stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Differentiaaliyhtälö
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Haukkanen, Pentti: Differentiaaliyhtälöt
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Riccatin yhtälö Pro gradu -tutkielma, Helsingin yliopisto
Marija Jaremtšuk

| Marija Jaremtšuk |
| --- | --- |

Henkilötiedot
Syntynyt: 2. maaliskuuta 1993 (ikä 31) Tšernivtsi
Muusikko
Laulukielet:  ukraina, englanti
Tyylilajit:  pop
Levy-yhtiöt:  Best Music 
Aiheesta muualla
Kotisivut
  [ Muokkaa Wikidatassa ] [ ohje ]  
Marija Jaremtšuk (s. 2. maaliskuuta 1993 Tšernivtsi) on ukrainalainen laulaja, joka edusti Ukrainaa vuoden 2014 Euroviisuissa Kööpenhaminassa kappaleella ”Tick-Tock”. Hän sijoittui kilpailun finaalissa kuudenneksi.
Vuonna 2012 Jaremtšuk osallistui Ukrainan The Voice -kilpailuun sijoittuen neljänneksi. Samana vuonna hän sijoittui kolmen joukkoon kansainvälisessä New Wave -laulukilpailussa.
Jaremtšuk puhuu ukrainan lisäksi englantia ja italiaa, sekä vähän saksaa ja romaniaa. Omien sanojensa mukaan hän ymmärtää myös puolaa.
Video-opas

| Video-opas |
| --- | --- |
Kirjailija:  Bello Romano (toim.)
Genre:  hakuteos
Kustantaja:  WSOY
Julkaistu:  1992
Sivumäärä:  790
ISBN:  951-0-18472-1

Löydä lisää kirjojaKirjallisuuden teemasivulta
| Video-opas 95 |
| --- | --- |

Kirjailija:  Bello Romano (toim.)
Genre:  hakuteos
Kustantaja:  WSOY
Julkaistu:  1994
Sivumäärä:  1072
ISBN:  951-0-19839-0

Löydä lisää kirjojaKirjallisuuden teemasivulta
Video-opas on Suomessa videokaseteilla julkaistujen elokuvien hakuteos, jonka ensimmäinen laitos ilmestyi vuonna 1992. Laajennettu toinen laitos Video-opas 95 julkaistiin vuonna 1994. WSOY:n kustantamat teokset koosti päätoimittaja Bello Romanon johtama toimituskunta. Arvioijia olivat Romanon lisäksi Asko Alanen, Kari Hintikka, Sam Inkinen, Ilkka Jauhiainen, Roope Lehtinen, Harri Närhi, Esko Rautakorpi, Markku Salmi, Kari Salminen, Olavi Similä ja Kati Sinisalo. Video-oppaat olivat ilmestyessään laajimpia suomalaisia elokuvan hakuteoksia: toinen laitos sisälsi arvostelut 8 500 elokuvasta.
Rajaus

Video-oppaassa arvostellaan kaikki Suomessa ilmestymiseen mennessä videolla julkaistut elokuvat. Pois on kuitenkin jätetty ainakin dokumenttielokuvat, Suomessa ilman teatterilevitystä jääneet konserttielokuvat ja hardcore-porno. Videolain kieltämät K18-ikärajan saaneet elokuvat sisältyivät hakuteokseen toimituskunnan kannanottona.
Arvostelut

Elokuvista on kirjoitettu muutaman rivin yhdistetty arvostelu ja juonireferaatti, jossa annetaan myös mahdollisia lisätietoja. Elokuvat on pisteytetty tähdillä yhdestä viiteen; lisäksi on pommielokuva-luokitus, joka annettiin yhtä tähteä huonommille elokuville.
Video-oppaan 95 alkusivulla XIV tähdityksille annetaan sanalliset selitykset:
5 tähteä = klassikko, elämää suurempi elokuva
4 tähteä = erinomainen, lajivalio
3 tähteä = hyvä
2 tähteä = keskinkertainen
1 tähti = huono
pommi-ikoni = täysin epäonnistunut tekele.
Vastaanotto

Helsingin Sanomien Petri Kemppinen piti Video-opasta tarpeellisena kirjauutuutena, mutta moitti sen kohtelevan kaltoin yhtä videoiden suosittua lajityyppiä, animaatioelokuvaa. Etenkin lyhyiden animaatioiden koostekasetit on hänestä kuitattu ylimalkaisesti. Omassa arviossaan Mikael Fränti piti kirjan esittelytekstejä kirjavina ja epätasaisina ja nimesi 13 jäsenen työryhmästä parhaiksi kirjoittajiksi Bello Romanon, Kari Salmisen, Kati Sinisalon ja Esko Rautakorven. Eurooppalaista elokuvaa hän totesi kirjoittajien hieman vieroksuvan. Kahta vuotta myöhemmin ilmestyneessä laajennetussa laitoksessa Fränti huomasi esittelytekstien tason parantuneen.
Riemannin–Stieltjesin integraali

Riemannin–Stieltjesin integraali on eräs Riemannin integraalin yleistys. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.
Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa 

 \int _{a}^{b}f(x)dg(x), 

missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi. 

