stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Kaarevuus
Tasokäyrän kaarevuus

Tasokäyrän kaarevuus annetussa pisteessä voidaan määritellä ainakin kahdella tavalla, jotka kuitenkin ovat keskenään yhtäpitäviä.  Se voidaan määritellä joko sen ympyrän säteen käänteisarvona, joka pisteen läheisyydessä tarkimmin yhtyy annettuun käyrään, tai vaihtoehtoisesti käyrän (tai sen tangentin suunnan muuttumisnopeutena suhteessa käyrän kaaren pituuteen.
Kaarevuuden määritteleminen kaarevuusympyrän avulla lienee intuitiivisesti havainnollisempaa kuin sen määritteleminen käyrän suunnan muutosnopeuden avulla. Jälkimmäisen määritelmän avulla on kuitenkin helpompi johtaa kaavat, joilla käyrän kaarevuus voidaan laskea. Tämän vuoksi jälkimmäistä käytetään tavallisimmin kaarevuuden määritelmänä, jota käytetään myös kinematiikassa.
Ympyrän kaarevuus on kaikkialla sama kuin sen säteen käänteisarvo. Suoran kaarevuus taas on nolla.
Tasokäyrän kaarevuus > Määritelmä kaarevuusympyrän avulla

Historiallisesti differentioituvan käyrän kaarevuus määriteltiin kaarevuusympyrän eli oskuloivan ympyrän avulla, toisin sanoen ympyrän, joka parhaiten approksimoi käyrää annetun pisteen läheisyydessä. Täsmällisemmin ilmaistuna, jos käyrältä valitaan piste P, käyrän jokainen muu piste Q määrittää ympyrän (tai toisinaan suoran), joka kulkee Q:n kautta ja joka sivuaa käyrää pisteessä P. Oskuloiva ympyrä, jos sellainen on olemassa, on tällöin raja-arvo, jota tämä ympyrä lähestyy, kun Q lähestyy P:tä. Tällöin käyrän kaarevuuskeskipisteellä ja kaarevuussäteellä pisteessä P tarkoitetaan tämän kaarevuusympyrän keskipistettä ja sädettä. Käyrän kaarevuus taas on sen kaarevuusssäteen käänteisarvo. Toisin sanoen
missä R on käyrän kaarevuussäde
Käyrän tiettyyn pisteeseen liittyvän kaarevuusympyrän keskipistettä sanotaan sen kaarevuuskeskipisteeksi. Käyrän eri pisteisiin liittyvät kaarevuuskeskipisteet muodostavat käyrän evoluutan.
Kaarevuusympyrään liittyvän määritelmän avulla on kuitenkin hankala johtaa lausekkeita eri käyrien kaarevuudelle. Sen vuoksi kaarevuudelle on esitetty muita määritelmiä, jotka kuitenkin ovat edellisen kanssa yhtäpitäviä.
Tasokäyrän kaarevuus > Yleisen parametroinnin avulla

Olkoon  \gamma (t)=(x(t),(y(t)) jonkin tasokäyrän aito kahdesti differentioituva parametriesitys. Tässä aito merkitsee sitä, että derivaatta  {\frac {dy}{dx}} on määritelty ja differentioituva kaikkialla parametroinnin määrittelyjoukossa eli kaikilla arvoilla t, joita vastaa jokin käyrän piste, eikä se missään saa arvokseen nollavektoria.
Nämä ehdot täyttävien parametrointien tapauksessa käyrän etumerkillinen kaarevuus on
missä x ja y tarkoittavat x:n ja y:n derivaattoja t:n suhteen. Käyrän kaarevuus  \kappa  on tällöin
Tämä voidaan esittää koodinaateista riippumattomalla tavalla seuraavasti:
Nämä kaavat voidaan kohtaa kaarenpituuteen liittyvän parametroinnin muodostamasta erikois­tapauksesta seuraavasti. Edellä olevista parametrointi­ehdoista seuraa, että kaaren pituus s on parametrin t differentioituva monotoninen funktio ja kääntäen t on s:n monotoninen funktio. Jos lisäksi tarvittaessa vaihdetaan s -s:ään, voidaan olettaa, että nämä funktiot ovat kasvavia, jolloin niiden derivaatta on positiivinen. Edellä käytettyjen merkintöjen avulla ja ketjusääntöä soveltaen saadaan
ja näin ollen ottamalla yhtälön molemmista puolista normi:
missä heittomerkki (') tarkoittaa differentiointia t:n suhteen.
Käyrän kaarevuus on derivaatan  {\frac {dT}{ds}} normi. Edellä olevan kaavan ja ketjusäännön avulla tämä derivaatta voidaan ilmaista pelkästään γ′:n ja  \gamma ″:n avulla eliminoimalla kaarenpituusparametri s, jolloin saadaan edellä esitetyt kaarevuuden kaavat.
Tasokäyrän kaarevuus > Funktion kuvaaja

