stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Kiinalainen jäännöslause
Teoreema

Teoreeman julkaisi ensimmäisen kerran kiinalainen matemaatikko Sun Tzu kolmannella vuosisadalla. Vuonna 1247 toinen kiinalainen matemaatikko Qin Jiushao käsitteli teoreemaa kirjassaan. Myös intialainen 600-luvun matemaatikko Brahmagupta tunsi lauseen versioita ja lause on esitetty myös Fibonaccin kirjassa Liber Abaci (1202).
Olkoot n1, n2, …, nk positiivisia kokonaislukuja jotka ovat pareittain keskenään jaottomia. Silloin mille tahansa kokonaisluvuille a1,a2, …, ak, on olemassa kokonaisluku x joka ratkaisee kongruenssiyhtälöryhmän
Lisäksi kaikki ratkaisut x ovat kongruentteja modulo N, missä N = n1n2…nk.
Näin ollen  x\equiv y{\pmod {n_{i}}}, kaikille  1\leq i\leq k, jos ja vain jos  x\equiv y{\pmod {N}}.
Joissain tapauksissa kongruenssiyhtälöryhmät voidaan ratkaista vaikka ni:t eivät olisi pareittain keskenään jaottomia.
Ratkaisu x on olemassa jos ja vain jos:
Kaikki ratkaisut x ovat siten kongruentteja modulo pienin yhteinen jaettava (pyj) ni.
Teoreema voidaan esittää myös modernimmassa algebrallisessa muodossa seuraavasti:
Kokonaislukujen modulo  n rengas  \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}  ,jossa  n voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona seuraavasti  n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}.
Kun  p_{i}:t ovat eri alkulukuja, niin rengas  \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}  on luonnollisesti isomorfinen tulorenkaan  \mathbb {Z} /p_{1}^{r_{1}}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /p_{2}^{r_{2}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{r_{k}}\mathbb {Z}  kanssa.
Todistus

Tässä esitettävä todistus on muotoiltu Kenneth H. Rosen kirjan Elementary Number Theory and Its Applications (1993) perusteella.
Jaetaan todistus kahteen osaan. Konstruoidaan ensin ratkaisu ja todistetaan sitten ratkaisun yksikäsitteisyys.
Konstruoidaan ensin ratkaisu:
Merkitään  N_{k}=N/n_{k}=n_{1}n_{2}...n_{k-1}n_{k}...n_{r}. Koska luvut  n_{1},n_{2},...,n_{r} ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin  syt(N_{k},n_{k})=1. Näin ollen luvulla  N_{k} on käänteisluku modulo  n_{k}. Merkitään tätä käänteislukua symbolilla  b_{k}, jolloin  N_{k}b_{k}\equiv 1{\pmod {n_{k}}}.
Nyt voimme muodostaa summan
x=a_{1}N_{1}b_{1}+a_{2}N_{2}b_{2}+...+a_{r}N_{r}b_{r}.
Osoitetaan nyt, että kokonaisluku  x on kongruenssiryhmän ratkaisu. Tehdään tämä osoittamalla, että  x\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}} kaikilla  k=1,2,...,r.
Koska  n_{j}\mid N_{k}, kun  j\neq k, niin  N_{j}\equiv 0{\pmod {n_{k}}}. Näin ollen,  x\equiv a_{k}N_{k}b_{k}\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}. Koska  N_{k}b_{k}\equiv 1{\pmod {n_{k}}}, niin  x\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}. Siis  x on kongruenssiryhmän ratkaisu.
Todistetaan, että ratkaisu on yksikäsitteinen modulo  N. Olkoot  x_{0} ja  x_{1} kaksi kongruenssiryhmän ratkaisua. Silloin jokaista lukua  k=1,2,...,r kohti on  x_{0}\equiv x_{1}\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}}, joten jokaista lukua  k=1,2,...,r kohti  n_{k}\mid (x_{0}-x_{1}). Näin ollen  N\mid (x_{0}-x_{1}) eli   x_{0}\equiv x_{1}{\pmod {N}}.
Ratkaisukaava

