Kaarevuus
Yleistyksiä

Matemaattinen kaarevuuden käsite voidaan määritellä myös paljon yleisemmissä yhteyksissä. Monet näistä yleistyksistä perustuvat kaarevuuden eri näkökohtiin sellaisina kuin ne ymmärretään alemmissa ulottuvuuksissa.
Muuan tällainen yleistys on kinemaattinen. Käyrän kaarevuus voidaan luonnollisesti ymmärtää kinemaattisesti suureeksi, joka kuvaa sitä voimaa, jonka käyrää pitkin kulkeva havaitsija kokee. Anaglogisesti kaarevuus korkeammissa ulottuvuuksissa voidaan käsittää eräänlaiseksi vuorovesivoimaksi, mikä onkin yksi tapa ajatella sektionaalista kaarevuutta. Tämä kaarevuuden yleistys riippuu siitä, kuinka lähelle toisiaan tai kauas toisistaan koehiukkaset päätyvät, kun niiden annetaan liikkua vapaasti avaruudessa. Tähän liittyy Jacobin kentän käsite.
Toiseen laaja-alainen kaarevuuden käsitteen yleistykseen päädytään tutkimalla yhdensuuntaissiirtoa pinnalla. Esimerkiksi jos vektoria siirretään silmukan ympäri jollakin pinnalla siten, että koko ajan pysyy samansuuntaisena, sen lopullinen asema ei välttämättä ole sama kuin alkuperäinen. Tätä ilmiötä sanotaan holonomiaksi. Monet kaarevuuden käsitteen yleistykset sisältävät abstraktissa muodossa tämän ajatuksen kaarevuudesta holonomian mittana. Tähän läheisesti liittyvä kaarevuuden käsite sisältyy fysikaaliseen mittakenttäteoriaan, jossa kaarevuus kuvaa kenttää ja kentän vektoripotentiaali on suure, joka yleensä riippuu reitistä: se voi muuttua, jos havaitsija kiertää silmukan ympäri.
Kaarevuuden yleistyksiä ovat myös skalaarikaarevuus ja Riccin kaarevuus. Kaarevalla pinnalla kuten pallopinnalla kiekon pinta-ala ei ole yhtä suuri kuin tasopinnalla olevan kiekon, jonka säde on sama. Skalaarikaarevuus mittaa tietyissä rajoissa tämä poikkeamaa. Kaarevalla pinnalla ja tasolla olevien kiekkojen sektoreiden pinta-alan mittana on Riccin kaarevuus. Sekä skalaari- että Riccin kaarevuus voidaan määritellä vastaavalla tavalla myös kolmessa tai useammassa ulottuvuudessa. Niillä on erityisen suuri merkitys yleisessä suhteellisuusteoriassa, jossa molemmat esiintyvät Einsteinin kenttäyhtälöissä sillä puolella, joka kuvaa aika-avaruuden geometriaa (yhtälöiden toinen puoli kuvaa aineen ja energian läsnäoloa). Näihin yleistyksiin perustuu esimerkiksi se käsitys, että kaarevuus voi olla metriikan ominaisuus.
Toinen kaarevuuden yleistys liittyy siihen, missä määrin jokin kaareutuva avaruus muistuttaa toista avaruutta, jonka kaarevuus on vakio. Tämä vertailu suoritetaan usein avaruuksiin piirrettyjen kolmioiden avulla. Kolmion käsite on merkityksellinen kaikissa metrisissä avaruuksissa, ja tähän perustuen voidaan muodostaa CAT(k)-avaruuksia.
Kaarevuuden geometrinen havainnollistaminen. Annetussa pisteessä P käyrällä on sama kaarevuus kuin piirretyllä ympyrällä, joka on tässä piirretty käyrän tangentin samalle puolelle kuin käyrä. Käyrä ja kaarevuusympyrän kehä näyttävät yhtyvän toisiinsa pisteen P ympäristössä.
Vektorit T ja N kahdessa tasokäyrän pisteessä, oikeanpuoleiseen pisteeseen liittyvät myös siirrettyinä yhden­suuntais­siirrolla vasemmanpuoleisesta pisteestä alkaviksi (pisteviivoilla). Tässä  \delta T osoittaa, minkä verran vektori T muuttuu siirryttäessä pisteestä toiseen, ja  \delta s on pisteiden välinen etäisyys. Rajatapauksessa  {\frac {\delta T}{\delta s}} on normaalin N suuntainen. Käyrän kaarevuus kuvaa järjestelmän pyörimisnopeutta.
Kaarevuuskampa
Kaarevuutta ja kiihtyvyysvektoria T′(s) esittävä animaatio
Satulapinta ja sen pääkaarevuuksien suuntaiset normaalitasot
Vektorin siirto käyrää pitkin reittiä A → N → B → A antaa tulokseksi toisen vektorin. Pinnan holonomia on mitta sille, missä määrin tämä poikkeaa alkuperäisestä vektorista. Kaareutumattomassa avaruudessa kulma α on nolla, kaareutuvassa nollasta suurempi kuin nolla. Mitä suurempi on avaruuden kaarevuus, sitä suurempi on kulma α.