Integrointi moniulotteisessa avaruudessa
Määritelmä > Kolmin- tai useammankertainen integraali

Olkoon 



n
∈

N



{\textstyle n\in \mathbb {N} }

, 



n
≥
3


{\textstyle n\geq 3}

. Joukko



I
=
[

a

1


,

b

1


]
×
[

a

2


,

b

2


]
×
…
×
[

a

n


,

b

n


]


{\textstyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsc \times [a_{n},b_{n}]}

on avaruuden 





R


n




{\textstyle \mathbb {R} ^{n}}

 kompakti väli  (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi 



f
:
I
→

R



{\textstyle f:I\to \mathbb {R} }

 rajoitettu funktio. Jos 



1
≤
i
≤
n


{\textstyle 1\leq i\leq n}

, niin välin 



[

a

i


,

b

i


]


{\textstyle [a_{i},b_{i}]}

 jako 




P

i




{\textstyle P_{i}}

 on:
a_{i}=t_{0}\leq t_{1}\leq \dotsc \leq t_{k_{i}}=b_{i}.
Ts. väli 



[

a

i


,

b

i


]


{\textstyle [a_{i},b_{i}]}

 voidaan esittää 




k

i




{\textstyle k_{i}}

:n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi) 



[

t

i
−
1


,

t

i


]


{\textstyle [t_{i-1},t_{i}]}

 unioinina. Jos jokaiselle 



1
≤
i
≤
n


{\textstyle 1\leq i\leq n}

 on olemassa välin 



[

a

i


,

b

i


]


{\textstyle [a_{i},b_{i}]}

 jako 




P

i




{\textstyle P_{i}}

, niin joukon 



I


{\textstyle I}

 jako on:
P=P_{1}\times P_{2}\times \dotsc \times P_{n}.
Jako 



P


{\textstyle P}

 määrää 



κ
=

k

1


⋅

k

2


⋅
…
⋅

k

n




{\textstyle \kappa =k_{1}\cdot k_{2}\cdot \dotsc \cdot k_{n}}

 kappaletta kompakteja jakovälejä 




I

1


,

I

2


,
…
,

I

κ




{\textstyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{\kappa }}

, jotka osittavat välin 



I


{\textstyle I}

. Merkitään mielivaltaista joukon 



I


{\textstyle I}

 pistettä 



(

x

1


,

x

2


,
…
,

x

n


)
=

x



{\textstyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=\mathbb {x} }

 sekä kaikilla 



j
∈
{
1
,
2
,
…
,
κ
}


{\textstyle j\in \{1,2,\dotsc ,\kappa \}}

:
g_{j}=\inf _{\mathbb {x} \in I_{j}}f(\mathbb {x} ) ja
G_{j}=\sup _{\mathbb {x} \in I_{j}}f(\mathbb {x} )
(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon 



P


{\textstyle P}

 liittyvä alasumma kaavalla
s_{P}(f)=\sum _{j=1}^{\kappa }\left[g_{j}\cdot \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\right]=\sum _{j=1}^{\kappa }\left[g_{j}\cdot (b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\cdot \dotsc \cdot (b_{n}-a_{n})\right]
ja vastaavasti jakoon 



P


{\textstyle P}

 liittyvä yläsumma kaavalla
S_{P}(f)=\sum _{j=1}^{\kappa }\left[G_{j}\cdot \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\right]=\sum _{j=1}^{\kappa }\left[G_{j}\cdot (b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\cdot \dotsc \cdot (b_{n}-a_{n})\right].
Joukolle 



I


{\textstyle I}

 voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako 



P


{\textstyle P}

 tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene. Näin ollen, jos 



P


{\textstyle P}

 on välin 



I


{\textstyle I}

 jako, 




P
′



{\textstyle P'}

 on 



P


{\textstyle P}

:n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon 



P


{\textstyle P}

 jakopisteet) ja 




P
″



{\textstyle P''}

 on kummankin edellisen jaon alajako, niin:
s_{P}(f)\leq s_{P''}(f)\leq S_{P''}(f)\leq S_{P'}(f)
Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos 



P


{\textstyle P}

 on joukon 



I


{\textstyle I}

 mielivaltainen jako, niin aina
\sup _{P}s_{P}(f)\leq \inf _{P}S_{P}(f).
Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon 



I
=
[

a

1


,

b

1


]
×
[

a

2


,

b

2


]
×
…
×
[

a

n


,

b

n


]
⊂


R


n




{\textstyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsc \times [a_{n},b_{n}]\subset \mathbb {R} ^{n}}

, 



n
≥
2


{\textstyle n\geq 2}

 ja 



f
:
I
→

R



{\textstyle f:I\to \mathbb {R} }

 on rajoitettu funktio. Tällöin funktio 



f


{\textstyle f}

 on integroituva, jos ja vain, jos kaikilla 



ε
>
0


{\textstyle \varepsilon >0}

 on olemassa välin 



I


{\textstyle I}

 jako 



P


{\textstyle P}

 siten, että
S_{P}(f)-s_{P}(f)<\varepsilon .