stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Trigonometrinen funktio
Muita määritelmiä

Matemaattisessa analyysissä trigonometriset funktiot voidaan määritellä abstraktisti seuraavien perusominaisuuksiensa avulla. Olkoot s(x) ja c(x) kaksi reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota, joilla on seuraavat ominaisuudet:
. Funktiot s(x) ja c(x) on määritelty kaikilla arvoilla  x\in \mathbb {R}
. s(0) = 0 ja c(0) = 1.
.  (s(x))^{2}+(c(x))^{2}=1 kaikilla  x\in \mathbb {R}
. Kaikilla arvoilla x\in \mathbb {R} pätevät seuraavat funktioiden yhteen- ja vähennyslaskukaavat:
s (x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y)
c (x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)
: \lim _{x\to 0}{\frac {s(x)}{x}}=1.
Tällöin funktiota s sanotaan sinifunktioksi ja merkitään  s(x)=\sin {x}, ja vastaavasti funktiota c sanotaan kosinifunktioksi ja merkitään  c(x)=\cos {x}.
Vaikka tämän määritelmän nojalla ei olekaan heti selvää, onko tällaisia funktiota ylipäänsä olemassa tai ovatko ne yksikäsitteisesti määritellyt, voidaan siitä kuitenkin johtaa trigonometristen funktioiden muut ominaisuudet. Väliarvolauseen avulla voidaan esimerkiksi todistaa, että tällaiset funktiot ovat jaksollisia. Niin ikään voidaan osoittaa, että nämä funktiot ovat derivoituvia ja että
Derivaattojen avulla voidaan edelleen johtaa näiden funktioiden Taylorin sarjat, ja tällöin todetaan, että tämä funktioiden ominaisuuksiin perustuva määritelmä on yhtäpitävä sarjakehitelmiin perustuvan määritelmän kanssa.
Edelleen voidaan todistaa, että jos yksikköympyrältä valitaan sellainen piste (x0,y0), että tämän pisteen ja pisteen (1,0) välisen kaaren pituus on s, niin  x_{0}=\cos {s} ja  y_{0}=\sin {s}. Tämä osoittaa, että tämä abstrakti määritelmä on myös yhtäpitävä funktioiden geometrisen, yksikköympyrään perustuvan määritelmän kanssa.
Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja muunnoskaavoja

Trigonometristen funktioiden monet tärkeimmät ominaisuudet voidaan johtaa sinin ja kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavoista. Näistä voidaan johtaa vastaavat kaavat myös tangentille ja kotangentille:
Näiden avulla voidaan johtaa edelleen myös seuraavat muunnoskaavat:
Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja muunnoskaavoja > Trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja

Yleensä trigonometrisen funktion arvoa ei voida esittää tarkasti, mutta joillekin erityisarvoille tämä onnistuu helposti käyttämällä Pythagoraan lausetta apuna. Esitämme näistä arvoista muutamia ja kaksi ns. muistikolmiota, joiden avulla voi tarkkoja arvoja laskea käsin.
Neliön lävistäjä jakaa neliön kahteen yhtä suureen suorakulmaiseen ja tasakylkiseen kolmioon. Näissä molemmissa kateetit ovat yhtä pitkät ja kulmat 45°-45°-90°. Pythagoraan lauseen mukaan neliön lävistäjän ja sivun suhde on √2. Nyt kun suorakulmaisen kolmion kaikkien sivujen pituudet tunnetaan, voidaan trigonometristen funktioiden tarkka arvo laskea määritelmien avulla.
Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat suuruudeltaan 60°. Jakamalla tämä kolmio kahtia korkeusjanalla, syntyy kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden kulmat ovat 30°-60°-90° ja lyhyemmän kateetin pituus on puolet hypotenuusasta. Pythagoraan lauseesta seuraa, että pidemmän kateetin pituus on √3/2 kertaa hypotenuusan pituus.
Näiden sekä edellä jo mainittujen yhteen- ja vähennyslaskukaavojen avulla trigonometristen funktioiden tarkat arvot voi johtaa monille muillekin kulmille, kuten kaikille kulmille, joiden asteluku on kolmen monikerta. Käytännössä lausekkeista tulee melko monimutkaisia.
Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja muunnoskaavoja > Derivaatat ja integraalit

