stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Eukleideen algoritmi
Esimerkkejä > Yleinen tapaus

Olkoot luvut a ja b kokonaislukuja ja b erisuuri kuin nolla. Käyttämällä toistuvasti jakoyhtälöä saadaan:
...
Algoritmi päättyy, koska luvut r0, r1, ...,rn muodostavat aidosti vähenevän jonon positiivisia kokonaislukuja.
Viimeinen jakojäännös rn jakaa (tasan) luvut a ja b:
Alimmasta yhtälöstä rn jakaa luvun rn-1.

Koska  r_{n-2}=q_{n}r_{n-1}+r_{n}, niin rn jakaa luvun rn-2

Näin jatkamalla saadaan lopulta, että rn jakaa b:n ja a:n.
Jos luvuilla a ja b on yhteinen tekijä c, ts. sanoen a ja b ovat tasan jaollisia luvulla c, c jakaa luvun r0, r1, ... yllä olevien yhtälöiden nojalla. Näin siis c jakaa luvun rn, joka on siten yhteisistä tekijöistä suurin.
Kiinalaisten käyttämä algoritmi

Kiinalaiset suorittivat saman algoritmin helmitaulussa seuraavasti:
Vähennä toistuvasti pienempi luku suuremmasta. Kun luvut ovat keskenään yhtä suuret, algoritmi päättyy ja kyseinen luku on suurin yhteinen tekijä.
Esimerkki etsitään syt(15,25).
25 = 1 * 15 + 10.

15 = 1 * 10 +  5.

10 = 2 *  5 +  0.
eli syt(15,25) = 5.
"Kiinalaisittain":
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 25 | 10 | 10 | 5 |
| 15 | 15 | 5 | 5 |
Todistus

Että Eukleideen algoritmi antaa tuloksena lukujen suurimman yhteisen tekijän, voidaan osoittaa kaksivaiheisella todistuksella. Ensin osoitetaan, että viimeinen nollasta poikkeava jakojäännös rN−1 on sekä a:n että b:n tekijä eli sekä a että b ovat sillä jaollisia. Koska se on niiden yhteinen tekijä, on se on joko pienempi tai yhtä suuri kuin niiden suurin yhteinen tekijä g, toisin sanoen  r_{N-1}\leq g Toisessa vaiheessa osoitetaan, että rN−1 on jaollinen jokaisella a:n ja b:n yhteisellä tekijällä, siis myös niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä g, mistä seuraa, että  r_{N-1}\geq g. Näistä kahdesta epäyhtälöstä seuraa, että  r_{N-1}=g
Ensimmäisessä vaiheessa siis osoitetaan, että sekä a että b ovat jaollisia luvulla rN−1.  Edellinen jakojäännös rN−2 on jaollinen rN−1:llä,
koska viimeinen jakojäännös rN on nolla. Myös sitä edeltävä jakojäännös rN−3 on jaollinen rN−1:llä
koska molemmat yhtälön oikealla puolella olevat termit ovat sillä jaollisia. Samaa päättelyä toistamalla todetaan, että kaikki edeltävät jakojäännökset sekä lopulta myös alkuperäiset luvut a ja b oat jaollisia luvulla rN−1.  Mikään aikaisemmista jakojäännöksistä, rN−2, rN−3 jne. ei ole a:n ja b:n tekijä, koska jäljelle jäi jakojäännös.  Koska rNrN−1 on a:n ja b:n yhteinen tekijä, on rN−1 ≤ g.
Toisessa vaiheessa osoitetaan, että jokainen luonnollinen luku c, jolla sekä a että b ovat jaollisia (toisin sanoen jokainen a:n ja b:n yhteinen tekijä) on myös rk:n tekijä (eli rk on jaollinen c:llä). Määritelmän mukaan a ja b voidaan esittää c:n monikertoina: a = mc and b = nc, missä m and n ovat luonnollisia lukuja. Näin ollen ensimmäinen jakojäännös, r0, on jaollinen c:llä, koska  r0 = a − q0b = mc − q0nc = (m − q0n)c. Vastaavalla tavalla osoittautuu, että c on myös jaollinen kaikilla myöhemmillä jakojäännöksillä r1, r2, jne.
Siksi suurimman yhteisen tekijän g on oltava myös rN−1:n tekijä, mistä seuraa, että g ≤ rN−1. Koska todistuksen ensimmäisessä vaiheessa osoitettiin, että kääntäen  (rN−1 ≤ g), seuraa tästä, että g = rN−1. Näin ollen g on lukujen a ja b sekä samalla kaikkien ketjussa peräkkäisten lukujen suurin yhteinen tekijä:
Sovelluksia

