among the Ambo people in Namibia. Studia Fennica Linguistica 11. Finnish Literature Society. (väitöskirja), 2003. ISBN 951-746-529-7.
Nimipäiväjuhlat. Kirjapaja, 2006. ISBN 951-607-354-9.
Nimi lapselle. Minerva, 2007. ISBN 978-952-492-024-7.
Nimistöntutkimuksen perusteet. Terhi Ainiala, Minna Saarelma ja Paula Sjöblom. Tietolipas 221. Suomalaisen Kirjallisuuden Seura, 2008. ISBN 978-951-746-992-0.
Koirien nimipäiväkirja – Bella, Niksu vai Romeo? Minerva, 2011. ISBN 978-952-492-473-3.
Kissojen nimipäiväkirja – Viiru, Nöpö vai Kassinen? Minerva, 2012. ISBN 978-952-492-602-7.
Names in Focus – An Introduction to Finnish Onomastics. Kirjoittajat:Terhi Ainiala, Minna Saarelma ja Paula Sjöblom, kääntäjä Leonard Pearl. Studia Fennica Linguistica 17. Finnish Literature Society, 2012. ISBN 978-952-222-748-5.
Etunimikirja – Suomalaiset nimitrendit 2000-luvulla. Suomalaisen Kirjallisuuden Seura, 2017. ISBN 978-952-222-831-4.
Ajan tasalla – Suomalainen kalenteri tänään. Asko Palviainen, Onerva Ollila ja Minna Saarelma-Paukkala. Otava, 2019. ISBN 978-951-134-593-0.
Muut julkaisut

Saarelma-Paukkala on julkaissut artikkeleita ja kirja-arvioita lukuisissa kokoomateoksissa ja kielitieteellisissä aikakauslehdissä.
Vesangan rautatieasema

Vesangan rautatieasema (lyhenne Vn) on liikennepaikka Haapamäki-Jyväskylä-radalla Vesangan kylässä. Asemalla ei ole henkilöliikennettä.
Vesangan rautatieasema avattiin 1897 samannimiseen kyläkeskukseen Vesankajärven rannalle. Kun 1920-luvulla rataa uudistettiin, asema siirtyi hieman pohjoisemmaksi ja paikalle rakennettiin Thure Hellströmin suunnittelema uusi asemarakennus. Samalla tavarasuoja siirrettiin vanhalta asemalta uudelle. Vanha asemarakennus on edelleen vanhalla paikallaan lähellä nykyistä valtatietä.
Vesanka muutettiin miehittämättömäksi liikennepaikaksi vuonna 1980 ja matkustajajunien pysähdykset loppuivat Vesangassa 1984. Vuonna 2005 liikennepaikka avattiin uudestaan, ilman henkilöliikennettä välisuojastuspisteeksi. Vesangan kylä on kehittynyt yli 300 asukkaan taajamaksi lähinnä hyvien maantieyhteyksien ansiosta.
Mirja Saari

| Mirja Saari> Henkilötiedot |
| --- | --- |
Syntynyt: 23. tammikuuta 1943 Helsinki (ikä 82)
Kansalaisuus:  Suomi
Ammatti:  Pohjoismaisten kielten emeritaprofessori
Koulutus ja ura
Tutkinnot:  Helsingin yliopisto (FK 1966, FL 1971, FT 1976)
Instituutti:  Helsingin yliopisto
Tutkimusalue:  Sosiolingvistiikka
Aiheesta muualla
Kotisivu
Mirja Helena Saari (o.s. Pinomaa; s. 23. tammikuuta 1943 Helsinki) on suomalainen Helsingin yliopiston pohjoismaisten kielten emeritaprofessori (virassa 1988–2007).
Saari on teologi, professori Lennart Pinomaan tytär. Hän kirjoitti ylioppilaaksi  Helsingin suomalaisesta yhteiskoulusta vuonna 1961. Hän valmistui Helsingin yliopistosta filosofian kandidaatiksi 1966. Hän suoritti jatko-opintoja Ruotsissa Lundin yliopistossa 1969–1971. Hän valmistui filosofian lisensiaatiksi 1971 ja tohtoriksi 1976. Hänen ruotsinkielinen väitöskirjansa Talsvenska: en sociolingvistisk studie över syntaktiska drag i intervjusvar (1975) kuuluu sosiolingvistiikan alaan ja tarkastelee haastattelutilanteissa puhuttua ruotsin kieltä. Helsingin yliopiston pohjoismaisten kielten dosentti Saari on ollut vuodesta 2007.
Saari toimi pohjoismaisen filologian assistenttina Helsingin yliopistossa vuosina 1967–1969 sekä apulaisprofessorina Oulun yliopistossa ja Helsingin yliopistossa vuosina 1972–1973. Hän oli Helsingin yliopiston apulaisprofessori 1976–1988.
Saari on ollut Suomen Tiedeseuran jäsen vuodesta 1992.
Jari Saarinen

