stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Röntgensäteily
Historia > Röntgendiffraktio keksitään

Koska röntgensäteilyn aallonpituus on samaa luokkaa kuin atomien läpimitta, kiinteiden aineiden kiderakenne aiheuttaa röntgensäteilyn siihen osuessa Braggin lain mukaisia diffraktioilmiöitä. Max von Laue esitti idean röntgendiffraktion mahdollisesta toimivuudesta hiihtoretkellä muutamalle kollegalleen, jotka päättivät epäilyksistään huolimatta kokeilla sen toimivuutta. Onnistuneen yrityksen jälkeen Laue johti ilmiölle matemaattisen esitystavan. Hän sai Nobelin fysiikanpalkinnon tästä merkittävästä keksinnöstä vuonna 1914, vain kaksi vuotta tutkimuksen julkaisemisen jälkeen. Von Lauen löydöstä lähtien röntgensäteilyllä on ollut keskeinen osa kiinteiden aineiden kiderakenteen tutkimuksessa.
Historia > Comptonin ilmiö johtaa kvanttimekaniikan nousuun

Röntgensäteilyllä oli myös merkittävä rooli 1900-luvun alussa, kun klassinen fysiikka osoittautui riittämättömäksi joidenkin ilmiöiden selittäjänä. Arthur H. Comptonin röntgensäteillä vuonna 1922 havaitsemassa ilmiössä sironneiden säteiden energia muuttuu. Tämä ilmiö on selitettävissä vain valon hiukkaskuvassa ja on näin kiistaton todiste sähkömagneettisen säteilyn dualistisesta aalto-hiukkasluonteesta. Comptonin sironnalla saadaan myös tietoa elektronien nopeusjakaumasta aineessa. Vuosisadan alkupuolen kokeet osoittivat, etteivät muun muassa metallien johde-elektronit noudata klassisen fysiikan mukaista Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa vaan kvanttimekaanista Fermin–Diracin jakaumaa.
Historia > Kuvantaminen säilyy tärkeimpänä sovellutuksena

Nykyään röntgensäteilyä käytetään muun muassa lääketieteessä, läpivalaisussa turvatarkastuksissa lentoasemilla ja raja-asemilla, erilaisten rakenteiden mikrohalkeamien etsinnässä ja aineen atomitason rakenteen tutkimuksessa. Nykyään säteilyherkkä staattisen kuvan säilövä kuvafilmi on korvattu elektronisella ilmaisimella ja kuva tallennetaan ja käsitellään digitaalisesti. Digitaaliset ilmaisimet ovat herkempiä kuin filmit, joten tutkimuksissa käytettyjä säteilyannoksia on voitu vähentää huomattavasti. Filmien jäädessä pois ei myöskään tarvita kehitys- ja kiinnitekemikaaleja, jotka ovat ympäristölle haitallisia. Digitaalisten kuvien käyttöön saaminen on nopeampaa ja lisäksi niitä voidaan lähettää ja tallentaa helpommin kuin filmejä.
Läpäisykyky

Röntgensäteilyn suuri läpäisy­kyky johtuu sen pienestä aallon­pituudesta ja sitä vastaavasta kvantin suuresta energiasta. Koska sen energia on niin suuri, varsinkaan kevyimpien alkuaineiden atomit eivät yleensä pysty niitä absorboimaan. Raskaammissa aineissa absorptio sen sijaan tulee voimakkaammaksi.
Röntgensäteilyn lähteitä