Kun  n_{i}:t ovat pareittain suhteellisia alkulukuja voidaan kongruenssiyhtälöryhmä ratkaista seuraavan kaavan avulla:
x=a_{1}b_{1}{\frac {N}{n_{1}}}+\ldots +a_{k}b_{k}{\frac {N}{n_{k}}}{\pmod {N}},
missä kertoimet  b_{i} saadaan ratkaistua yhtälöstä
b_{i}{\frac {N}{n_{i}}}\equiv 1{\pmod {n_{i}}}.
Laskuesimerkki

Alkuperäinen Sun Tsun ongelma kuuluu seuraavasti. Kuinka monta sotilasta on Han Xingin armeijassa? Jos sotilaat marssivat kolmen riveissä, kaksi sotilasta jää yli. Jos he marssivat viiden riveissä, kolme jää yli, ja jos he marssivat seitsemän riveissä, kaksi jää yli?
Ongelma voidaan ilmaista kongruenssiyhtälöryhmänä:
Luvut 3, 5 ja 7 ovat pareittain jaottomia keskenään, joten voimme soveltaa kiinalaista jäännöslausetta. Nyt  N=3\cdot 5\cdot 7=105. Ratkaistaan ensin kertoimet  b_{i}:
b_{1}{\frac {105}{3}}\equiv 1{\pmod {3}}\qquad b_{2}{\frac {105}{5}}\equiv 1{\pmod {5}}\qquad b_{3}{\frac {105}{7}}\equiv 1{\pmod {7}}
Kokeilemalla ratkeaa  b_{1}=2,  b_{2}=1,  b_{3}=1. Sotilaiden määräksi saadaan:
x=2\cdot 2{\frac {105}{3}}+3\cdot 1{\frac {105}{5}}+2\cdot 1{\frac {105}{7}}=233{\pmod {105}}.
Sotilaiden määrä voi siis olla 23, 128, 233, 338, ...
Aiheesta muualla

Kiinalainen jäännöslause ja sen sovelluksia
Kiinalainen jäännöslause MathWorldissa (englanniksi)
http://solmu.math.helsinki.fi/2012/3/kiinalainen.pdf
Leppävaaran Torni

| Leppävaaran Torni |
| --- | --- |
 Leppävaaran Torni maaliskuussa 2022.
Tiedot
Sijainti:  Espoo, Suomi
Rakennettu:  2008 - 2010
Käyttötarkoitus:  asuinrakennus
Tila:  valmis
Yritykset
Arkkitehti:  Gullichsen Vormala Arkkitehdit Ky
Urakoitsija:  Skanska
Tekniset tiedot
Kerroksia:  21
Hissien määrä:  2
Korkeus
Kattokorkeus:  68 m
 SkyscraperPage.com 
Lisää rakennusartikkeleitaArkkitehtuurin teemasivulla
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Leppävaaran Torni on tornitalo Espoon Leppävaarassa osoitteessa Valurinkuja 2. Torni sijaitsee aivan Leppävaaran rautatieaseman ja kauppakeskus Sellon vieressä. Rakennuksen korkeus on 68 metriä ja siinä on yhteensä 21 kerrosta. Se on Niittyhuipun ja Meritornin jälkeen Espoon kolmanneksi korkein asuinrakennus.
Rakennuksen tiedot

