stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Ristitulo
Ominaisuuksia > Algebralliset ominaisuudet

Jos kahden vektorin ristitulo on nollavektori (toisin sanoen a × b = 0), joko ainakin toinen vektoreista on nolla­vektori, (a = 0 ja/tai b = 0), tai vektorit ovat saman- tai vastakkais­suuntaisia (a || b), jolloin niiden välisen kulman sini on nolla ( \theta  = 0° tai  \theta  = 180° ja  \sin \theta =0).
Vektorin ristitulo itsensä kanssa on nolla­vektori, toisin sanoen a × a = 0.
Ristitulo on anti­kommuta­tiivinen:
Ristitulo noudattaa osittelulakia yhteen­laskun suhteen:
Jos ristitulon jompikumpi tekijä kerrotaan skalaarilla, myös ristitulon arvo tulee kerrotuksi samalla skalaarilla:
Ristitulo ei ole liitännäinen, mutta sille pätee Jacobin identiteetti:
Osoittelulaki, lineaarisuus ja Jacobin identiteetti osoittavat, että vektoriavaruus  \mathbb {R} ^{3} varustettuna vektorien yhteen­laskulla ja risti­tulolla on Lien algebra, tarkemmin sanottuna kolmi­ulotteisen reaalisen orto­gonaalisen ryhmän Lien algebra SO(3).
Ristitulo ei noudata supistus­sääntöä: Vaikka a ei olisi nolla­vektori, yhtälöstä a × b = a × c ei seuraa, että b = c, vaan ainoastaan että:
Ristitulon määritelmästä seuraa, että tällöin vektorien a ja b - c välisen kulman on oltava nolla eli niiden on oltava yhden­suuntaiset. Toisin sanoen ne liittyvät toisiinsa skaalaustekijällä t, eli
jollakin skalaariarvolla t.
Jos a · b = a · c ja a × b = a × c jollakin vektorilla a, joka ei ole nollavektori, on b = c, sillä
eli  b - c on sekä vektorin a suuntainen että sitä vastaan kohtisuorassa, mikä on mahdollista vain, jos b - c = 0 eli b ja c ovat identtiset.
Geometrisen määritelmän perusteella ristitulo on invariantti rotaatiossa akselin a × b ympäri. Kaavana:
Yleisemmin ristitulo noudattaa seuraavaa identiteettiä matriisimuunnoksissa:
missä  M on 3×3 -matriisi ja  M^{-T} sen käänteismatriisin transpoosi. Voidaan helposti nähdä, miten tämä kaava palautuu edelliseen, jos  M on rotaatiomatriisi.
Kahden ristitulon summalle pätee:
Ominaisuuksia > Differentioituminen

Differentiaali­laskennan tulosääntö pätee jokaiselle bilineaariselle lasku­toimitukselle ja näin ollen myös ristitulolle:
missä a ja b ovat reaalimuuttujasta t riippuvia vektorifunktioita.
Ominaisuuksia > Kolmitulot

Ristituloa käytetään molempia kolmituloja muodostettaessa. Kolmen vektorin skalaarikolmitulo on määritelty seuraavasti:
Skalaarikolmitulo on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin sellaisen suuntaissärmiön tilavuus, jonka sivut ovat a, b ja c, ja siinä esiintyvät vektorit voidaan vaihtaa keskenään mihin tahansa järjestykseen, joka on edellä esitetyn parillinen permutaatio. Seuraavat lausekkeet ovat näin ollen yhtä suuret:
Vektorikolmitulo on vektorin ja toisen ristitulon tuloksen ristitulo, ja sen liittää pistetuloon seuraava lause:
Vektorien järjestyksen muistamiseen tämän kaavan oikealla puolella olevassa lausekkeessa voidaan käyttää muistisääntöä "BAC miinus CAB". Tätä kaavaa käytetään fysiikassa vektoreilla suoritettavien lasku­toimitusten yksin­kertaistamiseen. Muuan vektorianalyysissä käyttö­kelpoinen, gradientteihin liittyvä erikois­tapaus on:
missä  \nabla ^{2} on Laplacen operaattori vektoreille.
Myös seuraavat identtiset yhtälöt liittävät ristitulon skalaarikolmituloon:
missä I on identtinen matriisi.
Ominaisuuksia > Vaihtoehtoinen muotoilu