Röntgensäteilyä syntyy muun muassa nopeiden elektronien törmätessä metalliin. Jos niiden liike-energia on tarpeeksi suuri, ne voivat irrottaa elektroneja metalli­atomista joltakin lähellä ydintä olevalta orbitaalilta, jolloin syntyneeseen aukkoon siirtyy elektroni joltakin korkeammalta orbitaalilta. Tällöin syntyy säteilyä, jonka taajuus saadaan jakamalla orbitaalien energia­erotus Planckin vakiolla. Jos tämä energia­ero ja sitä vastaava taajuus on tarpeeksi suuri, syntyvä säteily on röntgen­säteilyä. Tällä tavalla syntynyttä säteilyä sanotaan ominaissäteilyksi, sillä siinä esiintyy vain tiettyjä, kullekin alkuaineelle ominaisia taajuuksia ja aallon­pituuksia. Sen lisäksi samalla syntyy jarrutussäteilyä, sillä ydin jarruttaa sen lähelle saapuneen elektronin liikettä, jolloin sähkö­dynamiikan yhtälöiden mukaan kiihtyvässä liikkeessä oleva sähköisesti varattu hiukkanen lähettää sähkö­magneettista säteilyä. Toisin kuin ominais­säteilyn, jarrutus­säteilyn spektri on jatkuva, mutta sen aallon­pituudella on alaraja, joka vastaa elektronien koko liike-energiaa.
Röntgensäteilyn lähteitä > Röntgenputki

Röntgenputki on historiallisesti ensimmäinen tunnettu tapa synnyttää röntgensäteilyä. Putkessa olevasta hehkulangasta irtoaa elektroneja, jotka kiihdytetään putkessa olevassa sähkökentässä. Niiden törmätessä putken keskellä olevaan metallilevyyn syntyy edellä kuvatulla tavalla sekä ominais- että jarrutussäteilyä.
Röntgensäteilyn lähteitä > Synkrotronilähteet

Synkrotronilähteet ovat nykyaikainen tapa tuottaa röntgensäteilyä muun muassa materiaalifysiikan tutkimuksen tarpeisiin. Synkrotroni on varta vasten säteilyn tuottamiseen tarkoitettu hiukkaskiihdytin, jossa säteily syntyy, kun lähes valonnopeudella liikkuvan varatun hiukkassuihkun rataa kaareutetaan magneettikenttien avulla. Näin syntynyt, niin kutsuttu synkrotronisäteily soveltuu fysikaalisilta ominaisuuksiltaan monin verroin perinteistä röntgenputkesta saatavaa säteilyä paremmin tutkimuskäyttöön. Synkrotronisäteilyn suuri intensiteetti, valittavissa oleva polarisaatio ja säteilyn intensiteetin pulssittunut aikarakenne mahdollistavat joukon uusia kokeita.
Röntgensäteilyn lähteitä > Vapaaelektronilaserit

Vapaaelektronilaser on toimintaperiaatteeltaan läheistä sukua synkrotronille ja edistyksellisintä röntgensäteilyä tuottavaa teknologiaa. Lineaarikiihdyttimellä kiihdytetty elektronipulssi kulkee vapaaelektronilaserissa pitkän (~100 m) jaksollisen magneettirakenteen läpi, jolloin tuloksena on erittäin voimakkaita röntgenpulsseja. Vapaaelektronilaser tuottaa sekunnissa suunnilleen yhtä paljon fotoneja kuin synkrotroni, mutta pulssien lyhyen keston vuoksi hetkellinen fotonivuo voi olla useita kertaluokkia suurempi kuin synkrotronin vastaava. Analogisesti optisten lasereiden kanssa, vapaaelektronilaserit mahdollistavat monifotoni-ilmiöiden tutkimuksen ja sovelluksen röntgenalueella. Mittakaavaltaan vapaaelektronilaser on massiivinen, usein kilometrien mittainen laite. Vuonna 2015 maailmassa on toiminnassa muutama röntgensäteilyä tuottava vapaaelektronilaser, mutta uusia on rakenteilla.
Lääketieteellinen kuvaaminen

