stanford-oval/wikipedia huggingface dataset:
Alkeisfunktio
Perusalkeisfunktioita

Yleisimmin käytettyjä perusalkeisfunktioita ovat
potenssifunktiot, sillä ne ovat vakioiden ja muuttujien tuloja.
polynomifunktiot, sillä ne ovat potenssifunktioiden summia.
rationaalifunktiot, sillä ne muodostetaan kahden polynomifunktion osamääränä.
juurifunktiot, sillä ne ovat yleensä potenssi-, polynomifunktioiden tai näiden yhdistettyjen funktioiden käänteisfunktioita tai erikoistapauksia.
eksponenttifunktiot, sillä ne ovat vakioiden tulojen ja potenssiinkorotuksilla muodostettuja.
logaritmifunktiot, sillä ne ovat eksponenttifunktioiden käänteisfunktioita.
trigonometriset funktiot, sillä niillä kytketään kulmasuureet erityisiin pituusmittoihin yksinkertaisella tavalla.
arkusfunktiot, sillä ne ovat trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita.
hyperboliset funktiot, sillä ne on muodostettu eksponenttifunktioiden avulla.
areafunktiot, sillä ne ovat hyberbolisten funktioiden käänteisfunktioita.
Määritelmään sisältyvä looginen rakenne

Potenssifunktiot syntyvät määritelmän mukaisesti keromalla äärellinen määrä pelkästään vakioita ja muuttujia keskenään. Jos kaikki muuttujat tarkoittavat samaa lukua  x\!, saadaan  xxxx\dots x=x^{n}. Kaikki vakiot voidaan kertolaskussa sieventää yhdeksi luvuksi, jolla kerrotaan potenssi  x^{n}\!. Kun eksponentti n on negatiivinen kokonaisluku, muuttuvat potenssifunktiot myös rationaalifunktioiksi. Kun eksponentti n on yksikkömurtoluku (rationaaliluku), muuttuu potenssifunktio juurifunktioksi. Kun eksponentti n on reaaliluku, saadaan vielä uudentyyppisiä alkeisfunktioita, joilla ei ole muissa funktioluokissa vastineita. Potenssifunktioiden käänteisfunktiot ovat aina myös potenssifunktioita.
Polynomifunktiot muodostetaan laskemalla yhteen eri potenssifunktioita, joilla on eksponentteina luonnolliset luvut, esimerkiksi  3x^{4}-2x^{2}+2x+4. Polynomifunktioita voidaan myös muodostaa yhdistämällä potenssi- ja polynomifunktioita vapaasti eri tavoilla. Sallimalla yhdistettävissä potenssifunktioiden eksponenteissa negatiiviset kokonaisluvut, saadaan rationaalifunktioita, ja sallimalla eksponenteissa rationaaliluvut, saadaan erityyppisiä juurifunktioiden yhdistettyjä muotoja.
Rationaalifunktiot saadaan yksinkertaisimmin jakamalla kaksi polynomia keskenään. Kuten edellä havaittiin, voidaan rationaalifunktioon päätyä monin eri tavoin muutenkin.
Juurifunktiot muodostetaan korottamalla muuttuja  x\! yksikkömurtopotenssiin, mutta se merkitään yleensä perinteisesti juurimerkinnällä. Yhdistämällä juurifunktio polynomifunktiolla tai rationaalifunktiolla, saadaan edellä esiteltyjä juurifunktion muotoja. Joistakin juurifunktioiden yhdistelmäfunktioista saadaan myös olla yhdistettyjen potenssifunktioiden käänteisfunktioita.
Kuten edellisestä huomataan, ovat polynomifunktiot, rationaalifunktiot ja juurifunktiot kytköksissä potenssifunktioiden ominaisuuksiin. Alkeisfunktioita voidaan määritellä muillakin tavoilla.
Eksponenttifunktiot saadaan, kun potenssimerkinnässä kiinteä kantaluku korotetaan potenssiin, joka on muuttuja. Eksponenttifunktioiden käänteiskuvaukset antavat logaritmifunktiot.
Trigonometriset funktiot saadaan yksikköympyrän avulla trigonometrian perusmääritelmästä, jossa keskuskulman ja tietyn janan pituus esitetään kulman funktiona. Trigonometristen funktioiden käänteiskuvaukset antavat niin sanotut arcusfunktiot.
Hyperboliset funktiot voidaan määritellä eksponenttifunktioiden avulla, joiden kantalukuna on Neperin luku. Niin sanotut areafunktiot ovat hyperbolisten funktioiden käänteiskuvauksena saatuja funktioita.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9  Viitattu 8.7.2019. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)
Aiheesta muualla

