Modulaarinen aritmetiikka
Sovelluksia

Modulaarista aritmetiikkaa sovelletaan lukuteoriassa, ryhmäteoriassa, rengasteoriassa, solmuteoriassa, abstraktissa algebrassa, tietokonealgebrassa, kryptografiassa, tietojen­käsittely­tieteessä, kemiassa sekä jopa kuva­taiteissa ja musiikissa.
Se on yksi lukuteorian perus­pilareista, joka liittyy lähesti tämän matematiikan haaran kaikkiin kysymyksiin, ja se tarjoaa hyviä esimerkkejä ryhmä- ja rengasteorian sekä abstraktin algebran käsitteistä.
Moniin eri yhteyksissä käytettäviin numero­tunnisteisiin kuuluu tarkistemerkki, joka yleensä määräytyy tunnisteen muiden numeroiden perusteella modulaarisen aritmetiikan keinoin. Esimerkiksi kansain­välisessä pankki­tilin numerossa (IBAN käytetään modu­laarista aritme­tiikkaa modulo 97 pankki­tilin numeroa syötettäessä mahdollisesti tehtävien virheiden paljastamiseen. Samaan tapaan suomalaisessa henkilö­tunnuksessa viimeinen numero on tarkiste­merkki modulo 31.
Kemikaalien CAS-numeron viimeinen numero on niin ikään tarkistemerkki. Se lasketaan kertomalla tunnisteen kummankin osan viimeinen numero 1:llä, toiseksi viimeinen 2:lla ja niin edelleen ja ottamalla näin saatujen lukujen summasta jakojäännös modulo 10.
Tietokone­algebrassa modulaarista aritmetiikkaa käytetään usein rajoitettaessa kokonais­luku­kerrointen suuruutta lasku­toimitusten väli­vaiheissa. Kaikki tunnetut tehokkaat algoritmit polynomien jakamiseksi tekijöihin perustuvat modu­laariseen aritme­tiikkaan. Siihen perustuvat myös tehokkaimmat menetelmät polynomien suurimman yhteisen tekijän löytämiseksi sekä monet lineaarialgebran ja Gröbnerin baasin algoritmit kokonais- ja rationaali­luvuille.
Tietojenkäsittelytieteessä modulaarista aritmetiikka sovelletaan usein biteittäisessä lasku­toimituksissa ja muissa toimituksissa, joissa käytetään kiinteän levyisiä, syklisiä tieto­rakenteita. Jako­jäännös­operaatio sellaisena kuin se on valmiina monissa ohjelmointikielissä ja laskimissa on tässä yhteydessä usein käytetty modu­laarisen aritme­tiikan sovellus. Esimerkiksi XOR on kahden bitin summa modulo 2.
Musiikin teoriassa aritmetiikka modulo 12 liittyy läheisesti 12 sävelen tasa­vireiseen järjestelmään, jossa eri oktaavien vastaavilla sävelillä on samat nimet ja enharmoniset sävelet samastetaan (toisin sanoen oktaavin päässä toisistaan olevat sävelet, joiden taajuuksien suhde
on 1:2 tai 2:1 käsitetään ekvivalenteiksi eikä esimerkiksi cis:n ja des:n välille tehdä eroa.)
Käsin suoritettujen lasku­toimitusten tulosten tarkistamiseen voidaan helposti käyttää yhdeksänkoetta. Se perustuu modu­laariseen aritme­tiikkaan modulo 9 ja erityisesti siihen, että  10 ≡ 1 (mod 9).
Aritmetiikkaan modulo 7 perustuvat menetelmät, joilla voidaan laskea, miksi viikonpäiväksi jokin päivä­määrä sattuu. Peri­aatteessa asia voidaan selvittää laskemalla, kuinka monta vuoro­kautta silloin on kulunut jostakin valitusta alku­päivästä, jota vastaava viikon­päivä tunnetaan, ja ottamalla tästä luku­määrästä jako­jäännös 7:llä jaettaessa. Käytän­nölli­sempiä menetelmiä tarjoavat kuitenkin Zellerin sääntö ja doomsday-sääntö, mutta nekin perustuvat modu­laari­seen arit­me­tiikkaan modulo 7.
Modulaarisella aritmetiikalla on sovelluksia oikeustieteessä, taloustieteessä, peliteoriassa ja muilla yhteis­kunta­tieteiden aloilla, varsinkin sovelluksissa, joissa resurssien kohden­ta­minen on keskeinen kysymys.
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Modular arithmetics