stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Quadra 900
Aiheesta muualla

Quadra 900NT Rautasen sivuilla (Arkistoitu – Internet Archive)
Quadra 900:n tekniset tiedot Everymacissa (englanniksi)
Quadra 900 Apple-history.comissa (englanniksi)
Apple Macintosh
| --- | --- |
Compact Macintosh (Classic):  Macintosh 128K  Macintosh 512K  Macintosh 512Ke  Macintosh Plus  Macintosh SE SE FDHD  Macintosh SE/30  Macintosh Classic  Macintosh Classic II  Macintosh Color Classic  Macintosh Color Classic II 
II:  Macintosh II  Macintosh IIx  Macintosh IIcx  Macintosh IIci  Macintosh IIfx  Macintosh IIsi  Macintosh IIvi  Macintosh IIvx 
LC:  Macintosh LC  Macintosh LC II  Macintosh LC III  Macintosh LC III+  Macintosh LC 475  Macintosh LC 520  Macintosh LC 550  Macintosh LC 575  Macintosh LC 580  Macintosh LC 630 
Centris/Quadra:  Centris 610  Centris 650  Centris 660AV  Quadra 605  Quadra 610  Quadra 630  Quadra 650  Quadra 660AV  Quadra 700  Quadra 800  Quadra 840AV  Quadra 900  Quadra 950 
Power Macintosh:  Power Macintosh 4400  Power Macintosh 5200 LC  Power Macintosh 5260 LC  Power Macintosh 5400  Power Macintosh 5500  Power Macintosh 6100  Power Macintosh 6200  Power Macintosh 6300  Power Macintosh 6400  Power Macintosh 6500  Power Macintosh 7100  Power Macintosh 7200  Power Macintosh 7300  Power Macintosh 7500  Power Macintosh 7600  Power Macintosh 8100  Power Macintosh 8200  Power Macintosh 8500  Power Macintosh 8600  Power Macintosh 9500  Power Macintosh 9600  Power Macintosh G3  Power Macintosh G4 Cube  Power Macintosh G4  Power Macintosh G5 
Muut mallit:  XL  Portable  Performa  TV  Twentieth Anniversary Macintosh  iMac  eMac  Mac mini  Mac Pro 
Kannettavat:  PowerBook PowerBook 100  iBook  MacBook  MacBook Air  MacBook Pro 
Palvelimet:  Apple Network Server  Apple Workgroup Server Workgroup Server 9150  Xserve 
Muuta: Luettelo Macintosh-malleista
Käyttöjärjestelmät:  Mac OS  macOS
Kahden potenssit

Matematiikassa kahden potenssi on mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku, joka saadaan korottamalla luku kaksi johonkin kokonaisluvulla ilmaistuun potenssiin, toisin sanoen luku kaksi kerrottuna itsellään tietty määrä kertoja. Myös luku 1 on kahden potenssi, sillä se saadaan korottamalla kaksi potenssiin nolla. Binäärijärjestelmässä kahden potenssit ovat aina muotoa 1000…0, samoin kuin kymmenen potenssit kymmenjärjestelmässä.  Kahden potensseilla on keskeinen asema tietotekniikassa mutta myös useissa puhtaasti matemaattisissa yhteyksissä. Lisäksi niiden käänteisluvuilla on huomattava merkitys nuottikirjoituksessa.
Ensimmäiset 36 kahden potenssia

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 21 = | 2 |  | 213 = | 8 192 |  | 225 = | 33 554 432 |
| 22 = | 4 |  | 214 = | 16 384 |  | 226 = | 67 108 864 |
| 23 = | 8 |  | 215 = | 32 768 |  | 227 = | 134 217 728 |
| 24 = | 16 |  | 216 = | 65 536 |  | 228 = | 268 435 456 |
| 25 = | 32 |  | 217 = | 131 072 |  | 229 = | 536 870 912 |
| 26 = | 64 |  | 218 = | 262 144 |  | 230 = | 1 073 741 824 |
| 27 = | 128 |  | 219 = | 524 288 |  | 231 = | 2 147 483 648 |
| 28 = | 256 |  | 220 = | 1 048 576 |  | 232 = | 4 294 967 296 |
| 29 = | 512 |  | 221 = | 2 097 152 |  | 233 = | 8 589 934 592 |
| 210 = | 1 024 |  | 222 = | 4 194 304 |  | 234 = | 17 179 869 184 |
| 211 = | 2 048 |  | 223 = | 8 388 608 |  | 235 = | 34 359 738 368 |
| 212 = | 4 096 |  | 224 = | 16 777 216 |  | 236 = | 68 719 476 736 |
Matemaattisia ominaisuuksia

