stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Lauri Thurén

Lauri Thurén (s. 4. marraskuuta 1961) on Itä-Suomen yliopiston eksegetiikan professori vuodesta 2002 ja tohtoriohjelma FILOTO:n johtaja. Hän on kansainvälisesti tunnetuimpia Jeesuksen vertausten tutkijoita. Thurénin tutkimusaloihin kuuluvat myös Uuden testamentin retoriikka, Paavalin teologia, argumentaatioanalyysi sekä epistolografia. Laajan tieteellisen tuotannon lisäksi Thurén on julkaissut kansantajuisia Raamatun oppaita. Tutkijanuransa lisäksi hän on toiminut opiskelijapappina Turussa 1983–1992.
Thurén opiskeli Åbo Akademissa, Turun yliopistossa, Upsalan yliopistossa sekä Graduate Theological Unionissa Berkeleyssä. Teologian tohtoriksi hän väitteli 1990. Vuosina 1995–2005 Thurén toimi Suomen Akatemian eksegetiikan huippututkimusyksikössä. Hän oli mukana Joensuun yliopiston ortodoksisen teologian käynnistysvaiheessa dosenttina vuodesta 1994, uuden teologisen tiedekunnan dekaanina vuosina 2003–2009 sekä Itä-Suomen yliopiston filosofisen tiedekunnan dekaanina 2008. Thurén on myös eksegetiikan dosentti Åbo Akademin Humanististen tieteiden, psykologian ja teologian tiedekunnassa.
Teoksissaan Thurén on painottanut Raamatun tekstikeskeistä, kirjallisuustieteistä nousevaa lähestymistapaa.tarvitaan parempi lähde Jeesuksen vertauksia hän pitää suostuttevina, ei julistavina kertomuksina, joiden teho perustuu niiden kykyyn vedota kuulijan omaan kokemukseen, tunteisiin ja mielikuvitukseen -- ei niinkään kertojan arvovaltaan.
Thurén tunnetaan myös yhtenä Siionin kannel -laulukirjojen tekijöistä. Thurén on kääntänyt vuonna 2022 kyseiseen kirjaan muun muassa Eric Claptonin klassikkokappaleen "Tears In Heaven" nimellä "Ehkä tuntisit".
Lauri Thurén on professori Jukka Thurénin poika.lähde?
Teokset

Parables as Persuasive Devices, ed. Lauri Thurén, Antti Kyytsönen, and Katri Antin, WUNT, Tübingen: Mohr Siebeck 2025.
Parables Unplugged – Reading the Lukan Parables in Their Rhetorical Context. Minneapolis: Fortress Press 2014.
Derhetorizing Paul – A Dynamic Perspective on Pauline Theology and the Law. WUNT I:124, Tübingen: Mohr Siebeck 2000, reprinted: Harrisburg: Trinity Press 2002.
Argument and Theology in 1 Peter – The Origins of Christian Paraenesis. JSNTSS 114, Sheffield: Sheffield Academic Press 1995.
The Rhetorical Strategy of 1 Peter with Special Regard to Ambiguous Expressions. Väitöskirja. Åbo: Åbo Academy Press 1990.
Rhetoric and Scripture – Collected Essays of Thomas H. Olbricht, Emory Studies of Christianity 23, ed. Lauri Thurén, Atlanta: SBL Press 2021.
Kristillinen usko – Nikean tunnustuksen opas, Jukka Thurén ja Lauri Thurén. Kauniainen: Perussanoma 2017.
Kameli neulansilmästä – Jeesuksen vertaukset puhtaalta pöydältä. Helsinki: Kirjapaja 2015.
Katoliset kirjeet. Jukka Thurén ja Lauri Thurén. Helsinki: Kustannus oy Arkki 2007.
Raamatun käyttöohje.  Helsinki:  Karas-sana, 2009.  ISBN 978-951-655-652-2
Raamatun käyttöohje 2.  Helsinki:  Karas-sana, 2013.  ISBN 978-951-655-692-8
Raamatun käyttöohje 3. Helsinki: Karas-sana 2016
Kristillinen elämä, Tätä on kristinusko. Kauniainen: Perussanoma 2009.
Ensimmäinen ja Toinen Pietarinkirje. Helsinki: Sley-kirjat 1988.
Aiheesta muualla