Tietoa alkeisfunktioista englanniksi Wolframin funktioita käsittelevällä sivustolla
Fubinin lause

Fubinin lause on tärkeä integraalilaskennan lause. Se antaa menetelmän, jonka avulla moniulotteinen integrointi palautetaan peräkkäisiksi yksiulotteisiksi integroinneiksi tyhjennysmenetelmän ja Cavalierin viipalointiperiaatteen mukaisesti. Näin funktion integraali voidaan laskea iteratiivisesti sisäkkäisinä integraaleina eli iteroituina integraaleina. Lauseen todisti ensimmäisenä italialainen matemaatikko Guido Fubini, ja hänen mukaansa se on myös nimetty.
Lause

Olkoon  A=[a,b]\times [c,d]\subset \mathbb {R} ^{2}, ja olkoon funktio  f:A\rightarrow \mathbb {R}  integroituva. Jos jokaiselle  y\in [c,d] tiedetään, että funktion f osittaisleikkaus
on integroituva, niin silloin funktio
on integroituva, ja on voimassa Fubinin yhtälö
.
Lauseen arvo on siinä, että 2-ulotteisen tason integraalin laskeminen voidaan sen avulla palauttaa 1-ulotteisten integraalien laskemiseen, joiden kohdalla on usein sovellettavissa helppoja sääntöjä integraalin arvon määrittämiseksi.
Käytössä huomattavaa

Erillinen vaatimus funktion  \mathbf {} f integroitavuudesta on oleellinen, sillä on olemassa muun muassa sellainen  \mathbf {} A:ssa rajoitettu  \mathbf {} f, että  \mathbf {} f ei ole  \mathbb {R} ^{2}-integroituva, mutta silti jokaisella  y\in [c,d] on voimassa  \mathbf {} F(y)=0, jolloin selvästi myös  \int _{c}^{d}F(y)dy=0, eli ensin x-akselin ja sitten y-akselin suuntaiset "1-ulotteiset viipaleintegraalit" saadaan silti otettua. Tässä  \mathbb {R} ^{2}-integroituvuus tarkoittaa  \mathbf {} A-tasosuorakulmion yhä tiheämpää ja tiheämpää osittamista äärellisen moneen pienempään tasosuorakulmioon (Mikä tasossa vastaa tavallisessa 1-ulotteisessa Riemann-integraalissa tapahtuvaa  [a,b]-välin jakoa äärellisen moneen osaväliin.) niin, että niistä sup-arvoilla otettu Darboux'n yläsumma ja inf-arvoilla otettu Darboux'n alasumma pääsevät mielivaltaisen lähelle toisiaan, jolloin niiden yhteisesti lähestymä arvo on  \mathbf {} f:n  \mathbb {R} ^{2}-tasossa otettu Riemann-integraali. Funktio  \mathbf {} f ei siis ole  \mathbb {R} ^{2}-Riemann-integroituva, jos on olemassa kiinteä 0:aa aidosti suurempi arvo  \mathbf {} v>0 niin, että millä tahansa äärellisellä tasosuorakulmio-osituksella yläsumma on ainakin  \mathbf {} v:n verran vastaavaa alasummaa suurempi, jolloin yläsummat ja alasummat eivät pääse mielivaltaisen lähelle toisiaan.
Käytännössä tämä kysymys ei kovin usein esiinny, sillä  \mathbf {} f:n ollessa esimerkiksi jatkuva  \mathbf {} A:ssa  \mathbf {} f on varmasti  \mathbb {R} ^{2}-integroituva ja jokaisella  y\in [c,d] osittaisleikkaus on 1-ulotteisesti integroituva, jolloin Fubinin lausetta voidaan siis soveltaa.
Yleistyksiä