Integraali voi myös olla muotoa 

 \int _{a}^{b}f(x)d\alpha .
Määritelmä

Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa  x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n} , missä
a=  x_{0} ≤  x_{1} ≤  \cdots  ≤  x_{n} = b.
Merkitään
\Delta   x_{i} =  x_{i}-x_{i-1}, missä (i = 1,  \cdots  , n).
Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan
M_{i} = sup f(x) ( x_{i-1} ≤ x ≤  x_{i})
m_{i} = inf f(x) ( x_{i-1} ≤ x ≤  x_{i}).
Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä
\Delta  α = α( x_{i}) - α( x_{i-1}).
On selvää, että  \Delta  α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan 



U (P, f, α) =  \sum _{i=1}^{n}  M_{i}  \Delta   \alpha _{i},
L (P, f, α) =  \sum _{i=1}^{n}  m_{i}  \Delta   \alpha _{i}.
Jos
infU(P,f,\alpha )=supL(P,f,\alpha ) ,
missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään 

 \int _{a}^{b}fd\alpha  

tai
 \int _{a}^{b}f(x)d\alpha (x).
Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi  \alpha :n suhteen yli välin [a,b].
Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin

Merkitsemällä  \alpha (x)=x nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:
\int _{a}^{b}f(x)d\alpha =\int _{a}^{b}f(x)dx.
Yleisissä tapauksissa  \alpha :n ei tarvitse olla jatkuva.
Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia. 

Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.
Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia > Muuttujan vaihto

Olkoon funktio  f\in R välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja  \beta  ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti
h(x)=f[g(x)],\beta =\alpha [g(x)],
jos  x\in S. 

Silloin funktio  h\in R välillä S ja 

 \int _{a}^{b}fd\alpha =\int _{c}^{d}hd\beta .
Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia > Lineaariominaisuudet

Jos  f\in R(\alpha ) ja  g\in R(\alpha ) välillä [a,b], niin
c_{1}f+c_{2}g\in R(\alpha ) välillä [a,b] ja
\int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}f)d\alpha =c_{1}\int _{a}^{b}fd\alpha +c_{2}\int _{a}^{b}gd\alpha .
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Reaaliluku

Lukusuora, johon on merkitty joitakin erityisiä reaalilukuja
Reaaliluvut voidaan kuvailla havainnollisesti eri tavoin: yksi tapa on sanoa, että niihin luetaan sekä rationaaliluvut (kuten 2 tai 2/3) että irrationaaliluvut (kuten  \pi  tai neliöjuuri 2). Toinen tapa on taas havainnollistaa reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Matematiikassa tarvitaan kuitenkin täsmällistä määritelmää, joten määrittely käydään läpi tässä artikkelissa seuraavaksi.
Reaalilukujen havainnollinen määritelmä

Reaalilukujen joukko  \mathbb {R}  koostuu rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Rationaaliluvuksi kutsutaan lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättyvä tai päättymätön jaksollinen, ja irrationaaliluvuksi lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi 





1
4


=
0

,

25


{\textstyle {\frac {1}{4}}=0{,}25}

 ja 





1
3


=
0,333
…


{\textstyle {\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots }

 ovat rationaalilukuja, ja 0,1010010001... ja 





2


=
1,414
21
…


{\textstyle {\sqrt {2}}=1{,}41421\ldots }

 ja 



π
=
3,141
59
…




{\textstyle \pi =3{,}14159\ldots \,\!}

 ovat irrationaalilukuja. Reaaliluvut ja suoran pisteet vastaavat täysin toisiaan.
Vaikka tämä määritelmä kelpaa koulumatematiikkaan, se ei ole täsmällinen, koska nyt herää kysymys, mitä luku ja desimaalikehitelmä tarkoittavat. Siksi reaaliluvut määritellään nykymatematiikassa aivan toisesta lähtökohdasta.
Reaalilukujen aksiomaattinen määritelmä

