stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Haijainen

Haijainen on Naantalin kaupunginosa noin kolme kilometriä kaupungin keskustasta lounaaseen. Haijainen sijaitsee Luonnonmaan saarella ja kaupunginosassa on 49 asukasta.
Haijaisissa sijaitsee toimintakeskus entisessä koulurakennuksessa, sekä neljän kilometrin pituinen luontopolku, hiidenkiukaita, laavu, pallokenttä ja talvella kaupungin ylläpitämä 1,7 kilometrin pituinen valaistu hiihtolatu.
Alueella on maisemallisesti arvokkaita peltoalueita sekä sikoangervoa ja pölkkyruohoa.
Haijaisten 200-vuotiaan rakennus- ja kulttuurihistoriallisesti suojellun Alitalon ympäristö on seudullisesti arvokas rakennetun ympäristön kokonaisuus. Alitalon vierestä on löydetty myöhäisrautakautinen keihäänkärki.
Sundsvallin kunta

| Sundsvallin kunta |
| --- | --- |
 vaakuna

Valtio:   Ruotsi
Lääni:  Västernorrlandin lääni
Maakunta:  Medelpad ja Hälsingland
Keskustaajama:  Sundsvall
Kuntakoodi:  2281
Pinta-ala  ():  
 – Maa:  3 189,71 km²
Väkiluku (31.12.2021)  ():  99 383
 – Väestötiheys:  31,2 as./km²
 
 www.sundsvall.se 
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Medelpadin maakunnan alueella sijainneet pitäjät. Pitäjien nimet lukevat pienimmällä, vuoden 1970 kuntajako hieman suuremmalla ja nykyisten kuntien nimet ovat kilpien sisällä. Entisten kuntien rajat ovat rosalla, nykyiset kirkkaanpunaisella ja maakuntaraja sinisellä.
Tjuvholmenin saari ja Skönsmonin asuinalue Sundsvallissa.
Sundsvallin kunta (ruots. Sundsvalls kommun) on Västernorrlandin läänissä sijaitseva Ruotsin kunta. Maakuntajaossa se kuuluu Medelpadiin ja Hälsinglandiin. Kunnan keskustaajama on Sundsvall.
Kunnan maapinta-ala on 3 189,71 neliökilometriä (1.1.2016) ja asukasluku 99 383 henkeä (31.12.2021).
Vuonna 2007 kunnassa oli 100,46 km² peltoa, joten saman ajankohdan maapinta-alaan vertaamalla saadaan peltojen osuudeksi 3,1 prosenttia kunnan maapinta-alasta.
Kuntajaon kehitys

Vuoden 1862 kunnallislakien astuessa voimaan alueella sijaitsi Sundsvallin kaupunki ja 11 maalaiskuntaa, jotka perustuivat vanhaan pitäjäjakoon. Skönin maalaiskuntaan perustettiin vuonna 1884 Skönsmonin taajaväkinen yhdyskunta ja vuonna 1894 Gångvikenin ja Skönsbergin taajaväkiset yhdyskunnat. Kaikki kolme lakkautettiin vuonna 1948, jolloin Skönsmon liitettiin Sundsvallin kaupunkiin ja loppuosa kunnasta muutettiin Skönin kauppalaksi.
Vuoden 1952 kuntauudistuksessa muodostettiin seuraavat "suurkunnat":
Indals-Liden (Holm, Indal ja Liden)
Selånger (Selånger ja Sättna)
Alnön, Attmarin, Njurundan, Stöden ja Tunan maalaiskuntiin sekä Skönin kauppalaan ja Sundsvallin kaupunkiin uudistus ei vaikuttanut. Vuonna 1963 Attmar ja Tuna yhdistettiin Matforsin maalaiskunnaksi. Kuntaliitokset Sundsvallin kuntablokissa toteutettiin vaiheittain. Jo vuonna 1965 kaupunkiin liitettiin Alnön ja Selångerin maalaiskunnat sekä Skönin kauppala. Vuonna 1971 kaupunki ja maalaiskunnat muutettiin kunniksi ilman aluemuutoksia. Vuonna 1974 Sundsvallin kunta sai nykyiset rajansa, kun Njurundan, Matforsin, Indals-Lidenin ja Stöden kunnat liitettiin siihen.
Vaakuna