Itä-Suomen yliopiston verkkosivu
UEFConnect
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Ranska  BnF data  Saksa  Israel  Yhdysvallat  Alankomaat 
Henkilöt:  DDB 
Muut:  IdRef
Isänmaallinen mies

| Isänmaallinen mies |
| --- | --- |

Ohjaaja:  Arto Halonen
Käsikirjoittaja:  Arto Halonen   Jouni K. Kemppainen
Tuottaja:  Arto Halonen
Säveltäjä:  Alfi Kabiljo
Kuvaaja:  Hannu-Pekka Vitikainen
Leikkaaja:  Tuuli Kuittinen
Lavastaja:  Kaisa Mäkinen
Pääosat:  Martti Suosalo   Pamela Tola
Valmistustiedot
Valmistusmaa:   Suomi
Tuotantoyhtiö:  Art Films Production   Future Film Distribution (levitys)
Ensi-ilta:   4. joulukuuta 2013
Kesto:  97 min
Alkuperäiskieli:  suomi
Budjetti:  1 731 925 €   (SES-tuki 800 000 €)
Katsojat:  32 508
Aiheesta muualla
IMDb 
Elonet
AllMovie
Infobox OKNimi-testi OK: 
Isänmaallinen mies on Arto Halosen ohjaama suomalainen komediaelokuva, joka sai ensi-iltansa 4. joulukuuta 2013. Elokuvan käsikirjoittivat Halonen ja Helsingin Sanomien toimittaja Jouni K. Kemppainen.
Elokuva sijoittuu 1980-luvulle ja sen pääosissa ovat Martti Suosalo (Toivo) ja Pamela Tola (Aino). Elokuvan keskiössä on Suomen hiihtomaajoukkue, johon Toivo värvätään erikoislaatuisen verensä vuoksi.
Elokuva on rinnakkaisteos Halosen vuonna 2012 ilmestyneelle dokumenttielokuvalle Sinivalkoinen valhe, joka käsittelee Suomen hiihtomaajoukkueen dopingskandaalia.
Rooleissa

| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
|  Martti Suosalo  | … |  Toivo   |
|  Pamela Tola  | … |  Aino Turpeinen   |
|  Janne Reinikainen  | … |  Ilmo   |
|  Mikko Kouki  | … |  Pakarinen   |
|  Hannu-Pekka Björkman  | … |  Kataja   |
|  Pirjo Lonka  | … |  Toivon vaimo   |
|  Satu Paavola  | … |  Marjatta Karhumäki   |
|  Kari Ketonen  | … |  maajoukkueen lääkäri   |
|  Lauri Tilkanen  | … |  Risto Karhumäki   |
|  Eppu Salminen  | … |  toimittaja   |
|  Ben Johnson  | … |  taksikuski   |
|  Peter Kanerva  | … |  Antti S. Heikkinen   |
|  Mikko Neuvonen  | … |  Toivon poika   |
|  Katja Küttner  | … |  hoitaja Turunen   |
|  Jouko Puolanto  | … |  Toivon kaveri   |
|  Tuomas Uusitalo  | … |  Toivon kaveri   |
|  Taisto Oksanen  | … |  Pauli   |
Lähde
Donga

Donga
| --- | --- |
Sijainti:  Benin 
Pinta-ala:  11 100 km2 
Hallinnolliset osat:  Bassila (d) Copargo (d) Djougoun maalaiskunta (d) Djougou Ouaké (d) 
Perustettu:  1999 
Verkkosivusto:  www.gouv.bj/departement/le-departement-de-la-donga 
| --- | --- |
Koordinaatit:  fi 
muokkaa - muokkaa wikitekstiä - muokkaa Wikidataa
Donga on yksi Beninin departementeista. Sen pääkaupunki on Djougou, pinta-ala  10 691 km2 ja väkiluku vuoden 2013 toukokuussa 542 605.
Hallinnollinen jako

Departementti on jaettu viiteen piirikuntaan:
Bassila
Coparko
Djougoun maaseutu
Djougoun kaupunki
Ouake
Dongan piirikunnat.
Säännöllinen kuusikulmio

