stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Linja 11 (Pariisin metro)
Tulevaisuus

2030-luvulla linjaa on mahdollista jatkaa Rosny Bois Perrieristä Noisy Champsiin jossa se kohtaisi RER A:n ja tulevat linjat 15 ja 16, tämän laajennuksen toteuttamiseen varauduttiin jo Rosnyn jatkeen rakennusvaiheessa ja sillä olisi 4 uutta asemaa. Jos laajennus toteutetaan koko linja 11 automatisoidaan.
Kartta ja asemat

Châtelet: linjat
Hôtel de Ville
Rambuteau
Arts et Métiers
République
Goncourt
Belleville
Pyrénées
Jourdain
Place des Fêtes
Télégraphe
Porte des Lilas
Mairie des Lilas
Serge Gainsbourg
Place Carnot
Montreuil - Hopital
La Dhyus
Coteaux Beauclair
Rosny-Bois-Perrier
Turismi

Linja 11 kulkee seuraavien nähtävyyksien kautta:
Hôtel de Ville, Pariisin kaupungintalo (Châtelet'n asema)
Pompidou-keskus (Rambuteaun asema)
Conservatoire national des arts et métiers (Arts et Métiersin asema)
Bellevillen kaupunginosa (Bellevillen, Pyrénéesin ja Jourdainin asemat)
Aiheesta muualla

RATP:n englanninkieliset kotisivut
Pariisin metro
1 
2 
3 
3bis 
4 
5 
6 
7 
7bis 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14
15
16 
17 
18
19
↑  automatisaatio lesechos.fr.
Tilastollinen termodynamiikka

Tilastollisessa termodynamiikassa molekyylien dynaamisten ominaisuuksien tarkastelu mikroskooppisella tasolla voidaan suhteuttaa makroskooppisella tasolla olevan suuren molekyylijoukon termodynaamisiin ominaisuuksiin. Tämä sovellus on seuraus siitä, että kemiallisissa yhdisteessä on erittäin suuri määrä erilaisia energiatiloja, jotka voivat miehittyä kemiallisessa reaktiossa tai lämpötilan tai valon toimesta.
Klassinen termodynamiikka oli kehitetty ennenkuin aineen atomirakenne tunnettiin, joten se ei perustunut atomi- tai molekyylimalleihin vaan aineen makroskooppisiin ominaisuuksiin. Atomi- ja molekyyliteorioiden tunteminen mahdollisti toisen tieteellisen lähestymistavan: Tilastollinen termodynamiikka, joka pyrkii selvittämään ainemäärien ominaisuudet ja termodynaamiset funktiot molekyylien ominaisuuksista ja keskinäisistä vuorovaikutuksista lähtien, on sovellettu klassisesta eli Boltzmannin tilastollisesta mekaniikasta.  Tilastollisessa termodynamiikassa käytetään molekulaarisia jakaumafunktioita ja Boltzmannin jakaumaa termodynaamisten suureiden laskemiseen.
Lähtökohta teorialle

Tilastollisen termodynamiikan perusta on kineettisessä kaasuteoriassa, kaasumolekyylien nopeusjakaumassa ja molekyylin mikrotilojen ja entropian keskinäisessä riippuvuudessa. Teorian vankka perusta nojaa Ludwig Boltzmannin ja James Maxwellin tutkimuksiin, ja myöhemmin Josiah Gibbsin työhön, jossa hän tarkasteli klassisen termodynamiikan pääsääntöjä molekyylin energiatilojen tilastollisista ominaisuuksista lähtien.
Tilastollisessa termodynamiikassa tarkastellaan yhdelmää, jonka muodostaa  N-kappaletta toisistaan erotettavissa olevia yksiköitä tai järjestelmiä (so. hiukkasia, molekyylejä,...), joita on tyypillisesti Avogadron vakion suuruusluokan verran. Näiden hiukkasten  6N paikka- ja liikemääräkomponenttia määräävät järjestelmän tilan ja myöhemmän kehityksen. Nämä  6N lukua ajatellaan olevan  6N-ulotteisen faasiavaruudenA yhden pisteen koordinaatteja, joten järjestelmää vastaa yksi faasiavaruuden piste ja sen liike ajan funktiona. Tämä dynaaminen tila on otettu järjestelmän mikrotilaksiB. Lisäksi lähtökohtana teoriassa on ottaa tämän järjestelmän kanssa samankaltaisia muita järjestelmiä, jotka yhdessä muodostavat yhdelmän.
Tilastollisessa termodynamiikassa Gibbsin mukaan tutkittavaa järjestelmää luonnehtivat tiettyjen suureiden aikakeskiarvot, jolloin yhden molekyylin (hiukkasen) nopeuden aikakeskiarvo isotrooppisessa kaasussa on sama kaikille muille molekyyleille. Jos järjestelmä on termodynaamisessa tasapainotilassa, voidaan sitä ilmaista tilastollisella joukolla. Näitä joukkoja ts. yhdelmiä on tavallisesti kolme erilaista riippuen minkälainen tasapainotila on kyseessä.
Energia > Energia ja vapausasteet