Funktion kuvaaja  y=f(x) on parametroidun käyrän erikoistapaus, joka voidaan esittää muodossa
Koska x:n ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat 1 ja 0, edellä esitetyt kaavat yksinkertaistuvat muotoon
kaarevuudelle ja
etumerkilliselle kaarevuudelle.
Yleisessä tapauksessa käyrän kaarevuuden etumerkki on tavallaan mielivaltainen ja riippuu käyrän orientaatiosta. Funktion kuvaajalle on kuitenkin olemassa x:n kasvavien arvojen määrittämä luonnollinen orientaatio. Sen vuoksi kaarevuuden etumerkillä on suuri merkitys.
Etumerkillisen kaarevuuden etumerkki on sama kuin f:n toisen derivaatan etumerkki. Jos se on positiivinen, käyrä on alaspäin kupera, ja jos se on negatiivinen, käyrä on ylöspäin kupera. Jos se on nolla, kyseessä on joko käännepiste tai undulaatiopiste.
Kun kuvaajan kulmakerroin eli funktion derivaatta on itseisarvoltaan pieni, käyrän etumerkillinen kaarevuus on likipitäen yhtä suuri kuin funktion toinen derivaatta. Toisin sanoen iso O -merkintää käyttäen saadaan
Fysiikassa ja insinöörialoilla käyrän kaarevuutta approksimoidaan usein funktion toisella derivaatalla. Näin tehdään esimerkiksi palkkiteoriassa sekä johdettaessa jännitetyn langan aaltofunktio, kuten myös muissa sovelluksissa, joissa kulmakerroin on pieni. Tämä tekee usein mahdolliseksi käsitellä epälineaarista järjestelmää likipitäen lineaarisen kaltaisena.
Tasokäyrän kaarevuus > Napakoordinaatistossa

Jos käyrä on määritelty napakoordinaatistossa ja sen kunkin pisteen etäisyys r origosta on ilmoitettu kiertokulman θ funktiona, käyrän kaarevuus on
missä heittomerkki (') tarkoittaa derivaattaa θn suhteen.
Tämä seuraa yleisen parametroinnin kaavasta käyttämällä parametrointia
Tasokäyrän kaarevuus > Implisiittinen käyrä

Jos käyrä on määritelty implisiittisellä yhtälöllä  F(x,y)=0 ja sen osittaisderivaatoille käytetään merkintöjä  F_{x},  F_{y},  F_{xx},  F_{xy} ja  F_{yy}, sen kaarevuuden osoittaa lauseke
Etumerkillinen kaarevuus ei ole määritelty, sillä se riippuu käyrän orientaatiosta, jota implisiittinen yhtälö ei määritä. On huomattava, että jos F vaihdetaan -F:ään, yhtälön  F(x,y)=0 määrittelemä käyrä ei muutu, mutta nimittäjän etumerkki muuttuisi, jos itseisarvomerkit jätettäisiin pois edellä olevasta yhtälöstä.
Jos jossakin käyrän pisteessä on  F_{x}=F_{y}=0, tämä piste on käyrän erikoispiste, mikä yleensä merkitsee, ettei käyrä ole tässä pisteessä differentioituva eikä näin ollen sen kaarevuuskaan ole määritelty. Useimmiten kyseessä on joko piste, jossa käyrä leikkaa itsensä, tai piste, jossa käyrällä on terävä kärki.
Edellä oleva kaarevuuden lauseke voidaan johtaa funktion kuvaajan kaarevuuden lausekkeesta implisiittifunktiolauseen avulla ottamalla lisäksi huomioon, että sellaisella käyrällä pätee
Tasokäyrän kaarevuus > Esimerkkejä

