Stereografinen projektio
Ominaisuuksia

Edellä määritellyssä stereo­grafisessa projektiossa yksikköpallon "etelänapa" (0, 0 −1) kuvautuu tason origoon (0, 0), päiväntasaaja yksikköympyrälle, eteläinen pallonpuolisko ympyrän sisäpuolelle ja pohjoinen pallonpuolisko sen ulkopuolelle.
Projektio ei ole määritelty projektiopisteessä N = (0, 0, 1). Tämän pisteen pienet ympäristöt kuvautuvat tasoalueille, jotka ovat kaukana origosta (0, 0). Mitä lähempänä piste P on projektiopistettä (0, 0, 1), sitä kauempana sen kuvapiste on tason pisteestä (0, 0). Tästä syystä on tapana sanoa, että piste (0, 0, 1) kuvautuu tasolla "äärettömyyteen" ja että taso voidaan täydentää pallopinnaksi lisäämällä siihen yksi "äärettömän kaukainen piste". Tämä ajattelutapa on osoittautunut käyttökelpoiseksi projektiivisessa geometriassa ja kompleksianalyysissä. Topologisella tasolla se osoittaa, että pallopinta on homeorfinen tason yhden kompaktisoinnin kanssa.
Karteesisissa koordinaateissa pallopinnan piste P(x, y, z) ja sen tasolla oleva kuvapiste P′(X, Y) ovat joko molemmat rationaalipisteitä tai kumpikaan ei ole:
Stereografinen projektio on konformikuvaus, mikä merkitsee, että siinä kulmat, joissa käyrät leikkaavat toisensa, säilyvät ennallaan, kuten oheiset kuviot osoittavat. Sitä vastoin pinta-alat eivät säily: yleensä alueen pinta-ala pallopinnalla ei ole yhtä suuri kuin sitä vastaavan alueen pinta-ala tasolla. Pinta-ala-alkio X,Y -koordinaateissa on:
Ainoastaan yksikköympyrän  X^{2}+Y^{2}=1 kohdalla infinitesimaalisten alueiden pinta-ala säilyy.  Origon (0,0) välittömässä
läheisyydessä olevien pienten alueiden pinta-ala on tasolla vain neljäsosa siitä, mikä se on pallopinnalla, ja kaukana origosta 
pinta-alamittakaava lähestyy ääretöntä.
Metriikka (X, Y) -koordinaateissa on:
mikä on ainoa Bernhard Riemannin geometrian perusteita käsittelevässä, Göttingenissä vuonna 1854 julkaistussa artikkelissa Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen esiintyvä matemaattinen kaava.
Mikään kuvaus pallopinnalta tasolle ei voi olla sekä konforminen että säilyttää myös pinta-alat, Jos säilyttävä. Jos sellainen kuvaus olisi olemassa, se olisi lokaalinen isometria ja siinä säilyisi myös Gaussin kaarevuus. Kun pallopinnalla ja tasolla kuitenkin on erilainen Gaussin kaarevuus, tämä on mahdotonta.
Stereografisen projektion konformisuudesta seuraa joukko mielenkiintoisia geometrisia ominaisuuksia. Pallopinnan ympyrät, jotka eivät kulje projektiopisteen kautta, kuvautuvat tasolla ympyröiksi. Pallopinnan ympyrät, jotka kulkevat projektiopisteen kautta, kuvautuvat sen sijaan suoriksi. Tämän vuoksi suoria sanotaankin joskus "äärettömyyspisteen kautta kulkeviksi ympyröiksi" tai "ääretönsäteisiksi ympyröiksi".
Stereografisen projektion käänteiskuvauksessa kaikki tason suorat kuvautuvat pallopinnalle projektiopisteen eli äärettömyyspisteen kautta kulkeviksi ympyröiksi. Yhdensuuntaiset suorat, jotka eivät leikkaa toisiaan, kuvautuvat pallopinnalle ympyröiksi, jotka sivuavat toisiaan kyseisessä pisteessä. Niinpä tason kaikkien suorien vastineet pallopinnalla kohtaavat toisensa jossakin; joko ne leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä tai ne sivuavat toisiaan projektiopisteessä. (Hieman samantapaisia huomioita voitaisiin tehdä reaalisesta projektiivisesta tasosta, mutta siinä suorien leikkaus­ominaisuudet ovat toisenlaisia.)
Pallopinnan loksodromit kuvautuvat tasolle käyriksi, joiden yhtälö on muotoa
missä parametri a on loksodromin "tiiviys". Toisin sanoen loksodromit kuvautuvat logaritmisiksi spiraaleiksi. Tällainen spiraali leikkaa origon kautta kulkevat säteittäiset suorat kaikkialla yhtä suurissa kulmissa, samoin kuin pallopinnalla loksodromi leikkaa meridiaanit kaikkialla yhtä suurissa kulmissa.
Stereografinen prjektio liittyy tason inversioon yksinkertaisella tavalla. Olkoot P ja Q kaksi pallopinnan pistettä ja P′ ja Q′ niiden kuvapisteet tasolla. Silloin P′ ja Q′ ovat toistensa kuvapisteet tason inversiossa yksikköympyrän suhteen, jos ja vain jos P ja Q ovat toistensa peilikuvat ekvaattoritason suhteen.
Toisin sanoen jos :
P on pallopinnan piste, ei kuitenkaan pohjoisnapa N eikä sen antipodi eli etelänapa S,
P′ on P:n kuvapiste stereo­grafisessa projektiossa, jonka projektiopiste on P ja
P″ on P:n kuvapiste stereo­grafisessa projektiossa, jonka projektiopiste on N,
niin P′ ja P″ ovat toistensa kuvapisteet inversiossa yksikköympyrän suhteen.