stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Polynomi
Polynomi renkaassa

Renkaassa R voidaan määritellä polynomi p(x),  p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}, missä  n\geq 0,a_{i}\in R\forall i. Selvästi tällainen polynomi vastaa ääretöntä jonoa  (a_{1},a_{2},...,a_{n},0,0,0,...), jossa taas kaikki ai ovat renkaan R alkioita. Polynomien voidaan siis ajatella olevan vain muodollisia kirjoitelmia, joissa x on pelkkä symboli, määräämätön. Muodollisille kirjoitelmille voidaan määritellä polynomien yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, jolloin muodostuu polynomirengas  R[x]. Polynomirenkaita käsiteltäessä polynomeja ajatellaan joko muodollisina kirjoitelmina tai funktioina riippuen siitä, kumpi on tarkoituksellisempaa. Valitsemalla p(x):n määritelmässä, että rengas R on reaalilukurengas, saadaan peruskoulusta tutut polynomit.
Suurinta lukua n, jolla an ≠ 0 kutsutaan polynomin asteeksi. Alla esiintyvien laskulakien säilyttämiseksi myös nollapolynomin tapauksessa määritellään sille erikseen, että aste = -∞. Polynomin f(x) astetta merkitään deg(f(x)), joka selkeyden vuoksi usein lyhennetään muotoon deg f(x). Asteet toteuttavat muun muassa seuraavat laskulait:
\deg f(x)g(x)\leq \deg {f(x)}+\deg {g(x)}
\deg(f(x)+g(x))\leq \max\{\deg {f(x)},\deg {g(x)}\}
Mikäli kyseessä oleva rengas on lisäksi kokonaisalue, on säännössä 1 voimassa tiukka yhtäsuuruus.
Reaali- ja kompleksipolynomit

Analyysissä käsitellyt polynomifunktiot yli  \mathbb {C} :n ja  \mathbb {R} :n ovat tärkeä sileiden funktioiden aliluokka. Sileät funktiot ovat funktioita, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat.
Polynomien arvoja on helppo määrittää johtuen polynomien yksinkertaisesta rakenteesta. Polynomeja käytetäänkin paljon numeerisessa analyysissä, jossa polynomeilla voidaan approksimoida funktioita ja siten funktioille voidaan määrittää vaikkapa numeerisia integraaleja.
Tietokoneiden numeerisessa laskennassa polynomifunktiot on usein korvattu splineillä. Splinit ovat paloittain määriteltyjä polynomeja ja ne tarjoavat joustavamman tavan approksimoida sileitä funktioita kuin polynomit. Splinejä käytetään splini-interpoloinnissa ja tietokonegrafiikassa.
Tekijöihin jako

Algebran peruslauseesta seuraa, että reaalikertoiminen polynomi voidaan lausua sellaisten reaalikertoimisten polynomien tulona, jotka ovat ensimmäistä tai toista astetta. Toisen asteen polynomi tulee kyseeseen silloin, kun polynomin nollakohdat ovat kompleksilukuja. Ne ovat tällöin parittain toistensa kompleksikonjugaatteja.
Esimerkiksi reaalikertoiminen polynomi  x^{4}+a^{4} jakautuu tekijöihin seuraavasti:
Koska tässä kumpaakin tekijäpolynomia vastaava diskriminantti on  D=-2a^{2} ja siis negatiivinen, ei tekijäpolynomeja voida enää jakaa reaalikertoimisiksi ensimmäisen asteen polynomeiksi.
Polynomeja matematiikan eri aloilta

Lineaarialgebrassa neliömatriisin karakteristinen polynomi sisältää useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.
Verkkoteoriassa verkon muuttujan x kromaattiset polynomit kertovat kuinka monella tavalla verkko voidaan värittää x värillä.
Kombinatoriikassa käytetään generoivia funktioita, joita käyttäen monet kombinatoriset tarkastelut voidaan palauttaa polynomien käsittelyksi. Tarkastellaan esimerkin vuoksi vaaleja, jossa erässä vaalipiirissä on ehdolla kaksi vasemmiston ehdokasta. Tällöin vaaleja edustaa generoiva funktio f(x) = 1 + 2x + x², jossa siis  xk:n kerroin kertoo, kuinka monella tavalla k vasemmistolaista voidaan valita. Jos jossain toisessa vaalipiirissä on myös ehdolla kaksi ehdokasta, tässä vaalipiirissä vaaleja edustaa myös f(x). Vastaus kysymykseen, kuinka monella tavalla näissä kahdessa vaalipiirissä yhdessä voidaan valita s vasemmistolaista saadaan tulopolynomin astetta s olevan termin kertoimesta.
Polynomien yleistyksiä

