stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Jännitys-venymäkäyrä
Määritelmä > Jännitys ja venymä

Tarkastellaan sauvaa, jonka poikkipinta-ala on  A_{0} ja jonka kumpaankin päähän kohdistuu vetävä voima  F, joka pyrkii venyttämään sauvaa. Materiaaliin kohdistuu jännitys, joka märitellään voiman suhteena sauvan poikkipinta-alaan:
Sen vaikutuksesta kappaleen pituus kasvaa suhteellisesti määrän
verran.
Alaindeksi 0 tarkoittaa sauvan alkuperästä pituutta. SI-järjestelmässä jännityksen yksikkö on newton neliömetriä kohti eli pascal (1 Pa = 1 N/m2). Sauvan suhteellinen venymä eli sen pituuden muutoksen suhde sen alkuperäiseen pituuteen taas on dimensioton suure. Jännitys-venymä­käyrä saadaan venyttämällä sauvaa yhä enemmän, kunnes se lopulta katkeaa. Käyrä on tapana esittää niin, että kaavion vaakasuora akseli esittää venymää, pystysuora jännitystä. Sauvaa venytettäessä se yleensä samalla ohenee, mutta tämä voidaan teknisissä sovelluksissa usein jättää huomiotta. Jos käyrä näin piirretään olettamalla, ettei sauvan paksuus muutu, sitä sanotaan tekniseksi  jännitys-venymä­käyräksi. Jos tämä oheneminen otetaan huomioon, saadaan todellinen jännitys-venymä­käyrä.  Ellei toisin mainita, yleensä käytetään teknistä jännitys-venymä­käyrää.
Määritelmä > Todellinen jännitys ja venymä

Koska sauvaa venytettäessä sen poikkipinta-ala pienenee ja jo tapahtunut venyminen vaikuttaa myöhempään venymiseen, todellinen jännitys ja venymä eroavat teknisestä jännityksestä ja venymästä.
Tässä mittasuhteet ovat hetkellisiä arvoja. Jos oletetaan, että kappaleen tilavuus pysyy vakiona ja muodonmuutos tapahtuu kaikkialla yhtäläisesti, saadaan
Todellinen jännitys ja venymä voidaan ilmaista teknisen jännityksen ja venymän avulla Todelliselle jännitykselle saadaan lauseke
ja venymälle
Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan käyttämällä sopivaa reunaehtoa saadaan:
Niinpä vetokokeessa todellinen jännitys on teknistä jännitystä suurempi ja todellinen venymä teknistä venymää pienempi. Niinpä todellisen jännitys-venymäkäyrän pisteitä on siirrettävä ylöspäin ja vasemmalle, jotta ne muodostavat teknisen jännitys-venymäkäyrän. Ero todellisen ja teknisen jännityksen ja venymän välillä kasvaa plastisessa muodonmuutoksessa. Pienillä venymillä, joissa muodonmuutos on kimmoinen, ero käyrien välillä on merkityksettömän pieni. Murtolujuuspiste on teknisen jännitys-venymä­käyrän maksimikohta, mutta se ei ole mikään todellisen jännitys-venymä­käyrän erikoispiste. Koska tekninen jännitys on verrannollinen kappaleeseen kohdistuvaan voimaan, kurouma syntyy, jos   \delta F=0.
Tämä analyysi kuvaa murto­lujuus­pisteen luonnetta. Siinä kohdassa kappaleeseen kohdistuva venyttävä voima kasvaa tarkalleen samassa suhteessa kuin sen poikkipinta-ala pienenee.
Kun kurouma on muodostunut, kappaleen muoto ei sitä lisää venytettäessä muutu joka kohdasta yhtä paljon, eivätkä edellä olevat yhtälöt näin olleen enää päde. Kuroumasa jännitys ja venymä voidaan ilmaista lausekkeilla:
Todellisen jännityksen ja venymän väliselle yhteydelle käytetään usein empiiristä yhtälöä:
Tässä  n on venymä-kovettumiskerroin ja   K lujuuskerroin. Kerroin  n on mitta materiaalin kovenemiselle siihen kohdistuvan työn vaikutuksesta. Materiaalit, joilla  n, pystyvät voimakkaammin vastustamaan kuroutumista. Metalleilla  n on huoneenlämmössä tyypillisesti välillä 0,02 ... 0,5.
Käyrän osat

