stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Luke Schenn
Ura

Schenn pelasi kolme kautta WHL:n Kelowna Rocketsissa, joilla hän teki yhteensä 68 (12+56) tehopistettä ja sai 325 jäähyminuuttia. Schenn edusti Kanadaa vuonna 2008 jääkiekon alle 20-vuotiaiden MM-kisoissa ja voitti kultaa. Vuotta aiemmin hän pelasi alle 18-vuotiaiden MM-kisoissa, mutta Kanada ei voittanut mitalia. Hän oli Toronton ensimmäisen kierroksen varaus vuodelta 2008 ja oli koko varaustilaisuuden viides varaus. Schenn on Toronto Maple Leafsin korkein varaus kahteenkymmeneen vuoteen. Schenn sai ensimmäisellä kaudellaan NHL:ssä eniten jääaikaa Torontossa tähtipuolustaja Tomáš Kaberlen jälkeen. Kaudella 2008–2009 Schenn oli taklaustilaston kolmantena 25. helmikuuta 2009 mennessä. Hänellä oli tilillään 155 taklausta. Kauden päätteeksi Schenn valittiin tulokkaiden tähdistökentälliseen.
Schenn on edustanut Kanadaa miesten MM-kilpailuissa vuosina 2009 ja 2011. Hän voitti vuonna 2009 hopeaa.
Tammikuussa 2016 Schenn ja Vincent Lecavalier kaupattiin Los Angeles Kingsin. Vaihdossa Flyers sai hyökkääjä Jordan Wealin sekä kolmannen kierroksen varausvuoron kesän 2016 varaustilaisuuteen.
 Schennin sopimus päättyi tuohon kauteen ja hän teki kaksivuotisen sopimuksen Arizona Coyotesin kanssa.
Kaudeksi 2018–2019 Schenn teki sopimuksen Anaheim Ducksin kanssa. Hän pelasi kahdeksan ottelua Anaheimissa, minkä jälkeen hänet siirrettiin seuran farmijoukkueeseen San Diego Gullsiin. Lopulta Anaheim kauppasi hänet Vancouver Canucksiin vaihdossa Michael Del Zottoon.
Kesäkuussa 2019 Schenn teki yksivuotisen sopimuksen Tampa Bay Lightningin kanssa.
Lokakuussa 2020 Schenn teki Lightningin kanssa yksivuotisen ja 800 000 dollarin arvoisen jatkosopimuksen.
Heinäkuussa 2021 Schenn solmi kaksivuotisen ja arvoltaan 1,7 miljoonan dollarin sopimuksen Canucksin kanssa.
Helmikuussa 2023 Canucks kauppasi Schennin Toronto Maple Leafsiin vaihdossa kolmannen kierroksen varausvuoroon vuoden 2023 varaustilaisuudessa.
Heinäkuussa 2023 Schenn teki vapaana agenttina Nashville Predatorsin kanssa kolmivuotisen ja yhteensä 8,25 miljoonan dollarin arvoisen sopimuksen.
Maaliskuussa 2025 Predators kauppasi Schennin ja Tommy Novakin Pittsburgh Penguinsiin vaihdossa Michael Buntingiin ja neljännen kierroksen varausvuoroon vuoden 2026 varaustilaisuudessa. Pari päivää myöhemmin Penguins kauppasi Schennin Winnipeg Jetsiin vaihdossa toisen kierroksen varausvuoroon vuoden 2026 varaustilaisuudessa ja neljännen kierroksen varausvuoroon vuoden 2027 varaustilaisuudessa.
Muuta

Schennin lempinimi The Human Eraser keksittiin hänen juniorivuosinaan. Lempinimen antoi analyytikko Pierre McGuire. Lempinimi kertoo puolustajasta, joka pimentää vastustajan tähtihyökkääjät. Aikoinaan samaa lempinimeä kantoi koripalloilija Marvin Webster.
Luken pikkuveli Brayden Schenn on Los Angeles Kingsin ensimmäisen kierroksen varaus vuodelta 2009. Myös Brayden varattiin NHL:ään numerolla 5.
Aiheesta muualla

