Poissonin jakauma

| --- | --- |
Todennäköisyysfunktio  Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Todennäköisyysfunktio on määritelty vain indeksin k kokonaislukuarvoilla. Hahmottamisen helpottamiseksi pisteet on yhdistetty viivoilla
Kertymäfunktio  Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Kertymäfunktio on epäjatkuva kokonaisluvuilla k ja muualla vaakasuora, koska Poisson-jakautunut muuttuja saa vain kokonaislukuarvoja.
Merkintä:  \mathrm {Pois} (\lambda )\,
Parametrit: λ > 0 (reaalinen)
Määrittelyjoukko: k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
Pistetodennäköisyysfunktio:  {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }
Kertymäfunktio:  {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\! --tai--  e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\  (kun  k\geq 0 missä  \Gamma (x,y)\,\! on epätäydellinen gammafunktio ja  \lfloor k\rfloor  on lattiafunktio)
Odotusarvo:  \lambda \,\!
Mediaani:  \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor 
Moodi:  \lfloor \lambda \rfloor ,\,\lceil \lambda \rceil -1
Varianssi:  \lambda \,\!
Vinous:  \lambda ^{-1/2}\,
Huipukkuus:  \lambda ^{-1}\,
Entropia:  \lambda [1\!-\!\log(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}} (kun  \lambda  on suuri)  {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-                       {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)
Momentit generoiva funktio:  \exp(\lambda (e^{t}-1))\,
Karakteristinen funktio:  \exp(\lambda (e^{it}-1))\,
Todennäköisyydet generoiva funktio:  \exp(\lambda (z-1))\,
Poissonin jakauma (tai Poisson-jakauma) on toden­näköisyys­laskennassa ja tilastotieteessä diskreetin satunnais­muuttujan todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyydet tapahtumien lukumäärälle kiinteällä aikavälillä, kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja riippumaton edellisestä tapahtumasta. Poissonin jakauman tuottavaa stokastista prosessia kutsutaan  Poisson-prosessiksi.
Jakauma on peräisin ranskalaiselta matemaattisen fysiikan tutkijalta Siméon Denis Poissonilta (1781-1840). Tutkiessaan todennäköisyyslaskennassa toistokoetta hän päätyi jakaumaansa antamalla toistojen määrän kasvaa rajatta ja kytkemällä tarkasteltavan tapauksen todennäköisyyden yksittäisessä toistossa toistojen määrään siten, että määrän ja todennäköisyyden tulo pysyivät koko ajan vakiona. Jakaumaa nimitetään usein myös Poissonin suurten lukujen laiksi.
Poissonin jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja  X on Poisson-jakautunut, merkitään
Parametri  \lambda >0 on Poisson-prosessin intensiteetti. Pistetodennäköisyysfunktio on
Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat
Jos  X_{1}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda _{1}) ja  X_{2}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda _{2}) sekä  X_{1} ja  X_{2} ovat riippumattomia, niin  X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda _{1}+\lambda _{2}).
Poissonin jakauman yhteydet binomijakaumaan ja negatiiviseen binomijakaumaan:
Painotettu Poissonin jakauma on Poissonin jakauma, jonka parametri on satunnaismuuttuja. Parametrin voi tulkita esimerkiksi kuvaavan sään vaihteluita, jos Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa päivässä tapahtuvia liikennevahinkoja.
Oletetaan, että satunnaismuuttuja  k toteuttaa ehdot  k>0 ja  \operatorname {E} (k)=1 ja  X\sim \operatorname {Poisson} (\lambda k).  Satunnaismuuttujaa  k kutsutaan tällöin struktuurimuuttujaksi. Odotusarvo ja varianssi ovat