Nopeuspotentiaali
Eräitä nopeuspotentiaaleja > Pistemäinen lähde tai nielu origossa

Olkoon koordinaatiston origossa pistemäinen lähde, josta ''pulppuavan'' fluidin tilavuusvirta on 



Q
>
0


{\textstyle Q>0}

 (Seuraavat päätelmät pätevät myös, jos 



Q
<
0


{\textstyle Q<0}

. Tällöin kyseessä on lähteen sijaan nielu). Olkoon lähteen virtaus puhtaasti säteittäistä, eli jokainen virtaviiva osoittaa lähteestä suoraan poispäin. Jos tarkastellaan origon ympärillä virtausaluetta, jonka paksuus 



z


{\textstyle z}

-suunnassa on 



b
>
0


{\textstyle b>0}

, niin tilavuusvirta jokaisen origokeskisen, 



r


{\textstyle r}

-säteisen ympyrän läpi on:
Q=2\pi rbv_{r}={\text{vakio}},
missä 




v

r




{\textstyle v_{r}}

 on virtauksen säteittäinen vauhti. Tilavuusvirta on vakio säteestä riippumatta, sillä kokoonpuristumattoman fluidin kokonaistilavuus ei voi muuttua sen liikkuessa kauemmas lähteestä (tai nielusta). Ts. fluidia ei voi syntyä tai kadota muualla kuin lähteessä tai nielussa. Näin ollen fluidin vauhti kaikkialla 



x
y


{\textstyle xy}

-tasossa on:
v_{r}={\frac {Q}{2\pi b}}\cdot {\frac {1}{r}}.
Viimeistään tässä vaiheessa kannattaa siirtyä osittain napakoordinaatteihin, sillä kaikki ilmiöt tähän mennessä ovat puhtaasti säteittäisiä. Näin ollen lähteen (tai nielun) virtauksen nopeus on (karteesisissa koordinaateissa ja napakoordinaateissa):
{\begin{aligned}\mathbf {v} &=v_{r}\,\mathbf {e} _{r}\\&={\frac {Q}{2\pi br}}(\cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \theta \,\mathbf {j} )\\&={\frac {Q}{2\pi br^{2}}}(x\,\mathbf {i} +y\,\mathbf {j} )\\&={\frac {Q}{2\pi b(x^{2}+y^{2})}}(x\,\mathbf {i} +y\,\mathbf {j} )\\&=v_{x}\,\mathbf {i} +v_{y}\,\mathbf {j} ,\end{aligned}}
missä 





e


r


=
cos
⁡
θ


i

+
sin
⁡
θ


j



{\textstyle \mathbf {e} _{r}=\cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \theta \,\mathbf {j} }

 on napakoordinaatiston säteittäinen kantavektori. Tästä saadaan virtauksen nopeuspotentiaalin osittaisderivaatat (kun 



x
,
y
≠
0


{\textstyle x,y\neq 0}

):
{\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}=v_{x}={\frac {Q}{2\pi b}}\cdot {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial y}}=v_{y}={\frac {Q}{2\pi b}}\cdot {\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\end{cases}}
Ylemmän osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
{\begin{aligned}\phi (x,y)&={\frac {Q}{4\pi b}}\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)+f(y)\\&={\frac {Q}{2\pi b}}\ln r+f(y),\end{aligned}}
missä 



f
(
y
)


{\textstyle f(y)}

 on mikä tahansa vain muuttujasta 



y


{\textstyle y}

 riippuva derivoituva funktio. Vastaavasti alemman osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu on:
{\begin{aligned}\phi (x,y)&={\frac {Q}{4\pi b}}\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)+g(x)\\&={\frac {Q}{2\pi b}}\ln r+g(x),\end{aligned}}
missä 



g
(
x
)


{\textstyle g(x)}

 on mikä tahansa vain muuttujasta 



x


{\textstyle x}

 riippuva derivoituva funktio. Koska kummankin yhtälön ratkaisujen tulee toteutua yhtäaikaa, on ainoa mahdollisuus, että
f(y)=g(x)=C={\text{vakio}}.
Siispä nopeuspotentiaali on:
\phi ={\frac {Q}{4\pi b}}\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)+C={\frac {Q}{2\pi b}}\ln r+C
Asetetaan 



ϕ
=

vakio



{\textstyle \phi ={\text{vakio}}}

, josta seuraa välttämättä, että 



r
=

vakio



{\textstyle r={\text{vakio}}}

 (tai karteesisissa koordinaateissa 




x

2


+

y

2


=

vakio



{\textstyle x^{2}+y^{2}={\text{vakio}}}

). Virtauksen potentiaaliviivoja ovat siis kaikki origokeskeiset ympyrät.