Eukleideen algoritmilla on monia teoreettisia ja käytännöllisiä sovelluksia. Ensinnäkin sen avulla voidaan sieventää murtolukuja, sillä osoittajan ja nimittäjän suurin yhteinen tekijä on suurin luku, jolla murtoluku voidaan supistaa. Sen avulla voidaan myös suorittaa jakolaskuja modulaariaritmetiikassa. Tähän algoritmiin perustuvat laskutoimitukset muodostavat myös osan salausprotollista, joiden avulla varmistetaan Internet-yhteyksien turvallisuus, mutta myös keinoissa, joilla tämä salaus puretaan jakamalla suuret luvut alkutekijöihin. Eukleideen algoritmilla voidaan myös ratkaista Diofantoksen yhtälöitä, esimerkiksi sellaisten lukujen etsimiseksi, jotka kiinalaisen jäännöslauseen mukaisesti toteuttavat moninkertaisia kongruensseja. Sitä käytetään myös ketjumurtolukujen konstruointiin sekä rationaalisten likiarvojen määrittämiseksi reaaliluvuilla. Sen avulla voidaan myös todistaa monia lukuteorian keskeisiä tuloksia, esimerkiksi Lagrangen neljän neliön lause sekä aritmetiikan peruslause, jonka mukaan jokainen yhtä suurempi kokonaisluku voidaan yhdellä ja vain yhdellä esittää alkulukujen tulona.
Kirjallisuutta

Kaleva, Osmo: Numeerinen analyysi.  (Opintomoniste 163)  Tampere:  TTKK, 1993.  ISBN 951-721-941-5
Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan.  Helsinki:  Gaudeamus, 2015.  ISBN 978-952-495-361-0
Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta .
Eukleideen algoritmi, online sovellus (Arkistoitu – Internet Archive)
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Euclidean algorithm
Eukleideen menetelmä kahden janan, BA ja DC, pituuksien suurimman yhteisen tekijän määrittämiseksi, kun molempien pituudet ovat saman "yksikköjanan" pituuden monikertoja. Kun DC on lyhempi, sitä käytetään BA:n "mittaamiseen", mutta vain kerran, koska jäljelle jäävä osa EA on lyhyempi kuin DC. EA mittaa nyt kahteen kertaan pienemmän alkuperäisistä janoista DC, jolloin jäljelle jäävä osa FC on pienempi kuin EA. Tämän jälkeen EA mittaa (kolmeen kertaan) pituuden EA. Koska jako nyt menee tasan, voidaan lopettaa tähän ja todeta, että suurin yhteinen tekijä on FC.  Oikealla Nikomakhoksen esimerkki luvuilla 49 ja 21, joiden suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi osoittautuu 7.
Käännös suomeksi
Oseanian historia