Oheinen kuvio esittää tyypillistä vähähiilisen teräksen jännitys-venymä­käyrää huoneenlämmössä. Käyrä jakautuu useampaan osaan, jossa teräs käyttäytyy eri tavoin, mikä viittaa erilaisiin mekaanisiin ominaisuuksiin. Kaikilla materiaaleilla eivät kuitenkaan kaikki tämän kaavion osat ole selvästi toisistaan erotettavissa; jotkin niistä saattavat puuttuakin, tai käyrän eri osat saattavat olla hyvin erilaisia.
Käyrän ensimmäinen osa on lineaarisen kimmoisuuden alue. Tällä alueella kappaleeseen, esimerkiksi sauvaan, kohdistuva jännitys ja sen venymä ovat suoraan verrannollisia, toisin sanoen materiaali noudattaa Hooken lakia, ja käyrän kulmakertoimen osoittaa materiaalin kimmomoduuli eli Youngin moduuli. Tällä alueella muodonmuutokset ovat kimmoisia, eli jos jännitys poistetaan, kappale palaa muodoltaan ennalleen. Käyrän suora osuus päättyy suhteellisuusrajaan σE. Hieman suhteellisuusrajaa korkeampia on kimmoraja σk ja myötöraja σm.  Jos kimmoraja ylittyy, kappale ei enää jännityksen lakatessa palaakaan entiselleen, vaan muodonmuutos jää pysyväksi. Jos myötörajakin ylittyy, kappaleen venymä voi kasvaa, vaikka jännitystä ei enää lisätäkään. Tällöin on tultu myötöalueelle.
Jos jännitys yhä kasvaa, tullaan tasaisen plastisen venymän alueelle, oheisessa kaaviossa alueelle 4. Siellä venymä kasvaa ei-lineaarisesti jännityksen funktiona. Tämä alue päättyy käyrän maksimikohtaan, jota vastaava jännitys on nimeltään murtolujuus, σM.  Sen oikealla puolella on vielä alue 5, kuroumavenymän alue.  Tällä alueella sauva venyy paikallisesti ja ohenee eli kuroutuu samalla venymäkohdistaan. Täten tekninen jännitys, voima sauvan alkuperäistä poikkipinta-alaa kohti, alkaa jo vähetä, joskin todellinen jännitys, voima sen kuroutuman poikkipinta-alaa kohti, yhä kasvaa. Näin jatkuu, kunnes sauva lopulta katkeaa. Jännitys-venymäkäyrä päättyy oikealla tähän katkeamis­pisteeseen.
Luokittelu

Jännitys-venymäkäyrän muodon perusteella materiaalit voidaan jakaa kahteen suureen ryhmään: venyviin ja hauraisiin materiaaleihin.
Luokittelu > Sitkeät materiaalit