Tarkastellaan abstraktia joukkoa  \mathbb {R} , jossa on määritelty abstrakti yhteenlasku  +, abstrakti kertolasku  \cdot  (missä piste jätetään usein kirjoittamatta) ja abstrakti järjestysrelaatio  \leq . Algebrallinen struktuuri  (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq ) on täydellinen järjestetty kunta eli reaalilukujen kunta, jos sillä on seuraavassa mainitut algebralliset ominaisuudet, järjestysominaisuudet ja täydellisyysominaisuus.
Reaalilukujen aksiomaattinen määritelmä > Reaalilukujen täydellisyysominaisuus

Jos algebrallisella struktuurilla on ominaisuudet (A1)–(A9), niin kyseessä on kunta. Jos sillä on lisäksi ominaisuudet (J1)–(J6), niin se on järjestetty kunta. Paitsi reaaliluvut myös rationaaliluvut muodostavat järjestetyn kunnan. Tarvitaan siis vielä sellainen ominaisuus, joka on reaalilukujen joukolla  \mathbb {R}  mutta ei ole rationaalilukujen joukolla  \mathbb {Q} .
Joukon  \mathbb {R}  epätyhjä osajoukko  A\,\! on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen reaaliluku  m\,\!, että kaikilla  x\in A on  x\leq m. Tällöin  m\,\! on joukon  A\,\! yläraja.
Joukolla  \mathbb {Q}  ei ole täydellisyysominaisuutta. Esimerkiksi niiden rationaalilukujen joukko, joiden neliö on lukua 2 pienempi, on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole (rationaalista) pienintä ylärajaa.
Reaalilukujen konstruointi rationaaliluvuista

Kun rationaalilukujen joukko  \mathbb {Q}  oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen joukko  \mathbb {R}  voidaan konstruoida käyttämällä Dedekindin leikkauksia tai Cauchyn jonoja. Edellinen tapa tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään sen kaikkien rationaalisten alalikiarvojen joukkona. Jälkimmäinen tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään kaikkina mahdollisina sitä kohti suppenevina rationaalilukujonoina.
Siis, kun  \mathbb {Q}  oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen aksioomajärjestelmälle (A1)–(A9), (J1)–(J6), (T) voidaan muodostaa malli, joten reaaliluvut "ovat olemassa". Voidaan todistaa, että kaikki tämän aksioomajärjestelmän mallit ovat keskenään isomorfisia, mikä havainnollisesti tarkoittaa, että niiden matemaattinen rakenne on täysin sama ja ne eroavat toisistaan vain merkintöjen osalta.
Reaalilukujen joukon ylinumeroituvuus

Cantorin diagonaalimenetelmällä voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Lukujoukkoja
| --- | --- |
Numeroituvia joukkoja::  luonnolliset luvut ( \scriptstyle \mathbb {N} )  kokonaisluvut ( \scriptstyle \mathbb {Z} )  rationaaliluvut ( \scriptstyle \mathbb {Q} )  algebralliset luvut ( \scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}) 
Reaaliluvut ja niiden   laajennokset::  reaaliluvut ( \scriptstyle \mathbb {R} )  kompleksiluvut ( \scriptstyle \mathbb {C} )  kvaterniot ( \scriptstyle \mathbb {H} )  irrationaaliluvut  transsendenttiluvut  surreaaliluvut 
Muita::  kardinaaliluvut  p-adiset luvut
Nabla

Nabla-symboli
Harppu, josta nabla on saanut nimensä
Nabla on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasakylkisen kolmion muotoinen symboli  \nabla  (∇). Sillä voidaan merkitä skalaarifunktion (esim. lämpötila) ja vektorifunktion (esim. sähkökenttä, jolla on suunta) gradienttia sekä vektorifunktion divergenssiä tai roottoria.
Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta. Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta.
Merkitykset

Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa  \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}, jonka koordinaatit ovat (x, y, z), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:
missä  \scriptstyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \} ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa.
Vaikka  \scriptstyle {\partial  \over \partial x},  \scriptstyle {\partial  \over \partial y} ja  \scriptstyle {\partial  \over \partial z} ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja, niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori.
Merkitykset > Gradientti

Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa  \scriptstyle \mathbb {R} ^{3} määritellyn funktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia, joka määritellään seuraavasti:
Funktion f gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa f kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa.  Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota f, joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (x,y).  Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti.
Merkitykset > Divergenssi

Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona. Jos funktio on
{\vec {v}}=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} ,
sen divergenssi on:
Divergenssi on siis skalaarifunktio, samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä.
Merkitykset > Roottori

Avaruudessa  \scriptstyle \mathbb {R} ^{3} määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona.  Funktion
{\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}
roottori on siis:
Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen.
Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa:
Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä.
Merkitykset > Laplacen operaattori

Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin.  Se määritellään seuraavasti:
Sekin voidaan esittää myös nablan avulla:
Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä, yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä.
Laskusääntöjä

Olkoon 



f
,
g
:


R


3


→

R



{\textstyle f,g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }

 skalaarifunktioita sekä 






A
→



,



B
→



:


R


3


→


R


3




{\textstyle {\vec {A}},{\vec {B}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}

 vektorikenttiä siten, että jokainen niistä ovat derivoituvia ja niiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Tällöin seuraavat nablan laskusäännöt ovat voimassa:
\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f
\nabla \cdot \left(f{\vec {A}}\right)=(\nabla f)\cdot {\vec {A}}+f\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)
\nabla \times \left(f{\vec {A}}\right)=(\nabla f)\times {\vec {A}}+f\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)
\nabla \cdot \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)\cdot {\vec {B}}-{\vec {A}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)
\nabla \times \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=\left(\nabla \cdot {\vec {B}}\right){\vec {A}}+\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {A}}-\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right){\vec {B}}-\left({\vec {A}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}
\nabla \left({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}\right)={\vec {A}}\times \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)+{\vec {B}}\times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)+\left({\vec {A}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}+\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {A}}
Lisäksi, mikäli 



f


{\textstyle f}

:n ja 






A
→





{\textstyle {\vec {A}}}

:n toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia, pätevät myös seuraavat säännöt:
\nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=0 (Roottorin divergenssi on aina nolla.)
\nabla \times \left(\nabla f\right)={\vec {0}} (Gradientin roottori on aina nollavektori.)
\nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)-\nabla ^{2}{\vec {A}}
Tietotekniikka

Unicodessa nablan koodi­arvo on U+2207.  HTML:ssä se voidaan merkitä muodossa &nabla; ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX-merkintäjärjestelmässä \nabla.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Rise to Fall

| Rise to Fall> Tiedot |
| --- | --- |
Toiminnassa:  2006–
Tyylilaji:  melodinen death metal
Kotipaikka:  Bilbao, Espanja
Laulukieli:  englanti
Levy-yhtiö:  Coroner Records  
Infobox OKNimi-testi OK: 
Rise to Fall on vuonna 2006 perustettu espanjalainen moderni melodinen death metal -yhtye.
Jäsenet

Dalay Tarda - Laulu
Hugo - Kitara
Javi - Kitara
Txamo - Rummut
Asis - Basso
Julkaisut

Restore The Balance - 2010
Defying The Gods - 2012
End VS Beginning - 2015
Into Zero - 2018
The Fifth Dimension - 2023
Aiheesta muualla

http://www.risetofall.net/
http://www.myspace.com/risetofallmetal
Piste (geometria)

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma
Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
Analyyttinen geometria
n
k
Osa artikkelisarjaa
Geometriassa, topologiassa ja muilla näille rinnasteisilla matematiikan aloilla piste on yksinkertaisin olio, jolla muut oliot voidaan määritellä. Geometriassa, joka käsittelee tilan muotoja ja niiden mittaamista,  pisteellä ei ole mitattavaa pituutta, pinta-alaa, tilavuutta tai muutakaan useampiulotteista suuretta. Piste on siten abstrakti käsite, jolla halutaan merkitä paikkaa geometrisessä konstruktiossa.
Piste antiikin geometriassa

Antiikin aikana geometriaa harjoitettiin Välimeren kaupunkivaltioissa, Kaksoisvirran maissa ja Intian valtioissa. Näiden maiden tieteet vuorovaikuttivat keskenään kehittäen geometriasta sellaisen oppiaineen, joka opittiin tuntemaan Euroopassa keskiajan jälkeen. Eukleides määritteli pisteen kirjassaan Alkeet sanomalla, että ”piste on jotain, mitä ei voi jakaa” . Ajatus heijasteli Demokritoksen ajatusta atomista aineen pienimpänä osana, jota ei enää voitu jakaa.
Antiikin geometriassa mitattiin pisteiden etäisyyksiä eikä käytetty koordinaatteja pisteiden paikan ilmaisemiseksi. Pisteen paikka pidettiin yksikäsitteisenä vain, jos se voitiin kytkeä kiinteisiin pisteisiin riittävän monen etäisyyden avulla.
Piste analyyttisessa geometriassa

Analyyttisessa geometriassa on määritelty kaikki tarvittavat oliot pisteen käsitteen avulla ja numeerisia laskuja varten on luotu koordinaatiston käsite.
Piste analyyttisessa geometriassa > Jana, puolisuora ja suora