Röntgenkuvaus lääketieteessä lienee menetelmän tunnetuin käyttömuoto. Vaikka alkuaikoina luiden kuvaaminen oli yleisintä, menetelmien kehittymisen myötä myös pehmytkudosten kuvaus alkoi yleistyä. Röntgenkuvauksen eräs merkittävä kohde oli tuberkuloosin tunnistaminen röntgenkuvausten avulla.
Ihmisen eri kudokset läpäisevät röntgensäteilyä eri tavalla. Röntgensäteilyn absorptioerojen vuoksi muodostuu kuvaan kontrasti. Kudosten absorptioerojen vuoksi esimerkiksi rintakehästä (thorax) otetuissa röntgenkuvissa näkyvät lähinnä luut sekä keuhkot mahdollisine varjostumineen, sydän ja pallea. Thorax-kuvauksessa ei tarvitse käyttää ulkoista röntgenvarjoainetta, sillä keuhkojen suuri ilmapitoisuus luo hyvän kontrastin eri kudosten välille. Pehmeät kudokset saadaan näkyviin käyttämällä sopivia varjoaineita, jollaisena esimerkiksi ruoansulatuselimistöä kuvattaessa käytetään bariumsulfaattia.
Kuluneina vuosikymmeninä röntgenkuvantamisessa on käytetty eri kokoisia filmejä, jotka on suljettu valotiiviiseen kasettiin. Vaikka röntgensäteetkin valottavat filmiä, erityisten vahvistuslevyjen käyttö paransi kuvien laatua ja säteilyannosta voitiin vähentää. Vahvistuslevyjen fluoresoivat pinnat ovat filmiä herkempiä ja ne aiheuttavat kasetin sisällä näkyvää valoa, joka sitten valottaa filmin. Muodostunut latenttikuva saatiin muutettua säilyväksi kehittämällä ja kiinnittämällä filmi. Menetelmä muistutti perinteisten kamerafilmien kehitystä. Filmien jälkeen kehitettiin uutta tekniikkaa johon kuuluvat digitaaliset kuvailmaisimet.
Nykyisin yleistyy  suoradigitaalisten kuvailmaisimien käyttö. Digitalisointi nopeuttaa kuvaamista, pienentää säteilymääriä ja lisäksi pimiötä ja myrkyllisiä kemikaaleja ei enää tarvita ollenkaan. Digitaalinen kuva voidaan lähettää helposti potilasarkistoon sekä tarvittaessa lähettää muualle. Erilaisilla kuvankäsittelyn menetelmillä voidaan myös säätää mm. kuvan kirkkautta ja kontrastia.
Eläinlääketieteessä röntgenkuvausta käytetään diagnoosinteon lisäksi kartoitettaessa joitakin perinnöllisiä vikoja. Tunnetuimpia näistä ovat useiden koirarotujen lonkka-, kyynärpää- ja selkävaivat.
Röntgentähtitiede

Röntgentähtitiede (engl. X-ray astronomy) sai alkunsa korkealla lentävien pallojen ja rakettien mittalaitteiden mittauksista. 1950-luvun lopun satelliitit mittasivat Auringon röntgensäteilyä. Sittemmin on rakennettu erityisiä röntgenobservatoriosatelliitteja, esimerkiksi ESAn vuonna 1999 laukaisema XMM-Newton. Vuonna 2002 italialais-amerikkalainen fyysikko Riccardo Giacconi sai Nobelin fysiikanpalkinnon suurelta osin röntgenastronomiaa koskevan työnsä ansiosta.
Avaruudessa röntgensäteilyn lähteitä ovat muun muassa pulsarit eli nopeasti pyörivät neutronitähdet sekä röntgen­purkautujat eli bursterit. Röntgen­säteilyä syntyy myös aineen joutuessa mustaan aukkoon juuri ennen kuin se saavuttaa tapahtuma­horisontin.
Ilmakehän otsonikerros absorboi lähes kaiken säteilyn, jonka aallon­pituus on alle 300 nanometriä,, myös röntgen­säteilyn. Tämän vuoksi avaruudesta tulevaa röntgen­säteilyä voidaan tutkia vain avaruusluotainten avulla, ja sitä on tutkittu systemaattisesti vasta 1970-luvulta lähtien.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta röntgensäteily Wikimedia Commonsissa
Forsius, Arno: Wilhelm Conrad Röntgen (1845–1923) ja röntgensäteet lääketieteessä (Arkistoitu – Internet Archive)
Sähkömagneettinen säteily
Sähkömagneettinen spektri: gammasäteily • röntgensäteily • ultraviolettisäteily • valo • infrapunasäteily • alimillimetrisäteily • mikroaallot • radioaallot
Radiotaajuusalueet: THF • EHF • SHF • UHF • VHF • HF • MF • LF • VLF • ULF • SLF • ELF
Valo: violetti • sininen • syaani • vihreä • keltainen • oranssi • punainen
Comptonin ilmiö
Vanha röntgenputki
Solmumenetelmä

