stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
1040

| --- | --- |
Vuosisadat: 800-luku · 900-luku · 1000-luku · 1100-luku · 1200-luku
Vuosikymmenet: 990-luku · 1000-luku · 1010-luku · 1020-luku · 1030-luku · 1040-luku 1050-luku · 1060-luku · 1070-luku · 1080-luku · 1090-luku · 1100-luku
Vuodet: 990 · 991 · 992 · 993 · 994 · 995 · 996 · 997 · 998 · 999 1000 · 1001 · 1002 · 1003 · 1004 · 1005 · 1006 · 1007 · 1008 · 1009 1010 · 1011 · 1012 · 1013 · 1014 · 1015 · 1016 · 1017 · 1018 · 1019 1020 · 1021 · 1022 · 1023 · 1024 · 1025 · 1026 · 1027 · 1028 · 1029 1030 · 1031 · 1032 · 1033 · 1034 · 1035 · 1036 · 1037 · 1038 · 1039 1040 · 1041 · 1042 · 1043 · 1044 · 1045 · 1046 · 1047 · 1048 · 1049 1050 · 1051 · 1052 · 1053 · 1054 · 1055 · 1056 · 1057 · 1058 · 1059 1060 · 1061 · 1062 · 1063 · 1064 · 1065 · 1066 · 1067 · 1068 · 1069 1070 · 1071 · 1072 · 1073 · 1074 · 1075 · 1076 · 1077 · 1078 · 1079 1080 · 1081 · 1082 · 1083 · 1084 · 1085 · 1086 · 1087 · 1088 · 1089 1090 · 1091 · 1092 · 1093 · 1094 · 1095 · 1096 · 1097 · 1098 · 1099 1100 · 1101 · 1102 · 1103 · 1104 · 1105 · 1106 · 1107 · 1108 · 1109
Tapahtumia

Maaliskuu – Länsi Xian itsenäisyyssota.
23. toukokuuta – Dandanqanin taistelu.
17. kesäkuuta – Hardeknut otti Englannin kruunun itselleen.
14. elokuuta – Skotlannin kuningas Duncan I kuoli taistelussa serkkuaan ja vihollistaan Macbethiä vastaan.
Syntyneitä

Alfonso VI, Kastilian kuningas
Kuolleita

17. maaliskuuta – Harald Jäniksenkäpälä, Englannin kuningas
14. elokuuta – Duncan I, Skotlannin kuningas
Adenovirukset

| Adenovirukset |
| --- | --- |
 Elektronimikroskooppikuva adenoviruksesta.
Virusten luokittelu
Ryhmä::  Ⅰ dsDNA-virukset
Kunta::  Virukset
Heimo::  Adenovirukset Adenoviridae
Suvut
 Aviadenovirus  Atadenovirus  Ichtadenovirus  Mastadenovirus  Siadenovirus 
Katso myös
   Adenovirukset Wikispeciesissä   Adenovirukset Commonsissa 
Infobox OKNimi-testi OK: 
Adenovirukset (Adenoviridae) on sekä ihmisessä että eläimissä elävien virusten heimo. Ne ovat saaneet nimensä kitarisojen eli adenoidien mukaan, joista virus on ensimmäisenä eristetty. Adenovirus on vaipaton DNA-virus, joka on halkaisijaltaan noin 82 nanometriä. Viruksen DNA replikoidaan sen infektoiman solun tumassa, ja proteiinisynteesi tapahtuu solulimassa. Syntetisoidut proteiinit kuljetetaan tumaan, jossa virus kootaan.
Adenovirus kestää happamia ja emäksisiä olosuhteita, joten se säilyy ehjänä ruuansulatuskanavassa, jätevedessä ja uima-altaissa.
Ihmisen adenovirus-perheeseen kuuluu yli 50 erilaista serotyyppiä, jotka voivat aiheuttaa infektioita useissa eri elimissä, kuten keuhkoissa, hengitysteissä, silmissä, virtsarakossa, suolistossa ja maksassa. Adenovirukset voivat aiheuttaa infektioita myös sydämessä.
Tietokoneella tehty kuva adenoviruksen rakenteesta.
Adenovirukset aiheuttavat muun muassa lasten nielutulehduksia, flunssaa, silmä- ja hengitysteiden tulehduksia. Noin viisi prosenttia alle nelivuotiaiden lasten hengitystieinfektioista on adenoviruksen aiheuttamia.
Adenovirus aiheuttaa oireina oksentelua, kuumetta, löysää ulostetta ja flunssaa. Elimistön nestetasapaino on kovilla varsinkin pienillä vauvoilla. Adenovirus on melko lailla rotaviruksen kaltainen tauti. Ripulointi saattaa kestää useita viikkoja.
Suomessa varmistettiin 994 adenovirusinfektiota vuonna 2017.
Aiheesta muualla

