stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Pintaintegraali
Vuopintaintegraali

Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta  \omega  ja joukko  A\subset \mathbb {R} ^{3} kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio  F:A\rightarrow \mathbb {R} ^{3} sellainen, että funktio  H:D\rightarrow \mathbb {R} ,
H(x,y)=F(\omega (x,y))\cdot (\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y)),
on integroituva yli joukon D. Nyt funktion  F vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan  \omega  on luku
\int \limits _{\omega }F\cdot {\mbox{d}}{\bar {A}}=\iint \limits _{D}F(\omega (x,y))\cdot (\partial _{1}\omega (x,y)\times \partial _{2}\omega (x,y))\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y.
Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos  E\subset \mathbb {R} ^{3} on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti,  E\subset A, missä  A\subset \mathbb {R} ^{3} on avoin ja  \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{3} on  \mathbb {R} ^{3}:n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon  E reuna  \partial E, niin derivoituvan funktion  F:A\rightarrow \mathbb {R} ^{3} vuo
\int \limits _{\omega }F\cdot {\mbox{d}}{\bar {A}}=\iiint \limits _{D}\nabla \cdot F\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y\,{\mbox{d}}z.
Sven Saarikoski

Matti Sven Heikinpoika Saarikoski (10. huhtikuuta 1890 Lapua – 24. tammikuuta 1917 Latvia) oli suomalainen jääkäri, jonka komppanianpäällikkönä toiminut Armas Ståhlberg ampui Saksan itärintamalla hänen kieltäydyttyään osallistumasta hyökkäykseen. Tapaus herätti pahennusta ja aiheutti kriisin suomalaisen jääkäripataljoonan keskuudessa.
Jääkäripataljoona 27:n 1. komppania.
Sven Saarikosken vanhemmat olivat työmies Heikki Saarikoski ja Sofia Huhta. Saarikoski toimi merimiehenä ennen kuin liittyi vapaaehtoisena Saksassa sotilaskoulutusta antavaan jääkäripataljoona 27:en 1. komppaniaan 17. syyskuuta 1915. Hän otti osaa taisteluihin ensimmäisessä maailmansodassa Saksan itärintamalla Misse-joella, Riianlahdella ja Aa-joella sen ensimmäiseen vaiheeseen. Saarikoski kieltäytyi 24. tammikuuta 1917 lähtemästä Aa-joen toiselle retkelle, jolloin komppanian oberzugführer Ståhlberg ampui hänet pistoolilla komppanian edessä Aa-joen rannalla Mitaun edustalla. Asia oli myöhemmin käsiteltävänä sotaoikeudessa, joka ei katsonut sen antavan aihetta enempiin toimenpiteisiin. Saarikoski haudattiin Mitaun sotilashautausmaahan.
Saarikosken ampumisen seurauksena jääkärijoukossa puhkesi vakava kriisi. Erittäin jyrkästi tapauksen tuomitsi esimerkiksi kauhavalainen jääkäri Arvo Pollari, joka kirjoitti: "Mitä merkitsee meidän yhteiset ponnistuksemme, kun omat miehet ampuvat toisiaan. On tosiaankin luja kuri joukossamme, kun kaikki miehet seisovat kantapäät yhdessä ja katsovat kun yhtä miehistä tapetaan. Ei! Ei tällainen temppu ei menesty toista kertaa." Vaikka sotaoikeus vapautti Ståhlbergin ja esimerkiksi hauptzugführer Torsten Jernström katsoi hänen menetelleen ainoalla oikealla tavalla, monet jääkäritoverit pitivät Ståhlbergiä murhaajana. Ståhlberg kaatui seuraavana vuonna Suomen sisällissodassa.
Saarikoski oli kuollessaan kirjoilla Nurmossa ja oli naimaton.
Integraalifunktio