Oseanian historia kuvaa historian vaiheita Oseanian alueella. Väestö on tullut alueelle pääasiassa Kaakkois-Aasiasta ja asutus on levinnyt aikojen kuluessa saariryhmältä toiselle. Varhaisimmat eurooppalaiset tutkimusmatkailijat seikkailivat Oseanian alueella 1500-luvulla. Yleisesti Oseanian alueet joutuivat Eurooppalaisten valtioiden haltuun 1700-1800-luvuilla.lähde?
Oseanian varhaisimmat asuinpaikat olivat Melanesian alueella, Uudessa-Guineassa, Uudessa-Britanniassa, Uudessa-Irlannissa ja Bougainvillessa. Bismarckinsaaristossa syntyi Polynesiassa laajalle levinnyt Lapita-kulttuuri. Tähän kulttuuriin kuului saviesineiden, kuten ruukkujen, lautasten ja maljojen valmistus.
Australian alkuasukkaat, aborginaalit tulivat Australiaan pohjoisesta 20000-16000 vuotta sitten. Heidän muinaisiin uskomuksiin kuuluivat unimaailma, myytit ja legendat. Maorit saapuivat Uuteen-Seelantiin 800-1400-luvuilla. Ensimmäiset Australiaan saapuneet eurooppalaiset olivat portugalilaisia kauppiaita. Britit saapuivat Australiaan 1700-luvulla, jolloin Australia oli aluksi vankien karkoituspaikka.
Varhaisimmat asukkaat tulivat Melanesiaan Torresin salmen kautta 70000 vuotta sitten. Kaakkois-Aasiasta tuli 40000 vuotta sitten Uuteen-Guineaan väestöä, joka toi mukanaan varhaisen maanviljelytaidon. Myöhemmin väestöä tuli nykyisen Taiwanin alueelta. Asutus levisi Bismarckinsaaristoon ja Salomonsaarille noin 32000 vuotta sitten. Uuden-Kaledonian, Vanuatun ja Fidžin saaristoihin asutus saapui 1500-1000 eaa. Eurooppalaiset vierailivat ensimmäisiä kertoja Melanesiassa 1700-luvulla. Siirtomaakausi alkoi alueella 1800-luvulla ja se kesti yleisesti toisen maailmansodan jälkeiseen aikaan.
3000-1000 Taiwanin suunnalta saapui austronesialaisiin kansoihin kuulunutta väestöä Mikronesiaan ja Melanesiaan. Lapita-kulttuurin aikana asutus levisi itään ja 700 jaa mennessä asutus oli levinnyt suurimpaan osaan Polynesiasta. Ensimmäinen Polynesiassa käynyt eurooppalainen tutkimusmatkailija oli espanjalainen konkistadori Álvaro de Mendaña. Brittiläinen kapteeni James Cook seikkaili alueella 1800-luvun puolivälissä. Eurooppalaiset valtiot olivat vallanneet suurimman osan Polynesiasta 1900-luvun alkuun mennessä. Alueella oli useita liittoutuneiden tukikohtia toisen maailmansodan aikana.
Espanjalaiset tutkimusmatkailijat löysivät myös Mikronesian 1500-luvulla. Alueella liikkui lähetystyöntekijöitä 1800-luvun puolivälissä. Saksa valtasi Karoliinit aivan 1800-luvun lopussa. Japani valtasi alueita Mikronesiassa 1914.
Siouxit

Siouxit [ˈsiouksit] eli sioux’t [suːt] on yhteisnimitys dakotojen, lakotojen ja nakotojen  intiaanikansoille. Siouxien alkuperäiset asuinalueet sijaitsivat nykyisten Minnesotan ja Wisconsinin osavaltioiden alueella Yhdysvalloissa. 1700-luvun aikana lakotat erkanivat muista siouxeista ja ylittivät Missourijoen, jonka länsipuolella he omaksuivat Suurten tasankojen nomadien ratsastuskulttuurin. Dakotat muistetaan parhaiten vuoden 1862 Minnesotan kansannoususta. Lakotat puolestaan ovat jääneet historiaan erityisesti vuonna 1876 käydystä Little Bighornin taistelusta ja vuoden 1890 Wounded Kneen verilöylystä.
Siouxit eivät olleet kielellisesti tai kulttuurillisesti kovin yhtenäinen ryhmä, mutta Yhdysvaltojen hallinto rekisteröi heidät kaikki siouxeiksi 1800- ja 1900-luvuilla. Nykyisin puolet rekisteröityneistä siouxeista asuu reservaateissa Etelä- ja Pohjois-Dakotassa.
Historia > Varhaiset vuodet

