Joukko-oppi
Historia

Matematiikan oppialat ovat yleensä syntyneet ja kehittyneet monien eri tutkijoiden yhteistyön ja vuorovaikutuksen tuloksena. Joukko-oppi on kuitenkin saanut alkunsa eritoten yhdestä ainoasta, Georg Cantorin vuonna 1874 julkaisemasta tutkielmasta ”Kaikkien reaalisten algebrallisten lukujen luonteen­omaisista ominaisuuksista.”
Jo 400-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikko Zenon Elealainen kuten samanaikaisesti myös intialaiset matemaatikot painiskelivat äärettömän käsitteen ongelmakohtien parissa. Aiheen myöhemmistä tutkijoista erityislaatuisen huomion saa Bernard Bolzano 1800-luvun alussa. Nykyisenkaltainen käsitys äärettömyyden olemuksesta sai alkunsa vuosina 1867–1871 Cantorin tutkiessa lukuteoriaa. Vuonna 1872 Cantor tapasi Richard Dedekindin ja sai häneltä vaikutteita ajatuksiinsa, jotka johtivat vuonna 1874 julkaistuun tutkielmaan.lähde?
Alkuun Cantorin työhön suhtauduttiin vaihtelevin mieli­pitein. Cantorin matemaatikkokollegat Karl Weierstrass ja Dedekind tukivat häntä, mutta eriäviä mielipiteitä esitti Leopold Kronecker, jota pidetään nykyisin matemaattisen konstrukti­vismin perustajana. Cantorin joukko-oppi sai kuitenkin pian suuren ja laajahkon vastaanoton, sillä Cantorin käsitteet osoittautuivat jossain määrin hyödyllisiksi. Niitä olivat eri joukkojen välinen kääntäen yksi­käsitteinen vastaavuus eli bijektio, samoin todistus, että reaalilukujen joukon mahtavuus on suurempi kuin kokonais­lukujen, sekä ”äärettömyyksien äärettömyys” (”Cantorin paratiisi”), joka seuraa potenssi­joukon ominaisuuksista. Joukko-opin käyttö­kelpoisuutta kuvaili Arthur Schoenfliesin Kleinin ensyklopediassa vuonna 1898 julkaisema artikkeli ”Mengen­lehre”.
Joukko-opin toinen tärkeä kehitysvaihe sattui 1900-luvun alkuun, kun havaittiin, että Cantorin joukko-oppi johti erinäisiin risti­riitoihin, joita sanotaan anti­nomioksi tai para­dokseiksi. Bertrand Russell ja Ernst Zermelo löysivät toisistaan riippumatta yksin­kertaisimman ja tunnetuimman paradoksin, jota nykyisin tunnetaan Russellin paradoksina. Se käsittelee kaikkien niiden joukkojen joukkoja, jotka eivät ole itsensä alkioita, mikä johtaa risti­riitaan, sillä tämän joukon olisi oltava itsensä alkio siinä ja vain siinä tapauksessa, ettei se sellainen ole. Vuonna 1899 Cantor oli itse asettanut kysymyksen siitä, mikä on kaikkien joukkojen joukon kardinaliteetti, ja havaitsi myös tämän kysymyksen johtavan paradoksiin. Russell käytti para­doksiaan teemana vuonna 1903 laatimassaan yhteen­vedossa manner­maisesta matematiikasta The Principle of Mathematics opuksessaan.lähde?
Joukko-oppi oli kuitenkin levinnyt matemaatikkojen keskuudessa jo niin laajalti omaksutuksi, että väittely para­dokseista ei johtanut sen hylkäämiseen. Zermelon työ vuodelta 1908 ja Abraham Fraenkelin työ vuodelta 1922 johtivat aksiooma­järjestelmään ZFC, josta tuli yleisimmin käytetty joukko-opin aksioomajärjestelmä. Reaalianalyysin tutkijat kuten Henri Lebesgue osoittivat joukko-opin suuren matemaattisen käyttökelpoisuuden, ja siitä onkin sittemmin tullut modernin matematiikan perusta. Sitä käytetään usein perustavana järjestelmänä, vaikka on tosiasia että joillakin matematiikan aloilla kategoriateoriaa pidetään parempana perustana.lähde?