stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Aritmeettinen sarja
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9  Viitattu 8.7.2019. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)
Aiheesta muualla

Alkulukujen esiintyminen aritmeettisina jonoina
Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö

Matematiikassa Cauchyn epäyhtälö, Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö, Schwarzin epäyhtälö tai Cauchyn-Bunjakovskin-Schwarzin epäyhtälö on kuuluisa ja monissa tilanteissa hyödyllinen epäyhtälö, jonka nimen taustalla ovat Augustin Louis Cauchy, Viktor Jakovlevitš Bunjakovski ja Hermann Amandus Schwarz. Epäyhtälö on käytössä lineaarialgebrassa vektoriavaruuksien yhteydessä, analyysissä sarjateoriassa ja sarjojen integroinnissa ja todennäköisyyslaskennassa varianssien ja kovarianssien yhteydessä.
Epäyhtälön mukaan reaali- tai kompleksivektoreiden x ja y sisätulolle on voimassa
Epäyhtälössä on voimassa yhtäsuuruus jos ja vain jos x ja y ovat lineaarisesti riippuvia tai, jos x ja y tulkitaan vektoreiksi, yhdensuuntaisia.
Tärkeä seuraus Cauchyn epäyhtälöstä on se, että sisätulo on jatkuva funktio.
Toinen muoto Cauchyn epäyhtälölle saadaan sisätulon indusoiman eukleidisen normin avulla lausuttuna:
Tilastotieteessä seuraavaa epäyhtälöä kutsutaan Cauchyn–Schwarzin epäyhtälöksi: Satunnaismuuttujille  X ja  Y on voimassa
Cauchyn epäyhtälön todisti Cauchy vuonna 1821 äärellisessä tapauksessa. Yleisen tapauksen todisti Bunjakovski vuonna 1859.
Todistus

Epäyhtälö on selvästi tosi tapauksessa y = 0, joten voidaan olettaa, että <y, y> on nollasta poikkeava. Olkoon  \lambda  kompleksiluku. Tällöin
Valitsemalla
saadaan
mikä on voimassa jos ja vain jos
eli yhtäpitävästi:
Q.E.D.
Merkittäviä erikoistapauksia

Euklidisessa avaruudessa Rn, saadaan
Neliöllisesti integroituvien kompleksisten funktioiden sisätuloavaruudessa on voimassa
Näiden epäyhtälöiden yleistys on nimeltään Hölderin epäyhtälö.
Tapauksessa n=3 epäyhtälöstä on olemassa vahvempi yhtälö:
Käyttö

Sisätuloavaruuksien kolmioepäyhtälö todistetaan usein Cauchyn epäyhtälön avulla seuraavasti: Olkoon x ja y annetun sisätuloavaruuden kaksi vektoria. Tällöin
| --- | --- |
 \|x+y\|^{2}:  =\langle x+y,x+y\rangle 
:  =\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}
:  \leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}
:  \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}
:  =\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}
Ottamalla puolittain neliöjuuri saadaan kolmioepäyhtälö.
Cauchyn epäyhtälöä käytetään todistamaan Besselin epäyhtälö.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9  Viitattu 8.7.2019. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)
Hermiittinen matriisi

Hermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka on itsensä hermitoitu matriisi, eli matriisi on oman transpoosinsa kompleksikonjugaatti.  Toisin sanoen rivillä  i ja sarakkeella  j oleva alkio on rivillä  j ja sarakkeella  i olevan alkion kompleksikonjugaatti:
Voidaan myös merkitä:
tai kuten on tavallisempaa fysiikassa
Esimerkiksi
on hermiittinen matriisi.
Hermiittisen matriisin ominaisuuksia

Jokaisen hermiittisen matriisin päädiagonaalin alkiot ovat aina reaalilukuja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain, jos se on symmetrinen matriisi, eli jos se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on täten erikoistapaus hermiittisestä matriisista.
Jokainen hermiittinen matriisi on normaali, joten siihen voidaan soveltaa spektraalilausetta. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan diagonalisoida unitaarisen matriisin avulla ja syntyneen diagonaalimatriisin alkiot ovat reaalilukuja. Tästä seuraa kaksi keskeistä tulosta:
Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.
Eri suuruisiin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat toisiinsa nähden ortogonaalisia.
On siis mahdollista löytää  \mathbb {C} ^{n}:n ortonormaali kanta, joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista.
Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien  {\boldsymbol {A}} ja  {\boldsymbol {B}} tulo on hermiittinen vain, jos matriisit kommutoivat, eli jos  {\boldsymbol {AB=BA}}.
Hermiittiset  n\times n-matriisit muodostavat vektoriavaruuden reaalilukujen suhteen, mutta eivät kompleksilukujen suhteen. Tämän vektoriavaruuden dimensio on  n^{2}. (Yksi vapausaste päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan positiivisesti definiitiksi. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, matriisi on positiivisesti semidefiniitti.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 667 (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Kompleksikonjugaatti

