Tekijäavaruus (topologia)
Esimerkkejä

Tarkastellaan yksikköneliötä I2 = [0,1] × [0,1] ja ekvivalenssirelaatiota ~, jossa kaikki neliön reunapisteet ovat ekvivalentteja, toisin sanoen ne muodostavat yhden ekvivalenssiluokan; muihin ekvivalenssiluokkiin kuuluu kuhunkin vain yksi piste, jokin neliön sisäpiste. Tällöin I2/~ on homeomorfinen yksikköpallon S2 kanssa.
Edellistä esimerkkiä voiaan yleistää seuraavasti: Olkoon  D^{n} suljettu n-ulotteinen kuula ja  S^{n-1} sen reuna, (n-1)-ulotteinen pallo.  Silloin tekijäavaruus  D^{n}/S^{n-1} on homeomorfinen  S^{n}:n kanssa. Tässä  D^{n}/S^{n-1} saadaan kutistamalla n-kuulan reuna pisteeksi, ja se on muodollisesti sellaisen ekvivalenssirelaation määrittämä tekijäavaruus, jossa kaikki reunan  S^{n-1} pisteet ovat ekvivalentteja.
Vieläkin yleisemminkin voidaan menetellä seuraavasti. Oletetaan, että X on topologinen avaruus ja A jokin sen aliavaruus. Voidaan muodostaa ekvivalenssirelaatio, jossa kaikki A:n pisteet ovat keskenään ekvivalentteja, kun taas A:han kuulumattomat pisteet ovat ekvivalentteja vain itsensä kanssa. Tämän ekvivalenssirelaation määrittämälle tekijäavaruudelle käytetään merkintää X/A. Esimerkiksi pallonpinta  S^{2} on homeomorfinen sen tekijäavaruuden kanssa, joka saadaan, kun yksikkökiekossa  D^{2} määritellään tällä tavoin tekijäavaruus  D^{2}/S^{1}, missä  S^{1}=\partial {D^{2}} on yksikköympyrän kehä.
Jos neliössä I2 = [0,1] × [0,1] samastetaan kahden vastakkaisen sivun kaikki pisteet (0,y) ja (1,y), kun 0 <= y <= 1, saadaan katkaisu lieriö. Tämä voidaan tehdä konkreettisestikin kiertämällä neliön muotoinen paperiarkki lieriöksi ja liimaamalla vastakkaiset sivut yhteen.
Jos neliössä I2 = [0,1] × [0,1] samastetaankin kahden vastakkaisen sivun kaikki pisteet (0,y) ja (1, 1-y), kun 0 <= y <= 1, saadaan Möbiuksen nauha. Tämäkin on mahdollista tehdä myös konkreettisesti, joskin neliön sijasta on tällöin käytettävä sen kanssa homeomorfista, tarpeeksi pitkää ja kapeaa suorakulmiota.
Jos neliössä I2 = [0,1] × [0,1] samastetaan pisteiden (0,y) ja (1,y) lisäksi myös pisteet (x,0) ja (x,1), kun 0 <= x <= 1 ja 0 <= y <= 1, saadaan toruspinta. Toruksen voidaan ajatella muodostuvan, kun tarpeeksi pitkä lieriö kierretään niin, että se muodostaa pituussuunnassa ympyrän, minkä jälkeen sen molemmat päät yhdistetään.
Jos neliössä I2 = [0,1] × [0,1] samastetaan pisteet (0,y) ja (1, 1-y) sekä (x,0) ja (x,1), saadaan Kleinin pullo. Jos taas samastetaan pisteet (0,y) ja (1, 1-y) sekä (x,0) ja (1-x,1), saadaan projektiivinen taso. Näitä kuitenkaan ei voida toteuttaa konkreettisesti, sillä kolmiulotteisessa avaruudessa  \mathbb {R} ^{3} ei ole sellaisia osajoukkoja, jotka olisivat näiden kanssa homeomorfiset.
Tarrkatellaan reaalilukujen joukkoa  X=\mathbb {R}  varustettuna tavanomaisella topologialla ja määritellään ekvivalenssirelaatio, jossa x ~ y jos ja vain jos x - y on kokonaisluku. Tällöin tekijäavaruus X/~ on homeomorfinen yksikköympyrän S1 kanssa: tässä homeomorfismissa kutakin reaalilukua x vastaa yksikköympyrällä oleva piste (cos 2πx, sin 2πx).
Edellinen esimerkki voidaan yleistää seuraavasti: Olkoon G topologinen ryhmä, jonka alkiot ovat X:n jatkuvia kuvauksia itselleen. Tällöin avaruudessa X voidaan muodostaa ekvivalenssirelaatio, jossa pisteet x ja y ovat ekvivalentteja, jos ja vain jos on olemassa sellainen tähän ryhmään kuuluva kuvaus f, että  f(x)=y. Tämän ekvivalenssirelaation määrittämälle tekijäavaruudelle käytetään tällöin merkintää X/G.  Edellä mainittu esimerkki voidaan käsittää tämän erikoistapaukseksi samastamalla kokonaislukujen ryhmä  \mathbb {Z}  reaalilukujen joukossa määriteltyjen kuvausten  f(x)=x+n muodostaman ryhmän kanssa kanssa, missä n on kokonaisluku. Muodostettu tekijäavaruus on siis  \mathbb {R} /\mathbb {Z} , joka on homeomorfinen S1:n kanssa.
Huomattakoon kuitenkin, että merkintä  \mathbb {R} /\mathbb {Z}  voi tarkoittaa kahta eri asiaa. Jos  \mathbb {Z}  käsitetään edellä selitetyllä tavalla  \mathbb {R} :n kuvausten muodostamaksi ryhmäksi, saadaan edellä kerrotulla tavalla ympyrä.  Jos kuitenkin  \mathbb {Z}  käsitetään  \mathbb {R} :n aliavaruudeksi, tekijäavaruudeksi saadaan numeroituvasti ääretön joukko silmukoita, jotka kohtaavat toisensa yhdessä pisteessä; kukin silmukka vastaa yhtä avointa väliä  ]n,n+1[, missä n on kokonaisluku.