Funktion f integraalifunktio on funktio F, jonka derivaatta on f. Integraalifunktiota kutsutaan myös nimillä määräämätön integraali, primitiivi sekä antiderivaatta, ja sille käytetään merkintää
Integraalifunktion määrittämistä eli derivoinnin käänteistoimitusta kutsutaan integroinniksi.  Integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, vaan siihen voi lisätä vakion, ja näin saadaan toinen saman funktion integraalifunktio.
Integraalifunktioiden ratkaisemiseksi voidaan käyttää erilaisia integroimissääntöjä, kuten muuttujanvaihtoa ja osittaisintegrointia. Integraalifunktioita on myös taulukoitu runsaasti, ja symbolisen matematiikan ohjelmistot kykenevät ratkaisemaan monia integraaleja. Toisin kuin derivointiin, integrointiin ei ole yleispätevää menetelmää, eikä kaikille funktioille edes ole olemassa alkeisfunktioiden avulla esitettävissä olevaa integraalifunktiota.
Funktion määrätty integraali pisteestä a pisteeseen b saadaan analyysin peruslauseen perusteella integraalifunktioiden erotuksena
Epäjatkuville funktioille ei välttämättä ole olemassa integraalifunktiota, joka olisi määritelty koko integroimisvälillä, joten aina analyysin peruslausetta ei voi käyttää integraalin määräämiseen.
Ensimmäinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi

Olkoon  f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}  Riemann-integroituva. Funktio  F on funktion  f eräs integraalifunktio, mikäli on olemassa  \alpha \in [a,b] siten, että
Lisäksi myös funktio  G:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}  on funktion  f integraalifunktio, mikäli  G=F+C jollain  C\in \mathbb {R} .
Toinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi (primitiivin määritelmä)

Olkoon  f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} . Mikäli on olemassa derivoituva funktio  F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}  siten, että  F'=f, niin  F on funktion  f primitiivi eli antiderivaatta (tai integraalifunktio).
Alempi määritelmä vaatii, että integraalifunktio on derivoituva, ylempi määritelmä taas ei. Primitiiviltä eli antiderivaatalta vaaditaan siis aina derivoituvuusominaisuus, mutta ylemmän määritelmän mukaiselta integraalifunktiolta ei välttämättä. Määritelmät ovat kuitenkin jatkuville funktiolle samat. Alempi määritelmä on käsitteelliseltä kannalta ongelmallinen: kaikilla integroituvilla funktioilla ei sen mukaan ole integraalifunktiota.
Integraalifunktiot eroavat toisistaan vakiolla

Integraalifunktio on summattavaa vakiota lukuun ottamatta yksikäsitteinen. Toisin sanoen, jos  F on funktion  f jokin integraalifunktio, niin kaikki sen integraalifunktiot ovat muotoa  F+C, missä integroimisvakio  C\in \mathbb {R}  on mielivaltainen. Integraalifunktiolle käytetään merkintää
missä integroimisvakiota ei ole kiinnitetty. Tätä merkintätapaa kutsutaan funktion  f määräämättömäksi integraaliksi. Merkintätapa tarkoittaa joko sitä, että  F on  f:n antiderivaatta, tai että  F on  f:n integraalifunktio. Jatkuville funktiolle nämä ovat sama asia.
Integraalifunktioiden määrittäminen

Integraalifunktioiden määrittämistä kutsutaan integroinniksi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimenpide, jolla on tärkeä sovellus määrätyn Riemannin integraalin arvon laskemisessa.
Kaikkien alkeisfunktioiden integraalifunktioita ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Tunnettuja esimerkkejä ovat:
Määräämätön integraali on lineaarinen, eli jos funktioilla  f ja  g on integraalifunktiot ja  \alpha ,\beta \in \mathbb {R} , niin
Tässä kaavassa on oletettu, että yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella integroimisvakiot on sopivasti valittu.
Integraalifunktion yhteys määrättyyn integraaliin

Analyysin toisesta peruslauseesta seuraa, että jos funktio  f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}  on jatkuva, voidaan kirjoittaa (tulos tunnetaan Newtonin-Leibnizin kaavana)
Integroimiskaavoja