Venyviä materiaaleja ovat esimerkiksi rakenneteräkset ja monet muiden metallien seokset. Niille luonteenomainen piirre on nyyden kyky myötää tavanomaisissa lämpötiloissa.
Vähähiilisillä teräksillä jännitys ja venymä ovat varsin tarkoin suoraan verrannollisia tarkoin määritettävissä olevaan myötörajaan saakka.  Tämä jännitys-venymäkäyrän lineaarinen osa vastaa kimmoista aluetta, ja sen suoran kulmakerroin on materiaalin kimmomoduuli eli Youngin moduuli. Monilla venyvillä aineilla kuten useilla metalleilla, polymeereilla ja kerameilla on niin ikään selvä myötöraja.
Myötörajan jälkeen käyrä usein alenee hieman, koska dislokaatiot siirtyvät pois Cottrellin atmosfääristä. Kun muodonmuutos jatkuu, jännitys kasvaa venytyskovenemisen vuoksi, kunnes saavutetaan materiaalin murtolujuutta vastaava kohta. Tähän saakka sauvan poikkipinta-ala pienenee tasaisesti Poissonin kontraktioiden vuoksi. Tämän pisteen jälkeen sauva alkaa kuroutua ja lopulta katkeaa.
Venyvien materiaalien kuroutuminen liittyy systeemin geometriseen epävakauteen. Materiaalin luonnollisen epähomogeenisuuden vuoksi siinä on usein alueita, joissa sen pinnalla esiintyy huokoisuutta. Silloin venyminen keskittyy näihin kohtiin, joissa sen vuoksi myös poikkipinta-ala tulee pienemmäksi kuin muualla. Niin kauan kuin venymä on murtolujuutta vastaavaa venymää pienempi, työkovuuden kasvaa nopeammin kuin poikkipinta-ala pienenee, minkä vuoksi tällä alueella muodonmuutoksia ei helposti tapahdu. Venymän kasvaessa työkovenemisen kasvu kuitenkin vähenee, niin että poikkpinta-alan pienemeninen keskittyy yhä enemmän niihin kohtiin, joissa se ennestäänkin on ollut pienempi kuin muualla. Täten syntyy kuroutuma, joka tulee yhä kapeammaksi, kunnes sauva lopulta katkeaa.
Venyvien materiaalien jännitys-venymäkäyrälle antaa hyvän likiarvon Rambergin-Osgoodin yhtälö
missä ε on sauvan suhteellinen venymä, σ siihen kohdistuva jännitys, E materiaalin kimmomoduuli, Sty sen murtolujuus ja n materiaalin kovenemista venytettäessä kuvaava eksponentti
missä (σ1, ε1) ja (σ2, ε2) ovat kaksi käyrän plastisella alueella olevaa pistettä.
Materiaalin sitkeydellä tarkoitetaan sitä, kuinka suuri työ on tehtävä siitä koostuvan kappaleen murtamiseksi eli minkä verran siihen tarvitaan energiaa. Sitkeyttä kuvaa jännitys-venymäkäyrän alle jäävän alueen pinta-ala eli jännityksen integraali venymän suhteen, onhan työ fysiikassa yleensäkin yhtä suuri kuin vaikuttavan voiman ja kappaleen kulkeman matkan tulo. Tässä tapauksessa matkaa vastaa kappaleen venymä eli sen toisen pään kulkema matka.
Luokittelu > Hauraat materiaalit

