stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Lebesguen–Stieltjesin integraali
Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.
Olkoon  a,b\in \mathbb {R} ,  a<b, funktio  g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}  kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo
kaikissa pisteissä  t\in [a,b] olemassa.
Olkoon  [\alpha ,\beta ]\subset [a,b]. Määritellään joukkofunktio  m_{g} kaavalla  m_{g}((\alpha ,\beta ])=g(\beta )-g(\alpha ). Tällöin  m_{g} on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin  [a,b] Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion  m_{g} kanssa.
Mitallisen funktion  f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}  Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla  m_{g}, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina
Sille käytetään kuitenkin merkintää
Funktiota  f kutsutaan integrandiksi ja funktiota  g integraattoriksi.
Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos  g on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma  g=g_{1}-g_{2}, missä  g_{1} ja  g_{2} ovat kasvavia funktioita  [a,b]\rightarrow \mathbb {R} . Tällöin määritellään
Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:
Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion  f Riemannin integraaliksi yli välin  [a,b]:
olettaen, että  f on Riemann-integroituva.
Jos  g on derivoituva sekä  f ja  g' ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava
Jos funktiolla  g on epäjatkuvuuskohta pisteessä  c\in [a,b] ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin
Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos  f on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin
missä  a=x_{1}^{n}<x_{2}^{n}<\ldots <x_{n}^{n}=b on tihentyvä jono välin  [a,b] jakoja, eli
 \max\{x_{i+1}^{n}-x_{i}^{n}\,|\,i=1,\ldots ,n-1\}\rightarrow 0, kun  n\rightarrow \infty .
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral
Gradientti

Esimerkkinä kahden muuttujan funktion  f(x,y)={\frac {x}{e^{x^{2}+y^{2}}}} gradientti ilmaistuna vektorikenttänä. Väri kuvaa funktion arvoa (isot punaisella, pienet sinisellä) ja vektorit gradienttia kussakin pisteessä.
Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka on määritelty usean muuttujan skalaarifunktioille  f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} . Gradientti ilmaisee funktion suurimman muutosnopeuden (gradienttivektorin pituus) ja tämän suurimman muutoksen suunnan. Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.
Karteesisessa koordinaatistossa gradientti on vektori, jonka komponentteina ovat funktion osittaisderivaatat. Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään  grad(f) tai symbolin nabla avulla  \nabla f ja määritellään
missä  {\vec {i}},{\vec {j}} ja  {\vec {k}} -komponenttien kertoimet ovat funktion osittaisderivaattoja muuttujien  x,y ja  z suhteen.  Yleisen  n muuttujan funktion gradientti määritellään
missä  \mathbf {x}  on funktion muuttujien muodostama vektori
Gradienttia voidaan pitää derivaatan yleistyksenä usean muuttujan funktioille. Gradientti on erikoistapaus Jacobin matriisista, joka on määritelty monen muuttujan vektoriarvoisille funktioille  \mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}.
Määritelmiä ja laskusääntöjä > Differentiaali

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin
ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla
missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.
Määritelmiä ja laskusääntöjä > Suunnattu derivaatta

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin  {\vec {e}} suuntaan on
missä  {\vec {e}}_{0}\; on  {\vec {e}}\;:n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.
Määritelmiä ja laskusääntöjä > Ketjusääntö

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli
saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta
missä siis
Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.
Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on
sylinterikoordinaatistossa
sekä pallokoordinaatistossa
Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat
 {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Weisstein, Eric W.: Gradient MathWorld. (englanniksi)
"Gradient 1" (Arkistoitu – Internet Archive) – Khan Academy (englanniksi)
Rationaaliluku

