Pinta-alavektori
Suunnistuvan pinnan pinta-alavektori > Suunnistuvan pinnan yksikkönormaalit

Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta  {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{3} on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia, 







n
^




1




{\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}

 ja 







n
^




2




{\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{2}}

, jotka ovat toistensa vastavektorit (







n
^




1


=
−




n
^




2




{\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}=-\mathbf {\hat {n}} _{2}}

). Pinta on suunnistettu, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä 







n
^




1


:


S


→


R


3




{\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{1}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ^{3}}

 tai 







n
^




2


:


S


→


R


3




{\textstyle \mathbf {\hat {n}} _{2}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ^{3}}

. Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.
Jos  U\subset \mathbb {R} ^{2}on avoin joukko ja pinnalla 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 on parametriesitys 





S


=

r

(
U
)


{\textstyle {\mathcal {S}}=\mathbf {r} (U)}

 jokaisessa pisteessä 




x

=

r

(

u

)
∈


S




{\textstyle \mathbf {x} =\mathbf {r} (\mathbf {u} )\in {\mathcal {S}}}

, niin pinnan yksikkönormaalit ovat
\mathbf {\hat {n}} _{1,2}(\mathbf {x} )=\pm {\frac {{\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{1}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{2}}}}{\left\Vert {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{1}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x_{2}}}\right\Vert }}.
Mikäli pinta 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 voidaan esittää funktion  f:U\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=z kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit
\mathbf {\hat {n}} _{1,2}(x,y)=\pm {\frac {-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\right)^{2}}}}.
Etumerkki 



+


{\textstyle +}

 vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.
Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 pitää olla muotoa
{\mathcal {S}}=\left(\bigcup _{k=1}^{m}{\mathcal {S}}_{k}\right)\cup {\mathcal {S}}_{0},
missä joukot  {\mathcal {S}}_{k} ovat keskenään pistevieraita ja 






S



0




{\textstyle {\mathcal {S}}_{0}}

 sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan 






S



1


,
…
,



S



m




{\textstyle {\mathcal {S}}_{1},\dots ,{\mathcal {S}}_{m}}

 reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta 





S




{\textstyle {\mathcal {S}}}

 on suunnistettu, jos osat 






S



1


,
…
,



S



m




{\textstyle {\mathcal {S}}_{1},\dots ,{\mathcal {S}}_{m}}

 suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.
Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.