Trigonometristen funktioiden derivaatat voidaan johtaa niiden yhteen- ja vähennyslaskukaavojen avulla. Tällöin on kulmayksikkönä käytettävä radiaania. Ohessa on myös sinin, kosinin ja tangentin integraalit.
Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja muunnoskaavoja > Derivaatat ja integraalit > Todistus

Todistetaan tulos  D\sin {x}=\cos {x},  tulos  D\cos {x}=-\sin {x} todistetaan vastaavalla tavalla.
D\sin {x}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin {(x+h)}-\sin {x}}{h}}= (yhteenlaskukaavan nojalla)  \lim _{h\to 0}{\cfrac {\sin {x}\cos {h}+\cos {x}\sin {h}-\sin {x}}{h}}=  \lim _{h\to 0}\left[\sin {x}\cdot {\cfrac {\cos {h}-1}{h}}+\cos {x}\cdot {\cfrac {\sin {h}}{h}}\right]=  -\sin {x}\cdot \lim _{h\to 0}{\cfrac {1-\cos {h}}{h}}+\cos {x}\lim _{h\to 0}{\cfrac {\sin {h}}{h}}= (edellä todistettujen raja-arvojen nojalla)  -\sin {x}\cdot 0+\cos {x}\cdot 1=\cos {x}.  \square
Käänteisfunktiot

Trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, joten niiden määrittelyjoukkoa täytyy rajoittaa, jotta niille olisi mahdollista määritellä käänteisfunktio. Seuraavassa taulukossa oikealla olevat yhtälöt määrittelevät vasemmalla olevan funktion; nämä eivät siis ole johdettuja kaavoja. Käänteisfunktiot, joista käytetään nimitystä arkusfunktiot, määritellään yleensä seuraavalla tavalla:
Trigonometrisille funktioille on mahdollista määrittää käänteisfunktiot myös mille tahansa jakson pituiselle monotoniselle välille. Joskus käytetään merkintää, jossa käänteisfunktion nimen alkuosan päällä on viiva, korostamaan sitä, että määrittely on tehty funktion päähaaran mukaan. Esimerkiksi  \operatorname {{\overline {arc}}sin} (x). Tällainen merkintätapa on kuitenkin harvinainen.
Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioille käytetään joskus merkintätapaa sin−1(x) ja cos−1(x). Tässä merkintätavassa on kuitenkin vaarana, että käänteisfunktion sijasta sama merkintä voi tarkoittaa myös funktion negatiivista potenssia. Tämän välttämiseksi käytetään nimiä arcsin, arccos jne. trigonometristen funktioiden käänteisfunktioille.
Sovelluksia

Trigonometriset funktiot ovat, kuten nimestäkin käy ilmi, ratkaisevan tärkeitä trigonometriassa. Tämä johtuu pääasiassa kahdesta seuraavasta kaavasta:
Sovelluksia > Sinilause

Sinilauseen mukaan mille tahansa kolmiolle pätee:
joka voidaan esittää myös muodossa
jossa a, b ja c ovat kolmion sivut, α on sivun a vastainen kulma, β on b:n vastainen kulma, γ on c:n vastainen kulma ja R on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde. Sinilause voidaan todistaa jakamalla kolmio kahteen suorakulmaiseen kolmioon ja käyttämällä yllä esitettyä sinin määritelmää suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina. Sinilause on hyödyllinen laskettaessa tuntemattomien sivujen pituuksia, kun kaksi kulmaa ja yksi sivu on tiedossa. Tämä on yleinen tilanne kolmioinnissa, jonka avulla mitataan tuntemattomia pituuksia määrittämällä kaksi kulmaa ja niiden välinen pituus.
Sovelluksia > Kosinilause