Luku  z ja sen kompleksikonjugaatti  {\bar {z}} kompleksitasolla, jossa siis Im tarkoittaa luvun imaginaariosaa ja Re reaaliosaa.
Kompleksikonjugaatti (myös liittoluku) kompleksiluvulle saadaan, kun vaihdetaan sen imaginaariosan etumerkki. Kompleksiluvun  z kompleksikonjugaatista käytetään merkintää  z^{*} tai  {\bar {z}}.
Kompleksiluvun
kompleksikonjugaatti on
missä  i on imaginaariyksikkö.
Määritelmästä seuraa, että liittolukujen summa ja tulo ovat reaalilukuja
Jos kompeksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla, eli
niin sen kompleksikonjugaatti on
Kirjallisuutta

Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables.  (Shaum's Outline Series)  McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).  ISBN 978-0-07-161570-9
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Imaginaariyksikkö

Matematiikassa imaginaariyksikkö mahdollistaa reaalilukujen laajentamisen kompleksilukujen joukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään  \scriptstyle i={\sqrt {-1}}, missä siis  \scriptstyle i^{2}=-1. Toisinaan imaginaariyksiköstä käytetään merkintää j ja ι.
Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö  \scriptstyle x^{2}+1=0 on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikkö i  ja määrittelemällä  i:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälölle f(x)=0 ratkaisu. (Katso algebrallinen sulkeuma ja algebran peruslause).
Imaginaariyksikkö on myös osa Eulerin lausetta funktioteoriassa.
Määritelmä

Määritelmän mukaan i on eräs toisen asteen yhtälön
ratkaisuista, jotka ovat
Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukua i muuttujana, kertomalla lukuja kuten polynomeja ja ottamalla huomioon, että i2=−1. Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavan in=-in-2 avulla.
Imaginaariyksikön käänteisluku on sama kuin sen vastaluku, koska
Kirjallisuutta

Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables.  (Shaum's Outline Series)  McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).  ISBN 978-0-07-161569-3
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  [Espoo]:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: ”Luku 21, Eulerin aika”, Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653.  Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki:  Art House, 1994.  ISBN 951-884-158-6
Aikakone (yhtye)

| Aikakone / Aika |
| --- | --- |
 Aikakone esiintymässä vuonna 2012.
Tiedot
Toiminnassa:  1995–1998, 2001–2003, 2008–
Tyylilaji:  pop, tanssipop, eurodance
Kotipaikka:  Suomi
Laulukieli:  suomi englanti
Jäsenet:  Sani (Saija Aartela)   Alex (Alex Ojasti)  
Entiset jäsenet:  Vera (Heidi Puurula), 1995–2013   Susanna Laine, 2009   Jazu (Jasmin Hertzberg), 2013–2016   Jenna (Jenna Välikangas)   (2016–2020) Maki (Marko Kolehmainen), 1995–2024  
Levy-yhtiö:  BMG, Universal Music, Sony Music Entertainment  
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Aikakone on suomalainen, nelihenkinen popyhtye, joka oli 1990-luvulla yksi Suomen popmusiikin näkyvimpiä ilmiöitä. Yhtye toimi nimellä Aikakone vuosina 1995–1998 ja kolmen vuoden tauon jälkeen vuodet 2001–2003 nimellä Aika. Vuonna 2003 yhtye vaihtoi nimensä takaisin Aikakoneeksi ja jäi tauolle viimeisen kiertuekeikkansa jälkeen. Paluun Aikakone teki vuonna 2008 uuden helmikuussa 2008 ilmestyneen kokoelmalevyn Greatest Hits myötä.
Historia