Fubinin lauseesta on olemassa myös yleisempiä versioita, muun muassa sen mittateoreettinen versio.
Kolmiomatriisi

Lineaarialgebrassa kolmiomatriisi on neliömatriisin erikoistapaus. Kolmiomatriisin päälävistäjän ylä- tai alapuolella olevat alkiot ovat kaikki nollia.
Koska matriisiyhtälöt ovat kolmiomatriisien tapauksessa helppo ratkaista, ne ovat käyttökelpoisia numeerisessa analyysissä. LU-hajotelma antaa algoritmin, jolla jokainen kääntyvä matriisi A voidaan hajottaa alakolmiomatriisin L ja yläkolmiomatriisin U tuloksi.
Määritelmä

Matriisia
sanotaan alakolmiomatriisiksi eli vasemmaksi kolmiomatriisiksi, ja toisaalta matriisia muotoa
sanotaan yläkolmiomatriisiksi tai oikeaksi kolmiomatriisiksi.
Kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia, on vahvasti ala-tai yläkolmiomatriiseja. Kaikki kolmiomatriisit ovat nilpotentteja matriiseja.
Jos kolmiomatriisin päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on matriisi yksikköylä/alakolmiomatriisi eli normitettu ylä/alakolmiomatriisi. Jos lisäksi kaikki muut kuin lävistäjäalkiot ovat yhtä lukuun ottamatta nollia, on matriisi atominen ylä/alakolmiomatriisi. Tätä matriisia sanotaan Gaussin muunnosmatriisiksi tai lyhyemmin Gaussin matriisiksi. Atominen alakolmiomatriisi on muotoa
Atomisen kolmiomatriisin käänteismatriisi on atominen kolmiomatriisi. Tarkemmin,
eli käänteismatriisin ne alkiot, jotka eivät ole päälävistäjällä, ovat alkuperäisen matriisin vastalukuja.
Nawal El Saadawi

| Nawal El Saadawi> arab. نوال السعداوي‎ |
| --- | --- |
 Nawâl El Saadâwi, Göteborgissa vuonna 2010
Henkilötiedot
Syntynyt: 27. lokakuuta 1931 Kafr Tahla, Egypti
Kuollut: 21. maaliskuuta 2021 (89 vuotta)
Kansalaisuus:  Egypti
Ammatti:  lääkäri ja kirjailija
Puoliso:  Sherif Hetata
Kirjailija
Tuotannon kieli: arabia
Tyylilajit:  ideologinen kirjallisuus
Palkinnot
 kts. Palkinnot 
Aiheesta muualla
Löydä lisää kirjailijoitaKirjallisuuden teemasivulta
Nawal El Saadawi (arab. نوال السعداوي‎, Nawāl as-Saʿdāwī, joskus muodossa Nawal al-Sa'dawi 27. lokakuuta 1931 Kafr Tahla, Egypti – 21. maaliskuuta 2021) oli egyptiläinen lääkäri, kirjailija ja feministi, joka on tunnettu naisen ja arabikulttuurin välistä konfliktia kuvaavista teoksistaan. Teostensa ja lausuntojensa uskonto- ja yhteiskuntakriittisyyden takia Saadawi oli muun muassa terroristijärjestöjen tappolistoilla sekä istunut vankilassa. Saadawin tunnetuimpia teoksia on arabinaisten asemaa käsittelevä Eevan kätketyt kasvot ('Al-Wajh al-'Ari lil-Mar'a al-'Arabiyya) vuodelta 1977.
Elämä

