stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Yleisurheilun alle 20-vuotiaiden Euroopan-mestaruuskilpailut 2023
Mitalistit > Naiset

| Laji: | Kultaa: | Kultaa: | Hopeaa: | Hopeaa: | Pronssia: | Pronssia: |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 100 m |  Joy Eze | 11,39 |  Renee Regis | 11,40 |  Anna Luca Kocsis | 11,55 |
| 200 m |  Nora Lindahl | 23,26 |  Alexa Sulyán | 23,26 |  Success Eduan | 23,34 |
| 400 m |  Lurdes Gloria Manuel | 51,94 |  Alexe Deau | 52,53 |  Myrte van der Schoot | 52,85 |
| 800 m |  Audrey Werro | 2.03,38 |  Abigail Ives | 2.05,89 |  Dilek Koçak | 2.06,21 |
| 1 500 m |  Dilek Koçak | 4.16,86 |  Sofia Thøgersen | 4.17,08 |  Natálie Millerová | 4.18,92 |
| 3 000 m |  Agate Caune | 8.53,20 |  Zuzanna Wiernicka | 9.21,40 |  Sofia Benfares | 9.25,42 |
| 5 000 m |  Agate Caune | 15.03,85 CR |  Kira Weis | 15.50,36 |  Sofia Thøgersen | 15.53,08 |
| 3 000 m estejuoksu |  Karolína Jarošová | 10.04,57 |  Adia Budde | 10.07,34 |  Vasilikí Kallimogiánni | 10.08,44 |
| 100 m aitajuoksu |  Rosina Schneider | 13,06 |  Valérie Guignard | 13,23 |  Lia Flotow | 13,32 |
| 400 m aitajuoksu |  Moa Granat | 56,58 |  Olha Mašanjenkova | 56,83 |  Alexandra Stefania Ută  | 57,02 |
| Korkeushyppy |  Angelina Topić | 190 |  Elisabeth Pihela | 188 |  Joana Herrmann | 186 |
| Seiväshyppy |  Sara Winberg | 425 |  Rugilė Miklyčiūtė  Great Nnachi | 415 |  |  |
| Pituushyppy |  Elizabeth Ndudi | 656 |  Plamena Mitkova | 654 |  Laura Raquel Müller | 651 |
| Kolmiloikka |  Oleksandra Tšernuh’a | 13,63 |  Teodora Boberić | 13,50 |  Aleksandrija Mitrović | 13,40 |
| Kuulantyöntö |  Nina Chioma Ndubuisi | 17,97 |  Zuzanna Maślana | 16,90 |  Chantal Rimke | 15,55 |
| Kiekonheitto |  Curly Brown | 53,93 |  Milina Wipiwé | 53,863 |  Lea Bork | 53,46 |
| Moukarinheitto |  Valentína Sávva | 64,69 |  Jada Julien | 62,92 |  Jázmin Csatári | 62,47 |
| Keihäänheitto |  Adriana Vilagoš | 58,38 |  Veronika Šokota | 55,41 |  Fanni Kövér | 53,09 |
| Seitsenottelu |  Sandrina Sprengel | 5928 |  Pia Meßing | 5790 |  Sophie Kreiner | 5698 |
| 10 000 m ratakävely |  Sofia Santacreu | 46.00 |  Giulia Gabriele | 46.57 |  Ana Delahaie | 47.12 |
| 4×100 m viesti |  Saksa Nele Jaworski Chelsea Kadiri Rosina Schneider Holly Okuku | 43,82 |  Iso-Britannia Renee Regis Sophie Walton Joy Eze Success Eduan | 43,82 |  Tšekki Hana Blažková Terezie Táborská Nikola Musilová Adéla Tkáčová | 44,68 |
| 4×400 m viesti |  Ranska Alexe Deau Méta Tumba Maelle Maynier Benedetta Kouakou | 3.33,31 |  Alankomaat Maud van Sintmaartensdijk Britt de Blaauw Madelief van Leur Myrte van der Schoot | 3.33,33 |  Tšekki Karolína Mitanová Kateřina Matoušková Terezie Táborská Lurdes Gloria Manuel | 3.34,84 |
Mitalitaulukko