Artikkeli Toronton toivo jatkoaika.comissa
Pelaajan oma kotisivu (Arkistoitu – Internet Archive)
Kanadan joukkue – Jääkiekon MM-kilpailut 2011
2 Schenn |
3 Phaneuf |
7 Scalzo |
8 Burns |
9 Kane |
14 Eberle |
15 Zajac |
16 Ladd |
17 Gragnani |
18 Neal |
19 Spezza |
20 Tavares |
22 Clutterbuck |
25 Stewart |
27 Pietrangelo |
28 Colaiacovo |
33 Methot |
34 Reimer |
40 Dubnyk |
45 Bernier |
50 Vermette |
53 Skinner |
61 Nash |
92 Duchene |
Valmentaja Hitchcock
Kanadan joukkue – Jääkiekon MM-kilpailut 2012
2 Keith |
3 Phaneuf (A) |
4 Bouwmeester |
5 Schenn |
7 Russell |
9 Kane |
10 Perry |
14 Eberle |
15 Getzlaf (C) |
16 Ladd |
20 Tavares |
22 Quincey |
24 Benn |
26 Purcell |
27 Murray |
30 Ward |
31 Hackett |
33 Methot |
37 O'Reilly |
40 Dubnyk |
41 Burrows |
44 Vlasic |
53 Skinner |
81 Sharp (A) |
93 Nugent-Hopkins |
Valmentaja Sutter
Ympyrä

Ympyrä ja sen osia
Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma
Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
Analyyttinen geometria
n
k
Osa artikkelisarjaa
Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän keskipisteestä) on yhtä suuri kuin ympyrän säde r. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.
Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.
Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta, joka koostuu pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi tai yhtä suuri kuin säde. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.
Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella  \pi \ \,.
Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala

Ympyrän kehän (piirin) pituus  p saadaan kaavasta:
Voidaan myös ilmaista säde  r ja halkaisijan  d avulla, eli  2r=d:
Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala  A saadaan kaavasta:
Jos ympyrän kehän pituus  p tunnetaan, voidaan pinta-ala  A laskea kaavasta:
Jos ympyrän halkaisija  d ja kehän pituus  p tunnetaan, voidaan
pinta-ala laskea (ilman lukua  \pi ) kaavasta:
Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, 
on ympyrä sellainen käyrän muoto, 
joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.
Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon  p sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja  A sen
rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin
missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.
Ympyrän kaari, sektori ja segmentti

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa. Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.
Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla  p=2\pi r\ .
Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.
Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla  A=\pi {r^{2}}\,.
Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.
Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa > Keskipisteen ja säteen avulla

Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan
Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan
Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto
Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:
Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö
joka on parametrimuodossa:
Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio
Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.
Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa > Kolmen pisteen avulla

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään  \scriptstyle P_{1}(x_{1},y_{1}),  \scriptstyle P_{2}(x_{2},y_{2}) ja  \scriptstyle P_{3}(x_{3},y_{3}), voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla
joka on evaluoituna
missä
x:n kerroin  b_{x} saadaan matriisista
jättämällä  x_{i} termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti  b_{y}:n suhteen) determinantista
ja
ja vakiotermi c
Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa
missä keskipisteen koordinaatit ovat
ja
sekä säde
Ympyrän kulmia

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.
Neljä ympyrää

Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala
missä r on kunkin ympyrän säde.
Seitsemän ympyrää

Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.
Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.
Ympyrä ja neliö

Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.
Ympyrä ja paraabeli

Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli. Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Opetusvideo ympyrän kehän ja kaaren pituudesta
Opetusvideo ympyrään liittyvistä käsitteistä
Opetusvideoita ympyrään liittyvistä pinta-aloista
Ympyrän pinta-alan laskeminen
Neljä toisia sivuavaa ympyrää
Seitsemän toisia sivuavaa ympyrää
Ympyrä ja neliö
Paraabelien pisteet ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista
Trigonometrinen funktio

Trigonometriset funktiot ovat matematiikassa kulman funktioita, jotka ovat tärkeitä, kun tutkitaan kolmioita tai mallinnetaan jaksollisia ilmiöitä. Trigonometriset funktiot määritellään yleisesti kulman sisältävän suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan yhtäpitävästi määritellä yksikköympyrään piirrettyjen janojen pituuksina. Modernimmat määritelmät esittävät ne sarjoina tai tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina, jolloin ne voidaan laajentaa käsittämään sekä positiiviset että negatiiviset luvut ja jopa kompleksiluvut. Kaikki nämä lähestymistavat esitellään edempänä.
Nykyään on käytössä kuusi trigonometrista perusfunktiota, jotka on taulukoitu alempana keskinäisine yhteyksineen. Näitä yhteyksiä pidetään usein varsinkin neljän viimeisen funktion määritelmänä, mutta ne voidaan määritellä yhtä hyvin myös geometrisesti tai muilla tavoilla ja johtaa sitten funktioiden väliset yhteydet.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Funktio | Lyhenne | Yhteydet |
| Sini | sin |  \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\, |
| Kosini | cos |  \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\, |
| Tangentti | tan |  \tan \theta ={\frac {1}{\cot \theta }}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\, |
| Kotangentti | cot |  \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\, |
| Sekantti | sec |  \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}=\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\, |
| Kosekantti | csc (tai cosec) |   \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\, |
Ennen oli käytössä myös muutama nykyään vähän käytetty funktio, joiden arvoja myös taulukoitiin, kuten:
versaalisini:  (\operatorname {versin} \,{\theta }=1-\cos \theta )
ekssekantti:  (\operatorname {exsec} \,{\theta }=\sec \theta -1).
Myös sekantti ja kosekantti ovat harvoin käytettyjä, sillä niiden sijasta käytetään yleensä sinin ja kosinin käänteisarvoja.
Trigonometristen funktioiden tiettyjen rajoittumien käänteisfunktioita ovat arkusfunktiot.
Määritelmät suorakulmaisen kolmion avulla