Lukua yksi edustaa ympyrä, jonka voi jakaa esimerkiksi neljään osaan. Eri neljäsosien suuruudet voi hahmottaa värittämällä ympyrän neljäsosista eri lukumääriä.
Rationaalilukujen joukko (ℚ) on reaalilukujen joukon osajoukko, jonka jäsenet voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna muodossa  \scriptstyle {\frac {m}{n}}:
Tässä lukua m kutsutaan osoittajaksi ja lukua n nimittäjäksi. Murtoluku on siis kaikille rationaaliluvuille yhteinen esitysmuoto. Samaa rationaalilukua voi esittää useilla erilaisilla murtoluvuilla; yhtäsuuruuden k/l = m/n välttämättömänä ja riittävänä ehtona on yhtälö kn = lm edellyttäen ettei ln ole 0 (ristiin kertominen). Kaikki kokonaisluvut kuuluvat rationaalilukujen joukkoon, sillä kun n=1, niin m/n=m.
Rationaalilukujen joukkoa merkitään merkillä ℚ. Se on lukukunta eli reaalilukujen ja samalla myös kompleksilukujen kunnan ℂ sellainen osajoukko, joka sisältää kaikkien alkioidensa käänteisalkiot ja on suljettu yhteen- ja kertolaskun suhteen. ℚ on kaikkein suppein lukukunta.
Reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, sanotaan irrationaaliluvuiksi.
Jos murtoluvun nimittäjällä on vähintään kaksi erisuurta positiivista alkutekijää, niin murtoluku voidaan hajottaa osamurtoluvuiksi, joiden nimittäjät ovat yksinkertaisempia (alkuluvun potensseja). Esimerkiksi:
 \scriptstyle {\tfrac {5}{6}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}.
Nollan ja yhden välillä oleva rationaaliluku voidaan hajottaa myös niin sanotuiksi egyptiläisiksi murtoluvuiksi. Rationaalilukuja on numeroituvasti ääretön määrä.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Rationaaliluku Wikimedia Commonsissa
Lukujoukkoja
| --- | --- |
Numeroituvia joukkoja::  luonnolliset luvut ( \scriptstyle \mathbb {N} )  kokonaisluvut ( \scriptstyle \mathbb {Z} )  rationaaliluvut ( \scriptstyle \mathbb {Q} )  algebralliset luvut ( \scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}) 
Reaaliluvut ja niiden   laajennokset::  reaaliluvut ( \scriptstyle \mathbb {R} )  kompleksiluvut ( \scriptstyle \mathbb {C} )  kvaterniot ( \scriptstyle \mathbb {H} )  irrationaaliluvut  transsendenttiluvut  surreaaliluvut 
Muita::  kardinaaliluvut  p-adiset luvut
Ugra (joki)

Ugra
Ugra on joki Venäjällä. Se on Volgan sijoen Okan vasen sivujoki. Sen pituus on 399 km. Ugran seuduilla on historiallisen ajan alusta asti asunut suomalais-ugrilaisia heimoja.
Nilpotentti

Matematiikassa renkaan R alkiota x kutsutaan nilpotentiksi, jos on olemassa joku positiivinen kokonaisluku n siten, että  xn = 0.
Amerikkalainen matemaatikko Benjamin Peirce otti termin käyttöön algebran alkiosta, jokin katoaa kun se korotetaan tiettyyn potenssiin.selvennä
Esimerkkejä

Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi
Tekijärenkaassa Z/9Z 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 32 on kongruentti 0 modulo 9.
Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat ab = 0. Tällöin alkio c = ba on nilpotentti (jos ei nolla), kun c2 = (ba)2 = b(ab)a = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:
Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion
Ominaisuudet

Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.
n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on tn.
Jos x on nilpotentti, niin silloin alkiolla 1 - x on olemassa käänteisalkio  (1-x)^{-1}, koska xn = 0 edellyttää, että
Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan yksikköalkio, kun ne kommutoivat.
Vaihdannainen rengas

Vaihdannaisen renkaan  R nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin  {\mathfrak {N}}; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali  {\mathfrak {N}} kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio  x kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin  {\mathfrak {p}}, koska  x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}. Joten  {\mathfrak {N}} sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.
Jos  x ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida  x:t potenssien mukaan:  x:  S=\{1,x,x^{2},...\} saadaan nollasta poikkeava rengas  S^{-1}R. Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne  {\mathfrak {p}}, jotka toteuttaa  {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset . Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos  x ei ole nilpotentti niin  x ei kuulu  {\mathfrak {p}}, jollakin   R:n alkuideaalilla  {\mathfrak {p}}. Siksi  {\mathfrak {N}} on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra.  Helsinki:  Otatieto, 1984.  ISBN 951-671-368-8
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Nilpotent
Käännös suomeksi
Hopien reservaatti

