Alexander Grothendieck
Matemaattiset saavutukset

Grothendieck tutki funktionaalianalyysiä vuosina 1949–1953 kirjoittamalla tältä alalta väitöskirjan Nancyssä. Väitöskirjan ohjaajina toimivat Jean Dieudonné ja Laurent Schwartz. Hän tutki enimmäkseen vektoriavaruuksien topologisia tensorituloja, ydinavaruuksien teoriaa ja miten Lp-avaruuksia voidaan käyttää topologisten vektoriavaruuksien lineaarikuvausten tutkimisessa. Muutamassa vuodessa hänestä oli tullut topologisten vektoriavaruuksien johtava asiantuntija. Diudonné vertasi hänen vaikutustaan tällä alalla Banachiin.
Grothendieck sai kuitenkin tärkeimmät tuloksensa algebrallisessa geometriassa ja siihen liittyvillä aloilla. Noin vuonna 1955 hän alkoi työskennellä lyhdeteorian ja homologisen algebran parissa, ja hän julkaisi nopeasti erittäin vaikutusvaltaisen ”Tôhoku-artikkelin” (Sur quelques points d’algèbre homologique) vuonna 1957. Tässä artikkelissa Grothendieck esitteli Abelin kategoriat ja sovelsi sitä osoittamalla, että lyhdekohomologia voidaan määritellä tiettynä johdettuna funktorina Abelin kategorioiden yhteydessä.
Algebrallisessa geometriassa muun muassa Jean-Pierre Serre oli ottanut käyttöön homologiset metodit ja lyhdeteorian. Grothendieck tutki kyseisiä asioita pitemmälle ja alkoi tutkia algebrallista geometriaa näiden menetelmien avulla. Siten hän muutti algebrallisen geometrian tutkimusmenetelmät ja teki algebrallisesta geometriasta abstraktimpaa. Kun ennen algebrallisessa geometriassa tutkittiin yksittäisiä varistoja, niin Grothedieck alkoi tutkia varistopareja ja niiden välisiä morfismeja, jolloin moni klassinen algebrallinen lause yleistyi. Ensimmäinen suuri sovellus uudesta menetelmästä oli Serren lause, jonka mukaan täydellisen variston koherentin lyhteen kohomologia on äärellisulotteinen. Grothendieckin lause osoittaa, että korkeammat suorat kuva koherenteista lyhteistä sopivissa kuvauksissa ovat koherentteja. Serren lause on tästä pelkkä yhden pisteen erikoistapaus.
Vuonna 1956 hän sovelsi samanlaista lähestymistapaa Riemannin–Rochin lauseeseen, jonka Hirzebruch oli aiemmin yleistänyt mielivaltaiselle dimensiolle. Grothendieck esitteli Grothendieckin–Riemannin–Rochin lause Mathematische Arbeitstagungin alussa Bonnissa vuonna 1957. Lause esitettiin artikkelissa, jonka oli kirjoittanut Armand Borel yhdessä Serren kanssa. Tämä lause oli ensimmäinen suuri tulos algebrallisessa geometriassa. Tämän jälkeen hän jatkoi algebrallisen geometrian perusteiden uudistamista. Hän paljasti projektinsa ääriviivat puhuessaan kansainvälisessä matemaatikkokonferenssissa vuonna 1958.
Hänen lähestymistapansa algebralliseen geometriaan oli abstraktimpi kuin mikään edellinen tapa. Hän mukaili epäsuljettujen geneeristen pisteiden käyttöä, ja tämä johti skeemojen teoriaan. Hän oli myös ensimmäinen, joka käytti myös systemaattisesti nilpotentteja. Kuten funktiot, nilpotentit voidaan asettaa nollaksi, mutta ne kantavat mukanaan myös infinitesimaalista tietoa puhtaasti algebralliselta näkökannalta. Hänen skeemojen teoriansa on algebrallisessa geometriassa lyönyt itsensä läpi, koska se on niin ilmaisuvoimainen. Tämä mahdollistaa esimerkiksi birationaalisen geometrian, lukuteorian tekniikoiden, Galois’n teorian, kommutatiivisen algebran ja algebralliseen topologiaan liittyvien metodien käytön algebrallisessa geometriassa, ja näitä tekniikoita käytetään yleensä yhtä aikaa algebrallisessa geometriassa. Hänen vaikutuksensa näkyi myös monella muulla matematiikan osa-alueella, kuten D-modulien teoriassa.