Yllä polynomi määriteltiin siten, että alin esiintyvä x:n eksponentti on 0. Joissain tilanteissa on kätevää ottaa mukaan myös negatiiviset eksponentit, jolloin saadaan muotoa  a_{-m}x^{-m}\cdots +a_{-1}x^{-1}+a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n} olevia lausekkeita. Tällaisia yleistettyjä polynomeja kutsutaan Laurentin polynomeiksi.
Toinen mahdollinen yleistys ovat usean muuttujan polynomit, joiden yleinen muoto on  \sum _{j_{1}+\cdots +j_{k}=0}^{n}a_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{k}}x_{1}^{j_{1}}\cdots x_{k}^{j_{k}}. Hyväksymällä summauksen aloittaminen negatiivisesta luvusta saadaan usean muuttujan Laurentin polynomit.
Jos hyväksytään myös äärettömän monitermiset polynomit, johdutaan analyysissä keskeisiin potenssisarjoihin.
Polynomit koulumatematiikassa

Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta monomista. Monomia sanotaan myös termiksi.
Polynomeja voidaan laskea yhteen ja vähentää. Ne monomit, joissa on sama muuttujaosa, voidaan yhdistää.
Polynomin kertominen vakiolla tapahtuu siten, että jokainen termi kerrotaan vakiolla erikseen.
Jos vakio, jolla kerrotaan on  -1\, riittää, kun polynomista vaihdetaan kaikki etumerkit.
Polynomin kertominen monomilla tapahtuu samoin kuin polynomin kertominen vakiolla.
Polynomien kertolasku keskenään on monimutkaisempi:
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
The Slider

| The Slider T>  Rex |
| --- | --- | --- |

Studioalbumin tiedot
 Äänitetty : 1972
 Julkaistu: 1972
 Tuottaja(t): Tony Visconti
 Tyylilaji: Glam rock
 Kesto: 53.51
 Levy-yhtiö: Reprise, EMI
T. Rexin muut julkaisut
| Electric Warrior 1971 | The Slider 1972 | Tanx 1973 |
The Slider on brittiläisen glam rock -yhtye T. Rexin kolmas albumi nimenvaihdoksen jälkeen. Albumi ilmestyi vuonna 1972 ja se on myös yhtyeen menestynein albumi Yhdysvalloissa. Kuuluisimmat kappaleet levyltä ovat "Metal Guru", "Buick Mackane" ja "Telegram Sam".
Albumi, samoin kuin sitä edeltänyt albumi Electric Warrior, valittiin vuonna 2005 julkaistuun hakuteokseen 1001 albumia jotka jokaisen on kuultava edes kerran eläessään.
Kappaleet

"Metal Guru" – 2:25
"Mystic Lady" – 3:09
"Rock On" – 3:26
"The Slider" – 3:22
"Baby Boomerang" – 2:17
"Spaceball Ricochet" – 3:37
"Buick Mackane" – 3:31
"Telegram Sam" – 3:42
"Rabbit Fighter" – 3:55
"Baby Strange" – 3:03
"Ballrooms of Mars" – 4:09
"Chariot Choogle" – 2:45
"Main Man" – 4:14
Kokoonpano