Nykyinen kuntavaakuna on entisen Sundvallin kaupungin vaakuna. Seuraavassa on esitetty nykyisen kunnan alueella aiemmin sijainneiden kuntien vaakunoita:
Alnön maalaiskunta
(1962–1964)
Attmarin maalaiskunta
(1960–1962)
Indals-Lidenin maalaiskunta
(1961–1970)
Indals-Lidenin kunta
(1971–1973)
Matforsin maalaiskunta
(1963–1970)
Matforsin kunta
(1971–1973)
Njurundan maalaiskunta
(1961–1970)
Njurundan kunta
(1971–1973)
Selångerin maalaiskunta
(1962–1964)
Skönin kauppala
(1957–1964)
Stöden maalaiskunta
(1962–1970)
Stöden kunta
(1971–1973)
Tunan maalaiskunta
(1961–1962)
Väestönkehitys

| Sundsvallin kunnan väestönkehitys 1950–2020 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Vuosi |  |  | Asukkaita |  |
| 1950 | 1950 |    | 76 657 | 76 657 |
| 1955 | 1955 |    | 80 142 | 80 142 |
| 1960 | 1960 |    | 83 190 | 83 190 |
| 1965 | 1965 |    | 85 883 | 85 883 |
| 1970 | 1970 |    | 90 795 | 90 795 |
| 1975 | 1975 |    | 93 992 | 93 992 |
| 1980 | 1980 |    | 94 742 | 94 742 |
| 1985 | 1985 |    | 93 181 | 93 181 |
| 1990 | 1990 |    | 93 808 | 93 808 |
| 1995 | 1995 |    | 94 531 | 94 531 |
| 2000 | 2000 |    | 93 126 | 93 126 |
| 2005 | 2005 |    | 94 044 | 94 044 |
| 2010 | 2010 |    | 95 732 | 95 732 |
| 2015 | 2015 |    | 97 633 | 97 633 |
| 2020 | 2020 |    | 99 439 | 99 439 |
Lähde: Statistiska centralbyrån (SCB).
Kunnan väestö taustan mukaan on esitetty seuraavassa taulukossa.
| Tausta | Tarkempi jaottelu | Henkilöä (31> 12.2015) |  % |
| --- | --- | --- | --- |
| Ulkomaalaistaustaiset | Ulkomailla syntyneet | 9 771 | 10,0 |
| Ulkomaalaistaustaiset | Ruotsissa syntyneet, joiden molemmat vanhemmat syntyneet ulkomailla | 2 295 | 2,4 |
| Ruotsalaistaustaiset | Ruotsissa syntyneet, joiden vanhemmista toinen syntynyt Ruotsissa ja toinen ulkomailla | 5 482 | 5,6 |
| Ruotsalaistaustaiset | Ruotsissa syntyneet, joiden molemmat vanhemmat syntyneet Ruotsissa | 80 085 | 82,0 |
Hieman vanhempien vuoden 2009 lopun tietojen mukaan kunnassa asui 1 541 Suomessa syntynyttä, mikä vastasi 1,6 prosenttia kunnan väestöstä.
Vielä vanhempien vuoden 1984 lopun tietojen mukaan 4,1 prosenttia kunnan asukkaista oli ulkomailla syntyneitä. Tuolloin kunnassa asui 2 230 Suomessa syntynyttä, mikä vastasi 2,4 prosenttia kunnan väestöstä.
Vuoden 2010 tietojen mukaan 20 vuotta täyttäneiden kuntalaisten mediaaninettotulot olivat 192 893 kruunua. Vuodelta 2007 olevan tiedon mukaan kuntalaisten nettovarallisuuden mediaani oli 67 000 kruunua.
Vuoden 2011 lopussa kunnan väestö jakautui eri ikäryhmiin seuraavasti:
0–17-vuotiaat: 19,8 %
18–64-vuotiaat: 60,1 %
65 vuotta täyttäneet: 20,1 %
Elinkeinot