Säännöllisen kuusikulmion sisäkulmat ovat 120° ja sivua vastaavat keskuskulmat 60°.
Säännöllinen kuusikulmio eli kuusio on geometriassa säännöllinen kuusisivuinen monikulmio, jonka kaikki kulmat ja sivut ovat yhtä suuria.
Kirjallisuudessa säännöllinen kuusikulmio tarkoittaa säännöllistä  konveksia  kuusikulmiota.  Se on yksinkertainen monikulmio, koska sillä on vain yksi sisäosa. Koska sivut ovat saman pituiset, on se tasasivuinen, ja koska kulmat ovat yhtä suuria, on se myös tasakulmainen monikulmio. Tämä tekee siitä säännöllisen monikulmion. Jokaisen säännöllisen monikulmion ulkopuolelle voidaan piirtää ympyrä, jonka kehällä ovat kaikki monikulmien kärjet. Sen vuoksi sitä kutsutaan sykliseksi kuusikulmioksi. Sen sisäpuolelle voidaan piirtää ympyrä niin, että jokainen sivu sivuaa ympyrää ulkopuolelta, ja siksi sitä voidaan kutsua tangentiaaliseksi kuusikulmioksi.
Muodostaminen

Antiikin Kreikassa se piirrettiin ympyrän sisälle jakamalla ensin sen kehä kuuteen yhtä pitkään kaareen ja yhdistämällä näin saadut kaarten välipisteet janoilla. Samalla menetelmällä voitiin piirtää myös heksagrammi.
Säännöllinen kuusikulmio voi syntyä myös murtoviivasta, jossa on kuusi yhtä pitkää janaa. Kun se asetetaan ympyrän kehälle niin, että sivujen keskikohdat koskettavat ympyrää tangentiaalisesti (katso viereinen animaatio). Pienentämällä sisäympyrän sädettä, liikkuvat murtoviivan päätepisteet lähemmäksi toisiaan ja lopulta ne koskettavat toisiaan. Kosketuksessa syntyy suljettu murtoviiva, joka on muodoltaan säännöllinen kuusikulmio (kierroksia k = 1). Pienentämällä ympyrää edelleen kiertyvät murtoviivan janat toista kierrosta ympyrän ympäri ja kun ne koskettavat toisiaan toisen kerran, syntyy tasasivuinen kolmio (k = 2). Kolmioita on tällöin kaksi päällekkäin, mutta kuviota voidaan pitää myös yhtenä kuviona. Jos toinen kolmioista käännetään 60° keskipisteensä ympäri, osoittavat kolmioiden sakarat eri suuntiin ja saadaan heksagrammi. Säännöllisiä monikulmioita voidaan merkitä käyttäen Schläflin symboleja {n/k}. Säännöllinen kuusikulmio merkitään symbolilla {6} eli murtoluvulla {6/1}. Heksagrammi merkitään symbolilla {6/2}.
Ominaisuuksia > Sivut ja kulmat

Vastakkaiset sivut ovat säännöllisessä kuusikulmiossa yhdensuuntaiset. Sen sisäkulmien summa on (n-2)•180° =(6-2)•180° = 720°. Koska säännöllisellä monikulmiolla kaikki kulmat ovat yhtä suuria, saadaan yksittäisen sisäkulman suuruudeksi 720° / 6 = 120°. Kutakin sivua vastaavat keskuskolmion keskuskulma on 1/6-osa täydestä kierroksesta eli 360° / 6 = 60°. Symmetriasta johtuen keskuskolmio on tasasivuinen kolmio, jonka omat sisäkulmat ovat kaikki 60° ja sen sivut ovat yhtä pitkät kuin kuusikulmion sivu a. Koska kolmion muut sivut ovat kuusikulmiota ympäröivän ympyrän säteitä, on sädekin sivun mittainen eli R = a.  Kulmion ulkokulma on 60°, koska se on sisäkulman komplementtikulma. Ulkokulmien summa on siten täysikulma eli 60° × 6 = 360°.
Säännöllisen kuusikulmion sivu on yhtä pitkä kuin sen ulkoympyrän säde, toisin sanoen ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kuusikulmion sivu on ympyrän säteen pituinen.
Ominaisuuksia > Lävistäjät ja osakolmiot

