stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ulla Jacobsson
Aiheesta muualla

Ulla Jacobsson Internet Movie Databasessa. (englanniksi)
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  FAST  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Espanja  Ranska  BnF data  Saksa  Italia  Israel  Yhdysvallat  Ruotsi  Tšekki  Australia  Alankomaat 
Taiteenala:  KulturNav 
Henkilöt:  Deutsche Biographie  DDB  Trove  Elonet 
Muut:  Europeana  IdRef
Duke University

| Duke University |
| --- | --- |
  
 Kampuksella sijaitseva Duke Chapel.
Aikaisemmat nimet:   Brown School (1838–1841)  Union Institute (1841–1851)  Normal College (1851–1859)  Trinity College (1859–1924) 
Motto:  lat. Eruditio et Religio
Perustettu:  1838
Sijainti:  Durham, Pohjois-Carolina  Yhdysvallat
Kampus:  Large city
Maskotti:  Blue Devil
Sivusto:  https://duke.edu/
Duke University on yhdysvaltalainen yliopisto Durhamissa, Pohjois-Carolinan osavaltiossa. Yliopiston perusti vuonna 1924 yhdysvaltalainen filantrooppi James Buchanan Duke, jonka suku rikastui tupakka- ja sähköteollisuudella. Virallisesti yliopisto perustettiin vuonna 1924. mutta sen tausta on vuonna 1859 perustetussa Trinity Collegessä.
Syksyllä 2017 yliopistossa opiskeli yhteensä 15 192 opiskelijaa, joista 6 532 suoritti perustutkintoa ja 8 660  jatko-opintoja. Perusopiskelijoita on kaikista Yhdysvaltojen osavaltioista ja 85 maasta. Lähes 40 prosenttia opiskelijoista kuuluu etnisiin vähemmistöihin.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Duke University Wikimedia Commonsissa
Duke Universityn verkkosivut
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  FAST  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Norja  Espanja  Ranska  BnF data  Saksa  Israel  Yhdysvallat  Tšekki 2  Australia  Puola  Vatikaani 
Tieteilijät:  CiNii 
Muut:  SNAC  IdRef  Te Papa (New Zealand)
Peter Jöback

Peter Jöback vuonna 2013.
Peter Jöback (s. 4. kesäkuuta 1971 Tukholma, Ruotsi) on ruotsalainen laulaja, näyttelijä ja musikaaliartisti.
Jöbackin suuri läpimurto tapahtui vuonna 1995, kun hän sai Robertin roolin musikaalissa Kristina från Duvemåla. Hänen soolokappaleensa musikaalista "Guldet blev till sand", joka julkaistiin studiolevytyksenä vuonna 1996 yhdessä musikaalin muun musiikin kanssa, oli Svensktoppen-musiikkilistalla 110 viikon ajan.
Jöback on osallistunut Ruotsin Melodifestivaleniin kaksi kertaa, vuosina 1990 ja 2010. Hän esitti pääroolin The Phantom of the Opera -musikaalin 30-vuotisjuhlanäytöksessä Broadwaylla.
Peter Jöback on naimisissa Oscar Jöbackin (o.s. Nilsson) kanssa. He menivät naimisiin 25. kesäkuuta 2010.
Diskografia

| Vuosi | Albumin nimi |
| --- | --- |
1993: Peter Jöback
1997: Personliga val
2000: Only When I Breathe
2002: I Feel Good and I'm Worth It
2002: Jag kommer hem igen till jul
2004: Det här är platsen
2004: Storybook
2006: Flera sidor av samma man
2007: Människor som du och jag
2008: En god Jul och ett gott nytt år
2009: East Side Stories
2010: En kväll med Peter Jöback
2011: Livet, Kärleken och Döden – La Vie, L'Amour, La Mort
2012: Jag kommer hem igen till jul – Juhlajulkaisu
2013: I Love Musicals – The Album
Aiheesta muualla

Peter Jöbackin viralliset kotisivut (englanniksi)
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Saksa  Yhdysvallat  Ruotsi 
Taiteenala:  MusicBrainz 
Muut:  Europeana
Derivaatta

Derivaatta tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujan suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin keskimääräisestä muutosnopeudesta, jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla muutosnopeus yhdessä kohtaa. Sanaa derivaatta käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä.
Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla (keskimääräinen muutosnopeus), jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollistetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.
Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille. Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa Jacobin matriisin avulla.
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Määritelmä kahden kohdan avulla

Yhden reaalimuuttujan funktion  f(x) derivaatan  f'(x) formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä  x_{0} ja  x
Merkinnällä  \Delta a tarkoitetaan suureen  a arvojen muutosta tai erotusta  a_{1}-a_{2}. Välin  [x_{0},x] jälkimmäistä päätepistettä  x siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä  x_{0}. Tämä merkitään raja-arvon arvolla
Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla  f(x) on derivaatan arvo kohdassa  x_{0}, joka merkitään tavallisesti  f'(x_{0}).
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Määritelmä välin pituuden avulla

Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden  x_{0} ja  x=x_{0}+h avulla, missä luku  h=x-x_{0} on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan
Nyt väliä  [x_{0},x]=[x_{0},x_{0}+h] voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua  h, jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä  x_{0}
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Funktion kulun tarkastelu

Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion kulmakerroin on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa. Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.
Esimerkiksi kolmannen asteen funktio  x^{3}+x^{2}-5x derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon  3x^{2}+2x-5. Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat  x=-5/3 ja  x=1 saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.
|  |  | -5/3 |  | 1 |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  f'(x) | + |  | - |  | + |
|  f(x) | nouseva |  | laskeva |  | nouseva |
Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä  [-3,2], huomattaisiin, että funktio saisi suurimman ja pienimmän arvonsa kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat  x=-5/3 ja  x=1 ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Derivaatan olemassaolo

Derivaatta on olemassa pisteessä  x_{0}, mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.
Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi matemaattinen määritelmä. Sellainen on esimerkiksi
Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille  \epsilon >0\, löytyy siitä riippuva luku  \delta >0\, siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle  \epsilon \,:in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle  \delta \,:n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua  \epsilon \, pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi  \delta \,, voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Yhden muuttujan derivaattafunktio

Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan derivoimiseksi. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös derivaataksi. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.
Määritetään funktion  f(x) derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä  x hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi  f'(x) (käytetään toista määritelmää)
Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.
Esimerkiksi funktion  f(x)=x^{2} derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:
Lausekkeella  f'(x)=2x voi helposti laskea funktion  f(x)=x^{2} derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.
Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Derivaatta-operaattori ja muita merkintätapoja

Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä
Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään
Tässä Leonhard Eulerin ja Louis Langrangen mukaan nimetyssä nk. Euler-Lagrange-merkintätavassa oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa, ja sekin on siten yleinen esimerkiksi suomalaisessa koulumatematiikassa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään t), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää
Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä
Merkinnät  df ja  dx tarkoittavat suureiden  f\, ja  x\, differenssejä ja nimittäjästä  dx voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.
Derivaatan arvo jossakin kohdassa  a\, merkitään vastaavasti  f'(a)\,,  Df(a)\,,  \left({\frac {df}{dx}}\right)_{x=a} tai  {\dot {f}}(a)\,.
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Moninkertaiset derivaatat

Kun funktion  f\,:n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota  f\, kutsutaan kahdesti derivoituvaksi. Kahdesti derivoitu funktio eli toinen derivaatta määritetään
ja merkitään  f''\,,  D^{2}f(x)\,  tai    {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}. Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos  f\,:n  (n-1)\,:s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on  n\, kertaa derivoituva, ja sen  n\,:ttä derivaattaa merkitään  f^{(n)}\,,  D^{n}f(x)\,   tai    {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\,.
Jos funktion ( n\,:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan ( n\, kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion  n\,:s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on  C^{n}\,-funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan  C^{\infty }\,-funktio.lähde?
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Eräiden alkeisfunktioiden derivointia

Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.
| Potenssin derivaatta | Trigonometristen funktioiden derivaatat | Arkusfunktioiden derivaatat |
| --- | --- | --- |
|  Dx^{a}=ax^{a-1}\,, missä  a\in \mathbb {R}  |  D\sin x=\cos x\, |  D\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\, |
|  D{\sqrt {x}}={1 \over 2{\sqrt {x}}}\,  |  D\cos x=-\sin x\, |  D\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\, |
|  D{\sqrt[{3}]{x}}={1 \over 3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\, |  D\tan x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\, |  D\arctan x={1 \over 1+x^{2}}\, |
|  D{\sqrt[{n}]{x}}={1 \over n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}\, |  D\cot x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-1-\cot ^{2}x\, |  D\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}\, |
| Eksponenttifunktion derivaatta | Hyperbolisten funktioiden derivaatat | Hyperbolisten käänteisfunktioiden eli areafunktioiden derivaatat |
|  De^{x}=e^{x}\, |  D\sinh x=\cosh x\, |  D\ \operatorname {arsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}\, |
|  Da^{x}=a^{x}\ln a\,, missä  a>0\, |  D\cosh x=\sinh x\, |  D\ \operatorname {arcosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}\, |
|  |  D\tanh x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\, |  D\ \operatorname {artanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}\, |
Logaritmifunktioiden derivaatat: 
 D\ln |x|={1 \over x}\,: 
 D\log _{a}|x|={1 \over x\ln a}\,, missä  a>0\, ja  a\neq 1:
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Potenssin derivaatta

