stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Dvaravati
Historia

Monit alkoivat perustaa omia kuningaskuntiaan Kaakkois-Aasiaan aikaisemman Funanin kuningaskunnan alkaessa heiketä. Dvaravatiin kuningaskunta sai alkunsa suurin piirtein 500-luvulla. Nimi Dvaravati viittaa Mahabharatassa esiintyvään Krishna-jumalan pääkaupunkiin. Samaa nimeä käytettiin eri yhteyksissä myös alueen myöhempien kuningaskuntien kausilla. Esimerkiksi Ayutthayan kuningaskunta oli viralliselta nimeltään Dvarati Sri Ayutthaya. Budhalaisuus levisi alueelle buddhalaisten lähetyssaarnaajien mukana 700-luvulla ja buddhalaisuudesta kuningaskunnan valtionuskonto.
800-luvulle tultaessa kuningaskunnan valtakeskus oli nykyisen Lopburin kaupungin alueella Thaimaan keskiosassa Chao Phraya-joen laakson alueella. Muita Dvaravatin tärkeitä kaupunkikeskuksia olivat Nakhon Pathom, Suphan Buri ja U Thong. Niiden ohella valtakunta vaikutti myös niistä kaukana pohjoisessa, koillisessa ja idässä ilmeisesti kauppareittien varrella. Valtakunnan kautta kesti suurin piirtein 1000-luvulle saakka, jolloin se liitettiin laajenevaan Khmer-valtakuntaan. Khmer-valtakunnan jälkeen alueelle nousi mon-kansojen kuningaskuntien sijaan tai-kansojen kuningaskuntia.
Kulttuuri

Dvaravatin kuningaskunnan kautista mon-kansan taidetta kutsutaan thaimaalaisessa taidehistoriassa Dvarati-kauden teoksiksi. Kuningaskunta jätti jälkeensä esimerkiksi uskonnollisia rakennuksia, Buddhaa esittäviä patsaita, muita veistoksia, sekä votiivilaattoja. Monit itsessään olivat saaneet vaikutteita intialaisesta kulttuurista. Sen vaikutuksesta Thaimaassa on esimerkiksi edelleen sanskritin kielisistä nimistä johdettuja paikannimiä.
Kuningaskunnan asukkaat harjoittivat buddhalaisuutta ja viljelivät maata kasvattaen riisiä.
Dvaravati-kautinen chedi eli stupa Lamphunissa.
Kivinen Buddhaa esittävä teos.
Dan Jansen
Aiheesta muualla

Dan Jansen Kansainvälinen olympiakomitea. (englanniksi)
Miesten 1 000 metrin pikaluistelun olympiavoittajat
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  VIAF 
Kansalliset:  Saksa
Janus-luokka

| Janus-luokka |
| --- | --- |


Tekniset tiedot
Uppouma:  279 t
Pituus:  62,26 m (kokonaispituus)
Leveys:  5,94 m
Syväys:  2,44 m
Koneteho:  3 900 ihp
Nopeus:  27 solmua
Miehistöä:  53
Aseistus
Meritorjunta:  1 x QF 12 naulan 12 cwt laivatykki 5 x QF 6 naulan Hotchkiss -tykkiä 2 x 18" torpedoputkea
Janus-luokka oli Britannian Kuninkaallisen laivaston Palmers Shipbuilding and Iron Companyn valmistama torpedovenehävittäjäluokka (engl. torpedo boat destroyer, TBD).
Alukset

| Nimi | Telakka | Kölinlasku | Vesille | Valmis | Kohtalo |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| HMS Janus | Palmers Shipbuilding and Iron Company, Jarrow | 28. maaliskuuta 1894 | 12. maaliskuuta 1895 | marraskuu 1895 | romutettu 1914 |
| HMS Lightning | Palmers | 28. maaliskuuta 1894 | 10. huhtikuuta 1895 | tammikuu 1896 | uponnut osuttuaan miinaan 30. kesäkuuta 1915 |
| HMS Porcupine | Palmers | 28. maaliskuuta 1894 | 19. syyskuuta 1895 | maaliskuu 1896 | myyty romutettavaksi 1920 |
Karin Janz