Ensimmäinen dokumentoitu tieto siouxeista on vuodelta 1660, jolloin ranskalaisen turkiskauppias Pierre-Esprit Radisson seurueineen vieraili heidän kylässään. Ranskalaiset kutsuivat tapaamiaan intiaaneja nimellä Gens de boeuf (biisonin kansa). Nimi tuli siouxien tavasta käyttää biisoninnahasta tehtyjä vaatteita ja asumuksia. Tapaaminen sujui ystävällisissä merkeissä ja ranskalaiset onnistuivat solmimaan rauhan siouxien ja heidän pohjoisten vihollistensa creiden välille.
Joitakin vuosia myöhemmin kristinuskoa levittäneet ranskalaiset jesuiitat Claude-Jean Allouez ja Jacques Marquette vierailivat siouxien kylissä. Allouezin mukaan siouxit olivat hyvin sotaisessa maineessa ja laajalti pelättyjä Isojenjärvien alueella. 1670-luvun alussa itäisimmät siouxit ajoivat pois Wisconsinista huronien pakolaiset, jotka olivat paenneet irokeesien hyökkäyksiä Ontariosta asti. Samalla aikakaudella Yläjärven läntisillä rannoilla asuvat ojibwat riitaantuivat siouxien kanssa Pohjois-Minnesotan metsästysalueista. Vuosikymmenien mittainen rauha siouxien ja ojibwojen välillä solmittiin nykyisen Duluthin paikalla asuvien ranskalaiskauppiaiden välittäminä vuoden 1679 aikana.
Vuonna 1680 Daniel Greysolon, Sier du Luth (Duluthin perustaja), ja lähetyssaarnaaja Louis Hennepin vierailivat dakotojen Izatys-nimisessä kylässä Minnesotassa (joskus käytetty nimeä Kathio). Greysolon pystytti kylään Ranskan lipun sotilaalliseksi muistomerkiksi käynnistään. Isä Hennepin kirjoitti kokemuksistaan siouxien parissa laajan selonteon, josta selvisi hänen joutuneen kolmeksi kuukaudeksi dakotojen vangiksi eräässä toisessa kylässä ennen vierailuaan Kathiossa.
Vuonna 1701 siouxien lähetystö matkusti Montrealiin, jonne ranskalaiset olivat kutsuneet kymmenien intiaanikansojen edustajia rauhaa ja ystävyyttä vahvistamaan. Lähes 1300 intiaania vietti Uuden-Ranskan kera suurta keskikesän juhlaa ja sopi monista kaupan- ja sodankäyntiin liittyvistä ehdoista. Neuvottelujen lopputuloksena ranskalaiset tekivät rauhansopimuksen 38 eri kansakunnan kanssa. Siouxit eivät piirtäneet puumerkkiään rauhansopimukseen, koska yksikään mukana olleista intiaanikansoista ei halunnut olla missään tekemisissä heidän kanssaan.
1730-luvulla siouxit ja ojibwat riitaantuivat 1679 tehdyn rauhan jälkeen. Seuranneissa sodissa siouxit joutuivat vetäytymään tuliaseilla varustettujen ojibwojen alta. Monet dakotojen kylät joutuivat ojibwojen haltuun. Lakotat ja nakotat jättivät samoihin aikoihin omat kylänsä ja valtasivat elintilaa Etelä-Dakotassa ja Nebraskassa, jossa asuneet arikarat joutuivat jättämään kymmenkunta suurta kyläänsä siouxien eri heimojen miehittäessä ne.
Historia > Tasangoille siirtyminen