Aikakone julkaisi debyyttialbuminsa Tähtikaaren taa vuonna 1995. Se myi triplaplatinaa ja sisälsi läpimurtokappaleet ”Alla vaahterapuun”, ”Odota”, ”Taas saan lentää”, nimikkokappaleen ”Tähtikaaren taa” ja ”Matkustanut oon”, jotka kaikki saivat runsaasti radiosoittoaikaa. Samana vuonna duettona Samuli Edelmannin kanssa Sanin esittämä kappale ”Tuhat yötä” nousi hitiksi.
Aikakoneen seuraava levy, Toiseen maailmaan, ilmestyi vuonna 1996. Siltä hiteiksi nousivat ”Nti Groove”, ”Opettelen salaa” ja ”Keltainen”. Tuolloin Aikakone osallistui Euro­vision laulu­kilpailujen karsintoihin ensimmäistä kertaa kappaleellaan ”Ihan hiljaa”, joka on levyn 12. raita. Sijoitus karsinnoissa oli kuudes.
Vuotta myöhemmin 1998 ilmestyi uusi pitkäsoitto, Maa. Maa-albumin ensimmäinen hittisingle oli Veran tulkitsemana ”Tulisitko”. Sitä seurasivat ”Magiaa/Perhosten yö” ja Veran kirjoittama joulun ajalle tarkoitettu ”Hiljaisuus”. Niiden lisäksi julkaistiin EP. Se sisälsi neljä kappaletta: ”Rakkauden lähetti”, joka tehtiin Suomalaisen työn liitolle, ”Anna mun bailaa (’99 remix)”, ”Aikapyörä” ja ”Seis”. Single myi tuplaplatinaa. Sen jälkeen yhtye jäi pitemmälle tauolle.
Historia > Uudistuminen vuonna 2001

Yhtye teki paluun vuonna 2001 esiintyen uudella nimellä Aika. Esiintymiskieli oli vaihdettu englantiin, syystä että se oli ollut yhtyeen jäsenten pitkäaikainen haave. Ensimmäisestä kappaleesta ”Little by Little” tuli pitkäsoiton Hear Me Now avausraita, mutta siitä tuli vähemmän tunnettu single. Seuraava suosittu single oli albumin nimikappale ”Hear Me Now”, josta tuli myös suosittu kesäbiisi. Kyseinen kappale oli myös syksyllä ilmestyneen Young Love -nuorisoelokuvan tunnusmusiikki. Samassa elokuvassa olivat elokuvamusiikkina myös Ajan kappaleet ”Glittering Lights” ja ”Rock Me Baby”. Hear Me Now -albumi myi kultaa.
Aika-yhtye osallistui toistamiseen Euroviisuihin vuonna 2002 kappaleella ”Stay” ja sijoittui toiseksi Suomen karsinnassa. Kappale ei kuitenkaan saanut toivottua radiosoittoaikaa. Hear Me Now -albumilta julkaistiin kuitenkin vielä yksi single, ”Glittering Lights”.
Historia > Lopettaminen vuonna 2003

Vuonna 2003 Aika ilmoitti jäävänsä tauolle ja lopettavan toimintansa. Jäähyväiskiertueen jälkeen kaikki siirtyivät omille urilleen: Sani soolouralle, Alex elämäntapavalmentajaksi ja elokuvamusiikkisäveltäjäksi, Maki tekemään sävellyksiä muille artisteille ja Vera kirjoittamaan.
Yhtye julkaisi vielä jäähyväissinglen ”Uudet tuulet” sekä hittikokoelmalevyn saman vuoden toukokuun loppuun. Levyllä on mukana kaikki Aikakoneen suurimman suosion saaneet kappaleet. 23. toukokuuta 2003 jäi yhtyeen viimeiseksi esiintymiseksi klubilla, joka oli Helsingin Kaivohuoneella ja samalla myös toistaiseksi viimeiseksi päiväksi, jolloin yhtyeen jäsenet esiintyivät nimellä Aikakone. Lähes vuosikymmenenmittaisen uransa aikana yhtye myi yhteensä noin 400 000 levyä, teki 2 500 keikkaa ja edustaa hittimäärällään 1990-luvun suomalaisen popmusiikin kärkeä.lähde?
Historia > Paluu vuonna 2008