Laji.fi: Adenoviridae
ViralZone: Adenoviridae (englanniksi)
Agniezka Cyl

Agniezka Cyl
Agniezka Cyl (s. 28. helmikuuta 1984 Jelenia Góra) on puolalainen ampumahiihtäjä, ammatiltaan opettaja.
Cyl osallistui Vancouverin olympialaisiin 2010, joissa hän sijoittui parhaimmillaan normaalimatkan kilpailuissa seitsemänneksi. Cyl on osallistunut myös viidesti ampumahiihdon maailmanmestaruuskilpailuihin. Siellä hänen paras sijoituksen on kolmastoista sija pikakilpailussa Hanty-Mansijskissa 2011. Ampumahiihdon maailmancupin osakilpailussa Cyl on parhaimmillaan sijoittunut kuudenneksi. Cupin kokonaistilanteessa Cyl on ollut parhaimmillaan kahdeskymmenestoinen kaudella 2010–2011.
Adeodato Giovanni Piazza

Adeodato Giovanni Piazza
Adeodato Giovanni Piazza (30. syyskuuta 1884 – 30. marraskuuta 1957) oli italialainen kirkonmies. Hän sai katolisen vihkimyksensä papiksi 19. joulukuuta 1908 ja piispaksi 24. helmikuuta 1930. Hän kuului paljasjalkaisten karmeliittojen sääntökuntaan.
Piazza toimi Beneventon arkkipiispana vuosina 1930–1935 ja sitten Venetsian patriarkkana 1935–1948. Hänestä tuli kardinaali 13. joulukuuta 1937. Hän oli aluksi kardinaalipappi, sitten vuodesta 1949 kardinaalipiispa. Hän oli myös Piispainkongregaation sihteerinä vuodesta 1948 kuolemaansa.
Piazza osallistui vuonna 1939 järjestettyyn konklaaviin, jossa valittiin uudeksi paaviksi Pius XII.
Aiheesta muualla

Catholic-hierarchy.org: Adeodato Giovanni Cardinal Piazza, O.C.D. (englanniksi)
36 Ophiuchi