Marc Bolan – laulu, kitara
Steve Currie – basso
Mickey Finn  – lyömäsoittimet, laulu
Bill Legend – rummut
Mark Volman ("Flo") – taustalaulu
Howard Kaylan ("Eddie") – taustalaulu
Tony Visconti – taustalaulu
Dandy in the Underworld

| Dandy in the Underworld T>  Rex |
| --- | --- | --- |

Studioalbumin tiedot
 Äänitetty : 1976
 Julkaistu: Toukokuussa 1977
 Tuottaja(t): Marc Bolan
 Tyylilaji: glam rock, rock
 Kesto: 37.52
 Levy-yhtiö: EDSEL Records
T. Rexin muut julkaisut
| Futuristic Dragon 1976 | Dandy in the Underworld 1977 |   |
Dandy in the Underworld on brittiläisen glam rock-yhtye T. Rexin kahdestoista ja viimeinen albumi, joka julkaistiin vuonna 1977, eli samana vuonna kun yhtyeen perustaja ja keulahahmo Marc Bolan kuoli. Bolan on myös tehnyt albumin kaikki kappaleet. Albumin ehkäpä kuuluisimmat kappaleet ovat "Dandy in the Underworld" ja "I Love to Boogie".
Kappaleet

Dandy in the Underworld – 4.26
Crimson Moon – 3.25
Universe – 2.44
I'm a Fool For You Girl – 2.18
I Love to Boogie – 2.15
Visions of Domino – 2.28
Jason B. Sad – 3.23
Groove a Little – 3.25
Soul of My Suit – 2.37
Hang Ups – 3.29
Pain and Love – 3.41
Teen Riot Structure – 3.41
Aiheesta muualla

Dandy in the Underworld discogs.com -sivustolla
| n k T>  Rex |
| --- | --- |
 Marc Bolan  Jack Green  Steve Currie  Steve Peregrin Took  Mickey Finn  Bill Legend  Davy Lutton  Gloria Jones 
Tyrannosaurus Rex:  My People Were Fair and Had Sky in Their Hair... But Now They're Content to Wear Stars on Their Brows  Prophets, Seers & Sages: The Angels of the Ages  Unicorn  A Beard of Stars 
T. Rex:  T. Rex  Electric Warrior  The Slider  Tanx  Zinc Alloy and the Hidden Riders of Tomorrow  Bolan’s Zip Gun  Futuristic Dragon  Dandy in the Underworld
Kokonaisluku

Kokonaisluvut ovat arkipäiväiset luvut, joilla yleensä ilmoitetaan kohteiden lukumäärää. Määritelmä on sama kuin luonnollisilla luvuilla sillä erolla, että kokonaislukuihin luetaan positiivisten lukujen lisäksi myös luku nolla ja negatiiviset luvut. Kokonaislukujen negatiivisuudella on käyttöä lähinnä matematiikassa, vaikka negatiivisia reaalilukuja käytetään arjessa melko sujuvasti. Puhekielessä käytetään kokonaislukuja samassa merkityksessä kuin luonnollisia lukuja.
Kokonaislukuihin luetaan luvut  \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}.
Yleisimmin käytetyt osajoukot

Matematiikassa kokonaislukujen joukkoa merkitään kapiteelikirjaimella  \mathbb {Z} . Luonnollisten lukujen joukko on kokonaislukujen osajoukko. Näitä kutsutaan
Näiden vastaluvut ovat
Kun mukaan otetaan myös nolla, voidaan kokonaislukujen joukko esittää yhdisteenä
Koska lukuteoriassa käytetään kokonaislukujen osajoukkoja, on paikallaan esitellä niiden nimityksiä. Ne kiertävät pääsääntöisesti sen tosiasian, että nolla ei ole positiivinen tai negatiivinen luku. Positiivisuus ja negatiivisuus yhdessä luvun nolla kanssa voidaan joskus ilmaista esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
Johdanto