Karin Janz
Karin Büttner-Janz (o.s. Janz, s. 17. helmikuuta 1952 Hartmannsdorf, Brandenburg, Saksa) on entinen itäsaksalainen telinevoimistelija ja olympiavoittaja.
Karin Janz saavutti Méxicon 1968 olympialaisissa hopeaa nojapuilla pistein 19,500 sekä pronssia joukkuekilpailussa, jossa hän oli toiseksi paras itäsaksalainen. Lisäksi hän sijoittui puomilla neljänneksi (19,225 p) ja moniottelussa kuudenneksi (76,55 p). Neljä vuotta myöhemmin Janz oli Münchenin olympialaisten menestyneimpiä voimistelijoita. Hän voitti kultaa hypyssä (19,525 p) ja nojapuilla (19,675 p) ja saavutti hopeaa joukkuekilpailussa ja moniottelussa (76,875 p) sekä pronssia puomilla (18,975 p). Ilman mitalia hän jäi vain permannolla, jolla hän sijoittui neljänneksi pistein 19,400. Moniottelun karsintana toimineessa joukkuekilpailussa Janz keräsi samat henkilökohtaiset pisteet kuin Neuvostoliiton Ljudmila Turištševa mutta moniottelun lopputuloksissa Turištševa oli 0,15 pistettä parempi.
Janz voitti maailmanmestaruuden nojapuilla Ljubljanassa 1970. Joukkuekilpailussa ja hypyssä hän saavutti hopeaa. Amsterdamin EM-kilpailuissa 1967 hän saavutti 15-vuotiaana hopeaa nojapuilla ja pronssia hypyssä sekä sijoittui moniottelussa neljänneksi. Landskronan EM-kilpailuissa 1969 hän voitti kultaa moniottelussa, nojapuilla, puomilla ja hypyssä. Vain permannolla hän jäi hopealle, kun Neuvostoliiton Olga Karasjova oli häntä parempi.
Janz lopetti voimistelu-uransa vuonna 1972. Hän on myöhemmin työskennellyt lääkärinä.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Karin Janz Wikimedia Commonsissa
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Ranska  BnF data  Saksa  Israel  Yhdysvallat 
Henkilöt:  Deutsche Biographie  DDB
Dzeržinski (Moskovan alue)

| Dzeržinski Дзержинский |
| --- | --- |
 Nikolaos Ihmeidentekijän luostarin kirkko Dzeržinskissä
 lippu:  vaakuna
 Moskovan alue Venäjällä, alla kaupungin sijainti alueella
 Dzeržinski
 Koordinaatit: 55.6306°N, 37.8490°E 
Valtio:  Venäjä
Subjekti:  Moskovan alue
Pinta-ala:  
 – Kokonaispinta-ala:  15,69 km²
Korkeus:  160 m
Väkiluku (2010):  47 163
 – Väestötiheys:  3 006 as./km²
Aikavyöhyke:  UTC+3 (MSK)
 
 www.ugresh.ru 
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Dzeržinski (ven. Дзержи́нский) on kaupunki Moskovan alueella Venäjällä. Se sijaitsee Moskovajoen varrella Moskovan kaupungin kaakkoispuolella. Asukkaita on 44 100 henkeä (vuonna 2010).lähde?
Ennen vallankumousta paikalla sijaitsi Nikolo-Ugrešskin luostari, jonka Dmitri Donskoi oli perustanut Kulikovon taistelussa saadun voiton kunniaksi vuonna 1380. Vuonna 1920 luostari suljettiin ja sen tiloihin perustettiin heitteille jätettyjen lasten työsiirtola, joka myöhemmin sai Tšekan johtajan Feliks Dzeržinskin mukaan nimen Dzeržinskille nimetty työkommuuni. Kommuuni suljettiin vuonna 1938, ja sen yhteyteen syntynyt taajama nimettiin Dzeržinskiksi. Vuonna 1981 taajamasta tuli kaupunki. Nikolaos Ihmeidentekijälle omistettu luostari on sittemmin avattu uudelleen.
Kaupungissa toimii lämpövoimala, kemian teollisuutta ja teräsbetonirakennetehdas.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Dzeržinski (Moskovan alue) Wikimedia Commonsissa
Dzeržinskin kaupungin sivusto (venäjäksi)
Moskovan alueen kaupungit
Janakkalan kirkko