Ristitulon ja pistetulon yhdistää toisiinsa kaava
Tässä oikealla puolella on vektorien a ja b Gramin determinantti, vektorien määräämän suunnikkaan pinta-alan neliö. Tämä ehto määrittää ristitulon suuruuden. Sillä jos pistetulo on määritelty vektorien välisen kulman  \theta  avulla:
tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudestaan muotoon:
Koska Pythagoraan lauseesta seuraa, että kaikilla kulmilla  \theta  pätee
saadaan tästä:
mikä on ristitulon itseisarvo ilmaistuna kulman  \theta  avulla ja yhtä suuri kuin vektorien a ja b määrittämän suunnikkaan pinta-ala.
Tämä vaatimus yhdessä sen kanssa, että ristitulo on kohti­suorassa tekijöihinsä a ja b nähden
tarjoaa mahdollisuuden ristitulon vaihto­ehtoiseen määritelmään:
Ominaisuuksia > Lagrangen identiteetti

Yhteyttä
voidaan verrata toiseen yhteyteen, joka liittyy tämän yhtälön oikealla puolella olevaan lausekkeeseen,
nimittäin Lagrangen identiteettiin,
missä a ja b voivat olla n-ulotteisia vektoreita. Tämä osoittaa, että Riemannin tilavuusmuoto pinnoille on sama asia kuin vektori­analyysin avulla laskettu tilavuus­alkio. Tapauksessa n = 3 nämä kaksi yhtälöä voidaan yhdistää niin, että saadaan vektorien ristitulon itseis­arvolle lauseke niiden komponenttien avulla:
Sama tulos saadaan myös suoraan käyttämällä ristitulon komponentteja, jotka saadaan yhtälöstä:
Avaruudessa  \mathbb {R} ^{3} Lagrangen yhtälö on erikoistapaus normin multiplikatiivisuudesta 
kvaternioiden algebrassa: |vw| = |v||w|.
Se on myös erikois­tapaus toisesta kaavasta, jota sitäkin toisinaan sanotaan Lagrangen identiteetiksi ja joka samalla on kolmi­ulotteinen tapaus Binet'n-Cauchyn identiteetistä:
Jos a = c ja b = d, tämä yksin­kertaistaa edellä esitettyä kaavaa.
Ominaisuuksia > Infinitesimaaliset generaattorit ja rotaatiot

Ristitulo kuvaa sopivasti rotaatioiden infinitesimaalisia generaattoreja avaruudessa  \mathbb {R} ^{3}. Erityisesti jos n on yksikkövektori avaruudessa  \mathbb {R} ^{3} ja R(f, \phi ,n) merkitsee rotaatiota origon kautta kulkevan, n:n määrittämän akselin ympäri kulman f verran (mitattuna radiaaneina, n:n kärjen suunnasta katsottuna vastapäivään), on
jokaiselle vektorille  x\in \mathbb {R} ^{3}. Ristitulo n kuvaa näin ollen vektorin n ympäri suoritetun rotaation infini­tesi­maalista generaattoria. Nämä infini­tesi­maaliset generaattorit muodostavat Lien algebran so(3) rotaatio­ryhmässä SO(3), ja todetaan, että Lien algebra  \mathbb {R} ^{3} varustettuna ristitulolla on isomorfinen Lien algebran so(3) kanssa.
Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi > Muunnos matriisien kertolaskuksi