Seuraava taulukko kuvaa työpaikkojen ja työllisten jakautumista eri elinkeinojen kesken. Luvut on laskettu kahdessa eri Statistiska centralbyrånin tilastossa ilmoitettujen perusteellisempien tietojen pohjalta. "Päiväväestö" (ruots. dagbefolkning) kertoo kunnassa sijaitsevista työpaikoista ja "yöväestö" (ruots. nattbefolkning) puolestaan kunnassa asuvien elinkeinosta. Työpaikkaomavaraisuus on laskettu päivä- ja yöväestön suhteena. Alkutuotanto tarkoittaa maa- ja metsätaloutta sekä kalastusta. Jalostuksen kohdalla on laskettu yhteen tavaranvalmistus- ja kierrätysteollisuus, energia- ja ympäristöyritykset sekä rakennusteollisuus. Muut toimialat on laskettu palveluihin lukuun ottamatta niitä, joiden elinkeino on tuntematon.
| Elinkeino | Elinkeino | Työpaikat (%) | Työlliset (%) |
| --- | --- | --- | --- |
|   | alkutuotanto | 1,6 | 1,7 |
|   | jalostus | 18,3 | 18,2 |
|   | palvelut | 79,1 | 79,1 |
|   | tuntematon | 1,1 | 1,1 |
|   | Työpaikkoja ja työllisiä | 47 922 | 45 011 |
|   | työpaikkaomavaraisuus | 106,5 |  |
Taajamat

Kunnassa on 26 taajamaa, joiden osuus kunnan väestöstä vuoden 2010 lopussa oli 84,1 prosenttia. Taajamien ulkopuolella asui tuolloin 15 248 asukasta. Seuraavassa on lueteltu kunnan alueella sijaitsevat taajamat väkilukuineen:
| # | Taajama | Väkiluku (31> 12.2010) |
| --- | --- | --- |
| 1 | Sundsvall | 50 712 |
| 2 | Vi | 4 997 |
| 3 | Matfors | 3 201 |
| 4 | Johannedal | 2 754 |
| 5 | Kvissleby | 2 614 |
| 6 | Stockvik | 2 359 |
| 7 | Sundsbruk | 2 137 |
| 8 | Njurundabommen | 1 983 |
| 9 | Skottsund | 1 069 |
| 10 | Svartvik | 949 |
| 11 | Ankarsvik | 944 |
| 12 | Dingersjö | 856 |
| 13 | Essvik | 752 |
| 14 | Indal | 661 |
| 15 | Stöde | 572 |
| 16 | Fanbyn | 526 |
| 17 | Kovland | 486 |
| 18 | Vattjom | 477 |
| 19 | Juniskär | 397 |
| 20 | Tunadal | 360 |
| 21 | Lucksta | 346 |
| 22 | Klingsta och Allsta | 342 |
| 23 | Nedansjö | 257 |
| 24 | Gustavsberg | 254 |
| 25 | Liden | 254 |
| 26 | Hovid | 225 |
Kunnan keskustaajama on lihavoitu. Vin taajaman nimenä on joskus ollut myös Alvik.
Taajamat > Entiset taajamat

Ruotsissa on tilastoitu taajamaväestö aikaisemmin myös vuosina 1960, 1965, 1970, 1975, 1980, 1990, 1995, 2000 ja 2005. Jonakin tai joinakin näistä vuosista kunnassa on ollut myös seuraavan luettelon mukaiset taajamat, jotka eivät enää ole taajamia:
Kävsta
Taajamat > Pientaajamat

Yli 200 asukkaan taajamien lisäksi kunnassa on vuoden 2010 tietojen perusteella myös seuraavat 50–199 asukkaan pientaajamat:
Allsta (norra delen)
Attmar
Bjässhammarn
Björkön
Bodviken
Bunsta
Bäck + Tomming
Edsta
Hartungviken
Holm
Hov
Hörningsholm
Järkvissle
Knävland + Påläng
Krånge och Arklo
Kungsnäs och Nävsta och Selånger
Kävsta
Lunde
Långsjön
Medskogsbron
Ovansjö + Gomaj (pohjoinen osa)
Runsvik
Röde + Båräng
Sillre
Skatan
Slädaviken + Åssjön
Solberg
Solum + Brödlösa
Sörfors
Sörnacksta
Töva
Viforsen + Vi + Tunbyn
Viskan
Vivsta
Västerro + Lillro
Åsta
Östanskär + södra Arklo
Österlo + Västerlo (osa)
Östloning + Västloning (osa)
Övre Tunbyn
Taajamat > Entiset pientaajamat