Molekulaarinen kokonaisjakaumafunktio, joka on siis funktio kokonaissisäenergiasta, voidaan jakaa edelleen eri energeettisille vapausasteille jos oletetaan näiden olevan toisiinsa kytkeytymättömiä. Tällöin  \mathbb {Q} =Q_{t}Q_{r}Q_{v}Q_{e} (ks. Molekulaarinen jakaumafunktio), jossa alaviitteet tarkoittavat vapausasteen translaatio-, rotaatio-, vibraatio-, ja elektronista osaa. Vastaavasti kokonaissisäenergia on jaettavissa erillisiksi energiavapausasteiksi:   U=U_{t}+U_{r}+U_{v}+U_{e}.E Tässä on todettavissa makroskooppisen tason kytkeytyminen mikroskooppiseen tasoon.
Energia > Translaation osuus sisäenergiassa

Yhtälöstä (5) ja sisäenergian eri vapausasteista on pääteltävissä, että translaation osuus on
Tässä  Q_{t}\,=\,{\frac {V}{h^{3}}}{\Big (}2\pi m\,k_{B}\,T{\Big )}^{\frac {3}{2}}={\frac {V}{\Lambda ^{3}}}(ks. translaatiojakaumafunktion johtaminen), joten  \Lambda ^{3}\,=\,{\Bigg (}{\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}{\Bigg )}^{3/2}.
Yhtälöstä (8) saadaan sijoittamalla ja osittaisderivoimalla  \beta :n suhteen sisäenergian translaatio-osuudeksi yhtälö (9).
(9) \qquad U_{t}\,=\,{\frac {3}{2}}Nk_{B}T\,=\,{\frac {3}{2}}nRT\,\,\!
Tämä on sama kuin yksiatomisen ideaalikaasun sisäenergia johdettuna termodynaamisesta lähtökohdasta.
Energia > Rotaation osuus sisäenergiassa

Otettaessa lähtökohdaksi jäykkä lineaarinen kaksiatominen pyörijä, on rotaatiojakaumafunktio  Q_{r}={\frac {8\pi ^{2}Ik_{B}T}{h^{2}\sigma }}\,=\,(\sigma \beta hc\mathrm {P} )^{-1} ja rotaation osuus sisäenergiasta on
Yhtälöstä (10) saadaan sijoittamalla ja osittaisderivoimalla sisäenergian rotaatio-osuudeksi yhtälö (11).
(11) \qquad U_{r}\,=\,Nk_{B}T\,=\,nRT\,\,\!
Tämä yhtälö edellyttää, että rotaatiolämpötila  \Theta _{r}={\frac {hc\mathrm {P} }{k_{B}}}\ll k_{B}T. Tällöin suuri joukko rotaatiotiloja voi olla miehitettyinä. Korkeissa lämpötiloissa rotaation osuus sisäenergiasta voidaan yksinkertaistaa olevan  {\frac {1}{2}}k_{B}T jokaista rotaatiovapausastetta kohden energian tasanjakautumisen periaatteen mukaisesti, jolloin yleisesti lineaariselle yhdisteelle (molekyylille) pätee:  U_{r}=nRT ja haarautuneelle yhdisteelle pätee: U_{r}={\frac {3}{2}}nRT
Energia > Vibraation osuus sisäenergiassa