Havainnollistava esimerkkipiirikaavio piirianalyysissa hyödynnettävästä solmumenetelmästä.
Solmumenetelmä on eräs sähköisten virtapiirien ja verkkojen ratkaisuun liittyvä systemaattinen menetelmä. Tavoitteena on laskea verkon solmupisteiden jännitteet, kun verkon lähdesuureet ja komponentit tunnetaan.
Verkon rakenne ja komponentit

Verkko koostuu solmupisteistä ja niitä yhdistävistä haaroista. Solmuksi sanotaan jokaista verkon pistettä, jossa kaksi tai useampia komponentteja kytkeytyy yhteen. Varsinaisiksi solmupisteiksi laskentaa varten kannattaa ottaa vain ne solmut, joissa yhdistyy kolme tai useampia haaroja. Jos jossain verkon haarassa on useita komponentteja sarjassa ne voidaan yhdistää yhdeksi komponentiksi. Tällöin jokainen haara sisältää vain yhden komponentin.
Verkko voi koostua tavanomaisista passiivisista sähköisistä komponenteista kuten vastuksista, keloista ja kondensaattoreista sekä aktiivisista virta- ja jännitelähteistä. Solmumenetelmää voidaan käyttää sekä tasa- että vaihtosähköverkoissa. Verkko voi sisältää myös ohjattuja virta- ja jännitelähteitä.
Solmumenetelmässä passiiviset komponentit esitetään tavallisesti admittansseina tai konduktansseina ja aktiiviset komponentit virtalähteinä. Verkon sisältämät jännitelähteet muunnetaan virtalähteiksi. Verkko voi sisältää myös muuntajia tai yleensäkin keskinäisinduktansseja. Tällöin kuitenkin saattaa olla luontevampaa käyttää silmukkamenetelmää.
Verkon yhtälöiden kirjoittaminen