Tornitalon rakensi Skanska Talonrakennus Oy ja sen pääsuunnittelijana toimi Timo Vormala Gullichsen Vormala Arkkitehdit Ky:stä.
Rakennuksessa on asuntoja yhteensä 113 ja ne ovat kaksioita ja kolmioita joiden pinta-alat vaihtelevat 44,5 – 77,5 m² välillä. Kaikissa asunnoissa on liukulasitettu parveke ja useimmissa myös oma sauna. Rakennuksen ensimmäisessä kerroksessa on kaksi liikehuoneistoa. Ullakkokerroksessa ovat yhtiön saunaosasto, kerhohuone ja aurinkoterassi sekä teknisiä tiloja. Toisessa kerroksessa on asukkaiden käytössä oleva kuntosali. Tontin ahtauden vuoksi rakennettiin terassipiha sivusiiven katolle, ja se suojattiin melusyistä lasiseinillä. Rakennuksessa on kaksi porrashuonetta. Rakennuksessa on kaksi hissiä joilla pääsee sisääntulokerroksesta ullakkokerrokseen. Asuinhuoneistot, parvekkeet, varastot sekä talosauna ja kerhohuone on varustettu sammutusjärjestelmällä. Aivan rakennuksen huipulla on myös helikopterin laskeutumistasanne, jolta asukkaita voidaan hakea tulipalotilanteessa. Viereisellä tontilla sijaitsevasta pysäköintitalosta on yhtiön asukkaille varattu 79 osakkeina myytävää sähköautopaikkaa. Tornitalossa on 10G/10G valokuituverkko ja laajakaistaverkko .
Rakentaminen > Tontti

Rakennuksen tontti oli aikaisemmin kaavoitettu toimitilarakentamiselle. Kaavassa oli määritelty rakennukselle 16 kerrosta, samoin kuten junaradan toisella puolella olevassa Panorama Towerissa. Kaavoituksessa näistä kahdesta samankorkuisesta tornista suunniteltiin paria jotka muodostaisivat portin Leppävaaraan. Toimistokerrosten korkeus on yleensä korkeampi kuin asuinkerrosten. Tästä syystä rakennuksen pääsuunnittelija haki asemakaavamuutosta jossa rakennuksen kerrosmäärä kasvatettaisiin 20:een, jolloin sen korkeus vastasi lähes Panorama Towerin korkeutta.
Espoon kaupunginvaltuusto hyväksyi hankkeen syksyllä 2005, mutta kaavasta tehty valitus viivästytti hanketta yli vuodella. Tämän lisäksi Skanska lykkäsi rakentamisen aloitusta pääkaupunkiseudun asuntokaupan lamaantuessa. Rakentaminen aloitettiin lopulta elokuussa 2008.
Arkkitehtitoimisto suunnitteli rakennuksesta ja kaikesta sen talotekniikasta 3D-mallin. Tämän lisäksi Enterprixe Oy teki Leppävaaran tornista kerroskohtaisen tuotantomallin, joiden avulla taloa alettiin rakentaa. Tontin pohja on vetelää savimaata ja tästä syystä perusta oli paalutettava suurpaaluilla, joita tarvittiin yhteensä 58 kappaletta. Maaperässä ei ollut sivuttaisvakauta, minkä vuoksi rakennus piti ankkuroida kallioon jännitetyillä vinokaapeleilla.
Rakentaminen > Runko

Alimpien kerrosten runkotyöt alkoivat paikallavaluseinien muotittamisella ja näihin liittyvien ulkoseinäelementtien asentamisella. Rakentaminen eteni huoneisto kerrallaan. Heti kun kerroksen elementit ja pystymuotit oli asennettu, aloitettiin holvimuotin latominen ja varustelu eli sähkö- ja putkityöt sekä raudoitus. Rakennuksen kantavat rakenteet ovat elementtejä. Ensimmäisen kerroksen väliseinät on kaikki valettu paikalla, toisesta kerroksesta kahdeksanteen kerrokseen tehty osittain paikallavaluna rakenteiden jäykistysten vuoksi. Huoneistojen välisten seinien paksuus on 2. – 6. kerroksessa 240 mm ja muualla 200 mm. Ulkoseinät ovat pääosin valkobetonipintaisia ja vähäisiltä osin pinnoitettuja sandwich- elementtejä. Rakennuksen kahdessa alimmaisessa kerroksen julkisivussa käytettiin luonnonkivipintaisia graniittilaattoja, osittain sandwich- ja osittain kuorielementtejä.
Yhden kerroksen tekemiseen meni keskimäärin viisi työpäivää. Yhdeksännestä kerroksesta ylöspäin väliseinät vaihtuivat elementeiksi ja kerrokset saatiin valmiiksi neljässä päivässä. Talon runko saavutti harjakorkeuden syyskuun lopulla 2009. Lokakuun lopulla tehtiin vielä rakennuksen kattotöitä ja ne saatiin valmiiksi sopivasti ennen talvea. Vesikattona on kumibitumikermieristetty tasakatto.
Rakennus valmistui vuonna 2010.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Leppävaaran Torni Wikimedia Commonsissa
Talo-foorumin sivut, keskustelua ja kuvia aiheesta Panorama Tower
http://omakaupunki.hs.fi/paakaupunkiseutu/palvelut/150770131/%5Bvanhentunut+linkki%5D
Leppävaaran torni Emporiksessa
Rakennuksen julkisivussa on käytetty luonnonkivipintaisia graniittilaattoja sekä valkobetonia.
Leppävaaran Torni kuvattuna Panorama Towerin juurelta
Saum