Kosinilause on Pythagoraan lauseen laajennus mielivaltaisille kolmioille:
joka voidaan muotoilla myös
jossa a, b ja c ovat kolmion sivut ja γ on sivun c vastainen kulma. Tämänkin lauseen todistus on yksinkertainen kun jaetaan tutkittava kolmio kahteen suorakulmaiseen kolmioon. Kosinilauseen avulla voidaan laskea kolmion puuttuvat tiedot jos kaksi sivua ja kulma on tiedossa.
Kannattaa huomata että kolmio ei välttämättä ole yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnettu kulma ei sijaitse tunnettujen sivujen välissä. Tällöin kosinilauseen ratkaisussa saadaan kaksi vaihtoehtoista sivun pituutta.
Sovelluksia > Tangenttilause

On olemassa myös tangenttilause:
jossa a ja b kolmion sivuja, ja α ja β ovat niitä vastaavat kulmat.
Trigonometriset funktiot ovat tärkeitä muissakin kohteissa kuin kolmioiden tutkimuksessa. Ne ovat jaksollisia funktioita, joiden kuvaajille ominainen aaltomuoto on hyödyllinen toistuvien ilmiöiden, kuten ääni- ja valoaaltojen mallintamisessa. Jokainen signaali voidaan kirjoittaa eritaajuisten sinifunktioiden (tavallisesti äärettömänä) summana; tämä on perustavanlaatuinen ajatus harmonisessa analyysissä, jossa trigonometrisia sarjoja käytetään osittaisdifferentiaaliyhtälöiden erilaisten reuna-arvotehtävien ratkaisussa.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Opetus TV: Trigonometriset funktiot
Opetusvideoita aiheesta Opetus.tv-sivustolla
Suorakulmaisessa kolmiossa on aina yksi 90° kulma, jota tässä merkitään γ:lla. Kulmat α ja β ovat aina teräviä kulmia. Trigonometriset funktiot määräävät kolmion sivujen suhteiden ja sisäkulmien suuruuksien väliset yhteydet.
Yksikköympyrä
sin(x)- ja cos(x)-funktiot koordinaatistossa.
Tangenttifunktio tan(x) koordinaatistossa.
Kaikki trigonometriset funktiot voidaan konstruoida geometrisesti yksikköympyrään jonka keskipiste on O.
Seitsemännen asteen Taylorin polynomilla (vaaleanpunainen) päästään sinifunktion (sininen) tarkkaan approksimaatioon keskellä kuvaajaa olevan kokonaisen  2\pi :n pituisen jakson alueella.
Sinin ja kosinin yhteenlaskukaavojen geometrinen havainnollistus. Paksunnetun janan pituus on 1 pituusyksikkö, muiden janojen pituudet saadaan trigonometristen funktioiden avulla.
Kahtia jaettu tasasivuinen kolmio, jonka puolikkaista saadaan 30 ja 60 asteen kulmien trigonometriset funktiot
Eräs Lissajous'n kuvio, trigonometrisiin funktioihin perustuva käyrä.
Militariamuseo Karhumäki

| Militariamuseo Karhumäki |
| --- | --- |
Tyyppi:  Erikoismuseo
Sijainti:  Tuomenhaara 10, Parkano
Kotisivut:  http://www.vesafriman.fi/
Koordinaatit:  62°00′04″N, 23°00′00″E
 fiMilitariamuseo Karhumäki 
   