| Sija | Maa | Kultaa | Hopeaa | Pronssia | Yhteensä |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 |  Saksa | 8 | 8 | 7 | 23 |
| 2 |  Ruotsi | 5 | 2 | 0 | 7 |
| 3 |  Tšekki | 3 | 1 | 4 | 8 |
| 4 |  Yhdistynyt kuningaskunta | 2 | 4 | 4 | 10 |
| 5 |  Italia | 2 | 3 | 2 | 7 |
| 5 |  Alankomaat | 2 | 3 | 3 | 7 |
| 7 |  Sveitsi | 2 | 3 | 1 | 6 |
| 8 |  Puola | 2 | 2 | 1 | 5 |
| 9 |  Suomi | 2 | 2 | 0 | 4 |
| 10 |  Serbia | 2 | 1 | 1 | 4 |
| 10 |  Ukraina | 2 | 1 | 1 | 4 |
| 12 |  Latvia | 2 | 0 | 0 | 2 |
| 12 |  Espanja | 2 | 0 | 0 | 2 |
| 14 |  Ranska | 1 | 2 | 4 | 7 |
| 15 |  Itävalta | 1 | 2 | 2 | 5 |
| 16 |  Unkari | 1 | 1 | 5 | 7 |
| 17 |  Turkki | 1 | 1 | 2 | 4 |
| 18 |  Tanska | 1 | 1 | 1 | 3 |
| 19 |  Kypros | 1 | 1 | 0 | 2 |
| 19 |  Viro | 1 | 1 | 0 | 2 |
| 19 |  Irlanti | 1 | 1 | 0 | 2 |
| 22 |  Bulgaria | 0 | 3 | 1 | 4 |
| 23 |  Kroatia | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 23 |  Liettua | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 25 |  Kreikka | 0 | 0 | 2 | 2 |
| 26 |  Portugali | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 26 |  Romania | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 26 |  Slovenia | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Yhteensä | Yhteensä | 44 | 45 | 43 | 132 |
Maastoauto

Vuoden 2004 Toyota Land Cruiser.
Land Rover Series I.
Maastoauto (puhekielessä usein maasturi) on auton korimalli, joka on suunniteltu kulkemaan vaativissa tieolosuhteissa ja myös tien ulkopuolella (off-road). Tyypillistä maastoautoille on tavallista suuremmat ja karkeakuvioisemmat renkaat, korkeampi maavara ja hyvät lähestymis- jättö- ja ramppikulmat sekä alennusvaihteella varustettu nelivedon mahdollistava jakovaihteisto. Usein maastoautot ovat lisäksi normaaliautoa suurempia (vaikka tästä onkin haittaa maastoajossa), niissä saattaa olla iskutilavuudeltaan suurempi ja tehokkaampi polttomoottori ja niissä saattaa olla lukittava tasauspyörästö.
Joitain maastoautoja

Chevrolet Blazer (vanhemmat)
Ford Bronco
Ford Explorer (myös muita malleja)
Isuzu Trooper (ei valmistettu 2002 jälkeen) (rinnakkaismallit Opel ja Vauxhall)
Nissan Patrol
Jeep
Lada Niva
Land Rover
Mitsubishi PajeroMitsubishi Pajero
Range Rover
Toyota Land Cruiser
UAZ
Suzuki SJ410, SJ413, Samurai, Vitara, Jimny
Katumaasturi

Markkinoilla on myös niin sanottuja katumaastureita, joita ei enää ole tarkoitettu varsinaiseen maastokäyttöön. Myös varsinaisten maastoautovalmistajien mallistossa on katumaastureiksi luokiteltavia malleja.
Katumaastureissa ei yleensä ole alennusvaihdetta jakovaihteistossa eivätkä niiden alustan ominaisuudet (maavara, pyörien joustovarat) vastaa varsinaisia maastoautoja. Yleensä niissä ei ole tasauspyörästön lukkoakaan, minkä seurauksena ristikkäisten pyörien jäädessä esimerkiksi maastoajossa vaille kosketusta maanpintaan, auto pysähtyy paikalleen tasauspyörästön välittäessä moottorin kaiken voiman näille pyörille.
Huone 213

| Huone 213 Marjorie |
| --- | --- | --- |

Studioalbumin tiedot
 Julkaistu: 1992
 Formaatti: CD
 Tyylilaji: Pop
 Kesto: 50.40
 Levy-yhtiö: EMI Finland
Marjorien muut julkaisut
|   | Huone 213 1992 | Auringon häät 1994 |
Huone 213 on Marjorien ensimmäinen studioalbumi, joka julkaistiin vuonna 1992. Sen tyylissä kuuluvat vaikutteet 1990-luvun alun r’n’b-musiikista sekä eurodancesta. Albumilta löytyy suomenkielinen versio Abban laulusta ”The Winner Takes It All”.
Tietoa > Kappalemateriaali