Alla olevissa kaavoissa  f ja  g ovat  x:stä riippuvia Riemann-integroituvia funktioita,  k reaaliluku ja  a positiivinen reaaliluku. Integroimisvakiota ei ole merkitty näkyviin.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Indefinite Integral – MathWorld (englanniksi)
"Antiderivatives and indefinite integrals" – Khan Academy (englanniksi)
Valkeakosken rata

Valkeakosken rata on Suomen rataverkkoon kuuluva vuonna 1938 valmistunut rataosuus, joka johtaa Toijalasta Valkeakoskelle. Osuudella on ainoastaan tavaraliikennettä. Matkustajaliikenne radalla on lopetettu vuonna 1956.
Valkeakosken tehtaiden kuljetukset olivat pitkään yksinomaan vesiliikenteen varassa. Tehtaat käyttivät ensiksi Sairion satamaa Hämeenlinnassa ja Toijalan satamaradan valmistuttua Toijalan satamaa vuodesta 1927. Talvisin kuljetuksia hoidettiin hevoskyydillä, myöhemmin kuorma-autoilla Lempäälään. Vuonna 1935 eduskunnalle tehtiin esitys Toijalan ja Valkeakosken välisen radan rakentamiseksi lähinnä teollisuuden kuljetuksia varten. Ensimmäinen aikataulun mukainen juna Toijalasta Valkeakoskelle kulki 18. lokakuuta 1937, ja rata vihittiin käyttöön syyskuun alussa 1938. Valkeakoskelle rakennettiin ajan tyylin mukainen, Thure Hellströmin suunnittelema melko vaatimaton asemarakennus ja aseman ratapihalle yksipaikkainen veturitalli.
Valkeakosken asemalta suunniteltiin radat alun perin Tervasaaren tehdasalueelle ja Mallasveden rantaan, mutta teollisuusraiteiden määrä kasvoi jo heti radan ensimmäisinä vuosina. Vuonna 1938 rakennettiin rata Paperituote Oy:n tehtaalle Roukkoon, vuonna 1940 Valke Oy:n kemialliselle tehtaalle Varsanhäntään ja vuonna 1941 Säteri Oy:n tekokuitutehtaalle Kirjasniemeen. Valkeakosken kauppalan alueelle avattiin radalle kaksi seisaketta, Lotilansalmen seisake Valken tehtaiden kohdalle ja Säteri samannimisen tehtaan portille. Lempääläntien ylikulkusilta rakennettiin 1950-luvulla, mutta se todettiin 1980-luvulla ahtaaksi ja huonokuntoiseksi ja korvattiin uudella vuonna 1984.
Maantieyhteys Toijalasta Valkeakoskelle valmistui vuonna 1954, ja rautateiden henkilöliikenne Valkeakoskelle lakkautettiin joulukuun alussa 1956. Junayhteydet korvattiin VR:n linja-autoilla, jotka liikennöivät vuoteen 1971 saakka. Junasuoritus Valkeakoskella lopetettiin vuonna 1994, ja junaliikenne on siitä lähtien hoidettu vaihtotyöliikenteenä Toijalasta.
Valkeakosken radan varrelle Metsäkansan alueelle on suunniteltu tavarakuljetusterminaalia, jossa voitaisiin kuormata puuta sekä harjoittaa muuta teollisuuteen ja varastointiin liittyvää toimintaa.
Aiheesta muualla

Valkeakosken kauppala maan rautatieverkostoon, Aamulehti, 19.09.1937, nro 252, s. 15, Kansalliskirjaston digitaaliset aineistot
Toijalan-Valkeakosken radan henkilöliikenne alkoi väliaikaisesti eilen. Matkustajia oli runsaasti. Viimeistelytyöt radalla jatkuvat, Aamulehti, 02.09.1938, nro 235, s. 3, Kansalliskirjaston digitaaliset aineistot
Toijalan-Valkeakosken radalla on liikenne ollut odotettua vilkkaampaa. Radan sorastamis- y.m. viimeistelytyöt päättyvät näinä päivinä, Aamulehti, 20.11.1938, nro 314, s. 13, Kansalliskirjaston digitaaliset aineistot
↑  Valkeakosken kaupunki: Maankäytön strateginen kehityskuva. Kehityskuvaraportti 9.4.2018. s. 23, 26.  Valkeakosken kaupunki, 2018.  Raportin verkkoversio.
Stina Saari