| Janakkalan kirkko |
| --- | --- |
 Janakkalan keskiaikainen harmaakivikirkko
Sijainti:  Hakoistentie 347 Tarinmaa, Janakkala
Koordinaatit:  60°53′37″N, 024°35′43″E
Seurakunta:  Janakkalan seurakunta
Rakentamisvuosi:  1520
Materiaali:  harmaakivi
Istumapaikkoja:  n. 650
Lisää rakennusartikkeleitaArkkitehtuurin teemasivulla
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Janakkalan kirkko, sankarihaudat
Janakkalan Pyhän Laurin kirkko on keskiaikainen harmaakivikirkko. Se sijaitsee Janakkalan kunnassa Tarinmaalla, jota myös kirkonkyläksi kutsutaan, ja on saanut nimensä Pyhän Laurin mukaan. Kirkon rakennuttajana pidetään Åke Tottia. Kirkko on vihitty käyttöön ilmeisesti 19. syyskuuta 1520. Kirkkoon mahtuu noin 650 ihmistä.
Perimätiedon mukaan paikalle on rakennettu puukirkko 1200-luvulla. Se on saattanut sijaita nykyisen kellotapulin edessä, koska ohitse kulkevaa maantietä alennettaessa sieltä löytyi hautoja, jotka ovat saattaneet olla vanhan kirkon lattian alla.
Sakaristo ja asehuone purettiin 1800-luvulla, kun kirkko muutettiin empiretyyliseksi ristikirkoksi ja itäpäätyyn rakennettiin uusi sakaristo. Kellotapuli on kirkonrakentaja Martti Tolpon rakentama ja se valmistui vuonna 1785. Kirkonkellot ovat 1600- ja 1700-luvuilta.
Alttaritaulu on tyypillinen Kristuksen ristiinnaulitsemista kuvaava maalaus. Se on B. A. Godenhjelmin maalaus "Jeesus ristillä"  vuodelta 1851. 1660-luvulta peräisin oleva saarnastuoli on oletettavasti pohjalaisen Mikael Mikaelinpoika Baltin tekemä.
Kirkosta noin 450 metriä etelään sijaitsee Laurinlähde, jota tarinoiden mukaan on käytetty alueen asujaimiston kastamiseen.
Urut

Vuonna 1993 otettiin käyttöön kirkon nykyiset, pohjoissaksalaisen barokin tyylin mukaiset 40-äänikertaiset urut. Ne on valmistanut janakkalalainen Urkurakentamo Martti Porthan. Urkuja suunnittelevassa toimikunnassa olivat asiantuntijoina urkumusiikin professori Olli Porthan, joka myös soitti urkujen vihkimiskonsertin, ja urkuri Kalevi Kiviniemi, joka toimi urkurina vihkiäisjumalanpalveluksessa. Erikoisuutena ovat vaihtopillit, joilla urkujen viritys voidaan muuttaa keskisävelvireiseksi. Kirkon edelliset pneumaattiset urut oli valmistanut Kangasalan urkutehdas.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Janakkalan kirkko Wikimedia Commonsissa
Janakkalan kirkko (rakennusperintörekisteri) Kulttuuriympäristön palveluikkuna kyppi.fi. Museovirasto.
Janakkalan seurakunta: Kuvia Pyhän Laurin kirkosta ja sen ympäristöstä (Arkistoitu – Internet Archive)
Janakkalan historia.  Janakkalan kunta, 1976.  ISBN 951-99089-1-9
Aune Vähäkangas (toim.): Näköaloja Laurin kirkolta – Janakkalan seurakuntakirja.  Janakkalan seurakunta, 1985.  ISBN 951-99702-7-4
| n k Perustiedot Wikidatassa: Pyhän Laurin kirkko (Q11865878)ohje |
| --- | --- |
esiintymä kohteesta: kirkko
valtio: Suomi
sijaitsee hallinnollisessa alueyksikössä: Janakkala
sijainti: Tarinmaa
katuosoite: Hakoistentie 347, 14240 Janakkala
koordinaatit: 60°53′37″N 24°35′43″E﻿ / ﻿60.8936°N 24.5953°E﻿ / 60.8936; 24.5953
Džankoin lentotukikohta

