Felix Hausdorff
Teokset, tutkimukset ja niiden vastaanotto > Deskriptiivinen joukko-oppi, mittateoria ja analyysi

Vuonna 1916 Alexandroff ja Hausdorff ratkaisivat toisistaan riippumatta  kontinuumiprobleeman Borel-joukkojen osalta. He osoittivat, että täysin separoituvassa metrisessä avaruudessa jokainen Borel-joukko on joko numeroituva tai sillä on kontinuumin mahtavuus. Tämä tulos oli yleistys Cantorin–Bendixsonin lauseelle, jonka mukaan näin on  \mathbb {R} ^{n}:ssä jokaisen suljetun joukon laita. Lisäksi William Henry Young oli vuonna 1903 todistanut vastaavan tuloksen lineaarisille  G_{\delta }-joukoille ja Hausdorff itse vuonna 1914 Joukko-opin perusteet -teoksessaan  G_{\delta \sigma \delta }-joukoille. Alexandroffin ja Hausforffin lause innosti monet matemaatikot edelleen kehittämään deskriptiivistä joukko-oppia.
Tutkielmista, jotka Hausdorff kirjoitti Greifswaldissa toimiessaan, erityisen tärkeä on Dimensio ja ulkomitta (saks. Dimension und äußeres Maß) vuodelta 1919. Sitä pidetään edelleen ajanmukaisena ja myöhempinä aikoina se on ollut todennäköisesti eniten viitattu 1910-luvulla kirjoitettu matemaattinen tutkielma. Tässä artikkelissa otettiin käyttöön käsitteet, jotka nykyisin tunnetaan Hausdorffin mittana ja Hausdorffin dimensiona.
Hausdorffin dimension käsite on käyttökelpoinen "hyvin rosoisten suureiden" luonnehdinnassa ja vertailussa. Artikkelissa Dimensio ja ulkomitta käyttöön otettuja käsitteitä on sovellettu ja edelleen kehitelty monilla aloilla, kuten dynaamisten systeemien teoriassa, geometrisessa mittateoriassa, itsesimilaaristen joukkojen, fraktaalien ja stokastisten prosessien teoriassa, harmonisessa analyysissä, potentiaaliteoriassa ja lukuteoriassa.
Palattuaan Bonniin Hausdorff teki merkittävää tutkimusta analyysin alalta. Artikkelissaan Summausmenetelmät ja momenttisarjat I (saks. Summationsmethoden und Momentfolgen I) hän kehitti hajaantuville sarjoille kokonaisen luokan summausmenetelmiä, joita nykyisin sanotaan Hausdorffin menetelmiksi. Hardy klassisessa teoksessa Divergent Series on kokonainen luku omistettu Hausdorffin menetelmille. Hölderin ja Cesàron klassiset menetelmät osoittautuivat Hausdorffin menetelmien erikois­tapauksiksi. Jokaisen Hausdorffin menetelmän määrittää yksi momenttisarja; tässä yhteydessä Hausdorff esitti hienon rataisun äärellisen välin momentti­probleemalle sivuten samalla ketjumurtolukujen teoriaa. Artikkelissaan Äärellisen välin momentti­probleemat (saks. Momentprobleme für ein endliches Intervall) vuodelta 1923 hän käsitteli momentti­probleeman eräitä erikois­tapauksia kuten sellaisia, joissa on asetettu rajoittavia ehtoja tiheyden  \varphi (x) generoinnille, esimerkiksi  \varphi (x)\in L^{p}[0,1]. Hausdorffin jäämistöstä ilmenee, että hän keskittyi useiden vuosien ajaksi tutkimaan momentti­probleemojen ratkeavuutta ja määrittämistä.
Hausdorff vaikutti vaikutti myös uuden tutkimus­alueen, funktionaalianalyysiin n kehitykseen julkaisemalla vuonna 1923 artikkelin Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen (Fourier’n sarjoja koskevan Parsevalin lauseen yleistys, jossa myös Rieszin–Fischerin lause yleisestiin koskemaan  L^{p}-avaruusksia. Hän todisti epäyhtälöt, jotka sittemmin nimettiin hänen ja W. H. Youngin mukaan. Hausdorffin–Youngin epäyhtälöstä saivat alkunsa laajat uudet kehityssuunnat.
Hausdorffin teos Mengenlehre (Joukko-oppi) ilmestyi vuonna 1927. Sen ilmoitettiin olevan Perusteet-teoksen toinen painos, mutta todellisuudessa se oli täysin uusi kirja. Suuret osat järjestettyjen joukkojen teoriasta sekä mitta- ja integrointiteoriasta oli jätetty pois, koska niitä oli laajasti käsitelty Goschenin laatimissa oppikirjoissa. Esipuheessaan Hausdorff kirjoitti: "Enemmän kuin näitä poistoja tulee lukija ehkä valittamaan, että säästääkseni vielä enemmän tilaa pistejoukkojen teoriassa olen hylännyt topologisen näkökulman, jonka ansiosta ensimmäinen painos nähtävästi oli saanut paljon ystäviä ja rajoittunut helpompaan metristen avaruuksien teoriaan."
Muutamat kirjan arvostelijat tosiaan olivat valitelleet juuri tätä. Tämän kompensoimiseksi Hausdorff esitti ensimmäisen kerran deskriptiivisen joukko-opin silloisen terian. Tämän vuoksi kirja sai lähes yhtä innostuneen vastaan­oton kuin Perusteet, varsinkin Fundamenta Mathematicae -julkaisusarjassa. Oppikirjana siitä tuli varsin suosittu. Vuonna 1935 siitä julkaistiin laajennettu laitos, josta Dover julkaisi uuden painoksen 1944. Vuonna 1957 siitä ilmestyi englannin­kielinen käännös, josta julkaistiin uusinta­painokset vuosina 1962 ja 1967.
Vuonna 1937 kirjasta julkaistiin myös venäjänkielinen laitos, joskin se oli vain osittain suoranainen käännös; osia siitä olivat kirjoittaneet kokonaan uudestaan Alexandroff ja Kolmogorov. Tässä laitoksessa topologinen näkökulma nostettiin jälleen etualalle. Vuonna 1928 teoksesta ilmestyi Hans Hahnin laatima arvostelu. Sen loppusanat kuuluivat seuraavasti:
»Joka suhteessa esikuvallinen esitys vaikeasta aiheesta, vetää vertoja niille töille, joiden ansiosta saksalainen tiede on tullut arvostetuksi koko maailmassa, ja kaikki saksalaiset matemaatikot voivat olla tästä ylpeitä.»
On mahdollista, että Hahn tarkoitti nämä sanat kannan­otoksi Saksassa laajalle levinnyttä antisemitismiä vastaan.