Vektorien ristitulo voidaan ilmaista myös antisymmetrisen matriisin ja vektorin tulona:
missä yläindeksi T tarkoittaa matriisin transpoosia ja [a]× määritellään seuraavasti:
On huomattava, että [a]× on kääntyvä matriisi, jossa a on sen oikean- tai vasemmanpuoleinen nollavektori.
Jos a itsekin on ristitulo,
saadaan
Geometrisen algebran avulla tämä tulos voidaan yleistää korkeampiinkin ulottuvuuksiin. Erityisesti kaikissa ulottuvuuksissa bivektori voidaan samastaa anti­symmetristen matriisien kanssa, jolloin anti­symmetrisen matriisin ja vektorin tulo on ekvivalentti bivektorin ja vektorin tulon ensimmäistä astetta olevan osan kanssa. Kolmessa ulottuvuudessa bivektorit ovat vektorien Hodgen duaaleja, joten tulo on ekvivalentti ristitulon kanssa, kun bivektoria käytetään sen vektori­duaalin sijasta. Korkeammissa ulottuvuuksissakin tulo voidaan laskea, mutta bivektoreilla on enemmän vapausasteita eivätkä ne ole ekvivalentteja vektorien kanssa.
Esimerkiksi epipolaari­sessa geometriassa tämä merkintä on usein myös paljon helppo­käyttöisempi.
Ristitulon yleisistä ominaisuuksista seuraa välittömästi, että
ja siitä, että [a]× on antisymmetrinen, seuraa, että
Edellä esitetty kolmitulon bac-cab -sääntö voidaan tämän merkinnän avulla helposti todistaa.
Kuten edellä todettiin, Lien algebra  \mathbb {R} ^{3} varustettuna ristitulolla on isomorfinen Lien algebran so(3), kanssa, jonka alkiot voidaan samastaa anti­symmetristen 3×3 -matriisien kanssa. Kuvaus a -> [a]× on isomorfismi  \mathbb {R} ^{3}:n ja so(3):n välillä.
Tässä kuvauksessa 3-vektorien ristitulo vastaa anti­symmetristen 3x3 -matriisien kommutaattoria.
Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi > Indeksimerkintä tensoreille

Ristitulo voidaan vaihto­ehtoisesti määritellä Levi-Civita-symbolin eijk ja pistetulon  \eta ^{mi} avulla (joka orto­normaalin kannan tapauksessa on sama kuin  \delta ^{mi}). Sen avulla vektori­merkintä voidaan muuttaa tensorien sovellukseksi:
missä indeksit  i,j,k vastaavat vektorin komponentteja. Tämä ristitulon luonnehdinta esitetään usein lyhemmin käyttämällä Einsteinin summaussääntöä
jossa toistetut indeksit arvojen 1...3 yli on laskettu yhteen. On huomattava, että tämä esitysmuoto on toinen muoto ristitulon antisymmetrisiin matriiseihin perustuvasta esitysmuodosta:
Klassisessa mekaniikassa ristitulon esittäminen Levi-Civita-symbolin avulla voi tehdä mekaaniset symmetriat ilmiselviksi, kun fysikaaliset systeemit ovat isotrooppisia. Esimerkkinä voidaan mainita hiukkanen Hooken lain mukaisessa potentiaalissa, jossa se voi värähdellä kolmessa ulottuvuudessa; mikään näistä ulottuvuuksista ei ole millään tavalla erikois­asemassa, jolloin liikemäärämomentin ristitulo­esitys on symmetrinen tavalla, jonka Levi-Civita-esitys tekee ilmeiseksi.
Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi > Muistisääntö

Ristitulon määritelmän muistamiseen voidaan muistisääntönä käyttää sanaa "xyzzy".
Jos
missä:
on:
Toinen ja kolmas yhtälö saadaan ensimmäisestä yksinkertaisesti kierrättämällä alaindeksit keskenään pystysuorasti,  x -> y -> z -> x. Vaikeutena on luonnollisesti ensimmäisen yhtälön muistaminen, mihin on käytettävissä kaksi keinoa: on joko muistettava Sarrus'n skeeman kaksi relevanttia lävistäjää (ne, joissa 'i' esiintyy), tai on muistettava xyzzy-järjestys.
Koska Sarrus'n skeeman ensimmäinen lävistäjä on juuri edellä mainitun 3×3 -matriisin päälävistäjä, sanan xyzzy kolme ensimmäistä kirjainta on helppo muistaa.
Sovelluksia

Ristituloa sovelletaan monissa yhteyksissä, esimerkiksi laskennallisessa geometriassa, fysiikassa ja insinööri­aloilla. Seuraavassa mainitaan joitakin esimerkkejä sovelluksista.
Sovelluksia > Laskennallinen geometria

