stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Kolmion ratkaiseminen
Sovelluksia > Kolmiomittaus

Jos halutaan määrittää kaukana näkyvän laivan etäisyys rannasta (d), valitaan rannalta kaksi pistettä, joiden etäisyys eli kolmiomittauksen perusviiva, l, tunnetaan.  Olkoot α ja β perusviivan ja laivaan osoittavien suuntien väliset kulmat.
Kun laiva näkyy, sen etäisyys ei ole niin suuri, että maan pallonmuotoisuus olisi otettava huomioon. Näin ollen voidaan käyttää tasokolmioiden KSK-tapauksen tulosta. Laivan etäisyys rannasta on perusviivan päätepisteiden ja laivan muodostaman kolmion korkeusjanan pituus:
 d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .
Jos maan pallonmuotoisuus kuitenkin on otettava huomioon, on ensin laskettava etäisyys jommastakummasta pisteestä (α tai β) laivaan. Pisteestä α laskettu etäisyys on edellä KSK-tapaukselle johdetun lausekkeen mukaan
 \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},.
Kun tämä sijoitetaan tapauksessa SKK saatuun lausekkeesen ja käytetään suorakulmaista osakulmiota, johon sisältyvät kulma α ja sivt b ja d, saadaan:
 \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .
Tasokolmiolle edellä kohdettu lauseke on itse asiassa sama kuin Taylorin sarjan ensimmäinen termi, kun pallokolmiole kohdettu lauseke esitetään ℓ:n potenssien sarjana.
Tätä menetelmää käytetään kabotaasissa. Kulmat α ja β määritetään tarkkailemalla tuttuja maamerkkejä laivasta käsin.
Toisena esimerkkinä voidaan tarkastella vuoren tai korkean rakennuksen korkeuden määritystä. Valitaan maan pinnalta kaksi pistettä, joista katsottuna vuoren tai rakennuksen huipun korkeuskulmat ovat α ja β, ja olkoon ℓ näiden pisteiden etäisyys toisistaan. Samoista KSK-tapauksen kaavoista saadaan korkeudeksi:
h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.
</math>
Sovelluksia > Kahden maapallolla olevan paikan välinen etäisyys

Jos kahden maapallolla olevan paikkakunnan maantieteellinen pituus ja leveys ovat
Kahden maapallolla olevan paikkaku
To calculate the distance between two points on the globe,
niiden välinen etäisyys maapallon isoympyrää pitkin mitattuna voidaan laskea muodostamalla maapallolle pallokolmio, jonka kärkinä A ja B ovat paikkakunnat A ja B sekä kolmantena kärkipisteenä C pohjoisnapa. 
Tällöin pallokulmion kaksi sivua ovat:
 {\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}
Kolmiosta tunnetaan siis kaksi sivua ja niiden välinen kulma, joka on sama kuin paikkakuntien A ja B maantietellisten pituuksien erotus |LB - LA|.
Edellä olevan SKS-tuloksen mukaan paikkakuntien A ja B etäisyys on siis:
 {\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}., 
missä R on Maan säde (noin 6366 km).
Sovelluksia > Muita sovelluksia

Pallokolmioiden ratkaisemisen muihin sovelluksiin kuuluu myös muslimien kohti Mekkaa osoittavan rukokussuunnan eli qiblan määrittäminen. Tehtävä voidaan ratkaista muodostamalla pallokolmio, yksi kärki (A) on pohjoisnavalla, toinen (B) Mekassa ja kolmas (C) sillä paikkakunnalla, josta käsin suunta on määritettävä. Tällöin kulma γ, jonka kärki on pisteessä C, osoittaa, minkä verran tämä suunta poikkeaa pohjoissuunnasta.
Aiheesta muualla