Albumin lauluista ”Miksi” ja ”Sut varastaa mä aion” on levytetty alun perin jyväskyläläisen dancepop-yhtye Downtownin levyllä Downtown (1989) englanninkieliset versiot ”Close to your heart” ja ”Make it real” . Omalla levyllään Marjorie duetoi kappaleen ”Miksi” Downtownin laulajan Jari Karjalaisen kanssa.
Tietoa > Tekijät

Albumin kappaleiden tekijöiden ja soittajien joukossa on lukuisia jyväskyläläisiä muusikoita, kuten Hausmyllyn Jason Drome (oik. Jari Karjalainen), Enzo (oik. Hannu Pulkkinen), Lowland (oik. Petri Alanko) ja Psyche (oik. Pekka Mykkänen), suomipuhallinfunkyhtye ILLU-Bandin Mikko Saikkonen ja Timo Pitkänen sekä Funkykarkureiden Janne Kettunen. Puolet albumin sanoituksista on tehnyt kirjailijana ja sanoittajana tunnettu Jukka Itkonen.
Myöhemmät versioinnit

Marjorien livetaltiointi laulusta ”Korttitalo vaan” löytyy livealbumilta Rakkauden kiertokulku, jonka nimeä kantavalla kiertueella Marjorie esiintyi vuonna 2001 Anneli Saariston ja Eija Kantolan kanssa.
Keväällä 2012 Putouksen 3. tuotantokauden hahmot esittivät ”Korttitalo vaan” kauden viimeisessä jaksossa ja levyttivät kappaleen omalla kokoelmalevyllään.
Kappaleet

En muuta kaipaa – 4.18 (säv.  Petri Alanko, san. Jukka Itkonen)
Huone 213 – 4.47 (säv. Reijo Järvi, san. Jukka Itkonen)
Kai vielä voisin rakkautta antaa – 4.14 (säv. Jari Karjalainen, san. Hannu Pulkkinen)
Ikävä aikaa – 3.07 (säv. Marjo-Riitta Noponen, san. Pekka Mykkänen)
Korttitalo vaan – 4.35 (The Winner Takes It All, säv. Benny Andersson, Björn Ulvaeus, suom. san. Jukka Itkonen)
Miksi – 3.59 (säv. Ari Saksa, Jari Karjalainen, san. Jukka Itkonen)
Yön syke – 4.12 (säv. Jari Karjalainen, san. Kari Tyni)
Pois itsestään – 5.04 (säv. Harri Kauppinen, san. Jukka Itkonen)
Sut varastaa mä aion – 4.10 (säv. Pasi Pennanen, Jari Karjalainen, san. Pasi Sorjonen)
Pidä minusta kiinni – 3.20 (säv. Jari Karjalainen, san. Pasi Sorjonen)
Blues – 4.30 (säv. Marjo-Riitta Noponen, san. Jukka Itkonen)
Kuin taivaan pilvi – 4.24 (säv. Petri Alanko, san. Jukka Itkonen)
Aiheesta muualla

Marjorien ja Hausmyllyn live-esitys kappaleesta Sut varastaa mä aion (1991)
Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on matematiikassa menetelmä, jolla useissa tapauksissa voidaan integroida kahden tai useamman funktion tulona muodostettu funktio yhden funktion derivaatan ja toisen integraalifunktion eli anti­derivaatan avulla. Sen avulla voidaan usein muuntaa funktioiden tulon integraali muotoon, jossa se on helpommin määritettävissä. Osittais­integrointi­sääntö seuraa suoraan funktioiden tulon derivoimis­säännöstä.
sovelluksena integraalilaskentaan.
Jos  u=u(x) ja  du=u'(x)\,dx, kun taas  v=v(x) ja  dv=v'(x)dx, osoittaisintegrointisäännön mukaan on
Tämä voidaan lyhemmin ilmaista muodossa
Osittais­integroinnin avulla voidaan useissa tapauksissa määrittää sekä annetun funktion integraalifunktio että sen Riemannin integraali jonkin annetun välin yli. Säännöstä on myös yleisempiä muotoiluja, joiden avulla voidaan määrittää myös Riemann-Stieltjes- ja Lebesgue-Stieltjes-integraaleja. Säännön analoginen vastine sarjoille tunnetaan osittais­summauksena.
Osittais­integroinnin keksi Brook Taylor, joka julkaisi säännön ensimmäisen kerran vuonna 1715.
Lause > Kahden funktion tulo