Määritelläksemme trigonometriset funktiot kulmalle α, aloitamme mielivaltaisesta suorakulmaisesta kolmiosta, jonka terävistä kulmista toiselle käytetään merkintää α (0 < α < 180°). Suoran kulman vastainen sivu on hypotenuusa, mitä merkitsemme myös h:lla. Vastainen kateetti on tarkastelemamme kulman vastainen sivu eli a. Viereinen kateetti on suoran kulman ja tarkastelemamme kulman välinen sivu eli b.
Oletamme kaikkien kolmioiden olevan euklidisella tasolla, jolloin kolmion sisäkulmien summa on 180°. Tällöin suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat molemmat välillä 0° < θ < 90°, missä θ on kulma. Määrittelemmekin nyt tässä trigonometriset funktiot vain näille kulmille, laajempia määritelmiä esittelemme tuonnempana.
Kulman sini on vastaisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. On huomattava, että tämä suhde riippuu vain kulmasta α, sillä kaikki suorakulmaiset kolmiot, joissa on kulma α, ovat yhdenmuotoisia. Kulman kosini on viereisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman tangentti on vastaisen ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Määritelmistä saamme seuraavat kaavat:
Jäljellä oleville kolmelle funktiolle on helpointa antaa määritelmät äsken laatimiemme määritelmien avulla. Kulman kosekantti on kulman sinin käänteisluku eli hypotenuusan ja vastaisen kateetin pituuksien suhde. Kulman sekantti on kulman kosinin käänteisluku eli hypotenuusan ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Kulman kotangentti on kulman tangentin käänteisluku eli viereisen ja vastaisen sivun pituuksien suhde. Saamme kaavat:
Kun kulma  \alpha  on hyvin lähellä nollaa tai suoraa kulmaa, kolmio on muodoltaan hyvin kapea. Tällöin siinä toinen kateetti on hyvin lyhyt ja toinen melkein hypotenuusan pituinen. Tällä perusteella laajennamme antamaamme trigonometristen funktioiden määritelmiä rajatapauksina myös 0 ja 90 asteen kulmille seuraavasti:
Nollan asteen kulmalle ei voida määritellä kotangenttia eikä sekanttia eikä liioin 90 asteen kulmalle tangenttia eikä kosekanttia. Kulman lähestyessä näitä arvoja näiden funktioiden arvot kasvavat rajattomasti, minkä vuoksi funktioilla sanotaan näissä kohdissa olevan raja-arvo ääretön.
Määritelmät yksikköympyrän avulla > Todistus

Todistetaan tapaus  \lim _{\theta \to 0+}{\frac {\sin {\theta }}{\theta }}=1, tapaus  \lim _{\theta \to 0-}{\frac {\sin {\theta }}{\theta }}=1 todistetaan vastaavalla tavalla.
Koska ympyrän jänne on lyhyempi kuin sen määrittämä kaari, niin sinifunktion määritelmän ja tasakylkisen kolmion huippukulman puolittajan ominaisuuksien nojalla pätee  2\sin {\frac {\alpha }{2}}\leq \alpha \iff \sin {\frac {\alpha }{2}}\leq {\frac {\alpha }{2}}. Kun  \alpha >0 ja  \theta ={\frac {\alpha }{2}}, niin  {\frac {\sin {\theta }}{\theta }}\leq 1.
Yksikköympyrän sektori, jonka määrittää kulma  \theta  on puolestaan pienempi kuin suorakulmainen kolmio, jonka kateetin pituus on  1 ja viereinen kulma  \theta . Siis tangenttifunktion määritelmän nojalla saadaan  {\frac {\theta }{2}}\leq {\frac {\tan {\theta }}{2}}, joka on yhtäpitävä epäyhtälön  \theta \leq {\frac {\sin {\theta }}{\cos {\theta }}} kanssa. Koska  \cos {\theta }>0, kun  0<\theta <{\frac {\pi }{2}}, niin  \cos {\theta }\leq {\frac {\sin {\theta }}{\theta }}.
Yhdistettynä edellinen jänteen ja kaaren pituuksista johdetun epäyhtälön kanssa saadaan  \cos {\theta }\leq {\frac {\sin {\theta }}{\theta }}\leq 1. Koska  \lim _{\theta \to 0+}\cos {\theta }=1, niin kuristuslauseen nojalla  \lim _{\theta \to 0+}{\frac {\sin {\theta }}{\theta }}=1.  \square
Määritelmät yksikköympyrän avulla > Todistus > Seuraus