Solmumenetelmässä ratkaistaan verkon solmupisteiden jännitteet johonkin valittuun kantasolmuun nähden. Kantasolmun potentiaali voidaan valita vapaasti ja tavallisesti se asetetaan nollaksi, joten se oletetaan ikäänkuin maadoitetuksi. Kantasolmun valinta voidaan tehdä vapaasti. Piiristä riippuen voi kuitenkin olla edullista valita joku määrätty solmu kantasolmuksi. Esimerkiksi verkon piste, joka jo on maadoitettu.
Kun kantasolmu on valittu ja muut solmut numeroitu, niin muodostetaan jokaiselle solmulle (paitsi kantasolmulle) Kirchhoffin virtalakiin perustuva yhtälö:
\Sigma I_{i}=0
Toisin sanoen solmuun tulevien virtojen summa on nolla. Käytännössä solmun yhtälön toiselle puolelle kirjoitetaan solmuun tulevien tunnettujen lähdevirtojen summa ja toiselle puolelle solmusta lähtevien haarojen toistaiseksi tuntemattomat virrat.
\Sigma J_{a_{i}}=\Sigma I_{a,j}
Haarojen virrat lasketaan solmujen tuntemattomien jännitteiden avulla ohmin lain mukaan. Esimerkiksi virta solmusta  a solmuun  1 lasketaan:
I_{a,1}=Y_{a,1}(U_{a}-U_{1})
Tässä  Y_{a,1} on solmuja  a ja  1 yhdistävän haaran admittanssi,  U_{a} on solmun  a jännite,  U_{1} on solmun  1 jännite ja  I_{a,1} on haaran virta solmusta  a solmuun  1. Kun lasketaan kaikki solmuun  a tulevat lähdevirrat ja siitä poistuvat haarojen virrat saadaan solmun  a yhtälöksi:
\Sigma J_{a_{i}}=(U_{a}-U_{1})Y_{a,1}+(U_{a}-U_{2})Y_{a,2}+...+(U_{a}-U_{n})Y_{a,n}
Ryhmittelemällä oikea puoli uudestaan saadaan.
\Sigma J_{a_{i}}=(Y_{a,1}+Y_{a,2}+...+Y_{a,n})U_{a}-Y_{a,1}U_{1}-Y_{a,2}U_{2}-...-Y_{a,n}U_{n}
Kun kaikille solmuille on kirjoitettu ylläolevan muotoiset yhtälöt, niin saadaan lineaarinen yhtälöryhmä. Siinä tuntemattomia ovat solmupisteiden jännitteet ja tunnettuja lähdevirrat ja komponenttien arvot. Yhtälöiden lukumäärä on sama kuin solmujen tuntemattomien jännitteiden lukumäärä. Näin ollen solmujen jännitteet on laskettavissa yhtälöryhmästä.
Kirjoitetaan vielä yhtälöt kaikille solmuille:
\Sigma J_{1_{i}}=(Y_{1,2}+Y_{1,3}+...+Y_{1,n})U_{1}-Y_{1,2}U_{2}-Y_{1,3}U_{3}-...-Y_{1,n}U_{n}
\Sigma J_{2_{i}}=-Y_{2,1}U_{1}+(Y_{2,1}+Y_{2,3}+...+Y_{2,n})U_{2}-Y_{2,3}U_{3}-...-Y_{2,n}U_{n}
\Sigma J_{3_{i}}=-Y_{3,1}U_{1}-Y_{3,2}U_{2}+(Y_{3,1}+Y_{3,2}+...+Y_{3,n})U_{3}-...-Y_{3,n}U_{n}
...
\Sigma J_{n_{i}}=-Y_{n,1}U_{1}-Y_{n,2}U_{2}-Y_{n,3}U_{3}-...+(Y_{n,1}+Y_{n,2}+Y_{n,3}+...+Y_{n,n-1})U_{n}
Yhtälöissä on huomattava, että useimmat admittanssit ovat nollia, koska solmuilla ei tavallisesti ole välitöntä yhteyttä kaikkiin muihin solmuihin. Ainoastaan naapurisolmuihin kytkeytyvät admittanssit huomioidaan.
Verkon yhtälöt matriiseilla esitettynä

