Nopeuspotentiaali
Eräitä nopeuspotentiaaleja > Vorteksi

Vorteksi on virtaus, jossa fluidi kiertää origoa (tai muuta kiinteää pistettä) ympyränmuotoisella radalla. Napakoordinaateissa vorteksin virtauksen nopeus on:
\mathbf {v} =f(r)\,\mathbf {e} _{\theta },
missä 





e


θ


=
−
sin
⁡
θ


i

+
cos
⁡
θ


j



{\textstyle \mathbf {e} _{\theta }=-\sin \theta \,\mathbf {i} +\cos \theta \,\mathbf {j} }

 ja 



f
(
r
)


{\textstyle f(r)}

 kuvaa virtauksen vauhtia vorteksin keskeltä mitatun etäisyyden funktiona. Valitsemalla 



f
(
r
)
=
K

/

r


{\textstyle f(r)=K/r}

, missä 



K
=

vakio



{\textstyle K={\text{vakio}}}

, saadaan virtaus, jota kutsutaan vapaaksi vorteksiksi:
{\begin{aligned}\mathbf {v} &={\frac {K}{r}}\,\mathbf {e} _{\theta }\\&=K\left(-{\frac {\sin \theta }{r}}\,\mathbf {i} +{\frac {\cos \theta }{r}}\,\mathbf {j} \right)\\&=K\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathbf {i} +{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathbf {j} \right)\\\end{aligned}}
Vaikka vorteksi on helppo mieltää pyörteelliseksi virtaukseksi, ei vapaa vorteksi kuitenkaan sitä ole. On melko yksinkertaista osoittaa, että vapaalle vorteksille pätee 



∇
×

v

=
0


{\textstyle \nabla \times \mathbf {v} =0}

 (kun 



x
,
y
≠
0


{\textstyle x,y\neq 0}

), joten nopeuspotentiaali on olemassa. Tällöin:
{\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}=v_{x}=-{\frac {Ky}{x^{2}+y^{2}}}\\\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial y}}=v_{y}={\frac {Kx}{x^{2}+y^{2}}}\end{cases}}
Ylemmän osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
{\begin{aligned}\phi (x,y)&=-K\arctan \left({\frac {x}{y}}\right)+f(y)\\&=-K\arctan \left({\frac {r\cos \theta }{r\sin \theta }}\right)+f(y)\\&=-K\arctan \left({\frac {\sin(\pi /2-\theta )}{\cos(\pi /2-\theta )}}\right)+f(y)\\&=-K\arctan \left(\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)+f(y)\\&=K\theta -K{\frac {\pi }{2}}+f(y),\end{aligned}}
missä 



f
(
y
)


{\textstyle f(y)}

 on mikä tahansa vain muuttujasta 



y


{\textstyle y}

 riippuva derivoituva funktio. Alemman osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
{\begin{aligned}\phi (x,y)&=K\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+g(x)\\&=K\arctan \left(\tan \theta \right)+g(x)\\&=K\theta +g(x),\end{aligned}}
missä 



g
(
x
)


{\textstyle g(x)}

 on mikä tahansa vain muuttujasta 



x


{\textstyle x}

 riippuva derivoituva funktio. Kummankin yhtälön tulee toteutua yhtä aikaa, mikä on mahdollista esimerkiksi, jos
f(y)=K{\frac {\pi }{2}}+C\quad {\text{ja}}\quad g(x)=C={\text{vakio}}.
Siispä nopeuspotentiaali on:
\phi =K\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+C=K\theta +C
Asetetaan 



ϕ
=

vakio



{\textstyle \phi ={\text{vakio}}}

, josta seuraa välttämättä, että 



θ
=

vakio



{\textstyle \theta ={\text{vakio}}}

 (tai karteesisissa koordinaateissa 



y

/

x
=

vakio



{\textstyle y/x={\text{vakio}}}

). Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki origon kautta kulkevat suorat.
Tasaisen, 



x


{\textstyle x}

-akselin suuntaisen virtauksen potentiaaliviivat ovat 



y


{\textstyle y}

-akselin suuntaisia suoria.
Origossa sijaitsevan pistemäisen lähteen virtauksen potentiaaliviivat ovat origokeskeisiä ympyröitä.
Origossa sijaitsevan vapaan vorteksin virtauksen potentiaaliviivat ovat origon kautta kulkevia suoria.