Spherical trigonometry Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 12.8.2024.
Triangulator (Ohjelma mielivaltaisen tasokolmion ratkaisemiseksi) rlefebvre.ca. Viitattu 12.8.2024.
Spherical Triangle Calculator (Ohjelma mielivaltaisen pallokolmion ratkaisemiseksi) gnomonique.fr. Viitattu 12.8.2024.[vanhentunut linkki]
Kolmion standardimerkinnät
Yhteenveto tasokolmioiden ratkaisemisesta
Kolme sivua tunnettu
Kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnettu
Kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tunnettu
Kaksi sivua ja toisen vastainen kulma tunnettu
Tuloksena saatavat kaksi kolmiota
Pallokolmio
Kolme sivua tunnettu
Kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnettu
Kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma tunnettu
Kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tunnettu
Kaksi kulmaa ja niistä toisen vastainen sivu tunnettu
Kolme kulmaa tunnettu
Etäisyyden määritys kolmiomittauksen avulla
Vuoren korkeuden määritys
Emilia-Romagna

| Emilia-Romagna |
| --- | --- |

 Sijainti
Valtio:  Italia
Maakuntia ja metropolikaupunkeja:  8 + 1
Kuntia:  340
Hallinto:  
 – hallinnollinen keskus:  Bologna
 – Presidentti:  Michele De Pascale (PD)
Pinta-ala:  22 453 km²
Väkiluku (31.12.2015):  4 448 146 (6.)
 – väestötiheys:  198 as./km²
BKT (2016):  154 mrd. € (4.) 
 – asukasta kohti:  34 600 € (4.) 
 
Alueen kotisivut
Emilia-Romagna on hallinnollinen alue Pohjois-Italiassa. Se sijaitsee Pojoen eteläpuolella ulottuen Pohjois-Italian poikki Adrianmereltä länteen lähelle Genovanlahtea.
Emilia-Romagna muodostuu kahdesta historiallisesta maakunnasta: Emiliasta, jonka nimi palautuu antiikin Aemilian alueeseen ja Via Aemiliaan, ja Romagnasta. Siellä on noin neljä ja puoli miljoonaa asukasta. Pääkaupunki on Bologna; muita merkittävimpiä kaupunkeja ovat Parma, Reggio nell'Emilia ja Ravenna.
Talous

Pääasiallinen elinkeino on pitkään ollut maanviljely, ja alue on myös tunnettu ruokakulttuuristaan. Myös teollisuus ja turismi ovat tärkeitä ja elinvoimaisia.
Hallinnollinen jako

Emilia-Romagna on jaettu yhdeksään maakuntatason alueeseen: kahdeksaan maakuntaan ja yhteen metropolikaupunkiin:
Bolognan metropolikaupunki
Ferrara
Forlì-Cesena
Modena
Parma
Piacenza
Ravenna
Reggio Emilia
Rimini.
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Emilia-Romagna Wikimedia Commonsissa
| n k Italian alueet sekä maakunnat ja metropolikaupungit |
| --- | --- | --- |
| Abruzzo | Chieti • L’Aquila • Pescara • Teramo |  |
| Apulia | Bari • Barletta-Andria-Trani • Brindisi • Foggia • Lecce • Taranto |  |
| Aostanlaakso | Aoste |  |
| Basilicata | Matera • Potenza |  |
| Calabria | Catanzaro • Cosenza • Crotone • Reggio Calabria • Vibo Valentia |  |
| Campania | Avellino • Benevento • Caserta • Napoli • Salerno |  |
| Emilia-Romagna | Bologna • Ferrara • Forlì-Cesena • Modena • Parma • Piacenza • Ravenna • Reggio Emilia • Rimini |  |
| Friuli-Venezia Giulia | Gorizia • Pordenone • Trieste • Udine |  |
| Latium | Frosinone • Latina • Rieti • Rooma • Viterbo |  |
| Liguria | Genova • Imperia • La Spezia • Savona |  |
| Lombardia | Bergamo • Brescia • Como • Cremona • Lecco • Lodi • Mantova • Milano • Monza • Pavia • Sondrio • Varese |  |
| Marche | Ancona • Ascoli Piceno • Fermo • Macerata • Pesaro e Urbino |  |
| Molise | Campobasso • Isernia |  |
| Piemonte | Alessandria • Asti • Biella • Cuneo • Novara • Torino • Verbano-Cusio-Ossola • Vercelli |  |
| Sardinia | Cagliari • Etelä-Sardinia • Nuoro • Oristano • Sassari |  |
| Sisilia | Agrigento • Caltanissetta • Catania • Enna • Messina • Palermo • Ragusa • Syrakusa • Trapani |  |
| Toscana | Arezzo • Firenze • Grosseto • Livorno • Lucca • Massa-Carrara • Pisa • Pistoia • Prato • Siena |  |
| Trentino-Etelä-Tiroli | Etelä-Tiroli • Trento |  |
| Umbria | Perugia • Terni |  |
| Veneto | Belluno • Padova • Rovigo • Treviso • Venetsia • Verona • Vicenza |  |
Emilia-Romagnan maakunnat ja metropolikaupungit
Frans Koppelaarin maalaus Maisema lähellä Bolognaa.
Perussuomalaiset