Stina Saari (s. 1992) on suomalainen runoilija. Hänen esikoiskokoelmansa Änimling ilmestyi 2018 Teoksen kustantamana. Kriitikko Virpi Alanen ihastelee: "nyt on raikasta settiä" ja toteaa että energisen hössöttävä kieli saa teoksessa päähuomion: se on "sinne tänne sinkoilevaa muttei hapuilevaa". Saaren kieli käy ylikierroksilla, kuin oltaisiin matkalla pois kielestä ja takaisin. Lopulta Alanen kuitenkin toteaa, että "tajunnanvirtamaisesti koheltava muoto hätkähdyttää alussa mutta käy loppupuolella toisteliaaksi". Teos kuitenkin hänen mielestään tavoittaa ajastamme hyvin keskeistä tunnelmaa.
Saari sai esikoisteoksestaan Ä nim ling Yleisradion Tanssiva karhu -palkinnon 2019.
Teokset

Ä nim ling, Teos 2018 ISBN 978-951-851-882-5
Onninno, Kosmos 2023 ISBN 978-952-352-229-9
Similaarinen matriisi

Similaarinen matriisi on matematiikan termi, jolla viitataan matriisien tietynlaiseen samankaltaisuuteen. Neliömatriisit  A ja  B ovat similaarisia, jos on olemassa kääntyvä ei-singulaarinen matriisi  P siten, että  P^{-1}AP=B.
Sitä, että matriisi  A on similaarinen matriisin  B kanssa, merkitään  A∼ B. Matriisien similaarisuus on ekvivalenssirelaatio.
Esimerkki

Olkoon matriisit  A ja  B:
A={\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\\\end{bmatrix}} ja 
 B={\begin{bmatrix}1&0\\-2&-1\\\end{bmatrix}}.
Tällöin matriisit  A ja  B ovat similaarisia, koska on olemassa kääntyvä matriisi  P:
P={\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\\end{bmatrix}}, jonka käänteismatriisi on
 P^{-1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\\\end{bmatrix}}.
Näille matriiseille pätee
P^{-1}AP=B ja  PBP^{-1}=A, eli matriisit  A ja  B ovat similaarisia.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Neperin luku

Sinisellä funktio  e^{x}. Punainen viiva esittää tangenttisuoraa  e^{x}:lle pisteessä  (0,1), jolloin sen kulmakerroin on tasan yksi. Muotoa  c^{x} olevista eksponenttifunktioista vain funktiolla  e^{x} on kyseinen ominaisuus.
Neperin  luku (Napierin luku) on matemaattinen vakio, jonka likiarvo viidentoista desimaalin tarkkuudella on 2,718 281 828 459 045 ja jolle on kiinnitetty merkintä  e. Neperin luku on luonnollisen logaritmi­funktion kantaluku. Se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Napier itse ei käyttänyt kantalukua  e, mutta jälkeenpäin on huomattu, että hänen logaritmien laskujärjestelmänsä on liittynyt luonnolliseen logaritmiin. Neperin luku on irrationaalinen ja transsendenttinen. Transsendenttisuustodistuksen antoi Charles Hermite vuonna 1873. Luku tunnetaan toiselta nimeltään myös Eulerin lukuna Leonhard Eulerin mukaan.
Neperin luku on määritelmän mukaan  e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.
Eksponenttifunktio