Nawal El Saadawi syntyi vuonna 1931 pienessä Kafr Tahlan kylässä lähellä Kairoa. Saadawia ja Saadawin sisaruksia opetettiin yhdessä. Saadawi valmistui Kairon yliopiston lääketieteellisestä korkeakoulusta vuonna 1955 erikoisalanaan psykiatria. Hän harjoitti ammattiaan kaksi vuotta sekä yliopistossa että kotikylässään. Lääkärin työssään hän näki sellaisia epäkohtia, joiden hän katsoi johtuvan yhteiskuntarakenteesta, erityisesti naisten alistetusta asemasta. Saadawin esikoisteos Mudhakkirat Tabiba (suom. Naislääkärin muistelmat) ilmestyi Kairossa vuonna 1958.
Vuosina 1963–1972 Saadawi työskenteli Egyptin hallituksessa julkisen terveydenhuollon johtajana. Samaan aikaan hän myös opiskeli New Yorkin Columbian yliopistossa, josta hän saavutti maisterin arvon julkisen terveydenhuollon alalta. Hän  menetti vuonna 1972 paikkansa hallituksessa poliittisen painostuksen ja naisten aseman parantamista koskevan kirjoittelun takia. Vuosina 1973–1978 Saadawi työskenteli Kirjallisuuden ja tieteen yli-instituutissa ja alkoi sinä aikana kirjoittaa arabinaisten kokemasta alistamisesta sekä fiktiivisesti että tietokirjamaisesti. Juuri näistä teoksistaan Saadawi on maailmanlaajuisesti tunnettu mutta joista hän on saanut maksaa myös kovan hinnan: hän päätyi useiden vuosien ajaksi fundamentalististen terroristien tappolistoille. Useat muslimijärjestöt ja -organisaatiot ovat tuominneet Saadawin teokset. Esimerkiksi Saadawin viimeisin teos Al Riwaya sai kiellon sekä Egyptin kirkolta että Al Ahzarilta, yhdeltä Egyptin muslimiauktoriteetilta.lähde?
Vuonna 1981 Nawal El Saadawi arvosteli julkisesti silloisen presidentin, Anwar Sadatin, yksinvaltaista hallintoa. Tämän johdosta Saadawi pidätettiin ja vangittiin, ja vapautettiin kuukausi Sadatin salamurhan jälkeen marraskuussa 1981. Vuonna 1982 Saadawi perusti Arabinaisten Solidaarisuusseuran (Arab Women's Solidarity Association, ASA), joka julistettiin laittomaksi vuonna 1991. ASA jatkaa kuitenkin edelleen toimintaansa Saadawin johdolla. Vuonna 1988, kun Saadawin nimi ensimmäisen kerran listattiin tapettavaksi, hän ja hänen toinen aviomiehensä Serif Hetata pakenivat Yhdysvaltoihin, missä Saadawi opetti sekä Duken yliopistossa että Washington State -yliopistossa. Saadawi palasi Egyptiin vuonna 1996.
Politiikka

Saadawi puhui arabinaisten asemasta egyptiläisessä yhteiskunnassa ja puolusti naisten oikeuksia. Erityisen näkyvä osa Saadawin poliittisia kannanottoja oli naisten ja erityisesti tyttöjen ympärileikkaus, jonka hän itse koki ollessaan kuusivuotias. Saadawi puhui tätä perinnettä vastaan Eevan kätketyt kasvot -kirjan ilmestymisestä vuonna 1977 asti. Vuonna 2007 10-vuotias egyptiläistyttö kuoli ympärileikkauksensa aikana, mikä herätti Egyptin viranomaiset julistamaan perinteen kielletyksi.. Saadawin sanotaan kommentoineen tapausta: ”Bedour, pitikö sinun kuolla, että pimeät mielet saavat valoa? Pitikö sinun maksaa hengelläsi lääkäreiden ja uskonnollisten johtajien tajuta, että oikea uskonto ei leikkele lapsia?” Vuonna 2004 Saadawi ilmoittautui presidenttiehdokkaaksi, vaaliteemoinaan ihmisoikeudet, demokratia ja naisten vapaus. Heinäkuussa 2005 Saadawi joutui kuitenkin vetäytymään kilvasta hallituksen jatkuvan vainon vuoksi.lähde?
Teokset > Suomennetut teokset

