Epidemian matemaattinen mallintaminen
Deterministisiä malleja > SIR-malli

Hyvin yksinkertainen epidemiamalli on William Ogilvy Kermackin ja Anderson Gray McKendrickin vuonna 1927 esittelemä SIR-malli. Siinä tutkitaan kolmea väestöryhmää:
sairastumiselle alttiina olevat (S, susceptible)
tartuttavat (I, infectious) sekä
sairaudesta toipuneet (R, recovered tai removed).
Yksinkertaisimmillaan SIR-mallissa oletetaan että populaation koko N pysyy vakiona eli jokaisella ajanhetkellä pätee side-ehto S(t) + I(t) + R(t) = N. Tämä on ensisijaisesti mallin yksinkertaistamiseksi, mutta ehto on myös perusteltu kun syntyvyys ja kuolleisuus ovat pieniä epidemian keston aikana. Lisäksi oletetaan, että 1) tartunnan saaneiden määrä on verrannollinen sekä alttiiden henkilöiden määrään että infektoituneiden määrään ja 2) sairaudesta parantuneet ovat saavuttaneet immuniteetin eivätkä he siis palaa alttiina olevien ryhmään. Kumpikaan oletus ei välttämättä päde todellisen epidemian tapauksessa, sillä sairastumisen riskiin yksilötasolla vaikuttaa muitakin tekijöitä, kuten ikä ja aikaisemmat sairaudet, eivätkä kaikki taudit anna sairastaneelle immuniteettia.
Yksinkertaisuudestaan huolimatta SIR-malli on osoittautunut kuvaavan epidemian etenemistä hämmästyttävän hyvin tilanteissa, joissa populaatiokoko on suuri ja sairaus todella aiheuttaa pysyvän immuniteetin. Siitä saadaan myös helposti johdettua sellaisia epidemian kulkua kuvaavia keskeisiä tuloksia, jotka eivät ole intuitiivisesti pääteltävissä.
SIR-malli muodostuu kolmen toisiinsa kytkeytyvän differentiaaliyhtälön ryhmästä:
Ensimmäinen yhtälö siis kertoo, että alttiiden määrä vähenee suoraan verrannollisena alttiiden ja sairastuneiden määrään. Kolmas yhtälö kertoo, että parantuneiden määrä kasvaa suoraan verrannollisena sairastuneiden määrään. Keskimmäisessä yhtälössä sairastuneiden määrä kasvaa suoraan verrannollisena alttiiden ja sairastuneiden määrään ja siitä poistuu parantuneiden osuus. Malliparametreista  \beta  kuvaa yksittäisen henkilön keskimääräistä kontaktien lukumäärää aikayksikössä ja  1/\gamma  kuvaa tartuttavuuden keskimääräistä kestoa. Käytännön sovelluksissa myös  \beta :n ja  \gamma :n arvot muuttuvat epidemian edetessä. Erityisesti erilaisilla rajoitustoimilla pyritään vaikuttamaan  \beta :n arvoon, koska tällöin I(t):n maksimiarvo pienenee.
Epidemian kehityksen kannalta erityisen mielenkiintoinen on suure
 R_{0}=\beta /\gamma 
jota kutsutaan (perus)tartuttavuusluvuksi. Jos R0 < 1 epidemia sammuu itsekseen ja jos R0 > 1 epidemia vääjäämättä leviää. Toisin päin ajatellen tästä saadaan myös merkittävä tulos: epidemia pääsee leviämään vain jos alttiiden osuus väestössä on suurempi kuin  1/R_{0}. Tämä havainto johtaa laumaimmuniteetin käsitteeseen.
Todellisen epidemian aikana  R_{0} pyritään arvioimaan havainnoista, jolloin sen avulla voidaan arvioida ihmistenvälisten kontaktien määrää ja sen muutoksia.
Epidemian sammuminen on esimerkki helposti SIR-mallista saatavasta tuloksesta, jota on kuitenkin vaikea intuitiivisesti hahmottaa. Skaalataan N = 1 ja lasketaan
Tästä nähdään että  S(t) on aidosti positiivinen ja kun (skaalauksen takia)  R\leq 1 niin  S>e^{-R_{0}} aina. Toisin sanoen väestössä on aina jäljellä ihmisiä, jotka eivät ole saaneet tartuntaa. Epidemia siis sammuu kun tartuttajia ei enää ole, ei siksi että kaikki olisivat sen sairastaneet! Epidemian torjunnassa on siksi järkevää keskittyä estämään uusia tartuntoja.