Neperin luvulla on suuri merkitys eksponenttifunktion  e^{x} kantalukuna.
Tällä funktiolla on se ominaisuus, että funktion derivaatta on sama kuin funktio itse.
Kun eksponenttifunktion  c^{x} kantalukuna on positiivinen luku  c, niin tällaisen funktion derivaatta on funktio itse kerrottuna vakiotekijällä. Jos tämä kantaluku  c on Neperin luku, niin kyseisen vakiotekijän arvo on  1. Tämä voidaan osoittaa seuraavasti:
Olkoot  f(x)=c^{x},\ c\in \mathbb {R} . Derivaatan määritelmän mukaan
Näin huomataan, että kaikilla kantaluvun  c arvoilla funktion  c^{x} derivaatta on funktio itse kerrottuna lausekkeella
Oletetaan sitten, että jollakin kantaluvun  c arvolla  e tämä raja-arvo on 1 eli
Koska osamäärän raja-arvo = osoittajan raja-arvo jaettuna nimittäjän raja-arvolla, niin nimittäjän raja-arvolla kertomalla saadaan
Siis luku  e on sama kuin Neperin luku.
Vaihtoehtoisia esitysmuotoja

Neperin luvulle tunnetaan seuraava sarjakehitelmä:
Koska kertoma  {n!} kasvaa luvun n kasvaessa todella nopeasti, voidaan tämän sarjan avulla melko nopeasti laskea hyviä Neperin luvun likiarvoja.
Luku  e voidaan esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona:
e saadaan määrättynä integraalina funktiosta  f(x)=x^{-1}:
Sovelluksia

Kuvitellaan, että pankki maksaa vuodessa 100 % koron. Jos pankkitilin alkusaldo on 1 €, niin vuoden kuluttua saldo on 1 €·2,0 = 2 €. Jos pankki maksaisikin 50 % koron kaksi kertaa vuodessa ja jälkimmäisellä kerralla korkoa korolle, olisi loppusaldo 1 €·1,52 = 2,25 € ja jos taas 33,3… % koron 3 kertaa vuodessa: 1 €·(1,333…)3 ≈ 2,370 €. Kun pankki maksaa 1/n-kertaisen koron n kertaa vuodessa, on loppusaldo 1 €·(1+1/n)n. Kun 1/n lähestyy nollaa eli maksukertojen määrä lähestyy ääretöntä, niin lähestyy termi (1+1/n)n e:tä.  Samaan tapaan jos alkuperäinen korkoprosentti olisi x % ja maksukertojen lukumäärää vastaavalla tavalla tihennettäisiin, saataisiin raja-arvona loppusaldoksi ex/100 €.
Myös luonnossa esiintyy kasvuilmiöitä, jotka noudattavat samantapaista matemaattista lakia. Tällaista sanotaan eksponentiaaliseksi kasvuksi. Likimääräisenä esimerkkinä tällaisesta voidaan mainita puun kasvu.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Mathworld: e
Funktion  f(x)=1/x ja x -akselin rajoittama pinta-ala on tasan yksi välillä  [1,e].
Kerttu Saariaho

Kerttu Saariaho (o.s. Marjala) (28. joulukuuta 1918 Kittilä – 17. maaliskuuta 2004 Helsinki) oli suomalainen posliinimaalari, joka maalasi posliinilaattatauluja ja maljakoita.
Saariaho aloitti uransa 1950-luvulla Sirkku Tuurnan posliininmaalauskoulussa, perusti 1960 oman posliininmaalauskoulun, suoritti 1962 posliininmaalaajan mestaritutkinnon ja opiskeli 1963–1966 Taideteollisessa Oppilaitoksessa.
Opintojen jälkeen syntyi paksuvärimaalauksia, palettiveitsimaalauksia, valutuksia, akvarellitekniikan sovellutuksia ja lysterivärikokeiluja. Saariaho maalasi tuotantonsa pääosan 1970- ja 1980-luvuilla, arviolta parisataa maalausta.
Markku Saariaho laati äitinsä elämäntyöstä kuvateoksen Kerttu Saariaho - Posliinitaiteilija. Kirjaan on valokuvattu 136 Kerttu Saariahon työtä. Ne antavat kuvaa hänen urastaan ja siinä ohessa posliininmaalauksesta Suomessa 1900-luvun jälkipuoliskolla.
Kirjallisuutta

Markku Saariaho : Kerttu Saariaho – Posliinitaiteilija, 2005. Omakustanne. ISBN 952-91-8213-9
Markku Saariaho : Kerttu Saariaho – Porcelain Painter, 2005. ISBN 952-91-9226-6
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  ISNI 
Kansalliset:  Suomi (KANTO)
Unitaarinen matriisi

