Todennäköisyysteoria
Todennäköisyysavaruus > Ehdollinen todennäköisyys ja odotusarvo

Varsinkin koulumatematiikassa käytetään havainnollista ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. Jos tapahtumalle  B pätee  \mathbb {P} (B)>0, niin tapahtuman  A todennäköisyys ehdolla  B on
.
Tämä on tulkittava siten, että jos on ikään kuin tieto, että  B sattuu eli  \omega \in B, niin yllä oleva on todennäköisyys sille, että myös  A on sattunut eli  \omega \in A\cap B. Tästä lähtökohdasta voidaan todistaa seuraavat ominaisuudet:
Ehdollinen todennäköisyys toteuttaa todennäköisyysmitan määritelmän. Täten mitalla  \mathbb {P} (\cdot \,|\,B) on todennäköisyysmitan  \mathbb {P} (\cdot ) kaikki ominaisuudet. Esimerkiksi, jos  A_{1} ja  A_{2} ovat tapahtumia, niin yhteenlaskukaava pätee muodossa  \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\,|\,B)=\mathbb {P} (A_{1}\,|\,B)+\mathbb {P} (A_{2}\,|\,B)-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\,|\,B)
jos tapahtumat  A ja  B ovat riippumattomia, niin  \mathbb {P} (A\,|\,B)=\mathbb {P} (A)
kertolaskukaava:  \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B\,|\,A)
Satunnaismuuttujan  X ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla  {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}} on  {\mathcal {G}}-mitallinen satunnaismuuttuja  \mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}}), jolle yhtälö
pätee kaikilla  G\in {\mathcal {G}}. Satunnaismuuttujan  X ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja  Y on  \mathbb {E} (X\,|\,\sigma (Y)), missä  \sigma (Y) tarkoittaa satunnaismuuttujan  Y virittämää sigma-algebraa.
On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio, eikä reaaliluku. Ehdollinen odotusarvo ehdolla  G\in {\mathcal {G}} on  \mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})(\omega ), missä  \omega \in G, on reaaliluku.
Ehdollisen odotusarvon ominaisuuksia:
jos  X\geq 0, niin  \mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})\geq 0
\mathbb {E} (\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}}))=\mathbb {E} X
karkeus voittaa aina eli iteratiivisuus: jos  {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {H}}, niin  \mathbb {E} (\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})\,|\,{\mathcal {H}})=\mathbb {E} (\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {H}})\,|\,{\mathcal {G}})=\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})
lineaarisuus: jos  c_{1}\in \mathbb {R}  ja  c_{2}\in \mathbb {R} , niin   \mathbb {E} (c_{1}X+c_{2}Y\,|\,{\mathcal {G}})=c_{1}\mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})+c_{2}\mathbb {E} (Y\,|\,{\mathcal {G}})
jos  X on  {\mathcal {G}}-mitallinen, niin  \mathbb {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})=X
jos  X on  {\mathcal {G}}-mitallinen ja rajoitettu, niin  \mathbb {E} (XY\,|\,{\mathcal {G}})=X\mathbb {E} (Y\,|\,{\mathcal {G}})
Alisigma-algebran  {\mathcal {G}} tulkinta on ikään kuin etukäteen havaittavissa oleva tieto satunnaismuuttujan arvosta. Triviaali sigma-algebra vastaa täydellistä epätietoisuutta,  \mathbb {E} (X\,|\,\{\varnothing ,\Omega \})=\mathbb {E} X, ja satunnaismuuttujan virittämä sigma-algebra vastaa tarkkaa tietoa sen arvosta,  \mathbb {E} (X\,|\,\sigma (X))=X.
Joukon  A ehdollinen todennäköisyys on  \mathbb {P} (A\,|\,{\mathcal {B}})=\mathbb {E} (1_{A}\,|\,{\mathcal {B}}). Tämä yhtenee koulumatematiikan ehdollisen todennäköisyyden kanssa siten, että jos  \omega \in B, niin  \mathbb {E} (1_{A}\,|\,\sigma (1_{B}))(\omega )=\mathbb {P} (A\,|\,B).