Vektorianalyysi
Yleistyksiä > Muut ulottuvuudet

Useimmat analyyttiset tulokset on yleisemmässä muodossa helppo ymmärtää käyttämällä differentiaaligeometrian menetelmiä, joista vektorianalyysi muodostaa osajoukon. Gradientin ja divergenssin määritelmät voidaan sellaisenaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa, samoin Laplacen operaattori, joka johtaa harmoniseen analyysiin. Myös gradienttilause ja divergenssilause pätevät ulottuvuuksien lukumäärästä riippumatta. Sen sijaan roottori ja ristitulo eivät yleisty yhtä suoraviivaisesti.
Yleisemmältä kannalta erilaiset kentät kolmiulotteisessa vektori­analyysissä voidaan kaikki käsittää
k-vektorikentiksi: skalaarikentät ovat 0-vektorikenttiä, vektorikentät 1-vektorikenttiä, pseudovektori­kentät 2-vektorikenttiä ja pseudoskalaarikentät 3-vektorikenttiä. Useampi­ulotteisessa avaruudessa kenttä­tyyppejäkin on enemmän.
Missä tahansa useampi­ulotteisessa avaruudessa, jossa on ei-degeneroitu muoto, skalaarifunktionn gradientti on vektorikenttä ja vektorikentän divergenssi skalaarifunktio, mutta vain 3 ja 7 ulottuvuudessa (sekä triviaalisti 0 ulottuvuudessa) vektorikentän roottori on vektorikenttä, ja vain kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa voidaan vektorien ristitulo määritellä. Muissa tapauksissa tarvitaan joko  n-1 vektoria, jotta saadaan tulokseksi yksi vektori, tai kyseessä ovat vaihto­ehtoiset Lien algebrat, jotka ovat yleisempiä antisymmetrisiä bilineaarisia tuloja. Yleisesti roottori on bivektorikenttä, joka voidaan tulkita infinitesimaalisten rotaatioiden erityiseksi ortogonaaliseksi Lien algebraksi. Sitä ei kuitenkaan voida samastaa vektorikentän kanssa, koska sillä on eri määrä ulottuvuuksia: kolmiulotteisen avaruuden rotaatioavaruuskin on kolmiulotteinen, mutta esimerkiksi neliulotteisen avaruuden rotaatio­avaruus on kuusiulotteinen (ja yleisesti n-ulotteisen avaruuden rotaatioavaruus on  \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}-ulotteinen).
Vektorianalyysille on kaksi merkittävää vaihto­ehtoista yleistystä. Ensimmäinen, geometrinen algebra, käyttää k-vektorikenttiä vektori­kenttien sijasta (enintään kolmiulotteisessa avaruudessa jokainen k-vektorikenttä voidaan samastaa skalaari- tai vektori­kentän kanssa, mutta useammassa ulottuvuudessa tämä ei käy päinsä.)  Tämä korvaa vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa käyvän ristitulon ulkoisella tulolla, joka on määritelty kaikissa ulottuvuuksissa. Kahden vektorikentän ulkoinen tulo on tällöin bivektorikenttä eli 2-vektorikenttä.  Algebralliselta struktuuriltaan vektoriavaruudet ovat tällöin Cliffordin algebroja, joissa on myös orientaatio ja ei-degeneroitunut muoto. Geometrista algebraa käytetään enimmäkseen fysiikan ja muiden sovellettujen kenttien yleistyksiin korkeammissa ulottuvuuksissa.
Toinen yleistys käyttää differentiaalimuotoja (k-kovektorikenttiä) vektorikenttien tai
k-vektorikenttien sijasta, ja sitä käytetään laajalti matematiikassa, varsinkin differentiaaligeometriassa, geometrisessa topologiassa ja harmonisessa analyysissa. Se johtaa erityisesti Hodgen teoriaan, joka käsittelee orientoituvia pseudo-Riemannin monistoja. Tältä kannalta gradientti, roottori ja divergenssi vastaavat 0-muotojen, 1-muotojen ja 2-muotojen ulkoisia derivaattoja, ja vektorianalyysin peruslauseet ovat kaikki erikois­tapauksia Stokesin lauseen yleisimmästä muodosta.
Molempien yleistysten kannalta tavanomainen vektori­analyysi samastaa implisiittisesti käsitteitä, jotka näissä yleistyksissä on toisistaan selvästi erotettava. Tämä tekeekin sen muodollisesti  yksin­kertaisemmaksi mutta sen perustana olevan matemaattisen struktuurin ja yleistykset vähemmän selviksi. Geometrisen algebran kannalta vektori­analyysi samastaa k-vektorikentät vektorikenttien tai skalaarifunktioiden kanssa: 0-vektorit ja 3-vektorit skalaarien, 1-vektorit ja 2-vektorit vektorien kanssa. Differentiaali­muotojen kannalta vektori­analyysi taas samastaa k-muodot skalaari- tai vektori­kenttien kanssa: 0-muodot ja 3-muodot skalaari­kenttien, 1- ja 2-muodot taas vektori­kenttien kanssa. Niinpä esimerkiksi roottorin argumenttina on luonnollisesti vektori­kenttä, mutta tuloksena 2-vektori­kenttä tai 2-muoto ja näin ollen pseudo­vektori­kenttä, joka sitten tulkitaan vektori­kentäksi sen sijaan että tuloksena saataisiin suoraan vektori­kenttä. Sen sijaan useammassa ulottuvuudessa vektori­kentän roottoria ei voida tulkita vektorikentäksi.
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Vector calculus