Eevan kätketyt kasvot: Nainen arabimaailmassa.  (Al-Wajh al-'Ari lil-Mar'a al-'Arabiyya, 1977)  Suomentanut Anniina Palomurto englanninkielisestä käännöksestä The hidden face of Eve. Esipuheen suomentanut arabiasta Marko Juntunen. 3. korjattu p.. Helsinki:  Kääntöpiiri, 2002.  ISBN 951-8989-64-8
Nainen nollapisteessä.  (Imra'a 'ind Nuqtat al-Sifr, 1979)  Suomentanut Kaija Anttonen englanninkielisestä käännöksestä Woman as point zero. 3. p. (1. p. 1988). Helsinki:  Kääntöpiiri, 2002.  ISBN 951-8989-63-X
Herra ex-ministerin kuolema ja muita novelleja (Mawt Ma'ali al-Wazir Sabiqan, 1980)Suomentanut Pirkko Talvio-Jaatinen englanninkielisestä käännöksestä. Like, 1990. ISBN 951-8989-06-0.
Imaamin tuho (Suqut al-Imam, vuosi 1987). Suomentanut englannin kielisestä käännöksestä Leena Tamminen. Kääntöpiiri, 1989. ISBN 951-8989-00-1.
Teokset > Suomentamattomia

Seuraavassa on valikoima Saadawin teoksia. Lisäksi Saadawi kirjoitti omaelämäkerran, kolme näytelmää, romaaneja, tietokirjallisuutta ja novelleja.
Mudhakkirat Tabiba (Memoirs of a Woman Doctor), 1960, 1980
al-Gha'ib (Searching), 1968
Mawt al-Rajul al-Wahid Œala al-ŒArd (God Dies by the Nile), 1974
Kanat Hiya al-Ad'af (She Has No Place in Paradise), 1979
Imra'tani fi-Imra'a (Two Women in One), 1983
Mudhakkirat fi Sijn al-Nisa (Memoirs from the Women's Prison), 1984
Al Riwaya (The Novel), 2004
Palkinnot ja tunnustukset