Osittais­integroinnin perustana oleva lause voidaan todistaa seuraavasti. Kun u(x) ja v(x) ovat jatkuvasti differenti­oituvia funktioita, tulon derivoimis­säännön mukaan on:
Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan x:n suhteen:
ja kun otetaan huomioon, että rajoiltaan määrittämätön integrointi on derivoinnin käänteis­toimitus, saadaan:
missä integroimisvakiota ei ole kirjoitettu näkyviin. Tästä saadaan seuraava osittais­integroinnin kaava:
mikä differentiaalien avulla voidaan kirjoittaa myös muotoon   \ du=u'(x)\,dx,\ \ dv=v'(x)\,dx,\quad
Tämän on ymmärrettävä sellaisten funktioiden yhtä­suuruudeksi, joista kumpaankin on lisätty määrittämätön vakio. Laskemalla kummallekin puolelle kahden arvon, x = a ja x = b, erotus ja soveltamalla analyysin peruslausetta saadaan määrättyä integraalia koskeva versio:
\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.
Alkuperäinen integraali  ∫ uv′ dx sisältää derivaatan v′. Lauseen soveltamiseksi on löydettävä v':n integraalifunktio (antiderivaatta ja laskettava tuloksena saatu integraali   ∫ vu′ dx.
Lause > Pätevyys vähemmän sileille funktiolle

Osittais­integrointi ei välttämättä edellytä, että funktiot u ja v ovat jatkuvasti differoituvia. Riittää, että u on absoluuttisesti jatkuva ja v:llä merkitty funktio Lebesgue-integroituva, ei välttämättä edes jatkuva. (Jos v:llä on epä­jatkuvuus­kohta, sen integraalifunktio v ei voi kyseisessä pisteessä olla derivoituva.)
Jos integroimisväli ei ole kompakti, u:n ei tarvitse välttämättä olla absoluuttisesti jatkuva eikä v:n Lebesgue-integroituva kyseisellä välillä. Tämän osoittavat seuraavat esimerkit, joissa u ja v ovat jatkuvia ja jatkuvasti differentioituvia. Esimerkiksi jos
u ei ole absoluuttisesti jatkuva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta
mikäli  \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }:n katsotaan tarkoittavan lausekkeen  u(L)v(L)-u(1)v(1) raja-arvoa, kun  L\to \infty  ja kunhan molemmat oikealla puolella olevat termit ovat äärellisiä. Tämä pätee vain, jos valitaan  v(x)=-\exp(-x). Samoin jos
v′ ei ole Lebesgue-integroituva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta
samoilla edellytyksillä.
Vastaavia esimerkkejä, joissa u ja v eivt ole jatkuvasti differentoituvia, voidaan myös helposti muodostaa.
Lisäksi jos funktio  f(x) on rajoitettu välillä  [a,b], ja  \varphi (x) differentioituva välillä  [a,b],, on
missä  d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)) tarkoittaa etumerkillä varustettua mittaa, joka vastaa rajoitetusti vaihtelevaa funktiota  \chi _{[a,b]}(x)f(x), ja funktiot  {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }} ovat  f,\varphi
Lause > Useamman funktion tulo

Kolmen funktion, u(x), v(x), w(x), tulolle saadaan vastaava tulos:
Yleisemin n funktion tulolle pätee:
mistä saadaan
Havainnollistus