Unitaarinen matriisi on sellainen neliömatriisi A, että sen kompleksikonjugaatin transpoosille A* pätee
Ortogonaalinen matriisi on unitaarisen matriisin erikoistapaus reaaliavaruudessa.
Esimerkki

Seuraava matriisi on unitaarinen:
sillä
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Vilppulan rautatieasema

Vilppulan rautatieasema (lyh. Vlp) on rautatieliikennepaikka Mänttä-Vilppulan kaupungissa Tampere–Haapamäki-radan varrella. Oriveden asemalle on rautateitse etäisyyttä noin 46 kilometriä  ja Haapamäelle noin 25 kilometriä . Mänttä-Vilppulan alueella on Vilppulan rautatieaseman ohella Kolhon seisake matkustajaliikenteen käytössä. Museovirasto on luokitellut Vilppulan ja Kolhon asema-alueet valtakunnallisesti merkittäväksi rakennetuksi kulttuuriympäristöksi.
Vilppulan asemarakennus rakennettiin Knut Nylanderin laatimien IV luokan tyypin numero 1 piirustusten mukaan; Pohjanmaan rataa varten laadittiin kaksi erilaista IV luokan aseman tyyppipiirustusta. Tässä tyypissä julkisivun puolelle rakennettiin avokuisti pylväineen ja se oli koristeellisempi kuin muut IV luokan asemat. Samanlainen asema rakennettiin myös Alavudelle ja Seinäjoelle. Vilppulan vuonna 1883 valmistunut asemarakennus on säilynyt ulkoasultaan lähes alkuperäisenä, vaikka sitä laajennettiin vuonna 1903 Bruno Granholmin suunnitelmien mukaan. Asema-alueelle rakennettiin myös Jämsänkosken ja Mäntän tehtaiden varastorakennukset. Vuonna 1934 valmistui kolmepaikkainen tiilinen veturitalli, joka muutettiin 1950-luvulla VR:n Mäntän linja-autojen talliksi.
Kauko-ohjauksen myötä junasuoritus Vilppulassa lopetettiin vuonna 2004, mutta asemalle jäivät niin lipunmyynti kuin VR Cargon ja veturinkuljettajien tukikohdatkin. Vilppula on edelleen vilkas henkilö- ja tavaraliikenteen asema, joka palvelee niin Vilppulan kirkonkylän kuin Mäntän kaupunginkin tarpeita.
Vilppulan aseman pohjoispuolelta haarautuu teollisuusrata Mänttään. Serlachius Oy rakennutti alkujaan kapearaiteisen radan vuosina 1896–1897. Rata muutettiin normaaliin raideleveyteen vuonna 1929, jolloin se myös siirtyi valtion omistukseen. Asemalta rakennettiin vuonna 1907 lisäksi satamarata Vilppulankosken alapuolelle, mutta tämä rata purettiin 1980-luvun puolivälissä. Satamassa oli VR:n rataosaston varikko, jonka paikalla toimi puolustusvoimien varikko vuosina 1970–1991.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Vilppulan rautatieasema Wikimedia Commonsissa
| n k Perustiedot Wikidatassa: Vilppulan rautatieasema (Q11901619)ohje |
| --- | --- |
esiintymä kohteesta: rautatieasema
valtio: Suomi
sijaitsee hallinnollisessa alueyksikössä: Mänttä-Vilppula
sijainti: Vilppula
katuosoite: Keskuskatu 21
koordinaatit: 62°01′33″N 24°30′26″E﻿ / ﻿62.0258°N 24.5072°E﻿ / 62.0258; 24.5072
Lineaarinen funktio

Lineaarisen funktion kuvaajat ovat suoria. Lausekkeen kulmakerroin määrää kuvaajan jyrkkyyden ja vakio kuvaajan leikkauskohdan y-akselin kanssa.
Lineaarinen funktio on polynomifunktio, jonka asteluku on 1. Sen yleinen matemaattinen lauseke voidaan esittää muodossa
missä a on kulmakerroin ja b vakio. Funktion nimessä lineaarinen viittaa kuvaajan muotoon, joka on suora. Lineaarisia funktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa.
Erikoistapaukset