Hauraita materiaaleja ovat esimerkiksi valurauta, lasi ja kivi. Niitä luonnehtii se seikka, että jännityksen kasvaessa ne murtuvat ilman, että venymisvauhti olisi sitä ennen mitenkään havaittavasti muuttunut. Niillä siis murtolujuus on vain vähän myötörajaa suurempi, tai myötöaluetta ei ole ollenkaan, vaan materiaali murtuu heti myötörajan ylityttyä.
Esimerkiksi betonilla ja hiilikuidulla ei ole selvää myötärajaa, eivätkä ne kuroudu venytettäessä. Sen vuoksi niillä vetolujuus on yhtä suuri kuin murtoluvuus. Monilla haurailla materiaaleilla kuten lasilla ei lainkaan esiinny plastisia muodonmuutoksia, vaan muodonmuutos pysyy murtumiseen saakka kimmoisena. Yksi hauraan murtumisen tuntomerkeistä on, että kaksi kappaleen murtuessa syntynyttä osasta voidaan asettaa toistensa viereen siten, että ne yhdessä muodostavat alkuperäisen kappaleen muotoisen kokonaisuuden, sillä kuroutumista ei ole missään vaiheessa tapahtunut. Joillakin materiaaleilla kuten betonilla vetolujuus on paljon pienempi kuin puristuslujuus, ja monissa teknisissä sovelluksissa niiden vetolujuuden voidaan katsoa olevan nolla. Lasikuidulla on suurempi vetolujuus kuin teräksellä, mutta tavallisella lasilla niin ei yleensä ole. Tämä johtuu materiaalin muodonmuutoksiin liittyvästä jännitysintensiteettitekijästä. Samasta materiaalista tehdyistä kappaleista suuremmalla muodonmuutoksetkin ovat suurempia. Yleensä köyden vetolujuus on aina pienempi kuin sen yksittäisten säikeiden vetolujuuksien summa.
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Stress–strain curve
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Jännitys-venymäkäyrä Wikimedia Commonsissa
Ero teknisen ja todellisen jännitys-venymäkäyrän välillä
Tyypillinen venymän materiaalin jännitys-venymäkäyrä. 1 = murtolujuus, 2 = suhteellisuusraja, 3=katkeamispiste, 4 = tasaisen plastisen venymän alue, 5 = kuromavenymän alue
Hauraan (engl. brittle) ja venyvän (engl. ductile) materiaalin jännitys-venymäkäyrät toisiinsa verrattuna. Käyrän alapuolelle jäävän alueen pinta-ala vastaa materiaaliin varastoitunutta energiaa.
Käännös suomeksi
Puhos (Kitee)

Puhos on Kiteellä sijaitseva kylä. Se sijaitsee noin 15 kilometrin päässä Kiteen keskustasta vilkkaiden kulkuyhteyksien solmukohdassa. Puhos valittiin Vuoden kyläksi vuonna 2024. Puhoksesta on yhtä pitkä matka (noin 70 km) niin Joensuuhun kuin Savonlinnaankin, ja myös etelän suuntaan pääsee valtatietä 6 pitkin. Merkittävä osa Puhosta ja sen historiaa ovat vesistöt. Saimaan Orivesi ja Pyhäjärvi tuovat viihtyisyyttä alueelle, mutta varsinkin Orivesi on toiminut myös rahtilaivojen kulkureittinä. Edelleen Oriveden kautta kuljetetaan tukkilasteja uittamalla.
Puhoksen seurojentalo kantatieltä 71 päin nähtynä.
Vanha Puhos on viime vuosinamilloin? kehittynyt erinomaiseksi matkailukohteeksi. Historiallinen miljöö myllyineen ja perinnenavettoineen, alueen vieressä soliseva vanha kanava, Puhoskartanon leikkipuisto, matalarantainen uimapaikka, myllyravintola sekä ympäröivä luonto ja vesistöt muodostavat Vanhan Puhoksen.
Palvelut

Puhoksen Koivikoille valtatien 6 varteen sijoittuu Koivikon Kartano, ravintola, jäätelötehdas, lähikauppa ja Puhoksen puutarha.
Puhoksen kautta kulkevat Kiteen tärkeimmät vesi-, tie- ja raideyhteydet. Valtatie 6 (Loviisa–Kajaani) kulkee kylän läpi. Kantatie 71 (Kitee–Kerimäki) päättyy Puhokseen, jossa se yhtyy valtatiehen 6. Puhoksesta kulkee Kiteen keskustan kautta Tohmajärvelle seututie 486. Karjalan rata kulkee Puhoksen läpi ja Puhoksessa on rautatieasema, mutta matkustajajunat pysähtyvät Kiteen rautatieasemalla naapurikylä Tolosenmäessä noin 15 kilometrin päässä.
Lähipalveluihin kuuluvat muun muassa esi- ja alakoulu, lähikirjasto ja kotileipomo Unipulla. Matkailukeskus Pajarinhovin palvelut ovat joidenkin Puhoksen eteläisen osan asukkaiden ja erityisesti loma-asukkaiden lähipalveluita.
Puhoksen päiväkodin ja koulun toiminnassa painottuu luontokasvatus, taidekasvatus ja liikuntakasvatus. Päiväkodin ja koulun lähiympäristö metsineen tarjoaa puitteet monipuoliselle toiminnalle. Päiväkoti tekee säännöllisesti yhteistyötä Puhoksen esiopetuksen kanssa muun muassa järjestämällä yhteisiä juhlia, retkiä, tapahtumia ja leikkihetkiä.
Vanha Puhoksessa kesällä järjestettäviä tapahtumia ovat muun muassa kesänavaus, Vanhan Puhoksen juhannus, iltatorit, Perinnepäivät ja venetsialaiset. Marraskuussa Vanhassa Puhoksessa järjestetään Puhoksen valot -tapahtuma, joka on tunnelmallinen ja rento valotapahtuma, joka on parhaillaan tuonut Puhokseen 3 000 kävijää.
Historia