Edellä oleva yhtälöryhmä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä.
{\begin{bmatrix}\Sigma J_{1_{i}}\\\Sigma J_{2_{i}}\\\Sigma J_{3_{i}}\\...\\\Sigma J_{n_{i}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1,2}+Y_{1,3}+...+Y_{1,n}&-Y_{1,2}&-Y_{1,3}&...&-Y_{1,n}\\-Y_{2,1}&Y_{2,1}+Y_{2,3}+...+Y_{2,n}&-Y_{2,3}&...&-Y_{2,n}\\-Y_{3,1}&-Y_{3,2}&Y_{3,1}+Y_{3,2}+...+Y_{3,n}&...&-Y_{3,n}\\...&...&...&...&...\\-Y_{n,1}&-Y_{n,2}&-Y_{n,3}&...&Y_{n,1}+Y_{n,2}+Y_{n,3}+...+Y_{n,n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\\...\\U_{n}\end{bmatrix}}
Yhdistämällä admittanssimatriisin diagonaalilla olevat haarojen admittanssit yhtälö voidaan vielä kirjoittaa yleisemmässä muodossa.
{\begin{bmatrix}\Sigma J_{1_{i}}\\\Sigma J_{2_{i}}\\\Sigma J_{3_{i}}\\...\\\Sigma J_{n_{i}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&-Y_{12}&-Y_{13}&...&-Y_{1n}\\-Y_{21}&Y_{22}&-Y_{23}&...&-Y_{2n}\\-Y_{31}&-Y_{32}&Y_{33}&...&-Y_{3n}\\...&...&...&...&...\\-Y_{n1}&-Y_{n2}&-Y_{n3}&...&Y_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\\...\\U_{n}\end{bmatrix}}
Tässä admittanssimatriisin diagonaalilla oleva admittanssi  Y_{ii} on solmuun  i yhdistyvien haarojen admittanssien summa. Admittanssi  Y_{ij} on solmujen  i ja  j välisen haaran admittanssi. Admittanssimatriisi onkin kirjoitettavissa suoraan sijoittamalla diagonaalille naapurisolmuihin yhdistyvien admittanssien summat ja muihin kohtiin niiden admittanssit negatiivisina. Tässä on huomioitava, että solmujen jännitteet on otettu kaikki solmuista kantasolmuun päin. Jos jännitteiden suuntia muutetaan, niin muuttuvat myös admittanssien etumerkit.
Matriisiyhtälö on kirjoitettavissa vielä muodollisesti seuraavasti.
\mathbf {J} =\mathbf {Y} \mathbf {U}
Siinä  \mathbf {J}  on solmuihin tulevien tunnettujen lähdevirtojen muodostama pystyvektori,  \mathbf {Y}  on verkon haarojen tunnetuista admittansseista muodostettu matriisi ja  \mathbf {U}  on solmujen tuntemattomista jännitteistä muodostettu pystyvektori.
Keskinäisinduktanssin huomioon ottaminen

Mikäli vaihtovirtaverkossa haarojen välillä on keskinäisinduktanssia on se otettava erikseen huomioon. Oheisessa kuvassa on kaksi haaraa, joiden välillä on keskinäisinduktanssi  M_{1,2}. Haarojen admittanssit ja vastaavat impedanssit on merkitty kuvaan.
Solmumenetelmässä haarojen virrat kirjoitetaan solmujen jännitteiden avulla. Keskinäisinduktanssien tapauksessa on helpompi kirjoittaa haarojen jännitteet niiden virtojen avulla. Matriiseilla esitettynä saadaan:
{\begin{bmatrix}U_{1}-U_{2}\\U_{3}-U_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{1}&M_{1,2}\\M_{1,2}&Z_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1,2}\\I_{3,4}\end{bmatrix}}
Kun tämä ratkaistaan virtojen suhteen saadaan:
{\begin{bmatrix}I_{1,2}\\I_{3,4}\end{bmatrix}}={\frac {1}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}{\begin{bmatrix}Z_{2}&-M_{1,2}\\-M_{1,2}&Z_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}-U_{2}\\U_{3}-U_{4}\end{bmatrix}}
Solmusta 1 admittanssiin  Y_{1} menevä virta on siten kirjoitettavissa solmujännitteiden  U_{1}...U_{4} avulla.
I_{1,2}={\frac {Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{1}-{\frac {Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{2}-{\frac {M_{1,2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{3}+{\frac {M_{1,2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{4}
Vastaavasti solmuun 4 menevä virta on:
I_{4,3}=-I_{3,4}={\frac {M_{1,2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{1}-{\frac {M_{1,2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{2}-{\frac {Z_{1}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{3}+{\frac {Z_{1}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{4}
Mikäli keskinäisinduktanssia on esimerkiksi kolmen haaran välillä tulee jo melko hankalia kaavoja admittanssien tilalle. Tällaisessa tapauksessa silmukkamenetelmä saattaa olla helpompi tapa ratkaista virrat ja jännitteet.
Ohjattujen lähteiden käsittely