Lineaarisella funktiolla on kolme erikoistapausta riippuen sen parametrien arvoista.
Kun a = 0, saadaan   f(x)=b, koska  f(x)=0x+b=b. Tätä kutsutaan vakiofunktioksi ja se saa kaikilla x:n arvoilla saman vakioarvon b. Vakiofunktion erikoistapaus on nollafunktio, jonka arvoksi tulee aina nolla (ei mitään).
Kun a ≠ 0 ja b = 0, saadaan  f(x)=ax, koska  f(x)=ax+0=ax. Silloin funktion arvo f(x) ja muuttuja x ovat suoraan verrannolliset eli  f(x)\sim x. Jos funktion kerroin a = 1, saadaan  f(x)=xa=x. Funktio on tällöin identiteettifunktio, jolla funktion f(x) arvo on sama kuin muuttujan x arvo.
| --- | --- |
Vakiofunktioiden kuvaajia.: Suoraan verrannollisten funktioiden kuvaajia.
Kun vakiotermi  b=0, niin lineaarinen funktio  f(x)=ax on pariton funktio
Tapauksessa  a=0 funktio  f(x)=b on vakiofunktiona parillinen funktio.
Funktion yleisiä ominaisuuksia > Monotonisuus

Lineaarinen funktio on aidosti monotoninen. Funktio on aidosti kasvava, kun kulmakerroin   a>0 ja aidosti vähenevä, kun  a<0.
Vakiofunktiolla  a=0 ja sen kuvaaja kulkee vaakasuoraan. Tällöin funktio on vain monotoninen. Se voidaan tulkita sekä kasvavaksi että väheneväksi funktioksi.
Funktion yleisiä ominaisuuksia > Käänteisfunktio

Koska lineaarinen funktio on monotoninen, on sillä olemassa käänteisfunktio. Ainoa poikkeus säännöstä on vakiofunktio, jolla ei ole käänteisfunktiota. Funktion
käänteisfunktio voidaan muodostaa
Funktion yleisiä ominaisuuksia > Derivaatta ja integraali

Yleisen lineaarisen funktion derivaattafunktio  on vakiofunktio
ja integraalifunktio
Välillä  [a,b] lineaarisen funktion f(x) kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan A voi laskea puolisuunnikassäännöllä tarkasti ilman integrointia
Lineaarinen funktio mallinnuksessa

Lineaarinen funktiota käytetään lineaarisessa mallinnuksessa, jolla approksimoidaan kohdefunktiota. Se on samalla yksi huonoimpia malleja, sillä se huomioi kohdefunktion ominaisuuksia minimaalisesti, mutta toisaalta se on nopea laskea. Siksi se on suosittu valinta tietokonesimulaatioissa. Funktion  f(x)=ax+b parametrit a,b valitaan siten, että funktio kuvaa kohdefunktiota hyvin. Parametrien valintatapoja on erilaisia.
Lineaarinen funktio mallinnuksessa > Korrelaatiosuora

Kohdefunktion tunnettuja arvoja voi approksimoida lineaarisella funktiolla, jonka kertoimet a,b määritetään regressioanalyysillä käyttäen pienimmän neliösumman menetelmällä . Kohdefunktion arvojen ja  lineaarisen funktion arvojen vastaavuutta voidaan mitata korrelaatiokertoimella. Jos korrelaatiokerroin on 1, on myös kohdefunktion arvot lineaarisesti riippuvia muuttujastaan x ja niiden kautta voidaan piirtää suora. Jos korrelaatiokerroin on alle 1, ei lineaarinen funktio kuvaa kohdefunktion arvoja tarkasti.
Kohdefunktion lauseketta ei tarvitse tällä menetelmällä tuntea. Riittää, että tietää riittävästi (x,f(x))-pareja, joiden kulkua approksimoidaan tilastollisesti.