Puhoksen historiaan kytkeytyy olennaisesti Nils Ludvig Arppe, joka harjoitti siellä metsäteollisuutta. Arppen rakennuttama Suomen ensimmäinen höyrylaiva Ilmarinen tehtiin Puhoksessa. Puhoksen sahan / Puhoskartanon alue kuuluu Museoviraston listaamien valtakunnallisesti merkittävien rakennettujen kulttuuriympäristöjen joukkoon. Valtatien 6 ja kantatien 71 yhtymäkohdan tuntumassa sijaitsee puolestaan Arppen 1847 alulle laittama Suomen vanhin ja suurin yhtenäinen lehtikuusimetsä, Koivikon lehtikuusimetsä. Lehtikuusista oli tarkoitus tehdä laivoja, mikä jäi tekemättä Arppen kuoltua.
Elinkeinot > Teollisuus

Hexion Specialty Chemicals Oy (liimatehdas)
Stora Enso Timber Oy Ltd (Kiteen Saha) lakkautettu
Puhos Board Oy (lastulevytehdas) lakkautettu
Surfactor Finland Oy (pinnoitetehdas)
Karhu Sporting Goods (suksitehdas)
Havukainen Oy (lakkautettu)
Narskuttelu Oy (hammastuotteet, ksylitolituotteet), Puhoshalli
Nordic Koivu Oy (mahlatuotteet) Puhoshalli
Pura Nordica (luonnonkosmetiikka) Puhoshalli
Elinkeinot > Teollisuus > Puhoksen satama

Tehtaita palvelee Puhoksen satama. Sitä sekä Joensuun satamaa operoi sama yhtiö, Joensuun Laivaus Oy. Puhoksessa laivataan pääosin metsä- ja puuteollisuuden tuotteita. Puhos Satama Oy:n kapasiteetti on 2 700 m2 (terminaali 1) + 3 000 m2 (terminaali 2).
Elinkeinot > Teollisuus > Puhoksen kanavahanke

Joensuulainen kauppaneuvos Antti Juhana Mustonen omisti 1800-luvun lopulla Puhoksen ja Utran sahat. Hän suunnitteli rakentavansa kanavan Puhokseen sekä yksityisen rautatien Pyhäjärven ja Laatokan välille. Hän teki suunnitelmistaan ehdotuksen vuonna 1875. Tie- ja vesikulkulaitosten ylihallitus puolsi anomusta seuraavana vuonna. Suunnitelman mukaan Puhoksen koski olisi ohitettu noin 600 metriä pitkällä ja 1,78 metrin syvyisellä kanavalla. Sulku oli tarkoitus tehdä puusta ja kanavan varrelle oli tarkoitus rakentaa telakka. Suunnitelma hyväksyttiin vuoden 1876 lopulla ja työt käynnistyivät pian tämän jälkeen. Kaivu aloitettiin Pyhäjärven puolelta. Kanavaa kaivettiin noin 400 metriä ja jopa sulun paikkakin kaivettiin lähes täyteen leveyteen ja syvyyteen. Mustonen kuitenkin kuoli ja työt keskeytettiin. Seuraavina vuosikymmeninä tehtiin ainakin kolme anomusta töiden jatkamiseksi, mutta niitä ei hyväksytty. Paikallisesti kaivanto tunnetaan nimellä Mustosen kanava.
Elinkeinot > Matkailu