Siinä tapauksessa, että eksponentti n on positiivinen kokonaisluku tai nolla, potenssin xn derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan
jolloin potenssifunktiolle saadaan
Koska
missä  a_{i} vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti  a_{0}=1\, ja  a_{1}=n\,), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa
Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion  \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k} derivaatta.
Edellä sääntö  Dx^{a}=ax^{a-1} on todistettu siinä tapauksessa, että eksponentti a on positiivinen kokonaisluku. Voidaan kuitenkin osoittaa, että sama tulos pätee, olipa a mikä reaaliluku tahansa.
Ensinnäkin jos eksponentti k = -n on negatiivinen kokonaisluku, on määritelmän mukaan
Osamäärän derivoimissääntö yksinkertaistuu tässä tapauksessa muotoon
Näin voidaan todeta, että sääntö  Dx^{k}=kx^{k-1} pätee myös eksponentin negatiivisilla kokonaislukuarvoilla.
Eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaattojen lausekkeista
sekä yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä seuraa edelleen, että olipa a mikä reaaliluku tahansa, on aina
Yhden reaalimuuttujan funktiot > Yleisiä derivointisääntöjä

Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa.
| Säännön nimi | Derivointisääntö |
| --- | --- |
Vakion derivaatta:  Dc=0\,, kun  c\, on vakio.
Vakion siirto:  Dcf(x)=cDf(x)\, 
Summan derivaatta:  D(f(x)+g(x))=Df(x)+Dg(x)\, 
Tulon derivaatta:  D(f(x)g(x))=g(x)Df(x)+f(x)Dg(x)\, 
Funktion potenssin derivaatta:  Df(x)^{n}=nf(x)^{n-1}f'(x)\, 
Osamäärän derivaatta:  D{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {g(x)Df(x)-f(x)Dg(x)}{g(x)^{2}}}\, 
Yhdistetyn funktion derivaatta:  Dg(f(x))=g'(f(x))f'(x)\, 
Käänteisfunktion derivaatta:  (f^{-1})'(f(x))={1 \over f'(x)}\,, jossa  f^{-1}\, on  f\,:n käänteisfunktio.
Vakiofunktion  f(x)=c derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:
Yhden kompleksimuuttujan funktiot

Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia  z=x+iy, ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun  z_{0}) määriteltyä kompleksifunktiota  f(z)=u(x,y)+iv(x,y), pystytään joskus määrittämään funktion  f(z) derivaatta.
Yhden kompleksimuuttujan funktiot > Holomorfinen funktio

Derivaatta on olemassa, mikäli  f(z) toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt  ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen  z_{0} ympäristössä G jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo
voidaan määrittää yksikäsitteisesti.
Yhden kompleksimuuttujan funktiot > Derivaatan olemassaolon toteaminen

Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki
Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat
Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt
ja
on funktio  f(z)=z^{2} derivoituva.
Yhden kompleksimuuttujan funktiot > Kompleksifunktioiden derivointikaavat

Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.
Usean muuttujan funktiot

Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin  f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} . Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla.
Usean muuttujan funktiot > Osittaisderivaatta

Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.
Usean muuttujan funktiot > Suunnattu derivaatta

Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä suunnattu derivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen gradienttia. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös toispuoleinen derivaatta.
Sovelluksia

Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys  g\,, kun mitataan putoavan pallon putoama matka  s\, ajan  t\, funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista
ja nopeus  v\, on matkan derivaatta ajan suhteen
mistä edelleen putoamiskiihtyvyys  g\, on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:
Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan putoamiskiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä  {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}} ja  {\frac {d^{2}x}{dt}}={\ddot {x}}.
Historia

Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muuttujan muutosväli. Käyttöön otettiin infinitesimaalin käsite. Se vastasi ”pienintä mahdollista muutosta” suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi  funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu erotusosamäärällä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän raja-arvona. 1960-luvulta alkaen Abraham Robinson ja Jerome Keisler kuitenkin todistivat, että myös infinitesimaaleihin pohjaava differentiaalilaskenta voidaan määritellä tarkasti.
Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta (johdos) otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Matematiikan etäopiskeluympäristö, Derivaatta. Opetus.tv.
”Newton, Leibniz, and Usain Bolt”. Khan Academy. (englanniksi)
”Derivative”. MathWorld. (englanniksi)
Sekantin asennon kääntyminen tangentiksi.
Erotusosamäärä ja sekantti.
Kuvan funktio on derivoituva muualla paitsi kohdassa x = 0.
Esimerkki derivoidusta paraabelista.
Piotr Wącisz

| Piotr Wącisz |
| --- | --- |
 Piotr Wącisz, 2006
Henkilötiedot
Ammatti:  muusikko
Muusikko
Taiteilijanimi:  Anioł
Aktiivisena:  1991-
Tyylilajit:  thrash metal stoner metal
Soittimet:  bassokitara
Yhtyeet:  Corruption (1991-) Virgin Snatch (2006-2008, 2009-)
Levy-yhtiöt:  Mystic Production
  [ Muokkaa Wikidatassa ] [ ohje ]  
Piotr Wącisz (s. 1. toukokuuta 1971 Stalowa Wola, Puola) on puolalainen basisti, joka toimii yhtyeissä Corruption ja Virgin Snatch.
Diskografia