Ruotsissa on tehty tilastoja pientaajamista aikaisemmin myös vuosina 1990, 1995, 2000 ja 2005. Seuraavat paikkakunnat ovat olleet pientaajamia jonakin tai joinakin vuosina vuosien 1995, 2000 ja 2005 aikana, mutta ne eivät olleet pientaajamia vuonna 2010:
Nyhamn
Sydöst Hulistugan Karlstadvägen
Ängom + Sundsudden
Kunnanvaltuusto

Ruotsissa valitaan joka neljäs vuosi edustajat valtiopäiville, aluevaltuustoihin ja kunnanvaltuustoihin. Kunnallisvaaleissa Sundsvallin kunta on jaettu seuraaviin vaalipiireihin:
Sundsvalls Första (16 valtuutettua)
Sundsvalls Andra (23 valtuutettua)
Sundsvalls Tredje (19 valtuutettua)
Sundsvalls Fjärde (23 valtuutettua)
Seuraavassa taulukossa on esitetty valtiopäivillä edustettuina olevien puolueiden saamat valtuustopaikat Sundsvallin kunnanvaltuustossa vuodesta 1973 lähtien.
| Puolue | Puolue | 1973 | 1976 | 1979 | 1982 | 1985 | 1988 | 1991 | 1994 | 1998 | 2002 | 2006 | 2010 | 2014 | 2018 | 2022 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|   | Maltillinen kokoomus | 7 | 7 | 11 | 12 | 13 | 9 | 13 | 12 | 14 | 10 | 17 | 25 | 16 | 16 |  |
|   | Keskustapuolue | 22 | 21 | 17 | 15 | 10 | 11 | 8 | 6 | 5 | 7 | 7 | 3 | 4 | 7 |  |
|   | Liberaalit | 5 | 8 | 7 | 4 | 10 | 8 | 8 | 7 | 4 | 10 | 8 | 7 | 5 | 5 |  |
|   | Kristillisdemokraatit | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 0 | 7 | 5 | 4 | 1 | 2 | 4 |  |
|   | Ympäristöpuolue vihreät | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 7 | 4 | 7 | 5 | 4 | 4 | 5 | 4 | 0 |  |
|   | Ruotsin sosiaalidemokraattinen työväenpuolue | 42 | 40 | 41 | 46 | 43 | 41 | 39 | 44 | 36 | 38 | 35 | 32 | 38 | 33 |  |
|   | Vasemmistopuolue | 5 | 5 | 5 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 10 | 7 | 4 | 4 | 4 | 6 |  |
|   | Ruotsidemokraatit | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 4 | 8 | 10 |  |
|   | Muut | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |  |
|   | Yhteensä  | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 | 81 |  |
Piirit

Vuodesta 2016 alkaen kunta on jaettu seuraaviin piireihin:
Alnön piiri
Attmarin piiri
Holmin piiri (Medelpad)
Indalin piiri
Lidenin piiri
Njurundan piiri
Selångerin piiri
Skönin piiri
Skönsmonin piiri
Stöden piiri
Sundsvallin Gustav Adolfin piiri (Sundsvalls Gustav Adolfs distrikt)
Sättnan piiri
Tunan piiri (Medelpad)
Seurakunnat

Vuoden 2012 aluejaon mukaan kunnassa on seuraavat Ruotsin kirkon seurakunnat:
Sundsvalls Gustav Adolf
Skönsmon
Skön
Alnö
Sättna
Selånger
Stöde
Tuna
Attmar
Njurunda
Indal
Holm
Liden
Seurakunnat > Historialliset seurakunnat