Militariamuseo Karhumäki sijaitsee Parkanossa. Museo koostuu kolmesta eri rakennuksesta: hirsirakennus, korsu ja 60-70-lukujen taitteen kyläkauppa ajanmukaisine tavaroineen. Museon kokoelma on pääosin Vesa Frimanin keräämää esineistöä ja se käsittää sota-ajan käsiaseita, puhdetöitä, pahkaesineitä, kymmeniä erilaisia puhelimia ja niiden kenttäkeskuksia. Museoalueen pihapiirissä on raskasta militariakalustoa Mig-21:stä panssarivaunuun ja museoalueen pihalta löytyy myös armeijan vanha, harvinainen tutka sekä tykki.
Maria (Napolin kuningatar)

Maria ja Kaarle II
Maria Unkarilainen (ital. Maria d’Ungheria, unk. Árpád-házi Mária nápolyi királyné; 1257 tai 1258 – 25. maaliskuuta 1323, Napoli), Napolin kuninkaan Kaarle II:n puoliso, oli Unkarin Árpád-sukuisen kuninkaan Tapani V:n tytär ja Unkarin Anjou-sukuisten hallitsijoiden esiäiti.
Maria syntyi Tapani V:n avioliitosta Elisabetin (unk. Erzsébet) kanssa, joka oli Unkariin asutettujen kumaanien paimentolaisheimon ruhtinaan tytär. Hänellä oli useita sisaruksia, joista yhdestä tuli Unkarin kuningas Ladislaus (László) IV, lisänimeltään ”Kumaani” (Kun László).
Vuonna 1270 Maria naitettiin Salernon ruhtinaalle, Anjou-sukuiselle Kaarle Rammalle, josta sittemmin tuli Napolin kuningas Kaarle II. Avioliitosta syntyi neljätoista tai viisitoista lasta, joiden avioliittojen avulla Kaarle ja Maria rakensivat suhteita useisiin Euroopan hallitsijahuoneisiin. Kolmas poika Robert seurasi isäänsä Napolin kuninkaana. Hänen vanhemmista veljistään Ludvig (Louis) lähti kirkolliselle uralle, liittyi fransiskaaniveljestöön ja nousi Toulousen piispaksi; hänet kanonisoitiin 1317 ja tunnetaan Marseillen Pyhänä Ludvigina.
Vanhin Marian pojista, Kaarle Martel (1271–1295) peri vaatimuksen Unkarin kruunuun äidiltään: Ladislaus IV:n kuoltua vuonna 1290 vailla laillista perillistä Maria julistautui Unkarin kuningattareksi mutta luopui sitten vaatimuksestaan poikansa hyväksi. Kaarle Martel käytti Unkarin kuninkaan arvonimeä mutta ei ehtinyt panna vaatimustaan täytäntöön, kun Unkarissa nostettiin valtaan Ladislaus IV:n isän serkku, Árpád-suvun mieslinjan viimeinen perillinen Andreas III. Andreaksen kuoltua Kaarle Martelin pojasta Kaarle Robertista tuli lopulta Unkarin ensimmäinen Anjou-sukuinen kuningas.
Kaarle Martel ja hänen puolisonsa Klementia Habsburgilainen kuolivat varhain (Klementia 1293 samannimisen tyttärensä syntyessä, Kaarle kaksi vuotta myöhemmin ruttoon), ja heidän lapsensa, etenkin tyttäret Klementia Unkarilainen ja Beatrice (Kaarle Robert vietiin jo nuorena Unkariin), kasvoivat isoäitinsä Marian hovissa.
Maria tunnettiin hartaasta uskonnollisuudestaan ja askeettisesta elämäntavastaan. Miehensä ja myöhemmin Robert-poikansa poissa ollessa hän toimi muodollisesti Napolin hallitsijana, mutta käytännössä hän ei puuttunut politiikkaan vaan omistautui etenkin viimeisinä vuosinaan yhä enemmän uskonnon harjoitukselle.
Maria Unkarilaisen hautamuistomerkki Napolissa
Maria kuoli Napolissa 25. maaliskuuta 1323. Hänet on haudattu Napolin Santa Maria Donnareginan kirkkoon.
Norjan historia