Molekyylin peräkkäisten vibraatioenergiatasojen energiaero on paljon suurempi kuin verrattaessa vastaavaan rotaatioenergiatasoihin tai translaatioenergiatasoihin. Tämän vuoksi käytettäessä harmonisen värähtelijän mallia, pitää vibraatiojakaumafunktio ilmaista  Q_{v}\,=\,{\Big (}1-e^{-{\frac {h\nu }{k_{B}T}}}{\Big )}^{-1}\,=\,{\Big (}1-e^{-\beta hc{\tilde {v}}}{\Big )}^{-1} (ks.  vibraatiojakaumafunktion johtaminen). Vibraation osuus sisäenergiasta on todettavissa yhtälöstä (12).
Yhtälön (12) lopusta on todettavissa, että lähellä absoluuttista nollapistettä (0 K), vibraation sisäenergian osuus on olematon, koska tällöin  k_{B}T\ll hc{\tilde {v}} eikä terminen energia (sisäenergia) riitä aikaansaamaan edes ensimmäisen virittyneen tilan vibraatioenergiatason miehittymistä. Sitä vastoin lämpötilan ollessa yli 1000 Kelvin-astetta, sisäenergian vibraation osuus käyttäytyy kuten rotaatio- ja translaatio-osuus. Sovellettaessa yhtälön (12) loppuosan nimittäjässä olevan eksponenttiosaan sarjakehitelmää  e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+..., jossa  x=\beta hc{\tilde {v}}={\frac {hc{\tilde {v}}}{k_{B}T}}, kahdella ensimmäisellä termillä sisäenergialle voidaan yksinkertaistaa yhtälö (13).
Sisäenergian vibraatio-osuus riittävän korkeissa lämpötiloissa on todettavissa yhtälössä (14).
(14) \qquad U_{v}\,=\,Nk_{B}T\,=\,nRT\,\,\!
Tämä vastaa siis yhtä vibraatiovapausastetta. Vibraation kokonaisvaikutukseen on summattava kaikki kysymykseen tulevat vibraatiovapausasteet. Yhtälön (14) käytännön soveltuvuutta voidaan tarkastella vibraatiolämpötilalla  \Theta _{v}={\frac {hc{\tilde {v}}}{k_{B}}}. Riittävän korkea lämpötila yhtälön (14) käyttämiseksi on kun  T\geq 10\Theta _{v}
Energia > Elektroninen osuus sisäenergiassa

Peräkkäisten elektronisten energiatasojen suuri energiaero verrattuna arvoon  k_{B}T yksinkertaistaa elektronisen jakaumafunktion vastaavan (molekyylin) perustilan degeneraatiota. Tämä on vakioarvo, jonka derivaatta  \beta :n suhteen on nolla. Täten  U_{e}=0.
Energia > Kokonaisvaikutus sisäenergiassa

Ottamalla huomioon  U=U_{t}+U_{r}+U_{v}+U_{e}, saadaan kokonaisvaikutukseksi
Lämpökapasiteetti

Termodynaamisessa määritelmässä lämpökapasiteetti vakiotilavuudessa on
Lämpökapasiteetti, joka riippuu sisäenergiasta, koostuu myös sisäenergian tavoin eri vapausasteista. Lämpötilan vaikutus lämpökapasiteettiin on poikkeuksellinen:  C_{v}:n arvo hyvin matalissa lämpötiloissa on nolla, lämpötilan noustessa saavuttaa se suurimman arvonsa ja lopulta korkeissa lämpötiloissa se pienenee suuresti. Lämpökapasiteetti on mitta järjestelmälle absorboida energiaa ympäristöstä. Tätä voidaan tarkastella molekyylin virittymisenä: matalissa lämpötiloissa ei ole riittävästi energiaa molekyylin virittymiseen ja toisaalta korkeissa lämpötiloissa molekyylin perus- ja viritystila on jo täysin virittynyt raja-arvoon 0,5 (ks. Boltzmannin jakauma) eikä molekyyli voi absorboida lisää energiaa.
Lämpökapasiteetti > Translaation osuus lämpökapasiteetissa