Aikakone teki paluun vuonna 2008, jolloin helmikuun lopulla julkaistiin kokoelmalevy. Kahdelle CD:lle mitoitettu kokoelmalevy sisältää Aikakoneen suosituimmat hitit sekä myös joitain yhtyeen tutuimmista hiteistä remiksattuja versioita. Lisäksi levyllä on kolme kokonaan uutta kappaletta, ”Vuoristorata”, ”Nostan sut” ja ”Karnevaali”. Yhtye valitsi yhdeksi esiintymisekseen Suomen euroviisukarsinnat toimien siellä väliaikaesiintyjänä.
Vuoden 2009 kiertueella oli Veran äitiysloman aikana tuuraamassa Susanna Laine.
Vuonna 2010 Aikakoneelta ilmestyi jälleen uusi single. SIG-yhtyeen hitistä ”Vuosisadan rakkaustarina” tehty cover-versio oli myös mainosmusiikkina R-kioskille televisiomainoksessa. Singleä seurasi samanniminen albumi, jolla on 11 uutta kappaletta.
Aikakone julkaisi toukokuussa 2012 singlen ”Historiaan” ja osallistui saman vuoden Syksyn sävel -kilpailuun kappaleella ”Nirvana”. Yhtye oli mukana kappaleilla vielä täydessä kokoonpanossaan ja alkuperäisjäsenistönä.
Heinäkuussa 2013 julkisuudessa liikkui tieto, että Vera oli lähtenyt yhtyeestä. Hänen tilalleen yhtyeeseen tuli myöhemmin samana vuonna Jasmin ”Jazu” Hertzberg.
Toukokuussa 2015 Aikakone julkaisi uuden singlen ”Liian vanha”. Kappale on osa Reumaliiton Liikkeestä hyvinvointia -kampanjaa. Kappale oli ensimmäinen single 23. lokakuuta 2015 julkaistulta 2.0-albumilta.
Vuodesta 2020 eteenpäin Jenna jatkaa Aikakoneen riveissä nykyään satunnaisesti vierailevana laulajana keskittyäkseen soolouran luomiseen Jenna Veen-taiteilijanimellä.
Yhtyeen pääsäveltäjä Maki Kolehmainen kuoli kesäkuussa 2024.
Jäsenet

Sani (Saija Aartela) (1994–)
Alex (Alex Ojasti) (1993–)
Maki (Marko Kolehmainen) (1993–2024)
Vera (Heidi Puurula) (1994–2013)
Jazu (Jasmin Hertzberg) (2013–2016)
Jenna (Jenna Välikangas) (2016–2020)
Jäsenet > Sessiojäsenet

Sune (Susanna Laine) (2009–2010)
Julkaisut

Tähtikaaren taa (1995)
Toiseen maailmaan (1996)
Maa (1998)
Hear Me Now (2001)
Pophitit 1995-2003 (2003)
Greatest Hits (2008)
Vuosisadan rakkaustarina (2010)
2.0 (2015)
Menestys

Aikakone on saanut kaksi kertaa Emma-palkinnon, vuosina 1995 (vuoden tulokas) ja 1996 (vuoden yhtye).
Suosikki-lehden vuoden 1995 vuosiäänestyksessä Aikakone valittiin sekä parhaaksi tulokkaaksi että parhaaksi yhtyeeksi.
Radiomafian radiokanavan vuosiäänestyksessä 1995 Aikakone valittiin parhaaksi yhtyeeksi, Samuli Edelmannin ja Sanin Tuhat yötä taas parhaaksi biisiksi.
Jyrki Dance Music Awardissa Aikakone valittiin vuoden 1995 kotimaiseksi Tv-artistiksi, Odota taas vuoden diskobiisiksi.
Dean Martin Boozing Society nimesi Aikakoneen vuoden 1996 bändiksi.
Aikakoneen Kristallipallo-verkkosivusto kruunattiin komeimmaksi Radio Cityn Vuoden kotisivu 1996 -mittelössä.
Huhtikuussa 1997 Aikakone valittiin Finnish Dance Music Awardsissa vuoden tanssiaktiksi, lisäksi bändi sai palkinnon sekä parhaasta tanssivideosta että parhaasta tanssimiksauksesta.
Tähtikaaren taa on myynyt triplaplatinaa, Toiseen maailmaan taas tuplaplatinaa, ja Maakin rikkoi aikoinaan platinarajan.
Kun Anna mun bailaa -sinkku ilmestyi keväällä 1999, Aikakone sai samalla ensimmäisenä suomalaisena yhtyeenä julkaisuunsa Suomalaisen Työn Liiton myöntämän Avainlippu-merkin.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Aikakone Last.fm:ssä (englanniksi)
Aikakoneen viralliset Facebook-sivut
Aikakoneen fanisivut
| n k Aikakone |
| --- | --- |
 Sani (Saija Aartela)  Alex (Alex Ojasti)  Maki (Marko Kolehmainen)   Vera (Heidi Puurula)  Jazu (Jasmin Hertzberg)  Jenna (Jenna Välikangas) 
Studioalbumit:  Tähtikaaren taa  Toiseen maailmaan  Maa  Hear Me Now  Vuosisadan rakkaustarina  2.0 
Kokoelmat:  Pophitit 1995–2003  Greatest Hits 
Singlet:  ”Tähtikaaren taa”  ”Taas saan lentää”  ”Alla vaahterapuun” (Promosingle)  ”Odota”  ”Matkustanut oon”  ”Keltainen” (Promosingle)  ”Nti Groove”  ”Opettelen salaa”  ”Aarresaari”  ”Time”  ”Tulisitko”  ”Magiaa”/ ”Perhosten yö”  ”Hiljaisuus”  ”Anna mun bailaa”  ”Little by Little”  ”Hear Me Now”  ”Wonder Why”  ”Glittering Lights”  ”Stay”  ”Uudet tuulet”  ”Vuoristorata”  ”Odota (Remix 2008)”  ”Vuosisadan rakkaustarina”  ”Linnunradalla”  ”Historiaan”  ”Nirvana”  ”Liian vanha”  "Hopeasiivet"  "Odota (feat. Juno)  "Avaruus" 
Musiikkivideot:  Alla vaahterapuun  Odota  Time  Nti Groove  Keltainen  Aarresaari  Magiaa  Hear Me Now  Uudet tuulet
Laajennettu kompleksitaso