| Perussuomalaiset r> p..Sannfinländarna r.p. |
| --- | --- |
  
  
  
Perustettu:  1995
Puheenjohtaja:  Riikka Purra
Puoluesihteeri:  Harri Vuorenpää
Varapuheenjohtajat:   Leena Meri (1. vpj.)  Mauri Peltokangas (2. vpj.)  Sebastian Tynkkynen (3. vpj.) 
Ideologia:   nationalismi  arvokonservatismi   kansalliskonservatismi   kristillissosiaalisuus 
Poliittinen kirjo:  oikeisto radikaali oikeisto
Toimisto:  Yrjönkatu 8-10 B, 00120 Helsinki
Ajatushautomo:  Suomen Perusta
Äänenkannattaja:  Perussuomalainen Suomen Uutiset
Jäsenmäärä:  n. 15 700 (2024)  
Värit:       sininen      kulta      valkoinen
Kansanedustajia:  46 / 200 (2023)
Europarlamentaarikkoja:  1 / 15 (2024)
Kunnanvaltuustot:  1 351 / 8 859 (2021)
Aluevaltuustot:  155 / 1 379 (2022)
Kansainväliset jäsenyydet:  – Euroopan konservatiivien ja reformistien ryhmä – Vapaa Pohjola
Naisjärjestö:  Perussuomalaiset Naiset
Nuorisojärjestö:  Perussuomalainen Nuoriso
Opiskelijajärjestö:  Perussuomalaiset Opiskelijat
Työntekijäjärjestö:  Peruspuurtajat
Kotisivu:  www.perussuomalaiset.fi
Infobox OKVirheellinen NIMI-arvo: 
Perussuomalaiset r.p. (ruots. Sannfinländarna r.p.), lyhenne PS on suomalainen kansalliskonservatiivinen ja arvokonservatiivinen puolue. Puolueen puheenjohtajana on toiminut vuodesta 2021 lähtien Riikka Purra. Puolueella on 46 kansanedustajaa eduskunnassa, jossa se on toiseksi suurin puolue. Euroopan parlamentissa puolueella on yksi edustaja.
Perussuomalaiset kuvaa itsensä isänmaallisena ja kristillissosiaalisena puolueena, joka korostaa kansallista etua. Puolue korostaa arvoissaan suomalaisuutta, oikeudenmukaista yhteiskuntaa, vähäosaisten auttamista, kansan puolustamista ja suoraa puhetta.
Perussuomalaiset perustettiin vuonna 1995 vararikkoon päätyneen Suomen Maaseudun Puolueen seuraajaksi. Puolue oli pitkään pienpuolue, kunnes nousi vuoden 2011 niin sanotuissa jytkyvaaleissa eduskunnan kolmanneksi suurimmaksi puolueeksi. Vuonna 2015 puolue osallistui Sipilän hallitukseen, mikä johti puolueen kannatuksen heikkenemiseen ja lopulta puolueen jakautumiseen vuonna 2017. Vuoden 2019 eduskuntavaaleissa puolue nousi uudistuneena takaisin toiseksi suurimmaksi puolueeksi. Puolueen puheenjohtajina ovat ennen Purraa toimineet Raimo Vistbacka, Timo Soini ja Jussi Halla-aho.
Puolueen pää-äänenkannattajia ovat kuukausittain ilmestyvä Perussuomalainen-lehti sekä verkkojulkaisu Suomen Uutiset. Perussuomalaiset kuuluu Pohjoismaiden neuvostossa Vapaa Pohjola -ryhmään ja Euroopan parlamentissa Euroopan konservatiivien ja reformistien ryhmään.
Arvot, ideologia ja sijoittuminen poliittisella kentällä