Lävistäjiä, joita on  {\tbinom {6}{2}}-6=9, on kahden eri pituisia. Lävistäjistä 3 voidaan kutsua halkaisijoiksi, koska ne oikaisevat kolmen sivun ohi. Loput 6 lävistäjää kulkevat vain kahden sivun yli, joten niitä voidaan tässä kutsua lyhyiksi lävistäjiksi. Lyhyemmän lävistäjän ja 6-kulmion sivun välinen kulma on 30°. Halkaisijan ja lyhyen lävistäjän välinen kulma on myös 30°. Yhdestä kärjestä piirretyt kaikki neljä lävistäjää jakavat sisäkulman neljään yhtäsuureen 30° kulmaan. Kahden halkaisijan välinen kulma on 60°. Halkaisijan ja kahden lyhyen lävistäjän välinen kulma voi olla 60° tai 90° riippuen siitä, mikä lävistäjistä kohtaa halkaisijan. Kahden lyhyen lävistäjän välinen kulma voi olla 30° ja 60° samasta syystä.
Yhdestä kärjestä piirretyt lävistäjät osittavat kulmion neljään kolmioon, jotka muodostavat kaksi yhtenevää paria. Reunimmaiset kolmiot ovat tasakylkisiä, koska niiden piiri muodostuu kahdesta sivusta ja pienemmästä lävistäjästä. Keskimmäiset kolmiot ovat suorakulmaisia kolmioita, jonka piiri muodostuu kateetteina toimivista pienemmästä lävistäjästä ja yhdestä sivusta sekä hypotenuusana toimivasta halkaisijasta.
Halkaisijan pituus voidaan laskea yhdistämällä kaksi kuusikulmion ulkoympyrän sädettä R. Lyhyempi lävistäjä voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla suorakulmaisesta kolmiosta FDC. Sen toinen kateetti on sivu a ja hypotenuusa on halkaisija 2R
Kun kaksi halkaisijaa leikkaa toisensa, jää niiden ja 6-kulmion sivujen väliin kaksi tasasivuista kolmiota ja kaksi 60°-120°-neljäkästä. Tasasivuisten kolmioiden ja neljäkkäiden sivujen pituudet ovat kaikki a, joten myös neljäkäs voidaan jakaa kahteen tasasivuiseen kolmioon. Itse asiassa koko säännöllinen kuusikulmio voidaan jakaa kuuteen tasasivuiseen kolmioon. Hyödyllinen havainto on, että neljäkkään pitempi lävistäjä on kuusikulmion pienempi lävistäjä. Se puolittaa neljäkkään lyhyemmän lävistäjän pisteessä G. Nämä vastaavat kuviossa janoja c ja b, jotka ovat yhtä pitkiä.
Kun halkaisija ja lyhempi lävistäjä leikkaavat toisensa, erottuu kaksi pientä suorakulmaista 30°-60°-kolmiota. Kaksi lyhyempää lävistäjää rajaavat pienen tasakylkisen 30°-30°-120°-kolmion. Samasta kärjestä lähtevät lyhyet lävistäjät muodostavat symmetrisen suorakulmaisen nelikulmion eli leijan. Kun kolmanneksi janaksi otetaan poikittainen lyhyempi lävistäjä, syntyy tasasivuinen kolmio. Jos kaikki pienemmät lävistäjät piirretään kuusikulmion sisälle, syntyy kuusisakarainen tähtimonikulmio, jonka sakarat ovat tasasivuisia kolmioita. Saman tähtimonikulmion sisäosa muodostaa säännöllisen kuusikulmion, jonka sivut ovat  {\tfrac {a}{\sqrt {3}}} ja pinta-ala  {\tfrac {A}{3}}.
Ominaisuuksia > Pinta-aloja

