Kaarevuus
Tasokäyrän kaarevuus > Määritelmä suunnan muutosnopeuden ja kaaren pituuden avulla

Käyrän kaarevuuden annetussa pisteessä voidaan sanoa kuvaavan sitä, minkä verran käyrän suunta muuttuu liikuttaessa sitä pitkin pieni matka. Kaarevuuden mittana käytetään tällöin käyrän tangentin suunnan muuttumisnopeutta verrattuna kaaren pituuteen. Käyrän kaarevuus on siis sitä suurempi, mitä nopeammin sen (tai sen tangentin) suunta muuttuu käyrää pitkin kuljettaessa.
Jokainen differentioituva käyrä voidaan parametroida sen kaarenpituuden avulla. Tasokäyrän tapauksessa tämä merkitsee, että on olemassa parametrointi  \gamma (s)=(x(s),y(s)), missä x ja y ovat reaaliarvoisia differentioituvia funktioita, joiden derivaatat toteuttavat yhtälön
Tämä merkitsee, että tangenttivektorin
normi on 1 eli se on yksikkötangenttivektori.
Jos käyrä on kahdesti differentioituva eli funktioilla  x(s) ja  y(s) on toisen kertaluvun derivaatat, myös funktiolla  T(s) on derivaatta. Tämä vektori on käyrään nähden kohtisuorassa, sen normi on käyrän kaarevuus  \kappa (s) ja sen suunta on kohti käyrän kaarevuuskeskipistettä. Toisin sanoen
Koska lisäksi (edellyttäen että  \kappa (s)\neq 0) käyrän kaarevuussäde on
ja käyrän kaarevuuskeskipiste sijaitsee sen normaalilla, kaarevuuskeskipiste on piste
Yksinkertaisemmin voidaan käyrän kaarevuus määritellä suhteen  {\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}} raja-arvona, missä  \Delta \alpha  merkitsee käyrälle pisteeseen  P ja lähellä sitä olevaan pisteeseen  Q piirrettyjen tangenttien välistä kulmaa  \Delta s käyrän pisteiden P ja Q välisen kaaren pituutta.. Tämä raja-arvo on samalla käyrän suuntakulman  \Delta  derivaatta kaaren pituuden s suhteen. Parametri s tarkoittaa siis kaaren pituutta annetusta alkupisteestä laskettuna, mutta sen voidaan tulkita tarkoittavan myös aikaa, mikäli kuvitellaan pisteen liikkuvan käyrää pitkin tasaisella ratanopeudella.  Derivaatta  T(s)={\frac {d\alpha }{ds}} on vektori, joka on kohtisuorassa käyrään nähden ja jonka pituus on sama kuin käyrän kaarevuus.
Koska käyrän kaarevuus on sen kaarevuussäteen käänteisarvo, SI-standardin mukaan sen yksikkö on käänteismetri (1/m).  Koska se voidaan edellä esitetyllä tavalla määritellä kulman avulla, voidaan yksikkö esittää myös muodossa radiaani metriä kohti (rad/m). Sen ohella voidaan yksikkönä käyttää myös astetta metriä kohti.
Käyrän kaarevuuden määritelmä ja sen eri luonnehdinnat ovat mielekkäitä vain, jos käyrällä on jatkuvasti muuttuva tangentti, mikä taas edellyttää, että käyrä on pisteen P läheisyydessä jatkuvasti differentioituva. Lisäksi on oletettava, että käyrän on kahteen pisteessä P kahteen kertaan differentioituva, jotta määritelmän edellyttämät raja-arvot olisivat olemassa ja funktio  T(s) derivoituva.
Jos käyrän kaarevuus on nolla, kaarevuuskeskipistettä ei ole missään tasolla  \mathbb {R} ^{2}, mutta usein sanotaan sen olevan "äärettömyydessä".
Jos  N(s) on yksikkönormaalivektori, joka saadaan  T(s) kiertämällä sitä vastapäivään kulman  {\frac {\pi }{2}} verran, on
missä  k(s)=\pm \kappa (s)).  Reaalilukua  k(s) sanotaan suunnatuksi kaarevuudeksi tai etumerkilliseksi kaarevuudeksi.  Se riippuu sekä tason orientoinnista eli siitä, kumpi kiertosuunta katsotaan vastapäiväiseksi (tai kummalta puolelta sitä katsotaan), että parametroinnin mukaisesta käyrän suunnasta. Itse asiassa muuttujanvaihto s → -s johtaa toiseen kaarenpituuden avulla määriteltyyn parametrointiin ja muuttaa  k(s):n etumerkin.