| 36 Ophiuchi A/B/C36 Ophiuchi B |
| --- | --- |
Flamsteedin designaatio:  36 Ophiuchi
HR-designaatio:  HR 6402/6401/-
HD-designaatio:  HD 155886/155885/156026
Muut designaatiot:  GJ 663 AB, 664, CD CD-26°12026, GCTP 3908.00 AB/3913.00, LHS 437/438/439, SAO 185198/185199/185213, HIP 84405/84478.
Fyysiset ominaisuudet
Näennäinen kirkkaus:  5,05/5,08/6,34 mv
Absoluuttinen kirkkaus:  6,17/6,20/7,46 Mv
Valovoima:  0,28/0,27/0,09 aurinkoa
Spektriluokka:  K0 Ve/K1 Ve/K5 V
Väri-indeksi:  B-V 0,86(AB)/1,15 U-B 0,51(AB)/1,04
Lämpötila:  5125/5100/4550 K
Massa:  0,85/0,85/0,71 M☉
Säde:  0,81/0,81/0,72 R☉
Metallipitoisuus:  A: 50-98%Sun B: 120-250%Sun C: 46-100%Sun
Astrometriset ominaisuudet
Tähdistö:  Ophiuchus
Rektaskensio (J2000):  AB: 17h 15m 21s C: 17h 16m 13,4s
Deklinaatio (J2000):  AB: -26° 36' 10" C: -26° 32' 46"
Etäisyys:  19,5 valovuotta eli  5,97 parsekia
Parallaksi:  167,510,75 mas
Säteisnopeus:  +0,0/+0,5/-0,6 km/s
Ominaisliike:  -473,69-1143,93 mas/v
 Näkyy leveysasteiden 64° N  ja 90° S välillä. 
36 Ophiuchi on Käärmeenkantajan tähdistössä 19,5 valovuoden päässä sijaitseva kolmoistähti, jossa on kolme oranssia pääsarjan tähteä. C on 700 kaarisekunnin päässä AB:stä, joiden väli on 4,6 kaarisekuntia. A:n ja B:n kiertoaika on 568,9 vuotta ja soikeus 0,922, eli hyvin suuri. A:n ja B:n kromosfäärit ovat hyvin aktiivisia.
| --- | --- |
Tähdet:  α Oph, η Oph, ζ Oph, δ Oph, β Oph, κ Oph, ε Oph, θ Oph, ν Oph, 72 Oph, γ Oph, λ Oph, 67 Oph, 70 Oph, 44 Oph, χ Oph, 45 Oph, φ Oph, 36 Oph, σ Oph, ι Oph, ξ Oph, 68 Oph, ω Oph, ψ Oph, 47 Oph, ρ Oph, μ Oph, υ Oph, 20 Oph, 71 Oph, 41 Oph, τ Oph, 51 Oph, 66 Oph, 30 Oph, 74 Oph, 58 Oph, 24 Sco, HD 156681, 36 Oph, ο Oph, 23 Oph, τ Oph, 43 Oph, 37 Oph, 21 Oph, 24 Oph, 73 Oph, 14 Oph, 26 Oph, 12 Oph, 53 Oph, U Oph, ρ Oph, 16 Oph, 19 Oph, V986 Oph, 61 Oph, Y Oph, 29 Oph, 52 Oph, ο Oph, 18 Oph, Barnardin tähti, Wolf 1061, Gl 673, SN 1604
Eksoplaneetat:
Kaliumjodidi

| Kaliumjodidi |
| --- | --- |

Tunnisteet
CAS-numero:  7681-11-0
PubChem CID:  4875
Ominaisuudet
Molekyylikaava:  KI
Moolimassa:  166,0 g/mol
Ulkomuoto:  Valkoinen kristallimainen kiinteä aine
Sulamispiste:  680 °C (954 K)
Kiehumispiste:  1 330 °C (1 603 K)
Tiheys:  3,13 g/cm3
Liukoisuus veteen:  128 g / 100 ml (6 °C)
  
Kaliumjodidi (KI) on kaliumin ja jodin yhdiste, väritön suola, joka koostuu positiivisista kaliumioneista, K+ ja negatiivisista jodidi-ioneista (I-). Se on kaupallisesti tärkein jodiyhdiste ja vuonna 1985 sitä tuotettiin 37 000 tonnia. Se on vähemmän hygroskooppista kuin natriumjodidi, minkä vuoksi sitä on helpompi käsitellä. Ajan myötä kaliumjodidinäytteet muuttuvat keltaisiksi, koska osa jodidi-ioneista hapettuu vapaaksi jodiksi.
Rakenne, tuotanto ja ominaisuudet