Koska kokonaisluvut ovat joukko-opillinen laajennus luonnollisista luvuista, perivät kokonaisluvut suuren osan luonnollisten lukujen ominaisuuksista. Kokonaislukujen ominaisuudet onkin helppo ymmärtää, kun ensin tuntee luonnollisten lukujen ominaisuudet ja rajoitteet.
Menneisyydessä vähennyslaskussa syntyi helposti tilanne, jossa vastausta ei saatu normaalilla tavalla. Vaikka erotuksella selvitetään lukujen suuruuseroa, halutaan joskus laskea erotus "nurinpäin". Jos verrataan lausekkeiden  3-7 ja  7-3 tuloksia, tulee vain jälkimmäisestä tulokseksi neljä. Edellinen lauseke yrittää vähentää kolmosesta liikaa ja vähennyslasku "epäonnistuu". Näitä lausekkeita kutsuivat muinaiset laskijat "absurdeiksi".
Ne laskijat, jotka näkivät lausekkeen 3 − 7 hyödyllisyyden, sopivat vain, että erotuksen arvo on "neljä tappiota" tai "neljä velkaa". Tällaista tulosta kutsutaan "negatiiviseksi". Jos laskun tulos oli "neljä voittoa" tai "neljä tuottoa", kutsuttiin tulosta "positiiviseksi". Positiivisuus ja negatiivisuus olivat toisilleen "vastakkaisia" tuloksia. Postitiivisuutta merkittiin plus-merkillä (+) ja negatiivisuutta miinus-merkillä (−)lähde?. Positiivisuus ilmaistaan usein luvulla ilman plus-merkkiä. Esimerkiksi laskutoimituksien "merkkisäännöillä" tarkoitetaan niitä päättelytapoja, joilla tuloksen positiivisuus tai negatiivisuus eli "tuloksen merkki" voidaan päätellä oikein. Negatiivisuus toimii edellä määritetyllä tavalla myös muilla luvuilla kuten esimerkiksi rationaaliluvuilla, reaaliluvuilla ja kompleksiluvuilla.
Lukujoukon ominaisuuksia

Kun seuraavassa tekstissä puhutaan luvuista tarkoitetaan sillä lukujoukkoa tai kaikkia lukujoukon alkioita.
Lukujoukon ominaisuuksia > Lukujoukko laajennuksena

Koska kokonaisluvut ovat laajennus luonnollisista luvuista, ovat luonnolliset luvut kokonaislukujen osajoukko. Silloin voidaan merkitä  \mathbb {N} \subset \mathbb {Z}  tai  \mathbb {N} _{0}\subset \mathbb {Z} , jos nolla sisällytetään luonnollisiin lukuihin.
Kun kokonaisluvut asetetaan lukusuoralle, nähdään helposti vastaavuus luonnollisiin lukuihin.
Luonnolliset luvut on täydennetty nollalla ja jokaisen luonnollisen luvun vastaluvulla, jolloin saadaan kokonaisluvut.
Lukujoukon ominaisuuksia > Itseisarvo

Kokonaisluvun itseisarvon tulkinta voidaan johtaa reaaliluvuista. Reaaliluvun itseisarvon voidaan tulkita vastaavan lukusuoralla olevan luvun "etäisyyttä" nollasta. Tätä tulkintaa voidaan soveltaa kokonaisluvuille, vaikka ne eivät olekaan reaalilukuja. Kokonaisluvut ilmaisevat määrää, joten negatiivisen luvun itseisarvolla on sama määrä kuin positiivisen vastaluvun itseisarvollakin. Itseisarvon tulos ilmaistaan positiivisella luvulla eli luonnollisella luvulla.
Luvun itseisarvo merkitään pystyviivoilla |a|. Silloin itseisarvojen tulokset voidaan kirjoittaa esimerkiksi |-4| = |+4| = 4. Kaksi erisuuruista kokonaislukua ovat toistensa vastalukuja, jos niillä on sama itseisarvo. Huomaa, että nollalla ei ole muotoja −0 ja +0, vaan on olemassa vain yksi nolla. Nollan itseisarvo on nolla itse.
Lukujoukon ominaisuuksia > Yhteen- ja vähennyslaskun merkkisäännöt