Yorkin yliopiston kunniatohtori, Britannia, 1994
Illinois'n yliopiston kunniatohtori, Yhdysvallat, 1996
St. Andrewsin yliopiston kunniatohtori, Skotlanti, 1997
Libyan tasavallan ensimmäisen asteen kunniamerkki (First Degree Decoration of the Republic of Libya), 1989
Gubran-kirjallisuuspalkinto (Arab Association of Australia Award), 1988
Ranskalais-arabialaisen ystävyysseuran kirjallisuuspalkinto, Ranska, 1982
Taiteiden ja yhteiskunnallisten tieteiden ylineuvoston kirjallisuuspalkinto, Egypti, 1974
XV Premi kansainvälinen Katalonia -palkinto, 2003
Tromssan yliopiston kunniatohtori, Norja, 2003
Vuoden 2003 kansainvälinen kirjailija, Cambridge], Britannia
Eurooppa-neuvoston North South -palkinto, Lissabon, 2004
Kansainvälinen Inana-palkinto, Belgia, 2005
Brysselin yliopiston kunniatohtori, Belgia, 2007
Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Nawal El Saadawi Wikimedia Commonsissa
Nawal El Saadawi: Nainen nollapisteessä Eniten minua kiinnostaa tie -blogi. 17.12.2018. Viitattu 25.1.2021.
1981: Nawal El Saadawi Time – 100 Women of the Year. 5.3.2020. Viitattu 25.1.2021.
I don't fear death: Egyptian feminist, novelist Nawal El Saadawi Egypt Today. 24.5.2018. Viitattu 25.1.2021. (englanniksi)
Housham, Jane: Woman at Point Zero by Nawal El Saadawi review – classic feminist novel The Guardian. 6.11.2015. Viitattu 25.1.2021. (englanniksi)
Khaleeli, Homa: Top 100 women: activists and campaigners – Nawal El Saadawi The Guardian. 8.3.2011. Viitattu 25.1.2021. (englanniksi)
| Auktoriteettitunnisteet  |
| --- | --- |
Kansainväliset:  FAST  ISNI  VIAF  WorldCat 
Kansalliset:  Norja  Chile  Espanja  Ranska  BnF data  Katalonia  Saksa  Italia  Israel  Suomi (KANTO)  Belgia 2  Yhdysvallat  Ruotsi  Japani  Tšekki  Australia  Korea  Alankomaat  Puola  Portugali 
Tieteilijät:  CiNii 
Henkilöt:  Deutsche Biographie  DDB 
Muut:  SNAC  IdRef
Veikko Räsänen (jääkäri)

Eversti Veikko Räsänen rintamalla vuonna 1943.
Veikko Räsänen (7. syyskuuta 1893 Kuopio – 11. maaliskuuta 1954) oli suomalainen jääkärieversti.
Elämäkerta

Räsäsen vanhemmat olivat ylikonstaapeli Vilho Räsänen ja Maria Raatikainen. Hänet vihittiin avioliittoon vuonna 1919 Kyllikki Hannukselan kanssa.
Elämäkerta > Opinnot

Veikko Räsänen kävi kahdeksan luokkaa Kuopion klassillista lyseota. Tykistöupseerien täydennyskurssin hän suoritti vuonna 1919 ja esiupseerien jatkokurssin vuonna 1923, Sotakorkeakoulukurssin hän suoritti Saksassa vuosina 1923–1925.
Elämäkerta > Jääkäriaika

Hän liittyi Saksassa sotilaskoulutusta antavaan Jääkäripataljoona 27:ään 20. joulukuuta 1915 ja sijoitettiin pataljoonan 4. komppaniaan, josta hän kumminkin pyrki vapaaehtoisena perusteilla olevaan Jääkäripataljoonan tykistöön ja tulikin valituksi yhtenä niistä 26 miehestä, jotka Jääkäripataljoonan komentaja majuri Bayer valitsi haastattelunsa perusteella. Hänet siirrettiin virallisesti haupitsijaokseen 17. maaliskuuta 1916, minkä päivämäärän voidaan katsoa olevan jääkäritykistön virallinen perustamispäivä. Hän otti osaa taisteluihin ensimmäisessä maailmansodassa Saksan itärintamalla Misse-joella, Riianlahdella ja Ekkau-Kekkaulla sekä Aa-joella. Hän osallistui Libaussa vuonna 1917 järjestetyille sotakoulun A-kursseille.
Elämäkerta > Suomen sisällissota

Räsänen astui Suomen armeijan palvelukseen 7. helmikuuta 1918 luutnantiksi ylennettynä ja saapui Suomeen (Vaasaan) 18. helmikuuta 1918 jääkärien etujoukon mukana. Hänet sijoitettiin Suomen valkoiseen armeijaan jaosjohtajaksi Jääkäritykistön 3. patteriin, missä joukossa otti osaa taisteluihin Kurussa ja Muroleessa sekä itsenäisen jaoksen päällikkönä Suinulassa, Vehmaisissa, Messukylässä ja Tampereella. Tampereen valtauksen jälkeen toimitetussa tykistön uudelleen järjestelyssä hänet määrättiin Jääkäritykistöprikaatin 3. jääkäripatteriston 6. patterin päälliköksi ja hän otti osaa taisteluihin Viipurissa.
Elämäkerta > Sisällissodan jälkeinen aika