Laajennettu kompleksitaso ( {\overline {\mathbb {C} }}) on kompleksilukujen joukko, johon on lisätty yksi piste, äärettömyyspiste ( \infty ). Tämän pisteen ajatellaan olevan äärettömän kaukana missä suunnassa tahansa.
Laajennetulle tasolle määritellään topologia, jonka kannan muodostavat kompleksitason avoimet kiekot sekä sellaiset joukot, joihin kuuluvat äärettömyyspiste sekä kaikki kompleksiluvut, joiden itseisarvo on jotakin vakiota suurempi, eli muotoa
olevat joukot. Tällöin laajennettu taso on topologisena avaruutena kompakti.
Laajennettu taso voidaan kuvata stereografisella projektiolla homeomorfisesti Riemannin pallolle. Laajennettu taso on esimerkki topologisesta Aleksandrovin kompaktisoinnista eli yhden pisteen kompaktisoinnista.
Laajennettua kompleksitasoa käytetään funktioteoriassa yleisesti funktioiden määrittelyjoukkona.
Kirjallisuutta

Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables.  (Shaum's Outline Series)  McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).  ISBN 978-0-07-161569-3
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Integraali

Käyrän y=f(x), x-akselin sekä suorien x=a ja x=b väliin jäävät tasokuviot, joiden pinta-ala yritetään määrittää
Integraali (animaatio)
Matematiikassa  ja sen sovelluksissa esiintyy usein tarvetta laskea reaalisen funktion rajoittama pinta-ala tai tilavuus johonkin joukkoon nähden, kuten esimerkiksi koordinaattiakselin välille. Tätä ongelmaa auttamaan on kehitetty integraalin käsite.
Integraalin perusidean tunsivat jo 1600-luvun lopulla Gottfried Leibniz ja Isaac Newton. Heidän käyttämänsä integraalin määritelmä oli kuitenkin matemaattisesti epätäsmällinen, minkä vuoksi käsitteelle on myöhemmin keksitty useita tarkempia määritelmiä. Koulumatematiikassa integraali määritellään nykyään yleensä Bernhard Riemannin 1800-luvulla esittämällä tavalla, jota sanotaan Riemannin integraaliksi, tosin esimerkiksi suomalainen lukio-oppimäärä täydentää tätä Darboux'n integraalillla, joka on ekvivalentti Riemann-integraalin kanssa, mutta intuitiivisempi laskea. Nykyisessä matematiikassa integraalin käsitteelle on kuitenkin kehitetty myös yleistyksiä, jolloin se voidaan määritellä eräille sellaisillekin funktioille, jotka eivät ole Riemannin mielessä integroituvia. Tunnetuin sellainen on mittateoriaan perustuva Lebesguen integraali.
Integraalin käsitteeseen liittyy läheisesti myös integraalifunktion käsite, derivaatan käänteistoimitus. Funktion integraalifunktio on sellainen funktio, jonka derivaatta on annettu funktio. Analyysin peruslauseen mukaan funktion Riemannin integraali kahden pisteen välillä on yhtä suuri kuin sen integraalifunktion näissä pisteissä saamien arvojen erotus.
Integraaleja