Džankoin lentotukikohta Ukrainan Krimin autonomisen tasavallan kartalla. Tukikohta sijaitsee 2 km Džankoin keskustasta kaakkoon.
Džankoin lentotukikohta (ven. Авиабаза Джанкой) eli Džankoin sotilaslentokenttä (ven. военный аэродром Джанкой) (ICAO: UKFY) on Ukrainan Krimin autonomisen tasavallassa, Džankoin kaupungin kyljessä, vain kaksi kilometriä kaupungin keskustasta kaakkoon sijaitseva sotilastukikohta. Vuodesta 2014 se on ollut osa Venäjän miehittämää Krimin niemimaata. Eurooppatie E 105 ohittaa tukikohdan sen luoteispuolelta ja E 97 tekee mutkan kiertäen tukikohdan sen pohjois- ja itäpuolitse.
Džankoin lentotukikohdassa toimi joulukuussa 2021 Venäjän 39. helikopterirykmentti (39 VP). Siihen kuuluu yksi lentue Kamov Ka-52 -koptereita, toinen lentue Mil Mi-28N tai Mil Mi-35M -koptereita sekä kolmas lentue Mil Mi-8AMTSh -koptereita.
Aiheesta muualla

Vojennyi aerodrom Džankoi (englanniksi) (wikimapia.org)
Venäjän lentotukikohdat Euroopassa
Kartta esittää Venäjän ilmavoimien lentopaikkojen ohella merivoimien ja maavoimien keskeisimmät lentotukikohdat ja -asemat. (Huom! Sisältö täydentyy, kesken.)
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Dzhankoi (air base)
Käännös suomeksi
The Duplo!

The Duplo! on vuonna 1996 perustettu helsinkiläinen rockyhtye. Alun perin garage rock -juurista ponnistaneen orkesterin myöhempi tuotanto on ollut paikoitellen kokeilevaa ja erilaisia elektronisia soittimia sekä konemusiikin keinoja hyödyntävää, unohtamatta kuitenkaan alkuperäisiä rockvaikutteita.
The Duplon perustajajäsenistä Aleksi Pahkala ja Lasse Joutsenkunnas soittavat orkesterissa yhä. Alkuperäisessä kokoonpanossa rumpuja soitti mediapersoona Wallu Valpio. Yhtye on julkaissut kaksi albumia, We Love Duplo! (Stupido Records, 1999) ja Rainbow (Stupido Records, 2002).
Vuonna 2016 yhtye palasi alkuperäiseen kokoonpanoonsa ja julkaisi uuden singlen.
Jäsenet > Nykyiset jäsenet

Aleksi Pahkala – laulu, kitara
Lasse Kiehelä – basso
Tommi Forsström – rummut
Jäsenet > Entiset jäsenet

Wallu Valpio – rummut
Janne Nissilä – rummut
Janne Kuusela – koskettimet
Janne Lehtinen – koskettimet
Johannes Apponen – kitara
Teemu Fiilin – elektroniset laitteet
Julkaisut > Albumit

We Love Duplo! (1999)
Rainbow (2002)
Julkaisut > Singlet ja EP:t

Time to Fight, Time to Kill 7" (1997)
I'm The King 7" (1998)
The Cold Ring Of Rock'n'Roll 7" (1998)
Summer Of '99 CDS (1999)
Unite People Unite! CDS (2002)
Julkaisut > Kokoelmat