Perussuomalaiset kuvaa itsensä isänmaallisena ja kristillissosiaalisena puolueena. Puolue perustettiin konservatiiviseksi ja euroskeptiseksi vaihtoehdoksi, joka kannattaa suomalaista kulttuuria ja identiteettiä, vastustaa ”haitallista joukkomaahanmuuttoa” ja suosii suomalaista yrittäjyyttä. Puolueella ei ole varsinaista ideologiaa, mutta puolueen tärkeimmäksi arvoksi on arvioitu kansallismielisyys, joka ilmenee Suomen edun asettamisena tärkeimmäksi ohjenuoraksi. Vuonna 2017 perussuomalaisten eduskuntaryhmä arvioitiin arvoiltaan konservatiiviseksi.
Puolueen peruselementtejä ovat olleet kansallismielisyys, EU-kriittisyys sekä eliitinvastaisuus. Perussuomalaisten nousua on pidetty osoituksena voimakkaasti eroavan aatepohjan ja tyylin menestymismahdollisuudesta. Puolue on haastanut perinteisiä valtapuolueita ja osoittanut, etteivät nämä ole kaikilta osin kyenneet vastaamaan yhteiskunnan muutoksiin. Erityisesti Timo Soinin kaudella puolueessa vaikutti vennamolainen perinne, jonka vuoksi puolue oli liikkeen alkuvaiheessa lähellä Suomen Maaseudun Puoluetta.
Perussuomalaisten sijoittumisesta puoluekenttään on esitetty keskenään erilaisia ulkopuolisia arvioita. Kun Jussi Halla-ahosta tuli puolueen puheenjohtaja vuonna 2017, useat suomalaiset ja ulkomaiset politiikan tutkijat sekä media ovat luokitelleet perussuomalaiset laitaoikeistolaiseksi, radikaalioikeistolaiseksi tai oikeistopopulistiseksi puolueeksi. Historiantutkija Oula Silvennoinen (vihr.) katsoo, että Halla-ahon puheenjohtajuuden jälkeen Perussuomalaisista tuli jopa fasistinen puolue. Poliittisen historian professori Markku Jokisipilän mukaan Perussuomalaisten kuvaaminen fasistiseksi, rasistiseksi tai äärioikeistolaiseksi puolueeksi tarkoittaa sen leimaamista lainvastaiseksi. Hän pitää puoluetta kuitenkin tavallisena suomalaisena puolueena.
Historia > Alkutaival

