Ominaisarvo, ominaisvektori ja ominaisavaruus
Sovelluksia

Esimerkki ominaisarvoyhtälöstä, missä muunnos  {\mathcal {T}} esitetään differentiaalioperaatioiden avulla, on ajasta riippumaton kvanttimekaniikan Schrödingerin yhtälö
missä H, Hamiltonin operaattori, on toisen kertaluvun differentiaalioperaattori ja  \Psi _{E}, aaltofunktio, on yksi funktion ominaisfunktioista, jota vastaava ominaisarvo E" vastaa tilan energiaa.
Toisaalta tapaus, missä etsitään vain perustilan ratkaisua Schrödingerin yhtälölle, esiintyy usein kvanttikemiassa. Etsimme suuretta  \Psi _{E} neliöllisesti integroituvien funktioiden avaruudesta. Koska tämä avaruus on Hilbertin avaruus, jossa on hyvin määritelty skalaaritulo, voidaan muodostama niin sanottu perusjoukko, jossa  \Psi _{E} ja H voidaan esittää yksiulotteisena vektorina ja matriisina. Tällöin Schrödingerin yhtälö voidaan esittää matriisimuodossa.
Diracin bra-ket-merkintätapaa käytetään paljon tässä yhteydessä korostamaan eroa vektorin tai tilan  |\Psi _{E}\rangle  ja sen esityksen välillä. Tällöin Schrödingerin yhtälö kirjoitetaan muotoon
 H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle , ja suuretta  |\Psi _{E}\rangle  kutsutaan H:n ominaistilaksi (toisinaan käytetään myös merkintää  {\hat {H}}), joka nähdään muunnoksena pikemminkin kuin erityisenä differentiaalioperaattoreiden esityksenä. Yllä olevassa yhtälössä  H|\Psi _{E}\rangle  ymmärretään vektorina, joka saadaan soveltamalla muunnosta H vektoriin  |\Psi _{E}\rangle .
Kvanttimekaniikassa, erityisesti atomi- ja molekyylifysiikassa, Hartree-Fock teoria atomisista ja molekulaarisista radoista voidaan määrittää Fock-operaattori ominaisvektorina. Vastaavat ominaisvektorit esittävät Koopmanin teorian ionisoitumispotentiaaleja. Tässä yhteydessä termiä ominaisvektori käytetään tavanomaista laajemmassa mielessä, koska Fockin operaattori riippuu eksplisiittisesti orbitaaleista ja niiden ominaisarvoista. Jos tätä halutaan korostaa, voidaan puhua implisiittisestä ominaisarvoyhtälöstä. Tällaiset ominaisarvoyhtälöt ratkaistaan usein iteroimalla, tässä tapauksessa käytetty menetelmä on nimeltään itsekonsistentti kenttä -menetelmä. Kvanttikemiassa Hartree-Fock -yhtälöt esitetään usein ei-ortogonaalisena perusjoukkona. Tämä erityinen yleistetty ominaisarvoyhtälö on nimeltään Roothaanin yhtälö.
Kuvankäsittelyssä jonkun henkilön naamaa käsitellessä naama voidaan ajatella joukkona vektoreita, joiden komponentit kuvaavat kunkin pikselin kirkkautta. Tämän vektoriavaruuden dimensio on pikseleiden lukumäärä. Normalisoitujen kuvien muodostamaa kovarianssimatriisia kutsutaan ominaisnaamaksi. Näistä yhdistellä eri naamojen tunnuspiirteitä, jolloin esimerkiksi ominaisnaaman kuvan pakkaus on tehokasta. Menetelmää käytetään ihmisten tunnistamisessa.
Mekaniikassa jäykän kappaleen pääakseleiden muodostaman inertiatensorin ominaisvektoreista voidaan lukea kappaleen inertiamomentit. Inertiatensori mahdollistaa kappaleen koordinaattien laskemisen, kun kappale pyörii painopisteensä ympäri.
Kiinteän kappaleen mekaniikassa kuormitustensori on symmetrinen, joten se voidaan hajottaa diagonaalitensoriksi, jonka ominaisarvot voidaan lukea diagonaalilta ja jonka ominaisvektorit muodostavat tensorin kannan. Diagonaalisuuden perusteella tensorin kaikki komponentit ovat pääkomponentteja.
Verkkoteoriassa verkon ominaisarvot määritellään verkon vieruslistamatriisin A ominaisarvoiksi, tai nykyään yhä useammin verkon Laplacen matriisin  I-T^{-1/2}AT^{-1/2}, missä T on diagonaalimatriisi, joka sisältää verkon särmien asteet, ominaisarvoiksi. Verkon pääominaisarvoa käytetään arvioimaan kuinka yhtenäinen verkko on. Menetelmää käyttää esimerkiksi Googlen PageRank-algoritmi arvioimaan hakusanojen ja www-sivujen asiasisällön vastaavuutta.