Seuraavissa esimerkkitapauksissa on helppo osoittaa, että edellä esitetyt toisistaan poikkeavat määritelmät johtavat samaan tulokseen.
Tasokäyrän kaarevuus > Esimerkkejä > Ympyrä

Tavallinen parametrointi r-säteiselle ympyrälle on  \gamma (t)=(r\cos {t},r\sin {t}). Kaarevuuden kaavasta saadaan tällöin
Kuten odotettavissa oli, ympyrän kaarevuussäde on sama kuin sen säde ja kaarevuuskeskipiste sama kuin ympyrän keskipiste.
Ympyrä on siitä harvinainen käyrä, että sen parametrointi kaaren pituuden avulla on helppo laskea, ja se on
Tämä on kaarenpituuden mukainen parametrointi, sillä lausekkeen
normi on 1.  Tästä parametroinnista saadaan kaarevuudelle sama arvo kuin edellä, sillä näin saatu kaarevuuden lauseke poikkeaa edellä esitetystä vain siinä, että sekä osoittaja että nimittäjä tulevat jaetuiksi  r^{3}:lla.
Sama ympyrä voidaan määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä  F(x,y)=0, kun  F(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}. Tässä tapauksessa kaarevuuden kaava antaa tulokseksi
Tasokäyrän kaarevuus > Esimerkkejä > Paraabeli

Tarkastellaan paraabelia  y=ax^{2}+bx+c.
Paraabeli on funktion kuvaaja, ja tämän funktion derivaatta on  2ax+b ja toinen derivaatta  2a. Niinpä käyrän etumerkillinen kaarevuus on
Sen etumerkki on sama kuin a:n kaikilla x:n arvoilla. Tämä merkitsee, että jos a > 0, käyrä on kaikkialla alaspäin kupera, mutta jos a < 0, se on kaikkialla ylöspäin kupera. Jos a = 0, saadun "käyrän" kaarevuus on kaikkialla nolla, sillä tässä erikoistapauksessa käyrän kuvaajaksi saadaan paraabelin sijasta suora  y=bx+c.
Paraabelin (etumerkitön) kaarevuus saa suurimman arvonsa pisteessä  x={\frac {b}{2a}}. Tämä piste on sama kuin paraabelin huippu, ja siinä funktion derivaatta saa arvon nolla.
Tarkastellaan parametrointia  \gamma (t)=(t,at^{2}+bt+c)=(x,y). Tällöin x:n ensimmäinen derivaatta on 1 ja toinen derivaatta 0.  Jos nämä arvot sijoitetaan yleisen parametroinnin lausekkeeseen, saadaan aivan sama tulos kuin edellä, vain sillä erolla, että x on korvattu t:llä.
Sama paraabeli voidaan määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä  F(x,y)=0), missä  F(x,y)=ax^{2}+bx+c-y. Koska  F_{y}=1 ja  F_{yy}=F_{xy}=0, saadaan käyrän etumerkittömälle kaarevuudelle aivan sama arvo kuin edellä. Tässä tapauksessa etumerkillinen kaarevuus on kuitenkin merkityksetön, sillä sama paraabeli voidaan yhtä hyvin määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä  -F(x,y)=0, jolloin kuitenkin kaarevuus saa päinvastaisen etumerkin.
Tasokäyrän kaarevuus > Frenet'n–Serret'n kaavat tasokäyrille

