Integrointi moniulotteisessa avaruudessa
Määritelmä > Kaksinkertainen integraali

Olkoon 



D
⊂


R


2




{\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}

 suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja 



f
:
D
→

R



{\textstyle f:D\to \mathbb {R} }

 rajoitettu kuvaus. Jos 



D


{\textstyle D}

:hen kuuluvat kaikki pisteet 



(
x
,
y
)


{\textstyle (x,y)}

 siten, että 



x
∈
[
a
,
b
]


{\textstyle x\in [a,b]}

 ja 



y
∈
[
c
,
d
]


{\textstyle y\in [c,d]}

, niin 



D


{\textstyle D}

:hen voidaan määritellä ositus 



P


{\textstyle P}

 siten, että
{\begin{aligned}a&=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{m-1}<x_{m}=b\\c&=y_{0}<y_{1}<y_{2}<\dots <y_{n-1}<y_{n}=d.\end{aligned}}
Ositus 



P


{\textstyle P}

 koostuu 



m
⋅
n


{\textstyle m\cdot n}

:stä suorakulmiosta 




R

i
j




{\textstyle R_{ij}}

, missä 



1
≤
i
≤
m


{\textstyle 1\leq i\leq m}

 ja 



1
≤
j
≤
n


{\textstyle 1\leq j\leq n}

, jotka edelleen koostuvat pisteistä 



(
x
,
y
)


{\textstyle (x,y)}

, missä 



x
∈
[

x

i
−
1


,

x

i


]


{\textstyle x\in [x_{i-1},x_{i}]}

 ja 



y
∈
[

y

j
−
1


,

y

j


]


{\textstyle y\in [y_{j-1},y_{j}]}

. Suorakulmion 




R

i
j




{\textstyle R_{ij}}

 pinta-ala on
\Delta A_{ij}=\Delta x_{i}\Delta y_{j}=(x_{i}-x_{i-1})(y_{j}-y_{j-1})
ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla
\mathrm {diam} (R_{ij})={\sqrt {(\Delta x_{i})^{2}+(\Delta y_{j})^{2}}}={\sqrt {(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{j}-y_{j-1})^{2}}}.
Määritellään osituksen 



P


{\textstyle P}

 suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:
\lVert P\rVert =\max _{1\leq i\leq m,~1\leq j\leq n}\mathrm {diam} (R_{ij}).
Valitaan jokaisesta suorakulmiosta 




R

i
j




{\textstyle R_{ij}}

 mielivaltainen piste 



(

x

i
j


∗


,

y

i
j


∗


)


{\textstyle (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})}

 ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:
S_{P}(f)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\Delta A_{ij}.
Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio 




R

i
j




{\textstyle R_{ij}}

 ja korkeus on funktion 



f


{\textstyle f}

 arvo pisteessä 



(

x

i
j


∗


,

y

i
j


∗


)


{\textstyle (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})}

 (siis mikäli 



f
(

x

i
j


∗


,

y

i
j


∗


)
≥
0


{\textstyle f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\geq 0}

). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion 



D


{\textstyle D}

 ja funktion 



f


{\textstyle f}

 kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta. Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja 



Δ

A

i
j




{\textstyle \Delta A_{ij}}

 pienennetään (jolloin jaon normi 



‖
P
‖


{\textstyle \lVert P\rVert }

 pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että 



‖
P
‖
→
0


{\textstyle \lVert P\rVert \to 0}

. Lopullinen määritelmä kuuluu:
Merkintä 




d

A


{\textstyle \mathrm {d} A}

 tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan 



Δ
A
=
Δ
x
Δ
y


{\textstyle \Delta A=\Delta x\Delta y}

 raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa
\mathrm {d} A=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x,
mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.