Riemannin integraali, lukiomatematiikassa käytetty integraali
Bochner-integraali
Epäoleellinen integraali
Lebesgue–Stieltjes-integraali
Mittaintegraali (Lebesguen integraali)
Pintaintegraali
Riemann–Stieltjes-integraali
Tilavuusintegraali
Viivaintegraali
Luettelo integraaleista
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Laplacen yhtälö

Laplacen yhtälö  on matemaatikko Pierre-Simon Laplacen mukaan nimetty osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla voidaan mm. mallintaa tasapainotilan potentiaaleja. Laplacen yhtälöllä on sovelluksia mm. sähkömagnetismissa, tähtitieteessä ja virtausmekaniikassa.
Laplacen yhtälö kirjoitetaan nabla-operaattorin avulla muodossa
Yleisessä käytössä, etenkin matematiikassa, on myös rinnakkainen merkintätapa
missä Δ on niin kutsuttu Laplacen operaattori.
Karteesisessa koordinaatistossa yhtälö voidaan kirjoittaa auki muotoon
Pallokoordinaatistossa yhtälö saa aukikirjoitettuna muodon
Laplacen yhtälön toteuttavia funktioita kutsutaan harmonisiksi funktioiksi.
Jos yhtälössä on myös vakiotermi tai koordinaateista riippuva funktio muotoa g(x,y,z), niin kyseessä on Poissonin yhtälö.
Aiheesta muualla

Laplacen yhtälö mathworld.wolfram.com:ssa (englanniksi)
Differentiaalilaskennan väliarvolause

Differentiaalilaskennan väliarvolause
Differentiaalilaskennan väliarvolause on erittäin keskeinen lause differentiaalilaskennassa.
Lagrangen väliarvolause sanoo, että suljetulla välillä derivoituvan funktion derivaatta saa jossakin tämän välin pisteessä arvon, joka on yhtä suuri kuin funktion arvojen erotus välin päätepisteissä jaettuna näiden pisteiden erotuksella. Havainnollisemmin tämä voidaan selittää niin, että kuvaajan tangentti on jossakin pisteessä samansuuntainen välin päätepisteet yhdistävän janan kanssa.
Formaalisti: Olkoon  f välillä [a, b] jatkuva ja välillä ]a, b[ derivoituva funktio. Tällöin on olemassa  \scriptstyle c\in ]a,b[, jolle
Väliarvolausetta voidaan käyttää approksimoimaan funktion arvoa jossain pisteessä, mikäli sen arvo tunnetaan toisessa pisteessä ja tiedetään derivaatan itseisarvon yläraja näiden kahden pisteen välillä.
Cauchyn väliarvolause on yleisempi kuin Lagrangen versio. Sen mukaan, jos funktiot f(t) ja g(t) ovat molemmat jatkuvia suljetulla välillä [a, b] ja derivoituvia avoimella välillä ]a, b[, niin tällöin välillä ]a, b[ on olemassa reaaliluku c, jolle
Cauchyn väliarvolausetta voidaan käyttää muun muassa L’Hôpitalin säännön todistamisessa. Lagrangen väliarvolause on Cauchyn väliarvolauseen erikoistapaus, missä g(t) = t.
Väliarvolausetta näkee käytettävän harvoin sovelluksissa. Sen sijaan väliarvolauseen avulla voidaan todistaa monia derivaattaa koskevia differentiaalilaskennan perustuloksia. Lagrangen väliarvolauseesta nähdään esimerkiksi se, että aidosti kasvavan ja derivoituvan funktion derivaatta on kaikkialla epänegatiivinen.
Lagrangen väliarvolauseen todistus

Olkoon [a, b] annettu väli ja  f derivoituva välillä ]a, b[. Määritellään
Nyt  g(a)=g(b) ja  g on derivoituva välillä ]a, b[, joten Rollen lauseen nojalla on olemassa luku  c\in ]a,b[ jolle  g'(c)=0. Nyt
□
Cauchyn väliarvolauseen todistus

Olkoon  e(x)=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a)), jolloin  e(x) on jatkuva, kun  x\in [a,b], ja derivoituva, kun  x\in ]a,b[.
Täten  e(a)=e(b).
Rollen lauseen nojalla on olemassa  c\in ]a,b[ siten, että
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Differentiaalilaskennan väliarvolause Wikimedia Commonsissa