stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Homografia
Määritelmä ja esitys homogeenisilla koordinaateilla

n-ulotteinen projektiivinen avaruus kunnan K yli voidaan määritellä suorien joukoksi n+1 -ulotteisessa vektoriavaruudessa, jonka kerroinkunta on K. Jos V:n kanta on kiinnitetty, jokainen V:n piste voidaan esittää Kn+1:n pisteenä  (x_{0},\ldots ,x_{n}). Koska P(V):n piste on V:n suora, se voidaan esittää minkä tahansa tämän suoran pisteen koordi­naateilla, origoa lukuun ottamatta, ja näitä sanotaan projek­tiivisen avaruuden pisteen homo­geenisiksi koordi­naateiksi.
Jos on annettu kaksi yhtä moni­ulotteista projek­tiivista P(V) ja P(W), homo­grafia on vektori­avaruuksien välisen isomorfismin  f:V\rightarrow W indusoima kuvaus P('V):sta P(W):hen. Koska f on lineaarinen, tällainen iso­morfismi indusoi bijektion P('V):sta P(W):hen. Kaksi isomorfismia, f ja g, indusoivat saman homo­grafian, jos ja vain jos K:ssa on alkio a, joka ei ole nolla-alkio ja jolle g = af.
Tämä voidaan esittää homo­geenisilla koordi­naateilla seuraavasti: Homografia f voidaan määritellä kääntyvällä n+1 × n+1 -matriisilla [ai,j], jota sanotaan homografiamatriisiksi. Pisteen x homo­geenisten koordi­naattien  [x_{0}:\cdots :x_{n}] ja sen kuva­pisteen y = f(x) koordi­naattien välillä on relaatio
Kun projek­tiiviset avaruudet on määritelty lisäämällä affiineihin avaruuksiin äärettö­myydessä olevia pisteitä (projektiivinen täydennys), nämä kaavat voidaan esittää affiineilla koordi­naateilla seuraavasti:
mikä yleistää seuraavassa osiossa käsiteltävää homo­grafista funktiota. Tämä määrittelee vain osittaisfunktion affiinen avaruuksien välille, sillä funktiota ei ole määritelty hypertasolla, jossa nimittäjä on nolla.
Projektiivisen suoran homografiat

Projektiivinen suora kunnan K yli voidaan samastaa sen joukon kanssa, joka saadaan lisäämällä K:hon yksi piste, jota sanotaan äärettö­myydessä olevaksi pisteeksi ja merkitään ∞. Kun projek­tiiviset suorat määritellään näin, homo­grafioita ovat kuvaukset
joita snotaan homo­grafisiksi funktioiksi tai lineaari­siksi fraktio­naali­siksi muunnoksiksi.
Projektiivinen suora kompleksilukujen kunnan yli tunnetaan Riemannin pallona, ja sen homogra­fioita sanotaan Möbius-kuvauksiksi. Ne ovatkin ainoat Riemannin pallon bijektiot itselleen, joissa orientaatio säilyy ja jotka ovat konformi­kuvauksia.
Kollineaatioiden teoriassa projektiiviset suorat ovat erikois­asemassa yksi­ulotteisuutensa vuoksi. Kun suoraa pidetään itsenäisenä projek­tiivisena avaruutena, jokainen sen pisteiden permutaatio on kollineaatio, sillä mitkä tahansa pisteet ovat samalla suoralla. Jos projek­tiivinen suora kuitenkin upotetaan useampi­ulotteiseen projektiivisen avaruuteen, tätä avaruuden geometrista rakennetta voidaan käyttää muodostamaan suoralle geometrinen rakenne. Synteettisessä geometriassa käsitellään sen vuoksi vain niitä projek­tiivisen suoran homografioita ja kolline­aatioita, jotka saadaan tämän useampi­ulotteisen avaruuden homo­grafioista ja kollineaatioista. Tällöin projektiivisen geometrian peruslause pätee myös yksi­ulotteisessa tapauksessa. Projek­tiivisen suoran homo­grafia voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös kuvaukseksi, jossa kaksoissuhde säilyy.
Keskeiskollineaatiot