Valtatien 6 varressa sijaitsevassa Matkailukeskus Pajarinhovissa on muun muassa Suomen suurin yksityinen eläinpuisto.  Pajarinhoviin kuuluu myös Finlandia Hotels -ketjun hotelli, huviloita, hirsimökkejä, ravintola ja kahvila, tehtaanmyymälöitä, ohjelmapalveluja ja 400 neliömetrin tanssipaviljonki.
Puhoksessa on paljon rantaviivaa ja siten myös loma-asutusta. Orivesi ulottuu kylän keskustaan ja eteläistä osaa (Tasapää) reunustaa Pyhäjärvi. Nämä yhdistyvät toisiinsa Puhoksen kosken kautta, jossa on myös Pohjois-Karjalan Sähkön vesivoimalaitos. Puhoksen voimalaitoksen valmistumisvuosi on 1961. Sen putouskorkeus on 3,7 metriä ja suunnitteluvirtaama 20 m3/s. Kokonaisteholla 0,8 MW tuotetaan vuodessa energiaa 1 500 MWh.
Kone- ja kulttuuritapahtuma Puhoksen perinnepäivät heinäkuussa
Puhoksen perinnenavetan vintin näyttely
Puhoksen perinnenavetta

Puhoksen näyttävimpiä rakennuksia on kantatien 71 varrella oleva Puhoksen perinnenavetta. Rakennuksen omistaa Kiteen kaupunki. Keski-Karjalan perinnekoneyhdistys ry on vuokrannut rakennuksen jo 2010-luvulla erityisesti vuosittain heinäkuussa järjestettävän kone- ja kulttuuritapahtuma Puhoksen perinnepäivien tukikohdaksi.
Navetan vintille on koottu vuosien aikana näyttely, jossa on laaja kokoelma arjen tavaroita ja erikoisuuksia. Puhoksen koulu on koonnut näyttelyyn oman osion koulun historiaan liittyen. Näyttelyyn on saatu lahjoituksena myös muita kokonaisuuksia mm. tyypillistä 1940–1950-lukua esittelevä näyttely, Nils L. Arppen jäämistöä, hevostyökoneita ja maatalon koneita, Moottorisahoja, puutyöverstaan esineistö, huoltoaseman ravintolan kalustoa sekä viimeisimpänä Rääkkylä Seuralta muinaisveneen jäljennös. Rakennusta vuokrataan mm. juhlatilaksi. Perinnenavetta on valmistunut 1928, ja se on aikanaan toiminut Oy Kaukas Ab:n Puhoksen kartanon oman aikansa edistyksellisimpänä navettana. Navetan pinta-ala on yli 1 000 neliötä ja saman katon alle on rakennettu oma paikka lehmille, sioille, hevosille sekä kaluston ja heinien säilytykselle. Navetta on työllistänyt paikallisia monissa tehtävissä. Perinnenavetan ja alueen historiaan voi tutustua alueella olevien kylttien ja kuvausten avulla.
Puhoksen kehittämisyhdistys ry

Puhoksen kehittämisyhdistys ry perustettiin toukokuussa 2021. Yhdistyksen tavoitteena on Kiteen Puhoksen kehittäminen entistä vetovoimaisemmaksi ja mukavammaksi paikaksi asua ja elää. Yhdistys järjestää elämyksellisiä tapahtumia asukkaille ja matkailijoille. Yhdistys organisoi Puhoksen kylän viihtyvyyden lisäämiseksi talkoita ja muuta toimintaa. Yhdistys toimii aktiivisesti yhteistyössä muiden yhdistysten, toimijoiden ja Kiteen kaupungin kanssa.
Aiheesta muualla

