Piilomuuttujateoria
EPR-paradoksi

Bohrin ja Einsteinin väliset väittelyt huipentuivat vuonna 1935, kun Einstein lopulta esitti yleensä parhaana pidetyn todistelunsa kvantti­mekaniikan täydellisyyttä vastaan. Einstein, Podolsky ja Rosen ehdottivat, että "täydellinen" kuvaus olisi määriteltävä sellaiseksi, joka yksi­käsitteisesti määrittää kaikkien mitattavien ominaisuuksien arvot. Einstein esitti tällöin käytetystä todistelusta myöhemmin seuraavan yhteenvedon:
Ajatellaan mekaanista systeemiä, joka kohdistuu kahdesta rajoitetun ajan keskenään vuoro­vaikuttavasta osa­systeemistä A ja B.  Olkoon  \psi -funktio (toisin sanoen aaltofunktio ennen vuoro­vaikutusta annettu. Silloin Schrödingerin yhtälöstä saadaan myös  \psi -funktio vuoro­vaikutuksen jälkeen. Määritetään nyt fysikaalisen systeemin tila A niin tarkasti kuin mittauksilla on mahdollista. Silloin kvantti­mekaniikka tekee mahdolliseksi määrittää mittaustulosten ja koko systeemin  \psi -funktion perusteella  \psi -funktio myös osasysteemille B. Tämä määritys antaa kuitenkin tuloksen, joka riippuu siitä, mitkä A:n fysikaaliset ominaisuudet (observaabelit) on mitattu (esimerkiksi koordinaatit tai liikemäärä). Koska vuoro­vaikutuksen jälkeen B:llä voi olla vain yksi fysikaalinen tila, jonka ei voi järkevästi katsoa riippuvan siitä, mitkä mittaukset on tehty systeemissä A, joka nyt on erillään B:stä, voidaan päätellä, että  \psi -funktio ei yksi­käsitteisesti ilmoita fysikaalista tilaa.  Tämä samaan systeemin B tilaan liittyvä useamman  \psi -funktion yhdistelmä osoittaa jälleen, että  \psi -funktiota ei voida tulkita yhden systeemin fysikaalisen tilan (täydelliseksi) kuvaukseksi.
Bohr vastasi Einsteinin haasteeseen tähdentämällä, että komplementaarisuusperiaatteen mukaan yksi Einsteinin mittaus­toimitusta koskevista oletuksista ei päde kvantti­mekaniikassa: kvantti­mekaaninen mittaus ei ainoastaan anna tietoa fysikaalisesta systeemistä vaan myös valmistaa sen:
Einsteinin, Podolskyn ja Rosenin [todistelu] sisältää moni­selitteisyyttä siltä osin kuin se koskee ilmaisun "millään tavoin häiritsemättä systeemiä" merkitystä. ... [J]o tällä asteella [siis esimerkiksi mitattaessa lomittuneeseen pariin kuuluvaa hiukkasta] kysymys on oleellisesti juuri niistä ehdoista, joiden mukaan määräytyvät systeemin tulevaa kehitystä koskevat mahdolliset ennusteiden tyypit. Koska nämä ehdot kuuluvat osana minkä tahansa sellaisen ilmiön kuvaukseen, johon ilmaisua "fysikaalinen todellisuus" voidaan asian­mukaisesti liittää, näemme, että mainitut kirjoittajat eivät ole esittäneet pätevää perustelua päätelmälleen, että kvantti­mekaaninen kuvaus olisi oleellisesti epä­täydellinen.
Kvanttimekaniikka ei myöskään ole "lokaallinen", mikä oleellisesti johtuu siitä, että systeemin tilaa esittää Hilbertin vektori  |\psi \rangle , jolla on arvonsa avaruuden jokaisessa pisteessä,  |\psi \rangle \to \psi (x,y,z). Tässä tapauksessa Einstein oli siis selvästi väärässä, vaikka hän ei tarkasti määrittänytkään sen kvantti­mekaanisen formalismin seurauksia, jotka aiemmin oli jätetty huomioon ottamatta.
Myöhemmin monet teoreettiset fyysikot ovat esittäneet useita täysin toisistaan poikkeaviakin selityksiä sille, miksi Einsteinin, Podolskyn ja Rosenin todistelu ei ole pätevä.