Jana alkaa yhdestä pisteestä ja päättyy toiseen pisteeseen. Jana koostuu pisteistä, joita on tiheästi alku- ja loppupisteen välissä. Määritelmässä tiheällä tarkoitetaan ominaisuutta, että kahden mielivaltaisen lähellä toisiaan olevan pisteen väliin voidaan aina lisätä ainakin yksi piste lisää. Tästä seuraa, että kahden pisteen välissä olevien pisteiden väliin mahtuu uusia pisteitä eikä minkään kahden pisteen väli täyty koskaan pisteistä. Siten pisteitä mahtuu välille aina äärettömästi. Tällä tavalla muodostetulla janalla on ominaisuus nimeltä pituus. Se ei kuitenkaan ole leveä, koska janalla olevilla ”peräkkäisillä” pisteillä ei ole itsessään leveyttä tai paksuutta. Janan ominaisuudet ovat seurausta pisteiden ominaisuuksista ja niiden äärettömästä lukumäärästä.
Kukin janalla oleva piste sijaitsee omassa paikassaan. Paikka voidaan määrittää numeerisesti määrittämällä pisteen paikan etäisyys janan alkupisteestä. Näin voidaan ilmoittaa pisteen koordinaatti. Edelliseen tapaan voidaan määritellä myös oliot puolisuora ja suora. Näiden pituus on ääretön. Puolisuoran pisteillä on myös koordinaatti, joka voidaan ilmoittaa etäisyytenä alkupisteestä. Suoran koordinaattia varten tulee ensin valita piste, josta etäisyydet mitataan. Tätä pistettä kutsutaan origoksi. Etäisyys origosta on pisteen koordinaatti. Koska suoran voidaan ajatella koostuvan origon molemmilla puolilla olevista kahdesta puolisuorasta, tulee koordinaattien olla positiivisia tai negatiivisia reaalilukuja.
Piste analyyttisessa geometriassa > Taso ja tilavuus

Taso voidaan määritellä suorien avulla. Aloitussuoran yhteen pisteeseen ajatellaan erisuuntainen suuntasuora, jonka rinnalle ajatellaan ääretön määrä suuntasuoran kanssa yhdensuuntaisia suoria. Suoria mahtuu samalla tavalla ääretön määrä kahden yhdensuuntaisen suoran väliin, joten tasosta tulee tiheä. Tasolla olevan pisteen voidaan ajatella kuuluvan yhdelle suoralle kohtaan, joka ilmoitetaan koordinaatilla. Itse suora sijaitsee aloitussuoralla kohdassa, joka voidaan myös ilmoittaa koordinaatilla. Nämä kaksi koordinaattia määrittävät pisteen sijainnin.
Avaruus eli tila määritellään analogisella tavalla. Aloitussuoralle ajatellaan erisuuntainen suuntataso. Aloitussuoran eri pisteisiin ajatellaan suuntatason kanssa yhdensuuntaisia tasoja, joita voidaan sijoittaa sille tiheästi. Tilan pisteen koordinaatit voidaan muodostaa mittaamalla sen sijainti suoralla, mittaamalla suoran sijainti tason aloitussuoralla ja mittaamalla tason sijainti tilan aloitussuoralla. Nämä kolme koordinaattia määrittelevät pisteen sijainnin.
Tasokuviot ovat tason sisältämien pisteiden osajoukkoja. Jos tasokuvion reunat muodostavat tietyllä tavalla säännöllisiä kuvioita, voidaan niitä käsitellä alkeisgeometrian käsitteillä. Tilan pisteiden osajoukko muodostaa avaruuskappaleita.
Piste analyyttisessa geometriassa > Dimensiot ja vektorit

Suoran muodostavat pisteet muodostavat pistejoukon, jonka dimensio on 1. Sanotaan myös, että jana, puolisuora ja suora ovat 1-ulotteisia olioita, koska pisteiden paikka voidaan ilmaista yhdellä koordinaatilla. Taso on tämän takia 2-ulotteinen olio, jonka dimensio on 2. Tason pisteiden vaatimat kaksi koordinaattia x ja y kirjoitetaan usein sulkuihin (x,y). Avaruuden dimensio on 3 eli sen geometria on 3-ulotteinen ja sen vaatimat kolme koordinaattia kirjoitetaan (x, y, z). 1-ulotteisen suoran pisteen koordinaatti on pelkkä luku. Edellisen perusteella määritellään pisteen dimensioksi 0.
Piste voi matematiikassa olla alkiona n-ulotteisessa avaruudessa, jolloin sen n kpl koordinaattia kirjoitetaan muodossa (x, y, z, u,..., w). Näitä useampi koodinaattisia esityksiä kutsutaan vektoreiksi.