Tarkastellaan parametrimuodossa esitettyä käyrä (x, y) = (f(t), g(t)). Edellyttäen, että käyrä on lokaalisti injektio ja integroituva voidaan määritellä:
Oheisessa kaaviossa sinisellä merkityn alueen pinta-ala on
ja punaisella merkityn
Näiden summa A1 + A2 on yhtä kuin suuremman ja pienemmän suorakulmion pinta-alojen erotus,  x_{2}y_{2}-x_{1}y_{1}, toisin sanoen:
Eli parametrin t avulla sanottuna:
Käyttämällä määräämättömiä integraaleja tämä voidaan kirjoittaa muotoon
tai siirtämällä termejä yhtälön toiselle puolelle edelleen muotoon
Osoittaisintegrointi voidaan siis käsittää keinoksi, jolla sinisen alueen pinta-ala voidaan laskea suorakulmioiden ja punaisen alueen pinta-alojen avulla.
Tämä havainnollistus selittää myös sen, että osittais­integroinnilla voidaan usein määrittää käänteisfunktion f−1(x) integraali, kun funktion f(x) integraali tunnetaan. Itse asiassa funktiot x(y) ja y(x) ovat toistensa käänteis­funktioita, ja integraali ∫ x dy voidaan laskea kuten edellä, jos integraali ∫ y dx tunnetaan. Erityisesti tämä selittää osittais­integroinnin käytön logaritmifunktion ja arkusfunktioiden integroimiseksi. Jos  f on differentioituva injektiivinen funktio jollakin välillä, osittais­integroinnilla voidaankin johtaa kaava funktion  f^{-1} integraalille  f:n integraalin avulla.
Sovelluksia > Integraalifunktion löytäminen

Annetun funktion integraalifunktion määrittämiseksi osittais­integrointi on pikemminkin heuristinen kuin puhtaasti mekaaninen menetelmä. Kun integroitava funktio on annettu, on etsittävä kaksi sellaista funktiota, u(x) ja v(x), joiden tulo annettu funktio on, että osittais­integroinnin kaavassa jäljellä jäävä integroitava funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio. Aina sellaisia funktioita ei kuitenkaan ole helppo löytää. Jos sellaiset on löydettävissä, voidaan käyttää seuraavaa kaavaa:
Yhtälön oikealla puolella u on differentioitu ja v integroitu; niinpä on joko valittava funktio u niin, että se yksin­kertaistuu differentoitaessa, tai funktio v niin, että se yksin­kertaistuu integroitaessa. Yksin­kertaisena esimerkkinä voidaan käyttää funktiota
Koska ln(x):n derivaatta on  {\frac {1}{x}}, funktioksi u valitaan ln(x), ja koska  {\frac {1}{x^{2}}}:n integraalifunktio on  -{\frac {1}{x}}, differentiaaliksi dv valitaan  {\frac {1}{x^{2}}}. Näin saadaan:
Funktion  {\frac {1}{x^{2}}} integraalifunktio saadaan potenssin integrointi­säännön avulla ja se on  -{\frac {1}{x}}
Vaihtoehtoisesti u ja v voidaan valita siten, että tulo u′ (∫v dx) yksinkertaistuu termien kumoutuessa. Esimerkiksi jos on laskettava integraali
voidaan valita u(x) = ln(|sin(x)|) ja v(x) = sec2x.  Silloin u:n differentiaaliksi saadaan ketjusäännön avulla 1/ tan x, ja v:n integraalifunktio on tan x, joten kaavasta saadaan:
Integroitava yksinkertaistuu vakioksi 1, joten sen integraalifunktio on x.  Yksinkertaistavan kombinaation löytäminen edellyttää usein kokeiluja.
Joskus osittais­integrointi on käyttökelpoinen menetelmä, vaikka integraalille  \int u'(x)v(x)\,dx, ei voitaisikaan esittää yksinkertaista lauseketta.  Esimerkiksi numeerisessa analyysissä tulo  u(x)v(x) sellaisenaan on usein riittävän hyvä likiarvo integraalille  \int u(x)v'(v)\,dx, mikäli integraali  \int u'(x)v(x)\,dx, on siihen verrattuna itseisarvoltaan niin pieni, että se voidaan jättää huomioon ottamatta.
Sovelluksia > Integraalifunktion löytäminen > Polynomit ja trigonometriset funktiot

Integraalin
laskemiseksi valitaan
jolloin:
missä C on integroimisvakio.
Kun integroitavassa funktiossa esiintyy x:n korkeampia potensseja, kuten lausekkeissa
integraali voidaan laskea suorittamalla osittais­integrointi useampaan kertaan, jolloin joka kerta x:n eksponentti pienenee yhdellä.
Sovelluksia > Integraalifunktion löytäminen > Eksponentti- ja trigonometriset funktiot