Muslimit aloittavat ruokailun heti auringon laskeuduttua.
Jumala
Jumalan ykseys
Muhammed
profeetat
Islamin viisi peruspilaria
uskontunnustus
rukous
paasto
almuvero
pyhiinvaellus
Koraani
Aleksanteri Suuri Koraanissa
Koraanin historiallis-kriittinen tutkimus
Koraanin käännökset
Luettelo Koraanin suurista
Muhammed Koraanissa
Polta Koraani -päivä
Raamattu ja Koraani
Sanaan käsikirjoitukset
Suura
Väkivalta Koraanissa
Kirjoitukset
Koraani
sunna
hadith
fiqh
šaria
Luettelo šarialain käytöstä maantieteellisesti
kalam
sira
Luettelo profeetta Muhammedin elämäkerroista
Islamin suuntaukset
sunnalaisuus
šiialaisuus
Ibadilaisuus
suufilaisuus
Ahmadiyya
Kulttuuri ja yhteiskunta
islamilainen arkkitehtuuri
islamilainen filosofia
islamilainen kalenteri
islamilainen taide
islamilainen tiede
islamilaiset pyhäpäivät
islam ja naiset
islam ja politiikka
islamin suhtautuminen muihin uskontoihin
jihad
moskeija
luettelo muslimienemmistöisistä valtioista
Muuta aiheeseen littyvää
Allah
islamin historia
islamin kritiikki
islamofobia
Historiallis-kriittinen islamin tutkimus
islam Suomessa
Šarian historia
Saum (arab. صوم‎, ṣawm) eli paasto on yksi islamin viidestä peruspilarista. Muslimit voivat paastota eri syistä ja eri ajankohtina, mutta pääsääntöisesti muslimit paastoavat koko Ramadanin pyhän kuukauden ajan. Paaston aikana muslimien tulee välttää syömistä, juomista, tupakoimista ja seksuaalista kanssakäyntiä vaimon ja miehen välillä aamunkoiton ja auringonlaskun välisenä aikana. Ramadan on itsetutkiskelun ja itsehillinnän aikaa.
Muslimit heräävät ennen aamunkoittoa aterioimaan päivän tarpeita varten (eli suhur-ateria). Paastotuntien määrä vaihtelee, mutta voi enimmillään olla 20 tuntia. Pimeän tultua syödään runsas ateria ennen nukkumaan menoa (eli iftar-ateria). Paaston aikana kukaan ei syö julkisesti, joten ravintolat ja ruokakaupat pysyvät usein kiinni tai ovat auki vain vähän aikaa päivässä. Paasto päättyy kolmipäiväiseen id al-Fitriksi kutsuttuun lopetusjuhlaan kuukauden lopuksi.
Islamilaisella paastolla on yhtäläisyyksiä kristillisen pääsiäiseen liittyvän paastoperinteen kanssa. Niihin kuuluu paaston ajoittaminen vuorokauden valoisaan aikaan. Keskiajalla luostarisäännöissä paaston ajankohdaksi määrättiin usein juuri päivän valoisa aika. Kristillisille luostareille ominaiset paastokäytännöt ovat islaminuskossa siirtyneet kaikkien uskovien velvollisuudeksi.
Haittoja