Translaatioenergiatasojen välinen energiaero on olematon, joten ideaalikaasulle translaation osuus lämpökapasiteetista lämpötilan funktiona on
(17) \qquad {\Big (}C_{v}{\Big )}_{t}\,=\,{\Bigg (}{\frac {dU_{t}}{dT}}{\Bigg )}_{V}={\frac {3}{2}}N\,k_{B}\,\,\!
Yhtälöstä (17) on todettavissa, että translaation osuus lämpökapasiteetista on vakio eri lämpötiloissa.
Lämpökapasiteetti > Rotaation osuus lämpökapasiteetissa

Oletettaessa, että rotaatioenergiatasojen välinen ero on pienempi  k_{B}\,T niin korkeissa lämpötiloissa rotaation osuus lämpökapasiteetista eri geometrioilla on
(18) \qquad {\begin{aligned}{\Big (}C_{v}{\Big )}_{r,lin}&\,=\,N\,k_{B}\\{\Big (}C_{v}{\Big )}_{r,haar}&\,=\,{\frac {3}{2}}N\,k_{B}\end{aligned}}
Yhtälö (18) pätee korkeissa lämpötiloissa. Hyvin alhaisissa lämpötiloissa riittämätön terminen energia ei juuri aiheuta rotaatioenergiatsojen miehittymistä. Näiden lämpötilojen välillä  {\Big (}C_{v}{\Big )}_{r} kasvaa tasaisesti.
Lämpökapasiteetti > Vibraation osuus lämpökapasiteetissa

Vibraation osuus lämpökapasiteetista on johdettava yhtälöstä (13) soveltamalla osittaisderivointiin yhtälöä (16):
Ratkaisuksi saadaan yhtälö (20):
(20) \qquad {\begin{aligned}{\Big (}C_{v}{\Big )}_{vib}&\,=\,N\,k_{B}\,\beta ^{2}(hc{\tilde {v}})^{2}\cdot {\frac {e^{\beta hc{\tilde {v}}}}{{\Big (}e^{\beta hc{\tilde {v}}}-1{\Big )}^{2}}}\\&\,=\,Nk_{B}{\Bigg (}{\frac {\Theta _{v}}{T}}{\Bigg )}^{2}\cdot {\frac {e^{\frac {\Theta _{v}}{T}}}{(e^{\frac {\Theta _{v}}{T}}-1)^{2}}}\,\,\!\end{aligned}}
Tässä  \Theta _{v} on vibraatiolämpötila. Molekyylillä on  3N-6 tai  3N-5 kappaletta vibraatiovapausasteita. Näiden vaikutus lämpökapsiteettiin on suuri ja se riippuu peräkkäisten vibraatioenergiatasojen energiaerosta verrattuna tuloon  k_{B}\,T. Alimpien vibraatioenergiatasojen vaikutus vakioituu jo matalissa lämpötiloissa ja korkeampien energiatasojen vaikutus vakioituu vastaavasti lämpötilan noustessa riittävästi. Lämpötiloissa, joissa  k_{B}\,T\gg hc{\tilde {v}}, lämpökapasiteetti saavuttaa vakioarvon. Vibraation osuus lämpökapasiteettiin on  Nk_{B} jokaista vibraatiomoodia kohden kuten on odotettavissa energian tasanjakauántumisen periaatteen mukaisesti.
Lämpökapasiteetti > Elektroninen osuus lämpökapasiteetissa

Elektronisen vapausasteen jakaumafunktio vastaa molekyylin perustilan degeneraatiota, jonka keskimääräinen energia on nolla. Tämän vuoksi elekroninen osuus lämpökapasiteettiin on myös nolla, joskin elektronisen viritystilan ollessa kyseessä tämä osuus voi olla merkittävä.
Lämpökapasiteetti > Kokonaisvaikutus lämpökapasiteetissa

Ottamalla huomioon  U=U_{t}+U_{r}+U_{v}+U_{e}, saadaan kokonaisvaikutukseksi
Entropia