Ristituloa voidaan käyttää laskettaessa kahden ristikkäisen suoran etäisyys, toisin sanoen sellaisten suorien etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa, jotka eivät ole samassa tasossa.
Ristitulolla voidaan laskea myös kolmion tai monikulmion normaali, mitä usein tarvitaan tietokone­grafiikassa. Esimerkiksi monikulmion kiertyminen myötä- tai vastapäivään jonkin sen sisällä olevan pisteen ympäri voidaan laskea jakamalla se kolmioihin hieman pyörän puolien tapaan ja laskemalla puolien väliset kulmat yhteen, jolloin ristitulon avulla saadaan selville kunkin kulman etumerkki.
Tason laskennallisessa geometriassa ristitulon avulla voidaan määrittää
kolmen pisteen  p_{1}=(x_{1},y_{1}),  p_{2}=(x_{2},y_{2}) ja  p_{3}=(x_{3},y_{3}) määräämän kulman etumerkki. Se vastaa pisteparin  p_{1},p_{2} ja  p_{1},p_{3} määräämien, samassa talossa olevien vektorien ristitulon suuntaa, toisin sanoen lausekkeen  P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}) etumerkkiä. Jos ristitulo on nolla, pisteet ovat samalla suoralla. Käytettäessä "oikeakätisestä" koordinaatti­järjestelmää nämä kolme pistettä muodostavat positiivisen pyörähdys­kulman kierrossa pisteen  p_{1} ympäri pisteestä  p_{2} pisteeseen  p_{3}, mikäli lauseke on positiivinen, ja negatiivisen pyörähdys­kulman, jos lauseke on negatiivinen.
Ristitulon avulla voidaan laskea moni­tahokkaiden kuten tetraedrin tai suuntaissärmiön tilavuus.
Sovelluksia > Pyörimismäärä ja vääntömomentti

Hiukkasen pyörimismäärä  \mathbf {L}  annetun akselin suhteen on:
missä  \mathbf {r}  hiukkasen paikkavektori origon suhteen ja 
 \mathbf {p}  hiukkasen liikemäärä.
Samaan tapaan pisteeseen B vaikuttavan voiman momentti pisteen A suhteen on:
Mekaniikassa voiman momenttia sanotaan myös vääntömomentiksi ja
merkitään  \mathbf {\tau }
Koska paikkavektori  \mathbf {r} , liikemäärä  \mathbf {p} 
ja voima  \mathbf {F}  ovat kaikki aitoja vektoreita, sekä pyörimismäärä  \mathbf {L}  että voiman momentti  \mathbf {M}  ovat pseudo­vektoreita eli aksiaalisia vektoreita.
Sovelluksia > Jäykkä kappale

Ristituloa käytetään usein jäykän kappaleen kuvailuun.  Jäykän kappaleen kahden pisteen O ja Q välinen etäisyys pysyy vakiona, ja niiden nopeuksien välinen riippuvuus kappaleen pyöriessä on:
missä  \mathbf {r}  on kunkin pisteen paikkavektori,  \mathbf {v}  sen nopeus ja  \mathbf {\omega }  kappaleen kulmanopeus.
Koska paikkavektori  \mathbf {r}  ja nopeus  \mathbf {v}  ovat aitoja vektoreita, kun taas kulmanopeus  \mathbf {\omega }  on pseudovektori eli aksiaalinen vektori.
Sovelluksia > Lorentzin voima

Ristitulo esiintyy Lorentzin voiman lausekkeessa, joka osoittaa, kuinka suuri voima liikkuvaan sähkö­varaukseen  q_{e} vaikuttaa sähkö- ja magneetti­kentässä.
Koska nopeus  \mathbf {v} , voima  \mathbf {F}  ja sähkökentän voimakkuus  \mathbf {E}  ovat kaikki aitoja vektoreita, kun taas magneettivuon tiheys  \mathbf {B}  on pseudovektori.
Sovelluksia > Muita sovelluksia

Vektorianalyysissä vektorikentän roottori määritellään muodollisesti nablan ja vektori­kentän ristitulona.
Ristitulon kirjoittaminen matriisien kertolaskun muotoon on epipolaarisessa geometriassa paljon käytetty toimenpide.
Ristitulo ulkoisena tulona