Usein käytetty esimerkki integraalista, joka voidaan laskea osittais­integroinnilla, on
Tässä osittais­integrointia sovelletaan kahdesti. Ensin valitaan
jolloin integraali saadaan muotoon:
Jäljellä olevan integraalin laskemiseksi käytetään jälleen osittais­integrointia valitsemalla
Saadaan:
Yhdistämällä nämä saadaan:
Sama integraali esiintyy tämän yhtälön molemmilla puolilla. Integraali voidaan yksinkertaisesti lisätä molemmille puolille, jolloin saadaan
ja siitä edelleen
missä C (ja C′ = C/2) on jälleen integroimisvakio.
Vastaavalla menettelyllä voidaan määrittää sekantin kuution integraali.
Sovelluksia > Integraalifunktion löytäminen > Funktiot kerrottuna yhdellä

Kaksi muuta hyvin tunnettua esimerkkiä ovat tapauksia, joissa osittais­integrointia sovelletaan funktioon ilmaistuna itsensä ja vakion 1 tulona. Tämä on mahdollista, jos funktion derivaatta tunnetaan ja jos myös tämän derivaatan ja x:n tulon integraali tunnetaan.
Ensimmäinen esimerkki on  ∫ ln(x) dx. Kirjoitetaan tämä muotoon:
Valitaan:
jolloin saadaan:
missä C on integroimisvakio.
Toinen esimerkki on arkustangentti, arctan(x):
Kirjoitetaan tämä muotoon
Nyt valitaan:
jolloin käyttämällä sekä sijoitus­menetelmää että luonnollisen logaritmin integraaliehtoa saadaan:
Sovelluksia > Integraalifunktion löytäminen > LIATE-sääntö

Sille, miten osittais­integroinnissa käytettävät funktiot u ja v on valittava, on esitetty nyrkkisääntö, jonka mukaan u on se funktio, joka on ensimmäisenä seuraavassa luettelossa:
Differentiaali dv muodostetaan funktiosta v, joka on jäljempänä listalla: niiden integraalifunktiot on helpommin muodostettavissa kuin edellä olevien funktioiden. Säännöstä käytetään joskus myös nimeä "DETAIL", missä D viittaa differentiaaliin dv.
LIATE-säännön havainnollistamiseksi tarkastellaan integraalia
LIATE-säännön mukaisesti valitaan u = x, ja dv = cos(x) dx, mistä saadaan du = dx, ja v = sin(x), jolloin integraali saa muodon
joka on yhtä kuin
Yleensä yritetään valita u ja dv siten, että du on yksinkertaisempi kuin u ja dv on helppo integroida. Jos sen sijaan uksi valittaisiin cos(x) ja dv:ksi x dx, saataisiin integraali
ja jos tähän edelleen sovelletaan toistuvasti osittais­integrointia, joudutaan selvästikin päättymättömään rekursioon eikä integraalia saada määritetyksi.
Vaikka LIATE on hyvä yleissääntö, siitä on poikkeuksia. Yleinen vaihtoehto on käyttää sen sijasta "ILATE"-sääntöä. Toisinaan polynomitermit on myös hajotettava ei-triviaaleilla tavoilla. Esimerkiksi integraalin
määrittämiseksi valitaan
niin että
Saadaan
Tämä johtaa lopulta tulokseen
Sovelluksia > Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia

Osittais­integrointi­sääntöä voidaan käyttää matemaattisessa analyysissä myös monien lauseiden todistamiseen.
Sovelluksia > Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia > Wallisin tulo

John Wallis esitti  \pi :n arvon laskemiseksi päättymättömän tulon:
Osittais­integroinnin avulla voidaan todistaa, että tämän tulon raja-arvo on  \pi .
Sovelluksia > Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia > Gammafunktio ja kertoma

Gammafunktio on esimerkki erikoisfunktiosta, joka on määritelty  z>0:n epäoleellisen integraalin avulla. Osittais­integroinnilla voidaan osoittaa, että se on samalla kertoman yleistys:
Koska
kun  z on luonnollinen luku, toisin sanoen  z=n\in \mathbb {N} , käyttämällä tätä kaavaa toistuvasti saadaan kertoma:  \Gamma (n+1)=n!
Sovelluksia > Käyttö harmonisessa analyysissä