Paaston aikaisella päivärytmillä on haittansa erityisesti jos Ramadan sattuu kesään. Yleisimmin havaitut  terveydelliset ongelmat ovat elimistön kuivuminen, päänsärky, rytmihäiriöt ja huonovointisuus. Kuivuminen ja veritulppien riski kasvavat erityisen paljon kun paastotaan lämpimissä oloissa, mutta myös ruumiillinen työ tai liikunta lisäävät näiden riskiä. Myös kognitiiviset suoritukset heikkenevät.  Paastokuun aikana ihmiset ovat väsyneitä ja ärtyneitä. Liikenneonnettomuudet ja luonnolliset kuolemat lisääntyvät ramadan-kuussa. Paastoaika heikentää myös valtiotaloutta ja tuottavuutta. Jordanialaisen ekonomistin mukaan työn tuottavuus laskee jopa 35–60%. Usein työtä tehdään vain aamupäivisin, ja väsymys ja huonotuulisuus haittaavat keskittymistä.
Islaminopettajat ovat Suomessa todenneet, että muslimilapset voivat ramadankuussa olla väsyneitä ja myöhästyä tunneilta. Heidän ei tällöin tulisi osallistua liikuntatunneille, ja kokeitakin tulisi välttää. Viimeisen kymmenen päivän aikana voi esiintyä myös yövalvontaa rukoillessa, joten oppilaat ovat koulussa erityisen väsyneitä.
Paaston haittapuolia lieventää šaria, joka vapauttaa erivapausperiaatteen mukaisesti paastoamiselta ne, joiden terveyttä se voi vahingoittaa sekä vanhukset, jotka ovat liian heikkoja paastotakseen pitkiä aikoja. Esimerkiksi diabeetikot sekä imettävät tai raskaana olevat naiset on vapautettu paastosta. Pitämättä jääneet paastopäivät voi korvata myöhemmin.
PhysX

| PhysX |
| --- | --- |

Luoja:  Nvidia
Kehityshistoria
Vakaa versio:  9.23.1019 (23. toukokuuta 2024)
Tiedot
Ohjelmistotyyppi:  fysiikkamoottori, väliohjelmisto
Alusta:  Microsoft Windows, macOS, Linux, Wii, PlayStation 3, Xbox 360
Lisenssi:  3-lauseinen BSD-lisenssi
Aiheesta muualla
Verkkosivusto
Versiohallinta
PhysX on Ageian kehittämä reaaliaikainen fysiikkamoottori ja SDK. Nvidia osti Ageian helmikuussa 2008 ja sai täten oikeudet haltuunsa. Sekä PhysX:n moottori että SDK ovat ilmaisia Windowsin ja Linuxin käyttäjille. SDK on myös saatavilla PlayStation 3:lle.
Nvidia on julkaissut ohjelmiston lähdekoodin avoimen lähdekoodin BSD-lisenssillä.
Historia

Ageia julkaisi ohjelmiston fysiikkalaskentaan erikoistuneen PPU (Physics processing unit) apusuorittimen kanssa. Myöhemmin tuki PPU-suorittimille poistettiin.
Nvidia siirsi fysiikkalaskennan GeForce-sarjan näytönohjaimilleen ja markkinoi sitä voimakkaasti. Käytännössä tekniikkaa ei ole enää 2010-luvulla hyödynnetty.
Nvidia ilmoitti lakkauttaneensa 32-bittisen PhysX:n tuen RTX 5000 -sarjan näytönohjaimissa. Tosin 64-bittisiä sitä hyödyntäviä pelejä ei ole, mikä tarkoittaa tekniikan poistumista käytöstä.
Alustat

PhysX-ohjelmistoa käyttäviä videopelejä on julkaistu muun muassa Nintendo Wiille, PlayStation 3:lle, Xbox 360:lle sekä tietokoneille.
Viimeinen merkittävä peli, joka käytti kirjastoa oli Batman: Arkham Asylum (2009).
Amerikan maantiede

