Trigonometrinen funktio
Määritelmät yksikköympyrän avulla

Trigonometriset funktiot voidaan myös määritellä yksikköympyrän eli origossa sijaitsevan ympyrän, jonka säde on 1, avulla. Tämä määritelmä ei juuri eroa aiemmasta suorakulmaisten kolmioiden avulla tehdystä, sillä se tukeutuu vahvasti suorakulmaisiin kolmioihin. Yksikköympyrän etu on kuitenkin se, että se sallii trigonometristen funktioiden määrittelyjoukon luontevan laajentamisen kaikille positiivisille ja negatiivisille kulmille sen sijaan, että hyväksyttäisiin kulman arvot ainoastaan välillä 0° < θ < 90°.
Piirretään origon kautta kulkeva suora, joka muodostaa positiivisen x-akselin kanssa kulman θ. Suora leikkaa yksikköympyrän kahdessa pisteessä, joista toinen on x-akselin ylä- ja toinen alapuolella (tai erikoistapauksessa, kun θ=0, pisteissä (-1,0) ja (1,0)).  Olkoon toinen näistä leikkauspisteistä (x,y). Tällöin määritellään, että tämän pisteen x-koordinaatti on kulman θ kosini ja y-koordinaatti sen sini, eli
Jos kulma on muodostettu kiertämällä leikkauspisteestä (1,0) lähdettäessä vastapäivään, kulma θ katsotaan positiiviseksi, myötäpäivään kierrettäessä negatiiviseksi.  Koska yksikköympyrän yhtälö on:
seuraa tästä, että kaikilla θ:n arvoilla pätee
Tämä yhtälö on itse asiassa sama kuin Pythagoraan lause trigonometristen funktioiden avulla ilmaistuna.
Kuvassa on annettu joitain tavallisia kulmien arvoja radiaaneissa. Vastapäivään tehdyt mittaukset ovat positiivisia ja myötäpäivään tehdyt negatiivisia kulmia.
Yksikköympyrän sisälle piirretty kolmio vahvistaa, että jos kulma θ on terävä, tämä määritelmä on yhtäpitävä aikaisemman, suorakulmaiseen kolmioon perustuvan määritelmän kanssa: kolmion hypotenuusa on ympyrän säde, jonka pituus on 1, joten sin θ = y/1 ja cos θ = x/1. Yksikköympyrää voi ajatella tapana tarkastella ääretöntä määrää suorakulmaisia kolmioita vaihtelemalla sivujen pituuksia mutta pitämällä hypotenuusa yhtäsuurena.
Yksikköympyrään perustuva määritelmä ei kuitenkaan edellytä, että kulman on oltava terävä. Kuviosta voidaan todeta, että jos pisteestä (1,0) lähdetään ympyrän kehää pitkin vastapäivään kulman θ tai edelleen kulman 180°-θ verran, pisteet, joihin päädytään, ovat toistensa peilikuvia y-akselin eli suoran x=0 suhteen. Koska näiden pisteiden koordinaatit ovat (cos θ, sin θ) ja (cos (180°-θ), sin (180°-θ), seuraa tästä, että
tai jos kulmayksikkönä käytetään radiaania,
Jos taas kulma θ korvataan kulmalla -θ, päädytään pisteeseen, joka on alkuperäisen pisteen peilikuva x-akselin suhteen. Siitä seuraa, että
Tämä merkitsee, että kosini on parillinen, sini sen sijaan pariton funktio.
Muut trigonometriset funktiot määritellään sinin ja kosinin suhteina tai käänteisarvoina samoin kuin suorakulmaista kolmiota lähtökohtana käytettäessäkin voitaisiin tehdä:
Kulmilla, jotka ovat suurempia kuin täysikulma  2\pi  tai pienempiä kuin  -2\pi , trigonometriset funktiot määritellään antamalla kulman kiertyä ympäri. Toisin sanoen, jos ympyrän kehää pitkin kuljetaan kulman  \theta +2\pi  verran, ajatellaan, että on tehty ensin täysi kierros ja sen jälkeen jatkettu vielä kulman  \theta  verran, jolloin päädytään samaan pisteeseen kuin jos olisikin kierretty vain kulman  \theta  verran. Tällä tavalla laajennetut sini ja kosini ovat siis jaksollisia funktioita, joiden jakso on  2\pi .
kaikille kulman arvoille θ ja kokonaisluvuille n.