Pascalin kolmiossa kullakin rivillä olevien lukujen summa on kahden potenssi.
Jokaisella äärellisellä joukolla, jossa on n alkiota, on 2n osajoukkoa, alkuperäinen joukko ja tyhjä joukko mukaan luettuina.  Näiden osajoukkojen muodostamaa joukkoperhettä sanotaan alkuperäisen joukon potenssijoukoksi.
n-ulotteisessa hyperkuutiossa on 2n särmää.
Kahden potenssit ovat ainoat tunnetut lähes täydelliset luvut, toisin sanoen niiden lukujen summa, joilla ne ovat jaolliset, on yhtä pienempi kuin kyseinen luku. Ei tiedetä, onko niiden lisäksi olemassa muitakin lähes täydellisiä lukuja.
Kahden potenssien käänteisluvut muodostavat geometrisen sarjan, jonka summa on 1. Toisin sanoen:
Alkulukua, joka on jokin kahden potenssi miinus yksi, kutsutaan Mersennen alkuluvuksi. Esimerkiksi luku 31 on Mersennen alkuluku, koska se on yksi vähemmän kuin luku 32, joka on puolestaan kahden potenssi (25).
Reaalinen polynomi  a^{n}+b^{n} on jaoton, jos ja vain jos n on kahden potenssi. (Jos n on pariton, niin  a^{n}+b^{n} on jaollinen binomilla  a+n, ja jos n on parillinen mutta ei kahden potenssi, voidaan n esittää tulona  n=mp, missä m on pariton, ja näin ollen  a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}, joka on jaollinen binomilla  a^{p}+b^{p}.)
Sitä vastoin kompleksialueessa polynomi  a^{2n}+b^{2n} (missä  n\geq 1) voidaan aina jakaa seuraaviin tekijöihin:
 a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i), 
silloinkin kun n on kahden potenssi.
Kahden potenssit tietotekniikassa

Koska luku kaksi on binäärijärjestelmän kantaluku, kahden potensseilla on tärkeä asema tietotekniikassa. Erityisesti kaksi korotettuna potenssiin n kertoo, kuinka monella tavalla n kappaletta bittejä voidaan valita. Tämä on yläraja sille, kuinka suuren luvun binäärijärjestelmässä n kappaleella bittejä voi esittää. Tämän seurauksena lukuja, jotka ovat kahden potensseja, ilmaantuu usein eri tietokonejärjestelmissä. Esimerkiksi kahdeksalla bitillä voidaan esittää  2^{8}=256 lukua eli esimerkiksi kokonaisluvut 0–255. Kahdeksan bitin pituiselle jonolle on annettu erityisnimi tavu, jota kutsutaan myös nimellä oktetti.
Tietokoneiden muistia mitataan usein kahden potensseilla. Usein käytetään tavun kerrannaisia, jotka ovat kahden potensseja, kuten kibitavu ( 1\ 024=2^{10} tavua) ja mebitavu ( 1\ 048\ 576=2^{20} tavua). Koska 1 024 on noin tuhat, on 1 024 tavua perinteisesti tietotekniikassa kutsuttu kilotavuksi ja vastaavasti 1 048 576 tavua megatavuksi. Tämä voi kuitenkin aiheuttaa sekaannuksia, ja siksi näille kahden potensseille eli ”binäärisille” kerrannaisille on sittemmin ehdotettu nimityksiä kibi ja mebi. Nykyään myös suorittimien rekisterien koot ovat tyypillisesti kahden potensseja kuten 64 bittiä.
Kahden potensseja ilmenee myös monissa muissa yhteyksissä. Kiintolevyissä sektorien ja lohkojen koot ovat yleensä kahden potensseja.
Myös ne tietotekniikassa esiintyvät luvut, jotka eivät ole kahden potensseja, kuten esimerkiksi näyttölaitteiden resoluutiot, ovat usein muutamien harvojen kahden potenssien summia. Esimerkiksi takavuosina yleinen resoluutio 640 pikseliä on 512 + 128. Näillä luvuilla on siis hyvin säännöllisen näköinen esitys binäärijärjestelmässä.
Kahden potenssit, joissa eksponentti on myös kahden potenssi

