Noetherin teoreema
Matemaattinen muotoilu > Kenttäteoreettinen versio

Vaikka edellä esitetty versio teoreemasta on sellaise­naan­kin käyttö­kelpoinen, se on vain erikois­tapaus Noetherin vuonna 1915 johtamasta yleisemmästä versiosta. Seuraavassa esitetään Noetherin teoreeman versio, joka koskee jatkuvia kenttiä neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Koska modernissa fysiikassa kenttä­teoreettiset probleemat ovat yleisempiä kuin mekaaniset, tämä kenttä­teoreettinen versio on Noetherin teoreeman yleisemmin käytetty versio.
Oletetaan joukko differentioituvia kenttiä φ, jotka on määritelty kaikkialla avaruudessa ja ajassa. Esimerkiksi lämpötilaa T(x, t) voidaan pitää sellaisena kenttänä, sillä se on luku, jolla on tietty arvo jokaisessa paikassa jokaisena aikana. Vähimmän vaikutuksen periaatetta voidaan soveltaa sellaisiin kenttiin, mutta aktio on nyt integraali avaruuden ja ajan yli:
(teoreema voidaan itse asiassa yleistää sellaisiin­kin tapauksiin, joissa Lagrangen funktio riippuu n:nnestä derivaatasta.)
Oletetaan, että aktio on riippumaton tietynlaisista avaruus-aika-koordinaattien xµ muunnoksista ja kentistä φ
missä muunnokset voidaan indeksoida: r = 1, 2, 3, …, N
Tällaisilla systeemeillä on Noetherin teorian mukaan N säilyvää virran­tiheys­suuretta
Näissä tapauksissa säilymis­lait voidaan ilmaista neli­ulotteisessa muodossa
joka ilmaisee, että säilyvän suureen määrä pallo­pinnan sisä­puolella ei voi muuttua, ellei sitä virtaa vastaava määrä pallo­pinnan sisä­puolelta ulos tai päin­vastoin. Esimerkiksi sähkövaraus säilyy; varaus­määrä pallo­pinnan sisä­puolella ei voi muuttua, ellei varausta virtaa sieltä ulos tai sinne sisään.
Asian havainnol­lista­miseksi oletetaan kenttien muodostama fysikaalinen systeemi, joka edellä mainitussa mielessä käyttäytyy samoin siirrettäessä sitä ajassa ja paikassa, toisin sanoen   L\left({\boldsymbol {\phi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\phi }},x^{\mu }\right) on vakio kolmannen argumenttinsa suhteen. Siinä tapauksessa N = 4, virran­tiheys­suureita on yksi kutakin paikka­koordinaattia ja aikaa kohti. Koska vain sijainnit ajassa ja paikassa voivat vääristyä, eivät kentät, muuttujat Ψ ovat kaikki nollia ja 
Xµν on yhtä kuin Kroneckerin delta δµν, missä µ:tä on käytetty
r:n sijasta indeksinä. Siinä tapauksessa Noetherin teoreema vastaa jännitys-energia-tensorin
Tµν säilymislakia:
Sähkö­varauksen säilyminen sitä vastoin voidaan johtaa olettamalla, että Xµν=0 ja Ψ on lineaarinen kentissä f itsessään. Kvantti­mekaniikassa todennäköisyysamplitudi Ψ(x) sille, että hiukkanen löydetään pisteestä x, on kompleksinen kenttä φ, koska se liittää avaruuden ja ajan jokaiseen pisteeseen kompleksi­luvun. Toden­näköisyys­amplitudia sinänsä ei voida fysikaalisesti mitata, ainoastaan toden­näköisyys p = |Ψ|2 voidaan todeta mittaus­sarjan perusteella, Sen vuoksi systeemi on invariantti sellaisten kentän Ψ ja sen kompleksikonjugaattikentän Ψ* muunnosten suhteen, joissa lausekkeen |Ψ|2 arvo ei muutu, kuten kompleksisessa rotaatiossa
Raja­tapauksessa, kun vaihe θ tulee infini­tesi­maalisen pieneksi, δθ, sitä voidaan pitää parametrina ε, kun taas Ψ on sama kuin vastaavasti  iψ and -iψ*.  Erityisenä esi­merkkinä voidaan mainita Kleinin-Gordonin yhtälö, suhteellisuus­teorian mukaisesti korjattu versio Schrödingerin yhtälöstä spinittömille hiukkasille, missä Lagrangen funktion tiheys on
Tässä tapauksessa Noetherin teoreemasta seuraa, että säilyvä virta (∂·j = 0) on yhtä kuin
Kun tämä kerrotaan kyseisen hiukkaslajin varauksena, saadaan tämän hiukkas­tyypin aikaansaama sähköinen virrantiheys. Tähän "riippumattomuuteen mitta­kentästä" kiinnitti ensimmäisenä huomiota Hermann Weyl, ja se on yksi fysiikan 
mitta­kenttä­symmetrioiden proto­tyypeistä.