Lakotat ulottivat pyyntimaansa 1700-luvun puolivälissä Missourijoen länsipuolelle. Saatuaan cheyennien avulla ensimmäiset hevosensa ("henkikoiransa") lakotoille avautui uudenlainen tapa metsästää biisoneita ja liikkua vaivattomasti tasangoilla. Asumiseen huonosti soveltuvat preerioiden ylänköarot tarjosivat metsästäjille paratiisin. Suurien vaeltavien biisonilaumojen saalistaminen hevosten selästä oli vaivatonta. Biisoni tarjosi kaiken mitä lakotat tarvitsivat. Idempänä asuvat nakotat ja dakotat omaksuivat myöhemmin osan tästä elämäntyylistä opittuaan ratsastamaan 1770-luvulla. He eivät luopuneet kuitenkaan kokonaan maanviljelystä. Siouxeista kehittyi pohjoisten tasankojen valtiaita. Heitä pelättiin laajoilla alueilla Isoiltajärviltä aina Kalliovuorille asti.
Historia > Uudisasutuksen leviäminen

1700- ja 1800-lukujen taitteessa kaikkien siouxheimojen lukumäärän on arveltu olleen vähintäänkin 25 000 henkeä. Valkoisen väestön mukana tulleet vitsaukset, kuten erilaiset kulkutaudit, harvensivat muiden intiaanien ohella myös siouxien rivistöjä. Lakotat siirtyivät asumaan kokonaan Missourin länsipuolelle. He jatkoivat sotimista tasankojen muita heimoja vastaan ja joutuivat joihinkin yhteenottoihin myös amerikkalaisten turkismetsästäjien kanssa. Vuonna 1830 lakotat solmivat rauhan arapahojen ja cheyennien kanssa, jotka aiemmin olivat kuuluneet vihollisiin. Nopeasti etenevä uudisasutuksen leviäminen tasangoille mursi pysyvät intiaanirajat. 1840-luvulla Yhdysvaltain hallituksen edustajat aloittivat toistuvat neuvottelunsa kauttakulkuoikeuksista siouxien kylissä. Viimeistään tässä vaiheessa yhä useammat tasankojen heimot alkoivat etsiä liittolaisia itselleen.
Syyskesällä 1851 noin 10 000 intiaanin lähetystö kokoontui Horse creekiin lähelle Fort Laramieta neuvottelemaan Amerikan hallituksen kanssa kauttakulkusopimuksista ja niiden noudattamisesta.. Siouxien lisäksi paikalla oli arapahojen, cheyennien, arikarojen ja hidatsojen edustajia. Kunkin intiaaniheimon rajat merkittiin tarkoin ja kaikkien siouxien yhteiseksi päälliköksi valittiin Voittoisa Karhu (Conquering Bear). Yhdysvaltain senaatti ei kuitenkaan koskaan hyväksynyt sopimuksen kaikkia ehtoja ja intiaanit tunsivat itsensä petetyiksi. Voittoisa Karhu yritti rauhanomaisin keinoin hoitaa omia velvollisuuksiaan, mutta ristiriidat johtivat väistämätöttömään sotatilaan. Voittoisan karhun elämä päättyi Grattanin verilöylyssä 1854 amerikkalaisten tykkien yhteislaukaukseen. Eräs taistelun silminnäkijä oli nuori oglala-lakota nimeltään nimeltään Hullu Hevonen (Crazy Horse).
Samalla vuosikymmenellä myös dakotat ajautuivat vaikeuksiin Minnesotassa, jonne heidät oli sijoitettu hallituksen taivuttamina reservaattiin. Joukko uudisasukkaita oli surmattu ja syy vieritettiin dakotojen niskoille. Eräänlaisena kostotoimenpiteenä hallitus riisti osan jo ennestään pienestä dakotareservaatista. Intiaanit yrittivät pysyä rauhallisina, mutta tilanne ajautui vääjäämättä kohti suurta katastrofia. Uudisasukkaat alkoivat kohdella dakotoja loukkaavasti. Kun Abraham Lincoln valittiin vuonna 1860 uudeksi Yhdysvaltain presidentiksi vaihtuivat myös reservaattien asiamiehet. Uusien intiaaniagenttien ongelmaksi osoittautui kokemattomuus, joka näkyi monina virheinä. Hallituksen määrärahoja ei toimitettu sopimuksen mukaisesti reservaattiin. Tämä teki intiaaneista nälkäisiä ja vihaisia. Kun he pyysivät ruoka-annoksiaan, heidän käskettiin syödä ruohoa ja omia ulosteitaan. Rauhallisina pidetyt dakotat aloittivat kapinan ja surmasivat lähes 500 Minnesotan uudisasukasta. Idästä apuun lähetetyt joukot lopettivat sotatilan ja osa kapinallisista päätyi hirttolavalle, mutta suurten intiaanisotien ensitahdit oli lyöty. Tästä eteenpäin siouxien ja amerikkalaisten riitaisuudet levisivät kauas tasangoille.
Historia > Voitto Little Bighornissa