Perussuomalaiset perustettiin 11. toukokuuta 1995 Suomen maaseudun puolueen seuraajapuolueeksi. Se merkittiin puoluerekisteriin 13. lokakuuta 1995. Puolueella oli perustettaessa yksi kansanedustaja, SMP:n listalta Vaasan vaalipiiristä valittu Raimo Vistbacka.
Kunnallisvaaleissa 1996 perussuomalaiset asetti ehdokkaita noin 150 kunnassa ja sai valtuutettuja noin 75 valtuustoon. Kannatus ylitti 10 prosenttia tuolloin 20 kunnassa. Perussuomalaisten kannatus oli 0,9 prosenttia.
Vistbacka uusi paikkansa vuoden 1999 vaaleissa. Eduskuntavaaleissa 2003 puolue sai kolme edustajaa: uusina valittiin puheenjohtaja Timo Soini Uudeltamaalta ja Tony Halme Helsingistä. Vuoden 2007 eduskuntavaaleissa puolue solmi vaaliliittoja Itsenäisyyspuolueen, kokoomuksen, kristillisdemokraattien ja Köyhien asialla -puolueen kanssa. Perussuomalaisten kannatus nousi 4 prosenttiin ja paikkamäärä viiteen. Soinin ja Vistbackan lisäksi eduskuntaryhmään nousivat Pentti Oinonen, Pertti ”Veltto” Virtanen ja Pirkko Ruohonen-Lerner, kaksi jälkimmäistä sitoutumattomina. Soini keräsi kolmanneksi eniten ääniä koko maassa.
Kunnallisvaaleissa 2008 perussuomalaiset kuusinkertaisti ääniosuutensa ja nelinkertaisti paikkamääränsä. Perussuomalaisten kannatus oli 5,4 prosenttia.
Kesäkuun 2009 eurovaaleissa puolue sai 9,79 % äänistä ja ensimmäisen europarlamenttiedustajansa, kun Soini tuli valituksi vaalien ylivoimaisena äänikuninkaana. Aiemmissa eurovaaleissa puolue jäi paikoista kauas. Soini keräsi 130 715 ääntä.
Historia > Nousu suureksi puolueeksi

Eduskuntavaaleissa 2011 perussuomalaiset otti Suomen historian toiseksi suurimman vaalivoiton, kun puolueen kannatus nousi 19 %:iin ja se sai itselleen 34 lisäpaikkaa. Soini kutsui vaalivalvojaisissa voittoa "jytkyksi". Perussuomalaisista tuli eduskunnan kolmanneksi suurin puolue.
Puolue jättäytyi oppositioon, koska se ei voinut hyväksyä Kataisen hallituksen kaavailemia EU-tukipaketteja. Europarlamentaarikoksi valittu Timo Soini palasi eduskuntaan ja hänen tilalleen siirtyi Maanpuolustuskorkeakoulun tutkija Sampo Terho. Eduskuntaan palasivat myös Suomen Maaseudun Puolueen kansanedustajina aikoinaan toimineet Anssi Joutsenlahti Satakunnan vaalipiiristä, Lea Mäkipää Pirkanmaan vaalipiiristä ja Pentti Kettunen Oulun vaalipiiristä. Uusina valittujen Ritva ”Kike” Elomaan ja Anne Louhelaisen isät toimivat 1970- ja 1980-luvuilla SMP:n kansanedustajina.
Kunnallisvaaleissa 2012 perussuomalaiset yli kaksinkertaisti ääniosuutensa ja lähes kolminkertaisti paikkamääränsä. Vuoden 2012 kuntavaaleissa puolue nousi suurimmaksi ryhmäksi Uuraisilla ja Kihniössä. Toukokuun 2014 eurovaaleissa puolue sai äänistä 12,87 % ja nosti paikkamääränsä kahteen. Valituiksi tulivat vaalien toiseksi suurimmalla äänimäärällä Jussi Halla-aho sekä paikkansa uusinut Sampo Terho.
Eduskuntavaaleissa 2015 perussuomalaisten kannatus laski hieman, ja puolue menetti eduskunnassa yhden paikan. Puolue nousi silti 38 kansanedustajallaan edustajamäärältään Suomen toiseksi suurimmaksi puolueeksi. Ääniä puolue sai kolmanneksi eniten (17,7 %).
Vuonna 2015 Perussuomalaiset meni ensimmäistä kertaa hallitukseen, sillä se sai Sipilän hallituksesta neljä ministerinpaikkaa. Kokoomuksen tuolloisen puheenjohtajan Alexander Stubbin mukaan kokoomus pyrki "halaamaan perussuomalaiset hallituksessa kuoliaaksi".
Historia > Halla-ahon kausi (2017–2021)