Norjan kuningaskunta
Kalmarin unioni
Tanska-Norja
Ruotsi-Norja
Norjan kuningaskunta
Toinen maailmansota
Kylmä sota
n
k
Norjan historia yhtenä valtiona alkoi noin tuhat vuotta sitten, vaikka nykyisen Norjan alueella on ollut asutusta sitä ennenkin, paikoin jo jääkauden jälkeisestä ajasta alkaen. Vuonojen ja vuorten pilkkomassa maastossa yhdyskunnat ovat pysyneet toisistaan erillään, ja meri on ollut sekä yhdistävä että erottava tekijä.
Varhaishistoria

Norjan asuttaminen alkoi pian jääkauden jälkeen mannerjäätikön vielä sulaessa, kun saamelaisten esivanhemmat vaelsivat maan pohjoisosiin noin 11 000 vuotta sitten. Tätä vaihetta kutsutaan komsakulttuuriksi. Kun ilmasto lämpeni, Keski-Euroopasta alkoi muuttaa lisää väkeä Keski- ja Etelä-Norjaan kalastuksen, hylkeenpyynnin ja metsästysmahdollisuuksien houkuttelemina. Villipeurat seurasivat vetäytyvää jäätikön reunaa, ja niitä seuraavat metsästäjät olivat ensimmäiset Norjan sisämaahan edenneet ihmiset. Seuraavina vuosituhansina asutus vakiintui, ja Rooman valtakunnan kanssa käytiin kauppaa rautaesineillä, kankailla ja keramiikalla. Rautaisten työkalujen avulla metsiä raivattiin pelloiksi ja rakennettiin entistä suurempia laivoja. 500-luvulle mennessä norjalaiset oppivat itse sulattamaan ja muokkaamaan suorautaa. Asutus oli jakautunut "pikkuvaltioihin", joita kutsutaan nimellä fylke.
Viikinkiaika

Länsi-Norjan ja Oslon seudun arkeologiset löydöt todistavat, että Norjasta oli jo 600-luvulla vilkkaat yhteydet Tanskaan sekä frankkien ja anglien maihin. 800-luvulta alkaen Skandinavian kansat alkavat liikkua pitkillä kauppa- ja ryöstöretkillä lähes koko Euroopassa. Vuonna 829 tapahtui iso ryöstö Saksin rannikolla ja vuodesta 834 alkaen nämä pohjanmiehet (normannit) tekivät kuutena peräkkäisenä vuonna suoranaisia hävitysretkiä Friisian ja Frankian rannikkoseuduille. Normannivaara kasvoi entisestään, kun he saivat perustetuksi tukikohtia Britanniaan.
Viikinkiretkien syynä pidetään yleensä Skandinavian väestön liikakasvua. Perheen vanhin poika peri yleensä perheen koko omaisuuden, jolloin muut pojat saattoivat herkästi liittyä kaukomatkalle lähtevään laivueeseen. Retkien tavoitteena oli tavaroiden ja rikkauksien hankkiminen. Kauppaa käytäessä voitiin vastineeksi tarjota turkiksia, nahkoja, meripihkaa, hunajaa ja orjia. 800-luvulta alkaen tuli tavaksi perustaa miehitettyjä tukikohtia kohdemaihin. Tämä johti usein pysyvään asutukseen, paitsi Keski-Euroopassa, jonne tunkeutuminen ei viikingeiltä onnistunut.
Todelliset kaukoretkeilijät purjehtivat Pohjois-Atlantille ja Jäämerelle. Nämä olivat enimmältään norjalaisia, jotka olivat jääneet sivuosaan eteläsuunnan ryöstämisessä. Yksi tällainen oli Turgeis-niminen viikinkipäällikkö, joka perusti 840 Dublinin kaupungin ja piti siellä asuneita kelttiläisheimoja pelon vallassa. Norjalaiset pitivät hallussaan myös osaa Skotlannista ja Englannin länsirannikosta, jonka paikannimistö nykyäänkin todistaa norjalaisvallasta.  Islanti löydettiin ilmeisesti 840-luvulla, joskin siellä asui ennestään pieni määrä kelttejä. Grönlanti löytyi, kun norjalainen Erik Punainen karkotettiin Islannista vuonna 982. Tämän poika Leif Eriksson löysi "Viinimaan, jossa ruoho tuskin koskaan lakastui". Vinlandiin tehtiin useita retkiä, mutta pysyvää asutusta ei muodostunut paikallisten heimojen (intiaanien) vihamielisyydenlähde tarkemmin? takia. Viinimaana pidetään Newfoundlandin aluetta, josta on löytynyt arkeologisia todisteita viikingeistä.
Norjan kuningaskunta syntyy ja liittyy unioniin Tanskan kanssa