| Hopien reservaatti Hopituskwa> Intiaanireservaatti |
| --- | --- |
 Reservaatin sijainti Arizonassa
Maa:   Yhdysvallat
Osavaltio:   Arizona
Perustettu:  16. joulukuuta 1882
Hallinto:  
 – Hallinnollinen keskus:  Kykotsmovi
Pinta-ala:  6070 km²
Väkiluku (2020):  6 377
Hopien reservaatti (omakielininen nimi: Hopituskwa) on Arizonassa sijaitseva hopi-intiaaneille tarkoitettu reservaatti. Pinta-alaa reservaatilla on 1,5 miljoonaa eekkeriä (6070 km2).
Historia ja hallinto

Nykymuodossaan reservaatti perustettiin 16. joulukuuta 1882, kun presidentti Chester Arthur antamalla presidentillisellä määräyksellä. Hopeilla ja navajoilla on ollut pidempään erimielisyyksiä maiden rajoista, kunnes asia sovittiin vuonna 1974 lailla, jolla vahvistettiin Hopien ja Navajoiden reservaattien rajat. Hopien reservaatin hallinnollinen keskus on Kykotsmovi.
Reservaatti jakautuu hallinnollisesti 12 kylään. Kylillä on reservaatin perustuslain turvaama autonomia. Hopien reservaatilla on oma paikallishallintonsa. Lakiasäätävä neuvosto koostuu 22 edustajasta, jotka valitaan kahden vuoden välein. Tämän lisäksi reservaatilla on puheenjohtaja ja varapuheenjohtaja. Nykyisenä puhemiehenä toimii Timothy Nuvangyaoma.
Talous ja koulutus

kotitalouksien keskivertotulot ovat 19 569 dollaria vuodessa, mikä on selkeästi vähemmän kuin muualla Arizonassa (56 213 $). Suurin osa hopeista katsoo edelleen olevansa ensisijaisesti maanviljelijöitä, mutta myös turismi on kasvanut tärkeäksi tulonlähteeksi reservaatin alueella.
Kesäaika ei ole käytössä Hopien reservaatin alueella, mutta sen ympärillä oleva Navajoiden reservaatti käyttää edelleen kesäaikaa, vaikka muu Arizona ei näin tee.
Väestö ja kulttuuri

Vuoden 2020 väestönlaskennan mukaan reservaatin asukasluku oli 6377. Väestöstä 67,3 % puhuu kotonaan jota muuta kieltä kuin englantia.
Hopit ovat varsin uskonnollisia ja reservaatin alueella on rikas mytologioiden ja seremonioiden kulttuuri. Hopien kulttuurissa ryhmäpainetta käytetään järjestyksen ylläpitämiseksi ja mm. valehtelusta seuraa yhteisön hyljeksyntä.
Maître Gims

Maitre Gims
Maître Gims, oikealta nimeltään Gandhi Djuna, (s. 6. toukokuuta 1986) on kongolaistaustainen ranskalainen rap-artisti. Hän kuuluu Sexion d'Assaut -ryhmään, minkä lisäksi hän on julkaissut musiikkia myös sooloartistina.
Gims syntyi Kinshasassa, mutta muutti setänsä luokse Ranskaan kaksivuotiaana.
Gimsin ensimmäinen sooloalbumi Subliminal julkaistiin Wati B -levymerkillä toukokuussa 2013. Albumi nousi ensimmäisellä listaviikollaan Ranskan albumilistan kakkoseksi, joka oli sen paras sijoitus listalla. Kymmenen parhaan joukossa se oli 38 viikkoa. Albumia on myyty Ranskassa yli miljoona kappaletta.
Toinen albumi Mon cœur avait raison julkaistiin elokuussa 2015. Se nousi heti listaykköseksi Ranskassa, ja oli listakärjessä kolme peräkkäistä viikkoa.
Diskografia > Sooloalbumit