Timo Soini ilmoitti blogissaan maaliskuussa 2017, ettei asetu uudelleen ehdolle puolueen puheenjohtajaksi kesäkuun 2017 puoluekokouksessa. Puheenjohtajavaali Jussi Halla-Ahon ja Sampo Terhon välillä käytiin 10. kesäkuuta ja Halla-aho voitti sen jo ensimmäisellä kierroksella saatuaan yli 50 prosenttia äänistä.
12. kesäkuuta keskusta ja kokoomus ilmoittivat, etteivät ne jatka hallituksessa Halla-ahon johtamien perussuomalaisten kanssa. Halla-ahon mukaan perussuomalaiset oli halukas sitoutumaan hallitusohjelmaan, mutta pääministeri Juha Sipilä ei suostunut tiukentamaan maahanmuuttopolitiikkaa. Seuraavana päivänä enemmistö kansanedustajista erosi perussuomalaisten eduskuntaryhmästä ja perusti Uusi vaihtoehto -nimisen eduskuntaryhmän.
16. kesäkuuta Perussuomalaisten puoluehallitus päätti erottaa Uuteen vaihtoehtoon loikanneet perussuomalaisista. Heille, joiden tulkittiin tehneen päätöksen pikaistuksissaan, annettiin kesäkuun loppuun asti aikaa palata PS:n eduskuntaryhmään.
Vuonna 2017 Perussuomalaiset joutui lähtemään hallituksesta, koska muut hallituspuolueet eivät halunneet jatkaa yhteistyötä Jussi Halla-ahon johtamien perussuomalaisten kanssa. Perussuomalaisista loikanneiden kansanedustajien perustama Uusi vaihtoehto (sittemmin Sininen eduskuntaryhmä) jäi hallitukseen.
Vuoden 2018 presidentinvaalissa puolueen 1. varapuheenjohtaja ja ensimmäisen kauden kansanedustaja Laura Huhtasaari sijoittui kolmanneksi lähes 7 % ääniosuudella. Tulos tulkittiin voitoksi puolueelle, jonka eduskuntaryhmä oli hajonnut kahtia edellisenä vuonna.
Eduskuntavaaleissa 2019 puolueen kannatus pieneni 0,2 prosenttiyksiköllä, mutta puolue onnistui saamaan yhden kansanedustajan paikan enemmän kuin edellisissä vaaleissa. Perussuomalaiset pääsi eduskunnan toiseksi suurimmaksi puolueeksi.  Toukokuun 2019 eurovaaleissa puolue sai äänistä 13,8 % ja säilytti molemmat paikkansa. Valituiksi tulivat Laura Huhtasaari ja Teuvo Hakkarainen. Eduskunnan istumajärjestyksessä puolue oli pitkään sijoitettu keskelle, keskustan ja vihreiden väliin, mutta vuoden 2019 valtiopäivillä se päätettiin siirtää salin oikeaan laitaan. Perussuomalaiset vastustivat siirtoa, mutta kaikki muut puolueet kannattivat sitä. Kuntavaaleissa 2021 perussuomalaiset sai historiansa korkeimman kannatuksen: 14,5 prosenttia.
Vuonna 2020 Ano Turtiainen erotettiin Perussuomalaisten eduskuntaryhmästä rasistisen somekirjoittelun takia ja hän jatkoi tämän jälkeen omassa Valta kuuluu kansalle- eduskuntaryhmässä. Seuraavana vuonna Turtiainen erotettiin puolueesta. Lehtitietojen mukaan taustalla oli myös puolueen kritisointi ja Turtiaisen uhkaava käyttäytyminen varapuhemies Juho Eerolaa kohtaan.
Historia > Purran kausi (2021–)