Edellä homo­grafiat on määritelty lineaari­algebran avulla. Synteetti­sessä geometriassa ne on vanhastaan määritelty tiettyjen keskeis­kollineaatioiksi nimitettyjen homo­grafioiden yhdistetyiksi kuvauksiksi. Projektiivisen geometrian perus­lauseen yksi osa on se, että nämä määritelmät ovat yhtä­pitävät.
Projektiivisessa avaruudessa P, jonka ulottuvuus on n = 2, P:n kollineaatio on sellainen bijektio P:stä itselleen, jossa suorat kuvautuvat suoriksi. Keskeis­kollineaatio, jota ainakin aikaisemmin on sanottu myös perspek­tivi­teetiksi, on sellainen bijektio a P:stä itselleen, että on olemassa hypertaso H, jonka kaikki pisteet kuvautuvat itselleen (tätä hypertasoa sanotaan a:n akseliksi) ja piste O (jota sanotaan a:n keskukseksi), jonka kautta kulkevat suorat kuvautuvat kaikki itselleen (mikä ei kuitenkaan edellytä, että näiden suorien jokainen pistekin kuvautuisi itselleen.) Keskeisollineaatioita on kahta tyyppiä. Elaatiot ovat keskeis­kollinaatioita, joiden keskus sijaitsee akselilla, ja homologiat sellaisia, joiden keskus ei ole akselilla. Keskeis­kollinaation määräävät yksi­käsitteisesti keskus, akseli, yksi piste ja sen kuvapiste.
Keskeiskollineaatio on homogragia, joka määrittelee (n+1) × (n+1) -matriisi (homografiamatriisi), jolla on n-ulotteinen ominaisavaruus. Se on homologia, jos matriisilla on toinenkin ominaisarvo, jolloin se on dia­gonali­soituva. Se on elaatio, jos kaikki ominais­arvot ovat yhtä suuret eikä matriisi ole dia­gonali­soituva.
Keskeis­kollineaatioihin liittyvä geometrinen mieli­kuva on helpoin hahmottaa projek­tiivisen tason tapauksessa. Jos on annettu keskeis­kollineaatio a, tarkastellaan suoraa  \ell , joka ei kulje keskuksen O kautta, ja suoraa  \ell '=\alpha (\ell ), jolle a sen kuvaa. Jos asetetaan  R=\ell \cap \ell ', a on jokin R:n kautta kulkeva suora M. Jokaisen suoralla  \ell  oleva piste kuvautuu OA:n ja  \ell ':n leikkaus­pisteeseen. Jos piste B ei ole suoralla  \ell , sen kuvapiste saadaan seuraavasti: jos  S=AB\cap M,, niin  B'=SA'\cap OB.
Vaikka kahden keskeis­kollineaation yhdistetty kuvaus on edelleen homo­grafia, se ei yleensä ole keskeis­kollinaatio. Itse asiassa jokainen homografia saadaan yhdistettynä kuvauksesta äärellisestä määrästä keskeis­kollinaatioita. Synteettisessä geometriassa tätä ominaisuutta, joka on osa projektiivisen geometrian perus­lauseesta, pidetään homo­grafian määritelmänä.
Projektiivisen geometrian peruslause