Kaliumjodidi on ioniyhdiste, joka koostuu positiivisista kaliumioneista, K+, ja negatiivisista jodidi-ioneista, I-. Sillä on samankaltainen kuutiollinen kiderakenne kuin natriumkloridilla. Sitä esiintyy pieninä pitoisuuksina luonnonvesissä. Teollisuudessa puhdasta kaliumjodidia valmistetaan antamalla kaliumhydroksidin reagoida jodin kanssa.
Rakenne, tuotanto ja ominaisuudet > Kemialliset ominaisuudet

Koska jodi on heikko hapetin, jodidi-ionin I− voi helposti hapettaa vapaaksi jodiksi vahvoilla hapettimilla kuten kloorilla:
Tätä reaktiota käytetään jodin eristämiseen sen luonnossa esiintyvistä yhdisteistä. Ilmakin voi hapettaa jodidi-ionin jodiksi. Vahvojen happojen avulla kaliumjodidista voi valmistaa vetyjodidia, HI, joka on kaliumjodidia vahvempi pelkistin.
Muiden jodidisuolojen tavoin kaliumjodidikin reagoi jodin kanssa muodostaen trijodidia eli I3--ioneja:
Toisin kuin vapaa jodi, I2, trijodidisuolat liukenevat hyvin veteen. Tämän reaktion avulla jodia voidaan käyttää titraukseen. Kaliumtrijodidin liuosta, Lugolin liuosta, käytetään myös desinfiointiaineena sekä kullan etsaukseen.
Kaliumjodidia käytetään myös valokuvausfilmeissä tarvittavan hopeajodidin valmistamiseen:
Rakenne, tuotanto ja ominaisuudet > Orgaanisia yhdisteitä

Kaliumjodidia käytetään jodin lähteenä orgaanisissa synteeseissä.
Rakenne, tuotanto ja ominaisuudet > Biologinen merkitys

Jodidi-ioni on ihmiselle pieninä määrinä välttämätön hivenaine, jota tarvitaan tyroksiinin muodostamiseen. Sen puutos aiheuttaa struumaa.
Käyttö

Kaliumjodidia käytetään karjanrehujen lisäaineena, hopeajodidin valmistukseen sekä desinfiointiaineiden valmistukseen. Sitä myös lisätään pieniä määriä ruokasuolaan struuman ehkäisemiseksi. Sen kyllästettyä liuosta, josta käytetään lyhennettä SSKI, käytetään myös lääkkeenä sporotrichosikseen.
Käyttö > Säteilysuojelu

Ydinvoimaloissa syntyy fissiotuotteena muun muassa jodin radioaktiivista isotooppia I-131. Onnettomuustilanteissa sitä saattaa levitä ympäristöön, ja joutuessaan ihmisen elimistöön sitä voi kertyä vaarallisina määrinä kilpirauhaseen, jossa se voi aiheuttaa syöpää. Jos jodia kuitenkin on elimistössä ennestään riittävästi, ei näin mainittavassa määrässä tapahdu, vaan radioaktiivinen jodi erittyy pois.
Radioaktiivista jodia levisi ympäristöön esimerkiksi Tšernobylin ydinvoimaonnettomuudessa huhtikuussa 1986. Onnettomuuden jälkeen Puolassa annosteltiinkin tämän vuoksi 10,5 miljoonalle lapselle ja 7 miljoonalle aikuiselle kaliumjodidin kyllästettyä liuosta. Samaan tarkoitukseen kaliumjodidista valmistetaan myös joditabletteja.
| Ikä | KI-annos |
| --- | --- |
Yli 12 vuotta: 130 mg
3 – 12 vuotta: 65 mg
1 kuukausi – 3 vuotta: 32 mg
Alle 1 kuukausi: 16 mg
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
WHO:n ohjeet kaliumjodidin käytöstä ydinvoimalaonnettomuuksien tapahtuessa
Tietoa kaliumjodidista
41 (luku)

| --- | --- |
Luonnolliset luvut
41 ← 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 →
Kardinaaliluku: neljäkymmentäyksi
Järjestysluku: neljäskymmenesyhdes, neljäskymmenesensimmäinen
Tekijät: 1, 41
Alkutekijät:  41