Tilastollisessa mekaniikassa järjestelmän pyrkimys siirtyä kohti suurinta entropiaa on seuraus tilastollisuudesta. Boltzmannin jakaumassa järjestelmä saavuttaa tasapainotilan jahka sen energian konfiguraatiolla, jota voidaan merkitä  W:lla, on suurin tilastollinen paino. Boltzmannin mukaan entropian ja energian konfiguraation (so. mikrotilojen lukumäärä) välillä on yhteys:  S=k_{B}\,\ln W. Toisin sanoen suurin mahdollinen mikrotilalukumäärä vastaa suurinta mahdollista entropiaa. Energian jakauman todennäköisyys  W on ilmaistavissa yhtälöllä (22):
Tässä niiden mikrotilojen lukumäärä, jotka liittyvät järjestelmän energian todennäköisimpään jakaumaan (so. konfiguraatio) ilmaistaan painolla  W,  N on hiukkaslukumäärä, jolle energia jakaantuu ja  n_{i} on  i-energiatilan hiukkaslukumäärä. Entropia voidaan antaa yhtälön (23) mukaan seuraavasti:
Yhtälö (23) saadaan sievennettyä yhtälöksi (24) käyttämällä Stirlingin approksimaatiota ja määritelmää  N=\sum _{i}n_{i}.
Tässä  \mathbb {P} _{i} on todennäköisyys miehittää  i-energiatila Boltzmannin jakauman mukaan. Tämän jakauman mukaan miehittämistodennäköisyys on
kirjoitettavissa:  \ln \mathbb {P} _{i}=\ln {\Bigg (}{\frac {e^{-\beta \,\varepsilon _{i}}}{Q}}{\Bigg )}, jossa  \beta =(k_{B}\,T)^{-1} ja  Q on  i-energiatilan molekulaarinen jakaumafunktio. Entropia voidaan kirjoittaa nyt muotoon:
Kokonaisenergia  E=\sum _{i}\varepsilon _{1}, joten entropialle saadaan yhtälö (26):
(26) \qquad S\,=\,{\frac {E}{T}}\,k_{B}\ln \mathbb {Q} \,=\,{\frac {U}{T}}\,k_{B}\ln \mathbb {Q} \,\,\!
Yhtälössä (26) Energia on korvattu sisäenergialla kuten edellä on tuotu esille. Yhtälössä (7) on sisäenergian riippuvuus kanonisesta jakaumafunktiosta. Sijoittamalla tämä yhtälöön (26) saadaan entropian ja kanonisen jakaumafunktion väliseksi riippuvuudeksi yhtälö (27).
(27) \qquad S\,=\,{\Bigg [}{\frac {d}{dT}}(k_{B}\,T\,\ln \mathbb {Q} ){\Bigg ]}_{V}\,\,\!
Helmholtzin energia

Helmholtzin energia on määritelty sisäenergian ja entropian avulla  A=U-TS, joten sen riippuvuus kanonisesta molekulaarisesta jakaumafunktiosta on:
(29) \qquad A\,=\,-k_{B}\,T\ln \mathbb {Q} \,\,\!
Entalpia

Entalpia on määritelty sisäenergian avulla  H=U-PV. Paine on suhteutettu Helmholtzin energiaan, joten entalpialle saadaan yhtälöstä (7) soveltaen:
Tämä voidaan sieventää muotoon
(31) \qquad H\,=\,T{\Bigg [}k_{B}\,T{\Bigg (}{\frac {\partial \ln \mathbb {Q} }{\partial T}}{\Bigg )}_{V}+V\,k_{B}{\Bigg (}{\frac {\partial \ln \mathbb {Q} }{\partial V}}{\Bigg )}_{T}{\Bigg ]}\,\,\!
Gibbsin energia

Gibbsin energia voidaan ilmaista myös Helmholtzin energian avulla  G=A+PV.
Tilastollisessa termodynamiikassa Gibbsin energialle saadaan:
(32) \qquad G\,=\,k_{B}\,T{\Bigg [}\ln \mathbb {Q} -V{\Bigg (}{\frac {\partial \ln \mathbb {Q} }{\partial V}}{\Bigg )}_{T}{\Bigg ]}\,\,\!
Gibbsin energian riippuvuus molekulaarisesta jakaumafunktiosta konkretisoituu tarkasteltaessa ideaalikaasua. Ideaalikaasun tilanyhtälössä pätee  PV=nRT=nk_{B}\,L\,T=N\,k_{B}\,T, jossa  L on Avogadron vakio. Lähtien vapaaenergioiden riippuvuussuhteesta ja soveltamalla Stirlingin approksimaatiota saadaan seuraavaa:
Tästä yhtälöstä on todettavissa, vakiolämpötilassa Gibbsin vapaaenergian muutos johtuu yksinomaan molekulaarisesta jakaumafunktiosta. Molekulaarisen jakaumafunktion arvon suurentuessa, so. energiatilojen määrän kasvaessa, on tuloksena yhä pienempiä Gibbsin vapaaenergia-arvoja.
Kemiallinen tasapainovakio