Koska modernien muistilaitteiden yhden muistialkion sisältämien bittien määrä on myös kahden potenssi, ovat suurimmat niillä esitettävät numerot kahden potensseja, joiden eksponentti on myös kahden potenssi. Esimerkiksi:
| --- | --- |
21 =: 2
22 =: 4
24 =: 16
28 =: 256
216 =: 65 536
232 =: 4 294 967 296
264 =: 18 446 744 073 709 551 616
2128 =: 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456
2256 =: 115 792 089 237 316 195 423 570...039 457 584 007 913 129 639 936 (77 numeroa)
Valittujen kahden potenssien ominaisuuksia

210 = 1024: Binääriapproksimaatio kilo-etuliitteestä: 1 024 tavua on yksi kilotavu.
216 = 65 536: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 224. Lisäksi 2222, ja tetraatiossa 42.
220 = 1 048 576: Binääriapproksimaatio mega-etuliitteestä: 1 048 576 tavua on yksi megatavu.
224 = 16 777 216: HTML-värikoodien määrä.
230 = 1 073 741 824: Binääriapproksimaatio giga-etuliitteestä: 1 073 741 824 tavua on yksi gigatavu.
232 = 4 294 967 296: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 225. IPv4-pohjaisten IP-osoitteiden määrä.
240 = 1 099 511 627 776: Binääriapproksimaatio tera-etuliitteestä: 1 099 511 627 776 tavua on yksi teratavu.
246 = 70 368 744 177 664: Pienin kahden potenssi, jonka ensimmäinen numero on 7.
250 = 1 125 899 906 842 624: Binääriapproksimaatio peta-etuliitteestä: 1 125 899 906 842 624 tavua on yksi petatavu.
253 = 9 007 199 254 740 992: Pienin kahden potenssi, jonka ensimmäinen numero on 9.
260 = 1 152 921 504 606 846 976: Binääriapproksimaatio eksa-etuliitteestä: 1 152 921 504 606 846 976 tavua on yksi eksatavu.
264 = 18 446 744 073 709 551 616: Kahden potenssi, jonka eksponentti on myös kahden potenssi: 226.
268 = 295 147 905 179 352 825 856: Pienin kahden potenssi, joka sisältää kaikki kymmenjärjestelmän numerot.
270 = 1 180 591 620 717 411 303 424: Binääriapproksimaatio tsetta-etuliitteestä: 1 180 591 620 717 411 303 424 tavua on yksi tsettatavu.
280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176: Binääriapproksimaatio jotta-etuliitteestä: 1 208 925 819 614 629 174 706 176 tavua on yksi jottatavu.
2108 = 324 518 553 658 426 726 783 156 020 576 256: Suurin kahden potenssi, jossa ei esiinny numeroa 9.
2126 = 85 070 591 730 234 615 865 843 651 857 942 052 864: Suurin kahden potenssi, jossa ei esiinny kahta samaa numeroa peräkkäin.
2168 = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856: Suurin kahden potenssi, joka ei sisällä kaikkia kymmnenjärjestelmän numeroita (numero 2 puuttuu).
Nopea algoritmi sen tutkimiseen, onko luku kahden potenssi

Jos numero on esitetty binäärijärjestelmässä, on olemassa hyvin nopea tapa tutkia onko se kahden potenssi tai nolla:
jossa & on looginen bittikohtainen JA-operaattori.
Nopea algoritmi sen tutkimiseen, onko luku kahden potenssi > Esimerkkejä

x on kahden potenssi (tai nolla):
| --- | --- |
−1 =: 1…111…1
x =: 0…010…0
x − 1 =: 0…001…1
x & (x − 1) =: 0…000…0
y ei ole kahden potenssi (eikä nolla):
| --- | --- |
−1 =: 1…111…111…1
y =: 0…010…010…0
y − 1 =: 0…010…001…1
y & (y − 1) =: 0…010…000…0
Kahden potenssit musiikin teoriassa ja nuottikirjoituksessa