Ristituloa voidaan kuvata ulkoisen tulon käsittein. Tämä näkemys sallii ristitulon luonnollisen geometrisen tulkinnan. Ulkoisessa algebrassa kahden vektorin ulkoinen tulo (eli kiilatulo) on bivektori. Bivektori on suunnattu tasoalue pitkälti samaan tapaan kuin vektori on suunnattu jana. Kun on annettu kaksi vektoria a ja b, niiden bivektori  a\land b voidaan käsittää suunnatuksi suunnikkaaksi, jonka sivuina a ja b ovat. Ristitulo saadaan tällöin ottamalla bivektorista  a\land b Hodgen duaali, joka kuvaa 2-vektorit vektoreille:
Tämä voidaan käsittää suunnatuksi moni­ulotteiseksi alkioksi, joka on "kohtisuorassa" bivektoria vastaan. Vain kolmessa ulottuvuudessa tuloksena saadaan suunnattu jana, siis vektori, kun taas esimerkiksi neljässä ulottuvuudessa Hodgen duaali on kaksi­ulotteinen, siis toinen tasoalue. Niinpä vain kolmessa ulottuvuudessa vektorien a ja b ristitulo on bivektorin  a\land b kanssa duaalinen vektori: se on kohti­suorassa bivektoria vastaan, sen suunta riippuu koordi­naatiston kätisyydestä, ja se suuruudeltaan samassa suhteessa kohti­suoraa yksikkö­vektoria suurempi kuin  a\land b on yksikkö­bivektoria suurempi, täsmälleen niin kuin sen ominaisuudet on edellä kuvattu.
Ristitulo ja kätisyys

Kun muodostetaan mitattavien suureiden ristitulo, koordinaatti­järjestelmän kätisyyttä ei voida valita mielivaltaisesti. Kun kuitenkin fysiikan lait kirjoitetaan yhtälöiksi, koordinaatti­järjestelmän ja myös sen kätisyyden pitäisi olla mielivaltaisesti valittavissa. Jotta tästä ei koituisi ongelmia, on oltava tarkkana, ettei koskaan kirjoiteta sellaisia yhtälöitä, joiden molemmat puolet eivät käyttäydy samoin kaikissa muunnoksissa, jotka voivat tulla kysymykseen. Jos esimerkiksi yhtälön toisella puolella on kahden vektorin ristitulo, on otettava huomioon, että jos koordinaatti­järjestelmän kätisyyttä ei ole ennalta annettu, tulos ei ole (aito) vektori vaan pseudovektori. Tällöin yhteen­sopivuus­syistä yhtälön toisenkin puolen on oltava pseudo­vektori.
Yleisesti ristitulo voi olla joko aito vektori tai pseudo­vektori riippuen siitä, kumpaa tyyppiä sen
tekijät ovat. Tuloksen tyyppi riippuu sen tekijöiden tyypeistä seuraavasti:
vektori × vektori = pseudovektori
pseudovektori × pseudovektori = pseudovektori
vektori × pseudovektori = vektori
pseudovektori × vektori = vektori.
Tästä seuraa myös, että ylempänä esitetyt ortonormaalin oikeakätisen karteesisen koordinaatiston
yksikkö­vektorien i, j ja k ristitulot edellyttävät itse asiassa, että kaikki nämä kanta­vektorit ovat pseudo­vektoreita (ellei niiden ei sallita olevan eri tyyppiä, mitä yleensä ei sallitakaan), sillä i × j = k,  j × k = i and k × i = j.
Koska ristitulo saattaa olla myös (aito) vektori, se ei välttämättä vaihda suuntaansa peilauksessa tason suhteen. Näin on asian laita, jos toinen ristitulon tekijöistä on (aito) vektori ja toinen pseudovektori (toisin sanoen kahden vektorin ristitulo) Esimerkiksi kolmen aidon vektorin vektorikolmitulo on aito vektori.
Yleistyksiä

On olemassa useita tapoja yleistää ristitulon käsite useampaan ulottuvuuteen.
Yleistyksiä > Lien algebra

Ristitulo on yksi yksinkertaisimmista Lien tuloista, ja näin ollen sitä yleistyksiä Lien algebrat, jotka on aksiomatisoitu binääriksi tuloiksi, jotka toteuttavat multilineaarisuuden, ristikkäissymmetrian ja Jacobin identiteetin aksioomat. On olemassa monia Lien algebroja, ja niiden tutkimuksesta on tullut laaja matematiikan ala, Lien teoria.
Esimerkiksi Heisenbergin algebra antaa toisen Lien algebran mukaisen struktuurin avaruudelle  \mathbf {R} ^{3}. Tässä kannassa   \{x,y,z\}, tulo on  [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.
Yleistyksiä > Kvaterniot