Sisällissodan jälkeen Räsänen toimi aluksi patterinpäällikkönä Helsingin kenttätykistöosastossa ja 25. elokuuta 1918 alkaen opettajana Suomen tykistökoulussa, josta hänet siirrettiin 1. lokakuuta 1918 päälliköksi Kenttätykistörykmentti n:o l:n II patteriston 4. patteriinselvennä. Hänet määrättiin 8. lokakuuta 1918 saman patteriston komentajaksi ja siirrettiin 10. helmikuuta 1919 kenttätykistörykmentti 3:n I patteriston komentajaksi.  Jääkäritykistön varakomentajaksi hänet komennettiin 12. huhtikuuta 1922 ja edelleen 18. elokuuta 1922 komentajaksi kenttätykistörykmentti l:n I patteristoon. Tykistön tarkastajan apulaiseksi hänet nimitettiin 26. maaliskuuta 1925 ja edelleen 1. heinäkuuta 1925 Yleisesikunnan koulutustoimiston päälliköksi, josta hänet siirrettiin 30. syyskuuta 1926 henkilöasiaintoimiston päälliköksi ja 28. huhtikuuta 1927 lähtien Sotakorkeakoulun tykistötaktiikan opettajaksi. Salmin rajavartioston komentajaksi ja samalla Salmin rajakomendantiksi hänet nimitettiin 11. joulukuuta 1928.
Elämäkerta > Opetustoimet

Hän on toiminut tykistötaktiikan tuntiopettajana Kadettikoulussa vuosina 1925–1926 ja Suojeluskuntain päällystökoulun komentajakursseilla vuonna 1925.
Elämäkerta > Luottamustoimet

Hän on toiminut Kenttätykistörykmentti l:n kunnianeuvoston puheenjohtajana vuonna 1923, Yleisesikunnan kunniatuomioistuimen jäsenenä vuonna 1927 ja Tarton rauhansopimuksen mukaisen ensimmäisen paikallisen rajantarkastuskomission suomalaisen valtuuskunnan puheenjohtajana vuonna 1929.
Elämäkerta > Talvi- ja jatkosota

Talvisotaan hän osallistui erillisosaston komentajana viivytystaisteluissa akselilla Suojärvi–Ägläjärvi ja Osasto Talvelan erikoiskäytössä Tolvajärven ja Ägläjärven taisteluissa. Talvisodan loppuvaiheilla hän toimi Osasto Pajarin Aittojoella olleiden joukkojen komentajana. Välirauhan aikana hän toimi Jalkaväkirykmentti 42:n (JR 42) komentajana ja toimi myöhemmin rajavartioston perustamistehtävissä IV:n ja II:n Armeijakunnan esikunnassa. Perustamistehtävien jälkeen hän sai komentoonsa Rajavartiosto 1:n ja myöhemmin Rajavartiosto 2:n. Jatkosotaan hän osallistui ensin samoissa tehtävissä rajavartioston komentajana, mutta myöhemmin hänet siirrettiin Linnoitusprikaatin komentajaksi ja edelleen Maaselän sotilashallintopiirin päälliköksi, jossa tehtävässä hän oli vuoteen 1943 saakka, jolloin hänet komennettiin Kotijoukkojen esikuntaan tarkastajaksi. Tarkastajan tehtävistä hänet siirrettiin Jalkaväen koulutuskeskus 27:n komentajaksi ja edelleen Viipurin ja Lappeenrannan varuskunnan päälliköksi. Vakinaisesta palveluksesta hän erosi jatkosodan päätyttyä. Sotien jälkeen hän hoiti maatilaansa Tuusniemellä vuosina 1945–1954.
Ylennykset ja kunniamerkit
| 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- |
| Ylennykset |  | Kunniamerkit |
|  Hilfsgruppenführer 10. marraskuuta 1916  Gruppenführer 12. elokuuta 1917  Luutnantti 7. helmikuuta 1918  Kapteeni 16. toukokuuta 1919  Majuri 6. joulukuuta 1922  Everstiluutnantti 6. joulukuuta 1927  Eversti 1941  Yleisesikuntaupseerin arvonimi 28. toukokuuta 1926 |      |  Vapaudenristi 3. lk. (1918 ja 1940)  Vapaudenristi 4. lk; miekkojen kera  Suomen Valkoisen Ruusun 1. lk. ritarimerkki  Vapaussodan muistomitali soljen kera  Talvisodan muistomitali  Jääkärimerkki  Preussin Rautaristi 2. lk.   Saksan maailmansotaan osallistuneiden kunniaristi  Unkarin Pyhän Kruunun ritarikunnan kunniamerkki  Latvian Kolmen Tähden ritarikunnan 3. lk. kunniamerkki  Ruotsin Miekkaritarikunnan komentajamerkki |
Jääkäripataljoona 27:n haupitsijaoksen toinen tykki tuliasemassa miehistöineen Riianlahdella syksyllä 1916.
Analyysin peruslause