Corruption
Ecstasy (1996, Sick Records)
Bacchus Songs (1996, Negative Records)
Pussyworld (2002, Metal Mind Records)
Orgasmusica (2003, Metal Mind Records)
Hellectrify Yourself (2004, DVD, Metal Mind Records)
Virgin's Milk (2005, Metal Mind Records)
Bourbon River Bank (2010, Mystic Production)
Night Gallery
True Lovers Path (1995, Negative Records)
Virgin Snatch
In the Name of Blood (2006, Mystic Production)
Let's Play by the Rulez (2011, Mystic Production)
Aiheesta muualla

Piotr Wącisz Encyclopaedia Metallumissa (englanniksi)
Virgin Snatch
|  Zielony  Jacek Sławeński  Grysik  Piotr Wącisz  Paweł Pasek >  Paweł Mąciwoda  Titus  Jacek Hiro  Novy  |
| --- | --- |
Studioalbumit:  S.U.C.K.  Art of Lying  In the Name of Blood  Act of Grace  We Serve No One  Vote Is a Bullet 
Katso myös:  Anal Stench  Acid Drinkers  Corruption  Sceptic  Scorpions
Hindersby-Bäckbyn kyläpaja

| Heikinkylän-Pekinkylän kyläpaja |
| --- | --- |
Tyyppi:  Museo 
Osoite:  Hopenbackvägen 47, 07850 Heikinkylä  
Sijainti:  Lapinjärvi 
Koordinaatit:  60°34′59″N, 26°15′40″E
 fiHeikinkylän-Pekinkylän kyläpaja 
  
Hindersby-Bäckbyn kyläpaja on Heikinkylässä, Lapinjärvellä sijaitseva, 1800-luvulta peräisin oleva sepänpaja, joka on museokäytössä. Pajassa on esillä useita sepän työkaluja.
Hurtigsin rakuunatorppa

| Hurtigin rakuunatorppa |
| --- | --- |
Tyyppi:  Museo, paikallismuseo 
Osoite:  Blåsbackantie 2, 07850 Heikinkylä  
Sijainti:  Lapinjärvi 
Koordinaatit:  60°34′34″N, 26°16′30″E
 fiHurtigin rakuunatorppa 
  
Hurtigsin rakuunatorppa (ruots. Hurtigs Dragon torp) on museo Lapinjärven kunnan Heikinkylässä. Museota ylläpitää vuonna 1952 perustettu Hopenback-Lekstrand fornminnesförering (suom. muinaismuistoyhdistys). Rakennus on 1700-luvulta oleva ruotujakoaikainen sotilastorppa.
Lapinjärven kirkonkellomuseo

Lapinjärven kirkonkellomuseo on Lapinjärvellä sijaitseva vanha maatila, joka on nykyään museokäytössä. Se sijaitsee Kimonkylässa. Museossa on 1400 erilaista kelloa, mistä suuri osa on kirkonkelloja. Ulkona tien varressa on kolme suurta kelloa. Kellot ovat entisen navetan vintille sisustetussa tilassa. Aitan alakerroksessa on matkamuistomyymälä ja päärakennuksessa on kappeli, jossa on kolmet urut. Museo osallistuu Avoimet Kylät-tapahtumaan kesäkuun toisena lauantaina.
Kycklingsin kotiseutumuseo

| Kycklingsin kotiseututalo |
| --- | --- |

Tyyppi:  Kotiseutumuseo, paikallismuseo, museo 
Osoite:  Lapinjärventie 12, 07800 Lapinjärvi  
Sijainti:  Lapinjärvi 
Koordinaatit:  60°37′23″N, 26°11′49″E
 fiKycklingsin kotiseututalo 
  
Kycklingsin kotiseutumuseo on Lapinjärvellä sijaitseva vanha maatila, joka on nykyään museokäytössä. Kycklings sijaitsee keskellä Kirkonkylää. Kycklings on nimetty Erik Bertelsson Kycklingsin mukaan: Bertelsson otti talon haltuun 1660-luvulla. Samaan aikaan Kycklingistä tuli rakuunatila. Lappträsk Hembygdsförering (suom. Lapinjärven kotiseutuyhdistys) on hoitanut vuodesta 1978 Kycklingsiä ja avannut sen kotiseututalona: Kycklingissä on esillä mm. siselöijän verstas ja suutarin työhuone.