Roomalainen numero: XLI
Binääriluku: 101001
Oktaaliluku: 51
Duodesimaaliluku: 35
Heksadesimaaliluku: 29
Vigesimaaliluku: 21
41 (neljäkymmentäyksi) on luonnollinen luku, jota edeltää luku 40 ja seuraa luku 42.
Matematiikassa

41 on alkuluku.
41 on Sophie Germainin alkuluku, koska  2\cdot 41+1=83 on myös alkuluku.
41 on Pythagoraan alkuluku:  10\cdot 4+1.
41 on 43:n alkulukukaksonen ja 37:n alkulukuserkku.
41!+1 on kertoma-alkuluku.
41 on keskitetty neliöluku, koska se voidaan muodostaa kahden peräkkäisen neliöluvun summana:  4^{2}+5^{2}.
41 on palindromi viisijärjestelmässä: 1315.
41 kuuluu Narayanan lehmiksi kutsuttuun lukujonoon.
41 esiintyy kahdessa jaottomassa Pythagoraan kolmikossa: (9, 40, 41) ja (41, 840, 841).
41 on kuuden ensimmäisen alkuluvun summa:  2+3+5+7+11+13.
41 voidaan muodostaa kolmen peräkkäisen alkuluvun summana:  11+13+17.
41 voidaan muodostaa kolmen neliöluvun summana kahdella tavalla:  6^{2}+2^{2}+1^{2} tai  4^{2}+4^{2}+3^{2}.
41 on pienin alkuluku, jonka kuutio voidaan muodostaa kolmen kuutioluvun summana kahdella tavalla:  41^{3}=2^{3}+17^{3}+40^{3}=6^{3}+32^{3}+33^{3}.
Kokonaislukujen 1–7 tekijöiden summa on 41.
Kaavalla  x^{2}-x+41 saadaan aina alkuluku, kun x on kokonaisluku väliltä 1–40.
41 on toinen alkuluku takaperin binäärijärjestelmässä:  41=101001_{2} ja  100101_{2}=37.
Luonnontieteissä

Jaksollisessa järjestelmässä niobiumin järjestysluku on 41.
Kalium-41 on kaliumin vakaa isotooppi.
Germanium-73 on germaniumin vakaa isotooppi, jonka neutroniluku on 41.
41 Daphne on pikkuplaneetta.
Messier 41 on avoin tähtijoukko.
Muissa yhteyksissä

41 on Sveitsin kansainvälinen suuntanumero.
PPŠ-41 oli neuvostoliittolainen konepistooli.
George H. W. Bush oli Yhdysvaltojen 41. presidentti.
Montana oli 41. Yhdysvaltoihin liittynyt osavaltio.
Eurooppatie E41 kulkee Saksan ja Sveitsin välillä.
Kantatie 41 kulkee Auran ja Huittisten välillä.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta 41 (luku) Wikimedia Commonsissa
Agnelli

Giovanni Agnelli (oikealla) ja Gianni Agnelli vuonna 1940
Agnellin suku on yksi Italian ja erityisesti Torinon elinkeinoelämän vaikutusvaltaisimmista suvuista.
Agnellit tunnetaan parhaiten autonvalmistaja Fiatin ja Ferrarin sekä jalkapalloseura Juventuksen omistajina. Suku käyttää edelleen huomattavaa valtaa niissä ja useissa muissa yrityksissä sijoitusyhtiöidensä kautta. Suvun tärkein holdingyhtiö on Exor.
Jäseniä