Sinillä, kosinilla ja tangentilla on kaikilla äärettömästi nollakohtia seuraavasti, kun kulma on θ ja n on kokonaisluku:
Jaksollisen funktion pienintä positiivista jaksoa sanotaan funktion perusjaksoksi. Sinin, kosinin, sekantin ja kosekantin kokonainen ympyrä eli  2\pi  radiaania tai 360 astetta; tangentin perusjakso on puoliympyrä eli  \pi  radiaania tai 180 astetta. Yllä määriteltiin vain sini ja kosini suoraan yksikköympyrän avulla, sillä neljä muuta trigonometrista funktiota voidaan määritellä niiden avulla:
Oikealla olevassa kuvassa on sinin ja kosinin kuvaajista huomattavasti poikkeava tangenttifunktion kuvaaja piirrettynä koordinaatistoon. Huomaa, että sen x-akselin leikkauspisteet vastaavat sinifunktion vastaavia, kun taas ne arvot joilla se ei ole määritelty vastaavat kosinifunktion nollakohtia. Funktion arvot muuttuvat hitaasti lähellä kulman arvoja  n\pi  ja nopeasti kulmilla jotka ovat lähellä arvoja  (n/2)\pi . Tangentilla on pystysuora asymptootti  x:n arvoilla  n\pi /2. Tämä johtuu siitä, että kulman arvon lähestyessä arvoa  n\pi /2 vasemmalta lähestyy funktion arvo ääretöntä, kun taas oikealta lähestyttäessä sen arvo lähestyy miinus ääretöntä.
Kaikki trigonometriset funktiot voidaan vaihtoehtoisesti määritellä O-keskisen yksikköympyrän (kuvattu oikealla) avulla, ja vastaavanlaisia geometrisia määritelmiä käytettiinkin ennen paljon. Ympyrän jänteelle AB, jossa θ on puolet kolmion OAB janan AB vastaisesta kulmasta, sin(θ) on AC (puolet jänteestä); määritelmä, jonka esitti intialainen matemaatikko Aryabhata 400-luvun lopulla. cos(θ) on vaakasuora jana OC, ja versin(θ) = 1 − cos(θ) on jana CD. tan(θ) on ympyrän pisteeseen A piirretylle tangentille piirretyn janan AE pituus, minkä takia funktio onkin nimetty tangentiksi. cot(θ) on jana AF, joka on myös pisteen A kautta kulkevalla tangentilla. sec(θ) ja csc(θ) ovat sekanttien osia, ja niitä voidaan myös pitää janan OA projektioina x- ja y-akseleille pisteeseen A piirrettyä tangenttia pitkin. DE on exsec(θ) = sec(θ) − 1 (sekantin ympyrän ulkopuolinen osa). Näissä konstruktioista on helppoa nähdä, että tangentti- ja sekanttifunktiot hajaantuvat, kun θ lähestyy suoraa kulmaa, ja että kosekantti ja kotangentti hajaantuvat θ:n lähestyessä nollaa. (Moni muu vastaava rakennelma on mahdollinen, ja yksinkertaiset trigonometriset identiteetit voidaan todistaa graafisesti.)
Jos kulma θ on hyvin pieni, on sitä vastaava kaari (arc oheisessa kuviossa) vain hieman pidempi kuin tämän kulman vastainen kateetti, jonka pituus on sin θ. Mitä pienempi kulma θ on, sitä tarkemmin nämä ovat yhtä pitkiä, eli niiden suhde on sitä lähempänä arvoa 1. Tähän liittyen voidaankin osoittaa, että kun kulmayksikkönä käytetään radiaania, on