Jari Petri Juhani Saarinen (s. 4. maaliskuuta 1970) on aktiiviuransa päättänyt suomalainen pikajuoksija. Hän edusti koko uransa ajan Helsingin Kisa-Veikkoja ja hänen valmentajinaan toimivat Kurt Eriksson sekä Tapio Laitinen. Kalevan kisoista Saarinen saavutti pronssia 100 metrin juoksussa sekä hopeaa 200 metrin juoksussa vuonna 1990. Lisäksi hän oli viestijuoksun SM-kisoissa voittamassa 4 x 100 metrin viestijuoksussa kultaa vuonna 1994 sekä 4 x 400 metrin viestijuoksussa kultaa vuonna 1994 ja hopeaa vuonna 1992. Sisäratojen SM-kisoista Saarinen saavutti pronssia 4 x 300 metrin viestijuoksussa vuonna 1989 Virallisissa kilpailuissa hän ei ole esiintynyt vuoden 1995 jälkeen.
Translaatio (matematiikka)

Translaatio, siirto eli yhdensuuntaissiirto on euklidisessa geometriassa avaruuden muunnos, jossa kuviota siirretään toiseen paikkaan.  Kuvion jokainen piste muuttaa sijaintiaan vakiomatkan määrättyyn suuntaan. Translaatio voidaan tulkita myös vakiovektorin lisäämisellä jokaiseen pisteeseen tai koordinaatiston siirtona.
Jos v on kiinteä vektori, niin Tv:n translaatio on Tv(p) = p + v.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Idempotentti matriisi

Idempotentti matriisi on sellainen neliömatriisi, jolle
Esimerkiksi voidaan laskea, että
eli kyseinen matriisi on idempotentti. Jos matriisi A on idempotentti ja I on identiteettimatriisi, niin
I-A\, on idempotentti
\mathrm {Im} (I-A)=\mathrm {Ker} (A)\,
\mathrm {Ker} (I-A)=\mathrm {Ker} (A)\,
K^{n}=\mathrm {Im} (A)\oplus \mathrm {Ker} (A)
A\,on diagonalisoituva
A\,:n ainoat ominaisarvot ovat nolla ja/tai yksi ja ominaisarvon 1 kertaluku on sama kuin  A\,:n aste.
Tässä merkintä  K^{n} tarkoittaa kunnan K muodostamaa n-ulotteista vektoriavaruutta,  \mathrm {Ker} (A) on A:n ydin ja  \mathrm {Im} (A) on A:n kuva. Geometrisesti idempotentit matriisit vastaavat projektioita avaruudesta jollekin sen aliavaruudelle. Esimerkiksi jos  (x,y,z)^{T}\, on jokin  \mathbb {R} ^{3}:n vektori
eli edellisen esimerkin idempotentti matriisi kuvaa  \mathbb {R} ^{3}:n suoran  (x,y)-tasoon. Jos idempotentti matriisi on lisäksi itseadjungoitu, sen kuvaama projektio on ortogonaalinen.
Ortogonaalisesti idempotentit matriisit