Homografioiden lisäksi on muitakin kolline­aatioita. Erityisesti minkä tahansa kunnan F jokainen automorfismi s määrittelee kolline­aation jokaiselle F:n yli muodostetulle projek­tiiviselle avaruudelle; se muodostetaan soveltamalla kuvausta s kaikille tietyn pisteen homogeeni­sille koordi­naateille. Näitä kolline­aatioita sanotaan auto­morfi­siksi kolline­aatioiksi.
Projektiivisen geometrian peruslause käsittää seuraavat kolme väitettä:
Jos projektiiviselle avaruudelle P on valittu kaksi projek­tiivista kantaa, on yksi ja vain yksi P:n homo­grafia, joka kuvaa ensimmäisen kannan toiselle kannalle.
Jos projektiivinen avaruus P on vähintään kaksi­ulotteinen, jokainen P:n kollineaatio on auto­morfisen kolline­aation ja homografian yhdistetty kuvaus. Erityisesti reaali­lukujen kunnan yli muodostetuissa vähintään kaksi­ulotteisissa projek­tiivisissa avaruuksissa jokainen kollineaatio on homografia.
Jokainen homografia voidaan esittää yhdistettynä kuvauksesta äärellisestä määrästä perspek­tivi­teettejä. Erityisesti jos projektiivinen avaruus on vähintään kaksi­ulotteinen, jokainen homo­grafia voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena äärellisestä määrästä keskeis­kollineaatioita.
Jos projektiiviset avaruudet määritellään aksioomien avulla, kuten synteettisessä geo­metriassa tehdään, lauseen kolmas osa on pelkkä määritelmä. Jos projek­tiiviset avaruudet sen sijaan määritellään lineaarialgebrallisesti, lauseen ensimmäinen osa seuraa suoraan määritelmästä.
Homografiaryhmät

Koska jokaisella homografialla on käänteiskuvaus ja homo­grafioiden yhdistetty kuvaus on myös homo­grafia, annetun projektiivisen avaruuden homografiat muodostavat ryhmän. Esimerkiksi Möbiuksen ryhmä on kompleksisen projek­tiivisen suoran homografia­­ryhmä. Homografia­ryhmiä sanotaan myös projektiivisiksi lineaarisiksi ryhmiksi.
Koska kaikki saman kunnan yli muodostetut yhtä moni­ulotteiset homografiat ovat isomorfisia, on samoin niiden homografia­ryhmien laita. Niitä voidaan sen vuoksi käsitellä yhtenä ryhmänä, joka vaikuttaa eri avaruuksissa, ja niiden merkinnässä onkin mukana vain ulottuvuus, ei mikään tietty projektiivinen avaruus.
Kunnan F yli muodostetun n-ulotteisen projektiivisen avaruuden homografiaryhmälle käytetään merkintää PGL(n + 1, F). Edellä esitetystä homografian määritelmästä seuraa, että PGL(n + 1, F) voidaan käsittää myös tekijäryhmäksi GL(n + 1, F) / F*I, missä GL(n + 1, F) on kääntyvien matriisien yleinen lineaarinen ryhmä ja F*I on F:n muiden kuin nolla-alkion ja (n + 1) × (n + 1) -yksikkömatriisin tulojen muodostama ryhmä.
Kun F on Galois'n kunta GF(q), homografia­ryhmälle käytetään merkintää Malline:Nobreak. Esimerkiksi PGL(2,7) vaikuttaa kahdeksaan pisteeseen äärellisen kunnan GF(7) yli muodostetun projektiivisella suoralla, kun taas PGL(2,4), joka on isomorfisen alternoivan ryhmän A5 kanssa, on viisipisteisen projektiivisen suoran homografiaryhmä.
Kaksoissuhde

Homografiateorian kannalta on oleellista, että homografiassa neljän samalla suoralla olevan pisteen kaksoissuhde säilyy.
Jos kunnan F yli muodostetulta suoralta valitaan kolme pistettä, a, b, ja c, on olemassa yksi ja vain yksi sellainen homografia h tältä suoralta joukkoon F ∪ {∞}, että h(a) = ∞, h(b) = 0 ja h(c) = 1. Jos samalta suoralta valitaan neljäs piste, pisteiden a, b, c ja d kaksoissuhde, jota merkitään [a,b; c,d], määritellään pisteen d kuvapisteeksi h(d) kuvauksessa h. Toisin sanoen jos d:llä on homogeeniset koordinaatit [k : 1] pisteiden a, b ja c muodostamassa projektiivisen avaruuden kannassa, niin [a, b; c,d] = k.
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. 
Alkuperäinen artikkeli: en:Homography
Kirjallisuutta

