Kolmitulo
Skalaarikolmitulo > Ominaisuuksia

Skalaarikolmitulo pysyy muuttumattomana sen muodostamien vektorien a', b ja c suoritetaan kiertovaihtelussa:
Skalaarikolmitulon arvo pysyy muuttumattomana, jos sen operaattorit (piste ja risti) vaihdetaan keskenään muuttamatta kerrottavien vektorien järjestystä. Tämä seuraa edellisestä sekä pistetulon vaihdannaisuudesta:
 \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}
Jos mitkä tahansa kaksi kerrottavista vektoreista vaihdetaan keskenään, skalaarikolmitulon arvo muuttuu vastaluvukseen. Tämä seuraa siitä, että vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, jos kerrottavat vektorit vaihdetaan keskenään:
 {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}
Skalaarikolmitulo voidaan käsittää myös sen 3×3-matriisin determinatiksi, jossa kerrottavat vektorit ovat joko riveinä tai sarakkeina (matriisin determinanttihan on sama kuin sen transpoosin):
 \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.
Skalaarikolmitulo on nolla, jos ja vain jos sen muodostavat vektorit ovat samassa tasossa; silloinhan niiden määrittämä suuntaissärmiö on surkastunut tasokuvioksi, jonka tilavuus on nolla.
Jos mitkä tahansa kaksi skalaarikolmitulon vektoria ovat yhtä suuret, skalaarikolmitulo on nolla:
 \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0
Myös:
 (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )
Tulo, joka saadaan kertomalla kahden vektorikolmikon skalaarikolmitulot keskenään, on yhtä suuri kuin sellaisen matriisin determinantti, jonka alkiona ovat näiden vektorien pistetulot seuraavasti:
((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}
Tämä ilmaisee vektorimuodossa sen seikan, että kahden 3×3-matriisin determinanttien tulo on sama kuin niiden matriisitulon determinantti. Erikoistapauksena skalaarikolmitulon neliö on Gramin determinantti.
Skalaarikolmitulon ja sen muodostamien kolmen vektorin normien tuloa sanotaan polaariseksi siniksi:
{\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ),
ja sen arvot ovat aina välillä [−1, 1].