Lien tyyppinen yksinkertainen ryhmä
Pienet Lien tyyppiset ryhmät

Yleisesti äärellinen ryhmä, joka liittyy yhdesti yhtenäiseen yksinkertaiseen algebralliseen ryhmään on äärellisen kunnan universaali keskeinen laajennus,
joten se on perfekti ja sillä on triviaali Schurin kertoja. Kuitenkin jotkut alla olevien perheiden pienimmistä ryhmistä eivät ole perfektejä tai niillä
on Schurin kertoja poikkeuksellisen suuri.
Tapaukset, joissa ryhmä ei ole perfekti, sisältää seuraavat ryhmät:
A1(2) = SL(2, 2) Ratkeava kertalukua kuusi oleva ryhmä eli kolmen alkion symmetrinen ryhmä.
   A1(3) = SL(2, 3) Ratkeava kertalukua 24 oleva ryhmä eli neljän alkion alternoivan ryhmän 2A2(4) kaksoispeite, ratkeava).
   B2(2) Ei ole perfekti, mutta on isomorfinen kuuden alkion symmetrisen ryhmän kanssa, joten sen johdetun aliryhmän indeksi on kaksi ja
   se on kertalukua 360 oleva yksinkertainen ryhmä.
   2B2(2) = Suz(2) Kertalukua 20 oleva ratkeava ryhmä, niin sanottu Frobeniuksen ryhmä.
   2F4(2) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kaksi ja ryhmä on yksinkertainen Titsin ryhmä.
   G2(2) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kaksi ja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6048.
   2G2(3) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kolme ja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 504.
Joissain tapauksissa ryhmä on perfekti mutta sen Schurin kertoja on suurempi kuin ensinnäkemältä odottaisi. Näitä tapauksia ovat muun muassa:
A1(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   A1(9) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6 vaikka odottaisi olevan 2.
   A2(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   A2(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/4Z × Z/4Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 48 vaikka odottaisi olevan 3.
   A3(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   B3(2) = C3(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   B3(3) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6 vaikka odottaisi olevan 2.
   D4(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 4 vaikka odottaisi olevan 1.
   F4(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   G2(3) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 3 vaikka odottaisi olevan 1.
   G2(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   2A3(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
   2A3(9) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z × Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 36 vaikka odottaisi olevan 4.
   2A5(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 12 vaikka odottaisi olevan 3.
   2E6(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 12 vaikka odottaisi olevan 3.
   2B2(8) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 4 vaikka odottaisi olevan 1.
On olemassa hämmentävä määrä isomorfismeja pienten Lien tyyppisten ryhmien välillä samoin kuin alternoivien ryhmien välillä. Esimerkiksi ryhmät SL(2, 4), PSL(2, 5),
ja viiden alkion alternoiva ryhmä ovat kaikki keskenään isomorfisia.
Joillakin pienillä alternoivilla ryhmillä on poikkeuksellisia ominaisuuksia. Alternoivilla ryhmillä on yleensä kertalukua kaksi oleva ulkoinen automorfismiryhmä, 
mutta kuuden alkion alternoivalla ryhmällä on kertalukua neljä oleva ulkoinen automorfismiryhmä. Alternoivilla ryhmillä on yleensä kertalukua kaksi oleva
Schurin kertoja, mutta kuuden ja seitsemän alkion alternoivilla ryhmillä on kertalukua kuusi oleva Schurin kertoja.