Norjan kuningaskunta alkoi muodostua viikinkiajalla 800–1000-luvuilla. Kristinuskon vaikutus maassa alkoi vuosina 995–1000, jolloin kuninkaana oli Olav Trygvason. Olavin kaaduttua Svolderin taistelussa Norja joutui 15 vuodeksi Ruotsin ja Tanskan vaikutuspiiriin, kunnes Olavi Pyhä sai kuninkuuden ja jatkoi maan kristillistämistä. Hänkin kaatui sisäisissä taisteluissa (1030) ja maan hajanaisuus jatkui. 1100-luvun kuningas Sverre Sigurdinpoika oli seuraava vahva kuningas, mutta hän sai vastaansa kirkolliset piirit. Vasta 1200-luvun puolimaissa kuninkaanvallan kannattajat saivat voiton, ja Norjasta tuli perinnöllinen kuningaskunta. Norjan kuningassuku sammui kuitenkin vuonna 1387, ja maa päätyi unioniin Tanskan kanssa. Samaan Kalmarin unioniin liitettiin avioliiton avulla myös Ruotsi.
Keskiaikana Norjan pääkaupunki oli Nidaros (nykyinen Trondheim), vaikkakin sitä hallittiin Tanskan vallan aikana Kööpenhaminasta. Kaupan keskus oli Bergen (entinen Tyskebrygge), joka oli hansakaupunki. Oslo (aikaisemmin Christiania/Kristiania) oli hetken aikaa pääkaupunkina 1300-luvulla. Sen kasvu alkoi vasta, kun sinne perustettiin yliopisto vuonna 1811. Keski-Norjassa on säilynyt kymmeniä keskiaikaisia sauvakirkkoja, joita alun perin oli laajasti koko Skandinaviassa. Vanhimmat säilyneet sauvakirkot ovat 1100-luvulta. Kirkon rakenne perustuu puisiin pystypaaluihin eli sauvoihin, joiden varaan koko kirkko on pystytetty. Katonharjassa on usein eläinhahmoja, kuten lohikäärmeen päitä. Rakennustapa on omaperäinen, ja siinä on vaikutteita roomalaisista basilikoista. Joihinkin kirkkoihin tehtiin uskonpuhdistuksen aikana muutoksia, mutta osa on alkuperäisessä muodossaan.
Norja jäi Tanskan yhteyteen moniksi vuosisadoiksi sen jälkeen, kun Ruotsi vuonna 1520 erosi unionista. Riippuvuus Tanskasta vahingoitti Norjaa: kirkollinen ja maallinen hallinto siirtyivät tanskalaisille, vaikkakin kauppa oli edelleen saksalaisten hallinnassa. Lisäksi Ruotsi valtasi Norjalta Jämtlannin ja Härjedalenin (1645) sekä Bohuslänin (1658).  Norja tanskalaistui monin tavoin. Esimerkiksi tanskan kielestä tuli virallinen sivistyskieli ja puhekielikin oli vain norjalaisittain äännettyä tanskaa.
Norja saavutti tasavertaisen aseman Tanskan rinnalla vuodesta 1660 alkaen, jolloin myös maan talouselämä alkoi kehittyä. Norjan merenkulku sai vauhtia jopa Yhdysvaltain vapaussodasta 1770-luvulla, kun Atlantin tavaraliikenne vilkastui ja kansainvälistyi.
Suuressa Pohjan sodassa Tanska liittoutui useiden muiden Itämeren alueen maiden kanssa Ruotsia vastaan. Parikymmentä vuotta kestäneen sodan loppuvaiheessa Ruotsi pyrki parantamaan asemaansa valloittamalla Tanskalta Norjan. Tämä vuosien 1716–1718 operaatio tunnetaan nimellä Kaarle XII:n Norjan sotaretki. Se päättyi Ruotsin kuninkaan Kaarle XII:n kaatumiseen Fredrikshaldin piirityksessä marraskuussa 1718.
Eidsvollin kansalliskokous ja Ruotsi-Norja

