Propositiologiikka
Totuusjakauma ja propositiolauseen totuusarvo

Määritelmä 3
Totuusjakauma  v\,\! on kuvaus
 v:\mathbb {N} \to \{0,1\}\,\!, jossa
 1=_{df}\,\!"tosi" ja
 0=_{df}\,\!"epätosi".
Määritelmä 4 Propositiosymbolien totuusarvo

 v(p_{i})=_{df}v(i)\,\!.
Symboli  v\,\! esiintyy määritelmässä 4 kahdessa merkityksessä: totuusjakauman symbolina yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella ja propositiolauseen totuusarvon määrittäjänä oikealla puolella.
| --- | --- |
Esimerkki 5
Olkoon  v\,\! totuusjakauma siten, että
 v(i)=_{df}{\Bigg \{}\,\!:  1, jos  i<2
 v(i)=_{df}{\Bigg \{}\,\!:  0 muuten.
Nyt  v(p_{0})=1,v(p_{1})=1,v(p_{2})=0,v(p_{3})=0,\ldots \,\!
Propositiologiikan konnektiivit ovat totuusfunktionaalisia. Kutakin funktion määrittelyjoukon totuusarvoa, kaksipaikkaisten konnektiivien tapauksessa totuusarvoparia, vastaa arvojoukossa täsmälleen yksi totuusarvo. Selkeä tapa määritellä täsmällisesti konnektiivien merkitykset on totuusarvotaulukko.
Määritelmä 6 Konnektiivien totuusarvotaulukot
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  A\,\! |  B\,\! |  \neg {}A\,\! |  \neg {}B\,\! |  (A\wedge {}B)\,\! |  (A\vee {}B)\,\! |  (A\to {}B)\,\! |  (A\leftrightarrow {}B)\,\! |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Negaatio vastaa luonnollisen kielen sanaa ei. Se määrittää lauseen vastakohdan. Lauseen A negaatio ei A on tosi jos (jos ja vain jos) lause A on epätosi.
Konjunktio vastaa luonnollisen kielen sanaa ja. Lauseiden A ja B konjunktio A ja B on tosi vain, jos molemmat sen yhdistämät ilmaisut eli lauseet A ja B ovat tosia.
Luonnollisen kielen 'tai'-sana on kaksiselitteinen. Joskus sitä käytetään inklusiivisesti, toisinaan taas eksklusiivisesti. Inklusiivisen 'tai'-sanan sisältävä ilmaisu on tosi, jos toinen tai molemmat vaihtoehdoista ovat tosia. Nykykielessä tällöin käytetään joskus sanontaa ”ja/tai”. Eksklusiivinen 'tai'-ilmaisu on tosi, jos vain toinen ilmaisuista on tosi mutta eivät molemmat. Logiikassa tällaista tulkinnanvaraisuutta ei ole, koska konnektiivien merkitykset määritellään täsmällisesti. Yleisempää on käyttää inklusiivista disjunktiota. Eksklusiivinen disjunktio voidaan kuitenkin määritellä seuraavasti:
' ((A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B))\,\!'.
Implikaatiolla ilmaistaan totuuden riittävää tai välttämätöntä edellytystä. Lauseen
' (A\to B)\,\!' (luetaan: jos A niin B) mukaan  A\,\! on  B\,\!:n riittävä edellytys ja  B\,\!  A\,\!:n välttämätön edellytys.
Ekvivalenssi on tosi jos sen yhdistämien ilmaisujen totuusarvot ovat samat.
Määritelmien 4 ja 6 perusteella voidaan laskea minkä tahansa propositiolauseen totuusarvo millä tahansa totuusjakaumalla.
Esimerkki 7

Lasketaan propositiolauseen  \neg ((p_{0}\wedge p_{2})\to (p_{3}\vee p_{1}))\,\! totuusarvo. Olkoon totuusjakauma  v\,\! kuten esimerkissä 5.

Määritelmän 4 nojalla  v(p_{0})=1,v(p_{1})=1,v(p_{2})=0\,\! ja  v(p_{3})=0\,\!.
 Määritelmän 6 toisen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan  v((p_{0}\wedge p_{2}))=0\,\!.
 Kolmannen rivin ja kuudennen sarakkeen mukaan
 v((p_{3}\vee p_{1}))=1\,\!.
 Kolmannen rivin ja seitsemännen sarakkeen mukaan siis  v(((p_{0}\wedge p_{2})\to (p_{3}\vee p_{1})))=1\,\!.
 Edelleen kolmannen sarakkeen mukaan  v(\neg ((p_{0}\wedge p_{2})\to (p_{3}\vee p_{1})))=0\,\!.
Totuustaulua voidaan käyttää myös apuvälineenä propositiolauseen totuusarvon laskemiseksi. Seuraavassa esimerkissä Arvo-riville on merkitty kunkin elementin totuusarvo ja Laskujärjestys-riville järjestys, jossa ne on merkitty.
Esimerkki 8 Propositiolauseen totuusarvo totuustaululla
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  p_{0}\,\! |  p_{1}\,\! |  p_{2}\,\! |  p_{3}\,\! |  \neg \,\! |  ((p_{0}\,\! |  \wedge \,\! |  p_{2})\,\! |  \to \,\! |  (p_{3}\,\! |  \vee \,\! |  p_{1}))\,\! |
| Arvo | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| Laskujärjestys | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 3 | 2 |
Propositiolauseen totuus riippuu (tietenkin sen rakenteen ohella) ainoastaan propositiosymbolien totuusarvoista. Koska jokaisella oikein muodostetulla propositiolauseella on yksiselitteinen rakennepuu, voidaan propositiolauseen totuusarvo yksiselitteisesti laskea sen sisältämien propositiosymbolien totuusarvojen perusteella, kuten esimerkeistä 7 ja 8 nähdään. Jos propositiosymbolin totuusarvo tiedetään, niin se voidaan korvata esityksessä totuusarvollaan. Myös propositiosymbolia kompleksisempi propositiolauseen osa voidaan korvata totuusarvollaan.