Felix Hausdorff
Teokset, tutkimukset ja niiden vastaanotto > Järjestettyjen joukkojen teoria

Hausdorffin perusteelliset järjestettyjä joukkoja koskevat tutkimukset saivat osittain alkunsa Cantorin kontinuumiprobleemasta: millä sijalla kardinaaliluku  \aleph =2^{\aleph _{0}} on sarjassa  \aleph _{\alpha }?  Hän käsitteli kysymystä Hilbertille 29. syyskuuta 1904 lähettämässään kirjeessä, jossa hän sanoi kysymyksen vaivanneen häntä lähes monomanian tavoin. Hausdorff näki joukossa  \mathrm {card} (T(\aleph _{0}))=\aleph  uuden strategian asian selvittämiseksi. Cantor oli arvellut, että  \aleph =\aleph _{1}, mutta hän pystyi todistamaan vain, että  \aleph \geq \aleph _{1}. Tässä  \aleph _{1} on numeroituvan joukon kaikkien mahdollisten hyvinjärjestysten "lukumäärä", kun taas  \aleph  on tällaisen joukon kaikkien mahdollisten järjestysten "lukumäärä". Siksi oli luonnollista tukia systeemejä, jotka ovat erikoistuneempia kuin pelkästään järjestetyt mutta yleisempiä kuin hyvinjärjestetyt. Juuri niin Hausdorff menetteli vuonna 1901 "porrastettuja joukkoja" koskevan tutkielmansa ensimmäisessä niteessä. Nykyisin tiedetään Kurt Gödelin ja Paul Cohenin tutkimusten ansioista, että tällä strategialla kontinuumiprobleemaa ei voida ratkaista yhtään sen paremmin kuin Cantorin strategiallakaan, joka perustui Cantorin-Benixsonin periaatteen yleistämiselle suljetuista joukoista yleisiin ylinumeroituviin joukkoihin.
Vuonna 1904 Hausdorff julkaisi hänen mukaansa nimitetyn tuloksen:
Jokaiselle ordinaalille  \aleph _{1}, joka ei ole rajaordinaali, pätee  \aleph _{\mu }^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\mu }\;\aleph _{\mu -1}^{\aleph _{\alpha }}.
Tämä kaava sekä Hausdorffin myöhemmin käyttöön ottama kofinaalisuuden käsite olivat perustana kaikille myöhemmille Alef-eksponentiointia koskeville tuloksille. Hausdorffin erinomaista tämäntyyppisten sarjojen tuntemusta vahvistivat myös hänen yrityksensä selvittää, minkä virheen Julius König oli tehnyt luennossaan kansainvälisessä matemaatikkokongressissa Heidelbergissä vuonna 1904. Siellä König oli väittänyt, että kontinuumia ei voida hyvinjärjestää, joten sen kardinaliteetti ei ole mikään Aleph, mikä oli saanut osakseen suurta huomiota. Käsityksellä, että juuri Hausdorff olisi selvittänyt tämän vihreen, oli suuri vaikutus, koska yli 50 vuoden ajan historiallisessa kirjallisuudessa esitettiin väärä kuva Heidelbergin tapahtumista.
Vuosina 1906–1909 Hausdorff teki tärkeimmät järjestettyjä joukkoja koskevat tutkimuksensa. Tässä mainitaan vain joitakin tärkeimpiä kohtia. Koko teorian kannalta perustava merkitys oli kofinaalisuuden käsitteellä, jonka Hausdorff otti käyttöön. Ordinaalia sanotaan säännölliseksi, jos se on kofinaalinen jokaisen pienemmän ordinaalin kanssa, muussa tapauksessa se on singulaarinen. Hausdorff asetti kysymyksen, onko säännöllisiä lukuja, joiden indeksinä on jokin rajaordinaali, ja tästä kysymyksestä sai alkunsa hänen teoriansa saavuttattomista kardinaaleista. Hausdorff oli jo huomauttanut, että jos sellaisia lukuja on olemassa, niiden on oltava "ylenpalttisen suuria".
Perustava merkitys on seuraavalla Hausdorffin todistamalla lauseella: jokaista rajoittamatonta järjestettyjä tiheää joukkoa  A kohti on kaksi sellaista yksikäsitteisesti määritettyä säännöllistä initiaalista lukua  \omega _{\xi }ja\omega _{\eta }, että  A on kofinaalinen  \omega _{\xi }:n kanssa ja koinitiaalinen  \omega _{\eta }^{*}:n kanssa. (Asteriski * tarkoittaa käänteistä järjestystä.) Tähän lauseeseen perustuu muun muassa tekniikka, jolla voidaan luonnehtia järjestetyn joukon alkioita ja aukkoja. Näin Hausdorff sovelsi käyttöön ottamiaan aukon ja alkion merkkejä.
Jos  W on ennalta määritelty joukko merkkejä (alkion ja aukon merkkejä), herää kysymys, onko olemassa järjestettyjä joukkoja, joiden merkkijoukko on tarkalleen  W. Helposti voidaan löytää välttämtön ehto, joka  W:n on toteutettava. Hausdorff onnistui todistamaan, että tämä ehto on myös riittävä. Tähän tarvitaan runasta kokoelmaa järjestettyjä joukkoja; Hausdorff oli luonut tämän yleisten tulojen ja potenssien teoriallaan. Tähän kokoelmaan sisältyy mielenkiintoisia struktuureja kuten Hausdorffin  \eta _{\alpha } -normaalityypit, joihin liittyen Hausdorff ensin muotoili yleistetyn kontinuumihypoteesin. Hausdorffin  \eta _{\alpha }-joukot muodostovat lähtökohdan merkittävälle kyllästetyn struktuurin malliteoriale.
Yleisistä kardinaliteettien tuloista ja potensseista Hausdorff päätyi osittain järjestetyn joukon käsitteeseen. Kysymykseen siitä, sisältyykö osittain järjestetyn joukon jokainen järjestetty osajoukko maksimaaliseen järjestettyyn osajoukkoon, Hausdorff saattoi vastata myönteisesti käyttämällä hyvinjärjestyslausetta. Tämä oli Hausdorffin maksimaaliperiaate. Se ei ainoastaan seuraa hyvinjärjestyslauseesta (tai sen kanssa yhtäpitävästä valinta-aksioomasta), vaan se osoittautui myös yhtäpitäväksi valinta-aksiooman kanssa.
Jo vuonna 1980 Arthur Moritz Schoenflies totesi joukko-oppia koskevan selostuksensa toisessa osasta, että tämä uudempi järjestettyjen joukkojen teoria siltä osin, kuin se oli kehittynyt Cantorin asiaa koskevien tulosten jälkeen, oli lähes kokonaisuudessaan Hausdorffin ansiota.