Patrick du Val: Homographies, quaternions and rotations.  Oxford:  Oxford Mathematical Monographs, 1964.  Teoksen verkkoversio.
Ewald Gunter: Geometry: An Introduction, s. 263.  Wadsworth Publishing, 1971.  ISBN 0-534-00034-7
Pisteet A, B, C, D ja A', B', C', D' liittyvät toiseensa perspektiivisesti, projektiivisella muunnoksella
Kompleksitason homo­grafioissa toisensa kohti­suorasti leikkaavien ympyröiden kuvat leikkaavat niin ikään toisensa kohti­suorasti
Pisteet A, B, C, D ja A', B', C', D' liittyvät toisiinsa useammalla keskeis­kollineaatiolla, jotka saadaan täysin määritetyiksi valitsemalla kiinteiden pisteiden muodostama suora L, joka kulkee suorien ABCD ja A'B'C'D' leikkaus­pisteen kanssa. Olkoon O suorien AA', BB', CC' ja DD' leikkaus­piste. Tässä kolline­aatiossa pisteen E kuvapiste E' on suorien A'I ja OE leikkaus­piste, missä I on suorien L ja AE leikkaus­piste.
Käännös suomeksi
Sykloteeni

| Sykloteeni |
| --- | --- |

Tunnisteet
IUPAC-nimi:  3-metyylisyklopentaani-1,2-dioni
CAS-numero:  765-70-8
PubChem CID:  6660
SMILES:  CC1CCC(=O)C1=O
Ominaisuudet
Molekyylikaava:  C6H8O2
Moolimassa:  112,124 g/mol
Sulamispiste:  106 °C 
Sykloteeni (C6H8O2) on rengasrakenteisiin diketoneihin kuuluva orgaaninen yhdiste. Yhdistettä voidaan käyttää hajusteissa ja elintarvikkeissa aromiaineena tuomaan karamellimaista tuoksua ja makua.
Ominaisuudet

Huoneenlämpötilassa sykloteeni on kellertävää kiteistä ainetta. Yhdisteen haju ja maku on voimakkaan karamellimainen. Luonnossa sykloteenia esiintyy muun muassa vaahteroissa ja se on yksi vaahterasiirapin makuyhdisteistä. Sykloteeniä muodostuu myös Maillard-reaktioiden yhteydessä kuumennettaessa sokereita esimerkiksi lihaan ja kahvipapuihin. Maillard-reaktioissa muodostuu asetolia, joka edelleen syklisoituu sykloteeniksi. 1,2-diketonina sykloteeni voi esiintyä sekä keto- että enolimuodoissa ja kaiken kaikkiaan erilaisia tautomerisia muotoja sykloteenilla on 12. Kiinteänä sykloteeni esiintyy pääasiassa enolina ja liuoksissa diketonina.
Käyttö

Sykloteenia voidaan käyttää ruuissa ja juomissa tuomaan niihin karamallimaisia ja hedelmäisiä makuja ja hajuja. Lisäksi sitä voidaan käyttää hajusteena.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Sykloteeni Wikimedia Commonsissa
Aleida Assmann

| Aleida Assmann |
| --- | --- |

Henkilötiedot
Syntynyt: 22. maaliskuuta 1947 (ikä 77) Gadderbaum, Länsi-Saksa
Koulutus ja ura
Tutkinnot:  Heidelbergin yliopisto   Tübingenin yliopisto
Instituutti:  Konstanzin yliopisto
Oppilaat:  Michael C. Frank
Tutkimusalue:  kulttuuriantropologia
Palkinnot:  Max Planck -tutkimuspalkinto (2009)   Ernst Robert Curtius -palkinto (2011)   historian A. H. Heineken -palkinto (2014) Karl Jaspers- (2017)   Balzanin palkinto (2017)
Aiheesta muualla
www.netzwerk-kulturwissenschaft.de/assmann.htm
Aleida Assmann (s. 22. maaliskuuta 1947 Gadderbaum, Länsi-Saksa) on saksalainen kulttuuriantropologi, kirjallisuustieteilijä ja professori, joka on keskittynyt tutkimuksissaan kulttuurimuistoihin. Hän on vuodesta 1993 toiminut Konstanzin yliopiston englanninkielisen kirjallisuuden ja yleisen kirjallisuustieteen professorina.
Elämä > Opiskelu ja ura