Nuottikirjoituksessa sävelen kesto osoitetaan erimuotoisilla nuoteilla. Sellaisenaan kaikki nuotit vastaavat kestoa, joka on kokonuottia vastaava kesto jaettuna jollakin kahden potenssilla; tällaisia ovat siis puolinuotti, neljäsosanuotti, kahdeksasosanuotti, kuudestoistaosanuotti jne. Näistä poikkeavat aika-arvot osoitetaan lisämerkinnöillä, esimerkiksi lisäämällä nuotin jälkeen piste, joka pidentää sen keston 1 1/2 -kertaiseksi, tai käyttämällä trioli-, kvintoli- tai muuta vastaavaa merkintää. Tahtiosoituksissa alempana lukuna, nimittäjänä, joka osoittaa tahtiosuuden pituuden, käytetään lähes yksinomaan kahden potensseja; osoittaja, joka osoittaa tahtiosuuksien lukumäärän tahdissa, sen sijaan voi olla muukin luku, usein esimerkiksi 3 tai 6.
Kahden sävelen taajuuksien suhde on kahden potenssi, jos ja vain jos niiden välinen intervalli on täysiä oktaaveja. Tässä tapauksessa sävelillä on sama nimi mutta ne kuuluvat eri oktaavialoihin.
Hyperreaaliluku

Hyperreaalilukujen järjestelmä on eräs tapa käsitellä äärettömiä ja äärettömän pieniä eli infinitesimaalisia määriä (kvantiteetteja). Hyperreaaliluvut tai epästandardit reaaliluvut,  *\mathbb {R} , ovat reaalilukujen  \mathbb {R}  laajennus, joka sisältää suurempia lukuja kuin mikään muotoa
Sellaiset luvut ovat äärettömiä ja niiden käänteisluvut on infinitesimaaleja.  Termin "hyperreaali" esitteli Edwin Hewitt 1948.
Reaalilukujen laajennukseen hyperreaalilukuihin kuuluvat siis tavallisten reaalilukujen lisäksi äärettömän suuret ja äärettömän pienet luvut eli infinitesimaalit. Nämä voidaan määritellä seuraavasti:
Nollasta eroava luku  \epsilon  on äärettömän tai infinitesimaalisen pieni eli siis infinitesimaali, jos 
 \vert \epsilon \vert <{\frac {1}{n}}{\text{ }}\forall n=1,2,3,....
Kääntäen infinitesimaalin  \epsilon  käänteisluku  \omega ={\frac {1}{\epsilon }} on äärettömän suuri tai ääretön tarkoittaen täsmällisesti, että  \vert \omega \vert >n{\text{ }}\forall n=1,2,3,....
Ja vastaavasti äärettömän  \omega  käänteisluku  {\frac {1}{\omega }} on infinitesimaali.
Hyperreaaliluvut noudattavat siirtoperiaatetta, Leibnizin heuristisen jatkuvuuden lain täsmällistä versiota. Siirtoperiaate sanoo, että väitteet  \mathbb {R} :ssä ovat päteviä  *\mathbb {R} :ssä. Esimerkiksi, yhteenlaskun vaihdantalaki,  x+y=y+x, pätee hyperreaaliluvuille aivan kuin se pätee myös reaaliluvuille; kuten  \mathbb {R}  on reaalisesti suljettu kunta, joka tarkoittaa vain yksinkertaisesti kuntaa, jolla on oleellisesti samat ominaisuudet kuin reaalilukujen kunnalla, siten on myös  *\mathbb {R} . Samoin kuten  \sin {\pi n}=0 kaikille kokonaisluvuille  n, on yhtä lailla voimassa  \sin {\pi H}=0 kaikille hyperkokonaisluvuille  H.  Siirtoperiaate on Łośin teoreeman seuraus vuodelta 1955.
Hyperreaalilukujen ja erityisesti siirtoperiaatteen sovellusta analyysin ongelmiin kutsutaan epästandardiksi analyysiksi. Yksi välitön sovellus on analyysin peruskäsitteiden kuten derivaatan ja integraalin määrittely jollakin tapaa yksinkertaisemmin. Täten  f(x):n derivaatta tulee muotoon  f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right) infinitesimaalille  \Delta x, missä  st() merkitsee funktion standardiosaa, joka liittää jokaiseen äärelliseen hyperreaalilukuun yksikäsitteisen äärettömän lähellä olevan reaaliluvun. Integraali määritellään vastaavasti sopivan äärettömän summan standardiosana.
Hyperreaalilukuihin liittyviä käsitteitä