Seuraavassa luettelossa on mainittu kaikki nykyisen kunnan alueella sijainneet seurakunnat. Jos seurakunta on lakkautettu, niin sen perässä on asteriski (*). Mahdolliset suluissa lukevat nimet ovat seurakunnan vaihtoehtoisia tai vanhempia nimiä. Jos nimen perässä lukee kbfd, niin kyseessä "kirkonkirjapiiri" (ruots. kyrkobokföringsdistrikt), joka ei ole muodostanut omaa seurakuntaa, vaikka ne seurakuntiin rinnastetaankin.
Alnö
Attmar
Galtströms bruksförsamling*
Holm
Indal
Liden (Indals-Liden)
Njurunda
Selånger
Skön
Skönsmon
Stöde
Sundsvalls Gustav Adolf (Sundsvall)
Sundsvalls mosaiska
Svartvik*
Sättna
Tuna
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Sundsvallin kunnan kotisivut (ruotsiksi)
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: sv:Sundsvalls kommun – Kuntajaon kehitys on käännöstä tästä ja maalaiskuntia koskevista artikkeleista.
Västernorrlandin läänin kunnat
Kartta Sundsvallin kunnan piireistä.
Käännös suomeksi
Pisteittäinen suppeneminen

Pisteittäinen suppeneminen on funktiojonon suppenemisen heikko muoto.
Olkoon  [a,b]\subset \mathbb {R}  väli ja  (f_{n})_{n\in \mathbb {N} } jono funktioita  [a,b]\rightarrow \mathbb {R} . Jono suppenee pisteittäin kohti funktiota  f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} , jos jokaisessa pisteessä  x\in [a,b] jonon raja-arvolle pätee
Pisteittäisen suppenemisen määritelmä voidaan yleistää reaalifunktioilta topologisille avaruuksille määritellyille kuvauksille
Nollavektori

Lineaarialgebrassa nollavektori määritellään lineaariavaruuden nolla-alkiona eli neutraalialkiona.
Nollavektorilla on siis lineaariavaruuden nolla-alkion perusominaisuudet: jokaisen vektorin v ja nollavektorin 0 summa on aina v ja jokaisen vektorin v ja sen vastavektorin -v summa on nollavektori 0. Tämän nojalla nollavektori usein tulkitaan vektoriksi, jolla ei ole suuntaa . Lisäksi jos lineaariavaruuteen viritetään normi, jolloin lineaariavaruudesta tulee normiavaruus, niin normin määritelmän nojalla nollavektori on ainoa lineaariavaruuden vektori, jonka normi on nolla. Siksi nollavektori myös tulkitaan nollamittaiseksi vektoriksi ja eräänlaiseksi lineaariavaruuden keskukseksi.
Euklidisessa avaruudessa nollavektori on piste, jonka jokainen koordinaatti on nolla. Esimerkiksi kolmiulotteinen nollavektori voidaan kirjoittaa muodossa  (0,0,0). Usein nollavektorista käytetään lyhennemerkintänä nollaa, jonka päällä on vaakaviiva kuvaamassa moniulotteisuutta.
Nolla-avaruus on avaruus, jonka ainoa elementti on nollavektori.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Irrationaaliluku

Irrationaaliluku on matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena, eli rationaalilukuna  {m}/{n},
missä  m ja  n ovat kokonaislukuja. Irrationaalilukua ei voi esittää päättyvänä tai jaksollisena desimaalilukuna.
Irrationaalilukuja ovat muun muassa ympyrän kehän ja halkaisijan suhde pii, Neperin luku, kultaisen leikkauksen suhde, useimpien kokonaislukujen juuret (esimerkiksi  {\sqrt {2}}), useat logaritmit ja useat trigonometristen funktioiden arvot.
Historia

Ensimmäisen kerran länsimaisessa historiassa joutui irrationaalilukujen kanssa vastatusten Pythagoras ja hänen oppilaansa. Pythagoralaiset uskoivat kaikkien matemaattisten asioiden olevan käsiteltävissä pelkästään rationaalilukujen kautta, kunnes alkoivat miettiä sen neliön lävistäjän pituutta, jonka sivun pituus on yksi. He käyttivät Pythagoraan lausetta mutta huomasivat, ettei mikään rationaaliluku toteuta yhtälöä x² = 2. Toisin sanoen neliön lävistäjä ja sivu ovat keskenään yhteismitattomia. Ilman tätä havaintoa voitaisiin ajatella, että rationaaliluvuilla saadaan koko lukusuora katetuksi, sillä jokaisen kahden murtoluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Kesti yli kaksituhatta vuotta ennen kuin saksalainen matemaatikko Richard Dedekind vuonna 1872 onnistui liittämään rationaali- ja irrationaaliluvut hyväksyttävin perustein yhdeksi suureksi lukujoukoksi, reaaliluvuiksi.
Vaikka rationaalilukuja on ääretön määrä, on irrationaalilukuja tavallaan vieläkin enemmän, minkä todisti Georg Cantor muutamaa vuotta Dedekindin jälkeen. Hän osoitti, ettei irrationaalilukujen joukkoa voida järjestää loputtomaksi jonoksi, toisin kuin kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Tätä kutsutaan ylinumeroituvuudeksi.
Irrationaaliluvuista ja rationaaliluvuista