Aleida Assmann syntyi vuonna 1947 Gadderbaumissa, joka kuuluu nykyisin Bielefeldiin. Hän opiskeli 1966–1972 englantilaista filologiaa ja egyptologia Heidelbergin ja Tübingenin yliopistoissa.
Assmann osallistui vuosina 1968–1975 useita kertoja miehensä Jan Assmannin kanssa Ylä-Egyptin arkeologisille kaivauksille. Heidelbergin yliopiston englannin kielen laitoksella Assmann alkoi opettaa vuonna 1973, ja tohtoriksi hän valmistui englanninkielisestä kirjallisuudesta ja egyptologiasta vuonna 1977. Habilitaatiotutkimuksensa hän sai vuonna 1992 valmiiksi Heidelbergiin. Assmann sai vuonna 1993 Konstanzin yliopistosta paikan englanninkielisen kirjallisuuden ja yleisen kirjallisuustieteen professorina.
Assmann on ollut vierailevana professorina muun muassa Yhdysvalloissa Ricen, Princetonin ja Yalen yliopistoissa sekä Itävallassa Wienin yliopistossa.
Elämä > Yksityiselämä

Aleida Assmann ja egyptologi Jan Assmann menivät naimisiin vuonna 1968, ja heillä on viisi lasta. Nuorin on syntynyt vuonna 1976 ja vanhin vuonna 1983, ja vuonna 1981 syntyi kaksoset.
Tutkimus ja merkitys

Assmann on keskittynyt tutkimuksissaan erityisesti kulttuurimuistoihin. Hän tutkii sitä, miten yhteiskunnat käsittelevät menneisyyttä kulttuurin, kuten uutismedioiden, kirjallisuuden, kuvataiteen, musiikin, arkkitehtuurin ja muistopäivien, kautta. Hän on miehensä Jan Assmannin kanssa perustanut niin sanotun muistamisen antropologian, joka yhdistää historiatiedettä, antropologiaa, psykologiaa, teologiaa ja neurotiedettä.
Assmann on työssään nostanut esille, kuinka kulttuurimuistoja voidaan muokata poliittisia ja moraalisia tarpeita varten. Hän on usein myös ollut mukana keskustelemassa sitä, kuinka yhteiskuntien pitäisi käsitellä historiallista häpeää.
Assmann on palkittu tutkimuksistaan muun muassa vuonna 2009 Max Planck-, 2011 Ernst Robert Curtius-, 2014 historian A. H. Heineken- sekä vuonna 2017 Karl Jaspers- ja Balzanin palkinnolla.
Hän on ollut Academia Europæan jäsen vuodesta 2015.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Aleida Assmann Wikimedia Commonsissa
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  FAST  ISNI  VIAF 2  3  WorldCat 
Kansalliset:  Norja  Espanja  Ranska  BnF data  Katalonia  Saksa  Italia  Israel  Belgia  Yhdysvallat  Latvia  Japani  Tšekki  Australia  Korea  Kroatia  Alankomaat  Puola  Vatikaani 
Tieteilijät:  CiNii  Leopoldina 
Taiteenala:  FID 
Henkilöt:  Deutsche Biographie  DDB  Trove 
Muut:  IdRef
Puheanalyysi

Puheanalyysi (myös äänianalyysi; engl. speech analysis, engl. voice analysis) on puheteknologiassa puhe- ja lauluäänen sekä muitten äänitaajuisten (20–20 000 Hz) äänten kuten vaikkapa musiikkisoittimien äänten, keuhkoäänten, lasten itkujen, puheessa havaittavien emootioiden, hyvän radioäänen, puheäänen kuormittuneisuuden analysoimista, eri kielten ja murteitten äänteiden vertailun tutkimusta digitaalisen signaalinkäsittelyn keinoin.
Intelligent Speech Analyser™ (ISA) -laitteisto ja -ohjelmisto (1986–)
Puheanalyysin tekniikka > Puheanalyysin taajuussuureitten muunnoskaavoja