Kaarevuuden lauseke kaaren pituuden mukaan parametroituna on oleellisesti sama kuin ensimmäinen Frenet'n–Serret'n kaava
missä heittomerkit tarkoittavat derivaattoja kaarenpituuden s suhteen ja  N(s) on  T(s)':n suuntainen normaaliyksikkövektori.
Koska tasokäyrien torsio on nolla, toisesta Frenet'n–Serret'n kaavasta saadaan yhteys
Käyrä voidaan parametroida minkä tahansa mielivaltaisen parametrin t avulla, mutta tällöin on kaarevuuden laskemiseksi tunnettava derivaatat t:n suhteen. Koska ne saadaan kertomalla derivaatat s:n suhteen derivaatalla  {\frac {ds}{dt}}, saadaan millä tahansa aidolla parametroinnilla
Tasokäyrän kaarevuus > Kaarevuuskampa

Käyrän kaarevuus sen jokaisessa pisteessä voidaan esittää graafisesti kaarevuuskamman (engl. Curvature comb) avulla. Jos  t\mapsto x(t) on parametroitu käyrä, sen kamman määrittelee parametroitu käyrä
missä  \kappa  ja  n ovat käyrän kaarevuus- ja normaalivektori ja  d skaalaustekijä, joka on valittava niin, että se tukee graafista esitystä.
Fysikaalinen merkitys

Jos hiukkanen liikkuu käyrää pitkin tasaisella ratanopeudella, sen ratakiihtyvyys on nolla. Sen sijaan sillä on keskeis­kiihtyvyyttä, mikä merkitsee, että sen liikkeen suunta muuttuu koko ajan. Tällöin hiukkasen ratanopeuden v, keskeis­kiihtyvyyden  a_{T} ja ratakäyrän kaarevuuden  \kappa  välillä on yhteys
Avaruuskäyrien kaarevuus

.
Kuten tasokäyrien tapauksessa, myös kolmi- tai useampiulotteisessa avaruudessa olevan säännöllisen avaruuskäyrän kaarevuus voidaan sitä pitkin yksikkönopeudella etenevän hiukkasen normaalikiihtyvyytenä. Niinpä jos  \gamma (s) on käyrän C kaaren pituuden mukainen parametrointi, yksikkötangenttivektorin  T(s) määrittelee lauseke
ja käyrän kaarevuus on kiihtyvyyden itseisarvo:
Kiihtyvyyden suunnan osoittaa normaaliyksikkövektori  N(s), joka määritellään lausekkeella
Taso, johon sisältyvät vektorit  T(s) ja  N(s) on käyrän  \gamma (s) oskuloiva taso. Käyrän kaarevuudella on seuraava geometrinen tulkinta.
Oskuloivassa tasossa on ympyrä, joka sivuaa käyrää  \gamma (s) ja jonka Taylorin sarja toiseen termiinsä saakka sivuamispisteessä on sama kuin käyrällä  \gamma (s). Tämä on käyrän oskuloiva ympyrä. Ympyrän  R(s) sädettä sanotaan käyrän kaarevuussäteeksi, ja käyrän kaarevuus on nytkin sen kaarevuussäteen käänteisarvo:
Näin määriteltyä avaruuskäyrän kaarevuutta sanotaan joskus sen ensimmäiseksi kaarevuudeksi eli fleksioksi. Kolmessa ulottuvuudessa käyrän kolmannen kertaluvun käyttäytymistä kuvaa myös kaarevuuteen läheisesti liittyvä torsion käsite, jota joskus sanotaan myös käyrän toiseksi kaarevuudeksi.. Käyrän torsio osoittaa, kuinka nopeasti käyrän sivunormaali kääntyy suhteessa kaaren pituuden lisäykseen.  Käyrän kaarevuuden ja torsion välisen yhteyden osoittavat kolmessa ulottuvuudessa Frenet'n–Serret'n kaavat, useammassa ulottuvuudessa niiden yleistykset.
Avaruuskäyrien kaarevuus > Yleisiä lausekkeita