Erityisen tärkeän joukon muodostavat ortogonaalisesti idempotentit matriisit. Nämä ovat sellainen joukko matriiseja  \{E_{1},E_{2},...,E_{n}\}\,, että kaikille joukon jäsenille pätee
E_{i}^{2}=E_{i}\,
E_{i}E_{j}=0\,
aina kun  i\neq j. Jos lisäksi
missä  I on identiteettimatriisi sanotaan ortogonaalisesti idempotenttien matriisien muodostavan täyden joukon. Ortogonaalisilla idempotenteilla on seuraavat ominaisuudet:
I-E_{i}\, on ortogonaaliseti idempotentti.
Summa  E_{i}+E_{j}\, on ortogonaalisesti idempotentti kaikilla  i,j.
Jos  A=PE_{i}P^{-1}\, niin myös  A on ortogonaalisesti idempotentti.
Eräs täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on joukko  \{E_{11},E_{22},...,E_{nn}\}\,, missä kukin  E_{kk}\, on sellainen matriisi, jonka päädiagonaalilla sijaitseva alkio  e_{kk}\, on ykkönen ja kaikki muut alkiot nollia.
Täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on keskeinen tekijä matriisien spektraliesityksissä ja spektraalihajotelmissa, sillä ne muodostavat hajotelmaa vastaavan matriisin generoiman alialgebran kannan.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Eksponenttifunktio

Eksponenttifunktion  e^{x} kuvaaja.
Eksponenttifunktio tai eksponentiaalifunktio on matematiikassa transsendenttisiin alkeisfunktioihin kuuluva funktio. Se on määritelty kaikille reaaliluvuille ja saa arvoksi positiivisia reaalilukuja. Eksponenttifunktio kertoo, mikä on tietyn, kantaluvuksi kutsutun vakion arvo korotettuna muuttujan määräämään potenssiin. Kantaluku voi olla mikä tahansa positiivinen reaaliluku paitsi ykkönen.
Eksponenttifunktio, jonka kantaluku on Neperin luku  e, on matematiikassa hyvin tunnettu funktio. Joskus eksponenttifunktiolla viitataan nimenomaan tähän  e:n eksponenttifunktioon.
Eksponenttifunktion käänteisfunktio on logaritmifunktio. Kantaluvun  e logaritmifunktiota sanotaan luonnolliseksi logaritmiksi. Mikä tahansa eksponenttifunktio voidaan esittää  e:n eksponenttifunktion ja logaritmifunktion yhdistettynä funktiona.
Matemaattinen merkintä

Matemaattisesti ilmaistuna eksponenttifunktio määritellään seuraavasti:
Kun kantalukuna on Neperin luku  e, voidaan käyttää jompaakumpaa seuraavista merkinnöistä:
Jälkimmäistä merkintää käytetään etenkin yhdistetyissä funktioissa, joissa eksponenttiin pelkän muuttujan  x paikalle on sijoitettu jokin monimutkaisempi muuttujan  x funktio.
Mielivaltaisen kantaluvun  a eksponenttifunktio voidaan esittää tällaisena yhdistettynä funktiona seuraavasti:
missä  \ln  merkitsee luonnollista logaritmia.
Matemaattinen merkintä > Eksponenttifunktion  e^{x} vaihtoehtoisia määritelmiä

Kantaluvun  e eksponenttifunktion  e^{x} Taylorin sarja on
Tätä sarjakehitelmää voidaan käyttää myös eksponenttifunktion määritelmänä. Sen avulla funktio voidaan määritellä myös, kun argumenttina on kompleksiluku.
Eksponenttifunktio voidaan kirjoittaa myös raja-arvona seuraavasti:
Näissä määritelmissä  n on luonnollinen luku,  x on mielivaltainen reaaliluku tai kompleksiluku ja  n! on kertoma.
Funktion kulku