Osittais­integrointia käytetään usein harmonisessa analyysissä, varsinkin Fourier-analyysissä osoittamaan, että Riemannin–Lebesguen lemman mukaisesti nopeasti värähtelevät integraalit, joissa on tarpeeksi tasainen integrandi, pienenevät nopeasti nollaan. Tavallisin esimerkki tästä on osoittaa, että funktion Fourier-muunnoksen pieneneminen riippuu funktion sileydestä jäljempänä selitetyllä tavalla.
Sovelluksia > Käyttö harmonisessa analyysissä > Derivaatan Fourier-muunnos

Jos f on k kertaa jatkuvasti differentioituva funktio ja sen kaikki derivaatat k:nteen saakka lähestyvät nollaa x:n kasvaessa rajatta, sen Fourier-muunnos toteuttaa yhtälön
missä f(k) on funktion f k:s derivaatta. Tämä voidaan todistaa toteamalla, että
joten soveltamalla osittais­integrointia Fourier-muunnoksen derivaattaan saadaan
Toistamalla tämä induktiivisesti saadaan tulos mille tahansa k:n arvolle. Samaan tapaan voidaan löytää funktion derivaatan Laplace-muunnos.
Sovelluksia > Käyttö harmonisessa analyysissä > Fourier-muunnoksen suppeneminen

Edellä saatu tulos liittyy Fourier-muunnoksen suppenemiseen, sillä siitä seuraa, että jos f ja f(k) ovat integroituvia, niin
Toisin sanoen jos f toteuttaa nämä ehdot, sen Fourier-muunnos lähestyy nollaa ξ:n kasvaessa rajatta vähintään yhtä nopeasti kuin 1/|ξ|k. Erityisesti jos k ≥ 2, Fourier-muunnos on integroituva.
Tämän todistamiseen käytetään seuraavaa epäyhtälöä, joka seuraa suoraan Fourier-muunnoksen määritelmästä:
Soveltamalla samaa ideaa tämän osion alussa olevaan yhtälöön saadaan:
Yhdistämällä nämä kaksi epäyhtälöä ja jakamalla 1 + |2Malline:Piξk| saadaan tulos todistetuksi.
Sovelluksia > Käyttö operaattoriteoriassa

Operaattoriteoriassa osittais­integrointia käytetään muun muassa sen osoittamiseen, että −∆, missä ∆ on Laplacen operaattori, on positiivinen operaattori Lp-avaruudessa L2. Jos f on sileä ja kompaktisti kannatettu, saadaan osittais­integroinnilla
Sovelluksia > Muita sovelluksia

Osittais­integroinnilla voidaan myös määrittää reunaehdot Sturmin-Liouvillen teoriassa. Lisäksi sen avulla voidaan johtaa Eulerin-Lagrangen yhtälö variaatio­laskennassa.
Toistuva osittaisintegrointi

Osittais­integroinnin kaavassa esiintyvän  v:n toisen derivaatan tarkastelu integraalisissa LHS:n yli viittaa siihen, että integrointi  RHS:n yli voidaan suorittaa toistuvasti:
Tämän toistuvan osittais­integroinnin käsitteen laajennus n:nnen asteen derivaattoihin johtaa tulokseen
Tämä on usein käyttökelpoista, kun  v^{(n)}:n peräkkäiset integraalit on helposti saatavissa, esimerkiksi kun kyseessä on eksponenttifunktio, sini tai kosini, kuten Laplacen tai Fourier'n muunnoksessa ja kun  u:n n:s derivaatta häviää, esimerkiksi kun kyseessä on  (n-1):nnen asteen polynomifunktio. Jälkimmäinen ehto rajoittaa sitä, kuinka moneen kertaan osoittaisintegrointi voidaan toistaa, sillä RHS-integraali häviää.
Toistaessa tätä osittais­integrointia ilmenee yhteys integraalien
\quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n
välillä. Tämä voidaan tulkita mielivaltaiseksi derivaattojen vaihdokseksi funktioiden  v ja  u välillä integrandissa, ja se on myös osoittautunut käyttökelpoiseksi.