Kahden rationaaliluvun summa tai erotus on aina rationaaliluku. Kahden irrationaaliluvun summa tai erotus voi kuitenkin olla niin irrationaali- kuin rationaalilukukin.
Esimerkkinä kahden irrationaaliluvun summasta, joka on rationaaliluku, ovat luvut  1+{\sqrt {2}} ja  1-{\sqrt {2}}, joiden summa
on  2.
Esimerkki irrationaalisuuden todistamisesta

Luku  {\sqrt {2}} voidaan todistaa irrationaaliluvuksi epäsuorasti. Tehdään vastaoletus: oletetaan, että  {\sqrt {2}} on rationaaliluku, eli että on olemassa kokonaisluvut  m ja  n siten, että  m/n={\sqrt {2}}.
Ainakin toisen luvuista  m ja  n voidaan olettaa olevan pariton, koska muuten murtolukua  {m}/{n} voidaan supistaa luvulla kaksi.
Luvun neliö on  {m^{2}}/{n^{2}}=2, mistä saadaan kokonaislukujen neliöiden välinen yhtälö  m^{2}=2n^{2}.
Parittoman luvun neliö on selvästi
pariton, joten tällöin  m:n on oltava parillinen eli muotoa  2j, missä  j on kokonaisluku. Koska luku  m on parillinen, on luvun  n oltava pariton. Toisaalta
 m^{2}=4j^{2}, jolloin neliöiden välinen yhtälö voidaan supistaa muotoon  2j^{2}=n^{2}. Koska parittoman luvun neliö on pariton, on saatu ristiriita. Täten alkuperäinen väite pätee, eli  {\sqrt {2}} on irrationaaliluku.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Irrationaaliluku Wikimedia Commonsissa
Lukujoukkoja
| --- | --- |
Numeroituvia joukkoja::  luonnolliset luvut ( \scriptstyle \mathbb {N} )  kokonaisluvut ( \scriptstyle \mathbb {Z} )  rationaaliluvut ( \scriptstyle \mathbb {Q} )  algebralliset luvut ( \scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}) 
Reaaliluvut ja niiden   laajennokset::  reaaliluvut ( \scriptstyle \mathbb {R} )  kompleksiluvut ( \scriptstyle \mathbb {C} )  kvaterniot ( \scriptstyle \mathbb {H} )  irrationaaliluvut  transsendenttiluvut  surreaaliluvut 
Muita::  kardinaaliluvut  p-adiset luvut
Paikkavektori

Paikkavektori on matematiikassa ja fysiikassa vektori, joka alkaa origosta ja päättyy johonkin pisteeseen. Pisteen P = (x, y, z) paikkavektori on vektori, jonka alkupiste on origo ja loppupiste on P. Pisteen (x, y, z) paikkavektori p voidaan lineaarialgebrassa ilmoittaa kantavektoreiden i, j ja k avulla: 
 \mathbf {p} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}
Paikkavektorit ovat yleensä kaksi- tai kolmiulotteisia, mutta voivat olla myös korkeampiulotteisia.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Epäjatkuvuuskohta

Epäjatkuvuuskohta liittyy käsitteenä matematiikassa funktion jatkuvuuteen. Epäjatkuvuuskohta on funktion määrittelyjoukon arvo (eli joukko-opissa alkio), jonka ympäristössä funktion arvot eivät toteuta jatkuvuusehtoa. Jatkuvuusehto riippuu matematiikan haarasta ja käsiteltävästä tilanteesta.
Yhden reaalimuuttujan tapaus