Satelliittikuva Amerikan mantereesta vuodelta 2002.
Tämä artikkeli antaa yleiskuvan Amerikan mantereen maantieteestä.
Amerikan manner jakautuu maantieteellisesti kolmeen osaan: Pohjois-Amerikkaan, Väli-Amerikkaan ja Etelä-Amerikkaan. Väli-Amerikka ei ole oma mantereensa, mutta sen latinokulttuuri erottaa sen selkeästi muista Pohjois-Amerikan valtioista, joten siksi se käsitellään omana alueenaan. Pohjois-Amerikka on pinta-alaltaan 25,3 miljoonaa neliökilometriä ja sen ilmasto on lauhkea. Trooppisen ilmaston Väli-Amerikka muodostuu manneralueen valtioista ja Karibianmeren saarista. Etelä-Amerikan pinta-ala on 17,6 miljoonaa neliökilometriä ja pitkän muotonsa vuoksi se ulottuu tropiikista subpolaariselle alueelle, minkä vuoksi mantereen ilmastolliset erot ovat suuret. Etelä-Amerikan pohjoisosissa laajat alueet kuuluvat tropiikkiin, kun taas eteläosat ovat lauhkeammassa vyöhykkeessä.
Amerikkaa rajoittavat meret ovat Atlantin valtameri itäpuolella ja Tyynimeri länsipuolella. Valtamerien lisäksi mantereen rantoja huuhtovat Alaskanlahti, Beringinmeri, Tšuktšienmeri, Beaufortinmeri, Baffininlahti, Hudsoninlahti, Labradorinmeri, Meksikonlahti ja Karibianmeri.
Valtiot

Pohjois-Amerikan valtiot ovat Yhdysvallat ja Kanada. Näiden lisäksi Pohjois-Amerikkaan kuuluviksi luetaan itsehallintoalueet: Ranskalle kuuluva Saint-Pierre ja Miquelon, Britannialle kuuluva Bermuda, Tanskan Grönlanti sekä Norjan Jan Mayenin saari.
Väli-Amerikan mannervaltioita ovat Meksiko, Guatemala, Belize, Honduras, Nicaragua, Costa Rica, El Salvador ja Panama. Alueeseen kuuluvista Karibianmeren saarista kaksi suurinta ovat Kuuba ja Hispaniola, jossa sijaitsevat Dominikaaninen tasavalta ja Haiti. Näiden lisäksi pieniä saarivaltioita on useita ja alueella sijaitsee myös useita eri valtioiden hallitsemia itsehallintoalueita.
Etelä-Amerikan 12 valtion rajat ovat peräisin siirtomaa-ajalta, jolloin Euroopan suurvallat hallitsivat koko aluetta. Portugali perusti Etelä-Amerikan suurimman siirtomaan Brasilian Espanjan hallitessa suurinta osaa jäljelle jääneestä alueesta. Espanjan siirtomaita olivat nykyiset Venezuela, Kolumbia, Ecuador, Peru, Bolivia, Chile, Argentiina, Uruguay ja Paraguay. Mantereen pohjoisosien pienistä maista Isolle-Britannialle kuului Guyana, Ranskalle Ranskan Guyana ja Alankomaille Suriname.
Pinnanmuodot ja vesistöt > Pohjois-Amerikka