Tulevassa sodassa Yhdysvaltoja vastaan taistelivat lähes kaikki lakota-siouxien heimot yhdessä cheyennien ja arapahojen kanssa. Useampia tuhansia sotureita (arvioita kymmenestätuhannesta soturista on esitetty) käsittävän sotajoukon johtajina toimivat Istuvan Härän lisäksi Hullu Hevonen, Musta Kuu ja Gall, sekä koko joukko muita päälliköitä. Myös Yhdysvaltain joukot turvautuivat intiaani-liittolaisiin, sillä pawneet, crowt, arikarat ja itäiset shoshonit sotivat sotilaiden rinnalla siouxeja vastaan.
Kesällä 1876 tapahtuneessa Little Bighornin taistelussa kenraalimajuri George Armstrong Custer johti Montanassa yli 200-miehisen seitsemännen ratsuväkirykmenttinsä varmaan kuolemaan tietämättä mitään vastustajiensa murskaavasta sotilaallisesta ylivoimasta. Hullun Hevosen ja Gallin johtamat intiaanit tuhosivat Custerin joukot viimeiseen mieheen. Yhdysvaltain ratsuväki oli joutunut ansaan ruohikossa piileskelleiden siouxien ja cheyennien keskelle. Monet taisteluun osallistuneet intiaanit väittivät surmanneensa Custerin. Yksi tunnetuimmista "Custerin surmaajista" oli lakotojen Sadekasvo (engl. Rain-in-the-Face). Monia vuosia taisteluiden jälkeen päällikkö Istuvan Härän sisarenpoika Valkoinen Härkä väitti koskettaneensa Custeria ja surmanneensa tämän. Hän piirsi tapauksesta myös kuvan, mutta ei ole varmaa oliko hänen uhrinsa todellakin kenraali Custer.
Custerista tuli suuri sankari kuolemansa jälkeen ja lehdistö paisutteli hänen urotekojaan. Valkoinen väestö vaati pikaista kostoa intiaaneille ja suuria sotilasjoukkoja lähetettiin tasangoille kostamaan Little Bighornin verityöt. Intiaanien puolella nuoria sotureita ilmaantui eri reservaateista liittyäkseen Istuvan Härän johtamiin joukkoihin. Yhdysvaltain sotilaallinen ylivoima kuitenkin pakotti intiaanit antautumaan seuraavien vuosien aikana. Sotilaiden vangiksi joutunut Hullu Hevonen kuoli pistimen iskusta vatsaan vuoden 1877 syksyllä. Kanadaan paennut Istuva Härkä antautui Yhdysvaltain armeijalle 1881 ja istui kaksi vuotta sotavankina. Suurin osa hänen johtamistaan intiaaneista oli palannut  omiin reservaatteihinsa. Biisonit oli metsästetty lähes sukupuuttoon ja pohjoisten tasankojen metsästäjistä ja sotureista muotoutui katkeroituneita farmareita.
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| ” | 'He antoivat meille monia lupauksia. Useampia kuin voin muistaa. Mutta he pitivät vain yhden. He lupasivat viedä maamme. Ja veivät sen.' | ” |
– Lakota-päällikkö Punainen Pilvi.
Historia > Henkitanssista Wounded Kneehen