Kulmion pinta-alat ovat
Ominaisuuksia > Sisäympyrän säde

Koska säännöllinen kuusikulmion sisälle voidaan piirtää sen sivuja sivuava sisäympyrä, on se tangentiaalinen monikulmio. Tangentiaalisille monikulmioille on teoria sisäympyrän säteen ja sisäkulmien laskemiseksi, joka esitellään kuusikulmion tapauksessa.
Sisäympyrän sivuamispiste jakaa sivut kahdeksi puolikkaiksi, joita voidaan kutsua tangenttijanoiksi. Merkitään kaikki tangenttijanat ti
missä a on säännöllisen kuusikulmion sivun pituus. Säännöllisen tangentiaalisen kuusikulmion sisäympyrän säteen rk (jota kutsutaan myös pieneksi säteeksi eli apoteemaksi ) laskemiseksi ratkaistaan sisäympyröiden säteet generoiva yhtälö (tässä yhtälössä on sivu väliaikaisesti a = 1)
missä
Polynomista tulee tällöin
eli
joka kokonaislukukertoimiseksi kerrottuna on
ja josta saadaan säännöllisen viisikulmion (k = 1, Schläflin symbolina {6/1}, sivun pituus on taas a)) sisäympyrän säde
tai tasasivuisen kolmion (k = 2, Schläflin symboli supistaen {6/2} = {3/1} = {3}) sisäympyrän säde
Myös Daavidin tähdellä on Schläflin symboli {6/2}. Murtoviivalla konstruoinnissa kolme ensimmäistä janaa muodostavat tasasivuisen kolmion ja viimeiset janan tekevät sen myös. Kolmiot ovat päällekkäin, mutta Daavidin tähdessä ne ovat kääntyneet 60° eri asentoon.
Voidaan siis ajatella, että kuusikulmioita on olemassa kmax erilaista variaatiota, koska
Variaatioita kutsutaan k-tangentiaalisisiksi säännöllisiksi kuusikulmioiksi. Silloin 1-tangentiaalinen säännöllinen kuusikulmio tarkoittaa säännöllistä kuusikulmiota ja 2-tangentiaalinen säännöllinen kuusikulmio tarkoittaa "tasasivuista kolmiota" tai "heksagrammia". Muita kosketuksia ei enää synny, joten nämä kaksi kuviota ovat ainoat säännölliset viisikulmaiset kuviot.
Konstruktio

Jo antiikin Kreikan ajoista on pidetty arvossa kuvioiden piirtämistä vain viivainta ja harppia käyttämällä. Tätä piirrostapaa kutsutaan geometriseksi konstruktioksi. Säännöllisen kuusikulmion konstruktio syntyy muita säännöllisiä monikulmioita paljon helpommalla.
Mitataan aluksi kuusikulmion sivun pituus harpilla ja piirretään sen avulla merkityn pisteen O ympärille ympyrä. Merkitään ympyrän kehältä piste, josta mitataan harpin mitta säilyttäen sivun pituuden mittainen matka ja merkitään se kehälle. Uudesta kehäpisteestä mitataan seuraava mitta, ja niin edelleen, kunnes kehältä on erotettu kuusi yhtämittaista kaarta. Tällöin kuudes kaari päättyy ensimmäisen kaaren alkupisteen kohdalle. Yhdistetään nämä kehäpisteet viivaimella kuusikulmion sivuiksi.
Toisessa tavassa aloitetaan edelliseen tapaan O-keskisellä ympyrällä. Merkitystä kehäpisteestä piirretään samansäteiset ympyrän kaaret kummallekin puolelle kehäpistettä. Keskipisteen O ja kahden vierekkäisen kehäpisteen välille syntyy tasasivuinen kolmio. Syntyneiden tasasivuisten kolmioiden viereen tehdään harpilla uudet kaaret ja muodostetaan niihin uudet tasasivuiset kolmiot vielä kahdesti. Syntyneiden kolmioiden avulla voidaan muodostaa kuusikulmio ja osoittaa useita sen ominaisuuksia.
Koska kuusikulmio on helppo piirtää, käytetään sitä alkuna piirrettäessä muitakin säännöllisiä monikulmioita. Tasasivuinen kolmio saadaan yhdistämällä kuusikulmion joka toinen kehäpiste. Säännöllinen 12-kulmio syntyy kuusikulmiosta, kun jokainen sivu puolitetaan ja uudet pisteet yhdistetään kuusikulmion kärkiin.
Aiheesta muualla