Jokaista reaalilukua  x\in \mathbb {R}  vastaa hyperreaalilukujen joukossa oleva ekvivalenssiluokka  *x=[(x,x,x,...)]\in *\mathbb {R} . Muotoa 
 *x olevaa hyperreaalilukua sanotaan standardiksi hyperreaaliluvuksi. Hyperreaaliluvut, jotka eivät ole standardeja ovat epästandardeja hyperreaalilukuja eli siis kaikki joukon  *\mathbb {R} \backslash \{*x=[(x,x,x,...)]|x\in \mathbb {R} \} alkiot. 
Epästandardit hyperreaaliluvut ovat siis niitä varsinaisia hyperreaalilukuja, jotka sisältävät jollain tavalla äärettömyyden. Ne voivat olla joko äärettömiä, äärellisiä tai infinitesimaalisia:
Tässä esityksessä jokainen reaaliluku  x on samastettu vastaavalla standardin hyperreaaliluvun  *x=[(x,x,x,...)] kanssa, joka on vakiojonon  (x,x,x,...) ekvivalenssiluokka. Tällaisella luonnollisella samaistuksella  \mathbb {R}  on  *\mathbb {R}  :n alikunta.
Hyperreaaliluvut  x ja  y ovat äärettömän eli infinitesimaalisen lähellä toisiaan, jos erotus  x-y on infinitesimaali. Tällöin voidaan merkitä  x\approx y. On myös voimassa lause, joka vaikuttaa intuitiivisesti olevan tosi ilman sen täsmällistä todistamista:
Jos  x on äärellinen hyperreaaliluku, on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku  r,{\text{ jolle }}r\approx x. Tämän jälkeen voidaan määritellä:
Hyperreaalilukujen ominaisuuksia

Hyperreaalilukujen  *\mathbb {R}  äärelliset alkiot  F muodostavat renkaan ja sen yksikäsitteinen maksimaalinen ihanne  S koostuu  *\mathbb {R} :n infinitesimaaleista; osamäärärengas  F/S on isomorfinen reaalilukujen kanssa. Tästä saadaan homomorfismi  st(x):F\rightarrow \mathbb {R} , jonka ydin koostuu infinitesimaaleista ja joka kuvaa jokaisen  F:n alkion  x yksikäsitteiseksi reaaliluvuksi  r, joka eroaa  x:stä infinitesimaalisen vähän ja tämä infinitesimaalinen erotus on ihanteessa  S. Toisin sanoen jokainen äärellinen epästandardi hyperreaaliluku on äärimmäisen lähellä jotain yksikäsitteistä reaalilukua; tarkemmin jos  x on äärellinen epästandardi hyperreaaliluku, niin on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku  st(x) sellainen, että  x-st(x) on infinitesimaali. Reaaliluku  st(x) on  x:n standardiosa eli intuitiivisesti sama kuin hyperreaaliluvun  x lähin reaaliluku lukusuoralla. Homomorfismi on järjestyksen säilyttävä ja käyttäytyy hyvin algebrallisesti ja järjestysteoreettisesti.
Jos  x{\text{ ja }}y ovat äärellisiä,
Jos  x on äärellinen ja ei infinitesimaali.
x on reaalinen joss
Siirtoperiaate

Hyperreaalilukujen järjestelmän ideana on laajentaa reaaliluvut  \mathbb {R}  järjestelmäksi  *\mathbb {R} , johon kuuluvat infinitesimaaliset ja äärettömät luvut ja jossa kaikki algebran aksioomat olisivat voimassa. Eli siis mikä tahansa väite muodossa "jokaiselle luvulle  x...", joka on tosi reaaliluvuille, olisi tosi myös hyperreaaliluvuille. Esimerkiksi aksioomaa, joka sanoo, että "jokaiselle luvulle  x,x+0=x" voitaisiin yhä soveltaa. Sama olisi tosi useamman luvun kvantifioinneille, esim., "jokaiselle luvulle  x{\text{ ja }}y,xy=yx." Tätä ominaisuutta kuljettaa väitteet reaaliluvuilta hyperreaaliluvuille kutsutaan siirtoperiaatteeksi. Kuitenkin väitteet muodossa "jokaiselle lukujen joukolle  S ..." eivät siirry. Ainoat eroavat ominaisuudet hyperreaalilukujen ja reaalilukujen välillä ovat ne, jotka pohjautuvat joukkojen yli kvantifiointiin tai muuhun korkeampaan rakenteeseen kuten funktioihin ja relaatioihin, jotka tyypillisesti konstruoidaan joukkojen avulla. Jokaisella reaalisella joukolla, funktiolla ja relaatiolla on luonnollinen hyperreaalinen laajennuksensa, joka täyttää samat ominaisuudet.
Siirtoperiaate ei kuitenkaan tarkoita, että  \mathbb {R}  and  *\mathbb {R}  käyttäytyisivät täysin samanlaisesti. Esimerkiksi,  *\mathbb {R} :ssä on olemassa sellainen olio  \omega ; , että
Käyttö analyysissä

