Bernoullin luku
Historia

Bernoullin lukujen keksiminen juontaa juurensa ongelmaan kokonaislukupotenssien summan laskemisesta, mikä on kiinnostanut matemaatikkoja antiikin ajoista lähtien.
Aluksi tunnettiin tapoja laskea n:n ensimmäisen kokonaisluvun, n:n ensimmäisen neliön ja n:n ensimmäisen kuutioluvun summa, mutta ei varsinaisia kaavoja, vain puhtaasti sanallisia kuvauksia. Varhaisista matemaatikoista tätä ongelmaa ovat miettineet ainakin Pythagoras, Arkhimedes, Aryabhata, Abu Bakr al-Karajidi ja Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham.
Thomas Harriot (n. 1560–1621) on ilmeisesti ensimmäinen, joka johti ja kirjoitti kaavat symbolisessa muodossa, mutta hän etsi kaavat vain neljänsien potenssien summaan asti. Vuonna 1631 julkaistussa Academia Algebraessa Johann Faulhaber esitti kaavat potenssien summille polynomimuodossa aina 17. potenssiin asti ja mainitsi etsineensä kaavat 25. potenssiin asti. Nämäkin kaavat ovat teoksessa, tosin salakirjoitusmuodossa. Donald E. Knuth arvelee olevansa ensimmäinen, joka ratkaisi Faulhaberin koodin ja sanoo kaavojen olleen oikein 23. potenssiin asti. Kuitenkaan Faulhaberkaan ei keksinyt yleistä sääntöä.
Sveitsiläinen matemaatikko Jakob Bernoulli (1654-1705) oli ensimmäinen, joka huomasi yksittäisen lukujonon, joka tarjoaisi tavan muodostaa yleisen kaavan potenssisummille. Ensimmäinen julkaisu Bernoullin luvuista on Bernoullin hänen kuolemansa jälkeen, vuonna 1713 julkaistussa Ars Conjectandissa.
Kuvan otteessa kirjasta näkyy sivun alemmassa puoliskossa Bernoullin löytämä kaava. Siinä käytetyt merkinnät kuitenkin poikkeavat useissa kohdissa nykyisistä. Niinpä Bernoulli käyttää merkintöjä A, B C ja D modernin merkintätavan mukaisista luvuista B2, B4, B6 ja B8.  Lausekkeessa c·c−1·c−2·c−3 esiintyvät pisteet ovat erottamassa kertolaskun termejä c, c-1, c-2 ja c-3; nykyisin se kirjoitettaisiin c·(c−1)·(c−2)·(c−3). Modernia termejä käyttäen kyseessä on siis laskeva kertoma, jolle käytetään myös merkintää  c^{\underline {k-1}}. Myöskään kertomamerkintää ei vielä tuolloin käytetty. Integraalin merkki on peräisin Leibniziltä, joka käytti sitä merkitsemään summaa. Oheisella sivulla Bernoullin käyttämänä esimerkiksi merkintä  \int n^{4} tarkoittaa summaa  1^{4}+2^{4}+...+n^{4}.  Niinpä nykyaikaisin merkinnöin Bernoullin kaava kirjoitettaisiin:
Tätä voidaan vielä yksinkertaistaa käyttämällä edellä määriteltyjä toisia Bernoullin lukuja, jolloin  B_{1}={\frac {1}{2}}. Lisäksi voidaan vielä todeta, että laskeva kertoma  c^{\underline {k-1}} saa arvolla k=0 arvon  {\frac {1}{c+1}}.</ref>R. Graham; D. E. Knuth; O. Patashnik: Concrete Mathematics.  (2. painos, luku 2.51)  Addison-Wesley, 1989.  ISBN 0-201-55802-5 </ref>  Näin ollen Bernoullin kaava yksinkertaistuu muotoon:
Oheisella Bernoullin teoksen sivulla on kuitenkin virhe: summan  \int n^{9} (eli  \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}) lausekkeessa viimeisen termin tulisi olla  -{\tfrac {3}{20}}n^{2}, ei  -{\tfrac {1}{12}}n^{2}.
Bernoullin tyytyväisyys nopeaan tapaan määrittää kertoimet n ensimmäisen kokonaisluvun c:nsien potenssien summalle, jokaiselle kokonaisluvulle c näkyy seuraavasta kommentista:
"Tämän taulukon avulla sain laskettua alle puolessa neljännestunnissa, että 1000 ensimmäisen luvun kymmenien potenssien summa on 91409924241424243424241924242500.”
Bernoullin luvut voidaan määritellä generoivan funktion avulla: