Prekessio (tähtitiede)
Syyt > Yhtälöt

Vuorovesivoiman, jolla Aurinko, Kuu tai planeetta vaikuttaa Maahan, ilmaisee Newtonin gravitaatiolaki, jonka mukaan gravitaatiovoima sillä puolella Maata, joka on kauempana kyseisen häiriön aiheuttavalta taivaan­kappaleesta, on hieman pienempi kuin sitä kohti kääntyneellä puolella. Tämä erotus on verrannollinen Maan halkaisijan kuutioon. Vuorovesi­voima saadaan vähentämällä taivaan­kappaleen aiheuttamasta gravitaatio­voimasta Maan keskipisteessä vastaava voima tietyssä kohdassa Maan pinnalla. Prekession kannalta tätä vuoro­vesi­voimaa voidaan käsitellä ikään kuin kyseessä olisi kaksi voimaa, jotka vaikuttavat vastakkaisiin kohtiin Maan päivän­tasaajan pullistuman kohdalla. Ne muodostavat voimaparin, joka voidaan jakaa kahteen komponentti­pariin, joista toisen voimat ovat Maan päivän­tasaajan tason suuntaisia, suuntautuvat voiman aiheuttavaa kappaletta kohti ja siitä poispäin ja kumoavat toistensa vaikutuksen, kun taas toisen voimaparin voimat ovat Maan pyörimis­akselin suuntaisia ja vaikuttavat sen suunnassa kohti ekliptikan tasoa. Jälkimmäinen voimapari aiheuttaa Maan päivän­tasaajan pullistumaan vääntö­momentin, jonka suuruus on:
missä
Vääntömomentin kolme yksikkövektoria Maan keskipisteessä ovat x, joka osoittaa ekliptikan tasossa kohti kevättasaus­pistettä eli Maan päivän­tasaajan tason ja ekliptikan tason leikkaus­pistettä, y, joka osoittaa kohti kesä­päivän­seisaus­pistettä (90° itään x:stä), ja z, joka osoittaa kohti pohjoista ekliptistä napaa.
Kolmen x-akselin suuntaisen sinimuotoisen termin (sinδ cosδ sinα) summa Auringolle on sinifunktion neliön muotoinen aaltomainen funktio, joka vaihtelee nollasta päivän­tasaus­pisteissä (0°, 180°) arvoon 0,36495 päivän­seisaus­pisteissä (90°, 270°). Arvo y-akselin suunnassa (sinδ cosδ (-cosα)) Auringolle on sinimuotoinen funktio, joka vaihtelee nollasta päivän­tasaus- ja -seisaus­pisteissä arvoon ±0.19364 (hieman yli puolet edellisestä) kohdissa, jotka ovat lähellä päiväntasaus- ja -seisaus­pisteiden puolivälejä mutta hieman lähempänä tasaus­pisteitä (43.37°(-), 136.63°(+), 223.37°(-), 316.63°(+)). Molemmilla aaltomaisilla funktioilla on suunnilleen sama amplitudi ja sama jakso, puolet kiertoajasta eli puoli vuotta. Arvo z-akselin suunnassa on nolla.
Siniaallon mukaisesti vaihtelevan voiman keski­määräinen vääntö­momentti y-akselin suunnassa on nolla sekä Auringon että Kuun tapauksessa, joten tämä vääntömomentin komponentti ei vaikuta prekessioon. Sen sijaan x-akselin suunnassa aaltomaisesti vaihtelevan voiman keski­määräinen vääntö­momentti Auringon tai Kuun tapauksessa on:
missä
Tekijä 1/2 tulee sinin neliön muotoisen funktion keskimääräisestä arvosta, a^{3}(1-e^{2})^{3/2} on Auringon tai Kuun keskimääräisen etäisyyden kuutio ja ε on Auringon tapauksessa Maan akselin kaltevuuskulma ja samalla δ:n suurin arvo, Kuun tapauksessa sen kiertoradan ja Maan kiertoradan tasojen välinen keskimääräinen kulma koko 18,6 vuoden jakson aikana.
Prekessio on:
missä ω on Maan kulmanopeus ja 'Cω sen liikemäärämomentti. Niinpä Auringon aiheuttaman prekession ensimmäisen asteen komponentti on:
kun taas Kuun aiheuttamalle prekessiolle se on:
missä i on Kuun ratatason ja ekliptikan tason välinen kulma. Näissä yhtälöissä haka­suluissa olevien lausekkeiden jäljessä olevat alaindeksit osoittavat, ovatko kyseessä Auringon (S), Kuun (L) vai Maan (E) arvot. Termi  (1-1.5\sin ^{2}i) ilmoittaa Kuun radan kaltevuutta ekliptikan suhteen. Termi (C-A)/C on Maan dynaaminen napa­litistyneisyyden elliptisyys, joka on määritetty havaitun prekession avulla, koska Maan sisuksien rakennetta ei tunneta riittävän tarkasti. Jos Maa olisi homogeeninen, termi olisi yhtä suuri kuin sen kolmannen eksentrisyyden neliö,
missä a on päiväntasaajan säde (6 378 137 m) and c napasäde (6 356 752 m), jolloin e2 = 0.003358481.
Näiden parametrien arvot epookkina J2000.0 seitsemän desimaalin tarkkuudella ovat
| Aurinko | Kuu | Maa |
| --- | --- | --- |
| Gm = 1,3271244 × 1020 m3/s2 | Gm = 4,902799 × 1012 m3/s2 | (C - A)/C = 0,003273763 |
| a = 1,4959802 × 1011 m | a = 3,833978 × 108 m | ω = 7,292115 × 10-5 rad/s |
| e = 0,016708634 | e = 0,05554553 |  \epsilon \,\! = 23,43928° |
|  | i= 5.156690° |  |
joista saadaan
mitkä molemmat on muunnettava kaarisekunneiksi vuotta kohti kertomalla ne kaarisekuntien lukumäärällä täydessä kulmassa (2π radiaania (= 1.296 × 106"/2π) ja edelleen sekuntien lukumäärällä vuodessa 3.15576 × 107s/a):
Tämä Auringon yhtälö kuvaa hyvin Auringon aiheuttamaa prekessiota, koska Maan rata on lähellä ellipsiä ja muiden planeetojen aiheuttamat häiriöt ovat vähäisiä. Kuun yhtälö ei ole yhtä hyvä, koska Aurinko aiheuttaa huomattavia häiriöitä Kuun liikkeeseen.