Merkinnät ei-reaalisille kvantiteeteille ilmestyivät analyysin historiassa kahdessa kontekstissa: infinitesimaaleina kuten  dx ja symbolina  \infty , käytettynä esimerkiksi epäoleellisten integraalien integrointirajoina.
Esimerkkinä siirtoperiaatteesta: väite, että jokaiselle nollasta eroavalle luvulle  x,2x\neq x, joka on tosi jokaiselle reaaliluvulle ja joka on siirtoperiaatteen vaatimassa muodossa on tosi myös hyperreaaliluvuille. Tämä osoittaa, ettei ole mahdollista käyttää sellaista geneeristä eli yleisluontoista symbolia kuten  \infty  kaikille hyperreaalisille kvantiteeteille hyperreaalisessa järjestelmässä; äärettömät kvantiteetit eroavat suuruudeltaan muista äärettömistä kvantiteeteista ja infinitesimaalit muista infinitesimaaleista.
Vastaavasti sopimuksen  {\frac {1}{0}}=\infty  käyttö on epävalidia, koska siirtoperiaatteessa nollalla jakamista ei ole määritelty. Tarkka vastine tällaiselle laskelmalle olisi, että jos  \epsilon  on infinitesimaali sitten  {\frac {1}{\epsilon }} on ääretön.
Jokaiselle äärelliselle hyperreaaliluvulle  x määriteltiin sen standardiosa  st(x) yksikäsitteisenä reaalilukuna, joka eroaa  x:stä ainoastaan infinitesimaalisesti. Funktion  y(x) derivaattaa ei määritellä tavalliseen tapaan muodossa  dy/dx vaan  dy/dx:n standardiosana.
Etsitään esimerkiksi funktion  f(x)=x^{2} derivaatta  f'(x). Olkoon  dx infinitesimaali. Sitten
| --- | --- |
 f'(x)\,:  =\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)
:  =\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}\right)
:  =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+dx^{2}}{dx}}\right)
:  =\operatorname {st} \left(2x+dx\right)
:  =2x\,
Standardiosan käyttö derivaatan määritelmänä on tarkka vaihtoehto perinteiselle infinitesimaalin neliön laiminlyömiselle. Yllä olevan differentioinnin kolmannen rivin jälkeen, tyypillinen metodi  Newtonista läpi 19:n vuosisadan on yksinkertaisesti hylätä  (dx)^{2} termi. Hyperreaalisessa järjestelmässä  (dx)^{2}\neq 0, koska  dx on nollasta eroava ja siirtoperiaatetta voidaan soveltaa väitteeseen, että minkä tahansa nollasta eroavan luvun neliö on nollasta eroava. Kuitenkin infinitesimaali  (dx)^{2} on äärettömän pieni verrattuna toiseen infinitesimaaliin  dx; tämä tarkoittaa, että hyperreaalinen järjestelmä sisältää infinitesimaalisten kvantiteettien hierarkian.
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Jazz (Queenin albumi)

| Jazz Queen |
| --- | --- | --- |

Studioalbumin tiedot
 Äänitetty : heinäkuu – lokakuu 1978; Montreux & Nizza
 Julkaistu:  10. marraskuuta 1978    14. marraskuuta 1978
 Formaatti: LP, MC, CD
 Tuottaja(t): Queen, Roy Thomas Baker
 Tyylilaji: hard rock, poprock, taiderock, glam rock
 Kesto: 44.52
 Levy-yhtiö: EMI, Elektra
Muut kannet
   Albumin takakansi on pitkälti käänteinen kuva etukannesta.
Listasijoitukset
 Britannian albumilista: 2.   Billboard 200: 6. Ks. lisää sijoituksia
Queenin muut julkaisut
| News of the World 1977 | Jazz 1978 | Live Killers 1979 |
Jazz on brittiläisen Queen-yhtyeen marraskuussa 1978 julkaistu seitsemäs albumi. Musiikillisesti albumi on hyvin hajanainen sisältäen vaikutteita useista tyylilajeista. Levyn tuottamiseen osallistui muutaman vuoden tauon jälkeen Roy Thomas Baker.
Albumi ylsi kymmenen myydyimmän joukkoon sekä Britanniassa että Yhdysvalloissa. Kuitenkin levyä pidettiin ilmestyessään pettymyksenä ja se sai heikohkoja arvosteluja kriitikoilta. Myöhemmin sen arvostus on noussut ja sitä on kutsuttu yhdeksi Queenin tasaisimmista albumeista.
Albumin suurimmaksi menestyskappaleeksi Britanniassa muodostui ”Don’t Stop Me Now”, joka ylsi Britannian singlelistalla kärkikymmenikköön. Myös samalla singlellä julkaistut ”Fat Bottomed Girls” ja ”Bicycle Race” pääsivät kymmenen suosituimman kappaleen tuntumaan. Britannian ulkopuolella julkaistu ”Jealousy” sen sijaan floppasi eikä saavuttanut sijoitusta Yhdysvalloissa.
Työstö