Kolmessa ulottuvuudessa parametrin avulla määritellyn avaruuskäyrän  \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t)) kaarevuus on
missä heittomerkit tarkoittavat derivointia parametrin t suhteen. Tämä voidaan ilmaista koordinaatistosta riippumatta kaavan
avulla
missä × tarkoittaa vektorien ristituloa. Seuraava lauseke pätee käyrien kaarevuudelle kaikille euklidisille avaruuksille  \mathbf {R}  riippumatta ulottuvuuksien lukumäärästä N:
Avaruuskäyrien kaarevuus > Kaarevuus kaaren ja jänteen pituuksien avulla

Olkoot P ja Q kaksi pistettä käyrällä C. Käytetään käyrän C pisteiden P ja Q välisen osuuden eri kaaren pituudelle merkintää  s(P,Q) ja samojen pisteiden välisen janan pituudelle merkintää  d(P,Q). Tällöin käyrän C kaarevuuden pisteessä P osoittaa raja-arvo
kun piste Q lähestyy pistettä P kulkien käyrää C pitkin. Tässä kaavassa voidaan nimittäjänä yhtä hyvin käyttää myös lauseketta  d(P,Q)^{3}. Kaava pätee kaikissa ulottuvuuksissa. Lisäksi jos raja-arvoa tarkastellaan erikseen lähestyttäessä pistettä  P kummaltakin puolella, tämä kaarevuuden määritelmä saattaa osoittaa, onko P käyrän erikoispiste. Kaava voidaan todistaa oskuloivan ympyrän avulla.
Pintojen kaarevuus

[[Pinnan (geometria)|Pitojen9] kaarevuutta määriteltäessä on otettava huomioon, että pinta ei samassakaan pisteessä välttämättä kaareudu yhtä paljon kaikissa suunnissa. Esimerkiksi lieriö ei kaareudu lainkaan akselinsa suunnassa, mutta kyllä siihen nähden kohtisuorassa suunnassa. Pinnalle piirrettyjen käyrien kaarevuuden avulla voidaan pinnalle määritellä useitakin toisistaan poikkeavia kaarevuussuureita.
Pintojen kaarevuus > Käyrät pinnalla

Kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen upotetulle pinnalle piirretylle käyrälle voidaan määritellä useita kaarevuuksia, jotka sitoo toisiinsa pinnan yksikkö­normaali­vektorin suunta. Tällaisia ovat:
normaalikaarevuus
geodeettinen kaarevuus
geodeettinen torsio
Sileällä pinnalla jokaisella käyrällä, jolla ei ole erikoispisteitä, on tangenttivektori T, joka sisältyy pinnan tangenttitasoon. Tällöin
Käyrän normaalikaarevuus  k_{n} on sen käyrän kaarevuus, joka saadaan projisoimalla alkuperäinen käyrä tasolle, johon sisältyvät sen tangentti T ja pinnan normaali u.
Käyrän geodeettinen kaarevuus  k_{g} on sen käyrän kaarevuus, joka saadaan projisoimalla alkuperäinen käyrä pinnan tangenttitasolle, ja
Käyrän geodeettinen torsio eli suhteellinen torsio  \tau _{r} on mitta käyrän normaalin muutokselle kierrettäessä käyrän tangentin ympäri.
Oletetaan, että käyrä on parametroitu kaaren pituuden mukaan, ja olkoon  t=u\times T, jolloin  T,t,u on ortonormaali kanta, jota sanotaan Darboux’n kehykseksi. Edellä määriteltyjen suureiden välillä vallitsee yhteys:
Pintojen kaarevuus > Käyrät pinnalla > Pääkaarevuudet

Kaikilla pinnan käyrillä, joilla tietyssä pisteessä on yhteinen tangenttivektori, on sama normaali­kaarevuus, joka on sama kuin sen käyrän kaarevuus, joka saadaan leikkaamalla pinta tasolla, johon T ja u sisältyvät. Kun kaikki mahdolliset tangentti­vektorit otetaan huomioon, suurinta ja pienintä arvoa, jotka jonkin käyrän normaali­kaarevuus voi annetussa pisteessä saada, sanotaan pääkaarevuuksiksi  k_{1} ja  k_{2}, ja vastaavien tangentti­vektorien suuntia sanotaan päänormaali­suunniksi.
Pintojen kaarevuus > Normaalileikkaukset