Subliminal (2013)
Mon cœur avait raison (2015)
Ceinture noire (2018)
Le fléau (2020)
Les dernières volontés de Mozart (2022)
Le Nord se souvient (2024)
Diskografia > Mixtapet

La terre du mileu (2005)
La Renouveau (2008)
Diskografia > EP:t

Simon Lemay (2013)
Hopit

Hopit ovat intiaanikansa ja yksi Yhdysvaltain liittovaltion tunnustamasta 21 pueblosta. Hopit asuttavat kolmea mesaa, jotka muodostavat yhdessä Black Mesan Arizonan osavaltion koillisosassa. Hopit polveutuvat tiettävästi anasazien varhaiskulttuurista, joka jätti jälkeensä useita kaupunkien raunioita. Vanhin hopien edelleen asuttama kaupunki Oirabi on noin tuhat vuotta vanha. Hopit puhuvat uto-asteekkilaisiin kieliin kuuluvaa hopin kieltä. Yhdysvaltojen vuoden 2010 väestönlaskennan mukaan hopeja oli 18 327.
Kulttuuri

Hopien perinteeseen kuuluu kaksi seremoniasykliä, jotka määritellään auringon liikeiden ja kuukalenterin mukaan. Hopien ja muiden pueblojen uskontoon ja seremonialliseen järjestelmään kuuluvat kachinat. Kachinat ovat naamion varustautuneita hahmoja ja termillä viitataan tavallisesti oikeastaan kolmeen erilliseen asiaan. Kachinoiksi kutsutaan ihmis- ja henkimaailman välisiä henkiolentoja, rituaaleissa heihin liitettyjä tanssijoita ja henkiä esittäviin nukkeihin. Hopit pitävät edelleen yllä käärmetanssin perinnettä. tanssia harjoitettiin aikanaan monissa Rio granden puebloissa, mutta nykypäiviin se on selvinnyt vain hopien keskuudessa. Tanssi järjestetään joka toinen vuosi ja sen uskottiin takaavaan maan hedelmällisyyden ja sateet viljelmille. Tanssissa käytetään sen nimen mukaisesti eläviä kalkkarokäärmeitä, joita tanssijat pitävät suussaan. Rituaali on suljettu ulkopuolisilta.
Hopit eivät perinteisesti muodostaneet varsinaisesti heimoa, vaan he jakautuivat yhteiskunnallisesti ennemminkin kylien mukaan. Kyliä johtaa kikmongwi, joka valitaan asemaansa eliniäksi. Tärkeimmät nykyiset hopikylät ovat Walpi (Ensimmäinen mesa), Shungopavi (Toinen mesa) ja Oraibi (Kolmas mesa). Hopien perinteinen pueblotalo on yksi tai kaksikerroksinen hiekkakivestä ja savitiilistä rakennettu rakennelma. Talon sisäänkäynti sijaitsee katolla, jonne kiivetään tikkailla.
Hopien perinteinen elinkeino on ollut maanviljely. Hopit viljelivät esimerkiksi maissia, papuja, kurpitsoja ja tupakkaa. Espanjalaisten saapumisen jälkeen tuli myös uusia viljelykasveja, kuten vehnä, chili ja persikat.Miehet täydensivät ruokavalioita metsästämällä esimerkiksi antilooppeja ja jäniksiä. Naiset keräilivät esimerkiksi yrttejä, marjoja ja siemeniä. Kotieläiminä hopit pitivät kalkkunoita. Nykyisin hopit saavat lähes 60 % tuloistaan Black Mesan hiilikaivokselta.
Aiheesta muualla

Whorf, Lee Benjamin: Hopi-intiaanien maailmankaikkeuden malli. Suom. Ismo Koskinen. niin & näin 2/1998, 57–60. (Ks. myös suomentajan johdanto.)
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Hopien perinteiset alueet (alla) ja nykyinen Hopi-reservaatti (yllä) kartalla.
Hiustenlaittoa valokuvassa vuoden 1900 paikkeilta.
Hopitalo Grand Canyon Villagessa Arizonassa.
Logaritmi

Logaritmi, eli logaritmifunktio on eksponenttifunktion ( a^{y}=x) käänteisfunktio:
Jossa  a on kantaluku,  x on numerus ja  y on logaritmi.  Kantalukua pidetään kiinteänä parametrina. Logaritmifunktio vastaa kysymykseen 'mihin potenssiin  a olisi korotettava, jotta vastaus olisi  x?'. Esimerkiksi  \log _{3}(9)=2, sillä  3^{2}=9.
Joidenkin logaritmifunktioiden kuvaajat
Eräille logaritmeille on omat nimensä ja merkintänsä. Kymmenkantaisen logaritmifunktion eli Briggsin logaritmin tunnus on lg:
Luonnollisen logaritmi­funktion, jonka kantalukuna on Neperin luku e, tunnus on ln:
Luonnollinen logaritmi on tärkeä funktio varsinkin differentiaali- ja integraalilaskennassa. Sen merkitys perustuu etenkin siihen, että sen derivaatta on varsin yksinkertainen funktio, 1/x. Luonnollinen logaritmi on e-kantaisen eksponenttifunktion käänteisfunktio.
Useissa sovelluksissa esiintyvän 2-kantaisen eli binäärisen logaritmifunktion tunnus on lb (= binäärinen logaritmi):
Pelkästään merkinnän log, jossa kantalukua ei siis ole merkitty näkyviin, merkitys ei ole täysin vakiintunut. Hyvin usein se tarkoittaa 10-kantaista logaritmia ja tämä on yleistä erityisesti laskimissa, mutta merkintä on myös usein kontekstiin sidottu ja voi tarkoittaa mielivaltaista logaritmia.
Logaritmit kehittivät 1600-luvulla toisistaan riippumatta skotlantilainen John Napier ja sveitsiläinen Jobst Bürgi. Napier julkaisi omat, luonnollista logaritmia koskevat tuloksensa vuonna 1614.
Laskukaavoja

Seuraavissa kaavoissa  x\in \mathbb {R} _{+},a\in \mathbb {R} _{+},y\in \mathbb {R} .selvennä Logaritmeille on aina voimassa
\log _{a}(a)=1\,
\log _{a}(1)=0\,
riippumatta a:n arvosta. Määritelmän perusteella on helppo osoittaa, että
a^{\log _{a}(x)}=x
\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)\,
\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)\,
\log _{a}(x^{n})=n\log _{a}(x)\,.
Tarvittaessa myös kantaluku on helppo vaihtaa toiseksi (a:sta b:ksi), sillä
\log _{a}(x)={\log _{b}(x) \over \log _{b}(a)}.
Sovelluksia

Logaritmeja tarvitaan sellaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, jossa eksponentti on tuntematon. Tällaisia yhtälöitä kutsutaan eksponenttiyhtälöiksi. Niiden avulla voidaan laskea, missä ajassa jokin eksponentiaalisesti kasvava tai vähenevä suure saa tietyn arvon. Sellaisia suureita ovat esimerkiksi korkoa korolle kasvava rahamäärä sekä myös radioaktiivisen aineen jäljellä oleva määrä tietyn ajan kuluttua.
Eri yhteyksissä useita suureita mitataan logaritmisella asteikolla. Esimerkkejä ovat:
happamuutta tai emäksisyyttä mittaava pH-asteikko, joka osoittaa liuoksen oksoniumionipitoisuuden 10-kantaisen logaritmin vastaluvun;
äänenvoimakkuuden desibeliasteikko;
maanjäristysten voimakkuutta ilmaiseva Richterin asteikko.
Myös musikaalinen sävelasteikko on itse asiassa logaritminen asteikko, sillä sävelkorkeus nousee aina yhden oktaavin, kun äänen taajuus kaksinkertaistuu. Jokaista muutakin intervallia vastaa tietyn suuruinen taajuuksien suhde.
Sovelluksia > Logaritmitaulukot laskutoimitusten apuvälineenä