Jazz oli ensimmäinen Queen-albumi, joka äänitettiin Britannian ulkopuolella. Levytykset alkoivat heinäkuussa 1978 Mountain-studioilla Montreux’ssa Sveitsissä ja päättyivät lokakuussa Super Bear -studiossa Ranskan Nizzassa. Albumin tuottamiseen osallistui pienen tauon jälkeen Roy Thomas Baker. Hän oli ollut mukana myös yhtyeen neljän ensimmäisen albumin tuottamisessa, ja Jazz jäi hänen viimeiseksi Queen-tuotannokseen. Äänittäjinä toimivat Geoff Workman ja John Etchells.
»Ajattelimme, että olisi mukavaa yrittää uudestaan tuottajan kanssa, jota kunnioitimme (Roy Thomas Baker). Olimme löytäneet muutamia omia menetelmiä, kuten hänkin. [...] Ajattelimme, että yhteenpalaaminen toisi vähän uutta kamaa, ja se toimi aika hyvin.» 
(Brian May, Queenin kitaristi )
Queen Online -sivusto katsoo, että Bakerin paluu toi yhtyeen jäsenten lauluntekoon lisää luovuutta. Edellisalbumi News of the World oli ollut eräänlainen paluu yhtyeen juurille, mutta Jazz merkitsi jälleen kokeiluihin siirtymistä. Äänityksissä syntyi 13 kappaletta, minkä myötä Jazz on Queenin pisimpiä albumeja. Freddie Mercuryn ja Brian Mayn lisäksi myös basisti John Deacon ja rumpali Roger Taylor osallistuivat lauluntekoon ja kirjoittivat levylle kaksi kappaletta kumpikin.
Musiikki > Tyyli

Jazz on tyylillisesti hajanainen albumi, jolla on hyvin erilaista musiikkia. Levyn arvostelleen Allmusic-sivuston Stephen Thomas Erlewinen mielestä Jazzia onkin verraten hankala arvostella kokonaisuutena hajanaisen tyylinsä vuoksi. Levyllä on muun muassa pilke silmäkulmassa tehtyä rockia, varhaista diskoa, solisti Freddie Mercurylle ominaisia pianoballadeja, hard rockia, poppia sekä Lähi-idän tunnelmaa. Brian Mayn kitaransoiton myötä Jazz on äänimaailmaltaan raskaampi albumi kuin edellislevy News of the World ja samalla yhtyeen ensimmäinen albumi, jolla käytettiin syntetisaattoria. Albumilla on myös tavallista enemmän akustisia raitoja. Nimestään huolimatta albumilla ei ole varsinaista jazz-musiikkia.
Kansitaide

Albumin kansikuva oli rumpali Roger Taylorin idea. Taylor näki pyörrekuvion Berliinin muurissa, ja hän ja Queenin muut jäsenet pitivät sitä sopivana uuden levyn kanteen. Yhtye suunnitteli kannen, ja lopullisen luonnoksen teki Cream-yhtiö. Kansi herätti ilmestyessään huomiota, sillä se erosi Queenin edellisten levyjen kansikuvista eikä sillä ollut yhteyttä albumin nimeen.
Sisäkannen yhtyekuvan otti roudari Peter ”Ratty” Hince Montreux’n studioilla. Sisäpussin kuvasta vastasi Nizzan Super Bear -studioilla Chris Hopper. Mukana tuli myös suuri juliste alastomista, pyöräilevistä naismalleista.