Tanska liittyi Napoleonin puolelle sen sodissa muita Euroopan suurvaltoja vastaan. Voittajat päättivät ottaa Tanskalta Norjan ja antaa sen Ruotsin kuninkaalle Kielin rauhassa tammikuussa 1814. Ruotsi puolestaan oli menettänyt Suomen 1809 Haminan rauhassa Venäjälle. Norja kuitenkin julistautui itsenäiseksi Eidsvollin kansalliskokouksessa 17. toukokuuta 1814, jolloin maalle vahvistettiin myös perustuslaki. Norjan kuninkaaksi valittiin Norjan käskynhaltijana toiminut Tanskan kruununprinssi Kristian Fredrik. Ruotsi kuitenkin pakotti Norjan personaaliunioniin maiden oltua kahden viikon ajan sotatilassa, mutta maa säilytti kokouksessa määritellyn perustuslakinsa. Kuninkaaksi valittiin Ruotsin kuningas Kaarle XIII.
Norjan taloudellinen nousu alkoi elinkeinovapauden voimaantulosta 1840-luvun alussa. teollistuminen, nykyaikainen maatalous ja siirtolaisuus Yhdysvaltoihin saivat vauhtia 1860-luvulla. Norjalainen nationalismi alkoi myös voimistua. Ruotsin vallan aikana vallitsi jatkuva ristiriita kuninkaan ja maakäräjien (parlamentin) välillä. Itsenäisyyden saavuttaminen olikin monien norjalaisten tavoitteena. Norjan kielestä haluttiin karsia tanskalaisvaikutteita. Ivar Aasen kehitti maaseudun puhekielen pohjalta uusnorjan, jota kirjailijatkin pyrkivät käyttämään. Se ei kuitenkaan ole syrjäyttänyt kirjanorjaa, joten molemmat jäivät käyttöön. Norjan kansalaistoimintakin vilkastui. Parlamentarismi otettiin käyttöön 1884, keskeiset puolueet venstre ja höyre muodostuivat ja miesten yleinen äänioikeus 1898. Kehitystä hidasti kuitenkin kuninkaan veto-oikeus lakien hyväksymisessä.
Norjan itsenäistyminen