\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos {\theta }}{\theta }}=0, sillä  1+\cos {\theta }>0, kun  \theta  on  0:n lähellä, joten  \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos {\theta }}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos {\theta }}{\theta }}{\frac {(1+\cos {\theta })}{(1+\cos {\theta })}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos ^{2}{\theta }}{\theta (1+\cos {\theta })}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin ^{2}{\theta }}{\theta (1+\cos {\theta })}}=  \lim _{\theta \to 0}\left[{\frac {\sin {\theta }}{\theta }}\cdot {\frac {\sin {\theta }}{(1+\cos {\theta })}}\right]=\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin {\theta }}{\theta }}\cdot \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin {\theta }}{(1+\cos {\theta })}}=1\cdot 0=0.
Tätä ja edellistä raja-arvoa sekä trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavoja käytetään johdettaessa  \sin - ja muiden trigonometristen funktioiden derivaattoja.
Määritelmät sarjakehitelmien avulla

Huomautus: Kuten differentiaalilaskennassa yleensäkin, kaikkien kulmien arvot ilmoitetaan tässä radiaaneina. (Katso otsikko radiaanien merkitys)
Pelkällä geometrialla ja raja-arvoilla voidaan osoittaa, että sinin derivaatta on kosini, ja että kosinin derivaatta on sinin vastaluku. Taylorin polynomien avulla voidaan näyttää että seuraavat identiteetit pätevät kaikille reaaliluvuille x:
Näitä identiteettejä käytetään usein sinin ja kosinin määritelminä ja lähtöpisteenä trigonometristen funktioiden ja niiden sovellusten (esim. Fourier-sarjoissa) täsmälliselle käsittelylle, sillä sarjojen teoria voidaan rakentaa reaalilukujen pohjalta, ilman minkäänlaisia geometrisia tulkintoja. Näiden funktioiden derivoituvuus ja jatkuvuus todentuu näin sarjojen määritelmien pohjalta.
Muillekin funktioille on olemassa sarjakehitelmiä (Abramowitz ja Stegun 1964, Weisstein 2006):
| --- | --- |
 \tan x\,:  {}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}
:  {}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}
:  {}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots ,\qquad {\mbox{kun }}|x|<{\frac {\pi }{2}}
Kun tämä sarja esitetään muodossa, jossa nimittäjät ovat vastaavia kertomia, saavat osoittajat, joita kutsutaan "tangenttiluvuiksi", kombinatoriaalisen tulkinnan: ne ovat äärellisten parittomasti mahtavien joukkojen vuorottelevien permutaatioiden lukumäärä.
| --- | --- |
 \csc x\,:  {}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}
:  {}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ,\qquad {\mbox{kun }}0<|x|<\pi 
| --- | --- |
 \sec x\,:  {}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}}
:  {}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots ,\qquad {\mbox{kun }}|x|<{\frac {\pi }{2}}
Kun tämä sarja esitetään muodossa, jossa nimittäjät ovat vastaavia kertomia, saavat osoittajat, joita kutsutaan "sekanttiluvuiksi", kombinatoriaalisen tulkinnan: ne ovat äärellisten parillisesti mahtavien joukkojen vuorottelevien permutaatioiden lukumäärä.
| --- | --- |
 \cot x\,:  {}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}
:  {}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots ,\qquad {\mbox{kun }}0<|x|<\pi 
missä
Kompleksianalyysissä käytetyn teoreeman mukaan tällä funktiolla on yksikäsitteinen analyyttinen laajennus kompleksilukujen alueelle. Sen Taylorin polynomi on sama kuin reaaliluvuille määritelty, joten trigonometriset funktiot on määritelty kompleksiluvuille käyttämällä yllä olevia Taylorin sarjoja.
Määritelmät sarjakehitelmien avulla > Suhde eksponenttifunktioon ja kompleksilukuihin