Hertsit Barkkeina:  7\ln[f/650+{\sqrt {(1+(f/650)^{2})}}], f on taajuuden arvo hertseinä.
Barkit hertseinä:  650\sinh(x/7), x on taajuuden arvo Barkkeina.
Hertsit ERB:einä:  21,3\log _{10}(1+f/228,7), f on taajuuden arvo hertseinä.
ERB:it hertseinä:  228,7({10^{x/21,3}-1}), x on taajuuden arvo ERB:einä.
Hertsit meleinä:  2595\log _{10}(1+f/700), f on taajuuden arvo hertseinä.
Melit hertseinä:  700({10^{x/2595}-1}), x on taajuuden arvo meleinä.
Hertsit puolisävelinä:  Y+12\log _{2}(f/440), f on taajuuden arvo hertseinä,  Y vastaa 440 hertsin puolisävelarvoa. Esim. 880 hertsin st-arvo on  Y+12 ja 220 hertsin st-arvo on  Y-12. Eli taajuuden hertseinä kaksinkertaistuessa puolisävelet lisääntyvät määrällä 12 ja taajuuden hertseinä puolittuessa puolisävelet vähenevät määrällä 12. Puolisävel-asteikko on tasavälinen asteikko.
Puolisävelet hertseinä:  440({2^{(st-Y)/12}}), st on taajuuden arvo puolisävelinä,  Y vastaa 440 hertsin puolisävelarvoa.
Puheanalyysin tekniikka > Puheanalyysin laskentakaavoja

Jos  x_{a} on mikrofonin jännitesignaali, niin  x_{a}(nT) = k P_{a}(nT), jossa  P_{a} on paine, k on vakiokerroin, T on näytevälin pituus.
Amplitudiverhokäyrä:  10\log _{10}[x(n)^{2}],n=0...N-1, x(n) on signaalinäytteen arvo hetkellä n.
Amplitudi_{dB}:  10\log _{10}[max(n)^{2}], max(n) on ilmaistavan signaalin maksimiarvo hetkellä n.
Tavallinen  SPL_{dB}:  10\log _{10}[(\sum _{n=0}^{N-1}x(n)^{2})/N], x(n) on signaalinäyte hetkellä n.
Äänekkyys N soneina:  N=2^{(L_{N}-40)/10},  L_{N} on äänekkyystaso foneina.
Puheanalyysin tekniikka > Puheanalyysin teoriakaavoja ja teoriakuvauksia