Kuntavaalien jälkeen kesäkuussa 2021 Halla-aho ilmoitti, ettei hän hae jatkokautta perussuomalaisten puheenjohtajana. Elokuun 2021 puheenjohtajakilvan voitti Riikka Purra ja uudeksi puoluesihteeriksi valittiin pastori ja Venäjä-tutkija Arto Luukkanen.
Aluevaaleissa 2022 perussuomalaiset sai 11,1 prosentin kannatuksen. Kansallista Kokoomusta aiemmin edustanut istuva kansanedustaja Wille Rydman siirtyi perussuomalaisiin tammikuun alussa 2023.
Vuoden 2023 eduskuntavaaleissa perussuomalaiset oli toiseksi suurin puolue. Se kasvatti eduskuntaryhmäänsä seitsemällä kansanedustajalla verrattuna edellisiin vaaleihin. Vahvinta kannatusaluetta puolueella oli Lapissa, Pohjois-Pohjanmaalla ja Satakunnassa.  Huhtikuussa 2024 puolueen kansanedustaja Timo Vornanen aiheutti mediakohun ammuskeltuaan päihtyneenä helsinkiläisen yökerhon edustalla. Useista rikoksista epäilty Vornanen erotettiin tapahtuneen jälkeen eduskuntaryhmästä ja puolueesta, minkä myötä puolue menetti yhden kansanedustajapaikan.
Perussuomalaiset ovat osallistuneet Orpon hallitukseen hallitusneuvottelujen jälkeen vuodesta 2023. Orpon hallitus ajautui kuitenkin pian kriisiin, sillä pian hallituksen aloitettua toimintansa mediaan nousi Riikka Purran vanhoja rasistisia ja väkivaltaa ihannoivia verkkokirjoituksia. Jo aiemmin elinkeinoministerinä toiminut Vilhelm Junnila joutui eroamaan äärioikeistokytköksiensä takia. Purra ei nähnyt alun perin kirjoituksiaan ongelmallisina, mutta esitti kuitenkin myöhemmin anteeksipyynnön kirjoitteluistaan ja totesi, ettei perussuomalaisissa hyväksytä rasismia tai syrjintää. Hallitus oli lähellä kaatua, mutta lopulta kriisi saatiin ratkaistua sillä, että hallitus käynnisti rasisminvastaisen ohjelman, jossa pyritään eri keinoin vähentämään rasismia yhteiskunnassa.
Presidentinvaaleissa 2024 puolueen ehdokkaana oli entinen puheenjohtaja Jussi Halla-aho, joka jäi kolmanneksi kokoomuksen Alexander Stubbin ja valitsijayhdistyksen Pekka Haaviston jälkeen.  Vuoden 2024 europarlamenttivaalit tulkittiin puolueen osalta epäonnistumiseksi, sillä puolue sai vain yhden meppipaikan. Heikkoa suoriutumista selitettiin muun muassa hallituksen toteuttaman leikkauspolitiikan aiheuttamalla epäsuosiolla. Keskustalainen kansanedustaja Pekka Aittakumpu loikkasi perussuomalaisiin oppositiosta syksyllä 2024, minkä jälkeen puolueen paikkamäärä palautui samalle tasolle kuin mitä se oli eduskuntavaalien jälkeen.
Poliittiset linjaukset ja tavoitteet > Arvomaailma

Perussuomalaisten sääntöjen mukaan puolueen päämääränä on kristillissosiaaliselta pohjalta koota yhteen ne väestöryhmät, joiden etujen ajamisesta ja tasavertaisesta sosiaalisesta ja taloudellisesta sekä yhteiskunnallisesta asemasta ei ole oikeudenmukaisesti huolehdittu. Pitkäaikainen puheenjohtaja Timo Soini sanoi puolueen olevan työväenpuolue ilman sosialismia ja eduskuntaryhmä on todennut puolueen kuuluvan poliittiseen keskustaan. Etenkin puheenjohtaja Riikka Purran (2021-) kaudella puoluetta on pidetty vahvasti oikeistolaisena, sillä puolue on kannattanut tiukkaa talouspolitiikkaa. Purra on kuitenkin kiistänyt sen, että Perussuomalaiset olisi oikeistopuolue, sillä puolue kannattaa vahvaa "hyvinvointijärjestelmää". Puolue korostaa ajavansa koko Suomen asiaa, ei vain yksittäisten eturyhmien. Sosiaalisen oikeudenmukaisuuden tulisi puolueen mukaan toteutua ensisijaisesti Suomen sisällä (sisäinen solidaarisuus). Puolueena Perussuomalaiset on nationalistinen ja se korostaa Suomen historian ja suomalaisen kulttuurin ainutlaatuisuutta. Lisäksi puolue korostaa sananvapauden ja "suoraan puhumisen"  tärkeyttä. Perussuomalaiset edustaa arvokysymyksissä kristillissosiaalista arvokonservatismia.
Perussuomalaisten yleisohjelma hyväksyttiin ensimmäisessä puoluekokouksessa 26. marraskuuta 1995 Kokkolassa. Ohjelmassa puolueen arvomaailma määriteltiin kristillis-sosiaaliseksi. Puolue on sittemmin julkaissut lukuisia vaali-, erityis- ja tavoiteohjelmia.
Poliittiset linjaukset ja tavoitteet > Talous- ja ympäristöpolitiikka