Eksponenttifunktiolle  e^{x} voidaan johtaa Taylorin sarjakehitelmä:
Tämä on alun perin johdettu vain muuttujan x reaaliarvoille. Tämä kehitelmä tekee kuitenkin mahdolliseksi laajentaa eksponenttifunktiota niin, että se on määritelty silloinkin, kun x on mielivaltainen kompleksiluku: otetaan vain yllä oleva kehitelmä funktion määritelmäksi. Tällöin osoittautuu, että trigonometriset funktiot ja eksponenttifunktio liittyvät kompleksialueella läheisesti toisiinsa: kosini- ja sinifunktio ovat eksponenttifunktion reaali- ja imaginaariosa, kun muuttuja on puhtaasti imaginaarinen:
Tämän yhteyden huomasi ensimmäisenä Leonhard Euler, ja sitä kutsutaan hänen mukaansa Eulerin lauseeksi. Tämän lauseen seurauksena trigonometrisista funktioista tulee oleellinen osa kompleksianalyysin geometrista tulkintaa. Esimerkiksi kompleksitasolle piirretty yksikköympyrä, jonka määrittelee kaava  e^{ix}, voidaan parametrisoida sinin ja kosinin avulla, jolloin kompleksiarvoisten eksponenttifunktioiden ja trigonometristen funktioiden välinen yhteys muuttuu entistä selvemmäksi.
Eulerin kaavan avulla voidaan lisäksi määritellä trigonometriset funktiot kompleksiargumenteilla  z:
missä  i^{2}=-1.
Lisäksi kaikille reaalisille  x:
Määritelmät sarjakehitelmien avulla > Suhde eksponenttifunktioon ja kompleksilukuihin > Funktioiden käyttäytyminen kompleksitasossa

Funktio  \cos z ei saavuta ääretöntä missään äärellisessä pisteessä, mutta funktio lähenee sitä raja-arvona, jos  z lähestyy ääretöntä siten, että sen imaginääriosa kasvaa kohti ääretöntä tai pienenee kohti miinusääretöntä. Tästä seuraa, että ääretön on siis funktion  \cos z asymptoottinen arvo. Edelläesitetty pätee myös funktiolle  \sin z, koska sinin arvot saadaan kosinin arvoista siirtämällä niitä x-akselin suuntaan  {\frac {\pi }{2}}:n verran.
Määritelmät differentiaaliyhtälöiden avulla

Sini- ja kosinifunktio toteuttavat differentiaaliyhtälön
toisin sanoen kumpikin on oman toisen derivaattansa vasta-alkio. Kaksiulotteisessa lineaariavaruudessa V, joka koostuu tämän yhtälön kaikista ratkaisuista, sinifunktio saadaan alkuehdoilla  y(0)=0 ja  y'(0)=1, ja kosinifunktio saadaan alkuehdoilla  y(0)=1 ja  y'(0)=0. Koska sini ja kosini ovat lineaarisesti riippumattomia, muodostavat ne V:n kannan. Tämä tapa määritellä trigonometriset funktiot on olennaisesti sama kuin Eulerin kaavan avulla tehty määritelmä. Tätä differentiaaliyhtälöä voi myös käyttää sinin ja kosinin trigonometristen kaavojen todistamiseen.
Tangenttifunktio on epälineaarisen differentiaaliyhtälön
yksiselitteinen ratkaisu alkuarvoilla  y(0)=0.
Määritelmät differentiaaliyhtälöiden avulla > Radiaanien merkitys

Radiaanit määrittelevät kulman mittaamalla yksikköympyrän kehää pitkin kuljettua matkaa ja ovat trigonometristen funktioiden luonnollinen muuttuja. Ainoastaan ne sini- ja kosinifunktiot, jotka kuvaavat radiaanit suhteiksi, toteuttavat ne differentiaaliyhtälöt, jotka tavallisesti kuvaavat niitä. Jos sinin tai kosinin muuttujan "taajuutta" muutetaan,
muuttuu derivaattojen "amplitudi".
Vakio  k on muunnoskerroin yksiköstä toiseen. Jos  x on ilmoitettu asteissa,
Sinin toinen derivaatta ei siis toteuta differentiaaliyhtälöä
vaan yhtälön
kosinifunktio käyttäytyy samalla tavoin.
Nämä sinit ja kosinit ovat siis eri funktioita, ja sinin neljäs derivaatta on sini vain, jos muuttuja on radiaaneissa.