Giovanni Agnelli (1866–1945), Fiatin perustaja
Edoardo Agnelli (1892–1935), Giovannin poika, Fiatin johtaja, Juventuksen puheenjohtaja
Gianni Agnelli (1921–2003), Edoardon poika, Fiatin johtaja, Juventuksen puheenjohtaja
Susanna Agnelli (1922–2009), Edoardon tytär, poliitikko, Italian ulkoministeri
Umberto Agnelli (1934–2004), Edoardon poika, Fiatin johtaja, Juventuksen puheenjohtaja, poliitikko
Andrea Agnelli (1975–), Umberton poika, nykyinen Juventuksen puheenjohtaja
John Elkann (1976–), Giannin tyttärenpoika, nykyinen Fiatin hallituksen puheenjohtaja
2007 WD5

| 2007 WD5 |
| --- | --- |

Löytäminen
Löytäjä:  Mount Lemmon Survey
Löytöpäivä:  20. marraskuuta 2007
Fyysiset ominaisuudet
Absoluuttinen magnitudi:  24,3
Kiertorata
Kiertokohde:  Aurinko
Eksentrisyys:  0,60252  tai 0,595552773814265
Inklinaatio:  2,371 astetta tai 2,436214092235886 astetta
Keskianomalia:  313,4 astetta tai 42,67040600003651 astetta
Kiertoaika:  1 409,323296234428 vuorokautta
Periapsis:  0,9949547520390498 au
Apoapsis:  3,92511732471756 au
Radan isoakselin puolikas:  2,460036038378305 au
Aiheesta muualla
WD5 Minor Planet Center
JPL Small-Body Database
2007 WD5 on halkaisijaltaan noin 50-metrinen asteroidi ja NEO-kohde, joka havaittiin ensi kerran 20. marraskuuta 2007.
Asteroidia seurattiin loppuvuoden 2007 ja tammikuun 2008 aikana tiiviisti, koska alustavien arvioiden perusteella sillä oli suurimmillaan 3,9 % todennäköisyys törmätä Mars-planeettaan. Törmäysajankohdan lähestyessä todennäköisyys kuitenkin pienentyi huomattavasti ja oli 9. tammikuuta 2008 enää 1/10 000 eli 0,01 % Asteroidi lienee ohittanut Marsin lopulta reilun 20 000 kilometrin etäisyydeltä planeetan keskipisteestä (n. 17 000 km pinnasta)
Mahdollinen törmäys

Alustavien arvioiden mukaan 2007 WD5 olisi voinut iskeytyä planeetan pintaan 30. tammikuuta 2008. Osuman sattuessa se luultavasti olisi pudonnut pinnalle asti, koska Marsin kaasukehä on hyvin ohut ja jarruttaisi asteroidia vain vähän. Kappaleen arvellaan olevan samaa kokoluokkaa kuin Tunguskan räjähdyksen aiheuttaja vuonna 1908 ja iskeytyessään planeetan pintaan sellainen synnyttäisi noin kolmen megatonnin räjähdyksen, ja muodostaisi halkaisijaltaan noin 800 metrin kokoisen kraatterin. Tämä vastaa suurin piirtein Arizonan kraatterin kokoluokkaa. NASAn laskelman mukaan mahdollinen törmäyskohta sijaitsi pohjoiseen Opportunity-kulkijasta. Osuman sattuessa tämä olisi ollut ensimmäinen kerta, kun suurehkon asteroidin törmäystä kiviplaneettaan olisi voitu seurata nykyaikaisin menetelmin.
Ohituksen jälkeen

Vaikka 2007 WD5 suurella todennäköisyydellä lensikin Marsin ohi, aivan täyttä varmuutta tästä ei ole, sillä asteroidin nykyinen sijainti on tuntematon. Pienkappaleiden ja planeettojen lähiohituksille tyypilliseen tapaan asteroidin ja Marsin kohtaaminen on muuttanut 2007 WD5:n rataa tavalla, jota on mahdotonta arvioida tuntematta ohituksen tarkkoja yksityiskohtia. Mikäli tulevaisuudessa havaitaan asteroidi, jonka rata osoittaa sen olleen Marsin läheisyydessä vuonna 2008 tammikuun 30. päivän tienoolla, kyseessä on mahdollisesti 2007 WD5, mutta kohteen uudelleenlöytymisestä ei ole takeita.
Aiheesta muualla

