Hilbertin ongelmat
Luettelo probleemoista

Hilbertin 23 probleemaa olivat seuraavat:
| Numero | Lyhyt selostus | Nykyinen tila | Ratkaistu vuonna |
| --- | --- | --- | --- |
| 1. | Kontinuumihypoteesi: onko olemassa joukkoja, joiden mahtavuus (kardinaliteetti) on aidosti suurempi kuin kokonaislukujen joukon mutta aidosti pienempi kuin reaalilukujen joukon? | On osoitettu mahdottomaksi todistaa hypoteesia oikeaksi tai vääräksi Zermelon Fraenkelin joukko-opin aksioomien avulla, myöskään siinä tapauksessa, että lisäksi käytetään valinta-aksioomaa (edellyttäen, että Zermelon-Fraenkelin joukko-oppi itsessään on ristiriidaton). Ei olla yksimielisiä siitä, voidaanko ongelma täten katsoa ratkaistuksi. | 1963 |
| 2. | Lukuteorian aksioomien todistaminen ristiriidattomaksi. | Ei ole yksimielisyyttä siitä, ovatko Gödel ja Gentzen ratkaisseet ongelman sellaisena kuin Hilbert sen esitti. Gödelin vuonna 1931 todistama epä­täydellisyys­lause osoitti, ettei niiden ristiriidattomuutta voi todistaa aritmetiikan itsensä avulla. Gentzen todisti vuonna 1936, että aritme­tiikan risti­riidatto­muus seuraa siitä, että ordinaali ε0 on hyvin määritelty. | 1936? |
| 3. | Voidaanko kahdesta tilavuudeltaan yhtäsuuresta moni­tahokkaasta toinen aina jakaa äärelliseen määrään osia siten, että kokoamalla ne yhteen toisella tavalla niistä voidaan saada toinen alku­peräisistä moni­tahokkaista? | Ratkaistu. Tulos: ei voida, todistettu Dehnin invarianttien avulla. | 1900 |
| 4. | Kaikkien sellaisten metriikkojen konstruointi, joissa viivat ovat geodeettisia viivoja | Liian epämääräisesti muotoiltu, jotta voitaisiin sanoa, onko ratkaisu vai ei.  | – |
| 5. | Ovatko kaikki jatkuvat ryhmät samalla Lien ryhmiä? | Riippuen siitä, miten alkuperäinen ongelma tulkitaan, Andrew Gleasonin voidaan katsoa ratkaisseen sen. Jos se kuitenkin katsotaan Hilbert-Smithin konjektuurin vaihtoehtoiseksi muotoiluksi, se on edelleen ratkaisematta. | 1953? |
| 6. | Koko fysiikan aksiomatisointi | Osittain ratkaistu.     | – |
| 7. | Onko a b aina transkendenttiluku, jos a on algebrallinen mutta ei 0 eikä 1 ja b irrationaalinen algebrallinen luku? | Ratkaistu. Tulos:on, tämän osoitti Gelfondin lause. | 1935 |
| 8. | Riemannin hypoteesi: onko Riemannin zeeta-funktion kaikkien epä­triviaalien nolla­kohtien reaali­osa ½? Lisäksi muita alkulukuihin liittyviä ongelmia kuten Goldbachin konjektuuri ja onko alku­luku­pareja äärettömän monta. | Ratkaisematta. | – |
| 9. | Etsittävä mahdollisimman yleinen muoto neliönjäännöslauseelle missä tahansa algebrallisessa lukukunnassa | Osittain ratkaistu. | – |
| 10. | Etsittävä algoritmi, jolla mistä tahansa polynomimuotoisesta kokonaislukukertoimisesta Diofantoksen yhtälöstä voidaan selvittää, onko sillä kokonais­luku­ratkaisuja. | Ratkaistu. Tulos: mahdotonta, Matiyasevichin lauseesta seuraa, ettei sellaista algoritmia ole olemassa. | 1970 |
| 11. | Neliömuotojen ratkaiseminen algebrallisten numeeristen kerrointen avulla. | Osittain ratkaistu. | – |
| 12. | Rationaalilukujen joukon Abelin laajennuksia koskevan Kroneckerin–Weberin lauseen yleistäminen koskemaan mitä tahansa kantana käytettävää lukujoukkoa. | Ratkaisematta. | – |
| 13. | Voidaanko kaikki seitsemännen asteen yhtälöt ratkaista käyttämällä kahden muuttujan jatkuvia funktioita? | Ongelman ratkaisi osittain Vladimir Arnold Andrei Kolmogorovin tutkimusten nojalla.  | 1957 |
| 14. | Onko polynomirenkaan algebrallisen ryhmän invarianttiryhmä aina äärellisesti generoitu? | Ratkaistu. Tulos: ei ole, Masayoshi Nagata konstruoi vastaesimerkin. | 1959 |
| 15. | Schubertin enumeratiivisen kalkyylin täsmällinen perusta. | Osittain ratkaistu. | – |
| 16. | Miten reaalisen algebrallisen käyrän ja rajaympyrän ovaalit sijoittuvat toistensa suhteen tasossa? | Ratkaisematta. | – |
| 17. | Definiittisten rationaalifunktioiden esittäminen neliöiden summien osamääränä | Ratkaistu. Tulos: Tarpeellisten neliöllisten termien lukumäärälle löydetty yläraja. | 1927 |
| 18. | (a) Onko olemassa monitahokas, jollaisilla kolmiulotteinen avaruus voidaan täyttää vain anisohedraalisesti (niin, etteivät eri monitahokkaiden särmät ole yhdensuuntaisia)?   (b) Mikä on tiivein tapa, jolla tila voidaan täyttää palloilla? | (a) Ratkaistu. Tulos: kyllä (osoittanut Karl Reinhardt.   (b) Ratkaistu tietokoneen avulla. Tulos: tiiveimmät pakkaukset ovat kuutiollinen tiivispakkaus (pintakeskinen kuutiollinen) ja heksagonaalinen tiivispakkaus, joiden kummankin täyttöaste on noin 74 %. Täten Keplerin konjektuuri voitiin todistaa oikeaksi. | (a) 1928   (b) 1998 |
| 19. | Ovatko Lagrangen optimointitehtävien ratkaisut aina analyyttisia funktioita? | Ratkaistu. Tulos: ovat, minkä todisti Ennio de Giorgi ja hänestä riippumatta toisella tavalla John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Onko kaikilla tietyt reuna­ehdot täyttävillä variaatio­laskennan probleemoilla ratkaisu? | Ratkaistu. Merkittävä tutkimus­alue koko 1900-luvulla, huipentui epä­lineaarisen tapauksen ratkaisuun. | – |
| 21. | Onko aina olemassa lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolla on annettu monodromiryhmä? | Ratkaistu. Tulos: Ei, sillä on mahdollista luoda tilanne jolloin väittämä ei pidä paikkaansa. | – |
| 22. | Analyyttisten relaatioiden yhtenäistäminen automorfifunktioiden avulla | Ratkaistu | – |
| 23. | Variaatiolaskennan jatkokehitys | Ratkaisematta. | – |