Pohjois-Amerikassa merkittävin vuoristo on Kordillieerien poimuvuoret, jotka lukeutuvat nuoriin vuoristoihin. Kordillieerit ulottuvat koko pohjoismantereen länsiosan läpi Alaskasta Keski-Amerikan kannakselle. Vuorijono syntyi, kun Amerikan- ja Tyynenmeren laatat kohtasivat. Kalliovuoret muodostavat Kordillieerien itäisen haaran, jossa useat huiput yltävät yli neljän tuhannen metrin korkeuteen. Vuoriston läntisistä haaroista tunnetuin on Sierra Nevada. Vuorijonojen väliin jää suljettuja altaita, esimerkiksi Mojaven aavikko ja Kuolemanlaakso (Death Valley), sekä useita suolajärviä. Kuolemanlaaksossa alin kohta on 86 metriä merenpinnan alapuolella.
Pohjois-Amerikan toinen merkittävä vuoristo on Yhdysvaltojen itärannikolla sijaitseva ikivanha Appalakkien vuoristo, jonka korkein huippu, Mount Mitchell, on 2 037 metriä korkea. Tämän vuoriston ja rannikon välissä on laaja rannikkotasanko. Mantereen sisäosa koostuu alangoista ja tasangoista.
Pohjois-Amerikan merkittävimmät joet ovat 4 088 kilometriä pitkä Missouri ja 3 766 kilometriä pitkä Mississippi. Saint Lawrence -joki yhdistää Kanadan ja Yhdysvaltojen Suuret järvet Atlanttiin. Järvistä suurin on Yläjärvi 82 100 neliökilometrin pinta-alallaan. Yhdysvaltojen ja Meksikon rajalla virtaa noin 3 000 kilometriä pitkä Rio Grande.
Pinnanmuodot ja vesistöt > Väli-Amerikka

Keski-Amerikan kannas syntyi Karibian ja Kookossaaren laatan törmäyksessä saaden aikaan alueelle tyypilliset terävät vuoret ja tulivuoret. Karibian saaret puolestaan kohosivat Karibian laatan työntyessä kohti Pohjois-Amerikan laattaa. Meksikon alueella törmäsivät Tyynenmeren ja Pohjois-Amerikan laatta. Vuoristoissa on paljon 3 000–4 000 metriä korkeita tulivuoria, ja useat Karibianmeren saaret ovat tuliperäisiä. Alueella on myös korallisaaria, kuten Bahamasaaret.
Pinnanmuodot ja vesistöt > Etelä-Amerikka

Etelä-Amerikan mantereen länsireunaa seurailee Andien vuoristo, joka syntyi Etelä-Amerikan ja Tyynenmeren mannerlaattojen törmäyskohtaan. Tällä vuoristoketjulla on edelleen maanjäristyksiä ja tulivuorenpurkauksia. Vuoristo on kapea mantereen pohjoisosassa, mutta laajentuu keskikohdillaan kohti 4 000 metrin korkeudessa olevaa ylänköä, jossa sijaitsee Titicacajärvi. Ylängön jälkeen Andit kapenevat taas kohti etelää.
Trooppisen Etelä-Amerikan merkittävin vesistö on 6 570 kilometriä pitkä Amazonin allasalue, joka kattaa kahdeksan miljoonaa neliökilometriä. Jokialue rajoittuu etelässä Mato Grosson ylätasankoon ja Brasilian ylänköihin. Pohjoisessa rajana on Guyanan ylänkö. Venezuelasta löytyy maailman korkein vesiputous: 979 metriä korkea Angelin putous.
Ilmasto ja kasvillisuus > Pohjois-Amerikka

Pohjois-Amerikan ilmasto on pääasiassa lauhkea, vaihdellen itärannikon lämpimän lauhkeasta Etelä-Kanadan sekä Koillis- ja Luoteis-Yhdysvaltojen viileämpään ja kosteampaan. Eteläisessä Kaliforniassa vallitsee välimerenilmasto ja Floridan eteläkärjessä kahden vuodenajan trooppinen ilmasto. Yhdysvaltojen mantereissa sisäosissa esiintyy laajalla alueella tornadoja ja maan kaakkoisosiin kulkeutuu usein Karibianmerellä syntyneitä trooppisia sykloneja, hurrikaaneja.
Mantereella on paljon erilaisia metsiä. Yhdysvaltojen itäosissa kasvaa pääasiassa lehtimetsiä, lännessä Tyynen valtameren rannalla puolestaan menestyvät korkeat puulajit, kuten punapuu ja kuuset, sekä vaahtera, tammi ja saarni. Maan sisäosissa kasvaa lyhytkasvuista boreaalista metsää, joissa elää vaeltavia eläimiä, kuten peura, vapiti, karibu ja hirvi. Muita mantereen metsissä eläviä eläimiä ovat musta- ja harmaakarhu, ilves ja majava. Mantereen keskiosille tyypillistä on ruohostokasvillisuus. Korkeaa preeriaheinää kasvaa alueilla, joilla vuotuinen sademäärä ylittää 750 millimetriä, matalaa puolestaan preerioilla, joilla sademäärä on vain noin 370 millimetriä.
Mantereen pohjoisemmissa osissa, Kanadassa ja Alaskassa, on tundrakasvillisuutta, joka koostuu pienistä pensaista, sammalista ja ruohoista. Täällä menestyviä eläimiä ovat karibut, porot ja sopulit. Myös karhu, susi, kettu ja ilves ovat tavallisia.
Ilmasto ja kasvillisuus > Väli-Amerikka