Pinnan kaarevuus voidaan määrittää sen normaalileikkausten avulla samaan tapaan kuin edellä esitetyn mukaan pinnalla olevien käyrien kaarevuus. Näin voidaan määrittää esimerkiksi Maan kaarevuussäde.
Pintojen kaarevuus > Tasoittuvat pinnat

Jotkut kaarevat pinnat, esimerkiksi lieriö ja kartio (jälkimmäisen huippupistettä lukuun ottamatta), voidaan levittää tasoksi ilman, että niiden sisäiset mittasuhteet muuttuvat millään tavalla. Tällaiset pinnat voidaan myös saada aikaan taivuttelemalla esimerkiksi tasaista paperiarkkia, kutenkaan repimättä sitä. Sellaisia sanotaan tasoittuviksi pinnoiksi Tasoittuvien pintojen Gaussin kaarevuus on nolla.
Pintojen kaarevuus > Keskikaarevuus

Keskikaarevuus on ulkoinen (ekstrinsinen) kaarevuuden mitta, ja se on yhtä suuri kuin puolet pääkaarevuuksien summasta,  {\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}. Sen dimensio on pituuden dimension käänteisarvo. Keskuskaarevuus liittyy läheisesti pinnan pinta-alan ensimmäiseen poikkeamaan. Erityisesti minimaalisten pintojen kuten kahden toisiaan koskettavan saippuakuplan välisen rajapinnan keskikaarevuus on nolla, kun taas erillisen saippuakuplan keskikaarevuus on nollasta poikkeava vakio. Toisin kuin Gaussin kaarevuus, pinnan keskikaarevuus on ekstrinsinen (ulkoinen) ominaisuus ja riippuu siitä laajemmasta avaruudesta, johon pinta on upotettu. Esimerkiksi lieriö ja taso ovat lokaalisti isomertisia, mutta tason keskikaarevuus on nolla, kun taas lierillä se on nollasta poikkeava.
Pintojen kaarevuus > Esimerkkejä

Lieriön normaalikaarevuus se akselin suunnassa on nolla, sillä tässä suunnassa pinta ei kaareudu. Siihen nähden kohtisuorassa suunnassa sen sijaan lieriön kaarevuussäde on sama kuin sen pohjaympyrän säde r, joten sen kaarevuus on 1/r.  Näin ollen lieriön pääkaarevuudet ovat  k_{1}={\frac {1}{r}} ja  k_{2}=0, sillä nämä ovat suurin ja pienin arvo, jonka sen normaalikaarevuus missään suunnassa saa. Tästä seuraa, että lieriön keskikaarevuus on  {\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}={\frac {0+{\frac {1}{r}}}{2}}={\frac {1}{2r}}, mutta sen Gaussin kaarevuus on  k_{1}k2=0, kuten edellä jo mainittiin.
pallopinnan normaalikaarevuus sen jokaisessa pisteessä on kaikissa suunnissa pallon säteen (r) käänteisarvo, 1/r. Tämä arvo on myös pallopinnan molemmilla pääkaarevuuksilla ja myös keskikaarevuudella. Sen sijaan pallopinnan Gaussin kaarevuus on  {\frac {1}{r^{2}}}.
Tason normaalikaarevuus on sen jokaisessa pisteessä nolla. Näin ollen myös sen keskikaarevuus ja Gaussin kaarevuus ovat nollia.
Pintojen kaarevuus > Toinen perusmuoto