Digitaalisen signaalinkäsittelyn kompleksinen perusteoria perustuu osaltaan z-muunnoksen ja sen käänteismuunnoksen olemassaoloon ja käyttöön.  X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x(n)z^{-n}}.  x(n)=\oint _{C}{X(z)z^{n-1}dz}. x(n) on signaalinäyte, z on kompleksinen muuttuja.
Digitaalisen signaalinkäsittelyn kompleksinen perusteoria perustuu myös osaltaan diskreetin Fourier-muunnoksen DFT:n ja sen käänteismuunnoksen IDFT:n olemassaoloon ja käyttöön.  X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}{x(n)W_{N}^{kn}},  0\leqslant k\leqslant N-1, muulloin  X(k)=0.  x(n)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{X(k)W_{N}^{-kn}},  0\leqslant n\leqslant N-1, muulloin  x(n)=0.  W_{N}=e^{-i(2\pi /N)}, N on signaalin x(n) näytteiden määrä.
DFT tehollisessa muodossa:  |X(k)|^{2},k=0...N/2-1=|\sum _{n=0}^{N-1}{w(n)x(n)e^{-i(2\pi /N)kn}}|^{2}, x(n) on signaalinäyte hetkellä n, w(n) on painotusikkuna, k on spektrikanavan/spektripisteen kohta. Spektrissä kanavien määrä N/2 on aina puolet signaalipisteiden määrästä N. Jos painotusikkunan leveys on signaalipisteitten määrää N pienempi asetetaan painotusikkunan molempiin päihin nollia niin paljon, että signaalin pituus ja painotusikkunan leveys saadaan käytännössä samaksi.  Kaava lasketaan nopeaa Fourier-laskentahajotelmaa FFT käyttäen.
Hamming-painotusikkuna  w(n)=0.54-0.46cos(2\pi n/(N-1)).
Blackman-Harris-painotusikkuna  w(n)=0.35875-0.48829cos(2\pi n/(N-1))+0.14128cos(4\pi n/(N-1))-0.01168cos(6\pi n/(N-1)).
DFT dB-muodossa:  |X(k)|_{dB}=10\log _{10}|X(k)|^{2},k=0...N/2-1.
LTAS tuotetaan laskemalla keskiarvo tehollisessa muodossa  |X(k)|^{2} olevista DFT:eistä ja lopuksi tehollinen keskiarvo muutetaan dB-muotoon  |X(k)|_{dB}.
Usean LTAS-spektrin keskiarvo lasketaan tehollisessa muodossa olevien LTAS-spektrien keskiarvona ja lopuksi tehollinen keskiarvo muutetaan dB-muotoon.
Puheanalyysiin käyttökelpoinen kepstri syntyy laskemalla dB-muodossa  |X(k)|_{dB} olevasta DFT:stä uusi DFT  |X(k)|.
Äänen äänekkyystaso foneina on yhtä suuri kuin yhtä äänekkäältä tuntuva 1kHz:n ääneksen äänenpainetaso desibeleinä. Äänekkyys on kuuntelijan subjektiivinen vaikutelma äänen voimakkuudesta. Sen yksikkö on soni. Soni-asteikko on laadittu niin, että soni-määrän kaksinkertaistuminen vastaa myös äänekkyyden kaksinkertaistumista.
Puheanalyysin tekniikka > FFT-spektri

Ihmisäänen FFT-spektri dB-asteikolla tuotetaan yllä olevia DFT:n kaavoja käyttäen. FFT-spektri käytännössä lasketaan nopeaa Fourier-muunnoshajotelmaa FFT:tä käyttäen. Vaihtoehtoja nopeaksi Fourier-muunnoshajotelmaksi on monta.
Puheanalyysin tekniikka > Kepstri

Puheanalyysissä kepstri saadaan aikaan seuraavasti. Otetaan ensin Fourier-muunnos äänisignaalista.  Näin saadaan uusi signaali seuraavaa Fourier-muunnosta varten. Seuraava Fourier-muunnos laskee uudesta signaalista uuden Fourier-käyrän.  Fourier-käyrän voimakkain huippu kuvaa alkuperäisen äänisignaalin perustaajuutta ja huipun avulla voidaan määrittää äänen perustaajuus.  Kepstrihuipun avulla perustaajuuden määritys on tarkempi kuin ensimmäisen Fourier-muunnoksen ensimmäisestä harmoonisesta mitattu perustaajuus.
Puheanalyysiin käyttökelpoinen kepstri tuotetaan dB-muodossa olevasta DFT:stä laskemalla siitä uusi DFT.
Minkä tahansa ajassa muuttuvan signaalin perustaajuus on määrättävissä kepstrin avulla.
Puheanalyysin tekniikka > LPC-spektri

LPC-spektrin tuottamiseen on käytettävissä monta erilaista LPC-laskentamenetelmää. Kun LPC halutaan tulostaa myös FFT-spektrin taustakuvana on PARCOR-menetelmä käytännössä kaikkein toimivampia ja mahdollisimman kaunista kuvaesitystä tuottavaa. LPC-spektri esitetään dB-asteikolla. LPC-spektristä formantit F1, F2, F3 ja F4 voidaan tunnistaa suodattamalla LPC-spektriä sopivalla kaistanpäästösuodatuksella, jolloin vain formanttien kohdalle muodostuu kumpuja.
FFT- ja LPC-spektrit pitkästä a-vokaalista.
FFT- ja LPC-spektrit pitkästä e-vokaalista.
FFT- ja LPC-spektrit pitkästä i-vokaalista.
FFT- ja LPC-spektrit pitkästä o-vokaalista.
FFT- ja LPC-spektrit pitkästä u-vokaalista.
FFT- ja LPC-spektrit pitkästä y-vokaalista.
FFT- ja LPC-spektrit pitkästä ä-vokaalista.
FFT- ja LPC-spektrit pitkästä ö-vokaalista.
Puheanalyysin tekniikka > LTAS-spektri