Ikiaikainen luonnollisten lukujen vähennyslasku voidaan esittää positiivisen ja negatiivisen kokonaisluvun summana. Vähentäjä muutetaan vastaluvukseen ja vähennyslaskun miinus-merkki vaihdetaan yhteenlaskun plus-merkiksi:
Muunos voidaan suorittaa myös toiseen suuntaan, jolloin hankalasti hahmottuvat vähennyslaskujen tulokset voidaan luontevasti laskea päässä luonnollisten lukujen yhteen- ja vähennyslaskusääntöjen avulla. Erimerkkisten lukujen vähennyslaskun muunnos yhteenlaskuksi
voidaan selittää samalla tavoin eli, että vähennyslaskun  -b:n muutetaan vastaluvun  b yhteenlaskuksi. Edellisistä kahdesta tapauksesta saadaan koulussa opetetut merkkisäännöt:
Lukujoukon ominaisuuksia > Kerto- ja jakolaskun merkkisäännöt

Lukujen positiivisuus- ja negatiivisuus vaikuttavat tulon ja osamäärän laatuun. Jos laskutoimituksen molemmat luvut ovat saman merkkiset, saadaan positiivinen tulos. Jos luvut ovat eri merkkiset, saadaan negatiivinen tulos. Tämä voidaan merkitä luonnollisten lukujen  a ja  b avulla, missä negatiivisuus ilmaistaan miinus-merkillä:
Kahden luvun jakolaskun tulos saadaan vastaavalla tavalla.
Lukujoukon ominaisuuksia > Kokonaislukujen algebra

Algebralla tarkoitetaan lukujen laskutoimitusten ominaisuuksia. Edellä todettiin, että vähennyslasku voidaan kokonaisluvuilla käsitellä aina vastalukujen yhteenlaskulla. Tämän vuoksi kokonaislukujen algebrassa käsitellään vain yhteenlaskusääntöjä. Kokonaislukujen kertolaskun tulos on aina kokonaisluku, mutta lukujen jakolaskun tulos ei aina ole kokonaisluku. Jakolaskun tulosten aukottomaan käsittelyyn tulee käyttää rationaalilukujen algebraa. Seuraavat laskutoimituksien ominaisuudet ovat voimassa kaikille kokonaisluvuille a, b ja c. Niissä käytetään vain yhteenlaskua ja kertolaskua:
a+(b+c)=(a+b)+c\, (yhteenlaskun liitäntälaki)
a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\, (kertolaskun liitäntälaki)
a+b=b+a\, (yhteenlaskun vaihdantalaki)
a\cdot b=b\cdot a\, (kertolaskun vaihdantalaki)
a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\, (Osittelulaki)
a+0=a\, (luku  0 on yhteenlaskun neutraalialkio eli nolla-alkio)
1\cdot a=a\, (luku  1 on kertolaskun neutraalialkio eli ykkösalkio)
Kokonaisluvuille on olemassa käänteisalkiot yhteislaskun suhteen, mutta ei kertolaskun suhteen. Yhteenlaskussa käänteisalkioita kutsutaan vastaluvuiksi ja sellainen voidaan osoittaa jokaiselle kokonaisluvulle. Positiivisen kokonaisluvun vasta-alkio on negatiivinen kokonaisluku, ja päinvastoin. Nollan vastaluku on nolla itse. Kertolaskussa käänteisalkioita eli käänteislukuja voidaan määrittää vasta rationaaliluvuille, tosin ykkösen käänteisluku on luku yksi itse.
Kokonaislukujen joukko on laskutoimituksen suhteen suljettu, jos kahden luvun laskun tulos kuuluu kokonaislukuihin. Yhteenlaskun suhteen näin onkin, sillä kahden luvun  a ja  b summa  a+b on aina joko positiivinen- tai negatiivinen kokonaisluku tai nolla ja summa kuuluu siten kokonaislukuihin. Sama ominaisuus on myös kertolaskulla. Tämän vuoksi lukujoukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen.
Edelleen, koska molemmat laskutoimitukset ovat assosiatiivisia eli toteuttavat liitännäislain, sanotaan, että kokonaisluvut ovat yhteenlaskun suhteen  (\mathbb {Z} ,+) ja kertolaskun suhteen  (\mathbb {Z} ,\cdot ) monoideja. Koska jokaisen luvun käänteisalkio, eli yhteenlaskussa vastaluku, kuuluu kokonaislukuihin, kutsutaan monoidia  (\mathbb {Z} ,+) myös ryhmäksi. Erityisesti se on vieläpä Abelin ryhmä, koska yhteenlasku on kommutatiivinen eli vaihdannainen. Kertolaskun suhteen kokonaisluvuilla ei ole yleisesti käänteisalkioita eli käänteislukuja, joten  (\mathbb {Z} ,\cdot ) ei muodosta ryhmää.
Lukujoukon ominaisuuksia > Mahtavuus

