Konformikuvaus
Sovelluksia > Fysiikassa ja tekniikassa

Jos funktio  fon harmoninen eli toteuttaa Laplacen yhtälön  \nabla ^{2}f=0 jossakin tasoalueessa, ja jos alue se kuvataan konformi­kuvauksella  g jollekin toiselle tasoalueelle,  yhdistetty funktio  f\circ g^{-1} on myös harmoninen. Tämän vuoksi jokainen funktio, joka on määritelty jonkin potentiaalin avulla, voidaan muuntaa konformi­kuvauksella, minkä jälkeen sillä edelleen on potentiaali. Fysiikassa potentiaalin avulla on muodostettu esimerkiksi sähkömagneettisen kentän ja gravitaatiokentän yhtälöt sekä virtaus­dynamiikassa potentiaalivirta, nesteen tai kaasun virtauksen likimääräinen kuvailu olettamalla, että tiheys on vakio, viskositeetti nolla ja virtaus pyörteetöntä. Esimerkkinä konformi­kuvauksen sovelluksesta virtaus­dynamiikassa voidaan mainita aerodynamiikassa usein käytettävä Žukovskin muunnos eli Joukowskyn muunnos  z\mapsto z+{1 \over z}.
Konformikuvauksilla on suuri merkitys ratkaistaessa sellaisia fysiikan ja insinööri­tieteiden probleemoja, jotka voidaan esittää kompleksimuuttujien funktioina mutta joilla on epä­mukavia geo­metrisia ominaisuuksia. Valitsemalla sopiva muunnos voidaan epä­mukava geometria muuntaa helpommin käsiteltäväksi. Esimerkiksi voi olla tarpeen laskea piste­varauksen aiheuttaman sähkökentän voimakkuus,  E(z), kun varaus sijaitsee lähellä paikkaa, jossa kaksi johtavaa tasoa kohtaavat toisensa ja nämä ovat tietyssä kulmassa keskenään. Tehtävä on sellaisenaan sangen vaikea ratkaista suljetussa muodossa. Yksinkertaisella konformi­kuvauksella epä­mukava kulma voidaan kuitenkin kuvata toiselle, joka on tasan  \pi  radiaania (180 astetta), jolloin tuloksena on vain yksi taso. Tilanteessa, jossa varaus on lähellä yhtä johtavaa tasoa, sähkö­kentän voimakkuus on helppo laskea. Kun ratkaisu on saatu tällä tilanteessa,  E(w), joka sitten kuvataan takaisin alkuperäisen tehtävän mukaiseen tilanteeseen ottamalla huomioon, että  w saatiin  z:n funktiona,  E:stä ja  w:stä yhdistettynä kuvauksena  E(w(z)). Tämä sovellus ei ole ristiriidassa sen kanssa, että konformi­kuvauksissa kulmien suuruus säilyy, sillä näin on laita vain kuvattavan alueen sisällä, ei sen reunalla.
Ebenezer Cunningham tunnisti vuonna 1980 ja Harry Bateman vuonna 1910 laajan ryhmän konformi­kuvauksia Maxwellin yhtälöiden eri ratkaisujen välille, palloaaltojen muunnokset. Opiskellessaan Cambridgen yliopistossa he olivat tutustuneet peili­varaus­metodeihin ja niihin liittyviin, pallopintoja ja inversioita käyttäviin menetelmiin. Andrew Warwick totesi vuonna 2003 teoksessaan Masters of Theory:
»Jokainen neliulotteinen ratkaisu voitaisiin invertoida neli­ulotteisen hyperpallon suhteen, jonka pseudo­säde on  K, ja jolloin myös saadaan uusi ratkaisu.»
Warwick korostaa tätä "uutta suhteellisuus­teoreemaa" Cambridgen vastauksena Einsteinille ja se perustuu inversioiden käyttöön, jota käsitellään esimerkiksi James Hopwood Jeansin laatimassa oppi­kirjassa Mathematical Theory of Electricity and Magnetism.
Yleisessä suhteellisuus­teoriassa konformi­kuvaukset ovat yksin­kertaisin ja sen vuoksi yleisin kausaalisten muunnosten tyyppi. Fysikaalisesti ne esittävät erilaisia maailman­kaikkeuksia, joissa samat tapahtumat ja vuoro­vaikutukset ovat yhä (kausaalisesti) mahdollisia, mutta joissa on oletettava jokin lisä­voima saamaan aikaan nämä tapahtumat. Toisin sanoen liike­radat voivat pysyvät samoina vain, jos liike ei ole geodeettista, koska metriikka on erilainen. On usein yritetty laatia malleja, joita voitaisiin laajentaa singulari­teetinkin ohi ja joilla voitaisiin kuvailla maailman­kaikkeutta jopa ennen alkuräjähdystä.