Helmholtzin kelat
Magneettikenttä keskiakselilla

Johdetaan lauseke magneettivuon tiheydelle kelojen keskiakselilla paikan funktiona. Oletetaan, että ohut virtajohdin ei kulje origon kautta. Olkoon johtimessa kulkeva sähkövirta 



I


{\textstyle I}

. Vasemmanpuoleisen kuvan merkinnöin voidaan kirjoittaa Biot’n−Savartin laki, joka kertoo magneettivuon tiheyden mielivaltaisessa pisteessä 



P


{\textstyle P}

:
\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint {\frac {\mathrm {d} \mathbf {l} '\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\lVert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\rVert ^{3}}},
missä
μ

0




{\textstyle \mu _{0}}

 on tyhjiön permeabiliteetti (eli magneettivakio),
d



l

′



{\textstyle \mathrm {d} \mathbf {l} '}

 on johtimen differentiaalinen pituusalkio pisteessä 



Q


{\textstyle Q}

 ja
\lVert \mathbf {x} \rVert  merkitsee vektorin normia (pituutta).
Sovelletaan Biot'n−Savartin lakia kahdelle ympyränmuotoiselle johdinsilmukalle siten, että piste 



P


{\textstyle P}

 sijaitsee silmukoiden keskiakselilla. Tarkastellaan ensin pelkästään yhtä silmukkaa. Asetetaan tarkastelukoordinaatisto siten, että origo on silmukan keskellä ja 



x


{\textstyle x}

-akseli kulkee silmukan keskiakselia pitkin. Olkoon silmukan säde 



R


{\textstyle R}

 ja siinä kulkeva sähkövirta 



I


{\textstyle I}

 (ks. oikeanpuoleinen kuva). Tässä geometriassa Biot'n−Savartin laista saadaan:
{\begin{aligned}B(\mathbf {r} )&=\lVert \mathbf {B} (\mathbf {r} )\rVert ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint {\frac {\lVert \mathrm {d} \mathbf {l} '\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\rVert }{\lVert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\rVert ^{3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint {\frac {\lVert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\rVert \sin(\pi /2-\theta )\,\mathrm {d} l'}{\lVert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\rVert ^{3}}}\\&={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint {\frac {\cos \theta }{\lVert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\rVert ^{2}}}\,\mathrm {d} l',\end{aligned}}
sillä 



sin
⁡
(
π

/

2
−
θ
)
=
cos
⁡
θ


{\textstyle \sin(\pi /2-\theta )=\cos \theta }

 kaikilla  \theta \in \mathbb {R} . Pisteessä 



P


{\textstyle P}

 termit
\cos \theta ={\frac {\lVert \mathbf {r} '\rVert }{\lVert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\rVert }}={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}} ja
\lVert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\rVert ^{2}=R^{2}+x^{2}
ovat vakioita, joten ne voidaan siirtää ulos integraalista. Jäljelle jää suoritettavaksi suljettu polkuintegraali yli 



R


{\textstyle R}

-säteisen ympyrän, eli ympyrän kehän pituus:
B(x)={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {R}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}\underbrace {\oint \mathrm {d} l'} _{=2\pi R}={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}.
Jos silmukka korvataan halkaisijaltaan yhtä suurella kelalla, jossa on 



N


{\textstyle N}

 kierrosta, kerrotaan edellä saatu tulos 



N


{\textstyle N}

:llä:
B(x)={\frac {\mu _{0}NIR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}.
Lisätään 



x


{\textstyle x}

-akselille kohtaan 



x
=
L
>
0


{\textstyle x=L>0}

 toinen kela, jonka säde on 



R


{\textstyle R}

 ja kierrosten lukumäärä 



N


{\textstyle N}

. Oletetaan, että tässä kelassa kulkee yhtä suuri sähkövirta samaan kiertosuuntaan kuin ensimmäisessä kelassa. Toisen kelan aiheuttama magneettivuon tiheys keskiakselilla lasketaan hyödyntäen jo saatua tulosta. Tarvitsee vain korvata muuttuja 



(
L
−
x
)


{\textstyle (L-x)}

:llä. Kokonaisuudessaan magneettivuon tiheys keskiakselilla saadaan näiden kahden kelan magneettivuon tiheyksien summana:
B(x)={\frac {\mu _{0}NIR^{2}}{2}}\left({\frac {1}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}+{\frac {1}{(R^{2}+(L-x)^{2})^{3/2}}}\right).
Sijoittamalla tähän yhtälöön  L=R, saadaan yhtälö magneettivuon tiheydelle Helmholtzin kelojen keskiakselilla:
B_{\text{keskiakseli}}(x)={\frac {\mu _{0}NIR^{2}}{2}}\left({\frac {1}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}+{\frac {1}{(2R^{2}-2Rx+x^{2})^{3/2}}}\right).