Ihmisäänen LTAS-spektri tuotetaan laskemalla keskiarvo tehollisessa muodossa olevista DFT:stä ja lopuksi tehollinen keskiarvo muutetaan dB-muotoon.
Puheanalyysin tekniikka > LTAS-spektrien keskiarvospektri

Usean ihmisäänen LTAS-spektrien keskiarvospektri lasketaan tehollisessa muodossa olevien LTAS-spektrien keskiarvona ja lopuksi tehollinen keskiarvo muutetaan dB-muotoon.
Puheanalyysin tekniikka > FFT-, kepstri-, LPC-spektrisarjat

FFT-, kepstri-, LPC-spektrisarjat tuotetaan laskemalla muutaman kymmenen millisekunnin välein liukuvasti spektrejä ja sisällyttämällä analyysikuvaan myös aika-akseli.
Puheanalyysin tekniikka > FFT-spektrogrammi

FFT-spektrogrammi tuotetaan laskemalla muutaman millisekunnin välein liukuvasti FFT-spektrejä dB-asteikolla ja muuttamalla kunkin spektrin kanavien voimakkuudet harmaansävyiksi analyysikuvaan.
Puheanalyysin tekniikka > LPC-spektrogrammi

LPC-spektrogrammi tuotetaan laskemalla muutaman millisekunnin välein liukuvasti LPC-spektrejä dB-asteikolla ja ilmaisemalla sen jälkeen kaistanpäästösuodatuksella spektreistä neljä ensimmäistä formanttitaajuutta ja tulostaen ilmaistut formantit harmaansävyinä analyysikuvaan.
Puheanalyysin tekniikka > Perustaajuusanalyysi (äänenkorkeusanalyysi)

Puheen perustaajuusanalyysin algoritmi perustuu joko aikatasossa tapahtuvaan tai taajuustasossa tapahtuvaan ilmaisuun. Jotkut aikatasossa tapahtuvista ilmaisuista poikkeavat taajuustasossa tapahtuvista ilmaisuista ensisijaisesti siinä, että aikatasossa on mahdollista ilmaista ja numeroida yksitellen jokainen puheen perusjakso. Taajuustasoilmaisussa puheen perustaajuus havaitaan tiettynä ajanhetkenä liukuvan aikaikkunan sisällä. Jokaisen perusjakson yksitellen ilmaisevaa algoritmia tarvitaan myös tarkan F0-jakauman luontiin ja siitä tehtävien tarkkojen tilastosuureitten luontiin. Jos F0-jakauman laskennassa on mukana muutakin kuin pelkästään kaikkien todelliset perusjaksojen taajuudet on tilastosuure epätarkka. Aikatason ilmaisuista voidaan mainita kaistanpäästöesisuodatukseen & suoraan säännöillä signaalista tapahtuvaan ilmaisuun perustuvat menetelmät  ja autokorrelaatioon perustuvat menetelmät. Taajuustasossa tapahtuvista ilmaisuista voidaan mainita kaksinkertaiseen DFT:hen eli kepstriin perustuvat menetelmät. Kepstriin perustuvat F0-analyysit toimivat vaikka signaalin perustaajuuskomponentti puuttuisikin. Aikataso- ja taajuustasoilmaisuissa voidaan esisuodatuksena käyttää kaistanpäästösuodatusta sekä käänteissuodatusta, jotka pyrkivät yksinkertaistamaan analysoitavaa puhesignaalia.