Math is Fun: Hexagon
Math Open Reference: Hexagon  (6-gon)
Clip Art ECT: Hexagons
Math Central: Hexagon Area
Hall of Hexagons: Hexagons in an Icosahedron
Säännöllinen kuusikulmio kulmia
Säännöllinen kuusikulmio janoja
Säännöllinen kuusikulmio tähtikuvio
Säännöllinen kuusikulmio syntyy murtoviivasta kiertämällä se sopivan säteisen ympyrän ympäri. Tangentiaalinen kuusikulmio.
Animaatiossa esitellään Euklideen hänen Alkeeissaan (IV kirja, propositio 15) esittämän tavan piirtää säännöllinen kuusikulmio.
Kuusiomutteri ja kuusiokolopultti.
Odotusarvo

Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaisilmiön tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaan satunnaismuuttujiksi. Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niiden todennäköisyydet muodostavat yhdessä todennäköisyysjakauman. Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinen tunnusluku eli momentti.
Keskiarvo ja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on sama yksikkö kuin satunnaismuuttujalla.
Määritelmä ja merkinnät

Odotusarvo voidaan merkitä eri tavoilla  \operatorname {E} (X)=\mu _{X}=\mu =\langle X\rangle .
Matemaattisesti odotusarvo  \operatorname {E} (X) määritellään diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille erikseen.
Määritelmä ja merkinnät > Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetin satunnaismuuttujan  X saamien kaikkien arvojen joukkoa kutsutaan todennäköisyyslaskennassa perusjoukoksi ja se merkitään  \Omega =X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}. Kunkin arvon esiintymistodennäköisyyttä merkitään vastaavasti  p_{1},p_{2},\dots {\text{ ja }}p_{n}. Näitä todennäköisyyksiä kutsutaan usein pistetodennäköisyyksiksi ja niitä saatetaan merkitä myös
jossa funktioita  p(x_{i}) ja  f_{X}(x_{i}) kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioiksi.
Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo määritellään nyt (eri merkintätapoja käyttäen)
Määritelmä ja merkinnät > Esimerkkinä nopanheitto

Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on
Noppapelissä pelaaja voi odottaa etenevänsä pelilaudalla noin 3,5 askelta kierrosta kohti.
Määritelmä ja merkinnät > Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvan satunnaismuuttujan  X saamien reaalilukuarvojen joukko muodostaa vähintään yhden yhtenäisen lukuvälin  I, joka on reaalilukujen osajoukko. Luvut   I muodostavat satunnaismuuttujan perusjoukon  \Omega  ja se voidaan merkitä  I=\Omega \in \mathbb {R} . Reaalilukuja ei voida luetella, joten yksittäiseen lukuun liittyvää todennäköisyyttäkään ei voida esittää luettelemalla. Sen sijaan jokaisen välin  I luvulle voidaan liittää lukuarvo käyttämällä funktiota. Tätä funktiota kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tiheysfunktioksi. Tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, mutta sen avulla voidaan eri tapahtumille laskea ne.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on  f_{X}(x) ja tämän avulla määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo
Määritelmä ja merkinnät > Yleisempi jatkuva määritelmä

Määritellään satunnaismuuttujan  X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}  odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon  \Omega  todennäköisyysmitan  P suhteen
Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan  X kertymäfunktion  F suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla
Määritelmä ja merkinnät > Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo

Jos  g(x) on mitallinen funktio, voidaan laskea sillekin odotusarvo  \operatorname {E} (g(X)). Jos  X on diskreetti satunnaismuuttuja, on odotusarvo
ja jos se on jatkuva, saadaan odotusarvoksi
Tällä ajattelulla on mahdollista määrittää esimerkiksi origomomentteja  \operatorname {E} (X^{2})\dots   \operatorname {E} (X^{n}) tai keskusmomentteja  \operatorname {E} ((X-\mu )^{n}).
Määritelmä ja merkinnät > Ehdollinen odotusarvo

Satunnaismuuttujan  X ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla  {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}} on  {\mathcal {G}}-mitallinen satunnaismuuttuja  \mathrm {E} (X\,|\,{\mathcal {G}}), jolle yhtälö
pätee kaikilla  G\in {\mathcal {G}}. Satunnaismuuttujan  X ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja  Y on  \mathrm {E} (X\,|\,\sigma (Y)), missä  \sigma (Y) tarkoittaa satunnaismuuttujan  Y virittämää sigma-algebraa.
On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla  G\in {\mathcal {G}} on  \mathrm {E} (X\,|\,{\mathcal {G}})(\omega ), missä  \omega \in G on reaaliluku.
Ominaisuuksia