Vuosina 1889 - 1890 siouxeille paljastui reservaattielämän todellinen ankeus. Lakotojen poliittinen järjestelmä oli hajonnut, heidän uskonnolliset seremoniansa tukahdutettu, metsästykseen perustuva talous tuhottu ja lapset viety kaukaisiin kouluihin oppimaan valkoisen miehen tapoja.
Minneconjou-siouxien päällikkö Potkiva Karhu toi lakotojen keskuuteen 1880-luvun lopulla henkitanssin, joka oli lähtöisin paiuteintiaani Wovokalta Kalliovuorten länsipuolelta.. Hypnoottiseen transsitilaan joutuminen oli tanssin eräs tunnusomaisista piirteistä.  Lakotat saivat Wovokan sanoman myötä osan kadottamastaan elämänhalusta takaisin ja tanssivat yötä päivää. Henkien tanssin uskottiin herättävän eloon kuolleet soturit, tuovan takaisin puhvelit ja palauttavan valkoisille menetetyt maat.  Koulut tyhjenivät ja lehdet lietsoivat pelkoa väittämällä intiaanien nousevan sotajalalle Yhdysvaltoja vastaan. Viranomaiset pelkäsivät Istuvan Härän liittyvän aavetanssin aiheuttamaan hurmosliikkeeseen ja monet pitivät häntä koko uskonnollisen liikkeen alulle laittajana. Varmuuden vuoksi Istuva Härkä päätettiin vangita. Vangitseminen ei sujunut ilman ongelmia, sillä joukko hunkpapa-sotureita kävi vangitsijoina toimineiden intiaaniupseerien kimppuun. Syntyneessä kahakassa Istuva Härkä sai luodin päähänsä. Hän kuoli joulukuussa vuonna 1890.
Henkien tanssiin osallistuneista hunkpapa- ja minneconjou-siouxeista osa pakeni Wounded Knee creekiin, jossa Yhdysvaltain armeijan joukot saartoivat heidät lumiselle preerialle ja riisuivat aseista. Erään intiaanin kädessä oleva ase laukesi vahingossa, jonka seurauksena sotilaat alkoivat ampua silmittömästi kohti antautuneita lakotoja. Edesmenneen kenraalimajuri George Custerin "kunniaksi" surmattiin lähes 300 intiaania. Tästä joukosta yli puolet oli naisia ja lapsia. Jäiselle preerialle haavoittuneina jätetyt uhrit menehtyivät kylmyyteen ja osa eloonjääneistä vietiin lähistöllä olevaan kirkkoon. "Intiaanit istuivat siellä olkien päällä. He olivat hyvin hiljaisia. Näin kurkkuun haavoittuneen pojan istuvan äitinsä sylissä. Annoin pojalle vettä ja poika tarttui mukiin kuin olisi kuolemassa janoon ja joi mutta vesi tuli kurkun haavasta ulos. Kutsuin lääkärin paikalle joka pysähtyi ovelle ja kalpeni... En ole ennen nähnyt valkoisen miehen kalpenevan intiaanien edessä... Lääkäri kertoi myöhemmin ettei ollut koskaan ennen nähnyt niin seulaksi ammuttuja naisia ja lapsia istumassa sellaisen julisteen alla mikä katosta riippui: "MAASSA RAUHA JA IHMISILLÄ HYVÄ TAHTO".
Wounded Kneen verilöylyä pidetään yleisesti 1800-luvun intiaanisotien päätepisteenä, joka lopullisesti mursi tasankointiaanien vastarinnan.
Kulttuuri > Pääryhmiä ja heimonimiä