Tarkastellaan isomeroitumisreaktiota  {\ce {A<=>P}} ja oletetaan reaktion ainesosat Ideaalikaasuiksi. Tasapainotilassa reaktion standardiselle Gibbsin vapaaenergialle voidaan merkitä:
Tässä esim.  N_{\text{P}}=N_{0}^{\text{P}}+N_{1}^{\text{P}}+N_{2}^{\text{P}}+... on  {\text{P}}-molekyylien kokonaislukumäärä kaikissa lämpötiloissa, ja siinä esim.  N_{0}^{\text{P}} on molekyylilukumäärä alimmalla energiatilalla energialla  E_{0}^{\text{P}} oheisen kuvan mukaisesti.
Yhtälössä (34)  K on termodynaaminen tasapainovakio, siis  K_{a}. Ideaalikaasuille se on sama kuin painetasapainovakio,  K_{p}.
Boltzmannin jakauman mukaan  N_{1}^{\text{A}}=N_{0}^{\text{A}}\,\exp {\Big (}{\frac {-E_{1}}{k_{B}\,T}}{\Big )} jne. joten  {\text{A}}-molekyylien kokonaislukumäärälle saadaan yhtälö (35).
Tässä  Q_{0,{\text{A}}} on  {\text{A}}-molekyylien molekulaarinen kokonaisjakaumafunktio. Vastaavasti voidaan merkitä  {\text{P}}-molekyylien kokonaislukumäärälle:  N_{\text{P}}\,=\,N_{0}^{\text{P}}\,Q_{0,{\text{P}}}. Koska oheisessa kuvassa  N_{0}^{\text{P}}\,=\,N_{0}^{\text{A}}\cdot \exp {\Bigg (}{\frac {-\Delta E_{0}}{k_{B}\,T}}{\Bigg )},F niin termodynaaminen tasapainovakio voidaan antaa yhtälöllä (36).
Yleiselle reaktion  {\ce {aA + bB +...<=> cC + dD +...}}  \qquad K on yhtälön (33) mukaan:
Ideaalikaasuilla  K={\frac {K_{c}}{{\Big (}c^{\ominus }{\Big )}^{\Delta \nu }}} ja valittaessa standarditilaksi  c^{\ominus }=(L\,V), jossa  L on Avogadron vakio ja  V tilavuus, saadaan yhtälö yleiselle reaktiolle:
Tässä  \Delta U_{0}^{\ominus }=L\,\Delta E_{0}^{\ominus } on reaktioyhtälössä standardinen sisäenergian muutos moolia kohden.  \Delta E_{0}^{\ominus } on reaktioyhtälön lähtöainemolekyylien ja tuotemolekyylien alimpien energiatilojen välinen ero standarditilassa (vrt. yhtälö (7) Siirtymätilateoriassa).
Lisätieto