Vuoden 2023 Talouspoliittisessa ohjelmassa puolue esittää huolen suomalaisten kotitalouksien toimeentulosta inflaation ja asumiskustannuksien nousun takia. Puolueen mukaan suomalaisten taloustilannetta heikentää korkea veroaste ja tavoite vihreästä siirtymästä, joka puolueen mukaan vie työpaikkoja muihin maihin ja siten heikentää Suomen taloutta. Hiilineutraaliustavoite tulisi ohjelman mukaan siirtää vuodelle 2050. Ympäristölainsäädäntöä ei tulisi muullakaan tavalla kiristää. Perussuomalaiset pitää keskeisenä ongelmana liian suurta julkista taloutta. Puolue esittääkin, että julkinen talous tulisi saada tasapainotettua kahden vaalikauden aikana merkittävillä leikkaustoimilla, jotka toteuttaisiin muun muassa vähentämällä valtion, kuntien ja hyvinvointialueiden tehtäviä. Kokonaisuutenaan puolue ajaa "sinivalkoista siirtymää", jossa Suomen taloutta kehitettäisiin kansallisen edun, kilpailukyvyn ja huoltovarmuuden lähtökohdista.
Perussuomalaiset ajaa leikkauksia verotukseen, etenkin ansiotuloverotuksen osalta. Puoluen mukaan verotuksen keventäminen tukisi Suomen talouskasvua. Veropohjaa puolue olisi valmis laajentamaan niin, että yleishyödyllisten säätiöiden ja yhdistysten pääomatuloverotusta.
Poliittiset linjaukset ja tavoitteet > Sosiaali- ja terveyspolitiikka

Sosiaalipolitiikassa Perussuomalaiset kannattaa puheenjohtaja Riikka Purran mukaan "hyvinvointijärjestelmää", johon kuuluu julkinen terveydenhuolto ja etuuksia. Toisaalta puolue korostaa vuoden 2023 Talouspoliittisessa ohjelmassaan kannustinloukkujen purkamista sosiaaliturvaa leikkaamalla ja pitää sosiaaliturvajärjestelmää yleisestikin turhan anteliaana. Erityisen ongelmaisena puolue pitää asumistukea. Puolue on linjannut, että sosiaalietuudet tulisi kuulua vain Suomen kansalaisille. Syyskuussa 2024 Perussuomalaiset toteuttivat osana hallitusta sosiaali- ja terveyspalveluihin mittavia leikkauksia.
Terveyspalveluissa Perussuomalaiset vastustivat aiempaa maakunta- ja soteuudistusta ja sittemin toteutettua hyvinvointialueuudistusta. Perussuomalaisten vuoden 2023 aluevaaliohjelma korostaa toimivien lähipalveluiden merkitystä ja yksityisten terveysalan yrityksien vaikutusvallan vähentämisen tärkeyttä. Puolueen mukaan terveyspalvelut kuuluvat vain Suomessa laillisesti oleville, pois lukien henkeä uhkaavat vaaratilanteet.