V/A: Moon Bowl 7" (1998)
Aiheesta muualla

The Duplo! Myspacessa (englanniksi)
Duaaliluku

Duaaliluvut ovat algebrassa alkujaan 1800-luvulla kehitetty hyperkompleksinen lukujärjestelmä. Ne ovat muotoa a + bε olevia lauksekkeita, joissa a ja b ovat reaalilukuja ja ε reaalilukuihin kuulumaton alkio, jolle määritellään  \varepsilon ^{2}=0, vaikka  \varepsilon \neq 0.
Duaalilukuja voidaan laskea yhteen ja vähentää komponenteittain:
ja kertoa keskenään seuraavasti:
Näin ollen niitä voidaan käsitellä kuten ε:n polynomeja, kun lisäksi otetaan huomioon, että  \varepsilon ^{2}=0. Niiden jakolasku ei kuitenkaan kaikissa tapauksissa ole määritelty, kuten jäljempänä osoitetaan.
Samaan tapaan kuin kompleksiluvut, voidaan duaaliluvutkin asettaa vastaamaan tason pisteitä: duaalilukua a + bε vastaa piste (a, b). Toisin kuin kompleksiluvut, duaaliluvut eivät kuitenkaan muodosta kuntaa, sillä osalla niistä ei ole  käänteislukua. Sen sijaan nekin muodostavat kommutoivan renkaan. Duaalilukujen rengas on yksi yksinkertaisimmista renkaisista, joissa on nilpotentteja alkioita.
Historia

Duaaliluvut otti ensimmäisenä käyttöön William Kingdon Clifford vuonna 1873 , ja tarkemmin niitä tutki 1900-luvun alussa saksalainen matemaatikko Eduard Study, joka määritteli niiden avulla duaalikulman mitaksi kahden sellaisen avaruudessa olevan keskinäiselle asennolle, jotka eivät ole samassa tasossa. Study määritteli duaalikulman lausekkeeksi  \theta +d\epsilon , missä  \theta  on näiden suorien suuntien välinen kulma kolmiulotteisessa avaruudessa ja d niiden välinen etäisyys siinä kohdassa, jossa ne ovat lähimpänä toisiaan. Niiden n-ulotteisen vastineen, Grassmannin luvut, otti käyttöön Hermann Grassmann 1800-luvun lopulla.
Nykyinen määritelmä

Nykyaikaisessa algebrassa duaalilukujen algebra määritellään usein reaalilukujen polynomirenkaan tekijärenkaaksi indeterminantin neliön virittämän pääideaalin suhteen, toisin sanoen:
Laajemmassa mielessä mille tahansa renkaalle R voidaan vastaavalla tavalla määritellä siihen liittyvien duaalilukujen rengas:
Duaalilukujen rengas voidaan määritellä myös yksiulotteisen vektoriavaruuden ulkoiseksi algebraksi, jossa  \varepsilon  on kanta-alkiona.
Jakolasku

Kahden duaaliluvun jakolasku on määritelty vain, kun jakajan reaaliosa ei ole nolla. Jakolasku on sikäli analoginen kompleksilukujen jakolaskulle, että jakaja kerrotaan konjugaatillaan ei-reaalisen osan eliminoimiseksi.
Näin ollen osamäärän
laskemiseksi sekä jaettava että jakaja kerrotaan jakajan konjugaattiluvulla:
joka on määritelty, kun c ei ole nolla.
Sen sijaan, jos c on nolla mutta d ei, yhtälöllä
Näin ollen jakolaskua ei voida määritellä puhtaasti ei-reaalisille duaaliluvuille. Ne ovat selvästikin nollanjakajia ja muodostavat duaalilukujen renkaan ideaalin.
Matsiisiesitys