Puhoksen historiaa (Arkistoitu – Internet Archive)
Arvokasta Kiteellä: Kiteen kulttuuriympäristöohjelma
Matkailukeskus Pajarinhovi
Puhoksen Perinnepäivät
Puhoksen seurojentalo ja urheilukenttä.
Talvinen kuva Puhoksesta
Suurimman uskottavuuden estimointi

Suurimman uskottavuuden estimointi on tilastotieteellinen menetelmä, jota käytetään tilastollisen mallin parametrien estimointiin. Suurimman uskottavuuden menetelmä maksimoi uskottavuusfunktion mallin parametrien suhteen.
Historia

Suurimman uskottavuuden estimointi on alun perin Ronald Fisherin vuosina 1912–1922 esittelemä ja nimeämä menetelmä. Alkuperäistä teoriaa ovat sittemmin paikkailleet niin Fisher kuin myös Abraham Wald ja Harald Cramér, jotka molemmat tekivät lisärajoituksia teorian oletuksiin.
Suurimman uskottavuuden historian voidaan kuitenkin katsoa alkavan jo paljon aikaisemmin. Joseph-Louis Lagrange päätteli jo vuonna 1769, että halutun keskiarvon todennäköisin arvo on havaintojen aritmeettinen keskiarvo. Myös muun muassa Jakob Bernoullin (1769, 1778) ja Pierre-Simon Laplacen (1774) voidaan katsoa käyttäneen menetelmää. Carl Friedrich Gauss esitteli vuonna 1809 pienimmän neliösumman menetelmän, jonka tuottamat estimaatit ovat myös suurimman uskottavuuden estimaatteja silloin, kun satunnaisvirheet ovat normaalijakautuneita. Karl Pearson ja L.N.G Filon käsittelivät vuonna 1898 yleisen tason estimointiongelmaa, jossa on joukko moniulotteisia havaintoja, joiden jakauma riippuu tuntemattomista parametreista.
Karl Pearson kritisoi Fisheriä ja suurimman uskottavuuden menetelmää siitä, ettei menetelmä uusi, vaan vain muunnos Gaussin esittämästä menetelmästä. Arthur Bowley vertasi suurimman uskottavuuden menetelmää Francis Ysidro Edgeworthin vuosina 1908-1909 tekemään työhön.
Määritelmä

Suurimman uskottavuuden menetelmän käyttämiseksi tarvitaan uskottavuusfunktio.
Olkoon
\theta  on vektori, joka sisältää uskottavuusfunktion parametrit
\{x_{1},x_{2},x_{3}\cdots x_{n}\} on  n havainnon otos (data)
f_{\theta } on datan todennäköisyysjakauman tiheysfunktio
Uskottavuusfunktio voidaan nyt määritellä seuraavasti
Menetelmä etsii  \theta :lle sellaisen estimaatin, joka maksimoi uskottavuusfunktion L(θ) arvon. Suurimman uskottavuuden estimaattori määritellään siis seuraavasti:
Usein oletetaan, että havainnot ovat toisistaan riippumattomia ja samoin jakautuneita. Tällöin voidaan lauseke kirjoittaa muotoon
Koska lineaarisen ja logaritmisen funktion ääriarvot löytyvät samoista pisteistä, voidaan sama esittää myös logaritmifunktioiden avulla, jolloin kertolaskun sijaan voidaan käyttää log-uskottavuutta, eli summaa
Suurimman uskottavuuden menetelmä estimoi θ0:n etsimällä sellaisen θ:n arvon, joka maksimoi uskottavuusfunktion. Tämä estimointimenetelmä määrää θ0:n suurimman uskottavuuden estimaatin
mikäli sellainen on olemassa. Suurimman uskottavuuden estimaatti on sama riippumatta siitä, maksimoidaanko uskottavuus- vai log-uskottavuusfunktiota, sillä logaritmi on monotonisesti kasvava funktio.
Ominaisuuksia