Yhden muuttujan reaalifunktiolla on jatkuvuusehto
jossa kohdassa  a toispuoleiset raja-arvot vasemmalta puolelta ja oikealta puolelta tulee olla samat ja tämän lisäksi funktion arvon  f(a) tulee olla raja-arvojen suuruinen. Jos toinen tai molemmat raja-arvot eivät ole olemassa tai ne ovat eri suuruiset, funktio on epäjatkuva kohdassa  a. Jos funktion arvo  f(a) on eri suuri kuin raja-arvot, on funktio epäjatkuva.
Yhden reaalimuuttujan tapaus > Epäjatkuvuuskohtien luokittelua

On huomattava, että jatkuvuus ja epäjatkuvuus ovat funktion ominaisuuksia, joten funktio voi olla epäjatkuva vain pisteissä, joissa se on määritelty! Epäjatkuvuuskohdat voidaan luokitella seuraaviin kategorioihin tai niiden yhdistelmiin.
Yhden reaalimuuttujan tapaus > Epäjatkuvuuskohtien luokittelua > Hyppäysepäjatkuvuus

Piste, jossa funktion kuvaaja ''hyppää'' äkillisesti arvosta toiseen. Esimerkiksi funktio 



f
:

R

→

R



{\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

,
f(x)={\begin{cases}-1,&{\text{kun }}x\leq 0\\1,&{\text{kun }}x>0\end{cases}}
on epäjatkuva pisteessä 



x
=
0


{\textstyle x=0}

.
Yhden reaalimuuttujan tapaus > Epäjatkuvuuskohtien luokittelua > ''Karkailu äärettömyyteen''

Esimerkiksi funktio 



f
:

R

→

R



{\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

,
f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{kun }}x\neq 0\\0,&{\text{kun }}x=0\end{cases}}
on epäjatkuva pisteessä 



x
=
0


{\textstyle x=0}

. Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktion arvot pienenevät rajatta ja vastaavasti oikealta lähestyttäessä ne kasvavat rajatta.
Yhden reaalimuuttujan tapaus > Epäjatkuvuuskohtien luokittelua > Heilahteluepäjatkuvuus

Heilahteluepäjatkuvuuskohta on piste, jossa funktiota ei voi määritellä jatkuvaksi, sillä funktio saa millä tahansa välillä pisteen ympäristössä useita eri arvoja. Esimerkiksi funktio 



f
:

R

→

R



{\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

,
f(x)={\begin{cases}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{kun }}x\neq 0\\x_{0},&{\text{kun }}x=0\end{cases}}
on epäjatkuva pisteessä 



x
=
0


{\textstyle x=0}

 riippumatta siitä, miten luku 




x

0




{\textstyle x_{0}}

 valitaan. Funktio saa kaikki arvot välillä 



[
−
1
,
1
]


{\textstyle [-1,1]}

, kun 



x
≠
0


{\textstyle x\neq 0}

, riippumatta siitä, kuinka pienellä välillä origon ympärillä funktiota tarkasteltaisiin. Näin ollen, oli 



f
(
0
)


{\textstyle f(0)}

 mitä tahansa, ei 



f


{\textstyle f}

 ole jatkuva origossa.
Yhden reaalimuuttujan tapaus > Epäjatkuvuuskohtien luokittelua > Poistuva epäjatkuvuus

Funktio saadaan ''korjattua'' jatkuvaksi epäjatkuvuuskohdassa, kun sen arvoa kyseisessä pisteessä muutetaan. Esimerkiksi funktio 



f
:

R

→

R



{\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

,
f(x)={\begin{cases}x+1,&{\text{kun }}x\neq 2\\1,&{\text{kun }}x=2\end{cases}}
on epäjatkuva pisteessä 



x
=
2


{\textstyle x=2}

, mutta ''korjaamalla'' 



f
(
2
)
=
3


{\textstyle f(2)=3}

 siitä tulisi jatkuva.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Hyppäysepäjatkuvuus pisteessä 



x
=
0


{\textstyle x=0}

.
Funktio ''karkaa äärettömyyteen'' pistettä 



x
=
0


{\textstyle x=0}

 lähestyttäessä.
Funktio 



sin
⁡
(
1

/

x
)


{\textstyle \sin(1/x)}

 heilahtelee rajusti pisteen 



x
=
0


{\textstyle x=0}

 ympärillä.
Poistuva epäjatkuvuus pisteessä 



x
=
2


{\textstyle x=2}

.