Analyysin peruslauseet ovat lauseita, joiden mukaan kaksi analyysin perusmääritelmää, derivointi ja integrointi, ovat toistensa käänteistoimituksia. Analyysin peruslauseita on väitteen kumpaakin puoliskoa varten yksi, ja niiden nimet ovat analyysin ensimmäinen peruslause ja analyysin toinen peruslause. Siitä, kumpi on kumpi, ei liene täysin yksimielistä käytäntöä.
Analyysin ensimmäinen peruslause

Jos  f on välillä  [a,b] jatkuva funktio  ja  F jokin sen integraalifunktio, niin F on derivoituva ja pätee:
Lause voidaan kirjoittaa myös muodossa
Analyysin toinen peruslause

Olkoot  F_{1} ja  F_{2} funktion  f primitiivejä (integraalifunktioita). Tällöin löytyy vakio  c siten, että
Geometrinen tarkastelu

Merkitään kuvasta funktion  f alueen, eli funktion alle jäävän pinta-alan, kokoa funktiolla  A (kuvassa punainen alue). Olkoon sinisen alueen leveys  h. Kun h on pieni saadaan arvio siniselle alueelle:
Toisaalta sininen alue on  A(x+h)-A(x). Yhdistämällä saadaan:
Siis  f on  A:n derivaatta, kun väli  h lähestyy nollaa.
Tästä seuraa, että derivoinnin käänteisoperaatiolla funktiosta  f saadaan funktio  A eli funktion alle jäävä pinta-ala.
Kirjallisuutta

Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku.  Helsinki:  Otakustantamo, 1969.  ISBN 951-671-022-0
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9  ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)
Aiheesta muualla

MathWorld. Fundamental Theorems of Calculus
Punaisella funktion  f alue pisteeseen  x asti. Sininen ja punainen alue yhdessä vastaa  f:n aluetta  x+h asti.
Analyysin peruslause (animaatio)
Logaritminen integraalifunktio

Logaritmisen integraalin kuvaaja.
Logaritminen integraali on matemaattinen funktio, joka on erityisen käyttökelpoinen analyyttisessä lukuteoriassa. Sille on määritetly, että  (x\neq 1):
missä  \operatorname {ln}  on  luonnollinen logaritmi.
Logaritmisella integraalilla on tärkeä osa lukuteoriassa, kuten alkulukulauseessa:
missä  \pi (x) osoittaa lukua x pienempien tai yhtäsuurten alkulukujen lukumäärää.
Logaritmisella integraalilla on yksi nollakohta kohdassa
Kyseessä oleva luku on Ramanujan–Soldner vakio.
Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.