Solmumenetelmässä ohjatut lähteet muunnetaan jänniteohjatuiksi virtalähteiksi. Jänniteohjatun virtalähteen käsittelystä on jäljempänä yksinkertainen esimerkki.
Yhtälöiden ratkaiseminen

Solmujen jännitteet voidaan ratkaista jollain lineaarialgebran menetelmällä, esimerkiksi Gaussin algoritmillä.
Matriiseilla laskettaessa saadaan pienissä verkoissa potentiaalit riittävällä tarkuudella suoraan admittanssimatriisin käänteismatriisin avulla. Tämä voidaan laskea jollain matriisilaskentaan soveltuvalla tietokoneohjelmalla, kuten Octavella.
\mathbf {U} =inv(\mathbf {Y} )\mathbf {J}
Esimerkit > Yksinkertainen tasasähköverkko

Oletetaan seuraava yksinkertainen tasasähköverkko. Koska kysymyksessä on tasasähköverkko merkitään haarojen johtavuudet  Y_{i} konduktansseilla  G_{i}.
Verkko koostuu neljästä solmusta ja niitä yhdistää neljä konduktanssia. Kuvassa on valittu kantasolmuksi solmupiste 0. Sen potentiaaliksi asetetaan nolla ja tässä se on merkitty maadoitetuksi. Verkko sisältää kolme ideaalista virtalähdettä  J_{1},  J_{2} ja  J_{3}. Kuvaan on merkitty niiden virtojen suunnat.
Kirjoitetaan yhtälöt solmuille 1,2 ja 3.
Solmu 1:
J_{1}-J_{2}=(G_{1}+G_{2})U_{1}-G_{2}U_{2}
Solmu 2:
J_{2}+J_{3}=-G_{2}U_{1}+(G_{2}+G_{3})U_{2}-G_{3}U_{3}
Solmu 3:
-J_{3}=-G_{3}U_{2}+(G_{3}+G_{4})U_{3}
Kirjoitetaan nämä vielä matriisimuodossa:
{\begin{bmatrix}J_{1}-J_{2}\\J_{2}+J_{3}\\-J_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{1}+G_{2}&-G_{2}&0\\-G2&G_{2}+G_{3}&-G_{3}\\0&-G_{3}&G_{3}+G_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\end{bmatrix}}
Tuntemattomat jännitteet on näistä helppo laskea tavanomaisin menetelmin kun lähdevirrat ja konduktanssit tunnetaan. Muodollisesti matriisiyhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa konduktanssimatriisin käänteismatriisin avulla.
{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{1}+G_{2}&-G_{2}&0\\-G2&G_{2}+G_{3}&-G_{3}\\0&-G_{3}&G_{3}+G_{4}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}J_{1}-J_{2}\\J_{2}+J_{3}\\-J_{3}\end{bmatrix}}
Esimerkit > Vaihtosähköverkko, joka sisältää keskinäisinduktanssia

Oheisen kuvan mukaan admitanssien  Y_{2} ja  Y_{3} välillä on keskinäisinduktanssi  M_{2,3}. Koska kaavat on mukavampi kirjoittaa impedansseina, merkitään  Z_{2}={\frac {1}{Y_{2}}} ja   Z_{3}={\frac {1}{Y_{3}}}. Kirjoitetaan yhtälöt keskinäisinduktanssia sisältäville haaroille.
{\begin{bmatrix}U_{1}-U_{2}\\U_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{2}&M_{2,3}\\M_{2,3}&Z_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1,2}\\I_{2,0}\end{bmatrix}}
Lasketaan virrat edellisestä.
{\begin{bmatrix}I_{1,2}\\I_{2,0}\end{bmatrix}}={\frac {1}{Z_{2}Z_{3}-M_{2,3}^{2}}}{\begin{bmatrix}Z_{3}&-M_{2,3}\\-M_{2,3}&Z_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}-U_{2}\\U_{2}\end{bmatrix}}
Merkitään  k^{2}={\frac {1}{Z_{2}Z_{3}-M_{2,3}^{2}}}. Kirjoitetaan vielä virrat erikseen.
I_{1,2}=k^{2}Z_{3}U_{1}-k^{2}(Z_{3}+M_{2,3})U_{2}
I_{2,0}=-k^{2}M_{2,3}U_{1}+k^{2}(M_{2,3}+Z_{2})U_{2}
Muodostetaan sitten lopulta verkon yhtälö.
{\begin{bmatrix}J_{1}\\J_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1}+k^{2}Z_{3}&-k^{2}(Z_{3}+M_{2,3})\\-k^{2}(Z_{3}+M_{2,3})&k^{2}(2M_{2,3}+Z_{2}+Z_{3})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}
Esimerkit > Ohjatun lähteen käsittely

Kuvassa on yksinkertainen esimerkki, jossa on jänniteohjattu virtalähde  J_{2}. Kirjoitetaan solmujen  1 ja  2 yhtälöt.
solmu  1:
J1=(Y_{1}+Y_{2})U_{1}-Y_{2}U_{2}
solmu  2:
-gU_{1}=-Y_{2}U_{1}+(Y_{2}+Y_{3})U_{2}
Koska virtalähde  J_{2} sisältää tuntemattoman solmujännitteen  U_{1}, niin siirretään se yhtälön oikealle puolelle.
0=(g-Y_{2})U_{1}+(Y_{2}+Y_{3})U_{2}
Näin saadaan lopullinen yhtälöryhmä, joka on matriisimuodossa:
{\begin{bmatrix}J_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1}+Y_{2}&-Y_{2}\\g-Y_{2}&Y_{2}+Y_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}
Tästä tuntemattomat solmujännitteet on ratkaistavissa, koska  g:n oletetaan olevan tunnettu.
Menetelmän käyttö

Solmumenetelmä on vain yksi piirianalyysin menetelmistä. Esimerkiksi silmukkamenetelmään nähden se on edullinen, jos se johtaa pienempään yhtälöiden määrään kuin silmukkamenetelmä. Jos taas verkko sisältää keskinäisinduktansseja on silmukkamenetelmä yleensä käyttökelpoisempi.
Solmumenetelmän sanotaan olevan myös helpompi koodata tietokoneelle, kuin silmukkamenetelmä. Sen vuoksi useimmat piirianalyysiohjelmat perustuvat solmumenetelmään.
Keskinäisinduktanssin laskeminen
Esimerkki tasasähköpiiristä
Esimerkki keskinäisinduktanssia sisältävästä piiristä.
Esimerkki jänniteohjatun virtalähteen sisältävästä piiristä.
Kaskisten rautatieonnettomuus 2021

| Kaskisten rautatieonnettomuus 2021 |
| --- | --- |
Päivämäärä:  5. lokakuuta 2021
Aika:  7.53
Paikka:  Kaskinen, Suomi
Turman syy:  Yhteentörmäys
Tiedot
Junia osallisena:  1
Kuolleita:  0
Loukkaantuneita:  12
Kaskisten rautatieonnettomuus tapahtui Kaskisissa 5. lokakuuta 2021 kello 7.53, jolloin ratatyökone törmäsi hiljaisella nopeudella Pyhän Eskilinkadun ylityspaikalla koulubussiin Suupohjan radalla vartioimattomassa tasoristeyksesä. Radalla kulkenut yhdistelmä oli 35 kilometrin tuntinopeudella liikkunut Keitele-museon vetämä ratakuorma-auto, joka veti makuuvaunua. Koulubussi oli menossa Kristiinankaupunkiin, mutta se ei tiettävästi pysähtynyt tasoristeystä ennen, ja sen nopeus oli törmäyshetkellä 18 km/h. Kyseessä on paikka, jossa on aiemminkin sattunut vaaratilanteita. Kaksitoista henkilöä loukkaantui, heistä kaksi lasta ja kuljettaja vakavasti, mutta kellään ei tiedetty olevan hengenvaaraa. Onnettomuustutkimuskeskus tutkii asiaa.