Väli-Amerikan ilmasto on perustyypiltään trooppinen, mutta vuoristojen ja vaihtelevien pinnanmuotojen takia ilmasto-olot vaihtelevat. Alavia alueita, joilla ilmasto voi olla kuuman ja kostean trooppista ja kasvillisuus sademetsää, on vähän. Korkeammilla alueilla ilmasto on lähes lauhkea, esimerkiksi Meksikon ylängöllä. Joidenkin vuorten rinteille kulkeutuu kosteita tuulia tuoden paljon sateita mukanaan ja tällaisissa paikoissa kasvillisuus onkin erittäin rehevää. Koillis-Meksikoon tällaisia sateita ei kantaudu ja sen ilmasto onkin puolikuiva.
Runsaiden sateiden alueella kasvaa trooppisia ainavihantia metsiä ja näiden suojassa tiheää aluskasvillisuutta, muun muassa saniaisia ja liaaneja. Näiltä alueilta löytyy myös suuri eläinkirjo, mutta monet lajit ovat vaarassa kuolla sukupuuttoon metsästyksen ja metsien hakkuun takia.
Kuivemmilla alueilla, kuten Meksikon Jukatanissa, on pääasiassa pensaskasvillisuutta. Myös Väli-Amerikan alueella esiintyy hurrikaaneja lähes joka vuosi.
Ilmasto ja kasvillisuus > Etelä-Amerikka

Etelä-Amerikka on pitkä manner ja sen ilmasto on pohjoisessa trooppista, etelässä taas pääasiassa lauhkeaa. Tämän vuoksi mantereen ilmastolliset erot ovat suuret.
Brasilia, Guyana ja Venezuela sijaitsevat kostean trooppisella vyöhykkeellä, jossa metsäalueet ovat laajoja. Myös maailman suurin jäljellä oleva sademetsä Amazonin alueella on täällä. Sademetsäalue kuitenkin supistuu uhkaavaa vauhtia maatalouden ja asutuksen leviämisen sekä hakkuiden takia. Amazonin sademetsän eläimistö on rikas ja alueella kasvaa monia ainutlaatuisia kasvilajeja.
Mantereen pohjoisosassa sateiset ja kuivat kaudet vaihtelevat tehden lehtipuut alueen tyypilliseksi kasvillisuudeksi. Vähäsateisilla alueilla pensaat ja piikkipensaikot ovat yleisiä. Mantereen eteläosien subtrooppisilla ja lauhkeilla alueilla on valtaosin ruohostomaita ja vain harvakseltaan puita. Lännen aavikkoalueella kasvillisuus on erittäin harvaa. Mantereen kuivin alue on Chilessä sijaitseva Atacaman aavikko. Chilen eteläosissa kasvaa lauhkean alueen sademetsiä.
Etelä-Amerikan eläinlajisto on erittäin runsas, joukossa on monia uhanalaisia lajeja, kuten jättiläismuurahaiskarhu ja jättiläisvyötiäinen. Vähemmän vaarassa kadota sukupuuttoon ovat esimerkiksi laamat, muurahaiskarhut, vyötiäiset ja leguaanit. Mantereen länsirannikon lauhkean vyöhykkeen merivesiä viilentää ja ravitsee Perunvirta, minkä ansiosta meren eliökanta on runsas.