Siirtofunktio
Muodostus Laplace-tasossa

Lineaarisen järjestelmän siirtofunktio Laplace-tasossa muodostetaan systeemin aikatason funktiosta Laplace-muunnoksella. Kokeellisesti siirtofunktio voidaan määrittää myös esimerkiksi askelvastekokeella.
Lineaarisen aikainvariantin systeemin siirtofunktio on sen painofunktion Laplace-muunnos. Yhden tulosignaalin systeemin painofunktio on sama kuin systeemin yksikköimpulssivaste, joka on toisaalta myös systeemin yksikköaskelvasteen derivaattafunktio.
Siirtofunktion lauseke voidaan johtaa ainakin kolmella menetelmällä: Laplace-muunnoksen avulla, systeemin eksponentiaalisen ominaisfunktion avulla ja derivointioperaattoriin perustuvalla operaattorisiirtofunktiopäättelyllä. Laplace-muunnokseen viitattaessa voidaan käyttää joko aikavälin  (-\infty ,\infty ), aikavälin  (0,\infty ) tai aikavälin  (0^{-},\infty ) Laplace-muunnosta. Tavallisesti aikaväliksi valitaan näistä toinen tai kolmas. Tavallisesti tutkittava tapahtuma myös määritellään niin, että systeemin tulosignaali ja lähtösignaali ovat nollia aikamuuttujan negatiivisilla arvoilla. Tällöin systeemin sanotaan olevan levossa ennen aikavälin alkuhetkeä. Kolmatta aikaväliä on saatettu käyttää toisen sijasta siltä varalta, että jossakin tutkittavassa funktiossa esiintyisi (ainakin teoriassa) hetkellä 0 esimerkiksi Diracin yksikköimpulssiin verrannollinen funktio tms. klassiselle matematiikalle tuntematon erikoisuus.
Yhden tulosignaalin lineaariselle aikainvariantille systeemille, joka on levossa hetkeen 0 tultaessa, siirtofunktio on lähtösignaalin  y(t) ja tulosignaalin  x(t) Laplace-muunnoksien suhde.
Jos systeemin malliksi kelpaa tavanomainen lineaarisen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö (jossa ei siis ole viittauksia esimerkiksi aitoihin viiveilmiöihin), niin siirtofunktio on Laplace-muuttujan kahden polynomin osamäärä eli muotoa
missä  n\; ja  m\; ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja. Vakio  n\; ilmaisee siirtofunktion kertaluvun. Vakiovahvistusmallin siirtofunktion arvo on se vakiovahvistus, derivointielimen (derivoinnin, derivointioperaation) siirtofunktio on  s ja integraattorin (integroinnin) siirtofunktio on  1/s. Yllä esiteltyä siirtofunktiota sanotaan epäaidoksi (improper), jos  m>n. Siirtofunktion epäaitous on riittävä ehto epästabiiliudelle. Siten teoreettinen derivointielinkin, jolle  n=0,m=1, paljastuu epästabiiliksi. Jos taas  m\leq n, niin siirtofunktio on aito (proper). Ehdolla  m<n siirtofunktiota sanotaan vahvasti aidoksi (strictly proper).
Myös mm. eräille viiveilmiöitäkin kuvaaville malleille ja osittaisdifferentiaaliyhtälöitäkin sisältäville malleille voidaan määritellä siirtofunktio. Sellaisen systeemin siirtofunktio ei ole polynomien osamäärä. Esimerkiksi kulkuaikaviivemallin, jonka viive on vakio  d, siirtofunktio on  exp(-ds). Monissa tarkasteluissa nähdään muotoa  G(s)exp(-ds) oleva siirtofunktiotulo, jossa  G(s) on polynomien osamäärä. Se kuvaa siirtofunktion  G(s) kuvaaman systeemin ja edellä mainitun viivesysteemin sarjaankytkentää, jonka Input-Output -vaste saadaan myöhästämällä siirtofunktion  G(s) kuvaamaa vastetta viiveen  d verran.
Eräs ensimmäisen kertaluvun siirtofunktio on
missä  K\; on vahvistus ja  \tau \; on aikavakio.
Eräs toisen kertaluvun siirtofunktio voidaan kirjoittaa muodossa
missä  K on systeemin vahvistus,  \omega _{n}\; on kulmataajuus ja  \zeta \; on vaimennusvakio. Tällaisen reaalikertoimisen siirtofunktion omaava systeemi voidaan tehdä kahdesta sarjaan kytketystä aikavakiosysteemistä, jos  \omega _{n} ei ole nolla ja jos  \zeta  on vähintään yksi. Näiden aikavakiosysteemien aikavakiot ovat silloin
Näiden kaavojen käänteiskaavat ovat
Siirtofunktiosta voidaan siirtyä takaisin systeemiä kuvaavaan differentiaaliyhtälöön Laplace-käänteismuunnoksella.