Sioux-nimi (pienet kyyt) oli ojibwaykielinen. Siouxit itse pitivät saamaansa nimeä erittäin loukkaavana. Siouxit muodostivat keskenään "Seitsemän neuvoston tulen", joka käytännössä toimi vahvana heimoliittona. Heidät voidaan jakaa myös kolmeen pääryhmään kielen ja kulttuurin perusteella:
Dakotat eli santeet muodostivat itäisimmän ryhmän, joihin kuuluvista neljästä heimosta tunnetuimmat olivat m`dewekantonit ja sissetonit. Heidän kulttuuriinsa jakaantui tasanko- ja metsä-intiaanien kesken.
Lakotat eli tetonit olivat läntisimpiä siouxeja, jotka tunnetaan metsästys- ja soturikulttuuristaan. He jakaantuivat seitsemään eri heimoon, joista tunnetuimmat olivat oglalat, brulet ja hunkpapat. Lakotat edustivat juuri sitä ratsain liikkuvaa tasankointiaanin prototyyppiä, joka on tullut tutuksi niin kirjoista kuin elokuvistakin.
Nakotat eli yanktonit olivat puolittaisia maanviljelijöitä, joihin kuuluivat yanktonait. Assiniboinet olivat erkaantuneet tästä siouxien haarasta 1600-luvun alussa.
Siouxien kulttuurista tuli varsin epäyhtenäinen, koska he levittäytyivät niin laajoille alueille. Tullessaan tasangoille heidän kulttuuriinsa tarttui ympäristössä jo asuneiden heimojen tapoja. Siouxien riiteistä on löydetty myös paljon samankaltaisuuksia ojibwojen kanssa; näistä esimerkkinä arvostettujen parantajien Midiwinin-salaseura. Siouxeilla lienee ollut alun perin käytössään myös ojibwojen kaltainen klaanijärjestelmä, jossa jokaiselle klaanille oli jaettu erilaisia tehtäviä koko kansakunnan yhteiseksi hyväksi. Luotettavat tiedot heidän klaanisysteemistään kuitenkin puuttuvat.
Läntisimmät siouxit lakotat nousivat oman suullisen perimätietonsa mukaan "Maan alta", ja asettuivat Black Hillsin, joka muodostui heidän suureksi uskonnolliseksi keskuspaikakseen. Mustien vuorien ympäristöjä aiemmin asuttaneet kiowat joutuivat vetäytymään vuodesta 1775 lähtien kohti etelää lakotojen maahanmuuton seurauksena. Mustista vuorista tuli seuraavan sadan vuoden ajaksi siouxien Seitsemän neuvoston tulen  uskonnollinen keskuspaikka, jonka valvojiksi lakotat oli valittu. Joka vuosi erilaiset uskonnolliset ja sosiaaliset tilaisuudet saivat Seitsemän neuvoston tulen syttymään monia kertoja Mustilla vuorilla.
Kulttuuri > Sukulaiset ja viholliset

Siouxien asuinalueiden tuntumassa asustavat iowat, osaget, omahat, kansat, ja poncat olivat itsenäisiä kansoja, joilla ei varsinaisten siouxien kanssa ollut muuta yhteistä kuin kaukainen kielisukulaisuus. Heidän välinsä siouxeihin olivat vihamieliset. Varhain siouxeista erkaantuneet assiniboinet olivat niin ikään kaikkien siouxheimojen katkeria vihamiehiä. Siouxien verivihollisista voidaan mainita vielä etelän pawneet, pohjoisen creet, lännen crowt sekä idän ojibwat. Yleisesti voidaan todeta, että siouxit olivat kaikkien tasangoilla ja vuoristoissa asuvien heimojen vihollisia. Vasta 1830-luvun alussa he solmivat sotaliiton cheyennien ja arapahojen kanssa vahvistaakseen voimaansa Yhdysvaltoja vastaan.