Todennäköisyysmassalla tarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueen painopistettä. Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.
Satunnaismuuttujan  X, jonka ulostuloina on vain vakion  a arvoja, odotusarvo on
Tästä seuraa myös, että  \operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X]=a.
Ominaisuuksia > Odotusarvon olemassaolo

Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa (itseisarvo)
tai jatkuvassa tapauksessa
Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli  \mathrm {E} (X)<\infty . Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos  \mathrm {E} (\max\{X,0\})<\infty  tai  \mathrm {E} (\min\{-X,0\})<\infty .
Ominaisuuksia > Summat ja lineaarikombinaatiot

Seuraaville satunnaismuuttujille  X,Y ja  \{X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\} sekä reaaliluvuille  a,b ja  \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\} voidaan johtaa seuraavia tuloksia.
Odotusarvo on lineaarinen operaattori, jolloin suorien summien odotusarvo on
ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on
Tällöin useamman satunnaismuuttujan tapauksissa on myös
ja
Luvun lisääminen satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttaa myös sen odotusarvoon
Satunnaismuuttujan ensimmäinen keskusmomentti on aina nolla, koska
jos  \mu _{X}=\operatorname {E} (X).
Ominaisuuksia > Tulot

Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on kahden satunnaismuuttujan tapauksessa
ja usean satunnaismuuttujan tapauksessa
Riippuvassa tapauksessa
Lisäksi jos  X\geq 0, niin  \operatorname {E} (X)\geq 0, ja yleisemmin jos  X\geq Y, niin  \operatorname {E} (X)\geq \operatorname {E} (Y).
Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki
Populaatio- ja otoskeskiarvo

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku.  Otoskeskiarvolla tarkoitetaan suppean otoksen keskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvon estimaattorina.
Kun lasketaan otoskeskiarvojen odotusarvoa, saadaan edellisten päättelysääntöjen avulla
Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvon lausekkeella saadaan keskimäärin odotusarvon tuloksia eli estimaattori on harhaton.
Keskiarvolla on toinen ominaisuus, joka liittyy estimointiin. Kun keskiarvon laskemiseksi kasvataetaan otoksen lukumäärää (otoksen ulostulot ovat riippumattomia toisistaan), käy keskiarvon varianssin
Keskiarvo on tarkentuva odotusarvon estimaattori, koska varianssi pienenee kun otoksen lukumäärä  n kasvaa.
Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo ja keskiarvo on siten odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.
Kosovon turvallisuusvoimat

| Kosovon turvallisuusvoimat |
| --- | --- |
 Tunnus
 Lippu
Toiminnassa:  2009–
Valtio:   Kosovo
Koko:  5 000 (aktiivipalveluksessa)  3 000 (reservissä)
Tukikohta:  Pristina
Turvallisuusvoimien sotilaita univormuissa.
Kosovon turvallisuusvoimat (alb. Forca e Sigurisë së Kosovës, serb. Косовске безбедносне снаге, Kosovske bezbednosne snage) on Kosovon asevoimat. Sen tehtävinä on suojella Kosovon suvereniteettia ja alueellista koskemattomuutta, tukea siviiliviranomaisia sekä osallistua kansainvälisiin rauhanturvaustehtäviin  ja -operaatioihin. Turvallisuusvoimien ylipäällikkönä toimii Kosovon presidentti. Turvallisuusvoimien nykyisenä komentajana toimii kenraaliluutnantti Bashkim Jashari.
Turvallisuusvoimiin voi liittyä kuka tahansa yli 18-vuotias Kosovon kansalainen. Maan etnisiä vähemmistöjä kannustetaan liittymään turvallisuusvoimiin; huhtikuussa 2013 heidän osuutensa turvallisuusvoimien jäsenistä oli 8,2 %.
Turvallisuusvoimien aktiivipalveluksessa olevat eivät voi kuulua samaan aikaan Kosovon parlamenttiin.