Pinnan sisäinen ja ulkoinen kaarevuus voidaan yhdistää toiseksi perusmuodoksi. Toinen perusmuoto on pintaa sen jossakin pisteessä sivuavalla tangenttitasolla määritelty neliömuoto, jonka arvo pinnan tangenttivektorilla X on käyrän kiihtyvyyden normaalikomponentti X:ää sivuavalla pinnalla. Toisin sanoen se on X:ää sivuavan käyrän normaalikaarevuus. Kaavana:
missä N on pinnan yksikkönormaali.  Jos tangenttivektorina X on yksikkötangenttivektori, käytetään kaarevuuden suurinta ja pienintä arvoa  k_{1} ja  k_{2}, jotka esiintyvät perussunnissa u1 ja u2.  Niinpä pääakselilauseen mukaan
Näin ollen toinen perusmuoto ilmaisee sekä pinnan sisäisen että ulkoisen kaarevuuden.
Avaruuden kaarevuus

Samoin kuin taso, myös kolmi- tai useampi­ulotteinen avaruus voi olla sisäisesti kaareutuva. Kaarevuus on sisäistä (intrinsistä) siinä mielessä, että se on ominaisuus, joka on määritelty avaruuden jokaisessa pisteessä, eikä sitä näin ollen ole määritelty suhteessa mihinkään laajempaan avaruuteen, johon kaareutuvan avaruuden mahdollisesti oletetaan sisältyvät. Monessa tapauksessa kaareutuvan avaruuden kyllä voidaan ajatella jonkin laajemman useampi­ulotteisen avaruuden osajoukoksi, mutta näin ei välttämättä tarvitse olla, missä tapauksessa kaarevuus voidaan määritellä vain sisäisesti.
Sen jälkeen kun kaarevuudelle oli keksitty sisäinen (intrinsinen) määritelmä, joka läheisesti liittyy epä­euklidiseen geometriaan, monet matemaatikot ja tiedemiehet esittivät kysymyksen, olisiko myös todellinen fysikaalinen avaruus mahdollisesti kaareva. Euklidisen geometrian oli kuitenkin jo todettu kuvaavan todellisuutta niin hyvin, että mikäli avaruus on kaareva, sen kaarevuus­säteen olisi oltava tähti­tieteellisen suuri. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa, joka kuvaa gravitaatiota ja kosmologiaa, ajatusta on yleistetty käsitykseen aika-avaruuden kaareutumisesta; teorian mukaan aika-avaruus on pseudoriemannilainen monisto. Kun aikakoordinaatti on määritelty, tiettyä ajanhetkeä vastaava kolmi­ulotteinen avaruus on yleensä kaareutuva Riemannin monisto, mutta koska aikakoordinaatti voidaan valita monin tavoin, fysikaalisesti merkitsevä on nimenomaan taustalla oleva aika-avaruuden kaarevuus.
Mielivaltainen kaareutuva avaruus on hyvin monimutkainen kuvailtavaksi. Jos avaruus kuitenkin lokaalisti isotrooppinen ja homogeeninen, sen kaarevuus voidaan ilmaista yhdellä Gaussin kaarevuudella samoin kuin pintojenkin. Matemaattisesti nämä ovat hyvin rajoittavia ehtoja, mutta  vastaavat järkeviä fysikaalisia oletuksia: kaikki pisteet ja kaikki suunnat ovat täysin toistensa kaltaisia. Positiivinen kaarevuus vastaa kaarevuus­säteen käänteis­arvon neliötä, mistä esimerkkejä ovat pallo ja hyperpallo. Sen sijaan esimerkiksi hyper­bolisen geometrian kuvaaman avaruuden kaarevuus on negatiivinen. Avaruutta tai aika-avaruutta, jonka kaarevuus on nolla, sanotaan laakeaksi. Esimerkiksi euklidinen avaruus on laakea, ja Minkowskin avaruus on laakea aika-avaruus. Mutta laakeita avaruuksia ja aika-avaruuksia on muitakin. Niinpä myös lieriön pinnalle ja torukselle voidaan määritellä laakea metriikka, mutta topologisesti ne eivät ole tason kaltaisia. Kaarevalla avaruudella voi olla vielä muunkinlaisia topologioita. Kysymys maailman­kaikkeuden muodosta koskee sitä, mikä niistä vastaa fyysistä todellisuutta.
Svitlana Loboda

