Ordinaali
Transfiniittinen induktio > Suljetut rajoittamattomat joukot ja luokat

Ordinaalien luokkaa  C sanotaan rajoittamattomaksi eli kofinaaliseksi, jos jokaista ordinaalia  \alpha  kohti on olemassa sellainen C:hen kuuluva ordinaali  \beta , että  \alpha <\beta . Tällöin luokan on oltava aito luokka, sillä se ei voi olla joukko. Luokkaa sanotaan suljetuksi, jos luokkaan kuuluvien ordinaalien jonon raja-arvo on luokka itse, tai yhtäpitävästi, jos indeksoiva luokkafunktio  F on jatkuva siinä mielessä, että kun  \delta  on rajaordinaali,  F(\delta ) eli luokan  \delta :s ordinaali on funktion arvojen  F(\gamma )( raja-arvo, kun  \gamma <\delta . Tämä merkitsee myös samaa kuin että luokka on topologisessa mielessä suljettu, kun topologana käytetään järjestystopologiaa. Jotta vältettäisiin puhumasta topologiasta aitojen luokkien tapauksessa, asia voidaan yhtäpitävästi ilmaista myös niin, että luokan ja minkä tahansa ordinaalin leikkaus on suljettu tämän ordinaalin järjestys­topologiassa.
Erityisen tärkeitä ovat ne ordinaalien luokkia, jotka ovat sekä suljettuja että rajoittamattomia ja joita toisinaan sanotaan klubeisi. Esimerkiksi kaikkien raja­ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, sillä jokaista ordinaalia kohti on aina olemassa sitä suurempi raja­ordinaali ja raja­ordinaalien raja-arvo on aina rajaordinaali. Myös addiitiivisesti jakautumattomien ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, samoin  \varepsilon _{c}dot -ordinaalien luokka ja kaikkien kardinaalien luokka, sitä vastoin kofinaalisten kardinaalien joukko on rajoittamaton, mutta ei suljettu, kun taas jokainen äärellinen ordinaalien joukko on suljettu mutta ei rajoitettu.
Luokka on stationaarinen, jos sen leikkaus minkä tahansa suljetun rajoittamattoman luokan kanssa on ei-tyhjä. Kaikki luokat, jotka sisältävät osaluokkanaan jonkin suljetun rajoitetun luokan, ovat stationaarisia ja kaikki stationaariset luokat ovat rajoittamattomia, mutta on myös stationaarisia luokkia, jotka eivät ole suljettuja tai joilla ei ole suljettua rajoittamatonta osaluokkaa; sellainen on esimerkiksi kaikkien sellaisten raja­ordinaalien luokka, joilla on numeroituva kofinaalisuus. Koska kahden suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on suljettu ja rajoittamaton, statio­naarisen luokan ja suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on stationaarinen. Kahden statio­naarisen luokan leikkaus voi kuitenkin olla myös tyhjä; näin on laita esimerkiksi, kun muodostetaan leikkaus kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ω, sekä kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ylinumeroituva.
Sen sijaan että nämä määritelmät muotoiltaisiin ordinaalien (aidoille) luokille, ne voidaan muotoilla myös niiden ordinaalien luokille, jotka ovat pienempiä kuin jokin annettu ordinaali  \alpha .  Rajaordinaalin   \alpha  osajoukkoa sanotaan rajoitta­matto­maksi (eli kofinaaliseksi) joukossa  \alpha , jos jokainen  \alpha :aa pienempi ordinaali on pienempi kuin jokin kyseisen joukon ordinaali. Yleisemmin minkä tahansa ordinaalin  \alpha  osajoukkoja voidaan sanoa kofinaaliseksi  \alpha :ssa, jos jokainen ordinaali, joa on pienempi kuin  \alpha , on pienempi tai yhtä suuri kuin jokin tähän joukkoon kuuluva ordinaali. Osajoukkoa sanotaan suljetuksi  \alpha :ssa , jos se on suljettu  \alpha :n järjestys­topologiassa, toisin sanoen jos joukkoon kuuluvien ordinaalien raja-arvo joko sisältyy tähän joukkoon tai on  \alpha  itse.