Suurimman uskottavuuden estimaattoreilla ei ole optimaalisia ominaisuuksia äärellisillä otoksilla. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä kuitenkin omaa useita haluttuja ominaisuuksia: Otoskoon kasvaessa kohti ääretöntä suurimman uskottavuuden estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet:
Tarkentuvuus: suurimman uskottavuuden estimaatit suppenevat kohti estimoitavaa arvoa
Asymptoottinen normaalisuus: otoskoon kasvaessa suurimman uskottavuuden estitmaattien jakauma lähestyy normaalijakaumaa
Tehokkuus, eli se saavuttaa Cramér–Rao alarajan otoskoon lähestyessä ääretöntä. Tämä tarkoittaa sitä, ettei millään tarkentuvalla estimaattorilla ole alhaisempaa keskineliövirhettä kuin suurimman uskottavuuden estimaatilla
Esimerkkejä > Jatkuva jakauma, jatkuva parametriavaruus

Normaalijakaumalla  {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}) on tiheysfunktio
jolloin yhteistiheysfunktio n:n kokoiselle otokselle riippumattomia ja identtisesti jakautuneita normaalisia satunnaismuuttujia on
eli
missä  {\bar {x}} on otoksen keskiarvo.
Tällä jakaumaperheellä on kaksi parametria θ = (μ, σ), joten maksimoimme uskottavuuden,  {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma )=f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ), molempien parametrien suhteen.
Nyt voidaan laskujen helpottamiseksi käyttää log-uskottavuutta, sillä sen maksimoivat samat parametrien arvot jotka maksimoivat uskottavuuden.
josta saadaan ratkaisu  \mu :n estimaatiksi
Joka on funktion maksimi  \mu :lle, sillä se on funktion ainoa käännepiste ja funktion toinen derivaatta on pienempi kuin nolla. Koska  {\hat {\mu }}:n odotusarvo on annetun jakauman parametrin  \mu  arvo,
niin suurimman uskottavuuden estimaattori  {\widehat {\mu }} on harhaton.
Vastaavasti derivoidaan log-uskottavuus σ:n suhteen ja asetetaan tulos nollaksi:
jonka ratkaisu on
ja sijoittamalla  {\widehat {\mu }} saadaan
Nyt odotusarvo voidaan laskea merkitsemällä   \delta _{i}\equiv \mu -x_{i}, jolloin saadaan estimaatiksi
ja hyödyntämällä tietoa  E\left[\delta _{i}\right]=0 ja  E[\delta _{i}^{2}]=\sigma ^{2}, saadaan
Tämä tarkoittaa sitä, että  {\widehat {\sigma }} on harhainen. Mutta  {\widehat {\sigma }} on kuitenkin tarkentuva.
Formaalisti sanotaan, että  \theta =(\mu ,\sigma ^{2}) :n suurimman uskottavuuden estimaattori on:
Riippuvat muuttujat

Moniulotteista normaalijakaumaa noudattavat satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia vain, mikäli niiden yhteistiheysfunktio on niiden tiheysfunktioiden tulo, eli
Olkoon nyt kokoa n oleva vektori satunnaismuuttujia  (x_{1},\ldots ,x_{n})\,, jossa jokaisella muuttujalla on keskiarvo  (\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})\,. merkitään lisäksi kovarianssimatriisi  \Sigma :lla.
Tällöin näiden n:n satunnaismuuttujan yhteistiheysfunktio on
Kahden muuttujan tapauksessa yhteistiheysfunktioksi saadaan
Tällaisissa tapauksissa, joissa yhteistiheysfunktio on olemassa uskottavuusfunktio määritellään, kuten yllä määritelmässä.
Aiheesta muualla

In Jae Myung: Tutorial on maximum likelihood estimation.  Journal of Mathematical Psychology, 2002.  (Arkistoitu – Internet Archive)
Stock, James H. - Watson, Mark W.: Introduction to Econometrics.  Addison Wesley, 2003.