Hyperreaaliluku
Hyperreaalilukujen konstruointi

Hyperreaalilukujen käsittely voitaisiin aloittaa melko suoraan pitämällä reaalilukujen ominaisuudet tunnettuina reaalilukujen aksioomien pohjalta, koska hyperreaaliluvut muodostavat reaalisesti suljetun kunnan eli sen ominaisuudet periytyvät reaaliluvuilta itseltään. Mutta hyperreaaliluvut voidaan myös konstruoida luonnollisista luvuista alkaen. Luonnollisista luvuista lähtien tehdyn konstruktion etuja ovat ainakin ne, että saadaan parempi kuva siitä, mitä hyperreaaliluvut oikeastaan täsmällisesti ottaen ovat ja nähdään hyperreaalilukujen konstruointi luonnollisista luvuista lähtevän laajentumisprosessin yhtenä vaiheena, joka on jollakin tavoin analoginen aikaisempien laajentumisvaiheiden kanssa.
Luonnollisten lukujen joukkoa voidaan laajentaa ottamalla lähtökohdaksi vaikkapa yhtälön ratkaisun. Yhtälö  a+x=b ei ratkea aina luonnollisten lukujen  \mathbb {N} =\{0,1,2,...\} joukossa, vaan se täytyy laajentaa kokonaislukujen joukoksi  \mathbb {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}, jossa yhtälö ratkeaa aina. Ja edelleen yhtälö  ax=b ei ratkea aina kokonaislukujen joukossa, vaan se on laajennettava rationaalilukujen  \mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}|a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\} joukoksi. Konstruktiot voidaan tehdä tarkasti ekvivalenssirelaation avulla, mutta yksityiskohdat sivuutetaan.
Esitetään seuraavaksi hyperreaalilukujen käsittelyssä tarvittavat tärkeät käsitteet ja tulokset:
Konstruoidaan seuraavaksi Cantorin menetelmällä Dedekind-täydellinen Arkhimedeen ehdon täyttämä järjestetty reaalilukujen kunta rationaaliluvuista  \mathbb {Q} .
Merkitään C:llä rationaalilukujen Cauchyn jonojen joukkoa. Jos jonot  (x_{n}),(y_{n})\in C{\text{ ja }}\lim _{n\to \infty }(x_{n}-y_{n})=0, niin silloin sanotaan, että ne ovat ekvivalentit ja merkitään  x_{n}\sim y_{n}. Voidaan tarkistaa välittömästi, että kyseessä on ekvivalenssirelaatio.
Määritellään, että reaaliluvut ovat rationaalilukujen Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkia edellä määritellyn ekvivalenssirelaation  \sim  suhteen eli siis  \mathbb {R} =\{[(x_{n})]|(x_{n})\in C\},{\text{ missä }}[(x_{n})]{\text{ jonon }}(x_{n}) sisältävä ekvivalenssiluokka. Näille reaaliluvuiksi määritellyille ekvivalenssiluokille voidaan määritellä tutut reaalilukujen laskutoimitukset ja osoittaa, että ne ovat hyvinmääritellyt eli laskutoimituksen lopputulos ei riipu ekvivalenssiluokkien edustajien valinnasta.
Konstruktioprosessissa  \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}  uusi laajempi rakenne on aina jollain tapaa "täydellisempi" kuin edellinen:  \mathbb {N} :ssä ei onnistu aina vähennyslasku, mutta  \mathbb {Z} :ssa onnistuu;  \mathbb {Z} :ssa taas jakolasku on ongelmallinen, mikä taas korjaantuu  \mathbb {Q} :ssa;  \mathbb {Q}  taas ei ole Cauchy-täydellinen, mutta  \mathbb {R}  on. Mutta sitten herää vielä kysymys, että onko mahdollista  \mathbb {R} :n olevan Dedekind-täydellisyydestään huolimatta vielä jotenkin "epätäydellinen"? Sellaiseksi puutteeksi voitaisiin lukea vaikkapa se, että  \mathbb {R} :ssä ei ole olemassa pienintä positiivista reaalilukua. Tätä voidaan yrittää ratkaista niin, että lisätään  \mathbb {R} :ään uusia infinitesimaalisisa alkiota, jotka ovat pienempiä kuin mikä tahansa reaaliluku.
Konstruoidaan siis seuraavaksi hyperreaaliluvut reaaliluvuista käsin. Tavoitteena on määritellä hyperreaaliluvut reaalilukujen ekvivalenssiluokkina eli samalla periaatteella, millä aiemmatkin lukukonstruktiot on tehty. Olkoon siis  (x_{n}) ääretön jono reaalilukuja. Tätä varten vaaditaan, että jokaisella reaaliluvulla  a>0 joukko  \{n\in \mathbb {N} |x_{n}<a\} on riittävän suuri. On osoittautunut, että joukko on riittävän suuri, jos se kuuluu riittävän suurien joukkojen kokoelmaan nimeltä filtteri  F:
Lisäksi, jos pätee ehto
niin silloin  F on ultrafiltteri.
Muita tärkeitä käsitteitä tässä yhteydessä ovat:
Seuraavaksi voidaankin jo esittää hyperreaalilukujen konstruktio ultrapotenssimenetelmällä: