Hitausmomentti
Hitausmomenttitensori

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu 



n


{\textstyle n}

:stä kappaleesta, joiden massat ovat 




m

α




{\textstyle m_{\alpha }}

, missä 



α
=
1
,
2
,
3
,
…
,
n


{\textstyle \alpha =1,2,3,\dotsc ,n}

. Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella 






ω
→





{\textstyle {\vec {\omega }}}

 jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella 






v
→





{\textstyle {\vec {v}}}

 ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus
{\vec {v}}_{\alpha }={\vec {v}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha },
missä 







r
→




α




{\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }}

 kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin
K=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }v^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha })^{2}.
Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa
\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)^{2}=\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)=a^{2}b^{2}-\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)^{2},
on rotaatioenergia on tällöin
K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\omega ^{2}r_{\alpha }^{2}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{\alpha }\right)^{2}\right).
Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa 






ω
→



=
(

ω

1


,

ω

2


,

ω

3



)


T





{\textstyle {\vec {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})^{\mathbf {T} }}

 ja 







r
→




α


=
(

x

α
,
1


,

x

α
,
2


,

x

α
,
3



)


T





{\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }=(x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})^{\mathbf {T} }}

. Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa
K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\left(\sum _{i}\omega _{i}^{2}\right)\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\left(\sum _{i}\omega _{i}x_{\alpha ,i}\right)\left(\sum _{j}\omega _{j}x_{\alpha ,j}\right)\right).
Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee 




ω

i


=

∑

j



ω

j



δ

i
j




{\textstyle \omega _{i}=\sum _{j}\omega _{j}\delta _{ij}}

, joten:
{\begin{aligned}K_{\text{rot}}&={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }\sum _{i,j}m_{\alpha }\left(\omega _{i}\omega _{j}\delta _{ij}\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\omega _{i}\omega _{j}x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\omega _{i}\omega _{j}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\end{aligned}}
Määritellään 



α


{\textstyle \alpha }

-summan 



i
j


{\textstyle ij}

:s termi suureeksi 




J

i
j




{\textstyle J_{ij}}

, ts.
J_{ij}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right).
Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:
K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}\omega _{i}\omega _{j}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2},
missä 



J


{\textstyle J}

 on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä 




J

i
j




{\textstyle J_{ij}}

 on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa 



3
×
3


{\textstyle 3\times 3}

-matriisin alkioiksi:
\{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,2}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,2}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,1}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,1}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,2}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,2}^{2})\end{matrix}}\right\}
Matriisia 




{

J

}



{\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}

 kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot 




J

11




{\textstyle J_{11}}

, 




J

22




{\textstyle J_{22}}

 ja 




J

33




{\textstyle J_{33}}

 ovat kappaleen hitausmomentit 




x

1




{\textstyle x_{1}}

-, 




x

2




{\textstyle x_{2}}

- ja 




x

3




{\textstyle x_{3}}

-akselien suhteen. Jos käytetään koordinaattien 



(

x

α
,
1


,

x

α
,
2


,

x

α
,
3


)


{\textstyle (x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})}

 sijaan karteesisia koordinaatteja 



(

x

α


,

y

α


,

z

α


)


{\textstyle (x_{\alpha },y_{\alpha },z_{\alpha })}

 ja merkitsemällä 




r

α


2


=

x

α


2


+

y

α


2


+

z

α


2




{\textstyle r_{\alpha }^{2}=x_{\alpha }^{2}+y_{\alpha }^{2}+z_{\alpha }^{2}}

, tensori 




{

J

}



{\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}

 voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:
\{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-x_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }y_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }x_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-y_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }x_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }y_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-z_{\alpha }^{2})\end{matrix}}\right\}
Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. 




J

i
j


=

J

j
i




{\textstyle J_{ij}=J_{ji}}

. Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on 



ρ
=
ρ
(



r
→



)


{\textstyle \rho =\rho ({\vec {r}})}

, niin
J_{ij}=\iiint _{V}\rho ({\vec {r}})\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{k}^{2}-x_{i}x_{j}\right)\,\mathrm {d} V,
missä 




d

V
=

d


x

1




d


x

2




d


x

3




{\textstyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{3}}

 on paikkavektorin 






r
→





{\textstyle {\vec {r}}}

 osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja 



V


{\textstyle V}

 on kappaleen tilavuus.