Kokonaislukuja on ääretön määrä. Matematiikassa voidaan verrata kahta lukujoukkoa ja päätellä, kummassa on enemmän alkioita, vai onko niitä yhtä paljon. Georg Cantor osoitti vertailemalla kokonaislukuja luonnollisiin lukuihin niiden olevan yhtä mahtavia joukkoja. Hän aloitti vertailun järjestämällä ensin kokonaisluvut itseisarvoltaan kasvavaksi jonoksi:  \{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots \}. Tämän jälkeen hän "numeroi" jokaisen kokonaisluvun luonnollisella luvulla eli kirjasi vastaavuudet:  0\leftrightarrow 0,1\leftrightarrow 1,2\leftrightarrow -1,3\leftrightarrow 2,4\leftrightarrow -2,\dots . Lopulta hän totesi, että jokaiselle kokonaisluvulle (etumerkistä huolimatta) voidaan osoittaa luonnollinen luku pariksi, joten molemmat lukujoukot ovat yhtä mahtavat. Tämä voidaan merkitä  card(\mathbb {N} )=\aleph _{0}=\infty =card(\mathbb {Z} ) ja sanoa, että kokonaisluvut ovat numeroituvasti ääretön joukko.
Lukujoukon ominaisuuksia > Järjestetty joukko

Koska kokonaisluvut edustavat lukumäärää, on se samalla tavalla järjestetty joukko kuin luonnolliset luvut, jossa järjestysrelaatiolla voidaan ilmaista luonnollisten lukujen kaksi tärkeintä ominaisuutta. Kun kahta lukua verrataan keskenään, saadaan aina joko  a<b\, tai  a=b\, tai  a>b\,. Tätä ominaisuutta kutsutaan trikotomiaksi. Jos tarkastellaan kolmea luonnollista lukua, joille pätee ensin  a<b\, ja  b<c\,, niin silloin voidaan päätellä myös, että  a<c\,. Tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi. Järjestysrelaation toiminnasta johtuu se, että kokonaisluvut, ja kaikki sen osajoukot, ovat hyvinjärjestetty lukujoukko.
Kokonaisluvuilla ei kuitenkaan ole pienintä lukua tai suurinta lukua, vaikka lukujen keskinäinen järjestys on hyvin järjestynyt. Tämä johtuu positiivisten lukujen äärettömästä lukumäärästä ja siitä, että negatiivisia lukuja on vastalukuina yhtä paljon. Koska suurinta positiivista kokonaislukua ei voi osoittaa, ei voi myös pienintä eli negatiivisinta lukuakaan osoittaa.
Historiaa

Luonnollisia lukuja kutsuttiin ennen kokonaisluvuiksi, mutta negatiivisten lukujen lisääminen kokonaislukuihin motivoi nimeämään positiiviset kokonaisluvut luonnollisiksi luvuiksi. Negatiivisia lukuja alettiin käyttämään matematiikassa varsin myöhään. Nollan lisääminen luonnollisiin lukuihin aiheutti matemaatikoissa aluksi kiistoja, mutta kokonaisluvuissa nolla on ollut alusta lähtien.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Lukujoukkoja
| --- | --- |
Numeroituvia joukkoja::  luonnolliset luvut ( \scriptstyle \mathbb {N} )  kokonaisluvut ( \scriptstyle \mathbb {Z} )  rationaaliluvut ( \scriptstyle \mathbb {Q} )  algebralliset luvut ( \scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}) 
Reaaliluvut ja niiden   laajennokset::  reaaliluvut ( \scriptstyle \mathbb {R} )  kompleksiluvut ( \scriptstyle \mathbb {C} )  kvaterniot ( \scriptstyle \mathbb {H} )  irrationaaliluvut  transsendenttiluvut  surreaaliluvut 
Muita::  kardinaaliluvut  p-adiset luvut 
Luonnolliset luvut on merkitty sinisillä numeroilla ja negatiiviset luvut punaisilla numeroilla. Nolla, joka ei ole positiivinen- tai negatiivinen luku, on merkitty mustalla värillä
Sarja (matematiikka)

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku.  Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.
Sarjan summa

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.
Sarjan  \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+... osasummia ovat

 S_{1}=a_{1}

 S_{2}=a_{1}+a_{2}

 S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}

 ...