Ennen kuin taskulaskimet 1970-luvulla yleistyivät, logaritmeilla oli noin 300 vuoden ajan ollut suuri merkitys laskutoimitusten apuvälineinä. Tämä käyttö perustui edellä esitettyyn kaavaan, jonka mukaan lukujen tulon logaritmi on sama kuin tekijöiden logaritmien summa:
\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)\,
Jos siis on käytettävissä taulukko eri lukujen logaritmeista, voidaan täten kerto- ja jakolasku korvata yhteen- ja vähennyslaskulla, jotka ovat suurillakin luvuilla paljon helpompi suorittaa kynällä ja paperilla kuin edelliset.  Kertolasku voidaan suorittaa katsomalla taulukosta tekijöiden logaritmit, lasketaan ne yhteen ja katsotaan sitten, minkä luvun logaritmi summa on. Jakolasku taas voidaan suorittaa katsomalla taulukosta jaettavan ja jakajan logaritmit, vähentämällä jälkimmäinen edellisestä ja katsomalla sitten, minkä luvun logaritmi erotus on.
Logaritmitaulukkoja on julkaistu kirjoina, joissa ovat esimerkiksi lukujen 1000 – 9999 10-kantaiset eli Briggsin logaritmit. Muiden kuin tällä välillä olevien lukujen logaritmit saadaan lisäämällä tai vähentämällä näistä luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa annettu luku on kerrottava tai jaettava 10:llä, jotta tulos olisi tällä välillä. Esimerkiksi lg 20 = lg 2000 - 2, koska luvusta 20 saadaan luku 2000 kertomalla se luvulla 10 kaksi kertaa. Vastaavasti lg 5 = lg 5000 - 3.
Myös laskutikku perustuu samoihin logaritmifunktion ominaisuuksiin.
Logaritmeja apuna käyttäen voidaan laskea erilaisia sijoitukseen ja osallistujamäärään perustuvia rankingpistejärjestelmiä esimerkiksi turnauspokerissa.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Matematiikkalehti Solmu, Erkki Luoma-aho: Matematiikan historia aihealueittain, Logaritmit (pdf)
Opetusvideoita logaritmista
Wivi Lönn

| Wivi Lönn |
| --- | --- |
 Wivi Lönn vuonna 1903.
Henkilötiedot
Koko nimi:  Olivia Mathilda Lönn
Syntynyt: 20. toukokuuta 1872 Tampere
Kuollut: 27. joulukuuta 1966 (94 vuotta) Helsinki
Ammatti:  arkkitehti
Vanhemmat:  Mathilda Lönn Emanuel Wilhelm Lönn
Arkkitehti
Muut nimet:  Wivi Lönn
Koulutus:  Teknillinen korkeakoulu
Merkittävät työt:  Estonia-teatteri, Uusi ylioppilastalo ja Tampereen keskuspaloasema
Olivia Mathilda ”Wivi” Lönn (20. toukokuuta 1872 Tampere – 27. joulukuuta 1966 Helsinki) oli suomalainen arkkitehti ja Suomen ensimmäinen oman toimiston perustanut naisarkkitehti. Wivi Lönn opiskeli Polyteknillisen opiston arkkitehtuurin linjalla ja valmistui vuonna 1896. Lönnin uran keskeisimmät rakennukset syntyivät 1900-luvun alussa. Aktiivisin vaihe kesti hieman yli 15 vuotta, ja jo 1930-luvun alussa hän käytännössä vetäytyi kokonaan alalta.
Keskeisin osa Lönnin tuotannosta on Tampereen ja Jyväskylän ympäristössä. Tampereella sijaitsevat muun muassa entinen Tampereen suomalainen tyttökoulu ja keskuspaloasema. Armas Lindgrenin kanssa Lönn suunnitteli muun muassa Helsinkiin Uuden ylioppilastalon ja Tallinnaan Estonia-teatterin. Lönn suunnitteli yli 30 koulua, vaikkakaan kaikkia ei toteutettu. Koulujen lisäksi hän piirsi useita teollisuusrakennuksia, muun muassa Parviaisen tehtaille. Lönnin töiden vahvuutena on pidetty taitavia pohjaratkaisuja ja tilan taloudellista käyttöä, mutta arkkitehtonisesti hän ei oikeastaan poikennut aikansa tyylistä.