Koska eksponenttifunktio kuuluu alkeisfunktioihin ja on määritelty kaikilla muuttujan x reaalisilla arvoilla, on se kaikkialla jatkuva.
Funktion kuvaaja (x,y)-koordinaatistossa on myös kaikkialla x-akselin yläpuolella, sillä eksponenttifunktio voi kantaluvusta riippumatta saada vain positiivisia arvoja.
Lisäksi kuvaajalta tunnetaan nämä kaksi pistettä:
Kun  x=0, funktio saa arvon yksi, sillä mikä tahansa luku (paitsi nolla, joka ei voi olla kantalukuna) potenssiin nolla on yksi:
Kun taas  x=1, tulee funktion arvoksi sen kantaluku:
Näin ollen eksponenttifunktion kuvaaja kulkee aina pisteiden  (0,1) ja  (1,a) kautta.
Jos kantaluku  a>1, niin kuvaaja on aidosti kasvava. Oikealle mentäessä kuvaaja nousee kohti äärettömyyttä. Vasemmalle mentäessä kuvaaja lähestyy x-akselia yläpuolelta, mutta koska funktio ei voi saada arvoksi nollaa, kuvaaja ei koskaan saavuta x-akselia. Niinpä x-akseli on kuvaajan vaakasuora asymptootti ja funktion raja-arvo positiivisessa äärettömyydessä on äärettömyys, negatiivisessa äärettömyydessä nolla. Raja-arvot ovat siis matemaattisesti ilmaistuna seuraavat:
Jos taas  0<a<1, niin kuvaaja on kasvaa päinvastaiseen suuntaan: Kuvaaja lähestyy oikealle mentäessä x-akselia yläpuolelta ja vasemmalle mentäessä äärettömyyttä. Tällöinkin x-akseli on siis kuvaajan asymptootti, mutta eri suunnassa. Raja-arvot ovat seuraavat:
Derivaatat ja differentiaaliyhtälöt

Eksponenttifunktion derivaatta on seuraava:
Koska kantaluku  a on vakio, derivaatta on siis alkuperäinen eksponenttifunktio vakiolla kerrottuna. Kantaluvun  e tapauksessa  \ln e=1, joten
Kantaluvun  e eksponenttifunktion derivaatta on siis eksponenttifunktio itse. Tämä ominaisuus on ainutlaatuinen reaalilukumuuttujien reaalilukuarvoisilla funktioilla. Ominaisuudella on seuraavat seuraukset:
Funktion kuvaajaa sivuavan suoran eli tangentin kulmakerroin missä kohdassa kuvaajaa tahansa on yhtä suuri kuin funktion arvo kyseisessä kohdassa.
Funktion kasvunopeus missä kohdassa kuvaajaa tahansa on yhtä suuri kuin funktion arvo kyseisessä kohdassa.
Funktio on ratkaisu differentiaaliyhtälöön  y\prime =y.
Kantaluvun  e eksponenttifunktion erikoisasema matematiikassa ja monissa matemaattisissa sovelluksissa johtuu juuri tästä derivaatan ominaisuudesta.
Eksponenttifunktio kompleksialueessa

Kompleksialueelle eksponenttifunktio määritellään saman sarjakehitelmän avulla, joka pätee myös reaalisille argumenteille:
Jos kantalukuna on jokin muu reaaliluku a, määritellään eksponenttifunktio  a^{z} seuraavasti:
Kantaluvun a on kuitenkin oltava positiivinen reaaliluku, muussa tapauksessa eksponenttifunktio ei ole yksikäsitteisesti määriteltävissä.
Samaan tapaan myös trigonometriset funktiot laajennetaan kompleksialueeseen Taylorin sarjakehitelmien avulla. Kompleksialueessa eksponenttifunktion ja trigonometriset funktiot yhdistää toisiinsa Eulerin kaava,
Eksponenttifunktio kompleksialueessa > Laskusääntöjä

Kompleksiselle eksponenttifunktiolle pätevät seuraavat laskusäännöt:
Olkoot  z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} :
Sovelluksia