Duaaliluku  a+b\epsilon  voidaan esittää neliömatriisilla  {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}, sillä tätä muotoa olevien matriisien rengas on isomorfinen duaalilukujen renkaan kanssa. Matriisin  {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}} neliö on nimittäin nollamatriisi, samoin kuin sitä vastaavan duaaliluvun  \varepsilon .
On muitakin tapoja esittää duaaliluvut neliömatriiseina. Ne saadaan asettamalla yksikkömatriisi vastaamaan duaalilukua   1 ja lukua  \epsilon  vastaamaan mikä tahansa nollamatriisista poikkeava matriisi, jonka neliö on nollamatriisi. Sellaisia ovat esimerkiksi kaikki muotoa
olevat  2\times 2-matriisit, joissa  a^{2}+bc=0.
Differentiointi

Duaalilukuja voidaan käyttää muun muassa automaattiseen differentiointiin. Jokainen reaalikertoiminen polynomi
voidaan laajentaa duaalilukujen joukkoon seuraavasti:
missä  P' on  P.:n derivaatta.
Yleisemmin jokainen analyyttinen reaalifunktio voidaan Taylorin sarjansa avulla laajentaa duaalilukualueeseen:
sillä kaikki termit, joissa  \varepsilon  on korotettu toiseen tai sitä korkeampaan potenssiin, ovat  \varepsilon :n määritelmän mukaan nollia.
Yhdistämällä näitä duaaliluvuille määriteltyjä funktioita ja tarkastelemalla   \varepsilon :n kertoimia saadaan yhdistetyn funktion derivaatta automaattisesti lasketuksi.
Vastaavaa menetelmä voidaan käyttää n muuttujan polynomeille n-ulotteisen vektoriavaruuden ulkoisen algebran avulla.
Geometria

Duaalilukujen "yksikköympyrän" muodostavat ne duaaliluvut, joille a = ±1, sillä ne toteuttavat yhtälön zz* = 1, missä z tarkoittaa z:n konjugaattia:
On kuitenkin huomattava, että
minkä vuoksi ε-akselin eksponentiaalinen kuvaus käsittää vain puolet tästä "ympyrästä".
Olkoon  x=a+b\varepsilon . Jos a ≠ 0 ja  m={\frac {b}{a}}, on  z=a(1+m\varepsilon  on duaaliluvun z polaarinen dekompositio ja kulmakerron m sen kulmaosa. Duaalilukujen tasossa rotaation käsite on yhtäpitävä pystysuoran transvektion kanssa, sillä
 (1+p\varepsilon )(1+q\varepsilon ==1+(p+q)\varepsilon .
Yleistyksiä

Duaalilukujen käsitettä voidaan yleistää seuraavasti: Mille tahansa kommutatiiviselle renkaalle voidaan määrittää R:n duaalilukujen rengas polynomirenkaan R[X] tekijärenkaana ideaalin  <^{2} suhteen. Tällöin X:n kuvan neliö on nolla ja vastaa edellä esitettyä alkiota ε.
Yleistyksiä > Mielivaltainen sellaisten alkioiden moduuli, joiden neliö on nolla

Duaaliluvuille voidaan esittää vielä yleisempi konstruktio. Jokaista kommutatiivista rengasta  R ja moduulia  M  kohti on olemassa duaalilukujen renkaaksi kutsuttu rengas  R[M], jolla on seuraavanlaiset rakenteet:
Se on  R-moduuli  R\oplus M, jossa kertolaskun määrittelee yhteys  (r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right) for  r,r'\in R and  i,i'\in I.
Tavallisten duaalilukujen algebra on tämän erikoistapaus, jossa  M=\mathbb {R}  ja  <math>\varepsilon =(0,1)..
Duaaliluvut ovat yksinkertainen esimerkki superavaruudesta.  Ne muodostavat yhden alkion virittämä superlukujoukon. Superluvut ovat duaalilukujen yleistyksiä tapaukseen, jossa lukua  \varepsilon  vastaavia, toisistaan lineaarisesti riippumattomia alkioita on useita ja jotka ovat keskenään antikommutatiivisia; niiden lukumäärä n voi olla jopa ääretön. Superavaruudet yleistävät superlukujen käsitettä siten, että ne mahdollistavat myös keskenään kommutoivat ulottuvuudet.
Projektiivinen suora