A Faasiavaruus voi tarkoittaa myös osaa avaruutta, jota luonnehditaan esimerkiksi ideaalikaasun tapauksessa paineella, lämpötilalla ja tilavuudella. Osaa tätä esimerkin faasiavaruutta voidaan tarkastella paine-lämpötila-kuvaajalla. Tällöin piste kuvaajalla on makrotila (so. yhdelmä). Tässä makrotilassa esimerkiksi vakiolämpötilassa voi olla useita mikrotiloja, jolla kullakin on eri konfiguraatio. Tällä ajatusmallilla faasi, kuten nestefaasi tai kaasufaasi, on alue tai osa faasiavaruutta.
B Kemialliselle reaktiolle molekyylin (tai vastaavan) mikrotila (tai kvanttitila)  \Gamma  on määritelty:  d\Gamma ={\frac {1}{N!}}\prod _{i=1}^{6N}{\frac {dx_{i}\,dp_{i}}{h}}, jossa  x_{i} ja  p_{i} ovat  (i=1,...,3N)-hiukkasen paikka- ja liikemäärä- eli
lineaarimomenttikomponentit ja  h on Planckin vakio. Tulotekijä 
 {\frac {1}{N!}} poistaa permutaation, joten sen ollessa 1 vastaa  d\Gamma  mikrotilan degeneraatiota. Makrotilan tilavuus vastaa nyt sen sisältämien mikrotilojen lukumäärää.
C Esimerkiksi yksi mooli vettä voidaan ottaa yhdelmänä, joka koostuu Avogadron vakion määräämästä lukumäärästä täysin samanlaisia vesimolekyyliyksiköitä.
D Vakioiksi pidettävinä suureina voivat olla myös esim.  N,  V ja energia  E, jolloin kyseessä on mikrokanoninen yhdelmä. Suurkanonisen yhdelmän järjestelmissä hiukkasten lukumäärä ja energia vaihtelevat, mutta kemiallinen potentiaali, lämpötila ja tilavuus eivät. Tilastollisista yhdelmistä mikrokanonisessa yhdelmassä on eniten saatavilla olevaa tietoa.
E Yhtälöä (7) käyttäen on todettavissa, että  U=-N{\Bigg [}{\frac {d\ln(Q_{t}Q_{r}Q_{v}Q_{e})}{d\beta }}{\Bigg ]}_{V}\,\,\!
F Vertaa yhtälöön (15) Boltzmannin jakaumassa.
Isomeerien  {\text{A}} ja  {\text{P}} alimmat energiatasot.
Abnormally Attracted to Sin

| Abnormally Attracted to Sin Tori Amos |
| --- | --- | --- |

Studioalbumin tiedot
 Äänitetty : 2007–2008
 Studio : Martian Engineering (Cornwall, Iso-Britannia)   Avast! (Seattle, Washington, Yhdysvallat)
 Julkaistu: 19. toukokuuta 2009
 Tuottaja(t): Tori Amos
 Tyylilaji: alternative
 Kesto: 72.03
 Levy-yhtiö: Universal Republic
Listasijoitukset
  9.    20.    20.
Tori Amosin muut julkaisut
| Live at Montreux 1991/1992 2008 | Abnormally Attracted to Sin 2009 | Midwinter Graces 2009 |
Singlet albumilta Abnormally Attracted to Sin
 ”Welcome to England” Julkaistu: 14. huhtikuuta 2009  ”Maybe California” Julkaistu: 5. toukokuuta 2009  ”500 Miles” Julkaistu: 3. elokuuta 2009
Abnormally Attracted to Sin on yhdysvaltalaisen laulaja-lauluntekijä Tori Amosin albumi, joka julkaistiin toukokuussa 2009. Albumista on olemassa kaksi versiota, tavallinen ja erikoisversio, jossa on mukana Christian Lambin ohjaamia musiikkivideoita sisältävä DVD. Kappaleiden sanoituksissa Amos käsittelee muun muassa ihmissuhteita sekä uskontoa.
Albumi nousi Yhdysvalloissa Billboard 200 -listan sijalle 9. Suomessa se oli ensimmäisellä listaviikollaan Suomen virallisen listan sijalla 20.
Kappaleet

Give – 4:13
Welcome to England – 4:08
Strong Black Vine – 3:27
Flavor – 4:05
Not Dying Today – 4:01
Maybe California – 4:24
Curtain Call – 4:52
Fire to Your Plain – 3:01
Police Me – 3:53
That Guy – 4:02
Abnormally Attracted to Sin – 5:33
500 Miles – 4:05
Mary Jane – 2:42
Starling – 4:02
Fast Horse – 3:52
Ophelia – 4:42
Lady in Blue – 7:10
Oscar's Theme – 3:38 (bonuskappale)
Muusikot