Erityisesti  e:n eksponenttifunktiota hyödynnetään lukuisissa matemaattisissa sovelluksissa. Esimerkiksi monet differentiaaliyhtälöt, kuten Schrödingerin yhtälö ja Laplacen yhtälö, johtavat  e:n eksponenttifunktioihin. Samoin todennäköisyyslaskennan Rencontre-ongelma ratkeaa  e:n eksponenttifunktion avulla.
Sovelluksia > Eksponentiaalinen kasvu ja pieneneminen

Mallinnettaessa sellaisia mitattavia ilmiöitä, joissa ilmiön kulloinenkin muutosnopeus on suoraan tai kääntäen verrannollinen ilmiön sen hetkiseen arvoon, sopii muotoa
oleva eksponenttifunktio usein ilmiön kuvaajaksi. Tässä  t on ajanhetki ja  c on reaalilukuvakio. Tällöin suureen sanotaan kasvavan tai pienenevän eksponentiaalisesti riippuen siitä, onko vakio c positiivinen vai negatiivinen. Jos pääomalle maksetaan jatkuvasti korkoa korolle, se kasvaa ajan myötä eksponentiaalisesti. Myös esimerkiksi Thomas Malthusin esittämässä rajoittamattomassa väestönkasvumallissa vakio on positiivinen, eli hänen mallinsa mukaan väkiluku pyrkii kasvamaan eksponentiaalisesti. Hajoavan radioaktiivisen aineen määrää esittävissä funktioissa vakio puolestaan on negatiivinen eli jäljellä olevan aineen määrä pienenee eksponentiaalisesti.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Eksponenttifunktio Wikimedia Commonsissa
Pintaintegraali

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain  \mathbb {R} ^{3}:n pinnoille.
Määritelmä

Olkoon  D\subset \mathbb {R} ^{2} yhtenäinen ja  \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{3} eräs  \mathbb {R} ^{3}:n derivoituva pinta. Olkoon  A\subset \mathbb {R} ^{3} joukko siten, että pinnan  \omega  kuvaaja  \omega (D)\subset A. Olkoon nyt funktio  f:A\rightarrow \mathbb {R}  sellainen, että funktio  h:D\rightarrow \mathbb {R} ,
h(x,y)=f(\omega (x,y))||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||,
on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska  \omega  on  \mathbb {R} ^{3}:n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat  \mathbb {R} ^{3}:n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion  f pintaintegraali yli pinnan  \omega  on luku
\int \limits _{\omega }f=\iint \limits _{D}f(\omega (x,y))||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y.
Sovelluksia

Jos valitsemme nyt funktioksi  f=1, niin pintaintegraali antaa pinnan  \omega  kuvaajan pinta-alan. Saamme siis pinnan  \omega  kuvaajan pinta-alaksi kaavan
A(\omega )=\iint \limits _{D}||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y.
Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta  \omega :{\bar {B}}(0,r)\rightarrow \mathbb {R} ^{3},
\omega (x,y)=(x,y,{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}).
Huomataan, että pinnan  \omega  kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan  \omega  kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:
\partial _{1}\omega (x,y)=(\partial _{1}x,\partial _{1}y,\partial _{1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})=(1,0,-x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})
\partial _{2}\omega (x,y)=(\partial _{2}x,\partial _{2}y,\partial _{2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})=(0,1,-y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})
Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:
\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)={\begin{vmatrix}(1,0,0)&(0,1,0)&(0,0,1)\\1&0&-x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\\0&1&-y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\end{vmatrix}}
=(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},1)
ja edelleen sen normiksi
||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||=||(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},1)||
={\sqrt {(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})^{2}+(y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})^{2}+1^{2}}}={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}.
Näin ollen
{\mbox{Pallon kuoren pinta-ala}}=2A(\omega )=2\iint \limits _{{\bar {B}}(0,r)}||\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y
=2\iint \limits _{{\bar {B}}(0,r)}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y=4\pi r^{2}.
(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).