Duaalilukuihin liittyvän projektiivisen suoran käsitteen kehittävät Grünvald ja Corrado Segre. Konstruktio on verrattavissa siihen, miten kompleksitaso suljetaan Riemannin palloksi.
Laajennettu kompleksitaso muodostetaan lisäämällä tasoon yksi äärettömän kaukaiseksi ajateltu piste. Kun tämä taso kuvataan stereografisella projektiolla pallon pinnalle, voidaan tämä lisätty piste asettaa vastaamaan näin saadun Riemannin pallon pohjoisnapaa. Samaan tapaan voidaan duaalilukujen tasoon lisätä äärettömän kaukainen suora, joka sulkee tason lieriöksi.
Olkoon D duaalilukujen x + yε rengas ja U sen osajoukko, jossa x ≠ 0. Olkoon U niiden D:n alkioiden ryhmä, joilla on käänteisalkio, ja  B={(a,b)\in D\times D:a\in U{\text{tai}}b\in U}. Määritellään B:ssä relaatio ~ seuraavasti: (a, b) ~ (c, d), kun on olemassa sellainen  u\in U, että ua = c ja ib = d. Voidaan osoittaa, että tämä relaatio on ekvivalenssirelaatio. D:n projektiivisen suoran pisteet voidaan käsittää tämä relaation ekvivalenssiluokiksi B:ssä:  P(D)=B/~. Niitä esittävät projektiiviset koordinaatit [a, b].
Tarkastellaan upotusta ''D → P(D), missä z:aa vastaa piste |z → [z, 1]}}. Silloin pisteet [1, n], missä  n^{2}=0 kuuluvat joukkoon P(D) mutta eivät ole minkään pisteen kuvia tässä upotuksessa. P(D) kuvautuu lieriölle seuraavanlaisessa projektiossa: muodostetaan lieriö, joka sivuaa duaalilukujen tasoa suoralla  y\varepsilon :y\in \mathbb {R} . Tarkastellaan tasoja, jotka sisältävät lieriön vastakkaisella puolella olevan suoran.  Tasot, jotka leikkaavat sekä duaalilukujen tason että lieriön tarjoavat vastaavuuden näiden pintojen pisteiden väille. Duaalilukujen tasoon nähden kohtisuora taso vastaa pisteitä  {[1,n]}, kun  n^{2}=0 duaalilukuihin liittyvällä projektiivisella suoralla. .
Fysikaalisia sovelluksia

Klassisessa mekaniikassa suhteellista liikettä käsitellään Galilein muunnoksen avulla:
toisin sanoen
Tämä määrittää nopeudella v liikkuvan kappaleen lepokoordinaatiston.  Jos yhdessä paikkaulottuvuudessa ja ajassa esiintyviä tapahtumia vastaamaan asetetaan duaaliluvut  t+x\varepsilon , sama muunnos saadaan kertomalla nämä luvulla  1+v\varepsilon .
Useissa fysikaalisissa sovelluksissa duaalilukujen käyttökelpoisuus seuraa fermioneja koskevasta Paulin kieltosäännöstä. Tällöin ε:in suuntaa sanotaan "fermioniseksi" suunnaksi ja niiden reaaliosan määrittämää suuntaa "bosoniseksi" suunnaksi. Fermioninen suunta saa tämä nimen siitä, että fermionit noudattavat Paulin kieltosääntöä: koordinaatteja keskenään vaihdettaessa niiden kvanttimekaanisen aaltofunktion etumerkki vaihtuu ja täten se häviä, jos molemmat koordinaatit saatetaan yhteen; tätä fysikaalista ideaa kuvaa algebrallinen yhteys  \varepsilon ^{2}=0.
Roman Dzneladze