Unioni hajosi 1905. Norja julistautui itsenäiseksi 7. kesäkuuta 1905, ja tilanne alkoi kehittyä uhkaavaksi maiden välillä, mutta Ruotsissa nousseen rauhanliikkeen vuoksi Ruotsi pidättäytyi Norjan vastaisista toimista ja tunnusti Norjan itsenäiseksi valtioksi 26. lokakuuta samana vuonna. Norjan kansallispäivä on kuitenkin edelleen 17. toukokuuta, vuoden 1814 tapahtumien muistoksi. Norjan hallitus pyysi Tanskan prinssi Carlia kuninkaaksi. Kansanäänestyksen jälkeen parlamentti hyväksyi hänet kuninkaaksi, ja hän otti nimen Haakon VII jatkaen täten Norjan keskiaikaisten kuninkaiden perinnettä (edellinen Haakon-niminen kuningas oli ollut vuosina 1340–1380 hallinnut Haakon VI Maununpoika).
Itsenäisyyden alkua leimasi valtiomuotokysymys, jossa vasemmisto kannatti tasavaltaa ja oikeisto monarkiaa. Kansanäänestyksessä noin 80 % kannatti monarkiaa. Maan kuninkaaksi valittiin Tanskan prinssi, joka otti hallitsijanimekseen Haakon VII. Naiset saivat äänioikeuden 1913.
Norjalaiset tutkimusmatkailijat tekivät 1800-luvun lopulta alkaen rohkeita retkiä erityisesti napa-alueilla. Fridtjof Nansenin retkikunta hiihti Grönlannin halki ja yritti päästä laivalla Pohjoisnavalle. Roald Amundsen taas saavutti ensimmäisenä Etelänavan 1911. Nansen toimi myöhemmin maailmansodan takia ilman kotimaata jääneiden pakolaisten hyväksi ja oli luomassa niin sanottua Nansen-passin järjestelmää.
Ensimmäinen maailmansota

Norja oli ensimmäisen maailmansodan alussa virallisesti puolueeton eikä osallistunut sotatoimiin, mutta oli kuitenkin käytännössä riippuvainen Yhdistyneen kuningaskunnan kanssa käymästään kaupasta. Suhteet Saksan keisarikuntaan kiristyivät, kun Norja alkoi brittien vaatimuksesta rajoittaa kalan vientiä Saksaan  vuonna 1916. Kun Norja lopetti helmikuussa 1917 myös kuparia sisältävän pyriitin viennin Saksaan, seurauksena oli Saksan aloittama rajoittamaton sukellusvenesota norjalaisia laivoja vastaan. Kesäkuussa 1917 Norjan hallitus solmi kauppalaivastoaan koskeneen sopimuksen ympärysvaltojen kanssa. Lokakuussa 1918 solmittiin Norjan laivaston kanssa Pohjanmeren miinoittamista koskenut sopimus.
Pariisin rauhankonferenssissa Norjan edustaja vaati korvausta uhrauksista ympärysvaltojen hyväksi, ja Norja sai Huippuvuoret, jotka siihen asti olivat olleet statuksella terra nullius. Huippuvuoret julistettiin kuuluvaksi Norjalle vuonna 1920.
Toinen maailmansota

Norja luotti 1930-luvulla kansainvälisten sopimusten takaavan rauhan, ja toisen maailmansodan sytyttyä se julistautui puolueettomaksi. Saksa valloitti Norjan yllätyshyökkäyksellä keväällä 1940 (Operaatio Weserübung). Norjan vastarinta kesti kaksi kuukautta, minkä jälkeen kuningas ja hallitus jatkoivat toimintaansa pakolaishallituksena Yhdistyneessä kuningaskunnassa.
Saksa asetti miehittämänsä Norjan johtoon Nasjonal Samlingin johtajan Vidkun Quislingin nukkehallituksen sekä Norjaa valvovaksi valtakunnankomissaariksi saksalaisen Gauleiter Josef Terbovenin. Muut poliittiset puolueet kiellettiin ja suuri joukko miehityksen vastustajia vangittiin. Noin 40 000 norjalaista joutui keskitysleireihin ja satoja teloitettiin. Vastarintaliike häiritsi aktiivisesti saksalaisia, ja siihen kuului noin 40 000 jäsentä.
Saksalaiset jäivät Norjaan Saksan länsiliittoutuneille antautumiseen 8. toukokuuta 1945. Pohjois-Norjaan edenneet neuvostojoukot taas jäivät maahan kuukausiksi Saksan antautumisen jälkeen. Jälkiselvittelyissä Norja tuomitsi noin 20 000 miehittäjiä tukenutta vankeusrangaistuksiin ja 38 sotarikollista kuolemaan.