Radan visualisointiappletti NASAn sivuilla
Mars. Sininen nuoli osoittaa 2007 WD5 -asteroidin tulosuunnan, oranssi viiva alueen, johon se olisi saattanut osua.
Adolphe-Josué-Frédéric Fiard

Adolphe-Josué-Frédéric Fiard (12. joulukuuta 1821 – 10. tammikuuta 1908) oli ranskalainen roomalaiskatolinen piispa. Hänet vihittiin papiksi 13. heinäkuuta 1845. Hänet konsekroi piispaksi Charles-Pierre-François Cottonin ja Louis-Joseph-Marie-Ange Vignen avustama Florian-Jules-Félix Desprez 25. tammikuuta 1882.
Fiard sai 1. syyskuuta 1881 nimityksen Montaubanin hiippakunnan piispaksi, jona hän toimi, kunnes kuoli 86-vuotiaana.
Integrointi moniulotteisessa avaruudessa

Kaksinkertaista integraalia voidaan käyttää kolmiulotteisen kappaleen tilavuuden määrittämiseen. Kuvan esimerkissä pinnan 



f
(
x
,
y
)
=
10
−




x

2


−

y

2



8




{\textstyle f(x,y)=10-{\frac {x^{2}-y^{2}}{8}}}

 alle jäävä tilavuus saadaan integroimalla funktio 



f


{\textstyle f}

 suorakaiteen muotoisen pohjan pinta-alan yli.
Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.
Kaksiulotteisen avaruuden 





R


2




{\textstyle \mathbb {R} ^{2}}

 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden 



f
(
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)}

 integraaleja kutsutaan kaksinkertaisiksi integraaleiksi ja kolmiulotteisen avaruuden 





R


3




{\textstyle \mathbb {R} ^{3}}

 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden 



f
(
x
,
y
,
z
)


{\textstyle f(x,y,z)}

 integraaleja vastaavasti kolminkertaisiksi integraaleiksi. Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.
Merkintätavoista

Tavanomaista, välillä 



[
a
,
b
]
⊂

R



{\textstyle [a,b]\subset \mathbb {R} }

 määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:
\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.
Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion 



f
(
x
,
y
)


{\textstyle f(x,y)}

 integraalia yli tason 



D
⊂


R


2




{\textstyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}

 (merkinnästä 





R


2




{\textstyle \mathbb {R} ^{2}}

 ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:
\iint _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} A.
Vastaavasti kolmen muuttujan funktion 



f
(
x
,
y
,
z
)


{\textstyle f(x,y,z)}

 integraalia yli avaruuden 



R
⊂


R


3




{\textstyle R\subset \mathbb {R} ^{3}}

 merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:
\iiint _{R}f(x,y,z)\,\mathrm {d} V.
Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa 



A
⊂


R


n




{\textstyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}

, missä 



n
∈

N



{\textstyle n\in \mathbb {N} }

, 



n
≥
3


{\textstyle n\geq 3}

, määritellyn funktion 



f
(

x

1


,

x

2


,
…
,

x

n


)


{\textstyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}

 integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:
\int \dots \int _{A}f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})\,\mathrm {d} V,
\int \dots \int _{A}f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\dotsc \mathrm {d} x_{n}.
Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):
\int _{A}f(x_{1},\dotsc ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\dotsc \mathrm {d} x_{n}, \int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V  tai  \int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} \mathbb {x} ,
missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää 



f
(

x

)
=
f
(

x

1


,

x

2


,
…
,

x

n


)


{\textstyle f(\mathbb {x} )=f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}

. Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.
Määritelmä

Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä . Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä . Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.
Määritelmä > Integrointi yleisen joukon yli

Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että 



I
=
[

a

1


,

b

1


]
×
[

a

2


,

b

2


]
×
…
×
[

a

n


,

b

n


]
⊂


R


n




{\textstyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsc \times [a_{n},b_{n}]\subset \mathbb {R} ^{n}}

 on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue 



A
⊂
I


{\textstyle A\subset I}

 ja funktio 



f
:
A
→

R



{\textstyle f:A\to \mathbb {R} }

 rajoitettu. Määritellään funktio 






f
^



:
I
→

R



{\textstyle {\hat {f}}:I\to \mathbb {R} }

 siten, että:
{\hat {f}}(\mathbb {x} )={\begin{cases}f(\mathbb {x} ),&{\text{ jos }}\mathbb {x} \in A\\0,&{\text{ jos }}\mathbb {x} \in I\,\backslash \,A.\end{cases}}
Jos 






f
^





{\textstyle {\hat {f}}}

 on integroituva yli 



I


{\textstyle I}

:n, niin myös funktio 



f


{\textstyle f}

 on integroituva yli 



A


{\textstyle A}

:n ja:
\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V=\int _{I}{\hat {f}}(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V.
Integraalin arvo ei riipu joukon 



I


{\textstyle I}

 valinnasta, kunhan 



A
⊂
I


{\textstyle A\subset I}

.
Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia

Olkoon seuraavassa 



n
∈

N



{\textstyle n\in \mathbb {N} }

, 



A
⊂


R


n




{\textstyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}

, 




x

=
(

x

1


,

x

2


,
…
,

x

n


)


{\textstyle \mathbb {x} =(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}

, funktiot 



f


{\textstyle f}

 ja 



g


{\textstyle g}

 integroituvia funktioita joukossa 



A


{\textstyle A}

 sekä 



a
∈

R



{\textstyle a\in \mathbb {R} }

 ja 



b
∈

R



{\textstyle b\in \mathbb {R} }

 vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:
\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V=\int _{\mathrm {int} (A)}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V (merkintä 




i
n
t

(
A
)


{\textstyle \mathrm {int} (A)}

 tarkoittaa joukon 



A


{\textstyle A}

 sisäpisteiden joukkoa).
\int _{A}1\,\mathrm {d} V = integrointialueen 



A


{\textstyle A}

 tilavuus (pinta-ala, jos 



n
=
2


{\textstyle n=2}

 ja pituus, jos 



n
=
1


{\textstyle n=1}

).
\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V=0, jos 




i
n
t

(
A
)
=
∅


{\textstyle \mathrm {int} (A)=\varnothing }

 (joukolla 



A


{\textstyle A}

 ei ole sisäpisteitä).
Funktio 



a
⋅
f
+
b
⋅
g


{\textstyle a\cdot f+b\cdot g}

 on integroituva joukossa 



A


{\textstyle A}

 ja  \int _{A}\left(af(\mathbb {x} )+bg(\mathbb {x} )\right)\,\mathrm {d} V=a\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V+b\int _{A}g(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V.
Jos 



f
(

x

)
≤
g
(

x

)


{\textstyle f(\mathbb {x} )\leq g(\mathbb {x} )}

 kaikilla 




x

∈
A


{\textstyle \mathbb {x} \in A}

, niin  \int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V\leq \int _{A}g(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V.
Kolmioepäyhtälö:  \left|\int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V\right|\leq \int _{A}\left|f(\mathbb {x} )\right|\,\mathrm {d} V.
Jos joukot 




A

1


,

A

2


,
…
,

A

k




{\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{k}}

 osittavat joukon 



A


{\textstyle A}

, niin  \int _{A}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V=\sum _{i=1}^{k}\int _{A_{i}}f(\mathbb {x} )\,\mathrm {d} V.