Tori Amos – laulu, piano, Wurlitzer- ja Rhodes-sähköpianot, Hammond-urut, syntetisaattori
Matt Chamberlain – rummut ja lyömäsoittimet
Jon Evans – basso
Mac Aladdin – sähkökitara, akustinen kitara, mandoliini
John Philip Shenale – jousisovitukset, Wurlitzer, Hammond-urut
Ed Bale – viulu
Matthew Elston – viulu
Fiona McNaught – viulu
Kate Robinson – viulu
Holly Butler – alttoviulu
James Hogg – alttovilu
Rosemary Banks – sello
Caroline Dale – sello
Tuotanto
Tori Amos – tuottaja
Mark Hawley – äänittäjä, miksaaja
Marcel van Limbeek – äänittäjä, miksaaja
Adam Spry – miksaaja, assistentti
Jon Astley – masteroija
Arvostelut

Metacritic: 62/100
Allmusic:
Entertainment Weekly: B
Rolling Stone:
Soundi:
Listasijoitukset

| Maa ja lista | Korkein sija |
| --- | --- |
 Alankomaat (Album Top 100): 22
 Australia (ARIA Charts): 28
 Belgia (Ultratop Flanders): 23
 Belgia (Ultratop Wallonia): 49
 Irlanti (IRMA): 31
 Iso-Britannia (OCC, Britannian albumilista): 20
 Italia (FIMI): 30
 Itävalta (Ö3 Austria Top 40): 12
 Kanada (Canadian Albums Chart): 15
 Norja (VG-lista): 37
 Puola (ZPAV): 7
 Ranska (SNEP): 61
 Saksa (Gfk): 16
 Skotlanti (OCC): 35
 Suomi (Suomen virallinen lista): 20
 Sveitsi (Hitparade): 14
 Tanska (Hitlisten): 40
 Uusi-Seelanti (Recorded Music NZ): 39
 Yhdysvallat (Billboard 200): 9
 Yhdysvallat (alternative-albumit): 2
 Yhdysvallat (rockalbumit): 2
Myyntipalkinnot

| Maa | Sertifikaatti | Myöntäjä |
| --- | --- | --- |
|  Puola | kultaa | Związek Producentów Audio Video |
Aiheesta muualla

Abnormally Attracted to Sin Discogs-sivustolla
Abnormally Attracted to Sin AllMusic-sivustolla
| n k Tori Amos |
| --- | --- |
 Diskografia  Kappaleet 
Studioalbumit:  Little Earthquakes  Under the Pink  Boys for Pele  From the Choirgirl Hotel  To Venus and Back  Strange Little Girls  Scarlet's Walk  The Beekeeper  American Doll Posse  Abnormally Attracted to Sin  Midwinter Graces  Night of Hunters  Gold Dust  Unrepentant Geraldines  Native Invader  Ocean to Ocean 
Livealbumit:  To Venus and Back  The Original Bootlegs  Legs and Boots  Live at Montreux 1991/1992  From Russia With Love  Diving Deep Live 
Kokoelmat:  Tales of a Librarian  A Piano: The Collection  Little Earthquakes – The B-Sides 
EP:t:  Crucify  Hey Jupiter  Scarlet’s Hidden Treasures  Christmastide 
Singlet:  ”Me and a Gun”  ”Silent All These Years”  ”China”  ”Winter”  ”Crucify”  ”Cornflake Girl”  ”God”  ”Pretty Good Year”  ”Past the Mission”  ”Caught a Lite Sneeze”  ”Talula”  ”Professional Widow”  ”Hey Jupiter”  ”In the Springtime of His Voodoo”  ”Spark”  ”Raspberry Swirl”  ”Jackie’s Strength”  ”Cruel”  ”Bliss”  ”1000 Oceans”  ”Glory of the 80’s”  ”Concertina”  ”Strange Little Girl”  ”A Sorta Fairytale”  ”Taxi Ride”  ”Don’t Make Me Come to Vegas”  ”Sleeps with Butterflies”  ”Big Wheel”  ”Flavor” 
Videojulkaisut:  Little Earthquakes  Live from New York  Complete Videos 1991–1998  Welcome to Sunny Florida  Fade to Red  Live at Montreux 1991/1992 
Muut artikkelit:  Y Kant Tori Read  Y Kant Tori Read (albumi)  Night of Hunters Tour