| Svitlana Loboda> Світлана Лобода |
| --- | --- |
 Svitlana Loboda poistumassa lavalta euroviisuesityksensä jälkeen vuonna 2009.
Henkilötiedot
Syntynyt: 18. lokakuuta 1982 (ikä 42)  Kiova, Ukraina
Ammatti:  laulaja, juontaja, näyttelijä, muotisuunnittelija
Muusikko
Taiteilijanimi:  Loboda 
Laulukielet:  englanti, venäjä
Aktiivisena:  2000–
Tyylilajit:  pop, R&B
Soittimet:  piano, syntetisaattori, kitara ja rumpusetti 
Yhtyeet:  Nu Virgos
Levy-yhtiöt:  Moon Records
Aiheesta muualla
loboda.com
  [ Muokkaa Wikidatassa ] [ ohje ]  
Svitlana Serhijivna Loboda (ukr. Світлана Сергіївна Лобода, ven. Светлана Сергеевна Лобода, Svetlana Sergejevna Loboda, s. 18. lokakuuta 1982 Kiova) on ukrainalainen poplaulaja.
Loboda valittiin vuonna 2004 Nu Virgos -yhtyeeseen (myöhemmin VIA Gra). Loppuvuodesta hän kuitenkin lähti soolouralle ja julkaisi ensimmäisen levynsä oman levynsä marraskuussa 2005.
Hän edusti Ukrainaa Eurovision laulukilpailussa 2009 kappaleella ”Be My Valentine! (Anti-Crisis Girl)”. Kilpailun finaalissa hän sijoittui kahdenneksitoista 76 pisteellä.
Albumit

Ты не забудешь (2005)
Чёрный ангел (2006)
Постой, муЩина! (2007)
Не ма4о (2008)
F*сk the Macho (2008)
Singlet

Чёрно-белая зима (2004)
Я забуду тебя (2005)
Ты не забудешь (2005)
Чёрный ангел (2006)
Постой, МуЩина! (2006)
МегаMix (2006)
Мишка, гадкий мальчишка! (2007)
Счастье (2007)
Не ма4о (2008)
За что? (2008)
By Your side (2008)
Be My Valentine! (Anti-Crisis Girl) (2009)
Парень, ты ниче (2009)
Сердце бьется (2010)
Революция (2010)
Спасибо (2011)
На Свете (2011)
Облака (2012)
What about U (2012)
40 градусов (2012)
Moloko (2020)
Aiheesta muualla

Svetlana Lobodan virallinen sivusto (englanniksi)
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  ISNI 
Kansalliset:  Norja  Latvia 
Taiteenala:  MusicBrainz 
Muut:  Europeana
Voikukat

| Voikukat |
| --- | --- |

Tieteellinen luokittelu
Domeeni::  Aitotumaiset Eucarya
Kunta::  Kasvit Plantae
Alakunta::  Putkilokasvit Tracheobionta
Kaari::  Siemenkasvit Spermatophyta
Alakaari::  Koppisiemeniset Magnoliophytina
Luokka::  Kaksisirkkaiset Magnoliopsida
Lahko::  Asterales
Heimo::  Asterikasvit Asteraceae
Alaheimo::  Cichorioideae
Suku::  Voikukat Taraxacum  G.H.Weber ex Wiggers
Katso myös
   Voikukat Wikispeciesissä   Voikukat Commonsissa 
Infobox OKNimi-testi OK: 
Voikukat (Taraxacum) on asterikasveihin kuuluva kasvisuku. Voikukat ovat usein rikkaruohoina pidettyjä monivuotisia kasveja, jotka leviävät tehokkaasti siementensä avulla. Voikukka on kuitenkin myös kauppayrtti. Ympäri maailmaa ja myös Suomessa tavataan monia voikukan pikkulajeja, joiden väliset erot saattavat olla erittäin vähäisiä.