Ristitulo voidaan esittää myös kvaternioiden termein, ja tämä onkin syynä siihen, miksi kirjaimia
i, j ja k on alettu käyttää avaruuden  \mathbb {R} ^{3} standardien
kantavektorien tunnuksina. Yksikkö­vektorit i, j ja k vastaavat "binäärisiä" (180 asteen)
kiertoja vastaavien akselien ympäri. Näitä rotaatiota vastaavat "puhtaat" kvaterniot, joiden
skalaari­osa on nolla ja joiden normi on 1.
Esimerkiksi edellä esitetyt yksikkö­vektorien i, j, and k ristitulot vastaavat
täysin kvaternioiden i, j ja k kertolaskua. Yleensäkin jos vektori
[a1, a2, a3] esitetään kvaterniona
a1i + a2j + a3k, 
kahden vektorin ristitulo saadaan laskemalla vastaavien kvaternioiden tulo ja poistamalla tuloksesta
reaaliosa. Tämä reaaliosa on toisaalta sama kuin samojen vektorien pistetulon vastavektori.
Samastamalla 'puhtaasti imaginaariset kvaterniot edellä selitetyllä tavalla
 \mathbb {R} ^{3}:n vektorien kanssa osoittautuu toisaalta, että vektorien ristitulo on puolet
vastaavien kvaternioiden kommutaattorin arvosta.
Yleistyksiä > Oktoniot

Seitsenulotteisten vektorien ristitulo voidaan muodostaa samaan tapaan kuin kolmiulotteistenkin käyttämällä oktonioita kvaternioiden sijasta. Se että muissa kuin kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa ei ole ei-triviaalia vektoriarvoista ristituloa, seuraa Hurwitzin lauseesta, jonka mukaan ainoat normitetut jakoalgebrat ovat 1-, 2-, 4- ja 8-ulotteiset.
Yleistyksiä > Kiilatulo

Useammassa ulottuvuudessa ristitulolla ei ole suoranaista vastinetta, joka antaisi tulokseksi vektorin. On kuitenkin olemassa käsite kiilatulo, jolla on samantapaisia ominaisuuksia, paitsi että kahden vektorin kiilatulo ei ole tavallinen vektori vaan 2-vektori. Kuten edellä mainittiin, ristitulo voidaan tulkita kiilatuloksi kolmessa ulottuvuudessa käyttämällä Hodgen duaalia 2-vektorien kuvaamiseksi vektoreille. Kiilatulon Hodgen duaali antaa tuloksenaan (n - 2)-vektorin, joka on ristitulon luonnollinen yleistys missä tahansa määrässä ulottuvuuksia.
Kiilatulo ja pistetulo voidaan yhteenlaskemalla yhdistää geometriseksi tuloksi.
Yleistyksiä > Antisymmetriset matriisit

Jos ristitulon edellytetään olevan binäärinen laskutoimitus, sen argumentteina on oltava tarkalleen kaksi vektoria. Jos sen tuloksen ei tarvitse olla vektori tai pseudovektori vaan sen sijaan matriisi, käsite voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa.
Esimerkiksi mekaniikassa kulmanopeus voidaan tulkita joko pseudovektoriksi  \omega  
tai antisymmetriseksi matriisiksi eli ristikkäissymmetriseksi tensoriksi  \Omega . Jälkimmäisessä tapauksessa jäykän kappaleen nopeuslaki saa muodon:
missä O määritellään muodollisesti kappaleen asemaan liittyvän pyörähdysmatriisin  R^{N\times N} avulla:
 \Omega \triangleq {\frac {dR}{dt}}R^{\mathrm {T} }. Kolmessa ulottuvuudessa pätee:
Kvanttimekaniikassa pyörimismäärä eli liikemäärämomentti  L esitetään usein antisymmetrisenä matriisina tai tensorina. Tarkemmin sanottuna se on kappaleen paikan  \mathbf {x}  ja liikemäärän  \mathbf {p}  ristitulo:
Koska sekä  \mathbf {x} :llä että  \mathbf {p} :llä voisi olla mielivaltainen määrä  
 N komponentteja, tämäntyyppinen ristitulo voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa siten, että laskutoimituksen "fysikaalinen" tulkinta säilyy.
Asian laskennallisesta puolesta kerrottiin edellä osiossa #Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi.
Kirjallisuutta

Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria.  Espoo:  Otatieto, 1989.  ISBN 951-672-103-6
Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-067-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Ristitulo Wikimedia Commonsissa
Hazewinkel, Michiel (toim.): ”Cross product”, Encyclopedia of Mathematics.  Springer, 2001.  ISBN 978-1-55608-010-4  Teoksen verkkoversio.
Cross product Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein.
The Dot and Cross Procudts Eli Lansey.
Cross product in N Dimensions – the doublewedge product (pdf) 2014. C.A. Gonano and R.E. Zich, Polytehcnic University of Milan.
Real and Complex Products of Complex Numbers cut-the-knot.org.
Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space (pdf) 2007. W. Cahan, University of California, Berkeley.
Ristitulon suunnan määrittäminen oikean käden säännöllä.
Ristitulo a × b (pystysuorassa, violetti) muuttuu, kun vektorien a (sininen) ja b (punainen) välinen kulma muuttuu. Ristitulo on aina molempia vastaan kohti­suorassa, ja se on nollavektori, kun vektorit ovat yhden­suuntaisia, ja saa suurimman arvonsa  \left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|, kun ne ovat kohti­suorassa.
Sarrus’n säännön mukaan 3×3 -matriisin determinantti edellyttää matriisin lukujen kertolaskua leikkaavien lävistäjien suunnassa.
Standardit kantavektorit (i, j, k, joille käytetään myös merkintöjä e1, e2, e3) ja a:n vektorikomponentit (ax, ay, az, joille käytetään myös merkintöjä a1, a2, a3)
Sarrus'n sääntö vektorien u ja v ristitulon määrittämiseksi
Kuvio 1. Suunnikkaan pinta-ala ristitulon itseisarvona
Kuvio 2. Kolmen vektorin määrittämä suuntaissärmiö
Ristitulon kertominen skalaarilla. Vasemmalla: Vektori b hajotettuna a:n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Oikealla Kohtisuoran komponentin kertominen positiivisella reaaliluvulla r (jos se on negatiivinen, b:n ja ristitulon suunnat ovat päinvastaiset).
Ristitulon osittelulaki vektorien yhteenlaskun suhteen. Vasemmalla: Vektorit b ja c hajotettuna a:n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Oikealla: Yhdensuuntaiset komponentit häviävät ristitulossa, vain a:ta vastaan kohtisuorat komponentit jäävät jäljelle.
Kolmesta vektorista a, b ja c saadut kaksi yhdistettyä ristituloa eivät ole yhtä suuret. Kummassakin tapauksessa kaksi vektoria määrittää tason, kolmas on tason ulkopuolella ja voidaan hajottaa tason suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Nämä komponentit voidaan muodostaa vektorin projektion ja rejektion avulla. Kolmitulo on tasossa ja kiertyy kuvan osoittamalla tavalla.
Ristitulo ja ulkoinen tulo. Punaiset nuolet ovat kohtisuorat yksikkövektorit sekä "niiden suuntainen" yksikköbivektori.
Käännös suomeksi
Käpykaktus

| Käpykaktus |
| --- | --- |
 Käpykaktus (Strombocactus disciformis).
Uhanalaisuusluokitus
 Vaarantunut  
  
Tieteellinen luokittelu
Domeeni::  Aitotumaiset Eucarya
Kunta::  Kasvit Plantae
Alakunta::  Streptophyta
Kaari::  Versokasvit Embryophyta
Alakaari::  Putkilokasvit Tracheophyta
Luokka::  Siemenkasvit Spermatophyta
Alaluokka::  Koppisiemeniset Angiospermae
Lahko::  Caryophyllales
Heimo::  Kaktuskasvit Cactaceae
Alaheimo::  Cactoideae
Tribus::  Cacteae
Suku::  Käpykaktukset Strombocactus  Britton & Rose (1922)
Laji::  disciformis
Kaksiosainen nimi
 Strombocactus disciformis  (DC.) Britton & Rose 
Katso myös
   Käpykaktus Wikispeciesissä   Käpykaktus Commonsissa 
Infobox OKNimi-testi OKIUCN-testi OK: 
Käpykaktus (Strombocactus disciformis) on meksikolainen kaktuskasvien heimoon kuuluva laji. Se on ainoa laji suvussaan. Tieteellinen ja myös suomenkielinen nimi viittaa kasvin muotoon. Käpykaktuksen lähimpiä sukulaisia ovat tyynykaktukset (Aztekium).