Luonnollinen logaritmi
Luonnollisen logaritmin erityisominaisuuksia ja nimityksen alkuperä

Tämän sivun alussa oleva luonnollisen logaritmifunktion kuvaaja ilmentää joitakin ominaisuuksia, jotka ovat yhteisiä kaikille logaritmifunktioille kantaluvusta riippumatta. Tärkeimpiä niistä ovat: luvun 1 logaritmi on 0, ja luvun lähestyessä 0:aa sen logaritmi lähestyy -∞:tä. Luonnollisen logaritmin erikois­asema ilmenee parhaiten ehkä siinä pisteessä, jossa logaritmi on kaikilla kantaluvuilla nolla, nimittäin luvun 1 kohdalla. Siinä kohdassa nimittäin luonnollisen logaritmin, ja vain sen, kuvaajan kulmakerroin on myös 1, toisin sanoen kuvaaja leikkaa x-akselin 45 asteen kulmassa. Jos logaritmi­funktion kanta­luku on suurempi kuin e, kuten on esimerkiksi 10-kantaisen eli Briggsin logaritmin laita, kulma­kerroin on tässä kohdassa pienempi kuin 1, ja jos kantaluku on pienempi kuin e, kuten esimerkiksi 2-kantaisella logaritmilla, kulma­kerroin on tässä kohdassa suurempi kuin 1.  Kaikkien menetelmien, joilla luvulle e tai luonnollisille logaritmeille voidaan laskea likiarvoja, voidaan katsoa perustuvan viime kädessä juuri tähän ominaisuuteen. Tästä seuraa myös, että kun annettu luku on tarpeeksi lähellä lukua 1, sen luonnolliselle logaritmille saadaan hyvä likiarvo yksin­kertaisesti vähentämällä luvusta 1. Esimerkiksi luvun 1,01 luonnollinen logaritmi on noin 0,00995 eli noin viiden tuhannesosan tarkkuudella 0,01. Samaan tapaan voidaan todeta, että luvun 0,99 luonnollinen logaritmi on hyvin lähellä lukua -0,01. Tämä pätee sitä tarkemmin, mitä lähempänä yhtä alku­peräinen luku on. Samassa mielessä kuin luku 1 itse on yhteinen kaikille lukujärjestelmille, voidaan luonnollista logaritmia pitää luku­järjestelmästä riippumattomana. Tämän erikois­asemansa vuoksi tätä logaritmi­funktiota on alettu nimittää "luonnolliseksi" (lat. naturalis, engl. natural).
Voisi ajatella, että koska kymmenjärjestelmä on yleis­maailmallisesti käytetty lukujärjestelmä, luku 10 olisi "luonnollisempi" myös logaritmi­järjestelmän kanta­luvuksi. Kymmen­kantaisia eli Briggsin logaritmeja ja niistä koottuja taulukoita onkin ennen taskulaskinten yleistymistä paljon käytetty lasku­toimitusten apu­välineenä. Matemaattisesti luku 10 ei kuitenkaan ole mitenkään erikois­asemassa. Todennäköisesti sen asema luku­järjestelmän kantal­ukuna onkin saanut alkunsa sormilla laskemisesta ja siten ihmisen sormien luku­määrästä. Joissakin kulttureissa on käytetty myös muita luku­järjestelmiä, joiden kanta­lukuina ovat olleet esimerkiksi 5, 8, 12, 20 tai 60.
Funktio loge on "luonnollinen" logaritmi, koska se esiintyy matematiikassa luonnostaan monissa yhteyksissä. Tarkastellaan esimerkiksi logaritmi­funktioiden derivaattoja:
Jos kantaluvuksi b valitaan e, derivaatta on yksin­kertaisesti  1/x, ja pisteessä x = 1 derivaatta saa arvon 1. Toinen syy, jonka vuoksi e-kantaista logaritmia voidaan pitää luonnollisimpana, on, että se voidaan varsin helposti määritellä yksin­kertaisena integraalina tai Taylorin sarjana, mikä ei ole mahdollista muille logaritmi­funktioille.
Luonnollisen logaritmin "luonnollisuus" ei kuitenkaan liity yksinomaan differentiaali- ja integraalilaskentaan. Esimerkiksi on olemassa monia yksin­kertaisia sarjoja, jotka johtavat luonnolliseen logaritmiin. Pietro Mengoli ja Nicholas Mercator käyttivätkin siitä nimitystä logaritmhmus naturalis jo vuosikymmeniä ennen kuin Newton ja Leibniz kehittivät differentiaali- ja integraalilaskennan.