 S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}

 ...
Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on

 S=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.
Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.
Aritmeettinen ja geometrinen sarja

Sarja  \sum _{}^{}x_{n} on aritmeettinen, jos lukujono  x_{n} on muotoa  (x_{1}+(n-1)d) eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio  d.
Sarja  \sum _{}^{}x_{n} on geometrinen, jos lukujono  x_{n} on muotoa  (x_{1}q^{n-1}) eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio  q.
Kaavoja ja sääntöjä

Sarja \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} hajaantuu, jos
\lim _{k\to \infty }a_{k}\neq 0 tai
\lim _{k\to \infty }a_{k} ei ole olemassa.
Vuorotteleva sarja (-1)^{n}\sum _{k=1}^{\infty }a_{k} eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
\lim _{k\to \infty }a_{k}=0
Aliharmoninen sarja  \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},0<p<1 hajaantuu.
Harmoninen sarja  \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}} hajaantuu.
Yliharmoninen sarja  \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},p>1 suppenee.
Geometrinen sarja \sum _{k=1}^{\infty }a_{1}q^{k-1} suppenee, kun |q|<1 tai a_{1}=0 .
Tällöin  \sum _{k=1}^{\infty }a_{1}q^{k-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.
Esimerkkejä

Määritetään sarjan  \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {9}{2^{k}}} summa.
Osasumma  S_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {9}{2^{k}}}=9\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}

Summa on geometrinen summa;  a_{1}=1,q={\frac {1}{2}}, termejä  n+1.

 S_{n}=9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}.
\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}=9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{\infty }}{\frac {1}{2}}}=9\cdot {\frac {1}{\frac {1}{2}}}=18
Sarjakehitelmä

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.
Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja.  Helsinki:  Tammi, 1994.  ISBN 951-31-0471-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Heute

| Heute |
| --- | --- |

Tyyli:  uutisohjelma
Kestoaika:  20 min
Alkuperämaa:   Saksa
Alkuperäiskieli:  saksa
Verkko:   ZDF
Esitetty:  1. huhtikuuta 1963 –
Aiheesta muualla
Virallinen sivusto
IMDb
Heute on televisioyhtiö ZDF:n esittämä saksalainen uutisohjelma.
Aiheesta muualla

Viralliset kotisivut
Mira Eklund

Eva Mira Helena Eklund (s. 13. lokakuuta 1981) on ruotsalainen näyttelijä. Hän aloitti lapsena uransa, jota on onnistuneesti jatkanut aikuisiälleen.
Eklund tunnetaan elokuvista Seksi, toivo & rakkaus (2005) ja Palomuuri (2006) sekä television minisarjasta Allis med is (1993). Hän on myös muusikko.
Eklund oli 16-vuotias saadessaan Touretten oireyhtymä -diagnoosin.
Aiheesta muualla

Mira Eklund Internet Movie Databasessa. (englanniksi)
| --- | --- |
Auktoriteettitunnisteet: Henkilöt :  Elonet
Margit Carlqvist

Margit Carlqvist (vasemmalla) ja Ernst-Hugo Järegård vuonna 1961.
Margit Carlqvist (s. 11. helmikuuta 1932 Tukholma) on ruotsalainen näyttelijä. Hän esiintyi usein femme fatale -tyyppisissä elokuvarooleissa. Hän esiintyi Ingmar Bergmanin elokuvassa Kesäyön hymyilyä (1955). 
Hän näytteli myös muun muassa elokuvissa Iloksi (1950), Rakastavia pareja (1964), Klabautermannen (1969) ja Kirkkoherra (1970).