| Mitalit> Maa:   Neuvostoliitto.Miesten kreikkalais-roomalainen paini. Olympialaiset  | Mitalit> Maa:   Neuvostoliitto.Miesten kreikkalais-roomalainen paini. Olympialaiset  | Mitalit> Maa:   Neuvostoliitto.Miesten kreikkalais-roomalainen paini. Olympialaiset  | Maa:   Neuvostoliitto> Miesten kreikkalais-roomalainen paini. |
| --- | --- | --- | --- |
|  Pronssia | Melbourne 1956 | 62 kg |  |
Roman Dzneladze (12. huhtikuuta 1933 – 11. huhtikuuta 1966) oli neuvostoliittolainen kreikkalais-roomalaisen painin olympiamitalisti.
Dzneladze paini Melbournen 1956 olympialaisissa kreikkalais-roomalaisen painin sarjassa alle 62 kg. Hän hävisi ensimmäisellä kierroksella selätyksellä turkkilaiselle Müzahir Sillelle ajassa 8.02 mutta otti sitten selkävoitot Ruotsin Gunnar Håkanssonista ajassa 5.00 ja Italian Umberto Trippasta ajassa 10.06. Suomalaisen Rauno Mäkisen Dzneladze voitti tuomaripistein 2–1.
Viimeisessä ottelussa Unkarin Imre Polyákia vastaan voitto olisi tuonut Dzneladzelle kultamitalin, kun taas Polyák tarvitsi kultaan selkävoiton. Polyák ei onnistunut selätyksessä vaan voitti ottelun pistein 2–1, mikä tiesi kultamitalin menemistä Mäkiselle ja Dzneladzen jäämistä pronssille.
Saavutuksia

Olympiapronssia Melbournessa 1956 (kreikkalais-roomalainen paini, sarja 62 kg)
Eadsige

Eadsige (k. 1050) oli Canterburyn arkkipiispa Hänen tiedetään olleen St Martinsin piispa ennen kuin hänestä tuli arkkipiispa vuonna 1038 ja kruunanneen Edvard Tunnustajan kuninkaaksi 3. huhtikuuta 1043. Noin vuosi kruunajaisten jälkeen hän sairastui vakavasti, minkä vuoksi Edward ja jaarli Godwin nimittivät Siward-nimisen apotin hänen sijaisekseen. Hän palasi arkkipiispaksi vuonna 1048 ja kuoli lokakuussa 1050.
Japanin 15. armeija

Japanin 15. armeija oli Japanin keisarikunnan asevoimien yhtymä toisessa maailmansodassa.
Japanin julistaessa sodan liittoutuneille kenraaliluutnantti S. Iidan komentama armeija oli sijoitettu Indokiinaan. Armeijan divisioonat olivat 33. divisioona ja 55. divisioona, jonka vahvuudesta puuttui yksi rykmentti. Ensin mainittu divisioona lähti Nankingista 13. joulukuuta saapuen 10. tammikuuta Thaimaahan. Maavoimien 5. ilma-armeijakunta siirrettiin armeijan tueksi Manilan kukistuttua.
Organisaatio

Armeijan kokonaisvahvuus oli 35440 miestä, 701 hevosta, 53 henkilöautoa ja 570 kuorma-autoa.
15. armeijan esikunta (kenraaliluutnantti S. Iida)
33. divisioona (kenraaliluutnantti S. Sakurai)
213. jalkaväkirykmentti (eversti K. Miyawaki)
214. jalkaväkirykmentti (eversti T. Sakuma)
215. jalkaväkirykmentti (eversti M. Harada)
55. divisioona (kenraaliluutnantti Y. Takeuchi)
112. jalkaväkirykmentti (eversti K. Obarazawa, myöh. eversti S. Tanahashi)
143. jalkaväkirykmentti (eversti M. Uno)
Armeijajoukot
kaksi armeijan viestikomppaniaa
kiinteä radioyksikkö
linjanrakennuskomppania
kaksi erillistä autokomppaniaa
kaksi erillistä hevosvetoista kuljetuskomppaniaa
kenttäsairaala